*f

IM II

m

mmS

mam

5..vV

Hii

Si'

IB

■

s

■v '

immm

■mMIB

lii

1

wmmĘgms^m

I1BBB sl wMmśmMmMSwmmm

lliiiiliill

■■

m

<Ł,

IN Z. WACŁAW BALICKI

•jB

Gts*

LINIE WPŁYWOWE

LINIE WPŁYWOWE

LINIE WPŁYWOWE

DLA

BELEK KRATOWYCH PROSTYCH

NARAŻONYCH NA SIŁY POZIOME

(Z DWIEMA TABLICAMI)

_2_

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGO u

Nr. 19 z r. 1904.

LWÓW, 1904.

NAKŁADEM TOWARZYSTWA POLITECHNICZNEGO.

Z I. ZWIĄZKOWEJ DRUKARNI WE LWOWIE, UD. DINDKOO 4.

l.e£

#

M

lit-/

kK

?•;

>e

v'

•)

"fi

4";

A

>

a

-ś-\.

, sK^

I-Sśp

'N

i

i

■O

' v

v

'

:

>

i

1;;#>:\ ; ■■;

i’ ^

'

T

- ,s

i'

■=..- ■ ■■ -.-■ _ ■■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000232000

'

'

IN Z. WACŁAW BALICKI

Ohr>

Asv)

LINIE WPŁYWOWE

DLA

BELEK KRATOWYCH PROSTYCH

NARAŻONYCH NA SIŁY POZIOME

(Z DWIEMA TABLICAMI)

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGOu

'""5"

Nr. 19 z r, 1904. o-

LWÓW, 1904.

NAKŁADEM TOWARZYSTWA POLITECHNICZNEGO.

Z I. ZWIĄZKOWEJ DRUKARNI WE LWOWIE, UL. LINDEGO 4.

s/

£ *

«»>*►

f*A.c8^

AlfC. Nr.

JL-......-/£if<7

Znamiennym jest objaw, że w nowszej teoryi mostów, mimo jej wielki postęp i rozwój, nie spotykamy się nigdzie z liniami wpływowemi dla sił poziomych. A jednak nikt nie zaprzeczy, że siły poziome odgrywają ważną rolę zwłaszcza przy wyższych dachach, w których największe natężenia wywołuje parcie wiatru.

Nie zabierałże kto w tej sprawie głosu ?

Wpływ sił poziomych na belki mostowe badało zaledwie kilku autorów ¹)- Żaden z nich jednak nie użył w tych badaniach sposobu najdogodniejszego i najbardziej przejrzystego, t. j. linii wpływowych.

Kinematyczna teorya belek kratowych daje nam wprawdzie linie wpływowe dla ukośnych ciężarów, ale sposób to nie tak bardzo prosty.

Myślałem nad tern, by sprawę tę przedstawić w sposób więcej elementarny, a mniej zawiły. Pracę swą zacząłem już z górą przed rokiem ²)? ale zajęcia biurowe i sprawy prywatne nie pozwoliły jej jednolicie przeprowadzić i dokończyć. I obecnie ograniczam się tylko do zwykłych belek prostych, zostawiając innego rodzaju belki na później.

I. Jako pierwszy przykład weźmy belkę kratową o jednym pasie — np. dolnym — prostym.

Przedewszystkiem wyznaczmy oddziaływania.

Jeżeli na belkę³) działa siła H= 1 (rys. 1) w kierunku ku łożysku wałkowemu (1 przypadek),

Składowa pozioma drugiego oddziaływania B musi się oczywiście równać sile H. Z tego wynika

B= —Hsec = —II sec

B jest ujemne, bo działa do łożyska: trzebaby w danym razie łożysko zakotwić.

Równanie 1) jest linijne ze względu na y: przedstawia więc prostą (rys. 1 o).

Jeżeli siła li— 1 działa w przeciwnym kierunku (2 przypadek), a więc ku łożysku stałemu, otrzymamy

B= +11 sec

(»-f) ■

(tg=-) . .

• 2)

. 1 a)

Widzimy zatem, że zmienia się tylko znak. Jako podstawę dalszych badań przyjmiemy pierwszy przypadek.

Oznaczamy przez

Oj, 0₂,..., Or,... natężenie w pasie górnym (także odpowiedni pręt pasu górnego);

V₁, U.₂,..., Dr,... natężenie w pasie dolnym (także odpowiedni pręt pasu dolnego);

, D₂,..

odpowiednią przekątnię);

A... pionowe oddziaływanie łożyska wał-

.,D

.. natężenie w przekątni (także

kowego.

c.

___ w -

Inne oznaczenia znajdują się na odpowiednich rysunkach.

A. Siły wewnętrzne w pasach. a. JPas górny;

1_2

a) Siła H= 1

na

lewo od badanego pręta

(rys. 2).

