■■

ÜfPML

1

WÊÈÈÈSÈËm

Wmè

iémé

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000249942

.

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA L. 13.

Td

TTT-77T

Dr. W. LASKA i inż. S. WIDT

profesorowie Szkoły Politechnicznej We LWoWie.

MIERNICTW

Gz<ąść 11.

ii

Jeodolit i jego zastosoWanie do c polygonalnych

z uWzględnieniem instrukcyi katastralnej z roku 1887.

_Q_

J0_

Gena A korony

ST

WE LWOWIE.

I. ZWiązkoWa drukarnia We LWoWie, ul. Lindego L. 4.

1903.

%

&

♦

&

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000249942

«£*.1

^ >A&2

SPIS RZECZY.

Strona

§.    1. Układ spółrzędnych .

§. 2. Wzory fundamentalne

I. Zadanie fundamentalne

§• 3.

§.    4. II. Zadanie fundamentalne

Cs t-¹

§. 5. III. Główne zadanie . §. 6. IV. Główne zadanie . §.    7. V. Główne zadanie .

§. 8. Zadanie §. 9. Zadanie

(M ^ o CO CO 05

T-l r—I t-H T—l 7—i T—i

§. 10. Opis teodolitu............

§. 11. Rektyfikacya teodolitu .    ........

8. 12. Błędy translacyjne (położenia)........

§. 13. Błędy rotacyjne (pochylenia).........

§. 14. Wpływ błędów na pomiar kątów poziomych.....

§. 15. Ustawienie teodolitu na stanowisku.......

§. 16. Wpływ złego ustawienia poziomego na pomiar kątów poziomych .

§. 17. Błędy podziałki kół podzielonych........

§. 18. Pomiar kątów poziomych .    ........

§. 19. Przyrząd uniwersalny §. 20. Jak postępować, jeżeli obok libedi niwelacyjnej, umieszczonej na lunecie, niema drugiej libeli na przyrządzie ..........

22

23

26

30

34

37

38

40

42

45

46

§. 21. Wyrównanie kątów

47

§. 22. Punkty katastralne..........

§. 23. Skale katastralne.............

§. 24. Podział na sekcye.............

§. 25. Odszukanie punktów katastralnych.........

§. 26. Uwidocznienie punktów katastralnych.......

§. 27. Sprawdzenie i dokładność punktów katastralnych......

§. 28. Tryangulacya..............

§. 29. Założenie siatki polygonalnej...........

§. 30. Zaznaczenie punktów polygonałnych.........

§. 31. Nawiązanie punktów polygonałnych do punktów tryangulacyjnycli.

§. 32. Pomiar siatki polygonalnej ...........

§. 33. Wyrównanie i obliczenie poły gonu zamkniętego.......

§. 34. Wyrównanie polygonu między punktami tryangulacyjnymi .

§. 35. Wykrycie grubych błędów w polygonach ........

§. 36. Przykład obliczenia polygonu zamkniętego........

§. 37. Siatka normalna..........

§. 38. Punkty węzłowe .    ............

§. 39. Założenie siatki linij pomiarowych .    .    ........

§. 40. Niektóre zadania, odnoszące się do linij pomiarowych.....

§. 41. Wyznaczenie punktów przecięcia się boków polygonów z liniami sekcyjnemi

§. 42. Kosztorys...............

§. 43. Przykłady obliczenia spółrzędnych..........

51

52

52

58

60

60

61

64

66

67

68

72

75

76

79

82

86

87

88

90

90

91

§. I. Układ współrzędnych.

Względne położenia punktów na powierzchni ziemi wyznaczają się za pomocą współrzędnych, odniesionych do tak zwanego układu poziomego. Są one prostokątne albo też biegunowe. Punkt początkowy, t. zw. środkowy

układu może być zupełnie dowolny; może nim być oko obserwatora, albo też pewien punkt przyrządu, jak np. w teodolicie punkt przecięcia się osi celowej z osią obrotu lunety. Pion przechodzący przez punkt środkowy jest osią Z. Płaszczyzna, poprowadzona prostopadle do pionu i przez punkt środkowy, nazywa się p o-ziomem układu (oka, przyrządu). Od punktu środkowego na południe biegnie oś -j-X; w kierunku zaś na zachód -f Y. IJkład taki nazywa się układem astronomicznym w odróżnieniu od układu geodezyjnego, w którym oś jest zwrócona na północ, a oś +Y na wschód. Rzędna Z jakiegoś punktu w obu układach nazywa się jego wysokością względną, bo względem poziomu tego układu wziętą. Dla punktu P mamy więc rzędne (patrz rys. 1.) :

O A = PB' = xP.

0B‘= AB = yP.

BP = AC — OC‘= Zp.

Układ astronomiczny.

Żenił. *2,

pa

cr

C'

°<y

Fig.l

biegunowych

Położenie punktu P można jednak oznaczyć i za pomocą rzędnych

a, h, d

które z rzędnemi prostokątnemi tworzą następujące równania:

æ = d cos h cos a = dcosh sin a = d sin h

1)

w których d jest odległością punktu P od punktu środkowego O, a kąty a i h są określone równaniami

tg- a

2)

tg h =

Y^c² + 2/²

3)

albo też

sin h = —

Poziom. Li

h-

Zenit

lw90"

h=0°

h-

h=~90°

Nadir.

Fig. 2.

kąt h nazywa się kątem wzniesienia albo także kątem wysokości. Liczymy go zawsze od poziomu. Jest on więc dodatni, jeżeli punkt P znajduje się nad, i ujemny, jeżeli punkt P znajduje się pod poziomem. (Rys. 2). Kąt a nazywa się azymutem i liczy się w kierunku dziennego (pozornego) ruchu gwiazd, t. j. od punktu t. zw. południowego, przez zachód, północ, wschód i z powrotem do punktu południowego (azymut astronomiczny), albo też od północy przez wschód (azymut geodezyjny), w obu razach od 0° do 360°.

Mamy więc następującą tabliczkę:

Punkt

Azymut astronom.

Azymut geodezyjny

Południe

0° albo 360°

Zachód

Północ

Wschód

+ 90° + 180° + 270°

+ 180° +•270°

0° albo 360°

+ 90°

Różnica dwóch azymutów nazywa się kątem poziomym.

Z danych a, h i d obliczyć rzędne nie przedstawia żadnych trudności. Chcąc zaś z oc, y₉ z obliczyć powyższe ilości, trzeba uważać na kwadrant azymutu. Do tego służy następująca tabliczka.

Kąt

sin a

cos a tg a

Położenie

0 < a < 90° a — 90°

"T"

dhOO

Południe - Zachód Zachód

90° < a <180° a = 180°

Zachód - Północ Północ

i    I 'r~'

I O + ₊

dhOO

180° < a < 270° a = 270°

270 < a < 360°

a = 3(50°

Północ - W schód Wschód

Południe - Wschód Południe

Kąt

sin

cos

tg

cotg

0°

—f— oo

90- — a + cos a + sin a

+ cotg 05

+ tg 05

90°

dbOO

90° + 05

+ COS 05

— sin 05

— cotg a

— tg 05

180 - — a

+ sin os » '

— COS 05

— tg o:

— cotg a

180°

+ tg-05

180° + a

— sin a

— coą 05

+ +0tg 05

+ tg 05

270°—«

— cos a

— sin 05

+ cotg a

270°

dt oo

+ sin 05

— tg o:

270°+ a

— COS 05

■— cotg a

+ COS 05

— tg 05

360° —a

— sin a

— cotg a

360°

H- GO

+ sin 05

+ tg 05

360 + os

+ cos a

+ cotg 05

— cotg a

— sin oj

+ cos a

— tg 05

Przykład. Dane są rzędne

x = +136-47 m y = —212-22 m 0 = 0

Znaleśó azymut os, i odległość d. Mamy tu

Zatem

x = d cos a, y = d sin a.

% --

tg a =

—212-22

+ 136-47

Ponieważ d jest odległością, więc ilością, która ma zawsze znak +, to musi być sin a tego samego znaku co y, a cos a tego samego znaku co x. Mamy zatem w tym wypadku

sin a ma znak — cos a „

a to znaczy, że a znajduje się w 4 kwadransie, czyli że:

270° < a < 360°

Rachunek ułożymy jak następuje:

log y

log sin a

log x

log cos a

log tg a

O ; CD to CD

CD

Cd

tH

co ! co

OT

co

00 o

-śH CO

CD

oc

CD

rH

CD

Cd Cd lO

os

Os

b-

rH

cc

Os

bO

3    0    2°

4    4'

6"

§. 2. Wzory fundamentalne.

W następnych uwagach przyjmujemy, że oś -{-X jest skierowaną na południe, oś zaś + Y na zachód. Otrzymujemy więc następujący układ współrzędnych :

+Y

a-90°

Zachód.

Północ

-X

i80°

a-l80°

a=27Q°

Wschód

Zachód

/'B >'

aBA.

ar

³ab

iA

ulr

Q = 0°

Południe.

Południe.

Południe.

Fig. 3.

Azymuty liczymy zawsze w kierunku strzałki, od kierunku + X zaczynając. A więc azymut kierunku od A do B przedstawia się na rysunku posób następujący: znając kierunek południka, rysujemy w punkcie A (początkowym uważanego kierunku AB) linię równoległą do południka AP. Wtedy kąt aAB = PAB liczony przez zachód (więc w kierunku strzałki) jest azymutem kierunku od A do B. Ażeby otrzymać azymut kierunku od B do A, tj. aBA postępuje się analogicznie (patrz rys. 3).

Z rysunku widać, że :

5)

MąB — MBA + 180°

Bo jeżeli w przedstawia dopełnienie azymutu aAB do 360° to mamy

-i

.Ä

K-/

360° = w -j- (iab 360° = w + 180° + Oba

a stąd powyższe równanie.

CBA=a obliczyć az

Zadanie 1¹). Mając azymut kierunku AB, t. j. a ab i kąt ymut obo t. j. azymut kierunku z B do G.

ot

Niech strzałki przedstawiają kierunki i wielkości azymutów, to a^ßjest azymu-Fig.4 . tern nietylko kierunku AB, ale także i jego przedłużenia BBskoro (patrz rys. 4)

2É. B‘BC = 180 —a

zaś

Obc — Oab + B‘BC

a,

Południe.

aBC

oL

Południe.

to mamy:

Ubc ⁼⁼ o¹ ab -ł⁻ (180 —0 <C 180°

Podobnie otrzymuje się

asc—^AB — (« —180°), «>■ 180°

czyli wogóle :

aBc= aab— a 4-180° .

. 6)

gdzie a jest kątem CBA zawartym między kierunkiem BC i BA, liczonym tak, jak azymuty.

Zadanie 2. Dane są rzędne dwóch punktów

xA

Xb

Va

Vb

Znaleść azymut oAb kierunku AB.

Narysujmy sobie przedewszystkiem sytuacyę. (Patrz rys. 5). Połóżmy : By A

Zachód

xa ⁼⁼⁼ OAx, Xb ⁼⁼ OBx y a ' OAy, y b := OB y

Z tego wynika, iż w /\ ABC

AC = xA — Xb BC = yB — y a

ur

Jeżeli dalej :

aAB

w + a AB — 180°

to mamy

Południe.

Południe

tg w =

BC

AC

yB —Va

Fig 5.

Stąd otrzymuje się :

xB ■—xA

tg w = tg (180° — Oab) = — tg Oab

tg a ab =

Vb — Va

Zadanie 3. Znaleść odległość punktów A i B, tj. AB — Sab W trójkącie ABC jest BC ■■= AB sin w

AC = AB cos w, a po podstawieniu mamy :

Z tych równań otrzymuje się:

J/b —Va —Sab sin a ab j oCß “ 0Ca — Sab cos ci ab [

. . 8)

S AB =

V b—Va

sin a ab

Równania 5) do 9) tworzą podstawę rachunków poligonalnych.

COS Cl A Ti

9)

A?r~

Twierdzenie. W zamkniętym polygonie jest zawsze (patrz rys. 6)

aC

s sin a = 0,

s cos a = 0

Mamy n. p. polygon ABCD określony przez współrzędne jego wierzchołków.

W takim razie musi być {Vb —Va)4-(yc —ys)+(yo -yc)4-(yA —yo)=0 |

(Xb—Xa) + {Xc—0Cb) + {0CD—Xc) + (wA—Xd) = o j a skoro zastosujemy tu równanie 8), otrzymujemy : Sab sin ci ab 4- &bc sin cibc 4- Scd sin cicd 4- Sda sin Oba — 0 j S a n COS Cl ab 4" Sec COS Hec 4* Scd COS Hcd + 8 da COS Uda = 0 J Dla polygonu zamkniętego otrzymujemy na podstawie równań 6) dalej :

O AG ⁼⁼ O ab + 180 ⁰ — 05 O CD ⁼⁼⁼ Cl AB 4" 2'180° — 05 — ß Oda = o ab + 3 • 180° —a—ß—y itd.

o<

10)

Fig. 6.

. 11)

. . 12)

§. 3. I. Zadanie fundamentalne.

Dane są rzędne dwóch punktów

AfXA

Xß

Va

.Pb

i kąty :

a = *1 CAB, ß = ~2L ABC.

⁺Y

Fig. 7

obliczyć rzędne punktu C. (Patrz rys. 7). Zadanie to może być jednoznacznie rozwiązane tylko wtedy, jeżeli znamy sytu-cyę punktów, bo inaczej otrzymalibyśmy dwa rozwiązania (patrz rys. 8) punkt C i punkt C‘. Przypuszczając, że sytuacya jest taka, jak na rysunku 7, postępu-

-X

-Y a

€>B

jemy w sposób następujący: przedewszystkiem obliczymy azymut kierunku AB (od A do B) za pomocą wzorów :

\.

ß>B

i?

! J-

C’

Fig. 8.

tg a AB =

następnie odległość

Sab =

XB —Va

xB —y a

Vb—Va

XB "~~XA

sin a ab

Dalej rachuje się (AC = b, BC = a)

Sab

sin (a+ß)

Sab

sin (a+ß)

Cl AC = U AB — CL

.    .    13)

cos a ab

•    .    14)

sin ß

sin a

CIbc = 180° + ci ab + ß |

.    .    15)

. . 16)

a wreszcie otrzymujemy :

xG = xA + b. cos a Ac = xB 4- a cos aBc )

Vc = Va + b. sin a Ac — Vb + a sin aBc J

Te wzory odnoszą się do sytuacyi rys. 7. Jeżeli sytuacya jest inną, to powinna być uwzględnioną przy używaniu wzorów fundamentalnych.

.    .    17)

Kontrola rachunków.

Przy zdjęciach polygonalnych i następnie do tego potrzebnych rachunkach jest kontrola niezbędną, bo każdy błąd, w którymkolwiek punkcie zrobiony, przenosi się na całą konfiguracyę, składającą się często z kilkuset punktów.

Kontrola przez podwójny rachunek jest wystarczająca tylko dla sprawdzenia dokładności działań rachunkowych, lecz nie wykazuje innych błędów rozwiązania.

W ostatnim zadaniu można obliczyć sAb i dalej xc i yc podwójnie. Dla wartości zaś clAb, b, a, aAC, aBc nie ma kontroli. Trzeba więc wyszukać nowe kontrolujące wzory.

Połóżmy

Ax — xB —xA Ay = yB —yA

to trzeba przedewszystkiem Ax i Ay, które są podstawą dalszych rachunków, sprawdzić. Do tego służą wzory :

Ax + Ay == (xB + Vb) — (xA + yA) = S \ Ax — Ay = (xB — yB) — (xA — yA) = 2> / Za pomocą których otrzymuje się:

Ax = i (S+D)

Ay = i (S-JD)

W celu sprawdzenia a ab stosuje się znane równanie

tg (45 -f x) —

1 -f- tg x

1 — tgx

Mamy zatem :

tg (45 + a ab) =

1 + tg a aii

Ponieważ zaś

1 — tg a ab

tg a ab =

to mamy

Ax + Ay S

Ax — Ay    D

Do kontroli wartości a i b może być użyty wzór

Sab = b COS a -f a. COS ß.....

Azymuty zaś aAc i o>bc kontrolują się (w danej sytuacyi) wzorem.

tg (aab + 45°) =

20)

gdzie

acA — y = ®CB

y = 180 — (a -b ß).

Dokładność w określeniu punktu przez wcinanie wprzód.

Każdy punkt może być uważany za przecięcie się dwóch prostych (w geodezyi celowych) i będzie najlepiej określony wtedy, jeżeli te dwie ^ proste przecinają się pod kątem 90°, pozostaje zaś nieokreślonym, jeżeli linie te są równoległe (patrz rys. 9). Kąt przecięcia się tych dwóch celowych jest w naszym wypadku y = 180 — (a + ß).

Maximum dokładności mamy więc przy y = 90° = 180° — (a + ß), minimum zaś dla

Fig.9.

lub a -f ß = 90°

y==0= 180 — (a + ß)

Niech prosta 1,1 (patrz rys. 10) ma granice (1) i (1'), w których ona przesuniętą być może, analogicznie linia 2,2; to punkt przecięcia O tych linij może znajdować się gdziekolwiek w czworoboku    . Jeżeli O jest punktem przecięcia się pro

stych 1,1 z 2,2, a nachylenie ich wzajemne jest w, to dla najbardziej oddalonego punktu B tego czworoboku, mamy :

0B* = 2)2= ÖÄ² + ZB²+2ÖXÄ5cos w

BA =    —

sin w

P >4 90°

a + ß = 180

BV

Id

jest ale

mm,

WK

B”i

_____[2]

zatem D = —-^2 ^ 1 -f-

sinw

cos w .

/M

Fig.10.

Jeżeli kąt nachylenia jest w¹, to będzie:

--;V 2 i 1 +

sm w

D będzie nam przedstawiało miarę dokładności wyznaczenia tego punktu. Im mniejszem jest D, tern lepiej jest ten punkt określony.

D‘ =

cos w'

Zatem

D sin w¹ Y 1 + cos w D' sinw y 1 + cos w‘

sin IV¹ cos 2 sin w cos

Ale ponieważ

V2>

cos 2

> i fi

cos

przeto można w przybliżeniu położyć :

cos 2

cos w‘

a wtedy mamy

I) sin w

£>‘

sin w

. . 21)

Jeżeli p i p‘ są wagami określeń punktu w tych dwóch wypadkach,

to musi być

. . 22)

p_sin² w

p‘ sin²wV

Graficzne przedstawienie kilkakrotnego wcinania wprzód.

Przypuśćmy', że punkt D został wyznaczony wcinaniem wprzód z punktów A, B: C. W istocie nie otrzymujemy jednego punktu przecięcia, lecz

tak zwany trójkąt błędu. Przecięcie prostych odpowiednio powiększone dałoby obraz taki, jak jyę na rys. 11.

Fig. {{.

Jeżeli zrobimy (p. rys. 12) (8)//3 to A D(D)E będzie podobny do trójkąta błędu. Otóż chodzi tylko o odszukanie jednego boku, ażeby można było cały trójkąt błędu skonstruować w dowolnej podziałce ^ . W tym celu rachuje się

BD =

AB

sin (a + ß)

sin a

B{D) =

BC

i różnicę

sin (y + d)

.sin ô

D(D) = BD — B(D).

Lâska-Widt. Miernictwo.

Fig.14:

punktu, ażeby jego rzędne odpowiadały wzorom:

v__[PkXk]    [pk Vk]

— 10 —

Różnica ta będzie długością jednego boku /\ błędu narysowanego w podziałce —. (Patrz rys. 11).

I)

[°I

d>C

Fig. 42. A

Konstrukcya jest więc (bez względu na oryentacyę) następująca: obieramy jakikolwiek punkt D (patrz rys. 12) i rysujemy DA i BD tak, ażeby

X BDA = 180°— (a + ß)

W kierunku DB rysujemy w dowolnej podziałce -i

powyżej, i dalej w punkcie (D) rysujemy kąt E(D)D = 180° —(y + ó)

Trójkąt D(D)E jest zatem trójkątem błędu w podziałce —.

x    Y

Mając jeszcze jeden trójkąt DCF (patrz rys. 18), z kątami i] i e, rachuje się:

długość D(Z>), obrachowaną

Al

Fig.43.

G"

d>C

sin (y +• ó)

sm y —

sin rj

sin (e + rj) i rysuje kąt

X F({D))C = 180° — (^ + e) itd.

Otrzymuje się przez takie postępowanie konfiguracyę czterech przecinających się prostych w po-

(patrz rys. 14). Mianowi-

działce

cie w ostatnim wypadku otrzymuje się 6 różnych punktów przecięcia obok i), (D), ((2))), jeszcze ćr, 6r', G“. Wagi tych punktów są różne, a zależne od sin² kąta, pod którym się linie przecinają. Celem graficznego wyrównania jest wyszukanie takiego

Punkt ten można odszukać w ten sam sposób, w jaki szukamy środka ciężkości graficznie. Są do tego różne metody (patrz IX. Preusische Vermessungsanweisung i austryacka Instrukcya dla zdjęć poligonalnych, także Bohn Landmessung itd.). Ponieważ jednak graficzne określenie wag p przedstawia duże trudności, dlatego podobne metody dotychczas nie znalazły szerszego zastosowania. Najlepiej wybrać podług oka punkt najodpowiedniejszy, z uwzględnieniem tego, co o przecięciu dwóch prostych podano (patrz punkt P w rys. 14 i objaśnienia podane na str. 8 i 9).

Dokładność wzorów.

Ważniejszem jest pytanie z jaką dokładnością otrzymujemy rzędne xc i yc.

Jeżeli odległość punktu A iß jakoteż i azymut AB się nie zmieniają, to wartość x i y będzie zależną tylko od kątów a iß. Mamy zatem

Zc = /; (a, ß) y o = u (a, ß)-

Jeżeli a przechodzi w a + Aa, zaś ß w ß Ą-Aß, to zmienia się

xc na xc -fi Ax yc na yc -fi Ay

Mamy zatem równania :

xc + Ax = f\ (a Aa, ß + Aß) yc + Ay =f\ (a + Aa, ß + Aß)

Zmiany te niech będą tak małe, iżby tylko pierwsze ich potęgi uwzględniać trzeba było, wtedy otrzymujemy:

Ax =

df\

da

Aa 4-

Aß,

Ay =

d/₂

da

Aa -fi Aß.

dß

Stosując to do wzorów dla wcinania wprzód, otrzymujemy: sin ß cos (a ab — a)— f\ (a, ß)

Xc = Xa -fi

Sab

sin (a -f ß)

Uc = Va +

Sab

. . 28)

sin (a -f ß)

dA₌_

sin ß sin (aAB — a) =/₂ (a, ß)

Sab

da

àf\

dß

= fi

sin² (a+ß)

Sab

sin ß cos {aab + ß)

dfi

da

àf,

si n² (a+ß)

Sab

sin² {a+ß)

Sab

sin a cos (aab — a)

sin ß sin (aAB + ß)

.    .    24)

sin a sin (aAB — «)

si n²(a-\-ß)

Ćwiczenie. Pokazać, iż do obliczenia xc yc można użyć wzorów

dß

%A-%A =    — %a)

sin ß cos a

yc — y a •= {yB — y a)

sin (a + ß) sin ß cos a sin (a + ß)

+ [yB—yÀ)

sin ß sin a

sin (a + ß)

— (xB—XA) -

sin ß sin a

sm (a + ß)

§. 4. II. Główne zadanie.

W =w0

tg x = tg y. cos i

§. 26. Uwidocznienie punktów katastralnych.

2. Gruby błąd długości.

§. 41. Wyznaczenie punktów przecięcia się boków polygonow

¹

Przykłady są podane na końcu tego tomu.

§. 4. II. Główne zadanie.

Z punktu P, którego przybliżone rzędne

0¹0, (y)

są, dane, celowano do punktów

A, B, G, D

których rzędne definitywne są

»fi A)    ¹^0) ¹ fij)

y A) yB) yc, yn

i spostrzegano kąty

Znaleść poprawione

U fi

ß, Vi ......

rzędne x, y dla tego punktu P.

Jeżeli zmieniamy położenie punktu P, to zmieniają się tern samem azymuty kierunków PA, PB

D więc przedewszystkiem zmiany te obliczyć. Niech będzie x — (x) = Ax

y — (y) = Ay, a,p a = tt(P)A + Aa pa

(p. rys. 15). Należy

to mamy

x,y.

tPl

tg (a(p)A -j- Aüpa) —

Va — iy) — Ay

Fig.15,

%a —    — Ax

Równanie to piszmy jak następuje

Ay

Va — iy)

tg (a{p)A + AaPA) = ^

Jeżeli Ax = Ay — O, to i AaPA — O mamy więc

tg a{P)A =

VA — {y)

xA — (X)

Ponieważ Ax i Ay są małe, to można stosować przybliżony wzór

— 1---£ Ą- £ ' -

Mamy zatem

tg {a{P)A + AaPA) = tg a{P)A j 1 —

Ay

tg (a{PA) 4- AaPA) — tg a[P)A = tg aPA

Ax I

Va — {y) ' ocA—{x)j

(__~y— + ~

1 Va — (y) a;a — (x) I

Równanie to można pisać¹) Aa“pa sin 1" cos² a^p)A

sin a{P)A

COS Cl(p)A

Ax ]

y a — (y ) ' xA — (ar) /

Ay

Poprawki Ay i Ax należy obliczyć za pomocą metody najmniejszych

kwadratów.

lub

Aa“ pa Połóżmy jeszcze

= 206265'' sin a^A) cos a^A j

Ay

Ax

y a — {y) xA — (x)

to otrzymamy

Va — {y) = S(p)a sin a(P)A Xa — (x) = S(p)a cos ü(p)a

Aa“

pa = 3068651 - Ay

S(P)A

W ten sposób można obliczyć

COS CI(P)A +

Ax

sin a{P)A |    .    •

tc

cn

aPA — a{P)A == AapA

aPB — a(p)B — Aa PB a po •— a{p\o = Aa po

i podstawiając

Odejmując od równania drugiego pierwsze, od trzeciego drugie itd.

o pp — apA — a a po — a pp = ß

a(p)B — a(P)A — (a) a(p)o — a>(p)B — iß)

otrzymamy

a — (a) = AaPB ■— AaPA ß — (ß) — Aapc •— Aaps

Ostatecznie zatem

a — («) = Ma Ay + Mß Ax ß — (ß) = &a &y + Ax

gdzie

Ma = 206265"

Ntt = 206265" | Mß = 206265" |

Nß = 206265" | +

COS &(p)b

S(P)B

sin o!(p;p

COS Cl/(p)A

S(P)A

sin a

(P)B

S{P)A

COS CI/(p)b

S(P)B

COS Cl{p)o

S{P)C

sin ci{p)o sin ci(p)B

. . 26)

S(P)B

S(P)C

S(P)B

Stosując te wzory do dowolnej konfiguracyi, należy punkt, którego azymut jest najmniejszym, oznaczyć przez A.

zamienić na

1 -J- tg² n =

cos² n

i dalej położyć tak iż

tg (m — n) = (m — n)J/ sin 1"

cos² n

tg m — tg »

2L Ct BC₂ = X. OBA — <7₂JM — CBCi

Zatem

lub

X.CiBC₂ = a + ß + y — 180°

Jeżeli więc a Ą- ß Ą- y — 180° = 90° to wtedy dokładność w określeniu punktu P jest ximalną.

