mmmmmm

EttHNNia

Kifei

11

rnlmlÈm

;:S-|k:

■

: #fs.

. :f.

ARCHIWUM

towarzystwa

NAUKOWEGO WE LWOWIE DZIAŁ III. — TOM VII. — ZESZYT 8.

"R;,

(Über das

Uri

Ud csj bd Ud

Pd to

0 zagadnieniu rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego.

Entscheidungsproblem des engeren logischen Funktionenkalküls).

Napisał

JÓZEF PEPIS

O K

t—t : T

Ud td

O o

UjPU

•    ł-3

tu o

*    Ud

ts>cn

K PU

H—i

aha*

rot--

«• hs

Udtd

PJK

O t—i

hrj fc*

• L t

i fcd tu

r:

Pd

~d

U'

'^JUd

tu o

ud Lsj lu Pd a* ud

Oi>

ł—H -d

• • je»

Ph

Ud ö

oo

•    p-3

tuo

•    Ud

U>OQ

tH P>

I—I

CQP>

>nCO.

M

Ï PU

ł—ł *

<=qpr₄

I    i—i o

]    ES3 PP

PPh >-i    -

1

bd »

fc=*Ud

P3Ud

OK Pd Ud

ud<=d

u):

O«-«

hrj •

• b5

U*

Ud

p- t-H

O Pd

tA *

b-i

NAKŁADEM

\,

RUKARNI A

WE LWOWIE towarzystwa naukowego

WYZN REL. 1 OŚW. PUBL.

U» ORMIAŃSKA 8 - telefon 253-»

MINISTERSTWA

z ZASIŁKIEM

NAUKOWA WE LWOWIE,

,d główny

wydawnictw Towarzystwa

1937

utrzymuje księgarnia Gub L w o w i e.

(właśc. Al. Krawczyński).

i c z i Syn

i

ry

WYDAWNICTWA

TOWARZYSTWA NAUKOWEGO WE LWOWIE

Prace naukowe,

Dział II, matematyczno-przyrodniczy.

I.    Weyberg Zygmunt, Podstawy krystalografii, z 124 rys w tekście i 4 tabl., str. XIV i 160

II.    Zuber Rudolf, Flisz i nafta, z 162 ilustracjami w tekście

i 3 tablicami, str. XVI i 350    .......

. 20

III.    Noskiewicz Jan, Die palearktischen Colletes - Arten, mit 40 Textfiguren und 28 Tafeln, S. 532 .

Archiwum Towarzystwa Naukowego, Dział IIF, matematyczno-przyrodniczy.

Spis rozpraw zawartych w tomach I. do IV. podany jest w każdym tomie.

. 7,50

Tom V. Smulikowski Kazimierz. Materjały do znajomości skał magmowych Śląska Cieszyńskiego, z 4 wykresami i 6 tabl., str. 125 (2 zł.). — Poluszynski Gustaw. Cytologiczne badania nad gametogenezą owadów, z 5 tabl., str. 95 (2 zł.). — Birnbaum Zygmunt Wilhelm. Oszacowanie wartości właściwych problemu Sturma - Liouville’a o spółczynnikach posiadających skończone wahanie, str. 10. — Tenże. O jednoznacznie odwracalnych funkcjach analitycznych, str. 5 (za obie rozprawy 0,25 zł.). — Teisseyre Wawrzyniec. O możliwości objaśnienia złudzeń wizualnych co do t. zw. kanałów Marsa na zasadzie epirogenezy ziemskiej. Pogląd krytyczny na ruchy lądotwórcze w Polsce, str. 26 (0,50 zł.). — Kuntze Roman. Studja porównawcze nad fauną kserotermiczną na Podolu, w Brandenburgii, Austrji i Szwajcar] i z 1 ryc. w tekście, str. 81 ( 1,50 zł.). — Falik Edward i Bieliński Zdzisław. Badania nad średnicą krwinek czerwonych. Zmiany średnicy krwinek w głodzie, str. 11 (0,25 zł.). — Mon né Ludwik. Badania porównawcze nad strukturami plazmatycznemi komórek płciowych męskich mięczaków z szczególnem uwzględnieniem brzuchonogów (Gastropoda), z 5 tabl.,

str. 55 (1 zł.).    ........

w\’p Marquesas, z 1 tabl. i 3 rys. w tekście, str. 15 Ży iński Eustachy. O układach d’Alemberta, str. 10 -- Ż e i m o - Ż e i m i s Stanisław. Wieś pałucka. Stu-

c. w tekście, str. 30 (1,50 oże rasowe Żydów kauka-— Matakiewicz Ma-uonowej krzywej prędkości

Tom VI. F u 1 i ń s k i Benedykt. Charakterystyka fauny wirków (Turbellaria) w strefie przybrzeżnej Małego Morza, z 3 ryc. w tekście, str. 27 (1 zł.). — Wiśniewski Lesław Wincenty. O rodzajach rodziny Coitocaecidae (Trematoda), z 1 tabl., z 2 ryc. ii z 2 tabel, w tekście, str. 13 (1 zł.). — Bryła Stefan i Chmielowiec Alfons. Rezultaty pomiarów mostu żelaznego z kracie złożonej przy pomocy przyrządów Manet RabuPa. z 5 tabl. i 15 rys. w tekście, str. 15 (1 zł.). — Golański Kazimierz. Składniki plazmatyczne komórek płciowych męskich drewniaka (Lithobius forfi-catus L.). (Krocionogi). (Myriapoda), z 7 ryc. w tekście i 2 tabl., str. 31 ( 1,50 zł.). — Rosiński Bolesław ks. Czaszld z półwyspu Gazę li i z (1 zł.). -(0,50 zł.).

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

skich, z k s y m i 1

100000297900

ARCHIWUM

TOWARZYSTWA NAUKOWEGO

WE LWOWIE

WYDZIAŁ III MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY

TOM VII.

'o¹

-.v

fi

«0.®. v

WE LWOWIE

NAKŁADEM TOWARZYSTWA NAUKOWEGO Z ZASIŁKIEM MINISTERSTWA WYZN. REL. 1 OŚW. PUBL.

1937

HD

III16 5 89

SPIS RZECZY.

Str.

- Ż e j m i s Stanisław, Struktura rasowa Skandynawji

Żej

Klisiecki Andrzej Jan, Ruch krwi w łuku aorty . . .

97

Papierkowski Julian, Farmakodynamiczne i lecznicze działanie wody ze zdroju „Karola“ w Iwoniczu.........

Żyliński Eustachy, Formalizm Hilberta. Cz. I. Formalizm Hj 243 Gawliński Stanisław, Wpływ czasu na ustrój zaprawy wapiennej

Lutwak-Mann Cecylia, Przemiany chemiczne w mięśniu pod wpływem zatrucia kwasem jodooctowym Pilawski Stanisław, Struktury protoplazmatyczne w spermatogenezie chrząszczy

Pepis Józef, O zagadnieniu rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego................

107

. 319

. 329

. 363

ARCHIWUM

TOWARZYSTWA NAUKOWEGO WE LWOWIE

DZIAŁ III. — TOM VII. — ZESZYT 8.

0 zagadnieniu rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego.

(Über das Entscheidungsproblem des engeren logischen F unktionenkalküls).

Napisał

JÓZEF PEPIS

r ¹ Z#¹ tE

WE LWOWIE

NAKŁADEM TOWARZYSTWA NAUKOWEGO Z ZASIŁKIEM MINISTERSTWA WYZN. REL. I OŚW. PUBL. DRUKARNIA NAUKOWA WE LWOWIE, UL. ORMIAŃSKA 8 — TELEFON 253-10

1937

w i g z i Syn

Skład główny wydawnictw Towarzystwa utrzymuje księgarnia Gubry

we Lwowie.

(właśc. Al. Krawczyński).

O zagadnieniu rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego \

(Über das Entscheidungsproblem des engeren logischen Funktionenkalküls.)

Napisał

Józef Pepis

SPIS RZECZY.

Str.

§ 1. Zagadnienia i kryteria rozstrzygalności dla systemu tzw. logiki zdaniowej................

§ 2. Zagadnienia rozstrzygalności systemu węższego rachunku

funkcyjnego.................

§ 3. Niektóre redukcje zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyjnego do pewnych przypadków szczególnych

tego zagadnienia...............

§ 4. O odwzorowaniach zbiorów nieskończonycu i przedsiawial-nościach w tych zbiorach dowolnych funkcyj logicznych .

§ 5. Dalsze redukcje ogólnego zagadnienia rozstrzygalności .    .    . 115

Przypis ....    .......

Streszczenie niemieckie (Zusammenfassung)

19

20

70

. . 168

170

WSTĘP.

Przy konstruowaniu systemów formalnych postępuje się zwykle, jak wiadomo, w ten sposób, że się zaczyna od wyliczenia znaków, którymi się ma zamiar posługiwać, to jest tzw. znaków systemu. Znaki te albo się efektywnie wypisuje (gdy ich jest skończona ilość), albo się opisuje tylko ich strukturę (gdy ich jest nieskończenie wiele), przy czym ta ostatnia alternatywa zachodzi zawsze dla znaków odgrywających rolę zmiennych (rzeczywistych lub pozornych). Następnie spośród wszystkich kombinacyj skończonych już wyłącznie tylko znaków systemu wyróżnia się przy pomocy

* Praca przedstawiona na posiedzeniu Wydziału Iii-go Towarzystwa z dn. 15 czerwca 1936 r. przez czł. prof. E. Żylińskiego.

reguł pewne kombinacje znaków, które się nazywa wyrażeniami sensownymi systemu albo krótko wyrażeniami systemu¹. W końcu spośród wyrażeń systemu wyróżnia się pewną podklasę wyrażeń, tzw. wyrażeń właściwych lub jak się je także często nazywa, tez systemu². Wyróżnienie podklasy wyrażeń właściwych następuje przy pomocy reguł o charakterze rekurencyjnym, precyzujących, które wyrażenia systemu mają być za właściwe uważane, przy czym, jak w każdej rekurencji, musi być podana baza wyjściowa, tzn. pewne wyrażenia systemu muszą być z góry jako właściwe wymienione³. Zaś reguły istotnie rekurencyjne, tzw. reguły postępowania są tego rodzaju, że pozwalają z pewnych wyrażeń, o których się już wie, że są właściwe, skonstruować nowe wyrażenia, które też są za właściwe uważane⁴. Te reguły postępowania wraz z tą bazą wyjściową pozwalają nam skonstruować nieograniczoną mnogość wyrażeń właściwych danego systemu.

Gdy mamy przed sobą skończony łańcuch wyrażeń systemu, z których każdy bądź : a) należy do bazy wyjściowej, bądź: b) powstaje z pewnych wyrażeń wyprzedzających rozważane wyrażenie w tym łańcuchu przez zastosowanie jednej z reguł postępowania, wówczas mamy pewność, że każde wyrażenie tego łańcucha, a więc w szczególności ostatnie, jest wyrażeniem właściwym. Ale i na odwrót do każdego wyrażenia właściwego istnieje łańcuch wyrażeń kończący się na danym wyrażeniu właściwym i którego każde wyrażenie posiada jedną z wyżej wymienionych własności a) lub b). W samej rzeczy, dane wyrażenie właściwe, jak w ogóle każde wyrażenie, o którym daje się na podstawie reguł systemu stwierdzić, że jest właściwe, musi powstać z pewnych wyrażeń należących do bazy wyjściowej przez stosowanie, skończoną liczbę razy, reguł postępowania. Te wyrażenia wyjściowe wraz z wyrażeniami pośrednimi, które przy stosowaniu reguł postępowania wypadają, ułożone w odpowiednim porządku, dają takowy łańcuch. Każdy taki łańcuch kończący się na danym wyrażeniu właściwym nazywamy łańcuchem właściwym lub dowodem danego wyrażenia właściwego.

rozstrzygalności danego systemu (Ent-

Przystępuję teraz do objaśnienia zasadniczego problemu związanego z danym systemem formalnym, tzw. zagadnienia rozstrzygalności. Niech A będzie dowolnym efektywnie danym wyrażeniem pewnego ściśle określonego systemu. Stawiamy sobie pytanie, czy A jest wyrażeniem właściwym (tezą) tego systemu, czy też nie jest. Nie trudno widzieć, że nie jest na ogół wcale rzeczą łatwą rozstrzygnąć, czy dane nam z góry wyrażenie jest tezą systemu, czy też nie. Jeśli znajdziemy łańcuch właściwy (dowód) na dane wyrażenie A, to wiemy, że A jest tezą systemu. Gorzej się rzecz przedstawia, gdy takiego łańcucha nie znajdziemy: nie możemy wtedy ani twierdzić, że A jest tezą systemu, ani też, że A nie jest tezą. Aby udowodnić, że A jest tezą, należało by znaleźć łańcuch właściwy dla A albo przynajmniej udowodnić, że takowy istnieje. Do twierdzenia, że A nie jest tezą systemu nie wystarcza stwierdzenie, że takiego łańcucha nie umiemy znaleźć, lecz do tego trzeba udowodnić, że taki łańcuch wcale nie istnieje. Naprawdę trudna sytuacja jest zwyczajnie właśnie wtedy, gdy A nie jest tezą systemu, gdyż aby się o tym przekonać trzeba udowodnić, że żaden łańcuch właściwy nie kończy się wyrażeniem A, a to jest, ogólnie biorąc, rzeczą niezmiernie trudną. Zagadnienie znalezienia jednolitego kryterium pozwalającego przy pomocy skończonej liczby działań rozstrzygnąć, czy z góry zadane wyrażenie systemu jest, czy nie jest tezą tego systemu, nazywamy zagadnieniem

scheidungsproblem). Odnośnie do wymagań stawianych takiemu kryterium należy podkreślić, że nie żąda się, aby ilość kroków wzgl. działań przy rozstrzyganiu miała nie przekroczyć pewnej z góry określonej liczby naturalnej. Takie stawianie kwestii byłoby w wysokim stopniu niemądre. Żąda się jedynie i wyłącznie, aby ta potrzebna ilość kroków była w ogóle skończona. Kwestia praktycznej możliwości rozstrzygania jest kwestią zupełnie inną; tu natomiast zakłada się, że mamy dostatecznie dużo czasu do dyspozycji i że rozporządzamy dostatecznie dużymi arkuszami papieru do wypisywania ewentualnych długich rachunków⁰.

Zagadnienie rozstrzygalnośći nasuwa się nie tylko w związku z pojęciem tezy danego systemu, lecz także w związku z każdym pojęciem ściśle sprecyzowanym. Gdy mamy do czynienia z jakimś pojęciem ściśle określonym, wówczas dla każdego przedmiotu jest rzeczą jednoznacznie określoną czy należy albo, czy nie należy do zakresu tego pojęcia. Możliwość każdoczesnego rozstrzygania, która z tych dwóch alternatyw dla danego przedmiotu istotnie zachodzi, nie jest jednak jeszcze przez samą określoność pojęcia zapewniona i znalezienie takiej możliwości wielkie na ogół trudności przedstawia. Że tak jest istotnie, dowodzą najlepiej pojęcia matematyczne. Weźmy dla przykładu chociażby pojęcie liczby rzeczywistej algebraicznej. Pojęcie to jest ściśle określone, gdyż z definicji tego pojęcia wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej jest rzeczą jednoznacznie ustaloną, czy ona jest algebraiczna, czy też nie, a jednak już dla bardzo prostych efektywnie danych (przez konstrukcję) liczb rzeczywistych nie umiemy dotychczas rozstrzygnąć, która z obu alternatyw zachodzi. Zagadnienie znalezienia jednolitego kryterium pozwalającego dla danego pojęcia przy pomocy skończonej liczby działań rozstrzygnąć, czy z góry zadany przedmiot (który w ogóle może wchodzić w rachubę) ⁶ należy, czy też

⁵ Należy odróżnić możliwość teoretycznego rozstrzygania od możliwości praktycznej. Pierwsza wyraża, że istnieje taka liczba naturalna n, iż po n krokach zyskuje się rozstrzygnięcie, druga zaś, że liczba n leży w granicach praktycznej wykonalności rachunku. Ponieważ, jasna, nikt nie może rozsądnie raz na zawsze podać takiej liczby,

rzecz

N, aby zwrot : A jest praktycznie rozstrzy g a 1 n e — był równoznaczny zwrotowi : il ość kroków « potrzebna do rozstrzygania A ma być <N, przeto do ścisłego traktowania nadaje się tylko pojęcie teoretycznej rozstrzygalnośći. W tym też sensie rozumiemy w tej pracy zagadnienie rozstrzygalnośći.

⁶ W przypadku pojęcia liczby rzeczywistej algebraicznej przedmiotami, które w ogóle mogą wchodzić w rachubę, są oczywiście licz by rzeczywiste.

nie należy do zakresu tego pojęcia, nazywamy zagadnieniem rozstrzygalności tego pojęcia.

Jest niewątpliwą zasługą Russella i Whiteheada pokazanie w swym dziele podstawowym Principia M a-thematica, że studiowanie pojęć i teoryj matematycznych daje się sprowadzić do studiowania systemów formalnych, że pojęcie zdania matematycznego danej teorii daje się w zupełności zastąpić przez pojęcie wyrażenia sensownego pewnego systemu o niezbyt wielkiej liczbie znaków podstawowych i że wreszcie pojęcie twierdzenia matematycznego daje się sprowadzić do pojęcia wyrażenia właściwego (tezy) systemu o nieskomplikowanych i nielicznych regułach postępowania. Na gruncie tego nie jest rzeczą trudną zrozumieć, że i zagadnienie rozstrzygalności dla pojęć matematycznych sprowadza się do zagadnienia rozstrzygalności pewnych systemów formalnych. Dokładniejsze badania wykazały, że już rozwiązanie zagadnienia rozstrzygalności dla pewnego ściśle sprecyzowanego systemu o względnie prostych regułach postępowania, mianowicie dla tzw. systemu węższego rachunku funkcyj (engerer Funktionenkalkül)⁵, miało by kolosalne następstwa dla matematyki i dla zagadnień rozstrzygalności obszernej klasy systemów formalnych o regułach bardziej skomplikowanych. Wobec takiego stanu rzeczy staje się rzeczą zrozumiałą, dlaczego w ostatnich latach wzrok odpowiednich badaczy szczególnie skierowany został na ten właśnie system.

W systemie węższego rachunku funkcyj fundamentalną rolę odgrywają dwa pojęcia: pojęcie tautologii (Allgemeingültigkeit) i pojęcie realizacji (Erfüllbarkeit), i z nimi związane pojęcia rozstrzygalności a więc pojęcie zagadnienia rozstrzygalności dla tautologii (Allgemeingültigkeitsproblem) oraz pojęcie zagadnienia rozstrzygalności dla realizacji (Erfüllbarkeitsproblem). Oba te zagadnienia są sobie równoważne i równoważne zagadnieniu rozstrzygalności dla systemu węższego rachunku funkcyj, przy czym to ostatnie zagadnienie rozstrzygalności rozumiejąc w sensie sprecyzowanym wyżej dla dowolnego systemu formalnego. Równoważność tych trzech zagadnień rozstrzygal-ności należy zaś rozumieć w lym sensie, że z rozwiązalności jednego z tych zagadnień wynika rozwiązalność dwóch pozostałych. Oto dlaczego wszystkie te trzy zagadnienia roz-strzygalności można uważać za różne postacie jednego wspólnego zagadnienia, które chcemy odtąd krótko nazywać z a-gadnieniem rozstrzygalności (Entscheidungsproblem). Zależnie od podejścia i metod postępowania korzystnym jest rozważać to tę, to inną postać tego samego zagadnienia, przy czym, jak uczy dotychczasowe doświadczenie, najdogodniejszą w rozważaniach jest ta postać, którąśmy nazwali zagadnieniem rozstrzygalności dla realizacji.

Badania dotyczące zagadnienia rozstrzygalności biegną w dwa różne, nawzajem się uzupełniające, kierunki. Jeden kierunek badań polega na rozwiązywaniu zagadnienia rozstrzygalności dla pewnych przypadków szczegółowych. Drugi zaś kierunek badań ma na celu redukowanie ogólnego zagadnienia rozstrzygalności do pewnych przypadków szczególnych tego zagadnienia. Każdy wynik jednego kierunku daje asumpt do badania w drugim kierunku, chodzi bowiem oto, aby klasę tych przypadków szczególnych zagadnienia, dla których na zasadzie pierwszego kierunku badań osiągnięto rozwiązanie, doprowadzić do zlania się z klasą tych przypadków szczególnych, dla których na zasadzie wyników drugiego kierunku badań, wystarcza znaleźć rozwiązanie. Gdyby to zlanie się nastąpiło, cel byłby osiągnięty: zagadnienie rozstrzygalności było by rozwiązane. Nie należy taić, że są i autorowie, którzy w ogóle nie wierzą w całkowitą rozwiązalność zagadnienia rozstrzygalności, powołując się głównie na pewne wyniki uzyskane przez K. G ö d e 1 a ⁶.

Dotychczas uzyskane wyniki tyczą się tak jednego, jak i drugiego kierunku badań. Oto nazwiska autorów, którym zawdzięczamy najważniejsze rezultaty obu kierunków : W. Ackermann, H. Behmann, P. Bernays, K. Gödel, J. Herb rand, L. Kalmar, L. Löwen heim, M. Schönfinkei. K. Schütte i Th. Skolem.

Niniejsza praca poświęcona jest rozwinięciu i uogólnieniu moich własnych wyników zawartych w pracy : Beiträge zur Reduktionstheorie des logischen Entscheidungsproblems⁰, które to wyniki odnoszą się do drugiego kierunku badań, a więc polegają na redukowaniu ogólnego zagadnienia rozstrzygalności do pewnych przypadków szczególnych tego zagadnienia.

§ 1. Zagadnienia i kryteria rozstrzygalności dla systemu tzw. logiki zdaniowej.

Najprostszym ale niemniej bardzo ważnym systemem formalnym jest tzw. system logiki zdań (Aussagenkalkül)⁷ 8. System ten wchodzi jako niezbędna część składowa do systemu węższego rachunku funkcyj i dlatego chcemy pokrótce omówić ten system. Oczywiście tylko to, co dla nas w tej pracy ma ważność i z odnośnego punktu widzenia.

Przyjmujemy następujące znaki systemu:

Ph P2t Póf

(litery grające rolę zmiennych zdaniowych), (klamra lewa),

(klamra prawa),

(znak na negację logiczną),

((’•

(znak na koniunkcję logiczną),

(znak na dyzjunkcję logiczną),

(znak na implikację logiczną),

(znak na równoważność logiczną).

Komentarze umieszczone w nawiasach a tyczące się roli odpowiednich znaków odnoszą się oczywiście tylko do in-

terpretacji logicznej. Z czysto formalnego punktu widzenia z tymi znakami nie jest ani nie powinno być związane żadne znaczenie.

Pojęcie wyrażenia sensownego systemu lub krótko wyrażenia systemu precyzujemy przy pomocy reguł następujących:

1.    Każde pi jest wyrażeniem systemu.

2.    Jeśli E jest wyrażeniem systemu, to E również.

3.    Je (E&F), ( wyrażeniami systemu.

Przystępujemy teraz do sprecyzowania pojęcia wyrażenia właściwego (tezy) systemu. Następujące kombinacje znaków systemu są, jak łatwo na podstawie powyższych reguł sprawdzić, wyrażeniami sensownymi systemu:

(Pi -*• (P2 -*■ Pi)\

((pi (Pi y Pa)) > (Pi “► Pa))}

((Pi Pa) -> ((Pa -> Pa) (pi -> Pa))),

((Pi & Pa) Pi),

((pi $ Pa) > Pa),

((pi -> Pa) -> ((Pi -> Pa) -> (Pi -> (Pa Pa))))»

(Pl    (Pl v Pa))}

(Pa    (Pi V p₂)),

((pi Pa) ((pa "*■ P3) "*■ ((Pi v P2)    Pa))),

((Pi ~ Pa) (Pi Pa)),

((Pi ~ Pa) ^ (Pa "► Pi)),

((Pi -> Pa) -> ((Pa Pi) -* (Pi ~ Pa))),

((Pi-^Pa)^ (p2-*Pi))>

(Pi “*■ Pi),

(Pi Pi)*

Powyższe wyrażenia uważamy za wyrażenia właściwe systemu (jest to tzw. baza wyjściowa)¹¹. Ponadto przyjmu-

i F są wyrażenia (E-+F) oraz (E ~

t e m rów

N- O

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

U)

12)

13)

14)

15)

¹¹ Te wyrażenia podstawowe zaczerpnęliśmy z książki : D. H i 1-P. Bernays, Grundlagen der Mathematik I. Znane

bert und

są oczywiście i systemy, które mają mniejszą ilość wyrażeń podstawowych (aksjomatów), jak np. Whiteheada i Russella (upro-

jemy następujące reguły rekurencyjne do tworzenia dalszych wyrażeń właściwych (są to tzw. reguły postępowania) :

1.    Jeśli E jest wyrażeniem właściwym systemu, F wyrażeniem systemu, pL literą zawartą w E i jeśli G jest wynikiem podstawienia w E za pi, wszędzie gdzie to pi występuje, wyrażenia F, wówczas G jest wyrażeniem właściwym systemu.

2.    Jeśli E jest wyrażeniem właściwym oraz (£-> F) jest wyrażeniem właściwym, to F jest również wyrażeniem właściwym.

Pierwszą z tych reguł nazywają powszechnie regułą podstawienia, drugą zaś regułą odrywania. Każde wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest wyrażeniem właściwym systemu, musi albo być jednym z wyjściowych wyrażeń podstawowych, albo musi powstać przez kolejne stosowanie jednej z powyższych dwóch reguł postępowania, zaczynając od pewnych wyrażeń bazy wyjściowej.

Skończony łańcuch wyrażeń, którego każde wyrażenie jest bądź jednym z piętnastu wyrażeń właściwych wyjściowych, bądź powstaje z jakiegoś wyrażenia wyprzedzającego rozważane wyrażenie w tym łańcuchu przez zastosowanie reguły podstawienia, bądź też z dwu wyrażeń wyprzedzających rozważane wyrażenie w łańcuchu przez zastosowanie reguły odrywania nazywamy, zgodnie z ogólnymi tendencjami naszkicowanymi we wstępie, łańcuchem właściwym. Przy czym, aby powyżej powiedziane było zupełnie jasne, należy jeszcze sprecyzować, co należy rozumieć pod: wyrażenie G powstaje z wyrażenia E przez zastosowanie podstawienia, oraz pod: wyrażenie F powstaje z dwu wyrażeń E i H przez zastoso-szczony przez Bernaysa) oraz nawet systemy o jednym wyrażeniu podstawowym (jak np. N i c o d a). Systemy te jednak zwyczajnie nie operują na raz wszystkimi znakami logicznymi, ale tylko niektórymi. Pozostałe znaki definiuje się przy pomocy tych, a definicje są, ściśle biorąc, także coś w rodzaju wyrażeń podstawowych, tak że te systemy operują większą ilością wyrażeń podstawowych niż to się zwykle wydaje. Kwestia ilości wyrażeń podstawowych jest zresztą z naszego punktu widzenia kwestią drugorzędną. System powyższy ma głównie ten walor, że jest przejrzysty i że najważniejsze zasady logiki zdań są w nim łatwo wyprowadzalno.

wanie reguły odrywania. Mówimy, zgodnie z regułą podstawienia, że wyrażenie G powstaje z wyrażenia E przez podstawienie, gdy istnieje litera p-L zawarta w E oraz wyrażenie F takie, że G jest wynikiem zastąpienia pi w E, wszędzie gdzie to pi tam występuje, przez wyrażenie F. Analogicznie, zgodnie z regułą odrywania, mówimy, że wyrażenie F powstaje z dwu wyrażeń E i H przez zastosowanie reguły odrywania, gdy H jest identyczne z wyrażeniem (F-> F).

Określimy teraz pojęcie wyrażenia tautologicznego i pojęcie wyrażenia mającego realizację. Jeśli wyrażenia E, (E&F), (E v F), (£-> F), (E ~ F), będziemy rozpatrywali jako funkcje argumentu E, względnie argumentów E i F, określone w zbiorze złożonym z dwóch przedmiotów, które oznaczamy przez ^ i §⁹ i przyjmujące wartości ty i definiując je przez następującą tabelę równości:

Z^ty;

ty = &

₍^v'4t) = v,    (%vtyt=ty, (Xv3) = s

(ty + ty) = ty, (^.->3r) = 3r, (%^ty)=ty, (3p-^ 3r) = ^ (ty ~    & (»-*■!*) = ». (»-») = $

wówczas każde wyrażenie sensowne systemu można uważać za funkcję liter pi występujących w tym wyrażeniu zdefiniowaną dla wartości i ^ i znów przyjmującą te wartości. Tak np. wyrażenie (px & (p± -> pff) można uważać za funkcję liter pu ps, p± występujących w tym wyrażeniu, która np. dla wartości    § odpowiednio jia argumenty px, pó, P± przyj

muje wartość '4$, gdyż & ($ -> ^)) równa się, według powyższej tabeli, kolejno Çty &    -*■ (ty & ty-

Definicja 1. Jeśli E jest wyrażeniem, które rozpatry-jako funkcja liter pi występujących zu E, w sensie powy-

war-

wane

żej podanym, przyjmuje przynajmniej dla jednego układu tości na argumenty wartość ty, wówczas mówimy, że E jest wyrażeniem mającym realizację (erfüllbar). Taki układ wartości ty i & na argumenty, dla którego wyrażenie E przyjmuje wartość ty nazywamy realizacją wyrażenia E (Erfüllungssystem).

zuane

Definicja 2. Jeśli E jest wyrażeniem, które rozpatry-jako funkcja liter pi występujących w E, w sensie wyżej

podanym, przyjmuje dla każdego układu wartości '4$, na argumenty wartość wówczas mówimy, że E jest wyrażeniem tautologicznym (allgemeingültig).

Między realizacją wyrażenia E a tautologią wyrażenia Ë istnieje następujący prosty związek: Dane wyrażenie E ma wtedy i tylko wtedy realizację, gdy wyrażenie E nie jest tautologiczne. Gdy E ma realizację, to dla wartości na argumenty, dla których E przyjmuje wartość ^ wyrażenie E, jak łatwo z powyższej tablicy odczytać, przyjmuje wartość wyrażenie Ë więc nie dla każdego układu wartości $ na argumenty przyjmuje wartość Iß, a więc nie jest tautologiczne. Ale i na odwrót: jeśli Ë nie jest tautologiczne, a więc dla pewnego układu wartości $ na argumenty przyjmuje wartość 5» wówczas dla tego samego układu wartości wyrażenie E przyjmuje wartość ^ czyli ma realizację. Analogiczny prosty związek istnieje między tautologią wyrażenia E a realizacją wyrażenia E. Wyrażenie E jest wtedy i tylko wtedy tautologiczne, gdy wyrażenie Ë nie ma realizacji. Z powyższego widać, że zagadnienie rozstrzygalności dla tautologii daje się sprowadzić do zagadnienia rozstrzygalności dla realizacji i na odwrót zagadnienie rozstrzygalności dla realizacji daje się sprowadzić do zagadnienia rozstrzygalności dla tautologii. Oba zagadnienia rozstrzygalności: dla tautologii i realizacji są sobie równoważne i nie przedstawiają w tym systemie żadnych trudności. Wystarczy na zasadzie wyżej powiedzianego pokazać to tylko na jednym z nich, np. na zagadnieniu rozstrzygalności dla realizacji.

Jeśli E jest danym z góry wyrażeniem i jeśli w nim figuruje n różnych liter zmiennych, to E ma wtedy i tylko wtedy realizację, gdy jako funkcja tych n liter jako argumentów chociażby raz przyjmuje wartość Ponieważ jest tylko skończona ilość różnych wartości na argumenty, mianowicie 2", więc można wszystkie możliwości przejść i sprawdzić, czy przynajmniej dla jednego układu wartości przyjmuje dane wyrażenie wartości Analogiczna zresztą sytuacja jest w przypadku tautologii: należy przejść wszystkie 2" kombinacyj wartości na argumenty. Gdy dla każdej takiej kombinacji wartości wypadnie wartość wówczas dane wyrażenie jest tautologiczne, w przeciwnym wypadku zaś nie. W ten oto dość trywialny sposób zyskuje się rozwiązanie zagadnienia rozstrzy-galności dla realizacji i tautologii w przypadku systemu lo

giki zdań.

Inna bardzo rozpowszechniona i poniekąd praktyczniejsza w użyciu metoda rozstrzygania polega na sprowadzeniu wyrażeń do tzw. postaci normalnej, których rozróżnia się dwie: postać normalną koniunktywną (konjunktive Normalform) i postać normalną dyzjunktywną (disjunktive Normalform). Jeśli przez elementarną dyzjun-kcję będziemy rozumieli wyrażenie sensowe systemu, w którym spośród znaków —, v, &,    ~ występują tylko dwa

war-

szemy

ty, wówczas (zważywszy, że ($ v $) do wniosku, że całe wyrażenie E dla tej kombinacji otrzy-

pierwsze, przy czym kreska (pierwszy znak) figuruje tylko bezpośrednio nad literami p₂, p$, • • • (a więc przede wszystkim jednokrotnie, gdyż w przeciwnym wypadku jakaś kreska stałaby nad inną kreską, a więc nie bezpośrednio nad literą), wówczas przez koniunktywną postać normalną należy rozumieć każde wyrażenie, które powstaje przez kolejne łączenia elementarnych dyzjunkcyj przy pomocy znaku &. Z danego wyrażenia w postaci normalnej koniunktywnej można bezpośrednio, tzn. bez badania głębszego, tylko z zewnętrznej struktury wyrażenia, odczytać czy jest, czy też nie jest tautologiczne. Naprzód pokażemy to dla elementarnych dyzjunkcyj a następnie dla każdego wyrażenia koniunktywnej postaci normalnej. Jeśli E jest elementarną dyzjunkcją, to zależnie od tego czy w E występuje litera pi taka że ona tam tak nadkreślona jak i nienadkreślona figuruje, czy też nie ma tam takiej litery — E jest lub nie jest wyrażeniem tautologicz-nym. Występuje bowiem w E litera pi nadkreślona i ta sama litera równocześnie nienadkreślona, to ponieważ przy jakiejkolwiek kombinacji wartości na argumenty pi albo pi przyjmuje wartość ty oraz ponieważ gdy H lub G przyjmuje tość lp, jak z wyżej podanej tabeli widać, (HvG) także ma wartość P, całe wyrażenie E otrzymuje wartość ty niezależnie od obioru kombinacji wartości na argumenty, a więc E jest wtedy tautologiczne. Jeśli zaś w E żadna litera pi nie występuje równocześnie ze swym nadkreśleniem pit wówczas gdy utworzymy kombinację wartości na argumenty w ten sposób, że każdej literze, która w E figuruje bez nadkreślenia przypi-$, zaś każdej literze figurującej w sposób nakreślony

ma wartość $), dojdziemy

muje wartość $, a więc tym samym nie może być tautologiczne.

Możliwość czysto strukturalnego rozstrzygania, czy dana elementarna dyzjunkcja jest tautologiczna, czy nie jest przenosi się natychmiast na dowolne wyrażenia koniunktywnej postaci normalnej. Zauważywszy bowiem, że (F & G) wtedy tylko może dla pewnego układu wartości na argumenty przyjąć wartość gdy zarówno F jak i G dla tegoż układu przyjmują wartość dojdziemy do wniosku, że dane wyrażenie w koniunktywnej postaci normalnej wtedy i tylko wtedy jest tautologiczne, gdy każda elementarna dyzjunkcja, będąca składnikiem tej postaci koniunktywnej, jest tautologiczna, przy czym te elementarne dyzjunkcje, z których przy pomocy znaku & zbudowana jest dana postać normalna, nazywamy jej składnikami elementarnymi. A że na podstawie wyżej powiedzianego wiemy, jak z danej elementarnej dyzjunkcji odczytać czy jest tautologiczna, czy nie jest, dla tautologiczności wyrażenia w postaci normalnej koniunktywnej otrzymujemy następujące kryterium:

Dane wyrażenie w koniunktywnej postaci normalnej jest wtedy i tylko wtedy tautologiczne, gdy w każdym składniku elementarnym tego wyrażenia występuje co najmniej jedna litera Pi tak nadkreślona jak i nienadkreślona.

Jeśli przez elementarną koniunkcję będziemy rozumieli każde wyrażenie sensowne systemu zawierające spośród znaków —, v, &,    ~ tylko pierwszy i trzeci, przy

czym kreska (pierwszy znak) figurować może tylko bezpośrednio nad literą (a więc przede wszystkim jednokrotnie, gdyż w przeciwnym wypadku jakaś kreska stałaby nad inną kreską a więc nie bezpośrednio nad literą), wówczas przez dyzjunktywną postać normalną należy rozumieć każde wyrażenie, które powstaje przez kolejne łączenia elementarnych koniunkcyj przy pomocy znaku v. Jak z danej postaci normalnej koniunktywnej można łatwo odczytać czy ona jest tautologiczna, czy nie, tak z danej postaci normalnej dyzjunktywnej można z łatwością odczytać czy ma, czy też nie ma realizacji. Naprzód pokażemy to dla elementarnych koniunkcyj a później dla każdego wyrażenia dyzjunktywnej postaci normalnej.

Jeśli E jest elementarną koniunkcją. to zależnie od tego czy w E występuję litera pi taka, że ona w tym E zarówno

Jeśli zaś w E żadna litera p; nie występuje równocześnie ze swym nadkreśleniem p , wówczas gdy utworzymy kombinację wartości na argumenty taką, że każdej literze która w E figuruje bez nadkreślenia przypiszemy j|î, zaś każdej literze figurującej w sposób nadkreślony przypiszemy $ wówczas (zważywszy, że    ma wartość dojdziemy do

w sposób nadkreślony jak i nienadkreślony figuruje, czy też nie ma tam takiej litery, E nie ma lub ma realizację. Występuje bowiem w E litera pi nadkreślona i równocześnie ta sama litera nienadkreślona, to ponieważ przy jakiejkolwiek kombinacji wartości na argumenty, pi albo pi przyjmuje wartość $ oraz ponieważ gdy H lub G ma wartość •$, jak z wyżej podanej tabeli łatwo odczytać, {H & G) także ma wartość $, całe wyrażenie E otrzymuje wartość $ niezależnie od obioru kombinacji wartości na argumenty, a więc E nie posiada wtedy realizacji.

wniosku, że całe wyrażenie E dla tej kombinacji wartości na argumenty otrzymuje wartość a więc wówczas E ma realizację. Wiemy więc jak z danej elementarnej koniunkcji odczytać czy ona ma realizację, czy też nie ma. Jeśli teraz, podobnie jak w przypadku koniunktywnej postaci normalnej, te elementarne koniunkcje z których przy pomocy znaków v buduje się dana postać normalna dyzjunktywna nazwiemy jej elementarnymi składnikami, to zauważywszy, że (G v H) wtedy i tylko wtedy przyjmuje dla danego układu wartości na argumenty wartość gdy przynajmniej jedno z wyrażeń G lub H dla tego układu wartości przyjmuje wartość dojdziemy do wniosku, że dana postać normalna dyzjunktywna wtedy i tylko wtedy ma realizację, gdy co najmniej jeden jej składnik elementarny posiada realizację. Ta ostatnia uwaga wraz z powyższym kryterium dla elementarnych koniunkcyj daje nam dla wyrażeń w dyzjunktywnej postaci normalnej następujące kryterium rozstrzygania:

Dane wyrażenie w dyzjunktywnej postaci normalnej ma wtedy i tylko wtedy realizację, gdy zu przynajmniej jednym składniku elementarnym tej postaci normalnej nie ma takiej litery pi występującej tam zarózuno w sposób nadkreślony jak i nienadkreślony.

Jak z kryterium rozstrzygania dla wyrażeń w postaci normalnej (koniunktywnej lub dyzjunktywnej) przechodzi się do kryterium rozstrzygania dla każdego bez wyjątku wyrażę-

Aby móc dla zupełnie dowolnego wyrażenia sensownego E systemu rozstrzygnąć czy jest tautologiczne ¹⁰, czy nie jest, wystarczyło by mieć postępowanie pozwalające dla E zbudować wyrażenie F w postaci normalnej koniunktywnej takie, aby w F występowały tylko te litery pi, które w E występują i żeby F jako funkcja tych liter a określona w zbiorze złożonym z dwóch przedmiotów ^ i S, w sensie wyżej podanym, przedstawiała dokładnie tę samą funkcję co wyrażenie E. W samej rzeczy, jeśli dwa wyrażenia systemu E i F posiadają te same litery¹¹ i jako funkcje tych liter przedstawiają tę samą funkcję, wówczas oba wyrażenia albo są równocześnie tautologiczne, albo równocześnie nie są tautologiczne. Gdy E jest tautologiczne i gdy na litery występujące w F (a więc i w E) weźmiemy dowolną kombinację wartości ^ i wówczas, z powodu założonej tautologiczności, wyrażenie E dla tej kombinacji daje wartość a więc i wyrażenie F, które przedstawia tę samą funkcję co E, daje dla tejże kombinacji wartość 9$, a że kombinacja ta była zupełnie dowolna, więc F daje dla każdej kombinacji wartości na argumenty wartość czyli F także jest tautologiczne. Analogicznie pokazuje się, że z tautologiczności wyrażenia F wynika też tauto-logiczność dla E, czyli istotnie związek E = F (jeśli dwa wyrażenia E, F przedstawiają tę samą funkcję to piszemy E F) po-

nia systemu jest rzeczą powszechnie znaną i dlatego ograniczę się tu tylko do naszkicowania idei, na której to przejście polega.

roz-

ciąga za sobą to, że oba wyrażenia E i F są albo równocześnie tautologiczne, albo też równocześnie nietautologiczne. Gdybyśmy teraz do danego wyrażenia E potrafili podać efektywnie wyrażenie F w postaci normalnej takie, że E = F zachodzi, wówczas ponieważ z jednej strony dla wyrażenia F, które jest postaci normalnej koniunktywnej, umiemy rozstrzygnąć czy jest tautologiczne, czy nie jest, a z drugiej strony na zasadzie wyżej powiedzianego E jest z F pod względem tautologiczności równoważne więc umielibyśmy to też dla wyrażenia E.

F zachodzi.

A teraz pokażemy, jak do dowolnego wyrażenia E systemu można podać wyrażenie F w koniunktywnej postaci normalnej takie, że E

Jak się na podstawie tabeli wartości podanej na str. 10 łatwo przekonać, zachodzą dla dowolnych wyrażeń A, B, C następujące wzory:

((AvB)<è(AvB)), (Ä v B),

1.

(A~B)

2.

(A -> B)

3.

A = A,

(A v B) (A & B) 6. {{A&B)vC) (AvB)

4.

(A & B),

5.

(ÄvB),

((A \ C) & {B v C)),

7.

(B v A).

Jeśli zauważymy, że każdy spośród znaków &, v, ->, ~, jeśli w ogóle figuruje w danym wyrażeniu, to na podstawie reguły 3. podanej na str. 8 zawsze za pośrednictwem dwóch wyrażeń i jeśli te dwa wyrażenia nazwiemy odpowiednio lewą i prawą rozciągłością tegoż znaku¹², wówczas postać normalna koniunktywna daje się jeszcze następująco scharakteryzować: jest to wyrażenie systemu nie zawierające znaków ~ i w którym znak kreski figurować może tylko bezpośrednio nad literami i ponadto w którym w żadnej rozciągłości znaku v nie figuruje znak &. Niech teraz E będzie zupełnie dowolnym wyrażeniem systemu; przez jedno, lub wielokrotne stosowanie wzorów 1. i 2. można przede wszystkim do E sukcesywnie zbudować wyrażenia zawierające

coraz to mniejszą ilość znaków -> i stale przedstawiających tę samą funkcję co wyrażenie E, aż dojdziemy do wyrażenia nie zawierającego już więcej znaków    Następnie dzięki

wzorom 3., 4. i 5. można będzie zbudować sukcesywnie szereg wyrażeń przedstawiających tę samą funkcję co wyrażenie E i w których kreski będą stały na coraz to krótszych wyrażeniach i tylko jednokrotnie, aż dojdziemy do wyrażenia, w którym kreski będą stały już tylko bezpośrednio nad literami. Wreszcie aby się w rozciągłościach znaków v pozbyć znaków & należy tylko stosować wzory 6. i 7. (wzór 6. pozwala się znaków & pozbywać w lewych rozciągłościach znaku v, a wzór 7. pozwala zmienić prawą rozciągłość znaku v na lewą).

Widzimy więc, w jaki to sposób, do dowolnego wyrażenia E systemu, skonstruować wyrażenie F w postaci normalnej koniunktywnej takie, że E= F zachodzi. Ponieważ postać normalną dyzjunktywną można scharakteryzować następująco: jest to wyrażenie systemu nie zawierające znaków w którym znak kreski figurować może tylko bezpośrednio nad literami i w którym w żadnej rozciągłości znaku & nie figuruje znak v-oraz ponieważ zachodzi też wzór:

8.

{{A v B)&C) = {{A &C)v{B& C))

(B & A)).

pozwalający pozbywać się znaku v w lewych rozciągłościach znaku &, więc zupełnie analogiczne postępowanie pozwala nam także do każdego wyrażenia E systemu zbudować wyrażenie F w postaci normalnej dyzjunktywnej takie, że E = F zachodzi (postępowanie różni się tylko tym od poprzedniego, że zamiast wzoru 6. należy teraz uwzględnić wzór 8., a zamiast wzoru 7. — wzór (A & B)

Zauważymy jeszcze, że podobnie jak z E=F wynika, że E i F są równoważne pod względem tautologii tak z E = F wynika też, że E i F są równoważne pod względem posiadania realizacji. Gdy bowiem dla jakiegoś układu wartości na argumenty E daje wówczas z E = F wynika, że F dla tego samego układu wartości również daje ^ i podobnie na odwrót. Ta uwaga wraz z wyżej powiedzianym daje również możność przeniesienia kryterium rozstrzygalności dla realizacji z wyrażeń w postaci normalnej dyzjunktywnej na dowolne wyrażenia systemu.

A teraz wypada nam jeszcze pomówić o zagadnieniu rozstrzygalności dla pojęcia tezy systemu (wyrażenia właściwego). Kryterium rozstrzygalności dla pojęcia tezy systemu zyskuje się na podstawie, tzw. twierdzenia o zupełności systemu. Twierdzenie to mówi, że pojęcie tezy systemu pokrywa się pod względem zakresu z pojęciem tautologiczności. Z tego wynika, że jeżeli chcemy dla danego wyrażenia systemu rozstrzygnąć czy jest tezą, czy nie — wystarczy rozstrzygnąć czy jest tautologiczne, czy nie, a to umiemy uczynić.

Co się zaś tyczy dowodu twierdzenia o zupełności systemu, to znamy ich nawet kilka. Dowód tej części twierdzenia, która mówi, że każda teza systemu jest wyrażeniem tau-tologicznym jest bardzo prosty : wystarcza tylko pokazać, że każde z 15 wyrażeń bazy wyjściowej jest tautologiczne i że reguły postępowania (podstawiania i odrywania) stosowane do wyrażeń tautologicznych znów dają wyrażenia wyłącznie tylko tautologiczne, co jest rzeczą bardzo łatwą. Nieco trudniej jest udowodnić odwrotną część twierdzenia mówiącą, że i każde wyrażenie tautologiczne jest tezą systemu. Najczęściej spotykany dowód na to twierdzenie polega na metodzie sprowadzania wyrażeń do postaci normalnej koniunktywnej. Przy tej metodzie udowadnia się naprzód, że każda elementarna dyzjunkcja tautologiczna jest tezą systemu, następnie, że każda tautologiczna postać normalna koniunktywna jest tezą systemu, a w końcu, że metoda polegająca na sukcesywnym przekształcaniu dowolnego wyrażenia systemu na wyrażenia coraz to bardziej zbliżone do postaci normalnej koniunktywnej daje się w systemie sformalizować, a to znów, ściślej mówiąc, znaczy, że te sukcesywne przekształcenia dokonywane na tezach systemu dają znów tylko tezy systemu. Inna metoda dowodu twierdzenia o zupełności pochodzi od Prof. J. Łu-kasiewicza¹³, zaś całkiem ostatnio L. Kalmar¹⁴ podał nowy dowód¹⁵.

§ 2. Zagadnienia rozstrzygalności systemu węższego rachunku

funkcyjnego.

Za znaki systemu węższego rachunku funkcyj przyjmujemy przede wszystkim te wszystkie znaki, które figurują już w systemie logiki zdań oraz ponadto następujące:

F\, F\, F\, F\,..., Ff,... (znaki na zmienne funkcyjne),

«1»    «2»    «3» • • •

(znaki na zmienne rzeczywiste (wolne) przedmiotowe),

*1» *2»

x3t...

(znaki na zmienne pozorne przedmiotowe),

(znak na kwantyfikator szczegółowy).

Komentarze umieszczone w nawiasach tyczą się oczywiście (tak jak przedtem) tylko znaczeń przy interpretacji systemu. Z czysto formalnego punktu widzenia z tymi znakami nie jest ani nie powinno być związane żadne znaczenie.

Pojęcie wyrażenia sensownego, systemu węższego rachunku funkcyj, definiujemy przy pomocy reguł następujących:

«aj jest

1 Każde pi jest wyrażeniem systemu.

2.    Każda kombinacja kształtu Fk. (aa^,

wyrażeniem systemu.

3.    Jeśli A jest wyrażeniem systemu, to również i A.

4.    Jeśli A i B są wyrażeniami systemu, to (A & B), (A v B), (A -> B), (A ~ B) również są wyrażeniami systemu.

5.    Jeśli A jest wyrażeniem systemu oraz a, zawiera się w A, zaś xk nie zawiera się w A i B jest wynikiem częściowego zastąpienia znaku a; przez znak xk w wyrażeniu A, wówczas (aJ B oraz (E xk) B również są wyrażeniami systemu.

Dla przykładu udowodnimy, że

((xj (E x2) F\ (*i, x2) -> (p1 & F\ (ai)))

r (*,, -v-(*Æ+i (Ex/in.... (^:+iÆ“

(9*3) (?x) F (cp (*)) ~ ( ?x) F (x).

(29) (Pxi) (Px2) . . . (Pxn) 21' (*1, x2, • • . , xn\ = ) no

(61) fai) fai) fap)" ^Xp)” ' (vn) (vn)^(v1 = v1)&

dego elementu z S2 zachodzi f (x). Element x należ

•••,yn)\

L i—

b) Oi) O2) • • • OJ Wk Oi. *2, • • •, xn) & Hi Ol, -*"2» • • •, -O -> (Ot Ol, *2, • • • , *n) ~ Gi Ol, *2, • • • , *J)] ^

(100)

(EXm) (-^1, -^2) • • • j Xni).

(£ÿP) i C*i> *2, • • •, Xri ylt y2, ...,ys)^

¹

   Przy interpretacji wyrażenia sensowne przedstawiają zdania (sądy) przez system sformalizowanej teorii, na skutek czego rozmaici autorowie wprost te wyrażenia sensowne nazywają zdaniami (sądami). Jest jednak zawsze lepiej odgraniczyć formalne przedstawienie systemu od jego późniejszej interpretacji.

²

   Przy interpretacji systemu wyrażeniom właściwym (tezom) odpowiadają twierdzenia odnośnej teorii.

³

   Wyrażenia tej bazy wyjściowej ze względu na ich późniejszą interpretację nazywają powszechnie aksjomatami.

⁴

   Te reguły postępowania są zwyczajnie sformalizowanymi odpowiednikami logicznych reguł rozumowania. Powiadam : zwyczajnie — gdyż z czysto formalnego punktu widzenia dopuszczalne są także takie reguły postępowania, które bądź nie mają żadnej interpretacji, bądź których nasuwająca się interpretacja jest wręcz z pewnego logicznego punktu widzenia nie do przyjęcia.

⁵

Wstępne pojęcia z zakresu węższego rachunku funkcyj znajdzie czytelnik w książce: D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik (Berlin, 1928), w szczeg. rozdz. 3.

⁶

Chodzi tu o pracę : K. G ö d e 1, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematiea und verwandter Systeme I., Monatsh. für Math, und Phys. 38., 1. Heft. Jakkolwiekby się sprawa całkowitej rozwiązalności zagadnienia rozstrzygalności miała, to jednak Jedno jest pewne: z powyższej pracy Göde la nie wynika jeszcze niemożliwość całkowitego rozwiązania.

⁷

   A c t a Seien tiar um Mathematicarum (Szeged), 8, 1 zeszyt, str. 7—41. Już w dodatku do owej pracy wspomniałem o uzyskaniu przeze mnie nowych wyników. W międzyczasie uzyskałem jednak jeszcze wyniki dalsze.

⁸

   Zob. rozdział 1-szy książki cytowanej pod ⁷; zob. też § 3 książki : D. Hilbert und P. Bernays, Grundlagen der Mathematik, I (Berlin, 1934). Logika zdań jest też bardzo dobrze przedstawiona w pracach autorów polskich, jak: Prof. J. Łukasiewicz, Elementy logiki matematycznej (skrypt, 1929); Prof. L. Chwistek, Granice nauki (Książnica - Atlas, 1934); Prof. E. Ż y 1 i ń s k i, Formalizm Hilberta, I (Archiwum Towarzystwa Naukowego we Lwowie, 1935).

⁹

Nie trudno się domyślić, że znaki ty, odpowiadają logicznym wartościom : prawdzie i fałszowi.

¹⁰

   Oczywiście że nie chodzi tu o jakieś w ogóle kryterium rozstrzygania, gdyż takie, polegające na przejściu wszystkich 2" możliwości, już poznaliśmy, ale o inne polegające na sprowadzeniu do postaci normalnej. Oba te kryteria nie wyczerpują jeszcze wszystkich metod rozstrzygania. I tak np. bardzo ciekawy sposób arytmetycznego strzygania podał J. H e r b r a n d w pracy : Recherches sur la théorie de la démonstration (Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, 1930) w szczeg. str. 24—26. Na innej idei oparte kryterium rozstrzygania podał G. Gentzen w pracy : Untersuchungen über das logische Schließen (Mathematische Zeitschrift, 39, str. 176—210 oraz str. 405—431), w której zostało też podane kryterium rozstrzygania dla intuicjonistycznej logiki zdaniowej B r o uw era-Heytinga.

¹¹

   Założenie, że wyrażenia F i F zawierają te same litery, nie jest zresztą konieczne. Można bowiem uważać wyrażenie za funkcję i takiej zmiennej, która w tym wyrażeniu efektywnie nie występuje, tzw. zmiennej „fikcyjnej“.

¹²

Tak np. w wyrażeniu (E v F) lewą rozciągłością (Wirkungsbereich, l’étendue) jest wyrażenie E, a prawą wyrażenie F.

¹³

   J. Ł u k a s i e w i c z, Ein Vollständigkeitsbeweis des zweiwertigen Aussagenkalküls, Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydział III, 24 (1931),str. 153—183.

¹⁴

   L. Kal m â r, Über die Axiomatisierbarkeit des Aussagenkal

¹⁵

küls, Acta Scientiarura Matheniaticarum (Szeged), 7 (1935), 4 zeszyt, str. 222—243.