M = Aar — Iły—Aar — A l=A (ar — l) = —Abr

Rys. 1.

to z równania momentów —Hy-\-Al=0 otrzymamy oddziaływanie

Rys. 1 a.

hr

0r —--r~ sec Or — A — sec or

hr

hr

. . 3)

A=I1

1)

b O. Huth: Inansprueltnahme eiserner EisenbaJinbrilcken durch das Bremsen der Zilge (Deutsche Bauzeitung 1885, str. 834, 337 i 346).

F1 e c k: Die Beanspruchung von Fachicerksiragern durch waagerechte Krdfte in der Trdgerebene. (Centralblatt der Bau-verwaltung 1886, str. 502).

Fr. Engesser: Die Zusatzkrdfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrilcken. I. Die Zusatzkrdfte, 1892, sti. 8.

²) Pierwszy rysunek z liniami wpływowemi dla sił poziomych dla prostego więzaru dachowego wykonałem 14/4 1903.

a więc ciągnienie.

Dla 2-go przypadku, z powodu, że A'=—A, otrzymamy ciśnienie.

§) Siła H= 1

M = Aar, Or=— A

na prawo od badanego pręta, sec or

ar

lir

. . 4)

Dla 2-go przypadku jest Or= + A

ar

³) Naumyślnie przyjęliśmy bardzo wysokie belki, by linie wpływowe wyraźniej wystąpiły.

sec or.

Na podstawie równań 3) i 4) możemy łatwo wykreślić linie wpływowe (rys. 2 d).

Wykresami linii wpływowych nie będziemy się wogóle zajmowali, ponieważ są one bardzo proste i można je znaleźć w niejednym podręczniku. Zresztą w innej rozprawce omówiliśmy obszer-

lir

linii wpływowych na podstawie

nie nanoszenie równań J).

Sam sposób przedstawienia może być różny. Albo wykreślamy oddzielnie linię wpływową dla lewej połowy belki AC (rys. 2 a), a oddzielnie dla części CB (rys. 2 b); albo też oba te przypadki

otrzymujemy

Dn = {A+ Orsinor) secan = (A+A    secoysinoy)secan

Dn = A 1

kr

lir ctg Or

kr

sec an

. . 7)

<¥\

Sm

i\

li

i...

Rys. 2 b. Rys. 2 a.

Rys. 2.

Rys. 2 d.

możemy połączyć w jednym rysunku, gdy silniej wyciągniemy linię wpływową dla części AC (rys 2 d). Tego drugiego sposobu stale używać będziemy (por. Tabl. XXVII i XXVIII).

b. Pas dolny:

(rys. 3).

a) Siła U = 1 na lewo od środka momentów

M=Aar -f II (kr — y) dla k ;> y I to M=Aar— H{y—kr)=Aar + H(hr—y) dla k<iy\ samo 1\L= Acir d⁻ BL (kr — y) = — Ab r -f- Hk,-

kr

Ur=~=H—A~

hr

kr

. . 5)

2r-

H-l

•H

Rys. 3 a.

(3) Siła H=1 na prawo od środka momentów. M=Aar, Ur=A

ar

. . 6)

kr ’

Xie potrzebujemy wspominać, że dla 2-go przypadku zmieni się tylko znak, podobnie jak przy pasie górnym.

Linię wpływową, wykreśloną na podstawie równań 5) i 6), przedstawia rys. 3 a).

B. Siły wewnętrzne w przekątniach.

a) 1. Przekątnie lewej części belki, spadające na" prawo:

hr

. HI

-U-

Rys. 4.

a) Siła H=1 na lewo od dotyczącego przedziału (rys. 4).

Z równania dla pionowych składowych A—Dn cos an-\- Or sin ov=0

b Por. autora „Linie wpływowe dla belek trzypasowych wspornikowych'*. Czasopismo Techniczne 1903, Nr. 21 i 22.

prawo od dotyczącego

/?) Siła H= 1 przedziału.

tir

A—Dn cos an—Or sinoy=0, Or=—A ~ sec or

na

ky

Dn

=4

«#•

sec an

. . 8)

hr ctg Gr

a) 2. Przekątnie prawej części belki, spada-

jące na prawo:

a) Siła H = 1 przedziału.

na

lewo od dotyczącego

br

A—Dn cos an — Or sincr, =0, Or=A - - sec or

kr

h,

u¹

_____L________

-----b.

Rys. 3.

Dn

=4

kr

sec an

. . 9)

kr ctg Or.

/?) Siła II =1 na prawo od dotyczącego przedziału.

A—Dn cos an + Or sin or=0,

Or = A~

kr

sec Or

CLr \ kr Ctg Or)

b) 1. Przekątnie lewej części belki, spadające na lewo:

Dn

=-ł (l4

sec an .

