is

4|

!

MU

“

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

*h>

H

»

lii

'■i -X

FI

BIBUOTĆkA GŁÓWNA

jgUąs

fl

V ŁAZARSKI

ją3

Mm,

1

L. inw.

; %

t r- ■•* x r

/; i *    ' ■

./

;t '■<!*.

liM

&

■

■ .

: ' '

•• :uX;

*    * i r-i |    - *    |    -:

! ’• * ⁵ /->*- ‘. l X    A.

5

W

tllfe -X

.

i

fc<^

>.5>-

< '

;0ieil

£    '• W- .

^    * *v

i'.;?ra f *

-n-j

«*

'4.

V

-iśt; V

■

>'

X,i« •«n*s3ji

iglŁ

■

m

K

⁷ftrr

mm

■-,*

mm

£.

.

«r^Ł» ,4^-x^słnw».- . ^rfa^łN^iwrag^v .    - --.rw^sswr -    ■ iW-iir-^s^BsaBR

V    :-^V54.v.^-»5w.....

.•»

•5 *

«

»

1

y;-Ęk

JlN ¹

'-■

•>

:•

%

: ■■

>■ ■'.'««aa

:

Mfp

m

«

■■••. . r- <.* . l

;, 1

i

w

-•

%

ifisar'

jj|

Ml

)

.•

.

*

Mś.

X.

i Kn firn

■

m

mm

W

P;

&

IX

54

W

3N^

I#?.;

ais

11

#«!*

a

Ul liii

i®' s

xJ|

* i

m

*

f

¹

ii

i

l

0

M

—⁷ ii

Etbhoteka Politechniki Krakowskiej

100000262695

¹i-

...... f'"

■

■

■

1

.• V

/

>

T.

*

■

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA TOM XII.

ZASADY

GEOMETRY!WYKREŚLNEJ

NAPISAŁ

Dr. MIECZYSŁAW ŁAZARSKI

PROFESOR SZKOŁY POLITECHNICZNEJ.

TOM I.

(tekst aa 18. tablioatni fysunkowemi).

LWÓW

NAKŁADEM WYDAWNICTWA BIBLIOTEKI POLITECHNICZNEJ.

I. Związkowa drukarnia we Lwowie, ul. Lindego 1. 4.

1903.

%- 'b09°n-9

iW.j

tii i iii Hi

*v

PRZEDMOWA.

SPIS RZECZY.

i K przenikają się.

Wyznaczmy tedy ślad aksonometryczny poziomy Ha i ś

PRZEDMOWA.

Przy końcu osiemnastego i w początkach dziewiętnastego stulecia stwa-rza Francya z Kasprem Monge’m i jego znakomitymi uczniami: Dupine’m, Hachette’m , Meunier’em i t. d. na czele, nową umiejętność „geometryę wy-

kreślnąw.

Z pomiędzy wszystkich narodów Polacy wtargnęli pierwsi w tajniki tej umiejętności i głoszą zasady tej wiedzy przez usta Franciszka Sapalskiego w: Geometryi wykreślnej dla użytku szkół wojskowych, Warszawa 1822, — Garbińskiego, w Wykładzie o własnościach powierzchni skośnych, Warszawa 1822, — Rumbowicza w Geometryi wykreślnej, Wilno 1829.

Klęski / jakie Polska W latach¹ 1830—1831, 1846 i 1848 i w latach 1863 i 1864 poniosła, wstrzymały zapał naukowy tak dalece, że po onych nieszczęsnych czasach pojawiają się jedynie tłómaczenia dzieł z języka francuskiego: Lefebur de Fourcy, Warszawa 1849 i dzieła uwzględniające jedynie potrzeby szkół realnych: D. Wierzbickiego, Geometrya wykreślna, Kraków 1875, — Karola Maszkowskiego, Geometrya wykreślna dla szkół średnich, Lwów 1875 i 1883 i tegoż autora Zasady perspektywy wolnej, Lwów 1879 — Władysława Daszyńskiego Rzuty środkowe, Lwów 1878, — Dra M. Łazarskiego: Zasady geometryi wykreślnej, Lwów 1889 i 1902 lub dzieła, które

wyłącznie pewnymi

mują: Cuny, Zasady perpektywy linijnej , Warszawa 1873 Rembacz: Perspektywa linijna, Lwów 1880, —Sągajło Ernest Wykład geometryi wykreślnej, Paryż 1882, — Rotter Jan , Podręcznik perpektywy ma

szczególnymi działami geometryi wykreślnej się zaj-

— Łazarski.

larskiej , Kraków 1885.

zw

W pierwszych dziełach geometryi wykreślnej, które stanowią podstawę tej umiejętności, jakoteż w późniejszych znakomitych dziełach Leroy’a Geometrie descriptiye, — De la Gournerie, Manheima i t. d. wyprowadzono iązki zachodzące pomiędzy zasadniczymi utworami przestrzeni i wynikami tychże sposobem analitycznym, pomimo bowiem, że prace Pascala, Desar-gues’a, które się pojawiły w połowie XVII stulecia, jakoteż prace późniejszych Geometrów, jak : Newton’a, Maclaurin’a i t. d. rokowały szybki rozwój metod wykreślnych, lecz te wobec geometryi Descartes’a na zdobytej wyżynie utrzymać się nie mogły, albowiem metody analityczne badan utworow przestrzeni pochłonęły w wieku XVIII umysły wszystkich prawie matematyków.

Atoli już z początkiem XIX stulecia Carnot — Hachette — Brianchon — Poncelet i t. d. a później około roku 1830 Chasles — Steiner — Gergonne — Bellayitis — zbudowali umiejętność geometryi „wyższeju — „nowszeju — „syntetyczneju — „rzutoweju, która pod względem własności niemiarowych przestrzeni prześcignęła szybko analizę.

To też analiza szukać musiała nowycb środków w skróconem znakowaniu, w wynajdywaniu nowych układów spółrzędnych, w badaniu niezmienników, spółzmienników i t. d. form algebraicznych, aby przynajmniej w części stanąć na tej wysokości, którą geometrya w krótkim stosunkowo czasie osiągnęła.

Geometryę rzutową rozwijali w dalszym ciągu Staudt, Cremona, Schro-ter, Veronese, Sturrn, Weyr, Pelz, tudzież w ostatnich czasach polscy auto-rowie: G. Kramer; Rzecz o dwu na płaszczeni leżących krzywych rzędu drugiego, Kraków 1879. — M. A. Baraniecki: Początkowy wykład syntetyczny własności przecięć stożkowych, Warszawa 1885. — M. Rembacz : O bie-gunowem przekształceniu krzywych rzędu drugiego na koła, Stanisławów 1884. — Przyczynek do Apolloniusowych zagadnień styczności, Stanisławów 1887. — M. Łazarski: Rozprawy umieszczone w rocznikach krakowskiej Akademii umiejętności i sprawozdaniach szkół średnich. — A. Lewenberg: Geometrya rzutowa tworów pierwiastkowych. Warszawa 1902.

Wyniki niektórych prac autorów polskich oceniał p. D. w „Jahrbuch tiber Fortschritte der Mathematik“ i twierdził, że to są rzeczy znane, pomimo, że były zupełnie nowe, to też autorowie niemieccy nie omieszkali z wyników prac tych w dziełach swoich korzystać i oczywiście, nie wskazywali źródeł, z których czerpali.

Geometrya rzutowa rozwiązuje związki zachodzące między zasadniczymi utworami przestrzeni i wynikami z tychże, a będąc w ścisłym związku z geometryą wykreślną, ruguje ż tej umiejętności analizę.

Pierwszem dziełem, które łączy ściśle geometryę rzutową z geometryą wykreślną, jest Schlesingera: Die darstellende Geometrie im Sinne der neue-ren Geofnetrie, Wien 1870, a drugiem dzieło W. Fiedlera: Die darstellende Geometrie, Leipzig 1871—1883.

W naszej literaturze naukowej nie mamy dotąd podręcznika, któryby łączył ściśle obie umiejętności. Ostatnie bowiem obszerne dzieło E. Sągajły: Wykład geometryi wykreślnej, Paryż 1882 wykłada rzecz częścią kinetycznie sposobem Manheima, częścią analitycznie sposobem Monge’a i jego następców-

W książce, której pierwszy tom przedkładam młodzieży akademickiej, a do napisania której powołuje mnie 17 - letni wykład tego przedmiotu w szkole politechnicznej, przedstawiam w sposób zwięzły: I. Zasady geometryi rzutowej, II. Metody geometryi wykreślnej (Rzuty środkowe, rzuty prostokątne, rzuty aksonometryczne, kolineacyę utworów przestrzeni) i III. Wielościany.

Korrektą książki zajmowali się pp. Stefan Górka i Władysław Rembacz, asystenci przy katedrze geometryi wykreślnej w Szkole politechnicznej lwowskiej, za co im serdeczne składam podziękowanie.

We Lwowie, w maju 1903 r.

A u tor.

SPIS RZECZY.

CZĘŚĆ I.

Zasady geometryi rzutowej.

Strona

WO»OłC<^^05WC»C»t5MMMi-i

CM^wO-ooocooimo^coołtooooooiif^osto

05 os <ji cc oc m en CO 05 Ifh. 03 — CO GO

O utworach zasadniczych geometryi ......

O stosunku pojedynczego podziału .    .    .    .    .    .

O stosunku podwójnego podziału .......

O perspektywiczności utworów rzędu pierwszego ....

O utworach rzędu pierwszego jednokreślnych ....

O sprowadzaniu utworów jednokreślnych do położenia perspektywicznego O uzupełnianiu utworów rzędu pierwszego jednokreślnych O utworach harmonicznych .......

O pękach spółśrodkowych i szeregach, leżących na spólnej podstawie O szeregach i pękach inwolucyjnych ......

O kolineacyi dwu układów płaskich ......

O utworach pęków i szeregów jednokreślnych ....

O biegunach i biegunowych przekrojów stożkowych O prawie biegunowej dwoistości ......

O szeregach punktów i pękach stycznych przekroju stożkowego O kolineacyi przekrojów stożkowych z kołem ....

O dwu przekrojaeh stożkowych .......

O kolineacyi dwu przekrojów stożkowych .....

O pękach i szeregach przekrojów stożkowych ....

O przekrojach stożkowych spółogniskowych .....

O przekrojach stożkowych stykających się w stopniu drugim i trzecim Zagadnienia o przekrojach stożkowych .....

CZĘŚC II.

Metody geometryi wykreślnej.

A. t^zuty środkowe

(Perspektywa linijna).

O prostych, przechodzących przez środek rzutów . O płaszczyznach przesuniętych przez środek rzutów O prostych dowolnych .....

O dwu prostych ......

O płaszczyznach dowolnych ....

O prostych i płaszczyznach ....

— O kładach płaszczyzn .....

^ O punktach dzielenia ....

Zagadnienia o punktach prostych i płaszczyznach -—O zmianie rzutów środkowych ^Zmiana środka rzutów ....

O zmianie położenia utworów przestrzeni O zmianie tła    ......

B. f^zuty prostokątne.

O rzutach punktów i prostych, o śladach płaszczyzn, jakoteż o związkach zachodzących między punktami prostemi i płaszczyznami .

O obrotach punktów i płaszczyzn .........

O zmianie płaszczyzn rzutowych .    .

C. flksonometrya prostokątna.

O trójkącie i osiach aksonometrycznych, o skróceniach odcinków, równoległych do osi układu prostokątnego, o związkach między temi skróceniami O konstrukcyach bezpośrednich w aksonometryi ....

O wyznaczaniu prawdziwych wielkości odcinków .

O kładach płaszczyzn .....

D. Kolineaeya utworów przestrzeni .

CZĘŚĆ III.

0 wielościanach.

Kąty bryłowe trójścienne .

O rzutach wie^ścianów O rzutach wielościanów foremnych O przekrojach wielościanów płaszczyznami .    .    .    .

O wyznaczaniu punktów przecięcia się prostej z wielościanami O przenikaniu się wielościanów ......

O cieniach własnych i cieniach rzuconych wielościanów

GO 00 O <1 <1 -J

CO cc O

. 111 . 1 13 114—119

. 120 . 125 . 128 . 132 . 135 . 137 . 140

Strona

Str.

wiersz

2    14 od dołu

a lO CO 03

co tH co co

CO CO

—I T-l

'o

erę

17

17

17

55

55

55

55

17

17

17

17

55

17 „

55

20

55

55

20

55

15 „

55

22

55

22

55

22

55

24

55

25

26

26

28

30

37

39

39

42

51

70

74

80

4 od dołu 16 od góry 16 „

23    „

11    od dołu 2 „

21 od góry 21 „

6 od dołu

13 „

24    od góry 1 od dołu

12    od góry 19 „

55

55

55

55

55

109 17 od dołu 131 8 od góry 187 17 od dołu

Ważniejsze omyłki druku.

zamiast:

odcinek 4^ JjJ.L

odcinek AB AC{ 3 BC^ 2 promień AX pęku A{AXBX...) ER ²—ER. E₁Zi =

C(NtPu..)

ma być: stosunek

BX

odcinek ABi ACt 3 B₁Cl^2 promień AxX pęku At(A, B,...) ER . EXZX —

t?7 —RZi +

EZi=-2~± BęNiP\,...)

CA

CD

C(N, Ą) P i P, AC i BD prosto

wsi

odległość prostej NT

przecięcia J\ promienia OT punktowi I

axb

Wx V i Wy 1

WQi

PJVj

AB

B(Xi Pt) M i Mx AB i CD proste

jt¹

osi

odległości prostej NP

przecięcia Px promienia OP punktowi P.

atbi

WX1 i W₂V

WxQi

(A'P'(7'...) i (A\ B\ C\..) sprzężonych ax które

(A, P, C...) i {Au Bu ą...) sprzężonych a' która

wyraz : (rys. 62.) przesunąć o 2 wiersze niżej.

SB

SR

przez Mx kąta a

po wyrazie „prostej “ dołączyć (rys. 118.).

rzuty

przez M

kąta a ‘

ruty

D\E₂

NaNaPaQa

dołączyć „(rys. 192.)“

DyD₂

MaNaPaQa.

V

Zagadnienie: Wyznaczyć odległość dwu płaszczyzn równoległych »(0., Va, Wa) i »ł(Z7‘., F*Bł TF‘.).

Zagadnienie: Wyznaczyć najkrótszą odległość dwu prosty cli wichrowatych. Z(Z«, Z'a) i Mi(ma, ni‘a).

23. 0 kładach płaszczyzn.

Niech będzie dana płaszczyzna 7i(0aVaWa), przecinająca się z płaszczyzną aksonometryi na(X.aYaZa) podług prostej -Ma-N* (rys. 201.).

Aby wykonać kład płaszczyzny n na płaszczyznę aksonometryi, należy obrócić dowolny punkt, leżący na płaszczyźnie /r, n. p. punkt U około śladu MaNa w ten sposób, aby padł na płaszczyznę na.

Wyznaczmy w tym celu odległość Ua(U) punktu U od płaszczyzny aksonometryi (22. zagad. 1.) a nadto przeciwprostokątną trójkąta UjJj)A, którego jedna przyprostokątna równa jest odcinkowi Ua(U), a którego druga przy-prostokątna TJaA równa jest odległości rzutu TJa od śladu MaNa; zakreślmy następnie z punktu A promieniem A(JJ) koło, to punkt przecięcia się (Ua) tego koła z prostą, poprowadzoną przez punkt Ua prostopadle do MaNa, jest kładem punktu U na płaszczyznę aksonometryi.

Proste (Ua)Ma i (Ua)Na są kładami śladów UV i UW płaszczyzny n.

Aby wyznaczyć kład dowolnego punktu P(Pa, P^), leżącego na płaszczyźnie jt, połączmy rzuty aksonometryczne Ua i i wyznaczmy punkt 1\ w którym proste UaPa i ALaNa przecinają się, połączmy następnie punkt T z kładem (Ua) i poprowadźmy przez rzut Pa prostą, prostopadłą do MaNa, to takowa przecina się z prostą T(Ua) w kładzie (Pa) punktu P.

płaszczyźnie

Zagadnienie: Wyznaczyć kład wielokąta leżącego na

n(Ua, Va , Wa).