((xj (E x₂) F\ (*i, x₂) -> (p₁ & F\ (ai)))

jest wyrażeniem systemu. Na zasadzie reguły 1. p\ jest wyrażeniem systemu, na podstawie reguły 2. F\ (a₂, a₃), F\ (aj są wyrażeniami. Z tego, że pi oraz F\ (ai) są wyrażeniami sy-

18 Wspomniane dowody twierdzenia o zupełności nie zostały przeprowadzone dla dokładnie tego tu podanego systemu. Przeniesienie jednak tych dowodów na tu podany system nie sprawiłoby żadnych trudności.

stemu wynika na zasadzie reguły 4., że i (p\ & F\ (ai)) jest wyrażeniem systemu. Ponieważ F\ (a₂, aa) jest wyrażeniem systemu, na podstawie reguły 5. (F x₂) F\ (a2f x₂) jest także wyrażeniem systemu, a z tego znowu na zasadzie reguły 5. wynika, że i ta) (Fx₂) F\ (jci, *₂) jest wyrażeniem systemu. Wreszcie, ponieważ {pi& F\(aJ) jest wyrażeniem systemu, na zasadzie reguły 4. również ((*i) (£*2) F\ (*1, x₂) -> (pi & F\ (aj)) jest wyrażeniem.

A teraz zdefiniujemy pojęcie wyrażenia właściwego (tezy) systemu. Następujące dwie kombinacje znaków: są, jak łatwo sprawdzić, wyrażeniami sensownymi systemu. Te dwa wyrażenia oraz 15 wyrażeń podanych w § 1., za bazę wyjściową dla systemu logiki zdań, przyjmujemy za wyrażenia właściwe naszego systemu (baza wyjściowa). Ponadto przyjmujemy następujące reguły postępowania:

1)    Jeśli A jest wyrażeniem właściwym systemu, B wyrażeniem systemu, pi znakiem figurującym w A i jeśli C jest wynikiem podstawienia w A za pi — wszędzie gdzie to pi w A występuje — wyrażenia B, wówczas C jest również wyrażeniem właściwym (reguła podstawiania za zmiennę zdaniową).

2)    Jeśli A jest wyrażeniem właściwym systemu, Ff znakiem występującym w A, B wyrażeniem systemu zawierającym znaki aj, a₂,..., au oraz jeśli w A każdą występującą kombinację kształtu F*(yi,yp...» yk) (każde ye jest albo jakimś a., albo jakimś xj zastąpimy przez kompleks znaków, który otrzymujemy z B zastępując w nim (tj. w B) a1 wszędzie gdzie tylko występuje przez t/i, a₂ wszędzie przez y₂,. ■., ak wszędzie gdzie występuje przez yk i jeśli takim sposobem z A otrzymane wyrażenie oznaczymy przez C, to C jest wyrażeniem właściwym systemu (reguła podstawiania za zmiennę funkcyjną).

3)    Jeśli A jest wyrażeniem właściwym systemu, jeśli znak a. występuje w A oraz jeśli B jest wynikiem zastąpienia w A znaku a., wszędzie gdzie ten znak tam figuruje, przez jeden i ten sam znak ak, wówczas i B jest wyrażeniem właściwym systemu (reguła podstawiania za zmiennę rzeczywistą przedmiotową).

4) Jeśli A jest wyrażeniem właściwym i (A-*- B) jest wyrażę-

niem właściwym, wówczas i B jest wyrażeniem właściwym systemu.

5) Jeśli (A->~B) jest wyrażeniem właściwym, jeśli a. występuje w By zaś w A nie występuje i C jest wynikiem zastąpienia w B a{ przez xk nie występujące w B wszędzie gdzie to at tam występuje, wówczas {A -> (xk) C) jest wyrażeniem właściwym.

6) Jeśli (B-> A) jest wyrażeniem właściwym, jeśli a. występuje w B, zaś w A nie występuje i jeśli C jest wynikiem zastąpienia w B a. przez xk nie występujące w B wszędzie gdzie to a. tam występuje, wówczas {(Exk) C->-A) jest wyrażeniem właściwym.

Niech A będzie dowolnym wyrażeniem systemu, obieramy sobie jakiś niepusty zbiór $ (skończony lub nieskończony), każdej literze a{ występującej w A przyporządkowujemy jakiś przedmiot ze zbioru S, każdemu występującemu w A znakowi Ff przyporządkowujemy jakąś k członową funkcję logiczną¹ określoną na zbiorze wreszcie każdej literze pi występującej w A przyporządkowujemy jedną z wartości ^ albo Obiór zbioru 3 i ustalenie dla danego wyrażenia A takiego przyporządkowania o jakim w tej chwili mówiliśmy nazywamy przyporządkowaniem zasadniczym.

a°Y °a2 * ' '

bk, wówczas wyrażeniu Fb{aa^, aa^,.. albo $ zależnie od tego czy układ bit b₂,..., bk spełnia re-

A teraz podamy przepis jednoznacznego przypisywania każdemu wyrażeniu A i każdemu przyporządkowaniu zasadniczemu dla tego wyrażenia jednej z dwóch wartości ^ albo 5- Zaczynamy od wyrażeń najkrótszych, którymi są pi i kombinacje kształtu F*?(aa^, a^,..., aa/). Każdemu wyrażeniu pt przypisujemy tę z wartości ty, $, która przy przyporządkowaniu zasadniczym znakowi pi została przyporządkowana. Jeśli w przyporządkowaniu zasadniczym wyrażenia F^(aa^, a^,.. aa/) znakowi Ff odpowiada funkcja logiczna F oraz znakom aat odpowiadają odpowiednio przedmioty blf b₂,...,

aa/) przypisujemy ty

lację F, czy nie spełnia, tzn. zależnie od tego czy F(b₁,b₂,..., bk) zachodzi, czy też nie zachodzi. A teraz pokażemy jak z wyrażeń krótszych przejść do dłuższych². Jeśli dane wyrażenie jest kształtu A, to przy danym przyporządkowaniu zasadniczym przypisujemy mu wartość przeciwną do tej jaką ma wyrażenie krótsze A przy tym samym przyporządkowaniu zasadniczym, czyli w myśl tabeli z § 1. Analogicznie, jeśli dane wyrażenie ma jedną z postaci (^4 & B), (A v B) (A-*- B), (A r>j B), wówczas przy danym przyporządkowaniu zasadniczym przypisujemy mu tę z wartości ty, §, którą znajdujemy, wychodząc z przypisanych już wyrażeniom krótszym A, B, wartości przy tym samym przyporządkowaniu zasadniczym, na podstawie tablicy z § 1. Jeśli dane wyrażenie ma kształt A i jeśli B jest wyrażeniem będącym wynikiem zastąpienia w A znaku xk, wszędzie gdzie tam występuje, przez literę at nie występującą w A i jeśli przy przyporządkowaniu zasadniczym na wyrażenie {x^} A, uzupełnionym przez przyporządkowanie znakowi a, dowolnego przedmiotu z odnośnego zbioru, wyrażeniu B, które jest krótsze od wyrażenia (xk)A, przypisana jest wartość ^ niezależnie od tego, jaki przedmiot temu a, przyporządkowaliśmy, wówczas wyrażeniu (atJ A przy danym przyporządkowaniu zasadniczym przypisujemy wartość w przeciwnym zaś wypadku znak Jeśli zaś dane wyrażenie ma kształt (Exk)A i jeśli B jest wyrażeniem będącym wynikiem zastąpienia w A znaku xk, wszędzie gdzie tam występuje, przez znak a, nie występujący w A i jeśli przyporządkowanie zasadnicze na wyrażenie (Exk) A daje się pełnić przez przyporządkowanie na ai takiego przedmiotu z odnośnego zbioru, że wyrażeniu krótszemu B przy tak uzupełnionym przyporządkowaniu zasadniczym przypisane jest wówczas wyrażeniu (Exk) A przy danym przyporządkowaniu zasadniczym przypisujemy '4$, w innym wypadku zaś $•

uzu-

Każdemu wyrażeniu przy danym przyporządkowaniu zasadniczym można dać pewną interpretację zdaniową interpretując znaki —, &, v, ->, ~ odpowiednio jako negację, koniunkcję, dyzjunkcję, implikację i równoważność logiczną,

znaki zmienne (rzeczywiste) identyfikując przy interpretacji z tym, co im w przyporządkowaniu zasadniczym odpowiada, oraz czytając (**), (Exk) następująco : „dla każdego przedmiotu Xk zbioru S“, „istnieje taki przedmiot Xk w zbiorze 3“, czyli interpretując te ostatnie znaki odpowiednio jako kwan-tyfikatory ogólne i szczegółowe odnoszące się do zbioru % gdzie S jest zbiorem z przyporządkowania zasadniczego.

Odnośne zdanie może być, zależnie od okoliczności, prawdziwe albo fałszywe. Np. wyrażenie

((*i) (£*2) F\ (xh x₂) & F\ (a₂, a₃)), gdy w przyporządkowaniu zasadniczym obranym zbiorem jest zbiór liczb naturalnych, zaś znakowi F\ odpowiada relacja a literom a2f a₃ odpowiadają liczby 3, 7, przechodzi w zdanie prawdziwe mówiące, że do każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna x₂ większa oraz że 7 jest większe od 3.

Jak łatwo widzieć, każde wyrażenie przy danym zasadniczym przyporządkowaniu przechodzi w zdanie prawdziwe albo fałszywe zależnie od tego czy w wyżej rekurencyjnie podanym sposobie przypisywania wartości odpowiada mu wartość czy

Wprowadzamy następujące definicje :

Definicja 3. Wyrażenie, które choć przy jednym przyporządkowaniu zasadniczym przechodzi w zdanie prawdziwe, nazywamy wyrażeniem mającym realizację (erfüllbar). Przyporządkowanie zasadnicze, przy którym dane wyrażenie przechodzi w zdanie prawdziwe, nazywamy przyporządkowaniem realizującym względnie spełniającym dane wyrażenie (Erfüllungssystem).

Definicja 4. Wyrażenie, które przy każdym przyporządkowaniu zasadniczym przechodzi w zdanie prawdziwe, nazywamy wyrażeniem tautologieznym (allgemeingültig).

Jak łatwo widzieć, system węższego rachunku funkcyj jest rozbudowaniem systemu logiki zdań, przy którym pojęcia tu wprowadzone dla całego systemu, przy ograniczeniu się tylko do tej części systemu, która odpowiada logice zdań, zupełnie się pokrywają z odnośnymi pojęciami o tej samej nazwie, wprowadzonymi dla logiki zdań w § 1. Każde wyrażenie tautologiczne w nowym sensie a będące już wyrażeniem systemu logiki zdań jest też tautologiczne w sensie starym oraz na odwrót: każde wyrażenie tautologiczne w starym sensie jest także tautologiczne w sensie nowym. Podobne obowiązuje także, gdy pojęcie wyrażenia tautologicznego zastąpimy pojęciem wyrażenia mającego realizację lub pojęciem wyrażenia właściwego (tezy) systemu.

W związku z tymi trzema pojęciami: wyrażenia tautologicznego, wyrażenia mającego realizację i wyrażenia właściwego systemu — nasuwają się, tak jak w systemie logiki zdań, trzy zagadnienia rozstrzygalności. I tu, podobnie jak tam, wszystkie te trzy zagadnienia są równoważne w tym sensie, że do rozwiązania wszystkich trzech zagadnień wystarczy rozwiązać tylko jedno z nich. Teraz, podobnie jak przedtem, między realizacją jakiegoś wyrażenia A a tautologią wyrażenia A zachodzi związek: wyrażenie A wtedy i tylko wtedy ma realizację, gdy À nie jest tautologiczne. Jeśli bowiem z jednej strony wyrażenie A ma realizację, to dla przyporządkowania zasadniczego realizującego wyrażenie A wyrażenie A przechodzi w zdanie fałszywe, a więc nie może być tautologiczne. Na odwrót: jeśli A nie jest tautologiczne, czyli dla pewnego przyporządkowania zasadniczego przechodzi w zdanie fałszywe, wówczas dla tego samego przyporządkowania zasadniczego A przechodzi w zdanie prawdziwe, czyli A ma wówczas realizację. Podobnie między tautologią wyrażenia A a realizacją wyrażenia A zachodzi związek: wyrażenie A jest wtedy i tylko wtedy tautologiczne, gdy À nie ma realizacji. Gdy bowiem wyrażenie A jest tautologiczne, wówczas dla każdego zasadniczego przyporządkowania przechodzi w zdanie prawdziwe, a więc A dla każdego przyporządkowania zasadniczego przechodzi w zdanie fałszywe, czyli nie posiada realizacji. Odwrotnie: gdy A nie ma realizacji, wówczas dla każdego przyporządkowania zasadniczego A przechodzi w zdanie fałszywe, a więc A w prawdziwe, czyli A jest wtedy tautologiczne.

Z wyżej naprowadzonych związków pomiędzy pojęciem tautologii a pojęciem realizacji wynika natychmiast, że rozwiązanie zagadnienia rozstrzygalności dla realizacji można sprowadzić do rozwiązania zagadnienia rozstrzygalności dla tautologii i na odwrót. Wystarczy to pokazać tylko w jedną stronę; dowód w drugą stronę jest analogiczny. Załóżmy przeto, że mamy jakieś kryterium rozstrzygalności dla tautologii i niech A będzie dowolnym wyrażeniem, o którym chcemy rozstrzygnąć czy ma realizację, czy nie ma. Badamy w tym celu przy pomocy kryterium rozstrzygalności dla tautologii czy A jest, czy też nie jest tautologiczne. Jeśli okaże się, że A jest tautologiczne, to na podstawie wyżej powiedzianego, A nie ma realizacji, gdy zaś A okaże się wyrażeniem nietautologicznym, wówczas

A ma realizację.

Widzimy więc istotnie, że mając jakieś kryterium rozstrzygalności dla tautologii zyskuje się natychmiast kryterium rozstrzygalności dla realizacji, a ponieważ zupełnie analogicznie udowodnilibyśmy odwrotne twierdzenie, więc widzimy też, że oba zagadnienia rozstrzygalności pod względem możliwości rozwiązania są równoważne. Jeśli zaś chodzi o trzecie zagadnienie rozstrzygalności, mianowicie dla pojęcia tezy systemu, to i to zagadnienie rozstrzygalności równoważne jest tamtym dwom, podobnie jak to ma miejsce w systemie logiki zdań. I tu, podobnie jak w systemie logiki zdań, dowód polega na tzw. twierdzeniu o zupełności systemu mówiącym, że zakresy pojęcia tezy systemu i pojęcia wyrażenia tautologicz-nego w zupełności się pokrywają.

samego

kcyj, ale dla systemu równoważnego o innej bazie wyjścio-

Dowód tej części twierdzenia o zupełności, która mówi, że każda teza systemu jest wyrażeniem tautologicznym jest najłatwiejszy; wystarcza bowiem tylko pokazać, że wyrażenia z bazy wyjściowej są wyrażeniami tautologicznymi i że reguły postępowania stosowane do wyrażeń tautologicznych dają znów tylko wyrażenia tautologiczne, a to nie przedstawia żadnych trudności. Istotniejsza część twierdzenia mówiąca, że i na odwrót każde wyrażenie tautologiczne jest tezą systemu została udowodniona w roku 1930 przez K. Gódela²¹. Do powyższego należy dodać, że oryginalny dowód G ö delà twierdzenia o zupełności nie był przeprowadzony dla tego tu przedstawionego systemu węższego rachunku fun-

n K. Gödel, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatshefte für Math, und Phys. 37., 2. Heft. Dowód zupełności zawiera się także, ściśle biorąc, w piątym rozdziale pracy J. Her bran da, cytowanej pod ¹³. Wysłowienie inne twierdzenia o zupełności u Herbranda jest podyktowane jego finitystycz-nym stanowiskiem.

wej i innych regułach postępowania; przeniesienie jednak jego dowodu na ten system nie przedstawia żadnych trudności.

Reasumując możemy powiedzieć, że, podobnie jak w systemie logiki zdań, również i w tym systemie wszystkie trzy zagadnienia rozstrzygalności: zagadnienie rozstrzygalności dla tautologii (Allgemeingültigkeitsproblem), zagadnienie rozstrzygalności dla realizacji (Erfüllbarkeitsproblem) i zagadnienie rozstrzygalności dla pojęcia tezy systemu (beweistheoretisches Entscheidungsproblem) są równoważne i mogą być przeto uważane za różne postacie jednego i tego samego problemu, który chcemy nazywać krótko zagadnieniem rozstrzygalności (Entscheidungsproblem). Zagadnienie to dla systemu węższego rachunku funkćyj, któremu poświęcona jest niniejsza praca, przedstawia o wiele większe trudności niż w systemie logiki zdań. Tam, aby np. rozstrzygnąć czy dane wyrażenie A ma realizację, czy nie, wystarczyło przejść po prostu wszystkie 2" możliwych kombinacyj wartości na argumenty (przyporządkowań zasadniczych), gdzie n jest ilością różnych liter występujących w A i zobaczyć czy przynajmniej dla jednej takiej kombinacji wypada wartość ty. Możliwość takiego prostego kryterium rozstrzygania dla systemu węższego rachunku funk-cyj na ogół nie istnieje, gdyż ilość przyporządkowań zasadniczych wchodzących w rachubę w tym wypadku jest nieskończona.

§ 3. Niektóre redukcje zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyjnego do pewnych przypadków szczególnych

tego zagadnienia.

Z trzech równoważnych postaci zagadnienia rozstrzygalności przedmiotem naszych dalszych rozważań będzie prawie wyłącznie postać, którąśmy nazwali zagadnieniem rozstrzygalności dla realizacji. Każdy wynik dotyczący tej postaci daje się oczywiście natychmiast przenieść na dwie postacie pozostałe.

Odnośnie symboliki stosowanej w dalszym ciągu, pragniemy zaznaczyć, że nie będziemy się trzymali ściśle tej, która została podana w dwóch poprzednich paragrafach. Tam, z czysto formalnego stanowiska wskazanym było wymienienie z góry tych znaków, które potrzebne są do zbudowania sy-

stemu. Ustalenie z góry kształtu znaków na rozmaite gatunki zmiennych jak: zmiennych zdaniowych, zmiennych przedmiotowych rzeczywistych, zmiennych przedmiotowych pozornych, zmiennych funkcyjnych — uczyniło sformułowanie odnośnych reguł bardziej jednoznacznym i ścisłym niż by to miało miejsce, gdybyśmy się ograniczyli do stwierdzenia, jak to się zwykle czyni, że będziemy mieli do czynienia z rozmaitymi gatunkami liter zmiennych jak: zmienne zdaniowe, zmienne przedmiotowe rzeczywiste, etc. — i że reprezentantów każdego gatunku należy sobie wyobrazić w dowolnych znakach byle od siebie różnych, tzn. że zmienne różnych gatunków mają być w piśmie w jakiś sposób odróżnione i że to samo ma mieć miejsce dla różnych przedstawicieli tego samego gatunku zmiennych. Takie ogólne charakteryzowanie symboliki jest wprawdzie z formalnego punktu widzenia bezsprzecznie mniej ścisłe niż postępowanie użyte w poprzednich paragrafach polegające na dokładnym opisie struktury odnośnych znaków, ale za to praktycznie bardziej dogodne, gdyż umożliwia w danym miejscu wprowadzenie takiej symboliki, która w tym miejscu jest bardziej celowa niż ta, która wypływa z reguł z góry narzuconych. Szczególnie, jeśli chodzi o przedstawienie długiego wyrażenia wzgl. dowodu, to przez stosowną ad hoc obraną symbolikę można dużo zyskać pod względem miejsca i jasności. Z tych też względów zastrzegamy sobie prawo wprowadzenia w stosownych miejscach odpowiedniej symboliki. Z góry jednak już możemy powiedzieć, że zamiast np. znaków Ff na zmienne funkcyjne dogodniej jest na ogół posługiwać się, bez obawy dwuznaczności, pojedynczymi znakami, jak: Fy G, H, <t>, T' — wskaźnik górny },k“ podający liczbę argumentów danej zmiennej można bowiem odczytać na ogół z wypełnionych miejsc na argumenty danej zmiennej funkcyjnej, zaś wskaźnik dolny „z“ służący do odróżnienia pomiędzy sobą zmiennych o tej samej liczbie argumentów może być zastąpiony często przez oznaczenie różnych zmiennych różnymi literami. Analogicznie dogodniej jest często zamiast znaków: p\_, p2y Pa • • • względnie xi, x₂, *₃,. . . używać znaków: p, q, r,. . . względnie x, y, z, ...; innym razem znów dogodniej jest zmienne takie, jak xi odróżnić nie tylko dolnymi wskaźnikami, ale także górnymi i używać znaków x.. Dogodnie jest też często nie odróżniać zmiennych rzeczywistych od pozornych, bez obawy dwuznaczności. Odnośnie do nawiasów, to umawiamy się je pomijać tam, gdzie to można bez obawy dwuznaczności uczynić, przy czym w każdym razie będziemy się trzymali, często spotykanej umowy, według której znak v mocniej wiąże niż &, a ten znów mocniej niż -> i ro.-2 Te uwagi i założenia w związku z symboliką poczyniwszy, wracamy do zagadnienia rozstrzygalności. Chcemy przede wszystkim pokazać, że przy zagadnieniu rozstrzygalności wystarcza się, bez ograniczenia ogólności, zająć wyrażeniami nie zawierającymi zmiennych rzeczywistych przedmiotowych. Do każdego bowiem wyrażenia o zmiennych rzeczywistych możemy podać, z nim pod względem posiadania realizacji równoważne wyrażenie nie zawierające już zmiennych rzeczywistych. Gdy A jest dowolnym wyrażeniem,²³ xi, X2, • • •,

²²    Nawiasów używa się w matematyce i logice zazwyczaj w celu oznaczania porządku, w jakim należy wykonać kilka po sobie następujących operacyj. Gdy się więc z góry pewnym operacjom daje pierwszeństwo nazywając je „mocniejszymi“ od innych, czyni się poniekąd nawiasy zbędnymi. Nawiasy są także zawsze tam zbędne, gdzie chodzi o wielokrotne dokonanie jednej i 1 ej samej asocjatywnej operacji, gdyż porządek wykonywania tej operacji nie wpływa wtedy na wynik ostateczny. W logice, w przeciwieństwie do matematyki, używa się często zamiast nawiasów innych środków jak punktów (W hiteheadi Russell, Herbrand) lub jak to czynią Prof. Łukasiewicz i Prof. Chwistek, przez stawianie operatorów na początek, tzn. przed ich argumenty można w ogóle pozbyć się nawiasów. Wszystkie te sposoby mają jednak obok swych dobrych stron także i złe strony. Za najgorszy z nich uważamy wspomniany wyżej system punktowy (są też inne systemy punktowe poniekąd lepsze), ponieważ do formalnego, mechanicznego formułowania reguł się nie nadaje, gdyż ciągle wymaga ingerencji w rodzaju podwyższenia liczby punktów (zob. np. w pracach Herbrand a), zaś wielkich walorów praktycznych także nie posiada. Z formalnego punktu widzenia beznawiasowy system pisania pochodzący od Prof. Lukasie wieża należy bezwzględnie uważać za najlepszy; z praktycznego punktu widzenia zaś ma tę wadę, że do czytania wyrażeń napisanych tym systemem należy nabrać specjalnej wprawy, gdyż porządek czytania nie odpowiada tu, jak zwykle, porządkowi pisania znaków (tj. od lewej ku prawej), ale jest inny.

²³    Zamiast dłuższego zwrotu : wyrażenie węższego rachunku f unkcy j nego, gdy nie będzie obawy nieporozumienia, będziemy używali krótszego: wyrażenie. Na określenie wyrażeń węższego rachunku funkcyjnego w literaturze niemieckiej używa się przeważnie krótkiego terminu : Zählausdruck.

zmiennymi wolnymi wyrażenia A, wówczas wyrażenie (Exi) (Ex₂) . . . (Ex„) A, które nie zawiera już zmiennych wolnych jest z wyrażeniem A pod względem posiadania realizacji równoważne³. W samej rzeczy, gdy A posiada realizację w jakimś zbiorze zaś au a₂, . .., a„ są wartościami na xlt x₂, x„; F/, Fi,..., Fm' funkcjami logicznymi na zmienne funkcyjne Flt F₂,. . . , Fm figurujące w A i pi, pi, . . . , pi wartościami na zmienne zdaniowe figurujące w A, przy których A przechodzi w zdanie prawdziwe A', wówczas układ wartości Fm ; pi, pi,--*, pi odpowiednio na zmienne Fu F₂, ... , Fm\ pu Pi, - - - , Pk realizuje w sposób oczywisty wyrażenie (Ex±) (Ex₂) . . . (Fxn) A w zbiorze 3. Ale i na odwrót, gdy wyrażenie (fxi) (Ex₂) .. . (Exn) A przechodzi dla układu wartości Fi', Fi', ... , Fm"; pi', pi', ..., pi' w jakimś zbiorze $ w zdanie prawdziwe, które oznaczamy przez (Z:*!) (Ex₂).. . (Exn) A", wówczas w zbiorze Ä istnieje n elementów xu x₂,... , xn takich że A" zachodzi, a to znaczy, że układ xu x₂,..., xn‘, Fi', Fi', .. . , Fm"; pi', pi’, .. ., pi’ jest układem realizującym wyrażenie A w zbiorze Wyrażenia A i (Ex₁) (Ex₂) ... (Exn) A są więc istotnie równoważne.

Fi, Fi,..

Pokażemy teraz, że przy zagadnieniu rozstrzygalności można się ograniczyć do wyrażeń nie zawierających także zmiennych zdaniowych. Niech A będzie dowolnym wyrażeniem, Fu F₂,..., Fm jego zmienne funkcyjne, zaś pu Pi,---,Pk jego zmienne zdaniowe. Niech G u G₂,..., Gu oznaczają k zmiennych funkcyjnych jednoczłonowych różnych pomiędzy sobą i różnych od Fu F₂,..., Fm. Wyrażenie B, które otrzymujemy z A zastępując każde pt przez (x) G,- (x) nie zawiera już zmiennych zdaniowych i jest wyrażeniem równoważnym z A pod względem posiadania realizacji. Gdy bowiem A ma realizację i układ Fi, Fi,..., Fm'; pi, pi,..., pi spełnia wyrażenie A w zbiorze S, wówczas definiując G!(x) dla każdego elementu X z S przez równoważności: Gi'(x)r^jp.' (i— 1, 2,..., k) zyskujemy natychmiast równoważności: (x)G.'(x) ~ p'. ⁴ (i=l, 2,..., k), z których wynika, że układ Fi, Fi,..

.., Gk spełnia wtedy wyrażenie B w zbiorze S. Odwrotnie, gdy wyrażenie B ma realizację i układ FF, F₂",..., .., GF spełnia B w zbiorze wówczas gdy Pi", pF, ---, pF zdefiniujemy przez równoważności p” ~ (x) GF (x), układ FF, FF,--., FF\ pF, pF,---, pF spełnia wyrażenie A w zbiorze Mamy więc następujące twierdzenie:

Fm, Gl, G₂f,.

P " /nr ft /nr tr

rm f Ui , U% ,.

Twierdzenie 1. Przy zagadnieniu rozsłrzygalności wystarcza się ograniczyć do wyrażeń nie zawierających ani zmiennych rzeczywistych, ani zmiennych zdaniowych.

Z twierdzenia tego będziemy w dalszym ciągu tej pracy korzystali. Jedną z bardzo ważnych redukcyj zagadnienia roz-strzygalności jest ta, która wyraża, że można się ograniczyć do wyrażeń tzw. postaci normalnej. Wyrażenie zwie się wyrażeniem w postaci normalnej, gdy w nim wszystkie kwantyfikatory stoją na samym początku, jeden po drugim nie oddzielone od siebie nawiasami i nie zaopatrzone znakami negacji oraz, których zakresy działań (rozciągłości) dosięgają końca wyrażenia. Każde wyrażenie w postaci normalnej daje się napisać w formie (?xi) (?x₂) • •. (?xn) A, gdzie A nie zawiera już kwantyfikatorów, a symbol (?x) stoi zamiast (x) lub (Ex). Znak zapytania w symbolu (?x) ma wyrazić, że (Px) jest jednym z kwantyfikatorów o zmiennej x: ogólnym lub szczegółowym, lecz nie wiadomo dokładnie który.

Możliwość podania do dowolnego wyrażenia wyrażenia z nim równoważnego w postaci normalnej⁵ polega, jak wiadomo, głównie na następujących czterech wyrażeniach tauto-logicznych:

P v (*) F (x) ~ (x) (pvF (x)), p& (x) F (x) ~ (x) (p&F (x)), pv(Ex)F(x) ~(Ex)(pvF(x)), p&(Ex) F (x) - CEx){p&F{x)).

Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas pozbywamy się w nim przede wszystkim znaków -> i ~ sposo-

bem znanym z § 1. Następnie dzięki wyrażeniom tautolo-gicznym

(x) F (x) ~ (Ex) F (x),

(Ex) F (x) ~ (*) F (x), p & q ou p v q, p V q p&q,

P ~ P

można się postarać, aby znak negacji stał na coraz to krótszych wyrażeniach i tylko jednokrotnie, aż wreszcie osiągnie się to, że znak ten stać będzie jedynie nad zmiennymi funkcyjnymi lub ewentualnie jeszcze nad zmiennymi zdaniowymi, gdy takowe w A występują. Po dokonaniu tego można wreszcie przez stosowanie odpowiednią liczbę razy wyżej podanych czterech wyrażeń tautologicznych rozszerzyć kolejno zakresy działań występujących kwantyfikatorów, przesuwając kwantyfikatory coraz bardziej na lewo, aż te kwantyfikatory znajdą się jeden po drugim na początku wyrażenia, a ich zakresy sięgać będą do prawego końca wyrażenia. W ten sposób otrzymamy wyrażenie B postaci normalnej i takie, że nie tylko zajdzie równoważność pod względem posiadania realizacji wyrażeń A i B, ale że wyrażenie A ^ B będzie nawet tautologiczne⁶.

Każde wyrażenie postaci normalnej daje się, jak już wiemy, napisać w formie (?Xi) (?x₂)... (?xn) A, gdzie A nie zawiera już kwantyfikatorów. Układ (?xi) (?x₂) -.. (?xn) kwantyfikatorów stojący na początku postaci normalnej chcemy za Göde-1 e m⁷ nazywać prefiksem (Präfix), zaś za prefiksem stojącą i wolną od kwantyfikatorów część wyrażenia postaci nor-

malne] za Kalmarem⁸ chcemy nazywać jądrem (Kern) tej postaci normalnej⁹.

Według powyższego mamy następujące

Twierdzenie 2. Przy zagadnieniu realizacji wystarcza się ograniczyć do wyrażeń postaci normalnej (?xj)    ...

{?x„) A, gdzie A nie zawiera ani zmiennych wolnych, ani zmiennych zdaniowych¹⁰.

Postać normalna bywa punktem wyjścia prawie wszystkich poszukiwań odnośnie zagadnienia rozstrzygalności, a kształt prefiksu jest zazwyczaj podstawą klasyfikacji wyrażeń. Przy zagadnieniu rozstrzygalności można się ograniczyć jednak już do wyrażeń w postaci normalnej specjalnych typów. W dalszym ciągu tej pracy poznamy cały szereg typów specjalnych, z których każdy dla siebie jest w pewnej mierze już równoważny ogólnej postaci normalnej, gdyż rozwiązanie zagadnienia rozstrzygalności dla wyrażeń jednego z tych typów pociągnęłoby za sobą rozwiązanie ogólnego zagadnienia rozstrzygalności. Przy zagadnieniu rozstrzygalności wyrażeń postaci normalnej, możemy w każdym razie, bez uszczerbku dla ogólności, założyć, że pierwszym kwantyfikatorem prefiksu jest kwantyfikator ogólny a ostatnim szczegółowy. Wyrażenia (?X!)(?x₂) ... (? x„) A i (x)(Px₁)(Px₂)... (?x„)(Ey)[A& &f(y)vf(x)\ są bowiem, jak łatwo widzieć, tak równoważne pod względem posiadania realizacji jak i równoważne pod względem tautologii, niezależnie od tego, jaką zmienną funkcyjną jest / i czy występuje w A, czy też nie. Prefiks wyrażeń rozpoczynających się kwantyfikatorem ogólnym a koń-

29

czących się szczegółowym można w sposób bardziej ścisły zanotować następująco¹¹ 12 13 14 15: (-Yp)i¹ (£*p)**

(*p)s"_i+l (ßxp)rnn+i * gdzie r₁<isi<Cr₂<S2...<Crn<s„. Liczbę n wyrażającą liczbę przejść z kwantyfikatora ogólnego na szczegółowy nazywamy stopniem prefiksu. Istnieje postępowanie znane i często używane, pochodzące od S ko le ma³⁸, które pozwala sukcesywnie zmniejszać stopień prefiksu, w tym sensie, że do każdego wyrażenia postaci normalnej o prefiksie stopnia n (gdzie n > 1) pozwala skonstruować wyrażenie postaci normalnej o prefiksie stopnia n—1 i równoważne z danym pod względem posiadania realizacji. Przez kolejne stosowanie tego postępowania dochodzi się do wyrażenia stopnia pierwszego, tj. wyrażenia postaci normalnej o prefiksie postaci (*i)(*2)-.. (xr)(Eyx){Ey₂) ... 0Eys). Prefiksy tego typu nazywamy skolemowskimi prefiksami, a postać normalną o skolemowskim prefiksie skolemowską postacią normalną. Zasada postępowania S ko le ma jest następująca:

(^p)l¹ (^*p)rî+i₍ (*p)*i+l (Ex?)r₂+\ • • • (*p)s"-i+l będzie dowolnym wyrażeniem stopnia n, Flt iF₂,..., Fk niech będą zmiennymi funkcyjnymi tego wyrażenia, F niech oznacza srczłonową zmienną funkcyjną różną od zmiennych Fu F₂,..., Fk. Oznaczmy przez B koniunkcję następujących dwóch wyrażeń :

(BÙ

(yP)i (Fyptl+i

F(yi,y2,---t yst)>

(B₂)    (^p)i¹    *₂, ••

*SX) (^p)s₁+iX^'xp)r₂+l • • •

• • • (*p)s"_j+l (EAfp)r”₊₁^lJ.

Wyrażenie B daje się wtedy z łatwością do postaci nor

malnej

• • , ÿSl) (*1» -*2 » • •

która jest stopnia n—1, sprowadzić i przedstawia wyrażenie równoważne z danym pod względem realizacji. Gdy bowiem wyrażenie dane posiada realizację w jakimś zbiorze 3 i układ Fi, F‘2,..., Fk jest układem spełniającym, to definiując funkcję F'(xi,X£,...,xs) przez równoważność    :

¹

\y przypadku k > 1 funkcja logiczna lc członowa na zbiorze $ oznacza poprostu k członową relację między elementami z Zaś funkcja logiczna jednoczłonowa oznacza jakąś własność elementów z $ (terminu „relacja jednoczłonowa“ się nie używa). Dla ujednostajnienia można funkcję logiczną nazywać relacją i w przypadku granicznym k=l.

²

Z dwóch wyrażeń to nazywamy dłuższym, które zawiera więcej znaków systemu niż drugie, przy czym każdy znak należy tyle razy liczyć, ile razy istotnie się powtarza.

³

W dalszym ciągu będziemy przeważnie mówili: równoważ-n e zamiast : równoważne pod względem posiadania realizacji.

⁴

Dla dalszego zaoszczędzenia nawiasów umawiamy się operatory (x), (Ex) uważać za mocniejsze od operatorów z logiki zdań.

⁵

Często słyszy się o „sprowadzeniu" danego wyrażenia do postaci normalnej, zamiast o podaniu do danego wyrażenia innego wyrażenia w postaci normalnej z nim równoważnego. Jest to oczywiście nieścisłe powiedzenie, gdyż w każdym podobnym wypadku chodzi o po⁻danie innego wyrażenia, który stoi do danego w pewnej relacji. Podobnych powiedzeń jednak i my używać będziemy, gdyż ułatwiają i upraszczają znakomicie wysłowienie, a istotnego sensu tych powiedzeń zazwyczaj nie trudno się domyślić.

⁶

Z tego że A~B jest wyrażeniem tautologicznym wynika łatwo, że A i B są równoważne pod względem posiadania realizacji ale nie na odwrót. Relacja pomiędzy wyrażeniami A i B mówiąca, że wyrażenie A - B jest tautologiczne jest więc mocniejsza od relacji równoważności dwóch wyrażeń pod względem posiadania realizacji. W książce cytowanej pod ¹¹ (po uwzględnieniu różnic wynikających z innego bardziej finitystycznego stanowiska), mocniejszej relacji odpowiada pojęcie „Ü b e r f ü h r b a r k e i t“, zaś słabszej pojęcie „Deduktionsgleichheit“. Odróżnienie tych dwóch relacyj jest bardzo ważne,’ a jednak nie zawsze bywa przestrzegane.

⁷

Por. pracę cytowana w ²¹, str. 350.

⁸

Kalmar, Über die Erfüllbarkeit derjenigen Zählausdrücke, welche in der Normalform zwei benachbarte Allzeichen enthalten, Math. Annalen 108 (1933).

⁹

Niektórzy autorowie zamiast terminu : jądro używają terminu : matryca (die Matrix, la matrice).

¹⁰

⁸¹ Twierdzenie to przenosi się natychmiast na zagadnienie roz-strzygalhości dla tautologii. Aby do danego wyrażenia A podać wyrażenie postaci normalnej równoważne z nim pod względem tautologii, wystarcza do A znaleźć postać normalną równoważną z A pod względem realizacji i w tej postaci normalnej każdy kwantyfikator wymienić na przeciwny o tej samej zmiennej (ogólny na szczegółowy i na odwrót) oraz jądro zastąpić zaprzeczeniem. W ten sposób otrzymujemy wyrażenie również w postaci normalnej, równoważne z wyrażeniem A pod względem tautologii.

¹¹

   Będziemy odtąd bardzo często skrótu (xp)ha względnie (Exp)* (przy bz>a) używali na miejscu (xa)(xa+l)... (a?₆) względnie (ExJ(Exa+1)... (Exb). Symbol p, odgrywający rolę zmiennego wskaźnika może oczywiście być zastąpiony przez każdy inny tego rodzaju. Zamiast zmiennej x może wystąpić oczywiście każda inna zmienna pozorna.

¹²

   Th. S k o 1 e m, Logisch - kombinatorische Untersuchungen über

¹³

Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze etc. Vidensk.-

¹⁴

Selsk. Skrifter, Mat.-Naturw. Klasse, 1920, Nr. 4, str. 1—36, w szczeg.

¹⁵

str. 4—6.

r (*,, .....-v-(*Æ+i (Ex/in....    (^:+iÆ“

uzyskujemy w układzie F’, FÎ, F₂ ,..., Fk, jak łatwo widzieć, układ spełniający wyrażenie B w tym samym zbiorze 3.

Odwrotnie, gdy układ F ", FF, F₂",..., Fk" spełnia wyrażenie B w jakimś zbiorze®, wówczas F\ ,FZ ,Fu” jest układem spełniającym dane wyrażenie w tym samym zbiorze. Przez —r\ krotne stosowanie reguły logicznej zawartej w wyrażeniu (*) [F(x) -> G (*)] -> [(£*) F (x) -> (Ex) G (x)] otrzymujemy bowiem z wyrażenia

*2, •

wyrażenie

• • » *Sl) (£*P)*î+r * *

• * • (^p)s”_₁₊l

F" (xi, x₂,..., *Si) -> (Exp)Jj₊₁    .

(Exp)rnn+lA J,

rn

"•Wv-rH

a z tego wyrażenia przez rx krotne stosowanie reguły logicżnej zawartej w wyrażeniu (x) [F(x)-> G (x)][(x) F (x)(x) G(x)] otrzymujemy (vp)i¹ (Exp)Jj₊₁ F" (xlt x₂,..., xs )-+

A",

^l¹    ^p)sj+l (Exp)rl+i ' * * W^V-l+l ^Xp\1+1

³⁴ Wynik podstawienia za zmienne funkcyjne F\, F?,..., Fk odpowiednio funkcyj F\\ Fi’,..., Fk' w wyrażeniu A, oznaczamy przez A'; podobne znaczenie będzie miało niżej A". W ogóle w przyszłości będziemy się często posługiwali podobnym znakowaniem bez uprzedniego objaśnienia, gdyż i bez objaśnienia będzie widocznym, o co chodzi.

co, w połączeniu z (y?)\x (Ey?)sr\+l tychmiast

ys)> daie na*

(-p)i- (&Ä+, (*ä+, w« • • •    (&ä+i ^

które wyraża, że układ Ff, F₂",..., T'Y spełnia dane wyra-żenie, c. b. d. o.

Przy pomocy postępowania skolemowskiego uzyskuje się więc następujące udowodnione, po raz pierwszy w r. 1920, twierdzenie ¹ 2 :

Twierdzenie 3. Przy zagadnieniu rozstrzygalności dla realizacji wystarcza się ograniczyć do wyrażeń postaci normalnej o prefiksie kształtu (^i)(a-₂) ... (xr)(Eyi)(Ey₂) • • • {Eyt) (Sko-lemowska postać normalna) 3e.

A teraz zajmiemy się zagadnieniem zależności wyrażeń od zbioru z przyporządkowania zasadniczego, tzn. pytaniem w których zbiorach dane wyrażenie może mieć realizację i czy z realizacji danego wyrażenia w jakimś zbiorze nie wynika istnienie realizacji tego wyrażenia także w pewnych zbiorach innych. Jako pierwsze twierdzenie stojące w związku z zagadnieniem zależności wyrażeń od zbioru udowodnimy³

w szczeg,

Twierdzenie 4. Każde wyrażenie, które w ogóle posiada realizację, posiada już realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym.

raz

Zauważymy najprzód, że twierdzenie to wystarcza udowodnić tylko dla wyrażeń postaci normalnej, gdyż z tych przenosi się natychmiast na dowolne wyrażenia. W samej rzeczy, niech A będzie dowolnym wyrażeniem; na zasadzie wyżej pokazanego można do A podać wyrażenie B w postaci normalnej takie, że A^B jest tautologiczne i że B posiada dokładnie te same zmienne funkcyjne co A, które niech będą Flf Fz,...» Fk. Jeśli teraz układ F/, F₂'Fu spełnia wyrażenie A w jakimś zbiorze 3, wówczas na zasadzie tautologicz-ności wyrażenia A^B ten sam układ spełnia też wyrażenie B. Gdyby teraz dla wyrażeń postaci normalnej twierdzenie było już udowodnione, wyrażenie B miałoby już realizację w jakimś zbiorze $ co najwyżej przeliczalnym, a wówczas, na zasadzie tautologiczności wyrażenia A^B, wyrażenie A miałoby również realizację w tym samym zbiorze Niech A oznacza te-dowolne wyrażenie postaci normalnej: (PxA (Px^j... (?xm)51, zaś B wyrażenie (*) (Pxi) (Px₂) •.. (Pxm)(Ey) [%&F (y) v F (*)]. Jak łatwo widzieć, A<^> B jest wyrażeniem tautologicznym i z tego wynika zupełnie analogicznie jak wyżej, że dla dowodu ogólnego twierdzenia wystarcza się ograniczyć do wyrażeń w postaci normalnej, które, podobnie jak B, zaczynają się kwantyfikatorem ogólnym a kończą się szczegółowym. Każde tego rodzaju wyrażenie posiada pewien stopień n³⁸. Pokażemy, że można się w dalszym ciągu ograniczyć do przypadku /! = 1, tzn. do wyrażeń o skolemowskiej postaci normalnej. W samej rzeczy, do każdego wyrażenia stopnia n można przy pomocy skolemowskiego postępowania zbudować wyrażenie stopnia n — 1 (o ile n^> 1), które wtedy i tylko wtedy ma realizację w jakimś zbiorze, gdy dane wyrażenie posiada

Skrifter det Norske Videnskaps - Akademi, Oslo, Mat.-

thematik,

Naturw. Klasse, 1929, Nr. 4, w szczeg. str. 13—28. Dziś znamy cały szereg dowodów na to twierdzenie; wypadają one zazwyczaj, jakby produkt uboczny, z twierdzeń o charakterze dalej idącym.

³⁸ Przez stopień takiego wyrażenia należy oczywiście rozumieć

stopień jego prefiksu.

realizację w tym samym zbiorze ⁴. Z tego wynika natychmiast, że pod założeniem słuszności twierdzenia Löwenheima-S k o 1 e m a dla wyrażeń stopnia n — 1 zachodzi też słuszność tego twierdzenia dla wyrażeń stopnia n⁵. Gdybyśmy więc twierdzenie udowodnili dla wyrażeń stopnia pierwszego, na mocy indukcji matematycznej twierdzenie to byłoby udowodnione dla każdego wyrażenia postaci normalnej a tym samym dla każdego w ogóle wyrażenia. A teraz udowodnimy

Twierdzenie 5. Każde wyrażenie stopnia pierwszego, tzn. o prefiksie kształtu (*1) (jt₂) • • • (*.) (Eyi) (Ey₂) . • . (Eys), jeśli w ogóle posiada realizację, posiada już realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym.

Załóżmy, że dowolnie dane wyrażenie typu (atj) (x₂)... W (Ey i) (Ey₂) ... (Ey) 91 (*!, x₂,. .xr;yu . . .,ys) posiada realizację w jakimś zbiorze S; to zaś znaczy, że istnieje taki układ funkcyj logicznych określonych na zbiorze S i układ s funkcyj matematycznych⁶ (xit x₂, • . . , xr), <p₂ (xit x₂, ..., xr),

..., <ps (ati, x₂, ..., xr) przy których wyrażenie następujące przedstawia zdanie prawdziwe :

C*i) (*2) • • • (■*) 2t (xv x₂,..., xr; <p! (xl9 x₂,..., xr), <p₂ (xu x2f... t xr),

3 3

•••.?, (*1> *2, • • • , *r)) ⁴²‘

Prawdziwym jest wtedy także zdanie

(•*1) (*2) ■ • • (*r) 21 (*1, *2» • • •, xr; fo, x₂,..., x ), <p₂ (jtjl, *₂,...,

• • • t ?s C*l, -*2> • • • » -^r))»

przy każdym podzbiorze ® zbioru 3- Ta ostatnia okoliczność nie wyraża jednak jeszcze, że dane wyrażenie posiada również realizację w zbiorze $, gdyż do tego trzeba jeszcze, aby funkcje cpj (xh x₂, . . ., xr), <p₂ (xh x₂,..., xr),..., <fa (xu x₂,..., x), dla wartości xly x₂,..., xr należących do $, przyjmowały wartości również wyłącznie ze zbioru E, bo tylko w tym wypadku można ze słuszności zdania (*1) (*2) • • • (•*) 21 (xlt x₂,..., xr; cpi (xh x₂,..., x), cp₂ (xu x₂,..., xr),

•••>?* (*i> x2f..., xr)) wnioskować na słuszność zdania

(*1) (*2) • • • W (Ey\) (^2) • • • (Eys) 2f (xu x₂,..., xr; ylt y2t..., yj

ß> ©i    & ©    &

uC ut    OT- ut    ot

wyrażającego, że dane wyrażenie posiada również realizację w zbiorze Gdybyśmy jednak potrafili dowieść istnienia podzbioru co najwyżej przeliczalnego $ zbioru 3 takiego, że dla wszelkich wartości xlt x₂,... ,xr ze zbioru Ê. wartościami funkcyj rpx (xh x₂, ..., xr), cp₂ (xu x₂,. .. , xr),..., <pa (xu x₂, . . . , xr) są wyłącznie elementy z $, wówczas dane wyrażenie miałoby realizację w a tym samym twierdzenie 5 byłoby udowodnione. Sprawę tę załatwia całkowicie następujący

L e m m a t 1. Jeśli «pi (xlt x₂,..., xr), <p₂- (xlt *₂,.. ., xr)f ..., (*i, x₂, . .. , xr) są dowolnymi funkcjami określonymi w dowolnym (byle nie pustym) zbiorze 3 takimi, że wartości tych funk-

⁴² Fakt, że zdania typu (x) F (x), (Ex) F (x) są prawdziwe w zbiorze $ będziemy odtąd często zaznaczali symbolicznie przez (x)F(x),

3

(Ex)F(x). Symbolika ta da nam korzyści, gdy będziemy mieli do ezy-

3

nienia równocześnie z wieloma zbiorami.

cyj też są elementami z 3, wówczas istnieje podzbiór co najwyżej przeliczalny U zbioru 3, który jest ze względu na te funkcje zamknięty, przy czym zbiór & zwie się zamkniętym ze względu na układ funkcyj, gdy wartości każdej funkcji tego układu dla argumentów zaczerpniętych ze zbioru & także do zbioru $ należą. ⁴³

Dowód. Definiujemy najprzód ciąg Mu M₂, M₈, ... podzbiorów zbioru 3 w sposób następujący. niech będzie dowolnym podzbiorem skończonym zbioru 3; jeśli Mu M₂, ..., M. są już określone, wówczas przez Mi+i należy rozumieć zbiór wszystkich Wartości jakie funkcje ¹ (xu x₂,..., xr), ?2 Oi, *2, • • •, xr),..., cps Oi, *2, • • • , xr) przyjmują w zbiorze M\-\- M₂-\-    M.. Każdy zbiór Mt jest wtedy skończony-:

Dla i=l jest to oczywiście prawdziwe; załóżmy teraz, że Mlf M₂,..., M. są skończone, wówczas M\ -|- M₂Ą-.. .4- M. jest

⁴³ Lemmat ten daje się uogólnić na przeliczalny układ funkcyj, przy czym ilość argumentów każdej takiej funkcji nie musi być równa ilości argumentów każdej innej funkcji tego układu, lecz może być dowolną liczbą naturalną i dla każdej funkcji inną. Uogólniony lemmat daje się też zużytkować do uogólnienia twierdzenia Lówenheima-Skolema na wypadek przeliczalnej mnogości wyrażeń węższego rachunku funkcyj. Odnośne uogólnienie brzmi: Każdy układ przeliczalnej ilości wyrażeń węższego rachunku funk-cyj, jeśli w ogóle posiada równoczesną realizację w jakimś zbiorze, po siada też realizację równoczesną w zbiorze co najwyżej przeliczalnym. Ze wspomnianego uogólnienia twierdzenia Löwenheima-Skolema wynika znany paradoks S k o 1 e m a dla zaksjomatyzowanej teorii mnogości, Aksjomaty Z e r m e 1 o - F r a e n k 1 a dla teorii mnogości są me-tamatematycznie (tzn. bez wchodzenia w ich matematyczną treść) biorąc, z wyjątkiem tzw. Aussonderungsaxiom u. wyrażeniami węższego rachunku funkcyj, zaś Aussonderungsaxiom daje się przedstawić jako przeliczalny ciąg wyrażeń węższego rachunku funkcyj, czyli cały układ aksjomatów tym samym daje się przedstawić jako przeliczalny ciąg wyrażeń węższego rachunku funkcyj. Wyżej wspomniane uogólnienie tw. Löwenheima-Skolema daje dla owego systemu aksjomatycznego teorii mnogości przeto następujący rezultat : System ten albo w ogóle nie ma realizacji (a więc jest sprzeczny), albo posiada już co najwyżej przeliczalną realizację, co znów w pewnej mierze jest sprzeczne z tzw. Axiom ein der P o t e n z ni e n g e, z którego by wynikało, że każda realizacja jest nieprzeliczalna. Jest to właśnie paradoks Skole ma.

zbiorem skończonym i A/.₊₁ jako zbiór wartości skończonej ilości funkcyj w skończonym zbiorze także skończony, a tym samym indukcją zupełną zostało pokazane, że każde Af. jest skończone. Kładziemy teraz $ = Mi -{- M₂ -j- Ms + .. • • Zbiór $ jako suma przeliczalnej ilości zbiorów skończonych jest co najwyżej przeliczalny. Z drugiej zaś strony jest ze względu na funkcje (*1, *₂, — » x), ff₂ (*i> *2» ..., xr),..., cps (xlt x₂, ..., xr) zamknięty. Gdy bowiem xi, x₂,..., xr należą do wówczas przy dostatecznie dużym i należą xlf x₂,..., xr do -\- M₂ Ą-+ ... + Mp a wtedy yk (*1, x₂,..., xr) {k — 1, 2,..., s) należy do Mi+1, a tym samym także do $, c. b. d. o.

Twierdzenie 6. (Bernaysa — Schónfinkla)⁷. Każde wyrażenie mające realizację w jakimś zbiorze $, posiada też realizację w każdym zbiorze 3, którego moc jest większa lub równa mocy zbioru

£’<p

Dla dowodu tego twierdzenia i kilku twierdzeń dalszych korzystnym będzie wprowadzenie pewnych rzeczy pomocniczych. Niech y(x) będzie funkcją matematyczną określoną dla wartości x ze zbioru jakiegoś 3, zaś wartości, jakie funk-cja 9 (*) przyjmuje, niech należą do jakiegoś zbioru $. Gdy x przebiega wszystkie elementy zbioru 3, 9 (*) przebiega pewien podzbiór zbioru który chcemy oznaczyć przez Sty. Zachodzi więc w każdym razie ^ C $. Niech F (x) oznacza teraz dowolną funkcję logiczną określoną dla wartości x ze zbioru Między zdaniami (x) F (cp (*)), {y) F (y) zachodzi wtedy równoważność:

(x)F(? (x))~(y)F (y).

Jeśli (a:) F(9 (*)) jest prawdziwe i y jest dowolnym elementem

3

zbioru Sty, wówczas, na mocy definicji zbioru Sty, y równa się przy pewnym x ze zbioru 3 wartości <p(*). Ponieważ (*) F(<p (*)) jest prawdziwe, więc także (a:)), skąd na mocy y = <{>(x) także F(y), a ie y było dowolnym elementem zbioru fi^, przeto również (y)F(y) jest prawdziwe. Odwrotnie, gdy (y) F (y)

jest prawdziwe i x jest dowolnym elementem zbioru S, wówczas kładąc y — y(x) otrzymujemy F(<p (x)), gdyż <p (x) należy do fi«p, a (y)F(y) jest według założenia prawdziwe. Z pra-

ft

wdziwości F(<p(x)) dla dowolnego elementu x zbioru S, wynika zaś prawdziwość zdania (x) F(<p(x)). Udowodniliśmy więc

prawdziwość równoważności

(x) F (9 (x)) ~ (y) F (y).

3 :

Dla dowodu tej równoważności celowym było użycie po prawej stronie innej zmiennej niż po lewej. Możemy jednak teraz zamiast zmiennej y położyć x i otrzymujemy równoważność

(1)

(x)F(? (x))~(x)F(x).

fi

Kładąc w tej równoważności zamiast F funkcję F otrzy

mujemy

(x) F (<p (x)) ~ (x) F (x),

fi*

z czego przez obustronne przeczenie uzyskujemy

(2)

(Ex) F (9 (x))~(Ex)F(x).

Równoważności (1) i (2) można wreszcie zjednoczyć

w jedną

(3)

⁴⁵ Z równoważności tej uzyskujemy więc równoważności prawdziwe, kładąc zamiast (?x) bądź (æ), bądź (J7a;). Należy jednak pamiętać, że symbol (?x) musi być po obu stronach równoważności zastąpiony stale przez ten sam symbol, tzn. po obu stronach przez (æ) lub po obu stronach przez (Ex). Podobne zastrzeżenie obowiązuje w każdym wypadku stosowania symbolu (?x).

