. » JJtr-

i .    ’    '    ■    ■    ■■    ■    ..    ■    '    '    ■

%

i.

. . ■ : '■ , • ' .

■ . -

' ■

т'~

•►V':

li ‘

:    •• w • ?}{Q    л' V p.j

■: • ■;.•■/ , ' ; ' ■■■ ■: '

. .    ■ w, &%:î{

. ..

- tu-

■ - ■ : -' ' ■;

:    л

,    h'4% ff, :¹ -.'v    'li •!.' ; ; Л' ,

.»г ■ • ■

./• , ; '■■ ■■'

»,

J-

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

100000293400

4Г2-'

! а гл v-_.    "Х'ь

»

об

Uv

Г⁵ Схс

•-

(й

Г'Ф

//?!£> о

^ lvv<XU>l <3uv0é?TV.'

^ёУ

л ВЩ\ ? <è

ter

%цуф/

u-ww

иж

-Tri \4 juanie

PRZEDMOWA.

Tom I. zakończyłem określeniem i najogólniejszym podziałem funkcyj analitycznych. Tom II., który właśnie do użytku Publiczności matematycznej oddaję, zaczynam od własności i postaci funkcyj jednoznacznych; przeprowadzam więc badania Weier-s tras sa i Mittag-Leffle r a, [Część I., II.], w całej ich rozciągłości, nie pomijając przytem funkcyj elementarnych jednej zmiennej, którym przypadło zadanie: uprzystępnić ogólnie wyprowadzone twierdzenia. Z funkcyj wielu zmiennych zamieściłem [Część III.] rzecz o podzielności szeregów, a szukanie pierwiastka jednego szeregu wielu zmiennych prowadzi do rozwiązywania równania algebraicznego f{x,y)=0. Badania geometryczne punktów wielokrotnych, przecinania się krzywych i tworzenie tak zwanych krzywych dołączonych (bez wszelkich ograniczeń) zakończają te podstawowe wiadomości o funkcyach algebraicznych.

Po tych poszukiwaniach zajmuję się dalej przygotowaniem do teoryi całek Abla [Część IV.]. Nie pomijam i tu badań geometrycznych, aby ułatwić studyum funkcyj H, któremi się Weier-strass posługiwał w teoryi całek i funkcyj Abla. Rodzaj czyli rząd, (defekt) obrazu algebraicznego, (krzywej algebraicznej) ma tu określenia odpowiadające dzisiejszemu stanowi rzeczy, a z tern łączą się i różne metody jego obliczania. Przy tern nie pominąłem szczegółowo omówić krzywe rodzajów: O, 1, 2, krzywe hyper-eliptyczne i moduły jednej klasy krzywych. Tu już w tej części znajduje się podział całek Abla na trzy ich rodzaje.

IY

Co się tyczy peryodów tych całek i związanych z nimi dróg zamkniętych w obrazie algebraicznym, to wolałem te poszukiwania poprzedzić wykładem o zwartości powierzchni i o powierzchniach Riemanna [Część V.], a to z powodu, że ten sposób uzmysławiania monogenicznej, a wielo wartościowej funkcyi może ułatwić lekturę współczesnych autorów, z których liczni posługują się i dziś tym przez Riemanna wprowadzonym środkiem.

Rozpoczynam dalej [Część VI.] badania Cauchy’ego; przenoszę je potem do funkcyj wielu zmiennych, aby dać obraz współczesnych poszukiwań Picarda i S im art a, a kończę twierdzeniem Cousin’a o postaci jednoznacznych analitycznych funkcyj wielu zmiennych. Zajmuję się wreszcie peryodami całek Abla z zatrzymaniem znakowania Weierstrassa, a nie pomijając całek eliptycznych i hypereliptycznych. Przy sposobności odwracania całki eliptycznej rodzaju pierwszego daję krótki rys Weier-strassowej teoryi funkcyj eliptycznych. Wyprowadzenie i zestawienie ich zasadniczych własności stanowi koniec części VIteJ.

Całą część VII. wypełniają funkcye harmoniczne z wyrównawczą metodą Schwarza i z potrzebnemi zadaniami o cząstecz-kowem odwzorowaniu. Tu dopełniam własności całek Abla, a więc wyprowadzam warunki potrzebne do ich wyznaczania i określam normalne ich formy.

Część VIII. i ostatnia zawiera teoryę funkcyi trójkąta i pochodnych Schwarza, funkcye umiarowych wielościanów, a określenie grupy modułowej i modułowej eliptycznej funkcyi    jako

pierwowzoru funkcyj automorficznych kończy poszukiwania tego 2-tomowego dzieła o funkcyach analitycznych.

Zestawiłem w niem przeważnie rezultaty badań Weierstrassa, a dotykając przy tern i innych klasycznych metod, sądziłem, że dzieło moje stanie się może przez to pożyteczniejszem, dając wskazówki w różnych kierunkach poszukiwań.

Kończąc, nie mogę i tu nie wyrazić wdzięczności Akademii Umiejętności w Krakowie, która, dbała — jak zawsze —

o rozwój naszych nauk, przyszła w pomoc z zasiłkiem na wydanie i tego IIgo tomu.

W korektach pomagali mi gorliwie ukończeni już dziś słuchacze Wydziału filozoficznego w lwowskim Uniwersytecie: Pp. Roman Jamrógiewicz i Franciszek Słuszkiewicz. Za ten ich współudział wyrażam Im serdeczne podziękowanie.

We Lwowie w czerwcu 1900.

Autor.

СП>

oo

/JAM'⁰

tf> -V

чГ<®*‘ К 'ч

/0 "

чн^'4

Ö* '

?

BIBLIOTEKA

,.Ä

nr...

ш*.inw'-

Art.

katedra i zakład MATrMATVKf wydziału inżynierii W KRAKOWIE

- 112 J SPIS RZECZY.

CZĘŚĆ I.

Funkcye elementarne, Funkcya całkowita przestępna bez miejsc zerowych.

Rozdział I. Funkcya ^yl|ładnicza i luhłfcye^ymiernie z niej utworzone.

AV

/ ‘

1.    Określenie funkcyi wykładniczej

2.    Funkcye trygonometryczne sinx, co§*x t

3.    Własności funkcyi wykładniczej

4.    Obliczenie peryodu funkcyi wykładniczej

5.    Własności i peryodyczność funkcyj trygonometrycznych .

6.    Prawidła dodawania funkcyi R(ecx) .....

7.    Prawidła dodawania funkcyj trygonometrycznych

8.    Uwielokrotnienie argumentu w funkcyach sinx i cosx

9.    Obliczanie wszystkich spółczynników w rozwinięciach sinmx

cos mx ......

10.    Obliczanie wyznaczników K, S

11.    O funkcyach G(eix)-±:Gr(e~ix) .

12.    Czynniki pierwiastkowe funkcyi sinnx, cosnx 18. Pochodne nieskończonego rzędu szeregów bezustannie zbieżnych

14.    Wartości pochodnych nieskończonego rzędu powracające peryo-dycznie ...........

15.    Forma funkcyi całkowitej o pochodnych nieskończonego rzędu, powtarzających się peryodycznie ......

Rozdział II. Logarytm. Łuki. Funkcya całkowita przestępna bez miejsc zerowych.

16.    Określenie funkcyi logarytm. .....

17.    Szereg logarytmiczny ......

18.    Monogeniczność logarytmu. Jego punkta osobliwe .

19.    Zastosowanie do równania: yn=(x—a)...(x—am)

2 U. Funkcye arctgx, arccotgx .....

21.    Funkcye arc sin x, arc cos x .....

22.    Nowe szeregi logarytmiczne. Różne rozwijania liczby n

Str.

12

17

19

21

03 OC to to to

CO O 00 O CO

36

39

СО г* CD i-и rjl i> H 'Ф TjH -«ф Ю Ю KO <X>

Art.

VIII

Str.

28. Ogólna potęga. Ogólna funkcya wykładnicza. Logarytm o dowolnej zasadzie .........

24.    Równania funkcyjne jako charakterystyczne własności logarytmu i ogólnej potęgi .........

25.    Zastosowanie funkcyjnego' równania logarytmu do nieskończonego zbieżnego iloczynu. Funkcya wykładnicza w postaci iloczynu ...........

26.    Najogólniejsza forma funkcyi całkowitej przestępnej bez miejsc zerowych ..........

27.    O funkcyach wielu zmiennych bez miejsc zerowych.

64

68

CZĘŚC II.

Funkcye jednoznaczne ze skończoną lub nieskończoną ilością miejsc osobliwych.

Rozdział III. Funkcye jednoznaczne z jednem miejscem istotnie osohliwem.

28.    Funkcya z miejscem istotnem w nieskończoności a ze skończoną ilością miejsc zerowych i nieskończonościowych w skończoności 81

29.    Przedstawienie funkcyi całkowitej przestępnej z nieskończoną ilością miejsc zerowych przez iloczyn

30.    Zamiana iloczynu na bezustannie zbieżny szereg

31.    Logarytmiczna pochodna iloczynu. Rząd iloczynu

32.    Funkcya sin тих ......

33.    Funkcya cosnx. Przykłady ....

34.    Liczby Bernoulli’ego. Szeregi , T%t, U u

35.    Funkcye igx, cotg x .....

36.    Funkcye secx, cosecx .....

37.    Liczby André’go ......

38.    Zastosowanie liczb André’go ....

O funkcyach B ernoulli’ego .

40.    Twiedzenia o iloczynach rzędu mgo

41.    Przegląd funkcyj analitycznych z jednem miejscem osobliwem 123

39.

Rozdział IV. Funkcye jednoznaczne ze skończoną luk nieskończoną ilością miejsc istotnie osobliwych.

42.    Funkcya ze skończoną ilością miejsc osobliwych

43.    Funkcye ze skończoną ilością miejsc istotnych z uwzględnieniem miejsc zerowych i nieskończonościowych .

44.    Funkcye o jednokrotnych biegunach skupiających się w nieskończoności .    .    .    .    ,

45.    Funkcye o nieskończenie wielu miejscach osobliwych skupiających się w nieskończoności ......

46.    Funkcye z nieskończoną mnogością miejsc osobliwych skupiających się w jednym punkcie w skończoności .

83

88

89

93

96

99

102

104

108

110

113

116

.    130

.    134

.    137

.    142

Art.

IX

Str.

47.    Funkcye i wyrażenia analityczne utworzone na podstawie danej mnogości odosobnionych punktów osobliwych .

48.    Tworzenie funkcyi w obszarze ograniczonym linią punktów skupienia danej mnogości .......

49.    Wyrażenia analityczne o miejscach zerowych i nieskończono-ściowych tworzących mnogość punktów odosobnionych

.    150

.    158

. 161

CZĘŚC III.

Z teoryi szeregów wielu zmiennych. Funkcye algebraiczne jednej zmiennej.

Rozdział V. Odwracanie szeregu jednej zmiennej. Z teoryi funkcyj

wielu zmiennych.

50. Jednoznaczne odwracanie szeregu jednej zmiennej

O równaniu f(x, xv xv ..., #„)==0. Wieloznaczne odwrócenie szeregu jednej zmiennej ........

52.    Podzielność dwóch szeregów wielu zmiennych bez wolnych wyrazów .    .    .    .    .    .    .    .

53.    Podzielniki dwóch szeregów w otoczeniu ich punktów zerowych

54.    O punkcie nieistotnie osobliwym funkcyi wielu zmiennych

166

51.

171

t> гЧ Ю

GO CO

H r-H rH

Rozdział VI. Rozwiązywanie równania algebraicznego. Funkcye algebraiczne.

Otoczenie zwyczajnego miejsca w obrazie algebraicznym .

56.    Otoczenie miejsca wielokrotnego przy szczególnych założeniach

57.    Otoczenie miejsca wielokrotnego w najogólniejszym wypadku .

58.    Otoczenie miejsc obrazu algebraicznego leżących w nieskończoności .    • .    .    .    .    .    .    .

59.    Zakresy zbieżności elementów obrazu algebraicznego

60.    Funkcya algebraiczna. Jej monogeniczność i charakterystyczne jej własności. Dwa zadania z eliminacyi .....

55.

tO i—¹ ►-*

O CO 00 O ^ 00

216

Rozdział VII. Geometryczne badania. Krzywe dołączone. Rodzaj (defekt) krzywych algebraicznych.

61.    Geometryczne badania punktów wielokrotnych .

62.    Warunki spowodowane punktami wielokrotnymi

63.    Uwzględnienie punktów wielokrotnych przy wyznaczaniu krzywej

64.    Przecinanie się dwóch krzywych w ich punktach wielokrotnych 232

65.    Dołączone krzywe. Rodzaj (defekt) krzywej

.    222

.    228

230

Art.

CZĘŚĆ IT.

str.

Funkeye wymierne JR(xy) miejsca (x,y) obrazu algebraicznego.

llozdział VIII. Zasadnicze własności funkcyi M(xy). Jej najmniejszy stopień czyli rząd obrazu algebraicznego.

66.    Własności (charakterystyczne) funkcyi B(xy) .

67.    Związek między dwiema funkcyami R(xy), R‘(xy) w tym samym obrazie algebraicznym. Rząd =0

68.    Rząd obrazu algebraicznego. Funkcya H(xy, x‘y‘)

69.    Odwracalne wymierne podstawienia. Obrazy algebraiczne tej samej klasy ..........

70.    Oznaczenie rzędu jako liczby identycznej z rodzajem

71.    Rząd obrazu hypereliptycznego i eliptycznego.

.    241

to to

l> Ci

to to to

llozdział IX. Funkeye Weierstrassa: H(xy)a, 1Г(ху)а , Л(у, x‘y‘).

72.    Wyprowadzenie funkcyi H(xy,x‘y‘) z funkcyi s. Funkeye:

Щху,х‘у¹)^.........

73.    Rozwinięcia    iloczynu    A    .......

74.    Rozwinięcia    iloczynu    В    .

75.    Rozwinięcie    iloczynu    C    .

to to to

l> C- CO 00

llozdział X. Zastosowanie funkcyj II w tworzeniu dowolnej funkcyi s = R(xy).

76.    Twierdzenie o sumie pozostałości funkcyi s=R(xy) .

77.    Tworzenie funkcyi s za pomocą funkcyj H(xy,x‘y‘), H(xy, х'у¹)^

78.    Funkcya s stopnia <p (o miejscach nieskończonościowych od siebie zależnych)

79.    Funkcya sab z jednem tylko, ale wielokrotnem miejscem nie-skończonościowem .........

80.    Związki między funkcyami H .

81.    Nowa forma funkcyi s—R{xy). ......

82.    Całkowanie funkcyi s. Trzy rodzaje całek Abla

to to

CO 00

CO co

.    298

co co co co

О СО Ю co

llozdział XI. Nowa metoda obliczania rodzaju p. Normalne formy

funkcyj II.

83.    Ogólna funkcya H(x, y) ; jej normalna forma ....

84.    Nowa metoda obliczania rodzaju p. Przykłady ,

85.    Forma funkcyi H(xy) w dowolnym obrazie algebraicznym

86.    Normalne formy funkcyj H‘(xy)a, H(xy, x‘y‘)    .    .    .    .

87.    Inne normalne formy funkcyj H‘(xy)ai Щху, x‘y‘). Przykłady .

312

318

320

323

Art.

1—1

Str.

Rozdział XII. Krzywe rodzajów: 0, 1, 2. Krzywe hypereliptyczne.

Moduły.

88.    O krzywych rodzaju zero    .......

89.    O krzywych rodzaju = 1

90.    Normalne formy krzywej rodzaju = 1. Krzywe rodzaju = 1 tej

samej klasy .    .    .    .    .

91.    Odwracalne podstawienia z dowolnym parametrem .

92.    O krzywych rodzaju p = 2    .......

98. Krzywe hypereliptyczne.    .......

94. Moduły...........

со со со со со

со со

O’ OMf. 1Й.

CD 05

O' O CD O’ И

CZĘŚC У.

Zwartość powierzchni (Analysis situs). Powierzchnia

Riemanna.

Rozdział XIII. O zwartościach powierzchni.

95.    Uwagi wstępne ........

96.    Dzielenie powierzchni przekrojami .....

97.    Zwartość odcinków .......

98.    Cięcia zamknięte (kołowe). Wcięcia wewnątrz i z brzegu

99.    Koła przywiedlne i nieprzywiedlne ....

100.    Zupełny system kół nieprzywiedlnych ....

101.    Rodzaj p powierzchni o zwartości N ...    .

102.    Przekształcenie powierzzhni ......

103.    Kula о л antabach. Rodzaj p powierzchni zamkniętej .

104.    Twierdzenie 1’Huilier’a. System p par kół nieprzywiedlnych

Rozdział XIV. O powierzchni Riemann’a.

105.    Liście Riemann’a w otoczeniu punktów rozgałęzienia. Linie przejścia .........

106.    Tworzenie i określenie powierzchni Riemanna

107.    Wnętrza cięć kołowych na powierzchni Riemanna .

108.    Zwartość powierzchni Riemanna .....

109.    Rodzaj p powierzchni Riemann’a .....

110.    Przekroje sprowadzające powierzchnię Riemann’a do jednokrotnej zwartości. Systemy kół nieprzywiedlnych

858

360

363

365

368

371

373

375

377

379

382

386

389

392

395

.    396

CZĘŚĆ YI.

Całki argumentów urojonych i pozostałości. (Teorya Cauchy’ego). Peryody całek Abla. Odwrócenia całki

eliptycznej.

Rozdział XV. Zasady teoryi Cauchy’ego. (Całki zmiennych urojonych).

.    400

111. Z teoryi określonych całek podwójnych .

Art.

XII

Str.

112.    O wyłączanm średnich wartości z całek rzeczywistego argumentu ..........

113.    Całka określona o argumencie urojonym

114.    Pochodne funkcyi urojonego argumentu.

115.    Całka zamknięta (okrężna). Zmiana drogi całkowania

116 . Całka Cauchy’ego .    .    .    ....

117.    Szereg Taylora i Laur en t’a .

118.    Teorya pozostałości (residuum) ....

119.    Punkcye o kołowych cięciach (liniach zerwania ciągłości)    . 427

120.    Punkcye o dowolnych cięciach w postaci całek określonych . 430

121.    Zastosowanie teoryi pozostałości do równań .

.    435

Rozdział XVI. Funkcje wielu zmiennych.

122.    Linie przerwy w funkcyach wielu zmiennych

123.    Tworzenie funkcyi równoważnej z funkcyami o danym obszarze zmiennych

124.    Ogólniejsze twierdzenie o równoważności funkcyi z danemi funkcyami

125.    Zasadnicze twierdzenie [Cousin’a] -o funkcyach jednoznacznych wielu zmiennych

126.    Całki podwójne (o dwóch zmiennych urojonych), obliczane po danych drogach

127.    Całki podwójne o zamkniętych konturach, których wnętrza są powierzchniami w 4-wymiarowej przestrzeni .

Rozdział XVII. Całki określone Abla. Ich peryody; prawidło dodawania i odwracanie. Funkcye eliptyczne Jacobi’ego i Weierstrassa.

128.    Peryody całek Abla pierwszego i drugiego rodzaju

129.    Związki między peryodami 2<y, 2rj    ...    .

130.    Peryody całki Abla rodzaju trzeciego. Funkcya E(xy) .

131.    Peryody całek eliptycznych rodzaju pierwszego i drugiego .    477

132.    Peryody całek hypereliptycznych rodzaju pierwszego i drugiego 485

133.    Charakteryst. własności funkcyi E(x,y). Funkcya E(xy^c₂c^). Przedstawienie każdej funkcyi wymiernej B(x, y) iloczynem funkcyj E

134.    Prawidła dodawania całek Abla.

135.    Odwrócenie całki eliptycznej. Określenie próbie

136.    Peryodyczność funkcyj jednoznacznych .

137.    Funkcye eliptyczne Jacobi’ego

138.    Miejsca wspólne peryody .

139.    Funkcya Weierstrassa- $(u)

140.    Funkcye Weierstrassa: a(u), o^(u)₁ a₂(u), a₃(u), Ç(u)

Rozdział XI III. Z teoryi (ogólnych) funkcyj eliptycznych.

141.    Funkcye eliptyczne. Związki między ich miejscami zerowemi a nieskończonościowemi

zerowe

.    442

.    444

.    448

.    452

.    454

.    459

mu

Jacobi’ego .

CD H [>• (M CD

i nieskończonościowe funkcyj Jacobi’ego. Ich

i- o> to

Art.

XIII

Str.

.    527

142.    Wyznaczanie funkcyi eliptycznej .

143.    Związki funkcyjne i prawidło dodawania funkcyj eliptycznych 533

144.    Wyrażenie funkcyi eliptycznej przez elementa proste

145.    Zastosowanie ostatniej formy do całkowania .    , .

146.    Przedstawienie funkcyi eliptycznej ilorazem bezustannie zbieżnych szeregów (przez funkcye o).

.    536

.    539

.    541

CZĘŚĆ Tli.

Funkcye harmoniczne i ich zastosowania.

Rozdział XIX. Funkcye harmoniczne w kole. Prostsze zagadnienia o odwzorowaniach.

r-‘ 00

r—1 rH

I—1. 1 (—l (—1 (_1 №010101^ OO tû M O CC

154.

155.

Zasadnicze formy i definicye .    .    ...

Wartość funkcyi harmonicznej w pewnym punkcie (а, Ъ) wewnątrz danej krzywej ........

Rozwijanie funkcyi harmonicznej wewnątrz danego obszaru . Funkcye harmoniczne dla obszaru kołowego .    .    .    .

Uwzględnienie zrywania ciągłości na okręgu koła . Odwzorowanie wieloboku w półpłaszczyźnie ....

Funkcye harmoniczne w wieloboku, w wycinku lub odcinku koła i w rozgałęzionym odcinku powierzchni Riemanna o ograniczeniu wielobocznem ........

Uwzględnienie zerwania ciągłości na dowolnej krzywej ograniczającej ..........

Szeregi funkcyj harmonicznych ......

545

549

553

555

559

563

OT    Ol    Ol

•O    <1    -o

cd    -a    b-L-

Rozdział XX. Metoda wyrównawcza Schwarza.

156.

157.

168.

159.

160.

161.

co co"

to cr>

tH ł-H

164.

Twierdzenie zasadnicze ........

Metoda wyrównawcza w najprostszych wypadkach [dla obszarów o zwartości — 1]

Funkcye harmoniczne w wieloboku kołowym .

O łukach analitycznych........

Funkcye harmoniczne w obszarze zamkniętym liniami anali-tycznemi ..........

Metoda wyrównawca dla obszarów o zwartości !>1. Funkcye harmoniczne o danych peryodach ......

Funkcye harmoniczne w otwartej powierzchni Riemanna Funkcye harmoniczne na powierzchni Riemanna bez otworu [na powierzchni zamkniętej] .......

Funkcye harmoniczne rodzaju 1^°, 2@° i 3®° na powierzchni Riemanna ..........

Funkcye rodzajów is°, 2s°, 3®° urojonego argumentu z—x-\-yi na powierzchni Riemanna .......

00

co l> 00 00 00 00 Ю iO o

co i>

CO    Ci co

Ю    Ю Ю

Art.

XIV

Str.

Rozdział XXI. Zastosowania funkcyj harmonicznych.

166.    Własności peryodów funkcyj (urojonego argumentu) rodzajów:

ie°, 2§° i 3^°.........

167.    Wyznaczenie całek Abla rodzajów 1@°, 2® i 3s°. Całki normalne ....    ......    .

168.    Tworzenie funkcyi wymiernej na danej powierzchni Riemanna

za pomocą całek Abla rodzaju 2®°    .

169.    Odwracanie całki Abla rodzaju is°. Moduły .

170.    Zastosowanie funkcyi harmonicznej do odwzorowań dwóch obszarów jednokrotnie zwartych ......

171.    Przykłady ..........

609

614

оз o

Т-H CM

co co

IO o

CM co

co CO

CZĘŚĆ VIII.

Pochodna Schwarza i funkcye trójkąta.

Rozdział XXII. Odwzorowanie wieloboku i trójkąta kołowego w półpłaszezyźnie.

172.    Wielobok kołowy i półpłaszczyzna ......

173.    Trójkąt kołowy i półpłaszczyzna ......

174.    Z teoryi równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

175.    Równanie różniczkowe ilorazu yjy₂

176.    Równanie różniczkowe Gaussa i funkcya trójkąta w .

177.    Obrazy trójkąta w jego bokach ......

178.    Własności funkcyi w—f{z) i jej odwrócenia z=(p(w). Podstawienia liniowe i ich

688

642

645

647

649

651

grupy .......

179.    Funkcye trójkąta rodzaju pierwszego (À + fi-f-F>l)

180.    Zasadnicze funkcye z—cp(w) wielościanów umiarowych .

181.    Funkcye trójkąta rodzaju drugiego    i graniczne

wypadki ^+/i + v=l, À+fi-{-v=0.....

182.    Grupa harmoniczna i jej funkcya ......

Oj Oj Oj Ci Ol Ot CO ^

03 co CD I-

co co

Rozdział XXIII. Z teoryi funkcyj modułowych.

183.    Grupa modułowa ........

184.    Funkcya modułowa J(r) .....

185.    Równanie różniczkowe peryodu całki eliptycznej rodzaju pierwszego .....

-186. Zasadniczy czworobok grupy modułowej 187. Podział półpłaszczyzny przez grupę modułową

Ю 03 L- l>

CO co

O co co 00 00 00 co co co

Str.

55

55

СЛ

55

55

to DO

55

Ważniejsze pomyłki.

5 wiersz 10 od dołu z am. isinxncp 8 z góry

55

55

as₈

т+ł (M CO

„ 267

„ 286

55

55

to to

00 00

„ 288

55

55

im co

55

55

55

55

55

55

55

55

55

lim

17 od dołu

5=o

ma być: i sin ncp. as⁸.

lim.

£=00

Jc- krotne.

55

55

55

55

55

7    z góry

8    od dołu

55

55

55

„ [i - krotne „

„    jednorodnych „

„ jest więc funkcya ma być: jest więc w nieskończoności funkcya.

„    krzywa g₂—0 ma być: krzywa <7₂=0

z krzywą.

a a

„ (xy) = (xtyt)

55

ma

„    {x y) = (xT yT) „

„ H(xy, a₀b₀)

C    ß ß (lx г

n 2СаН(хгуг)а—

- CÖ.

jednokrotnych.

być: (xy) = (xtyt).

(xy) = (xtyt). K(xyi a^o)^-

55

55

сг=1

X®'

być:

55

O CM cc

11

55

10 z góry

55

55

11 od dołu

„ 369

55

55

55

55

co 00

CD 00

55

55

55

2 z góry

„ 394 „ 396 „ 413

55

55

15 od dołu 2 z góry

55

55

н    GV0J ma bye. cva.

„    H(x у)к

„ których — jedne ma być: których spółrzędne — jedne.

„ Gdy przekrój qa łączy ma być:

„Gdy przekrój qa w powierzchni Pff, opatrzonej juz wszystkimi innymi przekrojami łączy“.

„ Gdy qa łączy dwa ma być: Gdy qa łączy w Pa dwa.

„    z punktu xi m a b y ć : z punktu    .

»    (ci > c2 ’ •• •>    ) Ccc m a b У ć :

(C1C2> C2C3’ •”> C/⁽)'

art. 91 ma być: art. 98. ma by ć : G.

„ przedstawić ma być: podstawić.

być: H(x‘y‘)a.

55

55

XVI

Str. 415 wiersz 9 od dołu » 416 „ 424 я 426 „ 433 n 439 „ 445 » 449 „ 449 Я 464

2 z góry

17

z am.: f(z₀)

u którego

ma

16 od dołu

14    z góry 12 od dołu

15    z góry

15

10

od

—TciEA'g pozostałych

MF

Ca = b‘

być: /Oo)-

„ a którego.

11

do.

/*(*)—Mx)    ,,

Я 480 » 504 ., 525 Я 528 „ 530 „ 539

Я 541

» 541

1U

11

ii

12 od dołu 12 z góry 12 od dołu 1 z góry 4 od dołu 1 z góry

Я Ю, 11    ,,

11

11

ii

,5

Я 546 „ 669 „ 660 „ 660 я 661 » 661

6 od dołu

11

ii

ii

ii

11

il

11

5 z góry 5 od dołu 8 z góry

13

ii

ii

11

-2A‘S.

prostych.

W-

aa==b‘.

/*(?)—fAx)-

Z pierwszej.

Z pewnej

Dalej poprowadzimy takie znowu określenia , ma być: Dalej wprowadzimy takie jeszcze określenie, że tylko ma być: że nie tylko.

(12)

2aa o siebie Щи) wartości ' s ds

Vs

5,

ii

(2).

2a‘a.

do siebie.

wartość.

sds

V/8'

z r całek eliptycznych rodzaju 2®°, ma być: z jednej, (p=l), całki eliptycznej rodzaju 28°.

krzywej (c) ma być: krzywej c.

ß‘.

Ял.

Я, [i, V

ii

11

«л

Ял.

CZESO T.

и

FUNKGYE ELEMENTARNE. FUNKGYA CAŁKOWITA PRZESTĘPNA BEZ MIEJSC ZEROWYCH.

ROZDZIAŁ I.

Funkcya wykładnicza i funkcye wymiernie z niej utworzone.

1. Określenie funkcyi wykładniczej. Nawiązując do uwag podanych w ostatnich artykułach Tomu I., zajmiemy się tu całko-witemi przestępnemi funkcyami, określonemi — jak wiadomo — bezustannie zbieżnymi szeregami.

Aby z nich wybrać te, które na całej płaszczyźnie skończonych wartości swego argumentu x nigdzie nie stają się zerem, potrzeba przedtem dość długich przygotowań , które wynikną z szukania takich funkcyj przy pewnych ograniczających warunkach , postawionych zaraz z początku zadania. To ograniczenie sprowadzi nas do znanych oddawna elementarnych funkcyj, a te trzeba będzie określić zgodnie z wymogami dzisiejszej analizy.

Gdy funkcyą bez miejsca zerowego w całej płaszczyźnie argumentu x ma być G(x), a jej pochodnę nazwiemy G‘(x), to iloraz G‘(x): G{x) musi się dać wyrazić bezustannie zbieżnym szeregiem. Jest więc ten iloraz pewną całkowitą — wymierną lub przestępną — funkcyą g{x) ; stąd wynika równanie :

(1)

G\x)lG(x)=g(,x)

które nasamprzód zbadamy w pewnym szczególnym przypadku. Oto zakładając g{x)—1, mamy z (1) relacyę:

(2)

G‘{x)=G(x)

wskazującą, że mamy tu do czynienia z funkcyą przestępną całkowitą, która nigdzie nie staje się zerem

prócz '

tego jej pochodna jest identyczną z samą funkcyą. Połóżmyż :

G(x)=c₀-{-clx-\-c.₂x2jra więc G‘(x)—ci +w2c₂æ + 3c₃æ²-|- . to uwzględniając (2) dostajemy:

_£2_

2!’    ³    3    3!

ci co

cn-i

C1 ~ ' C0 ? C2 2 gdzie c₀=c jest stałą dowolną. Mamy zatem:

co

■о I sś

хг

4-

xw

4~ ...

2! ¹ 3! ' 4!

gdzie szereg w nawiasy ujęty naznaczajmy przez E(x).

Funkcya E(x) ma oczywiście także własność (2). Wszystkie jej pochodne są więc =E(x), a gdy to zastosujemy w tworzeniu jej przeprowadzeń dla otoczenia dowolnego punktu a, dostaniemy:

E(x) =E(x\a)=E(a) 4

E(a)

1!

{x—a)

E(a)

2! (X—a)²+...

—a (x—a)²

(3)

адр+-

E{x)=E(a).E(x—a).

2!

4- ...

7 czyli :

Połóżmy a=u, x—a—v, to x=u-\-v, a związek (3) tak napisać

trzeba :

(4)

E(u Ą-v)=E(u) .E(v).

Tę własność funkcyi E(x) wyrażają w ten sposób: Funkcya E(x) posiada prawidło (teorem) dodawania. (Przypomina ono relacyę arytmetyczną Am+n=Am.An).

Zażądajmy naodwrót analitycznej funkcyi f(x). o regularnym elemencie: (c₀ 4-с₁#4-с₂ж²4-...) zbieżnym w pewnem kole (r), a o tej własności, że dla miejsc u, v, leżących w (r), i takich, że (uĄ-v) leży również w (r), zachodzić ma związek f(u-\-v)=f(u).f'(v): czyli wyraźnie związek :

Co+Cj (u+v) + ą(u+v)² + ...= co ²+c₀ci(u+v) + (c₀c₂u²+cic₁uv + c₂c₀v²)-\-...

Pównając tu ze sobą sjoółczynniki odpowiednich wyrazów, dostajemy :

Cq Ся — Си Cj cw_i==cw(”j

C₂C„_2=C„g), « = 0,1,2,...

Си —Cn.

Ze związków tych, gdy n—0,1,2, dostajemy c₀ = 1, cx= —j a gdy założymy, że i cn.

¹ (w—1)! Z tego wynika , że f(x)=E(x) i

to mieć także będziemy

że więc prawidło doda

wania (4) jest charakterystycznem dla E(x).

Z (4) da się wywieść i ogólniejsze prawidło dodawania, a to E (ma -f- w₂ -f-.. Mn)—E (u₁ ). E (u₂ )... E(un) ;

(5)

mamy bowiem :

i t. d.

E(u± -b w₂ d~ Wo)=Е(щ d~w₂)    )⁼⁼E(u^) E(u₂) E(Uo)

Ponieważ i?(0)=l, więc gdy w (4) założymy =0, a więc -y=—-гг, to mieć będziemy E(u—u) = l=E(u). E(—w), a stąd:

(6)

E(—u)=11E (u).

Połóżmy :

(7)

ад“¹⁺Т!⁺¥!⁺ ITT

+ ...=e,

to z tego oznaczenia — jeżeli przyjmiemy £C=w=l + l+ ... +1. (liczba całkowita) — wynika podług (5) E(m)=E(l)... E(l), czyli:

E(m)=em.

Gdy V jest liczbą całkowitą, dodatnią, a położymy:

. 111 l=v.—

(a)

= -+

, (v dodajników)

to znowu podług (5) mieć będziemy : E(l)=e=E

a stąd :

Ф)

= e = Ve.

Pierwiastek wziąć tu trzeba w głównej jego wartości, gdyż rzeczywistą.

Niech teraz x będzie ułamkiem wymiernym dodatnim =

^ jest wielkością

= —, ^>>0, v)>0: podług (6) mieć znowu będziemy:

(fi czynników).

(vMvMvMv)

Stąd — stosując (6) — dostaniemy:

(c)

gdzie znowu v-ty pierwiastek wziąć trzeba w jego głównej wartości.

Z relacyj (a), (&), (c) dostaniemy na podstawie (6) nowe określenia :

_ ii

Gdy x jest liczbą niewymierną dodatnią lub ujemną, a do niej zbliżamy się szeregiem liczb wymiernych h₂, 7г₃, /г₄,..., to E(x) naznaczymy również przez ex, rozumiejąc przez to granicę, do której zdąża szereg wartości eÄ=, eh3,. podług («), (b), (c) lub (a'), (&'), (c‘) określić się dadzą.

Gdy x=uĄ-vi, jest więc urojone, to już E(u+vi) nie da się określić potęgą liczby e. Lecz i w tym razie szereg : u+vi    (u + vi)²

one wszystkie

E(uĄ-vi) = \-\-

1!

2!

\-...=E(u). E{vi)r='eu. E(y i)

naznaczymy krótko przez :

(d)

Wskutek arytmetycznych definicyj (a), (b), (c), (a‘), (&'), (c') i przyjętego znakowania (d) nazywają funkcyę E(x) funkcyą wykładniczą.

2. Funkcye trygonometryczne sinx, cosx. W ścisłym związku z funkcyą wykładniczą pozostają bezustannie zbieżne szeregi :

/у» 3 /у» 5

(!)

X¹

Xk X']

2!~ ⁺ 4!    6!⁺"‘

Przyjmijmy bowiem argument postaci : xi, to mieć będziemy:

т-f-

/у» л /y> 2 /у» Зл «Л/ V iA/ iК/ V

e"=¹⁺TT-2!    3!

tem rozwinięciu jest widocznie suma wyrazów bez czynnika г szeregiem K(x), suma zaś wyrazów mnożonych przez i jest —S(x). Jest więc :

(2)

gdzie tu przy ж rzeczy wistem, a więc xi czysto urojonem jest K(x) częścią rzeczywistą, a iS(x) częścią czysto urojoną funkcyi exi. Zajmijmy się tu bliżej szeregami (1).

Tworząc pochodne tych szeregów mamy :

S\x)=K(x), K‘ (x) = — S(x),

dalsze pochodne dostajemy:

a na

S“(x)=-S(x),    8ш(х)=—Щх),...

К"(х)=—К(х), К‘“(х)= +S(x),...

Na tej podstawie utworzone przeprowadzenia szeregów (1) dla otoczenia dowolnego miejsca a będą:

S(x)=S(x\ a)=S(a)Ą-

Ща)

(x—a)

ад

(x—a)²—...

Щх)=Щх \ a)=K(a)

1!

(x—a)² + ...

albo :

(3)

(4)

S(x)=S(a). Щх—а)+Ща). S(pc—a)

Щх)=Ща). K(x—a)—S(a). S(x—a).

Połóżmy а=м, x—a^=v, a więc x=u+v: to z form (3) dostajemy : S(u-\-v)=S(u). K(v) 4- K(u) S(v)

K(uĄ-v)=K(u). K(v)—S(u). S(v).

Zmieńmy v na —to z uwagi, że :

dostaniemy :

S(—x) = — S(x) (jako szereg nieparzysty) K(—x)=K(x)    (    „

n parzysty),

S(u—v)=S(u) K(v)—S(v) Щи)

K(u—v)=Щи) K(v) + S(u) S(v).

Relacye (4), (4') przypominają znane wzory z trygonometryi : sin (u + v )=sin u. cos v + cos u. sin v cos (u + v)=cos u. cos v + sin u. sinv.

Nie wyda się to dziwnem, gdy się udowodni, że właśnie funkcya trygonometryczna sinx wyraża się przez łuk x szeregiem S(x), a funkcya cosx szeregiem Щх).

Według wzoru Moivre’a mamy dla dowolnego rzeczywistego

łuku cp:

('coscp -p i sin cp)n=cos ncp-\-i sin #n<p,

n całkowite. Połóżmy cp= ujemnym łukiem, to mieć będziemy:

gdzie x jest dowolnym dodatnim lub

( cos — + i sin— ) = cosx+i sinx. \ n    n j

Prawa strona tej identyczności pozostaje zawsze ta sama przy dowolnie rosnącem , całkowitem, dodatniem n. Co się tyczy lewej strony, to tam dla bardzo dużych n można \xjn\ uczynić mniejszem od dowolnie małej dodatniej ilości. Wtedy cos(xjn) dowolnie mało różnić się będzie od 1, a sin(x)n) dowolnie mało od swego łuku (x\n). Z tego wynika, że chcąc przejść do n=co, mo-

/, x²

~(    2!⁺4!~"

Z tego wynika, że przy każdem skończonem, rzeczywistem

x jest :

cosx—К (x), sinx= S(x)¹).

Funkcye zatem cosx i sinx wyrażają się przez łuki kątów, do których należą , bezustannie zbieżnymi szeregami.

W ten sposób przenieśliśmy te funkcye, przody (w całym tomie I.) określone czysto geometrycznie, do analizy. "W analizie są sinx, cosx całkowitemi, przestępnemi funkcyami, pozostają więc skończone, oznaczone i ciągłe dla wszelkich skończonych rzeczywistych, lub urojonych wartości swego argumentu. Grdy w relacyi :

(«)

exi=cosx+isinx

zmienimy x na —x, dostaniemy :

(ß)

e~xi= cosx—isinx:

a gdy te dwie relacye stronami ze sobą pomnożymy, dojdziemy do związku :

(7)

co&r+г sinx = 1 -j-

żerny po lewej stronie położyć już naprzód: 1 za cos(xjn), a (x/n) za sin (x I n). Mieć więc będziemy :

a że :

/    x \⁷¹

lim 1 -j-i — } =cosx-ł-i sinx = п=Л    n)

ci)n 1

nÄ~ J

(6)

lim

n(n—1) (n—2)...{n—r-4-1)    1

—— —lim

H    fi—co

przy każdem choćby dowolnie wielkiem r dosięgającego już n=go mamy skończoną granicę :

—lim —=0,

00 nn 1

7lZ=: 00

r ! nr

skończonem r, a dla

więc będzie :

lim (n) ¹

Я =    \W/

xi (xi)² (xi)z (xi)i

lT⁺ ”2T ⁺ ~Ж ⁺ TT

1=-cos²xArsin²x

znanego już z trygonometryi dla x rzeczywistego. Z tych. samych relacyj (a), (ß) otrzymamy :

sinx=—

(à)

— e~xi

, COSX

Są-to relacye Eulera, które w tomie I. mieliśmy pod inną postacią [art. 21.].

Sprowadziwszy sinx: cosx do funkcyj całkowitych przestępnych, możemy teraz zamiast symbolu lr — cosx-\- isinx, który w tomie I. przy rzeczywistem ж miał czysto geometryczne znaczenie (oznaczał miejsce na płaszczyźnie (ж)), pisać exi i rozumieć przez to również funkcyę całkowitą przestępną. Posługując się dalej wiadomościami z geometryi będzie można liczbę 1 określić

4s+1

•    Ç\ Tli

—г przez e A ,

przez e

lśni

s=0, zt 1, zk 2,... a liczby -H', — 1

4s+3

e(2s+i)да, e 2 'T<. s_o, zk 1, zk 2, ..., jakkolwiek dopiero później zdołamy n t. j. połowę okręgu koła o promieniu =1 określić czysto analitycznie.

W dalszem następstwie będziemy mogli także pierwiastki

2 sn i

równania o)n==l=e2s7li przedstawić przez co=e ⁷¹ , s = 0, 1, 2,..., n—1,

2s+l

a pierwiastki równania a>n= — 1 = е(2,*+¹)да przez co=e 71 oznaczeń odtąd wyłącznie używać będziemy. Podobnie dowolne miejsce r. ty na płaszczyźnie liczbowej przedstawiać odtąd będziemy przez r. eV'.

których-to

3. Własności funkcyi wykładniczej. Przejdźmy teraz, — zrywając zupełnie z danemi geometrycznemi — do wykrycia własności poznanych trzech funkcyj.

Co się tyczy funkcyi wykładniczej , to znamy już jej dwie własności, a to:

I.    Funkcya wykładnicza ex na żadnem miejscu sic eg o argumentu x nie staje się zerem.

II.    Funkcya wykładnicza ma wszystkie swoje pochodne równe jej

samej.

Gdy zważymy, że еж=1 + (ж/1 !)-f (ж²/2 !)+..., to z tego rozwinięcia i określenia e~x= 1 / ex wynika :

III. Funkcya wykładnicza jest dla wszelkich rzeczywistych wartości swego argumentu dodatnią i rzeczywistą, a wartość = 1 przybiera przy rzeczywistem, skończonem x tylko dla x~0.

Połóżmy x=uJrvi i zauważmy:

VI

ex\ — \ eu+vi j == j eu j. | e

to z uwagi, że :

\eu\=eu podług tw. III. i że:

I evi j = j cos V -f i sin v\ = \/cos² v + sinŁv = 1, dostajemy \eu+vi\=eu, a to znaczy:

IY. Bezwzględna wartość funkcyi wykładniczej zależy jedynie od pierwszorzędnej części jej argumentu.

Najważniejszą jednak własnością funkcyi ex jest jej peryo-dycznośó polegająca na tern, że przy każdem dowolnem ж, istnieje pewna wielkość h zwana peryodem, albo okresem, a dająca:

(1)

=ßx '

W następstwie tego założenia mamy :

__ ßX + 2h __ ßX-\~h __ ßX __ ßX—h __ ßX — 2h___ a więc w ogólności :

ех+пл=ех} 0, +1, +2,...

-r e2.,g_2.+1 ,

(2)

P L J

Funkcya algebraiczna f"(x) = \/l—x2Ą-%i ma dwa pun

I «„ I I *r +1 4*1 M2" +1 4з ПИ3" + -

-S'-Êfï

(270!

ад, ад, ад, ...

ROZDZIAŁ IV.

I«* I

(«)

|#|<d, |æs|<ô, 8=1,2,..., л.

(3)

więc stąd wnioskujemy odrazu, że wszystkie element

)=(gi!1+!Лл- <pS 1%)=°»

W, G/A), -Л9‘Ь'), (g\h\), -

Vm-1)? am_i &2(w—...5 am_1ftn(m-1)

®p+i ? ^p+2, •••, $v, Q i, Q*2, Q p,

Oi) £'i(P)=°? (£2) -, Ы £iW(P)=0

Połóżmyż :

(3)

«o —i) + (4i, -1)2 = 0,

ROZDZIAŁ XII.

dostajemy :

jednokrotnie zwartych, to mamy:

ROZDZIAŁ XIV.

,в,

0.

Zastosowawszy tu związki (a), (b) dostaniemy po ws

(ka\, 7ć62j •••; кГ n — 2 , $n_i, /Sb),

ROZDZIAŁ XVII.

■4 “

Niech x0 będzie skończone i różne od punktów a, Ъ,

-г

683

ROZDZIAŁ XIX.

[1+ft)-4e“#]-4(1-e“<)-

Na dalsze dodajniki w (a), (b) nie ma wpływu zbliż

ж = а.0 + а1(г;—Ą,) + ... \

Gdy w Jx wstawimy z=x+yi i uwidocznimy część pierw

rClC = vCiC2+j+c,

х=грх(и:г), y=tp2(m, V) ,

@~С\У\ "к c-iVt 1 C/==^y\ffc2y‘2 (’

A±v/6 ]=[2.. «W.-fi' ± у-g j

W, WT, WTS, WTST, ....

¹

Por. J. L. F a a b e. Mathematische Mittheilungen [1. Theil, 1857.] — Zur algebraischen Analysis str. 14.

W. Żmurko. Wykład matematyki T. I. (1864.) str. 294. Franklin F. Note on the theorem е1Х — cos x -{- i sin x. American Journal of Mathematics T. 7. str. 376.

ех+пл=ех}    0, +1, +2,...

Z równania (1) wynika określenie :

(2)

e»=l,

które nam dozwoli bliżej poznać peryod h. Przyjmijmy: h^k-fli to mamy według (2):

ekeli = l, i I ek j. | eli\ = 1 ;

że zaś jeH| = l, więc musi być \ek\=ek=l: a to dla rzeczywistych к spełnia się tylko, gdy &=0. Mamy zatem h=li, co znaczy:

У. Peryod (li) funkcyi wykładniczej jest ilością czysto urojoną o tej własności, że eli=l.

Gdy zważymy, że eli= cosl+isinl, to widocznie l ma dać cosl= 1, sinl=0. Liczba l ma więc być — mówiąc językiem geo-metryi — najmniejszym łukiem, dla którego jest cosl= 1, (sinl=0). Lecz możemy ją jeszcze inaczej określić. Niech À będzie najmniejszym łukiem, dla którego sinZ = l, a cosÀ=0, to mamy eZi=i, a stąd: eu,=l, Z=4Ż,

tak, że l jest widocznie — 4-krotnemu najmniejszemu łukowi dającemu sinl=1, (cosÂ= 0).

4. Obliczenie peryodu funkcyi wykładniczej. Aby Л obliczyć zauważmy, że dla v=0 jest sinv=0, a dla dostatecznie małych dodatnich v jest sinv dodatnie, bo dla takich v mamy w rozwinięciu

( пг\ fv⁵ гЛ

Г 3lJ ⁺ \5 ! 7!/

+•...

sin v =

... dodatnie. Pytanie zachodzi,

/    v³\ (vb v⁷\

\    8~!/’ \5l_ T\/

wszystkie różnice

czy sin v może wzróść aż do wartości 1, gdy v rośnie, poczynając od zera ?

Aby na to odpowiedzieć, napiszmy związek sw²v + cos²v==l

w postaci :

sin^v+i sinv^j =1

i połóżmy sinv=z. "Wtedy dostaniemy równanie:

*4-

= 1, a stąd :

(1)

dv

dz

Vl — z²

Pierwiastek Y/l—z² bierzemy przyrosty dv, dz mają być równocześnie dodatnie.

Rozwijając w (1) (Y/l — 0²)“1 dostajemy :

ze

na

znakiem dodatnim , gdyż

szereg zbieżny dla | z | <C 1

dv

1.3.5

Ve'1 + ~

a całkując po obydwu stronach, mamy:

1    0³ 1.3 0⁵ 1.3.5 2⁷

2    2l4' 1T⁺ 2.4.6 ' 7 ⁺'”’

~T~—1 +

dz

to i-¹

co hti

0⁴+

2.4.6

Z6jr...

(?)

v=zĄ——

gdzie tu stałą całkowania opuszczono, gdyż wartości v=0, ma odpowiadać z = 0.

Niech teraz z — poczynając od zera — wzrasta, przebiegając ułamkowe dodatnie wartości. Szereg (2) pozostaje ciągle zbieżnym, a v równocześnie z z będzie wzrastać. Lecz pokażemy, że szereg (4) będzie zbieżny i dla 0=1, której-to wartości odpowie szukany łuk :

tH (Ol

(3)

v=À=l +

11.3    1    1.3.5    1

' 3 ' 2 4 * 5    2 4 б" ' ~7

W tym celu zauważmy rozwinięcie:

1.3

2.4

y2jr

1.3.5

2.4.6

zbieżne nietyłko dla |yj<Cl, ale i dla \y\ = l, [T. I. art. 186. Pd. 1.] w którym-to wypadku dostajemy:

1=4

(4)

2    2.4

1.3    1.3.5

2.4.6

io -

Poczynając od drugiego dodajnika szeregów (3), (4), widzimy, że po porządku dodajniki w (3) są mniejsze od odpowiednich do-dajników w (4). Stąd wynika rzeczywiście zbieżność szeregu (3), a to dowodzi, że funkcya sinv dosięga w istocie wartości 1, gdy

v, wzrastając od zera, stanie się = Л. Połóżmy    to w takim

razie peryodem funkcyi ex będzie: h=4:Xi—l2m.

Przyjmijmy, że oprócz 4li istnieje jeszcze drugi peryod (oczywiście także czysto urojony) 414. W takim razie mamy:

e№=eu'ł', czyli: e⁴^⁻    ,

jest funkcya j e dn o-

a zakładając l—l‘^> 0, musielibyśmy przyjąć, że istnieje łuk Л—Л‘<ЛЛ, dla którego po raz pierwszy staje się sini—1. Lecz to jest niemożliwe, bo już w ten sposób było określone Л. Z tego wynika, że ex ma jeden tylko peryod peryodyczną — a w równaniu ew=l może być oj wyłącznie = 2ш, n—0, +1, +2, ...

Na płaszczyźnie argumentu x narysujmy linię krzywą Z nie-przecinającą się z sobą, dążącą od nieskończoności do nieskończoności i biegnącą tak, że każda prosta równoległa do osi drugorzędnej, ma z nią zawsze tylko jeden punkt przecięcia. Z dowolnego punktu a tej linii nakreślmy odcinek ab=2уг równolegle do osi drugorzędnej i posuwajmy nim pozostawiając punkt a zawsze na Z, a sam odcinek zawsze równolegle do pierwotnego położęnia ab. Punkt b opisze wtedy linię L‘ przystającą i równoległą do pierwszej. Obie linie ograniczą nieskończenie długi pas o szerokości 2л, branej w kierunku osi drugorzędnej. Pas ten ma tę własność, że obrawszy w jego wnętrzu dowolny punkt x i oznaczywszy w tym punkcie wartość er, dostaniemy tę samą wartość na nieskończenie wielu miejscach ж+2я:г, ж+4яг, ..., które wszystkie leżą już poza pasem (L...L¹), a które charakteryzujemy jako miejsca równoważne z miejscem x.

Miejsca zatem zawarte w owym pasie dają już zupełne wyobrażenie, jak się funkcya ex zachowuje na całej płaszczyźnie swego argumentu. Przy tern zauważyć potrzeba, że z miejsc rozpostartych na samych liniach Z, L‘ dość jest uwzględnić tylko miejsca na jednej z tych linij leżące, a to zj tego powodu, że z miejscem x na linii Z jest miejsce x + 2tu, leżące na L‘ równoważne. Taki pas o samych już miejscach nie równo ważnych między sobą nazwiemy zakresem peryodyczności funkcyi ex [zakresem miejsc nierównoważnych]. Z, L‘ mogą także być prostemi liniami.

Przyjmijmy, że w obszarze peryodyczności mamy dwa miejsca ic, x‘ takie, że ex=ex', czyli: ex'~x=l.

Różnica x‘—X jest widocznie —2 nm, a zatem mielibyśmy: x‘=x+2nJiij a to jest niemożliwe. Z tego wynika:

I. Funkcya wykładnicza przyjmuje raz tylko każdą wartość w swym zakresie peryodyczności.

Z funkcyi ex tworzyć można funkcye o dowolnie danym pe-

ryodzie с = а + 5г. Zauważmy bowiem funkcyę ea , to jej peryodem

—    —+2ni

jest widocznie 2лаг : gdyż ea=ca

x-\-4nai.

a więc a

2 nix

to funkcya e c

= c a . Połóżmyż 2wai=c, będzie żądaną funkcyą. Jej za-

2 m

kres peryodyczności — gdy c=\c\ev< — ograniczą dwie przystające, równoległe do siebie krzywe o stałem w kierunku q) od siebie oddaleniu — jej.¹)

Funkcya wykładnicza ex , jako przestępna całkowita, posiada punkt istotnie osobliwy w nieskończoności [T. I., art. 205]. Lecz to samo można i z poznanych jej własności wywnioskować w ten sposób :

Zauważmy e“+®¹ — eu. em i załóżmy \u-\-vi\ = cc , to to zachodzi, gdy:

1.    u — -j-co , V dowolne, skończone,

2.    u = — co, V „    „    ,

8. u dowolne, skończone, v = -j- co ,

V— — co,

4. u

5.    ад = -j- co , v = + co;

6.    u = — co, v — + co .

Zauważmyż, że e⁺⁰° — co, e_o°=0, a Jew'j ===== 1 bez różnicy, czy v jest skończone, czy nieskończone, to :

|e«+»*j=e“|e®*'|=eK

ma wartość oo w l8ZJ'm i w 5*-vm przypadku; jest =0, w 2«*m i 6tym przypadku, a w 3cim i w 4tym przypadku pozostaje dowolne i skończone. Jest więc widocznie ex w otoczeniu punktu аз —co zupełnie nieoznaczoną, a to jest charakterystyką punktu istotnie osobliwego. W razie, gdy się do rzeczywistych wartości argumentu x ogi aniczamy, pozostaje z tej nieoznaczoności tylko e“ = cp, dla u = -f- co i e« = 0 dla u =■ — oo.

5. Własności i peryodyczność funkcyj trygonometrycznych.

W szczególności funkcya exi mieć będzie peryod rzeczywisty 271, a stąd odrazu wnosimy, ze funkcye trygonometryczne sinx, cosx (gdy je wzorami Eulera [art. 2, (d)J przedstawimy) są jedno-peryodyczne i posiadają peryod 2л. To samo odnieść trzeba i do

funkcyi : secx=—— cosx

Z tego wynika, że — ograniczając się do rzeczywistego x — dość jest poznać funkcye sinx , cosx w zakresie (0...2л) f aby ich zachowanie się módz określić w całym nieograniczonym obszarze rzeczywistego argumentu x. Przedewszystkiem, gdy:

sinx=( 0...1) cosx=( 1...0)’

nie staje się ani sinx, ani cosx ni-

cosecx

sinx '

(1)

x={°-y)

, to mamy :

a dla takich x, że 0<#<C-w-

A

gdzie zerem.

Aby te funkcye poznać dalej w zakresie ^    ...я^, przepro

wadźmy je do otoczenia miejsca . To przeprowadzenie daje:

to! a

to! a

sin

(2)

= sin~ coshztcos ^ sinh—cosh

COS

(f±Ä)

= cos^r- cosh-Ą-sin sinh=-\-sinh

A    A

a stąd wnosimy, że, gdy

to a

sinx=( 1...0) cosx=( 0...—1)

a we wnętrzu zakresu

ro a

nie staje się zerem nigdzie ani sinx,

ani cosx.

(3)

Przeprowadzenie do miejsca л daje:

sin{n + h)—ip sinh, cos(n + h) =—cosh ,

a stąd wnosimy, że gdy:

CO Cd

X=^7l...    71^

to

1 cosx={—1...0)

3

i że znowu ani sinx, ani cosx nie jest zerem, gdy n<Cx<Z^n.

Przeprowadzając wreszcie rozważane funkcye do otoczenia dostaniemy :

miejsca

(4)

—cosh . cos

tO CD

= + sink

a stąd wnosimy, że gdy :

sinx=(—1...0) cosx= (0... -J-1)

i że sinx, cosx nie stają się nigdzie zerem, gdy

W ten sposób poznaliśmy przebieg funkcyj sinx, cosx, gdy X jest rzeczywiste, w całym ich zakresie peryodyczności (0...2тг).

Gdy już X ma być —u\vi, a więc utworzy nieograniczony obszar urojonej zmiennej, to zakres peryodyczności P będziemy mogli tu przedstawić nieskończenie długim pasem ograniczonym prostemi liniami u=0, и—2уг, przy tern jedną z tych prostych odrzucić trzeba, gdyż zakres P ma w sobie mieścić tylko same n i e-równoważne miejsca, t. j. miejsca nie różniące się o peryod 2уг.

Co się tyczy miejsc zerowych rzeczywistych w zakresie P, to mamy tam tylko po dwa miejsca zerowe, a to:

sinx~0 dla x=0, n, n Зл

x==~2' IT ’

— ...^ staje się na miejscu x — 0 jedno-

/3 71

X==\2

... 2:r

), to {

~ 7l<JX<pln. u

(a)

(b)

cosx=0 „

a że sinx=x[ 1—Ę— . _

V 3 !    5 !

krotnie zerem. a

xk

sin(7t-\-x)=—sinx ,    —

GM

= -f - sinx ,

—sinx , cos

więc miejsca (a), (b) są wszystkie tylko jednokrotnemi.

Uwzględniając peryodyczność funkcyi sinx, mamy dalej:

sin(0 + 2пл) =0, sw(^+ 2птс)=0, czyli: sinmTc=0, m=0, +1, +2, +3, ..., a funkcya sinnx będzie miała miejsca zerowe :

x=0, ±1, ±2, +3, ...

Analogicznie mieć będziemy:

(«')

(«")

COS

^-+2шг^=0,

CO Cd

71 + 2 П71

0, czyli :

(»')

л—0, m=0, +1, +2, + 3, ... a miejscami zerowemi funkcyi cos лх będą:

Ж’"±Т’±¥- ⁺

(6")

COS

to ca

'? •••

W (a‘), (b‘) mamy wszystkie miejsca zerowe rzeczywiste rozważanych funkcyj. Zapytajmyż, czy te funkcye nie posiadają jeszcze i urojonych miejsc zerowych?

W tym celu przyjmijmy, że sm(w + m) =

0, przy |у>0.

_g - (u-\-vî)i

Stąd dostajemy:

eui.e~v=e~ui.e^v, czyli: elui=elv ;

musi więc być także: \elu'\ = \élv\, a że je²“*j = l, więc mamy: je²¹'=1, a to — przy V rzeczy wistem i skończonem — jest jedynie możliwe, gdy v=0. Z tego wynika :

I. Funkcye sinx, cosx posiadają w całym nieograniczonym obszarze swego argumentu jedynie rzeczywiste i jednokrotne miejsca zerowe.

Funkcye sinx, cosx będąc całkowitemi przestępnemi, posiadają w nieskończoności punkt istotnie osobliwy, a ten da się tu określić jako punkt skupienia miejsc zerowych (a‘) lub (b‘) owych funkcyj. Funkcye te są tam nieoznaczone, czem tłómaczyó można tę z try-gonometryi znaną własność, że dla nieskończenie wielkich łuków rzeczywistych przybiera tak sinx, jak cosx wszystkie wartości z zakresu: (—1... + 1).

Jak już wspomniano, posiadają funkcye secx, cosecx peryod 2уг. Są-to funkcye jednoznaczne, pozbawione zupełnie miejsc zerowych. Pierwsza z nich posiada jednokrotne bieguny (b‘), druga jednokrotne bieguny (a‘). Obie mają w nieskończoności punkt istotnie osobliwy, występujący tu jako punkt skupienia biegunów. Co się tyczy ich analitycznego przedstawienia w otoczeniu punktu x=0, to pierwsza z nich: secx — ponieważ cosO=l, a więc фО jest — wyrazi się zwykłym parzystym szeregiem potęgowym, zbie-

jest miejscem zero wem funkcyi

.— dopiero smx

żnym w zakresie \x]    , gdyż

A

cos X, najbliżej leżąeem punktu x—0. Drugą: cosecx po pomnożeniu przez x przedstawić będzie można zwykłym (parzystym) szeregiem potęgowym. Z tego wynika, że sama funkcya II sin x wyrazi się w otoczeniu miejsca x—0 nieparzystem rozwi-

nięciem postaci x~¹ + с<₁ж+с'₃а?³+-.. zbieżnem w zakresie (pierścieniu) 0<C\x\<jn. (Punkt Ti jest tu znowu miejscem zero wem mianownika sinX) najbliżej leżącem punktu x=0).

Spółczynniki wspomnianych rozwinięć oblicza się z równań 1 = cosx. [c₀ + c₂ X² 4- c₄ X⁴ +...] x=sinx.[c‘₀ -f с'₁ж²+с'₃ж⁴-f...] , w których za cosx, sinx położy się szeregi.

Funkcyę trygonometryczną :

sinx cosx

1 e2xi — 1 i ‘ e2xi-j-l

określić trzeba w analizie jako jednoznaczną funkcyę, będącą ilorazem dwóch bezustannie zbieżnych szeregów (funkcyj całkowitych przestępnych S(x), K(x) ).

(5)

tgx—

ßxi_C~~XI

i(exi+e~xi)

Ponieważ cos 0=1, a więc jest ф0, a

JT

jest najbliźszem

miejscem punktu ж=0, dającem cosx=--0, więc tgx jest funkcyą

regularną i w punkcie ж=0 i w jego otoczeniu: \x\<ф-.

A

ment zbieżny wtem otoczeniu musi mieć postać: cixJrc₃xz-\-c₅x⁵-\-...1 gdyż tgx jest widocznie funkcyą nieparzystą, a x—0 jest jej jedno-krotnem miejscem zerowem. Dla wyznaczenia spółczynników :

cn с?л c5 5 •••

Jej ele-

mieó będziemy równanie :

xz

xw

X 8! ‘ 5! a z niego wynika :

@'2v—3 .    @2v—5

2! + -jy — ...)(cix + c₃xs + c₅x⁵+...)

Clv-\

v—\

2!

C\

v = l, 2, 8, ...

(2v—2) !

(-1)

v—\

(2^—1) !

Połóżmy: cs=aajsl, s=l, 3, 5, ..., to:

(2v—ljl~2 ! (2^—3) .,_r 4 ! (2^—5) ! a po pomnożeniu przez (2v—1) ! mieć będziemy:

«2v-l

<%2v-5

v—l

1 ! (2n—2) !    (2^-1)!

(6)

(V)

Æ2j>—3 4“

4-

2^—1

-i

V— 1

v = l, 2, 3, ...

Takim równaniom zadość uczynią spółczynniki as. Z tych równań wynika :

ax — 1, «з=2, «₅ = 16, ..., a więc:

(7)

2 16 ч

tgx=x+j^xz+-^xb + ...

Tem rozwinięciem, a w szczególności ciekawemi własnościami jego spółczynników dopiero później bliżej się zajmiemy. Tu zauważymy, że tgx ma jednokrotne miejsca zerowe («'), a jednokrotne bieguny (b‘). Tak jedne, jak drugie miejsca skupiają się w nieskończoności. Stąd wynika, że tg x posiada tam punkt istotnie osobliwy, a w skończoności punktu istotnego wcale nie znajdziemy.

Pod tym względem podobnie zachowywać się będzie i funk-cya cotgx. Miejsca (b‘) będą jej miejscami zerowemi, a («') jej biegunami. Do tych ostatnich zalicza się i punkt x=0, a stąd wynika, że w otoczeniu tego punktu można cotg x przedstawić rozwinięciem postaci: cotgx—x~x-\-Ъ^х-\-Ъгх% +... Funkcya tgx wyrażając się wzorem (5) ma peryod yr, gdyż e2xi posiada taki peryod, a taki sam peryod mieć będzie także i funkcya cotg x.

Pd. 1. Połóżmy x —u -f- vi, a więc :

tg (u -j- vi) =

i eui-v ą_ e-ui+v to gdy V = -j-co, a u pozostaje skończone, mamy:

1 e2uie~2» — 1

¹

Określiliśmy dwie liczby rzeczywiste i dodatnie : e, Badaniem ich natury zajmować się tu nie możemy. Powiemy tylko , że dziś istnieją już bardzo proste dowody, wykazujące przestepność tych liczb, i przytoczymy rozprawy poświęcone tym dowodom.

Her mi te [С. E. T. 77., 1873] posługując się wyższymi środkami dowiódł, że liczba e jest przestępną. Lindemann okazał to samo o liczbie r. w rozprawie: „TJber die Zahl r.“y Math. Annalen, T. 20, (1882), str. 213—225, a jego metodę starał się uprościć Weierstrass [Sprawozdania Akademii berlińskiej]. E. 1885, str. 1067.

Znaczniejsze uproszczenia wprowadzili: D. Hilbert [O przestępności liczb e i -], A. Hurwitz [Dowód przestępności liczby e\ i wreszcie P. G-ordan [Przestepność liczb e i я]. Te trzy rozprawy znajdują się w Math. Annalen T. 43, str. 216—225, a w Pracach mat.-fiz. T. 5., str. 1—12.

Por. także : P. Bachmann: „ Vorl. ад. d. Natur der irrationalen Zahlen“ [Lipsk 1892]. H. Weber: „Lehrbuch der Algebra“ [Brunszwik 1896]. T. 2. str.' 751-767.

-r e2.,g_₂.₊₁    ,

a że e—2» =. 0, gdy r = oo, więc:

tg {u + vi) w=--r = + i-

Pd. 2. Do jakiej granicy dąży tg (u -j- vi), gdy przy skończonem u ma być : V = — co ? [Odp.: — г].

Pd. 3. Okazać, że przy skończonem u, a przy v—+cc dąży cotgx do gra

nic -p i-

Z uwag całego tego ustępu wynika :

•II. Wszystkie funkcyc trygonometryczne są jednoznaczne, analityczne funkcye o jedynem miejscu istotnie osobliwem w nieskończoności. Miejsca zerowe lub nieskończonościowe, albo jedne i drugie równocześnie, występują tu zawsze w nieskończonej mnogości, ale nigdzie nie skupiają się w punkcie leżącym w skończoności.

Pochodne funkcyj trygonometrycznych są : d sinx

dx

cosx

d cosx

dx

d secx

sinx

dx

cos'²x

d tgx

dx cos²x 1 dcosx d cosec x cos²x dx ’ dx

sinx ,

f; d cotgx

dx

sin ²ж

dsin x sin^x sin-x dx

cosx

f(y), f(v+y))=0.

(I)

6. Prawidła dodawania funkcyi Щесх). Z funkcyą wykładniczą są wszystkie fnnkcye trygonometryczne w ten sposób związane, że każda z nich jest wymiernie utworzoną z eix. Zauważmyż teraz w ogólności funkcyę :

(1)

f{x)=R{e'x)

gdzie R jest znakiem funkcyi wymiernej a c jest stałą dowolną, to taka funkcya jest niezawodnie jednoznaczną , jest peryodyczną o peryodzie (2я i) je i ma punkt istotnie osobliwy w nieskończoności. Posiada dalej nieskończenie dużo tak miejsc zerowych, jak i nieskończonościowych, bo — jeżeli R(g) ma w skończoności miejsca zerowe : za=ecxcc₁ a = l, 2,..., s, a miejsca nieskończonościowe : z‘ß=ecx'ß

2 yr ni\

o )

... t, to do miejsc xa dołączą się jeszcze miejsca ^ /    2 nni\

n

xaĄ

a do miejsc x‘ß miejsca

Funkcya f{x) ma pewne bardzo charakterystyczne własności stanowiące analogię z prawidłem dodawania samej funkcyi ex lub

(ecx)--=c.eox.

=±1, +2, +3, ...

ecx, albo jej własnością

ClOO

Aby się z temi własnościami zapoznać, wybierzmy na płaszczyźnie argumentu x dwa miej ca x₁ у i trzecie miejsce (x-\-y) i połóżmy:

f(x)=Ç=R(e0X),

f(y)=n=R(eCy)>

f(x-\-y)=Ç=R (eAx+^)=B(ecx. ecy).

Z tych 3 równań eliminując ecx, ecy dostaniemy na wynik eliminacyi algebraiczne równanie :

(<0

(2)

G (i, v, S)“0

czyli wyraźnie :

Związek ten nazwiemy pierwszem algebraicznem prawidłem dodawania funkcyi R(ecx). Prawidłem (I.) samej funkcyi ecx jest :

^ Biorąc pfcąstkową pochodnę nąScjc, a potenł ze względu na y

0 H Ш di_₍₎

d£* dx^ di ' dx ’

(a$m&

Pb hi

O O' .

ia (2) naprzód ze względu

dG

^ д£ dy^ di] dy

Teor. funlccyj analit. T. II

Lecz

dÇ

że zaś

mamy:

₌_ à{x+y)

dy d[x+y) ' ду ⁷

1, gdyż X, у od siebie nie zależą, więc

d(x-hy) dÇ

dx d(x+y) ' дх д(х+у) д(х-^у)

дх

ду

дх ду '

Uwzględniając to w równaniach (a'); (i¹) i odejmując drugie z tych równań od pierwszego, otrzymamy związek :

dG- d£ dGdi]^_^ d% dx dr\ dy '⁷

który wyraźnie tak się napisze :

№), Ay)> f(P+y))

d f(x)

(П)

dx

d f\y)

0.

(/‘(ж), f(y), f(x+y))

Wskazuje on, że między /‘(ж), f(y), f(x+y) i pochodnemi dfjx) d f (y) dx ’ dy

dy

zachodzi zawsze algebraiczne równanie, którego lewa

df(x) df\y) dx ⁷ dy

nanie (II.) nazwiemy drugiem prawidłem dodawania funkcyi f(x).

strona jest liniową i jednorodną w pochodnych

. Eów-

Dla samej funkcyi ecx będzie związek (II.) postaci : ( 1 decx

c dx

1 de*

__ßCX

c dy

=0.

Zauważmy równania (I.), (II.), uważając w nich Ç=f(%-\-y) jako niewiadomą. Jeżeli te równania mają jeden tylko wspólny pierwiastek £, to ten pierwiastek jest [T. I. art. 91.] wymierną funkcyą spółczynników obydwu równań. Ze zaś w te spółczynniki wchodzą wymiernie :

f@), f(y)

df(x)

dx

■rw

df(y)

dy

f\y\

więc mamy w tym razie związek:

(ПО

f(x+y)=R(f(x), /‘(J/), f‘(x), /ЧУ))

wskazujący, że f(x+y) jest wymierną funkcyą wartości /’(#), f(y), f‘(x), f‘(y). Jestto szczególny wypadek Ih° prawidła dodawania, które się sprawdzi tylko dla szczególnych funkcyj f (x) posiadających już prawidła (I) i (II). Funkcyą ecx takie prawidło posiada, a jest ono postaci:

ec(ar+y)_„

1 decx decv c² dx ' dy

Zestawmy równania:

f(x)=B(eex), f“ (x)=B'(eex)

i wyeliminujemy z nich еож, to dojdziemy do związku:

(ud

jej pochodną zachodzi

który wskazuje, że między funkcyą zawsze związek algebraiczny. Dla funkcyi eox związkiem tym jest

ecx

1 decx

c dx

0.

7. Prawidła dodawania fnnkcyj trygonometrycznych. Wszystkie funkcye trygonometryczne posiadać muszą charakterystyczne równania (I), (II), (III), [art. poprzedź.]. Lecz pokaże się, że posiadają one także i prawidło dodawania (II'), a że je tu właśnie najłatwiej wyprowadzić , więc od niego zaczniemy. Z wzorów :

sin (x-\-y)=sin X . cos y-\-cos x. sin у cos (x+y)=cos x. cos у — sin x. sin y, d

gdy w nich uwzględnimy, że -^sin u=^cos u, stajemy :

(1)

(2)

du

cos u= — sin u, do-

(a)

sin(x-\-y)=sinx

dsiny

dy

■f- sin y

dsinx

dx

iß)

cos (X-{-y)=-C0S X . cos y—

d cos x d cos y

dx

dy

Z (1) i (2) dostajemy dalej : tgx + tgy 1—tgxtgy Z wzoru (ß) mamy:

sec (x+y)

(ó) cotg (x-\-y)—

cotg x cotgy—1

cotg x + cotg y

*)

COS X . cos y—{cos x)‘ (cos y)‘

cos²x. cos²y.

\_cos X cosy

(*)

sec(x+y)

sec²x.sec²y

(cos x)' (cosy)'1 cos²x ' cos² y J

czyli :

secx sec y—(sec xy (sec y)‘

*) Kreska nad funkcyą ujętą w nawiasy ma tutaj i w dalszym ciągu oznaczać pochodne według zmiennej zawartej w funkcyi.

(v)

Z wzoru (a) dostajemy: cosec (я+у)=

sinX (sin y)‘ + sin у {sin x)'

. ₉    . ₉ Г 1 {siny)‘ ,    1 (smx)

sin²xsm-y .1——.-■■■■.■ / + ——.

[sin X sin¹ у siny sin¹ X

—cosec²x. cosec²y

— С2УИ:

cosec {x+y)=

cosec x {cosec y)‘ + cosec у {cosec x)‘

Wzory {a), {ß).~,{rj) są-to właśnie prawidła (II') funkcyj trygonometrycznych. W prawidło funkcyj tang. i cotg. nie wchodzą wcale pochodne tych funkcyj.

Równie łatwem będzie wyprowadzenie prawidła I№°. Zauważmy związek :

(3)

sin²x-\-cos²x— 1, to go w dwojakiej postaci napisać możemy, a to:

(a') sin²x+{sinxy²—1=0, albo (/?')    {cosx),2+ cos²x—1=0.

Dzieląc związek (3) przez cos²x, mamy:

tg²x-\-1

cos²x

albo

(/)

1 +1g ²x—( tgx) ' = 0 ; dzieląc zaś go przez sin²x, dostaniemy analogicznie :

1 + cotg ²x -f {cotgx)'=0.

(à')

Napiszmy :

sec²x=~\~ —-— .—:—

cosLx cos²x smx

sin x 1

{secx)‘

V1—cos²x

albo

V Î—sec~²x

to stąd dostaniemy:

seckx—sec²x—{,secx) '²=0.

Analogicznie przerabiając cosec²x =1 / sin²x dojdziemy do

(*')

związku :

cosec^x—cosec²x—{cosecx)‘²=0.

(?/') mamy prawidło III. wszystkich

0?')

W równaniach («'), (ß¹) funkcyj trygonometrycznych.

Przejdźmy do prawidła I®°. Z wzoru (1) dostajemy: sin\x+y)=sin²x.cos ²y f- cos²x.sin ²y-f2sinx.siny.cosx.cosy

a stąd :

sin²{x+y)—sin²x (1 —sin²y)—sin²y {1 —sin²x)=2sinx sin y cos x cos y

albo :

sin ²{x+y)—{sin ²x—2sin ²x.sin ²y+sin ¹ y")=2 sinx.siny .cosx.cosy.

Podnosząc obustronnie do potęgi drugiej mamy:

sin\xpy)—2 sin \x+y). (sin ²x—2 sin ²x.sin ²ypsin ²y)

P {sin ²x—2sm ²x.sin ²y p sin ²y)²—4sm ²x.sin ²y{ 1—sin ²x){l—sin ²y)=0, a że tu wyrazy w drugim wierszu stojące dadzą się ściągnąć w (sin²x—sm²y)², więc ostatecznie będzie:

G(sinx, siny, sm(Æ-f y))=

sw⁴(a?+«/)—2sm²(:r Py).{sin²x—2 sin²x.sin²y p sin²y)

+ {sin²x—sin²y)²=0.

Pd. 1. Wyprowadzić (podnosząc związek (2) do drugiej potęgi) prawidło : G{cosx, cosy, cos{x p y)') =

cos\x-\- y)—2cosx.cosy.cos{x -j- y)—1 -p cos²x p cos²y = 0.

Pd. 2. Ze związków (y), (5) wyprowadzić:

G(tgx, tgy, tg(x P y)) = tg{x p y) (1—tgx.tgy)—tgx-tgy = 0,

(o") G{cotgx, cotgy, cotg (x p y)) = cotg{x p y) {cotgx -j- cotgy)—cotgx.cotgy -f 1 = 0. Pd. B. Wyprowadzić ze związku (ß") prawidło :

G{secx, secy, sec{x p y))=

sec\x p y) (sec²x -p sec²y—sec²x.sec²y)—2secx.secy.sec{x -p y) -j- sec²x.sec²y — 0.

Pd. 4. Wyprowadzić z (a") prawidło :

G{cosecx, cosecy, cosec{x -(- y'j) =

(cosec²x—cosec²y)²cosec\x p y)

—2 cosec ²x.cosec ²y{ 2—cosec ²x—cosec ²y)—cosec ix.cosec p = 0.

Pd. 5. Z każdego z tych równań łatwo przejdzie się teraz do charakterystycznych związków II. Tak n. p. z równania (a") mamy :

^ = — 2sin\x -p y) (2sinx—4sinx.sin²y) p 4{sin²x—sin²y).sinx

(cc¹¹)

(ß'O

(ï")

(*")

(VO

dr\

= —2sin\x p y){2siny—4sin²x.siny)—4{sin²x~sin²y).siny,

, a więc tu związkiem

dG

{sinx)‘— —{siny)' = 0, będzie :

sinx.[(sin²x—sin²y)—sin\x p y). (1—2sin²y)]{sinx)'

-p siny[(sin²x—sin²y) p sin\x p y). (1—2sin²x'j\{sinyy — 0 i t. d.

d\

8. Uwielokrotnienie argumentu w funkcyaeh sin ж i cos ж.

Co się tyczy prawidła uwielokrotniania argumentu w funkcyaeh -, sinx, cosx — (prawidła mnożenia argumentu) — to je otrzymamy wprost z wzoru Moivre’a:

{cosmx p isinmx)={cosx p isinx)m, zakładając m całkowite, dodatnie >1.

Z tego związku bowiem wynika :

(1)

cosmx=cosmx—I 2 I

cosm—²x.sin hp...

z ostatnim wyrazem :

(10

(10

(2)

(—1 )²sinmx, gdy m parzyste, a

те—1

т{— 1) ² cosx.sinm~^x, gdy т nieparzyste, i

cosm~bx.sinzx-{-...

( m\

\l)

cosm~xx.sinx—

s cm

sinmx

z ostatnim wyrazem:

те—2

m{—1) ² cosx.sinm~ix, gdy m parzyste, a

те—1

(—1) ² sinmx, gdy m nieparzyste.

W relacyi (1) mamy same parzyste potęgi funkcyi sinx. Zmieńmyż każde sin2vx na (1 — cos²x)v, to dostaniemy: cosmx= Gr(cosx),

gdzie ćr jest funkcyą wymierną, całkowitą stopnia mß°. Połóżmy:

. ^(cosa;)=J.₀ + J.₁ cosæ:+J-2 cos ²a: -b... + ^mcosma:,

to wywnioskujemy, że tu przy parzystem m ze spółczynników Ал będą:

m

(2) Aq =(—-1)² [według (101 ? a dalej:    = J.₃ = .„ —4TO-i=0,

gdyż po prawej stronie w (1) będzie parzysta funkcya funkcyi cosx. Przy nieparzystem m przeciwnie okaże się :

(3) Ai =(—1). ² m [według (1")], a dalej : A₀ =A₂=...—Am-i—0.

Co się tyczy ostatniego spółczynnika Am, to bez różnicy, czy m parzyste, czy nieparzyste, mamy :

(20

(20

(a)

.    (m\    ( m\ ! m \

^”“1 + (2) ⁺ (4)⁺(б)⁺-’

że zaś

(«)

iß)

»-<■-■ >—i“(T)+(ïb(ï)

2»=(1 + 1V»

więc stąd — za dodaniem — dostajemy:

(y)

2m=2

m; mim-«

i wreszcie :

A 9 m — \

■AA-m — "    •

Oprócz (à) dojdziemy z relacyi (1) jeszcze do innych form. Przyjmując bowiem m parzyste =2/г, możemy w (1) każde cos2vx zastąpić przez (1 — sin²x)v i wtedy dostaniemy:

cos 2^ж=1 + A₂sin²x4- Aksin^x4-...+Aiiusin^x.

Tutaj wolny wyraz musi być =1, bo cos 2fix=l, gdy x=0. Sama funkcya musi być parzystą w sinx, bo cos^iix jest funkcyą

(b)

parzystą. Co się tyczy spółczynnika A%.to tu w analogiczny sposób, jak wyżej, wywnioskujemy, że:

Л.2р=( —

ЛУ razie nieparzystego m=2fi + l wyłączmy z (1) cosx, a pozostałe cos2vx wyraźmy znowu przez sin ж, to dostaniemy:

cos {2[.iĄ-l)x=cosx[lĄ-A₂sin‘¹x-\-...+ A2iUsin²^x], gdzie A2ft=(- l)“.2²t².

Z różniczkowania formy (a), mieć będziemy :

sinmx=\A‘₀ -j-A\cos.-t-2m-icosm~¹x] sinx, a różniczkowaniem formy (6) dojdziemy do nowej relacyi :

(o)

(C)

(d)

(d)    sin 2[ix=[A\sinx-\- A‘oSin²x-\-... 4- (— l}M+¹2²'M_1sm²‘tt—cos x.

Wreszcie przy nieparzystem m=2piĄ-l możemy wprost w (2) każde cos2vx wyrazić przez sinx. Wtedy dostaniemy:

sin (2^-f- l)x=A₁sin x-j-A₃sin³x4- A^^sin^^x,

(/)

a tu będzie:

=(_!>«

(TM²',+,H ГГ)+ГГН

Id

eo już z (a) wynika. Uwzględniając dalej (y) dostajemy:

A^+i=(-1U2V.

(П

9. Obliczanie wszystkich spółczynników w rozwinięciach:

i ? •••

sinvnoCf cosmx. Aby teraz wszystkie spółczynniki Ai,...,A/ w formach («),...,(/') [art. poprz.] obliczyć, pójdziemy taką drogą²).

Pnieważ cosmx jest funkcyą parzystą, a dla x==0 ma wartość = 1, więc można przypuścić, że rozwinięcie:

(1)

c o s m x = 1 + A 2 sin ²x 4- A ₄ s in dr 4-...

nie będzie niedorzecznością.

Różniczkując (1) raz i drugi, mamy:

—m sin m x—(2A₂ sin x -f 4 Ak sin гх-\- ...)cosx —m² cos mx= (2 A₂ 4- 4.3A₄ sin ²x -j- 6.5 Ae sin kx4-.. ,)cos ²x —(2A₂sin²x+4Aisindr 6A₆sin⁶x Zastępując tu cos²x przez 1 — sin²x, dostaniemy:

(2)

—m²cos mx—2A₂ -{-(3.4.A₄—2²A₂)smdr4-4-(b-6-d₆— 4²M₄)swdr4-(7.8.A₈ — 6²A₆) sin⁶x-\-... Mnożąc (1) przez m² i dodając do (2), mieć będziemy:

0=(w² + 24₂) + (3.4.4₄ + (m²—2²)^²) sin2X+

+ (5.6 A₆ + (m²—4:²)Ai)sinix+...,

a stąd wynikają związki:

2A₂ +m²=О 3.4.^₄ + (m²—2²)Л₂=0 5.6 А₆ + (m²—4²)JL₄ =0 7.8 ^₈+(w²-6²)Ą=0

z których po porządku obliczamy:

m²(m²—2²)

(3) A₂ = -

Ai

4!

j Л-6

m²(m²—2²)(m²—4²)

6!

0)l

Rozwinięcie (1) będzie więc miało postać :

cosmx=

sin^x

m²(m²—2²)

m²{m²—2²)(m²—4²)

sinex+...

—2j-sin²xĄ

Ono — przy nieparzystem m — jest nieskończone i zbieżne dla X dających \sinx\<A-. W razie m parzystego =2[i staje się (4) funkcyą wymierną i daje formę (&)*):

4!

6!

cosmx=

(i)    !

m²

—-^sin²xĄ

m²(m²—2²)

4!

m — 2[x.

Biorąc pochodnę związku (4) mieć będziemy rozwinięcie:

sin mx=

(5)

C0SX.

Г m .

I -^sinx

m(m²—2²)

3!

sin ?,x+

m[m² ~2²)(m²—4²)

5!

sinbx—

które pozostaje nieskończone przy m nieparzystem, a przy m parzy stem =2fi daje formę (e) :

sinmx=

(«)

C0SX

Г m .

YfSmx

m(m²—2²)

3!

m = 2p..

Z uwagi, że sinmx jest funkcyą nieparzystą, a dla x*=0 przybiera wartości zero, możemy położyć:

sin mx = Bx sinx + B? sin ²x + Bh sin hx-\-...

Pierwsza pochodna tego szeregu daje:

m.cosmx=\Bx -f 3Bzsin²xJrbBbsin!ixJr ...\cosx

(/), o których tu mowa, są związkami artykułu

(6)

*) Związki («), (b), (c) poprzedzającego.

skąd — z podstawienia tu x=0 — dowiadujemy się, że

Różniczkując (6) dwa razy i postępując tu dalej zupełnie analogicznie, jak w pierwszym, przerobionym już wypadku, dojdziemy do związków :

2.3.R₃ + (m²—l)Bi =0, 4.5.Б₅ + (m²- 3²)R₃ =0 a z nich — uwzględniając, że Bi=m — dostajemy: m(m²—1)

(7)

5.3

3!

5₅

m(m²—l)(m²—3²)

5!

5₇

m(m²—l)(m²—3²)(w²—5²)

7!

(8)

Rozwinięcie (6) będzie więc postaci :

sin m-

sm³a?4

m(m'²—1)

m(m²—l)(m²—3²)

-sin°x—...

-zrySinx

Przy parzystem m pozostaje ono szeregiem zbieżnym dla x dających \sinx\<CX- W razie przeciwnie nieparzystego m=2[i-\-\. dostajemy formę:

3!

5!

(/') m

m(m²—1)

sin mx=

sinzx    1)^2 ²t\sin²‘u+ix,

-ÿysinx

Z różniczkowania szeregu (8) dochodzimy do nowego rozwi-

3!

nięcia :

cosmx—

(9)

C0SX.11

m²—

(m²—l)(m²—3²)

4!

sinkx—... j ,

a z niego, gdy m nieparzyste =2^+1 dostajemy formę (c) :

cos mx=

(w²—l)(m²—3²)

(c)

[■

m²—l .

2j—smŁx 4

4!

■sin kx—... 4- (—l>“2²'"sm²"# cos ж

ш = 2[J. -j-1.

(10)

Połóżmy teraz :

cosmx=A₀ Ą- A^cosxA- A₂cos²xĄ-..

które-to rozwinięcie może nie być niedorzecznością, to gdy z niem celem wyznaczenia spółczynników A₀, A1} postąpimy tak samo, jak w dwóch pierwszych razach, dojdziemy do związków :

2.1.A₂+m²A₍₎=0 3.2.4₃ + (w²-l)^₁=0 4.3./₄ + (m²-2²)A₂=0

5.3i₅4(»²-3²)l₃=0

(«1)

<Ä)

(7i)

W razie parzystego m—2fi trzeba tu uwzględnić (2) — art. poprzedź. — a wtedy, obok A₀=(—1}“, dostajemy z równań (aj, (yj, ... wartości:

Л—

Л ■=-(-!}“

ж²(ж²—2²) (ж²—4²)

ж² (ж²—2²)

4!

, ..., A2(l =2V-¹,

a dalsze spółczynniki ^₂/₍+2, d2(ł+4, ... są już wszystkie zerami, Bozwinięcie (10) będzie więc w tym razie formą (a) :

6!

cosmx=

(«)

ж²(ж²—2²)

(—iy*— (—1 y-^-cos ²x+( — 1)‘M

Zl

m — 2[x.

Z pochodnej tego związku dostajemy znowu formę (d) :

4!

COSkc—... -j-2²‘w-:1C0S²‘MÆ

Г , „ . m

I    ( x) TT

sinmx= ж(ж²—2²)

cosx+(—1>M-    -

■cos³,r—

sin X

Ш = 2{Л.

Gdy przeciwnie ж przyjmiemy nieparzyste = 2,а+1, to trzeba w rozwinięciu (10) uwzględnić (3) [art. poprzedź.]. Tutaj więc obok

m— 1

^4₁==(—1) ² ж=(—1у*ж dostajemy dalej z równań (/?J, (dj, ...:

ж (ж²—1)(ж²—З²)

Л = -(-1)л

ж(ж²— 1)

3!

Л =+(-!)*

б!

•••> ^2^ + 1=2²^,

a dalsze spółczynniki będą już wszystkie zerami.

Bozwinięcie (10) daje więc w tym wypadku znowu formę (a):

cosmx=

coszx + (—1‘“-

3!

... + 2²‘mcos2w+1æ ,    ж=2^+1.

Przez różniczkowanie tej relacyi dojdziemy wreszcie do for-

(a)

(_l).«m,c0Sr_(_l)M

ж(ж²- 1)

ж(ж² — 1 ) (ж²—3²)

5!

cos^x—

my (d):

sinmx=

{d)

Г/ / 14 »»²-1    9    / 1N (ш2-l)(w²-3²)

I (— ly*— (—1).“—-j—cos ²x+(—--4Î-—-

ж=.2^+1.

cos kr—

... +2²-Mcos²^j

sinx

Ж ten sposób mamy już wyznaczone wszystkie związki, dające prawidło mnożenia argumentu x w funkcyach sinx i cosx. Z nich tylko skończone formy mają wartość w zastosowaniach.

Uwaga. W skończonych rozwinięciach, jakie tu mieliśmy, były ostatnie spółczynniki — z pominięciem znaku — postaci:

gdy

m(m²—2²)(m²—4 ²)...(?w ²-—m—2 ²)

było parzyste , a zaś postaci :

1.2.3...(w—1)

= 2«—i,

v‘m

(ш²—l)(m²—3²)...(w²—m — 2²)    9m

1.2.3...(m—1)

gdy m było nieparzyste.

Tych identyczności można wprost dowieść. Pomnóżmy bowiem w vm mianownik przez 2«—³ , a w liczniku każde (m²—s²) przedstawmy iloczynem:

(m -f- s)(m—s) ,

to mieć będziemy:

m(m -f- 2)(m—2)(m -j- 4){m—4),..(2m—2).2

Vm

2«—i

2A.G...m...(2m - 2)

W liczniku mamy tu widocznie: 2.4.6...m.(m -j-2) ,.(2m—2), a więc:

Vm/2m-i=l, czyli: Vm=2m—b

Analogicznie dowieść można identyczności drugiej : v,m = ‘2m~³ , m nieparzyste.

10. Obliczanie wyznaczników K, S. Z form:

O tSJ

cos mx=2’K_1 cosmx+A₁ cosm~²x+... sin mx=sinx[2m ~ ¹ cosm ~xx+A\ cosm~²x +...] akładając m całkowite dodatnie [formy (a), (d) art. poprzedzaj ą-ego] skorzystamy w obliczeniu wyznaczników:

sina₀, sin2a₀,    .... sinna₀

sinai: sin2ai, ...,sinnai

(«)

iß)

1 cosaQ, cos2a₀, ..., cos na0 1 cosa₁₅ co^c^, ..., cos «6^

(cosan—cosan-1)

—    j Clo ? •••? ®я)

starając się potem czynnik p wyznaczyć. Ten czynnik ę nie będzie

bo tak iloczyn P, jak

przedewszystkiem zależał od cosa₀,cosa i wyznacznik К są w każdem cosar jednakowego stopnia. [W К zawierają się cosnar w ostatniej jego kolumnie, a każde cosnar za-

wiera — podług (a) — cosxar\. Stąd wynika, że do wyznaczenia ę> wystarczy w (1) zrównać ze sobą dwa równomienne wyrazy. Otóż w К dostajemy na iloczyn elementów głównej przekątni:

(icosa₁. cos2a₂. cos3a₃...cosnan),

a gdy tu (a) zastosujemy, znajdziemy w nim wyraz najwyższego wymiaru :

n(n— 1)

p==2l+²^+^n~i'>cosai. cos²a₂. ,cosnan=2 2 cosa{.cos²a₂...cosnan.

Po prawej stronie w (1) znajdziemy zaś wyraz:

p‘ = q.cosat. cos²a₂...cosna„.

Ponieważ q nie zależy już od а₀,а1г..., więc kładąc p=pl

a stąd :

n(n — \)

K= 2 2 . Р(а₀, а1? a₂,an).

n(n—1)

mamy: q=2 2

¹

ec²x={secx)‘

²

Yvon Villarceau: „Note sur le développement de cosmx, sinmx suivant les puissances de sinx. C. R. T. 82. (1876.), str. 1469.

³

cosa„, cos2ara, ..., cosna„ aby potem te rezultaty zastosować do zagadnień z teoryi funkcyi.

Wyznacznik К można za pomocą formy (a) zmienić na funk-cyę zawierającą cosa0: cosa^, cosa„: a niezawierającą już dostaw wielokrotności łuków a₀, au ..., an. Ponieważ dalej K=0 gdy ar=as,

(2)

dziemy :

W analogiczny postępując sposób i stosując relacyę (ß), znaj

(3)

w( w—1)

#=2 2 sina^sinax... swa„_iP(a₀, %,..., a„_i). Zawarte w P czynniki :

_ . u,- 4-

cosar—cosas=2sm—^—

2

. Chf Clg ■sm—

wskazują, że К i S stają się =0, gdy nietylko ar=as gdy ar=—as, co rzeczywiście odrazu sprawdzić można.

ale także

11. 0 funkcyack G(eiæ)-+G(e-ix). Zastosuj my te rezultaty do badania funkcyj R(e‘x) szczególnych form :

(p(x) = G{eix) + G(e~ix) ip(x) = G(etx)—G(e~ix), gdzie G(u)=c₀ +c₁u+c₂u²+...Ą-cnun. ¹)

Punkcye (p(x), гр(х), gdy do nich zastosujemy wzory Eulera Moivre’a, dostaniemy w postaciach:

(p{x)=A₀ 4- A₂ cosx 4- A₂ cos2x -f...4-Ancos nx ip{x)=B₁ sinx -f- В 2 sin2x -{-•■• + Bnsin nx o stałych spółczynnikach А₀,А1: ..., Blf P₂,... Liczbę n nazwiemy tu rzędem funkcyj <p, гр i funkcyi tplsinx.

Grdy funkcya cp{x) ma na (w + 1) miejscach: x₀, xil x₂, ..., xn przybierać odpowiednio wartości: <jp₀, ęd1} <jp₂, ...,    , to tak dane

warunki prowadzą do (n + 2) współczesnych równań:

A₀ +AiCOSX+A₂cos2x-\- ... + Ancosnx — <p(x) =0 A₀ + A₁cosx₀ -j-A₂cos2x₀ p... -Ą- Ancosnx₀ —<p₀    =0

A₀ + A₁cosxn+A₂cos2xn-}-...pAncosnx7l—<pn

z nich wynika:

=0,

1 cosx, cos2x ...cosnx (p(oc) 1 cosx₀, cos2x₀... cosnx₀ cp0 1 cosxi,cos2xi ... cosnx ₁ (p±

1 COSXn, COS2xn ... COSUXn (pn•

Po rozwinięciu tego wyznacznika podług elementów ostatniego pionu, mamy :

(1)

(p{pc).P(XqX^...xn^ (PqP(X x^x₂ ...Xfi'j    ф₁-Р Çxq ж х₂ .• ‘Х-^)

— <р2 Р(#о •Х\ Х'■ ■-хп) -ь •.. + (рпР{х₀ Х± . . .Хп _i X) = 0, gdzie Р jest iloczynem, jaki określiliśmy w art. poprzedzającym. Z relacyi (1) wynika :

P(xxi...xn)

P(x₀x...xn) P(x ₀xi...xn) albo ostatecznie po wykonaniu skróceń :

(pipe)

P(x₀xi...xn)

Vo +

JP(x₀x₁...xn_₁x)

-P (Xq X^.. .Xn)

(pn

(«)

(pipc)==^(ps- П'

COSX—cos xr

COSXs-COSXr

kreska nad П wskazuje trzeba czynnik o wskaźniku r=s.

Analogicznie — gdy założymy, że ipix)

że w iloczynie mnożącym cps opuście

ma na miejscach x0:xl,x2: ..., xn_\ przybierać odpowiednio wartości    ip2J

a zastosujemy obliczanie wyznacznika S (art. poprzedzający) — dostaniemy :

71 —1

(Ъ)

rip(x)=sin x'S^;

s— 0

. П — 1

sinxg

COSX — cosxr

COSXs-COSXr

Pormy (a), (b) po zastosowaniu w nich związku :

O . U-\-V

co su—cosv =—2 sm

Z

. U-V

sm ——— z

można będzie także w ten sposób napisać :

(«')

n sin-^г (x-\-Xr) sin

T J    Z

(x-Xr)

sin Z- (xs + xr) s in

Z    z

(^Xs Xp)

sin 4- (x-\-xr) sin „ (x—xr)

n—¹    n—1

Лг)=“2йк11

Ji    £

r=0 sin 2 -ł-ffr) 5Ш i (a?s—flîr)

(C)

Z (a), (a') lub z (ó), (&') wynika, konieczne założenie, że między miejscami x₀,x₁,x₂,... niema żadnych dwóch xn xs dających xr-\-Xs=2nJT, lub xr—xs=2nn, n~0, +1, ... Musi więc być zawsze: xrĄ-ж₄ф2nn, xr—ж,ф2nn, r^s.

Formy (a), (6), albo (a'), (b‘) stanowią analogią z formą Lagrange’a interpolującą funkcye wymierne całkowite.

Niech £ ma znaczenie 1, gdy się mówi o funkcyi <p, a niech

'll)

=0, gdy jest mowa o funkcyi—~— i przyjmijmy, że te funkcye

SXYIX

xn+e) spełniających warunki (c) stają się ...=0). W takim razie

na miejscach (x₀,xi,x₂

гра гр,

zerami (a więc cpn — cp, = ...=0, —-= .—

¹    smx ₀    smxi

za użyciem tych właśnie miejsc w formach (a), (b), mamy cp=0,

iplsinx—0 identycznie. Stąd twierdzenie:

I. Funkcye cp,—% smx

rzędu n, More na (n 4 s) miejscach spełniają

cych warunki (c) są zerami, nie istnieją — są identycznemi zerami. Dalej wywnioskujemy:

które na

II. Dwie funkcye: cp, cp, lub dwie funkcye —7—, —7—

SWX SIÏIX

(wd-c) miejscach spełniających warunki (c) przybierają te same wartości, są identyczne.

sinx

Pochodzi to stąd, że wtedy różnice (cp— cp,),

są identycznemi zerami.

Z twierdzenia II. wynika bezpośrednio znowu taki wniosek :

III. Gdy funkcya cp lub

—7—rzędu ngoma przybierać na (n+£)

SIYIX

miejscach spełniających warunki (c) wartości pewnej funkcyi cp, lub tp,j sinx niższego rzędu, to jest funkcyą tego niższego rzędu, a nie rzędu ngo.

12. Czynniki pierwiastkowe funkcyi sin noc, cosnx. Formy (a), (b) lub (a¹), (b‘) mogą posłużyć z jednej strony do utworzenia funkcyj rzędu n%°, lub niższego [tw. III.], a z drugiej strony można ich użyć do przedstawienia danych, już całkiem określonych funkcyj rzędu <C n.

sinan-1, sm2a«-i, •••, sinnan-i

więc połóżmy:

(1)

K~Q.

(cosai—cosa₀)(cosa₂—cosa₀)...(cosan—cosa₀) (cosa₂ —cosai )...{cosan—cosai )

Połóżmyż w (a), (a') cp(x) = 1, lub w (6), (&') ty{x)=sinx to dojdziemy do identyczności :

(1) i    (cosx—cosxi )...(cosx—cosxs_i) (cosx— cosxs±\)...(cosx— cosxn)

^ (cosxs—cosxi )...(cosxs+COSXs_i) COSXs—COSXs+1 )...(cosxs—cosxn)

albo :

(2)

n / n sin-i- (ж+a?r) sm 4 (x — a?r)

i=2 И'-4-

sm-^(xs — xr)sin-^(xs—xr)

gdzie n jest dowolne, a а?₀,а;,, spełniają warunek (c), art. poprzedź.

Połóżmy q>(x)=cosnx, to w obszarze (—уг...-f л) jest cosnx=0 na miejscach :

Ж==^(2Г+1)? r==0’¹’²’ -> O“¹)?

Ж==£(2Г+1)’ Г==_1’~²’ -a każde dalsze miejsce zerowe tej funkcyi będzie równoważne, albo z jednem z miejsc (a), albo z jednem z miejsc (ß).

Dołączmy do miejsc (a) jeszcze miejsce a?=0, na którem cosnx=l, to dostajemy (w4-1) miejsc:

х==2п^Г+Г>' r=⁰>¹»²,-(*-l)

czyniących zadość warunkom (c). Używszy ich do utworzenia formy (a) mamy:

O)

(/?)

(y)

Зл

cosa;—cos ;r— co sx—cos

(3) cosnx

2л

2л

COSX — cos

2л—1 2л ^

i 2л—1

1 — COS - Л

2 w

Porównując to z przedstawieniem tej funkcyi przez (os), art. poprzedź., trzeba położyć:

71

1—cos^-

1—cos

Зя

(4)

(-

—cos

êX¹

Зл:

2л

)4

—cos

2л—1

—2n_1, a stąd:

(3') coswa?=2”—1^cosa?

—cos

ś)(

Зл

)(

COSX — cos-^r-2л

Funkcya sinnx staje się — po wyłączeniu x — 0 — w obszarze (—л... -f-л) na miejscach :

a?=-^-, ? = 1, 2, 3, ..., (л 1)

cosx—cos

2л—1    \

“2лГ я ]'

zerem

(«')

гл

0*0

/.I

» »*=—1»—²»—3,-(w—1)

a każde inne jej miejsce zerowe nierównoważne z #=0 jest równoważne albo z jednem z miejsc («'), albo z jednem z miejsc (/5').

Dołączymy do miejsc (a) jeszcze miejsce x=0, na którem-to miejscu jest (sinnx / sinx)=(nx-\-...)/(#+...)=w i użyjmy tu tych w miejsc do utworzenia formy (b), to mieć będziemy:

co sx— cos

.1

2 TC

COSX—cos —

COSX—cos—

TC

(5) sin nx—n. sinx.

TC

1 —cos —

1—cos

2tc

_ n— 1

1 — COS-TC

relacyę :

Porównując to z formą (ß) — art. poprzedź. — dostajemy

(6)

(x

2”-¹

przy dowolnem, parzystem lub nieparzystem n, a uwzględniając to , napiszemy :

(6') sinnx=2n~xsinx^cosx—cos ^

2tc\ / COSX—cos —I ... I

n )    \

COSX—cos

=1,).

n )

Czynniki zawarte w (3J) i w (6) można nazwać czynnikami pierwiastkowymi funkcyi cosnx i sinnx.

Przyjmijmy n nieparzyste =2/г + 1 i dołączmy w tym razie

sin nx

do miejsc (a¹) jeszcze miejsce x=~, na którem a cosx=0, to stosując formę (&') otrzymamy:

sinx

n—1

(-1) \

COSX —COS— COSX—cos

2 тс

COSX—cos

TC

(7) sinnx=(—1) 'Ł sinx

TC

2 тс

cos —

cos —

cos

TC

gdzie tu widocznie :

(8)

(-1) 2

2tc

=2*⁻¹,

cos—.cos—... cos

TC

Z (6) i (7) wynika zatem przy nieparzystem n relacya :

n—1

2 тс

n. cos—. cos— ... cos

TC

(9)

)i

71—1

1—cos-

2 tc\    n—1 \

I...11 —cos-TC

n )

=(-l)².

13. Pochodne nieskończonego rzędu szeregów bezustannie zbieżnych. Zauważmy funkcye :

ßCxi

y—sincx=—

(a)

_g—c xi

(ß) y=cos ex

çCxi _|_ g-CXi

(«')

Tworząc ich wte pochodne, dostajemy:

dny . ecxi— (—Y)ne~cxi -—=cnin---

dxn

cnin . Xi (Xj ri)

(ß‘)

dny

^=cV.

din

ecxi -f(_ l)ne-cxi

=cnin.X₂(x, n),

gdy tu n = co założymy, a dla krótkości lim ~-n-=z położymy, to

?i~ со ax

dojdziemy do takich wyników:

A.) Przy jej <1 jest lim \ci\n—0, a wskutek tego mieć tu bę-

71 —CG

dziemy dla wszystkich trzech funkcyj : z=0 przy dowolnem x leżącem w skończoności.

В) Niech ci—е2лтг',

Я

gdzie r jest wymierną ułamkową liczbą ==—,

.    I¹

о Я, у pierwszych względem siebie. Wtedy, gdy n=(ky+ s), to przy każdem całkowitem skończonem lub nieskończonem Jc, mieć będziemy :

z

2 n— (ku,Ą-ś)i

jA,    _

2nZsi

2nZh g ça

InZ

-SI

==e    •

(ei)n=e

Gdy s=0, 1, 2, ..., y— 1, to (ci)n przybiera y różnych między sobą wartości (wszystkich pierwiastków równania —1 = 0), które się potem peryodycznie powtarzają przy :

y+1,    2/i—-1), (2/t, 2/ł+l,..., 3/i—1),...

Z tego powodu będzie funkeya (a) — przy każdem skończonem x — posiadała y różnych i skończonych pochodnych z. Ina-

dny

czej mówiąc pochodna

a skończonych granic.

Połóżmy, bez względu na to, czy Jc jest skończone, lub nieskończone, Xi(x,Jcy)=a, Xi(x, hy-\-l)—b, gdzie koniecznie jest а ф&, to dalej już mamy ciągle Xi(x, Jcy-\-2) = a, Xi(x,JcyA 3) = &, ...

dxn

dąży tu do y różnych między sobą,

2 niZ

Naznaczmy dalej dla krótkości e f* przez e, to dla funkcyi (a) dostaniemy po porządku przy parzystem y :

z-s^a, E^b, £²a, esb, ..., £^_16, ...

a przy nieparzystem у :

Teor. funkcyj anal. T. II.

KATEDRA I ZAKŁAD MATEMATYKI WYDZIAŁU INŻYNIERII

W KRAKOWIE

Analogicznie — gdy dla funkcyi (ß) położymy: X₂(x,kfi) = a‘ Х₂(х,Тс/г-\-1 )=b‘ — mieć będziemy przy parzystem u :

£=£°a',    £²a'

a przy nieparzystem fi:

E°b‘, E²a‘, ...,

z—£°a\

ich pochodne nieskończenie wielkiego rzędu będą

W razie ci=i=e% dostajemy w (a) fnnkcyę sinx : a więc w (ß) fnnkcyę cosx, odpowiednio :

z=sinx, cosx, —sinx, —cosx z—cosx, —sinx, —cosæ, sinx.

[Ten porządek objawia się tu przy założeniu 7etu = 0 (mod. 4)].

Z przytoczonych tu przykładów wynika, że mogą istnieć funkcye całkowite analityczne o pewnej stałej ilości pochodnych nieskończonego rzędu mających wartości skończone. Zbadajmyż te stosunki z ogólnego stanowiska, biorąc za punkt wyjścia element:

(1)

У=«о +    а) + -|р(я—'a)² + ...

pewnej analitycznej funkcyi у zachowującej się regularnie w otoczeniu pewnego punktu a leżącego w skończoności,³) W (1) jest:

\dx )x=a

i te spółczynniki są oczywiście wszystkie skończone przy skończonych wskaźnikach n. Przyjmijmy, że w punkcie ж = а są i pochodne nieskończenie wielkiego rzędu :

n=oo \dX )X—a

skończone. W takim razie liczby :

Kil Ki ? Kl> KI : - in inft.

mają pewną skończoną granicę górną O, a że

(2)

więc także będzie :

\у\<Ы+Щ-\х-а\+Щ \y\<c(u

I«—« ²+-

\x—a\    I x—a\²

1! ⁺

Z tej nierówności odrazu wynika , że у jest funkcyą o skończonych wartościach dla wszelkich skończonych x, czyli, że jest

2!

-)

funkcyą całkowitą (przestępną — jeżeli z naszych poszukiwań wydzielamy funkcye całkowite, wymierne).

Szereg (1) jest więc bezustannie zbieżnym, a każdy jego pochodny szereg:

dyn

an-\- 2

2! (ж—«)²+...

dxn

”1Т(ж“аН

czy to przy skończonem, czy nieskończonem n jest znowu szeregiem bezustannie zbieżnym, co wynika ze skończoności wszystkich liczb (2) za powtórzeniem takiego rozumowania, jakie zastosowaliśmy do samej funkcyi y. Z tego wnosimy, że nietylko w punkcie a, ale i we wszystkich punktach x, leżących w skończoności, ma funkcya у pochodne (lub pochodną) nieskończenie wielkiego rzędu o skończonych wartościach (granicach). Mamy więc twierdzenie:

I. Jeżeli wszystkie pochodne nieskończenie wielkiego rzędu pewnej analitycznej funkcyi są skończone w jednym punkcie a jej argumentu x to funkcya jest całkowitą, a jej pochodne nieskończonego rzędu pozostają skończone także we wszystkich punktach x, leżących w skończoności. Tylko takie funkcye posiadają pochodne nieskończonego rzędu o skończonych granicach.

dny

Zajmijmy się teraz wyznaczeniem formy pochodnej z—lim

(XX

i samej funkcyi у w tym wypadku.

Gdy funkcya y ma mieć w punkcie a jedną tylko pochodnę za nieskończenie wielkiego rzędu o wartości skończonej 0ф0, to być musi: ап=/гп+1=0„₊₂ = ...==0, gdy n=co .

Mamy więc wtedy: dn+sy dxn+s

lim

71 = 00

z=b+^{x—a) + -|j(aj—ay+^(x-a)*+...=

71=OO

dla s=0, 1, 2, 8, ..., in inft.,

a to wskazuje, że i w każdym punkcie x, leżącym w skończoności, a różnym od a , mamy także jedną tylko pochodnę z o wartości b.ex~a. Samą funkcyę у napiszmy w postaci:

у₌Ъ.ех-а+{у—Ъ.ех~а)

albo wyraźnie w postaci :

у=Ъех-а+

[(««—ьн

(«2 — Ъ)

Jestto widocznie funkcya całkowita, pochodnę z o jednej wartości zero, gdyż:

która w punkcie a ma

(4)

an—b=anĄ_\—Ъ=ап+2—Ъ=...=0, gdy w=oo .

Lecz właśnie wskutek tych równości (4) dostajemy na dowol-

nem miejscu x:

lim

dn+sq

n=co

₇    ,—lim(an—b)cx~a=0. s=0,1, 2, ...

dxn+s n=af '    ’ ’ ’

Z tych rozważań dochodzimy do twierdzeń :

II. Gdy funkcya całkowita ma w pewnym punkcie a pochodny z o jednej tylko wartości zero, to jej pochodne z są we wszystkich punktach X (leżących w skończoności) o jednej wartości zero. W szczególności może być taka funkcya wymierną całkowitą.

II a. Gdy funkcya całkowita у ma w punkcie a pochodnę nieskończenie wielkiego rzędu o jednej wartości 0ф0, to i w każdym punkcie x leżącym w skończoności ma taką pochodnę z, o jednej tylko wartości = b.e^~a\ a sama funkcya y=eb{-x~a^-\-q{x—a), gdzie q(x—a) jest funk-cyą o pochodnej z=0.

Funkcje (a), (ß) są — gdy \ci\<it — funkcyami q(x); a należą do funkcyj określonych w tw. II«, gdy ci= 1.

14. Wartości pochodnych nieskończonego rzędu powracąjące peryodycznie. Załóżmy po drugie, że funkcya y ma w pewnym punkcie a dokładnie g pochodnych nieskończonego rzędu, a każda z nich jest skończonej wartości: &₀,    ..., ô^_i.

W takim razie między spółczynnikami :

(1)

an, anĄ.i, 6ïM_j_2 ? anĄ.3, ... in inft. poczynając od pewnego w=oo , znajdziemy spółczynniki o wartości &₀, spółczynniki o wartości b±, ..., spółczynniki o wartości , a innych wartości już tam wcale nie znajdziemy.

Przyjmijmyź, że przy obranem w pewien sposób w = oo mamy właśnie an = b₀, i

(a)

dny

z=lim ,

* =« dxn

wybierając an+ki=bt, dostajemy: dk*z

b₀+(x—a)%{x—a)i

(P)

= lim

dn+kry

dxk*

gdy an+ki = b.₂, to mamy:

oo dxn+ki

\ + (x— а)^(ж-a) ;

(<0

dk*z .

, . — hm 7 dxk* n=<x,dxn+k*

dn+k*y

b₂ + (x—a)^.₂{x—a) ;

Funkcya z — jako całka tego równania różniczkowego — ma mieć zatem postać :

(4)

0= C₀ ex + Gi eex + C₂e⁶’» +... = Cv^e*v~'\ *) gdzie C₀, Cx, ... są-to stałe dowolne, a

2 ni

E=e V .

Gdyby w szeregu (2) znajdowały się dwie równe sobie pochodne n. p.:

a<v— 1, /?<>—1, a<Zß,

a wybrawszy wreszcie ап±ки,= Ъ^ otrzymujemy:

dn+kfi-iy

dxki*-y ń='dxn+ki*-1

(Л)

dkg - \z

lim

b^i + ipc—    a).

Pochodne (a), (5), (c), ..., (d) są szeregami bezustannie zbieżnymi (art. poprzedź.), a już, wskutek różniących się od siebie wolnych wyrazów b₀,bi,b₂,    i, nie są identyczne. Stąd wynika,

że i na dowolnem miejscu жф« ma ta funkcya niezawodnie również у różniących się między sobą pochodnych. Lecz czy ich więcej tam mieć nie może, trzeba dopiero rozstrzygnąć.

Przyjmijmyż, że oznaczywszy jedną pochodnę z pewnej funk-cyi, znajdujemy potem:

dz d%z dx: dx¹'

wszystkie różne od z, a dopiero :

(2)

dv~iz

dxv~x

dvz

-—=0.

dxv

daz d?z dxa dxß

to stąd po (V—ß) różniczkowaniach, kładąc v-\-a—ß=Ä, gdzie oczywiście 2<>, dostalibyśmy związek:

dzz dx* *'

Lecz ten jest samem założeniem wykluczony — a że jego rozwiązaniem jest:

*) Kładąc w (3) z— erx, a więc

dvz

dxv

rve’x, dostajemy związek:

erx(rv-l) = 0

ev_1.

któremu zadość czynią r= 1, e, s²,

Każda z funkcyj ee<*x, a = l, ..., v—1 czyni więc zadość równaniu różniczkowemu (3), a ich liniowa jednorodna funkcya będzie jego najogólniejszem rozwiązaniem. Por. zresztą: A. K. Forsyth (tłom. na niem. H. Maser) „Lehrbuch der Differentialgleichungen“ (Brunszwik 1889), albo : Zajączkowski Wł. „Wykład nauki o rów. różniczkowych“ (Paryż 1877).

dxv~i

dz d^z ‘J ’ dx’ dx²

(6)

2 ni

2=К₀ех + К^х+К₂е^х+... + К^е^ **, r\=e л więc stąd wynika, że szereg :

(5)

będzie, z samych różnych jnź między sobą funkcyj złożony, jeżeli postać (4) nie stanie się identyczną z (5).

W razie identyczności tych postaci musiałyby się utrzymać w nich tylko wyrazy z takiemi £⁴ i z takiemi rjh, które dają:

czyli wreszcie :

ek=rjh czyli:

2 nih    2 mh

(7)

(h I v) = (h I Я)

V—1, a ń—0, 1,    Я — 1.

gdzie k może być =0, 1

Niech V i Я mają największy wspólny podzielnik p, tak, że Я=рД, v=Qvli а Ях, vi są już względem siebie pierwsze.

Ze związku (7) mamy wtedy: k=h.(vxjЯ^). ^ a że k mają być całkowite, więc muszą być h j Я± całkowitemi liczbami, co znaczy, że: h=0.Я1} 1 ,Я₁₉ 2Я1} ..., (p—1 )ЯГ, к—0.г1} l.vx, 2vi: ..., (p—1)^, czyli: k =0 (mod. vx), k<Zv.

Przy takich h i k są, formy (4), (5) z sobą identyczne i mają wspólną postać :

z=C₀e⁴+ Cve⁴Vl⁴ + C‘lVie/Vlx + ••• + C{9-i)ve⁴{Q 1) ⁴4 Z rozumowania tego dochodzimy do takiego wniosku : Chcąc aby szereg (6) zawierał same różne między sobą funkcye trzeba przyjąć z postaci (4) i założyć, że w niej wszystkie spółczynniki Cs o wskaźnikach snie = 0 (mod.r₁), gdzie przedstawia jakiś pewien podzielnik liczby r, są koniecznie zerami.

(8)

Dalej wnosimy, że funke у a, której jedna z pochodnych nieskończonego rzędu ma postać (4) o spół-czynnikach Gs poddanych temu warunkowi i tylko V — różnych pochodnych na każdem dowolnem miejscu x⁴) i że te pochodne powtarzają się peryo-dycznie za zwiększaniem wskaźnika różniczkowania

(gdyż:

dvz

dv+x z    dz

dxv ⁴ ’ dxv+1

dx

Przy tern zauważyć potrzeba, że gdyby warunkowi, jaki spełniać mają CSJ zadość nie uczyniono, mielibyśmy tylko p różnych między sobą pochodnych niczkowania formy (8).

przekonać się można przez róź-

o czem

15. Forma funkcyi całkowitej o pochodnych nieskończonego rzędu, powtarzających się peryodycznie. Po tych uwagach wróćmy do naszej funkcyi y. Gdybyśmy przyjęli, że na miejscach x, różniących się od «, ma ona v pochodnych, gdzie v^>y, to i na miejscu a dostalibyśmy v, a nie у pochodnych. Lecz to sprzeciwia się założeniu. Z tego powodu przyjąć trzeba, że funkcya y ma na kaźdem miejscu: y, i tylko у pochodnych i że one mają postać:

= Cg ex + Gx £keEX + Cx &ке?я +... + G,t_    1дг,

Tc —0, 1, 2, ..., [j. — 1,

(1)

dke

dxk

2 да

gdzie teraz: £=е~У, a spółczynniki Cs o takich wskaźnikach s, które nie są podzielne przez pewien czynnik zawarty w у, nie wszystkie są zerami.

Pochodne (1) dają na miejscu x= a wartości 5₀, b w pewnym porządku. Przyjmijmyż, że właśnie rzędom:

. у—1

k=0, 1, 2

bp-1

[А/ — 1 J

to dalej rzędom : 2 у—1

odpowiadają wartości: b₀, bx, b₂, .

Jc=y, y + lj y+2, . odpowiadać będą znowu wartości: b₀, bx, b₂, ..., i, i t. d. bez końca.

Szereg spółczynników w rozwinięciu naszej funkcyi dla otoczenia punktu a przedstawia się zatem jako:

b₀, bx, ..., bu_x ; 6₀, bit ..., i ; ...

[a w (a), (b) , (c), (d) — art. 14. — można położyć: kx — 1,    2,

•••» к/л-1—У    !]•

Z tego wynika, że pochodna £ jest rozwinięciem:

+^—a>M-f

,=Jo+îi(æ_a)+...₊J_i)!

-₍(ж—a)“⁻¹ -f-

bp—i

5.[l4

(2^—1)!

(ж—a}w    (x—a)‘²‘u

/<!

Г x—a

l тг⁺

(æ—a)‘w+1

(Ы

(x—a)²itł+¹

Z sum ujętych, tu w nawiasy, pierwsza jest szeregiem wydzielonym mod. fi z szeregu    a jako taka [T. I., art. 168.],

——ïex-ce^ee(x-à)_^ee*(.v-a)_^ gef* k*-«)l

¹

G. Touret: „Sur deux formules trigonometriques d'interpolation“. C. R. T. 99 (1884), str. 963, 1011, 1062. W tych rozprawach obliczone są także wyznaczniki K, S.

²

rozważmy funkcyę :

³

K. Żórawski: „O pochodnych nieskończenie wielkiego rzędu“. Rozpr. Akad. krak. T. 26., (1893), str. 419—433.

⁴

Prowadząc bowiem rzecz ogólnie, trzeba zawsze przyjmować, że dwie nieidentyczne funkcye na jednem miejscu nie dają identycznych wartości.

P L    J

=П(х—а).

Druga z nich będzie to:

H(x—a)=

(ft—l)\    (2 fi—1)!    (ßfi—1)!

....+Г

(ж—а}“⁻¹

(ж—а)²!“⁻¹

(ж—а)³«"⁻¹

dt*~l

— Aj ex-ccĄ_£(i-lee(x-u) i E2(jA,—i)ee\x-u) i _j_    k*-«)|

J

Trzecia będzie (ft—2)są pochodną szeregu 2Г(ж—a) i t. d..., aż ostatnia, suma będzie :

= j g.-r - « £Ce(x-a) i £ 2g8²(.r - а) I JrEn-lestl~i(x-a) 1

fl [    J

Będziemy więc mogli położyć:

e(-r_<*)j^6₀ -\-bt +ó₂    + ij "h

4-_Ае«(*-«)Г £■“+b± s“⁻¹ + £,tł_2 + ••• + ^-i£| +

+ ~Aee²(æ-«) ^b₀ e -f bx £²⁽j*~i) + J₂ £²(t*~²) -p ... 4- bu-i £ ² j + +...................

+-A^-k*-    1) 4- b₁ £(.M-1)(M-1) 4-... j

albo :

(2)

1Г    1

*=—2ee*⁽*~a)l &o    £s(/ł-1) + 6₂£*(^-²) 4-... + &M_i£sJ

5= 0

a tu widocznie jest:

ct=

^{b°e"‘J-b,e^-'> + - +    ,

fi — 0, 1, 2, ..., p*—"t

Przyjmijmy, że dla wszystkich s, które nie są podzielne przez pewien czynnik u.t liczby ;j. = pu,, mamy C$ =0. W takim razie dostaniemy (jjl—p) równań.

(3)

q(x--a)=(a₀—b)-ł

(a₂ — b)

g, {x—a)²+...

V“ +    -f ... + V-1 £e = 0,

s == 1, 2,.... [Xj 1,    -j-1; ..., 2[Aj 1, 2jj.j }— 1,

Pomnóżmy ste równanie przez    Q) to dostaniemy :

bQ -f 6P+i e^“¹) + bQ+2 8<“-²>    ... + 0₄o_i 8* = 0,

a to wskazuje, że równaniom (3) zadość uczynią bs w ten sposób grupami sobie równe :

(3)

[X — 1.

(4)

b₀ — bp —b^Q —... = &(itł₁—l)p

b\ ==Óp + l=^2P + l — — b^—1)? + 1

Ьд-\=b^Q-1 — boQ — 1 = ...= Ь/А,,() —1 •

Mamy więc w tym wypadku — jak rzeczywiście ma być — o tylko różnych pochodnych na miejscu a, a to:

be-1.

Przyjąwszy naodwrót, że się spełniają równości (4), można sprawdzić, że wtedy wszystkie Cs o wskaźnikach snie=0 (mod u,) będą zerami.

W przykładach (a), (ß) przytoczonych w art. 13. połóżmy :

2 ni

&o> ъи h

ci == e =£

i przyjmijmy, że do n=cc dochodzimy po samych wielokrotnościach liczby ;x, to w pochodnych 0 [(a'), (ß')j dostajemy dwa nieznikające spółczynniki Cs, a mianowicie :

w (ß) zaś Cs — ~ , Ct =    •

Gdy [X ma być parzyste = 2v, to Cs jest spółczynnikiem przy e

a Ct przy

bv+x

e ' a zatem s = l, t= v-(- 1. Te wskaźniki nie są podzielne przez żaden czynnik

liczby ix i z tego powodu mieliśmy tu ;x pochodnych. W razie nieparzystego ix połóżmy:

2 ni

=t,‘

2 ni

—    ,    ^4!

gdzie г, = e²“, to Cs będzie spółczynnikiem przy eEl~x to Ct przy e£‘ x : wskaźnik s = 2, wskaźnik ż=[x-j-l, że zaś 2, jx-J-l nie są podzielne przez żaden czynnik liczby 2[x, więc mamy tu 2u pochodnych.

Z przeprowadzonych tu rozważań wynika twierdzenie :

I. Gdy funkcya у ma w pewnym punkcie a, u, a nie mniej, różnych między sobą, a skończonych pochodnych, to ma i w każdym punkcie x tyleż pochodnych i jest całkowitą (przestępną). Pochodne te powtarzają się peryodycznie za stopniowem zwiększaniem rzędu różniczkowania. Każda z tych pochodnych jest jednorodnie, liniowo utwo-

2Jli

rzoną z wykładniczych funkcyj ee'S{-x~a\ s=0,1, 2, ..., p— 1, gdzie e—e^ , a ze stałych spółczynników Cs mnożących te funkcye niewszystkie o wskaźnikach s niepodzielnych przez jakiś czynnik liczby p, są zerami.

Napiszmy — gdy już nieskończoną pochodną z przy n będą-nieskończoną wielokrotnością liczby p, mamy w postaci (2) — samą funkcyę y w formie y=z-\-{y—z) to widocznie:

fafl—1    l—\)

cem

у—0={ао-Ъо)-+

1!

{x - «) + ... 4

(af* bp)

(x— a}¹¹-¹ -f

jest funkcyą ą(x—a) o pochodnej =0 na całej płaszczyźnie argumentu X, a stąd twierdzenie :

II. Każdą funkcyę o u różniących sie między sobą pochodnych nieskończonego rzędu można przedstawić w postaci y=z+q(x - a), a wiec sumą dwóch funkcyj, z których pierwsza jest właśnie pochodną z dla п=оэ = p .k, (k=oo ), a druga jest funkcyą o pochodnej z=0.

Pd. 1. Jakie własności ma funkcyą y, gdy w niej q(x—a) jest identycznie —0 ?

Pd. 2. Czy można у przedstawić także kształtem — -\- qs (x—a) i jaką postać ma wtedy qs(x—a)?

dy d-y d³y

Pd. 3. Wyznaczyć funkcyę у której 8, pierwsze pochodne    ₂ î    ëd między sobą różniącemi się funkcyami, trzecia pochodna :

<P!>=y dx3    J’

a na miejscu x = 0 ma być:

dy

dx~A

d-y

dx²

(2 k+\)ni

(«)

Pd. 4. Gdy z — e '2n to funkcyą :

^=4-n + î?+-..4

(2и—1)Г    (2»)!    (2л+1)!

£2Я_1Ж2И_1

ж²”

-*)

zaliczy się do funkcyj mających 4n pochodnych :

t2-V*    -.V*

e“', £ем, £>e“

Z równania (a) dostajemy:

—£2я_V*

e“ =

*2й

xkn

(ón

Ж

¹ (2п)\ +(4n)\    (6 n)!

(ß)

/*    ж2й+1    ж⁴"⁺¹

\1 !    (2»+l)!⁺(4«-fl)!

p    *⁴”⁺²    \

^    \2 !    (2w +2)!^(4» + 2)! "/

x⁶”"¹

.(2n — 1) !    (4n —1) ! ^ (6n — 1) !

*) W rozwinięciu tern mamy : 2n wyrazów początkowych ze znakiem -f-, potem 2n wyrazów ze znakiem —, potem 2n wyrazów ze znakiem -j- i t. d. bez końca.

2n — 1

x²”-¹

x*n —1

Relacya ta odpowiada relacyi exi' — cosx -f isinx, i z tego-to powodu nazywa Wroński*) pierwszy szereg dostawą, a wszystkie dalsze wstawami wyższego rzędu. Naznaczmy dostawę przez K(x, n) to wstawy będą-to po porządku :

d2n-4

d²"-¹

dx2n~x

K(x, n),

dx2n~²

K(x, n)

,    ...J

-TxK(x,n).

ROZDZIAŁ II.

Logapytm, Łuki. Funkcya całkowita przestępna bez

miejsc zerowych.

16. Określenie funkcyi 1 ogary tui. G-dy funkcya wykładnicza еУ na pewnem miejscu 0. swego argumentu ma wartość £, to — ponieważ nie tylko eyi=£, ale także ey‘+²”m'=^, n=0, +1, +2,...— więc stąd wnosimy, że chcąc у przedstawić w funkcyi argumentu £ dojdziemy do funkcyi nieskończenie wielowartościowej :

yiè)=y\{î) + ^nni, n=0, +1, ±2,...

Taką funkcyę nazywamy naturalnym logarytmem (argumentu £) i znaczymy ją, pisząc:

ÿ^logi.

Równaniu ey®=% można teraz nadać postać:

a z niego, uwzględniając własności funkcyi wykładniczej, podać już naprzód niektóre charakterystyczne cechy logarytmu. Cechy te są :

(1)

(2)

(3)

1° log 1=2шгг, gdyż 1=е2лл,: ;

2° log0, log co nie są skończone, bo funkcya wykładnicza dla skończonej wartości argumentu nie staje się nigdzie ani zerem, ani nieskończonością.

3° Według równania (3) mamy:

u==elogu v _ elog V .

(«)

stąd wynika: u .v—eł°9U+logv ] lecz, że z drugiej strony uv=elogluv) więc z tych dwu ostatnich równań dochodzimy do relacyi :

log(uv) = log u + log v.

(4)

*) Por. S. Dickstein. Hoene Wroński. „Jego życie i prace“ (Kraków 1896) str. 61. Por. także : Yvon Villarceau Théorie des sinus des ordres supérieurs. C. K. T. 86. (1878.) str. 1160, 1216, 1287.

Luis Olivier. „Bemerkungen über eine Art von Functionen, welche ähnliche Eigenschaßen haben, wie der Cosinus und Sinus. C. J. T. 2. str. 243.

(5)

(6)

Podobnie wywnioskujemy, że :

log{vx .v₂.. .vm) = log vx + log v₂ + ... + log vm.

4° W razie vx =v₂ = ...=vm=v, mamy:

log vm=m.logv.

/ m \n

jest wymierną, ale niecałkowitą liczbą, to\u~n) = um

Gdy

a więc log um=m.log u = n.log un

tego wynika :

(7)

logu” — — logu. n

Podobnie — gdy r jest liczbą niewymierną , a pojmujemy ją jako granicę pewnego nieskończonego szeregu liczb wymiernych — dostaniemy :

(8)

log ur=rlog u.

5° Z równań (a) — stosując prawidło dodawania funkcyi wykładniczej — mamy dalej: u\v = elogu~l°3V\ lecz, że równocześnie

trzeba położyć ujv = e°⁹ « , więc stąd wynika:

log (u \v) — logu—logv.

Gdy tu u= 1, a położymy log 1=0*), to mieć będziemy: log v~x = —logv.

(9)

Zastąpmy tu

przez vr, gdzie r jest jakąkolwiek dodatnią rzeczywistą liczbą, to będzie: logv~r= — logvr a stąd — podług (8) — dostaniemy :

(10)

log v~r— —r log v.

W równaniach (4) —(10) mamy zasadnicze własności funkcyi log£] wynikają one wszystkie z relacyi (4) zwanej funkcyjnem równaniem logarytmu.

17. Szereg logarytmiczny. Zbadajmy teraz, czy log Ę jest analityczną funkcyą i postarajmy się utworzyć jeden jej element. Biorąc pochodnę równania (3) mamy:

dlogŹ,

ei°g I.

dlog j__ di 'i'

1, czyli

Pochodna ta jest więc bardzo prostą wymierną ułamkową funkcyą z miejscem nieskończonościowem i = 0. Rozważmy ją jednak w otoczeniu punktu i== 1 i połóżmy w tym celu £=l-f#, to mieć będziemy :

di

*') Przez to nie tracimy nic na ogólności, bo pozostaje jeszcze —logktóry pojmować trzeba jako opatrzony dodatkiem 2nr.i, n — 0, +1, +2,...

(1)

dlog(l-\-x) 1 1+x

dx

Zakładając | x j <C 1, dostaniemy : dlog( 1 + x)

dx

1—x-\-x²—xZjrX⁴—..., a stąd:

log(l+x) = C+x-~+Ç

47 +••

Gdy #=0, to C=log    stała C ma więc tu być do

wolną wielokrotnością peryodn + 2ni. Opuszczając ten dodatek — obierając zatem n=0 — mamy funkcyę :

rp /у» 2    /у* 3    /у* 4

(2) log( 1+ж)==~—cy+ -g---^ + ---⁼⁼^'(ж)

określoną w j ej tak zwanych głównych wartościach wewnątrz koła К [fig. 1.] o środku w punkcie £=1, a o obwodzie przechodzącym przez £=0.

Szereg L(x) jest więc elementem jednej (głównej) gałęzi nieskończenie wielowartościowej funkcyi :

log£=log(l+x).

W argumencie Ё, mamy w miejsce (2) rozwinięcie :

w₀

X=1

Fig. 1.

K.

(3)

Grr

1-1    (£ —l)² i (I—l)³

a wnętrze koła К określa teraz nierówność | £—1 j <C 1. We wnętrzu tego koła obierzmy dowolny punkt |₀ i postarajmy się o przeprowadzenie elementu L(£ j 1) do otoczenia tego punktu. Połóżmy w tym celu :

I—lo\

o /

'Гсг

to stosując tu własność (4) art. poprzedź., mamy:

14-~^j=log Ç₀ + log ^1 + ^ybj. Zakładając: |!-!ol<l!ol

możemy logil-Y^-j—^ rozwinąć podług (2)

(4)

na szereg :

im

Urn

tak, że ostatecznie mieć będziemy :

i—io ¹ fi-io)2 io    2 l i₀ )

gdzie log |₀=X(|₀| 1) jest główną wartością logarytmu w punkcie §₀. Rozwinięcie (6) zbieżnem jest dla é, określonych nierównością (4), a więc we wnętrzu koła 2T₀, którego środek mamy w punkcie a którego obwód przechodzi znowu przez £=0. Wartości, jakie to rozwinięcie daje w kole K₀ są wartościami głównemi logarytmu.

Pewna część W₀ owego koła K₀ będzie już leżeć poza К, a stąd pochodzi, że szeregami L(£ j 1), L(£|l, f₀) mamy funkcyę log £ w jej głównych wartościach określoną w obszarze K+W^. W części W₀ obierzmy dowolny punkt i połóżmy :

f—li

tTrr

to dostaniemy tu znowu :

logii^logii+L^——¹j=£(||X, £₀jIi)j gdzie log gj = log |₀ + L ^    j jest tu główną wartością logarytmu

w punkcie a ^ ^ j jest szeregiem zbieżnym dla punktów g

'fi,

irr*

/ГГ

spełniających nierówność ||—a więc w kole Kx o środku §lt ' a o obwodzie przechodzącym przez £=0. Grdy część Wi tego koła leży już poza obszarem (2Г+ W₀) to rozwinięciami L(£\ 1), L(%\ 1, |₀), L{%\ 1, i₀, mamy już funkcyą logé, — zawsze w jej głównych wartościach — określoną w obszarze {K-\- W₀ -f Wx).

Postępując tak dalej, możemy w każdym razie dojść do pewnego rozwinięcia ujmującego dowolny punkt é,n w swój zakres zbieżności. Przez to poznajemy główną wartość logarytmu w tym punkcie, a mając ją, dochodzimy potem do szeregu:

frrr

OJ •••j

L)

określającego główne wartości logarytmu w kole Kn o środku w punkcie a o obwodzie przechodzącym przez |=0.

Przytem zauważyć potrzeba, że w tym pochodzie są punkta £oj lij •••> in wszystkie między sobą różne i że elementami L(£ 11), L(£ 11, |₀), ..., określamy statecznie jedną tylko gałąź główną funkcyi logé,. Funkcyjne równanie było tu wielkiem ułatwieniem w tworzeniu przeprowadzeń.

18. Monogeniczność logarytmu. Jego punkta osobliwe. Pytanie

zachodzi, czy funkcya log é, — mimo swej wielowartościowości — jest monogeniczną. Czy więc są drogi, po których wychodząc z pew-

nego punktu ax, po utworzeniu elementu l(aJ dla jego otoczenia, dostaniemy po powrocie do tego samego jDunktu ax element loga-rytmu różny już od pierwszego, a więc należący do innej gałęzi tej funkcyi ?

Aby to zbadać, przyjmijmy, że mamy dowolną zamkniętą

drogę , zamknięty wielobok , który dla uproszczenia niech będzie sześciobo-L    kiem axa₂a₃aliabaxsax (fig. 2.). W jego

/ ¹    wnętrzu nie mieści się punkt

Oj

\    £ = 0 a samą funkcyę log £ przeprowa-

\    dzamy od ax do a₂, od a₂ do «₃, ..., albo

bez pośrednictwa nowych punktów, К j    albo — jeżeli potrzeba — to za po-

У    średnictwem tylko takich punktów,

które leżą na bokach wieloboku aia₂...

K.

Fig. 2.

Przeprowadzenia elementu l(ax) do punktów a₂, «з, naznaczmy odpowiednio przez l(axa₂), l(axa₂a₃): ...

Mając to, możemy na płaszczyźnie argumentu £ nakreślić kilka kół n. p. trzy koła KX,K₂,K₃ o te własności, że 1°) obwód każdego z tych kół przechodzi przez ^ = 0, 2°) koła Kx, K₂ i koła K₂, K₃ przykrywają się częściowo, a wszystkie trzy razem mieszczą w sobie sześciobok axa₂a₃...

Gdy środki tych kół są ci:c₂,c3x a elementami głównej gałęzi logarytmu w otoczeniach tych punktów są :

(1)

Kci)? Kcï)i Kci)i

to każdy z elementów l{axa₂...av), v=l, 2, 3, ... można w najbliższem przynajmniej otoczeniu punktu av zastąpić przez ten z elementów (1), w którego kole zbieżności (Kx, K₂ lub K₃) mieści się av.

Dalej przypomnieć trzeba, że gdy w jednem z kół Ks, (s=l, 2, 3) mamy d-wa różne, lub spadające na siebie punkta а, Ъ to przeprowadzanie z punktu a do & po najrozmaitszych drogach mieszczących się całkowicie w Ks daje zawsze ten sam element w otoczeniu punktu Ъ.

Na podstawie tych uwag możemy [patrz fig. 2.] położyć: l{ax )=l(ax a₂ )—l(cx )

bo ax, a₂ leżą wewnątrz Kx. Lecz także mamy :

l(axa₂)=l(c₂)

gdyż punkt a₂ leży już równocześnie i we wnętrzu koła K₂. Dalej mamy :

Ponieważ as mieści się w kole К₀, as² we wnętrzu koła Kif ..., więc można tu będzie wyprowadzić bezpośrednio l(as) z 1(a), l(ae²) z l(as), ... Tworząc rzeczywiście te przeprowadzenia dostaniemy po porządku:

J(ae)=hgae+L(-^-yioga+^+ l(~)

/ГГ

Uff

05

o*¹

‘-a

Ol

'fl r

05

bO

oj

T{ae-) = loga+7^+L(P^(),

GO

oj

ЬЗ

ч rr

Rozważana więc droga zamknięta S—(a, as: as^ ..., aej.) sprowadza logarytm z gałęzi jego głównych wartości (log f) do gałęzi innej o wartościach (log£-{-2m). Powtórne prowadzenie logarytmu po tej drodze doprowadziłoby do gałęzi o wartościach (log £ + 4тгг) i t. d. Przeprowadzenie po tej samej drodze, ale w przeciwnym kierunku da gałęzie o wartościach (log £—2ni), (log £—4m), ...

przechodząca przez a ma

Pytanie zachodzi, czy pod tym względem każda inna zamknięta droga, okalająca punkt £=0 taki sam wpływ na przeprowadzenie logarytmu.

i t. d.

Aby to rozstrzygnąć obierzmy dowolny punkt qi zawierający się równocześnie w kołach K₀, Ki. Drogę a(as) można w takim razie zmienić na drogę aqi(as). Dalej (w kole K±) można będzie drogę as, as² zamienić na (as) (fasq₂(a£²), jeżeli tylko q₂ w kole Ki wybrano. Można więc położyć :

l(as²)=l(aqi (as)qi sq.₂ (as₂ )) = l(aqi sq₂ (as²))

Z tego wynika, że drogę S można zamienić na :

S‘=(aq, q₂...qHa),

w której punkt qv leży równocześnie w kołach Kv-\, Kv, v—0,1,2,... Drogę S' będzie można znowu — trzymając się zasad przeprowadzania szeregów — zmienić na inną przechodząca przez punkt a i t. d. bez końca. Że zaś punkt a jest dowolny, więc stąd wynika:

II. Przeprowadzanie logarytmu po jakiejkolwiek drodze okrążającej punkt £=0, daje możność przejścia z którejkolwiek jego gałęzi do każdej gałęzi innej. Logarytm jest więc funkcyą monogeniczną.

Każdą taką drogę okrążamy równocześnie w przeciwnym kierunku punkt £=co, [T. L, art. 34.], a wskutek tego możemy powiedzieć, że okrążanie punktów osobliwych £=0, £=oo daje czem raz nowe gałęzie logarytmu.

Teor. ftmkcyj anal. T. II.

Uwaga 1. Przy kilkakrotnem okrążaniu punktu c —0 nie potrzebuje okrążająca druga droga być identyczną z pierwszą, trzecia być identyczną z pierwszą i drugą i t. d.

OL

f¹

Uwaga 2. Z powodu, że przez jedno okrążenie punktu E=0 nabiera logarytm dodatek + 2ni, lub —2r-i, określimy dwie wartości logarytmu, różniące się w tym samym punkcie ? o + 2ra, lub —2r.t jako należące do dwóch sąsiednich gałęzi.

Uwaga 3. Gdy punkt a — re^'to także а = гв-<2я-«в>*',

Fig. 4.

Stosownie do tego wyboru łuku mamy raz :

co wskazuje, że z punktu r (fig. 4.) doszliśmy do punktu a albo po łuku rpa, albo po łuku rga

a drugi raz :

log a — log r -j- ©г, log a — log r + ot — 2m. Są-to więc wTartości z dwóch sąsiednich gałęzi.

Punkta |==0, £=oo, których okrążanie dozwala przejścia z gałęzi do gałęzi w logarytmie, nazywamy punktami rozgałęzienia tej funkcyi. Granicę, do jakiej w punkcie £=0 zdąża logarytm, obliczymy, kładąc w szeregu :

(6)

'Jff

I-i (f-l)², (i-l)³

£=0. Otóż dla takiej wartości mamy:

111

lim log £=—\ l=o    1

(«)

log 0=—oo .

Połóżmy w (6) j za to z uwagi, że log- =—log£, dosta-

UTr ł—*•

jemy :

HM (H₊

1+2    3    ' •••

a to rozwinięcie zbieżne jest dla l<^j£j<[oo, określa zatem logarytm w otoczeniu punktu £—cc . Połóżmyż w (6') £=co , to mieć będziemy :

a więc :

(b)

log oo=oo .

Równania (а), (Ъ) określają granice zdąża w swych punktach osobliwych.

do których logarytm

Aby te punkta porównać z punktami szczególnymi funkcyj jednoznacznych, pomnóżmy szereg (6) przez £, przedstawiając to I w postaci (£—1) + 1. Na ten iloczyn dostaniemy:

1-1 , (£-l)²    (|-1)3 , (1-1)

Połóżmy tu £=0, to dostaniemy:

2.3

3.4

Że zaś szereg a analogicznie: Umflog£=0.

|=вРь

Punkta f=0, £=oo są zatem przedewszystkiem zupełnie różne od punktów istotnie osobliwych funkcyj jednoznacznych. Ale i od punktów nieskończonościowych takiej funkcyi są one odmienne. Gdy bowiem punkt f=0 ma być takim punktem funkcyi jednoznacznej /(i), to z iloczynów: if (i), i²f(£) > ••• pierwszy z pewnością nie ma być zerem, a dopiero od pewnego dalszego począwszy wszystkie już są zerami. To samo odnosi się i do punktu i—co .

w nawiasie =1, więc mamy: lim i. log i=0,

|=o

19. Zastosowanie do równania: yn = (x —    — am). Wła

sność logarytmu wyrażoną w tw. II. [art. poprzedzający], możemy zaraz zastosować.

Wiadomo [T. I., art. 74. (-B)], że równanie algebraiczne: у * = (x—at )(x - a% ).. .(x—am) z    całkowitem daje na rozwiązanie w-wartościową funkcyę:

i

у=[х-а^х—а₂...х—<]«£*,

(1)

(2)

2 ni

gdzie: e=e~n~.

s=0, 1, 2, ..., n—1.

Biorąc jedną z gałęzi tej funkcyi n. p. gałąź:

(3)

i

y=\x—a^.x—a₂.. .x—am]n

trzeba i tu zapytać, czy taka funkcya jest monogeniczną. Aby to rozstrzygnąć, napiszmy (3) w postaci:

—log(x—<?,) ^log(x-a₂) —log (x—am^

.. Mm

y=e

to przeprowadzenie gałęzi y po każdej drodze w płaszczyźnie (x) można tu zastąpić przeprowadzeniem czynników w₂, ..., u raczej ich wykładników.

albo

Z tego odrazu wyniknie, że przez okrążania jednego z punktów as, s=l, 2, m po takiej drodze, że już wszystkie pozostałe punkta as>, są zewnątrz obszaru zamkniętego tą drogą można z każdej dowolnej gałęzi fnnkeyi dojść do każdej innej.

ttp

Załóżmy bowiem, że x znajduje się dostatecznie blisko punktu to ap przechodzi po pierwszem okrążeniu (w dodatnim kierunku) na :

i    2 ni

— Up£

—log (x—cip) -J —

g Tl    71

po drugiem okrążeniu na

1    .    .    _ 2 ni

—log {x—aj -f 2.-

n    * n

en

==Up£²

po (fi— l)em i ntem okrążeniu na:

Up.£n~^:    Up£n = Up,

podczas gdy inne czynniki w1? u₂, ..., Wp_i, up+i, ..., wcale się nie zmieniają. Okrążania w ujemnym kierunku dają:

Wpf⁻¹, up£~², ...,    Up£~n=Up,

a i tu inne czynniki %, w₂, ..., %_i,    , ..., nie doznają zmiany.

To zmienianie się czynnika przez okrążania daje po porządku

w pierwszym razie :

(a)

y, yc, y£²} ..., yf”-¹, y, ...,

a w drugim razie :

(0

y, ye⁻¹, ye

-2

•••?

co dowodzi, że funkcya у jest monogeniczną.

Z tego właśnie powodu, że okrążanie punktów ai? a₂, ... daje możność przejścia z gałęzi do gałęzi nazywamy te punkta punktami rozgałęzienia (tutaj : w-krotnymi) funkcyi algebraicznej y.

Charakteryzują się one jeszcze i tern, że : 1°) w każdym z nich wszystkie gałęzie funkcyi mają wspólną wartość =0, i 2°) w otoczeniu takiego punktu nie można żadnej gałęzi określić elementem regularnym. Połóżmy bowiem w (3) x=ai-\-h, to mamy:

(4)

y—hn\(ai —a₂    —am-\-h)]n —hn .ЩЛ). *)

co widocznie nie jest zwykłym szeregiem potęgowym. Podobne rozwinięcia dostaniemy dla otoczeń punktów a₂, a₃ ...

Co się tyczy wykonanych, tu okrążeń, to zauważyć jeszcze potrzeba, że n razy powtórzone okrążenie w j ednym kierunku prowadzi zawsze do gałęzi, z której się wyszło; można więc je zaniedbać (uważać za niebyłe). To wynika z peryo-

m i*

*) Szereg $ß(Ä) będzie zbieżny dla \h\ mniejszych od najmniejszej z wartości

|«1—«2Ił I«1 —«3U    \a\— a dycznie powtarzających się n gałęzi w szeregu (a) i (3), poczynając od którejkolwiek.

Przyjmijmy teraz, że z dowolnego punktu x, różnego od punktów ai a₂, ... wychodząc, okrążamy naprzód tx razy punkt a1} za powrotem do x okrążamy t2 razy punkt a₂ i t. d. W takim razie — po bn-razowym okrążeniu punktu am i po powrocie do x dostajemy gałąź: y'=y£b+b+-+bn , gdzie ts mogą być i dodatnie i ujemne (według tego, czy okrążono punkt as w dodatnim czy ujemnym kierunku); wszystkie t₃1 są a ts = 0 wskazują, że as wcale nie okrążano.

W razie    tm^0 (mod. n) mamy identycznie y'y.

Gdy uwzględnimy taką drogę zamkniętą, która zamyka punkta:

(5)

•••?

a pozostałe punkta leżą zewnątrz obszaru zamkniętego tą drogą, to tę drogę obchodząc raz, okrążamy każdy z X punktów (5) raz tylko, a wskutek tego z gałęzi у dostajemy tu gałąź: у' — у.г^. Jeżeli л = m, a więc bierzemy pod uwagę drogę okrążającą wszystkie punkta a1? a₂, a3 możemy określić jako okrążającą punkt x = œ i powiedzieć:

Punkt x — œ jest zwyczajnym funkcyi y, gdy m = 0 (mod ri), jest zaś jej wielokrotnym, gdy m nie=0 (mod ri). W tym ostatnim razie dostajemy po jednem okrążeniu, dwóch okrążeniach, ... punktu x — co po porządku gałęzie:

», r™,    -, r'”'¹’”,

a te — gdy m jest pierwsze względem n — są wszystkie między sobą różne, a punkt x = oo jest м-krotnym punktem, jak wszystkie punkta oy, a₂,... Gdy przeciwnie m, n mają największy wspólny podzielnik k, tak, że w m—k.mx, п=кпл

1nimt

już mu пл są względem siebie pierwsze, to sm = e n, obrotach dochodzimy do у napowrót.

"W у chodząc z yzh, gdzie li nie^O (mod m), a więc z gałęzi nie mieszczącej się w (y) dojdziemy i tu po nx okrążeniach znowu do yzh. Punkt x — oo uważać wtedy trzeba za punkt, w którym spadło na siebie к punktów %-krotnych funkcyi y. W otoczeniu punktu x — co mamy :

(T)

кЯ >

to dostajemy: y, = yzm. Tę drogę

a w szeregu (y) już po nx

m    lm-,.

a to rozwinięcie zawiera widocznie tylko wtedy same całkowite potęgi, gdy

0 (mod ri).

W ten sposób za pomocą własności logarytmu obeznaliśmy się w zupełności z funkcyą algebraiczną określoną równaniem (1). Ma ona n gałęzi m o n o-genicznie z sobą połączonych, a ilość wszystkich dróg, które dozwalają z którejkolwiek z jej gałęzi y przyjść do gałęzi yz-b jest identyczną z ilością rozwiązań kongruencyi :

h + 4+—+ tm = [X (mod ri)

0---5~ |*i|0, CG^j^jO

Ch=|bn|

Pd. 1. Określić własności funkcyi: y=\/x—ax.x—a₂...x—am przy m parzy-stem i nieparzystem.

Pd. 2. Okazać, że funkcye :

njx—a

■■

—(log(.v—a) — log(x—b))

6-n

n‘ \x— at jx— a₂ n.³ jx— a?)

У-

VW)=n\ß

V X

—a^.x—а^...х—а/л

—Ъ^.х —b-i-.x — bv

są monogeniczne. Podać bliżej ich. własności.

20. Funkcye arc tg ж, arccotg ж. Jak w ostatnim artykule posłużył logarytm do obeznania się z własnościami szczególnych funkcyj algebraicznych, tak z drugiej strony można będzie — utworzywszy nowe przestępne funkcye — opanować całkowity ich przebieg, gdy się je tylko zdoła wyrazić przez logarytm.

Początkiem tych nowych funkcyj będzie odwracanie funkcyj trygonometrycznych — tak, jak logarytm był odwróceniem funk-cyi wykładniczej.

Połóżmyż: x=sinu i nazwijmy u=arcsinx (łuk, którego wsta-wa =x), to mamy :

(1)

^X=C0SU = zt Y/l— X²,

du    d arc sin x

du

a stąd:

dx

dx

+\/1—x²

Analogicznie nazywając w równaniach:

x=cosu, x~tgu, x=cotgu, x=secu, x=cosecu

odpowiednio :

u=arc cos x, u=arcig x, u=arc cotg x, u=arc secx, n=arc cosec x dostajemy :

d arc cos x

d arc tg x 1

d arc cotg x

dx

(2)

V/1—x²

dare secx

dx l-\-x²’ d arc cosec x

dx

l+x²

dx

-\-x\/x²—1

dx

xVX²—1

Łuki (arcus) funkcyj trygonometrycznych są-to więc funkcye których pochodne wyrażają się bardzo prostemi i znanemi funk-cyami.

Z nich pochodna funkcyi arctgx i funkcyi arc cotgx jest wymierną o jedynych jednokrotnych miejscach nieskończonościowych х=+г.

Załóżmyż |ж|<1, to mamy:

w 3 rp 5    /у» 7

w=m*c    C+ ^—3-4-5—7- + ...

n=0, +lj +2, ... Z tego

Gdy ma być x—tgu=0, to u=nw wynika, że C—nn i że :

u=arctg а?=шг+ |a?

(4)

a;³    a;⁵

Funkcyą arctgx jest więc znowu funkcyą nieskończenie wie-lowartościową. Dwie różne jej gałęzie różnią się od siebie zawsze o pewną wielokrotność liczby jt, a w otoczeniu punktu ж=0, mamy na każdej gałęzi regularny element (4). Gdy n=0, mamy:

(5)

(3)

d arc tg x

dx

= 1—x²-\-xŁ—xö+

a stąd :

OC ^ CC ^ cc i

u=arctg x~x—5- + -—=- + ...=a?.^3(a?'),

O O i

a pytanie zachodzi, czy tu z tego elementu można będzie przez przeprowadzenie dojść do każdej innej gałęzi?

Zauważmy, aby to roztrzygnąć, rozwinięcie :

rp fp 2 rp 3

log{ 1+^)= x —2“ + ₃—•••»    M<!

[art. 17., (2).] i zmieńmy w niem x na —x. Wtedy mieć będziemy:

rp 2 rp 3

*Ar    iAr    -1

2— 3- —...» a stąd: a?3    5 ,    \

-+3-+

log(î— x)=—y

(6)

log

1+a?

²(

i-¹ «

cni «

(7)

1—a;

Połóżmy tu а;г za a?, to będzie :

, l+a^‘ x xz xr> x'

к ¹⁻⁴

1—а?г    1 3 ¹ 5 7 ¹

a stąd wynika, że widocznie :

1+жг —xi 2 г

gdzie logarytmu użyto z jego głównej gałęzi.

Ta formuła jest bardzo ważną; za jej-to bowiem pomocą, skoro już własności logary tmu znamy, obznajomić się możemy dokładnie z funkcyą arctgx w całym nieograniczonym obszarze argumentu x i wykazać jej monogeniczność.

Ponieważ \-\-xi=0 dla x—i, 1—xi=0 dla x=—i, więc stąd

(8)

u=

arctg x—^plog^

J.

\-{log(l+xi)—log(l—xi)]

bo а₂, а₃ leżą wewnątrz К₂. Lecz także jest :

4«i а₂ )=l(ai а₂ а₃)=/(с₂),

a dalej :

Ka i аз ) — Kcz )

l(ax a₂ а₃)—1(аха₂а₃а^) — 1(ах a₂ a₃ a₄ ab )-=l(c₃).

na boku a₅a₆ obierzemy punkt a leżący równocześnie w K₃ i w K₂, to mieć będziemy:

Gdy dalej

l(ai a₂ a₃ ak ab a) — l(c₃ ) = l(c₂ )

a gdy ß jest znowu nowym punktem na tym boku i zawiera się równocześnie w K₂ i Kx, to mamy :

l(ax a₂ a₃ a₄ a₅ a/?) = l(c₂) = l(cx)

i wreszcie:

l(aia₂a₃aia₅a ßaeai)=l(c₁), a więc =l(ax),

a to znaczy:

I. Przeprowadzając log $ po dowolnych zamkniętych drogach nie zawierających w swem wnętrzu punktu j = 0, dostajemy — wychodząc

z elementu l(ax) jego głównej, lub nawet innej gałęzi — po powrocie znowu ten sam element:

к»

K,

ас V².

V-J al '7/"

'b i

|K„

•OJ-⁵

ai² :

К,

l (ax a₂ ...ana₁) = l(ax).

Inny już będzie wynik gdy zamknięta droga okrąży punkt i=0²). Aby to wykazać, obierzmy dowolny punkt a [fig. 3.] — na rysunku jest nim punkt leżący na osi pierwszorzędnej — i utwórzmy dla jego otoczenia element :

«<

trrr

Fig. 8.

głównej wartości logarytmu. Zakresem zbieżności tego elementu jest koło K₀ (mające środek a,

a przechodzące obwodem przez punkt £=0). Obierzmy dalej punkta:

ni

ae, ae², as³, ..., ae⁸, gdzie e=e⁴

i utwórzmy elementa :    /(ae), /(ae²), ..., /(ae⁸), zbieżne w kołach

-®-l? -^2)    -^8 ⁼⁼"^0 ’

wnosimy :

zienia; przez okrążanie ich z osobna dojsc możemy z gałęzi u do każdej innej dowolnej gałęzi.

Droga zamknięta okrążająca równocześnie obydwa punkta —i, nie prowadzi do żadnej innej gałęzi. (Po niej ^jog(l + xi)

\jog(l—xi) nabiera

+i,

nabiera    a — -

Drogę tę uważać można widocznie nie jest wielokrotnym.

W jego otoczeniu (|ж|>1) mamy:

1—— i

za

—n).

okalającą punkt æ=co, który tu

1 ₇ xi

k+i

Ъод

-i

xi ^

2w+l    , 1

=—2—⁷¹ arc tg—

1

Ze zaś arc tg—=arc cotg x, więc stąd

i ¹⁺“*

1—- -i

r—1 «

2w + l

•*)

— gdy jeszcze n=0 po

łożymy — mieć będziemy :

arc cotg x=~—xty(#)=---—arc tg x

co i odrazu można było wywnioskować.

Z tej formuły wnosimy :

I. Funkcya arccotgx zachowuje się pod względem punktów wielokrotnych i dróg zamkniętych, po których z jednej jej gałęzi można przejść do drugiej tak samo, jak funkcya arc tg x.

Rozwinięcie (5) można także tak napisać :

~tg4+~tgbu—... a gdy tu u=

u^=tgu—

Jestto szereg Leibnitza

położymy, mieć będziemy :

л    1    1

T—1_ з“⁺б •"

(9)

(10)

a więc tgu=1

²[l.3 ⁺ 5.7⁺9.11⁺**]' Uwzględnijmy te wartości w relacyi (8), to będzie :

1 j 1 +i

=żil09T=V

czeniu.

*) Jestto widocznie element regularny i w punkcie a; = co i w jego oto

co rzeczywiście jest prawdą, gdyż prawą stronę ostatniego równania napisać można :

1₇ (1 + 0²

1 ₇    .    1 , —i TC

ёодг=2?°яег =t-

21. Funkcye arc sin ж, arc cos ж. Z równania (1) [art. poprz.j

dostaniemy :

— gdy tam X <4. założymy darc sin X

dx

, Г. 1 ₂    1.3 ₄. 1.3.6

— [¹⁺"2aJ + 2!2²^ ⁺ 3!2³

x⁶ + ...

a stąd u=

1    хг 1.3л;⁵    1.3.6л;⁷

2    3~⁺2.4ЁГ ⁺ 2Хб7 = C + x^s(x).

Co się tyczy stałej C — to ponieważ :

x=sin u=sin(2kn + u) = sinißJc +1 )ic—u), więc C=nn z tern zastrzeżeniem, że w razie parzystego n trzeba wziąć szereg ze znakiem dodatnim, a w razie n nieparzystego ze znakiem ujemnym. Mamy zatem:

(1)

arc sin X— C+ +

(2)

arc sin х-=пл Ą- {—l)nx^s{x)

i w tej formie są już dane elementa wszystkich gałęzi funkcyi arc sin X w otoczeniu punktu x=0. Grdy n=0, mamy:

u=arc sinx=x.4$s(x),

czy z tej specyalnej gałęzi można bę-

(3)

a tu znowu badać trzeba dzie przejść do każdej innej.

"W tym celu zauważmy, że równanie (8) [art. poprzedź.] można także tak napisać :

(4)

arc sin

1    1 + xi

\/1+&г&⁰⁹т=£ ’

gdyż do tgu—x i do sin u

gdzie znak pierwiastka sto-

Vl + ж²

sownie wybrano, może należeć ten sam łuk. Połóżmyż x/\/l -f ж²=-г;, to stąd mamy: x—v/V'l—v² a uwzględniając to w (4) dostajemy:

V    i—v²-\-vi

VI    — v²—vi

Piszmy tu X zamiast v i pomnóżmy licznik i mianownik ułamka, który się logarytmuje, przez \/\-~x¹Arxi₁ to mieć będziemy:

ii=arc sinx=

arc sinv—^rdog

(ö)

\log( V'l —x²+xi) = — i Iog( V" 1 —x² + xi).

•i

¹

Przeprowadzając arc tg x—u po drodze zamkniętej obejmującej tylko punkt x=+i, dostajemy u+w. Okrążanie drugiego punktu x— — i daje u—w. Punkta 4 i, —i są więc dla tej funkcyi punktami rozgalę-

²

Zamkniętą drogą okrąża się punkt ę = 0 w kierunku dodatnim, gdy po tej drodze krocząc, mamy £=0 po lewej ręce.

Funkcya algebraiczna f"(x) = \/l—x²Ą-%i ma dwa punkty rozgałęzienia, a to: X— +1. Okrążając jeden z nich tylko (którykolwiek z nich) przechodzi \/l— x² na —\/l—x², gałąź u przechodzi na u‘ = —ilog(—V/1—x²Ą-xi). Że zaś:

u‘ -j- u = — i log{ Vi—x²+xi) ( — V1 — x²+xi)

= — ilog{—1) = —iloge^n^ni—{^n-\-Y)7i,

więc mamy:

(6)

m' = (2w+ l)n—u.

Do tych zatem gałęzi można tu przejść po drodze okrążającej punkt ж= + 1, lub punkt x= — 1.

Punkt x—co nie jest — podług uwag art. 19. — punktem rozgałęzienia funkcyi f(x). Lecz żądając punktów dających f(x)=0, dla których więc logf(x)—log0, trzeba przyznać, że okrążenie takich punktów zamieni logf\x) na logf\x)-sr'2jii] co znowu do no-wych gałęzi funkcyi arc sin x doprowadzi.

Otóż równanie f(x)=0 daje:

1—x²=—x², czyli 1+0а;-1-0ж²==0, a to wskazuje, że funkcya f(x) staje się zerem (dwukrotnie) jedynie w punkcie x=co . Gidy go okrążać będziemy ujemnie [T. I., art. 34. po dostatecznie dużem kole zawieraj ącem w swem wnętrzu i punkta #=+l, dostaniemy z logf(x) gałąź 2ni + logf (x), a z gałęzi u funkcyi arc sin x gałąź:

(7)

и'‘—2п-\-и

to wskazuje, że x—co jest punktem rozgałęzienia funkcyi arcsinx. To samo wyniknie wprost z rozważania formy (5) w obszarze [a^j^l. Połóżmy bowiem :

= —ilog x—i logiki Ą-    — Л ,

to gdy w obszarze \x\^>l okrążać będziemy (w dodatnim kierunku) punkt x=0, okrążymy tern samem w dodatnim kierunku punkt #=+l, a w ujemnym kierunku punkt x=ao . Przez to okrążanie

nie zmieni się

dzie na 2ni-\-logx. Dojdziemy więc tu do gałęzi (7).

W ten sposób poznaliśmy i monogeniczność i właściwości

a więc

(8)

ilogx^\l~₁

-l+i

w (8) funkcya i^l f^/l—podczas gdy logx prze]

funkcyi arcsinx. Samo rozwinięcie (3), gdy tam u=~^~

x=sin u=

g- położymy, daje nowe rozwinięcie liczby n

a mia

nowicie :

(9)

l.B 1    1.3.5    1

6~2T 2 3.23 п"21‘5^ ⁺ 2Хб‘7^⁺'"

—u^ możemy przejść odrazu do

Z równania x=sinu=cos określenia funkcyi arccosx. Mamy bowiem stąd:

n    T

arccosx=-^—u czyli: n

arc cos x=——arc sinx.

Użyjmy tn za arc sinx tej gałęzi, której element mamy w (3), to dostaniemy :

(10)

(ii)

Tl

arc cos x—-~—x^g{x).

Uwzględniając zaś w (10) elementa wszystkich gałęzi, jakie mamy przedstawione w (2) dostajemy, (po zamienieniu n na —w, co jest dozwolone):

arc cos х=пл +

(12)

Połóżmy ™—x?$s(x)—a, to przy parzystem n=2v dostajemy:

ć!i

0, ±1, ±2, ...

arccos х=2гл-\-a, przy nieparzystem zaś w(2v+l) mamy:

arc cos x=(2v -b 2)?r—a,

a to zgadza się z relacyami :

cos a=cos(2njt-\-a)=cos(2nn:—a).

Przedstawmy w (10) funkcyę arc sinx przez logarytm, to mieć

będziemy :

arc cos x=

toi a

+ilog(V 1—x'² + xi) ;

że zaś

К !<N

ni

■=—i .loge 2 = —ilogi, więc także będzie:

Vl—x²+xi

albo :

arc cos x=i log

arc cosx=i log(x—i\/i — x'²).

Funkcya algebraiczna x—iV 1—хг ma tu te same własności, co taka funkcya zawarta w arc sinx. Mamy więc twierdzenie:

I. Funkcye arc sin x, arccosx są-to nieskończenie wielowartoś-ciowe, monogeniczne funkcye o punktach rozgałęzienia ж=+1, #=oo •

(13)

Okrążania tych punktów mogą z każdej dowolnej gałęzi doprowadzić do każdej gałęzi innej.

Ponieważ

arc cos x=arc sec —

arc sin x=arc cosec —

więc mamy stąd :

2 ___ 1 __^

—= — Hog (\/l— xljrxi): arc sec-^-=ilog(x—iV 1—ar).

Połóżmy tn : x~¹=v, a więc x=v~¹, to będzie: arc cosec v

arc cosec-

(14)

=-iiogNi-±

= —i log

V/v²—1 -\-i

arc secv=

(16)

iloĄr-'

—i log

gdzie szeregi ^(v⁻¹) zbieżne są dla |v|>»l.

Z form tych wynika przedewszystkiem, że punkt г;=оо należy tu do regularnego zakresu tych funkcyj. Z funkcyj zaś algebraicznych które się we wzorach (14), (15) logarytmuje wnosimy, że v=0, v=+l będą tu punktami rozgałęzienia. Mamy więc twierdzenie :

II. Funkcye arcsecx, arccosecx są-to znowu funkcye nieskończenie wielowartościowe, monogeniczne o punktach rozgałęzienia: 0, +1? — 1. W otoczenm punktu x=cc iw samym tym punkcie zachowują się obie te funkcye regularnie.

Pd. 1. Z form wyrażających łuki u przez logarytmy funkcyj zawierających X wyrazić naodwrót same funkcye trygonometryczne x przez ich łuki u.

wynika rozwinięcie :

Pd. 2. Z równania arc sin x — arc tg

\/l—X²

a;²

L.....?.!_ +. i

3 (l—x²) ¹ 5 (l-x²)²    7(1— x²)³^ J’

które zbieżne jest dla x spełniających nierówność \ x/\/l—x²\<[l.

Pd. 3. Okazać , że rozwinięcie (a) zbieżne jest w zakresie, który zamknięty jest hyperbola:

(a)

arc sin x

........ni

X/Ï^x² ‘ I- 3

(w) (w)

a w którym zawiera się punkt x = 0 (Ç = 0, rj — 0).

Pd. 4. Kozwinąć funkcyą arccosecx na szereg analogiczny do (a) i okazać, że taki szereg zbieżny jest w zakresie, który jest znowu ograniczony hyperbola (ó), a w którym nie leż}' punkt x = 0.

Pd. 5. Jakie wartości mają funkcye łukowe w swych punktach rozgałęzienia leżących w skończoności ?

Łuki mają także swoje prawidła dodawania wynikające z ta-kichże prawideł samych funkcyj trygonometrycznych.

Zauważmy bowiem dwie różne wartości funkcyi arc sinx, a to u=arcsinx, v=arcsiny wzięte z jednej gałęzi, to ponieważ:

sin(u+v)=sin и. cos v + sin v.cos и=х\/1 —у²+у \/1—ж², więc stąd odrazu mamy u-\-v =

(I)

arc sinx-\- arc sin у=arc sin (xV'l— у² 4 y V^l —xl.

Analogicznie kładąc: u=arc cos x: v=arc cos у dostaniemy:

arccos x-yarc cos у=arc cos {xy—Vl—x². V/l— y²).

Gdy wreszcie położymy: u=arctg x, v=arctgy, to mieć bę-

(П)

dziemy :

(HI)

— xy

arc tgx-У arc tgy=arctg -

Pd. 6. Wyprowadzić prawidło dodawania funkcyj arcsecx, arccosecx.

Pd. 7. Wyprowadzić prawidła dodawania wszystkich funkcyj łukowych z ich wyrażeń przez logarytmy.

22. Nowe szeregi logarytmiczne. Itóżne rozwijania liczby n.

Z szeregu:

(1)

, 1-Ух _/ X% X⁵    \

log l=i=²\x+z ⁺ 5⁺"j

możemy jeszcze w dwóch kierunkach skorzystać. 1°. Połóżmy:

(2)

a dowolną ilością stałą, to mamy

gdzie z jest nową zmienną stąd: x=(z—a)/(z + a), a że log (z \ a) = log z—log a, więc przez podstawienie (2) dostajemy z (1) rozwinięcie:

(3)

(4)

Rozwinięcie to jest zbieżne dla z spełniających nierówność: (z— а) I (zĄ-a) I <1 i określa log z w otoczeniu dowolnego miejsca a. Połóżmy:

z=£-jrrji₁ a=a-yßi,

to obszar (4) ograniczają miejsca    zadość czyniące równaniu:

(i— a)² + (r]—ß)2 (Z + ay + ^+ß)² i!

które po uproszczeniach, sprowadza się do związku :

a£+ßr]=0.

Jestto równanie linii prostej przechodzącej przez punkt 0=0, a rozwinięcie (8) jest zbieżne w całym nieograniczonym obszarze rozciągającym się po tej stronie prostej (5), po której leży punkt a. W równaniu (8) dodajmy i odejmijmy po prawej stronie

(5)

szereg :

Г 2 (0—a\z    4 (0—a\⁵ .    ]

I 3 \0-\-a)    5 \0-\-a)

,    ,    _ 0—а Г_ (0—a\²    (0—a\k

logz-loga + 2.— [l + (^-J + (^J +-J

2P=2

to wtedy będzie :

-2P,

a po zsumowaniu pierwszego szeregu dostaniemy :

(0-a){z+a) 2p

(6)

log 0=log ad

2a^

Ta wymierna funkcya [loga + (0—a) (0 + a) / 2a0] podaje przybliżone wartości funkcyi log 0, gdy 0 bierze się z dowolnie małego otoczenia miejsca a*).

II⁰. Mieliśmy już wzór :

7Z . -j

^г=1°д

(7)

1-И

1—i

log i. Połóżmy :

(8)

i=

/1+хъ\ \1-xi)

gdzie przy całkowitem, dodatniem m trzeba stąd x obliczyć , to wstawiając to w (7), dostajemy:

1 -\-xi 1—xi

ьо a

i= m. log

%mi

[t

xb

co

+    , albo

(9)

TC

x?>

~'3⁺ b~'"

Równanie (8), z którego obliczony którykolwiek pierwiastek x trzeba wstawić w (9) sprowadzić można do postaci:

-r-=m

(10)

—...=0.

a charakterystycznem jest, że wszystkie pierwiastki tego równania są rzeczywiste.

*) O innych dokładniejszych przybliżeniach za pomocą funkcyj wymiernych czytaj w rozprawie S. Dicksteina „O szeregach logarytmowyćh Wrońskiego“. Prace mat. fiz. T. IV. str. 88—94.

Aby się o tem przekonać, zauważmy, że z (8) dostajemy:

(1 -\-is)m

lĄ-xi

\~xCe

= eß»\ s=0, 1,..., m— 1, a stąd: 1 éi — 1

x-T*.<+r

ßs

dziemy :

Pomnóżmy tu licznik i mianownik przez e

to mieć bę-

ßs

(11)

ßs

ßs

s=0, 1,ni— 1

e² + e

a to są wszystkie pierwiastki równania (10) i są widocznie wszystkie rzeczywiste.

Załóżmy m=2k, Jc= 1, 2, ..., i naznaczmy w tym razie jeden z pierwiastków (11) przez xk. Mamy wtedy :

[(l + xki) 1(1— xki)\

a zmieniając h na (& + 1) mieć będziemy analogicznie:

[(l+^+ti)/(l-Ą₊₁i)]2l+1 = ([l + xl+1»)/(l-Ą₊₁i)]²)²‘',

2xk+1

(a)

albo :

lf

2*

(à)

1— x²k+i

₁    2xk+1

l—x²k+i

Z porównania (a) z (Ъ) wjuiika :

2xk+\

хк=-л-y—.

1—X²k+i

Połóżmy: l/xk=ak, 1 /xk+i = ak+i to dostaniemy z (12) związek: a\₊i—2akak+1 = l, a stąd: ak+n = ak + \/ak² +1 gdzie — to wyraźnie zastrzegamy — przed pierwiastkiem zawsze znaku -f- używać będziemy.

Za pomocą form (c) można będzie pewien pierwiastek równania (10) o stopniu 2*⁺¹ wyrazić przez dany pierwiastek takiegoż równania o stopniu 2k.

W ak będzie rozwinięcie (9) postaci :

(12)

ic)

(13)

.»i¹

L a*

&=0,1, 2,...

3a*³~ 5a*⁵    "•

Są-to rozwinięcia dozwalające obliczenia liczby n na nieskończenie wiele sposobów.

Co się tyczy ak, to z uwagi, że dla k=0 mamy a₀ = l, dostajemy dalej na podstawie związków (c) :

(14)

+ = l + VT, arl+V/HV/4+2W,

a₃ = l + Y/2~ + \/4+21/2~ + Ve+41/ŚT+ 2(1 + VT) Y/4 +2V¥ a z tego widać, że — wskutek używania pierwiastków statecznie ze znakiem dodatnim — zwiększają się ak ze zwiększającem się Jc.

Im większego zatem к użyjemy w rozwinięciu (13), tern zbież-niejsze będzie to rozwinięcie.

Gdy к dosięgnie granicy : go , mieć będziemy :

n ,.    2¹

~г-=1гт —.

4 A'=oo

(15)

Według tej formy dochodzimy do dokładnej wartości n dopiero przez nieskończoną ilość pierwiastkowań (wykonanych na liczbach całych), co zupełnie zgodnem jest z przestępnością liczby л..

Do analogicznej formy dojść można zakładając m = n . 2kt m=n. 2¹"G, gdzie n jest dowolną całkowitą dodatnią i nieparzystą liczbą i nazywając pierwiastki równania (10) przy takich w, odpowiednio : xk, a?¹+1¹).

23. Ogólna potęga. Ogólna funkcya wykładnicza. Logarytm o dowolnej zasadzie. Przejdźmy do dalszych przestępnych funkcyj ważnych w analizie, a biorących swój początek i definicyą w własnościach logarytmu. Oto przy m rzeczy wistem jakiemkolwiek mamy zawsze:

rH CM

( )    log xm = m .log x,

( )    Xm = emlogx .

W tych. równaniach prawe strony mają znaczenie nie tylko wtedy gdy m jest rzeczywiste, ale i wtedy, gdy m przyjmiemy urojone =p + qi. Z tego powodu, zatrzymując relacyę (1) i w przypadku m=p + qi, możemy nową funkcyę u=e^>+gi'>logx przedstawić znakiem xpJ<rqi tak, że mieć będziemy:

(3)

u _ xp+qi _ e(p+gi) log X '

Wyrażenie xp+gi, które arytmetycznie nie dało się wytłóma-czyć , nabiera tu teraz analitycznego znaczenia, a lukę, jaką pozostawiliśmy w Tomie I. (art. 27.] uważać odtąd trzeba za wypełnioną.

O <i\x\ < oo

które jest zbieżne w obszarze:

(4)

Z (3) dostajemy rozwinięcie:

(p + qi) logx

u=xp+qi= 1-t

(p-\-qï)²(log x)²

1!

2!

a same punkta x=0, x-=cc będą osobliwymi funkcyi u.

Z określenia (3) wnosimy dalej , że funkcya u nie jest jednoznaczną, a wszystkie jej gałęzie dają się ująć wzorem:

(5)

e(p + qi)logx e{p+'p)2rmi^    +2,...

albo wzorem :

(6)

u. e(p+qi)n—0, +1, +2, ...

gdzie u jest pewną dowolną zresztą gałęzią z pewnem obranem n.

Dalej z tego samego określenia (3) wnosić można, że funkcya u jest monogeniczną. Okrążaniem bowiem punktu x—0, (a więc i punktu ж=оо ) dojść można z każdej jej gałęzi do każdej innej.

Przez jedno takie okrążenie w dodatnim kierunku zyskuje prowadzona gałąź u czynnik stały etp+зг)²^.

Napiszmy (3) w postaci :

(7)

и=gP • l09 x g⁽iMog x=%p g&foy x

to stąd będziemy mogli bliżej już określić wieloznaczność funkcyi.

Przedewszystkiem widzimy, że w razie ą < O będzie funkcya u zawsze nieskończenie wieloznaczną. Grdy <7=0, to mamy:

u=epl°gx=xP

(8)

a więc funkcyę wymierną, gdy p całkowite ^ 0, funkcyę ^-wartościową, gdy p jest wymiernym ułamkiem = -^-.

Załóżmy wreszcie , że p jest liczbą niewymierną dodatnią lub odjemną. Do niej przybliżamy się zapomocą liczb wymiernych

i to tern dokładniej , im większe już bezwzględne wartości mają V. Z tego wnosimy, że funkcya u będzie w tym razie skończenie wielowartościową.

Wróćmy do ą dowolnego. Forma (7) dozwoli poznać wartości funkcyi w punktach x=0, ж=оо . W punkcie x=0 mamy \eqil09X\ = lr czynnik zaś :

nie-

(9)

xp=0, gdy p^> 0, a zaś =oo , gdy p <i 0.

Z tego powodu w tym punkcie mamy:

u=0, gdy p;>0, u=cc , gdy i?<0.

W punkcie x=co jest również \eąiu>gx\—l₁ a czynnik: xp=0, gdy ^<.0, a zaś =oo , gdy p^> 0.

Teor. funkcyj analit. T. II.

dx!A’ Połóżmy :

(p + g*XP + gt—+ g* —[* + 1)

tA !

A więc i sama funkcya :

(10)

u=0, gdy pCO ; u—co , gdy p>0. W razie p—O mamy funkcyę :

u=xqi=e9il0ffX,

a ta w punktach #=0, x—co jest nieoznaczoną z ograniczeniem

|wj — 1.

Co się tyczy pochodnej funkcyi u, to z równania :

x P-K i __ e( P+qi)iog X

dostajemy :

A *"+,i - (?+ao • I ■ «(,,+,0%x

a stąd już wyniknie :

czyli : dx xp+q> — + + qi)xp+qi ¹

to mieć będziemy :

(«)

xP+9i

f* = 1, 2, 3, ...

dxu

W otoczeniu miejsca ж = 1 istnieje niezawodnie element:

(1 + h)p+qi = ą + ąh -f c₂A² + ... zbieżny dla |Ä|<+, gdyż na płaszczyźnie argumentu x jedynym punktem osobliwym , leżącym w skończoności, jest x = 0. Aby spółczynniki Cv wyznaczyć, weźmy v*3 pochodne równania (h). Dostaniemy stąd :

(b)

(p + q *) (1 + hf+qi~v = V !    +

a ten związek ma się ostawać dla wszelkich |Ä|<1. Dla h = 0 mamy stąd:

<*=6 + 0 » = 0,1,2,

a więc element (Ъ) będzie miał postać

p+qi

=i+6+o h+6+o *«+...

o zakresie zbieżności |й|<+. Z tego widać, że (1 h)m, bez różnicy, czy m jest rzeczywiste, lub urojone, w jednakowy sposób się rozwija (na szereg Newtona).

0)

(1+70

Funkcyę u, którąśmy tu poznali i omówili, nazywamy ogólną potęgą. Posiada ona pewne charakterystyczne równanie funkcyjne. Obierzmy bowiem dwa różne, lub równe miejsca ж, у, z obszaru jej argumentu i połóżmy:

f(x)=xp+(>i, 1(у)=уР+9<

to okaże się :

%p+qi'yp+qi==e(p+<2i)l°gx+(p+qi)log y— e(p+qi)log xy — (X.y)P+t,i.

gdyż mamy:

Z tych wszystkich uwag wynika :

I. Ogólna potęga xp+qi daje się określić zapomocą logarytmu, zachowuje się regularnie w obszarze 0<T|#j<Cao , jest zawsze monogeniczną, a w ogólności nieskończenie wielowartościową funkcyą.

Poznawszy jakie analityczne znaczenie ma dowolna, rzeczywista lub urojona liczba a, podniesiona do urojonego wykładnika, możemy teraz określić nowe wyrażenie :

(12)

v=ax,

w któremajest ilością stałą, a x zmienną nieograniczoną. Według przyjętych bowiem zasad możemy zamiast (12) napisać:

(13)

... . ßX.log ci

a z tego widać, że się funkcya v=ax nie różni od funkcyi ecx ? z którą już dobrze jesteśmy obznajomieni. Z tego powodu można funkcyę ax nazwać ogólną funkcyą wykładniczą. Ma ona peryod 2 ni flog a, jest całkowitą przestępną funkcyą, określającą się bezustannie zbieżnym szeregiem :

(14)

v= 1-f

x.log a x^ilogà)²

1!

2!

Jej pochodną jest:

id)

dv

=loga.ax.

CCX

W równaniu (12) nazwijmy x logarytmem o zasadzie a liczby V i naznaczmy go przez Log v, to mamy :

(15)

x=Logv.

a stąd

Lecz z drugiej strony mamy z (13) : x.log a=logv i z określenia (15) mamy :

(16)

Logv

₇ ^ -.logv. loga

Z tego wynika :

II. Logarytm o dowolnej zasadzie a jest odwróceniem ogólnej wykładniczej funkcyi ax =v , daje się zawsze przywieść do postaci M.logv. gdzie М=(Ц1одa).

Funkcya Logv jest dalej funkcyą monogeniczną nieskończenie wielowartościową o gałęziach M(log v + 2nni), w=0, +1, +2, ... i posiada punktu rozgałęzienia v=0, v=co .

Z określenia (16) wynika :

Log и -f- Log v=Log (u.v), a więc takie samo równanie funkcyjne, jakiemu zadość czynił logarytm naturalny.

(17)

24. Równania funkcyjne jako charakterystyczne własności logarytmu i ogólnej potęgi. W biegu poszukiwań tego Rozdziału natrafiliśmy na dwa równania funkcyjne: jedno, któremu zadość czynił logarytm; drugie, które określało własność ogólnej potęgi.

Zapytajmy, czy owe funkcyjne równania są charakterystycz-nemi dla tych funkcyj ?

Przyjmijmyź, że mamy analityczną funkcyę /'(ж), o własności:

(1)

i że w otoczeniu punktu x=Q definiuje się ta funkcya elementem :

f(x)=a₀ -f- а±х-\-а₂х²-{-...

zbieżnym w obszarze \х\<У-

Założywszy \u\<Zr, |v\<jr i takie, że równocześnie jest \u.v\<jr * mamy mieć podług (1) :

а₀-\-ахгм-{-а₂иЧ²+2a₀ -\-ax    ...

Lecz to równanie nigdy nie może być identycznością , a stąd wynika, że funkcya f{x) o funkcyjnem równaniu (1) nie może być regularną w punkcie ж=0.

Załóżmy w (1): v=l. W takim razie mamy: a stąd wynika, że /‘(1)=0 być musi. Połóżmy dalej :

, a więc : uv=l-\-h-\-g

u=lĄ-h

i przyjmijmy, że — uwzględniając /'(1)=0 — jest:

/‘(l + ń)=c₁ń + c₂ń² + c₃ń²-l-...,

to wtedy równanie (1) w otoczeniu punktu x=l będzie miało postać :

(2)

^Cv{hĄ-g)v=^c\hvĄ

v—l

9V

Przyjmując jÄJ<;l, mamy:

(Id-h)

dbr⁼¹⁺( i)7l+( 2)r'⁺-

a wstawiając to w (2), dostaniemy:

To równanie ma być identycznością, a więc spółczynniki w równomiennych wyrazach rozwinięć po obu stronach mają być sobie równe. Spółczynniki przy samych h¹, Л², h³, ... są tu już odpowiednio sobie równe, a z nich o ci: c₂, ... nic nie wywnioskujemy. Zrównajmy jednak ze sobą spółczynniki mnożące gv, to mamy

(î’+¹)o„^ + (,’+²)^^+...=

Ч¹⁺П>⁺П>²⁺-4

Cv d⁻

Lecz to równanie ma się ostawać przy wszystkich h z bezwzględną wartością |/&|<Т, a stąd wynika:

(”t )c”+1_( i)c-> ( 2 )й-+²-( г)⁰”’ •

(    ii}⁰'’’ •••

Przy -r= 1 mamy:

Ci

("ГИ!

skąd dostajemy:

C«+l

(_i)m

•ci

г»—i

Połóżmy    a więc h-\-g—^—1 i załóżmy

1|<! J

to ostatecznie mamy zbieżny element :

tfrp

=c₁

log a ’

w otoczeniu punktu f=l. Gdy jeszcze ci przedstawimy w postaci to widocznie f(£)—Log£ o zasadzie a. Z tej dedukcyi wynika:

I. Gdy założymy, że istnieje funkcya analityczna o równaniu funk-cyjnem logarytmu, to ta funkcya jest już logarytmcm, a nie inną funk-cyą. Funkcyjne równanie logarytmu jest więc charakterystycznem dla tej funkcyi.

Zajmijmy się teraz drugiem równaniem funkcyjnem :

(4)

jakiemu zadość czyniła ogólna potęga xp+gi. Zakładając, że funkcya f(x) regularnie się zachowuje i w punkcie x=0 i w jego otoczeniu, daje się więc określić elementem a₀-i~a₁x-j-a₂x²+..., nie będziemy mogli takiem rozwinięciem spełnić identycznie równania

(4). Trzeba więc przyjąć, że fimkcya f(x) ma w punkcie x—0 jakiś punkt osobliwy i w równanie (4) wstawić jej rozwinięcie z otoczenia innego punktu. Za ten punkt obierzmy x—l i połóżmy jak przody:

U= 1 и- li

to mamy teraz :

(5)

—l+r-?

/ (1 Ą-h+g)*=f(l Ą-h).f ^1 + -^^)

i -\~h

a więc: uv = l-\-h-\-g

a z tego związku, gdy założymy h=0, dostajemy /‘(1)=1. Uwzględniając to, połóżmy:

f (1 + hj=1 -j- c± h -J- Gcjfh ^ 4- c^h 3 +... i wstawmy takie rozwinięcia w (6), to mamy :

(6)

1 + 2 cvOlJr9)v== 11 + 2 cvhv^ . (l+2    ^

a ten związek ma się sprawdzić identycznie.

"Wybrawszy po obydwu stronach wyrazy z gv i zrównawszy ich spółczynniki, otrzymujemy :

c„+c^\¹y+ovĄvl‘i)v+...-

(7)

przy czem już |й|<;1 założono. Przez zrównanie znowu w (7) spół-czynników mnożących dochodzimy do relacyj :

Ca Cfi _i

Cu-j-v

(TH

OM'î'b-ftV]

a z nich — gdy v=l położymy — dostajemy po porządku:

C\ (ci l)(ci 2)

C2

6'i (Ci 1)

2!

(})’

C3

3!

przy dowolnym spółczynniku cl. Dostajemy zatem:

яи-*)-1+( y+

a więc ogólną potęgę, a stąd twierdzenie:

II. Równaniu funkcyjnemu ogólnej potęgi nie uczyni zadość żadna inna analityczna funkcya. Równanie to jest więc charakterystycznem dla tej funkcyi.

(fAv+...=(i+hy<

25. Zastosowanie funkcyjnego równania logarytmu do nieskończonego zbieżnego iloczynu. Funkcya wykładnicza w postaci iloczynu. Zbadajmy nakoniec, o ile funkcyjne równanie logarytmu

da się zastosować do bezwarunkowo zbieżnego, nieskończonego

oo

iloczynu 11(14«*)?

V—\

(1)

W tym celu utwórzmy nieskończoną sumę :

L=log(l-\-ct^)-\-log (1-i-cc₂)-\-log (l + a₃) + --

i przyjmijmy, że w szeregu :

! ai i ■+■ 1 a2 i "b ! аз! d⁻-”

który — wskutek bezwarunkowej zbieżności iloczynu — jest zbieżnym , mamy przy dostatecznie dużem h :

I Clk j4 S <%к-\-1 I 4 i ak-\-2 I 4 ... = Q <C 1-Równocześnie z tern, mamy zatem :

|«*|<1, |a*+i|<l, -

a wskutek tego każdy log {l-\-ak±s) zastąpić możemy rozwinięciem :

(2)

(4)

(5)

A    K~

Ak+s= p

«i-f-s «"'i-f-s    «4-f-s

2    ^    3

s = 0, 1, 2, 3,

a sumę Lk=log(1 ak)-\-log(l-\-ak+\)-\-... przedstawić nieskończoną sumą szeregów :

Że zaś :

Lk—Ak 4 Ak-j-i 4 Ak-j-2 4 • • • Lk |<C I Ак 14-1 Ak+1 j 4 I    j 4

а* I

I a*|² , I аЛг

“2~

4...

a przytem :

więc stąd wynika :

ctk I³ f I cck+i |³4... < ę³...

a to — ponieważ (><(1 jest — wskazuje, że Lk, a z nią i suma L jest zbieżną bezwarunkowo.

Niech ó, ó“ będą dwie dowolnie małe, dodatnie ilości, to gdy h obierzemy bardzo duże i położymy wtedy :

(a)

Lk—s,

będzie można zawsze uczynić :

c| <Zó.

że

Z drugiej strony można to bardzo duże Ti tak wybrać równocześnie w równaniu :

oo

(b)

IT ( 1 -f- ccv) = 1 e‘

v=k

można będzie | e‘ j uczynić dowolnie małem. Zauważmy teraz :

00

i-l

L‘=log П (l-\-av)=log\\ (1 + av)+ log П (1 + av) =

v~\

VT=.\

Ar-1

==%ri(l + 05v) + %(l+£/)J

v=\

to tu log {l-j-e') dowolnie zbliża się do zera. Połóżmyż:

logii + £') = £"

i—1

L'=logX\ (l + at>) + £",

a więc :

(c)

*=i

to A będzie można zawsze tak wybrać, że równocześnie z (a') spełni się jeszcze nierówność:

(C)

|e"|<d".

Tworząc różnicę L—L¹ i uwzględniając, że:

i-l

i—1

logilĄ- av)—log 1T (! + «„)=O

V—\

r=l

dostajemy L—L‘=e—e“, a stąd:

\L-L‘\ <ô + ô“.

To — ponieważ d, d“ są ilościami dowolnie małemi — dowodzi, że L=L‘ czyli, że:

oo

co

(6)

%П (1 + a„)=2 % (1 + «!»).

V—1

Przyjmując, że otv są pewnemi analitycznemi turnkey ami argumentu x o tej własności, że szereg (at-}— oc₂-J—...) jest w pewnym obszarze (A) jednostajnie i bezwarunkowo zbieżny, dojdziemy również do równania (6). Ono w tym obszarze

będzie miało znaczenie, a suma jrlog (1 -j- a.f) okaże się tam jednostajnie zbiezną.

v=\

Ta uwaga wystarczy, aby — (choć jeszcze nie zajmowaliśmy się teoryą nieskończonych iloczynów zależnych od zmiennego argumentu) — funkcyę wykładniczą w pewnych szczególnych zakresach jej argumentu przedstawić w postaci zbieżnego, nieskończonego iloczynu*).

V— 1

représentation de la fonction exponentielle par

*) R. L i p s c h i t z. „Sur un product infini“. C. R. T. 99. (1884). str. 701—703. Por. także. L. Gegenbauer „Über die Exponential fonction“. Monatshefte f. Math. u. Phys. T. 5. (1894.) str.

une

303 — 306.

Zauważmy szereg :

00

<s —z -j- 2z³ -j- 3zs Ą- Azi    ...