Zagadnienie: Wyznaczyć kąt nachylenia dwu płaszczyzn Jr(UaJaWa) i 7i\U'aV\W\).

r'*/'

Geom. wykreślna.

U, I^olir2&cxcycx LiPszsz-orcS-szsr przestrzeni.

1.    Dwa układy o trzech wymiarach 2 i 2 nazywamy kolineacyjnymi, jeżeli punktowi jednego układu odpowiada tylko jeden punkt w układzie drugim, a prostej jednego układu przechodzącej przez pewien punkt, odpowiada w układzie drugim prosta, przechodząca przez punkt odpowiedni.

Z określenia tego wynika, że w układach kolineacyjnych płaszczyźnie jednego układu odpowiada płaszczyzna w układzie drugim.

Jakoż poprowadźmy na płaszczyźnie n układu 2 proste Z, m i n, które nie przechodzą przez jeden punkt, a nadto proste p, pt..., które przecinają się z prostemi l, m i n w punktach L₁ M i N, Li, Mx i    wyznaczmy

następnie elementa V, n‘, p\ p\ układu 2, odpowiadające elementom lxmx... układu 2, to proste pp\... przecinają się odpowiednio z prostemi V, m‘ i n‘ w punktach L\ M‘ i N‘, L\, M\ i ..., odpowiadających punktom L, M i N, Lx, Mx i Nl: proste zatem V, m‘, n\ p‘, p\... leżą na płaszczyźnie ji‘, układu 2‘, która odpowiada płaszczyźnie n.

2.    Jeżeli w szczególności proste, łączące odpowiednie punkta układów, i płaszczyzny, przesunięte przez proste odpowiednie tychże układów, przechodzą przez jeden punkt 0, natenczas te układy są środkowo kolineacyjnymi. Punkt 0 nazywamy środkiem kolineacyi.

Dwie proste odpowiednie l i V układów środkowo kolineacyjnych 2 i 2‘, przecinają się w punkcie T, który jest elementem odpowiednio wspólnym obu układów.

Przesuńmy przez punkta przecięcia się T, Tx i T₂ trzech par prostych odpowiednich l i 1‘, m i m‘, n i n‘ płaszczyznę x i poprowadźmy na tej płaszczyźnie dowolną prostą t, to takowa odpowiada sama sobie w układach środkowo kolineacyjnych 2 i 2‘, punkta bowiem przecięcia się prostej t z prostemi TTX, TXT₂ i T^T są elementami odpowiednio wspólnymi obu układów. A zatem: Punkta i proste, odpowiednio wspólne dwu układów środkowo kolineacyjnych leżą na płaszczyźnie. Tę płaszczyznę nazywamy płaszczyzną kolineacyi. Proste tedy i płaszczyzny odpowiednie dwu układów środkowo kolineacyjnych przecinają się w punktach względnie podług prostych, leżących na płaszczyźnie kolineacyi.

Płaszczyźnie w nieskończoności, uważanej raz za element £ układu 2 drugi raz za element ę¹ układu 2‘ odpowiadają w układach 2 i 2 płaszczyzny i q równoległe do płaszczyzny kolineacyi; płaszczyzna kolineacyi bowiem przecina się z płaszczyzną w nieskończoności podług prostej , która leży w nieskończoności. Płaszczyzny p i £' nazywamy płaszczyznami wzajemnymi układów 2 i 2.

Prostym, równoległym układu 2, odpowiadają w układzie 2‘ proste przechodzące przez jeden punkt, który leży na płaszczyźnie Prostym zaś, równoległym układu 2\ odpowiadają w układzie 2 proste, przechodzące przez jeden punkt, który leży na płaszczyźnie q.

3. Szeregi punktów, pęki promieni i pęki płaszczyzn, odpowiadające sobie w dwu układach środkowo kolineacyjnych, są perspektywiczne; albowiem dwa szeregi odpowiednie są przekrojami pęku promieni, którego wierzchołek znajduje się w środku kolineacyi, dwa odpowiednie pęki promieni są przekrojami pęku płaszczyzn, którego oś przechodzi przez środek kolineacyi, a dwa odpowiednie pęki płaszczyzn przecinają się z płaszczyzną kolineacyi podług tego samego pęku promieni, którego wierzchołek schodzi z punktem przecięcia się osi, a którego promienie schodzą się z prostemi przekroju elementów odpowiednich.

Stosunek tedy podwójnego podziału czterech elementów utworu rzędu pierwszego, należącego do układu 2, jest równy stosunkowi podwójnego podziału czterech elementów odpowiednich układu 2‘.

Każda prosta, poprowadzona przez środek kolineacyi O układów 2 i 2' jest podstawą dwu szeregów jednokreślnych, których punkta podwójne schodzą się ze środkiem O i z punktem przecięcia się płaszczyzny kolinea-cyjnej z ową prostą.

Każda prosta, leżąca na płaszczyźnie kolineacyi, jest osią dwu pęków płaszczyzn jednokreślnych, których elementa podwójne schodzą się z płaszczyzną przechodzącą przez środek O i z płaszczyzną kolineacyi.

Poprowadźmy przez środek kolineacyi O proste Z, m, n... i wyznaczmy punkta przecięcia się tychże T, X₂,... z płaszczyzną kolineacyi a nadto pary punktów odpowiednich L i X', M i JX, N i A',... leżących na owych prostych, przesuńmy następnie przez punkta X, M, N i X', -M', N‘ płaszczyzny u i to takowe są elementami odpowiednimi układów 2 i 2‘, przecinają się zatem podług prostej 't, leżącej na płaszczyźnie kolineacyi %.

Płaszczyzny jv , 7i‘, x i płaszczyzna (0, t) przesunięta przez prostą t i przez środek 0, tworzą pęk czterech płaszczyzn, który przecina się z prostemi l, m i w w punktach X, L‘, T, O, —M, M¹, Tu 0—N, N‘, T₂, O, stosunki tedy podwójnego podziału (OTLL‘), (01\M.M‘), (OT₂NN‘) są równe. Atoli pary punktów odpowiednich X, L\... na prostych, poprowadzonych przez środek kolineacyi obrano dowolnie, stosunek tedy podwójnego podziału środka kolineacyi, punktu, w którym dowolna prosta, poprowadzona przez tenże środek przecina płaszczyznę kolineacyi i dwu punktów odpowiednich, leżących na owej prostej, jest stały.

Wartość A tego stosunku nazywamy cechą albo charakterystyką ko

lineacyi.

00 ?

Cechę kolineacyi można przedstawić w postaci stosunku pojedynczego podziału przyjmując na prostej, poprowadzonej przez środek O, zamiast dwu dowolnych punktów odpowiednich L i X',... punkta przecięcia się Z‘ i R tej prostej z płaszczyznami wzajemnymi £' i q i odpowiednie punkta Z^ i R‘ otrzymamy bowiem :

T7‘ O Ti

A=(OTLL‘)=(OTZX) '//)= (OlSB-oo )=m,~ rS

Płaszczyzna n przesunięta przez środek kolinacyi przecina układy o trzech wymiarach, 2 i 2 podług dwu układów płaskich o i u¹ środkowo kolineacyjnych. Środek kolineacyi układów o i o‘ schodzi się ze środkiem kolineacyi układów 2 i 2‘, oś kolineacyi t jest prostą, podług której płaszczyzna n przecina się z płaszczyzną kolineacyi a osi wzajemne i r schodzą się z prostemi, podług których płaszczyzny wzajemne przecinają się z płaszczyzną n.

4. Kolineacya środkowa dwu układów 2 i 2‘ jest wyznaczona, jeżeli dany jest środek, płaszczyzna kolineacyi i dwa odpowiednie punkta albo cecha kolineacyi.

Zagadnienie: Mając dany środek O, płaszczyznę kolineacyi x i dwa odpowiednie punkta 4 i 4' układów 2 i 2\ wyznaczyć punkt X' układu 2‘ odpowiadający punktowi X układu 2 a nadto płaszczyzny wzajemne i ę

(rys. 202.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy punkt T, w którym prosta XA przecina się z płaszczyzną kolineacyi u i połączmy takowy z punktem A', to prosta TA' jest elementem układu 2‘, odpowiadającym prostej XA układu 2‘, punktowi tedy X odpowiada punkt przecięcia się X‘ prostej TA¹ z promieniem 0X.

Promień 0Z‘ poprowadzony przez środek kolineacyi równolegle do prostej XA przecina się z prostą X‘A‘ w punkcie Z\ przez który płaszczyzna wzajemna £' przechodzi, promień zaś OR równoległy do prostej X‘A‘ przecina się z prostą XA w punkcie R, przez który płaszczyzna wzajemna q przechodzi; albowiem punktowi R odpowiada punkt leżący w nieskończoności na prostej X'A‘, punktowi zaś Z¹ odpowiada punkt leżący w nieskończoności na prostej XA.

Boki 0Z‘ i RT równoległoboku 0Z‘RT są równe, odległość tedy środka kolineacyi od płaszczyzny f' jest równa odległości płaszczyzny wzajemnej q od płaszczyzny kolineacyi.

5. Jeżeli środek kolineacyi układów 2 i 2‘ znajduje się w nieskończoności, natenczas płaszczyzny wzajemne £' i q schodzą się z płaszczyzną w nieskończoności, prostym tedy i płaszczyznom równoległym jednego układu, odpowiadają w układzie drugim proste i płaszczyzny równoległe.

Płaszczyzna kolineacyi u dzieli w tym przypadku odcinki zawarte między punktami odpowiednimi układów w stosunku stałym; albowiem cecha kolineacyi

TA¹

A^{OxTAA‘)-m

Taką kolineacyę nazywamy powinowactwem układów.

Powinowactwo, którego cecha jest równa jedności ujemnej, nazywamy symetryą ze względu na płaszczyznę, odpowiednie bowiem punkta układów kolineacyjnych leżą w tym razie po przeciwnych stronach płaszczyzny kolineacyi (symetryi) w równych od niej odległościach.

6. Jeżeli płaszczyzna kolineacyi układów 2 i 2‘ leży w nieskończoności, a środek znajduje się w skończoności, natenczas płaszczyzny wzajemne schodzą się na płaszczyźnie w nieskończoności, elementom tedy równoległym jednego układu odpowiadają elementa równoległe w układzie drugim.

OA

r

Środek kolineaeyi dzieli w tym przypadku odcinki, zawarte między punktami odpowiednimi układów 2 i 2' w stosunku stałym; albowiem cecha

A={OT^AA‘)=

OA¹

Taką kolineacyę nazywamy podobieństwem układów.

Podobieństwo , którego cecha jest równa jedności ujemnej , nazywamy symetryą środkową, odpowiednie punkta bowiem układów kolineacyjnych leżą w tym razie po przeciwnych stronach środka w równych od tegoż odległościach.

7. Jeżeli środek i płaszczyzna kolineaeyi leżą w nieskończoności, natenczas cecha

A={OnTnAA‘)=l,

co tylko wówczas może nastąpić, jeżeli wszystkie elementa odpowiednie układów kolineacyjnych schodzą się, albo innemi słowy, jeżeli te układy są przystające.

8. Kolineacyę układów, której środek O i płaszczyzna kolineaeyi leżą w skończoności a której cecha równa jest jedności ujemnej, nazywamy inwolucyą układów, punkta bowiem odpowiednie tychże , które leżą na promieniach przechodzących przez środek , tworzą szeregi inwolucyjne, a płaszczyzny odpowiednie, które przechodzą przez prostą, leżącą na płaszczyźnie kolineaeyi, wyznaczają pęk inwolucyjny.

Płaszczyzny wzajemne £' i q układów inwolucyjnych schodzą się z płaszczyzną, która leży między środkiem kolineaeyi O i płaszczyzną kolineaeyi x w połowie odległości punktu 0 od płaszczyzny vl ; albowiem cecha

OB TZ‘

TB~~ OZl~ lj

co tylko wówczas jest możebne, jeżeli punkta wzajemne B i Z¹ nakrywają się.

9. Przyjmijmy, że płaszczyzny wzajemne £' i q układów 2 i 2‘, środkowo kolineacyjnych , leżą po przeciwnych stronach środka O i płaszczyzny kolineaeyi %

nadto, że płaszczyzna znajduje się bliżej płaszczyzny ko-lineacyi niż płaszczyzna wzajemna natenczas utworowi przestrzeni U, należącemu do układu 2, odpowiada w układzie 2‘ utwór U‘, leżący między płaszczyznami x i £'. Punktom A i B utworu U, z których pierwszy leży bliżej płaszczyzny kolineaeyi niż drugi, odpowiadają punkta A‘ i B¹, z których A* leży bliżej płaszczyzny x niż B'.

Utwór tedy ZJ‘ zdolny jest wywołać w oku, umieszczonym w środku kolineaeyi, takie same wrażenie, jakie wywołuje utwór U, oczywiście, jeżeli wszelkim dalszym warunkom, od których zależą wrażenia wywołane w oku, zadość uczynimy. Mianowicie, jeżeli U‘ leżeć będzie w obrębie stożka obrotowego, którego oś jest prostopadła do płaszczyzny kolineaeyi, a którego tworzące są nachylone do osi pod kątem, równym mniejwięcej 30°, jeżeli nadto utwór V oświetlony będzie punktem, leżącym na płaszczyźnie £', który odpowiada kierunkowi promieni oświetlających przedmiot U. Z równą tedy słusznością, jak rzuty środkowe przedmiotów nazywamy perspektywą, można nazwać utwory kolineacyjne przedmiotów perspektywami przestrzennymi albo modelami tychże.

Zagadnienie: Mając dany środek O, płaszczyznę kolineaeyi x i płaszczyznę wzajemną wyznaczyć model przedmiotu ABC...N, znajdującego się za płaszczyzną kolineaeyi (rys. 203.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy punkt przecięcia się Z' płaszczyzny z prostą, poprowadzoną przez środek O równolegle do prostych AB i CD i połączmy punkt Z‘ z punktami 1\ i T₂, w których płaszczyzna kolineacyi przecina się z prostemi AD i GD, poprowadźmy następnie promienie O A, OD, OC i OD, to takowe przecinają się z prostemi T\Z' i T₂Z‘ w punktach A‘, D‘, C‘, D‘, odpowiadających kolineacyjnie wierzchołkom czworokąta ADCD. W podobny sposób otrzymamy figury E‘FG‘H‘,... odpowiadające czworokątom DFGH... danego przedmiotu.

Celem wyznaczenia punktu W‘, odpowiadającego wierzchołkowi W, poprowadźmy promień O W, a przez punkt przecięcia się M' przekątnych czworoboku FF‘G‘.H‘ prostą równoległą do prostej WM, to punkt przecięcia się owej prostej z promieniem O W jest punktem W¹.

pła-

na

płaszczyznę kolineacyi, to na płaszczyznę x. Od-

10.    Niech będzie dany środek 0, płaszczyzna kolineacyi x i płaszczyzny wzajemne i q (rys. 204.), a nadto proste odpowiednie l i V układów środkowo kolineacyjnych. Wyznaczmy rzut prostokątny 0₁ środka O szczyznę q i rzut prostokątny Z\ punktu Z¹ na prosta TZ\ jest rzutem prostokątnym l\ prostej V cinki OOi i Z‘Z\ są równoległe i równe; promień 0iZ\ jest tedy równoległy do promienia OZ¹ a temsamem równoległy do prostej l, a zatem prosta TZ', jest rzutem środkowym prostej l z punktu 0{ na płaszczyznę kolineacyi.

środka kolineacyi

Rzut prostokątny przeto układu 2‘ na płaszczyznę kolineacyi jest zarazem rzutem środkowym układu 2 z punktu 0i, w którym prosta wyprowadzon przebija płaszczyznę wzajemną q.

11.    Jeżeli trzy układy: 2, 2‘ i 2" są parami środkowo ko-lineacyjne, natenczas środki tych kolineacyi leżą na linii prostej.

