■■■■■■■■■■i mm

WMHHi

üll

ms

I:

PiPIHk

“W«i sBlsïlïIiiSîstS®*®!

«sPpaiM**

HMH

Il

Bibiîoteka Politechniki Krakowskiej

100000249941

.

'

■

1

♦

r

BIBLIOTEKA' POLITECHNICZNA L. 13.

li

Dr. W. LASKA i Inż. S. WID

profesorowie Szkoły Politechnicznej We LWoWie.

ST.

MIERNICT

*>/

Część I.

Jeorya błędóW i rachunek WyróWnania.

rf

to

pr

j—

LC*

WE LWOWIE.

I. ZWięzkoWa drukarnia We LWoWie, ul. Lindego L. 4.

1903.

f

Ojfx

e:

V_J

té

♦

%

& m&

£

IlliinCi

t

fer

J*

ï*

O

J9£|

(TJ

n

3M»

i.

■

<

TT

U

\

O-V 1

f|

.*/Vî,

-

&•

: **

ÔO

PRZEDMOWA.

rzy wydaniu niniejszych zeszytów wzięte były pod uwagę przede-wszystkiem potrzeby naśzej Szkoły. Zeszyty te nie są przeznaczone dla początkujących. Wobec przeciążenia obowiązkami zawodowymi, nie mogliśmy tak szybko, jak tego potrzeba wymagała, napisać podręcznika systematycznego. Kierowaliśmy się więc zasadą, ażeby podać przedewszyst-kiem to, co jest konieczne.

::

Zebraliśmy w jednych zeszytach w możliwie zwięzłej formie to, co jest niezbędnem dla poszczególnych «zawodów technicznych (np. szczegóły iezbędne dla geometrów katastralnych podane zostały w zeszycie II),

t innych zaś zeszytach wyłożyliśmy teorye, przeznaczone dla wszystkich

zawodów (np. w zeszycie I metodę najmniejszych kwadratów). Zeszyt

ostatni będzie zawierał dokładny spis rzeczy, oraz bogaty zbiór zadań

A

z teoryi i praktyki, pośród których znajdą się niektóre rzeczy, których miejsce właściwe byłoby w poprzednich zeszytach.

Za pomoc, okazaną przy korekcie i redakcyi, wyrażamy podziękowanie pp. drowi M. Ernstowi i W. Wojtanowi. Pozostałe jeszcze błędy drukarskie będą sprostowane w końcowym zeszycie.

A u Dorowie.

SPIS RZECZY.

A. Teorya błędów.

Strona

§.    1. Rodzaje błędów...........

§.    2. Średnia arytmetyczna dwóch spostrzeżeń ......

§.    8. Średnia arytmetyczna..........

§.    4. Różnica między błędem prawdziwym a błędem pozornym .

§.    5. Średnia arytmetyczna ze stanowiska matematycznego

§.    6. Zasady prawdopodobieństwa matematycznego .....

§.    7. Teorya błędów na podstawie rachunku prawdopodobieństwa .

§.    8. Błędy charakterystyczne..........

§.    9. Krzywa prawdopodobieństwa........ .

§. 10. Próba szeregów błędów..........

§. 11. Błąd średni funkcyi spostrzeżeń bezpośrednich.....

§. 12. Spostrzeżenia bezpośrednie o różnej dokładności .....

§. 13. Pomiary podwójne...........

§. 14. Równania normalne funkcyi liniowych.......

§. IB. Rozwiązanie równań normalnych........

§. 16. Kontrola rachunków zapomocą A².......

§. 17. Waga niewiadomych...... ....

§. 18. Obliczenie średnich błędów niewiadomych......

§. 19. Wyrównanie spostrzeżeń, zależnych od siebie .....

§. 20. Określenie błędu średniego w wypadku spostrzeżeń od siebie zależnych §. 21. Przekształcenie funkcyi ogólnych w funkcy« liniowe.....

10

13

16

19

20

26

37

38

41

43

44

46

48

50

51

B. Równania warunkowe.

§. 22. Równania warunkowe w konhguracyach, w których tylko jedna długość pomierzoną została .............

§. 23. Liczba równań warunkowych w sieci tryangulacyjnej.....

§. 24. Figury normalne dla równań boków.........

§. 25. Równania warunkowe przy pomiarach kontrolnych i przy wciąganiu w wyrównaną siatkę ..............

§. 26. Równania przy niwelacyi i przy mierzeniu wysokości.....

55

57

57

60

62

A. Teorya błędów.

§. I. Rodzaje błędów.

Spostrzeżenia, chociażby z największą starannością wykonywane, nie prowadzą nigdy do określenia prawdziwej wartości ilości szukanej, ale dają wyniki, różniące się mniej lub więcej od wartości prawdziwej. Różnica mię-dzy prawdziwą wartością a wynikiem spostrzeżeń pochodzi głównie z trzech następujących źródeł:

który służy do wykonywania spo-rzne, w których dane spostrze-

Pierwszem jest przyrząd sam strzeżeń. Drugiem są warunki zewnęt żenią były wykonane. Trzeciem wreszcie jest osoba obserwatora.

Różnice pomiędzy wartością prawdziwą a spostrzeganą zwiemy praw-dziwymi błędami spostrzeżeń.

Jak widzimy z powyższego, możemy błędy ze względu na ich źródła

podzielió na :

a)    błędy instrumentalne;

b)    błędy okolicznościowe i

c)    błędy personalne.

Błędy instrumentalne są te, które zależne są od przyrządu. Tak n. p. przy instrumencie niwelacyjnym okoliczność, że oś libeli nie jest równoległą do osi celowej lunety, powoduje błędy przy niwelowaniu. Podobnie błąd kolimacyi jest błędem instrumentalnym. W ogóle zaliczamy tu wszystkie błędy, które w zasadzie usunięte byó mogą przez rektyfikacyę przyrządu.

Błędy okolicznościowe zależą od warunków, w jakich spostrzeżenia są robione. Do takich należy n. p. wpływ powietrza przy celowaniu lunetą, wpływ temperatury i wilgotności na długość łat mierniczych i t. p.

na :

Błędy osobiste czyli personalne są to błędy, zależne od obserwatora. W astronomii np. skonstatowano, że każdy obserwator inaczej pojmuje chwilę przejścia gwiazdy przez nitkę przyrządu w południku, tak że różnica między rzeczywistą chwilą przejścia a mniemaną jest dla każdego obserwatora w przybliżeniu pewną ilością stałą. Tego rodząju błędy występują przy wszelkich sposobnościach; nie dadzą się one określić teoretycznie, ale praktycznie w przybliżeniu wpływ ich prawie zawsze można oznaczyć. Z innego stanowiska błędy spostrzeżeń dadzą się podzielić a) błędy regularne i ß) błędy nieregularne.

Laska - Widt. Miernictwo. II.

Błędy regularne, czyli systematyczne lub mniej dobrze stałe, są te, które występują w spostrzeżeniach lub wpływają na ich wyniki w sposób prawidłowy, tak, że wpływ ich da się z góry obliczyć. Zazwyczaj źródła tych błędów są znane jakoteż i prawa, według których one na wynik wpływają. Do takich błędów należą n. p. błędy instrumentalne.

Błędy nieregularne, zwane też przypadkowymi, są te, które wynikają ze współdziałania wielkiej liczby okoliczności, nie dających się z góry obliczyć.

Wreszcie możemy ze względu na wielkość podzielić błędy na:

1.    błędy grube,

2.    błędy dopuszczalne.

Błędy grube są te, które swą wielkością wyróżniają się pośród innych. N. p. gdy mierzymy dwa razy długość L taśmą 20 metrową, przytrafić się nam może, że otrzymamy następujące wyniki:

Lx = 169*75 m, L₂ = 189*79 m.

Widocznem jest, że w któremś z tych dwóch spostrzeżeń, tkwi błąd gruby o wielkości 20 metrów.

R — ± 0.005 y l metrów.

Błędy dopuszczalne lub możliwe są te, których wielkość leży w granicach dokładności stosowanych metod i przyrządów. Tak n. p. za pomocą bardzo wielkiej liczby pomiarów długości taśmą 20-metrową znaleziono, iż dla długości l różnica między dwoma pomiarami nie powinna przekraczać granicy

Błądy przypadkowe.

Jeżeli wyniki obserwacyi uwolnimy od błędów grubych i regularnych i otrzymamy rezultaty nie przekraczające granic dopuszczalnych, to wynik obserwacyi będzie się składał z wartości prawdziwej szukanej, oraz z pewnego kompleksu błędów, które razem tworzą tak zwany błąd prawdziwy. Jeżeli dalej taki pomiar zrobimy więcej razy, to za każdym razem otrzymamy pewien błąd. Wszystkie te błędy tworzą tak zwaną grupę błędów.

Badając takie grupy, przekonano się, że właściwości ich odpowiadają prawie zawsze wymaganiom teoryi matematycznego prawdopodobieństwa.

Błędy tego rodzaju nazywają się błędami przypadkowymi. Oznaczmjr błąd przypadkowy przez vk. i grupę błędów przez

2vk = [t>*]

to tylko takie grupy błędów mogą być przedmiotem naszych uwag, dla których

1)

lim [vĄ = 0,

X = xk + vk

przyjmujemy więc, że każda grupa błędów przypadkowych zbliża się w sumie tern bardziej do zera, im więcej obejmuje jednostek. Niechaj będzie xk wynikiem spostrzeżenia prawdziwej ilości x, to jest

nx = [xk\ + [«*] [«*] = nx — [xk]

zatem dla n spostrzeżeń

lub

Stosując do tego powyższą zasadę, mamy

lim { nx — [xk]} =0

Im większa jest więc liczba spostrzeżeń, odpowiadających warunkowi

3)

lim [vĄ = 0

tern bardziej zbliża się ich średnia arytmetyczna

xQ =

do wartości szukanej.

*§. 2. Średnia arytmetyczna dwóch spostrzeżeń.

Zastanówmy się teraz nad przypadkiem, gdy zostały zrobione dwa spostrzeżenia. Jak to wyżej zostało wyłożone, błędy przypadkowe nie mogą przekraczać pewnej granicy, właściwej każdemu sposobowi spostrzegania. Niechaj będzie R tą granicą dopuszczalnych błędów, to

vk < R

albo co to samo

Ponieważ

więc będzie

X = xk + vk

xk — B < x < xk + B

5)

Przy dwóch pomiarach x{ i x₂ jakiejś nieznanej wartości x, szukana wartość musi się więc znajdować w granicach

x₁ ■— R i xi 4- R x₂ — R i x₂ + R. Graficznie można to przedstawić w następujący sposób. Niech będzie x wartością liniową n. p. długością, to długości xx i x₂ narysowane na jednej i tej samej prostej z jednego i tego samego punktu początkowego O, określają miejsca dwóch punktów xi i x₂ (patrz rys. 1). Zakreślmy promieniem R około xi i x₂ koła, to punkt, odpowiadający wartości szukanej, musi się na podstawie pierwszego spostrzeżenia znajdować między Al i Z?₁₅ a na podstawie drugiego między A₂ i Z?₂ ; na podstawie zaś obu spostrzeżeń razem, we wspólnej ich części A₂ i Bi.

Punkt środkowy tej części, to jest punkt

a/

Fig.d

*ÜB,

—o—

^0 = l l0A2 + 0B\]

będzie najmniej oddalony od punktu, który odpowiada wartości szukanej x₁ o ile naturalnie nieznając położenia punktu x wnioskować można.

Grdybyśmy bowiem przyjęli zamiast punktu środkowego x₀ za bardziej odpowiedni jakiś inny punkt#', który, dajmy na to, leży bliżej B1} niż punkt #₀, mogłoby się zdarzyć, że szukany punkt #, znajdowałby się właśnie bliżej punktu A₂.

Z tego widzimy, że w wypadku, gdy mamy dwa spostrze-ich średnia arytmetyczna jest najodpowiedniejszą wartością do zastąpienia niewiadomej. Jest bowiem (patrz rys. 1)

żenią

2 [OA₂ + OBx\ — \ [(a^ -t- jB) +    — -B)] = 1 (#i + #2)

Dalej mamy

2 A₂Bi — 2 R — (#₂—#1 ). t. j. A₂Bx zmniejsza się, gdy 2 R zbliża się do

#2

i zwiększa się w miarę zbliżenia się

#₂—

do zera. A ponieważ A₂Bi przedstawia obszar, w którym punt x leżeć musi, to wynika stąd w przypadku dwóch spostrzeżeń :

Im spostrzeżenia są zgodniejsze, tern mniej dokładnie wyraża się wielkość mierzona przez średnią arytmetyczną, a im spostrzeżenia są w granicach dopuszczalnych mniej zgodne, tern dokładniej określa ich średnia arytmetyczna wartość szukaną.

Stąd wypływa wniosek, że: zgodność spostrzeżeń nie zawsze jest oznaką ich dokładności. Nie wolno więc wyłączać pewnych spostrzeżeń tylko dlatego, że odchylają się znacznie od innych, jeżeli tylko odchylenie nie przekracza granic dopuszczalnych.

§. 3. Średnia arytmetyczna.

Twierdzenie. Jeżeli mamy n dowolnych ilości

h > h >

których średnia arytmetyczna jest

In,

[In]

i jeżeli położymy

to zawsze jest

dfl = l'Q lift

Ü = A{² + A₂² +

A² = [An²] = Minimum .    ...    6)

bo ostatnie równanie możemy pisać w postaci

Q = [((₀ — l„)²] = Minimum

a do tego trzeba, ażeby

dQ

dZa

= 2[(₀-i„] = O

r>

z tego zaś równania wypada

[in]

Średnia

n

arytmetyczna wyrównuje więc dany szereg dowolnych ilości w ten sposób, że suma kwadratów wartości

Jk — l₀ 4

jest minimum. Gdybyśmy średnią arytmetyczną zastąpili inną wartością 1‘, tak iż

A'k = V — lk

to będzie zawsze

•    7)

Niechaj będą teraz lk spostrzeżeniami pewnej nieznanej ilości /, to w razie, gdy te spostrzeżenia robione bjJy z największą starannością, należy przypuścić, że błędy prawdziwe

l — Jk = vk

będą miały charakter błędów przypadkowych, więc iż

lim ['vk] = 0

Wtedy średnia arytmetyczna mało tylko od prawdziwej wartości różnić się może, mamy bowiem

[4]

Jeżeli liczba spostrzeżeń rośnie, to w ułamku licznik maleje a mianownik rośnie, ułamek ten zbliża się więc prędko do zera. W tym wypadku mamy więc bardzo blisko

Ak = vk.

tak że można położyć i ponieważ

lim M - [V]

• 8)

[V]

przedstawia nam absolutne minimum sumy kwadratów, to wnioskujemy, że z powiększającą się liczbą spostrzeżeń suma kwadratów prawdziwych błędów wypełnia warunek

lim [v*²] = Minimum........