Jeżeli zaś

m a-

Fig. 19.

a + ß + y — 180° = 0

to ona jest również 0, to znaczy za pomocą zadania Pothenota tego punktu wcale nie można określić (patrz rys. 20).

Jeżeli

to i

Zatem

W wypadku kiedy

a + ß + y — 180°

cp -p ip = 180°

tgj* == 1

Fig.20.

cJ.

a + /? + y —180°

jest małym kątem, albo co to samo, jeżeli tg y bardzo zbliża się do 1, miejsce punktu P wcinaniem wstecz otrzymuje się bardzo niedokładnie.

Przyjmując więc

sin² (a + ß + y — 180°)

jako wagę określenia punktu P, ślenia tego samego punktu z kątów a' ß‘ y‘ będzie :

za

pomocą kątów «, ß, y, to waga okre-

sin² (a‘ Ą- ß‘ + y' — 180°)

Jeżeli dalej są

x yt x‘ y‘

rzędne w pierwszem i drugiem określeniu otrzymane, to najprawdopodobniejsze rzędne x₀ y₀ tego punktu będą

_x sin²(a + ß + y —180°) -f- x‘ sin² (a¹ -f- ß‘ + y‘ —180°)

.    .    32)

Vo =

° ~ sin² (a + ß + y - 180°) + sïn² (a¹ + ß¹ + / -180°) y sin² (a + ß + y -180°) + y‘ sln²(a' + ß‘ + / -180°) sin²(a + ß + y-180°) + sin² (a' + ß‘ + / -180°)

Trudniej przedstawia się zadanie obliczenia zmian w x i y, spowodowanych możliwemi zmianami w kątach a iß. Praktyczne znaczenie takich wzorów jest wielkie. Bo wiedząc np., że kąty a i ß są dokładne na -4-10" ; często dobrze byłoby wiedzieć, z jaką dokładnością otrzymuje się z nich x i y zadaniem Pothenota. Oznaczmy przez Ax i Ay zmiany w wielkościach x i y, zaś przez Aa i Aß przynależne im zmiany kątów a i ß.

Jeżeli położymy:

a — (a) = Aa ß — (ß) = Aß

— 17 -

to będzie wskutek równań str. 13

i z tego

Aa = Ma Ay + Na Ax Aß == Mß Ay 4- Nß Ax

ky =

Aa Nß — Aß N«

Ma Nß — Mß Na

Aa Mß — Aß Ma NLa Nß Mß Na

Za pomocą tych wzorów można obliczyć wpływ małych zmian w a i ß na dokładność w określeniu punktu P wcinaniem wstecz.

Ax —

§. 6. IV. Główne zadanie.

Dane są rzędne dwóch punktów (patrz rys. 21) :

Xi

yi

II

xn

yn

dalej kąty

a, ß, y, ô

mierzone z dwóch stanowisk A i B; obliczyć rzędne tych stanowisk

Vb‘

Połóżmy

Fig. 21.

X. III B = cp

to mamy

cp + ty = ß + y .    .

.    .    33)

Dalej jest:

III = I A.

sm a

= AB.

sm y

sm a

III = II B.

sin yj sin ô

= AB.

sin (a + ß + y) sin ß

sm tp sin ô

sm cp

sin (ß + y + ô)

sm cp

A stąd otrzymuje się

sin cp sin /?.sin ô    sin (a + ß + y)

sin ty    sin «.siny    sin(/? + y + d)

Skoro znane są kąty cp i ty, to reszta redukuje się do I zadania fundamentalnego, bo odległość III i jej azymut są dane przez wzory

.    .    34)

tg cii II ~

y ii — yi

Xn — Xj

Si ii— ■

y ii — y i    cc a — xi

sm a! u

cos aT u

Jeżeli

sm cp sin ty

to jak przedtem, nie można z równań 1) i 2) obliczyć cp i ty.

Laska-Widt. Miernictwo.

§. 7. V. Główne zadanie.

Dane są współrzędne czterech punktów:

n{ ;

llXi-

\Vi’

'C «

to

III

^3.

2/3

IV

)Xk

12/4

Punkty 1 i 2 leżą tak, że z jednego widać drugi, a nadto z punktu 1 można celować do dwóch danych stałych punktów I i II

z punktu 2 do III i IV. Mamy oznaczyć położenie

punktu 1 i 2. (Patrz rys. 22).

di'

«JÏ

ci.

:z

Zadanie to najpierw rozwiążemy geometrycznie. Przez I III

cf

\F

Fig. 2,2.

opisujemy koło ; tak samo przez punkty 2 III IV. Koła te przecinają przedłuże-

w punktach A i B, których położenie znajdziemy z równań:

nie prostej 1, 2

a‘ = 180° — a, y‘ = 180° — 7,

Najpierw tedy obrachujemy rzędne punktów A i B za pomocą danych rzędnych odpowiednich im punktów stałych I II i III IV, według wzorów §. 3. Mając je, obliczamy dalej azymut kierunku AB\ tern samem mamy obliczony trójkąt Ali, i 2 IV ił, dalej rzędne punktu 1. Tak samo postępujemy z punktem 2.

ß' = 180° — ß . . ô‘ = 180° — ô . .

to 1—^

§. 8. Zadanie.

Z punktów C, D i E (patrz rys. 23) pomierzono kąty:

ß, ß', y, y'.

Współrzędne punktów AB są dane:

''i\

\s-

I xB '

( yn'

oC

tern samem możemy uważać za daną odległość

AB = A.

Fig 23.

ßlß'

Zadaniem naszem będzie znałeś ć współrzędne punktów

D, C, E.

Z trójkąta ADB mamy

sin a

sin y1 sin a' sin ß¹

q sin (y + y') ą    sin îJj

A    sin ß

Z równań powyższych przez pomnożenie otrzymujemy

sin ip_sin ß. sin (y 4 /). sin a'

sin a. sin ß‘. sin y

Z trójkąta BBC mamy -

BEC

AEB

OS 05 [ S

35)

sin cp

Wiemy dalej, że w czworoboku ABCD, (p = 360° — (a 4- a¹ 4- y' 4 X B)

„    AB CE, yj = 3600 — (ß 4 ß' 4 y 4 / 4 X.B)

więc

⁽P — ł!J — ß E ß‘ 4 y — cc — a‘

.    36)

Rozwiązanie tego zadania zredukowaliśmy tern do rozwiązania równań

sin ip

sin cp

cp — ip = m

Mając znalezione kąty cp i ip otrzymamy ze wzorów w §. 3. podanych współrzędne punktów D E i C, np. :

Xd = %a da DA sin a ad yr> — y a zEDA sin üad>

§. 9. Zadanie.

Dane są współrzędne trzech punktów tryangulacyjnych:

^ « to to

¹¹¹ L

*3 ,

ze sobą połączone. To znaczy, że znamy odległości 12; 23; 31; i kąty a, ß, y. Z każdego z tych

...® I

oraz

trzy punkty 1, 2, 3

3 «Ä

i.

Fig 24.

Fig 25.

punktów 1, 2, 3 można celować tylko do jednego z punktów tryangulacyjnych i tak:

Z punktu 1 celujemy do Ii dostajemy kąt a¹

Cm co

n n„

n r

Mamy obliczyć współrzędne punktów 1, 2 i 3.

Zadanie to możemy uogólnić: Jeżeli w sieci poligonalnej są, z trzech dowolnie obranych punktów, możliwe pojedyncze celowe do trzech punktów,

których współrzędne są dane (punkta try-angulacyjne), to możemy z nich obliczyć całą sieć poligonalną. (Patrz rys. 25).

Na podstawie zmierzonych poligonów można, stosując wzory zadania I, obliczyć długości 12, 23, 31 i potrzebne kąty a, ß, y pl i a', ß¹, y'. (Patrz rys. 24).

Ażeby uzasadnić rozwiązanie tego zagadnienia, połączmy punkt I z punktem 1

« n„

„ ni „

i przedłużmy te linie łączące ; dostaniemy trójkąt t. zw. redukcyjny (patrz rys. 26)

(1) (2) (3)

którego boki i kąty możemy obrachować. W trójkącie bowiem 13 (3)

X (3) = «' + /- 180°

tek

Fig2B.

[3]

w trójkącie (2) 2 1 dalej

P"

,oć’

73

Cni]

X (2) = 180 4-/5' — a — a'

201) = 180-IX. (2)+ *.(3)]

-------> II

Boki również obrachujemy bo

bok (2) (3) = 1 (3) — 1 (2)

Bok 1 (3) da się obliczyć z trójkąta 1 3 (3) w którym znamy bok 1 3, i kąty przy wierzchołkach

oC”¹

Fig-27.

V/

[3]

X    3 = 180 — /

XI    = 180 — a‘

Tak samo mamy w trójkącie 1 2 (2) dany

bok 1 (2), X 2=180 — 0' i X1 = «+«' —180°.

Znając teraz bok (2) (3) i wszystkie kąty w trójkącie (1) (2) (3) resztę łatwo obliczymy.

Oznaczmy (patrz rys. 27) boki trójkąta redukcyjnego przez

h ^2 ^3> a" ß" y"

kąty przez

i połóżmy dalej odległości :

(3) I = dt (3) II - d2 (2) III = d,

Obrachowane na podstawie danych współrzędnych punktów I, II, III, odległości niech będą:

— 21

h m-4, mi = /i₂₎ iii = 4,

to do obliczenia di d₂ d₃ mamy następujące równania:

albo pisząc inaczej

42 == 4² + 4² — 2 4 4 cos y"

4² = (4 — 4)² + 4² — 2 (4 — 4)4cos ß“

4² = (4 + 4)² + (4 — 4)² — ² (4 + 4) (4 — 4)cos «"

4a = (d,+^)a{i--⁴^

l    (4 + 4)

4² = (4 + 4 — 4)²|i 4² = (4 + 4 + 4 —4)² ! i

. cos²

z!)

Mając tedy ogólnie

44 (4 —4)

(4 + 4 — 4)²

4 (4 + Z3) (4 ■— 4) (4 + 4 + 4 ■— 4 )²

. cos²

4:1

.cos

2«" I

zl²

4»ib

(m -f ri)

2 COS

■o

to ze względu że

(m + w)²

-l-[,

(m + ri)

■I"

/m — n \²

\m + »/

możemy położyć :

więc

Zatem

li-”

yï+î

A² = (m 4- ri)² ^ 1

= 1 — cos² d = sin² d

— sin² d cos² —

V \ 2/

podstawiając dalej

sin d cos — = sin A

otrzymamy ostatecznie :

A = {m + n) cos A

Na podstawie tych wzorów postępujemy przy rozwiązaniu powyżej napisanych równań w następujący sposób:

Za pomocą przybliżonych z rysunku wziętych wartości 4? 4> 4>

rachuj emy :

dalej

4_ ₌ ts-iA. d 4 tg 2 ’

- *«²y

• ^ y“

sin dt cos

3"

sin A₂ — sin d₂ cos , et,"

— sin d₃ cos ^ ;

U

sin A. =

poprawione wartości dy , d

4 ‘ + 4¹

. d

cos Z ’

d₅‘, otrzymujemy z równań:

4 ‘ —h d⁻ 4 ‘ h ”

cos

za pomocą których rachunek się powtarza wstawiając w równanie

n x ₂

- = tg²

wartości di‘, d₂‘, d\

4'

§. 10. Opis teodolitu.

Teodolit zwykły składa się z podstawy (spodarki), mającej trzy nóżki z trzema śrubami (SS) do ustawienia. W spodarce od dołu znajduje się w środku otwór dla trzpienia (T), który wkręcony w otwór spodarki (krążkiem a), przy pomocy główki b i sprężyny c, służy do przymocowania instrumentu do statywu. Pod śrubą a umieszczony jest mały otwór d, przez który przechodzi sznurek, służący do zawieszenia pionu. (Patrz rys. 28).

]L

II

N.

SP

o-

er¹

fu

"Ni

Fig.28.

'Tl

Fig. 29.

Na spodarce, tej podstawie przyrządu, osadzony jest osiowo krążek LL, zwany limbusem, na którego obwodzie znajduje się podziałka kątowa od 0° do 360° lub od 0° do 400°. Krążek ten jest przy pomocy śrub ss stale złączony ze spodarką.

Po limbusie obraca się na wspólnej z nim osi osadzona alhidada AA, mająca dwa naprzeciw siebie położone noniusze NN (rys. 29) tak umieszczone, iż linia, łącząca ich zera, przechodzi przez środek limbusu. Ażeby módz alhi-dadę ustalić w każdem dowolnem położeniu, do tego służy tak zwany sprzęg alhidady U (patrz rys. 29) i urządzenie, które dozwala na tak zwany leniwy ruch alhidady, mimo jej sprzęgnięcia z limbusem. Te urządzenia bywają najrozmaitsze. Jedno z najbardziej używanych jest następujące (patrz rys. 29 i 31) :

±lL

Fig.'30.

Do pierścienia P, który może być ściągnięty śrubą Piw ten sposób ściśle złączony ze spodarką, przymocowane jest ramię V. Alhidada znowu posiada widełki (rys. 30), do których z jednej strony wkręca się śruba li ruchu leniwego, z drugiej zaś znajduje się przeciwdziałająca ruchowi śruby sprężyna F. Koniec ramienia V wciśnięty jest między sprężyną i śrubą. V Ordy pierścień za pomocą śruby U zostanie ściśnięty, wtedy śrubą B można alhidadę nieznacznie przesunąć. Na alhidadzie znajdują się dalej dwa ramionka 00 (patrz rys. 29), w których umieszczone są łożyska dla osi obrotu lunety. Z tych jedno jest stałe, drugie zaś tak urządzone, iż dozwala na podniesienie albo na obniżenie osi obrotu lunety. Na osi obrotu lunety osadzone jest stale koło pionowe, które się razem z lunetą obraca i na którem podobnie jak na limbusie, umieszczony jest podział kątowy. Kąty odczytują

®1R

Fig 31.

(zwane dlatego li belami krzyżowemi), albo też jedna w środku alhidady osadzona libela rurkowa lub pudełkowa.

się i tu ha dwóch dyametralnie i osiowo względem osi obrotu lunety położonych noniuszach, które stale złączone są z ramieniem dźwigającem lunetę. Lunetę z kołem pionowem można ustawić w dowol-nem położeniu za pomocą osobnego (patrz rys. 31) sprzęgu podobnie jak alhidadę. Na wystających częściach osi obrotu umieszcza się li belę nasadkową, która służy do sprawdzenia poziomego położenia tejże osi obrotu lunety. Oprócz niej znajdują się na alhidadzie stale umieszczone dwie małe li-bele na krzyż, tj. prostopadle do siebie ułożone

§. II. Rektyfikacya teodolitu.

Przy każdym przyrządzie teodolitowym należy odrożnic następu

jące osie :

która jest równocześnie osią obrotu płasz-

czyzny instrumentu).

1. Oś przyrządu II limbusu I i posuwającej się po nim alhidady (t. zw. oś pionowa

2. Oś obrotu lunety I'.

3.    Oś libelli I".

4.    Oś celową II'.

Kąty odczytywane na

poziomym

przyrządzie będą się równały mierzonym kątom jeżeli wypełnione są następujące warunki:

1.    oś II powinna byó pionową;

2.    oś II powinna byó prostopadłą do płaszczyzny I;

3.    punkt przecięcia się osi II z płaszczyzną I powinien być równocześnie środkiem podziałki li mb usu,

4.    oś I' Il do I" i obie równoległe do płaszczyzny I;

5.    oś celowa II' powinna być prostopadłą do osi I' i two

rzyć przedłużenie osi II;

6. noniusze mają być dyametralnie i centrycznie względem osi II osadzone.

Ażeby także kąty odczytywane na

I”

I’

kole pionowem przyrządu równały się kątom rzeczywistym, trzeba ażeby:

7.    Płaszczyzna koła pionowego K była prostopadła do osi obrotu lunety I' ;

8.    podziałka pionowa powinna być centryczna względem osiobrotulu-nety I', wreszcie

9.    noniusze koła

oślibeli

I”

oś obrotu

I’

oś celowa

płaszczyzna limbusu

pionowego winny być dyametryal-nie i centrycznie względem osi I' osadzone.

Jeżeli te warunki nie są wypełnione, to mówimy o istnieniu błędów instrumentalnych. Te błędy istnieją w rzeczywistości prawie zawsze. Jest bowiem niemożebnem skonstruować przyrząd idealny. Dla tego różni się każdy odczytany kąt w₀ od kąta rzeczywistego o pewną funkcyę tych błędów. Niech będą bi, &₂, błędy to mamy równanie :

oś przyrządu

Fig.32.

te

W = WQ +/(&!,    &3

.    .    37)

Za pomocą odpowiednich urządzeń korrekcyjnych można zmniejszyć wartości tych błędów do tego stopnia, że w funkcyi (rozwiniętej według wzoru Taylora)

/(&i b₂ b₃

àbl db₂

.    .    38)

tylko wyrazy pierwszego rzędu będą miały praktyczne znaczenie, tak, że ogólną funkcyę

f (&l &2 h3

będzie można zastąpić funkcyą linearną

», 4

db

àb₂

Niektóre jednak błędy nie mogą być poprawione, jak n. p. błąd, który powstaje wskutek niewypełnienia warunku 2), i dlatego jest rzeczą mechanika, sprowadzić je do możliwego minimum.

Jeżeli zmniejszymy wartości błędów do tego stopnia, iż ogólną funkcyę

f(P i \

Of

można zastąpić liniową :

dbi

²

to uzyskamy równocześnie możliwość oddzielnego traktowania pojedynczych błędów, bo funkcye

àf db₂

już niezależne. Rzecz ta jest nadzwyczaj

będą wtedy od błędów bt b2 ważną. Dopóki funkcya błędów może być zastąpioną formą liniową, jest rzeczą całkiem obojętną, w jakim porządku przy

Stan idealny

Błędy transłacyjne. Błędy rotacyjne

p ? 90°

I”

I”

i’

90°

90°

I'

90°

tar"

cn

CD

90°

co

i/!

pion

^90°

-a

.2

Ta

.2

pion

90°,

90°

90°

Poziom.

Poziom.

Poziom.

Fig 33.

Jeżeli dla przedstawienia to porządek rektyfikacyi

rektyfikacyi instrumentu postępujemy, wpływu błędów nie wystarcza równanie liniowe, takich przyrządów nie jest więcej dowolnym.

Rodzaje błądów.

Gdy układy osi I II, I' II' i ich połączenie uważamy za układy rzędnych, to ich względne położenie — podobnie jak transformacya układów rzędnych w geometryi analitycznej — określa się przez pewną składową p o-łożenia (translacyjną) i pewną składową pochylenia (lotacyjną). Ten fakt pozwala nam podzielić błędy na dwie kategorye : żenią (transłacyjne) i na błędy pochylenia (rotacyjne).

Błędy położenia, jak się niżej pokaże, mogą być prawie zawsze przez odpowiednie postępowanie z rezultatu wyrugowane. Do wyrugowania błędów pochylenia służą specyalne urządzenia, które pozwalają te błędy do

na

błędy poło-

minimum

- 26 —

sprowadzić, które to minimum da się ostatecznie, podobnie jak przy błędach pochylenia, za pomocą odpowiedniego postępowania wyeliminować. Obok błędów instrumentalnych istnieją jeszcze błędy zależne od obserwatora, t zw. błędy indywidualne albo personalne (osobiste). Błędy personalne są znów dwojakiego rodzaju : odróżniamy błędy patologiczne od błędów psychologicznych.

Ażeby istotę błędów patologicznych objaśnić, trzeba przypomnieć, iż oko niejednego obserwatora nie znajduje się w stanie normalnym, bo jak wiadomo, przynajmniej 10°/₀ obserwatorów posiada oko anormalne. Obok tego każdy obserwator bardzo dobrze wie, w jakim stopniu wynik obserwacyi zależny jest od chwilowej jego dyspozycyi. W jakiej mierze błędy patologiczne wpływają na rezultat błędów, o tern będzie mowa na innem miejscu. Nadmienić tu należy, że ich wpływ na rezultat nie może być zawsze wyrugowany. To samo naturalnie można powiedzieć i o błędach psychologicznych, których wpływ wogóle nie da się obliczyć. Błędy stąd pochodzące mają po części charakter błędów przypadkowych. Do ich wyrugowania trzeba, jak rachunek wyrównania uczy, nieskończonej albo przynajmniej bardzo wielkiej liczby spostrzeżeń. Stąd reguła: należy spostrzegać wstanie psychologicznie normalnym.

§. 12. Błędy translacyjne (położenia).

Ekscentryczność noniuszów.

Środek limbusu

N„

Fig- 34

Osią noniuszów nazywamy linię idealną, która łączy punkta zerowe noniuszów. Jeżeli ta linia nie przechodzi przez środek podziałki limbusu, to wtedy mówimy o ekscentryczności w osadzeniu noniuszów, albowiem zerowe kreski podziału nie są centralnie naprzeciw siebie położone; w takim zaś razie odczyty, na obu noniuszach w różnych miejscach limbusu zrobione, mogą się różnić o stałą ilość, od 180° odmienną, albo też różnica ta jest ilością zmienną — w jednej połowie limbusu mniejszą, w drugiej większą od 180°. W pierwszym razie ramiona noniuszów tworzą kąt Z 180° (patrz rys. 34), w drugim zaś razie, kąt ten równa się 180°, ale oś noniuszów nie przechodzi przez środek limbusu. W pierwszym wypadku należy noniusze zrektyfikowaó tak, ażeby stała różnica ich odczytów równała się 180°. Służą do tego śrubki, za pomocą których podziałka noniuszów na ramionach jest przymocowana. W drugim wypadku rektyfikacya jest niemożliwą. Błąd ten należy więc zbadać, ażeby wpływ jego módz wyrugować.

Twierdzenie. Odczytując kąty na dwóch przeciwległych noniuszach i biorąc arytmetyczną średnią z tych odczytów, otrzymujemy wynik wolny od błędu ekscentryczności noniuszów.

Niech będzie 0 miejscem zera podziałki limbusu i a — OCP kątem między kierunkiem podziału O, a pewnym kierunkiem P, tak że CP jest rzutem poziomym osi celowej lunety na płaszczyznę limbusu. Punkta zerowe noniuszów niech będą w A i B. W takim razie otrzymujemy:

Mamy więc

przy A kąt a + ß + Ôa

r B n a + ß + 180 — ôu

—| B = ct + ß + 90°

Średnia arytmetyczna jest więc wolną od da.

Qj -

-O

oC

—

C___

Zastanówmy się teraz nad określeniem błędu, pochodzącego wskutek ekscentryczności osi noniuszów.

Niech będzie G (patrz rys. 36) środkiem po-działki limbusu, a O środkiem obrotu noniuszów, to do każdego ich położenia (n. p. 11, 22) można stosować powyższe twierdzenie. W tym wypadku zmienia się naturalnie óa w każdem położeniu (patrz rys. 36 dai, d«₂).

Błąd óa można wyznaczyć w następujący sposób. Niech będzie (p. rys. 37) e odległością punktów ck O i C, dalej A odczyt, który na limbusie odpowiada •A linii przez C i O przechodzącej, r promień podziałki limbusu i óa błąd, który wyznaczyć należy, w prawdziwy kąt między A i B i w₀ kąt odczytany, to mamy :

Fig. 35.

w COB‘ jest

więc

CB II OB¹

Ôu = ‘2L BCB' = X. GB* O ;

sin CB‘0 = sin óa =

e .

—sm

A ⁰

zatem, uwzględniając iż da jest małym kątem, tak że położyć można

sin (L = óa" sin 1"

'"'Kr ^

.y

<P

<3

- Fig. 36.

Fig- 37.

i podstawiając

— = 206265"

sini"

dostajemy

Vu —

e .

— sinw

W — Wq — óa

Mamy dalej

Jeżeli e jest małą ilością, to można w wyrażeniu dla ólt" zamiast w położyć i zamiast A wprost r, a otrzymamy

¹

Jest atoli ogólnie

tg tn — tgn=tg(m— n ) { 1 -f-tgm. tgn j. Jeżeli zaś m bardzo mało różni się od n wtedy można część prawą

1 4- tg m . tg n

.    39)

W =w₀

Wzory te są naturalnie tylko przybliżone.