(l-*)²

a z nim równocześnie nieskończoną sumę szeregów :

a = z a ** + Ф (2>² 2 z2k +... + ? (d) zd S zdk 4-...

(P)

gdzie sumowania odnoszą się do Je, k = 0,1, 2..., co ; œ(m) oznacza tu — jak zwykle w teoryi liczb — ilość liczb pierwszych względem m i <ш, a argument 0 ograniczono do: \z I < 1. Szukając w tej sumie spółczynnika przy zm i oznaczając przez d, ...1 wszystkie podzielniki liczby m, dostajemy na ten spółczynnik sumę:

?0) + - + «0^ + - + ?(!)) ?(!) = !•

*I<1»

Suma ta jest — m, według najelementarniejszych twierdzeń z teoryi liczb, a stąd wynika, że suma (ß) uporządkowana podług potęg z, jest: a — z 2z² -j- 3z² -j-

jest więc szeregiem («).

Z drugiej znowu strony sumując w s każdy szereg w nim zawarty mamy

* (l-*)²

+ ?(S).

z³

1—z³

a ta suma będzie jednostajnie zbieżną w zakresie |я| <1.

1—

-г²

*1 <1>

dostajemy :

Mnożąc tu obie strony przez (—l/z), a potem całkując [T. I. art. 179. II.),

(T)

1-г

%(1—s)+-p % (1—£²) + -

Połóżmy :

o(v)

cp(v)

\- logii—z) = log (1— z) V

a dalej :

<№)

<p(v)

(1—z) v = 1 + a wiec <XV = (1—/) " —1, to zatrzymując tu ciągle |«|<Il, mamy:

«v =    + Av3 ^ + ...    '

¹

Co do treści tego art. por. Yvon Villarceau, „Note sur la période de l’exponentielle ex C. R. T. 83. (1876) str. 594.

²

^„{h+gy-^Ąbr+M + i lY+i 2)**+...)]

V —i    V — \ L    -*

I «„ I I *r +1 4*1 M²" +1 4з ПИ³" + -

\]\av\ <\l^r-\Z\i1JrCvl\z\V+cv2\Z Г+ -]»

przy v bez granic rosnących granicy

gdzie , cv2, są dodatnie. Ponieważ c?(v)/v przy skończonych v pozostaje zawsze ułamkiem właściwym dodatnim

— 1 nigdy przekroczyć nie może, a to samo odnieść trzeba i do \/®(v) / v, ponieważ dalej I z ! < 1 założono, więc stąd wynika, że w całym zakresie (|«| < 1) mamy

lim V/ j    I < 1. To dowodzi, że tu szereg jest bezwarunkowo zbieżny [T. I.

y(²)

art. 7.] a z nim i iloczyn (1—з)(1—z³) ² ... w ten sam sposób będzie zbieżny. Do sumy (y) można więc zastosować relacyę (6), poczem mieć będziemy :

(yO

i-s

Ze związku (y') dostajemy :

(*i)

a stąd znowu:

SP (2)

SP(3)

——= log (1—z) (1—z²) ² (1—г³) ³

s ! <( 1.

P(2)

SP(3)

1—

*I<1,

SP(2)

У(3)

=(1—s)“¹^-**)    ² (1-г³)    ³

W formie (St) jest argumentem w funkcyi wykładniczej : —г/ (1—г), a ten — gdy z = 1 — staje się nieskończonością. Iloczyn wtedy jest =0. W formie (S₂) mamy argument Ą-z/( 1—г), a ten znowu, gdy 2 = 1, staje się nieskończonością. Iloczyn jest tam wtedy =co. Zgadza się to z tą własnością funkcyi wykładniczej , że jej miejsce zerowe, lub nieskończonościowe może istnieć jedynie w nieskończoności.

Prócz tego zauważyć potrzeba , że iloczyn (Si) daje na obwodzie koła \z | = 1 wszędzie gęstą mnogość punktów zerowych, a iloczyn (S₂) takąż mnogość punktów nieskończonościowych. Jeżeli jednak do obwodu tego koła się nie zbliżamy,

РО

МО

to we wnętrzu jego funkcyę e ¹ z przez iloczyn (Si), a funkcyę e czyn (S₂) zdefiniować można.

Połóżmy w (St) :

² przez ilo-

₁~=xi a wiec 2=y^j-, a w (S₂)

to dostaniemy :

Z    .    X

--— X, a więc 0 = —-— ,

1— z    1 -f-ж

y(2)

SP(3)

(O

X²

X³

(®-l)²

SP(2)

(ж—1):

...i

9P(3)

(«0

ex

ж²

(1+ж)²

) (i

Ж³

(1+ж)³

Pierwsza z tych form, gdy położymy x =    ma znaczenie w obszarze

ü²+ri²

(?-1)²-Н

<C 1, a druga w obszarze

?²+l)²

-,<!•

Pierwsza z tych nierówności daje:

oo ), przy dowolnem yj,

K+ł-

druga zaś :

? = (--g- ... -j- co przy dowolnem tj.

Z tego wynika, że jedynie w obszarze:

’ ⁼ l⁻⁻ ~2~ "• “I“ 4") РГ2У dowolnem *0

l    |i

można ex przed-

a więc w zakresie ograniczonym prostemi ; = — -g-, ? = -f- ^

stawić już-to formą (et), już-to formą (s₂).

W dwóch nieograniczonych pozostałych zakresach przydatność jednej z form (ei),'(e₂) wyklucza przydatność drugiej.

26. Najogólniejsza forma funkcyi całkowitej przestępnej bez miejsc zerowych. Po tem obznajomieniu się z najelementarniejszemi funkcyami, możemy wrócić do zadania postawionego zaraz n wstępu Rozdziału I., a to: do tworzenia jednoznacznych całko-kowitych funkcyj bez miejsc zerowych w skończo-n o ś c i.

Z żądanej własności takiej funkcyi G(x) wynika — jak-to już w art. 1. mieliśmy — równanie różniczkowe :

(i)

G‘(x)

G(x)

g(%), ¹)

gdzie g(cc) jest całkowitą, wymierną lub przestępną funkcyą. Z tego równania przez całkowanie dostajemy :

log G(x) = jg{x)dx, a stąd:

G(x)=e^-)d‘

(2)

Połóżmy :

to

g(x)=c₀ +с^х+с₂х²+сгхг + ... ^g(x)dx=cJrc₍₎x-\-C~- X² -f C~~x³ + ...

a gdy ec=C położymy, a

C2

tx¹+"

przez g₀(x) naznaczymy, mieć będziemy:

G(x)= C. e^x\

Przyjmijmy, że prócz funkcyi tego kształtu może równaniu różniczkowemu (1) dogodzić jeszcze inna funkcya Gi(x) kształtu innego. W takim razie oprócz (1) mamy jeszcze:

G±'{x) I Gl(x)=g(x)

(3)

(4)

a z (1) i (4) dostajemy:

____g'(¹) Q

Gi (x)    G (x)    ’

G₁l(x)

albo

albo wreszcie :

G(x)iGi\x)-Gi(x) G\x)=0,

0. Stąd wynika Gi(x)j G(x) = k, gdzie к jest stałą do-

d Gx{x)

dx G(x) wolną, a więc Gi{x)=k. G(x).

Że zaś — jeżeli chodzi tylko o kształt funkcyi żądanej — stały czynnik C w (3) jest całkiem dowolny, więc stąd wnosimy:

I.    Forma e⁹»^) jest jedyna, w jakiej funkcyę całkowitą przestępną bez miejsc zerowych w skończoności przedstawić można.

Weźmy pod uwagę dwie różne funkcye całkowite:

G(x)=eg(-X\ G, (x)=e⁹^

bez miejsc zerowych w skończoności — g(x), gx(x) są więc dwie różne funkcye całkowite. — Wtedy mamy:

G(x) I Gx {x)=e⁹^~⁹^

a że g{x)—gx(x) = y(x) jest znowu funkcyą całkowitą, więc widocznie :

(5)

G(x)=ey^. Gi (х), a to zn.

II.    Dwie różne funkcye całkowite bez miejsc zerowych w skończoności różnią się od siebie czynnikiem, który znowu jest funkcyą całko-

witą bez miejsc zerowych w skończoności.

Między funkcyami wymiernemi całkowitemi miała funkcyą o jednem jedynem miejscu zerowem a postać:

•H)

c₁ (x—a), albo

gdzie c lub c₁ są-to stałe dowolne. Taki stały czynnik trzeba — gdy już przechodzimy do funkcyj całkowitych przestępnych — zastąpić przez ei powiedzieć :

III. Najogólniejszą formą funkcyi całkowitej przestępnej z jednem, jedynem miejscem zerowem a jest:

(6)

(-■>

Pochodzi to stąd, że gdy funkcyę przestępną f(x) o j e dynem miejscu zerowem a podzielimy przez ^1——a więc przez funkcyę

wymierną o tern samem miejscu zerowem a, to iloraz

musi być funkcyą przestępną całkowitą bez żadnego miejsca zerowego w skończoności. Ten iloraz ma więc kształt eg^\ a stąd już forma (6) odrazu wynika. Funkcyę (6) nazywają pierwszą przestępną funkcyą.

X położymy —-— dostaniemy funkcyę : CC—c

Gdy w funkcyi (3) za

(7)

'•Gh)

C.e

z miejscem istotnie szczególnem c, a bez miejsc zerowych i w skończoności i w nieskończoności. W nieskończoności ma ta funkcya wartość C.eg(-°\

Niech. R(x) będzie wymierną, ułamkową funkcyą o biegunach al5 tą,... a» Utwórzmy funkcyę en'x>, to taka funkcya nie będzie zerem dla żadnej skończonej wartości жф as. W punktach as będzie miała miejsca istotnie osobliwe, w nieskończoności zaś będzie się regularnie zachowywać, gdy granica lim R(x)

Ж— 00

jest skończoną, a będzie tam miała punkt istotny, gdy ta granica nie jest skończoną.

27. O funkcyach wielu zmiennych bez miejsc zerowych. Zauważmy funkcyę:

Xn ) = gff(Tl-T2 —Xn)

G(x^, x₂

w której g{xt, X₂, ..., xn) jest całkowitą wymierną lub przestępną funkcyą, a e — jak zawsze — zasadą naturalnych logarytmów. Taka funkcya będzie jednoznaczną, analityczną funkcyą o tej własności, że na żadnem z miejsc (xi, x₂, ..., xn) o wszystkich skończonych spółrzędnych xs nie będzie zerem. Na każdem takiem miejscu będzie regularną, a dopiero na miejscach (xix₂... xn) o wszystkich, lub niektórych spółrzędnych nieskończonych — nie dających g(x₁x₂...xn) w skończonej wartości — ma swój punkt istotnie szczególny. Funkcya (1) jest zatem całkowitą przestępną funkcyą bez miejsc zerowych w skończoności.

(1)

Nie troszcząc się o to, czy forma (1) jest jedyną, w jakiej się opisane funkcyę pojawić mogą, zajmijmy się tu pewnemi funkcyami, które właśnie z funkcyj o postaci (1) wynikają ściami zasługują na uwagę²).

Niech 5, <o będą dwie niezależne, nieograniczone zmienne. Połóżmy

o

e ° = a i zauważmy funkcyę :

które charakterystycznemi swemi własno-

2лг

(2)

<х) = е'Э'сс+(2>сс2=

= Pi³', ?) + Qi³, ?)«+ Pi³, ®) «²,

która widocznie zalicza się do kategoryi funkcyj (1).

Aby funkcyę P, Q, R określić, zauważmy, że 1 -j- a -j- a² = O, że więc a2__ — (1 _p a) i że wskutek tego można położyć :

*)

(3)

P(3, <p, a) = ЛЧ’(¹⁺^=Г«,.^"»)в

(5-^)3    (5_?)6

= «-*■

—®)⁴ .

-?)⁷

4!

7!

-]*

Widocznie szeregi w nawiasy ujęte są tu razem z czynnikiem e~V funk-cyami P, Q, R. Z tych ich rozwinięć dostajemy odrazu takie ich własności : p_àQ__d4i_

d$    d3²’ ⁴ db

(4)

dR ć²P

eż32 5

dP _ <)²Ç ó3²'

będziemy :

Lecz z drugiej strony, gdy uwzględnimy, że znowu a = — (1 -j- a²), mieć

P(S, op, «) =е-^(¹ + «г)+5Р«г==е-^ . е(У-^)«2 (?-^)³ , (? — )⁶

“«-*[! 4

8!

6!

+ •••]

(5)

gdzie tu szeregi w nawiasy ujęte wraz z czynnikiem e~& są teraz po porządku funkcyami P, R, Q. Stąd dostajemy znowu związki;

dtp <7©²’

a porównując ze sobą funkcye P, Ç, P w ich rozwinięciach (3), (5) wnosimy, że p(3, ®)= P(®, 3),    Ç(3, <p)=P(®, 3), Р(Э, «p)= Ç(®, 3).

Uwzględnijmy w różniczkowaniach :

(6)

(7)

Æ_ dÇ_ d²P

d»²

dP d²P

d®

do²

dP

dP

dP=^d?+-dżd*

relacye (4), (6), to mieć będziemy :

(8)

dP—QdyRd5, dQ = Rdy Pd5, dR — Pd®Qdb. Zauważmy teraz :

(9)

Р(3 + 3', ®4-®', a)

₌-e-(9>+9>"). e(#+#,—<p—go’)«

= P(3 + 3', cp 4- ?') + @(3 + 3', (p + </>') a 4- p(3 4-3', <p 4- ^')*J

i połóżmy :

P(*', <pO = P\ Q(y, ?') = Q\ <p‘) = Л'

to z drugiej znowu strony mieć będziemy :

P(3 + 3', <p + (p<, a) = [e“*. e^~ *)в ]. [«-*'. e⁽^'—P')«] ₌

= [P 4- Ça 4- Pa²] . [P' + Ç'a 4- P'a²] =

= PP' 4- QR‘ 4 RQ‘) 4- (PP’4- PQ‘ 4- ÇP')a 4- (0Ç' 4- PP' 4- PP')a². Z relacyj (9) i (10) dostajemy:

PO + y', cp 4- y¹) = PP' + QR‘ + RQ'

(U)

4- f 4- ⁽p') — PP'4⁻ PQ' +QP'

R(& 4~ tP, (p 4“ cp') = ÇO -J- PP' 4“ PP',

to są formy, które przypominają prawidła dodawania funkcyj trygonometrycznych sinus, cosinus.

Utwórzmy wreszcie funkcyę E nasamprzód z pierwiastkiem a, jak wyżej, potem z pierwiastkiem a², a wreszcie z pierwiastkiem a³=l, to mieć będziemy:

PO, <P, «) = g^u+tpa² ₌₌p^Qx+ pa2 ₌ рг

PO) *²) =    = P -f <?a² + Pa = P₂

PO, CP, ««) = «*+» = P + в + P =■ Ą,

stąd wynika : E₁.E₂.EZ=

(P + Ç» + P«²).(P + <?*² + P«) (P + 0 + P)

P Q R

= R P Q = + 1, albo :

QRP

(12)

рз _J_ Q3 _j_ рз _ 3PQR = 1.

Połóżmy :

(13)

X = c . P, y = c . Q , z — c.R, c = const.,

to dostaniemy :

a:³ -j- y³ -j- s:³ — 3 xyz= c³,

a to geometrycznie można tłómaczyć w ten sposób , że równaniami (13) dają się określić spółrzędne punktów leżących na powierzchni (14).

Gdy <p = У, to Q = R = 0, a P= e Ф = e

(14)

Chcąc więc aby wtedy było P=l, trzeba przyjąć <р=У = 0, tak, że dla tych wartości mamy :

Q = R = 0.

Zbadajmy, czy funkcye E₃ nie posiadają peryodów At, h₂, odnoszących się do zmiennych <p. Aby tak było, muszą te peryody zadość uczynić związkom : O 4-At)a 4" (<p    A₂)a² — Уа -j- <pa² -[- 2k₂r.i

О -'г \ )Р 4- Op 4- a₂)»—у*² + <p*-\- 2^2 (У -j- At) + 0 + ^2) = У -j- (p 4~ 2к₃тл , gdzie fcj, /с₂, k₃ są całkowite liczby. Z nich wynika:

(15)

P= 1

gi = a/i₁ a²A₂ — 2^ та —0 y₂ = a%i -j- ocA₂ — 2&₂та = О

Уз = Äi + Л2 — 2^₃та = 0.

Dodając to do siebie dostaniemy :    -f- y₂ 4" Уз— — 2та(&₁ -j- &2    &3) = 0, a to

wskazuje, że być musi {k₂Ą-k₂-\-k₃) = 0 i że wtedy ze związków (16) jeden okazuje się zbytecznym. Opuśćmyż związek trzeci zakładając w nim już naprzód :

k₃ = — (&j -j- k₂),

a ht, h.₂ obliczone z dwóch pierwszych związków niech będą :

\ = k-iA,4-k₂Pj, h₂ = k₁A₂-\- k₂B₂,

to przedewszystkiem zauważymy, że można innych k₂, k₂ użyć przy obliczaniu Aj, a innych przy obliczaniu h₂ (gdyż i wtedy аА₁4-*²А₂, а²А₂4-аА₂ pozostają

(16)

według (16) wielokrotnościami liczby 2кг. Z tego jednak wynika, że każdy dowolny peryod odnoszący się do zmiennej 3 daje się utworzyć jednorodnie i liniowo z Ai, Bt za użyciem dowolnych całkowitych spółczynników, a także w ten sam sposób da się przedstawić przez J₂, B% każdy .dowolny peryod odnoszący się do zmiennej w. Z tego wirnika, że funkcye Ex, E%, E?i mają po dwa zasadnicze peryody, a to :

<P-

Au Bi w zmiennej & ^•2 ) B₂ „

En ma zależeć (por. Appel С. E. T. 84., str. 1378).

Te rezultaty można uogólnić przyjmując (n—1) zmiennych, od których n funkcyj Ei, E₂

CZESÖ il

FUNKCYE JEDNOZNACZNE ZE SKOŃCZONA LUB NIESKOŃCZONĄ ILOŚCIĄ MIEJSC OSOBLIWYCH.

ROZDZIAŁ III.

Funkcye jednoznaczne z jednem miejscem istotnie

osobliwem.

28. Funkcya z miejscem istotnem w nieskończoności a ze skończoną ilością miejsc zerowych i nieskończoności) wy cli w skoń-ezoności. Zadaniem tego rozdziału będzie: wyznaczyć formy wszelkich możliwych funkcyj jednoznacznych przestępnych z jednem tylko miejscem istotnie szcze-gó ln em.

Lecz — aby takie funkcye bliżej scharakteryzować i ugrupować — koniecznem jest jeszcze uwzględnić każdym razem już-to punkta zerowe, już-to nieskończonościowe, już-to wreszcie i jedne i drugie, występujące w skończonej, lub nieskończonej ilości w żądanej funkcyi.

Funkcya e^ bez miejsc zerowych i funkcye przestępne pierwsze określone w art. 26., będą tu ważną odgrywały rolę.

Poszukiwania nasze zaczniemy od funkcyj jednoznacznych z jednem jedynem miejscem istotnie osobliwem w nieskończoności.

Gdy taka funkcya f\x) ni-e ma wcale posiadać punktów nieskończonościowych,. a ma mieć skończoną tylko ilość miejsc zerowych (leżących w skończoności) :

z powtórzeniami :

(2)

to w otoczeniu każdego punktu #₀фал, $ = 1,2,    posiada ele

ment regularny o wolnym wyrazie фО, a w otoczeniu punktów a, przedstawia się rozwinięciem :

f{x) = (ж—a,)*» [c₀ + Cj(ж—a,) + ...], e₀ ф 0. Utwórzmy funkcyę wymierną :

f\{x) = [{x—-а^)я'...(х—аау*... (ж— ат)лт]

(3)

(4)

to jej odwrotność —7

fi 0*0

posiada w otoczeniu punktu xQ фа₈. znowu

element regularny o wolnym wyrazie ф 0, a w otoczeniu każdego punktu as ma rozwinięcie :

(5)

f±(x) (Х - ds'fs

[dç+diix—^Оф0.

Z tego wynika, że iloraz :

(6)

f(x)lf\ (ж)=е^*>

gdyż jest-to widocznie funkcya bez miejsc zerowych i nieskończo-nościowych w skończoności, a z jednem tylko miejscem istotnem w nieskończoności. Z (6) dostajemy :

(J)

miej sc

skończonościowych (leżących w skończoności) :

CD GO

O*

f\x) — e9(x). f \ {x).

Przyjmijmy teraz, że funkcya f\x) nie posiada wcale zerowych, ale za to ma skończoną ilość miejsc nie-

Ъп z powtórzeniami :

Taka funkcya posiada w otoczeniu każdego miejsca я₀ф bt regularny element o wolnym wyrazie фО, a w otoczeniu każdego z miejsc bt ma rozwinięcie postaci:

/•(ж) =

+    с'₀фО.

Pomnóżmyż f{x) przez :

(10)

to mieć będziemy :

/2(х)={х—ЪхУ'... {x—bt^t... (x—bn}u”:

(П)

/‘(я) .f₂(x)=0to,

bo taki iloczyn jest widocznie funkcyą bez miejsc zerowych i nie-skończonościowych

skończoności. Z (11) dostajemy więc:

jednem tylko miejscem istotnem w nie-

e9(x) /2 0*0 '

Niech teraz fix) będzie funkcyą o miejscach zerowych (1) z powtórzeniami (2) i o miejscach nieskończonościowych (8) z powtórzeniami (9). Oczywiście każde bt różne jest od as.

Iloczyn f{x) .f₂(x) będzie wprawdzie funkcyą bez miejsc nieskończonościowych, ale posiadać jeszcze będzie miejsca zerowe (1) z powtórzeniami (2). Połóżmy więc (podług (7)): f(x).f₂(x)=ev№f\(x)i to stąd mamy :

f(x)=egńx)

/10»)

(13)

' /2 0*0

f'(x)—eP№ R(x).

albo :

gdzie ,R(x) jest dowolną wymierną ułamkową funkcyą.

Z tych wszystkich uwag wynika :

I. Funkcyą jednoznaczna przestępna z miejscem istotnem w nieskończoności a ze skończoną ilością biegunów i punktów zerowych przedstawia się iloczynem, którego jeden czynnik jest e⁹⁽-x\ a drugi jest funkcyą wymierna B(x) posiadająca żądane miejsca zerowe i nieskończonościowe. W razie gdy Ji(x) jest całkowitą wymierną, funkcyą jest pozbawiona miejsc nieskończonościowych i jest całkowitą przestępną.

Gdy dwie funkcye F(x), f{x) mają mieć te same miejsca zerowe i te same miejsca nieskończonościowe z jednakowemi powtórzeniami , a przedstawimy każdą z nich postacią (13), to z nich dostajemy :

F(x)

er(*) czyli F(x) = e'y⁽-X\f(x),

gdzie y(x) jest funkcyą całkowitą. Stąd twierdzenie:

II. Dwie funkcye jednoznaczne przestępne z jedynem miejscem istotnem w nieskończoności a z tą samą skończoną ilością tych samych miejsc zerowych i nieskończonościowych różnią się od siebie jedynie czynnikiem wykładniczym postaci e⁹^).

29. Przedstawienie funkeyi całkowitej przestępnej z nieskończoną ilością miejsc zerowych przez iloczyn. W tomie I. nadmieniliśmy, że możliwość istnienia całkowitych przestępnych funkcyj f\x) z nieskończoną ilością miejsc zerowych nie jest wykluczoną Rozdziale IszJ,m tomu IIg0 już to przypuszczenie spełniło się w funkcyach trygonometrycznych wstawa i dostawa.

Zbadajmy teraz, czy z danych miejsc zerowych:

aiJ a₂, a₃, ... in in ft.

(1)

z powtórzeniami :

dadzą, się utworzyć funkcye całkowite przestępne? Jeżeli to jest możliwem, to miejsca (1) muszą być przeliczalną mnogością bez punktów skupienia w skończoności [T. I. art. 205.]. Ten warunek spełni się widocznie, gdy założymy :

(3)

«iI<ÜIa₂|<C|a₃|<C — i Ит\ап\=сю ,

00

która-to granica wskazuje, że mnogość (1) ma jedyny swój punkt skupienia w nieskończoności. Pierwsze miejsce ax przyjmiemy фО. Gdy utworzymy cały szereg funkcyj przestępnych pierwszych

(-Э

Es(x, as) =

(*) s = 1, 2. 3. ...

to możemy zapytać, czy nieskończony iloczyn :

oo

(4)

П[Д(*, of*

może mieć pod pewnymi warunkami znaczenie na całej płaszczyźnie argumenta x i czy się da potem rozwinąć na szereg potęgowy bezustannie zbieżny ? Połóżmy :

.. x 1 /x\²    /x\³

⁹'{x)=â,⁺^\âJ + UJ

(5)

to mamy teraz iloczyn :

(6)

f\?)

ß    as

którego własnościami trzeba się bliżej zająć. Przy |ж|<;Ю mamy według art. 17.

; stąd :

?)

i-£

as

[Es (x, ая)]л* =e r 1

—'b

ar

r~ 1

a dalej

'•ił®'

s 2 r

Г—1

o? I«

oo

*’«+/* VW

Gdy teraz |æ|Ю przyjmiemy, to formę (7) będzie można zastosować przy s=l, 2, 3, ..., w postaci:

a sam

iloczyn f\(x) przedstawić

oo

-2 2

Ш=е s=1^

P+Vs

/X_yU + Vs

\as)

Gdy przeciwnie \x < |an\ i n > 1 założymy, to ten sam iloczyn da się w ten sposób napisać :

oo

00

71—1

(9)

/i 0*0=

ПК)

-2 2

S~n /4=1

fi+vs

a pierwszy mieszczący się tu czynnik da się — ponieważ n jest skończone — sprowadzić do formy :

<?«(*)

71 — 1

(10)

n(HU •

S=L 1

i jest — według uwag art. poprzedzającego — całkowitą przestępną funkcyą, którą nazwijmy Hn(x). Co się tyczy podwójnej sumy :

mieszczącej się w wykładniku drugiego czynnika w (9), to prze-dewszystkiem mamy :

(U)

co

00

Xs

S=n /4=1

as

Gdy tu po prawej stronie tej nierówności za każde    po

za wszystkie Xs, które oczywiście są skończone, wsta-

łożymy 1

wimy największe z nich =Л, to wtedy tern bardziej będzie :

czyli :

s=.n

j a,

1-

as

Ponieważ tu s=n, n-\-1, n + 2,..., a \x\ ciągle <.an | zatrzymujemy, więc wszystkie \ x/ as\ i wszystkie różnice (1 — \х/ая\) są tu dodatnimi ułamkami właściwymi. Za wszystkie te różnice połóżmy najmniejszą z nich =(1 — | xjan |), to tern bardziej mieć będziemy :

(12)

Sn(x) j <

i Sn (xj ! <

1-

Л ^ IX r«⁺¹

S—71

as\

albo :

X\x\ ą

vs

1-

s=n

będzie bezustannie zbieżną, co jak zaraz okażemy, będzie zawsze możliwem, to wtedy wywnioskujemy: Suma:

o°

\ fts+1 a.

00 OO

(14)

[i-\-vs\as

1

Gdy więc vs tak wybierzemy, że suma    ,

s—n I®*

JM**

\vs

a tern sa

mem i suma :

(18)

“ i

2r,

±i\<

X \vt

22 '

IX —\

jest dla ж|<С|an niezawodnie zbieżną. Skutkiem tego sama suma Sn{x) będzie w tym obszarze absolutnie i bezwarunkowo zbieżną. Lecz do tego dołączy się tu jeszcze i jednostajna jej zbieżność. W sumie bowiem (14) można będzie bezsprzecznie obrać tak duży wskaźnik n-\-lc—nu że wszystkie sumy:

X *'* + ¹

+ •••

o, 1,2, 3,...

okażą się dla wszelkich \x <^,an, mniejsze od pewnej dowolnie, małej obranej dodatniej ilości e. Stąd jednak wynika , że w tym obszarze okazują się równocześnie sumy (reszty) :

(15)

|£Wl+,(#)!<£

*=O, 1, 2, 3, ...

co dowodzi, że suma Sn(x) jest dla | x ( <C ! an jednostajnie zbieżną.

Z tych uwag wynika, że zamieniając drugi czynnik w (9) na iloczyn, dostaniemy iloczyn bezwarunkowo i absolutnie zbieżny w obszarze |a?|<C[|a*|. Lecz w tym obszarze można i jednostajną zbieżność sumy Sn(x) przenieść na iloczyn. Mamy bowiem — wskutek nierówności (15) — dla wszelkich |æj<j a» :

(16)

s= w, +- t

gdzie \rj\ można uczynić mniejsze od dowolnie małej dodatniej ilości e‘

a tę własność iloczynu trzeba przez analogię z szeregami nazwać jego jednostajną zbieżnością w danym obszarze.

Lecz w formie (9) można wskaźnik n wziąć dowolnie duży. Wtedy \an | może być większe od każdej dowolnie dużej skończonej dodatniej liczby, a warunek \x\<d\an\ wskazuje, że iloczyn jest zbieżny dla wszelkich skończonych ж, czyli — jak się wyrażać będziemy — jest bezustannie zbieżnym.

Iloczyn /i(æ) jest zatem absolutnie kowo, jednostajnie i bezustannie zbieżnym pod warunkiem że vs, s —1, 2, 8, ... tak obrano, aby suma P b y ł a

bezwarun-

bezustannie zbieżną.

Że temu warunkowi można zawsze zadość uczynić, okażemy w ten sposób : Połóżmy :

=    *3 = 2,    ...

a w sumie P weźmy jej dodajniki w bezwzględnych, ich warto-

(17)

ściach, to mieć będziemy :

X i²

a3

!al!

Żądając, aby tu granica ilorazu:

lim

Mu+1

|gn+llW+1 \x\ n= cc I    I ®я+2|

lim

00

była <1, dostajemy warunek:

|æ j<C lim

n—

«Й+ 2jn+1

a temu każda skończona wartość ж zadość uczyni, gdyż :

lim\an+21 an+1 =1, Hm J ая+2 | = co .

n= 00

nz=CC

Z tego wynika, że suma P jest — gdy ^ mają wartości (17) — istotnie bezustannie zbieżną.

Nie jest jednak wykluczone, że w pewnych wypadkach można będzie jednostajną zbieżność sumy P uzyskać przy samych skończonych vs. Wtedy bez naruszenia tej zbieżności można za wszystkie vs użyć największego z nich —m, tak , że teraz suma

a,\ aj    a,™

okazuje się bezustannie zbieżną. To się widocznie spełnia, gdy szereg :

(18)

s—1

przy pewnem obranem m okazuje się bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżny.

Z tego wynika, że tworząc iloczyn fx(x) można przedewszyst-kiem badać, czy przy pewnem na j mniej szem obranem m=0, 1, 2, ... nie okazuje się szereg A bezwarunkowo zbieżnym.

Gdy tak jest w istocie, to można wszystkim vs dać wartość =m, a we wszystkich funkcyach pierwszych Es(x:as) położyć:

(19)

Qt

łx\_ x \as) a g

to I—¹

r4

Taki iloczyn f\{x) nazywamy iloczynem o rzędzie m.

30. Zamiana iloczynu na bezustannie zbieżny szereg¹. Przejdźmy teraz do drugiej części postawionego pytania, a to do zamiany iloczynu na szereg. Sumy Si(x), S₂(x), 8z(x), ... są odpowiednio w zakresach \x\<ż\ax\, |ж|<С|«₂|? \x\ <^!аз1 ? ••• jednostajnie zbieżne dadzą się więc zamienić na szeregi potęgowe :

zbieżne w tych zakresach. Wskutek tego możemy napisać :

(ж) — e—(*)=2(—i)".

v^0

co

fx(x)=Hn(x). e~^я(ж)=Яи(.т)

v\

albo :

RM®)]*

v-—0

v\

Każda z sum jest w otoczeniu punktu x^=0 jednostajnie

V:=0    •

zbieżną: pierwsza w zakresie x <Z ax , druga w zakresie x an . Można zatem położyć f\(x)=^$(x) albo /](#) = $(*)(x): przy czem sze- , regi $(#), ^n\x) muszą być identyczne. Spółczynniki jednak pierwszego z tych szeregów nie zależą od w, a więc i spółczynniki drugiego szeregu    nie zawierają w sobie parametru n.

Pozostaje on więc statecznie tej samej postaci, jakkolwiek duże wybierzemy n, a że wtedy warunek \x\ <i\an\ ogranicza x do wszelkich punktów leżących w skończoności

bezustannie zbieżnym szeregiem, czyli jest funkcyą przestępną całkowitą. Z tej całej dedukcyi wynika :

I. Gdy dane są miejsca as w nieskończonej mnogości o takiej wła

sności, że:

(tv< rt₂ < «g|<

a, )>0, lim ja„[=oo

nzz oo

to można zawsze utworzyć pewną całkowitą przestępną funkcyę f\ (x) o miejscach zerowych as z danemi powtórzeniami Zs nictwem nieskończonego, bezwarunkowo, absolutnie, jednostajnie i bezustannie zbieżnego iloczynu :

a to za pośred-

\\[Es(x, aj]x»

w którym Es(x, aj są funkcyami pierwszemi, przestepnemi.

Ten rezultat dozwoli teraz przejść do każdej dowolnej funkcyi przestępnej całkowitej f(x) o miejscach zerowych as z powtórzeniami Яа. Oczywiście as muszą zadość uczynić warunkowi (3). [art. poprz.]. Utwórzmy bowiem:

f\{x)=\\[Es{x, as)fs

to iloraz f(x)lfi(x) będzie funkcyą przestępną całkowitą bez miejsc zerowych; da się więc w każdym razie wyrazić w postaci e⁹^x\ Stąd wynika f(x) = e⁹^.f\(x), a przyjmując, że f (x) ma mieć jeszcze i miejsce zerowe x=0 z powtórzeniem Я, dostajemy:

oo

f(x)-=xk. e⁹^ . II [E/х. as)]ks.

Stąd twierdzenie :³)

II. Każdą funkcyę przestępną całkowitą f(x) z Âs-lcrotnemi miejscami zerowemi as określonemi w tw. I. można wyrazić nieskończonym iloczynem f\ (x) z dobrze dodanym zewnętrznym czynnikiem e⁹^ i czynnikiem xkj jeżeli f(x) ma być =0 razy Я na miejscu x=0.

31. Logarytmiczna pochodna iloczynu, Ilząd iloczynu. Zauważmy identyczność :

as

X—as

as\

Xvs-⁴

a/s

1 Xvs

a$ ' a/s ' X

'albo :

a.

(1)

X-

Xvs~¹

Xvs

a/s

a/s X—as

gdzie X nie potrzebuje być ograniczone, a vs są tu liczbami jeszcze nieoznaczonemi. Połóżmy :

xvs-'

as a.,²

to za (1) napiszemy:

a/s

Ps{x\

xv* 1

—+P,(!t)-

X—as

(2)

(3)

Cl s* s JC Cts

Sumując tu od 5 = 1 do s = go mamy:

¹

zywamy logarytmiczną pochodną funkcyi G(x).

²

Appel. Proposition d’Algèbre et de Geometrie dé duites de la consideration des racines cubiques de l’imité. 0. R. T. 84. (1877) str. 540. Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires. Tamże str. 1378.

³

Weier strass. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen (Abhandlungen)... (1886) str. 1—27.

Casorati. Aggiunte a recenti lavori dei sig. Weierstrass... Annali di mathe-matica pura ed applicata. T. 10. — Serya II. (1880—82) str. 261....

⁴

—as

as

— gdzie as są miejscami zerowemi funkcyi f(x) — to, przyjmując |#|<Cj«s|, mamy stąd:

-S'-Êfï

Pierwsza z tych sum jest wymierną funkcyą o jednokrotnych miejscach nieskończonościowych a1; «₂, an-1* Co się tyczy drugiej sumy, to zakładając |ж|<|ая| i pisząc ją w postaci:

00

a?*

S—n

—=«'„(*)

a?

Ch

mamy stąd odrazu :

oo

I S‘n(x) I < 2 Ъ

Xvs

a/’*⁴'¹ ' i_ x_ as

Połóżmy tu wszędzie za Я, największą z tych liczb = Я, a za 1 — — połóżmy wszędzie:

S—n

as

1-

i⁵ i »

CtS

to dostajemy:

oo -

! £'»(>) |<л 2 Г

Xvs \    1

s\—n

as\

Za wszystkie 1--

to tern hardziej będzie :

połóżmy tu najmniejsze z nich =1 —

\&n

I S‘n(x) I < —

X K-

i a° I ’

a stąd wynika, że suma S‘„(x) będzie w obszarze jх <Я\апj jednostajnie^ i bezwarunkowo zbieżną, gdy sumę P [art. poprz.] stosow-nem wyborem liczb vs uczyniono już bezustannie zbieżną.

Z tego wnosimy, że także suma :

|+2я.(^+ад)-вд

(4)

jest w całym obszarze skończonych wartości x po wyjęciu punktów ж=0

«i, a₂, й3j    bezwarunkowo i jednostajnie zbieżną, czyli

jest funkcyą analityczną, jednoznaczną o jednokrotnych miejscach nieskończonościowych 0, au a₂, az,

przyczem —

Mając to, wróćmy do funkcyi /(ж), art. poprzedź., o miejscach zerowych 0, ai,a₂,az, ..., z powtórzeniami Л, Ли Л₂, Л₃, . jak przody — lim an=co .

W zroo

Jej element w otoczeniu punktu as ma postać :

f(x) = (x— as)xs фк(ж—as) gdzie ^,(0) ф 0 jest. Z niego mamy :

1‘‘{х)=~Л₁₁{х—аау-х %{x—as) + (х—аа)л¹%‘(х— as) a stąd na logarytmiczną pochodnę cp{x) samej funkcyi f{x) w otoczeniu miejsca as dostajemy:

f\x)

Ла

f{x)

=---к ^s{x—as).

x—a a

.    $=1, 2, 3,...

f‘(x)

Utwórzmy różnicę --U(.x), to ona widocznie nietylko w oto-

/ \ x)

czeniu punktów жф^, ale i w otoczeniu samych punktów 0, ai: a2l «з, ... daje się rozwijać na zwykłe szeregi potęgowe; jest więc całkowitą wymierną , albo przestępną funkcyą. Połóżmyż :

(5)

f‘{x)

f{x)

U{x)=g‘{x)

to stąd odrazu wynika :

I. G-dy dana jest funkcyą cp(x), która okazuje się logarytmiczną pochodną pewnej funkcyi całkowitej przestępnej f(x) z nieskończoną ilością miejsc zerowych, to zawsze można utworzyć taką, jednoznaczną, analityczną funkcyę U(x), że cp(x) da się przedstawić w postaci :

(6)

cp(x)=g‘(x) U(x)

z dobrze oznaczoną całkowitą (przestępną, lub wymierną) funkcyą g‘(x), W U{x) należącem do funkcyi f{x) rzędu ms° będą wszystkie Ps{x) stopnia {m—l)s°. Stąd wynika, że :

lim

Ps{x)

X~ao

xm

0, s== 1, 2, .

Owe nieskończone x poddajmy warunkowi :

(8)

я

że wtedy także lim m+1

X — oo &

będzie :

O, jeżeli /'(0)=0, więc

ostatecznie

(7)

lim

TJ(x)

#=•00

Xm

« xm^. X—as

lim \x—an | = oo ,

(którego znaczeniem zaraz się zajmiemy), to wtedy suma:

i x—a g \ \x\m

s—l I    ¹

gdyż każdy jej dodajnik bez wyjątku jest z nią będzie :

zerem.

Równocześnie

lim

Ш₌₀,

X—

a z tego — według (5) — wynika, że :

lim

f\x)

lim

9'0*0

*=» Xmf (X) Х—Х xm

Aby warunek (8), wytłómaczyó, przyjmijmy że same as (a nie icli bezwzględne wartości) zbliżają się do kilku granic:

lim a^Re^t¹, t —1,2, 3,

n~.cc

w których R—oo . Obierzmy x w postaci x=ReV‘ to mamy:

x—an=Rie*?¹ — ewt!)

a tu cp można będzie na nieskończenie wiele sposobów tak wybrać, aby różnice cp — cot nie zbliżały się dowolnie do zera, lub do wielokrotności liczby    Wtedy i różnice j —ewtl [ nie będą

nieskończenie małe, a warunek (8) już się spełni. Takie x określić można jako miejsce niezbliżające się dowolnie do granic Hm an , a stąd twierdzenie :

cc

II. Gdy f(x) jest rzędu m⁹°, to na wszystkich miejscach x=cc nie-przybliżających się dowolnie do granic liman dostajemy:

n=L 00

(9)

lim

x~cc

f\x)

xmf\x)

lim

x~oc

9\x)

xm

a gdy w jakikolwiek sposób już wywnioskowano, że g‘(x) ma być wymierną funkcyą stopnia <C m. to w takim razie jest : ffx)

0*).

(10)

lim

3CZT.CG

xmf(x)

Własność tę posiadać będzie każda funkcya f\x) rzędu m°°, a o czynniku zewnętrznym redukującym się do stałej ilości. Taką funkcyę nazywamy za Yivanti’m prostą funkcyą rzędu т%°. Liczba m jest oczywiście najmniejsza wyjęta z szeregu liczb 0, 1, 2, 3, ... a powodująca znikanie granicy (10).

Na tern przerwiemy te teoretyczne rozważania, aby twierdzenia i formy tu wyprowadzone zastosować do znanych, elementarnych funkcyj trygonometrycznych. W późniejszym dopiero artykule wykończymy teoryę i dojdziemy do zamierzonego celu t. j. do utworzenia najogólniejszej formy przedstawiającej jednoznaczną analityczną funkcyę z jednem tylko miejscem istotnie szczególnem.

32. Fniikeya sin тс ж. Funkcya sin их posiada jednokrotne miejsca zerowe as=-

0, + 1, ± 2, rt 3, rt ...

— po opuszczeniu miejsca #=0 — okazuje się tu suma:

-f CO    -,

-A,

- 00

bezwarunkowo zbieżną już dla m — 1. Można zatem wszystkim vs nadać wartość =1, i położyć:

П' (i-iy

-f- 00

(1)

sin u x=egW

V — — CO

gdzie kreska nad П przypomina, że w iloczynach czynnik z v=0 opuścić trzeba. Funkcya sin их jest więc rzędu m=l, a jej miejsca zerowe dążą do rzeczywistych granic :

(2)

lim (+ r) = + oo.

Funkcye Ps{x) są tu postaci -, v—fr_ 1, +2,... a stąd — podług tw. I., art. poprzedź., albo wprost z równania (1) — dostajemy :

*) Laguerre. Sur la détermination du genre d’une fonction transcendente entière. C. K. T. 94. (1882.), str. 685—638. Sur les fonctions du genre zéro et du genre un. C. R. T. 95. (1882.) str. 828—831.

Sparre. Sur la détermination du genre d’une fonction holomorphe dans quelques cas particuliers. C. R. T. 102. (1686). str. 740—743.

^log sinnx=n cotgтсх=д‘(х) + — +    .--

ClX    00 é/шшт V 00 V

Sumowanie odbywa się tu (i wszędzie poniżej) od v——co do ^=-uco, a kreska nad znakiem sumy wskazuje znowu, że do-dajnik z ^=0 opuścić trzeba.

Obierzmy x=co w postaci+I+co i, gdzie £ jest dowolną , skończoną liczbą rzeczywistą, to takiemi x nie przybliżamy się dowolnie do granic (2), a stąd — [tw. II., art. poprzedź.], wynika :

TC cotg 71 X

(3)

(4)

lim

lim

g\x)

X=co

X— oo

Lecz w art. 6. — Pd. 3. — okazaliśmy, że cotgx dla x nieskończenie wielkich, a mających postać tu przyjętą, dąży do skończonych granic + i. To samo odnieść trzeba i do cotg тех, tak że w (4) po lewej stronie mamy zero, a skutkiem tego będzie lim [g‘(x)lx]=0. To wskazuje, że g\x)—a — const., a sama funkcya

g(x) miałaby być = ах-\-Ъ, gdzie & jest znowu stałą ilością. Uwzględniając g\x) = a mamy teraz z (8) :

X~cc

(5)

1    x

тс cotg тсx=a-\--~ -j-    —-.

x—v ’

a wartość stałej a można tu w dwojaki sposób obliczyć:

1°. Rozwijając (5) w otoczeniu punktu x=0, mielibyśmy:

тс cotg тс

Lecz z drugiej strony rozwinięty iloraz:

TC²X²

-^-4-а + с₀ж-гсххъ L...

7С cotg ТСХ = 7С .

2!

“Ь •••

тех пгхг

ТТ зГ ⁺ ‘"

w otoczeniu punktu #=0 nie zawiera wolnego wyrazu. Stąd wynika, że a=0 być musi.

II⁰. Ponieważ cotg тех jest funkcyą nieparzystą, więc niając w (5) x na —x dostaniemy tam po lewej stronie—тс cotg тех. Po prawej stronie suma przejdzie na:

zmie-

(a)

+ 2-- 4-.

v xĄ-v

Że zaś tu sumuje się od —co do -j-со , więc można w (a) bez

ą-v. Po tej zmianie

zmiany tej sumy położyć wszędzie —v za mieć będziemy:

95

. co

a równanie (5) przybierze postać :

—тс cotg тсх=а—

(6)

(A)

1 1

X ^    ’x—v '

Dodając (5), (6) do siebie dostajemy 2a=0, czyli: «=0. Z tego wynika , że :

тс cotg тс x=

albo :

-“l V X — V ¹

że g(x) redukuje się do stałej Ъ i że wreszcie:

U')

тс cotg тс X—

(7)

\e

sin тс х—х. еП' |l —

v = +l, +2 ...

Rozwinięcie lewej strony zaczyna się tu od nx\ rozwinięcie zaś iloczynu ma jako wyraz początkowy eb.x. Musi więc być еь=тс, a stąd wynika :

(8)

sin тех—тех.

П'МК

funkcyacb pierwszych --^ev, v

który to iloczyn o

jest bezwarunkowo, absolutnie, jednostajnie i bezustannie zbieżny.

Za uporządkowaniem iloczynu (8) w ten sposób, że co dwa czynniki o jednakowem \ v mnożymy ze sobą, dostajemy formułę :

=±1,±2,...

(9)

sin тс X—тех.

пНЧ

+ —... jest w ten sposób

O

którą już E-uler znalazł. Jest ona w swoich czynnikach bezwarunkowo zbieżną, bo szereg——f

i.    Zj ù

ynniki +    (1-7)

zbieżny. Przedstawienie iloczynu (9) przez cz nie jest dozwolone bez przydania tym czynnikom

X    X

funkcyj wykładniczych ev, e v.

Połóżmy :

(«)

F nix) —r.x

= Anx(x—l)(x—2) ...(x-n)(x-\- n)... (x -f-1), co przy skończonem n jest dozwolone i połóżmy tu (cc-f-l) za x, to dostaniemy:

czyli :

Fn (X -J-1) = An {x -{-1) ж(ж—1) ... (ar—n—1)(ж Ą-n -j- 1) ...(ж -j-2)

Fn(x+l)^Fn(x).X+x^ \

Zmieniając przy kaźdem n funkcyę Fn(x) na iloczyn (a), dostaniemy stąd

przy n— co :

sin л (x 4- 1 ) = sin ~ x. lim X П —— ⁴    '    _œ    x—fl

czyli :

П —

sin тс {x -j- 1) = — sin тс x.

Dalej mieć będziemy :

sin тс (x -{- 2) = sin л x,

co wskazuje, że sinicx ma peryod : 2, a funkcya sinx peryod : 271*).

33. Funkcya cos л ж. Przykłady. Zajmijmy się teraz funkcyą cosnx. Jej miejsca zerowe są :

+ -L 4-— 2 ⁷ —

CO CM

2v-\-1

, ...,

a że szereg :

oo

² (2v + ¹)m+1

jest absolutnie zbieżny już przy m = 1 przeto iloczyn, jakim będzie można przedstawić funkcyę cosnx będzie rzędu ,m=l.

Co się tyczy zewnętrznego czynnika e°^x\ to zupełnie analogiczną drogą, jak w wywodzie funkcyi sin тех, wywnioskujemy, że ; g(x)=O, a więc i g\x)—0.

Mieć więc będziemy :

+ ⁰⁰

(1)

COSTCX= П (l

2.r

albo :

V——00

2^+1

le²^¹

(2)

COS 71 X

„lid- — ).

"V (²”-1 у

Logarytmiczna pochodna formy (1) daje :

.    (B)

—л tg 71 X

^ 1    ¹

I    2v-j-1 n 2^+1

V——» j X--

-f- oo

2v+l\ 2“/

albo :

*) H ermite. Cours d’Analyse (1881.) str. 70., 71.

+ CO

(2v+l)(2x—(2v + l))

Titgjix——

-GO

To samo możnaby dostać, postępując podług tw. I. art. 31., uwzględniając, że tu g'(x)=0.

Pd. 1. Utwórzmy:

sin г. (x—a) = T.(x—а)П‘ ^1

X—a\ V ~-)e ’

1-

to dokonywując tu w każdym pierwszym czynniku przerobień : х—а V —ж-Ра

dostajemy :

W każdej wykładniczej funkcyi przeróbmy wykładnik w ten sposób:

to mieć będziemy :

(8)

= — т.а

4-4

V

V _p a v-p a

sin тс (x—a) —

(ЧгкО+т»

X \ V

v-pаГ

x    /1

— x (--

+ a    \V

v-~a

).

Tutaj każdy z iloczynów :

10

—т.а

. II‘ ^14 —) e V — s^n (—⁷¹ «) =—sin r. a,

20

(4rMŁ

X \ V-\-Œ

v -p a/ ’

30

i-)

+aj

jest bezwarunkowo i jednostajnie zbieżny, a stąd wynika, że (3) także tak napisać można :

sinr.(x—a) — sin т. a

.j,fi --U

■ći \v v+aj

2'(ł-4)=2'

\ a /    \ v-pa'

a

v(a :~p v)    v

v-\-a

• Zważywszy, że :

(—a—v)

= — cc cotg л a -J—— [podług (bP) art. poprzedź.] do-

staniemy :

v-j-a — л x cotg л a

sin r.(x—a) — sin r. a a stąd wynika wzór:

(i——t ajT‘ti—p-]e

\ al    \    v—p cc'

-rjL X \    sinrJx — à)nx.cotgna

Щ-ЦГаГ =--iï^‘

(С)

gdzie już w iloczynie П mamy v = 0, +1, +2,...

ГГ

Teor. funkcyj analit. T. II.

Pd. 2. Okazać . że :

2i>+1

(C‘) .

COST.-,

2v -f-1

(x — a)\    X tg 7t a

cos ~ a

Uwaga I. We wzorze (O) nie ma być a .identyczne z żadnem z miejsc v, a we wzorze (C") z żadnem z miejsc —.

Uwaga 2. Wzory (6’), (C") można wyprowadzić także w taki sposób :

Ponieważ

г. cotg - {x-—a) = — log sin ~(x—a)

i ma miejsca nieskończonościowe jednokrotne x—'t -f- a, v = 0, +1, + 2, są zarazem miejscami zerowremi całkowitej funkcyi sin ~ (x—a) rzędu m = 1, więc podług tw. I. — art. 31. — położyć można :

a te

" cotg 7z

)■

Dzieląc obustronnie przez x = u -j- vi i zakładając u skończone, a v niesie oń-dostajemy dla takich x iloraz g‘(x)[x = 0 [art. 5. Pd. 8.]. A więc

czone

g‘{x) — const przy każdem x ; że zaś dla x = 0 mamy z (Z>) : g‘(x) = я cotg (—~ a), więc

¹    Cr—(v -j- a) v-j— «)

™ log sin г. (x—«) = — cotg ~ a a z tego równania dojdziemy już do wzoru (C). Analogicznie będzie:

iż tg ~{x—a) = — log cos %: (x~a)

(E)

— Tztg~a~f- x-

2.+1

-2“+“

•*?

a stąd wyniknie wzór (6V). Sumowania w (Z>) i w (E) odnoszą się do v=0, +1, +2, Pd. 8. Przedstawić funkeye:

przez iloczyny bezustannie zbieżne. (Pierwsza z tych funkcyj jest = — i sin x i. druga zaś = — cos x i).

Pd. 4. Najprostszą z funkcyj o jednokrotnych miejscach zerowych + 2‘²w, -f 3²w.... a dwukrotnem miejscu x = 0

+ to

jest:

00

co

f(x)= C.x. П    -II (l+^)

V—1

00

СО

00

.-i/ Ж

г V—

==с.ж².Д у

Za stosownem doborem stałej C będzie :

V²

IIV -

СО

v>

[Forsyth].

f (x) — sin -    . sin r. i

Pd. 5. Najprostszą funkcyą o miejscach zerowych:

i    i    ii

. 7 .    7.7    4

«„ = + V г, — V г, -f- V , —V ,

v = l, 2, 8, ...

a pozbawioną ze wnętrznego czynnika , będzie

1    / * '\²+± ( x-\\ 1 /£Л*

2    [aj T 3 [aj ^ 4 \aj.

Pd. 6. Korzystając z wzorów (С), (6") przedstawić funkcye :

(«)

cos я X -f- cos тс a

COS Я

1 -j- cos г. a

cos² 7C . T

(*)

cos я ж — cos я er

.    (x—a\

sm ⁷¹ V 2 ) Sm r V⁻2~'

1 — cost, a

. , «

sm-Tz-zr

0)

sin т.х—sin я a

/Ж 4- a\    /ж—<A

V—2—/ C0ST'\^)

św я a

a

sm я ——

¥'

COST.

id)

я* г. X—sin я а

sin я

/ж-|-а\    /ж—»\

\Г2-) C0S7:H-j

sin я a

cos я

przez nieskończone (bezustannie zbieżne) iloczyny — (Biermann).

34. Liczby Beraoulli’ego. Szeregi Sm, Tm, TW Chcąc rozwinąć iloczyn przedstawiający sin их na szereg, możemy do tego użyć jego formy (9) art. 82., a gdy jeszcze i lewą stroną w (9) rozwiniemy, otrzymamy :

их u³xz иъх⁵ и^х1 TT _ ¥ГГ⁺ ~5!    7Г

gdzie w sumach mieszczące się vi, v₂, ... są w każdym dodaj-niku różne między sobą, a wyjmują się z szeregu liczb : 1, 2, 3,..., in inft. Stąd przez porównywanie dostajemy:

W*²3

yr2i-

1 _

^    ².v₂²...vjc2 Ck (2&-f-l)!

*=1, 2, 8,

Połóżmyż : 2

to między c*, a $2* zajdą tu takie same związki, jak między ele-

mentarnemi funkcyami symetrycznemi, a sumami równych potęg pierwiastków, [T. I. art. 88., (В)] a mianowicie:

(a)    S₂—ci=0, Si—ciS₂+2c₂^0, S₆—ciSi + c₂S₂—3c₅=0,...

Z Æ pierwszych tych równań obliczając *82*, dostajemy:

! ^1, ^^2? Зс3? •••)

^2 *•*    —1

Cy ... C/c— 2

C1

(b)

82*=

0    ... Cy

Z równań (a) mamy :

S₂

л;²    1 2уг²

84

6 2!

⁴    7Т⁴

__2 —

2².3²    5!

CO

2tc²

TP

2%⁴

-^2- 4! 5

в, =

05 M.

R - ¹

^2_30

(<0

Sik—Bk.

Grdy więc równania (a) podzielimy po porządku przez тс², тсг'

(2Je) !

Ck

i uwzględnimy :

(2&+1)! * relaC^^ (c) ’ т*е° będziemy :

A 2 -1

3 !’    5!

o A z. ¹

7!’”'    (2Ä+1)!

(d)

Дь

(2Ä)!

¹ ’ 3!

5 Г"’’ (2*—1)!

2²*-¹ • ; o

3 ! ’    ’ (2Æ—3)!

0,0,    o,...,

3!

k = 1,2, 3,...

Taki jest ogólny wzór na spółczynniki Bk ; nazywają się one liczbami Bernoulli’go? a mają po porządku wartości:

691

(e) By ₆, B₂ go, B₃ 42

B,.=

1 TD _ ^ TD

30’    ⁵~66’    ⁶

2730

i t. d.*)

Oprócz szeregów 82* trzeba jeszcze uwzględnić szeregi :

*) A. Stern dowodzi [C. J. T. 92.], że liczby te — począwszy od czwartej — wciąż rosną. Z nowszych prac o liczbach Bernoulli’ego i Eulera czytaj : W o r-pitzky. Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. 0. J. T. 94. str. 203—232... Por. także: A. Berger. Acta math. T. 14. str. 225—232.

które w ten sposób obliczyć można. Ponieważ :

$2/t

więc

__L₊L+2_

22к 22t ' 42²    62²

S-2k'

S2k

22k

Tik

czyli ;

(ct)

T2k=

22k—1

22k

-S2k, albo wreszcie :

(a¹)

T,k

22k—l

Bb .

n2k

(cc¹¹)

*‘(2 &)!'

W szczególności, gdy &=1, mamy stąd:

A.

8 ~’l²’¹~3²"r5²~r72²r

ł__l_,L_ł.....+

^2/t    22² ' 3²⁴'    42²‘

Połóżmy wreszcie :

= U2k

to widocznie :

2 S2k

22k

, czyli :

u»-

2 2.t 1—i

U2k=

22²-1 22²“¹—1

Я»

albo :

-5². тс2к.

(2h) !

Szeregi S2k, T2k, U2k są tern ważne całkowitych, dodatnich i parzystych potęg liczby n.

że one dają rozwinięcia

Szereg (a") może wraz z szeregiem Leibnitza :

(Ti)

T⁼⁼T^TT ⁺ T~T⁺- [arŁ 2a]

posłużyć do utworzenia bardzo zbieżnego rozwinięcia, przedstawiającego liczbę r.²). Napiszmy bowiem (a") w postaciach:

t:²

l²-f3² , 5²+ 7² , 9²+ll² ,

7Z²

1².3²

5².7²

9².11²

3²+5²    7²+9² , 11²4-13²

3².6² ^ 7².9²

11².13²

to ich różnica da relacyę:

1--

5².3²-3².l²    9².7²—7².5²

5².7².9²

9²—5² . 13²—9²

1².3².52 5²—l²

... = 0, albo:

1².5²

5².9²

9².13²

p... albo:

6.4

14.4

¹ — 1A5²    5².9² ^

22.4

9².13²

... j

albo wreszcie :

(Тг)

1_₈Г-®—1—i-., ¹¹

Ll².5²'1_ 5².9² ‘¹

Gdy z drugiej strony i szereg Leibnitza napiszemy w dwóch postaciach: 3-1    7-5    11-9

4    1.8 "ł" 5/7 ⁺ 9.11

5—3    9—7    13—11

7dT “ 11.13

9².13²

ь]

7Z

5.7 ^ 9.11 ⁺

—=1---

4    3.5

to za ich dodaniem dostajemy :

=¹+²[(

= 2 Г1    1

Ll.3

² [ä5 ⁺ 7Ä ^

1.3    3:5) + (5/7 “ 7Л)) ⁺ "•]

5-1 . 9—5

... = 1 —

11.13+ -] ’

ь]

= 1 + 2 [

= 1+8[1Ж5 ¹ 5.7.9 ¹ 9.11.13 Odejmując stąd (y₂) mamy :

_ _ 1 = 1 + 8    - JT52 + 57779 “ 5^92+-.] a btąd

я _    _ Г З²—5 , 7²—5.9 .    r .

2 — ²    ⁸Li².3.5²⁺ 5V7.9² +'“ °Zy ‘

^ 9².11.13² "*"•**] ’

1.3.5 ¹ 5.7.9

b~]

+=¹-16 które-to rozwinięcie jest bardzo zbieżne.

1².3.52 1 5².7.9²

(1)

35. Funkcye tg ж, cotgx. Wyprowadziliśmy już wzory: 71 cotg я#=—+]]^

+ 00

(2)

71 tg лх=—

4x

V— — co

(2^ + 1)[2ж—(2^ + 1)] ’

z których, przez różniczkowanie odrazu wynika :

(10

Jl²

-{-00

sin² 71Х

^ (x—v)² 7

V——00

(20

Tl²

cos ²nx

V——

Z form (1), (2) skorzystamy dalej, aby funkcye cotg x, tg x rozwinąć na szeregi w otoczeniu punktu ,r=0.

Gdy w (1) każde dwa dodajniki o jednakowem \v\ ze sobą złączymy, dostaniemy :

(3)

-V²‘

Zastąpmy tu nx przez x, to mieć będziemy:

(4)

cotc/x=~

2x

X¹ — v²n²

V =1

Rozwinięcie w otoczeniu miejsca x = 0 doprowadzi tu do

szeregu :

cotgx=—

2x    1 \ x2k

тс²v2kJt~²) TC2k

lc=z§ V — i

albo — za użyciem szeregów S₂, $₄, ... — do szeregu:

,    1 2x

cotqx= —

J    X

(5)

2xz

Naznaczmy teraz dla wygody liczb}^ Be rnoulli’ego, w tym

porządku, jak je w (e) — art. poprzedź. — mamy, przez Bi} *6, '

to wtedy związek (c) — art. 34. — będzie postaci :

22 k-in2k

¹

x = co jest punktem istotnie szczególnym jako miejsce skupienia punktów nieskończonościowycli аз.

²

P. Lucas: „Expression du nombre r. par une sérié très convergente“. — С. E. T. 112. (1891), str. 1050...

(270!

a z (5) dostaniemy szereg:

(«)

cotgx=——^

Ж V

2²x

2!

\-Br,

2bc³

4!

■)

który jest zbieżny w obszarze: 0<i\x\<^n.

Analogicznie postępując z rozwinięciem (2) dojdziemy do

oo

₉    (2v—1 i²

~(—я)

tg x=—2x^i —

v=\ X

a stąd dla otoczenia punktu ж=0 do szeregu:

tgx

-Й(2

к= 0

(2v—1)²*+²/’ ?t2i' :

00

który — z uwagi, że ^

V—1

(2v—l)²*

nazwaliśmy Ты

można w ta-

kiej formie napisąć :

(6)

tgx

03rf    /V» 2    /у* 4

—к+^А+^-ь--

УГ² |_    *    TC*    71^

Zważywszy zaś, że tu przy nowem oznaczeniu liczb В e r-noulli’ego jest :

(6 a)

Ты

2²*— 1

—Вы

TC2k

(21) !

(/5)    ^*-5₁22(2»-l)|j+B₃2‘(2‘-l)|^+B₅2'>(2®-l)|i + ...

mieć ostatecznie będziemy:

który-to szereg jest zbieżny w óbszarze : \x\<Zr -•

Już w art. 5. — przyj ąwszy, że funkcya tgx w otoczeniu punktu #=0 przedstawia się szeregiem :

⁺ ЗГ* ⁺~5!    ⁺''’

doszliśmy do równań:

/2w—1\    /2w—1\

(. 2 Ja2*->+(    4 )

®2w—6 —

to to

H co

z których po porządku można obliczyć a1: a₃, os5? ... Stosując to do szeregu (ß) otrzymamy równania :

2²”(22n—l)

(T)

2w

Вчп-\ —

(2n—1^ 22re-²(2²«-²—1)

2w—2

Bin—3 +

₊-₊(-ц-е=э 22(2!-i)

гг— 1

z których znowu po porządku (w=l, 2, 3, ...) dadzą się oznaczyć liczby J5j, J?₃, 5₆, ...

36. Funkcye : sec ж, cosec ж. Załatwiwszy się z funkcyami tgX i cotgx, przejdziemy do rozważania pozostałych funkcyj trygonometrycznych: cosec X i secx.

Z identyczności :

[coig ^ + tg ^ j=cosec x

— gdy x na тех zmienimy i czynnik те po obydwu stronach dodamy — dostaniemy :

(1)

тех

nx

albo :

2ncosec nx=ncotgĄ-ntg--^

„    _ d ₇    . тех „ d ₇ тех

2те cosec тех=2 ^-loq sm-^r—2-j-tog cos-= dx y 2 dx *    2

d,    . же d, тех

те cosec тех= loqsin-x- —₄-loqcos--ćfe *    2 dx ■’    2

Stosując do funkcyj po prawej stronie znowu tw. I. — art. 31. —

i zważywsży, że pierwsza z nich ma miejsce nieskończonościowe

ci=2v j a druga os =(2^ + 1), mamy:

albo wreszcie :

Ti cosec тт x=

=—+'SÏ—-

X ^ \x—2v

è)-2(

,    L-.)

X—(2^-f-l)    2^-f-l/

±T +2j •••

-Л r=

'(2)

-|+2‘(-i r--. ¹

1 , « (— 1)V

tt cosec ttx=--\- 2x ^

a;

a:—y

albo:

Zastąpmy tu я;# przez х

(3)

a więc ж przez —

1    (—l)v

cosecх=— 4 2 ж. >—~—-—г«-.

Xй — (VIT)А

to będzie :

Z tej formy dostaniemy rozwinięcie w otoczeniu punktu ж=0

w postaci:

cosec X— -- —2x

^ ('S? (—l)y\ _j»²*

iŚv^ ^²*⁺² / ^2i'_

v=l

Ze zaś — po naznaczeniu już liczb Bernoulli’ego przez •Ei, E₃, B₅,... — jest:

2⁽-v

Bu+i

^2ifc + 2

(2*+2)!

(22*+i_ 1)^+2

podług (/?') — art. 34. — więc ostatecznie mamy :

1 , 2U, 2Uk 0    2?7₆ .

cosecx=—b —é xĄ--у^х° 4--^x,Ą-...

TT^    TT⁰

(4)

TT~

albo :

(г)

2—1 X

пг TT

1 „

cosec X——V Ви

X

2³—1X⁵

3 5 !

+е₅.

+Е₃

+ Е₇

2³—1 ж³

2 3!

2⁷ —1 ж⁷

4 7Г‘

a te szeregi są zbieżne w zakresie 0 <C j x j <[ tt.

Zastąpmy w (1) x przez    to dostaniemy (po podzie

leniu przez 2) związek :

(5)

tt sec TTX

który — gdy zważymy, że :

(a)

TT , f TT TTX\ TT ( TT TTX\

” 2 tg [ï⁺ 2 )⁺ 2 ty ( 4 ~~ ¥)

d    ( TT 7TX\

dxl0rje0S\i ⁺ ^)

TT ,    ( TT 7TX\

2 tg ( i ; 2 )

, /л лх\ d ₇ (л лх\

io a

ts>{T-Yr⁺dïlogcos{T-Tt)

także tak będzie można napisać :

(6)

л sec л X — —

dx

,    / л лх\ d ₇    /я;

Ponieważ funkcya :

COS

( 71    71 X\

4⁺2

A i -, 4v -f- 1 =0, dla x——-— A

a funkcya:

г ns

/л лх\

U ~-2 г

О, dla X

4^ + 1

V —0; ±1, ±2, ± 3

wiec stosując do (a) i (b) twierdzenie I. — art. 81. — mamy :

(С)

Л , ( Л лх\ Л

s^l-i aj -J- —

ьс

[g‘(x) jest tu =

gdyż tak (a) jak i (b) daje dla x=*=0 wartość ~, a w (c) suma nieskończona dla x=0 znika].

ći

Wskutek tego wzór (6) da się tak napisać:

л sec л X =

=л— 2

4^ + 1

*+-ż-albo :

л веслх—

+ 00

’T*

4^-j-l

2 /4^pl\ '

VZZZ-00 I 1-- I

V 2 )

Х-+

4vĄ-1

albo wreszcie :

-f-oc

2x²

■ (7)

л sec л x==

Zauważmy liczby :

⁷¹    2    •    1 , ' (iv + l\r

ß)

4^ + 1, v=0, 4~ 1, + 2,... Przy dodatniem v— -f- pc mamy:

4 u4-1 = 2.2ttpl ;

przy odjemnem zaś v——[i jest

—4/i-\-l = —(4fi— 1)=—[4{fi—!) + 3]= —[2(2(^—1) +1) +1].

Z tego wynika, że wszystkie liczby (d) dają sie przedstawić

przez :

+ (2v + l), gdy v=0, +1, +2, +3, ...

i przez :

a więc przez liczby :

— (2^+1), gdy v=~ 1, —2, —3, ...

(-iyßv+1), v=0, 1,2, 3,... Stosując to w (7) mieć będziemy:

(8)

(-1)"

2я²

л sec лх=

v=0

a po zastąpieniu tix przez x okaże się :

(9)

sec x =

1+2

(—1Г

2x-

v=0

(2v+l \ ’ (2v+l \²    •

\—n) н-*)-*'

Z tej formy, po jej rozwinięciu w otoczeniu punktu x=0, dostaniemy:

-KI

(—l)*»    \ 2²*+⁴

(2v + l)³*+y ^*+з

-{-2

Połóżmy :

f2A'-f-3    32*4-3* 52*4.3

to mieć będziemy :

secx= 1-f

..= Жац-з,    0,1, 2,...

W^_x^₊ 1Р,.2';    , Ж₇.2* *e

тс л² TC

Połóżmy na wzór związku 6(a) art. poprzedź. :

₂2*+i—1

ъ — -в

Z; = l,2, 3,...

gdzie przez to oprócz liczb Bernoulli’ego Bi, Pb, B₅,... wprowadzamy jeszcze nowe liczby B.₂, B4: _Z?₀, ... to wtedy rozwinięcie (10) będzie miało postać:

/y> 2    /V* 4    /V» 6

eec«-l+Ą2*(2⁸—l)gj +J?₄2⁵(2^—1)^ + 5₆2’(2⁷—1)^ + ...

w której widocznie spółczynniki są zupełnie podobne do spół-czynników w rozwinięciu funkcyi tgx. Rozwinięcie (d) jest zbieżne

w zakresie: x <C J.

Ы

(10)

(10а)

Ж₂*₊1

(à)

л;⁴

71

2Ь (2&+1)!

37. Liczby André’go. Liczby B1} B₂, B₃, Б₄, ... i szeregi TU: W2k+i, wchodzące w współczynniki rozwinięć funkcyj tg x, secx nie są dogodne z powodu , że już samo ich określenie nie cechuje się pożądaną prostotą. Okaże się jednak, że spółczynniki wspomnianych funkcyj dadzą się z wszelką łatwością określić i utworzyć a to na podstawie pewnych liczb całkowitych, które swój początek biorą w pewnem bardzo prostem zagadnieniu o permutacyach.

Zauważmy n elementów a1? a₂, ..., an i utwórzmy z nich wszystkie permutacye, których, jak wiadomo, jest n\ Jedną taką permutacyą, n. p.

^k₂ &к.А ••• n

weźmy pod uwagę i utwórzmy różnice :

^2 ^\7 h    —1 •

Żadna z tych różnic nie jest zerem; w jednej tylko perrnu-tacyi są te różnice wszystkie dodatnie, w jednej wyłącznie od-jemne : w innych już są i dodatnie i odjeinne.

Permutacye, w których te różnice są naprzemian : dodatnia, odjemna, lub: odjemna, dodatnia, a więc permutacye, w których

k₂ —    0,    к.,—&₂<C0, ... albo k₂ — \<i0, Jc,— &₂;>0,...

nazwiemy f a listem i.

Dwa elementa ag, cth stojące obok siebie w permutacyi falistej — (gdzie przy tern ag stoi przed ah) — tworzą spadek, gdy g'j>h, tworzą zaś wzniesienie, gdy g<C.h.

Ponieważ elementa każdej falistej permutacyi wypisane w porządku wprost przeciwnym dają znowu falistą permutacye, więc stąd wnosić trzeba, że przy każdem n liczba wszystkich falistych permutacyj jest parzystą.

Przytem zauważymy, że gdy w dwóch permutacyach o wprost przeciwnem uporządkowaniu elementów jedna z nich zaczyna się wzniesieniem lub spadkiem, to druga kończy się spadkiem lub wzniesieniem. Nazwijmyż, gdy danych jest n elementów, ilość wszystkich falistych permutacyj: 2An, to je podzielić można na An permutacyj o początkowem wzniesieniu i na A.n permutacyj o końcowym spadku , lub na An permutacyj o początkowym spadku i na An permutacyj o końcowem wzniesieniu.

Liczby Aq, Ai} A₂ nie mają znaczenia: damy im jednak wszystkim wspólną wartość: 1.

Gdy n—3 mamy 4 faliste permutacye:

«2 «3 “i

«2 cq a₃

«i

«2

a więc A₃ = 2.

«3

«o

Przy w—4 dostajemy 10 permutacyj' falistych :

«1    «3    «2    «4 5

«1    «4    «2    «35

«2 a₃ ay a₄,

«2    «4    «4    ßoj

«3 «4 «j «2ł

«4 «₂    «3    «1

«3    «₂    «4

a₄ a₄ a, «2 a₃ ax «₄ a2 a₂ ccy a₄ a₃

a więc Ai= o.

Aby ^4n+1 obliczyć, przyjmując, że znane postarajmy się naprzód utworzyć z (w + l) danych elementów cc y, «2î «3j •••? «и-fi wszystkie te faliste permutacye, w których element an+y zajmuje (p-fl)

Z n pozostałych elementów cq, a₂5 '•••j «я ma ich P stanąć przed a„₊i, a (w—p) pozostałych po a„₊i. Podzielmyż a1? a₂, .... ccn na dwie grupy : P o p elementach i § o (n—p) elementach, to taki podział — gdy się jeszcze o uporządkowaniu elementów w P, Q nie

są już A₀,Ay,A₂,... An

sze

miejsce.

mówi — można uskutecznić na

(^) sposobów.

Przy pewnym przyjętym podziale na grupy P, Q można dalej P uporządkować na p\ sposobów, a Q na (n—p) ! sposobów. Lecz, aby permutacya

P aH+l Q

była falistą, trzeba z wszystkich pl uporządkowań grupy P zatrzymać tylko te, które tworzą faliste permutacye z końcowym spadkiem. Takich permutacyj będzie Ap. Z uporządkowań znowu grupy Q trzeba zatrzymać te, które tworzą faliste permutacye z początkowem wzniesieniem. Takich permutacyj będzie tu A Pewien więc oznaczony podział na grupy P, Q da początek Ap. A permutacyom falistym.

n—p*

n—p

Że zaś P, Q można utworzyć na

sposobów, zatem wszyst

kich falistych permutacyj o (w-fi) elementach z an+\ na (p + 1) miejscu będzie :

szem

Ap. A

n—p•

Ponieważ dalej element an+i może zająć miejsce lsze, 2®ie, 3cie, ... (w+l)sze, a więc p może być =0,1,2, ..., w, to na ilość wszystkich permutacyj falistych o (w-fl) elementach dostaniemy:

2An+l~^(^)Ar.A

Aq An -j-

§ iH

Ay An-. 1 + ...+

AnA(j.

Według tego wzoru — z uwagi, że A₀ =Ai = A = 1 — mamy

A-2, A=5, A-16, A-61,

A =272, A = 1385, A =7936, —

które-to liczby nazwiemy liczbami Andre’go*).

(2)

38. Zastosowanie liczb André’go. Te poszukiwania nie mające nic wspólnego z rozwijaniem funkcyj na szeregi znajdą bardzo doniosłe zastosowanie. Zauważmy szereg:

w którym A₀, A1} A₂,... mają znaczenie dopieroco określone, a o którego zbieżności na razie jeszcze nic nie zakładamy. Jego podwójna pochodna :

zaraz

(1)

. A , A?

y⁼A c -f-yy

(2)

“s-²[ri⁺ î*+é"’+é*,+-

a jego kwadrat:

«/²=(a+

_ a 2, "S’ ГА4 i A A_

° ⁺ńi l°! ^ł + 1! (n-l)l

xĄ-x²-\-...

1!

2!

)(л+

1!

x+

a₂

2!

(3)

An Afj

wTÖ!

ж",

Lecz , że :

w!

(n—r) ! r !

więc (3) można także w takiej formie napisać :

—A²+2    [(o) AA+ (i)А A-1+...+(”) AA J &

a uwzględniając tu relacyę (1) art. poprzedź., mamy:

ir’-V+aS в!

n— 1

Ponieważ dalej A ² =1= -A

ci A

ra-f-1

więc ostatecznie będzie :

P²⁺]rP⁸⁺-

Grdy tu po lewej stronie dodamy 1, a po prawej yy = 1, dostaniemy stąd:

(4)

y²

-H

*) D. André. Développement de sécx et de tangx. C. R. T. 88. (1879.) str. 966. Sur les permutations alternées — Journal de mathématiques pures et appliques. T. 7. (Ser. 3. 1881.) str. 167—184.

(5)

агг¹⁺¹'’

dx dy 2 1 + «/²'

Szereg y spełnia zatem takie równanie różniczkowe. Z niego

czyli :

mamy :

-4 c=arctgy, albo y=ty(^---

Że zaś y—A₀ = 1, gdy ж=0, więc mnsi być c—tak, że osta-

c    4

ty ^ 4---\—Aq +

Zmieniając tn x na —x dostajemy:

tecznie mamy :

(6)

(7)

« i<M

« км

1!

8!

ty{ - - )=A —

to

7® +

² r²_

21*    3!

~ x³ + ...

Stąd za użyciem wzorów :

- ¹ “ ;,'l l' f ) ’’‘'I i f )

ЧМММ)

2 secx=

wynika :

(Я

(dJ)

sec#=^l₀-M2 9l+Ai

/V» 3    /V* O

t/y    .    «Л/

3 ! ⁺ -⁵ 5l

xk X⁶

4!+Л 6! ⁺

Są-to rozwinięcia, których spółczynniki posiadają bardzo prostą definicyę.

Gdy te szeregi porównamy z szeregami : (/?), art. 35., (ó) art. 36., dostaniemy związki :

(8)

B..

2S+¹(2S+¹—1)

=A

s +T

z których wynikają takie definicye liczb Biy B₂, B₃, J5₄, ...

(9)

p (Д+1)Л    ,

⁴ 2*+¹(2s+¹—1) ’

-1,2, 3,4,...

Ten szereg liczb można nazwać interpolowanym szeregiem liczb Bernoulli’ego.

Same szeregi Ты, W^+i będą z liczbami As w ten sposób

związane :

(10)

T2i=—+ — + —

ik k~ 32* '    52к

1 Au-л

(11)

T^2i-+1

p*-M 32*+!

2 (2*—1)! V

1 Au

5^+i— •■*⁼⁼'2 (2Ä) !

to a

ïk

2/t+l

W rozwinięciu (a) funkcyi cotg x [art. 36.] mamy przy X 5=1,3, 5,... spółczynnik:

Bs. 2s +¹    _

(s + 1) ’

Podstawiając tu za Bs wyrażenie (9), mieć będziemy : -—j , 5=1, 3, 5,... a więc

3, 5, ...

2S+¹

cotg x=—

CC

W funkcyi cosecX, w, jej rozwinięciu (y) —, art. 36. — mamy przy -A- s = 1, 3, 5, ... spółczynnik :

(«0

’S»

Ai x

X''

2²—11 !    2⁴—1'3 !

7Г. + -

2s-

5 -f" 1

- , 5 = 1, 3, б, ...

gdy tu znowu (9) podstawimy, dostaniemy :

2S—1

2S ’ 2S+¹ — 1

5=1, 3, 5,..., i

(/)

1 Ai 2—1 x A₃ 2³ —1 x3 cosecx= b -₂2_iijd- ^2з-2⁴_ 1 ’ 3] + -

Przy tern biorąc na uwagę związki między szeregami Su у a liczbami Bs dojdziemy do określeń:

Su=ju + 22* ⁺

(12)

32fc

1 Au—i

nu

2 ' (2Jc—1) ! ' 2²*—1

22*-i _ 1

■" 2a-l '(24-1)!

£ см

Pd. 1. Liczby A₀ = 1,    Ai = 5, A₆ = 61,... występujące w spółczyn-

nikach szeregu funkcyi secx nazywają także liczbami Eulera. Równania^ z których je po porządku obliczyć można, otrzymuje się z identyczności:

secx. cosx

dostajemy:

Pd. 2. Przez różniczkowanie szeregów funkcyj tg cc, co.gx, secx, cosec x

Oi)

(fti)

cosec-x— —— xL

A æ²

A₅ xi

(«)

2i — 1

. X    x^    x^

secx.tg x = A₂ -yy 4 Ai -yy + A₆ yy +...

2⁴ —1 2!

2Ö—1 4!

W)

cosec x.cotg x

1 _ 2-1 At 2³—1 + æ²

4+ 2² — 1 ~2    2⁴—1 T³ ' ”2T *"

Pd. 3. Całkując szeregi tgx, cotgx, secx, cosecx i dodając stosowne stałe ilości, dochodzimy do wzorów:

02)

Ж⁴

x°

log cos x = — A,~ — A₃ - -y -    — -

*•?

(61)

log sinx == logx —

2² —1 2 !    2⁴—1 4!

(di). (a.₂)

logtg^ + ^-A^+At—Ą-A^Ą-...

2—1 Ai ж² 2³—1 + ж⁴ 2⁵—1 Ar> x6 2²-1'1Г¥Г ⁺ 2⁴^1'2³',ТГ ⁺ 2б^4'^ 6!

(A)

id%) log tg— = %y +

Pd. 4. Szeregi (aj), szczącymi w sobie liczby Bernoulli’ego.

(d₂) podać ze spółczynnikami, mię-

(1)

39. 0 funkcyach Bern o uli Tego. Zauważmy skończoną sumę: l*+2*+3*+... + (m—1 )k—Sk(m), w której Jc ma wartość jednej z liczb 0, 1, 2, 3, ..., a m jest liczbą całkowitą dodatnią >0 i postarajmy się o utworzenie takiej funk-cyi Sk(x) zmiennego argumentu x, któraby dla ж=1, 2, 3, 4, ... przybierała odpowiednio wartości :

(2)

ад, ад, ад, ...

Tworzenie takiej funkcyi nazywają interpolowaniem sum (2), a same funkcye Sk(x) noszą miano funkcyj Bernoulli’ego.

Postaraj my ż się o utworzenie równań rekursywnych, z których moźnaby po porządku funkcye 8b(x) łatwo wyznaczyć. W tym celu wyjdźmy z dwóch identyczności:

(a—l)²*=a²*—

2k—1

(²₂>“-²-(a)

2/1—3

+ ... + 1

(a + l)²*=a²*+

Za odjęciem pierwszej z nich od drugiej dostajemy:

2/fc-3

+ ... + 1

2/t—3

+ ...+

Kładąc tu a = l, 2, 3, ... (m— 1) i sumując tak powstające identyczności, dochodzimy do związku : m2k—1 Ą-(m — 1)2k

Ci) Su-^m)+Cn)S2k~?'(jn)(2/f-1)'^(m)-

Po pierwszej stronie zastępując m przez x dostajemy wymierną całkowitą funkcyę, którą oznaczmy przez :

(3)

-Xul 2.

Gdy równocześnie po prawej stronie $2*-i(w), S-u-з(ш), ..., S₁(m) zastąpimy odpowiednio przez $2*-\{x), 5₂*-з(я0, ..., ^(æ), dostaniemy również funkcyę całkowitą wymierną :

(4)

Funkcyę (3), (4) wykażą jednakowe wartości na nieskończenie wielu miejscach: x—l, 2, 3, 4, ..., a stąd wynika identyczność:

з(ж) + ...+

U-i)^

(A)    —X₂*/2

* = 1, 2, 3, ...

To są żądane równania dla funkcyj o nieparzystych znaczkach. Aby i dla funkcyj S-2k (#) analogiczne równania utworzyć, wyjdźmy znowu z dwóch identyczności:

(2a -l)²H-i=2**+i an+i _ ^ +¹ j 22t _|_...

(2a+ l)2*+i=22k+'au+' +    ¹ ^2“«“+..

Z nich dostajemy:

(2a + l)^+¹-(2a-l)2i+¹=2[(2Ä^¹ j2²*a2t +    ¹ j22fc-²a²*-²+... +1J

Kładąc tu znowu a—1, 2, 3, ..., (m —1) i tak powstające identyczności sumując, mamy:

(2m —1)²*+¹ — 1

Przenieśmy tu S₀(m)—m— 1 na lewą stronę, to będzie:

(2m—1) ²*⁺¹ — (2 w— 1)

= l" ¹)2 2Æ ^2* (»») T^2²*-²Sn-2(W) + - + (2&Ż l)2 2^²^•

Zastąpmy tu m przez x, co jak w pierwszym wypadku będzie dozwolone i zauważmy, że :

(2#—l)2¹+i—(2#—1) = —(2#—1)[1 —(1—2#)2¹]=—(2x—l).F2i. to ostatecznie mamy :

Yu

(B)

--

_^+¹j2»&w + ^+¹j2!ł-2&_2W + ... ₊ g + l\22ąw

k = 1, 2, 3, ...

a to są żądane równania. ¹)

Do funkcyj Sfx), bez różnicy, czy к jest parzyste, czy nieparzyste, można jeszcze dojść tworząc odrazu rozwinięcie funkcyi f(x, X) — (e&x—1 )f(e^—1) w taki sposób :

Zauważmy formułę :

eM _p g—ki    i

е?л — g—Ai

cotg X = г

2²X

X ¹ 2!

-Л₃-

2⁴X³

4!

—... [(a), art. 35.]

to zastępując tu X przez — г, dojdziemy do relacyi:

1    1 i 2    ² i 2Bi, 2Ą

1    _1    X'2¹.    41 À d 6!

4-1

2 Вь

X⁵ —

...j

niej dostajemy:

(«)

(Ь)

e?¹—1

Gdy dalej zauważymy, że:

еЯх _ i

1¹+1тХ!-|р‘+1тхв-~

Хее² , Х²аз³

1 ! ¹ 2 !

to mnożąc (a), (b) ze sobą, mieć będziemy :

3!

f(x, X) — S₀(x) -j- Si(x) — + S\(x) ~ -j- ... —

X²- B3

4!

xł + ...)

z którejto identyczności wynikają:

аг¹+1

&(аз)

fc+1

у¹‘+тС)в‘¹^¹-тО^,+-

fc= 0,»1, 2, 3, ...

40. Twierdzenia o iloczynach rzędu Wracając do teoryi zajmijmy się teraz bliżej funkcyą f(x) o danym rzędzie m, zakładając równocześnie, że w zewnętrznym czynniku ePW jest g(x) najwyżej stopnia mg0. Taka funkcya ma własność :

(i)

lim

xmf(x)

0, [art. 31, (10)]

wynikającą ze zbieżności szeregu:

(2)

Liczba m jest najmniejsza w szeregu 0, 1, 2, ..., spełniająca równocześnie (1) i (2), a miejsca x=cc w (1) obiera się tak, aby się nie przybliżały dowolnie do limo,n.

71=00

Pytanie zachodzi, czy równanie (1) jest charakterystycznem dla funkcyi f(x), t. j. czy zakładając, że f(x) jest całkowitą przestępną funkcyą z nieskończoną ilością miejsc zerowych, zdołamy okazać, że musi to być zarazem funkcya dająca się przedstawić nieskończonym iloczynem rzędu m (a o g{x) stopnia najwyżej m w zewnętrznym czynniku), a więc o miejscach zerowych dających zbieżność sumy A ?

Aby to rozstrzygnąć zauważmy, że z uwag art. 31. wnioskujemy odrazu, że f(x) tylko wtedy może mieć własność (1), gdy posiada i własność (2). W tej dziedzinie funkcyj musi więc na-odwrót własność (1) pociągnąć ze sobą i własność (2).

Lecz zbadajmy tu także i funkcye całkowite /‘(a?) o skończonej ilości miejsc zerowych, albo bez miejsc zerowych, podsuwając im własności (1) i nazywając m ich rzędem. Takie funkcye mają postać :

(3)

f{x)—eg(-x\G(x),

gdzie G(x) jest funkcyą całkowitą wymierną o stopniu C>0, a g(x) jest całkowitą wymierną, lub przestępną funkcyą.

Z (3) dostajemy:

f\x)

f 0*0

=д‘{х)Л

G‘(x)

G(x)

a tu dla wszystkich x—cc bez wyjątku mamy:

lim

f\x)

.г—oo Xmf{x)

lim

g\x)

Xm

a?=oo

Zakładając, że g(x) jest funkcyą wymierną stopnia mg0, dochodzimy stąd do własności (1) z tą różnicą, że tu nie ma miejsc,

Z (7) i (6) wynika :

f"{x) _ f‘{x)    1    g"(x) + U‘(x)

xmf‘(x) xmf(x) xm ' g‘(x)+ U(x)

Pierwszy dodajnik jest tu dla x=cc , nie przybliżających się dowolnie do liman , zerem wskutek założenia. Co się tyczy drugiego

71 =oo

dodajnika, to już w nim sam drugi czynnik :

(x—as)

T+P,'(aOj

+ P*(æ)j

których, w przybliżaniu się do nich wartościami x=cc unikaóby trzeba.

Załóżmy przeciwnie, że g(x) jest całkowitą przestępną funk-cyą. Wtedy g(x),g‘(x) i iloraz g‘(x)jxm przy jakiemkolwiek m zbliża się w otoczeniu każdego x=co do każdej dowolnej granicy, a skutkiem tego równanie (1) będzie tu niemożliwe. Z tych uwag wynika :

I. Gdy f(x) ma być przestępną całkowitą funiccyą, to granica:

(«)

charakteryzuje wyłącznie funiccye :

*=« Xmf (x)

(b)

e^x>.G(x)

(e)

z tukiem odróżnieniem: Gdy w (a) użyć można w s z elki eh x=oo bez wyjątku, to f(x) jest jedną z funkcyj (b); gdy przeciwnie na pewnych miejscach w nieskończoności równanie (a) przestaje istnieć, f(x) trzeba zaliczyć do funkcyj (c).

Funkcye (V) nazywać także będziemy funkeyami rzędu: m.

Zastosujmy to twierdzenie do pochodnej f‘{x) funkcyi rodzaju (c). Według tw. I. art. 31. mamy:

(^)

f‘(x)

/'0*0

■g\x)-\- U(x), gdzie :

(O)

s—\

Z (4) dostajemy:

(6)

(7)

f‘(x)=f {x)[g‘{x)-\- U{x)}, a stąd: f‘‘{x)===f‘(x)[g\x)+ U(x)]+fXx)[g\x)+TJ,(xj\.

oo

---b2 ^ (—¹

X    у X—as

S=1

staje się zerem, gdy x jest =oo z ograniczeniem dopieroco przy-jętem. Z tego wnosimy, że:

(8)

7*    /‘"0*0 n

lim    O

*=« a że tn x=cc do pewnych miejsc (liman) nie mogą się dowolnie

przybliżać, więc mamy twierdzenie :

II.    Pochodna f uniccy i rzędu m znikającej na nieskończenie wielu miejscach jest również funkcyą o nieskończenie wielu miejscach zerowych i jest rzędu m. [W zewnętrznym czynniku jest wykładnik w obydwu funkcyach f(x), f\x) wymierną całkowitą funkcyą stopnia <Zm].

r\x), ...

To samo wnioskowanie zastosować można do funkcyi stąd wynika :

III.    Wszystkie pochodne funkcyi rzędu mg0 z nieskończoną ilością miejsc zerowych są również takiemi funkcyami.

Gdy w f(x) od pewnego s=k począwszy mamy statecznie Я/0> 1, Л*+1^>1,..., to pochodna f‘{x) ma — oprócz możliwych innych miejsc zerowych — niezawodnie miejsca zerowe ak, ak+ i, ... z powtórzeniami Як—1, Як+1—1, ... Gdy przeciwnie jest Як=Як+i = ... = l, to w pochodnej nie ma już miejsc zerowych ak, ak+1, ... Natomiast wystąpią tu inne miejsca zerowe bk, bk+i, ... o tej własności, że suma :

B 2j&4,|m+i

s—k '

jest zbieżną, a suma

S_i

7,

bs\m

jeszcze rozbieżną.

s=k

Miejsca zerowe фas funkcyi pochodnej dadzą się bliżej określić, gdy założymy, że w funkcyi f(x) jest g(x)=const., a wszystkie as są rzeczywistemi wielkościami. W takim razie — gdy jeszcze (dla uproszczenia) przyjmiemy: /‘(0)ф0 — mamy:

f\x)

$=1

albo :

f\x)

Я₈

f\x)

[art. 31, (2)]

asm(x —as)

a pochodna f‘(x) znika na takich miejscach, różnych od at których :

na

oo

(9)

xm

0.

~ a™(x—as)

Grdy ni jest nieparzyste, pozostawiamy lewą stronę tego równa-nia niezmienioną. W razie parzystego m, napiszmy to równanie w postaci :

(10)

a™+4x—as)

S— 1

-“TT = 0

^ asm^

gdzie ta druga suma jest zbieżną , bo zastępując w niej wszystkie Л„ przez największe —Л dostajemy z niej bezwarunkowo zbieżny szereg:

гУ.

s^l

Według tego, czy m, czy w+1 jest nieparzystą liczbą =2^+1, zatrzymujemy na określenie miejsc zerowych różnych od as pochodnej f‘(x) albo równanie (9), albo (10).

Wtedy — odrzucając jeszcze w tych równaniach już-to czynnik xm _1, już-to czynnik xm — możemy każde z tych równań napisać w wspólnej formie:

<30

(П)

isx

f c=cp(x)=0

а^+'(х—а$)

s—l

gdzie c jest albo =0, albo =^.

stałą ilością rzeczywistą.

Przyjmijmy, że równaniu (11) zadość można uczynić urojonem x=a + ßi. Wtedy po wstawieniu tego w (11) i odróżnieniu części pierwszorzędnej i drugorzędnej mieć będziemy :

4?    Ц a²—asa+ß²]

a²^[{a—as)²+ß²]

Część rzeczywista i część urojona ma być tu zerem; że zaś druga suma zawiera same tylko dodatnie wyrazy i nie może b}m zerem, więc być musi /3=0, a to znaczy:

IV. Pochodna prostej fmikcyi f(x) rzędu m, a o miejscach zerowych wyłącznie rzeczywistych jest również funkcyą z samemi miejscami zerowemi rzeczywistemi. *)

a,m+l

S— 1

GO

+-C — ßl^ i

s— 1

a więc w każdym razie

aa²-u[(a—as)²~-i-ß²]

=0.

") Ces ar о: „ Sur les fonctions holomorphes de qenres quelconques“ C. R. T. 99. (1884), str. 26.

Zauważmy na osi pierwszorzędnej dwa po sobie bezpośrednio następujące miejsca zerowe a, b, funkcyi f(x): zakładając a < b. Wstawiając w cp{x) w (11) raz a-j-e, a drugi raz Ъ—e, gdzie £ jest bardzo małą dodatnią ilością, dostaniemy: ęp(a-{- e)l>0 i o bardzo dużej wartości, a ą>{b—£)<0 i o bardzo dużej bezwzględnej wartości (bez różnicy, czy cC>0, bf>0; a<Z0, &<t); a<^0, &>0). Ponieważ dalej q>{x) jest funkcyą ciągłą, więc stąd odrazu wynika, że w zakresie (a...b) staje się <p(x) nieparzystą ilość razy zerem.

Utwórzmy pochodnę :

V (x)    2 a^{x—as)

6—1

to widocznie jest ona na miejscach a₁ b nieskończonością (odjemną) ; wszędzie — a więc i w zakresie (a...b) — jest statecznie odjemną i nigdzie tam zerem się nie staje. Z tego wynika, że (p{x) w zakresie (o...b) nie posiada ani największości ani najmniej szóści, staje się więc w tym zakresie zerem tylko jednokrotnie. Mamy więc twierdzenie :

У. Między każdą parą dwóch bezpośrednio po sobie następujących miejsc zerowych funkcyi f(x) określonej w Iw. IV. znajduje się tylko jedno miejsce zerowe funkcyi pochodnej. Wyjątek może stanowić miejsce x—0, które — gdy m^> 1 — występuje m-krotnie (podług (9)). Bo tych miejsc dołączyć jeszcze trzeba te miejsca as z powtórzeniem —1), do których w f{x) należą ЯЦ>1,

Weźmy pod uwagę jeszcze samo rozwinięcie prostej funkcyi f{x) rzędu m w otoczeniu punktu x=0, aby i stąd wyprowadzić w szczególnych przypadkach uwagi godne wnioski.

Według art. 29. mamy:

f\x)=n

к

i bis

Э !

of !«

771-f fl

5—1

xm+l ! m+1 es.

xm + ²

m+1

m-f-2

a gdy położymy :

co

(12)

2 am+1

co

Я,;

2 arn+2

Sm-f 2.?

Z drugiej strony jest:

6=1

to mieć będziemy :

(18)

f{x)=c

~sm +1⁻

xm+x

—»i

z logarytmiczną pochodną :

— 1 + A₁xm+1 +М₂ж”г+2+...

(14)

f\x)

f(x)

(m + 1)ф жт+ (m + 2) A₂ xm+¹ +...

1 + М₁жда+¹++₂жт+²+...

Z tego wynika, że:

(15)

1 /+ж) ж* /(a;)

dla &=1, 2, . (m-\-l)Ax „ &=m

„ 7c=m +1, m + 2, ... i że więc rząd danej prostej fnnkcyi można określić, jako najmniejszą całkowitą dodatnią liczbę m spełniającą warunek:

00

(16)

f\x)

, , -- =G0 .

жт+У(ж) x=o

f‘(x) j жт 1 /(ж)    ^ * a.,m ‘ ж—aH

(17)

ж²

a,²

-)

= —    —    Sm+3^m+² —...

Może się zdarzyć, że z sum (12) okazują się:

Sm-j-l “Sm^.2==:^?n-f-3==:-->===^JW + r=:=0

a dopiero suma sm+r+i okazuje się różną od zera. Wtedy — co z porównania form (14), (17) wynika — muszą być A₁=A₂=A₃ — ...=Ar-l—O, МгфО. Warunek (16) przechodzi tu na:

(18)

П Ж)

жт+г+1/'(ж) *₌₀°° ’

д.т+г+1

f-1

a sama funkcya :

sm -f-r+1 •

f(x) = e

To wskazuje, że takiej funkcyi można przyznać nie tylko rząd m (wskutek bezwarunkowej zbieżności sumy sm+i = 0) i nie tylko rząd m + r (wskutek spełniającego się warunku (18)), ale .w ogólności rzędy:

m, w-f-1, m+2, ..., m+r.

Samą funkcyę f(x) będzie więc można przedstawić przez 0+1) identycznych iloczynów:

41. Przegląd funkcyj analitycznych z jednem miejscem oso-bliwem. Badania, jakie dotąd przeprowadzono, wystarczą, aby już umożliwić przegląd wszystkich jednoznacznych, analitycznych funkcyj z jednem miejscem istotnie osobliwem w nieskończoności i na każdy rodzaj takiej funkcyi znaleść przykład między funkcyami elementarnemi.

Należą tu przedewszystkiem całkowite funkcye przestępne, a te — według tego, czy są bez miejsc zerowych, ze skończoną, lub nieskończoną ilością takich miejsc mają postacie:

(A)

e^x\ eP^Gix), ev(xUIEJx, aj g(x) może tu (i w dalszych formach) być funkcyą całkowitą wymierną, lub przestępną , G[x) jest wyłącznie wymierną całkowitą, a IIEs(x:as) jest nieskończonym bezustannie, bezwarunkowo i jednostajnie zbieżnym iloczynem funkcyj pierwszych Es(x, as). Każda z funkcyj {A) da się rozwinąć na bezustannie zbieżny szereg w otoczeniu każdego punktu x₀ leżącego w skończoności. ²)

Niech f(x) będzie funkcyą znowu z jedynem miejscem istotnie szczególnem w nieskończoności, a posiadającą nieskończonościowe miejsca :

o, ....

ъи К ъ

w skończonej lub nieskończonej liczbie, a z powtórzeniami :

Л], Л.2, Лg, ....

W takim razie można zawsze utworzyć całkowitą funkcyę /₂(ж), posiadającą właśnie miejsca b.s jako is-krotne pierwiastki. Iloczyn:

(1)

pozbawiony miejsc nieskończonościowych będzie całkowitą funkcyą (wymierną albo przestępną), a sama funkcyą f\x) będzie postaci:

(B)

f{x)

/iOO

/2 0²0’

Mamy zatem twierdzenie : ³)

I. Każda funkcyą przestępna, niecałkowita z jednem tylko miejscem istotnie szczególnem w nieskończoności da się zawsze wyrazić ilorazem dwóch funkcyj całkowitych, z których każda, albo przynajmniej jedna jest przestępną.

W szczególności należeć tu będą :

1°. Funkcye ze skończoną ilością i miejsc zerowych i miejsc nieskończonościowych :

m-\-Q

f(x)

fw х\ь >sZU⁴)k = 11(1 e ⁴=1 ⁴4'

_Л    a J

p — 0, 1? 2? ..•« r.

Uwagi te odniosą się oczywiście i do fimkcyi rzędu mg0 z do-

a stąd twierdzenie :

YI. Rząd danej funkcyi nie zawsze jest wielkością, jednowartościową.

W przypadku bowiem, kiedy z sum

wolnym czynnikiem zewnętrznym,

sm+r=0, sTO+r+i фО można ją bez zmiany zewnętrznego czynnika przedstawić iloczynami o rzędach: m

W razie jednego tylko rzędu m z funkcyj pierwszych :

, m + l, m+2, ш+3, m+r. ⁴)

będą iloczyny utworzone

as

(U)

t = ш, w -p 1, иг -j- 2,

gdzie w jest najmniejsza liczba dająca bezwarunkową zbieżność sumy: i?(l/abm+1, wszystkie bezwarunkowo, jednostajnie i bez-

ustannie zbieżne. Oznaczmy je przez:

(19)

to te funkeye będą tu wszystkie między sobą różne. Ody jednak zachodzą warunki opisane w tw. VI., a więc rząd nie jest jedno-wartościowy, to w takim razie okaże się :

W szeregu (19) nazwiemy funkeye fm+\{x), /к+2(я), ••• fnnk-nadmiernych rzędach, albo krótko funkeyami

cyami o miernemi.

n a d-

Pd. 1. W art. 33. — Pd. 5. — utworzyliśmy funltcyę o rzędzie m = 4. Nazwdjmy ją /₄(.x), to ponieważ tu :

£5⁼⁼ ^6⁼⁼⁼ ^7 ⁼⁼ 9; ss Y0»    = s,o = 5ц = 0, ^иФ 0, ....,

więc :

/4 =/5 =/e =/?•

Dalej okaże się:

i t. d.

fs =/9 —/10 —/11 Pd. 2. Utworzyć nadmierne funkeye :

(em æ)₂, (si» ж)₃, ....,

należące do sinx i okazać, że:

(sinxf — {sin ж)₃, (ш æ)₄ = (smж)₅, ....

ß)

[1]

ед{х) '

ß)

e№B(x).

G₂(x)

II⁰. Funkcye ze skończoną ilością miejsc zerowych skończoną ilością miejsc nieskończonościowych bs:

eШ G(x)

ПЕш{х,Ълу

a z me-

ß)

[2]

III⁰. Funkcye z nieskończoną ilością miejsc zerowych as skończoną ilością miejsc nieskończonościowych :

ITEs(x, as)

a ze

eg(x) '

IV°. Funkcye z nieskończoną ilością miejsc zerowych as i z nieskończoną ilością miejsc nieskończonościowych bs:

ПЕ\ (ж, as)

ITE“S (X, bs)

W kształtach (A), ßj wyczerpane są już wszystkie funkcye jednoznaczne z jedynem miejscem istotnie szczególnem w nieskończoności.

ß)

(В)

[3]

[4]

eu(x).

Pd. 1. Określić rodzaj funkcyj :

ex. (a -f- bx\

СХ аХ+Ъ

a‘x²Ą- b'x-\-c‘

cos X

tgx,

G(x)

e2,r+3. sin X

ax -\-b

sinx

cotg X

sinx

eax -f b

ax-\-b

Zastąpmy w {A) i ß) argument x przez----, gdzie c jest do-

00 c

wolnym punktem leżącym w skończoności, to dostaniemy kształty :

COS X

(A¹)

»(—) »(-Ц

\.r— С/    \x—cj

e , e

(—)’‘

\x—c/;

⁵CJ

ПЕ₍

'-ty

/2

(—)

\x— с/

które będą funkcyami z jednem jedynem miejscem istotnie szczególnem w punkcie c.

O kształtach (A‘) zauważyć potrzeba, że one wszystkie są w x — cc skończone. Go się to jego miejsca zerowe wynikają z równań:

zaś tyczy iloczynu JJES( ^ ^, oyj

-=as i są : c

х==с+-^-> s=l,2,3,

tls

skupiają się zatem (bo lim an—co) w punkcie c.

Pytanie zachodzi, czy w kształtach (A¹), (B‘) dadzą się naod-wrót przedstawić wszystkie funkcye jednoznaczne z jednem miejscem istotnie osobliwem leżącem w skończoności ? W tym celu zauważmy przedewszystkiem, że funkcya Fix) z jednem miejscem istotnie szczególnem c, a zresztą regularnego zachowania się w skończoności i nieskończoności może — podług twierdzenia La u renta — mieć wyłącznie kształt:

gdzie Gr oznacza całkowitą przestępną funkcyę.

Jeśli dalej o F{x) założymy, że ona nigdzie, ani w skończoności, ani w nieskończoności, zerem się nie staje, to stąd już odrazu wnioskujemy, że jej kształt nie może być inny, jak:

•Ш

F(x)=e

gdzie g oznacza funkcyę całkowitą, przestępną, albo wymierną argumentu (x—c)_1.

Stąd twierdzenie :

II. Funkcya z jedynem miejscem istotnie szczególnem c w skończoności , zresztą skończona i w skończoności i nieskończoności a nie mająca ani jednego miejsca zerowego da się zawsze przedstawić w postaci

Zauważmy teraz funkcyę f(x) z jedynem miejscem istotnie szczególnem c, z nieskończonościowemi miejscami bs o powtórzeniach [is, a z zerowemi miejscami a, o powtórzeniach Xs. [Jedno z miejsc a,, lub jedno z miejsc bs może leżeć w nieskończoności. Gdy miejsca as, lub miejsca bs, albo równocześnie jedne i drugie miejsca tworzą mnogość nieskończoną, to mogą się skupiać jedynie i wyłącznie w punkcie с].

Utwórzmy funkcyę /₂ ^ -    — podług (.A') (kształt 2®¹ lub 3C1)

posiadającą miejsca zerowe b,s o powtórzeniach ps, a dalej funkcyę

F<

^^ posiadającą miejsca zerowe as o powtórzeniach Л„■, to

wtedy :

/2

(~)

V ж—c)

Fx

będzie funkcyą wszędzie w skończoności i nieskończoności regularną , pozbawioną miejsc zerowych i z jednem miejscem istotnie szczególnem w c. Taka funkcya ma podług tw. II. postać e Mamy więc :

f\x).

Połóżmy :

F<

(4=)

= f\

to ostatecznie mamy :

f\x)

a to jest postać (B‘).

W razie, gdy fnnkcya nie posiada miejsc dostajemy: a to jest znowu postać (A¹). Z tego wynika :

III. Każda jednoznaczna analityczna funkcya o jedynem miejscu istotnie szczególnem w skończoności jest albo całkowitą przestępną funkcyą

argumentu ——, albo ilorazem dwóch całkowitych funkcyj tego argumentu z tern zastrzeżeniem, że albo obie funkcye równocześnie, albo jedna z nich przynajmniej jest przestępną.

Pierwszy rodzaj takich funkcyj mamy już całkowicie wyczerpany w (A‘). Co się tyczy drugiego rodzaju, to funkcye tu należące wyczerpiemy, gdy w {В), [1], [2], [3], [4] zastąpimy wszędzie x przez (x— c)⁻¹.

Pd. 2. Takiemi funkcyami są n. p. : sin —

cos-, t(l-

X    X — C

sec--

X—c

cosec

X    X—c . 2

, e sm —

i t. p.

Iloczyn IIES(-, należy już do funkcyj , które przed-

\ я?—cis    )

stawiają się nieskończonym iloczynem T[Fs{x) o czynnikach Fs{x) będących dowolnemi funkcyami. Przyjmijmy, że:

Vs + y V s' + - + ~ 4>sVs

Fs{x)=[l + cps(x)]e

=Es((ps)    6' = 1,2,

to aby iloczyn :

(2)

<I>(x) = X\Es(cps)

mógł być w pewnym obszarze (A) argumentu x zbieżnym, trzeba przedewszystkiem, aby dla każdego punktu x w tym obszarze — od pewnego s=h poczynając — okazało się:

1> cpk > (pk+1|lim\(pn\=0.

7l=zoo

Dalej, postępując podobnie, jak w art. 29., dojdziemy do wniosku, że iloczyn (2) będzie już w obszarze (A) i jednostajnie i bezwarunkowo zbieżny, jeżeli się tam suma:

f*+vs

(3)

*«~22=i.

• <ps

s=k /.1 = 1

— a więc i suma Si(x) — okaże w ten sam sposób zbieżną. Wtedy w otoczeniu każdego punktu x₀ obszaru (A) dostaniemy :

ф(х')=g'^r) — g~ I⁵“'*' ^i(x—*o)+—l

=1-М₀(я—х₀)+Ах(х—.x₀)²+...:

a iloczyn będzie widocznie analityczną funkcyą w tym obszarze.

Przyjmując, że wszystkim vs można nadać wspólną wartość m i określając wtedy Ф(х) jako iloczyn rzędu m, mamy:

s=k u—l

m + f,i

(ps

ГП+/.1

Z tego wynika nierówność:

cc

oc

fjS*(a?)I

S—k liz=z 1

albo — z uwagi na (3) — nierówność :

......

Połóżmy tu po prawej stronie za każdą różnicę 1 — \(ps\ która jest <1 wprost 1, to dostaniemy:

Cps

m+1

s — k

a to wskazuje, że funkcyj (ps(x) można użyć do utworzenia iloczynu rzędu m, w pewnym obszarze (A) jednostajnie i bezwarunkowo zbieżnego, jeżeli w tym obszarze okazuje się suma:

oo

$■=2 cps(x)m+i

s= 1

jednostajnie i bezwarunkowo zbieżną.

Takim ilocfzynem o rzędzie m= 1 był n. p. iloczyn (£A) art. 25.*) po uprzedniem przedstawieniu każdego z czynników pod postacią (l + <jPi).

Połóżmy :

s — 1, 2, 3, ..., gdzie :

lim an = cf)

(ps

X—as

ail<|«2|<KI> "

zakładamy i zbadajmy sumę :

— Ияг+12[а,|",+¹ '

1-

jm+l ‘

W obszarze | x | <C | % | mieć tu będziemy :

j x I m+¹

(■Ht)

m+1

те-f-i

a stąd wynika, że w tym obszarze będzie suma 2 cpsm+x jedno-

przy naj-

stajnie i bezwarunkowo zbieżną , gdy suma

mniejszem m wyjętem z szeregu O, 1, 2, ... będzie bezwarunkowo zbieżną.

Zauważmy — mając to — funkcyę :

oo

f{x)

ea°, (/X0)-l)

rzędu m—1. Odwrotność każdej funkcyi pierwszej jest tu :

*) S eićl e 1 [C. J. T. 73.] rozwija także logarytm i łuki na nieskończone iloczyny.

a ponieważ sumę J£(l/as)² przyjęliśmy już zbieżną, więc iloczyn:

n(i

•5=1

as

î-ü.

as—X

‘    -(l

X \ — e x—as)

as

x(-+ -) /

\x-as. agfi

(l--—)e

V %—aJ

X—as

\ X

X \ — — )ev ' X—asJ

jest w obszarze |icj<C|«₁| jednostajnie i bezwarunkowo zbieżnym. Z drugiej strony mamy :

oo

П>

* (— + -)

as)= e

X log f (x) dx

[tw. I. art. 31.]

co znowu wskazuje, że i ten iloczyn daje w obszarze \x\<i\ai\ analityczną funkcyę. Wskutek tego możemy położyć:

■r

F(x)

— x — log f (x) oo

■ .n(i—i-Г,

₄₌iV x-aj

Zastosujmy tę formę do funkcyi :

F(x)

KX

sin 7t X d 7

Tutaj jest , Ugf(p) —

sin x

nx

я cotgizx— — ;

a więc będzie:

T.X

s in к x

gl—n x cotgjvx

+ • \ —

[J ' ^1--—J ex v, a stąd wynika :

V——O0

+ 0O

cosec r.x=— %e-™™tgnx

V —-GO

mamy tu :

Podobnie biorąc pod uwagę funkcyę F(x) =-

COS TU cc

log cos tcx = — r.tg r. x , a więc będzie :

sec % x

+ 0O

__enxtgnx j i

2v+l

2i»+i x--—

V=Z-00

Teor. funkcyj an alit. T. II.

¹

Równania (zl), (i?) w inny sposób wyprowadził R. Lipscbitz — „Sur la fonction de Jacob Bernoulli et sur Vinterpolation“, G. R. T. 86 (1878), str. 119. Por. także: Her mite — „Sur la formule de Maclaurin“. C. J. T. 84. (1878), str. 64, ...

²

O związkach, jakie zachodzą między dwiema funkcyami całkowitemi, a jakie powstają z porównania własności tych funkcyj czytaj: Guichard — „Sur les f. entièresAnnales scietifiques de l’école N. supérieure. T. 1) (Sa 3.), str. 427—432.

³

Twierdzenie to podał pierwszy Weierstrass.

⁴

J. Puzyna — „ Über den Laguerresehen Rang einer eindeutigen analytischen Function mit unendlich vielen Nullstellen“. Monatshefte für Math. u. Phys. T. 3. (1892), str. 1—15.

ROZDZIAŁ IV.

Funkcye jednoznaczne ze skończoną lub nieskończoną ilością miejsc istotnie osobliwych.

42. Funkeya ze skończoną ilością miejsc osobliwych. W tym

Rozdziale zajmiemy się jednoznacznemi funkcyami o skończonej Inb nieskończonej ilości miejsc istotnych, zaczynając od funkcyj ze skończoną liczbą takich miejsc.

Przyjmijmy, że f(x) jest właśnie funkcyą, "która na miejscach ci: c₂, ..., cn już nie jest regularną. Z miejsc cs zaliczają się niektóre do istotnych, a niektóre do nieistotnych, a wszystkie leżą w skończoności. Zachowanie się funkcyi w punkcie х=сю uwzględnimy później. "Według tych danych ma funkeya w otoczeniu punktów cs rozwinięcia :

+    c,), s=l,2,...,w.,

w których Grs są funkcyami całkowitemi już-to przestępnemi, już-to wymiernemi argumentów (x—cs)⁻¹, a nie posiadają wolnych wyrazów. Utwórzmy różnicę:

u—f (x) —

2 «-ty

s= 2 to będzie-to funkeya pozbawiona w skończoności wszelkich miejsc osobliwych. Co się tyczy miejsca x=co , to tam ta różnica zachowywać się będzie tak, jak sama funkeya f(x), a więc jest tam albo 1° regularną, albo 2° posiada tam punkt nieskończonościowy, albo 3° ma tam punkt istotnie osobliwy. W pierwszym wypadku musi być u= C— stała, bo u nie posiadając żadnych punktów szczególnych może być tylko stałą ilością.

a w trzecim razie cał-

W dwóch następnych wypadkach mamy u=G₀(x), gdzie G-₀(x) jest w drugim razie całkowitą wymierną kowitą przestępną funkcyą.

Uwzględniając to, dostajemy:

U)

(A)

s=1

albo :

/■(*)=

a stąd twierdzenie:

I. Funkcya o skończonej liczbie miejsc osobliwych cg leżących w skończoności daje się przedstawić sumą funkcyj całkowitych Gs bez wolnych wyrazów za dodaniem funkcyi całkowitej G₀(x), która także do stałej C zredukować się może.

Jeżeli odrzucimy warunek, aby funkcye całkowite Gs argumentów (X—cs)~¹ nie zawierały wolnych wyrazów, to wtedy formę (A) będziemy mogli także w ten sposób napisać :

(A)

SEeI

Z niej przejdziemy do (Aj) — gdzie już tylko (n — 1) miejsc cs ma leżeć w skończoności — jeżeli jedno z miejsc cs n. p. miejsce cn

przyjmiemy =00 i wtedy funkcyi 6гя(ж—cn ) nadamy znaczenie Gn(x), Formę (Aj) uważać trzeba za najogólniejszą, w jakiej funkcyę o danych miejscach szczególnych w skończonej ilości przedstawić

można.

Przyjmijmy teraz, że funkcya f(x) posiada wyłącznie same miej ca istotne c±, c₂, ..., cn, a poza niemi jest wszędzie skończoną i różną od zera. Według tego założenia ma funkcya f(x) w otoczeniu każdego punktu ж₀фс₄, a leżącego w skończoności, rozwinięcie postaci f(x)-A₀JrAi(x~xj)-\-... z wolnym wyrazem !J₀j>>O. Lecz i logarytmiczna pochodna funkcyi będzie w takich punktach regularną, bo wskutek ;Л₀|>>0 mięć będziemy zawsze f‘(x) ff(x)=^(x—x₀). Przechodząc do otoczenia punktu х-cc , musimy tu zrobić takie odróżnienie:

1°. Wszystkie punkta cs leżą w skończoności. Wtedy i w otoczeniu punktu x=<x> mamy :

f(x)=A₀    ²+...=^(ж⁻¹), a ze :

Г(%)=—Aix~²—2A₂X'~³—...

więc i tu logarytmiczna pochodna :

(1)

/•'(¹) //'(¹)= -(AJA,), z-²+Щх-¹)

jest regularną.

Funkcya f‘(x)lf(x) nie posiada zatem innych miejsc szczególnych, jak tylko с1?с₂,..., cn, a wskutek tego da się przedstawić formą (A). Połóżmyż:

П    .

0/—)»¹)

Iti V x-cj

Пх)

G,(——

V X—Cs ) X

ks

k\

k“

—cs (x—csy    (x—cs)³

i zauważmy, że :

к"

{x—cs)z

ks

(X—Cs)²

to mamy teraz :

.If—

dx [ X

ksl

ks“

__1 = ~G ( ¹_\

— Cs 2 (X—Cs)²    J dx *\X — Cs)

f\x)

f(x)

C+±^+±~G,(—\

Iti x-Cs it[dx \X—Cs)

Rozwijając tę formę dla otoczenia punktu x=co , dostajemy;

f\x)

o°

‘ ' '

a porównując to z rozwinięciem (1), przychodzimy do wniosku, że (7=0, że:

i że więc :

s—l

(a)

f\x)

/'0*0

=2*

s—\ *

ks

-+2#s-f—)•

Cs ir(dx \x—c,)

II⁰. Z miej sc cv c₂, ..., cn jedno, n. p. miejsce cn leży w nieskończoności. W tym razie przedstawiając logarytmiczną pochodną f‘(x)\f(x) formą (At)} mieć będziemy:

f‘{x) I f(x) = Gn(x) + ^ gJ—-V Połóżmy :

s=l \x-Cs/

Gn(x)=c+\x+...= dx

a każdemu Gs, 5 = 1, 2, ..., n — 1, dajmy — jak przody — formę:

ks

X—Cs

to dostaniemy :

dx \x—cs)

üMl

71—1

f\x)

ks

warunek &Ä=0 nie jest konieczny.

«=1

Grdy przyjmiemy, że e może być =0, albo =1, to formuły (a), (b) można będzie przedstawić w wspólnej postaci :

Ф)

a tu

(«)

f\x)

f(x)

X — Cs

U — 8    и

-SïVliW.-i)

z zastrzeżeniem, że £=0, gdy wszystkie cs są skończone ; w razie cn=œ , jest £— 1, a Gn(x—

Udowodnimy, że wszystkie Jcs są tak w wypadku Iszym, jak zawsze całkowitemi liczbami. Rozwińmy w tym celu formę (c) w otoczeniu jednego z punktów cs leżącego w skończoności, to mieć będziemy :

Cs

’)

ma

znaczenie funkcyi Gn{x).

f\x) ks

ax \x—cs)

dx^s{-X Cs)-

log f{x) = log (x—ca)ks + GI ——') + % (x—cs)

\X Cs /

t\x)

X— Cs

Stąd wynika :

i wreszcie :

f (x) = (x—cs)k² ■ exp

(²-²>]

*)

Drugi czynnik (wykładniczy) jest tu w otoczeniu punktu cs niezawodnie jednoznaczny. Aby i pierwszy czynnik był jednoznacznym — co być musi, bo f(x) jest funkcyą jednoznaczną — trzeba przyjąć koniecznie, że ks jest liczbą całkowitą dodatnią, odjemną, a nawet zerem, c. b. d. d. Z tego wynika, że :

(x— c₁ )²> (x—c.₂)l'~... (x—Cn—e)kn—e = B(x) jest wymierną funkcyą, a przy takiem oznaczeniu dostajemy z równania (c) : logf{x)—Tog R(#)+2

s= 1    \X—CS/

i wreszcie :

(B)

f(x)=B(x). exp^ Gs (—— ).

Iti \x-Cs/

Mamy więc twierdzenie:

II. Funkcyą, która posiada miejsca istotnie szczególne: cj}c₂, ..., cn, a poza niemi nigdzie ani zerem ani nieskończonością się nie staje , daje się przedstawić iloczynem: wymierna funkcyą B (x) bez miejsc zerowych i nieskończonościowych poza cs, a z miejscami zerowemi lub nieskończo-nościowemi w cs przez wykładniczą funkcyę o wykładniku — sumie funkcyj całkowitych argumentów [x—cs.)~¹.

W razie skończonych wszystkich cs funkcya R(x) nie jest — wsku-

co

tek    ks=0 — го miejscu x=<x> ani zerem ani nieskończonością. Gdy

"Tri    n -i

to warunek ^7g,s=0 jest możliwy, ale nie konieczny. Funkcya

s= 1

R(x) го tym razie może być dla x=oo skończoną фО, nieskończoną albo zerem.

43. Funkcje ze skończoną ilością miejsc istotny cli z uwzględnieniem miejsc zerowych i niesltończonościowych. Przejdźmy do innego rodzaju funkcyj. Funkcya f(x) niech posiada —jak przody — miejsca istotnie szczególne ct,c₂,..., cn a poza tymi punktami niech staje się dowolną, — może i nieograniczoną — ilość razy zerem i nieskończonością. Aby taką funkcyę przedstawić, podzielmy nieograniczony obszar argumentu x na jednolite obszary Ci, C₂, . o takich własnościach : W obszarze Cs zawiera się tylko jeden punkt istotny, mianowicie punkt cs, a linia ograniczająca ten obszar nie przechodzi ani przez żaden punkt zerowy, ani nieskoń-czonościowy funkcyi f{x).

"Wewnątrz Cg znajdziemy skończoną lub nieskończoną ilość miejsc zerowych :

Cn

(a)

a*, «Д a/

i skończoną lub nieskończoną ilość miejsc nieskończonościowych :

bs, W, b/j ...

W szczególnych razach może obszar Cs nie zawierać wcale miejsc (a), lub miejsc (ß), albo równocześnie być pozbawionym i miejsc (a) i miejsc (ß). Grdy jednych lub drugich miejsc — albo jednych i drugich — jest tam nieskończenie dużo, to ich mnogość skupia się wyłącznie w cs, bo funkcya — prócz punktów cs — nie posiada zresztą żadnych punktów istotnych, a ct, c₂, ..., c.s_i , cs+i, cn leżą już poza Cs.

Funkcyę, która ma jedno tylko miejsce istotne cs, która nie ma żadnych miejsc nieskończonościowych a znika jedynie na miejscach (a) — z temi samemi powtórzeniami, co funkcya f(x) *) — umiemy tworzyć — [art. 41.]. Ma ona postać:

Gs (jc cs )

i jest funkcyą całkowitą koniecznie przestępną argumentu

, ...

(ß)

(1)

*) W dalszym ciągu nie będziemy już wspominali o danych powtórzeniach miejsc zerowych, lub nieskończonościowych, rozumiejąc, że powtórzenia takie wszędzie i zawsze uwzględniać się będą.

ra / 1

(,ж—c₄.)_1. Utwórzmy funkcye (1) dla wszystkich obszarów CJ? C2 ..., Cu, to iloczyn:

(2)

JTGJ——

s—i \ ж cs

będzie funkcyą o jedynych miejscach istotnych cs, wszędzie skończoną, poza tymi punktami, a o miejscach zerowych identycznych z miejscami zerowemi funkcyi /'(ж).

Utwórzmy dalej funkcye przestępne całkowite :

--j,    .-—— — n

GnĄ-s \X Cs ) , Gn-\-n\X cn )

), •

Gn+1 ix C\

o tej własności, że Gn+s{x—cs ), posiadając punkt istotny cs, znika jedynie na miejscach nieskończonościowych (ß) funkcyi f{x) zawartych w Cs, to iloczyn :

(3)

nG

.4 = 1

( -¹-) \x—cs)

nie

będzie funkcyą z miejscami istotnie osobliwemi cl7 c₂, posiadającą miejsc nieskończonościowych, a znikającą w miejscach nieskończonościowych funkcyi /'(ж). [Gdy cn=co , trzeba w (2) i (3) argument (x—cn)~¹ zastąpić przez ж]. Zauważmy iloraz :

П Gs

:IT G

.4=1

x—cs

s=l

n+s

=Z{x).

Będzie-to funkcya o jedynych miejscach istotnie szczególnych c₁, c₂, ..., ся a o miejscach zerowych i nieskończonościowych, identycznych z tąkiemiż miejscami samej funkcyi fix). Grdy zatem zażądamy takiej funkcyi f\(ж), któraby zadość uczynić miała identyczności : to f\(x) może-to być jedynie funkcya o postaci (B) — art. poprz. — Gdy to uwzględnimy, dostaniemy :

(O

f(x)—B(x).

na

S=1

n+s

Każda z funkcyj G.,((x—cs)_ 1 )exp G, (fж—с,)~¹ ) jest znowu funkcyą całkowitą, przestępną argumentu (ж—с.,)⁻¹. Nazwijmyż ją:

G^(x — cs ), to mieć będziemy :

(C'l)

/‘(ж)

=R(x) Г TIG^i——) : Il G

|_S=1    \    Cg / s =

n+s

GO

f(x)=R(x).\[Gs(~i-).

S= 1

Między wykładnikami ks funkcyi H{x) niech będą : ha, hß, ... dodatnie, a 9я,    9/л,- odjemne.

W takim razie R(x) będzie można przedstawić postacią : (х—сд Ул.(х—с^

(x — Ca *fa.(x—Cß ¹)^î...

R(x)

a gdy położymy :

(JW (х — Сд *).(х—Сд УЛ = G^%X — Сд ), ...

⁴) • (%— Ca У^О-аЧх-Са У —

(i fimkcye, do których czynnik z _R(æ) nie dołącza się, dla ujednostajnienia tak samo oznaczymy), to mieć będziemy :

Gn+a(x Ca

(C₂)

f(x)

Iloczyn w liczniku i iloczyn w mianowniku są-to funkcye o miejscach istotnie szczególnych c1? c₂, ..., c„ a skończone w każdym dowolnym punkcie leżącym poza cs, s = l, 2, ..., w. Według formuły (h4₂) — art. poprzedź. — będzie więc można licznik przedstawić sumą

N Gsi(x—cs    ), a mianownik sumą N Gs% (x—cs ), a sama funk-

cya f{x) oblecze się wtedy w formę :

S=:l

S— 1

Mając na oku formuły (C₂), (C₃), dostajemy twierdzenie:

I. Najogólniejszą formą funkcyi jednoznacznej, analitycznej o skończonej ilości miejsc szczególnych cs jest iloraz sum albo iloczynów całkowitych, przestępnych funkcyj o argumentach x—cs

Przyjmijmy, że f(x) nie posiada wcale miejsc nieskończonościowych. Wtedy

--*\

w formule ((7,) wszystkie funkcye Gn+s (x—cs    J mają znaczenie funkcyj wy

kładniczych exp [—gs(x— cs 6], a naznaczywszy każde €M(x—cs ) . exp [— gs {x—cs)]

przez Gs (x—ct

), otrzymamy :

Gdy przeciwnie/(ж) ma być funkcyą bez miejsc zerowych, to analogicznie wnioskując, dojdziemy do formy:

(«0

W założeniu, że f(x) nie posiada ani miejsc zerowych, ani nieskończono-ściowych wyniknie z (Cj) forma (ił), którą już w art. poprzedzającym wyprowadziliśmy osobno.

44. Funkcye o jednokrotnych biegunach skupiających się >v nieskończoności. W dwóch, ostatnich artykułach widzieliśmy, jak ważną rolę w tworzeniu najogólniejszej formy pewnej określonej

)» wy-

funkcyi odgrywają funkcye przestępne całkowite G(x—cs stępujące w rozwinięciach Laur enta dla otoczenia istotnie lub

nieistotnie szczególnego punktu cs. Znaczenie tych funkcyj G(x—cs ³) okaże się również doniosłem i wtedy, kiedy o funkcyi f\x) — nie robiąc w niej różnicy między jej miejscami i s.t o t n i e osobliwe mi

a nieskończonościo wemi — założymy, że w pewnej nieskończonej, ale przeliczalnej mnogości punktów :

(M)

przestaje być regularną.

Co się tyczy punktów skupienia mnogości (Jf), przyjmijmy, że te — albo występują w skończonej ilości, albo tworzą znowu mnogość nieskończoną.

Do utworzenia form przedstawiających funkcye o punktach szczególnych występujących w nich w sposób dopieroco przyjęty zmierza metoda M i 11 a g - L e f f le r a³), która właśnie wskazuje,

jak korzystać z funkcyj Gs(x — as ), s=l, 2, 8, ..., aby w każdym danym wypadku można było zadość uczynić postawionemu zadaniu.

Zacznijmy od wypadku najprostszego, w którym w mnogości (M) mamy :

(1)

П cc

sama funkcya w każdem as ma biegun pierwszego tylko stopnia. W otoczeniu każdego as mamy zatem rozwinięcie :

A.

X—as

x—a„

to stąd mamy : к (l jr

as

O s²

Niech dalej :

№=-

—a.

x—a»y

1 1

as x

Xvs-

a.?*

a,

f % {% - as)

5 = 1,2, 3, ... Połóżmy:

XVS

xv«+i

x'²

Os³

Xvs

а.Л-И а.у«+²

(2)

+ —-2 4-

ds Cùg

Xvs~i

«s³

a?»

to mieć będziemy :

(3)

Xv-i

A,

«/.S+¹ ’ ^ x

a.,

>1

s — 1,2,3,...

Każda poszczególna funkcya w (3) staje się na miejscu a,. nieskończonością pierwszego stopnia, zawierając taki sam dodajnik co dana funkcya f(x). Z tego-to powodu ważnem będzie zbadać analityczny charakter sumy :

" A

As (x—as)

-i

oo

SA

s*

.1=1

\ x—at    )

xv*

4=1

(4)

1-Ü

а.

= 2А,.(- V'.-

=1    \    ) x

W art. 31. — [relacye (2) i (3)] — mieliśmy już taką sumę z tą tylko różnicą, że tam zamiast As występowały liczby ls całkowite dodatnie i wszystkie skończone.

Przyjmijmy, że wszystkie As są skończone. W takim razie postępując analogicznie, jak wart. 29—31. dojdziemy do wniosku, że suma (4) będzie tu poza punktami as jednostajnie i absolutnie zbieżną, gdy się suma :

§»

I*'-

P= S . i

•9 ~ 1    I

okaże bezustannie zbieżną.

li

<ï> —1

W najprostszy sposób dogodzi się temu warunkowi rając i tu:

obie-

(5)

V\ =⁰> V2 = i

*3 = ²i-    К

a wtedy suma (4) będzie analityczną funkcyą skończoną poza punktami as, a w każdym punkcie as nieskończoną przez dodajnik As(x cis )

W szczególności i tutaj — gdy przy pewnem całkowitem, dodatniem, a możliwie najmniejszem m okaże się suma:

a,"‘+'

bezwarunkowo zbieżną — można będzie położyć wszystkie vs=m tak, że w tym razie mamy:

/^771 — 1

as

+ s?+-⁺^’

s--= 1,2, 3,...

Lecz bezwzględne wartości As \ pozostając skończonemi przy skończonych s, mogą z wzrastaniem znaczku s obok skończonych granic posiadać także i granicę nieskończoną.

Pytanie zachodzi, czy i w tym razie można będzie wybrać vs tak, aby suma P była bezustannie zbieżną, a więc z nią i suma (4) okazała się jednostajnie i absolutnie zbieżną? Aby to zbadać,

AĄ = \as L, s=l, 2, 3,..., [Hermite], gdzie qs mają być rzeczywistemi liczbami. "Wykładniki qs podzielą się tu w ogólności na odjemne : —q„ i dodatnie: 4-pT. Podzielmyź według tego i sumę P na dwie, z których pierwsza Pj ma zawierać w swych dodajnikach same :

Aa =\aa\-Os,

połóżmy :

(6)

a druga P₂ same dodajniki o

\AT\=\aT\+<?T,

to widocznie w P± będą wszystkie '• Aa\ skończone, a więc w niej liczbom va nadać można wartości (5). Druga suma P₂ po uwzględnieniu (7) będzie miała postać :

(7)

\xp

Рг éi i«.

Połóżmy :

vt=T—l + kt,

gdzie liczby kT mają być całkowite, dodatnie, poddane warunkom К—QT=hT^> 0, to wtedy mamy: vvĄ-l—дт=г-\-1гг, i

(8)

ą=2

Gdy zważymy, że suma :

dla wszelkich skończonych |ж| są

jest już bezustannie zbieżną I#|G/|aT|⁷'*, т=1, 2,... wszystkie skończone, to stąd wnosimy, że i suma P₂ za obraniem na sposób (8) będzie bezustannie zbieżną. W każdym zatem razie okazuje się suma U(x) analityczną

funkcyą.

W niej zawarte dodajniki As(x—a₄)_1, a czyniące ją nieskoń* czonością w punktach as zawierają się i w żądanej funkcyi f{x). Gdy zatem utworzymy różnicę [fix)—U(x)\, to ta różnica będzie funkcyą bez jakichkolwiek miejsc nieskończonościowych w skoń-czoności. W nieskończoności będzie mogła ta różnica w najogólniejszym razie posiadać punkt istotnie osobliwy. Wtedy mamy :

f(x) — U (x)= G(x)

gdzie G{x) jest funkcyą całkowitą przestępną.

Czasem jednak może się f(x) różnić od U(x) tylko o funkcyę całkowitą wymierną, która także do stałej ilości zredukować się może. Stąd wynika, że w równaniu :

f(x) = G(x)+ U{x) =

U)

=ед+|л(_1й<

f.w)

które już daje formę żądanej funkcyi, może być G(x) funkcyą całkowitą przestępną, całkowitą wymierną, albo nawet ilością stałą. Stąd twierdzenie :

I. Każda funkcyą posiadająca bieguny jednokrotne w as, gdzie \ai i < ! «2 ! < j«3 < ..., Um I I == co

daje się na bardzo wiele sposobów przedstawić nieskończoną sumą funkcyj posiadających po jednem miejscu as jako punkt nieskończonościowy pierwszego stopnia — za dodaniem dobrze obranej funkcyi całkowitej przestępnej lub wymiernej redukującej się niekiedy do stałej ilości.

Jaka-kolwiek jest funkcyą G(x), zawsze ją można — jeżeli się tego chce — przedstawić sumą 2 gs{x) samych funkcyj całko-

S=1

witych przestępnych. Wtedy dostajemy:

- 141 -

(Л)

/(z) =2 |&(®) + Л (^Z^+P^))]

a to znaczy :

II. Każdą funkcyę opisaną w twierdzeniu I. można przedstawić nieskończoną sumą funkcyj, z których każda tylko na jednem miejscu, ama biegun pierwszego stopnia, a wszystkie w nieskończoności mają punkt istotny.

Uwaga. W art. 31. zamieszczone twierdzenie I. nie wyraża nic innego, jak właśnie zastosowanie formy (A) do pewnego określonego tam gatunku funkcyj. Były-to logarytmiczne pochodne pewnych funkcyj o nieskończonej ilości miejsc zerowych, a uwzględniając to, mogliśmy już w dalszych artykułach Rozdziału III. przedstawić formą (A) wszystkie funkcye trygonometryczne z nieskończoną ilością miejsc nieskończonościowych (jednokrotnych).

Poszukiwania tu przeprowadzone uwalniają nas od ograniczania się do logarytmicznych pochodnych.

Pd. 1. Aby funkcye secx przedstawić formą (A) opierając się już na wskazówkach tego artykułu, postąpimy w ten sposób :

Ponieważ secx = cc na jednokrotnych miejscach:

a,

2s + 1

'“2“*

cos U)

sec(as -f- h) =

(-i ),+1

2s-j- 1

X--я

(~l)s+i _ (~l)»+1 sin h    Ti

+ % “⁴^1 r- ) ,

więc tu mamy:

Gs (—?—) s \ X — aj

(-1)

*+i

s==0,1, 2,...

+ 00

Że zaś

m+1

jest już absolutnie zbieżną , gdy m = -j- 1, więc :

+ 00

ч*)- 2 (-i)

H-l

00

2s +1

*--2""*

2s+l 2 "

)-s

2s-f1

(—1 y>+ix

( 2s -f-1    \

⁷¹ \X--2 * )

G(oc) musi tu być =1, więc ostatecznie: secx — 1 -f- U(x).

Pd. 2. Funkcya:

/(*)==

я cotg я X

Я COS Я X

R(x)

A(cc). sin я X

ma miejsca nieskończonościowe, jednokrotne as = s, s — O, +1, +2,... [Miejsca zerowe funkcyi R(x) nie są nieskończonościowemi w f(x), ho R{x) mieści się jako czynnik w funkcyi cos я х]. Tutaj mamy :

Gs

R(s) (x—s) '

= 0, ±1, ±2,...

x—as

a że suma JJj l/sjm-f-l już przy m= 1, okazuje się absolutnie zbieżną

a R(s) = R(—s), więc mamy tu:

00

=ł+&2

4)1=

R(s)(x²—s²)

Gdy zważymy, że w otoczeniu miejsca x = 0 dostajemy /(ж) = x~l -j- ж?ро(:»), a więc rozwinięcie bez wolnego wyrazu a w ten sam sposób rozwija się U(x) w otoczeniu tego punktu, to stąd wnioskujemy, że f(x) = TJ(x). [Gylden , Mittag -Leffler, Forsyth],

Pd. 3. Przedstawić formami (A) funkcye kowitą dodatnią liczbą.

Pd. 4. Przedstawić formą (A) funkcyę

sinmx

cosmx

COS X

sinx

, gdzie m jest cal-

- cotg г. x

<?(*)

gdzie :

«i-j-a-) G-f)!G-f)-ć-4)”

[Forsyth],

45. bunkcye o nieskończenie wielu miejscach osobliwych skupiających się w nieskończoności. Załóżmy teraz, że miejsca «j,    czyniąc zadość znowu warunkowi:

I % I < |a₂ I < I a3 \ < —I Um ! On =00 są już-to biegunami dowolnego stopnia, już-to miejscami istotnie szczególnemi danej funkcyi f(x). W otoczeniu punktu as niech się fix) staje nieregularną przez dodajnik :

(1)

(2)

G.

Gl

Cs3

{x—asy

X—as (;X—as)

który jest: albo wymierną, albo przestępną całkowitą funkcyą argumentu (x—as)—1. Grdy |oj|<;jas| założymy, otrzymamy z (2)

X— as

Csi

Cs 2

x—as

a.( 1--)    a,a(l —V

V «*/ V a./ V a*/

3 + -”

gdzie :

1)м I — ( Х)-+( ²)-₂-( ³)

L \ fi J as \ [i / as² \ ii )

Cś 3

as³

Lecz, że

( _])

więc mamy także :

Г/ —^ —1\C£1_ /-fl—1\ <h2    ( — fl—l\cs3 _

IA 0 ) as { 1 M²⁺V 2 )as³ ”]

s = 1, 2, 3,

^“0,1,2,...

Napiszmy — mając to — równanie (3) w ten sposób :

(г

■Ш~йМЭ'-%МЗ'

i kładąc :

vs~i

2 ^,v‘w

[i=0

— PJx) j

=Fs(x)

!A,=vs

postarajmy się o taki wybór liczb v,s, aby suma: okazała się jednostajnie i absolutnie zbieżną w całym obszarze skończonych x po wyjęciu z niego miejsc as. [U(x) — gdy to się stanie — będzie funkcyą , która w punktach as przestaje być regularną przez te same dodajniki Gs, co dana funkcya f(x)\ Aby temu żądaniu zadość uczynić, obierzmy nieskończony szereg liczb dodatnich el5'£₂, £₃, ff₄, ... wciąż malejących, a o tej własności, że suma :

£1 +f2 + £3 ~"Ei +•••

jest zbieżną i dowiedźmy nasamprzód, że w obszarze \x\<^\as\ można zawsze — przez stosowny wybór liczby vs — uczynić Fs(x) <^£s. Szereg (2) jest poza punktem as wszędzie zbieżny. Zatoczmyż z punktu as koło Ks o promieniu j as j, to wewnątrz niego mamy \x—a.s j <C ;    • Z tego samego punktu as zakreślmy

dalej drugie mniejsze kolo ks o promieniu t;s—\x—««]<! | ««|* Na obwodzie tego koła 7cs niech funkcya G, przedstawiona szeregiem (2) ma największą wartość gs. W takim razie mamy :

(4)

Csjj,i    g& §Л g ⁼⁼ 0; f j 2, 3,...

[T. I. art. 163.]. Uwzględnijmy dalej , że :

\АЩ\ <

(—11 — 1) !Csl I ( — /,1—1) I Cs2 I V o / a, V 1 /1 a»²/

i zastąpmy tu wszystkie i csu \ przez większe od nich wartości (4) to tam bardziej okaże się :

¹

Obojętnem jest przytem odróżniać między funkcyami Gs całkowite przestępne od całkowitych wymiernych.

²

Dla prostszego pisania używać będziemy często angielskiego znakowania:

exp a = ea-

³

Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d’une variable independente. Acta Mathematica. T. 4. (1884.) str. 1—79.

Por. także: K. Weier str as s. „Über einen fonctionen-theoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Lefßer“ [Abhandlungen aus der Functionenlehre str. 55—66.]

P. Painlevé. Sur la représentation des fonctions analytiques uniformes C. ß. T. 126. фг. 200.

О zastosowaniu twierdzeń Mittag-Lefflera do funkcyj o danych naprzód liniach zerwania por. E. Goursat. Sur la théorie des fonctions uniformes. C. ß. T-96. str. 565.

⁴

— 00

I«* I

czyli

ponieważ ^sj\as\<Zl — więc mamy:

Niech teraz 5 —1, 2, 3,.. kreślmy pewne koło Jcs o promieniu <C| as | , to promienie wszystkich tych kół można będzie zawsze tak obrać, aby mieć :

a około każdego z punktów as za-

%sl\as\<ßi s= 0,1, 2,3,...,

gdzie ß jest pewnym obranym dodatnim właściwym ułamkiem. Zastąpmyź w (5) j \as\ przez ß, to mieć teraz będziemy:

(6)

już dla 5=1,2, 3,..., i dla ^=0,1,2,...

W obszarze jici<C|as| obie strony nierówności:

-S

(5)

I.

d-s/л I <С gs i i

M*

<f(C

(x-ri)

,u+i ’

Iх = 0,1, 2, 3,...

IFs{x) |<2

I a>

są skończone. Zastąpmyż tu wszystkie \АЩ\ przez ich górne granice (6), to tern bardziej będzie:

(7)

IFs(x) |<2

9sß

X i*

f*~vs

(l — ß)W\a,

Niech £ i £₀ będą dwa dowolnie obrane ułamki właściwe, do-

i £ <Ze₀(l — ß), to mieć

datnie, a połóżmy \xjas\<Ze będziemy :

8 = 1, 2, 3,

(8)

|я/«*| <f₀(l— ß), « = 1,2,3,...

Wstawmy w (7) za wszystkie \xj as\ górną ich granicę (8), to dojdziemy do nierówności:

|вд|<2

9»ß

l-ß

albo:

9sß

(1 ß) (1    ®o)

. £qvs , « = 1,2,3,...

Ponieważ tu gsßl{ 1—ß)(l—e₀) jest skończoną dodatnią ilością, a £₀ jest ułamkiem właściwym dodatnim, to można będzie zawsze obrać tak duże vs, aby się okazało j Fs (x) ] <C £., dla wszelkich \x\<i\as\j c. b. d. d. Zauważmyż teraz sumę :

U (x)

=§Н^)⁺Н=|ад

i rozbierzmy jej zachowanie się w obszarze \x\<i\am\. Pisząc:

mamy w pierwszej sumie funkcyę ze skończoną tylko ilością miejsc osobliwych :

ai) 1 «3» **•»

Co się tyczy drugiej sumy, to mamy tu na wszystkich miejscach obszaru I •/ J <C| dm I bez wyjątku:

Fm(x)-\-Fm+i(x) +... < Fm{x) \ + : Fm+\(x) [+••• <C +    4" •••

Druga suma w (9) jest więc przedewszystkiem absolutnie zbieżną w obszarze \x\<i \ cim\- Lecz jest ona tam także i jednostajnie zbieżną. Obierzmy bowiem dowolnie małą , dodatną ilość ó7 to poczynając od pewnej dostatecznie dużej liczby r >> m, można na wszystkich punktach uważanego obszar.u uczynić :

Fr+k{x)Ą-FrĄ.h^-\{x)-\- ••• |<d, h = 0,1,2,3,...

Z tego — ponieważ przy obranem x leżącem w skończoności, a rożnem od wszystkich ag można zawsze między ilościami az I, ... znaleść pierwszą taką — a,n, że się okaże x\<i am —

! «ib a2

wnosimy, że U(x) jest analityczną funkcyą w całym obszarze skończonych x z osobliwymi punktami ai7 a₂. a?>, ..., a z punktem istotnie szczególnym w nieskończoności. Punkta as powodowane są w niej takimi samymi dodajnikami 6r.s, jak w danej funkcyi f(x), gdyż, mając pewne as=ar i obierając m^>r dostajemy z pierwszej sumy

w (9) rozwinięcie postaci Gr{x— ar    — a,-)? a druga suma

rozwija się w otoczeniu punktu ar już na zwykły szereg potęgowy. Tego następstwem jest, że różnica:

(10)

f(x) —U(x) = G(x)

witą

która się także do stałej zredukować może. Z (10) wynika:

może być w najogólniejszym wypadku funkcyą przestępną całko-w szczególnych razach funkcyą wymierną, całkowitą.

(В)

a gdy tu — jak w art. poprzedzającym — położymy G(x)= 2gs(x),

«=i

gdzie g,{x) są same funkcye całkowite-przestępne, mieć będziemy:

oo

(Bt)

(9)

U(x) =    Fs (.X) +    F* (x)

s —?n

=2 [G<

Z tych wszystkich uwag dochodzimy do twierdzeń :

Teor. funkcyj analit. ï. II.

I. Każdą funkcyę posiadającą dowolne punktu osobliwe w a,, gdzie

ia\ j <C ja₂ < «3 <!•••, Um I i ==oc

można na bardzo wiele sposobów przedstawić nieskończoną sumą funkcyj posiadających po jednem miejscu ax, jako punkt osobliwy spowodowany

tym samym dodatkiem Gjx—«, ), co w danej funkcyi. Do tej sumy dodać jeszcze trzeba pewną dobrze wyznaczoną funkcyę przestępną całkowitą, lub wymierną całkowitą, który niekiedy do stałej zredukować się może.

II. Funkcya opisana w twierdzeniu I daje się przedstawić nieskończoną sumą funkcyj, z których każda poszczególna posiadając punkt

osobliwy as spowodowany tym samym dodatkiem 66,(1—    ),

mej funkcyi danej, ma jeszcze punkt istotnie szczególny w nieskończoności.

co w sa-

Pd. 1. Okazać, że:

(«)

1 _ ^ “ - o - /

sm-x

S — — 00

(X— srj²

i że:

(P)

-2

COS² XX

S= "“CC

2.S + 1

X--;

-₂ [por. art. 36. form}⁻ (!'), (2')].

Pd. 2. Z («) i (fi) dostajemy przez różniczkowanie:

cosx _ '4^    1

sin²X л» (ж—s")

— 00

Wyprowadzić te formy wprost, posługując się metodą Mittag

Uwaga. W tych przykładach dość jest wykazać, że już sumy ^ (}Лх — ax ) są jednnstajnie zbieżne, a więc dodatki Ps(x) są tu identycznie —O, a potem wywnioskować , że G(x) = 0.

+0C

-³ sin XX

COS ³ XX

-f-oc

7    2Ï+1?

*=— i"⁷--2 /

-Lefflera.

46. Funkcye z nieskończoną mnogością miejsc osobliwych skupiających się w jednym punkcie w skończoności. Funkcya f(x) niech ma teraz miejsca szczególne ai, a₂, a-₃, «₄, ••• tworzące nieskończoną mnogość , skupiającą się w punkcie b leżącym w skończoności. W otoczeniu punktu as niech będzie:

) + Щх—аа), gdzie:

s = 1, 2, 8,...

(1)

f\x) = Gs{x—as

--1

( hU

\x—asJ X

Ca

— as (x—as)

(    as — b\

Połóżmy: X—as=(x—b)—(à,—b) = (x—b) (1—

a więc

Л a'-bŸ

(х—ай)к    (;х—Ъ)к ’

V х—ь)

1    (a.s—b)k

(as—b)k ' (x — b)k '

to mieć będziemy :

albo zakładając:

(3)

G.,

fey-S

_ («, — &)*

(a,— b)k ’ (x—b)k

Csk

as—h\k ’

x— b

I (ag—b) l (x b)\ < 1, (as—b)k Г /Jc\ {a—b? \x—bf ' I ⁺\1/ /й+2\ (ag—b)3 \ 3 ) (ж-ó)³

C.sk

a,—b

x— b

Ck -f-1 \ (a, — b)~

\ 2 / {oc- b)*¹

a (a.-by

";sM^=b) '

Spółczynniki ASft mają widocznie tu takie znaczenie:

2+( - )

^( =

T—I CM

r-i CO

C* 2

CS3

a -a

—-

albo :

А„и=

Ö.S

Połóżmy dalej :

a, —

a 'a

(a,—ó)³

o 7 (as—by

ь+Pt¹)

C.v2

(as — b)

1+(V)

^4-3

(as—ó)³

f...+

( -î)

Ts 's

(as—by

i zauważmy sumę :

gdzie :

rr(.r)= 2 Я W=2 f е.(^)+ад1

»45= I L .    '    * '    J

™~-5И&Т

Niech q +£₂ +£₃ + ... będzie znowu, jak w art. poprzedzającym zbieżnym szeregiem o samych dodatnich es, a szereg (2) na obwodzie koła Jcs ze środkiem w as, a¹ o promieniu:

g.v < «v— Ъ

(4)

niech, ma największą bezwzględną wartość gs. W takim razie mamy znowu :

Csk ^ Q a £»* } Je — 1, 2. B,

(5)

a gdy w nierówności :

\A,„ |< C"

I a,—6 !

|a,—6|²

/>—1W \₍u—1/ a.

z а I Cgic

(4) — |,/| at—b\ <ß, 8=1,2,3, ułamkiem, dostaniemy :

wstawimy ich górne granice (6) i założymy — wskutek

gdzie ß jest dodatnim, właściwym

(6)

XItt

Ponieważ dalej :

\as—b I s=l, 2, 3,

ja,—ó|

J <gsß( l+ß^-i

[j. — 1,2,3,

co

»- b *

X—b

gdzie prawa strona jest w obszarze (3) skończoną, więc gdy tu za Ащ\ wstawimy ich górne granice (6), mieć będziemy tern bardziej :

co

V|

f*=vs

Załóżmy \(as — b)j{x—ó)|<<£, gdzie e ma być dowolnie obranym dodatnim ułamkiem właściwym i obierzmy jeszcze jedną do-datną wielkość e₀ <C 1, to £ będzie można zawsze tak oznaczyć, aby było \as—b')l(x—b)\<i£<^£₀l(lJrß)i gdzie widocznie £₀/( 1 + ß)

jest ułamkiem właściwym dodatnim. Połóżmyż po prawej stronie nierówności (7) za ¹(as — b) / (x—2»)| górną granicą tej wielkości dostaniemy :

to

GO

Fs{x) \<g,^[ßKl+ß)] £₀ ‘u

albo :

l*=va

9$    4V*

i-\-ß i—s₀

Czynnik gsßl (1+/?) (1 — £₀) jest tu skończonym, a że e₀ jest ułamkiem właściwym (dodatnim), więc vs można tu będzie zawsze tak wybrać, aby się okazało: Fjßc) <£,. Załóżmy:

I (am—b) I (x—b) I < 1, a miejsca as pomyślmy sobie tak uporządkowane, aby ze zwiększaniem się s przybliżały się do b, to wtedy będą także :

\(am+h— Ъ l(x—b) j< 1, A=l,2,3

|ВД1<

(8)

i dowolnie do zera zbliżać się będą, jeżeli x z obszaru (8) brać będziemy. Niech dalej æ₀ będzie dowolnym punktem różnym od as i b₁ a w jego otoczeniu:

X—< Q

niech się żaden z tych punktów nie zawiera, to zwiększając m, można będzie i dla punktów obszaru (9) nierówność (8) utrzymać: (różnica bowiem cim—b dowolnie maleje, a x—Ъ i pozostaje skończone). Obszarem (8) można zatem każdy dowolny obszar (9) objąć.

(9)

Mając to na oku, wywnioskujemy — podobnie rozumując jak w art. poprzedzającym — że suma U{x) jest analityczną funkcyą jednoznaczną o szczególnych punktach as spowodowanych takimi samymi dodatkami ćrs, jak w danej funkcyi f{x).

Z tego wynika, że różnica :

f(x)—U(x) = G(x — b )

może być funkcyą całkowitą przestępną lub całkowitą wymierną argumentu (x— Z»)““¹, a w szczególnych razach może się także do stałej zredukować.

Mamy więc twierdzenie :

I. Funkcyę f(x) o szczególnych miejscach a,, s= i, 2,3,... skupiających się w miejscu b leżącem w skończoności można na bardzo wiele sposobów przedstawić formą:

(C)

f(x)=G

(^)+|НЛ-)+Н

w której G jest funkcyą całkowitą przestępną lub wymierną argumentu (.x— b)~i a suma składa się z samych fuukcyj posiadających miejsca as

jako osobliwe, spowodowane takimi samymi dodatkami Gs(x—as ), co w danej funkcyi.

Gdy zaś położymy : gdzie wszystkie funkcye gs{x—b ) są całkowite przestępne argumentu (x—ó)~¹, to dostaniemy:

/■(*)=

a to znaczy :

II. Funkcyę opisaną w twierdzeniu I. można także przedstawić suma funkcyj > ⁸ których każda posiada jedno miejsce as jako szczególne.

spowodowane w ten sam sposób, jak w danej funkcyi, i jedno miejsce istotnie osobliwe w skończoności.

skutkiem tego około każdego

47. Funkcye i wyrażenia analityczne utworzone na podstawie danej mnogości odosobnionych punktów osobliwych. Chcąc uogólnić twierdzenia wyprowadzone w dwóch ostatnich artykułach przyjmijmy, że na nieograniczonej płaszczyźnie argumentu x mamy nieskończoną mnogość odosobnionych punktów Q z mnogością pochodną Q' [T. I. art. 38.]. Mnogość taka jest przeliczalna; Q i Q‘ nie mają wspólnych punktów, punktu mnogości Q da się wyznaczyć dostatecznie małe otoczenie takie, że się w niem nie zawiera żaden inny punkt zaliczający się do Q.

Przy takich założeniach ważnem jest bardzo rozróżnić dwa wypadki, a mianowicie:

1° mnogość pochodna Q‘ składa się tylko ze skończonej ilości punktów bi: &₂, &3,..., bm ;

II⁰ mnogość pochodna Q‘ jest znowu mnogością nieskończoną. Zastosujmy nasamprzód wypadek pierwszy do teoryi funkcyi. Zauważyć tu przedewszystkiem potrzeba, że wydzielając z nieograniczonego zakresu argumentu x punkta Q i punkta

bm)

Q — iWi b

otrzymujemy w pozostałym obszarze Ш.-=(х)—(Q+Q‘) zawsze jedno i tylko jedno jednolite continuum. Dalej można tu zawsze daną mnogość Q podzielić na m grup punktów:

(1)    a₂⁽¹⁾,...),    $₂=(V²), «3¹? •••)? •••? Qm=(ai(m), er₂Cm), —)

w ten sposób, że każda z nich: Qce jest znowu mnogością nieskończoną i posiada jeden tylko punkt skupienia ba.

Równocześnie z (1) zauważmy m grup funkcyj : GjCi\x—asW *)r «==1,2,3,...,

(2)

z stosownie dobranem Pja\x).

Utwórzmy fnnkcye (3) dla a=l, 2, ..., m i zesumujmy je potem, to dostaniemy funkcyę :

₉ m 00

fix) = H{x, bi V-M+22 F^ix)

₉    CĆ~i S=Z 1

• w której H(x, bi Ъ₂... Ът) jest funkcyą regularną w obszarze (x) — (/, a w punktach bi: b₂, ...,bm zachowuje się regularnie lub nieregularnie. Stąd twierdzenie:

to zawsze można utwo-

I. Gdy na płaszczyźnie argumentu x dana jest nieskończona mnogość Q punktów izolowanych as z pochodną mnogością Q‘ zawierającą tylko skończoną ilość punktów bu &₂, ..., Ъ rzyć funkcyę analityczną f{x) o punktach szczególnych a, w otoczeniu których :

(4)

f{x) = Gs(x—a‘ ) + Щж—«,)

: danymi naprzód dodatkami Gjx—a) : punktu hx, ń₂, .... bm będą istotnie szczególnymi takiej funkcyi.

Naodwrót dana funkcya f(x), która w otoczeniu punktów as mnogości Q przedstawia się rozwinięciami (4), da się zawsze przedstawić formą (JD) z dobrze określoną funkcyą H(x, ó₁, b₂, ... bm).

W przypadku IIglin, w którym Q‘ jest mnogością nieskończoną, mogą zajść dwie możliwości, a mianowicie:

a)    obszar 21 jest jednem, jedynem continuum;

b)    obszar 21 składa się ze skończonej lub nieskończonej ilości

obszarów zwartych (continuum)    A.,, Az, ...²).

Jedno jednolite continuum otrzymujemy n. p. zakładając , że na płaszczyźnie (a?) punkta mnogości Q' są x — % -p rj ², % Щ[7] — 0,1, 2,3, ...

Obszar 31 będzie także jednem tylko continuum, gdy założymy, że Q‘ tworzy na płaszczyźnie (x) kilka, lub nawet nieskończoną ilość linij niezamkniętycb, a ułożonych w ten sposób, że odcinki kilku z nich nie łączą się w jedną linią zamkniętą.

Lecz już — gdy Q‘ zawierając w sobie i punkta rozrzucone przedstawia oprócz tego wszystkie punkta na jednej przynajmniej lub kilku, a nawet na

continuum.

(3)

/«(•²■') — G-a{x —Ъи    ) -j-    Ffa\x), gdzie :

.5=1

nieskończenie wielu liniach zamkniętych — bez różnicy, czy taka linia zamknięta w skończonośei (koło, elipsa; obwód wieloboku ....), albo zamknięta w w nieskończoności (linia prosta, dwie równoległe proste, hyperbola, parabola, ....), mieć będziemy w 21 kilka a nawet nieskończenie dużo zwartych oddzielnych obszarów Ax, A-2, A₃, ... Przejście z jednego takiego obszaru do któregokolwiek innego nie będzie tu możliwe bez przekraczania raz, łub więcej razy linij stanowiących Q‘.

Obszary Aix A.}, A₃, .... jjodzielą się w ogólności na trzy rodzaje podług takiej zasady:

Na zupełne ograniczenie obszaru Atth składają się nasamprzód linia zamknięta lt zaliczająca się do Q‘, a odgraniczająca At od innych sąsiednich obszarów, potem mnogość *Qf skończona lub nieskończona należąca do Q, a zawarta całkowicie w wnętrzu wycinka płaszczyzny (x) ograniczonego linią ó? a wreszcie zbiór qt rozrzuconych punktów w tym wycinku, a zaliczających się do Q‘.

Całkowite więc ograniczenie obszaru At możemy przedstawić symbolicznie sumą Qr\-qt- Otóż tu zajść mogą takie wypadki:

1°. Qt jest mnogością nieskończoną, a cała linia lt daje punkta skupienia tej mnogości (obszar A₁, hg. 5.).

■*.

b':

2°. Qt jest mnogością nieskończoną, ale z linii lt tylko jej pewne oddzielne punkta a, /?, ... lub oddzielne jej odcinki a, ß, .. stanowią pochodną mnogości Qt (obszar A₂, fig. 5.).

ЙР.:-:Ь

Fig. 5.

3°. Qf jest albo mnogością nieskończoną, albo skończoną, albo jej wcale nie ma, a linia lt jest tylko linią skupienia tych punktów z mnogości Q, które się mieszczą w obszarach sąsiadujących z A, (obszar A3, fig. 5.).

Podobnie według tego samego prawidła podzielimy i obszary A\ +Qi -b<?i, A₂ + Q₂Jrq₂, ..., stanowiące całkowity już zbiór punktów ograniczonych tylko liniami lx,    l?>: ...

Taki podział jest bardzo ważny. Naszem zadaniem bowiem będzie na wzór form podanych w ostatnich artykułach utworzyć analityczne wyrażenie fx o takich własnościach: 1) wewnątrz 31 ma być fx jednostajnie zbieżnem rozwinięciem, a więc w otoczeniu każdego punktu x₀ leżącego w 31. dać się rozwinąć na szereg Щх—x₀). 2) dla otoczenia jakiegokolwiek punktu as ma być:

(5)

fx = G.ix

a,    (x—as).

Gdy 31 przedstawia się jako jedno jedyne continuum, to fx posiadające te własności będzie jedną analityczną funkcyą z punk-

ta mi osobliwymi Q, a istotnie szczególnymi w Q‘. Grdy przeciwnie 'Л rozpada się ną kilka, albo nieskończenie wiele oddzielnych, zwartych obszarów Au A₂, A₃, ..., to w każdym z nich jest fx jednostajnie zbieżne, w otoczeniu każdego punktu as mnogości QXJ Q2: Q₃, .... rozwija się na formę (5), a w punktach mnogości Q‘, t. j. na liniach

Z1; 1.₂, G, ••• i w qx, q₂, q₃, ..... nie ma już analitycznego znaczenia

Ai j -d-o,

:i i •

(dla otoczenia każdego punktu w lt lub qt daje rozbieżne rozwinięcie). Wyrażenie fx ma więc w tym razie kilka, a może nieskończenie dużo zakresów jednostajnej zbieżności, i może już według uwag danych już w Tomie I., [art. 197.] w różnych tych obszarach .. — różne analityczne funkcye /j(#), /₂(ж), /з(#), ••• częściowo, lub całkowicie przedstawiać. Pod tym względem rozważmy wszystkie 3 rodzaje obszarów At+Qt,

Л\ obszarze AiĄ-Qi rodzaju pierwszego funkcya fx(x) ma nieskończenie wieie punktów osobliwych a, tworzących mnogości a zagęszczających się za zbliżaniem, się do linii 7, w nieskończoność. Cała więc linia lx musi tu być pokryta punktami istotnie szczególnymi funkcyi : przez tę linię f\(x) nie da się poza At przeprowadzić. fx przedstawia tu f\(x) w Ai-\-Ql całkowicie.

W obszarze A₂ -{- Q, rodzaju drugiego przedstawia fx funkcyę f₂(x), która ma niezawodnie punkta szczególne as tworzące mnogość Q.₂ i ma na l₂ istotnie osobliwe punkta «, /?, ... lub odcinki a, ß, .... mieszczące bez wyjątku takie punkta. Lecz czy przez pozostałe części linii l₂ można przeprowadzić funkcyę — trudno rozstrzygnąć. Nie ma bowiem pewności, czy punkta mnogości Q‘ mnożące się w sąsiednich obszarach w nieskończoność wzdłuż l₂ — po wydzieleniu «, ß, ... — będą miały wpływ na regularne zachowanie się funkcyi f₂(x), lub nie.

Podobnie z tych samych powodów trudno rozstrzygnąć, czy /.r, przedstawiając funkcyę fn(x) w obszarze A?t-\-Qz trzeciego rodzaju, przedstawia ją tam częściowo, albo całkowicie.

Mając to wszystko na uwadze, możemy — unikając słowa ..funkcya“ — dowieść takiego twierdzenia :

II. Gdy dana jest nieskończona mnogość odosobnionych punktów Q—{ax, a₂,..., as, ...) z miejscami skupienia Q‘, które również występują w nieskończonej mnogości, gdy dalej dane są. funkcye całkowite wymierne lub przestępne

Gx (x — ax

) , s — b 2. 3, ...

znikające, gdy (x— as)~i = 0 — to zawsze można utworzyć pewne analityczne wyrażenie fx, zachowujące się w ten sposób: W otoczeniu każdego punktu x₀ nie zaliczającego się ani do Q, ani do Q‘ jest

fc=%(x—x{)) ;

w otoczeniu każdego punktu as jest

fx = Gjx — a, j +    —aj),

a w samych punktach mnogości Q‘ jest fx rozbieżne.

Dowód. Gdy Q‘ jest w całości przeliczalną mnogością o punktach b₁, b2:b?>, ..., to podług najrozmaitszych prawideł można punktom a, mnogości Q podporządkować punkta /?., mnogości Q‘.

Kiedy jednak Q‘ — oprócz punktów przeliczalnych ßi, ß₂, ß?>, ... zawiera w sobie jeszcze liniowe continua lx, l₂, l?i, .... to okaże się? że linie te zastąpić będzie można przez pewne wszędzie gęste mnogości punktów :

(6)

O*

^12? &13? ••• 21’ ^2 2?

2 3?

zawartych choćby w najmniejszych, dowolnie wy branych częściach linij ty ty ... Te punkta (6) razem z punktami ßi, /ty ß?t, ... utworzą mnogość :

R—(ßi, ß₂, ..., b

Il ?    1 2 ? •"?

której użyć będzie można zamiast a która będzie już przeli

czalną.

Wyznaczenie punktów (6) i w ogólności mnogości R odbywać się będzie tak. że każdemu punktowi as podporządkujemy jeden i tylko jeden punkt zawarty w Q‘ w sposób, który i do pierwszego wypadku — przeliczalnej mnogości Q‘ — da się zastosować.

Obrawszy pewien punkt ą,, szukajmy w Q‘ takich punktów, które najbliżej tego punktu leżą. Niech te punkta będą ty b'j b“‘ p,s= as—b‘ = ax—b“ = as—b“‘ = ...

jest dolną granicą oddaleń punktu a, od wszelkich punktów mnogości Q‘.

? *•*?

to

Gdy punktów ty b“, b“‘, ... jest tylko skończona ilość, to wybieramy z nich jeden, którykolwiek, a nazywając go b,, mamy:

(?)

i as b# i Qs,

przez co już ów punkt bs podporządkowano punktowi a,.

W razie, gdy punktów ty b‘j b“j ... jest nieskończenie dużo, to w (7) użyjemy za bx któregokolwiek z ich punktów skupienia. [Taki punkt zawiera się w drugiej pochodnej mnogości Q" samem (T. I. art. ЗУ.) należy i do Q‘ 1.

a tem

Niech © oznacza dowolną, skończoną liczbę dodatnią i zauważmy wszystkie różnice :

(8)

as—bJ=Qs>®.

Różnic tych nie może być nieskończenie dużo. Przyjmijmy bowiem, że tak jest, to do tych różnic należy nieskończenie dużo punktów as o jednym przynajmniej punkcie skupienia b. Między różnicami (8) musiałyby być i różnice dowolnie małe, a to się sprzeciwia założeniu, że rozważamy tylko różnice większe od © lub = ©. Z tego wynika, że wybrane punkta b,s z mnogości Q‘ tworzą przeliczalną mnogość i że różnice (7) dadzą się uporządkować w ten sposób, że

(9)

<*\—bt >'a, — b., > a.y- bz >... gdzie jednak znak równości nie utrzymuje się statecznie. Różnice te muszą widocznie dążyć do granic :

lim \as—bs — lim p,=0 ,

.s=oo

bo w Q znajdują się koniecznie punkta ax dowolnie przybliżające się do punktów mnogości Q‘. Przy tern zauważyć potrzeba, że kiedy Q‘ zawiera także punkt leżący w nieskończoności, to przy dowolnem s kładziemy: a,—oc — 1 / us , a z tych oddaleń te tylko do qs zaliczamy, w których jas| wzrasta w nieskończoność.

Oddalenia (9) bez różnicy, czy w nich as leży w skończoności, czy w nieskończoności, posiadają wprawdzie granicę limę»—0, ale

S-=oo

jej nie dosięgają, bo Q będąc mnogością izolowanych punktów nie zawiera w sobie punktów mnogości pochodnej Q‘. Z tego wynika, że wszelkie qs trzeba uważać za skończone i różne od zera.

W ten sposób dokonane już jest podporządkowanie:

1,2,3,....

a w niem w niektórych wypadkach do kilku, lub nawet do nieskończenie dużo punktów as jeden punkt ó, należeć może.

Z mnogości Q‘ wyjęto niezawodnie wszystkie w niej zawarte punkta przeliczalne, a w razie istnienia linij 1Л, /₂, ... utworzono na nich wszędzie gęste mnogości, które na przeprowadzenie funkcyj przedstawionych wyrażeniem fx w poszczególnych obszarach Ai, A₂, ... tensam wpłyiv będą miały, co same jednolite linie

hi hi •••

Po takiem przygotowaniu możemy teraz każde Gs (——— ]

V X-Oj я/

roz

winąć podobnie jak w art. poprzedzającym :

z zakresem zbieżności :

\(as—bs) I (x—bs)\<E<l'. Napiszmy dalej równanie (10) w ten sposób:

*я⁻¹    «3

(И)

Gs

2»⁼¹    (*=vs

to można będzie i tu — rozumując podobnie, jak w art. poprzedzającym— stosownem oznaczeniem liczb vt uczynić w obszarze (11):

(12)

(10)

Г.

s •—- lj 2; 3, ....

Fs(x)<j£s, * = 1,2,3, gdzie £s jest dodatnie i rzeczywiste i jest stym wyrazem zbieżnego szeregu :

£1 ~Ь £2 +£3 + •••    •••

Zauważmy punkt x₀ różny od punktów mnogości Q i Q‘, a w jego otoczeniu:

(18)

\x—xd\ <tę

niech się również żaden z punktów (Q + Q‘) nie znajduje. Dolną granicą wszystkich różnic \x—bi J, jx—Ъ śnie z zakresu (13) wyjęto, niech będzie Z. W takim razie mamy :

X—h s    Z

•(14)

21 » !

\x—b?> ,

gdzie X wła-

* = 1,2, 3,....

Połóżmy £l-=ß: to w szeregu 5 = 1, 2, 3, 4, ... znajdziemy zawsze pewne s = m, takie, że od takiego s = m poczynając, mieć będziemy statecznie :

(15)

\Xm4-h bm+h—£l, /(.=0, 1, 2, 3, ...

£ , h — 0,1, 2, 3, ...

Wskutek (14) i (15) mamy dla wszelkich x obszaru (13): dm+h Z

x Ът-j-л    Z

wszystkie te obszary obejmują zatem w sobie obszar (13), w którym — według (12) — dostajemy:

NFs(x)\ <^£m + £m+i + £m-f 2 + •••

S—771

To dowodzi, że suma :

(E)

F Fs(x) =f'x

5—1

jednostajnie zbieżną. Co się tyczy otoczenia punktu as = ar

m—1

GO

fx — F Fs(x) -j- N Fs(%)

«=1    s=m

sząc

i obierając m's>r dojdziemy do wniosku, że w tem otoczeniu

to pi-

fx = Grr(——W$ßr(#— «»), [jak w art. 45]. V X—arf

Sunja (2?) jest więc wyrażeniem analitycznem określonem w twierdzeniu II.

W tworzeniu wyrażenia fv mamy wielką dowolność w wyborze a w niektórych wypadkach także i podporządkowywanie (a*, ht) da się uskutecznić na bardzo wiele sposobów. Stąd wynika, że wyrażeń określonych w twierdzeniu II. można dostać nieskończenie dużo.

Niech Grx będzie funkcyą regularną w każdym punkcie obszaru 5t + $, a o jakiemkolwiek zachowaniu się w mnogości Q¹, to i suma G-x-\-fx będzie również wyrażeniem o tychsamych własnościach, co fx. Połóżmy wreszcie:

wielkości

GO*

gdzie fs(x) jest funkcyą wszędzie regularną z wyjątkiem punktu h, mnogości Q‘, albo zastępczej mnogości i?, to najogólniejszą postacią przedstawiającą żądane wyrażenie będzie :

(Ą)

2{f,(x) + F,(x)}.

S=1

Każdy dodajnik tej sumy ma dwa tylko punkta szczególne (a,, bs), a zresztą wszędzie zachowuje się regularnie.

Pd. 1. Mnogość Q złożona z punktów :

2 kjli

, пЩк = 0,1,2,....

ma pochodną Q‘ przedstawiającą się jako całkowity obwód koła : jaj| = l. W wnętrzu tego koła znajduje się mnogość:    = (..., ®2p+l,к

gość Q₂= (••., а2ры ••••)> a tak wnętrze koła, jak i cała nieograniczona część płaszczyzny (X) poza kołem są tu obszarami rodzaju pierwszego.

Przy tworzeniu wyrażenia analitycznego fx z danych funkcyj GW-(—

podporządkować tu trzeba punktowi nnk punkt:

Ikni

bnk = e*-И ,

gdyż (ink najmniej jest oddalony od tego punktu okręgu |a?| = l, który w prostej linii leży z samym punktem ank i z środkiem koła. Każde wyrażenie fx przedstawiać tu będzie całkowicie dwie funkcye: jedną w wnętrzu koła \x\ = l, drugą zewnątrz tego koła. [Mittag-Leffler].

(Ink

П -j- 1

....), a zewnątrz niego mno-

—ark

Pd. 2. MnogośS <j punktów:

(Ink

4-i)

2 km

n^k = 0,1, 2, ....

skupia się na całym okręgu koła |æ|=l. Wnętrze tego koła jest tu obszarem cała część płaszczyzny (x) poza tem kołem będzie obszarem ro-

rodzaju ig0 dzaju ii¹-'⁰.

48. Tworzenie funkcyi w obszarze ograniczonym linią punktów skupienia danej mnogości. Wspomnieliśmy w ostatnim artykule , że wyrażenie fx w obszarze rodzaju lgo przedstawia pewną analityczną funkcyę całkowicie. Załóżmyż, że już sama dana mnogość Q ogranicza swoją pochodną mnogością Q‘ jeden skończony, albo nieskończony, zwarty obszar A + Q, poza którym znajdują się jednak jeszcze punkta płaszczyzny (x), tworzące obszar B. Q‘ zawiera zatem w sobie pewną — w skończoności, lub nieskończoności — zamkniętą linią 1. [Oprócz tego mogą się do Q‘ zaliczyć pewne punkta rozrzucone w continuum zamkniętem przez l, ale na te punkta nie będziemy tu zwracać uwagi].

Jeżeli w tym wypadku chodzi nam tu tylko o utworzenie wyrażenia, któreby w A-\-Q przedstawiało pewną funkcyę całkowicie, to o zachowanie się tego wyrażenia w punktach obszaru В wcale troszczyć się nie potrzebujemy, a ta uwaga dozwoli nam dojść w tym razie do wyrażeń ogólniejszych od tych, jakie mieliśmy w art. poprzedzającym.

Шеек b przedstawia teraz punkta na linii l (w mnogości Q‘). a TF=(ói, ft₂,&3, ...)

niech będzie przeliczalną mnogością punktów, zawierającą się w B, przyczem niektóre z tych punktów mogą i w Q¹ być zawarte. Oddalenia ]b—bs\ punktu bs od wszelkich punktów linii l będą miały pewną dolną granicę, którą nazwijmy ts. Załóżmy dalej, że mnogość W obrano tak, aby górna granica ilości ti: t₂, t.>, ... była skończoną i oznaczoną, i aby za podporządkowaniem:

(as,bs), ³ = 1,2,3,....

okazało się :

(1)

lim( as—bs\ — ts)=-0. ³)

Same różnice (| as—bg\ — ts): s=l, 2, 3,... będą wszystkie dodatnie, bo as, bs leżą po różnych stronach linii l, a ts jest naj-

«,—A.s — ts<C.®: s — m, m +1, m f 2, ... a te różnice nie przestają być dodatnie.

mniejszem oddaleniem punktu 6, od samej linii l. Warunek (1) można zatem także tak określić, że obierając pewną skończoną i dodatnią ilość &, dostaniemy, poczynając od pewnego dostatecznie dużego s=m, statecznie:

(2)

Jeżeli wszystkie miejsca 6, leżą na l, to wszystkie ts są =0, i mamy wypadek uwzględniony już w art. poprzedzającym. (Miejsca 6, tworzą samą mnogość Q': albo zastępczą mnogość R).

Mając to, przyjmijmy, że znowu — jak w każdym z poprzedzających wypadków — każdemu «, odpowiada pewna funkcya

G.< (x—«,    ) całkowita, przestępna lub wymierna, a znikająca , gdy

jej argument =0. Połóżmy dla skończonych bs:

¹

1,2,3,

Funkcye te mają być bez różnicy już-to całkowite przestępne, już-to całkowite wymierne w swoich argumentach: nie mają się do stałej lub zera redukować, a stawać się mają zerem równocześnie z [11 (x—aj*))] — 0. Podług art. poprzedź, można będzie zawsze na bardzo wiele sposobów utworzyć funkcye posiadającą osobliwe punkta Qa: spowodowane właśnie dodajnikami (2), a o punkcie istotnie szczególnym ba. Przedstawiając taką funkcye formą (C) — art. poprzedź. — mieć będziemy:

²

W T. I., [art. 45.], dowiedziono tylko, że obszar (x)—Q tworzy jedno

³

I tu znowu do kilku, a nawet do nieskończenie dużo punktów aa jeden i tensam punkt bs należeć może.

(«)

a dla 6, nieskończonego :

to, gdy £Ó) oznacza pewną dodatnią wielkość <C 1, będą rozwinięcia («) zbieżne niezawodnie w obszarze:

(&)

F*(x),

(a)

a rozwinięcia (6) w obszarze :

(«, — 6.0 l(x — «0 I < £(s)

(ßj

\ XI «, j <    .

Niech dalej £t+£₂+£„ ą-będzie zbieżnym szeregiem o samych dodatnich wyrazach £,, to gdy gs, , £₀W użyjemy w takiem znaczeniu, jak gs, /?, £₀ w art. 45. — (12') — i w art. 46. — (12) — będziemy mogli £₀W tak wyznaczyć, aby się okazało:

I Fs(x) I < £,. Połóżmy :

(3)

(4)

2 Fs 0*0=2 Fs {x)+2 Fs (x) = U(x)

«=1    s—m

to możemy okazać, że U{x) jest funkcyą analityczną regularnie się zachowującą w obszarze A, rozwijającą się w otoczeniu każdego punktu «, na :

Gs(x — as ) 4-    a.),

(5)

a nie dającą, się przeprowadzić przez żaden punkt linii l.

Zauważmy w tym celu dowolny punkt xc mieszczący się w A i jego otoczenie:

(6)

również całkowicie zawarte w A, to można przedewszystkiem dowieść ,

- obszary:

że od dostatecznie dużego s — n począwszy wszystkie

®я-ЬА ^и+А

i Æ bn-\-h

<e(*+A), h=0, 1,2, ...

mogą objąć sobą obszar (6).

Aby takie n wyznaczyć, zauważmy, że różnice \x—V — 4.

s = l. 2. 3

gdy w nich X bierzemy z obszaru (6), będą wszystkie dodatnie dla tej samej przyczyny, dla której już różnice ja*—b„ —4 okazywały się i> 0. Gdy zatem dolną granicą różnic x—bs—4, s = l,2,3,... jest dodatnia^liczba /, to mamy:

(7)

X—6, |>4-M, s = 1,2,8,...,

Załóżmy dalej , że dodatnia wielkość ©jest <^l, i że począwszy od Sr=ni mamy aK—bs—4 <C ©, s>w1? czyli as—bx\ <C ©4-4, s>wlr to dla takich s okaże się:

(8)

Nazwijmy t górną — skończoną, jak założyliśmy — granica wszystkich 4, to z uwagi, że © <C / przyjęto, mamy:

( © 4 4) /14" 4) <(©+©/ (? 4" ©,

a ztąd i z (8) wynika, że :

(«.—bs)l(x—b,)\<(e + t)l(l + t), gdy «>»!•

Przyjmijmy teraz, że ułamkowe, dodatnie ilości £(²); £(з)? _ dążą do granicy lim eW = l, to w takim razie da się zawsze oznaczyć takie s=n.₂, że poczynając od niego, mieć będziemy:

(©4(s>n₂).

Niechże n oznacza większą z liczb w1? w₂, to w takim razie dla wszelkich ж branych z obszaru x—x₀\<Zq dostajemy:

(9)

!-H<£«, 5 > П

x—bs    —

c. b. d. d. [Grdy bs= oo, mamy ж : a, : cG dla sj> ri\.

Oznaczywszy w, załóżmy w (4) m=w. W takim razie pierwsza z sum (4) przedstaw ia funkcyę wszędzie regularną z wyjątkiem

punktów au Oj,..., a„_i. Druga suma będzie jednostajnie zbieżną w obszarze: jx—x₀\<Zę, bo odnosi się do    a nierówności (3)

zachodzą w obszarach (a) lub (ß) mieszczących w sobie obszar:

X—я₀}<р. Wskutek tego będzie widocznie i cała suma (4), t. j. funkcya U(x) jednostajnie zbieżną w obranym obszarze (6).

Chcąc U{x) rozwinąć w otoczeniu punktu as=ar przyjmiemy w (4): m>r. Wtedy pierwsza z sum da rozwinięcie 6rv+$ß‘r(x—ar), druga zaś da się rozwinąć na zwykły szereg potęgowy o argumencie {x—ar). Dostaniemy więc tu U(x) w postaci (5). Przez linię l nie będzie można funkcyi U(x) wyprowadzić z A + Q, bo za zbliżaniem się do tej linii mnożą się bez końca osobliwe punkta as tej funkcyi.

Każda inna funkcya f(x) posiadająca wszystkie własności wyrażenia U(x) różnić się będzie od U(x) o pewną funkcyę, która ma być regularną w A + Q, a w mnogości Q‘ może się dowolnie zachowywać. Nazwijmy ją G(x, Q‘), to mieć będziemy:

(F)

f(x) = G(x, Qj-\- U(x). Stąd twierdzenia:

I.    Gdy dana jest nieskończona mnogość izolowanych punktów:

Q (®i j ^2? •••} ds ? •••) z mnogością, pocho&hą Q' zawierającą linię zamkniętą l, a ograniczającą całkowicie jeden ciągły obszar A + Q, gdy dalej każdemu punktowi a.s podporządkowano pewną całkowitą funkcyę Gs(x—a,f)~i znikającą, gdy jej argument =0, to, zawsze jest możliwa, za przybraniem nieskończenie wielu punktów leżących poza (AĄ-Q), utworzyć analityczne wyrażenie U(x) o takich własnościach: 1. U(x) zachowuje się regularnie w otoczeniu każdego punktu x₀ zawartego w A; 2. W każdym punkcie as jest:

U(x) = Gs (x■-a,)-¹4- %(x—aj) ;

3. U{x) przedstawia analityczną funkcyę o własnościach 1, 2, a nie dającą się wyprowadzić z A-\-Q przez l.

II.    Każda analityczna funkcya f(x) o własnościach wyrażom/ch w tw. I. daje się przedstawić sumą [G(x, $')+ U(x)], w której G(x~Q jest funkcyą regularną w obszarze AArQ, a 0 jakiemukolwiek zachowaniu * się w mnogości Q‘.

49. Wyrażenia analityczne o miejscach zerowych i nieskoń-czonościowych tworzących mnogość punktów odosobnionych. Niech Q=(ai, a2i ..., as, ...) będzie — jak w art. 47. — mnogością odosobnionych punktów, posiadającą pochodną mnogość Q', która wraz z Q ogranicza na płaszczyźnie (x) jeden lub kilka zwartych od-

11

Teor. funkcyj anal. T. II.

dzielnych obszarów A1} A₉, A₃, ... Punktom as podporządkujmy znowu punkta bs brane z mnogości Q‘ w ten sposób, aby

lim as— bs \ = 0,

S—oo

a razem z szeregiem as, s —1, 2, ... niech będą dane funkcye :

а»—Ъау»

(i)

x—bs

= 1,2,8,...

o całkowitych, już-to dodatnich, już-to odjemnych n,. Przy skoń-czonem bs, możemy — zakładając \as—Ъ,) j (x—bs) | <C 1 — położyć

as— bs\ns    \    ^ 1 (as~

) -eJP[ n’£j{z-bJ J

[art. 29., (7)], które-to równanie, gdy bs =oo , przechodzi na:

(2)

(‘

x—b.

(3)

V aj

exp

[-lier]

z ograniczeniem :

\x\ax < 1.

Napiszmy (2) — przyjmując tam bx już-to skończone, już-to nieskończone — w ten sposób :

(4)

M"exv\n    (^—^X‘] — exp\-n^ -(- -VI

I expI n‘ 2i V i*-b.) \-CXl’{ n-2j,, {x—bj \

М|Ш)1

[-liearp

to ,|unkcya Es ma widocznie jednokrotny punkt zerowy as, a punkt bs Jest albo jej punktem istotnie osobliwym jednokrotnym punktem nieskończonościowym (vs = 1)

Eg—1 — (as—bs) I(x—bs). Poza tymi punktami jest Es wszędzie skończoną , regularną i różną od zera.

Połóżmy dalej :

(■

x—bs

i połóżmy :

as—bs

x—bs

=Es(x, as, b.,),=

(5)

== exp

= 1,2,8,

K->1), albo jej a wtedy

(6)

— ns

1 (as~bM

Fs(x), a więc :

(7)

i zauważmy iloczyn :

[E,(x, as, bs)]ns=exp[Fs(x)\,

(G)

/г=П [Es{x,as, bs)]ns=exp

llK<4

Sumę :

U(x)=^Fs{x)

S=1

można stosownem doborem dodatnich liczb vs uczynić w obszarze $!=(#)—Q—Q‘ jednostajnie zbieżną; okazać to można, dowodząc, jak w art. 47., że w dostatecznie małem otoczeniu x—#₀|'<^ zawieraj ącem się w 21 i z punktem x₀ leżącym w 21 jest U\x) absolutnie i jednostajnie zbieżne. Wskutek tego i iloczyn fx będzie wewnątrz całego obszaru 21 absolutnie i jednostajnie zbieżny, [por. końcowy ustęp w art. 41]. W otoczeniu dowolnego punktu x0 mieszczącego się w 21 dostaniemy rozwinięcie :

(8)

/WР(*-*.)=.$₀(ж-ж₀),

w którem wolny wyraz jest koniecznie фО.

Zauważmy jeden z punktów as n. p. punkt ar i jego otoczenie:

(9)

I x—ar I Cq

tak małe, że wewnątrz niego nie znajduje się oprócz ar żaden punkt ani mnogości ani mnogości Q'.

Iloraz :

(10)

U : [EAX, Ъг)]%'- n [Щ*, a,, г»,)]"“. П a„ ft,)]*'

.S—1

nie będzie w punkcie ar ani zerem , ani nieskończonością, a w otoczeniu (9) tego punktu okaże się regularnym. Da się więc tu przedstawić szeregiem potęgowym ißri(a:—ar), w którym koniecznie ?n(0) ф0 jest.

Ze zaś w otoczeniu (9) mamy :

[Er(x: ar br)}nr =(x—ar)nr ^r%{x—ar): gdzie znowu |г2(0)ф0 być musi, więc z (10) wyniknie:

fx={x-ar)nr%{x—ar)

z wolnym wyrazem różnym od zera w ipr(#—cir). To wskazuje, że iloczyn fx posiada w ar wr-krotny punkt zerowy, lub nieskończono-ściowy według tego, czy wr>0l czy <0, a w jego otoczeniu jest już jednostajnie zbieżny. Co się tyczy punktów mnogości Q‘, to w każdym z nich będzie fx bez znaczenia.

G-dy F₀(x) oznaczać będzie funkcyę dowolną, ale o regularnem zachowaniu się w 21 + Q: a o dowolnem zachowaniu się w Q¹, to i iloczyn :

Ą (x) .fx—F₀(x). [J [Ea(x, as, &*)]**

(<^i)

S~i

posiadać będzie te same własności, co fx.

Z tych wszystkich nwag wnosimy :

I. Gdy nieskończona mnogość Q punktów as jest dana, a Q+Q1 ogranicza jeden lub kilka zwartych oddzielnych obszarów Ai: A₂,.... to zawsze można utworzyć nieskończenie dużo wyrażeń analitycznych o formie nieskończonych iloczynów, a o tej własności, że w A1} A₂, ••• określają całkowicie lub częściowo różne funkcye analityczne.

Funkcya istniejąca w obszarze At posiada w punktach as należących do ograniczenia tego obszaru już-to miejsce zerowe, juś-to nieskoń-czonościowe o żądanych powtórzeniach ns.

Miejsca as w iloczynie (G), lnb (Gf) są więc albo zerowemi : aS: albo nieskończonościowemi : ßs. Ich powtórzenia niech będą odpowiednio: ps, qs, a podporządkowane im punkta bs nazwijmy: bs‘, bf. Wtedy iloczyn (G) będziemy mogli tak napisać:

f x— I U [Es (%■) a, 1

П [Es{x,ßs, b“)]h 1.

s=i    -*

(Ą)

, V)]»«:

Gdy tn w liczniku zbierzemy wszystkie funkcye Es z tem-samem b‘s, to ich iloczyn utworzy funkcyę o jednem, jedynem miejscu osobliwem b/, a ze skończoną lub nieskończoną ilością miejsc zerowych as. Taka funkcya jest zawsze całkowitą przestępną,

a w szczególności całkowitą wymierną funkcyą argumentu —,

[art. 41.]. Gdy tak samo postąpimy z wszystkiemi funkcyami es o tych samych bsu, s = l, 2, 3,... w mianowniku formy (6r₂), dostaniemy fx w nowej postaci:

*- *=1    s=l

Przyjmijmy teraz, że Q+Q‘ ogranicza jedno tylko continuum ale poza niem pozostaje na płaszczyźnie (x) jeszcze pewien obszar B. Gdy wtedy w tym obszarze В wybierzemy pewną mnogość punktów TF==(ft1? b₂,..., bs,...) w ten sposób, jak w art.. 48, to dalej postępując metodą tam wyłożoną dojdziemy do wyrażenia (ćr), {Gfj lub (ćr₂), w których bS: bj, bs“ należą właśnie do W, a które pewną analityczną funkcyę z miejscami as już-to zerowemi, już-to nieskończonościowemi przedstawiają w obszarze A-\-Q całkowicie.

leżą tu poza obszarem A + Q, w którym właśnie , ma fx określić pewną funkcyę.

Przejście do formy (6r₃) nie jest tu dopuszczalne, bo punkta as

nie poza

to mamy twier

Nazwijmy JES funkcyami pierwszemi,

dzenie :

II. Gdy dana jest mnogość nieskończona a Q-\-Q' ogranicza całkowicie jedno tylko continuum, a poza niem pozostaje na płaszczyźnie (x) jeszcze pewien obszar В, to można na nieskończenie wiele sposobów — biorąc do pomocy pewne mnogości punktów z obszaru В — utworzyć nieskończony i'oczyn funkcyj pierwszych, przedstawiający iv A -f Q całkowicie funkcyę analityczną z miejscami as już-to zerowemi już to nie-skończonościowemi.

CZESC III.

U

1 TEORYI SZEREGÓW WIELU ZMIENNYCH. FUNKCYE ALGEBRAICZNE JEDNEJ ZMIENNEJ.

ROZDZIAŁ V.

Odwracanie szeregu jednej zmiennej. Z teoryi funkcyj wielu zmiennych.

50. Jednoznaczne odwracanie szeregu jednej zmiennej. Określenie logarytmu i łuków, które-to funkcye omówiliśmy w Rozdziale II., zawiera się w ogólnem zadaniu zmierzaj ącem do odwrócenia danego (zbieżnego w pewnym zakresie) szeregu potęgowego t. j. do wyznaczenia x z funkcyi y, czyli do rozwiązania równania y—ф(ж)=0, w którem x uważa się za zależne od y.

Zupełne rozwiązanie takiego zadania wraz z podaniem bliższych, towarzyszących mu okoliczności poprzedzić jednak trzeba takiem rozważaniem : Niech f'(x) będzie w otoczeniu punktu x=0 regularnym elementem pewnej analitycznej (wymiernej, lub przestępnej) funkcyi. Element ten niech będzie zbieżny w zakresie a w zakresie |#|<^<;^ niech posiada miejsca zerowe xx, a*₂, ..., xm z powtórzeniami ż1? ż₂, ..., Zm. W takim razie możemy położyć :

(1)

f(x) = (x — Xx )\ {X—я₂У2...(X — Хт)ят.f\ (x)

gdzie fx(x) jest szeregiem potęgowym zbieżnym w kole ({?), a jeżeli w tern kole ma miejsca zerowe, to te się mieszczą wyłącznie w pierścieniu : ^ <\x\ <Cp.

