'. ;. ••• " '.. ^    .'•■ '.'^rÿ'':

mm

»PSflS'

agÉHI

■MN|

W

S»»il

mÊÈÈIÈÈIÈÈÈm

ÿ :i ..::<................................

mmmtm

mm

EîSS

m

»

*

- '■ : '

' ;ü£

■■■■■■■■■■■■■Hi

MMMMMNNMtNNHMK

T

<L.

Oi/»'

WACŁAW BALICKI

’cN%)(sri'

c\s\ó

JE)

LINIE WPŁYWOWE

LINIE WPŁYWOWE

Czasopismo techniczne, 1903, Nr. 21.

LINIE WPŁYWOWE

DLA BELEK

TRZYPASOWYCH WSPORNIKOWYCH

'i>;v

(Z DWIEMA TABLICAMI).

II *ê

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGOu

Nr. 21 i 22 z r. 1903.

«V#

LWÓW, 1903.

NAKŁADEM TOWARZYSTWA POLITECHNICZNEGO.

Z I. ZWIĄZKOWEJ DRUKARNI WE LWOWIE, UL. LIND EDO 4.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

0000023200

WACŁAW BALICKI

s>

(/V*

rMV)

LINIE WPŁYWOWE

DLA BELEK

TKZYPASOWYCH WSPORNIKOWYCH

(Z DWIEMA TABLICAMI).

O m.    Q.

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGO“

Nr. 21 i 22 z r. 1903.

LWÓW, 1903.

NA KŁADEM

TOWARZYSTWA POLITECHNICZNEGO.

Z I. ZWIĄZKOWEJ DRUKARNI WK LWOWIE, UL. LINDEflO 4.

l:

lît-9*£n\

^CHN'łX

® ' .Ł

:v:.

AŁr. Nr

:- zrj-;,

1875 ⁷) (C. Shaler Smith). Gerberowi na-

u. Architekten

ten — str. 396.

następnie dla belki AB G, obciążonej

w przegubie C: algebraiczna suma rzędnych

z ana-

wzory

kształtu o belce zasadniczej równoległej (rys. 1

tabl. I).

zna-

Belki wspornikowe nie są bynajmniej rzeczą nową. Przed 200 z górą laty wykonano tego rodzaju mosty w Japonii j) i w Tybecie ²), ostatni o podporowej ³) 30 m. Obszerniej zajmowali się takiemi belkami amerykańscy i angielscy inżynierowie na początku XIX w. ⁴). Były to jednak tylko projekty. Pierwszy most wspornikowy nad rzeką Regnitz pod Bambergiem wykonał Gerber w r. 1867 ⁵). O projekcie L. Bren-neckego w Petersburgu ⁶)    (1879) jako znacznie

późniejszym nie mówimy. W Ameryce pojawiają się te mosty później : daje im początek most nad Kentucky w r.

leży się głównie zasługa, źe układ ten przyjął się w praktyce i rozpowszechnił, choć myśl belki ciągłej przegubowej — jak to niektórzy wykazują — zawdzięczał on R u p p e r t o w i ⁸). Nikt jednak nie może zaprzeczyć, że Gerber użył pierwszy belek trzypasowych jako układu statycznie wyznaczalnego ⁹). Epokowym pod tym względem jest most na Neckarze pod Mannheim¹⁰). Od tego czasu, tj. od r. 1888 belki wspornikowe trzypasowe zaczęły się coraz częściej pojawiać i wykonano kilka znaczniejszych mostów tego układu H).

*) Centralblatt der Bauverwaltung (C. d. B.) 1897, str. 114. (Autor chce widzieć pierwszy most wspornikowy w Niemczech około r. 1244, powołując się na „Zeitschrift für Bauwesen¹¹ 1895, str. 370: zdaniem naszem twierdzenie to nieuzasadnione).

²)    Engineering (E.) 1890, str. 217 i 218 (Westhofen).

Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure (V. d. I.)

1891, str. 85 i n. Rozprawa Kletta.

³)    Czyby wyraz podporowa nie mógł zastąpić nieodpowiedniego słowa rozpiętość?

⁴)    Oprócz wspomnianej rozprawy Kletta por. artykuł Gaudarda w Annales des ponts et chaussées (A. p. ch.) 1891, I, str. 849, a także E. 1892, str. 219.

⁵)    Oprócz wymienionej rozprawy Kletta por. Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereines zu Hannover (H.) 1891, str. 527.

6)    C. d. B. 1890, str. 121.

⁷)    E. 1888, str. 85; A. p. ch. 1891, I, str. 349. Klett we wspomnianej rozprawie podaje rok 1876.

⁸)    Wochenschrift des Österr. Ingenieur-Ver eins 1888, str. 63. i 64. artykuł Köstlina. Nadto A. p. ch. 1891, I, str. 349. i Handbuch der Ingenieur-Wissenschaf-

Der Brückenbau — II Band, 2 Abtheilung, 1890,

*) H. 1889, str. 680 i n. (Landsberg).

«) O. d. B.: 1887, str. 486 i 461; 1898, str. 443. tl. : 1888, str. 146; 1889, str. 89.

V. d. I.: 1890, str. 912; 1891, str. 85.

Mehrtens — Der deutsche Brückenbau im XIX Jahrhundert — 1900, str. 22.

l) Prócz mostu pod Mannheim przytaczamy:

„Dombrücke“ we Wrocławiu (C. d. B. 1890, str. 328). Most w Bremie nad Wezerą (C. d. B. 1894, str.: 118 i 288).

Most na Cisie pod Tokajem {Zeitschrift des österr. Ingenieur- und Architekten-Vereins 1897, str. 593; nadto: Förster: Neue Brückenbauten in Österreich und Ungarn 1899, str. 28, tabl. IX i X).

Co do obliczenia, to do najnowszych czasów była w literaturze wielka luka. O belkach trzypasowych, ale w dwu punktach podpartych z przegubem w środku, pisał Müller-Breslau¹), po nim Landsberg²), a wreszcie ogłosił na ten sam temat obszerniejszą rozprawę Fr. Engesser³), w której podaje wzory do obliczania wspomnianej belki i nadmienia, źe można użyć tych wzorów do obliczania takich mostów, jaki się właśnie buduje w Mannheimie.