Na drugim noniuszu odczytujemy

= (w₀ + 180°) — sin (w₀ + 180°) w° + 180° + q — sin w₀

lub

Zatem

w¹

w‘ =

w + w‘

— w° + 90°

40)

r = 100,0 mm

Średnia arytmetyczna obu odczytów jest więc wolną od błędu dœ. Przykład. Niechaj będzie e = 1,0 mm

to mamy

w₀ = 90°

óa" = 206265.-^ = 2062" 65

100

lub

ó„" = 34' 23" 65

Z tego przykładu widać, że wpływ kąta óa na rezultat pomiaru może być znaczny. Ze wzoru wynika, że błąd ten nie jest stałym. Wielkość tego błędu zmienia się wraz z położeniem noniuszów; zerem jest on wtedy, gdy oś noniuszów przechodzi przez punkt (7, jego zaś maximum zachodzi w położeniu o 90° od pierwszego odmiennem. W powyższym przykładzie otrzymujemy dla:

Óa* = 0

w = 0 .

'■    w — 90°

w = 180°.... óa“ = 0

Gdy instrument posiada tylko jeden noniusz, wtedy błąd da usunąć się da albo a) przez pomiar w dwóch położeniach lunety, albo b) za pomocą tablic, obliczonych na podstawie wzoru 39.

a) Odczytując kąt w I położeniu, otrzymujemy

minimum

óa‘‘ = 2062" 65 . . .maximum minimum.

w, — q — sin w₀

obracając alhidadę o 180° i przerzucając lunetę, odczytuje się kąt

ß

= 180° -f w₀ + ę — sin w₀

—i— = »o + 90°

i stąd

t. j. wynik wolny od óa.

b) Jeżeli przerzucenie lunety albo jej wyjęcie z łożysk jest niemożliwem, to należy za pomocą innych, dwa noniusze posiadających przyrządów pomierzyć kilka kątów i ten pomiar z instrumentem o jednym noniuszu powtórzyć. Pierwszy przyrząd da kąty prawdziwe w, drugi zaś — kąty błędne w₀. Mając kilka w ten sposób pomierzonych kątów, możemy — ewentualnie za pomocą metody najmniejszych kwadratów — obliczyć

z równań

(t)

sin w.

Ekscentrycznośó lunety.

Jeżeli luneta jest ekscentrycznie osadzona, wtedy płaszczyzna przez oś celową opisana, nie przechodzi przez środek limbusu, lecz jest zawsze styczną do koła, zakreślonego promieniem ekscentryczności e. Powstaje stąd t, zw. ekscentrycznośó lunety.

Niech będzie w rys. fig. 88 BCA kąt, który ma być pomierzony. Luneta, skierowana do A, niech zajmuje położenie La , luneta zaś, skierowana do B, położenie LB) niech będzie dalej

CN±Lb

CM J_ La

,B

^s> to kąt, który na limbusie odczytujemy, jest

X>o = X. MCN

UJ

kąt zaś prawdziwy

= 1L.ACB

Mamy dalej

X. Lb PLa + X NOM = 180°

Zatem

Fig. 38.

Jest wszakże

-&BPA + o = -£BCA + fi

Jeżeli więc położymy

,11/

L’b

A*M

A to wynika

X. PBC = o X. PAC = fi

41)

UJ.

w = Wq + a — fl

Niech będzie e liniową wartością ekscentryczności w osadzeniu osi lunety i dalej

AC — Da >

BC = D

Fig 39.

to mamy sin fi —-

sin a —

Da

.    .    42)

albo, ze względu na małe ilości fi i u,

Da

a — ę-

Db

to — w₀

Widać stąd, iż

jeżeli o — [i. To może nastąpić w dwóch wypadkach

1)    Da — Db

2)    Da = Dn = oo

Przerzuciwszy lunetę i mierząc kąt BCA, otrzymuje się sytuacyę, przedstawioną na rys. 39. Równanie 41) przechodzi wtedy w

.    44)

a stąd widać, iż równań 41) i 44) średnia arytmetyczna będzie wolną od o i fi. Mając więc lunetę ekscentrycznie osadzoną, należy mierzyć kąt w obu położeniach lunety, ażeby otrzymać wynik wolny od wpływu ekscentrycznego osadzenia lunety.

w -j- 180° == wą + 180° — o + ii

§. 13. Błędy rotacyjne (pochylenia).

Błędy rotacyjne mogą być czworakie, a wszystkie przedstawiają skutki odchylenia poprzednio już określonych linii od ich normalnych położeń. I tak powinno być:

I J_ II; rj_IP; r_L.II; P//I"

Zastanówmy się teraz nad skutkiem pojedynczych odchyleń.

Rektyfikacya teodolitu z libelą nasadkową.

(1) I J_ II, t. j. płaszczyzna limbusu powinna być prostopadłą do osi instrumentu.

Rys. 40 przedstawia znacznie przesadzony stan rzeczy. ^4,4 jest płaszczyzną alhidady, LL zaś płaszczyzną limbusu, II jest osią (pionową) przy-rządu. Odczytuje się wtedy zamiast prawdziwego — kąta w = O CM, kąt w₀ = OCM‘. Niechaj będzie L 00‘ linią przecięcia się tych dwóch płaszczyzn, które do siebie są nachylone pod kątem i.

W trójkącie sferycznym OMM‘ mamy

M’

,90°

|UJ

LC

UJ

Fig. W.

Otrzymamy ostatecznie

Piszmy

tg w — cos i tg w₀

tg w — tg w₀ = — (1 — cos i) tg w₀

to ze względu na znane równania

sin (w — w₀)

tg w — tg w₀ =

cos w cos w₀

1 — cos i —

2 sin²

di

mamy

sin {w — w o) == — 2 sin² sin w₀ cos w.

Ponieważ zaś w — w₀ oraz i są tu małe kąty, można położyć

sin (w — w₀) = (w — wQy sin 1".

2 sin Wq cos w = sin 2 w₀.

I

(w — wQ) — — ę" sin² -Q- sin 2 w₀

di

31 —

czyli

w = w₀ -206265" sin²

; ot

sin 2 w₀

.    .    45)

Przykład. Połóżmy i = 2° i szukajmy największego wpływu pomiar. Ten zachodzi wtedy, gd}^

na

g iic

sin 2 w₀ = 1

Otrzymamy :

w — w₀ = — 63"

Pt

Polewidzema lunety

Fig. 41.

Z wzoru (45) wynika, iż błąd ten nie może być ani przez przerzucenie lunety, ani za pomocą dwóch - dyametralnych odczytów wyrugowany.

Jeżeli mamy teodolit mikroskopowy, to błąd ten powoduje, iż obrazy limbusu w mikroskopach zmieniają swoją wyrazistość, a to dlatego, ponieważ odległość limbusu od objektywów mikroskopowych się zmienia.

Z tego ostatniego wynika, iż przy teodolitach mikroskopowych pochylenie limbusu względem alhi-dady łatwo można skonstatować. Jeżeli wartość mikroskopowa jednej podziałki limbusu jest zawsze jednakową , wtedy kąt pochylenia limbusu i alhidady względem siebie jest nieznaczny.

Ażeby się przekonać o istnieniu tego pochylenia w zwykłych teodolitach noniuszowych, należy pomierzyć jeden i ten sam kąt w różnych miejscach limbusu. Naturalnie trzeba tu przez odpowiednie postępowanie i ewentualne poprawki instrumentalne przedewszystkiem wyrugować wpływ innych błędów. Jeżeli się pokażą prawidłowe różnice przy pojedynczych pomiarach, wtedy można przystąpić do określenia tego błędu za pomocą odpowiednio przekształconego wzoru 41). Obrachowanie i uwzględnienie tego błędu przedstawia jednak w praktyce znaczne trudności i dlatego najpraktyczniej będzie przyrząd oddać mechanikowi do przerobienia.

(2) P | II'. Przy lunecie trzeba odróżnić oś geometryczną od osi celowej.

Oś geometryczna (</) (patrz rys. 41) jest osią geometryczną lunety, oś zaś celowa (c) łączy środek projektywności ze środkiem siatki, tj. środkiem łćrzyża nitkowego. Naturalnie, jeżeli chodzi o pomiar kątów, to obchodzi nas tylko oś celowa. Ona tylko powinna być prostopadłą do osi obrotu lunety (!'). Jeżeli tak nie jest, nazywamy błąd, stąd pochodzący, błędem kolimacyjnym.

:n..

Objeklyw.

90,+k

Fig- 42

O jego istnieniu można się przekonać w następujący sposób:

Celujemy na jakiś bardzo odległy i ostro się rysujący punkt P. Ustawiwszy alhidadę, wyjmujemy lunetę z łożysk i ją przekładamy. Jeżeli i teraz środek krzyża nitkowego przykryje ten sam punkt, to znaczy, że nie kolimacyjnego ; oś celowa jest prostopadłą do osi obrotu.

ma

błędu

Jeżeli tak nie jest, jeżeli trafimy po przełożeniu lunety na inny punkt P‘, to wtedy błąd kolimacyjny istnieje i musi być usunięty. Odstęp punktów PP¹ od siebie jest podwójnym błędem kolimacyjnym, tj. podwójnym kątem, jaki tworzy oś celowa z prostopadłą do jej osi obrotu. (Patrz rys. 43). Ażeby ten błąd usunąć, należy użyć śrubek trzymających siatkę lunety. Środek krzyża nitkowego należy przesunąć o połowę odstępu P‘ P=2 Ł (Patrz rys. 43).

Objeklyw.

Fig.«.

Jeżeli przełożenie jest niemożliwem, to można je zastąpić przerzuceniem lunety. Postępuje się wtedy tak, iż punkt P przeprowadza się do pokrycia ze środkiem krzyża nitkowego i odczytuje się kąt na limbusie, następnie przerzuca się lunetę i nastawia alhidadę na odczyt o 180° większy, przez co otrzymuje się taką samą sytuacyę jak — po przełożeniu lunety w łożyskach. Jeżeli chodzi o kąty * poziome, to kolimacya jest błędem stałym i powiększa albo zmniejsza każdy odczyt na limbusie o jedną i tę

samą ilość hu.

Ćwiczenie. Przyrządem, który miał błąd kolimacyjny Je'¹, pomierzono kąt a między punktami A i B w następujący sposób :

Celowano do A, przerzucono lunetę i celowano do B i następnie do A. Tu znów przerzucono lunetę, celowano do B i ostatecznie

*r—Przed reklyfikacya

—__^—1—1 Po reklyhkacyi.

przy tern samem położeniu do A.

Przyjmijmy, że pierwszy odczyt do A był 0°0' 0", jaki będzie ostatni odczyt do A?

Odpowiedź: -ł- 4k".

Widać stąd, że przez nieodpowiednie przerzucanie lunety, błąd kolimacyjny może wywrzeć znaczny

wpływ na wynik.

(3) P//I"

t. j. oś libeli powinna

być równoległa do osi obrotu 1 u-

n e t y.

Fig.

Określenie osi libeli podane jest w innem miejscu. Trzeba więc jeszcze określić bliżej oś obrotu lunety. Jest nią linia, która przy podnoszeniu jednego, a równoczesnem obniżaniu drugiego końca lunety nie zmienia swego położenia. Jeżeli nie ma takiej linii, to i stała oś obrotu lunety nie istnieje. To się przytrafia zawsze wtedy, gdy te części czopów, którymi luneta spoczywa w łożyskach, nie są okrągłe i o tej samej średnicy. Jeżeli oba czopy, przy pomocy których luneta w łożyskach jest osadzoną, mają jednakową średnicę i są osiowo ułożone, to wtedy oś obrotu jest identyczną z geometryczną osią obu czopów. Trzeba się przedewszystkiem przekonać o tern, czy sama libela nie wymaga sprawdzenia. W tym celu sprzęga się lunetę i alhidadę z limbusem. Nałożywszy libelę, notuje się stan bańki. Następnie przekłada się libelę i uważa, czy nastąpiła zmiana w położeniu średka bańki, czy nie. Jeżeli nie, to libela jest w porządku. W przeciwnym razie należy przeprowadzić środek bańki za pomocą korekcyjnej śrubki libeli do takiego stanu, ażeby zajmowała średnie miejsce z obu położeń wynika-

— 33

jące. Przełożywszy teraz libelę, powinniśmy otrzymać takie same położenie środka bańki względem punktu zerowego libeli. Mając libelę poprawioną, przekonywamy się, czy przy pochylaniu lunety bańka pozostaje w tern samem położeniu czy nie; w pierwszym razie przekroje czopów są kołami tej samej średnicy lub elipsami przystającemi i podobnie ułożonemi, w drugim razie należy przeprowadzić szczegółowsze badania, według sposobów, omówionych w pierwszej części wydawnictwa. Naprawić przyrząd pod tym względem może tylko mechanik.

(4) r_J_II, t. j. oś obrotu lunety powinna być prostopadła do osi przyrządu. Jeżeli tak nie jest, to istnieje błąd inklinacyjny.

Przed sprawdzeniem tego warunku należy przekonać się, czy w ogóle można ustawić limbus poziomo. W tym celu ustawia się najpierw libelę, przeprowadzoną do równoległości z osią obrotu, w kierunku dwóch śrub ustawowych i sprowadza niemi środek bańki do punktu zerowego, następnie obraca alhidadę o 90°, przez co libela zajmie położenie prostopadłe do poprzedniego, i sprowadza środek bańki do punktu zerowego trzecią śrubą wstawową. Jeżeli teraz przy obrocie alhidady środek bańki libeli nie zmieni swego położenia, to oś obrotu jest prostopadłą do osi przyrządu. Jeżeli zaś położenie bańki podczas tego się zmienia, to jest to dowodem, że warunek II | I' nie jest spełniony. Obracając alhidadę po limbusie, określimy miejsce maximum lub minimumm i połowę tego odchylenia (różnicy między maximum a minimum) usuwamy przez podniesienie albo obniżenie odpowiedniego łożyska lunety.

Rektyfikacya teodolitu ze stałemi libelami.

Przyrządy, obliczone na mniejszą dokładność, nie posiadają libeli nasadkowej, lecz jedną albo dwie małe libele, umieszczone stale na alhida-

dzie, prostopadle do siebie (t. zw. libele limbusowe O lub krzyżowe), albo libelę pudełkową, umieszczoną w środku limbusu.

\    Warunki (1) I J_ II i (2) P ł II' sprawdza się

/ jak poprzednio.

(3) I"_j_II t. j. oś libeli powinna być prostopadła do osi przyrządu.

a) Mamy jedną libelę.

Najpierw ustawia się libelę w kierunku 2 śrób wstawowych (fig. 45) i sprowadza niemi środek bańki do punktu zerowego, następnie obraca się alhidadę o 180° i połowę ewentualnej odchyłki usuwa śrubką korrekcyjną libeli, a drugą połowę śrubą wstawową.

I położenie.

S.

Os,

Upołożeme

Os,

Ss

Os₂

Fig. 45

b) Mamy dwie libele.

Postępowanie, opisane pod a), stosujemy do każdej libeli z osobna i do

obu razem.

Liska-Widt. Miernictwo.

— 34

c) Mamy libelę pudełkową.

Sprowadzamy środek bańki do punktu zerowego śrubami wstawowemi i obracamy alliidadę o 180°, jeżeli bańka odchyli się, to połowę odchylenia w kierunku LL (łączącym punkt zerowy ze środkiem bańki), usuwa się śrubami korrekcyjnemi libeli, a drugą połowę śrubami wstawowemi.

(4) I'J_II, t. j. oś obrotu lunety powinna być prostopadłą do osi przyrządu.

/L

Fig.ńG.

Warunek ten sprawdzamy poprzednio, badając, czy płaszczyzna, opisana przez oś celową, jest pionowa. W tym celu ustawia się limbus dokładnie poziomo i celuje lunetą na linię pionową, n. p. na sznur obciążony ciężarem. Pochylając lunetę, przekonywamy się, czy środek siatki porusza się po osi sznura, czy nie.

Skoroby środek siatki wyszedł z osi sznura, należy go sprowadzić napowrót na oś przez zmianę wysokości ruchomego łożyska.

Inny sposób jest następujący: Ustawiwszy limbus poziomo, celuje się do wyniosłego punktu P (Fig. 47) i po sprzęgnięciu alhidady,

ggskillmÈk

Fig ht.

opuszcza się lunetę do łaty, ustawionej mniej więcej w poziomie instrumentu, równolegle do osi obrotu lunety. Środek krzyża przykryje na tej łacie punkt P'. Następnie przerzuca się lunetę, obraca alhi-dadę o 180°, celuje znowu do tego samego punktu P, sprzęga alhidadę i opuszcza lunetę aż do przykrycia środkiem krzyża krawędzi łaty w punkcie P". Punkt środkowy P₀ jest wtedy rzutem poziomym punktu P, linia łącząca punkt P z punktem /J₀ jest linią pionową. Podnosząc albo zniżając łożysko, poprawia się tak długo, aż przy opuszczniu lunety środkiem krzyża rzutować będziemy punkt P na P₀.

§. 14. Wpływ błędów na pomiar kątów poziomych.

Jeżeli punkty, do których celować mamy, znajdują się w różnych wysokościach, to błędy instrumentalne wpływają w różnym stopniu na pomiar kątów poziomych między celowemi do tych punktów i na pomiar ich wysokości. Niech będzie (patrz rys. 48) GZ linią pionową, więc Z zenitem a C punktem przecięcia się osi obrotu z osią celową przyrządu, to

X. nar = X. pzp

przedstawiać będzie kąt poziomy, zawarty między celowemi do punktów P i P'; zaś łuki IIP i H‘P odpowiadać będą kątom wzniesienia albo tak zwanym kątom pionowym tych punktów.

I. Jeżeli istnieje błąd kolimacyjny Jc, to zenit przyrządu nie znajduje się w Z lecz w (Z), przyczem Z(Z)=Jc, a przy opuszczaniu lunety nie opisuje oś celowa łuku ZH lecz łuk (Z) (77). Wskutek tego otrzymamy na poziomie rzut błędny (77) zamiast prawdziwego 77. Wskutek kolimacyi Jc opi-

f/-'"

iPv

i’ y

h ~ir~

H’

Fig. 48

Fig. 49.

suje instrumentalny zenit (Z) około prawdziwego zenitu Z małe koło o promieniu Jc. Punkt (Z) jest więc miejscem zenitu instrumentalnego dla punktu P. Dla punktu P‘ zajmuje instrumentalny zenit naturalnie inne miejsce.

Różnica II(H) jest, jak się pokaże, zależną od wysokości punktu P nad poziomem przyrządu, więc różną dla różnie wysoko położonych punktów. Pomierzony kąt (II) G (IP) różnić się będzie od prawdziwego HCH' o różnicę, jaka istnieje między 7/(77) i H‘(II‘). To samo można powiedzieć o wysokościach punktów P i P‘. Ich różnica będzie także zależała od wielkości błędu kolimacyjnego. Wpływ ten należy więc zbadać.

Wyznaczmy przedewszystkiem 7/(77) i 77 (77). W tym celu przeprowadźmy przez prawdziwy zenit koło ZQ(Q) równoległe do koła (Z)P(II) (patrz rys. 51) tak, że

k!

I’

k\r

Z (Z) — PQ = (77) (Q) = Jc

Poziom.

Połóżmy

■2LÀ^-2LPZQ = ~2LHC(Q)

to będzie

Fig. 50.

W trójkącie sferycznym ZPQ jest

77(77) = A — Jc

PZ = 90 — h

i kąt przy Q kątem prostym. Mamy więc

sin Jc

sin A =

cos h

Ponieważ A i Jc są, małe, to można sinusy wyrazić przez łuki, a otrzymamy

Jc

cos ll

Zatem

//(//) =

—--h = k[ sec h — 1} .

cos h

.    .    46)

.    .    49)

■<

90“

Fig- 54.

li

0°

20°    40° j 60°

4"

18" V

10'

39"

8'8" 10'0"

Przy bardzo wysokich celowych wpływ ten może być więc znaczny. Niech będą li i h‘ wysokości punktów P i P, to obserwowany kąt w₀ należy poprawić na

w = w₀ + k { sec h¹ — sec h }

.    .    47)

Przerzucając lunetę zmieniamy znak li na odwrotny, mamy więc

.    .    48)

w¹ = w₀ + 180° — k { sec h‘ — sec h }

Z tych dwóch wyrażeń widać, że wpływ kolimacyi jest równy zeru, jeżeli wysokość celów jest jednakową lub jeżeli mierzymy kąt poziomy w obu

położeniach lunety.

II. Jeżeli oś obrotu lunety nie jest poziomą, to wtedy oś celowa opisuje łuk (Z) (H) zamiast ZH. Pozostaje stąd różnica 17(17) jak poprzednio.

Kąt ZC{Z) równa się pochyleniu osi obrotu (patrz rys. 52, 53). Mamy zatem

[z]\ iZ

Połóżmy dalej

i = X_ZC(Z) = (Z)(H)Z.

Ar

2CPZQ-®

I'

Poziom.

i przeprowadźmy z punktu P, do którego właśnie celujemy, prostopadłą PQ do łuku Z(H), to mamy w /\, ZPQ sin PQ — sin (i) cos h

w A PQ(H)

Fig.52.

sin PQ = sin i sin li Zatem ze względu na małe kąty i (i)}

(i) = itgh

Otrzymamy dalej jak poprzednio

àf

H WW

Wzór ten jest tylko przybliżony i może być użyty tylko wtedy, jeżeli li² przedstawia wartość już tak małą, że ją opuścić można.

Połóżmy

to mamy

[z]

w == f(Jt)

df

w, = f\o) + h dJc + ....

Ponieważ tu f(o) = w, to w tym wypadku

- 36 -

dfc - (secA-l)

Poniższa tabliczka daje nam obraz wpływu błędów kolimacyjnych Ic na pomiar kąta poziomego.

w = w₀ -f- i {tg li‘ — tg h }

Widać stąd, iż wpływ tego błędu jest zero, jeżeli h = hl, a także wtedy, gdy mierzymy kąt w obu położeniach lunety, bo wtedy znowu dla drugiego położenia lunety mamy :

— 37

w‘ — iu₀ + 180° — i {tg h' — tg h }

Następująca tabliczka uwidocznia wielkość wpływu tego błędu:

.    .    50)

<s>.

20°

40°

60°

22"

50"

1' 44"

3' 38" 8' 23" 17' 19"

§. 15. Ustawienie teodolitu na stanowisku.

P rHü sof

Jeżeli z pewnego stanowiska, które w jakikolwiek sposób jest oznaczone (n. p. kamieniem), ma być jakiś kąt pomierzony, to należy instrument ustawić :

a)    centrycznie,

b)    poziomo.

Teodolit jest ustawiony centrycznie nad danym punktem, jeżeli oś przyrządu, będąc w położeniu pionowem, przechodzi przez ten punkt; a instrument jest ustawiony poziomo, jeżeli oś ta jest rzeczywiście pionową. To naturalnie może być tylko wtedy osiągnięte, jeżeli można założyć, że błędy rotacyjne przyrządu są tak małe, iż na ich wpływ wcale uważać nie trzeba.

Fig. 53

.i

[H]

Wpływ ekscentryczności ustawienia teodolitu na pomiar kątów poziomych.

X OBA = wL -f- w2 X. CS A = (wx) + (w₂).

Jeżeli zamiast na stanowisku B mierzymy kąt na stanowisku $, to zamiast (patrz rys. 54)

otrzymuje się

Różnica tych dwóch kątów

®B

UĄ/ ' ?wt

A®

—Tj—[ąXs

/wN

E — X CS A — X CBA = (w^) + (w₂) — [wx 4- w₂] przedstawia błąd, popełniony wskutek ekscentrycznego ustawienia przyrządu. Jest atoli

d>\

Fig. 54

i.

wi = (wi ) -

w₂ = (w₂) — e₂

®c

więc

Dalej jest

sin e* — — sin w*

sin e₂

e .

sin w₂

Ażeby módz „s centrować pewien kąt“ należy wyznaczyć

e, di, d₂, Wi, w₂\

bardzo dokładnie powinno być e znane; dla wx w₂ di d₂ wystarczają zwykle przybliżone wartości.

Dla praktycznego celu ważną jest maksymalna wartość odchylenia ekscentrycznego. Ta następuje wtedy, gdy

sin wx = ±1

Mamy wtedy

Aj * »

sin e =

Przypuszczając, że chodzi o małe kąty e, wypada

54)

Przyjmując, iż ex i e₂ są małe kąty, otrzymuje się

*i" =

sin 1

sm w,

u    ¹

V' =

Mamy więc

d₂ sin 1 "

sin w₂

E" = 206265

Ie

sin Wi 4-

e sin w₂ j

d₂

.    .    53)

e" = 206265 -e-    .

Do przybliżonej oceny tej wartości służy następująca tabliczka:

0-01

0-001

0-0001

0-00001

34' 23" 3' 26"

20"

2"

Przykład. Z punktu, którego rzędne są na lm niepewne, celowano do trygonometrycznego punktu (o rzędnych ściśle wyznaczonych), znajdującego się w odległości 3750 m. Z jaką dokładnością można określić azymut tej celowej ?

Mamy tu

Zatem

3750

— x 206265

e“ — ±55".

§. 16. Wpływ złego ustawienia poziomego na pomiar kątów poziomych.

Gdy przyrząd jest dokładnie zrektyfikowany, to błędne (nie poziome) ustawienie jego limbusu musi być powodem niedokładnego pomiaru kątów

poziomych. Zamiast kąta prawdziwego AZH — w (patrz rys. 56), odczytuje się na limbusie kąt A{Z)(JI) = w.

[z]

iZ

Mamy tu (patrz rys. 57) :

sin

COS łl

sin w

sin JP(Z)

Dalej jest

P(Z) = PZ— ÜZ

lub

,v

P(Z) = (90 — h) - UZ.

Poziom. 1

Fig. 55.

Uważając trójkąt {Z) ZU (patrz rys. 57) jako płaski, otrzymamy wobec tego, że v = {Z) Z jest małą wartością

U Z = (Z) Z cos w ==• v cos w.

Z tego samego powodu można zastosować przybliżony wzór

sin (x -f Ax) = sin x + Ax cos

it

mamy więc

\ ÊozTônr'x

Fig. 5B.

sin JP{Z) = cos h — v cos w sin h.