Twierdzenie 6 rozbijemy sobie na dwie części. Pierwszą część stanowić będzie następujące

Twierdzenie 7. Każde wyrażenie, mające realizację w jakimś zbiorze &, posiada też realizację w każdym zbiorze 3, którego moc jest równa mocy zbioru

Twierdzenie to wystarczy udowodnić dla wyrażeń, postaci normalnej, gdyż z tyęh przenosi się natychmiast na dowolne wyrażenia. Dowód tej okoliczności jest zupełnie podobny do dowodu analogicznej okoliczności przy twierdzeniu 4. Do każdego bowiem wyrażenia A można podać wyrażenie B w postaci normalnej takie że A jest tautologiczne. Gdy wyrażenie A ma realizację w zbiorze M, wówczas z tautologii wyrażenia A^>B wynika, że i wyrażenie B ma realizację w zbiorze $. Wyrażenie B jako wyrażenie w postaci normalnej posiada jednak wówczas realizację także w zbiorze 3 równej mocy ze zbiorem Ê (zakładafhy na chwilę, że dla wyrażeń postaci normalnej twierdzenie zostało udowodnione), z czego znów na mocy tautologiczności wyrażenia A^ B wynika, że i wyrażenie A posiada realizację w zbiorze 3-Wystarcza więc istotnie się ograniczyć do wyrażeń w postaci normalnej. Niech (? j^) (? at₂) ... (? xn) 21 (atj, at₂, ..., xn). będzie takim wyrażeniem mającym realizację w zbiorze $. Układem spełniającym niech będzie układ Flf    Fu, gdzie Fi jest

funkcją logiczną r,-członową.

Zachodzi więc tedy

(4)

(? *i) (? x₂)... (? xn) 2f (*1, x₂,•.., a„).

ut    uV    #i_    ;

I' ri;

Definiujemy teraz funkcję matematyczną cp (*) określoną dla wartości a; ze zbioru 3 do zbioru $ następująco :-cp (*) ma oznaczać ten element zbioru który odpowiada elementowi a: zbioru 3 przy jakimś jednojednoznacznym odwzorowaniu zbiorów 3 i $. Gdy a: przebiega wszystkie elementy żbioru 3, wówczas cp (a:) przebiega oczywiście wszystkie elementy zbioru $, czyli dla tak zdefiniowanej funkcji rp (a:) zachodzi równość co w połączeniu z (3) daje dla każdej funkcji logicznej F określonej na zbiorze Û równoważność

(5)

(? x) F (<p (x)) ™ (? x) F (at).

Definiując teraz funkcje Fj, F₂,..., Fu na zbiorze 3

kładąc

Fi (*1> X2f • • •, Xri) — Fi (y (*j), cp (x₂), ..., Cp (*r.))

(6)

(dla xlf x₂,..., xn dowolnych z 3 i dla i = 1, 2,..., k) uzyskujemy układ spełniający dane wyrażenie w zbiorze 3- Z (6) wynika bowiem przez wielokrotne stosowanie pewnych zasad logiki zdań

21' (xU X₂,...,X„) = yi (cp (*!>, Cp (x₂),. . . , Cp (*„)), dla jt!, at₂, ..., x„ dowolnie wziętych ze zbioru 3, czyli zachodzi

(*i) (*2) • • • (xn) [2T (xh x₂,...,xn)~% (cp (xj, cp (x₂),..., cp (*„))],

z czego przez n krotne stosowanie reguły logicznej (a;) [F (x)^> G (x)] -> [(?x) F (x) 00 (?x) G (ac)] ⁸ uzyskuje się równoważność

(7) (?Xj) (?x₂)... (?xn) 21' (xu x₂,..., xn) ~ (?xt) (?x₂)...

... (?X„) 21 (cp (.yj), cp (x₂),..., cp (*„))⁹

Przez n krotne stosowanie równoważności (5) otrzymujemy jednak

(?x₁) (?x₂)... (?xn) 21 (cp fo), cp (x₂),..., cp (*„)) ~

~ (?Xi) (?x₂)... (?xn) 21 (xlt x₂,..., xn),

ut    ot

3    3

co w połączeniu z (7) daje równoważność

(?xt) ( ?x₂)xn) 2T (xu x₂,...,xn)~( ? XJ (?x₂)...

3    3

... (?xn) 21 (xux₂,..., xn).

Ponieważ jednak na podstawie (4) (? A^) (? x₂) ... (?xn)

raża, że układ FÎ, F₂ ,, Fk spełnia dane wyrażenie (? xj) (? x₂)... (?xn) 21 (xi, x₂,..., xn) w zbiorze 3, c. b. d. o.

Twierdzenie 8. Każde wyrażenie mające realizację w jakimś zbiorze St posiada też realizację w każdym zbiorze 3 obejmującym zbiór

Twierdzenie to wystarczy udowodnić tylko dla wyrażeń postaci normalnej, gdyż z tych przenosi się natychmiast na dowolne wyrażenia. Do każdego bowiem wyrażenia A można podać wyrażenie B w postaci normalnej takie, że A ^ B jest tautologiczne. Gdy wyrażenie A ma realizację w zbiorze $, wówczas z tautologii wyrażenia B wynika, że i wyrażenie B ma realizację w zbiorze Wyrażenie B jako wyrażenie w postaci normalnej posiada jednak wówczas realizację w każdym zbiorze 3 obejmującym zbiór ® (zakładamy, że dla wyrażeń postaci normalnej twierdzenie zostało udowodnione), z czego znowu na podstawie tautologiczności wyrażenia A no B wynika, że i wyrażenie A ma realizację w zbiorze 3. Wystarczy się więc istotnie ograniczyć do wyrażeń postaci normalnej. Niech (? xj) {? x₂) ... (? *„) 21 (xlt x₂,..., x„) będzie takim wyrażeniem mającym realizację w zbiorze Układem spełniającym niech będzie układ Flf F₂,..., Fu, gdzie Ft jest funkcją logiczną /-/-członową. Zachodzi więc

(? xj) (?x₂) ... (?xn) 21 (xi} x₂,..., xn).

x ze

Definiujemy teraz funkcję (x) określoną dla wartości zbioru 3 do zbioru Ê następująco: cp (x) ma być równe x* gdy x należy do gdy zaś x jest elementem z 3 nie należącym do cp (x) ma być równe a, gdzie a jest dowolnym ale ustalonym elementem z Gdy x przebiega wszystkie elementy zbioru 3, <p (x) przebiega, jak łatwo widzieć, wszystkie elementy zbioru %t, podobnie jak to miało miejsce w twierdzeniu 7. Równoważność (3) daje przeto znów równoważność {?x)

F($ (*))~ {?x)F{x).

St

Definiując więc znowu funkcje F₂ , ..., Fk' na zbiorze 3 przez równoważności FI (a-i, x₂, .. •, xr) = F; (<p(xi), <p (x₂),..., .., cf (xr/)) (dla a-i, x₂,..., xT[ ze zbioru 3 i dla / = 1,2, ...,&) uzyskujemy (dowodem zupełnie tym samym co w twierdzeniu 7) układ spełniający dane wyrażenie (?xj) (? x₂)... ( ? xn) 51 (a-j, x₂ y... y Xn) w zbiorze 3, c. b. d. o.

Z twierdzeń 7 i 8 otrzymujemy natychmiast twierdzenie 6. Gdy A jest bowiem dowolnym wyrażeniem mającym realizację w zbiorze jakimś a 3 jest dowolnym zbiorem mocy większej niż moc zbioru wówczas gdy przez £ oznaczymy dowolny podzbiór zbioru 3 równej mocy ze zbiorem $ na zasadzie twierdzenia 7 dowiadujemy się, że wyrażenie A ma też realizację w zbiorze £ a z tego na podstawie twierdzenia 8, że A ma też realizację w zbiorze 3 (gdyż zbiór 3 obejmuje zbiór £), c. b. d. o.

Twierdzenie 9. Każde wyrażenie, które w ogóle posiada realizację, posiada także realizację w zbiorze liczb naturalnych.

Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzeń 4 i 6. Gdy bowiem dane wyrażenie A posiada w ogóle realizację, wówczas na podstawie twierdzenia 4 posiada realizację także w jakimś zbiorze co najwyżej przeliczalnym 3. Ponieważ moc zbioru liczb naturalnych jest większa lub równa mocy zbioru 3, więc na podstawie twierdzenia 6 wyrażenie A posiada realizację także w zbiorze liczb naturalnych, c. b. d. o.

Przystępujemy teraz do pewnego uogólnienia pojęcia wyrażenia i pojęć związanych z tym pojęciem. Uogólnienie to polega na wprowadzeniu znaku identyczności (równości) logicznej do zakresu rozważań. Niech A będzie wyrażeniem (w dotychczasowym sensie) zawierającym zmiennę dwuczłonową G (x,y), pozostałe zmienne funkcyjne wyrażenia A niech będą Fu F₂,..., Fk. W A na miejsce wszystkich występujących kombinacyj kształtu G(x,y) kładziemy x—y, wynik B tych zastąpień nazywamy wyrażeniem uogólnionym lub wyrażeniem z identycznością, a wyrażenie A bez identyczności z którego B powstało nazywamy wyrażeniem z nim sprzężonym. Wyrażenie uogólnione B, które zawiera już tylko zmienne funkcyjne Fu F₂,..., Fk (zmienna funkcyjna G w B już nie występuje, znak = figurujący na

miejscu zmiennej G uważamy zaś za stałą, a nie za zmienną) nazywamy wyrażeniem posiadającym realizację, gdy istnieje zbiór niepusty 2 oraz układ funkcyj logicznych F₁',F2t...,Fk który wraz z relacją x=y¹⁰ (ta ostatnia na miejsce zmiennej funkcyjnej G (x, y)) spełnia wyrażenie A. Zupełnie podobnie wprowadza się pojęcie tautologiczności dla wyrażeń uogólnionych. Wyrażenie uogólnione B jest tautologiczne, gdy jakkolwiek obierzemy zbiór 2 i układ funkcyj logicznych /Y, F₂,..., ..,Fk w tym zbiorze, to układ ten wraz z relacją x—y (na miejsce zmiennej funkcyjnej G(x,y)) spełnia wyrażenie sprzężone A w starym sensie albo, co na jedno wychodzi, układ Fi, F₂\ ..., Fk spełnia wyrażenie B w sensie nowym. Między pojęciem realizacji a tautologii zachodzą znów, jak łatwo widzieć, związki : a) Dane wyrażenie ma wtedy i tylko wtedy realizację, gdy zaprzeczenie tego wyrażenia nie jest tautologiczne. b) Dane wyrażenie jest wtedy i tylko wtedy tautologiczne, gdy zaprzeczenie tego wyrażenia nie ma realizacji. Oba te związki dowodzą, tak jak przedtem, że z nowymi pojęciami realizacji i tautologii nasuwające się dwa zagadnienia rozstrzygalności są równoważne, tzn., że do rozwiązania obu wystarczy rozwiązać tylko jedno z nich¹¹. Ważnym jest jednak fakt, że zagadnienie rozstrzygalności w nowym sensie¹² nie jest wcale trudniejszym od starego zagadnienia rozstrzygalności, gdyż daje się do tego ostatniego sprowadzić. Wyraża to następujące

49

Twierdzenie 10. Do każdego zuyrażenia w nowym sensie można podać wyrażenie w starym sensie równoważne z nim pod względem posiadania realizacji.

Zauważymy przede wszystkim, że w dowodzie tego twierdzenia wystarcza się ograniczyć do takich wyrażeń w nowym Sensie, w których wszystkie kwantyfikatory stoją na samym początku jeden po drugim nie oddzielone od siebie nawiasami i nie zaopatrzone znakami negacji, czyli do wyrażeń w postaci normalnej.

Niech A bowiem będzie dowolnym wyrażeniem z identycznością, zaś wyrażenie B niech powstaje przez zastąpienie w A każdej kombinacji typu x—y przez G (x, y), gdzie G jest zmienną funkcyjną nie występującą w A (B jest więc wyrażeniem sprzężonym z A). Do wyrażenia B, które nie zawiera identyczności umiemy już podać wyrażenie C w postaci normalnej takie, że B^C jest tautologiczne. Gdy teraz w C za G (*, y) wszędzie podstawimy x ~ y, wówczas otrzymamy wyrażenie D w postach normalnej takie, że A ^ D jest tautologiczne. Z tautologiczności wyrażenia A^D wynika jednak natychmiast równoważność wyrażeń A i D pod względem posiadania realizacji. Gdybyśmy więc do wyrażenia D, które jest w postaci normalnej, umieli podać wyrażenie E bez identyczności i równoważne z D pod względem posiadania realizacji, wówczas wyrażenia A i i: również byłyby równoważne. Wystarczy się więc istotnie ograniczyć do wyrażeń w postaci normalnej.

Niech A będzie teraz dowolnym wyrażeniem z identycznością i w postaci normalnej o zmiennych funkcyjnych Fh F2,..., Fmt przy czym zmienna Fi niech będzie r,-członowa (dla i = 1, 2,..., m). Wyrażenie A daje się więc napisać w postaci (? ^l) (?x₂) . •. (? *„) 51 (*!, x2t..., xn\ =), przy czym znak == umieszczony za średnikiem ma wyrażać że A jest wyrażeniem z identycznością. Kładziemy B równe koniunkcji trzech następujących wyrażeń:

(B1)

( ? *i) ( ? *2) ... Xn) % (*1, *2,    G),

(■Bi) 'i (*) ö (x, x) <& (x) (y) (z) [G (y, x) & G (y, z)^G (x, z)],

(B*)    È (*i) (*2) • •. (xr) (yô {y2) • • • {yri [/v (

• >yrt

)]•“

ri

& £G(xk,yk)    Fi (yuy2t..

* = i

gdzie G oznacza zmienną funkcyjną nie występującą w A, zaś wyrażenie oznacza wynik zastąpienia w A znaku = przez zmienną G. Wyrażenie B nie zawiera już identyczności logicznej i jest, jak to natychmiast pokażemy, równoważne z wyrażeniem A pod względem posiadania realizacji.

Gdy wyrażenie A ma realizację w jakimś zbiorze 3 i układ funkcyj Fj", F₂\..., Fm" jest układem spełniającym, wówczas definiując funkcję G" przez równoważność G" (x,y) = = (x=y) otrzymujemy natychmiast w Fj", F₂\..., Fm”, G" układ spełniający wyrażenie B.

Załóżmy odwrotnie, że wyrażenie B ma realizację, wówczas, na podstawie twierdzenia 9, wyrażenie B posiada też realizację w zbiorze liczb naturalnych $. F/, F₂\..., Fm\ G' niech oznacza układ spełniający w tym zbiorze wyrażenie B. Z prawdziwości wyrażenia B₂ w zbiorze 3 wnioskujemy przede wszystkim, że G (x, y) jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Zwrotność jest bezpośrednio widoczna¹³ 14. Kładąc z= y w wyrażeniu (*) (y) (z) [G' (y, x) & G’ {y, z) -> G (.x, z)]

8 8 8

otrzymujemy (*) (y) [G (y, x) & G {y, y) -* G (x, y)], co w po-

3 3

łączeniu z zwrotnością daje (x) (y) [G (y, x) -> G' (x, y)], czyli

3 8

symetrię. Symetria funkcji G' (x, y) w połączeniu z (x) (y) (z)

8 8 8

[G' (y, x) & G (y, z) -*■ G {xf z)] daje natychmiast (x) (y) (z)

8 8 8

[G' (x, y) & G (yy z) -> G' (*, z)]y czyli przechodniość. Zbiór liczb naturalnych rozpada się wobec tego na klasy bez elementów wspólnych i takie, że dwie dowolne liczby z tej samej klasy stoją do siebie w relacji G', zaś dwie liczby z różnych klas nie stoją do siebie w relacji G\ Niech x oznacza teraz dowolną liczbę naturalną, przez cp (*) będziemy teraz rozumieli najmniejszą liczbę naturalną tej klasy, do której liczba x wpada. Liczby x i cp (*) należą więc w każdym razie do jednej i tej samej klasy, na skutek czego zachodzą:

(8-1) (x) G’ (x, cp (x))f (8-2) (x) G' (cp (x), x).

Oznaczywszy zbiór 3tp> czyli zbiór tych liczb naturalnych, które przebiega funkcja cp (x), gdy x przebiega wszystkie liczby naturalne, dla skrócenia przez £, mamy na podstawie równoważności (1), (2) i (3) dla każdej funkcji logicznej F następujące równoważności:

(9*1) (x)F(<p(x))~(x)F(x),

(9*2) (Ex) F (cp (x)) ou (Ex) F (x),

¹

Pierwszy dowód tego twierdzenia podany został przez Sko-lema w pracy cytowanej pod ³³. Wyżej podane postępowanie różni się nieco od oryginalnego postępowania S k o 1 e m a; jest mianowicie nieco prostsze. W dalszym ciągu poznamy dwie modyfikacje postępowania skolemowskiego, które pozwalają otrzymać twierdzenia o wiele mocniejsze. Jedna z modyfikacyj została podana przez G ö d e 1 a w pracy : Zum Entscheidungsproblem des logischen Funktionenkalküls, Monatshefte für Math, und Phys., 40 (1933), str. 433—443, w szczeg. str. 441. — druga przeze mnie w pracy cytowanej pod ⁹. w szczeg. str. 25—26.

²

   Twierdzenie powyższe daje oczywiście natychmiast pewien rezultat także dla zagadnienia tautologii : przy zagadnieniu rozstrz,ygal-nośei dla tautologii wystarcza się ograniczyć do wyrażeń o prefiksie kształtu przeciwnego do (xx) (æ₂)... (xr) (Eyx) (EyJ... (Eys) (por. uwagę ¹), tzn. kształtu (Ext]) (Ext)... (Exr) (yx) (y₂)... (ys).

³

   Twierdzenie to znane jest powszechnie jako tzw. twierdzenie

⁴

   Przy dowodzie twierdzenia 3. pokazaliśmy istotnie, że do każdego wyrażenia A stopnia n (»>1) o zmiennych funkcyjnychF\, Fi,.. Fk można skonstruować wyrażenie B stopnia n—1, zawierające prócz Fv F₂, ..., Fk jeszcze jedną zmiennę funkcyjną F, takie, że gdy

Ff,F₂f.....Fk' jest układem spełniającym wyrażenie A w zbiorze $,

to przy stosownej definicji funkcji F' układ Ff, F₂.....Fk'f F' speł

nia wyrażenie B w tym samym zbiorze $ oraz, że skoro Fj", F₂,..., Fk", F” jest układem spełniającym wyrażenie B w jakimś zbiorze Ä,

wówczas Ff \ F₂.....Fk" jest układem spełniającym wyrażenie A

w tym samym zbiorze

⁵

   Ścisły dowód tej okoliczności jest następujący: Gdy wyrażenie A stopnia n posiada w ogóle realizację, wówczas posiada realizację wyrażenie B stopnia n—1 otrzymane przy pomocy skolemowskiego postępowania, które na mocy założenia, jako wyrażenie stopnia n—1, posiada wtedy realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym ; wyrażenie A posiada wówczas jednak realizację w tym samym zbiorze, a więc w co najwyżej przeliczalnym.

⁶

   Między funkcjami logicznymi a matematycznymi określonymi na pewnym zbiorze $ zachodzi ta różnica, że gdy wartościami pierwszych są wartości logiczne ^ lub §, wartościami drugich są przedmioty ze zbioru

⁷

Twierdzenie powyższe zostało udowodnione po raz pierwszy w pracy : P. Bernays-M, Schönfinkei, Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik, Math. Annalen, 99 (1928), str. 342—372, w szczeg. str. 344. Dowód tu podany w zasadzie polega na idei pochodzącej od Bernaysa i Schónfinkla, wydaje się nam jednak być bardziej przejrzystym i ścisłym, niż dowód oryginalny.

⁸

Reguła ta jednoczy dwie reguły następujące:

(x) [F (*) — G Or)) [(æ) F (x) ~ (x) G (*)] i {x) [F {x) ~ G (a;)] -►

[(Ex) F (x) ~ (Ex) G (x)].

Odnośnie stosowania znaku (?x) por. uwagę poprzednią.

⁹

Symbol (?Xi) (przy tym samym *) ma być, zgodnie z uwagą ⁴⁵, zastąpiony po obu stronach przez ten sam symbol, tzn. po obu stronach przez kwantyfikator ogólny (xi) lub po obu stronach przez kwan-tyfikator szczegółowy (Exi). Symbole (?»/) i (?xu) (przy różnych i,h) mogą jednak być zastąpione równocześnie przez kwantytikatory przeciwnych gatunków. Np. (?xt) może oznaczać (a^), gdy (?x₂) oznacza (Ex₂). Uwaga ta jest ważna, gdyż zawiera zasady poprawnego użycia znaku (?x).

¹⁰

Relacji tej odpowiada wartość gdy x i y są tymi samymi elementami zbioru 2, gdy x i y są różne pomiędzy sobą, wówczas relacji tej odpowiada

¹¹

żna oczywiście i pojęcie wyrażenia właściwego (tezy) uogólnić, tak żeby i trzecie zagadnienie rozstrzygalności było, jak przedtem, równoważne dwom poprzednim. Uzyskuje się to, gdy się do poprzedniej bazy wyjściowej dorzuci następujące dwa wyrażenia: x — x ,x = y-> -> [F (x) F (y)\ ; — i gdy się nieznacznie zmodyfikuje reguły w sensie odpowiadającym temu, że x = y nie jest zmienną funkcyjną, tzn., że za nią już nic podstawić nie można (poza tym jednak x = y zachowuje w systemie te same prawa co zmienna funkcyjna dwuczłonowa).

¹²

Mówimy znów o jednym zagadnieniu rozstrzygalności zamiast o trzech, które na zasadzie ich równoważności można uważać za różne postacie jednego zagadnienia.

¹³

   Znak sumacyjny w tym wyrażeniu, jak i w dalszym ciągu tej pracy, oznacza koniunkcję logiczną.

¹⁴

   Gdybyśmy zamiast wyrażenia -B, wzięli następujące nieco dłuższe wyrażenie (x) G (x, x) & (x) (y) [G (x, y)-+G (y, æ)J dć (x) (y) (z) [G {x, y) & et- G (y, z) -> G (x, z)], wówczas symetria i przechodniość funkcji G'(x,y) byłyby również bezpośrednio widoczne.

(9*3) (?x) F (cp (*)) ~ ( ?x) F (x).

Kładąc w B₃yk = cp(xk) dla k= 1,    otrzymujemy

natychmiast

ri

Ê (*1) (*2) • • • {Xr) r Fi (xh x₂,..., xr.) & Z G' (xh cp (Xk)) -*

¹ 3 3    3

k= 1

-> Fi (cp (XJ, Cp (x₂) , . . . , Cp (xr))\ ,

co w połączeniu z (8*1) daje

(10)    2!(*1)(*2)..• (xr,) [F/(x 1,

1 = 1 3 3    3

•••>?(*'))]•

X₂, • • • , Xri) ">

-> Fi (cp (.x₁), cp (*₂),

Kładąc w B₃ za xu (dla k — 1,2,..., n) cp (**), zaś za yu (dla k — 1, 2,.. .,1**) xk otrzymujemy natychmiast

Ê (*1) (*2) • • • (*'•) [F- (cp (*3. cp (x₂),..., cp (*,.)) &

‘ = 1 3 3    3 L

& 2 G (cp (**), Xk) Fi'(xh x₂y ■ • •

k—l

co w połączeniu z (8*2) daje

(11)    2 (*i) (*2) • • • (xr.) [F/(y fo), cp (x₂), • • •, <p (Xr;)) ->

^    ^    ^    -> F/ (*J, X₂,. . . , *r,)] •

(10) i (11) dają natychmiast

(12)    (*1) (x₂)... (xr) [F/fo

«•-¹ 33    3

Xri) ~

~ FÎ (? (^1), <P (*2), • •

M?W].

Z przechodniości relacji G' wynikają następujące cztery

wzory:

(13-1)    (*) (y) [G' (.x, #) G' (*/, cp (#)) -> G (x, cp (y))],

(13-2)    (*) (y) [G' (cp (*), x) & G (x, cp (y)) -> G' (cp (*), cp (<,))],

(13-3)    (*) (y) [Gf (cp (*), cp (*/)) cß G' (cp (z/), y)-> G (cp (*),#)]»

(13*4)    (x) (y) [G' (x, cp (x)) & G (cp (x),y)-> G (x,y)],

które w połączeniu z (8’1) i (8*2) dają wzory: (14*1)

(*) (y) [G (x, y) -> G (x, cp (y))],

(14-2)

(x) (y) [G (x, cp (y)) -* G' (cp (x), cp (</))],

(14-3)

(*) (y) [G' (cp (X), cp (y)) -> G' (cp (x), y)],

(14-4)

(x) (y) [G (cp (x),y) + G (x,y)].

Przez sylogizm otrzymujemy z wzorów (14*1) i (14'2)

wzór:

(x)(y)lG(x,y)-+G (cp (x), <p (y))],

zaś z wzorów (14*3) i (14"4) wzór:

(x) (y) [G' (cp (x), cp (y)) -> G' (x, y)],

które razem dają

(*) (y) [G (X, y) ~ G (cp (X), cp (y))]

(15)

Z (12) i (15) wynika natychmiast

(*i) (*₂) • • • (*„) [51' (xh x₂,...,xn; G') ~

°°    (<P (*i)> y (*2),G')],

3 3

z czego, na podstawie reguły (*) [F(*) ~ G(x)]->[(Px)B(x) nu ™ (?x) G (a:)], wynika

(?Xi) (?x₂)... (?xn) W (*lt x₂,...,xn; G') no (?x₁)(?x₂). . .

3    3    3

... ( ?xn) W (cp (xt), y (*₂),..., cp (Xn); G), a z tego na podstawie B1 otrzymujemy

(16)

(?x₁) (?x₂)... (?xn) W (cp (*0, cp (*₂) ,..., cp (*„); G).

3 3

jemy

Stosując do (16) n krotnie równoważność (9'3) otrzymu-

(17)

(?*i) (?x₂) ... (?xn) ST (xu x₂G).

8 8

Ponieważ liczby cp (a-) i cp(^) należą wtedy i tylko wtedy do jednej i tej samej klasy, gdy są równe⁵⁴, przeto zachodzi

(*) (y) [G' (y (x), y (y)) ~ (y (*) = cp (#))],

z czego przez dwukrotne stosowanie równoważności (9*1) otrzymujemy

(*) (y) iG’ (X, y)~(x = y)],

które wyraża, że relacja G'(x,y) w zbiorze 8 jest identycznością. Uwzględniwszy to we wzorze (17) otrzymujemy

{?X₁) (?X₂) . . . (?Xn)) SI' (*!, *₂, . . . , Xn; = ),

8 8

⁵³    Wzór ten, wyrażający, że liczby x i y należą do jednej i tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy <p(a?) i y(y) należą do jednej klasy, jest i bezpośrednio widoczny, gdyż <p(æ) wzgl. <?(y) oznacza przecież najmniejszą liczbę tej klasy, do której x wzgl. y należy.

⁵⁴    Ponieważ dana klasa posiada tylko jedną liczbę najmniejszą.

4«

które wyraża, że wyrażenie A ma realizację, a tym samym twierdzenie 10 zostało w zupełności udowodnione. Z powyższego dowodu wynika jednak coś więcej. Można bowiem z niego wywnioskować

Twierdzenie 11. Każde wyrażenie z identycznością, które w ogóle posiada realizację, posiada już realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym.

Najprzód dla wyrażeń w postaci normalnej. Do każdego wyrażenia A w postaci normalnej z identycznością można, jak to w powyższym dowodzie widzieliśmy, skonstruować wyrażenie B bez identyczności równoważne z A pod względem posiadania realizacji i takie, że jeśli B posiada realizację, A posiada realizację w zbiorze liczb 2. Gdy więc A posiada w ogóle realizację, wówczas, na zasadzie równoważności wyrażeń A i B, realizację posiada także wyrażenie B, a z tego wynika, że A ma realizację w zbiorze liczb S, a więc w zbiorze co najwyżej przeliczalnym. Niech teraz C będzie dowolnym wyrażeniem z identycznością, wówczas, jak to przedtem pokazaliśmy, można podać wyrażenie A w postaci normalnej takie, że C A jest tautologiczne. Jeśli C w ogóle posiada realizację, wówczas, na zasadzie tautologiczności wyrażenia C oj A, realizację posiada również wyrażenie A, które jako wyrażenie w postaci normalnej posiada wtedy także realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym, z czego, znów na podstawie tautologii wyrażenia C ~ A, wynika, że i C ma realizację w tym samym zbiorze co najwyżej przeliczalnym. Twierdzenie 11 zostało więc w zupełności udowodnione.

Chcemy teraz podać dwie modyfikacje postępowania65 podanego w twierdzeniu 10 i wskazać ich znaczenie. Pierwsza modyfikacja polega na zastąpieniu wyrażenia Bä przez wyrażenie następujące:

m    f,(

/=ijk = i    L

Xu *2» • • • » Xrt) <& G (xk, y) -> Fi (-T], A"2, • « • , Xk—1, y > Xk-\-l» • •

AT,,)].

Twierdzimy mianowicie, że koniunkcja trzech wyrażeń Blt B₂ i Bi jest również wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem (?xj) (?x₂) • • • {?x„) SI (jfj, at₂, ..., xn\ ==) pod względem posiadania realizacji. Gdy układ funkcyj ", F₂'',..., Fm" jest układem spełniającym wyrażenie (?xj) (?x₂) ... (?xn) 21 (*i, x₂,... ..., xn‘, =) w zbiorze 3, wówczas układ Ff, F₂”,..., Fm", x = y spełnia w sposób oczywisty koniunkcję wyrażeń Bh B₂ i Bi w tym samym zbiorze. Należy teraz pokazać, że z realizacji wyrażenia B±& B₂ & Bi wynika również realizacja danego wyrażenia (?xj) (?xj) . •. (?xn) 2t (jci, x₂,..., xn; =), a do tego wystarczy pokazać, że z realizacji wyrażenia Bi wynika realizacja wyrażenia B₃, gdyż realizacja wyrażenia Bi & B₂ & B3 pociąga za sobą — jak to już wiemy — realizację wyrażenia {?Xi) (?x₂) ... (?xn) 21 (xh x₂,..

Xn\ )•

Żądane uzyskujemy jednak natychmiast przez m krotne stosowanie następującego lemmatu:

L e m m a t 2. Jeśli funkcje logiczne F (xif x₂,..., xr) \ G (x,y) spełniają wyrażenie

(18) Z (*i) (*2) • • • (xr) (y) [V (xh x₂, •

..,xr)&G (.Xk, y) ->

F (*1, X₂, . . . , Xk~\y y, ATfc+1, • • • » Xr w jakimś zbiorze, wówczas spełniają też wyrażenie

(19)    (xt) (x₂) ... (*r) (yi) (y₂) • • • (yf [f(

Xi, X₂,...,Xr)&

& Z G (xk,yk) + F {yuy₂,..., yr) •

k~\    ¹

Pokażemy że z (18) wynika dla 1=1, 2,..., r

(20)    (xi) (x₂)... (xr) (yi) (y₂) • • • (yd [^(*1. *2. • • • > xr) &

1

& Z G (Xk, yk) F (y u .......yi, *z+i,.

fc = i

Z (18) wynika natychmiast (atj) (*₂) • • • (xr) (y) [F (*u x₂,..., xr) & G (xhy) F (y,x₂,..., *»■)], z czego przez zastąpienie y przez yi uzyskujemy (a-i) (x₂) ... (xr) (y\) [F (a-i, a₂, ..., xr) & G (*1, y i) -> F (yu x₂,..., xr)], czyli (20) zostało dla 1=1 udowodnione. Załóżmy teraz, że (20) zachodzi dla jakiegoś / < r, czyli że mamy

które wyraża, że wyrażenie A ma realizację, a tym samym twierdzenie 10 zostało w zupełności udowodnione. Z powyższego dowodu wynika jednak coś więcej. Można bowiem z niego wywnioskować

Twierdzenie 11. Każde wyrażenie z identycznością, które w ogóle posiada realizację, posiada już realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym.

Najprzód dla wyrażeń w postaci normalnej. Do każdego wyrażenia A w postaci normalnej z identycznością można, jak to w powyższym dowodzie widzieliśmy, skonstruować wyrażenie B bez identyczności równoważne z A pod względem posiadania realizacji i takie, że jeśli B posiada realizację, A posiada realizację w zbiorze liczb 2. Gdy więc A posiada w ogóle realizację, wówczas, na zasadzie równoważności wyrażeń A i B, realizację posiada także wyrażenie B, a z tego wynika, że A ma realizację w zbiorze liczb 2, a więc w zbiorze co najwyżej przeliczalnym. Niech teraz C będzie dowolnym wyrażeniem z identycznością, wówczas, jak to przedtem pokazaliśmy, można podać wyrażenie A w postaci normalnej takie, że C A jest tautologiczne. Jeśli C w ogóle posiada realizację, wówczas, na zasadzie tautologiczności wyrażenia C A, realizację posiada również wyrażenie A, które jako wyrażenie w postaci normalnej posiada wtedy także realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym, z czego, znów na podstawie tautologii wyrażenia C ^ A, wynika, że i C ma realizację w tym samym zbiorze co najwyżej przeliczalnym. Twierdzenie 11 zostało więc w zupełności udowodnione.

Chcemy teraz podać dwie modyfikacje postępowania66 podanego w twierdzeniu 10 i wskazać ich znaczenie. Pierwsza modyfikacja polega na zastąpieniu wyrażenia B₃ przez wyrażenie następujące:

...

xrj) & G (xk, y) ->

*2, ■ •

F i    x%, ..., Xk—i, y, Xk~(-1, • •

MO

CT\

(B₄) 2J Z(*i) (*2) • • • (xfł) (y) Fi{xx

i—\k = \    L

⁵⁵ Ideę tego postępowania podali, niezależnie od siebie, K. Gödel w pracy cytowanej pod ²¹ oraz L. Kalmar w pracy: Eine Bemerkung zur Entscheidungstheorie, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 4 (1929), str. 248—252.

Twierdzimy mianowicie, że koniunkcja trzech wyrażeń B1} B₂ i Bi jest również wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem (?*i) (?x₂)... (?*„) ST (atj, x₂,..., xn; =) pod względem posiadania realizacji. Gdy układ funkcyj Ff', F₂\ ..., Fm" jest układem spełniającym wyrażenie (?a:i) (?jr₂) ... (?*„) SI (*!, x₂, ... ...,xn; =) w zbiorze 3, wówczas układ Fi", F₂", ..., Fm", x = y spełnia w sposób oczywisty koniunkcję wyrażeń Blt B₂ i Bi w tym samym zbiorze. Należy teraz pokazać, że z realizacji wyrażenia Bi& B₂& Bi wynika również realizacja danego wyrażenia (?*i) (?x₂) ... (?xn) SI (xlt x₂,...,xn; ==), a do tego wystarczy pokazać, że z realizacji wyrażenia Bi wynika realizacja wyrażenia Bs, gdyż realizacja wyrażenia Bi & B₂ & B$ pociąga za sobą — jak to już wiemy — realizację wyrażenia (?*i) (?x₂)... (?xn) SI (*!, x₂,...,xn; =).

Żądane uzyskujemy jednak natychmiast przez m krotne stosowanie następującego lemmatu:

L e m m a t 2. Jeśli funkcje logiczne F(xi,x₂,..., xr) i G (x,y) spełniają wyrażenie

xh x₂,..., xr) & G (Xk, y) ->

^ F (rj, x₂,. •., Xk—i, y, Xk-\-\, • • •, w jakimś zbiorze, wówczas spełniają też wyrażenie

(19) (xj) (x₂)... (xr) (yi) (y₂)... (yr) |V(*i>

x2i..., xr) &

&2JG Uh yu) -*■ F(yuy₂,..., yr) .

k = \    J

.,xr)&

x₂,..

Pokażemy że z (18) wynika dla 1=1,2,... ,r (20)    (*!) (x₂)... (xr) (yi) (y₂) ■ • • (yi) [^(*1

)•

i

&2J G (Xk, yk) -* F (yh y₂,..., yi, xt+1,..., xr

k~i

Z (18) wynika natychmiast (a:i) (x₂) ... (xr) (y) [F (*i, x₂,..., xr) & G (xi,y) -> F (y,x₂,..., xr)], z czego przez zastąpienie y przez yi uzyskujemy (*i) (x₂)... (xr) (y i) [F (xh x2>...,xr ) & G (x^ y i) -> F (yu x₂,..., xr)], czyli (20) zostało dla l—l udowodnione. Załóżmy teraz, że (20) zachodzi dla jakiegoś / << r, czyli że mamy

(21) (*i) (x₂)... (xr ) {yf) (y 2) • • • (yi)    (*1, x₂,..., Xr) &

&£G (xk,yk) -> F {y u y₂,..., yi, xt+h..., xr) ,

k — \    -*

a udowodnimy (20) dla l -{-1. Z (18) wynika natychmiast

(*1) (*2) • • • (*r) (y) [F (xh x₂,..., xr) & G {xi+1, y) F (xh x₂,..., xh yy X1+2,..., jfr)]» z czego przez zastąpienie x1} x₂,..., xi odpowiednio przez yhy₂,...,yl oraz y przez yl+1 uzyskujemy

(yi) (yf) • • • (y i) (-*7-1-1) * • • (-*r) (y^i) \F (yi> y2i • • • > y^ -*7_|_i» • • • > •**,.)

& G (*z+1, yl+1) -> F (y i, y2}...y yl+v xl+2,..., *')], co w połączeniu z (21) daje z łatwością

XU X₂,...y Xr) &

(*1) (*2) • • • M (yi) (y₂) • • >(yl+1) |V(

W    H

& z g (xk, yk) F(ylyy₂,..., yl+v xl+v ..., xr) ,

1    ¹

a tym samym (20) zostało indukcją udowodnione. Kładąc w (20) / = r uzyskujemy twierdzenie wyrażone w lemmacie 2.

Wyrażenie B±& B₂ & B± góruje o tyle nad wyrażeniem B₁ & B₂ & B₃, że daje się sprowadzić do postaci normalnej z na ogół mniejszą liczbą kwantyfikatorów ogólnych. Zastosujmy w szczególności zmodyfikowane to postępowanie do wyrażeń z identycznością, z prefiksem kształtu (xf) (x₂) (x₃) (Eyi) (Ey₂).. -(Eys) i zmiennymi funkcyjnymi co najwyżej dwuczłonowymi. Po uwzględnieniu równoważności (x) [F (x) & & G (*)] ~ (x) F (x) & (y) G (y) w wyrażeniu B₁& B₂ & B₄ dojdziemy z łatwością do wniosku, że wyrażenie to w tym przypadku sprowadzić się daje do postaci normalnej z prefiksem znów kształtu (xf) (x₂) (x₃) (Eyf) (Ey?) ... (Ey,). Analogiczne obowiązuje, jak łatwo widzieć, gdy rozpatrujemy wyrażenia o prefiksach fo) (x₂) (Eyf) (Ey₂). • • (Eys) (x₃) , (*i) (Eyf) (Ey₂)...

... {Eys-\) (x₂) (x₃) (Eys). Mamy więc następujące twierdzenie z którego później korzystać będziemy:

Twierdzenie 12. Do każdego wyrażenia z identycznością to postaci normalnej o prefiksie kształtu (*1) (*₂) (*3) (Eyf) (Ey₂) • •. (Eys) zuzgl. (*1) (x₂) (Eyf) (Ey₂) ... (Eys) (x₃) zuzgl. (x₁)(Eyi)(Ey₂)...(Eys-\)(x₂)(x₃)(Eys) i o zmiennych funkcyjnych co najwyżej dwuczłonowych można podać równoważne z nim pod względem realizacji wyrażenie postaci normalnej, bez identyczności, o odpowiednio tym samym prefiksie, które, prócz zmiennych funkcyjnych zawartych w danym wyrażeniu, zawiera jeszcze jedną zmienną funkcyjną dwuczłonową wchodzącą na miejsce identyczności.

Poznamy teraz postępowanie pozwalające do każdego wyrażenia z identycznością skonstruować wyrażenie równoważne bez identyczności, które to postępowanie pod pewnym względem praktycznym dogodniejsze jest od poprzednich. Wyrażenie B₃ w postępowaniu wiodącym z wyrażenia A do    5a, jako też wyrażenie B± w postępowaniu wio

dącym z wyrażenia A do Bt & B₂ & Bit jest dość rozwlekłe w przypadku, gdy ilość występujących w danym wyrażeniu A zmiennych funkcyjnych jest dość duża. Konstrukcja, którą teraz poznamy, jest o tyle dogodniejsza, że nie ma w niej odpowiednika wyrażeń B₃ lub Z?₄, względnie odpowiednik ten nie zależy od ilości występujących w danym wyrażeniu A zmiennych funkcyjnych. Niech A będzie danym wyrażeniem z identycznością, kształtu (?xf)(?x₂).. .(?xn)<^(x₁, x₂, zaś F(xlt x₂,..., xn) i G(x,y) niech będą zmiennymi funkcyjnymi nie występującymi w A. Koniunkcja C następujących czterech wyrażeń jest wtedy wyrażeniem bez identyczności równoważnym z wyrażeniem A (pod względem realizacji):

(?*i) (?xj)... (?xn) F(x 1, x₂,..., xn),

(C₂)    (*) G (*, x) & (*) (y) (z) [G (y, x)& G (y, z)-*-G (x, z)],

(C₃) (xj (x₂)... (*„) [F (x J, *2, • • • >*n) -► 21 (*1, x₂,...,xn\ G)],

(C₄)    (*1) (*2) • • • (xn) (yf) (y₂)... (yn) \f (xh

(Ci)

Xn)&

X₂,..

&2JG (xk, yk)-*F(yu y₂,.. •, yn) .

k=i    -■

xn; G'j

Jeśli F^ F₂,...,Fm są zmiennymi funkcyjnymi wyrażenia A, funkcje Ff\F₂,\...,Fm" zaś spełniają wyrażenie A w jakimś zbiorze 3, wówczas, definiując funkcje F” (xly x2t..., xn) i G" (x, y) przez równoważności F" (x±, x2f.. •, xn) = W (*1, x₂,.. i G" (x,y) = (x=y), układ Ff\ F₂\...» Fm", F”, G" spełnia, jak łatwo widzieć, w tym samym zbiorze 3 wyrażenie C.

Załóżmy odwrotnie, że wyrażenie C ma realizację, wówczas, na podstawie twierdzenia 9, wyrażenie C posiada też

reąlizację w zbiorze wszystkich liczb naturalnych 8- Fi, F₂,... ..., Fm', F', C niech oznacza układ spełniający w tym zbiorze wyrażenie C. Z prawdziwości wyrażenia C₂ w zbiorze 3 wnioskujemy, podobnie jak w twierdzeniu 10, że G' (x, y) jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Zbiór liczb naturalnych rozpada się wobec tego znowu na klasy bez elementów wspólnych i takie, że dwie dowolne liczby z jednej i tej sairmî klasy stoją do siebie w relacji G', zaś dwie liczby wzięte z lózaych klas nie stoją do siebie w relacji G\ Przez cp (x) rozumiemy znowu, dla każdej liczby x, najmniejszą liczbę tej klasy, do której liczba x wpada, zaś zbiór tych liczb naturalnych, które przebiega cp (*), gdy x przebiega wszystkie liczby naturalne, oznaczmy znów przez 2. Podobnie jak w twierdzeniu 10 zachodzą przeto

(22)

(23)

(*) G’ (x, cp (*)),

(X) (U) [G" (x, y) ~ (x = y)], oraz dla każdej funkcji logicznej H (24)

n otrzymujemy

Kładąc w C₄ yu. = <p (**) dla k = 1, 2,..

(*l) (*2) • • • (xn) F ' (xlf X₂, . . . , Xn) & X G" (Xk, ? (Xk)) ->

»? W)],

8 8 8

. F'(?(*!),?(*2), -••

co w połączeniu z (22) daje natychmiast

(*1) (*2) • • • (*«) [F' (xlt *2, • • •, xn) F’ (cp (jfi), cp (*₂), ..., cp (x„))],

8 8

z czego, przez n krotne stosowanie reguły (x) [F (x) ->■ G (x)] -> -> [(?x) F (x) -> (?x) G (jr)J, uzyskujemy

(?*l) (?X₂) . . . (?Xn) F’ (xh X₂,..., Xn) (?*l) (?X₂) • • .

. . . (?Xn) F' (? (*l), ? (x₂), . . . , cp (X„)).

Ponieważ (?xi) (?x₂) ... (?xn) F' (*1, x₂,..., x„) zachodzi na

podstawie Clf przeto z ostatniego wyrażenia uzyskujemy (?x₁) (?x₂) ... (?x„) F (cp (^j), cp (*₂), —, cp (*„)), z czego przez n krotne stosowanie równoważności (24) uzyskujemy

(25)

(?*!> (?X₂) . . . (?Xn) F (*i, *₂. • • • > Xn).

£ £

Na podstawie C₃ zachodzi (xi)(x₂)...(xn)[F,(x₁,x₂y ...,X„) -+W (xhx₂,... ,xn)G')], a więc tym bardziej⁶⁶

(*i) (*2) • • . (*3 [F (*1, x₂,..., x„)    W (xh x2t..., xn; G')], z czego

£ £

przez n krotne stosowanie reguły (x) [F (*) -> G (x)] ->• [(Px) F (x) -> -► (?x) G (x)J uzyskujemy

(Pxi) (Px₂)... (Pxn) F’ (xlt x₂,..., Xn)    (PXl) (?x₂) • •. (Px„) W (xt, x₂,...

£ £

...,xn;G'), co w połączeniu z (25) daje

(?*i) (Px₂)... (?jrn) 21' (*1, x₂,...,x„;G'). Na podstawie (23) mamy

£ £

więc (?*!){Px₂)... (Pxn) ST (jci, x₂,..., xn; ~) , które dowodzi, że

£ £

układ Fi, F₂\..., Fmf spełnia wyrażenie A w zbiorze £.

Odnośnie ostatniego postępowania, prowadzącego z wyrażenia A do wyrażenia C^ & C₂ & C^ & C₄, chcemy z jednej strony dodać, że wyrażenie C₄ w nim może, zgodnie z lem-matem 2, być zastąpione przez wyrażenie

Ê(*i)(*2)• • • (•*«)(y) [f(xi,

x„)&G{xk,y)^

X₂y • •

F (x₄, x₂,...,    */>    • • • » -Tn)J >

z drugiej zaś strony wyraźnie podkreślić, że to postępowanie ¹ 2 nie wszędzie może zastąpić poprzednio podane, gdyż np. już do dowodu twierdzenia 12 służyć nie może.

W twierdzeniach 4, 6, 7, 8, 9 poznaliśmy szereg zależności wyrażeń bez identyczności od zbioru z przyporządko-wania zasadniczego. Po uogólnieniu pojęcia wyrażenia nasuwa się, rzecz jasna, pytanie czy twierdzenia te zachowują moc obowiązującą także dla wyrażeń z identycznością. Na podstawie twierdzenia 11 wiemy już, że twierdzenie 4 zachowuje moc obowiązującą. Twierdzenia 6, 8 i 9 przestają być prawdziwe, gdyż np. wyrażenie (x) (y) [x = y & f {x) v / (*)] posiada, jak łatwo widzieć, realizację w zbiorze jedynkowym, zaś nie posiada realizacji w żadnym zbiorze mocy wyższej. Twierdzenie 7 jest nadal prawdziwe, mamy bowiem

Twierdzenie 13. Każde wyrażenie z identycznością, mające realizację w jakimś zbiorze posiada też realizację w każdym zbiorze 3, którego moc równa jest mocy zbioru

Twierdzenie to wystarczy udowodnić dla wyrażeń w postaci normalnej, gdyż z tych przenosi się na dowolne wyrażenia sposobem przez nas wielokrotnie stosowanym, a polegającym na możliwości podania do każdego wyrażenia A, wyrażenia B w postaci normalnej takiego, że A ~ B jest tautologiczne.

Niech więc {Px^ (Px₂)... (Px„) 21 (*lf *₂,.. •, •*„; =) będzie dowolnym wyrażeniem z identycznością postaci normalnej mającym realizację w zbiorze Układem spełniającym niech będzie układ Flf F₂,, Fk, gdzie Fi jest funkcją logiczną r,-członową. Zachodzi więc przeto

(26)

(Pxi) (Px₂) . . . (Pxn) St (*1, X₂, ..., Xn', = ).

& @ ut ut

Definiujemy teraz funkcję matematyczną 9 (*) określoną dla wartości x ze zbioru 3 do zbioru $ następująco: 9 (*) ma oznaczać ten element zbioru $, który odpowiada elementowi x zbioru 3 przy jednojednoznacznym odwzorowaniu zbiorów 3 i $, które zakładamy równej mocy. Gdy x przebiega wszystkie elementy zbioru 3, wówczas 9 (x) przebiega oczywiście wszystkie elementy zbioru $, czyli dla tak zdefiniowanej funkcji 9 (a-) zachodzi równość ^ = $, z czego dla każdej funkcji logicznej F określonej na zbiorze $ wynika równoważność

(27)

(Px)F(9 (x))~(Px)F(x).

Definiując teraz funkcje F/, F₂,..., Fk na zbiorze 3

kładąc

Fi (xlt xz,..., Xrt) = Fi (cp (Xl), cp (x₂),..., cp (x^.))

(28)

(dla xi, x₂, • • •, z 3 i dla z = 1, 2,..., k), uzyskujemy układ spełniający dane wyrażenie w zbiorze 3. Zachodzi bowiem, jak łatwo widzieć, równoważność

68

(x=y) = (cp (x) = cp (z/)),

która wraz z (28) daje łatwo

(*i) (*2) • • • (xn) £SC' (*1, X₂,..., xn ; = ) ~

~ 31 (cp (ati), cp (x₂),, cp (*„) ; =)],

3 3

z czego przez n krotne stosowanie reguły logicznej (*) [/r(;r) ~ ro G (*)] -> \(?x) F (x) ™ (?x) G (a:)] uzyskuje się najprzód równoważność

¹

   Zachodzi stale implikacja (x)F(x) -> (x)F(x), gdyż £ jest podzbiorem zbioru $.

²

   Względnie to z ostatnią modyfikacją.

(29)    (Pxi) (Px2) . . . (Pxn) 21' (*1, x₂, • • . , xn\ = ) no

~ (p*i) (Px2)... (?*„) 51 (xlt *₂, • • • > xn;=),

<a e

ot ot

która w połączeniu z (29) daje

(Pxi) (.p*₂) • • • (.p*n) 21' (jfi, x₂,...,xn;=) ~

3    3

⁰⁰ (P*l) (?^2) • • • (PXn) 21 (Xi, X₂, . . . , Xn, = )•

ut ut

Ponieważ jednak (?jrA) (Px₂)... (?.*•„) SI (.yj, at₂, .. ., x„; = ) jest

e e ot ot

na podstawie (26) prawdziwe, z ostatniej równoważności uzyskujemy (PxJ (Px₂)... (Pxn) Sf (xu x₂,..., xn; — ), które wyraża, że

3    3

58

Czytelnik, który zechciałby sobie zadać trudu znalezienia istotnej przyczyny tego, że twierdzenia 6, 8 i 9 przestają być prawdziwe dla wyrażeń z identycznością, przekonałby się, że jest nią niezacho-dzenie tej równoważności dla funkcji <p(a?) z twierdzenia 8.

układ Fît F₂',. • •, Fk' spełnia dane wyrażenie w zbiorze 8, c. b. d. o.

wyra-

Twierdzenie 9, jak widzieliśmy, nie zachodzi dla żeń z identycznością; gdybyśmy jednak w nim zwrot: które w ogóle posiada realizację zastąpili przez zwrot: które posiada realizację w jakimś zbiorze nieskończonym, wówczas sprawa miałaby się inaczej. Zachodzi bowiem

Twierdzenie 14. Każde wyrażenie z identycznością, które posiada realizację w jakimś zbiorze nieskończonym (do-toolnej mocy), posiada też realizację w zbiorze wszystkich liczb naturalnych.

.., FÎ spełnia wyrażenie A w zbiorze 8> zaś funkcja F' wyrażenie B, wówczas układ F/, F₂\..., F*', F' spełnia wyrażenie A & B \n zbiorze 8. Wyrażenie A & B, posiadając realizację, posiada według twierdzenia 11 realizację już w zbiorze co najwyżej przeliczalnym, np. $. Wynika z tego, że: 1) wyrażenie A posiada realizację w zbiorze 2) wyrażenie B posiada realizację w zbiorze co najwyżej przeliczalnym $. Z 2) wynika, że zbiór $ jest dokładnie przeliczalny, gdyż, na podstawie własności a), wyrażenie B nie posiada realizacji w żadnym zbiorze skończonym. Na podstawie 1) wyrażenie A posiada realizację w zbiorze przeliczalnym,

Dowód. Niech A będzie dowolnym wyrażeniem z identycznością posiadającym realizację w jakimś zbiorze nieskończonym 8. Przez B oznaczmy następujące wyrażenie: (x) (Ey) (z) [F{x,x)&F(x,y)& (F(z,x)-> F (z, y))], przy czym F niech będzie zmienną funkcyjną nie występującą w A. Wyrażenie B ma następujące dwie własności : a) nie posiada realizacji w żadnym zbiorze skończonym⁶⁹, b) posiada realizację w każdym zbiorze nieskończonym. Relacja x<Cy spełnia wyrażenie B w zbiorze wszystkich liczb naturalnych, gdyż zachodzi (■*) (z) [x < x & x <C x -f-1 &(z<Cx~* z < x -j- 1)]. Wyrażenie bez identyczności B, posiadając realizację w zbiorze przeliczalnym, według twierdzenia 6 posiada realizację w każdym zbiorze nieskończonym, a więc w szczególności w zbiorze 8. Gdy układ F/, F ¹

a więc, według twierdzenia 13, także w zbiorze liczb naturalnych, c. b. d. o.

Rzeczą ciekawą jest, że zachodzi następujące o wiele ogólniejsze

Twierdzenie 15. Każde wyrażenie z identycznością, posiadające realizację w jakimś zbiorze nieskończonym mocy n, posiada realizację w każdym zbiorze mocy m, spełniającej nierówność Ko < m ^ li.

Dowód tego twierdzenia rezerwujemy sobie jednak dla osobnej pracy ².

A teraz udowodnimy następujące

Twierdzenie 16. Każde wyrażenie zawierające tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne i to w ilości m, posiadające w ogóle realizację, posiada już realizację w zbiorze skończonym o dokładnie 2m elementach³.

Twierdzenie to wystarczy udowodnić znów tylko dla wyrażeń w postaci normalnej. Do każdego bowiem wyrażenia A o jednoczłonowych zmiennych funkcyjnych można podać

==_

wyrażenie B w postaci normalnej o tych samych zmiennych funkcyjnych takie, że A B jest tautologiczne. Jeśli twierdzenie 16 jest prawdziwe dla wyrażenia B w postaci normalnej, wówczas prawdziwość ta przenosi się natychmiast na wyrażenie A. Niech teraz (?*i) (Px₂)... (Px„) SI (*i, x₂,.. •, ;*•„) będzie dowolnym wyrażeniem w postaci normalnej o jedno-członowych zmiennych funkcyjnych Fly F₂,..., Fm posiadającym realizację. Wyrażenie to posiada, na podstawie twierdzenia 9, wówczas także realizację w zbiorze 3 wszystkich liczb naturalnych. Jeśli F/, F₂,..., Fm' jest układem spełniającym, wówczas mamy

(30)

(Pxi) (Px₂) ... (Pxn) % (xh x₂,..., xn).