Od tego czasu nie pisano wcale o sposobie obliczania belek trzypasowych wspornikowych. Dopiero w najnowszych czasach w Handbuch der Ingenieurwissenschaften ⁴) jest wskazany w kilku słowach ogólny sposób postępowania przy wyznaczaniu natężeń w sposób analityczny. Obszerniej omawia tę kwestyę Müller-Breslau⁵) i podaje sposób wykreślenia linii wpływowych. W rok później metodę Müllera-Bre-s 1 a u a szerzej rozwija K. H a b e r h a 11 ⁶). Najważniejszym punktem jego pracy jest wykazanie tego, że linie wpływowe można uzyskać w następujący sposób. Wyznaczamy linie wpływowe dla wspornika BC (rys. 1 tabl. I lub tabl. II) jako belki w dwu punktach podpartej,

siłą obu linii dla tych wypadków daje linie wpływowe dla belki ABC.

Wspomniane prace nie zapełniły jednak zupełnie luki, którąśmy widzieli w literaturze, albowiem nie dały nam jasnego poglądu na linie wpływowe litycznem uzasadnieniem ich kształtów. Podjął się tego prof. Dr. M. Thullie: opracował on już przed kilku laty (o wiele wcześniej przed r. 1901, jak to mogłem wywnioskować z rękopisu) analityczne wyprowadzenie linii wpływowych z podaniem wykresów (gdy belka zasadnicza równoległa), ale dotąd drukiem tego nie ogłosił. Miałem w swych rękach te cenne notatki w zeszłym roku przy wypracowaniu projektu tego rodzaju. Korzystając wtedy z rękopisu i uwag Autora, starałem się uogólnić te wzory, co niżej przedstawię. Przedtem jednak dla ułatwienia zagadnienia, idąc za tokiem myśli prof. Dr. M. Th ul li eg o, będę się starał w sposób jak najbardziej elementarny wyprowadzić i przedstawić wykres linii wpływowych dla na

Nadmieniam przytem, że chcąc ujednostajnić kowanie, przyjąłem je wogóle odrębne niż prób Dr.

*) Graphische Statik 1887, I, str. 421—425.

²)    H. 1889, str. 630 i n. (Über Mittengelenkbalken).

³)    H. 1890, str. 406 i n. (Über Mittengelenkbalken)

⁴)    II. Band,' 2. Abtheilung, str. 341 i 342.

⁵)    Graphische Statik 1901, str. 361—365, 496—498.

⁶)    Allgemeine Bauzeitung 1902, Heft 1: Die Überbrückung der Salzach zwischen Oberndorf und Laufen. — Także odbitka.

M. Thullie w swym rękopisie. Dla uniknienia nieporozumień przedstawiam je zaraz na wstępie dla kształtu najogólniejszego, tj. dla belki o wszystkich trzech pasach zakrzywionych (tabl. II rys. 1 ; por. też tabl. I rys. 1):

A, P... podpory ; zarazem oddziaływania ;

O, D... przeguby, czyli podpory belki wiszącej CD;

Z.... podporowa AB;

Z₁... długość belki wystającej PC;

Z₂... podporowa CD ;

x... odstęp siły P= 1 od lewej podpory A (najw.

gdyż przenosi się całkowicie na belkę wspornikową po prawej ; gdy zaś ciężar porusza się po belce CD rozdziela się według prawa prostej na przeguby C i D. Według tego należy połączyć punkt Cx‘ z D]} by otrzymać całkowitą linię wpływową oddziaływania A) t. j. Aa‘ Pi Ci .Dj.

Jak wyznaczyć linię wpływową dla oddziaływa

nia B?

£1,    £₃'> ••• odstępy węzłów pasu śre-

dniego od pionowej podporowej A ; I? ;

£₂> £₄. • • • ;    pdst?py węzłów pasu doi-

nego od pionowej podporowej A ; B ;

: O₀',

Najprościej wyjść z zasady, że suma oddziaływań A i B musi być równa sile zewnętrznej P. Otrzymamy zatem rzędną w A₁ równą zeru, P₁P₁/=P=1, a łącząc Ax z B\, przedłużymy tę prostą do pionowej (7, t. j, do O/. Punkt Ci/ połączymy z Dv rozumując jak poprzednio. Linią wpływową dla oddziaływania B jest zatem AaBx' C± D.j.

Chodziłoby jeszcze tylko o wyrażenie tego anali

0₂\... pręty pasu trzeciego,

• *

liczone od podpory P na lewo i na prawo; nachylone są one do poziomu pod kątami o)₀, (Ov co₄, ...;

<V>

tycznie.

Dla siły P w przęśle AB otrzymamy oddziaływanie B jak dla belki prostej, czyli

2)

r₂, F₄,... ; Fj', F₄',... słupy pionowe przy pasie trzecim: długości ich wynoszą h₂,    h₂\ ft₄', ...

F₀... narożnik nad podporą P o długości h₀ ;

AT₂, Jf₄,... ; Hf₂', Jf₄',,.. pręty pasu średniego, nachylone do poziomu pod kątami ^₂,

[i₂', jb₄',...

Dx\ D₂,.

lone do pionu pod kątami d1? d₂, d₃,... ; <5/, d₂', ...

JJ₂, Z7₄,... ; Z7₂', Z7₄', ... pręty pasu dolnego, nachylone do poziomu pod kątami v₂₎ t>₄,...; t>₂', t>₄',...

Siły wewnętrzne w prętach są oznaczone temi samemi literami co pręty (O, F, M₎ D, Z7).

d₂, d₄, ...; d₂', d₄',... pionowy odstęp węzłów pasu średniego (M) od prętów pasu dolnego (U);

dv d₆,...] d₂, dh\ ... pionowy odstęp węzłów pasu dolnego od przeciwległych prętów pasu średniego; dy, d&, ... ; dy... rzut pionowy przekątni

■^3» -^5 ? * • * 5    ^5 ’ • * •

.. przekątnie, nachy-

gdy zaś siła P przekroczy podporę P, to równanie momentów względem A jest następujące :

—Bl + Px=0, skąd B = P~ .    .

i

Mając oddziaływania, przystąpić możemy do wyznaczenia linii wpływowych dla wszystkich prętów belki.

• • 2')

Siły wewnętrzne w pasie górnym (O) i słupach (F).