Płaszczyzny kolineacyi %, xt, x% układów 2" i 2, 2" i 2, 2 i 2 przecinają się w punkcie P, który jest elementem odpowiednio wspólnym wszystkich trzech układów. Obierzmy na prostej l układu 2, która przechodzi przez punkt P, dwa punkta A, D i wyznaczmy punkta odpowiednie A‘, D' i A"B" układów .2 i 2", to proste AA¹ i DD, AA" i DD", A‘A" i DD" przecinają się odpowiednio w środkach kolineacyi układów 2 i 2‘, 2 i 2", 2‘ i 2“; atoli wierzchołki trójkątów AA¹ A" i BBB" leżą parami na prostych , przechodzących przez punkt P, boki tedy odpowiednie tychże przecinają się w punktach, leżących na linii prostej.

12.    Kolineacyę dwu układów .2 i 2' w położeniu ogólnem (ni e ś r o d k o w e m) w y zn a cz a pięć par punktów, z k t óry c h c z t e r y tego samego układu nie leżą na jednej płaszczyźnie.

Jakoż niech będą dane punkta odpowiednie A, A'—B, D‘—C, O—D, D‘—F, F a nadto punkt X układu 2, załóżmy sobie wyznaczyć odpowiedni punkt X‘ układu 2‘. Przesuńmy w tym celu przez prostą AD i przez punkta C, D, D, X, przez prostą DC i przez punkta A, D, E, X, przez prostą CD i przez punkta A , D, E, X płaszczyzny, natenczas otrzymamy trzy pęki AD(C, D, E, X), DC(A, D, E, X), CD(A, D, E, X) czterech płaszczyzn układu 2, którym odpowiadają w układzie 2‘ pęki jednokreślne AD^GDD^¹),...

Położenie płaszczyzn AD‘X‘, B‘C‘X' i C‘D‘X‘ jest wyznaczone, stosunki bowiem podwójnego podziału AB(C, D, E, X) i AD‘(C‘, D‘, E‘, X‘) następnie

BC(A, D, Ej X) i B‘C\A‘, 1)', E¹, X¹)... są równe; punkt przecięcia się tedy owych płaszczyzn jest elementem układu X, odpowiadającym punktowi X układu X.

13. Zapomocą kolineacyi środkowej dwu układów przestrzeni można z łatwością udowodnić, że, jeżeli pomiędzy elementami przestrzeni nie zachodzą związki miarowe, natenczas rzut środkowy układu można uważać za rzut równoległy układu kolineacyj-nego i wzajemnie.

(0'

oo >

Jakoż niech będzie dany układ punktów i płaszczyzn X. Wyznaczmy rzut Xi układu X z punktu O na płaszczyznę x, a nadto układ 2‘, środkowo kolineacyjny z 2, przyjmując dowolny punkt S za środek, x za płaszczyznę kolineacyi, a płaszczyznę ę przesuniętą przez punkt O równolegle do płaszczyzny kolineacyi za płaszczyznę wzajemną układu X, to natenczas punktowi 0 odpowiada w układzie 2‘ punkt O¹^ , leżący w nieskończoności na promieniu SO. Promieniom OA, OBy.. i płaszczyznom (O, Z), (O, m)... rzucającym punkta A, B,... i proste Z, m,... układu X na płaszczyznę x odpowiadają w układzie 2‘ proste 0‘^A¹, 0‘^B¹... i płaszczyzny (O¹ qq , l), m)... przechodzące przez punkt 0‘^ .

Promienie odpowiednie tedy OA i O¹^ A¹... tudzież płaszczyzny odpowiednie (O, l) i (0'orj V)... przecinają się w punktach Ai... względnie prostych Zj..., leżących na płaszczyźnie kolineacyi, układ płaski zatem Ai...l₁... jest rzutem środkowym układu X a zarazem rzutem równoległym układu X', ko-lineacyjnego z owym układem.

CZĘŚĆ III.

O wielościanach.

Kąty bryłowe trójścienne.

1.    Wyprowadźmy z dowolnego punktu W trzy promienie a, b i c (rys. 205.) i przesuńmy przez a \ b, b \ c, c \ a płaszczyzny, to takowe ograniczają część przestrzeni, którą nazywamy kątem bryłowym trójściennym.

Punkt W nazywamy wierzchołkiem, promienie a, b i c nazywamy krawędziami a płaszczyzny (a, 5), (b, c) i (c, a) nazywamy ścianami kąta bryłowego W(a, b, c).

Kąty nachylenia ścian (a, b) i (a, c), {b, a) i (b, c), (c, a) i (c, J) nazywamy kątami dwuściennymi i oznaczamy takowe odpowiednio literami Aj B, G, a kąty zawarte między krawędziami b i c, c i a, a i b, leżące naprzeciw kątów dwuściennych A, B, C nazywamy kątami krawędziowymi i oznaczamy takowe odpowiednio literami greckiego alfabetu: a, (i, y.

2.    Jeżeli przedłużymy krawędzie a, b i c kąta bryłowego W{a, b, c) poza wierzchołek, natenczas otrzymamy kąt bryłowy W{a‘, b‘, c'), którego kąty krawędziowe i dwuścienne są równe kątom krawędziowym względnie dwuściennym kąta bryłowego W(a, b, c); atoli porządki, w jakich owe kąty utworów W(a, b, c) i W(a', b¹, &) po sobie następują, są przeciwne, kąty bryłowe zatem W(a, b, c) i W(a‘, b‘, c‘) są symetryczne względem punktu W.

3.    Poprowadźmy przez dowolny punkt W1} leżący w obrębie kąta bryłowego trójściennego W(a, b, c) proste ait bi i c1} odpowiednio prostopadłe do ścian (b, c), (a, c) i (a, b), to takowe wyznaczają tak zwany kąt bryłowy biegunowy (a^, blt cj kąta bryłowego W {a, b, c).

Kąt zawarty między krawędziami b₁ i c₁ dopełnia do 180° kąt dwu-ścienny A albowiem prosta jest prostopadłą do płaszczyzny (a, c) a prosta ci jest prostopadłą do płaszczyzny («, ó). W podobny sposób można wykazać, że kąty krawędziowe i yx dopełniają do 180° kąty dwuścienne B i C. Atoli kąt bryłowy W(a, b, c) jest kątem bryłowym biegunowym kąta bryłowego Wi(ax, bit c^) a zatem:

180°=a-{-A₁    =y-j- Cj,

jeżeli Ai, Bi i C\ oznaczają kąty dwuścienne, kąta bryłowego    bx, ćj).

4. Jeżeli kąt bryłowy trójścienny W{a, b, c) przetniemy kulą, której środek schodzi się z wierzchołkiem, natenczas otrzymamy trójkąt sferyczny*

Boki tego trójkąta równe są kątom krawędziowym a, /?, y, a kąty tegoż równe są kątom dwuściennym A, B i C.

Trygonometrya rozwiązuje zapomocą rachunku trójkąty sferyczne, jeżeli dane są trójki boków i kątów w dowolnem zestawieniu.

Zadaniem geometryi wykreślnej jest rozwiązanie kąta bryłowego trójściennego W(a, b, c) w sposób konstrukcyjny jeżeli dane są :

1)    a, /?, y,    2) a, 0, (7, 3) a,    /?, R, 4) A, R, G,    B) A, B, y, 6)    A, B, /?.

B. Zagadnienie: Dane    są kąty krawędziowe a, (3 i y kąta    bryłowego

trójściennego W(a, b, c) wyznaczyć kąty dwuścienne A, B i C (rys. 206.).

Rozwiązanie: Kąty zawarte między promieniami b i c, c i a₂, b i at pęku TP^, ó, c, o₂)    hędą odpowiednio równe kątom krawędziowym

promień a₂ około

a, (3, y. Jeżeli obrócimy promień ai około prostej b prostej c, natenczas otrzymamy dwa stożki obrotowe 2i i N₂ przecinające się podług dwu tworzących , symetrycznych względem płaszczyzny rysunku, z którymi schodzi się krawędź a, danego kąta bryłowego.

Jeżeli    kąt y jest większy    niż suma kątów a    i /?, albo jeżeli    kąt a jest

większy niż    suma kątów /? i y,    natenczas stożki 2i    i N₂ przecinają    się podług

prosta WA‘ łącząca

tworzących urojonych. Ztąd wnosimy, że suma dwu kątów krawędziowych kąta bryłowego, trójściennego jest większa niż kąt trzeci. — Wracając do konstrukcyi, odmierzmy na promieniach ax i a₂ odcinki równe WAi i WA₂, obróćmy następnie punkt At około osi b, a punkt A₂ około osi c, to takowe opiszą koła ki i h₂, które przecinają się w punkcie A, leżącym na krawędzi a , kąta bryłowego W(a, b, c). Rzuty kół k\ i lc\ na płaszczyznę rysunku schodzą się z prostemi AiBi i A₂GX wyprowadzonemi z punktów Ai i A₂^ prostopadle do krawędzi i i c; rzut tedy punktu A schodzi się z punktem A‘ w którym proste A1} Bi} i A₂Ci przecinają się, wierzchołek W z punktem A¹ jest rzutem krawędzi a.

Kąty ABXA‘ i ACiAt są odpowiednio równe kątom dwuściennym B i C, albowiem proste A‘Bi i ABi są prostopadłe do krawędzi ó, proste zaś A‘Ci i AG₁ są prostopadłe do krawędzi c. Prawdziwe wielkości tych kątów otrzymamy, kreśląc kłady (Ai)A‘Bi i (A₂)A‘G₁ trójkątów ABiA> i AClA/.

Aby wyznaczyć kąt dwuścienny A, leżący naprzeciw kąta krawędziowego a, poprowadźmy płaszczyznę tt, prostopadłą do krawędzi ślad nu tej płaszczyzny na płaszczyźnie rysunku jest prostopadły do rzutu a'.

Wyprowadźmy następnie z punktów M i A, w których ślad n* przecina się z krawędziami b i c proste MPi i NP₂ odpowiednio prostopadłe do promieni i «₂ i wykreślmy trójkąt MN(P), którego boki równe są odcinkom MN, MPi i NP₂, to kąt leżący naprzeciw boku MN jest równy kątowi dwu-ściennemu A.

Uwaga. Wyznaczenie kątów krawędziowych a, (3, y kąta bryłowego trójściennego W(a, b, c), którego kąty dwuścienne A, B i C są dane, można sprowadzić do powyższego zagadnienia.

Jakoż, kąty krawędziowe alf (3± i yi kąta bryłowego biegunowego Wx(«t, bv Cj) są odpowiednio równe (180°—A), (180°— B), (180°— C) (art. 3.), jeżeli tedy wyznaczymy kąty dwuścienne A1} B1} Ci utworu Wx{ax, bu ą), natenczas (180°—Ax), (180°—Bx), (180°—CJ będą odpowiednio równe kątom krawędziowym a, (i, y.

6. Zagadnienie: Dane są dwa kąty krawędziowe a i /? a nadto kąt dwuścienny C kąta bryłowego W(ą, b, c) wyznaczyć kąt krawędziowy y i kąty dwuścienne A i B (rys. 207.).

Rozwiązanie: Przyjmijmy, że kąt krawędziowy a leży na płaszczyźnie rysunku i poprowadźmy przez wierzchołek W promień (a₂) nachylony do krawędzi c pod kątem /?, to takowy jest kładem krawędzi a na płaszczyznę rysunku, wykonanym około osi c.

Obierzmy następnie na prostej (a₂) dowolny punkt A₂ i obróćmy go około krawędzi c w ten sposób, aby się zeszedł po obrocie z punktem A leżącym na płaszczyźnie przesuniętej przez prostą c i nachylonej do płaszczyzny rysunku pod kątem U, natenczas prosta łącząca wierzchołek W z punktem A jest krawędzią a danego kąta bryłowego.

Rzut A' punktu A leży na prostej A₂Gi wyprowadzonej z punktu A2 prostopadle do krawędzi c, w odległości od tejże krawędzi równej przy-prostokątnej GiA‘ trójkąta (A.^A‘0^ którego kąt przyległy do tej przypro-stokątnej, równy jest kątowi dwuściennemu C, a którego przeciwprostokątna równa jest odcinkowi CiA₂.

Jeżeli wykonamy kład płaszczyzny przesuniętej przez krawędzie a i b, na płaszczyznę rysunku , natenczas kład Ai punktu A, leżeć będzie na prostej, wyprowadzonej z rzutu A‘ prostopadle do krawędzi h, w odległości od wierzchołka W równej odcinkowi WA₂. Promień WA₁ jest kładem krawędzi; kąt zatem zawarty między prostemi b i WA₁ jest równy kątowi krawędziowemu y.

Kąty dwuścienne A i B wyznaczamy w sposób wyłożony w art. 5.

Uwaga: Wyznaczenie kąta dwuściennego C i kątów krawędziowych a i /? kąta bryłowego W (a, b, c) którego kąt krawędziowy y i kąty dwuścienne A i B są dane, można sprowadzić na zasadzie własności kąta bryłowego biegunowego do powyższego zagadnienia.

7, Zagadnienie: Dane są kąty krawędziowe a i (i a nadto kąt dwuścienny B kąta bryłowego W(a, b, c) wyznaczyć kąt krawędziowy y i kąty dwuścienne i i 6' (rys. 208.).

Rozw iązanie : Przyjmijmy, że kąt krawędziowy a, leży na płaszczyźnie rysunku i poprowadźmy przez wierzchołek W prostą («₂) nachyloną do krawędzi c pod kątem /?, to takowa jest kładem krawędzi a, wykonanym około osi c. Przesuńmy przez prostą b płaszczyznę n, nachyloną do płaszczyzny rysunku pod kątem B i wyznaczmy proste % i a₂, podług których ta płaszczyzna przecina stożek 2 powstały przez obrót prostej (a₂) około krawędzi c, to natenczas otrzymamy krawędzie dwóch kątów bryłowych trójściennych W(alf b, c) i W(a2J b , c) czyniącym zadość warunkom zagadnienia.

Celem wyznaczenia owych krawędzi, poprowadźmy płaszczyznę tt¹, prostopadłą do prostej c, i wyznaczmy koło Jc, podług którego płaszczyzna ta przecina stożek 2 a nadto prostą d, podług której płaszczyzny n i nx przecinają się; wyznaczmy następnie punkta Ai i A₂ w których koło Jc przecina się z prostą to proste WAi i WA₂ schodzą się z krawędziami % i a₂.

Koło (h) zakreślone ze środka promieniem CiP jest kładem koła kt na płaszczyznę rysunku.

Aby wyznaczyć prostą d podług której płaszczyzny n i nx przecinają się, poprowadźmy płaszczyznę n² prostopadłą do krawędzi b i wyznaczmy

proste B₂B i DD\ podług których, płaszczyzna n² przecina się z płaszczyznami n i u¹ to punkt przecięcia się B tych prostych leży na prostej d.

Kłady B₂(B) i B‘(B) prostych B₂B i B⁴B

punktu przecięcia się B‘ śladów

wykonane około śladu n\ otrzymamy, prowadząc z punktu przecięcia się B₂ prostych n²h i &, prostą nachyloną do śladu n²h pod kątem B n'h i n²h prostą, prostopadłą do śladu n²h.

Odcinek {B)B‘ jest równy odległości punktu B od płaszczyzny rysunku. Jeżeli tedy odmierzymy na prostej wyprowadzonej z punktu B' prostopadle do śladu nxu odcinek B⁴{B]) równy odcinkowi (B)(B‘) i połączmy punkt (Dj) z punktem JBit w którym ślad nxh przecina się z krawędzią &, natenczas otrzymamy kład (d) prostej d, wykonany około osi    Łącząc tedy wierz

chołek W z rzutami A\ i A.‘₂ punktów (A{) i (A₂), w których prosta (d) przecina się z kołem (k) otrzymamy rzuty krawędzi a± i a₂.

Kąty krawędziowe yi i y₂, jakoteż kąty dwuścienne A₁ i A₂ tudzież Ci i C₂ wyznaczamy w sposób wyłożony w art. 5. i 6.