Dalej jest (patrz rys. 57) cos h

sin P(Z) cos h — v cos w sin h 1 — v cos w tg h Stosując przybliżony wzór

-= 1 + #+......,

1 —x

otrzymujemy dalej z trójkąta PZ(Z) cos h

sin P(Z) sin w

cos h

smw₀

= 1 -f v cos w tg h

lub

sin w₀ — sin tv = v sin w cos w tg h,

zatem

2 sin -°-

cos

w₀ + w

= v sin w cos w tg h.

Podstawiając tu ze względu na małą różnicę kątów

w₀ + w

\\u.

cos

= cos w

2 sin &

otrzymujemy :

w₀ — w = v sin w tg h .

Fig. 57.

Ponieważ kąt mierzony przedstawia różnicę dwóch odczytów, to mamy

w —■ w‘ = v { sin w tg h — sin iv‘ tg h*} .

.    .    55)

-- 40 -

Przy pomiarach, przy których h jest małe, lub przy obu celach prawie ten błąd prawie żadnego znaczenia. Inaczej jednak

jednakowe

będzie, gdy h jest znacznie w obu celach odmienne; wtedy wpływ niepozio-mego ustawienia limbusu może być bardzo wielki.

nie ma

§. 17. Błędy podziałki kół podzielonych.

Błędy podziałki kół podzielonych, pominąwszy błędy grube, można podzielić na dwa rodzaje:

a) błędy nieprawidłowe czyli nieregularne,

b) błędy prawidłowe czyli regularne.

cci

a) Błędy nieprawidłowe są to te, których istnienie, wzrost i powstawanie nie może być ujęte żadnym

(prostym) wzorem matematycznym. Mogą one być wyrugowane tylko przez pomnożenie liczby spostrzeżeń i to na różnych miejscach podziałki dokonanych.

A -"*ł

180°

360«

b) Błędy prawidłowe znowu mogą mieć albo charakter :

a) wzrastający, albo ß) peryodyczny.

Narysujmy kąty jako x, a rzeczywiste błędy pojedynczych kresek jako y, to otrzymamy krzywą błędów podziałki.

Jeżeli otrzymamy naprzykład linię prostą AB, albo linię sinusową A‘B‘ (patrz rys. 58), to rzędne y tych linii będą nam przedstawiały błędy regularne; zaś różnica, jaka istnieje między rzędną y rzeczywistą, rzędną y tej krzywej, będzie przedstawieniem błędu nieregularnego. Z natury rzeczy wypływa, iż błędy nieregularne mają charakter

/?*!

Ï—-06

7<?x

A\J>i | >3    180°

?\    8 v

\360*

'B¹

Fig.58

przypadkowy.

Ażeby błędy regularne podziałki kół podzielonych ująć w pewne prawa, by je na tej podstawie módz wyrógować ze spostrzeżeń, należy się zapoznać z przyrządem, służącym do robienia podziałek kołowych. W zasadzie składa się on z koła z podziałką oryginalną 0, które jest osadzone na czopie T. Pod niem znajduje się obracalne ramię R, na którem umocowane jest ostrze ruchome 5, służące do rysowania kresek podziałki. Koło lek, mające być podzie-lonem, nasadza się mocno na czop T, następnie ustawia się mikroskop (położony naprzeciw ostrza S na tern samem ramieniu R) na kreskę oryginału i za pomocą ostrza S rysuje się na kole kk kreskę. Tak dawniej postępowano. Obecnie wykonują tę robotę maszyny automatycznie. Zasada jednak pozostała ta sama.

Widzimy, że zachodzą tu dwa główne źródła błędów ■— uważając oryginalną podziałkę jako wolną od błędów — a mianowicie:

a)    koła kk i 00 nie są na czopie centrycznie względem siebie osadzone;

b)    koła te są względem siebie nachylone pod kątem i.

Starajmy się teraz zbadać wpływ tych błędów na dobroć powstającego podziału.

Fig. 59.

a) Jeżeli koła nie są współśrodkowe, jak przyjęto na rysunku fig. 60, to rysujemy n. p. kreskę 90° w punkcie B zamiast w A, popełniamy więc w tern miejscu błąd, który nazwijmy ó. Niech 00¹ (p. rys. 61) przedstawia nam odległość środków obu kół, to zamiast rzeczywistego kąta u odcinamy na kole kąt v. Jeżeli r jest promieniem koła Æ, to mamy:

o A¹ =

00‘ sin u sin (u—v)

90°

90°

180°

180°

u'

0e

270°

270°

CTQ

CD

Fig. 61.

Połóżmy O0‘ = e to

sin (u — v) —

e. sin u

.    .    57)

y r² + e² — 2 r e cos u Ponieważ (u — v) jest zawsze małym kątem, to rozwinąwszy w szeregu, otrzymamy :

0

(u — v) sin 1" = — sin u +

0 2

| —j sin 2 u -f-......

.    .    58)

b) jeżeli koło k jest pod kątem i (p. rys. 62) do koła O nachylone, wtedy kątowi x koła O odpowiada kąt y koła k. Z trójkąta sferycznego ABC otrzymamy :

59)

tg x = tg y. cos i

naska-Widt. Miernictwo.

albo rozwinąwszy to w szereg, otrzymamy :

(x — y)‘‘ sin 1" = — tg²

^.sin2^ + l tg 2

U) i

. sin 4 y —

. 60)

Z obn błędów powyższych wynika, że są funkcyami peryodycznemi.

W obu tych wzorach można prawie zawsze przyjąć, iż tylko pierwsze ich wyrazy mają istotne znaczenie, tak iż pisać można

sin u

. . 61)

Fig. 62.

Jest bowiem

{u - v)“ = 206265

(x — y)" = — 206265 tg²sin 2 y .

Odczytując w miejscach o 90° i 180° na limbusie od siebie oddalonych, wyrugujemy wpływ obu tych błędów całkowicie.

. 62)

sin u + sin (90 + u) + sin (180 + w) + sin (270 -f- u) = 0

i tak samo

lewa

sin 2 y Ą- sin 2 (y + 90) -f sin 2 (y -f- 180°) + sin 2 (y + 270°) = 0

Schemat repetycyi.

prawa

0«0’0'

ot

Te równania są podstawą metody kierunkowej spostrzegania kątów, o której następnie będzie mowa.

ot

2c<

2 oi

3ot

§.18. Pomiar kątów poziomych.

A) Metoda kierunkowa (reiteraeyi).

alhidada wolna limbus przytwierdzony

alhidada przytwierdzona limbus wolny

Luneta przekłada się

Celuje się od lewej ku prawej do wszystkich punktów po kolei, a kończy się na tym punkcie od którego się rozpoczęło. Po każdem celowaniu odczytuje się stan wskazówki na no-niuszach albo mikroskopach. Otrzymamy więc celowe do

lewa

prawa

A, B, C, D

A.

2oc + 180°

3ot+i80°

2ct +180°

ot+180“

Następnie przerzucamy lunetę, obracamy alhi-dadę o 180° i celujemy w porządku odwrotnym, to jest od prawej ku lewej, kończąc znowu na tym samym punkcie A. Otrzymamy tym razem celowe do :

D, C, B, A.

Kompletny taki pomiar nazywamy horyzontem, różą, seryą lub pomiarem kierunków.

Jeżeli mamy sprzęg limbusowy obok sprzęgu alhidady, to staramy się o to, ażeby pierwszy odczyt przy celu do A równał się 0°0/0"; to nam ułatwi t. zw. redukcyę na zero, t. j. odejmowanie odczytu pierwszego od wszystkioh następnych. Chcąc mieć dwa pomiary, nastawiamy drugim razem

ot +180°

180°0'0’

Fig. 63.

punkt A na odczyt 90°0'0" i postępujemy jak pierwszym razem, a w razie gdy chcemy tę samą seryę kierunków pomierzyć trzy razy, nastawiamy odczyt do pierwszego punktu kolejno na 0°, 60°, 120° podziału limbusu. Przy nadzwyczaj ważnych punktach tryangulacyjnych mierzymy kąty 6 razy, nasta-wiając tak, by odczyt do pierwszego punktu był 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°.

//

hj

■H "A

bi

sViM-jg.ïê

W,

ll

ri

A

I; .1

III

i' 'i

'i

r-h. : 1

-all

II

IIIIIUP71

..........

iTTj

'-J|

Fig. 64. Przyrząd uniwersalny firmy E. & H. Eost we Wiedniu.

B) Metoda z powtarzaniem (repetycyi).

Przy pomiarze repetycyjnym mierzy się zawsze tylko jeden kąt, a więc każdy kąt z osobna. Niech będą A i B punkty, do których celować należy. To (1) Ustawia się alhidadę na 0° podziału limbusu i sprzęga z limbusem.

— 44 —

(2)    Uwalnia się limbus i celuje się dopunktu A (po lewej), otrzymamy więc odczyt 0° 0' 0".

(3)    Uwalnia się alhidadę i celuje do punktu B i alhidadę znowu

sprzęga, odczyt, jaki teraz dostaniemy, niech będzie a.

(4)    Uwalnia się limbus WÊki celuje znowu przy za-IBptwierdzonej alhidadzie do

punktu A.

(5)    Uwalnia się alhidadę i celuje się po raz wtóry do punktu B i alhidadę znowu sprzęga. Odczj^t, jaki otrzymamy, jest 2 a.

Teraz przerzuca się lunetę, obraca się alhidadę o 180° i celuje do punktu Zł; odczyt będzie 2 a -f- 180°. Dalej postępuje się w odwrotnym porządku aż do odczytu 180° 0'0", który otrzymamy, celując po raz drugi do punktu A. Schemat do potrójnego pomiaru kąta a podaje rys. 63. Noniusze odczytuje się tylko na początku i na końcu repetycyi, t. j. przed przerzuceniem lunety. Tak samo i po przerzuceniu.

.....SS

Mii

mMw

Sagt

ty

„EN

Hlllllllllllll

7i

Um

'i,

pp

Fig. 65. Przyrząd uniwersalny firmy R. & A. Rost we Wiedniu z lunetą niwelacyjną i libelą nasadkową.

Ważna notatka.

Jeżeli chodzi o pomiar tylko jednego kąta, to należy bezwarunkowo stosować metodę repetycyjną. Tak samo, jeżeli chodzi o pomiar bardzo ważnych i przy temmałych kątów, n. p. przy tryangulacyi większego obszaru. Jeżeli zaś mamy więcej kątów razem (horyzont), to metoda kierunkowa jest właściwszą, tylko należy nie łączyć więcej niż 6 kierunków w jeden horyzont. Jeżeliby jednak trzeba było z jednego punktu pomierzyć większą ilość kątów, wtedy należy podzielić je na grupy.

Przykład. Z jednego stanowiska mają być pomierzone kąty do punktów poligonalnych 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i do punktów tryangulacyjnych a, ß. Porządek celowych niech będzie następujący:

1, 2, 3, a, 4, 5, 6, 7, 8, ß, 9, 10, 11.

W takim razie mierzymy horyzonty ( ) 1, 2, 3, a, 4, 5, 6.

( ) 7, 8, /?, 9, 10, 11.

metodą kierunkową, a kąt a, ß osobno metodą repetycyjną, naturalnie o ile nasz przyrząd na to pozwala. Kąt «, /?, który łączy horyzont (1) z horyzontem

Fig. 66.

to I-¹

(2) powinien być bardzo starannie pomierzony. Potrzeba dokładnego pomiaru tego kąta odpada wtedy, gdy należy on do siatki trygonometrycznej przedtem już wyrównanej. Jeżeli nie ma takich punktów a iß, to staramy się, aby jedna celowa, którakolwiek zresztą, była we wszystkich horyzontach

8, 4, 5 6.

8, 9

Każdy taki oddział tworzy jeden pęk promieni (gyrus).

Wyrabiane we Francyi lepsze teodolity mają tak zwaną kontrolną lunetę. Jest ona stale przytwierdzona do limbusu i służy do sprawdzenia, czy limbus się nie przesunął lub nie skręcił. Przy L₂ teodolitach o ruchomym limbusie jest taka kontrolna luneta bardzo pożyteczna. Zaszkodzić w każdym razie nie może.

W ogóle należy pamiętać o tern, że każdy przyrząd ma swoje zalety i wady, z któremi trzeba się dobrze zaznajomić przed rozpoczęciem każdej ważniejszej roboty. Dotyczy to nietylko rodzaju, lecz i budowy przyrządu samego. Np. robione metodzie repetycyjnej zarzuty odnoszą się właściwie do przyrządów użytych. Metoda sama jest idealna. Gauss mierzył swoje kąty zawsze metodą repetycyjną.

n. p. (1) 1,

(2) 1,

-u to

11.

Fig. G7.

s₂

§. 19. Przyrząd uniwersalny.

Jeżeli do lunety teodolitu przytwierdzona jest osobna libela i jeżeli siatka obok krzyża ma jeszcze dwie nitki poziomo ułożone (patrz rys. 66)

tak, że instrument może służyć i do poziomowania i jako o d legł o w nica, wtenczas nazywamy taki przyrząd uniwersalnym, może on bowiem być użyty nie tylko do pomiaru kątów poziomych i pionowych, ale i do niwelacyi oraz do robót tachymetrycznych.

W takim instrumencie bywa często do koła pionowego przymocowana spe-cyalna libela (L₂ I>₂ patrz rys. 64 i 67), której oś powinna być równoległą do osi obu noniuszów koła pionowego; służy ona do poziomego ustawienia linii zerowej obu noniuszów, a to za pomocą leniwego ruchu S₂- Od libeli umieszczonej na lunecie żądamy, ażeby jej oś była równoległą do osi celowej lunety. Omówienie tego warunku tutaj nie jest HP potrzebne; sprawa ta należy do nauki o poziomowaniu, w której obszernie jest traktowana. Tu zajmiemy się tylko rektyfi-kacyą libeli L₂.

31

^^wwinwiinijn.....i................

Ijmnimt

__

PS

Fig. 68. Mały przyrząd uniwersalny firmy R. & A. Rost we Wiedniu z libela stale przytwierdzoną.

Ażeby mieć jasny obraz działania błędu skutkiem pochylenia osi tej libeli, przedstawmy sobie, iż libela jest umieszczona na osi noniuszów (Nx N₂

patrz rys. 69) nie równolegle do niej, lecz pod kątem i. Gdy sprowadzimy bańkę libeli do punktu zerowego i odczytamy noniusze, to arytmetyczna średnia

z tych odczytów (O) nie będzie odczytem, odpowiadającym prawdziwemu zenitowi Z, lecz zenitowi (Z), który od prawdziwego o kąt i jest oddalony. Naturalnie trzeba tu przyjąć, że instrument jest ściśle poziomo ustawiony i zrektyfikowany tak, iż oprócz L₂ tego błędu nie ma żadnego innego. Jeżeli się nam uda znaleść odczyt O, odpowiadający prawdziwemu zenitowi Z, to będzie

\(z)

[o]

N,

S3

Z — {Z) = i.

Mając kąt i możemy za pomocą śruby korekcyjnej $₃ przy libeli błąd ten usunąć. Aby módz więc przeprowadzić rektyfikacyę w tym względzie, trzeba znaleść odczyt Ona kole pionowem, który odpowiada prawdziwemu zenitowi.

Odczyt ten można znaleść niezależnie od libeli L₂ w sposób następujący. Ustawia się przyrząd ściśle poziomo, zwraca lunetę na dobrze określony punkt A (patrz rys. 70) i odczytuje oba noniusze koła pionowego. Średnia tych odczytów niech będzie 0A. Teraz przerzuca się lunetę, obraca alhidadę o 180° i znów celuje do tego samego punktu A. Arytmetyczna średnia z tych dwóch odczytów niech będzie O#, wtedy

Fig. 69.

°B

± (0B--Oj)

Fig. 70.

będzie odczytem, odpowiadającym zenitowi prawdziwemu.

§.20. Jak postępować, jeżeli obok libeli niwelacyjnej, umieszczonej na lunecie, nie ma drugiej libeli na przyrządzie?

Przyrządów takich wprawdzie nie budują, ale zdarza się, iż przyrząd którym mamy wykonać pewne roboty, ma inne libele popsute, a tylko libela

•E

V.

! s¹

Ds-

“I”

Z.

Z’

0-0

Fig. 71.

nasadkowa niwelacyjna jest dobra. Rektyfikacya takiego przyrządu sprowadza się do tego, czy a) oś libeli jest równoległą do osi lunety i b) czy nie ma

s.

S2

zn

— 47 —

błędu kolimacyjnego. Co do a), przekonywamy się o tem w sposób przy poziomowaniu podany. Ustawienie do poziomu robi się tu w następujący sposób: Ustawia się przyrząd w przybliżeniu poziomo na poziomym podkładzie (np. stole) tak, ażeby długości śrub (ZZ‘ patrz rys. 71) były równe i oś libeli równoległą do osi śrub SiS₂.

Potem przeprowadza się bańkę libeli za pomocą leniwego ruchu (S‘) lunety do punktu zerowego. Uwolniwszy alhidadę, obraca się ją o 180° i poprawia jedną połowę odchylenia bańki za pomocą śruby (S') ruchu leniwego lunety, drugą zaś połowę za pomocą śruby S₂ na spodarce się znajdującej. Następnie obraca się alhidadę o 90°, tak że otrzymuje się położenie libeli do pierwszego prostopadłe i za pomocą śruby S₃ sprowadza się bańkę libeli do zera. Obracając teraz alhidadę, przekonywamy się, czy bańka libeli zawsze zajmuje punkt zerowy.

§. 21. Wyrównanie kątów.

Eóżnica miądzy wyrównaniem kątów a wyrównaniem kierunków.

Ażeby módz wyjaśnić różnicę między wyrównaniem kierunków i kątów, starajmy się rozwiązać bardzo proste zadanie, wyrównanie kątów w trójkącie.

Niech będą

wyrównane, zaś

a, ß, y

(«), G*), (y)

obserwowane kąty trójkąta ABC; poprawki

Vaj Vß, Vy,

należy dodać do wartości spostrzeganych, ażeby otrzymać kąty wyrównane. Ponieważ w płaskim trójkącie a-j-/?-j-y=180°; a tymczasem okazuje się, że

(a) + (/?) + (y) - 180° + c,

przeto

63)

Va + Vß + Vy — £

Do wyznaczenia poprawek trzeba, ażeby

Q = va² + Vß² + Vy² + A (va + Vß + Vy) = Minimum ...    64)

Więc wypada

dQ

àVa

dQ

—— = 2 Vß -f- Û — 0

ÖVß

dü

Po dodaniu mamy

ÔVy

= 2 Vy -f" À = 0

2 (Va + Vß + Vy) -f- 3 X — 0

i uwzględniając równanie 63)

X — — 2 g

Va = Vß = Vy=-le

To samo zadanie można rozwiązać jeszcze w inny sposób, wprowadzając kierunki (azymuty).

czyli

65)

— 48 -

Niechaj będą:

(«Aü)? («Bc); («ca)

kierunki (azymuty) boków AB, BC, CA, obserwowane lub z obserwacyi obrachowane, a

VaB, VbCi vca

poprawki, które dodać należy, ażeby otrzymać azymuty wyrównane

O-AB) UbC) aCA

to naturalnie, że poprawki azymutów dla kierunków odwrotnych

(«ba)} («cb)> («ac)

będą także odwrotne (patrz rys. 72)

ł aAB

la BA.]

aBA

Skoro

zatem

a stąd

--VAB) -VBC) — ^CA*

cc = a ac — cc ab ß — CCba-CCbc

y = CCbc — ci a a

Va = — V CA — VAB Vß — — Vab — VBC Vy = — Vbc — Vca

. . 66)

Fig. 72.

vAb + VBC + V₀a = +    •

.    .    67)

Do wyrównania należy tu utworzyć Æ = Vab² + Vbc² + vCA² + ^ (vab 4- vBc + vCa) = Minimum.

Z czego ze względu na przedostatnie równanie otrzymuje się

Mamy zatem

Vab = Vbc — vca — + i £

to znaczy, że bez względu na znak

.    .    67)

vAb = l va

Stąd wypływa, iż poprawka kierunku, liczona na podstawie najmniejszych kwadratów, jest o połowę mniejsza od poprawki kątowej. Jeżeli więc waga wyznaczenia jednego kierunku równa się 1, to waga wyznaczenia jednego kąta równa się il₂.

Do tego samego wniosku można dojść za pomocą bardzo prostego

rozważania.

Kąt jest różnicą azymutów dwóch kierunków. Jeżeli więc m jest średnim błędem kąta, r zaś średnim błędem kierunku, to mamy:

zatem

Az m = Az r Az r

m² = r² + r² = 2 r2 ml 2

72- = t

Skoro oznaczymy przez p wagę kierunku, zaś przez ą wagę wyrównanego kąta, to wiedząc, że wagi mają się do siebie odwrotnie jak kwadraty średnich błędów

czyli

p m²

wypada

:    G9)

p : q = 2:1

Powyższe uwagi służyły tylko do tego, ażeby wyjaśnić bliżej różnicę między kątem i kierunkiem, o ile ona wchodzi w rachubę przy wyrównaniu. Wyrównywać trójkąty w ten sposób nie można, gdyż one składają się nie tylko z kątów lecz i z boków.

Zastanówmy się teraz nad innem zadaniem. Niech będą ABC wyrównane miejsca punktów (A), (15), (C), a

X_w = X.ACB

wyrównaną wartością kąta

tak iż

(w) = & (A) (O (B)

w — (w) = ô

będzie przedstawiało poprawkę, którą otrzymać się ma przez wyrównanie.

Stosując zasadę najmniejszych kwadratów otrzymuje się, przypuszczając, że punkt B jest punktem stałym i że w długościach AC i BC nie zachodzą zmiany

AA² -j- AB² = Minimum

lub

AA + AB = 0.

Zatem

AA = — AB,

to nastąpi wtedy, gdy poprawimy kierunek BA o i kierunek BC o d₂

tak ażeby

AA = A (A) = AB = B(B)

•w

Jest atoli

AA = (A) A = di tg dj AB = B(B) = d₂ tg d₂

[B]

a ze względu na małe d₁

jf.W;

w

d2

Fig. 73.

i dla poprawek dj i d₂ równania

®B

C<3

(.4,) A — d^ d,, analogicznie B (B) — d₂ d2 Mamy więc

di + d₂ = d

di ⁼ d₂ d₂,

dj + d₂ = d

<5. = à₂ = - : ¹

.    .    70)

Gdy więc kąt w mamy poprawić od, to poprawimy kierunki w ten sposób, jak równania powyższe wskazują.

Mając do wyrównania trójkąt o kątach

(«)» (ß), V)

i przeciwległych bokach

da ) dß > dy

należy postępować w następujący sposób. Połóżmy

AB — ( AB) — vAB BC — (BC) = vB0 CA — (CA) = v ca

Làska-Widt. Miernictwo.

dy

Vab — 4~

dl^ß/

i dalej to będzie

(«) 4- (ß) + (y) = 180 4- £

Vab 4" Vbc 4- Vga — 4—r⁻

‘2

Dalej powinno być

Mamy zatem

dy da dß

_L _p JL +1

da dß d*

4c

dß

Vbc — 4~

d₍

cx

2 11    1

d d dß    dy

Fig. 74.

Vga = 4-

dß

Uwzględniając równania 66) otrzymuje się

Pva =

2 1    1    1

— + — 4--

da    dß    dy

Pvß = —

PVy = —

‘u l(M w IcN co i(N

h-¹

(i⁺

.    .    71)

gdzie

72)

1>= -¹ -|—Î—|—i-    . . . .

du dß dy

Tak samo postępuje się, jeżeli chodzi o wyrównanie polygonu.

Mamy więc twierdzenie :

Mając wyrównać polygon o n bokach, należy nadwyżkę po nad (w — 2) 180° rozdzielić tak, ażeby poprawki kątów były p r o p o r c y o n a 1 n e do sumy odwrotnych ich ramion.

Co się zaś tyczy ogólnego wyrównania kątów, to teorye do tego potrzebne podane są w tej części książki, która zajmuje się metodą najmniejszych kwadratów.

-ol-

Cl zdjęciach polygonalnych.

§. 22 Punkty katastralne.

Podstawę pomiarów polygonalnyoh tworzą punkty katastralne. Są to wierzchołki siatek tryangulacyjnych, pokrywających całe państwo.

Dla wyznaczenia wzajemnego położenia tych punktów obrano spół-rzędne prostokątne płaskie, ażeby zaś przy zdjęciach polygonalnyoh uniknąć błędu z powodu nieuwzględnienia kulistego kształtu ziemi, przyjęto w Austryi 7 układów katastralnych.

Jako punkty początkowe układów przyjęto punkty tryangulacyjne pomiaru stopni. Południk, przechodzący przez uważany początek układu, stanowi oś odciętych, koło wielkie, prostopadłe do niego, oś rzędnych.

Oś -\-X skierowaną jest na południe, oś + Y na zachód.

Początek układu spółrzędnych—katastralnych Galicyi znajduje się we Lwowie na Wysokim zamku pod kopcem Unii lubelskiej.

Daty, odnoszące się do tego układu, są:

Początek

układu

Długość

geograficzna

Szerokość

geograficzna

Układ rozciąga się między

kolumnami

wierszami

zach.

wsch.

od

do

od

do

Północna granica wiersza, oznaczonego cyfrą 1, leży na północ od osi X o mil

Wysoki

Zamek

41

42

32-50

49

50

56-50

XLIX

XXIV

48

16.

Daty, odnoszące się do innych układów katastralnych, podane są w austryackiej instrukcyi polygonalnej z r. 1887 (Instruktion zur Ausführung der trigonometrischen-^ und Polygonometrischen Vermessungen behufs Herstellung neuer Pläne für die Zwecke des Grundsteuer-Katasters; Wien, Staatsdruckerei).

Punkty katastralne zaznaczone są w polu kamieniami odpowiednio zafundowanymi, na których wyryty jest krzyż, oznaczający położenie punktu i litery K. V. (Katastral Vermessung). W kartach sztabu generalnego oznaczono punkty katastralne znaczkiem

000

. 23. Skale katastralne.

a) Dawne.