Gdy na belkę działa siła w przęśle AB₎ to zrobiwszy przekrój II, otrzymamy równanie momentów ze względu na B :

A ,l—P(l—x)-\- O₀. h₀ cos o)₀ =0, skąd ,, P(l-x)-A.l

^0    1

Teraz przystąpić możemy do omówienia linii wpływowych dla belek trzypasowych o zasadniczej belce równoległej. Dla takiej belki (tabl. I) upraszcza się znakowanie : [i₂    = . .. =^₂/

= 0:

= d,=...^d₂' = *= <#3/, =.. ,=d&/=

dz=db= .=d₃

d.

...=v₂=vit=. ..==

' = •••=<5; d₂ =

...=d₃, =

Przystępując do właściwego tematu, zastanowimy się przedewszystkiem nad oddziaływaniami, gdyż w dalszym ciągu na nich opierać się będziemy.

Zauważmy siłę P, znajdującą się w przęśle AB: widocznem jest, że oddziaływanie A będzie takie samo, jak dla belki prostej o podporowej l, czyli

l—x

A=P

1)

Gdy zaś siła P działa w przęśle BC\ wtedy z równania momentów ze względu na B

A . I + P (x — l) — 0 otrzymamy

A=—P

• • 1')

Z równań 1) i 1') widzimy, że oddziaływanie A jest jedną prostą aż do pionowej przegubu C. Łatwo ją wykreślić, zważywszy, że dla #=0, A=P; x=l, A=0\ odcinamy zatem J.₁J.₁/=P=1 i kreślimy prostą Ai/B₁ aż do pionowej C, gdzie otrzymujemy według 1') rzędną C₁C₁/=P—.

i

Musimy jeszcze zadać sobie pytanie, jaki wpływ na oddziaływanie A wywiera ciężar, znajdujący się na belce wiszącej CD. Nietrudno wysnuć wniosek, że ciężar w D nie wywoła żadnego natężenia w belce ABC,

sec o)₀    ...    3)

Atoli z równ. 1) wynika, że P (l—x) = A.l, więc O₀=O. Zęby równowaga była możliwą, to nietylko O₀=O, ale wszystkie siły wewnętrzne pasu górnego O i słupów F muszą być równe zeru : wynika to z warunków równowagi każdego z węzłów górnych.

Inaczej się rzecz przedstawi, gdy siła P przekroczy podporę P, a więc gdy działa w drugiem przęśle. Wtedy (przekrój II) A.l + O₀.h₀ cosco₀=0, a stąd A l

O₀=------------sec 6>₀, mając zaś wzgląd na 1'),

h₀

°°-Ft;

Na podstawie tego równania wykreślimy linię wpływową dla O₀, o czem jednak powiemy niżej.

Teraz zastanowimy się* nieco bliżej nad siłami wewnętrznemi w pasie trzecim O i w słupach F. Weźmy w tym celu pod uwagę węzeł o₂: jeżeli wykreślimy dla niego trójbok sił (rys. 4 tabl. I), to się okaże, że O₀ cos co₀ — 0₂ cos co₂ ; na tej samej podstawie, biorąc pod uwagę węzeł o₂, o₄, 06ł..., o^ni możemy napisać

O₀ COS Cü₀ =0₂ COS 0)₂=. . .= 02» cos (02n=H , . 5) jeżeli przez H oznaczymy stałą dla danego obciążenia składową poziomą (ciągnienie poziome).

Z równ. 5) otrzymamy

PT=O₀ cos (O₀ =

biorąc pod uwagę równ. 4).

Na podstawie równ. 6) wykreślimy linię wpływową dla H:

Dla x=l, H= O

x ——• 1    1

sec o)₀

•    •    4)

. . 6)

Odmierzamy więc P₁P₁=ń₀ i robimy rzędną E^E^-P— 1; kreśląc prostą P₁P₁/ aż do pionowej O,

sec o>₂, ..

Z równ. 5) otrzymujemy bowiem fi =H sec (oQ O2 =3 sec co2

napisać

—1

więc

o₀'=p

n 8),

10)

■ U)

A-

. . 12)

Dv lecz dla (D₄)

sec d

tg co

. 110

P sec ô , -------. Jl

. U")

rzędnej mamy odjąć według 11") wyrażenie W tyra celu kreślimy przez fi" poziomę od piono-

o*

P

otrzymujemy tamże fi fi '=—    = (H) na mocy wy-

" o

kresu. Jeżeli wkońcu połączymy prostą punkt Cz Dp otrzymamy fifi'Dj jako linię wpływową dla //, która ma kształt trójkąta. Największą rzędnę oznaczamy przez (U).

Mając linię wpływową dla //, bardzo łatwo otrzymamy linie wpływowe dla O₀, Ov 02m a jak niżej okażemy, także dla O₀\    0₂', . .02m': trzeba tylko

największą rzędnę (w pionowej punktu C) pomnożyć przez sieczną odpowiedniego kąta, czyli sec cou} sec (02nj sec co₀', sec <o₂',.sec (O2J.

02n=ffsec 0)2 n> wzory, równoznaczne z 4).

Na podstawie tych równań możemy bardzo łatwo wykreślić linie wpływowe dla prętów pasu trzeciego. Przedewszystkiem widzimy, że te linie wpływowe będą zupełnie podobne do linii wpływowych dla fi a więc będą miały kształt trójkąta. Największą rzędnę w pionowej G znajdziemy w następujący sposób : Kreślimy fi fi'=(!?), z punktu fi prostę fi E | fi, a z (7/ poziomę do przecięcia się z prostą fiÆ7. Wtedy GXE=

—    GXCX sec o)₀ = (D) sec co₀. Robiąc wreszcie fi fi"=

—    GXE (przez zatoczenie łuku) i łącząc fi" prostemi z fi i fi otrzymujemy D₁(7₁//D₁ jako linię wpływową dla O₀.

Przychodząc do omówienia słupów F, możemy

T72=-H’(tg "O—    ....    8)

wynika to wprost z rysunku 4 (tabl. I).

Takie same równania możemy napisać dla innych węzłów górnych.

Równ. 8) daje nam prosty sposób wykreślenia linii wpływowej dla F₂, która ma znowu kształt linii H: W pionowej przegubu G odcinamy fifi/ = (D’), z punktu fi kreślimy GxEJ__O₀ aż do przecięcia się z poziomą Gx E w punkcie E. W ten sposób otrzymaliśmy G^‘E=GiF‘=(H) tg co₀.