Uwaga. Wyznaczenie kąta dwuściennego B i kątów krawędziowych « i @ kąta bryłowego trójściennego W(a, ó, c), którego kąt krawędziowy (3 i kąty dwuścienne A i B są dane, można sprowadzić na zasadzie własności kąta bryłowego biegunowego do powyższego zagadnienia.

8. Zagadnienie: Dane są kąty dwuścienne B i C a nadto kąt krawędziowy a kąta bryłowego trójściennego W(a , b, c), wyznaczyć kąt dwu-ścienny A i kąty krawędziowe /? i y (rys. 209.).

Rozwiązanie: Przyjmijmy podobnie jak przy rozwiązaniu zagadnień poprzednich , że kąt krawędziowy a leży na płaszczyźnie rysunku i przesuńmy przez krawędzie lic płaszczyzny (b, a) i (c, a), nachylone odpowiednio do płaszczyzny rysunku pod kątami 5 i C, to takowe przecinają się podług krawędzi a danego kąta bryłowego. Aby tę krawędź wyznaczyć, poprowadźmy płaszczyzny nx i tt², odpowiednio prostopadłe do krawędzi lici wykreślmy w kładach tych płaszczyzn kąty {M)BiM,=B i (A⁷)C₁N‘= (7; wyznaczmy następnie na ramionach Bi(M) i ^(A⁷) punkta (11) i (A), których odległości od śladów nxh i n²h są równe dowolnemu odcinkowi i sprowadźmy płaszczyzny nx i n² do pierwotnego położenia, to rzuty M‘ i N⁴ punktów M i N leżą odpowiednio na śladach nxh i n²h. Jeżeli tedy przesuniemy przez punkta 11 i A płaszczyznę, równoległą do płaszczyzny rysunku, natenczas ta płaszczyzna przecina się z płaszczyznami (b, a) i (c, a) podług prostych m i n odpowiednio równoległych do krawędzi b i e; rzuty zatem m⁴ i n1 przechodzą odpowiednio przez M‘¹ i N⁴ i są równoległe do prostych b i c.

Łącząc tedy wierzchołek W z punktem przecięcia się P' prostych m⁴ i n4 otrzymamy rzut a¹ krawędzi a.

Celem wyznaczenia kąta krawędziowego /?, poprowadźmy przez dowolny punkt A' rzutu a⁴ prostą A⁴G₂ prostopadłą do krawędzi c i wykreślmy trójkąt prostokątny    którego kąt przyległy do prostokątnej A⁴ Ci równy

jest kątowi dwuściennemu C, odmierzmy następnie na prostej A⁴C₂ odcinek C₂Ai) równy przeciwprostokątnej C₂(Ai) i połączmy wierzchołek W z punktem Ai, to kąt zawarty między krawędzią c i prostą WAi jest równy kątowi krawędziowemu /?,

Podobnie wyznaczamy kąt y a kąt dwuścienny A otrzymamy w sposób wyłożony w art. 5.

9.    Zagadnienie: Dane są kąty dwuścienne A i B a nadto kąt krawędziowy a kąta bryłowego W{a, b, c) wyznaczyć kąt dwuścienny G i kąty krawędziowe (3 i y (rys. 210.).

Rozwiązanie: Przyjmijmy płaszczyznę kąta krawędziowego y, wprawdzie na razie nieznanego za płaszczyznę rysunku, a dowolną prostą WBX za krawędź b kąta bryłowego i poprowadźmy przez wierzchołek W prostą (c) nachyloną do b pod kątem a, to takowa jest kładem krawędzi c, wykonanym około osi b.

Przesuńmy następnie przez krawędź b płaszczyznę (&, c) nachyloną do płaszczyzny rysunku pod kątem B, a przez krawędź c płaszczyznę (c, a) nachyloną do tejże płaszczyzny pod kątem A, to takowe tworzą z płaszczyzną rysunku dany kąt bryłowy trójścienny.

Celem wyznaczenia krawędzi a, obierzmy na krawędzi c dowolny punkt P i poprowadźmy przezeń proste, nachylone do płaszczyzny rysunku pod kątem A, to takowe są tworzącemi stożka obrotowego 2, którego przekrój płaszczyzną rysunku jest kołem. Środek tego koła schodzi się z rzutem P punktu P, a promień jest równy przyprostokątnej trójkąta, którego jedna przyprostokątna równa jest odległości punktu P od płaszczyzny rysunku, a którego kąt do tej przyprostokątnej przyległy równy jest (90°—A).

Jeżeli tedy poprowadzimy przez punkt W styczne % i a₂ do koła 7c, natenczas otrzymamy krawędzie kątów bryłowych, trójciennych W(at, b, c) i W(a₂, b₁ c) czyniących zadość warunkom zagadnienia.

10.    Zagadnienie: Mając dane trzy kąty dwuścienne A, B i C kąta bryłowego trójściennego, wyznaczyć kąty krawędziowe.

Rozwiązanie: Uważajmy płaszczyznę kąta krawędziowego y za płaszczyznę rysunku a dowolną prostą leżącą na tej płaszczyźnie za krawędź a, kąta bryłowego i przesuńmy przez prostą a płaszczyznę yr¹, nachyloną do płaszczyzny rysunku pod kątem A, a przez dowolny punkt płaszczyznę yr², nachyloną odpowiednio do płaszczyzn y i yr¹ pod kątami B i C, to płaszczyzny y, yr¹ i yr², wyznaczają kąt bryłowy, którego kąty dwuścienne równe są kątom A, B i C.

Położenie płaszczyzny yr¹ jest wyznaczone, chodzi tedy o wyznaczenie płaszczyzny n². Obierzmy w tym celu dowolny punkt P, którego położenie wyznaczają rzut P' i odległość P(P) od płaszczyzny rysunku i przesuńmy przezeń proste nachylone do płaszczyzn y i nx pod kątami (90°—B) i (90°— C) natenczas otrzymamy dwa stożki obrotowe 2l i JS₂, przecinające się podług tworzących m i n, nachylonych odpowiednio do płaszczyzn y i nx pod kątami (90—B) i (90 —U). Płaszczyzny tedy prostopadłe do prostej m lub n są nachylone do płaszczyzny y pod kątem P, a do płaszczyzny nx pod kątem C. Aby otrzymać tworzące ni i n, zakreślmy z punktu P promieniem równym odcinkowi (P)Bi =(P)P.cosP kulę K, to koło k zakreślone z rzutu P promieniem PĄ    sinB jest krzywą, podług której te powierzchnie 2i

i K przenikają się.

Wyprowadźmy następnie z punktu P, prostą prostopadłą do płaszczyzny nx i odmierzmy na niej odcinek PZ)₂=PD₁.cos(7; przesuńmy następnie przez punkt 1)₂ płaszczyznę yr³, równoległą do nx i zakreślmy z punktu P₂ Pro" mieniem równym odcinkowi (P)P₁.sinC' koło to takowe jest krzywą, podług której kula K przecina się ze stożkiem U₂.

Koła h i Jci przecinają się w punktach M i N, leżących na prostej nVl, podług której płaszczyzny y i ?r³ przecinają się. Łącząc tedy punkt P‘ z punktami M i N otrzymamy rzuty m* i n‘ prostych m i n na płaszczyznę rysunku. Każda płaszczyzna tedy prostopadła do prostej m lub n, wyznacza z płaszczyznami y i tt¹ kąt bryłowy, czyniący zadość warunkom danego zagadnienia. — Przesuńmy n. p. przez rzut P‘ płaszczyznę n², prostopadłą do prostej nr, ślad tej płaszczyzny na płaszczyźnie y przechodzi przez punkt P‘, jest prostopadły do rzutu m‘ i schodzi się z krawędzią b kąta bryłowego a punkt przecięcia się W prostych a i b jest wierzchołkiem tegoż kąta. Aby otrzymać krawędź c t. j. prostą, podług której płaszczyzny n¹ i yr² przecinają się, poprowadźmy płaszczyznę yr⁴, równoległą do płaszczyzny y i wyznaczmy rzuty p‘ i q‘ prostych, podług których płaszczyzny yr¹ i yr⁴ tudzież yr² i yr⁴ przecinają się, to prosta łącząca punkt przecięcia się Q‘ prostych p‘ i q' jest rzutem krawędzi c.

11. Z rysunku 206. przedstawiającego rozwiązanie kąta bryłowego trójściennego, którego kąty krawędziowe a, /? i y są dane, można w sposób nader prosty wyprowadzić zasadnicze wzory trygometryi sferycznej.

Jakoż przyjmijmy że:

WAi = WA₂ = 1 natenczas otrzymamy:

Ga A₂ — Ot (A,) —sin 8, B,A, =i?(A₁)=sin y, A'(A₂)=Ci(A₂). sin sin/?, sin C A‘(A₂)=BX (Ax) sin JB=sin y sin5 a ponieważ A.'(A₂)=A‘(A₁) przeto 1) sin /? sin C= siny. sin B albo sin /? sinB

sin y sin6r

Wyprowadźmy z punktu Cx prostą CXB, prostopadłą do krawędzi b, a z punktu A¹ prostą A‘E, równoległą do tej krawędzi, natenczas WBX = = WB-\-EA‘; atoli WBx=cosy, WB—WCxcos a=cos/?. cos a, EA‘=CxA‘s\na= = C₁(A₂).cosC'.sina=sina.sin/?.cos6ł, zatem:

2) cosy=cosa.cos/?+ sina.sin/?.cos(;.

BCi = WClsina=cos ^sina, BE=BXA‘ = =BX(Aj).cosB= sin y. cos B, EC₁=AlCicos a=(A₂)Cx.cosCcos a=cosp. cos acosC przeto :

Ponieważ BC\=BE+ECX

stawimy

3) cos/?.sina=sin/?.cosa.cos6’-f- siny.cos-S.

Jeżeli obie strony tego równania podzielimy przez sin/? i za

sin6łu ”sinJ?

natenczas otrzymamy:

4) cotg 8.sina=cosa.cos C + cotgBsinC.

o a

• i-H    • r—I

"to

pod

0 rzutach wielościanów.

12. Część przestrzeni ograniczoną ze wszystkich stron wielokątami nazywamy wielościanem. Wielokąty owe nazywamy ścianami, boki tychże na-

punkta, w których przynajmniej trzy krawędzie

zywamy krawędziami i trzy ściany wielościanu się schodzą, nazywamy wierzchołkami wielościanu.

Wielościan ograniczony wielokątem i trójkątami, których wierzchołki schodzą się w jednym punkcie nazywamy ostrosłupem. Ów wielokąt nazywamy podstawą a trójkąty ograniczające ostrosłup nazywamy ścianami bocznemi.

Jeżeli podstawa jest wielokątem foremnym, a prosta łącząca środek tegoż z przeciwległym wierzchołkiem ostrosłupa, jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, natenczas powiadamy, że ostrosłup jest prosty.

Wielościan ograniczony dwoma wielokątami przystającymi, których płaszczyzny są równoległe i równoległobokami, nazywamy graniastosłupem.

Owe wielokąty nazywamy podstawami , a równoległoboki nazywamy ścianami bocznemi. Graniastosłup, którego podstawy są równoległobokami, nazywamy równoległościanem, a w szczególności równoległościanem , prostokątnym, jeżeli wszystkie ściany tegoż są prostokątami.

13.    Zagadnienie: Wykreślić rzut środkowy ostrosłupa, którego podstawa ABCI) leży na płaszczyźnie    a którego wierzchołek W leży na

prostej l(T, Z‘) (rys. 211.).

Rozwiązanie: Połączmy punkt W‘ z A¹, B‘, C‘ i 2>' to proste łączące są rzutami krawędzi bocznych danego ostrosłupa. Odcinki A‘B\ B‘C‘: W‘C‘ i W‘A‘ ograniczają rzut ostrosłupa, płaszczyzny tedy rzucające krawędzie podstawowe' AB i BC, jakoteż płaszczyzny rzucające krawędzie boczne WA i WG stykają się niejako z ostrosłupem W(A, B, C, D) owe krawędzie są zatem widzialne dla oka umieszczonego w środku rzutów.

Z położenia punktów B‘ i I)' względem śladu tłowego ti płaszczyzny podstawowej yr¹ widoczna, że punkt Z) leży bliżej oka niż _B, że zatem ściany W Al) i W DC zasłaniają widok krawędzi WB.

Uwaga: Rzuty krawędzi widzialnych, przedstawiamy zapomocą linii pełnych, rzuty zaś krawędzi niewidzialnych przedstawiamy zapomocą linii punktowanych.

14.    Zagadnienie: Wykreślić rzuty prostokątne ostrosłupa pięcio-ściennego prostego o danej wysokości nhu, którego podstawa leży na płaszczyźnie n(nh, nv) a którego jedna krawędź boczna jest równoległa do płaszczyzny pionowej rzutów.

Rozwiązanie: Poprowadźmy prostą 1{V, l") równolegle do płaszczyzny pionowej rzutów i wyznaczmy rzut prostokątny ^    l‘\) prostej l na pła

szczyznę yr, a nadto punkt A(A\ A"), w którym proste l i it przecinają się; wyznaczmy następnie kąt a, zawarty między prostemi l i lx i odmierzmy na prostej l od punktu A odcinek WA=hsvaa to punkt W{W‘W") jest wierzchołkiem ostrosłupa, rzut prostokątny Wi(W/i W'¹ A tegoż na płaszczyznę n jest środkiem pięciokąta podstawowego, a odcinek zawarty między punktami W± i Al jest promieniem koła, opisanego na podstawie.

Jeżeli tedy wyznaczymy w kładzie płaszczyzny n na płaszczyznę poziomą rzutów prawdziwą wielkość (A)(B)(C)(D)(E) wielokąta podstawowego a następnie rzuty A‘B‘C‘D‘E‘ i A"B"C"D"E", i połączmy W‘ z ‘WBE^E1 a W“ z A"B“O"D“E" natenczas otrzymamy rzuty żądanego ostrosłupa.

16. Zagadnienie: Wyznaczyć środek i promień kuli opisanej na ostrosłupie trójściennym W(ABC), którego podstawa ABC leży na płaszczyźnie poziomej rzutów (rys. 212).

Rozwiązanie: Środek M kuli opisanej na ostrosłupie trójściennym W {ABC) jest punktem, którego odległości od wierzchołków A, B i C są równe. Przez środek M przechodzi tedy sześć płaszczyzn, które dzielą na dwie równe części krawędzie ostrosłupa i są do tychże prostopadłe.

Punkt przecięcia się l śladów poziomych 7i\, n²h i n²h jest środkiem koła k opisanego na trójkącie ABC, które leży na kuli opisanej K, a proste łączące punkt W z punktami koła h, są cięciwami tejże kuli.

Przesuńmy przez punkta NP i Q dzielące na dwie równe części krawędzie podstawowe BC, CA i AB, płaszczyzny nx, n² i nz odpowiednio prostopadłe do prostych BC, CA i AB, to takowe przecinają się podług prostej l na której środek M. leży.

to takowa jest śladem pionowym płaszczyzny, przesuniętej przez punkt E, prostopadle do cięciwy WJD kuli K; punkt przecięcia się zatem M" prostych 1“ i jest rzutem pionowym środka kuli opisanej na ostrosłupie W(ABC).

Poprowadźmy tedy przez wierzchołek W cięciwę WJD, równoległą do płaszczyzny pionowej rzutów i podzielmy rzut TT"D" na dwie równe części ; poprowadźmy następnie przez punkt dzielący E" prostą nkv, prostopadłą do W"D‘‘

Prawdziwą wielkość M“AJ\ promienia tej kuli otrzymamy obracając n. p. prostą MA, w ten sposób, aby była równoległa do płaszczyzny pionowej rzutów.

16. Zagadnienie: W dany ostrosłup trójścienny W(ABC), którego podstawa leży na płaszczyźnie poziomej rzutów, wpisać kulę (rys. 213.).

Rozwiązanie: Środek kuli K wpisanej w ostrosłup trójścienny jest punktem, znajdującym się w równych odległościach od czterech ścian tegoż.