. . 10)

a) Siła 11=1 na lewo od dotyczącego przedziału (rys. 5)

A—Dn cos an-\- Or sin o>=0, Or=A

br

kr

sec Gr

Dn=-A

(i +

kr

sec an

. . 11)

kr ctg or

Dajemy znak —, albowiem w przekątni panuje ciśnienie, zgodnie z przyjęciem na rys. 5.

/?) Siła R = 1 na prawo od dotyczącego przedziału

dr

A—Da cosa„ — O^sin o>=0, Or=—A -j- sec or

Dn= —A (l — y———)

\ kr Ctg Or)

hr

. . 12)

b) 2. Przekątnie prawej części belki, spadające na lewo :

sec an

a) Siła przedziału

na

TewT)—(Ta—dol^óżdcego

Bn

₌-a(i

sec ccn

. . 13)

hr Ctg Gr

(3) Siła 77= 1 na prawo od dotyczącego przedziału

Dn

= -x(i +

ar

sec a„

. . 14)

hr ctg G,

Na rys. 5 i 5 a. przedstawiliśmy wykres linii wpływowej dla przekątni Dn.

Przedłużamy tedy odpowiedni pręt pasu górnego do przecięcia się z pasem dolnym w punkcie K: otrzymujemy FK=hr ctg or.

Zróbmy następnie FL=FK=hr ctg ar łączmy punkt L z punktem 7?, odetnijmy 7)717= A == Cl C\' (z rys. 1 a), poprowadźmy przez punkt M poziomą do przecięcia się z prostą LB w punkcie FB

po-

W!1¹ u!!Hxj

identyczne z równ. 1).

Siły wewnętrzne w pasach.

A. Pas górny:

1. Siła H= 1 na pasie górnym (rys. 6): a) na lewo od badanego pręta

M=Aar—H (?/+$v) = —Abr—H&r

SeC Gr

5J na prawo od badanego pręta M= Aar, Or= — A

2) Siła 17=1 na pasie dolnym: a) na lewo od środka momentów

M= — Aar—H (itr—■?f) = Abr—Hd-r

sec Gr .

Nietrudno dojść do wniosku, że równ. 16a) jest identyczne z równ. 16): trzeba tylko położyć rj=—y, by otrzymać Ą-A zamiast —A.

. . 16)

ar

hr

sec Gr .

. 17)

n ( A , TT ^r

Or=( — A    + 77

. 16 a)

hr

br

.LM=

. A.

N, to wtedy J7iV=

Dodajmy do otrzymanego w ten sposób odcinka długość A=L3I: to otrzymamy

LF

h,. ctg Gr

h...

......_________

— b.

Rys. 5 a.

Rys. 5.

b) na prawo od środka momentów

M= —Aar , Or = A

br

(I+

LO=LM+ MJS=A + A

Poprowadźmy wreszcie LP // D poziomą do punktu przecięcia P, to oczywiście

LP=LO sec an =A ^1-ł

Zróbmy teraz L'0* (rys. 5 a)=L0₁ połączmy prostą punkta L' i 7£j, to mamy pierwszą prostą linii wpływowej, ważną od punktu T.

Cif'

Zupełnie analogicznie jest QM=^ c^g g

A, SL=j( 1

hr ctg Gr

hr ctg o,

LP=A

Clr

llr Ctg Or)

a z punktu O

sec an.

.. H

i.

-i-

ar

hr

sec Gr •

.    . 17 a)

ar

hr ctg G,

sec aa .

hr ctg Gr ’

Zróbmy wkońcu (rys. 5 o) 0'S'=SL i wykreślmy prostą S'Ki: jestto druga prosta, ważna do punktu V.

Nie wspominamy nawet o tern, że dla 2-go przypadku (siła 77=1 działa w przeciwnym kierunku) powierzchnia wpływowa dodatnia stanie się ujemną i odwrotnie.

Dla zillustrowania otrzymanych wzorów przedstawiliśmy na tablicy XXVII linie wpływowe dla wszystkich prętów niesymetrycznej belki parabolicznej zbieżnej.

Zauważyć musimy, że siła wewnętrzna Oi = — A sec (90—<7!) = — A cosec    .

O prawdziwości tego wzoru łatwo się przekonać, gdy się zważy, że oddziaływanie X, siła wewnętrzna w pasie górnym Ox i dolnym L\ są w równowadze, a więc tworzą zamknięty trój-bok sił.

. 15)

II. Przechodzimy do ogólniejszego przypadku, badając belkę wieloboczną o obu pasach zakrzywionych. Jeżeli siła 77=1 działa na pasie dolnym (por. rys. 6 lub 7), to oddziaływa

nie A = —77

CS

b----------Zr‘

Rys. 6.

Znowu równ. 17a) jest to samo co 17).