Teraz kreślimy z punktu E prostę EF | fi i otrzymujemy E'F—(H) tg co₂. Tworząc różnicę tych dwu wyrazów i robiąc fi fi fi F=(H) tg co₀ — —(ńf)tgco₂, otrzymujemy punkt G₁//, który połączony z fi i D₁ daje linię wpływową dla V₂ tj. BiCx/Di.

Zbadajmy jeszcze, jak się zachowują pręty w przedziale BG (oczywiście gdy siła znajduje się w tym przedziale, bo gdy działa na belkę A fi siły wewnętrzne we wszystkich prętach belki BG są równe zeru).

Równanie momentów względem B (przekrój II II) da ogólny wzór

A l

fi'.7^₀ cos co₀/JrA . ?=0, skąd fi' =---—seccü₀';

ale według 1') jest A=—P — seco>₀'.

Otrzymujemy zatem takie same wzory, jak 4), więc i linie wpływowe wyznaczymy tak samo. Siły wewnętrzne w słupie F₀. Słup ten, odrębny od innych, narażonym jest na ciśnienie, gdy siła przekroczy podporę B (gdy siła w przęśle AB, natężenie w słupie VQ równem jest zeru). Z rysunku 3 (tab. I) widzimy, że —F₀ = H (tg co₀ + % o>₀'), czyli ro = —U (tg co₀ i- tg w₀ 0 •    ...    9)

Kształt linii wpływowej będzie zatem znowu podobny do H. Największą rzędnę w pionowej punktu C otrzymamy, jeżeli odetniemy fifi/==(D), a z punktu fi wykreślimy fi^J_fi aż do przecięcia się z poziomą przez fi' w E. Wtedy fi'D=fiD'=(fi) tg (o₀. Teraz z punktu i? wykreślamy 1?F | O₀' do przecięcia się z poziomą fi w F: otrzymujemy przez to E'F= = (H)tg(o₀'. Jeżeli wkońcu zrobimy fi fi " = fi F= = (//) tg o)} +{H) tg co₀' i połączymy punkt O/' z fi i Dp to linią wpływową dla V₀ jest fi Ci " fi.

Siły wewnętrzne w krzyżulcach.

Weźmy pod uwagę D₁.

Ponieważ zasadnicza belka jest równoległa, więc gdy siła działa w przęśle AUf siła wewnętrzna 1)x będzie proporcyonalna do siły poprzecznej fi bo siły wewnętrzne w pasie trzecim są =0, czyli Di = Q sec ô

Gdy zaś siła przekroczy podporę B, to z warunku równowagi dla przekroju II wynika ogólny wzór

Dt cos ô — O₀ sin (o₀ — A — 0, skąd D₁ = (A-+-+ O₀ sin co₀) sec ó, a podstawiając za i i fi wartości z l/) i 4), otrzymujemy sec ô .

Dla wykreślenia linii wpływowej można dwojako postąpić. Najczęściej autorowie wyznaczają — jeżeli weźmiemy pod uwagę D₁ — linię wpływową nie dla

D, cos d.

wskutek czego zamiast równ. 10) i 11) otrzymamy

(Z)₁)=(2 . . 100 i (D₁)=P    h

Postępowanie to jest zupełnie słuszne, gdy chodzi o teoretyczne badanie, n. p. o wyznaczenie najniekorzystniejszego obciążenia, albowiem upraszcza nam wykres. Ale jeżeli chcemy na podstawie linii wpływowych wyznaczyć siły wewnętrzne w danych prętach belki, to postępując w sposób powyżej podany, musimy pamiętać, że według 12) mamy pomnożyć wyniki przez sec d. Podobnie dla O₀ moglibyśmy wykreślić linię wpływową dla fi a następnie wyniki pomnożyć przez sec co (równ. 7) itd. Zapomnienie, które się łatwo może zdarzyć, spowoduje gruby błąd. Dlatego wygodniej będzie dla praktyki przedstawić linie wpływowe w ten sposób, by rzędne przedstawiały wprost siłę wewnętrzną w danym pręcie, wywołaną ciężarem P= 1 /, znajdującym się gdziekolwiek na belce. My też w ten drugi sposób oznaczamy konsekwentnie linie wpływowe.

Wracamy do linii wpływowej dla krzyżulca Dr W pierwszem przęśle według równ. 10) kształt jej jest taki, jak dla belki zwykłej. Należy więc, opierając się na dopiero co zrobionej uwadze, w pionowych podporowych A i 3 zamiast P= 1 odciąć Psecd = l.secd nad i pod osią AXBV co się uskutecznia w następujący sposób: Robimy B]Bi' = P=l₇ kreślimy prostą D₁D//D₁ aż do przecięcia z poziomą Bt' w E; jeżeli teraz promieniem BXE zatoczymy łuk aż do pionowej _B, to otrzymamy BiBx"=BxE=P sec d. Łącząc A₁ z B₁", otrzymujemy linię wpływową dla D1 w pierwszem przęśle. Nie potrzebujemy nadmieniać, że dla tego krzyżulca nie ma punktu obojętnego, więc powierzchnia wpływowa jest cała ujemna (At

Nie o wiele trudniej przedstawi się wykres linii wpływowej Bx dla drugiego przęsła. Dla odciętej x — l-=h₀ z równ. 11) otrzymamy rzędną

D₁ = P sec d . tg co₀ —

Odcinamy zatem fiD=fi, jEfi=P~l i tak samo, jak poprzednio otrzymujemy EF=EG—P sec ô. Wykreśliwszy EGX// fi aż do pionowej fi t. j. do fi, mamy G fi == EG . tg co₀ — P sec ó tg co₀ =EE₁ ". Od tej

P sec d

—---h

wej B. Odetnijmy B₂K=l, KKX =P=1 i KL=KK/= = P sec ô (jak poprzednio), to połączywszy punkt KA* z P₂, łatwo zauważyć, że w pionowej punktu E (dla x—l—h₀) rzędna KK^

E/ Ea*

,.B₂E,"=

KK/

B,K

. B< E

P sec ô _

-—-—. h

o*

B₂K

Różnica obu rzędnych czyli EEjest rzędną linii wpływowej w punkcie E. Łącząc Bi z Ex* prostą aż do pionowej punktu (7, tj. do C^', a następnie C₁/ z D1? otrzymujemy linię wpływową D₁£7j'D₁.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę następny krzyżulec D₂, to analogicznie jak poprzednio otrzymamy D₂ cos ô — 0₂ sin o)₂—A = 0,

B₂ = (A+0₂ sin o)₂) sec <5=

x—l

j-p

-i-H sec co₂ sin co

-(

-tg a>₂1 sec ô, czyli wkońcu

\ )

D₂ = P (x —

l]

sec ô

.    .    11 a)

Widzimy zatem, że to równanie jest zupełnie analogiczne do równ. 11). Takie same wyniki otrzymamy dla wszystkich innych krzyźulców w przęśle AB.