Relacja (F/ (.*•) ~ F- (y)) pomiędzy liczbami x i y jest, .

/=i

jak łatwo widzieć, zwrotna, symetryczna i przechodnia, gdyż taką jest relacja równoważności logicznej Zbiór wszystkich liczb naturalnych rozpada się więc na klasy bez elementów wspólnych takie, że dwie liczby x, y wzięte z jednej i tej sa-

m

mej klasy spełniają relację    (*) ~ F/(y)), zaś wzięte z róż

/=!

nych klas jej nie spełniają.

Dla każdej liczby naturalnej x oznaczamy przez <p (x) najmniejszą liczbę tej klasy, do której liczba a- wpada. Liczby x i <p (*) należą więc do jednej klasy; zachodzi więc przeto

3 ,aal

z czego uzyskujemy z łatwością (*l) (*2> . • . (xn) [W (xlt *₂, . . . , Xn) 00 W (cp (Xj)f cp (X2), . . . , <p (*„))],

3 3

tego przez n krotne stosowanie reguły (x)[F(x) ^ G (x)]->

■*[WfW~WCW|:

(31) (?xi) (?x₂)... (?x„) ST (xu x₂.....x„) ~ (?xt) (?x₂). ■ ■

Jeśli zbiór tych liczb naturalnych, które przebiega <p (*), gdy x przebiega wszystkie liczby naturalne oznaczymy przez 2, wówczas mamy na zasadzie równoważności (1) i (3) dla każdej funkcji logicznej F równoważności

(32*1) (x)F(<?(x))~(x)F(x),    (32-2) (?x) F(<p (*)) ~ (?x) F(x).

Przez n krotne stosowanie reguły (32*2) otrzymujemy

(?*i) (Px₂)... (?x„) W (cp (xi), <p (*₂), • • •, ? W) ^

~ (?*l) (?X₂) • • • (?*n) W (jfl, *2, . . . , Xn), 2 2

3 3

co w połączeniu z (31) daje (?*l) (?X₂) . • . {?Xn) W' (*lf *₂, • .

^ (?Xl) (?x₂) • . . (?Xn) 51' (jfl, X₂, . . • , xn), 2 2

z czego, na podstawie (30), wynika

(33)

. . . (?Xn) W (xit    Xn).

Pokażemy teraz, że zbiór 2 jest skończony i nie zawiera więcej jak 2"' elementów. Liczby cp (x) i <p (y) należą, w wyżej rozpatrywanym rozbiciu wszystkich liczb naturalnych, wtedy i tylko wtedy do jednej klasy, gdy są równe, ponieważ oznaczają najmniejsze liczby tych klas do których należą, a każda klasa posiada oczywiście tylko jedną liczbę najmniejszą. Mamy przeto

W (y) \ Ź(F: (? W) ~ Fi (f (y))) ~ (<p w = ? (ÿ))l,

â 3 i=1

z czego przez dwukrotne stosowanie równoważności (32'1) uzyskujemy

(34) które wyraża, że relacja j£(F.\x) (^F.'(y)) jest w zbiorze 2 iden-

i—i

tycznością. Załóżmy teraz na chwilę, że zbiór 2 zawiera więcej niż 2"¹ elementów. Istniało by więc w 2 co najmniej 2m—{—1

różnych elementów alt a₂,..., a₂m+i- Rozważmy dla i— 1, 2,..., .., 2m-f-l ciąg m wartości log-icznych F/(a), F₂(a),Fm'(at). Ponieważ różnych ciągów m wartości logicznych jest 2m, więc wśród powyższych 2m-j-l ciągów muszą być co najmniej dwa

m

równe, np. a-ty i ß-ty. Zachodzi, wtedyJ^(/\.'(aa)^F/(ap)), co

1=1

w połączeniu z (34) daje aa — a$, a więc sprzeczność, gdyż ai, a₂,..., a2m+i przedstawiają same różne elementy. Zbiór £ jest więc istotnie skończony i nie zawiera więcej jak 2m elementów. Ponieważ dane wyrażenie (?xt)(?x₂)... (?x„)§l(*lt x₂,..., *„) posiada, na mocy (33), realizację w zbiorze £, więc posiada realizację w zbiorze o co najwyżej 2melementach, z czego, na podstawie twierdzenia 6, wynika, że posiada też realizację w zbiorze o dokładnie 2m elementach c. b. d. o.

Na zakończenie tego paragrafu chcemy, choć na jednym przykładzie, pokazać czytelnikowi, jakie znaczenie ma zagadnienie rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego dla matematyki. Podamy mianowicie wyrażenie węższego rachunku funkcyjnego, które wtedy i tylko wtedy ma realizację, gdy tzw. wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Z tego wynika oczywiście, że gdyby rozwiązano zagadnienie rozstrzygalności dla węższego rachunku funkcyjnego, wówczas i wielkie twierdzenie Fermata dałoby się rozstrzygnąć a2.

Wspomnianą własność posiada następujące wyrażenie A: (Ex) (y) (z) («) (p) (zo) (r) (5) (0 (?) [F (y,z) v G(x, y, z) & G(y,z,u) v v F (y, v) v F («, w) v G (v, z,w)& H (x, y, y) & H (y, z, u) v F (y, v) v v G (u, zy zv)vH(v, z, zu)SK(x, y, y) & K(y, z, u) v F (y, v) v H(u, z, zv)v v K (vy z, zu) & F (u, v) v F {y y w) v K (zu, y y r) v K(zu, z,s)v K (zu, t, p)w

⁶² Twierdzenie Fermata nie odgrywa oczywiście tu żadnej wyjątkowej roli: Z rozwiązalności zagadnienia rozstrzygalności dla węższego rachunku funkcyjnego wynikałaby natychmiast rozstrzygalność obszernej nieskończonej klasy problemów arytmetycznych, m. i. zagadnienia Goldbacha i innych problemów klasycznych. Myliłby się jednak ten czytelnik, który by sądził, że każde klasyczne zagadnienie teorii liczb daje się sprowadzić do zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyjnego. Autorowi nie jest np. dotychczas wiadomym czy tzw. problem liczb pierwszych bliźniaczych daje się sprowadzić do zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyj.

v G (r, ä, p)\ & (x) (Ey) F (x, y), które zawiera zmienne funkcyjne F (*» y)> G (x, y, z), H (x, y, z), K (x, y, z).

Załóżmy na chwilę, że wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe, a udowodnimy, że wyżej podane wyrażenie posiada realizację w zbiorze wszystkich liczb naturalnych, przy czym układem spełniającym są funkcje logiczne F(x,y), G(x,y, z), H(x,y, z), K(x,y, z) zdefiniowane odpowiednio przez y=x-\-1, z — x -\-y, z — x.y, z = yx. Ponieważ zachodzi w zbiorze liczb naturalnych (*) (x -|- 1 = * -j- 1). więc również (x) (Ey) (x -j-1 — y), czyli (x) (Ey) F(x, y). Wystarczy, jak łatwo widzieć, jeszcze tylko pokazać, że dla każdego obioru liczb naturalnych y, z, u, v, zu, r, s, t, p zachodzi⁶³ :

(351) (ÿ+l + z)v(l-fÿ = z),

(35‘2) (y -f- z =|= u) v (y -j~ 1 ^u)v(u-}-l ={= zu) v (v -J- z = zu), (35*3) 1 .y = y,

(35'4)    (y. z =}= u) v (y -f-1 =f= v) v (u -J- z 4¹ w) v (v. z = zu),

(35*5) y¹=y,

(35*6) (zy =}= «) v (y -\~ 1 v) v (u. z ^ zu) v (zv — zu)t (357) (u -{- 1 4= v) v (v -f-1 4= w) v (yw =(= r) v (zw 4= s) v (F =4 p) v v(r-\-s 4= p).

z których wynika łatwo równość zu, czyli prawdziwość czwartego składnika dyzjunkcji

Prawdziwość (35 1), (35⁻3) i (35’5) jest natychmiastowa. Gdy jeden z trzech pierwszych składników dyzjunkcji (35‘2) jest prawdziwy, wówczas cała dyzjunkcja jest prawdziwa; gdy wszystkie trzy pierwsze składniki są fałszywe, wówczas zachodzą równości y-\-z=u, yJr\ = v,u-\-\=zu, z których wynika łatwo równość v-\-z—zu, czyli prawdziwość ostatniego składnika dyzjunkcji (35'2). Gdy jeden z trzech pierwszych składników dyzjunkcji (35*4) jest prawdziwy, wówczas cała dyzjunkcja jest prawdziwa; gdy wszystkie trzy pierwsze składniki są fałszywe, wówczas zachodzą równości y. z = u, y -j- 1 = v, u + z = zu,

V. z —

(35‘4). Gdy jeden z trzech pierwszych składników dyzjunkcji (35'6) jest prawdziwy, wówczas cała dyzjunkcja jest prawdziwa; gdy trzy pierwsze składniki są fałszywe, wówczas za-

⁶³ Korzystamy tu z zasady /■(!)-> (Ex) f (x), według której istnieje liczba o własności f, gdy 1 jest taką liczbą.

Archiwum C. VII. 8.    ^

chodzą równości zy — u, y -}- 1 = v, u. z = w, z których wynika łatwo równość zv = w, czyli prawdziwość czwartego składnika dyzjunkcji (35*6). Gdy jeden z pierwszych pięciu składników dyzjunkcji (357) jest prawdziwy, wówczas cała dyzjunkcja jest prawdziwa; gdy każdy z pięciu pierwszych składników jest fałszywy, wówczas zachodzą równości u -j-1 = v, v-\-\ = zu, yw = r, zw — s, tw — p, które w połączeniu z — zachodzącą na mocy założonej prawdziwości wielkiego twierdzenia Fermata — nierównością yuJr2 -j- zu+2 ={= tu+2 dają z łatwością nierówność r -j-s =j= P> czyli prawdziwość szóstego składnika dyzjunkcji (357). Z prawdziwości wielkiego twier-. dzenia Fermata wynika więc istotnie istnienie realizacji wyrażenia A. Udowodnimy teraz pewne twierdzenie, z którego pomocą pokażemy, że odwrotnie: z istnienia realizacji wyrażenia A wynika prawdziwość wielkiego twierdzenia Fermata.

Twierdzenie 17. Każde zuy rażenie kształtu (Ex) (*1) (x₂) ... (*„) 21 (a-, Xi, x₂,, *„) & (x) (Ey) F (x, y), zazuierające prócz F (x, y) jeszcze następujące zmienne funkcyjne F^ F₂,..., Fk, jeśli zu ogóle posiada realizację, zuózuczas także zu zbiorze $ wszystkich liczb naturalnych i to taką realizację, że przy pewnym układzie F', F{, F₂,... ,Fk zachodzi (^) (x₂) ... (xn) W (1, xlf

x₂,..., Xn) & (x) F' (x, X^~ 1) ⁴.

Dowód. Niech wyrażenie (Ex) fo) (at₂) ... (*«) 2t (x, xu xn)&(x) (Ey)F(x,y) posiada realizację w jakimś zbiorze

*2...

zaś układem spełniającym niech będzie F", Ff, F₂,..., Fk ", gdzie F/' jest funkcją /-/-członową (dla i — 1, 2,...,k). Istnieje wówczas w zbiorze ® element a taki, że zachodzi

(36)

(*l) (-*2) • • • (*.) St" (o, xb x₂,. ■., x„),

ß 61    01

ot UV    ot

oraz istnieje funkcja matematyczna fr (x) zdefiniowana dla elementów zbioru do zbioru ® taka, że zachodzi

(37)

(*) F" (x, (*)).

Definiujemy teraz funkcję matematyczną cp(^) w zbiorze 3» do zbioru $ rekurencyjnie przez równości :

? O) =

cp (* + !) = [x (cp (x)),

(38-1)

(38-2)

oraz funkcje logiczne F\ Fi, F₂' ,..., Fk w zbiorze 3 przez równoważności:

F' (x, y) = F" (cp (*), cp (y)),

(39-2) FI (xh x₂, Xr) = Fi" (cp (Xi), cp (x₂), . . . , cp (*,.)), dla i* = 1, 2,..., k, oraz y; xlf x2y •.., xn dowolnie wziętych

(39*1)

z 3-

Z (391) i (39*2) wynikają natychmiast równoważności:

(40)

(x) (y) [F'(x, y)~F" (cp (x), cp (y))],

(41) (*) (*!> (*₂) . • • (Xn) [ST (x, Xlt X₂,..., Xn) ^

3 3 3

rvJ ST (? (x), Cp (.Xi), cp (x₂),..., cp (*„))]. •

Z (40) wynika w szczególności (*) [Fr (x, x -j- 1) ^

^ F" (cp (x), cp (x + 1))], z czego na podstawie (38*2) i reguły (x) [FW - G (*)]    [(a:) F(x) ~ (x) G (*)] wynika

(x) F' (x, X + 1 ) ~ (x) F" (cp (x), |X (cp (*))).

(42)

Z (41) wynika w szczególności (*i)(a*₂) ... (*„) [Sf (l,*i,

3 3    3

)rsj 21" (cp (1), cp (*i), cp (*₂),..., ? (*„))], z czego na podstawie (381) i reguły (x) [F(*) ^ G (x)] -> [(*) F (x) ^ (x) G (x)] uzyskujemy

(43) (xi) (x₂)... (*„) 2T (1, Xy, x₂,..., xn) ~

3 3    3

x₂,,x„

~ fo) (x₂) . . . (Xn) SI" (a, cp (Xi), cp (*₂), . . . , ? (*„))•

3 3

Zastosowawszy, na mocy (1), słuszną regułę (*) H(cp (*)) ^

^(x)H(x) otrzymujemy równoważności:

Sf

(44)

(x) F” (<P (x), |i. (<p (x))) ~ (x) F” (x, |i. (x)),

(45) (xJ (x₂)... (*„) 51" (a, <p (*i), <p (*₂), • • •, ? Uj) ~

~ Ul) (*₂)... (*„) SI" (a, Xlt X₂,..., Xn).

3 S

(42) i (44) dają

(46)

WF'(w+i)-wr (jt.it W),

zaś (43) i (45) dają (47) (*i) (x₂)... (*„) 51' (1, xu x₂,..., Xn) ~

~ Ui) (x₂). • • (*») SI" (a, xlt x₂,..., xn).

0    0    0

ut/fl ut.fi    ut

8 3

Ponieważ fiŸ jest podzbiorem zbioru fi, z (37) wynika U).F" (jt, [*.(*)), co w połączeniu z (46) daje fi

(48)

(49)

U) F’ (*, x 1).

Analogicznie z (36) wynika (xj) (*₂)... (x„) 51" (o, xh x₂,...

& & &

^(j)    ^(p

...,xn), co w połączeniu z (47) daje

Ui) (*2) • • • (xn) 5T (1, xlt x₂,..., *„).

3 3

(48) i (49) dają wreszcie (atj) (x₂) ... (x„) 5T (1, xlt x₂,..., x„) &

3 3    3

& (x) F' (x, x + 1), c. b. d. o.

Wracamy do zagadnienia Fermata. Wyrażenie A jest kształtu rozpatrywanego w twierdzeniu 17, jeśli więc posiada realizację, wówczas na mocy tego twierdzenia istnieją określone w zbiorze wszystkich liczb naturalnych funkcje logiczne F' U,y), G' {x, y, z), hł (x, y, z), K' (*,y, z) takie, że dla każdego obioru liczb naturalnych y, z, u, v, zu, r, s, ł, p, x zachodzi:

(50-1) T(y, z)vG’{\,y, z),

(50‘2) C {y, z, u) v F' (y, v) v F' (u, zu) v G' (v, z, zu),

(50-3) tf(l,y,y),

(50*4) H’ (y, z, u) v T (y, v) v C (u, z, zu) v H' (v, z, zu),

(50*5) /G (1, y, y),

(50‘6) K' (y, z, u) v F' (y, v) v H’ («, z, zu) v K' (v, z, zu),

(507)    F' (u, v) v F' (v, zu) v K' (zu, y, r) v K' (zu, z, s) v K’ (zu,

ty p) v G' (r,    /?),

(50-8) F' (x, x -(- 1).

Dla każdej pary x, y liczb naturalnych zachodzi:

(51)

G' (x, y,x-f y).

Dowód prowadzimy indukcją ze względu na x. Kładąc w (50*1) z ⁼⁼⁼ y -j- 1 otrzymujemy F’ (y,y\ G’ (\,y,y Ą- \), co w połączeniu z F’ (y, y -j- 1), które zachodzi na mocy

(508) , daje z łatwością G' (1, y, y + 1). Dla x=l jest więc (51) słuszne. Załóżmy, że dla jakiegoś x zachodzi

(52)

G' (x, y,x y).

Kładąc w (50'2) za y, z, u, v, zu odpowiednio x,y,x-\-y, x -f- 1, x -f- y -j-- 1 otrzymujemy

G' (x,y,x + y) v F’ (x, x + 1) v F’ (x + y, x + y + 1) v

v G'(x -fi, y,x + y-\-l),

(53)

co w połączeniu z (52), (50‘8) i F' (xy, x-\- y-\-\), powstającym z (508) przez podstawienie xĄ-y za at, daje G'(Ar+l, y, a: -}— -|-1), a tym samym zostało (51) indukcją udowodnione. Dla każdej pary x, y liczb naturalnych zachodzi H’ (x, y, x. y).

Dowód prowadzimy indukcją ze względu na x. Dla x—l (53) zachodzi na mocy (50‘3). Załóżmy, że dla jakiegoś x zachodzi

(54)

H' (x> 7» x. y).

Kładąc w (50‘4) za y, z, u, v, zu odpowiednio x, y , x. y, x -j- 1 , x. y -j-y otrzymujemy H' (x, y, x.y) v F’ (j:, Jr-j-1) v G (x.y, y, x.y -\-y) v H' (x -f- 1, y, x.y-\-y), co w połączeniu z (54), (50*8) i C (x.y, y,x.y-\-y), powstającym z (51) przez zastąpienie x przez x.y, daje H’ (x +1,y, x.y + y), czyli H’ (x + \,y, (jf+1) .y), a tym samym (53) zostało indukcją udowodnione.

Dla każdej pary liczb naturalnych x, y zachodzi

(55)

K’ (x, y, #*)•

Dowód prowadzimy indukcją ze względu na x. Dla x = 1 (55) zachodzi na mocy (50'5). Załóżmy, że dla jakiegoś x zachodzi

Kładąc w (50*6) jsa y, z, u, v, w odpowiednio x, y,yx, x + 1, yx.y otrzymujemy K' (x,y,yx) v F' (x, x -f- 1) v JT iyx,y,yx-y) v vK'(x-\- \,y,yx.y), co w połączeniu z (56), (50 8) i H'(yx,y, yx.y), powstającym z (53) przez zastąpienie x przez yx, daje K'{x -f \,y,yx.y)y czyli K'{x-\-\,y,yx+'), a tym samym (55) zostało indukcją udowodnione.

Dla każdej trójki liczb naturalnych x, y, z i dla każdej liczby n > 2 zachodzi

(57)

G'(xn,yn, zn).

Kładąc w (50'7) za u, v, w,y, r, z, s, ł,p odpowiednio n—2, n—1, n, x, xn, y, yn, z, zn otrzymujemy

F’ (n— 2, n—1) v F\n—1, n) v À'Xn, a:, xn) V K'(n,y,yn) v K'(n,z, zn) v

\G\xn,yn,zn),

co w połączeniu z F\n—2,n— 1), F'(n—l,/i) i /T(n, a:, *"), K’(n,y,yn), K'(n,z, zn), powstającymi przez podstawienie łatwo z (50 8) i (55), daje G\xn,yn, z”), a więc (57).

Teraz możemy wnioskować na prawdziwość twierdzenia Fermata. Gdyby bowiem dla pewnych liczb x,y,z,n, gdzie n > 2 zachodziła równość xn -f-yn — zn, wówczas — ponieważ na mocy (51) zachodzi G'(xn, yn, xn-\-yn) — mielibyśmy G\xn, yn, zn), co przeczy wzorowi (57).

Udowodniliśmy więc

Twierdzenie 18. Wielkie zagadnienie Fermata daje się sprowadzić do zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyjnego.

§ 4. O odwzorowaniach zbiorów nieskończonych i przedsta-wialnościach w tych zbiorach dowolnych funkcyj logicznych.

Twierdzenie 19. Dla każdej liczby naturalnej n> 2 jest

Tl-1

(•*) (y) {Ez) <f> (z, y, x) -* (-rp)r¹ M (Evp)" ¹ | £ d> (v., v.+v *.)J

wyrażeniem tautologicznym.

Dowód prowadzimy indukcją ze względu na n. Dla n = 2 twierdzenie zachodzi, gdyż (*) (y) (Ez) 4> (z,y, *) -> (*i) (v₂) (Evj) <1> (pi, v2} ati) jest w sposób oczywisty tautologiczne (następnik tej implikacji różni się od poprzednika tylko w oznaczeniu zmiennych).

Załóżmy teraz, że dla pewnej liczby n

(*) (y) (Ez) <P (z, y, x) -> (^p)'* ¹ (vn) {Evę)l ¹

[27    */)]

jest tautologiczne. Ponieważ (x) (y) (Ez) <1* {z, y, x) -*• (x„) {vn+i) (Evn) <P (vn, vn+i, x„) jest w sposób oczywisty tautologiczne, więc także

(58) (x) (y) ( Ez) 4> {z, y, *)

(xp)i ¹W (£wP)ï ¹ [ 27 ^ (vP vi+v *.) J

& W (vn+l) (Evn) $ (vn, Vn+V xn).

Następnik tej implikacji daje się z łatwością przekształcić w wyrażenie

71—1

(^p)i K+i) (vn)(Evp)i

| 27® (V', Vi+V X.) |

& (Evn) <ï> (vn, vn+1, xn) , które pociąga za sobą, na mocy re

guły (x) F (x) & (Ex) G (a:) -> (Ex) [F (x) & G (x)], wyrażenie

(xP)i (vn+i) (EvJ j (^p)i ¹ [27$ (vv vi+v *.)J & 3> (vn, vn

+1’

Xn) »

dające się łatwo sprowadzić do wyrażenia

(xP)i (vn+l) {Evp)j [27 (vif v.+v *.)J.

Następnik implikacji (58) pociąga więc za sobą ostatnie wyrażenie, co w połączeniu z (58) daje wyrażenie

(*) (y) {Ez) $ (z, y, x)    (xp)" (ü^j) {Evp); [27 <I> (v.y vi+v *,-)],

czyli prawdziwość twierdzenia 19 dla n-}-l. Twierdzenie 19 zostało więc tym samym w zupełności udowodnione.

Twierdzenie 20. Dla każdej liczby naturalnej n^>_2 jest

{Evp)" [27 $ (vP vi+v AT.)J

71-1

W (Ey) {Ez) <1» {x, z,y) (t>i) (Ex\

wyrażeniem tautologicznym.

Dowód prowadzimy indukcją ze względu na n. Dla n = 2 twierdzenie zachodzi, gdyż (x) {Ey) {Ez) 4> (at, z, y) -> (uj) {Exj) (Ev₂) <1» (vi, v₂, Afj) jest w sposób oczywisty tautologiczne.

Załóżmy teraz, że dla pewnej liczby n

W (Eg) (Ez) <I> (x, z, y)-> Oj) (ExJ] ¹ (Ev?)]    & (vn vi+v *.)J

jest tautologiczne. Ponieważ (x) (Ey) (Ez) <î> (x, z,y)-> (vn) (Exn) (Evn+l) (vn,vn+v xn) jest w sposób oczywisty tautologiczne, więc także wyrażenie (59) O) (Ey) (Ez) <ï> (x, z, y) ->

-> Oj) (ExX

(Evp)2 [Z ® (vr v.+v *.)]

& OJ (Exn) (Evn+1) $ (vn, vn+v xn).

Następnik tej implikacji daje się z łatwością przekształcić

w wyrażenie Oj) (ExJ" ¹ (EvpY₂ ¹1 (Evn) [Z ® 0{-> v & OJ (Exn) (Evn

guły (Ex) F(x) & (x) G O) -> (Ex) [Z⁷ O) & G O)], wyrażenie Oi)

(ExJP¹ (Evjr¹ (EvJ { [2* Of, Vl* *i)] & (Exr) (Evn+1) * (*V

jrjJ, dające się łatwo sprowadzić do wyrażenia

Oi) (Exp)” (£up);⁺¹ [jT $ O/» °/+i» *)]■

Vn+Y

H-i>

x.)

+i

, które pociąga, na mocy re-

Następnik implikacji (59) pociąga więc za sobą ostatnie wyrażenie, co w połączeniu z (59) daje przez sylogizm wyrażenie

0) (Ey) (Ez) $ (x, z, y)

- M (Ex$ (Evp)₂"+' [J¹ 4» (»„ v

<•+1’

czyli prawdziwość twierdzenia 20 dla n-f-1. Dowód indukcyjny został więc wykończony.

Twierdzenie 21. Dla każdej liczby naturalnej n 2 prawdziwość wyrażenia (60) O) (y) (z) (y) {z) [$ O, y, z) & 4> (x, y, z) y = y & z = z] pociąga za sobą prawdziwość wyrażenia

¹

Dowód własności a), zresztą prosty, znajdzie Czytelnik w pracy: K. Schütte, Untersuchungen zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik, Math. Ann. 109 (1934).

²

Twierdzenie 15 daje się zresztą uogólnić na przeliczalny zbiór wyrażeń. Odnośne uogólnienie brzmi : Każdy układ-przelicza 1-nej ilości wyrażeń z identycznością, posiadający równoczesną realizację w jakimś zbiorze nieskończonym mocy n, posiada równoczesną realizację w każdym zbiorze mocy m, spełniającej nierówność

Ko < ni < n.

³

Twierdzenie to rozwiązuje w zupełności zagadnienie rozstrzy-galności dla wyrażeń o jednoczłonowych zmiennych funkcyjnych, gdyż dla każdego wyrażenia można zawsze rozstrzygnąć, czy posiada realizację w zbiorze skończonym o danej liczbie elementów. Gdy zbiór posiada dokładnie k elementów av ..., ak, wówczas kwantyfikator ogólny (x)F(x) nad tym zbiorem znaczy tyle, co F(a₁)éF(a₂)é... <&F{ak), zaś kwantyfikator szczegółowy (Ex)F{x) tyle, co, F(ai)\F(ai)v... v F(ak)> Uwzględniwszy to w danym wyrażeniu, otrzymujemy z łatwością wyrażenie logiki zdań równoważne z danym wyrażeniem pod względem posiadania realizacji, z czego wynika oczywiście rozstrzygalność dla tego ostatniego. Powyższe twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez L. Löwenheim a w pracy cytowanej pod ³⁷; inny dowód został podany później przez H. Behmanna w pracy: Beiträge zur Algebra der Logik und zum Entscheidungsproblem, Math. Ann. 86 (1922). Odmienny od tych dowód zawiera cytowana pod ¹³ teza doktorska Herbrand a, w szczeg. str. 52—54, gdzie chodziło o dopasowanie dowodu do, tam zajętego, finitystycznego stanowiska.

⁴

Pragnę tu zaznaczyć, że zachodzi twierdzenie o wiele ogólniejsze od twierdzenia 17; dla naszych celów wystarcza jednak powyższy wypadek szczególny.

(61) fai) fai) fap)" ^Xp)” ' (vn) (vn)^(v₁ = v₁)&

X') &

i+V

& (Evpy~l 2J & (vn v 1=1

& {Ev?Y~l 2J ⁽I> (v., Vi+V X.)J -> Çg (x. = X.) & (vn = <)jj.

Wyrażenie (60) jest, jak łatwo przy uwzględnieniu reguły x = x & f{x) -> /(x) widzieć, równoważne wyrażeniu

(62)    (x) fa) fa) {z) fa) (z) [x = x & $ (x, y, z) &

* * * * * & 4> (x, y, z) -> z = z & y = y]}

zaś wyrażenie (61) jest równoważne, na mocy równoważności f(£x)/(x) -> p] ™ (x) [/(x) -> p\, (gdzie p nie zawiera zmiennej x), wyrażeniu

X.) &

$

;+i’

Vl = Vi & £ ^ fa,-, v 1=1

■ ■ * * * *

& 2* ® fa;, V.,v Xt.) 2 xi — xi Vn 1=1 1=1

Zamiast więc pokazać, że (60) pociąga (61) dla każdej liczby n> 2, wystarczy pokazać, że (62) pociąga (63) dla każdego n 2. To ostatnie pokażemy indukcją ze względu na n, przy czym dla uproszczenia rachunku posługiwać się będziemy zmiennymi rzeczywistymi.

Z (62) wynika z łatwością przez zmianę zmiennych i przez przejście ze zmiennych pozornych do rzeczywistych

* * * * * * fal = v± & <ł> fal, v₂, *i) & $ fal, V₂, *i) -> Xi = X\& v₂ — v₂],

a więc też (63) dla n = 2. Załóżmy teraz, że z (62) wynika (63) dla pewnego n; pod założeniem prawdziwości wyrażenia

(62) mamy więc prawdziwość wyrażenia j v± =    & 2 4> fa.,

1    ,=i

*    *    * I

x.) -> 2 xt — x. & vn — vn(, z czego na

Vi+V

x.) & 2 ® fa,,

i=i

;=i

podstawie reguły (A -> B) -> (A & CB & C) wynika z łatwością

Z (62) wynika z łatwością (x»n = vn & 4> (z^, z»ra+1, Xn) &

& '!> (»„. +h>    -*■ *.=*.* Vi=vJ-a z te?° ji1 xt=A <®

,ti=i

Æ Æ Vi> x") Æ ‘r> (®.- Vi' + ■* 2" * = 4 <®

1=1

*    I

=+ z^₊₁j, co w połączeniu z (64) daje

« * * * ” *

X) & U Q (v., vi+v x.) -+ U X.= X. & 1=1 1=1

*    V-»

1+1»

Z»! = Vi & 2J $ (Pp V

1=1

<ê ^„₊1 = ^₊₁[, czyli (63) dla n + 1.

Nasz dowód indukcyjny został tym samym wykończony.

Twierdzenie 22. Dla każdej liczby naturalnej n^> 2 prawdziwość wyrażenia

(65)

(a) (z) (*) W I*¹’ (*>    (*> !h z)-» x = x]

pociąga za sobą prawdziwość wyrażenia

= v&

(64)

j v₁ =    & 2J 4> (v., v

'    1=1

n—^    *    *    sje

x. = x. & vn = vn & 4> (vn, vn+v xJ & <1> (vn, v

i+i >

X.) & 2 <$> (v., vi+v x.) -> 1=1

#1+1 >

1=1

(66) (xp)" ¹ (vj (xp)" ¹ (vj (z»j) (Vi) J | 2J (x; = x) & vn

&<ßv$r in«,*

i=i

i+i’

.v;) <ê

é(Evpy-'

2’ '!> («,, ®i+i, *,)]    (®i = ®i)}.

Wyrażenie (65) jest, jak łatwo przy uwzględnieniu reguły x = x & j (x) -> / (*) widzieć, równoważne wyrażeniu

(67)    (z) (y) (z) (y) (x)(x)[z = z & y = y &

& 4> (x, y, z) & 4> (*, y,z)-> x= x],

zaś wyrażenie (66), na mocy równoważności [(Ex) f(x) -> p] ™ rv (*) [/(x) -> p] (gdzie p nie zawiera zmiennej x) wyrażeniu

Zamiast więc pokazać, że (65) pociąga (66) dla każdej liczby naturalnej n>2, wystarczy pokazać, że (67) pociąga (68) dla /i >2. To ostatnie udowodnimy indukcją ze względu na Ti, przy czym dla uproszczenia rachunku znów posługiwać się będziemy zmiennymi rzeczywistymi.

Z (67) wynika przez zmianę zmiennych z łatwością wy

rażenie

(68) (Xf)r'(*p>rł w&):{[£(*=h & vn

£ ^ (Pp    Xi) ^ ^ ^ (Vp    ^i)J

(ê

(Vi = üj) .

(*i) (^2) (*1) (v₂) (vi) (^1) [*1 = x₁& v₂ = v₂S

%    Ąt    %    sfc

& $ (^1, ®2, *l) ^ $ (®1, ^2. *l) -* ^1 = ^l],

a więc też (68) dla n—2. Załóżmy teraz, że (67) pociąga (68) dla pewnego n. Pod założeniem prawdziwości (67) zachodzi więc

(69) [i? (*. = *.) <ê

Li=i

& £ <ï> (v., V

i= 1

n—1    # #

fß ^ $ (v., V 1=1

*

Z (67) wynika łatwo [xn = xn & ^n+1 = T'n+1    <t> (i^,

xn)&<P(vn, vn+vxn)]

i+V

xi) &

H-i-bl (vi=®i)-

n+l>

->vn— vn, z czego na mocy reguły (A->B)-> -*(A&C->B&C) uzyskuje się bez trudności wyrażenie

[ Ê (x. = x,) & v

Li=i

„+i = %+i<⁶2’<i>(®i>®

1=1

& Ê ® (v<> V.+1> •*)] 2J (xi = x) &Vn = Vn&

i-fl>

x) &

é 2J (pp v

i=1

1+1»

x) & £ fh (v;, V 1=1

H-1’

x)>

które w połączeniu z (69) daje przez sylogizm wyrażenie

r Ê(xi=x) Svn

li=i

+1

= *>„+1 tê ^ ^ (t»/f v

i=i

:+l*

X.) cê

”    *    *    * ~i    *

& Z ® (p » v * ) -> (^1 = vi),

czyli (68) dla n-J-1.

1=1 ->

Twierdzenie 22 zostało więc w zupełności udowodnione.

Twierdzenie 23. Jeśli funkcja logiczna 4> (x, y, z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny elementy x zbioru 3 na pary [y, z] elementów z 3, zuówczas funkcja logiczna

(Evp)₂ ¹ £ 2 ^ (vi> vi+v X,)J odwzorowuje (dl

a n^> 2) w sposób

jedno jednoznaczny elementy    zbioru 3 na n członowe układy

[*1, x₂, ..., i, vn] elementów z 3.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja

|- Tl—1

(Ev?rr [27 & (vif v

*+i

, x.)J należała do jednojednoznacznego

odwzorowania zbioru 3 na n członowe układy elementów z 3 jest by zachodziło, co następuje:

a) Do każdego elementu zbioru 3 ma istnieć obraz [*!, x₂₎.. •, xn—i, v„\ :

Tl 1

(Ev₉Y₂ [Ą <*> (vrvi+vx)\-

b) Do każdego n członowego układu [*i, x₂,. •., x„-1, vn] elementów z 3 ma istnieć w odwzorowaniu odwrotnym obrazy:

i*?)" ¹ (vn) (Ev₉)\ ¹ p7 ®

c) Odwzorowanie ma być jednoznaczne:

(®i) A) (xfT' djsr¹ fe) (%)[[(®. = k) &

& (Ev?y-¹ 2J <J> (v., Vi+V x) &

i=i

& (fip)r¹27 $ (vr Vi+V x.) l -> (*2J (x. = x) & (vn =

1=1 J 1=1 /f

d) Odwzorowanie odwrotne ma być jednoznaczne:

(vr¹ M (xp    (k) CV,) (iI|{[2>, = b &

&vn =

^    Tl—1

vn & (Evp)n₂ l 27 ® (pv v.+v x) &

1=1

&(EÎ?)n-¹

27 ⁽1> (v., V.+v *,)] + (^! = ii)}.

Gdy funkcja <E> (x, y, z) odwzorowuje w sposób jedno-jednoznaczny elementy x zbioru 3 na pary [y, z\ elementów z 3, wówczas spełnione są następujące warunki:

a*) Do każdego elementu zbioru 3 istnieje obraz :

O)(Ey) (.Ez) 4> (x, z, y).

b*) Do każdej pary [y, z] elementów z 3 istnieje w odwzorowaniu odwrotnym obraz:

(x) (y) (Ez) <l> (z,y,x).

c*) Odwzorowanie jest jednoznaczne:

(*) (y) (2) (y) (2) [$ (x, y, z) & 4> (x, y, z) y = y & z = z].

d*) Odwzorowanie odwrotne jest jednoznaczne:

(y) (2) (*) (x) [4> (x, y, z) & <ï> (x, y, z) -> x = x].

Na mocy twierdzeń 19, 20, 21, 22 wynika jednak, że a*) pociąga za sobą a), b*) pociąga za sobą b), c*) pociąga za sobą c), d*) pociąga za sobą d), co dowodzi prawdziwości twierdzenia 23.

Twierdzenie 24. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby dana funkcja logiczna 4> (x, y, z) dała się w zbiorze 3 przedstawić w postaci {x, y) & R₂ (x, z) jest zachodzenie (x) (y) {z) (u) (v) [4> (x,y, u) & 4> (x, v, z) ->    (x, y, z)]

w zbiorze 3.

Warunek ten jest konieczny, gdyż zachodzi stale

(x) (y) (z) (u) (v) [/?! (x, y) & R₂ (x, u) & R\ (x, v) &

& R₂ (x, z) -> R± (x, y) & R₂ (x, z)].

Warunek ten jest jednak też dostateczny, gdyż przez dwukrotne zastosowanie reguły (x) ff{x) p]~> \ißx)f (x) -> p\ uzyskujemy z niego wyrażenie (x) (y) (z) [(Eu) 4> (x,y, u) & (Ev) <ł> (x, v, z) ->> <t> (x,y, z)], które w połączeniu z wyrażeniem tau-tologicznym (x) (y) (z) [4» (x, y, z) -> (Eu) (x,y, u) & (Ev) (x, v,z)] daje równoważność (x) (y) (z) [4> (x,y,z) ^ (Eu) ⁽ï> (x, y, u) & (Ev) <f> (x, v, z)]. Ta ostatnia zaś równoważność dowodzi, że zajdzie 4> (;r,ÿ,z) = R±(x,y) & R₂(x,z) skoro położymy R\ (*> y) = (Ea) 4> (x, y, u) i R₂ (x, z) = (Ev) 4> (x v, z).

na

Z twierdzenia 24 wynika w szczególności ścisły dowód przedstawialność każdej funkcji 4> (x, y, z), która w sposób

jednoznaczny (nie koniecznie jednojednoznaczny!) odwzorowuje elementy x zbioru 3 na pary [y, z] elementów z 3, w postaci (x, y) & R₂ (x, z) ¹. Gdy bowiem [y, u] i [v, z] są równocześnie obrazami elementu x, to wobec założonej jednoznaczności odwzorowania musi być y — v i u = z, z czego wynika, że [y, z] jest również obrazem elementu x, a tym samym warunek z twierdzenia 24 jest spełniony.

Twierdzenie 25. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja logiczna (x, y, z) dała się w zbiorze 3 przedstawić w postaci Rj (*, y) v R₂ (*, z) jest zachodzenie (x) (y) (z) (u) (v) [<ł> (x, y, z) -> 4> (x, y, u) v <P (x, v, z)] w zbiorze 3.

Równoważność $ (x, y, z) = R± (x, y) v R₂ (x, z) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równoważność (xyy, z) = R\ (x}y) & R₂ (x, z). Warunkiem jednak koniecznym i dostatecznym na to, aby ta ostatnia równoważność zachodziła przy pewnych RA i R₂ jest, na podstawie twierdzenia 24, zachodzenie, w rozważanym ^biorze, wyrażenia (x) (y) {z) (u) (v) [4> (a:, y, u) & 4> (x, v, z) -> <t> (a*, y, zj], które jest jednak równoważne wyrażeniu (*) (y) (z) («) (»)    (x, y,z)-><3> (x, y, u) v <£> (x, v, z)].

Ponieważ wyrażenie Rj (x, y) v R₂ (a:, z) jest równoważne wyrażeniom (Rt (x, y) R₂ (x, z)), (R₂ (x, z) -> Rt (x, y)), więc twierdzenie 25 dostarcza również kryterium na przedstawial-ność danej funkcji (a:, y, z) w postaci (Rt (a:, y) -> R₂ (x, z)) względnie też w postaci (/?! (a:, z) -> R₂ (x, y)).

Twierdzenie 26. Jeśli funkcja logiczna Ri (x, y) & & R₂ (x, z) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny elementy x zbioru 3 na pary [y, z] elementów z 3, wówczas funkcja lo

giczna {ßv^ ¹    (R^ (v;, w.₊₁) & R₂ (v.t at;.))J odwzorowuje (dla n 1) w sposób jednojednoznaczny elementy v₁ zbioru 3 na n członowe układy [xlt x₂,..., xn_v vj\ elementów z 3.

Twierdzenie 26 uzyskujemy bezpośrednio z twierdzenia 23, kładąc tam Rt (x, */) d? R₂ (a:, z) za (x, y, z).

Twierdzenie 27. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby się n -j-1 członowa funkcja logiczna R(x,xlt x₂,..., xn) dała w zbiorze 3 przedstawić w postaci Rx (x, Afj) & & R₂ (at, xj) & Rn (a:, at„) jest zachodzenie wyrażenia

12    n    111    2    2    2

W (*P)" (^p)i • • • (*p)ï [# (X, Xi, x₂,..., xn) & R (.X, xlf x₂,..., xn) & ...

n    12    n

... &R(x, i, x₂,..., n) -* R (x, xlf x₂,..., *„)].

Warunek jest konieczny gdyż, jak się łatwo można przekonać, wyrażenie

0) (*P)Ï (*p)i • • • (*P)i TZ Rt (x, x) & Z Rt (x, x,) & .

■"1=1 /=1

& Z R{ (x> x) -> Z R{ (*> *)1

i=i    i=i    *

jest tautologiczne.

n

Jeśli przez {Exp) 4= ' oznaczać będziemy (dla i = 1,2,..., n)

v i

układ n — 1 kwantyfikatorów szczegółowych, który otrzymujemy z układu (Exp)1 przez wykreślenie kwantyfikatora (Exi), wówczas stosując n¹—n razy regułę (a:) [/ do wyrażenia

n    1    2    n

, xn) -> R (x, xh x₂,...y *„)],

& (EXp)^=2R(x, *1, X₂, . . . , Xn) & • • . & (Exp)^nR (X, Xh X₂, . . . , *„)] r 1 r 1

jest, jak łatwo widzieć, wyrażeniem tautologicznym. Definiując funkcje logiczne R₁(x,y),R₂(x,y)}..., R„(x,y) przez równo-

i    i n    i i    i

ważności Ri (x, xi) = {Exf)^i R (x, Acą, x₂, . •., xn) (dla i =1,2,...

^ i

..., n) mamy

12    n    12    n    1    2

(X) (aTj) (x₂) . . . (*„) [/? (aT, Xlt AT₂, . . . , X„) ^ /?i (x, Jfj) & R₂ (x, X₂)(&...

.. .&Rn(x,xn)], czyli równoważność R (x, xi,x₂,... ,x„) = Ri (a⁻, JCj) & R₂ (x, x₂) &... & Rn (x, AT„).

Twierdzenie 24 jest, jak łatwo widzieć, szczeg-ólnym przypadkiem twierdzenia 27 dla n = 2.

Twierdzenie 28. Każda funkcja logiczna R (a⁻, a*i, ., xn), która zu sposób jednoznaczny (a zuięc tym bardziej

x₂,..

gdy zu jedno jednoznaczny) odzuzorozuuje elementy x zbioru S na n członozue układy [xlf x₂,..., xn] elementózu z S, daje się przed-stazuić zu postaci R^ (at, Aą) & R₂ (x, x₂) &.. .& Rn(x, xj).

Ścisły dowód tegfo, intuicyjnie jasneg-o, twierdzenia otrzy-

11 12 2

mujemy z twierdzenia 27. Gdy układy [xlt x₂,... txn],[xlt x₂,...

...} xn],..., 1*1, x₂,..., są równocześnie obrazami elementu x, w odwzorowaniu przy pomocy funkcji R (x, xlt x₂,..., xn), wówczas z powodu założonej jednoznaczności tego odwzorowania, wszystkie te układy muszą być identyczne, czyli

k i

zachodzi xt = x. dla i, k, l = 1, 2,..., n, a więc w szczeg'ôl-

x₂,..., xn] jest więc także obrazem elementu x, czyli warunek z twierdzenia 27 jest spełniony.

Twierdzenie 29. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby się n -f 1 członozua funkcja logiczna R (x, *1, x₂,..., x„) dała zu zbiorze S przedstazuió zu postaci R± (at, a:i) V v R₂ (at, x₂) v ... v Rn (x, xn) jest prazudzizuość następującego zuy-rażenia zu zbiorze £5 :

12    n    12    n    11

• > X,i) V

(X) (Xp)" (Xp)” . . . (ATp)ï [/? (*, Xh X₂,...,Xn) + R (x, X !, *₂, • •

2    2    2    n n    n

v R (a-, a-i, a:₂, ..., xn) v ... v R (a-, xu x₂,..., at„)].

co

Równoważność R (*, x±, x₂,.. ■, x„) = /?i (x, *1) & R₂ (*, x₂) & &... & Rn (x, x„) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równoważność R (*, xi, x₂,..., xn) = Ri (*, v R₂ (*, x₂) v... v Rn (x, xn) zachodzi. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na zachodzenie, przy pewnych funkcjach /?! (x, atj), R₂ (x, x₂) ,..., Rn (x, x„)} pierwszej równoważności jest, na podstawie twierdzenia 27, zachodzenie

12    n _    11    1    _ 2    2    2

W (*p)l (xp)" . . . (xp)ï [R (x, Xh x₂,..., Xn) & R (x, Xlf X₂, . . . , Xn) & . • .

_ n n    _ 12    n

...&R(x,xhx₂,..., „)->/? (x, xh x2f... y *„)],

co jest jednak równoważne zachodzeniu wyrażenia

(*) (*p)i (XP)"

n    12    n    11

• * (*p)l [Æ (X> XU X₂Xn)~> R (X, Xh X2} . .

2 2    2    n n    n

v R (*, *i, x₂,..., xn) v... v R (x, xlf x2>..., *„)], c. b. d. o.

• > Xn) V

Twierdzenie 30. Jeśli dla funkcji logicznej R(>c, xu x„) zdefiniowanej w zbiorze 3 następujące dwa warunki

x2> • • są spełnione’.

a) (*) (*p) i(yp)i [R (X> XU X₂,...,Xn)&

& R(x, yhy2, ••

-,yn)->JJ (xi=yi)]>

i=i

(*P) i (Ex) R (x, xu x2t..., x„),⁶⁶

wówczas, przy stosownej funkcji f (x), każda n członowa funkcja logiczna F (xu x₂,..., xj) daje się przedstawić równocześnie w postaci (Ex) [f(x) & R (x, xh x₂,..., a-„)J (*) [/? (x, xu x₂,..

(a mianowicie przy f (*) = (Eyp)1 [R (x, yu y* — > y») <& F (y u #2, • • • » i/„)] oraz przy f(x) = (ÿp)" [Æ (x, ylt y₂,..., yn) -* F (yu y₂,..., yn)] ) zachodzi podwójna równoważność

F(x i,x₂,...} xn)= (Ex) [f (x) & R (x, xly x₂,..., *„)] =

= (*) [# (*> XU x₂,..., xn) -> f(x)J.

Kładąc /(*) = (Eyp)" [R (x, yu y₂,..., yn) & F (yx,y₂,..., y„)) mamy przede wszystkim stale [/(a:) & R (x, xlf x₂,..., x„)] ^

b)

oraz w postaci rn)-> f (x)], tzn., że przy stosownej funkcji f(x)

6e Warunki a) i b) dają się, jak łatwo widzieć, wtedy i tylko wtedy spełnić w zbiorze 3 przez jakąś funkcję B(x,xl,x^...,xn), gdy moc m tego zbioru spełnia równanie tn" = m, które dla n > 1 jest równoważne równaniu m² = m.

~ {(£ÿp)î [£ (x> Su Ü2> • • • » yn) & F (yly y₂,..., yn)] & R (x, xx,x₂,... . ..,x„)}, na mocy a) zachodzi jednak, jak łatwo widzieć, stale

{(FyP)î [F (*> yuS*> . ..yyn)&F (y1} y₂,..., #«)] &

& R (x, xly x₂,..., x„)} ~ {R (x, xly x₂,..., xn) &F(x u x₂,..., x„)}.

Obie otrzymane równoważności dają nam natychmiast równoważność

Xn) & F (xi, x₂,...

[f(x) & R (x, xly x2y..., x„)] ~ {R (x, xlf x₂,..

z której otrzymujemy łatwo (Ex)[f(x) & R{xyxi,

> *«)] ~ {(Fx) R (x, xu x₂,..., x„) & F(xi, x₂,..

xw)). Ponie-

x2y...

waż jednak na mocy b) (Ex) R (x, xlyx₂,..., x„) zachodzi, z ostatniej równoważności wynika łatwo

(70)    F(xly x2y...y xn) = (Ex) [f{x) & R (x, xly x2y..., x„)].

Z wyrażenia tautologicznego R (x,xlyx2y... yxn) & F(xly x2>..., xn) -► {Eyp)l [Æ (x, ylyy₂,...y yn) & F (yly y2y..., y„)] uzyskujemy R (x, xlf x2y..., x„) & F(xlyx2y..., xn) f(x), a z tego F(xlt xn)-> [R (x,xly x2y..., xn)->f(x)]y które daje natychmiast

(71)    F(xlyx2y..., x„) ->(x) [/? (x, X!, x₂,..., x„) -►/(x)j.

Na mocy a) zachodzi dalej R (x, xly x₂,..., x„) & R (x, yu y2y..., yn) & F (yh y₂, ..., yn) F (x1} x₂,..., x„), a więc także R (x, xh x₂, ..., Xn) & (Ey?)\ [R (x, y u y2i ..., yn) & F (yu y2y.. yn)\-+F(x i,x₂,...,xn), czyli R(x,xlyx2y... ,x„) &f{x) -> F (xi, x₂, ...,x„), z czego na mocy logiki zdań, wynika łatwo R(x, Xi, x₂,..., x„) -> {[R (x, xlt x₂,..., x„) -> / (x)] -> F (xi, x₂,..., x„)}. Z ostatniego wyrażenia uzyskuje się wyrażenie (Ex) R (x, xt, x₂,..., xn) -> (Ex) {[/? (x, Xi, x₂,..., x„) ->f(x)] -> F (xly x₂, ..., x„)}, z którego, ponieważ na mocy b) zachodzi (Ex)R (x,xi,x₂,... ...,x„), wynika (Ex) {[R (x, xly x2y... yxn)-> f (x)] -> F(xlyx₂,...

. ..,x„)}. Z tego wyrażenia uzyskujemy, przez zastosowanie reguły (Ex) f/(x)    p] -> [(x)/ (x) -► p] , (x) [Æ (x, xu x₂,..., xn) ->

Xn) /(x)]. Ta

->/(x)] -> F(xi x₂,... ,x„), co w połączeniu z (71) daje równoważność F(xly x₂,..., x„) = (x) [R (x, xly x₂,.. ostatnia równoważność wraz z równoważnością (70) dowodzi, że dla /(x) = (Eyp)J [Æ (x,ylyy₂,..., yn) & F{yuy2}..., y„)], pod założeniami a) i b), zachodzi istotnie podwójna równoważność F (xly x₂,..., x„) = (Ex) [f(x) & R (x, Xi, x₂,..., x„)] = (x) [/? (x, xl9 x₂, ...,x„)->/(x)]. Kładąc tu /(x) za /(x) oraz F (xly x₂,..., x„) za F(xlyx₂,... ,x„), otrzymujemy dla f(x) = (Eyp)" [R (xyyuy₂,...

..., y,) & F (yly y₂,..., ÿ„)] F (jflf x2y..., xn) — (Ex) [f(x) & R (ac, xly x₂,..., ac„)] = (x) (7? (ac, xly x2y..., xn) -> /(ac)], z czego wynika łatwo, że podwójna równoważność F(xi,x₂,xn) = (Ex) [f{x)&R (ac, xv x₂,..., ac„)] = (a-) [7? (x, xlt ac₂, . . . , x„) -> f{x)] zachodzi także dla f(x) = (y$ [R(x,ffl,y₂,..., yn) -> F(ylfy2f... ,yn)\, a tym samym twierdzenie 30 zostało w zupełności udowodnione.

Jak widzieliśmy, to przy założeniach a) i b) dla każdej funkcji logicznej F (xj, x₂,..., ac„) podwójna równoważność F(x₁,x2f..., xn) = (Ex) [f{x) & R (ac, xlyx₂,...y xn)] = (x) [R (x, xly *n) ->■ / (ac)] posiada co najmniej dwa rozwiązania na

00

CO

x*,..

/(*)» gdyż funkcje (Ey$ [R (x,yuy₂,..., yn) & F{ylyy2y..., yn)\

Î G/p)i [Æ (*» yu y%>    F (yu y2y..., #„)] nie są na ogół

identyczne. Ciekawym jest jednak fakt, że prócz tych dwóch rozwiązań, rozważana podwójna równoważność, a więc tym bardziej każda pojedyncza F(xltac₂, ...,xn) = (Ex) [f{x)&R (ac, Xl’ AC₂, . . . , AC„)] i F (a⁻!, x₂, . . . , Xn) = (ac) [7? (x, xlf x₂,..., xn) -> / (ac)], posiada jeszcze na ogół nieskończenie wiele dalszych rozwiązań, które tworzą zbiór na ogół mocy 2n, gdzie n oznacza moc niewiększą od mocy zbioru 3, w którym rozważamy funkcje F(xi,x2y...yxn)yR(x,xlyx2y...,xn). Gdy są dane funkcje R (ac, xly x₂,... ,xn) i F (a⁻!, x₂, ..., ac„) w zbiorze 3, przy czym zakładamy, że warunki a) i b) są spełnione, wówczas zbiór 3 można rozbić na trzy zbiory 3i,    S»3 bez elementów wspól

nych, zaliczając element dany a: do zbioru 3i, wzgl. $2, wzgl. 3₃ zależnie od tego czy (£acp); \F(a⁻!, ac₂, ...,xn) & R (xy xly x2y...

•    • • > ■**«)]> WZgl. {Exp)j \F (aTj, X2y . . . , ACn) (& R (aC, Xif X2y . . . , ACn)],

wzgl. (Afp)j R (ac, xly x2y... ,xn) zachodzi. Jeśli teraz f(x) oznacza dowolne rozwiązanie podwójnej równoważności F(xlyx2y...

•    • ■ » *n) = (Z*) U (x) & R (ac, xly x2y..., acJ] = (a:) [7? (ac, xly x₂,...