Miejsce geometryczne punktów, równo oddalonych od dwu ścian, składa się z dwu płaszczyzn , prostopadłych , które przechodzą przez wspólną krawędź tychże i dzielą dwie równe części kąty, między niemi zawarte. Środek tedy kuli, wpisanej w ostrosłup W(ABC) jest w punkcie przecięcia się sześciu płaszczyzn, przesuniętych przez krawędzie WA, WB, WC, AB, BC, CA i dzielących kąty dwuścienne tego ostrosłupa na dwie równe części. Atoli trzy z tych płaszczyzn, które nie przechodzą przez tensam wierzchołek wystarczają do wyznaczenia środka M.

Przesuńmy tedy przez wierzchołek W płaszczyznę ni, prostopadłą do krawędzi podstawowej AB, i wyznaczmy proste WE i W‘E, podług których ta płaszczyzna przecina się ze ścianami WAB i ABC. Obróćmy następnie płaszczyznę tc¹ i prostą WE około prostej WW, w ten sposób, aby były równoległe do płaszczyzny pionowej rzutów, to natenczas rzut W“E',i tworzy z osią x kąty równe kątom nachylenia płaszczyzn WAB i ABC.

Podzielmy kąty zawarte między prostemi x i W/‘E/Ji, na dwie równe części i wyznaczmy punkta El i Gx, w których proste dzielące przebijają płaszczyznę n, poprowadzoną równolegle do płaszczyzny poziomej rzutów, sprowadźmy następnie płaszczyznę ny oraz punkta P\ i Gl do położenia pierwotnego WEW‘ i poprowadźmy przez takowe proste ci i c₂ równoległe do krawędzi AB, to płaszczyzny, przesunięte przez krawędź AB i przez proste cx i c₂ dzielą na dwie równe części kąty nachylenia ścian WAB i ABC.

W podobny sposób otrzymamy proste bi i b₂, które wyznaczają z krawędzią AC, płaszczyzny, dzielące na dwie równe części kąty nachylenia ścian WAC i ABC, jakoteż proste at i. «₂, które wj^znaczają z krawędzią BC płaszczyzny dzielące na dwie równe części kąty nachylenia ścian WBC i ABC.

Płaszczyzny 1. (BC, aA (AC, b.) i (AB, c.)

2. (BC, a,l), (AC, \) i (AB, c₂)

przecinają się w ośmiu punktach, których odległości od ścian ostrosłupa W(ABC) są równe; te punkta zatem są środkami kul, stykających się ze ścianami tegoż ostrosłupa.

17.    Zagadnienie: Wykreślić rzut środkowy graniastosłupa prostego, którego podstawy są kwadratami leżącymi na płaszczyznach równoległych n(t, z‘) i n\tx, z\) (rys. 214.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy ślad zbiegu Zd0 prostych prostopadłych do płaszczyzny n, i wykreślmy w kładzie płaszczyzny n na tło kwadrat (1), (2), (3), (4) następnie rzut środkowy 1'2'3'4' tego kwadratu to proste ltZ⁹⁰, 2‘Z⁹⁰,... są rzutami krawędzi bocznych graniastosłupa.

Rzuty 1', 2' i 5', 6', — 2', 3' i 6', 7'—... krawędzi podstawowych, które leżą na tych samych ścianach bocznych graniastosłupa, przecinają się w punktach leżących na śladzie zbiegu z'.

18.    Zagadnienie: Wykreślić rzuty prostokątne równoległościanu pro-‘ stokątnego, którego podstawa ABCI) leży na płaszczyźnie n(nu, nv), jeżeli krawędzie AB, AC i AB przechodzące przez punkt A są odpowiednio równe odcinkom ci, b i c, a bok AB podstawy nachylony jest do śladu nu pod kątem a (rys. 215.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy kład (A) punktu A na płaszczyznę poziomą rzutów i poprowadźmy przezeń prostą (A)HX, nachyloną do śladu nh pod kątem a, a nadto prostą (A)D, prostopadłą do prostej (A)HX ; odmierzmy następnie na prostych (A)HX i (A)T) od punktu (^4) odcinki (A)(B) i (A)(B) odpowiednio równe odcinkom a i b i sprowadźmy płaszczyznę n do położenia pierwotnego, to natenczas otrzymamy rzuty trzech wierzchołków A, B, D podstawy ABCD równoległościanu; rzuty zatem punktu C z łatwością można wyznaczyć.

Jeżeli tedy wyprowadzimy z punktów A, B, C i D proste, prostopadłe do płaszczyzny n, i odmierzymy na tychże odcinki AB, BF, CC, JDH, równe odcinkowi C, natenczas otrzymamy wierzchołki B, F, C, H, drugiej podstawy równoległościanu.

W danym przypadku są rzuty poziome krawędzi AD, DC, CC, DH, AB, BF, FC, CII, HB i rzuty pionowe krawędzi AD, AB, BF, AE, DH, EF, FC, CII, HB widzialne, rzuty poziome zaś krawędzi AB, BC, BF i rzuty pionowe krawędzi BC, CD, CC są niewidzialne.

Zagadnienie: Wykreślić rzuty aksonometryczne dimetryczne graniastosłupa , którego podstawy są kwadratami, leźącemi na płaszczyznach równoległych do płaszczyzny OZY, a którego krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny OXY pod kątem a a do płaszczyzny OZY pod kątem (3.

0 rzutach wielościanów foremnych.

Zagadnienie 19.: Wykreślić rzuty izometryczne czworościanu, którego jedna ściana leży na płaszczyźnie OBY, a którego jedna krawędź AB jest równoległa do osi OY (rys. 216.).

— 129 -

Rozwiązanie: Odmierzmy na prostej poprowadzonej równolegle do osi 0aY, odcinek AaBa, aksonometrycznie równy krawędzi AB i poprowadźmy przez punkt Ma, który dzieli ów odcinek na dwie równe części prostą MaCa równoległą do osi 0„X; odmierzmy następnie na tej prostej od punktu Ma odcinek MaCa równy aksonometrycznie przyprostokątnej trójkąta, którego jedna    przyprostokątna równa    jest    odcinkowi    AM, a    którego przeciwprosto-

kątna    jest równa odcinkowi    AB,    to punkt    Ca jest    rzutem izometrycznym

wierzchołka C ściany ABC.

Punkt przecięcia się D‘a prostej MaCa z prostą NaBa łączącą rzut Ba z punktem -ZV« , który dzieli na dwie równe części odcinek AaCa, jest rzutem izometrjmznym I)‘a środka B‘ ściany ABC. Jeżeli tedy wyprowadzimy z punktu I)‘a prostą JD‘aBa równoległą do osi 0aZ i odmierzymy na tejże od punktu D‘a odcinek D‘aDa aksonometrycznie równy przyprostokątnej trójkąta, którego jedna    przyprostokątna równa    jest    odcinkowi    MD' a    którego przeciwprosto-

kątna    równa jest odcinkowi    MC,    natenczas    otrzymamy rzut Ba czwartego

wierzchołka czworościanu.

20.    Zagadnienie: Wykreślić rzut środkowy sześcianu, którego jedna ściana leży na płaszczyźnie 7i(i, z‘), prostopadłej do tła (rys. 217.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy kład (1)(2)(3)(4) a następnie rzut 1'2'3'4' kwadratu leżącego na płaszczyźnie n i poprowadźmy przez rzuty P, 2', 3', 4', jakoteż przez ślad tłowy Tx prostej 2 3 proste P5', 2'6', 3'7', 4'8' i TiAi prostopadłe do śladów t i z'; odmierzmy następnie na prostej TXAX odcinek równy krawędzi sześcianu i połączmy punkt At ze śladem zbiegu Z\ prostej 2 3, to prosta AlZ\ przecina się z prostemi, wyprowadzonymi z punktów 2' i 3' w rzutach 6' i 7' wierzchołków 6 i 7 sześcianu. Rzuty 8' i 5' wierzchołków 8 i 5 otrzymamy z uwagi, że punkta 5, 6, 7 i 8 leżą na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny n{t, z').

21.    Zagadnienie: Wyznaczyć rzuty prostokątne ośmiościanu, którego jedna ściana AXA₂A₃ leży na płaszczyźnie poziomej rzutów (rys. 218.).

Rozwiązanie: Przez krawędzie AXA₂, A₂A₃ i A₃AX przechodzą trójkąty równoboczne AXA₂B₃, A₂A₃BX i A₃AXBX nachylone do płaszczyzny poziomej rzutów pod kątami równymi. Punkta Bx, B% i B₃ są wierzchołkami ściany ośmiościanu , która leży na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów, odległości bowiem punktów Bx, B₂ i Bz od tej płaszczyzny są równe.

Rzuty poziome B‘x, B‘₂ i B‘₃ leżą na prostych, odpowiednio prostopadłych do krawędzi A₂A₃, A₃A.X i AXA₂, które nadto dzielą te krawędzie na dwie równe części; punkta tedy Ax, B'₃, A₂, B\, A₃ i B‘₂ są wierzchołkami sześcioboku foremnego, który ogranicza rzut poziomy ośmiościanu danego.

Odległość ścian A1} A₂, A₃ i B1} B₂, B₃ równa jest przyprostokątnej trójkąta, którego jedna przyprostokątna jest równa rzutom AXB‘₃, A₂B‘₃... krawędzi AXBZ, A₂B₃... a którego przeciwprostokątna równa jest prawdziwej wielkości krawędzi ośmiościanu.

Prosta tedy nv, poprowadzona równolegle do osi x w odległości od tejże osi, równej odcinkowi B\ W jest śladem pionowym płaszczyzny, na której ściana Bx, B₂, B₃ leży. Jeżeli zatem wyznaczymy rzuty pionowe B,\B“₂B',₃ i połączymy B\ z A\ i A"₃ B\ z A\ i A\, B"₃ z A\ i A\ natenczas otrzymamy rzuty pionowe sześciu krawędzi ośmiościanu.

Geom. wykreśliła.

22.    Zagadnienie: Wykreślić rznt aksonometryczny izometryczny, ośmiościanu, którego jedna oś jest równoległą do osi OZ układu trzech płaszczyzn prostopadłych (rys. 219.).

Rozwiązanie: Wykreślmy w kładzie płaszczyzny OXY na płaszczyznę aksonometryi kwadrat (1)(2)(3)(4) a nadto rzut aksonometryczny la, 2a, 3a, 4a i przesuńmy tenże w kierunku osi OaZ w ten sposób, aby się zeszedł z równoległobokiem AaBaGaBa, poprowadźmy następnie przez punkt przecięcia się Ma przekątnych AaCa i BaBa, prostą, równoległą do osi OaZ i odmierzmy na niej odcinki MaEa i MaFa aksonometrycznie równe przy-prostokątnej trójkąta, którego jedna przyprostokątna jest równa połowie przekątnej kwadratu (1)(2)(3)(4), a którego przeciwprostokątna równa jest krawędzi ośmiościanu, to punkta Ea i Fa są rzutami izometrycznymi dwu wierzchołków ośmiościanu. Łącząc tedy punkta Ea i Fa z punktami Aa, Ba, Ca i Da otrzymamy rzut aksonometryczny izometryczny ośmiościanu. Rzuty aksonometryczne poziome krawędzi AB, BC... AF, AE... schodzą się z bokami i z przekątnymi kwadratu la2r3a4a.

23,    Zagadnienie: Wykreślić rzuty prostokątne dwunastościanu, którego jedna ściana A₁A₂A₃AiA₅ leży na płaszczyźnie poziomej rzutów (rys. 220.).

odpowiednio

których rzuty poziome B\, B\, i B‘b leżą. Długość boków pięciokąta BiB₂B₃BiBb równa jest prze-

Rozwiązanie: Przesuńmy przez boki A₁A₂, A₂A₃... pięciokąta danego, pięciokąty A₁B₁C₁B₂A₂, A₂B₂ C₂B₃A₃,... i to w ten sposób, aby przy wierzchołkach A1} A₂... powstały kąty bryłowe trójścienne,' to natenczas wierzchołki BiBiB₃..., znajdujące się na przekątnych B±B₂, B₂B równoległych do boków A₁A₂, A₂A₃..., leżą na płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów i wyznaczają pięciokąt homotetyczny z wielokątem A₁A₂A₃AiA₅. Łącząc tedy środek 0¹ rzutu A\A\A‘₃A*kA'h z wierzchołkami A\A‘₂..., otrzymamy proste, na B‘3j B‘

kątnej pięciokąta A\A'₂Al₃A'kA'^ równoległej do jednego z boków, a więc n. p. przekątnej A\A\.

Jeżeli tedy poprowadzimy przez punkta A‘₃ i A‘h proste A₃B‘₂ i A₅F\, prostopadłe do boku A\A\, natenczas punkta przecięcia się prostych 0‘A\ i A‘bF\ tudzież 0‘A‘₂ i A‘₃P‘₂ są rzutami poziomymi B\ i B\ wierzchołków Bx i B₂ pięciokąta ByB₂B₃... Wierzchołki Cu C₂, C₃ , C₄, Gh wyznaczają również pięciokąt foremny, leżący na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów, którego boki są równe bokom pięciokąta B B₂..., rzuty poziome przeto B\, G1} B‘₂C‘₂... są wierzchołkami dziesięciokąta foremnego, który ogranicza rzut poziomy dwunastościanu.

Ściana górna DiD₂B₃DiDb dwunastościanu, leży na płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów a rzuty poziome B\, B‘₂, B'₃ .. wierzchołków DyD₂D3,... dzielą odpowiednio na dwie równe części Żuki A\Al₂,

której wielokąt ByB₂... leży od płaszczyzny poziomej rzutów,

A\jP₃, A‘₃A\... koła opisanego na pięciokącie A\A/₂A'₃A/iAl₅. Odległość płaszczyzny jt¹, na

której wielokąt CyC₂... leży, równa jest przyprostokątnej b

jest równa przyprostokątnej a trójkąta, którego jedna przyprostokątna równa jest rzutowi A\B\ krawędzi AyBy, a którego przeciwprostokątna równa jest prawdziwej wielkości tej krawędzi. Odległość zaś płaszczyzny rc¹ od płaszczyzny ?r² na

trójkąta, którego jedna przyprostokątna równa jest rzutowi B'₃CU₃ krawędzi

którego przeciwprostokątna równa jest prawdziwej wielkości kra-

*3 Ą,:

wędzi dwnnastościanu.

Odległość ściany górnej DiD₂... od płaszczyzny n² jest równa od

cinkowi a.

Jeżeli tedy poprowadzimy proste    n²v i yr³®, równoległe do osi

rzutów w odległościach od tejże osi, równych odpowiednio odcinkom a, aĄ-b i 2a-\-b, natenczas otrzymamy ślady pionowe płaszczyzn yr¹, n² i yr³, z którymi rzuty pionowe wielokątów ByB‘₂... CyC\... i DyE₂... się schodzą.

24. Zagadnienie: Wykreślić rzuty prostokątne dwudziestościanu, którego jedna ściana AlA₂A₃ leży na płaszczyźnie poziomej rzutów (rys. 221.).

Rozwiązanie: Wiadomo, że w każdym wierzchołku dwudziestościanu schodzi się pięć wierzchołków trójkątów równobocznych, które to trójkąty są ścianami bocznymi ostrosłupa pięciościennego o podstawie foremnej.

Niech będą dane trzy takie ostrosłupy B₁(A₂C₂DX C₃C₃): B₂(A₃C₃D₂CiA{)1 i B₃(AiCiD₃A₂C₂).

Zestawmy te ostrosłupy tak, aby jedna krawędź każdego z nich schodziła się z bokiem ściany A₁A₂A₃, i aby nadto po dwa boki podstaw owych ostrosłupów nakrywały się, to natenczas wierzchołki DiJD₂ i D₃ leżące naprzeciw boków trójkąta AlA₂A₃, wyznaczają trójkąt równoboczny, leżący płaszczyźnie , równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów a rzuty poziome

D\D\ i D‘₃ dzielą odpowiednio na dwie równe części łuki A‘₃A‘₂₁ A‘gA\,

A‘₂A\ koła, opisanego na trójkącie A\A\A'₃.