Zwracamy przytem uwagę na to, że przychodzące w tych wzorach h₀ jest stałe: jest to wysokość słupa F₀.

Jeżeli teraz przejdziemy do przęsła BC₎ to dla D^' otrzymamy (oczywiście siła działa w drugiem przęśle: gdy w pierwszem, wtedy D₁'=0) z przekroju IIII dla x—l> £₂'

prowadzaniu wzoru 13') : a zatem ważnym jest tu wzór 13").

Przytem wiemy, że gdy jedna przekątnia jest ciśniona, to druga będzie ciągniona. Która jest ciśniona albo ciągniona, o tern bardzo łatwo się przekonać według znanej reguły: gdy wypadkowa wszystkich sił na belkę działających przecina się z kierunkiem danej przekątni na dole, to w przekątni jest ciągnienie; gdy na górze, to ciśnienie. Wiedząc to, nie popełnimy nigdy błędu, byśmy powierzchnię wpływową dodatnią odcięli jako ujemną lub odwrotnie.

Na tabl. I widzimy jeszcze linię wpływową dla D₃'. Stosownie do zrobionej dopiero co uwagi wiemy, że na prawo od L jest powierzchnia wpływowa ujemna, na lewo od G dodatnia. Wiemy też z poprzedniego, że linia B/ 0ważną jest od D, do punktu G zaś dają powierzchnię wpływową rzędne linii B^ ". Punkt G należy połączyć z D, by otrzymać całkowitą linię wpływową B₁ GLG^B^ Ci " B^.

Pozostały do omówienia pasy belki zasadniczej.

Siły wewnętrzne w pasie średnim (M).

Weźmy pod uwagę Mv Zastanawiamy się tylko nad wypadkiem, gdy siła P działa w drugiem przęśle; jeżeli w pierwszem, to mamy do czynienia z belką prostą równoległą, dla której wyznaczenie linii wpływowych jest nader łatwe.

Równanie momentów względem węzła uk daje A.£k + Mk.d+H(\+d)~0, M,d=-A.^-H(he + d)=

D/ cos <5+ O₀' sinco₀'—P=0,

D₁'==(P—0/sin o>₀') sec d = (P—PT tg co₀') sec d . . 13)

—l

=(p-^

sec d =

tg^o

Z ostatniego równania widzimy, że linia wpływowa składa się z prostej równoległej do osi w odstępie P sec d i z prostej, przechodzącej przez Bv gdyż drugi wyraz dla x—l staje się =0. Przy wykresie możemy się opierać na równaniu 13) lub 13'). Według 13') odcinamy Bx P₁ '==Psec ô : otrzymujemy w ten sposób jedną linię Dj0₁'Dl, ważną od G. Ponieważ siła w' B nie sprawi żadnego natężenia w przekątni Da', więc łączymy punkt B^ z G i otrzymujemy w ten sposób pierwszą linię D₁Gt(7₁'D₁. Od rzędnych

x

tej linii mamy odjąć wyrażenie P —

_ %

= +P-

x

M' d=P -

-4

sec d .    .    .    13')

. £₄ — II(hQ+d)... ze względu na 1'). •£4 —P ^-—(*6+ <*)••• według 6).

-w

—l

Ml

hG + d\

Zróbmy x—l = d punktu G otrzymamy

.    14)

czyli B₁G==dj to dla tego

_ P K+d

K '

Równanie 14') daje nam łatwy sposób wyznaczenia rzędnej w punkcie G. A mianowicie odcinamy GF—Ç,^ następnie FE=l i w punkcie E rzędną EEé =--P= 1. Prowadząc prostą E'F, widzimy z wykresu, że rzędna

.    . 14')

tg o>₀' sec d==

= Psec d tg co₀' dla x—l=^h₀. P secd daje nam wykreślona już linia : odetnijmy B₁E=hQ, to w E rzędna EE'=P secd. Jeżeli teraz zrobimy EF=EE/ i z punktu F wykreślimy FE" jl O₀' aż do pionowej E, t. j. do 22", to EE" = EFtg co₀'— P sec d tg co₀'. Łącząc Bx z E" prostą do 6\", otrzymujemy drugą linię P₁(7₁"D₁. Różnica obu linii daje powierzchnię wpływową, która się tern różni od wszystkich innych dla D₂',D₃',...,

się : wskutek tego są 2 punkty obojętne, tj. Bi i N.

Na rysunku oznaczono powierzchnię dodatnią i ujemną. Anormalny kształt ten wynikł z powodu i nagłej zmiany kątów (O₀ ' i 0)./: któraś my z umysłu ! zatrzymali. Przy wykonanych mostach tego rodzaju wszędzie widzimy przejścia łagodniejsze, wskutek czego ten wyjątkowy wypadek nie zajdzie.

Dla następnej przekątni P₂' możemy napisać analogicznie do równ. 13')

*Y~-p( ¹

GG'^ —. f₄. Od tej rzędnej należy odjąć wyrażenie 1/

p j t W tym celu na poziomej przez G' odetnijmy *0

(r'/f==^₆ + d₎ a otrzymawszy punkt K₎ zróbmy KL = h0 i rzędną DD' = P=1. Jeżeli wkońcu wykreślimy prostą

L'K, to łatwo zauważyć, że 6r'6r" =

P(h₆+d). Róż-

że obie linie tworzące ją, przecinają

nica GG'—GG" = GG" daje rzędną linii wpływowej w G. Punkt ćr" określa nam już linię wpływową, gdyż z równania 14) wiemy, że jest ona jedną prostą i że przechodzi przez Bv bo dla x = l, 71/₄ = 0 : prowadzimy więc prostą B^G" aż do 6^', a następnie prostą 0₁'D₁ i otrzymujemy linię wpływową dla drugiego Nie potrzebujemy dodawać, że dla

przęsła B] 0₁ 'D₁. pierwszego przęsła linia wpływowa jest trójkątem

X ^ JL    / \

/l, g“’) .