Jako normalną skalę katastralną przyjęto 1: 2880, czyli 1 cal na planie ==■ 40 sążni wiedeńskich na gruncie (1" = 40°= 40 x 6'= 40 X 6 x 12"= 2880").

Dla większych miast (w Galicy i dla Lwowa i Krakowa) i dla miejscowości o bardzo wielkiej ilości parcel, których nie możnaby w tej skali

— 52 —

należycie przedstawić, przyjęto skalę podwójną 1:1440 czyli l"=2O₀. Dla Wiednia zaś przyjęto skalę 1:720 czyli 1"=10°.

b) Nowe.

Są następujące : 1 : 2 500, 1 : 1 000, 1 : 500.

§. 24. Podział na sekcye.

a) Dawny podział.

Obszar, należący do jednego układu spółrzędnych, podzielono prostemi równoległemi do osi odciętych (do południka), poprowadzonemi w odstępach 1 mili austryackiej = 4000 sążni wiedeńskich = 7585'9 w, na paski, zwane kolumnami; kolumny mogą być zachodnie lub wschodnie. Prostemi poprowadzonemi w tym samym odstępie, równolegle do osi rzędnych, podzielono obszar na paski poziome, zwane wierszami. Wskutek tego powstały kwadraty o powierzchni 1 mili kwadratowej, zwanej sekcyami tryangulacyjnemi.

Północ — x

III

II

II

III

14

Oi

-< 1 mila a. >-= 4000°

-< 1 mila a. >-- 4000°

Zachód + y

Wysoki Zamek

Wschód —y

18

Sekcya tryangul. = 1 miliü

Południe -f x

Kolumny oznaczono cyframi rzymskiemi od osi x w obie strony, wiersze cyframi arabskiemi, zaczynając od wiersza wysuniętego najbardziej na północ. Położenie sekcyi wyznacza się przez podanie kolumny i wiersza, w których sekcya się znajduje. Np. punkt A znajduje się w sekcyi tryangu-lacyjnej Z. k. II, 16. (W. C. II, 16.), t. szu 16; punkt B znajduje się w sekcyi tryangulacyjnej W. K. I, 18.

w zachodniej kolumnie II, w wier-

zn.

Obszar mili kwadratowej, czyli sekcyę tryangulacyjną, podzielono w kierunku wschód-zachód na 4 części, oznaczone literami a, b, c, d; w kierunku północ-południe na 5 części, oznaczone literami e, /‘, g, h, i ; wskutek tego powstało 20 sekcyj szczegółowych, kształtu prostokątnego, o bokach 1000 sążni = 1896-48 m i 800 sążni = 1517-19 m, a powierzchni mili kwadratowej = 500 morgów austryackich = 287*7 ha.

Na rysunku przedstawiono ten podział w sekcyi tryangulacyjnej W. K. II, 15 i Z. K. II, 17; punkt C leży w sekcyi szczegółowej bg, więc położenie jego jest W. K. II, 15, sek. bg.

Mapa katastralna przedstawia w naturze prostokąt o długości 1000 sążni, a wysokości 800 sążni; w skali 2:2880 wynosi długość prostokąta 25 cali, a wysokość 20 cali.

Na każdej mapie oznaczony jest w północno-wschodnim rogu numer sekcyi tryangulacyjnej i numer sekcyi szczegółowej, którą przedstawia.

Mapa katastralna (sek. szczegół.).

W. K. II, 15, sek. bg.

20" = 800° = 1517-19 m

Powierzchnia = ^ mili austr.

— 500 morgów austr.

25" = 1000 = 1896-48 m 1" =40°

1: 2880.

b) Nowy podział.

Układ osi dzieli obszar kraju na 4 ćwiartki (kwadranty):

I. Pd. Z (południe-zachód),

II. Pł. Z (północ-zachód),

III. Pł. W (północ - wschód),

IY. Pd W (południe wschód.

Proste, równoległe do osi odciętych (do południka), w odstępach 8000 w, dzielą obszar na kolumny ; proste zaś, równoległe do osi rzędnych, w odstępach 10000 w, dzielą go na wiersze.

- 54 -

Kolumny oznaczono cyframi rzymskiemi od osi x (południka na zachód i na wschód ; wiersze cyframi arabskiemi od osi rzędnych w obie strony. Powstałe prostokąty są sekcyami tryangulacyjnemi. Chcąc wyznaczyć położenie sekcyi, podaje się ćwiartkę, w której sekcya się znajduje, numer kolumny i wiersza.

ciętych

Np. punkt M znajduje się w sekcyi Pł. Z, III, 2.

Pd. W, III, 1.

r>

r>

v v

Sekcyę tryangulacyjną podzielono prostemi, równoległemi do osi od-na 5 części i prostemi, równoległemi do osi rzędnych, na 8 części.

Północ — x

co

III

II

to

II

III

Sekcya

tryangu-

lacyjna

Zachód + y

rH

Wysoki Zamek

T—1

Wschód — y

cc

O0^3OłCni^CCtNDI-i

Południe + x

które oznaczono cyframi arabskiemi w ten sposób, że część, leżącą najbliżej osi, oznaczono cyfrą 1, a dalsze cyframi porządkowemi.

1600 m i 1250 m

Sekcya tryangulacyjna składa się więc z 40 prostokątów o bokach powierzchni 200|p ha, zwanych sekcyami szczegółowemi.

Wymiary sekcyi szczegółowej w skali 1:2500 są: długość 64 cm, wysokość 50 cm.

Położenie sekcyi szczegółowej określamy przez podanie sekcyi tryan-gulacyjnej oraz kolumny i wiersza podziału szczegółowego.

Np. punkty A, B, C leżą w następujących sekcyach :

. . Pd. . . Pł.

. . Pł.

W#» 0,115

I,    2, sek.

-Hic ~

II,    2, sek.

II, 2, sek.

Nowa mapa katastralna (sekcya szczegółowa).

CL

tSJ

I—I

to

co

CD

crttc

Powierzchnia

|pOA'.

50 cm = 1250 m

64 cm = 1600 m 1 : 2500.

Ponieważ na każde 100 ha powierzchni wypada przynajmniej 1 punkt katastralny, przeto w 1 sekcyi szczegółowej są najmniej dwa punkty katastralne.

Spółrzędne punktów katastralnych wraz z opisem topograficznym dostać można w biurze tryangulacyjnem c. k. ministerstwa skarbu we Wiedniu (Kalkulbureau des Grundsteuerkatasters in Wien, Finanzministerium) za opłatą taryfową 10 zł. za 5 punktów lub mniej, 2 zł. za każdy następny punkt. Oprócz spółrzędnych rzeczywistych otrzymuje się także spółrzędne zredukowane na linie sekcyjne mapy katastralnej.

Przykład. Dla zdjęcia polygynalnego miasta Tarnopola otrzymano daty odnoszące się do 7 punktów: Tarnopol, Wołowa dolina, Szlachcińce, Greli, Kutkowce, Dołżanka i Toutry, zestawione w wykazie, umieszczonym na następnej stronicy.

Mając spółrzędne punktu, możemy łatwo oznaczyć sekcyę tryangu-lacyjną i szczegółową, w których punkt się znajduje i podać spółrzędne, zredukowane ze względu na linie sekcyjne, tak w dawnym, jak i w nowym układzie sekcyjnym.

Oznaczenia W XV 21 ae i liczby 425 4, 1342T odnoszą się do dawnego podziału. •— F w kolumnie 3 oznacza wschód.

Szlach-

cińce

Np. dla punktu katastralnego Tarnopol mamy:

y (wschodnie) = -— 112317*92, x (południowe) = -f- 31685-83.

J(y Według dawnego podziału :

= 800° = 1517*19

ii i

< długość sekcyi szczegółowej = 1000°= 1896-48 m szerokość „

więc

— y = 112317*92 = 59 x 1896-48 -f- 425*4 + x= 31685-83 = 20 x 1517*19 4- 1942-1.

szer.

Długość sekcyi tryang. = 4 cm dług. sekcyi szczegół, szerokość „

— y= 112317-92 = XIV x 7585-94 4 3 x 1896-48 + 425-4,

4 x 7585-94 = 0 x 1517*19 = 1342*1.

56

Nazwa

punktu

Topografia

Kolumna

co

o* Wiersz os Sekcya

Spółrzędne odniesione do początku układu.

Spółrządne zredukowane na linie sek. w metrach

Wysokość nad poziomem morza

Adryat.

05

Tarno

pol

Gmina Tarnopol, północ, wieża kościoła Jezuitów (parafialnego)

XV 21 ae

wschodnie

—112317-92

425*4

połudn. 4-31685*83 1342 1

natu

ralny

grunt

316*0

Woło

wa

lina

Gmina Biała, płaski pagórek o o-twartym widoku, pokryty niskiemi pagórkami, leżący o ³/₄ godziny napo -łudniowy wschód od Płoty czy, V₂_ g. na północ od Białej, w Wołowej dodo- linie, 62 kroków na zachód od drogi z Tarnopola do Du-bowiec, 150 kroków od drogi polnej z Białej. Oznaczenie:    ka

mień K. V. -f zasypany ziemią, pod spodem kawałki szkła.

wschodnie

—113265*84

połudn.

4-26540-52

natu

ralny

grunt

XV 20 ag

1373*3

748-3

373*08

4- x = 31685*83 =

Ponieważ nad osią y znajduje się 16 wierszy, więc nad uważanym punktem znajduje się 16 -f 4 = 20 wierszy.

Punkt Tarnopol leży zatem w kolumnie wschodniej

XIV + I = XV, w warstwie 20 + 1 = 21 i sekcyi szczegółowej ae.

Oznaczenie punktu Tarnopol jest W. K. XV, 21, sek. ae. Spółrzędne zredukowane na linie sekcyjne są:

y‘ = — 425‘4 x¹ = + 1342-1.

Przedstawienie punktu w dawnym układzie.

Północ — x

Zachód + y

Wysoki

Zamek

mm\ V ////M/m

II

><

Wschód —y

XIV

XV

XVI

17

Południe + x

XIV x 758594

4x7585-94

16

20

« 'S 6l «

< 7585-94 >

to

CM

< 7585-94 ►

Wyznaczmy teraz położenie punktu w nowjan układzie.

J»

— y = 113265-84 = 14 x 8000 + 0 x 1600 + 265-84

sekcya y zredukow. 14 + 1 = XV 0+1 = 1 na linię sek.

+ x = 31685-83 = 3 x 10000 + 1 x 1250 + 435-83

sekcya x zredukow. 1 + 1 = 2 na linię sek.

Oznaczenie punktu Tarnopol według nowego podziału jest:

Pd. W. XV, 4, sekcya

Spółrzędne, zredukowane na linie sekcyjne, są:

" = — 265-84,

" = + 435-83.

•i

kolumna

wiersz

3+1 = 4

Lâska-Widt. Miernictwo.

Przedstawienie punktu w nowym układzie.

Północ — x Pł. Z. i Pł. W.

Zachód + y

Wysoki

Zamek

Ul

o

XIV

XV

XYI

T—i I rH

Pd. Z. jPd.W.^ Południe -f- x

co

14 x 8000

00*00501^03tOH

0000T.......>

§. 25. Odszukanie punktów katastralnych.

Na podstawie opisu topograficznego, mapy generalnego sztabu, ewentualnie przy pomocy mapy katastralnej odnośnej gminy, odszukuje się kamienie, zaznaczające położenie punktów katastralnych. Przy odszukiwaniu kamieni można kierować się tern, że leżą one zwykle na miejscach najwyższych lub na miejscach, posiadających otwarty widok na okolicę.

Opis topograficzny jest zwykle dość niedokładny, pomagamy więc sobie mapami, a gdy i te nie wystarczają, zasięgamy wyjaśnień u starszych mieszkańców gminy.

Wiele kamieni uległo zniszczeniu z powodu braku opieki władzy; lud okoliczny, nie znający ich ważności, niszczył je ze swawoli lub usuwał na bok, ponieważ przeszkadzały mu w uprawie roli.

Gdy nie można odnaleśó kamienia, szuka się zaznaczenia punktu pod powierzchnią ziemi (pod kamieniami kładziono kawałki szkła, węgla lub żużla), przyczem położenie punktu wyznacza się z mapy katastralnej albo na podstawie pomiaru i rachunku.

Mając spółrzędne punktu, możemy wkreślić go w mapę, na niej pomierzyć podziałką odległości punktu od sąsiednich miedz i załomów tychże i oznaczyć położenie punktu na terenie.

Ten prosty sposób da się tylko wtedy stosować, gdy na terenie mamy pewne miedze.

Najczęściej używa się sposobu podanego poniżej : Znajdę miejsce szukanego punktu w przybliżeniu, obieramy w pobliżu stanowisko, z którego byłyby widoczne trzy punkty katastralne n. p. A, B, C (Fig. 75). Na stanowisku tern ustawiamy teodolit i mierzymy kąty (a) i (/?), zawarte między celami do punktów katastralnyoh.

Ażeby na podstawie tych kątów znaleść różnice Ay i Ax między spół-rzędnemi stanowiska a spółrzędnemi punktu szukanego, trzeba przed wyjściem w pole obliczyć rzeczywiste wartości kątów a iß oraz wartości tych kątów, powstałe wskutek zmiany spółrzędnych punktu D o lm,

Dla kierunku DA otrzymamy:

tang aDA =

Va — Vd

yp

tang aJDA =

y a 4" 1 — Vd

%A-XD

VA — yn

Ac

tang anA =

Podobnie wypadnie dla kierunku DB :

Xa + 1--%D

Fig. 75.

i dla kierunku DC :

DB >

ai

DB ł

DB

ai

<&•*)

aDG'>

Rzeczywiste wartości kątów a i ß, oraz wartości ich powstałe wskutek zmiany spółrzędnych, są :

a:=aDA — aDBl

DCI

aV ~~ aDA aDBl y    x

aDA aDB'>

Między zmianą kątów a związki przybliżone :

dx =

ß aDB aDC’ ßy — aDB aDCi

ß*-alB-ala.

zmianą spółrzędnych istnieją następujące

+Y

,,

\f/

A

/i

s'

9-

9-

/■

a — (a) = Ay (ay — a) + Ax (ax — a), /?-(/?) = Ay {ßy — ß) + Ax (/?, - ß), z których można obliczyć Ay i Ax.

Uważając Ay i Ax jako spółrzędne, otrzymamy z równań powyższych dla różnych wartości a — (a) i ß — (ß) dwa pęki prostych równoległych.

Przyjmijmy

a—(a) i ß—(/?) = dr l',dr2', dr 3'. . . . i wykreślmy pęki prostych, odpowiadających tym wartościom (Fig- 76), to z wykresu tego można bardzo łatwo otrzymać Ay i Ax' dla znanego a— (a) i ß — (/?). Na rysunku odpowiada wartościom

Fig. 76.

a — (os) = 2' 30" i ß — (ß) = 0' 30"

punkt P‘ dla którego Ay i Ax odczytujemy na osi Y i X. Wykres najlepiej wykonać na Ta metoda pozwala odszukać punkt

papierze milimetrowym.

za jednem wyjściem w pole.

*) av oznacza azymut powstały wskutek zmiany y o lm.

- 60 -

Inny sposób, mniej wygodny, jest następujący : W pobliżu szukanego punktu obieramy stanowisko i celujemy do trzech punktów katastralnych, widocznych z tego stanowiska.

Na podstawie zmierzonych kątów obliczyć można spółrzędne stanowiska zapomocą wzorów wcinania wstecz (zadania Pothenota). Otrzymamy wartości (x) i (y). Ponieważ znane są spółrzędne x i y szukanego punktu, więc możemy wyznaczyć azymut kierunku, łączącego stanowisko z punktem szukanym oraz odległość A stanowiska od szukanego punktu za pomocą wzorów:

y — (y)

x — [x)

tang a —

sin a

cos a

te dwie wartości posłużą do odszukania punktu.

Powyższy sposób wymaga rachowania w domu i dwukrotnego udawania się na punkt, jest więc mniej wygodny.

Przy zdejmowaniu Tarnopola odnaleziono 4 punkty: Tarnopol, Doł-żanka, Szlachcińce i Kutkowce. Dwóch nie można było bezpośrednio użyć, gdyż gęsty młody las stanowił przeszkodę w celowaniu.

§. 26. Uwidocznienie punktów katastralnych.

Na odszukanjmh punktach katastralnych, o ile nie są wieżami lub kominami, ustawia się żerdzie odpowiednio podparte i opatrzone deseczkami, przybitemi na krzyż i pomalowanemi jaskrawo (najlepiej biało i czerwono, bo te barwy z daleka widać). Podparcie żerdzi powinno być tego rodzaju, by ją można łatwo usunąć w razie potrzeby pomiaru kątów. Wysokość żerdzi zależy od konfiguracyi terenu.

Jeżeli żerdzi nie można ustawić nad punktem, ustawia się ją ekscentrycznie, najlepiej w kierunku sąsiednich punktów katastralnych. Elementy centrowania należy dokładnie wyznaczyć.

Przykład: Żerdź na punkcie Kutkowce ustawiono ekscentrycznie w kierunku punktów Kutkowce i Olcha, w odstępie 0-4 m od punktu Kutkowce. Spółrzędne punktu Kutkowce są :

y = —109212-19,

« = -f 29638-16,

azymut kierunku Kutkowce-Olcha wynosi 170° 42', mamy więc następujące spółrzędne żerdzi:

y żerdź = —109212-19 -j- 0-4 sin 170° 42'

= — 109212-19 + 0-39 = 109211-80 x żerdź = + 29638-16 — 0-4 cos 170° 42'

= + 29638-16 —0 06 = 29638-16.

§. 27. Sprawdzenie i dokładność punktów katastralnych.

Ponieważ punkty katastralne zaznaczono kamieniami dopiero po do-

konaniu pomiaru często niewłaściwie lub niedbale

wiele punktów zostało

przesuniętych lub zniszczonych, przeto przed rozpoczęciem zdejmowania należy sprawdzić, czy nie zaszły zmiany w położeniu punktów. "W tym celu należy porównać wielkości kątów, otrzymanych z pomiaru, z wartościami, obli-czonemi ze spółrzędnych punktów.

Różnica nie powinna przekraczać granic, podanych poniżej.

Średnia długość ramion kąta w metrach

Wielkość kąta leży w granicach

0° _ 60° ! 60° — 90° , 90° —120°

Różnica między kątem obrachowanym a spostrzeganym nie powinna przekraczać

2000

30

35

40

2500

25

30

35

3000

21

25

27

3500

19

22

24

4000

17

19

21

4500

16

18

20

5000

15

17

18

6000

14

15

16

7000

13

14

15

8000

13

13

14

9000

12

13

13

10000

12

12

13

Tabliczkę powyższą wyjęto z instrukcyi katastralnej z r. 1887 (str. 12). Z tabliczki tej obliczyć można promień koła niepewności punktu katastralnego czyli teoretyczną dokładność punktu.

Przyjmijmy średnią długość ramion kąta 4000 m (Fig. 77.) i bierzmy średnio

'A

£ (17 + 19 + 21) = ± 19"

to ze względu na to, że błąd kierunku równa się połowie błędu kąta, mamy

A (A) = 4000 tang 10"

Fig. 77.

lub

= ± 2 dm.

Otrzymana liczba dr 2 dm jest względną niedokładnością punktu katastralnego, rzeczywista, czyli bezwzględna niedokładność jest zwykle znacznie większa.

§. 28. Tryangulacya.

a) Założenie siatki tryangulacyjnej.

Ponieważ ilość punktów znalezionych jest zwykle niewystarczającą do oparcia na niej zdjęcia polygonalnego, przeto przed założeniem siatki polygonów należy uzupełnić siatkę tryangulacyjną.

Opis tej ważnej czynności mierniczej podany będzie osobno, tu umieścimy tylko niektóre wskazówki praktyczne. Długość boków siatki tryangu-lacyjnej, nie powinna przekraczać 4000 w, bo jest to siatka IV-go rzędu.

Przed założeniem siatki trzeba obejść teren i obejrzeć go uważnie. Wierzchołki siatki obierać należy na miejscach wyniosłych, posiadających otwart}'' widok, przytem tak, by ich wzajemne położenie było korzystne dla obliczenia. Staramy się, by trójkąty były równoboczne, bo wtedy błędny pomiar kątów ma najmniejszy wpływ na obliczenie boków. Ponieważ siatka try-angulacyjna jest podstawą siatki polygonalnej, przeto przy zakładaniu jej powinno się uważać na dobre nawiązanie obu siatek, oraz na to, ażeby poły-gony mogły łączyć wierzchołki siatki w najkrótszej drodze.

Wielką pomocą jest mapa katastralna z nakreślonymi polygonami. Ze względu na trwałość zaznaczenia, powinno się obierać wierzchołki na miejscach, nieprzydatnych do uprawy, na miedzach i w ogóle tam, gdzie kamienie, zaznaczające położenie punktów, będą mniej narażone na zniszczenie lub

przesunięcie.

Wieże kościołów, kominy fabryczne, piorunochrony należy włączyć również do siatki tryangulacyjnej.

Ilość punktów tryangulacyjnych zależy od konfiguracyi terenu, od wielkości i kształtu parcel. Zwykle obiera się jeden punkt tryangulacyjny

arów

na

50

hektarów przy średniej wielkości parcel

60

40

30

„ 20—25

b) Zaznaczenie i uwidocznienie wierzchołków siatki.

Wierzchołki siatki tryangulacyjnej zaznacza się w rozmaity sposób, wzory podane są w instrukcyi z r. 1887 (wzór II). Punkty, położone wmieście powinny być kryto, by nie przeszkadzały ruchowi ulicznemu.

Do uwidocznienia punktów podczas pomiaru służą żerdzie, opisane poprzednio. Punkty tryangulacyjne oznacza się w planach zwykle cyframi arabskiemi.

c) Plan siatki tryangulacyjnej.

Równocześnie z wyborem sporządza się plan rozkładu punktów w skali 1 : 10000 lub 1 : 25000. Położenie nowych punktów wyznacza się graficznie zapomocą stolika mierniczego na podstawie punktów odszukanych.

W planie powinny być zaznaczone możliwe celowe między punktami.

Instrukcya katastralna poleca przedkładać plan rozkładu punktów tryangulacyjnych biuru tryangulacyjnemu do zatwierdzenia, ewentualnie do poprawy.

d) Opis topograficzny punktów tryangulacyjnych.

Po zaznaczeniu punktów robi się opis topograficzny, składający się ze szkicu sytuacyjnego i opisu położenia punktu. Szkic powinien podawać daty umożliwiające dokładne odnalezienie położenia punktu w razie zniszczenia znaku (kamienia lub rury).

Podczas pomiaru sprawdza się od czasu do czasu na podstawie szkicu albo przez pomiar kątów, czy położenie punktu się nie zmieniło.

Przykład opisu topograficznego patrz wzór III. instrukcyi z r. 1887.

e) Pomiar kątów poziomych. ¹)

Do pomiaru kątów poziomych służy teodolit mikroskopowy lub no-niuszowy, o dokładności odczytu co najmniej 10". Przed pomiarem sprawdza się przyrząd, ewentualnie rektyfikuje się go.

Pomiar wykonywa się zwykle metodą kierunkową, rzadziej metodą

repetycyjną.

Przy metodzie kierunkowej postępowanie jest następujące:

1.    Przyrząd ustawia się centrycznie i poziomo.

Gdy nie można przyrządu ustawić centrycznie, należy obrać ekscentryczne stanowisko i wyznaczyć elementy centrowania (wzór V. i VI. instr.).

2.    Pomiar zaczyna się od takiego sygnału, który z powodu wyrazistości i jasności swego obrazu nadaje się najkorzystniej do dokładnego oryen-towania i o którym się wie, że pozostanie widocznym podczas całego pomiaru

Temu warunkowi odpowiadają najlepiej wierzchołki wież i odgromniki, leżące w średniej odległości, w kierunku północnym.

Jeżeli żaden z wierzchołków siatki nie jest odpowiedni, obiera się jako początek pomiaru dogodny punkt, nie przynależny do siatki.

3.    Do obranego punktu celuje się lunetą przy sprzęgniętym limbusie odczytuje stan mikroskopów (noniuszów) i zapisuje odczyty w protokole.

4.    Potem celuje się lunetą (nie zmieniając położenia limbusu) kolejno do wszystkich punktów, postępując w kierunku ruchu wskazówki zegarowej aż do punktu początkowego włącznie — odczytuje każdoczesny stan mikroskopów (noniuszów) i notuje w protokole.

Wynik pomiaru kierunków w całym horyzoncie nazywa się „szeregiem kierunków“ lub „seryą kierunków“. Oczywista, że ostatni odczyt szeregu winien zgadzać się z pierwszym aż do granic nieuniknionych błędów przypadkowych — co nastąpi, gdy położenie limbusu nie zmieniło się.

5.    Po skończeniu pierwszej seryi kierunków przerzuca się lunetę, obraca alhidadę o 180° (nie zmieniając położenia limbusu), celuje na punkt początkowy i odczytuje stan noniuszów. Potem powtarza się postępowanie, opisane w punkcie 4, jednak w odwrotnym kierunku (w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówki zegarowej). Otrzymujemy drugą seryę kierunków.

6.    Dwie serye kierunków, wykonane przy niezmienionym limbusie, w dwóch położeniach lunety, tworzą „zestawienie kierunków“ (Satz), a średnia arytmetyczna z odpowiadających sobie odczytów w obu seryach daje średnią zestawienia (Satzmittel) dla każdego kierunku.

7.    Mierząc kierunki w siatce IV. rzędu, powinno się robić 3 zestawienia kierunków, gdy używamy teodolitu o dokładności odczytu 1"; co najmniej 5 zestawień, gdy używamy teodolitu o dokładności 10". Ważniejsze kierunki spostrzega się więcej razy.