Równanie to, jak z powyższego widać, jest tylko następstwem równania

9)

lim [vk] = 0.

stąpić drugie.

Te dwa równania są więc równorzędne i jedno może całkowicie za

§. 4. Różnica między błędem prawdziwym a błędem pozornym.

Dla błędów pozornych mamy równanie

4 ⁼ 4 + Ak

gdzie l₀ jest średnią arytmetyczną spostrzeżeń nieznanej wartości l. Połóżmy dalej

l = Iq Ą- ô

1 = 4 + Alk 4- à = 4 + Vk

to mamy

więc

10)

Vk — Ak ó.

Z tego równania wynika, że prawdziwe błędy różnią się od pozornych tylko o stałą różnicę

0 = 1 — 1,

między wartością prawdziwą a średnią arytmetyczną.

Mamy więc

vi — Aj -j- ô y v% ⁼⁼ A% -j- d j v3 — A3 -|- ô f ....

Z równania 11) wynika dalej, iż

Vk — Vx = Ak — Ax .    .    .    .

to znaczy, że różnica dwóch błędów prawdziwych równa się różnicy dwóch odpowiednich błędów pozornych.

Dla n spostrzeżeń otrzymamy dalej z równania 10)

M - [(An + d)²] = [4²] + 2 d [A,,] + wd²

. . 11)

12)

Ponieważ zaś

to mamy

[An] = 0

M__ [An²]

13)

Wartość

14)

nazywa się prawdziwym średnim błędem, jest pierw, kwadr, ona średnią arytmetyczną kwadratów prawdziwych błędów spostrzeżeń, wykonanych z jednakową dokładnością. Połóżmy dalej

to równanie 13 można pisać Widać stąd, iż zawsze

-V“

£² = pi² -f- d²,

£² > [1²

15)

16)

.    .    17)

Suma kwadratów odchyleń spostrzeganych wartości od prawdziwej wartości jest więc zawsze większą od sumy kwadratów odchyleń tych wartości od średniej arytmetycznej. Różnicy

0 = 1 — 1,

określić nie możemy, bo nie znamy wartości szukanej. Ażeby znaleść wartość przybliżoną postępujemy tak: z równania

0 = 1-

[In] _ [l—ln]

otrzymujemy sumując

nó = [vn]

18)

więc

n² ô* = [vn²]    2 \vk va]

Wprowadzając nową hypotezę

lim [vk va] — 0

Vk ~Z.Va

.    .    19)

26)

* §. 5. Średnia arytmetyczna ze stanowiska matematycznego.

Niechaj będzie l prawdziwą wartością danego szeregu spostrzeżeń

h j \ ’

to zawsze istnieje pewna wartość x która zadość czyni równaniu

h’ + h’ +

.    .    27)

hZ.X

[<• i

. . 22)

. .    24)

ó = l-lQ ....    23)

n(n—1)

.2 5)

8² —

E²

fi² + -n

lub

E²

n—1

Równania 20) i 21) są tylko przybliżone, bo otrzymane

lim [v* V*] = 0

Ażeby to uwidocznić, połóżmy w równaniach

e = m.

Otrzymujemy więc następującą tabliczkę:

. . 21)

hZ.L

za

pomocą hypotezy

. 20)

mamy w przybliżeniu, zależnem od tej hypotezy

n² ó² = [vn²] = n s²

Zatem

Podstawiając to w równaniu 16), otrzymuje się

Wzór prawdziwy

Wzór przybliżony

Z powyższych uwag wynika, że różnice

e — m

będą tern mniejsze, im bardziej suma

[vk vx\

zbliża się do zera.

Z równań dla m i M wynika dalej

lnX

Gdyby I było znanem, to moźnaby za pomocą odpowiednich metod znaleśó niewiadomą x, bo byłoby to ściśle określone zadanie matematyczne. W danym jednak wypadku mamy dwie niewiadome æ i Z a tylko jedno równanie. Wyznaczenie x i l równocześnie, jest niemożebnem. Szukamy więc takiej wartości Z₀, która by najbardziej do wartości l była zbliżona. W tym celu podzielmy równanie przez l,x. Mamy więc

Połóżmy dalej

({Htr

- = 1 -Ek

to zawsze można przyjąć, iż £ jest małą wartością, tern mniejszą, im więcej 4 zbliża się do l.

(1 — e„Y

Równanie ostatnie można wtedy pisać n (1 — e)x = (1 — fj)* + (1 — £₂)r +

czyli rozwijając w szereg Newtona x{x — 1)

n ^1 —xe -f

1-2

£² —

x(x — 1)

lub

ü=i.* +

) = » — [eK]x +

_[£„] X — l [f²n]

[£\]

VI

+....... 28)

Dalsze wyrazy, ponieważ ich wartości są bardzo małe, opuszczamy. Teraz starajmy się określić 4 tak, ażeby £ było minimum. To nastąpi

wtedy, gdy

[fi\] = Min.

bo wówczas równocześnie jest

i ye I>²»1 — M = ⁰

Mieliśmy

sumując otrzymamy a ponieważ to mamy

[4] ■ »4 — 4 [®»]

[En] = 0

[4]    4 + 4 + • •

7 _

"0 —

n

Gdy więc zapatrywać się będziemy na nasze zadanie tylko ze stanowiska matematycznego, to średnia arytmetyczna jest ową wartością, która do niewiadomej najbardziej się zbliża.

Pomnóżmy równanie 28) gdzie

przez 4 to otrzymamy

(*-l

-**)*] +

widzimy stąd, że

1,-1

będzie tern mniejsze, im większe jest w i im mniejszą jest suma kwadratów

wartości l₀ — lK.

Średnia arytmetyczna przedstawia więc wartość, tern bardziej przy

bliżoną do niewiadomej, im większa jest liczba spostrzeżeń, a im mniejsza jest suma

[(4 - i₀n

§. 6. Zasady prawdopodobieństwa matematycznego.

1. Prawdopodobieństwem matematycznem P jakiegokolwiek zdarzenia nazywamy stosunek liczby m przypadków, danemu zdarzeniu sprzyjających, do ogólnej liczby wszystkich przypadków możliwych m + n.

Mamy zatem

29)

m + n

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia jednej kuli białej z naczynia zawierającego 3 białe a 5 czarnych, jest n. p.

co

5 + 3    8

Prawdopodobieństwo matematyczne jest więc zawsze ułamkiem dodatnim, przybiera wartość 0 jeżeli w ogólnej liczbie przypadków niema żadnego sprzyjającego, zaś wartość 1, gdy wszystkie przypadki zdarzeniu sprzyjają. Znak 0 przedstawia więc niemożliwość, znak zaś 1 pewność zdarzenia się pewnego wypadku.

2. Jeżeli mamy kilka zdarzeń prostych i od siebie niezależnych

a b c ......

których prawdopodobieństwa są

« ß y ......

to prawdopodobieństwo P' spełnienia się tych zdarzeń razem równa się iloczynowi prawdopodobieństw zdarzeń prostych, więc

.    .    30)

JP‘ — a ß y......

aP

Wniosek. Prawdopodobieństwo, że zdarzenie a powtórzy się p razy po sobie wynosi

jeżeli przez a oznaczy się prawdopodobieństwo prostego zdarzenia a.

3. Jeżeli w ogólnej liczbie n przypadków jest a prawdopodobieństw

zdarzenia się wypadku i t. d. natenczas prawdopodobieństwo P", że którekolwiek ze zdarzeń a lub nastąpi, będzie

b lub c

em

ß prawdopodobieństwem zdarzenia się wypadku b

P>" = a + /? + y +......

.    .    31)

inna

W przeważnej liczbie zjawisk zachodzących w przyrodzie, nie jesteśmy w stanie z góry (a priori) oznaczyć liczby przypadków, sprzyjających danemu zdarzeniu. Mając obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, nie pozostaje droga, jak oznaczenie prawdopodobieństwa tego zdarzenia na podstawie dokonanych już doświadczeń (a posteriori). Tak n. p. prawdopodobieństwa pojawienia się pewnego błędu w danej grupie nie można a priori określić,

Làska-Widt. Miernictwo. II.

ale jeżeli skonstruujemy tak zwaną krzywą prawdopodobieństwa (patrz §. 9) która, jak doświadczenie pokazuje, dla wszystkich zbadanych grup ma w przybliżeniu jednakowy kształt, to przyjmując, że i w każdym nowym wypadku to nastąpi, będziemy mogli określić prawdopodobieństwo pojawienia się tego błędu przynajmniej w przybliżeniu także a priori.

§. 7. Teorya błędów na podstawie rachunku prawdopodobieństwa.

Chcąc stosować twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa do teoryi błędów, należy przyjąć następujące hypotezy :

1.    błędy dodatnie i ujemne są równie prawdopodobne;

2.    błędy większe są przy jednym i tym samym sposobie spostrzegania mniej prawdopodobne od mniejszych;

3.    błędy rzeczywiste są najprawdopodobniejsze;

4.    Prawdopodobieństwo pojawienia się jakiegoś błędu danej grupy da się przez jedną i tę samą funkcyę przedstawić.

Hypoteza 4. opiewa, iż dla każdej grupy błędów jednego i tego samego sposobu spostrzegania istnieje pewna funkcya

/»,

która określa prawdopodobieństwo popełnienia błędu v. W danej grupie zależy więc prawdopodobieństwo popełnienia pewnego błędu tylko od jego wielkości.

Na podstawie 1) hypotezy wnioskujemy, iż

f( + v) = f(—v).

f (v) będzie zatem funkcyą parzystą. Wskutek drugiej hypotezy jest

/>')>/»

w razie gdy

v‘ < v,

t. j. wartość funkcyi f(v) maleje, jeżeli wartość błędu rośnie. Mamy zatem

lim /'(oo) = 0.

Z trzeciej hypotezy w połączeniu z drugiem twierdzeniem rachunku prawdopodobieństwa wypływa równanie

n=f(vx)f{v₂)

f(vn) = Maximum. .

.    .    32)

Ażeby módz kształt funkcyi f określić, należy sobie przypomnieć, iż wskutek równania 1) mamy

lim \yk\ = 0,

które to równanie zastąpić możemy (patrz r. 9) przez

Q ~~    ^ + v₂ ^ +

.    .    33)

un² = Minimum.

Jak z matematyki wiadomo, równania 32) i 33) będą miały miejsce,

jeżeli

vx dvi + v₂ dv₂ +

vn dvn = 0

PM

/(« i)

dvx +

f\V₂)

/'CM

dvn = 0.

Mnożąc pierwsze równanie przez na razie nieokreślony spółczynnik X i odejmując od drugiego, otrzymujemy:

0.

Jeżeli

Vu    ......

są wartościami od siebie niezależnemi — a to jest nowa h y-poteza — to

Całkując otrzymamy

fM

-Xvk = 0.

lo gfM =

albo

fM

A Vk 2 + log G

Ł

= Ge j

gdzie C jest stała całkowania.

Funkcya f(v) maleje, jeżeli v rośnie, X jest więc zawsze ujemne. Ażeby to oznaczyć, połóżmy

= — h²

Mamy zatem

f(v)=Ce-h2vi

34)

Do oznaczenia stałej C posłuży nam trzecie twierdzenie z rachunku prawdopodobieństwa.

Funkcya f (vk) oznacza, ile razy pewien błąd vk w danej grupie błędów się znajduje. Prawdopodobieństwo matematyczne zdarzenia się tego błędu jest więc

<p M =

fM

jeżeli n jest liczbą błędów w ogóle.

Ponieważ przy każdem spostrzeżeniu popełnia się jakiś błąd, to na podstawie twierdzenia trzeciego z rachunku prawdopodobieństwa, mamy

lub uwzględniając równanie 34)

|

G'S-e

n

— A¹®¹ __ \

Im większa liczba spostrzeżeń, tern bardziej zbliża się suma 2 do granicznej wartości, t. j. do całki. Mamy więc

+ CD

-v«' = C^e-hIv2dv= 1.

— co

Połóżmy tu

lnv — t

to

+ co

+ co

-*¹’² dv = — C e

h )

-<² dt.

— 00

Z matematyki wiadomo, że

+ CO

~t2 dt == y

przeto mamy

— 00

]j 71 = 1

więc

.    85)

Mamy zatem

cp (v) =    —

~re

V TT

— h²v²

36)

Przyjmując więc:

1.    że suma kwadratów błędów jest minimum;

2.    że matematyczne prawdopodobieństwo pojawienia się rzeczywistych błędów jest maximum;

3.    że liczba błędów jest nieskończenie wielką;

4.    że pojawianie się pojedyńczych błędów jest od siebie

niezależne;

to matematyczne prawdopodobieństwo pojawienia się błędu vk przedstawia się w formie

<pW =

¹ ,, , h — fM = —^e

n    n\7i

— h²vk²

gdzie n oznacza ogólną ilość błędów.

Ażeby znaleśó znaczenie wartości h, rozumujemy jak następuje : Ponieważ błąd vk występuje f(vk) razy, to suma wszystkich kwadratów błędów będzie

zatem

lub

o²] = 2**²/>*)

\V²]    1 2 f r \

— = vk²f(vk)

fl JmU 71

_ ^ ^

V 71 ^

vk²e

— h²vk ²

Jeżeli, jak wyżej przejdziemy od sumy do całki, przyjmując nieskończoną liczbę spostrzeżeń, to mamy

+ CD

lim

— h²v²_____

^ g — h²v² ęlv

Podstawiając tu i uwzględniając, że

hv = t

— CD

+ CO

^ t² e~t2dt = £ V 7i

otrzymamy

— co

[v²]_ 1

37)

i podstawiając

|>²] 1

ostatecznie

0-70711...

.    38)

Im dokładniejsze są spostrzeżenia, tern mniejsze są błędy v i tern bardziej zbliża się więc e do zera, a rośnie h. Z tego powodu nazwano h miarą dokładności danej grupy spostrzeżeń, bo im większe h, tern dokładniejsze są spostrzeżenia.

* §. Błędy charakterystyczne.

[Pn Aln]— 0

Fl 1

um

q sin æ0 cos æ0 ’

* §. Błędy charakterystyczne.

Błędy charakterystyczne są to te błędy prawdziwe, które mają pewne właściwości osobliwe.

1. Błąd oczekiwany jest ten, dla którego matematyczne prawdopodobieństwo równa się

Błąd ten przedstawia nam pewną graniczną wartość tego rodzaju, że prawdopodobieństwo pojawienia się błędu bezwzględnie, mniejszego niż oczekiwany, równa się prawdopodobieństwu pojawienia się błędu większego.

Jeżeli oznaczymy przez q wartość tego błędu, to mamy

e ~ A2®ł dv = \

hv = t

llQ

Podstawiając tu

otrzymamy

y Tr

e~e dt=l

39)

lub

dt =    = 0-443113

Z tablic dla całki

otrzymujemy dla

zatem

lub

mamy

a

5.

e~r‘ dt = b

b = 0-443113 .. a = 0-476936 . .

hę = 0*476936 ..