Łatwo zauważyć, że składowe pionowe sił D₂' i 0₂ mają znak przeciwny sile P (gdy siła P działa w miejscu x — l^> £₂'), a więc tak samo, jak przy wy-

sec ô ,

.    13")

rlVn sam tok wykresu stosuje się do innych prętów pasu średniego (M) przęsła AB.

Przechodzimy do przęsła BC.

Dla x—l 7> ^₄' otrzymamy następujące równania momentów ze względu na węzeł u₄'

Ail + Ç^ + B.^' + M^.d+H^' + d)^, a pod-stawiając wartości za A i R,

-PXy (l + ^ + Py^ + M^.d-VH{\'+d)=0

.    15)

M,‘=P

. 15')

*o

prostej K*G w punkcie E, t. j. EE" = Mając E*\ kreślimy prostą B^E" do Ci

L'

(V+«*)-0, Mt'=-PX~

Dla x—l—d, M‘=—Ph±^~

K

Z poprzedniego wiemy, że rzędna EE'=P= 1

- K-(V + <*).

Mk'd+P

a EE‘‘—P -

u'-pŁr(z-l) • ■

. . 16')

A'-P XT

"o

U,‘=P

h₀

analogiczne równanie do 15), a więc i wykres będzie taki sam. A mianowicie dla x — l—d

U^=P SjL-phli d

odcinamy zatem BxE=d, EE'=P—\

h₀

~ä₀-ä₄', KG=h₀, GG'=

—l

— U₂ sin v₂ +P —

tg (o₀—P

h₀

+ P*.Çi'+Mi'd+H(hi'+d)=0

-Pr+PI+P£t'+Jf₄'d+P(V+<*)=

= -P(x-l-^)+ M,‘d-ł-P ~ (ht'+d)=0...a)

M^px--FF-P*-lh>+d

⁴    d    d ha

h₀-(\'+d)

JM.-F .

Dla x—l = d równanie to się upraszcza:

*o-(V+<*)

Linia wpływowa dla Mk‘ jest — według równ. 15) — różnicą dwu prostych, z których jedna przechodzi przez Bi (dla x—1 = 0 pierwszy wyraz staje się =0), a druga jest równoległą do osi. Wykres nie przedstawia żadnych trudności: Odcinamy BiE=d₁ EG= =h₀—(h^' + d), GK=h₀ i rzędną KK' = P= 1; rzędna

p*b-(V+«0 K

" i prostą

G] " Bi. Od rzędnych tej linii mamy odjąć P J . W tym

d

celu odcinamy EE* = P= 1 i prowadzimy prostą B₁E/ aż do pionowej F₎ przyczem B₁F=Çi': wtedy FF' = t

=»-— ,f₄' na mocy wykresu. Jeżeli przez F' wykre-

ślimy poziomą, to otrzymamy drugą linię, ważną od F' (dla    t.j. F'C₁'B₁. A jak wyglądać będzie

ta linia od F' do Bi ? — Wiemy, że musi być linią prostą¹); wiemy też, że ciężar w B nie wywoła żadnego natężenia w Jf₄', a więc mamy jeden punkt tej prostej Bi; drugim jest otrzymany już punkt F', a zatem szukaną linię przedstawia prosta BiF/.

Chodziłoby jeszcze o wyrażenie tego analitycznie : t. zn. szukamy siły wewnętrznej dla pręta Ji₄/, gdy Æ —Teraz przy równaniu momentów względem węzła w₄' wejdzie jeszcze jeden czynnik, t. j. moment siły P₁ czyli — P [f₄' — (X — /)]= +P (#—Z —£₄'). To samo wyrażenie ze znakiem przeciwnym widzimy w równaniu aj ; otrzymamy zatem po redukcyi zamiast a) następujące równanie : x—i

: różnica obu rzędnych czyli

E' E" przedstawia więc    dla x—l=d₁ czyli

słusznem jest tu równanie b).

Siły wewnętrzne w pasie dolnym (U), Zaczynamy od pręta Î7₄ w pierwszem przęśle. Równanie momentów ze względu na węzeł m₂ jest A.^-U^.d+H.h^O,

u^a^+h^—p^Ą+p^Ą

⁴ d d    Id ha d

. . 16)

równanie analogiczne do 14). Dla x—l=d wynika

u^Fv-

'*0

Według tego odcinamy BxE=d₁ EL=hv LK=h01 KK'=P=l: wtedy EE"=P . Następnie zróbmy

]j {j. Winkler. Theorie der Brücken, Äussere Kräfte der Balkenträger, 1886, str. 29.

EG=L, GF=l, FF' = P=1, toEE'=—.Ç₃. Różnica

E"E' jest rzędną linii wpływowej Bt Gi ⁴ B{ Cx " Bx. Wykres ten można było wykonać tak samo jak dla Mk: otrzymalibyśmy w takim razie tylko jedną linię, a powierzchnia wpływowa byłaby ograniczona tą linią i osią B^DV gdy przy podanym wykresie tworzą ją dwie proste.

W drugiem przęśle otrzymamy dla x—Z > f₃' ze względu na węzeł m₂' następujące równanie momentów

P (0-Ï—f₈0 + U,', d - H. v = 0,

-l    X-l-fr

’ d    d

.    .    17)

.    . . 170 :

to dla BiF= = £₃' rzędna FF'—P ~ . Jeżeli zrobimy dalej EK=

O

P=1, to EE“^Ph^h— .

h₀

Rozumując analogicznie jak przy 150, dojdziemy do wniosku, że linia wpływowa ma kształt

BXCX" DxCfF' Bv

Podane dotąd wzory prof. Dr. M. Thulliego okazują jasno, że teorya i wykres linii wpływowych dla belki trzypasowej wspornikowej o zasadniczej belce równoległej jest rzeczą nader prostą i łatwą.

Czy się zadanie bardzo utrudni, gdy przyjmiemy belkę zasadniczą wieloboczną, czyli wszystkie trzy pasy zakrzywione?

Wyprowadzimy zupełnie tak samo jak poprzednio wzory dla tego najogólniejszego wypadku i na ich podstawie wysnujemy pewne wnioski. Przyjmiemy przy-tem w ogólnych zarysach kształt mostu na Nekarze pod Mannheimem ; pas dolny wyginamy przesadnie w górę dla uzyskania bardziej przejrzystego rysunku (tabl. II rys. 1). Przedewszystkiem nadmienić musimy, że pozostają tu ważne wzory 1) —10), gdyż przy ich wyprowadzeniu obojętnym był kształt belki zasadniczej. Zmienią się tylko nieco linie wpływowe dla krzyźul-ców i pasów dolnego i średniego.