..., acJ ->/(a-)], wówczas, jak łatwo sprawdzić, dla elementów Ac zbioru 3i musi zajść f(x), dla elementów x zbioru 32 musi zajść / (ac). Na zbiorze 3i -{-Sq funkcja f (x) jest więc jednoznacznie określona, zaś co do wartości funkcji / (a-) na zbiorze $3 nic wywnioskować nie można. Definiując odwrotnie funkcję / (a:) przypisując jej dla elementów z Si prawdę, dla elementów z S2 fałsz, zaś dla elementów z S3 zupełnie dowolnie prawdę lub fałsz, otrzymujemy, jak łatwo widzieć, za każdym razem rozwiązanie rozważanej podwójnej równoważności. Istnienie więcej rozwiązań tej podwójnej równoważności polega więc na zupełnej swobodzie w określeniu wartości funkcji /(x) na zbiorze $3. Ponieważ zbiór S3 może być nieskończony i to nawet mocy trt, gdzie m jest mocą całego zbioru S, a zbiór wszystkich różnych funkcji logicznych f (x) swobodnie określonych na zbiorze mocy m jest mocy 2m, więc zbiór wszystkich rozwiązań rozpatrywanej podwójnej równoważności może być nieskończony i to nawet mocy 2m.

Przykładami można pokazać, że ta okoliczność ostatnia istotnie dla każdej liczby pozaskończonej m i każdej liczby naturalnej n ma miejsce. Wśród tych rozwiązań wyróżniają się dwa: jedno odpowiadające przypisywaniu każdemu elementowi z $3 wartości „fałsz“, zaś drugie odpowiadające przypisywaniu każdemu elementowi z S₃ wartości „prawda“. Pierwsze wyróżnione rozwiązanie jest, jak łatwo sprawdzić, identyczne z (Eyp)" [R (x,yuy2f... ,yn) & F(yu y₂,... ,yn)\, drugie zaś identyczne z (r/p)" [R (x, ylf y₂,..., yn) F(gu y₂,...

W przypadku, gdy zbiór S₃ jest pusty, co wtedy i tylko wtedy ma miejsce, gdy (x) (Exp)" R (a-, xlt x₂,..., xn) zachodzi, nie ma już żadnej swobody przy definiowaniu funkcji f(x) i przeto wszystkie rozwiązania tej podwójnej równoważności się zlewają. W szczególności zachodzi więc wtedy równoważność (£yp)" [/? (x, yu y₂,..., yj & F (yu y₂,..., yn)] = = (yP)i [R (x, yu y₂, ---,yn)    F(yuy₂,...,yn)]. Tyle co do po

(Ex) [f (a:) & R (x, xlt x2f. . ., xj]

*n) = (Ex) [f{x) &

dwójnej równoważności. Co się tyczy pojedynczych równoważności F (xu x₂,..., x„) i F(x 1, x₂,..., xn) = (x) [/? (x, xu x₂,..., *„) -> /(*)], to mają one tym bardziej na ogół nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż każde rozwiązanie podwójnej równoważności jest oczywiście rozwiązaniem każdej pojedynczej. Każda pojedyncza równoważność posiada na ogół jednak jeszcze inne rozwiązania różne od rozpatrywanych wyżej rozwiązań wspólnych, przy czym na ogół nieskończenie wiele i to także mocy 2m. Rozważmy najprzód równoważność F(x1} x₂,.. é R (x, xux₂,... ,xn)]. Jeśli f (x) jest jakimś rozwiązaniem powyższej równoważności, wówczas na zbiorze S₂ /(■*") przyjmuje stale wartość „fałsz“. Z (Eyp)" [F(ylfy₂,... ,yn) & R (x,yu y2> • • •, Ur)] wynika bowiem najprzód (Eyp)" [(z) (/? (z, ylf y2>...

•••»i/n)    /(z)}<6#(*,ÿl,ÿ₂,---,ÿ„)],    3 Z tegO / (*)• O Z3ch0-

waniu się funkcji f (x) na zbiorze S3 nic wywnioskować nie można, jak to już z rozważań nad podwójną równoważnością wynika. Co do zachowania się na zbiorze Si, to rozważmy najprzód następującą relację (Ex p)" [/? (x, xu x₂, ...,xn) & R(y, xlt*2» • • • >*n)]> którą dla skrócenia oznaczać będziemy przez G (x, y). Relacja G(x,y) jest na zbiorze Si zwrotna, symetryczna i przechodnia. Ponieważ zbiory Si i S3 nie mają elementów wspólnych, przeto dla każdego elementu a: zbioru Si

xu x2y...f

czyli G (a:, a:). Symetryczność relacji G(x, y) wynika z komutaty w-

zachodzi (at^)" R (x, xlf x₂,..., -O, z czego wynika (Exp)" R (*, xn) i (Exp)1 [/? (*, xl9 x2f..., xn) & R (x, xlf x₂,..., *„)],

-*i> x2f . •.,

ności koniunkcji logicznej, zaś z (Exp)" [R (x, xly x2y..., xn) & R (y, -O] oraz (Eyp)" [/? {y, yu i/2, • • • » */„) & R (z> i/i, i/2, • • • • • •, i/«)] wynika, na mocy a), łatwo (Ex p)" [R (x, xlyx2i...y xn) & &R{zyx 1 a-₂, ..., at„)], a tym została i przechodniość udowodniona. Relacja G (x,y) rozbija więc zbiór Si na klasy bez elementów wspólnych i takie, że dwa dowolnie wzięte elementy z jednej i tej samej klasy spełniają stale G{x,y), zaś dla elementów x i y wziętych z dwóch różnych klas G(x,y) nie zachodzi. Zbiór tych klas oznaczmy przez Q*. O funkcji / (x) możemy teraz udowodnić, że istnieje podzbiór $1 zbioru Si, który z każdą klasą będącą elementem zbioru iii ma element wspólny, przy czym na zbiorze $1 stale / (a:) jest prawdziwe. Weźmy jakąś klasę będącą elementem zbioru iii pod rozwagę: y niech będzie dowolnym jej elementem. Ponieważ y należy do zbioru Si więc zachodzi (Exp)” [E(xly x2y..., x„) S R (y, xly x2y...,xn)]y co w połączeniu z równoważnością F (x ltx2f...

J~(Ex)(f(x) c$R(x,xlfx₂,...,xn)) daje przede wszystkim (Exp)” [(Ex) (f(x) & R (x, xlt x₂,..., xn)) & R (y, xux2f... . ..,*„)], które daje się przekształcić łatwo w (Ex) (/ (x) & & (Exp)” [/? (x, ATI, x₂, • •., Xn) & R (y, ATI, x₂,..., *„)]), czyli w (Ex) (f (x) & G (x, y)). W każdej klasie będącej elementem zbioru fil istnieją więc elementy x, dla których f (x) zachodzi, a tym samym istnieje zbiór o żądanych własnościach. — Jeśli odwrotnie na $1 weźmiemy dowolny podzbiór zbioru Si, posiadający z każdą klasą będącą elementem zbioru iii element

wspólny i funkcję f (x) zdefiniujemy jak następuje: dla elementów zbioru f {x) przypiszemy prawdę, dla pozostałych elementów zbioru Si i dla wszystkich elementów zbioru S3 przypiszemy dowolne wartości, zaś dla elementów zbioru S2 f (x) przypiszemy fałsz, wówczas każda tak zdefiniowana funkcja f (x) czyni zadość równoważności F(xlf x₂,..., xn) = = (Ex) [f (at) & R (x, xlf x₂,...y *„)]. Gdy F (*i, x₂, ..., *„) zachodzi, wówczas dla elementów xu x₂,..., xn znajdujemy przede wszystkim element y taki, że R (y, xi, x₂,..., xn) zachodzi, co na mocy b) jest możliwe. Element y wpada, jak pokażemy, do klasy Si- Z R (y, xu x₂,...f xn) wynika (*p)" R (y, *lf *₂,. . . . ..,Af„), co dowodzi, że y nie wpada do S3. Do klasy S2 y także należeć nie może, gdyż z {EyX [F(ylty₂,..., yn) & <&R(y»yi*y₂’-"iyn)\ oraz R(y, xu x₂,...,xn) wynika, na mocy

x2t.

& R(x, xlf x2t..., xn) zachodzi. Element x nie należy do klasy S₃, gdyż z R (x, xu x₂,..., xn) wynika (*p)" R (at, xu x2f...y xn). Z f (x) wynika, że x także do S₂ nie należy, gdyż dla każ

a), łatwo F (xly x₂,..., xn)- W zbiorze istnieje więc klasa, do której y wpada. Niech x będzie elementem wspólnym tej klasie i zbiorowi zachodzi więc f (x) i G (x, y). Z G(x,y), czyli z (Eyp)1 [R (x, ylf y₂,..., y„) & R (y, yu y₂,..., #„)], i z R {y, xt, x₂,..., xn) wynika jednak, na mocy a), R (x, xlt x₂,..., xn), co w połączeniu z f (x) daje wreszcie (Ex) [f{x) & R(x, xlf . .,ac„)]. Załóżmy odwrotnie, że dla pewnego x f(x)&

¹

Ta ostatnia przedstawialność jest intuicyjnie jasna, gdyż zamiast mówić: ,,[y,z] jest obrazem elementu x“ można mówić: „y jest pierwszym członem pary będącej obrazem elementu x oraz z jest drugim członem pary będącej obrazem elementu x“. Ścisły dowód jest jednak konieczny.

dego elementu z S₂ zachodzi f (x). Element x należy przeto do Si, z czego wynika że {Ey?)\ [F(ylty₂,... ,yn) & R (x,yu y₂ >•••»#«)] zachodzi, co w połączeniu z R (x, xlt x2f..., atJ i a) daje łatwo F (x1} x₂,..., *„). Funkcja f (x) spełnia więc istotnie równoważność F (xlf x₂,..., xn) = (Ex) [f(x) & R (ac, xlf x₂,... • ••>■**)]. Struktura wszystkich rozwiązań równoważności tej została więc w zupełności odkryta. Ponieważ w obiorze zbioru $1 istnieje swoboda, przy czym na ogół na nieskończenie wiele sposobów, tworzących nawet mnogość mocy 2m, można obrać zbiór przeto równoważność F(x₁,x₂,...,xn) = = (Ex) [f(x) & R (a:, xlf x₂,..., atJ] posiada prócz rozwiązań podwójnej równoważności F(xlt x₂,..., xn) = (Ex) [f(x) & R (xt Xi, x₂,...y at„)] = (*) [/? (a:, xu x₂, ..., xn) -> / (*)] jeszcze na ogół nieskończenie wiele innych rozwiązań.

Zajmiemy się teraz zbadaniem struktury wszystkich rozwiązań równoważności F(xv x₂,..., xn) = (x) [ł? (x, xlf x₂,..., xn) -> -> /(*)]. Jeśli f(x) jest jakimś rozwiązaniem tej równoważności, wówczas na zbiorze Si / (x) stale jest prawdziwe. Z równoważności F(xlf x₂,. ..,xn)=(x) [R (x, xlt x₂,..

xn)~>f(x)]iz(Exp)1

*„)], co w połączeniu z rów-Xn) —    [7^ (at, x±, x2f. • •, xn) ->• f (x)]

[F(xlyx2}... y xn) &R (x, X!,x2f... ,xn)] wynika bowiem najprzód (Fx p)" [(z) (R (z, xh x₂,..., xn) ->/(z)) & R (x, xh x₂,..., *„)], a z tego łatwo f (x). O zachowaniu się funkcji f (x) na zbiorze S3 nic wywnioskować nie można, jak to już z poprzednich rozważań wynika. Pozostaje jeszcze zbiór $₂- Relacja (Exp)" [/? (x, x±t x₂,... ...,xn)&R(y,x₁,x₂,...yXn)], którą oznaczyliśmy przez G(x,y) jest również na zbiorze S2 zwrotna, symetryczna i przechodnia (symetryczną i przechodnią jest ona na całym zbiorze S, zwrotną zaś tylko na zbiorze Si-J-Sk)* Zbiór S2 rozpada się znowu na klasy o wiadomych własnościach. Zbiór tych klas oznaczmy przez £2₂. Twierdzimy, że istnieje podzbiór $₂ zbioru $2, który z każdą klasą należącą do Q₂ posiada element wspólny, na którym f (x) jest stale fałszywa. Niech y będzie dowolnym elementem dowolnej klasy będącej elementem zbioru &₂. Ponieważ y należy do S>2> więc zachodzi {Ex^)\ [F (xh x₂y...,xn)&R (y, xlt x₂,.. noważnością F (xi,x₂,.. daje przede wszystkim (Exp)" [(Ex) (R (x, xlf x₂, ■.., xn) & f (a:)) & & R (y, xu x₂,. • •, *„)], które daje się przekształcić w (Ex) (/ (x) & &{Ex p)” [/? (x, xh x₂,..., Xn) & R (y, xit x₂,...y *„)]), czyli w (Ex) (f(x)&G(x,y)). W każdej klasie będącej elementem zbioru ii2 istnieje więc element x, dla którego / (x) zachodzi, a tym samym istnieje zbiór ®₂ o żądanych własnościach. — Jeśli odwrotnie na ®₂ weźmiemy dowolny podzbiór zbioru S₂, który z każdą klasą będącą elementem zbioru Sł₂ posiada element wspólny i funkcję / (x) zdefiniujemy, przypisując jej na zbiorze $₂ „fałsz“, na zbiorze S3 i na pozostałej części zbioru S2 przypisując jej dowolne wartości, zaś na zbiorze Si przypisując jej „prawdę“, wówczas każda tak zdefiniowana funkcja / (x) czyni zadość równoważności F (x lf x₂,..xn) = = (*) [Æ (x, Xlt x₂y..., Xn)-+f(x)\. Jeśli dla elementów xlt x₂,...,xn oraz x F(xhx2y..., xn) i R (x,xi, x₂,..., AfJ zachodzą, wówczas i f (x) zajść musi. Element x nie należy bowiem do Ss> gdyż

z R (*, Xi, x2}..., xn) wynika (x?)\ R (x, xlf x₂,..., x„), nie należy też do S₂, §fdyż z (Eyp)" [F (yh y₂,... ,yn) & R (x, ylt y2y..., yn)] i z R (x, xlf x₂,..., xn) wynika, na mocy a), łatwo F(xi, x₂,..., xn)-Element x należy więc do Si, z czego wynika, ponieważ funk-cia f (x) na zbiorze Si, przyjmuje tylko „prawdę“, że / (*) zachodzi. Załóżmy teraz, że dla pewnych elementów *1, x₂,..., xn zachodzi (*) [/? (*, a-i, x₂, ..., xn) ■> / (*)]. Znajdujemy przede wszystkim element y taki, że R {y, xi, x₂,... ,xn) zachodzi, co jest możliwe na mocy b). Z R(y, xlfx₂,. ..,xn) wynika (*p)” R (y,Xi,x₂,...,xn), co dowodzi, że y nie jest elementem zbioru S3- Załóżmy na chwilę, że y jest elementem zbioru S2, czyli że wpada do jakiejś klasy zbioru Q₂, której wspólny element ze zbiorem ®₂ oznaczmy przez x. Zachodzi więc (Eyp)1 [/? (x, y i, y₂,... ..., yn) & R (y, y u y₂,..., yn)], co w połączeniu z R (y, xlt x₂,..., xn) daje na mocy a) R(x,xlf x₂,... ,xn), z czego na mocy (x) [R (x, xi, x₂,..., xn) -> f(x)], wynika f(x), a więc sprzeczność, gdyż na zbiorze $₂ funkcja f (x) „prawdy“ nie przyjmuje. Elementy jest więc elementem zbioru Si, czyli że (Eyp)" [F y₂,..., yn) & & R (y, y i, y₂,..., yn)] zachodzi, co w połączeniu z R(y, x1} x₂,...,xn) daje na mocy a) łatwo F(x 1, x₂,..., *„). Funkcja f(x) spełnia więc istotnie równoważność F (*1, x₂,..., xn) = (*) [/? (*, xlf x₂,...

. . . , Xn) -> / (*)].

Badanie rozwiązań równoważności F (*1, x₂,..., xn) = = (x) [/? (x, xly x₂,..., xn) -> / (*)] możnaby również sprowadzić do badania równoważności typu przeciwnego przez przejście do F(x 1, x₂,..., xn) = (Ex) [R (x, xlt x₂,..., xn) & /(*)]. Przy takim przejściu zbiory Si i S2 jako też wartość „prawda“ i „fałsz“ zamieniają swe role.

A teraz chcemy pokazać, jak można konstruować przykłady dowodzące, że wyżej naprowadzone okoliczności odnośnie wielości rozwiązań tak rozważanej podwójnej równoważności, jak i pojedynczych istotnie zajść mogą.

Niech m będzie dowolną liczbą kardynalną pozaskoń-czoną zaś S dowolnym zbiorem mocy nt. Niech u będzie dowolną liczbą kardynalną 5^ m. Ponieważ zachodzi, jak wiadomo, równość m -f- tt = m, przeto zbiór S daje się rozbić na dwa zbioru 9JÎ i dl bez elementów wspólnych i takich, że 9JÎ będzie mocy m zaś dl mocy n. Ponieważ zachodzi również równość

m. nt == m, przeto zbiór SR, który jest mocy m, daje się dalej rozbić na klasy bez elementów wspólnych, z których każda jest mocy m i zbiór ß tych klas także jest mocy m. Niech dalej H(xfy) będzie funkcją logiczną określoną na całym zbiorze 3 i charakteryzującą powyższe rozbicie na klasy należące do Si, tzn., że H(x,y) ma wtedy i tylko wtedy być prawdziwe, gdy x i y są elementami zbioru SR i należą do jednej i tej samej klasy zbioru Si. Wreszcie przez £ oznaczmy, istniejący na mocy pewnika wyboru¹ zbiór, który z każdej klasy należącej do Si zawiera jeden element i dalszych elementów nie posiada. S (x, xlf x₂,..., *„) niech będzie funkcją logiczną, która elementy x zbioru $ odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny na wszystkie n członowe układy [xlf x₂,. • •, *„] takich elementów (taka funkcja istnieje, gdyż zachodzi równość nt”= itt), zaś K (x, y) niech będzie funkcją logiczną również określoną na całym zbiorze 3, która w sposób jednojednoznaczny odwzorowuje elementy x zbioru £ na elementy y zbioru $ (taka funkcja istnieje, gdyż zbiory £ i 3 są oba mocy m). Funkcja logiczna R (x, xlf x₂,..., x„) zdefiniowana na zbiorze 3 przez definicję

(72) R (x, xlt x₂,..., *„) == (Eu) (Ev) [5 («, xh x₂,..., xn) &

& K(v, u) & H (x, v)\

spełnia wówczas warunki a) i b) oraz wszystkie rozwiązania podwójnej równoważności F (.xq, x₂,..., xn) = (Ex) [f(x) & & R (x, xlt x₂,..., *„)] = (x) [R (x, xit x₂,... ,xn) -*f (a-)] w zbiorze 3 tworzą, przy wszelkim F(xu x₂,..., xn), zbiór mocy 2n. Warunek a) jest spełniony, gdyż z R (x, xh x2y...f xn)&R(x,y₁,y2}... ,yn)

wynika najprzód istnienie elementów u, v, u, v takich, że

* * *

S (u, xh x₂,..., xn), K (v, u), H (.x, v), S (u, yi,y₂y • • • ,ÿn), K ('V, u), * * *

H(x,v) zachodzą. H(x,v) i H (x,v) dają H (v, v), co dowodzi że v i v należą do jednej i tej samej klasy zbioru £2. Ponieważ z K(v, u) i K (v} u) wynika, że v i v należą do zbioru £ i ponieważ każda klasa z £2 posiada tylko jednego przedsta-

* * * *

wiciela w zbiorze £, przeto musi zajść v = v. Z v — v, K (v, u)

* . *

wynika dalej K (v, u), co w połączeniu z K (v, u) daje u = u,

*

jako że element v może mieć tylko jeden obraz w $. Z u — u

*

xn) i z (72) wynika H (*, v) dla

i S(u,yuywynika S(u,yltyat...,yn), które w połączeniu z S (u, xlt x₂,... ,xn) daje xi=yi dla /= 1, 2,..., n, jako że odwzorowanie S jest jednojednoznaczne. Zachodzi również b), gdyż jeśli x₂,..., xn są dowolne elementy z 3, wówczas znajdujemy przede wszystkim element u taki, że S (u, xly x₂,..., xn) zachodzi, co na podstawie założeń poczynionych dla S jest możliwe; następnie do elementu u znajdujemy element * taki, że K (x, u) jest prawdziwe, co na mocy założeń przyjętych o odwzorowaniu K jest możliwe. Jeśli uwzględnimy, że H{x, x) zachodzi, wówczas (72) da nam R (x,x₁,x₂,...,xn). — Ponieważ warunki a) i b) są spełnione, więc podwójna równoważność F (xu X2f . . . , Xn) EEE (Ex) [f(x) & R (x, xlt x₂,...} *„)], F (xlt x₂,... t..,x„) = (x) [R(x,xlfx₂,..., xn)->■ f (x)] posiada przy każdym F rozwiązania. Pokażemy teraz, że zbiór tych rozwiązań przy każdym F jest mocy 2n. Pokażemy w tym celu, że zbiór tych x, dla których (xp)i R (x, xly x₂,..., at„) zachodzi, czyli zbiór $3, jest identyczny ze zbiorem 9?. Załóżmy na chwilę, że istotnie $3 = 9? zachodzi, wówczas i $₃ jest mocy n. Ponieważ jednak, jak już wiemy, wszystkie rozwiązania powyższej podwójnej równoważności poza zbiorem $₃ są identyczne, zaś na zbiorze $₃ przebiegają wszystkie wogóle możliwe funkcje logiczne, przeto zbiór tych wszystkich rozwiązań jest istotnie mocy 2n- Mamy teraz pokazać, że $₃ = 9? zachodzi, a do tego wystarczy pokazać, jak łatwo widzieć, że zbiór tych x, dla których (Exp)1 R (x, xlt x₂₎..., a-„) zachodzi jest identyczny ze zbiorem 9Jł. Z (Exp)1 R (x, xi,x₂,.. pewnego v, a z tego przynależność x do 9Jł. Jeśli odwrotnie x należy do 9}?, wówczas wpada do pewnej klasy zbioru £2, której przedstawicielem w zbiorze £ niech będzie element v. Zachodzi więc H{x,v) i do elementu v możemy

w odwzorowaniu przez funkcję K znaleźć obraz u, tak że K (v, u) zachodzi. Wreszcie do elementu u możemy znaleźć elementy xly x2y...fxn takie, żeby S (u, xly x2y . • •, xn) zachodziło. Z S (u, xlyx2y.. .,xn), K(v, u) i H{x,v) wynika jednak, na mocy

(72) , R (xyxlyx2y...,xn), a więc także (Ex^)\ R (x, x1} x₂,... ,xn).

Prócz rozwiązań, tworzących zbiór mocy 2n, podwójnej równoważności

(73)    F (xly x2y..., xn) = (Ex) [/ (*) & R (x, xu x2y...y *„)] =

= (x) [R (x, xly x₂(*)],

*„) = (Ex) [/ (x) & R (x, ati, x2y..., *„)] żad-

przy R (x, xly x2y..., xn) zdefiniowanym przez (72), każda pojedyncza równoważność posiada jeszcze dalsze rozwiązania, które tworzą zbiory dokładnie mocy 2m o ile F(xi, x₂,..., xn) nie jest stałą, tzn. dla pewnych xly x2y..., xn przyjmuje „prawdę“ a dla innych przyjmuje „fałsz“. Dla F (xly x2i... y xn) stale „prawdziwej“ równoważność F (jcj, x2y..., *„) = (Ex) [f(x) & & R (x, xly x₂,..., -O] posiada rozwiązania, prócz tych, które są rozwiązaniami podwójnej równoważności (73), i one tworzą mnogość mocy 2m, zaś równoważność F(xt, x2t...yx,) = = (*)[/?(*,*!,at₂,..•,*,,)->/(*)] w tym wypadku żadnych dalszych rozwiązań nie posiada, tzn. posiada tylko te rozwiązania, które są rozwiązaniami podwójnej równoważności (73). Dla F(x j, x2y... . ..,*„) stale „fałszywej“ sprawa się ma odwrotnie: równoważność F (xly x₂, • • nych dalszych nie posiada, zaś równoważność F(xi, x₂,..., xn) = = {x) [R(x,xi,x₂, ...,*„)->/(*)], posiada dalsze i one tworzą zbiór mocy 2m. Okoliczności powyższe polegają głównie na tym, że relacja (Exp)" [/? (*,*i, x₂,..., xn) &R (y,xux₂,..., *„)]’ którą oznaczyliśmy przez G (x,y) jest teraz z relacją H(x, y) identyczna. Z G (x,y), tj. z (Ex p)" [/? (x, x±, x₂,...,xn ) & R (,y, xiy x2y... ..., at„)] wynika najprzód istnienie elementów xlt x₂,'.-, xn,

u, V, u, V takich, że S (u, xlf x2y... y xn), K (v, u), H (x, v),

S(uyxlyx2y...yxn),K(yyu)yH(yyv) zachodzą. Ponieważ odwzorowanie przez funkcję S (*, *i, x2y..., xn) jest jednoznaczne,

*

przeto z zachodzenia S (u, xh x2y..., *„) i S («, xly x2y...y xn)

* * * ^ * * wynika u = «, co w połączeniu z K(v, u) daje K(v, u). Z K(v, u)

* *

i K{v,u) wynika dalej v = v, a^to uwzględnione w H{y,v)

daje H (y,v), a z tego i z H(x,v) otrzymujemy wreszcie H(x,y). Odwrotnie, z H(x,y) wynika G(x,y). Gdy H (x,y) zachodzi, wówczas x i y należą do jednej i tej samej klasy zbioru £2, której wspólny ze zbiorem £ element oznaczmy przez v. Zachodzi wtedy H(x, v) i H{y,v). Znajdujemy następnie element u taki, że K{v,u) zachodzi, co jest możliwe, ponieważ v jest elementem z £. Wreszcie do elementu u znajdujemy n członowy układ [x^ x₂,. •., xn] taki, że S (u, xu x₂,... ...,xn) zachodzi, co jest również możliwe ponieważ funkcja S(x, xlf x₂,. ■., x„) odwzorowuje wszystkie elementy x zbioru 3 na n członowe układy [*i, *2» • • • > *«]• Z S {u, xh x₂,..., xn), K(v, u), H{x, v) i H{y, v) wynika, na mocy (72), łatwo R(x,xlf X2,...,xn)SR(y,xlfx2t...,xn),awiąc także (FxP)” [R (x,xhx₂,...

... ,x„) & R (y,x 1, x₂,..., x„)], czyli G(x,y). Z identyczności re-lacyj G(x,y) i H(x,y) wynika natychmiast równość £2 = £2* -\--f- £2₂, a tym samym każda klasa będąca elementem zbioru £2a wzgl. £2₂ jest mocy m. Jeśli £2A i £2₂ nie są puste (£2A może być, jak łatwo widzieć, wtedy tylko puste, kiedy F(x1} x₂,..., .*•„) jest stale „fałszywe“, zaś £2₂ wtedy tylko, gdy F(xlt x₂,. • •, xn) jest stale „prawdziwe“), wówczas i $₂ można „wybrać“ na 2m sposobów i z tego wynika łatwo wyżej powiedziane odnośnie rozwiązań rozważanych pojedynczych równoważności w przypadku, gdy funkcja F(x ₁,x₂,..-,xn) nie jest stałą. Gdy £2X wgl. £2₂ jest puste (£2j i £2₂ równocześnie nie mogą być puste), wówczas F(xit *₂,..., xn) jest, jak już wiemy stałą, i łatwo sprawdzić, że i w tym przypadku sprawa rozwiązań rozważanych równoważności ma się tak, jak myśmy to wyżej powiedzieli.

W powyższych rozważaniach n było dowolną liczbą kardynalną <m. Kładąc w szczególności tt = nt, otrzymujemy przykład, w którym podwójna równoważność (73) posiada rozwiązania tworzące zbiór mocy 2m. Biorąc zaś w szczególności rt = 0, otrzymujemy przykład, w którym ta równoważność posiada 2° rozwiązań, czyli tylko jedno. Widzimy więc, że może zajść wypadek taki, że podwójna równoważność (73) posiada tylko jedno rozwiązanie, podczas gdy każda pojedyncza równoważność ma ich nieskończenie wiele i to o mocy 2m. Ciekawym jest, że relacje R (x, xlt x₂,..., xn) takie, dla których to zachodzi, mogą być podane dla każdego n przez złożenie jednej relacji trójczłonowej. Gdy relacja <ł> (x}y,z) odwzorowuje

w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy * zbioru^ o mocy m na wszystkie pary [y, z] elementów z 3, wówczas, na zasadzie

twierdzenia 23,

(Ev?r~l \z^(v₉v

■ i=i

x) & $ (vn_vxn, *„_,)]

odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny elementy z 3 na wszystkie n członowe układy [xi, x₂,. . ., xn-\} elementów z 3; tę relację oznaczmy przez S (vit xh x₂,..., xn)- Przez H{x,y) oznaczmy relację (Er) (Es) (Et) [<h (*, r, s) & (y, r, i)]. Jest to, na podstawie założeń zrobionych o <£, jak łatwo widzieć, relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia, która rozbija zbiór 3 na klasy bez elementów wspólnych, przy czym każda z tych klas jest mocy tn, a zbiór & tych klas również jest mocy m. Jeśli dalej przez a oznaczymy dowolny element zbioru 3, wówczas zbiór tych x, dla których (Ez) (x, z, a) zachodzi, z każdej klasy zbioru zawiera dokładnie jeden element i innych elementów w ogóle nie posiada. Zbiór tych a: oznaczmy przez 2. Relacja <3> (x,y,a) odwzorowuje wtedy elementy * zbioru 2 na elementy y zbioru 3; oznaczmy ją przez K (x, y). Uwzględniwszy to wszystko w (72) dojdziemy do wniosku, że dla relacji R (x, xit x₂,... ,x„) zdefiniowanej przez równoważność

R (x, xv x₂,xn)

(Evp)1 ¹ (Ev) (Er) (Es) (Et) [    $ (v., v;+l, xt) &

& (vn_v Xn, xn_J&$(v,vx,a) &    (*, r, s) &    (v, r, ć)j

podwójna równoważność (73) posiada tylko jedno rozwiązanie, podczas gdy każda pojedyncza posiada ich więcej i one tworzą zbiór mocy 2m.

Naturalnie gdy F (x i,x₂,...,xn) nie jest stałą. Gdy F (ati, x2y..., xn) jest stale prawdziwa wzgl. stale fałszywa, wówczas równoważność F(xltX2,>^,Xn) = (x)[R(xtxi,x2t... . . ., xn) -> f(x)] wzgl. równoważność F (*i, x2f ..., .*•„) = = (Ex)[R(x,xux₂,...,xn)&f(x)], prócz jednego wspólnego rozwiązania, żadnych dalszych nie posiada.

Twierdzenie 31. Jeśli dla funiccyj logicznych Ri (x, y), R₂(x, y),, Rn(x, y) zdefiniowanych w zbiorze 3 następujące dwa warunki są spełnione:

M (*p)l (ÿp)l [#1 i*) *l) & &2 (X, X₂)&...&Rn (X, Xn) &

& Ri (x, ÿi) & R₂ (x, y₂)S...SRn (x, yn) ->■ £ (x. — #,)],

1=1

n

(xp)" (E x) (Ri (x, *i) & R₂ (x, x₂)&...& Rn (x, xn)),

1=1

wówczas każda n członowa funkcja logiczna F (xlt x₂,.. • ,xn) daje się, przy stosownej funkcji f (x), przedstawić w postaci {Ex) [f (*) & Rx (x, xf) & R₂ (x, x₂) &... & Rn (x, x„)] oraz równocześnie w postaci (*) [/?! (x, Xi)&R₂ (x, x₂)&...&Rn (x, xn) -> / (jc)], tzn., że przy stosownej funkcji f (x) (a mianowicie przy f (x) = = (EyJ)i [#1 (x, yi) & R2 (X, y₂)& ...& Rn (x, yn) &F(yuy₂,..., yn)] oraz przy f{x) = (yp)" [Ri (x, yf) & R₂ (x, y₂) &. . . & Rn (x, yn) -> -> F(ylty₂,... ,yn)\ ) zachodzi podwójna równoważność F{x1, x₂,...,xn) =(Ex) [f(x)&Ri (x,xx)&R₂(.X,x₂)&... & Rn (x, *„)] = (x) [Ri (x, X\) & R₂ {x, X₂)& ...& Rn (x, Xn) f (*)].

Twierdzenie 31 otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 30 przez podstawienie R± (*, x±) & R₂ (at, xj)&...&Rn (x, xn) za R(x,xlf x₂,. ..,x„). Co do rozwiązań podwójnej równoważności F(xi,x₂, ...,xn)=(Ex) [/(a:) &R₁(x,x₁)&R₂{x,x₂)&...&Rn (x, *„)]= = (x)[R₁(x,x₁)&R₂(x,x₂)&...&Rn(x,xn)-+f(x)], jako też pojedynczych z których się ta podwójna równoważność składa, to obowiązuje zupełnie analogiczne do powiedzianego i udowodnionego odnośnie do równoważności (70), (71) i (73): Prócz naprowadzonych wyżej dwóch rozwiązań istnieją na ogół jeszcze dalsze i moc zbioru wszystkich rozwiązań wyraża się liczbą kardynalną 2”, gdzie tt jest liczbą kardynalną mniejszą lub równą mocy zbioru 3.

Twierdzenie 32. Jeśli dla funkcyj logicznych Rt (x, y), R₂ (x, y),... ,Rn (x,y) zdefiniowanych w zbiorze 3 następujące dwa warunki są spełnione:

Z W (y) (*) [Ri (X, y) & R,. (x, z)-+y = z\,

/—i

(xp)” (Ex) JJ (Ri (x, Xi)&R₂ (x, x₂) &... & Rn (x, x„)),

1=1

wówczas dla każdej funkcji F (xlt x₂,..., x„) przy stosownej funkcji f (x) (a mianowicie przy f (*) = {Eyff [/?i (x, y i) &

oraz również

& R₂ (x,y₂) & ... & Rn (x,yn) & F(yuy₂, ■. • ,ÿ»)] przy f(x) = (yp)1 [#i (x, yf) & R₂ (x, y₂) & ... & Rn (x, yn) ">

F(ylfy₂,..., yj)\ ) zachodzi podwójna równoważność F(xlf x₂,...

. . . , Xn) = (Ex) [f (x) & R₁ (*, xj & R₂ (*, xj) & ...& Rn (*, X„)] = = (X) [/?! (X, *!) & R₂ (*, X₂) &...& Rn (*, Xn) “► / (*)]•

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 31

zauważywszy, że z warunku J£j(x) (y) (²) [Æ, (*> y) & Rt (x> z)

i=i

-► i/ = z] wynika pierwszy warunek w twierdzeniu 31.

Gdy /? (a:, *i, *₂,... *„) jest funkcją logiczną, która w sposób jednojednoznaczny odwzorowuje elementy x zbioru S na n członowe układy [*i, x₂,... ,x„] elementów z 3, wówczas warunki a) i b) w twierdzeniu 30 są spełnione i przeto zachodzi:

Twierdzenie 33. Jeśli funkcja logiczna R (x, xlf x₂,... ...fXn) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie n członowe układy [jfj, x₂,... ,*„] elementów z 3, to dla każdej funkcji F(xi,x₂,...,xn) przy stosownej funkcji f (x) (a mianowicie przy f (x) = (Eyp)1[R(x,yi, .,y„) & F (yh yz,...> yn)] oraz przy f(x) = (y?)\ [R (x, yu y₂,... • •.,#«)-* F(yhy₂,..

F(x i,x₂₎..

y 2»*-

y„)]) zachodzi podwójna równoważność

Xn) = {Ex) [f{x) & R (X, Xh X₂, . . . , *„)] =

= (x) [R (x, xux₂,..

Zbadamy teraz kwestię ilości rozwiązań na /(*) powyższej podwójnej równoważności i każdej pojedynczej, z których się ona składa. Ponieważ w powyższym twierdzeniu o funkcji R (*, xlt x₂,..

odwzorowuje elementy x zbioru 3 na n członowe układy [*1, x₂, ... .elementów z 3, przeto prócz warunków a) i b) z twierdzenia 30 jeszcze dwa następujące warunki są spełnione:

c)    (jf) (FXp)^ R (•*", X±, X₂y . . • , Xn)t

d)    (*) (y) (*PK [F (*» xi> x2%...tXn)&R (y, Xlt x₂,...,Xn)->x = y[.

Z warunku c) wynika, że zbiór 3₃, tzn. zbiór tych * dla których (xp);~R(x, xu x₂,..., xn) zachodzi, który to zbiór ma, jak wiemy, decydujący wpływ na ilość rozwiązań podwójnej równoważności (73), jest zbiorem pustym i przeto podwójna równoważność (73) posiada w tym twierdzeniu tylko jedno wiązanie. W szczególności zachodzi więc teraz równoważność

*«)->/(*)].

xn) zakładamy, że w sposób jednojednoznaczny

roz-

(FyP)\ [Æ (x,yuy* • • • »#«) &F(yuy₂,...,yn)] = (yP)ï [R (*,#i,y₂,... ...,yn)^F(ylfy₂,...,yn)].m Co się zaś tyczy pojedynczych równoważności (70) i (71), to i one posiadają pod założeniami twierdzenia 33 tylko jedno rozwiązanie, a mianowicie to wspólne. Relacja bowiem (£*p)" [/? (*, xvx₂₎..., xn)& R (y,xlfx₂,... ,xn)], którą oznaczyliśmy przez G(x,y) jest teraz na zbiorze Si-|-S2 identycznością logiczną, tzn., że zachodzi równoważność G (x, y) = (x = y) na zbiorze Sx -{- S₂. Na zasadzie zwrotności relacji G(xfy) zachodzi bowiem implikacja (x = y) -> G (*,y), zaś na podstawie warunku d) odwrotna implikacja G (x,y)-> (x — y). Relacja G(x,y) rozbija więc teraz zbiór Si+S₂ na klasy posiadające tylko po jednym elemencie i przeto zbiory „wybrane“ i $₂, które mają, jak wiemy, decydujący wpływ na ilość rozwiązań równoważności (70) i (71), są teraz jednoznacznie określone i odpowiednio identyczne ze zbiorami Si i s₂.

Twierdzenie 34. Jeśli funkcja logiczna (7?i (x, .*1) & & R₂ (*, x₂) &... & Rn (x, x„)] odwzorowuje w sposób jednojedno-znaczny wszystkie elementy x zbioru S na wszystkie n członowe układy [*x, x₂,.. •, *„] elementów z S, to dla każdej funkcji logicznej F (x i,x₂,...,xn) przy stosownej funkcji f(x) (a mianowicie przy f(x) = {Eyp)\ [Rx(x,y₁)&R₂{x,y₂)&...&Rn(x,yn)& F(ylyy2>...

¹

Z pewnika wyboru korzystaliśmy już wyżej, np. tam gdzieśmy korzystali z zachodzenia równości m²=m dla każdej liczby kardynalnej pozaskończonej m. Twierdzenie bowiem o zachodzeniu dla każdej liczby kardynalnej pozaskończonej równości m. nt = m² = m opiera się w sposób istotny na pewniku wyboru, gdyż jest, jak to pokazał A. Tar-ski (Sur quelques théorèmes qui équivalent à l’axiome du choix, Fundamenta Mathematicae, 5 (1924), str. 147—154), wręcz mu równoważne.

przy f (x) = (yp)" [/?i (x, yf) & R₂ (x, y₂)&...& Rn{xy y j)-*-F {yuy2y... yyn)]) zachodzi podwójna równo-

oraz

•••,yn)\

ważność

F(x1, *2,..., *„) = (Ex) [f(x) & Rx (x, *1) & R₂ (x, x₂) &... &

&...&Rn (*,*«)] =

= (x) [/?! (x, xf) & R₂ (*, X₂)&...&Rn (x, Xn) f {x)\.

Twierdzenie 34 otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 31, gdyż oba warunki z twierdzenia 31 są spełnione w przypadku gdy funkcja [/?x (x,xf)& R₂(xyx₂)&. ..&Rn(x,xnj] odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny elementy* zbioru S na n członowe układy takich elementów. Do tego samego wyniku można dojść, podstawiając w twierdzeniu 33 [R\(x>xf)& & R₂ (*, *2 )&...& Rn (*, x„)] za R (x, *1, x₂,..., *n).

68

Jak z dowodu widać, równoważność ta zachodzi już pod założeniami a), b) i c), gdyż z warunku d) nie korzystaliśmy na razie. Możnaby pokazać, że i warunek b) jest zbędny.

SO

Co się tyczy ilości rozwiązań podwójnej równoważności z twierdzenia 34 i każdej pojedynczej, z których się ona składa, to istnieje tylko jedno, wspólne rozwiązanie, jak to już z dowodu twierdzenia 33 wynika. Zachodzi więc w szczególności równoważność (£^p)" [/?i (*, y{) & R₂ (x, y₂) & ... & Rn {x, y„) & & F O/d    •••> f/n)] = (yp)i [Ri (x,yi) & R₂ (x, y₂)&...& Rn (x, yn) ->

-+F(ylty₂, •••»nijako szczególny wniosek z twierdzenia 34 można uważać następujące

Twierdzenie 35. Każda funkcja logiczna F (xlt x₂,..., xn) daje się w każdym zbiorze nieskończonym przedstawić w postaci (Ex) [Ą (jf, Xi) & S₂ (x, X&...<& Sn (X, *„)].

Gdy S jest zbiorem nieskończonym, wówczas na mocy zachodzącej dla każdej liczby kardynalnej pozaskończonej m równości mn = m i — twierdzenia 28 można znaleźć funkcje logiczne Ri (x, y), R₂ {x,y)} .. •, Rn (x,y) takie, że funkcja (x, x±) & &R₂{x,xj)&...&Rn{x,Xn)] odwzorowuje jednojednoznacznie elementy x zbioru S na n członowe układy [^, x₂,..., *„] takich elementów. Jeśli teraz F(xlfx₂,...,x„) jest dowolną funkcją logiczną określoną na zbiorze 3, to na podstawie twierdzenia 34 zachodzi dla pewnej funkcji f(x) w każdym razie równoważność F(xlf X₂,..., Xn) = (Fx) [f{x)& Ri (.X, Xi) & R₂ (x, x₂)&... ...&Rn(x,xn)\. Definiując teraz funkcje logiczne Si(x,y),S₂(x, y),..., Sn (x, y) przez równoważności Si (x,y) = (f(x)&Ri (*, y)) dla i — l,2,...,/i otrzymujemy F(xlf x₂,.. .,xn) = (Ex) [Ą (x,Xi)& & S₂(x, x₂) &... & Sn(x, xn)], c. b. d. o.

Przedstawialność, o której mowa w twierdzeniu 35, dla przypadku zbioru przeliczalnego, została zużytkowana przez K. G öde la (por. uwagę ³⁵) do zagadnienia rozstrzygalności. Na str. 33 podaliśmy tzw. postępowanie Skolema pozwalające do każdego wyrażenia stopnia n skonstruować wyrażenie stopnia n — 1 zawierające, prócz zmiennych funkcyjnych danego wyrażenia, jeszcze jedną zmienną funkcyjną F(*i, x₂,... ...,xs) i równoważne z danym wyrażeniem pod względem posiadania realizacji; wyrażenie skonstruowane stopnia n — 1, które było koniunkcją dwóch wyrażeń Bi i B₂ oznaczyliśmy tam przez B. Jeśli w tym wyrażeniu zamiast F(xlt x₂,..., xSi) weźmiemy (Fx) [ć>i (x, xt) & S₂ (x, x₂) & . .    (at, gdzie

Si(x,y),S₂(x,y),...,SSi(x,y) są zmiennymi funkcyjnymi róż-nymi pomiędzy sobą i różnymi od zmiennych funkcyjnych wyrażenia danego (stopnia n), wówczas otrzymamy wyrażenie także równoważne z danym wyrażeniem pod względem posiadania realizacji i dające się także do postaci normalnej stopnia n — 1 sprowadzić⁶⁹. Wprawdzie wprowadza się takim sposobem nowych zmiennych funkcyjnych zamiast jednej, ale jest i pewien zysk, gdyż zamiast st członowej zmiennej funkcyjnej wprowadza się tylko dwuczłonowe, jest to gö-delowska modyfikacja postępowania S k o 1 e m a.

Twierdzenie 36. Jeśli dla funkcji logicznej (x,y, z) zdefiniowanej w zbiorze 3 następujące dwa warunki są spełnione:

a*)    (*) (y) (z) (y) (z) [$ (*, y, z) & {x, y, z)y = y & z = z\,

b*)    (x)(y)(Ez)*(z,y,x),

to dla każdej funkcji logicznej n członowej (n J> 1) F (xi, x₂,...

i, vn)⁷⁰ Zachodzi przy stosownej funkcji f (vf) (a mia-

(Evfy₂[F(y

nowicie przy f (vf) = (Eyp)" ¹

lł y2} • • • > ÿn-l, 'a/i) &

n-i    -,

& 2J $ (vit Vi+1, ył)

i=i    '

oraz

(v?)n₂ \u ^ (*>i »

L;=i

, Vi±\,y) -> F (i/i, t/a,.... yn-i, vn

F (x1, at₂, ..., xn—i, vn) =

Vi+1

przy f (vf) = (i/p)

)J ) podwójn

(Evp)”⁻¹ [ /(^i) &    (w/,»«+i, Jf/)]

,Xi)-+f{v i)].

a równoważność

Biorąc w twierdzeniu 30 na R (x, x\, x₂,..., xn) funkcję logiczną zdefiniowaną przez równoważność R (vi, xlf *2, • • •

vn) = (Ev₉)l ¹ [2J (vr V.+V *.)J otrzymujemy

• * * > Xn—V

z a) i

b) dwa warunki, które na mocy twierdzeń 21 i 19 wynikają

69

Dowód przebiega w zasadzie równolegle do dowodu ze str. 33 i 34. Należy teraz jednak jeszcze uwzględnić twierdzenie Löwen-heima — Skolema (twierdzenie 9), twierdzenie 35 (dla zbioru liczb naturalnych) i równoważność [(Ex)f{x)-*-p\ = (x)[f(x)-*-p).

⁷⁰ Ostatnią zmiennę oznaczamy przez v„, zamiast przez x„, aby

n—1

i=l

móc zamiast    $(»;, v.+v xj.<£■ <t> (vn_ltxn, xn_i) pisać krócej £

i—l

v.,v x;). Analogicznie w innych podobnych wypadkach.

odpowiednio z warunków a*) i b*) i przeto dają się przez te zastąpić. Uwzględniwszy to, otrzymujemy natychmiast twierdzenie 36. Co się tyczy ilości rozwiązań na f(vA) podwójnej równoważności w tym twierdzeniu, to prócz wymienionych dwóch rozwiązań, które są na ogół różne od siebie, istnieją podobnie jak dla podwójnej równoważności z twierdzenia 30, na ogół jeszcze dalsze a moc zbioru wszystkich rozwiązań wyraża się zawsze liczbą kardynalną 2n, gdzie tt jest liczbą kardynalną mniejszą lub równą mocy zbioru 8. Ciekawym jest, że dla każdego zbioru nieskończonego 3 i dla każdej liczby kardynalnej n mniejszej lub równej mocy zbioru 3 można rzeczywiście podać przykłady na funkcje (x,y,z) dla których warunki a*) i b*) są spełnione i dla których zbiór wszystkich rozwiązań f(vi) podwójnej równoważności z twierdzenia 36 jest dokładnie mocy 2n. Co się zaś tyczy pojedynczych równoważności, z których się ta podwójna składa, to mogą one posiadać, podobnie jak to miało miejsce w twierdzeniu 30, jeszcze dalsze rozwiązania. Bliższe zbadanie tej kwestii pozostawiamy czytelnikowi.

Twierdzenie 37. Jeśli dla funiccyj logicznych R\ (x,y), R₂ (-Y, y) zdefiniowanych w zbiorze 3 następujące dwa warunki są spełnione

(*) (y) (z) (y) (z) [/?! (*, y) & R₂ (x, z) & Rl (x, y) & R₂ (x, z) -* -> y = y & z — z*],

(x)(y) (Ez) [/?! (z,y)&R₂(z,x)],

to dla każdej funkcji logicznej n członowej (n>l) F(x\, x%, • • • . . . , xn_v vj zachodzi przy stosownej funkcji f (vf) (a mianowicie przy

f(v i) = {Ey?\

(£z/p)" [F(#

przy f(vi)

& #2

& R>2 {v₀ y i) -+F(yx,y₂,..., yn_v vj J ) podwój n

oraz

, yn-v vn) & U(Ri (v₀vi+J &

j=i    >

(ÿp)ï_1 (^p)2 [iW iVi> V

f-H

a równoważność

xn__vvt)={Ev p)" ¹ [f(v₁)<&J£(Ri(vpvi+₁)&

& R% (vi>*•)) ] = (vP)

Tl-1

[i"(Rl (vit tĄ₊₁) & Ry (vit x;)) -> f(vf) J.

Twierdzenie 37 otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 36, kładąc R₁ (*, y) & R₂ (x, z) za <$>(x,y,z).

T wierdzenie 38. Jeśli dla funiccyj logicznych R₁ (x, y), R₂ (x, y) zdefiniowanych w zbiorze S następujące dwa warunki są spełnione

ix) (y) 0) [(Ri (x, y) & Ri (x, z)->y = z) & (R₂ (x, y) & R₂ (x, z) ->

-+y = z)\,

(x) (y) ißz) [/?! (z, y) & R₂ {z, x)],

y2* • • •

to dla każdej funkcji logicznej n członowej (nj> 1) F(x±t x₂,... . . . , xn_v vn) zdefiniowanej w $ zachodzi przy stosownej funkcji f(vi) (a mianowicie przy f {vf)

V,) & Z {R\ (v„ Vi+1) & R₂ (vit (y?)l~X(vpT^Z (Rr(Vi, vi+1) &R₂ {vpyff) -* F(yuy₂

oraz

przy f{vf)

y-i yn—

vvj] )

podwójna równoważność F(xltx₂,...,xn_v

Vn) = (Evp)î ¹ | / Ol) & Z(R\ O;* V & R₂ (yit ^.))J = Op)^¹ \Z (Ri O/»    &    (vi> xi))-+f(vi)]-

'•+1

)&

Twierdzenie to otrzymujemy łatwo z twierdzenia 37. Wystarczy tylko zauważyć, że warunek {x)(y)(z)[(R₁(x,y)& & Rx (x, z)-*-y —-z) &{R₂ {x,y) & R₂ {x, z)-+y= z)] pociąga za sobą pierwszy warunek z twierdzenia 37. Co się tyczy ilości rozwiązań podwójnej równoważności z twierdzenia 37 i 38, i pojedynczych, z których się ta podwójna składa, to kwestia ta przedstawia się zupełnie tak samo jak w twierdzeniu 36: prócz wymienionych dwóch rozwiązań istnieją na ogół jeszcze dalsze, których może być nawet nieskończenie wiele.

Twierdzenie 39. Gdy funkcja logiczna 4* (*, yt z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny wszystkie elementy x zbioru S na pary [y, z\ takich elementów, wówczas dla każdej funkcji logicznej n członowej (n > 1) F (xx2i... ,xn~\, vn) zachodzi przy stosownej funkcji f (vf) (a mianowicie przy

n~¹    -i

Vn) & Z ® O; ,Vi+V y i) i=1    J

/Oi)=(£t/p)i

71—1

(Ev?) \ [ F(yu    1,

(vp)ï ( Z (v.} vHV yj) F (yx,

Przy f (vi) = (yp)i

• • • , yn-v vn) J ) podwójn

F X₂, • • • > %n_'On)-

oraz

y^ • • •

a równoważność

(EvpYi ¹ £ / (z/!) &Z <ł> (Wf| Wf+1, jc.) J =

= (^p)l ¹    ^ (v;> Vi+V X.) -> f (z/x)J

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 36. Wystarczy tylko zauważyć, że gdy funkcja 4> (x> y, z) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie pary [y, z] takich elementów, wówczas warunki a*) i b*) z twierdzenia 36 są spełnione.

Podwójna równoważność w tym twierdzeniu, jako też każda pojedyncza z których się ta podwójna składa, posiada tylko jedno rozwiązanie na / (vx). Wynika to już z rozważań nad twierdzeniem 33, gdyż twierdzenie 39 można także otrzymać z twierdzenia 33 przy uwzględnieniu twierdzenia 23. Musi wobec tego zajść w szczególności równoważność

n-i

(FyP\

y 2» • • • > y n-

vvn)& Z fl> (vitVi>vy) i= 1    J

)“•

y2> • • • > y ri 1> 'On

Twierdzenie 40. Gdy funkcja logiczna Rx (x, y) & & R₂ (x, z) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie pary \y, z] elementów z 3, wówczas dla każdej funkcji logicznej n członowej (n j> 1) F fa, x2t..., xn_v vn) zachodzi przy stosownej funkcji f (t^)

(EveT₂\_F(yu

przy fM — iypfZ (vff₂

(a mianowicie przy f (vi) = (Eyp)"

oraz

&Z (Fx (vit w.₊₁) & R₂ (v₀

i    -*

\Z (Fi (vn of+1) & F₂ (za, y.)) F (y u y₂,.. ,,yn_v vjĄ)podwój-

na równoważność

⁷¹ Równoważność ta zachodzi zresztą już przy słabszych założeniach o funkcji d>(æ, y, z) niż założenia w twierdzeniu 39. Mianowicie już przy założeniach :

(x\Ey\Ez^(x,y,z) i {x\y\zXy\z)[^{x,ytz)(&^{x,y,z) -► y=yéz=z].

Twierdzenie to wynika natychmiast z twierdzenia 37, gdyż skoro funkcja logiczna R₁ (x, ÿ) cê /?₂ (■*> z) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy x zbioru $ na wszystkie pary [y, z] takich elementów, wówczas oba warunki z twierdzenia 37 są spełnione. Twierdzenie 40 można jednak także otrzymać z twierdzenia 39, podstawiając R₁ (x, y) & SR₂(x,z) za 4» (*, y, z), z czego wynika natychmiast, wobec uwag poczynionych w związku z twierdzeniem 39, że i podwójna równoważność z twierdzenia 40, jak również i każda pojedyncza, z których się ta podwójna składa, posiada tylko jedno rozwiązanie na f (v±). Zachodzi więc w szczególności równoważność

(EyP) i

) S 27 (Ri (vif V.₊₁) &

i= 1

SR

a (vi> &))] = (^)r¹ (^2 [ 27 (Ri (vn ©,₊₁) & R'2 (vif y))

>■

(Evp)" ¹    & 2J (Ri (vit ü/+1) &

a fr,» *•))] = (^p)ï_1 [ 2" (/?i (®f, ^₊₁)    #2 (»,•> ■*,))    / Mj.

F (ati, x2t ..., jfn vn)-

cê/?

“► E(yi,y2>-->yn-v vn

która to równoważność zachodzi zresztą już przy następujących, o wiele słabszych założeniach: (x) (Ey) (Ez) [Rł (x,y) S S R₂ (x, z)], (x) (y) (z) [/?! (x, y) S Rt (x, z] y = z] i (x) (y) (z) [^2 (*, y) S R₂ (x, z) -> y = z].