Logarytmiczna pochodna szeregu (1) będzie postaci :

j_ f\ \X)

X—Xm

f\n) h

X—xx

00

Iloraz f\ \x) I/j (x) da się tu niezawodnie rozwinąć na szereg potęgowy ^(ж), którego promień zbieżności q₂ będzie z pewnością >»(>!, a <^>. W pierścieniu    określonym przez:    <C|^!<(>₂

zero

nie ma ani funkcya f\(x), ani funkcya f(x) żadnych miejsc wych, a że dla każdego punktu x leżącego wewnątrz (р,...р₂) mamy: x >> ay , s = l, 2, 3, ..., m, więc z (2) możemy dojść do rozwinięcia :

(3)

г 0*0

es

=v.x

+ 5₁Ж-² + 5₂Ж-³+...+^₁(ж)

zbieżnego wewnątrz (pj...^).

W tern rozwinięciu jest v^=Ài-\-À₂-\-...-{-Àm ilością pierwiast-

8/&:==Â• • • 4“!^z==^-t

ków funkcyi /‘(ж) w kole (^)

2, są sumami ^tych potęg tych pierwiastków. (Każdy pierwiastek /*- krotny uważa się za ż.s pierwiastków).

Kaodwrót — gdy w jakikolwiek sposób uda się dojść do roz

winięcia :

f‘(x) j f{x) — v,x~i Ą- s\x~² s‘ ₂х~г Ą- ...-{■ Tj>\{x) zbieżnego w (ę₁...^₂) — to wywnioskujemy: 1°) f(x) w tym pierścieniu nie ma żadnych punktów zerowych; w przeciwnym bowiem razie ułamek f‘{x) ff{x) miałby tam przynajmniej jeden punkt nie-skończonościowy, a to się sprzeciwia zbieżności jego w (ęi...Q₂). 2°) Musi być v‘ = v, s‘u—su, 1,2,3,... i identycznie    (ж)=^р₁ (x),

co wynika z równania :

rJx~i + s\x~²-j-... + ^ß\(x)=vx-i-{-s₁x~²+... + ?p₁ (x) na wszystkich punktach w (Qi...ę₂). Mamy stąd twierdzenie:

I. Gdy fix) jest regularnym elementem funkcyjnym danym dla otoczenia punktu x=0} i z zakresem zbieżności ja:j<;p, a jego logarytmiczna

-f-oo

pochodna da się w jakikolwiek sposób rozwinąć na sumę 2 сих^ zbieżną

1Л——СС

w pierścieniu qx <i)x\<fQ₂<i.Q, to f(x) nie ma w tym pierścieniu ani jednego pierwiastka, w kole zaś (ęj) ma tyle pierwiastków, ile spółczynnik który tu zawsze wypadnie całkowity dodatni, zawiera jednostek. Spółczynniki przy x~², x~s, i t. d. są po porządku sumami l^'ch: 2°ich i t. d. potęg tych pierwiastków.

To twierdzenie zastosujemy chcąc odwrócić szereg: у=а₀-\-алх-\-а₂х²-\-...=Щх).

przy X■

(4)

Załóżmy ax >0 i połóżmy:

f(x,ÿ‘)=x.(pi(x)-y,==0.

y‘=y—a₀=aixĄ-a₂x'²Ą-... = (p(x)=x[a₁ + a₂x+ ...]=х.ф₁(х) , to odwrócenie szeregu (4) jest tem samem, co rozwiązaniem ze względu na x równania:

(5)

Szereg (4), a z nim i funkcye <jp(æ), (pi(x) niech mają promień zbieżności ę. Funkcya ty(x): stając się zerem, gdy x=0, będzie już różną od zera na wszystkich punktach pewnego skończonego otoczenia : x    [T. I. art. 164]. Obierzmy dalej    gdzie

^>>0, to w pierścieniu (q₁...q₂) funkcya (p(x) nie ma również ani jednego pierwiastka. W tym pierścieniu posiada zatem \(p(x)\ pewną dolną granicę g różną od zera, a gdy y‘ ograniczymy tak, że z wartości jego uwzględnimy tylko te , które dają \y‘\<Яд, to w calem wnętrzu pierścienia (ęi...Q₂) mieć będziemy:

(6)

\у‘ l<p(x)\<l.

Funkcya f(x,ÿ) nie staje się zatem nigdzie zerem wewnątrz (ęi...ę₂) dla wartości \y‘ <Zg, a gdy ją za funkcyę samego x uważać będziemy, dostaniemy z niej :

(p‘(x)

f(x, y‘)

(p(x)—y‘

v(+-é)J

Wskutek warunku (6) można będzie tę logarytmiczną pochodnę rozwinąć na sumę:

(p\x)    (p\x) ^ Г г/ Y

<p{x) ⁺ tp(x) £ L <p{x) J

zbieżną w pierścieniu (6). Że zaś ostatnia suma jest jednostajnie zbieżną przy warunku (6), więc uwzględniając:

djl

dx\ (p

f(xy‘)

(p‘(x)

[cp (ж)]я+1

(p‘(x)

■ya

\(p(x)}z+l

No i-*

mamy także :

(p\x)

(7)

f(x, у ')    <p(x)

1 d( y‘ G ^ Я dx\ (p{x) ) •

Gdy to ostatnie rozwinięcie, wskutek jego jednostajnej zbieżności rozwiniemy podług potęg zmiennej x, dostaniemy przede-wszystkiem :

rp‘(x)! (p(x)=x-^ + %(x).'

Wprowadzając dalej symbol [гр(х)]а na oznaczenie spółczynnika

An przy xa w rozwinięciu ip(x)=2Aaxa podług potęg zmiennej x, połóżmy :

[(р{х)]-л=[(р-л]^л.х-я+[(р-л]-^₊х.х-л+^ + ...+[(р-л]^.х~¹ + ^я(х)

л = 1,2, 8,

to stąd mamy :

—Л[(р-Л]_л.х~

л = 1, 2, 3, ....

-2

2-1

⁺тААх)

Z tego wnosimy, że suma —2 mieszcząca się w (7) nie da wcale wyrazu z potęgą x~

a wyrazem z potęgą x

-2

będzie w niej

(8)

°° 1

*-³.2 7    \-ya-

л =1

Rozwinięcie (7) będzie więc postaci :

(9)

/‘О, У‘)

2=1

4-.4₃a;_3+R₄a:-'⁴+... -f-^3(a?).

Stosując tu twierdzenie I., widzimy, że funkcya f\x:y‘), gdy y‘ <7, nie ma w pierścieniu (^...£2) ani jednego pierwiastka ж; w otoczeniu    punktu ж=0 posiada jeden i tylko jeden pier

wiastek x. Ten wyrazi się rozwinięciem :

(«)

*=2тИ-1(у-й°^

-2

daje

zbieżnem dla y—a₀ \<Zg, bo w (9) spółczynnik mnożący x podług tw. I. sumę pierwiastków zawartych w zakresie |æ|<71? a suma ta — gdy się tu tylko z jednym pierwiastkiem ma do czynienia — będzie właśnie tym pierwiastkiem.

Ponieważ <p(x)=--x(p{ (x), to gdy atą pochodnę funkcyi [<jP₁(#)]~/l

dla wartości x=0 naznaczymy przez

\lx“(p' ^]⁰’ mie6 b^dziemy;

[ф(х)]~Л=Х~Л[(р₁ (x)]~z =

x-\[<Pi ~л]о + jj [^Pi ~л]ох + - +

V-

¹ Г    -21

-1 )'Sdxz~1<Pi

2-1

Uwzględniając to w (a), możemy pierwiastek x także w takiej formie przedstawić :

... wyznaczając naprzód ж²=$ (у),

Odwrócenie jest tn więc ш-wartościowe. W taki sposób można od-wrócić funkcyę y=cosx=l—+

|=ж², i przechodząc potem do właściwego odwrócenia: ж= + V^ (y).

Ta dwuwartościowośó wynika tu z parzystości fnnkcyi cos ж, wskutek czego do jednej wartości у należą zawsze dwie wartości argumentu ж, a to : + ж. Oprócz tej dwuwartościowości wystąpi tu jeszcze nieskończona wieloznaczność spowodowana peryodycznością funkcyi cosx. [Podobnie i do w-wartościowego wyniku (ß) może się jeszcze dołączyć wielowartościowość skądinąd pochodząca].

51. 0 równaniu f(x, xl9 x%,..., xn)=0. Wieloznaczne odwrócenie szeregu jednej zmiennej. Niech będzie dany szereg potęgowy /'(ж, ж₁₅ж₂,...,жи), (w+1) niezależnych zmiennych ж,ж₁₇ж₂, ...,ж„, zbieżny w pewnym zakresie :

a posiadający takie własności:

1°. /‘(0, 0, ..., 0) = 0; szereg /'nie posiada zatem wolnego wyrazu;

2°.    /‘(ж,0, ..., 0)=fj(x)=amxm-i-am+i хт+* + ..., \am |>0, m>l;

szereg /'posiada zatem i wyrazy zawierające jedne tylko zmienną ж. Sumę pozostałych wyrazów SA —/i (ж, ж1? ж₂,..., жп), to widocznie jest /](ж, 0, 0, ... 0) przy dowolnem ж, a samo /’=/0—/].

Szereg /₀, stając się zerem w-krotnie na miejscu ж==0, będzie już dalej różny od zera w pewnem, skończonem, dostatecznie małem otoczeniu x <Zq₂<R. Dobierzmy drugą dodatnią wielkość Q\<^Q‘n a różną od zera, to w pierścieniu (p₁...p₂) mieć będziemy statecznie /óty)j^>0, z dolną granicą y!>0.

Co się tyczy szeregu f\ — to tu można zawsze oznaczyć dostatecznie małą, dodatnią wielkość    tak, że na wszystkich

miejscach leżących w obszarze:

р1<[ж|<р₂;    < p, [ж₂!<р, ..., |жп|<р, okaże się :

|/;(ж, ж₁₅ ...,жя)| <g.

Na wszystkich więc miejscach wewnątrz obszaru (d) mamy:

Xs. ж^ж^ ...Xnsn

nazwijmy

(A)

(1)

(2)

l/ó:> l/i

a wskutek tego w całym tym obszarze jest szereg /=/0 — ДфО. Warunek (2) dozwoli dalej odwrotność:

f U -/i

H)

rozwinąć na sumę :

Г4+-

1=

f f* fo* fo* fo zbieżną w obszarze (A). Uważajmy odtąd f za szereg jednej tylko zmiennej x, podczas gdy (xi, x₂, ..., xn) ma być dowolnym systemem takich wartości, że |æe| <C(>, s=l, 2,n, to w obszarze (A) będzie także i rozwinięcie :

àf

dx

àfo_àf\

dx dx

)fë⁺

fo

,+“)

àfo

àf

àfi

-. f л    . f

dx    \ dx ' ¹ dx ⁷¹

“7Г⁺-й\7й*

» /oVH⁻¹

' Л—1

nx

àfo

àfi

dx

dx

Я-i

àfo

dx

fo

foU

àfo

(3)

dx

fo

1 d

_-ŚT'*

jednostajnie zbieżne m. Wskutek tej zbieżności będzie można to rozwinięcie uporządkować w obszarze (A) podług potęg zmiennej x. Z tego uporządkowania dostajemy:

(4)

àf

dx

Zauważmy dalej, że f\x//^=^, ЦХи.х-тЯ+(* gdzie:

^,—0

&Я/Л (^i j    •••? ^ra)

są zwykłymi szeregami potęgowymi zmiennych xl, x₂,xn o tej własności, że £7^(0, 0, ..., 0)=0, to stąd dostajemy:

Я dx f₀x

2    ( — шЯ + /1)ия,г^=Г.иг, V=

— тЯ-^fi—v

to dostaniemy:

(5)

1 °°

-,-^(—тЯ + а) U zu. ж

/t=0

-тя+fi—t Połóżmy:

— со

, ...

(в)

Л Я    “г⁰⁰

2 1-2-^-

N» ь-¹

©4.TS

ж*'⁻¹

gdzie i tu Uv(xu x₂, ... xn) są zwykłymi szeregami zmiennych x₂,...,Xn o tej własności, że 7U(0, 0, ..., 0)=0. Uwzględniając (4) i (6) dochodzimy teraz do takiej postaci snmy (3) :

V. Uv .xv~x.

(7)

df

-}-00

dx

lf=mx~x + %(x)+ 2

V—-00

Ze snmy mieszczącej się tu po prawej stronie nie dostaniemy ani jednego wyrazu z potęgą x~x. Połóżmy :

V. Uv=y-v(x^,x₂, ...,«*), gdy v= — 1, — 2, — 3, ...

V—\

ma

(b)

*=2 I    -(У¹)

л=\L    J

Stąd twierdzenie :

II. Szereg:    ■\-etixĄ-a₂x'i-\-...^=<^(x), w którym %|i>0 jest,

daje się zawsze w ten sposób odwrócić, że przy dostatecznie małych Iy—a₀\ dostajemy z niego:

®=&d(y—%)-Ьб₂(У—«o)²+- ²)

ТаЫ szereg $$(#) nazywamy jednoznacznie odwracalnym, bo on daje w otoczeniu punktu y—a^ regularny element pewnej analitycznej funkcyi x. Funkcya ta, którą, naznaczyć można przez x(y) — (argument funkcyi y), a nazywać odwróceniem szeregu — nie potrzebuje w ogólności być jednoznaczną funkcyą argumentu y. Możliwa jest bowiem, że przeprowadzenie elementu (c) wykaże kilka, lub nawet nieskończenie dużo gałęzi połączonych ze sobą monogenicznie.

(c)

0)

Pd. 1. W funkcyi: y=e⁹^ niech będzie:

P(¹)—У o4- ïix + tox'² +

Połóżmy e'la = c , to mieć będziemy :

+•••• = 1 _|_ алх-j- «₂^²-(-

i <h >0.

tern rozwinięciu równocześnie z ęąф0, jest także alФ0. Napiszmyż równanie

ci "W

(a) w postaci: (у—c)jс==алх-f- a₂x- -f-а%хъ    to stąd wyniknie regularny element

tunkcyi xfy) w otoczeniu punktu y=c. Funkcya eff(x) jest więc widocznie równocześnie ze swoim wykładnikiem g(x) jednoznacznie odwracalną.

Z drugiej strony dostajemy z (a):

log (y/e) = ft ж -f g₂æ² + q₃x³ +... = log( 1 -f (y-c)/c), a stąd wnioskujemy, że odwrócenie #(//) będąc regularnem w otoczeniu punktu c określa funkcyę nieskończenie wielowartościową.

Pd. 2. W danym szeregu: y—«₀==a₁£c|»-f¹«₂®2m+ «Зж3т -}-jest całkowite dodatnie, połóżmy xm = l, to mieć będziemy:

У — «o=«i? + «2?² + -

w którym w> 1

Stąd dostaniemy:

(ß)

= ? = W — h(y-aj) + h(y- "o)² +

x = e ™ [Щ]

ж"»

-Is

* = ², 3, ...

m—1.

a stąd:

to relacya (7) przedstawi się teraz tak :

lf=mx-i + yix~²-\-y₂x-z+... + '$i(Xi xu ...,xn).

(8)

df

dx

Z tego rozwinięcia wynika — tw. I. art. poprzedź., — że dla każdego systemu :

posiada równanie /‘=0 w obszarze j x \ «< dokładnie m więcej pierwiastków x. Gdy te pierwiastki nazwiemy cpi,cp₂,..., (pm, to, według tegosamego twierdzenia, jest w (8):

S/^=(pi‘U + (p₂-U+- + (Pm^ = yt,(Xi,X₂, ..., X„), [X=l, 2,3,...

Połóżmy :

a nie

(x—fpi)(x—g)₂)...(x—(pm)=G(x, xi1x₂₁..., a?») =ж"Ч-</₁ж

to z równań [T. I. art. 88.]

Vi —2

Л-

9\— j g₂—    ^Щт.— sm sm—\g^- ... sigrn_i

wypadają gi, g₂, ..., gm w zwykłych szeregach potęgowych zawierających zmienne xi: x₂,xn, a znikających, gdy x^=x₂ = ...==xn=0. Gdy zważymy, że w obszarze (A) : d G

I G=mx—i-{-s₁x-²-srs₂x-³-{-...=MX~¹-\- yxx~²-\-y₂xr³-\~... to relacyę (8) można będzie tak napisać:

(9) ■

■U, ••• xn).

Stąd przez całkowanie dostajemy:

log (f: CG)^S^i(xiXu..., xn)dx=%(x, ą, ...,#„).

C (stała całkowania) zależy tu tylko od xi: x₂, ..., хп, а ф₀ nie zawiera zato wyrazów wolnych od x. Połóżmyż :

(10)

<$₀(x) = Ai(xi...)xJrA₂(xi...)x² + ..., to widocznie: exp [iß₀]= 1 d⁻ У i (ß'i...) x-\r V₂(xt...) ж- 4~ •••—F^ (ж, x^,..., xn) posiada koniecznie wolny wyraz =1, a z równania (10) mamy:

f^C.G.F,.

Przyjmijmy, że C=C(xi,x₂, ..., xn) jest bez wolnego wyrazu. W takim razie z równania (11) dla xi=x₂==...=xn=0 mielibyśmy am=0, co się jednak sprzeciwia założeniu am >> 0. С(ж1? x₂, ..., xn) jest więc szeregiem o wolnym wyrazie, a wskutek tego i iloczyn CFi =F będzie szeregiem posiadającym niezawodnie wolny wyraz фО. Sam dany szereg będzie miał ostatecznie postać:

f (ж, X^, x₂,    xn) = G (ж, Xj, x₂, •• •, Xn). F('X, Ж^ , X₂ j • • • j жя).

Równanie to ostaje się identycznie w wspólnym zakresie wszystkich trzech szeregów /', G, F. W tym zakresie można będzie — po obraniu dostatecznie małej dodatniej ilości d — wyznaczyć taki zakres :

(U)

zawsze

(B)

X <ó

i я* I < d

1, 2,..., n,

że w nim szereg F — zawierający wolny wyraz фО — nigdzie zerem nie będzie.

Miejsca zerowe szeregu /‘, które mieszczą się poza zakresem (B), mogą już należeć do miejsc zerowych szeregu F. Ale te miejsca które w (B) się znajdują, muszą być koniecznie miejscami zerowemi pierwszego czynnika G (ж, x₁,..., xn). Stąd twierdzenia:

I. Gdy szereg potęgowy f(x, xl7..., xn) staje się dla :

x=x^ —x₂ =...=xn=0, a /'(ж, 0,..., 0)=атхт-\-ат+\ жт+¹ + ..., jam|>0, to można zawsze wyznaczyć pewne dostatecznie małe otoczenie : x <d,    ф|<0, s = l,2,

miejsca (0,0, ..., 0) takie, że w niem f da się przedstawić iloczynem /'== G .F o czynnikach posiadających takie własności :

G= xm +    ж”*-¹ +...+gm

zerowe

jest wymierną, całkowitą funkcyą argumentu x stopnia m, a gi: g₂, ...,gm są w niej zwyMymi szeregami potęgowymi pozostałych zmiennych i znikają wszystkie, gdy xi =ж₂ = ...=xn=0.

F jest zwykłym szeregiem potęgowym wszystkich zmiennych, a w wspomnianem otoczeniu (B) nie staje się nigdzie zerem. Wszystkie miejsca zerowe szeregu /*, mieszczące się w (B) są miejscami zerowemi funkcyi 6г(ж, xi, ..., xn) *).

*) To zasadnicze twierdzenie teoryi funkcyj analitycznych podał Weier-s trass w rozprawie „Einige auf die Th. der analitischen Functionen mehrerer

II.    Miejsce (О, О,О) można zawsze zamknąć takiem otoczeniem :

(G)

8 = 1, 2,..., n,

I X I < Qi ; I X» < Q, że dla wszystkich systemów wartości x, xi, xn wyjętych z tego zakresu będzie szereg f posiadał dokładnie m pierwiastków x, a wszystkie te pierwiastki będą pierwiastkami analitycznego równania G(x,xi: ...,xn)=0. [Zakres (C) mieści się w zakresie (B)]. W razie m=l, mamy jeden tylko pierwiastek x, a ten będzie miał postać x=gi(xi, x₂... x„), gdzie gy jest zwykłym szeregiem potęgowym.

Gdy w otoczeniu (B) lub (C) będziemy xi: x₂,..., xn w ciągły sposób zmieniali, to równocześnie będą się tam także gi,g₂,...,gm w ciągły sposób zmieniały. Stąd — podobnie , jak w teoryi równań algebraicznych — wywnioskujemy że każdy pierwiastek x jest w obranych otoczeniach ciągłą funkcyą swoich argumentów xi, x₂, xn.

Szereg f ma własność: ДО,0, ...,0)=0. Gdy więc \xx\, \x₂\, ...,\xn\ obierzemy nieskończenie małe , co można uczynić na nieskończenie wiele sposobów, to i wszystkie pierwiastki równania G— 0 będą również nieskończenie małe. Stąd wynika, że szereg/' w pewne m dostatecznie małem otoczeniu [x] miejsca (0, 0,..., 0) — posiadając zawsze m pierwiastków x — ma miejsc zerowych nieskończenie dużo.

(a)

W szeregu /‘niech f\ redukuje się do jednej zmiennej y. Wtedy mamy f=(am xm-\-am+\ xm+J[ Ą- ...)—y, a szukanie pierwiastków x równania /==0 w pewnem dostatecznie małem otoczeniu У!<£ jest tu odwracaniem szeregu: у=Щх)=атхт-\-атлг\ x™*¹-!-..., JaTO|>0, w>0. Naznaczając odwrócenie x — jak przody — przez x(y), mamy twierdzenie :

III.    Szereg potęgowy zaczynający się od wyrazu amxm z wykładnikiem m;> 1 daje m-wartościowe odwrócenie: x(y). Wszystkie gałęzie tego odwrócenia są pierwiastkami pewnego analitycznego równania:

G(x, y)=xm+g₁(y)xm~i + ... Ą-gm(y)=0. o spółczynnikach gx, g₂, ...,gm regularnych w punkcie y=0 i jego otoczeniu, a znikających dla y=0.

Takie szeregi nazywamy wieloznacznie odwracalnymi. Oprócz m-wartościowości spowodowanej równaniem G(x,y) =0

Veränderlichen sich beziehende Sätze“ Abhandlungen str. 107... Dalsze w tym bieżącym Rozdzielę zamieszczone badania zaczerpnięte są także z tej rozprawy i z pracy Dautheville’a „Etude sur les séries...“ Annales de l’école N. sup. T. II. (Supp.) str. 3...

może się tu dołączyć jeszcze inna wielowartościowość skądinąd pochodząca.

'4,

Same pierwiastki równania Gr(x,y) — 0 dadzą się bez rozwiązywania tego równania w ten sposób wyznaczyć : Z relacyj («) mamy :

(&)

ym=x^am+ am+1 X 4- ...=\х-{-Ъ₂х² + Ъ₃х³+...,

i

gdzie niezawodnie jest j Ъх >>0, a ym jest m-wartościową wielkością.

1

Szereg (Ъ) przy każdej wartości ym da się już jednoznacznie odwrócić [art. poprzedź.]. Z jego odwrócenia dostajemy:

¹ Л

x==ciym + c₂ym-\-...

a to rozwinięcie daje m pierwiastków równania G(x,y) = 0 i przedstawia m-wartościowe odwrócenie szeregu (a). Stąd twierdzenie :

IV. W szeregu у=Щх) m-wartościowo odwracalnym jest jego argument X zwykłym szeregiem ' potęgowym, postępującym podług potęg

(m-wartościowego) pierwiastka : ym.

Niech szereg /‘(ж, xs, ..., xn) mając punkt zerowy na miejscu (0,0,..., 0) nie zawiera już wyrazów zależnych tylko od x. Napiszmy go w formie f= (x, xu ..., Хп)и+(х , x1} ..., a^+i-K.., gdzie (x, xx, ..., xn)x oznacza jednorodną funkcyę ?fi° stopnia zmiennych x: xif ..., xn i wprowadźmy tu nowe zmienne y, yx, y₂, yn za pomocą równań :

z warunkami :

(12)

x ==c₀₀y-{-c₀iyi + ... + Conyn Х1=СмУ + С^ух+...+С\пУп : : *. +••• + Xn=cnо У ~\~cn\yi Ч⁻ Ч⁻ спп уп

⁶‘оО С01’” С°п

(«)

Dc= -

О 1 • •• С\п

фо,

(ß)    (С00 С10 ••• Сп0 )и Ф О.

Przez podstawienia (12) przejdzie szereg f na szereg: ф{У, У\, •<•} Уп) — (С oo    спо)/л У^ ~Ь(соо cno),i*-(-i У^^ Ч~ •••

— Ч>\ (У» Уп-» Уп),

w którym :

(С00 с10 ••• Спо)/А, У'¹Л~ ••• = Фо

już wskutek warunku (ß) nie jest identycznie zerem, a (pi jest szeregiem bez wolnego wyrazu i ma własność (p^{y: 0, 0, ...,0)=0.

¹

Por- O. Stolz — „ Ueber den Cotwergenzkreis der umgekehrten Reihenu, Sitzungsb. der math. Classe der kais. Akademie. Wien. (1896). T. 104, str. 485—501.

²

O uwagi godnem odwróceniu takiem, że — gdy y=f{x)=aixĄ-a%x%Ą-... — być x = bj(x) -f ó₂/(W)-f... czytaj rozprawę Möbius a w C. J. T. 9, str. 105-123.

(D)

|#|<d, |æs|<ô,    8=1,2,..., л.

że w niem F(x,x i, ...,xn) będzie wszędzie фО. Rozwiąźmyź równanie ćr₁ — 0, wstawiając w nie у₁₅у₂, •••, Уп wyjęte z zakresu (D‘) i uwzględnijmy tym sposobem otrzymane systemy :

(15)

(V, У\, —, Уп)

miejsc zerowych szeregu cp. Gdy za pomocą równań (12) wyszukamy systemom (15) odpowiadające systemy: (x, xi, xn), to w nich mieścić się muszą i wszystkie te miejsca zerowe szeregu /', które się w otoczeniu (D) znajdują.

Z twierdzeń I., II. skorzystamy w dwóch kierunkach, a mianowicie : 1°) w badaniu podzielności dwóch szeregów przez siebie, czem się zaraz zajmiemy, i 2°) w badaniu funkcyi algebraicznej, o czem mowa będzie w następującym Rozdziale.

52. Podzielność dwóch szeregów wielu zmiennych hez wolnych wyrazów. Z uwag ostatniego art. wynika, że szereg f(x₁xi,...,xn) o własności /'(0,0, ...,0)=0 bez względu jaka jest jego postać — posiada w pewnem otoczeniu [Æ] miejsca (0,0, ..., 0) nieskończenie dużo miejsc zerowych.

Weźmy pod uwagę dwa takie szeregi:

f\⁼⁼ (^/, x^, ..., xn)jx~\~ (jt, xj, ..., :r„)jił+i ”h — ,

/2⁼⁼ \Xj xj, ..., Xji]p -ł⁻ [Xj x^, ..., xnJp^. j -|—...,

gdzie (x, x₁₇хп)л , [ж, xi,..., xn\z oznaczają funkcye jednorodne stopni Я w zmiennych x, x±, ..., Xn. Jeżeli jeden z nich nie zawiera wyrazów zależnych tylko od samego #, albo obydwa takich wyrazów nie mają, to kładąc:

(1)

s = l, 2, n.

Szereg <jp=<p₀— cp^ jest zatem już takim, o jakim była mowa w tw. I. W pewnem dostatecznie małem otoczeniu :

|y|<<*‘, \V\\<à‘, -, |y»j<d'

będzie go można przedstawić iloczynem :

(1 )    <Р=®ЛУ,Уи -,yn).F^y,yn ~.,Уп)

(1 )    —yi*-\-yiy/*-i -f-... +у^=0

daje wszystkie miejsca zerowe szeregu cp w otoczeniu (Z)'), bo Fi w tern otoczeniu nie jest nigdzie zerem.

Wskutek warunku (a) można będzie dalej szereg Fi przerobić na funkcyę pierwotnych zmiennych x₁xi,...,xn. Przyjmijmyź, żęto

Уп) ⁼⁼ F(Xj X^    Xn) , to

xn można będzie wyznaczyć takie

(#')

CO TT

w którym

przerobienie ^ daje identycznie: Fi(y,y^ w obszarze zmiennych x, xi otoczenie :

, —,

x=cMy+... + C0ny„ , xs=c^y+... -f cs„y

Teor. funkcyj analit. T. II.

z warunkami:

(2) Dcd\p O,

przerobimy je na szeregi:

(4)

-^1 'Vi Th ; •••» Упi j    У\ i •••» ?/и) ?

zawierające już wyrazy zależne od samego y, a dające się przedstawić przez iloczyny: Fi—GiSiJ F₂ = G₂S₂, w których

&1 = yU> + giy!*-l ₊ '"Jrgl^ a₂ = If + \ yv-¹ + ... + К określają nieskończenie wiele miejsc zerowych szeregów (4) w pe-wnem dostatecznie małem otoczeniu [&'] miejsca (0, 0, ..., 0), a Si! S2 są szeregami wszystkich zmiennych y,yi,...,yn i nie znikają wtem otoczeniu.

Wspólne miejsca szeregów Fi, F.₂ mieszczące się w [7d], będą to wspólne miejsca zerowe funkcyj Gi: G₂. Utwórzmyż — zakładając naprzód ng> 1 — rugownik :

G2) — Щу^, у2i..., Уп) i

to te systemy (yi, y₂,..., yn), które dają H= 0, spowodują wspólne pierwiastki równań Gi = Q, G₂ — 0, a więc i wspólne miejsca zerowe (y, y1? . .,y„) szeregów Fi, F₂. Szereg i?jest szeregiem o dwóch przynajmniej zmiennych i nie ma wolnego wyrazu, bo musi między innemi wskazać także miejsca zerowe (0, 0,    0) szeregów

Fi,F₂. II ma więc nieskończenie wiele miejsc zerowych w pewnem najbliższem otoczeniu miejsca (y^ — y₂ = ...=yn =0). Stąd wynika, że szeregi I\, F₂, a wskutek równań (1) i warunku (2) także i szeregi /j, /2 będą miały w pewnem otoczeniu [&] miejsca

(У=У1=У2 = -=Уп-0)

nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Wyjątek pod tym względem stanowią szeregi /1?/₂, a więc i Fi, F₂ o dwóch tylko zmiennych x, xx. Ula nich jest rugownik H szeregiem jednej tylko zmiennej z punktem zerowym y₁ = 0. a taki szereg .w pewnem skończonem otoczeniu tego punktu już nigdzie nie jest zerem. Mamy więc twierdzenie:

I. Dwa szeregi f\, /₂ o 3,4,... zmiennych x, xi, x₂, ..., xn, znikające, gdy x=x± = ...=#„=0, mają w najbliższem otoczeniu punktu (0, 0, ..., 0), nieskończenie wiele miejsc zerowych wspólnych. Gdy przeciwnie ilość zmiennych jest =2, to szeregi f\(x, xi), f₂(x,xj) znikające gdy x=xi—0 nie mają miejsc wspólnych zerowych w pewnem skończonem otoczeniu miejsca (0, 0).

Przypadek, w którym B(GifG₂) znika identycznie, uwzględnimy później.

Л¥ Tomie I. [art. 170.] mówiąc o podzielności szeregu:

^p₁ (ххх₂...хп) przez ty₂(xix₂...xn)

uwzględniliśmy tylko jeden przypadek, a to ten, w którym szereg posiadał wolny wyraz, a więc: $ß₂(0,0, ...,0)ф0. Wtedy można było zawsze wyznaczyć trzeci szereg <^₃(xix₂...xn) w ten sposób, że równanie :

(5)

ostawało się identycznie w pewnym zakresie otaczającym miejsce (0,0, ..., 0). Szereg nazwaliśmy ilorazem wynikającym z dzielenia:

Gdy założymy: ^(0,0, ..., 0)ф0, а ф₂(0,0,..., 0)=0, to już nie będzie można znaleść zwykłego szeregu ф₃, spełniającego identycznie równanie (5). Szereg nie jest w tym razie podzielny przez

Pozostaje więc tylko do zbadania przypadek, w którym

(6)

ЯЬ ⁼⁼0®1    •••]    ^ß₂=\^X^X₂ ... Xn\v ...

^>0, V>0

a więc równocześnie znikają na miejscu (0,0...,0).

Gdy szeregi ^, s^₂ nie zawierają wyrazów zależnych tylko od jednej i tej samej zmiennej, to je przedewszystkiem przez podstawienia :

(7)

& —Cgiti -f- Cs2^2+ ••• -\rCsnin , S = 1, 2, 8, .... П.

z zatrzymaniem warunków:

c 11 Cl2 •••

C21 C-22 ... C-in

ф0

(9)

(Cu e₂i ...Cnl )ft ф0 [dl C21 ••• Cni]v Ф0

Cni Ся2 ••• Cnn

zmienimy na szeregi :

T₂ — G₂(tit₂...tn).S₂(ti t₂...tn)

(10) Tx=Gx(tyt₂...tn).Si(tit₂...tn) w których

G₂~⁼tiv-\-hit₁v    ,

a 8it S₂ w pewnem wspólnem otoczeniu [й] miejsca (0, 0, ..., 0) nie są zerami.

Podzielność szeregu Ti przez T₂ pociągnie za sobą i podzielność szeregu ^ przez iß₂.

W ilorazie :

(И)

{Tx:T₂)^Gi:G₂).{Si:S₂)^ da się (SX:S₂) przedstawić zwykłym szeregiem potęgowym. Aby iloraz (Gx: G₂) zbadać, ograniczmy naprzód — jeżeli już tak nie jest — otoczenie \k] w ten sposób, aby dla każdego systemu t₂, t?>, ...,tn, wyjętego z tego otoczenia, równania G± =0, ćr₂=0 miały pierwiastki :

—°i J °2? "V

wszystkie zawarte również w [А]. Iloraz :

(12)

(r₂

(^1 ⁰l)Gl (T₂)...(^l Oj,)

żeby tak było, trzeba, aby

ma być w [7ć] wszędzie skończonym było    i aby Gx jako funkcya samego t± podzielną była przez

funkcyę G₂, uważaną również za funkcyę samej zmiennej ti.

Dzieląc Gx przez G₂ mamy :

*i#*+M/ł_1 + -+&»'⁼⁼

(13)    =(^+11^-¹ + ...+КХ^-г+к^-*-' + ...+ки_г) +

+ (^<A V_1 + h    + ■•.■ + k-i) ?

gdzie ka, la są — podobnie, jak lia — szeregami potęgowjuni zmiennych t₂,t₂,...:tn o miejscu zerowem:

-----И).

Z równania (13), które identycznie ma się sprawdzać, dostajemy przedewszystkiem :

9\ =Aj + &i

92 =^₂ d-Aj7ij -\-k2 = Ag d~ Aj /?■;) -j- 7c₂ Aj d- Ag

—i d" •••+A

9',M v-Aц — v d⁻ Aj A^—i)

Z tych równali wynikają istotnie Aj,A₂,..., A potęgowych znikających na miejscu (aij), a gdy je w dalsze rela-cye wynikające z identyczności (13) wstawimy, to dostaniemy:

\ —9[a,—v-\- i — (7гм_„ -f Aj h/A-v +A^-^.Aj)

7j =9/л—v-\-2    (А^_„₊2 d⁻ Aj A^—t.pi d⁻ ••• d~ AM_j,.7i₂)

[Л—V

/i—O'

w szeregach

(14)

lv—i—9d    kfx-v-hv

znowu w postaciach zwykłych szeregów potęgowych znikających na miejscu (oij). Przyjmijmy, że identycznie:

(15)

7q =0, 7j =0, 7₂=0, ..., lv—1="0,

to wtedy z (13) dostajemy:

GilG₂=tiP-v+kxtii*-v-i P...+A co wskazuje, że w (11) jest także 6rj podzielne przez 6r₂ i że więc

(16)    (Tj:r₂) = (V‘-"d^Vl_v-1+---d-AM_D.(£i:£₂) ⁼ ^3(A,*2:---4).

T₃ jest zwykłym szeregiem potęgowym, który, gdy 9^>v, znika na miej scu :

a jest na tem miejscu różny od zera, gdy p = n. Szereg Ti jest więc podzielny przez T₂, gdy — przy yj>v — spełniają, się warunki (15), a ta podzielność przenosi się odrazu i na szeregi Mamy więc twierdzenie :

II.    Gdy z dwóch szeregów ^, ^ß₂ znikających na miejscu :

(х^=х₂ = ...=хп=0),

a poczynających się odpowiednio stopniami u. v, ma być pierwszy podzielny przez drugi, to musi się spełnić vĄ-l warunków, a to:

(b) Iq—l,—l₂—... — ly—\-—6*

(a) p > v ;

Warunki (b) mieszczą jednak w sobie znowu nieskończenie dużo warunków [znikanie wszystkich spółczynników prawych stron w (14)], które koniecznie spełnić się muszą.

Jasnem jest, że tylko w razie podzielności szeregu T, przez To dostaniemy z ilorazu (12), po dokonaniu wszystkich, możliwych tam skróceń, iloczyn: TI(ti — xj), zawierający wyłącznie czynniki licznika Gi. W razie g = v ma ten iloczyn stałą wartość =1. Iloraz GX\GV a tem samem i iloraz (T,:T₂) charakteryzuje się wtedy — i tylko wtedy — tem, że w najbliższem otoczeniu \k\ miejsca (co) ma na wszystkich miejscach różnych od miejsc zerowych funkcyi G-2 albo wartość skończoną, albo dowolnie małą. Stąd — przenosząc to na szeregi $£1} ф₂ — mamy twierdzenie:

III.    Jeżeli w jakikolwiekbądź sposób można okazać, że iloraz:

\^^(xix₂...xn)i%(xix.₂.. .xn) w którym ip₂ znikają na miejscu : (xx =x₂ = ...=x„=0), pozostaje skończonym, albo mniejszym od każdej dowolnie małej dodatniej ilości w najbliższem otoczeniu tego miejsca we wszystkich punktach (x,x₂...xn) dających ^₂ф0 — to wtedy ■!p₁ jest podzielne przez )ß₂.

Szereg T₂ — przy spełnionych już warunkach określonych w tw. II., lub III. — jest podzielnikiem szeregu Tr Ale szereg Tj posiada nieskończenie dużo podzielników. Zauważmy bowiem nieskończoną mnogość szeregów :

(17)

T₂W = G₂.S₂W, X = 1,2, 3, ... w których S.₂ W są dowolnymi (oczywiście zbieżnymi) szeregami bez miejsca zerowego w (oj), to każdy ze szeregów    będzie — we

dług (16) — także podzielnikiem szeregu Tv Przedstawiając szeregi (17) w zmiennych xi, x.₂,    x„, dojdziemy do nieskończenie dużo

podzielników f,W(ąą..,,^) szeregu ^5₁.

53. Podzielniki dwóch szeregów w otoezeniu ich punktów zerowych. Zbadajmy teraz, pod jakimi warunkami dwa szeregi ^, i)3₂ określone w (6) — art. poprzedź. — a więc znikające na miej sen

(oj)

(ß'i — ^2 — • ‘ • — "G — 0) j

dopuszczają wspólny podzielnik w formie zwykłego szeregu potęgowego t(xi,x₂, ...,xn) znikającego również na miejscu (oj) ?

Przeróbmy — jeżeli tego potrzeba — dane szeregi ^, sj3₂ na T₂ — G2S₂ [art. poprzedź.], to, ponieważ Si, S₂ są po-dzielne przez każdy szereg T₃W(tu t₂, tn), 2=1, 2, 3, ..., o tej własności, że Т₃(,г)(0,0, ...,0)ф0 jest, dość będzie postarać się o zwykły szereg potęgowy: x(ti, t₂, ..., tn), będący podzielnikiem i funkcyi GA i funkcyi ćr,, a znikający na miejscu (ź₄ = t₂ = ... = 4=0) = (oj). Iloczyny x.T?}x\ 2=1. 2,3, ..., będą wtedy wszystkie wspólnymi podzielnikami szeregów Ti, T₂, a będą znikać na miejscu (oj).

Istnienie wspólnego podzielnika x wskaże rugownik :

12(6^, ćr₂) identycznie =0,

a szukanie podzielnika х o możliwie największym stopniu w zmiennej tx odbywać się będzie łańcuchowem dzieleniem, w którem Gl G₂ i wszystkie dalsze funkeye uważać się będzie za funkeye samej jednej zmiennej tl.

Żądane łańcuchowe dzielenie przedstawia się — gdy u^>v założymy — szeregiem takich identyczności :

Gj = G₂ G?t -f- 6r₄, G₂ — ćr₄ G₅ -f- G^, 6?₄ = Gß G- -f- G%, ....

W funkcyach 6r₅, ćr₆, G₇, ... są spółczynniki wymiernemi funk-cyami szeregów potęgowych zawierających t₂,t₃₁..., tni a znikających na miejscu (t₂—t₂ — ...—tn—0) = ((x> ₁).

Przyjmijmy, że ostatnią resztą — (niezależną już od ^) — jest 6г2Р+2. Gdy ta reszta okazuje się identycznie =0, to ostatni dzielnik G-2Q jest największym wspólnym podzielnikiem funkcyj 6r1? G₂, uważanych za funkeye samej zmiennej ti.

Gdy ten podzielnik, po sprowadzeniu jego spółczynników do wspólnego mianownika ma postać :

a—\

G-2Q =

+ ••• h|J«

ą(t₂t₂...tn)

to w nim p0J Pi, ..., pa są już zwykłymi szeregami potęgowymi zmiennych t₂,    ..., tn i znikają na miejscu (со₄).

Funkeye Gx, G₂, jako funkeye samej, jednej zmiennej tx posiadać będą także największy wspólny podzielnik:

Po

Po

Po

Ten podzielnik ma być zerem w otoczeniu miejsca (co) na wszystkich tych miejscach (txt.₂...tn), na których równocześnie Gri— 0, ćr₂=0. Załóżmyż t.₂, 4, ..., 4 nieskończenie małe, to równania 6^=0, 6r₂= 0, P=0 spełniają się współcześnie tylko dla t₁ nieskończenie małych. Ograniczmy dalej nieskończenie małe t₂,t₂,...tn tak, aby dla nich było р₀фО, to równanie t‘=0 posiadając i dla nich same nieskończenie małe pierwiastki ti, musi mieć spółczyn-niki o bezwzględnych wartościach :

: p.₂ j

Pi

pa

Po

Po

r •?

Po

również nieskończenie małych. Z tego według tw. III. — [art. poprzedzający] — wynika, że szeregi р1?р₂, ..., pa są podzielne przez p₀. Ilorazy: (p, :p₀)=q»(t₂,t₃,..., 4), s = l, 2, ..., a , będąc zwykłymi już szeregami potęgowymi, muszą jednak jeszcze znikać na miejscu (to.,). W przeciwnym razie równanie 4—0 po wprowadzeniu weń szeregów qs juźby nie dawało samych nieskończenie małych pierwiastków tx, co jest niemożliwe.

Funkcya г‘ jest więc żądanym podzielnikiem:

x(tit₂...tn)=tic(+qit₁ci-i + q₂ti a-²+... + g«, o możliwie największym stopniu w zmiennej ^ i o własności:

t(0, 0,..., 0)=0.

Taki podzielnik nazwać tu można wspólnym podzielnikiem zasadniczym szeregów Tx, T₂. Przedstawiaj ąc

J ^2'ï ***> ^«)

w zmiennych: xx, x₂₁ ..., xn, dochodzimy do zasadniczego podzielnika: t(x,x₂,...,жя), [7(0,0, ...,0)=0], danych szeregów ^ß1?9ß₂.

Z wszystkich tych uwag wynika :

I. TFanme7c istnienia zasadniczego wspólnego podzielnika, t(xix₂...xn) danych szeregów ^ß₂, znikających, gdy xx =ж₂ = ..:=ж„==0, wyraża sie — po przerobieniu szeregów na rî\ — Gx Sx, T₂ = G₂ S₂ — identycznem równaniem : rugownik R(GX, 6r₂)=0. Szukanie takiego podzielnika odbywa się łańcnchowem dzieleniem, zaczynającem się oddzielenia Gx : G% (w założeniu: g>v). Oprócz podzielnika t posiadają szeregi ^jeszcze nieskończenie wiele wspólnych podzielników, a wszystkie one są podzielne przez t{xxx₂...xn), znikają zatem na miejscu (хх=х₂=...=хп=0) ; a po podzieleniu ich przez t, dają na ilorazy szeregi różne już od zera w punkcie: (xx —x₂ = ...=xn—0).

Każdy podzielnik szeregów Tx, T₂, zawierający w sobie czynnik г — a nawet samą funkcyę г — można także nazwać największym ich wspólnym podzielnikiem, a to z następującej przyczyny : *)

Przyjmijmy, że, oprócz wspólnych podzielników podzielnych przez T, posiadają szeregi Ti: T₂ jeszcze inne podzielniki, nie zawierające czynnika r.

Takim jednym podzielnikiem niech będzie : p=g.f, gdzie g jest wymierną całkowitą funkcyą w zmiennej a /' jest zwykłym szeregiem potęgowym, różnym od zera na miejscu (oj). Szereg f może być podzielnikiem i szeregu Si i szeregu S₂, ale nie może być podzielnikiem ani funkcyi ćr,, ani funkcyi ćr₂, te ostatnie bowiem są złożone z samych liniowych czynników, które wszystkie =0 na miejscu (oj) — [por. (12), art. poprzedź.]. Połóżmyż:

&ъ*=9У21

to yi, y₂ muszą być znowu funkcyami wymiernemi w zmiennej tl, a zwykłymi szeregami potęgowymi w pozostałych zmiennych. Lecz dalej g musi być zawarte jako czynnik także i w z(ti, t₂,..., tn) , bo to jest funkcya najwyższego stojmia w zmiennej ti, zawierająca się w Gi: ćr₂. Z tego wynika, że p jest podzielnikiem każdego z podzielników: T(tit₂...tn)Tz⁽-z\tit₂..tn), T₈W(0,0,...,0)+0, Я—1, 2, 8,..., -a przenosząc to na szeregi ^, ))$₂, mamy twierdzenie:

2>

II.    Każdy szereg, przez Mory dają się podzielić dane szeregi $ß1} $ jest podzielnikiem każdego z szeregów:

(c) t(xix₂...Xn$BW(XiX₂...xn), №₃W(0,0,..., 0)ф0], x = l, 2, 3,... a także i samego podzielnika t(xxx₂...xn). Z tej-to przyczyny można każdy z podzielników (c) nazwać największym wspólnym podzielnikiem danych szeregów. (Gdy z (c) wyjmiemy dwa różne szeregi, to każdy z nich będzie podzielnikiem drugiego).

Na podstawie przeprowadzonych dotąd poszukiwań, łatwo będzie dowieść jeszcze takich twierdzeń:

III.    Gdy szereg $ß₀ podzielny jest i przez ^ i przez $J$₂, a te dwa ostatnie szeregi nie posiadają wcale wspólnego podzielnika, to szereg podzielny jest przez iloczyn ф,. )$₂.

IY. Gdy szereg podzielny jest przez ^ i przez $₂, a $ßt, ф2 mają największy wspólny podzielnik ф₃, to szereg jest podzielny przez

ч)1%-

*) W dalszym ciągu nie będziemy — mówiąc o podzielniku szeregów — wspominać każdym razem o tych jego własnościach, że ma to być zawsze zwykły szereg potęgowy zmiennych (f1}f₂,..v tn) lub zmiennych (xx,x₂, xj) i ma być zerem już-to na miejscu    0), już-to na miejscu (гв₁== ж₂=...= жя=0).

Szeregi, o których będzie mowa, są również =0 na tych miejscach.

54. O punkcie nieistotnie osobliwym funkcyi wielu zmiennych.

Gdy dwa szeregi $₂, znikające na miejscu:

=x₂ = ...=xn=0)

podzielimy przez ich największy (n. p. przez zasadniczy) wspólny podzielnik t(xix₂...xn) , to ilorazy:

(1)

($2^) = $02

OH

($r*)=$

nie posiadają już żadnego wspólnego czynnika (w formie szeregu potęgowego, znikającego na miejscu (co)) — są względem siebie pierwsze, a na samem miejscu (oj) mogą albo:

1°) być obydwa różne od zera, albo

2°) jeden z nich n. p. szereg $₀₁ może tam byó zerem, a drugi $02 by® różnym od zera, albo wreszcie

3°) obydwa szeregi są tam równocześnie zerami.

W pierwszym wypadku obydwa ilorazy:

(«)

$oh$

$0 2: $01

są na miejscu (oj) różne od zera i skończone; w otoczeniu tego miejsca są regularne i dają się obydwa rozwinąć na szeregi potęgowe, nie znikające na miejscu (co).

W drugim razie iloraz :

Ф)

$01- $02

będzie na miejscu (co) zerem , w otoczeniu togo miejsca będzie regularnym, da się więc rozwinąć na szereg potęgowy zwykły o miejscu zerowem (co). Przeciwnie iloraz :

(<0

$02: $01

będzie na miejscu (oj) nieskończonością, a także i na nieskończenie wielu miejscach w najbliższem otoczeniu tego miejsca będzie miał wartość nieskończoną [art. 51]. Taki iloraz nie da się w żaden sposób przedstawić zwykłym szeregiem potęgowym zbieżnym w otoczeniu miejsca (oj).

W trzecim wypadku sprowadzimy — jeśli tego potrzeba — obydwa szeregi do postaci: T(ji==GoiSi, T₀₂ = Gr₀₂S₂, w których, jak w art. poprzedzających, są 6r₀₁, ćr₀₂ szeregami potęgowymi nowych zmiennych t₂,    znikają na miejscu:

(ćd) = (t^t₂ = ...^tn=0),

a zmienną ti zawierają tylko w skończonych stopniach. Si, S₂ są również szeregami tych nowych zmiennych, a na miejscu (oj) nie są zerami.

Funkcye ćr₀₁, ćr₀₂ są już względem siebie pierwsze; ich rugo-wnik _R(6r₀₁, G₀₂) nie jest identycznie =0. Gdy n = 2 daje równanie

В—O pierwiastek t₂— О, który wraz z ti =0 tworzy miejsce zerowe (^=^2=0), wspólne szeregom Toi, T₀₂. Potem w skończonem już otoczeniu tego miejsca nie mamy B=0, nie mamy więc i wspólnych. miejsc zerowych szeregów T₀₁, T₀₂. W najbliższem jednak otoczeniu miejsca (ti =t₂=0) mamy nieskończenie wiele punktów, których T₀₁=O, Т₀₂фО, lub Т₀₁фО, T₀₂=O.

na

W założeniu n^> 2, posiada równanie B=0 w najbliższem otoczeniu miejsca (a)i)=(t.₁ = tz = ... = tn=0) nieskończenie wiele miejsc zerowych, a każde z nich daje początek wspólnemu miejscu zerowemu (w otoczeniu miejsca (oj)) samych szeregów T₀₁, T₀₂. Wtem otoczeniu znajdą się jednak znowu miejsca — i to w nieskończonej ilości — na których już-to:

^oi =° РГ2У ^озФ⁰,

już-to wreszcie :

Т₀₁фО przy T₀₂= 0.

W rozważanem otoczeniu zbliża się zatem iloraz :

(i jego odwrotność T₀₂ : T₀₁)

(2)

T0i : ^0 2?

dowolnie już-to do wartości =0, już-to do wartości = co . Zauważmy, oprócz (2), jeszcze iloraz:

(3)

(T₀₁: T₀₂)—A    T₀₁ — A . T₀₂ ⁷

w którym A ma być dowolną stałą.

Szeregi T₀₂, Toi—AT₀₂ nie mają również wspólnego podzielnika. Iloraz (3) będzie więc również w dowolnie małeni otoczeniu miejsca (oj) zbliżał się na nieskończenie wielu miejscach do wartości oo. Stąd wynika, że sam iloraz (2) będzie się na tych miejscach dowolnie zbliżał do wartości A.

Te własności przenoszą się na iloraz : $₀₁:$

(d)

027

lub $oa:$₀₁,

a z tego wnosimy, że w trzecim wypadku ilorazy (d) — bez różnicy, czy n—2, czy też n^> 2, są w samym punkcie (co) i jego najbliższem otoczeniu zupełnie nieoznaczone, to zn. przybliżają się tam dowolnie do każdej dowolnie obranej wartości A, bez wykluczenia wypadków A=0, A =oo .

Już w Tomie I. [art. 208.] określiliśmy punkt (ai:a₂, ...,an)=(a) jako nieistotnie osobliwy pewnej analitycznej funkcyi f(xix₂...xn) w ten sposób: Jeżeli funkcya f(x₁x₂...xn) nie daje się w otoczeniu punktu (a) rozwinąć na zwykły szereg potęgowy o argumentach xi—a1? x₂—a₂,..., xn—a„ , zbieżny

w pew nem otoczeniu punktu (a) ale mimo to da się wynaleźć pewien zbieżny szereg s$₂ (ф —    ,..., xn—an) o t e j

własności, że ^₂(0, 0,..., 0)—0 i że iloczyn

(4) <$₂(xi—ai,...,xn—an).f(xix₂...xn) jest już =%(a:i—au...,xn—an)1 okazuje się więc regularnym w pewnem otoczeniu punktu (a) i w samym punkcie (a), to taki punkt (a) jest nieistotnie osobliwym funkcyi analitycznej t (x ix₂...xn)¹). [W razie as=cc ma xs—dl znaczenie: 1 / xs]. Jeżeli przeciwnie niepodobna znaleźć szeregu:

iP₂{p^\    •••) %n an)

spełniającego równanie (4), to punkt (a) nazwiemy istotnie osobliwym funkcyi f(xix₂...xn).

Z tej detinicyi wynikło odrazu [T. I. art. 208.], że punkta osobliwe funkcyi wymiernej całkowitej lub ułamkowej muszą być wyłącznie punktami nieistotnie osobliwymi.

Ale poszukiwania, jakie przeprowadziliśmy tu w tym bieżącym Rozdziale o dzieleniu dwóch zwykłych szeregów przez siebie dozwolą dokładnie określić zachowanie się jakiejkolwiek tunkcyi analitycznej (\х^х%...хп) w jej punkcie nieistotnie osobliwym. Z równania (4) wynika :

¹ 5)    / (X^X-2 ... Xf) = (Жj d^ , ..., Xn df) . % (x^ d^ , ..., Xn df).

Tu moźliwem jest, że szereg    xn — dn) jest zerem na

miejscu (a), a jeżeli wtedy przyjmiemy, że szeregi    posia

dają największy wspólny (zasadniczy) podzielnik t(xi—al,...,xn—an), znikający na tern miejscu, to po jego wydaleniu z licznika i mianownika w (5) dostaniemy funkcyę f w otoczeniu miejsca (a) w postaci :

(6) / (X] x₂ ... Xn)    j (ж^ d^ , ..., Xn l%n) . % 2(ж^ ttj , ..., Xfi Un),

w której ^₀₁, iP₀₂ są już szeregami względem siebie pierwszymi, [t. j. bez wspólnego czynnika znikającego na miejscu (a)].

Lecz i po tych skróceniach nie może być na miejscu (a), ^₀₂фО, bo w takim razie dałaby się funkcya / przedstawić zwykłym szeregiem potęgowym o argumentach (xs—a,.), a to się sprzeciwia defmicyi punktu osobliwego.

Na miejscu (a) jest więc zawsze )P₀₂=O, a iloraz (6) należy albo do kategoryi ilorazów (c), albo do kategoryi ilorazów (d)-Z tego wynika :

I. W punkcie nieistotnie osobliwym (a) daje się funkcya analityczna przedstawić zawsze ilorazem dwóch szeregów potęgowych o mianowniku znikającym koniecznie na tym punkcie. Jej zachowanie się w tym punkcie może być dwojakie, a to: albo jest w nim nieskończonością i nieskończonością się staje także na nieskończenie wielu punktach otaczających punkt (a), albo też jest w samym punkcie (a) i iv jego otoczeniu zupełnie nieoznaczoną.

ROZDZIAŁ YI.

Rozwiązywanie równania algebraicznego. Funkcye

algebraiczne.

55. Otoczenie zwyczajnego miejsca w obrazie algebraicznym.

Punktem wyjścia dalszych naszych poszukiwań w teoryi funkcyi będzie nieprzywiedlne [T. I. art. 82.] równanie algebraiczne :

(1)

f(x, ij)=0

n%° stopnia w zmiennej y. Przy każdej dowolnej wartości x=a da równanie (1) dokładnie n pierwiastków    y₂, ...,y n, choć z nich

niektóre dla szczególnych wartości a mogą być nieskończonymi. Z tego wynika, że miejsc (x, y) spełniających równanie f{x,y) = 0 jest nieskończenie dużo.

Całkowity zbiór takich miejsc nazywamy obrazem albo utworem algebraicznym.

Miejsce (a, b) dające f(a,b)=0 nazywa się miejscem tego obrazu.

Załóżmy a, b skończone i połóżmy + gdzie j£| ma być mniejsze od dowolnie małej obranej dodatnej ilości ó. Wtedy między pierwiastkami równania /'(«+!, y) =0 znajdzie się jeden: у=Ъ + д nieskończenie mało różniący się od b.

Można przytem oznaczyć pewną nieskończenie małą, dodatną ilość w ten sposób, że przy każdem £ o bezwzględnej wartości j 11 ó będzie miało równanie :

(2)

f(a-j~i, b-f«7)==0, zawsze jeden pierwiastek rj o bezwzględnej wartości    [T. I. art. 74.].

Mając to na wzgędzie, dochodzimy do określenia: Wszystkie pary wartości (x=a-\-£,, y=b-tg), [f(a. ft) =0] o nieskończenie małych dodatkach g, g. spełniających równanie (2) tworzą otoczenie miejsca (a, b) obrazu algebraicznego: f(x,y)= 0.

Uporządkujmy równanie (2) podług zmiennych £, rj. Wskutek /‘(a, b)=0 będzie ono miało postać:

(3)

gdzie (I r[)x mają znaczenie jednorodnych funkcyj zmiennych f, ij stopnia №°.

Załóżmy naprzód, że    nie jest identycznie ze

rem, a więc miejsce (a, b) jest takiem, że na niem przynajmniej jedna z pochodnych cząstkowych :

a, b

a, b

jest różną od zera. Taki punkt (a, b) nazywamy zwyczajnym, albo nieosobliwym danego obrazu algebraicznego.

Przyjmijmy ВфО. Równanie (8) można wtedy napisać

w postaci:

■Bl7+⁵iî7²-b..+/’i(f» *7)=0, gdzie w f\(£, ?,) nie ma ani jednego wyrazu niezawierającego zmiennej Podług tw. II. art. 61. skończenie mały) pierwiastek rj przy nieskończenie małych £, a ten wyraża się zwykłym szeregiem potęgowym <p₂(£) nie posiadającym wolnego wyrazu. Dostajemy więc w tym razie ^=^₂(|) albo — wracając do samego równania /'=0 —

У—b=(p₂(x—a).

Ten szereg nazywa się elementem obrazu algebraicznego dla otoczenia miejsca (a,b).

Połóżmy £=x—a=t to mieć będziemy:

ж=а-И, y = b + q>₂(t) a ta „para funkcyj“ — przy dostatecznie małych t — określa tu znowu całkowite otoczenie rozważanego miejsca (a, b).

Przyjmijmy, że w równaniu (8) lub (4) mamy między wyrazami zależnymi od samego £ najniższą potęgę f*³. W takim razie • równanie /'=0 ma, gdy y=b, dokładnie ß pierwiastków x=a, (znowu podług tw. II. art. 51]. To samo powinno wynikać z (a), a to się spełni, gdy się szereg cp₂(x—a) zaczynać będzie od potęgi (x—a)P, a więc szereg <p₂{t) od potęgi Mamy więc wyraźnie:

x=a\-t, у=b + bitPJrb₂tP+¹-\-..., gdzie ß=l, gdy 4ф0, a    gdy ńL=0, oprócz tego jeszcze

(4)

(a)

(«')

(«")

(5)

ma

równanie (4) jeden tylko (nie

(Щ _₀ ет] _

0. a

Gdy 1фО, to równanie /‘=0 można analogicznym sjmsobem rozwiązać ze względu na x. Dostaniemy więc :

(ft)

(ft¹)

x—a=cp₁(y—b), albo: y=b-\-t, ж=а-+-а₁^“ + а₂^г+1 + ... gdzie a=l: jeżeli БфО, a = v^> 1, gdy oprócz B=0 jeszcze:

(6)

(Щ =o (È—L) _

О, а

już ©-ф0-

W razie АфО, 5ф0 mamy «=/5=1 a szereg (6) jest odwró-niem szeregu (a), szereg zaś (a) odwróceniem szeregu (b) ; oba szeregi zaczynają się od wyrazów stopnia pierwszego.

przyjmiemy w (a) ß=g, dostajemy już

Gdy В ф 0, A—0, a wieloznaczne odwrócenie :

1д

{x—a)=$₂ ((y—l&)#»)

Połóżmy tu у — & = г**, to to odwrócenie da się taką parą funkcyj przedstawić :

y — bĄ-%*G ж=а + ф₁(т).

Analogicznie, gdy ЛфО, J5=0, a przyjmiejmy w (b) a = v, mieć będziemy :

K)

O- OJ

y=ô = i$₂((Æ-—а) ф) albo ^=« + Tv, у=& + ф₂(т).

Z tych. uwag wynika:

I. W otoczeniu zwyczajnego miejsca (a, b) o skończonych a, b okazuje się przynajmniej jedna ze zmiennych x, у jednoznaczną i regularną funkcyą (zwykłym szeregiem potęgowym) zmiennej drugiej, a jedna tylko para funkcyj wystarcza, aby otoczenie takiego miejsca przedstawić całkowicie.

Lecz parom funkcyj na miejscu (a, b) możemy nadać jeszcze ogólniejsze formy. Połóżmy :

A£+Br]=s af, 4 ßfj=t.

gdzie a, ß są dwie dowolnie wybrane stałe ilości dające wraz z А, В wyznacznik :

(7)

Przez te podstawienia przejdzie równanie:

(ł y)i + (i 17)2 + ••• + (£ V)n—Q na s + (s t)₂ +(s t)₃ + ...=0.

Z niego dla nieskończenie małych wartości t dostaniemy jeden

tylko pierwiastek s, a ten [art. 51. tw. II.] wyrazi się zwykłym szeregiem potęgowym argumentu t. Połóżmyż s = ip(t), to z równań: A£-\-Br]=ę(t), a$+ßrj=t

obliczone f, r\, [co jest możliwe wskutek (7)], będą postaci :

epßt), cp₂(t) są tu znowu zwykłymi szeregami potęgowymi argumentu t. Przechodząc do pierwotnych zmiennych x, y, dostajemy

(e)

+    y=b + (p₂(t).

Chcąc stąd wyrazić y przez x, albo x przez y, mamy podług tw. I. dostać przynajmniej jedną z tych zmiennych w zwykłym szeregu potęgowym zmiennej drugiej. Z szeregów <p1? (p₂ musi się więc jeden przynajmniej zaczynać od wyrazu eź+h a to zn. :

II. Otoczenie miejsca (а, Ь) o własnościach określonych w tw. I. przedstawić można parą fwnłtcyj x=aJr(pl(t), y — b-\-(p₂{t), gdzie <px (t)j (p₂{t) są zwykłymi szeregami potęgowymi bez wolnych wyrazów, a jeden z nich przynajmniej zaczyna się od pierwszej potęgi pośredniczącej zmiennej t.

W wyprowadzaniu pary funkcyj (c) mamy bardzo wielką dowolność w wyborze stałych a, ß, bo one tylko warunkowi (7) zadość czynić muszą. Wybrawszy te stałe inaczej otrzymamy parę funkcyj :

(d)

x=aĄ-tpi(т), у = Ъ + яр₂(г) określającą znowu otoczenie tego samego miejsca (a, b) w tym samym obrazie algebraicznym f\x, y)=0.

Koniecznem przy tem jest, aby się funkcye (cpi,ipi) od jednakowego, a funkcye (<jp₂, ty₂) znowu od jednakowego wykładnika zaczynały, ale jeden z tych wykładników musi być =1.

Już z wielkiej dowolności stałych a, ß wnosimy, że postaci paiy funkcyj dających otoczenie tego samego miejsca (a,b) w jednym obrazie algebraicznym jest nieskończenie dużo. Nie troszczmyż się teraz o sposoby wyprowadzania takich par i przyjmijmy, że para (c) jest już — jak wyżej — otoczeniem miejsca (a, b) obrazu f(x y)=0, a szukajmy koniecznych i dostatecznych warunków na to, aby druga jakaś para (d) miała takie samo znaczenie w tym samym obrazie f{x,y)—0.

Przedewszystkiem muszą się i tu funkcye (ę>1? гр^) zaczynać od jednakowego, a funkcye (<p₂, гр₂) znowu od jednakowego wykładnika, a jeden z tych wykładników musi być =1.

Wybierzmy parę zaczynającą się od wykładnika =1. Niech nią będzie:

(px =a₁t + a₂t²-\-4pi=alxJra₂T²-\-...} gdzie | ^ j 2> 0, jap^O.

[Spółczynniki    są różne od zera, ponieważ w równaniu (8)

mamy dla t=0 jeden tylko pierwiastek г—0 i naodwrót].

Funkcya g)₁ (t) przechodzi więc na ipx{x) za podstawieniem (aj, a jeżeli гр₂(г) razem z ^i(T) ma być parą o tern samem znaczeniu, co <pu cpv to i cp₂(t) musi za tern samem podstawieniem (a) przejść na гр₂{г).

Naodwrót z pary ipi, ip₂ przejdziemy do (p₁, <p., za odwrotnenr podstawieniem (ß).

Do wyprowadzenia podstawień (a), (/3), za pomocą których da się przejść z jednej pary funkcyj do drugiej , można użyć i tych funkcyj (<jp₂, ip₂), które się równocześnie zaczynają od wykładnika /£>> 1. Połóżmyż :

y—b=b₁W+b₂t‘u+i + ...=:(p₂(t) y—b=ßixv+ß₂X‘u+¹ + ...^tf>₂(T)

to stąd mamy :

()    \/y—b=A₁ t-\-A₂t²-\-..., : A₁'^> 0,

( )    p'y—b = BiTĄ-j5₂t² + ..., .L\ > 0.

Odnosząc tu t, г do tej samej wartości zmiennej у i do tej samej wartości pierwiastka i/y — b, dostajemy :

AxtĄ-A₂t² + ...=BxxĄ B₂i²+...,

a rozwiązaniem tego równania będzie już-to podstawienie formy (a) już-to podstawienie formy (/?). •

Przyjmijmy teraz, że mamy daną jedną tylko parę (c) otaczającą miejsce (a, b) i połóżmy w niej :

(«)

Odnosząc t i г do tych. samych miejsc x dostajemy:

... = ахг-\-а₂г²-\-... a z tego równania mamy (art. 50.) :

^$i(t) = CiT+C2î4-, 0|>0, i

'Р==Ф₂(0⁼^1    ..., dj |>>0.

(8)

(«)

(/?)

ż=*c₁t+c₂t²+...,

gdzie szereg po prawej stronie jest dowolny, ale ma początkowy spółczynnik с₁фО i jest zbieżny przy małych wartościach argumentu г.

Podstawiając w (pi szereg (e) dostaniemy stąd: x—fc + ipßz). Odpowiadające takim x wartości zmiennej у otrzymamy, gdy znowu szereg (e) w funkcyą <p₂(t) za t wstawimy. Mieć więc będziemy y=b + ip₂(r)j czem przejście z danej pary (c) do innej określającej również otoczenie miejsca (a, b) tego samego obrazu algebraicznego

już uskuteczniono. Z (e) wynika: T=clitĄ-d.₂t2jr..., \di >»0, co znowu umożliwia powrót do pierwotnej pary funkcyj. Z uwag tych wynika :

IV. Gdy dwie dane są pary funkcyj:

[x—a+ip^f), y=b+(p₂(f)], \x=a+ipi(t), у=Ъ+гр₂(т)], otaczające jedno nieosobliwe miejsce (a, 5) tego samego obrazu algebraicznego, drugą parę otrzymuje się z pierwszej przez podstawienie postaci: t = c₁t+c₂t²+..., j<hj!>0, a pierwszą z drugiej przez-odwrócenie tego podstawienia. Naodwrót przez najdowolniejsze takie podstawienie powstają pary funkcyj, które mają to samo znaczenie, со tZawa para.

Z praktycznych względów podamy tu metodę, za pomocą której można będzie bez trudności obliczyć dowolnie wiele początkowych spółczynników w żądanej parze funkcyj.

Gdy, jak przody, położymy: x=*a-f-5, y = è —n, a w równaniu;

(5чХ + (*ч)» + ...=о

sumę wyrazów [(?*))2+0;г))з+—] nazwiemy —Ł7(5,rj), to mieć będziemy:

A 5+2*4 = 17(5,1]).

Przyjmijmy naprzód: ij=0, J5 + 0; dobierzmy — jak przody — dwie dowolne stałe ilości a, ß spełniające warunek: r = Aß — Ра+0 i połóżmy:

(Я)

a? + ß7] = t,

to z równań (A), (P) dostajemy :

(CO

Mech co do formy będzie:

? = <PiC0 = «i# +    + «з*³ + -

7₁ = <p₂(#) = 6ii+ ô₂*² + M³ + ••• gdzie w tych rozwinięciach wskutek A, В różnych od zera jest niezawodnie + 0,    +0.

Pomyślmy sobie rozwinięcie (D) już znane i wstawione po obu stronach w ((7). Związki (C) przechodzą wtedy na identyczności, a z nich odrazu wynika :

a\ = —B/r , bi = Ajr,

gdyż Ł7(5,ri) zawierając 5, rj w najniższym wymiarze =2, nie da już wyrazu z potęgą t¹. W (C) dostajemy więc z 17(5, rj) już same wyższe potęgi argumentu t, z wykluczeniem potęgi Z¹. Aby z tych identyczności obliczyć wyrazy bezpośrednio następujące po <\t, t dostatecznem jest tam w U(5 4) podstawić za 5, »1 tylko początkowe, znalezione już wyrazy apt, btt, a potem z U (apt, btt) zatrzymać tylko wyraz: A₂ti—TJ(alt:blt\₁ albo — jeżeli ten wyraz ma spółczynnik A₂=0 — pierwszy nieznikający wyraz : Ag O? = U(at t, \ t)g, p>2. W ten sposób bez różnicy, czy p = 2, czy też p>2, dostajemy:

a

7] = Ój £- - Ag tQ -j— ...

r

5=cą t -j—— Ag tQ +

Jeżeli p>2, to widocznie w (D) mamy:

«₂ = a₃ = ...=    ==&2 —    — ••• — ^)_i —9 ?

a dopiero —(ß/r).A? ,    = — (a/r).Ap są różne od zera.

13

Teor. funkcyj analit. T. II.

Mając to, utwórzmy:

U (ßj t -j- (Xq tQ , b^t -j— bp tO )a = A a ta ,

co ma oznaczać, że w U(%, tj) wstawiliśmy za ?, r, znane już ich rozwinięcia aż do potęgi to, a potem z tego podstawienia zatrzymaliśmy pierwszy nieznikający wyraz z wykładnikiem cr>p. Znając ha mamy już teraz:

.•

? — t -j--Ap if? -]—— Aa ta -4-

r    r

— Aa to -f ... r

r\ = b. t--Anto —

r

Postępując tak samo dalej, możemy dowolną ilość spółczynników , a₂> .... w funkcyi cpt i spółczynników ó1? ó₂, ... w funkcyi ©₂ obliczyć.

Gdy A— 0, а 5ф0 jest, to zatrzymując U(Çrj) w tern samem co wyżej znaczeniu, dostajemy z samego równania Br\— U(Ę, 7])= 0:

ч=(1/5).сг(5,ч).

Połóżmy: 'ż=ol(t)—t, to ponieważ 7] = 9₂(0 nie ma w tym razie zawierać pierwszej potęgi argumentu t, określimy pierwszy nieznikający spółczynnik óp funkcyi o₂ przez bę — U(t, 0)q/В, bezpośrednio zaś następujący spółczynnik ba przez ba—U(t,bQto)a/It i t. d.

Szukana para funkcyj będzie tu więc postaci:

x = a-\-t, у = b 4- bęto -\-b₀ta + ...

Analogicznie postępując w przypadku А ф0, B=0, dojdziemy do pary funkcyj X = a -j- Uq to -f- aa t° -j-

y = bĄ-t.

Pd. 1. Równaniu:

(x—a) -f- (y—b) — 2(x—u)² — 3(tj—b)³ -\-(x—a)(y—b)³ = 0 czyni zadość zwyczajne miejsce (aYb). Połóżmy х — а-\-^,у—Ь-\-т], to otrzymamy: £+7] — 2Ç² — 3rj² Çrj³ == 0. Tutaj (?t])i = Ç-j-J?, a więc A — 1, B — l. Napiszmyż :

ç + o.4—*, («=1, ß = 0),

to widocznie kładziemy tu wprost ? = ®i(t)—t. Dalej mamy:

*)'= — * +(2 t²4-3t² —Ф)₂ +

7) = — t-\-5t³-\- ...

i połóżmy :

czyli :

Z tego korzystając, otrzymamy dalej :

7j = - t-\- 5^ + (2^²+3(—#-{- 5#²)²—<—# + 5#²)³)₃ + ...

i t. d.

czyli :

7i=— f-j- 5t²—oOt³-\-...

Pd. 2. W równaniu:

2(*-l) + 6/—2) — 4(ж—1)²(//—2)⁴ = 0

jest (ж;у)=(1,2) zwyczajnym jego punktem. Okazać, że w założeniu rt — t jest x = 1 — ?ф-2⁶Ф-|-...; y = 26~2^—2e£s-t~... parą funkcyj, określającą otoczenie tego miejsca w danym obrazie algebraicznym.

Pd. 3. Utworzyć parę funkcyj dającą otoczenie miejsca (x, y) = (0; 0) w obrazie algebraicznym y—2x³ -\-y³=0.

5(i. Otoczenie miejsca wielokrotnego i)i*zy szczególnych założeniach. Zajmijmy się teraz otoczeniem takiego miejsca (a, b), na którem :

(1)

f{x,y)=0

àf

дх °’

àf

ôy

=0.

Miejsc takich może być tylko skończona ilość. Są-to bowiem miejsca (x, y), spełniające równocześnie wszystkie trzy równania algebraiczne (1), a takich miejsc jest zawsze tylko skończona liczba.

Połóżmy #=«+£, y=b-\-i], to w równaniu f (a-{-£■, b + rj)=0, uporządkowanem podług potęg nowych zmiennych £, rj, dostaniemy oprócz /‘(a, &)=0, jeszcze (I, ^)i = 0. Że zaś jeszcze i spółczynniki dalszych jednorodnych funkcyj : (£rf)₂, (f ?/)₃, ... mogą identycznie znikać, więc, zakładając |tt>2, przedstawimy dane równanie w otoczeniu miejsca (a, b) w postaci:

(2)

l4+(^)f41+ ••• + (£ ł?)«=0,    ^>2.

Tutaj może się zdarzyć, że z wyrazów zależnych od samego | pierwszym nieznikającym jest wyraz z potęgą    a pierwszym

nieznikającym wyrazem między wyrazami zależnymi od samego t], jest wyraz z potęgą 7}i*+a*.

Niech :

¹

Por. także Au tonne. Sur les pôles des fonctions uniformes à plusieurs variables indenpendantes C. R. T. 124. str. 139—142.

(3)

to miejsce (a.b) jest widocznie tego rodzaju, że w równaniu:

f(x, y) =0

maniy dla x^=a, q pierwiastków y—b, a dla y = &, p pierwiastków x=a₁ a żadna z liczb p, ą nie jest =1. Tern można miejsce (a₁ V) scharakteryzować i tern zastąpić jego definicyę, polegającą na ró-wnoczesnem spełnieniu się trzech równań (1). Każde takie miejsce (a, b) nazywamy osobliwem [p.-krotnemj obszaru algebraicznego. Na miejscu zwykłem była przynajmniej jedna z liczb p, ą równą jedynce].

Gdy ai = G%== 0, to funkcya (£ zawiera i potęgę ^ i potęgę rf. Gdy jedna przynajmniej z liczb a1? g₂ nie jest zerem, to można podstawieniem :

(4)

f=c₁®₁ + c₂y1 rj=dixi+d₂yi ’

w którem stałe с±, c₂, dt, d₂ spełniają warunki:

(в)

ci c2 d₁d.₂

Ф0

(b) (Cl ^фО, (с₂о^)|ифО,

sprowadzić równanie (2) do kształtu :

(5)

КУ1 ) — {р^\У\)(1+(^i)fi+i“h • • • "h(^iVi)n—0, a tu w funkcyi (xiy₁)/,t zawierać się już będzie i potęga i po-

tęga yf.

Miejscu (a?i)=(0,0) odpowiada wskutek (4), miejsce (£??)=(0,0) i miejsce (xy)—(ab). Naodwrót znowu miejscu (xy)=(ab) odpowiada

(с)

C^o /^o )л*~Ф~0.

Z tego warunku wynika, że :

(d) (ßoßo )~ł~0, Al—(giß₀ o{g)=^0, A.₂=(g₂ß₀ h₂cSqj^O, ..., -przy czem — nie naruszając (c) i (d) można przyjąć:

(*)

g₀ß₀—h₀a₀ = l.

Dokonując podstawienia (8) w (7) i uwzględniając przyjęte warunki i oznaczenia, dostaniemy :

ОXx y ! )ft=C u^vV(D¹ + Ai v)\.{D" + A₂ v)v>. ..

Połóżmy: c.D' .D" ...=Z), który-to iloczyn jest ф0, to mieć będziemy: (xiyi)lt=ui*vv(D+Aiv-\-A₂v² + ...)i gdzie ф, ф, ... są stałe.

Samo równanie (5) po podstawieniach (8) będzie miało postać : u^vv(D+AiV fi₂»²+...) +

(8')    +uv+i(gQ+a₀v,\+?>₀v)l,₊x + u^²(g₀ +a₀v, h₀ +ДЛ+2 + -

- +un(g₀ +a₀v, К +lW*=°-

Odrzućmy tu czynnik up, to dojdziemy do równania:

(«)

F₀(u, v)=Dvv+Aivv+i+A₂vv+²+...

■•• + (5,O)^oW1'M + (5'0)^W2m2 + "' + [M) V\ 7 gdzie [m, v\ przedstawia sumę wszystkich wyrazów, które równocześnie od w i od t; zależą.

Podobnie używając podstawień:

(9)

miejsce (|т/)=00) i — wskutek warunku (a) — tylko jedno miejsce (xiyi) = (00) w obrazie algebraicznym F(xiyi)—0. Trzeba się zatem przedewszystkiem zająć otoczeniem miejsca (0,0) równania algebraicznego (5).

Przyjmijmy że równanie:

(6)

ma pierwiastek xi/yi =д₀1\ powtarzający się v razy, pierwiastek ®t/yi=Ä/Äi) powtarzający się razy, i t. d. Pary (#₀Л), (^A), ... są tu od siebie różne, a więc wyznaczniki :

|#A|

i #<A i

nie są zerami; suma: vi-\rv₂g

żadna nie jest zerem wskutek warunku (b). Mamy więc :

г« r-c?

liczb g₀, git ..., h₀,h

i?

(7)

(®i Ух )i*='c(9o У i - Äo )%i Ух - K Хх )Vl (^2 Ух - Кхх У²-Połóżmy :

X\=(0o + aov)u, yx=(ho+ßov)u, gdzie w, v są zmiennemi, a a₀,/?₀ stałemi tak wybranemi, aby było :

(8)

Ух =(\+ßxV)u,

gdzie znowu ma być: (aißi)мфО i gißi—hiai = 1, dojdziemy do równania :

Fi(u,v)=Divv*-\-Bivvi+l + Ii₂vvi⁺²-\-...

+    ••• + [«, v\ =0 ,

o podobnym kształcie, jak równanie (a).

Takich równań, jak (a), (/?), możemy dostać tyle, ile różnych międzjr sobą czynników :

i (gxyx — Ä₁a?i)v*, («i— Mi)v*, ... mieści w sobie (ж₁у₁ )M. Każdemu z otrzymanych równań zadość czarni miejsce: (u,v) = (0,0).

Okażemy, że te równania otoczeniami miejsca (wv) = (00) zastąpią w zupełności jedno pierwotne równanie: F(xxyx) — 0 dla otoczenia miejsca (a;₁y₁) = (0,0).

Aby to okazać, zauważmy, że — ponieważ F(x₁yi) =0 jest nieprzywiedlnem równaniem — dostajemy z niego przy nieskończenie małych wartościach zmiennej xi: koniecznie y między sobą różnych pierwiastków yx. [T. I., art. 82., tw. 8.].

Weźmy teraz naprzód z równań (a), (/?), ..., dwa którekolwiek z nich, n. p. równanie (a) i (ß) pod uwagę.

Równanie (a) wskazuje, że dla nieskończenie małych wartości u mamy tam v nieskończenie małych pierwiastków v. Nazwijmy je :

Va , (7=1, 2, ..., V.

Równanie (/?) ma znowu, przy nieskończenie małych wartościach u, dokładnie vi nieskończenie małych pierwiastków:

t=1, 2, ..., vx.

Między pierwiastkami (os') i między pierwiastkami (/?') nie ma dwóch sobie równych, bo z nieprzywiedlności równania F(xxyx)— 0 wynika nieprzywiedlność każdego z równań (a), (/3), ...

Wracając do równania F{xxyß)—0, dostajemy za pośrednictwem (cd), v między sobą różnych pierwiastków: yx=(li₀-{-ß₀va)u, a za pośrednictwem (/?'), vx znowu między sobą różnych pierwiastków:

yi = (hi+ßivT)u,

Pierwiastki te odpowiadają wartościom:

xx = (9o + «o v°)u » xi = (9i + a\ v*)u-

Gdybyśmy założyli, że przy nieskończenie małych u spełnia się identyczność: xx=xx, a z nią równocześnie identyczność yx—yx. to stądby przedewszystkiem wynikało gd =gx, hö=hi: co jednak sprzeciwia się założeniu.

iß)

(10)

(«')

(ß‘)

Vr,

Z tego wynika, źe i za pośrednictwem równań (a), (/1), .... obliczone nieskończenie małe pierwiastki równania F(xxyx) =0 są wszystkie między sobą różne i jest ich dokładnie: v-\-vx    ...=fi,

przez co już równoważność równania F(x₁yi) = 0 z równaniami (a), (/?), ... jest widoczną.

Zajmijmyż się otoczeniami miejsc (0,0) w równaniach (ce), (/?), ...

1°. Przyjmijmy:

(U)

r=r₁=V.₂=... = l, a więc (xxyx )u nie ma powtarzających się czynników liniowych. Równań (a), (/?), ... mamy tedy dokładnie fi, a w ka-żdem z nich — wskutek ЛфО, ДфО, ... — mieści się wyraz z pierwszą potęgą zmiennej v, (bez zmiennej u). W każdem z tych równań można zatem — według wskazówek art}^kułów poprzedzających — określić otoczenie miejsca (0,0) jedną parą:

(12)

s=0,1, 2, ..., fi—1.

u=tps(t), v=/Jt)

W każdej z nich zaczyna się koniecznie od lszeJ potęgi ' argumentu t, podczas, gdy %s może się w ogólności poczynać i od wyższej potęgi tego argumentu.

Z rozwiązań (12) otrzymamy :

(18) xx = (g,+cts%s)tys ,    = (Ä,+

s = l, 2, ..., [X—1 ,

a dalej także i £, g [por. podstawienia (4)] wypadną w formie zwykłych szeregów potęgowych argumentu t, bez wolnych wyrazów. Połóżmy ż :

(14)

x—a=q)i®(t), y—b=cp^s\t)

s = 0, 1, 2, ..., p.—1,

to temi fi parami określa się w tym razie otoczenie miejsca (а, b) danego obrazu algebraicznego f(x,y) =0 w zupełności.

Przyjmijmy, że funkcya cpxW poczyna się od wyrazu z potęgą P», a funkcya <p₂(s) od wyrazu z potęgą . Z st0J pary (14) mamy wtedy :

(15)

= 0,1

5 "'1

P-—1.

X —

O samem równaniu f(x,y) —0 założyliśmy, że między pierwiastkami równania /(a,y)=0 mamy ą pierwiastków y=b, a między pierwiastkami równania f(x,b)=0, p pierwiastków x = a, gdzie p>^, q>fi. To samo powinno wypaść i ze związków (15), a to jest tylko wtedy możliwe, gdy:

+(Zi -t ••• + <7₁m-i=#» Po +Pi    P-

(16)

Z założenia, że się funkcya (xiyx )u składa z samych jednokrotnych liniowych czynników, wynika naodwrót z warunku (a), że się i (Èy)i* w ten sam sposób zachowuje, a stąd mamy twierdzenie:

I. Gdy równanie f(xy)=0 sprowadzone do otoczenia miejsca (a,b) ma postać: (£r/)u+($r/)u+i +    ==0, p>2, a (gr/)/( jest iloczynem samych

jednokrotnych liniowych czynników, to otoczenie takieyo miejsca (a, b) przedstawia się p parami funkcyj. Mówimy wtedy, że miejsce (a, &) należy do u elementów, (gałęzi), danego obrazu algebraicznego.

II⁰. Z liniowych czynników funkcyi ( xi y, )M nie wszystkie są jednokrotne.

Każdy jednokrotny czynnik daje możność przerobienia równania F(x^yx) =0 na równanie postaci (a), zawierające D₀v, Д,фО, i da jedną parę funkcyj , należącą do otoczenia miejsca (a, b).

Każdy z pozostałych powtarzających się czynników:

(17)

(9*У\— Mi)*’*,    Ф>1

doprowadza do takiego równania (a), że w niem sama zmienna v, (bez u), nie występuje już w potędze pierwszej. Lecz spółczynni-kiem potęgi u¹ jest w takiem równaniu:    Przyjmijmy, że

dla wszelkich par (gs,hs) należących do powstarzających się czyn-ków (17) mamy: (gs,hs)a+i=j=0, to zn., że (xiyi)a+l przez żaden z czynników {gsy\—hsx±) nie jest w funkcyi F(xiy₁) podzielne, a także wykluczonem jest, aby funkcya (xiyi)!Â+\ była identycznie zerem, to w takim wypadku każde równanie (a) utworzone z podstawienia, w które weszły gs, hs czynnika, powtórzonego, daje możność oznaczenia znowu jednej pary funkcyj należących do otoczenia miejsca (a, b).

W takich zatem razach określi się całkowite otoczenie miejsca (a, b), p^ parami :

» = 0,1, 2,

tj-i—l.

gdzie koniecznie pi<^p i gdzie — jeżeli g₀, qi: ... są najmniejszymi wykładnikami argumentu t w szeregach ср^\ (pi⁽²⁾, ..., a p₀, p<, ... najmniejszymi wykładnikami tego argumentu w szeregach <p₂⁽¹⁾? <p₂(²), ... — mamy znowu:

Po+Pl f

Stąd — jeżeli te wszystkie uwagi do równania f\xy)=0 odniesiemy — mamy twierdzenie :

II. Jeżeli z równania f(xy)=0 sprowadzonego do otoczenia miejsca (a, b) dostajemy :

(t «?)#.+(Й)л+ i + ...=0, ^2,

gdzie niewszystkie liniowe czynniki funkcyi (£ g)fl są jednokrotne albo jednokrotnych czynników wcale niema, ale każdy powtórzony czynnik (A g+Bf) daje (А, В)р+\ Ф 0, to otoczenie miejsca (a,b) określa się — gdy (£'rf)p=(Arj.-\-B£y* —jedną tylko parą funkcyj, a w innych wypadkach kilkoma parami funkcyj. Ilość tych par nie dosięga jednak nigdy liczby fi.

Pd. 1. W równaniu :

5ч + 5⁵+У = 0

jest miejsce (0, 0) osobliwem. Połóżmy c -p lh, f\ —    to dostaniemy:

F (cc 1У1 ) = — G/l —»! ) (2/i + »1 ) + Oi + xi )⁵—Ol — xi )⁵= 0.

(a)

Uwzględniając pierwszy czynnik Oi —x\)> załóżmy a₀ = — 1, ß₀ = 2, co daje ^oßo—■Vo=l, i połóżmy :

O)

У1=(—1 + 2»)«,

to dostaniemy :

F₀(utv) = 2v—3r² -j- и³ V⁵ + u³ (2—З0)⁵ = 0.

Uwzględniając znowu drugi czynnik (yt ж, ), obierzmy «!= 1, ßi= 2, co znowu daje ć/ißi—\at = 1, i połóżmy:

(«)

0)

U = C¹ + i) и, У i = С¹ +    »

to mieć będziemy:

(P)

—r) = 2« + 3+ -f- w³t’⁵—w-³(2 -f- 3r)⁵-

Dane równanie (a) zachowuje się tu w otoczeniu miejsca (c, rj) = (0,0) podług twierdzenia I. Otoczenie tego miejsca określą dwie pary funkcyj, z których jedną wyznaczymy za pośrednictwem równania (a), a drugą za pośrednictwem równania (8). Parom funkcyj w równaniach (a) i (ß) nadać można, postępując podług metody danej w ostatnim artykule, postać:

u—t, V = b₃tz-\-biti

[Obliczyć spółczynniki b₃, bk,...].

Pd. 2. W równaniu +² + £⁴ + + = 0, w którem chcemy określić otoczenie miejsca (?, ï]) = (0, 0), połóżmy znowu Ç -(-yl, r{ = x 1—yu to dojdziemy do równania :

^+i//i)^+i-*i)²+i +^i) + +i + ^i)⁴ + G/i-ań)⁴ = °-

Uwzględniając tu czynniki —3+, («/,    w funkcyi (xt У\ )з, możemy

skorzystać z podstawień (&), (c), użytych w Pd. 1. Z nich dojdziemy do równań: F()(u, v) — V(2—3r)² -|- « . t’⁴—ić(2—3r)⁴ = 0 ®) = r²(2 -f- 3r)    «(2 + 3r)⁴ +w>⁴ = 0.

Z pierwszego z nich dostaniemy parę o postaci :

V = t, w == 04/ + a₂£² + ...

(«)

(P)

z drugiego zaś parę o postaci :

V = t,    a₂/² + «3/³ -{- •••

a za ich pośrednictwem dwie pary funkcyj, dających całkowite otoczenie miejsca (?, ⁷])= (0 0) danego równania.

57. Otoczenie miejsca wielokrotnego w najogólniejszym wypadku. Przejdźmy teraz do wypadku , w którym (х, у)<(f nie jest

(gsyx — hsx₁ )vs o wykładnikach vs^>l, albo przynajmniej niektóre z nich doprowadzają do równań (a), (/?),..., [art. poprzedzający], niezawierających wyrazu (#ДДм+1.w. Dla niektórych zatem lub wszystkich czynników (1) mamy : (9sKWi=0 *).

potęgą jednego liniowego czynnika, a w którym albo wszystkie czynniki :

(1)

(2)

Jeden taki czynnik (1) weźmy pod uwagę; jego wykładnik vs musi być koniecznie <iy a równanie Fs(u, v)=0, jakie tu powstaje przez podstawienia:

(3)

x\ = (ffs + cts и) V, yi=(hs-\-ßsи) V mieści w sobie wyraz Dsvvs, ДфО. Stąd wynika, że jednorodna funkcya o najmniejszym wymiarze zawierająca się w tern równaniu musi być stopnia hx <C уя, a więc <C ft- Ale zarazem musi być Jcs^>l wskutek warunku (2). Połóżmyż :

(«)

Fs (и V) = (u v\ + (u v)ks +1 + ...=■ 0, to z tern równaniem możemy teraz tak samo postąpić, jak z równaniem F(x₁yi)=0.

Przyjmijmyż, że (uv)ks nie jest znowu Д-tą potęgą jednego liniowego czynnika, ale zawiera w sobie a czynników (lcxv—... to z równania (a) dojdziemy znowu do a nowych równań, zaczynających się od wyrazów wymiaru <С Д- Gfdy w tych równaniach znowu wyrazy najniższego wymiaru nie dają jednorodnych funkcyj, przedstawiających się jako potęgi pewnych liniowych funkcyj, to i te równania dadzą się zastąpić równaniami o s a-mych niższych początkowych wymiarach i t. d. Takie przerobienia trzeba przeprowadzić na podstawie każdego z czynników (1) a jeżeli tu nigdy nie natrafimy na równanie dające wyrazy najniższego wymiaru (uTvT)Q w postaci {Aux-\-JBv^)Q,    to musimy

koniecznie dochodzić do równań — do jednych pierwej , do drugich później — zawierających już wyrazy stopnia pierwszego.

Każde takie równanie z najniższym wymiarem =1 da już jedną parę funkcyj, a wszystkie razem dadzą całkowity zbiór par funkcyj określających otoczenie miejsca (a, V). Ilość tych wszystkich par nie może jednak i tu być y. W razie bowiem przeciwnym — wróciwszy do równania F{x^^yß)=0, które dla x=0 daje tylko у pierwiastków y±= 0, a dla yi= 0 znowu tylko у pierwiast-

Warunek ten spełnia się niezawodnie, gdy w danem równaniu nie zawiera się wcale    pi.

ków хх=0 — dostalibyśmy potem, z samych par wyprowadzonych funkcyj już tych pierwiastków więcej niż g.

Pd. 1. Okazać, że całkowite otoczenie miejsca (0, 0) w równaniu:

W + Z⁵ + r\⁵=o

dają 3 koiicowe równania (a), (ßt), (ß₂) takich szeregów równoważnych równań :

F(xi Vi) = 0

(«), (P)

(ßi), (ß₂).

Gdy równanie F(x ₁г/₁)==0 powstaje z podstawienia ; = xx //j,    —y,,

to do równań (a), (ß) dojść można podstawieniami (й), (c) użytemi w Pd. 1. art. poprzedzający.

Zachodzi teraz pytanie, czy i w takim przypadku, kiedy dane równanie, (albo jedno z równań równoważnych którejkolwiek już warstwy), ma postać :

(4)

fis,    łWi + -e°i

możliwe jest (nawet i wtedy, kiedy (gh)^+i=0) obniżenie najniższego stopnia g przez tworzenie dalszych równań równoważnych?

Nie troszcząc się o to, czy obie z ilości g, h są różne od zera? przyjmijmy g фО, a h >0 i połóżmy tu, jak przody:

i?

z warunkiem gß—7ш = 1, który, gdy 0, przechodzi na gß= 1.

Z tego podstawienia dochodzimy do jednego jedynego równania przerobionego :

(5)

Załóżmy, że w niem znowu początkowy stopień w jest =g i że w    znajduje się liniov y czynnik gigi~hx. ЛУ takim

razie, kładąc :

£i=(#i+cV7₂)I₂

dostaniemy z (5) nowe równanie f\(£₂, ^₂)=0, w którem znowu początkowy stopień w może być =p. Przyjmijmy, że tak jest wistocie i że także i w dalszych przerobionych równaniach utrzymuje się początkowy stopień w=g bezustannie*).

(«)

*) To założenie spełnia się tylko wtedy, gdy w równaniach :

/(?*]) = 0, /₁(?₁v!l) = 0,...

mamy przy dowolnem r :

ważne.

fr($r 1}r) — (ffr f\r-lir ?r).M -4- (?r f]r)lÄ +1 -j- ... = 0.

Z każdego równania (a) daje się utworzyć tylko jedno równanie równo

Z tych. równań, poczynając od danego równania (4), weźmy (r + 2) po sobie następujących:

/(!«?)=0?    •••? /r+l(£r+l, ^r+i)=0

(6)

pod uwagę.

Powstają one przez podstawienia : li = (0i + «itó₂>

*7    = (ü + Mi)£i

% =(Äi+/?i%)^2

(-1)

fr-i=(gr~i + ar~i Цг)£п    fj, -i—(Är-id-ßr-ii]r)ir

⁼⁼⁼(Уг d~    ⁼⁼ (^r d~ßr^lrĄ-\

Przytem mamy :

⁼ ^    (ir + 1 Vr+i):

a z równań (J.) dostajemy:

(«2)

br—1 ⁼⁼⁼¹9r—10r ^r+l d~    } ^V-j-l) • £r+l

—1 ⁼⁼ К—1 Sr+l d” Sj--l(b»"+l , ł^ff-l) ■ $r-|-l

—2z=(Jr — 2 (jr—1 ÿr Ьr+1 d⁻ G'r—Ï (^r+1 ? ^r-f-l) • Śr f 1

ł/r—% = hlr—2 A,-l kr źr+i    2 (^r-f-1} ^r + l)*^r+l

Ie99\ — <7rfr+i + &(£r+i, ły+Olb-ł-i

'^== Jlh^    br+i “t" h~KJż,rĄ-1> ^jr-J—1 )

gdzie 6r, iZ są w całym szeregu tych relacyj wymiernemi całko-witemi funkcyami swoich argumentów. Ze związku :

f(X =

(«з)

dostajemy :

0^1 Q,

l/n

r d£ ó/‘ dv ' d \ ⁺ drj' d£t

(Tri

in р

«-Ч су

£‘ó£

Ó/'

d--¹ •

£ ół/i ó

=t

ó/i

« V¹

a gdy zważymy, że :

=9 + aVu

= Äd-^i

= «£;

=ßii

mieć będziemy :

(y-f a^i    d-d-ß'TJi) - — ьг'¹^'Ь^4]'м Vi

•Ж-»'-

ó/‘

Ql,!

-S ! s

ó%'

Z tych dwóch równań wynika :

df

d£

= i • £ ßPfi

<Гсг

d[\

ài,

-(jH-ßth)

àf\

d%

dfi

■—«у/i + a£ i

df df d| ’ d't]

liniowo jednorodnie utworzone z 3 fnnkcyj f\,

dn i

Widzimy z tego, że pochodne

àf\

d£ iJ

mają czynnik f^⁻¹ i są

d/i

dn i

_ ą/i M

d|t’ d*7i

znowu miały czynnik ¹ i będą liniowce, jednorodne w funk-

d/j d/2

d£2 ’ d%

Lecz

cyach /9,

|эо wyrażeniu ich przez |₂, ?/₂ będą

. Dostaniemy więc :

df

• d/â d/₂

2,

ISTC

'^2 7 /2 ?    £

( '8 rj f ~

• d^ ад d|₂’ a%

Wyrażając dalej pochodne (7) przez |₃, t/₃, potem przez f₄, ^₄, i wreszcie przez |r+1, ^r+i, dojdziemy ostatecznie do form:

=    ^2 ^ ¹ - £r+1^“¹ -Fi ( łr+1 , *?r+l),

(7)

d|

d/

drj

gdzie właśnie w Lu L₂ wchodzą /₂,

(8)

d/‘

ÇY,

й|₂ дъ

liniowo jednorodnie.

(9)

d/

a //

w których Fi, F₂ będą wymiernemi, całkowitemi funkcyami swoich argumentów.

Mając te przerobienia zauważmy, że funkcye:

(10)

fd

d/(! n)

drj

nie posiadają wcale wspólnego podzielnika, a to z powodu nieprzy-

wiedlności równania /’(| rj) = 0. Równania f— 0,

wspólne miejsca zerowe określa równanie :

df

=0 mają jednak a wartości f należące do tych miejsc

drj

gdzie i?(|) jest rugownikiem funkcyj (10) uważanych za funkcye samego rj.

Taki rugownik można zawsze — za doborem dwóch stosownych funkcyj całkowitych wymiernych P(£, ?/), Q(£, rj) przedstawić w ten sposób :

df(Ęrt)

d r\

[T. I. art. 81. tw. V.]. Połóżmy tu :

za

àf

drj

t\l П) = ^    ••• tr+l‘W .fr+1 (fr+1 Vr+1),

podstawmy (9), a w P, Q wyraźmy £, rj przez £r+i, rjr+i7

[podług (a₃)], to mieć będziemy:

(H)

• G(£r+i Vr+\)

z całkowitą wymierną funkcyą G.

Zauważyć przytem trzeba, że czynnik (|+£₂...£r+i) może się tu po prawej stronie jeszcze w ogólności i w wyższej potędze, niż (/t —l)szej zawierać, bo jeszcze i funkcya G może w sobie zawierać czynniki f^, £₂ fr+i“r+1 przy «,>0, s=l, 2, ..., r+1.

Wyraźmy dalej po prawej stronie w (11) także f1? £ przez |V+i, fjr+i za mieć będziemy:

Ir

2> •"!

pomocą podstawień (a^), (a₂), ..., to ostatecznie

P(£)==lr+l(?'⁺¹⁾⁽‘t< ^Ö^ldr+l, *?r+l)

z tern znowu zastrzeżeniem, że tu po prawej stronie może być +_l_i z wyższym wykładnikiem, niż (r + 1) {[i—1). Niech tym wy

kładnikiem będzie :

(12)

&=(r + l)(/t—1 ) + ?, ^ + 0?

to stąd wynika, że i w R{£) musi się zawierać czynnik £k — (o wykładniku =k, a nie wyższym) i że R(£), gdy w niem £ wyrazimy przez £r+i, f]r+i podług (a₃), przejdzie na Pi(|r+i,++-i)- Jasnem jest przy tem, że tu Jc nie zależy od r, ale od postaci funkcyj

7 Vb ---, i jest z pewnością liczbą skończoną dodatnią. Z (12)

stąd wynika , że

mamy ^>(r+J)(^t—1), a ta nierówność — przy założeniu, że się najniższy stopień w okazuje =/n w dowolnie wielu równaniach (8) — musiałaby się sprawdzać przy dowolnie du-żem r. Lecz to jest widocznie niemoźliwem w szeregu równań (6) natrafić nmsimy koniecznie na pewne równanie fs(£sf]s)=0, o skończonem s i z najniższym stopniem w<^ii i dojść wreszcie do równań równoważnych posiadających już w— 1, a więc przydatnych do oznaczenia jednej pary dla otoczenia miejsca {ab) danego równania f(x,y)=0.

Jeżeli równanie (4) jest właśnie danem równaniem jednem z równań równoważnych., to ilość par funkcyj otaczających miejsce (£, g) = (0, 0) będzie i tn zawsze <C /1. Z tych wszystkich uwag wynika :

a nie

I. Gdy równanie f(xy) =0 ma dla x=0, q pierwiastków y=0, a dla y—0 p pierwiastków æ=0, gdzie p£> 1, qi>l, a sprowadzone do otoczenia miejsca (a, b), ma postać:

Œ ri)^Jr{Ł v)^+! + •••—0? ^7>1?

to — w jakikolwiekbądź sposób złożoną jest funkcya (ę ??)«• z liniowych czynników — dostajemy na określenie całkowitego otoczenia miejsca (a, b), gi par funkcyj x—a=cpßs\t), у—b = cp^s\t) 5 = 1,2, ...,

Jeżeli poczynają sie od wykładników qs, a q>₂ ^ od wykładników

ps: to mamy qi + q₂ + ...+qfh=q , Pt+p₂-\-

Pd. 2. W równaniu 7)³-j- !-⁴-f- yj⁴ = 0, do którego miejsc zalicza się (<; r])=>(0, 0), mamy <7=1, h = 0. Obierzmyż a = 0, ß = l i połóżmy 5j = w, r\ = uv, to dostaniemy u -|- r³-f- uvi = 0 a więc równanie, w którem najniższy stopień w jest — 1. Otoczenie miejsca (0, 0) wyrazi się zatem tu tylko jedną parą funkcyj [por. art. 56. tw. II.].

Pd. 3. W równaniu yj ³ —j— Ç⁵ —rj⁵ == 0 mamy znowu g = 1, h = 0. Połóżmyż i tu \ = u, r]=uv, to dostaniemy w²-j- v³-\-u²v⁵ — 0.

W tem równaniu mamy g = 0,h =—1.

Obierzmyż a —1, ß=0 i połóżmy u = % vx, v =— щ, to dojdziemy do równania щ — %² -f- uJ vl ² = 0, które już jest przydatne do wyznaczenia jednej pary funkcyj. Tą jedną parą przedstawia się tu całkowite otoczenie miejsca (0, 0) danego równania.

Weźmy jedną z par należącą do otoczenia miejsca (a, b). Niech nią będzie :

x-a=(pi(t)=aitcl-\-a₂tce+i ... y—b=cp₂(t)=\P-\- b₂P+i + ... to choć (ab) jest punktem osobliwym, wykładniki a, ß mogą, ale nie muszą, być równocześnie >»1. Jakkolwiek jest, dostajemy

(13)

tu i(=

&[(*—«)“]

у-£=^₂[(ж—a)a\

a więc :

p+i

=A₀(x—a)ce + A₁(x—a) a 4-...

Połóżmy tu x—а=тсс : to parę (13) dostajemy w postaci:

ж=й+т“, у—6=iß₂('r)=А₀т^-£А₁т^.,,

Postępując z parą (13) podobnie jak w art. 55., (y), (ó) będziemy mogli kładąc t=ciT+c₂T² + ..., | f 0, dojść do pary:

х—а=а‘₁га + а¹₂гос+1 + ..., y—Ь = Ъ\гР -\-b‘₂iß+x-\-... o innej postaci, ale o tem samem znaczeniu, co para (13). Mamy więc twierdzenie :

II. Jedną parę x—a=(pi(t), y—Ъ=(р₂(t) wyjętą z par otaczających miejsce wielokrotne (a, b) danego obrazu algebraicznego można jeszcze przedstawić w bardzo dużo innych postaciach: x—a=ipx(т), у—Ь=гр₂(т), gdzie t=cir-{-c₂z²-\-..., i ci j 0.

W szczególności możemy jej nadać formę :

[x — a=xa, y—b=b₍₎r^Jrbi'il:i+i + ...₁]

albo :

[y—Ь=г?, X — a=a₀Ttt-\-ai xa^ -|-...],

jeżeli z pary (pi, (p₂ dostajemy przy x=a, a pierwiastków y=b, a przy y=b₁ ß pierwiastków x—a¹).

(A)

Uwaga. Jeżeli para funkcyj :

x = a-\- cttt -{-

y = b-\-d tP-j- ...

{obok możliwych innych par) wzięła swój początek z podstawień odnoszących się do czynnika (gy—hx)v, to ponieważ ten czynnik wskazuje geometrycznie, że przez punkt (a b) przechodzi v gałęzi krzywej (a nie więcej) o wspólnej stycznej gy—hx — 0 musi być w parze (A) mniejszy z wykładnikiów a, ß koniecznie < v.

58. Otoczenie miejsc obrazu algebraicznego leżących w nieskończoności. W danem równaniu :

(1)

f(x, y)=(x y)n + (x y)n—i -f (x y)„_г +... =0, uwzględnimy funkcyą jednorodną najwyższego stopnia n:

(2)

{x y)n=(g У-h x)v(g‘y—li‘x)v‘... i przyjmijmy, że miejsce (x, у) o spółrzędnych pozostających w stosunku :

(3)

(:y:x) = (h:g)

ma być zarazem miejscem obrazu algebraicznego (1). Dla takich (x, y) dostajemy:

(x y)n—i-Ь¹(ac, y)n—2+ ...=0,

a stąd wnosimy, że takie miejsce obrazu algebraicznego nie leży w skończoności ; ma więc albo obie spółrzędne x, у nieskończenie

wielkie, albo jedna przynajmniej z tyeli spółrzędnych nie jest skończoną.

w (2) tak

To samo odnieść trzeba do każdego z czynników zawartych że spółrzędne miejsc leżących w nieskończoności w obrazie algebraicznym (1) są w stosunkach (y:x) —

(4)

(h:g),    (hn :g"), ...

Aby otoczenie każdego z takich miejsc wyznaczyć, weźmy nasamprzód miejsce o stosunku (3) pod uwagę i połóżmy:

, N 1

x=(g + av) —

(5)

y=(h+ßv) —

w

z warunkiem gß—Tia=1. Przez to podstawienie przechodzi równanie (1) na :

u~n[(g+av, h+ßv)n+u(g + av, li+ßv)n_i +...]=0,

albo na :

(50

u~n [(gJi)n + cy V + c₂ V² -f... + {gh)n-1 u +... + (u, v)]=0, gdzie (u, v) jest sumą wszystkich wyrazów: które równocześnie od u i V zależą.

Po opuszczeniu czynniku u~n i uporządkowaniu podług jednorodnych funkcyj zmiennych u, v, mieć będziemy :

(6)

(u, v)t, + (u, v)u+i + («, V)u₊2+...=0,

gdzie g>l, gdyż (g, h)n=0.

W równaniu tern dostajemy dla nieskończenie małych u przynajmniej g nieskończenie małych pierwiastków v i naodwrót.

Takim nieskończenie małym (u, v) odpowiadać będą w (5) miejsca (%, у) o jednej przynajmniej spółrzędnej bezgranicznie wielkiej. Inaczej mówiąc: otoczeniu miejsca (u, v) = (0, 0) w równaniu (6) odpowie w równaniu (5) otoczenie miejsca w nieskończoności o stosunku spółrzędnych (8).

Według uwag ostatnich artykułów określa się otoczenie miejsca (u, v)=0 jedną parą lub kilkoma parami funkcyj :

s=1,2,3,..., r > 1.

Uwzględniając to w (5) dostaniemy:

r,

x=(pßs\t), y=(p₂{s) iß) S— 1, 2, 3 gdzie tu każda z par funkcyj może wypaść w jednej z takich trzech postaci :

1° Obie funkcye posiadają i odjemne potęgi zmiennej t, ale do skończonych tylko stopni.

2Ù Zmienna x zawiera wyłącznie potęgi dodatnie, a może zawierać i wyraz wolny. Zmienna y przeciwnie posiada i odjemne potęgi ale tylko do skończonego stopnia.

3° Zmienna x zawiera i odjemne potęgi ale tylko do skończonego stopnia; zmienna zaś y ma wyłącznie dodatnie potęgi, a może zawierać i wolny wyraz.

Do podobnego wyniku dojdziemy, biorąc za punkt wyjścia którykolwiek z dalszych stosunków (y : x) zawartych w (4), a stąd wynika twierdzenie :

I. Całkowite otoczenie każdego z miejsc leżących w nieskończoności w danym obrazie algebraicznym przedstawia sie jedną parą funkcyj, albo kilkoma parami funkcyj postaci :

x=t'L{a-\-a^t-\-a₂C-\-...)=tz \a ji>0

у=Рлф + Ъ^-\-\Р+...)=РЧ^($₁ I &|>0.

Z wykładników Я, g albo obydwa równocześnie są odjemne (całkowite i skończone), albo przynajmniej jeden z nich jest odjemny. Drugi, będąc dodatnim, może być także =0.

Gdy na miejscu leżącem w nieskończoności mamy x skończone, to w (a) jest koniecznie Xż>0, a więc w (6) koniecznie g<Cfd. Przyjmijmyż £>1, to z (a) dostajemy:

(a)

(b)

t—lP(aG)

a uwzględniając to w (b), mamy:

у*=Р(хл).

Przyjmijmy w (а): Я—0 i jaJ^O, to dostajemy: t=S${x—a)7 a wtedy z (b) wynika :

(B)

y=P{x—a).

Gdy przeciwnie x ma być nieskończone, mamy w (а): Я =—kr gdzie k>l. Napiszmyż (a) w postaci:

tk

a aj t -p • ••

to tu prawą stronę można — wskutek |a|;>0 — rozwinąć na szereg potęgowy:

tH »

— a~x tk-\-a\tk+iĄ-.,.

Z niego dostajemy:

l*J, *>1,

uwzględniając to w (&), gdzie w tym razie może być g ^ 0, mamy:

(C)

y=P

im

[Szereg P nie potrzebuje bezwarunkowo zawierać ujemnych

i

potęg argumentu ж⁻Т]. Stąd twierdzenie:

II. Na miejscu w nieskończoności wyraża się у przez x rozwinię-

l

ciami o argumentach x, (x—a), жХ , Я 1, zawierającemi koniecznie i ujemne potęgi (do skończonych stopni),albo rozwinięciami argumentu

^ ⁸ ujemnemi potęgami tego argumentu lub bez tych ujem mnych potęg.

y=P(t)- .

(A')

Połóżmy w (A) x=tÄ, to mamy parę funkcyj : x—tz

(B‘)

Połóżmy w (В) (x—a)--=t, to mieć będziemy parę funkcyj: x=aJrt₎ y=P(ć).

Gdy wreszcie w (C) położymy — — tk, dojdziemy do pary

00

funkcyj :

(C‘)

x=t~k, y=P{t).

Widocznie w (A¹), (B‘) jest, dla t=0, wartość x skończona (x=0, x=-a) i dlatego P(t) musi w tycłi razach zawierać koniecznie ujemne potęgi zmiennej t. W (C) mamy już ж=со dla tf=0 i dlatego tu P(t) może — ale nie musi — zawierać ujemne potęgi zmiennej t.

I tutaj w każdym z wypadków da się udowodnić, że jedną parę funkcyj można przedstawić w bardzo wielu postaciach, a jeżeli dwie takie postacie :

x=(t) у ■= гНрг (x)

X = V'(f)x (t) y=t^(p₂(t)

weźmiemy pod uwagę, to musi być:

(7) t—cx%Ą-c%т²-р..., Ic±|2>0 i t=dit-{-d₂r²+...,

Punkt w nieskończoności o stosunku (g:h) [T. I., art. 129.], odnoszący się do czynnika (gy—hx), zawartego w (ж,у)п, uznajemy wielokrotnym, jeżeli w przerobionem równaniu (5') jest takim punkt (u, v)=(0,0). W (5') muszą więc koniecznie zniknąć wyrazy pierwszego wymiaru. Musi więc być przy (gh)n-1=0, jeszcze =0. Lecz, że

Ą±{x,y>.a+±(x,y),Ą

(x=g, y—h)

a a, ß są bardzo dowolne, bo mają tylko spełnić warunek gß—/шфО, więc ma być :

~{x,y)n=0, -^(x,y)n=O dla x=g, y=h.

To — w połączeniu z warunkiem (gh)n-1==0 — wskazuje, że czynnik (gy—hx) musi się w (xy)n powtórzyć przynajmniej dwa razy, a (xy)n-\ ma go zawierać raz przynajmniej, albo ma być identycznie zerem.

W geometryi nazywają punkt (a, b) wielokrotnym w danej krzywej, jeżeli każda prosta przechodząca przez (ab), a niebędąca styczną w tym punkcie, przecina w nim krzywę przynajmniej dwa razy. Każdą dowolną prostę, przechodzącą przez punkt nieskończo-nościowy, charakteryzujący się stosunkiem (g:h), można określić dwoma równaniami: x—p—rg, y—q—rh, z całkiem dowolnemi p, ą, a łatwo sprawdzić, że przy ostawaniu się dopieroco wypowiedzianych warunków, każda taka prosta w dwóch już przynajmniej punktach w nieskończoności przetnie daną krzywę.

Pd. 1. W równaniu y³ + ж²«/—2ax‘l = 0 jest:

(ХУ% = Уг + ж² у = «/ (у—i x) (y 4- ix).

Dla pierwszego czynnika: y mamy g = 1, h — 0. Obierzmyż a=0, ß = l i połóżmy x — î/u , y = V!u, to — po skróceniu przez — dojdziemy do równania V³ Ą-V—2<ш = 0. Z niego wynika u — {y-\-v³)j2a, czyli v—t, u=(t t³)/2a. Wskutek tego mieć będziemy :

x = 2 a t—1

1-H²’ y

Dla t = 0 mamy tu x = co , y = 2a. Stosunek у jx = 0. W drugim czynniku (y—ix) mamy g — l, h = i. Obierzmyź znowu a = 0, ß—1 i połóżmy:

x=l/u, y = (iv)/u ,

to dostaniemy równanie: (i + v)³ + (г + г)—2 a u =0. Z niego wynika:

v = t, « = [(»+£) + (* + O³]/    , a więc

(ß)

x — — 2 a t—¹

2-3 it-t*'

Dla t= 0 mamy tu x = co, y = co. Stosunek y/x = + i. Połóżmy w (ß) —i zamiast + г, to dostaniemy parę funkcyj :

— 2ai t—l. ₀---—.

2—11

(T)

x = — 2 a t—1

= 2 ai t—¹ .

2+3it—t" У otaczającą trzecie miejsce o stosunku y/x — —i.

Żaden z tych punktów nie jest tu wielkrotnym.

Pd. 2. W równaniu x³ + y³—2axy = 0, mamy:

гу³ + х³ = (y—zxx) (у—в₂х) (у-цх), jeżeli £e, s = 1,2,3, są pierwiastkami równania 2³+ 1 = 0. W każdym z czynników w (a) mamy g=l przy h=eg. Obierzmyż a = 0, ß = l i połóżmy:

x = l/u, y = (zs-\-v)/u,

to po tych podstawieniach dojdziemy — po skróceniu przez u~³ i z uwagi, że £.>³ = —1 —do relacyi 3ss²r+ 3ssv³ +r³—2a (ss + r)w = 0. Stąd dostajemy:

2+ ti

(a)

J_ 3es²+3eU + *²

2 a '

£,+ ¹

a więc:

x~~~t 3eJ + 3ss* + P

a+0²

« ■ з^ + з^+р » 5 Otoczenie zatem, każdego z trzech miejsc w nieskończoności charakteryzującego się stosunkiem ylx=zs określa tu jedna z par (b). I tu żaden z tych punktów nie będzie wielokrotnym.

Pd 3. Okazać, że w równaniu (,r²-j- г/²)² — c²(æ²—г/²)=0 są: punkt (00) i punkta w nieskończoności o stosunkach -f- i, —i podwójnymi. [T. Ï. art. 129.].

(U-

2«

2«

= 1,2, 3.

Uwzględniliśmy w ten sposób wszystkie już miejsca danego obrazu algebraicznego i ich otoczenia. Te ostatnie wyrażają się jedną parą funkcyj lub kilkoma parami funkcyj , które podać można w najrozmaitszych postaciach.

Zauważmy dwa różne miejsca (a, ß), (a‘, ß‘) nie odróżniając, czy są zwykłe, szczególne, lub czy leżą w nieskończoności, Z ich otoczeń weźmy po jednej parze: i x=а+ (р^)

\y=ß+<p₂(t)

i przyjmijmy, że w obszarze dostatecznie małych t i dostatecznie małych г istnieją miejsca tQ, т₀ dające:

[a + <Pi(4)—«, ß+VtVo)^], [a' + V'iW“«, ^'-b^₂(u)=ôJ

a miejsce (a, b) nie jest szczególnem miejscem danego obrazu algebraicznego. -

Po przeprowadzeniu («') do otoczenia miejsca t₀, a (&') do otoczenia miejsca t₀ dostaniemy pary funkcyj :

x=a + <jPi(^o) Jr⁽P\(ßo) (^ —^o)T •••—а-\-Ах(Ь—+ y=ß-\-^2(^0)+ ф'ъУо) (ß—^o) + •-=b-\-Bi(t—) + • •,

a;=ß'+^(b)+^jW (т—t₀)+ =а+А\(г—т₀) + ... у=^ + гр₂(г₀)^Ггр,₂(г₀) (т-т₀)+ ^Ь + В\(т—т₀)+... z których każda otacza miejsce (a, b).

Lecz (a, 6) jest miejscem zwyczajnem. Jego otoczenie określa się tylko jedną parą, a wskutek tego mamy tu [jak w (7).]

t—tQ = ct(t—t₀ ) +    |ctj>0;    ) + ..., j^|>0.

Stąd twierdzenie:

III. Jeżeli dwie pary funkcyj dane dla otoczeń dwóch różnych punktów (a, ß) (a', /I') obrazu algebraicznego dają dla pewnych wartości d=t₀, г—т₀ to samo zwyczajne miejsce (ab), to one w otoczeniu miejsc t₀, г₀ nie różnią się istotnie od siebie, to zn. ich przeprowadzenia

(a‘)

(b)

( х=а¹ + гр₁Щ

{y=ß‘+ip₂(ißi

К)

(ft¹')

do otoczeń tycli miejsc dają tę samą parę funkcyj w dwóch różnych postaciach.

59. Zakresy zbieżności elementów obrazu algebraicznego. Gdy

w otoczeniu każdego miejsca (a, b) nieprzywiedlnego równania f(x y)—O, ngo wymiaru przedstawiamy y przez ж, to przez to określamy у jako funkcyę niezależnej zmiennej x, zmieniającą swe wartości właśnie podług związku /'=0. W zmiennej у niecli to równanie będzie stopnia m<Ln i niech ma postać:

m—1

(1)

f₀(x).ym+f\(x).y

W razie fQ(x) — const, mamy dla każdego skończonego x zawsze m skończonych pierwiastków y. Gdy przeciwnie fQ(x) nie redukuje się do stałej

dla takich wszystkich x=a, które dają równocześnie:

D(x) jest rugownikiem równań /‘==0, dfjdy— 0, to

(2)

/о(®)ф0,    #0*0 фО,

mamy znowu m skończonych i różnych między sobą pierwiastków у—Ъг,Ъг, ...,bm. Otoczenie każdego z takich miejsc (a,b,t), & = 1, 2,..., m, określa tylko jedna para: x—a=t, у—(t). Z niej wynikają elementy :

y=bk+%(x—a)=tpk(x—a), h= 1, 2, m, gdzie nie zawierają wolnych wyrazów. Przy dostatecznie małej wartości [ x — a j określają regularne rozwinięcia (3) znowu m pierwiastków у równania (1) dla wartości x wziętych z najbliższego otoczenia miejsca a. Mówimy inaczej , że m rozwinięć (3) daje po jednym regularnym elemencie na każdej z m gałęzi yi: y₂, .. funkcyi algebraiczej у zależnej od argumentu x.

Zajmijmy się zakresem zbieżności i przeprowadzeniem każdego z tych elementów.

Przyjmując, że wszystkie elementa ipk zbieżne są w zakresie

|z—a\ <r,

trzeba przedewszystkiem określić wielkość promienia r. W całym zakresie (4) muszą się równocześnie spełniać warunki (2), a że z gałęzi yk, &=1, 2,..., m, jedna przynajmniej musi przestać być regularną w takich punktach x—c.{, c₂, c3 a jedna z nich przynajmniej może — ale nie musi — przestać być regularną w punktach x=di, d.₂, dz,... dających D(x) =0, *)

(3)

(4)

Ут

które dają /₀(ж)=0,

*) W równaniu y²—(x—a)²(b—x) = 0, gdzie aĄ-Ъ, mamy dla (x,y)=(a, 0),

ôf(xy)/à>/ = 0,

a mimo tego mamy tu w otoczeniu punktu a dwa regularne elementa :

y=+\/b-\- a.(x—a) [1 -f- Ajx—a)-f- А₂(х—а)² -f- ...].

Żadna więc z gałęzi nie staje się tu nieregularną, mimo że zaclicdzi warunek (b).

(*)

¹

Wyznaczanie par funkcyj dla otoczenia danego miejsca (a, b) za pomocą szeregu równań równoważnych, jest pomysłu Weierstrass a. Por. Bi ermann. Th. d. analytischen Functionen str. 212.

Inną metodą jest dawniejsza У. Puiseux’go [Becherches sur les fonctions algébriques pures et appliqées T. 16. (I860) str. 365.]. Por. także: E. Picard. Traité d’Analyse. T. II. str. 848. B, Niewenglowski Cours de geometrie analytique. T. II. (1895) str. 81. Inną metodę podają: Hamburger Zeitschr. f. M. u. Ph. (Schlömilch) T. 16. str. 461—491. David. «7. de l’école polytechnique C. 57. (1887) str. 147—169.

więc stąd wnioskujemy odrazu, że wszystkie elementa (8) są niezawodnie zbieżne w zakresie sięgającym do punktu cs, a względnie d,, najmniej oddalonego od punktu a. W taki też sposób trzeba określić promień r.

Obierając w obszarze (4) dowolny punkt a¹ możemy wszystkie грк do otoczenia tego punktu przeprowadzić. Tak przeprowadzone funkcye грк określą w tych częściach argumentu ж, które już leżą poza zakresem (4), dalsze części gałęzi yk, a to z powodu, że relacye :

[fl(X)lfo(X)]= — (V'l+tys+ ••• + #«)•••! [fm(x) I fo(x)] = (— l)w ^1^2-V>rn nie tracą swego znaczenia przy każdem takiem przeprowadzeniu. Tworząc czem raz dalsze przeprowadzenia elementów грк, istniejące poza zakresem (4) rozszerzamy i uzupełniamy każdą gałąź funkcyi algebraicznej. Ale w tym pochodzie nigdy ani punkt cs, ani punkt ds nie ma być początkiem żadnego nowego przeprowadzenia. Z tego powodu każdy punkt cs i każdy punkt ds — choćby w jakim punkcie ds zachowywały się wszystkie gałęzie regularnie — nazywamy osobliwym algebraicznej funkcyi y. Niech punkt a zajmie położenie jednego z punktów ds i załóżmy, że tam kilka gałęzi у (wykazując w niem równe wartości) nie dają się przedstawić w rozwinięciach postępujących podług całkowitych potęg. Gdy taki punkt ds=a nie jest identycznym przypadkowo z jednym z punktów cs¹), to między parami otaczającemi punkt a musi być jedna przynajmniej para funkcyj postaci: x=a-\-tz, y=^(t), Я^> 1. Z niej dostajemy element:

(5)

Połóżmy w samem równaniu x=a-\-zz, y = y, to otrzymamy równanie f\(z, rj)=0, w którem elementowi (5) odpowiada regularny już element    Element ten jest zbieżny w otoczeniu sięgają-

cem aż do takiego punktu szczególnego funkcyi rj, określonej równaniem t/)=0,' który najbliżej leży punktu £=0. Takiemu punktowi odpowie w funkcyi у albo punkt rs, albo punkt najmniej oddalony od punktu a, a stąd wynika, że i każdy nieregularny element (5) pod względem obszerności swego zakresu zbieżności nie różni się od elementu regularnego.

Przyjmijmy a—cs, gdzie w ogólności cs może się okazać iden-tycznem z jedną z wartości ds, to w takim razie między parami

otaczającemi taki punkt a znajdziemy jedną postaci x=a-\-tk, y = 9$(t) jt‘u, &>1, fi> 1. Z niej dostajemy:

(6)

у=Щх—a)k]l(x—a)k ■

Aby zakres zbieżności tego elementu wyznaczyć, połóżmy :

(7)

y=v!U(x)-

Przez to podstawienie przejdzie dane równanie na równanie: Vm+/i 0*0 Vm~' +fo 0*0 /20*0 ?Г⁻² + - + [fo (ж)]'”“¹ fm(x) =O,

które widocznie dla każdej skończonej wartości x daje same skończone pierwiastki r\. Funkcya r\ nie posiada zatem osobliwych punktów cs leżących, w skończoności. Wskutek tego elementowi (6) odpowie tu element rj=cp(x—a), gdzie (p jest albo zwykłym szeregiem potęgowym, albo ma postać (5) i jest na podstawie tego, co się dotąd powiedziało, zbieżnym w zakresie sięgającym do pewnego punktu ds=ó, najbliżej punktu a położonego. Rozwińmy dalej w (7) 1 jf₀(x) podług potęg (x—a) i połóżmy [1 /f₀(x)]=<$₁(x—a) / (x—a)“, to mieć będziemy :

y=cp{x—a).    (x—a) / {x—a)a.

Tu cp(x—a) ma zakres zbieżności sięgający do d, а — a) zakres zbieżności sięgający do punktu cs=y, który leży najbliżej punktu a. Wskutek tego i tu element (6) będzie zbieżny w zakresie sięgającym do punktu d, lub do punktu y, według tego który z nich mniej jest oddalony od punktu a. Taki element nie różni się więc pod względem zakresu zbieżności od elementów przód już uwzględnionych.

Zajmijmy się wreszcie punktem х=аэ jeden element:

i weźmy pod uwagę

(8)

у=У)(х)

-i

z otoczenia tego punktu. гр(х) jest tu funkcyą albo argumentu x

~~ У

1, i przedstawia się w szeregu, który

albo argumentu x albo zawiera same dodatne potęgi tych argumentów, albo zawiera i odjemne potęgi ale tylko o skończonych wykładnikach. Aby o zakresie zbieżności takiego elementu rozstrzygnąć, połóżmy w samem równaniu x=l/0, y=rj, to dostaniemy równanie f\(0, ?/)=0.

W niem punktowi x=cc odpowiada punkt 0=0,

funkcya

rj ma punkta nieskończonościowe ¹, a punkta wielokrotne ds~i. Elementowi (8) odpowie tu element:

który będzie postaci (3), (5), albo (6) — (a=0) — i będzie zbieżny w zakresie sięgającym do takiego z punktów e₆.⁻¹,    który jest

najbliżej punktu z—0.

Nazwijmy ten punkt l/e, to zakres zbieżności elementu (9) określi się nierównością |^|<C|l/e|. Z niej dochodzimy do nierówności ja;j;>e, dający zakres zbieżności elementu (8), a stąd wnosimy: każdy element y otaczający punkt ж=со zbieżny jest poza kołem, którego środek jest ж=0, a którego obwód przechodzi przez punkt cs lub punkt ds najdalej oddalony od punktu ж=0.

60. Funkcya algebraiczna. Jej nionogeniczność i charakterystyczne jej własności. Dwa zadania z eliminacyi. Z poszukiwań ostatnich artykułów wynika taka charakterystyka f u n к с у i algebraicznej y=cp(x):

1.    Funkcya algebraiczna jest m-wartościowa na każdem miejscu X swego argumentu.

2.    Po wyjęciu skończonej tylko ilości miejsc x daje się każda jej gałąź w otoczeniu każdego miejsca a leżącego w skończoności przedstawić zwykłym szeregiem potęgowym argumentu (x—a).

3.    Na skończonej tylko ilości miejsc a dostajemy dla ich otoczeń rozwinięcia postępujące podług całkowitych, dodatnich i odjem nych potęg argumentu ([x—a), ale odjemne potęgi występują zawsze tylko ze skończonymi wykładnikami.

4.    Na skończonej tylko ilości miejsc a dostajemy dla ich otoczeń rozwinięcia postępujące podług całkowitych potęg argu-

l

mentu (x—а)л, Я !> 1, całkowite, a więc z ułamkowym wykładnikiem l/ź, a jeżeli i odjemne potęgi tego argumentu {x—а)л mają się tam zawierać, to występują tylko ze skończonymi wykładnikami.

Połóżmy w tym razie:

2 ni

i

* (1)

Ув=д[е*(х—а)л], s=0,1,2,..., Я—1, Е=ел, bez różnicy, czu tu wchodzą, lub nie, odjemne potęgi argumentu

(x—а)л, to widocznie y=g{0) należy do Я gałęzi

(2)

У o ’ У\) •••> Ул—i

funkcyi y, a przejście z jednej takiej gałęzi do następnej odbywa się tu przez jednokrotne okrążenie punktu a po drodze mieszczącej się całkowicie w zakresie zbieżności elementu (1).

Mamy bowiem:

y    y ___ y

Уо =9[О —a)л ], У\ =д[ф—а) л]*=д[(х—а. е²™) * ],

)л], i t. d.

У2 =0 [£² (ж—а) я]=5,[(^—а •е Ро Я okrążeniach powracamy znown do gałęzi pierwszej yQ

lint

gdyż:

Уя+1 —д[ел(х—а)л ]=д [(х—а)л ] =у₀.

Z tego powodu nazywamy element (1) cyklem, albo elementem cyklicznym ig0 stopnia funkcyi algebraicznej , a punkt a punktem rozgałęzienia funkcyi y. [Wartość a z wartością у spełniającą tu równanie /=0 może być zwykłym lub wielokrotnym punktem samego obrazu alg. /=0.]

5. W otoczeniu punktu x=cc możemy mieć:

a)    rozwinięcia postępujące podług samych całkowitych do-datnych potęg argumentu ar⁻¹.

b)    rozwinięcia postępujące podług całkowitych, dodatnich i odjemnych potęg tego argumentu, ale odjemne potęgi występują tylko ze skończonymi wykładnikami.

c)    rozwinięcia postępujące podług całkowitych potęg argu-

l

mentu (х~г)л, a jeżeli i odjemne potęgi tego argumentu występują, to tylko ze skończonymi wykładnikami.

Nazwijmy takie rozwinięcie :

(3) *-»[«■(£)*]

2 7Vi

Я— 1. £=e

gdzie znowu s=0, 1, 2, ..

to i tu taki element nazywamy cyklem stopnia /lg0, a g (cc) należy do Я gałęzi funkcyi y.

tH «

Zastąpmy w pierwszej gałęzi y₀—g

że punkt a?—oo okrążamy w dodatnim kierunku (a punkt x=0 w kierunku odjemnym), to otrzymamy z gałęzi y() gałąź drugą , bo :

argument x przez

xe~

2 ni

co oznacza

a więc =yx.

Po dwóch, trzech,... okrążeniach dostaniemy y₂, y₃₁ ..., a po Я okrążeniach wrócimy znowu do gałęzi y₀.

Zauważyć jjrzytem potrzeba, że к okrążeń, gdzie k<ź).— 1, zastosowanych równocześnie do gałęzi (2), złączonych w cyklu (1) lub (3), zmienia porządek gałęzi y₀, yiy ..., yz-\ na porządek:

‘“1 У Z— li Уо i У\1 •••г Ук—\•

У ki Ук+Х

Zestawiliśmy w ten sposób wszystkie już własności w-wrarto-ściowej funkcyi algebraicznej y, odnoszące się do jej rozwinięć. Pozostaje więc teraz jeszcze rozstrzygnąć, czy i o ile jest taka funkcya monogeniczną? [Monogenicznemi były n. p. funkcye algebraiczne, przytoczone w art. 19.]. Do tego potrzeba takich przygotowań: Uważajmy każdą z m gałęzi ya za osobną funkcyę i przyjmijmy, że się w całej algebraicznej funkcyi nie pojawia wcale cykliczny element [postaci (1) lub (3)]. W takim razie każda gałąź уa ma charakter wyłącznie funkcyi wymiernej, a jako taka jest wprost funnkcyą wymierną. [T. I., art. 206.]. Połóżmyż: уa=ВaO), a = 1, 2, ..., m,

gdzie R„ jest znakiem funkcyi wymiernej, to mamy:

f\xy)=(y—Bi)(y—B.₂)...(y—Bm),

co się sprzeciwia założeniu, że f(x,y) jest funkcya nieprzywiedlną. Mamy więc twierdzenie :

I. W funkcyi algebraicznej żadna z jej gałęzi nie występuje luźnie, ale w jednym przynajmniej punkcie łączy się za pomocą cyklicznego elementu z inną lub innemi gałęziami.

Mając, to przyjmijmy, że nie m gałęzi, ale tylko к gałęzi:

(4)

Ум Ум У?,1    У к

łączy się z sobą monogenicznie, a więc przejście z którejkolwiek z tych gałęzi do gałęzi pozostałych yk+.\, ук+г, ..., ym nie jest już możliwe. Utwórzmy symetryczną funkcyę: Sp^y^+y^ + ...+ykp, w której p jest całkowitą dodatnią , dowolną liczbą , to gdy a jest jakiemkolwiek takiem miejscem x\ że na niem wszystkie gałęzie (4) mają rozwinięcia postępujące podług samjmh całkowitych potęg, będzie w otoczeniu takiego miejsca :

Уа=Ра{х—а) ,    « = 1, 2, ..., к ,

a także i sp dostaniemy w postaci:

к <C m

(a)

sp=P(ęc—a).

Grdy a=co , to mamy : ya=Pa{x~x), a—1, 2,..., к, a

(à)

Sp=P(x-').

W (a) i (b) albo nie występują wcale ujemne potęgi argumentu (X—a) lub x~\ albo — jeżeli występują — to tylko ze skończonymi wykładnikami.

Gdy a jest takiem miejscem, na którem Я gałęzi (4) łączy się

i

z sobą za pomocą cyklicznego elementu: Р^[(х—a)X], Я^> 1

<Zk, to — nazywając te gałęzie yx, y₂? •••? У л — mamy:

L    ¹

У\=РА(я—а)*], у₂=Р№-а)ле\, .

Stąd dostajemy:

ale

*•?

yt=Pi[(?c—a)A£*-i].

yaP={Pi[(x—а)Л£а~1]}р=Р₂[(х-а)~л«=1, 2,..., X,

(5) Sj,=P₂ [(ж—а) я ] 4- Р₂ [(a’—а) л е] +... + Р₂ [{х—а) л fi^“¹] + (ух+\ + • •• + У к). Uporządkujmy tu nasamprzód sumę Я pierwszych dodajników

podług potęg argumentu (x—а)л. W niej spółczynnik potęgi (x—а) л, 0, będzie postaci:

Ап[е*'п + e¹-” + fi²-” + fi³-” +    fi^-¹)«]

0, gdy n nie e= 0 (mod Я)

Я. gdy n = 0 (inod Я),

więc stąd wynika sp—P₂(x—d)-\-(y^₊\Ą-...-\-y^). Lecz (Ул+\-\~•••-{-Уk) po jej uporządkowaniu da znowu rozwinięcie bez ułamkowych wykładników, więc ostatecznie mieć będziemy :

sp=Pz(x—a).

I tu znowu ujemne potęgi argumentu (x—a) albo wcale nie wystąpią, albo — jeżeli wystąpią — to tylko ze skończonymi wykładnikami. W razie a—oo, mamy:

a że

że i suma

(C)

1

yaP=P₂[x~- Xfi«-¹]

*=1>

(j)

Sp — P₂(x ¹)

z takiem, jak wyżej, zastrzeżeniem o ujemnych potęgach argumentu X-¹.

Z form (a), (&), (с), (й) wynika, że wszystkie sp, p= 1, 2, 3, ..., są wymiernemi funkcyami argumentu x. Wiadomo dalej, że elementarne symetryczne funkcye :

(У1+У2.+-+У*), (У1У2 + -) » •••» (У\-Уч-Ук)

(6)

wyrażają się przez , p—1, 2, 3. ..., a więc tu i przez #, wymiernie. Naznaczmyż funkcye (6), sprowadzając je do wspólnego mianownika przez

<Pl(X)

(p₀(x)

gdzie <p₀, qp1} ..., gp* są wymiernemi, całkowitemi w x, to równanie, któremu wszystkie gałęzie (4) zadość czynią , ma postać :

<Po(X)

(pk(x)

cp,(x) ’

(p{xy) = (p₀ {x)yk:+ cpt (x)if-¹ -f... + çpjfcCa) = 0,

<p(x,y) jest wymierną funkcyą i ma być podzielnikiem funkcyi f(x,y). Lecz f(x, y) jest według założenia nieprzywiedlną funkcyą i nie może mieć żadnego wymiernego podzielnika. Ta sprzeczność wynikła z założenia Jc<C.m, a usunie się ją zakładając k=m.²) Mamy więc twierdzenie :

II. Każda funkcyą algebraiczna (spełniająca nieprzywiedlne równanie) jest monogeniczną. ³)

Uwaga. Jeżeli w obszarze argumentu x funkcyi algebraicznej »г-wartościowej znajduje się punkt a, którego otoczenie określa para iunkcyj x=aĄ-tm, y = P(t) albo — gdy a —cc — para funkcyj : x=t~m, y = P(t), to z nich wynika:

(«0

у = P [(x—a)»»]

Są to elementa cykliczne m«° stopnia, a monogenicznośó funkcyi у jest w tym razie odrazu widoczną, bo czy-to za pomocą (a), czy za pomocą (ß) przejście z każdej jej gałęzi do każdej innej jest bez wątpienia możliwe.

Później poznamy, że każdy obraz elgebraiczny da się sprowadzić na taki, który w nieskończoności posiada element (ß). Ta okoliczność dostarczy nam nowego dowodu monogeniczności funkcyi algebraicznej. [Weierstrass].

albo

(W

у = P(x ™).

me

Przyjmijmy naodwrot, że mamy pewną wielo wartościową funk-cyę u=cp(x), która ma wszystkie własności (1), ..., (5) funkcyi algebraicznej, wyliczone na str. 216., 217. Jej gałęzie w pewnym punkcie x niech mają wartości u₂, u₃, ..., u

Zauważmy tu znowu symetryczną funkcyę :

ар=щР+и.₂Р + ... + итР

dla otoczeń rozmaitych miejsc x. Taka funkcyą op będzie posiadała rozwinięcia o postaciach (a), (ó), (c), (d), jakie wywiedliśmy przody dla funkcyi sp.

op jest więc funkcyą wymierną argumentu x, i takiemi będą również wszystkie funkcye symetryczne, utworzone z щ, u₂, ..., um. Z tego wynika, że i równanie :

(7)

(u—uf) (u—u₂)...(u—um)=0 będzie wymierne w x i u, co wskazuje, że w jest algebraiczną funkcyą. Jeżeli równanie jest nieprzywiedlne, to funkcyą u jest mono-geniczną, czyli inaczej: w gałęziach wl7 u₂, ..., um mamy wtedy jedną tylko funkcyę algebraiczną.

Ograniczając się zawsze do niewrzywiedlności równania, dostajemy twierdzenie :

III.    Każda fuńkcya wielowartościowa posiadająca charakter funkcyi algebraicznej jest algebraiczną.

Z monogeniczności funkcyi algebraicznej skorzystamy, aby dowieść takiego twierdzenia :

IV.    Gdy dane są dwa równania algebraiczne:

-FOb 1)^=0, G(x,ę,rj)=0

trzech zmiennych x, g, r\, a ich rugownik ę>(£, g)=0 jest równaniem nie-przywiedlnem, to równania te mają jeden tylko wspólny pierwiastek x, wyrażający się wymiernie przez miejsce (£, rj) równania r/?=0.

Równanie (p=0 będąc nieprzywiedlnem, ma same różne między sobą pierwiastki gi, rj₂, ... (zależne od bieżącego £). Do każdego niepowtarzającego się pierwiastka rja równania (p=0 należy jeden tylko wspólny pierwiastek xa i ten wyraża się wymiernie przez да i spółczynniki danycb równań [T. I., art. 125., tw. I.].

Połóżmyż :

(8)

è) ?

gdzie H jest znakiem funkcyi wymiernej, to zauważymy tu, że wskutek monogeniczności funkcyi r\ dostaniemy z (8) wszystkie wspólne pierwiastki przez schodzenie z rja na inne gałęzie funkcyi rj. Wskutek tego możemy w (8) znaczek a opuścić przy x i przy g i położyć: x=R(g,^) c. b. d. d.

Przyjmijmy przeciwnie, że równanie ф = 0 ma ż-krotny pierwiastek rjcc przy bieżącem £, co znaczy, że <p mieści w sobie czynnik wymierny ф₁я, a równanie nieprzywiedlne (pi = 0 ma między innymi pierwiastek jednokrotny rju. Do takiego r)a należeć będzie ]3odług teoryi eliminacyi Я wspólnych pierwiastków ж, a te wszystkie będą pierwiastkami pewnego równania algebraicznego :

M₀ {r\a^)XX + Mx (Уа&Х*-¹ + ... + Mx{rjaî) = О o wymiernych spółczynnikach Ж₀, Жх, ..., М\ w rja, I- Lecz i tu znaczek ct opuścić można i położyć :

M₀ (?/, £)xx+Mx (g, £)x*-¹ + • • • -f    £)=0 ,

gdzie (g,i) jest miejscem równania срх(^д)=0.

W razie ф(|^) = [ф₁(|'rj)]x mamy twierdzenie:

V. Gdy rugownik cp(Ç, rj) równań _F=0, G=0 jest № potęgą nie-przywiedlnej już funkcyi cpx, to wszystkie wspólne pierwiastki x, wynikają z równania Àgo stopnia w x o spółczynnikach wymiernych w (p,£), gdzie (i, rj) jest miejscem równania cpx = 0.

W podobny sposób, jak z równania f{x,y) = 0 dostajemy algebraiczną funkcyę jednej zmiennej, da się z równania f(æ,y,z) = 0 wywieść funkcya algebraiczna z dwóch zmiennych æ,y, a otoczenie każdego miejsca x=a, y = b, z=c da się określić jedną trójką lub kilkoma trójkami funkcyj dwóch zmiennych pośredniczących. [Por. G. К o b b • „ Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables“. Journal de Mathématiques T. 8., S. 4., str. 385—419].

ROZDZIAŁ VII.

Geometryczne badania. Krzywe dołączone. Rodzaj (defekt) krzywych algebraicznych.

gdzie gß—ha= 1.

61. Geometryczne badania punktów wielokrotnych. Równanie algebraiczne F(x,y)=0 można uważać za równanie określające na płaszczyźnie [x: y\ prostokątnych osi Descartes’a pewną krzywę algebraiczną, którą, gdy równanie F= 0 jest nieprzywiedlne, nazwimy również nieprzywiedlną. Za pomocą takiego równania można badać własności tej krzywej , do czego tu przejdziemy, zajmując się na przód, niezależnie od równania P=0, podstawieniem : x=(g+at])Ç y=(h+ß rj)i

Z niego dostajemy naodwrót :

(B)

£=ßx—ay, 7]=(yy—hx)l(ßx—ay).

Jak długo X, y nie są równocześnie zerami, tak długo każdemu punktowi (x,y) odpowiada jeden tylko punkt (f, rj). Wyjątkowe zachowanie się wykazuje punkt P o współrzędnych (x,y)=(00).

Gdy bowiem x—y=0, to z {A) wynika, że musi być £=0 przy dowolnem tj, [podczas gdy dla |ф0 nie ma wartości r\ dających w (Д) %=y=0, gdyż nie może być g\ct=h\ß]. To samo wjmika i z (B), gdzie widocznie dla x=y=0 jest f=0, a może przybierać dowolną wartość, zależną od stosunku у/ж, t. j. od kierunku, w jakim zbliżamy się do punktu P. Punktowi P odpowiada więc właściwie nieograniczona prosta: f=0. Połóżmy dalej

V=(.h+ßi9i)^i,    =

£i=ßi£-<*iv,    (91V—K i) I (ft i—ai v) ?

a więc :

to otrzymamy:

(4)

x=[g+а(\+

y = [h+ß{\ + ßi v\x % \{gx+ «i % )li »

i naodwrót :

fl —^lOЗх—ау)—^

g у—hx

ßx—ay

(4)

gy—hx

Vi

ßx—ay

\{ßx — ay)

gy—hx ' ßx—ay

I tu punkt (æ,«/) = (0,0) zachowuje się wyjątkowo. Z (Д) wynika bowiem, że każdemu punktowi leżącemu

ßi {ßx-ay)—ai

prostej |А=0, albo na prostej    =——

«1

odpowiada zawsze punkt (x,y)=(0,0).

Podstawienie (BA) daje naodwrót punkta (^%), odpowiadające punktom (x, y). Otóż połóżmy tam x=y=0, to — gdy założymy

(O

na

1°)

dostaniemy :

(li—0, % = —hiißi), a to wskazuje, że punktowi P, gdy się do niego w kierunku l—hjg zbliżamy, odpowiada jeden tylko punkt (Z)). Załóżmy:

Iz^zhjg i zupełnie dowolne.

Wtedy i jest dowolne, a rji = —gif ai, co znaczy, że przy takiem zbliżaniu się do punktu P odpowiada temu punktowi cała prosta o równaniu f]i = —g\!®\-

Mając te uwagi przyjmijmy, że w krzywej F= 0 ma być punkt M=(a,h) ^-krotnym. Wtedy zastępując x, у odpowiednio przez а + ж, b\y dostaniemy:

(1)    F(a+x,b+y)=f(xy)=(xy)f/l+(xy)lt₊1 + ...=0, ^>1.

Przyjmijmy:

(?y)n=(g y—hx)v(g,y—h,x)vt...,    ^+P + ...==^>1,

to przez punkt Ж przechodzi v gałęzi

6^1}    ; •••; G"v

o wspólnej stycznej gy—hx—0 w punkcie Ж, dalej v‘ gałęzi o wspól-nej stycznej g‘y—h‘x=0 w punkcie M i t. d. Połóżmy :

x=(g + aTj)£, y=(h+ßrj)£, gß-ha=1,

0>)

2°)

(2)

(3)

(4)

to otrzymąmy równanie :

v)ih + (i »7)a+i + -]=0.,

(5)

w którem albo jest дх=1, albo ^>»1.

Aby poznać, jaki wpływ mają te dwa różne wypadki na sam punkt /г-krotny Ж, przyjmijmy nasamprzód gx^>l, w którym-to razie jest v~y>l i (g,h)^i=0 [art. 57].

Przetnijmy krzywę (5) prostą :

(6)

V=°Ź

z zastrzeżeniem, że o nie jest pierwiastkiem ok równania (1, o)Mi=0. ⁴) Spółrzędne £ punktów przecięcia da równanie :

i1⁴- I№[(1,    +    ff)№-+1| + ...]=0 ,

a to:

a że (1, о^фО, więc to wskazuje, że prosta (6) ma z krzywą (5) w punkcie Mi =(£=0, fj=0) (g+gx) punktów wspólnych z /г-krotną prostą £=0 punktów /г, a z krzywą (рх=0, która w Mx posiada punkt /г^-krotny, punktów Prostej (6) odpowie na płaszczyźnie [x, y] parabola :

(7)

(8)

(,gy—hx) = o{ßx—ay)², [por. (Ą)], przechodząca przez punkt Ж i mająca w nim styczną g у—hx=0. Ze zaś w podstawieniu (4) odpowiada punktowi Mx punkt Ж jednoznacznie, więc parabola (7) mieć będzie z krzywą /“=0 w punkcie Ж dokładnie /г + /г₁ punktów wspólnych. Z nich /г policzyć trzeba na karb punktu /г-krotnego Ж, nowych zaś /г₁ punktów tern tylko można uzasadnić, że z gałęzi (3) /г₁ ich tworzy jeszcze w Ж nowy punkt ^-krotny. Są-to te gałęzie, które poszczególnie z parabolami (,gy—hx) = ok(ßx—cty)²,    &=1, 2, ..., /г1?

mają po trzy punkty wspólne.

W razie gx=l mamy jedną tylko taką parabolę. Ta z jedną tylko z gałęzi (3) ma trzy punkta wspólne. Do punktu M nie przystępuje żaden nowy punkt wielokrotny.

Przyjmijmy, że (£y)/Ą zawarte w cpx zawiera czynnik (gxrj—hx^)Vl' z wykładnikiem v{^>l} to kładąc:

¹

Te punkta cs, które przy f₀(x) =0 dają jeszcze /i(x) = 0 zaliczyć trzeba równocześnie i do d...

²

Por. Appell-Goursat: „ Théorie des fonctions algébriques.“ (Paris 1895)., . str. 177-178.

³

Co do wartości funkcyi, otrzymanych przez jej przeprowadzenie, czytaj :

C. Runge: „Ueber den Zusammenhang der Werthe einer algebraischen Function“

C. J. T. 97., str. 337—344.

⁴

W razie а — jest rj — crA. Sj = 0 jednym z liniowych czynników zawar

dostajemy f{xy) =

(9)

)=(gi!1+!Лл- <pS 1%)=°»

gdzie 9p2(£iV=(£i^ik+(£i%Wi + ”¹> a ^a>¹-Przetnijmy tu znowu krzywę (9) prostą:

(10)

gdzie x nie ma być pierwiastkiem równania (1,т)л=0, to prosta ta przetnie :

1 °) prostę :

(ii)

w punkcie :

*7i=—0i/«i

£i = —SbKb %=— 9ilau który trzeba policzyć g razy, bo prosta (11) jest ^-krotną w (9)'

(«)

2°) prostę ^=0 w punkcie:

Ж2 = (^1=°: %=°) » a ten trzeba policzyć (g-\-gx) razy, bo prosta ^ = .0 jest znowu -krotną w (9);

(c) przecina dalej krzywę (p₂Qiyi)=0 g₂-krotnie w punkcie M₂.

Punktowi (a) odpowiada na płaszczyźnie [ж, у) punkt Ж, bo punkt (a) leży na prostej (11). Punktom (6), (c) odpowiada również punkt M. Co się tyczy prostej (10), to jej na [x,y\ odpowie krzywa г (ßx—ay)[gi(gy—hx)—hi(ßx—ay) ²]=

=T [ßi (ß X—а у У²—àt (g у—h х)]2 [por. (Bi)]. Ma ona wyrazy najniższego stopnia:

(gy-hx)[gx(ßx—ay)—xai²(gy—hx)]: posiada więc w Ж punkt podwójny o gałęziach Ił,, _T₂ ze stycznymi :

(b)

(12)

(ß) gy—hx== 0.

(a) g^x—ay)—x.ax\gy—bx)=0 Pierwsza gałąź ф, która w razie ^фО posiada w Ж styczną* (a) różną od stycznej (ß), będzie miała z /=0 g punktów wspólnych, a te odpowiadają punktom (a). To samo odpowiadanie zatrzyma ó trzeba, gdy ^=0. Druga gałąź T₂₁ której styczna daje zawsze

(l\=A

\x) g

l=lim

X—y=0

przetnie /‘==0 w punkcie Ж razy (g-\-gx), a te przecięcia odpowiedzą punktom (5). Lecz że i punktom (c) odpowiedzieć musi punkt Ж /t₂-krotnie, więc stąd wnosić trzeba, że z gałęzi (3) g₂ ich tworzy w punkcie Ж jeszcze nowy punkt g₂-krotny.

Te same poszukiwania i uwagi odnieść trzeba do równańr jakie powstają z dalszych czynników, zawTartych w (iфМ) i jakie tworzą pierwszą warstwę przerobionych równań w otoczeniu punktu Ж.

Gdy jednem z równań drugiej już warstwy jest <p₃(ź₂%)=0 i mieści w sobie (t₂%).«₃> ^₃>1, to znowu — poclobnem, jak wyżejr

Teor. funkcyj anal. ï. II.

15

Wyjmij my ż z równań przerobionych, do których otoczenie punktu M prowadzi, wszystkie te, w których zawarte są wyrazy o najniższym wymiarze w jeszcze >1 i nazwijmy te równania:

rozumowaniem — wywnioskujemy, że w punkcie M oprócz punktu ^-krotnego mamy jeszcze punktà /^-krotne, h=l, 2 i punkt ps-krotny.

(13)

cpr — 0, a w nich

pr

w=

to z tego wywnioskujemy, że Ж jest punktem/^-krotnym mieszczącym w sobie jeszcze punkta ^-krotne, k= 1, 2, ..., r, pochodzące z wszystkich gałęzi krzywej, przechodzących przez punkt M, a stąd twierdzenie

I.    Gdy, szukając za wszystkiemi parami funkcyj otaczających miejsce p-krotne M, dostajemy między przerobionemi równaniami r równań o wyrazach najniższych stopni w~ę> 1, to do takiego punktu M dołącza się jeszcze r innych punktów wielokrotnych.

Taki punkt nazwać można: punkt em p-krotny m, złożonym. Szereg liczb (p, p±, p₂,..., pr) jest jego złożeniem.

To samo odnosi się do punktów wielokrotnych w nieskończoności , jeżeli w miejsce danego równania rozwążać będziemy przerobione (u, v)n-j-...=0 [(6) art. 58.].

II.    Punkt M występuje sam — jest p-krotnym punktem niezłożo-nym — jeżeli w (ж, y),x są wszystkie v=1, albo g,h odnoszące się do P > 1 dają (g, h)^₊₁ ф 0.

Pd. 1. W równaniu xy² хъ yr° =0 jest punkt M=(0, 0) trzykrotnym z dołączeniem punktu dwukrotnego. [Pd. 1. art. 56 ].

Pd. 2. W równaniu pĄ-x⁵ -f-y⁵ = 0 jest punkt M — (0, 0) również trzykrotnym z dołączeniem punktu dwukrotnego. [Pd. 3. art. 57.].

Pd. 3. W równaniu :

(A)

xn'² + (6» xn -f bn-1 xn~xy +... -f b₀ yn) = 0, b₀ #= 0,

które w otoczeniu punktu M — (0, 0) zbadać chcemy, mamy u= (n—2) i jeden tylko czynnik liniowy x w («-—2)«!e-' potędze zawarty w (xy)n—2. W tym czynniku jest g = 0, h = 1. Obierzmyż a = 1, ß = 0 i połóżmy: x=^rll: y = Ęt (właściwie у = — h, lecz na naturę punktu M ta zmiana znaku nie wpłynie), to potem podstawieniu dojdziemy do pierwszego przerobionego równania uporządkowanego według wymiarów:

<?i=M²i +£²i(Mi + *2 U²i + ••• -b5⁵) -f-

+ bil™⁻² "h bn-4 Г²1 ^ii™⁻⁴) + ?²1 (bn—3Ï)!™-³ + ...

Mamy tu ic = [!•!== 2 i znowu jeden tylko czynnik liniowy w potędze 2eie.' zawarty w (q r,i)₂. Czynnik ten zawiera się jednak i w bezpośrednio wyższych funkcyach jednorodnych:

(5i %)n-3, [jest ich: (w—5)],

Ä4ib.

a wskutek tego i dalsze przerobione równanie nie będzie jeszcze miało wyrazów stopnia pierwszego. Połóżmyż znowu ?i ==?₂ bii = ?2> to dojdziemy do równania

?2 =&0⁷1²2 4“ 4²2 (^1 ?2 4“ ^2 ^²2 4“ ••• Ą-bn—7?₂W—7)

+ (^2И 4 + *я-6 »1²2 ?2Я~б) + Ч ²2 (⁰я-5 ?₂И- ⁵ 4- ... 4- Ъп ?ага) =0.

W tern równaniu mamy znowu w = p₂ = 2. Czynnik liniowy 7j₂ w potędze 2^0 jest znowu tylko jeden w (Ç₂ 7)2)2* a zawiera się jeszcze w dalszych jednorodnych funkcyach:

(?2 7)2>-5, [jest ich: (w—7)].

? МЧ

(?2 ^2)35 (?2 ^2)4 Połóżmyż ri2 — £₃ %, ?2 — т)з * to dostaniemy :

?3 == Й0 ?3 ² + ?3 ²(^l7)3 + ^2 T)²3 + ••• "b bn-9 7)зи—9) + (Чзя_6 + ^-8?²з7]₃я-8) + ?²₃(0п-7 7)3«—7 4-ф —6 7)зи S -f- ... -j- bnTiÿn)= 0.

W równaniu tern mamy znowu w — [x₃ =2, a czynnik Ę²₃ zawiera się w dalszych jednorodnych funkcyach:

(5з Чз)» - ?, [j est ich : (л—9)].

(>3 Чз)з, (5з ЧзХ

Idąc tak w tworzeniu nowych przerobionych równań dalej, dojdziemy wreszcie — w razie parzystego n — do równania:

Ъйи²-\- u²(btr) + (®⁴ + ^2    r²)-(-M² (63 r³4- &4Г⁴ -f-... -j- йп ®я) = 0.

Połóżmy u = u₁v₁, V — щ to ostatecznie mieć będziemy:

(«)

(u\ -{-    ²) -j- % ²(^iwi + ^2“²i +    + bn %*) = 0.

W tern równaniu wskutek założenia &₀фО nie zawiera się już żaden z czynników liniowych zawartych w (w₁»₁)₂ w funkcyi (щ vi )₃, a stąd wnosimy > że z niego dojdzie się już koniecznie do równania zawierającego wyrazy stopnia pierwszego.

Równań przerobionych o w = 2 mamy tu nasamprzód tyle, ile jest liczb

w szeregu:

(w—5), (л—7),

a prócz tego jeszcze równanie (a). Razem więc tych równań jest^-—-1^ a stąd wynika :

3, 1

ma

Równanie (A), w którem 5₀фО, a n parzyste założono, w punkcie i¥=(0, 0) punkt (n—2)- к r o tny, do którego się dołącza

—1^ punktów dwukrotnych.

W razie nieparzystego n dojdziemy do równania: b₀u²-j- и²(Ъ^ъ -\-b%v²) -f- (®⁵4“ô₃ u²vz) Jru²(bivi ф bbvb -j- ... ф Ъп ®я) = 0. Połóżmy tu u = ux ь\, V — щ, to dostaniemy :

(P)

b₀vx² ФФ³1 + bluiv\)Ą- v\(b.₂u\ ф&₃%³ф... фйп%и)=0.

To równanie posiada wprawdzie w— 2, ale z niego za podstawieniem ®₁=m₂v2) ui —v% dostaniemy już równanie o w= 1. W tym razie mamy więc równań o w —2 nasamprzód tyle, ile jest liczb w szeregu:

²)-

(n—5), 0—7), ... 4, 2,

r    ,    ,    •    4“ 1

a oprócz tego jeszcze równanie (ß). Razem więc takich równań jest g a stąd wynika :

Równanie (R), gdy &₀ фО, a n nieparzyste, ma w punkcie

²)

/ n i

M — (0, 0) punkt ,(«-2)-krotny, do którego się dołącza ^^ punktów dwukrotnych.

Punkt M ma więc w obydwu wypadkach złożenie :

(n—2, 2, 2,    2).

62. Warunki spowodowane punktami wielokrotnymi. Punkt Ж₁=(а₁&₁) niech będzie punktem wielokrotnym złożonym lub nie-złożonym danej krzywej algebraicznej: F(x,y)—0. Zastąpmy tu ж przez x\z а у przez у j z, to dostaniemy jednorodne już równanie F±(x, y, z)=0, a jeżeli («i6,) ma być punktem ^-krotnym, to w równaniu Fi(ai-\-h, biJrJc, lĄ-l)—(hkl)₀ Ą-{hM)i -ł-(hkl)₂ + ...=0, gdzie {hkl)a są jednorodnemi funkcyami stopnia a przyrostów h, к, l, musi być

(/г, к, l)₀ —(h, k, l)i —... — (h, к, l)p-1 — 0.

Ma więc byó : dxadyfdzy

dla wszelkich dodatnich a, ß, у, dających sumę (a + /?-i y)=0, 1,..., у—lr Lecz, że każda funkcya jednorodna daje się wyrazić jednorodnie przez cząstkowe swoje pochodne jednakowego rzędu [T. I. art. 75.], więc wszystkie warunki (1) spełnią się już, gdy tylko założymy :

(1)

F₁(x,y, z)=0 dla x=ax, y=bx, z=l

(2)

da+ß+y

c)xa dyß dzy i dla (a+ß+y)=y— 1.

F₁(x,y,z)= 0 dla x=au y=bx, z= 1

/*0+!)

Tych warunków jest

a stąd twierdzenie :

takich związków, które za sobą już i inne związki

a₁, bi zachodzi

I. Gdy w równaniu F(x, y)=0 jest punkt 'Mi=(ai, bß) y-krotnym niezłożonym, to między spółczynnikami tego równania a spółrzędnemi /*0 + 1 )

koniecznie tu istniejące pociągają.

Gdy punkt Mi jest punktem złożonym, to w każdym razie warunki (2) muszą tu zajść.

Przyjmijmy dalej , że między równaniami pierwszej warstwy mamy jedno wskazujące na dołączający się punkt ^-krotny i że do tego równania prowadzi podstawienie :

B=ai+(g + av)i, y=h+(h+ßri)i.

Wstawiając to w równanie F= 0 mamy używając formuły

Taylora :

(^)o=⁼(^)i = - = (lłiVt-i = 0.

Tutaj ma być identycznie:

Zastąpmyż znowu £, ^ przez £/£, ?y/£, to doszedłszy eto

jednorodnego równania Ф^, p, £) =0 dostaniemy nowych

2 [(£+«$    ivF(#,y)

x—al, y=bj

=0

t»=i0

ponieważ w tej sumie zawarta częściowa suma już

v—0

wskutek warunków (2) jest zerem — mieć będzieihy po opuszczeniu czynnika £•'* :

albo —

'f(r

jtt—i

Ab G^i +1)

warunków analogicznej postaci, jak warunki (2).

Przechodząc w ten sposób wszystkie równania pierwszej, drugiej... warstwy dające wyrazy najniższych wymiarów w^> 1 i te same rozumowania stosując do wszystkich wielokrotnych punktów

Jft, M₂,..., Mc

które są już-to złożone już-to niezłożone, dojdziemy do wniosku: I. Jeżeli Ter żywa posiada к punktów wielokrotnych Ж1, Ж₂, ..., M,

o ••

•> d\Ik,

Ж*

złożonych (lub niezłożonych), a    w=u‘ oznaczymy najniższe stopnie

J>1, jakie dla każdego punktu Mc w pierwszych, drugich,... przerobionych równaniach znajdujemy, to na ilość sprawdzających si§ tu związków dostajemy :

Tę sumę napiszmy krócej w ten sposób :

(«)

/*>!•

że sumowanie odnosi się i do wszystkich punktów Mc

rozumiejąc

i do szeregów złożenia w każdym z tych punktów.

Utwórzmy teraz sumę :

ЛЬ)

i spytajmy, jakie jej nadać można znaczenie? W każdym punkcie

^-krotnym czy-to niezłożonym, czy wyjętym z punktu złożonego

mamy    ^ różniących się między sobą par gałęzi. Każda para

tworzy punkt podwójny niezłożony, a wskutek tego możemy powiedzieć:

II. Krzywę z punktami wielokrotnymi (o stopniach li) sprawdzającą m związków (a) uważać można za krzywe, która posiada

d= 2,U(‘U₀ ^ punktów podwójnych niezłożonych (zwykłych punktów węz-

u

łowych lub punktów zwrotu bez różnicy).

63. Uwzględnienie punktów wielokrotnych przy wyznaczaniu krzywej. Przyjmijmy, że może istnieć krzywa F(x,y)=0 ngo stopnia о к punktach wielokrotnych M₀ z danemi w nich złożeniami, a te dane wyzyskać chcemy do jej wyznaczenia.

(ak bk) punktów Mc, a dalej pary wprowadzo-

W całej dedukcyi artykułu poprzedzającego potrzeba wtedy spółrzędne (ai bß)

nych ilości (g, h), ..., (a ß)... uważać do końca zadania za niewy-znaczone.

Te ilości trzeba też za takie uważać iw m utworzonych warunkach, [art. poprzedź.].

Fu(ax bu gh,..., aß, ...) =

FîS(a₂ b₂, g‘h‘

dla Мл

(1)

*“1,2,...

5=1, 2, ... dla M₂

Fks(akbk, g“h“,..., a"ß"...)=0, s=1,2,... dla Mk, które co do formy znamy, a które są liniowe jednorodne w spół-czynnikach równania F— 0.

Przyjmijmy nasamprzód:

₂ (n+3).

Obierzmy h punktów,    + 3)^

m~ż>

(2)

F\-(-^1 У\\ F₂—(Ж2У2)? •••! F/l (%1ьУh)

poza punktami M₀, to do wyznaczenia krzywej wgo stopnia, która

przez te punkta ma przechodzić, potrzeba jeszcze (w + 3) — 7^J

(3)

warunków. Wyjmijmyż je z warunków (1), to dostaniemy krzywę Fi(xy, ЗД,..., xHyh,...)—0, która przez h punktów (2) przechodząc spełnia prócz tego jeszcze

(n + 3) — äJ związków (1).

icznych pomiędzy niewiadomemi aibi, ..., g h, ..., aß, ... Prócz tego mamy równania :

Г4)

(1). Jej spółczynniki będą wymiernemi funkcyami ilości:

Xh Vh, ci±b

gh, ..., aß,...

%\У\

Wstawmy je w pozostałe warunki (1), uważając xxyx, ..., xh yn

za wiadome, to dojdziemy do m--(n + 3) + h równań algebra

gß—ha= 1, ...

których przyjmijmy, że jest \. Wiążą one ze sobą co 4 ilości (g, h, a, ß), ... ale że tu chodzi tylko o stosunki g jh,..., więc w kaź-dem z równań (4) można dwie ilości n. p. li, a, (lub g, ß) wybrać

dowolnie. Pazem więc mieć będziemy m—

§ км

(n-j-3)4-ń + &i równań

między    ilościami.

Ponieważ przyjmujemy, że krzj^wa jest możliwą

więc

musi być :

V)    w

(5) m— — (м+3) + Л-Ь^ <^4-^, ń=0,1, 2,..., y(w+3) —1.

Lewa strona nierówności (5) nigdy zerem być nie może, bo przyjęliśmy, że już m~ę> ^ (n-\- 3), a stąd mamy twierdzenie:

I. Gdy krzywa ma posiadać pewną ilość punktów ivielokrotnych Mc o danych złożeniach, a warunków, któreby po jej wyznaczeniu charakte

§ км

ryzowały to jej zachowanie, jest więcej niż {a^,bi, g,ß,...) nie są nigdy wszystkie dowolne.

Wypadek m=ł~ (n-\-3) także się tu zalicza, bo wtedy wyznacznik

równań (1) musi być zerem.

Przyjmijmy teraz":

(n 4-3), to elementa

11

2"(» + 3)

m<C

Obierzmy znowu h punktów (2) poza Mc, gdzie już m+Ä=-^-(w + 3) .

to te punkta razem z warunkami (1) — przy najdowolniejszych ax bi, ..., gh,..., ciß,... — wystarczają zawsze, aby wyznaczyć krzywę o żądanem zachowaniu się w Mc. Stąd twierdzenie :

II. Gdy krzywa ma posiadać pewną ilość punktów wielokrotnych Mc o danych złożeniach, a warunków, któreby po jej wyznaczeniu charakteryzowały to jej zachowanie, jest <0. ^- (n-\-3), to taką krzywę można utworzyć wybierając całkiem dowolnie a, b,, ..., g ß, ...

Uwaga !. g, hi a, ß odnoszą się w twierdzeniach I, II. do wszystkich równań o 1, za wyłączeniem jednak tych z tych równań, które już bezpośrednio do równań o w = 1 prowadzą.

Uwaga 2. Co się tyczy samych krzywych określonych w twierdzeniach I. iii., to mogą, one wypaść już-to przywiedlne już-to nieprzywiedlńe/a w warunki, za pomocą których możnaby z tych krzywych wydzielić same krzywe nieprzy-wiedlne, wchodzić tu nie będziemy.

"Warunki określone w tw. I. wyrażają, że z miejsc przeznaczonych dla punktów wielokrotnych i ze stycznych w tych punktach nie wszystkie można wybrać dowolnie. Tak n. p. w krzywej 4g0 stopnia można wybrać 3 miejsca dowolnie i umieścić w nich zwykłe punkta podwójne. Z 6 stycznych w tych punktach można jednak będzie 5 ich tylko obrać podług upodobania. W krzywej 5«° stopnia można będzie 5 miejsc obrać dowolnie, umieszczając w nich zwykłe punkta podwójne. Prócz tego jeszcze w jednym z tych punktów można będzie parę stycznych poprowadzić podług upodobania [Salmon, Fiedler]. Przeciwnie krzywe określone w twr. II. dopuszczają całkiem dowolne miejsca dla punktów wielokrotnych i całkiem dowolne kierunki stycznych w tych punktach.

64. Przecinanie się dwóch krzywych w ich punktach wielokrotnych. Niech, będą dane dwie krzywe o równaniach /’==0, (p=0 przecinające się w punkcie P, w którego otoczeniu ma być:

(1)    f...=0, jÇ>1, cp=(xy)\-f-=0, (жу)'фО.

Jeżeli (xy)[A, nie jest podzielne przez (xy)\, to w P schodzi się tylko fi punktów przecięcia się krzywych (1). Przyjmijmy przeciwnie, że (xy)[l jest podzielne przez (xy)\=gy—hx.

Połóżmy :    *

x=(g+aii/)£ to dostaniemy stąd równania :

(a)

y=(k+ß*j)i, [gß—hcc=l],

(2)

/i=(æ^ + ...=0, ^2>1; (pi=^rj)\+...=0.

Grdy (£y)ßi nie jest podzielne przez    mają równania /] = 0,

<f>]= 0 w (|ф)=(00) tylko ₁u₁ punktów wspólnych, a że (£17) = (00) jednoznacznie odpowiada punktowi P, więc w P mamy w tym razie (fi+fi^ punktów przecięcia się danych krzywych (1).

Przyjmijmy, że (£77)^ zawiera w sobie jako czynnik:

QsvYi^gtV-bii-

Za podstawieniem 1=^+0, %)| dojdziemy do równań:

/2=(^lkł-=⁰,    ^2=(^l%)<l + -=°-

One — gdy (śj)/л₂ nie jest podzielne przez gi)\ — doda-dzą do (fi + gi) punktów wspólnych w P jeszcze tylko fi₂ punktów

(ft)

(3)

1?

wspólnych. Przeciwnie, gdy    jest podzielne przez

trzeba z równań (3) jeszcze do dalszych przejść przez podstawienia wspólne, i t. d. Stąd mamy twierdzenie :

I. Gdy dwie krzywe /=0, <p=0 mają punkt przecięcia się P, który dla jednej przynajmniej krzywej (çp=0) jest zivyczajnym, a w otoczeniu punktu P mamy : to trzeba rozróżnić dwa wypadki:

1° (x У)р nie jest podzielne przez (xy)\. W punkcie P mamy wtedy tylko u punktów przecięcia się.

Wtedy w s pól ne mi pod-

2° (ху)ц jest podzielne przez (xy)‘ stawieniami tworzymy szeregi równań:

(/?)    <■/>! =0, <p₂=0,    <^=0,

(«) /i=0, f₂ =0,    A==0:

kończące się na takiej, po raz pierwszy pojawiającej się parze równań fz=0, (pz=0, że w nich (źz-u 'gz-ójpz już nie jest podzielne przez (^z-i pz-i)V Gdy w f\, /2, fz są najniższe stopnie w=gi, g2l gz, to w P mamy punktów przecięcia się g-{-gi-{-g₂-\- дл.

Uwaga. W szeregu (a) — gdy u = 1 — znajdują się same równania o w — 1. gdy zaś ;j. j> 1. to w kilku końcowych równaniach, (a) może, ale nie musi być w = 1.

Załóżmy teraz, że w punkcie P, w którym się krzywe f— 0, <p=0 ze sobą przecinają, ma krzywa/‘=0 punkt g-krotny, a krzywa <p=0 punkt ^-krotny.

Po sprowadzeniu obu równań do otoczenia punktu P, mamy:

(1')

/'=(жу)а+. .=0, p> 1; (р=(хуУ„ + ...=0, v>l.

Jeżeli (xy)м, (xy)‘v są względem siebie pierwsze, to krzywe w punkcie P mają tylko g.v punktów przecięcia się, a nie więcej.

Przyjmijmy przeciwnie, że (xy)^, {xy)\ mają wspólny podzielnik (_g у—1ъх)а(д‘у—h‘x)b... Zauważmy liniowy wspólny czynnik:

(а¹)

(,gy—hx)a

i przejdźmy przez podstawienia (a) do przerobionych równań:

(20    /;=(йк + -=0; Ф₁=(^)Ч + -=0, (^>1, ^^1).

Jeżeli (£т/к, (è,rj)‘Vl są względem siebie pierwsze, to równania (20 dają tylko gi.vi nowych punktów przecięcia się w P. Jeżeli przeciwnie (£77)^, (jjrj)‘Vl są współmierne, a w ich wspólnym podzielniku zawiera się czynnik liniowy :

(bj

(9 i V—]hŹ)a'>

to za użyciem znowu podstawienia takiego jak [b), dojdziemy do nowej pary równań :

/2=(£i?hk+-=0;    ^2=(£i*?i)4+-=°-

(£i^i)4 s4 niewspółmierne, to te równania dodają, tylko y^.v₂ nowych punktów przecięcia się w P. Przeciwnie w razie współmierności funkcyj )^₂, (£\Ц±Ур₂ trzeba z tą parą równań tak postąpić, jak z równaniami (P) i (2'). Analogicznie trzeba rozumować o każdej parze równań w dowolnej leżących warstwie, badając wszelkie możliwe wspólne czynniki, zawarte w funkcyach jednorodnych najniższych stopni. To nas doprowadzi do takiego wniosku :

Jeżeli

И' 2 ?

II. Gdy dwie hr żywe /‘=0, (p=0 przecinając się w punhcie P, mają w nim : pierwsza punkt g-krotny, a druga punkt v-krotny, to mogą zajść dwa wypadki:

1°. IF równaniach : f=(xy)^Ą-...— 0, cp=(xy)‘v-\-    0 są (xy)

(xy)‘v niewspółmierne. W tym razie mamy w P tylko u, v punktów przecięcia się.

2°. Gdy przeciwnie (xy)u, {xy)‘v są współmierne, a z równań: f= 0, (p=0 przez jednakowe wciąż podstawienia wynikają pary równań (/«=0, (pa=0), a=l,2,..., r o tej własności, że w każdej parze są wyrazy najniższych wymiarów: ga, va jeszcze współmierne, to w P mamy

ÓS [lec Va punktów wspólnych.

«=1

Z tego twierdzenia skorzystamy, aby rozwiązać takie zadanie : Dana jest krzywa /=0 nieprzywiedlna i stopnia ng0 z punktem wielokrotnym Mi—(aibi) o złożeniu:

(g, U], /i-o ? •

W otoczeniu tego punktu mamy :

f=^y)t*+(xy)li+1+...=0

(3)

(^)

Pr).

a przerobione równania są :

(5)

f \ “Oj/г =o, ..., &=o, ..., /;=o

o najniższych stopniach w=pl, ..., yp, ..., yr większych od 1.

Mamy utworzyć taką krzywę <jD=0 danego stopnia g, któraby w Ж] posiadała punkt wielokrotny o złożeniu :

(6)

(P? V\4    ■ • • > *V)

pochodzącem z tychsamych podstawień, co złożenie (3) punktu Ж] w danej krzywej, a potem wyznaczyć ilość punktów przecięcia się tych krzywych w punkcie Ж,.

W otoczeniu punktu Mi ma być :

(7)

<P=(xy)‘v+(xy)‘v+1 + ...=0 a to wskazuje, że: 1°) między nieoznaczonymi spółczynnikami

A, P, ... równania <p=0, a spółrzędnemi ai, ma zachodzić równań i że : 2°) w punkcie Mt dostaniemy przedewszystkiem g.v punktów przecięcia.

Przyjmijmy, że do równania f\ =0 dochodzimy z f— 0 przez podstawienie x—{gĄ-a , y=(h-\-ß rj)£. Uwzględniwszy to sami podstawienie w (7), dostaniemy po skróceniu przez £v :

<Pi = (IV)''o + (Й) '' i + • ■■ ■■ + (£«?)'Ч-i + (i V)'4 + • • •= 0 Podług założenia jednak ma byó identycznie ;

a to się spełnia przy nowych

=•••=(£уУч-1=° »

+1)

warunkach między iloś-

ciami А, В,    a₁6₁, y, h. W tych warunkach zawiera się:

(gh)'v=0, (i jeszcze {gÄ)'l,₊i = ...=(^Ä)iv+f,₁_i=0), a stąd pochodzi, że w równaniu (7) zawiera się w {xy)‘v czynnik liniowy (g у—hx).

Wskutek tego do y.v już znalezionych punktów przecięcia się w Mi dołączyć trzeba tu jeszcze nowych . vx takich punktów pochodzących z równań :

(8)

<p\=(iцУV+ • ■.'■ ■=o*

Gdy z pierwszego z tych równań dochodzimy do równania /*2 =    0 przez podstawienia:

le(flri + «i¹7i)li,    V⁼(\

i to samo podstawienie zastosujemy do równania <^=0, dostajemy:

9J2⁼⁼(ti%)<o + (fi%)'i 4- ••• + (£iłh)4-¹ + (^i%)4 Lecz podług założenia ma byó znowu identycznie :

warunków mię-

przez co wprowadzamy znowu nowych

dzy А, В, ...,    (Ä, Ä), (gx\). Między nimi mieści się warunek:

(i jeszcze (glh,),Vi+i^... = (gihi)h₁₊₄,₂_i=0)

($ 77) V, współmierne

co wskazuje, że w równaniach (8) są (£17) i że z równań f₂ = 0, <p₂=0 dołączą się w Ж₁ do    punk

tów przecięcia się jeszcze fi₂.v₂ nowych takich punktów. W ten sposób postępujemy dalej, idąc z równania fl —0 po pewnym łańcuchu wspólnych podstawień, a gdy wreszcie mamy już równania fp-1 = 0, (pp—1=0 pochodzące jeszcze z (gy—hx), to one posiędą wspólny czynnik w swych wyrazach, najniższych stopni za wpro-

Vp(Vp-\rl)

wadzeniem nowych

warunków dających (pp—0 w postaci

{l^_₁77i,_i)/p-l-.-.=0. Ostatnia para równań fp = 0, (pP =O daje fip.vp punktów przecięcia się, a że innych już warunków nie wprowadzimy, więc w tej ostatniej parze równań uważać trzeba funkcye o najniższych stopniach za niewspółmierne ; do flpvp punktów przecięcia się nowe się nie dołączą, bo równania fp=0, cpp—0 nie dopuszczają już wspólnego podstawienia. W ten sam sposób trzeba dalej dalsze wyznaczać warunki, przechodząc podstawienia odnoszące się do wszystkich przerobionych równań (5). Z tego wynika :

Aby krzywa <jp=0 o żądanej własności istniała, musi zajść między jej spółczynnikami A: B, ... spółrzędnemi (aąbt) i ilościami

¹

W razie а — jest rj — crA. Sj = 0 jednym z liniowych czynników zawar

W, G/A), -Л9‘Ь'), (g\h\), -

VaiVa+l)

a—i

warunków. W punkcie Mi przecina się taka krzywa z daną krzywą /=0 razy:

gava.

Jeżeli krzywa /=0 ma к punktów wielokrotnych, złożonych a krzywa <jp=0 ma się w każdym z tych

w Mu M₂,..., M,

punktów zachowywać analogicznie, jak w punkcie Mt, to dostaniemy warunków:

Va{Va'\ ł)

a z wszystkich punktów przecięcia się krzywych /=0, ęp=0 wpada ich w Mu ..., Mc, ..., Mk :

9a Va

punktów. Naznaczmy złożenie punktu Mc w krzywej f= 0 przez

(9)

Gh , ft2j ...» 9]о)с j    2, ...,    ,

(90

a złożenie tego punktu w krzywej cp =0 przez A, V₂, ...,    , C— lj 2, ..., 7s,

to — z tej uwagi, że przez wprowadzenie m‘ warunków utrzymujemy w każdym łańcuchu podstawień aż do ostatniej pary równań funkcye najniższego stopnia ciągle współmierne — wnioskujemy, że z wszystkich krzywych tp*= 0 dowolnego stopnia q, posiadających w punktach Mc dane złożenia (9'), te posiadać będą w Mc z krzywą najwięcej punktów przecięcia się, które właśnie utworzono podług wymogów postawionego zadania.

a ma tam z krzywą /‘=0 punktów przecięcia :

(3)

pa {pa 1) — 2 d,

gdzie d — jak przody — jest ilością punktów podwójnych krzy-wej /'=0.

Taką krzywę cp=0 nazywać będziemy krótko dołączoną krzywą stopnia ą¹).

Zauważyć przy tem potrzeba : Ponieważ w każdej ostatniej parze równań przerobionych nie przestrzegamy już współmierności wyrazów najniższego stopnia, więc do punktów przecięcia się w Mc nie dołączy się w ogólności żaden punkt przecięcia się taki, któryby był zwyczajnym w krzywej /’=0. Mamy więc twierdzenie :

III. Aby krzywa <jp=0 dowolnego stopnia posiadała punkta wielokrotne o dowolnych złożeniach {vx, v₂,..., vp)c wpadające w punkta wielokrotne Mc o złożeniach f/p, p₂,..., pp)c pewnej danej krzywej /=0 i posiadała w Ma możliwie najwięcej punktów przecięcia sie, potrzeba, aby

jej spółczynniki spełniły m'=^, ^

va(vaĄ-l)

warunków.

żeniach.

Każdą taką krzywę nazwiemy dołączoną o do wolny ch zło

Podług twierdzenia II. — art. 68. — i uwagi tam zamieszczonej taka krzywa istnieje bezwarunkowo, gdy :

*»'<-§- (r/ + ³)

Temu zawsze można zadość uczynić obierając początkowe va nie zbyt duże i — jeżeli potrzeba — przechodząc jak najprędzej do va=l, któreto wartości wliczamy do złożeń punktów Mc w krzywej (p=0. Nie jest zresztą wykluczone, aby va już od początku nie można kłaść —1.

(10)

65. Dołączone krzywe. Rodzaj (defekt) krzywej. W krzywej rp=0 opisanej w art. poprzedzającym załóżmy wszystkie:

V Pa 1 •

Taka krzywa spotrzebowuje w punktach Mc warunków:

(1)

(2)

m'=

pa (pa_1)_^

Podług tw. II. art. 63. taka krzywa cp=0 będzie bezwarunkowo istniała, jeżeli po obliczeniu d w nieprzywiedlnej krzywej

/'= 0 okaże się m‘ = d<^^^\ Widocznie prz}*- dostatecznie dużych

q ta nierówność się sprawdza, a więc i krzywa cp=0 dostatecznie dużego stopnia istnieje. Grdy teraz poszukamy najmniejszego stopnia

+3)

q=qi, przy którym jeszcze nierówność d

ffi (ffi +3)

się sprawdzi,

to możemy być pewni, że : d będzie Przyjmijmyż ql<Zn i połóżmy qi=(n—z), to mamy :

уг, a n musi być >>0.

(4)

a teraz badać trzeba, przy jakich z może być n dodatniem.

Krzywe /'= 0, <jp=0 przecinają się w n(n—z) punktach. W nich zawierać się musi 2d punktów przecięcia wpadających w Mc, a wskutek tego mamy koniecznie n(n—z)—(n—z)(w—z-{-3)-f 2л > 0, czyli :

(:П — Z) (Z — 3)

\-7l >0.

Dla z = 1,2, jest (n—z)(z—3)<;0, a więc być musi:

(5)

(n z) (3 z) ^

2 ’ *

= 1,2,

(z>3 uwzględnimy później). W tych dwóch wypadkach jest więc л dodatnie ; skutkiem tego mamy tu :

m‘=d<i

(n—z) (n—z-f3)

a to wskazuje, że krzywe çd=0 o stopniach (w—1), (n—2) istnieją bezwarunkowo.

Lecz n — jak to zaraz zobaczymy — posiada większą dolną granicę od tej , jaką nierówność (6) wskazuje.

Wiadomo, że dla każdej krzywej stopnia q<C.n można na

krzywej /=0 stopnia n obrać dowolnie — (# + 3) punktów [T. I.

A

art. 131. tw. I.]. Każdy taki punkt daje jeden warunek warunków trzeba w naszym wypadku zaliczyć d warunków, które krzywę cp=0 zmuszają przecinać się z f=0 w punktach Mc razy 2d. Poza Mc można więc dla cp=0 obrać jeszcze dowolnie :

do tych

punktów. Każdy z nich będzie zarazem jednym punktem przecięcia się krzywych, a gdy do nich doliczymy jeszcze 2d punktów przecięcia się leżących w Mc, to musi być :

(6)

(n—z) (n~z-p3)

\-d<i n(n—z).

Ograniczając się do z = l, 2, uwzględnijmy tu (4)

to mieć

będziemy :

-n<jn(n—k).

(n — %){n — z 4-3)    (n—z) (w—zp 3)

Stąd wynika iz">(n—z) (3—z), z=l, 2, a wskutek tego mamy (w—z) (w—z 4-3)

d<

(n—z) (3 — z), czyli:

d<

(n—1) (n—2)

Л z²—3z\ (¹⁺ -₂-

1,2

co daje:

(«)

(w—1) (w-2)

dla z = l,2.

Lecz gdy przyjmiemy d jeszcze mieć będziemy :

(w—1) (w—2)

pl, a q=n—1, to i tu

fl<

(w—1) (w—2)

(n—1) (n 4- 2)

a to wskazuje , że dołączona krzywa (p=0 stopnia (n — l)go istnieje. Źe zaś tu nierówność :

(n—l)(n-p2)

(7)

[n—1) (n—2)

pl <in{n—1)

utworzona na wzór (6) nie istnieje, bo po lewej stronie mamy tu n(n — 1)4-1? więc jeżeli już koniecznie zatrzymać chcemy możliwość istnienia [n(n—1)4-1] punktów przecięcia się, to to się stać może chyba tylko tym sposobem, że się (p=0 zawierać będzie w f= 0; ale przez to /‘=0 nie jest już równaniem nieprzywiedlnem.

Stąd wnosimy, że nierówność (a) określa górną granicę liczby d, i mamy twierdzenie :

(:П — 1) (n — 2)

I. Największa liczba punktów podwójnych, jaką może posiadać krzywa nieprzywiedlna stopnia n, jest

Gdy d oznacza ilość punktów podwójnych , jaką nieprzywiedlna krzywa /‘—O w istocie posiada, to różnicę :

(n—1) (n—2) P=--g-Z

(8)

która w krzywej nieprzywiedlnej jest koniecznie >0, nazj^wają rodzajem albo defektem tej krzywej²). Z tej definicyi i nierówności (a), mamy twierdzenie :

II. Krzywe dołączone stopni n—1, n—2 istnieją w krzywych dowolnego defektu.

Na podstawie tych wyników możemy teraz uwzględnić 3. Przyjmijmy bowiem, że mamy krzywą o defekcie p, to możemy szukać takich %]>3, dla których będzie:

(n—a) (n—%-f 3)

[n— 1) (n—2)

— P-

> d-

Stąd dostajemy:

P>

(z—3) (2n—z)

fl, % = 3,4,5,...

Naodwrót tej nierówności można użyć do wyznaczenia defektu p przy danem % i powiedzieć:

III. Krzywa dołączona stopnia (n—z), z > 3, istnieje w krzywych

o defekcie >

(z—3) (2n—z)

fl.

Według tego mamy dla: z=3.

4.

5,

7.

(м-l), (2w-4), (3n—8), (4«—16),...

... odpowiednio:

P> 1

a z pierwszych tych liczb wnosimy, że krzywa dołączona {n — 3)s°

stopnia istnieje tylko w krzywych o defekcie >1.

Gdy q~>n, przyjmiemy, to dojdziemy odrazu do wniosku:

IY. Krzywe dołączone stopni n istnieją w krzywych o dowolnym

defekcie.

Uwaga I. Jeżeli który z punktów wielokrotnych ma złożenie:

(tr, ..., 2, 2, ..., 2),

1).

b 1,

to ten punkt w krzywej dołączonej ma mieć złożenie (f—1,

Punkt taki jest więc w krzywej dołączonej o krótszem złożeniu, niż w krzywej danej , a tylko żądać trzeba , aby — poczynaj ąc od pewnych przerobionych równań krzywej dołączonej — było statecznie vœ — 1.

Uwaga 2. Jeżeli krzywa posiada same niezłożone punkta dwukrotne, to krzywa dołączona mieć będzie w tych punktach swoje punkta zwyczajne.

CZE S О I Y.

U

FUNKCYE WYMIERNE FŁ(xy) MIEJSCA {x₉ y) OBRAZU ALGEBRAICZNEGO.

ROZDZIAŁ VIII.

Zasadnicze własności funkcyi R{xy). Jej najmniejszy stopień czyli rząd obrazu algebraicznego.

66. Własności (charakterystyczne) funkcyi JB(xy).

I. Funkcya wymierna s=R(xy)=gi(xy) /g₂(xy) pary (x, y) spełniającej nieprzywiedlne równanie algebraiczne :

(1)

f(x, d)⁼⁼fo(x)ymjrfi(x)y jest również algebraiczną argumentu x, a posiadać może cykliczne elementu tylko w tych punktach x, w których i sama funkcya algebraiczna je posiada.

У\1 У21 •••?

Aby tego dowieść, dość jest zauważyć, że funkcya s — jeżeli ym są gałęziami funkcyi у — posiada gałęzie :

Sa=R(X, У a) , 05 = 1,2, ..., W,

a równanie :

(2)

[s—B(x yjj\...[s—B{xym)}=O jest algebraiczne, bo spółczynniki tego równania, będąc symetry-cznemi, wymiernemi funkcyami w y±1 у₂, ..., ym i zawierając wymiernie x, są wymiernemi w argumencie x.

Dalej jasnem jest, że funkcya s daje rozwinięcia o całkowitych wykładnikach argumentu (x—a), lub x~i niezawodnie wtedy, kiedy у w ten sposób się rozwija, a tylko na tych miejscach, na których у posiada cykliczne elementa, może — ale nie musi — wyrazić się cyklicznym elementem. Co się tyczy takich cyklicznych

16

Teor. funkcyj analit. T. II.

elementów, to łatwo wyrozumieć, że — jeżeli y w otoczeniu punktu x=a: lub x=cc ma element cykliczny stopnia /1, a s takiż element stopnia /ij, gdzie 1<^y±<iy — to pi musi być podzielnikiem stopnia p.

Z równania y ⁴—[x—1)=0 dostajemy algebraiczną funkcyę :

1 2 tm

t= 0, 1, 2, 3,

y^={x—l)4e 4

o cyklicznych elementach 4"° stopnia w punktach:

(«)

X = co.

x = 1,

Funkcya [а-\-Ъx.y^ cx.ys] będzie wymierną w argumencie x, a widocznie nie będzie posiadała elementów cyklicznych w punktach (a). Funkcya :

[xyĄ-xhR]

posiadać będzie w punktach (a) elementa cykliczne z zachowaniem stopnia: 4, a funkcya: [а^-Ъх.у^ posiadać będzie w punktach (a) elementa cykliczne już tylko stopnia : 2.

Przyjmijmy, że równanie (2) sprowadza się do formy całkowitej : G(sx)=y₀(x)sm-{-y: (x)sm~¹-f-... + ym(x)=Q, to z niego —jeżeli y₀, yi} ... posiadają wspólny podzielnik — odrzucając ten podzielnik dojdziemy do równania :

(3j

G(s, x)=0,

które będzie związkiem określającym s jako algebraiczną funkcyę argumentu x.