Chcąc znaleźć siłę wewnętrzną D₁ {gdy P w przęśle BC), otrzymamy z przekroju 11

U₂ sin v₂ +D₁ cos — O₀ sin co₀—A = 0

— Dj cos (J{|

— U₂ sin v₂ j sec ói 18)

Dla Bi ' zaś bierzemy przekrój IIII :

U₂' sin v₂' + Df cos ^ ' + 0/ sin (o₀'—P=0

'=^ P(1 ~ tg (o₀')—U₂ ' sin «₂'j sec d/ 19)

Wzory 18) i 19) składają się z dwu części: część pierwsza to równania 11) i 13): wykreślamy zatem jak poprzednio linie wpływowe, których rzędne mamy pomniejszyć o część drugą, t. j.

t^'sin v₂ sec ói(U₂' sin v₂ sec d₁/).

Wzory na U otrzymamy niżej ^22) i 23) j .

Według powyższego kreślimy więc najpierw linie wpływowe Dx i 11/ zupełnie tak samo jak na tab, I.

I tak otrzymujemy w drugiem przęśle dla Di linię że FF* = P= 1 odcięliśmy nad osią, przez co otrzymane/ Bx: największą rzędnę GiCi⁴ należy pomniej- liśmy powierzchnię wpływową ograniczoną nie dwiema szyć o odcinek U₂ sin v₂ sec ^. Dla U₂ znaleźliśmy liniami, lecz jedną linią    i osią B^Dr

rzędną w pionowej przegubu C równą co do wielkości odcinkowi MN (rys. 3): kreślimy tedy MOljDv z punktu N poziomą i otrzymujemy MO = MP=U₂sec óy Jeżeli teraz wykreślimy MB J_ U₂ i z punktu P linię PBJ_MR, to odcinek PB= U₂ secâi sin vv O tę długość mamy pomniejszyć rzędną CiCi/₁ więc robimy Oi Cx '• = PR i otrzymujemy B₁ Cx " D* jako linię wpływową *).

Zupełnie tak samo postępujemy z linią wpływową dla D^ (według równ. 13)). Ponieważ linia wpływowa dla U₂ ma punkt załomu w odstępie ^é = B^ K, więc odcinamy K^K'=PR=*U₂' sec <5/ sin v₂' (rys. 4) i prowadzimy prostą B₁Ki aż do pionowej G₁ t. j. do Gu,

Tak samo w pionowej przegubu C odcinamy 0^0^“=

= PR = TJ₂⁴ sec <5/ sin v₂‘ (rys. 5) i kreślimy prostą Gxtu i Ci"Dv by otrzymać zupełną linię wpływową BxCi" DXCX'“ G“ Bv Punkt G“ możnaby też otrzymać w ten sposób, że przedłużymy poziomą Cx G' do pionowej Zf, odetniemy K₂K₂*=K^K'—PR (rys. 4) i połączymy K' z punktem O/": prosta ta przetnie pionową G w punkcie G".

Ponieważ kąty v są bardzo małe, więc możemy śmiało bez żadnej ujmy dla praktycznej dokładności rysunku odmierzyć odcinek PR wprost na łuku OP.

Nie nadmieniamy nawet, że dla każdej przekątni będzie inne d i v₎ a więc d₁, d₂, d₃,... ; v₂, vv ... ;

Dla Uk' odcięliśmy Bx E = d^' cos v₄' (p. rys. 1), zresztą wykres zupełnie analogiczny jak na tabl. I. Musimy zrobić jeszcze uwagę, że ponieważ kąty są bardzo małe, więc możemy śmiało

^4» • • M

zamiast dh cos wziąć wprost d₆, zamiast d₄ cos v₄, odciąć d^ i t. d. : dokładność na tein wcale nie ucierpi, a uprościmy sobie znacznie pracę.

Mając w ten sposób wzory dla kształtu najogólniejszego, łatwo je zmodyfikować przez dedukcyę dla wypadku, gdy pas dolny prosty, a średni zakrzywiony, lub odwrotnie, a wreszcie dla belki zasadniczej równoległej, czyli otrzymamy równania 11) —17), wzory prof. Dr. M. T h u 11 i e g o.

O ile się zmienią linie wpływowe wskutek drugorzędnego zawieszenia, które spotykamy dość często nrzy mostach tego rodzaju, nad tern wcale się me zastanawiamy, bośmy już przedstawili rzecz tę obszernie ¹).

Przystępujemy do pręta Jf₄. Dostajemy A . £₄ + Mv dh cos + H (hQ + d$.) = 0

Mk.dh cos ^₄ = P -

-P^ &*+**•)

P(x-Ï)/Ç4 h+°dv\

h₀ )'

. 20)

db oos

Dla M₄' zaś znajdziemy A (l+ ^0 + B . £₄'d₅‘oos ^' + H (ä₄'+    ') = 0

X

Mk ‘^P-rr

ą d₅' cos ^₄

—l

K —(Ä₄ ' A-d v*)

p

d₅ ⁴ cos

21)

Widzimy z wzorów 20) i 21), że staną się one równoznaczne z odpowiednimi wzorami 14) i 15), skoro za dh cos (c^'cos^') podstawimy d. Wykres linii wpływowej dla Mk (rys. 2) jest analogiczny do odpowiedniego rysunku na różnica, że odcinek    ćr = ^₅ cos^₄ (p. rys. 1) — reszta

wykresu zostaje ta sama. (Zatrzymaliśmy też te same litery co na tab. I).

Dla Jf₄' (rys. 2) znowu mamy BiE=^d₅/cos \ik⁴, a dalszy tok konstrukcyi jak na tabl. I. Nie zastanawiamy się przeto dalej nad wykresem linii wpływowych i przechodzimy do ostatniej części, którą mamy omówić, tj. do pasu dolnego.

Chcąc znaleźć Uk i U.J otrzymamy A. £₃— Uk.dk cos v^ + H.h^O

U,=p x~l -* a₄ cos î>₄

P (*-i-f₈')+ U,'. <V cos V-H. A/ =0

h—h'

tab. I:

ta tylko zachodzi

Uo 1)'

. 22)

p-Eź-

d₄' cos v₄y

-P

.    23)

d₄' cos v^%

Co do równań 22) i 23), analogicznych do 16) i 17), musielibyśmy powtórzyć uwagę, tyczącą się równ. 20) i 21).