Przed rozpoczęciem nowego zestawienia należy znów ustawić przyrząd do poziomu, następnie obraca się limbus tak, by odczyty zestawienia następnego różniły się o całą ilość stopni od odpowiednich odczytów zestawienia poprzedniego. Przy 8 zestawieniach może różnica odczytów w}⁷nosió 100°, przy 5 zestawieniach 60°. Przez obracanie limbnsn o całą liczbę stopni otrzymujemy szybką kontrolę zgodności odczytów. Tę kontrolę wykonywamy w polu, by później nie było żadnych wątpliwości.

8. Zdarza się czasem, że nie wszystkie obserwowane punkty są równocześnie dobrze widoczne. W takim wypadku celuje się najpierw tylko do punktów dobrze widocznych — do pozostałych zaś później, gdy będą lepiej widoczne , przyczem powinno się wyznaczyć położenie ich kierunków przynajmniej względem dwóch pewnych kierunków, obserwowanych poprzednio. Wskazanem jest limbus ustawić tak, by odczyty kierunków oryentujących zgadzały się z poprzednimi odczytami tych kierunków.

Pomiaru r e p e t y c y j n e g o używamy:

a)    gdy stanowisko nie jest dość stałe, a więc gdy się obawiamy zmiany położenia przyrządu przy poruszaniu się obserwatora;

b)    gdy robimy spostrzeżenia na wieży.

Postępowanie jest następujące:

1.    Ustawia się limbus poziomo za pomocą libeli nasadkowej.

2.    Przy sprzęgniętym limbusie celuje się w kierunku ramienia lewego L, odczytuje stan obu mikroskopów (noniuszów) i zapisuje go w protokole.

8. Zwalnia się sprzęg alhidady, nadaje lunecie kierunek ramienia prawego P i zapomocą śruby ruchu wolnego alhidady nastawia środek siatki na oś sygnału.

4. Zwalnia się sprzęg limbusowy, obraca limbus (wraz ze sprzęgniętą alhidadą), celuje w kierunku ramienia lewego L i ustawia środek siatki na

oś sygnału.

5.    Zwalnia się sprzęg alhidady, nadaje lunecie (przy sprzęgniętym limbusie) kierunek ramienia prawego P najpierw z grubsza, potem dokładnie śrubą ruchu wolnego alhidady i odczytuje stan mikroskopów (noniuszów).

6.    Różnica odczytów, wymienionych pod 5. i 2. daje podwójny kąt między kierunkami L i P.

Średnia arytmetyczna jest wtedy średnią wartością kąta podwójnego.

7.    Przy pomiarze kierunków siatki IY. rzędu powtarza się to postępowanie tyle razy, ile zestawień robiono przy pomiarze kierunkowym (najmniej 3 razy).

Protokół (raptularz) kątowy.

Wyniki pomiaru kątów wpisuje się w odpowiednim protokole. Odczyty można zapisywać ołówkiem, średnie i inne daty należy zapisywać atramentem. Instrukcya katastralna podaje wzór protokołu wraz z objaśnieniami (wzórlYa).

§. 29. Założenie siatki polygonalnej.

Punkty katastralne i wierzchołki siatki tryangulacyjnej łączymy polygonami, które służą za podstawę do zdejmowania szczegółów.

Rozróżniamy polygony pierwszorzędne, czyli główne, i polygony drugorzędne, czyli poboczne. Pierwsze łączą punkty katastralne lub wierzchołki siatki tryangulacyjnej, drugie łączą wierzchołki polygonów pierwszorzędnych. Polygony tworzą siatkę polygonalną I-szo-rzędną, względnie II-go-rzędną. Wierzchołki polygonów obierać należy tak ażeby:

1.    polygony łączyły punkty w najkrótszej drodze,

2.    długości boków były ile możności równe i nie przekraczały granic 50 m (ze względu na pomiar kątów) i 300 m (ze względu na pomiar boków),

3.    boki były dogodne do mierzenia,

4.    wierzchołki polygonów pozwalały na dobre zaznaczenie ich,

5.    polygony były dogodne dla zdejmowania szczegółów,

nie jest zawsze możliwem, gdyż

Spełnienie tych warunków razem położenie siatki polygonalnej zależy od warunków miejscowych.

Polygony I-go rzędu tworzą związek między punktami tryangula-cyjnymi, przeto przy zakładaniu ich staramy się o to, by spółrzędne wierzchołków dały się jak najdokładniej wyznaczyć, a inne względy są mniej ważne.

Przy zakładaniu polygonów II-go rzędu staramy się przedewszyst-kiem o to, by one były jak najdogodniejsze do zdejmowania szczegółów.

Najpierw ustawia się żerdzie nad punktami tryangulacyjnymi, potem obchodzi się teren, który ma być zdjęty i w każdem miejscu, nadającem się do założenia punktu polygonalnego, wpisuje do podręcznego szkicu (zrobionego ewentualnie na podstawie mapy katastralnej):

1.    celowe do punktów tryangulacyjnych,

2.    charakterystykę terenu,

3.    inne notatki mające wpływ na założenie siatki polygonalnej.

Przykład takiego szkicu podaje fig. 78.

Z miejsca A można celować w kierunku ulic 1 i 3 a teren jest równy (znak

runku ulicy 4 (znak —I-»-). W kierunku ulicy 2 jest teren spadzisty i nierówny (znak >• i

doczne są punkty tryangulacyjne I. i V. Z miejsca B widać punkty tryangulacyjne I., V. i II. ab jest kanał. Zaszkico-wawszy w ten sposób cały teren przystąpić możemy do projektu siatki polygonalnej. Przy wyborze siatki I go rzędu uważać trzeba na dobre nawiązanie polygonów do punktów tryangulacyjnych. Wierzchołki polygonów powinno się obierać na miejscach o większej liczbie celowych. Na fig. 78. jest punkt B z tego względu korzystniejszy od punktu A.

Przy wyborze siatki II*go rzędu uważać należy na to, by zdjęcie parcel dało się łatwo wykonać przy użyciu boków polygonów lub za pomocą linij pomiarowych.

Polygony II-rzędne wogóle prowadzić należy wzdłuż dróg, rzek, granic własności i t. d.

), nie można celować w kie-

J} T

<■-

(S)J

I

). Z miejsca tego wi-

Va

Fig. 78.

Làska-Widt. Miernictwo.

W miastach obiera się wierzchołki polygonów na zbiegach ulic, placach, w miejscach ile możności najspokojniejszych od ruchu ulicznego. Boki polygonów Ii-go rzędnych powinny biegnąć równolegle do frontów, najlepiej wzdłuż krawężnika chodnika, w odstępie co najmniej metrowym od frontu; nie powinny przechodzić w poprzek ulic, przynajmniej na ulicach więcej uczęszczanych.

na

Punktów polygonalnych nie powinno się obierać nad rurami wodo-ciągowemi, kanałowemi lub gazowemi, gdyż w razie naprawy takowych położenie punktu może być zmienione (nie stosuje się to do hydrantów, o ile one wchodzą w skład siatki polygonalnej Ii-go rzędnej).

Polygony, biegnące równolegle w niewielkiej odległości, połączyć należy polygonami poprzecznymi. Jeżeli jest możliwe (polygony biegną wzdłuż rzeki), należy związać polygony łańcuchem trójkątów.

Ilość punktów polygonalnych zależy od konfiguracyi terenu, od wielkości parcel i od skali, w jakiej zdjęcie ma być wykonane, zwykle wynosi 20 do 50 na kilometr kwadratowy.

Punkty polygonalne I-go rzędu powinny być ile możności rozmieszczone jednostajnie na zdejmowanym terenie. Punktów polygonalnych II-go rzędu powinno być najwięcej tam, gdzie jest najwięcej szczegółów do zdejmowania, rozkład ich nie może więc być jednostajny.

§. 30. Zaznaczenie punktów polygonalnych.

Wykonywa się przed rozpoczęciem pomiaru siatki polygonalnej. Sposób zaznaczenia zależy od ważności punktów, od ich położenia i od układu geologicznego terenu.

W polu znaczy się pierwszorzędne punkty polygonalne i punkty węzłowe kamieniami, wystającymi około 15 cm nad powierzchnią terenu; punkty drugorzędne znaczy się sączkami (drenami) albo palami, opatrzonymi krzyżami. Sączki znajdują się pod powierzchnią terenu, podczas pomiaru wstawia się w nie tyczki, później usypuje się nad niemi kopce lub zaznacza ich położenie w inny sposób.

W miastach i przestrzeniach zabudowanych nie powinno natomiast zaznaczenie punktu wystawać ponad terenem, używa się więc rur gazowych wbitych pod powierzchnią ulicy lub trzpieni osadzonych w kamieniach (w krawężnikach chodników). Przykłady zaznaczenia punktów podaje instrukcya katastralna z r. 1887 (wzór II.) i Jordan (Handbuch der Vermessungskunde 1898, tom II. strona 880 i następne).

rur

Proste a nie zbyt kosztowne zaznaczenie punktu składa się z rury gazowej 60—80cm długiej, o średnicy równej grubości tyki (3—5 cm), na końcu zaostrzonej i wbitej 50 cm pod powierzchnią terenu. Rura obłożona jest warstwą betonu 20 cm grubą i przykryta cegłą, (przy punktach drugorzędnych wystarczy obłożyć rurę kamieniami). Przy pomiarze Tarnopola użyto gazowych wbitych 80 cm pod poziomem ulic i zatkanych czopami drewnianymi.

Celem zabezpieczenia punktów polygonalnych przed zaginięciem, oraz dla łatwiejszego odszukania, należy odmierzyć odległości ich od najbliższych stałych punktów jak naroży domów, granic własności i t. d. — słowem sporządzić szkic sytuacyjny i dokładny opis topograficzny punktu.

Przykład. Punkt 79 rurą podziemną znajduje się na ulicy Studziennej, na prostej łączącej dwa słupy elektryczne. Odległość punktu od słupa 1 (bliższego ulicy Smykowieckiej) wynosi 51 m, odległość od słupa 2 wynosi 261 m; odległość punktu od budynku Nr. 312 wynosi 09 m.

Jeżeli w toku robót pokaże się, że pewien punkt uległ zniszczeniu lub został przesunięty, należy nowy punkt zaznaczyć odmiennie i wykreślić z protokołu wyniki pomiarów, odnoszących się do dawnego punktu.

Ulica Smykowiecka.

W/////////.

Uh ca Studzienna.

fi

i⁰⁹i

1Ä

312 i

i 261

Fig. 79.

Punkty polygonalne oznacza się cyframi arab-skiemi, rozpoczynając od liczby następującej po ostatniej liczbie punktu try-angulacyjnego. Polygony oznacza się cyframi rzymskiemi, ugrupowanemi około środka zdjęcia.

§. 31. Nawiązanie punktów polygonalnych do punktów tryangulacyjnych.

Przy zakładaniu siatki polygonalnej I-go rzędu trzeba się starać, ażeby z jej wierzchołków było jak najwięcej celowych do punktów tryangulacyjnych. Jedna celowa ma także swoje znaczenie, tern większe im do odleglejszego punktu jest poprowadzona.

Mając n. p. z punktu polygonalnego 2 (Fig. 80.) celową do punktu tryangula-cyjnego I, leżącego w odległości 4000 m, można obliczyć azymut kierunku 21, nawet przy założeniu, że spółrzędne punktu 2 są tylko na 1 m dokładne z maksymalną niedokładnością

206265" = -+- 50"

~ 4000

Fig. 80.

Zmierzywszy kąty e i f], wyznaczyć możemy azymuty boków 12 i 23 z taką ^ samą maksymalną niedokładnością.

Mając tak samo z punktu polygonalnego 4 celową do bardzo odległego punktu tryangulacyjnego II, można na-podstawie przybliżonych spółrzędnych punktu 4 obliczyć azymut boku 43 a następnie z tego azymutu azymut boku 23.

Średnia arytmetyczna obu wartości z uwzględnieniem wag będzie prawdopodobnie dokładniej odpowiadała rzeczywistemu azymutowi.

Naturalnie im dokładniejsze będą spółrzędne punktów polygonalnych, tern dokładniejsze będą i azymuty.

Inny przykład nawiązania, używany często w miastach, jest następujący: Polygon 123 (Fig. 81) przechodzi w pobliżu punktu tryangulacyjnego

I ; z punktów polygonalnych 1, 2, 3

Jl

--------„ ^ możliwe są celowe do punktu tryan-

1 û(oL

// gulacyjnego I, a z punktu 3 do punktu tryangulacyjnego II.

cf\£

Fig. 81.

Należy tu pomierzyć bardzo starannie długości boków 12, 23 i kąt e, kąty zaś a, ß, y, ó mogą być pomierzone tak, jak kąty polygonu. Najpierw oblicza się bok 12 podwójnie: z trójkąta 112 i 213 i bierze średnią z otrzymanych wartości, potem oblicza się bok 13. W trójkącie III3 znamy teraz boki III, 13 i kąt e, można więc wyznaczyć kąt rj i azymut kierunku 13, bo azymut boku III jest wiadomy. Mając odległość 13 i azymut jej kierunku, obliczymy z danych spółrzędnyeh punktu I spółrzędne punktu 3.

Do nawiązania używamy wcinania wprzód, i innych zadań fundamentalnych, (patrz strona 6 i następne).

§. 32. Pomiar siatki polygonalnej.

Obejmuje :

2.

1. pomiar kątów, boków.

Te dwa pomiary wykonywa się zwykle oddzielnie.

Dobrze jest, gdy luneta ma siatkę tachymetryczną, ponieważ daje kontrolę mierzonych długości (usuwa możliwy błąd 20-to-metrowy) i daje względną wysokość punktów, służącą do redukcyi na poziom przy nachylonym terenie.

A) Pomiar kątów.

Pomiar kątów wykonywa się metodą kierunkową. Kąty polygonów I-go rzędu mierzy się przynajmniej dwa razy, z nastawieniem limbusu na 0° i 100°. Kąty polygonów Ii-go rzędu najmniej raz. Uważać przytem należy, ażeby kąty mierzone leżały po jednej stronie polygonu (wątpliwość zachodzić może zwłaszcza przy kątach bliskich 180°); celuje się zawsze najpierw do punktu poprzedniego, jest to cel lewy, potem do punktu następnego, jest to cel prawy. Kąt równa się różnicy odczytów celu prawego i celu lewego.

Jeżeli z pewnego punktu polygonalnego I-go rzędu są celowe do punktów tryangulacyjnych, to mierzy się kąty trzy razy, z nastawieniem limbusu na 0°, 100° i 200°.

Przy bardzo krótkich bokach mierzy się kąty najmniej dwa lub trzy razy, nawet przy polygonach Ii-go rzędu.

Przy pomiarze kątów stosować się należy do ogólnych uwag, podanych w ustępie „Pomiar kątów poziomych“.

Jeżeli boki polygonu są krótkie, trzeba przyrząd ustawiać dokładnie centrycznie w wierzchołku, uważać, by sygnały ustawione były centrycznie i pionowo i celować na spód sygnałów.

Ekscentryczne ustawienie przyrządu lub sygnału wywiera tu bardzo znaczny wpływ na pomiar kąta. Przyjąwszy, że ekscentryczność przyrządu lub sygnału wynosi 1 cm, otrzymamy następującą tabliczkę:

Długość kierunku s w metrach

Błąd kierunku

0*01

.206265

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

cOtHi—iOOOOOOO

tobobetóto^oio^bo

oœojiïi^Hiîoœwoj

Przykład. Długości ramion kąta są: lewe = 10m, prawe =30 m, teodolit ustawiono ekscentrycznie o lcm, obliczyć średni błąd w założeniu, że celowe są bezbłędne. Kąt równa się różnicy kierunków zamykających go, więc średni błąd kąta

E = j Ep² + Ei²,

przyczem ep oznacza błąd ramienia prawego = ±1'09"

= d= 3' 26"

El

zatem

E = ± 3' 37".

Ponieważ w zwykłych wypadkach ekscentryczność wynosi około 1 cm, przeto należy się spodziewać błędów zestawionych w powyższej tabliczce.

Ażeby zmniejszyć ekscentryczność ustawienia, używa się różnych urządzeń (optycznego pionowania, specyalnych sygnałów na statywach i t. d.), pozwalających ustawić teodolit i sygnał z dokładnością na 1 mm. Urządzenia te opisuje Jordan (Handbuch d. Vermessungskunde, 1897, t. II, strona 390 i następne).

W zwykłych warunkach nie rozporządzamy takimi środkami, staramy się przeto ustawić przyrząd i sygnał tak, by ekscentryczność była minimalną. Przy ustawianiu przyrządu należy przeczekać, aż pion się zupełnie uspokoi; dla zmniejszenia wahnień można użyć pionu z przesuwką (pionu podwójnego). Jako sygnałów używa się cienkich tyczek z pionami (fig. 82), umieszczonych w trójnóżkach. Przy bardzo krótkich celowych (20 do50m) należy użyć pionu, zawieszonego na trójnóżku i celować do sznurka.

Fig. 82.

Podczas pomiaru sprawdzać należy, przynajmniej raz na tydzień, czy teodolit jest należycie zrektyfikowany.

Wyniki pomiaru zapisuje się w odpowiednim protokole (wzór IV b instrukcyi), najlepiej piórem z magazynem niezmywalnego tuszu (indeliblu). Wzór protokołu podany jest poniżej.

Data

Obserwator

Protokolant

^ Stanowisko

to Cel

⁰⁵ Położenie lunety ^ Noniusz

Zestawienie I. Zestawienie II. ^ (Pomiar I) (Pomiar II)

Odczyt Średnia Odczyt Średnia

Średnia

ogólna

Rb-

dukcya

na zero

Uwagi

//    4

44

44

44

fr

44

44

iO

CD

-i

©61

* ©63__2

II

1 180

2:81818 8181 £18

(N

L~.

100 0000 0000

279 59 40

00 400005 0 0015-0 0 00 00

pogodnie, lekki wiatr

88 54 20

188 53 20

©60

II

54 20 268 53|20

5o'00 5415

cc

i co i ^

tQ I iO ! iO

tfc* I ►£» I DO

LpJ o I o

spód tyki niewidoczny

iO I

GO

IO

7-5 88 53 52-5

Objaśnienia: Na kartce tytułowej podaje się:

1. rodzaj przyrządu (firmę i numer),

2.

podziału limbusowego (czy na 360° czy na 400°),

3. wartość noniusza (względnie mikroskopu).

W nagłówku pisze się: datę, nazwisko obserwatora i protokolanta.

Kolumny 1 i 2. Obok numeru względnie nazwy punktu znaczy się także rodzaj punktu :

A oznacza punkt tryangulacyjny,

„ polygonalny.

Kolumna 3. Jako I-sze położenie lunety przyjmuje się zwykle to, przy któ-rem koło pionowe znajduje się po lewej stronie lunety.

Kolumna 4. Jako I-szy noniusz przyjmuje się noniusz pod kołem pionowem.

Kolumny 5 i 6. Na noniuszu drugim czyta się wprawdzie stopnie, ale zapisuje się tylko minuty i sekundy.

Kolumna 7. Średnia ogólna oznacza średnią z zestawień (pomiarów) I i II.

Kolumna 8. Redukcyę na zero otrzymuje się przez odejmowanie, względnie przez dodawanie, przyczem 360° = 0°.

Przykłady: 1. Średnia ogólna kierunku, który przyjmujemy za zerowy, wynosi 0° 00'15-0", inne kierunki zredukowane otrzymamy przez odjęcie 15-0" ;

2. gdyby średnia ogólna kierunku zerowego wynosiła 359° 59'30", to kierunki zredukowane otrzymamy przez dodanie 30".

Kolumna 9. Tu zapisuje się okoliczności towarzyszące pomiarowi.

B) Pomiar boków.

Boki polygonów mierzy się na terenie poziomym lub słabo pochylonym, taśmą stalową (20-to metrową), na terenie pochyłym i falistym, łatami (5-cio metrowemi).

także drugorzędnych, mierzonych łatami, należy wypiąć sznur wzdłuż mierzonego boku celem uniknięcia bocz

Przy polygonach głównych

nych odchyłek.

Taśma powinna być napinana jednostajnie i trzymana poziomo, uważać też należy na dokładne odpionowywanie końców taśmy, bo od tego jest zależną dokładność pomiaru. Przy pochyłym terenie mierzy się po ukosie i redukuje na poziom (gdy teren jest równy), alboteż mierzy się schodkami.

Przed pomiarem i w ciągu tegoż

sprawdza się narzędzia przez porównanie z miarą porównawczą, której długość wyznaczono przez porównanie z miarą normalną.

Każdy bok mierzy się najmniej 2 razy w kierunkach przeciwnych — odczytuje się metry, decymetry i centymetry. Jeżeli długość boku znajduje się w granicach 100—200 m, to mierzy się 4 razy (z tego powodu że błąd pomiaru długości rośnie z długością).

Instrukcya katastralna austryacka każe boki mierzyć 2 razy; oba pomiary mogą się różnić co najwięcej o ilość

4s = 0-0006s + 0-02 y s,

którą dla różnych długości s boków polygonów, wyjąć można z tabeli I. in-strukcyi (str. 192). Przy pomiarze w korzystnych warunkach należy granicę błędu As zmiejszyó o 2O°/₀> w niekorzystnych warunkach można ją przyjąć większą o 2O°/₀.

As = 0-0005 s + 0-015 V s, As = 0-0006 s + 0-020 Vs, niekorzystnych As = 0 0007 s + 0-025 V s,

Na podstawie tego otrzymamy następujące wzory: a) dla warunków korzystnych

średnich

«

C) r,

Wartości As, obliczone dla różnych s, zestawione są:

0-57    065

Gdy różnica pomiarów wynosi więcej niż As, należy pomiar powtórzyć. Ustawa niemiecka (Anweisung IX., str. 20) podaje następujące wzory:

a) dla terenu korzystnego

c) „

As — 001 y 4s + 0 005s²,

„ średniego „ niekorzystnego As = 0*01 y 8s + OOls².

As = 001 V 6s+0-0075s²,

Wyniki pomiarów wpisuje się w protokole dla pomiaru długości od-razu atramentem (wzór XYI instrukcyi). Do protokołu zapisuje się całą ilość pojedynczych taśm 20 m lub łat 5m a osobno długość dopełniającą. W protokole notuje się także różne okoliczności dotyczące pomiaru i wyniki sprawdzania narzędzi.

Przy obliczaniu średnich z pomiarów boków polygonów, opuszcza się milimetry, gdy ilość ich jest mniejszą od 5, dodaje zaś 1 cm, gdy ilość milimetrów jest

Jeżeli przy pomiarze kątów wyznacza się tachymetrycznie długości boków i względne wysokości punktów, to ustawia się obok tyki łatę ta-chymetryczną i odczytuje 3 nitki na łacie, oraz kąt pionowy. Boki dłuższe od 100 m podzielić można na dwie części i wyznaczyć długości ich z obu wierzchołków. Do obliczenia służą wzory

Du = KI cos² a + k cos a,

H — \ Kl sin 2 a + 7c sin a,

(patrz Tachymetrya).

W trudnych warunkach dokładny pomiar tachymetryczny może dać lepsze wyniki niż pomiar bezpośredni, wymaga jednak dobrej lunety z cienkiemi nitkami, dokładnej łaty i odpowiedniego sposobu postępowania. Dokładność wyniku zależy tu głównie od dokładności wyznaczenia odcinka na łacie (odczyty powinny być dokładne na milimetry). Dokładność wyznaczenia kąta pionowego ma znacznie mniejszy wpływ na dokładność wyniku, bo zwykle mamy bardzo małe pochylenia osi celowej.

§. 33. Wyrównanie i obliczenie polygonu zamkniętego.

1. Wyrównanie kątów.

W zamkniętym polygonie o n wierzchołkach wynosi suma kątów

S = (w + 2) 180°

znak — odnosi się do kątów wewnętrznych,

„ zewnętrznych.

S można wyjąć z następujących tabliczek:

,    8= (n — 2). 180°

CO ^ LO CC N X

180

360

540

720

900

1800

05 O H (M CO ^ t—i ł—i    t-H i—I

1260

1440

1620

1800

1980

2160

2340

2520

2700

2880

3060

3240

S = (n + 2). 180°

CO lO CD N 00

900

1080

1260

1440

1620

1800

05 O —i CM CO 'ŃfH

-1—i 1—I T—I T—I

1980

2160

2340

2520

2700

2880

io îd t> oo o; o

i—I 1-H    1—1 tH t—I Od

3060

3240

3420

3600

3780

3960

Odchyłka w sumy kątów mierzonych (S) od sumy prawdziwej S nie powinna przekraczać wartości ± 75" mamy więc

*    (S) — S = w,

w <; ±75" Vw.

Wartości 75" Vw, odpowiadające różnym w, zestawiono poniżej (patrz także tabela II. instrukcyi).

75"    75" V«    75" V

fl -------L--fi -!--- fi -L

//

CO ^ lO CD I> 00

IM IM (M CO CO CO

OJ H O o: M tS GO ^ CO O O

ffi O h (M CO tP tH t—I tH t—i rH

05 to o ot ^

I—¹ O O CD *<J Ot

1Û    CD    t>-    CO    05    o

T—I    1—1    T—I    H    T—i    Od

ot ot ot ot ot ^

Ot

05 00 t> lO O tH (M co

Większe odchyłki (aż do 1 i/₂ krotności) dozwolone są tylko wyjątkowo, gdy ustawienie przyrządu nie było dość stałe, lub gdy nie można było celować na spód tyki.

Jeżeli boki polygonu są w przybliżeniu równe lub gdy stosunek boku najkrótszego do najdłuższego nie przekracza wartości 3 (podług instrukcyi z r. 1887), to rozdzielamy w równo na wszystkie kąty. Poprawka wynosi więc

— w

c =

Jeżeli zaś stosunek boku najkrótszego do najdłuższego jest większy niż 5, to rozdzielamy w na poszczególne kąty proporcyonalne do sumy odwrotności ramion, więc w stosunku

(y ⁺ y):(y ⁺ y)

UJ

S’

Fig. 88.