Równanie (3) może być albo nieprzywiedlne, albo |>rzywiedlne. W tym drugim razie niech będzie:

Gr(s, x)=Gx (s, x). G₂ (s, x)... G^s, x), ćru są już nieprzywiedlnemi funkcyami. Zauważmy

gdzie Gi, G

równanie Ga(s,x)=0, czyli Ga(R(x,y),x)=0, (a ma jedną z wartości 1,2,...^), to to równanie posiadać musi jeden przynajmniej z pierwiastków y1? t/₂, ..., ym równania f(x,y)=0. Lecz, że f(xy)=0 jest równaniem nieprzywiedlnem, więc Ga=0 musi już wszystkie pierwiastki tego równania posiadać [T. I., art. 82.] posiada wskutek swej nieprzywiedlności. To samo powiedzieć potrzeba o innych równaniach 6^=0, .

Ponieważ dalej fankcye Gi, G.₂, ..., Ga nie posiadają podzielników zależnych jedynie od x, więc być musi identycznie : Gi = ćr₂ =    =

a stąd wynika :

2;

•u

innych już nie

ćra_i=0, Ga+1=0, ..., G!A = 0.

G(s,x)=[Gi(s,x)Yl=0.

(4)

Mamy więc twierdzenie :

II. Równanie algebraicme₁ któremu zadość czyni funkcya s=R(xy), jest albo nieprzywiedlne, albo jego lewa strona jest potęgą funkcyi nie-przywiedlnej.

Przyjmijmy, że równanie (3) jest ps° stopnia w zmiennej x i uważajmy w niem s za wielkość o pewnej oznaczonej wartości, którą na razie zakładamy różną od zera i skończoną. Równanie (3) da nam wtedy wszystkie miejsca x==

/у*    /у»    /У»

^11 '*'2 ? • • • J '"P ?

na których funkcya R(x:y) pojęta jako algebraiczna samego argumentu x posiada wartość s. Zmieniając s dostajemy w (6) p gałęzi algebraicznej funkcyi x o argumencie s. Ze zaś wszystkie

(5)

na jednakiej ilości miejsc w tym

zawsze

te gałęzie muszą się oczywiście utrzymać i przy s—0 i przy s=oo, więc stąd wnosimy, że funkcya R(x,y) jako algebraiczna funkcya argumentu x przybiera każdą wartość s — bez wykluczenia wartości s=0 i s—oo

argumencie.

Lecz z drugiej strony do równania (3) można dojść w ten sposób : Utwórzmy rugownik równań :

(6)

f(x,y)=* 0, g₂(xy)s—gi(xy)= 0 i niech on ma postać h(x).G(s,x)=0. Czynnik h(x)=0, nie zależąc od 5, daje tu te pierwiastki x=x‘, które z pewnemi y = r\ spełniają równocześnie 3 równania :

(a)

f(ny)=* 0, д^ху)=0, g₂(xy)=0, a więc dają s w formie nieoznaczonej 0/0. Ten czynnik na razie opuszczając, zatrzymujemy tylko równanie: G(s,x) =0.

Wiadomo dalej z teoryi eliminacyi, że każdemu xa zawartemu w szeregu (5) — bez różnicy, czy się tam powtarza, lub nie — trzeba jedno tylko у spełniające równanie f(xay)== 0 podporządkować. Z tego wynika, że równanie G(sx) = 0 daje przy każdem s nie wyłączając s=0 i s — co — zawsze p miejsc:

(Х\У\), (ръУъ) > •••> (хрУр)

Pytanie zachodzi, czy przy pewnych wartościach s=s‘ mogą w system miejsc (7) wejść także miejsca (xlr\)—P? Aby na to odpowiedzieć — zauważmy, że wprowadzając pary funkcyj x—cp(t), y=gj(t) na określenie otoczenia miejsc obrazu algebraicznego /== 0, mamy :

(7)

R(x, y)=R{cp(t), tf)(t)) = Pi(t)IP^t)₎

Pi, P₂ są rozwinięciami o samych całkowitych potęgach argumentu t i mogą zawierać odjemne potęgi tylko o skończonych wykładnikach. Formę (18) można więc będzie zawsze sprowadzić do postaci :

(8)

(9)

R{x, у)=Р~^.

A₀+Ai^+...

Bq •••

АФ0, B₀ф0,

Gdy Я^> p, jest s=0, a kiedy Я <C p, mamy 5 = oo . Różnica (Я—p) jest w pierwszym razie stopniem zera, a w drugim stopniem nieskończoności funkcyi s.

w której i, p są dodatnie liczby. W razie Я=р, mamy na miejscu, które otacza para (p: гр — a więc dla t—0 — wartość skończoną s=A₀l B₀.

To samo odnosi się oczywiście i do miejsc P, a gdy na r takich miejscach jest s = s', to równanie G(s‘x)= 0 da początek takiemu systemowi miejsc (7), że się w nim właśnie tych r miejsc mieścić będzie. Z tego wynika, że się miejscami P wcale krępować nie potrzebujemy i mamy twierdzenie:

III. Funkcya s=B(x, y) posiada takie własności: 1. Na każdem miejscu (xy) danego obrazu /'=0 jest zupełnie oznaczona i jednoznaczna, byleby tylko —w wypadku, kiedy to miejsce otacza więcej par funkcyj — wskazano, do jakiego elementu [<p(t), tp(t)J to miejsce ma się zaliczyć: 2. Każdą wartość s — nie wykluczając 5=0 i s = oo —przybiera w obrazie algebraicznym /=0 zawsze na tej samej ilości miejsc p. Liczba p nazywa się stopniem funkcyi R(x, y).

Miejsce nieskończonościowe powtarza się między p miejscami к razy, [jest krotne], jeżeli w jego otoczeniu mamy:

B(xy)=t~k[c₀ + c₄

Podobnie miejsce zerowe jest /г-krotne, jeżeli w jego otoczeniu jest: R(xy)=tk[c₀-j-cit+...].

Z własności funkcyi s wynika dalej , że funkcya wymierna, nie posiadająca dokładnie tyle miejsc zerowych , co nieskończono-ściowych nie istnieje i może być chyba ilością stałą.

W razie nieprzywiedlności równania G{s,x) =0 nie mamy ani w (5), ani w (7) takich powtarzających się pierwiastków xa, któ-reby statecznie były sobie równe , choć się s dowolnie zmienia — (przy szczególnych wartościach s możemy dostać powtarzające się xa) — a wartość ya należąca do xa wyraża się tu zawsze [T. I., art. 187.] wymiernie przez xa i s.

Kiedy przeciwnie równanie G(s,x)=0 jest przywiedlne, a więc ma formę (4), to przy jakiemkolwiek s rozpadają się miejsca (7) na p I g grup :

(«iy\), (ЗД'г), -, Mu)

(я₂уГ), (ад"), -, («2у/¹)

(«£&(#*)), (Xry₂OJ), ..., (Xpÿfil*))

{Л    (Л    II

z których każda zawiera same równe sobie xa. Do każdego xa leżące yja\ y^a\ y^ są pierwiastkami pewnego równania:

na-

(11)

M₀ytl+Miyv-i-{-... + Мц=0, którego spółczynniki są wymiernemi funkcyami w s i xa [art. 60.].

Lecz przywiedlne równanie G(s,x) — 0 można zawsze zmienić na nieprzywiedlne, a to postępując w ten sposób: Połóżmy:

(12)

x'—x—ky,

gdzie ДфО jest dowolną stałą ilością. Nieprzywiedlne równanie f(x,y)=0, które określa x jako algebraiczną funkcyę zależną od у, a posiadającą gałęzie ^, §₂, ..., niech przechodzi przez podstawienie (12) na f\(x\y) =0. To równanie będzie również nieprzywiedlne, bo jak każda symetryczna wymierna funkcya gałęzi |l5 |₂, jes^ do-piero wtedy wymierną , w argumencie y: gdy w nią weszły wszystkie już gałęzie ^,$2; •••» tak samo i każda symetryczna funkcya gałęzi S,\—%\—ky, ^₂==|₂—ky,... okaże się wymierną dopiero wtedy, gdy od wszystkich tych gałęzi zależeć będzie.

Wywnioskowawszy to przyjmijmy, że przez podstawienie (12) zmienia się równanie G(s, x)=0 na równanie GJ(s, x‘)=0} które — jak poprzedzające — jest przywiedlnem. Ma ono zatem — ponieważ lewa jego strona jest potęgą pewnej wymiernej funkcyi — dwa przynajmniej pierwiastki x równe sobie przy bieżącem s. Niech te pierwiastki będą x\, x\ i niech odpowiadają miejscom (xiVi): (x2У2) równania f(x,y)=0: to mamy:

x,i=‘Xi—Jsyu x'₂=x₂—ky₂,

a stąd wynika identyczność (xi—x₂)l(yA—y₂)=k. Lecz to jest przy stałem к niemożliwe, bo lewa strona tej identyczności zmienia się z s. Mamy więc twierdzenie:

IV. Przywiedlne równanie G(s:x)—0 możemy, kładąc x=x' + ky, ydzie к jest stałą ilością ф0, zmienić zawsze na równanie nieprzywiedlne G‘(s,x‘)— 0. Każdemu pierwiastkowi x'a tego równania odpowie ya: wyrażające się już wymiernie przez six¹.

Pd. 1. Okazać, że funkcya у/ж² jest w obrazie algebraicznym y³—x²=0 funkcyą stopnia 4®°.

Pd. 2. W tym samym obrazie algebraicznym: y³—x²=0 jest funkcyą [2x²—y⁶] stopnia 12*°.

[Równanie G(s,x) = 0 jest w Pd. 1. nieprzywiedlne, a w Pd. 2. przywiedlne i ma postać (s-2x²-f ж⁴)³ = 0].

Przyjmijmy, że mamy daną funkcyę s zależną od (x, y) w obrazie /= 0, a posiadającą wszystkie własności wymiernej funkcyi R(xy). Niech si, s₂, ..., sm będą gałęziami funkcyi s, w ten sposób

powstającemi, że się w niej za y położy po porządku gałęzie У xi Vît—, Ут algebraicznej funkcyi у określonej równaniem (1). Zauważmy symetryczne funkcye :

⁵1    ‘t'*” + Sm = -ßo

4” ^чУч 4“ ••• 4“ Sm Ут ⁼ И\

Si ^1 ² + S2^2 ² + • ' • + Sra Ут 2 = Ą

s\Vi

+ S2^2

są więc wymierne mi

Funkcye te nie zależą ani od gałęzi у, ani od gałęzi s. Zależą więc tylko od x i są jednoznaczne — [w całym nieograniczonym obszarze tego argumentu rozwijają się podług całkowitych potęg]. Dalej wskutek własności algebraicznej funkcyi у i założeń o funkcyi s stają się tylko na skończonej ilości miejsc x nieskoń-czonościami o skończonych stopniach

w argumencie x.

1 i dodaniu dostaniemy :

Po pomnożeniu tych równań przez nieoznaczone jeszcze ilości — 1 j -^4m—2 j •••? A

«1 bi W"¹ ■+ А Ух m~² + A₂yx    -j- ..... + Am-.i] +

(13)

5₂[у₂т-¹ + ЛУ2”г"² + ^2^2”г_3+- + ^т-1] +

4“ &п\Ут

+ АхУтт~² + А₂утт-³+...+Ат-х]

4- Ах Вт-2 4- А₂ Rm-3 4- • • • 4~ Ат—I Rq’

Gdy przyjmiemy, że Ai} A₂,...,Am-x spełniać mają równania (14) yam-¹AA₁yam-a+A₂ya to wtedy z równania (13) wynika :

_Rm—\-\r Ax Rm—2 4“ A₂ Rm—?, 4" ••• 4“ Am— 1 Rq

Sl ~ у₁т-¹ + А₁у₁’п-²+А₂Ухт-³+...+Ат-1 ‘

Związki (14) wskazują, że A1} A₂, Am-\ są spółczynnikami

(15)

równania :

=R

m—1

2 1 •”>

4-...4-Д»»—1=0, u—2, 3,..., m,

Ь—Уг) b—Уз) - Ь~Ут) =

fly i 4-/; -

a* if

Г“¹

/о

4-...

1 f{x У) ₌ 1 f(x У)—1\x Ух ) fo У У i fl Uy^Afxiyx

mają więc wartości :

/о

у—У i

+...+/•—1_о,

A-C/ott 4-/;)//;, A₂=(f₀yi ljrt\yx 4~/2)//о*• • •••Am—1⁼⁼(/‘оУхm 14"/i2h”* ²4~••• 4~fm—i) Ifo’ Co się tyczy mianownika w (15), to ten będzie = a że f{xyx)=0, więc go także tak określić można:

(16)

¹ /*(а?У)

/о ’ У ~У\

У—Ух

(17)

/о '

¹ f\xy)—t\x У\) fo '    У—УI

1    _ 1 \df{xy) T

\у~Ух /о L à У J

⁼ ~r ‘f\x У\)% *)

Uwzględniając (16) i (17) w (15) dostajemy:

foBm-l+ifoVi +/i) Ди_2-Ь — -К/о2/1

+/i36w 2~Ь---+/стг-1)Д₀

/"G У\ )₂

Gdy tu — co jest oczywiście dozwolone — zastąpimy yx przez y, t. j. przez dowolną gałąź funkcyi у, dojdziemy do formy :

_К(x)ym~] i“fej (x)ym~² +... + hm-\{x)

(Л)

f(x У)2

w której Ä₀, 7&1} ..., 7im_i są wymiernemi — [niekoniecznie całkowitemi] funkcyami argumentu ж. Forma {A) jest widocznie wymierną w (ж, y) a stąd twierdzenie :

Y. Każda funkcya s pary (x y), posiadająca charakter funkcyi wymiernej R(xy), jest wymierną funkcyą takiej pary**), a każda funkcya wymierna R(xy) da się zawsze sprowadzić do takiej formy, w której mianownikiem jest: f(xy)₂, a licznikiem jest funkcya wymierna, całkowita i najwyżej stopnia (m —1)⁹° w zmiennej y, jeżeli dane równanie /■= 0 jest stopnia m⁹° w tej zmiennej. Taką formę nazywamy normalną.

Jeżeli ma istnieć funkcya s=R(x: y) bez miejsca nieskończo-nościowego , to w równaniu (s—sx)(s—s₂)... (s—sm)=0 są spółczyn-niki : — (s₁-ps.₂-f--)j t(sis2 + •••)» •••> funkcyami wymiernemi bez miejsc nieskończonościowych. Takie funkcye redukują się jednak do stałych ilości c1? c₂,... Mamy więc    ¹4-...-fcTO=0. Stąd wynika

s=const., a to znaczy:

YI. Funkcya s=R(x,y) nie posiadająca miejsc nieskończonościowych redukuje się do ilości stałej.

67. Związek między dwiema funkcyami R(xy\ R‘(ocy) w tym samym obrazie algebraicznym. Rząd=0. Niech teraz w tym samym obrazie algebraicznym /‘=0 danych będzie dwie różnych funkcyj :

s=R(x, y), s‘—R'(x y).

Z nich pierwsza niech będzie stopnia p, a druga stopnia p‘. Zauważmy miejsca:

(1)

(Ж1У1), (ж₂у₂)? •••) (%pyp)i na których R ma tę samą wartość Sj. Na tych miejscach będzie

(a)

według y.

*) f{xy)2 oznacza tu i w dalszym ciągu cząstkową pochodnę funkcyi f(xy)

**) Por. Prym. Beweis eines Riemannschen Satzes. C. J. T. 83. str. 251—261.

R‘ miało różne wartości: s'1? sj, ..., s'p. Zatrzymując miejsce (xlyi) na którem R=si, a R‘ = s\ dostaniemy szereg miejsc:

(ß)

(ЗД), (xjyj),... Ixj.yjj

ale R przybierać będzie różne

takich, że na nich będzie R‘ — s‘ wartości: s₁₇ s.₂, sp<. Z tego wynika, że, gdy z równań (1) i równania /’=0 wyrugujemy x, y, dojdziemy do związku algebraicznego

(CD

który w s będzie stopnia pj a w s' stopnia p.

Czy miejsca (a), (/?) posiadać mogą oprócz (xiyi) jeszcze inne miejsca wspólne, rozstrzygniemy dopiero później.

Zbadajmy równanie (C) pod względem jego przywiedlności. Utwórzmy w tym celu z równań :

(2)

f\x, y)=-0, s—R(xy)=0

związek

(3)

6r'(S, Æ')=0,

który jest już n i e p r zy wi ed lny [art. poprzedź.]. Przy tern jest: X = x‘ + к y,

(4)

y=Ri(s,x‘), a więc i x=R₂(s, xj

a R.₂ są funkcyami wymiernemi. Uwzględniając to w s‘—R‘(x, y) dostajemy s'=R\{s, xj. Tak przedstawiona funkcya s‘ jest więc wymierną miejsc (s, x‘) spełniających równanie G‘(s, xj=0, a gdy z tego równania i równania s‘ — R\(s, xj = 0 wyeliminujemy x‘ dojdziemy właśnie (po odrzuceniu czynnika zależnego wyłącznie od s do związku ćr₀(s, s') =0 a ten — [art. 60. tw. V.] jest takim, że w nim ćr₀ jest albo funkcya nieprzywiedlną , albo potęgą funkcyi nieprz}^wiedlnej. Mamy więc twierdzenie :

I. Związek 6r₀ (s, sj=0 między dwiema różnemi funkcyami s, s‘ tego samego nieprzywiedlnego obrazu algebraicznego f— 0 jest albo nie-przywiedlny, albo jego lewa strona 6r₀ jest potęgą funkcyi nieprzywiedlnej.

1°. Przyjmijmy, że ćr₀=O jest równaniem nieprzywiedlnem i uważajmy je znowu za rugownik równań:

(5)

s‘—Rj(s, xj=0,    G-'(s, xj=0.

Ponieważ ćr₀ = 0 jest nieprzywiedlnem równaniem, więc równania (5) mają — podług tw. IV. art. 60. — jeden tylko wspólny pierwiastek x‘ = r (s, sj, wymierny ws,s‘.

Uwzględniając to w (4), dostajemy:

(6)

x=R‘(s, s'),    y=R\{s, sj

dla (s, sj spełniających G₍₎ =0, Stąd twierdzenie:

II.    Gdy G₀(s, s‘)—0 jest równaniem nieprzywiedlnem, to naodwrót %, У uważać trzeba za wymierne funkcye miejsca (s, s‘) obrazu algebraicznego G₀ = 0.

Miejsca (a), (ß) mają w tym razie jedno tylko miejsce wspólne (X, y) = (xx, yj)] określa się ono właśnie równaniami (6).

II⁰. Przyjmijmy, że G^=\Gx{s, s')p*=0, _w> 1, a więc p=pxp, p‘=p\p. Pównanie G₀ = 0 ma wtedy same ^-krotne pierwiastki s, a równania (5) mają [tw. Y. art. 60.] p wspólnych pierwiastków:

(7)

Xx‘=<Pz{s, s'), Л=1, 2, ..., p określonych pewnem algebraicznem równaniem:

■4f₀(s, s^x'p+M^s, s,)x,f*~l-\-...Ą-Mli(s, s')=0, w którem zawierające się (s, s') są miejscami spełniającemi:

Gi(s, s') = 0.

Uwzględniając (7) w (4) dostaniemy :

(8)

%z=fi₂(s, срл), yz=Ri(s, (рл), Л=1, 2,..., p,

Хл, у л są więc w tym razie algebraicznemi fnnkcyami pary (s, s') o p gałęziach; miejsca (a), (/i) mają //. wspólnych miejsc, a te się określają właśnie p parami równań (8).

W szczególności, gdy mamy z taką fnnkcyą R(x,y)=s do czynienia, która na jednem tylko miejscu obrazu algebraicznego /'=0 staje się nieskończonością — a więc na tem miejscu jest jednokrotnie = oo — to równanie 6r(s, #)=0 musi być przedewszyst-kiem nieprzywiedlne. Lecz dalej musi być ono stopnia tylko pierwszego w X. Z niego więc dostajemy :

(«)

x=Rl(s),

gdzie Iii jest funkcyą wymierną. W razie nieprzywiedlności równania G(s,x) —0 wyraża się znowu у należące do x danego w (a) wymiernie przez s i x. Mieć więc równocześnie z (a) będziemy :

(b)

y—B₂(s), a to zn.

III.    ¥гтксу$ s=li(x, у) o jednolcrotnem miejscu nieskończonościo-wem (funkcyę stopnia pierwszego) utworzyć można tylko dla szczególnego obrazu algebraicznego f(xy)=0 o tej własności, że spółrzędne każdego jego miejsca wyrażają się wymiernie przez zmienny parametr. Takie równanie nazywamy rzędu zerowego. — Ogólnie rzecz biorąc, musimy zatem funkcyę s o stopniu =1 uważać za niemożliwą.

68. Kząd obrazu algebraicznego. Funkcya H(x y, x* y‘). Po

wyłączeniu obrazów algebraicznych rodzaju zero, trzeba — chcąc w ogólnym wypadku tworzyć funkcyę JR(x, y) — zadanie w ten sposób sformułować : utworzyć funkcyę Pi(x, y), która ma być nieskończonością jednokrotnie na dowolnem miejscu {x\yl) danego obrazu:

(1)

t\x y)=f₀{x) yn+t\ (%) yn~x +... Jrfn{x)=0, a która prócz tego miałaby być jeszcze nieskończonością na innych danych miejscach tego obrazu.

Niech (x‘ y‘) będzie takiem miejscem obrazu (1), na którem jest

(2)

df(xy)

dy

(*V)

zauważmy funkcyę :

(3)

r{x у, ж' f)

f(x y‘)

(х'—х) {y‘—у)

f\xy‘)—f{x y) (x‘-x) (f—y)

/о - О/

Ш—1

у 4-... + уп-1) 4-... + f„-2. (у'+у) 4 /‘п-1

х'—X

(4)

f(x, У , f)

х'—х

która jest wymierną w я, у, a zależy jeszcze wymiernie od obranego miejsca (x' y‘). Rozwijając tu licznik podług potęg ilości {X¹—x), (y‘—y) dostajemy:

f(x‘ + (x—x¹), f-\-{y—f)₎ ?/)=/’(.P, f, f) + A(x'—x) + B(f—y) + ...

f(x‘, f)—f{x\ y)

a że: f{x\ y\ y‘)=lim y=y‘

f—y

У%,

więc mamy :

(5)

f{x,y,if)=f(x,f\-\-A{x‘ — x)-]-B{ij'—y)-ir... i wreszcie:

f\x‘ y% A{x‘ —x) + B(y'—y) +...

r(x у, x‘ y‘)

x‘—x

x'—x

gdzie A, B, ... są wymiernemi całkowitemi funkcyami pary (x‘, y‘).

Ponieważ /'(#', у')₂ф0, a (y‘—y) rozwija się podług całkowitych dodatnich potęg argumentu {x‘—x) bez wolnego wyrazu, więc z formy (5) wynika, że r{xy, x‘y‘) jest na miejscu (x‘ y‘) nieskończonością tylko stopnia pierwszego.

Na każdem miejscu (x" y") obrazu /‘=0, o spółrzędnych х“фх‘, У“Фу'> a leżącem w skończoności, będzie r{x y, x‘ y‘) niezawodnie skończone.

Przyjmijmy, że w obrazie /'=0’ mamy miejsce (xu,y‘), gdzie ж"фж'. Na takiem miejscu ma r mianownik (x¹—x¹¹) różny od zera, posiada wiec i tu skończoną wartość.

Lecz do x‘ należy w równaniu f=0 oprócz y' jeszcze (n — 1) innych wartości y. Uwzględnijmy z nich у=у“-фу‘. Funkcya f(x y') posiada pierwiastek x\ mieści więc w sobie czynnik (x‘—x).

Ułamek

daje więc skończoną wartość dla x=x‘. W takim

f(x y‘)

x‘—x razie i

r{xy, xl yl)=f{xyi)\(xt—x') (y‘—y)

będzie skończone na miejscu (x‘,y‘‘), a w razie y" = co będzie zerem na tern miejscu.

Przyjmijmy, że dla pewnego skończonego х“фх' mamy y= co. Funkcya f‘(x‘\y') pozostaje tu skończoną; x‘—x“ nie jest zerem, a (y‘—y") = go . Wartość funkcyi r na takiem miejscu będzie zerem.

Utworzyliśmy zatem funkcyę o tej własności, że w obszarze miejsc (x: y) spełniających równanie /'=0, a posiadających skończone x, staje się raz tylko nieskończonością na miejscu (x‘y‘).

Miejsce (x‘ y‘) jest takie, że do x‘ należą same różne między sobą y=y‘, y",y'n).

Para funkcyj zatem określająca otoczenie miejsca (х‘,у*) będzie

postaci :

(6)

X=x‘Ą-t, y = ?/ + Ó₀£u-|-0₁itM+¹4- . a łatwo spostrzedz, że za wstawieniem jej w (5) wyniknie jedyna odjemna potęga: t~~¹ z wyrazu pierwszego i posiadać będzie spół-czynnik :

(7)

—t\x> У\-

Uwzględnijmy x=cc , przyjmując, że f(x, y) jest w x stopnia mg0.

f‘(oc /U*')    •    f

Funkcya —t—-— jest wtedy widocznie tylko (m—l)-krotnie nieskoń-

i skończo-

czonością. Obierzmyż (m— 1) miejsc x—ax, a₂, az nych, między sobą różnych i takich , że się na nich y nie powtarzaj ą, to iloraz :

A«, ÿ)

(8)

(x‘—x) (x—ax)(x — a₂) ...(x—am-1)

jest już dla x=cc skończony.

Jeżeli do х—оэ należą same у фу' — choćby między nimi było y=oo — to i funkcya:

(9)

_________f(x У‘)__________

u (x'—x) (;y‘—y) {x—ax) (x—a₂)... {x—am-1)

będzie na takich miejscach w nieskończoności skończoną.

Jeżeli dla я=со mamy (między innemi) y—y', to ponieważ f(x y') ma czynnik у—y‘ będzie i w tym razie funkcya (9) na takiem miejscu skończoną.

W obrazie /'= 0 niech do x=aa, a — 1,2,..., m — 1, należą y = J/“), 5=1, 2,..., w, a wszystkie miejsca:

aib\₁ axVv ..., aA» aA'1? a₂&₂", ..., aA"

¹

O innych metodach oznaczania krzywych dołączonych czytaj : Noether Math. Ann. T. 23. str. 311—358. K a f f y. Math. Ann. T. 23. str. 527—538. Tikhomandritzky. (Charków). Ann. scient, de l’école N. sup. T. 10. (S. 2. 1893.) str. 151 — 165.

²

defekt = deficiency podług Cayley’g o. W jakiem znaczeniu występować mogą w teoryi powierzchni algebraicznych takie pojęcia, jak defekt , dołączone powierzchnie, odwracalne podstawienia i t. d. wyjaśniają G. Castel-nuovo i F. Enriques. Math. Ann. T. 48. (1897.) str. 241—316.

Vm-1)? am_i &₂(w—...₅ am_₁ftn(m-¹)

naznaczmy dla wygody przez :

(10)

l—fi (m—1)

(«A), («A), •••> («А);

to mamy w (9) funkcyę, która na miejscu {x‘y‘) i na każdem z miejsc (10) jest jednokrotnie nieskończoną. Jest więc stopnia (2+1). "Wstawiając w nią za (#, y) parę (6), otaczającą miejsce (x'y‘): dostaniemy — kładąc :

rozwinięcie :

[-/Х^УУ'¹+$(*)] [<?o + ĄtĄ- ...] = - CJ\xl */')₂iH + f (2).

Pomnóżmy u przez -n~ i funkcyę ~

C₀

F(xy, x'y\ ayb

to ta funkcya w otoczeniu miejsca (x‘ y‘) mieć będzie rozwinięcie :

C₀

nazwijmy

at bi),

(a)

W otoczeniu zaś miejsca (daba) mieć będziemy rozwinięcia

postaci :

Ф)

+    « = 1, 2, ... I.

Spółczynniki w (a) i (b) są wymiernemi funkcyami miejsca

(X' y‘).

Przyjmijmy, że istnieje funkcya L(x y, dlbi,..., dtbi), która jedynie na miejscach («А), (%^2)>•••? Ah) jest jednokrotnie nieskończoną. Grdy jej rozwinięciem na miejscu (at bi) jest е?/2_1 + ?р,г(2), to różnica :

F{xy: x‘ y\ «А,-, «А) —~ L(x у, aA>*”> aA)

==F(Xy, X‘y\ «А,-, «/_i 0;-i)

będzie już funkcyą o jedynych, jednorodnych miejscach nieskoń-czonościowych (х¹ y'), (aA), •••> A—1 &z-i)- Grdy ta funkcya na miejscu («г_1 5/_i) ma rozwinięcie <^_i 2_1 + ^P+-i(2), a założymy, że istnieje funkcya L(xy, aA, •••,    1    1), posiadająca jedyne miejsca nieskoń-

czonościowe (aA)j (a₂ó₂), ..., (а*_А—1) i dająca w otoczeniu miejsca (a,_A-i) rozwinięcie /А2-¹ +$'+_i(2), to różnica:

(И)

gf-i

A—i

=F(xy,x‘y‘, ахЪх,    ft*)— ï L (xy,    a₍ bt)

Fix у, x‘ y\    a;_i 6,_i)—

L (xy,

di

<?z~l

A-i

=F(xy, x‘y': axb

a;_₂ ^_₂)

będzie już funkcyą o jedynych jednokrotnych miejscach nieskończo-nościowych [ж' y‘} a₁Z>₁,аг_о&г_₂]. Przytem zauważyć potrzeba, że ct]di, ег_1 //i_i są-to wymierne funkcye pary (x‘,y‘).

Pytanie zachodzi, jak daleko — przypuszczając istnienie funkcyj L — można iść w tem tworzeniu funkcyj F(xy,x‘y',aibiJ...) z czem raz mniejszą ilością miejsc я^, a₂b₂,... ?

Oto, ponieważ wykluczyliśmy z naszych poszukiwań obraz algebraiczny rodzaju zero, więc przyjąć musimy, że oprócz miejsca ix'y') musi się z miejsc (aah„) utrzymać przynajmniej jedno. Przy-mijmyź, że q jest dolną granicą ilości miejsc (o„ba) w funkcyach F, to p musi być >1, a

F(xy, x‘y‘,    a₀ ftp)

jest ostatnią funkcyą, jaką utworzyć można z funkcyi F(xy,x‘y', ахЬх,..., Ofbi)

(4)

przy obranych całkiem dowolnie miejscach (10).

Zmieńmy teraz w (9) miejsca ax, я₂, ...,aOT_i na inne a1? a₂, •••? «m—\-Niech one dają w A—0 miejsca:

(12)

(«iÄ), (a₂&)» •••» («»»ft)

i prowadzą z funkcyi F{x y, x‘ y', aißl,..., c^/A) do funkcyi:

iP(æy, ж' у', CjĄ,..., aaßo) o najmniejszej ilości miejsc (12), gdzie a nie jest

Zastąpmy w (A) (x‘ y‘) po porządku przez ccx ßX: a₂ ß₂,..., aa ßa, to dostaniemy a funkcyj :

(B)

F(xy, ccs ßs, ctx bx,..., Яр &p), s 1, 2,... o. Utwórzmy dalej różnicę :

Яр Ôp)

.., Яр ôp)—...—CaF(xy: aaß„\ axb1: ..., Ярй₀) —F{x y, tfÿ, axbx,..., Яр&р).

R=F(xy, x‘ y‘, axßx,..., aaßa)—CxF(xy,    я^

— C₂F(xy, a₂ß₂,

Różnica ta na miejscu [x‘y‘) jest skończoną, bo w niej pierwsza i ostatnia funkcyą dla otoczenia tego miejsca mają przy ń⁻¹ ten sam spółczynnik —f(x‘y,)₂. Przyjmijmy dalej , że Cx, U₂,..., Ca

tak wybrano, aby R także i na miejscach (a₁ßi), (a₂ß₂), (aaßa) było skończone. Wtedy R jest funkcyą, która jedynie na ę miejscach (a₁), («2^2)? •••? iao^o) jednokrotnie jest nieskończonością.

Lecz taka funkcya — według założenia — nie istnieje. Stąd wynika, że rozwinięcia funkcyi R dla otoczeń miejsc (««0«) nie mają zależeć od t. W tych rozwinięciach muszą więc być spółczynniki przy wszystkich potęgach z wykładnikami 0, zerami. [Samo R redukuje się do stałej].

Uwzględniając spółczynniki przy t~¹, dostajemy q liniowych związków w Cx, C₂₁ ..., Ca z wolnymi wyrazami, zależnymi wymiernie od (x‘y‘). Niechże te związki będą :

Ca)=0

₂,

(13)

Fx{x'yl)—Lx(Cu G F₂(xlyl)—L₂(Ci, C₂,..., Ca)=0

Fę(x‘y,)—L₍,(Cl, C₂, ..., Ca)=0.

Z natury rzeczy wynika, że Cx, C₂, ..., mają być ilościami jednoznacznie oznaczonemi. *) Z tego powodu można przyjąć Q=o, ale q<Cu, w którym-to wypadku (o—ze spółczynników Cs mielibyśmy dowolnych, trzeba odrzucić.

Lecz i q^>o nie jest także dopuszczalne. Utwórzmy bowiem — gdyby tak było — z funkcyi F(xy, xly', axßx,..., aaßo), Q funk-cyj F(xy, aaba , axßx, ..., ciaßa), «=•!, 2, ..., i różnicę :

R=F(xy, x'y‘, axbu ..., aQbQ)—C\F(xy, «Д,    ..., aaßa) —

— C\F{xy, a₂ö₂, axßx, ..., ccaßa)—...—C‘₍,F(xy, aQbQ,axß —F(xy, x,yl,aißi, ... a₀ßa),

&oßo)

to różnica ta, gdy już C"l7 C"₂,    obliczono tak, abyśmy ją

mieli skończoną na miejscach (a^), (a₂b₂), ..., (a₉bQ), musi być znowu ilością stałą. Mając na to wzgląd dojdziemy tu do o liniowych

*) Jeżeli chodzi o usunięcie z Ii miejsca nieskończonościowego (a ß₄), to dość jest uwzględnić tam tylko różnicę:

F{xy, x‘y‘, «jßt,..., *a$a)—CsF(xy, a,ßg, ax\,..., aQbQ).

Gdy w otoczeniu miejsca (agßg) ta różnica daje rozwinięcie:

[Ft{x>y‘)t-i+ад -с, m*. ß^-¹+ад,

to w niem mamy Fs(x,y>) =j= 0, <I>g(agßg)=pO, a usunięcie miejsca (ocgßg) prowadzi do równania:

n^/)-cs ф,(«Д) = о

z którego mamy :

F(xyiX‘y').

Jestto funkcya, która jedynie na miejscach :

(C)

x‘y‘: axbXl ..., aQbQ jest jednokrotnie nieskończoną; jest więc funkcyą możliwie najmniejszego stopnia: (^ + 1), a w rozwinięciu dla otoczenia miejsca (x‘y‘) ma przy £⁻¹ spółczynnik —/ (#У)₂- Funkcya:

F(xy, x‘y‘)\f{x‘y,)₂

mieć będzie również miejsca nieskończonościowe (C), ale dla otoczenia miejsca {x‘y‘) mieć już będzie rozwinięcie postaci:

Przyjmijmy, że na miejscu (a₀b₀) rożnem od miejsc (C) jest F(a₀b₀, x‘y‘)I f(x‘y‘)₂ =K(x‘y/)

i zauważmy funkcyę :

rozwijając szereg postaci (Л), jest jeszcze

równań (analogicznych z równaniami (18)), zawierających jako niewiadome C\, C"₂, ..., C‘Q. Te niewiadome mają się z tych równań jednoznacznie wyznaczyć, a to jest możliwe, gdy q = g, a niemożliwe, gdy q^>o. Nie może więc być (Г>ег, c. b. d. d.

Z równości liczb q , o wnosimy :

I. Gdy dla danego obrazu algebraicznego f— 0 mamy utworzyć funhcyę F(xy, x‘y‘, aibi,aQbe) najniższego stopnia (q-\-1)(j0 — o najmniejszej ilości dowolnych miejsc nieshończonościowych — to stopień ten nie zależy wcale od obranych miejsc nieshończonościowych, ale od samego obrazu algebraicznego. Obraz algebraiczny f= O, dla którego można utworzyć funhcye wymierne pary (x, y) stopni (&), h= 1,2,8,..., ale nie można już utworzyć takiej funhcyi stopnia q , nazywamy obrazem rzędu q. ¹)

Wróćmy do formy fil) rozszerzając ją na:

F(xy, x‘yj axb

ei-1

(14)

fi-1

i? •

a,bi)—%L(xy: axbXl ..., akt)—

di

Цху, axbx, ..., аг_1&г_0—...

P&+i

1

i oznaczmy tak utworzone wyrażenie przez :

L(xy: axb

aQ+\bQ+\)

[F{xy, x‘y‘)lf\x‘y,\\—K(x,y‘)=H(xy, x‘y'), to ta funkcya mając nieskończonościowe miejsca (C) się dla otoczenia miejsca (x'y¹) na zerem na danem miejscu (a₀b₀). O takiej funkcyi udowodnimy:

II. Funkcya II(x y, x‘y‘) o danych miejscach nieskończonościowych x‘y‘, aibi, ..,, aQbQ, i o danem miejscu zerowem (a₀b₀) jest tylko jedna.

Przyjmijmy bowiem, że i druga taka funkcya ff(xy,x‘y‘) istnieje. Różnica: H(xy,x‘yl)—H(xy, х'у¹) jest funkcyą bez miejsc nieskończonościowych, a jako taka jest stałą ilością = C. Że zaś dla (xy) = (a₀b₀) mamy H—H— 0, więc być musi C—0 i identycznie H=H, c. d. d. d. ²)

Uwagi godnem jest, że funkcya H(xy, x‘y‘) jest nie tylko w ixy), ale także w (x‘y‘) wymierną, co z dedukcyi dopieroco przeprowadzonej wynika.

69. Odwracalne wymierne podstawienia. Obrazy algebraiczne tej samej klasy. Nim rząd oznaczymy, zajmiemy się klasami³) obrazów algebraicznych, wychodząc z takich rozważań: Dane jest nieprzywiedlne, algebraiczne równanie f(xy) = 0 i podstawienie wymierne:

(«)

(®,ÿ),    ri=R₂(x}y).

Wyeliminujmy z równania f— 0 i z równań (a) zmienne x, у i przyjmijmy, że tak uzyskane równanie cp(^ rj) =0 jest nieprzywiedlne. Wtedy [art. 67., tw. II.] mamy naodwrót:

(b)

x=--R‘i (£»²?)>    ₂(l^)i

gdzie R‘.₂ są funkcyami wymiernemi, ⁴) a podstawienie (a) łub (■b) nazywamy odwracalnem (wj^miernem), albo dwuwymier-n e m.

(«')

Zastosujmy do (p(£rj)= 0 znowu pewne odwracalne podstawienie £1=^1 (£«?)»

(&')

dające <K£i%)=0. Uwzględniając (6') w (ó) mamy:

(cł)

)j У "I" 2^ \iV\) 1

gdy teraz w (a') uwzględnimy (a), dostaniemy:

(O

^=Ti(æ,y), pl=T₂(x, y).

Widocznie (e'), (c") są znowu podstawieniami odwracalnemi, a stąd wynika :

I. Gdy równanie f— 0 przerabiamy przez pewne odwracalne podstawienie na <p=0, a (p=0 znowu przez pewne odwracalne podstawienie na

î£>—O, to można mown znaleść jedno podstawienie odwracalne, przerabiające /'= О na гр=0.

Oprócz (a), (b) zastosujmy do /‘=0 jeszcze inne odwracalne podstawienie :

u = Ux [xy),    v=U₂(xy),

x=U\(u,v),    у=1Р₂(щ v),

dające    Uwzg-lędniając (6) w (а"), а (&") w (a), dostajemy:

*= Tidy), v=v₂(iy)> i=Vi'(uv), v=r₂J(uv),

a więc odwracalne podstawienie przerabiające /'=0 na #=0. Stąd wynika :

(«")

K)

KO

KO

II.    Gdy z f— 0 przez dwa różne odwracalne podstawienia, dostajemy równania <p—0, #=0, to każde z tych dwóch ostatnich równań da się przerobić jedno na drugie przez pewne odwracalne podstawienie.

Definicya. Wszystkie obrazy algebraiczne f= 0, gp=0, %=0, jakie z jednego z nich n. p. z /'=0 powstają przez odwracalne podstawienia, tworzą jedną klasę. Jeden z nich którykolwiek przedstawia — wskutek twierdzeń I., II., — całą już klasę , do której się sam wlicza.

Wyjmijmy dwa którekolwiek obrazy algebraiczne n. p. /'=0 i <jp=0, należące do jednej klasy. Wskutek (a), (V) odpowie jednemu miejscu (xy) obrazu /=0 jedno tylko miejsce (ijij) obrazu cp= 0 i naodwrót, a stąd twierdzenie :

III.    Miejsca dwóch różnych obrazów algebraicznych tej samej Masy odpowiadają sobie nawzajem jednoznacznie. W geometryi analitycznej wyrażają to w ten sposób : Dwie krzywe algebraiczne tej samej klasy uważać można zawsze za diva szeregi punktów jednoznacznie sobie nawzajem odpowiadających. ⁵)

Lecz obrazy algebraiczne tej samej klasy mają jeszcze jedną wspólną, bardzo ważną własność, a to:

IV.    Wszystkie obrazy algebraiczne tej samej klasy, są tego samego

rzędu.

Przyjmijmy, że f(x.,y) —0 jest rzędu g, a rząd równania

<p(i,v)=Q,

które z /’=0 powstaje przez (a), (b) może być mniejszy od g. W obrazie /'=0 niech dana będzie wymierna funkeya :

(1)

F(xy, a?y, aibu a₂b₂, ..., apbQ)

а?6р]. Stosując

о (p+l) miejscach nieskończonościowych [xly\ axbx, . w (1) podstawienie (6) dostajemy funkcyę :

Щъ IY» aiß

a na miejscach jednoznacznie sobie nawzajem odpowiadających [tw. III.], mamy F=Ü>-, w szczególności (х*у‘, Ç'rf), (asbs, asßs), s= 1, 2,    odpowiadają sobie nawzajem jednoznacznie. Przyjmijmy,

ze w obrazie (p=0 może jeszcze istnieć i funkcya :

..., aQßQ)

o q tylko miejscach nieskończonościowych (ccsßs). W takim razie za podstawieniem (a) dostalibyśmy w obrazie /‘==0 funkcyę :

Fx[xy, axb

(3)

apß(>) ч

••i

dębę)

o p tylko miejscach nieskończonościowych (а.Д). Peez to jest niemożliwe, a stąd już prawdziwość twierdzenia IY. wynika.*) To twierdzenie możemy jeszcze i tak wysłowić:

IY a. Rząd obrazu algebraicznego nie zmienia sie przez odwracalne

wymierne podstawienie.

Uwaga. Rozstrzygnięcie pytania, czy naodwrót dwie różne krzywe tego samego rodzaju dadzą się przerobić każda w drugą przez odwracalne podstawienie , nie jest tak łatwem i będzie przedmiotem późniejszych, bardzo ważnych poszukiwań.

Przechodząc z podstawienia (a) do odwrotnego podstawienia (b) eliminowaliśmy z równania /'= 0 i z równań (a) zmienne x, y. To wskazuje, że tu w nieograniczonym obszarze dwóch zmiennych x, у ograniczyliśmy się jedynie do punktów krzywej /=0 i że o nich wyłącznie powiedzieć możemy, iż odpowiadają jednoznacznie punktom krzywej (p=0, wyjętym znowu z nieograniczonego obszaru zmiennych £,17. Podstawienia (a), (b) są więc odwracalne wyłącznie dla punktów krzywych /‘=0, (p=0.

Lecz znane są w analizie jeszcze i takie podstawienia wymierne, za pomocą których można sprządz jednoznacznie dwa nieograniczone, zwarte obszary [x, y\, [f, 77], (dwie płaszczyzny). Tutaj każdej dowolnie danej algebraicznej krzywej f\xy)= 0 w [x, y\ odpowie również krzywa algebraiczna cp(^y)—0 w [£,77] i naodwrót. Punkta tych krzywych będą sobie nawzajem jednoznacznie odpowiadały, ale to jednoznaczne, wzajemne sprzężenie utrzyma się jeszcze i poza punktami tych krzywych. Takie podstawienia

*') Przyjmując, że rząd obrazu o = 0 ma być większym od rzędu obi’azu /== 0, trzeba w całej dedukcyi / z o pomieniać.

są odwracalne dla wszystkich punktów dwóch nieograniczonych płaszczyzn.⁶)

Do najprostszych tego rodzaju podstawień należy tak zwane podstawienie liniowe, albo homo graficzne: »

Хтг_ a\1+М+<ч

азё + ^3^ + С1 z którego naodwrót wynika :

У=

«₂t + M+c₂

«з£ + ⁶зП + Ч ’

(Л)

•fu-

A\ у -(- CA ^ A₂xĄB₂y "b ^2

C, ⁷ ^    A?xĄ-Bzy 4- C₃

Stosując (J.) w równaniu nieprzywiedlnem w§° stopnia f \xy) =0, dostaniemy :

fipy)

y(l ⁶?) Q

Оз£ + М + сз)и    7

a więc cp(^rj)=0 jest równaniem odpowiadającem równaniu f(x:y)=0.

Funkcya <jp(£ rj) musi być również nieprzywiedlną. W przeciwnym bowiem razie stosując (В) do <p =0 dostaliśmy f= 0, jako równanie przywiedlne, a to sprzeciwia się założeniu.

Co się tyczy rodzaju krzywych f— 0, ą>—0, to i tu, postępując podobnie, jak w dowodzie twierdzenia IV., okazać można, że obie te krzywe są tego samego rodzaju.

Z tych uwag można skorzystać, aby dane nieprzywiedlne równanie f(xy)=0 — nie naruszając jego nieprzywiedl-ności, rodzaju i stopnia — sprowadzić na inne, charakteryzujące się pewną żądaną naprzód własnością.

1°. Przyjmijmy n. p., że równanie /=0 dla otoczenia punktu x=c£> daje między innymi i cykliczne elementa algebraicznej funk-cyi y. Obierzmy dowolne miejsce x—a, leżące w skończoności i takie, że mu w /‘==0 odpowiadają same różne między sobą

У У11 У    У n -,

to otoczenia miejsc (a,yÄ), s=l, 2...., w, wyrażają się regularnemi rozwinięciami y—ys-\-9$s(x—a). Położmy x—a=ßl(i~ — a), y=rj, gdzie os, ß są dowolne stałe фО, to dojdziemy do równania (p(j;rj)=0, w którem punkt £=oo odpowiada punktowi x=a. a które dla otoczenia punktu |=oo daje: y=f]—y»A^»[ß I (i—os)]. W nowym obrazie ęp=0, jest więc funkcya algebraiczna у już pozbawiona cyklicznych elementów.

II⁰. W podstawieniu (В) odpowiadają punktom (|=oo , 17 = 00 ) punkty (x, y), leżące na prostej : w==AoX-\-B?>y+Cz-= 0.

(3)

= 0,

•V

Przyjmijmyż , że równanie : f(xy) = [xy)n +• (xy)„^\ + w którem (x,y)n=(gy—hx)v. (g^y—\х)рк.., posiada pnnkta wielokrotne w nieskończoności [art. 58]. Obierzmy prostę (3) tak , aby nie była równoległą do żadnej z prostych gy—hx=0, д^у — 1г^х=0, . i aby krzywę /=0 przecinała w n różnych między sobą punktach i przejdźmy potem do podstawienia (A), aby dostać przerobioną krzywę cp(^p)=0. Miejsca (£= oo , r\= co), spełniające (p=0, odpowiadają właśnie n punktom przecięcia się krzywej f=0 z prostą w=0; a że te są wszystkie między sobą różne, więc i miejsca (|=oo, ?7=ao ) będą w <p=0 wszystkie między sobą różne, to zn. że punkt (£=oo, >/ = oo ) nie jest wielokrotnym. W samem równaniu

(p=(Çy)n+(Çil)rt-1 + ...

będzie (£?/)„ zawierać już same różne między sobą czynniki liniowe. Mamy więc twierdzenie :

V. Każdy obraz algebraiczny, posiadający punkta wielokrotne w nieskończoności, da się — bez naruszenia jego nieprzywiedlności i rodzaju — zmienić na inny, który już w nieskończoności zachowywać się będzie regularnie. [Krzywa określona równaniem (jp=0 nie posiada równoległych assymptot].

70. Oznaczenie rzędu jako liczby identycznej z rodzajem. Niech Cn będzie nieprzywiedlną krzywą n%° stopnia, określającą się równaniem /=0, a q niech będzie całkowitą dodatnią liczbą >0. Przyjmijmy q<śn i obierzmy na Cn:

³)

dowolnych zwyczajnych punktów A1} A₂, ..., A możliwa jest tylko jedna krzywa Cq stopnia q, przechodząca przez te punkta [T. I., art. 131]. Przetnie ona Cn jeszcze w dalszych

W‘ = nq—|_(g_i_3)

punktach Bu B₂, ..., Bß, ..., Bt0<, a położenia tych wszystkich punktów zależeć będą od obranych punktów Acc.

W razie q=n— 1, dostajemy:

(»—1)(»-2)

w—-^-

Gdy q=n—2, mamy:

(»—l)(n—2)

tt,=-2-

..., Au,. Wtedy

(A)

(B)

+ 2(w—1), w‘ =

(n—1) (n—2)

f (w—2)

w'

(n— l)(w—2)

&=3, 4, 6, ...

Załóżmy q>n i połóżmy q=n + Je, h={j, 1,2,..., i obierzmy

na Cn :

a dla wszelkich q<i(n—Tc)<i{n—2) wypadnie już:

(Jc—3)(Æ—2 n)

2 1 (k—l)(h—2)

('O)

(n — l)(w — 2) w== 2

(n—1) (fi—2)

w‘

Tutaj są więc w i гг' równocześnie <ó

(n—1) (n—2)

gdyż

(Л)

w=nq

(w—1) (w—2)

(w—1) (n—2)

+ w(Æ-f 3)—2

punktów A« dowolnie. Przez takie punkta przechodzi nieskończenie dużo krzywych stopnia q , ale one wszystkie przecinają On w

(Я)

(n-l)(w—2) гг -    ₂

punktach stałych P<?, a te punkta zależą tu znowu od obranych punktów Aa.

Zatrzymajmy    — 2, a więc rozbierzmy wypadki (A), (В)

(D), i postarajmy się w‘ ile możności pomniejszyć, poddając Gq szczególnym, dobrze wybranym warunkom. Krzywa /“=0 niech posiada punktą wielokrotne Ж,, M₂, ..., Mc, ..., Ж*. Liczby wchodzące w ich szeregi złożenia, nazwijmy fxc i przyjmijmy, że krzywa Cq ma posiadać, w punktach Mc również punkta wielokrotne o liczbach vc, wchodzących w ich szeregi złożenia. Przez to spółczyn-niki krzywej Cq poddajemy:

m‘

warunkom

a na krzywej /‘=0 nie będzie już można wybrać iv punktów dowolnie, ale tylko z=(w—m‘) punktów P,, P₂, ..., Pz : i przez nie krzywę Cg przeprowadzić. Przy tern trzeba będzie vc tak wybrać, aby koniecznie było :

(1)

w ;> m ,

musi

czem się później zajmiemy. Aby dalej taka krzywa Cg przecinała się z /'=0 największą możliwą ilość razy w punktach M być dołączoną [art. 64.]. Ma ona wtedy w punktach Mc dokładnie 2ficvc punktów przecięcia się z /=0, a doliczając do tego z punktów P«, dostajemy razem, z warunków dotąd wprowadzonych, punktów przecięcia się :

był dodatnim i największym. W tym celu kładąc :

duc

r=0+'^ticvc=w4- ^2

f-l'cVc —

Największe r będzie wtedy, gdy zażądamy, aby każdy do

daj nik :

uc — [A/ę . Vc

vc{vc+l)

dvc==llc~Vc~ T⁼°’

1—i

dostajemy stąd vc= Çuc---j

może być:

że vc mają być całkowite, więc

vc—[ic—1, albo vc=pc.

— 1)

Obie te wartości dają uc

ale z nicli zatrzymany

tylko vc=fic—1, gdyż w tym tylko razie jest (n—1) (n — 2)

d.

. A że w (A), (B), (D) jest w^>

(n—1) (n—2)

a więc <C

więc tern samem warunkowi (1) zadość się już uczyniło. Krzywa Cq jest więc dołączoną w zwykfym tego słowa znaczeniu ; w punktach

Mc przecina się z krzywą /‘==0 razy pc(pc—L)=2 d, a ta ilość jest

większa niż liczba punktów przecięcia się w Mc wszelkich innych krzywych Cg. Z drugiej strony jest d ilością warunków, jakim już w punktach Mc spółczynniki krzywej Cq zadość czynią.

Wskutek tego poza punktami Mc można tu będzie tylko:

z = w — d

punktów Pa całkiem dowolnie obrać, a te wraz z 2d punktami przecięcia się wpadającymi w Mc dają (wĄ-d) punktów przecięcia się. Pozostałych więc punktów przecięcia się nie będzie już-w;', ale:

r— w'— d.

, (n—l)(w-2)    .

Że zaś w (A), (5), (D) jest w

„ (n 1) (n 1)

2

gdzie p jest widocznie rodzajem krzywej f— 0. Te pozostałe punkta zależne od obranych warunków w Mc i od punktów Pa nazwiemy Qu Q21 Qp• Mamy więc twierdzenie:

więc :

I. Z krzywych Cq tego samego stopnia q > (n—2), które mają być za obraniem punktów na Cn wyznaczone, mają krzywe dołączone tę własność, że przecinają Cn w możliwie najmniejszej ilości dalszych punktów, a ta ilość = rodzajowi p danej krzywej.

d dostajemy :

P=-

Uwzględniając w obliczone w (-4), (P), (D) i równanie (n—1) (n—2)

gdy q—n—2 „ q=n — 1

z={p + l)-\-{n—3)

(2)

2 = (p + l) + (2w—3)

l) + w(3 + &)—2 ,,

Z tego wnosimy, że # jest zawsze )>p +1 już przy n~ż>3 we wszystkich 3 wypadkach.

Mając to na uwadze, przyjmijmy, że chcemy znaleźć funkcyę R(x, y), któraby na v dowolnie danych zwyczajnych punktach :

A> Aj -j A

okazywała się jednokrotnie nieskończonością. W tym celu utwórzmy krzywę dołączoną C,, o tak dużym stopniu qż>(n—2), aby dla niej mogło być zż> v, a do jej punktów dowolnych Pa zaliczmy punkta (3). Równaniem takiej krzywej niech będzie :

g[xy, A, P%”'.Pz\Q\Q-i—Qp)—9i~^ gdzie Qlf Q'21 •••, Qp zależą już od wszystkich punktów Pa. Grdy utworzymy drugą dołączoną krzywę tego samego stopnia q, a o dowolnych punktach Р/, P₂‘, ..., Pz‘ różnych od Pn i jej równanie napiszemy znowu w postaci :

(3)

(4)

g[xy, Px‘ P₂‘ ...Pj\ Qx‘ Q₂‘... Qp)-=gx =0, to iloraz gx\g₂ będzie funkcyą, która niezawodnie na (zpp) punktach zwyczajnych Pa, Qß jest nieskończonością a na (zpp) miejscach Pa‘, Qß staje się zerem. Lecz te punkta nieskończonościowe nie są tu dowolne, bo Qß zależą już od Pa. Z tej jednak funkcyi gxlg₂ będziemy mogli dojść do żądanej funkcyi. Załóżmy:

1°) v <ip.

Punkta zerowe P,, P₂,..., Pj, mianownika nie mogą być punktami (zerowymi) licznika gx, ale za to wszystkie pozostałe punkta P„₊i... Pz, Q.j, ... Qp muszą wejść w licznik. Temu uczynimy zadość dając licznikowi gx postać:

g(x у, Qx Q₂... Qv Py-f-i Pvą.2... Pz I Q i Q 2••• Q p)•

Lecz gdy ten licznik położymy =0, dostaniemy równanie dołączonej krzywej przechodzącej aż przez z punktów

i Q21 ••••> Qv 1 A+i ••• Pz)

krzywej (4). Skutkiem tego obie dołączone krzywe są identyczne,

gdy q=n— 1, lub n — 2, a przechodzą równocześnie przez wszystkie punkta Pa, Qß, gdy q^> n. Funkcya gijgï nie posiada w tym razie żadnych miejsc nieskończonościowych Grdy przeciwnie założymy:

II⁰) ^>p,

a utworzymy funkcyę :

(o) Si =

g(x y, Q] Q2... Qp Sp-j-i Sp-i-2... Sv Pv+1... Pz \ Q ^ Q 2••• Q p)

g(xy, PjP₂... Pp Pp-\-1    ... PpPp-fi... .Рг j    Q2 4G)

z dowolnie obranemi Ą,pi, $p₊2,... ale różnemi od wszelkich Pa, Qß, to widocznie taka funkcya jest nieskończonością na żądanych ^ miejscach dowolnych. Zerem staje się ona również na V miejscach :

¹

Twierdzenie to jest prawdziwe, gdy miejsca nieskończonościowe są całkiem dowolne, bo gdy te miejsca zależą w pewien sposób od siebie, to można, jak później zobaczymy, dostać funkcye także i stopni ~~ p.

²

Dedukcye tego art. wzięto z wykładów Weierstrassa o funkcych Abla.

³

Eiemann. „Ges. math. Werke“, (1892), str. 119.

⁴

W dalszym ciągu używać będziemy liter S, T, TJ, V w znaczeniu funk-cyj wymiernych.

⁵

W dalszym ciągu używać będziemy już-to wyrażeń przyjętych w teoryi funkcyi, już-to wyrażeń geometryi analitycznej.

Teor. funkcyj analit. T. II.

⁶

Są-to tak zwane podstawienia С r e m o n a’iiskie. Por. codo tego Rosanes. C. J. T. 73, str. 97-110.

®p+i ? ^p+2, •••, $v, Q i, Q*2, Q p,

ale z nich tylko ich (v—p) a to: Sp+1, ..., jest dowolnych.

PĄ i w punktach wielokrot-

Qp 7 -fv+l 7 •

s₁ jest więc już żądaną funkcyą. Co się tyczy jej zachowania się w punktach [$1; Q nych Жс, to widocznie w nich występuje s₁ w formie nieoznaczonej

q [art. 66]. Ale wyrażona przez parametr t wchodzący do par

funkcyj należących do tych punktów dostaje i tam oznaczone wartości. Wartości te niebędą nigdy ani =0, ani =00 , gdyż obie krzywe gi = 0, ć/., = 0 przecinają krzywę /'==0 lub dotykają jej w sposób identyczny.

Połóżmy v—p + l, to dostaniemy funkcyę:

(6)

₌ ff(x !/, Q\ Q2- QP Sp+1 Pp+2 - Pz 1 Q\ Q\~. Q‘p) g{xy, p^p^... PpPpĄ-\ Pp+2... Pz \ Q^Q2•• • Qp)

stopnia: (p + 1).

Forma (5) nie straci swych własności co do miejsc nieskończonościowych i zerowych, gdy się w niej gi, g₂ zastąpi przez cigi, c₂g₂ o dowolnych spółczynnikach c1?c₂. Połóżmyż więc ogólniej

(7)

si-cigilc₂g₂,

to teraz od tej formy można jeszcze zażądać, aby na pewnem do-wolnem miejcu T obrazu /‘=0 przybierała wartość skończoną: c‘ ф 0.

Przyjmijmy, że druga funkcya s\ będąca już-to ilorazem dwóch funkcyj, które nie są dołączone, już-to ilorazem dwóch funkcyj dołączonych , ale innego stopnia , niż stopień funkcyj gi, y2 w (6), staje się, jak sl7 nieskończoną na miejscach Pi: P₂,..., Pv, a zerem na miejscach Sp+i, Sp+2, Sv. Utwórzmy różnicę:

°i—s<i

gdzie Ci jest stałą dowolną, to ta różnica jest niezawodnie — przy stosownym doborze stałej Ci — nieskończonością na miejscach P,,P₂,..., Pv: a zerem staje się: na miejscach Sp+i, Sp+2,Sv, na jednem miejscu T\ wynikającem z wyboru stałej Ci i jeszcze może na innych miejscach, które nazwiemy TU: T₁₂, ..., T1?ri_i. Funkcya oi ma więc v miejsc nieskończonościowych, a (v—p-^-rf) miejsc zerowych.

Gdy    to ai ma więcej lub mniej miejsc nieskończono

ściowych, niż zerowych, a że taka funkcya wymierna nie istnieje, więc musi być ai= const. Ze zaś ma przyjmować i wartości =0, więc u, =0 na wszystkich miejscach obrazu algebraicznego f= 0, a identycznie jest w tym obrazie    Gdy przeciwni в p~ril to

cc na miejscach P,, P₂,..., Pv

8p+1 , - , 8V1 T1? Ti

.. T

1 IP—1

ma więc v miejsc zerowych i v miejsc nieskończonościowych, i można przypuścić, że istnieje. Utwórzmyż znowu różnicę:

°2~°\ ^2S1,

gdzie C₂ jest stałą, to ta różnica ma znowu miejsca nieskończono-ściowe P₁,P₂,..., Pv, znika zaś: na miejscach Sp+1,..., SV: na miejscu T₂ wynikającem z wprowadzenia stałej C₂ i jeszcze może na innych miejscach T₂₁, T₂₂, T₂, r₂

Różnica (T₂ ma więc v miejsc nieskończonościowych, a (v—p + r.₂) miejsc zerowych.

Gdy p < r₂ wywnioskujemy, jak wyżej, że er₂ = 0, a więc a₁=c₂s₁. Gdy przeciwnie p=r₂, mieć będziemy: go na miejscach P₁P₂...PM 0 „

a więc o₂ jest znowu funkcyą o v miejscach zerowych i v miejscach nieskończonościowych i można przypuścić, że istnieje. W ten sposób postępując, możemy mieć dwie możliwości:

°\ —V—Cisi o₂ = oi—C₂si a?) = g₂ C% s₁

—i*

Sp+i ••• Sv, T₂, T₂

T₂.p-X

albo :

albo :

Gк—i — G к—2 — Ск— 1 Sj 0=a*_i—CkSi

W pierwszym razie dostajemy:

s\ ==5₁[G₁ C₂ ... -i- Ci]= CISj

(Tl —S j ^1^1

g₂=g^    C₂ s₄

Go — G₂    Cg S.|

U₄==0'g

in in ft.

a w drugim razie :

=5^[Cj-f" Cj ~Ь••• in inftĄ.

Lecz, że Cj, C₂,... można tak wybrać, aby szereg Cj + C₂ +... był bezwarunkowo zbieżny, więc i tu mamy :

s\ = Csi. To znaczy :

II. Funkeya P(x,yj dowolnego stopnia v7> p jest w zupełności wyznaczoną, gdy damy jej v dowolnie wybranych miejsc nieskończonościo-wych jednokrotnych, (v—p) jej miejsc zerowych i jedno miejsce, na fetorem ma przybierać dowolnie wybraną wartość skończoną фО.

Taka funkeya daje się przedstawić ilorazem dwóch funkcyj dołączonych dostatecznie dużego stopnia q ¹).

Rzecz się nie zmieni, jeżeli między miejscami nieskończono-ściowemi będą i równe sobie. Przyjmijmy n. p., że w szeregu: Px, P₂, ..., Pv powtarza się Py=(xy, yy) razy g i niech otoczenie tego miejsca w obrazie f— 0 określa para funkcyj x = cp(t), y=tp(t).

Wtedy w otoczeniu tego miejsca musi mieć si rozwinięcie

postaci :

+ ... + & .t~¹ +-h₀ + /ф+..., aby tak było, potrzeba, aby w rozwinięciu:

92(<P, T) = 7 20 + 7 21 ¹ + • ■■ ■• ^72 » /л—\ P-¹ + Г2р PP...,

było :

720 ~    721 ⁼⁼0,..., y-ui¹—■i—0-

Warunków tych jest g, a tyle właśnie wynosi powtarzanie się miejsca Py. Stąd wynika:

III. Twierdzenie II. utrzymuje się w całości, jeżeli funkeya stopnia v ma między miejscami nieskończonościowemi także i miejsca powtórzone.

Widzieliśmy, że próba przedstawienia funkcyi si stopnia v<p, a o dowolnych miejscach nieskończonościowych Px, P₂, ... Pv za pomocą dołączonych krzywych (g>w—2) zawiodła, a aby rozstrzygnąć , czy z niemożliwością takiej formy łączy się zarazem niemożliwość istnienia takich funkcyj, przeprowadzimy naprzód takie badania:

Niech si=Gi(x y) / G₂(xy) będzie daną funkcyą bez różnicy, czy Gx, G₂ są funkeyami dołączonemi, lub nie, to z powodu, że tu tylko miejsca (xy) dające /'= 0 bierze się pod uwagę, możemy także położyć:

«i =[Gi{Xy) + A(xy). f\x yj\ I [G₂(x y) + B(x y). f(xyj\

to stąd mamy identycznie:

rozumiejąc przez A(xy), B(xy) dwie całkiem dowolne całkowite wymierne funkcye zmiennych x, y. Połóżmy :

G₁JrA. /’= G±, G₂-\~B. f= G₂

Gi.G₂ — G₂Gi==(GiB—G₂A)f= U(xy)./', gdzie U jest funkcyą wymierną, całkowitą.

Przyjmijmy naodwrót, że daną mamy pewną funkcye ^ w dwóch różnych formach :

_    =    S₁ = GJG₂.

Różnica GiG₂ — G₂Gi jest wtedy zerem na wszystkich miejscach obrazu /=0, a stąd wynika, że i tu identycznie być musi :

(8)

Gi G₂—G₂G± = U<(x y). f\ gdzie U jest pewną, dobrze oznaczoną funkcyą wymierną, całkowitą zmiennych x, y.

Po wstawieniu w s₁ za (æ, y) par funkcyj , możemy w punktach (i 77), w których istnieje więcej niż jedna para, mieć dwie możliwości albo: 1°) każda z par funkcyj daje tę samą wartość si (na każdej gałęzi funkcyi algebraicznej у przechodzącej przez § ma sl tę samą wartość), albo 2°) różne pary funkcyj dają różne wartości funkcyi (funkcyą ma w (£77) różne wartości według tego, do jakiej gałęzi у zaliczamy 77).

Gdy dana funkcyą s± jest całkowitą wymierną funkcyą G{x y), to posiada we wszystkich punktach wielokrotnych własność drugą, a oprócz tego wszystkie swoje punkta nieskończonościowe ma na miejscach obrazu /‘=0 leżących wyłącznie w nieskończoności. W każdym punkcie wielokrotnym (£ 77), leżącym w skończoności ma G wartość ćr(£ 77) bez względu na gałąź algebraicznej funkcyi y.

Przyjmijmy naodwrót, że mamy daną funkcyą si =gilg₂ posiadającą wszystkie dopieroco wymienione własności funkcyi całkowitej .

Wtedy przez każdy punkt P, w którym się krzywa y₉= 0, /*= 0 przecina (styka) Æ-krotnie, musi i krzywa gi =0 koniecznie (& + c)-krotnie c—0, 1, 2,... przechodzić, inaczej bowiem byłaby funkcyą s₁ nieskończonością w punktach P leżących w skończoności, a to się sprzeciwia założeniu. Funkcyą gi da się zatem wyrazić formą g₂G{x y)-\- A(xy)./', gdzie 6r, A są pewnemi całkowitemi funkcyami, a sama funkcyą 64 będzie postaci :

giG+Af_giG

92

92

G(xy).

Stąd twierdzenie : ²)

IV. Dowolną funiccy § s— R(x y) posiadającą charakter funkcyi całkowitej na miejscach (xy) obrazu f— 0, można za pomocą f sprowadzić zawsze do formy całkowitej: G(xy).

Mając to, wróćmy do funkcyi sx, której stopień v założyliśmy <p. Przyjmijmy, że taka fnnkcya istnieje, i że ma postać :

Ux(xy, PfPf ... Pf Ui

Ufxy, PXP₂...PVUXU₂...)

P₁, P₂ są fimkcyami całkowitemi i niedołączonemi znikają w /=0 odpowiednio w punktach (Pf, Uf), (P„, Uß)³), a żaden z punktów (PXP₂...PV) nie zawiera się w grupie (Pf Pf... Pf). Funkcya sx ma więc miejsca nieskończonościowe Pa, a miejsca zerowe Pf, a=l, 2,..., v. Utwórzmy dołączoną funkcyę :

g₂(xy, PfP₂... PVPV+1... Pf QiQ₂... Qp) z dowolnie dobranymi punktami Pv+1, Pv+z, ... P; i zauważmy iloczyn (sx.g₂). Jest on widocznie w skończoności wszędzie skończony, znika tylko na (z+p) miejscach:

Pf,Pf,...,Pf, Pv+i,..., Pz, QiQz’-’Qp:

a że zawiera czynnik g₂ więc w punktach wielokrotnych ma jedną tylko wmrtość =0. Jest więc funkcya całkowitą [tw. IV.] i dotego dołączoną funkcyą :

g^(xy, Qi Q₂... Qp Pp-f-i ••• 1 i>-f- : — p Pv-\-z—pĄ-\ ... Pz P\ P% ... Pv )

Mamy więc sx=gfg₂, a że punkty , Q₂... Qp Pv+1... Р„+г_р zawierają sie także i w g₂ a jest ich z, t. j. tyle, ile dowolnych punktów zerowych w g₂, więc gx musi być tego samego stopnia co g₂, a krzywe gx= 0, g₂ =0 muszą przez wszystkie te same punkta krzywej /=0 przechodzić; sx jest więc widocznie funkcyą pozbawioną miejsc nieskończonościowjmh, a jako taka jest = stałej. Mamy więc twierdzenia :

V.    Funkcya R(x, y) stopnia v < p, a o dowolnych miejscach nie-skończonościowych nie istnieje.

VI.    Z funkcyj B(x,y) o dowolnych miejscach nieskończonościowych istnieją tylko funkcye stopni vf>p. Funkcya najniższego stopnia ma swój stopień (p + 1), a więc q, fart. 68. tw. I.] rząd obrazu algebraicznego — rodzajowi p tegoż obrazu.

Mamy w ten sposób rząd p obrazu algebraicznego już oznaczony.

Pd. 1. Krzywa (ж²-}- у²) — c\x-—y~) = O ma (Pd. 3., art. 58.) trzy punkta zwykłe podwójne, a to : punkt (0, 0) i dwa punkta w nieskończoności o stosunkach -f-i, —i. Mamy tu więc d = 3, p = p = 0, s = 2, a krzywą dołączoną stopnia («—2) = 2 będzie koło o równaniu c/(a;ÿ) = æ²-j- г/²-|- aæ-f-Sy = 0 z dowolnymi spółczynnikami a, ß, a funkcya s stopnia p -)— 1 == J będzie tu :

* = d(x У, Si Pi) / (у(хУ, PiP*)-

Pd. 2. Krzywa

ay³ -f- bx²y -{- сж⁴ = 0

8.2    3.2

ir=⁰

ma jedyny punkt trzykrotny (0,0) niezłożony. Jej rodzaj będzie więc = — a jej dołączoną krzywą stopnia 2s° będzie:

Ax² -j- 2Bxy -f~ Cy² = 0.

Jest-to para prostych przechodzących przez punkt (00). Utworzyć funkcyę s. Pd. 3. Krzywa :

my² -f- for⁴ -f- bxb — 0

ma w punkcie (0,0) punkt dwukrotny złożony, bo za podstawieniem :

«==?,

(«)

dochodzimy do równania:

(«0

ача + Ь« + Ь53_о,

które znowu zawiera wyrazy najniższego stopnia w=2. Z niego jednak dojdziemy już do równania, w którem znajdą się i wyrazy najmniejszego stopnia w = 1, a stąd wynika, że punkt (0,0) ma złożenie (2, 2).

W skończoności nie posiada krzywa już żadnych punktów wielokrotnych. Aby punkt w nieskończoności zbadać, połóżmy :

x=n/ź, у = —⁴/%,

(P)

to dojdziemy do równania:

(PO

a?³ -f- bbi⁴ +    ⁵=0,

w którem widocznie jest w— 3. Połóżmy tu:

5= 5i4i, n = 5i

(T)

to mieć będziemy :

(yO

+ të-i \ = 0.

Jestto równanie o w — 2, lecz z niego dojdzie się już do równania o w — 1, z czego się okazuje, że punkt w nieskończoności jest wielokrotnym o złożeniu (3, 2). Krzywa ma więc:

d = 2.

co

,8-2,2.! fi

4.3

P=P=^ — Q=0.

Równanie dołączonej krzywej stopnia 3»° ma mieć w otoczeniu punktu 0, 0) postać :

g(x y) = (xy\ -I- (x y\ -f (X y)3 =

=    + «1^)4- {hx2 + \ХУ + bpß) + (сож3 + С1 *V + cixiß + сзУг) = 0

a wskutek warunku w = 1 musi być «₀ = 0.

Równaniem dołączonej krzywej jest więc:

g(x y) = ал у -f {xy\ + (xij)3 = 0.

Z niego za podstawieniem (ß) mamy dojść do równania o tv=2. Że zaś to podstawienie daje :

(1)

więc musi być b₂—c₃*=c.₂=0, po czem równanie (1) dostaje postać:

—    «4²4- £(M² — M) + Oc^³ — Ci4s)=0.

Z niego za podstawieniem (y) dostajemy :

—    ²+7ii(ó₀?i — 6, )+—ci)=° ;

że zaś tu ma być w — 1, więc musi być jeszcze: c₁ = 0.

Uwzględniając a₃—b₂=c₂= ^=0, mamy:

g{xy) — aiy-\-\xiĄ-bixy-\-c(sx% = 0^ a ponieważ tu z—3, p — 0, p + l=l. więc:

s=g(xуS\P₂P₃)/g(xy, P₂P₂P₃).

Pd. 4. Utworzyć funkcyę s dla krzywej: ж-{-ж³-|-»/³ = 0, która nie posiada wcale punktów podwójnych, a więc jest rodzaju p = l.

Pd. 5. Krzywa :

хг 4- (жу)₄=ж²-)- {А^-\-А₃хгу 4- A₂x%iß-\- Аххуъ 4- 4,y⁴) = 0, w której 4)4=0 zakładamy, posiada jedyny punkt wielokrotny (0,0). Okazać, że jego złożenie jest: (2,2), rodzaj krzywej p=l, a dołączona krzywa stopnia 2s° ma równanie: g(xy)=a₀x-\-b₀x²-\-btxy 4~ b₂y² — 0.

Pd. 6. Równanie :

(«)

(X—a){x—b)

(x—c)(x—d)

po sprowadzeniu do formy całkowitej — ma postać:

у³ж²—(c-\-d)y*x-\- cdy³—a?² 4-(« +ó)a?—ab— 0

a gdy w niem:

J°) a, b, c, d różne między sobą 2°) a 4- b 4= c -j- d

3°) ab ^ cd założymy, mamy w (b) równanie nieprzywiedlne. Krzywa (b) nie posiada w skońezoności punktów wielokrotnych. W nieskończoności zaś ma punkt wielokrotny o złożeniu (3, 2). Mamy tu więc :

d — 4, p—p — 2.

Okazać, że krzywą dołączoną stopnia 3go będzie tu:

9(xy)=aa+b₀x+ bxy-\-cxxy 4- c₂y² 4- d₂xy‘l= 0.

71. Rząd obrazu hypereliptycznego i eliptycznego. Obraz algebraiczny określony równaniem:

(1)

yi={x—a,i) {x—a₂)...{x—an), w którem ai: a₂, ..., an przyjmujemy wszystkie między sobą różne, jest w analizie od dość dawnych czasów wielkiej doniosłości, a na-

żywa się obrazem eliptycznym, gdy w=3, albo =4, a obrazem hypereliptycznym, gdy n^>4:

Równanie (1) nie posiada w skończoności żadnych punktów wielokrotnych, (do których otoczenia przeprowadzone posiadałoby wyrazy najniższego stopnia w^> 1).

Chcąc zbadać punkta w nieskończoności, napiszmy (1) w postaci : y⁵=xn-\-A₁xn~¹-j-A₂xn~⁵4-...-\-An i połóżmy:

(«)

«=■«?/£» y=—l/l- ,

Z tego podstawienia dostaniemy :

(2)

£n-2==î?n_^i^-l£_pj^n-2£2_p ...4.^».

Jestto równanie (A), jakie mieliśmy w Pd. 3. — art. 61. — a z tego wynika :

I. Obraz hyper eliptyczny ma w nieskończoności (m — 2) - krotny punkt, a do niego dołącza się    l j punktów podwójnych, gdy n jest

/w + l

l~~2

parzyste, a

2 j punktów podwójnych, gdy n jest nieparzyste.

(3)

Mamy więc:

₇ (w—2)⁵

d==^T

(n—2)⁵—1

d=-

Ś>=\P=

— 1, gdy n jest parzyste,

W , gdy n jest nieparzyste.

6rdy () ma być =1, musi być n—4: albo =3; obraz jest eliptyczny. Równanie dołączonej krzywej (w—2)£° stopnia dla krzywej (2) w otoczeniu punktu M=(£, 17)=(0,0) niech ma postać:

<? = (£ ł?)»-3 + (| îy)n_2=0

gdzie

(I «?)я-з=³ + сп^п~\ +... + c₀pn fj)„-2=dn^n~⁵+dn-3^n~⁶ g+- + d₀rjn~⁵ .

(w—2)(w—3)

-3

warunków potrzebnych, aby punkt

r== ^—1, albo

według tego, czy n jest parzyste, czy nieparzyste. Połóżmyż:

to mieć będziemy:

b=śi%, П\ = î

i;

a stąd wynika, że c₀=O być musi. Połóżmy dalej w <Pi = {Cn-ZV\ n~ ³ + ... + Cl ^) ■+ ii (% , l)n-3=0 bi“b2%-; Vi “ba?

=0

to dostaniemy :

94 ⁼⁼(c«-3^₂”    ⁴ + ---+ci) + %(^27 1)я-2 = 0,

a stąd znowu wnosimy, że Cj =0 być musi.

Tworząc w ten sposób czem raz dalsze przerobione równania przekonalibyśmy się, że dla otrzymania r równań o w— 1, trzeba, aby — prócz c₀=c₁= 0 — jeszcze było:

ć?2 — Cot — ... — 6*^.—\ — 0 ■

Krzywa dołączona mieć więc będzie równanie :

<Зр=ся_₃£п-³+ся_₄£я“⁴?7+...+Сг£г^-г-3+(£??)и-2=0.

Z podstawienia (a) mamy naodwrót :

Iе-1/У,

że zaś spółczynniki ся_з, ..., er, dn^ ..., <2₀ są dowolne, więc nie zważając na znaki, dochodzimy z <p=0 do równania:

g(x y) = [cra_3 -t- C« _₄ж+cn_₅x²+.. + CrXV-^y 4-4~    2 4“    i# 4- ćńj—2^r² 4~ • • • 4~ d₀ %n~²=0,

(4)

(5)

które określa dołączoną krzywę stopnia (n—2)®° w obrazie hyper-eliptycznym (1). Do zupełnego wyznaczenia tej krzywej potrzeba jeszcze punktów:

3^    ^

—2—, gdy n nieparzyste.

—3, gdy n parzyste; z

Mając z obliczone, można następnie przejść do tworzenia funkcyi s stopnia (^4-- l)s°.

ROZDZIAŁ IX.

Funkcye Weierstrassa: H(xy)a, H\xy)a, H{xy, xJ y‘).

72. Wyprowadzenie funkcyi H(xy, x*y‘) z funkcyi s. Funkcye H(xy, Х*у*)и> W funkcyi :

s ypry, Q] Qï"-QqSqj^xPq^-'-Fz iQ ! Q ₂•••Q    Q\ fay)

g(xy^ Pj P<y...PçPf)^.\Pç^%...Pz iQi Q₂--- Qq) 9î(xy)

(^ + l)go stopnia, jaką utworzyliśmy w Rozdziale poprzedzającym, połóżmy :

Pl ^«i&i), P₂ («2^2)J    Pę—iUębę), Po-f-1 — (P, ?/'), $p-fl = (uo&Q) ,

(a₀b₀) są dowolnie obrane miejsca w obrazie

gdzie (a₀6₀), (a^), ..

а («₀Ъ₀)

/•=0 rzędu miejsce (Гу') jest bieżące w tym obrazie jest różne od miejsc (««&«), ci—1, 2, ..., (>. W otoczeniu miejsca (py') niech będzie :

■Bi

n A+AJ+AJ*+... b~ B±t+B₂t²

to funkcya

В ^ ma jeszcze te same miejsca zerowe i nieskoń-

czonościowe, co funkcya s, a w otoczeniu miejsca (Py') ma rozwinięcie postaci —    Wskutek tego musi być w każdem poło

żeniu miejsca (Py') :

(2)

H(xy, Py')

B,

X s ’

przez co już funkcyę H(xy, x‘y‘) wyprowadzono z funkcyi s.

W funkcyi H(xy, x'y‘) jest (Py') takiem miejscem zwyczajnem obrazu f=0, które nie wpada ani w miejsce (a₀J₀), ani w żadne z mie)sc (acebce), a= 1, 2, ..., i wtedy funkcya ta posiada wszystkie ją charakteryzujące własności. W szczególności, gdy (xy) zastąpimy

parą funkcyj (xt, yt), otaczającą miejsce (a«&a) i położymy:

cc a

(3)

Я{xty₍, Py') ^Н(х‘у‘)а^ +H(xly,)a—H‘(x‘yl)J+...

a = l, 2, o,

dostajemy w spółczynnikach :

I. Я(Ру') II. Я'(Ру')

a — 1, 2, ..., p , a = 1, 2, ..., p

dwa systemy po {? nowych wymiernych funkcyj pary (x‘y‘) obrazu algebraicznego f=0. Te funkcye — jak później zobaczymy — odegrają w dalszych poszukiwaniach bardzo ważną rolę.

Zbadajmy graniczne wypadki:

Cl ?

CC J

H(xy,a₀b₀) i H(xy,aaba),    « = 1,2,..., P.

W pierwszym razie mamy PQ+i=(xly,)=(a₀b₀). Funkcya s przechodzi na funkcyę stopnia ^g0, a że taka funkcya nie istnieje, a (a₀&o) ma być miejscem zerowem funkcyi H(xy, x‘y‘) przy jakiem-kolwiek (Py'), więc

(4)

H(xy, a₀b₀)=0 identycznie.

W razie drugim mamy: PQ+i=(x‘y‘)=(accba)=Pl

a więc :

18

Teor. funkcyj analit. T. II.

(6)

£_9(ХУ> Q\ ••• Qcr"Qç^(>+\iJQ+2-‘-Pz\ Q i Q 2“’Q p)_9\ fay)

g(x y i    ...Ра...РдРа Pqą.2...Pz\Q\ Qi""Qq) 9% (ХУ)

Przyjmijmy, że chcemy utworzyć krzywę dołączoną, która przechodzić ma przez {z—1) punktów:

Qi, Ç?2» •••? Ф(> ?    •••, Ps ;

[są one wszystkie punktami zerowemi licznika]. Ponieważ mamy tu warunków o jeden mniej, niż potrzeba, więc dojdziemy w tym razie do pęku dołączonych krzywych :

(6)

(7)

К{хУ)=уЛхУ)+Л.у.₂(ху).

Aby z niego wyjąć krzywę Kce(xy) =0, przechodzącą przez punkt P«, potrzeba tylko jednego warunku:

Л — У\ (^cfia) / У2 (Цcibct) ^ У la! У2се ⁼ ^a-Ale — jak to zaraz okażemy — ten jeden warunek spowoduje, że krzywa ta w punkcie Pa będzie miała z /'=0 już aż dwa wspólne punkta. I tak: przydając do punktów (6) jeszcze punkt Pa mamy już z punktów: ale te punkta należą do g₂(xy)—0, więc mamy identycznie :

Ka(xy)=^g^jy)=Ç>.

Że zaś g₂(xy)=0 ma z /'=0 dwa wspólne punkta w Pa, więc to samo odnieść trzeba i do krzywej Ka=0 c. b. d. d.

Aby z drugiej strony bez przydawania nowego warunku miała krzywa Ka=0 dwa punkta wspólne P„ z /‘=0, ko-niecznem jest, aby y\a^y-ia=0 niezależnie od Я. Parametr Яа okazuje się więc w formie nieoznaczonej 0/0, a aby jego wartość oznaczyć, postąpmy w ten sposób: Niech parą funkcyj, otaczającą w /‘=0 miejsce P«, będzie: x=aa + t, ?/ = &a-pip(ć), to rozwinięcie

Pot(«a +1 , ba-\- $$(£)) = (yia + ^«^2«) + (/i a + Яау '2a)t -f- ...

musi się poczynać dopiero od 2§iej potęgi parametru t. Że zaś już mamy yi«=y2«=0, więc musi być dalej: y'ia + ^«y/2«=0. Skąd dostajemy: Яа=—y'ictly'occ, a równanie у₁(ху) + Лсеу₂(хy)=0 z taką wartością Ла określa krzywę Ka=0 identyczną z krzywą pr₂=0.

Lecz wskutek yla=y₂«=0 przechodzić musi każda krzywa pęku (7) przez punkt (aaba). Właśnie i krzywa gi(xy)=0 należy do pęku (7) i przechodzi przez punkt    = (a₀ h₀ ), przechodzi więc

także i przez punkt Pa. Z tego wynika, że w liczniku formy (5) musi się w grupie Q‘2j ..., Q‘q mieścić punkt Pa. Lecz — jeżeli tak się rzecz ma — to s jest funkcyą tylko stopnia p, a że na miejscu Sę+1 ma być zerem, więc s = 0 identycznie, a za tern idzie, że i

Spróbujmy teraz utworzyć funkcyę wjanierną    któraby

posiadała takie własności: 1° na miejscu (#'«/') ma być nieskończonością w (^-bl)szym stopniu, g—1,2,3,..., a jej rozwinięcie na tern miejscu ma z ujemnych potęg parametru t zawierać jedynie potęgę t-i⁷-¹, 2°) na p danych dowolnie miejscach Pa=(aaba), ct=1, 2, q ma być nieskończonością w pierwszym stopniu, 3°) na do-dolnem miejscu (я₀&₀) ma być zerem.

Niech taka funkcya wyrażona ilorazem dwóch funkcyj dołączonych, posiada mianownik g₂{xy), to gdy punkt (x‘yl) nazwiemy krótko, P, mamy wyraźnie :

92(xy)=g(xy,PiP₂...Pę, PP-P, Pq+h+i...Pz\Qi...Qq)

l⁷+ i

o dowolnie dobranyoh punktach Po+jM+2, Pz ■ Warunki wyznaczające tę dołączoną funkcyę są przedewszystkiem :

O)

g₂(Pa)=0⁷)    «=1,2,

5,2(-^ip+i«-b2)⁼⁼0? 5,2(-^(Р+/«+з) = 0, •••> $,₂(Ps)⁼⁼0-

Dalej — gdy w otoczeniu miejsca P mamy:

(6)    g₂=g₂(P)+g‘₂(P)t+...+g₂ W(P)P+Pi    +P₂ ^t+2+...

0)

— to wskutek pierwszej własności funkcyi , koniecznem (ale jeszcze niedostatecznem) jest, aby zaszły takie jeszcze warunki: g₂(P)=0, g\{P)=0, ..., Л«(Р)-0.

Przez (a), (i), (c) już jest mianownik y₂ w zupełności wy-

znaczony.

Licznik g^(xy), który jest oczywiście także funkcyą dołączoną, ma przedewszystkiem spełnić takie warunki :

b 2,

P>

¹    ffïiQa) — 0

¹    9i    •••» ^l(Pj) —Oj 5ri(tt0^o)⁼⁼0.

Jeżeli dalej jego rozwinięcie w otoczeniu miejsca P jest : gi=gi(P)+g\(P)t+...+glM(P)tv+Aitv+i + ...,

to warunki:

¹

Gdy q > n, to do zupełnego wyznaczenia krzywych g, — 0, y₂ = 0 trzeba jeszcze dobrać na różne sposoby punkta leżące poza /=0 [por. T. I. str. 336.].

²

Nötli er. Math. Ann. T. 6. str. 351—359.

³

W punktach Uß znikają w tych samych stopniach.

⁴

ma za podstawieniem (a) przejść na równanie o w= 1. Takiem przerobionem równaniem jest tu:

⁵

pełniło ono już

⁶

M był [n—3)-krotnym. To równanie ma dalej — według określenia krzywych dołączonych — przez podstawienia użyte w równaniu (A) [Pd. 3., art. 61.] — dać początek r równaniom zatrzymującym statecznie wyrazy najniższego stopnia w=1, gdzie

n + 1 ‘“2

⁷

Dla uproszczenia naznaczamy — gdy i? = (ijri) — wartość ^(5 rj) przez g(B)

(ć)

Oi) £'i(P)=°? (£₂)    -, Ы £iW(P)=0

wraz z warunkami (ó) mianownika zadość już czynią, aby posiadła własność pierwszą.

Mając to, możemy sfl schematycznie przedstawić w ten sposób

л (f)+^^+- _&re[f-,-,+ад].

P-, #*⁺¹+Р₂ #*+¹ +...

(9)

yfaih Q\Q2“'Qa“’QQ^Q+^i^2'“^^o+!A''^'"'^>s QiQ 2’"Q 9)

ÿ(^,P₁Pî...P„...PpP PP....PP9+lt+*..P,\Qi Q₂.-Q₉)

/H-i

_9\(*y) g₂{xy) '

Jej rozwinięciem w otoczeniu miejsca P jest:

в\

Gdy zauważymy funkcyę :

з^Щху^х^Х, н-= 1, 2, В,

to ta funkcya posiada takie własności :

1°) H (xtyt, x‘y%=KJ-¹ +

2°) H{pctyt,    (0 ?

3 °) H (xtyt, x‘y%=t-it-¹ + фДО*

а а

(xtyt) jest parą otaczającą miejsce (aaba)

л(^)

« = 1; 2, ... p,

(10)

(W) я WtV't) V

(a<A)» a

W art. następnym poznamy, że П(ху^ x'y¹)^ jest wymierną także w parze (,x‘y‘).

Przyjmijmy, że mamy drugą funkcyę: H(x y, x'y')p, posiadającą również własności (10). Różnica:

[H{xy, x‘y%—H(xy, x‘y%

jest funkcyą, która już tylko na p miejscach dowolnych Pa staje się nieskończonością. Taka funkcya nie istnieje, jest stałą ilością, a że na miejscu SQ+\=(a₍jbj) ma być zerem, więc mamy:

H{x y,    (X y, x‘y% identycznie ,

a to znaczy :

I. FunJccyę H(xy, x'y‘)p charakteryzują własności (10) w zupełności. Niech (x'y')=(adb₍j). Wtedy warunki (licznika):

ffifóę+i)“0, (g) ? (®г) )    (£,м)

(П)

są zarazem warunkami mianownika. Funkcya sfl staje się funkcyą o q tylko miejscach nieskończonościowych, a że ma być zerem na miejscu /Sp+i, więc byó musi s^—O identycznie i H(xy, a₀b₀)p=O identycznie, jeżeli (a₀&₀) ma byó zarazem punktem zerowym tej funkcyi.

Przyjmijmy (х'у')=(ааЪа.). Wtedy: g^{x y)=g{x у i P^... Pa... Pq PaPa... Pa Po-f-^.f-2 ... Pz | Q₂>.. Qq)—O

^+i

jest krzywą (dołączoną), która na miejscu Pa ma z /‘=0 aż (fi + 2) punktów wspólnych.. Zauważmy pęk krzywych :

30“ Y i (® 30 + ¹ • Уг ' 0® 2/)

wyznaczony (0—1) warunkami:

92(Qcc)=0, «=1,2,...,(>

(12)

.g₂/(P«)=0,    (P«)=0, ...,^₂^(P«)=0

0,2(^Э|р+^+²)⁼⁼^) •••) 9¹l(.Pz)

O nim da się udowodnić jak o pęku K(xy)=0, że każda jego krzywa przechodzić musi koniecznie raz przez Pa.

Właśnie krzywa gi(xy) = 0 może być wyznaczona przez warunki (12) z dołączeniem warunku gi(SQ^)—0, należy więc do pęku K‘—0, a stąd pochodzi, że między punktami (Qß, Q₂‘,..., Q¹q) zawiera się punkt P«; funkcya д^хУ) jest zerem na miejscu P«.

Uwzględniając te uwagi w g^, g₂ dostaniemy w otoczeniu miejsca Pa :

(13)

9\ (Pg)

PU‘M+2 + -®2^⁺³+-

a H(xy, accbce)^ posiadać będzie w otoczeniu tego miejsca rozwinięcie:

Ze zaś dalej s^ jest w pierwszym stopniu nieskończonością na miejscach (a^bß), ß=l, 2 (a₀&₀), więc mamy:

(« —1), (a + l),..., (>, a zerem na miejscu

H(xtyt, a«6«V==P^-¹ — M⁻¹ +Щ) ß ß

(14)

H (xt yt, aa ba)^=li‘a t-¹ + $(ż) o o

H (xt y i, a a Ъ„)^.Щ),

a w otoczeniu wszelkich innych miejsc (#y) :

Я(^у„    ШФ0.

73. Rozwinięcia iloczynu A. Funkcye II(xy, x‘ y‘)fl dadzą się jeszcze w inny sposób wyprowadzić¹).

Zauważmy iloczyn :

(1)

A=H (xy, x\y\)

w którym (x\y‘T) ma być parą funkcyj otaczającą w obrazie /'== 0 dowolne osobliwe, albo nieosobliwe miejsce (x'y') różne od (a₀ó₀) i od miejsc (ааЪа), a— 1, 2, q. Rozwijając iloczyn A podług potęg parametru x połóżmy:

(2)

A = —]S Qt*(x

a nie wdając się bliżej , o ile i kiedy występują tu odjemne wykładniki ß, zbadajmy, . jakiemi są funkcye Q^ dla dodatnich ß > 0.

Niech (x'y‘) leży w skończoności, a parą funkcyj otaczającą to miejsce niech będzie:

(a)

x‘t^x>Arqt^₎ y't=y'-r(p(t), <p(0)=0.

Obierzmy wartość t—x tak małą, że ona leży w zakresie istnienia tej pary funkcyj , to dla tej wartości dostajemy miejsce (х‘т, У\), gdzie :

(«')

x‘=x' + qx'L.

Z pierwszego równania w (a) i z równania («') dostajemy x't=x‘T-\-ą(tz—Xя), którato forma przy dostatecznie małych wartościach I tx—гя \ przedstawia x\ otaczające x'x. Wskutek tego będzie można i te y\, które w obrazie algebraicznym otaczają y\, przedstawić formą :

y't=y'z+(pi(tz—xz), (pA0)=0.

Przy bardzo małych wartościach \x\ mieści w sobie para

funkcyj :

(ß)

-rą{lx—хя), y't^y'r+cpiАя—хя) i miejsce (x' y‘) dla t=x=0; dla t=x daje (х‘г y\). To samo daje i para (a) dla ć=0 i t=x. Bez różnicy więc parą (a) lub (ß) można przy dostatecznie małych j t, \x\, tworzących pewien zakres {^, t} przedstawić te miejsca obrazu algebraicznego, które równocześnie najbliżej leżą miejsc (x'y‘), (x\y\). Naznaczmy iloczyn A w tym zakresie przez A', to możemy go w dwojaki sposób przedstawić:

o tych formach znaleźć można w rozprawach : „ Über diejenigen algebr. Gleichungen“... G. Hettner. Göttinger. Nachrichten 1880 str. 336 — 898; „Über die eindeutigen Functionen von zwei durch eine algebr. Gleichung verbundenen Veränderlichen¹¹.

P. Günther. C. J. T. 109. str. 199—212.

(It*

A‘ = IF(V + qtx, y‘ + (pit) ; x\ ij\)

(5)

(4) A^HWr + qit*—хя), y\ + (px[q(tz—xx)]-, x\y\) albo :

dx\

dx

wx

dr‘T

dx\

Gdy zważymy, że

qÀ.xz—\ to forma wt da w otoczeniu

miejsca (x‘t y‘v) takie rozwinięcie :

\-S(tz—xz I a:'T у'т) t*-¹ .

Яхя~¹

'W A

S zawiera tu same dodatnie potęgi różnicy (О—О); а w wyrazach swych mieści wymiernie as'T i у‘г.

Połóżmy :

Ал-i t —О⁻¹ X

Ххя~х A₀ A tz—Xя    t—t—ex'

gdzie e jest jednym z pierwotnych, ^tych pierwiastków jednostki, to ponieważ tu pierwszy częściowy licznik A₀ = 1? mamy:

(6) wx

t—EX

Az—i

t—ея~^ X

Dla t=x jest- wx niezawodnie =oo. Pytanie zachodzi, czy i dla it—ekx, jfc=l,2, ..., (/i—1), będzie ■wi nieskończonością? Aby to rozstrzygnąć, zauważmy drugą formę w₂ iloczynu A¹. Gdy tam t=x założymy, mamy również w₂=co, bo obie pary funkcyj dają to samo miejsce (x\y\). Przyjmijmy t=ek x, gdzie 7s=l,2, ..., 0—!)• Pierwsza para w w₂ staje się wtedy — (x\, y‘-\-y(ßk х)=у‘г) i jest widocznie miejscem rożnem od {x‘t y\). Z tego powodu jest w₂— a więc i w\ — dla takich t skończone.

Z tego wynika, że w (6) będzie cały wyraz T(t, x) ujęty w nawiasy skończonym dla t=£kx, 7c=l, 2, ..., (Я—l). Lecz i dla t=x będzie również skończonym, bo z jednej strony suma:

4-2

Az—i

t—EX t — EH    t—ЕЯ~^Х

x I da się więc T(7, x) rozwinąć na szereg, który

jest wtedy skończoną, a i S postępujące podług samych dodatnich potęg różnicy Iя—Xя jest wtedy także skończone. Przy dostatecznie małych \t\,

w całym obszarze {7, t} po wyjęciu zeń miejsca (7=t=0) będzie

niezawodnie zbieżnym. Połóżmyż T(t: r)=P(t, г), gdzie P zawiera w ogólności i odjemne potęgi zmiennych t, t, to mamy A' —

x\ y',)

(I).

(«1)

Gdy w parze (x\y\) ma być х'—со, położymy:

x?t=qt-x, i/t=(p(t),

i analogicznie z formami (ß) :

x‘t=x\+q{t-z—T-x), y't=y\-\-ępx(t-*- т~л).

(ßi)

Niech w tym razie:

Ят~х 1 т л

gdzie £ jest znowu pierwotnym, itym pierwiastkiem jedynostki, to z uwagi, że tu także Л₀ = 1 wypada, dojdziemy i w tym razie do rozwinięcia (I).

Gdy w (I) założymy £=0, тфО, dostaniemy tam lewą stronę skończoną. Z tego wynika, że tam i po prawej stronie w P(t, г) nie znajdziemy ani jednej odjemnej potęgi parametru t. Załóżmy \t |>|t|, to dojdziemy z (I) do rozwinięcia :

Я. tx г~¹

P—%x

t—г t—et

Az i

t—£Я~iT

a-)

...+P(ż, t)=— 2 Qri&tÿt, V y¹) p.

P P

Z porównania spółczynników mnożących tu po obudwu stronach te same potęgi vu, /£=0,1,2,..., mamy:

Qpfr'tÿt, ж'У)=-^г+^(0, ^=0,1, 2, ...

a to znaczy: P unk су a Q/x у, x‘у¹) zachowuje się w otoczeni u miejsca {%'y⁽) tak samo, jak funkcya H(xy, x'y a Q₀(ху, X¹ у') tak samo, jak —H(xy:x‘y‘).

Podług (3) — art. poprzedź. — trzeba -położyć :

Aa=PL{xt yt, x\ у‘г) = II {x\ y\)

0    /7

+ H{x\y\)aljA-H\x\ у‘T)a

Wyjmując tu po prawej stronie spółczynnik potęgi /£=0, 1, 2, ..., dostajemy stąd :

(«)

(Г0

(b)

== — J/7 {x\

dx‘T

“Ah'

dx‘

dr

и ...

QAxtVo x< у')

gdzie [...]тм ma oznaczać spółczynnik potęgi P w wyrazie ujętym w nawiasy.

У‘т)

Z równania (b) wnosimy, że się funke y a Qp(xy, x'y‘) zachowuje w otoczeniu miejsca (aa ba), a=l,2, ..., q, znowu tak samo jak funkeya H(xy, x'y'); a Q₀(xy, x‘y') ma tu własność funkcyi H(xy, x'y‘).

Zauważmy wreszcie rozwinięcie iloczynu:

ĆloO*

A₀=H (x, yt, 05% 2/h) ~^=P0 (t, Ï)'

PQ(t, f) nie może zawierać odjemnych potęg parametru t, bo inaczej dla t=0 i тфО mielibyśmy P₀ = go, gdy przeciwnie A₀ jest wtedy zerem. P₀(t, г) nie może nawet zawierać wyrazów wolnych od t. Mając to na uwadze, dostajemy:

(I"')

(e)

Q,u(xtyt, X¹ y') = t .^^t).

Jestto widocznie trzecia własność charakterystyczna funkcyi H(xy, х'у')^] Q₀(xy, x‘ у') posiada własność funkcyi H{xy, x'y').

Z (a), (b), (c) wynika :

I. Funkcye H{xy, x‘y%, ^=1,2,..., dadzą się określić jako spół-

dx‘T

czynniki potęg г<л w iloczynie — H(xtyt, x' y‘T)

i są wymierne również

w x'y'. Funkeya:

Qo(xy, x'y')=H{xy, x'y'\ = —H(xy, x'y').

Zbadajmy teraz — określając bliżej funkcye Q-^ixy, x'y'), [i=l, 2, 8,... — o ile w rozwinięciach tu rozważanych występują odjemne potęgi parametru г.

Z rozwinięcia (I"') wynika :

(7)

Q-I»(.xtyt, x'y')=t<$^(f),

Q-r KA> x‘ «/0=0-

Z rozwinięcia (I") dostajemy:

Q-l*(Xtyt, x' y')=—hat-'+$cc(t).

W rozwinięciu (I') można Q—fl mieć jedynie z P{t,x). Ze zaś P{t, г) zawiera wyłącznie dodatnie potęgi parametru t, więc dostajemy :

a więc:

⁽A)

Q-i* (x't y't, х'у')=Щ)-

Funkcye Q—/,i są więc widocznie nieskonczonosciami i to pierwszego stopnia — tylko na g miejscach (aaba). Redukują się zatem do stałych ilości, a te — wskutek (a,) — muszą być zerami.

Stąd wynika Q-^ixy, x'y')—0, [i—l, 2, 3,..., a to znaczy:

dx\

II. Rozwinięcia iloczynu H(xtyt, x\y'T)~^ funkcyj (xt yt) — nie zawierają nigdy odjemnych potęg parametru

(®l)

—jakąkolwiek jest para

T.

Na podstawie tego twierdzenia wynikną, z relacyi (I") dla fimkcyj H(xy)a, H‘(xy)a takie własności :

dx\

H(х‘г У x) a

(fy‘)

d%

4M*)

« = 1,2,

[л/у' może być miejscem osobliwem albo nieosobliwem].

Uwaga. W rozwinięciu (I) uwzględnia się w obszarze tJ tylko |#|>0 iт! i>0. Z tego powodu dojdziemy do takiegoż rozwinięcia (I) zbieżnego w takim samym

a cc

obszarze, i wtedy, gdy [(x‘t y't), (x\ /А)], zastąpi się parami [(xtyt), (хт ?/r)], albo oo oo

parami [ (ж* yt), (xtyt)\

a cc

74. Rozwinięcia iloczynu B. Gdy w iloczynie A — (art. poprzedź.) — zastąpimy {x‘y‘) przez (aCiha) otrzymamy iloczyn:

cc а Л r

B=H(xy, xx yT)

o rozwinięciu —2QlÂ)(xy₁ aaba) i¹*', a Q^ixy, a«ó„) będą funkcyami

f*

H(xy, att Ъи)р, y=l, 2, 3,...

1°) W iloczynie Я połóżmy (ху)^=(х%у\), to rozwinięcie :

CC

cc cc dr

B‘=H{x\y't, зд) ^

nie może zawierać odjemnych potęg parametru £, bo dla ć=0, тфО jest B‘ skończone. Wskutek tego mamy:

H(X ty t j О'а Ьа)/л⁼⁼У$/л(^)

Q—/*(ß ty 11 O« ^a)⁼⁼^P f-iify.

a a

2°) Gdy {xy)—{xtyt) założymy, otrzymamy:

a

cc cc /7 p

Ba=H(xtyt, xtyT)°^=-

Lewa strona jest tu dla t=0 i тфО nieskończonością, a w otoczeniu miejsca (aabct) ma — podług (3) art. 72. — rozwinięcie:

(П)

(1)

(«2)

(1Г)

di

tx = l,2,3,...

a a    o ce cc

H (xT yt ) (t —¹ M + Я (ж, yt)C( ^

dxT

dxt

— H‘{XTyt)a t+... Z tego wynika, że P(t, x) mieści w sobie wyraz:

cc a

dxt

Tl{xTyl)a ^

i£_1, i że więc:

(П")

B«= —

а a

.    f" H (Xz У г)

Z ‘ X

dxz

ce (h

gdzie już P' nie zawiera ani jednej odjemnej potęgi parametru t. Założywszy 111 Ix |, dostajemy :

(II"¹)

dx r

J--J2 --• + H(xzyz)K'^t-i+P,(t,x)

a stąd :

(2)

a a    ^

B{xt yt, aa ba)u= fci+i

jH(x

dxz

a dr I#

dxz

skończone

Przy założeniu, że aC( są skończone, wypadają ^ także i dla t=0. Dla x=0 mamy dalej :

=’H{Xt'ytj xz y i)z—o=⁼ H (Xt у 11 ма &a)⁼⁼Oj [art. 72.],

a więc lewa strona w (II"') redukuje się w tym razie do zera. Prawa strona musi tam być także zerem, a stąd wynika, że P, zawiera same dodatnie potęgi parametru x, posiada czynnik t,

а, г— 0

(К)

CC CC

H(XZ уt)

dxz

=1.

(h)

dx j г=о

Dalej wskutek własności szeregu P‘ dostajemy tu:

Q—1Л (xt Vt , aa    05 = 1,2,..., p.

3°) Przyjmijmy {xy)=(xtyt)^ ß%ct,\ połóżmy:

a

ß ß CC cc

Bß=H(xtyt, xzyz) -~^=Px(t, x), to tu znowu mieć będziemy rozwinięcie :

dxz

Bß—H(xz yz)ß ^

w którem już P\ zawiera wyłącznie dodatnie potęgi t. Stąd dostajemy:

(IK⁴))

(3)

B(xtyt,

Dla т=0, £фО mamy znowu Bp=0, a więc i tu przyjąć trzeba, że w (ID⁴)) zawiera P^it, r) same dodatne potęgi r, posiada czynnik T, a

05    05

ЩХгУг)?

=0. Dalej dostajemy:

Jt=0

(сг)

Q—(Xt Vt i U а Ьа) —O-

4°) Przyjmijmy wreszcie, że w В jest (xy)—(xtyt), to w roz

winięciu :

05    05    /7/у»

В o =H(xtyt, xTyT) ~=P₀(t, %)

nie mogą się zawierać odjemne potęgi parametru t, a i wolnego wyrazu od t mieć tam nie możemy.

Wskutek tego dostajemy tu :

(IF))

(4)

H (xt yt,    i

Q-n (xt У i, «« &«)=*■ $'09> Q-t*(a0b 05 aaba)=0.

Z własności (a₂), (6₂), (c₂), (e?₂) wynika, że:

Q-^(xy, oa Ъа) = 0,

co znaczy, że i tu rozwinięcia iloczynu:

H(xtytJxTyr) dT

nie posiadają wcale odjemnych potęg t, jakakolwiek jest para funkcyj (xtyt).

Na podstawie tego wnioskujemy z (IF), że:

dxT

05    05

dxt

[ha ß)

H(xryr)ß (h

=^(т), a dla t=0 jest =0,

a cc

dxT

Н'(хтуг)^=г.^^ (г)

/*“1,2

CC— 1, CC -f- 1, ... Q.

Gdy wreszcie w (II“) założymy |£|<|t|, położymy więc:

dxT

~    Н(хтут)а-^ t i-\-P/(t, t),

mieć będziemy [por. (3), art. 72. i rozwinięcie (a₀)]:

Ba=

dxT

(J^na)

H{pctyx)a ^- = ^a(r), a dla c=0 jest =1,

H\xzyl)l

— T~² + T . ^'а(т)

a=*lj 2, •••» (>•

Formy (1), (2), (8), (4) określają własności funkcyi Щху, aa ba)ß — (por. (10), art. 72.), jx = 1,2,3,...

Co się tyczy spółczynnika H(xy, aaba)₀ to w założeniu, że aa są skończone, mamy dla t=0

B‘- Ba - Bß — B₀ — О,

więc H(xy, aabC()₀--= О. Można więc położyć:

H(xy, асеЪсс)₀=Н(ху, aaba)=0 (рог. art. 72).

(5)

iloczynu :

75. Rozwinięcie iloczynu C. Rozważmy nakoniec rozwinięcia

o o

C=H(xy, xTyT) —

Połóżmy znowu, gdy : 1°) (xy)=(Pt y‘t).

(III)

to przedewszystkiem odrazu da się wywnioskować, że Px nie zawiera tu odjemnych potęg tx bo dla £=0, т:фО lewa strona pozostaje skończoną. Wskutek tego mamy:

Q^PtV't, a<A)=3W

tx=1,2, 3...,

=PX(t, t) = — 2 (Pt y‘t, Mo) &

(«)

Aby się dowiedzieć o odjemnych potęgach parametru % wartych w (III), przyjmijmy, że mamy inną jeszcze funkcyę H(xy, x'y‘), która wprawdzie na miejscach (aabcc): ce = 1,2,...{?, i na miejscu (Py¹) jest nieskończonością, ale zerem się staje nie

innem miejscu (a\b\). Wtedy można położyć :

za-

na

miejscu (a₀6₀), ale na

H(xy, Py')=H(xy, P у‘)—H(a₀b₀, P y%

ma w istocie wszystkie charaktery-

bo różnica po prawej stronie styczne własności danej funkcyi H(xy, x‘ y‘). Dalej mamy:

o ⁰ dxt

H(Pty‘t, Pyd-fo

_    o o

= # (x\ y‘t, xT yv) H(a₀ b₀, xt yt)

dxT

d% ‘

Tu pierwszy wyraz po prawej stronie nie będzie zawierał odjemnych potęg x, [art. 73., tw. II]. (Idy więc założymy:

(1)

dxx

II (a₀ b₀, хтуг )    —    (a₀ b₀, ci₀ b₀ ) t“

to mieć będziemy:

(2)

ОСгУг)

o

dxA dx Jr—M

— Q-pWtÿt, а₀Ь₀)=у-ц(а₀Ь₀, а₀Ъ₀).

Podług wzoru (I) — art. 73. — mamy :

⁰ 0 o 0 dxT H(xtyt, xxyx)-^= —

■tb+p(t’r)’

ani para-

gdzie P nie zawiera ani odjemnych potęg parametru t metru x. Wskutek tego, gdy t=O, dostajemy:

dxx

Н(а₀Ъ₀,хгуг)

=f+$w

a stąd — porównując to z (1) — wynika:

Q^l(a₀b₀,a₀b₀) = — 1,    Q₀(a₀b₀, a₀b₀)=O

Q—p(a O^OJ ^*0 ^0 ) ⁼⁼⁼^y

{*=2,3,...

Biorąc relacye (2) na uwagę, mamy więc:

Q-i(x‘tÿt, a₀b₀)= +1, Q₀(x'ty't: а₀Ъ₀)=O

Q—(* frt y t ) ao^o) ⁼ 0)

F-=²,³>

a że te relacye utrzymują się dla nieskończenie wielu wartości parametru t, zatem na jakiemkolwiek miejscu (xy) obrazu /=0 będzie statecznie :

(3)

(HP)

Q-ifry, «Д) = 1, Q₀(xy, «Д)=0 Q-и fry, «(А)=0» fx=2,3,...

Uwzględniając to w (III), dochodzimy do rozwinięcia:

C'=—r-HSßft г).

Załóżmy :

2°) (xy)=(xtyt) i połóżmy:

dxT

Ca= II(xtyt, жгу,) ^

Wskutek (3) zawiera się tu w Pi rozwinięcie: —x~¹ -fф(£, т), a że — na wzór rozwinięcia (3), art. 72.) lewa strona zawiera

-Aft».

wyraz Н{хтуг)а    . t~x, a innych odjemnych potęg t już tam nie

dxx

ma, więc mamy:

(III")

dxT

Ca=—T-x+H{xTyt)tt    (t, г).

Stąd wynika :

(0)

a cc

Q(xtyt, ąA)

Г-[Щрьут)а

Л~х +$(*)

И- = 1» ²» 3? -

Połóżmy wreszcie :

o o

3°) (X у)={хгуг),

to podług uwagi danej w art. 73. mieć będziemy:

oo oo dXr

Co =Cl(xt yt, xz yT) ^ = —

W P nie ma wcale odjemnych potęg t, a z odjemnych potęg parametru г mieści się tam jedynie [wskutek (3)]: —г~х. Mamy tu zatem :

C₀

(ИГ")

a przy założeniu j t | >> | г \ wynika stąd :

^т+ад, 1*=

(r)

1,2,8,...

Wzory (a), (/5), (y) wskazują, że Q(xy, a₀b₀)p jest funkcyą H{xy, а₀&₀)м z pewnem miejscem zerowem (a‘₀ &'₀) rożnem od (а₀Ъ₀), To możemy naznaczyć przez :

(4)

a₀b₀)=H(xy, a₀6₀) Qo0»y, aM=*H(xy, а₀Ъ₀)=О. Funkcya :

— H{xy, а₀Ъо)₆=Н(ху, аД).

metru г jest funkcyj H(x'y%, Щх’у¹)«:

Z rozwinięcia (III")? w którem jedyną odjemną potęgą para-dochodzimy do takich dalszych własności

S(Хт у%)a •

dxT

dr

(*o)

05= 1, 2, ...

dxT

' dx

Z własności: (hj— [art. 73.], — dalej z własności (haj), (haa)— art. (74) — i wreszcie z własności (A₀) wynika, że:

(4)

Z poszukiwań tu przeprowadzonych wynika twierdzenie :

dx\ dz

■rożnem jest od (a₀b₀) i od (aa ba), a = 1,2,.

(x‘ y') = (acl ba), nie posiadają wcale — gdy |^|^>|t| —odjemnych potęg parametru z; iloczyn zaś, w którym (x'y‘)=(a₀bj, posiada gdy 111 ]> I z I — wyraz —    ¹ jako jedyny z odjemną potęgą tego

parametru.

I. Z iloczynów H(xtyt, x\y\)

tylko te, w których (x‘ y')

q , lub w którym

zawsze

cc cc /7 /-V» Щх-гУх)

jakiekolwiek miejsce otacza para funkcyj (xTyt). Lecz dalej widzieliśmy, że :

Ф)

K*>- Щ r¹

— O, ß :ф cc

, [por. (Äj), (haß) — art. 74]

Przyjmijmy, że może istnieć identyczny związek:

(6)

9

Ca . H (xy)a⁼0.

a-i

Wtedy musiałby się także sprawdzić identycznie związek:

dXi_0

'S? ß ß

dz

Ca H (%t Уг)а

а— 1

a ten wskutek (5) redukuje się do ca—0. Ze zaś a=i, 2, ... q być może , więc stąd wnosimy :

II. Funkcye H(xy)a, a=l 2,...,{?, są od siebie niezależne. [Nie może istnieć związek identyczny N cuH(xy)a =0 — chyba że:

a= 1

ROZDZIAŁ X.

Zastosowanie funkcyj H w tworzeniu dowolnej funkcyi s = H(xy).

76. Twierdzenie o sumie pozostałości funkcyi s = H(xy).

Z form wyprowadzonych w ostatnim Rozdziale skorzystamy, aby dowolną, funkcyę s=R(xy) przedstawić przez funkcye H.

Stanie to się, gdy nam się nda pewną własność funkcyi wymiernej jednej tylko zmiennej :

A‘ z

przenieść do teoryi funkcyi s.

Gdy x=a leży w skończoności i jest różne od miejsc nieskoń-

czonościowych ciz, a położymy xt — a + t, a więc ^=1

CU

F(xt)

to iloczyn

dxt

^ da się w otoczeniu każdego takiego miejsca a rozwinąć na zwykły szereg potęgowy. Zauważmy miejsca x=az i połóżmy

dxt

znowu xt=-ąx-\-t, a więc ^=1, to dostaniemy w otoczeniu takiego

Cii

miejsca :

dxt

F (xt)    =F (a z \-t)=Axt ¹4-A‘xt ²+«--f

Stąd wynika, że tu :

i że więc :

(a)

Az

gdzie odnosi się do wszystkich a z, t. j. do takich wszystkich miejsc leżących w skończoności, w których otoczeniu iloczyn

dxt

posiada ujemne potęgi parametru t. Załóżmy #=x

i połóżmy xt= y

a więc

dxt

dt t² ’

staniemy :

Ax

A'i

a stąd wynika :

(Ъ)

HÜ.—Кт)],- żezaś:

F(ij=ff(<-.₎₊2[

Axt

A'iP

1—axt    (1—a>xt)

= G(t-i)+2Ax.t+c₂t²+c₃tz+...,

н-

więc widocznie tu :

(e)

Ит)]г

-2Ax,

a z (а), (b), (e) wynika:

(А)

gdzie suma po pierwszej stronie odnosi się do wszystkich miejsc w skończoności i nieskończoności, dających w swych otoczeniach rozwinięcia o ujemnych potęgach parametru t. Spółczynniki nazywają się „pozostałościami“ funkcyi F.

Okażemy teraz, że związek (A) przenosi się i na funkcyę s, gdyż i tu będzie :

(B)

■>-2 [*»«§],

=0

gdzie suma suma odnosi się do tych wszystkich miejsc (xy) obrazu

/’= 0, w których otoczeniu iloczyn H(xtyt) posiada rozwinięcia

zawierające i ujemne potęgi parametru t.

Jeżeli przyjmiemy, że f= 0 jest równaniem ng0 stopnia w y,

F(xy)~\-B(xy) + ...+B(xy)=F(x), która jest już wymierną argumentu x, to relacj'a (В) będzie tern samem, co relacya:

(1)

(B 0

=0

gdyż w (B‘) zawierać się będą bezsprzecznie wszystkie te same spółczynniki potęg ż⁻¹, jakie w (В) mamy, a żaden nowjr nie prz}T-będzie.

Dowód nie przedstawia żadnej trudności, jeżeli miejsca x—a: x=ao , w których otoczeniu iloczyn B(xtyt)-^ posiada ujemne potęgi t, nie dają wieloznacznych rozwinięć funkcyi y. W tym razie — kładąc Xt=a-\-t, lub #*=— — mamy uwzględniając (1) i (A):

a więc :

S= 0, c. b. d. d.

Przyjmijmy, że między miejscami a są takie, które do powtarzających się y należą. Jedno z nich: a weźmy pod uwagę, i załóżmy, że wszystkie pary funkcyj, dające x=a dla t—0 są:

xt=a-\-t^

yt=(Pi(t) ’

Ponieważ z pierwszej pary wynikaj ą :

yt=<p(ß),    -, (р(8я~Ч),

gdzie £ jest jednym z pierwotnych Atych pierwiastków jednostki, więc w F(x) mieści się niezawodnie suma :

K(t*i t)=B(xt, <p(t))+B(Xt, <p(ef))-\- ...Ą-B(xt,cp(£*-4)).

(Ci)

х{=а-\-Р

yt=<p(t)

(ß)

A-]~ A^

(2)

Niech

(3)

B(xt, (p(t))=P‘(xt, t)=2cata

gdzie jeszcze t zawartego w xt przy tern rozwijaniu nie uwzględniono. Suma (2) [T. I., art. 163.] będzie postaci Sc^at^a. Uwzglę-

a

dnijmy tu już i t, zawarte w xt, to z uwagi, że х₍=а+Р, dostaniemy :

(4)

K(P, t)=P(tx)=2datla.

CC

W S‘ zawiera się zatem suma : K(t\ t)

dxt

dt

—P(P)A P~x—A t;i~i2datZ(X

a stąd wynika :

(5)

Ad-i.

Połóżmy P—t, a więc t=ehл, k—0, 1, ..., (A—1), to para funk-cyj (a) przej dzie na :

xT=aĄ-x

1 »    I

ут=(р(ЕЧл) ут=ср(е.ектл)

k= 0, 1, 2,

xT=aĄ-T

xT=a-\-x

P-1)-

у

2/г==^(£я-1£*тХ)

Utwórzmy tu — analogicznie do sumy (2) — sumę:

i л-i    1    li

К‘(г:гл~)== 2[R(xt, (p(ehJ))+R(xT, (р{££кгл))-\-— Л-В{хту(р{£л~^£кгл))]

к—o

że (ek, ££k, ..., £л~'¹£к) dają dla &=0, 1, 2, ..., (Л—1) te

to z uwagi

same wartości tylko w innych uporządkowaniach dostaniemy :

(6)

К\г, тл)—А[В(хг, ср{гл)) -f В{хт,    )) + ...

... + В(хг, (р(£л~Ч))\=Л.К(г, гл), bo suma w nawiasie po prawej stronie w (6) powstaje widocznie

i

z K(tÀ,t): gdy tam t, zastąpimy przez гл. Uwzględniając (3), mamy

i    i

йР(т, гл)=ЛК(г, гл)=Л2daxa,

, dxT .

a ze -^=1, więc :

[к‘(ьЦ'_ =

Л-d.

a stąd — przez porówna

nie z (5) — wynika :

-г[к‘^Ц,-г

Stosując to samo rozumowanie do sum    .

jakie z dalszych par (/3), (y), ... wynikają i uwzględniając, że

К‘(г, гл)-\-К\(г, глЛ)-\- ...=F(a+x)

mieć będziemy relacyę :

-1

w której F“ odnieść trzeba do wszystkich par funkcyj , dających x=a dla t=0. Zbierając wszystkie miejsca я=а, na których F(a +г) posiada rozwinięcia z ujemnemi potęgami г i uwzględniając z drugiej strony na każdem z takich miejsc wszystkie dopiero co wspomniane pary funkcyj, dostaniemy:

(C)

że x=cc

Podobnem, jak tu rozumowaniem — przyjmując należy^do wieloznacznych у i do więcej par funkcyj i kładąc:

xt=

dojdziemy do relacyi:

(6”)

przedstawimy użytą parę funkcyj (xtyt). Relacya <§=0 ostaje się zatem bez wszelkich zastrzeżeń.

..., fih Utwórzmy funkcyę :

77. Tworzenie funkcyi « za pomocą funkcyj Н(ху,х'у')9 H(x y,x* y*)u, Przystępując teraz do zadania, zapowiedzianego u wstępu art. poprzedź., przyjmijmy, że dana funkcya s=JR(x:y) posiada miejsca nieskończonościowe (xiyx), (x₂y.₂): ..., (%iyi) o stopniach Pi i P2

(1)

relacyę :

Łącząc to z wynikiem (C), dostaniemy na podstawie {A)

która wyraża, że tu suma wszystkich pozostałości jest zerem.

Tej relacyi dowiedliśmy tu, używając takich par funkcyj, w których ma szczególne formy: (aĄ-t^), lub t~Z, ), >- 1.

Z tych par przejdziemy do ogólnych {x y%) przez podstawienie:

^ФО [art. 65].

(7)

* = ?1T + S2 т'² +

Za użyciem pierwotnej pary (xtyt) niech będzie:

dxt

B(xtyt) C t-¹ + P(t) ;

P(t) nie zawierając t—¹ może być przedstawione jako pochodna pewnego szeregu. Połóżmyż: P{t) = ^-Px(t), to po podstawieniu (7) mamy:

dt d ^ dt _ 4--T—P. (f) -r-dt dt lV dr

dxT

dt(xtyv) ^ —di (xtyt)

(8)

dxt dt dt dt

= Ct-'

d logt

dx

log t=logt-f- log(qx +    •••)

Uwzględniając to w (8) mamy:

dxz

= Cr-¹ + P₂(r)

Щхгут) dr

gdzie P₂(T) nie będzie już zawierać potęgi t—h Z tego widzimy, że pozostałość na pewnem miejscu pozostaje ta sama w jakikolwiek sposób

-1

T(xy)=B(xy) Ill(x“y\ xy)—H(x‘y‘, Xyj\ w której miejsca (x"y"), (ж'у') — będąc miejscami danego obrazu algebraicznego /=0 — różne być mają od miejsc nieskończonościowych (anba). a—1, 2, ..., (>, od miejsca zerowego (a₀b₀) funkcyi : H(x у, x'y‘)

i od wszelkich, miejsc (xvyv), v=l, 2, I. Do tej funkcyi T stosując relacyę S= 0, mamy :

= 2 уК{ХгУг)[Н{х"

у",хгуг)-Н{х'у,,хгуг)\

dxz

0.

Przyjmijmy (;хгуг) = (хтуг). Ponieważ [art 75.]:

H(x“y“,xTyt)d~ = —i-¹ + $(x),

więc dostajemy :

О 0 Ях

И{хгуг)Н(х"у",хгуг)

= —Я(а₀&₀).

Podobnie będzie :

( oo    oo dXr 1

i —В(ХтУг) H(x‘y\ Хгуг)

-= + R(a₀b₀).

=0.

Z tego wynika, że :

Przyjmijmy (хгух)—(хигу“г). Wtedy — podług (I.), art. 73. —

mamy:

dx“x

R{x"y").

H(x“y", x\y\)

^T(x\y\)

Podobnie okaże się, gdy (хгуг) = (х,гу‘т):

dx

dx“x

dx

u-

a więc :

jt_i =Щх‘у‘)

x'yA dx

dx\

Ponieważ :

dxT

у", Хгух)—Н {x‘y‘

już zresztą nigdzie nie da ujemnych potęg x, więc stąd wynika:

(2)

S=R{x“y“)—

■й(а?У)+2 [^(ЗД) ^Jr_t⁼⁰

gdzie sumę 2l odnieść tu trzeba jedynie do tych (xTyt), które dają rozwinięcia z ujemnemi potęgami x funkcyi R(xzyT), a więc do par

V V

funkcyj (хгуг), otaczających miejsca (xvyv), v=l, 2, ..., I.

Niech teraz (x‘‘y“) będzie bieżącem miejscem (x,y) w obrazie f— 0, (,x‘y') niech będzie stałem miejscem w tym obrazie i niech dalej będzie :

d z Jr—i

/ г    v v dx

й(жУ)+2 I R{x,yl).H{x,y^xvyt)

gdzie C₀ jest stałą ilością, to w takim razie jest R(x“y“)=R(xy)=s₁ i

(3)

Г v v    v v dxT 1

s=B(x у)=C₀ —^ Л(жг уг)Я (ж у, хг ух)

г-¹

Przyjmując, że w otoczeniu miejsca {xvyv) jest:

R(xx yx) = Cvz^ + C‘vt~² +... + Cp^v-'h-Pv+ i zważywszy — [art. 73.] — że

v v . dxT

co

2 H(;xy, xvyv)^, dostaniemy : 0

V

г p p    v v (ł T Л

-[R(xTyt)H(xy,xTyT)^ \    =

= CpH(xy, xvyv\ + C‘JI(xy, xvyv\ +••- + Cp^p-^TI(xy, xvyX)uv-\ ²) a stąd wynika:

— II (ху, хгуг)

(4)

s=0n+^ CpH(xy, a?vy„)o + 6%7/(a;y, xvyv)

v=\ ²-

i]H(xy, ^Vv-iJ.

... + Cvn²v-

..,    ^=1,2,..., I, jest tu N^„=cr,

Spółczynników (7„, C"

uwagi godne są związki, jakim one zadość muszą uczynić.

Przyjmijmy nasamprzód, że wszystkie miejsca (xvyv) są różne od miejsc    , «=1, 2, ..., q. Wtedy s w otoczeniu żadnego miej-

sca («„&«) — a więc gdy (xy)==[xtyt) — nie posiada ujemnych potęg parametru t. Niechże R(xtyt)=tya(t), to z uwagi, że

cc cc v v

dxT

H(xtyt,xTyT) musi wypaść w (3): [^«(0]<_1==

dz

H(xtyt)

dxT

a~dx

(5)

Г i> г>    i» t»

I R(Xx Ух)Н (ХгУг)

dxT

a~d7

u-

a== 1, 2, ...,

¹

Rozwinięć i form, jakiemi się w dalszym ciągu posługiwać będziemy, używał Weier strass w wykładach o funkcyach A b la. Krótkie wzmianki

²

H(xy, xvyv)₀——H(xy: xpijv) ; por. (7) art. 73.

Połóżmyż :

(50

ЩХ-сУг)

dxT

a dr

Ćp a + C v er T ~Г C

v cc

to związki (5) przybiorą formę :

(6) 2* [CpCpa-j- CJvc'v№~b Cv^v ^c„d‘lv 1^]⁼⁼0, сг=1, 2, ..., q.

Są-to związki liniowe, jednorodne między u spółczynnikami

a, C'

V 5    •••

Przyjmijmy, że jedno z miejsc {xvyv) jest identyczne z miej-(cißbß). Wtedy związki (5) lub (6) utrzymują się bez wątpienia

Q. Gdy ct—ß, zauważmy funk-

scem

tylko dla a = l, 2, ..., (ß—1), (/?+l), . cyę JR{xy)H{xy)ß. Posiada ona niezawodnie własność:

(7)

=0

a że iloczyn R(xtyT) H(xTyT)ß

ujemne potęgi parametru г tylko wtedy, gdy (xTyT) = {xTyT), v = \₎ 2, l, więc związek (7) możemy napisać w formie :

posiada w swych rozwinięciach

V V

Г v v    v v flw ~|

2    b_,=0,

która jest widocznie nie czem innem, jak właśnie brakującem jeszcze ßtem równaniem (5) lub (6). Stąd twierdzenie :

I. Gdy wdanej funkcyi s=R(xy) zauważymy jej rozwinięcia:

R(xTyT) = CvT-¹-\-C'vT-² + ...i v—1, 2, ..., I w otoczeniach jej wszystkich miejsc nieskończonościowych (xvyv), to wszystkie spólczynniki Cv, G'v, ..., należące w tych rozwinięciach do ujemnych potęg parametru г sprawdzają zawsze q związków liniowych jednorodnych postaci :

Gdy Xt—Xp + t, to Cva—H(xvyv)a< Załóżmy dalej pv=l, to związki (6) przybiorą postać :

ci    + С₂Щх,у₂\ +... + СаЩхсу„\ =0

Cx E{xxyx\ + a₂ II(x₂y₂)₂ + ...+ CcH(xay₀)₂ =0

(A)

Cx E(xxyx)₀ -r C₂ E(x₂y₂)₀ -j-... -f- CaH(xayc)ę—0.

Przyjmijmy na cliwilę o=q. Wtedy wyznacznik: #(ЗД)Г- H(xQyQ\\

D(H) =

TT(xQyQ\ ^

H (^i2/i)e— H{pcqII())q albo — jeżeli xt są ogólniejszej postaci, a

dxt

II(Xt У l) Cl -h'(xpyv)c!~\~

wyznacznik D(h) — 0 wskazywałby, że możliwą jest funkcya, która tylko na q dowolnych miejscach (xvyv) staje się zerem. Ze zaś to jest niemożliwe, więc stąd wynika:

II. Niemożliwem jest, jeżeli miejsca (xvyv), v = l, 2, ..., q, mają być zupełnie dowolne, aby wyznacznik D(H), lub wyznacznik D(h) był identycznie zerem.

Przyjmijmy, że naodwrót chcemy utworzyć funkcyę s—R(xy), stającą się nieskończonością o stopniach pv na pewnych l danych miejscach (xvyj), v=l, 2, ..., I, gdzie przytem Ć2fiv — g^>q być mnsi. Dając takiej fnnkcyi odrazu formę (4), musimy między o nieoznaczonymi jeszcze jej spółczynnikami Cv, C'v, ... wprowadzić ę związków (6). Te nie wystarczają jeszcze, aby wszystkie spółczynniki, których — po wliczeniu już i stałej C₀ — jest (a+l), mieć wyznaczone. Z tego powodu przyjmijmy, że się funkcya s stawać ma zerem (u— p) razy na V miejscach    u—1, 2, ..., V i że na miejscu    jest zerem stopnia p'u. A więc u=o—q.

U U

Takie założenia, gdy (xtyt) oznacza parę funkcyj, otaczających miejsce    prowadzi do nowych (u—q) związków:

(8j

C₀ +2[CvH(xtyt, xvyv\ + C'v U(xtyt, xvyv)x +=0,

Я=0, 1, 2, ..., y'u—1,    1, 2, ..., V.

Gdy dalej założymy, że na pewnem miejscu (a, ó), rożnem od miejsc (xvyv),    ma być 5=(7ф0, dostaniemy jeszcze jeden nowy

związek :

(9)

C= C₀ + 2[CvH(a b, xvyv)₀ -}- C'v Щаb, xvyv)x -f...].

Z tak utworzonych (a-f 1) związków (6) , (8), (9) obliczywszy C₀, Cv, C'v, ... mieć już będziemy funkcyę s w zujrełnośoi wyznaczoną. Jestto wynik zgodny z tym, jaki mieliśmy w art. 70., tw. II.

Zauważymy przytem, że ydy przy wyznaczaniu funkcyi zużyto tylko warunki, wynikające z o przyjętych miejsc nieskończonościowych1 to taka funkcya zawierać będzie jeszcze (a—£ + 1) stałych dowolnych.

(a)

Uwaga I. Miejsca (xvyv), (jur\u) przedstawmy dla uproszczenia szeregami:

0*o У a) ;

(хРл), 0₂«/₂)

(5i4i), Ом»)

w których — jeżeli potrzeba — są i miejsca sobie równe, to przy obliczaniu spół-czynników 6'₀, Cv, C"t>, ... podług tych szeregów miejsc może się zdarzyć, że dla pewnych V wypadną Cv'tv~V' ~ 0. Wtedy widocznie funkcya s, którą tworzymy, będzie na takich miejscach (xvyv) tylko w (p.t> —l),z-vm, albo i niższym stopniu nieskończonością, albo nawet okaże się tam skończoną. Z tego powodu trzeba funkcyę s, którą tworzyć mamy z warunków («), (£>), tak rozumieć, że jej miejsca nieskończonościowe i zerowe będą się wprawdzie mieściły w szeregach (a), (Z>), ale jej stopień — mimo założenia —a — może niekiedy wj^paść < z.

Uwaga 2. Ze sposobu tworzenia funkcyi s wynika, że w nią miejsca (a), (b) wejdą wymiernie. Połóżmyż:

(*)

(E

О-Q 1

%-g)

(10)

s R(xy. ..., xvyv , ^иУ]и, ..*) , a (j'vfv) niech będzie jednem z p miejsc zerowych już zależnych. Gdy w otoczeniu tego miejsca jest :

(U)

to tu A₀, A1} A₂

(x%>yv)i (Ç«t)m) i miejsca (j'vfv). Że zaś i?(?/»rj/»)= 0, więc kilka z początkowych spółczynników w (11) musi być zerem. Odnosząc to do wszystkich miejsc zerowych zależnych, dochodzimy do p związków algebraicznych:

Gń(...,    yp

Przedstawmy zależne miejsca zerowe szeregiem ;

(S'iVi), (?aV₂)i    (&'«>    ,

bez różnicy, czy się powtarzają lub nie, to mamy twierdzenie:

III. Miedzy a miejscami nieskończonościowemi i u miejscami zerowemi każdej funkcyi Ii(x,//) stopnia a zachodzi zawsze pewnych p równań algebraicznych. Inaczej: Gdy juz wyznaczono funkcyę z a jej miejsc zerowych i (a—p) miejsc nieskończonościo-wych, to dalsze miejsca nieskończonościowe (jest ich p) mają spółrzędne, które są alge-braicznemi funkcyami miejsc danych.

są wymiernemi funkcyami wszystkich miejsc dowolnych

?U7)U

?'»*]«>) = 0, a = l, 2, ..., p.

78. Funkcya s stopnia ^ q (o miejscach nieskoiiczonościowycli 0(1 siebie zależnych). Przyjmijmy wszystkie pv= 1 i połóżmy dla krótkości —Щ%у, ocvyv)=H(xy, xvyv)₀ = H(v). Funkcya s wyraża się wtedy formą :

(1)

s—C₀ + GlH (1)4-...+ l'a Л (o) i al>Qi

stałych C±, C₂, ..., C₀ możemy za pomocą równań (A), [art. poprzedź.], q z nich wyrazić liniowo przez pozostałe, które mogą być całkiem dowolne. Lecz przyjmijmy, że równania {A) nie w s z

a ze

ys tkie są od siebie niezależne i że ich tam jest к zbytecznych.

Z pozostałych (ę—Jc) równań wyraziwszy Ci: G zostałe mieć będziemy :

C₉-k przez po-

Ci — A'    +B' Cç—k+î+•. • + P ' Ca

<V*=A>~*)    +    C₀_*₊2 + ...+PM Ca.

Wstawiwszy to w s, otrzymamy:

5= C₀ +    1 [M'27(l) +... -j-Ań*⁻^ PT (p—Tc) А Я (ę—h-\r 1)]

(2)

+ Св[Р'Я(1) + ...+Р&-*>Я(е-Л0 + Я(<г)].

Mamy tn sumę (a—ę — Tc) funkcyj (ujętych w nawiasy) a z nich każda posiada tylko (q—&4-1) miejsc nieskończonościowych. Ale te miejsca nie są dowolne, one zależą tu od siebie, a tę ich zależność określają znikające wyznaczniki wskazujące, że między' równaniami (A) jest Tc zbytecznych. Widocznie qa więc pytanie zachodzi, jaka jest najmniejsza liczba <A> mogąca być jeszcze ilością miejsc nieskończonościowych w wymiernej funkcyi pary (#, y).

Aby to zbadać przyjmijmy, że istnieje funkcya rp o \i miejscach jednokrotnych nieskończonościowych    Wtedy i funkcya

ip—AĄ-Bip posiada te same miejsca nieskończonościowe przy najdowolniejszych wartościach stałych A, B. Gdy dla takiej funkcyi y> utworzymy q związków (A) :

CxH{xxyx \ +... -Ą-C^H (Xp у u) \ =0

C₁H(xiyi)₉+... + Ср H (x,t у Д₀=О,

to one wszystkie równocześnie spełniać się muszą. Stąd wynika że wyznaczniki :

ЩхАУ\)-г

liiX/x У и) \

Я (X/i у ft) 2

=0,0=0,1,2,    И).

Я (X^y^J/t—i ... Я (Xft у и) и, - 1 HfaiHi )/*+д ••• Я (хft у/i) it+<)

Związków tak otrzymanych jest widocznie (q—y + 1). Zawierają one dane miejsca nieskończonościowe, a wskutek tego z tych miejsc tylko fi—(q—y + l) = (2 y— q — 1) będzie dowolnych. Tyleż więc stałych dowolnych stąd pochodzących może funkcya гр zawierać. Doliczmy do tego jeszcze stałe A, -B, to ostatecznie mamy w ip dowolnych stałych: (2у—£ + 1). Utwórzmy teraz funkcyę:

ąr-a+łg,

c-\-dip

to funkcya W będzie oczywiście znowu funkcyą o fz miejscach nie-skończonościowycli. Ze zaś tu prawa strona przynajmniej 3 stałe zawiera (a/b, c\b, dfb)^ więc mamy nierówność: (2fi — p-fl)>3, a z niej wynika :

. To zn.

I. Najmniejsza możliwa ilość miejsc nielcończonościowych zawartych

w f uniccy ach wymiernych obrazu rodzaju p jest:    j*) t-j. najwięlc-

sza

calkowita liczba mieszcząca się w (p + 2) / 2.

która na jednem tylko, dowolnem miejscu

79. Funkcya sah z jedneni tylko, ale wielokrotnem miejscem liieskończonościowem. Według formy (4) — art. 77.] — przedstawić można funkcyą sab («, b) obrazu /=0 stawać się ma nieskończonością w stopniu u, w ten sposób przedstawić :

a—1»

(X) sab=C₀ -\-CxH(xy, ab) -f C₂H(xy, ab)x + ...Ą-CaH(xy, ab)

ma

Podług ogólnych własności funkcyj wymiernych pary (#, у) być p? a funkcye sab stopni 1, 2, 3,... p istnieć nie powinny**). Lecz tu mogą dla pewnych punktów (ab) zajść pod tym względem wyjątki.

(1)

Spółczynniki Cx,C2J...,Cc7 spełnić tu mają p związków: C\Cice-\-C₂C2aJr    Co Ca cc=0: 05 — 1, 2, ..., p,

które powodują skończoność funkcyi sab na miejscach (aaba), a w których Cia, c2k,... zależą od (ab).

Przyjmijmy, że między wyznacznikami ps° stopnia utworzonymi z podłużnego schematu:

^1() C₂p ... CflTJ)

naj pierwszym wyznacznikiem różnym od zera, jest:

*) Biernann. Ges. math. Werke.

Roch. Uber die Anzahl der willkürlichen Constanten in alg. Functionen. C. J. T. 64. str. 372—376.

Klein (Fricke). Eil. Modulfunctionen. T. I. str. 556. Niemej⁷ nazywają twierdzenie I. : Satz von Rieman-Roch“.

**) Por. także: M. N other. Über einen Satz aus der Theorie der alg. Functionen. C. J. T. 92. str. 301—803. i rozprawę tegoż w. C. J. T. 97. str. 224—229.

£};г 1 Скг\    ^kQl

<?Ау2 С к ,2--. CkQ 2

Ctjp ^A*₂ÿ ••• ^Л’₀р

Z takiego założenia wynika, że z wszystkich wyznaczników A utworzonych z schematu :

ciu C2D c3i? ••• V C12? C22 5 C325 •••

Cip 5 C2p , Czq , ...

wszystkie, oprócz wyznacznika A, są zerami. Ze związków (1) obliczone spółczynniki Ckl, (7;ta,..., C* mieć będą, wskutek wyznaczników A=0, takie postacie:

(a)    -j- j~A^Ck^i-irB^Ckç+2-r+ PiCę,j

Ф)    ^ d.₂ Cyfl + B₂ Ckę+2 + . .. + P₂

(c)    C!t?=-j- |^A° ftp+i+Ą £*?-f2-f...+-F>pCbj.

(2)

Z tego wnosimy, że sa6 stopnia o tworzyć można przy dowolnych

C,, C₂,... Ct, Ć4j+i, C*,+₂

(3)

Çvfi» C*.+2 }.*••»

^kQ—i, ^'‘'p+¹ >    ^*р+а,ч

byleby tylko C*1? Ckl,..., Ck"Q miały formy (2).

Przyjmijmy w (3): Ckg+i ф 0, Ca>+2=...= Cff=0, to przy dowolnych pozostałych spółczynnikach (3) i przy wartościach (2) dostaniemy z (Ó4) funkcyę sab o stopniu (hęĄ-l) w punkcie {ab).

Gdy założymy <0*₊₂=f=0, C* + 3=...==CF₍,==0, to znowu przy dowolnych pozostałych spółczynnikach (3) i przy wartościach (2) dostaniemy z (A) funkcyę sab o stopniu (kp + 2) w punkcie (ab). Podobnie i dalsze stopnie: (&p-f-3), (&p+4),... okażą się możliwe. Chcąc mieć funkcyę stopnia Jci, trzeba położyć:

Ckl+i = C*t+₂ = ... = 0.

Ale wtedy przy dowolnych Cit C.₂,..., C^-i dostajemy z (a): Ckl—0. To wskazuje, że funkcya sab żądanego stopnia Jcx nie istnieje. Podobnie, gdy zażądamy funkcyi stopnia 7ć₂, trzeba położyć:

C*t+1 = Ca-₂₊₂ = ... =0.

Wtedy przy dowolnych C1? C₂,..., C*t_i, C*₁₊₂,..., C*₂_i wynika z (a) i (6): C7*ł==C!'*₂=0, co wskazuje, że i funkcya stopnia &₂ istnieć nie może. Analogicznie dalej postępując wywnioskujemy, że nie-możliwem jest, aby istniały funkcye sab o stopniach: k₃, &₄,... kQ.

Gdy \=1, k₂ = 2,..., kQ=ę, to punkt (ab) nie jest wyjątkowym, bo wtedy nie istnieją funkcye sab o stopniach: 1, 2, 3,..., (>, ale już istnieją takież funkcye o stopniach (> + 1, p + 2,... Mamy więc twierdzenie :

q, a istnieją już takież funkcye

I. Wszystkie punkty (xy)—(ab) danego obrazu algebraicznego rodzaju q)> 1 dzielą się na dwa rodzaje: 1°) na punkta, w których nie istnieją funkcye sab stopni 1,2,3 stopni p + 1, (J + 2, ... i 2°) na punkta. na których istnieją funkcye sab o stopniach kQ +1, A,+2, &? + 3.(kQf> q) a między liczbami 1,2,3,..., kQ, zawierają się liczby ^, &₂,..., kQ, które nie tworząc szeregu 1, 2. ... q nie mogą być stopniami żadnej funkcyi sab. Liczba k± jest zawsze =1, gdyż C{, ArCxJl(X y, ab) nie może być funkcyą stopnia 1%°, gdy £ > 1.

Ten drugi rodzaj punktów (ab) nazywają wyjątkowymi punktami Weier stras sa¹).

Uwaga I. Przyjmijmy a=p, to sab ma być funkcyą, która w obrazie rodzaju p ma być na jedynem miejscu (a, b) nieskończoną w stopniu p, (albo niższym). Wtedy mamy 8ab = C₀ + ClH(x y, ab) +... +CQH(x y, ab)Q-1, a warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby taka funkcyą istniała, będzie :

C11 c12 — clQ

= 0,

Dl (a b) =    ;

cQi cQi — CQQ

gdzie JĄ(xy) jest wymierną funkcyą pary (xy). Z tego wynika, że — gdy p > 1 — to na krzywej f—0 znajdzie się zawsze i to tylko skończona ilość miejsc (xy) = (ab) dopuszczających istnienia funkcyi sai> stopnia p.

Dla p = 1 nie będzie to możliwem , gdyż sab stopnia ls° w (a, b) a zresztą wszędzie skończona istnieć może tylko w obrazie o rzędzie =0.

Przytem zauważymy, że jeżeli:

dxt

H(xt yi)cc = h(x y)a\ h(xy)a2 t -j- ..., to Cap = h(a b)aß,    ““^9..... P

P - Z,-! •••) p

wskutek czego można napisać: Dfab) = D(h(ab)).

Uwaga 2. Obierzmy w nieprzywiedlnym obrazie algebraicznym f — 0 dowolny punkt (a b), który dozwala utworzyć funkcye :

G)

Sab = ? — Ą (x, y)

najniższego stopnia : X. Między temi liczbami >> X, które mogą być stopniami tunkcyj Sab niech p będzie najmniejszą, pierwszą liczbą względem X. Utwórzmy funkcyę:

S‘ab —г, — li₂(x, y)

(5)

stopnia: a, to po wyeliminowaniu ж, y z równań (4), (5) i równania/=0, dojdziemy do równania :

(6)

?(5r;)=0

które w ? będzie stopnia ug° , a w r, stopnia Xg0, [art. 67].

Jeżeli w obrazie /=0 otacza miejsce (ab) para funkcyj x—aĄ-ox(t), y = b -j-    (0) 1° — P° wstawieniu jej w (4) i (5) — dostaniemy :

£ = ct ^ -}- c‘t—-^+i -j-..., V) = dt—y -j- d't~f*+i -f- ...

g +1

a ten element jest niezawodnie

Л    Я

stąd mamy t] = et -j- e‘t -j-X-w a rt o ś c i o wy, bo ;r jest pierwsze względem X.

Z tej uwagi — mając wzgląd na to, że o = 0 jest równaniem stopnia Xs°, wnosimy, że o = 0 jest nieprzywiedlnem równaniem, a podstawienia (4), (5) są odwracalne [art. 67., tw. II]. Mamy więc twierdzenie:

II. Każde nieprzywiedlne równanie algebraiczne f(xy) — 0 da sie za pomocą pewnego odwracalnego podstawienia zamienić zawsze na nieprzywiedlne równanie <s (£ rt) = 0 o tej własności, ze rt, określone tem nowem równaniem jako algebraiczna funkcya о X gałęziach, posiada w nieskończoności jeden tylko cykliczny element stopnia : X.

Z tego twierdzenia korzystając, można — jak-to już w art. 60. zauważano — dowieść, że każde równanie nieprzywiedlne f(x, у)—0 określa monogeniczną funkcyę.

80. Związki między funkcyami H. Zauważmy wymierną

funkcyę:

=    ЗД)|. [#{X гу, x₂y₂)\,

d

-j-H(xy, xxy±) uwzględniamy, że у zależy

U/00

w której (xxyx), {tc₂y₂) uważamy za dwa stałe, nieosobliwe miejsca danego obrazu /*=0, a w od X*). Funkcya U ma własność, [art. 76.],

S=

dxt

x₂y₂) dt

=0 J<—¹

dxt

= 1, mamy:

kładąc xt=aa\-t,

H (xt yt, x₁ у ! )=H (xi у ! ) « t-¹ + H(x^ у ! ) «— H‘ (а?1 у i ) « t—... -Jj; H(xtyt: xiyi) =—H(xiyi)at-i—H‘(xly₁)ce+...

H(xtyt, x₂y₂)=H(x₂y₂)a t~^-{-H(x₂y₂)tt—H> (x₂y₂)at—...

djj

*) H= —    H.

J dx    óx oj)    d X

jest wymierną funkcyą pary (аз, у).

dy

àf

, że zaś -z—⁼⁼ —

"    dx    dx

j , więc widocznie ~ H

Z tego wynika, że z miejsc (ассЪи), a=l, 2,^ wejdzie w S

suma :

9

[Я (Xx У i) а H‘{X₂y₂)a R^y.^a H/(Xiyi)a\.

u=l

Z otoczenia miejsca (xi yt), gdy położymy tu = 1 i zauważymy, że:

dxt

a więc -jt

Jt II (xt yt,    У ! ) = *-² + TO

H(xtyt, x₂tj₂)=H(xxyu x₂y.₂)+^ Я(ЗД, ж₂у₂).гМ-..., ~ Я(хху1: oc₂y₂).

Щхф, ЗД)= —

mieć w 5 będziemy:

Podobnie z otoczenia miejsca (x₂y₂), gdy zn°wu poło-

dxl

dxt

żyiny а*=ж₂-И, dt

= 1, dostaniemy w $ wyraz —

~ H{x₂ у2, aą y₁ ).

dx₂

Że zaś funkcya £7 już na innych miejscach nie posiada wcale rozwinięć o odjemnych potęgach parametru ć, więc związek: $=0 ma tu postać :

f- H(Xiyu x₂y₂)

dx₂

^H(Xiyu x₂y₂)

9

+ 2 Щ(Х\У\)« Я¹{Х₂у₂)а — Я(Х₂у₂)а Я\Ххух)а\ = 0.

а— 1

Przyjmijmy: (ж₁у₁) = (жу), а (х₂у₂) = (х‘у‘): to mamy taki związek między funkcyami Я :

(1)

dx Я(ху: X' y') =

2 [#0&У)а Я\х'у')а — Я(x'y'ja . Н‘(ху)а].

Н(Х' у', X у)

а=1

Niech (хгуг) = (хтут) otacza pewne stałe miejsce (xvyv), to związek (1) w takiem otoczeniu będzie postaci :

f~. H{x'y‘, re,yt)

dt H(xtyt, a=y)=

—    y,)g Я‘{х‘ y%—H(x‘y% H‘(xt yt)a\.

«=1

Załóżmy, że (xvyv) jest różne od miejsc (a„ &«), to w otoczeniu

V V

jego da się H(xtyt, x*y') rozwinąć podług dodatnich potęg parametru t. Połóżmyż :

ß)

H{xtyt, x‘ y,)=H{xvyv, x' y‘) + H(xvyv, x'y‘)t-\-...

...+H(xvyv, x¹ y') tn + ...

to stosując tu (2), dostajemy:

(4)

2 % ïï&vy» >у*)    2    Я(ж' XtVĄ

”    П

2 2 fÄa”y^a~~^an н‘(х> y‘^a ] tn~x ’

M Öf— 1

tn-\

.tn~x

gdzie :

han=[H\xtyt)^tn-\, h‘an=[H{xtyt)aV-^ są Juź ilości stałe.

Z (4) — z porównania równomiennyeh wyrazów — wynika :

n.H(xvyv, x‘y‘)

ĄlH

tn—\

+ 2 [KnH (x' y%—h‘ап Ti \x' y‘)a}.

dx‘

Фп (x' у'), to mieó

Połóżmy jeszcze: ostatecznie będziemy :

[L н{-х‘У’ Щ,п- -

(5)

n.H(xvyv, x‘y‘)~

Фп(х'у') +

dx‘

+ 2 Vlan H(x' y')a—h'an H'(x' ij%\

a—1

W ten sposób określają się tu spółczynniki rozwinięcia (3) ;

o

H(xvyv, x‘y') jest tu =H(xvyv, x'y‘).

V V    ß ß

Jeżeli przyjmiemy (xtyt) — (xtyt), to w (5) trzeba (xvyv) zmienić

o

na (ap bp), a stałe h ma w tym razie znaczenie : [H(xtyt, x' г/')]с⁰-

ani

Wan uważać za zależne od (cip bp) ; H(ap bp, x‘ y')

81. Nowa forma fnnkcyi s = H(xy). Na podstawie związków wyprowadzonych w art. poprzedź, będziemy mogli funkcyi s=JR(xy} dać fermę, która okaże się praktyczniejszą niż forma (4) art. 77. Gdy funkeya dana s ma miejsca nieskończonościowe (xvyv), v—î, 2,I z dowolnemi powtórzeniami yv, a zauważymy funkcyę :

Teor. funkcyj analit. T. II.

V(xij)=B(xy) -Я(ху, x‘y‘),

gdzie (xy), (x'у') są bieżącemi miejscami tego samego obrazu /=0, to V ma miejsca nieskończonościowe :

(х'гу‘), (ixvyv), v=î, 2,..., I, («„&«), a=l, 2, ... ę i te miejsca trzeba będzie uwzględnić w relacyi:

[■'(»« t]

-1

=0, [art. 76].

Gdy (x‘y') tak wybierzemy, że w parze otaczającej to miejsce położyć można x/t=x/Jrt, a więc = to mamy:

dx\

H(x‘t y\, X'y‘) dt

B(x't y't)=Й(ж' у') + $1 (О, więc z tego miejsca wejdzie w 5 wyraz:

(a)

—у')*

Uwzględniając te miejsca (xvyv), które nie są identyczne z miejscami (aaba), położyć trzeba:

dxt

B(^‘) dt

H(xt yt, x⁴ y')=H(xvyv, x' y') + H(xvyv, X¹ ÿ)t+...+H(xvyv, xf y¹) tn +...; a pierwsze z tych rozwinięć posiada odjemne potęgi parametru t tylko do skończonego stopnia.

Z każdego takiego miejsca dostaniemy w S wyraz:

przyczem :

(b)    cv H(xv у г, x‘y^n.cvnH (xv yv, x'y')

n> 0

(a)

=[Æ(*'S'‘) w]«-.’ (/3)

Gdy (xvyv) spada z miejscem (ар bp), to mamy:

0

Я(ед)    ⁼^"bcp ¹ -\-l.Cpi t~_ + 2 . Cp%tr~³ + ..* +w .cpn t~n~l +...    (ń)

ß ß    o    i

H(xtyt, x'y‘)=H(x,y‘)pt-i+ Н(арЬр,х‘гу‘)+Н(арЬр , x'y*)t+...

...■+H(aßbp, x'îy')tn+ ...,

a więc tu z tego miejsca wejdzie do /8 wyraz :

(c)    kp H(x‘y‘)p+cpH(apbp, x'y')+^n.Cp„H(apbp, x'y‘),

n> 0

gdzie znowu:

(О

Cß—

Г \ dx, 1 \Я(хф) ж\

■1»

(ß‘) ncß

-n—1

Wreszcie uwzględnić trzeba te miejsca (aaba), które nie są identyczne z miejscami (xt,yv). W otoczeniu takicli miejsc mamy:

dxt

R(xtyt) ^=c«+^TO, H(xtyt, xU/)=H(x/y')at~¹ + ...

a więc z takich miejsc wejdzie do S:

Ccc H (X' */')«•

Zbierając (a), (6), (с), (c2), a za (æ'y') pisząc (xy) dostaniemy relacyę S= O w postaci :

!    0    _ n

R(x y)cv H(xv yv,    + 2 w . H(xvyv, ж^)] +

О

+ JcßH(xy)ß+2“ cuH(xy)a.

{d)

V~\

Z ostatnich dwóch sum odnosi się: pierwsza do miejsc (aß bß), które spadają z (xvyv), druga do tych miejsc (aa ba), które są różne od (xv yv).

Obie sumy razem obejmują zatem wszystkie już miejsca {аа ba), a wskutek tego mamy :

(1)

0 n

R(xy)=j?[cvH(xvyv, xy)+ ZiU. cvnЯ(Xyyv, яу)] +

^    я>0

P

+ 2 CaH(Xiy)a.

2’=1

cc—1

Ponieważ dalej :

⁺ ТхФ{ху)'

gdzie Ф(ху) jest funkcyą wymierną, a przy różniczkowaniu uwzględnić trzeba, że у zależy od x.

W takiej formie (2) przedstawić można zawsze daną funkcyą R(xy). W niej spółczynniki cv mają — bez różnicy, czy

(xv yv) = (a a ba), czy też (xv yv) ф (аа ba) — jednakowe znaczenie: (а), (а'). Z tego wynika, że :

¹

Haure. „Recherches sur les points de Weierstrass. Ann. scient, de Vécole N.sup.“ T. 13. (S. 3., 1896) str. 115....

(3)

bo to jest związek 8=0 dla samej, danej fnnkcyi R(xy).

Nazywając H(xy)a, H/(xy)u, II(xvyVl xy) odpowiednio funk-cyami H rodzaju pierwszego, drugiego i trzeciego, mamy twierdzenie :

I. Oprócz formy (4) — art. 77. — istnieje jeszcze druga forma danej funkcyi s=R(xy), składająca się: z pochodnej    Ф(ху) i z wy

rażenia jednorodnego liniowego mieszczącego w sobie q funkcyj II rodzaju pierwszego, q funkcyj H rodzaju drugiego i l funkcyj H rodzaju trzeciego, gdzie l jest ilością miejsc, na których R(xy) staje się nieskończonością w dowolnych stopniach. Gcly cv są spółczynnikami funkcyj rodzaju trzeciego, to zawsze jest c„=0.

v—l

Podług (ß) i (ß‘) mamy n.cvn=

=0 bez różnicy

czy {xv yv)=^(aa Ъа), czy też (xv yv) ф (aa ba) ; a że w formie (2) są wszystkie ga jednorodnemi, liniowemi funkcyami spółczynników cvn, więc stąd wynika:

II. Gdy funkcya R(xy) ma tę własność, że:

= 0,

t-n-i

dla n)>0 i dla ?>=1,2, ...,l, to ją wyraża się formą, w którą oprócz Ф (x y) wchodzą tylko funkcye H pierwszego i trzeciego rodzaju¹).

((00

82. Całkowanie fankcyi s. Trzy rodzaje całek Abla. Funkcyę J(xy)==j R (x y) dx, w której у uważać trzeba za zależne od ж w ten sposób, że (x, y) ma być miejscem danego obrazu algebraicznego f{xу) = 0 nazywają całką funkcyi algebraicznej o argumencie x — [art. 66. tw. I.], albo całką Abla. Gdy (xtyt) jest jedną z par funkcyj otaczających dowolne miejsce (ab) tego obrazu,

która w otoczeniu rozważanego miejsca ma postać 0(xtyt). Całki (А), (В), (C) nazywają się całkami Abla pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju.

Z własności funkcyj H(xy)a — [(4), art. 75.] wynika:

I.    Każda całka rodzaju pierwszego pozostaje skończoną na każdem miejscu danego obrazu f— 0.

Z własności (h'), [art. 78.], (haß), (hace), [art. 74.] i (h₀) [art. 75.] funkcyj H‘(xy)a wnioskujemy:

II.    Całka ata rodzaju drugiego staje się w obrazie /'=0 nieskończonością w pierwszym tylko stopniu na jednem tylko miejscu {au ba) ; [miejsce to nie jest osobliwe, otacza je więc jedna tylko para funkcyj].

dxt

Co się tyczy E(xvyv, xtyt) -

posiada jedną jedyną odjemną potęgę C¹ wyłącznie w otoczeniu miejsc (xv yv)₁ (a₀b₀), a stąd wynika:

III. Całka rodzaju trzeciego staje się logarytmicznie nieskończoną na 2 miejscach: {xv yv)₁ (a₀b₀) ; zresztą pozostaje skończoną na każdem innem miejscu w danym obrazie f= 0.

Weźmy pod uwagę bardzo prostą całkę:

j' у dx=u-\-C

w obrazie f(xy) =0 i przyjmijmy, że u ma być algebraiczną funkcyą- argumentu x, że więc u, x związane są ze sobą pewnem algebraicznem, nieprzywiedlnem równaniem :

q>(x, m) = 0.    :

to w parametrze t ma całka J w otoczenie tego miejsca i dla miejsc zawartych w (xt y i) postać:

dxt

. dt.

J (t) U (xt yt)

Jeżeli R(x y) posiada jnż formę (2) — [art. poprzedź.] a miejsca (xvyv) są wszystkie różne od miejsc (aabCl.), to w J (t) zawierać się będą :

(A)

dXf

(B)

(C)

całki    JII(xt yt)

całki j H'(xt yt)a całki j H(xvyv, xtyly^~ dt = ^ %{t)v ät, r=l,2,..., I

a dt

dxt

a=l, 2,..., (>

i wreszcie :

(D)

? d

* całka j ^ Ф(%у) dx=Q>(x y)₁

to wiadomo, że ten iloczyn

(1)

Z niego — uwzględniając (1) — dostajemy:

du

dtp

dx

dx dtp

du

gdzie S(x,u) jest wymierną funkcyą pary (x,u).

W równaniu (2) — wskutek jego nieprzywiedlności — należą do bieżącego x same różne między sobą pierwiastki: Щ,и₂, ..., ur. Tym pierwiastkom odpowiedzą wartości:

(3)

dux

du₂

dx

SM, dx

dur

S(x,u₂), ..., dx

= S(r, ur)

które — jak zaraz okażemy — muszą być wszystkie również między sobą różne. Przyjmijmy bowiem, że

du z du a

(4)

■f

to stąd mamy: u^^u^Ą-c, a że uxl jest dowolnym pierwiastkiem równania <p=0, więc stądby wynikało, że równanie to ma nieskończenie dużo pierwiastków: wM, uu-\-c, w^-t-26, uu-\-3c, ....*) Lecz to jest niemożliwe; założenie (3) jest fałszywe, a wartości (3) są wisto-

dx dx

cie między sobą różne. To wskazuje, że w równaniu G (x,    =0,

du

jakieby powstało przez eliminacyę u z równań <p=0 i

nie jest G potęgą funkcyi nieprzywiedlnej — [art. 60.] — ale jest wprost nieprzywiedlną funkcyą. Wtedy jednak daje się u wyrazić . du

wymiernie przez x i —=y.

CMC

Połóżmyż: u—Rix^y) , to mamy ostatecznie:

j ydx=R{x, y) + C,

a to znaczy : Gdy całka (1) ma dać wynik w postaci algebraicznej u, to u jest koniecznie wymierną funkcyą pary (x, y).

Przejdźmy do ogólnego wypadku:

J R(xy)dx=u-\- C,

zakładając, że u ma być algebraiczną funkcyą argumentu x. Połóżmy R(xy)=z, to z równań f{xy)=0, R{xy)—#=0, eliminując y, dochodzimy do obrazu algebraicznego, F(x:zj=0, a w nim całka

(5)

*) Por. E. Netto: „Substitutionen-Theorie“, str. 189.

d.r

= S(x,u),

(5) ma postać \zdx=uĄ-C. Według dopieroco przeprowadzonego dowodu jest tu u wymierną, funkcyą pary (,r, z) , a po uwzględnieniu podstawienia z=R(xy) będzie już wymierną funkcyą pary (x, y). Stąd twierdzenie: ²)

IY. Każda całka Abla, mająca dać wynik w postaci algebraicznej funkcyi argumentu x, jest wymierną funkcyą pary (x,y).

Przedstawmy i w tym razie całkowaną funkcyę R{xy) przez funkcye II i odrzućmy potem z całki J(xy)=R{xy)-\-C funkcyę Ф(ху), która już postawionemu zadaniu zadość czyni, to i całkowanie pozostałych trzech rodzajów całek ma doprowadzić również do pewnej wymiernej funkcyi T[xy) pary (x, y). Wskutek tego całka J(xy) nie może w sobie zawierać całek rodzaju trzeciego, ho te dają punkta logarytmicznie nieskończone; wszystkie cv w formie (2) — [art. poprzedź.] — przedstawiającej R{xy) muszą więc być zerami.

Pozostała całka

(6)

dxt

j [ Kga H‘(xtyt)a—2g‘a H(xtyt)a] ^

dt = T[xty't)

ma tylko g punktów nieskończonościowych (accba) ; funkcyą 1{xtyt) musi się więc redukować do pewnej stałej O. Nieskończoności wynikające z wszystkich g całek drugiego rodzaju muszą odpaść a to wskazuje, że tu wszystkie ga muszą być zerami. Z (6)

dt = C‘. Ten po zró-

pozostaje więc tylko związek : —Kg'ĄK[xtyf)

dxt

a dt

żniczkowaniu daje: 2g'aH(xy)a=Q może wtedy, gdy wszystkie y'«=0 [art. 75. wynika :

a że taka relacya zajść tylko tw. II.], więc stąd

Y. Funkcyą R(xy), której całka ma być wymierną funkcyą pary (xy), nie może zawierać żadnych funkcyj H i redukuje się do pochodnej

Ф(ху) pewnej funkcyi wymiernej Ф(ху).

ROZDZIAŁ XL

Nowa metoda obliczania rodzaju q. Normalne formy

funkcyj H.

83. Ogólna fnnkcya H(x,y); jej normalna forma. Każda z funkcyj H(xy)a ma własność :

H{xtyt)

(1)

=%(t)

dxt

adt

jakiekolwiek jest miejsce, otoczone parą (xtyt). Przyjmijmy, że istnieje funkcya H(xy), posiadająca również tę własność, i zauważmy funkcyę: [Щху). Щху, x‘y‘j\ = T(xy). Założywszy, że otoczeniem miejsca (x‘y‘) jest para funkcyj x‘t=x‘ +1, yj^y¹    a oto-

a a

czeniem każdego z miejsc (ааЪа) para funkcji (xtyt), dostajemy:

dxt

H(xfyt) ~=h{aj)a) +

a relacya S=0, [art. 76.], odnosząca się do funkcyi T(xy) będzie tu takiej postaci :

Щх‘у‘)—N h(aabo) H{xly‘)a=Ê СС{Щх‘у‘)а.

a—i    a=l

To znaczy :

I. Każda funkcya posiadająca charakterystycmą własność funkcyj II(xy)a jest liniową, jednorodną funkcyą wszystkich q funkcyj H(xy)a. Nazywają ją ogólną funkcyą Щху).

Naodwrót każde liniowe jednorodne wyrażenie [Ci Щху)i + C₂If(xy)₂ -j-... + CQH(xy)Q\ będzie przy dowolnych wartościach stałych Ca posiadało własność

(1) ; będzie więc ogólną funkcyą Щху). W niej jednak dowolnych stałych Ca nie podobna będzie wyznaczyć w ten sposób, aby Щху)=0 na g danych miejscach (ед), (x₂y₂), ..., (xQyQ). W takim razie bowiem musiałby byc wyznacznik D(H), albo wyznacznik

I)(h), zerem, co jednak — [art. 77., tw. II.] — jest niemożliwe.

Z tego wynika :

II. Ogólna funkcya Щху) będzie wyznaczona, gdy damy (q—1) miejsc dowolnych    ..., (x₀_i yQ-\), na których ma być zerem i Qte

miejsce (xQyQ), na którem ma przybrać wartość сфО.

Całkę *\H(xy)dx z ogólną, funkcyą H nazywamy również całką rodzaju pierwszego. Ponieważ związek 2 CaH(xy)a=0 — [art. 75.] — nigdy zajść nie może — chyba, że wszystkie O — i ponieważ Щху)=2 CaH(xy)a, więc gdy

\ H(xy)dx=2 Ca \H(xy)„dx

to nigdy nie zajdzie związek:

2 Ca \H{xy)adX = & = COnSt.

To znaczy :

III. Całki \H(xy)adx są od siebie zawsze liniowo niezależne, t. j. związek 2 Ca^H(xy)adx=c‘ zajść może tylko tym sposobem, że wszystkie Ca i c* są zerami. Każda suma 2 C(C\H(xy)f,dx jest znowu całką rodzaju pierwszego.

we wszystkich

Przyjmijmy, że f(x,y)=0 jest już takim obrazem algebraicznym, który dla x=cc posiada same różne między sobą y, a do tego wszystkie te у są nieskończonościami. [Do takiego obrazu można zawsze dojść z dowolnie danego obrazu algebraicznego przez stosowne podstawienia art. 69]. W takim obrazie nie wyraża się у — gdy x= co — ani jednym cyklicznym elementem punktach (cc'), ..., w których у wystąpi jako element cykliczny, będą c i c‘ zawsze skończone.

Gdy

(2)

xt=c+ts, yt=c‘ + d^t*Ą-d₂tk+e +

(s> 1, fel, ^1),

jest jedną z par otaczających miejsce (c, cj, to — z uwagi na własność (1) — wnosimy, że funkcya H — jeżeli na miejscu (cc¹) jest nieskończonością — to jest nieskończonością w stopniu <(s — 1).

W nieskończoności mamy teraz zawsze xt=t~', a że i tu własność (1) utrzymać się musi, więc stąd wynika: Na każdem miejscu, leżącem w nieskończoności w obrazie f= 0 musi być funkcya H zerem przynajmniej w stopniu = 2: całkowity jej stopień znikania w nieskończoności będzie >2n.

Z tych uwag wynika, że funkcya Щху) ma punkta nieskoń-czonościowe tylko w punktach rozgałęzienia, a jej stopień u jest 2(5—1), gdzie suma odnosi się do wszystkich par funkcyj

otaczających wszystkie punkta rozgałęzienia, a więc zaczynających się od wykładnika s)> 1. ³)

Lecz z drugiej strony można zawsze utworzyć funkcyę Щху), która na miejscach (c, c'), ... będzie dokładnie stopni (s—1), ..., a posiadać będzie również własność (1). W punktach (cc') ta własność — wskutek stopni =(s—1) — utrzymuje się rzeczywiście. W skoń-czoności poza punktami (cc') utrzyma się również. Co się tyczy nieskończoności, to gdy Щху) przedstawimy formą:

Щху) = G₀ +2[c₀H(xy,cc,)₀4-ciH(xy,cc‘)i + ... + cl-îH(xy₁ cc')s_₂], [art. 77., (4)], dostajemy tu spółczynników c₀, c1? ... dokładnie w ilości 2(s—1), a więc więcej niż w danej funkcyi Щху). Tern łatwiej będzie tu zatem spełnić warunek, aby funkcya Щху) na każdem z n miejsc (co oo) była zerem w stopniu 2sim.

da się znowu

Taka funkcya Щху), posiadając własność (1) wyrazić formą :

0‘

Щху) = C\ Щху), + C₂ Щху).2 + ... + 6’o Щху)

Za dobraniem tych samych dowolnych miejsc zerowych (x,yf), (x₂y₂), ..., (xQ—iyg-i), co w funkcyi Щху) i miejsca (x₉y₉), na którem ma być H{xQyj)= H(xQyj) mieć będziemy identycznie: Щху)—Щху), a stąd wynika :

IY. Ogólna funkcya Щху) jest stopnia cr=U(s—1). Z tego nie wynika, aby każda ze szczególnych funiccyj H(xy)ce była го każdym z punktów (ccj nieskończonością o stopniu =(s—1). Jedna z nich jednak przynajmniej musi być w (cc') tego stopnia.

Spróbujmy ten stopień o jeszcze inaczej wyrazić, zliczając wszystkie miejsca zerowe funkcyi Щху).

Nie naruszając osiągniętej już własności obrazu algebraicznego w nieskończoności, możemy — ponieważ punktów (cc') jest tylko skończona liczba — osiągnąć zawsze przez stosowne liniowe jednorodne podstawienia, że w otoczeniu każdego z punktów (cc') będzie się równanie f(xy)—0 w ten sposób zachowywało : Gdy

(3)

/■(«+!, c'+i?)=^)=(^V+(^w i + ...=o,

a (ip)^(grj—h^)v(g'rj—h^)v/..., to ze spółczynników g, ń; g‘, h‘ ; ... nie jest żaden zerem. AYtedy każda para funkcyj otaczająca miejsce (cc') ma tu postać:

!⁴=?, rit=d±P+d₂ź⁴+e-f...

(4)

*?<

gdzie £>1, a musi być s=&, bo stosunek ~

musi być = albo

t J t=o

a te stosunki są wszystkie skończone i фО. ⁴)

Weźmyż z par (4) jedną z tycli par pod uwagę, która wzięła swój początek w czynniku (gg—hi)v. Wtedy mamy :

, albo

9‘

(a)

O

it

skończone i фО, s=Jc

a S—k<Zv [por. uwagę w art. 57]. Zauważmy dalej pochodnę : dcp di dcp drj di dy ⁺ drj di Gdy tu po pierwszej stronie wstawimy :

x=c-\-isi y=c,-\-diti-\-..., s=Jc,

a po drugiej stronie za i, r\ parę (4), to dostaniemy — uwzględniając s—Ti :

/'N₂ =

=(gv—hg)v-i(if]y

ll—V

•••

f(xtyt)₂ = C.t^e^v~J['>+s^~v'⁾Ą-....

c c

Ponieważ TI(xtyt)=B.t~..., więc iloczyn

(5)

f(xy)₂. H(xy)

zaczynać się będzie w otoczeniu punktu (cc¹) od wyrazu zawierającego parametr t z takim wykładnikiem:

(«)

s(g— 1) -j- e(v— 1) — (s— 1).

Ten wykładnik jest z powodu s<Zv i ń^>l dodatni i jest niezawodnie y>s(fi—1).

Z tego wynika, że iloczyn (5) jest skończonym we wszystkich punktach leżących w skończoności, a że w punktach (cc‘) ma wartość = zero, bez względu na gałęzie y przez ten punkt przechodzące, więc jest funkcyą wymierną całkowitą G(xy) w obrazie f= 0 [art. 70., tw. IV.]. Samą funkcyę H(xy) wyrazić zatem można ilorazem G(xy)\f(xy\, a że na każdem miejscu w nieskończoności jest H(xy) zerem stopnia przynajmniej drugiego, a pary funkcyj, otaczające każde takie miejsce, są w rozważanym obrazie postaci: x=t~\ y=akt~i + b₀ -\-bxtĄ-..., Jc= 1,2, ..., n, więc stąd wynika, że dostatecznem jest, aby G(xy) była funkcyą (n—3)s° stopnia.

(6)

(7)

Połoźmyż G{xy) = Gn-z{xy), to marny :

Gn-n(xy)

f(vy)%

Wróćmy do iloczynu: f(xy)₂H(xy) = Gn-г(ху). Kładąc: G(c+i,c‘+rj)=[17]\₀ d- [Źy\ + [£ Vh + •

H[xy)

mamy stąd w otoczeniu punktu (cc') dostać rozwinięcie z pierwszym wyrazem o wykładniku (a), większym od s(y—1),

Ze zaś [I rj\q rozpoczyna się od tqs, więc w (7) być musi iden

tycznie :

li */]»=[! v]\ =...=[l^-2=o.

Мд—1)

musi zajsc

odnosi się do wszystkich /С>1, wynikających z przeprowadzenia równania /'=0 do otoczeń punktów wielokrotnych].

Pytanie zachodzi, czy warunki (8) wystarczają, aby funkcya (гя_₃(жу) mogła już być licznikiem ogólnej funkcyi Щху)? Aby na to odpowiedzieć, przyjmijmy, że celem uzyskania pary (2) dochodzimy przez podstawienia :

x=(g+ay=(h+ßrh%, gß—Jia=l, do przerobionego równania :

(8)

(a)

(b)

[Aby tak było

warunków, gdzie suma

f(xy)=§ i '"/i (£ i -//i ) "= 0

w którem Л(|₁%) = (|₁%)л + ..., a ^>1.

Z (Ъ) dostajemy :

(*)

/’Oy)

że zaś

c&c

f/Yr

1?

dy

dy 1

=#1, więc:

a.f(xy)l ßf (xy)₂ —ly“ Vi (bi ^1 )г • Z relacyi dx.f(xy)iĄ-dy.f{xy)₂ — 0 wynika:

dy n „„ ~a-dt+ß^

dx

dy

dx

dt

dt

f\xy\ f\xy\ af\xy\ +ßf(xy)2 a to wskutek (<7) można tak napisać:

dx

dy

dx

(*)

dt    adt dt

Lecz z (a) dostajemy:

/(^2

dx

im

irrr

¹ dt ’

dt

dr\ i

-=№+/3%)^+/3|, dt

a te równania dają :

dy dx_    dt_dt

~adt+ßdt-[cjß-lia)ntt‘

(f)

Wskutek tego (e) napisać można w ten sposób: dx /

di 1

f t\xy\ w zmiennych f1} %, prze-

Tak się przedstawia iloraz

av

robionego równania. W tych zmiennych mieć będziemy :

fiŒiVi)2—(^iî?i),«i-id_(èi%)^₁d_•••? Gn—z(xy) £ifl a stąd wynika , że :

di, ⁵)

{(J)

di (iiViVi-id⁻"⁵ ^

Tu — jak w pierwszym razie — wywnioskujemy, że G{ixrjx) nie może zawierać wyrazów stopni: 0, 1, 2,    (/^-—2), a odnosząc

to dalej do wszystkich przerobionych równań, utworzonych dla wszystkich punktów (cc'), przechodzimy do przekonania, że Gns{xy) =0 musi być dołączoną krzywą (w—3)g0 stopnia.

Taką krzywę można — po zużyciu już d warunków, przypadających w punkta (cc') — przeprowadzić jeszcze przez:

(w—3 ).n

d=r-

(« —l)(w—-2)

d—l=Q—1

punktów dowolnych (|t%), Цг%), -, (£?_iV-i) ? lezących na /‘=0, a gdy do jej wyznaczenia jeszcze nie dano tych punktów, to jej równanie będzie postaci:

(9)

Gx G{xy\ + C₂ G{xy\ +... + CQG{xy)Q=0 o dowolnych stałych (71? C₂₁ ..., CQ. Z uwagi zaś, że ogólna funkcya Щху) ma właśnie zawierać liniowo q dowolnych stałych, wnioskujemy, że:

У. Funkcya Ii{xy) daje się przedstawić ilorazem, którego licznikiem

jest dołączona funkcya (n—3)0° stopnia, a mianownikiem jest pochodna f{?y\. ⁶)

84. Nowa metoda obliczania rodzaju q. Przykłady. Ponieważ wszystkich par funkcyj otaczających miejsce (co , go) jest n, a każda z nich tak w xt jak w yt posiada jedyną ujemną potęgę t~r, więc wstawiając je w formę (6) [art. poprzedź.], odrazu wnosimy, że H(xy) ma w nieskończoności dokładnie 2n miejsc zerowych.

Co się tyczy jej miejsc zerowych, leżących w skończoności, to zauważmy, że krzywa Grn_₃(xy)=0, przecinając krzywę /‘=0 w — 1) dowolnych punktach {x±yx), ..., (xQ-pyQ-1), ma.z nią jeszcze

n(n—3)—£

(n—1) (n—2)

d—1 —2 d

{n—1) (n—2)

d—1—Q—l

wspólnych dalszych punktów (zależnych już od obranych punktów). Z tego wynika, że wszystkich miejsc zerowych funkcyi Щху) jest (2w-ł-2ę>—2). Liczba ta oznacza zatem jej stopień er, a że z drugiej strony mamy a=2(s—1), więc:

(I)

2w+2{?—2=^(s—1) 2(s—l)—n + l.

Q=

toi I—¹

a stąd :

Jestto nowa forma

za pomocą której obliczyć można rodzaj dowolnego obrazu algebraicznego, bo użyte transfornacye przerabiające dany obraz na taki, jaki tu wyżej wzięliśmy za podstawę, nie naruszają rodzaju. Lecz jookażemy, że takie przerabiania są przy obliczaniu rodzaju ę za pomocą formy (I) nawet zbyteczne. Przyjmijmy bowiem, że w danym dowolnie obrazie mamy między innemi parę funkcyj :

(1)

y=V%2 09 >

gdzie |с|2>1, a £, £' są albo równocześnie ujemne, albo jeden z tycli wykładników jest ujemny. W tym razie mamy więc do czynienia z cyklicznym elementem y: odnoszącym się do miejsca w nieskończoności.

a) Połóżmy, gdy £<<0, £'>>0

я=а+у, y=y

to w nowym obrazie algebraicznym ф(£,у)=0 parze (1) odpowie: gdzie sumę odnieść trzeba do wszystkich par funkcyj występujących na każdem miejscu x, które jest pierwiastkiem wyróżnika D(x)=0 [art. 59.].

Pd. 1. Kównanie ,</²= C. (x—cą) (x — a₂) ...(x—am) posiada w skończoności cykliczne elementa funkcyi у jedynie w punktach , л = 1, 2,.... m. Te elementa wynikają z par funkcyj postaci: [x — -j- #², у —c>,t -J- t² -}-...] w każdym takim punkcie mamy n'= 1, a że tu n, stopień równania w (y) jest = 2, więc

m

m.

z tych punktów mamy :    (2—1) =

Л—1

W otoczeniu æ — co dostajemy:

m

т-H S

'fc г

te —a

Stąd — ponieważ tn już obydwa wykładniki jf|, e' są dodatnie — wynika, że s trzeba tu wziąć w znaczeniu | £ |. ß) Gdy będzie £;>0, £'<<0, to po podstawieniu:

dojdziemy do wniosku, że s trzeba tu wziąć w znaczeniu £.

y) Gdy wreszcie okazuje się £<0, e' <; 0, to za podsta-

wiemem :

x=a +

т-H }}J>

dojdziemy do równania <jp(£ ^)=0, a w niem parze (10) odpowie para postaci :

Tu \e\, I £* J są dodatnie, a więc s wziąć trzeba w znaczeniu |fi|. Formę (I) można jeszcze podać w innej postaci. Jeżeli bowiem na miejscu x=c występują cykliczne elementa у, a mamy tam nl par :

x—c+t⁸*

y=(p₂(t)

X = C + tsn‘

y = <pn‘{t)

X = C-\-tSl

y=<p\(t)

to n‘ musi być <Zn, gdzie n jest stopniem równania w zmiennej «/, ale w każdym razie (s₁ +s₂ +••• +s„/)=w. Wskutek tego mamy na tern miejscu (sA—l)-f-(s₂—1)+...+($»'—1 )=n—n‘ a przy takich oznaczeniach dostajemy:

(И)

Q=-

1-1 <M

yï^C.x™ (l—J-) (l—J) -(l-^r), a więc у = ±x% ąj

(x—c) (x—cl)

со — gdy т jest parzyste — można przedstawić przez dwie pary funkcyj :

[x^=t-1, y = + t    ¹ $(*)], [x = \M, у = t

Ten punkt daje więc n—n' = 0, a w tym razie z formy (II) dostajemy:

m — 2 ° ~ 2

W razie nieparzystego m przedstawić można otoczenie miejsca

l

jedną tylko parą [x = t—², y— t-m ?$(t²)], b° z niej — z powodu t = +^x ² — wynikają już obydwa cykliczne elementa y. Punkt x — co daje tu n—n' — 1, a więc

m — 1    ^ i

art. tl.J.

Pd. 2. W równaniu у^х) . y² + gt(x) у -f <j₂(x) = 0, w którem y₀, </u y₂ są całkowite wymierne i niewspółmierne funkcye, dostajemy:

— 9\+V'h² — 4 y₀ ff-2

² ?(*)].

(a)

(P)

²Уо

(z uwzględnieniem dwuwartościowości pierwiastka). Przyjmijmy, że yt²—4 y₀y₂== = [ć?₁(.r)]². G(x), zawiera zatem całkowitą funkcyę Gl w kwadracie, to wtedy mamy :

_+ V7 G (a-¹)

2y₀

Połóżmy x = ?, у —

2/Уо

które to podstawienie jest odwracalne,

a więc nie narusza rodzaju, i przyjmijmy, że: G(Ç)=C.Çi—«i)(E—я₂)••• (-—«4 to dojdziemy do równania rj² = (?(;), skąd wnosimy, że dany obraz algebraiczny ma rząd (a), lub (b) obliczony w Pd. 1.

Pd. 3. Obliczyć podług wzoru II. rząd p—0 równania ay²Ą-bxiJrby⁵=0 — [art. 70. Pd. 3.].

Pd. 4. Okazać, że krzywa x -f- x³ -f*y³ = 0 ma defekt p —1 — [art. 70.

Pd. 4.].

Pd. 6. Rodzajem krzywej y³=

jest p — 2 — [art. 70. Pd. 6].

85. Forma funkcyi H(xy) w.dowolnym obrazie algebraicznym. Forma (6) — art. 83. — jaką przedstawiliśmy funkcyę ogólną H(xy) dla obrazu /’=0 pozbawionego cyklicznych elementów у w nieskończoności, utrzyma się i wtedy, kiedy obraz algebraiczny dany będzie bez wszelkich' zastrzeżeń. Założenie (a) art. poprzedź, o parach funkcyj otaczających punkta (cc¹) o skończonych c, c‘ możemy zatrzymać bez ujmy ogólności. Jeżeli i tu H(xy) ma być nieskończonością dokładnie stopnia (5 — 1) w każdym punkcie rozgałęzienia (cc'), o skończonych c, c', to iloczyn f(xy)₂H(xy) będzie [wskutek wykładnika (a), — art. poprzedź.] — niezawodnie całkowitą wymierną funkcyą G(x y) taką, że G(xy)=0 w każdym

gdzie ą jest stopniem funkcyi 0(xy).

Przyjmijmy q—n—3, to dalej — ponieważ równanie /](^₁^₁)=0 ma w otoczeniu punktu    yj)—(00) same pary funkcyj :

[fi-*, ni=*m]

o dodatnich wykładnikach s, к—potrzeba, aby — bez względu na s = k — w koniecznie (fi—1) początkowych funkcyj [^ у i ]₀, [li^iln*-* identycznie znikało*). To samo rozumowanie odnieść trzeba do wszelkich przerobionych równań**). Z drugiej strony iloczyn (1) ma zawierać liniowo jednorodnie ę dowolnych spółczynników, że zaś właśnie dołączona funkcya 6г„_з, a nie inna, może to spowodować, więc mamy twierdzenie :

I. W najdowolniejszym obrazie algebraicznym można funkcyi H(xy) dać postać:

H(xy)

(A)

Gn-% y) f(x y\ ’

*) O tem przekonać się można, zakładając, że GUi^i) zaczyna się od [?i7|iL_₂. **) a nawet do punktów (cc¹) leżących w skończoności przez co stajemy na zupełnie ogólnem stanowisku.

21

z punktów (cc¹) zachowywać się musi, jak dołączona krzywa, a sama funkcya II mieć będzie postać II (xy)—

Przejdźmy do miejsc danego obrazu lezących w nieskończoności. Bez różnicy, czy takie miejsce ma być osobliwe czy nie, trzeba — jeżeli w równaniu f= 0 wyrazy najwyższego stopnia, (xy)n zawierają czynnik (gy—hx)v — położyć:

х=(д+а^)J-, y=(h+ß%)4 Przez to przejdziemy do równania przerobionego:

f(xy)=irn-fj(i₁y₁)=irn [(iiy>l-

⁼ii~n • fi(iiVi)2

Gr(xy)

f(x y\ '

li

g ß—h 05=1.

Utwórznry : f(x y)

dx

dy i

+f(xij)₂

dx

dy

d4\ a ' li ’ P li ’

to gdy tu dalej zastosujemy tok rozumowania, jaki mieliśmy w (d) — (e)—(/‘) — (g) — [art. 83.] — dostaniemy związek:

ii ⁹ &diVi) di\ irn+Yi(iiVi)2 dt ’

i zauważmy, że :

(с

dxt

Щхф) ш

Teor. funkcyj anal. T. II.

gdzie 6гя_з=0 jest dołączoną, krzywą (n—3)®° stopnia, a f(xy)₂ pochodną funkcyi f(xy) względem y.

Pd. 1. W obrazie hypereliptycznym (lub eliptycznym):

«/² = (ж — aj) (ж — a₂) ... (ж — am) określi się dołączona krzywa (m—3)g0 stopnia równaniem:

Ст-Ъ + сиг„4 * + Cm~ 5 ** + - + 4    " r_ 3=0,

które z form art. 71. dostajemy odrzucając tam w (4) (£т])„_2, przy n—m, a potem

— 1, albo

przechodząc do relacyi (5) tegoż artykułu, r = czy m jest parzyste czy nieparzyste.

W obydwu wypadkach jest m—r—3 —p—1, a więc będzie:

- , według tego

0)

"I    /у*    /У.2    ^

H(xy)= Cx- + C₄ + C₃— + ...fC?T,

bo tu /(ж y)₂ = 2 y. Jako system zasadniczych funkcyj H(xy)a można tu wziąć funkcye:

x⁰¹-1 У ’

Uwzględniając obliczonjr rząd p, mamy m= 2 p 4-2, albo w —2p-|-l, skąd wynika, że ж jest w każdym razie >p. Wybierzmyż z iloczynu:

(«)

H(x ij)a =

a ■—1, 2,..., p.

(Й)

Р(ж) = (ж—aj) (ж—a₂) ...(ж—a,n)

dowolnych p czynników (ж—a^), (x—akj)..., (ж—) i połóżmy:

że :

Р(ж) =(ж—(ж - «J ... (ж-й^) , to nadając w (a) stałym 67 takie wartości 67    , .9 = 1,2,

Ci(a)+ С₂(а)ж + G,⁽“> ж² -f... -f- C₍,(a) ж?

dostajemy nowy system różnych między sobą funkcyj :

= 1, 2, ..., p,

(ß)

Р(ж)

у (ж—) ’

a te znowu można wziąć za nowy system zasadniczych funkcyj H(xy)a. Jak się zachowują funkcye (а), a jak funkcye (ß) w punktach (at0), (a₂, 0), ..., (am 0)?

Pd. 2. Równanie:

0)

*/³ =

(ж—а) (ж—b)

(ж—с)(ж—<?)

jest stopnia 5go, ma rodzaj p = 2, a w nieskończoności posiada punkt dwukrotny (ж = 2), i punkt trzykrotny, {w =3), bez dalszych złożeń [Pd. 6. art. 70.]. Gdy dołączona krzywa stopnia 2g0 ma mieć postać :

GÎ = «0 4- 0» ?/)i + y\ — «0 + lA* 4- &ij/) + (с0ж2+ слхУ + epß) = 0,

to za podstawieniem ж = ~~, у =--, które przerabia równanie (a) na równanie

z najniższym wymiarem w = 2 , dostajemy :

¹

Co do tego por. także: Raffy. Recherches algébriques sur les intégrales Abélietmes. Ann. scient, de l’école N. sup. T. 12. (S. 2.) (1883) str. 105—123.

²

Jestto twierdzenie Abla. Co do sposobu obliczania takich całek por. J. Ptaszycki: „O całkowaniu algebraicznem różniczek algebraicznych“. Prace mat.-fiz. T. I., str. 81. Do tego wypadku odnoszą się ciekawe uwagi L. Stickel-bergera w rozprawie : „lieber einen von Abel auf gestellten .... Satz“. C. J. T. 82., str. 45—46.

³

To ograniczenie można zaniedbać i sumę odnieść do wszystkich par otaczających punkta, w których у równe przybiera wartości, bo z pary posiadającej .9 = 1 dostaniemy: (.9—1) = 0. Takie wszystkie punkta x daje wyróżnik D(x) = 0 równania f—0.

⁴

Punkta (cc‘) o cyklicznych y —    1) — są zarazem wielokrotnymi.

⁵

Po prawej stronie jest (^r₍₁) parą funkcyj, jaką w punkcie (cc‘) dla przerobionego równania dostajemy.

⁶

Elliot — Ann. scient, de l'école. N. sup. T. 5. (S. 2, 1876), str. 399—444 — szuka formy funkcyi Gn-з, opierając się na badaniach Halphen’a.

«o    —i) + (4i, -1)2 = 0,

a że tu ma być w — 1, więc być musi c₂ =0, Mamy więc :

Gi = «0 + (# y)i 4" (c₀ Ч жу) = 0.