0-476936

Q~ h

Podstawiając tu z równań 37) i 38)

E ==

ÄY 2

Ç = 0-674489

VM

| n

40)

41)

2. Błąd przeciętny określony jest równaniem

[ Vn

# ₌ 2 1^1 __ \Vj \ + \Vj\ +

jest to średnia arytmetyczna absolutnych wartości poszczególnych błędów.

Ażeby błąd ten przedstawić ze stanowiska rachunku prawdopodobieństwa należy sobie przypomnieć, iż błąd v₁ występuje f(vx) razy, błąd v2 zaś f(v₂) razy i t. d. Mamy więc

gdzie n oznacza ogólną ilość błędów. Mamy zatem dla

lim n = go

tak jak poprzednio

lim 2 — vk f(?k) = ^

v f(v) dv

— co

tudzież za wprowadzeniem zmiennej

t — hv

+ CO

t e~*² dt =

i z tego

— co

co

Vr\a

IM]

43)

Mieliśmy poprzednio

h V2

Rugując z tych równań A otrzymuje się

£²

44)

m a-

Jeżeli więc błędy prawdziwe stosują się do praw tematycznego prawdopodobieństwa, to kwadrat średniego błędu podzielony przez kwadra t błędu p r z e c i ę t n e g o równasię

Jeżeli zależność taka — ważna ściśle biorąc dla nieskończonej liczby spostrzeżeń — nie zachodzi, to dany szereg błędów nie odpowiada prawom matematycznego prawdopodobieństwa.

Kryterium to pozwala nam, przynajmniej częściowo, zbadać możliwość stosowania naszych wyników do danego szeregu obserwacyi.

Przykład. Wypróbujmy teoryę powyższą na przykładzie, w którym ilość poszukiwana x daną jest a priori.

Linia długości 150 mm została narysowaną na 10 kartkach i za każdym razem podzieloną na oko na dwie równe części. Pierwsza część z lewa na prawo uważaną była jako wielkość spostrzegana xk) gdy x = 75 mm jest

prawdziwą wartością. Wymierzenie owych Xk z dokładnością do 1 mm dało nam wartości spostrzegane. Z danych owego doświadczenia wynika następująca tabelka:

Ax

A/;²

vl

OOCO-aOiW^OJtOH

(O t—i t—I CO lO 04 CO 04 NGONNNNNGONCO

—2-7 —3-7 + 5-3 453 + 3-3 + 1-3 —0-7 —5-7 4 3-3 —5-7

7-3

13-7

28-1

28-1

10-9

1-7

0-5

32 5

10-9

32-5

—4.0

—5-0

4-4-0

4-4-0

4-2-0

0-0

—20

—7-0

42-0

—7-0

16

25

16

16

49

49

[x] [Ax] [Ac²]    [v]    b²]

763    0    166    —13    183

Mamy tu

x₀ =

763

10

- 76-3

więc

ô = x — x₀ = — 1*3

Dalej powinno być

W istocie mamy

[v²] = [Ax²] + wd².

183 = 166 4- 10 X 1-3² - 166 + 17.

Otrzymujemy następnie

= 4-3

183

10

10

- 3-7

i stąd

CO i*

4-3²

²- 3.72

= 2*7

zamiast

77; — 3⁻14. . .

Wreszcie jest

-m-n

— 4-3

więc taka sama wartość jak dla £, zgodnie z teoiyą.

- 16 —

Znajdujemy dalej, iż

i wzór przybliżony dla ô

ilf =

[4²]

184

Jest także ogólnie bo mamy rzeczywiście

w (w — 1)

90

= 1-4

vk — Ą = d

—    4-0 + 2-7 = —1-3

—    5-0 -f 3-7 = —1-3

— 7*0 + 5-7 = —1-3.

Prawdopodobne granice nieznanej są lub

77-7 i 74-9

między któremi liczba 754) się rzeczywiście znajduje.

§. 9. Krzywa prawdopodobieństwa.

Niech będzie dany szereg (bardzo wielkiej liczby) spostrzeżeń

xn

xi, x₂

które uważamy za uporządkowane tak, że xi przedstawia najmniejszą, a x„ największą wartość w szeregu.

/f

'''Çk

CD

łl

1*

dd

OQ

co

Podzielmy odstęp od aą do xn na m równych części i przeliczmy, ile wartości x w każdej części jest zawartych.

Niechaj będzie w granicach

a xi +

x\ ?

xn    xj

spostrzeżeń, to rysuje się krzywa prawdopodobieństwa w następujący sposób:

tak iż

Na pewnej prostej rysuje się w dowolnej podziałce

OA = xi, OB = xn

AB = xn — xi.

Odstęp AB dzielimy na m równych części i na rzędnych, poprowadzonych w środku każdej części, odcinamy kolejno wielkości

?1> #2

Krzywa interpolacyjna tych rzędnych nazywa się krzywą prawdopodobieństwa danej grupy spostrzeżeń (patrz rys. 2).

Twierdzenie. Krzywa prawdopodobieństwa spostrzeżeń jest równocześnie i krzywą prawdopodobieństwa błędów spostrzeżeń.

Ażeby to pokazać, należy sobie przypomnieć, że kształt krzywej się

nie zmienia, jeżeli początek układu spółrzędnych obierzemy dowolnie na linii AB.

Obierzmy więc za początek układu punkt C tak, aby długość OC równała się szukanej wartości x. Jeżeli długość OD odpowiada spostrzeżeniu xk, to długość odcinka

CD = OD — OC = xk — x

Q_n

Ss

bez względu na znak, będzie nam przedstawiała błąd vk, który naturalnie tyle razy się pojawia, ile spostrzeżeń xk mamy. Przykład. Z 470 spostrzeżeń pewnej wielkości przez policzenie

ich znak, znaleziono:

CLD

liczby błędów, bez względu na

granicach

liczbę błędów

od

do

0-0

0-1

0*1

0-2

0-2

0-3

0-3

0-4

0-4

0-5

0-5

0-6

0-6

0-7

0-7

0-8

0-8

0-9

0-9

1-0

1-0

t-^COOi^OOCONiO^'

^ CO (M (N H H    I

Narysujmy teraz połowę krzywej błędów, to krzywa interpolacyjna (patrz rys. 4) będzie miała równanie

y = 49-86«-W*

Lâska-Widt. Miernictwo. II.

18 —

Kształt ten odpowiada bardzo dobrze teoryi, bo na podstawie poprzednich uwag wiadomo, że

~F=e

y n

— h²X²

dx =

Liczbie błędów w granicach x a x + dx

Liczbę błędów w ogóle

.    .    45)

Lh

39

29

26

00

04

0-2

20

0-4

S-0

90

0-7

80

60

1-0

cno

i oznaczając przez

x -f dx

liczbę błędów w granicach x a x + dx, otrzymamy z równania 45)

470 x ~^e~ha* dx = [v]*

\7l

x-\-dx

Połóżmy tn n. p.

to będzie

x — 0, x + dx = 0 + 0,1 = 0-1

e~htx’ = 1

1-76..

Mo'¹ - 470 x

W podobny sposób postępując, otrzymuje się liczbę teoretyczną błędów. Następująca tabliczka podaje liczby, wynikające z rachunku (s'), zestawione z rzeczywistemi liczbami (s) :

s (spostrzeżenie) : 95

1-7724. .

X 1 X 0-1 = 47

s' (teorya): 94

89

88

78

86

64

58

50

51

36

36

24

26

15

14

10

Widzimy więc, że teoretyczne liczby zgadzają się dość dobrze z rzeczywistemi, czyli że krzywa prawdopodobieństwa w tym wypadku ma kształt, odpowiadający matematycznej teoryi rachunku prawdopodobieństwa.

- 19 -

Grupa błędów powyższych przedstawia więc grupę błędów przypadkowych. Ten sposób zbadania grup spostrzeżeń jest atoli niewygodnym, bo obliczenie stałych krzywej interpolacyjnej wymaga dużo czasu. Daleko łatwiej można ten cel osiągnąć za pomocą uwag następującego paragrafu.

*§. 10. Próba szeregów błędów.

Całka

<P («) =

2 hCx

y

*'0

]jn

-h* X*dx

wyraża prawdopodobieństwo, że jakiś błąd nie przekracza bezwzględnie (t. j. bez względu na znak) wartości x.

Połóżmy hx = t, to całka powyższa przechodzi w następującą prostszą

0(t) = -pC'«-<*<«

W.

Tablica wartości tej całki znajduje się przy końcu książki. Ażeby zrozumieć znaczenie zawartych tam liczb, przypuśćmy, że mamy szereg spostrzeżeń, dla których h = 1, a więc x = t tak, że będzie

<p(a)= & (0,

wtedy całka

2 r⁰'¹

e~*² dt = 0*112

wyraża prawdopodobieństwo, że błąd spostrzeżenia, uważany bezwzględnie, jest mniejszy niż Ol.

Jeżeli więc n oznacza liczbę spostrzeżeń w ogóle, zaś s liczbę błędów, zawartych w granicach od + Ol do—OT, to

= 0-112

if.

a więc

s = 0T12 n.

Zatem gdy n. p. n = 1000, to s — 112.

Znaczy to, że gdy 1000 błędów o dokładności h = 1 podlega ściśle prawu prawdopodobieństwa, to pośród 1000 błędów będzie 112 takich, których wartość bezwzględna jest mniejszą niż OT.

Jeżeli miara dokładności nie jest 1, lecz równa się h₁ to należy całkę powyższą wziąć z argumentem

01 h

0'2 h

0-3 h

zamiast

OT

0-2

0-3

Przykład. "W szeregu 40 określeń położenia kreski na podziałce, zrobionych z jednakową dokładnością, znaleziono następujące odchylenia od średniej arytmetycznej 3‘93.

a więc

tH

= 0-77

_    _ 0.707

~ wV2 ~ 0-91

Ażeby się dowiedzieć, jakiej liczby błędów, mniejszych bezwzględnie niż 0-5, należy się spodziewać według teoryi prawdopodobieństwa, trzeba obliczyć wartość całki 0 (ź) dla

t - 05 X h = 05 x 077 t. j. dla t = 0-39. Znajdujemy z tablicy

0 (039) = 0-42.

Mamy zatem

ya -y

32.4364

40-1

= ±091

stąd wynika błąd średni

+ 0-25 + 0-82

—    083 + 1-18

+ 1-12

—    0-72 + 066

—    1-55 -f 017

—    066 -f 1*29 + 095 — 0-28 — 1-80

—    0-52

—    0-02 -f 1-27

+ 065 + 015 4- 071

—    0-05

—    0-02 — 1-28

—    0-50 + 1-65

—    0-17

—    025

Suma kwadratów tych wartości jest

[4²] = 32-4364

s == 0.42 x 40 = 18.

Analogicznie jako liczba błędów, mniejszych niż 1-0, otrzymuje się

5 = 0.72 x 40 = 29

Obliczając liczby, błędów w tych granicach rzeczywiście popełnionych, otrzymujemy liczby do teoretycznych bardzo zbliżone, mianowicie:

spostrzeżenie

Suma błędów Od 0-0 do 0⁻5

» o-o „ 1-0

Widzimy więc dostateczną zgodność teoryi z obserwacyą i wnioskujemy, że w tym wypadku metoda najmniejszych kwadratów może być stosowaną.

teorya

15

17

29

29

§. II. Błąd średni funkcyi spostrzeżeń bezpośrednich.

Zadanie. Niech będzie ilość jakakolwiek u dana jako funkcya innych ilości od siebie niezależnych

postaci

u = F(x, y, z,

Ze spostrzeżeń wypływa układ wartości szczególnych

«o y o *o......

tych zmiennych, z błędami średnimi

mx

i obliczono

my

mz

u₀ = F(x₀, y₀, z₀

);

znaleść błąd średni mQ ilości u₀. Połóżmy

u — uQ = Au x — x₀ = Ax

y y o — Ay

to

Au = F (x₀ -f Ax, y₀ +■ Ay, z₀ + Ag, lnb rozwijając podług wzoru Taylora i ograniczając się do pierwszych potęg błędów,

) — F(xo y₀ z₀

Au =

dF

dF

dx₀

Zatem

ày,

Ay -ł-

dF

dz₀

Az *b

{(af ) (g)4» + (g) (g) * * + (g) g) 4».

Au² =

i z tego sumując

[zk²]

bo

-(g)²^ + (g)²[^ + (aj)²^ +

[4« 4y] = [Ax Az] — [Ay Az] =......= O

Jeżeli podzielimy to równanie przez liczbę spostrzeżeń n i podstawimy

[zk²l

--- = mx,

n

2‘

— = m₀,

n

itd.

to mamy

-V(S)’

m²x -f

m²z +

.    .    46)

Z powodu licznych zastosowań zasługuje na szczególniejszą uwagę funkcya liniowa

u = a 4- bx + cy + d% +

.    .    47)

gdzie

a, b, c, d,......

są stałymi współczynnikami. Mamy w tym razie

dF

dF

dF

dx o

— a, -T— = b , ——= c dy₀    dz₀

przeto

m₀ = \a²m\ + b²myl + c²mz² +.....

.    .    48)

Połóżmy tu

a == b = 1

c — 0.

to mamy dla

m₀ —

.    49)

Łatwo się o tem przekonać wprost, bo z równania

u = x + y

wypływa równanie

zatem

VU = Vx + Vy

Ponieważ zaś

to mamy

W¹ u] = [v²x] + [v\\ + 2 [vx Vy\ [vx Vy\ = 0.

lnb

m₀² = mx² + my².

1) Przykład. Pomiar prostej taśmą albo łatami.

Przy pomiarze prostej kładziemy wzdłuż jej długości taśmę lub łatę raz za razem po sobie, n. p. n razy. Oznaczmy długość tej prostej przez L, długość zaś jednostki mierniczej, t. j. taśmy albo łaty, przez Z, to mamy:

L = l -j⁻ l l p ......

Błąd średni jest podług wzoru 46)

+ l (n razy).

Zatem

mL = ]jmi ² -j- mx ² -h

m,²

mL = mi

Jeżeli mierzymy teraz inną długość L‘ tą samą jednostką, to otrzy-

.    .    50)

m ujemy

Zatem

m'L‘ = mi \nl

.    .    51)

mL

Wli'

Średnie błędy stoją więc w prostym stosunku do pierwiastków kwadratowych pomierzonych długości.

Zgodnie z teoryą wyznaczono na drodze bardzo licznych i starannych spostrzeżeń, następujące średnie błędy długości l:

dla łaty.

„ taśmy stalowej m — 0-005 V l

0-008 VI

0-003 VT

„ łańcucha .

Na pierwszy rzut oka zdawałoby się, że tu można położyć

L = nl

z czego by wypływało :

mL — n.mi.