B. Pas dolny:

1. Siła 77 = 1 na pasie górnym (rys. 7): a) na lewo od środka momentów

M=Aar-\-B(ór—y)=— Abr+Hdr

ur=[n~-A br

hr

hr

sec Tr •

. . 18)

wZm

Rys. 7.

b) na prawo od środka momentów

M=Aar, Vr=A ^ sec vr .

2. Siła H=l na pasie dolnym: a) na lewo od badanego pręta

. . 19)

Vr= (u

ór

secTr .    .    .18 a)

b) na prawo od badanego pręta

M=—Aar, ZJr=—-4sec zr .    . 19a)

hr

,    ,    . r-------o j    uuuołrat,    uia UKO-

snych ciężarów możemy w łatwy sposob znaleźć natężenia w belce, jeżeli te ciężary rozłożymy składowe poziome i pionowe i dodamy siły wnętrzne dla obu przypadków.

na

we-

ii.

Równania 18 a) i 19 a) są znowu identyczne z równaniami 18) i 19).

Wzory dla sił wewnętrznych w przekątniach moglibyśmy łatwo wyprowadzić z rów-dla składowych pionowych, ale otrzymalibyśmy wzory nie tak bardzo proste: dlatego też wolimy je pominąć. Zresztą mając dane linie wpływowe dla pasów, nie jest wcale trudną rzeczą wykreślić linie wpływowe dla przekątni.

nania

JA__

hr

f-

'b**

Tablica XXVIII illustruje nam otrzymane wzory: widzimy na niej linie wpływowe dla wszystkich prętów belki osełkowatej.

III. Rozumie się samo przez się, że dla belki sierpowatej (rys. 8) możemy zastosować wzory 16)—19), zastąpiwszy &r przez —•Sy, a także rj przez —rj=y.

Bys. 8.

Nadmienimy wkońcu, że możemy uzyskać linie wpływowe zapomocą 3 planów sił dla if=l, przyczem możemy użyć planu sił dla przypadku

We Lwowie dnia 15 sierpnia 1904.

O)

1+*=

fliw w

■tvvrv4/,

dda/ tfcdcJt    jZUteUjdl* nataianijc$ na *ni*j j

-Ł.

.8

I=*=

_a

= —=i

Podziałka dla sił:

0-5

,4 li.

2,

te

\Di

o.

p,

/O,    0,

\0«

W),

te

t.

U,

te

U,

o,

b,

\0,.

iS

,ć>

u.

U₅

U,

u,

u.

u,

b.

0.

0.

9.

0,

0.

u,

Y-

u,

u.

---1

----2

-s

o,

o.

o.

b,

u,

u»

u.

-P

■5=

■-«=

eS-

eS

a*

P-

P-

=r

-a

-O

Lo

o'

Q"

o*

cf-

li

o-

hJ

bJ

.o-f

■O-

o*

■ W/l IW

I ł-wi i I I I W«-.« I    I II, Ivr.

(Jc&tl ILt&tć/Wtjd?

\ AX&A>&icmy$v /ffiihj ^o^Jioyr^.

O,

Oj.

Jh

?■

Pędziałka dla sił:

,On

5j

\D,

\c,

m.

>•

v,

\Oo

-»

r%

vł.

zr

ST

Ut

nr

u,

IV'

U.

*'

Vii

Ił

0. ,

-°+

o,

9,

o.

o,

0.

y.

u.

m-

-■

0S

0.

o.

6,

o,

0.

u.

U.

Uk

9,

9.

U,

9,

u.

V,

D.

O,

-■

Ił-

9.

9,

U.

9,

0.

n,

U,

O,

-°+

D.

9.

0.

D.

D.

PU

D.

--S

nr-

D.

0.

D.

0.

D,

Dl

0.

D.

0.

D.

0.

•i

*5

■

^ i

. Ł. >■<-■

5«V %'

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

0#

##::

i. tnw.

- t: >

v'>V£

\

V

Kcin. 524. 13. IX. 54

■y.

V‘-

■ił

:‘N;

%

5$ ;

M?'

?■<*-

mm

;!yV.-

ihv>

V

:

:vV"^U.

11# '

■

.

N

c'^

■■%

f

■

ń *

<

:>C

•&

' *

vV

$

V.

Y

*»

,;V

•:$u

:-r ■

;; ;t.

Ss

;

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

ih+

9*f/

/

:■<-% ig

':.:.i:'.r Ky

100000232000

I ■    -

S '    mm

3jblioteka Politechniki Krakowskiej

iiisllliipiii

111-25860

i;-;-.'/

V.‘v

ilU

H,-A

:■:;

■■i

III

■

BMB|MIBi

M

llMl

!»:

.;:

.

Wżm

!. r

/■V;

■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

■:.C

100000232000

'

B19h