1    p

Podstawmy x— —, y = —, przez co dostajemy z (a) równanie o iv = 3,

to otrzymamy :

«о Г² + SOo + h r,) + (со + ci ri) = ⁰ »

a że tu ma być «с = 2, więc trzeba założyć Ъ₀ — c₀ — ct == 0 a wtedy ostatecznie dostaniemy : 6r₂= a₀ 4- bxy. Z równania (a) mamy f(cc y)₂= 3 у²(ж—с) (x — d) ; skutkiem

tego będzie:

H(xy)=Cx.

+ <?2-

y\x—c)(x—d) a systemem zasadniczych funkcyj H(xy)a jest tu:

у(аг—с) (x—d)

H(x у)а

Jak się te funkcye zachowają w punktach («,0), (b, 0), (c, oo), (d, oo) ?

(x—c) (x—d) ya ’

= 1,2.

80. Normalne formy funkcyj H‘(xy)a, H(xy, x'y'). Każda funkcya II'(xy)a drugiego rodzaju posiada—jak wiadomo — takie własności :    «

cc a

dxt

а) II' (xt yt)a

dxt

dxt

c) Na każdem innem miejscu rozwija się iloczyn IT{xtyś)a ~rr

Cli

na zwykły szereg potęgowy.

Przyjmijmy, że istnieje jeszcze druga funkcya H‘(xy)a, która — gdy zatrzymamy miejsca (a„ba), a = 1, 2, ..., p, wraz z ich znaczeniem — posiada również własności a), 6), c). Wtedy różnica

rozwijając się na każdem miejscu bez

dxt

[H‘(xtyt)a-IT(xtyt)a] dt

dxt

wyjątku na zwykły szereg potęgowy, musibyć = H(xtyt) a H(xy)a—H\xy)a=H(xy).

Lewa strona jest tu zerem na dowolnych (q—1) miejscach (a—1), (a-f-1), ..., q i jeszcze na dowolnem £tem miejscu. Tego jednak od żadnej funkcyi H(xy) żądać nie można [art. 83. tw. II.], a stąd wynika, że identycznie być musi :

co znaczy:

I. Każda funkcya H‘(xy)ce, gdy dane są wszystkie q miejsca (ааЪа), jest całkiem oznaczona przez swe własności а), Ъ), c). [Te własności są więc charakterystyczne].

Niechże w dowolnie danym obrazie algebraicznym f— 0, rodzaju q — dany będzie punkt (aa ba), a w nim styczna do krzywej /‘=0 niech posiada równanie :

(ßßbß), /3=1, 2

H'(x y)a=H‘(xy)

(1)

АахЛ~ВаУ \ Ca=0.

Gn—i(xy)—0 niech będzie równaniem dołączonej krzywej (n—2)go stopnia, przechodzącej przez (n—2) punktów, w których styczna (1) przecina — poza punktem (aaba) — krzywę f— 0. Utwórzmy wyrażenie :

(2)

u(xy)

G„-2 {ж y )

(Aax-\-Bay + Ca) f\x y)₂

to o niem — (podobnie, jak o ilorazie [Gn-z(x y) : f(xy)₂\) — da się udowodnić , że :

dxt

ufayt)

w otoczeniu każdego dowolnego punktu (x y) leżącego poza (аиЪа) w skończoności lub nieskończoności.

Do wyznaczenia krzywej Gn~2=0 zużyto już d-\-(n—2) warunków; można więc jeszcze dla niej wybrać dowolnie:

(w—2) (w-f-1)

(3)

d—(n—%)=Q

punktów, co znaczy, że ćr„_2 będzie zawierać jeszcze ((>pl) dowolnych spółczynników. Połóżmyż :

(4) Gn-<i{xy)=ci G‘n-2(xy) + c₂G"n-₂(xy)+...+cQ+i Gn-^⁺'](xy), to możemy dalej; w celu wyznaczenia stałych ci, c₂, ..., ce+1, założyć Gn—2 (aßbß)=0, /?=!, 2

(5)

(a-l), (a-j-1), ..., p.

dx,

Gdy u{xtyt) dt damy, aby :

ffo Gi 'V-ce+i) + ffi g₂-cg+i)* + -

a zazą-

(6)

9{) (G c2 ••• ^(»+0    *0,

znaczoną

to przez (5) i (6) mamy funkcyę Gn-i(xy) już w zupełności wy-a iloraz u(xy) posiada wszystkie charakterystyczne własności funkcyi II‘{xy)a; jest więc [tw. I.] funkcyą H‘(xy)a-Połóżmy :

Gn-łv) (x y)

(Aax P Bay P Ca) f{xy)2 to ogólna funkcya H‘(xy)„, t. j. taka, w której punkt nieskończo-nościowy (aaba) jest dany, a punkta zerowe (aßbß) można dowolnie wybierać , określi się formą :

TI\X y)a-=Cx II \X y)a\ P C₂II\X y)a% P ••• + CQ+\ II‘(X y)a, Q+\.

Stąd twierdzenia :

II. Niezależnych od siebie funkcyj H‘(x y)„ — albo caleJc rodzaju drugiego — z tem samem miejscem nieslcończonościowem (aa ba) jest w obrazie algebraicznym rodzaju q, dokładnie ((> + 1). Liniowe jednorodne wyrażenie ((?+!.) funkcyj H‘ nie może być zerem, a takież wyrażenie całek nie może być —const.

III. Każda funkcya drugiego rodzaju II‘(x y)a da się sprowadzić

G-n-% {x y)

do postaci:

(B)

H\X y)a

(Aax+Bay+Ca) f(x y\ ’ w której Aa x-\-Ba у + Ca=Q określa stycznę ta do krzywej /’= 0 w jej punkcie (aa ba), a Gn-%=0 określa dołączoną krzywę, która trafia f= 0 w tych (n—2) punktach, w których ta przecina się z f= 0 poza («aaba).

Zauważmy funkcyę H(xvyv, x‘yj, któraby jako funkcya zmiennych (x‘y‘) posiadała takie własności, jak funkcya H(xvyv, x‘y¹). Własności te są :

V V (łjfi    1

a)    H(xvyvxtyt)~= — +    - [art. 73.].

a

~    a a d T*

b)    K(xvyv xt yt)-dt = t.    (0 — [art. 74.].

dxt

с) II(xvyv Xt yf) dt= —

y+^PoW —⁷⁵-L

d) H(xvyvx,ty,t)â~

gdzie (x‘ yj jest rożnem miejscem od

miejsc (xvyv), (xaya), (a₀b₀). Przez taką funkcyę H(xvyvx‘y') można będzie zastąpić H(xvyv, я'у') w całce trzeciego rodzaju, całka ta bowiem nie traci przez to swych charakterystycznych własności.

Zatrzymując miejsca (xv yv), (aaba), (a₀ &₀), przyjmijmy, że mamy jeszcze drugą funkcyę 11 ‘(xv yv x‘y¹), posiadającą również własności aj, b), c), d). Wtedy i tu, tern samem rozumowaniem, co o funkcyi II' (x y)ai dojdziemy do wniosku, że identycznie byc musi H‘ (xv yv, x‘yj=Й (xv yv, x'yj, a to znaczy:

IY. Własności a), b), c), d) są charakterystyczne dla funkcyi

H(xvyv, x‘yj.

Gn-iWyj

Niech Ax‘ + By' + C=0 będzie równaniem prostej p, która przechodzi przez obrane punkta (xvyv), (aob₀) krzywej /=0. dej dalsze punkta przecięcia się z krzywą /=0 niech będą (£* yf), k=l, 2, ..., (n—2). Gn-2{x‘yj=0 niech będzie równaniem dołączonej krzywej (n — 2)g0 stopnia, przechodzącej przez wszystkie punkta (£* yk). Zauważmy iloraz :

uv(x' y‘)

(Ax, + By‘Ą-C).f{x,yj 2

Gdy położymy :

£> + l

(?)

G-я-2 (x‘ yj =2 C* Gn-2{v) (x‘ yj

V~l

a stałe cv tak wyznaczymy, że :

(8)

—2 (fla bet) —0, CC — 1, 2, ..., to iloraz uv(x'yj będzie już miał własności b), d), a jego rozwinięcia w otoczeniach punktów (;xvyv), (a₀&„) poczynać się będą od wyrazów Ct~iyCtt~¹₁ gdzie jednak równość C=Cl musi się sama z siebie spełnić, bo uv (x'y‘) ma zadość uczynić relacyi S= 0. [art. 76.]. Dołączmyż — gdy:

U(r l\dXt    ^o(ClC2-Cg + l) + «- _

v( tVt) dt к^+кхР+...

do warunków (8) jeszcze warunek:

(9)

to warunkami (8), (9) będzie funkcya (r znaczona

już w zupełności wy-

a iloraz % jest, podług tw. IV., funkcya H{xvyv x‘y‘). Stąd twierdzenia :

V.    Niezależnych od siebie funiccyj H(xvyv, y‘ ) z temi samemi miejscami nieskończonościowemi (xv y„), (a₀ ć₀) — albo całek trzeciego rodzaju z tymi samymi punktami logarytmicznymi — jest w obrazie algebraicznym rodzaju g, dokładnie: (ę>-fl).

VI.    Każdą funkcyą II(xvyv, x‘ yj przedstawić można w postaci:

(O

H (xv yv , X¹ yj=

Gn—2 (x‘ yj

(Ax' + By'+C) .fjx¹ yj₂

gdzie Ax‘ -\-B y‘ -4- G=0 określa prosię p przechodzącą przez punkta dane [xvyv\ (a₀b₀)

Gn^₂(x‘yj=0 jest dołączoną krzywą (n—2)'J° stopnia przechodzącą przez dalszych (n— 2) punktów przecięcia się prostej p z krzywą /'=0.

Uwaga. Za opuszczeniem warunku (6), lub (9) daje forma (/i) funkcyę MH‘(x y)a, a forma (C) funkcyą MH(xvyv x‘ y') z dowolnym spółczynnikiem M.

87. Inne normalne formy funkcyj 1Г(ж y)a, H(x у, аз' //'). Przykłady. Zamiast form (5), (G) — art. poprzedź. — użyć można jeszcze innych. Łatwo bowiem — sposobem użytym w ostatnich ustępach — da się udowodnić:

I. Gdy proste: x‘—^„=0, x'—a₀ = 0 przecinają krzywę f= 0 poza punktami (xvyv), (a₀b₀) jeszcze w punktach (xvrjk), (a₀ /Д.), k= 1,2,..., (w—1), a Gn-\ (x¹ y')—0 określa dołączoną krzywę (n —1)°° stopnia, która przez punkta (xvgk), («о V*) — * przez pnnkta (ааЪа), a=l,2, ..., ę>, przechodzi, to:

=M.H(xvyv, x‘y').

(00

Gn-\ 0»' у')

(У—a*) (x‘—a₀)f(x‘y‘)₂

II. Przyjmijmy tu: (xv yv) = (a₀b₀) = (a« &«), to szeregi punktów (Xv,r]k.), (a₀ j ^    s^e identyczne, a gdy Gn—i(x,y,)—0 poddamy

warunkom :

(a)

Gv—i (xv Tjk)—Oj [6t/j—i    —Oj & lj2

(w—1):

(0

Gn~i(o^ fy?)—O,    ß=— lj 2j ...j (cc I), (oj-j- l)j ...j ^)j

to otrzymamy :

Gn—i (x y )

(x‘— a«)² f(x‘ y%

Uwaga I. Gdy ma być M=l, to w (B'), i (C) trzeba jeszcze po jednym warunku spełnić.

Uwaga 2. Każdą z form (^4) — [art. 85.] — (В), (С) — art. 86. — (В'), (С) uważać trzeba za normalną [por. art. 66.].

Jeżeli w (O) założymy, że (xvyv) ma być bieżącem miejscem (xy), a za (x y) pisać będziemy (x‘ y‘), to licznik w (C") da się w ten sposób utworzyć: Niech f(x/yJ) = 2A.xay4A,=^0, a prosta x‘— x=0 niech przecina krzywę f= 0 w punktach: (xy), (x %) (xr\n-1). Wtedy:

f(x у')={у'—у) (У¹—1?i) ... (у¹ — Уп-i), a ponieważ f(xy)=0, więc iloraz:

f(x У) ___ f\x y‘)—f{xy)

y'-y

2 А .я:л(У'*_1+у'^²у+...+2/^''¹)=(У—V\) (У—Ъ) — (y'-Vn-û

НХхуу‘)

jest wymierną całkowitą funkcyą zmiennych x, y, y\ a równanie f(xyy‘)=0 określa zbiór (n— 1) prostych: yJ—^=0, k=l, 2,..., (n— 1), które odpowiednio przechodzą przez punkta :

(xVi), (x%), •••?

(1)

У'—У

■= 2 4 .ar¹.

y't*—yp

y'-y

(2)

Utwórzmy równanie :

h.f{xyy')+(x,—x)gn-i(xt y‘)=0, w którem h i spółczynniki funkcyi y„_2 stopnia (w—2)s° nie są jeszcze oznaczone. Każda krzywa określona tern równaniem jest (w_l)go stopnia i przecina krzywę f(x,y')=0 niezawodnie w punk-

(n—2) O+l)

(3)

tach (2). W równaniu (3) mamy

-f- 21 spółczynników

a po wprowadzeniu d warunków potrzebnych, aby krzywa (3) była dołączoną, trzeba jeszcze do jej zupełnego wyznaczenia dobrać

■fl—d—(n—1) + £ warunków.

Po podzieleniu równania (3) przez (x‘—x) mamy :

h^^-} +9п-2{хУ)=° ,

a gdy położymy gn^2—Bi \-В₂х'-\-B₃y‘Ą-... i zażądamy, aby krzywa (3) przechodziła przez (n—1) punktów («₀??'*), &=1, 2, ..., n — 1, i przez q punktów (aaba), to w założeniu, że a₀,b₀, i тД są skończone, wprowadzić trzeba (n — 1) + ^ takich warunków:

/ L.O ) JrBi -\-B₂a₀ + В₃rj'k0, 7c= 1,2, ..., w—1,

CÆa

(A) h J ~\~Bi + B₂aa + B₃b(e-+ .,.=0, ce=l, 2, ..., q.

Cvct w

Z nich dostajemy :

(w—2)(w-fl)

(4)

(a) A.

h : B₁: B₂: B₃:...—

у •_Zł_._b_._Уз

Y (x—a₀)P(x) (x—a₀)P(x) (x—a₀)P(.r)    ’

gdzie y₀ nie zależy od zmiennych x,y, yl7 y₂, y₃, ... są całkowitemi wymiernemi funkcyami tych zmiennych, a

P(x)--==(x—a])(x—a₂)...(x—aQ).

Połóżmyż :

2, ..

y₀(x—a₀)P(x)

to po wstawieniu tych spółczynników w (3) mieć będziemy :

ff(W,xy)

(x— a₀)P(x)’ a

(5) H(xv :rV)- ¹ . (x’~ao)P(a;)-/'(^<) + (^<—x).<j{xy,x‘y‘)

M {x,—x){x‘—a₃){x-a₃).P(x).f\x,y,)₂

Ponieważ f {xyy)i—f(xy)₂, a w otoczeniu punktu (x‘y‘) = (xy), dostajemy z (5) rozwinięcie:

Gn_x{x>y,)=f{xyyt)-\-{xi—x)

M ' X—a₀

~+t-W)

więc żądając, aby H miało własność (a) — art. 86. — położyć trzeba M~¹==-(x—a₀), po ćzem będzie:

II(xy, x'y‘)

(E)

(x—a₀ )P{x).f\xyy>) 4- (x‘ —x).g(xy,x‘y‘)

(x,—x)(xl-a₀)P(x).f(xlyl)₂

Zauważyć przy tem trzeba, że z (E) dostajemy w otoczeniu miejsca (x‘yl) = (a₀b₀) rozwinięcie postaci:

4-m

—P(x).f(xyb₀) +g(xy, a A) 1

P(x).f(.a₀b₀)₂

Musi więc być: [g(xy, a₀b₀)—P(x).f(xijb₀)] = - P(x).f(a₀b₀)₂, czyli g(xy,a₀b₀)=P(x)[fXxyb₀)-f(aM₂\, a stąd wynika, że:

(6)

#<aA>«<A)=°-

Funkcya H(xy: x'y') ma w zmiennych (x'y¹) wszystkie własności

funkcyi H(xy, x‘y‘), a i różnica H(xy, x‘y‘)—H(abb₀, x'y‘) zachowa je także wszystkie, bo i w otoczeniu miejsca (a₀ó₀) rozwinie się jeszcze — wskutek (6) — na szereg postaci:    Co się tyczy wła

sności tej różnicy w obszarze zmiennych (x, y), to łatwo sprawdzić, że ona w otoczeniu miejsca (xy) = (x‘y‘) ma rozwinięcie postaci:

(«')

-t-y+W),

w otoczeniu każdego miejsca (aaba) rozwinięcie postaci:

ha(x‘y‘)i-x + hA(x‘y‘) + h‘a(x‘y‘)t + ..., a na miejscu (a₀b₀) ma rozwinięcie

(/)

Lecz własności (a'), (ß¹), (y‘) charakteryzują funkcyę H(xy,x‘y') w zupełności, a stąd wynika :

H(xy, xly‘)=H(xy, x,y,)—H(aA^y/)-W razie t«d=oo zmienią się warunki (a) i postać funkcyi H na inne. Niech bowiem miejsca (co , ??*), zawarte w /‘=0, będą o sto-

(Æi)

simkach :

hk

(-) -

V ao ) «о=°° дь

n—1, to położywszy:

(gA—Кх‘)(д2У‘—‘\P)Agn iy'—hn^x‘) ^i\x>n-' +p₂x,n~y + -

a funkcyę jednorodną najwyższego stopnia (n— l)s°, zawartą w (3) nazwawszy: ухх,п~^ -\-q₂x,n~²y' +..., zażądać trzeba, aby było:

(«')

2i =Pi, <h*=P-2, ••••

i temi równaniami zastąpić warunki (a). Warunki (ó) pozostaną , a gdy teraz z równań (a¹) i (i) obliczać będziemy to dojdziemy do h=y₀, niezależnego znowu od (xy),

niezmienione

h, Ви В

a spółczynniki Bs — gdy h = 1 położymy — będą postaci ysjy₀Pix), gdzie yS) s= 1,2,... są całkowitemi funkcyami zmiennych x, y. Położymy więc w tym razie :

Gn-i (x'y¹) =f{xyy‘) + (x/—x).

g{xy, x‘y‘)

P(x)

a w mianowniku funkcyi Щху, х'у‘) nie będzie już potrzebny czynnik (X¹—a₀), bo (a₀b₀), nie będąc miejscem równania ćr„_i(#b/')=0, musi dać Gn-i(a₀b₀) = co, gdyż a₀= oo . Mieć więc tu będziemy ostatecznie :

(F)

H(xy, Py')

P(x).f(xyyl) Ar{x‘—x).g{xy, x‘y')

(P-x).P(x).f(Py%

(bo Ж⁻¹ wypada tu =1). Stąd — jak wyżej — przejdziemy do funkcyi H\xy,Py'), określając ją wzorem:

№)

/%, а?У)= Щяу, Py')— Um Н(а₀Ъ₀, Ру¹).

(«о*«)

Uwaga 3. Jeżeli w jednem z miejsc (aaba) n. p. w (açbç) ma być |«^| = oo ^ to widocznie P(x), P(x*) mają być zerami dla \x\ = \x*\ — oo, a to objawi się tem, że się te iloczyny zredukują do funkcyj stopnia (p—l)RO ; trzeba je więc w formach (E), (Ei), (E), (E\) zastąpić iloczynami:

Px(x)—(x—ai)...(x—aQ-1), P\(E) — (cc'—o, )...(x‘— aP—i).

Pd. 1. Krzya x²-\-y² —1=0 nie posiada żadnych punktów wielokrotnych, (d=0). Jej rodzaj jest więc =1, a dołączona funkcya stopnia: (n-—3)==0 redukuje się do stałej dowolnej 8(7. Wskutek tego mamy tu:

H(xy) = C/y².

Przyjmijmy (aa, ba)=(0,1) — (a jest tu =p=l) — to ponieważ w otoczeniu miejsca a?=0 mamy tu 8 pary funkcyj:

x = t, y = zk[l — -|r*³ + •••], * = 0,1,2, s =

г ni e 3

więc prosta x=0 przecina krzywą f=0 w 3 punktach (0,1), (0, z), (0, s²). Chcąc H*(xy) przedstawić formą (B*), trzeba przedewszystkiem utworzyć dołączoną krzywę stopnia 2s° :

(to

Ax²-[-By²-\- Cxy + Dx + Ey + F=0 i od niej — ponieważ d — 0 — zażądać jedynie, aby: 1°) przechodziła przez punkty (0, e), (0, ć²), aby więc spełniły się warunki [por. (a)]:

Bt²-\-Ez + F=0,

Bz-\-Ez²Ą-F= 0, (e⁴ = s), i aby: 2°)

M [Ä t²-f Bt³ +...) + Cł(1—11* + ...) + Dt + E( 1

* = b 2, Jpor. (ß)].

Warunkom (v') zadość można uczynić, kładąc A = C= D = 0, a że z (v) wynika B — E = F, więc równanie (;j.) redukuje się tu do у²Ą-y -}-l—0, a funkcya H'(xy) będzie postaci:

H‘(xy) = —

2/² + H-!

X².3 y²

[Ж—¹ wypadło tu =—1].

Zatrzymując (accba)=(0,l), spróbujmy utworzyć funkcyę H(xy,x*y*). Powinna ona — gdy przyjmiemy (a₀ó₀)=(co, —co ) i zważymy, że tu f(xуу*) =    ² + у'у + у²

a P(x) — x — mieć licznik postaci:

&2 = Ь(у‘² Ą- y‘y y²) + (x'—,x)(Ax' + By* -\- C).

(fi)

?(*У) = -Р(*)-У' + Р(ж').у=0.

Przechodzi ona widocznie przez punkta aa, 0), przez punkt (go , — co) i przez punkt (ж, —y), a nie przechodzi przez punkta : (ж, у), (со, со). Że zaś równanie (6), gdy się w niem położy: a₀= at=...= a ^ = 0 , b₀—P(x), bl=bi=...=bn 2,— 0> c₀-f^ж' -f ... -f cpж'? = Р(ж')у. C(,₊₁ = ... = си_₁ = 0, przechodzi na równanie (e), więc funkcyę св(ж'у') użyć będzie można jako licznik formy (P). Mieć więc będziemy :

Я(жу, жу) =

ni

ni

Ponieważ ж'³-j-y'³ — (ж'у')(ж'—е^у‘\х‘—е ³y') , a z tych czynników pierwszy odnosi się do miejsca (a.db₀), więc krzywa G-₂ = 0 spełnić ma przede-wszystkiem warunek:

ni

ni

hy'² -f- Ax⁴² -f- Bx'y‘ = (x'—e^y'jx⁴—e ³y') = x,2—x'y'-j-y'².

Z niego dostajemy: h = 1, A= 1, В =— 1. Dalej ma krzywa 6r₂=0 przechodzić przez punkt (»«&«) =(01). Stąd — uwzględniając już wartości spółczyn-ników Л, J, P — dostajemy :

1 + у + */²-Ч-1+^)=о

^2—(У² + У‘У + У²) + (х‘~х) \х‘-у‘ -f Н(ху, ж'у') =

a więc: С

1 + У + Уг + »

1 + У + У² + х

■].

Чу,2 + уУ + .У²) + (ж'-яЖ! +а?*—уО + ¹ + У + У²]

(X⁴—ж).ж.3.у

/2

Dzieląc licznik i mianownik przez ж², i uwzględniając potem:

y = —co,

łatwo sprawdzimy, że tu lim H(aub0: x'y*) = 0, i że więc:

aof>o

X= CO

H(xy, х'у¹) = H(xy, ж'у').

Pd. 2. Z funkcyi H(xy,x‘y‘) dopieroco utworzonej wyprowadzić: H{x'y‘)a , II‘(x'y‘)cc ,

uwzględniając rozwinięcie : H(x⁴y⁴)a t ~¹ -{- H(x⁴y⁴) — H⁴{x⁴y⁴)a t -j- ....

Pd. 3. Postępując, jak w art. 71., dochodzimy — rozważając obraz hyper-

eliptyczny :

0)

y'²=C(x‘—a₁)(x —а₂)...(ж'—aj

do równania:

Gn-i = (ao+aix +-+«p_i !»^-:,У*+(⁶о+⁶1я!,+-+⁶»-2!В,я“²У +

+ (cb+ W +...+    = 0

wszelkich możliwych wartościach spól-

określającego czynników, dołączoną krzywę stopnia    1).

przy

Niech (a₀è₀) = (co , co), (««&«) = (a«0), <x =1, 2, .., p, a więc

Р(ж) = [(ж—«i )...(ж—ар)]

i niech będzie dana krzywa określona równaniem:

1    Р(ж)у' + Р(ж/)у

2    ’ (x¹—ж)Р(ж) у' ’

Uwaga. Połóżmy :

to z uwagi, że

P(x)iy' + P(x‘)y = P(x')(y‘ + y) 4- [P(x')y—P(x)y],

P‘(x)

P(x‘)y—P{x)y = y [/'Or) 4    J J

O'—ж) 4-...—P(a?)] = (ж'—ж).у(жу, x‘y‘) ,

dostajemy :

?(®У') = -P(»0' 4-у) 4- (ж'—ж)у(жу, х‘у‘).

Jestto w istocie forma, jakiej się w (/’) wymaga.

Pd. 4. Nazywając Ç(cc) = [(ж—«р-}-1)...(ж—«и)], wyprowadzić z formy (d) — [Pd. 3.] — przez rozwijanie jej w otoczeniu miejsca (aa0) funkcye :

H{x<y)cc —

Р(ж')

2y‘{x⁴—aa) ’

[art. 85., Pd. 1 ],

H‘(Py‘)a = -

P(x') Q((ig)__

2y‘ ' P‘(aa)'(x'—act)'¹''

Pd. 5. Jeżeli chodzi nie o utworzenie samej funkcyi H(xy:x,y‘)₎ ale o całkę posiadającą charakterystyczne własności całki trzeciego rodzaju, to możemy ją dostać, zamieszczając pod znakiem całkowania już-to formę (C) już-to formę (C").

Przyjmijmyż, że chcemy w obrazie hypereliptycznym mieć całkę trzeciego rodzaju o logarytmicznych punktach (a₀ó₀), (xpyv) = (a₀, —6₀). Podług formy (C) trzeba utworzyć prostę, przechodzącą przez te punkta ; określi się ona równaniem x‘—a₀= 0. Lecz dalej łatwo spostrzedz, że równanie (b) — [Pd. 3.] — może się w szczególności zredukować i do równania dowolnej prostej , a tę prostę można uważać za dołączoną krzywe Gn 1=0. Weźmyż za licznik formy (C) prostę, . leżącą w nieskończoności 0.x -j- 0.y 4- c — 0) , to mieć będziemy :

(ж'-а₀)-2у' ’

M.H(xy, x‘y‘)

Gdy {xvyv) Ф (ff₀ó₀), a yv nie jest =—ó₀, to posługując się formą (6") możemy za Ćth_i = 0 wziąć równanie prostej, przechodzącej przez punkta (xv,—yv), (a₀,—b₀). Napiszmy to równanie w postaci:

(ж'—ж„) (У 4- b₀)—(x‘—a₀) (if -\-yv) = 0,

to mieć będziemy

Całki normalne rodzajów lgo, 2s° i 3^° w obrazie hypereliptycznym nazywają się całkami hypereliptycznemi takichże rodzajów. Całka §R(xy)dx. w której R jest funkcyą wymierną , a (xy) są miejscami obrazu hypereliptycznego, nazywa się ogólną całką hypereliptyczną.

Pd. 6. Zauważmy eliptyczny obraz :

ya = 4(pa»4- \)(х-е{)(х—е₂)(ж-е₃) , w którym ej 4” e2 ез = 0 , a więc:

4(æ—et) (ж—е₂)(ж—е₃) = N= 4ж³—у₂х—дъ.

Tutaj — jeżeli (a₀b₀) ma być znowu (со , cc) , a Р(ж) = (рж-j-1) — dostaniemy podług Pd. 3.:

у' 4Л

î/'+lR

ж'—xv

(а)

H(xy x‘y') = —

i (рх 4-1Y 4- (рх< 4- r)y

(x'—x)(px +1)//'

Przyjmijmy, że \p \ bezgranicznie maleje. Wtedy (au bfj posuwa się w nieskończoność. Obraz eliptyczny (a) przechodzi na :

y*=S= Ах³—д₃х—д₃, a (рж-J-l) — (jgx‘ -j- 1) = 1. Dla obrazu eliptycznego (b) dostajemy zatem:

(<0

H(xy, x‘y‘)

1    y^Ą- \Z~S~

²    (x'-x)\/s~' '

W nieskończoności ma obraz (Z>) jedną parę funkcyj :

x^=ł-2, V~S= 2<-a(l —

a gdy tę parę za a? i \/ S wstawimy w (c) dostaniemy :

Całki :

Щх‘, VS')

Vs‘

{jfL Çïi^ f

}Vs’ )vTT\ )

Vs‘+ ^s- *,

(а?'—ж) V/

są eliptycznemi całkami Weierstrass a rodzaju 1«°, 2s° i 3?°*).

¹

tu okaże się H{xy,x y⁴) — IKxy.x'y⁴).

ROZDZIAŁ XII.

Krzywe rodzajów: O, 1, 2. Krzywe hypereliptyczne.

Moduły.

88. O krzywych rodzaju zero. Obrazem algebraicznym rodzaju zero nazwaliśmy ten, który dopuszcza funkcyę s—R(xy) stopnia lg0 i który wskutek tego ma tę własność, że spółrzędne х, у każdego jego punktu dają się wyrazić wymiernie przez s. Niechże:

U)

x^R^s), y=Ri(s) i przyjmijmy, że sJ=R‘(x y) jest funkcyą stopnia fi> 1 w tym samym obrazie. Wstawiając w s¹ za х, у wyrażenia (A) dostajemy:

(B)

s‘=R(s)

gdzie R jest znowu funkcyą wymierną. Stąd twierdzenie:

I. W obradę rodzaju zerowego daje się każda wymierna funkcyą s1 pary (x,y) a stopnia fi wyrazić wymiernie przez dowolną funlecyę s stopnia pierwszego. Pr żytem w R(s) musi albo licznik, albo mianownik dosięgnąć stopnia fi.

Utwórzmy naodwrót funkcyę :

(C)

a₀+ais+...+altsft A "kblsĄ-...-\-bitsl*

w której s jest znaną funkcyą stopnia pierwszego, a spółczynniki

*) O funkcyach II ogólniejszego obrazu: ym ■=(x—ai)rii.. (x—affA czytaj: O. Bier mann. Akad. Wied. r. 1883.

Pd. 2. Okazać, że w równaniu:

x³ -}-yz—3a xy = 0 jest:

За t²

Pd. 3. Niech / = 0 będzie nieprzywiedłnem , ogólnem równaniem drugiego stopnia, a (,r₀ y₀) niech będzie jednem z miejsc spełniających to równanie. W otoczeniu tego miejsca będzie równanie miało postać:

v₂(x—x₀, y—y₀)+Vi(x-x₀, y-y₀) = 0

gdzie v₂, vx są — jak w Pd. 1. — jednorodnemi funkcyami stopni: 2, 1. Kładąc więc tu у—yQ — {x—x₀) t, dostaniemy x i у w wymiernych funkcyach parametru t.

——^ wymierną funkcyą

Uwaga. W Pd. 1, 2 jest t= , a w Pd. 3. jest t pary (x, y) stopnia pierwszego.

Nasuwa się teraz pytanie, czy zawsze w tym razie, kiedy x, у danego równania f— 0 dają się wyrazić wymiernemi funkcyami

(1)

x=R, '(t), y=R‘₂(t), zmiennego paramatru t, uważać trzeba /=0 za równanie rodzaju zero, a t za funkcyę stopnia pierwszego?

by

&оЛ,

by są, dowolnymi *). Taka funkcyą będzie a tę samą wartość s' przybierze na

% i a\i •••>    ?

zawsze funkcyą stopnia pe° takich [i miejscach (x, y), na których s dostaje wartości pierwiastków s1? s₂, ..., Sy równania (G). W szczególności funkcyą:

a>)

s‘

as Ą-b

cs -f d

[a więc związana z s równaniem dwuliniowem 4s.s' + Bs + Cs‘ -j- T)=0] z dowolnymi spółczynnikami a, ó, c, d, byleby tylko było ad—óc=J=0, jest funkcyą stopnia pierwszego. Stąd twierdzenie :

II. Mając jedną funkcyę wymierną s pary (x y) stopnia pierwszego (w danym obrazie algebraicznym rodzaju zerowego), dostajemy wszystkie inne funkcye stopnia pierwszego tworząc z s liniowe ułamkowe funkcye o dowolnych spółczynnikach.

Pd. 1. Gdy równanie f —0 ma kształt:

Vm(x, y) -}- Vm-1 (x, y) -- 0,

gdzie Dm, Vm—1 są jednorodnemi, całkowdtemi funkcyami o stopniach m, m — \ to kładąc y—xt, dostajemy:

xm .vm{ 1, #) + xm 1 Vm~ 1 (1, t) = 0, a stąd wynika :

x= —

Vm—\{ 1, t)

vm{\, t)

y= — t.

Vm—1 (1, t) Vm (1, t)

Relacye ~    ~    = trzeba wykluczyć.

Aby

to odpowiedzieć zauważmy, że zajść tu mogą takie

na

dwa różne wypadki :

1°. Równania (1) mają jeden tylko wspólny pierwiastek t przy bieżącem miejscu (#, y) równania danego.

Taki pierwiastek jest wymierną funkcyą spółczynników samych równań (1), a więc wymierną funkcyą pary (x, y). Połóżmyż

t=>R{x, y)

to widocznie t jest tu funkcyą s stopnia pierwszego, bo, jak z równań (1) wynika , każdą dowolną wartość przybiera na jednem tylko miejscu obrazu f=--0.

Takim był parametr t=

« ЧВ

w Pd. 1,2, a parametr t =

У~Уо

w Pd. 3.

/у»_/у»

*Д/    «Л/Л

t, h >> 1 wiastki tut2f...,

II⁰. Równania (1) mają h wspólnych pierwiastków przy bieżącem miejcu (x, y). Nazwijmy te piersi- i przyjmijmy, że między nimi są powtarzające się. Dla każdego powtarzającego się pierwiastka t [zmieniającego się z (#, y)] mielibyśmy :

Toby wskazywało, że w pewnym zwartym obszarze (t) mamy R₁ =const, R₂=const, co jednak jest niemożliwe.

Pierwiastki ...,

4 są zatem wszystkie między sobą różne.

Równanie :

(2)

<Po (x У) ik+<Pi (x У) **_1 к - + <Pk(x У) =0,

któremu zadość czynią te pierwiastki, ma spółczynniki <p₀, (pt, ..., cpk wymierne i całkowite w x, y. Połóżmyż :

<ря (X у)

<Po(x у)

i utwórzmy dowolną wymierną funkcyę :

S ⁼ Rq (S j, §2

(3)

s^.).

Jest ona symetryczną w pierwiastkach ti,t wskutek (2] jest:

2? “’I

4- Że zaś

więc — gdy położymy :

x^Ri'ih), y=R\(h), Л=1, 2,..., Jc

mamy w tych sumach również symetryczne funkcye pierwiastków

.., 4j a takie funkcye dadzą, się wyrazić wymiernie przez s.

Połóżmyż :

(4)

x=Rx (s), y=Ą(s), to to wskazuje, że 5 jest już funkcyą stopnia lgo, a f— 0 obrazem rodzaju: zero.

Stąd twierdzenie*):

III. Gdy w danem równaniu f— 0 są x, y wymiernemi funiccyami zmiennego parametru t, to t niekoniecznie jest wymierną funiccyą pary (x,y), ale możliwem jest zawsze — i to na nieskończenie wiele sposobów — dojść do funkcyi wymiernej s pary (xy) stopnia pierwszego i wyrazić potem x, y wymiernie przez s. Taki obraz algebraiczny jest więc zawsze rodzaju zerowego.

Formy (1) — w razie kf> 1 — nazywają się niewłaściwe; przeciwnie w (4) mamy już właściwe przedstawienie spółrzęd-nych ж, y obrazu rodzaju: zero.

Niech równanie f=0 o spółczynnikach rzeczywistych, będąc rodzaju zerowego, określa krzywą algebraiczną. Posuwając rzeczywistą wartość s po obszarze s = (—co... + оо), przebiegamy punktem (x, y) określonym relacyami (4) całą daną krzywę (raz tylko). Z tego powodu krzywe zdefiniowane równaniem rodzaju zerowego nazywają krzywemi jednobieźnemi.

Pd. 4. Niech:

t²Ą-\

będą spółrzędnemi punktów pewnej krzywej.

Równania (a) mają wspólne pierwiastki t zawarte w yt²—x t + y =0 '*'*).

Jedno więc miejsce (x, y) odpowiada dwom wartościom t, a to:

x + \fx²—4 y²

(«)

(*)

2y

Że zaś równanie (b) ma spółczynniki: y, —x, y, więc tu    —

v' ¹

= 1.

*) J. Lüroth. Beweis eines Satzes über rationale Curven. Math. Annalen. T. IX. str. 168—166.

**) Sprowadzając równania (a) do postaci :

fi = ł (0 • я—ój (t) = 0, /₂ = ł (0 у—х . -h(t) = 0,

dostajemy z nich :

fs —. łi(0 •У — h{f)x — Qi

а /₃ uważać trzeba za największy wspólny podzielnik funkcyj /,, /₂ [T. I. art. 60.], jeżeli tylko — jak tu — <h> 'h niższego stopnia, niż funkcya <]*.

Połóżmyż :

*²+l’

to z uwagi, że ź⁴-j-3ż²-j- 1 = i² -{-(ż² + 1)²> dostajemy:

’J⁼r^ [Lflrothl-

(«')

(Й')

Pd. 5. Zauważmy parę wymiernych funkcyj :

+ *²

l-H² + 2*³-f f⁴ ’ У Wspólne pierwiastki t tych równań dostajemy ze związku :

X ź² -j- X t—у — 0,

X— Ba.

(t + t*y

l + *²-f 2f³+/4,

w którym — 1, s.₂~— —. Połóżmy:

s — R₀ —    — * + *²i

to ев, у dostaniemy w postaciach :

[por. Pd. 2.].

3 as

^ï+7²’

3 as-

У ~ Г+Т²

Używając wyłącznie przedstawień właściwych, przyjmijmy, że dla jednej i tej samej krzywej /‘=0 rodzaju zero mamy raz:

x=Hi(s'), y—JR^{s):

(5)

a drugi raz :

(5‘)

x=B\(s‘) y=B\(s‘),

przyczem jest:

(6)

s=Bl2(x,y), s^&ufay).

Rugując z równań (6) i równania /‘=0 zmienne х, у dojdziemy tu do związku :

(7)

Ass‘ BsCs¹ Ą-D=0. [art. 67.].

Z niego dostajem}^:

(8)

u s -J- b

cs + d

a (ad—Ъс) ф0 być musi.

gdzie a, &, c, d są stałemi

Wstawmy z drugiej strony w (5) za s liniową funkcyę

as-\-b cs+d

o dowolnych stałych a, b, c, d, ale czyniących zadość warunkowi a d—b сфО. Za takiem podstawieniem :

zawierającem właściwie tylko trzy dowolne parametry przejdzie punkt:

Teor. funkcyj analit. T. II.

22

(9)

X R^(s), y xł₂(s) danej krzywej f= O na inny punkt :

Ri(s)i У i

(9')

/us ć\ \cs + ^/

z\cs-\-dJ

= ад

tej krzywj. Przytem i tu mamy :

s=Ri2(x, y),

(«)

(10)

(0)

Uwzględniając (/3) w (9), a (a) w (9') dostajemy:

х=г^хиуА), У^г<№иУ\)

i naodwrót :

(10')

*i=»i(a;y),    У1=г₂{х,у),

gdzie ru r₂₁ rj, r₂ są znowu funkcyami wymiernemi. Z tych form i związków wynika :

IV. Na każdej jednobieżnej krzywej algebraicznej można na nieskończenie wiele sposobów utworzyć szeregi punktów jednoznacznie sobie nawzajem odpowiadających. Spółrzędne (x₁ y) każdego punktu jednego z tych szeregów są wymiernemi funkcyami spólrzcdnych (xi, yA) odpo-wiednego punktu w szeregu drugim i naodwrót, albo :

III. Istnieje nieskończenie dużo odwracalnych podstawień przeprowadzających krzywę rodzaju zero samą w siebie. Wszystkie te podstawienia wynikają z jednego, gdy w niem zmieniamy trzy zawarte w nicm dowolne parametry.

Weźmy teraz pod uwagę dwie różne jednobieżne krzywe: f(xy)—0, (p{^rf)=0 o właściwych przedstawieniach:

(1    x=R^s), y=R₂(s),    s~=Ri2{x,y)

i-ę

(1 )    £=Ri(s‘), rj=R₂(s'), s¹ —ïîi2(Ç) if).

Połóżmy :

(12)

t as+b S    cs + d ’

co wskazuje, że wartości s należącej w f— 0 do miejsca (11) odpowiedzieć ma jedna tylko wartość s' należąca w cp~0 do miejsca (11') i naodwrót. Uwzględniając (12) w (11)' dostaniemy:

Ł=R\ 00, g=R‘₂(s).

Lecz w równaniu (12) możemy s określić także jako funkcyę pierwszego stopnia w obrazie (p=0. Połóżmyż :

S—R¹1г(£)

to uwzględniając s=RA2(x,y) w (11)', a s — R‘i2(£, rf) w (11) mieć będziemy:

Połóżmy — aby się o stopniu funkcyi Q(f) dowiedzieć —

= V/Q(t), a więc w²=Q(t), to z jednej strony w (a), (b) mamy x, у przedstawione wymiernie przez t, w. Lecz z drugiej strony mamy t=(pjip^ a gdy (a) lub (b) rozwiążemy ze względu na \/Q=w, a potem t=cp\ip uwzględnimy, mieć będziemy:

(<0

339

cc

ca.

co co

0, y), v^r2(æy)

П), У—Г'Д^П)'

Z tego wynika :

Y. Każde dwie różne jednobieżne lir żywe uważać można za diva szeregi punktów jednoznacznie sobie odpowiadających przez odwracalne podstawienie. Tu więc równość rodzajów wystarcza, aby dwie krzywe zaliczyć do tej samej Masy.

Zauważymy wreszcie :

YI. Ponieważ linia prosta Ax-\-By+C=0 jest jednobieżną, więc wszystkie krzywe rodzaju zero uważać można za szeregi punktów jednoznacznie odpowiadających punktom linii prostej.

89. 0 krzywych rodzaju =1. W obrazie algebraicznym /*= 0 rodzaju q=1, a stopnia n w obydwu zmiennych x, y trzeba ж, у uważać za funkcye przybierające dowolnie daną wartość razy n w tym obrazie. W tym obrazie da się zawsze utworzyć funkcya :

t=(p{xy)lip{x y)

stopnia 2®°, prowadząca do nieprzewiedlnego związku:

G(t, x)=G₀x²—2iGix-\-G₂=O, [art. 67. (Gj],

(1)

w którym ćr₀, Gi, ćr₂ są w zmiennej t stopnia n^°. Z równania tego dostajemy x w formie:

(«)

_ G,+PVQ(,t)

00 — -з=з

G₀

w której P, Q są również całkowitemi funkcyami zmiennej t, a Q(t) =0 nie ma powtarzających się pierwiastków. Wskutek założonej nieprzywiedlności równania (1), wyrazi się у także wymiernie przez t i x a gdy tu ж w formie (a) użyjemy, dostaniemy:

(P)

_G^Ą-P‘\/ Q(t).

GV

t=(p{xy)l ę{xy\ w=(pi{xy) IViix'y).

Podstawienie (a), (b) jest więc odwracalne, a że przez nie • przerabiamy krzywę /'= 0 na krzywę :

22*

W² = Q(t)

więc ta ostatnia — [art. 63. tw. I.] ma być również rodzaju To może zajść, jeżeli Q(f) jest w zmiennej t stopnia 4g0, albo 3go. Stąd twierdzenia :

I.    Spółrzędne x, y krzywej rodzaju (; = 1 dają się przedstawić

w wymiernych funkcyach x=    Q(t)): y=JR₂(t: V Q(t)) zmiennego pa

rametru t i pierwiastka V/Q(t), w którym Q(t) jest stopnia 4°° lub 3g0.

II.    Równanie f—0 każdej krzywej rodzaju {? = 1 sprowadzić można przez pewne odwracalne podstawienie zawsze do postaci w² = Q(t), gdzie Q(t) jest sopnia 4P⁰ lub 3g0.

Do twierdzenia II. możnaby dojść także taką drogą. Zauważmy dwie funkcye stopnia drugiego:

(d)

« =5iO*/)MO» y)i s' = ff'i(x у)Ыу)

takie, że na dwóch miejscach, na których s tę samą wartość przybiera, ma s' różne wartości i naodwrót. Między s a s' zachodzi wtedy nieprzywiedlny związek

CĄs, s‘ |2, 2) — 0,

a równania (d) uważać trzeba za odwracalne podstawienie, które do krzywej (e) prowadzi. Równanie (e) drugiego stopnia w s i s' da się jednak zawsze przez odwracalne podstawienie sprowadzić do formy w²= Q[t), [art. 84. Pd. 2.] c. b. d. d.

U)

Przyjmijmy :

w²= Q[t)—A(t—ai ) (t—a₂) (t—a₃) (t—a₄)

i połóżmy :

(1)

t=

ут-\-Ъ

a więc naodwrót : (2) г

öt—ß

—y t + a

to po podstawieniu (1) w (A) dojdziemy do związku:

(B)

(2)

(p-frj)    ¹h)(*—h)i w którym

(У'H-O)

4

B=A П (а—алу), z—\

Połóżmy dalej w (7?) :

а Ьл

ô a%—ß

— уал + ci ’

X = 1, 2, 3,4.

W (y T+d)² ’

to związki (1), (2), (3) tworzą podstawienie odwracalne a krzywa (A) przechodzi na :

(3)

(A¹)

г²=В(г—Ь^ O—b₂) (T—b₃)(T—bh)=*Qi W.

Niech ks, 7c₂, к,л, 7ć₄ będzie dowolnym porządkiem liczb 1, 2,3, 4, wyjętym z 24 możliwych ich uporządkowań. Utwórzmy 24 funkcyj

{k\ k₂ k. Z⁻; )a

(%, —a*₄) (a*₃—

zwanych w geometryi rzutowej anharmonicznymi stosunkami 4 punktów ал, a punkt, który na płaszczyźnie (г) odpowiadać ma

0акя—/3 —yak? + a

two, że (Jcik₂Jc₃Jc!i)a = (JciJc₂Jc₃Jci)b, a stąd twierdzenie:

III. Przez pewne odwracalne podstawienie da się równanie w²=Q(t), w Jctórem w ma punJcta rozgałęzienia ал, zmienić na inne taJciej samej postaci: v²=Q,(г), a o punJctach rozgałęzienia funJccyi v, taJc z ал związanych , Że (Jc, Jc₂ Jc?j JcJ)a=(Jc, Jc₂ Jc., Jc, )b.

punktowi акя nazwijmy Ьк

to sprawdzimy ła-

90. Normalne formy krzywej rodzaju =1. Krzywe rodzaju = 1

(«1—g₂)(«3—a₄)

(«i— at)(a₃— a₂)

i zażądajmy, aby punktom a„a₂,a₃ odpowiadały: b, =0, b.₂ = l,b₃ = Wtedy — jak to z (2) [art. poprzedź.] widać — musi być: óa,—/3=0,    óa₂—/3=—ya₂-4-«, —ya₃ + a=0.

, Z tych równań wynika :

a:ß:y: ô=a₃(a₂-a,): oi(a₃-а₂):{а₂-а,):(а₃-а₂),

tej samej klasy. Połóżmy (1 2

(a)

a więc:

(fr—ai)(flr₂-q₃)

(J-a₃)(a₂ — a,)

a kładąc tu i(=a₄, dostajemy г=Ь, — -^т. Z tego wynika, że tu za

Л/

podstawieniem (/3) i równoczesnem podstawieniem :

W = » / [(«2 — «1 ) * + («3 - «2 )]!2

przejdzie równanie w²—Q(t) na równanie:

v²=C.t( 1—г) (1—Jc²x),

znane pod nazwą normalnego równania Legendre’a. Stałą Jc2 nazywamy modułem.

Geometrya rzutowa uczy, że wszystkie stosunki anharmo-niczne 4 punktów ал dzielą się na 6 grup zawierających po 4 stosunki, równe co do wartości. Gdy wartością stosunków jednej takiej grupy jest Jc², to wszystkie stosunki razem przedstawiają wartości

_-_ i__i

1 -Jc²’ Jc

(y)

(à)

^(&²)=£²,p, 1 -Jc²,

Jc²

Jc2: Jc²-1'

Według tego więc jakim 3 punktom a,, a₂, a₃, a, i w jakim porządku odpowiadać mają punkta bi— 0, &₂ = 1, ó₃ = co , dostaniemy 6 normalnych form :

v²=Cvx(l —г) (1 — ipv(Jc²) . г)

iß)

V = 1,2,..., 6.

Równanie w²=Q(t) sprowadzają jeszcze do innej normalnej formy wprowadzonej przez Weierstrassa¹). Użyjmy odwracalnego podstawienia :

(1)

t=% +    , w=c V 1г²,

gdzie $‘(ct₄) jest pochodną fnnkcyi Q(t) dla wartości t = to po łatwych przerobieniach równanie w²=Q(t) przejdzie na równanie

4c²

w którem :

C23

A{ak—a₂) (a₄—a₃)

(2)

C31

A(ak — a?) (a₄ — a,)

C12

Gldy zaś stałej c nadamy wartość $'(a₄)/4, to mieć będziemy : v2₌4(t+C23) (т-Ьс₃₁) 0+c₁₂).

Połóżmy dalej :

(3)

to mieć będziemy :

T-j-c₂₃=s

(4)

T+c₃₁=s—

C23 "bC31    C12

g

—    2c₂₃ +C₃₁ +Ci2_r>

3

—    2c3i +^12 +c23

s e₂

2c₁₂+ c₂₃+ c₃i_n

3

(5)

T+c₁₂ —s

v²=4(s — ej (s— e₂) (s—e₃), albo: ■w²=4s³—[art. 87. Pd. 6.],

ез 1 ¹

z określeniami :

(6)

Połóżmy :

.^2“    4 (exe₂ -f e₂e₃ -\-егех), g₃—4e₁e₂e₃.

#2 ₁₂

g²l ?4

16 216'

Aby te spółczynniki g₂₎ g₃ bliżej zbadać obierzmy dowolną liczbę a, nasamprzód фй^, Л —1, 2, 3, 4 i naznaczmy:

G(«)e*o»

Pochodne tych r₀, r1? ... według a są:

г'₀=П> ^i=2r₂, r'₂=3r₃, r'₃ = 4r₄, r'₄=0. Utwórzmy funkcye :

A=r₄.

1! Tlł 2!

Q“ K)

2!

Q\aU = A«* - «1 ) («4 - «2 ) («4 — «3 ) =    >

A[(a₄ — ai ) (a₄ — a₂ ) + (a₄ - a₂ ) (a4 ~ аз) + (a4—аз ) К —«i )]=Q%

<TK)

3!

^ [(a₄ — «1 ) + («4—«2 ) + («4 — «3 )] = ^3

$⁽⁴⁾K)

4!

A=(j₄, to wskutek tych oznaczeń będzie:

►HS⁵

C12 d"C23 "kC31 ~~ 4 ? C12,C23 d"C23C31 d"C31C12—" "•

Ç1² Qk

°12* °23- °31 — 4² ‘ 4 7 ?2    12 C31

„ _ (b 12с₂з

6l_ l2

e2

12

{?2 C12

бз“ 12

Q'(a) _ Q"(a)    Q“>) _r <2⁽⁴⁾(«0

r2’    3!    ³’    4!

(7)

rir3,

1 . 1

_ /у b w___

16 1 4 21

1 1

£зИ=-£ »W* +4g *1*2*3 -

to — uwzględniając (7) — sprawdzimy, że identycznie jest: d G₂(a) d G₃ (a)

da

da

0.

ich wartości ze

Funkcye ćr₂, G₃ nie zależą zatem od a; zmianą a wcale się nie zmieniają, a że dla а=ал mamy r₀=O i G₂(a)=^g₂, G₃(a)=g₃, więc i przy każdej innej wartości a te równości się utrzymują.

Przyjmijmyż a—0 i połóżmy:

Ш)=с₀^⁴+4с₁^³+6с₂^²+4с₃^+с₄,

to teraz mamy :

a więc :

r₀=c4> ri ⁼ 4c₃, r₂ = 6c₂, r₃==4c1? r₄ = c₀

(8)

9ï ^4 ^ci 4” 3c₂ 2 9z ==coc2c\ 4~2cjc₂c₃ c₂ ³ c₀c₃ ² Cj ²ć₄.

Są-to niezmienniki o wskaźnikach 4 i 6 dwukwadratowej formy Q(t, w)=c₀^⁴+4c₁i(%+... + c₄w⁴. [T. I., art. 148].

0=а^—ая

Przyjmijmy, że chcąc dojść do normalnej formy Legendre’a, podporządkowujemy punkta bi= 0, &₂ = 1, Ъ₃ = со punktom i wtedy (axaj,apav)=tpv(k²). Spółczynniki a, ß, у, d w przedstawieniu tf=(05T-j-j(?)/(yr+d) mają wtedy znaczenie [por. (a)]: а=ах(ая—ах), ß=ax(afl—ал), y=a,—ax

r={ax—ая)(ал—aM)(aM—ax).

y ô

Po takiem podstawieniu i podstawieniu:

dostajemy :

l[(a*—ax)'c+(aa—ax)]²

(A)

v²=Cvx(l — T)(l — 'ipvx)=Qi(T).

Przedstawmy Qi(x) jako formę dwukwadratową :

(г, x‘)= Cvxx\xl—г){х‘—ipvx)

— [ona przechodzi na (^(r), gdy się ją podzieli przez P⁴ i gdy się ^ położy = t] — i naznaczmy jej niezmienniki o wskaźnikach 4 i 6 przez g‘₂, g‘₃, to z (A) dojdziemy do normalnej formy Weierstrassa:

(Б)

vi²=4si³-g,₂8i -g‘₃.

Lecz д‘₂=г*д₂₁ g'₃ =ry]g₃ jako niezmienniki formy Qi(x: x'), która z Q(t,u) powstała przez podstawienia:

t=ax-\- ßx\ u=yx-\-ôx'.

Mamy więc :

vi²=4si³—rig₂si—r⁶g₃.

Połóżmy vi =rV, si=r²Sj to ostatecznie dojdziemy do równania: v'²=4s—g₃s—g₃,

jakie już wprzód wprost ze związku w²=Q(t) dostaliśmy.

Aby g'₂, g'₃ w (В) w istocie obliczyć, połóżmy w (A) :

, v=tc„y„yi,Ą

~ (1—Ipv+^²)s₁ + 27^ 3 (2—3^—3^² + 2Vv’)

to dostaniemy :

x=s-\-

1 ~\~9>v

3ifjv

3 Ipu

²=4si ²

a więc:

Funkcya J jest więc bezwzględnym niezmiennikiem formy Q(t,u), a po wyrażeniu jej przez ipv ma tę własność, że nie zmienia się wcale, gdy w niej przyjmiemy xpv o jakiejkolwiek z 6 wartości (ó).

Po tych. uwagach możemy się zająć rozwiązaniem takiego zadania. Dane są dwie krzywe f'(xy)= 0, <jp(£^) = 0 tego samego rodzaju p=l; zbadać, czy należą do tej samej klasy [art. 69.]? Sprowadźmy obydwa równania do form normalnych Legendre’a :

(a)

w²=Ct{ 1—t)(l—k²t), wl2= C't'(i - t')(l—k'4'), albo do form normalnych Weierstrassa :

(b)

(0)    (f 2

4

—2 (1 — lł>v+*pv²), !J\ =

3 грР

^r-(2—3ipv—3-ipv²-r 2*/>„³).

27 ipv²

Dalej — wskutek wskaźników 4, 6 — mamy :

д\г

92s—27^з²    9\s—^9\

a wstawiając tu wartości (D), znajdujemy:

92s

<7=

4(1—+

27 [^(1—tpvj\²

V2=4s³— g₂s— y₃,    v,2^s\-g\s'—g‘ ₃,

to teraz tak para równań (a), jak para równań (b) ma należeć do jednej klasy. Jedno równanie w każdej tej parze ma się dać sprowadzić przez odwracalne podstawienie na drugie, a to według uwag tu zamieszczonych i według twierdzenia III. — art. 89. — może nastąpić wtedy, gdy albo :

к² = 'ipv{k‘²)

albo

92s

92s-27 дъ²

g‘^-%7 g‘?>²'

Stąd twierdzenia :

I.    Równość rodzaju p=l dwóch krzywych f= 0, cp=0 nie jest jeszcze dostatecznym warunkiem, aby te krzywe należały do jednej klasy.

II.    Dostatecznym warunkiem, aby dwie krzywe /‘=0, ep = 0 tego samego rodzaju p = 1 należały do jednej klasy jest : albo związek :

k²=ipP(k'²),

w jakim pozostawać mają ich moduły, albo równość J=J/ ich bezwzględnych niezmienników.

91. Odwracalne podstawienia z dowolnym parametrem. Punktem wyjścia dotychczasowych naszych poszukiwań była funkcya t=(p(xy) / гр(ху) drugiego stopnia w obrazie / = 0 rodzaju (>=1. Przy dowolnem t dostajemy z niej pęk krzywych :

0)

(p(xy)—tę(xy)=0,

z których każda przechodzi nasamprzód przez stałe punkta A1} A₂, których spółrzędne spełniają równocześnie 8 równania (p=0, = f=0, a potem przez dwa jeszcze punkta:

(2) х=П^УЩ), y=R₂(t,VQ(t)), [art. 89., tw. I].

Z tych jeden należy do A~VQ(t), a drugi do — VQ(t). Lecz z drugiej strony formami (2) da się każdy dowolny punkt krzywej określić. Niechże t=X i +\^Q(X), lub —V Q(X) należy do punktu stałego A1} to wtedy równanie pęku (1) będzie postaci:

(3)

<P(xy, Я)—Щху, Л)=0 ,²) a gdy przyjmiemy, że się punkt Al może posuwać po /‘=0, [A₂, A₃, ... pozostają jednak stałe], to À uważać tu trzeba za parametr dowolny. Każda z krzywych (3) ma mieć znowu — oprócz A A₂, ... — jeszcze dwa punkty wspólne z /‘=0. Gdy jeden z nich ma mieć spółrzędne (x₁y₁), to mamy t — cp {xxyx, X)ftp(xiy], Я), a w miejsce pęku (3) dostajemy już jedną krzywę :

№\У\, Я).<р(ху,Я)—(p(xiyi, Я).гр(ху, Я)=0.

Ta posiadając z /=0 punkta wspólne A

A₂, ..., (ЗД), które równocześnie spełniają równania /’=0, <р(ху,Я)—0, гр(ху,Я)=0, posiadać będzie jeszcze jeden i tylko jeden punkt wspólny, który już od t=q)(xiyi, Я)1 гр(хАуt,Я) zależeć będzie. Spółrzędne (x₂, y₂) tego nowego jednego punktu wyrażą się więc wymiernie przez x₁, yit przez Я i \/Q(X). Połóżmyź :

x₂—Р₂(зд ; Я)

(а)

2/2=02^1^1;^)) to P₂, ф₂ s4 wymiernemi funkcyami w xi,yi.

Grdy w (3) zamiast punktu (xxyA) obierzemy punkt (x₂y₂), to dostaniemy tę samą krzywę, która z punktów swoich wspólnych z /’=0 tylko jeden zależny od t=(p[x₂y₂, Я)/гр(х₂у₂. Я) posiadać będzie. Musi to być punkt {xpyy), a wskutek tego mamy naodwrót:

iß)

Xi = Pi(x₂y₂-,X), yi = Qi(x₂y₂-,A), gdzie P1? Ql są znowu wymierne w x₂,y₂. Podstawienie (a) — [lub (/?)] — jest więc odwracalne, a stąd twierdzenie:

I. Każda krzywa rodzaju    dopuszcza odwracalne podstawienie,

przeprowadzające ją w samą siebie. Podstawienie to zależy od

dowolnego parametru, a zmiana jego wartości zmienia sposób, jaki się tę krzywę pojmuje jako szereg punktów i poporządkowuje innym punktom na niej leżącym. Przy pewnych wartościach tego parametru dostajemy identyczne podstawienie xx =x₂, yx=y-₁. [Szeregi punktów odpowiadające sobie są wtedy identycznej.

(a)

Zauważmy krzywę f= 0 rodzaju p>l i przyjmijmy, że i ją odtworzyć można za pomocą pewnego odwracalnego podstawienia : x—P (iy, Я), y=Q(iy,X)j i=P,{xy, Я), y=Qx(xy,,l), w którem dowolny parametr Я zawiera się w ten sposób, że P, Q, P,, są jego analitycznemi funkcyami. Utwórzmy w obrazie fixy)—0 dowolną funkcyę H(xy)a—G(xy)ujf(xy)₂ i iloczyn:

Щх\у\)

dx‘t a~dt ’

w którym ix\y⁴t) otacza dowolne miejsce tego obrazu.

Gdy ( i‘tyj) jest parą funkcyj, odpowiadającą parze (x'ty't), to dostajemy :

x't=P(i't y't, Л), y',= Q(i't y't, /1)

po podstawieniu (a) mamy dalej :

’dy

dy

f(xy)=f(iy, %), /‘(u/)₂

d/Ygi?, Л) L df{iy,À) dg di ' dy

дР

дР

dx=~^-    df]^

dr]

дх

ду

di'

+ т~ • dt]-

dy

Zauważmy :

dx

a/

<лгг H

дх

f\xy\

dę[W[ mvjAx

ОХУ)2    ' /'(Й> Я)-2

дх

дх

‘diĄiy, Л)₂ +TZ'dy-f(iv> ^2

dr]

f\xy\

to ponieważ dy.f(iy, Я)₂ = — diĄiy, Я\

‘ fUy, ^)₂

możemy napisać :

dc di

=mn,x). dl

t\iyA) 2 ’

’ /‘(й> Л)₂

t\xy\

gdzie Pjest wymierną funkcyą w £, 77, a analityczną w parametrze Я. Z tego wynika, że po podstawieniach (a) mieć będziemy :

/’(•u/)₂

dx‘t

a dt

(4)

di't

dt

R(£Wt 7 ^)a

d§'t

’ /‘(AA » A₂

Tu lewa strona nigdzie zerem się nie staje. A więc i prawa strona nie posiada żadnych miejsc zerowych, a stąd wynika, że

d%

(6)    22(1 y,    ВДУ)! + ...+*>(*)«, fffêY),]^.

Aby spółczynniki (p{X)a§ bliżej zbadać, zauważmy, że :

тш^-h mli) di‘

“ dt

=0 [art. 75.]

a wskutek tego z (5) wyniknie :

ß

Щ a dt J,o

То wskazuje, że wszystkie (p{X)aß nie zależą ani od ani od t]' i są analitycznemi funkcyami samego Я. Z równania :

dx\

“ dt

— gdy położymy:

dx\

a dt

2 KX‘y')avtV, imrft)

_    GO

d%t %

a dt

Jf —U

¹

Por. Weber. Ellipt. F. u. algebr. Zahlen. Harlcness und Morley. Theory of functions p. 330.

²

W równaniu to wchodzi wymiernie X i \/ÇÇ/j

dostajemy :

h{x'y%ß^(p(l)ai A(f y ) iß +... + 9>(Я)«р h(£'fi')çP,

л ß —■ 1» 2, ..*, p.

Utwórzmyż wyznacznik D(h,(x'y')) —D{(x'y') — [por. art. 77. i uwagę I. w art. 79.] — to mieć będziemy :

gdzie

A {xty‘)=L.Di (IV)

<p(/l)ii,..., 9P(2)ip

U=

to po wydzieleniu

27 •••7

Grdy wyznaczniki, który jest analityczną funkcyą parametru Я, staje się zerem na miejscach Я=Я₁, Я tych miejsc jest 1ф0 w pozostałych zwartych obszarach (Я‘). Uwzględniając te obszary, musimy mieć równocześnie z D^x'y¹)— 0

także i Di($lr]l)—Ö. Wybierając więc (x'y') tak, aby Di(x‘y‘)=O, dostajemy odrazu z podstawień:

Я'=Р(£У,П    Y, Я')

nieskończenie wiele miejsc    dających Ą(lY)⁼^¹ Toby wska

zywało, że w obrazie f(xy)=f\^g₎ ż)=0 można znaleśó nieskończenie wiele miejsc (£У), dopuszczających funkcyę wymierną z jednem miejscem nieskończonościowem <3go stopnia. Lecz że to jest niemożliwe, więc mamy twierdzenie :

II.    Żadna hr żywa rodzaju p>l nie może przejść sama na siebie przez odwracalne podstawienie zawierające dowolny parametr. ¹)

Ze związku (4), który się tu utrzyma i wtedy, kiedy (a), (b) utworzą odwracalne podstawienie, nie przerabiające danej krzywej samą w sobie, wynika jeszcze:

III.    Każda funkcya Щху), lub calha pierwszego rodzaju zmienia się znowu na funkcyę Hftjrj) lub całką pierwszego rodzaju przy najdowolniej-

. szej odwracalnej transformacyi.

92. O krzywych rodzaju g = 2. Mając krzywę f— 0 rodzaju () = 2, a stopnia w, poprowadźmy dołączoną krzywę (n—3)go stopnia. Po za punktami podwójnymi przetnie ona f— 0 jeszcze w dwóch punktach P, P', a z tych jeden tylko można obrać dowolnie.

Gdy cp= 0 i гр=0 są równania dwóch różnych takich dołączonych krzywych, to cp—Ягр=0 jest — przy Я dowolnem — pękiem takich krzywych, а Я=(р1У-> jest funkcyą wymierną pary (xy) drugiego stopnia w obrazie f— 0. Stopień 2 jest tu =q , a możliwość jego wynika stąd , że tu punkty P, P‘ są w każdej krzywej dołączonej [n— 3)g0 stopnia od siebie zależne.

Uważaj my x za funkcyę stopnia wg0, to mamy związek :

(1)

Ax² + 2 Bx -f- G= 0,

a sto-

w którym А, В, C są całkowitemi funkcyami parametru Я pni w, i który może być nieprzywiedlny. Ze związku tego wynika:

(2)

х-Л^ЯУЩ),

gdzie Ri jest znakiem funkcyi wymiernej , а Р{Я) całkowitą funk-[B\, B'₂ są znakami funkcyj wymiernych].

Z tego wnosimy, że podstawienie (a) jest odwracalne i przerabia /‘—0 na krzywę Р=Р(Я). Ta ostatnia krzywa musi więc być znowu rodzaju <?=2, a to się tylko wtedy spełni, gdy Р(Я) będzie funkcyą 5g0 lub 6®° stopnia [art. 71]. Z tych poszukiwań wynika :

I. Spółrzędne (x, y) każdej krzywej rodzaju q—% dają się wyrazić wymiernie przez dowolny parametr Я i drugi pierwiastek z funkcyi całkowitej Р(Я) stopnia 5g0 lub 6g0.

Zauważmy na samej krzywej /‘=0 dwa punkta :

(4)

(B)

xi =Р₁(Л, Ą-t), у₁=В₂(Яг +0 , х₂=В^(Я, t), у₂~=В₂(Я, f), to podstawiając w (А) Я i t wyrażone formami (b) przez {x₂y₂), a w (P) Я i t wyrażone również formami (Ъ) przez {X\V\)i dostaniemy :

(«')

cyą parametru Я. Zmienna у wyrazi się tu wymiernie przez x i Я a to — po uwzględnieniu (2) — daje:

у=В₂(ЯУ Р(Я)), gdzie B₂ jest znowu znakiem wymiernej funkcyi.

Połóżmy Р=Р(Л), to z form (2) i (3) wynika, że każdemu punktowi (Я, t) — gdzie więc już t uznano za — V/P(A) — krzywej £²=Р(Я) odj30wiada jeden tylko oznaczony punkt (xy) danej krzywej i że zatem

ж=Р₁(Я,0, у = В₂(Я,{).

Napiszmy w (2) za V/P(i) wprost t i uwzględnijmy, że (2) da się zawsze sprowadzić do postaci x=[—JB-\- Q(À).t\j A, to gdy tu w B, w Q(X) i w A położymy /■?/>, dostaniemy obok

jeszcze t—B\{xy)

(3)

(a)

(p)

Я = ср I = (xy)

+ V/P(i), lub

całkiem

*i =^(х₂у₂), yi =S₂(x₂y₂) , x₂ = Ti(xiyi), y₂ = T₂ (Х\У\ ), gdzie Si, S₂, Til T₂ są znakami funkcyj wymiernych. Stąd wynika:

II. Na każdej krzywej rodzaju q=2 dadzą się wyznaczyć dwa szeregi punktów w ten sposób, że spółrzędne punktów jednego szeregu wyrażają się wymiernie i odwracalnie przez spółrzędne punktów szeregu drugiego, ale tu nie wchodzi już w grę żaden dowolny parametr.

93. Krzywe liypereliptyczne. Wiadomo, że w krzywej f=0 w»° stopnia a rodzaju p można obrać dowolnie (p— 1) punktów nie-osobliwych i przeprowadzić przez nie krzywę dołączoną C„_₃ stopnia

(:п—3)8° — [art. 83]. Wtedy Cn_3 przetnie krzywy f—O w dalszych jeszcze (q—1) punktach, zależnych od punktów obranych. Załóżmy ç>>3, a punktów dowolnych obierzmy tylko —3), nazywając je A , q=l, 2,..., (q—3), to wszystkie krzywe Cn_3 przez te punkta przechodzące wyrażą się równaniem :

«1 (жу ) + «2 ćr₂ (xy) + a₃ ą (жу)=0

o dowolnych parametrach a1? a₂, a₃, a każde z równań (гл=0, 2=1, 2, 3, określa pewną krzywę dołączoną, przechodzącą przez punkta Aq. Zauważmy podstawienia :

(1)

X¹

G₂(xy)

y‘=

G?,(xy)

Gx (xy)

to eliminując z tych równań i równania f= 0 zmienne x₁ y, dojdziemy do przerobionej krzywej f‘{x'y,)= 0, takiej , że jednemu punktowi (xy) w krzywej /‘=0 odpowiada w niej jeden tylko punkt (,x'y'). Gdy i odwrotnie jednemu punktowi (x‘y/) odpowiada jeden tylko punkt (xy), to podstawienie (1) jest odwracalne. Uwagi nad tym wypadkiem zostawiając na później, przyjmijmy, że podstawienie (1) nie jest odwracalne i zajmijmy się następstwami

tego założenia. Każde z równań :

y'.Çri— #3=0,

określa wtedy takie krzywe, że one poza punktami podwójnymi i poza punktami Aq, najdowolniej wybranymi, przecinają się /‘=0 jeszcze w dwóch, lub więcej punktach.

Wyjdżmyż — mając to — z całkiem ogólnego stanowiska i przyjmijmy, że za pomocą (q—2) dowolnych punktów At, A₂, obranych na /’=0 tworzymy pęk dołączonych krzywych: (pĄ-Xip=0.

Z tego pęku wyjmijmy taką krzywę, która f= 0 przecina w punkcie Aę-i = (§, rj). Jej równaniem będzie:

Л(чо-2) ,

(2)

(3)

(«)

X/Cr^ — ćr₂ =0

0, gdzie 2.

iß)

na

(piîy) Vi£ 4)

Krzywa (3) będąc dołączoną {n—3)§° stopnia musi — posiadając już z /'=0, ((> — 1) punktów wspólnych — przeciąć/=0 jeszcze w dalszych ((>—1) punktach:

ве-₂,

Вц В 2 j

a ich spółrzędne trzeba już uważać za zależne od Ài.

Aby rozstrzygnąć, czy między punktami (4) są i takie, które od 2j nie zależą, utwórzmy pęk krzywych dołączonych (w—3)"°

(4)

stopnia, przechodzący przez punkta B₁, B₂, . liiem tego pęku jest :

B₀-2- Grdy równa-

(pipe у, Xf)+ptp(xyX. i)=0,

to

a wyjmiemy z niego tę krzywę, która przechodzi przez ta krzywa będzie identyczną z krzywą (3), a określi się teraz równaniem :

у(£УЛ)

zależy więc od Bi, B₂,    BQ-\. Jej dalsze punkta przecięcia się

z /‘=0 są tu teraz:    A₂, ..., Ae~2, Лр-i. Z nich punkta A₂,

jako zupełnie dowolnie przody już wybrane, nie mogą zależeć od fii, a więc i od BQ-Muszą się więc zaliczyć do punktów przecięcia się krzywych cp(xy, Xi ) = 0, гр(ху, ^) = 0 i zależeć zatem od i, t. j. od P,, B₂,    P₀_₂. Lecz i to jest niemożliwe.

Stąd więc wnosić trzeba, że cp, ip nie zawierają Я i że spółrzędne punktów Bi: B2: ..., Bp-2 nie zależą od czyli od Aç-\, a tylko zawisłe są od Alf A₂, ..., AQ-2. Pozostały punkt Ap-1 zależy już od J, a że i    zależy już od fi, a więc i od 1, więc te dwa

ostatnie punkty zależą od siebie, a stąd twierdzenie:

I. Krzywa rodzaju    o tej własności, że dla niej podstawienia

•d-2 7

...7

(1) nie są odwracalne, charakteryzuje się tem, że w niej wszystkie krzywe dołączone (n—3)"° stopnia, poprowadzone przez (q—2) punktów stałych Ap-2, przechodzą przez dalszych stałych (q — 2) punktów Bi: B₂. ..., Bp_2> « tylko dwa dalsze punkta przecięcia się: (iff), (i'f]') zależeć będą od siebie. Posuwanie się jednego z nich n. p. (i, rj) po krzywej f= 0 daje czem raz nową krzywę pęku z drugim punktem (i'yj na f— 0.

W takich krzywych istnieją zatem funkeye wymierne pary (x,y) stopnia drugiego. Takie krzywe nazywamy hyperelipty-cznemi, a to z następujących powodów: Gdy jedną z funkcyj 2®° stopnia jest X = q)jip, to wnosimy tu — podobnie, jak w art. poprzedzającym — że daną krzywę /‘=0 przerobić będzie można przez odwracalne podstawienia na krzywę hyper eliptyczną o równaniu %(t, Я) = Р—P(i)=0. To ostatnie równanie ma być znowu rodzaju ç, a to ma miejsce, gdy Р(Я) jest funkcyą wymierną całkowitą stopnia (2(> + l), lub (2^-{-2). Dalej wynikną twierdzenia:

II. Spółrzędne krzywej hyper eliptycznej rodzaju q dają się wyrazić

formami :

w Ыогу ch Tl y, ll₂ są malcami funlccyj wymiernych, a Р{Л) jest stopnia

(2^ + 1) lub (2^-f2).

III.    Na każdej krzywej hyper eliptycznej dadzą się wyznaczyć takie dwa różne szeregi punktów, których — jedne przez drugie — można wyrazić wymiernie.

Połóżmy ^²=P₁(i).P₂(ż), gdzie Px jest stopnia ((> + 1) lub ((> + 2), a P₂ stopnia q i zauważmy podstawienie :

Л=Л‘, 1=1'Р₂(Л),

które widocznie jest odwracalne, to z równania %(tfX)=0 dojdziemy do równania: 1'²Р₂(Л‘)=Р₁(Л'). To znaczy:

IV.    Każda krzywa hyper eliptyczna da się przez odwracalne podstawienia przerobić na krzywę stopnia (()-[-2);7°.

Z funkcyą Л=(р/яр, która doprowadziła do wyrażeń (a), łączy się pęk krzywych dołączonych o równaniu:

(5)

ср—Лгр=0.

Z tego pęku wybierzmy dwie różne krzywe :

mią)—niip=0,    т₂(р—п₂яр=0,

to równanie :

353

CO

CC

(ш₁ ер—щгр)+[1(т₂(р—п₂яр)=0

jest znowu równaniem pęku (5). Pisząc to równanie w postaci:

nx +n₂fi

? Щ +n₂[i mi -\-m₂fi"

(50

(6)

Lecz fi

4>

{тх(р—щ яр)

ip=0, mamy :

jest znowu funkcyą drugiego stopnia;

om₂cp—n₂ip)

przez nią wyrażą się więc x, у znowu formami :

x=s,(pyp±{fi)), y=s₂(fiypi(fi))

o wymiernych , S₂. Przejście z (a) do (b) odbywa się tu przez liniowe ułamkowe podstawienie (6), a gdy Р(Л) zamienimy na formę

jednorodną П(Л₁Л₂)=Л₂^+²Р ^ przechodzi

to ta forma przez podstawienie

na

formę С,./г₂²?+².Р₁ (^^ = СП^д₂)

U\fl\ + n₂fi₂

która powstaje z P^(fT) zamieszczonego w (b), a w której C jest pewną stałą ilością, dającą się łatwo obliczyć. Połóżmy:

Р{Л) = {Л—«i )...(Л—a₂*₊₂), P^g)={g—bj)...(fi—b₂?+2) i uwzględnijmy w (a) i (ó) dwuwartościowośó pierwiastków:

Teor. funkcyj analit. Ï. II.

23

Dla À=as i p—bs^ s—1, 2,2^-p2 dostajemy z (a) i (b) :

(<0

xs - (as)=Sj (5S) l/s—R% (as)—$₂ (bs) ?

dwukrotnie się powtarzające. Z tego wnosimy, że w pęku (5) znajduje się (2 p + 2) krzywych dotykających /' = 0 w punktach (c).

Utwórzmy anharmoniczne stosunki :

s = 4,5,(2p -j-2)

al—a₃ ai—as &2 ^2 ^

to mamy tu :

(7)

Щ + n₂bs

+ m₂ bs

s—1, 2,2p4~2,

stąd wynika :

(8)

(а^₂а₂а₃)=-=(Ь^Ь₂Ь₂Ь₈), s=4, 5,..., (2p + 2), Możemy to tak wyrazić: Gdy formę:

n(Ài , Л₂) — (Л₂ żj ) ... (ż₂    652^+2 ^i) przerobimy przez podstawienie :

(9)

Лх=т^+т₂\1₂,    Л₂=п^[1₁ -\-п₂[г₂ '

na formę С П₁(р₁р₂)=СП₁(р₂ — bi/ii)... (fi.₂ — biç^fif), a więc przez odwrotne podstawienie przechodzi znowu 77, na С'П, to wtedy wy-kazuje się równość (2{? —1) anharmonieznych stosunków (8), które tu modułami nazwiemy.

77 na G* 77

Przyjmijmyż naodwrót, że dwie dopieroco wprowadzone formy 77, 77, posiadają (2ę>— 1) równych sobie modułów. Wtedy podstawienia (8) przy dowolnych mi, m₂, ni: n₂ nie naruszają tych modułów, a za podstawieniami (9) przejdzie, jak łatwo sprawdzić, naodwrót 77, przejdzie na U77, gdzie U, Gj są pewnemi stałemi. Stąd wnosimy:

V. Dostatecznym warunkiem, aby z dwóch danych form dwójkowych tego samego stopnia (2 q + 2) każda dała się przerobić na drugą przez jednorodne liniowe podstawienia— jest równość ich (2g — 1) modułów.

Mając ten wynik zauważmy dwie krzywe hypereliptyczne f(xy) =0, f,(xiy,)=0 tego samego rzędu ę i zapytajmy, kiedy one zaliczać się mogą do tej samej klasy ?

Spółrzędne (x, y) krzywej f=0 niech się wyrażają wymiernie przez Л i\/Р(Л), a spółrzędne (x'y‘) krzywej f‘=0 przez Л¹ i \/Р‘(Л*).

Po przerobieniu krzywych f= 0, f‘=0 na t²=P(À), t‘"¹=P\P)1 do czego doszliśmy przez odwracalne podstawienia, połóżmy: mi -\-т₂Я‘

(«О

Щ +п₂Я¹ ’

a dostaniemy — jeżeli Р(Я), Р‘(Я) mają równe moduły —

к²

Ï P\n

(nx +п₂Я‘)²?+

/ mx d-т₂Я' \ V щ +п₂Я‘ )

Połóżmy dalej :

(F)    ■

kV

(w, d-п₂яу+'

to po podstawieniach (a'), (b‘), które są widocznie również odwracalne, przejdziemy z równania t²=P do równania t,2—P', a za podstawieniami odwrotnemi z równania t‘²=P‘ do t²=P². Mamy stąd twierdzenie :

VI. ² Dwie krzywe hyper eliptyczne należą do jednej klasy, gdy mają (2Q—1) równych sobie modułów; albo: Jedna klasa krzywych hyperlip-tycznych posiada (2q—1) modułów.

94. Moduły. Zajmijmy się teraz wypadkiem, w którym podstawienia (1) — art. poprzedź. — są odwracalne. Stopień krzywej przerobionej f\x‘y')²= 0 da się tu w ten sposób oznaczyć:

М^-з). Ze zaś każda dołączona

Zauważmy punkta przecięcia się (г^...) krzywej /''=0 z dowolną prostą Ax‘-\-By‘Ą- C—O, to tym punktom odpowiadać będą jednoznacznie punkta przecięcia się (wi}...) krzywej f— 0 z krzywą AGi-\-BG₂JrCGr₃= 0 (oczywiście po wyłączeniu punktów, jakie te krzywe wspólnie posiadają w punktach podwójnych i w (g — 3) naprzód danych punktach A₁, A krzywa (n — 3)£° stopnia posiada — poza punktami podwójnymi — 2({? —1) punktów wspólnych z swoją krzywą, więc na liczbę punktów (wi...), a więc i (щ...) dostaniemy: (2p—2) —(p —3) —1. To znaczy :

I. Każdą krzywe niehypereliptyczną rodzaju q > 3 można przez odwracalne podstawienie przerobie na krzywy f‘(%‘ y‘)=0 stopnia ((j+ l)go. Taką krzywę nazywają normalną²).

Jest ona zarazem krzywą najmniejszego stopnia w tej klasie krzywych, do której f—0 należy.

W podstawieniach bowiem :

(1)

х1==&21&п У=0з№ mamy funkeye (^-(-l)go stopnia a więc najmniejszego, jaki istnieje przy niezależnych do siebie miejscach nieskończonościowych. Z drugiej

strony po eliminacyi x, y z równań (1) i z równania f= 0 dostajemy równanie f(x‘y')=0 koniecznie stopnia (p-j-l)g0 w obydwu zmiennych a takie równanie może być najniższego wymiaru: (p + 1).

Przyjmijmy, że /‘'=0 ma tylko same punkta podwójne. Gdy ich jest d, to ponieważ rodzaj krzywej f(x‘ y‘) jest ę, więc mamy :

л _$($-!)

a-~2 ⁽ "2 •

Każdy punkt podwójny (a, b) daje trzy równania, które а, b łączą algebraicznie ze spółczynnikami równania /'=0 [art. 62.]. Eliminując z tych trzech równań a i b dostajemy jeden tylko związek między spółczynnikami. A że punktów podwójnych jest d, więc dochodzimy do d związków. Samo równanie ma spółczyn-

ników

a wskutek d otrzymanych związków dosta-

niemy w niem tylko :

(2)

(g + 1) (g + 4)

4{? + 2

stałych dowolnych.

Kozważmy teraz bliżej podstawienia (1), zapomocą których przechodzimy tu z równania f— 0 do równania f'= 0. Funkcye ćr,, G2, Gz mają poza punktami podwójnymi — 3) wspólnych miejsc zerowych leżących na f= 0, a że są dołączonemi funk-cyami (n—3)g0 stopnia więc każda z nich dla siebie ma jeszcze ((> + 1) punktów zerowych na /‘=0. Z tego wynika, że G₂/Gl: GzjGx są w obrazie algebraicznym /“=0 funkcyami ({?-f-l)g0 stopnia, bona tyluż miejscach są zerami i na tyluż nieskończonościami. Punkta nieskończonościowe mają wspólne; są to miejsca:

(3)

(^2^2) •••>    ? VqĄ-O»

p-p5. Od nich wszystkich i od spół-

na których 6^=0. Lecz wiemy, że każda funkcya stopnia g, gdy już w niej obrano g miejsc nieskończonościowych zawiera jeszcze (o—(> + l) stałych dowolnych. Tu więc każda z funkcyj G₂IGi, G₃IGi posiada po 2 stałe dowolne, a obie razem mają 4 spółczyn-niki dowolne. Lecz miejsca (3) możemy na f=0 obierać także całkiem dowolnie, a wskutek tego będzie można w funkcyach rozważanych uważać jeszcze (j?-|-l) spółczynników jako zupełnie dowolne. Obie więc funkcye razem posiadać będą ((> + 5) dowolnych spółczynników cv, ^=1,2 czynników a, b,... danego równania f = 0 zależeć będzie każda z (4{? + 2) stałych krzywej fł—0. Połóżmyż:

f—f\x Vi «Л-)> /'=/'(#',У, Ai}A₂,..., Aiç+2),

a dalej :

a, &, ...), [i — 1, 2, ... £ + 5

А/г — Ffi (Ci

■^•(>+6“    (G > ”4 +    •••)? •••? -^4p-(-2⁼ ^3p—3(G , • ••> 0!, &, ...)

to ponieważ c1? c₂, ..., e?+5 są, zupełnie dowolne, możemy je tak wybrać, aby :

A^O=F^{cXi..., a, &...), 11=1,2,..., p + 5.

Z tych równań obliczmy jeden system (c1? c₂, ..., cpp₅) — będą, to algebraiczne funkcye spółczynników a, &, ... — i wstawmy je w 2^, ..., Фзр_з, to te funkcye przejdą na funkcye samych spółczynników a, ó,... i dostaną pewne oznaczone wartości:

ФзР-3 (+    ...) —Язр-З»

Funkcye Ф₂,..., Фз?_з nazywają się modułami tej klasy krzywych, do której się /’=0 zalicza, a nazwa ta pochodzi stąd: Zauważmy inną krzywę : f\{x,y, aix &1}...)=0 tej samej klasy i sprowadźmy ją znowu do normalnej krzywej f‘—0 za pomocą analogicznego podstawienia, jak w wypadku poprzedzającym. Spół-czynniki A1}.., A^₂ okażą się tu znowu funkcyami spółczynników a1? bu ... i (p + 5) stałych dowolnych. Gdy zaś i tu zażądamy:

Ax =A₂ = ...==+.^^-5==:0,

dojdziemy do (Bp—3) funkcyj : Ф\{ах, bi,...), ..., Ф'з^-з (a1}    ...) a ich

wartości po porządku muszą być: Д1?..., Л3р_₃, gdy krzywa /‘'=0 ma być ta sama jak przody. Dostajemy zatem (3p—3) równości:

ф1 («Л •••)==    ф3р_з(а,6, ...) = Ф'3р_з(«1? , —)

a że /‘=0, /j=0 są-to dwie dowolne krzywe jednej klasy, więc stąd wynika :

II.    Jedna klasa krzywych rodzaju p>3 posiada (3p—‘6) modułów.

Są to funkcye,    — utworzone za pomocą szeregu tych samych działań

ze spółczynników którejbądź krzywej — <s$ sofoe równe³).

III.    Naodwrót: aby krzywe jednakowego rodzaju p +> 3 należały do tej samej klasy potrzebna jest równość (3q—3) modułów.

Nie zapuszczając się w szczególne, wyjątkowe wypadki możemy być pewni, że w ogólnych wypadkach nie ma modułów więcej, bo krzywa f‘=0 stopnia (p-fl)&° jest w tych razach możliwie najniższego stopnia.

CZESÖ У.

V

ZWARTOŚĆ POWIERZCHNI (ANALYSIS SITUS). POWIERZCHNIA RIEMANNA.

ROZDZIAŁ XIII.

O zwartościach powierzchni.

95. Uwagi wstępne. Przez powierzchnię rozumieć będziemy wycinek płaszczyzny lub dowolnej powierzchni, ograniczony jedną lub kilkoma zamkniętemi liniami, a także krzywą powierzchnię zamkniętą, t. j. nie posiadającą ograniczeń jak n. p. kula, pierścień dęty (rurowy) i t. p.

Taka powierzchnia nazywa się zwartą, jeżeli możliwem jest z jednego dowolnego jej punktu dojść do każdego innego dowolnego jej punktu po liniach nie opuszczających tej powierzchni. Dowolny wycinek płaszczyzny n. p. trójkąt, koło, (wnętrze koła), kula lub pierścień dęty są powierzchniami zwartemi.

Pierwszy rodzaj powierzchni zwartych są iah zwane powierzchnie pojedynczo, albo jednokrotnie zwarte, określające się, w ten sposób :

1)    Każda linia łącząca dwa dowolne punkta powierzchni może się zmienić na każdą inną, a podczas szeregu zmian nie opuszcza powierzchni. Końcowe punkta pozostają te same, lub także się zmieniają.

2)    Każda linia zamknięta zawarta w powierzchni może zmaleć do dowolnego punktu, a w tern maleniu nie opuszcza powierzchni.

3)    Gdy powierzchnia posiada ograniczenie, to każda linia nie przecinająca się sama z sobą, a łącząca dwa różne punkta tego ograniczenia dzieli już powierzchnię na dwa oddzielne odcinki. Taką powierzchnią jest n. p. trójkąt, koło i t. p.

Dokonane cięcie po dowolnej linii nieprzecinającej się z sobą a dążącej od jednego punktu ograniczenia do innego , lub tego samego nazywać będziemy w każdej powierzchni także przekrojem.

Inny rodzaj powierzchni jest już n. p. plaski pierścień (ograniczony dwoma kolami wspólśrodkowemi) (fig. 6.).

Linia ayß nie może tu przyjść w linię ay'ß nie opuszczając powierzchni. Zamknięta linia ayßy'a nie może zmaleć do punktu, nie opuszczając powierzchni. Między przekrojami tej powierzchni są 'в' i takie, które jej nie rozdzielą na dwm oddzielne odcinki. Takim przekrojem jest AB. (Przekrój A‘KB‘ już dzieli pierścień na dwa oddzielne odcinki). Gdy oba brzegi AB, DE przekroju AB (fig. 7.) zaliczymy do ograniczenia powierzchni przekrojem tym przeinaczonej , to dostajemy

____ powierzchnię o ograniczeniu ABCDEFGA. Jest ona

/    _ \ już pojedynczo zwarta, bo posiada już własności

1), 2), 3), charakteryzujące takie powierzchnie.

Gdy powierzchnia jest zamknięta, a więc nie posiada linij (pasm) ograniczających, to za jej ograniczenie bierzemy dowolny punkt G na niej (otwór w kształcie koła zbiegającego do punktu). Taki punkt G zwany granicznym już się do powierzchni nie liczy. Według tego kula, lub pierścień dęty z punktem G już powierzchnią ograniczoną. Wszystkie powierzchnie, o których mówić będziemy, uważać będziemy za zamkniętą P z punktem granicznym G nazywać będziemy P (Neumann). W takiej powierzchni P uważać trzeba za przekrój każdą dowolną zamkniętą linię, przechodzącą przez G. Taka bowiem linia przebiega w niej od ograniczenia do ograniczenia.

Kula z punktem G jest jednokrotnie zwartą.

Każdą tu bowiem linię zamienić można na inną nie przekraczając punktu G — nie opuszczając powierzchni. Każdą zamkniętą krzywę można zmniejszyć do punktu nie przekraczając punktu G. Przekrój poczynający się w punkcie G i kończący się w tym dwa oddzielne odcinki. Są-to własności

jrl

Fig. 6.

Fig. 7.

na

sobie jest

ograniczone, a powierzchnię

punkcie dzieli kulę na powierzchni jednokrotnie zwartej.

Pierścień dęty z punktem G (fig. 8., str. nast.) nie jest jednokrotnie zwartą powierzchnią. Są tu bowiem krzywe, które nie mogą przyjść na

inne, nie opuszczając powierzchni. Taką jest

n. p. linia ayß nie mogąca zmienić się na ay'ß. Są tu linie zamknięte, które nie mogą zmniejszyć się do punktu, nie opuszczając powierzchni. Takiemi są n. p. linia CKK'C i linia ayßy'a. Obrany punkt G nie zmieni tych stosunków, a daje tylko możność prowa- / dzenia przekrojów. Poprowadźmyż przekrój / /

.Ot

\...****V*4. 1

GABG. Mimo tego przekroju powierzchnia nie rozpada się jeszcze na dwa oddzielne odcinki. \ \

Poprowadźmy oprócz tego jeszcze przekrój \/

Fig. 8.

Gßyay'G, to i mimo tych dwóch przekrojów mamy ciągle jeszcze jedną tylko powierzchnię, ale ta jest już jednokrotnie zwarta.

Definicya. Powierzchnia nazywa się jednokrotnie zwartą, gdy ją każdy przekrój rozdziela na dwie oddzielne powierzchnie (odcinki). Gdy w powierzchni możliwy jest przekrój nie rozdzielający jej na dwie oddzielne powierzchnie, to taką powierzchnię nazywamy wielokrotnie zwartą.

Uwaga. Gdy w powierzchni poprowadzono pierwszy przekrój, a ten nie rozdziela powierzchni na dwie oddzielne części, to jego brzegi trzeba zaliczyć do pasm powierzchni przetworzonej tym pierwszym przekrojem, a drugi przekrój i dalsze przekroje mogą już poczynać się i kończyć w punktach zwiększonego ograniczenia.

Me odróżniając, czy pasmo ograniczające jest pierwotne, czy też zwiększone już pierwszymi przekrojami, mówić będziemy zawsze o przekrojach poczynających się i kończących w punktach pasm ograniczających.

96. Dzielenie powierzchni przekrojami. Wychodząc z określeń danych w art. poprzedzającym, zajmiemy się teraz systematycznem wyprowadzeniem własności powierzchni pod względem ich zwartości, zaczynając od powierzchni jednokrotnie zwartych.

I. Jednokrotnie zwarta powierzchnia nie może posiadać jako ograniczenie dwóch zamkniętych pasm oddzielnych.

Dowód. Grdyby SS‘, TT‘ (fig. 9.) były takiemi pasmami, to zrobiwszy przekrój pq łączący te dwa pasma, moźliwemby było z punktu    dostać się — nie wychodząc z powierzchni —

Hi

znowu do punktu p‘ = p. Przekrój pq nie rozdzielałby ^ zatem powierzchni na dwa oddzielne odcinki, c. b. d. d.

T'

Fig. 9.

II. Przekrój powierzchni jednokrotnie zwartej daje dwie powierzchnie, które są znowu jednokrotnie zwarte.

Jedno zamknięte pasmo, zawarte w powierzchni p jednokrotnie zwartej, może być punktem G w powierz- s' chniach zamkniętych.

Przekrojem danej powierzchni P niech będzie ab (fig. 10.), a do ab niech przytyka powstająca stąd część powierzchni P, f posiadająca — między innemi — jako część ograniczenia pasmo cd.

(7

i-'

Poprowadzony w tej części P₁ przekrój może być trojaki: 1°) przekrój I., który się w cd zaczyna i w cd się kończy- 2°) przekrój II., który się w ab zaczyna, a kończy się ж cd] 3°) przekrój III., który się w ab zaczyna i kończy się w ab.

Fig. 10.

Gdyby przekrój I. nie rozdzielał powierzchni Pi na dwie osobne części, toby ten przekrój po spojeniu samej powierzchni P wzdłuż ab, nie rozdzielił już P na dwie osobne części. Powierzchnia P nie byłaby jednokrotnie zwartą.

aa.

Gdyby przekrój II. nie rozdzielał powierzchni P₁ na dwie oddzielne ozęści, toby — po spojeniu powierzchni P — wzdłuż przekrój (...baß) nie rozdzielił powierzchni P na dwie oddzielne części, a powierzchnia P nie byłaby jednokrotnie zwartą.

Tak samo trzeba rozumować o przekroju III., przez co twierdzenie II. mamy udowodnione.

Z twierdzenia II. wypływają takie wnioski:

A.    Powierzchnia, która przez jeden przekrój rozpadła się na dwie części jednokrotnie zwarte, była koniecznie sama już jednokrotnie zwartą.

B.    Jednokrotnie zwarta powierzchnia rozpada się wskutek n przekrojów na (w-fi) jednokrotnie zwartych powierzchni.

/II )j\ porządku :

LJL—LA    i przekrój, 2 odcinki;

2    przekroje, 3 odcinki;

3    przekroje, 4 odcinki.

W a), b), c) (fig. 11.) mamy po

Fig. 11.

C. Gdy mamy m powierzchni jednokrotnie zwartych, a poprowadzimy w nich n przekrojów, to dostaniemy (n -f- m) oddzielnych odcinków (jednokrotnie zwartych).

Gdy bowiem w powierzchniach :

(a)

P P P

poprowadzimy odpowiednio po sl7 s₂,..., sm przekrojów, gdzie Sj +s₂-f... + sm= n, to z wszystkich powierzchni (a) dostaniemy (wskutek wniosku B) oddzielnych części :

(s^ -fi l)-f-(s₂ 4“ 1)"b ~b Am A1)—nĄ-m c. b. d. d.

D. Gdy powierzchnia jest wielokrotnie zwartą, a poprowadzimy w niej przekrój rozdzielający ją na 2 oddzielne części, to jedna przynajmniej z tych dwóch części musi być jeszcze wielokrotnie zwartą.

Gdy n. p. w pierścieniu dętym (fig. 12.) poprowadzimy zamknięty przekrój (przez punkt G) to dostaniemy : a) część Г jednokrotnie zwartą i b) część Я wielokrotnie zwartą, gdyż ona po dwóch przekrojach (acb) i (cdec) nie rozpada się jeszcze na dwie części.

III. Gdy powierzchnia P jednokrotnie lub wielo- \Ę? krotnie zwarta rozpada się po m przekrojach ci, 6\₂,... na n odcinków jednokrotnej zwartości, a po у przekrojach

c‘₂,... rozpada się na v takich odcinków, to zawsze jest m—n—y—v.

Poprowadźmy — aby to udowodnić — w powierzchni (m-\-y) przekrojów, nie wyruszając z pierwotnego położenia żadnego z odcinków tak powstających. Na powierzchni P zauważmy odcinki

P\ > ^21 •••: P'

Przez te odcinki przebiegają części przekrojów &

W Pu P

c‘

Fig. 12.

utworzone wyłącznie przez m przekrojów ci, c₂, ...

1?

c‘₂₁...

Pn rozpadły

Pn znajdziemy więc przekrojów więcej , niż y. Niechże tych przekrojów będzie y-fd, to Pi, P. się przez nie na п+y + ô odcinków jednokrotnie zwartych [wniosek С].

Zauważmy teraz na P odcinki Qt, Q₂, ..., Qv utworzone przez ^przekrojów c\,c‘₂,... Przez nie przebiegają części m przekrojów c,,e₂,... W Qi: Q₂i ..., Qv znajdujemy więc przekrojów więcej niż m. Niech tych przekrojów będzie ж + d', te Qi, Q₂,..., Qv rozpadły się na v + m^-ô' odcinków jednokrotnie zwartych, a koniecznie musi być п-\-у-\-0 = п-\-т-\-0'. Aby d wyznaczyć, zauważmy jeden przekrój c\. Gdy on przechodzi przez kt odcinków Pa, to przecina w swym przebiegu (kt—1) przekrojów cs — daje (kt — 1) punktów przecięcia się (csc‘t) — i rozpada się na kt—lĄ-(kt—1) przekrojów.

Ponieważ przekrojów c\ jest y, to dostajemy z nich y-\-2(kt—1)

t=-1

przekrojów zrobionych w РцР₂, •••? Pn. Te odcinki rozpadną się więc

П    .    fi

na n-\-y-\-S(kt— 1) odcinków, gdzie widocznie ô=2(kt— 1). Pojmując

t—i    t— i

podział powierzchni w drugi sposób, przyjmijmy, że przekrój cs przechodzi przez k‘s odcinków Qs. Daje on w takim razie (k's—1) punktów przecięcia się (cs c't) i rozpada się na &'s=l-p(&'s—1) przekrojów. Ponieważ przekrojów cs jest w, więc dostaniemy z nich

m

8= 1

m-\-2(k‘s— 1) przekrojów zrobionych w , Q₂,..., Qv. Te odcinki

v-\-m+ 2(k\— 1) odcinków, gdzie znowu

rozpadną się więc na

ó'=2(k‘s—1). Lecz d = gdyż tak pierwsza, jak druga suma jest

S— 1

całkowitą ilością wszystkich punktów przecięcia się : (cs c‘t).

Z tego wynika, że n-\-(i=v-\-m czyli m—n — p—v—...=q — p c. b. d. d. Różnica ta stała nie zależy od ilości, jakości i porządku cięć a tylko od samej powierzchni, od jej zwartości.

Gdy p— 1, to robimy q cięć, aby dostać zdanej powierzchni, jednokrotnie już zwartą powierzchnię; q ma wtedy najmniejszą wartość.

W jednokrotnie zwartej powierzchni mamy przy q = 0, p = 1, a więc q—p=—1.

Definicya. Powierzchnię nazywamy N- krotnie zwartą, jeżeli w niej potrzeba zrobić (N—l) stosownych cięć, aby z niej mieć jedno krotnie już zwartą powierzchnię.

W dwukrotnie zwartej powierzchni mamy, gdy p = 1, także q= 1, a więc q—p=0.

W trzykrotnie zwartej powierzchni ma być, gdy p = 1, q—2, a więc q—p= 1 i t. d.

W ogólności w powierzchni o N- krotnej zwartości mamy q—p=(N—1) — 1, skąd wynika:

N=q— p + 2.

Dwukrotnie zwartą powierzchnią jest pierścień kołowy płaski, kula z dwoma

otworami (kołowetni) i t. p.

\    Do trzykrotnie zwartych

powierzchni zaliczyć trzeba (fig. /    13): a) powierzchnię A zamkniętą

Fig. 13.

owalem, a posiadającą 2 otwory (kołowe), b) kulę В z trzema otworami, c) powierzchnię C. Każdą z tych powierzchni sprowadzają dwa przekroje g, h do jednokrotnej zwartości.

Pierścień dęty z punktem G jest również powierzchnią trzykrotnie zwartą, bo dwa przekroje dają jedną powierzchnią już jednokrotnie zwartą.

97. Zwartość odcinków. Gdy dowolny przekrój poprowadzimy w powierzchni P o zwartości N, to mogą zajść 2 wypadki:

1.    Po przekroju l powierzchnia pozostaje jedną powierzchnią P,.

2.    Po przekroju l dostajemy dwie oddzielne powierzchnie Pi, P₂. Gdy P wymaga q przekrojów, aby z niej dostać p odcinków

¹

To twierdzenie ogłosił¹ pierwszy H. Schwarz: „Gesammelte math. AbhandlungenT. 2., str. 235—291. — Dowód, jakiego użyto w tekście, podał G. Hettner: „Göttinger Nachrichten1880, str. 386 — 398.

Por. także: Hurwitz: „Math. Ann.“ T. 32., str. 291., Appell. C. P. T. 96,

str. 1642.

²

Clebsch i Gordon. Th. der Abelschen Functionen.

³

Eiemann. [Gesamm. math. Werke str. 120.] wprowadził pierwszy moduły danej klasy krzywych. Moduły tworzą analogię z bezwzględnymi niezmiennikami danej formy jednorodnej. Por. Lindemann. Vorlesungen ü. Geom. von A. Clebsch. T. 1. str. 714.

jednokrotnie zwartych, to mamy:

Po przekroju /, będzie w pierwszym razie powierzchnia Pt wymagała już tylko (q— 1) przekrojów, aby z niej zrobić p odcinków jednokrotnie zwartych. Zwartość N‘ powierzchni Pt określa zatem równanie:

a to zn. :

(a)

N‘ = (q—-1)— p + 2, skąd wynika: Ж=Ж-1

I. Przekrój l nie rozdzielający powierzchni P na dwie oddzielne części obniża jej zwartość o jednostkę*).

Naznaczmy w drugim razie zwartości odcinków, Pi,P₂, odpowiednio przez Ж₁₇ Ж₂, to w Pt trzeba zrobić (Ж₁ — 1) przekrojów, aby dostać jeden jednokrotnie zwarty odcinek; podobnie w tym samym celu potrzeba zrobić w P₂ przekrojów (Ж₂—1). Potrzeba więc w powierzchni P zrobić przekrojów q — (Ni — 1) + (Ж₂ — 1) +1, aby dostać p=2 odcinków już jednokrotnie zwartych. Stąd —

podług równania (a) — mamy :

(ß)

N=(^-1) + (N₂-1) + 1, czyli Ж₁+Ж₂^=Ж-1-1, a to zn.

II. Gdy przekrój I rozdziela powierzchnię P o zwartości Ж, na dwa odcinki P₁, P₂ o zwartościach Ж,, Ж₂, to suma zwartości tych odcinków równa się zwartości samej powierzchni powiększonej o jednostkę.

Powieizclmia A, (fig. 14) jest zwartości JV— 8. Po przekroju ly przechodzi na powierzchnię dwukrotnie zwartą.

-АГ

Gdy przeciwnie poprowadzimy tu przekrój 1-2 to dostaniemy dwa odcinki Pt, P₂ i każdy z nich ma zwartość =2, a równanie (ß) tu się sprawdzi.

Gdy Ж₂ = 1, to dostajemy z (/?) : Ж. =Ж. a to zn. :

Fig. 14.

III. Gdy z powierzchni P pewnym przekrojem oddzielimy odcinek o zwartości =1, to pozostała część powierzchni jest tej samej zwartości, co P.

Przyjmijmy teraz, że po s przekrojach dostajemy r + 1 odcinków P1? P₂, ..., Pr+1 o zwartościach Ж1} Ж₂, ..., Жг+1. W takim razie w każdym z odcinków P« trzeba zrobić (Ж« —1) przekrojów, aby go sprowadzić do jednokrotnej zwartości. W powierzchni trzeba zrobić zatem :

q=s+(Ni-l)p... + (Nr+i-l)=s+(Ni+N₂ + ...+Nr+i)-(r+l) przekrojów, aby dostać p=(r+l) odcinków jednokrotnie zwartych. Stosując tu równanie (a) mamy:

Ж. +Ж₂ + ...+Жг+1=Ж+2г—s.

(У)

*) Por. co do tego rozprawę „Beweis eines Satzes aus der Analysis situs“. C. Koehler. C. J. T. 109. str. 118—120.

Przyjmijmy r=0, to mamy NX=N—s, a to zn. :

IY. Gdy w powierzchni o zwartości N poprowadzimy s przekrojów, a te tej powierzchni nie rozdzielają na części, to zwartością powierzchni już z przekrojami jest : N—s.

To samo można by wywieść i z twierdzenia I., stosując je

s-krotnie.

98. Ciecia zamknięte (kołowe). Wcięcia wewnątrz i z brzegu.

Zbadajmy, jaki wpływ na zwartość N danej powierzchni ma cięcie kołowe albo zamknięte Z, zrobione całkowicie wewnątrz tej powierzchni. [Gdy powierzchnia posiada pasmo lub pasma ograniczające, to żadna, choćby najmniejsza część tego cięcia nie przebiega wzdłuż pasma. Gdy powierzchnia posiada punkt G, to Z nie przechodzi przez ten punkt. W przeciwnych razach cięcie Z jest już przekrojem].

\* w,'

Takie cięcie kołowe Z może powierzchnię daną albo: 1. rozdzielić na dwa oddzielne kawałki n. p. w kole i w kuli, albo : 2. nie rozdzielić jej na dwa oddzielne kawałki, jak n. p. cięcie Z=CKK'C (fig. 8.) str. 360. w dętym pierścieniu.

w,

Naznaczmy w pierwszym wypadku całkowite ograniczenie powierzchni P przez y. Owo ograniczenie y może być także punktem G.

w,

Fig. 15.

Cięcie Z niech dzieli powierzchnię P na odcinki Wi, W₂ (fig. 15.). Gdy dowolny punkt z w‘ Ja cięcia Z połączymy z y — lub G — przekrojem y y z, to teraz cięcie Z wraz z y z jest już przekrojem (yz + Z)=yzaßzy, który powierzchnię P rozdzielił tu na dwie oddzielne części, a to na część Wi i część W2: opatrzoną przekrojem y z; ale ta część W₂ — mimo tego przekroju pozostała jednym odcinkiem. Inaczej bowiem jeden przekrój yz + Z w powierzchni P rozdzielióby mógł powierzchnię P na więcej ]ak dwie części, a to jest niemożliwe. Niech zwartością kawałka W₂ jeszcze bez przekroju y z będzie N₂, to po przekroju ma ta część zwartość: N\ =N₂ — 1 [art. poprzedź., tw. I.].

Wiadomo dalej, że, gdy jaki przekrój — (tu yz + Z) — podzieli powierzchnię o zwartości N na dwa odcinki o zwartościach Ni i N‘₂ to Ni +N‘₂=N+1, a że tu N‘₂=N₂ — 1, więc mamy:

Ni+N₂=N-\-2, a stąd:

N₂=N+ (2—Nj).

a to zu. :

Przyjmijmy JZV\ = 1, to dostajemy:

N₂=N+1,

I. Gdy po cięciu kołowem Z w powierzchni o zwartości N wypada z wnętrza tego cięcia oddzielny odcinek W₁ o zwartości =1, to tak zmieniona powiorzchnia (W₂=P—WJ ma zwartość N-\-1.

To twierdzenie można jeszcze i tak wystawić:

I'. Gdy w powierzchni o dowolnej zwartości N zrobimy jeden otwór Wx dowolnego kształtu i wielkości, to powierzchnia z tym otworem ma już zwartość N-fl.

•G

Według tego twierdzenia koło po zrobieniu w niem jednego otworu (kołowego) staje się powierzchnią o zwartości = 2. Kula z punktem 6r i z otworem jest również powierzchnią o zwartości —2.

Pierścień dęty z punktem G (fig. 16.) staje się — po zrobieniu w niem otworu w — powierzchnią o zwartości = 4. Można w nim bowiem zrobić 3 cięcia a to : gg‘, Ш' i yz. Po nich pozostaje on jeszcze jednym kawałkiem, ale już jednokrotnie zwartym.

Z twierdzenia 1. odrazu wynika:

Fig. 16.

Zk nic przecinających siebie i takich, że

Дь, to

II. Gdy w powierzchni P o zwartości N zrobimy к cięć kołowych Zx, Z

27 •"?

z ich wnętrzy wypadają jednokrotnie zwarte odcinki HA, II pozostała powierzchnia P‘ będzie zwartości N+k.

Przyjmijmy, że w tym razie można z powierzchni P‘ za pomocą q przekrojów dostać p oddzielnych, jednokrotnie zwartych odcinków. Stosując do P‘ związek (a) — art. poprzedź. — mamy: q—p + 2 = N-\-k czyli q—(p-\-k)Ą-2 = N.

Lecz p-\-k=p‘ jest ilością pojedynczo zwartych odcinków, jakie otrzymaliśmy przez q przekrojów i к cięć kołowych; mamy

N=q—p' + %,

więc :

a stąd twierdzenie :

III. Gdy w powierzchni P przez dowolną ilość cięć kołowych, a potem przez ą przekrojów otrzymujemy p‘ odcinkôiv jednokrotnie zwartych, to powierzchnia P była o zwartości N^=q~p‘P2.

Przejdźmy do drugiego wypadku, w którym cięcie kołowe Z nie ma rozkładać powierzchni na dwie oddzielne części.

Na samem cięciu Z zauważmy dowolny punkt Г, uważając go za nieskończenie mały otwór zrobiony w powierzchni. Powierzchnia z owym punktem ma — według tw. I'. — zwartość N-fl, a w niej cięcie kołowe Z jest już przekrojem, który jej nie rozkłada na dwie części, ale obniża jej zwartość o jednostkę. Grdy więc przez N‘ naznaczymy zwartość powierzchni z cięciem koło-wem Л, to mamy N‘=(N-\-l) — l=N, a to zn. :

IV. Gdy cięcie kołowe nie rozkłada powierzchni na dwie części, to zwartość powierzchni i po cięciu owem pozostaje ta sama.

Poprowadźmy w powierzchni P o zwartości N, s kołowych cięć Zu Z₂,..., Zs i przyjmijmy, że po nich rozkłada się P na (r -{-1) części Pj, P₂,..., Pr+i o zwartościach : N1? N₂,Nr+\. Każde cięcie Za zmieńmy przez przydanie przekroju y„za na przekrój yaza-\-Za. Przekroje yaz„ leżą w powstałych odcinkach, a prowadzone są tak, aby tych odcinków nie rozdzielać; (w odcinku o zwartości =1, nie ma więc ani jednego z przekrojów yaza)-W odcinku P,„ niech się znajduje к przekrojów yaz„. Te przekroje zmieniają jego zwartość Nm na:

N'm=Nm—k [art. 97. tw. IV.], a więc :

r+1

r-f-l    r+i

(«)

^iNm=-^iNm-Nk = ^Nm-S.

m i=l

m—i

Z drugiej strony mamy powierzchnię P o zwartości N podzieloną przez s przekrojów (yaze+Za) na (r + 1) oddzielnych części o zwartościach N\, N'₂,..., N‘r+1, a wskutek tego [art. 97. (у)]:

r+t

Ф)

2 N'm=N+2r—s.

m=1

Z (a) i (6) dostajemy:

Ni -\~N₂ d~... -f- Nr+i—-TV—J— 2 r,

(c)

a stąd twierdzenie :

Y. Gdy powierzchnię P o zwartości N rozdziela pewna ilość cięć kołowych na (rĄ-1 ) odcinków o zwartościach Nu N₂₁..., iVr+i > to:

r+i

»»t=i

Oprócz przekrojów i cięć kołowych rozważyć jeszcze trzeba tak zwane: wcięcia wewnętrze i wcięcia z brzegu okre

ślające się w ten sposób:

Cięcie kołowe wewnątrz powierzchni może zmaleć do linii ; odcinek W jednokrotnej zwartości wypadający z wnętrza takiego cięcia ma wtedy powierzchnię = zero.

Taką linią nazwiemy wcięciem wewnętrznem. Zastępuje ono

otwór zrobiony w powierzchni powierzchni o jednostkę.

Pytanie zachodzi gu ? Takie wcięcie z punktu granicznego G w powierzchni P

a jako takie podnosi zwartość

za co

uważać wcięcie w zrobione z brze-

bo jest tylko powiększonym

(fig. 17.a) nie zmienia zwartości otworem G.

W przypadku, kiedy wcięcie poczyna się w pewnym punkcie Г pasma ograniczającego, (fig. 17.6) uważać je możemy za przekrój, który się w P zaczyna i w .Z⁷ się kończy, a oddziela z powierzchni część o zwartości jednokrotnej chni = zero.

a o powierz-

a)

I)

_ w

gq=

Fig. 17.

Taki przekrój [art. 97. tw. III.] nie zmienia zwartości. Mamy więc twierdzenie :

V. Wcięcie wewnętrzne uważać trzeba za otwór zrobiony w powierzchni. Takie wcięcie powiększa więc zwartość powierzchni o jednostkę. Wcięcie z brzegu nie zmienia wcale zwartości powierzchni.

99. Kola przywiedlne i nieprzywiedlne. Jednolity ciąg punktów, tworzący w danej powierzchni P (o dowolnej zwartości) linią zamkniętą przecinającą się z sobą lub nie nazywamy kołem (leżącem wewnątrz tej powierzchni). Każde takie koło leżące w powierzchni jednokrotnie zwartej można zmniejszyć do punktu, nie opuszczając powierzchni [art. 95.]. Z tego powodu powiadamy :

I.    Każde koło w powierzchni jednokrotnie zwartej jest przywiedlnem.

Pytanie zachodzi, czy w powierzchniach P o zwartości Nż> 1

są możliwe koła przywiedlne. W tym celu poprowadźmy w P wszystkie przekroje w liczbie (N—1) potrzebne, aby z P zrobić powierzchnię P‘ już jednokrotnie zwartą. "W powierzchni P‘ jest każde koło Z już przywiedlne, a gdy teraz wszystkie przekroje wzdłuż ich brzegów napowrót połączymy, dostajemy powierzchnię P z kołem które oczywiście jest przywiedlne. Z tego wynika:

II.    Na powierzchni o dowolnej zwartości można narysować nieskończenie icicle kół przywiedlnych.

III.    Każde przywiedlne koło Z leży w powierzchni o zwartości N w ten sposób, że w niej wszystkie przekroje sprowadzające ją do jednokrotnej zwartości można poprowadzić nie przecinając koła Z.

Lecz w powierzchni o zwartości N"> 1 dadzą się jeszcze i takie koła poprowadzić, których do punktu nie będzie można zredukować. Nazywać je będziemy nieprzywiedlnemi. Takiemi kołami teraz się zajmiemy.

Przedewszystkiem zauważymy, że kołu nieprzywiedlnemu będzie można nie opuszczając powierzchni nadawać przez ciągłe zmiany rozmaite formy, a za uwzględnieniem tych ciągłych zmian rozróżniać będziemy: a) koło (nieprzywiedlne) pojedyncze, charakteryzujące się tem, że przez ciągłą deformacyę może być zmienione na koło nieprzecinające się (jeżeli się przedtem przecinało z sobą), a nie może być zmienione na kilka kół różnych lub identycznych; b) koło wielokrotne, które przez ciągłe zmienianie można zastąpić klkakrotnem powtórzeniem jednego i tego samego pojedynczego koła ; c) koło złożone, które można nić na zbiór różnych kół, a w nim mogą się zawierać koła już-to pojedyncze, już-to wielokrotne.

zmie-

Z tego wynika, że w dalszych poszukiwaniach można się ograniczyć wyłącznie do pojedynczych kół nieprzywiedlnych.

Uwaga. Koło K, okalające w zamkniętej powierzchni otwór (punkt) G, nie trzeba uważać za nieprzywiedlne, ho otwór G przenosić można dowolnie. Po przeniesieniu go poza koło К, staje się to koło już przywiedlnem.

Cl)

Poprowadźmy w powierzchni P wszystkie przekroje: ffl, •••> Ъ

które P sprowadzają do jednokrotnie zwartej powierzchni Pb Nie oddalając brzegów tych przekrojów od siebie, zauważmy na przekroju qa (fig. 18.) punkta «, b takie, że po złączeniu brzegów tego przekroju punkt a jest identycznym z punktem b.

nie

Fig. 18.

W powierzchni P' można znowu wychodząc z niej — narysować zamkniętą linię, poczynającą się w a, a kończącą się w b. Taka linia, po złączeniu brzegów wszystkich przekrojów (1), będzie kołem    które się całkowicie

w P mieści i tak w niej leży, że z przekrojów (1) można ich (N— 2) poprowadzić, nie przecinając tego koła; lecz (N—l)szy przekrój [qa\ już-to koło przeciąć musi. Koło Ka może (ale nie musi) być pojedyncze. Dalej okazać można, że się koło Ka nie da zredukować do punktu.

1°. Gdy przekrój qa łączy dwa oddzielne ograniczające pasma p, p', to Ka okala albo pasmo p, albo pasmo p', a wskutek tego nie da się z pewnością zredukować do punktu.

2°. Gdy qa łączy dwa różne punkta tego samego pasma (p+p'), to po przekroju qa utworzą się dwa pasma: jedno po jednym brzegu a drugie po drugim brzegu przekroju qa. (Pasma te stykają się ze sobą wzdłuż qa). Aby koło Ka — zawarte całkowicie w powierzchni — było tu możliwe, trzeba aby te oddzielne pasma były wprost identycznemi z brzegami przekroju qa. Tu więc przedstawi się rzecz tak, jak w pierścieniu dętym (fig. 12., str. 362.), gdzie qa=acb, a Ka — cde. Koło K₀ jest widocznie nieprzywiedlne.

24

Teor. funkcyj analit. T. II.

Każdy z przekrojów (1) daje początek jednemu pojedyńczemu kołu nieprzywiedlnemu, a że tych przekrojów jest (N—1), więc stąd wnosimy :

IY. Na powierzchni o zwartości Nf> 1 można poprowadzić (N—1) Mł nieprzywiedlnych; każde z nich charakteryzuje się tem, że gdy je narysujemy, to już tylko (N—2) przekrojów poprowadzić można tak, że one tego koła nie przecinają. System ÇN—1) kół nieprzywiedlnych nazywa się zupełnym systemem kół nieprzywiedlnych. ¹)

Koło Ka, przecinające przekrój qa, można nie wychodząc z powierzchni w ciągły sposób zmienić na nieskończenie dużo innych kół nieprzywiedlnych K‘a, K" „[..., przecinających ten sam przekrój qa.

a , •••

Wszystkie takie koła nazywamy równoważnemi, a dostatecznem jest jedno z nich tylko zatrzymać. Przeciwnie jakiekolwiek koło К przywiedlne lub nieprzywiedlne, nie liczące się do kół Ka, K‘ nie będzie już równoważne z kołem Ka. Stąd wynika :

Y. Dwa koła KG1 Kr [pierwsze z nich przecina przekrój q„, a drugie przekrój qT, о^г], tego samego systemu kół nieprzywiedlnych są nierównoważne.

"W danej powierzchni można czasem poprowadzić kilka systemów kół nieprzywiedlnych, różniących się od siebie. Grdy bowiem powierzchnia daje się sprowadzić do jednokrotnej zwartości na więcej sposobów, t. j. różnymi systemami (N—1) przekrojów, to każdy z tych sposobów da inny system kół nieprzywiedlnych. Lecz — jak później się okaże — dostatecznem będzie jeden tylko system kół brać pod uwagę.

Pd. 1. W pierścieniu dętym istnieje jeden tylko system 2 kół nieprzywiedlnych: K₁=gg‘, K₂—hh' [fig. 16.].

Pd. 2. Powierzchnię P (fig. 19.) można do jednokrotnej zwartości sprowadzić

\K

Y'J

■b

Fig. 19.

albo przekrojami qlt q.₂, q->, albo przekrojami q\, q'₂, q‘s. Według tego dostajemy tu albo system kół Kit K₂, Kz, albo system kół K\, K\, К‘л.

a z nich jeden (dowolny) a drugi przeciwny za ujemny, a samo koło К przebieżone w kierunku dodatnim lub ujemnym, naznaczymy odpowiednio przez Ą-K, lub —K. Grdy m jest liczbą całkowitą bezwględną, to Ą-mK oznaczać będzie m-krotne koło +K, a —mK m-krotne koło — K.

100. Zupełny system kół nieprzywiedlnyck. Po każdem poje-dyńczem kole К nieprzywiedlnem może się punkt ruchomy poruszać w dwóch przeciwnych kierunkach uważany za dodatni

na

Każde koło К² ³), które można w ciągły sposób przekształcić zbiór kół złożonych z MjIj, щК₂, gdzie mx, m₂, ... są liczby całkowite, już-to dodatnie, już-to ujemne, a Ki K₂, ... są kołami nieprzywiedlnemi, naznaczamy pisząc:

K= Wy Ky d⁻ m₂ K₂ d”...

Takie symboliczne równanie nazywamy równoważnością, a koło К nazywamy równoważnem z kołami (Ky, K₂, ...).

Po tych określeniach udowodnimy bardzo ważnego twierdzenia :

I. Każde nieprzywiedlne koło К pojedyncze, wielokrotne lub złożone, jest równoważne z jednym dowolnym systemem {N—1) kół nie-przywiedlnych.

Dowód. Przyjmijmy, że K nie daje się przerobić na ШуКу +т₂К₂ + ...-\-тпКп, n=N— 1.

W takim razie i po zrobieniu przekrojów qt, q₂, ..., qn, które już uniemożliwiają rysowania kół К у, K₂, ..., K„, koło К w powierzchni jednokrotnie zwartej P‘ musiałoby być możliwe. Lecz to się sprzeciwia właściwości powierzchni P', a stąd już prawdziwość twierdzenia I. wynika.

(«)

Przyjmijmy, że powierzchnia P posiada oprócz systemu kół nieprzywiedlnych Ky, K₂, ..., Kn jeszcze drugi system takich kół: K\, K₂, ..., K‘n. Wtedy podług tw. I. mamy równocześnie: K=myKy +m₂K₂ d-••• d- mnKn ,

K=m'iK,y -\-ml₂K,₂-\-...-\-m>nK‘n.

Lecz każde

K‘ce=PlaKy d²P2aK₂ d- ... d”panK

a=l, 2, ..., n²),

a uwzględniając to w (ß) dochodzimy znowu do równoważności (a).

Z tego-to powodu dostatecznem jest w danej powierzchni P brać pod uwagę jeden tylko zupełny system kół (Ki: К

Kn).

II. Jeżeli równaniem K=0 określimy kolo przywiedlne, to nigdy nie może być

mx + m₂ K% 4-... 4- mnKn = 0

(y)

chyba że m₁=m₂ — ...=mn=0.

Równanie (y) bowiem z ma фО wskazywałoby, że można wszystkie koła Ka pozdejmować z pasm, które okalają, a potem wszystkie zmniejszyć do jednego punktu. Lecz to sprzeciwia się określeniu kół nieprzywiedlnych.

Przyjmijmy, że dane koło nieprzywiedlne К daje się na dwa sposoby przedstawić tym samym zupełnym systemem kół, a to :

K=miKi+m₂Ki + ...+mnKn ,

K=m\E₁ -\-m\K₂ -\-...+m‘nKn.

Z tych związków wynika :

To znaczy :

III. Każde nieprzywiedlne koło można tylko w jeden sposób zrównoważyć z obranym zupełnym systemem, kół nieprzywiedlnych.

mn=^m‘n.

0=0»! —т\)Кх + (mï—ml₂)K₂-\-...-\-(mn—mln)K, a to jest podług tw. II. tylko wtedy możliwe, gdy: mi—m\, m₂=m'₂,

Pd. 1. W powierzchni P (fig. 20 a) zauważmy koło K, utworzone ruchem punktu wskazanym strzałką s i zupełny system nieprzywiedlnych kół Ku K.2l okalających otwory wV) iv.₂ dodatnio w tym kierunku, jak to strzałki wskazują.

*-)

'S

CJ/

Jj

Pig. 20.

Koło К można w ciągły sposób zmienić na koło К' — (fig. 20 &), a że jego części Л, В są odpowiednio równoważne z kołami -J-Kj, -{-K%, (fig.

20 c), więc mamy : K= -f-    -j- K₂.

Pd. 2, Zatrzymując dodatni kierunek kół Ku K₂ taki, jak w Pd. 1. — okazać, że koło К (fig. 21.) utworzone ruchem punktu, wskazanym strzałką a, równoważne jost z (At—K₂).

Fig, 21.

Pd. 3. W powierzchni П — (fig. 22 a, str. nast.) — narysujmy zupełny system kół KX,K₂ o dodatnich na nich kierunkach wskazanych strzałkami. Gdy na tej powierzchni mamy koło К (fig. 22 V) utworzone ruchem punktu wskazanym strzałką s, to to koło można tak zmienić, że jego punkta p, p' spadną na siebie w punkcie M

(fig. 22 c). Tak zmienione koło posiada dwie części A, B. Z nich część A jest równoważna z Kx, a część В z —K₂, a wskutek tego mamy: ККx — K₂.

a.)

0-

TT

z⁴-

.V

//

//

JÇ

аз

'*;-У

a)

\\

Fig. 22.

Pd. 4. W powierzchni P (fig. 23.) mamy zupełny system kół Kx, iT₂, K3 okalających dodatnie otwoiy wix w₃, w₃ i wielokrotne koło K, utworzone ruchem punktu wskazanym strzałkami. Okazać, że К=*2КХ— 2Кг — K₃.

Fig. 23.

101. Rodzaj p powierzchni o zwartości Ж "W powierzchni wielokrotnie zwartej poprowadźmy przekrój ą nierozdzielający jej na dwa oddzielne odcinki. Taki przekrój albo łączy dwa oddzielne

pasma zamknięte p, p‘ (fig. 24 a), albo tez łączy dwa punkta А, В tego samego zamkniętego pasma (fig. в 24 V). *)

t*

■V

W pierwszym razie przekrój ą daje z dwóch oddzielnych pasm jedno tylko zamknięte pasmo : (...p...q...p,...q),

w drugim zaś razie dostajemy z jednego pasma dwa oddzielne zamknięte pasma ACB, AC‘B.

Poprowadźmy przekrój z jednego punktu palt sma AA¹ lub z punktu granicznego Gr — gdy powierzchnia opatrzona jest punktem — składający się z cięcia ab i z zamkniętego kołowego cięcia (fig. 25.).

W tych razach — jeżeli taki przekrój nie rozdziela powierzchni na dwie oddzielne części — dostajemy w (os) zamiast ograniczającego jednego pasma ...AA‘..., a w (ß) zamiast jednego

Fig. 24.

0<>

7Г-—

Fig. 25.

G.

*) Figura 2кЪ) jest tylko schematyczną. Stosunki zachodzą tu takie, jak w dętym pierścieniu z otworem Г, gdzie acb jest przekrojem ffg. 12., str. 362.

pasma — (punktu G) — dwa ograniczające zamknięte pasma, a to: abode i fgh. Z tych uwag wynika :

I.    Przekrój nie rozdzielający wielokrotnie zwartej powierzchni na dwie oddzielne części albo zwiększa, albo zmniejsza ilość pasm zamkniętych ograniczających o jednostkę.

Weźmy pod uwagę cięcie kołowe, nie rozdzielające wierzchni na dwie oddzielne części. Każdy brzeg takiego cięcia jest zamkniętem pasmem ograniczającem, a stąd wnosimy:

II.    Cięcie kołowe, które danej powierzchni nie rozdziela na dwie oddzielne części, podnosi ilość pasm ograniczających o dwie jednostki.

Niech powierzchnia P o zwartości N ma m pasm oddzielnych ograniczających ją. Pomiędzy (N—1) przekrojami potrzebnemi, aby P sprowadzić do powierzchni P‘ jednokrotnej zwartości, niech będzie к takich, że każdy z nich zwiększa ilość pasm o jednostkę. Wtedy każdy z (N—1) — к przekrojów pozostałych zmniejsza znowu ilość pasm o jednostkę. Wtedy w P‘ mamy pasm m-\~k—(N—1—7v), a że P‘ jest już powierzchnią jednokrotnie zwartą, więc mamy m + k—(N—1—&) = 1 czyli:

(«)

m=N—2k, gdzie &>0, i całkowite.

Taki jest związek między zwartością powierzchni a ilością pasm, które ją ograniczają.

Przyjmując m= 1, mamy z (a): zwartość 2V = 2Æ-(-l, a to zn.:

III.    Powierzchnia z jednem tylko jedynem pasmem zamkniętem lub z punktem ćr, jest zawsze zwartości nieparzystej.

Pd. 1. Z tej-to przyczyny ma kula z jednym otworem zwartość N= 1 a pierścień dęty z jednym otworem zwartość N— 3.

£0

Æsm

b)

®чт

'V.

|v\\\ -

1V4 Vv. —

Pig. 26.

(«)

Pd. 2. Weźmy pod uwagę kulę o p przewodach, (rurach) — [fig. 26.cz, i>=3] i o punkcie granicznym G. Gdy w niej poprowadzimy p przekrojów takich jak: GctbG, aaygbb'gybyb, ba<Jia“ b‘4iyЬф',

Definicya. Gdy zwartością powierzchni wspomnianej w tw.

A-l    ... д    „

—-— nazywają jej rodzajem, albo

a potem jeszcze p przekrojów <p, chnia będzie już jednokrotnie zwartą.

Każdy z przekrojów (a) — jest ich p — wychodzi i kończy się w tem samem jednem paśmie i podnosi wskutek tego ilość pasm o jednostkę. Gdy więc przekrojów qx, q₂,... jeszcze nie ma, to wszystkie brzegi przekrojów (a) dają (p -j- 1) oddzielnych pasm ograniczających:

wokoło każdego przewodu, to powierz-

0)

(11...1), (2 2...,2), (3 3...3), (4 4...4) (fig. 26Z>).

łączą z sobą co dwa różne pasma («'), jakie już powstały.

Dalsze przekroje qA, g2 Każdy więc z przekrojów gl5 q%,.-. obniża ilość uzyskanych pasm o jednostkę. Mamy tu więc k — p, a stosując wzór (a) dostajemy N — 2p-\-1.

III. jest N=2p + 1, top

rzędem. Rodzaj jest — to widocznie połowa liczby przekrojów potrzebnych do dojścia do powierzchni jednokrotnie jnż zwartej.

Według tego kula z jednym otworem ma])=0, pierścień dęty z jednym otworem ma p = 1 i t. p.

102. Przekształcanie powierzchni. Weźmy pod uwagę powierzchnię zamkniętą P bez punktu G i spróbujmy oznaczyć dla niej pewną liczbę n tak, aby ona gdy P przejdzie na P, była zarazem rodzajem p powierzchni P. Taką liczbą n=p nazwiemy rodzajem powierzchni P.

Aby n wyznaczyć, trzeba przedtem wprowadzić pewne defi-nicye i zastrzeżenia, których się już i dotychczas milcząco trzymano, a które teraz wyraźnie wypowiemy. Wszystkie powierzchnie, jakie braliśmy pod uwagę , i o jakich jeszcze mówić będziemy, mają dwie oddzielne strony. Punkta poruszające się po nich i koła rysowane na nich znajdują się zawsze na jednej tylko z dwóch stron. Punkt może z jednej strony każdej takiej powierzchni dostać się na stronę jej drugą tylko tym sposobem, że przejdzie przez pasmo ograniczające.

Powierzchnie o jednej tylko stronie — a takie, jak zaraz pokażemy, istnieją — wydzielamy z naszych poszukiwań z tego powodu, że one nie poddają się już prawidłom, jakie zestawiliśmy

Fig. 27.

dotąd w twierdzeniach tego Rozdziału. To możemy wykazać na bardzo prostym przykładzie.

Gdy abßa jest prostokątem wyciętym z papieru, (fig. 27.), to

przedstawia powierzchnię jednokrotnie zwartą o dwóch oddzielnych stronach i o jednem tylko—jak być ma — paśmie ograniczającem.

Grdy лу tym odcinku spoimy brzegi ab aß ze sobą, ale w ten sposób, aby a zeszło się z b, a ß zeszło się z a — do tego potrzeba skręcenia — to po spojeniu dostajemy pierścień z jednym skrętem na sobie, a tak uzyskana powierzchnia Pi ma tylko jedną stronę i tylko jedno pasmo ograniczające ją⁴).

To jedyne pasmo powinno — podług tw. III. — art. poprzedź. — wskazywać, że powierzchnia jest zwartości nieparzystej. Tymczasem jeden zrobiony tu przekrój nie rozdziela powierzchni tej na dwa oddzielne odcinki, a każdy drugi przekrój daje dwie już oddzielne części. Zwartość j)Owierzchni jest tu =2, a to sprzeciwia się przyjętemu prawidłu.

Powierzchnię P o dwóch stronach wyobraźmy sobie utworzoną z materyału giętkiego, dającego się rozciągać i ściągać, a tę stronę jej , do której odnosimy rysowane na niej punkta i linie nazwijmy zewnętrzną.

Ściąganiem i rozciąganiem nadajmy powierzchni P inny kształt P', ale z tern zastrzeżeniem, aby: 1. nieskończenie bliskie punkty pozostały takiemi i w powierzchni przekształconej , i 2. aby punkta, które w P oddalone były od siebie w sposób skończony, miały także i w P oddalenie skończone.

Mimo tych zastrzeżeń dozwolonem także będzie powierzchnię P jeszcze i rozcinać na dwie oddzielne części P1? P₂, a potem te części po ich deformacyi przez ich ściągania i rozciągania wzdłuż brzegów zrobionego cięcia napowrót spajać, uważając, aby po spojeniu z zewnętrznej strony części P₁ przechodziło się do zewnętrznej — a nie drugiej — strony części P₂.

Pd. 1. Powierzchnia P (fig. 28a), która powstaje przez obrót krzywej płaskiej MN około osi p q niech ma stronę zewnętrzną oznaczoną na rysunku strzałkami. Ta powierzchnia sama siebie prze-    /

nika wzdłuż koła RS. Gdy ją    \

rozciąganiem i ściąganiem prze- / robimy na taką, że będzie na- T (j przód obrotową powierzchnią krzywej M‘ N‘, (fig. 28 b), a

a.)

N'

4.)

w P

Fig. 28.

Przekształcenia z temi, dopieroco podanemi zastrzeżeniami spowodują, że w P' znajdziemy tę samą ilość pasm ograniczających, i tę samą liczbę kół w zupełnym systemie kół nieprzy-wiedlnych , co w P, bo tak na każdem paśmie, jak i na każdem kole nieprzywiedlnem mamy w P punkta, które w skończony sposób od siebie są odległe, a te odległości także i wP' mają pozostać skończone*). Lecz kół nieprzywiedlnych mamy w P w ilości N—1 gdzie N jest zwartością powierzchni. Tych kół i w P' będzie N—1, a N będzie znowu jej zwartością. Z tego wynika:

I. Z dwóch powierzchni P, P można każdą przekształcić wtedy w drugą, gdy obie są tej samej zwartości i posiadają tę sarnę ilość pasm ograniczających.

Gdy zauważymy powierzchnię zamkniętą P z jednem tylko pasmem ograniczającem lub z punktem G, a jej zwartość okazuje się = 2p-j-l, to uwzględniając Pd. 2. — art. poprzedź. — wywnio

skujemy :

II. Każdą powierzchnię P o zwartości 2p +1, a o jednem tylko paśmie ograniczającem (lub o punkcie G) można przekształcić w ciągły

sposób na kulę Kp z punktem G, a z p przewodami.

wreszcie obrotową powierzchnią krzywej M" N" (fig. 28 c), to w tym ostatnim kształcie już się ona sama z sobą nie przenika , a dalszem rozciąganiem możnaby ją już i w kulę przekształcić. [Klein].

Pd. 2. Powierzchnię P rozważaną w Pd. 1. możnaby także tym sposobem

przekształcić na powierzchnię nie przenikającą samą siebie. Przetnijmy ją wzdłuż koła TU (fig. 29 a), tak, że dostajemy teraz po rozwinięciu dwu części oddzielne TWU i TCU (fig. 29 a). Gdy teraz częś-I ££ ciom TWU, TCU damy kształt taki jak (fig. 29Z>) wskazuje, to po spojeniu brzegów TU tych dwóch części dostaniemy ^ zamkniętą powierzchnię, którą dalej i w kulę przekształcić będzie można. [Klein].

a)

\J u.

Tl

II

Ч.-

Fig. 29.

Z tych przykładów wnosimy, że u przenikających siebie powierzchni można linie przenikania dowolnie przesuwać przekształcać i niszczyć.

103. Kula o n antahacli. Kodzaj p powierzchni zamkniętej.

Niech powierzchnia P₀ zamknięta i bez punktu G ma tę własność,

Gdy punkt G jest ograniczeniem powierzchni, to taki punkt G dowolnie zwiększyć można, przekształcając go w otwór.

że każde cięcie kołowe Z zrobione w niej daje w swem wnętrzu odcinek oddzielny W, (fig. 30). Wtedy dowolny przekrój aß poprowadzony w W, musi W rozdzielić na dwie oddzielne części wx, w₂. Grdyby bowiem tak nie było, to Z po spojeniu cięcia Z wzdłuż jego części ay ß, dostali- f byśmy w P₀ cięcie kołowe a äße a, a z jego wnętrza \\ część W-2 trzymająca się części wx, nie mogłaby wypaść.

Fig, 30.

Lecz to sprzeciwia się założeniu o powierzchni P₀.

Każdy wycinek W jest zatem jednokrotnie już zwartą powierzchnią ale może się jeszcze sam z sobą przenikać.

Mając to, podzielmy całą powierzchnię P₀ na same odcinki jednokrotnie zwarte, a każdy z odcinków, który ma na sobie linie przenikania się przekształćmy na powierzchnię już bez takich linij. Uskuteczniwszy to, pospajajmy te wszystkie odcinki ze sobą napowrót wzdłuż brzegów do siebie należących, to przez to powstanie zamknięta znowu powierzchnia taka, że ją będzie można dalej przekształcić na kulę К bez żadnego otworu.

Mamy więc twierdzenia :

I.    Każdą powierzchnię P₀ o tej własności, że po zrobieniu w niej dowolnego cięcia holowego wypada z wnętrza tego cięcia zawsze oddzielny odcineh można w ciągły sposób przekształcić na kulę.

II.    Dwie powierzchnie P₀, P'₀ o własności wyrażonej w tw. I. są takie, że każdą z nich można za pośrednictwem kuli przekształcić na drugą.

II'. Gdy powierzchnia o własności wyrażonej w tw. I. ma r otworów, to ją — podobnie, jak P₀ — zamienić można na kulę o r otworach.

Z„ o tej

Definie у a. Gdy w powierzchni zamkniętej Pn można poprowadzić n, a nie więcej cięć kołowych Zx, Z, własności, że z ich wnętrzy nie wypadają oddzielne odcinki — (powierzchnia mimo tych cięć pozostaje jeszcze zwartą), to тс nazywamy rodzajem tej powierzchni. [Klein].

Według tej definicyi powierzchia P₀, o której mowa była w twierdzeniu I. ma rodzaj тг=0. Przyjmijmy teraz Tc~ę>0. Wskutek cięcia Zx dostała powierzchnia dwa nowe ograniczające ją zamknięte pasma: zx, z\. Przekształcając powierzchnię — opatrzoną już cięciem Zx — przez ściąganie i rozciąganie dojść możemy do powierzchni, na której zx, z\ przedstawiają się jako dwa otwory (ox, co\. Podobnie każde inne cięcie Za , a=2, 3,..., yr, spowoduje w przekształconej powierzchni Р‘л dwa otwory wa, co‘a. Taka

104. Twierdzenie l’ïïuilier’a. System p par kół nieprzy-wiedlnych. O liczbie я da się dowieść, że ona w danej powierzchni Рл jest niezmienną; to znaczy:

I. W jakikolwiek sposób zrobimy pierwsze zamknięte cięcie Zx, to zawsze dojdziemy do tej samej liczby (я) cięć takich, że one nie przecinają się z sobą i nie dzielą powierzchni na oddzielne części.

wy-

Dowód. Znane powszechnie jest twierdzenie Eulera sławiające się w ten sposób:

г.

4;

Fig. 32.

przekształcona powierzchnia jest o 2я otworach i da się dalej według twierdzenia 1Г przekształcić na kulę, która posiadać będzie я par otworów co

Gdy każdą parę otworów brzegami spoimj⁷⁻, dostaniemy zamkniętą powierzchnię о я przewodach, a tę powierzchnię można będzie dalej przekształcić w kulę о я przewodach.

Takiej kuli można będzie w końcu — rozszerzając przewody — dać kształt taki, jak go fig. 31. dla я—4 wskazuje. l7 d₂, ... nazywać będziemy antabami, ei} e₂, ... przewodami tej kuli.

Mamy więc twierdzenie :

III. Każdą powierzchnię zamkniętą Рл zamienić można na kulę о я antabach.

cc j

coa.

<T

-Щ

cô

■Tl

4R

Fig. 31.

Gdy zwykłą kulę podzielimy na S zamkniętych wieloboków sferycznych (ścian), a tak utworzona na niej sieć wieloboków wykazuje W wierzchołków, а К krawędzi (boków), to: S+ W=K-\-2. Analogiczne twierdzenie da się wypowiedzieć dla zamkniętej powierzchni Pn lub dla kuli na którą Pn przekształcić można.⁵) Taką kulę podzielmy znowu na S zamkniętych wieloboków (ścian), dających swoją siecią wierzchołków W, a krawędzi К i weźmy jedną z antab d pod uwagę (fig. 32.). Na niej poprowadźmy zamkniętą linię Zx tak, aby ona przez żaden z wierzchołków nie przechodziła.

Gdy Zx przechodzi wokół przez va ścian, to przecina i tyleż krawędzi, a gdy Zx wliczymy już do sieci linij rozpościerających się na Кл, to na antabie óa zwiększy się ilość ścian o va, gdyż z każdego wieloboku dostaliśmy dwa wieloboki. Wierzchołków dostaniemy o va więcej niż było, gdyż na każdej z va krawędzi przybywa nowy wierzchołek. Krawędzi dostaniemy o 2va więcej niż było, gdyż każda krawędź, którą Z± przecięto, podzieliła się na dwie, a oprócz tego w każdym z va wieloboków, przez które Z± przechodzi, dostajemy nową krawędź. Prowadząc cięcie wokół każdej z л antab i rozumując podobnie dojdziemy do wniosku, że liczby S, W, К zmienią się na

S‘=S+2va,    W‘=W+2va, K‘=K+ 22 va.

z,

<Ł

uîic-

Fig. 33.

Wzdłuż zamkniętych linii Za, a=l,2, ..., л wykonajmy teraz cięcia. Ka antabach ó₂, ..., дл dostaniemy wtedy dwa otwory (fig. 37.) o)a, ы‘а. Te otwory zakryjmy odcinkami powierzchni skąd inąd — nie z Kn — wziętemi. Taka nowa powierzchnia К‘л jest zamkniętą i posiada 7i=0, gdyż na niej z wnętrza każdego zamkniętego cięcia wypada już oddzielny odcinek powierzchni. Taką powierzchnię К‘л możemy zamienić na zwykłą kulę К, a na tej kuli mieć będziemy :

a) ścian:

S“=S‘+2 7t,

0)‘a]

gdyż do pierwotnej liczby S' przybywają z każdej z тг antab dwie ściany, zakrycia otworów co

Ъ) krawędzi:

K“=K‘+2v

bo z każdej krawędzi leżącej wzdłuż Za mamy teraz krawędzi dwie ;

c) wierzchołków:

W"= W¹-\-2v

bo każdy pierwotny wierzchołek leżący na Za rozdzielił się również na dwa.

Uwzględniając relacyę Eulera na tej kuli, dostajemy:

W“=K‘ + 2i

S‘+W‘=K'+ 2-271 S+- W=K+-2—2ti.

czyli

czyli wreszcie

Ti jest widocznie największa możliwa liczba cięć, (Z1} Z2f ..., Z.T) tak na Кл poprowadzonych, że się one ze sobą nie przecinają, a z ich wnętrzy nie wypadają oddzielne odcinki.

Zn są tylko liniami narysowanemi na Кл ; to każde inne cięcie Z* poprowadzone na Кл a nie dające oddzielnego odcinka, musi koniecznie jedną lub kilka linij Zu Z₂

Uwaga. Gdy Zu Z₂

Zji przeciąć.

Przyjmijmy, że cały tok dopieroco przeprowadzonego rozumowania rozwijamy na podstawie innych cięć kołowych Z\, Z\, ... i że ich wypada ti‘, gdzie tv‘ тс. Wtedy musiałoby być równocześnie :

S+ W—К+2—271, S+ W=K+ 2-2л‘, a to, gdy 71^.71' jest niemożliwe. Mamy więc tt==ti‘, czem już prawdziwość twierdzenia I. udowodniono, gdyż Кл jest przekształceniem powierzchni Рл.

Z‘n

Najprzestępniejszymi sj^stemami n cięć będą-to albo cięcia Zx, Z₂,..., Zn prowadzone wokoło antab, albo też cięcia Z\, Z‘ prowadzone w około przewodów ei, ...

Taką kulę Кл — (fig. 34.) — opatrzmy w punkt graniczny Gy a cięcia Z\, Z\, Z'₃, ..., Zln (tv=4) poprowadźmy tak, aby były przekrojami, a nie cięciami kołowemi. \Z\ poczyna się i kończy w G] Z\ poczyna się i kończy w Z\, wskutek przekroju hi it. d.].

'i

Poprowadźmy dalej przekroje Zi, Z₂, ..., Zn (yr=4), to w kuli Кл poprowadziliśmy 27i przekrojów potrzebnych, aby Кл było już powierzchnią jednokrotnie zwartą. Jej zwartość jest więc:

N=2ti + 1

Fig. 34.

— jest widocznie rodzajem p powierzchni Кл. [Por. art. 101].

2

Pisząc odtąd za 7t wszędzie p, powiemy :

II. Gdy powierzchnia Pv jest zwartości 2p+l, to powierzchnia Pp jest zwartości 2p [art. 98., tw. V.J, a obie powierzchnie są rodzaju p. Tak w P

kołowych, nie przecinających si § z sobą, a nie dzielących tych powierzchni na dwie części. W powierzchni Pp ta sama liczba p oznacza połowę ilości przekrojów potrzebnych, aby z Pp dostać juz powierzchnię jednokrotnie zwartą.

Zauważmy w Kp równocześnie system kół Zi, Z, stem kół Z\, Z\, ..., Z‘p to im w Pp odpowiedzą systemy kół: (К„К₂,...,КР), {K\,K\,...,K‘P)

jak Pp można rodzaj określić, jako największą ilość cięć

zarazem

2>

Zp i sy-

względem siebie tak położone, jak koła Z1 uwagę wyżej podaną), a stąd wynika:

.. na Kp (por.

III. Na każdej powierzchni Pp lub Pp można zawsze poprowadzić system 2p kół stanowiących system zupełny kół nieprzywiedlnych. Koła te rozpadną się na pary (Ku K\), (ZT₂, K\), ..., (KP,K‘P) w ten sposób , że diva koła jednej pary raz się tylko ze sobą przecinają, dwa koła zaś z dwóch różnych par wcale się ze sobą nie przecinają.*)

*) Literatura tego Bozdziału : Początki teoryi zwartości znajdują się już u Möbiusa [Theorie der elementaren Verwandtschaft, Werke, T. 2., str. 433—472]. Czytaj dalej ■

Eiemann: W rozprawach „Grundlagen für eine allg. Theorie der Functionen einer veränderlichen Grösse. Theorie der Ab el’sehen Functionen. Gesammelte math. Werke“.

Neumann C. „Vorlesungen über Ri emanns Theorie der Ab eVsehen Integrale“. (Lipsk 1884).

Klein Г. „Einleitung in die geom. Functionentheorie“ [lit. wykład 1880—81]. „Bemerkungen über den Zusammenhang der Flächen“. Math Ann. T. 7., str. 549—557. „ lieber den Zusammenhang der Flächen“. Math. Ann. T. 9,, str. 476—482.

Lippich Г. „Untersuchungen über den Zusammenhang der Flächen im Sinne Riemanns“. Math. Ann. T. 7., str. 212—229.

Schläfli. „Ueber die linearen Relationen zwischen den 2p Kreiswegen...“ C. J. T. 76.; str. 149—155.

Dingeldey F. „Topologische Studien.“ (Lipsk 1890).

Simony О. „Ueber eine Reihe neuer Thatsachen aus dem Gebiete der Topologie“. Math. Ann. T. 19., 26.

O przeniesieniu teoryi zwartości na utwory o n wymiarach, czyt. W. Dyck. Math. Ann. T. 32.} 37.

Poincaré. „Analysis situs, J. de l’école polytechnique“. Cer 1. (S. 2., 1895).

¹

Por. pod tym względem: O. Jordan — „Des contours tracés sur les surfaces“ Liouville J. (Ser. 2.), T. 11., str. 110 — 130.

²

Koło К może się samo z sobą raz lub kilka razy przecinać, a mimo, że je piszemy bez znaku d~ lub —, wyobrażamy sobie, że powstało ruchem punktu przebiegającego je w pewnym obranym kierunku.

³

Niektóre, ale nie wszystkie, że spółczynników mu m\, ...,    ...

mogą być zerami.

⁴

Möbius. Werke. T. 2. str. 484—5.

M. Feld bl um podaje w wiadomościach matematycznych T. I. (Warszawa 1897), str. 10L —106, cynematyczny sposób tworzenia powierzchni jednostronnej.

⁵

Przeniesienie twierdzenia Eulera na powierzchnie Рл przypisują 1’Hui-lier’owi (por. W. Dyck Math. Ann. T. 32. i Forsyth. Theory of fonctions). — Por. także Möbius Werke T. 2., str. 468.

ROZDZIAŁ XIV.

O powierzchni Riemann’a.

105. Liście Rieniann’a w otoczeniu punktów rozgałęzienia. Linie przejścia. Niech nieprzywiedlne równanie algebraiczne

f{x, y)=0

określa w-wartościową algebraiczną funkcyę у o gałęziach yi1 y₂, ..., yn, a jej cykliczne elementa [art. 60.] niech w skończoności wypadają wyłącznie w punktach (rozgałęzienia):

(1)

X — C^j c₂, ••

W otoczeniu punktu c^ mamy zatem 1 cyklicznych elementów postaci :

(2)

у=\+Р^[(х— q)«»], у=Ъ₂+Р₂[{х—Cj).,], a te wynikają z n“ par funkcyj :

x=ci -f ts* y=<Pi(f) '

&=Ci -MSl

y=<Pi(t)

[Dla x=ci dostajemy у=Ъ±, powtarzające się s₁ razy, у=Ъ₂, powtarzające się s₂ razy i t. d.].

Tak samo ma się rzecz w punktach c₂, c₃, ... Oprócz elementów (2) mogą się w otoczeniu punktu ca znaleść jeszcze gałęzie, zachowujące się regularnie, lub takich gałęzi wcale tam nie ma. Punkt w nieskończoności x=c^ może dać znowu cykliczne elementa, albo wykazać same regularne gałęzie funkcyi y.

Mając to, zauważmy nieograniczoną płaszczyznę (x) argumentu a; z jej osiami: pierwszorzędną i drugorzędną. Oprócz niej utworzymy (n—1) nieograniczonych płaszczyzn liczbowych znowu z ich osiami i połóżmy je wszystkie na (x) w ten sposób, aby ich punkta zero padły na punkt æ=0 płaszczyzny (.x), a ich dodatnie połowy osi pierwszorzędnych nakrywając się z sobą nakryły dodatnią połowę tej osi płaszczyzny (x). Taki zbiór n nieograniczonych płaszczyzn nazywać będziemy zbiorem n liści albo gałęzi. 1ST a którymkolwiek z tych liści wybrany punkt x=c spada z takimże punktem #=c, leżącym na każdym innym liściu. W dowolnym punkcie x = c ma funkcya algebraiczna n wartości: yi: y2: ..., y„. Grdy więc punktom x=c leżącym na poszczególnych liściach damy znaczenia (e,    (c,y₂), ...., (c,yn), albo jeszcze prościej znaczenia wartości

У\1 Уп Упi to zbiór n utworzonych w opisany sposób liści wyobrażać będzie każdym dowolnym systemem n punktów nakrywających się n wartości funkcyi y w punkcie x=c. Liść dający ya nazwijmy Ga, to mamy teraz zbiór n liści : F—(Gi: 6r₂,..., Gn). Lecz funkcya y jest monogeniczną ; z każdej więc jej najdowolniejszej wartości dojść można w ciągły sposób do każdej innej jej wartości. Przeciwnie przejście z jednego liścia do drugiego jest w sposób ciągły nie możliwy. Aby więc zbiór JT mógł dawać dokładnie wyobrażenie o całkowitym przebiegu funkcyi y nie można liści luźnie obok siebie zestawić, tak jak one w Г dotąd są zestawione.

Zauważmy punkt rozgałęzienia ci i przyjmijmy, że tam za pomocą elementów (2) cyklicznie się ze sobą łączą (tworzą cykl) systemy gałęzi :

(ß)    (У1) У2J •••5 Уsi)

(b)

rozpostarte odpowiednio na systemach liści :

(Ъ‘)    (G\, G'₂,..., G's₂) , ...

(a‘) (Gu G₂,..., GSi),

W takim razie w owym punkcie spoimy ćwiartki («') ze sobą, potem ćwiartki (b‘) ze sobą i t. d.

Odpowiada to tej własności funkcyi y, że ona w cx daje gałęzi o jednej wartości biJ s₂ gałęzi o jednej wartości Ъ₂ i t. d. ¹) Podług tej samej zasady spajamy ze sobą liście odpowiadających cyklom gałęzi w każdym dalszym punkcie (1).

Połączmy na jednym z liści (na górnym) punkta ci, c₂, ..., сw (bez różnicy, czy w nieskończoności są punkta rozgałęzienia, lub nie) w dowolnym porządku linią dowolnego kształtu, ale nie przecinającą się z sobą.

Przyjmijmy, że to się udaje zrobić właśnie w porządku cu c₂, ctu,    i wzdłuż tej linii przetnijmy (fig. 36.) wszystkie liście

Fig. 36.

Fig. 35.

całego systemu l⁷, zatrzymując przy tern uskutecznione już przody spojenia w punktach c1? c₂, ..., cM. Zauważmy przekrój    a na

jego górnym (dodatnim) brzegu, dowolny punkt Æ₁ (fig. 36.), dający w swem otoczeniu regularne elementa y W =yvĄ-cpv(x—kx) v—l₁ 2, ..., n, gdzie др„(0)=0. Wartość yv i element yM niech się mieści w liściu Gv. Przez to — gdy yM przeprowadzać będziemy nie przekraczając przekroju:

(C1, c2; •"? J Cœ)

tworzymy cały nieograniczony zapas wartości tej gałęzi funkcyi y, którą ma wyobrażać właśnie liść Gv. Ale wskutek nieprzekraczal-ności przekroju (c1;c₂,...) niemożliwe są jeszcze przejścia z gałęzi do gałęzi. Zauważmy jednak u dolnego (ujemnego) brzegu przekroju c±c₂ taki punkt x1} który przed zrobieniem tego przekroju był identyczny z punktem Jc₁. Grdy z wartością yv wychodząc z punktu z₁

na liściu Gv pójdziemy drogą Jciaßx₁ przeprowadzając element y№ to w ogólności — wskutek tego, że ta droga okala punkt rozgałęzienia cl7 nie dostaniemy w punkcie xi znowu wartości yv, ale jakąś inną wartość y‘v. Ta wartość' — wskutek tego, że funkcya y jest ciągłą — okaże się równą wartości funkcyi y, wypadającej w punkcie xt (u dodatniego brzegu) innego liścia Gv>, który w szczególności może być różny od Gv.

Niechżeż wartości:

(У1,У₂» •••> Уп) w punkcie \ przechodzą po prześciu drogi    na wartości:

-,УО w punkcie xlf

tn) jest pewną permutacyą liczb 1,2, ..., n, to aby

gdzie {t^t₂

wyobrazić ciągłość funkcyi у połączoną z możnością przeprowadzania jej z gałęzi na gałąź, potrzeba:

77

dolny brzeg przekroju cic₂ gałęzi Gi połączyć z górnym brzegiem „

„ G₂ połączyć z „ Gh i t. d.

dolny brzeg górnym brzegiem „

Połączenia dokonane podług tej reguły wzdłuż przekroju cic2 nazywamy linią przejścia c₁ c₂.

77

77

Uwaga. Każdy z punktów okrążać będziemy dodatnio t. j. tak, aby — krocząc po linii zamkniętej, otaczającej ten punkt — mieć go po lewej ręce [T. L, art. 34]. Ten brzeg przekroju (i linii przejścia), na którym obrano punkt (ib) jako początek linii okrążającej nazywać będziemy brzegiem dodatnim. Brzeg przeciwny zwać będziemy brzegiem ujemnym.

W tych połączeniach wzdłuż cąc₂ muszą być także wyobrażone i gałęzie (a),, (b) cyklicznie się z sobą łączące. Przyjmijmyż

z czynnikami e°, f

w pewnym elemencie w (2) Sj — 6, a (x—ct)«i

e⁵, gdzie s=e~6niech należy właśnie do gałęzi y±, y₂, ..., y₆, to dostajemy tu takie połączenia liści Gi, 6r₂, ..., G₆ (przedstawiających te właśnie gałęzie) wzdłuż cic2J jak fig. 37. wskazuje.

Cl

G.

&3-

.G„

G6-

Fig. 37.

Gdy przeciwnie w pierwszym elemencie w (2) użyjemy pier-

Teor. f unkcyj analit. T. II.

Fig. 38.

czne

Oprócz takich cyklicznjmh połączeń, wyobrażających cykli-elementa (a), (5), ... mogą tu być jeszcze i liście same z sobą łączące się wzdłuż cxc₂₁ a wyobrażające regularne gałęzie w punkcie сл i jego otoczeniu.

V    r'-

\    Liście ćrl5 6r₂, ..., Gs łączące się z sobą cy-

Lig. 39.

taka śrubowa powierzchnia otaczająca punkt cx postać taką, jak fig. 39. wskazuje.

10 ni

5m'

wotnego pierwiastka £i=c~T~=é~T, to z uwagi, że

fl ° = £°, £^ = £^>: £x    ^ ³ = £³, £₁ ⁴ = f², £!⁵ = £

mieć tu będziemy takie połączenia liści Gv ..., ćr₆ jak na fig. 38.

Ъry?£~ .hr/gg-t-

G.

cr

C2

c,-

Cf

~C5

c*

G*

J klicznie mają w otoczeniu punktu ci postać śrubowej , spłaszczonej powierzchni o (s—1) skrętach 1,2,...; ostatni sty skręt jest połączeniem skrętu (s—l)s° ze skrętem lszym. Gdy s—2, ma

106. Tworzenie i określenie powierzchni Riemanna. Przejdźmy do przekroju c₂c₃. Przez elementa yW w punkcie 7г₁ mamy już określone jednoznacznie wartości у w każdym punkcie każdego

z liści G„. Przyjmij myż, że w dowolnym punkcie w z₂ (fig. 40.) dodatniego brzegu przekroju c₂cz mamy na Gi, G₂, ..., Gn odpowiednio wartości У\чУ%1 •*., Уп, a przez przeprowadzenia po drodze zamkniętej

G«.

jo

c,°

JT G

Gp

i*

Jc₂a‘ß‘x₂ dostajemy w z₂ z wartości yK wartość «/тиФ lub =ya- Z tego już wynika, że tu wzdłuż przekroju c₂cz trzeba będzie odjemny brzeg każdej z gałęzi Ga połączyć z dodatnim brzegiem gałęzi GZ(i «=1,2,..., n. Przekrój c₂c₃ zmieniliśmy w ten sposób na linię przejścia, a nie jest wykluczone, że tu wszystkie Ga okażą się identyczne z G

Fig. 40.

w którym-to razie c₂cz nie przedstawia się jako linia przejścia (liście nie krzyżują się z sobą, nie przenikają siebie).

Ta i

Linię przejścia c₂c₃ uzyskaną przez okrążanie po k₂a‘px₂ można jeszcze w inny sposób utworzyć. Przyjmijmy, że wzdłuż linii przejścia cic₂ łączy się między innymi dodatni brzeg gałęzi Ga z odjemnym brzegiem gałęzi Gß (fig. 40). Wychodząc z punktu h2 z wartością yß dochodzimy po Tc₂a'ß‘x₂ do x₂ z wartością yTß. Wyjdźmy teraz z wartością ya z punktu Jc₂ i przejdźmy drogę Jc₂yóx₂ przecinającą w Q linię przejścia cxc₂. W tym punkcie Q schodzimy z gałęzi ćr«, na gałąź Gß a idąc dalej po Qóx₂ musimy— wskutek jednoznacznie oznaczonych wartości na Gß — dojść i w tym razie do punktu тл₂ z wartością yTß. To wskazuje, że i tu trzeba tak jak przody odjemny brzeg ćwiartki Gß połączyć z dodatnim brzegiem ćwiartki GTß. Tu więc połączenia Ga Gß wzdłuż cx c₂ i Gß GT{ wzdłuż c₂c₃ mają ten skutek, że z wartości ya w punkcie Jc₂ dostajemy, okrążając c₂ po Jc₂yóx₂, wartość yTfl w punkcie x₂.

Można zatem linię przejścia c₂c₃ tworzyć albo na podstawie okrążenia &₂a'/3'z₂, albo też na podstawie okrążenia k₂yóx₂ za uwzględnieniem już utworzonej przody linii przejścia: cxc₂. Obie linie przejścia: cxc₂, c₂c₃ wykryją połączeniami i przenikaniami gałęzi, wszystkie cykliczne elementa , jakie mamy w c₂.

Uwaga I. Gdy ćwiartki GX,G₂

Ghn rozciąga-

Gn rozciągające się wzdłuż dodatniego brzegu przekroju слс₂ łączą się wzdłuż cxą z ćwiartkami G/i}, Gh jącemi się wzdłuż odjemnego brzegu tego przekroju, to te połączenia możemy naznaczyć przez:

(«)

S\c₂= ^

Gi G₂ ... Gh₂ Gh₂ ...

Gn \

GK)‘

Ghn mające ujemne brzegi wzdłuż c₂c3 łączą się wzdłuż cxc₃ z ćwiartkami Gkl, Gk₂,... Gkn rozciągającemi się nad dodatnim brzegiem linii c₂ c₃, a te połączenia naznaczymy substytucyą :

Gdy podobnie ćwiartki Gh₂, Gh

Ga, Gh₂... Ghn\

Gk₂ Gk₂... Gkn)'

to złożenie SClc₂. Tc₂c₂, gdy w niem literę G zastąpimy literą ,?/, da podstawienie :

(0

Tc₂c₃

yn\

y*n)

У1 У2 ...

УК УК •••

które wskazuje jak się przez okrążanie samego już punktu c₂ zmieniają wartości funkcyi y. Substytucyą (a) przedstawiając złożeniem cyklów [T. I. art. 95.] dostajemy uwidocznione wszystkie cykliczne elementa punktu rozgałęzienia c₂.

(«)

Gdy analogicznie postąpimy z przekrojami c₃c₄, c₄c₅,..., c/f_i c^cx zamieniając je wszystkie na linie przejścia, zamienią się luźnie wprzód na sobie leżące liście Gx, G₂, ..., Gn na zwartą powierzchnię 9Î dającą obraz monogenicznej funkcyi algebraicznej y.

Taką powierzchnią 91 nazywają powierzchnię Riemanna*). Punkta c₁₅c₂,... są jej punktami rozgałęzienia.

Zauważmy przekrój    (fig. 41.). Zamienia się on na linię

przejścia o takich połączeniach, jakie dają okrążenia po JcpABxp.

Ta linia zamknięta otacza

'A

b.

ä?----—>CoO

punkt odjemnie, a stąd wynika, że połączenia ćwiartek wzdłuż cœ wykryją wszystkie cykliczne elementa

C,

’ CtV7 Hr-

Fig. 41.

znajdujące się w nieskończoności. Ale zarazem tak utworzona linia przejścia jest taka, że uwzględniając przy niej utworzoną już przody linię przejścia    dostajemy krążeniem po J^A‘ B‘xfl

wszystkie cykliczne elementa punktu c^.

Z tego wynika, że opisany tu sposób zamieniania systemu liści Г na powierzchnię SR daje się stosować bez różnicy, czy się funkcya у w nieskończoności rozgałęzia lub nie.

Gdy ScpC/л-1, TC/ÂiC₀o mają analogiczne znaczenie, jak w uwadze 1., to:

—1 СИ" -^cfi c*>    s(y)cM

Gdy Tc £„ = 1, mamy w nieskończoności same regularne gałęzie; c^r^nie jest linią przejścia, a s(y)Cju= &M_i ca(l/)-

System gałęzi Г można jeszcze w inny sposób zamienić na

powierzchnię 91. Przyjmijmy dla uproszczenia, g=4 i poprowadźmy z punktów c₁, c₂, c₃, e₄ takie linie PuP-nPsiPb (%• 46.) w dowolnych kierunkach dążące w nieskończoność, że z nich żadna ani sama siebie, ani drugich nie przecina. Te linie zamieńmy na prze-А^'-Рэ kroje, a potem każdy przekrój pa a=1, 2, 3, 4 zamieńmy na linię przejścia, dokonując takich połączeń liści, jakie wynikają przez dodatnie okrążanie punktu ca. Przez to z systemu Г dostajemy znowu powierzchnię 91. Aby punkt

P--

,c

'P*

cf)î

Fig. 42.

it

*) Riemann. Math. Werke. Neumann. Vorlesungen ü. Riemanns Th. der Abel’sehen Intergrale. Appell-Goursat. Théorie des fonctions algébriques... Picard. Cours d’ Analyse. Forsyth. Theorry of functions. Hark ness and Mor ley. A treatise on the th. of fonctions.

w nieskończoności zbadać , przyjmijmy, że wzdłuż przekroju pk łączy się dodatni brzeg gałęzi Ga z odjemnym brzegiem gałęzi Gß. Wskazuje to, że z punktu &₄, wychodząc z wartością yß dochodzimy, po okrążeniu punktu c₄, w punkcie %₄ z wartością ya, (ćrp ma w z₄ wartość Lecz Gß musi być wzdłuż p₁ połączoną z pewną gałęzią Gy; Gy musi się łączyć wzdłuż p₂ z pewną gałęzią Gö, G<$ wreszcie musi być połączoną wzdłuż p₃ z pewną gałęzią GB. Niechże GB ma w ~kk wartość ya, to teraz krążąc po ü₄-4.BCz₄, przez co okrążamy punkt w nieskończoności w odjemnym kierunku, dostajemy wychodząc z Jci z wartością yB ostatecznie w punkcie z₄ wartość ya. Ta zmiana odnosi się już do punktu w nieskończoności. Każda linia przejścia pa daje sama tylko cykliczne elementa punktu ca, a przy równoczesnem uwzględnieniu wszystkich innych linij przejścia wykrywa cykliczne elementa leżące w nieskończoności lub wskazuje, że w nieskończoności mamy same elementa regularne.

*c

//

C3 )f

Fig. 43.

Tworzenia powierzchni IR można wreszcie dokonać także w taki sposób. Przyjmijmy znowu ^=4, cl5 c₂, c₃, c4 wszystkie w skończości, a punkt cx niech będzie nasamprzód punktem zwyczajnym funk-cyi algeb. y. Obierzmy dowolny punkt zwyczajny x₀ i zróbmy przekroje х₀са, a= 1,2,3,4 (fig. 43.). Każdy taki przekrój zmieniwszy na linię przej ścia x₀ ca powstaj ący z uwzględnienia okrążeń punktu ca, dostajemy powierzchnię 9Î. Gdy jeden z punktów ca n. p. punkt c4 leży w nieskończoności (fig. 44.), to prowadzimy przekroje x₀ci,

IÎ

<4

Fig. 44.

107. Wnętrza cięć kołowych na powierzchni ßiemanna. Zauważmy na powierzchni 91 utworzonej którymkolwiek z trzech

ж₀с₂, x₀c₃ i linią х^с^ w dowolnym kierunku. Trzy pierwsze przekroje zmieniamy na linię przejścia tak, jak w przypadku 1-szym. Linię przejścia xücœ tworzymy, badając, jak się zmieniają wartości funkcyi y przez krążenie po linii JcABk zamykającej w swem wnętrzu wszystkie punkta ca leżące w skończo-ności.

opisanych sposobów linią, zamkniętą К poczynającą się i kończącą w punkie Q (fig. 45.) jednego z n liści n. p. liścia 6rl5 i załóżmy, że ona w swem wnętrzu nie zawiera ani jednego z punktów rozgałęzienia (ani punktu ж₀, jeżeli powierzchnia 91 utworzono sposobem trzecim).    ^

X,

fL.

X,

Аз

Fig. 45.

Jeżeli takie koło К przecina pewne linie przejścia, to musi każdą z nich przeciąć parzystą ilość razy, inaczej bowiem nie mogłoby wrócić do tej samej gałęzi G±.

Po kole К zróbmy cięcie. Gdy w jego wnętrzu mamy części liści X₁ X₂, ..., fig. 45. to te części trzymają się z sobą wzdłuż linij przejścia qu q₂,...

Zróbmyż po obydwu brzegach tych linij przejścia a w tych gałęziach, przez które К przechodzi cięcia (na rysunku przedstawiają ją linie punktowane) — to teraz części X₁, X₂, ... można już od powierzchni odłączyć; są one wszystkie jednokrotnie zwartymi odcinkami. Gdy je potem poza powierzchnią na powrót brzegami ze sobą złączymy w ten sam sposób, jak one w 91 względem siebie leżały, to dostaniemy z nich jeden jednokrotnie zwarty odcinek.

Gdy X

na którem punkt Q leżał, było częścią gałęzi 6r1? to pod nią mamy tam jeszcze część liścia ćr₂, część liścia G₃, i t. d. Koło takiego samego kształtu jak poprzednie, a poczynające się w punkcie Q ćwiartki ćr₂, doprowadzi znowu do jednokrotnie tylko zwartego odcinku i t. d. Stąd mamy twierdzenie :

I.    Cięcie zamknięte zrobione na wskroś w powierzchni 91 w ten sposób, że w jego wnętrzu nie ma ani jednego punktu rozgałęzienia daje swem wnętrzem n jednokrotnie zwartych odcinków.

Jeżeli na fig. 42., str. 388., koło к^АВСх^ pojmujemy jako zamkniętą linię otaczającą punkt cœ, a ten punkt nie jest punktem rozgałęzienia, to ona nie otacza ani jednego z punktów rozgałęzienia, a wskutek tego —podobnie rozumując, jak wyżej o kole К, możemy powiedzieć :

II.    Jeżeli w powierzchni Riemana 91 punkt cx nie jest punktem rozgałęzienia, to cięcie zamknięte K‘ zrobione na wskroś w powierzchni 91, a zawierające w swem wnętrzu wszystkie punkta rozgałęzienia leżące

tv skończoności, daje zewnątrz siebie n oddzielnnych jednokrotnie zwartych odcinków.

Obierzmy w powierzchni utworzonej sposobem drugim dowolny punkt zwyczajny x₀ i połóżmy:

A— stała.

Po tern podstawieniu dostaniemy z równania f(x,y) — 0 równanie fo(oc‘,y)=0. Przyjmijmy — do czego dojść łatwo — że punkt x=0 nie był punktem rozgałęzienia, to w równaniu /0=0 nie jest x‘=Сю punktem rozgałęzienia, a punkta rozgałęzienia leżą tu wszystkie w skończoności.

Weźmy teraz za punkt wyjścia równanie /0(ж/,у)=0 i utwórzmy dlań powierzchnię 91 sposobem trzecim ; cięciu K‘ określonemu w tw. II. odpowie koło K“ (fig. 46.) okalające punkt a?₀, a przecinające powierzchnię na wskroś.

Częściom powierzchni leżącym zewnątrz К' odpowiedzą części leżące wewnątrz koła K‘j a stąd wynika:

III. Gdy w powierzchni 91 utworzonej sposobem trzecim poprowadzimy cięcie zamknięte,

swem

сч °ci

кя

Fig. 46.

przecinające 91 na wskroś, okalające punkt x₀, a nie mieszczące w wnętrzu ani jednego punktu rozgałęzienia ca, to wnętrze tego koła daje n jednokrotnie zwartych odcinków.

Niech linia przejścia ą kończy się w punkcie rozgałęzienia c o.    (fig. 47.). Zróbmy cięcie kołowe po linii QABQ,

S'    okalającej jeden tylko punkt rozgałęzienia

Gdy cięcie to nie przecina powierzchni na wskroś, a punkt c daje s-krotny cykliczny element wierający w sobie gałąź Ga, kowy punkt Q zrobionego cięcia leży, to cięcie to przebiega s razy po QABQ tak

c.

д'

za-

na

której począt-

że po

Fig.47.

s-krotnem dopiero przebieżeniu tej linii wraca do punktu Q.

Gałęzie, przez które takie (wielokrotne) cięcie przechodzi

niech będą :

G a Gß G y... Gs- Ga,

to to zespolenie liści przedstawia cykl {ya y$ yv... Уд- Усе), a z tego polenia niemożliwe jest przeście wewnątrz QABQ do żadnej gałęzi takiej , przez którą cięcie nie przechodzi.

(a)

/.<■<

W każdej gałęzi zespolenia (a) zróbmy jeszcze cięcia cm, cm‘ nieskończenie blisko linii ą a kończące się w QABQ. Po nich można już każdą gałąź zespolenia (a) odłączyć od powierzchni 911 jako jednokrotnie zwarty odcinek. Gdy dalej poza powierzchnią 91 złączymy napowrót przytykające do siebie liści brzegami cm, cm', będziemy dalej mogli przez ściągania (zwężania) każdego odcinka zrobić z tych odcinków jeden jednokrotnie już zwarty odcinek nie posiadający żadnych linij przenikania. W ten odcinek weszło dokładnie tyle liści, ile ich było w (a) różnych między sobą. Przyjmijmyż, że punkt c daje n“ cyklicznych elementów o wykładnikach si, s2 bionego już na wskroś przedstawiam—(s₁ + s₂-f...)+m" jednokrotnie zwartych odcinków, gdzie s₁ +s₂ +...<n.

to wnętrze cięcia kołowego QABQ zro-

Gdy punkt rozgałęzienia c leży w nieskończoności, a cięcie QABQ otaczające wszystkie punkta rozgałęzienia pozostające w skończoności, jest wielokrotne, to do części powierzchni 91 rozciągającej się zewnątrz QABQ trzeba zastosować wszystkie do-pieroco wypowiedziane uwagi.

Analogiczne uwagi trzeba wypowiedzieć o cięciu wielokrot-nem okalającem jeden tylko taki punkt rozgałęzienia c, z którego wychodzą dwie linie przejścia. Mamy więc twierdzenie :

IV. Gdy tv powierzchni 91 ciecie zamknięte QABQ zrobione na wskroś otacza jeden tylko punkt rozgałęzienia o n“ cyklicznych elementach z wykładnikami s₁, s₂,..., to — bez różnicy, czy się w c kończy linia przejścia, czy też przez c przechodzą, dwie różne linie przejścia — przedstawia wnętrze tego cięcia n—(sA-f-s₂+ ...)+«" odcinków jednokrotnie zwartych.

108. Zwartość powierzchni Riemanna. W jakikolwiek sposób dojdziemy do powierzchni 91, możemy ją uważać za powierzchnię zamkniętą z jednym tylko punktem w nieskończoności na każdym liściu. Nawet w przypadku, kiedy funkcya y posiada różne ele-menta cykliczne w nieskończoności o różnych charakteryzujących je stosunkach (y:x)M [T. I. art. 126.] a więc różnych punktach, można te wszystkie punkta uważać za identyczne, a to z powodu, że po stereograficznym przeniesieniu całej powierzchni 91 na kulę [T. I. art. 47.], wszystkie takie punkta wpadną na kuli w biegun B, będący środkiem rzutu.

Mając to, postarajmy się określić zwartość i rodzaj powierzchni 91 podług definicyj i reguł danych w poprzedzającym Rozdziale. Przyjmijmy, że z systemu Г powstała powierzchnia

ai sposobem pierwszym, a więc przez utworzenie linij przejścia

C\ J C2? C3‘ C/W > Coo •

1°. W punkcie cx nie mamy cyklicznych elementów. Powierzchnię 9$ zmieńmy na Sft przez zrobienie w pierwszym górnym liściu Gi małego otworu G (fig. 48.).

Poprowadźmy na liściu Gi przez G linię aß nieograniczoną w obie strony, nieprzecinającą w swym biegu ani samą siebie, ani linii

przejścia c±с₂...с!Лсаа. Wskutek j uczynionych założeń trzeba taką linię uważać za zamkniętą , a gdy po niej zrobimy cięcie w ćr1? to to cięcie jest przekrojem, bo dąży od ograniezenia G powierzchni 9i do ograniczenia G napo-wrót. Gdy wzdłuż linii aß przetniemy także i pozostałe liście 6r₂, 6r₃, ..., Gn, to takie cięcia nie będą już przekrojami, ale cięciami zamkniętemi. Ich liczba jest

oc

Sx

/3'

c,

Fig. 48.

Przez ten przekrój aß i przez owych (n— 1) cięć kołowych odpadną z 9i odcinki jednokrotnie zwarte: НиН2:...:Нп (ćwiartek Gi} 6r₂, ..., Gn), rozpościerające się pod aß.

Poprowadźmy podobnie z drugiej strony — nad linią przejścia — cięcia kołowe a'ß¹. [Linia a'ß' nie ma znowu przecinać ani siebie samą ani linii с₁с₂...с//1сх]. Wskutek tych nowych n cięć odpadnie z powierzchni 9Î znowu n jednokrotnie zwartych odcinków

tek Gi, ćr₂, ..., się nad a'ß¹).

Pozostała część powierzchni 9ł między aß a a'ß' jest zwartym odcinkiem, bo liście trzymają się z sobą w punktach Ca, a prócz tego jeszcze i linie przejścia łączą je ze sobą.

H\, H'₂, ..., H‘n , (części ćwiar-ćr„, rozciągające

ct

JL

Fig. 49.

Przetnijmy w tej pozostałej części (fig. 4У.) wszystkie liście równocześnie wzdłuż linij li: l₂^ .., Ip tak, aby między la i la+i znajdował się tylko jeden punkt ca. Między i znajduje się c/t.

Przez to w powierzchni 9Î wykonaliśmy nowych n.ft przekrojów. Części liści, leżące między la i la+\ nazwijmy 77«. (77;t leży między a Iß). "W punkcie c₁ mamy według zrobionego założenia w art. 98. n“ cyklicznych elementów. W każdym z takich elementów trzymają się ze sobą gałęzie mimo zrobionych dotąd przekrojów i cięć, tworząc po jednym jednokrotnie zwartym odcinku.

Gdy zaś w elementach cyklicznych punktu cx znajdujemy po s1? po s₂, i t. d. gałęzi, to w 77, dostaniemy jednokrotnie zwartych odcinków: w-(s₁4s₂ + -) + w"-

We wszystkich częściach i71; 77₂, ..., 77« dostaniemy więc odcinków jednokrotnie już zwartych:

nil — 2(S± d-S₂ "K-Od⁻ 2n" ,

gdzie sumy odnoszą się do liczb s1? s₂, ... i liczb n" we wszystkich częściach 77«.

Wróćmy do powierzchni SR. Otrzymaliśmy z niej :

a)    n jednokrotnie zwartych odcinków 771? 77,

...,77'й -

b)    n wreszcie

cj П fl—2    -|- 5., -j- ...) -p2n“

jednokrotnie zwartych odcinków z części 771? 77₂, ..., 77«. Wszystkich więc razem jednokrotnie zwartych odcinków mamy:

(«)

—2(s₁ +5₂ + ...)—2n“.

Razem więc mamy prze-

Przekrojów zrobiliśmy: jeden przekrój na liściu Gi wzdłuż aß i nfi przekrojów wzdłuż Zj, Z₂, krojów {nfi-\-1). Niech zwartością powierzchni śft będzie N, to stosując tu twierdzenie III., art. 91., mamy:

N=(n/i+l)—(fi-\-2)n-\- 2(si +s₂ + ...) —2n" +2 = 3—2 n -{- 2 (5^ -p s₂ -p • ••)—2n “.

To wyrażenie możemy w dwojaki sposób przekształcić:

1°) Zauważmy, że w każdym 77« zawiera n“ tyle jednostek, ile właśnie jest wykładników s₁, s₂, ... w ca. Mając to na względzie możemy położyć :

(1)

Ń==3-2m + N(s —1), gdzie suma odnosi się tu do wszystkich wykładników 5i>l, występujących w xt w parach funkcyj (xtyt), określających cały obraz algebraiczny f(x,y)=0.

2°) Niech w otoczeniu punktu będzie wszystkich par

. ci ci

funkcyj (xt, yt) dokładnie n‘.

a do

Do n“ tych par należą si>l (n¹—n") par należą same s=l, a suma wszystkich tych s bez różnicy, czy s^>l, czy =1, jest =n. Napiszmyż:

S1 +S₂ + ... — n“ ⁼[s\ +s₂+... + (^ — и")] — [n“    — n"j\,

to widocznie sx +s₂ + ...-f(w'—n“)=n, tak , że mamy w ep

sl+*2 + - — n"=n—n*.

Robiąc to samo przekształcenie w c₂, c₃,..., dostaniemy:

(2)

JV=3—2w+^(w—w'), gdzie suma odnosi się do wszystkich punktów c«, t. j. do punktów, w których mniej niż n par funkcyj dostajemy.

tylko potem na

II⁰. Gidy w сда są cykliczne elementa, to linie aß, a‘ß‘ prowadzimy tak samo, jak w pierwszym razie fig. 49. przybędzie do cięć lx, l₂,... I!Л, jeszcze cięcie Zt{+1 tak poprowadzone, że z punktów cx, c₂, ..., cM, cx zawiera się między la a lu+1 jedynie tylko punkt pomiędzy l^±i a lx zawiera się punkt cM. Wzory (1), (2) i tu się utrzymają z tą tylko różnicą, że sumy w tych wzorach obejmować już będą wykładniki s)>l i liczby nl, jakie z punktów cœ pochodzą.

109. Rodzaj p powierzchni Riemann’a. Zwartość W powierzchni 9Î ma tu być według tw. III. art. 94. nieparzystą =2p + l, a wtedy p = (N—l)/2 jest rodzajem powierzchni 91. Ten rodzaj dostajemy z formy (1) lub (2) [art. poprzedź.] odpowiednio w postaci:

— 2-’ p

Porównując te wzory z wzorami (I) i (II) w art. 84., dochodzimy do wniosku:

I.    Rodzaj powierzchni Ulemami a 4î, wyobrażającej algebraiczną funkcyę y jest zarazem rodzajem równania algebraicznego f[x,y) —0, określającego tę funkcyę.

Sama powierzchnia (bez punktu G), ma zwartość N=N—1, [art. 91., tw. V.], a więc = 2p, co znaczy:

II.    Zwartość powierzchni Riemann’a IR jest zawsze parzysta i równa się podwójnemu jej rodzajowi.

W powierzchni utworzonej soosobem 2gim poprowadźmy zamkniętą linię GABCDG, gdzie punkt G leży na str. nast.), a sama linia mieści w swem wnętrzu wszystkie punkta ca. Gdy po takiej linii przecinamy liść Gx, to albo po jednokrotnem okrążeniu linii GABCDG wracamy do G, albo też — gdy Gx cyklicznie łączy się z innymi liśćmi w nieskończoności — dopiero kilkakrotne okrążanie dokona całego przekroju. W jednym

(1)

p= 1—n-\

= 1—n-{

B[n—n‘)

liściu Gx (fig.50.

i drugim wypadku mamy w każdym razie jeden tylko przekrój poczynający się i kończący w Gi. Cięcia innych ćwiartek, nie-łączącycli się już cyklicznie z Gi w nieskończoności , dokonane po GABCDG (znowu jednokrotnie lub kilkakrotnie wzdłuż GABCDGr) są już cięciami kołowemi. Poprowadźmy dalej fi przekrojów bi, b₂,..., b^, to mamy tu: (nfiĄ-1) przekrojów, a odcinków:    ”T~тт, .Л

a)    n{(i-\-l)—2(s-l) w częściach Пх, ...,    , Я ;    ^

b)    n odcinków w części P. Z tych danych dostaniemy znowu zwartość Ń, wyrażoną wzorem (1), art. poprzedź.

Podobnie okazać można, że powierzchnia 9t utworzona sposobem trzecim, a posiadająca punkta rozgałęzienia (q, c₂, ..., cM), albo (q, c₂, •••; cœ) — (fig. 51 aj, — ma zwartość

В/

c’

TT.

'h

.A

tu

Ie! V

ÏÏ*U

Fig. 50.

П-

3)

'С.

Ъ>

,ъ.

4е»

•с,

iG

/3

ci

■с.

С.

■с.

Fig. 51.

N, dającą się znowu przedstawić formą (1) art. poprzedź. Do obliczenia tej zwartości dochodzi się przy pomocy jednego przekroju i cięć kołowych po GaßG i przy pomocy nfi lub n(fi+1) przekrojów prowadzonych po bl,b2:b₃,... w nieskończoność.

110. Przekroje sprowadzające powierzchnię ßiemann’a do jednokrotnej zwartości. Systemy kół nieprzywiedlnych. Zwartość N obliczyliśmy, nie troszcząc się o przekroje, które z zrobić mają jednokrotnie już zwartą powierzchnię. To tylko pewna, że _Лг=2р+1 i że więc ilość przekrojów potrzebna do sprowadzenia powierzchni ŚR do jednokrotnej zwartości jest zawsze parzysta.

Rzeczywiste wykonanie tych przekrojów nie jest w ogólności zadaniem łatwem, a każdym razem trzeba rozpocząć od zamiany powierzchni Ш na przez zrobienie w 9Î w dowolnej ćwiartce małego otworu G.

Powierzchnię 91 rodzaju p można będzie dalej zamienić — według końcowych twierdzeń Rozdziału poprzedzającego²) — na kulę Kp o p antabach, a stąd wynika :

I.    W powierzchni 91 rodzaju p można zawsze poprowadzić najwyżej p cięć holowych nie przecinających się, a nie rozdzielających powierzchni 91 na części.

II.    W powierzchni 91 rodzaju p można zawsze poprowadzić p par kół (Ka, K\ć) w ten sposób, że dwa hola tej samej pary przecinają się z sobą w jednym tylko punkcie, a dwa kola z różnych par wcale się z sobą nie przecinają. Wzdłuż kól systemu Ka, a=l, 2, ...,p, lub systemu K‘a, a=l, 2,p , poprowadzone cięcia, będą-to właśnie cięcia, określone w tw. I.

K‘a, a=l, 2, ...,p, są systemem zupełnym 2p kół

III.    Koła, К nieprzywiedlnych.

IV.    Gdy w powierzchni 91 poprowadzimy jedno z 2p kół Ka, K'a przez punkt graniczny G, gdy dalej wzdłuż tych wszystkich kół robić będziemy cięcia, a potem zrobimy przekroje h₁, h.2J ..., hp-\ od pierwszej pary cięć do drugiej, od drugiej pary do trzeciej i t. d., uważając :

(hu—\ ~t~Ka) 5 Кa, a=l, 2, p , [h₀ nie istnieje], za osobne zrobione przekroje — to one dają właśnie 2p potrzebnych przekrojów, aby z 91 uzyskać powierzchnię jednokrotnie już zwartą.

Z tego-to powodu wyrażają się często w ten sposób: Powierzchnię sprowadza się do jednokrotnej zwartości za pomocą 2p cięć kołowych i (p — 1) przekrojów. Schematycznie można rozciętą już powierzchnię w ten sposób przedstawić (fig. 52.) :

JE

x\

vs

Vi

ii

Л»

к:

—i-..

//

li

C::z

0-

■iJ'Yc

и/ 1

LJ-²

Fig. 52.

W punktach Qi, Q₂, ... — (w każdej parze kół znajduje się tylko jeden taki punkt) — przecinają się ze sobą koła jednej pary.

W punktach JRU iü₂, ... — a może ich być więcej w każdej parze kół, biegnie jedno koło pod drugiem, nie przecinają, się więc ze sobą. Wreszcie — na podstawie uwag Rozdziału poprzedź. — wnioskujemy :

V. Każde dowolne nieprzywiedlne koło K‘ jest równoważne z zupełnym systemem kół (Ka:Ka)x a=l, 2, ..., p.

Koło nieotaczające żadnego z punktów rozgałęzienia jest przy-wiedlne. Wskutek tego i koło zamykające w swem wnętrzu wszystkie punkta rozgałęzienia, leżące w skończoności jest przywiedlne, jeżeli obraz algebraiczny, wyobrażony powierzchnią ÜÎ, nie daje cyklicznych elementów funkcyi у w nieskończoności.

Na fig. 52. mamy uwidocznione dwa brzegi każdego z przekrojów. Brzegi te tworzą tu — jak w każdej powierzchni jednokrotnie zwartej ■— jedno zamknięte pasmo ograniczające. Z dowolnego więc punktu P, leżącego na brzegu przekroju, wychodząc w kierunku (s) wzdłuż tego brzegu, wrócimy do P po jDrzebieżeniu całego pasma.

Mimo tego pasma można tu będzie z każdego punktu A dojść do każdego innego punktu A‘ w ciągły sposób i bez opuszczania powierzchni. Grdy bowiem z A przejdziemy do punktu Ъ, leżącego nieskończenie blisko brzegu, a z i' do punktu Ъ\ położonego również nieskończenie blisko brzegu, to potem już przejście z Ъ do V odbywać się będzie wzdłuż pasma ograniczającego.

Pd. 1. Obraz hypereliptyczny : y‘ź = C(x—cl)(x—c₂)...(cc—cp) daje w razie parzystego ;r = 2p-f-2 punkta rozgałęzienia c,, c₂, ...,c u, a w razie nieparzystego p. = 2p-pi. punkta rozgałęzienia ct, c₂, cp, сю, [art. 84., Pd. 1.]. Cykliczne ele-menta funkcyi у w tych punktach mają wykładniki s—2, a sama funkcya jest dwuwartościowa. Powierzchnia 31 takiej funkcyi składać się będzie z dwóch liści, a jej rodzaj będzie =p.

Niech fi==2p-j-2=6, to po złączeniu ze sobą liści Gx, G₂ w punktach cx, c₂,

c₅c₆ powstaną z tych przekrojów

c₆ i po zrobieniu przekrojów cxc₂, c₂c₃, tylko linie przejścia: cxc₂. c₃c₄, c₅c₆, wzdłuż pozostałych przekrojów c₂e₃, c₄c₅ trzeba brzegi tego samego liścia napowrót spoić; c₂c₃, C4C5 nie będą więc liniami przejścia.

W bliskości Cjc₂ obierzmy na liściu Gx punkt G (fig. 53.) i poprowadźmy cięcie kolowre Kx ; rozcina ono tylko sam liść 6rj.

Z punktu ax tego cięcia poprowadźmy cięcie K\, przebiegające przez Gx i G₂, a z punktu a\ tego ostatniego cięcia K\ poprowadźmy przekrój hx, a potem kołowe cięcie K₂ na samym liściu Gx, a wreszcie z jego punktu a₂ cięcie kołowe

7?

ar

к:

Fig. 53

K‘₂, przebiegające znowu przez oba liście Gl1 G₂. Tymi przekrojami sprowadziliśmy już powierzchnię 91 do jednokrotnej zwartości.