Rzuty C\C‘₂ i C‘₃ jakoteż B\, B‘₂ i B‘₃ wyznaczają trójkąty odpowiednio homotetyczne z trójkątami A\A\A\ i D/lD‘₂Dl₃, a boki owych trójkątów są równe przekątnym podstaw ostrosłupów danych, równoległym do boków ściany A\A\A‘₃.

Rzuty zatem B\, C‘₂₁ B‘₃,    B‘₂ i C‘₃ są wierzchołkami sześcioboku

foremnego, który ogranicza rzut poziomy dwudziestościanu.

Odległości «, b i c płaszczyzny poziomej rzutów od płaszczyzny n której punkta By, B.₂ i B₃ leżą, płaszczyzny 7il od płaszczyzny n², na której wierzchołki 6^ 6⁷₂ i C₃ leżą i płaszczyzny n² od płaszczyzny tz³, na której leży ściana JDiB₂I)₃, są odpowiednio równe przyprostokątnym trójkątów, których przeciwprostokątne są równe krawędziom dwudziestościanu , a których przyprostokątne są odpowiednio równe rzutom poziomym krawędzi A₂BU By C₂ i C₂Dy.

Rzuty pionowe tedy B‘\B"₂ i B“ ₃, C‘\C‘\ i C“₃ i D'\D“₂ i B“₃ leżą prostych, równoległych do osi x, których odległości od tejże osi są odpowiednio równe odcinkom a, a + b, i ad-ć-f-e.

25. Zagadnienie: Wykreślić rzuty izometryczne dwudziestościanu, którego jedna oś jest równoległa do osi OZ.

Rozwiązanie: Krańce M i N osi dwudziestościanu są wierzchołkami dwu ostrosłupów pięciościennych o podstawach foremnych ABCDE i FGH1K, których płaszczyzny są prostopadłe do osi MN punktów M i N równe są przyprostokątnej PT trójkąta APT, którego jedna przyprostokątna AT jest równa promieniowi koła, opisanego ABCDE, a którego przeciwprostokątna AP równa jest krawędzi dwudziestościanu.

na

na

na

których odległości od

na

pięciokącie

Długość osi MN jest równa przeciwprostokątnej PQ trójkąta, którego jedna przyprostokątna AP równa jest krawędzi dwudziestośoianu, a którego kąt przyległy do tej przy prostokątnej jest równy kątowi trójkąta ATP1 przyległemu do przyprostokątnej PT.

K‘a są

wierzchołkami dziesięciokąta ograniczającego rzut aksonometryczny poziomy

Wykreślmy tedy w kładzie płaszczyzny OXY na płaszczyznę aksono-metryi dwa pięciokąty foremne, spółśrodkowe, w ten sposób ułożone, że wierzchołki jednego dzielą na dwie równe części łuki koła opisanego na tych wielokątach i odpowiadające bokom wieloisąta drugiego, wyznaczmy następnie rzuty aksonometryczne A¹ aB‘aC‘aD'aJE‘a i F‘aG‘aTPaPaK‘a tych wielokątów, to punkta A‘a, F'a, B'a, G‘a, Ga, H'a, D‘(n Pa, E‘

dwudziestośoianu.

Wyprowadźmy z rzutu T'a środka T wielokątów A, P,... FG... prostą MaNa równoległą do osi OaZ i odmierzmy na niej odcinek MaNa aksonome-trycznie równy przeciwprostokątnej PQ trójkąta APQ a od punktów Ma i Na odcinki MaSa i NaVa , aksonometrycznie równe przyprostokątnej PT trójkąta ATP i poprowadźmy przez punkta S i V płaszczyzny, równoległe do piana tych płaszczyznach leżą odpowiednio podstawy

OXY. to

szczyzny

ABCDF i FGH1K ostrosłupów, stanowiących część dwudziestośoianu, których wierzchołki schodzą się z krańcami M i N osi.

Ba, Gay.. FaG

Ba , Ca , I)a , Fa , punkt Na z Fa, Ga, Ha, Ta,

Jeżeli tedy wyznaczymy rzuty aksonometryczne A i połączymy punkt Ma z A Ka, punkt Aa z Fa i Ka, punkt Ba z Fa i Ga... i t. d. natenczas otrzymamy rzut aksonometryczny dwudziestośoianu.

0 przekrojach wielościanów płaszczyznami.

a któ-

26.    Przekrój wielościanu płaszczyzną n jest wielokątem którego wierzchołki schodzą się z punktami przebicia krawędzi z płaszczyzną n rego boki są prostemi, podług których ta płaszczyzna przecina się ze ścianami wielościanu.

Aby tedy wykreślić przekrój wielościanu płaszczyzną n, należy, albo wyznaczyć punkta, w których krawędzie wielościanu ową płaszczyznę przebijają i połączyć te z nich, które leżą na tychsamych ścianach wielościanu, albo wyznaczyć proste, podług których płaszczyzna n przecina się ze ścianami wielościanu, uwzględniając jedynie odcinki tych prostych, zawarte między krawędziami wielościanu.

Przy rozwiązaniu zagadnień dotyczących przekrojów płaskich, łączymy najczęściej obie metody; taki sposób postępowania bowiem prowadzi najprędzej do celu.

27.    Dwa przekroje ABC i AiBiCi ostrosłupa W(ABC) płaszczyznami n i nx są wielokątami środkowo-kolineacyjnymi. Środek kolineacyi schodzi się z wierzchołkiem W, a prosta t, podług której płaszczyzny n i nx przecinają się, jest osią kolineacyi. Osi wzajemne schodzą się z prostemi, podług których płaszczyzny przesunięte przez wierzchołek W, równolegle do płaszczyzn ^ i ji¹ przecinają się z płaszczyznami tt¹ i n.

Dwa przekroje ABC i AXB^CX graniastosłupa płaszczyznami n i są wielokątami powinowatymi; kierunek powinowactwa schodzi się z kierun-

kiem krawędzi bocznych graniastosłupa, a prosta t, podług której płaszczyzny yr i yr¹ przecinają się, jest osią powinowactwa.

28.    Rzuty A‘B‘C‘ i A\B\C\ przekroju ostrosłupa płaszczyznami yr i yr1 z dowolnego punktu na dowolną płaszczyznę są środkowo kolineacyjne; rzut W‘ wierzchołka jest środkiem kolineacyi, a rzut d‘ prostej d, podług której płaszczyzny n i yr¹ przecinają się, jest osią kolineacyi.

Rzuty równoległe osi wzajemnych dwu przekrojów płaskich ostrosłupa są osiami wzajemnymi rzutów tych przekrojów.

rzu-

Rzutom środkowym zaś osi wzajemnych przekrojów ostrosłupa odpowiadają ślady zbiegu płaszczyzn przecinających, albowiem takowe są tami prostych, leżących w nieskończoności na płaszczyznach przecinających.

Rzuty równoległe dwu przekrojów A‘JB‘C‘ i A\B\C\ graniastosłupa są powinowate, kierunek powinowactwa schodzi się z rzutem kierunku krawędzi bocznych a rzut d‘ prostej, podług której płaszczyzny ABC i Ai Bx C: przecinają się, jest osią powinowactwa. Rzuty środkowe dwu przekrojów graniastosłupa są środkowo kolineacyjne; środek kolineacyi schodzi się ze śladem zbiegu krawędzi bocznych.

29.    Zagadnienie: Dany jest rzut środkowy ostrosłupa W (AB CD), którego podstawa leży na płaszczyźnie ~n(tz‘), dana jest nadto płaszczyzna

wykreślić rzut przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną yr¹ (rys. 222.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy prostą d[l\Z\), podług której płaszczyzny yr i rr;¹ przecinają się, a nadto rzut A\ punktu, w którym krawędź W A płaszczyznę yr¹ przebija, natenczas związek kolineacyjny zachodzący między rzutami przekrojów ostrosłupa danego płaszczyznami yr i yr¹, jest wyznaczony; prosta T^Z\ jest osią, punkt W¹ jest środkiem, a rzuty A‘ i A\ są elementami odpowiednimi kolineacyi.

Wierzchołki B\\ D\ rzutu środkowego wielokąta przekroju AiBiCiDl otrzymamy, łącząc punkt A\ z punktami M‘ i W, w których proste A‘B‘ i A‘B‘ przecinają się z osią kolineacyi TiZ\ i wyznaczając punkta przecięcia się prostych A\M‘ i W‘B‘ tudzież A\N' i W‘D‘.

Rozwiązanie 2.: Wyznaczenie punktu przecięcia się krawędzi W A z płaszczyzną yr¹ jest częstokroć połączone z trudnościami, zwłaszcza jeżeli ślady prostej W A leżą poza obrębem rysunku. W tym przypadku można wyznaczyć kolineacyę, zachodzącą między rzutami środkowymi przekrojów ostrosłupa W(ABCD) płaszczyznami yr i yr¹ w sposób następujący.

Przesuńmy przez wierzchołek W płaszczyznę 7i²(t₂z‘) , równoległą do płaszczyzny yr, i wyznaczmy prostą l(T₂, Z\), podług której płaszczyzny yr1 i yr² przecinają się, to rzut środkowy T₂ i Z\ i ślad zbiegu 8* płaszczyzny yr są elementami odpowiednimi układów środkowo - kolineacyjnych , których podstawami są płaszczyzny yr i yr¹.

Związek tedy zachodzący między rzutami A‘B‘C‘D‘ i A\B\C\I)\ przekrojów ostrosłupa W(ABCB) płaszczyznami yr i yr¹ jest wyznaczony.

30.    Dany jest ostrosłup W(ABCJD) którego podstawa leży na płaszczyźnie poziomej rzutów ; wyznaczyć prawdziwą wielkość przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną n{rch7iv) nie kreśląc rzutów przekroju (rys. 224.).

od-

ziomy nh

Rozwiązanie: Podstawa ABCB i przekrój AlBiClDi ostrosłupa W(ABCD) płaszczyzną yr są wielokątami środkowo kolineacyjnymi. Ślad po-płaszczyzny przecinającej jest osią kolineacyi a oś wzajemna

powiadająca prostej układu AiBlCiBi, leżącej w nieskończoności, schodzi się ze śladem poziomym płaszczyzny jf¹, przesuniętej przez wierzchołek W, równolegle do płaszczyzny n. Wykonajmy tedy kłady płaszczyzn n i Jt¹ na płaszczyznę poziomą rzutów, to kład {Ay){Bx){Cy){Dx) wielokąta przekroju AyBxCxDx jest środkowo kolineacyjny z podstawą ABCD ostrosłupa; środek kolineacyi schodzi się z kładem (W) wierzchołka W, ślad nh jest osią koli-neacyi a ślad n\ jest osią wzajemną, która odpowiada prostej układu (A₁){Bi){Ci){Di) leżącej w nieskończoności.

Punktowi przecięcia się B prostej AB ze śladem nXh odpowiada w układzie (Ax )(B₁)(C₁)(B₁) punkt B₁C0 leżący w nieskończoności na prostej (W)B. Prostej AC odpowiada tedy prosta, poprowadzona przez punkt przecięcia się Hi prostych AC i rch równolegle do promienia (W)B.

Jeżeli zatem poprowadzimy promienie (W)A i (W)D natenczas punkta przecięcia się tychże z prostą BlBi⁰⁰ są kładami (Ax) i (Dy) wierzchołków Ai i Bi wielokąta przekroju. Kłady (Bx) i (ć^) wierzchołków Bx i Ci otrzymamy w podobny sposób.

31.    Zagadnienie: Dany jest ostrosłup W{ABC) w rzutach środkowych, którego podstawa leży na tle, dana jest nadto płaszczyzna ni{tl^\), wyznaczyć przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną tf¹ zapomocą zmiany środka rzutów (rys. 225.).

Rozwiązanie: Przesuńmy środek rzutów na prostej prostopadłej do śladu zniknienia płaszczyzny yr¹ w ten sposób, aby po przesunięciu środek rzutów leżał na płaszczyźnie tf¹, natenczas ślad zbiegu Z¹ prostej l(TZ‘) na której wierzchołek W leży, przesunie się na prostej prostopadłej do śladów tx i z\ płaszczyzny nx i zbliży się do śladu tłowego tx o odcinek równy odległości prostych ty i z\ ; — zmieniony tedy rzut ¹W‘ wierzchołka W znajdować się będzie w punkcie przecięcia się prostej iZ‘T z prostą W'¹ W¹, poprowadzoną przez pierwotny rzut wierzchołka, prostopadle do śladu tłowego ty.

Po tej zmianie środka rzutów jest płaszczyzna jf¹ płaszczyzną rzucającą, albowiem zmieniony ślad zbiegu tej płaszczyzny schodzi się ze śladem tłowym. Jeżeli tedy przez punkta przecięcia się U', *2' śladu tłowego tx ze zmienionymi rzutami ¹WA', ¹ W'B‘ poprowadzimy proste, prostopadłe do śladu tys to takowe przecinają się z pierwotnymi rzutami W‘A‘ i W‘B‘ krawędzi ostrosłupa danego w pierwotnych rzutach 1', 2' wierzchołków przekroju.

32.    Zagadnienie: Dane są rzuty aksonometryczne ostrosłupa W(ABC), którego podstawa leży na płaszczyźnie OXY dany jest nadto trójkąt śladów SJJaYa płaszczyzny jf, wyznaczyć przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną n (rys. 226.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy punkt 1(1«, l'a) w którym krawędź WA przebija płaszczyznę n i połączmy rzut aksonometryczny la z punktami przecięcia się lBa i H²a prostych SaUa i AaBa tudzież SaUa i AriCa to proste lBaXa i WaBa przecinają się w rzucie aksonometrycznym 2a punktu 2, w którym krawędź WB przebija płaszczyznę jf, a proste H²ala i WaCa przecinają się w rzucie aksonometrycznym 3a, punktu 3, w którym płaszczyzna n przecina się z krawędzią WC. — Wielokąt l«2a3a jest tedy rzutem aksonometrycznym przekroju ostrosłupa danego płaszczyzną n.

33.    Zagadnienie: Dany jest graniastosłup w rzutach prostokątnych, którego podstawa ABCD leży na płaszczyźnie poziomej rzutów; dana jest

nadto płaszczyzna 7v(h, nv), wyznaczyć prawdziwą wielkość przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną tt, nie kreśląc rzutów przekroju (rys. 227.).

Rozwiązanie: Wiadomo, że przekrój 1, 2, 8, 4 graniastosłupa i podstawa tegoż ABCD są wielokątami powinowatymi a nadto, że kład (1)(2)(3)(4) wielokąta przekroju i wielokąt podstawowy są utworami powinowatymi. Wyznaczmy tedy rzuty 1' i 1" punktu w którym krawędź boczna graniastosłupa, przechodząca przez punkt 4, przebija płaszczyznę n a następnie kład (1) punktu 1 na płaszczyznę poziomą rzutów, natenczas powinowactwo zachodzące między podstawą ABCD i kładem wielokąta przekroju jest wyznaczone; ślad poziomy bowiem nh płaszczyzny przecinającej n jest osią a prosta .4(1) łącząca dwa odpowiednie punkta wskazuje kierunek powinowactwa. Celem wyznaczenia kładów (2), (3) i (4) wyznaczmy punkta przecięcia się Hl, H₂ i i/₃ osi nh z prostemi AB, AD i CD i połączmy HA i H2 z kładem (1); poprowadźmy następnie przez punkta B i D proste, równoległe do 4(1), to takowe przecinają się z prostemi (1 )Hi i (1 )H₂ w kładach (2) i (4) wierzchołków wielokąta przekroju; — połączmy wreszcie punkt H3 z punktem (4) i poprowadźmy przez punkt C równoległą do 4(1) to w przecięciu się tych dwu prostych otrzymamy kład (3) wierzchołka 3, wielokąta przekroju.