Lecz równanie poprzednie nie jest wiernym obrazem naszej czynności pomiarowej, gdyż my przykładamy taśmę lub łatę raz, potem posuwamy ją o całą jej długość i dodajemy niejako do poprzedniej i t. d. Operacya nasza nie jest więc mnożeniem, lecz dodawaniem.

Równanie 50) nie przedstawia jednak praktycznego średniego błędu, ponieważ przy kładzeniu taśmy lub łaty zawsze pomiędzy jednem a dru-giem położeniem pozostaje jakiś odstęp. Więc im większa jest pomierzona długość, tem większa będzie suma tych odstępów.

Do błędu nieregularnego mL przybywa więc błąd regularny, proporcyonalny do pomierzonej długości

mi = nii.n.

Mamy zatem

.    .    52)

Ml = V m² n + mi² nl . Wzór ten praktycznie można zastąpić przez

Mi = ] al + ßl²

gdzie a i ß są stałe, których średnie wartości za pomocą licznych spostrzeżeń wyznaczyć należy. Ponieważ a i ß są małe ilości, to można wzór ten z bardzo wielkiem przybliżeniem zastąpić przez następujący:

53)

Ml = a' fl + ß‘ l

Instrukcya dla zdjęć poligonalnych z roku 1887 podaje wielkość dozwolonego błędu dla pomiaru długości przy zdjęciach poligonalnych obliczoną według wzoru

Al = 0-0006 l + 0-02 V /

gdzie l jest długością pomierzonej prostej.

2) Przykład. Błąd przy pomiarze geometrycznym spadu. Ogólnie biorąc, spad między dwoma punktami równa się, jak wiadomo, sumie spadów pojedynczych. Mamy zatem wzór

H = \lp Z«)]

lp jest łatą wprzód, Zw r>

gdzie

„ wstecz.

Ażeby módz stosować wzór, potrzeba znać tylko wielkość średnich błędów dla pojedynczych lp i lw, jako zmiennych niezależnych, t. j. rozważyć należy, od czego zależy wielkość takiego błędu, popełnionego przy pojedynczych odczytach na łacie.

Błąd ten, jak z nauki o poziomowaniu wiadomo, składa się:

1.    z błędu w ustawieniu przyrządu,

2.    z błędu odczytu na łacie.

Pierwszy jest dany przez iloczyn odległości d łaty od przyrządu i pochylenia celowej a względem poziomu. Drugi zaś w pierwszem przybliżeniu zależy tylko od odległości d. Jeżeli mierzymy, jak zwykle, jednakowymi odstępami ze środka, to wpływ pochylenia równa się zeru, więc błąd w odczycie jest wtedy zależny tylko od odległości d.

mi = pd

gdzie fi jest błędem jednostkowym, i dalej

Mamy zatem

jeżeli

ms

= im₍² + mt² -f

(n razy)

n d

jest liczbą stanowisk przyrządu podczas niwelacyi. Z tego wynika, iż

ms

= mii n.

Uwzględniając zaś równanie 54), mamy

ms

lub ostatecznie

ms — (ii Ld

Niwelując tym samym przyrządem w ten sam sposób, t. z. w odstępach d, inną długość L‘, mamy

ms' = (ii L‘ d

więc

ms

iL

ms‘ iL¹

56)

Znaczy to, że przy niwelowaniu tym samym przyrządem w ten sam sposób, t. j. ze środka i w równych odstępach, średnie błędy są proporcyonalne do pierwiastków kwadratowych niwelowanych długości.

3) Przykład. Średni błąd pomiarów kątowych.

A. Metoda reiteracyi. Błąd każdego kierunku składa się:

. z błędu w celowaniu.....

„ odczytywaniu limbusu Mamy więc dla jednego kierunku

mk² — a² ß²

i tak samo dla drugiego, zatem średni błąd jednego pomiaru

m = V (a² + ß²) 4- (a² + ß²),

lub dla n spostrzeżeń

M--=

vn

in

§ ¹ ŁO

(a² + ß²)

(średni błąd reiteracyi).

mamy razem

B. Metoda repetycyi. Jeżeli n przedstawia liczbę repetycyi, to 2 n celowań,

2 odczyty na limbusie,

więc

m = i 2 (n a² -f- ß²)

Otatni odczyt daje nam kąt n razy większy, a nie sumę n równych kątów, mamy zatem

59)

AI =

lub

M‘ =

i z tego

yi (.«+£)

y n V n)

60)

M> M\

To znaczy, iż metodą repetycyjną w ogólności dokładniej można otrzymać pojedynczy kąt, niż metodą reiteracyjną i jeżeli -chodzi o pomiar tylko jednego kąta, to wskazanem jest stosowanie metody repetycyjnej. Jeżeli wszakże z jednego stanowiska trzeba pomierzyć więcej kątów, to, ze względu na wyrównanie ogólne, należy użyć metody reiteracyi.

Jeżeli kąty, które mają być pomierzone, są częściami pewnej konfigu-racyi, to ich średni błąd jest także zależny od długości ramion. (Patrz §. 21 „O teodolicie“).

Przyjmując

a — Az 1 "

ß = ±5"

mamy

n — 5, n — 10,

a zatem jest w przybliżeniu dla

M = dr 3 "2, M = ± 2 "3,

JP = ± 1"5 JP = ± 0"8

w = 5,

w - 10,

Tli - 2 il/' M = 3 7IP

w ostatnim wypadku otrzymujemy⁷ za pomocą 10 razowej repetycyi teoretycznie dokładność, która odpowiada 3² x 10 = 90-razowej reiteracyi.

4. Przykład. W trójkącie ABC pomierzono bok BC = a = 235 • 19 w,

oraz kąty

a = 63° 30' 30" ß = 47° 16' 30" y = 69° 13' 0"

Błąd średni pomierzonego boku niech będzie

= -h 0*004 V a — ± 0*061 w

»»«

i błąd średni kątów

ma = ntß = my = Az 20".

lub w mierze łukowej

20"

ma — mß my Az ₂o6265

= Azz 0*000097.

obliczyć średnie błędy boków ó, c. Z danych a, a, /?, y otrzymuje się:

= 193 05 m

sin ß sin a

a = 245*68 m. sm a

Średni błąd boku i jest wtedy

mb = db

V=(

sn\ß\² „ . à

ma² + —

sin a J

da

(aęivmJ +

\ sin a /

sm \²

a ——— ) ïïly ²

si ii a) r

• 61)

a ponieważ

(a    =

V sm a )

(a^H) =

y sin a f

sin/3 _ b sin a

sin 8 cos a

— a-r-=-

sm² a

= — ó cotg a

•Cü

(«M-

V sm a /

cos 8 a Ti n ß

= ô cotg ß

więc

=d= b

f(~)’

+ ctg² a ma% + ctg² ß niß² ....    62)

Podstawiając w tym wzorze odpowiednie liczby, otrzymuje się

mb — dr 0,054 m

Laska-Widt. Miernictwo. II.

- 26 -

i podobni

CD

m₀ = ± 0,U66 ni.

Przypuśćmy teraz, iż pomierzono tylko dwa kąty a i y z jednakową dokładnością, to mamy

ß = 180 — a — y

zatem

% = V nia¹ + my².

Ponieważ dokładność kątów a i y była jednakową, to

ma = my

niß = ma V2 .

Średni błąd w ß jest więc większy, niż błąd kątów obserwowanych a i y. Wnioskujemy stąd, że w ogóle przez obliczenie z danych kątów nie otrzymuje się kąta trzeciego tak dokładnie, jak przez spostrzeganie. Należy więc, o ile to jest możliwem, obserwować wszystkie kąty.

63)

Ea,

Ec

Przyjmując dalej, że

ma = mp — my = 0,

Eb

to wtedy

mh

mc

.    .    64)

i jak z rys. B. widać

Fig. 5.

Przypuszczając więc, że kąty zostały z absolutną dokładnością pomierzone, to błąd popełniony przy pomiarze jednego z boków (n. p. błąd eb boku b) rozkłada się na inne boki tak, że trójkąt błędów (ea eb ee) będzie podobny do trójkąta rzeczywistego (abc).

§. 12. Spostrzeżenia bezpośrednie o rożnej dokładności.

Niech będą

h h h K h

spostrzeżenia o jednakowej dokładności, to ich średnią arytmetyczną

h + h + ^3 + h + h

można pisać jak następuje :

2^L± - + 3

A

2 + 3 y ₌ h + h

'⁷o =

Podstawiając tu

2 V + 3l" 2 + 3

mamy

Podobnie otrzymalibyśmy dla ogólnej grupy

h h

ï'm

m + n spostrzeżeń

l₀ =

mV + ni"

podstawiając

l" =

[ Im + n ] \lm\

Mając teraz dwa spostrzeżenia o różnej dokładności

V r

możemy każde z nich uważać za złożone z pewnej liczby idealnych spostrzeżeń jednostkowych o jednakowej dokładności, a to V z p takich elementarnych spostrzeżeń i l" z q, wtedy stosując wzór 65 otrzymujemy

pV + ql"

P + 2

Oznaczmy błąd średni takiego jednostkowego spostrzeżenia przez c, wtedy błędy średnie wartości V i l" będą kolejno

e‘ —

l₀ -

mamy zatem równanie

e¹ ip — e" V q

Liczby p i q zwiemy względnemi wagami spostrzeżeń V i l". Z równania 66) widać, iż

. . 66)

1 1

P * Q ^72 '    2

Słowami: Kwadraty błędów średnich znajdują się w odwrotnym stosunku do przynależnych im wag.

Napiszmy teraz równanie 66) jak następuje:

£* Vp — e" V ą

to widać, iż błąd c przedstawia średni błąd jednostki ważności. Mamy więc twierdzenie : Jakikolwiek błąd średni, pomnożony przez pierwiastek kwadratowy z przynależnej mu wagi, daje wartość błędu jednostkowego.

Mając więc spostrzeżenia

67)

VI.

h \ ^3 •

dla których istnieją odpowiednie wagi

In

oraz pojedyncze średnie błędy

Pi P2 Ps

Pn

możemy pisać

m₂ m₃

mn

lub

j _Pj d~ P2 ^2 ~ł~

Pi + P2 • •

+ Pn In _[Pn In]

+ Pu

[Pn]

. . 68)

l₀ [Pn\~[Pn ln]=0

.    69)

Błędy pozorne pojedynczych spostrzeżeń będą wtedy Al) = l — li i jego waga pi Ai2 '-⁻ i - 1‘2

P2

Vn

Al/ft — 1/    ’ ifi

Mnożąc każdy błąd przez odpowiednią wagę i dodając, otrzymuje się [Pn Aln\ — l [Pn] [Pn ln\ mamy zatem, uwzględniając równanie 69)

70)

[Pn Aln]— 0

z tego równania wynika, że

.    .    71)

[pn Aln²] = Minimum.

Średnia arytmetyczna jest, jak wiemy, funkcyą linijną kształtu

7    P\ 7 J 7

⁰    M¹ + [p.]² +

Pn

[Pn]

stosując zatem wzór 46), otrzymamy

W¹ —

( Pn Y¹

mn² .

.    72)

jest dalej

podstawiając to w równaniu 72), otrzymuje się

73)

e

=

Mamy więc twierdzenie: Błąd średniej arytmetycznej ogólnej, równa się średniemu błędowi jednostkowemu, podzielonemu przez pierwiastek kwadratowy, sumy wag poszczególnych spostrzeżeń.

W zór

[AP]

[AlP]

n(n — 1)

jest ważnym dla spostrzeżeń jednakowych wag. Chcąc zaś wzór ten stosować do grupy błędów

których wagi są

Alx Al₂

Aln

Pn

Pi P₂

należy te błędy sprowadzić do równych wag, to jest do błędów o wadze 1, mnożąc każdy błąd przez pierwiastek kwadratowy jego wagi. W ten sposób otrzymujemy grupę błędów

Al\ V P\ Al₂ Vp₂......

o jednakowej wadze jednostkowej. Mamy więc

ł / | pn AlP]

V n- 1

Aln V Pn

74)

uwzględniając wzór 73), otrzymujemy dalej

-V

[PnMrĄ

[Pn] |>—1]

.    .    75)

z tego wynika :

1.    Średni błąd jednostkowy równa się pierwiastkowi kwadratowemu sumy iloczynów kwadratów poszczególnych błędów przypadkowych i odpowiednich wag, dzielonej przez liczbę spostrzeżeń, zmniejszoną o jednostkę.

2.    Średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej, równa się pierwiastkowi kwadratowemu sumy iloczynów kwadratów błędów poszczególnych i odpowiednich wag, dzielonej przez iloczyn sumy wszystkich wag i liczby spostrzeżeń, zmniejszonej o jednostkę.

Niechaj będzie ogólnie :

u = F (xi yx Si..

Ażeby znaleśó wagę pu funkcyi u, jeżeli wagi

Px Py Pz......

zmiennych są dane, oznaczmy przez e błąd średni jednostki. Mamy wtedy

my = -=

' Py

Podstawiając te wartości w równaniu 46), otrzymujemy

»iu =

i dzieląc przez £

1    /&F\²_1 /dPVl

Pu " \ dx ) px ⁺ v ày ) py

.    .    76)

Dla średniej arytmetycznej

7 _ P\

⁰ [Pn]

otrzymujemy, oznaczając przez P wagę średniej arytmetycznej

P2 i

2 ⁺......

h + Pl

r i^2 4" [Pn]

Pn -, \Pn] n

Zatem

P [Pn?⁺[Pn]

Pn

\Pn]

[Pnf [Pnf

.    .    77)

P lPn]

Waga średniej arytmetycznej równa się więc sumie wszystkich poszczególnych wag spostrzeżeń.

L = AG

1) Przykład. Odległość dwóch punktów poligonalnych wyrównanych A), G) niech będzie

■G

Z A pomierzono do punktu bocznego B długość lt, a z B do C długość l₂ i otrzymano wynik

h d~ h = L Ą- v.

Jak wyrównać ten pomiar? Niechaj będzie:

~ li V lx średni błąd pomiaru \ ft''l 12    n

to wagi pomiarów tych długości są dane przez równanie 50). Mamy więc

x\ — h

z wagą Pi = -y—

Pi =T~

Zatem

a ponieważ

Pi + (h —v)Pi

Pi + Pi

= l    Pi

¹ Pi + P₂

Pi

więc

78)

x — lx---v

to znaczy, że różnica v dzieli się w stosunku pomierzonej części do całej długości.

Tak samo postępuje się, jeżeli pewna długość została pomierzoną dwa razy tam i napowrót. Cała pomierzona długość jest tu L — 2 l.

Mamy zatem wzór

.    79)

7    V

x = l~Y.......

jeżeli v jest różnicą między oboma pomiarami.