Gdy na powierzchni 91 lub 91 narysujemy koła At, At ' ; A₂, K\ to w nich (przekroju hx niema), dostajemy zupełny system kół nieprzywiedlnych.

Naznaczmy ca ca^_₁ — qa , to w ogólnym wypadku mamy linie przejścia : 9i i 9з» •••» Я.И—i•

Koło okalające jedynie linię przejścia qa nazwij my K(f, a koło, które przecina tylko linie przejścia qa, q ₁ nazwijmy Ka, to tu zupełnym systemem kół nieprzywiedlnych będzie :

(A^, -Й4, fi—i), (A₃, A3, fi—1),..., (A^t—3, Ku—3, n—1).

Gdy je zmienimy na cięcia kołowe, a potem poprowadzimy przekrój hx od pierwszej pary cięć do drugiej . przekrój h₃ od drugiej do trzeciej i t. d.. dostaniemy powierzchnię jednokrotnie już zwartą, a jej jedyne pasmo ograniczające utworzą przekroje :

(Aj, Kx, M—l),' (/<1 + A₃, A3 , u—l), ... (hu—b -j- A^—3 , Кр-3,/л—l)

Pd. 2. Jeżeli w hypereliptycznym obrazie mieć będziemy nieparzystą liczbę punktów rozgałęzienia leżących w skończoności, a więc p. = 2p -|- 1, to i cx jest punktem rozgałęzienia, a liniami przejścia będą tu :

91 -C\ C2l 9з-C3C4 j •••> 9^-C(łC<xi’

Trzymając się oznaczeń takich, jak w Pd. 1. mieć tu będziemy koła:

(At, Aj, jł), (A3, A3, jit)..., (АГм—2, Ku—2, f.i) jako zupełny system kół nieprzywiedlnych, a przekroje:

(Ai, Ai, J«), (Ai -f- A3, A3, ,ił),..., (A«—4 -f- Aa—2, Ku—4,, ^)

sprowadzą powierzchnię 91 do jednokrotnej zwartości.

Pd. 3. Obraz eliptyczny w normalnej formie Weierstrassa:

уЪ=±{х—ех)(х—е₂)(х—е₃\

e\ + e2 + ез — 0, posiada punkta rozgałęzienia ei} e₂, e₃, cc. Gdy go sposobem pierwszym wyobrazimy dwućwiartkową powierzchnią 91, dostaniemy linie przejścia exe₂, e₃cc (fig. 54a). W sposobie trzecim z obranym punktem x₀ = 0 do staniemy linie przejścia x₀ex, x₀e₂, x₀e3l x₀cc (fig. 54 b).

а)

¹

To samo zajść może i w punktach x, w otoczeniu których gałęzie zachowują się regularnie. Lecz w takich punktach pozostawiamy gałęzie niespojone.

²

O pewnem ograniczeniem zmienianiu powierzchni czytaj: Hoyer. „Ueber Riemann’sche Flüchen mit beschränkt veränderlichen Verzweigungspuncten“. Math. Ann. T. 47., str. 47.

.ег

,в,

b--'

К.

Fig. 54 b).

Fig. 54 or.

W pierwszym razie sprowadzą powierzchnię dt do jednokrotnej zwartości kołowe cięcia Aj, A₂, a w drugim kołowe cięcia Kx, K₂.

O powierzchni Eiemanna posiadającej tylko cykle drugiego stopnia czytaj : Lü rot h. Math. Ann. T. 4. str. 181—134. Clebsch. Math. Ann. T. 6. str. 216—230.

CZESO VL

О

САПКЕ ARGUMENTÓW UROJONYCH I POZOSTAŁOŚCI. (TEORYA CAUCHY’EGO). PERYÖDY CAŁEK ABLA. ODWRÓCENIA CAŁKI ELIPTYCZNEJ.

ROZDZIAŁ XV.

Zasady teoryi Cauchy’ego, (Całki zmiennych

urojonych).

u.PTĄu'

111. Z teoryi określonych całek podwójnych. Niech z=F(xy) będzie równaniem powierzchni w układzie prostokątnym, na którego poziomie (xOy) leży dowolnie zamknięta z nieprzecinająca się z sobą krzywa PTQSP,

Y?

(fig. 65.). Ta krzywa niech będzie kierownicą walca, którego rodząca ma byó równoległą do osi zP. Przyjmijmy, że w krzywej PTQSP do jednego у należą dwie tylko wartości x, a to:

AS*=x'y, AT=x“y.

W PTQSP niech najmniejsze y ma war- > największą wartość B.₂Q = b

ft

Fig. 55.

tość BiP=b

Gdy przy takich założeniach obliczyć będziemy chcieli objętość bryły ograniczonej z jednej strony wycinkiem (poziomu) PTQSP: z drugiej strony wycinkiem powierzchni UiU₂üz, a z boku walcem, to ta objętość wyrazi się całką:

i>

2-

v= r r

J Jx‘ у

xy“

Fix y) dx. dy,

a w niej dokonać trzeba całkowania nasamprzód względem x, a potem względem y. Oczywiście zakładamy, że F(x, y) dla wszelkich punktów wewnątrz krzywej PTQSP i na samej krzywej jest jednoznaczna, skończona i ciągła. Przyjmijmyż, że:

(1)

Xy“

F{x, y)dx==cp(xy‘j y)—(p(x,y, y)

to mieć będziemy :

î/)—(p(x'y,y)]dy, albo:

v= i [cp(x“

A

sb₂    rbx

= I 0>(®Л y)dy 4- / q>(x'y, y) dy.

Jbx    Jb₂

Pierwsza z tych całek jest sumą elementów cp(x,y)dy zmieniających się w ciągły sposób tak, że w (p para (x,y) daje poruszający się punkt po PTQ, i to w kierunku od P przez T do Q. Ten kierunek powoduje ta okoliczność, że w pierwszej całce mamy dolną granicę bx, a górną b₂.

Drugą całkę pojmować można jako sumę elementów q>(x,y)dy zmieniających się tak, że w (p para (x, y) daje poruszający się punkt po QSP i to od Q przez S do P. Ten kierunek ruchu powoduje tu znowu ta okoliczność, że w tej drugiej całce mamy przeciwnie dolną granicę b₂, a górną bi. Mając to na uwadze, połóżmy:

to mieć będziemy:

(2)

V=

f <p(x“,y)dy= f (p(x y)dy=(PTQ)

Jbt    'PTQ

f <P(x'y,y)dy= / (p(x,y)dy=(QSP)

Jb₂    Jqsp

f cp(x,y)dy=(PTQ)-\-(QSP)=(PTQSP).

JPTQSP

znacz

Punkt poruszający się po (PTQSP) w kierunku danym tym właśnie porządkiem liter przebiega tę krzywę w dodatnim kie- * runku [T. I. art. 34.]. Przeciwny kierunek będzie odjemnym. Na-myż krzywę (PTQSP) przez (5), to teraz wzór (2) możemy tak krótko napisać :

(4)

Nazwijmy (s) konturem całkowania, to mamy twierdzenie:

I. Całka podwójna V o takim konturze całkowania, że w nim do jednego y należą dwie tylko wartości x, da się zawsze zamienić na całkę jednokrotną o elem ntach cp(x, y)dy, gdzie w nich (x, y) przebiega cały kontur (s) w dodatnim kierunku.

26

Teor. funkcyj analit. T. II.

rH

402

Gdy kontur (s) jest taki, że do jednego x należą w nim dwie tylko zawsze wartości rzędnej y, a to : T3P=y‘x^ BQ=yx" (fig. 56.), ,a najmniejsze x jest w nim: AS=ai, największe: A'T=a₂, to mamy w tym razie:

/а2 ГУх"

Ja, Jy‘x

Ts)

czyli :

(B)

F(x, y)dx. dy=

j a,

“x)dx+ I гр(х,у‘х) dx= Jaz

ip(x: y) dx=(SQTPS)

P

I' Cl.

ЩЯ,У

= / гр(х, y)dx+ I гр(х, y)dx= /

J SOT    J TPS    J SQTPS

Fig. 56.

-L

•ф(х, y)dx, a to znaczy :

II. Gdy kontur całkowania (s) całki V jest taki, że w nim do jednego x należą dwie tylko wartości y, to całka V da się zamienić na jednokrotną całkę elementów ip(x,y)dx z odjemnem przebieganiem konturu (s) przez punkt (x,y).

Przyjmijmy, że kontur (s) ma równocześnie i własność potrzebną w tw. I., i własność potrzebną w tw. II., to wtedy mamy :

(O

Z równania (1) wynika :

a analogicznie :

F(x, у) = ~гр(х, у).

<>Ц

Uwzględniając to dostajemy:

(В)

Г    гЪг Г*

h «*,»)*-1 Г

Xy" àcp{x,y)

dx dy

4 **>&*-£ Г

dx

Przyczem zauważyć trzeba, że za zmianą kierunku strzałek po lewej stronie, trzeba całkom po prawej stronie dać znak odjemny.

Z tych wzorów — gdy funkcye cp, гр i kontur naprzód są dane — dostajemy twierdzenie:

III. Każdą jednokrotną całkę elementu cp. dy lub elementu гр. dx, gdzie cp, гр są funkcyami par wartości (x,y) przebiegających pewien kontur, przedstawić można całką podwójną : J F dx. dy o tymsamym konturze.    T"

które się składają na

Uwaga. Jeżeli (s) określa się jednem tylko równaniem: fix, yj=0, jest więc n. p. kołem, elipsą i t. p. to cp, ó uważać trzeba za funkcye tych par (x, y), które spełniają równania /=0. Lecz często całkowity kontur (s) dopiero kilkoma równaniami: /t =0, /₂ = 0,... daje się określić; (trójkąt n. p. daje się przedstawić równaniami trzech nieprzecinaj ących się prostych). Wtedy cp, ó są funkcyami par (x, y) wypełniających te części linij /t == 0, /2=0, całkowite ograniczenie konturu (s).

Jeżeli kontur s jest taki, że w nim do jednego x należy więcej y niż dwa, a także do jednego y należy więcej x, niż dwa, to i w tym razie utrzymują się wzory (C) a to na podstawie takich uwag. Całe wnętrze danego konturu można podzielić na części ot, cr₂,... o takich konturach si, s₂, ..., że w każdym z nich do jednego x tylko dwie wartości y i odwrotnie należeć będą. Każdą całkę V w a₁, <r₂,... zamienić można na jednokrotną całkę elementu (pdy lub xpdx obliczoną po konturach si, s₂,... w dodatnich kierunkach. Zauważmy z tych konturów dwa sąsiadujące ze sobą: sa, Sp. Jeżeli je odgranicza od siebie linia lap to po tej linii całkowanie w sa odbywa się w przeciwnym kierunku, jak po Sp. Wskutek tego wszystkie całkowania po liniach wewnątrz s poprowadzonych poznoszą się , tak, że i tu tylko całka po konturze s pozostanie, a wzór (A) lub (B) utrzyma się i w tym razie.

112. 0 wyłączaniu średnich wartości z całek rzeczywistego argumentu. Jeżeli funkcya f(x) o argumencie i spółczynnikach rzeczywistych pozostaje w zakresie x=(a...b) i w samych punktach a, b jednoznaczną, skończoną i ciągłą, to całkę określoną J=jbaf(x)dx, a<ćb, określa się w rachunku całkowym granicą sumy:

n—1

(1)

lim ^ f(a+r.Ax) ,Дх.¹)

W=OC

r—0

O takich całkach daje rachunek całkowy dwa takie twierdzenia : a) Gdy f(x) jest w (a...b) i w samych punktach a, b jednoznaczną skończoną i ciągłą , to :

J f(x)dx=(b-a) ./■(£)

U)

gdzie Ë, jest pewną wartością leżącą między a i b.

b) Gdy f(x)=F(x).cp(x)i gdzie obie funkcye F (cc), (p{x) są jednoznaczne, skończone i ciągłe w (a...ó), a oprócz tego F(x) jest w (a...b) statecznie dodatnie (lub odjemne), to:

(B)

I f\x)dx=(p(g) j F(x)dx*),

a w tej formie jest £ znowu pewną wartością leżącą między a i b. Gdy :

f(x) = cp(x) + itp(x)i i=\/— 1

a (jD(lr),    są funkcyami rzeczywistego argumentu x o rzeczy

wistych spółczynnikach, i gdy dalej <p(x), (pipe) pozostają jednoznaczne i skończone dla wszelkich a<x<b, to:

J=j f{x)dx=J [(p(x) -j- iip(x)\ dx=

a    a

(2)

n—1

= lim 'S? [cp(a + r. Ax)-\-ixp(a-\-r. Ax)], Ax

П—CC

r=0

Z tej definicyi wynika:

n— 1

! J j Um S? [ęp(a+r. Ax) + ixp(a -f- r. Ах) \. Ax,

"    nz= oo

r—O

a że wyrażenie zawarte tu po prawej stronie =

= j j (p{x)-\-i(p[x) I dx — J \/cp'2, Ą-ty*¹

I ! /‘(л?) i

więc ostatecznie mamy :

(3)

J f[x)dx < j; /‘(ж) j cńc.

Spróbujmy, czy istnieją i dla takich całek wzory, któreby były analogią z wzorami (4), (I?) ?

Gdy © jest ułamkiem właściwym dodatnim albo =1, to związek (3) można napisać w ten sposób:

(4)

I t7j = © J \f(x) I dx.

Po prawej stronie mamy tu całkę i o rzeczywistym argumencie i o rzeczywistych spółczynnikach, a gdy o /*(#), a więc

**) E. Picard. Cours d’Analyse T. 1. str. 7.

i о \f\x)\ założymy, że jest dla: a<x<b jednoznaczną skończoną i ciągłą, to stosując tu wzór (Л) mamy:

(5)

(6)

\J\ = e(b-a).fU).

a fXD=eß‘\f{H

Niech

J=eai\J\

to uwzględniając to w (5) dostajemy:

J.e~a!= @.e~Pl(b—a)l/(D|

J=ee^\(b-a\f^)\.

Połóżmy    , gdzie widocznie j Л | <C1, to ostatecznie

albo :

mamy :

(A‘)

a ten wzór jest analogią z wzorem (A).

Gdy f=(p-\-tyi jak przody, a F(x) jest funkcyą o rzeczywistym argumencie i rzeczywistych spółczynnikach, pozostającą nietylko jednoznaczną skończoną i ciągłą dla a<ix<A>, ale także i statecznie dodatnią w tym zakresie, a zauważymy całkę:

J= f f(x). F (x)dx

J a

to stosując tu wzór (4) dostajemy:

(во

f \f (x)\.F(x)dx.

J a

Całka po prawej stronie jest już całką i rzeczywistego argumentu i o rzeczywistych spółczynnikach. Gdy więc ją w postaci (В) przedstawimy, mieć będziemy :

| = 0. [/‘(Dl f F (x)dx.

J a

Uwzględnijmy tu jeszcze (6), to ostatecznie będzie:

W)

=²./(D fbF(x).dx, |Я|<1.

J a

Ten wzór uważać tu trzeba za analogię z wzorem (В).²)

113. Całka określona o argumencie urojonym. Stajemy teraz u progu nowych obszernych i bardzo ważnych poszukiwań, dających możność uzupełnić i wykończyć teoryę funkcyj analitycznych. Poszukiwania te już nie tak elementarnego charakteru, histo-

r—I

r—I

406

rycznie starsze od tych metod, jakiemi posługiwaliśmy się dotąd w ciągu całego tego dzieła, biorą swój początek w pytaniu: Jakie znaczenie można nadać całce określonej o funke y i urojonego argumentu i jakie z przyjętej już defi-nicyi takiej całki wynikną dalsze wnioski?

Urojonym argumentem niech teraz będzie z=x+yi₇ a o dowolnej funkcyi f\z) tego argumentu załóżmy, że choć w nią wchodzą spółczynniki urojone, można ją zawsze przywieść do formy:

.    : '    f(*)=P(x,p)+iQ(x,y),

gdzie już P, Q są funkeyami dwóch rzeczywistych zmiennych x, y o spółczynnikach wyłącznie rzeczywistych.

O funkcyach P, Q założymy dalej, że one w tymsamym obszarze, w którym f(z) jest jednoznaczną, skończoną i ciągłą, posiadają również te trzy własności. [Funkcye posiadające te trzy własności w pewnym obszarze — choć je jeszcze nie mamy prawa uznać za analityczne — nazywać będziemy regularnemi w tym obszarze].

Ua płaszczyźnie (z) obierzmy dwa różne od siebie punkta z₀—a₀ -\-b₀i₇ zi=aiĄ-bii i te punkta połączmy krzywą

Ł) (fig. 57.). Przyjmijmy, że tę krzywę określić można równaniami :

Ъп

(«)

x=<p(t), y=ę(t)

z dowolnym rzeczywistym parametrem t, to (p₇ гр ^ są takiemi funkeyami, że dla pewnej wartości * t=t₀ mamy cp(t₀) — a₀₇tp(t₀) = b₀₇a, dla innej wartości t=tx dostajemy q)(tx)=ax, ip(tx) = bX7 a gdy t przebiega rzeczywisty obszar (t(x...tx)₇ to xĄ-yi=(p-\-tyi przebiega cały łuk (z₀Çx...Çnzx). Mając to przyjmijmy, że f\ P, Q są regularne wzdłuż drogi (z₀...zxJ, to kładąc:

P(w₇ip)=Px(t), Q(cp,ty)= Qx{t), dz=dxJri.dy=(p‘(t)dt-\-ixp,{t)dt,

Fig. 57.

a więc:

f{z).dz=(Px + Qxi)(cp‘Ą-iip‘)dt—

=(P, (p‘—Qxyj‘)dt-\-i(Pxtp‘ + Qx (p‘)dt=[G(t)-\-H(t)i]dt

f[Gr(f)+II(t)i]dt

Jt₀

poprzedz. Tej-to właśnie całce dajemy znaczenie całki / (z)dz

J z o

z tem zastrzeżeniem, że z od z₀ do zx zdąża po drodze (z₀Çx...Çnzx), a nie po innej. Lecz

możemy teraz całkę

określić równaniem (2) art.

407

r-H

CO

jeżeli :

[G(7₀ ~\-г AfjĄ-iHit^ -t~vAt))At—f(#₀ -\-r.Az).Az

z₀+r.Az^=q)(t₀+r.At) + iip(t₀+rAt), a Az=(fit+At) + iip(t+At) — {(p{t) + irp{t)).

Z tego powodu możemy położyć:

ГЧ    n-1

J— I t'iß)dz = lim 2f{ê₀ + r.Az). Az.

J z₀    Я=« r-0

Z tego określenia wynika odrazu wzór:

ff(z)dz= fj\z)dz + ff(z)dz+...+ ff{z)dz

J za    J 4    J'Ç> i    - ' Ьг

zgodny z takąż własnością całki zmiennej rzeczywistej.

Wzór (2) jest z tego powodu ważny, że nie zawsze droga (z₀.. ,z±) da się określić jedną tylko parą równań. Może być bowiem , że

(1)

(2)

(z₀£j) określają równania x=(f₀{t)₁ y = if₀(t)

x=<Pi(t), у=гр{у)

(Ш

(£я* l)

B=<Pn(f), y = tyn{t).

Gdy wtedy te pary funkcyj dają odpowiednio:

f(z)dz=[G₀ (t) + H₀ (t)i]dt V ==[Gi (t) + Jli(t)i]dt

„    —[Gn{t) Ą-Hn(t)i\dt,

ff{z)dz= ff{z)dz4- ff(0)dz + .„+ ff{z)dz=

Jz₀    J z₀    ^1    %J bП

= f(G₀ + H,i)dt+ f(G₁ + H₁i)dt + ...+ f(Gn+H.i)dt

J1₀    Jt,    Jzn

to w tym razie mamy :

jeżeli wartości t₀, t,, ..., xn parametru t odpowiadają punktom:

&, -, ?..

Przyjmijmy, że z równań (a) dostajemy y = %{x) i że za y wstawiamy %{x) w całkę. W takim razie mamy na całej drodze

fXz)=f{x+i%{x))=f\{x)

dz=[lĄ-i%\x)]dx J= ff{z)dz= П\(х)[1+х'(Ф]Ях.

Jz₀    Ja₀

Że zaś i tu całka druga określa się granicą sumj^ a \l-\-%‘(x)i\.\dx\ = ds

jest elementem luku (z^.^zf), więc dostajemy:

J\ =

® Г\}\{х)\

Jcr₀

.ds.

[por. (6') art. 112.]

Zastosujmy tu wzór (B) art. poprzedź., przyjmując, że

to mamy :

1ШЧ/Ю1

\J'

= @.|/'(?)! fds=@\f(Ç)\.£uk(z₀...z₁).

J a₀

Połóżmy dalej J=eai\J\, /'(£)=e^'j/‘(£)|, to ostatecznie okaże się: J=À.f(Ç).£uk(z₀...zi), gdzie Я1 <C 1.

[Darboux. Por. Hermite 1. c.].

(<?')

114. Pochodne funkcyi urojonego argumentu. Wiadomo, że funkcya analityczna f(z) posiada w każdym punkcie obszaru swego regularnego zachowania się, całkiem oznaczoną pochodnę f\z).

Połóżmy znowu z=x-{-yi, to —

dx

będziemy :

dz

= 1, ——=i, a wskutek tego mieć dy

(a)

df    df    df    . df

d x    dz ’ dy    v dz

df _ df df dz dx ’ dz

czyli :

df

To znaczy :

I. Pochodna analitycznej funkcyi argumentu z=x+yi równa si§ albo pochodnej funkcyi według x, albo pochodnej funkcyi według y, pomnożonej przez —i.

Połóżmy, jak przody, f(z)=P(x,y) + iQ(x,y), to mamy z (a):

dP dQ

dy'

df _ dP dQ dz dx dx

stąd wynika :

dy dy

dP dQ dP dx dy ⁷ dy

Z tych równań — gdy je cząstkowo naprzód według x , a po tern według y zróżniczkujemy — dostaniemy:

<PP dhP    . d*Q , <PQ

dx² dy²    1 dx² dy²

II. W funkcyi analitycznej f—P-\-Qi nie są P, Q niezależne od

ib)

(c)

dQ

dx '

0.

To znaczy :

siebie; są one zawsze związane ze sobą cząstkowemi równaniami (b) a samo P lub Q spełnia zawsze cząstkowe równanie postaci:

0.

d²u d²u

dx² dp²

Wróćmy teraz do fnnkcyi f=P-\-Qi rozważanej w art. poprzedzającym, a więc nieanalitycznej, a regularnej w pewnym obszarze (z). Przyjmijmy, że w tym obszarze posiadają funkcye P, Q skończone i oznaczone pierwsze cząstkowe pochodne , to

dP

П*)

dx

dx 4

dP

dQ

dy

dy+i(dx

dx-1

óQ

dy

dx-\-idy

( dx

dP . dQ

dx

dy

i + iA-

dx

określimy jako pochodnę funkcyi f\z) w punkcie z. Wartość tej pochodnej zależy tu widocznie od wartości stosunku Grdy jednak zażądamy, aby funkcya f(z) — na wzór funkcyj analitycznych — posiadała tu jedną, całkiem oznaczoną i skończoną pochodnę , to temu zadość się uczyni równością :

dP . dQ

(«)

dP , . dQ

dy

ày

( dx

dx

gdyż w takim razie mamy: co jest oznaczone i skończone. Z (a) dostajemy :

dP    dQ dP    dQ

dx    dy ’ dy    dx ’

a to widocznie są związki (b). Z tego wnosimy :

III. Aby funkcya f(z)=PAQi posiadała w punkcie z skończoną i oznaczoną pochodnę, dostatecznem jest, aby jej P, Q spełniały takie-same związki, jak P, Q każdej funkcyi analitycznej.

Jeżeli P, Q takiej funkcyi posiadają jeszcze i drugie cząstkowe pochodne, oznaczone i skończone, to tak P, jak Q spełnią i tu równanie różniczkowe cząstkowe :

(d)

= 0.

dy²

d²u d²u dx²

Odtąd zajmować się będziemy tylko takiemi funkcyami /'(#), które w rozważanym obszarze (z) mają aż 4 własności, a to : funkcya ma być tam jednoznaczną, skończoną, ciągłą i posiadać oznaczoną i skończoną pochodnę.

115. Całka zamknięta (okrężna). Zmiana drogi całkowania.

W art. 113. daliśmy defińicyę całki

nej drodze    , Zbadajmy teraz, jaki wpływ na wartość całki

wywiera zmiana obranej drogi na inną, z tern zastrzeżeniem, że f u n к c y a f{z) na obu tych drogach i w obszarze niemi objętym zachowuje się regularnie.

"W tym celu zauważmy zamkniętą drogę (s) — fig. 58. — wzdłuż której i wewnątrz której f(z) pozostaje regularną (z dołączeniem własności jednoznacznej pochodnej) i zapytajmy, jaką wartość ma wtedy całka zamknięta:

określonej f f(z)dz przy obrado

>)

J=

J f\z)dz ?

Fig 58    [Jej elementa sumujemy, poczynając od dowolnego

punktu konturu s w kierunku dodatnim].

Jeżeli f=P+Qi, to

=J(P-j- Qi)(ßx+idy)=J(Pdx — Qdy) + i ^(Qdx + Pdy)

sf1

Lecz — według art. 111., (D) mamy:

(1)

/*-я

s

fQdx=-ff

дР

ày

- dydx

dQ

ày

dy dx

fei,-ff

A-//

dQ

dP

a stąd wynika, że

J=-

_àQ дР ду'дх

ч

I dxdy.

Że zaś tu :

f+^=a

ду дх

_dQjrd]P=() ду дх

na konturze (s) i wewnątrz niego i podobnie J — 0, a tö znaczy :

więc ostatecznie mamy J =0,

I. Całka

j'f{z)dz obliczona w dowolnym kierunku po zamkniętej

drodze takiej, że f\z) pozostaje regularną, na niej i wewnątrz niej, zawsze wartość zero.    . t

Niech (s) — (AJBCD), a naznaczmy:

ma

=J f(z)dz=[ABCDA]=[ABC] + [CDA},

to dostaniemy :

sj

(2)

J=[ABC]-[ADC]=*0.

(3)

Gdy A=z₀, C=z1}, B=£ , D=Ç‘, to z (2) dostajemy:

a to znaczy :

II. Obraną drogę. (z₀Ç z . całki danej funkcyi można zmienić na każdą inną (z^Qz-j), byleby tylko na samych drogach i między drogami zachowywała się funkcya regularnie.

Bez względu na to, czy funkcya f{z) zachowuje się wewnątrz danego konturu (s) — fig. 59. — regularnie lub nie, obliczmy całkę zamkniętą J a wewnątrz (,s) narysujmy drugi kontur (s‘) tak,

(s'), [na (s) i nafs')] funkcya / była

aby w obszarze między (s) już regularną.

Jednoznaczność funkcyi w tym obszarze w razie, gdy funkcya jest wielowartościową, objawia się tu w ten sposób: Gdy z0 jest dowolnym punktem, leżącym między (s) a (s'), lub na (s), lub wreszcie na (s'), a z punktu tego wychodząc przebieżemy zamkniętą drogę, przebiegającą między s a s' i ten punkt po powrocie nazwiemy z₀, to musi być f(z₀)=f{z₀).

(s-

VT

Połączmy (s) z (s') za pomocą linij AA', BB‘ i zauważmy zamknięty obszar (AmBB‘m‘A‘A). W jego wnętrzu i na jego ograniczeniu zachowuje się funkcya regularnie, a wskutek tego —

Fig. 59.

według tw. I. mamy:

[AmB^iBB'j+iBWA¹] \-[A‘A]=0

0)

(b)

czyli :

[4ffiB]l[£'m'4']=—[ББ'1-^'J.]. [BnA] + [iV5'] = - [AA¹]—[B‘B]. Dodając (a), (b) do siebie dostajemy:

Podobnie :

T—<

iO

- 412

[АтВпА\-\-[В'пА‘т‘В‘]—0 J + J=0

s) s

Te same związki utrzymają się, jeżeli (s), (s') przecinać się będą — fig. 60. — ale w częściach zamkniętych równocześnie przez (s) i (s') pozostanie f{z) regularną. Mając bowiem całkę :

a więc :

(4)

albo J ^=J.

s ’y s/rj

m.

Л__(S')

4.

i,

[AmBnCpDqA] —

Fig. 60.

= [AmB\+[BnC] + [CpD\+[DąA], można w niej — wskutek uczynionych założeń — [AmB] zamienić na \Amx B],

[BnC]

„ [Bn₁ C] i t. d., a stąd już i tu związki (4) wynikną. Mamy więc twierdzenie:

III. Drogę zamkniętej całki można zmienić nie naruszając wartości całki, na dowolną inną, byleby tylko w częściach zamkniętych obu drogami funkcya całkowana f(z) była regularną.

Przyjmijmy, że f\z) jest analitycną funkcyą regularną w pewnym obszarze [z]. Jej pierwotna funkcya F{z) jest również regularną w tym samym obszarze [z] — [T. I.. str. 181.], a w otoczeniu każdego punktu wewnątrz [z] mamy :

(5)

F(z+h)=F(z) +

1!

hĄ

2!

h²+...

Gdy droga (z^z^) całkowicie mieści się w [z]

p    n—t

J f (z)dz=lim U f(z₀ -p rAz\Az.

J    n—cc r—0

to

Otóż uwzględniając tu rozwinięcie (6), dojdziemy — jak w rachunku całkowym dla argumentu rzeczywistego³) — do formy:

(6)

W razie zamkniętej całki, położymy :

(60

J s == F(z(j )—F(z₀).

Mając na uwadze jeszcze i twierdzenie II., dochodzimy do

wniosku :

IV. Gdy analityczna funkcya f(z) jest regularną we wszystkich punktach pewnego obszaru [z], a z₀, z₁ są punktami wewnątrz tego obszaru,

f'fiß)dz

obliczona po jakiejkolwiek drodze leżącej całko-

to całka

wicie w obszarze [z] ma icartość: F(zi)—F(z₀), gdzie F (z) jest pierwotną funltcyą funkcyi f\z).

Uwaga I. Na podstawie twierdzenia III. można użyć koła jako drogi zamkniętej, po której ma się obliczyć daną całkę. Gdy takie koło к — (r, c) ma mieć środek w punkcie z=c, a promień r, to w całce trzeba przedstawić z — c r . ea więc dz = r. i . <ńp, przez co dostajemy :

0-j-^

Jf(z)dz=ri J* f(c re^yię.

0—я

Ten wynik może być zależny, lub niezależny od 0, a pod tym względem będą rozstrzygać następujące uwagi :

Używając wzoru (6') dostajemy :

Przyjmijmy, że na kole к mamy :

(«)

dla każdego a więc wartość funkcyi / w dowolnym punkcie к, nie zmienia się gdy punkt po przebieżeniu całego koła powróci do pierwotnego swego położenia.

Ta okoliczność nie potrzebuje jednak za sobą pociągać takiej samej własności i pierwotnej funkcyi F(z). Gdy więc mamy:

F(c + reV'¹) = F(c -freyi+2?Ił)-= C,

gdzie C jest stałą ilością Ф 0, lub =0, to wtedy wynik całkowania nie zależy od 0. W każdym innym razie będzie wynik już zależnym już od 0. Gdy f{z) nie posiada własności (a), to i wyniku niezależnego od 0 spodziewać się nie można.

Pd. 1. Całka zamknięta funkcyi wymiernej całkowitej o najdowolniejszej zamkniętej drodze ma wartość: zero. Całka zamknięta szeregu potęgowego z drogą zamkniętą zawierającą się całkowicie w zakresie zbieżności tego szeregu ma również wartość : zero:

Pd. 2. Zauważmy funkcyę f(z)=(z—ć)(* w której jj- = -f-1, albo = + 2, +8, ... to obliczając jej całkę po kole к — (r, c) dostajemy:

0-|-я

=0.

J (z-cy* dz= rw+1 J e^X)cpi. сЫ =

-3

Mimo więc, że funkcye {z—c) ², (z—c)

mają w c punkt nieskończo-nościowy, ma każda ich całka zamknięta, okalająca punkt c, wartość: zero. Całka takich funkcyj obliczana po dwóch różnych drogach (z₀...Zi) daje tę samą wartość, choćby te drogi zamknęły punkt c między sobą.

Pd. 3. Gdy f = (z—ć)—¹ a położymy znowu z = c -J- re^', to mieć będziemy :

04-7:

dv = 2я i

a więc i każda zamknięta całka Js okalająca dowolną drogą s = (г₀£ z^'z^) punkt c, ma wartość 2~i. Połóźmyż :

Js*j =Jz₀ę + Jzl / za = 2-г , to stąd mamy :

Jz₀ 'ęzt = Jza 'ę'z₀ -f- 2 та, a to znaczy: o dwóch różnych drogach poczynających się w z₀, kończących się w zu a zamykających sobą punkt c, różnią się od siebie o 2r.i. Stosuj ąc wzór (6) mamy tu :

Dwie całki Jz

0”‘²l

Jz&x = log (z—c)l ‘ == log-—-.

-o . z₀ —C

Pd. 4. Funkcya f— {z—c)«—¹, w której a nie jest liczbą całkowitą, niema własności (a), a całkując ją po kole к dostajemy :

Jk

⁼J(Z

—c)a—i dz

_ {z— с)аур ra a<pi aj a

-b₀

-J0 -}- r.

—T.

aQi

.2 i

eani_eani (reQi)a

. 2i . sin a

Wynik ten widocznie zależy od 0. W razie 0=0 mamy Jk—(ra \ a)2isin атс, gdy 0=t: dostajemy Jk = [(—r« : a]. 2 i sin а тс.

Koła Ic nie będzie tu można zastąpić innem kołem o środku c, bo funkcya /jest wieloznaczną, a na samem już kole к nie posiada własności /(г₀) =/(/;.)•

l

“У

Pd. 5. Dla funkcyi f(z) = (z²—a²)

,C

spełnia się na każdej zamkniętej drodze (s) okalającej punkta a, —a warunek/(г₀) =/(s₀). Każdą więc taką drogę całki zamkniętej

л <■

-M

-/ *

Y/*²-«²

można zastąpić przez ABCDEFA — (fig. 61.), gdzie BCD, EFA są kołami (к), (k‘) o środkach w -j-a, —a, а o pewnym promieniu p, a AB, DE są prostokreśl-nemi odcinkami spadającemi na siebie.

Fig. 61.

Mamy tu: Js*}==[AB\-\-[BCD\-\-[DE]Ą-[EFA\. Lecz:

e^'i do

’ VW^-j-pe²^

[BCD]

=-fvi

к

a gdy p zmaleje do zera, dostaniemy [BCD] = 0 i analogicznie [EFA] =0. Gdy już p = 0 założono , to mamy dalej :

[AB]=f

+a

dz

i [DE]

r~a dz

i —у/5*=о*

+a

dz

+ \/z²—a² ’

+ Y/0²—a²

gdyż — jeżeli w В mieliśmy -j- \/z²—a², to w punkcie D, po okrążeniu koła BCD, mamy: —\/z²—a². Stąd wynika, że:

—a

+«

J**j — 2 J

+«

dz

+«

-j- \/ z²—a²

— 2 i arc sin —1    = — 2т:г\

«J-a

Pd. 6. Zauważmy hyper eliptyczny obraz :

ij = ± [/(z—a-i) ... 0—cin) = ± Vli=f(.z), n> 3 а na płaszczyźnie (0) taką zamkniętą drogę (s) = (ABCDA) (hg. 62.), która zamyka nieparzystą ilość punktów rozgałęzienia.

Na takiej drodze mamy zawsze /(0₀) =

D »I

r>’>

/(«o), a wskutek tego wychodząc z punktu A z wartością -\->\/ R, wracamy — po okrążeniu drogi (s) w dodatnim kierunku — z wartością —\/r.

fdz

— J -— z początkowym punktem A

Niechże całka

,r)

myk

Fig. 62.

i z początkową w nim wartością -\-\/r ma wartość J. Oprócz drogi (s) zauważmy jeszcze drugą zamkniętą drogę (s') = (A' B' C D'). Połączmy te drogi liniami AA¹, CC‘ i przyjmijmy, że między (s) a (s') nie ma ani jednego punktu rozgałęzienia. Połóżmy:

J= \ABC] -j- \CDA~\ przyczem mamy

(a) [ABC] = [AA¹] + [A¹ B‘ C‘] + [С C] (b) [CDA] = [C' C] + [C‘ D' A¹] + [А'А].

Lecz w (Ъ) dochodzimy do punktu A z wartością — \/ R, a, że — Y/R wzdłuż całego brzegu nip łinii ^4^1 jest funkcyą ciągłą, więc stąd wynika, że w (b)

w całce [A¹ A] sumowano elementa

dz

-Vr

podczas gdy w (а) w całce [AA'] su-

mowano elementa

dz

Z tego powodu mamy :

[AA'] + [A'A] —2[AA'].

Przeciwnie [c'c]-\-[cc']=0. Uwzględniając to przy dodawaniu związków (a) (Ъ) do siebie dostajemy :

Js*j = Js'*j -f- 2 [AA'], (Puiseux, Hermit е].

Taki wpływ ma tu na wartość całki zmiana drogi (s) na (s').

Uwaga 2. W danych poszukiwaniach będziemy — mając do czynienia z funkcyami algebraicznemi — uwzględniali tylko takie drogi zamknięte, które

dają zawsze /(s₀)=/(>o)-

Gdy taką funkcyą /(0) wyobrazimy powierzchnię Eiemann’a, to każde zamknięte na niej koło dopełnia właśnie warunku: /(Уо) =f(³o) jest więc nietylko zamkniętem kołem w płaszczyźnie (0) — przecinaj ącem się lub nie — ale zarazem i kołem wartości, jakie posiada na niem dana funkcyą f(z). Takie koło nazwiemy istotnem kołem, albo istotną linią zamkniętą.

0)

116. Całka Caiichy’ego. Niech f(z) będzie funkcyą regularną nie tylko w całym wnętrzu konturu (s), ale i na samym konturze a X niech oznacza dowolny punkt we wnętrzu (5). Wtedy w całce:

f(z) dz

J=

można bez zmiany jej wartości zmienić (s) na koło, którego środek znajduje się w Æ, u którego promień jest tak mały, aby całe to koło mieściło się całkowicie we wnętrzu (s). Połóżmyż: z=x-\-qe^, a więc dz=Qie'Pid(p, to mieć będziemy:

0+t:

f(x+ęe⁽f>i)d(p.

Q — r.

Lecz tu q można dowolnie zmniejszyć, a gdy już q zdąży do granicy: zero, dostaniemy:

0-j-rc

(1)

=if(x) j

d(p=2ni .f(x).

0 — T.

7i tego wynika , że :

1 f /'O) dz 2ni J z—x

i\x).

sï

Przyjmijmy, że x leży zewnątrz (s). Wtedy funkcya f (0)1(8 — x) pozostaje regularną w wnętrzu (5) i na (5), a skutkiem tego mamy tu :

¹

Axel-Harnack, Serret, Dirichlet, Meyer.

²

Wzory (A'), (B‘) podał Darboux. — Por. Her mi te: Cours d’Analyse (1882), str. 41—49.

³

Por. n. p. Jordan C. Cours d’Analyse T. 2., str. 62.

0.

efy

Zauważmy obszar zamknięty dwoma konturami (s) (s') — fig. 62. i punkt x leżący wewnątrz tego obszaru. Grdy x leży w (ABCC‘B‘A) = oi a drugi obszar (c‘cDAA‘D'C') nazwiemy a₂, to mamy :

a stąd wynika :

(2)

¹ Г t\z)dz ni J z—x

¹ . ff(z)dz %ni J z—x

f(x),

2 ni

1 f f\z)dzft 2 nij z—x ’

f f\z)dz J Z—X

/GO-

Okrążeniami (s)’y, (s')) okrążamy w dodatnim kierunku całe wnętrze obszaru ograniczonego liniami (s), (s'). [T. I. art. 34.]. Grdy x leży poza tym obszarem, to suma całek (2) będzie zerem.

Całkę (1) nazywają całką Cauchy’ego, a wzory (1), (2) dają twierdzenie :

I. Całka Cauchy’ eg o z funkcyą f(z) regularną wewnątrz jej konturu i na konturze ma wartość f(x), gdy x leży wewnątrz tego konturu, jest zaś zererń, gdy x leży zewnątrz tego konturu.

Do obliczenia całek (1), (2) potrzebne są tylko wartości funkcyi fi?) na konturze ograniczającym. Z tego powodu można powiedzieć:

II. Gdy 0nane są wartości pewnej regularnej funkcyi na danym konturze to tern samem określona jest już funkcya we wszystkich punktach wewnątrz tego konturu.

Uwaga I. Grdy f(z) jest analityczną funkcya, a regularną wewnątrz («) i na (s), to mamy w otoczeniu każdego punktu x wewnątrz (s):

fi?) =-/(*) +    0 — *) + “₂y (z-xf +

¹ f /o)dz

2кг f z—x

2 ni

t«■>/£+w

dz -j—

"(*) Г

2!    / (z—x)dz + ...].

Stosując zaś tu uwagi dane w Pd. 2., Pd. 8.. art. poprzedź, dostajemy:

f(x>

¹ f fiz) dz

2кг J z—x

Uwaga 2. Gdy danych jest h funkcyj fa(z), <*— 1,2,..., k, regularnych odpowiednio wewnątrz różnych konturów (sa), «■ —1,2,... k, które w dowolny sposób leżą względem siebie, a utworzymy wyrażenie :

?0)=

1 4^ f Mz)dz 2 r.i J z—x

to ten jeden wyraz daje fp(x) -\-fq{x) Ą-fr(x) + ... dla x rówmocześnie się zawiera-.jących w (sp), (sv), (sr), ..., a jest zerem dla wszelkich x leżących zewnątrz wszystkich (s«).

117. Szereg Taylora i Laurent’a. Wewnątrz konturu (s) obierzmy dowolny punkt ai z tego punktu, jako środka zatoczmy koło k zawierające się całkowicie w (s). Punkta wypełniające to koło nazwijmy x, a punkta na samym konturze (s) niech będą z. Wtedy mamy niezawodnie \x—a\<i\z — a|, a ułame ;

z— x    (,z—a) — (x—a)

0-

a    x—a

z—a

da się rozwinąć na szereg zbieżny:

1    x—a    {x—a)²    (x—a)z

z — a⁺ {z—a)²⁺ {z—a)³~^ (0—a)4 + ‘"

którego reszta :

Дг=

(a)

(x— a)

4J_

(0— a)” [0—a

{x—a)n    (x—a)B+1

(z — a)”!*¹    (0—a)”+2_^‘”

x—a    (x—a)²

(0—a)²~^~ (0—a)³

(ж — a)n

(0— a)n(z—x)*

27

ïeor. funkcyj anal. T. II.

Mając to, możemy położyć:

(1) =

1    rf(ß)dz_^ x—a

2ni J z—a    2ni

!_ ff{*)dz ni J z—x f(z) dz

(z—a)²

(x—a)

f{z)dz

2 ni

(z—a)n

(x—a)n

f(z)dz

2ni

{z—a)n (z—x) '

gdzie tu całkowania odbywają się po konturze (s) w dodatnim kierunku.

Po pierwszej stronie w (1) mamy f{x) po drugiej zaś pierwszym wyrazem jest:

1 rf{z)dz 2ni J z—a

f(a).

Dalej łatwo spostrzeżemy, że :

(2)

èif

f(z)dz _

(z—a)²

__If

1! ’ 2 ni J (z—a)³

f(z)dz _ f“(a)

21

a mając to na względzie dochodzimy do formy :

/(«)=/■(«) 4

/»

1!

(x-a)Ą

Г(«)

{n—1) !

{x—a)

2 ni

ff(z)dz (x—a)n . J z—x ’ (z—a)n

Ostatni wyraz jest zesumowaną resztą R‘n tego rozwinięcia. Zbadajmy wartość tej reszty, gdy n dąży do nieskończoności. Niech £ będzie punktem na konturze (s), a S długością tego konturu ; niech dalej A będzie ilością taką, że j Я| <i 1, to podług formy (C"), art. 106, mamy:

2тгг ж

Tu /(£)/(£—#) jest zawsze skończone, a że ^—- <;1, więc ze

|b—a

zwiększeniem się n maleje JR‘n czem raz więcej, a wreszcie możemy położyć lim R‘n=0. Stąd wnioskujemy, że szereg:

71= CC

(3)

/»

Па)

1!

₂I

jest zbieżny dla dostatecznie małych \x—a\ i mamy twierdzenie:

I. Funkcya regularna wewnątrz pewnego konturu, a więc jednoznaczna skończona, ciągła i posiadająca oznaczoną pierwszą pochodne

daje się w otoczeniu każdego punktu tego wnętrza rozwinąć na szereg potęgowy (Taylora); jest więc funkcyą analityczną.

W formach (2) zastąpmy kontur (s) kołem które ma środek w punkcie a i oczywiście musi leżeć wewnątrz zakresu zbieżności elementu (3). Wtedy kładąc г=а-\-г.е<Р¹ dostajemy:

a stąd:

/(«>(„)=- - fi /(»+’•^0

J 4 '    f raea<Pl

0

r«    ^\f(a+re'P)\id'?.

Za |/(«-[-re9c,«)l połóżmy największą wartość g jaką |f| na kole к przybiera, to mieć będziemy :

[por. T. I. str. 418].

Td. 1. Zauważmy analityczną funkcyę    z dowolnem, ale rze-

czywistem n. Jest ona regularną w obszarze |«|<^1 i w tym obszarze posiada rozwinięcie :

Podług wzorów (2) jest tu:

(a)

(”)=—/

\p'    2 r.i J

(1 -j- z)n.dz

zp+^

całkę obliczyć trzeba po dowolnym konturze otaczającym punkt z — O

ID

2=0

a wykluczającym punkt z— — 1. Niechże tym konturem będzie ABCDA (fig. 63.), gdzie ABC jest łukiem koła o środku z = 0, a o promieniu koła o środku z = — 1 a o promieniu p <C 1.

Zauważmy naprzód całkę (a) obliczoną po półkolu C'CDAA\ Kładąc w niej z = — 1 + p e<P* przekonamy się łatwo, że ona, gdy p zdąży do granicy

1 . a CDE łukiem

A'

Fig. 63.

= 0, będzie także zerem.

Mając to na uwadze możemy za kontur całki (a) wziąć całkowity okręg AB CE A'.

Połóżmyż z = e4>’¹, to mieć będziemy :

n<piS <pl e ² Ve ²

(1 z)n = (1 + е<Р*У =

+?У=(₂ДТ.(»4)”

cpi

/ , ,4    —(2i>+ 2)-~

z - (P-И ) — e    ¹

2 fi

(1 -f- z)” dz

dz = ie ² d tp , a więc :

n (и-e 2

idv ^2. cos

idf (2. cos —j J cos {n—2p)-~Ą-i s^n (n—2p)    .

zP+¹

Lecz, że całka (a) ma mieć rzeczywistą wartość, przeto będzie:

2л

0 -/ (2    cos(n~²p) \л?'

o

Za n połóżmy tu n-\-p, a o niech — 21, to mieć będziemy:

C/M/”²

J o

cos t)n+P cos (n—p)t.dt =

(:n -f- p)(n + p—1). • •(» + 1)

Gdy n—p, to stąd wynika:

/<

Połóżmy tu cost=u, a więc dt — —

V/1—u²

to dojdziemy do całki:

+1

u^du

~l

V/1— u²

2*.2

u%udu

y/l — u²

(:n -f-1 ){n -j- 2)...(2n) r" 2.4.6...2»    ■

Lecz będziemy :

że [(w -j- l)(n -j- 2)....(2n)]/2« = 1.8.5....(2w—1); więc ostatecznie mieć

л 1.8.5...(2 »—1) 2.4.6...2w

u^du

y/l—"m2    2 ‘

Pd. 2. Zauważmy funkcyę ег':/(z +    ° dodatniem rzeczy wistem a

podług wzorów (2) mamy :

e-a

to

(P)

a za

j_Y_

2пгJ z² a² ’

zamkniętą drogę całkowania można tu wziąć dowolny kontur (s) otaczający

e(«0*

2 ai

2ai

² »/

ezi dz

ег/

(z—ai)(z -f- ai)

>•

IL

z-О

Fig. 64.

punkt -{- ai, a wykluczający punkt —ai (gdyż w punkcie —ai jest widocznie funkcya nieskończoną).

Niechże (s)== ABCD (fig. 64.), gdzie ABC jest półkolem o środku z=0, a o promieniu R a Gdy R rosnąć będzie bezgranicznie, to całka (b) na samem

— 00

— 00

W równaniu (2) — art. poprzedź. — zamieńmy kontury (s) (s') na koła spółśrodkowe k, 1C ze środkiem: z — 0. Z nich niech к będzie wewnątrz JC, a równaniu (2) nadajemy formę:

(4)

półkolu ЛВС zdąży — co łatwo wywnioskować — do zera, a równanie (b) przybierze formę :

+°°

e~a    Г exhlx

a J аз²-(- a²

, (x rzeczywiste) , czyli :

— 00

-{-СО

cos х Ą-i sin x х'г-\-а²

dx. Stąd dostajemy :

— 00

+“

+CO

cos x. dx

ж² -j- a²

к.е~а Г

J

sin x. dx

cc²-j- a²

0.

1 Г f\z)dz _ Г f (z)dz 2 ni J z—x    J z—x

к    к'

gdzie tu już i po kole к i po kole 1C odbywa się całkowanie w dodatnim kierunku ze względu na punkta w ich wnętrzach leżące. "W pierścieniu utworzonym przez te koła obierzmy dowolny punkt X. Gdy z w pierwszej całce oznacza punkta leżące na k, a w drugiej punkta leżące na k\ to dla pierwszej całki mamy |0|)>|#| a dla drugiej \x''^>\z\. Wskutek tego dostajemy tu zbieżne rozwinięcia :

X¹

e-‘⁺ys+-

Z—X

1 z z²

X² X³

o resztach:

Rn=—

xn 1

zn z—X

•>

Sn=-_.

zn 1

xn z—X

Użyjmyż tych rozwinięć w (4), to dostaniemy:

■éïff^de[j+ji+--r

к

xn

-i

zn

-LI

Zn Z—XJ

xn

rH «

£

+ ^2 + -+ xn

gît—1

zn ’ z —x\

k‘

A że tu okaże się :

lim f Bn.f(z)dz—O

n=zco J

lim

nzr-.co

Jc

jj Sn.f(z)dz=0 y

więc ostatecznie mieć będziemy:

f\x)=

f(z)dz

(5)

i [/»«y «*«7.

к    к    к

УI f>м*+-р.fy>w»**+...]

к'    к'    к•

Z³

a to rozwinięcie zbieżne będzie na wszystkich punktach wewnątrz pierścienia (h...h‘).

Gdy środek kół k: Jc' nie będzie 0=0, ale punkt 0=ефО, to w (6) trzeba z i x zastąpić przez (0—c), (x—c).

Z tych uwag wynika :

II. Funkcya regularna w pewnym pierścieniu holowym o środku c da się w tym pierścieniu przedstawić zbieżnem rozwinięciem [Laurent’a (T. /., art. 202.)] postaci:

-(-00 2 Ъх {х—сУ ;

jest więc funkcyą analityczną,.

Gdy koło k‘ maleje i staje się wreszcie punktem c, dostajemy w otoczeniu tego punktu : gdzie G jest funkcyą całkowitą wymierną lub przestępną swego argumentu, a punkt c jest wtedy osobliwym [T. I., art. 208].

118. Teorya pozostałości (residuum). Gdy punkt a leżący w skończoności bierzemy pod uwagę, a funkcya f(z) — lub jej jedna gałąź , jeżeli jest wieloznaczną — ma w punkcie a rozwinięcie :

Ai A₂

2+"'+$(#—a)

/(*)=-

0

{z-a)

o promieniu <,B dostajemy [art. 115., Pd. 2. Pd. 3.]:

zbieżne w obszarze O<C0—aj<\R, to obrawszy koło h o środku w punkcie a

2ni.Ax. Stąd :

j f(s)dz=Ai J-f⁰

k/f(e)ds-

к

Taką całką otaczającą punkt a, który tu jest nieskończono-ściowym, lub istotnie osobliwym, nazywamy pozostałością (residuum) funkcyi w punkcie a i piszemy :

J f(z)dz=Res f{z).

(1)

w roz-

Pozostałość jest widocznie współczynnikiem przy (z—a) winięciu funkcyi dla otoczenia punktu a.

Gdy f(z) w otoczeniu punktu a zachowuje się regularnie, to mamy:

(n)

Ъ,=Щ, a

fi>) = &o+ b\{z—a) +

/(*)

bn

(z—a)»+l    (z— a)”+!

Stąd dostajemy:

j- • ■ -f" --~ bn+\ bnĄ-Ч, (z—Cl) -p ...

Ъп =

2 r.i J

/0)dz

— Res

/(*)

Zauważmy kontur (s) wewnątrz którego funkcya /‘(^) posiada punkta nieskończonościowe a1? a₂, ..., o pozostałościach Л1? J.₂,... ^4И, a zresztą jest w (s) regularną. Przyjmijmy n — B (fig. 65.) i zauważmy całkę :

P

/    r\5.

Ms.

2b / /ед^ЧР.РгЖРЛШВД].

Otoczmy a1? a₂, a₃ kołami Æt, &₂, 7c₃ tak ma-łemi że tylko punkt aa w sobie zawiera i połączmy je prostemi R^P^ P₂P₂, P₃P3 z konturem (s).

Zauważmy — mając to — kontur:

(P1P2) + (P2 P2 ) d⁻ (P2 ^2 T% P2 ) d~ (P2 P2 ) d⁻+ (P2 Ps ) + (P3 P.3 ) + (P3 $3 ^3 P3 ) + (P3 P3) +

+ (P,P₁) + (PiĄ)+ĄĄĄĄ) + (ĄPJi),

to punkta a₁₅ a₂, a₃ leżą już zewnątrz tego konturu tego suma całek :

Fig. 65.

//

a wskutek

[P₁P₂]d-[P₂P₂]P[P₂8f₂T₂P₂] + [JR₂P₂] + ...=0.

Lecz tu [Pa P«] + [PaP«] = 0,    « = 1,2,8.

[Д*    Ta R а]

—Res /‘(О, « = 1,2,3,

a wskutek tego mamy :

kCl)

aci

[P,P₂]A[P₂P₃\+[P₃Pi]-2Resf\z)=0,

Czyli :

(2)

2~ï f f (z)dz=2Bes f(z) ;

2 jest tu sumą wszystkich pozostałości zawartych wewnątrz (s). Mamy więc twierdzenie :

I. Gdy funkcya f(z) wewnątrz danego konturu posiada tylko punkta nieskończonościowe, lub istotnie osobliwe, to jej całka obliczona po (s) z czynnikiem (2ni)~x jest sumą wszystkich jej pozostałości w tym konturze.

Gdy od punktu z₀ do punktu zi mamy dwie różne drogi 0O 'Çzi, z₍₎ 'Çzi, a (z₀Çzj ) -j- (z₁ Ç‘zQ) daje kontur (s)*j lub (s)) a wewnątrz niego funkcya /'(0) posiada tylko punkta osobliwe określone w tw.

I., to mamy:

Jz£Zl -ł- Jz£z₀ ■— Jz&t—Jz£Zi=+ 2ni 2 Resf(z).

To znaczy :

II. Całki funkcyi f(z) obliczone po dwóch różnych drogach od punktu z₀ od punktu zt, różnią się od siebie o 2ni-krotną sumę pozostałości tej funkcyi zawartych między drogami w przypuszczeniu, że tam f (z) tylko punkta nieskończonościowe lub istotnie osobliwe posiada.

Niech f(z) będzie jednoznaczną funkcyą o punktach osobliwych a1? a₂, ... leżących w skończoności (punkt w nieskończoności później rozważać będziemy). Gdy z punktu 0=-O zatoczymy koło (P) tak dużym promieniem P, że ono swym obwodem obejmie wszystkie już punkta ai, a₂, ..., to według tw. I. dostaniemy tu:

J f\z) dz=2wi(Ai + A₂ + ...) = 2ги 2    ./‘G)-

к—

_    л

a jeżeli w tern otoczeniu

to

Lecz (7?) otacza zarazem punkt 0 = oo

+ 00

/'G)= 2 Вл Zz

Л~—ас

zz+i

•••i

a więc :

вл=

0^+*

dz = 2 Res

R

0^4*1⁵

Л = — oo ,.. + 00

kT"

szczególności

gdy Я == — 1 j mamy :

trzeba uważać jako odjemną pozostałość funkcyi w punkcie z= co . Z (8) dostajemy:

-i

—B—i+H Res f(z)=2 Res f(z)=0: a to znaczy:

R

III. Całkowita suma pozostałości danej funkcyi jednoznacznej — nie wyłączając i punktu z=cd — jest zawsze zerem.

Przyjmijmy B— i=0, to wtedy 2 Res f(z)=0, a to znaczy:

R

ma sumę wszystkich pozostałości pocho-

IY. Funkcya, która dla z—co posiada takie rozwinięcie, zew niem niema wyrazu z potęgą z dzących ze skończoności =0.

Gdy w tern rozwinięciu oprócz i 0, mamy jeszcze :

Bq =Bi =B₂ = ...==

to funkcya charakteryzuje się tem, że:

(4)

limf\z).z—0,

a wtedy taka funkcya posiada niezawodnie :

(5)

(3)

B.

2 ni

f f\z) dz='%^, Res f{z)

J    R

2Res f(z)=0.

R

Połóżmy z=RecPi, a więc dz=Re⁽f>i d<pi, to — gdy f(z) posiada własności (4) — będzie jej całka:

(6)

lim

R—oo

<Pi

^ffRe⁴*¹) Re?¹dcpi=

0.

<Po

przy jakichkolwiek <р₀, bo widocznie pod całką mamy tu na całej drodze całkowania :

lim f(Re^j Rerfji=lim z .f{z)=0.

R—<x>

Funkcya wymierna u{z)=f{z) /g(z), w której licznik ma stopień o 2 przynajmniej jednostki niższy od stopnia mianownika, posiada własność (4), a więc i własności (5), (6).

Przyjmijmy, że g (z) nie ma pierwiastków rzeczywistych, a więc funkcya u nie ma miejsc nieskończonościowych na osi pierwszorzędnej xx‘. Pozostałościami funkcyi u nad osią xx‘, a odpowiednio pod osią xx‘ niech będą: (Ai: A₂, ...), (A\, AJ₂, Mamy tu więc A-±Ач~{~ AjA¹ %..‘—O i czyli:

Z—oo

A\ +M₂ + ... = —A\ A¹2 •••

Przyjmijmy, że zamknięta droga całki ju.dz ma się składać: a) z nieograniczonej osi хх¹, Ъ) z nieskończenie dużego półkola

a przebiegającego nad osią xx‘. Wartość takiej zamkniętej całki będzie л1(А₁+A₂ +...) ; ale że ta całka obliczona po półkolu będzie miała wartość zero (wskutek własności (b)), więc stąd wynika :

+°°

(7)

= J u{z)dz=

albo

— 00

—ni (Л₁ -p Л₂ -p...—А\ —A¹2 —...) —■ni (SAs—ni EA‘S)

Pd. 1.

1-f- X

— dx In

— 00

sin

2 да + 1

m < n—1. [T. I. art. 65 Pd. 4.].

-{-co

Pd. 2.

n.

l-x2n

, Г m~    да'тП

dx~r.\cotg^~cotg ^J

gdzie да, да' są nieparzyste, да—l<2n—2, да'—1<2n—2 [Por. T. I. art. 65. Pd. o.¹). Za да—1, да'—1, które są parzyste, piszmy 2 да, 2 да', a granice —со, -P со, zmieńmy na О, со, to dostaniemy:

OO

-ж²'"'

2да +1

2да'+1

~х1п

Podobnie z całki obliczonej w Pd. 1. dostaniemy:

00

(P)

ж²"¹

1 + ¹²”

dx =

2» ’

T,

2да +1

Pd. 3. Połóżmy w (a) x=t2n

m‘    1    ^

n 2 n

to po skróceniach dostaniemy:

00

Cr)

fu

—tn

i—t

dt

= t. \^cotg

2да -pi

ъг-Мя

2»

гр-ln

2n

Przyjmijmy, że да, да', я zwiększają się nieograniczenie i że wtedy да/я, да'/я dążą do niewymiernych dodatnich, ale ułamkowych granic: а, b, to wtedy równanie (y) daje :

00

(tO

i—t

dt = r.[cotgar.—cotgb~], a<Cl, 5<1.

Pd. 4. Ponieważ (a—1), (b — 1) są odjemne i ułamkowe, więc można położyć ó—l = — a. Wtedy mamy:

oo

a-i

—t~a

1—t

dt — 2r. cotg а r. =

со

-/

о

ta—i_t—a

1—t

dt +

/!

О

—t~a

dt.

Połóżmy w drugiej całce t=t—1, a potem za т piszmy znowu t, to ostatecznie z (8) dostaniemy :

—Га

1—t

dt-т., cotg a n.

jest całkowite dodatnie, a « do-

Pd. 5. Gdy u(z) — 1 /(z²a²)m, gdzie wolne i ^>0 to mamy tu:

lies u (z) — —

+ai    2 a

+*>

f dz    ₀ m[m + 1)...(2те—2) /l\2m—i

J (г²-j- a²)”¹    ’    1.2...w \2a/

f dz ____ m(m -f-1)... (2m—2) / 1 \2w—i

J (z² + al)m    1.2...w \2a)

a więc:

-00

(-1 r

mim    1) ...(2 m—2)

1.2... m

Z nowszych prac o zastosowaniu całek i pozostałości czytaj: Painléve: Sur le développement en séries... C. R. T. 102. str. 672—675. Heine E. Einige Anwendungen der Residuen-Rechnung von Cauchy. C. J. T. str. 19—39.

119. Funkcye o kołowych cięciach (liniach zerwania ciągłości).

Niech /’(#) będzie funkcyą jednoznaczną określoną w otoczeniu punktu £=0 elementem ф(#), zbieżnym w kole (R)} a m) niech oznacza wydzielony szereg mod m z tego elementu. Wtedy [T. I. str. 417.] mamy :

(1)

2 ni

gdzie E=em. To równanie można tak także napisać :

(2)

swem

Przyjmijmy, że przeprowadzając szereg m) poza koło (R) dochodzimy już do takiego szeregu $&(£—$',»»), który w kole zbieżności zawiera punkt zl. Uważając i drugą stronę w (1)

za

szeregi samego argumentu z i prowadząc każdy z szeregów $(£), ($P(0c),..., po tej samej drodze

niemy — co z formy (2) wnosimy — w tym punkcie zi :

Oi —m)

co szereg $(0, ni), dosta-

/ Oi)+/‘Oi £) + -. + /‘Oi    _1)

To znaczy :

I. Gdy z szeregu S$(z) zbieżnego w kole (li), a określającego funkcye f {z) wydzielimy szereg modni, a potem ten wydzielony szereg, który — jak wiadomo — określa w (JR) średnią arytmetyczną fankcyi f(z), przeprowadzać będziemy, to w jego przeprowadzeniach dostajemy ciągle średnią arytmetyczną modm (o wierzchołkach regularnego m-boku ze środkiem w punkcie z=0).

Gdy funkeyę f(z) określoną mamy elementem :

?0—2₀) = «o + «i O—#o) + -

o promieniu zbieżności r, a f(z) w argumencie (z~z₀) cp(z—z₀), to tu wydzielony szereg modm z elementu    £₀) będzie:

ma

postać

Załóżmy m=co, to $(2—г₀, oo )=a₀=/(>₀). Lecz można przedstawić takiem nieskończonem wyrażeniem:

A(z)=^(z~z₀, l) + [?0—*c,2)-$0—*₀» 1)] + +№(z—z₀, 3)—%(z-z₀, 2]+[$0—z₀, 4)—%(z-z₀, 3)]+

.......in inft.=

= ^0)+ U₂(z) +• U₃(z)Ą~... w inft.

(3)

Ma ono — gdy J z—£₀|<ir — stałą wartość f{z₀).

Gdy A(z) przeprowadzać będziemy poza koło (r) — [w ten sposób, że każde TJa{z) przeprowadzamy w niem] — to takie każde jorzeprowadzenie ma, podług tw. I., znaczenie średnio arytmetycznej z wartości funkcyi <p(z—z₀) dla modułu m=oo . Połóżmyż I ⁰—zo' — Q, to bez różnicy, czy Q<.r, czy też >r mamy:

<P{*~ *₀)+ ... + ?((*—

hi-

(5)

A(z)=lim

m~ oo

Na kole (g) mamy:

z—z₀ —q . e^n, gdzie ip

2 kn

l«~oo

a przez dip trzeba rozumieć

Tc = 0, 1,2,...

2уг1

• Z (5) dostajemy:

J m=oo

dz=Q. e^! dipi={z—z₀)dipi.

Pomnożmyż w (4) licznik przez dz, a mianownik przez : (z—z₀)dipi=(z—z₀)i

.2 n

.

J m==°

to otrzymamy :

cp(z-z₀)+... + (p((z-zo)^⁻¹)^

Lecz suma po prawej stronie jest wprost całką: cp(z—z₀)dz

A»=À

2 ici

Um

7П = СО

f(z)dz

z-z₀

z-z₀

obliczoną po kole (ç), a że ta całka =2л:г 2Bes tecznie mamy :

więc osta-

A(z)= 2 Bes

/(*)

gdy \z—z₀\=q.

z z o

W kole (r) ma f(z) l(z—z₀) jedyną pozostałość f(z₀)~a₀. Przyjmijmy, że funkcya f(z) ma punkta (istotnie lub nieistotnie) osobliwe :

d)

a, ß, у, ...

Ъ)

c)

al, ßi: а2 ? ßi ?

j ...

, ...

na kole \z—£₀|=r

\z—zü\=q₂ i t. d.

r <Qi<Qi<-

a już w pierścieniach (r...^),    —p.;), ... zachowuje się regularnie.

Przyjmijmy dalej, że funkcya f(0)l(z — zQ) daje:

sumę pozostałości =Я w punktach (a)

(a), (6)

(a), (6), (c) i t. d.

••

= #i

= #₂

to przy takich założeniach mamy:

' /‘(A) gdy |0-0o|<r

Я₂

(>!<!« —^ol< (»2 p₂<-l* -2₀|<p₃ i d->

Na samych okręgach kół (r), (^ą), (p₂), ... zmienia A{z) swą wartość z /(^₀) na H, z fl na Hi: z i3j na f?₂ i t. d. Z tego powodu te okręgi nazywają się liniami zerwania , przerwy, albo cięciami. A(z) jest funkcyą o całych liniach zerwania. Przykładów na takie funkcye mieliśmy już dostatecznie dużo w Tomie I. (str. 518—516).

120. Funkcye o dowolnych cięciach w postaci całek określonych²). Inna metoda tworzenia funkcyj z liniami przerwy bierze swój początek w takich rozmowaniach: Zauważmy całkę określoną:

a)

t— q>(z)

-f²

to

rzeczywistej zmiennej t, a zawierającą urojony parametr z=x+yi. Połóżmy (p(z)=u{x, y)Ą-i.v{x, y), to na krzywej (lub w ogólności krzywych) o równaniu v(x,y) = 0 leżeć będą te punkta z=x-\-yi, które dają cp{z) o rzeczywistych wartościach t. Niechże cp(z)=t₀ w punkcie A=z₀ (fig. 66.), a (p{8)=ti w punkcie B=eit to cp(g) zmieniające swe wartości od do ^ określa poruszający się punkt z na po pewnej linii AB. Pytanie, czem jest ta linia dla funkcyi W(z)? Grdy z leży gdziekolwiek poza AB, to t—(p{z)ф0, a wtedy :

z- o

<²'

Fig. 66.

-в

płaszczyźnie (z)

0(z) = log

*o—9Kz)

ma zupełnie oznaczoną i skoiiczoną wartość.

Przyjmijmy teraz, że punkt z zbliża się — z jednej lub z drugiej strony linii AB — nieskończenie do punktu c leżącego na samej tej linii AB. Aby zachowanie się funkcyi 0(z) i w tym razie zbadać, zauważmy, że gdy rzeczywistą wartość t, zawartą między t₀, a t,, a odpowiadającą wartości z zmienimy na lub t—ói, gdzie ô jest nieskończenie małą, dodatnią (rzeczywistą) ilością, to z równań :

(2)

tĄ-ói=(p(z), t—ói=<p(z), wynikające zi, z₂ będą nieskończenie bliskie punktu z i leżeć będą po przeciwnych stronach linii AB. Niechże zi leży po stronie S{ (dodatniej), a z₂ po stronie S₂ (ujemnej) linii AB, a w (2) połóżmy t —1‘, która-to wartość ma odpowiadać punktowi c, to równania :

t‘ + ôi=(p(z),    t‘—ói=>q)(z),

r •    •    •    >    ~

określają odpowiednio taką parę punktów z, z, z których pierwszy leży po dodatniej, drugi po ujemnej stronie linii AB, ale obydwa są nieskończenie bliskie punktu c.

o

J id(p =

choć już £=d=0.

—К

Gdy analogicznie w drugiej całce zastąpimy (t‘—e...^' + e) przez półkole aa‘b, dostaniemy :

= d=0.

—TC

Z tego wynika, że:

+ (3)

Mając to, określmy:

té—£

Ф(г)=-Ит Г / е~о L J

dt

ô—0 t₀

t—(t‘ + ôi)

r+e h

/+/]

t'—S

Ф(й)=lim

э=0

0=0

[/

<0

dt

t'—Ë

t'-{-£    tx

/♦/]•>

*‘ + E

t‘—e

t'+e

to z tych określeń widocznie wynika :

t'+e

t’+e

Ф{г) — Ф(з)=Ит F f £ = oL^

dt

dt

t—(V + di)

t'—£

t—{t‘—ôi)

0=0 t‘— в

Lecz tn w całce pierwszej można drogę całkowania (t‘—f..i' + г) zastąpić półkolem aab [fig. 66.] o promieniu = £. Połóźmyż — ponieważ d jest nieskończenie małe — t-{t/-\-ôi)=£é^i dt=£. e^¹ dip, to pierwsza całka będzie =

a więc :

Ф(я) — Ф(з)=2m.

a z należy do punktów określonych przez t-\-ói—(p(z).

Linia AB jest więc znowu linią przerwy w funkcyi Ф(з).

Niech u(t, z)=F(t, z) I G (t, z) będzie jednoznaczną funkcyą rzeczywistego argumentu t, a z niech w niej występuje jako dowolny parametr, mogący przybierać już-to rzeczywiste, już-to urojone wartości. Gdy G(t, #) = 0 rozwiązane ze względu na t daje:

G(t, z)=(t-(px\z))“(t-cp.₂{z)f... «>o, ß>o,... to t—(px.(z)—0, przy t zmieniającem się od t₀ do ti określa na płaszczyźnie (z) pewną linię krzywą А^В±, a to samo odnieść trzeba do dalszych czynników, tak, że równanie G(t, z)=0 przy t=(ti)...ti) daje linie AiBi, A₂B₂, ..., o których założymy, że się z sobą nie przecinają. .Rozwijając funkcyę u(t, z) jako funkcyę samego t w otoczeniu miejsca t=cpi(z) dostajemy:

*) W drugich i trzecich całkach mieszczą się te same funkcyę, co w pierwszych.

Ri (z)

(piß))

u(t, z)

a to wskazuje, że funkcya u{t, z) jest, gdy t zawsze pozostaje w obszarze (ź₀... ^), na każdem z leżącem na AiBi nieskończonością. Pi nie zawiera już wyrazu z potęgą [t—<р]⁻¹, a Rx{z) jest pozostałością funkcyi u{t, z), jako funkcyi samej zmiennej t na miejscu (p^\z). Mając to zauważmy funkcyę :

t-cp^z)

h

J'u(t, z) dt.

*0

W otoczeniu t=<p^{z) mamy tu:

Ri{z)dt

t — <Pl

4

JpAt

to

a że druga całka na wszystkich punktach z linii AiBi jest skończoną*), więc stąd odrazu wnioskujemy:

4-    —

d)(z)=0(z) + 2ni. Ri (z).

Analogicznie gdy z leży na linii AaBa mieć będziemy:

Ф{е) = 0(z) -f 2 ni Ra (z) z tą samą uwagą o z, co w wypadku poprzedzającym. Ra jest pozostałością funkcyi u{t,z) jako funkcyi samego t w punkcie t=(pa{z).

Pd. 1. Niech. u(z) będzie funkcya wymierną, ułamkową, posiadającą takie

(4)

własności :

a) jej licznik jest stopnia o dwie, lub więcej jednostek niższego od stopnia mianownika ;

b) jej miejsca nieskończonościowe są:

ci? c2t •••>

<m, e'a

ca = aa + bu^ c'a

Cr nad osią pierwszorzędną, a c‘q pod osią pierwszorzędną, a więc :

а'а—Ъ'а¹1 gdzie przyjmujemy:

h> ъ\> b\>...

c) Do tych miejsc należą odpowiednio pozostałości : (Aif A₂,...), (A'lf A'₂....). Funkcya u(t -|- z), w której t jest nieograniczoną zmienną rzeczywistą, będzie nieskończoną na miejscach:

t-\-z=ca, t-\-z — c‘a czyli na miejscach:

* + ж + У¹ = a a + bai,    t-\-x+yi= a'a—b'a i.

*) z wyjątkiem chyba samych punktów t₀, ti co wnosimy z obliczenia :

4

f dt

J (*-<?!

Kh —¥>i)-<w+¹ — (b—    ] . tr == 2, 3; 4,...

Stąd dostajemy:

x ~ a'C( t

у = ~Ь‘

J    a

ż = (—00 ... -j- oo).

x = au—t

У =h «

«Т

Te równania określają nieograniczone proste : (Ci, C₂

s?

j±

/ЬУ

'Ż-O

Fig. 67.

c₅

Cr), (cc, cc,..., <V), równolegle do osi xx', a przechodząc odpowiednio przez cuc₂,    c'uc'₂,...ce(ńg. 67.).

Według równań:

t+UĄ-Z = Ca t -f Ы + 2 = C'a

_^    trzeha na każdej prostej uznać tę jej stronę

_C* za dodatnią , z której wyprowadzić można

? normalną w kierunku malejących y.

Mając to zauważmy funkcyę:

—Cr

Ф(*)

“{"GO

=j viz -f- t)dt,

— 00

Ct', C₂',... będą liniami przerwy (cięciami).

dla której proste Cl7 C₂

Przedewszystkiem — ponieważ:

dv(z -j- t) du(z -j-1)

dz

dt

więc :

+°°

d Ф(г)

dz

it

= u(zĄ-t)\

—* Э0

-СО

wskutek założenia a). Z tego wynika, że Ф(z) = const., ale ta stała zmieniać się będzie za przekroczeniem każdej z .pozostałych Ct, C2 z= oo mamy :

CC, C₂',... Zakładając

+ CC

Ф(г)]г = оо — J u(tĄ-z)J

Z=. co

dt = 0

— 00

znowu wskutek założenia a), a tę wartość zatrzymać już trzeba w całych częściach Q, Q' płaszczyzny (z), rozciągających się nad cięciem C₂ i pod cięciem C't, [fig. 67.].

Wychodząc z Q, dostaniemy po przekroczeniu cięcia C1; stosując wzór (4):

Ф(г) = 2r. i A₁ między cięciami Ct i C₂ ; przekroczywszy dalej cięcie C.₂ dostaniemy :

Ф(г) = 2ni (Al A₂) między cięciami C₂ i 6'₃, a idąc tak dalej dojdziemy nareszcie do wartości :

O)

Ф(г) = 2ni (Al -\-A₂    ... —J— Ar) między Cr a C‘P.

Gdy C‘q przekroczymy, mieć będziemy :

Ф(г) = 2rd(Ai -f- ... -f Ar +M'P) między CQ a C‘Q—i, a gdy wreszcie do Q' dojdziemy, otrzymamy:

Ф(з) — 2'ni (At -j- A₂ -(-... -f- Ar -j-    -f- M'₂    M'^).

28

ïeor. funkcyj analit. T. II.

Z tego wynika:

Aj 4" -^2 4“ Ar =—A\—A'2 —...—A'q,

■co jest już wprost następstwem założenia a).

Kładąc w (aj z = 0 dochodzimy do rezultatu :

-j-oo

J u(t)dt = 2r.i(Al-{- Ar{-...-\-Ar) = r.i(Ai-\- .. -j- Ar

— 00

do jakiego już doszliśmy w art. poprzedzającym. Pd. 2. Funkcya :

u(e) =

ebz

l-ez

ma punkta nieskończonościowe: z=2km, k=0, +1, +2,... a z jej rozwinięcia dla otoczenia punktu 2Jcr.i, a mianowicie :

(e

2 akni

h _ h*_

IT 27

wnosimy, że jej pozostałość w tym punkcie jest:

Вк=еШл1-егаШ, albo:

Rk = f-*k, k = 0, ±1, ±2,

jeżeli dla krótkości położyliśmy :

e2bm: = ß, e

lani

= a.

Funkcya :

-f«

ea(*+t) __ e⁶(* + 0

di

— 00

posiadać tu będzie znowu cięcia w Ck, przedstawiające się jako nieograniczone linie proste równoległe do osi дат', a przechodzące przez punkta 2kr.i. Ich dodatnie i odjemne strony określimy tu w taki sam sposób, jak w Pd. 1.

Zauważmy obszary (C₀, Cj), (Cj, C₂), (C₂, C₃),... ograniczone właśnie cięciami ujętemi tu w nawiasy. Gdy Ф(г)₀ przedstawia funkcyę Ф(г) w pierwszym z tych obszarów, to w drugim obszarze mamy :

(«)

w trzecim :

Ф(*х= ЧА-Ътл . Ą =Ф(г)₀-2™^-а),

Q>)

Ф(4>2 = Ф(я)„—2r»(Ą + R₃) = Ф(0)о—2та (ß-a + ß2_«2) i t. d.

Aby Ф(г)₀ znaleźć zauważmy, że gdy z jest punktem w obszarze pierwszym , to z 2r.i jest punktem w obszarze drugim, zĄ-Атл punktem w obszarze trzecim i t. d., a w tych obszarach dostajemy:

u(z -f-1 -f- 2kr.i)

Л ea(N-4_|_ßV(<+*)

l-et+z

Gdy к — O, 1, 2, to łatwo sprawdzimy, że :

a wskutek tego :

u{t 4~ z + 4ra)—(a 4* ß) u(t 4" s 4" 2та) ——aß w(t-\- г),

ф0)г - (» -f ß) Ф(s\=- aß. ф(г)₀.

¹

Zob. errata w T. I.

²

Her mi te. Cours d’Analyse. Por. także: Picard. C. E. T. 95., str. 1405. Desaint. C. E. T. 119, str. 364.

Zastosowawszy tu związki (a), (b) dostaniemy po wszystkich skróceniach i uproszczeniach:

Ф(г)₀= r.i [^| -    r. [cotg

an—cotg Ък\.

Taką też wartość będzie miała i całka :

-fœ

1>(O)₀= f

eat- eht

i-г

. dt

-00

Pd. 3. Okazać, że funkcya :

*(*)

".h

/(*)•*- A,

2лН_еЫп

ai

gdzie а, Ъ są rzeczywiste , а    yi, posiada nieskończenie wiele cięć, któremi

są odcinki leżące na prostych x = 0, +1, +2,... a zawarte między prostemi г/ = а, y=b. [Gruichard. Ann. Sc. T. 4 (1887)].

Pd. 4. Okazać, że funkcya :

— * + yi,

/'    zdt

(*)/ V(l-zW)(l-h4W) ’ ~

o urój onem Tc posiada cięcia takie: a) na prostej y-= O cięcia (—00...I), (+1...+ 00)

b) na prostej przechodzącej przez punkta    cięcia : ^—00 ...—+ œ)-

[Lerc h. Ann. Sc. T. 6. S. 3. (1889)].

Liczne inne zastosowania i przykłady znajdują się w rozprawie]: E. Gour-s a t. Sur une classe des fonctions représentées per des integrales définies Acta math. T. 2. (1883) str. 1-70.

121. Zastosowanie teoryi pozostałości do równań. Gdy jednoznaczna funkcya f\z) ma w punkcie a punkt zerowy lub nieskoń-czonościowy, to można ją w otoczeniu tego punktu przedstawić iloczynem:

Pochodna jej :

f,{s)=m{s—a)

a stąd:

(1)

/’O) z—a (pis)

gi'lq) jest w punkcie a skończone i oznaczone, a stąd z równania (1) wnioskujemy, że:

(2)

m=Bes

r (*)

« f(e) ‘

Przyjmijmyż, że funkcya fjz) w pewnym obszarze (s) ograniczonym zamkniętą linią s posiada m miejsc zerowych, n miejsc nieskończonościowych , a miejsc istotnie szczególnych niech wcale nie posiada, to w takim razie dostajemy:

(3)

dz=m—n.

Przyjmijmy, że prócz funkcyi /‘(0), która we wnętrzu (s) posiada miejsca zerowe :

o powtórzeniach:

i ^2 1 " ■    1

w₂,... mft

i miejsca nieskończonościowe :

o powtórzeniach :

&i, ó₂,..., bv,

n\ 1 n2 ) nv 1

mamy jeszcze funkcyę F(z) jednoznaczną i skończoną wewnątrz (s).

W takim razie funkcya F(z). stałość F(as)mSi a w

/Ч*)

(4)

będzie miała w as pozo-

bs pozostałość: — F(bs).ns. Z tego wynika, że: miF(a₁) + m₂F(a₂) + ...+mltF(aft) — —nlF(bi)—n.₂F(b₂)—...—n„ F(bv).

dz=

Gdy w (s) znajduje się tylko jeden pierwiastek a funkcyi f\z)

to mamy :

(5)

У™

si)

(o)

W szczególności, jeżeli F(z)=z, dostajemy:

dz, a to znaczy:

— f

2ni J

z.f\z)

I. Gdy we wnętrzu konturu s znajduje się jeden tylko pierwiastek a równania f(z)— 0, to przez wartości funkcyi f (z) na tym konturze jest ten pierwiastek zupełnie oznaczony.

Gdy w (s) zawiera się m pierwiastków równania f(z), a miejsc nieskończonościowych funkcya ta tam nie posiada, to podług (3) mamy :

dz.

(6)

m=— f

2mJ f(z)

Niech x = cp(t), y='ip(t)

a gdy t zmienia się od t=a do t=b, niech punkt z = (p{f)+ixp{t) przebiega właśnie cały kontur s. Połóżmy :

f О) =/'0 + 4>i) =P(t) + Q(t)i=Rt. eV,

(7)

to oczywiście JRa=Ub, a 2S, la muszą się różnić od siebie o pewną wielokrotność liczby 2n. Okażemy, że ta wielokrotność będzie właśnie —m. Uwzględniając (7) w (6), możemy położyć:

Ш,,fd[logB

a że Ra=Rb, więc:

Лb — Ла

2л

albo :

(8)

Ль=Ла-\-2тл c. b. d. d.

Gdy m nie znamy, to trzeba to m wyznaczyć z samego zachowania się funkcyi na konturze s. W tym celu zauważmy, że

Л₍=arctg

arctg F(t), jeżeli Q{t)jP(t)=F(t). Gdy wartości funkcyi

arctg F (t) ograniczymy do zakresu

co naznaczymy

[arctg F(t)\, to z uwagi, że F(a) = F(b), mamy także:

więc Ла=Ль, a to — gdy m^> 0 — nie

pisząc :

[arc tg F (a)] = [arc tg F(b)\ а zgadza się z równaniem (8).

Tę sprzeczność usuną takie uwagi: Przyjmijmy, że a<ib: że ct zawiera się między a i b, że F (a) ma skończoną wartość i że ^ przybiera wartości ;>«, a tak bliskie punktu a, że między ait pozostaje F(t) skończone.

Wtedy różnica: Xt—Л

— choć się w niej Ла położy = = [arctg F(a)\Ą-VTi, ^=0, Hh 1, ±2,..., a więc Лк określimy w niej w najdowolniejszy dozwolony sposób — musi być zerem, gdy t = a. Z tego wynika, że i Ле wziąć trzeba w znaczeniu [arc tg F (T)] Ą- vn, i że więc w tym razie zawsze jest:

(9)

Л₍—Лcc=[arctg F (t)]—[arc tg F [a)].

Mając to przyjmijmy, że między a, a obranem pewnem t^>a znajduje się jeden tylko punkt г taki, w którym P(x) =0, a więc F(t) = zh co, i że w tym punkcie przechodzi F(t) z wartości + oo na — go. Aby w tym razie obliczyć (Xt—Ла) zauważmy — obrawszy dowolnie małą dodatnią ilość e — sumę:

S(, а ⁼⁼ {Л(—Лг+е)~\~(Лг—е — Ла).

Ponieważ każdą różnicę mieszczącą się tu można przedstawić wzorem (9), więc mamy :

St,a=[arc tg F (t)]—[arctg F {г +£)] + [arc tg F{x— c)]—[arc tg F(a)].

a Sta=Zt—Za=[arc tg F(t)\—[arc tg F(a)]-\-n.

W razie gdyby w punkcie г zmieniało się F(t) z —co na + go mielibyśmy :

Zt—Za—[arc tg F(t)] — [arc tg F (а)]—я.

Gdy t jest tak duże, że w (a ...t) przechodzi F(t) w M‘ punktach z wartości + co na —oo a w N‘ punktach z wartości — go na +00, to mieć będziemy:

(10)

Zt—Za—[arc tg F (t)\—[arc tg F(а)] + (Ж'—Nj n, tę różnicę można także będzie przedstawić całką :

(U)

F‘(t)dt

1+F(ty²‘

Gdy т1? t₂, ... są punkta , na których w (a...t) staje się F(t) nieskończonością, to obliczymy nasamprzód sumę całek o granicach: (а...т±— e), (т₁+е...т₂—c),...,

a potem położymy £=0. Z takiego obliczania wyniknie wzór (10).

Przyjmijmyż, że w całym zakresie (a... &) funkcya iF(f) staje się nieskończonością na (Hf+JV) miejscach, a na ilf z tych miejsc przechodzi z ( + oo) na (—co), na N zaś pozostałych tych miejscach przechodzi z (—co) na ( + oo), to:

Zb—Xa—[arc tg F(b)]—[arc tg F(a)]Ą-(M—N)tc.

Porównując to ze związkiem (8) i zważając, że tu: [arc tg F(b)]=[arc tg F (a)],

dostajemy :

Przyjmijmy £=0. Wtedy: lim [arc tg F[tĄ-e)\= —

, lim [arc tg F (т—c)]= +

to a

M—N

Gdy różnicę (M—N) nazwiemy za Cauchy’m wskaźnikiem funkcyi f(z), na danym konturze, to mamy twierdzenie:

II. Ilość pierwiastków funkcyi f (z) skończonej wewnątrz konturu (s) równa się połowie wskaźnika tej funkcyi na konturze (s).

Różnicę (M‘—N‘) w (10) nazywamy wskaźnikiem funkcyi F(t) w punkcie b.

Zastosowanie I. Niech f(z)=a₀zn-\- alsrl—l -f-an , a konturem (s) niech będzie wnętrze koła \z\=r. Połóżmy z — r (cos э -f- i sin »), to dostaniemy:

rna₀sin nt +    ¹«iSm (w—1) t -f-...

rna₀cos nt -f- rn 1 a{ cos (n—1) t -{- ...

Przyjmijmy r = co , to F(t) — tg nt i staje się nieskończonością dla:

4»—1,

S==J’³’⁶’

przechodząc każdym razem z wartości -j- co na — go. Że zaś to się odbywa tu 2n razy, więc mamy M—N=2n, a (M—N)/2 = n, co jest dowodem zasadniczego twierdzenia algebry.

są stałe

Zastosowanie II. Niech znowu f(z) = a₀zn -j- ... -J- «л, gdzie a₀, ax rzeczywiste lub urojone, a część a rozważanego konturu (s) niech się określa parą wymiernych funkcyj : x = <p(£), у = <[(£), w których t = (a ... 6). Wtedy w

/(*)==/(?(*)+эд= no+*' mo

są    V\(t) wymiernemi funkcyami o rzeczywistych spółczynnikach, a iloraz

F(t)— Fj'/ V można zawsze sprowadzić do ilorazu V/Vt dwóch wymiernych całkowitych już funkcyj argumentu t, nie posiadających wspólnego podzielnika. Niechże :

(«)

Г F'(t)dt

I i+m²

[arc tg F(b)\—[arc tg F ( a)] -j- v~,

to V jest wskaźnikiem funkcyi F(t) w punkcie b.

Równocześnie z F (t) rozważmy funkcyę    i obliczmy :

(ß)

F(t)dt

ł+ПО²

to v' jest tu wskaźnikiem funkcyi 1 / F(t) w punkcie b. Ponieważ :

[arc tg v\ -j- I arc tg — jj =

+ -J’ sdy V>Q

- Y’ Sdy więc dodając (a), (ß) do siebie, dostajemy:

(T)

v + v' = 0, gdy F(a).F(b)>0, v + v=l, gdy F(a)>0, F(b)<0,

V + v'=—1, gdy P(a)<0, P’(0)>0.

W takich związkach pozostają ze sobą wskaźniki funkcyj F(t), 1 / F(t) w punkcie b danego konturu.

Przyjmijmy, że V jest wyższego stopnia od I j i wykonajmy łańcuchowe

dzielenie :

V\ ⁼⁼?2 Г‘> V?>

... kończące się na dzieleniu :

w którern Vn = const., gdyż F, Vi byty funkcyami względem siebie pierwszemi. Naznaczmy przez (L) wskaźnik funkcyi U(t) w punkcie b i zauważmy sumy wskaźników :

00

(9+®-

(F₂, L₃, F₄... są-to reszty, wynikające z łańcuchowego dzielenia, a brane z przeciw nemi zna-k a m i).

(0

Mając wzgląd na związki (y) mamy tu:

J⁶* = 0, gdy

Bs === “b i V

£«=    1 ii

o o~

są jednakowego znaku,

Z drugiej strony z dzielenia V— Ql Vt — F₂ dostajemy Vj Vt = Ql — F₂/ Ty, a że ft w całym zakresie (a...b) pozostaje skończone, a w każdym punkcie, w którym F/ Vl przechodzi z -j- co na — co przechodzić będzie F₂/ Vi z — co na -f- co i odwrotnie, więc hyc musi :

(^r^) +    = 0 i analogicznie :

Za dodaniem mamy stąd:

(r)+m+(до+к©+©i+-+ш+₊

+ (£)-<>

czyli — uwzględniając (o) —

(?)

Lecz

£я. Lecz, że

const

/ |ГЯ ч

więc    —-) = ЕЯ. Uwzględniając to w (Ç) otrzymamy :

/ F \

V ~jy) — £1+ £2 + £з + ••• + £”=

to jest wskaźnik funkcyi F(t) w punkcie b.

Zauważmy dalej , że warunki (s) w ten sposób można wyrazić :

Gdy

Vs-l(a), Vs (a)

Vs—i (b), Vs(b)

dają

to es — 0

następstwo znaków zmianę znaków

następstwo znaków zmianę znaków

zmianę znaków

następstwo znaków

zmianę znaków

następstwo znaków

to Es == — 1

s = 1, 2, 3,

(I)

Stąd twierdzenie : Gdy w szeregu funkcyj :

mamy Zx zmian znaków, a w szeregu:

v(a), Ma), Md),..., Vn(a)

•(H)

m, Mb)- V₂(b\... Vn(b)

mamy ich Z₂₎ to wskaźnik v funkcyi V₁/V—Fît) го punkcie Ъ jest: Z%—, gdzie ta różnica jest ilością zyskanych zmian znaków przez przejście z wartości z —a do wartości z = b.

Funkcye V, V’l, V₂,.., tworzą tak zwany szereg funkcyj Sturm a.

Gdy stopień funkcyi Vi będzie większy od stopnia funkcyi F, to zamiast równania f(z)= F-f- Vti = 0 weźmiemy pod uwagę równanie: if(z) — — V₁-\-Vi=0, z którego dostajemy tu F(t) = —F/Fj. Pierwsze dwie funkcye, które potem mają przez łańcuchowe dzielenie dać funkcye dalsze, są tutaj —Vi, F.

Gdy f(z)= 0 jest równaniem wymieniem o spółczynnikach rzeczywistych, jest jego jednym z rzeczywistych pierwiastków i powtarza się m razy, to :

/'(*)

Z)'(z)

a o(z)

Z tego wnosimy, że gdy punkt s przebiega oś xx‘ w dodatnim kierunku i przechodzi przez punkt a, to f'(z)/f(z) staje się nieskończonością, zmieniając się z wartości (—co) na (-)-co). Iloraz —    przechodzi przeciwnie w punkcie

« z wartości (-}- co) na (— co). Niech t poczynając od wartości a zwiększa się, zapełniając wartościami zakres t = (a...b), to wskaźnik funkcyi F{t)=f'{t)jf(t) w punkcie b będzie = Z₂—Zl, gdzie Zy jest ilością zmian znaków w szeregu funkcyj :

(10

/(a), /'(a), Maj,-

a Zx ilością zmian znaków w szeregu funkcyj :

(IP)

№, Mb),...

Wskaźnik ten jest <C 0. Wskaźnik (—F(t)) = — (F(t)) będzie —Zx— Z₂, a to

znaczy :

Gdy a, b są dwie rzeczywiste liczby, a z nich a jest mniejsze od b, to między a i b ma równanie f(z) = 0 tyle pierwiastków rzeczywistych, ile zmian znaków tracimy, przechodząc z szeregu funkcyj Stu rm a dla punktu a do takiegoż szeregu dla punktu b.

ROZDZIAŁ XVI.

Funkcye wielu zmiennych.

122. Linie przerwy w fnnkcyacli wielu zmienny cli. Zauważmy całkę określoną :

(1)

<P(y)

2ni J

‘ dz

z—y

apb

w której y występuje jako zmienny parametr.

Dla wszystkich y leżących poza drogą apb (fig. 68.) — ma ta całka wartość :

(2)

<Р(У)

1 ₇ Ъ— у

n—-. log-' .

2лг a—у

Zbadajmy zachowanie się tej funkcyi także przy przejściu punktu у przez drogę apb. Załóżmyż, że okrążając punkt b, (górną granicę całki), w dodatnim kierunku, przechodzimy z odjemnej strony linii apb na dodatnią i zastosujmy tu do całki (1) wszystkie te uwagi, jakie mieliśmy w art. 120, to dostajemy:

+ — cp(y) = cp(y) — l.

Fig. 68.

(3)

To znaczy :

I. Dla funhcyi (p(y)

f -    jest sama droga apb linią przerwy.

apb

Gdy przez nią przechodząc opuszczamy jej odjemną stronę, a dostajemy się do dodatniej, zmienia się <p(y) na cp(y) — 1; w przeciwnym razie zmienia się <p(y) na cpfy)Ą-l.

W punkcie b funkcya <p(y)

funkcya (Р(У)+-^

a więc regularna.

Po tych uwagach przyjmijmy, że mamy funkcyę f(xl, x₂,... xn, y) {n-\r 1) zmiennych (x₁,x₂, ..., xn , у), regularną w pewnym obszarze g, przedstawiającym się jako zbiór zamkniętych obszarów: yi, y₂,..., yn, y, leżących odpowiednio na płaszczyznach zmiennych: xi, x₂,..., xn, y. Obszar g mieści się więc całkowicie w zakresie zbieżności pewnego

w punkcie a

log (a—y) będzie skończona, oznaczona i ciągła

443

to

te

elementu    —ai, x₂~a₂, ..., у —Ъ)—^х(у—b) danej funkcyi, którą

dla krótkości naznaczać będziemy przez f(x: у).

Niech

zmienne

xn pozostają ciągle wewnątrz obszaru F=(yi1 y₂,..., y„), a nowa zmienna z niech ma wspólną płaszczyznę ze zmienną y. Zauważmy całkę :

(4)

ф(х> ,j)=Ł f

z—у

apb

której droga całkowania apb zawiera się całkowicie w obszarze (V)=y, a występująca w niej zmienna y, jako parametr ma się zmieniać bez ograniczenia.

W obszarze (х) = Г będzie funkcya Ф(х,у) regularną przy najdowolniejszej wartości y, byleby to у na samej drodze apb nie leżało. Aby i ten wypadek zbadać, ograniczmy у i z do obszaru у i zauważmy funkcyę :

(5)

f(x, z)-f\x, y)

z—у

F\x, y, z).

Jest ona w obszarze (x)=F: (y) = y, (40=7 regularną, gdyż licznik jej ==^Р₁(я—b)—$ßt(y—b) jest — przy najdowolniejszym punkcie b leżącym wy — zawsze podzielny przez z—y, a więc nawet i wtedy, gdy y=z, jest F‘(x,y,z) skończoną i oznaczoną. Korzystając z relacyi (5) położymy:

Ф(х, у)

2^if F‘(x,y,0)d0 f

/‘(A, y)

z—у

apb

apb

Ta pierwsza całka da po obliczeniu funkcyę F(x,y) regularną w obszarze (Г, у).

Funkcya f\x,y) jest również podług założenia regularną w tym obszarze, a że druga całka z czynnikiem (2та)⁻¹ jest = <jp(y) więc mamy :

(6)

Ф(х, y)=F{x y)+f{x, y). (p{y).

[Prawa strona — jakkolwiek wchodzące w niej elementu F, f są regularne tylko w obszarze (i¹, y) — pozostaje jeszcze regularną dla (x)=F, i dla najdowolniejszych у leżących poza apb].

Na samej drodze apb mamy F(x, y)=F(x, y), /'(#, y)=/‘(#, y), a że (jp(y) ma własność (4) więc mamy tu:

(7)

Funkcyę :

(8) [Ф{ху)

f(x, У)

2 jii

log (Ь—у)], [Ф(х:гу) +

fix y)

2 ni

log ia—y)}

będą odpowiednio regularne w punktach b: a. Mamy więc twierdzenie :

II. Funkcya Ф(ху) określona całką (4) jest — jeżeli f(x,y) jest regularną w obszarze (Г, y) — regularną w obszarze Г i przy dowolnej wartości y, nieleżącej na drodze całkowania. Sama droga całko-wania jest w niej linią przerwy.

123. Tworzenie funkcyi równoważnej z funkeyami o danym obszarze zmiennych. Niech zmienne xu x₂, ... xn wypełniają znowu wnętrze zakresu P=(y1? y₂,    a zmienne y, z

niech posiadają wspólną płaszczyznę. Na tej wspólnej płaszczyźnie zauważmy zwarty obszar S o ograniczeniu a i podzielmy S — (fig. 69.) dowolnie na ce)\ wieloboki. W tak utworzonej sieci mamy wierzchołki i boki, ale do boków nie zaliczymy AB₁ BC,,.. t. j. te, które leżą na samem już ograniczeniu a.

Każdy wielobok Ra otoczmy krzywą linią Ca tak, aby się B a mieścił całkowicie w jej wnętrzu i w obszarze (I⁷, Ca) określmy funkcyę fa(x, y) posiadającą takie własności:

1.    fa ma być jednoznaczną w (i⁷, Ca) ;

2.    w tym obszarze nie ma posiadać próżni;

gdy Rß jest wielobokiem ograniczonym od Ra bokiem l — (takie wieloboki nazywać będziemy sąsiadujące) — a w mamy już funkcyę fß(x, у), czyniącą zadość wymogom 1, 2, to różnica fa—fß ma być regularną w obszarze (I⁷, Ca, Cß) punktów wspólnie do (l⁷, C„)

(Г, Cß) należących. Różnica ta jest więc regularną na całym boku l i na jego punktach końcowych przy dowolnych (xi, x₂, ... xn) leżących w Г.

Fig. 69.

(-Г, Cß)

a=b'

<HV

R«-.

аг

4-

.+•

R,

a,

R«

Zauważmy wierzchołek b leżący koniecznie wewnątrz S ^<Vł' a nie na o. Przyjmijmy, że w nim się schodzą wieloboki RX)R₂₁...^Rn (fig. 70.), odgraniczone

Fig. 70.

od siebie bokami axb, a₂b, ..., anb i że fce boki natrafiamy w tym właśnie porządku okrążając wierzchołek b w dodatnim kierunku, a w tym kierunku przekraczamy każdy z tych boków, przechodząc z jego strony odjemnej na dodatnią.

Mając to utwórzmy całki:

(1)

Ja—1, a (-G    —

2ni J

"/«fo *)—/'«-i(a?, *) dz

y—z

« — 1, 2,n,

aa

nazywając je całkami należącemi do wierzchołka b: (gdy a —1, to 05 — 1=0 brać trzeba w znaczeniu n).

Całka Ja—i, a ma widocznie własność funkcyi Ф(х у) określonej w art. poprzedź.; a więc, gdy w Ra-i ma wartość </«—i,«(жу), to w Ra posiędzie wartość :

Ja 1,а(®У) = «7*-1,«(®, y) — (fa{X U)—fa-i (^ ÿ)),

a zresztą będzie regularną dla wszelkich у poza drogą aapb leżących. Wyraźnie podług (6) art. poprzedź. — mamy:

Jгг—1, a ⁼ R'a—1 сг    fi" фа(3/) [fa fa—1 ] ?

gdzie (pa

}log ———, a    « jest regularną funkcyą w (i⁷, GVi, U«)

ofa—y

Pomieniajmy w całce (1) i znaczki a, (a — 1) i granice b, acc ze sobą i tak przeinaczoną całkę nazwijmy Ja,a—i, to łatwo wywnioskujemy, że Ja, a-i—Ja-i, a i że całka Ja-\,a napisana w kształcie:

2 ni

T - ¹

"сг, a—1 —

Ù^—ÙLdt

y—z

względu na wierzchołek b. Wskutek tego

ze

jest całką zupełnie taksamo utworzoną ze względu na wierzchołek ea=J', jak całka (1) można całkę Ja-\,a uważać albo za całkę należącą do wierzchołka b , albo za całkę należącą do wierzchołka b‘.

Utwórzmy teraz sumę Ф(х, y)=2Ja—\,a odnoszącą się do wszystkich boków tworzących całą sieć wieioboków, (boki AB,BC, ... nie wliczając). Gdy Rp, Rq są dwoma sąsiadującymi wie-lobokami, o wspólnym boku f a Rp uważamy za wielobok leżący po odjemnej stronie, Rq zaś za wielobok leżący po dodatniej stronie tego boku, to przechodząc z Rp do R₄ przez l, dostaniemy z W(xy) :

Dla funkcyi Ш są zatem wszystkie boki (niewpadające w ograniczenie o) liniami przerwy. Pytanie zachodzi, jak się taka funkcya W

zachowuje w każdym wierzchołku b, leżącym wewnątrz S? Aby na to odpowiedzieć, podzielmy sumę W na dwie. Pierwsza =2Ja-^ a

niech zawiera same całki należące do b, druga wszystkie inne całki. Ta druga suma będzie oczywiście regularną w b. Co się tyczy sumy pierwszej, to mamy:

— 2F.

2J,

a-l, a

(2)

=2Fa.

y)2 <pa(y)[fa fu—l] —

b

1

i■- «+g1°9 Ф—y).2i) —

a-l, a

Lecz 2{fa—/*„_!) =0

b

a stąd wynika, że Ш(ху) jest funkcyą,

która w każdym wierzchołku b, leżącym wewnątrz S zachowuje się regularnie. "Wokoło wierzchołków A,R, C: ..., leżących w a, nie mamy już cyklicznie ułożonych wieloboków, a więc w nich

a stąd osta-

sumy: 2{fa—fa-i), 2{fu—fu-1), ... nie będą zerami

А    В

tecznie wynika :

I. Funkcya Ф(ху)=2Ja

jest funkcyą regularną wewnątrz S, t. j. IV każdym obszarze, którego ograniczenie leży całkowicie w S, a wszystkie boki l, leżące wewnątrz S są jej liniami przerwy.

We wszystkich wierzchołach b jest W(x, y) regularną.

Funkcyę Щх,у) można pojmować, jako wyrażenie analityczne, które określa wewnątrz różnych, wieloboków Ra różne funkcye regularne cpa(xy). Przyjmijmyź, że wychodząc z wieloboku Rp, wkraczamy do sąsiedniego wieloboku Rr., a dla boku Z, rozdzielającego je jest Rp ujemną, a Rrf dodatnią stroną.

W takim razie na samym boku l mamy albo ę>p=№, albo cpq — cpp—(fq—ff), a stąd wynika:

- 1, CC

(3)

<Pp tpq — fq fp•

W takich związkach pozostają ze sobą dwie sąsiadujące funk-cye cpp, (pt, określone wewnątrz S przez W(xy).

Zmiana, jakiej doznaje funkcya cpp{xy) w punktach dowolnego boku wieloboku Rp jest skończoną, a po tej zmianie można ją już w sąsiednim wieloboku prowadzić do dalszych punktów. Z tego powodu powiadamy, że funkcya cpp(xy) jest regularną w takich punktach.

Określmy wreszcie wewnątrz S funkcyę F(x:y) w ten sposób: W dowolnym punkcie, leżącym wewnątrz Rp, ma być ;

F(x, у)=ęp(x, y) Affix, у).

(а)

Ta definieya przestaje jednak być jednoznaczną, gdy się punkt y znajdzie na którymkolwiek boku l lub w którymkolwiek wierzchołku tego wieloboku. Gdy bowiem po drugiej stronie boku l mamy wielobok Rqi to dla punktów у leżących na boku Z, mamy oprócz definicyi (a) także i definicyę:

(ß)

F(x,y)=(pq(xy)-\-fq{xy).

Lecz wskutek związków (3) są wyrażenia (a), (ß) identyczne, a z nich jedno dość jest zatrzymać.

Z tego odrazu wnosimy, że boki wieloboków nie będą liniami przerwy dla funkcyi F(xy). Gdy w wierzchołku b schodzą się wie-loboki Rp, Rq, Rr, Д, ..., a więc punkt b należy równocześnie do zakresów istnienia funkcyj fP, fq: fr, f*i •••? to mamy tu:

срр=ф : (ptl — (pp (fq /p), (Pr~(pq (fr fq) 1 tys—tyr (/'s /г);    •••}

a z tych związków wynikną równości :

(Pp~\~ f p ⁼⁼⁼ <Pq +/7 ⁼⁼ tyr f Г ⁼⁼ tyś "b f S ⁼⁼

to zaś wskazuje, że i w punkcie Ъ jest funkcya F(xy) jednoznacznie określoną.

We wnętrzu S mamy w otoczeniu każdego punktu у — (zmienne xi,x₂, ..., xn pozostają ciągle we wnętrzu zakresu F) — zdefiniowaną pewną jednoznaczną funkcyę fp(xy). [Ze względu na funkcyę F(xy) przyjmiemy wskutek identycznych wyrażeń (a) (/?), że także i w otoczeniu każdego punktu na bokach l istnieje jedna tylko taka funkcya fp{xy)}. Każdą taką funkcyę, istniejącą w punkcie xy obszaru (F, Cp) nazywać będziemy funkcyą należącą do tego punktu. Z równania (a) dostajemy i

F(x,y)—fp(xy)^=(pp(xty),

gdzie (pp(xy) jest regularną funkcyą w otoczeniu punktu (xy), leżącego w wielobokach, a regularną w samym punkcie (x, y) gdy у leży na boku.

Nazwijmyż takie dwie funkcyę , których różnica w punkcie (x,y) jest regularną już-to w otoczeniu tego punktu, już-to w samym tym punkcie, równoważne mi w tym punkcie, to mamy twierdzenie :

II. We wnętrzu obszaru S można utworzyć funkcyę F(x,y), jednoznaczną, i nie posiadającą w tym obszarze ani próżni, ani linij przerwy, a o tej własności, że w otoczeniu każdego punktu leżącego wewnątrz S jest równoważną z funkcyą należącą do tego punktu.

a w (Г, Cp, Cq) — gdy Rp, Rq

Obierzmy teraz fp(x,y) w postaci log up(x,y), gdzie up(x,y) ma być regularną funkcyą w (Г, Cp)

sąsiadują z sobą — ma być iloraz up /ug regularny i różny od zera. Z tego wynika, że różnica logup— log uq — log (up ('uq) jest teraz regularną. Z tak obranych fp dostajemy tu:

a więc = 2 Tm i

(fa /«—i)—log 1

b

gdzie Tc jest dowolną, całkowitą liczbą, a wskutek tego już nie sama funkcya ć2Ja-\iCt — por. (2) — ale dopiero funkcya:

2log{b—y)âkni=2Ja-it «— log(jb—y)k

będzie regularną w wierzchołku b.

Gdy teraz utworzymy funkcyę :

Щх: у)=ф(х, у)—21од(Ъ—у)к

a wreszcie funkcya :

<fp, <p,j i

w której suma odnosi się do wszystkich wierzchołków b, leżących wewnątrz S, to taka funkcya ma wszystkie własności takie, jak funkcya $■, z tą różnicą, że wskutek zawierania się w niej loga-rytmów, może posiadać dodatek 2mm o dowolnem, całkowitem m. Funkcya Ф określać więc będzie w Rp,Rq,..., różniące się między sobą funkcye

F(x y) = cpp(x, ij) + log up(x, y)

będzie w każdym punkcie (x,y) wewnątrz S równoważną z logup(xy) Połóżmyż :

Uixy)=eF(² y)=eVp^Mpix, y) ²)

to stąd wynika :

e<Pp{xv)

U(xy)

up(xy)

up[xy)

(fp ?

gdzie tu funkcya U(xy) — wskutek regularnych funkcyj w każdym punkcie wewnątrz obszaru S będzie tam także i sama taką. To znaczy:

III. We wnętrzu obszaru S można utworzyć funkcyę U(xy), regularną w każdym punkcie tego wnętrza , a o tej własności, że podzielona przez funkcyę up{xy), należącą do punktu (xy), daje iloraz regularny w tym punkcie i różny od zera.

124. Ogólniejsze twierdzenie o równoważności funkcji z da-nemi funkeyami. Niech zmienne nieograniczone x1} x₂, ..., xn posiadają swoje płaszczyzny (xt), (x₂), ..., (xn).

Na tych płaszczyznach zauważmy odpowiednio obszary Su S₂, ..., S„, nazywając ich zbiór obszarem s. Wnętrze każdego z obszarów Sa nakryjmy samemi kołami ha, k‘a, k"a, ... w skończonej ilości w ten sposób, aby każde koło z sąsiedniemi koniecznie częściowo się przykrywało.

Zbiór dowolnych n kół : (k±a, k₂h: ..., knł) takich, że żadne dwa nie leżą w jednej i tej samej płaszczyźnie nazwiemy kołem złożo-nem z. Takich kół z, z', z". ... różnych między sobą mamy tu tylko skończoną liczbę. Każdemu kołu z podporządkujemy funkcyę jednoznaczną fy(xi) x₂, ...:xn)=f./x), istniejącą w tern kole bez próżni.

Dwa takie złożone koła, w których koła na (n— 1) obszarach są te same, a koła (ka, k‘a) w obszarze Sa przykrywają się z sobą częściowo, nazywać będziemy sąsiad u jącemi kołami złożonemi w obszarze Sa.

Gdy z, z' są kołami sąsiadującemi, to różnica fj,x)—fK{x) ma być w wspólnej części (z, z') tych kół regularną. W tej części — tak się i tu wyrażać będziemy — są funkcye fx, Д/ równoważne.

a każdy z nich otoczony jest kołem kn. Boki ograniczające całą sieć już się do niej nie mają liczyć i nie spadają z krzywą an , ograniczającą obszar Sn.

Mając to, zauważmy w obszarze Sn koło kn i wszystkie koła z niem sąsiadujące. We wnętrzu koła kn można będzie narysować wielobok Rn w ten sposób, aby każdy jego bok ln zawierając się w kole 7гя, zawierał się równocześnie w jednem z kół sąsiadujących. Zrobiwszy to w całem wnętrzu obszaru Sn, dostajemy tam sieć wieloboków R

V, hb, •••• kr

Tak przygotowany obszar Sn połączmy z dowolnemi kołami &s„_i innych płaszczyzn w obszar:

(1)

\Jia^ , kb₂,    7crn — 2 , foSn — 1 ; $я] ,

to w takim obszarze można będzie utworzyć funkcyę Fi(x), która w dowolnym punkcie tego obszaru równoważną będzie z tą funk-cyą fjx), jaka do tego punktu należy. Gdy spółrzędna xn tego punktu mieści się we wnętrzu koła ka, a zbiór kół:

(kai,    , kn)

tworzy złożone koło z, to fK{x) jest właśnie tą funkcyą, która istnieje w tern kole.

W obszarze (1) zastąpmy koło ksn~\ kołem hs'n_i, które się z pierwszem częściowo nakrywa. W tym nowym obszarze :

(2)

(fea\, Jcb₂, •••? krn - 2, ks>n- \, Sn) można znowu utworzyć funkcyę F\(x), która w dowolnym punkcie tego obszaru równoważną się okaże z funkcyą fyj(x), należącą do

tego punktu. I tu znowu, gdy mieści się w kole kn, a złożone koło (ka₁, kb₂, ..., krn-2. Äs,„_i, kn) nazwiemy x‘, to fx< jest właśnie funkcyą istniejącą w tern kole.

Lecz koła я, я¹ są złożone i sąsiadujące w $„_i a więc /³, Д# są w (я, я¹) równoważne. Zatem idzie, że i Fi, F\ są tam z sobą równoważne. ³) Przez to doszliśmy w obszarze :

(3)

(/ба^, Jc 2, ...j    2 ; Sn-i , Sn)

do całego systemu funkcyj Fi, F\, F'\, ... takich, że dwie z nich określone w dwóch kołach złożonych sąsiadujących w Sn-1 są równoważne. Można więc tu znowu w tym obszarze utworzyć funk-cyę F₂{x) równoważną w dowolnym punkcie tego obszaru z pewną funkcyą F^v\ należącą właśnie do tego punktu. Niechże xn_\, xn tego punktu mieszczą się odpowiednio w kołach kn—\, kn, to F^> jest funkcyą istniejącą w kole: я₁ =(&b, kb₂, ..., krn_₂, &„-i > kn). Zastąpmy w (3) koło 7crn-2 kołem    które się z kołem pierwszem

na 2 częściowo nakrywa, to dostaniemy nowy obszar:

¹

, у) = Ф(ж, у)—fix, у).

²

Funkcye F — podobnie jak F — nie posiada linij przerwy wewnątrz S.

³

Mamy bowiem : 1\ —fy. + r eg. funk. ï\ ' — f%< -f- reg. funk.

(ka\, 7ć⁶₂j •••; кГ n — 2 , $n_i, /Sb),

a w nim da się określić nowa funkcyą F‘₂(x) o tej własności, że w każdym punkcie tego obszaru będzie równoważną z pewną funkcyą Fi , która do tego punktu należy. Grdy xn_\, xn są te same, co przody, to    jest funkcyą określoną w kole:

%    ₂, ..., T:r„_2, kn_\ , &n).

Koła и1? są znowu złożone i sąsiadujące w Я„_2. F^v\ F^v») są więc równoważne w    a więc są odpowiednio równoważne

tego wynika, że F₂ będzie w    równoważne

z /х, , /¹' j,

z f₄ a K'₂ z fc/.²) Postępując w ten sposób dalej, dojdziemy ostatecznie do takiego rezultatu :

I. Gdy we wnętrzu obszaru s=(Si, S₂, ..., Sn) dane są funkcye fy{x), istniejące w złożonych kołach я, a posiadające tę własność, że

a źe f%—fy jest również reg. funk., więc: Fx—Ff— reg. funk.

we wspólnej części każdych dwóch sąsiadujących złożonych kół są równoważne, to w tym obszarze można utworzyć funkcyę F(xx) jednoznaczną, nieposiadającą próżni, a równoważną w każdym dowolnym punkcie wewnątrz obszaru z tą funkcyą fx, która do tego punktu należy.

Funkcyę F(x) dostaliśmy, idąc za wskazówkami art. poprzedzającego, a podług nich trzeba było poprzód utworzyć wewnątrz s funkcyę Ф(х) o takich własnościach:

W każdym obszarze Sa mieszczą się w jego kołach wieloboki.

dająch x przez rx składających x‘ przez rxl, to funkeya Ф(х) określająca w rx funkcyę q)rx, określa w rx, funkcyę (prx + (fX'—fx). Równoważność funkcyi F(x) z funkcyą fx w danym punkcie wyraża się związkiem :

Naznaczmyź, gdy x , x‘ są dwa złożone koła sąsiadujące w jakimkolwiek Sa, zbiór wieloboków mieszczących się w kołach skła-zbiór wieloboków mieszczących się w kołach

F{x)—fx(x) = cprx(x).

log(ux\uxi) jest funkcyą regularną

Załóżmy, że fx{x)=logux{x)

— a więc uxjux, jest фО — we wspólnych punktach (х, x‘) dwóch kół złożonych sąsiadujących. W tym razie dojdziemy do funkcyi F{x) z dodatkiem 2mm, posiadającej w każdym punkcie wewnątrz s taką własność: F{x) = cprx{x)Jrlogux,x). Tworząc dalej: eF{^= V(x) mamy: V(x) ) ux(x) = ePr^F>, a to znaczy:

II. Gdy wewnątrz obszaru s dane są funkcyę ux(x) o tej własności, że ux jest w kole x regularną funkcyą, a w (xx‘) jest ux!ux. regularne i różne od zera, to można zawsze wewnątrz s utworzyć taką funkcyę jednoznaczną i regularną, że ona w każdym punkcie wewnątrz s podzielona przez f unkcyę ux należącą do tego punktu, daje iloraz regularny

i różny od zera w tym punkcie. Niech k

k‘a będą dwa koła przykrywające się częściowo w Sa. Zauważmy — przyjmując dla uproszczenia w=4 — dwa koła złożone: x=(kik₂k₃ki), x^{k\k‘₂k‘₀k\) z istniejącemi w nich odpowiednio funkeyami /i, /ч. Oprócz tych kół zauważmy jeszcze koła:

⁼⁼⁼ ik%k₃/c₄), x₂ — {kxk₂k₃k!f), x₃ = [k xk ₂k ^kf), to pary: xxx, xxx₂, x₂xz, x₃xx są sąsiadującemi z sobą odpowiednio w Su S₂, Sv S₄, a gdy w kołach xi} x₂, x₃ istnieją funkcyę fx f% , fx i gdy równoważność dwóch funkcyi ip, X w pewnym obszarze naznaczymy przez гр C\J %, to mamy:

f» c\)fXl W (x Xj) fXlC\jfXj „ (xx x₂)

/jtjCV)/x₃ n (^2^3)

fx,C\JfXi n (^3^4)’

Lecz (x x₂) zawiera się w (x xt) i w (x₁x₂) ,

О *з) [X xk)

»    я (*xi)» (*i*₂) ¹ (*₂*з)»

я „ (xxj, (^x₂), (x₂x₃) i (и₃и₄) a stąd wynika :

f* CV> /b w (n₂) U /*3    „    (Z Zg)

fy. OJ 4    „    (z z₄)

a to znaczy :

Twierdzenia T.. II. opierają się na równoważnych funkcyach we wspólnych częściach dwóch złożonych Mł, sąsiaduj ący ch z sobą w jakikolwiek sp osób, ń у w jednym, kilku lub wszystkich obszarach Sa-

określonych w przyjęty

Przyjmijmy teraz, że według jakiegoś prawidła można każdy punkt («) = («.,, a₂, •••; an) leżący wewnątrz s wziąć za środek pewnego dobrze określonego, złożonego koła zK, a w niem żadno z kół składowych leżące w 5«, a = l, 2, n nie redukuje się do punktu. Wtedy można wnętrze każdego obszaru Sa przykryć całkowicie skończoną ilością kół ka,k'a,k" sposób, tak, że każde koło z wszystkiemi najbliższemi będzie się częściowo nakrywać. Grdy wtedy xa, xb będą kołami sąsiadującemu już w obszerniejszem tego słowa znaczeniu, a podporządkujemy im funkcye fa, f), równoważne z sobą w (xaxb)} to już twierdzenia

I., II. będą prawdziwe.

Obierzmy wewnątrz koła xa dowolny punkt (a‘)=(a\, a'₂,..., a'„), to w otoczeniu tego punktu mamy faCV)/b , gdzie fa< jest: albo funk-cyą fa w otoczeniu miejsca (a¹), albo funkcyą sąsiadującego koła w tern otoczeniu. Z tego powodu możemy powiedzieć:

Gdy dowolny punkt (a) wewnątrz obszaru s otoczyć można kołem xa takiem, że gdy w niem wybierzemy dowolny punkt (a'), a do tych punktów należące funkcye są równoważne, to już twierdzenia /., II. są możliwe.

125. Zasadnicze twierdzenie [Cousin’a] o funkcyacli jednoznacznych wielu zmiennych. Poszukiwania dwóch ostatnich art. posłużą do wyprowadzenia zasadniczego twierdzenia o jednoznacznych analitycznych funkcyach wielu zmiennych.

Przyjmijmy, że w obszarze s = (SiS₂...Sn) istnieje jednoznaczna funkcya analityczna f(xix₂...x№)\ posiadająca tam z punktów osobliwych same tylko punkta nieistotne, a więc wyrażająca się w otoczeniu dowolnego punktu (a) = (aia₂..,an), leżącego wewnątrz s ilorazem dwóch szeregów potęgowych :

51    (U    ...)

(1)

5₂    OU    •••)

Szeregi , ^3₂ przyjmujemy niewspółmiernymi [art. 53]. Są one równocześnie zbieżne w pewnem otoczeniu miejsca (a), a gdy miejsce (a‘) — (a,ia‘₂...a/n) leży w tern otoczeniu, to mamy identycznie :

Si(U-ai-)

(2)

:)

51    (xi ...\a\...)

52    (x₁...\a\...)

w otoczeniu miejsca (a‘), a w tern dostatecznie małem otoczeniu — gdy (a‘) nie jest punktem istotnym — mamy :

(A)

S₂ (U • • • a\ •••)

S₂(U •••    •••)

r eg. funk.Aß.

Lecz i wtedy, gdy (V) jest miejscem istotnem, musimy mieć własność (4.). Inaczej bowiem funkcya/'posiadałaby miejsce istotne (a') w dwojaki, różny sposób się objawiające, a to jest niemożliwe. Wskutek identyczności (2) mieć tu także będziemy [po uwzględnieniu (Л)] własność :

ß)

Si Oi-К-)

=reg. funk.фО w otoczeniu (а¹).

Relacye (A), ß) wskazują — według uwagi przy końcu ostatniego art. — że tu można utworzyć wewnątrz s regularne funkcye Vi, V₂ w ten sposób się zachowujące:

Vi(xi...xn)

Si

~V~2 (x^ ...X-n)

ф₂(^...|аг..)

Uwzględniając (4) w (1), dostajemy:

(3)

(4)

=ЯХ (xx ...x„)=reg.funkßO

=Я₂{хх...хп)—гед .funk. фО

w dowolnym punkcie (a) wewnątrz s.

, %(хх...\ах...).Л₂(хх...хп)

f=

V₂(x₁...xn)

czyli :

(5)

/. U2 —Sl (Xy ...    ...').Л₂ (Xj ...Xn).

To podług (3) wskazuje, że f.V₂ jest również funkcyą regularną w każdym punkcie wewnątrz s. Z (4) i (5) wynika dalej, że iloczyny :

Si (U •• • j^i "•').Я₂ (Xx ...xf) są regularne w każdym dowolnym punkcie (a) wewnątrz s ; a że

*) Dowodu nie można tu opierać na przeprowadzeniach szeregów do dowolnie dalekich punktów, bo w ogólności nie wiemy, czy regularny obszar funkcyi tworzy jednolite, zwarte continuum.

już sama fimkcya Л₂ jest tam taką, więc przyjąć trzeba, że szeregi ^{xv.]ax...), ^₂(хг..\аг..) określają, gdy się punkt (a) wewnątrz s porusza, regularne funkcye (dają się z obranego punktu (a) wewnątrz s przeprowadzać do każdego innego punktu (a‘), leżącego również wewnątrz s).

W tern ukrywa się ta własność szeregów ^, ф₂ z dowolnem (a), że, gdy (c) jest punktem szczególnym najbliżej punktu a leżą-c}un już-to szeregu już-to szeregu iß₂, to taki punkt c nigdy nie zawiera się we wnętrzu s, ale : albo nieskończenie blisko ograniczenia a tego obszaru, albo na samem ograniczeniu a, albo wreszcie zewnątrz obszaru s.

Przyjmijmy, że s jest systemem kół: Ba-={BX, i?₂,..., R„) ze środkami (a) = (a₁, a₂, ..., a„). Iloraz (1) określający właśnie funkcyę f w otoczeniu środka (a) będzie miał wtedy w liczniku i mianowniku szeregi zbieżne w całem wnętrzu koła Ra.

Mamy więc twierdzenie:

I.    Funkcyę analityczną, widu zmiennych, posiadającą w pewnem złożoncm skończonem hole Ba o środku (a) tylko nieistotnie osobliwe punkta, określa iloraz dwóch szeregów danych dla otoczenia punktu (a), a zbieżnych równocześnie wewnątrz koła Ra.

Przyjmując 11 ^ = B₂ = ...=Bn=c/j , a ai=a₂=... = an=0, dochodzimy do zasadniczego twierdzenia:

av³)

II.    Funkcya analityczna wielu zmiennych xi, x₂, ..., xn, posiadająca ze szczególnych punktów, leżących w skoń< zoności tylko same punkta nieistotne, wyraża się ilorazem dwóch bezustannie zbieżnych szeregów o argumentach xi} x₂, ..

126. Całki podwójne (o dwóch zmiennych urojonych), obliczane po danych drogach. Gdy funkcya f(x, y) dwóch zmiennych urojonych X, у zachowuje się regularnie wewnątrz zamkniętych krzywych c1? c₂ i na samych tych krzywych, leżących odpowiednio w płaszczyznach (#), (y), a (x,y) jest punktem zawartym w (ci, c₂), to całkę :

a)

(2 niff f

fdv)

(£—x)(y—У)

dè, dy,

C1 C2

w której według £ całkuje się po drodze cX) a według y po drodze c2 każdym razem w dodatnim kierunku — można w ten sposób obliczyć :

Według art. 116. mamy:

-L f ‘2m J

fil y)

l—x

dl=f(x, y).

Uwzględniając to w J dostajemy:

/ (X, y)

y-y

dy=f\xy)

co jest już wynikiem całkowania (1) i jest analogią z całką Cau-chy’ego o jednej zmiennej urojonej. W razie funkcyi o n nych urojonych x, y, 0, ... mieć będziemy:

t\x,y, 0,...)

zmień-

(2)

(2ш)" fff

fii, у? £> -)

""Ц—х\у—y)(Ç—0)...

С1 C2 C3

Z tego związku wynika przez różniczkowanie : da d@ dv

Iß! у!... дха ' dyß ' сIz?

...f{x, у, 0, ...) =

(2ш)' fff

(£—x)a(y-y)ß{£— 0)V...

dÇ.dy.dÇ...

C1 C2 *3

a to będzie spółczynnik przy iloczynie (£—x)a.(y—y)P.(Ç—z)y... winięciu    —x,y—y,Ç—0,...) funkcyi f w otoczeniu punktu (ж,у, 0, ...)•

Ograniczając się odtąd do funkcyj f(x,y) dwócłi zmiennych urojonych, połóżmy:

w roz-

i przyjmijmy, że:

(a) x=xxĄ-x₂i,

(ß) У=х ₃+ж₄г

(3)

f(xy)=P(xx,x2: x₃, xk) +    , я₂, я₃, xk) i,

gdzie P, Q mają już spółczynniki wyłącznie rzeczywiste, a jako składowe części funkcyi już-to urojonego argumentu (a), już-to argumentu (ß) spełniają związki:

(«)

dxx

Ф)

£+-*-0

dx₂

dP

dx₃ dxk ^ ’

iß)

dP

«O

dxk dx₃

0.

Z nich przez różniczkowania i rugowania dojdziemy do takich czterech równań :

d²P t d²P dxi ² ^ dx.₂ ²    ’

d²P д²Р л <)xx dx₃ dxkdx₂

d²P d²P dxi dxk    дх₂дхл

d²P d²P

którym zawsze zadość uczyni część pierwszorzędna funkcyi f(x,y). Mając to zauważmy całkę podwójną określoną:

dx₂

2~ +

J.

f ai i ьi

= / J f(x,y)dxdy.

<’o b₀

Aby jej nadać ustalone pewne znaczenie, trzeba przyjąć jakiś sposób, według którego przy jej obliczaniu posuwa się zmienna x na swojej płaszczyźnie od punktu a₀ do a1? a zmienna y znowu na swojej płaszczyźnie od punktu b₀ do bx. Temu zadość uczynimy kładąc :

x₂ = cp₂ (Я) ’

£₃=VhO)

przyczem o tych funkcyach rzeczywistych parametrów i, у robimy takie zastrzeżenia: cp^ + q)₂i ma być = a₀, gdy Я = Я₀, ma być = a1} gdy    a dla pośrednich wartości Я ma skreślić na płaszczyźnie

(,X) jednolity ciąg punktów, tworzący krzywę nieprzecinającą się z sobą. Podobnie ipxpip₂i ma być = 5₀, gdy y=y₀, ma być =b gdy y—y^, a pośredniemi wartościami y ma znowu na płaszczyźnie {y) określić krzywę l₂ nieprzecinającą się z sobą. Te dwie krzywe (^,?₂) dają drogę całkowania s.

Mając już to, napiszmy — nie troszcząc się o granice całkowania —

(4)

A)

j Jf (x, y) dx.dy=J J' (Pp Qi)(dxi -+- dx₂i)(dx₃ + dxk i)= =J j\Pdxi dx?j —Pdx₂dx₄ — Qdxidxi — Qdx.₂dx?j\ -f pi JJ [Pdxidx!ipPdx₂dxzPQdxidxz — Qdx₂dx[i\.

Wprowadzając tu podstawienia (4) dostaniemy:

dx^ dxk дЯ ’ dy

m J-jJ ip

® — >..] dЯ dypiJ J [P = %p%.i.

Przyjmujemy oczywiście, że f\ P, Q są funkcyami jednoznacznemu, skończonemi i ciągłemi na wszystkich punktach drogi s.

Wszystkie punkta (xi, x₂) drogi li zmieńmy na (xi + ôxi, x.₂ + óx₂), a wszystkie punkta (æ₃, æ₄) drogi l₂ na (x₃ 4-d#₃, xi + &г₄), przyjmując, że przyrosty óx1}... są nieskończenie małe, tak, że już ich iloczyny lub potęgi — (nieskończenie małe drugiego i wyższego rzędu) — opuszczamy w rachunku, a w punktach a₀, аи b₀, bi są zerami. Przez to drogę całkowania s=(?1}Z₂) zmieniliśmy na drogę s‘ — (l\:ll₂) nieskończenie mało różną od drogi s, a noczynającą się i kończącą w tych samych punktach, co pierwotna droga s.

Przez te zmiany przejdzie P na: PĄ-óP=

(6)

=РЛ

dP

дх^

àxi 4

dP

дх₂

óx₂Ą

dP

дхг

óx₃Ą

dP

àxk

ÔXi

дх± дх3 дЯ ' д/г

па

dxi дх3 дЯ ’ д/г

(7)

дх₁ дх3 дЯ ' д/г

dxi дх3 дЯ ' д/ь dôXi дх₃    дхл ддх₃

дЯ    д/л    дЯ    д/i

fd

)-

i t. d.

Z pewnej całki zawartej w 31 t. j. z całki:

JT

P,

dxi dx3 дЯ ' d/i

(1Я.с1/1 dostaniemy:

Z₀ (*o

*0 /*0

stąd wynika, że Jj zmieniło się o:

j с1Я.(1/1 )

ГЛ1 ГРл    /

-ff <r+m(

дХ\ дХо . dxi дх?> дЯ д/i дЯ д/л

ÔJ.

dxi dx₃

дЯ д/i

pdP.

dxi dx:] дЯ d/i

] с1Я.с1[1

A₀ i*a

[opuściliśmy tu nieskończenie małe drugiego i wyższego rzędu].

jakie mamy w (6) i (7) dosta

li względniając tu óPi i d

dxi dx₃

дЯ d/i niemy :

йЯ d/i

(8)

Ü.*+J‘n Si Sb

йЯ d/i

cl Я. d/i 4-

4-

t/T

Л₀ [a>q

dxi

óxx -f

dP

Л₀ [л₀

Zauważmy, że:

dx₂

d^₂ 4

dP

дхъ

óx₃ 4

dP

dxk

óx₄)

dxi dxg d2 d/i

dЯ d/i.

dôxi

to pierwszej całce zawartej w (8) będzie można nadać taki kształt:

Mo

a, dx3 яа d/i

Г Яi /'Mi /

d" ~j J (

dP dxx    dP dxA,

da;, di    da;₂ d/ł / ^

di d/ł,

' dii

Âq fJ/Q

ale tu całka pierwsza jest zerem, bo da:, =0 gdy a:,=i₀, lub = i,.

d

Analogicznie wychodząc z pochodnej (Pda;₃) i przerobiwszy drugą

d/i

całkę w (8), dojdziemy wreszcie do:

dP dx₂ dx3 dx₂ di d/i

dP =

— da:,

+ da:₂

dP dxi dx g da;₂ di

dP da;, dx.Ą дхк di d/i

Grdy pozostałe całki zawarte w 31 nazwiemy po porządku : P₂, P₃, P₄, to ich zmiany: dP₂, dP₃, dP₄ dostaniemy z (9) przez takie podstawienia :

(9)

dP da;, da?₄

da;₄ dX d/i

+ da;₄

di. d/i.

(«)

~P »M /у» /у» /V»

JL «д/^ 1Л/2 «А/g «л/^

_ У» /У»    /У»    /V»

jL «Л/р tAz-j iA/д «А/о

Px₁x₂x₃xi \ 2 a:, ajg a;₄ /

)’ w (

P-У /у» /у* /у*

JL Jya iX/o %Asо »AZA

— $a:,a:₂a;₄a:₃

Z uwzględnieniem podstawienia (a) dostaniemy:

(0)

[da:₂

dP, + dP₂ — dx₂ , da:, \ da:₄ dP di ² di / d/i dx2 dxk . dxA dx.j dP

-*Ч?Ы⁺;е

d/i

dP

{h +

da:,

(<ц

(^4

da:,

di

da:₃

d/i

— da:,

— da:₃

dx₂ \ da;3 di / d/i dr₄ \ da:, d/i/ di

dP

da:₂

Я₂ +

dP

da:₃

dP

da:₄

dP

... nazwaliśmy odpowiednio Я,...

gdzie spółczynniki przy

ООО

Za zastosowaniem podstawień (/3), (y) w dP, dojdziemy do

ÔJ, ~b dP, =

dQ Я₂-^Я₃+^Я₄;

da:₂

#i+

da:,

dxi

da:₃

a suma dP, + dP₂+ dP₃ + dP₄=d3l okaże się — wskutek związków (a), (&), (c), (dj — identycznem zerem. Analogicznie sprawdzimy,

że i 40=0, a stąd wnosimy, że całka J nie zmienia swej wartości za zmianą drogi s na s'. Zmieniając dalej s¹ na s", s'" i t. d. dojdziemy do wniosków :

I. Całka określona funkcyi dwóch zmiennych urojonych nie zmienia swej wartości, gdy się jej drogę całkowania zmienia na inną, byleby tylko te zmiany odbywały się w zakresie regularnego zachowania się funkcyi.

II. Całka o zamkniętej drodze jest zerem, gdy ta droga zawiera się w zakresie regularnego zachowania się całki.

III. Zamkniętą drogę, na której funkcya całki zachowuje się regularnie można — bez różnicy, czy obliczona całka jest =0, lub jest фО — zmienić na inną zamkniętą, nie zmieniając wartości całki, byleby tylko przy tej zmianie nie wychodzić z zakresu regularnego zachowania się funkcyi.

127. Całki podwójne o zamkniętych konturach, których wnętrza są powierzchniami w 4-wymiarowej przestrzeni. Całce podwójnej z funkcyą dwóch zmiennych urojonych można — zamiast dawać im stałe punkta jako granice z określeniem drogi — podsunąć kontur całkowania wynikający z takich warunków :

(1)

Zatrzymując oznaczenia (a), (/?) — art. poprzedź. — połóżmy: xa=cpa{u,v), «=1,2,3,4, gdzie и, V są parametrami rzeczywistymi, które mogą przybierać wartości określone takimi warunkami: Grdy uu, w są osiami układu prostokątnego na płaszczyźnie, a na tej płaszczyźnie leży krzywa к zamknięta w ten sposób , że do jednej wartości u należą dwie tylko wartości v=vf, vu“, a naodwrót do jednej wartości v należą dwie tylko wartości u=u'v, uf¹, to (u, v), jakich użyć można w (1) leżą albo wewnątrz krzywej k, albo na niej samej. Systemy (u,v) leżące na samej krzywej к znaczyć będziemy przez (u₀, v₀). Niech w krzywej к będzie: najmniejsze u=ai, największe u=a₂, najmniejsze v = bl, największe v~b₂, a w całce:

(2)

= f f f(x,y) dxdy,

napisawszy ją już w postaci (A) — w art. poprzedź. — odnieśmy jej wszystkie sumujące się elementa do tych tylko [xu x₂, аг₃,гв₄], które z dopieroco podanych ograniczeń parametrów (u, v) wynikają, to mieć będziemy :

Dla krótkości mówić będziemy, że obszarem całkowania jest pewna powierzchnia S w czterowymiarowej przestrzeni, ograniczona punktami xU=cpa(u0: v₀), « = 1, 2,3,4.

W tym obszarze zmieńmy każdy punkt ;

(4)

(3)

гаг Ни" Г

J-J J

ai

v'u

d(xx x?>)

d(x₂xĄ)

óOa)

d(uv)

d(uv)

d(uv)

d(x₂x?i) I ⁴ d(uv) \

dudv-\-

dfaXi)

d{uv)

+P

d(x₂x₃)

d(x{ x₃ )

d[x₂x^)

d{uv)

d(uv)

d(uv)

da dv =

«i

=21+23 i

'«2 V'

[w każdej z tych ośmiu całek można całkę

zamienić na

«i

77

w»"

odwracając równocześnie porządek całkowania].

(xix₂x₃xi) na (xl-\-ôxl, x₂+ôx2x x₃-\-ôx₃, ж₄+&в₄),

gdzie óxa są dowolne, nieskończenie małe i różne od zera dodatki, stające się zerami, gdy xa stają się =Xa⁽⁰\ Przez to powierzchnia S przechodzi na inną S‘: ale ta z powierzchnią S ma to samo ograniczenie złożone z punktów (x°iy x°2: x°₃, æ°₄)*).

Tworzy to analogię z wypadkiem omówionym już w art. poprzedź., gdzie drogę całkowania zmieniono na inną z tym samym punktem początkowym i końcowym. I tu więc trzeba zbadać, jaki wpływ ma ta zmiana na wartość całki.

Wskutek przyrostów óxa zmieni się P o dodatek:

(5)

dP

oP——— óxx +

dxx

dP

дх₂

óx₂ +

dP

дхъ

óx₃ +

dP

dxk

zmienia się o :

d(xx х₃) dxx дхъ dxi дх3 d(uv)    да ' dv dv du

dôx₁ dx?i ^ dxx dôx₃ dôxx dxs    dxi dôx₃

du dv    du dv    dv du    dv du

Wskutek tego pierwsza całka w 21 dozna dodatku:

Można to osiągnąć przyjmując, że ff« zawierają oprócz w, v jeszcze jeden parametr s w ten sposób, że v, e) okazują się niezależne od e, gdy « = w0} v — v₀- Zmieniając przyjętą wartość s nieskończenie mało na inną przechodzimy z powierzchni pierwotnej S do innej S‘.

(6)

f f P    4- dôxz dôxi dx?> dxi dôXo 1

JJ [ du dv ' du dv dv du àv du J

dudv-\-

IM

dxl dxg dxx dx?> du dv dv du

du dv

[granic, gdzie ich do rachunku nie potrzeba, wypisywać nie będziemy].

Zauważmy, że:

dP

du

óxx 4- P

dóxx

du

to mieć stąd będziemy:

/7

b₁ Uy*

V'

dôxx dx?, du dv

du do =

/'M

u”'dx 3

V' dv

dv —

ff

bl uv‘

v' dP

du

öxx

dx?i

dv

du dv.

Lecz

\P0xd

uv"

= 0, gdyż ôxx=0 na ograniczeniu. Pozostanie

więc tylko :

/7

6, V

V' dp

dx?i

TuX4v

du dv— —

л ôx, du dv. du dv

Zastosujmyż to do dalszych trzech całek zawartych w (6), w ostatniej całce w (6) uwzględnijmy (5) i zauważmy, że : dP dP dxx du dxx du

to ostatecznie po wszystkich skróceniach i ściąganiach dostaniemy:

p d(xxx₃) d(u v)

dP dP dxx

dv dx, dv

•ff

du dv =

(a)

-ff Ii-.

d(x 3^2)

d(uv)

\-дхъ

d(x ₂xx)

d(uv)

+ ôx₂

д(ххХо)

d{uv)

du. dv -j-

f/s, h

d(x?xh)

d(uv)

+ ôx?>

d(x₄xx)

d(uv)

-f- ôxi

d(xx хя)

d(uv)

du dv.

Po

podstawieniu ^

P 'У /У* /у /у JL «Л/ À tA/n iA/q iX/л

_ P /y /Y*    /Y*    np

A- lA/p шЛ/А tЛ/Д tA/O

pd(x₂xk) d(u v)

mieć będziemy : du dv =

(b)

-/Д-h

d'xkxj)

d(uv)

4" ÓX,Ą

d(xi x₂ )

d(uv)

\-ôx{

d(x₂xk)

d(uv)

du dv —

ff% h

à{x&)

d{uv)

+ âx₃

à(x₂xi)

d(uv)

-j- àx2

■à{X\X ₃)

d(uv)

dudv.

Napiszmyż sumę dodatków (a), (b) w postaci:

(«')

ffl

dP

dP

dP

clxx

Я₂ — л— Щ +

dx₂

dx₃

dP

dxk

Hk j du dv,

to dalej przez przedstawienia (/?), (y) art. poprzedzającego zastosowane do (a) dojdziemy do dodatku dwóch, dalszych całek w 21. Będzie on postaci :

(b¹)

/А

Hl H₂ Hk + ^Я₃ J du dv.

àx₂

dxi

dx!t

дхг

Suma dodatków (a‘) (b‘) daje <521=0 wskutek związków (a), (b), (c), (d) art. poprzedzającego. Analogicznie okaże się d23 = 0, a to

znaczy :

I. Całka podwójna o danym, stałym konturze nie zmieni swej wartości, gdy — pozostawiając kontur zawsze ten sam — zmienimy jego wnętrze na inne.

W najnowszych czasach próbują Picard i Simart [Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes T. I. Paris 1897] oparci na pracach swoich P o i n c a r é’go i B e 11 i’ego stworzyć teoryę całek podwójnych z funkcyą z, określoną równaniem algebraicznem : f(x, y, z) = 0. Przenoszą więc tu przede-wszystkiem pojęcie całek okrężnych, pozostałości i t. p.

Por. w szczególności: Poincaré. Sur les résidus des intégrales doubles. Acta math. T. 9. str. 321—399. Picard. Mémoire sur la th. des f. algébriques de deux variables. J. de l’école N. sup. T. 5. (S. 4, 1889) str. 135—319.

¹

Mamy bowiem : 1\ —fy. + r eg. funk. ï\ ' — f%< -f- reg. funk.

²

Mamy bowiem :

Ft = F(y) + reg. funk A    j Fiv) =fXl

Ff = F(vl)Ą-reg.funk.)    " ( №') ==//,,

więc z tego wynika:

L¹ = A + r eg. funk. Ff — fx.i + reg. funk.

³

Sposób wyprowadzania tego twierdzenia opracowany w tekście podał P. Cousin w rozpr.: „Sur les fonctions de n variables complexes“. Acta math. T. 19. (1895). str. 1-61.

Poincaré już w inny sposób — [„Sur les fonctions de deux variables“. Acta math. T. 2. str. 97—113] — doszedł do takiego rezultatu, rozważając funkcye tylko dwu zmiennych, a Weierstrass, który pierwszy poruszył ten problem, zdołał udowodnić to twierdzenie tylko przy szczególnych założeniach.

ROZDZIAŁ XVII.

Całki określone Abla. Ich peryody; prawidło dodawania i odwracanie. Funkcye eliptyczne Jacobi’ego i Weierstrassa.

128. Peryody całek Abla pierwszego i drugiego rodzaju.

Niech f(x,y)=0 będzie wymiernem równaniem, określającem algebraiczną funkcyę y rodzaju p=Q. Grdy dla wyobrażenia takiej ftmkcyi utworzymy powierzchnię Riemanna 91, to każda funkcya

wymierna F(x,y) pary (x,y), spełniającej równanie/'= O, jest jednoznaczną w powierzchni i przybiera na niej dowolną wartość c, skończoną, znikającą, lnb nieskończoną na jednakiej ilości miejsc.

fx 1У1

Chcąc badać

określoną całkę J F(xy)dx, której droga całkowania

JxoVo

przedstawia się jako dowolna linia krzywa, nieprzecinająca się z sobą, a dążąca na od punktu (x₀y₀) do (xiyi), dość jest, podług art. 81—82., wziąć pod uwagę całki :

(1)

fx\У\

J II (Xy)a

«= / H‘(x:y)adx

[хлУ\

= J II(xy, x'y'ylx¹

хоУо

хоУо

p-

« = 1,2,

Naznaczmy dla krótkości punkt (x₀y₀) przez p₀, punkt (xi,yi) przez pi, a drogę (jV"Pi) przez p^gp^ to teraz zbadać trzeba, jaki wpływ na wartość całek (1) ma zmiana tej drogi na inną: {p^ipß). Zajmijmy się całkami rodzaju pierwszego. Nie dają one w żadnym punkcie (x, y) powierzchni ÏÏÎ ani nieskończoności, ani logarytmów, a wskutek tego zmiana wartości każdej całki takiej może pochodzić jedynie z punktów rozgałęzienia. Całkę Ja obliczoną po drodze (p₀gPi) naznaczmy przez (p₀gPi)a, a obliczoną po drodze (PohPi) przez (pohpi)« ; zamkniętą drogę (iVmMO nazwijmy Z, a całkę Ja obliczoną po niej (?)a, to całka (l)a będzie zerem, jeżeli koło l jest przywiedlnem , a będzie różną od zera, gdy l nie jest kołem przywiedlnem. Aby (l)a obliczyć w tym drugim razie, zau-

ai

.....b)

\\

K,

rjl

Fig. 71.

ważmy, że — gdy (Kß,K‘ß), ß=l, 2, ..., ę jest całkowitym systemem kół nieprzywiedlnych na iR, — to mamy równoważność:

(2)

1=РоУ PihPo = — Sm'ßKß-pSmßK'ß ; ß

(art. 100., tw. I.), niß, m‘ß są całkowite liczby, których znaczenie zaraz poznamy.

Zauważmy dwa koła Kß, K‘ß [fig. 71., a) lub Ъ)] i zróbmy wzdłuż nich przekroje. Na przekroju (kole) Kß oznaczmy dowolny brzeg jego, jeden jako dodatni ( + ) a drugi jako odjemny (—). Na samem kole Kß uznajmy ten kierunek za dodatni, w którym poruszając się, mamy brzeg odjemny po prawej stronie. Na kole Кę oznaczmy kierunek dodatni w ten sposób: Punkt poruszający się w dowolnym kierunku po dodatnim brzegu koła Kß dostaje się wreszcie na brzeg koła Kß, a poruszając się w nim dalej oznacza na nim kierunek dodatni. Podług tego kierunku oznaczymy na K'ß brzeg jego dodatni i odjemny podług tej samej reguły, jak na kole Kß. Tak samo z każdą parą kół postąpić trzeba.

Dalej poprowadzimy takie znowu określenia :

Linia przecinająca Kß lub Kß, przecina te koła w dodatnim kierunku, jeżeli poruszający się po niej punkt przechodzi z ich brzegu odjemnego na brzeg dodatni, a przecina je w kierunku odjemnym w razie przeciwnym.

Mając to weźmy dla uproszczenia    = 3, z przekrojami:

Ki} K\, K₂, K₂, K, K\, hi, h₂ (fig. 72.) sprowadźmy powierzchnię 91 do 9P już jednokrotnie zwartej.

Niech droga l ma pierwszy punkt przecięcia się z tymi przekrojami w punkcie y, leżącym po odjemnej stronie koła K₂. Do

ч\

l-x

•Д

//

к.___

'o

i!-*

JT

Lr

,y

‘v

\>

b.

Fig. 72.

poznoszą odjemnym. Połóżmyż :

punktu /, leżącego po przeciwnym brzegu przekroju K₂, [y, y‘ spadały w jeden punkt na powierzchni 91] można dojść z punktu у krocząc wzdłuż pasma ograniczającego 91', a więc wychodząc z y albo w kierunku strzałki a, albo w kierunku strzałki Ъ. "Wychodząc w kierunku strzałki a i całkując H(xy)a w tym kierunku (poczynając drogę w punkcie y, a kończąc w punkcie y') przekonamy się, że z całek obliczanych po brzegach kół i po h₂ wszystkie się z wyjątkiem całki okrążającej koło K₂ w kierunku

[całka obliczona w dodatnim kierunku po K\], to dopieroco omówione przecięcie zmieni (l)a na (l)a—2<u'a2-

Niech dalej droga l przecina koło K₂ w dodatnim kierunku w punkcie yi. Na 9Î' ten punkt rozdziela się na dwa: yl7 y'1? i aby w 9P dostać się z yt do y\ trzeba J H(xy)adx obliczyć po paśmie poczynaj ącem się w yi: a kończącem się w y\. Wychodząc więc tu znowu czy-to лу kierunku strzałki a1? czy strzałki przekonamy się, że tu z całek obliczonych po brzegach kół i po brzegach przekrojów hu h₂ poznoszą się wszystkie z wyjątkiem całki obliczonej w dodatnim kierunku po K₂. Połóżmyż:

(à)

ll{xy)adx = 2co„2

to to przecięcie zmieni (l)a—2co‘a<l na (l)a—2<у'й2 -\-2ыа2. W razie, gdy odjemne przecięcia się drogi l z kołami K₂, K‘.₂ bierzemy pod uwagę, trzeba —2<п'а2; -4-2co«2 zmienić na + 2оУа2, —2o>K2-

Wszystkie te wnioski powtórzyć trzeba przy każdej parze kół, których-to par (przyjmujemy ogólnie), jest a poszczególne pary znaczymy przez (Kß. Kß).

Przyjmijmyż, że droga l przecina koło Kß w kierunku dodatnim p'ß razy, a p“ß razy w kierunku odjemnym i połóżmy:

p‘ß—p“ß=mßi

to t.e przecięcia zmieniają (l)a na:

Q)a—2m ßco'aß.

Przyjmijmy dalej , że ta sama droga przecina koło Kß w kierunku dodatnim, q'ß razy, a q“ß razy w kierunku odjemnym, i połóżmy: q'ß—q'‘ß=m‘ß: to te przecięcia zmienią znowu (l)a—2mßo),ceß na (l)a+2m,ß(oaß—2mßCo‘aß.

Uwzględniając wszystkie koła (KßKß), ß=l, 2, ..., q , dostaniemy :

(2)

(l)ce + K(2m‘ßCoaß—2mß(o,ceß)=0

gdyż cała ta zamknięta droga, znajdując się na jednokrotnie już zwartej powierzchni ЭР, jest kołem przy wiedlnem.

Liczby mß, m‘ß nazywamy charakterystykami drogi l w kołach Kß, Kß, ß—1, 2, ..., q.

Porównując wzór (1) z wzorem (2) poznajemy znaczenie liczb mß, m‘ ß we wzorze (1) i dostajemy twierdzenie:

Teor. funkcyj analit. ï. II.

I. Każde nieprzy wiedlne koło Z, o znanych jego charakterystykach zmienić można na koło przywiedlne przez wstawienie pewnych oznaczonych ilości kół nieprzywiedlnych Kß, К), ß=l,2, ..., g.

Z równania (2), pisząc je w postaci:

(3)

(l)ce=U(2mß(o,<xß—2mlßO)aß)=2o)

dochodzimy do wniosku:

II. Każda całka pierwszego rodzaju, obliczona po pewnem nieprzy -wiedlnem kole, równa się sumie stosownie uwielokrotnionych całek obliczonych po kołach Kß, К), /?=1, 2, ..., ç.

Zważywszy, że l=(PoffPi) + (Pihp₀), a więc:

Q)a=(Po9Pi)«—(.PohP±)«i

dostajemy z (3) :

( Po * Pi )«= ( 2>o№ )«+2(ßm‘ß(öaß—2mßoSaß)

a to znaczy :

III. Każda zmiana drogi określonej, ale niezamkniętej całki (z pozostawieniem tychsamych granic) zwiększa wartość całki o —2wa.

Gdy w całce:

U)

JJxy)

f{xy)

= /¹¹Ш

„dx

Oo*A>)

uważać będziemy górną granicę za miejsce bieżące na powierzchni a więc Ja{xy) za funkcyę tego miejsca, to taką całkę określić możemy jako funkcyę na powierzchni 9Î' skończoną i oznaczoną, a posiadającą na samych kołach Kß, Kß takie cięcia, że:

(4)

^a(x:y)=Ja(x,y)—2(olceß na kole Kß

J~a(x:y)=Ju(xgj) + 2waß „    „ Kß.

na miejscu (aaó„)

tego miejsca, choćby się je okrążało, nie dostaniemy nagłej zmiany ciągłości. Nazwijmyż:

Analogiczne uwagi dadzą się wypowiedzieć o zamkniętej lub niezamkniętej całce drugiego rodzaju. W niej staje się H/(xy)adx nieskończonością drugiego stopnia jedynie a z

(C)

J H\xy)adx=2paß

kß

J' H‘(xy)ctdx= 2rf

k‘ß

a (iya niech przedstawia wartość całki rodzaju drugiego, obliczonej po nieprzywiedlnej drodze Z, to tu mieć będziemy:

a całka :

г(*У)

(-B)

dx

J‘a(xy) = J 3\xy)a

OWo)

jako funkcya miejsca (а?,у) będzie na samych kołach Kß) К miała takie cięcia :

(6)

Jla(xy)=J‘a(xy)—2r]‘ceß na kole Kß,

J cc{X У) — J a{xy) 4"    n n

Definicye. Całki zamknięte (Z)„=2ojk, ('iyce—2r]ce, których wartości nie są -z er am i*), nazywamy odpowiednio peryodami atej całki pierwszego lub drugiego rodzaju. Każdy dowolny peryod 2coa da się za dobraniem stosownych całkowitych spółczynników wyrazić liniowo jednorodnie przez 2q całek: 2ü>ai, 2wß2, ..., 2coa(>, 2(o‘ai, 2(o‘a2, ..., 2o/K£>, które z tego powodu nazywamy pierwotnymi peryodami całki Ja{xy). Analogicznie 2f]a 1, 2^₂, 2rjaQ, 2rj‘cd, 2f]‘«2, ..., 2rjaQ są pierwotnymi peryodami całki JjJxy) rodzaju drugiego.

z kół , K‘ inne, przecinające już te koła — położyć:

(5)

(7)'«=2(2mßr]‘ aß—2m¹ ßr]aß)=2 r\

Gdy w {A) lub (B) mają J~(xy), /'(жу) takie wartości, jakie się otrzymują po drodze (ж₀у₀, xy), nieprzecinającej żadnego to trzeba — uwzględniając najrozmaitsze drogi

(A‘)

(ß‘)

r*y

I H (xy)adx=J(xy)Jr 2oj

rxy

J H‘ (xy)adx = J‘ (xy) + 2i]a ,

ЧУо

ЧУ о

2ра są dowolnymi peryodami. "W nich spółczynniki mß

gdzie 2(o

m‘ß mogą być najdowolniejszemi liczbami całkowitemi <0, bo z dowolnego punktu r tej drogi możemy zboczyć, aby się dostać do punktu s, leżącego na jednym z brzegów koła Kß. Obiegając wtedy mß razy pasmo złożone z kół i przekrojów hl, h₂, ..., dostajemy dodatek +2mß(o‘ß lub —2mßoyß, a wróciwszy potem z s do r po tej . samej drodze dostajemy już w punkcie r wartość całki, zmienioną o +2mß(o‘ß lub o —2mßoj‘ß.

O tem będzie mowa w art. 130.

129. Związki między peryodami 2w, 2rj, Oprócz zamkniętej nieprzywiedlnej drogi l, dającej peryody :

(iya=2y

a= 1, 2, p.

(l)a=2co

utwórzmy jeszcze drugą zamkniętą, a również nieprzywiedlną drogę m, dającą :

(W)a=4= 2(0

i zauważmy związek [art. 80.] :

«=1, 2,

•j P

(1)

d    d

х>у¹)—^Д{х>у\ху)=

=2[H{x,y,)aH,{xy)a—H/(x‘y,)aE{xy)a]

w którym (x‘y‘) ograniczamy wyłącznie do punktów drogi l. Pomnóżmy ten związek przez dx‘ i całkujmy po obydwu stronach po drodze l, to z uwagi, że :

d r

^7 / H(x‘yl,xy)dx,=0

mieć będziemy:

(2)

d f

jx / H(xy, x'y^dx¹=2[2(0аН‘(ху)а—2г]<хЩху)С[].

Połóżmy :

J Eixy^x'y^dxf—Qixy)

to z uwagi, że w każdym punkcie {x‘y‘) drogi l mamy:

И{ху,х‘гу‘)

х<Ьд+^х~х‘'У-у‘'>

posiadać będzie funkcya ß(x,y) linię l jako cięcie objawiające się w ten sposób :

Gdy punkt (xy) — (£77) leży na samem kole l

to go trzeba

uważać za punkt mający dwa znaczenia, a mianowicie: za punkt

na dodatnim brzegu koła l i za punkt (f^) na odjemnym brzegu koła l. W takim punkcie mamy [art. 120]:

ДЙ)—ДЙ) = + 2 ги.

Pomnóżmyż obie strony związku (2) przez ć&c i całkujmy je potem po drodze m w ten sposób, że na niej — poczynając od punktu (xxyx) — obieramy po porządku punkta :

(ед), (Ж₂у₂), (я₃у₃),    (а^Ул),    (^+1УА-ь0, ...

•••; (Х/лУ/У), (^2%)? •••> СХпУп), (ж₁у₁),

(£«?)

to jeżeli w (gttj,), (£₂?/₂), ••• przecina droga m drogę l dodatnio mieć będziemy:

/ ixQ(xy)dx~

= [    У 2 ) —    у i )] ■+ [    y₃) — Ü(X₂y.₂)]+...+

4- [-0(^1 )—®{%лУл)] 4- [й(хл+1Ул₊1)—<ö(^i )] +

4~ •••4* \Q(M% %) ^ОЗД»)] 4"    !2(£₂ т7₂)-|-

4-

—^[2о>а2^й    2^0[.2ct)K]

Lecz wszystkie Ü zawierające (xy) poznoszą się tn tak, że po pierwszej stronie pozostanie tylko :

(3)

jeżeli m przecinało drogę l razy v dodatnio, a ani razu odjemnie. Jeżeli przeciwnie z wszystkich, tych przecięć mamy vi dodatnich, a v₂ odjemnych , to wtedy w (8) v± tylko różnic zatrzyma znak — , a w v₂ pozostałych różnicach trzeba znak — zmienić na +.

W tym więc razie otrzymamy:

/ TxQ{xy)dx=

=^[2<w«.2ł/«—2(oa2f]a]=— (vj —v₂)2ni.

Połóżmy — v₂=y, to ostatecznie będzie:

Gdy się Izm wcale nie przecina, jest y=0.

Odnieśmy to do kół Kß, TTp', z których pierwsze uważamy za drogę l, a drugie za drogę m, a które dają peryody 2coaß, 2a/Kiî, 2^a|3, 2rj‘ctß, to, ponieważ one mają jeden tylko punkt przecięcia, a w nim K'ß przekracza przez Kß dodatnio, więc tu dostaniemy :

Ща? O)'aß — rl'aß °->aß]= 4~ ^ •

Gdy ß, у są dwie różne liczby wyjęte z szeregu: 1, 2,..., p, to:

^[tfceß Ы ay 'Цау ^ aß] ~ О a

aß № ay 'Ц ay Ы aß]⁼⁼ 0    „

(4)

(5)

(а)

(Ь)

dla kół Kß, К,

П K'ß, К'у

фО.

(Ф

aß ay 4 aß ^aß]—0    „    „ Kß , K'y

П K'ßl Ky.

«/?    W «y]— 0    „

a

W takich związkach pozostają ze sobą peryody wszystkich q całek pierwszego i q całek drugiego rodzaju, obliczone po dwóch kołach nieprzywiedlnych.

Gdy pß, qß} /5=1,2, ..., p, są liczbami zupełnie nieoznaczonemi, a położymy:

(6)

Pa — ^[%Pß r\aß + %flß rfceß]

ß

Qa=2[%Pß (oaß+2qß co'aß]

a — 1,2, p,

to tych 2q równań — jak zaraz się pokaże—będzie można zawsze rozwiązać przy zupełnie dowolnych Pß, Qß. Z równań (6) dostajemy :

^(Pfxfà'ay QicûJ ау)'=ь ^^Pß • ^\ß4aß ay 4 ay ^aß1~\~ a    ß    a

+ 22qß . 2[fj‘„ß O)¹ cry —О)¹ aß ri'ay\ ß    а

Tu po prawej stronie są spółczynniki prźy wszystkich 2qß zerami (por. ([b)). Ze spółczynników przy 2\pß, /5=1,2,..., są wszystkie zerami z wyjątkiem spółczynnika przy 2py, który podług

ni

związku (5) jest=-f—. Uwzględniając to mamy: A

-.ЩРаОУау-ЯаУ'ау}] analogicznie okaże się

00

Py =

^ [P<*c0«}’ Q<* ч»А

Gdy więc równania (6) rozwiązać można bez wszelkich zastrzeżeń o Pa, Qa, to stąd wnosimy, że wyznacznik :

Vię Ч'и Ч‘\2•••

^ V21 V22-

* (O

2y =

^11 ^12"*

W    %2...    %₄o    V?2...

«И    «12-    «!(,    W'ü    6>'₁₂-

û>2i    ^22”‘    ^^21    ^,22***

(àçl 0)ę2-..    to'pl 0)^2 ••• <w'P0

Gdy w (e) (e') za у położymy /5, a za « położymy у i tak wyrażone pß, wstawimy w (6), dostaniemy związki, które muszą być identycznościami, a uwzględniając to otrzymamy:

(«')

(&')

(«')

(d¹)

°₅ gdy

^toaßto'yß—rfaßayß^ П%

—' ['^«,3 '<] yß rl‘ciß Vvß\ ~~ ^

ß

^ [^« ^ У ß ^ « jS (?] ⁼ 0

y^a:

У*=в ;

0, gdy 7<«

2 [Vy ß ⁰⁾¹ CC ß — n‘y ß <°cc ß] = ,¹ П i

To są związki, jakie zachodzą między wszystkimi peryo-dami, obliczonymi po kołach Kß, K‘ß, /1=1, 2, ...,    , dwóch całek:

«tych i ytych pierwszego i drugiego rodzaju.

130. Pcryody całki Abla rodzaju trzeciego. Funkcya JJ(xy)

Niech 2iva , 2w‘a przedstawiają wartości całki trzeciego rodzaju, obliczonej po kołach Ka, K'a. Ponieważ :

w otoczeniu punktu (xy)

dx‘

(1)

H (xy: xky‘)dx'=

X¹—X

dx‘

(«о⁶ o)

x‘—a₀

a zresztą wszędzie jest regularne w zmiennych x‘,y‘ przeto tylko w otoczeniu tych dwóch miejsc wystąpią po scałkowaniu logarytmy.

Przez okrążanie już-to miejsca (x‘y‘), już-to miejsca (a₀6₀), schodzimy z jednej gałęzi logarytmów do innej. Aby temu przeszkodzić , poprowadzimy z punktu ci = (xy)

o. i

C,

\r

~T~

?y-

k’

С.ГТ

cięcie :

л¹— [да + agb -f bc-\- cdc' -f c'6' + b‘va‘ + a‘g\

/*

Fig. 73.

okalające równocześnie i punkt q = (xy) i punkt c₂= (a₀b₀), nie przecinające się z sobą, a poczynające się i kończące w dowolnym punkcie g pasma л powierz-

chni już jednokrotnie zwartej 91'. [fig. 73.J

Powierzchnię 91' już z cięciem po л‘ nazwijmy: 91". Przyjmijmy — mając to — że na powierzchni 91 droga całkowania s całki zaczyna się w punkcie (ж‘₀у'₀)

91 zmienimy na 91" — ponieważ już w 91' przy każdem przecięciu się drogi s z jednem z kół Ka: K‘a obiedz trzeba część pasma л¹ — trzeba będzie gdy na tej części pasma n‘ leży punkt y, wstawić tu po zmianie 91' na 91" sumę całek:

kończy się w (x\ y‘). Gdy teraz

(2)

(gd) + (ayb) fi- (be) + (cdc¹) + (c‘b‘) + (b‘va‘) + (a‘g).

Lecz że tu: (ga)-\-(a‘g)=0, (bc)-\-(c‘b) =0, a gdy (cdc')=±2m,

Lc2 9

kiedy droga s także i kół Ka, K‘a wcale nie przecina — położyć:

to (agb) + (b‘val) = -f2m, więc suma ty cli całek =0. Zauważymy przy tern, że koła (aybb'va'), (cdc¹) można dowolnie zmniejszyć, tak, że tylko cięcie ci c₂g można brać pod uwagę. Z powodu, że suma

(2) okazała się =0, możemy — jeżeli s nie przecina wcale linii i jeżeli U(xy\x,₀yi0: xly') przedstawia wartość całki, wtedy,

x‘y'

H(xy:x'y‘)dx'—U(xy\x,₀yl₀,x,y,)-\-2[2m,ocwa—2niawtce] = U+2w , gdzie tu ma, m‘a mają takie same znaczenie jak nip, m'ß w art. 128., a droga s już się tak zmieniła, że przecina koła Ka, K‘a: ale jeszcze linii cic₂g nie przecina.

Przyjmijmy teraz, że droga s przecina także i linię c^c₂g. Gdy to przecięcie znajduje się na c₂g w punkcie P, to aby się w tym punkcie dostać z jednego brzegu na drugi tej linii c₂g₂₁ trzeba utworzyć sumę całek:

(Pa) -f (afib) + (be) + (cdc‘) + (c‘b) + (b‘va‘) + (a‘P).

Lecz ta jest także =0, a więc z przejścia drogi s przez c₂g nie przybędzie do U+2w żaden dodatek. Aby teraz wpływ przecięcia się drogi s z cic₂ zbadać, oznaczmy naprzód na linii cic₂g jej brzeg odjemny i dodatni, i przyjmijmy, że droga s przecina tę linię dodatnio w punkcie Q: leżącym na cxc₂. Aby się tu w punkcie Q z brzegu odjemnego dostać na dodatni, obliczyć trzeba sumę całek: G=(Qc)Ą-(cdc‘)Jr(c,Q), a że: (Qc)Ą-(c'Q)=0, a (cd,c‘)=-\-2ni,

więc mamy: о—-\-2т. Przy przecięciu odjemnem dostaniemy: —2m. Ponieważ c₂g nie zmienia wcale całki, możemy więc to cięcie га-

t. j. powierzchnię 9b, na

Cif2 7

niedbaó i rozważać powierzchnię której cięcie cic₂ zrobiono.

Przyjmijmyż, że droga s przecina cic₂ razy vi dodatnio, a razy v₂ odjemnie i połóżmy (vi—v₂)=g, to teraz ostatecznie mieć będziemy :

rx'y‘

U(xy\x\y\₁x,y‘) -\-2w-\-2gni.

J Il(xy₁xtif)dxi =

х'оУ'о

Najogólniejszy zatem peryod całki rodzaju trzeciego jest: 2piniAr2w; jest on jednorodną liniową funkcyą ze spółczynnikami całkowitymi 2p-}-l pierwotnych peryodów :

«=1. 2

2 w‘

2 ni. 2 w

Połóżmy znowu :

(3)

\H (xy,x'y')dx= Q(x, y)

a więc i

i wprowadźmy — jak przody — oznaczenia :

(^)«⁼⁼2wKj (Z) K"=2î^a , (ш)₀₅==2о_> a , (?w) e:=2îy и.

Określmy :

E (xy)=e~(x> У) .

Po różnych, brzegach drogi l mamy: Q{xy)—Q(xy)=2ni funkcya E(xy) już drogi l nie będzie miała jako cięcie. Funkcya E(x,y) ma przedewszystkiem własność:

E(cto, 6₀ ) = 1,

gdyż wskutek H(a₀b₀,x'y')=0 jest û(a₀b₀) = O. Z (4) dostajemy:

log E(xy) = ti(xy), a z uwagi na (5) trzeba logarytm tak określić, że :

log E(a₀b₀)—0, (a nie 2rm, r całkowite).

Z (6) — uwzględniając (3) — mamy:

(4)

ale

(5)

(6)

cl    d Г

j~x l°9    ⁼ J Н(ХУ> Х‘У')йа5'-

Stosując tu wzór (1), art. poprzedź., dostajemy:

(7)

d

w- % E(xy)=E[2coceH\xy)a—2f]aH(xy)a\.

CvJC    fy

dxt

dt

Zastąpmy tu (ж, «/) parą (.r^) i pomnóżmy obustronnie przez to mieć będziemy :

(8)

d log E(xtyt)

dxt

dt

Ponieważ H(xtyt)

dxt

wyraża się w otoczeniu każdego miejsca

“ dt

szeregiem potęgowym, a Il‘(xtyt)

gowym z wyjątkiem miejsca (aaba)

—£⁻²Ьфр(£), więc — uwzględniając to — dostajemy z (8):

dxt

adt

jest wszędzie szeregiem potę-

na

którem ma rozwinięcie :

d log E[xtyt)

(а)    gdy (^)Ф(«А), a=l,2,    przyczem адфО.

Gdy w (8) za {xtyD wstawimy ixt yt), to tylko aty dodajmk w sumie po prawej stronie okaże się z odjemną potęgą paiametru t i to tak, że będzie:

cc a

■щ log E[xtyt) = —2toat-2jr dod. pot. Stąd :

a a

log E(xt yt)=2<n₀i~¹ + dod. pot.

E{xt yt) =    ¹ + dod. pot.

E(x,y,)=E.e²^‘-'{l + ^Wj, « = 1,2,..., t, gdzie E jest stałą ilością. Z (a) i (b) wynika, źe fimkcya E{ту) jest wszędzie skończoną i oznaczoną, z wyjątkiem miejsc:

(««&«), a = l, 2, -, Q-

Gdy drogę l weźmiemy raz w znaczeniu dowolnego koła Kp, a drugi raz w znaczeniu dowolnego koła K‘ß, to dostaniemy 2p funkcyj : Q{xy)p, Q‘(xy)ß, ß=l, 2, ..., p.

Z nich. pierwsze mają odpowiednio cięcia na kołach Kp, drugie takież cięcia odpowiednio na kołach Kp. Dalej otrzymamy 2p funkcyj: E(xy)ß, E‘(xy)p, /3 = 1, 2, ..., p. Z nich dostajemy:

2wß=log E(xy)ß,    2w‘p=log E\xy)ß,

gdzie te logarytmy trzeba wziąć z takich gałęzi, jakie powstają przez ich przeprowadzenie z punktu (a₀b₀) do punktu (xy), przy obranej drodze (a₀b₀...xy). Gdy punkt (xy) już się z swego położenia a droga całkowania się zmienia, (przyczern i granica górna może być ruchomą), to za każdem przekroczeniem w dodatni sposób koła Kß dostaje całka dodatek —2w'p, a za każdem takiem przekroczeniem koła Kp dodatek 2Wß.

Lecz całka sama zawiera w sobie (xy), a jego ruch będzie miał wpływ na całkę, choć się jej granice i droga całkowania wcale nie zmieniają.

Aby to zbadać, zauważmy, że logary tmy funkcyj E(xy)p ; E‘(xy)p zadość uczynią związkom (7), a więc: d

— logE(xy)ß=E[2o)„ßH‘(xy)a-2rjap H(xy)a] ax    çi

d

~ч~ % E‘{xy)ß=E[2o)‘CCß IT(xy)u-~2ifC(ß H(xiy)a]

ax    Qi

[j = 1, 2, ..., p.

czyli :

(b)

(I)

nie rusza

(9)

Równania te — gdy położymy :

2 H\xy)a=Pa, 2H(xy)a=Q

ęjZ log E(xy)ß= —mqß

•I

dxl°gE‘(xy)ß=m.pß,

stają się związkami (e), (<?'), art. poprzedź, niami będą [por. (6), art. poprzedź.]:

a więc ich rozwiąza-

(10)

Щху)а=2~.    log E‘(xy)ß—2(o‘aß~ log E(xy)ß]

f    log E\xy)ß—^uĄx log E(xy)ß\

H‘(xy)a

а— 1, 2, ..., о.

Całkując tu od (а₀Ъ₀) do (ху), dostajemy całki pierwszego i drugiego rodzaju w takim kształcie :

J {xy,a^)a

(П)

^ 2[2(ocęlog E‘(xy)ß—2(olaßlog E(xy)ß\

2^.    log EJ (xy)ß — 2^'^ log E(xy)ß\

gdyż E (a₀b₀)ß — E‘(a₀b₀)ß — 1. "W tych. formach zawarte są już i wszystkie zmiany całek o ich peryody, gdy bowiem funkcye :

log E(xy)ß— Ü(xy)ß, log E\xy)ß=Q\xiy)ß są pierwotnie z tych brane gałęzi, na których mamy :

to potem zmienić je trzeba o ±2ni, gdy droga (а₀Ъ₀...ху) przecina już-to koło Kß już-to koło K‘ß w dodatnim lub odjemnym kierunku. Z (10) — jeżeli drogą całkowania jest (x₀y₀...xy) — dostaniemy:

2 oJaßlog

J\xy:a₀b₀)a

J (xy'ja

E\xy)ß

E(xy)ß

(12)

E(x₀y₀)ß

Е(%оУо V

E[xy)ß

E‘(xy)ß ЩхоУоЪ

a i stąd wynikają peryody, powstające z przecinania się drogi (x₀y₀...xy) z kołami Kß, K‘ß.

Wstawmy wreszcie w związek:

E{xy)a

%V‘ccß log

d fx<y‘    d

~^j Щху, х‘у^х‘=-^ U(xy\x\y\,x‘y,)=

=Е{х'у',ху)—Я{х\у'ъ ; xy)JrE[H‘(xy)ce Ąxiyt)a—H(xy)aJ‘(x‘yl)a]

za

J{x‘y‘)cc, J‘{x‘y‘)a wyrażenia (12), to mieć będziemy:

dx

U(xy\ x\y\, x'yi)=H(x,y‘. Xlj)—Щх‘₀у‘ ₀, xy) +

b?2[*

E\x‘y‘)ß

E\x\y\)ß

(2ü)aßn,(xy)„—2tjaß • Щху)а)—

—log

EWh

E(x\y\)ß

(2oJaß H‘ {xy)ct—2g‘aß Щху)а).

Uwzględniając tu związki (9), położymy: d

dxU^Xy\X^y^^yi)^Н(Х‘У‘' ху)—Щх‘₀У‘о,ху) + log E{xy)ß—log

E(x‘y‘)ß

FĄx‘ij‘)s d E‘(x‘₀y\)ßdx

a mnożąc po obydwu stronach przez dx i całkując od (a₀b₀) do (xy), dostaniemy — ponieważ :

E{x‘₀y‘₀)ßdr

fxy d

J dx H^Xy' x‘y‘)dx==zH(xy, x‘y‘)—H(a₀b{), х‘у‘) = Н{ху, xlÿ) —

taką formę :

Г-П'

U(xy\x\y‘(!,x‘y‘)= I [Щх‘у‘

xy)—H(x‘Qy,₀,xy)]dx+

«<А

E‘(x‘y‘)ß F (х'₀y‘₀)ß

O drodze Л=(а₀Ъ₀...ху) załóżmy, że ona żadnego z kół Kß, К ß nie przecina. Wtedy całka

(13)

log E{xifß—log

E(x‘y‘)ß

E(x‘₀y‘ oV

Cxy    .    .

/ po prawej stronie może się

zamie-

niać tylko o wielokrotność 2m, co zależy od przecinania się drogi Л z drogą Л' = (x‘₀y‘₀...x‘y‘). Gdy założj^my, że droga Л¹ ma przecinać koła Kß, K‘ß, to z przecięcia się jej z kołem Kß dostaniemy peryod —logE\xy)ß a z przecięcia się z kołem Kß, peryod -\-logE[xy)ß1 jak to już przody mieliśmy. [W sumie E trzeba bowiem w pierwszym razie log E{xy)ß Połóżmy :

drugim logE‘(xy)ß zwiększyć o 2m].

(14)

r*v

I H{x‘y‘

xy)—H(x\y\, xy)} dx=J(xy\ x‘y‘, x‘₀y‘₀)

«(A

(jestto oczywiście znowu pewna całka rodzaju trzeciego), to z (13) mamy :

J[xy\xly\x\y\)

f>x‘y‘

— J Щху, x‘y‘)dx

-'S-

2 ni^

хоУо

[a tu sumują się takiesame wyrażenia, jak w (13)].

Gdy teraz zakładamy, że droga Л¹ nie przecina wcale kół Kß, to znowu całka po prawej stronie może tu tylko zmieniać

Kß,

swą wartość o wielokrotności 2ni. Przeciwnie z przecinania się drogi Л z kołami Kß, Kß, zmieni się J na:

J—log

E\x‘y')ß

J—Aß przy przekroczeniu koła Kß, ana:

J -f log

E(x‘y‘)ß

ii K'ß.

Funkcya J{xy\x‘y‘ ,x\y\) ma więc cięcia, określające się ró-

E{x\y\)ß

J—A‘

wnaniem :

(H)

J=J—Aß na kole Kß, a równaniem:

J= J-f- A‘p „ Kß.

Mając peryody całek 1®°, 2^° i 3§° rodzaju, łatwo już będzie obliczyć peryod na dowolnem zamkniętem kole każdej ogólnej całki Abla, przedstawiając funkcyę całki przez funkcye H.

Przyjmijmy, że wszelkie perjmdy takiej całki:

I F(xy)dx

X\V\

są zerami. W takim razie nie może U posiadać i peryodu 2ni, a to pociągnąć musi za sobą tę własność funkcyi F(xy), że ona na ża-dnem miejscu nie będzie miała w swem rozwinięciu wyrazu postaci Ct_i. Całka U nie mając według założenia i innych peryodów, ma zatem charakter funkcyi wymiernej pary (x,y), a jako taka jest wprost taką funkcyą. Stąd twierdzenie :

I.    Każda dowolna całka Abla, nie posiadająca peryodów, redukuje sie do wymiernej funkcyi pary (xy).

Odnosząc te uwagi do całek pierwszego i drugiego rodzaju, dochodzimy do wniosku :

II.    Ani peryody 2coaß, 2w'ag, ani peryody 2f]„ß, 2rfaß, ß=l, 2, ..., g, nie mogą być wszystkie równocześnie zerami.

131. Peryody całek eliptycznych rodzaju pierwszego i drugiego. Według art. 87. — Pd. 6. — mamy dla obrazu eliptycznego:

У 2=4(S—et ) 0 _ e₂ ) (5 - e₃ )=4s³—дг s —g₃ = S ; ex + ег + e₃ = 0. funkcye H, H‘ w takich postaciach :

(I)'

ff(e,y)=-d=-, R‘(s,y)=f^,

Niech eie₂, e,oo będą liniami przejścia na powierzchni 91. Gdy koło К wybierzemy tak, że zamyka w sobie punkta e₂,e₃, a punkt ex jest już zewnątrz niego (lig. 74., str. nast.), to K‘ może być kołem (zamkniętą linią), które mieści w sobie punkta ex, e₂, a zewnątrz ktorego leży punkt e₃. Z punktów А, В tylko punkt A jest wtedy punktem przecięcia się tych kół.

Gdy na К uznamy za kierunek dodatni kierunek wskazany strzałką a, to na K¹ mieć będziemy kierunek dodatni taki, jak go strzałka ß wskazuje,

Połóżmy, aby obliczyć peryod :

(2)

Vs ’

■4 “

O) S---- ₂

e% 4"e?, I e2 e3 £ 4* £

(b)

ei4

a więc:

e2—e3 Id-1⁻¹

."""''i

GO

к/

to

(c) s e₂ —

I-Trr

ез—e2 Л Id- ⁻¹\

2 Г 2    )

+ -

//»

e,

t.

(d) s-e₃

e3 e2

14

Fig. 74.

i zapytajmy, jak się punkt s w płaszczyźnie (s) porusza, jeżeli £ na swojej płaszczyźnie (£) opasuje koło:

(«)

i—r.es®*, ęp=(0...2^).

Z równań (c), (d) mamy:

(/')

|s—e₂|d-js—e₃| =

e3 e2

Uwzględniając (e) dostaniemy:

2—(|+^_1)| = \/[2—(r4-r_1)cos 9>]²+(V—r~¹)²sin²gp = V/4-i-r²4-r—24- 2(cos²—sw ²çp)—4(r 4- »*_1)cos ęp.

Gdy położymy sin²(p = 1 — cos²<p, a potem zauważymy, że: (2-b^²+r⁻²)—(y-f-r⁻¹)²,

mieć będziemy :

V' (r4-^_1)²4-4cos²9)—4(r-fr_1)cos<jp=(>-f-r⁻¹)—2 cosęp.

Analogicznie okaże się :

|2 + (|+^_1)|=(r4-r-¹) + 2co5ęp, a uwzględniając to w (/'), dojdziemy do równania:

[s-e₂l + js-g₃j=2. e?’ ₄ ⁶² |(r+r~¹)-

Ono wskazuje, że gdy £ zakreśla na swojej płaszczyźnie koło (e), to 5 na swej płaszczyźnie porusza się po elipsie, która ma ogniska w punktach e₂, e₃, a oś główną:

gdy & ma być osią poboczną tej elipsy, dostajemy:

!ез-е₂|²

Ponieważ b jest liczbą bezwzględną, więc trzeba założyć, że r—r_1^>0 jest, a stąd wynika: p>l, co odtąd w dalszym ciągu

zatrzymamy.

m i przyjmijmy, że z równania (a), gdy już w niem (e) uwzględniamy, dostajemy:

e?> e2

(widocznie rĄ-r~¹ jest Odległość środka

(r + r-¹); każdem r < 1). od ogniska jest

e?, e2

, a stąd

Pytanie zachodzi, w jakim kierunku obiega punkt s elipsę, gdy Ц) zmienia się od 0 do 2л. Aby to rozstrzygnąć, połóżmy: e₂ +e?>

s—m—

e2—е3 Г + Г

-i

PHe^ń

gdy 9>=0, to dalej:

e?‘- (r—r~r)i—B₂e' ,'> + 2)'

« CP=

к CM

-V^ (r “b r _1) ⁼

e2 e:i

r-i)=P₂e{Vf+in)i „

Z tego widzimy, że równocześnie z wzrostem kąta q) porusza się promień, poczynający się w środku m elipsy, w ten sposób, że się jego kąt, jaki tworzy z жж', statecznie zwiększa. Punkt s na obwodzie elipsy porusza się więc tak, że krocząc z nim mamy wnętrze elipsy po lewej ręce. Właśnie taki ruch wskazuje i strzałka a na kole K.

Elipsę, jaką dopieroco utworzyliśmy, możemy wziąć za koło W i po niej dokonać całkowania (1), wychodząc z punktu A, w którym obydwa koła К, K‘ przecinają się na ćwiartce przedstawiającej : (4-y). To całkowanie w dodatnim kierunku ułatwimy sobie, przechodząc do zmiennej f za pomocą podstawień (a), ...,(e).

Z nich mamy :

\/ s—e₂.s—e..

ds-

-1

a więc :

(3)

ds

\/s—e₂. s—e:)

Dalej połóżmy :

e2 +ез

s—

=^²4-A²+^ń(^4-|~¹),

to stąd na określenie g, h wynikają takie równania:

e2 +6₃

g²-\-h²

ei

и_e?,

Z nich mamy :

g-\-h=\/e2—e1? g—1г=\^ez — et , a stąd znowu wynika: \/е₂    + Vх e₃ ei

7, ^ eï    e\ Ve% ei

h--”2 •

Pierwiastki wybieramy tu z tern zastrzeżeniem, aby \h]g\<^{. Mając to, dostajemy teraz:

(4)

⁵~ ei =g

²(¹⁺7#⁺M

Uwzględnijmy (3) i (4) w (2), to mieć będziemy:

(5)

2co

Ponieważ Ц>1, więc i |§|;>1. Obierzmy jednak |£| tak mało

]г    fr

różne O) od jedności, że tylko jest —<; 1, ale także —£ <1, to pierwiastki zawarte w (5) dadzą się rozwinąć na szeregi zbieżne : ,    1 TĄ , 1.3 /A|\2    1.3.5 /Ä|\³

2 У ⁺2.4Ч7)    2.4.6'(y)

1    1.3 A^_1\²    1.3.5 /й£⁻¹\³

” 2"7_+231'УУ _2Хб(.”Г1

a sama całka (5) będzie nieskończoną sumą całek postaci :

■ / »

”7

tnrr

rln

= Стгт+1 I e^+Vv'dcpi,

m=0, ±1, ...

Lecz z tych całek tylko całka posiadająca ш4-1=0 będzie фО i będzie miała wartość С-\2т. Wszystkie inne będą zerami. Z tego wynika, że:

2(o—

l².3²/&\⁴

Alnaogicznie zupełnie postępując z całką:

ł-KG)

1².3².5² /7Л⁰

2 ².4².6²

/Ä\e I 2m

U *-\~t

P(ń, g).

(6)

2(o'=

VS ’

a więc uznając К¹ znowu za elipsę o ogniskach. e1; e.₂ i kładąc:

\/ć?i e₃ -j- V/e₂ e₃

V^ei-e. + V^-

y 2

ез

h‘

dostaniemy :

2a>'

Aby peryody 2^, 2î;' całki rodzaj’u drugiego obliczyć, połóźmy:

-”ф(^)^(^-¹)=с₀4-с₁^ + с'₁^-¹ + с₂^² + с/₂^-²+.-

i zauważmy, że: sds d£ [ e₂ + e,

l⁻2^

e2 e?,

Vs

irrt

irrt

e2 e?,

irrt

-1

I • [CG 4"С11+С,1Ь ¹+” J

UTr

e₂ + gp, ⁰ 2

VŁ(c-+c'‘⁾]

to otrzymamy :

2i;=2m|c₀l3-+e:i

e^(o₁+c\)]

Analogicznie obliczy się 2rf.

Całki (2), (6) nie zmienią się wcale [art. 115., tw. III], gdy elipsy К, K‘ dowolnie zmniejszymy w ten sposób jednak, aby wewnątrz pierwszej znajdowały się punkty e₂, e₃, a wewnątrz drugiej punkty el5 e₂. Grdy je ostatecznie tak zmniejszymy, że К zmieni się na podwójny odcinek e₂e₃, a K‘ na podwójny odcinek exe₂, to dostaniemy :

ег

2oj=2

VS

2oj'==2

ds *

a całkowanie od e₂ do e₃ i od ei do е.г odbywa się tu po prostej linii.

*) W całce drugiej całkując naprzód od % do e₂ i wychodząc z gałęzią -f У> musimy potem okrążyć (raz) punkt e.₂, aby znowu całkować od e₂ do et. Przez to okrążenie przechodzimy jednak z gałęzi Ą-y na gałąź — y, tak, że z powrotem mamy:

«i

/

ds

V/8

e₂

f ds

J Vs

a więc znowu to samo, co dało całkowanie od ex do e₂ z gałęzią -j-y. To zresztą uwidocznić można bardzo dobrze, tworząc tu powierzchnię Riemanna z liniami przejścia 0ex 0e₂, 0e₃, Oco , gdzie 0 jest dowolny, zwykły punkt, Jeżący w skoń-czoności.

Obraz algebraiczny y²=S ma -- jak wiadomo — w nieskończoności punkt rozgałęzienia eœ. Z tego wynika, że można tu utworzyć trzy koła zamknięte Z,, Z₂, Z₃ (fig. 76.), które odpowiednio bardzo blisko punktów ei e₂, e₃ przebiegają, dążą w nieskończoność, są bardzo wąskie, a koło Z«, okrążając punkt ea, już drugiego punktu ep, ß%.a w swem wnętrzu nie zawiera. Dążąc po kole la na ćwiartce Ą-y od punktu ea ku eœ , wrócimy do ea na ćwiartce —y, a ta łączy się z -\-y na linii przejścia wychodzącej z e«.

к'

Fig. 75.

Koła Z,, ?₂, Z₃ są nieprzywiedlne. Lecz gdy zważymy, że koło Z, przecina raz tylko koło K‘ w ujemnym kierunku, koło Z₃ przecina koło К również raz tylko i to w ujemnym kierunku, a koło Z₃ przecina koła K, K\ obydwa również w ujemnym kierunku, to całki obliczone po drogach zamkniętych [art. 128.]:

h-к, Z₃-t-JP, l₂-K+K‘

będą już zerami. Dostaniemy więc:

ft)=2/W”²“’ ⁽⁴⁾"²/

V/8

——=2co—2 co':

V/5

ei

^2

a stąd: (Z₁)+(Z₃) = (Z₂).

Połóżmy: 2co=2co,, —2co'=2co₃, to 2co,, 2co₃ będzie również parą pierwotnych peryodów, a ich połowy określą się całkami w ten sposób :

e2,

90

(7)

И=/“/

«*

Połóżmy wreszcie (Z₂)=(2co₁+2co₃)=—-2co₂, to mamy:

oo

(7')

и>-/

Se₂

a suma:

(«)

W1 + w2 “Ь

Analogicznie do pary obranych peryodów pierwotnych 2co, 2co' należeć będą takie pierwotne peryody całki rodzaju drugiego:

(7")

Г sds Г

Ww7'

e₂

ез

«J

a całka :

J.r

n—n-

Lecz po wprowadzeniu pierwotnej pary peryodów : 2wl7 2<u3 trzeba do nich takie dobrać peryody 2^1? 2% całki rodzaju drugiego, aby utrzymał się związek:

Temu widocznie zadość się uczyni, gdy położymy:

(ß)

«1 «2

V-f-f

% = -

⁰⁰    «3

Wtedy (7") przybiera postać:

co

/=—(%+%) » Jez

a gdy położymy ?/!+% = —%, dostaniemy:

e₃ et

-/-/■

(9)

—ъ

-/*

^ 00

a suma :

Zauważmy teraz obraz eliptyczny :

y'2,■■={!—x²)(l—Jc²x²) ;

ma on punkta rozgałęzienia: (+1, —1)

(,ß)

a gdy po-

prowadzimy linie przejścia:

[fig. 76.]

to jako parę nieprzywiedlnych kół zasadniczych możemy wziąć koło K, otaczające punkta ( + 1, —1) i koło K‘ otacza-

Dodatnie kierunki na tych kołach wskazują strzałki ct, ß.

Mając to, możemy obliczyć zasadnicze peryody całki eliptycznej pierwszego^ rodzaju, danej w formie Legendre’a :

A(x, h) = V{1— х²){1 —Tc²x²).

•t

x= o

Г'4;

Fig. 76.

A(x, Tc)

jące punkta ^+1, d---V

Przedewszystkiem koła К, K‘ można i tu będzie zmienić na podwójne, prostolinijne odcinki, łączące już-to punkta (+1, — 1)

już-to punkta ^ + 1,    Po takiej zmianie dostaniemy peryody

w postaciach:

4ZT=4

4(æ, Æ)

2 K‘i

~7

dx

4(æ, &)

•*)

Grdy jednak w drugiej całce położymy 1—k²x²=k'<2t‘²: gdzie k‘²--l—к², to — gdy potem znowu x za t napiszemy — dostaniemy:

2K‘i=2i

Z¹ ///£    ___■    _

J A(x k‘) Z °kreśleniem: 4(ic,^) = \/(l~a;²)(l— k‘²x²).

Mamy więc :

(10)

"I

dx

A(x, k)

K‘

₌ r dx

J

A(x, k‘)

gdy w К położymy x=sincp, mieć będziemy:

Л:

/i

d(p

l/l—к² sin'² cp

a ten sereg przy założeniu |&j<l jest niezawodnie zbieżny. Z uwagi, że:

J sin2ncpdcp

1.3.5....2w—1 n 2.4..,.2n    ' 2

otrzymamy :

1².3²

2².4²

&⁴-f

1².3².5²

2².4².6²

a analogicznie 2Г wyrazi się przez moduł k‘. Związek między K, K‘, a półperyodami :

00

ei

(11)

/ (?S

Mi=/

V/8

znajdziemy łatwo. Podstawiając tu bowiem:

*) K i К', wchodzące w te relacye, nie trzeba oczywiście mieniąc z nazwami К, K' kół nieprz3⁷wiedlnych.

s-e₃

e\ -~e?,

X¹

(12)

J* 2 __ e2    e?,

ei e₃

—K‘i

dostajemy :

^e\ ez

132. Peryody całek hypereliptycznych rodzaju pierwszego i drugiego. Gdy w obrazie hypereliptycznym : yri={x‘——bm) położymy :

(«)

x‘

ax-\-ß yx-\-ô ’

to otrzymamy :

X¹— bv —

( a — hvy)x + (ß—bvó)

yx-\-ó

2, .

a więc :

y‘ ²(yx + ójm-=II[(a—bvy)x + (ß—M)]-Załóżmy m parzyste =2wt2, a a, y tak wybierzmy, aby « — ójy=0, to mieć będziemy:

y‘²(yxĄ-ó)‘2n+2=c.(x—a\)(x—a,₂)...{x—a,2n+1).