Ażeby uniknąć ułamków mnożymy wszystkie wyrazy przez 1000 i zaokrąglamy na liczby całe.

Przykład. W polygonie 1 2 3 4 (Fig. 84) mamy:

0s) = (1) + (2) -f (3) + (4) = 360° V 20",

S =■ 360°, więc w = (8)— S= + P 20".

Dozwolona odchyłka dla n — 4 wynosi 2' 30", więc można wy-

74

równać. Stosunek boku najkrótszego do najdłuższego wynosi

50

300    6 ’

kąty wyrównamy zatem proporcyonalnie do sumy odwrotności długości ramion :

Długości boków *12 = ⁵⁰

Liczby stosunkowe

1000 1000

s₂₃ = 100

50

100

■)-

20 4 10 = 30,

1000 1000

s₃₄ = 150

100

150

= 10-4 7 = ‘27

1000 1000

s₄₁ = 300

150

300

)■

7 + 3 = 10,

1000

300

1000 \ 50 j

= 3 + 20 = 23, Suma = 80.

lOo

. 30 = — 30"

Poprawki kątów — 1-20"

80

c₂ —

—1'20"

80

. 27 = — 27"

[S

c₃ —

— 1-20"

80

.10 = —10"

C4 —

— 1-20"

80

. 23 = — 23"

Fig. 84.

Kąty wyrównane będą więc:

_80" = —w.

1    = (1 ) + *! = (1) — 30",

2    = (2) 4- c₂ = (2) — 28"

3    = (3) + c₃ = (3) -10"

4    = (4) 4- c₄ = (4) — 23"

1 + 2 4344 = 360°.

2. Obliczenie i wyrównanie s p ó ł r z ę d ny c h.

Po wyrównaniu kątów oblicza się azymuty wszystkich boków na podstawie danych azymutów.

Do obliczenia służą wzory 12) na stronie 6.

Mając dany azymut pewnego boku, obliczamy kolejno azymuty wszystkich innych boków, aż do boku od którego wyszliśmy włącznie, obliczony azymut tego boku powinien równać się danemu azymutowi.

Następnie obliczamy

[s. cos a\ = si cos aj +- s₂ cos a₂ 4-[s. sin a] = sj sin ai 4- s₂ sin a₂ 4-

W zamkniętym polygonie powinno być:

[s. cos a] = 0 i [s. sin aj = 0,

zamiast tego otrzymamy zwykłe

[(«•cos a)] = f

[(s.sin a)] = fy.

*) (s.eos a) i (s.sin a) oznaczają wartości otrzymane po wstawieniu spostrzeżeń.

Jeżeli fx i fy nie przekraczają dozwolonych granic, można przeprowadzić wyrównanie w następujący sposób :

Według instrukcyi z r. 1887 nie powinna wartość

/; = V/«²+/i²

przekraczać błędu dozwolonego dla sumy długości wszystkich boków, więc

fs < As, przyczem As = 0-0006 [s] + 0-02 V[s].

Gdy ten warunek jest spełniony, to rozdzielamy fx i fy na poszczególne s.cosa i s.sin a proporcyonalnie do długości boków.

Otrzymamy więc następujące poprawki:

dla s.cos a:

dla s.sin a:

c\y =

c₂x =

C„* =

Cny =

M - ~fv

Wyrównane s.cosa i s.sin a są: Sj cos aj = (st cos ax) + c^x, s₂ cos a₂ + (s₂ cos a₂) + c₂x,

s₄ sin a, = (st sin at) + cß>, s₂ sin a₂ = (s₂ sin a₂) + c₂y,

sn sin an == (sw sinaw) + cny,

[s. sin a] = 0.

W końcu obliczamy wyrównane spółrzędne wszystkich wierzchołków

yy dane

y₂ = Vi + sin a1}

Vz = y% d⁻ s₂ sin a₂,

yn = yn-\ + sn_i sin aw_i y i = yn + sn sin o*.

Ostatnie wartości powinny równać się pierwszym.

Sn COS an + (S„ COS On) + c„x .

[s. cos o] = 0,

xl dane

x₂ = xi + si cos at x₂ = x₂ -j- s₂ cos a₂

Xn — 0Cn—\ -f- Sw_i COS Cl/n — 1,

«1 ==    -f- sn cos an,

§. 34. Wyrównanie polygonu miedzy punktami tryangulacyjnymi.

1. Wyrównanie kątów.

W polygonie A 14 13 12 B (Fig. 85) pomierzono kąty a, ß, y, d, e; A, B, II, IV są punkty tryangulacyjne.

ii

>\ol

17

Azymuty <Xaii i aBiv są wiadome (obliczone ze spółrzędnych punktów tryangulacyjnych).

Wychodząc od kierunku AII obliczyć możemy w znany sposób azymuty boków polygonu i azymut kierunku B IV. Jeżeli otrzymamy wartość («biv), różną od aBiv i

iv — (®b iy) <C 75" \ln,

Fig. 85.

to rozdzielamy tę różnicę na poszczególne kąty tak, jak w polygonie zamkniętym (patrz strona 73).

W przeciwnym razie szukamy błędu grubego ewentualnie powtarzamy pomiar.

2. Obliczenie i wyrównanie spółrzędnyeh.

(xB) = xA + [0 • cos a)], {Vb) = Pb + [(s.sin a)].

Po wyrównaniu kątów obliczamy wyrównane azymuty a następnie s.cosa i s.sin a dla wszystkich boków poły gonu i spółrzędne punktu B ze spółrzędnyeh punktu A.

Zwykle otrzymamy wartości odmienne od i Pb) to znaczy zamiast punktu B otrzymamy inny punkt (B).

Nazwijmy

(%b) -Xß — f x ,

(Pb) — Pb = fy,

to jeżeli fx i fy nie przekraczają dozwolonych granic, można przeprowadzić wyrównanie.

Instrukcya z r. 1887 normuje sprawę tę następująco:

Różnica długości AB = L, obliczonej ze spółrzędnyeh punktów i i 5, i długości A(B) = L', obliczonej ze spółrzędnyeh punktów A i (R), nie powinna przekraczać błędu dozwolonego dla sumy wszystkich boków, t. j.

L — V < 00006 [s] + 0-02 V[s].

wartości

Różnica zaś azymutów kierunków AB i A(B) nie powinna przekraczać

2 ([«] + 100)

wyrażonej w minutach, t. j.

2 ([*] + 100)

minut.

aAB-0>A{B)

Jeżeli a ab — o>a{b) < P, to rozdzielamy fx i fy na poszczególne s.cosa i s.sin a proporcyonalnie do długości boków (patrz wyrównanie poły gonu zamkniętego). Grdy aAB — o-a{b) 1', rozdzielamy w inny sposób (patrz instrukcya z r. 1887 str. 159 i następne).

§. 35. Wykrycie grubych błędów w polygonach.

Gruby błąd kątowy okazuje się w polygonie zamkniętym przy tworzeniu sumy kątów, w polygonie między punktami tryangulacyjnemi przy obliczaniu azymutu ostatniego kierunku (patrz §. poprzedni).

Gruby błąd długości okazuje się dopiero po utworzeniu [s.cosa]

i [s.sin aj.

1. Gruby błąd kątowy.

Zakładamy, że tylko jeden kąt pomierzono błędnie. Wierzchołek błędnego kąta wyznaczyć można graficznie lub analitycznie. Ażeby wyszukać błędny kąt graficznie, to nanosimy go, wychodząc z pewnego punktu w obie strony, przez co otrzymamy dwa polygony, przecinające się w pobliżu wierzchołka błędnego kąta. Obliczając zaś spółrzędne wierzchołków od pewnego punktu w obie strony, otrzymamy tylko dwie pary prawie równych spół-rzędnych, t. j. te, które odpowiadają wierzchołkowi błędnego kąta. Gdy mamy wielobok między punktami tryangulacyjnymi, to tak samo postępujemy, wychodząc od punktów tryangulacyjnych.

Wykrywszy błędny wierzchołek sprawdzamy protokół, ewentualnie pomierzymy kwestyonowany kąt znów.

¹

Według instrukcyi z r. 1887.

2. Gruby błąd długości.

Zakładamy, że tylko jeden bok jest błędny. Następstwem tego jest przesunięcie polygonu w kierunku błędnego boku o odstęp równy błędowi boku. Wykreśliwszy więc polygon, oznaczymy ten bok jako błędny, który jest równoległy do prostej zamykającej.

Analitycznie postępujemy tak: wychodząc od punktu o znanych spół-rzędnych, obliczamy spółrzędne wszystkich wierzchołków, a następnie azymut prostej zamykającej. Bok, mający azymut, równy azymutowi zamykającej, lub różny od niego o 180°, jest błędny. W pierwszym razie bok jest za krótki, w drugim za długi o długość zamykającej.

Jeżeli po obliczeniu spółrzędnych okażą się różnice óy i óx, to popełniono prawdopodobnie błąd równy okrągło

VTT+’V

w tym boku, którego azymut jest dany przez

tanga

Ox

3. Błędy rachunkowe.

W zamkniętym polygonie wykryć można (lecz nie zawsze) błędy rachunkowe według następującej tabliczki:

1. óy = 0, (5.Z0

2. Óy Z 0, óx = 0

Błędny znak u Ax! jeżeli Ax = £ óx

r> n Ay • m Ay — \ óy

co

Óy -j- ÓX = 0

Zamieniono Ay na Ax lub odwrotnie

4.    „ óy — óx = 0

Jak pod 3., nadto błędny znak!

5.

,    Óy

tang a = -/-

óx

Tu należy rozróżnić dwa wypadki :

= V

ó,

óx

a)    2 s = błędny znak u Ay ! i Ax\

b)    As =

sm a

cos a

Óy

óx

sin a cos a pewna długość o ds błędna, azymut tej długości jest a lub a ± 180°, przyczem

Ay ₌ ÓJL Ax óx '

tang a =

6.

r>

«2 —

tang

Boki, których azymuty są a₂ i ai, są błędne i to tak, że jeden jest o za długi, a drugi o za krótki.

Axi-Ax₂ Óy

” —Ayi+Ay₂~óx

Azymut boku, do którego należą Axx i Ayl jest o Aa za duży, a azymut boku, do którego należą Ax₂ i Ay₂ o Aa za mały albo odwrotnie

Wzory powyższe łatwo wyprowadzić — okażemy to na wzorze ostatnim. Równania [Ay\ = 0 i [Ax\ = 0 przedstawić możemy następująco [Ay]* + s₁ sin ai + s₂ sin a₂ — 0, |

[Ax]¹ + si cos ax 4- s₂ cos a₂ = 0. {

Jeżeli zamiast azymutów ai i a₂ wstawimy azymuty błędne ai‘ i a₂

• • 1)

to otrzymamy

[Ay\ -j- s₁ sin a₁/ -f s₂ sin a₂‘ = óy, | [Ax]‘ + si cos ax ' -p s₂ cos a₂ — óx. j

• • 2)

Odejmijmy od tego układu równań układ poprzedni, to wypadnie (sin axl — sin ax) + s₂ (sin a₂ — sin a₂) = óy, | si (cos ax—cos ax) + s₂ (cos a₂‘ —cos a₂) = óx. )

Przyjmijmy dalej, że

.    .    3)

to

a stąd

a\ — a\ — Aa, | a₂= a₂' + Aa, f

sin a₁    =    sin (ax '    — Aa)    —    sin ax ¹    — cos    .Aa

sin a₂    —    sin {a₂    + Aa)    —    sin a₂    + cos    a₂    . Aa

cos ai    =    cos (ai ¹    — Aa)    =    cos ax '    + sin    a] ¹. Aa

cos a₂    =    cos (a₂    + Aa)    =    cos a₂    — sin    a₂    .Aa

•    4)

sin ax ' — sin ax = cos ax .Aa sin a₂¹—sin a₂ — — cos a₂ .Aa cosax—cosax = — sin ax .Aa cos a₂ — cos a₂ = sin a₂ . Aa

Wstawiwszy wartości układu 5) w równania 8) otrzymamy: cos ax ¹. Aa — s₂ cos a₂ .Aa — óy — sx sin ax ‘. Aa -f s₂ sin a₂ .Aa = óx.

Po podzieleniu tych równań wypadnie :

sx cos ax — s₂ cos a₂    óy

— Sj sin ax‘ + s₂ sin a₂    óx

AXX - AX₂    Óy

—Ayx +Ay₂ “ óx '

.    .    5)

Przykład do przypadku 1. Wartości błędne

■f Ax

— Ax

Wartości poprawione + Ax — Ax

—12-35

+ 14-75

+ 12-35 + 14-75

—    22-72

—    20-34

—    22-72

—    20-34

+ 15-80

+ 30-55 — 55-41

+ 15-80

— 55-41

+ 42-90 — 43-06

— 43-06

óx = [Ax] = — 24-86 4 óx = — 12-43

fx = [Ax] = — 0-16

Kontrola obliczeń.

Ażeby uniknąć błędów rachunkowych, które wychodzą zwykle na jaw dopiero przy końcu obliczenia, robimy przed obliczeniem wykres polygonu w skali 1 : 1000 na podstawie danych boków i kątów oraz danego azymutu jednego boku. Wykres ten okaże grube błędy popełnione w pomiarze a gdy tych nie było ewentualnie błędy rachunkowe. Z wykresu otrzymać można przybliżone azymuty, wartości s. sin a i s.cosa, oraz spółrzędne wierzchołków polygonu i każdą obliczoną ilość skontrolować.

Wykaz spółrzędnych i mapa siatki polygonalnej.

Wyniki obliczenia spółrzędnych punktów polygonalnych wpisuje się w odpowiednim protokole (wzór XIV. instrukcyi). Obliczone punkty nanosi się zapomocą spółrzędnych w skali 1 : 10000 lub większej i otrzymuje się mapę siatki polygonalnej (wzór XV. instrukcyi).

§. 36. Przykład obliczenia polygonu zamkniętego.

W polygonie przedstawionym na Fig. 86 pomierzono kąty 3, razy, boki 2 razy, średnie pomiarów wypisano na rysunku.

67'

1. Wyrównanie kątów.

nojt

i/ i ?■

i sHr*

Punkt

Kąt

zmierzony

Poprawka

Kąt

wyrównany

Il

taft

61

«h©

92° 33' 52" 89 46 12

Kierunek liczenia azymuLow

137 29

4r'T%.

4799

X5îi

v*»

92 42 22 85 36 25

74

>7S,2Ï'i^

Sumy

84.

(719°59' 16") +44" 720° 0' 0" -720°

Fig. 86.

—44"

Dozwolony błąd dla w = 6 wynosi 3' 4" (patrz str. 73), w <i 3' 4" można więc wyrównać. Ponieważ stosunek boku najkrótszego do najdłuższego 119-71 179-70

)>    , rozdzielamy w równo na wszystkie kąty: c = —

jt    72/

1 " f73 :

ażeby uniknąć ułamków sekundy, dajemy 4 kątom poprawkę +7" a 2 kątom poprawkę + 8".

2. Sprawdzenie polygonu.

Azymut boku 61—60 niech będzie dany, to azymuty innych boków obliczymy następująco:

azymut (61 — 60) = 265° 27' 25" + 180°—89° 46'12" — + 90 13 48

azymut (60—101) =    355 41 13

azymut (61—60) =    265 27 25"!

Ostatnia liczba kontroluje dokładność całego rachunku.

Spółrzędne punktu 61 przyjmijmy na razie:

*/6i = 0,

Wartości względne Ay — s.sma i Ar = s.cos a obliczamy zapomocą logarytmów 4-o cyfrowych według poniższego szematu:

82

Xca = 0.

i—l

tO w’

fi

X CO

Ol 05

22

iH lO

CO X

17

Bok

Długość

Azymut

log s log sin a

log s log cos a

s. sin a

s.cos a

log s. sin a

log s. cos a

61—60

170-40

265°27'27"

2-2315    2-2315

9-9986 n 8-8988 w 2-2301 n 1-1303 n

169-9

13-5

60—101

120-10

855 41 13

2-0795    2-0795

8-8761 n 9-9988 0-9556 n 2-0783

9-0 119-8

101—72

137-29

CO

ot

ifl

lO

2-1376    2 1376

8-8765 n 9-9988

1-0141 n 2-1364

10-3 136-9

72—73

189-70

82 58 43

2-2781    2-2781

9-9967    9-0872

2-2748    1.3653

188-3

23-2

73—81

145-51

177 22 18

2-1629    2-1629

8-6644    9-9995 n

0-8243    2-1624 n

6-7

145-4

81—61

119-71

178    1 17

20781    2-0781

8-5382    9-9997 n

6-6163    2-0778 n 4*1

119-6

199-1 189-2 279-9 278*6 -182-2

-278-5

+ 9-9

+ 1-4

powinno być błędy są: dj,= +9-9 d.r= + l-4

0-0

0-0

Popełniono tu stanowczo gdzieś gruby błąd.

Ponieważ kąty mierzono 3 razy a długości tylko 2 razy, należy więc szukać błędu przedewszystkiem w długościach. Mamy tu:

ÓŁ _ 9-9 ó. ” 1*4 a = 82° 57',

tang a =

taki azymut ma bok 72—73, dalej jest

V <y + d,² = V 9-9* + l-4² ₌ y 99-97 = 10.

Po bliższem zbadańiu całej sprawy w protokole znaleziono błąd w odpisywaniu długości tego boku, wynosi ona 179-70 a nie 189-70.

Po poprawieniu otrzymamy :

72-73

179-70

82° 58- 43"

2-2546

9-9967

2-2546

9-0872

2-2513

1-3418

178-4 s. sin a

22-0 s.cos a

189-2

-189-2

189-2 278-7 -278-5

278-5

Sumy są teraz:

o-o

+0-2

powinno być: 0*0

o-o

błędy są : fy = OO, fx= + 0*2,

f, = if,² + fj = 02,

[s] = 872-71, według tabeli I. instrukcyi As = 1*21 ,/* <C As, można więc wyrównać.

Przed wyrównaniem należałoby przeliczyć cały polygon logarytmami 6-cio lub 7-mio cyfrowymi i wyznaczyć wartości s.sina i s.cos a z dokładnością centymetrową. Ponieważ jednak rozchodzi się tu tylko o pokazanie sposobu postępowania, więc wyrównamy wartości otrzymane powyżej. Zaokrąglone długości są :

61— 60 = 170 60 — 101 = 120 101— 72 = 137 72— 73 = 180

73— 81 = 146 81— 61 = 120

[s] = 873,

= - 0-00023.

— fx

Poprawki wartości Ay są = 0,

Ax są następujące:

—    0-00023 x 170 = -0-04

—    0-00023 x 120 = — 0 03

—    0-00023 x 137 = — 0-03

—    0-00023 x 180 = — 0 04

—    0-00023 x 146 = — 0-03

—    0-00023 x 120= —0-03 .

Suma = — 0-20 = — fx.

Làska-Widt. Miernictwo

11

Bok

Wyrównane Ay

Wyrównane Ax

61— 60 60-101 101— 72

72—    73

73—    81 81— 61

-169-9

— 13-54

9-0

10-3

4-178¹4

4-119-77

136-87

21-96

6¹7

4¹1

145-43

119¹63

Sumy .

4-189¹2

—189-2

o«

—189-2

4-278-60

—278¹60

[4#]=0¹0

—278-60

Wyrównane spółrzędne są'¹) :

00 m

2/61 = y oo = —169¹9 2/ioi= — 178-9 2/72 — — 189¹2

()-0 m

2/73 =---

2/81 = — 2/61 =

10¹8

4¹1

0¹0

#61 —

#00 — — 19¹5 #ioi= 4- 106-2 #72 = 4- 243-1 #73 = 4- 265¹1 #₈₁ = 4- 119¹6

#01 =

0¹0.

§. 37. Siatka normalna.

Punktem trygonometrycznym nazywamy :

li

1.    każdy dany punkt katastralny,

/\

2.    każdy punkt polygonalny, który obliczyć można niezależnie najmniej dwa razy z punktów katastralnych.

\y

Punktem azymutalnym nazywamy taki punkt trygonometryczny, z którego jest możliwą celowa do punktu try

gonometrycznego.

Punktem węzłowym nazywamy taki punkt, w którym przecinają się po-lygony.

Oznaczmy dane punkty katastralne przez I, II, III, . . ., punkty polygonalne, posiadające własność wymienioną pod 2., przez A, B, (7, . . ., a punkty polygonów I-go rzędu przez 1, 2, 3, . . ., to na Fig. 87 są I, II, III, IY, V, YI, A, B, C punktami trygonometrycznymi. (Punkt A wyznaczyć można za pomocą wcinania

Fig. 87.

wprzód 3 razy i za pomocą, wcinania wstecz raz ; punkty B i C zapomocą wcinania wstecz 4 razy).

Punkt polygonalny 6 nie jest punktem trygonometrycznym, gdyż można go tylko raz wyznaczyć wcinaniem wstecz.

Punkty II, III, IV, A, B, C są także punktami azymutalnymi. Punkt a jest punktem węzłowym.

:    Ponieważ punkt I jest niedostępny, więc

długości I 4 i 119, oraz kąty 413 i 3 119 wyznaczyć trzeba z polygonu (4, 3, 19.1).

"'20

Po opuszczeniu celowych do punktów trygonometrycznych, otrzymamy siatkę, przedstawioną na Fig. 88.

Fig. 88.

W siatce tej dane są wszystkie kąty i boki, oraz spółrzędne punktów I, A, B, C, które muszą pozostać niezmienione przez dalszy tok rachunku.

Siatkę tego rodzaju nazywamy siatką normalną.

Polygony, tworzące siatkę, mogą być :

1.    proste, n. p. I, 4, 5, 6, 7, A,

2.    przecinające się, np. I, 3, 2, 1, a, 10, II, B i A, 8, 9, a, 15, 16, C.

W pierwszych nie ma wcale punktów węzłowych.

Polygon może być :

a) obustronnie ograniczony .

ß) jednostronnie ograniczony .    . punktem azymutalnym.

y) nieograniczony......

Polygon A, 14, 13, 12, B jest n. p. polygonem prostym, obustronnie ograniczonym, bo nie ma w nim punktów węzłowych, a z punktów A i B są celowe do punktów trygonometrycznych.

Polygon I, 4, 5, 6, 7, A jest tylko jednostronnie ograniczonym, gdyż z punktu I niema celowych do punktów trygonometrycznych, bo punkt ten jest

wieżą kościoła. Przy wyrównaniu siatki należy przedewszystkiem wyrównywać azymuty polygonów obustronnie ograniczonych według sposobu podanego w §. 36. W ten sposób trzeba więc wyrównać azymuty polygonów AB, AC i BC, nie zważając przy tern na to czy polygony przecinają się, czy nie.

-&C

Polygony jednostronnie ograniczone A l, BI i Cl należy wyrównywać inaczej.

Fig. 89.

W punkcie I schodzą się trzy polygony ^41, BI, Cl, więc otrzymamy trzy niezależne azymuty (14), (13), (119). Ponieważ dane są kąty a iß, które powinny równać się różnicy co dwóch azymutów, więc dla każdego azymutu otrzymamy trzy wartości, n. p. dla najmniejszego azymutu 14 będą one następujące:

(14), (13)-«, (119) -(« + /?).

Wagi tych wartości zależą od odległości punktów A, B, C od punktu I.

Nr. polygonu

Kąt

polygonu

Azymut a

Punkt

logs    logs

Długość s log sin a log cos a logs. sina logs. cos a

//

II. 61

+7

92    33    45

2-2315    2-2315

9-9986 n 8-8988 n

265    27    25

170-40    2-2301 n 1*1303 n

60

+7

89    46    5

2-0795    2-0795

8-8761 n 9-9988

355    41    13

120-10

0-9556 n 2-0783

101

+8

180 0 0

2-1376    2-1376

8-8765 n 9-9988

355    41    5

137-29

1-0141 n 2-1364

72

92    42    15

2-2546    2-2546

9-9967    9-0872

82    58    43

179-70

2-2513    1-3418

73

+7

85    36    18

2-1629    2-1629

8-6614    9-9995 n

177    22    18

145-51

0-8243    2-1624 n

81

+8

179    20    53

2-0781    2-0781

8-5382    9-9997 n

178    1    17

119-71

0-6163    2-0778 n

Sumy

719    59    16

[s]=872-71

powinno być 720

błąd w —

—44"

poprawka =

Różnica rzędnych s. sin a

Różnica odciętych s.cos a

Poprą- Poprawiona różnica rzędnych odciętych

Rzędna y Odcięta oc

wioną

różnica

Punkt

0*0 m

0*0 m

61

169-9

—0-04

13-5

—169-9

-18-54

-169*9

-13*54

60

—0-03

9-0

119-8

—9-0

+ 119-77

-178*9

+ 106*23

101

—0-03

103

136-9

—10-3

+ 136-87

-189*2

+243*10

72

—0-04

178-4

22-0

+ 178-4

+ 21-96

-10*8

+265*06

73

—0-03

6-7

145-4

+ 6-7

-145-43

-4*1

+ 119*63

81

4-1

+ 189-2 —189-2

—189-2    +278-7

—278-5

—0-03

1196

—278-5

+41

0-0

powinno być 0-0

o o Ó ti

[3y]=0-0

V/y²+/*² = 0-2 m,

As — 1*21 m.

-119-63 [Ar]=0*0 -0-2

= — 0-00023.

Jeżeli długości boków polygonów mało się różnią, to wagi azymutów przyjąć można odwrotnie proporcyonalne do ilości boków :

waga azymutu (14) równa się więc

■W- —}]

(I 3)

(119) „

Wyrównany azymut (14) jest:

! 14 i

_ (I 4):j + { (I 3 ) - a).\ + {(I 19) — (a + ß) } J

W-

i + ł +

a wyrównane azymuty (I 3) i (I 19) są :

(I 3) = (I 4) -f «,

(119) - (I 4) + (o + ß).

Jeżeli różnica między azymutem (I 4) i { 14 } nie przekracza wartości 75" V~w, to rozdzielamy ją równo na wszystkie azymuty.