Wróćmy teraz do pierwszego zadania. Tu mamy poprawki:

Al

Średni błąd jednostkowy jest tu

* = l/ Pi Al\ ² + Pi Ali² ■ V Jl 17 V

V-2=1--T<h + h=

Jeżeli L jest podane w metrach, to e jest średnim błędem długości przy pomiarze jednego metra. Średni błąd zaś długości x po wyrównaniu będzie

a w wypadku gdy

e == v VTT h>i+i>i fL

h — h

80)

m = -=

V 2

Jeżeli więc pewna długość została pomierzoną dwa razy, tam i napowrót, i otrzymano wyniki

— Bi

to średni błąd jednego pomiaru równa się

V-l

m = ~\

\2

81)

Wynik ten można otrzymać także wprost. Bo mamy w ostatnim

wypadku

Zatem

Al = l₀ — l = — 1(1 — V)

AV — lo — V = + \ (l — V)

więc

. 82)

i dalej

1-V

83)

2) Przykład. Mierzono kąt teodolitem repetycyjnym i otrzymano 14 następujących wartości a, jako wyniki p powtarzań. Wagi liczb a przyjmiemy wprost równe odpowiedniej liczbie powtarzań.

Nr.

ap

t-H

rH

127° 49' 45 "00 31-25

42- 50 45-00

37- 50

38- 33 27-50

43- 33 40-63 36-25 42-50

39- 17 45-00

40- 83

lO^lOCOCOPOCOCOrtlfMCOCOCMCO

225-00

12500

212-50

135-00

112-50

115-00

82-50

130-00

162-50

72-50

127-50

117-50

90-00

122-50

im

1830 00

Mamy więc

1830-00

= 39"78

“°⁻ w

Za pomocą tej wartości obliczono następującą tabliczkę:

46

— 32

Nr.

Aa

pAa

Aa²

pAa²

ł—^ H—*■ b-^

5-22

26-10

8-53

2-28

1-45

12-28

3 53

0-61

34-12

2-72

5-22

3-55

0-85

2-72

5 22

1 05

13-60

15-66

6-84

4-35

36-84

10-65

3-40

7-06

1-83

8-16

10-44

315

27-248 72-761 7-398 27-248 B 198 2-103 150-798 12-461 0-723 12-461 7-398 0-372 27-248 1-103

136-24

291-04

36-99

81-74

1559

6-31

452-39 87-81 2-89 24 92 22-19

1-12

54-49

3-31

[ + pAa\ [—p Aa] + 91-04 —91-16

[pAa²]

1167

mamy zatem

Dalej

O Aa²] = n — 1

1167

13

= ±9"-475.

9 "-475

V46

= ±1"397.

Wartością najprawdopodobniejszą kąta szukanego jest więc

127° 49' 39"78

z błędem średnim

-4- l//397 a wagą 46. Średni błąd 13-go spostrzeżenia jest n.

P-

9 "475

= ±6"70

^ Pi 3

3) Przykład. Mierzono pewien kąt 58 razy i otrzymano wartość średnią (po odrzuceniu stopni i minut, które wszędzie się zgadzały)

f2

51 "34

tudzież błąd średni jednego spostrzeżenia

rów wartość

Następnie mierzono ten kąt powtórnie i otrzymano z 25-ciu pomia

42 "53

z błędem średnim

= zfc 4"

Chodzi o połączenie tych dwóch wyników w jedąn i o jego błąd średni.

Obliczmy naprzód błędy średnie obu wyników, to mamy

4"

9"

V58

>/25

przeto

58

25

16

81

z tego otrzymuje się za pomocą wzoru 68) średnia

58

81

X 51"34 4

25

16

X 42"53

58

25

- 45"30

81

4—-r⁻

16

i błąd średni (patrz wzór 72)

25

58

58

81

81

25

9² +

16

58

25

4² = 5"32.

15

81

16

Łatwiej obliczyć można te wartości w sposób następujący.

Ponieważ ilości p, p- są tylko liczbami stosunkowymi, a jedna z nich może być zawsze dowolnie obraną, to kładąc

(pO = loo,

obliczymy (p) z równania

Mamy zatem

45-83 x 51 "34 + 100 x 42-53

(p)    58 16

100 “ 81 * 25

100 + 45-83

= 45-83.

= 45".

Waga tej średniej jest więc

145-83

jeżeli wagi poszczególnych tych grup są

45" 83 i 100-00.

4) Przykład. Ile razy trzeba obserwować pewien kąt teodolitem, dla którego średni błąd jednego pomiaru równa się

m == ± 10"

ażeby otrzymać spostrzegany kąt z dokładnością

m¹ = zh 1"-

Średni błąd średniej arytmetycznej jest w tym wypadku

10"

w drugim zaś

]jn

m‘ = 1" M'

10

mamy zatem

n = 100.

Sto razy należałoby więc pomierzyć ten kąt, ażeby średni błąd średniej arytmetycznej równał się jednej sekundzie.

iiàska-Widt. Miernictwo. II.

5) Przykład. Dane są spostrzegane kąty

«» r

dalej ich wagi (a priori)

P, Fi Pu

oraz warunek dla wyrównanych kątów:

(«) + (ß) + (y) = 180«.

Dla kąta a mamy dwa spostrzeżenia, a mianowicie :

ai — a

przyczem

«₂ = 180 — (ß + y) = a — w a + ß + y == 180° +• w.

Waga pierwszej ilości jest

A)

Pi =P........

Ażeby znaleśó wagę drugiej ilości rozumujemy tak: mamy

= ty² + £y²

oznaczając więc, średni błąd jednostkowy przez e₀, możemy pisać zatem

-+ —.

P Pß Py

Równanie to, ważne właściwie tylko dla wag po wyrównaniu, stosujemy i do wag danych, a to dlatego, że dane wagi nie są dowolnie obrane, lecz na podstawie dawniejszych spostrzeżeń.

Mamy więc równanie

z którego wynika

=    ¹ Ą--—

P₂ P‘ P"

rH

•    . B)

Pi =

p‘ p“

p‘ + p"

czyli

Wyrównana wartość kąta a jest tedy

«i Pi + a₂ P₂ _ «i Pi + («i — w) p2 Pi + P₂

(«) =

Pi + P₂

(a) = a,

Jest atoli

p₂

Pi+P₂W'

P₂

rH

Pi + P₂

P₂ P Pl P“

więc

(a) = a —

Podobnie znajdziemy

(ß) = ß-

w

(y) = y — -f

mamy

W wypadku, gdy

p = p‘ — p"

(a) a —

g |CO

(ß)=ß~

S ICO

(y) ==y — -

§ co

Błąd średni spostrzeżenia o jednostce wagi jest

t—H

\Pi V + P2V

■ y 2—1

gdzie

Mamy więc

£² =

(a) — «î = 4

(a) of₂ — d₂.

w 1 \²

Pi

Pi +

p'

Pi

uwzględniając tu równania A) i B) (patrz str. 34), otrzymamy

£²

w² j 11    1 | _    ²

“ r n?.⁺ p}+p“f~ f T

Z tego wynika, iż dalej jest

£    ) p

—vî'"îr

£ß =

Ey —

lip"

p"

Te wartości, otrzymane za pomocą z góry przyjętych wag, przedstawiaj ą naturalnie średnie przed wyrównaniem.

Ażeby otrzymać średnią po wyrównaniu, t. j. średnią wyrównanej ilości (a), należy sobie przypomnieć, iż ze względu na równanie :

(a) =

«1 Pi + «2 Pi Pi + Pi

waga wyrównanej ilości (a) jest

Mamy zatem

P1 + £>2

(*«)=“

Vpi+p₂

Uwzględniając więc równania A i B otrzymuje się

(««) =

— \1 / ¹ 4- M Al i p \p' p")

i analogicznie

(fy) =

ił]

,j⁺f)

(«y) =

— vL(L + L\.

PU\P p‘)

ił]

Równania te można jeszcze wygodniej pisać

(<?«) = £

(ßß) = £

V“[ ]

1    p'

Fl 1

(«y) = £

ih : »

a.

Ï1-M

Wagi zaś ilości wyrównanych (po wyrównaniu) są

=, (£ß) = M = V pß

(*«) =

i Pa

Mamy zatem

¹J i _ P

r■ ’1 “Br]

Pß

₁ P'

1 “iłi

¹ ) l ₌ P“ >

Pr P“    LLI

Dla

Otrzymuje się

a = 65° 43' 27" 44 ß = 61 17 50" 83 y = 52 58 37" 01

p = 10

p' = 15

p" = 12.

w = — 4" 72

Dalej

(a) — a = + 1 " 89 (ß)-ß= + 1" 26 (y)— y = 4- 1 " 57

W = =t 2" 31 fo) = ± 2" 22 (cy) = ±2" 09

e = Hh 9" 44 eu = ± 2" 98 £/? = dr 2" 44 £y = ± 2" 72.

= 16,7 Pß = 20,4

jPy = 18,1 .

to różnice

§. 13. Pomiary podwójne.

Jeżeli pewna długość była więcej razy pomierzoną tam i napowrót,

h — h‘ = h — h‘ ” ^2

mają charakter błędów prawdziwych. Wartość

i/M

y n

.    84)

nazywa się wtedy średnią różnicą. Wartość (patrz wzór 82)

V2

85)

będzie w tym wypadku średnim błędem jednego pomiaru, a

1In

■ a/M

² V n

87)

średnim błędem średniej arytmetycznej tych różnic. Jeżeli dalej są

wagi różnic

Pu Pu

Pn

, dn

di, d₂,

to, rozumując w ten sam sposób, jak w uwagach poprzednich, otrzymujemy

87)

l/ [pd²]

y n

JD

m — -r=

V 2

[pdz]

88)

89)

i / [Pd²]

Y n

Przyjmując teraz, że pomierzono różne długości tam i napowrót, lub że zniwelowano różne ciągi podobnie, to znaczy tam i napowrót,

to wiemy, że wagi pojedynczych pomiarów, więc i ich różnic, są proporcyo-nalne do pomierzonych długości l. (Patrz wzory 51 i 56). Równania 87), 88), 89) można wtedy pisać

90)

91)

92)

I) ==

um

fern

M=]

Jeżeli ln wyrażamy w kilometrach, to M oznacza n. p. średni błąd kilometrowy jednego pomiaru albo jednej niwelacyi tam i napowrót.

Wzory te znajdą ważne zastosowanie w nauce o poziomowaniu.

§. 14. Równania normalne funkcyi liniowych.

Na wyznaczenie dwóch, trzech . . . niewiadomych potrzeba przynajmniej dwóch, trzech . . . równań pomiędzy niewiadomemi a ilościami wiado-memi. Jeżeli liczba równań jest mniejszą, zadanie jest nieokreślone, jeżeli liczba równań jest większa niż liczba niewiadomych, to zadanie to tylko przy pewnych założeniach jest rozwiązalne.

Niech będą dane równania liniowe

ax x -f y + z — li =0 a₂x + b₂y + c₂ z —1₂ =* 0 a³ x + b₃ y + c₃ z — l₃ *= 0

anx + bny + cn z — l„ = 0 w liczbie w, przewyższającej liczbę niewiadomych

x y z,

którą dla uproszczenia przyjmujemy równą 3, nadmieniając, że wszystkie prawidła, dla trzech niewiadomych znalezione, pozostają ważne dla jakiejkolwiek ich liczby.

Jeżeli w tym układzie równań zamiast wiadomych x, y, z, podstawimy dowolne liczby x₀ y₀ z₀, to otrzymamy:

x₀ + \ y₀ + cx zQ—lx = 4

«2 *0 + 4 y o + C2 *0 — h = 4

o*

«n #0 + bny₀ + cn z₀ — ln = A

Ilości

An

będą oczywiście tern mniejsze, im bardziej wartości

Vo

zbliżają się do

x y z.

Stosując zasadę najmniejszych kwadratów, należy w tym wypadku określić x₀ y₀ z₀ tak, ażeby

An² = [Jn²] = Minimum.

To nastąpi wtedy, gdy

dû

dû

dû

dx₀

ày₀

àz₀

= 0.

Ale jak wiemy, jest:

dû

dx₀

A,

dA,

dx₀

A

" ày.

= [K An]

dû

mamy zatem równania

dz o

An

dA

dz o

lub

[aa] a?₀ + [ab] y₀ + [ac] zQ — [a,l\ = O [a,b] x₀ + [bb] yQ + [bc] £₀ — U>1] = O [aĄ x₀ + [bc] 2/₀ + [cc] z₀ — [cl] = O

Równania te nazywamy „norm alnemi“. Jeżeli równania mają różną wagę, to na podstawie zasady

Û =piAi* +p₂ 4₂² +

pn An² == Minimum

otrzymamy

[paa]    x₀ + [pab] yQ + [pac] z₀ — [pal] — 0

[pab]    Xę + [pbb] y₀ + [pbc] *₀ — [pbl] = 0

[pac]    x₀ + [pcc] y₀ + [ pcc\ z₀ — [pcl] = 0 Przykład. Dane są równania:

ôx — 24 óy — 13 = 0.

Do obliczania równań normalnych ułożymy sobie schemat następujący:

4.

5.    +

L.

ab

al

aa

bb

bl

05 CD H CO tH ^ CO Ol CO

-o

t-

Ol

I—*

05

00 Ol

co ^ co eo oi i-i

100

270

-1

169

49

16

576

OJ y-i LO Ol

16

312

S—¹

05 CO 05 CO 05 Ol »H

i—l CO

+ 385 —286

+ 102 —171 +213    —70

[aa]

[ab]

[al]

[bl]

[U]

+ 242

-69

+ 143    +910

+ 99    +939

242 ôx — 69 ôy + 143 = 0 — 69 ôx 4 910 ôy 4 99 = 0 Jeżeli chodzi o większą liczbę spostrzeżeń i ułatwienie rachunkowe, trzeba się starać o odpowiednie kontrole. Do obliczenia iloczynów posługujemy się wtedy tablicą kwadratów. Jest mianowicie

Mamy więc

2 ab = (a 4 &)² — a² — b²

więc

2 [ab] = [(a 4- b)²] — [a²] — [b²].

Do obliczenia równań normalnych dla trzech nieznanych potrzebne są więc kwadraty następujących liczb

bk

ttk (ak 4 bk) (Uk + Ck) (ttk 4 4) (pk 4 Ck) (bk 4- 4) Ck (Ck 4- 4)

za których dodaniem otrzymamy

Dla kontroli tworzymy

[/²]

Sk — o>k 4~ bk 4" Ck 4" lk

i powinno wypaść

M = [a] 4- [b] 4- [c] 4- [d]

Połóżmy podobnie

Sk = ttkbk 4 cikCk 4~ akh 4 bkCk 4 bkh 4 cklk

to będzie

[S] = [ab] 4 [ac] 4 [dl] 4 [be] 4 [bl] 4 [cl]

że zaś

sk² = ak² 4 bk² 4 ck² 4 4² 4 2 akbk 4 2 akck 4 2 aklk 4 2 bkck 4 2 bkh 4 2 cdk

zatem

[s²] = [a¹] 4 [b²] 4 [c²] 4 [*²] 4 2 [Ä] Cały rachunek ułożymy w następujące tablice:

Tablica I.

as

►i

fC)

co

r-H (M

Ci

CO

sa

CS

a*

to

Ci

to

cs

co

tH cm

M l*²] ! I«²] [*²] : [*’]

Kontrola

W = [a] + [ft] + [c] + [l]

Tablica II.