Połóżmy dalej :

У=У‘(ух+ ó)n+i.c~h , to to podstawienie razem z (a) jest odwracalne, a stąd wynika, że tu można się ograniczyć do obrazów :

y‘i=(x—a\)(x—a,₂)...(x—al2n+i) o nieparzystym stopniu 2w + l; n—Q jest ich defektem.

Niech. a'v^cc‘v-}-ßvi, v = l, 2, ..., 2(> + l, i przyjmijmy, że między a'v są i równe sobie, co oznacza, że niektóre z punktów rozgałęzienia a‘v leżą grupami na prostopadłych prostych do osi pierwszorzędnej. Zastępując w tym razie x przez xeV‘, dostaniemy z (a):

^2e-(2»+i)9Pi=(x—a\e-vi)...(x—a,2n+ie-vi),

a kąt (p można tak wybrać, że żadne dwa punkty :

, а\е~^¹, ....

nie będą miały spółrzędnych pierwszorzędnych oą, a₂, .... między sobą równych. Gdy lewą stronę w (b) nazwiemy wprost y², dojdziemy do obrazu hypereliptycznego :

yi=(x—ai)(x—a₂)...(x—a2Q+i), a w nim — ponieważ nazwy i uporządkowanie punktów rozgałęzienia są obojętną rzeczą — możemy już założyć:

a₁<a₂<...<a2£)+i.

Dalej możemy przyjąć, że wszystkie punkta av mieszczą się

iß)

(a)

Ф)

(c)

w tej części płaszczyzny (ar), która ograniczoną jest dodatnią osią pierwszorzędną i dodatnią osią drugorzędną zmiennej x. To osiąga się podstawieniem х—к za x ze stosownie obranym dodatkiem я.

Połóżmy :

P{x)={x—a'Ł)(x-~alk)..(x—a2Q),    Q(x)=(x—а^х—а₃)...(ж—a2p+i),

to dla obrazu (c) mamy [art. 87., Pd. 4.]:

H(xy)a

P(x)

(x—a„).2y

H\xy)a

Q(ag) -P(aQ

P‘(aa)' (x — a„)².2y

a=2, 4. 6, ..., 2q ,

a peryody całek rodzaju pierwszego i drugiego obliczą się po obraniu p par zasadniczych i nieprzywiedlnych kół Kß, K‘ß.

Л¹

K,

K₂

Fig. 77.

Te pary można zaś w ten sposób wybrać, Gdy — dla uproszczenia — przyjmiemy ç>=2, a więc 2{?4-l = 5 a linie przejścia utworzymy wzdłuż prostolinijnych odcinków ala₂, а₃а₄, аъgo (fig. 77.), to za koło JKTj możemy wziąć elipsę o ogniskach а₂, a₃, a za koło K₂ elipsę o ogniskach а₄, a₅. Koło K\ może być kołem o środku w punkcie x—0, a przechodzące między ogniskami o₂, a₃.

Podobnie za koło K₂ możemy wziąć koło znowu o środku w #=0, a przechodzące między ogniskami а₄,а₅. Taki wybór kół zatrzymać trzeba i przy większem Q-, całki obliczone po Kß, dadzą peryody:

2 соа(з,

2 со'

2^, 2y‘aß, а —2, 4,..., 2^, /1=1, 2,3

(>•¹)

133. Charakterystyczne własności funkcyi E(x,y). Fu иксу a E{xy,c₂cx). Przedstawienie każdej funkcyi wymiernej li(x,y) iloczynem flinkcyj JE. Przyjmijmy, że mamy funkcyę E(xy), posiadającą takie własności:

(«)

(»)

ma ona widocznie własności funkcyi E(xy) [art. 130.] z tą różnicą że w (Ъ) zamiast 2wa występuje całkiem dowolna stała 2cC(. Zbadajmy jej stosunek do funkcyi E(xy).

dxt

Gdy x=xt, to dx=-^-dt, a że dE(xy)= eto

dE(xy) ш

dt

więc dalej mieć będziemy :

(c)

dE{xy)

dx

Zauważmy wyrażenie :

dE(xy)dt

dt

dx

-r—dt

dE{xy) jdx

dt

dt'

dt

dE(xy)

d log E{xy)

dx

dx

E(xy)

to wstawiając tu (c), dostaniemy:

d E{xy)

dE(xy)

dt

dx

V dt

dt

T-V \dx ’

Е{ху)ш

Stąd — za wstawieniem tu rozwinięcia (a) — wynika :

E(xy)

i/j:

gdy ШФ(ааЪа)

a gdy (xy)=(aaba), to:

dx

Vdt⁼⁼~~ 2с«<-²+фв(0-Gdy zauważymy, że właśnie iloczyn :

dxt

*-²+m

a a

Щх,у,) dt

a zresztą jest wszędzie skończonym, to różnica:

[«—22c«W(xyU~ będzie — 2ЫаН(ху)«^ ,

gdzie —Е&аН{ху)а jest ogólną funkcyą Щху), a stąd dostajemy:

(d)

~ log E(xy)=2 [2cali‘{xy)—2&J-I(xy)a].

Pomnóżmy tu obustronnie przez dx i całkujmy po kole Kß obrawszy na niem po porządku punkta:

(*оУо)> (ед), (^₂y₂) ?    О»* У«)., (я'оУ'о)

[(аг'оУ'о) Jest identyczne z (я₀у₀), ale po dokonanem już okrążeniu] to z całkowania po lewej stronie w (d) dostajemy:

Жх\ У\)

E{x₀ yf)

log

Л-log

ЕХ%У%)

E X\ У\)

f.» + %

E(x%г У n)

log

E{x\y\)

E(xо У u )

logl = 2m,pni

gdzie niß jest całkowite ^'0 i zależy od miejsc nieskończonościo-wych (aaba) funkcyi Ё(ху) zawartych wewnątrz Kę. Ponieważ prawa strona daje E\4cagaß—4c‘acoaß\, więc dostajemy równanie:

a

mßJli^S^Cariaß—^C'aOJaß] , /3=1, 2, Ç.

(1)

dziemy :

Analogicznie, biorąc koło K'ß za drogę całkowania, mieć bę

(2)

m'ßni^SftCarfaß—WaCOaß], /3 = 1, 2, ..., Q.

a

Równania (i), (2) rozwiążą się w ten sposób [art 129.] 2ca^2[—2mlßa)aß + 2mß(o,C(ß]=2oj 20 а    2'Ш ßtjccß Л~ 2Wißt] ccß] = 2r]ce.

Z pierwszych z tych równań wynika, że É(xy)=E(xy), gdzie E(xy) otrzymano za uwzględnieniem drogi zamkniętej , dającej peryod 2o)a. Mamy więc twierdzenie :

I. Każda funkcyą posiadająca charakterystyczne własności funkcyi E(xy) jest funkcyą E(xy).

Przytem zauważyć potrzeba, że i odwrotność [E(xyj]~l będzie znowu funkcyą E(xy), odnoszącą się do peryodu —2ыа.

Jak ü{xy)₁ wykładnik w funkcyi E(xy), tak samo i z tejsamej przyczyny będzie i funkcyą :

/**' xV‘i

/ H{xy₁x‘yi)dx'=

Q{xy,x\y\,x\y\)

^оУ o

posiadała na samej drodze całkowania (oci₀yi₀...x\yii)=(ci... c₂) cięcie charakteryzujące się tern, że:

Q(xy,c₂ci)=Q(xy,c₂cl) + 2m.

Przyjmijmy nasainprzód, że droga c^c₂ nie przecina wcale kół Ka, K‘a i zbadajmy funkcyę ü(xy,c₂ci) i funkcyę (jednoznaczną) : E(xy, x\ y\, x‘ęJy,fj)=Х\У\>х'оУ‘о)

Gdy (xtyt) jest parą otaczającą miejsce (xy)

a (x‘Ty‘T) parą

otaczającą miejsce (х'у¹) i gdy (xy) zakładamy rożne od c1?c₂ i od miejsc (ааЬа), to na całej drodze cic₂ mamy do obliczenia całki:

Гг

f^~    (1 “Y*

J Щхфх^уЧ)^

dx—

J ?ß(t,x)dx.    Z tego wynika:

4    Tj

a dalej : E=const.

)==$(*),

E(xtyt, c₂cx)~e W=Я [1 -И$09],

Ograniczmy się do wypadku, że (x\y\)^=c₂ i {х\у\)=^с^ różne są od (aC(ba) i przyjmijmy, że (xy) = c₂, a parą otaczającą to miejsce ²²

jest (a:^). Wszystkie całki obliczane po drodze cic₂ od c₁ począwszy aż do najbliższego otoczenia punktu c₂ dają zwykłe szeregi potęgowe, a dopiero całkę :

fc2 2 2

/ Щх{уц x‘y')dx‘

(3)

w której (£if)=c‘ jest miejscem wziętem z pary (xtyt) musimy

osobno zbadać.

Zauważmy tu rozwinięcie;

², 2 cfoh H(xtyt,x‘ y‘t)

to gdy do c‘ należy wartość x\ dostaniemy z (3):

fT, ⁺fz,

logt—log x¹-log ^l—^j+y$₂(t) = log ! + W₂(t)-

£— X*

Wskutek tego — mając już wzgląd na to , że wszystkie całki przedtem obliczone, dawały zwykłe szeregi potęgowe — dochodzimy tu do :

(B)

û(xt yi c₂c₁ )=log tĄ-^oit) i E(xtyt, c₂c^=E₂t[ 1-f $(#], E₂= const. Analogicznie dostaniemy:

(C)

E(xtyt, c₂ci)=Eit~i[l-\-t^{t)]^ Ei = const. Zauważmy jeszcze miejse (aaba). W jego otoczeniu jest:

a a

II(xtyt, x‘Ty\)    = Ć“¹ Я(ff, ут)„т).

« a    °²

Qyxtyt, c₂ci)=t~i j H(xy)adx + ф„(£)    i

f H(xy)a

Stąd wyniknie :

(D)

a a

E[xtyt, c₂ Cj )=Euc

t-i

dx

dxz

Ea=const.

Na miejscu (а₀Ъ₀) określamy:

{E)

z powodu, że Ща₀Ь₀х‘у‘)=О.

Równania (A), (B), (0), (Z)), (E) określają własność funkcyi E(xyJc₂ci). Ma ona, będąc wszędzie regularną, jedno tylko miejsce zerowe (x‘^у\)=с₂, jedno tylko miejsce nieskończonościowe (x\y‘o)—ci] miejsca (ааЪа) są analogiczne z miejscami istotnie oso-bliwemi funkcyi jednoznacznej jednej zmiennej. Z tego powodu nazywa się E(xy₁c₂ci) funkcyą przestępną pierwszą.

Jeżeli teraz droga cic₂ przecina koło Kp, to z tego przecięcia dostaje Û(xy₎c₂ci) dodatek (peryod) :

—log E(xy)p= —Q(xy)ß, a sama funkcya E(xy,c₂cx) zmieni się na:

Г²

I H(xy x'y‘)dx‘ - log E'(xy)ß

—e^c*

[E(xy)p]~\E(xy,c₂cx)

Wykładnik jest znowu całką trzeciego rodzaju o granicach c1?c₂. Iloczyn jest więc znowu funkcyą E(xy,c₂cj). Podobnie przecięcie się drogi cx c₂ z kołem K'p da iloczyn :

E{xy)ßE(xy,c₂ci),

a ten określi się znowu tak, jak funkcya E{xy,c₂Cy). W ogólności więc będzie iloczyn E{xy).E(xy, с.₂сх) określał się tak, jak funkcya Е{ху,с₂с^). Własności (M), (В), (С), (E) będzie ten iloczyn posiadał, a jego rozwinięcie w otoczeniu miejsca (»«&«) tern się tylko różnić będzie od (D), że tam zamiast całki :

fC₂

J H(xy)dx

będzie :

fh{xy)

*'c,

Lecz to jest także całka pierwszego rodzaju z drogą całkowania c₂), w którę koło Ka wstawiono.

Obznaj orni wszy się z własnościami funkcyi pierwszej E, przyjmijmy, że mamy daną funkcyę wymierną B(xy) pary (xy) stopnia №° o miejscach zerowych:

cv — {%vyv) j V—1, 2,..., Tc

(«)

a nieskończonościowych :

Tc.

с V—(g vy v) j V—11 ^

Utwórzmy iloczyn :

к    к

Bi (ху)—ПЕ{ху &vcv)—Il Ev.

v—\

v=zi

Jest on — przy najdowolniejszych drogach (cv...c‘v) — funkcyą

B{xy)=C. E(xy) Bi (xy),

Z tego wynika, że iloraz B(xy) j B^ (xy) ma — pominąwszy własność Е(а₀Ъ₀) — 1 — zresztą wszystkie własności pewnej funkcyi E(xy), a jako taki =C.E(xy), gdzie C jest stałą ilością.

Możemy więc położyć :

a gdy czynnik E(xy) złączymy z którąbądź funkcyą E{xy c'vcv) zawartą w Bi} dostaniemy: В(ху)=С.ПEv.

Gdy zauważymy miejsce (a₀b₀), na którem wszystkie Ev są = 1, i przyjmiemy, że na tem miejscu jest B(xy)=B₀, to ostatecznie dostaniemy: B(xy)=B₀IIE(xy,c,vcv). Stąd twierdzenie [Weierstrassa] :

II. Każdą, funkcyę wymierną pary (xy) o danych к miejscach serowych i Je miejscach nieskończonościowych i danej jej wartości BQ na miejscu (a₀b₀), dającem Ща₀Ь₀, xy) =0, można przedstawić iloczynem к funkcyj pierwszych.

Uwaga. Jeżeli funkcya E(xy) złączona z jedną z funkcyj E(xy, c‘vcv) wykazała, że odnosi się do peryodu —2 coa, to z rozwinięcia

U Гн(ху)а

L V Jc₁

с1х—2ш(Х

o jednokrotnych miejscach zerowych (a), o jednokrotnych miejscach nieskończonościowych (/?), a w otoczeniu miejsca {aaba) daje rozwinięcie :

C'v

Ei {xy)=Eae

, /¹ -r'JS / H(xy)adx

V J Cv

[1 + ^(0],

«=1»    •••» Q,

—Eae

~2саг

R(xy)=R₀E‘ae

wynika, że zawsze być musi :

(4)

Cc'v -

<2j I Щху)„

V J

dx—2(oa.

Cv

134. Prawidła dodawania całek Abla. W równaniu (4) możemy drogi (cv...c'v) tak pozmieniać, że lewa strona dostanie dodatek 2<y«. Wtedy po takiej zmianie mieć będziemy:

(1)

■4^1 fc'v

2iJ K(xy)a

dx=0.

Stąd twierdzenie :

I. Sumę к całek atych pierwszego rodzaju o granicach dolnych cv, będących miejscami zerowemi, a o granicach górnych c‘v, będących miejscami nieskończonościowemi pewnej funkcyi B(xy) można zawsze — przy stosownym wyborze dróg całkowania — uczynić zerem.

Cv

Niech k—r-\-q, gdzie ę, jak zawsze, oznacza defekt, i napiszmy równanie (1) w postaci :

r rc‘v    k

^ / H(xy)adx— / H{xy)a

V—\J    V—r-\-

Zauważmy dalej , że tworząc funkcyę R(xy), można dowolnie obrać к miejsc zerowych cv i (k—(j)=r miejsc nieskończonościowych c\, c'₂, ..., c‘r. i że wtedy pozostałe miejsca nieskończonościowe c'r+i > •••, c‘k, [jest ich {?], zależą od wszystkich tamtych algebraicznie, [art. 77., Uwaga 2.], to równanie (2) prowadzi do twierdzenia:

II. Sumę r, (r ^ q) całek atych pierwszego rodzaju o dowolnych granicach można zredukować do sumy q całek. W tych q całkach są dolne granice całkiem dowolne, a górne okazują się funkeyami algebraicznemi wszystkich obranych już granic.

Zbadajmy teraz sumę:

(2)

dj..

Cv

Cv

^ f0v

U/ F(xy)dx

V—1 *

Cv

ogólnych całek Abla z dowolnemi granicami : cv, c‘

Dobrawszy jeszcze dowolnie crpi, сг+₂, ...,    możemy utwo

rzyć funkcyę wymierną R(xy) o danych k=r + g miejscach zerowych cv i o miejscach nieskończonościowych c\, c‘₂, ..., c‘r. Jej dalsze miejsca nieskończonościowe c'r+\, cV-ьг, •••, c‘k są algebraicznemi funkeyami miejsc cu c₂, ..., c*, c\, c'₂, ..., c‘r. Mając to, utwórzmy sumę:

v=î, 2, .

r, r ^ Q.

rC‘v

=^i I F(xy)dx

V—\ J .

Cv

i spróbujmy ją obliczyć. Według art. 77., (3) można — jeżeli funkc}^ F{xy) ma miejsca nieskończonościowe    — funkcyi F(xy) nadać

taki kształt :

F(xy)

d£t

Г t* f* [л L

dt

i* i* 1

Щ&щ xv)

a a

S(xtyt, xy)

t~v

Grdy to wstawimy w U, mieć bądziemy :

(3)

U¹

z drugiej bowiem sumy dostajemy zero wskutek relacyi (1). Zauważmy dalej, że:

B(xy)

a więc :

R₀

fc‘v    fC'v

J H(xy, x'y‘)dx' 2 J H(xy. Пе Cv    = ev *Cv

x'y‘)dx'

log

R(xiy)

C'v

Bo

— >•, / Щху, x'yl)dx'

V J

Cv

to uwzględniając to w (3), dojdziemy do związku :

s [«;.)#.% Г

(4)

gdzie R(xy) zawiera w swych spółczynnikach wymiernie wszystkie

(Rp = stała

cv i wszystkie c‘ zależna od cv, c‘v).

Napiszmy dalej (4) w postaci :

■8(1* Vt) = % BfA + t[log R{§t nAt +■

r

2 / F xy)dx

k pC'v

2 / F(xy)dx,

Cî>

to mamy twierdzenie :

III. iSWma r całek АЫа o tej samej funkcyi F(xy), a o dowolnych granicach dolnych: c1} c₂, •», cr i górnych: c\, c\,c‘r redukuje się do formy złożonej: 1) z q całek tej samej funkcyi o dolnych granicach сг^\...ск dowolnych, a o górnych granicach algebraicznie zależnych od wszystkich granic dotąd wprowadzonych, i 2) z wyrażenia zawierającego wymierne funkcye i logarytm wymiernej funkcyi wszystkich granic:

cv, c‘v, v=\₎ 2, k.

Gdy _F(æy) = H‘(xy)

CC )

to z miejsc    mamy tylko jedno:

(«oft«) ? a że zawiera widocznie logarytmu.

W razie F(xy)=H(^rj,xy) redukują się miejsca    do dwóch:

i«    ■■    ■

A* ^

(s«7), («(A)- Iloczyn Я(й,^гд)

a a

—£⁻² + ..., więc tu Ф- — [logR(xtyt)]t i nie

ma

w otoczeniu miejsca 1®°

wyraz    a w otoczeniu miejsca drugiego wyraz —t b Tu więc

będzie: Ф=1од

Я(й)

*HA)

gdyż dla drugiego miejsca mamy :

— Я¹ log

ЯрА) 1

Я(«о

= 0.

Omówione tu redukcye r danych całek do sumy z wyrażenia Ф i sumy q całek noszą nazwy: teoremów Abla dla całek funkeyj algebraicznych ²) dziliśmy je, posługiwał się Weierstrass w swych wykładach o funkcyach Abla.

drogą, jaką tu wyprowa-

Pd. 1. Z równania różniczkowego:

dy

(O

= 0 [Euler],

w którem Дx—\/\—W.l—fc²ce², \y—\/\—y².l—hhß, dostajemy, zakładając że wartości X = 0 odpowiadać ma wartość î/ = Ç, taki związek:

(2)

Lecz. że:

U)

więc (2) możemy także tak napisać

(3)

/£+/²■/=

,    \z=\/l—z'l.l—W-z¹.

Równanie (3) nazywa się całko wem równania (1); Ç jest tu stałą całkowania. Lecz rozwiążmy równanie (1) w inny jeszcze sposób (Lagrange’a). Połóżmy :

dx

^ = dt, a więc :

— — dt,

to mamy :

Z tych równań dostajemy:

(5)

^²(Ê)—æ2(§?) ^ C1—^2aî 2X^/²—^²)-

Zróżniczkujmy równanie (4) podług t, to po skróceniu przez dxj dt otrzymamy związki:

d²x

“^2 ~—(M" h'¹)³⁰ 4“ 2&²Ж³

d%y

z których wyniknie:

(6)

У dt*

-^=-(l+fc> + 2fcy

х<У?==2к*хУ-(х*~У*)-

d²x

Dalej z dzielenia (6) przez (5) mamy :

Æ

ЯШ~

d²x

dt²

2 k²xy

1—k²x²y

albo :

y dt²

d²y — x~

dt²

^М»ш+хт)

d.C

dy

Vdi~Xdt

1—k²x²y²

albo wreszcie :

Ć&C

dy

yTt~xdt

Całkując po obydwu stronach, mamy : dx dy ydt~Xdt 1 — k²\²y²

1—k²x²y²

dx dy ---x-A

log

C, albo :

ydt

dt

1—k²x²y

V.

T dx . dy Lecz

Założyliśmy, że dla x=0 ma być y~K- Otóż dla tych wartości dostajemy уЛх -f- x\y 1—k²x²y²

Uwzględniając to w (A), dostajemy:

C‘ — Ç, czyli : £

g = -iy, a więc dostaniemy:

= C".

X    у    i

/*<*». f dv _ Ль

0 0 0

уДж -f жДу 1—k²x²y²

Д2 ’

a to jest wyrazem teoremu Abla dla całki eliptycznej pierwszego rodzaju, danej w formie Legendre’a.*)

Pd. 2. Wyprowadzić — postępując analogicznie, jak w Pd. 1. — teoremy

(«)

X у    xy

czyli: го0ж+1о0У = ]og(xy).

0 0 0

*) Por. także : G r a e f e. Kurze Ableitung der Ądditionstheoreme der ellipt. Integrale aus der Gleichung (da / ka)(db / kb) = 0. C. J. T. 90, str. 83—84.

(P)

Ху 1—y2Jr!/V 1— я²

czyli :

f dX + f _

J i/l — X² J V/l—y²

o    o

arc sinx -f- arc sin у = arc sin (х\/1— у¹ Ą-y\/1—ж²) •

dy

/—

' V/l-z2 о

X    y

f dx f dy

JiT^+Jr-

1 +./

xJrV 1—ху

f d“

l + z²’

czyli :

arc tg X -f- arc tg y — arc

\1— xy!

odpowiednio znaczenie funkcyi 4s³—g₃, przy

Pd. 3. Niech X?Y?Z

s = X, y, albo z, a zaważmy równanie różniczkowe:

dx dy X ⁺ Y

Gdy je tak rozwiązać chcemy, aky wartości х — co odpowiadała wartość skończona y = Ç , to dostajemy równanie całkowe :

(d)

CD

fdx Г dy

Jx⁺Jr =

ma

= 0.

O , albo ponieważ :

X    oo    co

fdy __ fdy f

Jy Jy J ’

X.

więc także położyć można :

co

00

00

(?)

fdx_ fdy _ f dz

Jx~jY=Jz

X,

а X jest tu znowu stałą całkowania.

Lecz z drugiej strony możemy tak postąpić. Niech:

л=x’a "’ięo: l=-r' te

ЙЖ

a różniczkując te ostatnie związki podług t i skracając potem przez dx/dt, dostajemy :

i/2

dt²

бу²-/²

2'

Połóżmy :

V = X + у 1

я—у)

a więc:

-4-³

p- q

to mamy stąd:

(«)

dp

*=х-г'

dq

— =X-\-Y, a więc :    (й)

dp dq dt ' dt

= Х²-Г².

(«)

Dalej dostajemy z (а).

d²p _dX

dt²

dt

dY d²x d²y ,    „

Wyrażając (b), (c) przez р, q mamy : dp dq dt dt

Stąd — gdy drugi związek pomnożymy przez q i odejmiemy od niego związek pierwszy — wyniknie :

= Bp\+q³-giq,

dh)

- -

dt²

В 2»а+Вдг*-Л.

Vv_dVdA

¹ dt% dt dt ⁴ '

Pomnóżmy tu obustronnie przez 2 ~ ją;i, to dostaniemy :

² Cl) di

2q

cü²^ dp W dt ~

² dq

dp

ę³

-Adf

Lewa strona jest tu = — j — J , a wskutek tego po scałkowaniu dostaniemy : ^ ~ J —4p = C'. albo :

c*.

Tu sprawdzimy, że C" =Ç. Widocznie wartości x = ex, y = e₃, przy Ç = e2 są rozwiązaniem równania różniczkowego (d). Wtedy bowiem lewa strona całkowego równania (B) daje sumę:    a ta =

oo

—ы₂

f dz

J *

[art. 131.]

Z (e) dostajemy zaś w tym razie —(ex-\-e₃)= C⁴—e%. Ponieważ więc (e) daje w tym szczególnym razie C" właśnie w pożądanej wartości Z, a jest stałe,

x-y, a teorem Abla

1 ri-Fl²

więc i dla wszelkich innych (x, y) będzie : Ç=-j- x—y J ~

przedstawia się tu w taki sposób:

(В)

00    CO    CD

ГА- 112 I- x—y J

-x—y—l

135. Odwrócenie całki eliptycznej. Określenie problemu Ja-cobi’ego. Gdy dane jest równanie różniczkowe :

^X=X) gdzie X= \/x—a .х—Ъ.х—с .x—d,

a chcemy je rozwiązać tak, aby % przedstawić przez u*), to prze-

(1)

du

*) O uwagi godnem całkowaniu równania (1) czytaj :

W. K apte y n. Nouvelle méthode pour V integration... Ann. scient, de l’ecole N. s. T. 9. [S. 3., 1892.], str. 35-62.

O numerycznem odwracaniu całki elipt. por. C. Runge Acta math. T. Io

•*

str. 221...

dewszystkiem trzeba zbadać własności funkcyi x—cp(u), spełniającej właśnie to równanie. Aby tego dokonać, naznaczmy:

1    d² /dx

2    ! dx²\ du

to dalej — uważając dx\du za funkcyę argumentu u, dostajemy:

d fdx\ dx dx \ du j ' du

(2)

d fdx dx [cłu

= X"

1 d /dx 1! du \ du

=X‘X=£

(3)

1 d² (dx

2! du² \du

= X"X²-!-X'²X=£₂, .

¹

O przedstawieniu peryodów rj, w przez szeregi hypergeometryczne, czyt.: Bruns. Math. Annalen, T. 27., str. 234...

L. Fuchs, ß. Fuchs [C. J. T. 71., C. J. T. 119] i St. Kępiński [Rozpr. Akad. Krak. T. 87., str. 63—80] rozważają peryody w, y) jako funkcye jednego z punktów rozgałęzienia obrazu hypereliptycznego.

²

Pod względem tego teoremu por.:

L. Königsberger: Allgemeine Bemerkungen zum Abel’sehen Theorem [podaje znaczenie tego teoremu w układzie równań różniczkowych]. C. J. T. 90., str. 109—163. — Beweis von der Unmöglichkeit eines anderen Functionaltheoremes als des ÄbeVschen. O. J. T. 100., str. 121—136.

A. Schumann: Ein Beweis des Additionstheoremes für die hyperelliptischen Integrale. Math. Ann. T. 7., str. 623—634.

O. Staude: Geom. Deutung der Additionstheoreme der hyperellipt. Integrale.... Math. Ann. T. 22., str. 1—69, 145—176.

Scheibner W. Zur Reduction ellipt., hyperellipt. und Abel’scher Integrale. Das Äbel’sche Theorem für einfache und Doppelintegrale. Math. Annalen T. 34., str. 473-493.

O zastosowaniu całek Abla do geometryi czytaj : Г. Lindemann: Vorlesungen über Geometrie von A. Clebsch. T. I. (Lipsk 1876.), str. 661—923.

C. Humbert. J. de l’école N. sup. T. 3., str. 327—404, T. 5., str. 81—144 T. 6., str. 233—292.

A r on h old [C. J. T. 61., str. 95—145] wprowadza do całek Abla „jednorodne zmienne“, przez co może stosować teoryę niezmienników.

Niech x₀ będzie skończone i różne od punktów a, Ъ, c, d, a postarajmy się rozwiązać równanie różniczkowe w ten sposób, aby wartości x₀ odpowiadała wartość u₀ i aby rozwiązanie dawało wszystkie pary (x,u)} zapełniające otoczenie miejsca (x₀,u₀). W tym celu zauważmy, że w otoczeniu punktu x₀ — gdy X, X\ ... na tem miejscu naznaczymy przez X₀, X'₀, ... — mamy:

(4)

dx

du

Ten szereg zbieżny jest w każdym razie w kole: \x—x₀\<C_R nie zawierającem w swem wnętrzu żadnego z punktów a, b: c, d:

a gdy na obwodzie (r), gdzie r— \x—x₀\<ZR ma

największą war-

\dx\

\du\

tośó y, to na tym całym obwodzie mamy [T. I., art. 163.] :

IХ₀Щ<:дг~т , m=0, 1, 2,....

Uważając [dxjdu] za funkcyę argumentu u, mamy — używając wyrażeń (8), których wartości na miejscu (x₀,u₀) nazwiemy ^ö₁,^°₂,..., takie rozwinięcie w otoczeniu punktu u₀:

(5)

dx

du

=X₀+Ç\(u-u₀)+Ç\(u-u₀)²+...

Stąd wynika :

(6)

x-x,~X₀(u-u₀)+i»,(<< ₂M°)Z

О (Ц—Цр)³

Szereg ten — (o jego zbieżności będzie zaraz mowa) — spełnia równanie różniczkowe (1), albo — co jest tern samem — równanie różniczkowe (4). Grdy bowiem w (4) za każde [x—xQ) wstawimy rozwinięcie (6), dojdziemy do związku (5), a ten jest znowu danem równaniem różniczkowem w otoczeniu miejsca (x₀u₀). W (6) mamy więc już formalną całkę równania (1), a aby teraz jej zbieżność zbadać, zauważmy równanie różniczkowe:

(7)

dx

du

н OC Xq r

Gdy założymy \x—x₀<Zr, to:

h -4i i ж~ж°1 (ж~х»⁾²

= H.