Twierdzenie 41. Gdy dla funkcyj logicznych R (x, Xi, x₂,.. •, *«) i f (x) zachodzą następujące dwa warunki:

(*p)" (Ex) R (x, xu x₂,..., xn),

(x) (y) (xp) 1 [R O, *i. x.₂ ,...,xn)SR (y, XU X₂,..., xn) Sf (x) ->/(«/)], wówczas zachodzi równoważność

(Ex) [f{x) S R (x, XU X₂,..., •*„)] = (x) [R (X, XU X2> ■ . • , Xn)-+f(x)].

z W (y) (xp)" [R (X, xlf x₂, . . . , xn) S R (y, xu x₂, . . . , *„) S Sf(x)^f(y)\ wynika łatwo implikacja [f {x)SR{xyx₁,x₂,...,x,)]-> ->[R(y} xlfx₂,..., xn) ->/(ÿ)], a z tego łatwo implikacja (Ex) [f (x) S S R (x, xlt x2>..., *„)] -> (y) [/? (y, xlf x₂,..., xn)->f(y)], która po zmianie zmiennej y na x daje

(Ex) [f (x) S R (x, xu x₂,..., *„)] -> (x) [/? (x, xlt x₂,..., xn)+f(x)].

Zachodzi jednak również implikacja odwrotna W [R (X> XU x2> ■ ■ ■ , Xn) -> / (*)] -> (Ex) [f(x)&R (x, Xlf X₂, . . . , -OL gdyż z (x) [/? (*, xlf x₂,..., *„) -> / (a:)] wynika przede wszystkim prawdziwość wyrażenia (x) [/? (x, x±, x₂, ..., x„) -*» / (x) & & R (x, xlt x₂, . . . , *„)], a z tego łatwo prawdziwość wyrażenia (Ex) R (x, xlf x₂,..., xn) -> (Ex) [f (x) & R (x, x1% x₂,..., at„)], co w połączeniu z (Ex)R(xtxlfx2f...,xj)tprawdziwym na mocy zachodzenia (xp)" (Ex) R (x, xlf x2}..., xn), daje istotnie (Ex) [f (x) & & R (x, xu x₂,..., *„)].

Twierdzenie 42. Gdy dla funkcji logicznej R (a:, x±, x₂,... ...,x„) zachodzą następujące dwa warunki:

C*p)ï (Ex) R (x, xu x₂,..., xn),

(x) (y) (xp)" [R (x, xl, X₂, . . . , Xn) & R (y, Xlt X2> . . . , Xn) (x — ÿ)], wówczas dla każdej funkcji logicznej f(x) zachodzi równoważno ść

(Ex) [f (x) & R (x, xlf x₂,..., *„)] == (a:) [/? (x, xu x₂, ...,xn)->-f (*)].

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 41. Wystarczy tylko zauważyć, że z prawdziwości (x) (y) (xp)" [/? (x, xlt x₂,..., xn) & R (yf xu x₂,..., xn) ->• (x = #)] wynika, dla każdego / (a:), (x) (y) (xp)" [/? (*, xu x₂₎ ..., xn) & R (y, xu x2i...

• • •, xn) & f (x) f (#)]•

Twierdzenie 43. Gdy dla funkcyj logicznych 4> (xt yf z)

i f (a:) zachodzą warunki :

W (y) (Ez) c]) (z, y y x)y

(vp)ï ¹ (vp)ï ¹ (xp)ï [    4> (v.t vi+v x) & 4> (vn_v xn, xn_j) &

1=1

&    $ (Vp Vi+V X;) & 4> (vn_v xn, ATn_₁) & f (Di) -> /fai)] »

wówczas zachodzi równoważność (Evp)1 ¹ [ f(vi) &2J (vif vi+v AT;)1

L    f=1

(vp)î ¹ [j? 4> (v., Vi+V x.) ->■ /

Twierdzenie 43 otrzymujemy z twierdzenia 41 przy uwzględnieniu twierdzenia 19. Kładąc bowiem w twierdzeniu 41 za R (a:, a:!, x₂,..

R (»1, *1, x2> • • • » Xn-V

xn) funkcję zdefiniowaną przez równoważność

vn) = (Ev

vi+V Xi

)J otrzymu-

jemy z jednej strony z warunku pierwszego warunek wynikający na mocy twierdzenia 19 z warunku (*) (y) (Ez) 4> (z,yfx), a więc dający się przez ten ostatni zastąpić. Z drugiej strony warunek drugi twierdzenia 41 przechodzi przy tym podstawieniu, po uwzględnieniu równoważności [(£a:) F {x) -> ,v] ^ (x) [F (*) p\ i po odpowiednim oznaczeniu zmiennych, w drugi warunek twierdzenia 43.

T wierdzenie 44. Gdy dla funkcji logicznej 4> (jt, y, z) zachodzą następujące dwa warunki:

W (y) {Ez) 4> {z, y, x),

*

= *]>

(y) (*) W O) [$ (x, y, z) & 4> (x, y, z)

wówczas dla każdej funkcji logicznej f (x) i dla każdej liczby naturalnej n^> 1 zachodzi równoważność

{Ev₉)\ ¹ [f(vj) &2J <\> (vp v.+v x.)J

Kładąc w twierdzeniu 42 za (x, *i, x₂, .. zdefiniowaną przez równoważność R (vlt xlf x2>.

xn) funkcję

vn) =

• * » X7l—1»

(Evpy₂ ¹ [ j? $ (v£, Vi+V x.)J otrzymujemy

z warunków twier

dzenia 42 dwa warunki wynikające na podstawie twierdzeń 19 i 22 odpowiednio z warunków {x) (y) {Ez) 4> (z, y, x) * * *

Î (*/) (z) W W    (x, y y z) & (x, y, z) .V = x], a więc dające

się przez te ostatnie zastąpić.

Twierdzenie 45. Gdy dla funkcyj logicznych Ri {x- y), R₂{x,y) i f (x) zachodzą następujące dwa warunki:

(x) (y) (Ez) [/?! (z, x) & R₂ {z, yj],

*    r n 2

(^p)r¹ (vp)r\xf)l l-Z (Ei (vi vi+i) ¹ E₂ (ve xi)) & El (vn_v xn) &

& Ez (vn_v X

)&2J (Ri (vr Vi+1) & R₂ (vr x)) & R₁ (vn_v xn) &

z=l

{Evç)1 ¹ £ / (üi) & 2J (Rt (vn V.₊₁) & R₂ (V , x)) J ==

= (-p)r¹ [ 2J (Ri (v? o/+i)& ^ Ov» ■**))    / C^i)]•

Twierdzenie to otrzymujemy z twierdzenia 43 podstawiając Rt (x, y) & R₂ (*, z) za 4> (*, y, z).

Twierdzenie 46. Gdy dla funkcyj logicznych R\ (a:, y), R₂ (x, y) zachodzą następujące dwa warunki:

(x) (y) (Ez) [/?! (z, x) & R₂ (z, y)],

(u) (*) (*) (x) [#i (x, y) & R₂ (x, z) & Rt (x, y) & R₂ (x, z) -> x — ],

wówczas dla każdej funkcji logicznej f (x) i dla każdej liczby naturalnej n > 1 zachodzi równoważność

(Evp)" ¹    / (vj & 2J (Ri (vr vi+1) & R₂ (vr *.))] =

= (-p)r¹ [2J (Ri (vr vi+\)& R% (vi> *,)) f (»1)] •

Twierdzenie 46 otrzymujemy z twierdzenia 44 podstawiając /?! (x, y) & R₂ (a:, z) za $ (*, y, z).

Twierdzenie 47. Gdy R (*, xlf x₂,..., Af„) jest funkcją logiczną, dla której następujące dwa warunki są spełnione:

(Xp)ï (Ex) R (X, X\, X₂₎ . . . , Xn),

(x) (xp)1 (yp)1    (a:, xu

n    “I

at₂, ..., Xn)&R(x,yuy₂,... ,yn)~>2Jxi = yi L

i=l    J

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (xly x₂,..., xn) zachodzi implikacja (x) (Eyp)1 [R (x,yuy₂,... ,yn) <&F(y₁,y₂,.. .,*/„)] ->

->

(jłTp)"    X₂,...,Xn).

z (x)(Eyp)"[R(x,y₁,y₂,...,yn)SF(yvy₂,...,yn)\ i z pierw-

szego warunku wynika łatwo (atp)” (Ex) (Eyp)" [/?(*,*!, at₂, .. & R (x, y%t.. •, yn) & F (yu y₂,..., yn)].

xn) &

Z drugiego warunku otrzymujemy łatwo

R (x, xu x₂,..., xn) & R (x, ylf y₂,... ,yn) & F(yu y₂,..., yn) -> -► F(xti x₂,..., xn), a z tego łatwo (*p)" (Ex) (Eyp)” [/? (x, xl9 x₂,.. f

..., xn) & R {x,yuy₂,.. •,yn)&F(yhy₂,... ,#„)] -> (*p)" F{xlfx₂,... • ..,Af„), co w połączeniu z poprzednio otrzymanym daje (*p)" F (xltx₂,...,xn).

T wierdzenie 48. Gdy dla funkcji logicznej R (x, xlf x₂,... ..., xn) spełniony jest warunek :

(x) (Exp)" R (x, xu x₂,..., Xn),

wówczas dla każdej funkcji logicznej F x₂,..., xn) zachodzi implikacja (Xp)" F(x 1, X₂, . . . , Xn) ^ (x) (Ex p)J [/? (xi xu x₂,..., Xn) &

Dowód. Z (xp)" F(xlt x₂,..., xn) i z według założenia prawdziwego wyrażenia (x) (Exp)" R (x, xlf x₂,..., xn) wynika przez n krotne stosowanie reguły [(x) F (x) & (Ex) G (x)] -> -> (Ex) [F(a:) & G (*)] natychmiast

(x) (Exp)" [R (x, xu x₂,..., x n) & F (xu x₂,..., *„)], c. b. d. o.

Twierdzenie 49. Gdy dla funkcji logicznej R (x, x\, x₂,...,x„) spełnione są następujące trzy warunki:

(xp)" (Ex) R (x, xlf x₂,..., *„),

x₂, . . . , Xn) &

W (*p)i (y?)\ [# xu

i=l

<    (x) (Exp)" R (x, xux₂,..., xn),

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (a^, x₂,, xn) zachodzą równoważności'.

(x) (Exp)1 [R (x, xltx₂,..., xn) & F(xu x₂,... 5 Arn)] ^

™ (*p)" F(xux₂,...,xn),

(Ex) (jfp); [/? (x, XUX₂,..., Xn) F (xu x₂,. . . , *„)] ~

^ (EXp)ï F (x1} Al2, ... y Xn)-

Dowód. Zachodzenie pierwszej równoważności wynika bezpośrednio z twierdzeń 47 i 48. Kładąc w pierwszej równoważności F (xi, x₂,..., xn) za F (xlt x₂,. • ■, xn) otrzymujemy (a-) (Ex p)i [R (x, xlt x₂, ..., xn) & F (xu x₂,    x„)] ~ (xp)" F (x1}

x₂,...,xn), a z tego przez obustronne przeczenie łatwo

xn) -> F (xu x₂,..., *„)] ^

(Ex) (*pX [/?(*, xux₂,. .

rvJ    F C*l> X2t • • • > Xn)'

Twierdzenie 50. Gdy funkcja logiczna R (xyxlyx2i... ..., xn) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny elementy x zbioru 3 na n członowe układy [xi, x₂,..., *„] elementów z wówczas dla każdej funkcji logicznej F (x i*x₂,...,xn) określonej na 3 zachodzą równoważności'.

(x) (FXp)" [R (X, XU X2y . . . , Xn) & F(XU X2y..., *n)] ~

Xn)

^ (xp)i F (xu x₂,..

(Ex) (xp)1 [R (x, xly x₂,. . . , Xn) ■> F (*lt x₂, • • • , *«)]

~ (£*p)î F (jfj, *₂, . . . , xn).

■y₂, ..

z twierdzenia 49 są spełnione.

Twierdzenie to otrzymujemy bezpośrednio z twierdzenia 49. Wystarczy tylko zauważyć, że gdy funkcja R(x,xlfx₂,... ..., jf„) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy x zbioru S na wszystkie n członowe układy [xiy xn] takich elementów, wówczas wszystkie trzy warunki

Twierdzenie 51. Gdy dla funkcji logicznej (x,y, z) spełnione są następujące dwa warunki'.

{x) (y) (Ez) <l> (z, y, x),

(x) (y) (z) (y) (z) [4> (x, y, z) & 4> (x, y, z) -> y — y & z = z\,

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (xly x₂,..., xn) zachodzą implikacje:

(z/i) (Evp)" (Exp)" ¹ [ i⁷ 4> (z/., vi+v x) &

vj] “► (xp)i F(*i

(Exp)” F (xt, x2y..., xn) -> (Evt) (z/p)" (^p)r¹ ri"⁽l> (z/,., z/.₊₁, *.) ->

& F(xlyx2y..

Xn-V

, A*2, • • • , •*”„)>

>■

-* F (xlt *2> ■ • • , ^„-1*

Biorąc w twierdzeniu 47 na R (x,xlyx2y... ,xn) funkcję zdefiniowaną przez równoważność R (yu xu x2f..., xn-\, vn) =

¹    4> (vp vi+v a-.)J otrzymujemy

z warunków twier-

dzenia 47 dwa warunki wynikające, na podstawie twierdzeń 19 i 21, odpowiednio z warunków (x) (y) (Ez) <t> (z,y, x) i (x) * * ❖ * * *

(y) (z) (y) (?) [$ (x, y, z) & 4> (x,y, z) -> y = y & z = z], a więc dające się przez te ostatnie zastąpić. Z implikacji w twierdzeniu 47 uzyskujemy przez to podstawienie z łatwością implikację

cê    jr₂,.. .,xn_rz;n

,x₂,...,*,).

Kładąc w tej implikacji F(xlt x₂,..., xn) za F(x₁,x2t... ...,xn) i korzystając z zasady logiki zdań (p-*■ q) -> (<7->/?) otrzymujemy łatwo również implikację

(£xp)" F(xlf x₂,..

•>*")-* (ft/j) (t/p)” (xp)" ¹ Çg 4> (z/., z/.₊₁, x.) -*

-> F(xux₂,.. .,x

Twierdzenie 52. Gc/y dla funkcji logicznej ⁽I> (x, y, z) spełniony jest warunek :

W (Ey) (Ez) ® (*> z, y),

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (xi, x₂,..., xn) zachodzą implikacje :

(Xp)'?F(*i,x₂,..

•> xj)-*(vi) (Ev^2 {Ex?)1 1    (|> {vp vi+v x) &

& F (xlf x₂,..., xn_v t/n)J,

» Xn-1»

{Evf) (t/p)” (xp)” 1    (I> (*V Vi+V X.) -> F (x,, x₂, ...

Xn)'

-> (Ex p)ï F (xux₂,..

x„) funkcję lo-

• j Xn—1»

Biorąc w twierdzeniu 48 na R(x, xlfx₂,.. giczną zdefiniowaną przez równoważność R(vlf xlt x₂,..

vn) = (Evp); ¹ [J7$(ü.,tr₊₁,x.)] otrzymujemy

z warunku twier

dzenia 48 warunek wynikający na podstawie twierdzenia 20 z warunku (x) (Ey) (Ez) 4> (x, z, y), a więc dający się przez ten ostatni zastąpić. Z implikacji w twierdzeniu 48 uzyskujemy przez to podstawienie z łatwością

(-Yp)ï E (xU X₂, . .

X„)

-> m (Ev$(Ex?yr [g* (p, vi+v x) &

Kładąc w tej ostatniej implikacji F(xlf x₂,..., xn) za F(xlf

.*„) i uwzględniając zasadę [p -> <7] -> [7 -> p] uzyskujemy

X2, • •

również implikację

(Ev\) (v?y₂ (jfp)" ¹    <t> (v., v

<•+1»

"► ^ (*1> *2> • • • > -Y/i—1» V,,

)] -* (Ex₉)"F(xux₂,

Twierdzenie 53. Gtńy af/a funkcji logicznej    (.*,*/, z)

spełnione są następujące trzy warunki:

W (#) (£*) ^ (z, y y x),

(x) (y) (z) (y) (z)    (x, y, z) & $ (x,y, z) y = y & z = z],

W (Ey) (jEz) <ï> (x, z, y),

wówczas dla każdej funkcji logicznej F {x±, x₂,..., xn) zachodzą równoważności :

(*p)" F (xux₂,..., xn)

⁰⁰ fai) {Evp)." {Ex?)1 ¹ [ j; (»,» w/+i* ■*,)

>.

~> F (xi, X2f. . . , Xn-1, t>n

)]■

Twierdzenie 53 otrzymujemy natychmiast z twierdzeń 51 i 52 przy uwzględnieniu zasady logicznej (p-+q) -> [(</-►?) ->

<7)].

Twierdzenie 54. Gdy funkcja logiczna 4> (x, y, z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na

dla każdej funkcji logicznej F (ją, x₂, ..., ją) określonej na zbiorze 3 zachodzą rózunoważności :

wszystkie pary [y, z] elementów z 3, wówczas

(^p)l F (x U X₂y... y Xn)

~ (c) (Ev$ (Ex$r' [i/* (o, vl+v &

& F (ją, *₂,. •., xn-1, v„

)]■

(Exp)ï F (xu x₂, ..., xn)

~ (Ev1) (VP)" (xp)i ¹ \^J(t> (vi> v

j+i»

x) +

>]•

F (xlt x₂,..

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 53, gdyż dla funkcji <E> (x, y, z) odwzorowującej wszystkie elementy x zbioru S na wszystkie pary [y, z] takich elementów wszystkie trzy warunki twierdzenia 53 są spełnione.

Twierdzenie 55. Gdy dla funkcyj logicznych R\ (x,y), R₂ (x, y) spełnione są dwa następujące warunki :

Xn—1> Vu

W (y) (Ez) [Ei (z,y) & E₂ (z, *)]»

W (y) (z) (y) (z) [Ei O, y) & r₂ (x, z) &

* * * *

& Ei (x, y) d R₂(x, z) -> y = y d z = z],

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (*1, x₂,..., xn) zachodzą implikacje:

M {Evp>2 {Exf)1 ¹ Ï2J (Ei (vPvm) d R₂ (vif X.))

*“i=i

)] - (x$r(*i

{Ev 1) (t/p>2 (xp)j'_1    (/?! (»., O

*-i=l

& F(xux₂,...,xn l, vn

(Ex p)" F (xux₂,..., xn)

>]■

d /?₂ (©,, Xy)) -> F (xlf X₂, . . .

■ ,,

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 51 przez podstawienie Ri(x,yf&R₂{x,z) za <£(.*,#, z).

Twierdzenie 56. Gdy dla funkcyj logicznych R\ (x, y), R₂ (x, y) spełnione są dwa następujące warunki:

(*) ty) {Ez) [/?! (z, y) d /?₂ (z, *)],

W (y) (z) I(#i (■*>    ^ #i (*, «)’ -> y = z) d (#2 O, y) d #₂ (*, z) ->

-> y = z)],

wówczas dla każdej funkcji logicznej F (x₁₍ x₂,..., xn) zachodzą implikacje:

M (Eve)"₂ (Exp)" '    (Vv.+l) & R₂ (v„ x)) &F(x₁

, x2t. . .

(Ex₀)1 F (xx, x₂,..., xn) -* (Evx) (vp)₂ (Xp)nx ¹ [ £ (Rx (vit vi+1) &

L j'₌i

& R₂ (vp x)) -> F (xx, x₂,..

)]•

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 55. Wystarczy tylko zauważyć, że drugi warunek twierdzenia 55 wynika łatwo z warunku (x) (y) (z) [(/?i (a:, y) & R\ (*, z) -> ->y = z) & (R₂ (a-, y) & R₂ (.x, z) ->■ y — z)], a więc daje się przez ten ostatni zastąpić.

Twierdzeni e 57. Gdy dla funkcyj logicznych Rx (x,y), R₂{x,y) spełniony jest warunek:

(x) {Ey) (Ez) [/?! (x, z) & R₂ (x, y)j,

wówczas dla każdej funkcji logicznej F {xXy x₂,..., xn) zachodzą implikacje'.

» xn) M (Evp)₂ (Exp)" ¹ r 2J (Rl (pp vi+x) &

L 1=1

& R₂ (vit x)) & F (xv X₂, . . . , *n_

(Ev i) (Vp)n₂ (jTp)"_1    (Rl (vi< Vi+1) & R₂ (Vp *.)) -+F(xU X2t...

• • • > xn_v z>n)J -> (Exp)x f(xi,x₂, . .., xn).

(xp)"F(xux2y...

V ü«)] »

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 52 przez podstawienie Rx(x,y)&R₂(xyz) za (*, y, z).

Twierdzenie 58. Gdy dla funkcyj Rx (*, y), R₂ (a:, y) spełnione są następujące trzy warunki'.

(x)(y)(Ez)[Rx(zyy)&R₂(zyx)\y (x) (y) (z) (y) (z) [Rx (x, y) & R₂ (x, z) & Rx (x, y) & R₂ (x,z) ->

(x) (Ey) (Ez) [/?! (x, z) & R₂ (x, i/)],

-+y

*    *

— y & z    z],

wówczas dla każdej funkcji logicznej F(xx, x2y. równoważności:

xj) zachodzą

71—1

(xp)" F(xXy x2y..

xr)^J(vf)(Evp)n₂{Exp)nx ¹ [Ź(Ri(vifvi+l)&

& R₂ (v.y X.)) & F (xu x₂,..., xn_v

~ (Evx) (®p)" (V" ¹ I 2 (Ri («•» vi+1)&

¹

E* (Vn-V Xn-1) ¹ fM ^ f fal)]»

wówczas zachodzi równoważność

71 — 1

(Ex?)"F(xux₂,...,xn)

L i—

& R₂ (v., X;))    F (xX,X₂, . . . , Xn_v vn)J .

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzeń 55 i 57 przy uwzględnieniu zasady logicznej (p-> q) -> [{q->p) ->

->(p~ q)\•

Twierdzenie 59. G d'y <7/d funiccyj logicznych Rx {x,y), R₂ (x,y) spełnione są następujące trzy warunki:

W (y) (Ez) [Rx (z, y) & R₂ (z, x)],

(*) (y) (z) [(7?1 (x, y) & Rx (x, z)~>y — z) & (R₂ (x, y) & R₂ (x, z) ->

+ 3 = z)]>

(x) (Ey) (Ez) [Rx (x, z) & R₂ (x, y)J

wówczas dla każdej funkcji logicznej F{xXyx₂,...txf) zachodzą równoważności :

(•^p)i F (xx,x₂,..., xn)

(Exp)x F(xx, x₂,..., xn)

~ fai) (Ev?)n₂ (Exp)x ¹ \lf{Rx (vn V.+X) &

L ;₌1

■& R₂ (vn x)) & F (xx, x₂,..., xn_v Vn) |,

~(Evi) {v?Y (xp);,_1 I Z (Rx (v;, V L/=1

'+1

)&

" * Xn—

& R₂ (v.t x)) ->F(xx,x₂, . .

Twierdzenie 59 otrzymujemy natychmiast z twierdzeń 56 i 57 przy uwzględnieniu zasady logicznej (p ->■ q) -> [(ą -> p) ->

->(p~ <7>].

Twierdzenie 60. Gdy funkcja logiczna Rx (x, y) & & R‘2 (■*, z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie pary [y,z] elementów z 3, wówczas dla każdej funkcji logicznej F (xlt x₂,..., xn) określonej na zbiorze 3 zachodzą równoważności :

(^p)i F{xx,x2t..., x„)

^ M (Evp)2 (£*p)? ¹ [    (#1 (v;, V

L ,=1 ,

& R₂ (v., x)) & F(xu x2t. . . , Xn _J ,t>n)J,

1+1

)<£

)]•

(Exr)"F(xi,    ..., x„) ou (Ev{) (v?)nź (xp)" ¹ T Z (z/., v

L i

'+1

)&

& Ro (v., x)) F (xu X2}..., Xn_v vn

Twierdzenie 60 otrzymujemy natychmiast z twierdzenia 54 przez podstawienie Ri(x,y)&R₂(x,z) za 4> (x, y, z). Twierdzenie 60 można także otrzymać z twierdzenia 58, gdyż przy założeniach twierdzenia 60 wszystkie trzy warunki twierdzenia 58 są spełnione.

W paragrafie tym wskazaliśmy na szereg przedstawial-ności dowolnych funkcyj logicznych. Przedstawialności te zachodzą w zbiorze 3, gdy wszystkie elementy x tego zbioru dają się odwzorować w sposób jednojednoznaczny na wszystkie pary [y, z] elementów z 3, czyli gdy moc m zbioru 3 czyni zadość równaniu m² — m. Ponieważ zachodzi Xo = N₀> w^c przedstawialności te zachodzą w każdym razie w zbiorach przeliczalnych. Wprawdzie w następnym paragrafie, przy zastosowaniu tych przedstawialności do redukowania zagadnienia rozstrzygalności, jedynie z tego szczególnego przypadku korzystać będziemy (przy uwzględnieniu twierdzenia 9), to jednak warto podkreślić, że te przedstawialności są słuszne w ogóle w każdym zbiorze nieskończonym. Równość bowiem m² = m zachodzi, jak już zaznaczyliśmy, w ogóle dla każdej liczby kardynalnej pozaskończonej m, o ile naturalnie przyjmujemy pewnik Zermelo⁷².

Co się tyczy w szczególności twierdzeń 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39 i 40, to odróżniliśmy w nich podwójne równoważności od pojedynczych, z których się te podwójne składają. Na zastosowania tych pojedynczych równoważności wskazałem już w swojej pracy wymienionej pod⁹. Podwójne równoważności pozwalają jednak uzyskać o wiele lepsze wyniki, przy stosowaniu ich do zagadnienia rozstrzygalności, niż pojedyncze, gdyż na nich polega nowa metoda podstawiania (tzw. metoda podwójnego wzgl. kombinowanego pod- ¹ stawiania). Bliższe szczegóły poznamy w paragrafie następnym; tu chciałem jednak jeszcze tylko wskazać główną myśl, na której metoda kombinowanego podstawiania polega. Weźmy jedną z tych podwójnych równoważności pod uwagę, np.

{Ev?)1 ¹ | /Oi) &    O/» viĄ-v •*,)] =

= O?)!⁻¹ [2J<l> O,-. o/+1 » *f) -► / Oi)] •

F(xux2i... , xn_vvn)

Wykazuje ona, że każdą funkcję logiczną w każdym zbiorze nieskończonym można przedstawić przez wyrażenie o samych tylko kwantyfikatorach szczegółowych i równocześnie przez wyrażenie o samych tylko kwantyfikatorach ogólnych, posługując się przy tym wyłącznie dwiema funkcjami: jedną jednoczłonową i jedną trójczłonową. Znaczenie tej podwójnej równoważności jest jeszcze bardziej widoczne, gdy się ją przedstawia przez koniunkcję następujących dwóch pojedynczych równoważności⁷³:

(74*1) F(xlt x₂,..., xn_v

v,)=¹    (®«> vi+vx)&

(74*2) F (xlfx₂,...,xn_vvn)

{Fvoyi ¹    4> Of, Vj+V x) &

LI=1

&f Oi)]*

lub też przez koniunkcję następujących dwóch pojedynczych równoważności :

05 1) F(xlt x2y..., xn_p

(75‘2) F(xlt x₂,..., xn_v

®„) 0P)i T27 (|> (vi> v;+v x) v *-/=i

v,) = (vp)'î T^c,) (vi> vnv v)

W= 1

^zoo I •

⁷³ Że zachodzenie powyższej podwójnej równoważności jest równoznaczne z zachodzeniem koniunkcji (74-1) rf- (742), wzgl. koninnkcji '751 ) <£• (75⁻2), jest natychmiastowe.

Równoważności (74⁻l) i (74‘2), wzgl. (75*1) i (75⁻2), pouczają, że z wyrażenia przedstawiającego dowolną funkcję można przejść do wyrażenia przedstawiającego negację tej funkcji przez zastąpienie funkcji f(vi) przez jej negację. W szczególności wynika z tego, że przy tym przejściu kwan-tyfikatory szczegółowe nie przechodzą w ogólne, wzgl. kwan-tyfikatory ogólne w szczegółowe, jak to ma zwykle miejsce przy przejściu do negacji, lecz pozostają niezmienione i na tym właśnie polega główne znaczenie tych równoważności.

Co się tyczy zaś twierdzeń takich, jak 49, 50, 53, 54, 58, 59, 60, to służą one do zmiany kształtów prefiksów do czego się bardzo nadają, gdyż równoważności, o których w nich mowa, pozwalają w pewnej mierze dowolny układ kwantyfi-katorów ogólnych zastąpić przez jeden kwantyfikator ogólny i układ kwantyfikatorów szczegółowych, wzgl. odwrotnie — dowolny układ kwantyfikatorów szczegółowych przez jeden kwantyfikator szczegółowy i układ kwantyfikatorów ogólnych.

§ 5. Dalsze redukcje ogólnego zagadnienia rozstrzygalności.

Dla wyrażeń węższego rachunku funkcyjnego, jako też dla wyrażeń uogólnionych przez wprowadzenie identyczności logicznej, przyjmujemy następującą definicję:

Definicja 5. Dane wyrażenie będziemy nazywali o.-wy-rażeniem, gdy to wyrażenie, jeśli w ogóle posiada realizację, wówczas także w pewnym zbiorze, którego moc czyni zadość równaniu m² = Ut.

Z powyższej definicji wynika przede wszystkim, że każde wyrażenie, w ogóle nie posiadające realizacji, jest a-wyraże-niem. Następnie, że każde bez wyjątku wyrażenie bez identyczności jest a-wyrażeniem. W samej rzeczy, jeśli A jest dowolnym wyrażeniem bez identyczności, to albo A w ogóle nie ma realizacji i przeto jest a-wyrażeniem, albo posiada, na mocy twierdzenia 9, realizację w zbiorze przeliczalnym i przeto również jest a-wyrażeniem, jako że zachodzi K² = X₀. W zakresie wyrażeń bez identyczności pojęcie a-wyrażenia nie wypowiada więc nic ciekawego.

Co się zaś tyczy wyrażeń z identycznością, to rzecz się przedstawia zgoła inaczej: niektóre są a-wyrażeniami, inne zaś nie są. Są a-wyrażeniami przede wszystkim te wyrażenia z identycznością, które w ogóle realizacji nie posiadają. Można jednak podać liczne przykłady wyrażeń z identycznością mające realizację, które są a-wyrażeniami. Takim jest np. wyrażenie (*) (* = x) u, gdyż posiada realizację w każdym bez wyjątku zbiorze. Z licznymi mniej trywialnymi przypadkami będziemy mieli do czynienia później. Jako przykład wyrażenia, które nie jest a-wyrażeniem może służyć (Ex) (Ey) (x — y) & & W (y) (z) [(y) V (x = z) v (y == z)], gdyż posiada, jak łatwo widzieć, realizację jedynie w zbiorze złożonym z dwóch przedmiotów, a jest oczywiście 2²=ł=2.

Wyróżniamy pewną trójczłonową zmiennę funkcyjną (x,y, z), którą będziemy nazywali zmienną funkcyjną „wyróżnioną“, i tworzymy przy jej pomocy wyrażenie

(76)    (*) (y) (Ez) ⁽1> (z, y, x) & (x) (*) (y) (z) [<E> (x, y, z) &

& ⁽h {x, y, z) -> x — x] & (*) (Ey) (Ez) <lł (x, y, z) & & (x) (y) (z) (y) (z) [<E> (x, y y z) &<& (x, y, z) -> y = y & z = z].

Następnie wyróżniamy dwie zmienne funkcyjne dwuczłonowe Ri (x,y), R₂(x,y), które będziemy nazywali zmiennymi „wyróżnionymi“ dwuczłonowymi, i przy ich pomocy tworzymy wyrażenie

(77)    (x) (y) (Ez) (/?! (z, y) & R₂ (z, x)) & (x) (x) (y) (z) [/?x (x, y) &

& R₂ (x, z) & R₁ (x, y) & R₂ (x, z) -> x — jc] &

& (x) (Ey) (Ez) (R₁ (x,y) & R₂ (x, z)) & (x) (y) (z) (y) (z) [R± (x, y) &

* * * *

& R₂ (x, z) & R₁ (x, y) & R₂ (x, z)y = y & z = z],

oraz wyrażenie

(78)    (*) (y) (Ez) (Ry (z, y) & R₂ (z, *)) & (x) (x) (y) (z) [Rx (x, y) &

& R₂ (x, z) & Rt (x, y) & R.₂ (x, z)->x — x] & (x) (Ey) (Ez) (Rt (x, y) & & R₂ (x, z)) & (x) (y) (z) [Ry (x, y) & R± (x, z)-+y = z\&

& (x) (y) (z) [R2 (x, y) & Ri (x, z) -> y = z].

⁷⁴ Że to wyrażenie nie zawiera żadnej zmiennej funkcyjnej nie powinno nikogo razić, gdyż i takie wyrażenia są dopuszczalne. Do każdego zresztą wyrażenia A z identycznością logiczną nie zawierającego żadnej zmiennej funkcyjnej można podać wyrażenie ze zmiennymi funkcyjnymi, które poza tym posiada te same własności co A. Takim wyrażeniem jest np. (x)(f(x)vf(x)) Æ A.

Przyjmujemy następujące definicje:

Definicja 6. Dane wyrażenie A zawierające zmienne wyróżnione Ri (x, y), R₂ (x, y) będziemy nazywali ß- wyrażeniem, gdy jest z wyrażeniem A & (77) równoważne pod względem posiadania realizacji. Każdy układ spełniający wyrażenie A & (77) spełnia tym bardziej wyrażenie A; taki układ będziemy nazywali realizacją wyróżnioną wyrażenia A.

Definicja 7. Dane wyrażenie A zawierające zmiennę funkcyjną wyróżnioną (x, y, z) będziemy nazywali y-wyrażeniem, gdy jest z wyrażeniem A & (76) równoważne pod względem posiadania realizacji. Każdy układ spełniający wyrażenie A & (76) spełnia tym bardziej wyrażenie A; taki układ spełniający będziemy nazywali realizacją wyróżnioną wyrażenia A.

Z powyższych definicyj wynikają natychmiast następujące dwa twierdzenia:

Twierdzenie 61. Wyrażenie A, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Rlt R₂ zawiera jeszcze zmienne funkcyjne Ft, F₂, ..., Fk, jest wtedy i tylko wtedy ^-wyrażenie mt gdy istnieje zbiór 3 i układ funkcyj Rf, Rf, Ff, Ff,.. Ff zdefiniowanych w 3 spełniający wyrażenie A taki, że funk-cja Rf (x,y) & Rf (x, z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie pary[y,z\ takich elementów. Taki właśnie układ spełniający jest realizacją wyróżnioną wyrażenia A.

T wierdzenie 62. Wyrażenie A, które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej ⁽h zawiera jeszcze zmienne funkcyjne F\, F₂,..., Fk, jest wtedy i tylko wtedy y-wyrażeniem, gdy istnieje zbiór 3 i układ funkcyj Ff, Ff,..., Ff zdefiniowanych w 3 spełniający wyrażenie A taki, że funkcja W (x,y,z) odwzorowuje w sposób jedno jednoznaczny wszystkie elementy x zbioru 3 na wszystkie pary [y,z\ elementów z 3. Taki właśnie układ spełniający jest realizacją wyróżnioną wyrażenia A.

Z powyższego wynika dalej

Twierdzenie 63. Każde ß-wyrażenie, jak i każde y-wyrażenie, jest o.-wyrażeniem.    /

Do dowodu wystarczy tylko zauważyć, że moc zbioru, w którym dane ß-wy^enie wzgl. Y-wyrażenie ma realizację wyróżnioną, czyni zadość równaniu m² = m.

Twierdzenie 64. Dane wyrażenie A zawierające zmienne wyróżnione R\, R₂ jest wtedy i tylko wtedy ^-wyrażeniem, gdy jest z wyrażeniem A & (78) równoważne pod względem posiadania realizacji. Każdy układ spełniający wyrażenie A & (78) jest realizacją wyróżnioną wyrażenia. A.

Twierdzenie to powiada, że w definicji ß-wyrazenia (definicja 6) wyrażenie (77) może być zastąpione przez wyrażenie (78).

Dowód twierdzenia 64 polega na fakcie, że dwie funkcje logiczne Rj,Rj spełniają wtedy i tylko wtedy w pewnym zbiorze S wyrażenie (77), gdy spełniają wyrażenie (78). Ze ten fakt ma istotnie miejsce, pokazuje się następująco:

a) Załóżmy, że Rj, Rj spełniają wyrażenie (77). Pokażemy, że spełniają także wyrażenie (78). Do dowodu tego ostatniego potrzeba tylko pokazać, że zachodzi

(79)    (x) (y) (z) [/?, ' (x, y) & Rt ' (x, z) y = z] S

& W (y) (z) [Rj (*, y)&Rj (*» z) y = z],

gdyż pozostałe składniki koniunkcji (78) są składnikami ko-niunkcji (77). Kładąc w wyrażeniu prawdziwym

(80)    (x) (y) (z) (y) (z) [/?/ (x, y) & Rj (x, z) &

*    sj:    *    4«

& Rj (x, y) & Rj (x, z) -> y = y & z — z]

y za y otrzymujemy (81) W (y) (z) (z) [Rj (*, y)&Rj (x, z) & Rj (x, z)z = z].

Kładąc zaś w (80) z za z otrzymujemy

(82)    (x) (y) (y) (z) [R, ' (x, y) & R₁ ' (x, y) & Rj (x, z) -> y = y].

Z (81) i (82) otrzymujemy, przez stosowanie reguły (x)[/(x)-> -> p] -> [(Æ’jc) / (x) -> p], odpowiednio

(83)    (x) (z) (z) [((Ey) Rj (x, y) & Rj (x, z) & Rj (x, z)) -* z = z]

(84)    (x) (y) (y) [(/?/ (x, y) & Rj (x, y) & (Ez) Rj (x, z)) y = t/].

Z zachodzenia (77) wynika dalej (x)(Ey)(Ez)(Rj (x,y) & & Rj (x,zj), a z tego (Ey) Rj (x,y) oraz (Ez) Rj (x,z), które uwzględnione w (83) i (84) dają

(86)

W (y) (y) IRi (x> y) & Ri (*, y) y = y]-

Wreszcie z (85) i (86) uzyskuje się przez zmianę zmiennych natychmiast (79).

b) Załóżmy odwrotnie, że /?/, R₂ spełniają wyrażenie (78). Pokażemy, że spełniają także wyrażenie (77). Do dowodu tego ostatniego potrzeba tylko pokazać, że zachodzi (80), a to wynika natychmiast z (79).

Twierdzenie 65. Gdy w dowolnym y-wyrażeniu A za zmienną funkcyjną 4> (x, y, z) podstawimy wyrażenie R\ (x, y) & & R.) (x, z)⁷⁵ i wyjdzie wyrażenie B, to B jest ß-wyrażeniem równoważnym z A pod względem posiadania realizacji.

Dowód. Gdy Flt F₂,..., Fk, są to zmienne funkcyjne wyrażenia A, wówczas zmiennymi funkcyjnymi wyrażenia B są Flt F₂,..., Fk, Rlf R₂. Gdy wyrażenie A posiada w ogóle realizację, wówczas jako y-wyrażenie posiada realizację wyróżnioną Ft\ F₂,..., Fk’, 4>' w jakimś zbiorze S'. Funkcja logiczna <ł>'(x,y,z) daje się wtedy na mocy twierdzenia 24 przedstawić w postaci Ri (x,y) dc R₂ (x, z), gdyż odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny wszystkie elementy a: zbioru na wszystkie pary [t/, z] takich elementów. Jak łatwo widzieć, spełnia wówczas układ F/, F₂,..., Fk', /?/, R₂ wyrażenie B i jest realizacją wyróżnioną tego wyrażenia ⁷⁶.

Gdy odwrotnie układ F/', F₂",..., Fk", Fi", R₂” spełnia wyrażenie B w jakimś zbiorze 3"- wówczas układ Fi", F₂",...

..., Fk”, Ri' (x,y) & R₂" (a:, z) spełnia, jak łatwo widzieć, wyrażenie A w zbiorze 3".

Z powyższego wynika przede wszystkim, że wyrażenia A i B są równoważne pod względem posiadania realizacji, a następnie, że B jest P-wyrażeniem. To ostatnie otrzymuje się, jak następuje: Gdy F ma w ogóle realizację, wówczas,

⁷⁵ Por. podaną w paragrafie 2 regułę podstawiania za zmienne

funkcyjne.

(85)

W (z) (z) [$2 (•*> z) & R₂' (x, z)

z = z]

⁷⁶ W tym miejscu należy zauważyć, że gdy w wyrażeniu (76) za zmiennę funkcyjną 4>(æ, y, z) podstawimy Bjx, y) B^x, z), wówczas wychodzi wyrażenie (77).

jak udowodniliśmy, A posiada realizację. Z istnienia realizacji wyrażenia A wynika jednak, jak również pokazaliśmy, istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia B.

Twierdzenie 66. Do każdego wyrażenia A można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, Y-wyrażenie B, które prócz zmiennej wyróżnionej zawiera tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne ².

Dowód. Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem o wieloczłonowych zmiennych funkcyjnych Flf F₂, . . ., Fk i o jednoczłonowych glt g₂, ..., g,³, przy czym liczba argumentów zmiennej F. niech będzie r. (dla z = 1,2,..., k). Niech dalej fx, /₂,.. •, fk będą zmiennymi funkcyjnymi jednoczłono-wymi różnymi pomiędzy sobą i różnymi od gu g₂,..., gr Wreszcie B niech oznacza wyrażenie, które powstaje z A przez zastąpienie zmiennej funkcyjnej F. (x1} x%,..., xri-lt vr) przez wyrażenie

a i = 1,

(vp)? ’ \U (pp vj+v Xj) -> f. (^i) I (dl /=i    -*

Wyrażenie F zawiera prócz zmiennej funkcyjnej trój-członowej <J> jeszcze tylko jednoczłonowe flt /₂,... ,fk,g\,g₂, •• • ...,gt i jest, jak pokażemy, Y"wyrażeniem równoważnym z Zł pod względem posiadania realizacji.

Gdy wyrażenie A posiada w ogóle realizację, wówczas na mocy twierdzenia 9 także w zbiorze wszystkich liczb naturalnych Niech Ff, Ff,..., Fk, gf, g₂\ ..., gi będzie układem spełniającym wyrażenie A w zbiorze Niech dalej <f>' (x, y, z) oznacza jakąś funkcję logiczną, która w sposób jednojednoznaczny odwzorowuje wszystkie liczby naturalne x na wszystkie pary [y, z] liczb naturalnych (na <1>' (x,y, z) można wziąć np. funkcję x = 2y~l. (2z—1)). Funkcje//,/^', ...,/*'definiujemy teraz przez równoważności

• • > fk , gi\ g₂', • • • , £/', jest wtedy realizacją wyróżnioną wyrażenia B, gdyż na mocy twierdzenia 39 zachodzą, jak łatwo widzieć, równoważności

Układ funkcyj //, f₂\ .

// (dO eee (Eyj)

r(~l

|>/ (yuy₂, . . . ,    Vrj) <ß

dla i= 1,2,... f k.

& EJ <l>' (vj} vJ+v ,/!

7—1    J

r_₁ pr«_i

Vr) = (Wp)/ 2J (u,, 7—1

x) *+ fi (^l)]

Eg (-*!> X₂, • • • ) Xrj — J>

dla / = 1, 2,    Więc gdy wyrażenie t4 ma realizację, wów

czas B ma realizację wyróżnioną. Gdy odwrotnie, wyrażenie B ma realizację i //', /₂”,..gi”, g₂”,..., g", <t>” jest układem spełniającym wyrażenie B w jakimś zbiorze 3”, a funkcje ..,Fk" zdefiniujemy przez równoważności

r'» // p *1 > * 2 > •

= (^p)l' ¹ Ti7 Ct>” (»•>    •*) "► fi’ (^l)l »

Ly=i    J

Xri~ 1»

Fi’ (*i, x2> •.

dla r±=l, 2,..., k, wówczas funkcje F/', F₂”,..., F*", gi ”, g₂”, • • • » g i’ spełniają wyrażenie /4 w tym samym zbiorze. Więc gdy wyrażenie B ma realizację, wówczas także wyrażenie Æ Z powyższego wynika, że wyrażenia Z i 5 są równoważne pod względem posiadania realizacji i że B jest ponadto '^wyrażeniem, c. b. d. o.

W dowodzie tego twierdzenia można by było wyrażenie (^t)i1 1 [ EJ ^ (Vjf vj-\-v F) fi (üi) ] zastąpić przez wyrażenie

7—1

(Evp)/ [EJ ^ (vjf vjJrv x) & fi (üi)l nie zmieniając poza tym

7=1

przeprowadzonego rozumowania 7<,).

Twierdzenie 67. Do każdego wyrażenia A można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, ß-wyrażenie B, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnio-

79 \y tym rozumowaniu z podwójnej równoważności twierdzenia 39 właściwie nie korzystamy, lecz tylko z pojedynczych z których się ta podwójna składa. W dalszym ciągu tej pracy poznamy jednak miejsca, gdzie się w sposób istotny z podwójnej równoważności korzysta.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem o wieloczłonowych zmiennych funkcyjnych Flt F₂, . . ., Fu i o jedno-członowych glf g₂, . .. , g[f przy czym liczba argumentów zmiennej Fi niech będzie n (dla i = 1, 2, . . ., k). Niech dalej fu h» • • • > fk będą zmiennymi funkcyjnymi jednoczłonowymi różnymi pomiędzy sobą i różnymi od glf g₂, . . . , gi. Wreszcie B niech oznacza wyrażenie, które powstaje z A przez pod

nych Ri, R₂ zawiera jeszcze tylko je dno członowe zmienne funkcyjne ⁴.

stawienie wyrażenia ¹ £JF {R₁ (

7—1

(dla i = 1, 2, . .., k) za

V., V... 7    7+1

)&R₂{vj,x))-+fi{v₁)^

zmiennę funkcyjną Fi (xlt x₂ .

Wyrażenie B zawiera prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Rlf R₂ jeszcze tylko jednoczłonowe /lf/₂, ... . . • , fk, gu • • • > gt i jest p-wyrażeniem równoważnym z A pod względem posiadania realizacji. Dowód tych okoliczności przebiega równolegle do dowodu podobnych okoliczności z twierdzenia 66, tylko zamiast twierdzeniem 39 należy się teraz posługiwać twierdzeniem 40. Inny dowód twierdzenia 67 otrzymamy, stosując do twierdzenia 66 bezpośrednio twierdzenie 65.

Twierdzenie 68. Do każdego 7-vjyrazenia w postaci normalnej stopnia n (gdzie n 1) zawierającego prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej 4> jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, 7-wyrażenie w postaci normalnej stopnia n — 1 zawierające prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej 4> jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne.

Gdy A jest dowolnie danym 7-wyrażeniem zawierającym prócz zmiennej funkcyjnej <ł> jeszcze tylko jednoczłonowe fu /jj» •••>/& posiadającym stopień n {n > 1), wówczas A daje się napisać w postaci

(Xpy; (Expyfi+1 (xpysi₊₁ (^₊₁...

• • • Wti+i (£*p)£+i

X₂,.

• • » x0*

gdzie jest rx < s₁ < r₂ < s₂ < • • • < rn < sn• Aby otrzymać Y-wyrażenie B stopnia n — 1 równoważne z A pod względem posiadania realizacji i zawierające, prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej <ï>, jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne, należy do A zastosować podane na str. 33 postępowanie S kołem a, ale z modyfikacją taką, że zamiast zmiennej funkcyjnej F (xlf x₂,..., xSi-\, t/sl) należy teraz wziąć wyra-

żenie

j— i

(Evp)? ¹ \fk+\M&    $ (Pj, vj+v *.)], przy czym fk+l jest

dowolną, byle od flt f₂,. •., fk różną, zmienną funkcyjną⁵. Tak otrzymane wyrażenie B zawiera, prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej ⁽I>, jeszcze tylko jednoczłonowe flt /₂,    fk+i

i daje się sprowadzić do postaci normalnej stopnia n— 1. To jest natychmiastowe.

Gdy A ma w ogóle realizację, wówczas jako y-wyra-żenie posiada także realizację wyróżnioną, np. //, f₂,... ,/*', 4>' w zbiorze Definiując funkcję fl+i przez równoważność

fi+i m=cEyPrr'    (&P) ₊₁...

» #2> ■ •

• * • C*p)

SI ¹

(ê 2J & (vif vi+v y) ,

zyskujemy w układzie //, f₂,... ,//, fk+i, 4>’realizację wyróżnioną wyrażenia B, jak to z łatwością można (przy uwzględnieniu twierdzenia 39) udowodnić. A więc gdy A ma realizację, wówczas B posiada realizację wyróżnioną.

Gdy odwrotnie B posiada realizację//', /₂",...,// ,// +1» $ w zbiorze 3f', wówczas //', /₂",..., //', 4»" spełnia wyrażenie A, jak to można z łatwością pokazać rozumowaniem podobnym do rozumowania ze str. 34. A więc gdy B ma realizację, wówczas także i wyrażenie A.

Z powyższego wynika, że wyrażenia A i B są równoważne i że B jest w dodatku Y-wyrażeniem.

Twierdzenie 69. Do każdego ß-wyrażenia w postaci normalnej stopnia n (gdzie n 1), które zawiera prócz zmien-nych funkcyjnych wyróżnionych R±, R₂, jeszcze tylko jednoczło-nowe zmienne funkcyjne, można podać równoważne z nim pod względem posiadania realizacji ß-wyrażenie w postaci normalnej stopnia n — 1, które zawiera prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Rlt R₂ jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne.

Dowód przebiega podobnie do dowodu twierdzenia 68; przy postępowaniu Skolema należy jednak teraz uwzględnić

wyrażenie {Ev^)x

[/*+1 M & Z (Ri vj+l) & R₂{ vp *.))] za-j=i

miast

wyrażenia {Ev$ ¹1 fk+1 {vf) & 2J & (v-, v.+v x) i.

/=i

Twierdzenie 70. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, Y*wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej (jq) (;r₂) ... . . . (*r) {Eyf) (£y₂) ... {Ey) 51 {xv x2y..., xr;ylf y₂,...fy), które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej {x, y, z) zawiera jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne.

Dowód. Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas znajdujemy najprzód, na mocy twierdzenia 66, równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, Y-wyrażenie B zawierające, prócz wyróżnionej zmiennej funkcyjnej 4> jeszcze tylko jednoczłonowe fu f₂, . .., fk. Wyrażenie B można sobie wyobrazić, bez ujmy dla ogólności, w postaci normalnej {? Xl) (? x₂) . . . (?xn) 53 (xj, x₂,    , x).

Wyrażenie (*) (P x±) {? x₂) . . . (P xn) {Ey) [33 (xlt x₂, . .., x„) & & fi (x) v (y)] jest wtedy również y-wyrażeniem o tych samych zmiennych funkcyjnych co B i równoważne z B, a więc i z A, pod względem posiadania realizacji. Prefiks tego wyrażenia zaczyna się kwantyfikatorem ogólnym a kończy się szczegółowym i przeto posiada pewien stopień, np. n. Stosując teraz n — 1 razy twierdzenie 68 otrzymamy Y-wyrażenie stopnia pierwszego zawierające, prócz zmiennej wyróżnionej 4>, jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne i równoważne z A pod względem posiadania realizacji, c. b. d. o.

Twierdzenie 71. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, fi-wy-rażenie o skolemozuskim prefiksie Ol) O2) ... (*,.) (Eyf) (Ey₂)... • • • (Eys), które prócz zmiennych wyróżnionych Rlf R₂ zawiera jeszcze tylko jednoczłonowe zmienne funkcyjne.

Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia 70. Różnica jest tylko ta, że zamiast twierdzeń 66 i 68 należy teraz uwzględnić twierdzenia 67 i 69. Inny dowód otrzymujemy, stosując do twierdzenia 70 bezpośrednio twierdzenie 65.

Udowodnimy teraz pewne twierdzenie, które nam pozwoli znacznie zaostrzyć twierdzenia 70 i 71. Do tego twierdzenia będzie nam potrzebny następujący

L e m m a t 3. Do 2. r, zdefiniowanych w pewnym zbiorze 3, funkcyj logicznych n członowych Hi Oi, x₂,..., xj), Gi Ot, x₂,... ..., a:„) (i = 1, 2,..., r) istnieje wtedy i tylko wtedy funkcja logiczna F Ol, x₂,..., Ar„) czyniąca zadość warunkom

a)    Oi) O2) • • • OJ W Oi. *2. • • •. -O (F Ol. *2.....*„) ⁰⁰

Gi Oi, x₂, ..., *„))] (dla i = 1, 2,..., /*), gdy zachodzą (dla iy k = 1, 2,..., r) warunki

¹

Dla pewnych zbiorów nieskończonych (prócz zbiorów przeliczalnych np. także dla zbiorów mocy continuum) można się obejść bez pewnika Zermelo. Nie stoi to oczywiście w żadnej sprzeczności z wyżej powiedzianym jako też z uwagą ⁶⁷, według której całkiem ogólny wypadek (tj. dla wszystkich zbiorów nieskończonych na raz) wymaga koniecznie pewnika wyboru.

²

Z twierdzenia tego wynika, że przy zagadnieniu rozstrzygal-ności wystarcza się ograniczyć do wyrażeń, które prócz zmiennych funkcyjnych jednoczłonowych zawierają jeszcze tylko jedną trój członową. Przypominamy twierdzenie 16, według którego zagadnienie roz-strzygalności dla wyrażeń zawierających wyłącznie tylko zmienne funkcyjne jednoczłonowe jest w zupełności rozwiązane.

³

7S Może być oczywiście również l=o.

⁴

Twierdzenie 67 obejmuje już znane twierdzenie Löwenlieima (por. § 4 pracy cytowanej pod ³⁷), według którego przy zagadnieniu rozstrzygalności wystarcza się ograniczyć, bez ujmy dla ogólności, do wyrażeń o zmiennych funkcyjnych co najwyżej dwuczłonowych.

⁵

Ta modyfikacja postępowania Skolema pozwala nam obniżyć stopień wyrażenia z n na n—1, posługując się przy tym jedynie jednoczłonową zmienną funkcyjną fk,₁ (zamiast członowej).

b)    Oi) O2) • • • OJ Wk Oi. *2, • • •, xn) & Hi Ol, -*"2» • • •, -O -> (Ot Ol, *2, • • • , *n) ~ Gi Ol, *2, • • • , *J)] ^

Dowód. Gdy warunki a) są spełnione przez jakąś funkcję F Oi» *2» • • • > -O, wówczas dla /, k =* 1,2,..., r zachodzi

⁸² Powyższy lemmat daje się w rozmaitych kierunkach uogólnić. Jedno takie uogólnienie brzmi : D o r. (s-}-l), zdefiniowanych w pewnym zbiorze funkcyj logicznych H; (xv x₂,...