(& +1) (c + Æ)

(a+c)    (a-\-l) (ó + c)

z!

O + c)²

(a+Z)²    (& + c)²

(bĄ-l)²    (cĄ-l)

T-l Oi *

2'

(ad-c)²] [(a-M)²] [(ö + c)²] [(W)²] [(c-W)²]

Teraz rachuje się:

2 [ab] — [(a-f&)²] — [a²] — [ó²] i t. d.

Dalej

2 [S] = 2 [ab] + 2 [ac] + 2 [al)

+ 2 [bc] + 2 [6/] + 2 [cl]

i wreszcie kontroluje się cały rachunek wzorem :

M — 2 [S] = [a²] + [ft²]+ [**] + [**].

§. 15. Rozwiązanie równań normalnych.

Rozwiązanie równań normalnych można wykonać, stosując zwykłe sposoby rugowania; w teoryi najmniejszych kwadratów jednakowoż najkorzystniej jest stosować następujące postępowanie Graus sa.

Ruguje się najpierw niewiadomą x₀, z pierwszego równania normalnego wyznaczając:

[al]    [ab]

KI “

[«*]

.    .    90)

Podstawiwszy znalezioną wartość dla x₀ w drugiem i trzeciem równaniu normalnem i kładąc dla krótkości pisania:

[b² J

[ab]

[« ]

łW = [bb 1],

[ac]

[ac] = [cc 1],

[bc]

[ab]

K]

[ac] = [bc 1],

[ac]

[al] = [cl 1],

[ab]

[a²]

'é[al] = [bll),

Laska-Widt. Miernictwo. II.

znajdziemy

[bb 1] y₀ + [bc 1] 2₀ - [bl 1], [bc 1] y₀ + [cc 1] £₀ =» [cl 1],

i z tego

y o⁼⁼

[bil] [be 1] [bbl] [bb 1] ⁰

Podstawiając ostatnią wartość y₀ w przedostatnim równaniu i kładąc

[cc 2] = [cc 1]

[bc 1]

[bb 1]

[bc 1],

[cl 2] = [cl 1] —

[bel] [bb 1]

[bill

otrzymamy ostatecznie :

[cl 2] [cc 2]

92)

Zestawmy równania 90), 91), 92) w jeden układ zwane równania zredukowane.

to otrzymamy tak

[ab]

[*²]

I/o +

[ac1 Ä _ [°3

⁰ “ [a²] ’ [bel] _[bl 1] [ftftl] ⁰ [ôôl]’ [cl 2] [cc 2\

*0 =

Równania kontrolujące.

Ażeby obliczenie równań zredukowanych skontrolować, należy obliczyć

[as] = [a²] + [ab] + [ac] 4- [aï], [ós] = [ab] + [ó²] + [bc] + [bl].

Dalej

[ab] r

t«²]

[as]

93)

Mamy atoli

[bb 1] 4- [bc 1] + [bl 1] =

[ab]

lub

[a²]

{[ab] + [ac] + [ul]}

{[bs]-[ab]}

[bb 1] + [bc 1] 4- [bl 1] =

[ab]

[ab]

[a²]

2 M-

Więc powinno być

Podobnie otrzymujemy

[cs 1] = [bc 1] 4- [cc 1] + [cl 1]

i analogicznie

[es 2] — [cs 1]

[bd]

[bb 1]

[bs\] = [cc2] + [cl 2].

Schemat rozwiązania równań zredukowanych,

log [a²]

[ab]

log [ab]

log [ac]

[al]

log [al]

[as]

log [as]

*iog

[ab]

log 0*!+ log [ab]

log Oj + log [ac]

log oi + log [al]

log oi + log [as]

log ai

[bb 1] = m-G, [ab] i t. d.

[b>]

[bo]

[bs]

— Oj [ab]

— Oj [ac]

— Gl [as]

[bb 1] log [bb 1]

[bel]

[bil]

log [bc 1]

log [bl 1]

[bs 1] log [ós 1]

*10g    = log G₂

[cci] = [c²] — g₂ [ac] i t. d.

[bel]

[bbi]

[cc 2] = [cc 1] — g₃ [bc 1] i t. d.

log g₂ + log [ac]

log g₂ + log [al]

log <r₂+log [as]

*log

= log g₃

[c²]

[cl]

[es]

— g₂ [ac]

— o₂ [al]

— o₂ [as]

loga₃ -(-log [bc 1] log o₃ -ł⁻ log [bl 1] loga₃ +log [ós 1]

[cc 1]

[cl 1]

[CS 1]

— O3 [be 1]

— a3 [W 1]

— a£ [bs 1]

[cc 2]

[cl 2]

[es 2]

Równania kontrolujące :

[&s 1] = [bb 1] + [bc 1] + [bl 1]

[es 2] = [cc 2] + [cl 2].

Logarytmy oznaczone * muszą być osobno kontrolowane.

§. 16. Kontrola rachunku zapomocą [d²].

Podstawiając znalezione ilości

w pojedynczych równaniach, otrzymuje się

ak x₀ + bk y o + ck z₀ — lk = Ak,

równocześnie mamy

£ = [d„²] = Min.

to jest

dQ

ÔÜ

ÔXq

ày₀

= 0.

Jest atoli

[A²] = [Ak (a,/. x₀ bk y₀ + ckz₀— lk)]

więc

ü = [aA] x₀ -f [bA] y₀ -f [cA] 0O — [IA]

a ponieważ

dü

àx₀

= [ciA] = O,

dQ

= [M] = O,

aß

to mamy

Stąd otrzymamy dalej

à*₀

- [c4] = O,

ß = [d²] = — [Al].

Zatem

[A²] = [4 (/* — akx₀ — bk y₀ — c* $₀)]-

[Zl²] = [Z²] — [aZ] — [6Z] 2/₀ — [cZ] ^₀. Jeżeli stąd x₀ wyrugujemy przy pomocy równania

[ab]

to otrzymamy

[a²]

[d²l = [l²] -

M²

[a²]

-[bll]y,-[cll]zQ

Podstawiając w tern równaniu ilość y₀, obliczoną z

Vo +

[be 1]. [HI]

[bb 1]

W1]

otrzymamy

[d²] = [i²]

[al]² [bl l]²

Położywszy tu jeszcze

[a²]    [66 1]

[d 2] z₀.

będzie

₂ [ci3

⁰ [cc 2]

[al]²    [bil]²    [cl2]²

[a²]    [bb 1]    [cc 2]    ' '

To równanie umożliwia nam dokładną kontrolę całego rachunku.

Możemy bowiem [d²] od razu obliczyć przy pomocy równań Ak = ak #o + bk y{) -Ą- ck z₀ — lk.

w = [P]

.    .    94)

Wartość [d*²], w ten sposób znaleziona, musi się zgadzać z wartością obliczoną z równania 94).

§. 17. Waga niewiadomych.

Wartości najprawdobniejsze niewiadomych obliczyliśmy z układu równań linijnych

Każdą niewiadomą tego układu równań można przedstawić w kształcie funkcyi liniowej wyrazów

[al], [bl], [cl]

bo mnożąc równania normalne przez na razie nieoznaczone spółczynniki

^l> ^2» ^3>

otrzymuje się

równania

x₀ {[aa] Xi + [ab] X₂ -f [ać\ X₃ }

+ Vo {M] ^1 + \bb\ X₂ + [bc] X₃ }

+    {['ac] ^ 4- [bc] X₂ + [cc] X₃ } +

[al] Xi + \bl] X₂ + [cl] ^3 •

Jeżeli teraz na wyznaczenie spółczynników X obieramy następujące

to .

Wyrazy

[aa]    X₁ + [ab] X₂ 4- [ac] X₃ — 1,

[ab]    X₁ + [bb] X₂ + [be] X₃=0, >    .

[ac]    X₁ + [be] X₂ + [cc] X₃ = 0, .

x₀ = [ab] X₁ + [bl] X₂ + [cl] X₃ .    .

.    .    95)

.    .    96)

ml m, [ci]

są zbudowane w sposób liniowy z ilości l. Takie same rozumowanie można stosować do niewiadomych x₀ i z₀.

Podstawiając tu

możemy więc napisać

a>k X^ 4* b/c X₂ 4" o* X₃ — oi*,

05» In •

x₀ =    ^ 4- 05₂ l₂ +

Niechaj będzie teraz [i średnim błędem jednostkowym ilości

.    .    97)

l\ J ^2)

dalej ex średnim błędem niewiadomej, to stosując wzór 46) mamy ex² = al² e² a₂² E² 4-

ln

-j- an² e² — [a²] E²

Oznaczając wagę niewiadomej x₀ przez px i uwzględniając wzory 73) i 77), otrzymamy z równania ostatniego

Px

98)

Zatem

Ażeby znaleść [a²] połóżmy

05*. oj* = o:* a* X₁ 4' o:* bk X₂ 4* oj* c* X₃.

Jest atoli

[o:²] = [a a] Xl -1- [a b] X₂ + [a c] X₃.

[o! oj] [(oj* Xj 4- bk X₂ 4" o* X₃) os*],

więc

podobnie otrzymujemy

[aa] = [a²] Xi 4- [ab] X₂ + [ac] X₃,

[oj 6] = [ab]Xi 4- [b²]X₂ + [bc]X₃, [ojc] = [ac] Xi 4- [bc] X₂ + [c²] X₃. Uwzględniając więc równania 95), mamy

Zatem

[oj a] = 1, [oj &] ■= 0, [oj c] = 0.

Wskutek tego mamy

[a*] = Xi

ex == e V X

Px

99)

46

Analogicznie znajdziemy równanie

Ey = E Y^j*

V,

dla którego i₂' należy obliczyć z układu:

[a²] Aj' + [ab] kJ -f [ac] = 0,

[aft]V + [ó²]V + MV-l,

[ac] >1/ -f [ftc] A₂' + [c²] i₃' = 0.

Wreszcie tak samo otrzymamy:

ez = e V V',

— 2 " — a₃ ,

gdzie yl₃" wypływa z równań

[a²] ^ " + [ab] k₂ " 4- [ac] i₃" = 0,

[aft] i/' + [6²] V + [ftc] V = 0, [ac] ki " + [6c] V' + [c²] 4" = 1.

dukowane :

Uważając ostatnie równania za normalne, otrzymamy równania zre

Więc

[a²] V' + [aft] ^2 + [ac] i₃ " = 0,

[ftftl] V + [ftcl] V = 0,

[cc 2] i₃ " = 1.

. . 100)

[cc 2]

Z tego wynika twierdzenie: Jeżeli podług wyżej podanego (Gaussowskiego) sposobu utworzymy równania zredukowane, to w ostatniem równaniu, które tylko jedną niewiadomą posiada, współczynnik jest zarazem wagą niewiadomej.

Pz

§. 18. Obliczenie średnich błędów niewiadomych.

Gdy mamy znalezione wagi średnich błędów niewiadomych. Mamy ogólnie to możemy przystąpić do obliczenia

Yp*’ V    VPy '    ² YPz

przyczem \i oznacza średni błąd, odpowiadający jednostce wagi. Niechaj będą vk prawdziwe błędy, więc vk = ax + by + ca — l

gdzie

x, y, z,

są wartościami prawdziwemi. Obliczenie sumy kwadratów błędów v i tern samem obliczenie ilości

£² =

jest niemożliwe, gdyż wartości prawdziwe niewiadomych są nieznane.

Ażeby zaś znaleść wzór przybliżony, rozumujemy tak. Połóżmy A = ax₀ + by₀ + cz₀ — l,

[v²] — [av] x + [bv] y + [cv] z — \lv], [vA\ = [av] x₀ + [bv] y₀ -f [cv] z₀ — [lv].

to będzie

Zatem

[V²] — [Av] = [av] (x — x₀) + \bv\ {y — y₀) + [ev] (z — z₀ ).

ale jest

»-4 = a(*-*o) + 6(jf-y₀) + c(« — z₀),

dalej

[A (v — 4)] = [Av] — [A2] = (x — x₀) [aA] + (y — y ₀) [M] J- {z — z₀) [cA], lub ze względu na to, że

więc też

[aA] ~ [M] = [ci] = 0,

fA*i*=[Av],

równanie 101) można pisać

[v¹] — [A*] = [av] (x — x₀) + [bv](y — y₀) + [cv](z — «₀) .    .    102)

Mamy dalej

a ponieważ

[a v]=^[aa]x + [ab] y + [a c] z — [a l], [aA] = [aa]xQ + [ab]y₀ + [ac]z₀ —[al]

[a b] = [a c]= 0,

[aa] = 1,

to odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymamy

[a v] — [a A] = (x — x₀ ).

Łatwo jednak okazać, że mamy bowiem

[a A\ =0,

Jest przeto i analogicznie

gdzie

[a A] — [(a^ -b óź₂ + cÀ₂) A],

= [aA\Àl *j- [ bAi] ź.₂ 4" [c4]ź.₂,

= [a {ax₀ -f 6y₀ + cz₀)] ^ + ...

= {t«²] M y₀ + M ⁰o }    + • • • • ⁼⁰-

\av\ = x — xü.....

[ßv] = y-y₀, \

[yv]=z-z₀, j

103)

104)

ak + bk A₂' + Ck = /?*, akÂi “ + bkÀ₂" + ck dg “ — yk.

Jeżeli równania 103) i 104) wstawimy w równanie 102), znajdziemy

[v²] — [4²] = [av] [a v] + [bv] [ß v] -j- [cv] [y v].

Jest atoli

[a v] [av] — [a a v²] 4- [O* a* -f a^ak) vkvz].

Iloczyny

[akai +    ak)vkvÄ

mogą być równie prawdopodobnie dodatnie jak ujemne, weźmiemy przeto ich średnią wartość = zero. Kwadratów v również nie znamy, kładziemy

więc w miejsce

V> V,

ich wspólną, średnią wartość, t. j. e². Mamy zatem, uwzględniając równania:

[««] = 1 [v²] — [d²] = 3 e².

Wreszcie z określenia jest

[v²] = n £²,

przeto, kładąc e = [i, ażeby zaznaczyć, że to wzór tylko przybliżony

-3

W ogólnym wypadku m niewiadomych

x, y, t, ...

byłoby oczywiście

"“V»

[4²]

. . 106)

§. 19. Wyrównanie spostrzeżeń zależnych od siebie.