34. Zagadnienie: Dany jest dwunastościan foremny w rzutach prostokątnych, dana jest nadto płaszczyzna 7i\n'h, n\)] wyznaczyć przekrój tego wielościanu płaszczyzną A.

j4", *5" i ¹6" śladu

13"

Rozwiązanie: Poprowadźmy płaszczyznę n²(n²hn²v), prostopadłą do śladu poziomego płaszczyzny yr¹ i uważajmy takową za drugą płaszczyznę pionową rzutów, wyznaczmy następnie ślad iji\ płaszczyzny A na drugiej płaszczyźnie pionowej rzutów, a nadto rzut danego wielościanu na tę płaszczyznę to punkta przecięcia się , d2"

następnie te punkta odpowiednio

na

z rzutem dwunastościanu na płaszczyznę n² są drugimi rzutami pionowymi punktów przecięcia się danego wielościanu z płaszczyzną yr¹, ta płaszczyzna bowiem jest prostopadła do płaszczyzny rzutów n². — Jeżeli tedy wyznaczymy rzuty poziome 1', 2'... leżące z punktami A, ¹2'... na prostych , prostopadłych do śladu n²h i rzuty pionowe 1", 2"... leżące z punktami 1% 2' prostych, prostopadłych do osi a;, a połączymy, natenczas otrzymamy rzuty przekroju danego dwunastościanu.

W podobny sposób można wyznaczyć przekroje jakichkolwiek wielo-ścianów płaszczyznami.

Zagadnienie: Dany jest dwunastościan w rzutach środkowych, wyznaczyć przekrój tego wielościanu, płaszczyzną, zapomocą zmiany środka

rzutów.

0 wyznaczeniu punktów przeciącia sią prostej z wielościanami.

3B. Aby wyznaczyć punkta, w których prosta l przebija wielościan, przez prostą l płaszczyznę i wyznaczamy wielokąt, podług

przesuwamy

którego ta płaszczyzna przecina ów wielościan a nadto punkta przecięcia się prostej l z wielokątem przekroju, to takowe są punktami przecięcia się prostej l z wielościanem.

36.    Zagadnienie: Dany jest ostrosłup w rzutach środkowych, którego podstawa ABCD leży na płaszczyźnie n(t, 2'), dana jest nadto prosta l(T, Z¹) wyznaczyć punkta przecięcia się prostej l, z danym wielościanem (rys. 228.).

Rozwiązanie: Płaszczyzna przesunięta przez prostą l i przez wierzchołek ostrosłupa W[ABCD) przecina takowy podług trójkąta, którego jeden wierzchołek schodzi z punktem W; punkta przecięcia się zatem prostej l z owym trójkątem są punktami, w których prosta l przebija dany ostrosłup.

Przesuńmy tedy przez wierzchołek W i przez prostą l płaszczyznę s\) i wyznaczmy prostą m, (T₃, Z‘₃), podług której płaszczyzny n i nl przecinają się a nadto punkta przecięcia 1' i 2' prostej m‘ z wielokątem A‘B‘C‘D‘, połączmy następnie rzut wierzchołka W z punktami 1' i 2', to proste W‘1‘ i W‘2¹ przecinają się z prostą V w rzutach I‘ i II punktów przecięcia się I i II prostej l z danym ostrosłupem.

Zagadnienie : Wyznaczyć punkta przecięcia się prostej z ostrosłupem w rzutach a) prostokątnych, b) aksonometrycznych.

37.    Zagadnienie: Dany jest graniastosłup w rzutach aksonometrycznych, którego podstawa ABCD leży na płaszczyźnie YOZ dana jest nadto prosta l(la, l‘a), wyznaczyć punkta przecięcia się prostej l z tym graniasto-słupem (rys. 229.).

Rozwiązanie: Płaszczyzna przesunięta przez prostą /, równolegle do krawędzi bocznych graniastosłupa przecina ten wielościan podług czworokąta, którego dwa boki są równoległe do krawędzi bocznych, punkta przecięcia się zatem prostej l z owym czworokątem przekroju, są punktami w których prosta l przebija dany graniastosłup.

Przesuńmy tedy przez prostą l płaszczyznę tc, równoległą do krawędzi bocznych ABy.. graniastosłupa i wyznaczmy rzut aksonometryczny nak śladu bocznego nk tejże, a nadto punkta przecięcia się 1„ i 2a prostej nak z rzutem podstawy ABCD, poprowadźmy następnie przez punkta la i 2„ proste ma i na równoległe do AaEa, to takowe przecinają się z prostą la w rzutach aksonometrycznych Ia i lla punktów I i II, w których prosta l przebija dany graniastosłup.

Zagadnienie: Wyznaczyć punkta przecięcia się prostej z graniasto-słupem w rzutach a) środkowych b) prostokątnych.

38.    Zagadnienie: Dany jest jakikolwiek wielościan w rzutach prostokątnych, dana jest nadto prosta l(V, l") wyznaczyć punkta przecięcia prostej l z tym wielościanem (rys. 230.).

Rozwiązanie: Załóżmy sobie wyznaczyć punkta w których prosta l przebija ośmiościan ABCDEF.

Przesuńmy w tym celu przez prostą l płaszczyznę n, prostopadłą do płaszczyzny poziomej rzutów i wyznaczmy wielokąt 1, 2, 3, 4, 5, 6, podług którego ta płaszczyzna przecina dany ośmiościan.

Rzut poziomy P, 2', 3', 4', 5', 6' leży na śladzie poziomym nh płaszczyzny n, który się schodzi z rzutem poziomym V prostej l. Jeżeli tedy wyznaczymy rzut pionowy l"2"3//4"6/'6" a nadto punkta przecięcia się I" i II" tego wielokąta z rzutem V‘, natenczas otrzymamy rzuty pionowe punktów I i II w których prosta przebija dany wielościan.

O przenikaniu sią wielościanów.

39.    Figura przenikania się dwu wielościanów jest wielokątem w ogólności wichrowatym, którego wierzchołki są punktami przecięcia się krawrędzi jednego wielościanu ze ścianami wielościanu drugiego, a którego boki schodzą się z prostemi , podług których ściany wielościanów przecinają się. Z tego określenia wynikają bezpośrednio sposoby wykreślania wielokąta przenikania, należy bowiem w tym celu wyznaczyć punkta przecięcia się krawędzi jednego wielościanu, ze ścianami wielościanu drugiego i połączyć te punkta przecięcia się, które leżą równocześnie na ścianach jednego i drugiego wielościanu , albo wyznaczyć proste, podług których ściany wielościanów przecinają się, uwzględniając jedynie odcinki tychże, ograniczone krawędziami.

Figura przenikania się dwu wielościanów jest jednolita, albo składa się z dwu części; w pierwszym przypadku przenikają się wielościany częściowo t. z. jeden wielościan odrywra niejako część wielościanu drugiego; w drugim przypadku przenikanie wielościanów jest zupełne t. z. część jednego wielościanu jest objęta wielościanem drugim.

40.    Zagadnienie: Dane są dwa ostrosłupy w rzutach aksonometry-cznych W (ABCD) i W\MNPQ) których podstawy leżą odpowiednio na płaszczyznach OXY i OYZ; wyznaczyć wielokąt przenikania się tych wielościanów (rys. 231.).

Rozwiązanie: Wierzchołki figury przenikania się ostrosłupów otrzymamy w sposób najprostszy, przesuwając płaszczyzny pomocnicze przez poszczególne krawędzie boczne i przez wierzchołki tych wielościanów.

ślady aksonometryczne

Wyznaczmy tedy ślad aksonometryczny poziomy Ha i ślad aksonome-tryczny boczny Ka, prostej WW\ łączącej wierzchołki ostrosłupów danych i przesuńmy przez prostą WWl i przez krawędzie WA, WB, WC i WD płaszczyzny W WJA, WW'B,... to ślady aksonometryczne poziome tychże przechodzą przez ślad Ha i przez punkta Aa, Ba,... boczne łączą ślad boczny Ka z punktami Y₁, F₂... w których oś OaY przecina się z prostemi HaAa, HaBay..

przecinają się z wielokątem NaNaPaQa w punktach la i 2a, 3„ i 4a,... trójkąty tedy Wlala2a, W¹a3a4a... są rzutami aksonometrycznymi przekrojów ostrosłupa W\MNPQ) płaszczyznami WWlA, a punkta przecięcia się Ia i Ila, llla i IVa... prostych h i Wia2a z prostą WaAaj prostych TF¹a3a i W¹a4a z prostą WaJBa... są rzutami aksonometrycznymi wierzchołków I, IZ, III, IV, V, VI, figury przenikania się danych ostrosłupów.

, Siad aksonometryczny boczny płaszczyzny WWlC nie przecina się z wielokątem MaNaPaQa, krawędź tedy WC nie przecina się z żadną ścianą ostrosłupa W\MNPQ).

Ślady boczne KaYi, KaY₂,...

WW'B

ślady aksonometryczne poziome łączą

KaPa- prze-

Pa i Q

Przesuńmy następnie przez prostą WWi i przez krawędzie W*N, WXP i W'Q, płaszczyzny, to ślady boczne tych płaszczyzn przechodzą przez ślad Ka i przez punkta W

punkt Ha z punktami Yk, Y₅,... w których ślady boczne KaN cinają się z osią Ya. Ślady aksonometryczne poziome owych płaszczyzn przecinają się z wielokątem AaBaCaI>a w punktach 7a i 8a, 9a i 10a... trójkąty przeto Wra7a8a, TFa9a10a,... są odpowiednio rzutami aksonometrycznymi przekrojów ostrosłupa W(A, BCD) płaszczyznami WWXN, WWiP,... a punkta przecięcia się Vlla i VIIIa, IXa i Xa Xla i XIIa, krawędzi WaNa z prostemi Wala i Wa8a , krawędzi WaPa z prostemi Wa9a i Wa10a,... są rzutami wierzchołków figury przenikania się ostrosłupów danych.

Ślad aksonometryczny poziomy płaszczyzny WWXM nie przecina się z wielokątem AaBaCaDa, krawędź W Al. nie przecina się tedy z żadną ścianą ostrosłupa W(ABCD).

Proste leżące na tych samych ścianach obu ostrosłupów i łączące wierzchołki wielokąta przenikania się są bokami tego wielokąta.

Wyznaczenie atoli tych wierzchołków, które leżą na tych samych ścianach jednego i drugiego wielościanu jest połączone z trudnościami rosnącymi z ilością owych wierzchołków. Należy tedy celem uniknięcia możliwych błędów, przy łączeniu wierzchołków uprzytomnić sobie na których ścianach jednego i drugiego wielościanu owe wierzchołki leżą.

WAB, WAD i WA1Q i W'NP

I tak n. p. punkt I jako punkt przecięcia się krawędzi WA ze ścianą WXMQ leży na ścianach: WAB i WAD ostrosłupa W{ABCD) i na ścianie W\MQ) ostrosłupa W\31NPQ)\ otrzymamy następujące zestawienie: punkt 1 leży na ścianach

33

33

33

WAB, WBC i WBQ i W'NP WAD, WDC i WA!Q „    „ i WA1N

W'MN, W'NI i WAD i W CD WVNP, WBQ i WBC »    „ i W CD

wmą, wvpq i wab

* i WCD

73

33

33

73

33

33

73

73

WAD i W^MQ ostrosłupów W i Wi ; punkt I należy również połączyć z punktem XI oba bowiem te punkty leżą na ścianach WX31Q i WAB ostrosłupów W i W].

W podobny sposób możemy wykazać, że łączyć należy:

II z punktami IV i VII

HI »

IV „

Punkty: 1 i V leżą na ścianach

punkt

IX i XI

33

II i IX I i XII

VI

r x 33

73

73

„ VIII „

33

VII    i VIII X i VI

73

33

VIII    i XII

Każdy wierzchołek wielokąta przenikania się dwu wielościanów łączy się z dwoma wierzchołkami tychże wielościanów. Jeżeli jednak dwie krawędzie wielościanów przecinają się, punkt przecięcia się leży na czterech ścianach obu wielościanów, przez ten punkt przechodzą tedy cztery krawędzie figury przenikania się.

41. Zagadnienie: Dane są dwa graniastosłupy w rzutach prostokątnych, których podstawy leżą na płaszczyźnie poziomej rzutów, wyznaczyć figurę przenikania się tych wielościanów (rys. 232.).

Rozwiązanie: Płaszczyzny równoległe do krawędzi bocznych gra-niastosłupów przecinają się ze ścianami bocznymi tychże wielościanów podług prostych równoległych.

Przesuńmy tedy przez dowolny punkt S płaszczyzną tg, równoległą do krawędzi bocznych obu graniastosłupów danych i wyznaczmy ślad poziomy nh tej płaszczyzny; przesuńmy następnie przez krawędzie a, b, c, d, pierwszego graniastosłupa płaszczyzny równoległe do płaszczyzny tg, to ślady poziome tych płaszczyzn przechodzą przez wierzchołki A, B,... podstawy AB CD i są równoległe do śladu nh.

Jeżeli tedy poprowadzimy przez punkta przecięcia się 1 i 2, 3 i 4,... owych śladów z podstawą MNPQ drugiego graniastosłupa, prostą równoległą do krawędzi m, n,... i wyznaczymy odpowiednio punkta przecięcia się tychże z krawędziami a, b i c natenczas otrzymamy wierzchołki I, II,... figury przenikania.

Ślad poziomy płaszczyzny równoległej do tg, a przesuniętej przez krawędź d, nie przecina się z podstawą MNPQ, krawędź d nie przecina się tedy z żadną ścianą graniastosłupa (w, n, p, q). Przesuńmy następnie przez krawędzie m, n, p, ą płaszczyzny równoległe do płaszczyzny tg i poprowadźmy przez punkta przecięcia się 7 i 8,... śladów tych płaszczyzn z podstawą graniastosłupa (abcd) proste równoległe do krawędzi a, b,... to punkta przecięcia się tychże VII i VIII z krawędziami m, n,..- są również wierzchołkami figury przenikania się.

Ślad poziomy płaszczyzny przesuniętej przez krawędź nn“ równolegle do płaszczyzny tg, nie przecina się z wielokątem A, B, C, D\ krawędź »nu nie przecina się tedy z żadną ścianą graniastosłupa (a, b, c, d); boki wielokąta przenikania wyznaczymy podobnie jak w zagadnieniu poprzedniem a to za pomocą protokołu, wskazującego, na jakich płaszczyznach wielościanów poszczególne wierzchołki wielokąta przenikania leżą.

42. Zagadnienie: Dany jest ostrosłup W(ABCD) i graniastosłup (m, n, p, q) w rzutach środkowych. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe do tła, a podstawy ABCD i MNPQ obu wielościanów leżą na płaszczyźnie #'); wyznaczyć figurę przenikania się tych wielościanów (rys. 233.).

Rozwiązanie: Płaszczyzny przesunięte przez wierzchołek ostrosłupa równolegle do krawędzi bocznych graniastosłupa przecinają ostrosłup podług trójkątów, a ściany boczne graniastosłupa podług prostych równoległych, za pomocą tych płaszczyzn można zatem najłatwiej wyznaczyć punkta, w których krawędzie jednego wielościanu przecinają się ze ścianami wielo-ścianu drugiego.

Poprowadźmy tedy przez wierzchołek W prostą l równoległą do krawędzi m, w,... graniastosłupa i wyznaczmy punkt D w którym ta prosta przebija płaszczyznę u, to proste łączące punkt D z wierzchołkami A, B, ... i    P,... są śladami na płaszczyźnie n, płaszczyzn przesuniętych przez

prostą l i przez krawędzie WA, WB,... i m, p,...

9 i 10, 11 i 12

Jeżeli tedy poprowadzimy przez punkta przecięcia się 1 i 2, 3 i 4... prostych DA, DBy.. z podstawą MNPQ, proste równoległe do krawędzi bocznych m, ny.. i wyznaczymy punkta przecięcia się tychże 1 i i/, III i IV... z krawędziami WA, WB, jeżeli nadto połączymy wierzchołek W z punktami w których proste DM, DN, ... przecinają się z wielokątem

ABCD i wyznaczymy punkta przecięcia się IX i X, XI i XII prostych W9 i WIO, Wll i TP12, z krawędziami m, n,... natenczas otrzymamy wierzchołki figury przenikania się. Boki tej figury wyznaczjmiy w sposób wyłożony w zagadnieniach poprzednich.