Mając wszystkie azymuty, przystępujemy do obliczenia spółrzęd-nych pojedynczych punktów polygonalnych. Najpierw obliczamy i wyrównywamy polygony proste, według sposobu podanego w §. 36, następnie przystępujemy do wyrównania polygonów przecinających się.

§. 38. Punkty węzłowe.

Wychodząc od punktów I, A , B i C (Fig. 88), obliczyć można spół-rzędne punktu a 4 razy. Otrzymamy każdym razem inne wartości, które dadzą 4 punkty: ai (x₂ yx), a₂ (x₂ y₂), a₃ (x₃ y₃), a₄ (®₄ yj (Fig. 90).

Jeżeli wagi tych punktów są

Pli P 2 7 Pz ? Pm

to średnie wartości spółrzędnych, czyli spółrzędne punktu P są :

a₂

a<t

[.py1

[p]

[p] '

Fig. 90.

Rozchodzi się teraz o wyznaczenie wag. Im odle-glejszy jest punkt polygonałny od punktu trygonometrycznego, tern większą będzie niedokładność w jego wyznaczeniu, tern mniejsza jego waga.

Waga wyznaczenia punktu jest więc odwrotnie proporcyo-nalną do sumy długości boków między punktem trygonometrycznym a punktem węzłowym.

Jeżeli długości boków polygonów są prawie jednakowe, to wagi są odwrotnie ^ proporcyonalne do ilości boków w poszcze-[ß gólnych poły gonach.

Uwzględnić należy także kąt przecięcia się polygonów. Jeżeli strefa m, w, in\ n\ m", n" Fig. 91 oznacza granice, w których polygon a leżeć musi i jeżeli skonstruujemy podobne granice dla polygonów ß, a', ß', to w przestrzeni

m- r/ ( rr

li/

nrT \ yr

fi

oć’

Fig. 91.

nakrycia się stref szukać należy miejsca punktu węzłowego. Rysunki na Fig. 91. okazują wpływ kąta przecięcia się W na położenie punktu węzłowego.

Według instrukcyi z roku 1887 powinno się obliczać wagi z następujących wzorów:

waga dla y :

Vv =

waga dla x:

|s] (1 -f sin² Ii) ’

Vx =

[s| (1-f cos² li) ’

w których G oznacza stałą dowolną, [s] sumę długości boków, B azymut prostej, łączącej punkt początkowy polygonu z punktem końcowym.

W tabeli IV instrukcyi zestawione są wartości

l-|-sin²R ¹ l + cos²R

dla stałej C = 5000 i wartości Ii od 0° do 180°.

Wagi otrzymujemy, dzieląc ilości wyjęte z tabeli przez [s].

Wzorów tych można tylko wtedy używać, gdy polygony odchylają się nieznacznie od kierunku prostego — w przeciwnym razie przyjmować należy wagi odwrotnie proporcyonalne do sumy długości boków.

§, 39. Założenie siatki linij pomiarowych.

Dla zdjęcia parcel zakłada się pomiędzy polygonami siatkę linij pomiarowych, przy pomocy których zdejmuje się granice parcel metodą spół-rzędnych, przedłużeń lub w inny sposób. Podobnie jak przy siatce polygo-nalnej rozróżniamy i tu główne i boczne linie pomiarowe. Główne linie pomiarowe wychodzą z punktów trygonometrycznych, polygonalnych albo z punktów leżących na bokach polygonów i do takichże punktów nawiązują się. W podobny sposób nawiązują się do głównych boczne linie pomiarowe.

Punkty końcowe linij pomiarowych, o ile nie są punktami polygo-nalnymi, nazywają się punktami posiłkowymi (Bindepunkte). Linie pomiarowe obierać się powinno równocześnie z projektowaniem siatki połygonalnej.

Ze względu na cel, do którego służą, prowadzić je należy w pobliżu granic parcel, domów, dróg, rzek i t. d.). Przy parcelach wstęgowych (o równoległych granicach) powinny linie pomiarowe przecinać granice, ale nie pod zbyt ostrym kątem.

Proste, łączące graniczniki i przecinające parcele w poprzek, mogą służyć za linie pomiarowe.

W pobliżu linij sekcyjnych powinno się tak obierać linie pomiarowe, by mogły być użyte w przyległych sekcyach. Przy wyborze sekcyj pomiarowych zważać trzeba na to, by daty, zebrane w ciągu pomiaru, użyte być mogły do obliczenia powierzchni parcel.

Punkty posiłkowe powinno się dalej tak obierać, by ile możności służyć mogły dla kilku linij pomiarowych.

Zaznaczenie punktów posiłkowych.

Punkty posiłkowe zaznacza się podobnie, jak punkty polygonalne

II-go rzędu.

W miastach, gdzie to zaznaczenie połączone jest z trudnościami, ograniczyć się trzeba tylko do zaznaczenia pierwszorzędnych punktów posiłkowych.

Przedstawienie siatki linij pomiarowych.

Równocześnie z wytyczaniem nanosi się linie pomiarowo do szkicu siatki polygonalnej. Punkty posiłkowe numeruje się cyframi arabskiemi ■— zaczynając od 1.

Pomiar siatki linij pomiarowych.

Położenie linij pomiarowych wyznacza się z reguły przez pomiar długości — rzadziej przez pomiar kątów.

§. 40. Niektóre zadania, odnoszące sie do linij pomiarowych.

1, Dane są spółrzędne punktów A i B (Fig. 92):

znaleść spółrzędne punktu (7, leżącego na prostej AB, tak, że AC=p, CB=q.

Z rysunku widać

xA

Va

‘Y

Xc — xA y o — Va

xB — xA

Vu —Va P 4- q

Stąd otrzymamy

''x

Xc = Xa +

♦X

Fig. 92.

albo po uporządkowaniu

‘Y

xA-q + xB.p

fC

y pd?

-°B

*X

Fig. 93.

„ yA-q + yn-p

y O =-;-.

p + q

Dane są spółrzędne punktów A i B, oraz wartości AD = p, JDB = q, DG = li, (DC_[_AB): obliczyć spółrzędne punktu C. (Fig. 93).

Na podstawie zadania poprzedniego otrzymamy następujące spółrzędne punktu D:

XA.q -f xB.p

Xd —-;-,    '

P + q

yA-q + yB-p

p + <1

— ôd —

Azymut kierunku DC różni się o 90° od azymutu kierunku AB, więc można go łatwo wyznaczyć, znając aBc i h otrzymamy

X q = X D t ll. COS CL DC, yc = yD + h.sin aDc.

Możemy także wyprowadzić inne wzory. Ponieważ

CLpC — ci ab dl' 90n,

to

sm a dc = dh cos a ab = dh

cos aDc -+- sm aAB =

OCß “    X a

p + ą ’ yB — yA P + 7 ’

zatem

x₀ =

xB.p + ocA.q

P + <ł

=F h.

yB— y a

yB-P + y a- q

t/i.

Xjb—XA

p -b g

albo

xc =

{XB — XA) . p + XA{p + q) _ h

yB — y a

yc —

0/ß — Va):p ±J/aUi± g) p + g

±h.

xB— xA

p +- g

a stąd

yc = yA +

p-(yB — y a) =t h — au)

3. Dane są spółrzędne punktów 4 i ^ oraz długości a, b, obliczyć spółrzędne punktu C (Fig. 94).

Zadanie to sprowadzić możemy do poprzedniego przez wyznaczenie p, q i h.

Do tego służą następujące równania:

h (p 4- g) = 2 V {*B—«u )² + \yB — *m)²,

A/ P.jP—Ł

A    c

Fig. 94.

Kontrolę rachunku stanowią równania :

ÿ (#c—^s)² + (yc— yB)'¹ = )IJxc—xAy + (yc—yjCi² = b.

>B

h (g—p) =

, «² — &2 *

/i = y —p² = y a² — q².

a,

*) Jest bowiem

zatem

Ä² ₌    _ p2 ₌ a2 _ ?‘2;

₃2_p2==a2_ i t< a.

Laska -Widt. Miernictwo.

¹

Cały rachunek zestawiamy w jednym szemacie, podanym poniżej (patrz str. 84 i 86).

§. 41. Wyznaczenie punktów przecięcia się boków polygonow

z liniami sekcyjnemi.

Wyznaczenie to koniecznem jest ze względu na wrysowanie polygonow w sekcye szczegółowe i nie przedstawia żadnych trudności, wymaga bowiem obliczenia czwartej proporcyonalnej 3 danych ilości.

Wyznaczmy n. p. położenie punktu A na Fig. 95 i 96:

112640

do 114

x 3Q750

< 3000

»65

114 96_ _

106

«498

-------36106

•-

£ 250 00-124 74

ÏI

do 107

5541

13542

\A

--------V -320 00..................

i'

1 3000

do 69

Fig. 95.

ULj»69

Fig. 96. •

Mamy tu

zatem

O A - P106 + MA = 114-96 + ¹,

x : N 69 = 71/106:^106

i stąd

M 106

N106

. 7V69

jest ale

M106 = xGG — xm - 31054-13— 30874-71 = 179-42 N 69 = yG9—ym = 211784-25 — 112754-91 = 29-34,

więc

.29-34 = 20¹46

125-26

179-42

O A = 114-96 + 20-46 = 135¹42.

§. 42. Kosztorys.

Przyjąwszy, że stosunek wielkości parcel budowlanych do parcel gruntowych równa się 1:1, obliczyć można koszta zdjęcia, wykonanego ściśle podług instrukcyi katastralnej z r. 1887, za pomocą następujących wskazówek : Tryangulacya. Na każdy hektar powierzchni liczyć należy 1 dzień pracy geometry i 3 dni pracy figuranta w polu, 1 dzień pracy geometry w biurze. Zaznaczenie punktów. Na 10 punktów: 1 dzień pracy geometry i 4 dni pracy figuranta.

Pomiar kątów (podwójny). Na 50 celowych: 1 dzień pracy geometry, 3 dni pracy figuranta.

Pomiar długości (podwójny). Na 2 Jclm: 1 dzień pracy geometry, 2 dni pracy figuranta.    u

Obliczenie. Na 10 punktów: 1 dzień pracy geometry.

Zdjęcie szczegółowe. Na 1 hektar powierzchni można w ogóle liczyć 2 dni pracy geometry i 4 dni pracy figuranta w polu , 3 dni pracy geometry w biurze.

Niwelacya: Na 1 hektar powierzchni: 1 dzień pracy geometry i 3 dni pracy figuranta.

Stosunek całkowity pracy polowej do pracy biurowej jest w przybliżeniu 3:2, przy założeniu, że rysujemy w skali 1 : 1000.

Koszta zdejmowania miast zależą od stosunku wielkości parcel budowlanych do parcel gruntowych i wynoszą średnio 50 do 100 koron na 1 hektar powierzchni, gdy rysujemy w skali 1 : 1000.

Przykład. Na zdjęcie miasta o powierzchni 250hektarów należy liczyć 500 dni pracy geometry i 1000 dni pracy figuranta w polu,

w biurze.

750 „

strona 6.).

§. 43. Przykłady obliczenia spółrzednych.

Przykład 1. Wcinanie wprzód. (I. Zadanie główne). (Patrz §. 3.

Dane są spółrzędne dwóch punktów

f xA= + 31685*83,

| yA = —112317*92, j xB= + 27203*47,

\ yB =—119308*67 z których celowano do punktu C i otrzymano kąty

a = ^ CAB = 67° 27' 23"2, ß = '& JLB<7=54°59' 43'7. Obliczyć spółrzędne punktu C.

Mamy tu przedewszystkiem

A (Tarnopol)

B (Szlaclicińce)

y = 180 — (a + ß),

więc

y = 57° 32' 53"1. Oznaczmy dalej azymuty boków przez

a ich długości przez

U AB j &BC > aAC

Sab — AB, sBo — BC, Sag — AC to do rozwiązania tego zadania służą wzory :

ty a AB = —

X B

ty (aab + 45°) ==

Vb — V a    A/

Ax

Ax 4- Ay S Ax — Ay D

— xA

.    .    7)

.    . 19)

.V

a AC — Q AB <*,

OßC — aAB + ß + 180° (

Sab sin y

orc = Xa + Sac cos a^c — xb ~\~ Sbc cos aBç | = y a + Sac sin Q>ac — Vb + sBc sin aBc \

16)

SbC = —•

Sau

sm y

sin a

Sac =

sin ß,

Vc

•    .    17)

Rachunek przeprowadzamy jak poniżej :

xB

Vb

Va

Xa

4- 27203-47

—    119308-67

-    112317-92 + 31685-83

log tg (45 + a ab) 0*6602862

.45 + a ab 282°19'57"5

Sb = XB -f- yB Sa~xaĄ- y a D =■ SB — Sa

92105-20

80632-09

11473*11

Ay = y b Ax — xB

6990-75

4482-36

log Ay 3-8445298 n log sin aBA 9-9252184 log Al 3-6515067 n log cos a ab 9*7322014

log tg a ab 0-1930171

237° 19'57 "5

<*>AB

S = Ax‘ -f Ay A ■= Ax¹ — Ay

— 11473-11

+    2508-39

log S log A

4-0596813 n 3-3993951

log Sab 3-9193054 log sin y 9*9262611

log sin a 9*9654785

log    3-9930443

sm y

log sin ß 9-9133405

^AB

Mac

237° 19'57 "5 67° 27'23"2 304° 47' 20"7

180 — aAB 57° 19' 57"5 — ß 54°59'43"7 2° 20' 13"8

UbC

log sin ciac log sAc log cos aAc

log (sÄc sin üac) log (Sac cos aAc)

9-9144796 n

3-9063848

9-7562991

3-8208644 n 3-6626839

log sin Ubc 8*6104464 log sB0 3.9585229 log cos aBc 9*9996384

log (sbc sin aBc) 2*5689693 log (sBc cos aBc) 3*9581613

Va

Sac sm aAc

Vc

—    112317-92

—    6620-10 — 118938-02!

—119308-67 Sbc sm aBC +    370-65

yc —118938-02!

yB

xA

Sbc cos Ose

Xc

+ 31685-83 +    4599-22

+ 36285-05!

xB    +    27203-47

Sbc cos    ci>bc    d⁻    9081*58

Xc    -t-    36285-05 !

Przykład 2. Wyrównanie wcinania wstecz (II. zndanic główne).

A. Metoda logarytmiczna.

Z punktu A którego przybliżone spółrzędne są : (x) = — 1992-0 m

(y) = — 1144 0 m ,

celowano do pięciu punktów o znanych spółrzędnych w celu dokładnego obliczenia jego spółrzędnych. Spostrzegane kierunki i dane spółrzędne są:

Punkt

Kierunek

Spółrzędne

H (M CO ^ lO

0° 0' 0"

0-0

00

184 1 41-5 190 44 18-0 280 41 38-6 312 47 12-3

—4228-2    —2646-9

—2450-1    —1536 8

+ 949-8    —4581-4

— ioo-2 —1735-4

Oznaczywszy wyrównane spółrzędne punktu A przez x = (x) + Ax i y = {y) -f Ay,

napisać możemy pięć następujących równań fundamentalnych:

+ 1144*0 — Ay + 1992*0 — Ax'

—    2646-9 + 1144-0 — Ay

—    4228-2 + 1992-Ö— Ax ’

—    1536-8 + 1144*0 — Ay

—    2450-1 + 1992-0 — Ax ’

—    4581-4 + 1144-0 — Ay + 949-8 + 1999-2 — Ax ’

—    1735-4 + 1144-0 — Ay

—    102-2 + 1992-0 — Ax '

Ax = O, Ay = O,

ty (oj + A+ ) =

ty (a₂ + Aa₂) =

ty (a₃ + 4a₃) -=

ty («5 +«K) =

Podstawiając

tak iż

otrzymamy

Aai = Aa₂ — Aa₃ = Aas₄ = zla₅ = O,

Dalej powinno być:

aj = 29° 52' 7 "O, a₂ = 213 54 a₃ = 220 36 ak = 310 33 7 "4, a₅ - 342 38 34"4.

1—i

"0.

"7,

a₂ + Aa₂ —    ai — Aai    = 184°    1'    41 "5,

albo po wstawieniu wartości za ai, a₂

1).

Ażeby wartości

Aa₂ — Aai = — 26 "5 Aa₂ — Aax — — 16" 7 AaK — Aax = + 38"2 Aab —Aai = 4- 44 "9

zastąpić przez

zla₅,

Ax i Ay

zlogarytmujemy równania fundamentalne.

Z pierwszego wypadnie

log tg (29° 52' 7" 0 + Aax) = log (1144 0 - Ay) - log (1992 0 - Ax).

Jeżeli oznaczymy różnicę logarytmiczną przy tang ax, odpowiadającą jednej sekundzie, przez T, to znaczy, gdy położymy

log tg (29° 52' 7" 0) — log tg (29° 52' 6" 0) = Ti,

to otrzymamy

log tg (29° 52' 7" 0 -f- Aax) == log tg 29° 52' 7" 0 -f- Aax. Tx.

Połóżmy dalej

to

log 1144-0 —log 1143-0= Yu log 1992-0 — log 1991-0 = Xv

log (1144-0 — Ay) = log 1144-0 — Ay. Yj, log (1992-0 — Ax) = log 1992-0 — Ax.Xx.

Wstawiwszy to do zlogarytmowanego równania fundamentalnego,

dostaniemy :

Aai .T — — AyYx + Ax. X,. Z tablic logarytmicznych wyjmujemy:

więc

albo

log tg (29° 52' 7" 0 + Aax ") = 9-7591367 + 0-0000049 Aax log (1144-0 - Ay) = 3-0584260 — 0-0003795.%, log (1992 • 0 — Ax) = 3-2992893 — 0-0002180. Ab,

49 Aax = — 3795 Ay + 2180 Ax,

Aax = — 77 Ay -f- 44 Ax.

Postępując podobnie z pozostałemi czterema równaniami, otrzymujemy \a₂ = -j- 63 % — 41 Ax,

Aa₃ = + 258 Ay — 220 Ax, da₄ = — 29 % — 34 Ax,

\a₅ = — 99 Ay — 31 Ar.

Po wstawieniu wartości tych w równaniu 1), wypadnie ostatecznie : -26-5= 140 Ay — 85 Ac,

-16-7= 335 Ay - 264 Ab,

+ 3ß-2=    48 Ay — 78 Ab,

4- 44 * 9 = — 22 % — 75 Ac.

albo

— 95 -

B) Metoda zwykła (Patrz §. 4, strona 12).

Na podstawie wzoru 25) otrzymamy:

( Av

Aak" = 206265"

Sk

cos ak +

Ax .

sin ak ' ,

Aa*" = 206265"

Atj

\ xk — {x)

cos² ak +

Ax

Vk — (:y)

sin² ak

przyczem

1, 2, 3, 4, 5.

Połóżmy

206265"

sk

cos ak = 206265"

cos² ak

206265"

sk

sin ak = 206265"

Xk— (x) sin² ak

Vk— {y)

= ak

to

Aak = — bk Ay Ą- ak Ax.

Spółczynniki ak i bk obliczyć można według następującego szematu:

Punkt

xk — (x)

Vk — (y)

log (xk — (X)) . log 206265 log (y* — (y))

+ 1992 + 1144

-2236

—1503

—458

-393

3-2993

5-3144

3-0584

33495 n 5-3144 3-1770 n

2-6609 n 5-3144 2-5944 n

log sin ak log cos ak

9 6972 9-9381

97465 n 9-9191 n

9-8135 n 9-8803 n

log sin² ak 206265

9-3944

9-4930

9-6270

log

yk — (y)

2-2560

2-1374 n

2-7200

log a

1 6504

1G304 n

2 3470 n

log cos² ak 206265

9-8762

9-8382

9-7606

log

xk — (x)

20151

1-9649 n

2-6535 n

log b

1-8913

1-8031 n

2-4141 n

Otrzymamy więc

Aa,\ =

76 Ay + 45 A#, Aa₂ — + 63 Ay— 43 Ar,. Aa₂ = + 259 Ay — 222 Ax,

Ważną rzeczą jest kontrola obliczonych spółczynników a i b. Ż równań dla a i b otrzymamy

albo

b { xk — {x)} 4- a { yk — {y)} = 20G2G5",

a

tg ak = —.

Stosując równanie to do tabliczki poprzedniej, dostaniemy:

bk

, o*

leg -T-

9.7591

9-8273

9-9329

log tg ak

9.7591

9 8274

9-9332

Przykład 3. Wcinanie wstecz. (III. Zadanie główne). (Patrz §. 5,

strona 14).

Z danych spółrzędnych punktów

A. ( Kutkowce)

B. (Wolowa dolina)

C. (Szlackciiice)

f xA = + 29G3816, { yA-.= -10921219, f xB = + 2G54052, [yB= -113265 84, f xc = + 27203-47, \yc= - 119308-67,

oraz kątów

Fig. 97. tg a ab =

Vb — Va

xB — xA

a = 67° 2' 27" 2, ß = 4G° 53' 38" 7, obliczyć spółrzędne punktu 0. Tu rachuje się najpierw

tg a bo =

Vg — Vb

Xc — Vb

Sab =

Vb — Va ₌ ffg — 3^ sin a ab    cos a ab

Sbc =

Vg — Vb sin uBC

xc — Xb

COS ÜBC

z kontrolami jak przy zadaniu I i

Dalej rachujemy

~X y = 180° — (cibb — Mab) •

sin a Sab ’ sin ß î (<P + ty) = \ { 360 — (a 4- ß + y) }, tg h (<P — ty) = ^ 5 (ÇP + cotS (⁴⁵° + v)-

sin (cp + a)

ctg V =

Sbc

0 < y < 90°,

sin a

Sbo =

s ab

sin a

sin <jp =

Sbc

sin ß

s co =

Sbc

sin ß

sin (cp + ß)

«r

Wreszcie

Uao — Mab + P-,

dOB — ÜOA + CH = (loa-ßi

aGo = dGB — P •

x₀ — Xa + cos üao — %b -b sBo cos aBo — xG sGo cos nGoi y₀ = y a + Sao sin aA0 = Vb + sB0 sin aB0 = yG + sco sin aG0. Schemat rachunku jest następujący:

A —109212-19 B —113265-84 C — 119308-67

+ 29638-16 + 26540-52 4- 27203-47

4053-65

6042-83

B —A C — B A~C + 10095-48

log yB— y a log s in a ab log xB — xA log cos a AB

log tg a AB log Sab log sin a

— 3097-64 .    + 562-95

+ 2434-69.

Próba : (B - A) + (C-B) + (A-C) = 0.

3•6078462 n 9-9001304n 3 * 4910209 n 97833151n

log y a — y b log sin aBc log xc — log cos aBG

3-7812404n 9-9974020n 2-8214808 9-0376424

0-1168153

3-7077158

9-9641575

d AB

dBG — a AB

276°15'38"9 232° 36' 51" 7 43° 38' 47" 2

log tg aBG 0-9597596 n log sBG log sin ß

log Sab • sin a logsBG:sinß 3-9204610 log tg fi

3-7838384

9-8633774

3-7435583

9-8230973

a -s*

136° 21' 12" 8 46° 53' 38" 7 67° 2'27" 2

[i

33° 38' 26" 4 78° 38' 26" 4

250° 17' 18" 7

« + ß + y 360 — (a + ß + y) 109° 42' 41 " 3

y + 45 cotg (/* + 45) 9*3029731 tg \(SP A- VO 0-1524478 tg £ (<p — ip) 9 • 4554209

h (<P + tfO s (<P + <P)

54° 51' 20" 6 15° *55' 39" 3

70° 46' 59"9 a 67° 2' 27" 2

yj 38° 55'41 "3 ß 46° 53' 38 "7

p -f- a ip + ß

137° 49' 27" 1 85° 49' 20" 0 136° 21'12" 8.

Làska-Widt. Miernictwo

13

Próba : {cp 4- a) 4- (ty 4- ß) 4- y = 359⁰ 59' 59" 9

9-9751010

3-7435583

log sin cp log sAb : sin a log sin (<jp + a) 9-8269863 log sA0 log sB0

3-5705446

37186593

log sin rp log Sbc : sin ß log sin (ifj4-ß)    9-9988445

log Sco log sB0

9-7981983

3-9204610

8-9193055

8-7186593

(AaB

+ (P

CIAO

232° 36' 51 "7 70° 46' 59"9 303° 23' 51 "6

«CB

— cp

«CO

+ 96° 15' 38"9 — 38° 55' 41 "3 57° 19' 57"6

(AoA

4- «

CI OB

123° 23' 51 "6 67° 2' 27"2 190° 26' 18"8

«oc

-ß

ci OB

237° 19' 57"6 46° 53' 38"7

190° 26' 18'9

log sin aAo 9-9216190 n 3-5705446

Vo—Va

yo — yB 4-

yß

log Sco

x₀

log Sao log cos üao 9-7407153

log (yo — VA) 3-4921636 n log(#₀ — Xa) 3-3112599

3105-73 yA —109212-19 y₀ —11231792

Xo — xA 4~    2047-67

xA    + 29638-16

x₀    + 31685-83

log sin aBo 9-2581126 log s*₀ 3-7186593 log cos cabo 9-9927522

log {Vo — Vb) 2-9767719 \og(x₀ — xB) 3-7114125

947-92 —113265-84

y₀ —11231792

Xo — Xß 4-    5145*32

b    4- 26540-52

₀    4- 31685-84

log sin cxqo 9.9252186 3-9193055 log cos aCo 9-7322010

log {y₀ — yć) 3-8445241 log(Æ⁰— xc) 3*6515065

Vo — y g •+■    6990 75

yc —119308-67

y₀ —11231792

x₀— xG +    4482-36

xG -t- 27203-47 + 31685 83

CIISICZhA

\

/

*

/

\

o

s

!

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000249942

#

»

SibiioteKa Politechniki Krakowskiej

111-305109

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000249942

¹

Przykład powyższy wzięto z obliczenia zdjęcia miasta Tarnopola, przy którem wymiary sekcyi szczegółowej wynoszą: długość 820 m, wysokość 250 m.