Niech będą

x\ ? xï > .....>

ilości, mające się ze spostrzeżeń wyznaczyć

Xn

spełniejące warunki postaci:

ty\ (^19 ^29 9>2 (*^1 » *^29

.    .    107)

<Pm(0Ci9 «^29

w liczbie m <^n. Spostrzegane wartości tych ilości niech będą

Xi\ X2

9 *^n) —

Xn

z wagami

Pn •

Pu P₂

Z powodu nieuniknionych błędów spostrzeżeń wartości te nie uczynią zadość równaniom warunkowym, otrzymamy natomiast

, xn‘) = Ni,

, xn ) = N₂,

gdzie

#²',

N„ N₂,

Xn¹) = N;

są małemi ilościami.

Zadaniem naszem jest wynalezienie najodpowiedniejszych poprawek

które dodane do ilości

ân,

*iS *2':

usuną niezgodności, występujące w równaniach warunkowych. Z określenia poprawek d wynika, że powinno być

0>*(V + à-n x2 +    ,

as*' + d„) = 0.

Rozwijając podług wzoru Taylora i ograniczając się do pierwszych potęg ilości d, otrzymamy

tyk (X\ > x₂ ,

Xn) "h

dcpk

à<Pk

dxi

dx₂

d₂ -f-

dcpk

dxn‘

ón = 0.

Położmy tu dla skrócenia (Pk Ov' X₂‘

xn ) — Nic

49

dy

= ak

dcp₂

dxk‘

otrzymamy układ równań linijnych

dxk

P    dt p d₂ d₂ P

-^3 +    di P &₂ d₂ p

dn — O,

fon dn — Oj

. . 108)

7vn dn — Oj

JVm p /|?1 dj p Ic₂ d₂ P

w liczbie m, zupełnie równoważny układowi 107) stanowiący m związków pomiędzy ilościami

dw.

di d₂

Układ ten nie wystarcza jeszcze do wyznaczenia n niewiadomych poprawek d, bo m <C w.

Brakujących w — m związków dostarczy nam zasada najmniejszych

kwadratów.

Pn dn² = Minimum,

Q = Pi dj² P P₂ d₂ ² P albo co na jedno wychodzi

dj . dd₁ + p₂d₂. dd₂ P

Pn d„. (£dw = 0

.    .    109)

Różniczki

ddn,

ddi dd₂

nie są od siebie niezależne, lecz winne spełniać m warunków, wynikających ze zróżniczkowania równań warunkowych układu 107,

0 = ddi P a₂ dd₂ P 0 — bi dd* p b₂ dd₂ p

an dd

bn dd

kn ddn.

0 — Jci ddj p k₂ dd₂ p

Pomyślmy, że z tego układu obliczono m różniczek dd i podstawiono je w równaniach 109); natenczas pozostałe różniczki w liczbie (n—m) równań będą od siebie zupełnie niezależne. Jeżeli przeto ich spółczynniki położymy równo zeru, otrzymamy (w—m) równań które wraz z układem 108) wystarczą do obliczenia n poprawek d.

Zamiast wykonywać rugowanie można użyć tak zwanych korrela-tów t. j. mnożników nieokreślonych.

Mnożąc równania układu ostatniego przez nieokreślone na razie ilości

Am

A\ A₂

i odejmując otrzymane iloczyny od równania 109) otrzymamy:

Am)} dd^ p k₂ Am) I dd₂ P

{ Pi di — («i Ai + bj A₂ +

{2h d₂ — (a2 P b₂ A₂ p

{ Pn dn - (ttn Aj P b„ A₂ p

Lńska-Widt. Miernictwo. II.

- 50 -

Połóżmy spółczynniki wyrazów dd równe zeru, to mamy

di — —— X₂ +    ¹ ^2 +

Pi

Pi

Pi

d₂ =

k^l

P₂

. . 110)

o    2 ,    ~

Oy = /•! -f- — A₂ -T-

Pn    Pm

Korrelaty określają się przez podstawienie tych równań w układzie 108). Mamy zatem

/^M J

“ .

Pn

T ak 1

L P J

ż. m -P JV.

[*]

Xm -P N₂,

. . 111)

Am -p Nm •

Jeżeli obliczymy z tych równań mnożniki

Â1} Â₂,

to znajdziemy następnie poprawki

di, d₂,

z układu z równań 10). Przykład patrz „Teodolit“ §. 21.

X,

d»

§. 20. Określenie błędu średniego w wypadku spostrzeżeń od siebie zależnych.

Jeżeli oznaczymy przez

błąd średni jednostki wagi spostrzeżeń

rp i rp *

? ^2 ) * ‘

i przez

®1 > £2’

ich błędy średnie, natenczas będzie

£k =

VPk

gdzie pfcjest wagą spostrzeżenia xk'.

Celem wyznaczenia błędu średniego, odpowiadającego jednostce wagi, zważmy najprzód, że w obecnym wypadku mamy (n—m) koniecznie potrzebnych równań, pozostałe są już nadliczbowe i zużytkowanie ich ma jedynie na celu powiększenie dokładności.

Błąd średni jednostki jest tu więc, patrz §. 18).

¹¹-ii

ip4²]

jeżeli s określa liczbę niewiadomych, a n liczbę spostrzeżeń w ogóle. W naszym wypadku mamy

.9 = n — m

niezbędnych ilości, przeto jest

i zatem

n — s = n — (n — m) = m

a=yter5:l

Do sprawdzenia wprost obliczonej sumy

[pd²]

można użyć następującego wzoru:

Jest bowiem

113)

Vp

Vp₂

Ài + -== À₂ + ...

'Pi

3 i ^2    3 i    ^2    3

1 + V^2 +......Æ

3= i

Vpi

Zatem

Piszmy tu

'^Hf]V + RNV +

•o

ra

fcsS

⁺ ^{f'p ]Â‘⁺ \°p]+

to mamy ze względu na równania 111)

[pó*} = ^N, -t₂N₂ = ..

gdzie

§. 21. Przekształcenie funkcyi ogólnych w funkcye liniowe.

Mając ogólną funkcyę F (æ, y,

, ö, c) = 0,

są zmiennemi, od siebie niezależnemi

oraz

ilościami stałemi i podstawiając

a, 6, c

x == x₀ + ôx V =    + ày

z — #0 + ^

otrzymuje się podług wzoru Taylora

F 0x, y, $,

a, d, c) =

F(x₀, y₀,

dF

«, ⁶’ C) + da ÓX +

dF

dF

dy

dz

114)

Jeżeli można się ograniczyć do pierwszych potęg wartości

ôx, ôy, Ô0, ......,

to mamy

ôx +

dF

dF

dx

gdzie

dF

ày +

= — F (ix, y, », Specyalnie dla jednej tylko zmiennej otrzymuje się

dy

dz

ô» +

.    115)

F{x) = F(x₀ + ôx) = F(x₀) +■

dF

àx o

ôx + R

ôx²

2 F² (x₀ + 8 ôx)

o<e<.i

jest resztą szeregu. Jeżeli reszta jest tak małą, że jej uwzględniać nie trzeba, to wtedy funkcyę

F(x₀ + ôx) = 0

można zastąpić funkcyą liniową

mamy

bo

F(x o) +

1. Przykład. Dla

dF

dx₀

dF

(x — x₀).

F(x) = log tg (x)

F(a?₀ + ôx) = log tg (a?₀ + óx₀) = log tg x₀ +-

ôx.M

sm x₀ cos x₀

dF d .    ,

—=_iogtg^ gdzie M *jest modułem logarytmów, więc

sinÆ₀ cosæ₀ ’

M = 0-4342945 =

log Bryg.

log nat.

Chcąc zaś mieć ostatni wjTaz w sekundach, należy pisać

log tg (O5₀ + das) = log tg æ₀ +

ôx"

gdzie

q sin æ₀ cos æ₀ ’

Q = 206265

sin 1 " ‘

Połóżmy n. p. to będzie

ôx" = 10"

logl

= 4-3233 — 10

log

sin^₀ cos xQ

= 0-3635

Suma

5-6868 — 10.

Mamy więc

log tg (30° 0' 10") = log tg (30° 0' 0") + 0-000049. Zgodnie z tablicami logarytmów. Jest bowiem

log tg 30° 0' 10" = 9-761488 log tg 30° 0' 0" = 9-761439

Różnica .

.    0 000049.

2. Przykład. Mając dane spółrzędne

Xq = 2000,

to przy ich pomocy znajdziemy

0o = 1000,

tg a₀ =

= 0-5,

czyli

x₀

a₀ = 26° 33' 54".

Zapytajmy teraz, o ile zmieni się a, jeżeli x₀ wzrośnie o ôx, a y₀ o dy.

Mamy

+ <*0

czyli

x₀ + ÔX

1000 -f dy 2000 + ôx '

Logarytmnjąc, znajdziemy w tablicach logarytmów log tg (26° 35' 54" -f- óa") — log tg 20° 35' 54" -f 0-000053

= log 1000    0-000434 óy

— log 2000 +- 0-000217 ôx.

tg (26° 33' 54" + óa") =

óa"

10"

log (1000 -f- óy) log (2000 + óx)

Mamy zatem równanie

ón“

53    = 434 óy- 217 óx.

Jeżeli n.

P-

óx = 1

to

óy = 2,

„ ( 868 — 217 ) _

\    53

Zgodnie z tym rachunkiem znajdujemy wprost

1002

óa" = 10

113".

tg (26° 35' 57") =

2001

= tg (26° 33'54" + 113").

3. Przykład. Z trzech punktów 1, 2, 3, leżących na linii prostej celowano do punktu 4 i znaleziono (patrz rys. 6)

2u«i- 41° 19'

62° 56'

X.«₃ = 117° 38'

36° 23'.

Dla długości 24 mamy w tym wypadku następujące wzory

a sin ot₁

sin (cKj + a₂) sin (a₃ + a₄) ’

Zatem powinno zawsze być

log a = 2-95423 log b = 2-65566

24 =

b sin ak

aU

I*    ______

1 cl z    ó

Fig. 6.

a sin ax sin (a₃ + a₄)

b sin a₄ sin (ax + a₂)

= 1.

Podstawiając w tern równaniu powyżej podane wartości, znajdziemy

a sin ax sin (a₃ + a₄)

b sin a₄ sin (ax + a₂)

= 1-00051.

Przyjmując dalej, że a i b są dokładne, to muszą być kąty o ilości

^1) ^2) ^31 ^4

poprawione, ażeby otrzymać ściśle :

a sin (oą + dj) sin (a₃ + «₄ + d₃ + d₄) _ ^ b sin (ai + (5₄)sin(a₁ + a₂ + dj + d₂)

Równanie ostatnie możemy zastąpić równaniem liniowem. Logarytmując, otrzymuje się :

log a + log sin (oą + d₄) +• log sin (a₃ + a₄ + d₃ -f d₄) = log b + log sin (a₄ -f d₄) + log sin (oą -f a₂ +    +    d₂).

Przyjmując minutę jako jednostkę kątową, mamy n. p.

log sin 41° 20' = 9’81983 log sin ai = log sin 41⁰19' = 9-81969

D = 0-00014.

Przeto

log sin (41⁰19' + dj ') = log sin 41⁰19' + D .6^

= 9*81969 -f 0-00014 d₁ ' i t. d.

Podstawiając to w równaniu logarytmicznem, otrzymuje się ostatecznie 17 d₄ + 3 d₂ - 26 d₃ + 43 d₄ + 22 = 0.

B. Równania warunkowe.

§. 22. Równania warunkowe w ko nfi g u racy ach, w których tylko jedna długość pomierzoną została (konfiguracye tryangulacyjne).

Pierwsza zasada równań warunkowych: Liczba równań warunkowych równa się różnicy między liczbą elementów, do kon-strukcyi danej konfiguracyi koniecznie potrzebną, a liczbą elementów danych. Np. wiemy, że czworokąt jest przez pięć pomierzonych wielkości określony. Jeżeli wszystkie boki i kąty pomierzymy, to m amy : ponad konieczną potrzebę pomierzonych wielkości. W tym wypadku więc istnieją trzy równania warunkowe.

Druga zasada równań warunkowych: Równania warunkowe, o ile one tworzą podstawę wyrównania, powinny być od siebie niezależne.

W czworokącie (Fig. 7) mamy następujące równania warunkowe :

IAd

I . . . a -j-/3-fy=180°, I . . . rj+e-fd=180°,

. . . os —j— ß ~{~ y J- -f- £ ô ~ 36(P.

Fig. 7.

To ostatnie jednak można otrzymać przez dodanie równań I i II. Będziemy więc mieli tylko trzy pary równań od siebie niezależnych, a to :

III, albo IIII, albo II III.

Podział równań warunkowych.

na :

Ze względu na właściwości równań warunkowych, dzielimy je

1.    Równania kątowe (równania podobieństwa),

2.    Równania boków (równania tożsamości).

Równania kątowe są dwojakiego rodzaju: a) Suma kątów na około jednego punktu równa się 360°; J) Suma kątów wewnętrznych w w-kącie wypukłym

równa się (n — 2). 180°.

Jeżeli mamy wielokąt sferyczny, to do sumy kątów wieloboku przybywa jeszcze nadmiar sferyczny.

Ażeby objaśnić istotę równań boków, weźmy pod uwagę specyalną konfiguraoyę (Fig. 8). Mamy tu następujący układ równań warunkowych kątowych, od siebie niezależnych :

I.

11

10X+

3

. 1 + 2 + 3 = 180°,

. 4 + 5 + 6 = 180°,

. 7 + 8 + 9 = 180°,

. 10 + 11 + 12 = 180,

. 3 + 5 + 8+ 10= 360°.

Ażeby otrzymać ogólną liczbę równań warunkowych, rozumujemy tak:

Do określenia położenia trzech punktów ABC., trzeba znać trzy pierwiastki (n. p. jeden bok i dwa kąty). Każdy następny punkt Z), E jest przez dwa nowe pierwiastki (np. kąty) określony. Liczba wszystkich, koniecznie potrzebnych elementów wynosi więc:

/A

a'¹

iß

Fig. 8.

3 + (5- 3) X 2 = 7.

Przyjmując, że przy powyższej konfiguracyi pomierzono 13 wielkości (12 kątów i bok AB), będziemy mieli

13 — 7 = 6

od siebie niezależnych równań warunkowych. Pięć z tych równań otrzymaliśmy powyżej.

Zmieniając nieco kąty 11 i 12, otrzymalibyśmy zamiast konfiguracyi ABCDE nową konfiguraoyę ABCDEAA', w której te same warunki byłyby wypełnione.

To samo miałoby miejsce przy zmianie dwóch innych kątów. Uważając więc konfiguraoyę ABDEAA¹ za polygon, należy żądać, ażeby był zamkniętym, wtedy jest

AA¹ = 0,

albo, co to samo

CA' — CA = 0.

Mamy tu :

AC = AB.

sin 2 sin 3

dalej :

AC¹ = CE.

sin 11

= CD.