43. Zagadnienie: Dane są dwa wielościany: graniastosłup ABCDEF i czworościan MNPQ w rzutach prostokątnych ; wyznaczyć wielokąt, podług którego te wielościany przenikają się (rys. 234.).

z czworo-

Rozwiązanie: Przesuńmy przez krawędzie Al), BE,... graniastosłupa płaszczyzny, prostopadłe do płaszczyzny poziomej rzutów, i wyznaczmy wielokąty 123 , ... , podług których te płaszczyzny przecinają się ścianem MXPQ, a nadto punkta przecięcia się I i II, III i IV, V i VI krawędzi AD, BE i CE z owymi wielokątami, to natenczas otrzymamy sześć wierzchołków wielokąta przenikania się.

Przesuńmy następnie przez krawędzie czworościanu płaszczyzny, prostopadłe do płaszczyzny poziomej rzutów i wyznaczmy wielokąty, podług których te płaszczyzny przecinają się z graniastosłupem , to punkta przecięcia się VII i VIII tych wielokątów z krawędziami czworościanu są również wierzchołkami przenikania się. Krawędzie MQ, MP, ME, PQ i PN nie przecinają się z danym graniastosłupem.

Jeżeli tedy w sposób poprzednio wyłożony, uwidocznimy te płaszczyzny obu wielościanów, na których poszczególne punkta I... VIII leżą, natenczas z otrzymanego protokołu wyczytamy, że w danym przypadku rozpada się wielokąt przenikania się na część płaską I V III i na wielokąt wichrowaty II VIIIV VI VIII.

0 cieniach własnych i cieniach rzuconych wielościanów.

44. Niech będzie dany wielościan ABCDEFGH (rys. 235.) i kierunek s promieni światła, poprowadźmy przez wierzchołki A, B, C,... proste Aa, Bp, Cy,..., równoległe do s, to proste Aa, Bp, F(p, Goj, łł% i Dó, nie posiadające z wielościanem nic więcej spólnego prócz wierzchołków, można uważać za krawędzie boczne graniastosłupa E, w którego obrębie leżą promienie, oświetlające wielościan dany.

Graniastosłup E styka się niejako z wielościanem ABC...H wzdłuż krawędzi AB, BF, FG, GB, UD i DA, które odgraniczają część, zwróconą ku źródłu światła

więc ściany oświetlone ABEF, AEIII), EFGH, od ścian ABCD, BCFG, DCGI1, do których promienie światła bezpośrednio nie dochodzą, które zatem znajdują się w cieniu własnym.

Wielokąt ABFGHDA nazywamy liniją odgraniczającą cień od światła na danym wielościanie.

Przekrój apcpoj^óa graniastosłupa r dowolną płaszczyzną Jt ogranicza cień rzucony wielościanu AB... II na tę płaszczyznę, promienie bowiem, od bite od ścian oświetlonych, nie dochodzą do płaszczyzny n%, wszystkie punkta tedy, leżące w obrębie wielokąta a/?., da, są w cieniu , wszystkie zaś punkta płaszczyzny n, leżące poza obrębem owego wielokąta są oświetlone.

Linię, odgraniczającą cień od światła na jakimkolwiek wielościanie, można wyznaczyć pośrednio zapomocą cieni rzuconych wszystkich krawędzi tegoż na dowolną płaszczyznę; krawędzie bowiem, których cienie ograniczają cień rzucony wielościanu tworzą wielokąt, odgraniczający cień od światła.

45. Zagadnienie: Dany jest ostrosłup W(ABCB) w rzutach aksono-metrycznych, którego podstawa leży na płaszczyźnie n{nka, nva)^ równoległej do płaszczyzny Oxy, dany jest nadto kierunek promieni światła s(sa,    ;

wyznaczyć cień własny i cień rzucony tego wielościanu na płaszczyzny Oxy i Oxz (rys. 236.).

płaszczyźnie ti, popro-

na

Rozwiązanie: Poprowadźmy przez rzut aksonometryczny Wa i przez rzut aksonometryczny na płaszczyznę n wierzchołka W proste sa i V, równoległe do rzutu aksonometrycznego i rzutu aksonometrycznego poziomego promienia „s“, i wyznaczmy ślad iW‘a tej prostej wadźmy następnie przez ¹W‘a proste iW‘aBa i ¹ W'aBa niejako styczne do rzutu aksonometrycznego podstawy ostrosłupa, to spostrzeżemy, że krawędzie WB, WB, AB i AID tworzą wielokąt, odgraniczający część oświetloną WBAJD od części, znajdującej się w cieniu własnym WDCBA.

nadto połączymy cień A¹a

Jeżeli tedy połączymy cień rzucony W{a wierzchołka W na płaszczyznę Oxy z cieniami Bla i Bia punktów B i B punktu A z punktami Bxa i Bla natenczas wielokąt WiaB\A\B\ ogranicza cień rzucony danego ostrosłupa na płaszczyznę Oxy.

Część rzeczywista cienia na płaszczyznę Oxy rozciąga się do osi OaXa, dalsza część tegoż cienia na tę płaszczyznę jest idealna , albowiem płaszczyzna 0x8 nie jest przeźroczysta pochwy tuje tedy w danym przypadku część cienia rzuconego danego wielościanu.

Jeżeli tedy wyznaczymy cień rzucony W²a wierzchołka W na płaszczyznę 0x8 i połączymy go z punktami w których oś OaXa przecina się z prostemi WlaBia i WiaBiaj natenczas otrzymamy trójkąt ograniczający część cienia rzuconego danego ostrosłupa na płaszczyznę 0x8.

na płaszczyźnie Ti(t, 8'), a którego na płaszczyźnie, równoległej do n, dany jest

46 Zagadnienie: Dany jest graniastosłup Z\A‘B‘C‘B') w rzutach środkowych, którego podstawa ABCJD leży druga podstawa EFGH leży nadto ślad zbiegu Z\ promieni światła; wyznaczyć cień rzucony tego wielościanu na płaszczyznę n (rys. 237.).

Rozwiązanie: Ślad zbiegu Z‘Z\ płaszczyzn, równoległych do krawędzi bocznych AE,... graniastosłupa i do promieni światła łączy siady zbiegu Z‘ i Z‘s.

Wyznaczmy tedy punkt przecięcia się Z\ śladów 8¹ i Z‘Z‘S i poprowadźmy przezeń proste Z‘₂B‘ i Z‘₂B\ które z rzutem A‘B‘C‘B‘ nie mają nic spólnego prócz wierzchołków B‘ i D', to te proste są śladami na płaszczyźnie tc płaszczyzn, równoległych do promieni światła, i stykających się niejako z danym graniastosłupem wzdłuż krawędzi bocznych BE i Bil.

Z położenia promieni światła względem podstaw graniastosłupa widoczna, że podstawa górna EEGrll jest oświetlona, podstawa dolna zaś znajduje się w cieniu własnym; wielokąt wichrowaty przeto ABIIGFBA jest liniją odgraniczającą cień od światła na danym graniastosłupie.

Cienie rzucone krawędzi podstawowych AB i BB na płaszczyznę n schodzą się z temi krawędziami a cienie rzucone H\, G\ i F\ wierzchołków E, G i F schodzą się odpowiednio z punktami przecięcia się prostych Z‘₂B‘ i Z‘SE‘, Z\C‘ i Z'SG‘, Z\B‘ i Z\F‘; proste bowiem Z\B\ Z\0 i Z\B‘ są

cieniami rzuconymi krawędzi Z‘B', Z'O i Z‘B‘, a proste Z‘J1‘, Z\G‘ i są rzutami środkowymi promieni światła przechodzących przez punkta II, G i F.

47. Zagadnienie: Dany jest dwunastościan AxA₂...BxB₂...CiC₂...BiB₂... w rzutach prostokątnych , wyznaczyć cień rzucony tego wielościanu na płaszczyzny rzutów, przyjmując, że promienie światła są nachylone do płaszczyzny poziomej i do płaszczyzny pionowej rzutów pod kątem, którego

styczna trygometryczna jest równa

r—I

V2

(rys. 238.).

Rozwiązanie: Rzuty poziome i rzuty pionowe prostych, równo-ległych do promieni światła, tworzą z osią x kąty równe 45°.

Przedłużmy krawędzie A₁B₁₁ A₂B₂, ... i CXBX, C₂D₂... do punktów przecięcia się Wx i W₂ z osią dwunastościanu , prostopadłą do płaszczyzny A₁A₂A₃..., to te punkta są wierzchołkami ostrosłupów pięciościennych Wi(A₁, A₂...) i W₂(Bx, B₂...), których części zawarte między płaszczyznami A₁A₂A₃... i BiB₂B₃... tudzież BXB₂B₃... i CiC₂C₃.. są częściami dwunastościanu.

Wyznaczmy tedy w sposób wyłożony pod 1. 46. krawędzie boczne owych ostrosłupów W]Ax i W₁Ai tudzież W₂BX i W₂B₃, które odgraniczają ściany oświetlone od ścian znajdujących się w cieniu, to krawędzie AXBX i A[tBi tudzież BXCX i B₃G₃ są bokami wielokąta, odgraniczającego cień od światła na dwunastościanie. Oczywista, że krawędzie BiC₁ i BkC₃ są również bokami wielokąta odgraniczającego.

Widzimy dalej, że ściana DiD₂... jest oświetlona ściana zaś A₁A₂... znajduje się w cieniu własnym; wielokąt wichrowaty tedy A₁B₁C₁B₁B₂B₃C₃BiAiA₅A1 jest linią odgraniczającą cień od światła na danym dwunastościanie.

Rzut tego wielokąta w kierunku równoległym do promieni światła na płaszczyzny rzutów ogranicza cień rzucony dwunastościanu.

48.    Zagadnienie: Wyznaczyć cień rzucony prostej „lu na ostrosłup ścięty ABCDFFGH, którego podstawa leży na płaszczyźnie P, jeżeli kierunek promieni światła wyznaczony jest prostą s (rys. 239.).

Rozwiązanie: Wyznaczmy cień rzucony BHXGXFXB danego ostrosłupa ściętego na płaszczyznę P, a nadto cienie rzucone AEX, BHX, EXHX i FiGi krawędzi oświetlonych AB, BR, EH i FG, i cień rzucony lx prostej l; wyznaczmy następnie punkta III, I i II, w których prosta lx przecina się z cieniami BIIX, ExIIi i FiGi, i poprowadźmy przez te punkta proste III III¹, II¹, IIII¹, równoległe do kierunku promieni światła, to punkta przecięcia się UF, F, II¹ z krawędziami Bil, EH i FG są cieniami rzuconymi punktów leżących na prostej l na krawędzie wiolościanu.

Prosta l rzuca tedy cień IIFFIF na ściany AEHB i EFGH danego ostrosłupa ściętego.

49.    Zagadnienie: Dane są dwa graniastosłupy Pt i P₂ w rzutach prostokątnych; wyznaczyć cienie rzucone tych wielościanów na płaszczyzny rzutów, a nadto cień rzucony graniastosłupa P₁ na graniastosłup P₂ (rys. 240.).

Rozwiązanie: Przyjmijmy, że podstawa ABCB graniastosłupa P, i ściana boczna PLilfP^raniastosłupa V₂ leżą na płaszczyźnie poziomej rzutów.

Poprowadźmy przez dwa dowolne punkta A i B proste sx i s₂, równoległe do kierunku promieni światła, a nadto przez A prostą lx, równoległą do krawędzi bocznych wielościanu Fx, a przez punkt B prostą l₂, równoległą do krawędzi bocznych graniastosłnpa F₂, i przesuńmy przez proste i tudzież s₂ i l₂ płaszczyzny nx i n².

Przesuńmy następnie płaszczyzny tf¹ i n₂ tak, aby ślad poziomy nxh był niejako styczną, poprowadzoną do śladu poziomego A‘B'C'1)¹ graniasto-słupa Fx, a ślad pionowy n²v był niejako styczną, poprowadzoną do rzutu pionowego M"NUłł“podstawy graniastosłupa P₂, lezącej na płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzny pionowej rzutów, to spostrzeżemy, że krawędzie jBF, FG, GI i ID tworzą liniję odgraniczającą cień od światła na graniasto-słupie ri, a ściany MBPL, MNKL, KĘPO graniastosłupa P₂ znajdują się w cieniu własnym.

Cienie rzucone tedy wielokątów BF'G1D i BMLKOPB na płaszczyzry rzutów ograniczają cienie rzucone graniastosłupów na te płaszczyzny.

Grraniastosłup Fi rzuca jedynie cień na płaszczyzny oświetlone NSOK i SBPO graniastosłupa P₂.

Aby ten cień otrzymać, wyznaczm}⁷⁻ cienie rzucone krawędzi AA, SO i BP wielościanu P₂ na płaszczyznę poziomą rzutów i wyznaczmy punkta przecięcia się tychże z cieniami rzuconymi krawędzi BS i DI graniastosłupa P¹i ; poprowadźmy następnie przez punkta przecięcia się I... tych cieni proste, równoległe do rzutu poziomego prostej , wskazującej kierunek promieni światła, to punkta przecięcia się tychże z prostemi B‘P, S‘0‘ i K‘N‘ są rzutami poziomymi wierzchołków wielokąta ograniczającego cień rzucony wielościanu Fl na wielościan r₂.

50.    Zagadnienie: W rzutach aksonometrycznych dane są cztery belki o przekrojach prostokątnych , z których dwie są odpowiednio równoległe do osi OX i OZ a dwie są równoległe do płaszczyzny 0%z\ wyznaczyć cień rzucony tych belek na płaszczyznę OXY (rys. 241.), a nadto cienie jakie te belki na siebie rzucają.

51.    Zagadnienie: Dany jest ostrosłup wydrążony, którego wierzchołek W leży na płaszczyźnie poziomej rzutów, a którego podstawa ABCDEF leży na płaszczyźnie n , równoległej do płaszczyzny poziomej rzutów; wyznaczyć cień własny, cień rzucony na płaszczyzny rzutów i cień jaki ten ostrosłup do swego wnętrza rzuca (rys. 242.).

Rozwiązanie: Poprowadźmy przez wierzchołek W prostą s, równoległą do kierunku światła i wyznaczmy punkt przecięcia się tejże W₂(W‘₂W"₂) z płaszczyzną n, poprowadźmy następnie z punktu W‘₂ niejako styczne W‘₂A‘ i W‘₂F‘ do rzutu poziomego A‘B‘...F‘ podstawy, to spostrzeżemy, że krawędzie WA, AB, CD, DE i EW tworzą liniję odgraniczającą cień od światła

na danym ostrosłupie.

Jeżeli jednak przyjmiemy, że ostrosłup dany jest wydrążony, natenczas wewnętrzne strony tych ścian, których zewnętrzne są w cieniu, będą oświetlone

wewnętrzne zaś strony ścian oświetlonych znajdować będą w cieniu własnym, a nadto krawędzie Al¹ i F'E rzucać będą cień do wnętrza ostrosłupa.

Cienie rzucone krawędzi podstawowych AF i FG na płaszczyznę n schodzą się z temi krawędziami, a rzuty tych cieniów na płaszczyznę poziomą rzutów są prostemi A‘F i F‘E ; cienie krawędzi WB, WC i WD na płaszczyznę u schodzą się z prostemi W₂B, W₂C i W₂D, a rzuty poziome tychże są prostemi W‘₂B‘, W‘₂C‘ i W‘₂D‘. Jeżeli tedy wyznaczymy punkta

przecięcia się I, II i III prostych A‘F‘ i FE¹ z prostemi W\B‘, W\Cl i W\D, i poprowadzimy przez te punkta proste IIIIII¹, III IIP, równoległe do rzutu poziomego kierunku promieni światła , to w punktach przecięcia się I\ IP, IIP tych prostych z rzutami W\B‘, W\C‘ i W\D‘ otrzy-wierzchołki wielokąta A‘1'IPIIPE‘, ograniczającego rzut poziomy

mamy

cienia, jaki dany ostrosłup do swego wnętrza rzuca.

'SSS

r~

z?:.

c.

■

\

-

-vf'

. ■

* ■

\

0

i

"p

i

j

7-k

1;

'

.'W

*

Dod.

III-304979

ST

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

100000262695