A zatem dla Uk mamy B^E^d^cos (p* rys. 1); dalszy wykres jak na tabl. I : zmieniliśmy go o tyle,

Ostatnią tę partyę traktowaliśmy krótko, bo inaczej z powodu obszernego przedstawienia części pierwszej, musielibyśmy się powtarzać. Atoli był jeszcze inny powód postąpienia w ten sposób: Widzieliśmy z powyższego, że linie wpływowe w pewnej części są takie same jak dla belki zwykłej w dwu punktach podpartej. Otóż dla tego rodzaju belek łatwo znaleźć linie wpływowe bez większych pomocniczych wykresów, gdy kształt ich prosty. Dla belki wielobocznej np. o wiele prostszym sposobem, który prędzej wiedzie do celu, jest uzyskanie linii wpływowych zapomocą dwu planów sił²). A zatem dla belek wspornikowych trzypa-sowych o zasadniczej belce wielobocznej szybciej nam da linie wpływowe jeszcze trzeci plan sił (według Haberkalt a), niż postępowanie według metody, wskazanej w ostatniej części. Tyczy się to oczywiście belki zasadniczej, bo dla pasu trzeciego i słupów^ V wykres jest tak prosty, że go możemy zawsze zastosować. Jeżeli jednak chodzi o większą dokładność lub skontrolowanie wyników, uzyskanych drogą wykreślną, należałoby postąpić w sposób powyżej wskazany, czyto graficznie czy też czyć charakterystyczne rzędne według równ. 6) — 9) i 18) — 23) i na ich podstawie wykreślić linie wpływowe.

W ten sposób, sądzę, byłaby omówiona sprawa linii wpływowych dla belek trzypasowych wspornikowych ze strony teoretycznej i praktycznej.

Na tern miejscu niech mi wolno będzie złożyć serdeczny dzięk prof. Dr. M. Th ul lie mu za udzielenie mi swego rękopisu i za cenne wskazówki, o czem już na wstępie wspomniałem, a wreszcie za ułatwienie mi pracy przez pożyczenie rozprawy Haberkalta i Statyki Miillera-Breslaua.

Na zakończenie wyrazić muszę żal, że nie udało mi się tej pracy tak gruntownie przedstawić, jak pierwotnie zamierzałem. Tyczy się to głównie części historycznej. Ale brak czasu stanął na przeszkodzie i był przyczyną tego, że całość nie wypadła jednolicie : trudno marzyć o jednolitości, skoro niektóre partye pisałem w wagonie kolejowym.

Kończę życzeniem, by ta praca wywołała pewne zajęcie, którego tak bardzo u nas potrzeba w dziedzinie teoryi mostów\ Dlatego też wdzięcznym będę za krytykę i wszelkie uwagi.

We Lwowie dnia 30 maja 1903.

co ędzie dokładniej — obli-

*) Ezędną CiCi⁴ odcięliśmy większą niź być powinna dla uzyskania więcej przejrzystego rysunku (inaczej punkt Oit4t padłby prawie na Oj').

J) Por* Czasopismo Techniczne, 1902, str* 293.

²) Por. Müller-Breslau* Graphische Statik, I, str. 238 (wydanie 1901).

1'

À

Czasopismo techniczne, 1903, Nr. 21.

Tablica I.

Xltvuj    ßcfc^    cj%

■^5S

11 ^

! a,^ —

fi*

c%

0U,

<u

V*

V, I «f

3y\y>.A. Szfyc JbcMU.

.510,.    U»«    £>1Z>*

* IA.

ml U m:

a*

“*

<u.

<u

M*_

fc

.~>j

?;

i?

3~\a^o. 2'. Xt'Hic    :

9\\yo. 3.

*1

jŁ

a,

S,

«u

cl

Cii

$>.

i,

&\

&,:>

,5.

c.

<u—

3,

Ä1 &

i?

TS

si a

rm:

'a

C*

rR

KI *

>$v

Jfcl &

a,

^L_i______|

4p

kl

i»i

-N

h.......... 3

■i

iW61

a,

5=-

II

5¹

ii ! k

Kr

£>ą’r

VjTY

kxs_

fc TO

TO

h p.

K i*

&>

TO

*1 3,

AA PI

Ä¹

oT

* 1T-

'DCci <di\tCfVJCL.

? 1 ?

i i

t 3    * S4r

<afix ^

Wm

,1

W'

Pft

Pkw

r+

Ttj

* V\

i;

Czasopismo techniczne, 1903, Nr. 21.

linie rv/p/tifwo^vc ^OCa OeCel^ fctztj paûonnjcf} wopoi-i i i    cft.

Li

Tablica II.

Oj.

V: !

J?K',

£>lb.

Slot

jwL

tl/l T f

ę>

l.

<tN/*

<ui

T⁷^

ÿl

__\=sr^tv*

SM

jLl

i'-t*

W! !

!«i

JL

rr*

2. Jniińe iv-pÆti ivoive :

..£'...........

:X

,C

■---s

*V|

i>ć

fe-

5?

5f

6’

Cl

JF’

q'¹" a.

-5

<"

5v

F/rr^i’

£-

a.

i?

i ,r>f______X

’*7    5'

__F.

c:

i:

/\nja3.    5Vi)^.5.

/d/Ca /d£uyv^ći : <àCa sOÀł:

LJ_i

Wm

A' 1

i y t* st

%%

&°f-—Im

17'

ÿfc—y

/

S. 61

■

\\

1

i

f

i

*

;

:ty.

•k~

d£-.

..

T

■

;V

■

i

V^:

’îÿ¹:

-

,

V

i

X*

s

«

f

m

%

.

r

(

i

\

ë

■

,

À.

: •

v

V

m

•.mm :

ï-tëm'

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

cnaan« HK38EE3I

5Ezsk3*

«

CM

y.n

OD

uQ

! Kdn. 524. 13. IX. 54

*

i

I

z.t

l

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

i

% X*

m

•C ;    ''

>

-s

.

■

..

_____

_

_

m

111-25854

li

MR

V ' "

llll

vïiïSKvi'S:

|!

v ' ’

; ; .. ...

|

|

Mi

' J

fSBISÏ

■ Il

f:

I'.

:

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

■

I

Ü

:: ;

100000232001