= CB.

sin 12 sin 4 sin 7 sin 11

sin 7 sin 11 sin 9 sin 12

= AB.

sin 6 sin 9 sin 12 ; sin 1 sin 4 sin 7 sin 11 sin 3 sin 6 sin 9 sin 12

zatem

sin 2 sin 3

a stąd równanie warunkowe

AB.

= AB.

sin 1 sin 4 sin 7 sin 11 sin 3 sin 6 sin 9 sin 12

sini sin 4 sin 7 sin 11 sin 2 sin 6 sin 9 sin 12 Punkt A nazj^wa się punktem centralnym równania warunkowego, bok CA — bokiem redukcyjnym.

§. 23. Liczba równań warunkowych w sieci tryangulacyjnej.

Przyjmijmy, że w sieci tryangulacyjnej, posiadającej p wierzchołków, zmierzono tylko jedną podstawę, oraz wszystkie kąty. Ażeby znaleśó liczbę do określenia siatki (bez względu na oryentacyę) koniecznie potrzebnych elementów, rozumujemy tak:

Podstawa sama określa dwa punkty, do określenia zaś każdego następnego wierzchołka trzeba nam dwóch kątów. Mamy zatem:

2 {p — 2) == 2 p — 4

koniecznie potrzebnych kątów. Gdy więc pomierzono w ogóle W kątów, to:

W — 2 p -f 4

wyraża liczbę kątów, pomierzonych ponad istotną potrzebę. Liczba równań warunkowych jest więc:

117)

W—2p -f 4

Te równania warunkowe mogą być, jak wiadomo, albo równaniami kątów, albo równaniami boków.

Aby znaleśó liczbę równań kątowych, weźmy pod uwagę, że p wierzchołków połączonych jest ze sobą liniami prostemi, oznaczającemi obustronne celowe. Liczba tych prostych niech będzie P. Ażeby wszystkie punkty połączyć w zamkniętą figurę, potrzeba conajmniej p obustronnych celowych, a więc pozostaje nadmiar:

P — p

prostych, z których każda jest powodem jednego równania warunkowego.

Ponieważ przy danych p liniach mamy jedno równanie warunkowe (równanie zamknięcia polygonu), to mając P linij, będziemy mieli wogóle:

118)

JP — p -fl.....

równań warunkowych kątów, bez względu na horyzonty.

Ażeby zaś znaleśó liczbę równań boków, należy wziąć pod uwagę, że dwa punkty są koniecznie potrzebne do wyznaczenia jednej prostej. Gdy mamy p punktów, to do oznaczenia każdego z p — 2 punktów, potrzeba dwóch linij. Z tego wynika, że dla konstrukcyi całej konfiguracyi potrzeba

1 (Basis) -f 2 (p — 2) = 2 p — 3

prostych, przypuszczając, że całą konfiguracyę tylko za pomocą prostych określamy. Gdy więc mamy P prostych, tworzących całą konfiguracyę, to jest:

.    119)

JP-2p + 3

linij więcej niż trzeba. Każda z tych linij nadliczbowych, daje nam jedno równanie warunkowe.

§. 24. Figury normalne dla równań boków.

Schemat równania warunkowego.

Gdy A jest punktem centralnym (patrz rys. 9), to

sin gi sin g% ... . sin #₆ [sin Ą sin^ sinw₂ .... sin w₆ [sin n\ ’

Làska-Widt. Miernictwo. II.

Tego samego wzoru można użyć i w wypadku, gdy boki się przecinają.

Mamy więc regułę: Gdy liczymy od punktu centralnego kąty wzdłuż obwodu poligonu jako pierwszy, drugi i t. d., to iloczyn kątów nieparzystych, podzielony przez iloczyn kątów parzystych, równa się jednostce.

ÜKF

ni•

Zr

2tv\

/ ?2y

7/3

A<>

Zr

7U

/    __n.

Fig. 9.

Fig. 10.

Prykład 1. W konfiguracyi rys. 10 dane (jako wyniki spostrzeżeń) : bok: ĄB,

kąty: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Więc mamy tu:

W = 8.

Dalej jest ilość punktów:

P = 4,

a ilość prostych, tworzących całą konfiguracyę:

P= 6.

Ogólna liczba równań kątowych jest więc:

W—2p 4- 4 = 8— 2 x 44-4 = 4.

Równań kątów mamy :

P — p 4- 1 = 6 — 4 4-1 = 3,

a równań boków

Ave*

P —2p 4-3 = 6 — 84-3 = 1.

5/j\B

A

Równania te są:

Y12

E \13

6/C

9 10/

1)

14-84-74-6 = 180°, 74-64-54-4 = 180°, 54-44-34-2 = 180°, i dalej biorąc punkt A jako centralny: sin 1 sin 3,sin 5.sin 7 sin 2. sin 4. sin 6. sin 8

Fig. 11.

p = 5 P = 9 TF=13

Przykład 2. (Patrz rys. 11):

W-2p 4-4 = 7 P-p 4-1 = 5    \

J?—2p 4- 3 = 2 j

5 4-2 = 7

sin 10 sin (7 + 8) sin 4 sin 13

Aby te równania znaleść, należy całą konfiguraćyę podzielić na dwie

następujące :

sin 6 sin 3 sin 12 sin 9

Centralny punkt E:

1+2+ 5 + 11 = 180°,

4 + 9 + 12 + 13 = 180°,

3 + 6 + 10+ 7 + 8 = 180°. 6 + 9 + 10 + 13 = 180°,

2 + 7 + 11 + 12 = 180°.

sin 7 sin (3 + 4) sin 1 sin 11 sin 12 sin 8 sin 5 sin 2

Centralny punkt D :

A°v

/1H

E++

\ <3

7tR\r

b/b

IP.

,9 10/

Fig. 12.

Przykład 3. (Patrz rys. 14).

p = 9 P = 17 W=27

Fig. 13.

P-p + 1 = 9 P — 2p + 3 = 2.

będzie więc:

Do tego należy dodać dwa horyzonty u punktów K i H, razem

9 + 2 + 2 = 13= W— 2 p + 4

równań warunkowych

27

g\

* «11

/-à-'ihox

26

23

12

11

13

13

Fig. 14.

1.    3 + 6 + 8 + 10 + 24 + 25 = 360°,

2.    19 + 16 + 15 + 12 + 22 = 360°,

3.    1 + 2 + 3 = 180°,

4.    4 + 5 + 6 = 180°,

5.    7 + 8 + 9 = 180°,

6.    10 + 11 + 12 = 180°,

7.    13 + 14 + 15 = 180°,

8.    16 + 17 + 18 = 180°,

9.    19 + 20 + 21 = 180°,

10.    22 + 23 + 24 == 180°,

11.    25 + 26 + 27 = 180°.

Jeżeli weźmiemy Ii i K jako punkty centralne, albo co równoważne, linię IIK jako podstawę, i rozłożymy tę konfiguraćyę na dwie: (ABCDHGK) i (DEFGrllK), to otrzymamy dwa równania boków:

= 1.

12.

sin 12. sin 6. sin 5. sin 2. sin 27. sin 23

sin 11. sin 7. sin 4. sin 1. sin 26. sin 22 sin 10. sin 13. sin 17. sin 20. sin 23

13.

sin 11. sin 14. sin 18. sin 21. sin 24 przez co liczba równań warunkowych jest wyczerpaną,.

§. 25. Równania warunkowe przy pomiarach kontrolnych i przy wciąganiu

w wyrównaną siatką.

Dotychczas zakładaliśmy, źe w konfiguracyach tylko jedna prosta była mierzoną. Jeżeli będzie pomierzonych (oprócz wszystkich kątów), więcej prostych, to powstają nowe równania warunkowe. To samo dotyczy i wciągania punktów w wyrównaną siatkę, którą przyjmujemy za niezmienną.

Przykład. Wychodząc od boku «, możemy A ABC skonstruować,

jeżeli tylko:

I. a + ß + y = 180°.

Jeżeli prócz tego i prosta b była mierzona, to możemy przy pomocy tych samych kątów wykreślić Ą A>B‘G/.

Wyrównanie wymaga, aby:

Jeżeli :

/\ABC QJAA'B‘C‘.

A‘C‘ = AG,

musi więc być:

sin 3 a.—.—— sin a

albo :

II, a. sin ß — b. sin a == 0,

jako żądane równanie warunkowe.

Jeżeli i trzeci bok został pomierzony, to mamy do czynienia z następującymi trójkątami: 1. z A,UBIUC,U₁ powstałym z pomierzonych boków a ib i z wyrównanych kątów a, /?, y, oraz 2. z A A1VBLVC1V, powstałym z pomierzonego boku c i z tych samych wyrównanych kątów w, ß, y. Mamy więc nowy warunek :

Do tego trzeba, ażeby :

A A,,,B‘“CUI ^ A1YB1VC1V. B¹¹¹ C“‘ = B1VG1V.

B‘"CIU = a.cos ß + b cos a,

Mamy :

więc nowe równanie warunkowe :

III. G — a cos ß —■ b. cos a = 0.

Równanie I, II, III, należy przez wprowadzenie wartości przybliżonych przekształcić w równania liniowe.

Równania warunkowe przy nawiązaniu sią.

Przykład. Jest dany punkt P (patrz rys. 15), który metodą wcinania wprzód został do istniejącej już siatki włączony, przy czem Ą ABC należy uważać za niezmienny. Pomierzone kąty niech będą :

a, ß, y, ô, £, rj.

Należy wyszukać równania warunkowe.

Trójkąt ABC jest zwykle dany przez spółrzędne, przy pomocy których wyrachujemy azymuty, a z nich kąty:

€/

j / ¹

A, B, C.

łh

Równania warunkowe zatem są :

a + ß — A = 0, y + ô — B = 0, £ + r\ — C = 0.

p'/3

cl

Xcf\

Ponieważ kąty ABC wypełniają już warunek: A + B + C = 180°,

to równanie :

Fig. 15.

a-H/? + y+ ó+ £ + i? = 180°.

przedstawiające sumę powyższych równań odpada. Natomiast będziemy mieli jedno równanie boków:

^ sin ß. sin d. sin r\ siny.sin£.sin a ’

Przykład nawiązania tryangulacyi.

Bez przymusu nawiązania się mielibyśmy (w rys. fig. 16) następującą ilość równań warunkowych :

p = 14 P=28 W= 45

P-p + 1 = 15 P—2p 3 = 3

33,

26¹

37

³⁵

V /Tn?'!

/³Vk

mi

15

\18"

JlS

11

a oprócz tego trzy horyzonty, więc razem:

15 + 3 + 3 = 21 = W — 2p + 4.

Jeżeli tryangulacya ta przylega do istniejących i wyrównanych tryangulacyi AB i CD bokami a, b, e, d, c, to boki a, b, c, d, e, jakoteż i kąty załamania a, ß, y nie mogą być przedmiotem wyrównania, natomiast powodują one nowe równania warunkowe.

Mamy tu przedewszystkiem :

I. 30 + 31 — a = 0,

II.    2 + 4 — ß = 0,

III.    5 + 7 - y = 0,

\17

Oprócz tego jest:

IV. i._

O? ⁵/

ll

Fig. 16.

VI. — =

sin 33. sin 29 sin 32 .sin 28 sin3.sin 5

sin 1. sin 3 sin 6. sin 9

sin4. sin 8

Ilość równań warunkowych powiększyła się w ten sposób o 6, tak, że mamy razem :

21 + 6 = 27

równań warunkowych, a mianowicie:

6 równań I . . . . VI. z powodu nawiązania się, 3 horyzonty,

15 równań kątów 3 równania boków razem 27 równań.

'b\

ty/30 f51\*

Ł‘J

32

fe

ti

Fig. 17.

Fig. 18.

Fig. 19.

Aby znaleśó trzy równania boków, rozkładamy figurę na grupy, które się około trzech horyzontów skupiają, mianowicie:

1.

I, II, III, XIY, XV;

2.    III, IY, Y, YI, XI, XII, XIII, XIV;

3.    YI, VII, VIII, IX, X, XI.

Otrzymamy więc podług normalnych schematów (strona 57) równania : sin 29. sin 31. sin 34. sin 38. sin 25 sin 30. sin 22. sin 36. sin 39. sin 29 sin 10. sin 45. sin 42. sin 38. sin 26. sin 24. sin 21. sin 15

sin 11. sin 43. sin 40. sin 37. sin 27. sin 23. sin 19. sin 14 sin 1 .sin 4.sin 7.sin. 11 .sin 13.sin 18

sin 2. sin 5. sin 9. sin. 12. sin 15. sin 17

§. 26. Równania przy niwelacyi i przy mierzeniu wysokości.

Między p punktami jest tylko (p — 1) niezależnych różnic wysokości możliwych. Pierwsze dwa punkty dają jedną tylko różnicę, każdy zaś następny punkt nową różnicę. Jeżeli pomierzono l różnic wysokości, to mamy :

120)

1 — {P — !) = ? + ! —p

danych ponad potrzebę, więc taką samą ilość równań warunkowych.

1Ł

IV

Postać tych równań warunkowych jest prosta, ^ a każde z nich wyraża, że w każdym zamkniętym X e polygonie niwelacyjnym suma różnic wysokości równa ^ się zeru.

Niech będzie dany ciąg niwelacyjny (patrz rys.

• 20), to mamy :

/\iir

CO co

(1

(1

Cm h-i

3,    ... 14)

i— •

.... XYI)

czyli

18" s ⁹

Fig. 20.

równania warunkowe, które wyrażają, że suma różnic wysokości w każdym z trzech polygonów A, B i C równa się zeru.

16+1 — 14 = 3

to mamy :

Symbolicznie znakiem

. . 121)

4=0,

\ 3,2)= H₃—II₂

i t. d.

Suma tych wszystkich różnic musi być w zamkniętym polygonie równą zeru, według tego będzie n. p.

| A = /fc(2,l) -f ^(3,2) 4 ^(4,3) 4 ^(14,4) 4 ^(13,14) 4 ^(12,13) 4 ^(1,12) = 0.

Jeżeli w danej siatce są dane pewne punkty stałe, t. j. takie, których wysokość jest dana i niezmienna, to otrzymamy nowe równania warunkowe :

^■(2,1) 4 ^(3,2) 4 ^(4,3) =

^(5,4) 4 ^(6,5) 4 fyl,6) =

Przykład. W konfiguracyi (rys. 21), gdzie wysokości punktów 1, 4 są dane, mamy 3 równania:

A = /&(2,1) 4 h(5,2) 4 ^(G, 5) + Ä(6,1) = 0,

Fig. 21.

B = &(5, 4) 4 ^(5, 2) 4 ^'(3, 2) + ^(4, 3) = 0,

^(2,1) 4 ^(3,1) 4 ^(4,3) ==    -ÜTj .

Obszerniej o wyrównaniu pomiarów spadu i wysokości będzie mowa w odnośnych częściach tego dzieła.

QjOA oO

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000249941

!

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

111-304974

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000249941