..., xn), Gk, i (xv x₂.....x„) (dla *'= 1, 2,..., r; k=1, 2istnieje

funkcyj logicznych

wtedy i tylko wtedy układ Fk (aą, x₂,..., xn) (k=l, 2,..., s) czyniących zadość warunkom

c)    (a-₁)(æ₂) ... (x„)[Hi (xv x₂, ...,xn)->- JF(Fi(xl x₂,..., xn)~Gi, i(xt, x₂,..., æ„))]

/=1

(dla i= 1, 2,..., r), gdy zachodzi

d)    (xjjxf)... (ajn)[ffc(*lf x2>. ..y xn)dHi(xu xv ..., x„) ->

S

I. k(x 1» æ2» • • • »Xn) ~ Gi, i(xV X1 » • • • « æ«))] dla i, k — 1, 2,, r.

/=i

Warunki b) i d) należy właściwie uwzględnić tylko dla i + k, gdyż w wypadku i = k warunki te są w sposób trywialny spełnione. Warunki te są też wtedy zawsze spełnione, gdy dla i,k = 1,2,..., r oraz i ik zachodzi

(X^fXq) . . . (Xk(X 1* X^' * * * > Xn)<^^jXl’ X-' " ⁻ ‘ » *«)]•

Hi (xls x₂,..., xn) ~> (F (xu x₂,..., xn) ~ G, (xlt x₂,..

•O)

oraz

Hk (xu x₂,• • • > xn) -> (F (*i, *₂, ■ • •, •*„) ~ ^ (*lf *₂, • • •, *„))> a więc także

Hk (xu X₂,..., Xn) & Hi (xu X₂,..., xn) -> (F (xu X₂,..., xn) Gk (xU x₂,.. •, *„)) & (F{xlt x₂,..., xn) ~ Gf (jri, x₂,..., xJ), z czego, na mocy zasady logiki zdań {p <^> q) & {p r^> t) -> (q rv ;), uzyskuje się

Hk (*1, X₂y • • • , X„) <fe //« (jfi, x₂,..., *„) ->

(G* (jci, *₂,..., *„) ~ Gi (*lf x₂,..., xn)),

a tym samym warunki b) są spełnione.

Gdy odwrotnie warunki b) są spełnione, wówczas definiujemy w zbiorze 3 najprzód funkcję matematyczną rs (xlf x₂,...,xn), której wartościami mogą być tylko liczby naturalne 1,2w sposób następujący: Jeśli dla xltx₂,...,xn ze zbioru 3 istnieje taka liczba z, że Hi(xltx₂,...,x„) zachodzi, wówczas <p (xlt x₂,..., xn) ma oznaczać najmniejszą liczbę o tej własności. Gdy zaś takiej liczby i nie ma, wówczas ma być ? (xvx₂, •. •, *„) = 1. Jeśli teraz zdefiniujemy w zbiorze 3 funkcję logiczną F(xlt x₂,..., xn) przez równoważność

(87)    F(x₁,x₂,...,xn) = G

(*i> x₂,..., xn),

? (æi. »S, . . . , Xn)

która w połączeniu z zachodzącą na

mocy b), implikacją    & Ht{xt

{xltx₂,...,x^ ^

tp (.CCj, a3₂> • • • y xn)

Hi (xlt x₂,...,xJ-+(G

wówczas funkcja ta czyni zadość warunkom a) (dla i — 1,2,..., r) Z definicji funkcji cp (*1, x₂, . . . , xj wynika bowiem przede wszystkim zachodzenie implikacji Hi (xi, x₂,..., -O -*• ' (xi,x2t...yxn),

'”<P (*!,**• ••.*■)

,x₂, . .. ,xn)->

■*(G

Gi (a:i, *₂,..., xj), z czego

Gi (xlf x₂, .. . , *•„)) daje natychmiast (xi> x₂,..., xn)^

f (xi, *2.....xn)

na mocy (87) wynika

Hi (*i, *₂, • • •> xn) ->■ (F(xltxa, ...,xn)~ Gi (xlf x₂,..., xn)) dla i — 1,2,..., r, czyli warunki a) są spełnione.

Twierdzenie 72. Do każdego wyrażenia węższego rachunku funkcyj można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie o skolemowskim prefiksie (x₁)(x₂).. .(xr) (Ey^ (Ey₂) ... (Eys), które zawiera tylko jedną zmiennę funkcyjną.

Dowód. Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas można, na mocy twierdzenia 3, przede wszystkim podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej (*p)^ (Exp)p₊₁ 51 fo, x₂,..., xq) (p < q). Niech Fu F2y..., Fn będą wszystkimi różnymi zmiennymi funkcyjnymi wyrażenia B, przy czym liczba argumentów zmiennej Ft niech wyniesie r₂- (dla i — 1,2,..., ri). Niech będzie dalej r — n -j- Max {rly r2y..., r„) -f-1 i F {xi,x₂,.. .,xi) dowolną r członową zmienną funkcyjną, zaś i/i»• • • >i/n niech będą zmiennymi pozornymi różnymi pomiędzy sobą i różnymi od xlf x2y..., xq. Jeśli teraz przez % (xlyx2y...,xq; ylty2y...,yj oznaczymy wynik zastąpienia w 51 (Aą, x₂,..., xq) każdej kombinacji kształtu Ft (*ai, xa2,... ..., xar) przez F (ylyy₂, • • •, xaV x*₂> • •

z = 1, 2, ...,n i ₂, ...,ar/ = 1,2, ...,<7), wówczas koniunk-cja C wyrażeń (CO

/ ⁹

-> ( F (yt> U'2> • • • » */„> *ï» *0 • • • » Xi) &

i=p-j-1

& © (xj, x₂, ...,xq] yly y₂,. •.

(CO

(£zp)ï (£2:) F (zu z₂,..., zn, z, z,..., z),

zawiera tylko jedną zmiennę funkcyjną F, daje się sprowadzić do skolemowskiej postaci normalnej o prefiksie (y?)1 (*p)i (Ex-p)p+i (Ezp)1 (Ez) i jest wyrażeniem równoważnym z B — a więc także z A — pod względem posiadania realizacji. To ostatnie pokazuje się w sposób następujący:

Gdy wyrażenie B ma realizację i Ft, F₂,... ,Fn' jest układem spełniającym to wyrażenie w jakimś zbiorze zaś a₁,a2y...,an są dowolne przedmioty w liczbie n, różne od siebie i różne od wszystkich elementów zbioru wówczas

xar_, zaś pozostałe przez

⁸³ Pierwsze n argumentów należy wypełnić po kolei przez yv y i,..., yn, dalsze r. po kolei przez x^, xa.. yt (pozostają argumenty wolne, gdyż z równości r = n-\-Max (r₁₍ r₂,... ..., rn) 1 wynika natychmiast r — n — r. > o).

istnieje funkcja logiczna F' (xlt x₂,... ,xr) zdefiniowana w zbiorze 3' -j- { alf 0.2,.. •, aj- i zadość czyniąca następującym warunkom:

1) ) Funkcja F' (aj, a₂,..., an, x, x,...,x) charakteryzuje zbiór 3\ tzn., że zachodzi F (alf a₂,..., an, x, x,..., x) wtedy i tylko wtedy dla elementu a: z 3' + {au a₂,..., a„}, gdy * należy już do 3'.

xn

2) ) F’ (alfa₂,..., a„, xlt x₂,...t xrp aiy aif..., a,) jest równoważne z F'i (*i, x₂,..., xr), dla i — 1, 2,... t n i dla xlt x₂,.. ze zbioru 3'.

3) ) F' (xux₂,...,xr) jest fałszywe, gdy x₁,x₂,...,xn nie są odpowiednio równe elementom alf a₂,..., an.

Gdy w zbiorze 3’’ + [au a₂,..., o„} zdefiniujemy funkcje logiczne Hi (xlf x₂,..., G, 0*i, x₂...., xr) dla i — 1,2,..., n -j- 2 przez równoważności :

M (*1. *2, • •

-,Xr) = (2J Xi

i=l

. n    n-j'⁷'/ n    r

., Xr) = [Zxk = ak & Ż Uxk= a, & 27 xk=

lc—1    1 /=1    j—(—1

= Cli & 2.7 Xi = Xr),

i—n-f-1

HtJf 1 (xlt x₂,.. dla z =1,2,..., n,

n

Hn f₂ 0*1, X₂, ...,Xr) = 2?Xi =

Cli,

G₁ (x₁,X2t ..., Xr) = 2J Xr =

ai,

,=1

Gf-J-1 (-*^1, X₂, • • • , X/-) Fi 0**n-|-l, Xn-\-2, • • • , Xn-\-rj)

dla z =1,2,..., n,

Gn-f-2 0*1 > X₂, . . . , Xr) —— (-Tl =

wówczas zachodzenie warunku 1)), dla pewnej funkcji F'(xlt x₂, ...,xr), jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu

(*l) (*2) • ■ • C*V) [H (Xlt X₂.....Xr) -> (F’ (Xlf Xo, ... ,xr)^

~ Gi (xux.>,

zachodzenie warunku 2)), dla pewnej funkcji F' (xi,x₂,..., xr) jest równoważne zachodzeniu

(*i) (*2) • • • (■*>) [Hi+1 (jrlf x₂.....xr) ->(F’ (x .....xr) ~

~Gi+1 (xlt Xjj, . . . , Xr))]

Xr) -> {F’ Ol. *2, . . • , Xr) ~

zaś zachodzenie warunku 3)) dla pewnej funkcji F' Oi, x₂,... jest równoważne zachodzeniu

Oi)O2) • • • O/-) [Hn+2 Oi,*2

^ G„₊2 Ol, *₂, . . . , ■*/))]•

Równoczesne więc zachodzenie warunków 1)), 2)) i 3)) dla pewnej funkcji F’ Oi, x₂,..., xr) jest przeto równoważne zachodzeniu

Ol) O2) • • • 0 r) IHi Ol. *2, • • • . Xr) -> (f Ol. *2. ...,Xr)™

dla / == 1,2,..., n-j- 2, co znów — na mocy lemmatu 3 —jest równoważne zachodzeniu

(88) Ol) O2) • • • Or) [Hk Ol. X->t . . . , Xr) & Hi Ol, *2, • • . , Xr) ">

(Gk Ol, *2, • • • , Xr) ~ Gi Ol, *2, • • • , *,))]

dla /, k — 1, 2,..., n -{-2, przy czym Pokażemy teraz, że zachodzi

Oi) O2) • • • O') [Hk Oi» -*■•>••••> xr) & Hi Oi, *2, • • ■, -*0], dla /, & = 1,2,..., n -f-2 oraz i d= &, tzn., że poprzednik implikacji z (88) jest fałszywy, a więc, że (88) jest prawdziwe:

Z Hx Oi, x₂,..., xr) wynika, jak łatwo widzieć, xn+i=xn zaś z Hi+i(xltx2t...fXr) (dla i =1,2, ...,n) wynika a:„+i = zachodzi więc

(89-1) Ol) O2) • • . Or) [H\ Ol, X₂,..., Xr) & Hi+l Ol, A*2, . • • , -Cr)]

dla i = 1,2,..., n.

Z Hi Oi, jc₂, •... xr) wynika, jak łatwo widzieć, Xi —

1=1

gdy HnĄ-2 Oi, jt₂, • • •, *r) wyraża coś wręcz przeciwnego; zachodzi więc

(89*2) Oi) O2) • • • 0.) [H Ol- x2i • • •, *v)    M.+2 Oi, ^2, • • •,

n ¹

Z /Z+iOi,*2, •••,*>•) (gdzie I = 1,2,..., n) wynika, jak łatwo widzieć, xr~-a.i, zaś z Hu+\{xt, x₂,..., x,) (gdzie &=1, 2,...,n) wynika z tego samego powodu ^ = 0^; zachodzi więc dla / 4= k oraz /, k = 1,2,..

(89-3) Oi) (x₂)... (xr) [Hk+1 (xu x₂,..., xr) & Hi+1 (xlt x₂, ..., x,)] • Z Hi+i (*!, x₂,..., xr) (gdzie /= 1,2, ...,n) wynika, jak

n

łatwo widzieć, 2Jxk = ak, podczas gdy z //„₊₂ (xlf x₂,..., xr) wy-

k=\

nika 2?xk~ak; zachodzi więc dla i—1,2,..

/r=l

• ,n

(89-4)    (*!> (x₂) ... (xr) [Hi+1 (xu x₂, ...,xr) & Hn+1 (xj, x₂,..., xr)].

Z (89'1), (89*2), (89'3) i (89*4) wynika natychmiast (*i) (x₂) ... (xr) [Hk (xu x₂,... , xr) & Hi (xu x₂,..., xr)], dla /, k — 1,2,..., n -f 2 oraz i 4= k, c. b. d. o.

Przy pomocy lemmatu 3 udowodniliśmy, że istnieje funkcja logiczna F'(x ₁,x₂,...,xr) zdefiniowana w zbiorze 3'+ + {olt a₂,..., ar„} i zadość czyniąca warunkom 1)), 2)) i 3)). Pokażemy teraz, że funkcja F'(x₁,x₂,..., xr)H" spełnia wyrażenie C w zbiorze 3' -f- {«i, a₂, •.., a„}.

Z (xp)i (Ex)p+i W (xlf x₂,..., xq) i z warunku 2)) wynika bowiem najprzód (xp)? (£x)J+i 93' (xlf x₂,..., x«, ; au a₂,..., an) 8G, z czego na podstawie warunku 1)) wynika

• • • >    » ^if Xif ... y Xi) ->■

(90) (xp)? {Exp)UĄ IF' (aua2y

¹ /—i

a,

• » ö;i)^ j >

93' (xj, x₂,..., x₉; «i, a2i..

przy czym kwantyfikatory w (90) odnoszą się już do zbioru 5' -j- (oi, a₂,..., an).

Gdybyśmy teraz w (90) elementy alf a₂,...,an zastąpili przez dowolne elementy yuy₂,... ,yn ze zbioru 3' -f⁻ {au «2» • • • wówczas (90) przeszłoby znów w zdanie prawdziwe,

⁸⁵ Pod F'(xlf xty... ,xr) należy właściwie rozumieć jakąś funkcję zadość czyniącą warunkom 1)), 2)) i 3)), gdyż warunki te nie określają takiej funkcji jednoznacznie.

86

Kwantyfikatory w tym wyrażeniu odnoszą się do zbioru zaś 93' oznacza, jak się łatwo można domyślić, wynik zastąpienia F przez F’ w 93

¹ /=sl

1» y2i • - • i y ni Xit Xi, . . . , Xi) y

1» 1/2» • • • » y ni Xii xh • • * » ■*«) &

*2» • • •. *<? ; ÿi,ÿ2, ••

jest na mocy warunku 3)) fałszywy, a tym samym cała implikacja prawdziwa, niezależnie od tego, jakie elementy weźmiemy na xu x₂,..., xą S7.

Wynika z tego więc

(ÿp)î (^p)i (Fx?)qp+i I ZF’(yu

L i=i

1» ÿ2» ••• i y ni X‘i X‘* ••• i Xi)

-*(ZF'(y

i=p+\

®'(*i, *a» •••,** ;.yi, ite»*-

czyli że funkcja F’ (xlt x₂,..., *,) spełnia wyrażenie Cx w zbiorze S' + {ai, «2» •••» o„}- Funkcja F'(xlf x₂,..., xr) spełnia jednak także C₂, gdyż zachodzi na mocy 1)) (Fz) F’ (ax, a₂,.. •, an, z, z,..., z) (z uwzględnieniem tego, że zbiór nie jest pusty), a więc także (Ezp)" (Ez) F' (zx, z₂,..., zn, z, z,..., z).

Pozostaje nam teraz pokazać, że odwrotnie z istnienia realizacji wyrażenia C wynika istnienie realizacji wyrażenia B.

Gdy jakaś funkcja F" (xu x₂,..., xr) spełnia wyrażenie C w jakimś zbiorze 3", wówczas zachodzi

(91) (yj'î (x.J'i (ExX+i [ jt F" (y ul/..,..., y,„ XI, x,.....x,) >

, y₂, • • • i yn, Xit Xi,..., xî) &

-(ŻF”(yt

■•»«))]

gdyż, w przypadku gdy elementy yu y₂,..., yn nie są odpo-

p

poprzednik Z F' (ylt y₂,..

wiednio równe au a₂,..., an, xi,...,Xi) implikacji

i= 1

• > y ni X‘i

i=P+1

& 5T (xlt x2t...,xq; y u yn • •

oraz

⁸⁷ Ale oczywiście ze zbioru 3' + {«i, «'s,..., «„)•

(£Zp)l (Ez) F (z\, Z₂, ■ - • 1 zn, z, z,..., z).

(92)

Z (92) wynika istnienie w zbiorze S" n -j-1 elementów bi, b₂,..., bn, b takich, że zachodzi F" (blt b₂,.. ., bn, b, b,..., b). Z (91) wynika następnie

(■*p)l (£*p)p+l    F" (*i’ ł>2,---,bn, X'., Xh

/ 9

^    ^    (^1, ^2» • • • » ^/jł    -^"/i • • • » -^j) ^

«—p+1

35" (jflf at₂, ..., *<?,* bub₂,...

’*•>)]

oraz

(93)

'(*p)i (Exęfp+X $8" (xu x₂,, xq; bi,b₂,...,bn),

przy czym w (93) kwantyfikatory odnoszą się tylko do podzbioru $ zbioru ST, scharakteryzowanego przez funkcję logiczną F” {b1}b₂, ...,bn, x,x, ...,*) ² (zbiór £ nie jest pusty, gdyż element b w każdym razie do niego należy).

Jeśli teraz w zbiorze $ zdefiniujemy funkcje logiczne Ff, Ff, ..., Ff przez równoważności

X,., bp bp b)

FiP (xx, x₂,..., xr) = F" (bu b₂,..., bn, xlt x₂...

(dla z = 1, 2,,...,n), wówczas, na mocy (93) i definicji wyrażenia 35 {x\,x₂,... ,xq;yly y₂,... ,yn), zachodzi w zbiorze ®

(*PK (ExpYp+i W (xux₂,..., xq),

co dowodzi, że układ Fi”, Ff,..., F” spełnia wyrażenie B w zbiorze Wyrażenia B i C, i przeto także A i C, są więc istotnie równoważne, a tym samym twierdzenie 72 zostało całkowicie udowodnione.

T wierdzenie 73. Do każdego wyrażenia można podać rózunoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, Y-wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej ⁽I> (x, y, z) zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmienne funkcyjną.

Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas znajdujemy do niego, na mocy twierdzenia 72, najprzód równo-

ważne wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej zawierające tylko jedną zmiennę funkcyjną F (xly at₂, ..., xn).

Wyrażenie B daje się napisać w postaci (*pX (£*p)*+1 2t (jfj, x2y..., **), gdzie r < s, zaś SI (jflf x₂,..., xs) można sobie wyobrazić — bez uszczerbku dla ogólności — w koniunktyw-

m

nej postaci normalnej £    gdzie 33f(;ti,*2ł...fjt,)

i=1

oznaczają (dla i== 1,2,..., m) elementarne dyzjunkcje. Składniki dyzjunkcji 93; (atj, x₂, ..., xs) (dla z = 1,2,    są albo

postaci F (xai, xa2,..., xaJ, albo postaci F (xav *«₂,xan). Wynik zastąpienia w 33,- (jq, x₂,... ■ xs) każdego składnika postaci

i    rn 2    i ;

xan) przez (Evp)'r 27 (vy vj+v xa) & <t> (vn_v Ly=l

xan-\) & f (^1) J ⁸⁹, zaś każdego składnika postaci F (xai,

■f ~y₊₁, Xa) & Ct> (vn_v Xan, xaB_j) Æ / (®l)]

E > xa₂' ’ ’

xan>

xa₂> • • • » przez

oznacz

Ly=i

my przez (£; (jri, x2y.. .yxs) a to dla z = 1, 2,..., m.

Jeśli teraz wynik zastąpienia w 93; (xj, jr₂,..., xs) każdego

składnika postaci F (xUl,x

r

• > ■*•0'«) przez J 27 <l⁾ (tu, -^ay) ^ ^ (^„_i»^a„_i) <&/(®i)J> zaś każdego składnika postaci

r ” ^ i

F (x«v xa₂» • • •, *«„) przez 2/ $ (®

Ly=i

/ (^i)J oznaczymy przez 2); (x1? x₂,...,

cc₂’ • ’

VpVj+V *«/) ^ <f>    Xa-n> X°-n—l) ^

• • iVn—a) (dla

• > xs » ®1>    •

1, 2,..., m), wówczas — w przeciwieństwie do (£; (*1, x₂, •..

. . . , Xs) — 3); (*!, x₂,..., xs; vlt v₂,. zmiennych pozornych i przy uwzględnieniu równoważności [(Ex) F (x) v (Ex) G (*)]    - (Ex) [F (x) v G (*)], wyrażenie

(*1) (jf₂) • • • (*.) [£* (jfi, x2f ...,xs)~

⁰⁰ (Evp)"    (xi, *₂> • • •, *s; vlt v₂

okazuje się tautologicznym (dla i — 1,2,

(94)

• • > vn_ 1) nie zawiera już

S9 Gdzie f jest dowolną zmienną jednoczłonową.

Koniunkcja C następujących trzech wyrażeń :

•*2» * • •

i=l

(Q

W (.7) (^z) $ (z> y» ■*),

(Q (vpyrl (vPyr (*p)î j (|>    «/+i, *) ^(|> (vn_v

n—^    .j. -j-    .[j    jj, —a

é y <I> (v., vi+v x) & 4» (vn_v Xn, Xn_₁) &f(v0 -> / (w1) , /=! ¹

zawiera wtedy tylko jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną / — prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej 4> —, daje się sprowadzić do skolemowskiej postaci normalnej o prefiksie

{*?)\ (vr¹ (ip)r¹ w w (v) <**) (EXpyr+1 (Ą)r¹ (^r¹ •..

...(Ą)r¹

⁹⁰ oraz jest wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem B — a przeto także z A — pod względem posiadania realizacji. Równoważność wyrażeń B i C udowadnia się następująco:

Gdy wyrażenie B ma w ogóle realizację, wówczas, na mocy twierdzenia 9, także w zbiorze 3 wszystkich liczb naturalnych. Niech F' (xu *₂,..., xn) będzie funkcją spełniającą wyrażenie B w zbiorze 3, zaś <t>' (*, y, z) funkcją logiczną, która w sposób jednojednoznaczny odwzorowuje wszystkie liczby naturalne x na wszystkie pary [y, z] liczb naturalnych, np. x — 2y~¹. (2z — 1). Jeśli teraz w zbiorze $ zdefiniujemy funkcję /' przez równoważność

» y2> • • •, yn-v vn) &

(95) f'M = (Eyp) ₁

n—1

^ ^ (vi* y 1) J>

j=i    ¹

wówczas funkcje f, 4>' tworzą w zbiorze $ realizację wyróżnioną wyrażenia C. Z twierdzenia 39 oraz z równoważności (95) wynika bowiem najprzód podwójna równoważność

⁹⁰ .Test to natychmiast widoczne, gdy się zmienne xu x^...,xn zastąpi w C₃ kolejno przez yx, yif...,yn.

F (-*4, X₂, • • • , Xn_y Vn) -—

(£»P)i ¹ [27 <I>/    v.₊i, X.) &f (©0 J =

(^p)"¹ [27 (|>' O,-,®f+1, *,)->/' (^1) j,

a z tego łatwo następujące dwie pojedyncze

(961) F' (xu x₂,xj = (Ev p)ï ¹ I 2 <!>' (z/., v.+v x) S

I-i— 1

&    (vn-l> Xn> Xn-1) & f (®l)] »

1- n~²

■» xn) = (^p)r¹ 27    v/+1,

L/=i

(ë <!>' (vb_j, X,, XR_j) & f (Z/i)].

(96’2) F’(x ux₂,..

Na mocy (961) i (96’2) zachodzą dla 1 <L a.lt a₂,..., an<is oraz i—1,2, ...,m równoważności

■*«„) = (^p)"⁻¹127 <£'(»,■» w

j=1

ct?- <!>' (z/n_i, xrj!n, jran_i) cê/' (z/i) ],

F'(x

i nl J "-²    « i

x«,) = (^p)î    27 <i>' (^» Ü-+1, jfay)

L y—i

Æ *!>' (t/n_₁, xa„, xan_i) & f (z/i)],

które w połączeniu z definicją wyrażeń (£,• (jtą, x₂,..., xs) oraz z uwzględnieniem (xp)i (£xp)*+i SX (xi, x₂,..., xs) dają bez trudności

(97)

C*"p)i (^-^p)r.[-i 2 ^y (-*1» x2> • ■ • » *,)•

Z—1

Z (94) i (97) wynika dalej

m i

(xp)î(£xf>);₊₁2,(^p) a więc także

m    1

. . . (£z/p)i    2" $/ (*li -*2’ • •

Z=1

czyli funkcje /', 4>' spełniają wyrażenie Ct w zbiorze $. W twierdzeniu 22 udowodniliśmy, że jeśli jakaś funkcja <J>

Zl—1

xs;z/i,z/.>,. . . ,Vn-1),

z= 1

., xs; z/j, v₂,.

czyni zadość warunkowi (65), wówczas zachodzi (66) i także (68). Ponieważ funkcja <!>' czyni zadość warunkowi (65), przeto zachodzi na mocy (68)

(xp)ï ¹ (*p)I

X; — X,) & vn = vn (6

’ ;=1

n—1    n—l    ,    f .

&    (|)' (vp Vi+V x) & 2J <l>' {vr V;+v x) ^ (z/j = ®l)i,

i— 1    i=l    J

z czego uzyskuje się łatwo³

(»p). w;

Al—1

<(; _ <t>' (»,. vl+1, X,) & <!>'    xn,    ->- (t>t = o,) ,

-1* Xn> Xn- l) ^

i=l

He    *

co w połączeniu z (z>x = z/Ł) -> [/' (zą) ->/' (z/j)] daje natychmiast

p Al —2

W"¹    ^p)l ^ ([V (vi> Vi+V x) & <l/ (vn-V Xn' Xn~l) ^

w=i

*» *„-i) <&f M * f M | •

n—2

x;.) dc ⁽h ' (vn

-vx

<6 ,y <i⁾ (z»y, Z7

1=1

które dowodzi, że funkcje /', <t>' spełniają wyrażenie C₃. A ponieważ zachodzi także (x) (y) (Ez) fł>' (z,y, x), więc funkcje/', spełniają całe wyrażenie C i tworzą jego realizację wyróżnioną w zbiorze />.

Gdy odwrotnie, wyrażenie C posiada realizację w jakimś zbiorze $ i funkcjami spełniającymi są /", 4>", wówczas definiując funkcję F'(xx, x₂,.. •, xn) przez równoważność

(98) F,f(xlfx₂,..    Z/J

(^p)r¹ [^''(z^z,

L/—i

;+l’

x) &

uzyskujemy funkcję spełniającą wyrażenie B w zbiorze S. Według założenia zachodzą bowiem

(99) (xp)[ (.Ex/r+, (Ąr' (Ąjr¹ ■ ■ ■

i— 1

*2» • •

Xs>    • • ■ y Un—l),

¹

Z xT — a. oraz a?r = ak wynika a. — ak, 00 dla i^k zajść nie może, gdyż elementy aA,a₂,...,a sa same różne.

²

To znaczy, że te i tylko te elementy x należą do dla których F" (6lt bv ... ,bn, x, x,... ,x) zachodzi. Ponieważ zachodzi F" {bu hn, b,    b), więc b jest elementem zbioru S.

³

‘Należy na xv x.,.....xn—i wziąć odpowiednio xltxv...txn—l, zaś

*

za v„ i vn podstawić xn.

(100)

(loi) (vPy; ■'(wp)r'C*p)î S*•*''(»/.»H-,.•»,)<*•*.>*._i)*

Li=l

Æ 27 <l>" (t/., w.₊₁, Y.) & 4>" (wB_lf JC^j) CÊ /" fal) -> /" fal)] .

1—1

Z (100) i (101) wynika, na mocy twierdzenia 43, równo

ważność

{Ev?)1 ¹ I /" faO <fe 27 <l>” fa*» vi+v x) I L /=! J

faP)i' ¹12Tfaf> *•) * f" fai) | »

która w połączeniu z (98) daje natychmiast

F" fal, *2, • • • t *„-lt *0 = z czego wynika łatwo

(VÏ ¹ [27 V' fa;, Vi+V X.) -> f" fai) |,

(102) F" fat, *₂,..., O =

(^p)î

27<1>" fa,-, Wf+i, x.) & /" fai) .

■*i=1

Z (99) i (94) wynika natychmiast

m

r+l

27 <£ " fal, X-2, . . . , Xs),

1=1

co w połączeniu z równoważnościami (98) i (102) daje'¹-

i,:-' Należy uwzględnić, że z (98) i (102) wynikają dla    «₂,...

..., u„<s oraz * = 1, 2,..., m równoważności

71— 2

(xaji •x’a<).....x'«„) = ( ^vp) j

-1

[27

x’a/) d;

(Æd'p)”⁻¹ [2’ d>" (vjf L/=i

H-i

czyli

(x?)\{Expyr

r+1

2J $/' (xlt x₂,..., xs)

(=1

?[" (xj, x₂,..., xs),

co dowodzi, że istotnie, z istnienia realizacji wyrażenia C wynika istnienie realizacji wyrażenia B. Ponieważ przedtem pokazaliśmy, że z istnienia realizacji wyrażenia B wynika istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia C, przeto wyrażenia B i C są równoważne i C jest w dodatku y-wyrażeniem. Twierdzenie 73 zostało więc w zupełności udowodnione. Gdybyśmy przy konstrukcji wyrażenia C zamiast wyrażenia C₃ wzięli wyrażenie prostsze (y) (z) (x) (x) [4> (x,y, z) cê

cê <ï> (x, z) -> x — x], zamiast twierdzenia 43 stosowali twierdzenie 44, zaś poza tym rozumowali tak samo jak w twierdzeniu 73, wówczas otrzymalibyśmy następujące

Twierdzenie 74. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, y-wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej 4> zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmienną funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Twierdzenie 74 jest nieco słabsze od twierdzenia 73, może być jednak w pewnych wypadkach użyte z tym samym skutkiem co twierdzenie 73.

Twierdzenie 75. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, ß-wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych R^ (x, y), R₂ (x,y) zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmienną funkcyjną.

Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas znajdujemy do niego, na mocy twierdzenia 72, najprzód równoważne wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej, zawierające tylko jedną zmiennę funkcyjną F (xi, x₂,.. •, x„). Wyrażenie B daje się napisać w postaci

i— 1

gdzie (xj, x₂,..., xs) oznaczają (dla i = 1, 2,..., m) elemen-tarne dyzjunkcje. Jeśli / jest dowolną zmienną funkcyjną jednoczłonową i wynik zastąpienia w 53,- (j^, x₂,..., *s) każdego składnika postaci F (xa i xa^... y xaj) przez wyrażenie

i    i    i

) & R.> (©., Xa/)) <ß /?! (z/n_x, *«„) tß /?₂ (üb_j,    <ß

*«„)

(Xj* -'"a.,» • • • »

2wówczas koniunkcja Z) następujących trzech wyrażeń:

... (£©p)"    27 .0. (*i, x₂,..., *S; Wj, ©₂, • • •, wn_j),

1=1

(Ai)

(■*) (</) (^) (#1 (*>#) <ß #₂ (z, *))>

(A) (Vi ¹ (^p)i ¹ (*P)î 127 (Di (©., ©f+1) <ß *,■)) <ß

*-i=i

) & R₂ (©,., x)) &

i+1

<ß K_i» *„)& R% (vn_v xn_o <ß 27 (D, (©„ ©

i=i

<ß ^1 (w„_if -O <ß Rz (vn-1» *„_i) & f(vi) "► f fal)] »

zawiera tylko jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną / — prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Ru R₂ —, daje się sprowadzić do skolemowskiej postaci normalnej oraz jest wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem B — a przeto także z wyrażeniem A — pod względem posiadania realizacji.

Dowód równoważności wyrażeń B i D jest w zasadzie analogiczny do dowodu równoważności wyrażeń B i C z twierdzenia 73; zamiast jednak twierdzeń 39 i 43 należy teraz użyć twierdzeń 40 i 45.

Jeśli zamiast długiego wyrażenia DÀ weźmiemy wyrażę-

* *

nie o wiele krótsze (y) (z) (x) (x) [/?! (x,y) & R₂ (a:, z) & R± (x,y) &

* * ^

& R₂ (x, z) -> x = x] i zamiast twierdzenia 45 zastosujemy teraz twierdzenie 46, wówczas otrzymamy

Twierdzenie 76. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, ^•'wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Ri (x, y), R₂ (x, y) zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmienną funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Twierdzenie 76 jest wprawdzie nieco słabsze od twierdzenia 75, jednak może być, jak pokażemy, w pewnych wypadkach użyte z tym samym skutkiem co twierdzenie 75, a konstrukcja wyrażenia odpowiedniego z twierdzenia 76 jest, jak już wiemy, prostsza od konstrukcji wyrażenia D z twierdzenia 75.

T wierdzenie 77. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, ß-wyrażenie o gödelowskim ¹ prefiksie (-*₂) (*3) (Eyf) (Ey₂) ...

... (Eys), które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Ri(x-,y),R₂ (x,y) zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmienną funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem węższego rachunku funkcyjnego. Na mocy twierdzenia 76 znajdujemy do niego równoważne z nim ß-wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Ri,R2 zawiera jeszcze jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną/ oraz identyczność logiczną. Wyrażenie B jest więc postaci (xp)j {Ey?)\ % (*i» *2> • • •, xr) y u y 2, • • •, y*).

Oznaczmy teraz przez C koniunkcję następujących trzech

wyrażeń:

(Cl) (pi) (Evp>2 (£wp>2 (Eyp)l | 2J (Rl (vfl Vi+j) & R₂ (v., W.+lj) &

. . , IJs) | ,

& §t (vr, Zl'2, w₃, . . . , Wr; yi, 1/2, ■

(c₂)

W (y) (Ez) [#i (z, x) & R₂ (z, i/)],

(Cs) (*) (y) (*) [(/?! (x, y) S Rt (x, z)->~y — z) & (R₂ (x, y) &

& R-> (x, z) -> y = z)].

Wyrażenie C zawiera, podobnie jak B, tylko zmienne funkcyjne Ru R2f f oraz identyczność logiczną. Pokażemy teraz, że C jest ^-wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem B, a więc i A, pod względem posiadania realizacji.

w«+J

r—1). Zachodzi więc JfJ (Rf (v.,    & Rf (v.

+v

Gdy wyrażenie B ma realizację, wówczas jako i3-wyraże-nie posiada także realizację wyróżnioną, np. Rf, R₂\f w zbiorze 3'. Układ ten jest równocześnie realizacją wyróżnioną wyrażenia C. Gdy v₁ jest dowolnie danym elementem zbioru 3', wówczas znajdujemy elementy vif wi (dla / = 2, 3,..., r) w zbiorze 3' rekurencyjnie w ten sposób, iż parę, która odpowiada elementowi vt w jednojednoznacznym odwzorowaniu przez relację Rf (z, x) <# Rf (z,y), oznaczamy przez [v;

(dla i — 1,2,..

1=1

w.₊₁)). Ponieważ funkcje R\ , R>, f spełniają, według założenia, wyrażenie B, przeto do elementów vn w₂, w₃,..., wr istnieją w zbiorze 3’ elementy yx,y₂,...,ys takie, że 2f (vry w2t zv₃,...

..., wr\ ylyy2t..., ys) zachodzi, a tym samym funkcje Rt\ R₂\ /' spełniają wyrażenie Cx w zbiorze 3'. Na mocy twierdzenia 64 funkcje /?/, R»' spełniają wyrażenie (78), a z tego wynika, że spełniają też wyrażenia C₂ i C₃.

Jeśli więc wyrażenie B ma realizację, wówczas wyrażenie C ma realizację wyróżnioną.

Załóżmy teraz odwrotnie, że wyrażenie C ma realizację w jakimś zbiorze 3". Układem spełniającym niech będą funkcje Ri \ R₂", /". Zachodzą więc według założenia:

(103) M(Evpy₂ (Ezopy₂ (Eyp)\ I"ZWiV'V

L 1=1

/+i

)&R₂” (v., zo.₊₁)) &

& W (vry w2y W-s,..., zor; yu y2y .

(104)

(105)

(x) (y) (Ez) [/?/' (z, x) & R₂" (z, y)],

(*) (v) (z) [Ri" (x> y)& R\ (*> z) -> y = z]t

(106)

O) (y) (z) [Ra" (x, y) & R₂" (x, z) -> y = z].

Jeśli xly x2y..., .X,. są dowolnie danymi elementami w liczbie r ze zbioru 3”, wówczas definiujemy najprzód elementy łuł2y...yłr ze zbioru 3” w sposób następujący:

Kładziemy

(107)

*i= *i

oraz do każdej pary /., x(r+l)__. (dla /= 1, 2,..., r—1) znajdujemy na mocy (104) element, który oznaczamy przez ł.+v taki, że zachodzi

(108)

dla / = 1, 2,..

(109)

(110)

dla i — 1,2,.. niowanego przez (111)

(^,+11 Q ^2 (A-fl»

r—1. Kładąc w (108) r—i za i otrzymujemy Ri" (t

Xi+0

r— 1. Na mocy (103) znajdujemy dla v\ zdefi-

»1 =

w zbiorze 3" dalsze elementy viy w,• (dla / = 2, 3...../•) oraz

y, (dla z = l, 2, ...,ä) takie, że zachodzą

(^/>    ),

/?₂" (w., w.₊₁), r—1, oraz że zachodzi W (Vry W₂, ZÜ3, .... «VJ i/l, z/2, * - • , Z/s)-

(112)

(113)

dla 7 = 1,2,..

vi+l =ł

a tym samym związek (115) został indukcją udowodniony.

r—1, co w połączeniu z (113) daje, na mocy (106),

Uwzględniwszy (115) w (110) otrzymujemy R₂" (vit xi+1), dla i = l, 2,..

(116)

r — 1. Kładąc w (115) i = r otrzymujemy vr = łu

Pomiędzy elementami v{ a zdefiniowanymi poprzednio reku-rencyjnie elementami zachodzi związek (115)

Vi    ^(r-j-1)—/

dla i— 1,2,Dla *=1 związek ten zachodzi na mocy (111). Załóżmy teraz, że związek ten zachodzi dla pewnego i<r. Z v. — t

oraz z (109) wynika R{’ (v., łr_), co w połączeniu z (112) daje, na mocy 105, natychmiast

(H~l)—‘

dla i = l,2,.. co w połączeniu z (107) daje

Vr —

To ostatnie oraz (116) uwzględnione w (114) dają 31 (-*1, X2j • • • > xr\ yi, y%,..., ys),

co dowodzi, że funkcje Ri \ R^'t f” spełniają wyrażenie B w zbiorze 3" (ponieważ xlf x^..., xr były dowolnie obrane w 3").

Z istnienia realizacji wyrażenia C wynika więc istnienie realizacji wyrażenia B, a ponieważ przedtem pokazaliśmy, że z istnienia realizacji wyrażenia B wynika istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia C, więc wyrażenia B i C są równoważne pod względem posiadania realizacji i C jest w dodatku p-wyrażeniem oraz daje się sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie kształtu (xJ (*₂) (*3) (Eyi) (Eyù • • • (£#*)•

Twierdzenie 77 zostało więc w zupełności udowodnione. W dowodzie twierdzenia 77 posługiwaliśmy się twierdzeniem 76, a mianowicie do konstrukcji wyrażenia B. Gdybyśmy zamiast twierdzeniem 76 się posługiwali mocniejszym twierdzeniem 75, wówczas by wyrażenie B wprawdzie nie zawierało identyczności logicznej, ale ostateczne wyrażenie C nadal by identyczność zawierało, gdyż wyrażenie C₃ ją zawiera. Widzimy więc, że w twierdzeniu 77 użycie słabszego twierdzenia 76 daje taki sam skutek, jaki by dało mocniejsze twierdzenie 75.

Równoważność wyrażeń B i C z twierdzenia 77 można jeszcze inaczej udowodnić, jeśli się korzysta z twierdzeń 56 i 60 podanych w paragrafie poprzednim.

Jeśli Ri, R₂', f jest realizacją wyróżnioną wyrażenia B, wówczas biorąc w twierdzeniu 60 za F funkcję (Eyp)\ 2T (xlt x₂,..., xr; ł/i, y₂> • • • > y*)» otrzymujemy (po odpowiedniej zmianie zmiennych) równoważność {*r)[ {Eyp)\ ST (xu x₂,..., xr; ylf y₂, • •, ys) ~

r—1

(Ev?)r₂ (EzvpY₂ 2 (RY (vP vi+1) 4- RY (vp wf+1)) &

■- i=i

(ó (£yp)J ST K w₂, V) 3, ...,wr; y 1,1/2, • •

która w połączeniu z (xp)j (Eyp)'[ W (jtj, *₂, ... daje łatwo

•>»•)]• Łi 91, y». ■ • •. y.)

W    ri’W («„ Vi)Æ («-„ «.,+,)) <e-

L 1=1

•>»*)]'

co dowodzi że funkcje 7?₂', /' spełniają wyrażenie Q. A ponieważ funkcje /?/, R₂f spełniają wyrażenia C₂ i C₈, więc mamy nowy dowód na to, że funkcje R/,R₂',f' spełniają wyrażenie C w zbiorze tworząc przy tym realizację wy

różnioną.

Gdy odwrotnie R(’,R₂,f" tworzą realizację wyrażenia C w zbiorze 3", wówczas biorąc w twierdzeniu 56 za R₁ i R2 odpowiednio /?/' i /?₂" spełniamy oba warunki twierdzenia 56 i przeto pierwsza implikacja tego twierdzenia daje nam, dla F równego (Eyp) J 21" (xu x₂, ...,xr; yit 1/2, • • • » y*)> łatwo

(wi) (^op)5 (£wp>2 [ 27 (/?i" (w, w₊₁) 4 #2" (w,-, wf+1» 4

L / 1

• •, ys) J

(( (EypY -li (zv> w₂, W3, •.., w o y 1, _y₂, •

-> (jfp)î (£ÿp)î 2t" {xu x₂,..., *r; y u t/₂,..., ys),

a więc także

W (ÆOpK (^p)î (EypY I 2W' (w, w/+i) 4- /?₂" (o,-, w/+i)) 4

L/=i

(*p)J (ÆÿpX SI" (xlf x₂, .. ., .v,; yu y₂, ys),

4 91" (vr, w₂, w₃,..., Wr; y ₁₍ y₂,...

[589]

o Zagadnieniu rozstr/.ygalnosci

-i-

U'-

co w połączeniu z

Oi) {Evp)₂ {Ewp)₂ (Eyp)\ T 2J (Rf (vr z//+1) & Ro" (v., zu.₊₁)) &

L /==!

• » .V*)]

& SI" On a>2, w₃, ... , wr; ÿi, i/2, ..

daje natychmiast

0P)i (EyPYi W Oi, *2, • • •, -*>; y u y₂, •. •, y*),

które dowodzi, że funkcje Rf',R₂',f" spełniają wyrażenie B w zbiorze 3" ² 3.

95

Ponieważ jednak wyrażenie C daje się także sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie Oj) {Evp)₂ (Ewp)₂ (Eyp)î U) (y) (Ez) a więc kształtu (Xl) (Eyi) (Ey₂) ... (Eyn_f) (x₂) (x₃) (Eyn), oraz także do postaci normalnej o prefiksie (tą) (x) {Ez) {Evp)₂ (Ewp)'2 (Eypy.[(y) a więc kształtu (xA) (x₂) (Eyi) (Ey₂) ... (Eyn,) (x₃) przeto zachodzą także dwa następujące twierdzenia:

Twierdzenie 78. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, (3-wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (xj) (Eyj) (Ey₂) •.. (Eyn_J (x₂) (x₃) (Eyn), które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Rlf R₂ zawiera jeszcze tylko jedną, jedno-członową zmienną funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Twierdzenie 79. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, $-wy-

94

rażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (*1) (x₂) (Eyf) (Ey₂) ... (Eyn) (x₀), które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Ri, R₂ zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Z twierdzeń 77, 78, 79 uzyskujemy przy pomocy twierdzenia 12 łatwo następujące trzy twierdzenia:

Twierdzenie 80. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (*1) (x₂) (xs) (Eyf) (Ey₂) . . . (Eyn), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne: trzy dwuczłonowe i jedną jednoczłonową.

Twierdzenie 81. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (xf) (Eyf) (Ey₂) ... (Eyn-1) (*₂) (*3) (Eyn), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne : trzy dwuczłonowe i jedną jednoczłonową.

Twierdzenie 82. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (^1) (x₂) (Eyj) (Eyf) ... (Eyn) (x₃), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne : trzy dwuczłonowe i jedną jednoczłonową Udowodnimy teraz następujące

T wierdzenie 83. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, ß-wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (*1) (Eyj) (Ey₂) . ■. (Eyn—j) (x₂) (Eyn) (tylko dwa kwantyfikatory ogólne!), które prócz zmiennych wyróżnionych R\, R₂ zawiera jeszcze

% Wyrażenie D skonstruowane na mocy jednego z twierdzeń 80, 81, 82 nie zawiera już identyczności logicznej, gdyż ta została wyeliminowana z odpowiedniego ß-wy^enia C otrzymanego z odnośnego twierdzenia 77, 78, 79. Eliminacji tej dokonuje twierdzenie 12, wprowadzając na miejsce identyczności logicznej, w (i-wyrażeniu C, nową zmienną funkcyjną dwuczłonową, np. R₃. Zmiennymi funkcyjnymi w-y-rażenia D są więc Ru R₃, R₃, f. O wyrażeniu D możemy nawet więcej powiedzieć niż to wr wysłowieniu twierdzeń 80, 81, 82 ma miejsce. Wyrażenie D jest bowiem nawet p-wyrażeniem i Rj, Rj, —,f' jest jego realizacją wyróżnioną, gdy Rj, Rj, f oznacza realizację wyróżnioną wyrażenia C (oczywiście w jakimś zbiorze $').

tylko jedną, jedno członową zmienną funkcyjną oraz identyczność logiczną.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem. Na mocy twierdzenia 76 znajdujemy do niego równoważne ^-wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych Rlt R₂ zawiera jeszcze jedną, jedno-członową zmiennę funkcyjną / oraz identyczność logiczną¹'⁷.

Wyrażenie B jest więc postaci

yi) ÿ2> • • • » y*)*

wyrażeń

Oznaczmy teraz przez C koniunkcję następujących dwóch

08

(Cl)

M(Evey₂(Ewpy₂(Eyf)\w | 2.'((R, («,. 0

i=i

& {Rt (Vr t) ”> U)i+l— /)) & Sf (Vr, ZU₂, ZU;t, ... y ZVr \ y y o,... t ys) J ,

(Ca)

(*) (y) (ßz) [Æ, (z, x) ê R₂ (z, y)].

Wyrażenie C zawiera, podobnie jak wyrażenie B, tylko zmienne funkcyjne Rlt R₂, f oraz identyczność logiczną. Pokażemy teraz, że C jest P-wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem B, a więc i A, pod względem posiadania realizacji.

Gdy wyrażenie B ma realizację, wówczas jako ß-wyra-żenie posiada także realizację wyróżnioną, np. R/, Rf, f w zbiorze Układ ten jest równocześnie realizacją wyróżnioną wyrażenia C. Gdy vx jest dowolnie danym elementem zbioru 3\ wówczas znajdujemy elementy vit w(dla i — 2,3,..., /•) w zbiorze 3' rekurencyjnie w ten sposób, iż parę elementów, która odpowiada elementowi vi w jednojednoznacznym odwzorowaniu przez relację Rf (z, x) & R₂ (z, y), oznaczamy przez [t/.₊₁, toi+l] (dla /= 1, 2,..., r — i). Zachodzi więc

⁹⁷ Również i w tym twierdzeniu zastąpienie twierdzenia 76 przez mocniejsze twierdzenie 75 nie dało by ostrzejszego rezultatu, gdyż, bez względu na to czy wyrażenie B zawiera identyczność logiczną, czy też nie zawiera, niżej podane wyrażenie Cit a tym samym całe wy-rażenie C, zawiera identyczność logiczną.

98

Wyrażenie Ci w tym twierdzeniu, jak również w twierdzeniu 77, ma sens tylko dla r>l. Wystarcza jednak tylko ten wypadek rozważyć, gdyż wypadek r — 1 załatwia się w obu twierdzeniach w sposób trywialny.

2J (Ri (»,-, vi+1) & R₂ (vn w.₊₁))

/= 1

oraz wobec jednoznaczności odwzorowania także

(t)2J ((Riivpt)

1—1

*+1

= t)& (r₂ {Vi, 0->w.₊₁ = /)).

Ponieważ funkcje Ri,R₂,f spełniają, według założenia, wyrażenie B, przeto do elementów vn w2i zvs,..., zur istnieją w zbiorze 3' elementy yu y₂,... ,ys takie, że

2T (vr, w₂, Wg,...,zur; yu y₂,. . ., ys)

zachodzi. Funkcje /?/, R₂, f spełniają tym samym wyrażenie C₁ w zbiorze 3’. A ponieważ wyrażenie C₂ jest w sposób oczywisty przez funkcje R^,R₂ spełniony, przeto układ /?/, R₂,f spełnia całe wyrażenie C w zbiorze 3\ tworząc przy tym realizację wyróżnioną.

Załóżmy teraz, że odwrotnie wyrażenie C ma realizację w jakimś zbiorze 3”. Układem spełniającym niech będą funkcje Ri", R₂", f"■ Zachodzi więc według założenia

(117) M(Evey₂(EWp)[(Eyt)\(t) rüVr(M

£ 1

& (R₂" (Vt) w

+vi+1

— ł)S

'•+i

= t)) & W (v,, w₂, Wg,..., zur; y u y₂,.

• • * ys)\

oraz

(118)

W ('/) (Zz) W’ (z, *) <£' Ri' (z, ÿ)]-Jeśli jfi, x₂,..., xr są dowolnie danymi elementami w liczbie r ze zbioru 3”, wówczas definiujemy najprzód dalsze r elementy tvt₂,...,tr w zbiorze 3” w sposób następujący: Kładziemy

(119)

h = *i

oraz do każdej pary ł., x(dla i= 1,2—1) znajdujemy na mocy (118) element, który oznaczamy przez /.₊₁, taki,

że zachodzi

dla i = 1,2,..

(120)

Q & R‘i' (t;+v x

r — 1. Kładąc tu r — i za i otrzymujemy

Ri(t

i+V

Ri(t

( /—f—1 )——/) »

(H-n-i

:)

Uwzględniwszy związek (126) w (121) otrzymujemy

R₂" iv„ *,+,)

(129)

dla i* = 1, 2,..., r — 1.

dla

Z (124) wynika dalej R₂ (viy *.₊₁) -> w.₊₁ = xi+v z = l, 2,...,r—1, co w połączeniu z (129) daje

wi+i =

(130)

dla i =1,2,..., r — 1.

Kładąc w (126) i—r otrzymujemy vr = tu co w połączeniu z (119) daje

z;r = jt!.

*H-i)

(121)

dla i = 1, 2,..., r — 1.

Na mocy (117) znajdujemy dla v₁ zdefiniowanego przez

Vi = łr,

(r+D-i»

(122)

w zbiorze S' dalsze elementy Vi, (dla z = 2, 3,..., r) oraz yi (dla i = l, 2, . ..,s) takie, że zachodzą

(123)

(124)

dla i = 1, 2,..., r — 1, oraz że zachodzi

2f (zV, ^2, ZOg, . . . , ZUrf ÿj, ,Z/2> • • • >*/•*)•

Pomiędzy elementami z/z- a zdefiniowanymi poprzednio rekurencyjnie elementami U zachodzi związek

vi ⁼ Wd-(

(0 (#a" (»/. 0 w/+i = 0»

(+1

(125)

(126)

dla i=l,2,..., r.

Dla z = 1 związek ten zachodzi na mocy (122). Załóżmy teraz, że związek ten zachodzi dla pewnego z < r. Z v. = t^r+l)_i oraz z (120) wynika

(127)

podczas gdy (193) daje

(128)

Ri" (v, trJ

Ri" (vit tr_t) ->• vi+1 = tr_r

Z (127) i (128) wynika natychmiast vt

+i

(r+1)—(H*l)’

a tym samym związek (126) został indukcją udowodniony.

(131)

Uwzględniwszy (130) i (131) w (125) otrzymujemy

(-*i> -*2» • • • »-*v» yii y%i • • •) ,v«)

które dowodzi, że funkcje /?/', /?₂", f " spełniają wyrażenie B w zbiorze 8" (ponieważ elementy ^i, *₂, • • • >Xr byty dowolnie obrane w S").

Z istnienia realizacji wyrażenia C wynika więc istnienie realizacji wyrażenia B, a ponieważ przedtem pokazaliśmy, że z istnienia realizacji wyrażenia B wynika istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia C, więc wyrażenia B i C (a więc także A i C) są równoważne pod względem posiadania realizacji i C jest również p-wyrażeniem.

Ponieważ C daje się dalej — na mocy reguły (x) [F(a:) &

& G (*)] rvj [(*) F (x) & (y) G (y)] sprowadzić do postaci

normalnej o prefiksie (v±) (Evp)r₂ (Ewp)r₂ {Eyp)[ (Z) (Ez), a więc żądanego kształtu, więc twierdzenie 83 zostało w zupełności udowodnione.

Twierdzenie 84. Do każdego wyrażenia można podać równoważne z nim, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu {Eyf) (^i) (£1/2) (Ey₃) ...

... {Eyn -\) {x₂) (Eyn) (tylko dwa kwantyfikatory ogólne!), które zawiera dwie, dwuczłonowe zmienne funkcyjne oraz identyczność logiczną.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem węższego rachunku funkcyjnego. Na mocy twierdzenia 83 znajdujemy do A równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie B w postaci normalnej o prefiksie kształtu (x₁) (Eyf) {Eyj).. .{Eyn-1) (x₂) (Eyn), które zawiera identyczność logiczną oraz tylko następujące zmienne funkcyjne: dwie dwuczłonowe Rlf R₂ oraz jedną jednoczłonową /⁹⁰. Wyrażenie B daje się więc w każdym wypadku napisać w postaci (*1) (Exp)₂ ²

¹

Gödel, w pracy cytowanej pod ³⁵, pokazał pierwszy, że przy zagadnieniu rozstrzygalności dla realizacji wystarcza się ograniczyć do wyrażeń, które są w skolemowskiej postaci normalnej i zawierają tylko trzy kwantyfikatory ogólne. Gödel w wymienionej pracy, podał metodę kolejnego obniżania liczby kwantyfikatorów ogólnych (aż do trzech). W pracy wymienionej pod ⁹ pokazałem, że można za jednym zamachem zniżyć liczbę kwantyfikatorów ogólnych do trzech, oraz zaostrzyłem twierdzenie Gödel a, wykazawszy, że można się przy tym ograniczyć do wyrażeń zawierających jedynie trzy zmienne funkcyjne dwuczłonowe oraz trzy jednoczłonowe, podczas gdy Gödel pokazał tylko, że można się ograniczyć do wyrażeń o co najwyżej dwuczłonowych zmiennych funkcyjnych, bez bliższego oznaczenia ich liczby. Jak się wnet pokaże, to można pójść jeszcze dalej i ograniczyć się do wyrażeń o tylko jednej jednoczłonowej zmiennej funkcyjnej i trzech dwuczłonowych (a o gödelowskim prefiksie). Należy jeszcze dodać, że jeśli chodzi tylko o pokazanie, iż gödelowskie kolejne obniżanie liczby kwantyfikatorów ogólnych daje się zastąpić przez ryczałtowe obniżenie, to pokazał to także, niezależnie ode mnie, Th. Skolem w pracy Ein Satz über Zählausdrücke, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 7, 4 zeszyt, str. 193—199. Praca Skolem a ukazała się wprawdzie przed moją (wymienioną pod ⁹), ale wpłynęła później, od mojej, do redakcji.

²

ugi dowód równoważności wyrażeń B i C jest nie tylko krótszy od pierwszego, ale także i inną cechą przewyższa dowód pierwszy. Drugi dowód jest bowiem bardziej „formalny“ od pierwszego i przeto nadaje się bardziej do przeniesienia twierdzenia 77 do teorii rozstrzygalności o skrajnie finitystycznym nastawieniu, według którego to nastawienia wszelkie rozumowania mają być zastąpione przez czysto formalne przejścia od wyrażeń do wyrażeń przy pomocy czysto strukturalnych reguł. — Dłużej się nad tym jednak tu zatrzymywać nie będziemy. — Przeniesieniu twierdzeń podanych w tym paragrafie do teorii rozstrzygalności o skrajnie finitystycznych tendencjach zamierzam poświęcić osobną pracę.

³

Przy sprowadzeniu wyrażenia C do postaci normalnej o prefiksie jednego ze wspomnianych typów, wzgl. typu gödelowskiego, należy uwzględnić regułę logiczną, zawartą w wyrażeniu [(x)F(x)£

(EXm)    (-^1, -^2) • • • j Xni).

Niech y oznacza dowolną zmiennę pozorną byle różną od *1, x₂, • •., xm. Oznaczmy teraz przez $$ (xlt x2i..., xm; y) wynik zastąpienia w 9( (ati, x₂, ..., xm) każdej kombinacji kształtu / (*,) przez R₁ (y, xi) (dla / = 1,2,..., m).

Oznaczmy przez C następujące wyrażenie:

99 Wyrażenie B jest w dodatku ß-wyrazeniem, ale z tej okoliczności my tu korzystać nie będziemy.

a Æ $B' (jfj, *₂. • •* » xm; a)))] j,

(X,n

(Ey) (*,) (Exe);-² (*,„_,) (ExJ [(/?, (*„ y) -

27 #i (*■< y) & (Ri (xm_v y) -►

i—2

(R1 (xm> y) & Ö (xv x₂,.. , Xm ; (/))) J c€- ( z) /?! (z, z/)J.

Wyrażenie C zawiera, prócz identyczności logicznej, już tylko zmienne funkcyjne Rlf R₂ i jest równoważne z wyrażeniem B pod względem posiadania realizacji. To ostatnie udowadnia się w sposób następujący:

Gdy wyrażenie B posiada realizację w jakimś zbiorze S' i funkcjami spełniającymi są funkcje R^R^f, wówczas zachodzi

(132)

{x,){Ex?y;-²{x

x ).

m'

) (Exm) W (*1> *2> • •

Jeśli a jest dowolnym przedmiotem byle różnym od wszystkich elementów zbioru wówczas rozszerzając funkcje logiczne Rt’ (x, y), R₂ {x, y) na zbiór S' -j- {«}, położywszy

(133)

R i (*> a)

dla każdego x zbioru 8' -f- {a}, oraz

Ri («» x) ~ /' (x)

(134)

dla każdego x zbioru S' (R₂' (a, *), R₂ (*, a) dla elementów x zbioru 3f, oraz R₂’ (a, a) mogą być dowolnie definiowane), uzyskujemy w tak rozszerzonych funkcjach /?/, R₂ układ spełniający wyrażenie C w zbiorze {a}.

Z (132), (134) oraz z definicji na © (*i, x₂₎..., xm; y) wy

nika łatwo

C*i) (Exp); ²(x

) (ExJ ³³' (*i> *2, • • • >Xm\ a),

gdzie kwantyfikatory odnoszą się do zbioru S', a z tego natychmiast

-m—2

Xi = a ->

2’*,

li'=2

& (x

gdzie kwantyfikatory odnoszą się już do zbioru S'-j-{a}.

Ponieważ zbiór 3f nie jest pusty, więc w zbiorze 3;' —|— {«) zachodzi (Ez) z — a, co w połączeniu z (135) daje

> (x

& SIY (xlf x₂,xm ;

; a))) | ) <ê (£z) z

(xJiExp)™ ² (xm_₁) (ExJ j(

Xi = a ->

I-ni—2

2

L/=2

Xi = aS(xm 1

' m

z czego na mocy (133) wynika

{xMExfi-'    (ExJ {(/?! ' (x„ a) -* ]Vr[' (x„ a) é

& (Rt (*„,_!> a)    (#1 ’(Xm' ß) &

X,n ; °))) J ) & (Ez) R1 (*> «){»

(Eÿ) C*j) (Ex?)” ² C*«- l) (ExJ {(/?l'(*l,ÿ) -> I Rl (xflff) &

L/c=2

& (Ri(xm_vy) ->

-► (^V C*m. .y) C*i, *2» • • • »    ; y

które daje wreszcie

$ 93' (-Vj, *₂, . •

))) I) & (Ez) Ri(z,y)}.

Z istnienia realizacji wyrażenia B wynika więc istotnie istnienie realizacji wyrażenia C.

Załóżmy teraz, że odwrotnie wyrażenie C ma realizację w jakimś zbiorze 5”. Układem spełniającym niech będą funkcje /?/', R₂Zachodzi więc według- założenia

(Ey) (xi) (Exp)J¹ ' ²    (£*J I ( /?/' (jfj, y) ->

.-ni— 2

2' #i" (*,-. y) (Ri" (xm_vy) ->

Li=2

(/?r (*m,y) (*i>^2» • • • > *,„;#))) j) & (Ez) R{'{z, y)|,

a więc przy pewnym elemencie b zbioru także

m—2

(136) (Xl) (Exp)T² (xm A) (Exm) (RS (xh b) - \2 /?r (xit b) &

'■    Li=2

& (Ri” 4) -* W" (*„, 4) é 8" (*„-v.₂,    4)))]}

oraz

(£*) /?/' (z, 6).

Jeśli teraz przez 9 oznaczymy podzbiór zbioru 9" scha-(xd (Exp)” ² (xm t) (Exm) W fo, x₂,..., xj,

co dowodzi, że funkcje logiczne /?/', R₂", f" spełniają wyrażenie B w zbiorze 3.

Wyrażenia B i C, a tym samym A i C, są więc równoważne pod względem posiadania realizacji. A ponieważ wyrażenie C daje się, jak łatwo widzieć, sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (Ey)(xf)(Ex² (Ez) (xm_j) (Exm), czyli żądanego kształtu, więc twierdzenie 84 zostało w zupełności udowodnione.

Udowodnimy teraz

T wierdzenie 85. Do każdego zuyrażenia można podać równoważne mu, pod zuzględem posiadania realizacji, wyrażenie w skolemowskiej postaci normalnej o tylko czterech kwantyfikatorach ogólnych (tzn. o prefiksie kształtu (xj) (x₂) (*3) (*4) {Eyj) {Eyj)... (Eyn)), które zawiera tylko jedną, trój-członową zmienną funkcyjną.

Jeśli A jest dowolnie danym wyrażeniem węższego rachunku funkcyjnego, wówczas znajdujemy do niego, na mocy twierdzenia 80, najprzód równoważne mu wyrażenie B postaci (xi) (x₂) (x₃) (Exp)" 3f (xh x₂,..., x„), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne: trzy dwuczłonowe Rlf R₂, R3 i jedną jednoczłonową /. Wyrażenie B posiada oprócz tego następującą własność, która wprawdzie nie została podana w sformułowaniu twierdzenia 80, ale jest natychmiast widoczna, gdy się zważy, w jaki sposób twierdzenie 80 powstaje z twierdzenia 77,:

100 Tzn., że te i tylko te elementy x zbioru mają być zaliczone do S, dla których R”{x,b) zachodzi. Z (137) wynika, że zbiór 8 nie jest pusty.

101

Należy przy tym uwzględnić definicję wyrażenia 33 (a^, æJf...

rakteryzowany przez funkcję Rf (x, b), wynika (138)

przy czym kwantyfikatory należy odnieść do zbioru $.

Definiując teraz funkcję /" (x) przez równoważność Rf'(b,x), otrzymujemy z (138) łatwo

r (x)

100

wówczas z (136)

(*i) (fixfff² (xm j) (Exm) 33" (xi, x₂,..., Xm; h),

101

Jeśli B ma w ogóle realizację, wówczas istnieje zbiór 3' oraz funkcje /?/, R₂, Rà', f spełniające wyrażenie B w zbiorze 3\ przy czym funkcja Rs’ jest identycznością logiczną, tzn., że zachodzi równoważność R₃' (a:, y) = (x = y) w zbiorze 3'.

102

Niech dalej y oznacza dowolną zmienną pozorną byle różną od xlf x₂,..., xn. Przez 93 (xlt x₂,..., xn; y) będziemy teraz rozumieli wynik zastąpienia każdej kombinacji kształtu Ri (*> Xk), R-2 xk)> Rs (-*•> Xk), f (x.) (dla / = 1, 2,..., n), w wyrażeniu Sf (jfi, x₂, • • > *n), odpowiednio przez (xc., xk, y),    (xif

y, xk)>V|* (y> XP xk)> (y> y* */)> £dzie l,‘ oznacza dowolną trój-członową zmienną funkcyjną.

Koniunkcja C następujących dwóch wyrażeń:

(Q) (y) (.r0 (*₂) (xa) (£*p); I J⁷ (fif, a.) +

-> (j£ ll ’ (y, A;, Xt) & © (*j

A2l ••

• > Xn>y)) »

(Ca)

(£;,) (£z) lF z, z)

zawiera tylko jedną, trójczłonową zmienną funkcyjną U’ i jest wyrażeniem równoważnym z wyrażeniem B pod względem posiadania realizacji.

To ostatnie udowadnia się w sposób następujący:

Rb (*,y) = (x = y).

Jeśli przez a oznaczymy dowolny przedmiot, byle różny od wszelkich elementów zbioru 3', wówczas istnieje funkcja logiczna T'(*, y, z) zdefiniowana w zbiorze 3-f-{a} i zadość czyniąca następującym warunkom:

Gdy wyrażenie B posiada w ogóle realizację, wówczas, na mocy wyżej wspomnianej własności, także taką realizację /?/, R₂\ Ra, f w jakimś zbiorze 3\ przy której zachodzi równoważność (139)

102 Można by nawet coś więcej wywnioskować. Mianowicie, że istnieje taki układ jB/, B₂', R₃, f spełniający wyrażenie B (o ile B posiada w ogóle realizację), przy którym E■/ jest identycznością logiczną, zaś funkcja Rx' (z, x) <& R₃ (z, y) odwzorowuje w sposób jednojednoznaczny elementy z zbioru na pary [x‘, y\ takich elementów. Z tej ostatniej własności, która wyraża, że B jest ß-wy rażeniem, my jednak korzystać nie będziemy.

1) )    (x, y, a) jest równoważne z Ri (x, y), dla każdego

x i y zbioru 3'.

2) ) lF' (x, a, y) jest równoważne z R₂(x,y), dla każdego x i y zbioru 3’.

3) ) lF'(a, x, y) jest równoważne z Rs(x,y), dla każdego x i y zbioru 3'.

4) ) 1" (a, a, x) jest równoważne z /' (x), dla każdego x zbioru 3'.

5) ) 4” (y, x, x) jest wtedy i tylko wtedy prawdziwe, gdy x jest elementem zbioru 3\ a y — a.

Gdy w zbiorze 3'+ {a} zdefiniujemy funkcje logiczne Hi (x,y, z), Gi (x, y, z) dla i — 1, 2, 3, 4, 5 przez równoważności:

a c€- y — a & z — o), a&y=a&z— a), (x = a & y — a & z = a), (x = a & y = a (€• z = a),

Hi (x, y, z) = (x H₂ (x, y, z) ==. (x //₃ (x, y, z)

Hi (x, y, z)

Gi (x, y, z)

C₂ (x, y, z)

G₃ (x, y,z)

G₄ (x, y, z) = f (z),

Gÿ (x, y, z) = {z — a&x = a),

H» (x, y, z) = (y = z), Ri (*></)>

R₂ (*, z),

R-ó (y, z),

wówczas zachodzenie warunku 1)), dla pewnej funkcji {V (x,y,z), jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu w zbiorze

3'+{*}

(x) (y) (z) [Hi (x, y, z) (<T (x, y, z) ~ GL (x, y, z))]; zachodzenie warunku 2)), dla pewnej funkcji MT (x, y, z), jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu w zbiorze S'-j- {«}

W (y) («) [H% (x, y, z) -> (ir (x, y, z) ~ G2 (X, y, z))] ; zachodzenie warunku 3)), dla pewnej funkcji Mv(x, y, z), jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu w zbiorze 3"

W (#) (*) [Hs (x, «/, z)    (4V (x, y, z) ~ G₃ (x, y, z))J ;

zachodzenie warunku 4)), dla pewnej funkcji lF'(x,y, z), jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu w zbiorze 3" -j-{a} (x) (y) (z) [//₄ (x, y, z) -> (M*' (x,y, z)    G₄ (x, y, z))J ;

zachodzenie warunku 5)), dla pewnej funkcji lF'(x,y, z) jest równoważne, jak łatwo widzieć, zachodzeniu w zbiorze 3’ + {o} W (y) (z) f#6 {x,y, z) -► (T' (x,y, z) ~ G₅ (*, #, z))]. Równoczesne więc zachodzenie warunków 1)), 2)), 3)), 4)) i 5)), dla pewnej funkcji W'(x,y,z) w zbiorze 3' -j- {o}, jest przeto równoważne zachodzeniu w zbiorze 3' —j— {a}

W (#) i²) W (x, y, z) -> (4" (*, y, z) ~ G, (x, #, z))]

dla z = 1, 2, 3, 4, 5, co znów na mocy lemmatu 3 ze str. 125 jest równoważne zachodzeniu

(140)    (x) (y) (z) [Hi (x, y, z) & Hu (x, y, z) ->■ (G, (x, y, z)

~ Gk(x,y,z))]

dla z, k = 1, 2, 3, 4, 5, przy czym z 4^ k. Zachodzi

(141)    (*)(#) (z) [M {x,y,z)&H₂{x,y,z)-+{G₁{x,y,z) oo

~ G₂(jr,z/,z))],

gdyż dla wszelkich x,y, z zbioru 3’ -f- {a} poprzednik Ht(x, y,z)&H^[xyy,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z Ht(x,y}z) wynika z —a, zaś z H^(x,y,z) wynika z = o, czyli Hi (x,y, z) & H₂(x, y, z) zajść nie może.

Zachodzi

(142)    (.r) (y) (z) [Ht (*, .z/, z) //₃ (x, z/, z) -> ( Gx (*, z) ~

^ Gó(x,y, z))],

gdyż dla wszelkich x,y,z zbioru 3 + {a} poprzednik H± (*, y,z)&Hz(x,y, z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z Ht(x,y,z) wynika z — a, zaś z H$(x,y,z) wynika = a, czyli /Ą (x,^, z) &Hz(x,y, z) zajść nie może.

Zachodzi

( 143) (*) (y) (z) [Ht (x, y, z) & H± (x, y, z)    (Gj (x, y, z) ~

~ G₄(x,z/,z))],

gdyż dla wszelkich x,y,z zbioru 3 -f~{a} poprzednik //₄ (x, y,z)&Hi(x,y,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z Ht{x}y,z) wynika z—a, zaś z Hi(x,y,z) wynika z = a, czyli Ht{x,y,z) &H±(x,y, z) zajść nie może.

Zachodzi

(144)    (x)(y) (z) [Ht (x,y,z)&Hz(x,yyz)->(Gt (x,y,z) ~

°° G₅ (jr,i/,z))],

gdyż dla wszelkich x,y,z zbioru 3    {«} poprzednik Ht(x,

y,z)&Hh(x,y,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z Ht (x, y, z) wynika y = a oraz z~a, a więc także

y = z, zaś z //₅ (x, y, z) wynika y = z, czyli Hx (x, y, z) & H-₀ (x, y. z) zajść nie może.

Zachodzi

(145)    (x)(y)(z) [H₂(x>y, z)SHó(x,y, z) (G₂(x, y, z) ^

°° G₃(x,y,z))],

gdyż dla wszelkich x,y,z zbioru S -j-(a) poprzednik H₂(x, y,z)&H₃(x,y,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco : Z H₂(x,y}z) wynika x = a, zaś z H₃(x,y,z) wynika x—a, czyli H₂(x,y, z) & H₃(x, y, z) zajść nie może.

Zachodzi

(146)    (*) (y) (z) [H₂ (x, y, z) & H₄ (x, y, z) -> (Go (x, y, z) ^

~ G± (x,y,z))\,

gdyż dla wszelkich x,y,z zbioru    poprzednik H₂(x,

y,z)&H₄(x,y,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z H₂(x,y,z) wynika x = a, zaś z H₄(x,y,z) wynika x=a, czyli H₂(x,y, z) &H₄(x,y, z) zajść nie może.

Zachodzi

(147)    (*) (y) (z) [H₂ (xfy, z) & //₅ (x, y, z) -> (G₂ (x,y, z)™

~ G»(x,y,z))]f

gdyż dla wszelkich x,y, z zbioru    poprzednik H₂(x,

y,z)&Hz(xty,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z H₂(x,y,z) wynika y = a oraz z = a, a więc y=z, zaś z H~₀(x,y,z) wynika y = z, czyli H₂(x,y,z)&H-₀(x,y, z) zajść nie może.

Zachodzi

(148)    (x) (y) (z) [H₃ (a-, y, z) & H₄ (x, y, z) ->

(G3 (x>y>z) ~ G4 (x,y, z))],

gdyż dla wszelkich x, y, z zbioru $'-j-{a} poprzednik H%(x, y y z) & H₄ (x, y y z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się na-stępująco: Z H₃(x,y,z) wynika y — a, zaś z H₄(x,y,z) wynika y = a, czyli H₃(x,y,z)&H₄(x,y,z) zajść nie może.

Zachodzi

(149)    (x) (y) (z) [H₃ (x, y, z) & Hr₀ (x, y, z)

(^3 (Xy y y z) ~ Grö (x, y, z))],

gdyż jest równoważne z (*) (y) (z) [jf = a & y — a & z = a & y — z ->■

{R-i (y, z) ~ (z = a & x = o))],

które jest, na mocy (139), równoważne z

(at) (y) (z) [x — a & y — a & z — a & y — z ->

a & x~ «))]

* ((// = z) ~ (

a to jest, jak łatwo widzieć¹⁰³, prawdziwe. Zachodzi

(150)    (x) (y) (z) [Hi (at, y, z) & H-, (x, y, z) ->

(G₄ (a-, y, z) ~ G₅ (x, y, z))], gdyż dla wszelkich x,yfz zbioru SH“ (Q/ poprzednik H₄(x,y> z) & Hr,{x,y,z) jest fałszywy. To ostatnie uzyskuje się następująco: Z H₄(x,yfz) wynika y = a oraz z— a, a więc także y = z, zaś z Hr₀(x,y,z) wynika y = z, czyli H₄(x, y,z) &    (x,

yt z) zajść nie może.

Z (141), (142), (143), (144), (145), (146), (147), (148), (149) i (150) bezpośrednio wynika (140), które dowodzi, na mocy lemmatu 3, że istnieje w zbiorze S -f" (o) funkcja logiczna T' (x,y, z) zadość czyniąca warunkom 1)), 2)), 3)), 4)) i 5)).

Pokażemy teraz, że każda¹⁰⁴ taka funkcja T' (.*•, y, z) spełnia wyrażenie C w zbiorze

Z warunku 5)) wynika, że funkcja T' (a, x, at) charakteryzuje zbiór 3', tzn., że T' (a, x, a:) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x jest elementem zbioru 3'. Ponieważ zbiór 3' nie jest pusty, więc zachodzi (£z)    (a, z, z), a więc także

(£a) (£z)M>,z,z).

Ponieważ funkcje /?/, R₂',    , /' spełniają według zało

żenia wyrażenie £, więc zachodzi w zbiorze 3'

(151)

(*i) (*2) W {EX')1 W(xux₂,..., x„):

(*1) (*2) (x-ó) (Exp)" $}'(xlfxa,..., x„; o).

z czego, na mocy warunków 1)), 2)), 3)) i 4)), wynika łatwo (152)

¹⁰³ Z poprzednika x = a & y — a&z — adćy=z wynika z jednej strony y — z, z drugiej strony zaś (z = a <& x = a), a więc także równoważność ((y = z) ~ (z = a é x = a)).

104

Funkcja W(xty,z) nie jest jeszcze, jak łatwo widzieć, przez warunki 1)), 2)), 3)), 4)) i 5)) jednoznacznie określona.

Ponieważ funkcja MT (a, x, x) charakteryzuje zbiór więc z (152) wynika natychmiast

(153) (Xl) (x₂) (x₃) (Exp)₄" [i«l>, ¹, Xi)

L;=i

>)■

))•

(j¹ ^ (a> x‘> xd & ©T¹i» x2>

' /=4

Z (153) wynika dalej

(154)    (y) (¹ i) (jc₂) (jc₃) (Exp)nĄ I y 'l ’O/. xh x) >

L:=i

-y ( y    Xl, Xi) & slY(x{, x₂, ...

X t=4

gdyż w przypadku gdy element y zbioru 3'-f-{a) nie jest równy elementowi a, wówczas na mocy warunku 5)) poprzednik

3

*F' ({^ Xi, jc,) jest fałszywy, a więc cała implikacja prawdziwa.

t=i

Z (151) i (154) wynika więc, że funkcja {Y(x,y,z) spełnia wyrażenie C.

Załóżmy teraz odwrotnie, że wyrażenie C posiada realizację w jakimś zbiorze S", przy czym funkcją spełniającą jest W"(x,y,z).

Zachodzi więc według założenia w zbiorze ST (155) (y) (x,) (x,) fe) (fo,)₄" [j/ W’Xv, a-i, x,) -

"“/zrl

>)

-y ( 2J ^¹"0/, je,⁻, Je,-) tê $"(¹!, JC₂,..

(=4

oraz

(156)

(£a)(£z) y'>,z,z).

Na mocy (156) istnieje w zbiorze 3" element Z> taki, że

zachodzi

(157)

Z (155) wynika dalej

a z tego

(158)

te) te) te) (Exf)nt SB" (a-j, x₂,...,xn; b), gdzie kwantyfikatory odnoszą się tylko do części S zbioru S", której elementy x spełniają funkcję 4'" (b, x, x) (z (157) wynika, że zbiór $ nie jest pusty).

Jeśli teraz w zbiorze $ zdefiniujemy funkcje logiczne Ri (x,y), R₂" {x,y), Rf (x,y) i f"(x) przez równoważności

(159)

R₁"(x₎y) = ^'(x,y,b),

Rf’{x,y) = W’'{x,b,y),

R f {x,y) = W" (b, x,y),

r«=łw QM,

wówczas funkcje te spełniają wyrażenie B w zbiorze S, gdyż z (158) i (159) wynika natychmiast

(*i) (*2) (*3) (Ex?)nA SI" fo, *₂, • • •, *„).

Wyrażenie B i C, a więc także A i C, są przeto równoważne pod względem posiadania realizacji. A ponieważ wyrażenie C daje się, jak łatwo widzieć, sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (y) (xt) (x₂) (x₃) (Ex?)n₄ (£» (Ez), czyli żądanego kształtu, więc twierdzenie 85 zostało tym samym w zupełności udowodnione.

T wierd zenie 86. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (xx)(x₂) (Eyj) (Ey₂)...

• • • CEyn) (xs) (xj) (Eyn+-i), które zawiera tylko jedną, trójczłonową zmienną funkcyjną.

n—3

(x„_₂) (*„_,) (Exn)

Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas znajdujemy do niego, na mocy twierdzenia 81, najprzód równoważne mu wyrażenie B postaci (xj {Ex,)n₂

(xi, x2t..., x„), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne: trzy dwuczłonowe Ru R₂, Rd i jedną jednoczłonową/.

n), gdzie y jest dowolną zmienną pozorną różną

Jeśli przez ®(*i, x₂,..., xn; y) oznaczymy, podobnie jak w twierdzeniu 85, wynik zastąpienia w % (xx, x₂,..., xn) każdej kombinacji kształtu R₁(xi,xk),R₂(xi, xk)} R₃ (xifxk), f(xi) odpowiednio przez 4’ (Xi, xh y), 4' (x,-, y, xk), 4' (y, Xi, xk\ 4’ (y, y, Xi) (dla i = 1,?,..

od xlf x₂,..., xn, zaś 4’ dowolną trójczłonową zmienną funkcyjną, wówczas koniunkcja C następujących dwóch wyrażeń :

(•*„-2) (x„-i) (Exn) I i[' (y> XU Xi) ( 2J M* (y,

»))•

xn) & 33 (xj, x.₂.    y

M 2l|> (y> Xi, Xi)-> (ir (y, xn,

i~n 2

(E'A(Ez) *1’ z, z)

zawiera tylko jedną, trójczłonową zmiennę funkcyjną M', daje się sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (y) (jet) (Ex^)n,~‘3 (Eyf(Ez)(xn_f)(xnlf)(Exj) i jest wyrażeniem równoważnym z B, à więc i z A, pod względem posiadania realizacji.

Równoważność wyrażeń B i C, pod względem posiadania realizacji, udowadnia się w sposób analogiczny jak w twierdzeniu 85.

T wierdzenie 87. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (jtj) (*2) (^3) (Eyf) (Eyf) .. • (Eyn) (x₄), które zawiera tylko jedną, trójczłonową zmienną funkcyjną.

Gdy A jest dowolnie danym wyrażeniem, wówczas znajdujemy do niego, na mocy twierdzenia 82, najprzód równoważne mu wyrażenie B postaci (x₁)(x₂)(Exp)l~¹ {xj)%i{xux₂,... ...,xn), które zawiera jedynie następujące zmienne funkcyjne : trzy dwuczłonowe    i jedną jednoczłonową /.

Jeśli przez 55 (*!, x₂, ..., xn ; y) oznaczymy, podobnie jak w twierdzeniu 85, wynik zastąpienia w 31 (xlf x2t..., x„) każdej kombinacji kształtu R₄ (x,-,Xk), R% (x„ Xk)> R3 (x„ Xk), f (xi) odpowiednio przez    xu, y), *T (x,-, y, Xk), M’ (y, xiy Xk), ir (y, y, *«■)

(dla i —— 1,2,..., nj, gdzie y jest dowolną zmienną pozorną różną od xlt x₂, • • •,.x# zaś lF dowolną trójczłonową zmienną funkcyjną, wówczas koniunkcja C następujących dwóch wyrażeń :

n) 12* (.7* xn X.)( 2.¹ ll' (y,Xi, X;) ê

‘ j=l    1=3

)))],

xn\y

(6 (ll ‘ (y, xn, x„)    33 (x,, xo,..

(Euj (Ez) ll ■ (u., z, z)

zawiera tylko jedną, trójczłonową zmiennę funkcyjną lł‘, daje się sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (y) (,vt) (x$) (E\>.) (Ez) (Exp)^¹ (a„) i jest wyrażeniem równoważnym z B, a więc i z A, pod względem posiadania realizacji.

Równoważność wyrażeń B i C, pod względem posiadania realizacji, udowadnia się w sposób analogiczny jak w twierdzeniu 85 ².

T wierdzenie 88. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, y-wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (ai) (a₂)

,. • (xm) (Eyi) {Ey o) {Eyj) (xm-fi) (aot+2) ... (Am-|-n), które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej 4> zawiera jeszcze tylko jedną, jedno-członową zmienną funkcyjną.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem. Na mocy twierdzenia 73 znajdujemy do niego najprzód równoważne mu y-wyrażenie B w skolemowskiej postaci normalnej, które prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej <h zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną /. Wyrażenie B daje się napisać w postaci (x^\ {Ey^)\ 5f (xlt x₂,..., xr ; y\, y2> • • • > t/s). Jeśli teraz przez C oznaczymy koniunkcję następujących dwóch wyrażeń:

(Cl) (*o)i (Ez'i)(v/₂ (w?\

s—1

O,-. ü,.₊₁ ,».)->

i= 1

-> 21 (Ä*!,    ..., xr; ux, W₂,.

(C\)

(a) (Ey) (Ez) <l> (x, z, y),

wówczas C zawiera, prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej <l>, jeszcze tylko jedną, jednoczłonową zmiennę funkcyjną /, daje się sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (xp)[ (Evj) (Ey)(Ez)(vf)](ruf)\~¹, a więc żądanego kształtu, i jest y-wyra-żeniem równoważnym z B, a więc także z wyrażeniem A, pod względem posiadania realizacji.

Ze C jest Y-wyrażeniem równoważnym z B pod względem posiadania realizacji udowadnia się w sposób następujący:

Jeśli B posiada realizację, wówczas jako y-wyrażenie posiada także realizację wyróżnioną, np. 4>',/' w zbiorze S'. Funkcje 4»', /' są wtedy realizacją wyróżnioną wyrażenia C w zbiorze 3’.

Dla każdego obioru elementów xlt x₂,. •., xr w zbiorze 3" zachodzi, na mocy drugiej równoważności twierdzenia 54, równoważność

¹

fc) fe) fe) (&p); [ i f". (A, A-l, AT,) +

Ll=l

²

W dowodzie twierdzenia 86 i 87 należy, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 85, uwzględnić własność wyrażenia B, według której wyrażenie B, jeśli w ogóle posiada realizację, wówczas także taką realizację 7iY, 7?₃Y fV przy której Rj jest identycznością logiczną.    •>

(£ÿP) i    C*i> *2, • • •, Xri ylt y₂, ...,ys)^

w)

-* (xv X2l...,Xr; ZL\ . zo 2, . . .

~    (Wp)r¹ I 4>' (vp V

* i=i

z czego wynika z łatwością równoważność

(v; (^p^i ³¹ (*i-    .....-*v; i/i. i/2, • • •, i/s) ~

5—1

2J (vi< Vl+V ZU') -*-L i=l

?(' (xj, X2,...,xr; wlt zu₂,..

~ (vï (^j) (Vp)S2 (WpX

A ponieważ według założenia (xp)j (£i/p)i 21 (xlf x₂,..., xr; ylf y₂,..., ys) zachodzi, więc zachodzi też

(*,);(Evi)("pK2,<>>' (», « L ;=1

-► 2f (*!, X«, ... , tuv zu₂, ■.

l+l

«".-f

"•)]>

co w połączeniu z (x) (Ey) (Ez) 4»' (x, z,y) dowodzi, że funkcje 4>', /' spełniają wyrażenie C w zbiorze, 3’ tworząc przy tym realizację wyróżnioną.

Załóżmy odwrotnie, że wyrażenie C posiada realizację w jakimś zbiorze 3". Funkcjami spełniającymi niech będą 4>", /". Zachodzi więc według założenia

(160)    (x{)\ (Ev}) (r-p)f, (nip)r¹1 2^" (v,, v^v ty.) ->

L /= l

oraz

?(" (x₁,x₂,..., xr; zvx,zu₂.. .

1» Vs) |

(161)

W (£'/)(£=■) w (x, z,y).

Z (161) i z drugiej implikacji twierdzenia 52 wynika, jak łatwo widzieć, dla każdego obioru elementów xlf x₂,..., xr w zbiorze S" implikacja

L ₍'₌i

vm'"(xl}x₂

™s-V V) |    (%)1 W (*!’

*2

z czego wynika dalej

C*>)l |(^t) (^(^pK ¹

I 2ł(|,"KVra';)

L «=1

Sf" (x1} x₂,..., xr; wu w₂,..

->■ (Ey?)\ ST (xL,x₂,...

ms-V Vs) | >

> xń y 1» i/2’ • • •

> /a)!»

co, na mocy reguły (*) {F (x) -> G (x)} -> {(*) F(x) -> (x) G (*)}, daje implikację

(*p)î (^i) (^2 (wp)i _11 2J V (vif vi+v w) ->

V Vs) | ->

-> SI" (jrŁ, x₂,...., xr; w₁,w₂,..., o>s_

-*■ (*P)i (EypK St" (jfi, x₂,..., xr\i/i, i/2,.. •, i/,)-

Z (160) i z ostatniej implikacji uzyskujemy wreszcie (*p)l (^i/p)l SI (-^1, -^2» • • • , -*V, i/l» i/2’ • • • » i/*)» co dowodzi, że funkcje <!>", /" spełniają wyrażenie B w zbio-

Ç\)tt

rze ^ .

Z istnienia realizacji wyrażenia C wynika więc istnienie realizacji wyrażenia B. A ponieważ przedtem pokazaliśmy, że z istnienia realizacji wyrażenia B wynika istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia C, więc wyrażenia 5 i C są równoważne pod względem posiadania realizacji i C jest w dodatku 7-wyrażeniem, c. b. d. o.

Twierdzenie 89. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, ywyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (xt) (*9) ... ...(*„,) (Eyf) (x,„-h) (xm+₂) .'..(*„+„) (Eyj) (.EyH), które, prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej <l⁾, zawiera jeszcze'tylko jedną, jednoczlonową zmienną funkcyjną.

V V.'

Dowód tego twierdzenia uzyskujemy natychmiast z dowodu twierdzenia 88. Wystarczy tylko zauważyć, że wyrażenie C z twierdzenia 88 daje się również sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie (.Yp)i (ZTt/j) (t/p)₂ (wf)\ ¹ (Ey) (Ez), a więc kształtu (xf) (x₂) ... (xm) (Eyf) (a:,,,.]-]) (xm+o)... (xm+„) (Ey₂)(Ey,).

T wierd zenie 90. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod wzglądem posiadania realizacji, fi-wyrażenie zu postaci normalnej o prefiksie kształtu C*i) (at₂) ... (xw) (Eyf) (Eyf) (Eyó) (;cm+1)    ... (*„,+„), które, prócz zmiennych

funkcyjnych wyróżnionych Ru R_>, zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczlonową zmienną funkcyjną.

Twierdzenie to otrzymujemy natychmiast z twierdzeń 88 i 65.

Twierdzenie 91. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod wzglądem posiadania realizacji, fi-wyrażenie    w    postaci    normalnej    o    prefiksie    kształtu    (jrj)(x₂)...

. .. (xm) (Eyi) (*m+1) (*,n+2)... (*,„+„) (Ey₂) (Eyf), które prócz zmiennych funkcyjnych wyróżnionych R±, R₂, zawiera jeszcze tylko jedną, jednoczlonową zmienną funkcyjną.

Twierdzenie    to otrzymujemy natychmiast z    twierdzćń

89 i 65.

.....■' (

Twierdzenie 92. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod wzglądem posiadania realizacji, Y*wyrażenie    w    postaci    normalnej    o    prefiksie    kształtu    (xf) (jr₂) •

(xm)(Eyl)(Ey₂)(Ey₃), które, prócz zmiennej funkcyjnej\f, zawiera jeszcze tylko jedną jednęczłonową i jedną w’ 1    1

zmienną funkcyjną.

Niech A będzie dowolnie danym wyrażeniem. Na mocy twierdzenia 89 znajdujemy do niego równoważne mu Y-.wyra-żenie    w    postaci    normalnej    o    prefiksie    kształtu    (xi)(x₂)...

... (xm) (Ey±) (xm+1)... (xm+n) (Ey₂),(Ey₃), które, prócz zmiennej funkcyjnej wyróżnionej <l>, zawiera jeszcze tylko jedną, jedno-członową zmiennę funkcyjną/. Wyrażenie to oznaczmy przez B. Prefiks wyrażenia B jest stopnia drugiego. Jeśli teraz do B zastosujemy raz postępowanie S k o 1 e m a, wówczas otrzymamy Y-wyrażenie C w skolemowskiej postaci nonnajnęj o tylko trzech kwantyfikatorach szczegółowych równoważne z wyrażeniem B, a więc także z wyrażeniem A, pod względem posiadania realizacji, i zawierające prócz zmiennych funkcyjnych <f> i / jeszcze jedną wieloczłonową F.

Jeśli B posiada realizację, wówczas jako ywyrażenie posiada także realizację wyróżnioną <!>',/ w jakimś zbiorze 3. Można wtedy, jak to z bliższej analizy postępowania Sko-lema wynika, tak zdefiniować funkcję F", aby funkcje <!>',/', F' spełniały wyrażenie C w zbiorze 3". Funkcje te tworzą wtedy realizację wyróżnioną wyrażenia C. Z realizacji wyrażenia B wynika więc istnienie realizacji wyróżnionej wyrażenia C.

Gdy odwrotnie, wyrażenie C posiada realizację <!>",/ ", Z⁷" w jakimś zbiorze 3", wówczas, jak łatwo widzieć, funkcje spełniają wyrażenie B w tym samym zbiorze 3 Z powyższego wynika, że B i C są równoważne pod względem posiadania realizacji i że C jest y-wyrażeniem. To że wyrażenie C zawiera tylko trzy kwantyfikatory szczegółowe wynika z tego, że tyle ich posiada wyrażenie B i że postępowanie Skolema zachowuje liczbę kwantyfikatorów szczegółowych ¹.

Twierdzenie 93. Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, ß wyrażenie w postaci normalnej o prefiksie kształtu (j^) (x₂) .. • (xm) (Ey₁)(Ey₂)(Eys), które, prócz zmiennych wyróżnionych R\, R%, zawiera jeszcze tylko jedną jednoczłonową i jedną wieloczłonową zmienną funkcyjną.

Twierdzenie 93 otrzymujemy natychmiast z twierdzeń 92 i 65.

W tym paragrafie poznaliśmy cały szereg twierdzeń dających się podciągnąć pod jeden schemat o brzmieniu : Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu pod względem posiadania realizacji wyrażenie o własności W; przy czym IF' było w każdym twierdzeniu inną własnością.

Każde twierdzenie o brzmieniu : a) Do każdego wyrażenia można podać równoważne mu, pod względem posiadania realizacji, wyrażenie o własności W—daje natychmiast twierdzenie o brzmieniu : b) Przy zagadnieniu rozstrzygalności dla realizacji wystarcza się ograniczyć, bez uszczerbku dla ogólności, do wyrażeń o własności W, — jeśli oczywiście w twierdzeniach a) i b) na W weźmiemy jedną i tę sapią własność.

Załóżmy bowiem na chwilę, że rozwiązaliśmy zagadnienie realizacji dla wyrażeń o własności W. Znaczy to, że posiadamy kryterium pozwalające o każdym wyrażeniu o własności W rozstrzygnąć czy to wyrażenie posiada realizację, czy nie. Niech A będzie teraz zupełnie dowolnym wyrażeniem. Na mocy twierdzenia a) znajdujemy do A wyrażenie B o własności W równoważne z A pod względem posiadania realizacji. Dla wyrażenia B, które posiada własność W, umiemy — według założenia — odpowiedzieć na pytanie czy posiada realizację, czy jej nie posiada. Zależnie od tego czy ta odpowiedź będzie pozytywna, czy negatywna: wyrażenie A posiada realizację albo jej nie posiada (gdyż wyrażenia A i B są równoważne pod względem posiadania realizacji).

Udowodniliśmy więc, że gdybyśmy posiadali kryterium rozstrzygalności dla realizacji wyrażeń o własności W, to mielibyśmy zarazem także kryterium rozstrzygalności dla dowolnych wyrażeń. Twierdzenie b) wyraża jednak właśnie to, cośmy przed chwilą udowodnili.

Każdemu udowodnionemu w tej pracy twierdzeniu a) odpowiada więc twierdzenie b) zawierające w sobie redukcję zagadnienia rozstrzygalności. Tak np. twierdzeniu 80 odpowiada następujące

Twierdzenie 94. Przy zagadnieniu rozstrzygalności dla realizacji wystarcza się ograniczyć do wyrażeń w postaci normalnej o gódelowskim prefiksie (xf) (x%) (x%) {Eyf) (Ey<j) ...

... {Eyj), które zawierają tylko następujące zmienne funkcyjne : trzy dwuczłonowe i jedną jedno członową.

W twierdzeniach tego paragrafu posługiwaliśmy się na każdym kroku pojęciami ^-wyrażenia i Y-wyrażenia oraz pośrednio także pojęciem a-wyrażenia. Chcemy teraz bliżej oświetlić rolę tych pojęć w wspomnianych twierdzeniach. W dotychczasowych pracach poświęconych redukcjom zagad-nienia rozstrzygalności przy formułowaniu twierdzeń typu : Do każdego wyrażenia A można podać równoważne mu wyrażenie B o własności W, nie uwzględniano bliżej charakteru realizacyj w grę wchodzących wyrażeń A i B, lecz ograniczano się tylko do zanotowania faktu, że wyrażenia A i B są równoważne. Często jednak, przez zanotowanie charakteru funkeyj realizujących w grę wchodzących wyrażeń, można zyskać zaostrzone wyniki a to głównie pod względem ilości zmiennych funkcyjnych, gdyż jeśli np. wiadomo, że na jakieś dwie zmienne funkcyjne przy realizacyj odpowiednich wyrażeń przychodzą te same funkcje, wówczas te dwie zmienne funkcyjne można zidentyfikować. Przy pomocy pojęć a-wyra-żęnia, p-wyrażenia i y-wyrażenia w twierdzeniach niniejszej pracy zanotowaliśmy właśnie bliżej charakter realizacyj występujących wyrażeń i dzięki temu mogliśmy przy iterowa-nym posługiwaniu się tymi twierdzeniami utożsamiać zmienne funkcyjne.

ŁJ.\

•i*/.

.i ■

Przypis.

Od chwili przedstawienia niniejszej pracy Towarzystwu Naukowemu (czerwiec 1936) literatura omawianego przedmiotu wzbogaciła się o cały szereg prac. Niektóre z nich poświęcone są wyłącznie zagadnieniu rozstrzygalności, inne zaś mają z tym zagadnieniem tylko pewne punkty styczności. Co się tyczy w szczególności kierunku badań polegającego na redukowaniu ogólnego zagadnienia rozstrzygalności do pewnych jego przypadków szczegółowych, a więc kierunku któremu poświęcona jest niniejsza praca, to należy przede wszystkim zanotować dwie prace następujące :

W i 1 h e 1 m Acke r m a n n, Beiträge zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik, Math. Annalen, \\2 (1936), str. 419—432.

Laszlo Kalmar, Zurückführung des Entscheidungsproblems auf den Fall von Formeln mit einer einzigen, binären, Fünktionsvariablen, Compositio Mathematica, 4 (1936), str. 137—144.

Również autorowi udało się uzyskać w międzyczasie szereg nowych wyników w tym kierunku, które umieścił w pracy: Untersuchungen über das Entscheidungsproblem der mathe-matischen Logik (ukaże się najprawdopodobniej w czasopiśmie: Fundamenta Mathematicae), gdzie też zaostrzył wyniki wspomnianych wyżej prac Ackermanna i Kalmara.

Dalsze prace poświęcone są tzw. kierunkowi negatywnemu i zmierzają do wykazania, że ogólny wypadek zagadnienia rozstrzygalności węższego rachunku funkcyjnego nie da się rozwiązać. Wymieniamy tylko najważniejsze z tych prac :

Alonzo Church, An unsolvable problem of elemen-tary number theory, American journal of mathematics, vol. 58 (1936), str. 345—363.

Alonzo Church, A note on the Entscheidungsproblem, The journal of symbolic logie, vol. 1 (1936), str. 40—41.

Alonzo Church, Correction to a note on the Entscheidungsproblem, The journal of symbolic logie, vol. 1 (1936), str. 101—102.

S. C. Kleene, General recursive functions of natural numbers, Math. Annalen, 112 (1936), str. 727—742.

Barkley Rosser, Extensions of some theorems of Gödel and Church, The journal of symbolic logie, vol. 1 (1936), str. 87—91.

A. M. Turin g, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, Ser. 2, Vol. 42, (1937), str. 230—265.

Z powyższych prac tzw. natury negatywnej wynika w sposób zupełnie ścisły, że nie istnieje żadne „rekursywne“ kryterium rozstrzygania dla węższego rachunku funkcyjnego w ogólnym przypadku, przy czym przymiotnik „rekursywne“ należy rozumieć w sensie bardzo obszernym pochodzącym od K. Gödela i J. Herbranda a sprecyzowanym przez S. C. K1 e e n e’a. Do twierdzenia jednak, że nie istnieje w ogóle kryterium rozstrzygania dla węższego rachunku funkcyjnego w ogólnym przypadku, można jednak tylko dojść przyjmując, jak to w gruncie rzeczy A. Church i A. M. Turing czynią, hypotezę, że prócz kryteriów „rekursywnycji“ żadnych innych kryteriów nie ma. Co się zaś tyczy tej hypotezyf to autorowie wyżej wspomniani nie dają żadnych przekonywujących argumentów na jej poparcie, lecz opierają się li tylko na czysto empirycznym fakcie, że nie znane są dotychczas prócz funkcyj rekursywnych żadne inne funkcje „obliczalne“ („effectively calculable functions“ u Chur cha i „computable functions“ u Turinga). Wobec takiego stanu rzeczy kwestia całkowitej rozwiązalności zagadnienia rozstrzygalności dla systemu węższego rachunku funkcyjnego pozostaje nadal kwestią otwartą.

Zusammenfassung.

Zu den wichtigsten Problemen der mathematischen Logik gehört bekanntlich das Entscheidungsproblem. Das Entscheidungsproblem kann für jedes formale System, in welchem die Begriffe der „sinnvollen“ Aussage und der „beweisbaren“ Aussage präzisiert sind, formuliert werden. Unter dem Entscheidungsproblem eines solchen Systems versteht man im allgemeinen das Problem der Auffindung eines Verfahrens, welches bei einer jeden vorgelegten sinnvollen Aussage in endlich vielen Schritten zu entscheiden erlaubt, ob diese sinnvolle Aussage eine beweisbare Aussage des betrachteten formalen Systems ist oder nicht ist. Bei dieser allgemeinen Formulierung ist die nahe Beziehung des so verstandenen Entscheidungsproblems zu den schwierigen Entscheidungsfragen der Mathematik sofort ersichtlich. Formalisiert man nämlich eine mathematische Theorie (z. B. die Zahlentheorie, Mengenlehre, Geometrie), so gehen bei der Formalisierung die Entscheidungsfragen der entsprechenden mathematischen Theorie in Fragen über, welche eben unter das Entscheidungsproblem des durch diese Formalisierung entstehenden formalen Systems fallen. Die Lösung des formalen Entscheidungsproblems hätte daher auch die Lösung dieser rein mathematischen Fragen ermöglicht. Als das einfachste formale System muss bekanntlich der Aussagenkalkül angesehen werden. Für dieses System ist das Entscheidungsproblem ein einfaches und schon gelöstes Problem, für welches sogar mehrere Lösungen bekannt sind. Als das, nach einer logischen Klassifikation, nächststehende formale System ist der sogenannte engere Funktionenkalkül zu betrachten. Für dieses System bildet das Entscheidungsproblem, welches gewöhnlich Entscheidungsproblem der ersten Stufe genannt wird, ein schwieriges noch ungelöstes Problem. Es hat sich aber auch ergeben, dass die

Lösung des Entscheidungsproblems der ersten Stufe von kolossaler Bedeutung für die gesamte deduktive Wissenschaft wäre, da sie u. a. die Lösung tiefliegender noch ungelöster klassischer zahlentheoretischer Probleme, wie z. B. des Gold-bachschen Problems und der grossen Fermatvermutung, impliziert hätte. Es ist also auch kein blinder Zufall, dass eben dieses Entscheidungsproblem in den letzten zwei Jahrzehnten oder besser gesagt: in den letzten zehn Jahren eine Reihe von Forschern wie W. Ackermann, H. Behmann, P. Bernays, K. Gödel, J. Herbrand, L. Kalmar, L. Löwenheim, F. P. Ramsey, M. Schönfinkei, K. Schütte und Th. Skolem, aufs lebhafteste beschäftigt hat. Das Entscheidungsproblem der ersten Stufe wird gewöhnlich in zwei anderen Formen behandelt, welche als Allgemeingültigkeitsproblem und Erfüllbarkeitsproblem bekannt sind. Diese Formen des Entscheidungsproblems stimmen aber, von methodologischen Unterschieden abgesehen (Unterscheidung zwischen beweistheoretischen Methoden und mengentheoretischen Methoden), sachlich mit dem oben für jedes formale System formulierten Entscheidungsproblem überein. Die am meisten behandelte Form des Entscheidungsproblems der ersten Stufe ist das Erfüllbarkeitsproblem. Die Untersuchungen über das Entscheidungsproblem laufen in zwei verschiedene sich einander ergänzende Richtungen. Während die eine Richtung der Untersuchungen zum Ziel hat Spezialfälle des Entscheidungsproblems zu behandeln und zu lösen, hat die zweite Richtung zum Ziel das allgemeine Entscheidungsproblem auf möglichst einfache Spezialfälle desselben zurückzuführen. Die vorliegende Arbeit ist der zweiten Richtung der Untersuchungen über das Entscheidungsproblem der ersten Stufe gewidmet und bildet eine Ausarbeitung und Verschärfung meiner eigenen Resultate die in der Arbeit: Beiträge zur Reduktionstheorie des logischen Entscheidungsproblems (Acta Scientia-rum Mathematicarum, Szeged, 8, 1936, S. 7—41) enthalten sind. Da einerseits die vorliegende Arbeit für den polnischen Leser bestimmt ist und anderseits, meines Wissens, in der polnischen Literatur noch überhaupt keine Arbeit vorliegt, die über das Entscheidungsproblem und den engeren Funktionenkalkül handelt, so habe ich mich, hauptsächlich aus terminologischen Gründen, veranlasst gesehen mit der Einführung und Erläute

rn

rung der benutzten Grundbegriffe diese Arbeit zu beginnen. Auch einige bereits bekannte Sätze, die in dieser Arbeit öfters benutzt werden und deren Beweise nicht ganz einfach sind, habe ich in den ersten Paragraphen vorangeschickt. Diese Sätze werden hier nach einem neuen und einheitlichen Prinzip behandelt; ihre hier gegebenen Beweise sind meistens einfacher und übersichtlicher als die üblichen Beweise, so dass sie, wie ich meinen darf, nicht nur für den Anfänger, sondern auch für den Kenner etwas Neues bieten. Was den genauen Inhalt dieser Arbeit anbetrifft, so ist es leider nicht möglich in einigen Zeilen eine vollständige Auskunft darüber zu geben. Ich stehe auch davon ab mit der Bemerkung, dass eine entsprechende deutsche Arbeit beabsichtigt ist.

|f KRAKOW |

\\ /> * A //

c h n

J-i

:■!

J72

J. PEPIS

[616]

; i j -,

dla rzek, wyznaczone na zasadzie empirycznej, z 8 rysunkami, str. 27 (1,50 zł.). — Jendyk Rościsław. Hellada starożytna pod względem antropologicznym, z 4 ryc. w tekście, str. 25 (1 zł.). — Hen-zel Tadeusz. Pigmeje centralno-afrykańscy. Śtudjum antropologiczne, z 18 rys. w tekście i 2 tabl., str. 72 (3 zł.). — Rosiński Bolesław k s. Emigracje europejskie do Stanów Zjednoczonych pod względem antropologicznym, z 7 ryc. w tekście i 4 tabl., str. 47 (2 zł.). — Mikulaszek Edmund. O wielocukrach bakteryjnych, str. 115 (4 zł.). — Szarski Kazimierz. Przyczynek do badań nad rozwojem i budową gruczołów dodatkowych (gil. accessoriae) dróg moczo-płciowych myszy białej, z 18 ryc. w tekście i 4 tabl., str. 149 (5 zł.).    ........

22

20

Tom VII. Żejmo-Żejmis Stanisław. Struktura rasowa Skandynawji, z 7 ryc., 14 tabelami i 2 tabl., str. 96 (3 zł.). — K lisi ec ki Andrzej Jan. Ruch krwi w łuku aorty, z 3 ryc. w tekście, str. 10 (0,50 zł.).— Papier kowski J u 1 j a n. Farmakodynamiczne i lecznicze działanie wody ze zdroju „Karola“ w Iwoniczu, z 38 fig. i 14 tabl., str. 136 (5 zł.). — Żyliński Eustachy. Formalizm Hilberta. Część I. Formalizm Hu str. 76 (2,50 zł.). — Gawliński Stanisław. Wpływ czasu na ustrój zaprawy wapiennej, z 2 ryc. w tekście, str. 9 (0,50 zł.). — Lut wak-Mann Cecylja. Przemiany chemiczne w mięśniu pod wpływem zatrucia kwasem jodooctowym, z 2 ryc. i 7 tabl., str. 34 (1,50 zł.). — Pilawski Stanisław. Struktury protoplazmatyczne w spermatogenezie chrząszczy z 9 rys. i 2 schematami w tekście i 6 tabl., str. 82 (3 zł.). — Pepis Józef. O zagadnieniu rozstrzygalności w zakresie węższego rachunku funkcyjnego, str. 172 (6 zł.) ....

Tom VIII. Matakiewicz Maksymiljan. Oznaczanie największych odpływów w potokach i rzekach, z szczególnem uwzględnieniem małych zlewni, z 6 tabl. i 6 ryc., str. 54 (2 zł.). — Lachs Jan. Krakowski cech chirurgów (cyrulików) r. 1477—1874, str. 256 (8 zł.). — B r o s s Wiktor. Zgorzel samoistna, z 22 tablicami, 23 wykresami, 7 rycinami i 1 krzywą w tekście, str. 98 (5 zł.). — Andruszkiw Józef. O uporządkowaniach ciał rzeczywistych str. 24 (1 zł.). — Kaczmarz Stefan, O zupełności układów ortogonalnych, str. 8 (0‘50 zł.). — Matakiewicz Maksymilian. Pionowa krzywa prędkości w łożyskach sztucznych i nowy sposób obliczenia przepływu w kanałach trapezowych, z 20 rycinami w tekście, str. 66 (2,50 zł.). — Reis Julian. Badania nad swoistością fosfataz, z 2 rycinami i 7 tabelami w tekście, str. 19 (t zł.) .    .    ..................

Tom IX. Zych Władysław. Cephalaspis kozłowskii n. sp. z Downtonu Podola, z 2 schematami w tekście i 4 tablicami, str. 100 (4 zł.). — Dalsze zeszyty w druku.

Przemysław Dąbkowski, Oswald Balzer. Życie i dzieła

(1858—1933) Lwów 1934, str. 236.....'.....7-

3.50

Oswalda Balzera, Przemówienia wygłoszone w Towarzystwie Naukowem we Lwowie w latach 1921—1932, wydał Prze m y-

sław Dąbkowski, Lwów 19 7, str. 118......

Sprawozdania Towarzystwa Naukowego pod redakcją Przemysława Dąbkowskiego, Roczniki 1 do XVI (1921—1936)

zemysław Dąbkowski, Pierwsze rDi«'-'

ain ~

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KBAKi

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

L. inw.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297900

111-16589

¹

Tzn., że wynik zastosowania postępowania Skolema do pewnego wyrażenia daje się sprowadzić do postaci normalnej o prefiksie stopnia o jeden niższego od stopnia prefiksu danego wyrażenia, przy czym liczba kwantyfikatorów szczegółowych prefiksu otrzymanego wyrażenia równa jest liczbie kwantyfikatorów szczegółowych prefiksu danego wyrażenia. Powyższą własność postępowania Skolema można łatwo sprawdzić.