-]■

ndzie tu :    —

ö    rm

1 /dmH\ TT . .

~~~m\ \dô^/æ7^°

Stąd wnosimy, że :

(8)

|Я₀И|>|Х₀И|,

Równanie (7), pisząc je w formie:

m=0,1, 2, ...

(9)

(■

Ж -^jdx=gdu

możemy już zcałkować, a przestrzegając, aby x0} u₀ były wartościami odpowiadającemi sobie, dostajemy :

(‘

С2УИ:    ⁼⁼¹—~(u~uo)-

Po rozwiązaniu dochodzimy do całki :

r j\+Vl —²⁹ '

oc xQ ■■

■Mo)]

która widocznie w otoczeniu punktu w₀ rozwija się na szereg:

(u-uoy

X—x₀ — H₀(u-u₀)-\-h.

(u—uoy

zbieżny, gdy |w—w₀|<~. Lecz z drugiej strony spółczynniki tego szeregu można określić w ten sposób, jak spółczynniki szeregu (6), a więc położyć :

h\=H‘₀H0r й°₂=Я₀"#₀²+#₀'²#₀, ....

a z tych form, gdy uwzględnimy nierówności (8), wynika :

ifiKiy,!, -ii°ai<|Ä*a|,....

Z tego wnosimy, że i szereg (6) będzie zbieżny w zakresie

a stąd twierdzenie :

I“-“«! <§

I. Równanie różniczkowe (1) daje w otoczeniu takiego miejsca (x₀, u₀), w którem x₀ różne jest od а, Ъ, c, d, całkę x wyrażającą się zwykłym zbieżnym szeregiem potęgowym argumentu (u—u₀). W razie un=co trzeba (u~uj) zamienić na u~x.

Gdy dla u=u₀ ma być x--=xf)—a, kładziemy x=a + z², a wtedy z równania (1) dostajemy równanie różniczkowe:

dz

du

= ~ \/(z²—b⁴)(z²—c‘)(z²—d‘)

u

a do tego równania — ponieważ z—0 jest różne od b\ c‘ d' — zastosować można także twierdzenie I. Dostaniemy więc :

z=(u—uQ)^{u—uQ), z²=(u —w₀)²ip₂(M—uf), a x=a-\-(u—)² ?ß₂ (и—uf).

A więc i w otoczeniu każdego z punktów a, b, c, d, okazuje się X regularną funkcyą argumentu u.

a wtedy

Gdy wreszcie będzie x=x₀=co , to położymy x—z dostaniemy :

dz

du

= — Vl—as. 1—bz. 1—cs. 1—ds.

Stąd — podług tw. I. — wyniknie :

z={u—uf Щи—uf) i х=Р(и—щ)

, z odjemnymi wykładnikami tylko do skończonego stopnia.

Gdy u₀ — co, mamy stąd x=Pi(u) z wykładnikami odjemnymi rosnącymi in inft. Zbierając te uwagi, dochodzimy do wniosku:

II. Równanie różniczkowe    rozwiązuje się taką całką x, która

w całej nieograniczonej płaszczyźnie (u) jest jednoznaczną; dla skończonych u posiada tylko bieguny, a punkt istotnie osobliwy występuje dopiero w nieskończoności. Całka x jest więc funkcyą, która się. daje wyrazić ilorazem dwóch bezustannie zbieżnych szeregów argumentu u. *)

Z (1) przy warunku, aby x₀ odpowiadało wartości u₀, dostajemy:

(10)

и—и₀ =

fdx

J X ’

х₀

* a tu prawa strona jest eliptyczną całką pierwszego rodzaju. Górna

*) W teoryi równań różniczkowych znaleźć można takie twierdzenie:

Aby całka x równania różniczkowego — =f(x) była jednoznaczną funkcyą argumentu u, muszą zajść takie warunki (konieczne i dostatezzne):

1°) Każdy punkt x zienia funkcyi f{x).

2°) W swych punktach rozgałęzienia Ç, dających skończone f{x), ma mieć / (a?) rozwinięcia postaci :

na

którym jest f(x) = co

ma

być punktem rozgałę-

p+\

P+2

«) /(#) = A(x—%) V -f- B(x—l) P -f-

p—1

gdy u = co;

ß) f(x) = A(x—Ç) P    +

gdy u = Uq , skończone W otoczeniu miejsca ж = сота mieć f{x) rozwinięcie : f(x) = Ах-2 4- Вх-1 4- о + Dx 4-hez różnicy, czy u skończone lub nieskończone

albo: f(x) = Ax-'Ą-BĄ-Cx-\-..., a wreszcie rozwinięcie:

jej granica x jest według tw. II. jednoznaczną funkcyą argumentu u—u₀ (t. j. wartości samej całki).

Niechże ta funkcya =(p(u), to mamy: x=cp(u), a wyrażanie tego x przez u w opisany sposób, nazywa się odwracaniem całki (10). Lecz całka (10) ma dwa peryody Û, Ü¹, takie, że każdy jej inny peryod przedstawia się w postaci:

(И)

mQ+m'Q¹, тЩт' = 0, ±1, ±2,...

Wskutek tego jedna i ta sama wartość x nie tylko = <jp(w), ale jeszcze — <p(u \-m Q-\-

Ponieważ u jest dowolne, więc funkcya (p jest dwuperyodyczna, a jej wszystkie peryody mają postać (11). Przyjmijmy bowiem, że istnieje jeszcze peryod, różny od peryodów (11). Ten musiałby być i peryodem całki (10); jako taki (por. własności powierzchni Bie-manna art. 110., tw. V.), musi być zawarty w (11), a założenie nasze było fałszywe. Peryody Q, Ü¹, dające już wszystkie peryody funkcyi nazywają się pierwotnymi.

Poznawszy istotę odwracania całki eliptycznej pierwszego rodzaju, zauważmy dowolny obraz algebraiczny f(xy) = 0 rodzaju q i utwórzmy w nim q funkcyj Ha{xy) rodzaju pierwszego [art. 72].

Połóżmy :

dua=SII^xßyß)adxß,    a== 1, 2,..., ę

ß

to rozwiązanie tych współistniejących równań różniczkowych w ten sposób, aby każde xß wyrazić w funkcyi argumentów Щ, u₂, ..., uQ jest najogólniejszym problemem odwracania, wprowadzonym przez Jacobi’ego. Zajmować się tern szczegółowo, nie leży w zakresie tej książki. Ograniczamy się więc tylko do tego krótkiego określenia, przechodząc do dalszego badania odwróceń całki eliptycznej, a prze-dewszystkiem nasamprzód do badania funkcyj jednoznacznych i peryodycznych jednej tylko niezależnej zmiennej.

p+t

p—i

gdy u — m₀, skończone, a rozwinięcie:

f(x) = Ax P — ВхР + Су P =

p—1

f(x) == Ax P — Bx P =..., gdy u = od.

[W badaniu miejsca u —cc, trzeba już odrazu u zastąpić przez m-¹].

4°) Po przyjęciu tych wyliczonych wypadków ma być zresztą / (ж) zawsze regularną. Funkcya:

Xn=\/x—a[.x—a₂...x—am n > 4

nie spełni w równaniu róźniczkowem ^ = Xn nigdy warunków wyżej wyliczo-

nycu, a stąd wynika, że całka x tego równania nie jest funkcyą jednoznaczną.

136. Peryodyezność fuiikcyj jednoznacznych. Niech rp(u) będzie jednoznaczną fnnkcyą [bez miejsca istotnie osobliwego w skończo-ności], i niech posiada dwa peryody 12, 12'. Nie wchodząc w to, skąd wzięła początek ta funkcya i czy 12, 12' są peryodami pierwotnymi, możemy być pewni, że ml2 + m'12', gdy m, m‘ są całkowite, są wtedy także peryodami — może nie wszystkimi jeszcze — funkcyi cp[u). O peryodach 12, 12' — zakładając, że już h‘Q, h‘Q‘ z żadnem h‘ ułamkowem dodatniem nie są peryodami — da się udowodnić takie twierdzenie :

I. Jeżeli funkcya cp(u) ma posiadać wistocie diva peryody 12, 12' takie, że h‘Q: /г'12' z ułamkiem właściwym h‘^>0 już nie są peryodami, to stosunek 12 / 12' nie może się wyrazić liczbą rzeczywistą.

1°) Niech 12/12' = wymiernemu ułamkowi p/ą, w którym przyjąć można p, q pierwsze względem siebie, a ani p: ani q nie jest = 1. Wtedy dadzą się dobrać zawsze dwie liczby całkowite g, li takie, że hp—gq=l. Zauważmyż peryod liQ-\-gQ': Ponieważ 12'=—12, więc napisać możemy:

JiQ+gQ^liQ f —42=

Stąd wyniknęłoby :

(p(u)=(p(u+j^

co iednak sprzeciwia się założeniu o peryodzie 12. Nie może więc być û I Q'=pl q.

2°) Niech 12/12' = «, gdzie a jest liczbą rzeczywistą niewymierną. Rozwińmy a na ułamek łańcuchowy i zauważmy dwa po sobie bezpośrednio następujące wartości przybliżone: plq,p'lq‘‘ Temi wartościami zamknięte jest a. Połóżmyż :

|Ä|<1

~J-+a(ł _ąj

' q U 2/

to z uwagi, że —

<1

= ±—, mamy także:

qq‘

a stąd :

12

(1)

12' q qq qû pl2' = ± —t.

nieskończenie wielu

Po lewej stronie mamy tu peryod ; prawa strona zaś, z uwagi, że h jest zawsze ułamkiem, a q można dowolnie zwiększać , może co do swej bezwzględnej wartości być mniejszą od dowolnie małej, dodatniej ilości e. Równanie (1) wskazywałoby zatem, że funkcya może posiadać peryody dowolnie małe. Ale wtedy funkcya (p{u) w otoczeniu dowolnego miejsca u przybiera na

miejscach tę samą wartość, a taka funkcya redukuje się do stałej. Założenie więc 22/12' = « trzeba także odrzucić, a twierdzenie I. mamy dowiedzione. Z tych uwag wynika naodwrót:

II. Gdy dwa peryody 22, 22' są takie, że 22 / 22' ==p / q, to w obszarach hÙ, hû‘, h=(0...1) muszą się znajdować peryody, a najmniejsze

z nich co do bezwzględnej wartości muszą mieć jednaką wartość oj. Wtedy 22 —pkoj , 22' = qkoj , gdzie к jest liczbą całą, a funkcya jest tylko jedno-peryodyczną, [o peryodzie oj].

Wróćmy do dwóch istotnie różnych peryodów 22, I?', które krótko najmniejszymi nazywać będziemy. Ich stosunek — według tw. I. — jest koniecznie urojony. Gdy więc na płaszczyźnie (u) zauważymy pewien punkt dowolny u, a więc dla wygody u—0, i naznaczymy na niej punkta Pmm,=mQ-\-m‘22', тЩт‘= 0, ±1, ± 2, ..., to te wszystkie punkta będą przecięciami dwóch gromad, równoległych do siebie prostych. W jednej gromadzie będą wszystkie proste równoległe do OP₁₀ = O22, a w drugiej do OP₀₁=O22'. Zbiór pierwszych prostych naznaczać będziemy przez (22) przez (22'). Punkta :

drugich

u=0, 12, 22', 12 + 12'

tworzą równoległobok E (fig. 78.), a dwie wspomniane gromady prostych podzielą całą płaszczyznę (u) na same równoległoboki, przystające do E i przytykające do siebie. Wartości, jakie funkcya

cp (u) przybiera w E, odtwarzają się w każdym I innym równole-głoboku w ten sposób, że jeżeli u‘ leży w E, a w tym punkcie jest <jp(w') —c', to także :

,ę

bu)

SW

(p(u‘ -+• Pmm j — G r

a punkt u‘ -+ P,

Fig. 78.

nm‘

leży koniecznie w pewnym równoległoboku, różnym od i?, i leży w nim tak samo, jak u‘ w E. Z tego powodu nazywają E (lub którykolwiek inny równoległobok) równoległoboki em peryodyczności. Dwa punkta u, u¹, których różnica wynosi Pmm<, nazywają równoważnymi albo odpowiednimi.

W równoległoboku którymkolwiek dość jest uwzględnić dwa tylko boki przyległe. Drugie dwa bowiem przyległe boki zawierają same punkta równoważne z punktami, leżącymi na pierwszej parze. Z wierzchołków wystarcza jeden tylko uwzględnić (punkt przecięcia się zatrzymanych boków.)

Lecz dalej nie można wykluczyć, że funkcya cp(u) posiada jeszcze trzeci peryod D", który nie spada z żadnym z punktów Pmm‘. W takim razie mogą zajść dwie możliwości:

AJ Między liczbami całkowitemi (dodatniemi i ujcmnemi) można znaleść trzy: /Р, p‘: p takie, że zajdzie związek:

(2)

u " Ü " = p Q -f u‘Q‘.

JB) Równanie (12) nigdy zajść nie może.

Aby funkcyę w obydwu tych wypadkach zbadać i te wypadki należycie od siebie odróżnić, przyjmijmy nasamprzód, że Ü" nie leży wewnątrz równoległoboku P, ale mieści się w pewnym równo-ległoboku S^ABCD (fig. 78.) Wtedy różnica Û"—A~ jako różnica dwóch peryodów, jest znowu pewnym peryodem Q. Wynajdżmy — jeżeli D na prostej AQ“ nie jest najmniejszym peryodem — najmniejszy na AÜ" leżący peryod, to on będzie = - -ß = oj. Stąd

mamy Ü"—A=nco, czyli Q“ —A-\-no), a wstawiwszy to w (2), dostaniemy i tu związek :

(3)

m" Q=mß Аm'ÜJ

Z tego widać, że możemy się ograniczyć zawsze do wypadku, w którym trzeci peryod (najmniejszy) co zawiera się wewnątrz pewnego równoległoboku peryodyczności Si. Przedłużmy prostą Aco poza co, to ta prosta p wskutek związku (3) wpadnie wreszcie w punkt T—mÜAm'ß¹, a na AT znajdziemy takie punkta peryodów : u>, 2oo, 3co, 4co, ..., m"co—T, (na fig. jest m" = 17).

G-dy w Si punktom tym odpowiadają punkta:

Pi i -^21 -^37    •”! P™¹' 1

to one rozłożą się tam na prostych, które do siebie i do Aoo będą równoległe. Dwa sąsiednie punkta są na jednej prostej oddalone od siebie o | o> |. Zauważmy z tych prostych : prostą wychodzącą z wierzchołka A, jest-to prosta AT, i prostą bezpośrednio po niej następującą a bliżej leżącą punktu Z), niż prosta AT. Na pierwszej z nich jest punkt co najbliższy punktowi A. Na drugiej wybierzmy także punkt P najbliższy punktowi A.

W trójkącie APco nie zawiera się z pewnością żaden punkt peryodu. Ale gdy i ten trójkąt dopełnimy do równoległoboku

Z=APQco, to i w tym równoległoboku żadnego punktu peryodu nie będzie. Zawiera się on bowiem między dwiema bezpośrednio po sobie następującemi prostemi. Co się zaś tyczy jego obwodu, to co i P są punktami peryodu, a że bok Aco = |o>j i bok PQ=\oj\, więc tylko wierzchołki A, P, Q, co są punktami peryodu.

Nazwijmyż P—A = co‘ i poprowadźmy gromady prostych równoległych: (oj), (co'), to możemy być pewni, że poza punktami mcopm'oj' już żadnych punktów peryodu nie ma; co, co¹ są więc peryodami pierwotnymi, a funkcya cp(u) jest tylko dwuperyodyczną. Stąd .twierdzenie :

III. Gcly między trzema peryodami Û, Q‘. Ü“ danej jednoznacznej funiccy i zachodzi związelc :

m‘‘Q“=m Q-\- m‘iJ‘,

to funkcya jest tylko dwuperyodyczną o peryodach pierwotnych oj, co¹, dających się wyprowadzić z Q, Q‘, Ü“.

Rozbierzmy teraz wypadek B). AV tym razie prosta p dowolnie przedłużona, dopiero w nieskończoności trafi punkt:

[m û + m'Q^n - co

m'=z co

Na niej dostajemy nieskończoną mnogość punktów co, 2co, 3co, ..., in inft. Im w równoległoboku odpowie wszędzie gęsta mnogość punktów peryodu: Pi, P₂, P?, ..., in inft., a funkcya cp(u) musi się zredukować do stałej. Mamy więc twierdzenie:

IV. Gdy funkcya jednoznaczna ma mieć trzy pery ody Q, Q‘, a między nimi nie zachodzi relacya postaci m"Q“ —m Q-\-m‘Q‘, to taka funkcya redukuje się do stałej, (funkcyi takiej nie ma).

Ponieważ innych możliwości jak A), B) niepodobna znaleśó, więc stąd wnioskujemy:

IV. Między jednoznacznemi funkcyami można tylko znaleść jedno-peryodyczne i dwuperyodyczne. Fimkcye jednoznaczne o więcej niż dwóch pery odach nie istnieją. Między trzema peryodami Q, Q‘, Q“, wyjętymi dowolnie z (mcoĄ-m‘oj‘), тЩ. m‘= 0, ±1, •••• zachodzi zawsze związek к QĄ-k‘-\- k“Q“ = 0, w którym к, к/, к" są całkowite.

Zau-

Par pierwotnych peryodów jest nieskończenie dużo. ważmy bowiem dwa peryody :

°J\ =P oj+ q co' co₂ =p‘oj-\-q‘oj1 to z tych równań dostajemy:

oj — P.co, -J- Qco-2, co‘ = P'co^ -j- Q‘co.,:

P₁ P‘, Q, Q' są całkowite. Z tego wynika, że dowolny peryod moj-\-m‘oj‘ będzie także liniową jednorodną funkcyą o spółczynni-

kach całkowitych peryodów (oi, oj₂. Peryody coi, (o₂ są więc również pierwotnymi. Pównoległobok utworzony na zasadzie dowolnej pary pierwotnych peryodów, nazywa się zasadniczym.

137. Funkcye eliptyczne Jacobi’ego. Gdy w równaniu różnicz-kowern (1) — art. 135. — założymy:

V Vl-xKl-№x²=A(x,ty ,

a wartości u—0 ma odpowiadać x=0, to mamy odwrócić całkę:

(i)

(2)

f dx

U~J Щьу

Połóżmy: x=sincp , A<p =\/1—k'²sin'²cp, to zamiast (1) mieć

będziemy :

dcp

A (p

Jacobi kładzie <p=amu (amplitudo u), wskutek tego określa x jako sin am u. Gud ermann używa krótszego oznaczania: x=snu. Taka funkcya x jest jednoznaczną z miejscem istotnie osobliwem w u = oo i ma wartość æ = 0, gdy u=0. Lecz na podstawie dotychczasowych poszukiwań możemy odrazu wnioskować, że :

snu=sn(u -f 4mK+ 2nK‘i),

co znaczy, że snu jest funkcya dwuperyodyczną o dwóch- pierwotnych peryodach 4K, 2K‘i.

Wprowadźmy dalej za Jacobim dalsze funkcye:

(3) у/l—x²=cos (p=cos amu, VÏ—Tc'lx'¹ =\/A — Jc²sin²cp=Aamu, które podług Gudermanna znaczą krócej przez спи, dnu, a w których pierwiastki określamy tak, aby cn0 = 1, dn0=l.

Funkcye спи, dnu są — jak zaraz zobaczymy —jednoznacz-nemi funkcyami, a pierwiastki uwidocznione w ich określeniach

(3) są tylko śladem związków :

(4)

sn ht -f- en ht = 1, dn ²u 4- /с ²sn ²u^= 1.

Połóżmy bowiem w całce (1): 1—x²=z², to dostaniemy:

u— —

dz

7г² + &'²=1,

s z e g o

określa z — спи jako funkcyę jednoznaczną z miejscem

istotnie osobliwem tylko w nieskończoności.

Podobnie, gdy w całce (1) położymy 1 —k²x²=z², mieć bę

dziemy :

dz

V1—z²) (z²—k¹²)

a ta całka jest znowu eliptyczną rodzaju pierwszego i daje 8=dnu jako funkcyę jednoznaczną znowu z miejscem istotnie osobliwem tylko w nieskończoności.

Mając to — uwzględnijmy teorem dodawania całki (1), dany w Pd. 1. art. 184. Połóżmy:

~7~ = U

Ax

a więc x=snu

li-

a więc y=snv

to wtedy :

rdz

(«)

sn(u-\-v)

sn u.cn v.dn V + sn v.cn u.dn u

1—k²sn²u.sn²v

Połóżmy dla krótkości :

snu=si, snv=s₂, cnu=ci7 cnv=c₂, dnu—d1? dnv=d₂, to z (a), uwzględniając \cn{u-fv)]²=l — [s^^ + v)]², dostaniemy:

(1—k*s^s₂ ²)²—{s^c^+s^dj²

(5)

[cw(M-fv)]² =

(1—^²s₁² s₂ ²j ²

Po wprowadzeniu tu :

cxdx = V 1—(l + /ń²) s₁²+Æ²s₁⁴,

c₂d₂ = V 1 - (1 + h²) s₂ ² + k²s₂⁴

będzie można licznik sprowadzić do postaci :

\V\—s^.Vl — s₂²—s₁s₂V/l—k²s^²\/1—ü²s₂    — sis₂did₂)².

Wstawiając to w (6) i pierwiastkując po obydwu stronach, otrzymamy :

(ß)

cn(u-\-v)=

en u.cn V—snu.snv.dnu.dnv

l — k²sn²u.sn²v

Pierwiastka użyto ze znakiem +, aby przy u=v—0 okazało się stąd cwO= + l. W analogiczny sposób dojdziemy do formuły:

dn(u-f-y)

(y)

dnu.dnv—k²snu. snv.cn u.cn v

1—-k,²sn²u.sn²v

Równania (a), (ß), (y) określają prawidła dodawania trzech funkcyj eliptycznych Jacobi’ego snu,спи,dnu.

Co się tyczy pochodnych trzech poznanych funkcyj, to dostajemy przedewszystkiem z równania (1) :

— = VI^X\V/T -“W du

Dalej z określeń cnu = \/l—sn²u d(cn u)

czyli :

d(snu)

du

— cnu.dnu.

dnu=V 1—Jc²sn²u dostajemy: d(dnu)

Jc²snu.cnu.

sn u.dn u

Zajmijmy się teraz pierwotnymi peryodami funkcyj спи, dnu — [snu ma pierwotne peryody AK, 2КЧ]. Wprowadzając amplitudę cp

du

du

mamy :

(o)

= K.

Lecz — ponieważ także:

(”+*>Т T

fdcp fdcp _

J Acp J Aq)

K, n=0. +1, +2, ... -

Я,Т

więc całka :

, я

±nY

(6)

У zlę) — JA

IS3

+ »I, w==l, 2, 3, ...

Z (a) wynika :

(о)

te a

=am К

z (6) zaś mamy + n.~—am{Ar nK)

Луп -‘~—am(ArnK)—Arn.amК, n= 1, 2, 3, ...

W szczególności mamy:

am(±K)=±~, ат(±2К)=±л, ат{±ЪК)=±\п, am{±AK)=±2n, a stąd dostajemy wartości. sw(-k К)—ЛЛ sni+ßK)— О sn(A~ 3 К)—-j-1 sn(A~ 4 K) — 0

a uwzględniając tu (c), dosta

niemy :

(A)

cn(+ K) —    0

cn[Ay 2 K) — — 1 cn(Ay3K)= 0 cn(ArAK)—-\-l

dn(+ K) = A-k‘, dn{± 2K) = -к 1 , dn(Ay 3 K)= -f- Id, dn{±AK)=+l.*)

*) Do każdego z notowanych tu i w dalszym ciągu miejsca, dołącza się oczywiście zawsze cała nieskończona mnogość miejsc równoważnych.

Na podstawie tych wartości dojdziemy, stosując prawidła dodawania (a), (/?), (y), do takich wzorów :

sn {u+K)=jr

cn u

dnu

(B)

cn (ujrK)

k‘sn u

dn u ’

dn (u +K) — +    .

O/ri/ IV

Dalej zmieniając tu u na u+K, albo używając znowu prawideł dodawania (a), {ß), (y), mieć będziemy :

(C)

sn (u + 2K)= — sn u, cn{u + 2K)=—спи, dn{u + 2K) = dn u.

Zmieńmy tu u na (u+K) i użyjmy wzorów (B), to otrzymamy:

cn u dnu ’

Ф)

k¹ snu

cn (u + 3K) = +

dn(u + 3K)=+    .

dnu

Wreszcie wszystkie 3 funkcye na miejscu (u + 4:K) dostaną tę samą wartość, co na miejscu u. Z tego widzimy, że z peryodów, mających się przedstawiać w wielokrotnościach całki K, mają snu, спи peryod 42Г, a dnu peryod 2K.

dnu ’

Dołączmy tu jeszcze funkcyę tn u —

snu

спи

to z (C) wnosimy, że

ta nowa funkcya ma peryod 2K.

Zamiast s«m, спи, dnu, tnu, można także pisać wyraźnie: sn{u,k), cn{u,k), dn(u,k), tn[u,k)*), co przypomina moduł całki, z której wzięła początek funkcya snu.

dnu

Pochodna :

dj-tniu. k)

du

{спи)

a gdy zważymy, że :

йии —

\А

кЧп²и    Y/1 Ą-к'Нпи

1-ИЛ у/1 + tn²u

dostaniemy :

*) Zamiast вя*#, pisze Abel X(«), а В riot i Bouquet zamiast sn(u),. спи, dnu piszą: X(w), ;i(u), v(u).

^-tn(u,7c)=V'( 1 + tn ²u) ( 1 + k‘ 4n ²u). Połóżmy tn(u, h) = £ , to mamy:

du

ą=V{l + ¥)(l + кф), a funkcya tn(u,k) jest widocznie odwróceniem całki:

о/== Г_à£__

J v/o+Fxï+F^F)

Analogicznie fnnkcya in(u, k‘) będzie odwróceniem całki :

dz

V/(l -f £²)(1 -f k²z²)

i posiadać będzie peryod 2A. Połóżmy tu £=-?-, to dostaniemy :

gdzie г—у/—

zi

ui

-f

dx

V/ (1—ж²) (1—Æ²#²)

a stąd: gi=sn(ui,k), czyli:

(6)

sn(ui, k)—itn(u, P).

Z tego równania możnaby wywnioskować, że sn(u,k) posiada peryod 2 A4". Po prawej bowiem stronie mamy funkcyę o peryodzie 2A, a stąd wnioskujemy, że:

sn(ui, k)=sn{ui+2 А'г, &).

Gdy za ui napiszemy tu wprost u, mamy r sn(u, k)=sn(uJr2K/i, k). Stosując związek (6), dostajemy dalej:

(7)

(8)

m(m, k) = Vl -\-tn\u, k‘)

Ze zaś c«&(m + 2A,&)= — cn(ui: k), podług (G), więc: cn(ui+2 A, Ä)

cn(u,7c‘)'

cn(u,k‘) ’

Z drugiej strony jest:

cw(w+2A/,7«‘) = — cw(w, 7c'), znowu podług (G). Uwzględnijmyż to w (8), to mieć będziemy :

cniui+2 A-f- 2 A4, 7c)

cn(ui, k)

cn(u, &')

a pisząc w zamiast m, dostaniemy: cw(w + 2A+2A4,7c) =    , co

znaczy: f uniccy а спи ma per у ody 4zK, 2KĄ-2K4. Są-to zarazem jej pierwotne peryody.

Przechodząc do funkcyi dnu, dostajemy: dn{ui] k) — V/1 Jrk-tn¹(u₁ Ir ),

Vcn\u, 7г') + (1 —Je'²) sn²(u,Jc‘) cn[u, /с')

czyli :

\/l —h‘²sn²(u, Ib )

(9)

dniiii, &)

cn(u,h‘) '

Że zaś: ć7w(w-f-4.5T;, k‘) = dn(u, k‘), cw(w-j-4.Zr', k/) = cn(u, k‘), więc:

dn(u,k‘) ₇ . . ₇. -сГ(и^Гап(Ш’,:)-Pisząc tu znowu u, zamiast m, dostaniemy:

dn{ui-sr4:K‘i: Ic)

dn(u + 4/7'i, &) = c7w(w, k),

co wskazuje, że funkeya dn(u,lc) ma pierwotne peryody: 2К, 4 А? г.

Pd. 1. Jaki drugi peryod — oprócz 2К — ma tn(u,k). Pd. 2. Jakich całek odwróceniami będą funkeye:

= ctn(u, &) ?

cn(u, k)

sn(u. k) ’ cn(u, k) ’ sn(u, k)

W równaniu (6) zmieńmy w na u+K‘. Po prawej stronie dostaniemy wtedy :

(10)

itn {uJr_K‘,k/)=i

sw(w +TT, k‘)

cn(u ±K',k‘)

Lecz — zachowując zupełną analogię — mamy podług (B) :

sn(u + K‘: k¹)

cn(u, k‘)

cn(u + K‘, k¹)

_ksniu^k¹)

dn(u, k')

a stosując to w (10), otrzymamy: i.tn(ujrK‘,k‘)=--r

dn(u, k‘)

Że zaś i.tn{u:k‘) — sn(uiik)i więc będzie:

k itniu^k'j

i.tn(u + K‘j k‘)

k.sn (ui, k) ’

Wracając teraz do równania (6) i pisząc tam wprost u, miast ui, dostajemy:

za-

$п(-и±К‘^=П^у¥/

Analogicznie postępując z równaniami (7) i (9), dojdziemy do wzorów :

(a¹)

138. Miejsca zerowe i nieskoiiczonościowe funkeyj Jacobi’ego. leli wspólne peryody. Przejdźmy do miejsc zerowych i nieskonczo-nościowych fnnkcyj snu, спи nie uwidoczniamy]. Funkcya siny posiada, jak wiadomo, wyłącznie miejsca zerowe jednokrotne: ср = птс, n—0, +1, ... Funkcya więc snu będzie zerem, i to jednokrotnie jedynie na miejscach 2nK, n—0, +1, ... Z nich na wnętrze zasadniczego równoległoboku Rs o wierzchołkach : (0, 4.ЙГ, 2 КЧ, AK-\-'2K‘i) przypadnie tylko dwa, a mianowicie :

dnu, [modułu к juz teraz znowu

i dn(u, к) кsn[u, к)'

i cn(u, Jc) sn(u, k)

(b‘) cn(u +K‘i, k) i t. d.

(c‘)    dn(tejrK'i,k)=d|_

(«")

0, 2 K.

Z określeń (4) — art. poprzedź. — wynika, że cnu=0 na tych miejscach u, na których snu—^rl, a takie miejsca podług (44) — art. poprzedź. — są + К, + 32Г, + 52Г, ... Z nich w równoległoboku Rc o wierzchołkach (0, 4К, 2К+2К‘г, 6К+2КЧ) przypadają:

К, 3 К.

Podobnie z (4) wnosimy, że dnu = 0 na tych miejscach u których sww = +-^-. Połóżmyż w (a¹) — art. poprzedź. — w==+ К

to właśnie mamy: s«(+iń+7Г'г)==+-р

ległoboku Rki o wierzchołkach: (0, 2K,4:K‘i, 2К+4.КЧ) będzie dnu=0 na miejscach:

Ф*)

na

a stąd wynika, że w równo-

(c")

K+K‘i. K+3K‘i.

Miejsca (a") są niezawodnie już wszystkie, na których snu=0 w swoim równoległoboku Rs. Niebawem przekonamy się, że także w Rc, Rd innych już (nierównoważnych) miejsc zerowych jak (&"), (c") nie znajdziemy.

Aby już naprzód módz rozstrzygnąć, ile miejsc nieskończo-nościowych funkcyi snu spodziewać się można w jej równoległoboku Rs, zauważmy naprzód dowolną dwuperyodyczną funkcyę f(u) o takim charakterze , jak nasze rozważane funkcye. W swym równoległoboku peryodyczności R, niech f[u) posiada mi miejsc zerowych, a m₂ miejsc nieskończonościowych. Boki równoległoboku R nazwijmy:    l₂, ls, Z₄, a z nich (1^,1%), (/₂, ?₄) niech będą parami

boków przeciwległych. Grdy X oznaczać będzie obwód równoległoboku, to według art. 121., (3), mieć będziemy:

/»

(X)

=-i- f

2ni J f(u)

л

Lecz (71) = (4)> (^2)⁼⁼⁼ (C ) wskutek peryodyczności funkcyi. Z tego wynika, że ш₁ = m₂, a to znaczy:

I.    Każda funkcya dwuperyodyczna bez miejsc istotnie osobliwych w skończoności, ma wewnątrz swego równoległoboku peryodyczności dokładnie tyle miejsc zerowych, ile ilość miejsc nieskończonościowycli wynosi.

Zauważmy jeszcze funkcyę fiu)—c, gdzie c jest skończone i фО. Jestto również funkcya dwuperyodyczna o tych samych pe-ryodach, co funkcya fiu), a w równoległoboku peryodyczności R ma te same miejsca nieskończonościowe, co funkcya fiu). Z tego wynika, że fiu) będzie =c na mi miejscach w R, a to znaczy:

II.    Każda funkcya dwuperyodyczna bez miejsc istotnie osobliwych w skończoności, przyjmuje w swoim równoległoboku peryodyczności każdą dowolnąt; wartość te samą ilość razy. Gdy ta ilość jest m, to funkcyę nazywają m'J0 stopnia.

Uwaga. Z twierdzenia I. wynika, że gdyby funkcya fiu) w równoległoboku nie miała mieć wcale miejsc zerowy cli (nieskończonośeiowych), to nie mogłaby także mieć i miejsc nieskończonośeiowych (zerowych). Taka funkcya miałaby więc mieć postać ead), gdzie g(u) jest funkcyą całkowitą. Później dopiero rozstrzygniemy, czy taki wypadek w istocie zajść może.

Na twierdzeniu I. opierając się, możemy być pewni, że funkcya snu tylko dwa będzie posiadała miejsca nieskończonościowe w Rs, a aby je znaleśó, zauważmy, że każde takie’ miejsce u=v określi się równaniem :

f dx

V J A(P, k)’

Połóżmy x=—xj to mieć będziemy także:

dx

4 (a?, k)

stąd wnosimy, że :

+ CO

(1)

dx

A(x, k) '

— CO

Niech tu to całkowanie odbywa się po nieograniczonej prostej SSj przechodzącej przez punkt x=0, a nachylonej do pierwszorzędnej osi pod kątem ip (fig. 76., str. 483.). Pomyślmy z punktu X—0, jako środka, zakreślone półkole W o promieniu nieskończenie wielkim, a opierające się na SS‘. Całkowanie po tern półkolu — gdy położymy x=QeTi — da :

Um Г içe”dT О

гр-\-л

a z tego wynika, że całkując po zamkniętej drodze, złożonej z nieograniczonej prostej SS¹ i z nieograniczonego półkola W, dostaniemy na rezultat całkę (1). Że zaś SS‘ przecina koła K: K‘ po jednym tylko razie i to w dodatnim kierunku, więc dostaniemy :

2v=ĄK—2Ki: [art. 128.]

a stąd: v=2K—Ki.

Takie jest miejsce nieskończonościowe v. Z niego powstaje cała nieskończona mnogość biegunów (Ап-\-2)К-{-(2п‘—1 )K, a z nich tylko jeden: (fźK+Ki) leży wewnątrz Rs. Trzebaby teraz oznaczyć jego powtarzanie się, które mogłoby być jedynie =2. Lecz że z (a‘) [art. poprzedź.] — gdy tam u=0 położymy — wynika sn(K4)=go, a Ki leży niezawodnie wewnątrz Rs, więc bieguny Ki, (2K-\-K‘i) mogą być tylko jednokrotne, a oprócz nich snu nie ma już w Rs żadnych innych miejsc nieskończonościowych.

Przechodząc do funkcyj :

спи=\/1—sn²u ,    dnu=\/1—k²sn²u,

widzimy z tych ich określeń, że one również na miejscach Ki, (2KĄ-Ki) są nieskończonościami i to jednokrotnie, a że te miejsca leżą i w Rc i w Д*, a wszelkie z niemi równoważne podług pe-ryodów już-to funkcyi спи, już-to funkcyi dnu leżą już po za Д, i Rd, więc i te funkcye mają w Rc i Ra 'dwa tylko jednokrotne bieguny: K‘i: (2K-\-Ki).

To mając na uwadze, wywnioskujemy z tw. I., że funkcye спи, dnu w swych równoległobokach innych miejsc zerowych jak (6"), (c") nie posiadają. Z wszystkich tych poszukiwań wynika:

III. Funkcye eliptyczne Jacobi’ego: snu, w, dnu posiadają pierwotne peryody : (4/ń, 2/ń/), (4.7ń, 2/ń4- 2fń/), (27ń, 4/ń/).

W równoległobokach peryody czności : Rs, Rc,    , posiadają po

dwa jednokrotne miejsca- zerowe: (0, 2Zń), (K,3K), (K+Ki, KĄ-3K4) i po dwa jednokrotne bieguny, /e same dla wszystkich trzech funkcyj :

Ki, (2К+КЧ).

Każdą dowolną wartość skończoną i фО, przyjmują te funkcye w swoich równoległobokach peryodyczności zawsze tylko dwa razy; są więc funkcyami drugiego stopnia.

Funkcya snu ma niezawodnie peryody (4iń, 4/ń/). Funkcya спи będzie miała 4iń, 2(2iń-f-2iń/J—4fń=47ń' z pewnością także jako peryody, a wreszcie funkcya dnu ma 2.2fń=4iń, 4K‘i także jako peryody. Z tego wynika :

IY. Fuńkcye snu, спи, dnu mają wspólną parę (niepierivotnych już) peryodów 4K, 4K‘i.

139. Funkcya W eierst rassa $(u). Załatwiwszy się z odwróceniem całki (1) [art. 137.], co nas do funkcyj Jacob.kego poprowadziło, zajmiemy się teraz całką:

VS

-г

albo — co jest tern samem — całką:

7 *

(1)

co

-VS ;

S=4:s³—gis-g₃=-4:(s—ei)(s—e₂)(s—e₃).

Górną granicę s, jako funkcyę argumentu u, nazwał Weier-strass fip(u). Ma ona tu widocznie spełnić warunek, aby do wartości u=0, należało fP(0) = oo . Z równania (1) dostajemy:

ds₌, — V4s³—g₂s—gi,

(2)

du

a rozwiązanie tego równania różniczkowego z warunkiem, aby u=-0, 5==oo były wartościami do siebie należącemi, jest równo-

to dosta-

ważne z odwróceniem całki (1). Połóżmyż w (2) : s=z

-2

niemy :

(3)

dz

du

=    g^e~ 9г^+4

a stąd:

(4)

u=2

dz

V—gzzQ—g₂zlt+4.

Ponieważ punkt z=0 nie jest punktem rozgałęzienia funkcyi V—дг^—-44? więc całka (4) — z uwagi, że wartości w=0, £=0 mają do siebie należeć — da w otoczeniu miejsca u—0 odwrócenie postaci z=A.u-{-u²4)>(u). Tutaj widocznie jest:

A=

łdz\ _ /dz\ \du)u-o    \du/z—o

a to podług (3) jest =1. Lecz dalej, gdy naznaczymy e=ip(u), to z (4) za zmienieniem z na (—z) wyniknie —z—'ipi—u), a to wskazuje, że z jest funkcyą nieparzystą argumentu u. Połóżmyż :

z==u-j-au³-\-bu⁵+---

to tu:

__ł^\ __ ¹ (d*g\

~~3\\du*)u=<T З!^³/

г=0

a łatwo przez różniczkowanie formy (3) sprawdzić, że pochodna a jest zerem. Mamy więc: z=uĄ-bu5jr..., a że s—£"~², więc ostatecznie dostaniemy rozwinięcie :

(5)

s>(«)~k+$ i(«o

Ci/

bez wolnego wyrazu. Przytem zauważyć potrzeba, że z² jest już parzystą funkcyą, a więc i $(u) jest taką funkcyą. Funkcya eliptyczna P(u) — jednoznaczna i bez miejsc istotnie osobliwych w skończo-ności — jest więc funkcyą parzystą, ma dwukrotny biegun w punkcie u== 0, jest funkcyą stopnia 2go, a jej pierwotnymi peny odami są [art. 131.] 2(oi, 2w₃.

Połóżmy :

Г ds

J Vs

, a więc: x=$(u)

f ds

JVb~v

a więc: y=P(v),

to w równaniu :

00 00

/+/“

Jx Jy

u-\-v

co

[art. 134, Pd. 3.]

będzie Ç=jp(u-\-v), a gdy uwzględnimy kształt £, dostaniemy:

'    Is

S 1 + 3 4 I

(6)

Takie jest prawidło dodawania funkcyi §?(%).

Z uwagi wreszcie na (2), dostajemy między P(u)

związek :

(7)

(P«)²=4 («Hi-«,) (Ри-ń) »«-«з),

który po spierwiastkowaniu przechodzi na :

$¹ (u)= — 2 V<@u—ei Vfpu—e₂ V/;—e₃.

Forma (8) określa pochodne $p'(u) jako funkcyę dwuwartościową, co stoi w sprzeczności z tem, że ta funkcya, jako pochodna funkcyi jednoznacznej $2(V), ma hyc również jednoznaczną. Sprzeczność ta jednak jest tylko pozorna. Forma (8) określa §?'(и) w całym rozważanym równoległoboku, a że §?(u) jest funkcyą stopnia 2’--°, więc wszystkie punkta, zawarte w tym równoległoboku, podzielić można na 2 nieskończone gromady punktów (%), (щ) o tej własności, że gdy z pierwszej gromady wyjmiemy punkt щ, dający    = to już w tej

gromadzie nie znajdziemy ani jednego punktu u, dającego $?(«<) = x. W drugiej gromadzie znajdzie się tylko jeden punkt ui} dający $(u₂) = v.. Takie punkta щ, u₂ są nierównoważne, bo ich różnica nie jest peryodem, [art. 136.], a gdy w jednym z nich określimy pochodne jP'(ui) przez :

=-2\Z/.—et \A — e₂ VA—e₃ ,

(8)

(pi)

$р'(щ) = -j-2 \/ *—ej \/y.—e₂ \/x—e₃<

to w drugim z nich położyć trzeba:

(L)

[Znaku — używa się w formie (8) z tego powodu, że tak jak ty'u definiujemy rozwinięciami w otoczeniu punktu u = 0, i przez to na sprzeczność nie natrafiamy].

Połóżmy w całce:

co

. u=Jm

s

s~e3Jr €i x2 e?’-, to po wszystkich skróceniach dostaniemy:

f^—îl_eA_

ei ез

V/e₁ — e₃.w = J-

dx

V(l-x²)(l-k²x²)

(I)

Z tego okazuje się, że x=sn(\/el — e₃.w, Tc) i że więc: £>0)-e₃

ei_ез

Sn\\/ ex—e₃.U,k) '

będziemy:

Posługując się dalej określeniami (8), [art poprzedź.], mieć

(П)

—e₁

CW²(V/e₁— e₃- W, Ä)

dn\\Zei—e₃-U, k).

(III)

<(ри—ег

$pu—e₃

W takich związkach pozostają funkcye Jacobfego z funkcyą P(u) Weierstrassa.

Zauważmy związek I. Dla u—0 daje on dwukrotny biegun funkcyi fp (u), jak być powinno. Lecz sn(\/ex — e₃. u, Tc) staje się

gdy \Zet— e₃. u = 2K, a więc na miejscu u

jeszcze zerem

2 К

Vex— e₃

To miejsce jednak =2^, (art. 181.) i jest już dla funkcyi $(u) równoważne z miejscem u—0. Z tego powodu odrzucić je już trzeba i powiedzieć : Funkcyą jp(u) ma w Tcażdym swoim równoległo-Ъоки peryodyczności jeden tylko, ale dwukrotny biegun u=0. Każdą, wi§c także inną wartość skończoną przybiera w takim równoległoboku tylko na dwóch miejscach i jest eliptyczną funkcyą stopnia drugiego.

Gdy równoległobok ma wierzchołki (0, 2û)1? 2&>₃, 2co₁ +2<u₃), to każdy z tych wierzchołków jest biegunem funkcyi. Lecz stosownie do określenia równoległoboku peryodyczności, jeden tylko z tych biegunów zatrzymać trzeba.

Z tego, co się dotąd o funkcyi jP(u) powiedziało, wynika, że ta funkcya na całej płaszczyźnie (u) posiada bieguny dwukrotne jedynie w punktach:

w=2p₁û)₁ + 2r₃co₃, ' v\ % ^3=0, +1, +2,..., a w otoczeniu dowolnego punktu w, rozwija się na szereg:

który — wskutek peryodyczności funkcyi — powstaje z (6) przez zmienienie tam u na (u—w). Poza punktami iv jeśt j<p(u) zresztą wszędzie skończona, a stąd i z jej peryodyczności wynika bezpośrednio, że za obraniem dowolnie małej dodatniej ilości ô, można dostatecznie wielkiemi u, nie zbliżającemi się dowolnie do w, zawsze spełnić nierówność :

(9)

< d.

Ta uwaga będzie nam zaraz użyteczną. Zakładając \u\<ZÏ\w\, mamy:

=А+$

w¹

lu—w)2 Zajmijmyż się sumą :

, a stąd :

(u—w)²

gdzie kreska ma przypominać, że w sumie opuszczono wyraz z wartością w=0, i zbadajmy, czy ta suma jest analityczną funkcyą argumentu u. W każdym razie, co już z kształtu (10) wnosimy, będzie to funkcya dwuperyodyczna o tych samych peryodach pierwotnych 2d1? 2dg, co funkcya $(и). W tym celu napiszmy sumę q(u) w postaci:

(10)

Al

wz J

(U)

²’w³'

У pozostają skończone przy wszel-

Ponieważ czynniki :

kich skończonych u różnych od w, więc g(w) będzie jednostajnie zbieżne poza wszelkiemi w i będzie analityczną funkcyą, jeżeli udowodnimy, że suma:

(l-v)

jest zbieżną. Aby ten dowód przeprowadzić, zauważmy czyżnie (u) równoległobok Sn (fig. 79.) o wierzchołkach:

płasz-

na

Px —2n(coi + co₃), P₂=2n(—(o₁+(o3), (Oi— ca₃), P₄ = 2w(w₁— oj₃), a jego obwód nazwijmy on. Na całym obwodzie on mamy punktów

a gdy

Fig. 79.

peryodu : 4(2w+l)—4=8n n= 1, 2, 3, ..., to wszystkie peryody w podzielić możemy na grupy w ten sposób, że w wtą grupę wchodzi 8n peryodów, leżących na obwodzie on. Gdy \v\=OA jest najmniejszą odległością obwodu ox od punktu w=0, to wszystkie w, leżące na alf są takie, że \w\^>\v.. Najmniejszą odległością obwodu on od punktu u=0 będzie n\v\, a wszystkie w leżące na on są tu znowu takie, że :

(13)

Zauważmy — mając to — sumę

2!

an

т-n I §

|m + l

w którą wchodzą

wszystkie w leżące na an. Ponieważ takich w jest Sn, więc uwzględniając nierówność (13), dostajemy:

1 h+i

X »"I

a gdy już wszystkie peryody w uwzględnimy, mieć będziemy:

1 |m+i

r.

m-

\v\m

Prawa strona jest rozbieżną dla m=0, 1, ale jest już zbieżną dla m=2. Więc i lewa strona jest skończoną dla m—--2, a to znaczy, że suma (12) jest zbieżną, a funkcya q(u) jest analityczną. Ta funkcya staje się na wszystkich miejscach w nieskończonością w stopniu drugim i do tego takimi samymi dodajnikami, co funkcya jp(u) ; poza punktami w jest wszędzie — jak $(u) — regularną. Wskutek tego musi być różnica:

ЙН(М)

№)-ïW=№)-[^+2'(₍i^w)2

całkowitą wymierną lub przestępną funkcyą.

Zauważmy — aby g (u) bliżej określić — równanie :

№) q(u) g (u)

Dla dostatecznie wielkich w, nie zbliżających się dowolnie do w jest — podług (9) — : jP(w)/w| dowolnie małe. To samo łatwo wywnioskujemy o ilorazie: |q(u)ju\, gdy zważymy, że q(u) jest funkcyą peryodyczną w ten sam sposób, jak funkcya P(u), a poza punktami w jest wszędzie skończoną. Aby więc i iloraz \g(u)lu \ tę samą własność posiadał, musi być g(u) = c: stała ilość.

Mając to , położymy teraz :

(u—w)² w²

— —9 + C+-

UL

a gdy zważymy, że sumy S‘w~v: o nieparzystych v, są zerami i że

dostaniemy w otoczeniu miejsca u=0:

р(«)--^+«+з2'~. «²+52'^ «*+...

Lecz, że c=0, bo takie rozwinięcie nie ma zawierać wolnego wyrazu, więc ostatecznie mamy :

Lecz spółczynniki tego rozwinięcia będzie można przedstawić w innych jeszcze formach. Oto połóżmy:

~2 +    c₃m⁴+    ...

'll

($?m)³=——g-]- 3 C2“2 “9 3c₃ -j- dod. pot.

'll    'll

ф‘(и)=— -+2c₂M-f-4c₃M³+... + (2ż—2)сли2Л~³+... [^'(w)]²==^g—8c₂-^2—19 c₃ + dod. pot.

.w⁴+...

(a)

to stąd dostajemy:

Ф)

(&')

(<0

§ LO

Gdy rozwinięcia (a), (ó), (c) wstawimy w równanie różni

czkowe :

(14)

(P '«)²=4(^m) ³ —дг фи—g ₃,

dostaniemy przez porównanie równomiennych wyrazów :

c-9l-bS‘l

*’ cs- 28    —

a wskutek tego :

(B)

M2+22?5^2 + 2V7w4+ 2k3.52w6+2⁴.5.7.11wS + "'

Wszystkie spółczynniki tego rozwinięcia są wymiernemi cał-kowitemi funkcyami niezmienników g₂, g₃.

140. Funkcye Weierstrassa: a(u)₉ o±(u)₉ o₂(u), оя(м)₉ £(w)»

drugiej strony służyła

Utwórzmy tu jeszcze inną funkcyę : o(u), która nie jest wprawdzie już peryodyczną, ale tern jest ważna, że z jednej strony pozostaje w ścisłym związku z funkcyą P(u)

Weierstrassowi za punkt wyjścia w teoryi (najogólniejszych.) funk-

cyj eliptycznych. ¹) Oto z uwagi, że suma J5" —

Aby i dalsze spółczynniki łatwym sposobem obliczyć, użyjemy do tego związku :

§?"»=6(<puy--f ,

jaki powstaje z (14) przez różniczkowanie podług u, a potem przez skrócenie przez $\u).

Z (b¹) wynika :

(d) fP"(w)= —'^-p2c₂ + 12c₃w²+... -f (2Л—2)(2Л—3).cj,u Połóżmyż w (a), (d): u²=v, to otrzymamy:

(16)

2/1-4

A-

C₀ 1.

Л—o

co

(a)

(ß)

1

(fpu)² =    К C¹ + CiСл-Î + .• • + Cac₀] Vя

Л—o cc

Л—0

Wstawmyż (a), (ß) w związek (16), to porównując spółczynniki przy v⁴, f⁵, ... i uwzględniając znalezione już spółczynniki (15), mieć będziemy:

(17)

C4

_    ^ 9ï!!?,

2⁴.3.5² ’    ⁵    2⁴.5.7.11

i t. d.

pozostaje zbieżną

przy naj"mniej’szem m—2 funkcya całkowita przestępna o jednokrotnych, miejscach zerowych w i że ta funkcya daje się przedstawić nieskończonym iloczynem:

JLü!

2 w² ,

Cw

(1)

Kreska przypomina znowu, że w iloczyn nie wchodzi czynnik z w — 0. Z iloczynu tego dostajemy: o¹ (u) o{u)

a stąd już odrazu wynika : d o¹ u du ou

Naodwrót mamy:

(2)

(3)

?co-!-2 —+2'(i+-,)

u    w—U    \w w¹)

{u—w)² w²

(4)

Ç(u)=—fa(u)du

a wstawiwszy tu za fP(u) szereg (В) [art. poprzedź.], otrzymamy:

(C)

<h u?>    9?, ub

9^

2².5 3    2².7 5”    2⁴.3.5² 7

£(w) jest więc funkcyą nieparzystą. Z (2) wynika:

log ou=^(u)du

log o(u)=£(u)

a więc :

a to za uwzględnieniem (C), daje:

9-2 w⁴

9a w6 22.5 3.4 2 ².7 5.6

log ou—logu

Stąd już odrazu przejdziemy do bezustannie zbieżnego szeregu określającego funkcyę o{u). Mamy bowiem:

(D)

o(u) = u

g.Ai¹

2⁴.3.5 23.3.5.7    2!i. 3)2.5.7

Funkcya o (u) jest więc funkcyą nieparzystą.

Z określenia (3), gdy tam wskazane różniczkowanie wykonamy, dostajemy :

(K)

№)-

(o'u)²—ou.o“u

o²u

Jestto iloraz dwóch bezustannie zbieżnych szeregów, a taką formę dopuszcza jp(u) już samym swoim charakterem.

j dsj\/s , podstawimy :

Gdy w całce u=

gdzie a ma znaczenie jednej z liczb: 1, 2, 3, to okaże się, że ta całka będzie znowu eliptyczną rodzaju pierwszego, a zawierającą zmienną sa. Funkcya sa — mimo, że jej clefinicya (5) wymaga pierwiastkowania — jest przeto funkcyą jednoznaczną, eliptyczną i ma te same peryody pierwotne, co P(u). Pierwiastek bieżemy ze znakiem +.

a=1, 2, 8

Połóżmyż w (5) za s=p(u) wyrażenie ÇE), to dostaniemy: \/ (o‘u)²—ou.o"u—ea(ou)²

ou

wskutek jednoznaczności funkcyi Vpu—ea — musi się

a tu

cały wyraz pod pierwiastkiem w liczniku dać zredukować do kwadratu pewnej całkowitej przestępnej funkcyi. Niechże :

(6)

(o¹ u)²— ou.o" u—ea{ou) ²== (oau)²

to mamy:

(7)

oau

a== 1, 2, 3.

\/Pu—ea =

Mając to, połóżmy w formach (I), (II), (III) [art. poprzedź.] wiążących funkcyę P(u) z funkcyami Jacobiego : \/el—e₃-U=v₁ to korzystając w nich z określeń (7) dostaniemy:

on

(Г)

Sn(v,k)=\/e j-вз-

Л-Д=)

We i—e₃J

⁽h

V ei —e₃

(II')    Cn(V,k):~

(—L=)

W ел—е₃)

(■/ )

\\/ el —e₃)

(III') dn(v,Jc)

°-2

( 1 \

\V'el—e₃/

\Vel—e₃/

Takimi ilorazami dwóch bezustannie zbieżnych szeregów dają się przedstawić funkcye snv: cnv, dnv.

Uwaga I. Z określeń:

ei

f ds

J -V ś’

co

e3    e2

ш3 ==f, —=J i

co

co

jakie mieliśmy w art. 131., wnosimy tu odrazu, że:

ei=P(wi), e₃=fP(co ₃), еа=р(—ша)=Р(ша) i że związek e₁-j-e₂-j-e₃—0 jest równoważny ze związkiem:

Uwaga 2. Całkowanie (4) wykonaliśmy nie dodając żadnej stałej całkowania. Lecz to samo całkowanie określić można przez :

(8)

ад=-

I fp(u)du

J o

z tem zastrzeżeniem, że do wartości u — 0, należeć ma wartość całki = co. Że zaś temu warunkowi już sama funkcya £(«#) zadość czyni, więc w istocie relacya (8) zastępuje relacyę (4). Zauważmy — mając to — całkę rodzaju drugiego:

(9)

V/s

i połóżmy w niej s = $(u), \/S- — fp'{w), ds=C^-du = $'(u)du. Wtedy ta całka przejdzie na :

Г10)

• f $p(u)du

J o

Pierwotnymi peryodami całki (9) są :

f '¹ te*

/ , ra== J , a

J GO    * 00

Te peryody, wyrażone całkami o formie (10), będą :

*li= —

*13 = — I <p{u)du

Jo

a więc =X.[wz).

Co się tyczy y)₂, to — jak z uwagi lei wynika — odpowiada e₂ miejscu u — — tu₂ ; połóżmy więc :

r-<*2

Ъ = i P(u)du

Jo

to mamy: ?(ыа) —a —1, 2,3, a związek t]i —J— iq₂-j— yj₃= 0 jest równoważny ze związkiem : £(tot) -j- Г(со₂) + £(w₃) = 0.

Pisząc równanie <p{u-\-2(ói)=-<@(u) w formie:

d^(u Ą-2oji) dÇ(u)

du

du

mamy stąd po scałkowaniu :

t,{u-j-2u>± )=t,(u) + C, gdzie C jest stałą całkowania. Połóżmyż tn w=— oo₁, to otrzymamy: ^(w₁) = £(— (o±) ą-C. Że zaś £(m) jest nieparzystą funkcyą, więc £(—w₁) = — ^(w₁), a z ostatniego równania wynika: C*=2t,(a)])=2rii. Równanie (11) daje więc:

(11)

(a)

'Ç(u+2oj₁ ) — cÇ{u) — 2i]i; analogiczne będzie: £(« f 2m₃)—ад=2^₃

i ogólnie :

Ç(u+2v₁û)₁ + 2vao)s)—Ç(u)'=2viL r]i+2v₃rj₃.

Równania (a), (/?), (y) podają zmiany funkcyi £(w), kiedy się jej argument zwiększy o peryod.

iß)

(y)

ROZDZIAŁ XVIII.

Z teopyi (ogólnych) funkcyj eliptycznych.

141. Funkcye eliptyczne. Związki między ick miejscami zerowemi a nieskończonościowemi. Każdą, funkcye jednoznaczną dwuperyodyczną z peryodami zasadniczymi 2w1? 2co₃, a nieposiadającą miejsc istotny cli w skończoności, nazywamy krótko eliptyczną. O niej wiemy już, że w równoległoboku peryodyczności P [o wierzchołkach w₀, u₀+ 2са1? M₀-f2ct>₃, u₀ + 2coi +2<u₃] posiada tę samą ilość miejsc zerowych i nieskończonościowych, a także i każdą inną wartość c przybiera na tylu miejscach, na ilu staje się zerem lub nieskończonością [art. 138]. Niechżeż miejsca jej zerowe będą :

(1)

a\? a21 •

К К •••> Ъ

to teraz przede wszy stkiem zbadać trzeba, o ile miejsca (1), (2) od siebie zależą, lub nie.

a nieskończonościowe :

(2)

Zauważmy obwód równoległoboku P i całkę:

(3)

1 fn.cp‘(u)du 2niJ cp(u)—c

to pierwsza suma będzie = J5"a

którą się ma obliczyć po tym obwodzie, a w której q>‘(ü) jest pochodną, a c dowolną wielkością. Całka ta — jak zaraz pokażemy — będzie = różnicy między sumą miejsc zerowych funkcyi cp(u)—c, a sumą miejsc nieskończonościowych tej funkcyi. Ponieważ zaś funkcya ą>(u) — c ma te same miejsca nieskończonościowe, co funk-cya cp{u), więc druga z tych sum =Hba. Przyjmijmy, że cp{u)—c=0 na miejscach a\, a‘ wskutek tego mamy :

(4)

V=2a‘a-2ba.

Dowód. Gdy V jest miejscem zerowem lub nieskończono-ściowem funkcyi cp(u) — c, to w otoczeniu tego miejsca mamy:

(a)

cp{u)—c={u—v)—^.'ip{ii), z całkowitem fi i z funkcyą гр(и) skończoną i różną od zera na miejscu v, a skończoną w najbliższem otoczeniu miejsca v.

Z formy (a) wynika :

Ф)

(p‘(u)=±fi{u—v)—b ■*/>'(&).

Połóżmy dalej :

to gdy (a), (Ь), (c) wstawimy w całkę (3), mieć będziemy :

F= +

LL.v Г du /²,, . ,

2ni

/ •--\- I Mu).au

J U-V J

p    p

gdzie h(u) jest funkcyą skończoną, na miejscu v i w najbliższem otoczeniu tego miejsca.

Z tego wynika, że — gdy nam nie chodzi o wpływ na całkę (3), pochodzący z miejsc zerowych i nieskończonościowych, zawartych w P, a różnych od v — to z miejsca v dostajemy z całki (3) wyraz: dzfi.v, gdzie znak 4- odnosi się do v, jako miejsca zerowego, a znak — do », jako miejsca nieskończonościowego. Przez to jednak rezultat (4) mamy już udowodniony.

Z drugiej strony, jeżeli boki równoległoboku P nazwiemy po

porządku :

\ — (w₀ ...u₀ -|-2<у₁) , l₂ = (uQ 4-2(o₁...u₀ + 2w₁ +2co?i), h ⁼ (uo +2n>₁ 4-2oj₃...w₀4-2o>₃), Z₄ = (m₀ 4-2oj₃...w₀) , to całkę F, uwzględniając peryodycznośó funkcyi (p{u) i taką samą peryodycznośó funkcyi ęp'(w)²), możemy w takiej formie napisać:

(uJr2oj?i)(p‘(u)du

u <p‘(u)du rp(u)—c

ф(и) — С

{uJr2b)\)cp\u)du

<p[u)—c

u <p'(u)du (p{ii)—c

Stąd po skróceniach mamy :

V-

2oj₃ f(p\u)du ₍ 2ojt f(p‘{u)du 2ni J (p{u)—c ^ 2nij cp{u)—c h

(p(u₀ 4-2^)

Jr2ojilog

(p(u₀ 4-2oj₁ 4-2oj,)

(p(u₀ + 2û)j)

cp(u₀)

Ze zaś: <p(w₀ 4-2oJ₁) = gp(w₀ 4²2oj₁ + 2w₃)=(p(u₀), więc:

V-

2^• J-2o)₃%l + 2o)₁%lJ.

Połóżmy logl=2nvi w pierwszym wyrazie, a logl=2nv₃ w drugim wyrazie, to ostatecznie mamy:

V=2v₁ oj₁ 4- 2^3 oj₃ ,

Porównując ten rezultat z wynikiem (4), dostajemy:

2 a‘ a—Sb—2^₁oj₁ -\-2v₃oi₃ =2 oj ,

(5)

v1? v₃ całkowite.

ąiuĄ-K) — tą(u)

(7)

gdzie 2(5 jest pewnym peryodem samej funkcyi (p(u). Przyjmijmy c=0. Wtedy każde a'a przechodzi na aa i dostajemy:

2aa—Fba=2(5 ,

przyczem 2(5 w równaniu tern nie potrzebuje być identyczne z 2c5 w równaniu (6). Z równania (7) wynika :

I. Różnica miedzy sumą miejsc zerowych a sumą miejsc nieskoń-czonościowych, zawartych w jednym równóległoboku peryodyczności P funkcyi eliptycznej cp(u) wynosi zawsze pewien oznaczony peryod 2c5. Napiszmy równanie (7) w postaci:

hm—2aa—(ó₁ Ą-b-2 + +    i)—2(5 ,

(8)

to mamy stąd twierdzenie:

II. Z m miejsc zerowych i m miejsc nieskończonościowych funkcyi eliptycznej <p(u) jest jedno z nich zależne zawsze od (2m—1) pozostałych, a zależność t§ podaje wzór (8).

Lecz, gdy Ът jest miejscem nieskończonościowem funkcyi (p(u), to także i miejsce bmĄ- 2(5 jest jej takiem miejscem, a w otoczeniu czy-to miejsca &m, czy-to miejsca bm + 2o5, funkeya jednakowo się zachowuje. Weźmyż jako mte miejsce nieskończonościowe właśnie Ът-\-2ы i nazwijmy je wprost bm, to — nie dotrzymując już warunku, aby i mt& miejsce nieskończonościowe leżało koniecznie w równoległoboku P — mamy relacyę :

(8')

2аа—2Ъа=0.

Przyjmijmy, że istnieje funkeya ep(u) stopnia l£°. W takim razie relacya (8') przechodzi na а±=Ъ^ co wskazywałoby, że taka funkeya musiałaby na jednem i tern samem miejscu być i zerem i nieskończonością. Lecz że to jest niemożliwe, więc stąd wnosimy:

III. Funkcye eliptyczne stopnia pierwszego wcale nie istnieją.

Uwzględniając relacyę (8) wnosimy odrazu, że funkeya fpu, która ma dwukrotne miejsce nieskończonościowe u—0, a więc i sumę ЪЪа~ 0, posiada dwa nierównoważne miejsca zerowe, które się od siebie tylko znakiem różnią; [to wynika zresztą już i z parzystości funkcyi §?«].

Funkeya yp*u ma trzykrotne miejsce nieskończonościowe u— 0, a więc sumę Z ba— 0.

Że zaś jp‘u — —    ex \/$pu—e₂ \Z$u—-e₃, a ^u—ea gdy и =    więc

z tego wynika, że <(р‘и — 0 na trzech miejscach nierównoważnych w,, w₃ i oj₂= =—(wj-hwg). Przy tem mamy: 2aœ = w₁-j- w₂-j-M3— 0 , jak być powinno.

142. Wyznaczanie funkcyi eliptycznej. Gdy położymy $u=x, <ip‘u—y o peryodach 2co₁₇ 2oj₃ i zauważymy związek:

(1)

y2₌4x2_g₂x_ggj

to jest on równaniem algebraicznem między x i у rodzaju p—Q — 1,

a wszystkie pary {х, у) o siebie podług związku (1) należące, leźć będzie można już w równoległoboku P. Z tego powodu, ile razy do argumentu u zejdziemy, ograniczyć się możemy do równoległoboku P. Oprócz ж, у niech jeszcze daną będzie funkcya eliptyczna (p(u) o tychsamych peryodach 2ы₁, 2co₃, co utworzona funkcya pu i jej pochodna P‘u. Jej miejsca zerowe niech ' będą aa, miejsca nieskończonościowe ba, «=1,2,..., m niech będzie cp(c)=E. Ponieważ do jednej wartości u należy jedna tylko para wartości (x, y) — związanych ze sobą równaniem (1) — więc <p(u) uważać zarazem trzeba za jednoznaczna, funkcyę pary {x,y) tak, że położyć możemy: (p(u)=if(x,y).

zna-

a na miejscu u=c

Lecz z drugiej strony możemy — ponieważ tu p = p = 1 — utworzyć całkiem wyznaczoną funkcyę wymierną B(x,y), spełniającą warunki takie [art. 70., tw. IL, III.]:

A)    Funkcya R(x,y) staje się zerem na m miejscach \xaya), a im w P odpowiadają miejsca aa, « = 1, 2, ..., w;

B)    Funkcya B{x,y) staje się nieskończonością na (w—1) miejscach (Xß, yß), ß=l, 2, ..., (m—1), a im w P odpowiadają miejsca hß, /3=1, 2, ..., (m — 1) ;

C)    Na miejscu (xc,y₀), któremu w P odpowiada u=c, ma być

B(x₀yc)=E.

Lecz widocznie funkcya <p(u) = cp(x,y) posiada taki charakter, a stąd wynika [art. 67., tw. III.], że identycznie jest:

czyli :

(2)

<p(u)=R(x:y), сp(u)=R(pu, P‘u).

To znaczy :

I. Każda funkcya eliptyczna cp(u) daje się wyrazić wymiernie przez pu i pochodną p‘u, gdzie Pu (i P‘u) ma te same peryody, co dana funkcya cp(u).

Lecz z warunków А), В), G), dostatecznych już do wyznaczenia funkcyi R(x,y)—R(Pu,P'u) wynika dalej;

II. Każda funkcya eliptyczna cp(u) m°° stopnia o danych jej peryodach 2<u₁, 2&>₃ jest w zupełności wyznaczona, gdy z 2m miejsc, z których m przypada na jej miejsca zerowe aa, m na miejsca nieskończonościowe ba, danych jest dowolnie (2m—1) tych miejsc i jeszcze jedno miejsce c różne od aa, ba, na którem <p(c) ma przybrać wartość E skończoną i różną od zera.

Zajmijmyż się teraz bliżej formą (2), uwzględniając warunki dane w tw. II.

Funkcya $u jest funkcya stopnia 2®°, a że jej rozwinięcie w otoczeniu miejsca u—O jest postaci:

{śpM=^-₂-f d°d. pot.,

więc jej pierwsza pochodna:

$‘u——2—g-\-dod. pot.

będzie funkcyą stopnia 3§°, pochodna druga :

fp"w=2.3.^-₄+doaL pot.

będzie funkcyą stopnia 4®° i t. d. Przy tem z tormy :

g?" = 6(g?w)²—dostajemy:

- <p“,u=l^u.ę,u,    ^(⁴) (M) = 12 \t ę‘u) -Ą-fu.ę"u].

Gdy zaś tn uwzględnimy :

(g?'M)2=4(^)3—g fpu—g₃,    F'w=6(Fm)²—    ,

mieć będziemy:

§>m («)=12 [10³>«) » -

W ogólności — gdy ćra, Gß użyjemy jako znaków funkcyj wymiernych całkowitych — okaże się :

<p^\u)=®‘{u).GaWu,)

@(ß)(u)=Gß(pu) 5 dla ß=2, 4, 6, ...

Mając to, zauważmy funkcyę :

<Pi («)=A+A₀pu+A₁p'it + ...+Am-1 fp{m-V(u)

(B)

(4)

dla a — 3,5. 7, ..

m — 1³

z nieoznaczonymi jeszcze stałymi spółczynnikami A, M₀, Au ...,A Przy jakichkolwiek wartościach tych spółczynników jest cp₁ (u) funkcyą eliptyczną. Jest stopnia (mj-l)®⁰, posiadając jedno tylko, ale (m +1) - krotne miejsce nieskończonościowe u—0 w równoległo³ boku P₀. Według tw. II. można będzie spółczynnikom A, G₀, A ..., Am-1 nadać takie wartości, aby (p₁ (u) była zerem na dowolnych miejscach ai: a₂, ..., am ³), dalej aby jeszcze znikała na miejscu:

(«)

+    4-052 4" •••4~Q>m) i

gdzie 2wx — jak poniżej 2w₂, 2w₃, 2w₄ — jest pewnym peryodem; i aby wreszcie na miejscu c, rożnem od wszystkich punktów pe-ryodu i od wszystkich acc przybierała skończoną i różną od zera wartość .

Taką funkcyę cpi(u) nazwijmy:

P\ {Цч Q>\4    •••?    ) ^)³

?i (r—b(ay) — 0.

(/?)

W podobny sposób utwórzmy funkcyę :

cp₂(u) = В -\-Ropu-f Bip'u-\-    Bm—\Plm~ ń(w),

która na miejscach bi, b₂, bm i na miejscu:

&яг+1 = 2м?₂ —(bi +&₂ +••• + ^m)

a na miejscu c przybiera wartość E₂ i nazwijmy

staje się zerem Î4 -ДОЬ bi, b₂, bm, c).

Załóżmy jeszcze, że już óm tak było obrane, aby:

(bl -\-b₂    -\-bm) — (ài -\-a₂ ... + «m) = 2^3,

to z (a) i (/?) — za uwzględnieniem (y) — dostajemy :

am+i—bm+i=2wi — 2и7₂ +2г^₃==2г<;₄, co wskazuje, że ara+i,    są miejscami równowaźnemi.

Utwórzmy — mając to — iloraz:

Pl (и,аиа₂....,ат,с) __    +

P₂ (w, ,b₂,..., óTO, с) Р+Б₀^м+ Дg?‘(w) +... + 2?«_i§?(m-1)(«0’

Będzie to funkcya eliptyczna, która na miejscu    pozostaje

skończoną, na miejscach a1} a₂, ..., am jest zerem, na miejscach ..., bm jest nieskończonością, na miejscach am+1, bm+1 nie jest wskutek (d) ani zerem ani nieskończonością, a na miejscu c przybiera wartość Е₁/Е₂. Gdy Eu E₂ wybraliśmy tak, aby E₁/E₂=E, to iloraz (5) jest funkcyą cp(u), wyznaczoną warunkami podanymi w twierdzeniu II.

(У)

(à)

(6)

h,b

2’

Stosując w (5) w liczniku i mianowniku formy (3), (4) i znacząc przez gi, g₂ funkcye całkowite wymierne, dostaniemy : g i (jPu, p‘u)

(h№ui@‘u)

cp(u)

a więc = B(pu,p‘u)

jak być powinno.

Przyjmijmy, że <p(u) ma być parzystą funkcya, [<р(и) — ф(—и)У, wtedy w jej formę (5) mogą wejść — oprócz pu — tylko same jej pochodne parzystego rzędu. A że te wyrażają się wymiernie przez samo Pu, więc w tym razie mamy :

(p(u) = (p{—и) = R(pii).

Gdy (p(u) ma być funkcyą nieparzyslą, [<p(—u) ——çp(m)] , to [(p(u) I p'u] będzie już funkcyą parzystą. Podług (6) jest więc:

[<p(u) I @‘u]=R($>u)

(p(u)— —<p(—u) = p‘u.R(u).

(6)

a stąd :

To znaczy :

III. Funkcya eliptyczna parzysta jest wymierną funkcyą samego pu, nieparzysta zaś jest iloczynem pochodnej p‘u i wymiernej funkcyi samego pu.

(7)

(8)

W szczególności funkcya o formie :

%(u)

A$uĄ-B

Cpu+D

jest zawsze funkcyą parzystą i stopnia 2s°, bo jest liniową

w f(u).

Gdy więc jednem jej miejscem zero wem jest a1? to drugiem jest —at; a gdy staje się nieskończonością na miejscu bi , to jest także nieskończonością na miejscu —bx. Wskutek tego musi być w (8):    D=C.<pb

a więc :

(9)

X(u)—K.

$u—

gdzie K=A/C wynika z warunku, aby funkcya na pewnem miejscu c rożnem od    i od ztbi (i od miejsc równoważnych z temi

miejscami) przybierała daną wartość skończoną i różną od zera.

Gdy utworzymy drugą funkcyę drugiego stopnia: X\ (u) znowu o miejscach zerowych i nieskończonościowych zbb1} to jej forma może się od (9) różnić tylko stałym czynnikiem K.

Stąd wnosimy, że :

(10)

Z(u)

const.

ZiW

Mając to, zajmijmy się pytaniem, którego rozstrzygnięcie ważny wpływ mieć będzie na poszukiwania w dalszych artykułach.

Oto przyjmijmy, że może istnieć funkcya eliptyczna гр{и) pozbawiona i miejsc zerowych i miejsc nieskończonościowych w skoń-czoności [art. 138.]. Taka funkcya miałaby więc mieć postać egM,. gdzie g (u) jest całkowitą wymierną lub przestępną funkcyą [art. 26].

Utwórzmy funkcyę eliptyczną 2®° stopnia: %(u), posiadającą te same peryody, co funkcya гр{и), znikającą na miejscach + щ, a stającą się nieskończonością na miejscach

Iloczyn гр{и).%(и) będzie znowu funkcyą 2§° stopnia i znowu o miejscach zerowych Ч₌бс₁, a nieskończonościowych ±bv Połóżmyż

1р(и).х(и)=ул(и),

ten iloraz jest — podług (10) — stałą

to stąd wynika ip(u)

7.1 («)

yiu)

ilością. Mamy więc twierdzenie :

IV. Funkcya eliptyczna bez miejsc zerowych i nieskończonościowych w skończoności redukuje się do ilości stałej.

Zastosujmy dalej formę (5) do funkcyi :

£(м+V) + rÇ{u—v)—FÇ(u)

która wskutek własności («), (/?), (y) — art. 140. — jest funkcyą eliptyczną i to stopnia 3g0, gdyż w równoległoboku P₀ posiada trzy tylko (jednokrotne) miejsca nieskończonościowe : —v, -ł-г», 0.

Jej miejsca zerowe są: coi: &)₂, (o₃, o czem można się przekonać kładąc:    «= 1,2,3, v=o)a-\-v‘ i uwzględniając Ç(oja)=r]ce

i £(^'4-2и>й)=£(г?0 + 277а.

Iloraz :

Ç(u+v) + Ç(u-v)-2£(«)

P‘u

U = OJ

będzie już funkcyą parzystą i to stopnia 2g0, gdyż p‘(u)=0 dla « = 1,2,3, a =oo w drugim stopniu, gdy u=0. Posługując się więc tu wzorem (8) położymy :

Apu-\-B

Ç(u+v) 4-£(w—v)—Щи)=-Р‘и,

(И)

G Pu AB ’

a spółczynniki A, В, С, В w ten sposób wyznaczymy :

Dla м=+г i u=—v ma być funkcyą nieskończonością stopnia lg0. Musi więc wskutek tego być D = — C.pv, a funkcyą miałaby być

formy :

P‘u Apu+B

C ' Pu—<jpv '

Dla w=0 mamy mieć nieskończoność znowu lg0 stopnia. Wskutek tego być musi A=0 tak, że dostaniemy teraz formę :

C ' pu~pv '

Ze zaś funkcyą w otoczeniu punktu u—0 ma mieć rozwinięcie ~-\-dod. pot., więc dalej musi być: J5/(7=l, tak, że ostatecznie:

H

(12)

Ç(u+v) + t;(u—v)—2£(w)

P»

Pu — Pv '

Mieniając tu м, v ze sobą i uwzględniając nieparzystość funk-cyi f, dojdziemy do nowej funkcyi :

(120

Ç(u+v)—Ç(u—v)—2£(г>)

P'v

Pu—pv

Wreszcie za dodaniem do siebie równań (12) i (120 otrzy

mujemy :

1    P‘u—P'v

2    pu—pv '

Gdy tu obie strony upochodnimy co do m, otrzymamy związek:

d ГP‘u—P‘v du [ pu—pv

który jest nową formą prawidła dodawania funkcyijfp(w).

(13)

(14)

£(«+«>)—£(м) —£(«;)

P(u+v)=pu +

tO I-¹

¹

Funkcyami eliptycznemi nazywają dziś w analizie wszystkie dwu-peryodyczne, jednoznaczne funkcye z jedynem miejscem istotnie osobliwem w nieskończoności.

²

Peryodycznośó pochodnej f'(u) wynika z jej formy:

tą'(u)=lim h—0

³

Jeżeli między miejscami aa nie ma powtarzających się, to spolczynnibi A. A₀, ... oblicza się z równań 9i(«a):=0, ³ = 1, 2, ..., m, wl(c)=Ei. W razie, gdy między miejscami «« powtarza się miejsce ay razy r, to to miejsce powoduje r równań : cpt (ay) == 0 , <a\ (ay) — 0 Teor³ funkcyj analit. ï. II.

683

co

143. Związki funkcyjne i prawidło dodawania funkcyj eliptycznych. Połóżmy znowu dla krótkości <jp‘u=y, <jßu=x, to każda funkcya eliptyczna cp(u) będzie teraz postaci: ę(u)=It(x,y)=r; jej pochodna (р'(и)=И‘(х,у)=г₁ jest znowu wymierną w x,y, a obie te funkcye, jako wymierne w parach (x, y), spełniających związek:

у²=4ж²—д₂х—дг, zadość uczynią algebraicznemu równaniu:

(1)

G(r,ri)= 0, [art. 67.], które jest w r, stopnia w, jeżeli m było stopniem funkcyi r=cp{u). Wiadomo, że związek G=0 jest albo nieprzywiedlny, albo przy-wiedlny w ten sposób, że Gr jest potęgą (całkowitą) pewnej funkcyi Г(г:гi) już nieprzywiedlnej [ibid.], tak, że w tym drugim razie związek ćr=0 ma postać:

(2)

[r(r,ri)]^=0.

Zapytajmy, który z tych wypadków może tu zajść? Przyjmijmy:    równanie Г—0 jest wtedy v%° stopnia

w rl7 a z powodu swej nieprzywiedlności daje przy każdej dowolnej wartości funkcyi r koniecznie v między sobą różnych pierwiastków r\ — Q\i Q₂i —, Qv To — ponieważ w formie (2) mamy aż fi równań T=0 — wskazuje, że w równoległoboku P₀ między m miejscami

co

Ci Ci to

to to

Cb Ci

to

t:

C(l\ С (4,2    • • • C(M>

na których r—cp(u) przybiera tę samą wartość c, znajdujemy: v takich miejsc C\\, Cn, C\v, na których mamy:

(p(cii)=⁽P(ci2) = ... = (p(Civ)=Ci

a na których pochodne: Qi=cp‘(cii), ę>₂ — др'(с1а), Qv—(p\c\v) są wszystkie między sobą różne; v nowych takich miejsc c₂₁, c₂₂, ..., c%Vl na których znowu mamy: (p(c2i)=q>(c₂₂)=...=q)(C2V)=c, a na których pochodne mają znowu wartości:

91=(Р‘Ы,    ?2=9,<(C22)J -, Qv=<P'(c2v),

są więc znowu wszystkie między sobą różne.

Idąc tak dalej, dojdziemy wreszcie do miejsc:

С,л\ -,    C/,12

•••; Cft» ?

na których znowu mieć będziemy: cpic^) = (p(c^) = — =    =

a na których pochodne znowu się okazują o wartościach:

Qi=<P‘M, (>₂=ę>'fe), -, Qv=(pt{cf,v).*)

*) Oczywiście, że równocześnie za zmienieniem się wartości c wszystkie miejsca (3) poruszają się w równoległoboku Pp.

Z tego widzimy, że w razie przywiedlności równania G = 0 istniałyby w równoległoboku P₀ grupy takich miejsc jak:

[ćll } Ć21 } •••) Cfl(\ )    [<?12 J <?22 ; Ć32 J •••) <7*2] J •••>

że na nich pojawiaćby się miały nietylko równe wartości funkcyi (f(u), ale także i jej pochodne na tych miejscach miałyby być sobie równe. Udowodnimy jednak, że to jest niemożliwe.

Z samego związku (1), który teraz w formie G(ep, cp‘)—0 napiszmy, wynika przez różniczkowanie :

9)"

dG

,(p‘.

d(p‘

Że zaś d-~, ~ są również wymiernemi, całkowitemi funkcyami

w (p i 9>', więc mamy :

(4)

(p“=R₂((p, <p‘),

gdzie P₂ jest wymierną funkcyą. Stąd dalej dostajemy:

(p“‘

dR₂

dB₂

(p‘ 4

f<P" ,

a podstawiając tu za <p" formę (4), mieć będziemy:

др'"=Д₃(9>,9>'),

gdzie R₃ jest znowu funkcyą wymierną.

Postępując tak dalej, dostaniemy    t. j. pochodnę funk

cyi cp(u) dowolnego rzędu a>> 1 w postaci :

(p{a\u)=Ra{(P, (p‘), a=2, 3,..., gdzie P« jest funkcyą wymierną. Stąd mamy twierdzenie:

I. Pochodna dowolnego rzędu ^>1 funkcyi eliptycznej (p(u) wyraża się zawsze wymiernie przez samą funlccyę cp(u) i jej pierwszą pochodnę (p\u).

Mając to wróćmy do naszego rozważania, przyjmując że w równoległoboku P₀ znajdują się dwa miejsca a, b takie, że one dają równocześnie równości :

(5)

(а)    (р(а) = ер(Ъ)

дф

дер

(ß)    ф\а)=(р\Ъ).

Z tego założenia wynika podług (5), że także dalej będzie : 9>"(a)=9>"(&), (p‘“(a)=(p,“{b), .... in inft. i że więc wskutek tego rozwinięcia:

(p(a+/&) = (p{a) + ~j)-h -f

?>"(«)

2!

<p(b + h) = (p{b)    4

okazują się identyczne. Przyjmijmy dalej w identjmzności :

(p(a-}-h)=(p(b-\-h)

przyrost dowolny h w postaci (—a-\-v), to mieć będziemy:

(p{v)^(piy -\-(b—aj).

z za-

To przy dowolnem [oczywiście dostatecznie małem] v wskazuje, że (b—a) jest już peryodem funkcyi cp(u), co jednak jest niemożliwe, bo a i & zawierają się równocześnie w jednym równoległoboku peryodyczności. Że zaś do tego fałszywego wniosku doszliśmy łożenia, że równanie G(r, rx)=0 jest przywiedlne, więc i to założenie uważać trzeba za fałszywe i powiedzieć :

II. Między samą funiccyą <p(u), a jej pierwszą pochodną (p‘(u) zachodzi zawsze algebraiczne nieprzywiedlne równanie G(cp,(p‘)=0. Wróćmy teraz znowu do definicyi:

(p^r=..jp>{x,y), (р‘=гх = В‘(х,у),

gdzie y²=4#³—g₂x—g?>. Ponieważ równanie G(r,rx)—0 okazało się nieprzywiedlne, więc naodwrót [art. 68., tw. II.] można х, у wyrazić wymiernie przez r, rx. Wracając zaś do argumentu u, mamy:

(6)

pu^B^cp¹), p,u=B₂{(p, (p‘), gdzie Bu Rn oznaczają wymierne funkcye. Mamy więc nowe twierdzenie :

III. Funkcyg pu i jej pochodną p'u można zawsze wyrazić wymiernie przez dowolną eliptyczną funkcyę <p(u) i jej pochodną, byleby tylko (p{u) posiadała te same pierwotne peryody, co funkcya pu. Według art. poprzedź, mamy:

(7)

9>(u+v)=R(fp(u+v)j P‘(u+v)).

Prawidło dodawania funkcyi Pu daje :

(«0

P(u-\ v)=R(pu,p'u, pv,P'v)

[por. (6), art. 139.], a z niego mamy:

P‘[u + v) = S{pu, p‘u, p "u, pv, p‘v).

[$ wymierna funkcya]. Wstawiając zaś tu: p"u=6(pu)²—— mieć będziemy :

(Я

P'(u + v)=R‘(pu, p%pv, P‘v).

Uwzględniając (a‘) i (/?') w (7), otrzymamy:

q)(u-j-v)=B(Pu, p‘u, Pv, P‘v), a gdy tu Pu, P‘u wyrazimy przez cpa, cp‘u, a Pv, p‘v przez cpv, (p‘v, dojdziemy do związku:

(8)

(p(u+v)=B((p{u), (p{v),<p\u), cp‘(v)), który się tu nazywa prawidłem dodawania funkcyi eliptycznej.

Niech teraz dane będą dwie funkcye eliptyczne :

(u)==JRi (pu, p'u), cp₂ (u)==R₂ (Pu, p‘u) o tych samych peryodach 2(oi, 2<n₃. Są one wymiernemi miejsc [pu,p‘u] obrazu algebraicznego (Р‘и)‘¹=А{ри)г— g₂pu—g?t, a jako takie, związane są ze sobą równaniem algebraicznem :

^₁₂(^i,fp₂)==0

i to nieprzy wiedlnem, bo w równoległoboku P₀ do każdej dowolnej wartości cpi należy jedna tylko wartość cp₂ i naodwrót. Mamy więc twierdzenie :

IV.    Między dwiema funkcyami eliptycznemi o tychsamych pierwotnych peryodach, zachodzi zawsze nieprzywiedlne algebraiczne równanie.

Wyraźmy wreszcie w <p₂(u) funkcye Pu,P‘u wymiernie przez <Pi (u) i rp\ (u), to dostaniemy: (р₂=Ж⁽Р \,Щ\), co znaczy:

V.    Każdą funkcye eliptyczną cp₂ można wyrazić wymiernie przez inną dowolną funkcye eliptyczną rpi i jej pochodnę , byleby tylko obie funkcye q)₁, cp₂ posiadały te samą pare pierwotnych peryodów.

144. Wyrażenie fimkcyi eliptycznej przez elementa proste.

Utwórzmy funkcyę:

(1)    cp(u)=A^(u—a^ + A^u—a₂)+...+AmÇ(u—am),

gdzie ax, a₂, ..., am są wszystkie różne od siebie, i [przy przy-jętej parze pierwotnych peryodów 2oj₁, 2co₃ na płaszczj^źnie (w)] nie są także równoważne między sobą. Taka funkcya ma więc jednokrotne bieguny ai, a₂, ...,am, a poza nimi w równoległoboku P₀ jest wszędzie już skończoną. Zmieńmy u na u-f2coce, gdzie « = 1, lub 3, to dostaniemy :

Щи+2 oja)=A£(u-af) + ...-\-Am l(u—am)

-{-2ria[Ai +A₂ + ..-\-Am]

Щи+2o) а)=Щи) + 2ga[Ax -f A₂ +... + Am\

Gdy Ai, A₂, ..., Am, które są widocznie wszystkiemi pozostałościami funkcyi Щи) w jej biegunach, tak wybierzemy, aby suma:

czyli :

(2)

A\ 4~ A₂ + ...-]-Am=0, to Щи) będzie już funkcyą eliptyczną, a do wyrażenia jej wymiernie przez pu i P‘u, możemy dojść w ten sposób:

We wzorze :

1    P'u-P'v

2    pu—pv

kładąc po porządku v = —av, v—l,2dostajemy:

1    P‘u—p‘av

2    pu~pav ’

Ç(uA-v) = f(u) + Ç(v)-\

[(13) art. 142.]

t(u—av) = t(u)—t(av) +

(3)

a gdy w (1) wstawimy, mieć będziemy :

(p[u) — rÇ{u) [Ax + A₂ +... + Am]

¹    &,U + P‘a»

2    pu—pav

]■

V =1

[kreska nad sumą ma wskazywać, że w razie, gdy jedno av=0, dodajnik odnoszący się do tego av nie mieści się już w sumie, a to z przyczyny, że Ç(u—av)av==0 jest wprost = £(«*)].

Uwzględniając w (3) warunek (2) mamy ostatecznie :

(4)

<p(u)=

m

2'4

V =1

1    §>‘u + P‘av

2    pu—pav

Przyjmijmy naodwrót, że dana eliptyczna funkcya posiada jednokrotne tylko bieguny av, r=l,2,...,m, a w nich pozostałości jej są odpowiednio A„, ^=1,2, ..., m. Utwórzmy różnicę (p{u) — ćp{u). Różnica ta jest funkcyą eliptyczną, bez wszelkich miejsc nieskoń-czonościowych — więc i zerowych w P₀ — a jako taka == stałej ilości C, [art. 142., tw. IV]. Mamy zatem :

(5)

ф(и)=с + Щи),

a że pozostałości funkcyi łp(u) są zarazem pozostałościami funkcyi (p{u), więc warunek (2) zatrzymać trzeba i dla funkcyi (p{u).

Z tych uwag wynikają takie twierdzenia:

I.    TU funkcyi eliptycznej o jednokrotnych biegunach jest suma jej wszystkich pozostałości zerem.

II.    Funkcya eliptyczna o jednokrotnych biegunach jest w zupełności wyznaczoną, gdy dane są jej bieguny av, jej pozostałości Av z warunkiem SAV=0 i jeszcze jedno miejsce różne od av, na którem przybierać ma pewną obraną wartość.

Przyjmijmy teraz, że eliptyczna funkcya cp(u) posiada miejsca nieskończonościowe ai: a₂, ..., arj powtarzające się odpowiednio razy w₂, ..., nr, a w otoczeniu miejsca av niech jej rozwinięcie ma postać :

₊ A{v) ^_

u—av (u—av)²    (u—av)nv

v = l, 2, ..., r,

gdzie %{u—av) zawiera już tylko dodatnie potęgi różnicy (u—av).

f %v(u—av)

Wiadomo że:

Ç(u aj) —

---\-dod. pot.

u—av

a więc :

1!

l\u—av)

(■u—av)²

2!

(W — Op)³

(6)

?“(u-av)

(м—aj⁴

Gdy więc utworzymy funkcyę:

⁼2[a(v)£o—«г

ГГ

całej płaszczyźnie (и) Skon

to różnica <р(и)— (р(и) jest znowu na czoną i jest z tego powodu stałą =c. Stąd wynika, że :

(7)

cp(u) = c-f <p(u).

Lecz :

d o‘(u — av)    d²

da o(u—av) du²

log a(u—aj — — $?(a—aj,

a gdy tu do — $?(a—aj zastosujemy prawidło dodawania, otrzymamy: Q{u—<aj= — ^>{u—av)=Ri(^u, $'u), gdzie Ri, jak w dalszym ciągu R₂, jR₃, jR, jest funkcyą wymierną. Dalej mamy:

iß)

£"(w—aj=

Q“(u—av)

■» -i %

j^(w—av)=R₂({pu: <jp‘u)

du²

{p(u—av)=B₃($pu,fp'ti)

gdyż wszystkie pochodne funkcyi $?(a—aj są eliptycznemi funk-cyami, a przeto są wymiernemi w i £p'a. Uwzględniając to w (6) i (7) mieć będziemy:

(«)

9>(m) = c+2 А, И £(«-« J +    &?'м)

a że q>(u) jest dwuperyodyczną funkcyą, a różnica

(-p(u)—c—R({pu, (Pa) =    —aj

musi być oczywiście także dwuperyodyczną, więc i tu zajść musi warunek: A±W +^J²⁾ ■{■...+    =0. Z tych uwag wynika:

III. Funkcyą eliptyczna jest w zupełności wyznaczona, gdy znamy : 1°) wszystkie jej miejsca nieskończonościowe av, wraz z ich powtórzeniami; 2°) wszystkie wyrazy z odjemnemi potęgami różnicy [u—a j) w jej rozwinięciu w otoczeniu każdego takiego miejsca av — i wreszcie 3°) jej

wartości na dowolnem miejscu, rożnem od wszystkich av. Pr żytem jej pozostałości Ajv>> muszą być tak dane, aby ich suma była =0.

W (/?) mamy same pochodne fimkcyi p(u—aj). Stąd pochodzi, że w (6) z wyrazów zawierających Ç"(u—aj), £"'(w—aj, ... powstanie pochodna pewnej funkcyi eliptycznej. Nazwijmyż ją:

r»«,W

du

to mieć będziemy z (7) :

(9)    (p(u) = c+2 A₁W £(u—av) — 2 A₂ W (w—a j -f    B(<pu, jp*u).

Forma (5) i (7) stanowi analogię z przedstawieniem funkcyi wymiernej przez sumę ułamków częściowych i dlatego to każda z tych form znana jest pod nazwą formy przedstawiającej funkcyę cp{u) przez elementa proste [elements simples , H e r m i t е].

145. Zastosowanie ostatniej formy do całkowania. Funkcya napisana w formie (9) — art. poprzedź. — jest już dogodną do całkowania. Mamy bowiem odrazu:

f p(u)du—cu + c‘+ 2 Ajvî log o(u—aj—H Aj*’') Ç(u—aj _R($u, <p‘u).

J    V=1    V

Lecz jeszcze dogodniejszą formę uzyskamy, przerabiając formę (9) [art. poprzedź.] w ten sposób : Wiadomo, że :

1    IP‘u+[P'av

2    fpu—fpav

Otóż wstawiając to w pierwszą sumę w (9), mieć będziemy:

P‘u + P'av

$)u—§)av

Ç(u—aj = £0)—t,[aj +

ft«)2    -2    A

(v)

Pierwsza z tych sum jest zerem ; drugą można przyłączyć do stałej c, a wtedy pozostanie stąd w (9) tylko:

(a)

{p'u+{p‘av

<pu—<pa,v

W drugiej sumie w (9) połóżmy:

Ç\u-av)=A £(«—[?(«)—?(а.н

Ay л «

du^ ²

V

złączyć znowu można będzie z

1 jp‘u + {p‘av

2 $u—$av

to stąd sumę:

tak, że ostatecznie

540

rH

po tych przerobieniach mieć będziemy postać:

a)    +£ттщ p%j:

(2)

г»    =1

Gdy teraz tę formę (1) będziemy całkowali, otrzymamy:

P'u-tfP'dr tyu—@av

f (p(u)du=cu+c‘—2^2(v)?(m)+^-2 A\{v) f

J    V    V    J

du-\-

-bW«,r«).

Gdy wreszcie uwzględnimy, że:

2 pu—<pav

Ç(u—av) — Ç(u)—Ç(av)-, a więc:

to I--

/,'fPw+|Pav 7 a(u—av) , ćfa„

/    -трг—⁼1°9~---f—:—

у <$hi—ipav    ou.oav oav jeżeli jako stałę całkowania obraliśmy —logo(av), to ostatecznie okaże się :

(3)

J''<p{u)du== cu + c‘ + B(iPu, $‘u) —

■2 A« -

*    " (Ш    \ o(m—a„)    <т(а^) /

same

W ten sposób obliczyliśmy całkę |<jp(w)ć?w. Wynik zawiera znane i zbadane już w poprzednich art. funkcye przestępne. Gdy q>(u)=R({pu, Р'и), a uwzględnimy związek:

(4)

S=4:S²—g₂s—gZi

gdzie $u=s, a $‘u= — \/s, to wtedy q)(u)—R{s,— \/'s), {p‘udu=ds,

—. Połóżmyż :

—Y/s

<p(w)=R(s,—Y/ 6 )

a więc :

(fe

Y/s

R(s₇ — Y/S) ćfo

to mamy :

У cp(u)du=J R(s,— \/s)ds.

Jestto całka Abla (eliptyczna), należąca do obrazu algebraicznego (4), a w formie (3) mamy ją obliczoną i wyrażoną przez argument u, który jest widocznie:

(5)

r ds

-Y/8

~y

cu za-

jest więc wartością całki eliptycznej rodzaju pierwszego; wiera się w (2). Mamy dalej w formie (2) :

2^2(v)£0)=2    f rÇ\u)dii    A₂(p) f—фи du= f

V    V    J    V    J    J

sds

Vs

A wreszcie suma :

§>'u+fp‘av

фи—фаг

du daje

2 Ai M f\/s + V/Sv ds

V    J

Vs

S и

gdzie Sv, —Vs» odpowiadają wartościom u=av, v—1,2

Wyrażając teraz całą formę (2) przez s i —Vs, mamy:

r.

I' À(s, — v/;ś')6?s=i^(s, — V/<S') + c +

ds.

s%>

Jestto widocznie forma przedstawiająca najogólniejszą eliptyczną całkę sumą złożoną: z wymiernej funkcyi pary (s,—y/g),, z jednej ((> = 1) całki eliptycznej rodzaju 1§°, z r całek eliptycznych rodzaju 2§° i wreszcie z r całek eliptycznych rodzaju 8§°.

Całkę taką oblicza się bardzo łatwo, wprowadzając w nią argument u przestępnie obliczony formą (5). [Stanowi to analogię

z elementarnym n. p. wypadkiem: «/= fVl— x²-dx; całkę taką

dx

w= f _____

J у/1—- x²

2sinu.cosu.du=-^r- f sin2u.du=—\-cos2u,

2 J    4    ’

a całkę tę obliczono w ten sposób dlatego tylko łatwo, że poznano już własności funkcyj trygonometrycznych, a więc przestępnych].

łatwo obliczyć, wprowadzając x=sinu Wtedy bowiem mamy :

'-i/

a więc :

146. Przedstawienie funkcyi eliptycznej ilorazem bezustannie zbieżnych szeregów (przez funkcye a). Funkcyę a(u) określiliśmy jako funkcyę przestępną całkowitą z nieskończoną ilością miejsc zerowych 2m?=2 io)iJr2v₃oj3: ^г-ё^з=0, źfcl,±2,±3, ..., a gdy a jest dowolną stałą różną od zera, to o(u—a) będzie również taką funk-cyą i znikać będzie na miejscu a i na wszystkich miejscach równoważnych z miejscem a.

Mając to, zauważmy funkcyę eliptyczną cp(u) o peryodach 2<n₁, 2w₃, o miejscach zerowych:

(1)

powtarzających się razy :

a o biegunach :

(2)

powtarzających się razy:

(20

Vu -, V

Z własności funkcyi cp{u) wynika, że być musi :

(a)

9 i 4“ 9i 4~ • • • 4“ 9r ⁼⁼⁼ V\ +^2 + --- + Ц)

i że przyjąć możemy odrazu :

(Pt »! + 9₂ «2 + • • • + Иг «Г ) = Oi &i + v₂ b₂ +.,... + vQbQ).. Utwórzmy funkcyę :

гр{и)

(3)

Ilo(u—asys По(и—bt)vt '

gdzie iloczyn w liczniku złożony jest z czynników o wskaźnikach 5 — 1, 2, ..., r, a iloczyn w mianowniku z czynników o wskaźnikach #=1, 2, ...,

Funkcya    ma zatem te same miejsca zerowe i te same

miejsca nieskończonościowe, i do tego z temi samemi powtórzeniami , co eliptyczna funkcya cp(u). Grdy więc utworzymy iloraz <p{u)I ip(u), to będzie to funkcya bez miejsc zerowych i nieskoń-czonościowych w skończoności, a z (możliwem) miejscem istotnem w nieskończoności.

Połóżmyź [g)(u)fip(u)]=eg(u\ to stąd mamy:

q}(u)—eP(u\ip(u),

a funkcyę całkowitą g(u) trzeba tu tak wybrać, aby i prawa strona posiadała peryody 2coi, 2coz. Z (4j dostajemy:

log rp(u) =g(u)Ą-2[is log a(u—as) — 2 vt log a(u—bt), a stąd upochadniając obie strony według w, mamy:

(4)

(p‘{u)

cp{u)

9 (w)    2 g srÇ(g.i    2 viC(u by

Funkcya

?'(«) :

jest eliptyczną, posiada bieguny jednokrotne w as i bt: a w ich otoczeniu rozwija się na:

<?(**)

vs

n—bt

Lecz tę samą własność ma funkcya :

g)(u)=~[is2Ç(u—as)--2v£(u—bs),

a jest wskutek własności (a) eliptyczną [art. 144.] i to tu o tych samych pierwotnych peryodach, co funkcya (p‘(u)j <p(u). Stąd pochodzi, że różnica [(p'(u)/ <p(u)] — ip(u) = c—const, i że więc ^'(w) = c, a g(u) = cu-{-c¹. Mamy więc:

(5)

(р(и) = С.есигр(ц)

jeżeli ec' położyliśmy =C.

Aby c w formie (5) wyznaczyć, zauważmy, że w niej prawa strona ma być dwuperyodyczną, a że гр składa się z samych, funkcyj o, więc trzeba przedewszystkiem zbadać, jak się zmienia funkcya a(u), gdy się jej argument zwiększy o 2coa.

\-2rja.

Wiadomo, że £(и-\-2соа)=£(и) \-2r\a, czyli że: a'(u-\-2(0 a) a¹ (u)

<j(u+2(Oa) o(u)

Stąd przez całkowanie dostajemy: log o(uJr2o)ce) — log o{u)-\-2rjau-\- A\ a stąd znowu wynika :

(6)

a(u-\-2o)a)—A.a{u).ebiau.

Aby stałą A oznaczyć, połóżmy u——oia, to z formy (6) wyniknie: o{(oa)=Ao(— Ыс^е~ъ1аыа, że zaś    —wa) = — o(coa), więc dosta

jemy: — 1 =z А.е~²Чаысе: dalej A— — e+2riawa, a —1,2, i wreszcie:

o(W-f 2(Oa)—— о(и)еЬ‘а(и+ысс) J 05=1, 8.

Mając ten rezultat, zastosujmy go do formy (4), zmieniając

cp{u-\-2wa)= С.еси + 2шаrpiu)    e-2ri«[S[x,a*-Svi Ъ₍].

g2r)aWo'[l[J.s—Sv;] ^^

w niej u na u-\-2o)a. Uwzględniając, że ip(u) ma postać (3), mieć będziemy :

a że 22fis—2vt—0 i 2fisas—2vtbt=0, więc dostajemy:

<jp(w+2(oa) — G.ecu + 2шсе. ip(u),

co ma być = C.ip(u) wskutek żądanej dwuperyodyczności. Musi więc być еси+2сысс = 0 przy dowolnem u, co tylko tym sposobem stać się może, że c—0. Mając to, położymy teraz:

(p(u)=C

(7)

IT(7(u—asyis

Ho(u—bt)vt ’

a że tu licznik i mianownik da się rozwinąć na bezustanny szereg więc ostatecznie znajdujemy:

cp{u) = C.

(8)

G-X(u)

G₂(u)

Stała C zależy od danej wartości funkcyi na pewnem obranem

miejscu c, rożnem od as i bt.

Zastosujmy formę (7) do eliptycznej funkcyi ßu—ßv zmiennego argumentu u. Ta funkcya posiada dwukrotne miejsce nie-skończonościowe u—0. Z miejsc jej zerowych jedno jest: drugie zaś może być miejscem u=—v. Wskutek tego dostaniemy tu:

(9)

ßu-ßv=C.

Stałą C oznaczymy, rozwijając tu obie strony w otoczeniu miejsca u—0. Z tego rozwijania mamy:

U²

o(u - v)o(u-\-v)

o²tt

^5+dod. pot. = — C. u¹

- 544

146]

a stąd wynika: 1 = — C.a²v, czyli C-tość w (9), mamy :

аЩ Wstawiając tę

war-

a{u—v)a(u+v) o²v.o²u '

albo — zmieniając u na —u, przez co lewa strona nie ulegnie zmianie — dostaniemy :

pu—Pv=

(10)

Pu—pv

o(v + u).o(v—u)

o²v.o²u

Jak wiadomo, ma pochodna P‘u trzykrotne miejsce nieskoń-czonościowe, a miejsca jej zerowe są: coi, co₃ i —(o>₁ + ct>₃)=o>₂• Położymy więc :

P‘u=C.

a(u—£üt) a(u — co₂) o(u—co₃)

o³u

Rozwijając tu obie strony w otoczeniu miejsca u=0, mamy: C.o(—a>i) a(—ûJ₂)a(—cos)

§ ! tO

— z + dod. pot.— Stąd wynika:

4- dod. pot.

ofa) o(û>₂) о(й>₃)

(11)

p‘u=2.

G (и—о(и — C0₂)o(ll — OJ?> ) 0(0)^ o(co₂) o(co₃) o³(u)

Literatura:

H. Schwarz: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. — Berlin 1884.

Halphen: Traité des fonctions elliptiques et de leurs application. Part. I., II. —

Paris 1886. 1888.

•*

P. Appell et E. La cour: Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications. — Paris 1897.

L. Lévy: Précis élémentaire de la théorie des fonctions elliptiques avec tables numériques et applications. — Paris 1898.

À. G. Green hill: The applications of elliptic functions. — London 1892.

Formami wynikającemi z odwrócenia całki fdsf\/s posługiwał się przed Weierstrassem już także i Eisenstein [0. J. T. 85.].

Z prac polskich -wymienić trzeba:

P. Dziwiński: „Krótki zarys teoryi funkcyj peryodycznych jednej zmiennej“. — We Lwowie 1885.

J. Puzyna: „O twierdzeniu, upraszczającem obliczanie czynników wykładniczych w Weierstrassowskiej teoiyi funkcyj eliptycznych“. Prace matematyczno-fizyczne T. X. — Warszawa 1899—1900.

J. S ochocki: „O równaniach stopnia trzeciego i czwartego“. Prace mat.-fiz. T. X. — Warszawa 1899—1900.

czĘSO vu.

FUNKGYE HARMONICZNE I ICH ZASTOSOWANIA.

ROZDZIAŁ XIX.

Funkcye harmoniczne w kole. Prostsze zagadnienia o odwzorowaniach.

147. Zasadnicze formy i definicye. Niech u, v będą funkcyami dwóch rzeczywistych zmiennych x, y, zawierającemi same rzeczywiste spółczynniki ; każdy system wartości (ж, у) niech przedstawia punkt na płaszczyźnie prostokątnego układu osi xx‘, yy‘. Na tej płaszczyźnie niech leży zamknięta, nieprzecinająca się z sobą, krzywa c. Na tej krzywej i w jej wnętrzu niech funkcye u, v i jej

, ~ będą skończone,

du

.    . -i    11

pierwsze cząstkowe pochodne —, —

OtX/ OoC

óx ’ dy

czone i ciągłe. Przy takich założeniach zauważmy całkę podwójną:

ozna-

(1)

-//(

du öv du dv dx dx dy dy

Jdxdy.

Stosując tu całkowanie przez części i przyjmując, że wewnątrz

krzywej c są pochodne głe , dostajemy:

/)2л/ A / л 2л ч ź2«ł

te», jÿi skończone, oznaczone i cią-

(2)

(3)

/ !%%dxdy=ju%dy-SSu%dxAy'

' du dv dy dy

dxdy—ju ~

dx —

a stąd wynika :

Teor. funkcyj analit. T. II.

gdzie :

2’

4)

j=f Ądv

dv

л di/—— dx dx dy

j — J j¹ u.Av.dxdy

c¹)

d²v d²v dx² dy⁴

Gdy ds jest elementem luku krzywej c, to określnikami kierunku jej stycznej t w punkcie Ą={xy) są:

(«)

dx

dy

ds    COS(X,t), -~=cos{y,t)

a te — jeżeli założymy, że styczna ruchoma nie zmienia nigdzie swego kierunku nagle — są funkcyami ciągłemi i jednoznacznemi wzdłuż całej krzywej c. Kierunek normalnej n w punkcie A określi się przez :

d)

cos(x, w)=—= dn

dx dy

ds ’

,    . dy dx

Gdy n pojmować będziemy jako normalną, dążącą do wnętrza krzywej, a dn będzie jej elementem, poczynającym się w punkcie A, a kończącym się w nieskończenie bliskim punkcie A¹, leżącym wewnątrz krzywej c , to mamy :

dv dv dx dv dy

(c)

dn dx dn dy dn

dv dv .    . dv /

^=-faC0S(x,n)-t-—c°s(y,n),

•ХУ

czyli :

albo wreszcie :

dv

dv dy dv dx

dy ds ’

Pochodna ta i est — wskutek założenia o ~ i o kierun-°    dx ⁷ dy

kach (a) — skończoną, oznaczoną i ciągłą funkcyą wzdłuż całej krzywej (c). Z (c‘) dostajemy:

dn

dx ds

dv

dn

ds=

dv

dv

dx dy dy

dx:

a uwzględniając to w (4), mamy:

f dv ,

= -/ u.-r-ds-

(5)

dn

o’)

J'J u.Av.dxdy.

Uwaga. Jeżeli długość obwodu krzywej c nazwiemy a, to granicami pierwszej całki, bez względu , czy po krzywej c sumujemy elementa tej całki

w dodatnim lub odjemnym kierunku, są zawsze: (0...a). Z tego powodu w takich całkach jak

J'u ~ ds nie potrzeba uwzględniać kierunku całkowania.

Forma (1) nie zmienia się wcale, gdy w niej u, v ze sobą po-mieniamy. Zróbmyż to samo w (5), to mieć tąkźe będziemy:

(p‘)

= -fV

du

—cis—

dn

J⁴ Çv.Audxdy

gdzie znowu :

Au

д²и d²u> dx² dy²‘ Z (5) i (5') dostajemy związek:

(6)

który zwyczajnie formułą Grreen’a nazywają. Zakładając u— 1 dochodzimy z (6) do związku :

(7)

J^dsĄ- j JAv.dxdy=0.

Definicya. Każda funkcya dwóch zmiennych rzeczywistych x, y zadość czyniąca cząstkowemu równaniu:

A®

д²® d²® дх² ду²

nazywa się funkcyą harmoniczną albo funkcyą kulistą. Warunki, jakim poddawać można taką funkcye , mogą być najrozmaitsze, a z nich odszcze-gólniamy w dalszym ciągu te, które dla teoryi funkcyj będą doniosłego znaczenia. Lecz każdym razem wtedy trzeba będzie przedewszystkiem przekonać się — a to jest bardzo ważne — czy funkcya harmoniczna spełniająca peivne dane warunki, w istocie istnieć może.

Przyjmijmy, że funkcye u, v — posiadając wewnątrz c i na samej krzywej c własności już wyliczone — spełniają w c równanie różniczkowe A® —0, są więc tam harmonicznemu Uwzględniając to, dostajemy z (6):

(8)

f\ dv du\

J [Udn~Vdn\

ds=0

a z (7) :

(9)

— cis=0 ;

dn

to znaczy :

I. Gdy funkcya v jest harmoniczną w c, to całka okrężna:

dn

ds=0.

Grdy zamiast krzywej c mieć będziemy dwie krzywe cl7 c21 a z nich c₂ leży wewnątrz c₁₅ to nważając obie te krzywe razem za zupełne ograniczenie zamkniętego niemi obszaru, mieć będziemy z (8) :

(10)

f[uTn-vdÜds+IV

dv

du

—dn

V-dn

ds'= 0 :

ci

c2

ds‘ jest elementem łuku krzywej c₂, a w drugiej całce (—dn) jest elementem normalnej, dążącej na zewnątrz tej krzywej. Napiszmy (10) w postaci :

(U)

f\ dv du\ ,    dv du\ , ,

/ r*⁻'sr_ / rs_’sr⁼

f    tCrł/    (А/li/ I    w I lAjrO    НАМ

ct

C₂

to tu już w obydwu całkach mamy pochodne ze względu na normalne wewnętrzne. Z (9) dostajemy w tym razie:

(12)

ЛЧ

dv

— ds‘=Q.

dn

Cl

c2

Przyjmijmy, że u, v są identyczne funkeye harmoniczne. Wtedy, uwzględniając już Au=0, mamy z (1) i (5):

u — ds dn

(13)

du

a gdy funkcyę u poddamy warunkowi, aby na samej krzywej c była wszędzie zerem, to z (13) wynika:

'du\²

ft.

\ày,

= 0.

Ten związek — ponieważ x,y są rzeczywiste, a także wszystkie spółczynniki funkcyi u są rzeczywiste — spełnić się może tylko tym sposobem , że :

du

du

—=0, —=0

àx

ày

a więc u=const. ; że zaś na krzywej c jest u=0, więc u także we wnętrzu krzywej c jest zerem. To znaczy:

II. Funkcya harmoniczna, posiadająca wartość zero wzdłuż krzywej c, jest identycznie zerem.

Mając to przyjmijmy, że możliwa jest funkcya harmoniczna u} przybierająca na krzywej e pewne oznaczone wartości i przyjmijmy, że i druga funkcya harmoniczna щ przybiera na c te same wartości co u. Na c mamy więc u—ux — 0, a różnica и—щ jest oczywiście także funkcyą harmoniczną.    -

Według tw. II. jest więc identycznie u—m₁= 0, czyli u=*ui} a stąd twierdzenie:

III. Jeżeli istnieje funkcya harmoniczna wewnątrz krzywej c, przyjmująca pewne dane wartości na samej krzywej c, to taka funkcya jest tylko jedna.

Właśnie cały dalszy ciąg naszych poszukiwań zmierzać będzie do rozstrzygnięcia pytania, czy w istocie istnieje funkcya harmoniczna wewnątrz c o danych jej wartościach na krzywej c. Te dane wrartości zwane zwykle „warunkami granicznymi“ rozumieć będziemy w ten sposób, że gdy na krzywej c na jej punkt p przypada wartość up, to funkcya harmoniczna u zbliża się dowolnie do wartości up, gdy ruchomy punkt wewnątrz c pozostający po dowolnej drodze zbliża się do p. Wnioskowanie o istnieniu funkcyi z danych jej granicznych warunków nazywają za Rieman-nem „zasadą Di ri chi eta“ [por. Fricke-Klein, Modulfunctionen, T. I., str. 508].

148. Wartość funkcyi harmonicznej w pewnym punkcie {a, b) wewnątrz danej krzywej. Nie troszcząc się na razie o warunki graniczne, dostajemy jedno, bardzo proste rozwiązanie równania A®=0 w postaci:

(1)

u=logr

r=V(x—a)²-f (y—b)².

Przyjmijmy, że (а, Ъ) jest dowolnym punktem wewnątrz c,

promień q tak

i otoczmy go kołem к, mającem środek w ' (a,b) mały, że koło к leży całkowicie we wnętrzu c.

Gdy V jest funkcyą harmoniczną wewnątrz c, to stosując do u—logr i V wzór (11) — art. poprzedź. — mamy:

(2)

j\logr.

dv d log r

dn

dn

Te

ds'=0.

W pierwszej z tych całek jest r oddaleniem punktu {ab) od bieżącego punktu (xy) krzywej c. W drugiej całce mamy:

f lodQ^dsl=iogQ Jdv

к    Jc

(«)

dn

ds‘=0 [tw. I. art. poprzedź.].

Zauważmy dalej, że :

dlog q

1 dg

dn

q dn

i że dg——dn, gdyż g ma dodatni kierunek swój od środka (ab) ku obwodowi, a więc kierunek przeciwny, jak na normalnej n, to dostaniemy :

iß)

dlog g

dn

(3)

Uwzględniając (a), (ß) w (2), mamy:

dv d log r

^ Jv.ds‘=j\log r

к    c

dn

dn

ds.

Jeżeli V ma na obwodzie koła Ic największą wartość M, a najmniejszą wartość m, to:

2лМ> ¹

if

к

v.ds‘ ;> 2n m.

Przyjmijmy, że g dowolnie malejąc, staje się wreszcie zerem. Koło Jc staje się wtedy punktem (a, &) ; między Mim nie ma wtedy odróżnienia, gdyż M=m=v(ab), a z (3) dostajemy:

di7 ^d log r

(4)

v(ab)=lJl J^ogr.

dn

dn

ds.

Ta całka przedstawia wartość harmonicznej funkcyi v w dowolnym punkcie (a, b) zawartym wewnątrz c. W tę całkę wchodzą wartości funkcyi samej i wartości pochodnej ~ na samej krzywej c.

A,

W razie, gdy krzywa c jest kołem K, da się forma (4) w ten sposób uprościć, że pod całką pozostanie wprawdzie v, ale

Fig. 80.

^ już się tam zawierać nie będzie. Promieniem koła К niech będzie В [fig. 80.], a punkt (a, b)=A niech leży wewnątrz tego koła. Przedłużając promień O A — [O jest środkiem koła К] — poza koło K, wybierzmy na nim punkt Ai = (albi) taki, że: OA.OA₁ =B². Wtedy, gdy M jest dowolnym punktem (x,y) na kole К, a położymy: ~jM²=r²=(x~a)²-]-(y—b)², AiM²=ri ²={x—ai)2jr{y—bl)²

mamy :

(5)

AM r

OA

A.M

ri В

C=const.

Gdy u=logrXi to — ponieważ ta funkcya harmoniczna pozostaje skończoną na wszystkich punktach wewnątrz koła К — mieć będziemy :

éij[l09r'-Tn-v^r\ds=0’ [(8) art- p°przedzJ-

(a)

Jeżeli przeciwnie u=logr: to podług równania (4) mamy:

ds.

1    dv dlogr~\

v{ai)=^J[hgrdi,-,’^-\

Odejmując (a) od (b) dostajemy:

(6)

„(aó)=-A_ f^logr-ds+ -¹-v 2л J dn * r± 2л

d log rA d log r

dn

dn

ds.

Lecz wskutek (5) jest:

dv r 1 n dv log — ds=log(J•

dn

-₇- ds=0, dn

a uwzględniając to w (6), dochodzimy do formuły:

(7)

v(ab)

d log rx d log r

dn

dn

ds.

(c)

Tej formie nadamy jeszcze inne kształty. Połóżmy CL4=?, 0A] = l^, to z trójkątów 0MA, 0MA₁ (fig. 80.) mamy odpowiednio: ?²=E²4-r²—2Rrcos (pi l: ²=R²-\-ri²—2Rricosq}i,

(р! = Х.(гиИ).

Zauważmy:

to mamy tu :

dr

dn

d log ri

1 dr

dn

rx dn

dlogr    1 dr

dn    r dn

dr    dr dx dr dy

dn dx dn dy ’ dn

Lecz, że dn= — dR i że: dr X—

dx

dx

dR

~=cos(x,r)-

dr у—Ъ

dy

cos(y, r)

cos(x, R) ;

dy =—cos(y,R), więc:

dR

=—cos(r,R) =—cos(p i podobnie:

dri

dn

cos(ri ,R)=— cos cpy.

Z tego wynika :

dlogri dlogr coscp

coscp₁

dn

dn

Z równań (c) wynika:

ri

COS <jP COS (jPj

a gdy tu гА = skróceniach: :

Г.Й

-Й²

lx — ~y uwzględnimy, dostaniemy po wszystkich

R²—P Rr²

Wskutek tego formę (7) można także napisać tak:

cos cp cos cpi

(8)

v(a, b)

R²-P

Rr²

ds.

Przyjmijmy dla uproszczenia, że środek 0 koła W jest początkiem układu osi xx‘, yy‘ [fig. 81.]. 0A — l niech zawiera z osią xx‘ kąt cp, a 0M=R kąt гр. Z trójkąta OAM mamy wtedy :

r²—R²-\-P—2 R.l.cos(tp—cp).

Ilości 11 cp są biegunowemi spółrzę-dnemi punktu A, a element łuku ds=Rdtp.

Za wprowadzeniem tych biegunowych spółrzędnych, dostaniemy z (8) :

ir

2 71

Fig. 81.

O)

v(ab)=-~ I

"o

R²+P—2 Rl.cos{tp—cp)

.dtp.

gdzie vx{R,tp) jest wartością funkcyi harmonicznej v w punkcie M. Połóżmyż v₁(R,tp)=f(tp): to mieć będziemy:

(10) v(ab)=vi(l:cp)

R²—P

‘R²Ą-P—2 Rlcos{tp—cp)

dtp.

(U)

Połóżmy a-\-bi=z=l.e⁽f‘i i zauważmy funkcyę :

Re^+z Re^—z ’

F{z)

to jej rzeczywistą częścią będzie

R*-P

a że f(tp) przed-

R²-\-P—2Rlcos(ty—o)

stawia same rzeczywiste wartości na okręgu koła К, więc równanie (10) można także tak napisać :

2л:

(12)

v(a,b)=f' F(e).f(ip)dty j

gdzie 91 wskazuje, że z wartości obliczonej całki trzeba zatrzymać tylko jej część rzeczywistą.

149. Rozwijanie funkcyi harmonicznej wewnątrz danego obszaru. W formach art. poprzedzającego mamy przedstawioną wartość funkcyi V w każdym poszczególnym, oddzielnym punkcie, leżącym wewnątrz krzywej c lub wewnątrz koła K. Postarajmyż się teraz o taką formę, któraby funkcyę v przedstawić mogła w pewnym zwartym obszarze punktów, leżących wewnątrz c lub wewnątrz K.

Biorąc ogólniejszą krzywę c pod uwagę, obierzmy w jej wnętrzu pewien stały punkt (xt),y₀) i z tego punktu, jako środka, zakreślmy koło — o promieniu R — mieszczące się całkowicie wewnątrz c. Grdy (x,y) jest dowolnym punktem wewnątrz tego koła, a X—#₀=a, y—y₀=&, a-h&i=0=Z.e^':, to tu możemy już zastosować formę (12) art. poprzedź. Połóżmyż :

i;

1+A efo’-V')*'

1—T) R

to zakładając 1<(R, mamy:

Ae2(9P-V^₊...J =

-f.

= 1 + 2^ A- e^-W

n= 1 CO

SR №)]=! + 22

Iя

a gdy położymy :

n~\

Rn

cosn((p — ip)

2л:

2 71

J f(ty)

о

cos mp.dip^=A

Jf (ty) sin mp.dip—В

n — 0, 1, 2,

to podług formy (12) — art. poprzedź. — będzie :

(1)

v(a, b) =

“+2

n=1 L

Zracos ncp

Rn

-\~Bn

lnsinnq)

Rn

]■

v(a, &)=ф + 2 [An(ai b)n + Bn{a: b)‘n}

(3)

(2)

Połóżmy :

(а + Ы)п    ln

=— [cos n(p+i sin n<p]=(a, b)„-j-i(a, by„ ,

Rn

gdzie (a,b)n, (a,b)‘n są-to jednorodne funkcye ng0 stopnia, jakie powstają z rozwinięcia: (aĄ-bi)nIRn, to ostatecznie mamy:

Rn

n =1

a że a=(x—x₀), b=(y—y₀), więc:

(4)    v(x—x₀,y—y₀)=- -+(pi{x-x₀,y—y₀) + cp₂(x-xi},y—y(y) + -:

gdzie (pa są-to jednorodne funkcye stopnia a&⁰ argumentów (x—x₀), (У—Уо)' Rozwinięcie (4) jestto widocznie zwykły szereg potęgowy o rzeczywistych spółczynnikach i rzeczywistych argumentach :

(x Xq) , (y—y₀),

chodzi jeszcze tylko o zbieżność i zakres zbieżności tego szeregu. Aby się tern zająć, wróćmy do formy (1). Z niej odrazu wynika:

X.

ln

ln \

|«(о,»)|<|ф +2{и*

¹    W= 1

a tu wszystkie |An\, \B„\ mają być skończone.

Zastąpmyż je wszystkie górną ich granicą g, to dostaniemy:

Rn

У\Вп

Rnl

KM) I <|ф|

n —1

Gdy zauważymy dalej, że l=\Za²-\-b²<i\a\-\-\b\, to tern bardziej

będzie :

v(a,b)I <

!+2?2(N+№.

n =1

Tu szereg po prawej stronie jest zbieżny niezawodnie, gdy a stąd wynika, że i rozwinięcie (4) jest zbieżne

\У—Уо| <#-

N<§->

bezwarunkowo i absolutnie dla \x—x₀\<i~

To znaczy :

I. Funkcya harmoniczna wewnątrz pewnej hr żywej c daje się w otoczeniu każdego punktu (ж₀,у₀), leżącego wewnątrz tej krzywej rozwinąć na zwykły szereg potęgowy argumentów (x—x₀), [y—y₀). Wewnątrz c jest więc funkcya harmoniczna analityczną funkcyą swoich argumentów, a gdy przeprowadzenia jej elementów istnieją i poza krzywą, to i funkcya harmoniczna istnieje jeszcze i zewnątrz krzywej.

Gdy w otoczeniu punktu (#₀?Уо) mamy:

(а)

v={x—х^у—y₀)₀ + {X—х₀,у—у₀)* + ..., v>l, a przyjmiemy, że v posiada na tern miejscu maximum lub minimum, a więc ta wartość =(æ—x₀,y—y₀)o Jes^ albo większa, albo mniejsza od wszystkich w najbliższem otoczeniu, to musielibyśmy mieć — przy nieskończenie małych \x—x₀\, \y— y₀j — w pierwszym razie: V- {x-x₀, y-y₀ )₀ =- (X-x₀, y- y₀ )„<0.

a w drugim razie :

(ß)

V — (x—x₀, y — y₀)₀ = (x—x₀, y— y₀ )„> 0. lv

Lecz (x—xQ,y—y₀)v=-jp{Avcosvcp + Bvsinvq)), a że równanie: ^4„cos v(p-\- Bvsinvcp=0

zawsze posiada pierwiastki, więc istnienie nierówności (a) z wykluczeniem (ß) lub nierówności (ß) z wykluczeniem (a) jest niemożliwe , a to znaczy :

II.    Funkcya harmoniczna w calem wnętrzu krzywej c nie posiada ani maximum, ani minimum.

W szczególności, gdy krzywa c jest kołem К, a funkcyę v rozwiniemy w otoczeniu punktu (#₀,y₀), środka tego koła, to dostajemy twierdzenie:

III.    Funkcya harmoniczna v wewnątrz pewnego kola K, rozwinięta dla otoczenia środka tego kola, daje szereg zbieżny we wszystkich punktach wewnątrz tego kola.

W (2) jednorodne funkcye :

(a,b)n=(x—x₀,y—y₀)n, (а, Ьуп=(х—х₀,у—у₀Уп spełniają obie równanie różniczkowe A®—O. Z tego wynika, że w (3) każdy dodajnik sumy spełni także to równanie, jest więc funkcyą harmoniczną, a to znaczy :

IY. Każde rozwinięcie funkcyi harmonicznej wewnątrz c jest sumą jednorodnych funkcyj harmonicznych wewnątrz c.

150. Funkcye harmoniczne dla obszaru kołowego. W całkach, jakiemi przedstawiliśmy funkcyę harmoniczną wewnątrz c lub wewnątrz К zawierają się wartości funkcyi na samej krzywej c, lub na samem kole K. Pytanie więc zachodzi, czy temi formami całkowemi zadość będzie można uczynić warunkowi, aby funkcya na samej krzywej c lub na samem kole К przybierała pewne naprzód dane wartości.

Tymi granicznymi warunkami teraz się szczegółowo zajmiemy, biorąc naprzód pod uwagę obszar kołowy. *)

Przyj’mijmy, że funkcya f'(gp), która na tem kole daje właśnie żądany ciąg wartości, jest funkcyą ciągłą skończoną i jednoznaczną.

Ta jednoznaczność domaga się, aby f{ip) była funkcyą peryo-dyczną o peryodzie 2n, co też odrazu założyć potrzeba.

Połóżmy, mając te założenia, tp=d-Ą-<p, to forma (9) — art. 148. — napisze się teraz tak :

2л) R²+l²— 2Rlcos&

2л—rp

R²-l²

(1)

v(a, b)

~<p

Całkę tę nazywają całką Poisson’a. Gdy l<zR, to całka :

2л— cp

(a) L=

R²-l²

2 n f R²-\-l²—2Rl cos&

<m=

[arc tg ^

R-l

-cp

Wskutek tego, gdy położymy: v(a,.b)= v(l, (p), będzie różnica:

2л—cp

R²—l²

R2+P—2RICOS&

d&.

—cp

Lecz, że    i cos & są funkcyami peryodycznemi o pe

ryodzie 2tt, więc możemy położyć:

2л:—(5

J-èj + èf=

-ô

+ó

Przyjmując, że ó jest dowolnie małą dodatnią ilością, mamy w pierwszej całce wartości /(#-{-<р), zawarte w dowolnie małem otoczeniu (—ô-\- qp...-\-ó-\-(p) punktu (R,<p) na kole K. A gdy dalej przyjmiemy, że l dowolnie zbliża się do wartości R, (pozostając <СЙ), to v(l,cp) daje wartości funkcyi v(a,b) dla punktów (a,b) = (l,(p), które leżąc we wnętrzu koła 2Г, dowolnie się przybliżają do punktu (R, cp). O wartości różnicy J w tym razie wywnioskujemy, badając całki t7j, J~2 ■

Otóż, gdy g jest największą wartością różnicy \fX&-\-<p)—f{<p)| w obszarze    to :

*) H. A. Schwarz. — Zur Integration der partiellen Differentialgleichung

d^u d^u

^2 ”t~ ₀~2 ⁼ O- Gesammelte math. Abhandlungen T. 2., str. 175—210. Por. także : E. Picard. — Traite d’ Analyse T. 2.

a że :

R^—P

R²-P

i т i 9 i

' l!<2\nj Rą P—2Rlcosd

dd

-ô

R^+P—2Rlcos§ tem bardziej będzie :

pozostaje >0 na calem okręgu koła K, więc

R-P

2nf R+P—2RI cosd

dd-.

— 71

Tu całka

1 f”

2nj

— 71

ma

— podług (a) — wartość —1, a stąd

wynika: |«7j|<g.

Lecz ô możemy tak małe obrać, że g będzie mniejsze od dowolnie małej obranej dodatniej ilości e₁. Wtedy będzie:

i^i! <£i-

Gdy y jest znowu największą wartością różnicy \f(d-\-(p)—f{cp)| w obszarze d=(.ó-\- ...2л— ô), to:

>2л— ö

(2)

(3)

-Ш'

1+

ft) -,

— 2^ cosd

dd.

Utwórzmy różnicę :

[¹⁺ft)-4e“#]-4(¹-e“<)-

“(i—-2(cosd-cosó),

to, ponieważ (cosd—cosó) jest odjemne w całym rozważanym obszarze d=(ó...2jv—ô), mamy w tym obszarze:

©-4cos#>2i⁽¹-c<,sd)

nierówność (3) możemy zastąpić nierównością :

Чл

(4)

KKf ■,

—(1—cos d)

Jakkolwiek małe przyjmiemy ó, można zawsze l tak przybliżyć do R, że prawa strona nierówności (4) będzie mniejszą od dowolnie małej dodatniej ilości s₂. Mamy więc równocześnie:

je/llOl, jJ2j<^£₂.

Stąd wynika :

\J\ + J2I ^ £1 + £21

a że (Cj+%) można znowu uczynić mniejszem od dowolnie małej dodatniej ilości e, więc:

\J\ = \V{1, (p)-f((p)\<£,

gdy się ii, <jp) dowolnie do punktu (R, cp) okręgu К przybliża. Z tych. wszystkich uwag wynika :

I. Zadaniu, aby fuńkcya harmoniczna v wewnątrz hola К przybierała na samym okręgu К dane wartości w ciągły sposób zmieniające się na tym okręgu można zawsze zadość uczynić. Taka bowiem funkcya istnieje i jest [tw. III., art. 147.] tylko jedna.

Połóżmy w (1) znowu ip za xł-\-(p, a (u,b) niech będzie punktem w środku koła K. Wtedy (a,b)—(0,0), 1=0,

<0,0)

To znaczy:

II.    Wartość funkcyi v w środku koła К jest średnio arytmetyczną z wszystkich wartości funkcyi na okręgu K.

Przyjmijmy, że f{ty) — c, ma więc statecznie tę samą wartość stałą c na całym okręgu koła K. Wtedy v[ab)=c.L, a że całka L— 1 według (a), więc mamy: v{a,b) = c. To znaczy:

III.    Funkcya harmoniczna v, mająca przybierać na okręgu koła К statecznie tę samą wartość stałą c, jest =c w calem wnętrzu koła K.

Przyjmując R=00, zakładamy, że funkcya harmoniczna v pozostaje skończoną, oznaczoną i ciągłą w całej płaszczyźnie zmiennych x, y. Lecz wtedy (R²—P)l (R² + l²—2Rl cos 0 = 1, a

v(a, b)

gdzie fjp) daje wartości funkcyi na okręgu bezgranicznie się zwiększającego koła K. Podług tw. I. przedstawia tu całka po prawej stronie wartość v(0,0), a więc mamy: v(a,b)=v(0,0) dla wszelkich (a, b), a to znaczy :

III. Funkcya harmoniczna skończona, oznaczona i ciągła w całym nieograniczonym obszarze swoich zmiennych, redukuje się do stałej wartości.

Uwaga, W rozumowaniach, jakiemi doszliśmy do twierdzenia L, był oczywiście punkt (i?, ©) na kole К zupełnie dowolny, bo funkcyę /(<[) założono peryo-dyczną (o peryodzie 2tz) funkcya/(<[) nie jest peryodyczną, ale że dla pewnej wartości <!< = ©, posiada

przytem skończoną i ciągłą. Przyjmijmy teraz, że

własność : lim [/(», -f- o) —/ (2--)-e>₁ — 8)]=0.

0=0

Wtedy — jeżeli zauważymy całkę :

R¹ -\-V- — 2RI cos 5

db

i damy jej granice:

dojdziemy do wniosku, że całka:

(—8...2K—8) = (-5...+ 3) + (4- 8...2Я—3) —

/ №)

Jo

d5

‘ R²+ P — 2Rlcosb

dąży do granicy /(ot), gdy się punkt [l, o) w jakikolwiek sposób przybliża do punktu (R, eą) na okręgu koła K.

151. Uwzględnienie zrywania ciągłości na okręgu koła. Boz-bierzmy teraz wypadek, w którym funkcya f(ip) posiadając ciągle peryod 2л;, doznaje w niektórych punktach (R, <px) okręgu К takiego zerwania ciągłości, że :

(1)

a fi jest skończone i różne od zera.

Ponieważ f(tp) jest funkcyą peryodyczną, więc (1) można także tak napisać :

o=o

albo wreszcie krócej :

/(9h +0)—/(<jPi —0)=(i.

Funkcya f przybiera widocznie różne wartości, według tego, czy się do punktu qp₁ zbliżamy na okręgu koła К w dodatnim czy w odjemnym kierunku.

ozna-

Poza tymi punktami ma być zresztą f(ip) skończoną czoną i ciągłą na okręgu K.

Aby tu funkcyę harmoniczną utworzyć z danych w ten sposób granicznych warunków i poznać jej wartości v przy zbliżaniu się wewnątrz К do punktów (pi: zauważmy naprzód funkcyę nie-peryodyczną f(tp) = ip i całkę:

1—r²

" 1 + r²—2 rcos(ip—(p)

dip, gdzie r==

R'

Tę całkę, gdy r<1, możemy sposobem podanym w art. 149. rozwinąć na szereg :

А₀—2 к.

2

Lecz Ап=0, Вп=— , [podług zasad rachunku całkowego], n=1,2,3,..., a stąd wynika:

(2)

J" yr 2^ S^n n<P

71 —\

Aby ten szereg obliczyć, utwórzmy pochodną ;

00

dJ

dr

со

- + 2 гЛ^п cos пер + Вп sin пер]

z określeniami :

п—1

2iT

Ап=^ f ip.cos пгрЯгр

Вп=

2л

j'tp.sinmp.dip

= —2^, rn~x sin nep

П—1 to w niej zawarty szereg Зг⁷¹^¹ sinnep jest urojoną częścią szeregu

1 >v''    1

— >ги.еп^г==— ,

у* jfmam    у* 1 у*Р^Рг

a ta urojona część jest:

Sin Cp

1—2rcos<p-{-r²

Mamy więc :

dJ

2 sin (p 1—2r cos cp + r2 a stąd po scałkowaniu dostajemy :

dr

(3)

J=n—2 arc tg

r sin <p

1—r cos <p

Całkę J można było pojmować jako całkę obliczoną po kole Ic o promieniu r== 1; (r,cp) są — gdy r<A — spółrzędnemi punktów M — (fig. 82.) — leżących wewnątrz koła Tc. Niech M₀ będzie punktem (1,0), to w trójkącie 0MA, w którym 0 M=r, y( MO A = (p. mamy:

MA—rsinepj 0 A—rcosep, a więc AM₀ = l—rcosep r sin cp

AM

a wskutek tego;

0 lL±. ⁰ A

oNvlftio

tg a, gdy a=MM₀A.

1—reosep AMę Uwzględniając to w (3), dostajemy;

(4)

J=7l — 2d.

Fig. 82.

Grdy M nieskończenie przybliża się do Ж₀, a to zbliżanie odbywać się może w najrozmaitszych kierunkach, które z osią xx‘

dają wszelkie kąty, zawarte między -f- ™ a

to mamy w tym

razie: lim J=n—2a .

«=(

czyli :

lim J=t.2n,

Mając ten rezultat, wróćmy do założenia (1), przyjmując zarazem dla uproszczenia, że gp, =0 i że punkt (R, (р±)=0 na okręgu ÜT jest jedyny, w którym funkcya ma zerwanie ciągłości, określające się przez:

(5)

0=0

Zauważmy funkcyę :

F{ę)=*f (ę) +

4>

to*

Jej wartości w punktach ip=ó i гр=2л—ô są odpowiednio:

2уг—ô

F(ô)=f(ô)+^-fi a ich różnica — wskutek (5) — jest dla d=0:

F(2n—ó)=f(2ji—d) 4

lim [F(ó)—F(2n—d)]=0.

Według uwagi na końcu art. poprzedzającego będzie całka:

(6)

R²—P

R² + P-2Rlcosd-

2л

(7)

R²—P

R² + l²-2Rcosd-

ip.

l—r²

dxp

miała wartość F{ô)—f(ô), gdy się punkt (l, cp) dowolnie do punktu (R, 0) przybliży. Że zaś pierwsza całka w [7) jest = t;(Z, cp) a druga całka, gdy się punkt (7, gp) zbliżył dowolnie do (i?,0), ma wartości t./г, l=(0...1), więc ostatecznie mamy:

limv(l, <p)+t.[i=f(0), tf=(0...1),

l=R

v(JR,0)=/‘(0) — t.p, t={0...1), гГ(Л,0)=[/'(0).../’(0)—;»].

Podług (5) jest: /‘[0)—(i—f(2n—0)

®(Л,0)-[/(0)../(2я-0)],

=[/,(+0)../(-0)].

Rozumowanie mało tylko się zmieni, gdy punktem zerwania ciągłości nie będzie punkt (R, 0), ale punkt (R, (p±), gp^O, a to zerwanie ciągłości określa równanie (1). W tym razie określimy harmoniczną funkcyę, mającą posiadać wartości f(tp) na kole K7 całką o granicach gpj; (pi + 2л i położymy: f(ip)=fi(ip—щ).

ïeor. fmikcyj analit. T. II.

a stąd :

(8)

czyli :

a z tego wynika, że : albo :

36

Wprowadźmy dalej funkcyę:

Fi (V—9>i ) =f\    Ф i ) + ^ ₂^- - ^

a kładąc гр — (р₁=грг: zauważmy całkę:

7?²-Z²

In

R*±P—2 Rl.cosd-

èfFi w

to teraz już, podobnem rozumowaniem, jak w przypadku: <^ = 0, dostaniemy tu:

albo wreszcie :

ż=(0...1)

albo :

vi (Æ, 0) =/i (0) — t./г

v(R, cp₁)=f(cpx) — t.!i

=[/‘(9Pi +0).../'(2л; + ^₁— 0)],

v(R, (pi^lficpi PO— 0)].

Przyjmijmy dalej, że na okręgu К mamy n punktów: Фп Фп •••>

takich, że w każdym z nich jest :

lim [ f(cps—ó) —f(2n + cps — d) = ^ 5 0.

Zauważmy w tym razie funkcyę :

(fn

8—1

którą — przyjmując, że t= 1, 2, s— 1, s-f 1, ..., n, napiszmy w ten sposób :

X¹ t/>—

ф—ф*

2n

Połóżmy dalej    i niech będzie:

to mamy teraz:

-FlOftWlOlR^

+ gps—фг

Ф\

Z całki:

2я

Łf

i?²-Z²

■R1 + P-2RICOS&

dd-

dostajemy tu, gdy się punkt (1,гр^) nieskończenie *ф/5 punktu (R, 0) przybliża :

(Ps — ÇPt

F₁(0)=v,(ß,0)+2

Lecz F,(0)=/;(0)+2

a więc :

Cps—fPr

fi(ty = vi(R,0) + t.ps, albo: v(R,(ps)=f((ps)—t.[is, t=(0...1) albo wreszcie :

s= 1, 2,..., n.

Stąd twierdzenia:

zawsze

I.    Funkcya harmoniczna v wewnątrz lwia К, mająca się na samym okręgu tego koła tak zachowywać, że jest tam wszędzie skończoną, a ciągłość swą zrywa na skończonej tylko ilości punktów cps daje się wyznaczyć. Gdy w punkcie cps zenvanie ciągłości objawia się tern, że po obydwóch stronach: {cps-f-0), (<jps—0) tego punktu ma funkcya różne wartości As, Bs, to za zbliżeniem się do tego punktu wewnątrz koła К przybiera funkcya v wszelkie wartości, zawarte między As i B„.

II.    Każda wartość Hs, zawarta między As i Bs, należy do jednego całkiem oznaczonego kierunku, po którym się punkt zbliża do (ps.

152. Odwzorowanie wielobolm w półpłaszczyźnie. Niech w=f(z) będzie funkcyą analityczną regularną w otoczeniu punktu a i niech /■'(а)фО. Szereg;

(1)

w=f(a)+f‘(a)

(z—a)

1!

da się dla dostatecznie małych \z—a\ odwrócić jednoznacznie, — [art. 50.] — a gdy tem odwróceniem jest :

(2)

z—a-= A(w — fiaj) + A₁ (w—f{a))² -f...

to je uważać trzeba za rozwiązanie równania (1) i to takie, że za obraniem dwóch dostatecznie małych dodatnich ilości c1? c₂ i kół:

Oi) I*—a|<e1} (c₂)    \w—f(a)\<c₂

znajdziemy przy każdej wartości w, leżącej wewnątrz (c₂) jeden i jeden tylko pierwiastek z, leżący wewnątrz (сф Naodwrót rozwinięcie (1) jest rozwiązaniem równania (2) i to takiem, że dla każdej wartości z, leżącej w (q), mamy jeden tylko pierwiastek гс, leżący w (c₂). Z tego wynika, że w całem wnętrzu koła j

mamy

i obie te pochodne są skończone.

Punkta z, w wyjęte odpowiednio z (cj, (c₂) a związane ze sobą równaniem (1) lub (2), odpowiadają sobie nawzajem jedno-

~ф0, a w całem wnętrzu koła (c₂) jest naodwrót ~ф0

znacznie; każdej linii zamkniętej i leżącej całkowicie w (cx) na płaszczyźnie (z) odpowiada linia zamknięta (l₂), leżąca całkowicie wewnątrz (c?₂) na płaszczyźnie w i naodwrót.

Gdy w1: w₂, w₃ odpowiadają punktom zt, z₂, z₃, które wszystkie w kole (c₁) leżeć mają, to mamy:

iv₂ == Wj +/‘‘0₁)0₂

Zakładając \z₂—zj, \z₃—zi| nieskończenie małe, opuścimy tu już potęgi 2®ie , 3cie, ... i mieć będziemy:

wi — w у    )G₂-^),

— w\ =f‘(zi)(z₃-zi).

Odejmując (a) od (b), dostajemy:

*»3—    0i).

A że //(^₁)ф0, więc z (a), (ó), (c) wynika:

Iw₁ — w₂[■: Iw₂-w₃\: |w₃-wi| = | ex — z₂1:\e₂-z₃1 : | *₃-ą|, czyli Д (^i^s) C\j /\{WyW₂w₃), a to znaczy:

I. W najbliższem otoczeniu punktów z=a, wcc=f(a) odpowiadają sobie punkty z, w wskutek równania w=f(z) w ten sposób, że tam powstaje odwzorowanie cząsteczkowe, (które tem samem jest i izogonalne).

Mając to, połóżmy w=£-\-rji, z=x-\-yi i zażądajmy takiego kształtu równania w=f(z), aby za pomocą niego można było górną połowę płaszczyzny (z) odwzorować w zwykły zamknięty wielobok P, leżący na płaszczyźnie [w). Tę połowę płaszczyzny znaczyć będziemy krótko przez 0. Gdy każdy punkt w zastąpimy przez wr = aw-\-b, gdzie a, b są dowolne stałe, to dany wielobok P zamieni się na inny P, który będzie podobny do pierwszego, ale będzie względem P obrócony i przesunięty. Gdy nam jednak nie będzie chodziło ani o wielkość, ani o położenie wieloboku, to możemy zamiast w rozważać taki wyraz, który mimo zmiany w na aw-\-b pozostaje ten sam. Zauważmyż, że:

dw< T 7 dw

sr-l09a+l09w ’

(a)

<*)

(0)

dwy

dw

dz a dz

i że log

to stąd mamy:

dz L dz J dz Y J dz J

d dw 7 ^~dż\l°⁹~dz\

jest wyrazem o żądanej własności.

Wyraz ten starać się będziemy teraz przedstawić przez z w ten sposob, aby danemu zadaniu odwzorowania zadość się mogło uczynić.

a widocznie Z

Przyjmijmy — co jest dozwolone ze względu na dowolność położenia wieloboku — że jeden jego wierzchołek a‘, o kącie wewnętrznym — au j of>0, leży w punkcie w=0

jeden bok At, wychodzący z tego wierzchołka wpada w oś pierwszorzędną Bok drugi Bl7 wychodzący z punktu w—0, tworzy więc z Ai kąt = aw₇ a ten kąt trzeba na płaszczyźnie (g) odwzorować w kąt —n tak położony, że jego obydwa ramiona wpadają w oś x. Zauważmyż równanie

v=wM, to widocznie dostajemy tu v=0, gdy w=0, a dalej:

i

V = A* cc

gdy

V — jB₁ eni, gdy w=Biece3Ti

gdzie Ai} Bi są zarazem długościami boków tak samo nazwanych. Na płaszczyźnie (v) mamy zatem już kąt —n, jako odwzorowanie kąta =-aw. Jego ramiona wpadają w oś pierwszorzędną tej płaszczyzny, a wierzchołek znajduje się w punkcie v=0. Z postaci v=Beni wnosimy, że tu wnętrze wieloboku odwzorowuje się w górnej połowie płaszczyzny (v).

Gdy położymy :

v=c0[l+a₁£-l-a₂0² + ...], gdzie сф0, a₁₇ a.₂₇ ... są stałe rzeczywiste, a szereg po prawej stronie ma pewien zakres zbieżności, to ten związek sprzęga ze sobą otoczenia punktów v=0, g=0 cząsteczkowo, a górna połowa płaszczyzny ([v) odpowiada tu półpłaszczyźnie J w tych otoczeniach. To pokrewieństwo jest tu więc izogonalne, a stąd wynika, że kąt —n₇ który już mamy na płaszczyźnie v, odwzoruje się w taki kąt =n na półpłaszczyźnie J, którego wierzchołek leży w punkcie g=0, a którego ramiona wpadają w oś x. Można więc w równaniu w=va obrać v w postaci (3) i położyć :

(3)

W = Ca2ce[l-\-bi8-\- &₂2²+...] ,

gdzie сфО, Ъг, ... są znowu rzeczywiste.

W (4) mamy najogólniejszą postać funkcyi w₇ odwzorowującą kąt =an w kąt =71 w opisanych ich położeniach. Z (4) dostajemy:

(4)

dw

= c“#“_1[a-|-5₁(a—...]? a stąd: dg

d Г₇ dw I a—1

Sr¥j‘T+ł+ł,+"

Zauważmy wierzchołek w—w₀₇ nieleżący w punkcie tv=0 o wewnętrznym kącie =от i przyjmijmy, że jemu na osi x odpowiadać ma punkt g₀. Wtedy — aby ten wypadek sprowadzić na poprzedzający — kładąc: w‘=îv—w₀, g‘=g—z₀, dostajemy:

dtv¹ dw

dz‘

d,z

a stąd wynika, że w otoczeniu takiego wierzchołka mieć będziemy:

dw

dg    1)(²—²0 ) + ...]    i

Г, dw 1 w

r²J-7

(5)

dz

-+ d\ + d\(z— s—z₀

Z tego widać, że Z w każdym punkcie z₀ (na osi x), odpowiadającym dowolnym wierzchołkom wieloboku (już i wierzchołek a¹ możemy przyjąć w dowolnym punkcie гофО) posiada biegun (punkt nieskończonościowy) pierwszego stopnia. Te punkta naznaczmy przez a, Ъ, c, d, ..., &, Z, zakładając je naprzód wszystkin w skończoności, a wierzchołki, którym one odpowiadają, niech się nazywają a¹, ß‘, y‘, ô‘, ...,    i'. W nich wewnętrzne kąty mają

wynosić: ал, ßn, yn, 0л:, ..., и?г, Ля:.

Żądamy, aby odwzorowanie półpłaszczyzny ~ź w wieloboku było cząsteczkowe. Z tego powodu przyjąć możemy, że w każdym najdowolniejszym punkcie z, leżącym ponad æ i w każdym punkcie z

osi x, różnym od а, Ъ, ..., Z, jest ^фО i skończone.

To spowoduje, że Z w otoczeniu każdego takiego punktu zachowuje się regularnie i że więc Z oprócz biegunów a, 5, c, ..., Z, spowodowanych dodajnikami:

a-l ß-1 z—a ¹ z—Ъ

na

Л-1

z—l

nie posiada zresztą w skończoności i w nieskończoności już żadnych biegunów. Różnica :

z a-l ß—1    ______________

z—a z—Ъ z—l jest już w skończoności i nieskończoności wszędzie skończoną.

Przyjmijmy po pierwsze, że punkt z=go (na osi x) odpowiada punktowi r na obwodzie wieloboku ²), wtedy musi być :

_ Ł 7c<)

*-ß+i+-p+~

2 h. h₀

T+4+-i+-z z¹ z³

(6)

Л-1

a stąd mamy:

dhv

dw

dz

Stąd wnosimy, że (Z)₃

— OO

=0 i że więc różnica (6) będąc wszę-

dzie skończoną, a w nieskończoności mając wartość =0, jest iden-tycznem zerem i że więc:

(I)

Z=cLJ:₊LA₊_

z—a z—b

z —Je z—V

Jeżeli po drugie l odpowiadające wierzchołkowi X‘ jest nieskończonością , to wtedy w (4) zmienić trzeba z na £⁻¹, a a na X. Dostaniemy więc w otoczeniu z = l=cc :

w=c*,z~^[1 + 6₁2_1 + ...], i Z

(^ + 1) , 9\ i

‘ 2 '

Z    Z

Stąd wynika, że już samo Z jest w otoczeniu tego punktu zerem, że w tym razie już różnica :

V «—1 ft-1 __

z—a z—b z—Je

jest identycznie zerem i że więc:

zJL-=±+ę=\

z—a z—b

Przyjmując, że wielobok posiada n boków, mamy:

an -\-ßn + ... + у л-\-Хл=(п— 2)тг,    czyli:

а—l-\-ß—1 + ■•. + %— 1+X— 1=—2.

Dla równania (II) ten związek można napisać w postaci :

a — 1 -f- ß— 1 -Ą-у— 1 = — (Я 1)*

Jeżeli wielobok posiada jeden wierzchołek q‘ w nieskończoności (dwa przyległe boki są równoległe), to kąt q w tym wierzchołku jest =0.

Całkując równanie różniczkowe:

(П)

(«)

iß)

+ -4

y— 1

z—Je

dostaniemy w wypadku (I) :

(I¹)

J (z—<*)

w=A j (z—a)

w=A

a-1

...(z—iy-hlzĄ-B

wypadku (II) :

(1Г)

CC—i

...(z — Jcf-'dz+B.

Połóżmy A = l, B=w₀ i ograniczmy się naprzód do samego

obwodu wieloboku i do odpowiadającej mu punkt z=z₀ na osi x odpowiadać ma obwodzie wieloboku, to dostaniemy z (P) :

osi X. Przyjmijmy, że punktowi w₀, leżącemu na

(A)

/о

J za

...(z — l)x~^dz *)

Gdy górna granica z tej całki posuwa się po osi x, poczynając po przejściu przez punkt £ = ±00 wróci znowu do z₀, to punkt w na swej płaszczyźnie opisze cały obwód wielo-boku. Same punkta a, b: ..., I przy całkowaniu omijać trzeba, zastępując nieskończenie małe odcinki mieszczące te punkta na osi x nieskończenie małymi łukami, przebiegającymi nad osią x.

Pytanie teraz zachodzi, ile z n punktów a, b, c, I można na osi x wybrać całkiem dowolnie ? W tym celu połóżmy :

. p£+q.

* rÇ+s:

z założeniem, że p, q, r, s są rzeczywiste i że ps—rq=-fl. Takie podstawienie odwzorowuje płaszczyznę (z) na płaszczyznę (£) w ten sposób, że osie pierwszorzędne sobie odpowiadają, a połowa z odwzorowuje się w górną połowę płaszczyzny (0**).

Z (7) dostajemy dalej:

od punktu z₀

(7)

dz

— a)

a—\

(8)

z—

p—ar

z—b

p—br

r£+s

gdzie a', b‘. ... mają być punktami, leżącymi na pierwszorzędnej osi płaszczyzny (£), a odpowiadającymi punktom a, 6, ... Po wstawieniu (8) w całkę (A), dostajemy za uwzględnieniem związku (a):

-C.fß

w—w₀

a ta forma odwzorowuje widocznie wieiobok (powiększony i obrócony) w półpłaszczyźnie £. Lecz jakiekolwiek były a, ó, c, ... można wskutek dowolnych p, q: r, s trzy z punktów a‘,    c', ... obrać

dowolnie. G-dy te punkta dowolne są a',    c', to znowu naodwrót

między punktami a, b, c, ... mogą trzy, a mianowicie : a, b, c być zupełnie dowolne.

*) H. A. Schwarz: Ueber einige Abbildungsaufgaben, 1. c. str. 65—88. Niezależnie od Schwarza doszedł do tego samego wyniku Christoffel. (Schwarz, 1. c. str. 76).

Por. także uwagi, jakie o tem podali : Schlaf li. C. J., T. 78., str. 63—80. Phragmén. Acta math. T. 16., str. 225—232.

**) To sprawdzić można, kładąc z—x-\-yi, Ç=cc'-fy'i i porównywując potem z sobą części pierwszorzędne i drugorzędne w wzorze (7).

Gdy formie (II') nadamy postać :

(Я)

w — w₀ = f (Z

—а)

а— 1

...(z—hy-'dz

to znowu kładąc z=p£,-yq wywnioskujemy, że tu — oprócz już zużytego punktu l=cc , odpowiadającego wierzchołkowi Я‘ — można jeszcze dwa punkty, n. p. punkty а, Ъ wybrać całkiem dowolnie.

W całkach (A), (B) były dotąd ich granice z₀, z punktami na osi X. Lecz oczywiście można z₀ obrać dowolnie nad osią x. Wtedy formy (A), (В) dają takie odwzorowanie, że punktowi w leżącemu wewnątrz wieloboku, odpowiada punkt z₀.

Gdy górną granicę z pojmować będziemy jako punkt ruchomy, poruszający się dowolnie nad osią ж i na samej osi x, to formy (A), (В) dają już całkowite wyobrażenie o zachodzącem tu odwzorowaniu, dają bowiem nieskończoną mnogość par, odpowiadających sobie punktów z, w.

Pd. 1. Załóżmy а<У><Ь<\.-, s₀=a, м>₀— ж' = 0; а г niech się porusza po osi x od a ku b i t. d., to będziemy mieli:

f

w= f (z

J a

Cz

dz= I §{z)dz.

J a

Я-i

-a)a~\..(z-l)

Połóżmy :

w— J 'bdz

J a

odcinkowi ab odpowiada widocznie na (w)

to tu ąa Trf ß — 1-pY — l + ... + к — 1)

prostokreślny odcinek    . Napiszmy :

fb /²

w— I &dz-\- I <tydz, gdy

'a Jb

to pierwsza całka ma wartość ß', a gdy drugą całkę nazwiemy Л^ь' , to mieć będziemy :

Г Z

w = $-f- J tydz=&-\-    ;

tu widocznie: о₀ = л(у—1—S—1-f-..-j-/.—1). A więc i odcinkowi hc odpowiada prostokreślny odcinek ß'Y'==ß₂. Odcinek ß'y' tworzy z przedłużeniem odcinka a'ß' kąt: a kąt przyległy (między a'ß' i ßV) wynosi nß. Przechodząc do c<^z<Cd, przekonamy się znowu, że odcinkowi cd odpowie prostokreślny odcinek y‘8', który z ß'y' zawiera kąt r.y i t. d. W końcu trzeba tak samo zbadać punkta z, leżące tak na osi x, że z~>l i z<a. Przekonamy się wtedy, że całej osi x odpowiada obwód pewnego zamkniętego wieloboku. Jestto syntetyczny sposób dowodu, że forma (A) daje żądane odwzorowanie. [Laurent, Picard] z rzeczywistym modułem 0<fc<;l i peryodami AK, 2Ki, w których К, K‘ są w tym razie rzeczywiste. Gdy :

z — 1, mamy w = a' — К

z — co

Pd. 2. W każdym trójkącie mamy a-j-ß + Y = l, a jego odwzorowanie w półpłaszczyźnie z daje równanie:

41

dz

(z—ay-ct(z — by—ß(s—c)i-y

W szczególności, gdy a= ^-, ß = -i-, y=0 mamy trójkąt z wierzchołkiem

y', leżącym w nieskończoności. Jestto więc pas zamknięty dwiema równoległemi prostemi, ciągnącemi się w nieskończoność w jedną stronę, a ucięty w skończo-ności prostą prostopadłą do tych prostych. W tym razie dostajemy:

‘#

J (z—e)\/(z—a)(z—V)

dz

~0

Gdy wierzchołkowi y' = go ma odpowiadać c — co , to :

dz

\/ (z—a)(z—b)

Pd. 3. Zauważmy równanie :

r

w— I -

J i

dz

czyli 0 = sin am {го, к) ,

w = p = K+K‘i w = y' = K‘i

w = 8' = 0.

Mamy tu zatem odwzorowanie półpłaszczyzny 5 w prostokącie o wierzchołkach : [0, К, К+КЧ, K4\

Pd. 4. Gdy na płaszczyźnie {w) ma prostokąt o wierzchołkach a', ß', у', 8' dowolne położenie, a wierzchołkowi a odpowiadać ma na osi x punkt x — co, wierzchołkom zaś S' у', 8' mają odpowiadać punkty -}-l, 0, d — gdzie d jest już dowolne — i gdy dalej punktowi z —i odpowiadać ma punkt w — 0, to takie odwzorowanie określa г-ównanie :

{a)

r

W— I -

J

dz

\/z(z—l)(z—d)

Przyjmijmy, że prostokąt ma być kwadratem, który posiada środek w punkcie w 0. Dostatecznym tego warunkiem jest, aby ß'— — а 'г; gdyż dalsze warunki: y' — —a', 8' =-f- a.‘i już same z siebie się spełnią. Równanie ß' = — а'г ma postać :

(P)

dz

dz

\/ z{z—1)(г—d)

\/z{z—l){z—d)

2 dz'

-i

a aby ta całka mogła być identyczną z całką po prawej stronie w (a) trzeba przyjąć: d=—1. Wtedy jednak równanie (a) ma postać:

(О

Połóżmy w całce po lewej stronie 0

z'—l

z'+l ’

to dostaniemy z niej :

fz dz

w— / •—......-........-.....=

У УЛ(г²—1)

i daje odwzorowanie kwadratu o środku w — 0 w półpłaszczyznę z. [Obchodząc jego obwód w kierunku: a', ß', у', S', okrążamy punkt w> = 0 odjemnie].

Pd. 5. Aby dostać takie odwzorowanie, że właśnie część płaszczyzny (w), rozciągająca się zewnątrz wieloboku odpowiadać ma półpłaszczyźnie z, trzeba we wzorach (A), (В) zastąpić атс, [kr, ... przez 2к—oot, 2т:— ßrr zmienić na 2—а, 2—ß, .. Przez to dostaniemy zamiast (A) równanie:

; •••

a więc «, ß, •••

W— IV₀ =

dz,

Z0

które już daje żądane odwzorowanie.

Uwaga. Mówiliśmy dotąd o zwykłym wieloboku t. j. o takim, którego obwód sam z sobą się nie przecina. Wnętrze takiego wieloboku — który zarazem

także częściowo sam z sobą przykrywać się nie może — tworzy continuum, tak samo jak półpłaszczyzna z.

Fig. 88.

Lecz inna jest rzecz, jeżeli z przecięciami się obwodu łączy się równocześnie częściowe przykrywanie się wieloboku, jak to n. p. fig. 83. wskazuje. Na część S przypadają tu dwa przykrywające się z sobą wycinki <Si, S₂ wieloboku. Ale że z każdego punktu wycinka St można — nie opuszczając wnętrza wieloboku — dostać się do każdego punktu wycinka S₂, więc mamy tu zachowane continuum, a gdy sumę kątów a, ß, ... dobrze policzymy i zastosujemy wzór (A), osiągniemy już cząsteczkowe sprzęgnięcie takiego wieloboku z półpłaszczyzna ~ź. Różnica będzie tu ta tylko, że każdemu punktowi w, leżącemu wewnątrz S odpowiedzą w ~z dwa różne punkta.

153. Funkcye harmoniczne w wieloboku, w wycinku lub odcinku kola i w rozgałęzionym odcinku powierzchni Jßiemanna o ograniczeniu wielobocznem. Po uskutecznieniu cząsteczkowego pokrewieństwa między wnętrzem wieloboku a półpłaszczyzną z, połóżmy :

1—0'

(1)

2=i

Niech z—x-\-yi, z' — Ç + gi, to mamy stąd:

£²-b?/²—1 (l+£)²+77²    (1+|)²+î?

Oś X określa na płaszczyźnie (z) wartość y=0, a jej — podług (2) — odpowiadają na płaszczyźnie (z¹) punkty    spełnia

jące równanie:

(2)

%+yi

ii-

i ² Ag²—1 = 0.

Jestto koło Ri, które ma środek w punkcie z‘ — 0, a promień = 1. W całej półpłaszczyźnie z mamy zawsze y^>0. Wtedy podług (2) mamy rzeczywiście: £² + î/² — 1<P, a to znaczy:

I. Przez podstawienie (1) spokrewnią się cząsteczkowo półpłas zezy zna

(3)

^ z wnętrzem kola Ri. W szczególności punktoivi z—i odpowiada środek z‘—0 tego kola.

Gdybyśmy zamiast podstawienia (1) użyli podstawienia:

r—z‘

(4)

z=*i

r-\-z‘ ¹

mielibyśmy półpłaszczyznę z sprzęgniętą cząsteczkowo z kołem, posiadającem promień r, a środek w punkcie z‘ = 0. I tu ten środek odpowiada punktowi z—i.

Mając to, zróbmy w wzorach (A), (В) — art. poprzedź. — podstawienie (1), to po tem podstawieniu dostajemy wzory, które wskazują:

II. Każdy dowolny wielobok można sprządz cząsteczkowo z dowol-

nem kołem.

Gdy n. p. w Pd. 4. — art. poprzedź. — zastosujemy podstawienie (1), to — [mnożąc potem otrzymaną całkę przez taki spół-czynnik, który będzie odwrotnością stałego czynnika, okazującego się w całce wskutek dokonanego podstawienia] — dostaniemy :

г'

a=J

dz‘

l/l-г'⁴

, czyli z‘ — sinam{w,\/—i).

Ten wzór sprzęga cząsteczkowo kwadrat z kołem Rl [Schwarz]. Gdy £'=+1 mamy w—-УК dla z—Ai dostaniemy w=AKi. Kwadrat ma tu więc wierzchołki :

K, Ki, —K, -Ki,

a im na obwodzie koła odpowiadają punkty:

+ 1, + i -, —1, —i-

Po tych uwagach załóżmy całkiem ogólnie, że na ograniczeniu cc pewnego danego obszaru A, dany mamy jednolity ciąg tości U.

war-

punkty tego obszaru są: z=x-\-yi.

Niech przez równanie :

(5)

albo — gdy z¹ —x‘Ą-y4 — przez równania:

(6)

x=cp(x‘y‘), y=ip(x‘y‘), jakie z (5) powstają, sprzęga się wnętrze obszaru A z wnętrzem pewnego obszaru B: ograniczonego zamkniętą linią ß. Same ograniczenia a, ß mają sobie odpowiadać. Wskutek (6) dostaniemy z Ua jednolity ciąg wartości Uę } jakie się rozłożą wzdłuż ograniczającej linii ß. Załóżmyż, że w В istnieje harmoniczna funkcya u‘(x‘y‘), zadość właśnie czyniąca warunkowi, że na ß przyjmuje wartości Uß.

Przez zastosowanie podstawienia (6) dostaniemy z u'{x‘y‘) pewną funkcyę u{xy), a na odpowiednich punktach (xy), (x‘y‘) rozważanych obszarów będzie:

(7)

u{xy) = u‘(x,y>).

Zapytajmy, czy tak utworzona funkcya u(x,y) jest harmoniczną; na ograniczeniu « przyjmuje niezawodnie ciąg wartości Ua. Otóż z (7) dostajemy:

du du¹ дх‘ ди‘ ду1 дх дх¹ дх ⁺ ду‘ дх 7 д²и‘ дх¹ ду‘ д²и‘ /ду'Х дх‘ ду‘ дх дх ду‘² у а# /

a stąd :

ди‘д²х‘ ди‘д²у‘ дх¹ дх² ду' дх²

д²и д²и‘/дх‘\2 дх²    дх‘²\дх)

a analogicznie będzie :

д²и д²и‘ /дх‘\² д²и‘ дх‘ду‘ д²и' /ду‘\² ди д²х‘ ди¹ дгу‘ ду²    дх¹²    дх¹ ду‘ ду ду ду¹² \ду ) дх ду² ду‘ ду²

Dodając stronami (a), (b) do siebie, mamy: d²u    d²u    d²u‘

дх² ^ ду²    dx‘²

d²u‘ ïdx‘ ду'    дх‘ ду‘ 1    ди‘ Г

дх‘ду'1дх дх    ду ду J    дх' [

du'\д²у‘    д²у‘ 1

ду‘\дх²    ду² J

(а)

(&)

\{дх‘\². (дх'хА д²и‘ Г/а?/'\² (ду‘\²Л

lldz /    / J di/² L)^\ду) ]

д²х> д²х‘~\

дх² ду² J

Lecz — jeżeli odwróceniem równania (5) jest:

z¹=x‘ -f y‘i=F(z) = F(x+у i),

to x\ yl spełniają związki:

dx‘    dy‘ dx‘    dy‘ d²xl    d²x‘

дх    ду ⁷ ду    дх ⁷ дх²    ду²    дх²

a uwzględniając to w (c), dostaniemy:

ay ay

”Г    U 1

dy²

Au

- [©’+ (!)’]

Au‘.

Że zaś Au‘=0 w obszarze Ü9, więc także Au=0 w obszarze A, a to znaczy:

III. Gdy A jest obszarem o ograniczeniu a, a na a dany jest jednolity ciąg wartości TJa, a A można sprządz cząsteczkowo z pewnym obszarem B, który dopuszcza harmoniczną funkcyę z dowolnemi wartościami na swem ograniczeniu, to i w A istnieje harmoniczna funkcya o żądanych wartościach TJa na ograniczeniu a.

Przyjmijmy, że A jest wielobokiem, а В kołem, to tu A i В można według tw. II. sprządz zawsze cząsteczkowo i mamy twierdzenie :

IV. We wnętrzu dowolnie danego zwykłego wieloboku można zawsze utworzyć (jedną tylko) funkcyę harmoniczną o danym jednolitym ciągu jej wartości na obwodzie wieloboku.

Zauważmy obszar A, ograniczony dwoma łukami kołowymi L, L‘ (fig. 84.), przecinającymi się na płaszczyźnie (z) w punktach z₀, Zu a tworzącymi w tych punktach kąty: an^tz^k.

Na łuku L obierzmy punkt #, i nazwijmy )^_ziz^=o). Ten kąt pozostaje na całym tym łuku L ten a że w chwili gdy z zajmie miejsce z₀ jest co = ‘2^ziz₀t, więc takim jest on na całym łuku L.

Podobnie, gdy na łuku L‘ obierzemy punkt z i nazwiemy :

= co)

to i tu co¹ na całym łuku L‘ pozostaje ten sam i jest: =X 1‘Zę-¹²1•

Z tego wynika, że :

sam

Fig. 84.

L'

[Z,i

il

(8)

(a)

(ß)

+    = X tzW — an.

Z figury czytamy, że na łuku L‘ jest:

z—zù—\z—8₀|е^+ы)г', zl— z = \z—z₁\evi, a więc: z—z i — \z—z₁je^⁺^i.

(l)

Z (a) ? (ß) dostajemy:

Z — Zi

Podobnie będzie na łuku L‘ :

z-z₀

z—zx

ewi.e~ni.

G¹)

z—zi

Połóżmy :

(9)

zl =

I a—ej

to widocznie punktom z, leżącym na łuku L, odpowiedzą na płaszczyźnie (z¹) punkty :

(P)

, z—z₀ fi,- _ i z‘= -- ecc .e

z—zi

Te punkty — gdy z przechodzi cały łuk L: poczynając od punktu zQ — utworzą na (z¹) prostę p, poczynającą się w punkcie z‘ = 0, dążącą w nieskończoność, a nachyloną do osi pierwszorzędnej x‘ pod kątem :

(r)

co—л

Punktom z, leżącym na łuku L\ odpowiedzą na (z‘) punkty:

--—i

-e a

Z—Zi

które utworzą znowu prostę p‘: poczynającą się w punkcie z‘ = 0, dążącą w nieskończoność, a nachyloną do x‘ pod kątem :

со' -\-л

(У)

-ÎLi

a

У)

Z (г), (г') dostajemy:

^(Р,Р‘)

о) 4- оУ

a stąd wynika, że każda z tych prostych jest przedłużeniem drugiej. Obie razem tworzą więc jedną prostę P, nachyloną do osi x‘ pod kątem (co—л)/а=к.

Ta prosta dzieli całą płaszczyznę (z') na dwie połowy, a która z nich będzie cząsteczkowo sprzągnięta z wnętrzem obszaru A, łatwo rozstrzygnąć. Dość jest bowiem wybrać we wnętrzu A dowolny punkt z₂ i wyszukać odpowiadający mu według (9) punkt z¹₂, a potem tę połowę zatrzymać, w której właśnie punkt z\ leży.

Na prostej P leżą punkty:

x‘=—00 ... + 00 .

Połóżmyż s=z‘.e~h\ to prostej P odpowie na płaszczyźnie (s) jej oś pierwszorzędna £, dzieląca (s) na dwie połowy, z tych zatrzymamy i uznamy za górną połowę punkt s₂, odpowiadający punktowi z‘₂. Półpłaszczyznę 7 umiemy sprządz cząsteczkowo z wnętrzem pewmego koła Б. Wskutek tego można będzie i wnętrze rozważanego obszaru A sprządz z kołem B.

z‘--=x‘.ehi

s,

tę, w której leżeć będzie

więc odwzorować go w półpłasz-

W szczególności jeden z łuków L, L' może być linią prostą. Wtedy A jest odcinkiem koła, a przy a= - jest półkolem.

Stosując w tych wszystkich wypadkach twierdzenie III., dochodzimy do wniosku :

У. Wnętrze obszaru ograniczone dwoma lukami kola — [odcinek kola — w szczególności wnętrze półkola] — można zawsze sprządz cząsteczkowo z kołem [Schwarz, l. c. str. 148]. W takich obszarach istnieje więc zawsze (tylko jedna) funkcya harmoniczna spełniająca warunek, aby na ograniczeniach tych obszarów przybierała dany jednolity ciąg wartości.

Niech A będzie wycinkiem koła, które miało promień r. Jego wierzchołek niech leży w punkcie z—0, a jego kąt u wierzchołka niech -cm. Wszystkie punkty takiego wycinka przedstawić można przez г=\р\е^‘,    =(/?.../?-f-шг),    \z\<Lr.

i

Połóżmy z‘ —za, to mamy:

1 cp .

z‘ = \z\d. еИг , gdzie teraz:

tOl 1-L

а из

(LU]

\a a )

Z¹0 a .

Punkty z‘ wypełniają widocznie pewne połkole, a że je umiemy cząsteczkowo sprządz z kołem, więc stąd wynika:

VI. W dowolnym wycinku koła istnieje zawsze (jedna tylko) funkcya harmoniczna z danym jej jednolitym ciągiem wartości na jego ograniczeniu.

Zauważmy w dowolnej powierzchni Riemanna zamknięty wie-lobok, mieszczący w swojem wnętrzu jeden tylko punkt rozgałęzienia Q, łączący w sobie v gałęzi (wielobok ^-krotny). Cały obwód takiego wieloboku — gdy uwidocznimy linię przejścia g, wychodzącą z punktu Q — składać się będzie: z pasma s1? leżącego w pierwszej gałęzi, z pasma s₂, leżącego w drugiej gałęzi a wreszcie z pasma sv w gałęzi, które się z pasmem znowu złączy w pewnym punkcie linii g. Gdy taki wielobok ma n boków, a aw, ßjr, ... są jego kątami wewnętrznymi, to mamy tu:

a + ß + yA ——(n — l2v)w.

Do takiego wieloboku można podług uwagi, danej na końcu art. poprzedź., zastosować wzór :

(10)

w—

wo == fb

—а)а~^..Лг

z zachowaniem warunku (10) czyżnie (г. Dalej możemy go sprządz cząsteczkowo z kołem, a stąd wynika :

VII. We wnętrzu takiego wycinka powierzchni Biemanna, którego ograniczeniem jest wielobok zamknięty, mieszczący w sobie jeden tylko punkt rozgałęzienia, istnieje (jedna tylko) harmoniczna funkcya zdanym naprzód jednolitym ciągiem wartości na obwodzie takiego wieloboku.

Aby pod względem istnienia harmonicznych funkcyj zbadać można wnętrza ogólniejszych jeszcze obszarów, zajmiemy się naprzód aż do końca tego rozdziału różnemi własnościami tych funkcyj, przypuszczając z góry istnienie jej w danym obszarze.

154. Uwzględnienie zerwania ciągłości na dowolnej krzywej ograniczającej. Niech А, В, ... będą punktami na krzywej c (fig. 85.),

a spółrzędne prostokątne tych punktów nazwijmy :

pAA

nv

(ß,ßl), ••••

Funkcya V niech ma w A wartość vA

o<

l>

gdy się do punktu A zbliżamy po c, przebiegając c w dodatnim kierunku

—e ?

11+

Fig. 85.

VA+e

niech oznacza wartość funkcyi V w tym samym punkcie A, gdy się po c do tego punktu zbliżamy w odjemnym kierunku. Przyjmijmy, że:

— Vß+e — b, •••

V A—e ^A+s—AS > ^ В

i że a, &, ... są różne od zera. Wskazuje to, że funkcya v zrywa swoją ciągłość w punktach A, J?, C, ...,’leżących na c.

Punkt A—£ ma spółrzędne: (a + ei,al— e\) spółrzędne: (a—£1?    , gdzie ei: s\ są ilości dodatnie nieskoń

czenie małe. Analogicznie wyrażą się spółrzędne punktów В, C, ... Zamiast funkcyi v zauważmy funkcyę:

punkt A-\-e

y—ß‘

a    , y— a‘    b

— arc ta ----arc tg

jjr    ^ CC    TC

Jestto również funkcya harmoniczna, która w punkcie A jako w (A—e) ma wartość:

(1)

u—v—

(a)

tym samym punkcie A, jako w punkcie (A-}-£), wartość:

(6)

uA+s=.vA+e—— arc tg i—— ) тс    V £\ /

¹

d, czyli :

2— (1 — cosó)

li    o

²

Punkt r nie ma być wierzchołkiem wieloboku. Cała oś x odpowiadać ma całemu obwodowi wieloboku.

Na dalsze dodajniki w (a), (b) nie ma wpływu zbliżanie się do punktu A z jednej lub z drugiej strony. Stąd dostajemy:

— arc tg

(б) ^A — £    ^AĄe⁼⁼\^A—e    ^A 4 e)

Lecz jasnem jest dalej , że gdy od punktu A = (A — e) poczynając, przebiegamy w odjemnym kierunku krzywę c, dostajemy się wreszcie znowu do punktu A=(A-\-e). Grdy funkcya :

, y— cc‘

tg---

X— a

ma w (A—e) wartość ■$•, to zmieniając się podczas tego ruchu, dostaje w punkcie (A + e) po raz pierwszy znowu tę samą wartość "Wskutek tego, gdy w (A—e) założymy arc tg d-=0, gdzie 0 jest kątem, jaki tworzy odjemna część г stycznej w punkcie A z osią xx‘ (fig. 85.), musi w (ył + f) być: arctgd-=0—я, a z (c) dostajemy uA_B—w^+b=0, gdyż vA_B—VA±s=a. Funkcya u zachowuje się zatem regularnie w punktach А, В, C, ..., a temsamem na całej krzywej c i da się z wartości swych na c wyznaczyć wewnątrz c.

Mając u, dostajemy dalej z (1):

, y—ß

I---arctg A—

n * X—ß

(2)

a , у—a‘

v=u-!--arctg--

тт    X— a

przez co mamy już v i na c i wewnątrz c w zupełności wyznaczoną.

Aby zbadać, jak się v zachowuje, kiedy się do punktu A nieskończenie zbliżamy z wnętrza krzywej c, zauważmy, że w (2) suma wszystkich dodajników z wyjątkiem:

(3)

a , у — a

— arctq --

тс    X—a

przyjmuje jedną wartość WA bez względu na sposób zbliżania się do A. Sam dodajnik (3) w punktach nieskończenie małego łuczku mnp, gdy go się od m przez n do p przebiega, przyjmuje wartości zawarte między :

S3 a

(0 — Tl).

Wskutek tego mamy:

bo widocznie:

WA+-e-vA..„

TT

v = [WA+~ê,WA+-^ (в-я)]-[^_...^₊,] WA+—(в — ir)=vA+„

TT

Stąd twierdzenie :

I. Każda funkcya harmoniczna v, która w punktach A ograniczenia c doznaje skończonego zerwania ciągłości : vA_E=vA+E=a, posiada w punkcie A nieskończenie wiele wartości, zamkniętych właśnie granicami vA-e , Vj+s- Każda wartość pośrednia zależy jedynie od kierunku, w jakim się z wnętrza c zbliżamy do A i od różnicy a, przypadającej na ten punkt.

Przyjmijmy, że można utworzyć dwie funkcye harmoniczne v¹, v" takie, że poza punktami A, B, C, ... przyjmują na krzywej c identyczne wartości, a w punktach А, В, C, ... doznają tych samych, zerwań ciągłości :

v‘a-e—v‘A+E=v"A-e—vuA+a=¹ a, ....

Utwórzmy funkcyę ¥=(v'—v"). Jest ona =0 na c wszędzie poza punktami А, В, C, ..., a że obie funkcye v‘, v‘‘ przybierają — podług tw. I. — tę samą wartość przy jednakowem zbliżaniu się do А, В, ... z wnętrza c, więc    także i w tych punktach.

Podług więc tw. II., art. 147. mamy identycznie v'=v'‘, a to zn.:

II. Funkcya harmoniczna, doznająca na ograniczeniu c w punktach A, 7?, ... skończonych danych zerwań ciągłości, jest tylko jedna wewnątrz c.

Bez różnicy, czy na krzywej c mamy ciągły system wartości, czy też są punkty skończonego zerwania, znajdziemy na c największą wartość Ж i najmniejszą wartość m owych danych wartości. Utworzona funkcya harmoniczna v ¹) nie posiada wewnątrz c [tw. II. art. 149.] ani naj większości, ani najmniej szóści. Z tego wynika, że w każdym dowolnym punkcie, leżącym wewnątrz c jest:

M^>v^>m, a to zn.:

III. Funkcya harmoniczna nie przybiera wewnątrz c nigdzie ani największej, ani najmniejszej z tych wartości, jakie ma przybierać na samej krzywej c.

155. Szeregi funkcyj harmonicznych. Niech u₀, uu u₂, ... in

inft. będą funkcyami harmonicznemi wewnątrz krzywej c, a ich wartości na samej krzywej c niech będą: U₀, 77,, 77₂, ... in inft. Przyjmijmy, że szereg:

и₀ + и, + и₂+...

jest jednostajnie zbieżny. Wtedy po obraniu dowolnie małej dodatniej ilości £ , można zawsze przy dostatecznie dużem n osiągnąć, że: I Un-\- Un.\-\ +... Un+P\<ŻE, p=0,1,2,...

największą wartość M, zaś — przy jakiemkolwiek skończonem p — jest:

Suma \Un+Un+i + ...+ Un+p\ posiada na c w pewnym punkcie a i ta największa wartość jest <Ze. Ze

n,p ,

i un-\~un+\-f-... -\-un+p\<^Шп,р ?

co z własności funkcyi harmonicznej (ип-\-ип+\-\г,..-\-un+p) wynika,

więc mamy :

% + W» + l + -••Jr‘Wn+p \<^.E ; P — 0, 1, 2,

że szereg (w₀ +w₁ +г«₂ + ...) jest jednostajnie zbieżny

T—i

oi

580

a to wskazuje w całem wnętrzu krzywej c.

Zbadajmy, czy suma (и₀+щ-\-и₂ +... in inft.) jest funkcyą harmoniczną. W tym celu nakreślmy wewnątrz c pewne koło к i przyjmijmy, że funkcye u₀, ui: u₂, ... przyjmują na jego okręgu wartości F₀, Vi, V₂, ... Szereg ( V₀ + Vi -+- V₂ + ••• ш m/b) jest niezawodnie j edno-stajnie zbieżny. Zauważmyż całkę Poisson’a:

2 71

(a)

r²—Z²

r~—2rlcos(ip—

któraby właśnie miała przedstawiać funkcyę: harmoniczną wewnątrz Æ, a przyjmującą na samym okręgu koła Ti wartości:

(n + Fi + F₂ + ...).

Tę całkę — jeżeli    F»+i + —, nazwiemy Qn — napisać mo

żna w takiej formie :

2л

% + d" ... + %_i -f

if

г²—Z²

r²—2 rlcos(iU—<jp) + Z²

dip

a że |(>n|<;£, gdzie e dowolnie do zera zbliżyć się może, więc stąd wynika, że całka (a) określa w istocie funkcyę (w₀ -f ux +...) jako harmoniczną wewnątrz koła Ti. Mamy więc twierdzenie ²) :

I. Gdy na samej Tir żywej e jest nieskończony szereg 2u„ = t, o samych funTicyach harmonicznych ua, jednostajnie zbieżny, to także i w całem wnętrzu tej krzywej jest w ten sam sposób zbieżny i jest harmoniczną funkcyą wewnątrz c, a na samej krzywej ma wartość t0: jeżeli szereg t na tej krzywej taką wartość posiada.

Niech ua będą — jak przody — funkcyami harmonicznemi wewnątrz c, i niech w tern całem wnętrzu będą >»0. Zauważmy wewnątrz c dowolny punkt 0 i z niego jako środka zatoczmy koło

к, leżące całkowicie wewnątrz c, a mające promień r. Gdy wa(°) jest wartością fnnkcyi ua w punkcie 0, а są wartościami tej funkcyi na samym okręgu &, to mamy:

if

uadip [tw. II., art. 150.].

Gdy a jest innym dowolnym punktem zawartym wewnątrz к a m jest takim punktem na okręgu koła к, że Om tworzy kąt ip z kierunkiem pierwszorzędnym, to wtedy:

r²—Z²

Чл

М«(л)

ljü°

О

am

—dip, l=0a.

Lecz że

r²—Pr+l 2

am

więc :

Uadlp

.r+Z

Me⁽⁰⁾

a stąd wynika :

(b) [un^ +    («) + ... + un+p{a) ] <

r-t-Z

Z tego wnosimy, że szereg 2ua=t jest zbieżny także w punkcie a i wreszcie zbieżny także na całym okręgu koła (Z)₀, mającego środek w 0, a promień 0a=Z. Na tym okręgu będzie ten szereg zarazem i jednostajnie zbieżny [bo dla całego tego okręgu pozostaje prawa strona w nierówności (b) ciągle ta sama], a więc szereg t jest we wnętrzu koła (Z)₀ funkcyą harmoniczną. Mamy więc twierdzenie :

II. Gdy szereg t=2ua samych harmonicznych funkcyj dodatnich wewnątrz krzywej c jest zbieżny w jednym dowolnym punkcie wewnątrz tej krzywej, to jest zbieżny wewnątrz całej tej krzywej c i przedstawia funkcyę harmoniczną.

Przyjmijmy, że za pomocą danych wartości na samej krzywej zamkniętej c ehcemy wyznaczyć funkcyę harmoniczną zewnątrz tej krżywej. Niech x₇ у będą spółrzędnymi punktów płaszczyzny, na której leży krzywa c, a początek układu osi жж, yy niech się zawiera wewnątrz c, v(x. y) niech będzie żądaną funkcyą harmoniczną. Połóżmy:

№x'

X~~ ж'²-|-у'²

gdzie &² jest stałą, rzeczywistą wielkością ^>0. Przez to krzywej c odpowie na płaszczyźnie osi ж'ж', y'y' krzywa c'. Każdemu punktowi (x,y) wewnątrz

= P(x', У‘), У

lPy'

ж'² + «/'²

q(x‘,y‘)

(zewnątrz) krzywej c odpowie punkt (x'y') zewnątrz (wewnątrz) krzywej V i naodwrót. Dalej mamy:

v(x,y) = v (

k² x'

k²y'

xr2-\-y'²' ³/2+ yrl

na punktach odpowiadających sobie, a że p(x'y) jest pierwszorzędną, a q(x',y') drugorzędną częścią funkcyi :

V + 9>

k²

x'— y'i

argumentu x'—y'i, więc przedewszystkiem mamy:

¥ = % Й + ^ = 0, Ц + дЛ = 0. [art. 114]. dg ’ ôy дх ’ дх² ' dy² ’ дх² ‘ ду²    L    J

Uwzględniając to we wzorach:

d²v,

dx‘²

dp

ôx

d²vl

dy'²

d²v /dp \ ² d²v /dq \2 dx² \dx'J dy²'‘dxt' _ d²v i dp \ ² ,d²v / dq \ 2 dx² \dy') dy² 'dy‘J

d²v dp dq    dv    d²p    dv d²q

dxdy dx' dx'    dx    dx'²    dy dx'²

d²v dp dq    dv    d²p    dv d²q

dx dy dy' dy'

dx dy'²

dy dy

/2 ’

dostaniemy :

d²v₁ d²v^

dx‘² dy

^    |7$P_\² , /$p_\²l

¹² [UW ⁺ \ày‘) J 1дх²~т~dy²\

Że zaś :

d²v d²v dx² dy²    ’

podług założenia, więc mamy także:

i^i -O

dx¹²^~ dy‘²

co dowodzi, że funkcya vt wewnątrz krzywej с' jest harmoniczną. Z tego widzimy, że żądanie wyznaczenia funkcyi harmonicznej zewnątrz pewnej krzywej c z jej wartości na tej krzywej, sprowadzić można zawsze do pierwotnego zadania wyznaczającego funkcyę harmoniczną dla wnętrza pewnej krzywej.

Funkcya V jest regularną w nieskończoności, gdy % jest taką funkcyą w punkcie (x' — 0, y' = 0).

ROZDZIAŁ XX.

Metoda wyrównawcza Schwarza.

156. Twierdzenie zasadnicze. Zajmijmy się teraz teoryą funk-cyj harmonicznych w obszarach posiadających swoje ograniczenia o ogólniejszych formach niż te, jakie rozbieraliśmy w Rozdzielę poprzedź. Do tego posłuży tak zwana metod a wyrównywująca³)

a aby ją w najprostszy sposób przedstawić, przeprowadźmy naprzód takie rozumowania*):

Schwarza

Niech harmoniczna funkcya u będzie taką, że na części aab krzywej c (fig. 86.) posiada wartość =0, a na części bßa tej krzywej

wartość =1. Za zbliżaniem się do punktu a lub b we wnętrzu krzywej przybiera za-j⁰* tern u wartości zawarte między 0 a 1, [tw. I. art. 154.], a że i w calem wnętrzu krzywej jest [1. c. tw. II.] u<i 1, więc na luku ayb przebiegającym wnętrze krzywej od a do b, posiada u wartości o górnej granicy g<Cl-Mamy więc :

Fig. 86.

u<Zą, 0<7?<Cl na ayb.

Druga harmoniczna funkcya v niech ma znowu na aab statecznie wartość zero, a na aßb niech wykazuje system wartości taki, że tam \v\<Zg- Zauważmy harmoniczną funkcyę (gu-\-v). Będzie w części aab, a będzie dodatnią w części aßb. Mamy więc :

ona zerem

(b)

(«)

gu + V^>0 na aßb.

Tern samem i w calem wnętrzu krzywej c jest guĄ-v>0. Napiszmy tę nierówność w postaci: g(u-q)-\-v+gq^>0 wewnątrz c, to ponieważ na

wypływa, że 1) odjemne wartości że ich |f|<Cgq.

We wnętrzu c, a więc i na luku ayb, mamy dalej —gu-\-v<Cp, a to znowu znaczy, że 2) dodatnie wartości v na luku ayb muszą być takie, że v = \v\<Zgu.

Uwzględniając wnioski 1), 2) dostajemy:

ayb jest u<iq, trzeba aby tam było: v+gq~^>0, skąd v na luku ayb muszą być takie,

(c)

\v\<igq na luku ayb.

q nazywa się ułamkowym mnożnikiem funkcyi v łuku ayb; jest on od v niezależny, ale zależy od funkcyi u.

statecznie wartość =0

na

na tej samej części aab, pozostałej (aßb) jest statecznie — 1.

co v. ma

która a na

157. Metoda wyrównawcza w najprostszych wypadkach [dla obszarów o zwartości =1]. Opierając się na tern przyjmijmy, że na krzywej s=(ahblca), [fig. 87.], dany jest jednolity system (skończonych) wartości w, o największej wartości g.

E. Picard. Traité d’Analyse. T. 2., str. 77.

Poprowadźmy łuki (aab)--^-s₁, (bßa)=s₂ i utwórzmy funkcyę harmoniczną щ wewnątrz obszaru A, zamkniętego krzywą :

(aJibaa)=Li

Ik

podług takich warunków: na (акЬ)=а^ ma być щ — iv ⁴), a na s1 ma przybierać wartości dowolne (skończone) tern tylko ograniczone, że w a,b mają te wartości być identyczne z wartościami w w tych punktach. Utwórzmy dalej w obszarze В zamkniętym krzywą (aJcbßa)=L₂ funkcyę % tak, abyśmy na s₂ mieli vi = ui, a . na (aJcb)=o₂: vx = w.

Wracając do A utwórzmy tam k| nową funkcyę n₂ taką , że na ćp jest

u₂—w, a na si mamy u₂ —vi.

Fig. 87.

v₂ —u na s₂ i t. d bez końca. Mamy więc dwa

Dalej przechodząc do В utwórzmy tam funkcyę v₂ o tej w łasności, że v₂=w na o₂

szeregi funkcyj harmonicznych:

■o

§

to

CO

V-

A⁴

i⁴

5/

V2

V⁴"

Pierwsze są określone wewnątrz Lu a drugie wewnątrz L₂‘, ua są — w na al7 va są —w na <r₂, a zaś:

(ex') и a—V & na s₂,

co schemat (I) właśnie wskazuje. Wskutek (a) mamy:

(«0

Ua—Ua \=va—va-\ na s₂, «=2,3,4,..

a wskutek (ß) mamy :

ua-\—ua=va—va_i na si, a=2,3,4,....

Po tych uwagach przyjmijmy, że funkeya harmoniczna w A, która na a₁ ma statecznie wartość =1, a na statecznie wartość =0, posiada na łuku s₂ mnożnik qi, a funkeya harmoniczna w B, która na a₂ jest statecznie =1, a na s₂ jest =0, posiada na łuku

si mnożnik q₂. Większy z tych mnożników nazwijmy q: a

S2|

{Max.\u₂—w₁| na

nazwijmy y, to teraz — posługując się wzorem (c) [art. poprzedź.] — możemy tak rozumować :

Ponieważ v₂— vx .=■ 0 na o₂₁ a v₂ — vi — u₂—ux na s₂, więc [podług (c)] będzie :

(1)

na .s₁, ! v₂ —г>₁¹ <; [Max | u₂ —щ na s₂ }-q=gq-

Ponieważ u?>—u₂ — 0 na at, a u₃—Щ — v₂—na s1? więc [podług (c)] będzie :

Щ, —ЩI < {Max ; v₂ —v^

na s₂

a uwzględniając tu (1) dostajemy:

na

S^.q

(2)

na s₂, J u?t—u₂\ < {Max \ u₂ — na s₂{.q.q=gq².

Ponieważ vs — v₂=-0 na a.,, a vz—v₂ = u₃— u₂ na s₂, wńęc [podług (c)] będzie :

na Sj, I v?> —v₂1 <C {Max \ u?t —u₂ j na s₂ Vq. Uwzględniając zaś tu (2) dostaniemy:

(3)

będzie :

na slf \vz—v₂\ <cjqz.

Dalej mamy w₄—м₃ = 0 na oi, a uk — u₃=v?>—v₂ na s₁, a więc

na s₂, j m₄—uz \ <C {Max | vs —v₂ \ na Sj }.q a po uwzględnieniu (3) dostaniemy :

na

(4)

i t. d. bez końca.

52j |М₄-Мз!<^⁴

Z nierówności (1), (2), (3), ... wynika, że

s₂: K| + |w₂— ux\-\-\u?t—u₂ | + ...< i^j+^f [g° + g¹ + g² + ...]

na

. ĆS

v\\Jr\v2~ vi\ + \Vo - v₂\ + ...g [q'+q² + q³+ ...].

na si:_

Że zaś 0<Cg<Cl, więc widocznie:

<A)

uj +(w₂—U\) + (uz— m₂) + ...=limun — u jest skończoną funkcyą na s₂, a

v\ Jt-(v₂—vi) + (r?>—v₂)+... = limvn=v jest skończoną funkcyą na s1? a szeregi (A), (В) są jednostajnie zbieżne na tych lukach. Lecz według równań (a), (/?) mamy : limun — limvn czyli u=v na s2 limun=limvn-\ „

W każdym więc punkcie łuków s₁₅ s₂ mamy u=v : a że te funkcye przedstawiają się na nich jednostajnie zbieżnymi szeregami, więc — podług tw. I., art. 165. — jest n*=v harmoniczną

(B)

u=v

я si*

funkcyą wewnątrz (aabßa) = (sxs₂). Lecz funkcya u istnieje jeszcze i wewnątrz L\—(ahbßa) i jest = w na si jeszcze i wewnątrz L‘.₂=(akbaa) i jest =w na a₂. Z tego wynika, że u jest [art. 149., tw. I.] w L\ przeprowadzeniem funkcyi v z (s^), a v jest w L‘₂ przeprowadzeniem funkcyi różnicy więc funkcya u lub v daje harmoniczną funkcyę wewnątrz krzywej s, przyjmującą na samej tej krzywej dany system wartości: w, a żądane zadanie mamy rozwiązane.

funkcya v istnieje

(si s₂). Bez

Jeżeli krzywe Lx, L₂ mają względem siebie takie położenie, jak fig. 88. wskazuje, to wtedy punkty a,b zastępują odpowiednio

a.

''■L,

fi

bj

Fig. 89.

va mają wartości «0; łuk

Fig. 88.

Cl }

odcinki axa₂, bxb2i na których funkcye u si=aiab₁₁ a łuk s₂=a₂ßb₂.

Przyjmijmy teraz, że system wartości w dany jest na krzywej ,9 = (agbhckdla), [fig. 89.], a chcemy utworzyć harmoniczną funkcyę wewnątrz tej krzywej, przyjmującą wartość w na samej krzywej s. Łukami «, ß, y, ô utwórzmy z danego ograniczenia s dwie zamknięte krzywe Lx=(aabhcydla), L₂=(agbßcydla) i utwórzmy funkcyę harmoniczną ux w ten sposób się zachowującą: na (agb) + (ckd) = ai ma być ux = w, a na lukach a + y=sx ma przybierać dowolne wartości z tern zastrzeżeniem, aby jej wartości w punktach a, b, c, d były identyczne z wartościami w: przypadającemi na te punkty.

Dalej tworzymy funkcyę harmoniczną vx wewnątrz L₂, czyniącą zadość takim warunkom: na (aid) -\-(chb) = a.₂ ma być vx — w a na lukach y-\-ci=s₂ ma być ui = vi.

Dalej tworzymy funkcye w₂, v,, w₃, v₃, .. podług takich warunków, jak w przypadku pierwszym i dochodzimy wreszcie do funkcyi u=limun=Umvn spełniającej już żądane warunki.

Z tych uwag wynika :

I. Gdy we wnętrzu dwóch zamkniętych obszarów А, В, które się częściowo nakrywają,, a których obwody wkraczają jeden w drugi, istnieją, funkcye harmoniczne o dowolnie danych warunkach, to i w obszarze (A-\-B) ⁵) istnieje hazmoniczna funiccy a o dowolnie danych wartościach na obwodzie tego obszaru.

158. Funkcye harmoniczne w wieloboku kołowym. Naj ważniej -szem w dowodzie ostatniego twierdzenia jest właśnie wkraczanie każdego z obwodów w obwód drugi. Wtedy bowiem tylko można wyrozumowaó nierówności (1), (2), (3), (4), ... i z nich skorzystać, aby dowieść skończoności granicy limun — limvn. Później poznamy obszary, które się całkowicie przykrywają, a ich obwody nie są identyczne, ale wkraczają w siebie i dlatego i w tych wypadkach będziemy mogli bez zastrzeżeń stosować metodę wyrównawczą.

Przez dołączenie nowej zamkniętej krzywej takiej, aby częściowo wkraczała w krzywe s określone na fig. 87., 88., 89. dojść możemy do ograniczenia bardziej złożonego i dla tego ograniczenia nowego rozwiązać problem Dirichlefa.

Jako krzywe prostsze, w których wnętrzu istnieją funkcye harmoniczne, możemy brać [art. 158.] : koło, wycinki koła, odcinki koła i wieloboki prostokreślne. To mając na uwadze przyjmijmy, że dany obszar S ma ograniczenie złożone z boków, które są już-to prostolinijnymi odcinkami, już-to łukami kołowymi wypukłymi zawsze ku zewnątrz, a dwa boki bezpośrednio po sobie następujące

nie stykają się z sobą w wierzchołku, który tworzą.

Na fig. 90. mamy boki łukowe: a, ß, d, a boki prostokreślne : y, £, Grdy więc w takim obszarze zechcemy utworzyć harmoniczną funkcyę z wartościami Ua+ß+y+ö+£ na obwodzie :

Fig. 90.

(a-b/^-fy+d-l-e),

na ß system Uß, na

stem U, pimy

lub odcinkowi koła, mieszczącemu się całkowicie wewnątrz S. Koło A powstało w naszym wypadku z łuku a, odcinki koła B, D z łuków ß, d, a obszary А, В częściowo się nakrywają. Do boku у przystawmy wielobok C, mieszczący się całkowicie w S', a taki,

a z tych wartości przypada na a sy-(ct + ß) system Ua+ß i t. d., to postą-w ten sposób : Każdy bok łukowy może dać początek kołu

aby się częściowo z В i z D nakrywał. Gdy wreszcie do boku e przystawimy wielobok E, przykrywający się częściowo z i i z i), dostajemy w (А, В, C, D, E) szereg nadbrzeżnych obszarów takich, że każde dwa sąsiednie częściowo się nakrywają. W każdym z poszczególnych tych obszarów istnieją funkcye harmoniczne o dowolnych wartościach na ich obwodach. Istnieje zatem w A funkcya harmoniczna z wartościami Ua na a, w В funkcya harmoniczna z wartościami Uß na ß i t. d.

a-\-ß. Dalej (A-\-B) nakrywa się częściowo z C, a więc

na

Przyjmijmyż po pierwsze, że (AĄ-BĄ-CĄ-DĄ-E) ⁶) zapełnia już całkowicie S. Wtedy rozumujemy w ten sposób: Obszarj^ А, В częściowo się nakrywają, a więc (na podstawie metody wyrównawczej) istnieje funkcya harmoniczna w (A Ą-B) z wartościami U a-f-ß

w (A-j-BĄ-C) istnieć będzie harmoniczna funkcya z wartościami Ua+ß+y na    + W ten sposób wnioskując dalej, udowodnimy

wreszcie istnienia funkcyi harmonicznej w Я z wartościami:

Ua+ß±y+0+e na (a+ß+y+ä + E).

na a \-ß i t. d. Wreszcie dojdzio-my i tu do harmonicznej funkcyi z wartościami Utt+ß+v+ö±e na (a-f/З-j-y-i-d + fi), a istniejącej wewnątrz danego obszaru S. Mamy więc twierdzenie :

a+ß

Gdyby po drugie — obszary A, B, C, D, E nie zapełniły jeszcze całkowicie S — toby trzeba wyrysować wewnątrz S prosto-kreślny wielobok R, zapełniający wolną część obszaru S₇ a przykrywający częściowo każdy z obszarów nadbrzeżnych. Wnioskowanie byłoby w tym razie takie: W (RĄ-A) istnieje niezawodnie harmoniczna funkcya z wartościami Ua na a. Ponieważ (RĄ-A) nakrywa się częściowo z B. więc w (R -f- A + B) istnieje funkcya harmoniczna z wartościami U,

I. We wnętrzu obszaru, którego ograniczenie (aĄß+yĄ...) składa się już-to z łuków kołowych już-to z odcinków prostokreślnycli, istnieje [jedna tylko] funkcya harmoniczna o danym ciągu wartości Ua+ß+... na ograniczeniu.

(1)

159. 0 łukacli analitycznych. Zauważmy równania: x=cp(t), y=rp(t), w których cpr ip są analitycznemi funkcyami, rzeczywistego argu-

mentu t, a w otoczeniu pewnej rzeczywistej wartości t=tQ rozwijają się na zwykłe szeregi potęgowe:

x=a+<p‘(/₀)(t—,f₀) + ..._, y = b+ę*(t    +

o rzeczywistych s p ó ł c z y n n i к a ch. Gdy przynajmniej jedna z pochodnych (p‘{t₀),    nie jest zerem, to wtedy % przez y, lub

у przez X, (lub wreszcie równocześnie x przez y i у przez x) da się wyrazić jednoznacznie w otoczeniu miejsca (a,/;). Mówimy wtedy, że równania (1) określają pewien łuk analityczny, przechodzący przez punkt (</, b) pewnego układu prostokątnego i regularny w punkcie (a} b) lub w punkcie t₀, gdyż dla t=t₀ mamy właśnie x=a, y—b. Gdy bierzemy pod uwagę pewien zakres a dla wszystkich punktów tego zakresu łuk jest regularny, to taki łuk nazywamy analitycznym lukiem regularnym.

Właśnie w dalszym ciągu rozważać będziemy zamknięte krzywe złożone z samych łuków regularnych*). Jeżeli na takim łuku rozpościerać będziemy pewne rzeczywiste wartości, to przyjmiemy, że ten system ma się dać przedstawić analityczną funkcyą parametru t, gdzie ^=(^...^₂), jeżeli tym zakresem obejmujemy rozważany łuk regularny.

Przyjmijmy po tych określeniach, że mamy harmoniczną funkcyę u w zakresie ACB=S, leżącym całkowicie po jednej stronie osi XX, a w jednej swej części ograniczonym odcinkiem AB

samej osi xx (lig. 91.). Na ACB przyjmuje u pewien system wartości w: a na AB jest statecznie =0. Obierzmy na AB punkt a i z niego jako środka zakreślmy koło (R) = ayßy‘ tak, aby półkole rozciągające się po tej samej stronie, co S7 leżało całkowicie wewnątrz S. W tern kole możemy utworzyć harmoniczną funkcyę V, mającą takie własności: W każdym punkcie к półkola ayß ma mieć v taką wartość, jaką u w tym punkcie posiada.

W punkcie k\ który leżąc na półkolu ay'ß ma być z punktem к symetrycznym względem xx', ma być v——u. System wartości tak obrany na całym obwodzie (R) nazwijmy f(yp), gdzie гр=у( ypk, to mamy:

p'

в.

к'

Fig. 91.

flip)==-f(2n—ip).

Dla punktu p jest 2£.<jP=0 [por. lig. 81., str. 552.] pk=pk‘ nazwiemy £, dostajemy:

(a)

a gdy

*) Schwarz: 1. c. str. 150.

iß)

Vp

2 л

' (R²—P)f(ip)chp

2л f В²—2BI cos гр-\-1² ’

lecz wskutek (a) i wskutek cosxp=cos[—(2л — гр)\ jest vp=0. W półkolu ayß jest więc v=u, a że d istnieje jeszcze i w półkolu ay'ß, więc u da się przeprowadzić przez aß, t. j. przez oś xx‘ na jej drugą stronę. Stąd twierdzenie:

I. Funkcya harmoniczna istniejąca po jednej stronie osi xx‘ w jej bezpośredniem sąsiedztwie, a mająca na osi xx‘ statecznie wartość =0, da się przeprowadzić na drugą stronę tej osi. [ W punktach symetrycznie względem osi xx‘ leżących ma wartości o przeciwnych znakach].

aß (fig. 91.)

Przyjmijmy teraz, że funkcya u przyjmuje na wartości analitycznej funkcyi:

f(x) = a₀ Ą-ax(x—а) + а₂(ж— a)²-f-..., gdzie x=(0a...0ß), a a₀, oą, .... są rzeczywiste. Funkcya:

f(z) = a₀ -f ai (z - a) + a₂ (z—a)² +...

urojonego argumentu z=xĄ-yi będzie regularną w pewnem otoczeniu punktu a. Połóżmyż :

f(z)=P(x, y) + iQ(x, y),

to różnica [u—P{x, y)] będzie harmoniczną funkcyą na aß — [u według założenia, a P jako pierwszorzędna część funkcyi analitycznej jest taką funkcyą] i to taką, że ną aß ma wartość zero.

Według twierdzenia I. istnieje zatem (u—P) jeszcze po obydwóch stronach odcinka aß, a że P jest określone nad i pod osią xx‘, więc to samo odnieść trzeba i do funkcyi u. To znaczy :

II. Funkcya harmoniczna określona na odcinku aß, leżącym na osi xx‘ funlccyą analityczną f(x), da się na obie strony tego odcinka wyprowadzić.

Niech wreszcie łuk aß będzie analitycznym i niech określa się równaniami :

¹

Przypominamy, że funkcya harmoniczna jest funkcyą rzeczywistych zmiennych х, у i posiada wyłącznie rzeczywiste spółczynniki.

²

Harnack. Die Grundlagen der Theorie des logarythmischen Potentials. (1887.), str. 67.

³

Ueber einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren. Ges. math. Abh. T. 2., str. 138—148. [Alternierendes Verfahren — Ausgleichungs - Methode — procédé alterné]. O zastosowaniu metody wyrównawczej do funkcyj wielu zmiennych por. S. Zaremba. О. К. T. 124., str. 940.

⁴

w przedstawia zawsze cały ciąg wartości, a takie równanie, jak: щ—w wskazuje, że u w danym punkcie łuku [ahb] taką pi’zybiera wartość, jaka z ciągu na ten punkt przypada.

⁵

W sumie (A+B) część wspólną obszarom A, В tylko raz policzono.

⁶

Taka suma ma tu i w następnych poszukiwaniach takie znaczenie, że każdą część płaszczyzny, nakrytą równocześnie kilkoma obszarami ujętymi w nawiasy, raz tylko zatrzymujemy.

ж = а.₀ + а₁(г;—Ą,) + ... \

У — К + &i(ż—^o) + -” ^ w których ai, bi nie są równocześnie zerami. Połóżmy :

(2)

z=‘(ą₀+bQi) + (ai+hii)(t¹—-to tu widocznie spółczynnik a^Ą-b^i nie jest zerem, a wskutek tego równanie (2) daje cząteczkowe pokrewieństwo płaszczyzn (z), (t‘) w otoczeniach punktów z=a₀+b₀i, t‘ — t₀,

Punkty łuku aß na płaszczyźnie (z) są-to :

(3)

z=x+yi=a₀ +    +&!?') (t—t₀) + ...

Aby więc (2) określało to samo, co (3), musi być t,=(ti...t₂). Ograniczając się więc w istocie do tego obszaru, przekształciliśmy łuk analityczny, regularny aß na odcinek prostolinijny rf'=(^..J₂), leżący szczyzny (t‘). Ze zaś do tego ocinka odnosi się już twierdzenie II., więc stąd wynika:

III. Wszelka harmoniczna funkcya, istniejąca na pewnym regularnym, analitycznym luku x=cp(t), y—ip(f) w ten sposób, że jej wartości na tym luku przedstawiają się analityczną regularną funkcyą parametru i, da się wyprowadzić z tego luku po jego obu stronach.

pierwszorzędnej osi pła-

160. Funkcye harmoniczne w obszarze zamkniętym liniami analityezncmi. Po tych przygotowaniach załóżmy, że mamy zakres S zamknięty krzywą L (fig. 92.), złożoną z dowolnej liczby regularnych łuków analitycznych s1?s₂, s₃, ... jużto wklęsłych już-to wypukłych bez różnicy. W żadnym z wierzchołków c₂, ... niema

kąt wewnętrzny wynosić 0°. Taką linię L nazywać będziemy analityczną.

Na L dany jest pe-wien jednolity ciąg wartości w, a chcemy utworzyć harmoniczną funkcyę u wewnątrz S o tej własności , że właśnie na L przyjmować ma wartości danego systemu w.

Si

2Г

baji-

'i4\

YL

CÜ.

4;

Fig. 92.

Zauważmy na każdym łuku si, s₂, ... części: (ab , axbß), (6₁c₁,6₂c₂)J (c₂    , ...), ... takie, że

dwie bezpośrednio po sobie następujące, częściowo się nakrywają.

Jedną taką część n. p. część ab weźmy pod uwagę. Jest ona regularnym, analitycznym lukiem, a jako taka da się — art. poprz. — cząsteczkowoprzekształcić na innej płaszczyźnie w prosty odcinek aß.

Ciąg wartości wyrażony na ab analityczną funkcyą f(t) przejdzie na ciąg wartości ср(г) na aß, a harmoniczna funkcya istniejąca na aß, da się wyprowadzić z aß. Połączmyż punkty a,ß pewnym lukiem koła ayß takim, aby mu odpowiadała krzywa ay'ß leżąca wewnątrz S, to teraz wnioskować już możemy, że we wnętrzu \ krzywej (aby¹ a) istnieje funkcya harmoniczna która na ab posiada dane wartości, a na ay‘b wartości odpowiadające wartościom rozpostartym na ayß. Tak samo postępujemy z lukami

a₁6₁, ô₁c₁, ... Tworzymy więc wewnątrz S nadbrzeżne obszary kir k₂₁ &g, ... a w nich harmoniczne funkcye /&₉, 7i₃, ... Dwa po sobie następujące obszary, które przytykają do tego samego łuku jak Æ₁, &₂, przykrywają się zawsze częściowo, się ich obwody przecinają, mamy zawsze hx=h₂, bo obie funkcye są przeprowadzeniem tej samej funkcyi istniejącej na abi. Co się tyczy dwóch obszarów stykających się z sobą w wierzchołku, to te albo się także częściowo z sobą nakrywają, jak obszary Jc₂, k?> w wierzchołku 61? albo się nie nakrywają z sobą wcale, jak obszary &₄, къ w wierzchołku c₂. W takim wierzchołku c₂ umieszczamy wewnątrz S wycinek kołowy, którego wierzchołek również w c2 wpada, a który obwody obszarów &₄, Jc₅ przecina w punktach p, q. W nim tworzymy harmoniczną funkcyę h‘ o wartości —w w c2 i takich zresztą wartościach na jego całem ograniczeniu, aby w p było h‘ — hi: a w q abyśmy mieli h‘=h₅. W ten sposób utworzyliśmy wewnątrz S i wzdłuż L cały szereg nadbrzeżnych obszarów a z nich co dwa sąsiadujące znowu się częściowo nakrywają. Postępując więc tu dalej tak, jak w dowodzie twierdzenia I. — art. 158. — dojdziemy ostatecznie do wniosku:

w punkcie (m) gdzie

&i, 7v₂, k?), ...,

I. Funkcya harmoniczna o danych wartościach na ograniczeniu istnieje (tyl/co jedna) го każdym wycinku jednokrotnie zwartyгn, одгагп-czonym krzywą analityczną.

"Weźmy pod uwagę wycinek powierzchni Riemanna, ograniczony zamkniętą linią analityczną L, okalającą ^-krotnie jeden tylko punkt rozgałęzienia Q o v gałęziach. Taki wycinek jest jeszcze jednokrotnie zwarty [art. 107].

Gdy tu nadbrzeżne obszary ki, k₂, ... utworzymy w ten spo-sposób jak w wypadku pierwszym, ale tak małe, że żaden z nich w swem wnętrzu nie zawiera punktu Q, (to można zawsze osiągnąć, gdyż funkcye odwzorowujące są ciągłe), to dalej wnętrze wolne od obszarów k₂, ... przykryjemy v-krotnym wielobokiem zachodzącym częściowo na każdy z obszarów 7%, k.₂, .., a rozumując znowu podobnie jak w dowodzie twierdzenia I. — art. 158. — wnioskuj emy :

II. W odcinku powierzchni Riemanna zamkniętym analityczną linią a zawierającym w swem wnętrzu jeden tylko punkt rozgałęzienia, istnieje zawsze (tylko jedna) funkcya harmoniczna o danych wartościach na linii ogran iczającej.

161. Metoda wyrównawcza dla obszarów o zwartości > 1. Funkcye harmoniczne o danych peryodach. Zadanie 1. Zauważmy wycinek S₂ zamknięty dwiema analitycznemi liniami Z, V (fig. 93.), z których V zawiera się całkowicie wewnątrz Z, a na Z-j-Z' niech będzie dany system wartości U. Taki P wycinek jest już dwukrotnie zwarty.

-14-

-4

\    Poprowadźmy w nim dwa przekroje mn, pą,

j odróżniając w każdym z nich dwa brzegi:

(ww+, mn~), {pq⁺, pą~).

Fig. 93.

Obwód (l-\-V -\-mn⁺ -fm⁻) ogranicza — gdy przekrój pą uważamy za niebyły — jednokrotnie już zwarty ocinek A, a w nim istnieje niezawodnie funkcya harmoniczna w₁ z wartościami U na (Z + Z') i z dowolnie obranemi wartościami U' na (mn+ fmw⁻), spadającemi w m, n z wartościami, jakie na te punkty przypadają z systemu U. Ta funkcya na pą posiadać będzie pewne wartości U₂. Z drugiej strony obwód -\-pą⁺-\-pą-) ogranicza znowu — gdy się przekrój mn uważa za niebyły — drugi jednokrotnie zwarty odcinek B. W nim można utworzyć funkcyę harmoniczną vi, która na (Z + Z') ma wartości Z7, a na pą przybiera po obydwu brzegach wartości U₂ funk-cyi %. Mając te funkcye możemy — z uwagi, że obwody -\-mn⁺-\-mn~), (l+l‘+pq⁺+pą~)

wkraczają jeden w drugi — zastosować (por. początek art. 158.) metodę wyrównawczą tak, że z szeregu funkcyj uv vi, u₂, v₂, ... dojdziemy wreszcie do funkcyi u, która w S₂ — (A-\-B) istnieje, a która na (Ï + V) przybiera naprzód dane wartości U.

Zadanie 2. Możemy przejść teraz z łatwością do wycinka S₃ trzykrotnie zwartego, ograniczonego trzema analitycznemi liniami Z, V, Z", z których Z', Z/; leżą całkowicie wewnątrz Z — (fig. 94.)..

-\4-

Na jego obwodzie niech będzie dany jednolity ciąg wartości U. Poprowadźmy dwa przekroje mw, pą odróżniając znowu ich brzegi:

("

(mn⁺ , mn~), (pq+, pą~), to obwód (Z-f-Z' + Z"-f mn⁺+mn~) ogranicza dwukrotnie już zwarty odcinek S₂, a obwód:

(Z+Z' Ą-l“ Jrpą+JrPą~)

Fig. 94.

graniczą takiź odcinek S‘₂, a te obwody wkraczają znowu jeden w drugi.

w ana-

W nich można — na podstawie rozwiązanego już zadania 1. — określić odpowiednio: funkcyę % w $₂, funkcyę vi w S'₂₁

Teor. funkcyj analit. T. II.

logicznym pozostające do siebie stosunku, jak funkcye ux, vl w obszarach А, В zadania 1®°. Z tych funkcyj dojdziemy do funkcyi u, która w S₃ istnieje dane wartości U. Możemy teraz przejść do czterokrotnie zwartego odcinka $₄, a postępując tak dalej, dojdziemy do twierdzenia:

obwodzie (l-\-l‘Ą-l") przyjmuje naprzód

a na

I. W każdym odcinku Sk к-krotnie zwartym, ograniczonym к ana-litycznemi liniami l, V, Iй, ...,    z których wewnątrz l leżą wszystkie

pozostałe, istnieje (tylko jedna) harmoniczna f uniccy a jednoznaczna, ciągła i skończona wewnątrz Sk, a przybierająca naprzód dane wartości U na obwodzie [Z+?' + •••+

Zobaczymy, że funkcyę u można będzie w Sk tak utworzyć, aby wewnątrz Sk zadość czyniła pewnym (skończonym) zerwaniom ciągłości, zatrzymując na ograniczeniu naprzód dane wartości¹).

Zadanie 3. Zauważmy znowu wycinek dwukrotnie zwarty S-2 (fig 96.) i spróbujmy utworzyć funkcyę harmoniczną u, zachowującą się w ten sposób: 1) Na samych krzywych l, V ma u przyjmować dany ciąg wartości    m,

Ü] 2) Jeżeli jej wartości na mn⁺ są , a na mn~ są u~ , to w każdym punkcie przekroju mn, według tego, czy ten punkt do mn⁺ czy do mn~ zaliczamy, ma być :

■—

O/S

!’

Fig. 95.

u+ =vr + h

gdzie h jest stałą, rzeczywistą wielkością, zwaną peryodem funkcyi na na przekroju mn.

Powierzchnię o ograniczeniu {lĄ-V-f«w+-|-»»_) nazwijmy znowu A i poprowadźmy jeszcze drugi przekrój pą o brzegach (pq+, pq~), a powierzchnię ograniczoną obwodem (lĄ-ltJrpq+Ą-pq~) nazwijmy B. Te obwody wkraczają jeden w drugi; można więc tu stosować metodę wyrównawczą zmieniając tylko warunki, spowodowane żądaniem peryodów.

W zakresie A da się w każdym razie utworzyć funkcya harmoniczna przybierająca na (l + l‘) wartości U, mająca na mn~ dowolnie wybrane wartości u\, a na »»+ wartości u\-\-h. Taka funkcya posiadać będzie pewne wartości na pą.

Utwórzmy dalej w zakresie В funkcyę harmoniczną vi podług takich warunków: na pq⁺ ma być vt=ui} a na pą~ ma być:

vi==ui—h.

303-306.

u% = U м₂=^+/г „

na (Z-fZ') mn+ mn~

(A')

Na łukach a, ß (fig. 95.) być vi = U. Mamy więc dotąd :

% = Z7

UI    -\~jl    „

щ=и\ „

ma

być vi = U—h, a na (l—a), (l—ß) ma

na (Z+Z') mn+ mn+

vi = U

(B)

na (Z+Z'—a—ß) Vi = U—h „ (a Aß)

Г, РЯ+

vi=ul

vi=ui—Ji „

Wróćmy do obszaru A i utwórzmy w nim funkcyę podług takich warunków :

pą~.

„

Utwórzmy dalej w obszarze В funkcyę v₂ tak się zachowu-

jącą :

(BO

v₂-U V₂ = U—h „ {a Aß) я M+ РЯГ

na    (Z-b Z')

^2 " W2 v₂=u₂—h „

i t. d. w in ft.

Z tego czytamy :

(1)

na

(2)

J us=v,

Pi

mn~

Pi~

mw+

s=2,3,...

(«)

Nazwijmy limus—u: limvs=v, to z relacyj (1) wnioskujemy, że: w=r w obszarze P, o obwodzie (Z—a) + (Z'—ß)Apq⁺ +mn~, do którego widocznie wchodzą mn+, pq~ , a z relacyj (2) wynika, że:

0)

w obszarze Q,

który ma obwód а-|-/?-}-р#~ + шг⁺.

Lecz taka nagła zmiana z v na v + przy przejściu z obszaru P do ф nie może nastąpić wzdłuż pq, bo pq nie jest cięciem funkcyi v. Pozostaje więc tylko przekrój mn, wzdłuż którego według (a), (b) mamy :

u+ = u~ + h.

Funkcya u będzie więc już żądaną harmoniczną funkcyą,

jeżeli tylko dowiedziemy, że limus = u pozostaje skończone. To jednak łatwo wywnioskujemy, tworząc tu schemat:

ь?

§

co

uk

'?+■

РЧ

mn

V1

V2

vb

i powtarzając rozumowanie art. 157. Bóżnice (us—w,_i), (vs—vs-\), jakie w przeprowadzeniu tego dowodu tu wejdą, są już pozbawione peryodów. Zadanie postawione mamy więc rozwiązane.

a na pą zer-

Zadanie 4. W odcinku S₃ — fig. 96. — poprowadźmy dwa przekroje mn, pą. W odcinku S₂ o obwodzie (l-\-V-\-l" -\-mn⁺ -\-mn~), który — gdy pą uważamy za niebyły — jest już tylko dwukrotnie zwartym, istnieje — według zadania 3. — funkcya harmoniczna w1} mająca na (l + V + V‘) dane wartości U, na {mn⁺Ą-mn~) dowolne wartości wanie ciągłości :

щ + ■= h‘ (na pą).

Fig. 96.

Z takich funkcyj wybierzmy taką, która na mn~ przybiera dowolnie dane wartości A a na mn+ ma wartości AĄ-h] (h, h‘ są stałe ^ 0). W odcinku S‘2 o obwodzie: (l+l¹ + 1" +pą⁺+pą~), który jest znowu dwukrotnie tylko zwarty, możemy utworzyć funkcyę vi7 która na ma wartości U, na pą~ ma wartości щ~, na pą+ wartości -\-h, a na mn cięcie :

v₁ ⁺ =v₁⁻4- h (na mn).

[Obwody obszarów S₂, S‘₂ wkraczają jeden w drugi].

Dalej wracając do S₂ utworzymy funkcyę u₂ o takich wła

snościach :

u₂ = U na (l+l'+l"), u₂=vi~ na (mn~), u₂ = v±~ + h na («»+)

a na pą ma cięcie:

u₂+=u₂~ +h,‘ (na pą).

Idąc tak dalej dostaniemy z funkcyj uit vi7 u₂, v₂, ..., przeprowadzając wszystko podług metody wyrównawczej, funkcyę harmoniczną u o wartościach U na (Z-М'-И") a o cięciach :

u+=u~-{-h na mn, u⁺=u~Ą-hJ na pą.

Gdy mieć będziemy odcinek Sk k-krotnie zwarty, 7C>3, to prowadząc w nim dwa przekroje ш, pq, nie łączące równocześnie tych samych linij ograniczających, dostaniemy w nim odcinek Sk-1 o obwodzie (l+l¹ Ą-Ą-mn⁺Ą-mn~) i odcinek $'*-i o obwodzie (l-\-l‘-\-... + l⁽-k~i'>Jrpq+-\ pq~), a te obwody wkraczają jeden w drugi. Tworząc dalej szeregi funkcyj щ,и₂,...] vi,v₂,..., o (k—2) cięciach, dojdziemy do funkcyi u o danych wartościach U na (7 + 7< + -" + 7(A:"'¹⁾), a o cięciach :

u+=u-Ą-hs: s=l, 2,..., k— 1

na liniach ai, a₂^..., ok-i, wzdłuż których porobione przekroje sprowadziłyby Sk do jednokrotnej zwartości.

Mamy więc twierdzenie :

II. W odcinku Sk k-krotnie zwartym o liniach ograniczających l, V, 7", ..., z których pierwsza obejmuje wszystkie pozostałe, istnieje (tylko jedna) funkcya harmoniczna u, przybierająca dane wartości U na obwodzie    +    +    a posiadająca dane peryody hs wzdłuż

linij oi, a₂,ak-i, któreby Sk sprowadziły do jednokrotnej zwartości. Wartości u~ (lub u+) na ai, a₂,... są już wynikiem danych warunków: U,hs, s=1,2,..., к—1. Przytem można zażądać, aby niektóre z hs były zerami. Gdy wszystkie hs=0, mamy funkcyę określoną w twierdz. I.

162. Funkcye harmoniczne w otwartej powierzchni Blenianna.

W rozdziałach traktujących o całkach Abla było początkiem naszych badań pewne algebraiczne nieprzywiedlne równanie f(x,y) = 0, do którego potem dołączała się powierzchnia Riemanna, uzmysławiająca przebieg algebraicznej funkcyi y. Tu przeciwnie początkiem naszych poszukiwań będzie dowolnie utworzona powierzchnia Riemanna 91 dowolnego rodzaju p, a równania algebraicznego nie wciągniemy zupełnie w rachubę już z tej prostej przyczyny, że nie wiemy, czy w ogólności do dowolnie danej powierzchni 9Î należy zawsze pewne równanie f(x,y)=0, z którego wynikająca funkcya у da się właśnie uzmysłowić powierzchnią 9R.

Po tej uwadze — przechodząc do dalszej teoryi funkcyj harmonicznych — zróbmy na jednej ćwiartce dowolnie danej powierzchni 91 otwór ograniczony zamkniętą linią у i taką już otwartą powierzchnię nazwijmy Narysujmy dalej na 9ły q par zasadniczych nieprzywiedlnych kół (Ka, K‘a), «=== 1, 2, ..., q, i zróbmy wzdłuż tych wszystkich kół przekroje.

Tak rozcięta powierzchnia 9ły tworzy zupełny analogon z odcinkiem SQ+i , rozważanym w art. poprzedź. Linia у zastępuje tu

zamkniętą linię?, a każde (2Га+2Г'„), posiadające jedno pasmo zamknięte, zastępuje linię ha\ « = 1, 2, ..., q. Możnaby więc tu, podobnie jak w zadaniu 2®iem artykułu poprzedź., już wnioskować, że istnieć będzie (tylko jedna) funkcya harmoniczna U o danych wartościach TJy na у, o danych wartościach ua+, ua~ na brzegach kół Ka i o danych wartościach w'a+, u‘a~ na brzegach kół K‘a, «= 1, 2, ..., ę, gdyby nie punkta rozgałęzienia, które tu koniecznie w występują.

Tę trudność jednak usuniemy łatwo w ten sposób: Narysujmy na całej powierzchni 9^ zakresy zamknięte analitycznemi liniami z zastrzeżeniami, że: 1°) każde dwa sąsiednie zakresy mają się częściowo z sobą przykrywać, 2°) odcinki zamknięte wielokrotnemi liniami mają zawierać tylko po jednym punkcie rozgałęzienia. "W każdym takim zakresie istnieje harmoniczna funkcya z dowolnie danymi warunkami, a stąd na podstawie wyrównawczej metody możemy wnioskować o istnieniu żądanej funkcyi u w 9ły. Mamy więc twierdzenie :

I. W otwartej powierzchni 9i, istnieje zawsze harmoniczna funkcya z danemi dowolnie wartościami na у i na obydwu brzegach każdego z nie-przywiedlnych kół: Ka, K‘a, «=1,2, ...,

Przejdźmy do rozwiązania śmielszego zagadnienia, a mianowicie takiego:

Na ffiy ma być określoną funkcya harmoniczna u wartościami uy i peryodami ha, h‘a: «=1,2, ..., ę na kołach Ka, K‘a.

Gdy w Ka nazwiemy brzeg odjemny: Aa, brzeg dodatni: A‘a,

w kole K‘a brzeg odjemny pa to — jeżeli chodzi o odróżnienie brzegów — mamy:

brzeg dodatni pła, (a = l, 2, ..., (>),

Я‘а) , К‘а = {Pa ~\~ fi‘cc) ,

a 9îj, możemy w dwojaki sposób pojmować:

-, Л

1°) $ły ma jako ograniczenie linie zamknięte у, Ait А\, A₂, Я‘₂, a w niej przebiegają linie:

K\ od At do !

TT' 7

л 2 П л2 П 2

Tak pojętą powierzchnię nazwijmy 9Яу,л-2°) 9^ ma jako ograniczenie linie zamknięte:

У l fi 1, fi'U fiil fi'2> •••» fięt fi'

a w niej przebiegają linie:

Kx od fil do r>

11    У2

П    И У Q'

Tak pojętą powierzchnię nazwiemy 91,,^.

Postępując zupełnie tak samo, jak w zadaniu 4tem — (punkty rozgałęzienia nie są już przeszkodą) — wywnioskujemy, że w 9ł₇,^ istnieje funkcya wl5 przybierająca dowolne wartości na (y-Ml -\-Л\    =    ,

a mająca dane perjmdy h‘a na kołach K‘a, a=l, 2. q , a więc щ +=^ul~~-{-h'a na K‘tt• Między funkcyami ui znajdą się i takie, które zachowując peryody h‘u i wartości uy na y, mają na Ка=Л„ dane dowolne wartości Aa, a na К£=Л‘се wartości Aa+ka, a=l,2,..., p.

Mając taką funkcyę uy utwórzmy dalej w 91У,И funkcyę o takiem zachowaniu się: na y ma być vi — uy : na każdem (fiaĄ-^a) ma przyjmować wartości funkcyi a więc:

vi=ui~ na K‘~=/ia, vi=ui- + h‘a na a na kołach Kce ma mieć peryody ha określone przez :

v+=v--\-ha (na K„).

9ły,^ ma obwód : (y+^j +    +... + ß₀ + yl!?) = (y+y), a widocznie

obwody (i + y), (/г-j-y) wkraczają jeden w drugi. Można więc tu będzie zastosować mętodę wyrównawczą.

Powróćmyż więc do 9Î-,, i określmy tam funkcyę u₂ o takich własnościach: na y ma być u₂=uy, na (Ла+Л'а) ma przyjmować wartości funkcyi , a więc ma być:

u₂=v~ na    ,    u₂=v~ Ą-ha na Ка=Л‘

a na Ä”'„ ma mieć peryody 7г'а tak, że:

w₂+=w₂~ + 7г'„ (na 7Г«).

Tworząc dalej według tych wskazówek funkcyę v₂, u₃, v₃, ... in inft. dojdziemy — wyczerpawszy metodę wyrównawczą — do funkcyi zadość czyniącej postawionemu zadaniu. Mamy więc twierdzenie :

II. Na powierzchni otwartej 9h, istnieje funkcya harmoniczna o danych wartościach uv na у i o danych peryodach ha, h‘a na Q parach nieprzywiedlnych kół zasadniczych (Ku, K‘a), a=l, 2,..., p. Wartości UcT ( lub ua⁺) na kołach Ka, K‘a nie potrzebują, być dane, one już z wybranych uy , ha, h‘a mają wyniknąć.

Pytanie, dlaczego tu użyliśmy powierzchni 9?y z otworem, a nie powierzchni 9î z punktem? Na to tak odpowiemy : Gdyby y zmniejszyło się do punktu, w którym uY ma być skończone, mielibyśmy w funkcyi utworzonej u funkcyę harmoniczną w całym nieograniczonym obszarze zmiennych (x, y) — [w całej powierzchni za włączeniem do i punktu y] — skończoną, oznaczoną , a o tyle nieciągłą, że tu występują peryody hai h‘aii czyli cięcia:

u+=u~-\-li

u+=u~ + h‘a.

Mieliśmy zaś twierdzenie : Funkcya harmoniczna skończona, oznaczona i ciągła w całym nieograniczonym obszarze zmiennych redukuje się do stałej. Niewierny jednak, o ile przyjęte cięcia ochraniają utworzoną w tw. II. funkcyę od redukowania się jej do stałej ilości. Trzeba dopiero zbadać, czy na powierzchni Uie-manna 9Î mogą istnieć funkcye harmoniczne wszędzie skończone i jednoznaczne, a o nadwerężonej ciągłości tylko przez peryody na kołach BTa, K‘a. Do tego teraz przystąpimy.

za-

163. Funkcye harmoniczne na powierzchni Rienianna hez otworu [na powierzchni zamkniętej], Z punktu y jako środka toczmy dwa koła (B), (r) o takich promieniach. R^>r, aby nie tylko w (r), ale jeszcze i w (R) nie było ani jednego punktu rozgałęzienia powierzchni fft.

we-

na

K‘a

z war-

Utwórzmy funkcyę ui wewnątrz (B), a przyjmującą pewne dowolnie dane wartości UR na okręgu (R). Taka funkcya jest wnątrz (B) skończona i ciągła, a na okręgu (r) posiada pewne wartości Ur. Utwórzmy dalej zewnątrz (r) funkcyę vi, która okręgu (r) przyjmuje właśnie wartości Ur, a na kołach Ka, posiada dane peryody : ha, h‘a. Taka funkcya — według tw. II. art. poprzedź. — istnieje zawsze, a na okręgu (B) przyjmuje pewne wartości V\,R. Utwórzmy dalej funkcyę u₂ wewnątrz (R) tościami V\,R na okręgu (R) i t. d. in inft.

Mamy tu ciągle :

( )    Un=vn-1 na okręgu (B),

(r).

( )    '^n==l^n

wszystkich poprzedzających

Połóżmyż limun=u, limvn—v, to tu skończoności tych granic jest daleko trudniej dowieść, niż we

wypadkach, bo tu obwód (B), wewnątrz którego mamy funkcye un} i obwód (r), zewnątrz którego mamy funkcye vn, nie wkraczają jeden w drugi. Lecz i tu znajdzie się sposób dowiedzenia skończoności granic u, V. *)

) H. A. Schwarz: Ges. math. Abh. T. 2., str. 189—190. — E. Picard: Traité. T. 2., str. 470—473.

Zakreślmy około punktu y koło (q) takim promieniem, że R^>Q~>r, i naznaczmy średnią ze w s z y s t к i c łi wartości funkcyi us lub vs na okręgu (p) przez M(us,q), lub odpowiednio przez M{vs,q), to mieć będziemy:

(c)

Lecz :

M(un , R)=*M(vn-i, R) wskutek (a) M(un, r)=M(Vn, r)

(b).

(d)

M(u„, R)=M(u„ , ę)=M(Un,r), bo funkcya un jest skończoną i ciągłą wewnątrz (R), a średnia z jej wartości na wszelkich kołach (p) będzie równa wartości funkcyi w punkcie (y) — [art. 150., tw. II.].

Z (c) i (d) wynika :

(i)

M(un , R)=M(vn , r).

Poprowadźmy dalej w powierzchni 91 przekrój qi) łączący parę kół (KUK\) z parą kół (K₂,K\), przekrój q₂, łączący (K₂,K‘₂) z parą kół (K?>:K‘₃), i t. d., to każdy z przekrojów ęa, a=l, 2, ..., p — 1, ma dwa brzegi (qa, q‘a), a gdy i wzdłuż kół (Ka, K‘a) porobimy przekroje, dostaniemy na 91 jedno zamknięte pasmo:

+ + + (%) *)•

Każda z funkcyj г?я jest wewnątrz obszaru ograniczonego przez (z) i (p) — [obszar ten jest już dwukrotnie zwarty] — jednoznaczną skończoną i ciągłą. Zastosujmyż do vn relacyę (12) — art. 147. — to dostaniemy :

dvn

ds —

dn

■5s*_o.

dn

dv

(?)

Tu ^ nie posiada już peryodów na 1ГЙ, К'й, a gdy na Я«, fia lub qa uważamy dn za dodatnie, to na Я'«, lub będzie już dn odjemne. Z tego powodu — podług tw. I. w art. 147. — mamy:

a pozostaje tylko:

dvn

-iz.ds=0

dn

(2)

/

(?)

dvn

dn

ds=0.

Ponieważ normalna n jest tu promieniem p, a ds=ęd(p₁ więc (2) możemy w takiej formie napisać :

2л

•i

dvn

dQ

d(p=0.

*) X i u. mają tu takie same znaczenie, jak w art. poprzedź.

Opuszczając czynnik ę, mamy:

2л

0.

To wskazuje, że całka:

2л

Ł fv’-d,p

nie zależy od a że ta całka daje właśnie średnią: M(vn, q) na okręgu (ę>), więc wnioskujemy stąd:

(3)

M(vn,r)=M{vn, R).

7i drugiej strony dostajemy podług (c) :

(4)

M(yn, R)=M(un+.i, B), a uwzględniając (1), (3), (4) mamy ostatecznie:

(5)

M(un,B)—M(i4n+i,B), n= 1, 2, 3, co znaczy, że wszystkie funkcye un mają, te same średnie na okręgu (R), a więc tę samą wartość Uy w punkcie y.

Niech a będzie dowolnym punktem okręgu (r), а (ип+1—un)a niech będzie wartością różnicy (un.|_i—un) w tym punkcie.

punkty na

Jeżeli punkt a ma spółrzędne biegunowe (r, cp) okręgu {R) mają spółrzędne (R,tp), to:

(ft) (UnĄ.\ Un)a—^    -Uu)r>

R²-r²

R²—2Rrcos (tp-q))-\-r²

dtp.

Dla punktu у jest r=0, a różnica (w„+i—un)y=0. Mamy więc:

2л

(.ß)

ип)я dtp.

Odejmując (/5) od (a) dostajemy:

2л

(у)    Оя+1—w*)«=2^r У 2r.(w„₊i

о

— Un) Я-

2? cos —9))—г В²—2Rr cos (tp—çp)-f-r²

dtp.

Na całym okręgu (R) jest:

J Bcos(tp—(p)—r\<,R+'r<.2R, \В²—2В r cos(tp—(p) + r² |>(JR—r)².

Niech dalej na okręgu (R) będzie Max.\un+1— un\R=gn, to z (у) dostajemy :

\Br

(B—r)² ’

\Uji+i un\a<^gn.

W stosunku do obranego В możemy r wziąć tak małe, aby г IВ, będąc dostatecznie małem, dało:

4-^

li

(l-ж)

gdzie q jest obranym ułamkiem właściwym, który widocznie od n nie zależy. Mamy wtedy:

(6)

un-j-i MnJr<C^q.yn ,

a tu znaczek r wskazuje, że ta nierówność odnosi się do wszystkich punktów okręgu (r). Według (a) jest:

(7)

\uz M₂|ß—[^2 v\\ri

! u₃ —u.₂ j R<^Max\v₂—vx |л.

a więc:

Według (6) mamy znowu:

(8)

1^2 Wj 11--1^2    ^i|r*

Różnica |v₂—^i| nie posiada już peryodów na kołach Ka, K‘ a jako skończona, oznaczona i ciągła zewnątrz (r), posiada własność: Жжс j v₂ ~ |л < Жаж j v₂ —vx\

czyli :

<Мах\u₂ —iix\r [podług (8)], <ą.gx=q.Max\u%—ux\R [podług (6)].

ri

Uwzględniając to w (7) dostajemy:

\u₃—u₂\R<Lq.Max [ u₂ —ux \R.

Analogicznie będzie :

lw4—Mz\R<jq.Max\uz—м₂[д, czyli: j uk—M₃\R<^q'2, .Max\u₂—ux |д, i t. d. bez końca. Te nierówności dowodzą, że granica:

u=ux + (w₂—Mi)+(M3—w₂)+ ...=v

będzie skończona na okręgu (B). Lecz i na okręgu (r) jest także u=v, a więc ta identyczność tych funkcyj jest w całym pierścieniu (.B...r). Lecz u istnieje jeszcze i wewnątrz (r), a więc wnosić trzeba, że i v da się w wnętrze (r) wprowadzić i że tam będzie także v = u. Że zaś funkcya u jest tam skończona, ciągła i jednoznaczna , więc i funkcya v będzie się tam także tak zachowywać, a w punkcie y jest v= Uv. Z tych wszystkich uwag wynika:

I. Na zamkniętej powierzchni Biemanna istnieje tylko jedna funkcya harmoniczna, wszędzie jednoznaczna i skończona, z nadwerężoną, ciągłością tylko przez peryody na kołach Ku, K‘a, a o danej naprzód wartości w pewnym nieosobliwym punkcie y tej powierzchni.

Przyjmijmy, że mamy dwie różne funkcye u, u' o tych samych peryodach na kołach Ka, K‘a- Ich różnica (u—u‘) nie posiada już peryodów, jest więc w całej powierzchni skończoną i ciągłą. Taka funkcya jest stałą ilością =c, a stąd mamy u=u‘-\-c. To znaczy:

II. Dwie funkcye harmoniczne na całej 'powierzchni skończone, a o tych samych peryodach na kołach Ka, K‘a, różnią się tylko o stałą ilość.

164. Funkcye harmoniczne rodzaju 1»°, 2&° i na powierzchni liiemanna. Zauważmy równanie algebraiczne f(z,rj)—0 rodzaju ę, połóżmy w niem z=x \-yi, rj=<p(z) i utwórzmy dowolną całkę rodzaju pierwszego Jx{z), dopuszczającą peryody:

<2o)ce=Aa-\-Dai, 2(o‘a—A‘ai.

¹

H. A. Sell warz. Auszug aus einem Briefe an Herrn F. Klein. 1. c. str.

Gdy w Jx wstawimy z=x+yi i uwidocznimy część pierwszorzędną i drugorzędną , dostaniemy :

(A)

Ji = ui(x,y)+vi(x, y)i, a tu widocznie funkcye ux, vx należą do funkcyj harmonicznych¹), opisanych w tw. II. art. poprzedź. Pierwsza z nich posiada peryody Aa, A‘a, druga zaś peryody Ba, B‘a. Z tegoto powodu nazywamy każdą funkcyę, którą określiliśmy w tw. II. art. poprzedź., a którą możemy niezawodnie utworzyć w dowolnie danej powierzchni 9Î rodzaju q , funkcyą harmoniczną rodzaju pierwszego.

Niech J₂(z) będzie całką rodzaju drugiego o peryodach :

2 rja=Ca + DJ} 2f]‘a=C‘a-\-D‘ai,

a z jedynem miejscem nieskończonościowem c. Gdy w jego otoczeniu jest: to różnica J₂—{z—c)⁻¹ jest już funkcyą u"x(x,y)Ą-v"x(x,y)i, wszędzie skończoną i oznaczoną, a o peryodach 2r\a, 2ł/a, gdyż (z—c)⁻¹ jako wymierna funkcya nie posiada żadnych peryodów. Z tego wynika, że u‘\, v‘\ są harmonicznemi funkeyami rodzaju pierwszego.

Połóżmy :

|0—c| = V/(a?—a)² + (y—by=Q

с=а-\-Ы

(z—c)-i=Q~ie~4,i=Q~i[cos cp—isincp]

to mieć będziemy:

'■-R

f u“

, .    X—a . y—b

gdzie cos œ—-, sin w—--.

Q    Q

Funkcye:

(B)

COS (p

2/)

są harmonicznemi w powierzchni i posiadają jedno tylko miejsce nieskończonościowe, spowodowane dodajnikami q~icoscp, -^q^sinip. Funkcyą u₂ ma peryody (7«, C'a, a fnnkcya v₂ peryody Da, D‘a. Z tego powodu nyzywamy każdą funkcyę harmoniczną, która da się niezawodnie utworzyć na dowolnie danej powierzchni 9Î rodzaju q , a która posiada pewne peryody na kołach Ka, K‘a i jedno tylko miejsce nieskończonościowe, spowodowane dodajnikiem Q~icoscp lub dodajnikiem —q~isincp, funkcyą harmoniczną rodzaju drugiego.

Każda funkcya u₂ jest już w zupełności wyznaczona, gdy damy jej miejsce nieskończonościowe (a,b) i funkcyę harmoniczną u'\ w jej formę wchodzącą, albo: gdy damy jej miejsce nieskończonościowe (a, b), jej peryody i jej wartość na dowolnem miejscu, rożnem od (a,b). To samo odnieść trzeba do funkcyi v₂.

Wprowadźmy wreszcie całkę rodzaju trzeciego Jz{z), wykazującą peryody: wa=Ftt\-Fai, w* a=Fk a-\-F ai. Gdy taka całka ma punkty logarytmiczne ci=ai-\-bii, c₂ = a₂-\-b₂i, to wich otoczeniach

mamy :

J^logiz—c^ + ^iz—cJ, Jz = —log(z—c₂)+^₂(z—c₂)

a różnica :

--uu\(xy)-\-vu\(xy)i

Jz—log

z—cx

z—c₂

będzie znowu funkcyą wszędzie skończoną i oznaczoną, a o peryo-

dach wa, w‘a, gdyż log

daje tylko peryod 2ni na cięciu (cx...c₂).

z—c₂

Z tego wynika, że i tu funkcye v,lli są harmonicznemi rodzaju

pierwszego.

Połóżmy z—ci=qie^i, z—c₂=q₂e^\ to:

log

0—Ci

Q\

V₂)i, a

i.

(1)

F=2CßUß= const

w którym spółczynniki Gß nie są zerami. Funkcya harmoniczna F jako = const, nie posiada wcale peryodów na kołach Kai K‘a; a więc być musi :

Hi = Ci Ац +    A21 + ••• + Cïq Alę, i=0 na К\

S₂ == CiA\2 +C2A22    + A2Q,2=0 na K₂

(2)

Tutaj wys^Puj4 dwie harmoniczne funkcye:

t^+u'“

J , ^3= [(^i

-г«,

a w drugiej z nich można (pi — (p₂ zastąpić przez :

g₂(²—ci)t Qi (я сг)

Obie posiadają logarytmiczne punkty    (a₂,&₂). Funkcya w₃

ma peryody Ea, JE1 peryod 2уг ²). Funkcye harmoniczne o charakterze (C), utworzone na dowolnie danej powierzchni 91 rodzaju q, nazywamy funk-cyami harmonicznemi rodzaju trzeciego.

Każda funkcya w₃ jest tu znowu w zupełności wyznaczoną, gdy znamy jej punkty logarytmiczne («±), (a₂6₂) , jej peryody К«, K'« i jej wartość na dowolnem miejscu, rożnem od (a^) i (a₂b₂). To samo odnosi się do funkcyi v₃.

Zwróćmy jeszcze na chwilę uwagę na funkcye harmoniczne rodzaju pierwszego. Wybierzmy z nich 2p funkcyj Щ , /5=1,2, ..., 2o dowolnych peryodach Aß„, A'ßa, a = 1, 2, ..., (?, i przyjmijmy, że między temi tunkcyami zachodzi związek :

(C)

\l°g

peryody Fa, F‘

— <Pî)-\rV

a wzdłuż cięcia (ct...c₂)

SQ= Ci A\q + C2 Ац +... -j- Cïq Azę, q=0 na Kq FL\ —C\ A'n + C2 A'ii +... + Cię A'2q, i=0 na K\

. H‘q—Ci A‘\q + C2 A⁽%q -f-... + C<iq A‘2q,q=0 na K.'q.

Toby wskazywało, że wyznacznik A tych równań jest zerem, a A=0 zaprzecza widocznie założeniu, że peryody Aßa, A‘ßa są dowolne. Związek (1) jest więc niedopuszczalny. Funkcya F jest harmoniczną o peryodach Па, H‘a, różnych od zera, a tym można nadać dowolne wartości, bo potem z równań (2) dadzą się — wskutek ^.фО — obliczyć Cß tak, że równania (2) przejdą na identyczności. Stąd twierdzenie :

I. Gdy z pomiędzy funkcyj harmonicznych rodzaju lgo wybierzemy 2ę funkcyj o dowolnych peryodach, to każdą inną funkcyę harmoniczną tego rodzaju można przez te wyjęte przedstawić liniowo niejednorodnie.

Inaczej : Z funkcyj harmonicznych rodzaju lg0 można zawsze i to na nieskończenie wiele sposobów wybrać 2q ich liniowo od siebie niezależnych.

165. Funkcye rodzajów 1., 2., 3. urojonego argumentu &—x+yi na powierzchni Bienianna. Zwróćmy się teraz do funkcyj urojonego argumentu.

Definicya. Funkcyę harmoniczną urojonego argumentu z—xĄ-yi, istniejącą na powierzchni Riemanna, a posiadającą pewne peryody, nazywamy funkcyą rodzaju lgo, 2⁹°, lub 3go, według tego, czy ona pod względem peryodów i punktów osobliwych ma własności całki Abla rodzaju pierwszego, drugiego, lub trzeciego. *)

Ze takie funkcye rzeczywiście istnieją, dowiedziemy w ten

sposób :

Grdy U—u+vi jest jedną z rozważanych funkcyj, to między u & V zachodzą związki :

du dv dx dy

du dv dy dx

(1)

a z nich dostajemy :

(2)

f du    fóu

J dx J dy

z przyjętą wartością v₀ na pewnem miejscu (a₀,&₀) powierzchni 9Î.

Niech u=ux będzie funkcyą harmoniczną rodzaju pierwszego. "Wtedy i V musi być koniecznie funkcyą vx rodzaju pierwszego, bo gdyby V miało formę (B) lub (C) [art. poprzedź.], nie mogłyby zachodzić związki (1). Funkcyą U=uxĄ-gg\i z oznaczonem v± podług (2) będzie funkcyą rodzaju pierwszego.

Przyjmijmy u—u₂ w formie (В) art. poprzedź. Wtedy v musi

*) Eiemann: Ges. Werke, str. 105,

Por. także : F. Klein: Vorlesungen über die Th. der ellipt. Modulfunctionen von E. Fricke (Lipsk 1890). T. 1., str. 492-572.

być =v₂, t. j. musi mieć również formę (В), bo inaczej między w₂, v₂ znowu nie zaszły by związki (1).

Funkcya U=u₂-\-v₂i jest rodzaju drugiego. Podobnie wywnioskujemy, że gdy m=w₃, musi być także v=v₂. Funkcya U=u₂-\-v?i jest rodzaju trzeciego. Mamy więc twierdzenie:

I. Na 'powierzchni Riemanna istnieją, funkcyę urojonego argumentu, mające własności całek Abla rodzaju pierwszego, drugiego lub trzeciego. Nazywamy je odpowiednio funkcyami rodzaju pierwszego, drugiego i trzeciego.

Gdy uv, ?>=1,2, 3 posiada przyjęte dowolnie peryody Pa, P'„, to vv ma już peryody Qa, Q‘a) wyznaczone warunkami uwzględnionymi w uv. Pcc+QJ, P'a + Q'J będą peryodami funkcyi Uv=uv-{ vvi a w jej wyznaczaniu będzie można widocznie P«, P'a przyjąć zupełnie dowolnie. Uwzględniając to, dojdziemy do takich twierdzeń :

II a. Funkcyę Ul rodzaju pierwszego wyznaczamy, dając jej dowolną wartość (skończoną) na dowolnem nieosobliwem miejscu powierzchni IR i dowolne wartości pierwszorzędnych części w jej peryodach.

II b. Funkcyę U₂ rodzaju drugiego wyznaczamy, dając jej dowolny biegun (stopnia P°), spowodowany dodajnikiem (z—c)_1, a zresztą zatrzymując warunki twierdzenia II a.

II c. Funkcyę U?> rodzaju trzeciego wyznaczamy, dając jej dowolnie dwa punkty logarytmiczne, uwidaczniające się dodajnikiem logz~Ci, a zresztą zatrzymując warunki twierdzenia II b.

O ile te funkcyę mogą być, lub są identyczne z samemi całkami Abla rodzajów 1.., 2., 3., wykażą dalsze poszukiwania.

Dwie funkcyę harmoniczne uv, vv tego samego rodzaju: v i takie, że (uv\vvi) jest już funkcyą urojonego argumentu, nazwiemy sprzężonemi.

Weźmy pod uwagę parę sprzężonych harmonicznych funkcyj (ui,vi) rodzaju pierwszego i przyjmijmy, że przy pewnych obranych stałych a, b, c może zachodzić związek :

au₁ zrbvl=c.

(3)

Z niego dostajemy :

+iiSL=0

дщ

dvl

a stąd :

dy dy дщ dv₁ dvi дщ дх ду    дх ду

То jednak jest niemożliwe, bo pochodne funkcyj w1} vi związane są zawsze relacyami:

du dv    du

дх

дх

0.

dv

дх ду ’ ду

дх '

Związek (8) jest więc niedopuszczalny, (chyba, źe a=b=ć). Weźmy inną funkcyę harmoniczną u₂ znowu rodzaju pierwszego, ale taką, aby się nie wyrażała formą Aui-\-BviJr C. Doszukajmy do niej funkcyi sprzężonej v₂ i przypuśćmy, że między funkcyami ui, v^, m₂, v₂ może istnieć związek:

(4)

аи± -\-bvx d-au₂Jrßv₂ — c‘i gdzie spółczynniki i wolny wyraz c‘ nie są zerami. Lewa strona w (4) jest pierwszorzędną częścią funkcyi :

V=(a—bi)(u₁ ■i-v₁i) + (a—ßi) (uz—V'S) > a drugorzędna część tej funkcyi ma postać :

(б)

— buv + civ i —ßu.₂ — av₂, a ta — w przypuszczeniu, że związek (4) istnieje — musiałaby także być stałą (bo do funkcyi, która =const., może należeć tylko funkcya sprzężona, która znowu = const.).

Z (4) i (5) dostajemy:

(6)

(aa — bß)ui -^(baJraß)vi ■\-(a2jrß<l)u₂^=const.^ tu a = ß=0 przyjąć nie można, bo wtedy (5) daje relacyę :

— Ъщ -f avi — const,

która, jak już dowiedliśmy, jest niedopuszczalną. Grdy zaś сгфО, /ЗфО, to (6) wskazuje, że и₂ = Ащ + Bv₁ + 6y, a to znowu już samym wyborem u₂ wykluczono. W ten sposób możemy iść dalej , aż wreszcie dojdziemy do p par:

(% : vq)

sprzężonych funkcyj rodzaju pierwszego, a w nich zawarte funkcye w liczbie 2j? będą od siebie niezależne. Przez takie funkcye można będzie — jak w tw. I. art. poprzedź. — wyrażać każdą najdowolniejszą harmoniczną funkcyę rodzaju pierwszego. [Picard Traite d’Analyse, T. 2., str. 475].

ROZDZIAŁ XXI.

Zastosowania funkcyj harmonicznych.

<v'

166. Własności peryodów funkcyj (urojonego argumentu) rodzajów: 1*°, 2»° i 3^°. Niech P, Q będą dwiema funkcyami harmo-nicznemi rodzaju pierwszego na danej powierzchni Eiemanna ïït

rzędu ę. Poprowadźmy w niej kołowe przekroje Ka, K‘a i przekroje i [art. 163.], to brzegi tych wszystkich przekrojów

#2> •••>

dają jedno zamknięte pasmo:

(1)

(<7i + 3*1.+    + i + ^ + ^) = 00 [1- c<]?

a wskutek niego powierzchnia 9Î przeszła na powierzchnię 91* jednokrotnie już zwartą. Zauważmy całkę podwójną :

dP dQ dQ dP dx dy dx dy

(2)

-fj(

j dx dy

sumującą swoje elementa w całem wnętrzu powierzchni

Stosując tu całkowanie przez części i uwagi podane w art. 111., dostajemy:

d²Q

f Pd-ß- dx -J dx

4p>-n

ffpSdxdv=fpL

dxdy

dx dy +

dQ

dx+

dQ

dy

dyj

a więc :

(3)

=j PdQ.

łśTa obydwu brzegach każdego przekroju qa mamy te same wartości P, a że przebiegając pasmo (и) przebiegamy jeden brzeg każdego z tych przekrojów wprost w przeciwnym kierunku jak brzeg drugi, więc wszystkie całki :

«= 1, 2,    q—1.

J PdQ=0

QadrÇl'a

Przejdźmy do tych części całki (2), które obliczać trzeba po brzegach Xa, Я‘а koła Ka. Załóżmy, że P ma peryody P«, P‘a tak, że na kole Ka mamy:

P+=P-+A

ma

peryody Aa, A³

(4)

Q+-— Q +P

a na kole K‘a:

(5)

P+=P-~M'a,

Q+~Q-+B‘

(6)

fPdQ= j(P- + A„)dQ- fP-dQ

X'd!

a tu obie całki po prawej stronie obliczamy już w dodatnim kierunku po obydwu brzegach Aa, A‘a. Po uproszczeniach mamy z (6):

jPdQ=Aa I dQ.

(7)

^os

Niech koła Ка)К¹а przecinają się w punkcie r. Gdy od punktu r poczynając przebiegamy koło Ka w dodatnim kierunku, to opuszczamy w punkcie r brzeg odjemny /ia koła K'a, a potem — po całkowitem okrążeniu po K‘a — wracamy do punktu r, do brzegu dodatniego koła K‘a [por. n. p, fig. 71., str. 463.]. Wskutek tego będzie:

fdQ

= Q⁺—Q~ na Kla=Q-i+B‘a— Q-=+B‘a]

całka (7) da więc wartość Аа.В'а, a suma wszystkich części całki (8), odnoszących się do brzegów kół Ka, będzie =2AaB‘a. Przechodząc do całkowali po brzegach y‘a kół K‘ai zauważymy przedewszystkiem, że poruszając się na (V) w ten sposób, że brzegi A¹ a przebiegamy dodatnio, przebieżemy, schodząc potem na brzegi kół K‘a, właśnie fia dodatnio, a y‘a odjemnie.

Po zastosowaniu dalej tych samych rozumowań, co wyżej, dojdziemy do wniosku, że te częci całki (3), które się odnoszą do brzegów kół K‘a, dadzą — 2A‘aBa. W rezultacie mieć więc będziemy :

(^)

//(

dP dQ dQ dP dx dy dx dy

\dx dy=2(AaB‘a—A¹'aBa). / «

To równanie jest — jak zobaczymy — wielkiej doniosłości.

posiada peryody:

1°) Niech P, Q będą harmoniczne sprzężone funkcye rodzaju pierwszego. P+Qi jest wtedy funkcyą Ui pierwszego rodzaju urojonego argumentu z

2 co‘(e=A‘a-hB'J.

—AK-\~ B ai

dP __ aę dy ~ dx ’

Między P i Q zachodzą związki : dP

dx dy

a wskutek tego relacya (A) przechodzi na :

f/{(Ш⁺(f")    a‘«b«î-

uwzględnieniem równań (4) i (5) dostajemy :

Tu lewa strona jest zawsze dodatnia tylko wtedy, gdy P, a więc i Ç są stałe. A więc i prawa strona jest zcwsze dodatnia, To znaczy:

a zerem może być

I. Pierwszorzędne i drugorzędne części per godów każdej funkcyi pierwszego rodzaju, a urojonego argumentu z, spełniają warunek :

(8)

2[AaB‘a-A‘aBa\> 0.

Gdybyśmy przyjęli, że wszystkie 2<ya=0, to wtedy wszystkie Aa, Ba musiałyby być zerami. Nierówność (8) jużby się nie spełniła, a że to niemożliwe, więc mamy twierdzenie :

II.    Funkcya Ui nie może mieć wszystkich peryodów 2o)a na kołach Ka — (lub peryodów 2o)‘a na K‘a) — o wartości zero.

Z tej samej przyczyny dochodzimy do wniosku:

III.    Wszystkie peryody 2a>a, 2co‘a funkcyi JJX nie mogą być równocześnie albo rzeczywiste, albo czysto urojone.

II⁰) Samo przez się rozumie się, że w całce J można P i Q pojmować jako dwie różne funkcye pierwszego rodzaju argumentu urojonego z, a nazywając wtedy:

A-a ⁼ 2ct)a, A‘a—2(0 a , P« —В й = 2(л) « dojść do formy (A), która się tu teraz tak przedstawi: dPdQ_dQ^dP дх ду dx dy

Lecz tu w każdym punkcie powierzchni 91 mamy :

dP    dP .dQ    dQ

дх    ду ’ dx

"Wskutek tego w (9) mamy po lewej stronie zero, a to znaczy:

(9)

//(

i.

) dx dy = Ą2((Oa(0‘a— 0)‘a0)a).

/    cc

dy '

IV. Między peryodami (2соа , 2<n'a), (2coa, 2co'a) dwóch różnych funkcyj P, Q pierwszego rodzaju, urojonego argumentu z. zachodzi zawsze z wiązek :

(10)

2(ù}aO) a O)    — 0.

a

a P peryody 2rj

2(o‘

III⁰) Niech teraz Q będzie funkcyą pierwszego rodzaju urojonego argumentu z, a P takąż funkcyą rodzaju drugiego z biegunem c. Q niech posiada peryody 2co 2rfa. Z dowolnego punktu q brzegu poprowadźmy do punktu c przekrój l, a powierzchnię 9f*, opatrzoną już tym przekrojem nazwijmy 9L,;. Brzegi przekroju l nazwijmy: V, l". Przechodząc pasmo (x), trzeba teraz z punktu q podążyć po l do c, a potem po V wrócić znowu do q, aby dalej prowadzić posuwanie się po paśmie (x). Przez to równocześnie okrążamy punkt c w dodatnim kierunku.

W każdym punkcie wewnątrz г mamy :

*ŁdA-dA*Ł_₀

dx dy dx dy ’

a więc tu będzie całka J= O, a wskutek tego uwzględniając (8), mamy :

j PdQ    PdQ + J PdQ=0.

V+V

(11)

*4- l'+l"

Całka o drodze и daje tu AS (а)аЦ'а—(o'ofla)-Aby drugą całkę obliczyć, zauważmy, że w otoczeniu punktu c mają Q: P takie rozwinięcia:

P.

Q=Co + 0±(z—c) + C₂(s—c)² + ...

(s—c)d8, a całka JPdQ₁ =

Stąd P.dQ=-

Z—C

a.2m.

l+l'

Wracając do (11), mieć będziemy:

(12)

А2(^айУ—rj,a(oa)+2jiiCi— 0, czyli: C, ni

gdzie

IV⁰) Niech teraz P będzia funkcyą trzeciego rodzaju urojonego argumentu z, a Q funkcyą rodzaju pierwszego. P niech posiada logarytmiczne punkty clf c₂ i peryody 2wa, 2w'a, a Q niech ma peryody 2w«, 2o)'a.

W otoczeniach cx, c₂ mamy :

P=log{z—) + $!(*—Ci); P——log (z—c₂ ) + ф₂ (s—c₂ ) ■

Gdy znowu z dowolnego punktu g brzegu Pa poprowadzimy przekrój : lx do ci i przekrój l₂ do c2: a powierzchnię z pasmem z i przekrojami Z1? Z₂ nazwiemy    , to w takiej powierzchni,

w każdym jej punkcie mamy:

//(

dP dQ dP dQ dx dy dy ' dx

j dxdy=0

, a z tego wynika, że :

=0.

^    “I” ?2

Pierwsza z tych całek ma — jak w dwóch poprzedzających wypadkach — wartość 4N(гиаоУа—Co się tyczy drugiej całki

to przekrój l± o brzegach ?1? l\ (fig. 97.) uważać trzeba za zamkniętą krzywą, po której okrążamy punkt ct w kierunku dodatnim. Grdy więc na brzegu l± jest log [z—ci)—Li, to na brzegu l\ jest log (z—ci)=Li -\-2ni. Z przekroju lx dostaniemy więc:

J'PdQ—[L^Ą-..ĄdQ-\-    Ą-2ni-\-

2

=J[Li + ...]dQ-

...]dQ=

h + ^'i

Ci

rCi

j \L i + 2^" -f-

= —2 ni

J dQ=

Fig. 97.

Analogicznie na przekroju l₂ dostaniemy:

J P.dQ =—2ni[Q(c₂)—Q{q)].

h-\-V 2

Mieć więc będziemy ostatecznie :

(13)

ni

JE(îVaù) a W c(0)a) — g [Q(Cl) ^(^2)]

a całka :

(14)

= — 2 ni

JPdQ

h+h

C₂

J dQ(s).

Cl

167. Wyznaczenie vcałek Abla rodzajów 1&°, 2«° i 3g0. Całki

normalne. Wyjdźmy teraz z równania algebraicznego f(z:rj)=0 rodzaju q, łącząc z niem powierzchnię dającą wyobrażenie o przebiegu funkcyi rj, i utwórzmy q całek pierwszego rodzaju: tTj, J₂, ..., JQ. Wiadomo, że wtedy suma:

-\-c₂J₂Ą- ...-\-cQJQ—J z najdowolniejszymi spółczynnikami :

(1)

Cß=gß+hßi, c=g+M jest znowu całką pierwszego rodzaju (a nigdy do stałej ilości zredukować się nie może — art. 83.). Połóżmy :

(2)

Jß—4ß 4-Vßi, i przyjmijmy, że ta całka ma peryod'y:

(3)

2 0)aß = AaßpB aßi

a = l, 2,

,    2(o‘aß=A‘aß-^-B'ccßi

P 5 ß“!» 2, ..., p.

Uwzględniając oznaczenia (1), (2), dostajemy :

t7—-S' (g -f- g ßUß—hßVß) -f- iS (h-\-gßVß + hßUß).

ß

Każda z sum tu wchodzących jest funkcyą harmoniczną rodzaju pierwszego, a pierwsza z nich posiada peryody :

2(gßAaß--hßB(Cß) na Kaj 2(gßA‘aß—hßB‘aß) na K‘

które są pierwszorzędnemi częściami peryodów całki J.

Spółczynniki gß, hß można tak oznaczyć, aby te peryody miały dowolnie dane wartości. Z tych uwag wynika :

I. Całka pierwszego rodzaju jest w zupełności wyznaczoną, gdy damy jej wartość na dowolnem miejscu powierzchni 91; i pierwszorzędne części jej peryodów na Ka, K‘a.

W szczególności możemy utworzyć takie całki Jß, /3=1,2, ..., p, że Jß mieć będzie peryody:

(4)

%ü>„ß=0, gdy a > ß, a 2coaa=m.

Takie całki nazywamy normalnemi rodzaju pierwszego. Są one od siebie liniowTo niezależne, a przez nie będzie można liniowo (za dodaniem jeszcze stałego dodajnika) wyrazić każdą najdowolniejszą całkę rodzaju pierwszego.

Oczywiście, że peryody każdej całki J rodzaju pierwszego, posiadać będą te wszystkie własności, jakie posiadały funkcye Ui rodzaju pierwszego [art. poprzedź.]. Z tych własności powtórzymy tu jedną, a mianowicie:

II. Wszystkie peryody 2coa lub 2co'a dowolnej całki J nie mogą

być zerami.

Między funkcyami Ux będzie też można znaleść system ę> funk-cyj o peryodach (4), a potem przez nie wyrazić każdą najdowolniejszą funkcyę £7].

Z systemu q całek normalnych wybierzmy dwie Jß, Jv. Ich peryody na kołach K‘a nazwijmy 2co‘aß, 2co‘ay, « = 1, 2, 3, ..., q.

Całka Jß ma tylko na kole Kß perjmd różny od zera, a mianowicie 2ojßß=jii. Podobnie z peryodów całki J, mamy tylko jeden peryod 2Wyy^ni, różny od zera. Gdy więc do tych całek zastosujemy relacyę (10), art. poprzedź., mieć będziemy:

2ni[(o‘ßy—co'yß]=0, cżyli :

(5)

O) ßy CO yß , ß y= 1,2, ..., Q , t. zn.: ßby peryod w całce ytei jest taki sam, jak yfy peryod го całce

Wyprowadzimy jeszcze inną własność peryodów, odnoszących się do kół K‘a w systemie całek normalnych.

W sumę J—    niech wchodzą już same nor

malne całki Jß , a Cß niech będą wszystkie rzeczywiste mi liczbami. Gdy Jß ma na kole K‘a peryod A‘aß-\-B‘Ußi, to J na

tern kole ma peryod: 22Cß(A‘„ß + B¹ aßi). Na kołach KC( ma zaś J

ß

peryody cani. Połóżmy    to harmoniczna funkcya P ma

na wszystkich kołach Ka peryody Aa—0, a na kołach K‘a peryody

A‘a=BCßAlaß. Funkcya Q posiada na kołach Ka peryody Ba=cau,

ß

a na kołach K‘„ peryody B‘    cP,A‘ aß. Zastosujmyż tu twierdzenie

ß

I. z art. poprzedź., to dostaniemy:

czyli: BcrBcß A‘aß<0.

a ß

Lecz, że A'aß=A‘ßa wskutek (5), więc ostatecznie mamy:

В CaJlBCß.A aß2Z> О

(6)

■N caCß. A aß <ó О

cc,ß

przy wszelkich możliwych rzeczywistych wartościach ca, (Cß). Ta suma może być zerem tylko w tym razie, gdy wszystkie ca=0.

Niech W będzie pewną oznaczoną całką rodzaju drugiego z biegunem c, a z peryodami 2t]a=Ca+DJ,    Gdy

J jest dowolną całką rodzaju pierwszego, to suma:

(7)

W=C+ W+J,

a jest zarazem

w której C jest dowolną stałą, jest znowu całką Abla i to nie inną, jak całką rodzaju drugiego z biegunem c funkcyą drugiego rodzaju urojonego argumentu z w powierzchni ÜÎ/. Gdy J ma peryody :

2o)a—Aa-\- Bai, 2оУa—A‘a-{-B‘ai,

to W posiada peryody:

2rja— (6" a + A'a) + (B'a + B‘a)i-

A‘a można — tworząc całkę J — wybrać całkiem

ct,

= { Ca + A a) + (Ba + Ba)i Lecz A

dowolnie , a stąd wynika :

III. Całka rodzaju drugiego jest w zupełności wyznaczona, gdy damy jej biegun, jej wartość na peimiem miejscu powierzchni 91/ i pierwszorzędne części jej peryodów na kołach Ka, K‘a.

n o r-

Niech w (7) będzie J=ciJ₁ + c₀JQ, gdzie Jß są już malnemi całkami rodzaju pierwszego. Peryody całki W na kołach Ka dadzą się wtedy przedstawić w ten sposób:

2ga+‘2cam, a=1, 2, ..., q.

Gdy więc spółczynniki ca wybierzemy tak, aby ca——gK/ni, to całka W posiadać będzie na wszystkich kołach Ka peryody =0,

со — jak widzieliśmy w całkach rodzaju pierwszego — nigdy zajść nie może. Takie całki rodzaju drugiego nazywamy normalnemi.

Peryody 27]‘a takiej normalnej całki oblicza się stosując relacyę (12) art. poprzedź, do peryodów całki w i utej całki normalnej Ja rodzaju pierwszego. Ta relacya daje tu:

(8)

2 rfa =

a = l, 2,..., ę.

Przyjmijmy, że mamy dwie całki, normalne W, W o tym samym biegunie c. Ich różnica ma być całką rodzaju pierwszego bez peryodów na kołach Ka. Taka całka jednak redukuje się do pewnej stałej C. Mamy więc W=W-\-C, a stąd wynika:

IV. Normalną całkę rodzaju drugiego wyznaczamy, dając jej pewną wartość na dowolnem miejscu powierzchni 9v i jej biegun na tej powierzchni.

Niech VCic₂ będzie pewną oznaczoną całką rodzaju trzeciego o punktach logarytmicznych cx, c₂. Gdy utworzymy sumę:

¹

Zaliczając miejsce (x,y) do coraz innej ćwiartki powierzchni 9Î, dostajemy coraz inne wartości funkcyj ux, vv

²

Przez równoczesne okrążenie punktów cu c₂ zmienia się równocześnie ®i, ?2 na ®i4-27t, ф₂-}-2гс, przez co różnica (ę,—©₂) nie zmienia się. Grdy przeciwnie okrążamy jeden tylko punkt n. p. punkt c1? zmienia się tylko ©, na <Pi —F2тс; ©₂ pozostaje to samo, a różnica (?t—©₂) przechodzi na (®t—?₂) F 2я.

³

przyjmijmy, że pasmo (x) tak przebiegamy, że po każdym brzegu dodatnim poruszamy się w dodatnim kierunku. Temsamem po odjemnym brzegu Xa kroczymy w kierunku odjemnym. Z tych -założeń i za

rClC = vCiC2+j+c,

w której J jest dowolną całką rodzaju pierwszego, a C ilością stałą, to ta suma jest całką , i to znowu całką rodzaju trzeciego z punktami logarytmicznymi w cx, c₉ Rozumując tu zupełnie tak samo, jak o całkach rodzaju drugiego, dojdziemy do wniosku:

V.    Całkę rodzaju trzeciego wyznacza się, dając jej punkta logarytmiczne, jej wartość w pewnym punkcie i wybierając dowolnie pierwszorzędne części jej peryodów na kołach Kct.

I tu dojdziemy do całek normalnych, charakteryzujących się tern, że ich wszystkie peryody 2wa na kołach Ka są zerami. O tych całkach — jak w poprzednim wypadku — udowodnimy:

VI.    Całka normalna rodzaju trzeciego jest wyznaczona, gdy znamy jej punkty logarytmiczne cx, e₂ i jeszcze jej wartość w dowolnym punkcie powierzchni 91/ poza cx, c₂.

Aby peryody 2w'a normalnej całki VCiCi obliczyć, zestawmy tę całkę z całką normalną Ja rodzaju pierwszego i zastosujmy do ich peryodów związek (13), art. poprzedź. Mamy tu wszystkie

ri

wa=0, ojß=0, /?<«, a)a=-a więc z wspomnianego związku wynika :

(9)

2tv,a=2 [Ja(ą)—Ja(cxj].

Co się tyczy funkcyj — [a nie całek] — rodzaju 2§° i 3§°, to do nich oczywiście trzeba odnieść wszystkie własności, jakie

Lecz S — jeżeli całki nie są normalne — nie jest zerem, bo wewnątrz powierzchni 9Î/,и posiada punkty osobliwe, a więc nie w każdym punkcie wewnątrz zachodzi związek: à VCiex dVgtd2 dx dy

àVd,d₂ àVCie2 Q dx ду

(И)

Gdy przeciwnie VCiC2, Vdldi są już całkami normalnemi, to wa=wa—0, a więc S= 0, mimo że związek (11) jeszcze się nie spełnia w każdym punkcie powierzchni 9Î/,

Zatrzymując założenie, że całki są już normalnemi, poprowadźmy z punktu q brzegu Я'а przekroje l₂ do punktów c1? c2 i przekroje Z₃, Z₄ do punktów di, d₂.

W powierzchni dt/,x z pasmem (a) i z tymi przekrojami już się związek (11) wszędzie spełnia, a wskutek tego mamy:

Уc^-dV^d^—0.

(■/. + h + ?2+ h~\~ h)

Lecz całka obliczona po paśmie (x) jest już zerem. Pozostaje więc :

J'YL\c₂-dVaid., + J' VCxc₂'d Vrhd₂ = 0.

w swych peryodach posiadają całki. Między funkcyami rodzajów 2g0, 3go będą istnieć także systemy po q funkcyj normalnych na powierzchni

Gdy zauważymy dwie całki rodzaju 3go: jedną Vc tami logarytmicznymi c±, c₂, a z

z punktami logarytmicznymi di1 d₂, a z peryodami 2id — jak na początku art. poprzedź. — wywnioskujemy, że:

4 SiWaW'a—U'aW^).

z punk-

peryodami 2wa, 2w‘a, drugą V(lid2

1C2

to

(10)

S= f VvAV„,„~

(12)

h~\~ h

Pierwsza z tych całek da wynik zupełnie analogiczny z (14),

rc2

art. poprzedź., a więc będzie =—2ni / dVdldi(z).

A

Co się tyczy drugiej całki, to ona po scałkowaniu jej przez części, będzie =

(13)

[Ус

i<V

JVdA-dVCiC2.

h~\~h

Podstawienie (]p trzeba tu tak rozumieć, że q w dolnej gra-nicy jest tym punktem q, w którym opuszczamy brzeg P w górnej granicy jest tym punktem q, w którym — po przebie-żeniu brzegów przekroju Z₃ + ?₄ — wracamy znowu do X*a. W obydwu punktach q ma VClc₂ tę samą wartość, a źe :

[ Pd,«*,]}=[% (?■— ^) + 2m—log (q-— d₂)—2да +...] —[log(q—d₁)—l0g(q—d₂)+...]=O,

więc w (13) wyraz pierwszy odpada ; pozostała zaś tam całka :

JVâtd₂-âVClCi=*-\-%niJ VClc₃.

bP h

Mając te wyniki i wstawiając je w (12), dostajemy związek:

à.i

(14)

1^2 1

f dVdid~ fdVc ' c\

który jest wyrazem teoremu, znanego powszechnie pod nazwą „teoremu o przemienianiu argumentu z parametrem“.

168. Tworzenie funkcyi wymiernej na danej powierzchni Rie-inanna za pomocą całek Abla rodzaju 2g0. Zauważmy h całek normalnych: Wu W₂₁ ..., Wk drugiego rodzaju, posiadających odpowiednio bieguny: ci, c₂, ..., ck, i utwórzmy wyrażenie:

(1)

F— A~\~ A₁ W₁ pP₂ W₂ Ą- ...Ą- AkWk.

F jest więc funkcyą, która w ogólności ma bieguny clf c₂, ...,c i posiada peryody:

2Pa=Ai2'qliC( pÄ22fj‘2a

na kołach K‘a. Uwzględnijmy tu formy (8) — art. poprzedź. — to mieć będziemy:

Pa-

+ ...+A

(àJg\

*\д*к

a — 1,2, ..., p ,

gdzie (^“) =

Ha(cv,rjv) są funkcyami Ha Weierstrassa. Połóżmy:

P*

Pa⁼⁼A\ Pda{.C\'Yl\ ) P A₂ IJc(Çc₂,q₂) p ...p Ak TAa(^Ck Tjk) = 0 ,

a = l, 2,

Zakładając ?0>p, gdzie ę jest rodzajem powierzchni 9^, możemy zawsze Aif A₂, ..., Ak tak wyznaczyć, że wszystkie Pa będą zerami. Ze stałych Alf A₂, ..., Ak pozostaje dowolnych (Jc—q). Funkcya F będzie więc na 9U funkcyą jednoznaczną z Jc jednokrotnymi biegu-

nami, a pozbawiona peryodów tak na kołach Ka, jak na kołach K‘a. Jestto więc wymierna funkcya pary (z,p) stopnia №°. Z tego wnosimy, że całki normalne rodzaju drugiego mogą posłużyć do utworzenia funkcyi wymiernej pary (z, rf) o danych naprzód jednokrotnych biegunach.

Uważajmy teraz Wi, W₂, ..., Wk za funkcye drugiego rodzaju argumentu urojonego z na dowolnie danej powierzchni rodzaju g, to tworząc z nich znowu wyrażenie F: dostajemy w F funkcyę urojonego argumentu o k biegunach c1} c₂, .,., c*, zresztą wszędzie skończoną , oznaczoną i ciągłą. Po za punktami rozgałęzienia po-' wierzchni 9t rozwija się F w otoczeniu dowolnego punktu na każdej gałęzi na zwykły szereg potęgowy, a rozwinięcia z ułamkowymi wykładnikami przypaść mogą jedynie tylko w punkty rozgałęzienia, których oczywiście jest tylko skończona ilość. Funkcya F ma zatem charakter funkcyi algebraicznej i to monogenicznej , bo już w samej powierzchni 9ł można się z każdej jej gałęzi na każdą inną dostać po stosownych drogach. Przyjmijmyż, że 9Ï ma m gałęzi, to funkcyę F określi równanie algebraiczne nieprzywiedlne :

/•(*»=0

тЩ° stopnia w F. Powierzchnia wyobraża już teraz przebieg funkcyi F i staje się powierzchnią 9U. Równanie f=0 należy do całej klasy [art. 69.] równań tego samego rodzaju p, a wszystkie miejsca dwóch którychbądź obrazów algebraicznych jednej klasy odpowiadają sobie nawzajem jednoznacznie. Stąd wynika:

I.    Danej dowolnie powierzchni 9г odpowiada cała Masa równań algebraicznych (tego samego rodzaju).

Gdy powierzchnię 91 uznamy za 9ł/ i utworzymy — wychodząc z równania /= 0 — całki rodzaju lg0, 2g0 i 3g0, to, po uwzględnieniu warunków, jakimi takie całki dają się w zupełności określić, dojdziemy do wniosku:

II.    Funkcye rodzajów : 1., 2., 3. urojonego argumentu z, na dowolnej powierzchni 91 rodzaju q , są wprost całkami rodzaju F°, 2⁹°, З⁹⁰, utwórzonemi na podstawie pewnego równania f— 0, które można uważać za należące do 9ł.

169. Odwracanie całki Abla rodzaju lg0. Moduły. Zauważmy ogólną całkę rodzaju lgo :

(1)

u == / ij){z)dz

yj(z)

Gn-зО, v)

gdzie /'(#,77) =O jest równaniem rodzaju q, G łączonej krzywej (n—3)s° stopnia, a /’O, rj\ f(z, rj).

w—3

—O równaniem do-

Niech ru r₂, r? będą na powierzchni 9Î/ punktami, w których się odpowiednio przecinają z sobą koła (Ku K\), (K₂,K‘.₂), ..., {KQ,K'Q), dające peryody (2^, 2^), (2o>₂, 2a/₂),    , (2^,2^).

/К

Fig. 98.

\    / Po zamienieniu tych kół na przekroje

dostaniemy z każdego z punktów r« aż 4 punkty ; X da początek punktom :

(*'i, V,^i ",V") [fig- 98.]

Przyjmijmy, że w całce (1) jest jej górna granica 8==ri, że droga (£₀.--X) nie przecina żadnego z kół AT«, K‘ i że wtedy :

KŁ

i t. d.

a = l, 2

/ ip(z)ds=

Gdy przebiegnie obydwa brzegi kół Ki, K\ [podczas czego przeszło przez punkta rx\ г₄", rx“\ i wróci do punktu rl7 punkt ux równocześnie na płaszczyźnie (u) rozpocznie ruch i opisze obwód P₁ pewnego równoległoboku Bx (krzywolinijnego lub prostolinijnego) o wierzchołkach :

[эд^, ux -}-2ojx , ux -j-2ojx -f-2co\, ux -j-2оУx].

Mając to, dajmy całce (1) górną granicę 0—r₂, przyjmując znowu, że droga (0o...r₂) nie przecina żadnego z kół KC(: K‘a: a= 1, 2, ..., p. Niech wtedy :

-в

= M2»

a r₂ niech znowu przebiegnie brzegi kół iT₂, K\ i niech wróci do punktu r₂. Punkt u.₂ na płaszcyźnie w rozpocznie równocześnie ruch opisując obwód P₂ równoległoboku P₂ o wierzchołkach:

[«2, w₂+ 2w₂, w₂+2ü>₂ + 2ü>⁴₂, M₂+2ct)'₂].

Tak samo postępujemy dalej ; wychodzimy więc z punktów r₃, r₄, ..., rQ, przebiegamy brzegi kół (K₂, K‘ ₃), ..., (KQ,K‘Q) i tworzymy na płaszczyźnie (w) równoległoboki P₃, P₄, ..., P? o obwodach P₃, P₄, ..., Pp. Zbiór obwodów (P₄ +P₂4-...+P?) jest odwzorowaniem brzegówr :

(^1 + ^1 +-”+^<>+р£> + <М'1 + (W'i + ■.. +    + jW'p)

wszystkich kół (KaĄ-K‘a)i a=l, 2, ..., p. A gdy powierzchnię ift/ z wykonanymi w niej przekrojami wzdłuż tych kół nazwiemy Ш/г

to pytanie zachodzi, jakie punkty na płaszczyźnie (u) są odwzorowaniem tej powierzchni Щ/-. Na to, gdy zauważymy, że u nigdy nie jest nieskończone (chyba za dodaniem nieskończonych wielokrotności peryodów), mamy odrazu odpowiedź taką : Powierzchni Щ/- — punktom z tej powierzchni — odpowiada suma wnętrzy równo-ległoboków t. j. 2^ = (Ri -\-R₂    R₀). [Zewnętrzna część, rozcią

gająca się poza Zt, nie może jej odpowiadać, mieszcząc w sobie punkt u==oo ].

R₀, z których każdy mieści

2 1 ‘"1

Lecz powierzchnia зр jest zwartem continuum. Takie samo więc continuum musi się dać utworzyć i z Z tego wynika, że prze-dewszystkiem równoległoboki Rt1 R się na osobnej płaszczyźnie Sa (liściu), muszą się z sobą częściowo przykrywać. Dalej muszą być możliwe przejścia z każdego z tych równoległoboków do każdego innego. Połóżmyż z—<p(u) i zaważmy wspólną część al wszystkich równoległoboków Ra, a=l, 2, ..., q. Gdy dowolny punkt u wyjmiemy z tej części, to według tego, do którego równoległoboku go zaliczymy, dostaniemy na funkcyę z w ogólności q wartości zi, #₂, ..., zQ, między sobą różnych. "Wartości za przywiązane są do punktów u, zapełniających równoległobok Ra. Obok ai zauważmy obszar a\ samych takich punktów u w 2f1? że w nim każdy punkt u należy przynajmniej do dwóch równoległoboków Ra. Gdy z tej części wybierzemy takie punkty

w, w których mamy ^=0, to będą-to wartości u całki (1), odnoszące się do takich z, które dają (ти_₃(0, ту)= 0 poza punktami rozgałężenia równania f(z,7])--^0. Że zaś dołączona krzywa 6rra_₃=0 przecina krzywę /‘—O poza punktami rozgałęzienia w (2{?—2) punktach pi, p₂, ...,    2, więc w części a\ będzie tyleż punktów u

dających ~=0.

Z drugiej strony warunek y;=0 przeszkadza jednoznacznemu wyrażeniu funkcyi z przez u w otoczeniu każdego takiego punktu. Każdy taki punkt będzie więc pewnym punktem rozgałęzienia funkcyi z=q)(u). Z tego wynika, że gdy w a\ (w Z i) zrobimy przekroje    V%P%i •••> рц-грц—2 nieprzecinające się z sobą i z tych

przekrojów utworzymy linie przejścia podług natury punktów rozgałęzienia funkcyi z, zmienimy system Zx na system jednolity przypominający swą budową powierzchnię Kiemanna o liściach. Linie przejścia umożliwiają w niej przejście z wartości #, rozpostartych na dowolnym równoległoboku Ra do wartości rozpostar-

tych na dowolnym innym równoległoboku Bp, ß%a. [Gdy q=2, to powierzchnia Zi będzie miała taką postać, jak ją fig. 99. przedstawia].

Tak utworzona zwarta już powierzchnia Zi przedstawia przebieg funkcyi z, zależnej od u bez uwzględnienia jeszcze jej peryodów: 2[i2naoja+2n'ccù)'cc].

Mając to, naznaczmy dwa przeciwległe boki w równoległoboku Ba przez Ъа, У

zwartych powierzchni Z₂, Zz, Zk, . identycznych z Zy. Gdy Z₂ przystawimy do Zx w ten sposób, że bok ba, należący do Zx, padnie na bok h‘a, należący do Z₂, i wzdłuż tych spadających na siebie boków spoimy Zi z Z.₂, dostaniemy zwartą powierzchnię {Zx -f- Z₂), w której już i pewne peryody funkcyi z można uwzględnić. Lecz do Zx można 4ę> powierzchni Z₂, Zz, ... przystawić podług prawidła dopieroco wyłożonego. Dalej do każdego wolnego jeszcze boku przystawionych powierzchni Z₂, Zz, ... można znowu — trzymając się ciągle tegosamego prawidła — przystawić nowe zwarte powierzchnie Z\, Z‘₂, ... (wszystkie identyczne z Zx).

W ten sposób postępować możemy bez końca. Przezto utworzy się powierzchnia Riemanna Z^)U) o nieskończenie wielu liściach, a o peryodycznie powtarzających się punktach rozgałęzienia pi: p₂, ..., p2ę-2- Taka powierzchnia daje już zupełne wyobrażenie o przebiegu funkcyi <p(u) z uwzględnieniem wszelkich możliwych jej peryodów. Każdy punkt u tej powierzchni należy do nieskończenie wielu listków, funkcya (p[u) jest więc nieskończenie wielowarto-ściowa. Stąd twierdzenie :

I. Odtvrocenie całki Abla rodzaju P°, należącej do obrazu algebraicznego rzędu £^>1, daje funkcyę nieskończenie wielowartościową,*).

Zauważmy ogólną całkę rodzaju pierwszego:

u—J—C-f- CiJi + C₂J₂ +... -f- CQJQ.

T,

Fig. 99.

i utwórzmy dowolną liczbę

”7

(2)

*) Por. co do tego: Eiemann. Ges. Werke, str. 120—121. C a s o r a t i. „Les fonctions d’une seule variable à un nombre quelquonque de 'périodes¹¹. Acta math. T. 8., str. 345—859. „Les lieux fondamentaux des fonctions inverses des intégrales Abéliennes“. Acta math. T. 8., str. 360—386. [Casorati zajmuje się odwróceniem dowolnej całki Abla i przychodzi do wniosku, że każde takie odwrócenie daje funkcyę nieskończenie wielowartościową. Powierzchnię Z\ nazywa „lieu fondamental“].

С, Ga są tn stałe, a Ja są dowolnemi całkami rodzaju pierwszego. Na powierzchni 91/ można punkty ri, r₂, w których mają się przecinać z sobą koła (Ki, iCj), (7C₂, iT'₂), obrać zupełnie dowolnie. Z tego powodu każdy z wierzchołków w1? w₂, ... można na odpowiednich listkach Si: S.₂, ... umieścić zupełnie dowolnie. Po obraniu ich w pewien sposób, trzeba dalej, aby Zi utworzyć, znać peryody (boki każdego z równoległoboku Ва) i (2(>—2) punktów rozgałęzienia u=pup₂₁ ...,i?2? -2- Otóż w całce (2) mamy ({?-fl) stałych dowolnych. Z nich (7«, « = 1,2, ..., ę mogą posłużyć do oznaczenia q peryodów 2(oa, a = l, 2, ..., p, według upodobania, a stała C do oznaczenia położenia jednego z punktów rozgałęzienia, n. p. punktu pl.

Z tego wynika, że na każdym liściu Sa możemy punkt

2o>a) obrać dowolnie. Bok zatem (мсг...г«₀,-|-2осг) jest dowolny. Boki (wa...wa + 2&)'a) — jest ich — nie będą już dowolne, a tak samo i punkty pv. v—2, 3, ..., 2q—2 będą już zależne od px i 2co

«=1, 2, ..., Q.

Peryody 2co'a i punkty pv przedstawiają się jako {3q— 3) wielkości :

(2)

Мх(рх,2ых, ..., 2(Oa)f, x = l, 2, ..., 3p—3

zależnych od ^ i 2<ya. Po ich obliczeniu dostaniemy już powierzchnię Zx w zupełności oznaczoną i utworzoną.

Mając to, wybierzmy z klasy, do której /‘=0 należy, jeszcze jedno równanie /' = 0, i utwórzmy powierzchnię Riemanna 91/-/. Powierzchnie 9î/, 9ł/> odpowiadają sobie wzajemnie i jednoznacznie-Stąd wynika, że gdy całkę J przerobimy przez odwracalne podstawienia na całkę :

u—J—C-\r CXĄ -f- CqJq ,

używając tych samych C, Ca, co przody, to na odpowiadających sobie drogach zamkniętych lub niezamkniętycli mamy u=ü, a w tych

du

du

samych punktach, w których jest -=-=0, mamy także -=-=0 i naod-wrót. Całka ~J ma więc znowu peryody 2a>ce, 2(o‘a\ jej powierzchnia ~ZX analogiczna z Zx będzie zarazem identyczną z Zx) punkty px,p₂, •••? P2q-2 są w obydwu powierzchniach tesame. Uważajmyź i tu 2(0

p, i punkt px jako dane , to pozostałe peryody 2o)'a i punkty p2: p₃,    P2q~2 będą tu wielkościami:

Mx(pi,2(oiJ...,2o)g)/,₁ ге= 1,2, ..., 3j3—3 podług tychsamych reguł utworzonemi, co wyrażenia (2) w obrazie

«=--1,2

Przytem. oczywiście mamy :

(3ę>—3).

x=l, 2, 3

ШРм —, 2coQ)/=Mx(pi,2(oi,..., 2û)ç)/t Stąd twierdzenie :

II. Jedna klasa krzywych posiada (3q—3) modułów, t. j. wyrażeń, które — utworzone podług tychsamych praw dla dowolnej krzywej tej klasy — maja tesame wartości.

170. Zastosowanie funkeyi harmonicznej do odwzorowań dwóch obszarów jednokrotnie zwartych. Wiemy już z art. 152., co rozumieć przez cząsteczkowe odwzorowanie dwóch jednokrotnie zwartych obszarów, danych na dwóch (różnych) płaszczyznach. Zajmiemy się tu teraz bliżej możliwością takiego odwzorowania, opierając się na dowodach o istnieniu funkcyj harmonicznych.

pewien punkt z — z₀ wewnątrz A. Wskutek tego a równanie f(z) = 0 nie może — oprócz

We wnętrzu pewnego obszaru A, leżącego na płaszczyźnie (z), a ograniczonego jedną linią analityczną s (złożoną z samych łuków regularnych), istnieje zawsze — jak wiemy — jedna tylko funkeya harmoniczna z danemi wartościami na s. Otóż to istnienie takiej funkcyi posłuży do udowodnienia, że obszar A można zawsze sprządz cząsteczkowo z kołem K, które leżąc na płaszczyźnie (w) ma środek w punkcie w—0, a promień =1. Przyjmijmy, że takie sprzężenie określa równanie w=f{z)₁ i że środkowi koła w=0 odpowiadać ma założenia jest f'(zO) = 0 pierwiastka z₀ — mieć wewnątrz i i na ograniczeniu s żadnych innych pierwiastków, bo w przeciwnym razie odpowiadałoby punktowi w=0 więcej punktów w A, a to się sprzeciwia jednoznacznemu odwzorowaniu. Z tego wynika, że :

w-=f\z)=(z—zQ) e¹¹^,

gdzie H{z) ma być funkcyą analityczną i jednoznaczną w całem wnętrzu A. Połóżmy :

a więc:

z=x-\-yi, z₀=x₀+y₀i, z—z₀=recf,ij r=V{x—ж₀)²-Ну-у₀)², (p=arctg^i połóżmy dalej: H=P(x:y) + Q(x,y)i, to dostaniemy:

ĄU _₌ YQrf' . C^^~    — f>(P~hł°9 r)Ą-i (Q-j-Çp).

Aby ograniczenie s odpowiadało właśnie obwodowi koła, trzeba aby na wszystkich punktach z tego ograniczenia było \w\ — l, a to

40

Teor. funkcyj analit. T. II.

się osiągnie, .gdy założymy, że na ograniczeniu s mamy :

P-\rlogr=0, czyli P=—logr.

Funkcya P jako część pierwszorzędna analitycznej funkcyi H{z) jest harmoniczną, a ma posiadać tę własność, że w punktach z na ograniczeniu s ma dawać wartości:

—Jog r = - logV(x—x₀У² + (у-у₀)².

Taka harmoniczna funkcya istnieje, a że:

XIJ f (dP dP ₇ \

Q=l(^d,J+Ę-dx) + c

więc istnienie funkcyi f\z) mamy już dowiedzione. Połóżmy:

P logr= Ui Q+q)=V,

to mamy: w=f(z) — eu+Vi ₇ a stałą c mieszczącą się w Q — a więc i w F — wyznaczymy, żądając, aby dla pewnego punktu 0 = £ ograniczenia s (tam jest statecznie U=0) było: f\^) = exi=w‘, t. j. aby punktowi £ na obwodzie .s odpowiadał pewny obrany punkt w' okręgu koła K. Mamy więc twierdzenie :

I. Dany jednokrotnie zwarty obszar A [na płaszczyźnie (z)] o obwodzie analitycznym s, można zawsze sprządz cząsteczkowo z kołem К [na płaszczyźnie (w)J₇ o środku w—0 i promieniu = 1, obierając we wnętrzu A punkt z₀, który ma odpowiadać środkowi w=0, a na ograniczeniu s punkt <j, odpowiadający pewnemu punktowi w‘ okręgu koła.

Przyjmijmy, że już i forma funkcyi f(z) — a więc i funkcyj U, V — jest znana; połóżmy U=fi(x,y), V—f₂(x,y), gdzie fi = — co w punkcie (x₀y₀), a/t=0 w każdym punkcie obwodu s, i zauważmy równania :

(a)

fi — « = 0, Ą— b = 0

które mają określać krzywe linie, zmieniające swój kształt ze zmiennymi parametrami ô,ô, [—oo ₌<.a^~ 0]. Dia pewnej obranej wartości a, a przy dowolnem Ъ dostajemy:

jv\ = ea,

a to wskazuje, że krzywe /, — a = 0 odpowiadają kołom к , współśrodkowym z kołem К

a leżącym we wnętrzu tego koła. Grdy a= — co, dostajemy vj = 0, a krzywa /, — a — 0 zmalała do punktu (ж₀у₀). Gdy a dowolnie zbliża się do zera, dostajemy w równaniu /t — a=0 krzywe, dowolnie się zbliżającą do obwodu s, a odpowiadającą kołu k, zbliżającemu się dowolnie do okręgu koła K. Przyjmijmy teraz b = const., a a dowolne, to wtedy dostajemy:

iv=ea.bhi

a — ( — co ...0),

a takie punkty w tworzą widocznie promień koła K, nachylony o kąt Ъ do osi pierwszorzędnej płaszczyzny (w).

gonalnie.

Z tego wynika, że każde dwie krzywe (a) przecinają się z sobą orto

TJtwórzmyż 2 gromady krzywych.:

/l as — 0

Л-К=о

s —1,2,3,

to im częściej po sobie następują dwie krzywe jednej i dwie krzywe drugiej gromady, tern dokładniej zbliżają się cząsteczki obszaru A, podzielonego przez te gromady do kwadratów. Każdy taki kwadrat odpowiada pewnemu kwadratowi, utworzonemu w kole К przez dwa sąsiednie promienie i dwa sąsiednie koła, a podzielenie w ten sposób obszaru A i koła K, odpowiada właśnie cząsteczkowemu odwzorowaniu.

Gdy mieć będziemy dwa różne jednokrotnie zwarte obszary A, A‘ z ograniczeniami s, s‘ na płaszczyznach (z), (£), to możemy obydwa sprządz cząsteczkowo z kołem K. Jednemu punktowi го koła К odpowiadać będzie jeden tylko punkt z w obszarze A i jeden tylko punkt £ w obszarze A*. Lecz przez to mamy już same obszary A, A‘, sprzągnięte ze sobą cząsteczkowo z odpowiadającymi sobie punktami (#,£). Stąd twierdzenie:

II. Dwa jednokrotnie zwarte obszary można zawsze sprządz ze sobą cząsteczkowo.

Zauważmy podstawienie liniowe:

auĄ- ß

Wc= yu + ó ’

w którem a, ß, y, ó są stałe, i przyjmijmy, że na płaszczyźnie (w) mamy koło o środku w punkcie w=A-\- Bi, a o promieniu R.

Połóżmy: w=X-\-Yi, го₀—Х—Yi: A + Bi=q, A—Ri=^q₀, to równanie takiego koła w układzie prostokątnym (X0Y) można w ten sposób napisać :

(1)

(2)

\w-(A-\-Bij\[wQ —(A—Bi)\=R², albo: w.Wę—qw₀—q₀w-\-p=O, gdzie p=q.q₀—R²-Naodwrót każde równanie :

Sw.w₀ — Tw₀ — T₀w+P= 0, w którem S, P są rzeczywiste, a T, T₀ sprzężone, określa pewne koło w płaszczyźnie (го).

Gdy w przez u wyraża się formą (1), to :

(3)

... aouo +ßo

° 7o%+V

gdzie (wd, a₀, ßQ, y₀, Ôq) są sprzężone odpowiednio z (u, a , ß, y, ô). Wstawmyź (1) i (4) w (2), to dostaniemy po skróceniach równanie :

(4)

. (5)

Su.u₀ — Tu₀ — T₀ u -f P= 0 S=aa₀— qa₀ y—q₀ ay₀ +pyy0 ßßo —qßoä—qoßö+pöö₀

w którem

są rzeczywiste ;

T= qa₀ ô + q₀ßy₀ —py₀â- a₀ ß₀

I są sprzężone.

т₀=q₀ aôo+qßo y-Po rô о—<*ß

Równanie (5) jest więc równaniem koła, a stąd twierdzenie:

III. Równanie w={au-\-ß)/(yu-\-ô) sprzęga ze sobą 'płaszczyzny (u), (w) nietylko cząsteczkowo (a więc i izogonalnie), ale daje zarazem kołowe pokrewieństwo tych płaszczyzn.

W szczególności, gdy w (1) wybierzemy stosunki a:ß:y :ô w ten sposób, aby 3 punktom wi, w₂, wz odpowiadały 3 punkty м1; м₂, m₃, leżące na prostej linii, to przez takie podstawienia odpowie kołu przechodzącemu na (w) przez wi, w₂, w₃ prosta linia, przechodząca przez ui: m₂, m₃.

Mając ten rezultat, powróćmy do równania w = f(z) i zastąpmy w niem w przez (au+ß)/(ум + d), obierając a, ß, y, d tak, aby trzem punktom wx, w₂, w₃ koła К odpowiadały trzy punkty uu m₂, m₃, leżące na osi pierwszorzędnej ||' płaszczyzny (m). Zrównania w=f(z) dostaniemy już teraz związek u—F (z), a jeżeli punkt m₀, odpowiadający punktowi w=0 leży w połowie м (nad ||', lub pod II') płaszczyzny (m), to równanie ti=F(z) daje odwzorowanie obszaru A w połowie płaszczyzny m.

Przyjmijmy, że obwód s składa się z jednego tylko łuku regularnego, określającego się równaniami:

(6)

x=(pi(u),    y=cp₂(u),

zawieraj ącemi rzeczywisty parametr u i że gdy м zmienia się od — oo do +00, to punkt (x,y) przebiega cały obwód s. Jego punktami w płaszczyźnie (z) są więc :

(7)

X+у i epx (u) + cp₂ (u)i — Ф(и).

(8)

Zmieńmy м na urojoną zmienną m+w=m>, i połóżmy: z = 0(w) = Ф(и+vi).

Gdy tu w jest rzeczywiste =u i zmienia się od —oo do +cc, to w przebiega całą oś pierwszorzędną mm' płaszczyzny (w); z przebiega obwód s, jedna połowa w płaszczyzny (w) odpowiada cząsteczkowo wnętrzu i, a to spokrewnienie cząsteczkowe określa równanie (8). Niech 0(uĄ-vi)=tf)i(u,v) + tp₂(u, v)i, to mamy:

х=грх(и:г), y=tp₂(m, V) ,

a gdy z tych równań wyeliminujemy raz u niemy dwa równania:

a drugi raz v, dosta

li (#,«/; м)=0,    (o₂(x,y, v)=0.

Gdy c1} c₂ są stałe dowolne, to m=c₁ określa w w prostą, równoległą do osi drugorzędnej vv\ a v=c₂ (c₂>0 lub <0, według

potrzeby) prostą, równoległą do osi uu‘. Takim prostym odpowiedzą w A krzywe (oi(x,y,ci)=0, (o₂(x, y ; c₂)‘=0. Krzywe te przecinają się z sobą w A ortogonalnie, a podziałowi płaszczyzny w przez proste :

(«)

s=l, 2, 3, ...

W—Cl, ej V — C2,s,

odpowiada podział obszaru A przez krzywe :

;ci,s)=0, w₂lx,y, c₂,.)=0,

Ten podział daje już dokładne wyobrażenie o cząsteczkowem spokrewnieniu (8).

iß)

s—1, 2,...

[Ponieważ prostej v—0 odpowiada sam obwód s, więc równanie (jj.₂{x:y] 0)=0 określi właśnie ten obwód].

Uwaga. Zastąpmy u-\- vi przez funkcyę F^Ą-^i) o rzeczywistych spół-czynnikach, a sama fimkcya F niech będzie taką , że przebiega swemi wartościami (raz tylko) obszar (—co...-f-оо), gdy — przy Ç₂=0 — zmienia się Ç, od — co do -f- co. Wtedy widocznie równania:

*=*viiF(M) = Ш), у=<р*Шi))= w&)

określają również obwód s. Głdy z tych równań wychodząc, wyprowadzać będziemy wszystkie relacye analogiczne z (6), (7), (8), (a), (ß), dojdziemy do związku: 2 = <|»(£₁-j-t₂i), którym pewną połowę у płaszczyzny (Ç) = (^i-{— Ç₂*) sprzęgamy z obszarem A w ten sposób , że prostym :

(«0

^2—C2S

odpowiadają tu krzywe:

(PO

Ц(*» У,    &2Х,У, c2s) = 0

s = l, 2, ...

Mamy tu więc znowu sprzężenie cząsteczkowe między obszarem A, a połową płaszczyzny, ale ono tu jest w ogólności inne, jak w wypadku poprzedzającym. Kształty krzywych (ß') zależeć tu będą od wprowadzonej — a bardzo dowolnej — funkcyi F.

Й₂(ж,?/; 0)= 0 będzie tu równaniem samego obwodu s. Przyjmijmy, że f jest górną połową płaszczyzny ('£), to wtedy równanie:

^2(^,2/ ;£) = o,

gdzie e jest dowolnie małą dodatnią ilością określi krzywe nieskończenie mało różną od samego obwodu s, a leżącą całkowicie w A. Krzywe (9) nazwiemy sąsiadującą z obwodem s.

Pokażemy, że naodwrót przez określenie w pewien obrany sposób krzywej sąsiadującej, da się zarazem i funkcya F określić. Powróćmy w tym celu do równań (6). Funkcye <?i(u), ®₂(w) zawierają same rzeczywiste spólczynniki. Jeden z nich 3 weźmy pod uwagę i przyjmijmy, że zmieniając 3 na 3 e, gdzie e jest nieskończenie małym (według potrzeby dodatnim lub odjemnym) dodatkiem, zmieniają się równania:

(9)

(10)

O,⁵), у=ъ(и>$)

określające obwód s na równania:

*1=    5) -f s Ф^и, 3), yx— ю₂(м, 3) + e Ф₂(w, 3) *)

które już określają sąsiadującą krzywe s{.

(10O

*) Wyrazów z czynnikami e², f.³, ... zaniedbano.

Tak w (10) jak w (10') moźnaby u zastąpić przez funkcyę F(Х.л) = и. Dokonawszy tego w (10), dostaniemy na punkty obwodu (s):

Gdy tu zmienimy na Ç,-f-, gdzie ć₂ jest nieskończenie małym dodatkiem — który obrać możemy w formie As, A — stała — mieć będziemy:

(П)

tIF

асл

dF

= b(F) + f\(F) ~ Ïti + ^ÇF) + o'₂(F)

4P

Çî»>

a stąd :

(ПО

dF

#2= fl(F) — ®'î(F) IT Az

dF

У2= fi(F) + f'i(.F) -Щ- Az-

Są-to równania, określające znowu pewną sąsiadującą krzywe jej kształt zależy od wprowadzonej funkcyi F i od kształtu As. Przyjmijmy, że — przy obranym już dodatku ^—As — funkcya F jest już taką, że krzywe S\, s₂, są identyczne. Wtedy (10') i (11') dają na jednej sąsiadującej krzywej st dwa bardzo bliskie siebie punkty (a^,?/,), (x₂ ,y₂). Gdy założymy, że w (10') trzeba u — F(Zx) zamienić na u—p., gdzie [r jest znowu nieskończenie małą ilością rzeczywistą, aby punkt (xt, yx ) spadł już z punktem (x₂, y₂), to oprócz (11') dostaniemy na określenie spółrzędnych x₂, y₂ jeszcze takie wzory:

^2= fi(F) — l'i(F) + s<J)d У= h(F) - H- f‘i(F) + ‘ ф2-Stąd i z (11') mamy:

(12)

d-Ci

dF

-I*•'.=—

a stąd znowu dochodzimy do związku:

A[f\^%—?/2<ï⁾i]=^-('P/i² + ?/2²)₎ czyli: AdZt Po scałkowaniu mamy:

dl,

4P.

®'l²+?V

?'1Ф2 — ?'2 Ф1

dF [Bertini, Forsyth],

tak, że FÇÇj) okazuje się odwróceniem tej całki. FÇCA-{-’Ç₂i) będzie już funkcyą szukaną, t. j. spełniającą ten warunek, aby krzywa sąsiadująca była kształtu krzywej sx.

171. Przykłady.

Pd. 1. Zauważmy związek:

(«)

2«' = (a-ó).s-f

w którym a, b są rzeczywiste dodatnie, a przytem jest a^>b. Niech:

z—r (cosy i siny), a z,—x,-\-y/i,

to z równania (a) dostajemy:

(«)

(3)

2æ/==[(«—b)r Л- (a -f- b)r—^]coso , 2«// = [(a—b)r — (a-\- b)r—l] sin ? , Eliminując stąd o, dochodzimy do związku:

(c)

Ж'²

r²

2~²[(a—ft)r -j- (a -j- ó)»*-¹]² ~ 2—²[(a—6)?—(a-}-ó}r—]]²

1,

a ten wskazuje, źe kołom г = const., leżącym na płaszczyźnie (z), odpowiadają elipsy (e) na płaszczyźnie (z'). Wszystkie te elipsy mają środek z'— 0, są współogniskowe , a ich ogniska są oddalone od siebie o 2 .у/а²—&².

Przyjmijmy teraz y—const., a r dowolne. Przedewszystkiem gdy ? = 0, mamy na (z) oś pierwszorzędną xx. Jej w (z ) odpowiadają punkty:

x‘ — 2—'¹ [(a—6)r -f- (a-j-&)»—*], y'—0,

a te leżą na osi pierwszorzędnej x'x'. Gdy cp = mamy w (г) oś drugorzędną

yy, a jej w («') odpowie znowu oś drugorzędna y'y‘. Przy innych jakichkolwiek wartościach <p — const., mamy w (z) prostą linię y = tg(p. Wyeliminujmyż z równań (a), (ß) dowolne r, to dostaniemy związek :

(a²—b²)sin²(p

x‘²

(a²—b²)cos²cp

a ten wskazuje znowu, że prostym y—tgcp odpowiadają współogniskowe hyperbole (/i), mające znowu środek z'= 0, a odległość ich ognisk jest znowu

2 у/«*—6*.

Gdy T = 1, dostajemy z (e) elipsę:

(Я)

xnJa²    yl2/b²‘= 1,

a gdy z elips (e) zażądamy takiej, która ma obejmować elipsę (E), to jej osie maj ą być :

(a—b)r-\-(a-\-b)t—a (a—6)j—(a-j-ôV—1>2й.

2(a+6)/rJ>2(a-j-&) , czyli : rcl,

a to znaczy : Przez równanie (a) odwzorowuje się część płaszczyzny (г'), leząca zewnątrz elipsy (E) we wnętrze koła r—1, lezącego na płaszczyźnie (z), a wnętrze elipsy (E), w część płaszczyzny (z), rozciągającej się poza kołem r — 1.

Pd. 2. Zbadajmy cząsteczkowe odwzorowanie, określone związkiem :

Stąd za dodaniem wynika :

■ (*)

z" 2 z' —

sn

/2-ЙТ \

w którym moduł *<1 jest rzeczywisty; z nim więc i peryody K₁ K‘ są

rze

czywiste.

Połóżmy tymczasowo: (ßK/E)js=X, = \ Ą- rj, a z'=x' -\-y'i, to mamy:

, .-,    ~ /r , .\    sni.cnr,i.dnr\i-4- snr\i.cn? dn ?

* 2(a:' + y4) = 5wÇ = w(?+riî) = —:-i--LZĘ-^--.

1 — X "SH ² ? . snżrti

Połóżmy Ç — + *(.Ä?/2), przez co w płaszczyźnie (Ç) uwzględniamy dwie proste: /; = + (K'l 2), równoległe do osi pierwszorzędnej ?;, to z uwagi, że:

(ft')

sn

СИ

dn

Z)

dostaniemy z (i') :

x‘ 4- у'i

(1 -f - x)s» ?

cn\.dn\

14~хвл²5 ’

a stąd:

(ft")

14-^SH²? ’

Te formy, gdy w nich położymy cn

си?.dn?

1 4"Х5И²? ’

?=\/l—sn²?, ć?h?=\/'1—x²sn²?, do-

</' = ±

Gdy ma być y—-\-(xK'/4:K), а лее wzorach (b") ograniczymy Ç do obszaru

(+ К... — K), a więc x do obszaru ("Г    , to wTtedy w (ó") zmienia się

ж' w granicach (+1...—1), a yJ pozostaje dodatnie. Z tego wynika, że prostej y = -f- (izK'/AK) odpowiada z koła AA półkole Aj nad osią x'xЛ Analogicznie prostej y=— (кК'/АК) odpowie z koła K₃> półkole K% pod osią x'x'.

Mając to, zauważmy na płaszczyźnie (z) prostokąt P~ o wierzchołkach:

[*=±|-} */ = ±*A'/4A], (fig. 100),

z wszelkiemi możliwemi zestawieniami znaków : (++), (4--), (--[-)> (--)•

•V

y* пК/НК

P⁻-

prowadzą do związku æ<2-f- у'г = 1. Że zaś prostym ri—d_(K‘J 2), odpowiadają w (z) proste :

r.K'

Jk ’

więc widocznie prostym (p) w płaszczyźnie (z) odpowie w płaszczyźnie (z¹) koło Kz‘ o równaniu:

(p)

(к)

æ,2-j-p,2 = l-

+V« -

S-K

I=ł-K

8_

У=-пКШ

e.

K:

Fig. 100.

Boki wpadające w proste (p) odpowiadają półkolom koła Kz‘. Co się tyczy dwóch boków pozostałych, które wpadają w proste аз= + л/2, a którym w płaszczyźnie (<Q odpowiadają proste £ = +A, to aby ich odwzorowania w (z¹) znaleźć, trzeba w (&') położyć raz: ?= -|- ii, a drugi raz: Ç= — A przy dowolnem r\. Gdy ?== -f Ah dostajemy:

a więc y' = 0, i

x 2 (x'    y'i) =cnr\H dnt\%

(&"0

cn(2Kyi/r.)

dn(2Kyi /я)

Lecz na samych bokach rozważanych zmienia się у od -j- r.K'j4A do

cnr\i

dnr\i

—r.K'/ 4A,a z (&'") wywnioskujemy, że na boku

obszarowi y = (-j- яА'/4А...О) odpowie obszar ж'= (l...x2)

ж' = (x2...1),

д    1

a więc bokowi wpadającemu w prostą x=^ odpowiadają brzegi wcięcia (l...x£), wjmdającego w oś x'x'. Podobnie bokowi, leżącemu na prostej x =—Z- odpowiedzą brzegi wcięcia (—1...—x5). Obwód abedd'efghh'a odpowiada obwodowi

».

у = (0...— -AT'/4A)

koła i brzegom wcięć, a homologiczne odcinki są naznaczone temi samemi literami. Dalej przekonać się można, że po wyjęciu wspomnianych wcięć, odpowiada tu wnętrze prostokąta Pz wnętrzu koła Kz'. Marny więc taki wynik:

V/¹).

Przez równanie (b) sprzęga sie prostokąt Рг o wierzchołkach [+ yp, +~K‘j4:K] z wnętrzem koła Kz', o środku z‘ — 0, a o promieniu — 1, ale do ograniczenia takiego koła zaliczyć jeszcze trzeba brzegi dwóch wcięć (1...V¹ ), (—1, ...

Pd. 3. Z równania:

(<0

z'= c.sinz

w którem c jest stała rzeczywista , dostajemy — gdy z‘ = x‘-j-y‘i , z—x-\-yi— związek :

X' -f- у'i ----- c [sin x.cos yi -f- cosx.sin у i].

Że zaś:

cosyi-

więc z (c‘) mamy :

ev -j- e—y

ey— e~v

i sin hy, ¹)

(«)

X¹ —c.sinx.coshy Eliminacya x z tych dwóch równań daje:

(ß)

ip = c cos x.sin hy,

xn

ул

c² cos h²y    c - sin h ²y

a to wskazuje, że każdej z prostych y — const, odpowiada pewna elipsa (e); wszystkie te elipsy są współogniskowe o oddaleniu ognisk =2c.

W razie у — O mamy z (a) i (ß) : x‘ = c.sinx, y'—O, co wskazuje, że osi XX płaszczyzny (z) odpowiada na (z¹) odcinek (—c).

е²У -j- e—² У—2

c²cos²x

Z (¹) i (ß) dostajemy dalej : 4ж'²

c²sin²x

a stąd po dodaniu wynika:

x'²

yn

c² COS²X

=1.

c²sin²x

Są - to współogniskowe hyperbole o ogniskach -\-c, —c. Odpowiadają one na płaszczyźnie (z) prostym, równoległym do osi yy.

W szczególności, gdy ж —O, mamy na (z) samą oś drugorzędną yy, a że wtedy związki (a), (ß) dają x, — 0₁ y‘ dowolne, więc tej osi odpowiada płaszczyźnie (z¹) również oś drugorzędna y'y‘.

Mając to, zauważmy na płaszczyźnie (z) prostokąt Pz, którego boki wpadają w proste: ÿ=+^j ж —    Ю1].

cos/d²(-[-X) = cosh²(—X),    sinh²(-\- X) = sinh²(—X)

więc parze prostych y=+X odpowiada jedna elipsa:

-=1.

Ponieważ :

na

(Er)

X'²

У'²

c²cosh²X

c²sinh²X

Z prostych y — + л trzeba jednak uwzględnić tylko odcinki, zawarte między prostemi x=±^-. Otóż z (a) — gdy y —-f- X stajemy: x' — {—ccoshl...-\-ccoshl). Z (ß) przy tych samych warunkach wynika У* — (0...c.sinhX), to wskazuje, że bokowi wpadającemu w proste y = -f-X odpowiada górna połowa obwodu elipsy Ez‘. Analogicznie bokowi у — — X odpowie dolna połowa obwodu tej elipsy.

Przejdźmy do drugiej pary przeciwległych boków. Gdy x = Ą- ~/2, а у zmienia się od -f X do —X, to z (ß) i («) mamy:

y'= 0, x' — c.coshy, y=(-|-X...—X),

W szczególności, gdy y —(-j-Х...О) jest: x‘=(cxoshl...c),

a    «/=(0...—X) jest x'—(c...coshV). Gdy wreszcie

przy x=—₀ zmieniać się będzie у od —X do —j— X, g dostaniemy y‘= 0, a

x‘ = (—ccoshl...—c), gdy y = (—X...0), x‘ — (—c...—ccos hl)

Obwód prostokąta abcdd'efghh‘a (fig. 101.] odpowiada tu obwodowi elipsy Ez‘ i brzegom wcięć:

(cd-\-d'e), (gh-\-h'a): a homologiczne odcinki są tu znowu naznaczone temi samemi literami. Przez równanie (c) sprzęga sie wiec czcisieczkowo wnętrze prostokąta Pz z wnętrzem elipsy Ez<, opatrzonej wcięciami A(+c;, B{-c).

Pd. 4. Widzieliśmy w Pd. 2„ że równanie:

11 ¹J — ( o...+х).

Hc)

(+c)TlA

[ю ?jp"- яи

1p- °1

Fig. 101.

U)

Vу. z'-=sin { «z)

odkształca prostokąt Pz, leżący x= + iz/2 w koło Kz< z wcięciami (+l...+\/iT).

Z drugiej strony, gdy w Pd. 3. położymy l=r.K//AK, to Pz będzie identyczny z Pz , a równanie :

na

płaszczyźnie (z)

o bokach y = + ~Kj4K.

iß)

z" = c.sin z ,    (z" — x"-\-y"i)

odkształca ten sam prostokąt Pz w elipsę :

Xй2 y"²

^²“ ⁺ T²'

CEV')

gdzie: a=c.cosh(r,K'/4K), b — c sin h (r.K'/4K), a więc c=\/a²—b². Napiszmy (A) w formie:

«re sw

г"

Y/a² —ô²

to wstawiając to za г w (A) dostaniemy:

Г2АТ

I — arcsin

(d)

г"

]-

a ten związek (d) sprzęga widocznie cząsteczkowo koło Kr, wcięte wzdłuż (±l..,±\/7) 2 elipsą Ei“ wciętą wzdłuż A(-j- c), B(—c).

Pd. 5. W równaniu :

połóżmy z — eV¹, <p =(0...2jc). Punkty z mieszczą się więc na okręgu koła Kl: o środku z— 0, a o promieniu —1. Gdy równocześnie ща być г' = г.е№*, to dostajemy z (e):

геЧ>‘ — 4/(1 -j- еУ«)², albo: — e—^* = (1 -J— eSP* )*

albo :

2    V»*'

7=e_T=l + e9>':,

\/V

albo wreszcie:

-7= COS

vv

2г

SÎM

== (1 -f- cos o) -f- i sin <p.

Stąd mamy :

Y/V

— cos

to -e-

— 1 — cos 9 ,

Y/V

a eliminacya 9 daje związek:

O)

r cos²

to -e-

=1.

Połóżmy : z¹ —xt -\-y'i, a dalej:

r =\/a?'²-)- y/2

— cos ф ,    — — sm ф

to w spółrzędnych x\ y' związek (p) w ten sposób się przedstawi :

(p)

t/'² = 4(1—a?') ;

jestto parabola, mająca za oś: x<x', ognisko w punkcie (aj' = 0, tp = 0), a przecinająca oś æ'æ' w punkcie (aj'=l, y'— 0). Taka parabola (p) odpowiada tu kołu JTj. Zauważmy parabolę:

(P#0

r cos²

= {*’>    [Ł>1 ,

która przebiega całkowicie zewnątrz paraboli (p), ma ognisko znowu w punkcie (»' = 0, у = 0), a oś: аз'ж'. Jej punktami są:

9.² e¹/"'

г'

cos²

a gdy to z¹ w (e) wstawimy, dostaniemy :

[Л²

eipi

xpi

cos² ^

(*+l)

czyli :

[ne 2

cos

z-\-1 *

Stąd mamy :

, , 2 Z-j- 1 = — cos

albo :

2 Л 2 i

— cos¥---

2    9.

—- cos

to be

sw

to be

Stąd dochodzimy do dwóch związków:

2 ₂ф

X 4-1 — — cos¹—

V-

¥“

-i-(1 +cos <Ю

sm

to be

czyli :

ÿ==“7C0S¥

aj 1 — = — cos ф

[i.    [Д.

Eliminując stąd ф, dostajemy:

— sin ф.

Jestto relacya, która określa koło К у о środku w punkcie (x= p.-², y~ 0), a o promieniu = u.-². Koło to odpowiada paraboli (« ) i leży całkowicie wewnątrz koła Kt. Gdy p. zmienia się od 1 do + co , dostajemy na płaszczyźnie (z) nieskończoną mnogość kół, odpowiadający cli parabolom (jp^) na płaszczyźnie (s'). Wszystkie te koła stykają się ze sobą w punkcie (x—— 1, y=0). Gdy P—1, dostajemy koło Kl: odpowiadające païaboli (p), gdy p. = cc, dostajemy (ж-fl)³-)- y³ = 0, a więc punkt (cc — — 1, y — 0). Z tych uwag wynika, że przez związek (e) dostajemy odwzorowanie wnętrza koła płaszczyzny (z) w tej części płaszczyzny (z²), która sie rozciąga poza wnętrzem paraboli (p).

Pd. 6. Gdy :

(/)

= f/³ iĄjVz ) , to \/г‘= tg(Ą-Vz) , a

arc

Stąd wynika :

(/')

Jl/T_ 1 +iVz^

1—i\/ z*

z = r (cos ф -f i sin <ji), z‘ — p (cos ą> -f i sin <o)

Połóżmy :

to z (/') mamy :

e^r(C0Sf + UinV)=

1 + i V 9 (cos -f i sin -)

O?)

1 — i V/p (cos -f i sin

cos —

1 — p -f 2гД/p

1 -f p — 2г v/p sm

Niech będzie cos= p. , a więc r.cos³|-— p.³, i połóżmy \/r.sin^— p.', to z równania (y) dostajemy:

П ni

e~T** . e2²*=

1 — p -f 2г\/p cos-^-

1 -f p — 2i\/p sin

a stąd:

Gdy [J. = 1, mamy na płaszczyźnie (z) parabolę :

(p)

r cos²    — 1 ,

a że wtedy lewa strona w (h) jest = -f-oo, więc być musi p = l, a to wskazuje, że paraboli (jp) odpowie na płaszczyźnie (z') koło o środku z‘— 0, a o promieniu = 1. Gdy p. zmniejsza się przechodząc wartości: p. = (1...0), to w (h) pierwsza strona maleje i staje się wreszcie zerem, a całe wnętrze paraboli (p)

zapełnia się parabolami (p ) o równaniach rcos²|-=p.. Lecz równocześnie po prawej stronie w (h) i p maleć będzie i stanie się wreszcie zerem. Z tego wnosimy, że przez związek (/) sprzęga się cząsteczkowo wnętrze koła Kx z wnętrzem paraboli (p).

i ostatecznie :

~u.

CZEÖO VIII.

POCHODNA SCHWARZA I FUNKCYE TRÓJKĄTA.

ROZDZIAŁ XXII.

Odwzorowanie wieloboku i trójkąta kołowego w półpłaszczyźnie.

M'

В/

172. Wielobok kołowy i półpłaszczyzna. Do poważniejszych zadań o odwzorowaniach należy zadanie cząsteczkowego sprzężenia wieloboku, ograniczonego samymi lukami kół z połową danej płaszczyzny (У), albo z danem kołem. Taki wielobok P nazywać będziemy krótko kołowym. Niech on leży na płaszczyźnie (w¹). Zauważmy dwa jego boki MA: MB po sobie bezpośrednio następujące, a przecinające się w punkcie M=w‘₀ pod kątem fin, gdzie /F>0 (fig. 102). Gdy obwody kół, których częściami są właśnie łuki MA, MB przecinają się w punkcie M'=w\, a położymy :

(a)

t—

w'—w", ’

°.    .    M

gdzie A jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, ^>0,

to między punktami t, w‘ zachodzi tu wskutek tej relacyi pokrewieństwo i kołowe i izogonalne. A że punktowi w'=m>"₀ odpowiada tu punkt £=co , więc widocznie wszystkim kołom, przechodzącym przez punkt Ж', odpowiadają proste, które — jeżeli M=w\ — przecinają się w punkcie ź₀= K\(w‘₀ — w‘\). I łukom zatem MA, MB odpowiedzą na płaszczyźnie (t) prostolinijne odcinki MiAi: MlBl, które — wskutek izogonalnego pokrewieństwa — zawierać będą między sobą kąt fin, /О>0. Lecz w (a)

cnv-j-ß 4iv-\-b

możemy w‘ zastąpić przez

Fig. 102.

przez co zmieni się wielobok P na

inny znowu kołowy wielobok P, spokrewniony cząsteczkowo z P, a leżący na płaszczyźnie (w). Po takiem podstawieniu dostaniemy z (a) relacyę :

At-]-В W=Ct+D

Ф)

a i tu — jeżeli bokom MA, MB odpowiadają boki M‘A‘, M‘B‘ wieloboku P‘ — odpowiedzą na płaszczyźnie (ii) łukom M‘A‘, M‘B‘ prostolinijne odcinki max, mbi, zawierające kąt fin, gdyż przy ги‘ = ю₀ jest równocześnie (aw yß) / (yw-[-ô)=îv₀, a takiemu w odpowiada w (ß): t = œ .

Mając to, przyjmijmy, że właśnie równanie w=f(z) daje odwzorowanie wieloboku P‘ w górnej półpłąszczyźnie ; z i napiszmy (ß) w ten sposób :

CwtĄ- Div—At—P=0,

to stąd dalej — naznaczając pochodne według z kreskami — mamy:

C(wty +Dw‘ —At‘ =0,

C(wt)" +Рго" —At" =0, C(wty“+Dw'“-At,u=0.

Eliminując z tych 4 równań stałe C, D, —A, —B, dochodzimy do związku :

(wty, w¹, V

{wty, m;", t"

owty", w'",

=(wty \w"tilt—w“‘t"\—w‘ [(wtyt‘u—{ivt)“‘t"]-b

-J-!/ł [(wĆ)"w'"— (wt)‘“w"¹\=0 , który także do takiej formy da się sprowadzić :

3 (t"\²

ъ\у) ■

"    3 /w“\²    t“

2 \w;‘

Nazwijmy pierwszą stronę tego związku: {w, z}, albo [1w] to i prawa strona jest tu także {£, z}, albo [t]z, i mamy:

(у)

[w, z} = {t, z), albo [w]z = [t\z.

Cayley nazwał [w, z) pochodną Schwarza, a równanie (y) określa tę pochodną jako bezwzględny niezmiennik przy wszelkich liniowych (ułamkowych) podstawieniach.

Pochodna Schwarza da się także napisać w postaci:

d²

dz²

(, dw\ 1 ( d , dw\²

¹⁰⁹Ж)

o czem

przekonać się można, wykonując naznaczone tu różniczko-

wania.

Zastosujmy do boków mai, mbi formy, które am-\-mb odwzorowują na osi XX płaszczyzny (z), a pole kąta рл przekształcają w kąt n, zawarty w górnej połowie z płaszczyzny (z).

Niech ß będzie punktem na mbi, ale niech nie wpada ani w m ani w Gdy takiemu punktowi odpowiadać ma na osi xx punkt 6, to musi być: (t—ß) = (z—b).4$(z—b). Stąd:

<^==co+ci(0—&) + •••> ^g^c‘₀+(z-b).%(z-b), i {£, £} = $(£ —6).

Gdy ma byó b=00 (na osi жг), to

Weźmy punkt m pod uwagę. Niech mu na osi xx odpowiada punkt a. Wtedy, stosując tu formę (5) [art. 152.] — mamy:

(A)

W razie ß = co , zastąpimy (,0—ß) przez

i dostaniemy :

M=

= 0.

Gdy jest punktem wewnątrz wieloboku , a jemu ma odpowiadać punkt z‘ wewnątrz 0, to mamy :

t—t‘ = ty(z—z‘), $(0)=U i [t, z\ = 4Sß^(Z—Z‘).

Lecz {£, z\ = {w, z), a stąd wynika:

I. Gdy wieloboje kołowy P, leżący na płaszczyźnie (w), а o wszystkich kątach wewnętrznych i>0, ma się cząsteczkowo odwzorować w połowie ż płaszczyzny (z), to muszą zachodzić takie związki:

Gdy z‘ jest sliończone i odpowiada punktowi w wewnątrz P, lub

na jego obwodzie (ale nie w jego wierzchołku), to:

{w, *}=$(*—*')•

(I)

Gdy w leży na obwodzie, a jemu na osi xx odpowiadać ma z—00 , to;

(10

Gdy w ma być dowolnym wierzchołkiem w P, a jemu ma odpowiadać punkt a, leżący w skończoności na osi xx, to :

+ Щи-а).

(И)

{w, z}=--ł- -

1 J Z— ß

G—«)

(HO

Gdy w tym razie jest x=co , to:

ś(l—И-²)

[w, z} =

F²

+Xł)-

Funkcya {w, zj jest więc wewnątrz z wszędzie skończona i ciągła. Na osi XX ma skończoną tylko ilość biegunów drugiego stopnia, a w nieskończoności jest zerem 4⁹° stopnia, gdy punkt ж=оо nie odpowiada wierzchołkowi, a jest zerem 2°° stopnia, gdy х=аэ , odpowiadać ma wierzchołkowi.

Połóżmy {w,z] = g)(z)=cp(x-\-yi), yi>0, to cp(z) z uwagi, że posiada na osi XX skończoną tylko ilość biegunów — istnieć będzie także i w drugiej dolnej połowie płaszczyzny (z), a jej definicyą (przeprowadzeniem) będzie : cp(x—yi). Funkcya {w, z] istnieje zatem w całej płaszczyźnie (0), a do jej formy dojdziemy takiem rozumowaniem :

Шеек A₁,    , C,, ... będą wierzchołkami wieloboku P, a w nich

niech ten wielobok ma kąty: an, ßn, yn, ..., gdzie <О>0, /p>0, />0, ... Tym wierzchołkom niech odpowiadają na osi xx punkty

ai ? ^1 ? c\ >

Przyjmijmy :

1°) punkty ai, Ъ1: c₁, ... leżą wszystkie w skoliczono ś ci. Wtedy — uwzględniając rozwinięcia (II) i tworząc różnicę:

-a²

(ß)

(z—aß)

w której sumy odnoszą się do wszystkich wierzchołków, dostajemy w niej funkcyę skończoną dla skończonych z, a równą zeru, gdy 0=00 , gdyż tam ona posiada rozwinięcie (Г). Różnica ta jest więc identycznie =0, a sama funkcya [w, z) będzie:

— a2 O—<ai)²

(C)

{w, z} =2

z—ai

1 'SZ 1

⁺ Y^Tz

2 J [z).

Niech :

У*! =ji + ß+-

w otoczeniu z=00. Z (G) dostajemy zaś w otoczeniu tego punktu:

Z²

Porównując (P) z {O) dochodzimy tu do związków:

tO I-¹

(«)

2A=0, 2Aat-2 Aai ²—2ai(l—a²)=0.

^(l-«²)=0

Takie trzy związki zachodzą tu między kątami ал, ..., punktami a1; ..., a licznikami A , В, ...

Przyjmijmy :

II⁰) z wierzchołków ai,bi,ci,... leży a{ w nieskończoności. Utwórzmy w tym razie różnicę:

1—ß²

{w,,j

gdzie sumy odnoszą się tu do b[, c₁, ..., to ta różnica jest wszędzie w skończoności skończoną (II'). Jest więc i tam skończoną, bo ma wartość =0. Różnica (D) jest więc identycznie =0, a stąd wynika:

(D)

nieskończoności posiada rozwinięcie

(D-)

z—bx

Dla 0 = co niech będzie:

+ |2

1-/3²

= 27(0).

(Д")

C2 —

(1-a²),

to tu z porównania rozwinięć (Z)'), (7)") ze sobą dojdziemy do związków :

JSBS, +7-2(1-/**)-

Z tych uwag dochodzimy do takiego wyniku :

II. Gdy w=f(z) ma dawać cząsteczkowe odwzorowanie wieloboku kołowego P w półpłaszczyźnie z, to w określa si§ równaniem różniczkowem:

Ф)

i—I CM

(1—a²)=0.

(0)

W¹“

"4 2

2 \ ~) = 2t7^J

gdy ai wraz z bu c₁, ... /e0y w skończoności, a równaniem różniczkowem; w‘u    3 /w"Y_

го¹    2 U' J ' ²⁷⁽^ ’

gdy аЛ leżeć ma w nieskończoności. [J(z) jest wymierną funkcyą, określoną formą (C) z warunkami (a), a 7(0) funkcyą wymierną (D) z warunkami (ć)].

(Cj

w‘

173. Trójkąt kołowy i półptaszczyzna. Niech teraz wielobo-kiem na płaszczyźnie (w) będzie trójkąt kołowy ABC o wszystkich trzech kątach Ял, /ил, г л, różnych od zera, i przyjmijmy, ze: wierzchołkowi A z kątem Ял odpowiadać ma 0=0,

n z = 1,

„ 0 = cc .

/ьл

гл

i położyć :

W tym razie musimy użyć równania (Dj — art. poprzedź. —

(i)

1    1—fi²

Z²

z warunkami:

2 (0-1)²

= 21«

B+C=O, CU-g-^l —Я²) + —(1—/U)—g-(l—?>²)=0 [(Z)"), art poprz.]. Z tych. warunków dostajemy:

C^-B=-

^²),

co uwzględniając w (1) dostajemy:

1 ¹~^² i ¹ i“/*2    1 l² + ii²-v²— 1

(2)

Z(^) =

*²

(3)

{a>e}=~2

1-Я²

Ь-i ф.

1 —/а²

Ф-1)

1 Л² + /г² — V²—1

Z²

2(0 — l)²^ 2

Sama funkcya w=f(z), spełniająca to równanie różniczkowe, • musi być regularną we wszystkich punktach z, różnych od 0, 1, oo. Co się zaś tyczy tych ostatnich 3 punktów, to naznaczając który-. kolwiek z nich przez a, zatoczmy z (a) jako środka, półkole Ka o nieskończenie małym promieniu, a przebiegające w górnej pół-płaszczyźnie z. Takiemu półkolu Ka odpowiadać ma na płaszczyźnie (w) nieskończenie mały wycinek koła Wa o kącie ал, jeżeli ал ma oznaczać którykolwiek z kątów Лл, цл, гл. Takie odwzorowanie, zachodzące między Ka a Wa, przedstawia się formą :

(iv—wa)=ca(z—a)a, a>0,

jeżeli Wa przedstawia punkt A, B, albo C według potrzeby, a ca jest stałym spółczynnikiem.

Uwzględniając to, dostaniemy na przybliżone rozwinięcia funkcyi w, w otoczeniu punktów 0, 1, oo odpowiednio:

W — w₀ =со0я , w—wi=ci(z—l)f*, w=cx>z~v.

Wstawiając te przybliżone rozwinięcia w :

z(z— 1)

(4)

{w, z)

d\v

d.U

dhv \ 2

dw

CO CM

dz²

div

dz

dz

dostajemy :

{w, z) =

1 1-Я²

CM tH

z²

+ ... w otoczeniu z=0

2 (я-l)²

1 l-^²

z= 1

2 я²

Z= GO

co i forma (3) potwierdza swojemi rozwinięciami w otoczeniu tych punktów.

trzeci bok t przecina pierwsze prostopadle.

Lecz w trójkącie kołowym mogą być także kąty =0 (jeden, dwa lub nawet wszystkie trzy). Wskutek tego uwzględnić trzeba jeszcze i wypadek: «=0. W tym razie półkole Ka ma się odkształcić w trójkąt kołowy Ta, którego dwa boki s1? s₂ stykają się z sobą w punkcie го Funkcya {10,2} nie zmienia się, jak wiemy, gdy w niej w zastą-

pimy przez :

(6)

io‘

W — Wa

Na płaszczyźnie (w') odpowie trójkątowi Ta obszar ©, ograniczony: dwiema równoległemi prostemi oj, o₂, odpowiadającemi bokom s₁, s2⁴) i prostą t, prostopadłą do oi, а.г, a odpowiadającą bokowi t. Potrzeba więc teraz Ka odwzorować w ©, co stanie się — jak zaraz zobaczymy — za pomocą podstawienia:

(7)

w'=P.log {2—a)-\-Q, gdzie P, Q są dowolne stałe, o których możemy założyć, że są rzeczywiste.

Gdy 2 przebiega średnicę koła Ka, leżącą na osi pierwszorzędnej, to {2—a) = dz>”, a r=(0...Q), jeżeli g jest promieniem koła Ka. Podstawiając to w (7) mamy:

(8)

w‘ = P.logr-{-Q-\-P£.m, gdzie £=Q, gdy (2—a)=-fr, a e=1, gdy (0—a) = — r. Wtedy jednak (8) przedstawia dwie równoległe proste, z których jedna poczyna się w punkcie: (Plog Q + Q)—p, a druga w punkcie:

(Plogg+Q + Pm)=q-,

obie dążą w jedną stronę w nieskończoność, a oddalone są od siebie о Рте.

a więc 2—a=qe⁽f>i

Gdy dalej 2 przebiega cały łuk półkola Kt to dostajemy z (7):

w‘=Plogę+QpP(pi, (p=(Q...n),

a takie punkty w¹ zapełniają widocznie odcinek prostolinijny, łączący z sobą punkty: p, ą. Odcinek ten jest prostopadły do prostych (8). Widocznie więc za pomocą związku (7) dostajemy wzajemne odwzorowanie obszarów Ka, <9. [Klein],

Uwzględniając (7) w (6) mamy:

w=wa 4

a ta forma daje już odwzorowanie półkola Ka w trójkącie Ta.

Ponieważ z tej formy wynika log {z—a) jako liniowa funkcya w w, więc w {w, z} możemy za w wziąć wprost:

w—log {z—a).

Za wstawieniem tego w (4) mieć będziemy:

{w, z)

P.log (z—a)-\- Q

2(0—a)

co także i z formy (3) wynika, gdy tam albo ż=0, albo p=0, albo wreszcie v — 0 położymy. Z tych wszystkich uwag wynika:

I.    Odwzorowanie trójkąta kołowego w półpłaszczyźnie, bez względu na to, czy jego wszystkie kąty są ^>0, czy też w nim jeden jego kąt =0, lub dwa z tych kątów, lub wreszcie wszystkie trzy jego kąty są =0, odbywa się za pomocą funkcyi w—f\z), spełniającej równanie różniczkowe {w,z\=27(0).

II.    Funkcya w jest regularną z wyjątkiem punktów 0=0,1, co, w których jest rozgałęzioną jak 0я, (0— 1)“, z~v, jeżeli trójkąt posiada same kąty >»0, a zawiera log z, log (0—1), log z⁻¹, jeżeli odpowiednio w wierzchołku A , В, lub C jest kąt =0. Taką funkcyę w nazywamy funkcyą trójkąta.

W następnych art. pokażemy, że funkcya w i funkcya wymierna 7(0) biorą swój początek jeszcze w innych rozważaniach, nic wspólnego z zadaniem odwzorowania nie mających.

174. Z teoryi równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego.

Niech będzie dane równanie różniczkowe liniowe 2s° rzędu:

s!+e»-°-

w którem P, Q są najogólniejszemi analitycznemi funkcyami zmiennej 0, a 0 jest zmienną niezależną. Połóżmy y=vw, to dalej mamy:

dy dv dw

ж=dZa+wv-

d²y d²v dho dz² dz*W-^dz2 a równanie (1) przejdzie na:

(1)

d²y

dz²

P2P

dv dw dz dz

d²v n/dw \ dv (

аж⁺Чж+Рм)ж⁺{

d²w

dz²

dw

(3)

Przyjmijmy, że w wybraliśmy w ten sposób, aby:

w=eSFdz

dw

0. Wtedy dostajemy:

a więc: y==v.e

■ jp. dz

równanie (2) redukuje się do :

d²w

(4)

d²v

dw

Qwjv=0

f2 P

W dz²

a ten związek ma dać v, jeżeli weń wstawimy znalezione już w o formie (8). Wstawmyż w istocie w (4) za w formę (3) d~w dz ’ dz²

dz²

dz

a za

dw

pochodne tej formy (3), to dostaniemy :

=0.

Połóżmy :

(5)

dP

-P²=H(z)

Q dz

to równaniem określającem v będzie:

d²v

dz²

jrH{z)v = 0.

Po znalezieniu stąd v i wstawieniu w y=w.v, dostajemy y jako rozwiązanie (całkę) równania (1).

Funkcya H{z) ma tu doniosłe teoretyczne znaczenie dla samego równania (1). I tak: Połóżmy w równaniu (1): y—u.f(z), gdzie f(z) jest dowolną funkcyą, to dojdziemy do równania o takiej samej postaci :

d²u

du

Л'%Р\ф,Л- QiU=0

a gdy tu położymy znowu u=w₁vi i postąpimy dalej tak samo, jak przody, dojdziemy do związku:

d²vi

dz²

f H(e)vx=0

z temsamem jak przody H(z), tak że identycznie jest:

.....

Z tego powodu H(z) nazywają niezmiennikiem równania (1).

Teorya równań różniczkowych poucza dalej, że dla równania (1) mcźna znaleść zawsze taką całkę yi, któraby na danem miejscu z₀ posiadała pewną żądaną wartość a jej pochodna na tern miejscu miała wartość żądaną i dowolnie obraną f]‘₀.

dz

Pi ²=H( z).

Przyjmijmy, że druga całka y₂ ma na tern miejscu z₀ wartość a jej pchodna wartość 1Д, i że te dwie szczególne całki (ze szczególnemi wartościami ich samych i ich pochodnych na miejscu £t) nie pozostają do siebie w stosunku stałym przy bie-żącem z. Z takich dwóch całek yi:y₂, które zawsze znaleść można⁵), utworzona funkcya liniowa jednorodna :

(6)

у=с₁у₁+с₂у₂

z dowolnymi stałymi spółczynnikami ci, c₂ jest przedewszystkiem również całką równania (1), a jest całką ogólną t. j. taką, że od niej wymagać „można, aby na dowolnem miejscu z=t₎ miała dowolnie żądaną wartość C, a jej pochodna dowolną wartość C‘. Uwzględniając bowiem wartości С, O, mamy:

¹

sinh = sinus hyperbolicus ; cosh— cosinus hyperbolicus.

²

~p

1 -f p — 2i\/p sin-

³

\/p cos ^

1-f p —2i\/p.sin 2 V/ p cos I

⁴

Z podstawienia (6) wynika bowiem, że koła, na którycli łuki , s2 leżą, przejdą na koła, które mają się ze sobą stykać w rzeczywistym punkcie, leżącym w nieskończoności. Takie zaś koła tworzą parę równoległych prostych.

⁵

L. Schlesinger: „Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen“. Lipsk 1895.

L. He f ft er: „Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen“. Lipsk 1894.

@~С\У\ "к c-iVt 1 C/==^y\ffc₂y‘₂ (’

а с1} с₂ dadzą się wyznaczyć, jeżeli:

r- ¹ ¹ ЧфО.

У i У 21

Przyjmijmyż r = 0 na dowolnym miejscu я = £, to stądby

wynikło :

czyli wreszcie:

y\ _y\

У\~ У2

czyli log y, = log cy₂,

У\ = су₂.

Lecz ten związek wykluczono, a stąd wynika, że (6) jest w istocie ogólną całką równania (1). Całki szczególne yi: y₂ tworzą tak zwany zasadniczy system całek równania (1). Mają one jeszcze tę własność, że identyczny związek c₁y₁ + c₂y₂=0 zajść może tylko, gdy Ci=c₂=0.

Przyjmując bowiem, że taki związek także i przy ci: c₂, różnych od zera, istnieć może, mamy stąd: yify₂— const.: a to jest niemożliwe.

175. Równanie różniczkowe ilorazu yily₂. Niech (yvy₂) będzie zasadniczym systemem całek równania (1) art. poprzedź.,

te całki niech odpowiadają systemowi (v₁,v₂) równania:

(1)

d²v

dz²

+ H(z).v=0.

W takim razie jest [por. (3) art. poprzedź.]:

\pdz

*-i-».

У 2 ü2

Poszukajmy równania różniczkowego, określającego ten stosunek w. Z równania vilv₂—w mamy:

log tv=logvi — log v₂, a stąd. гя'    U₂    *•

vi v₂ '

Przez różniczkowanie mieć stąd dalej będziemy :

У i*=W

y₂=v₂e

a więc :

(2)

(3-

^2

że podług (1) jest :

*i

bo to

więc :

г«;“

©=-(

/м?'\²    г«;'    r₂'\

\w / w ' V ^ ⁺ v₂ /

гг

U «2

Uwzględniając tu (2), dostaniemy:

w'¹

czyli :

w"    w'

®1 V2

dziemy :

Gdy tu za w‘jw wprowadzimy znowu różnicę (2), mieć bę

= — 2 —

vi

a gdy ten związek raz jeszcze zróżniczkujemy, dostaniemy:

₌ _2^

wlu

w¹

w‘

\W )

V2

Że zaś: v₂"lv₂= — H(z), 2(v₂'/v₂) = — {w"Iw'), czyli:

więc :

%(v2łlb)i===2 (w'‘lw‘î²

w'"

/w" \²    _7/ N 1 / w"\²

b)-2flw+ïk)

czyli: {w,#} = 277 (я)

8 /w"\2 2 { w‘ )

jest — jak przody, [art. 172.] — po

chodną Schwarza. Stąd twierdzenie :

I. Gdy równanie różniczkowe drugiego rzędu:

d y H2P$+O=0

dz²

dz

ma niezmiennik H(z) i zasadniczy system całek: (yu y₂), to iloraz {У\1у-₂)=м spełnia równanie różniczkowe: {w, z}—2H(z),

II. Całkę w moina —ponieważ identycznie У\\Уч=пл\п₂ — określić tal:że stosunkiem vi/v₂, gdzie (vi,v₂) jest systemem zasadniczych całek

/    • ci    r

dz‘l

równania H(z)v=O, zwanego normalną formą równania:

III. Ponieważ [w, z) jest bezwzględnym niezmiennikiem we wszelkich liniowych ułamkowych podstawieniach, więc gdy równanie:

{w, z)=H(z)

ma jedną całkę    łe9° wszystkiemi całkami są :

aw + Ъ ayi + Ъу₂    avi + bv₂

cwĄ-d cy₁-{-dy₂ cvi + dv2 z najdowolniejszymi spółczynnikami a, b, c, d.

176. Równanie różniczkowe Graus sa i funkcya trójkąta w.

Po tych uwagach zauważmy równanie różniczkowe : d²y 1—Я-\-(Я+у—2)z dy V²

(1)

dz²

0(1—0)

dz

4z(l—z) У ,

W niem mamy:

a więc :

P-2

1 1~Я + (Я+р—2 )z 1 Г1—Я 1—^]

2 [ e l-0\

0(1-0)

dP

dz

i—I CM

1—Я 1—

-P²=-

Г(1-Я)²

1 £²

(1-Я) (1-^)1

‘ 0(1-0) J

a że :

V²—(1 — Я—у)²

4z(l—z)

więc niezmiennik I(z) równania (1) będzie tu:

dP

4 £² ^ 4 (z — l)²    4    0(0—1).

Jestto tosamo I(z), jakie mieliśmy w art. 173. i jakie zawiera się w równaniu różniczko wem {w,z}=2I(z), z którego ma wypaść

fimkcya w=f(z), dająca odwzorowanie półpłaszczyzny z w trójkącie kołowym ABC o kątach Я, y, v.

Połóżmy :

(«)

Я²=(1 — у)², У²=(у— a-ß)², v² = (a—ß)², to równanie (1) przejdzie na:

d²y t y—(a-\-ß +1)0 dy z(l—z)

(2)

aß

dz z(l — я)У Gdy to równanie napiszemy w postaci:

dz²

=0.

(3)

d²y

dy

Hy—(a+ß-f 1>]

i spróbujemy je rozwiązać szeregiem potęgowym y=c₀ +с₁л + с₂^²+•••, sprawdzimy, że przy c₀ = l jest szereg Gaussa [T. I., str. 448.] :

z(l-z)

’ dz²

(4)

У=У\ = 14

a.ß

a(a-\-l).ß(ß+l)

l.y

z²+...=F(a,ß, у, я),

1.2.y.(y + l)

jedną szczególną całką równania (2) lub (3) w otoczeniu punktu 0=0. Z tego powodu równanie (2) nazywają równaniem różnicz-kowem Ga u s s a.

Według uwag, danych w art. 174., posiada to równanie oprócz całki (4) jeszcze drugą całkę y₂ w otoczeniu punktu z—0. Te dwie całki nie będą pozostawać w stałym stosunku do siebie przy bie-żącem z

funkcya liniowa c₁y₁ -\-c₂y₂ będzie już ogólną całką równania w otoczeniu punktu z=0.

To samo odnosi się oczywiście do każdego punktu z²). W otoczeniu dowolnego punktu z, różnego od 0, 1, oo , są obie całki zasadnicze y₁, y₂ zawsze regularne, mają więc postacie zwykłych szeregów potęgowych. Przeciwnie w otoczeniu punktów 0, 1, oo , dostajemy jedną przynajmniej całkę w takiej postaci, że ogólna całka c₁y₁4-c₂y₂ ma te punkty za punkty rozgałęzienia, a w razie już-to Л— 0, już-to y=0, lub v—0 — lub w razie À, y₎ v całkowi-tych — występują w niej już-to w punkcie 0, już-to w punkcie 1, lub oo logarytmy.

0, 1, lub oo

W najogólniejszym więc wypadku dostajemy, okrążając punkt z początkowej wartości cxyr-\-c₂y₂ całki ogólnej za powrotem do tego samego punktu wartość jej inną: ciÿi -f c₂ÿ₂> przyczem y1? y₂ będą znowu liniowemi, jednorodnemi funkcyami

całek yi, y₂₁ gdyż każdą jakąkolwiek całkę w takiej formie można odnaleśó. Połóżmyż :

2/i =    +^₂2/₂? yi=d\V\-Yà\y^,

to spółczynriiki dx, d₂, d\, d\ posiędą pewne wartości i to: inne w otoczeniu punktu 0, inne w otoczeniu punktu 1, a inne w otoczeniu punktu go , Z formy niezmiennika I{z) równania różniczkowego (1), a więc i równania (8) wynika :

I. Każda fimkcya trójkąta w jest ilorazem y ₁ / y₂ dwóch zasadniczych całek równania różniczkowego Gaussa.

II. Gdy w=yx\y₂ jest wartością, z którą poczynamy okrążanie punktu 0, 1, lub 00 , to po dokonanem okrążeniu przechodzi w na:

d, w + d.₂

w/== Xyx+d₂y₂ _

^\V\pdl₂y₂    d\w + d‘₂ ¹

a więc na liniową ułamkową funkcyę początkowej wartości w.

Geometrycznem znaczeniem owej zmiany wartości w na w‘ przy wspomnianych okrążaniach zajmiemy się w następnych ustępach.

Uwaga. Jasnem jest, że wyrażenie :

1 1—X² . 1 I-jj.² 1 X²-f ą²—v²—1 T (z— l)2 + T    z(z—1)    ’

nie jest wyłącznie niezmiennikiem równania (1). Gdy bowiem położymy:

^)=4

z²

-//’

I(z)=Q——P², to widocznie, ze spółczynników P, Q można jeden wybrać zupełnie dowolnie, a oznaczywszy kształt drugiego, dojść do równania:

dij

dz²

+ 2PŚ + Vy = 0,

które nie będzie już równaniem (1).

177. Obrazy trójkąta w jego bokacli. Przez równanie Ç‘=(r²IÇ) spokrewniają się ze sobą płaszczyzny (£), (£') izogonalnie i kołowo.

Gdy r² jest liczbą rzeczywistą i dodatnią, a położymy : Z> = QecPi, to w takim razie być musi ^ = g‘.e~^', gdzie Qç'—r².

Mając to, zauważmy koło (r) o promieniu r, a o środku w punkcie £=0 (fig. 103). Obierzmy dowolny punkt P, leżący

to

s⁷¹

£.

jC

Fig. 103.

wewnątrz lub zewnątrz koła (r), i poprowadźmy przez niego i środek

O koła (г) prostę qq‘. Na tej prostej wybierzmy taki punkt P aby OP.OPi = r². Gdy punkty P=£ wypełniają płaszczyznę (£), a punkty P₁=-^₁, wypełniają znowu tę samą płaszczyzn, to sprzężenie punktów P, Pj za pomocą równania ОР.ОР^ = r² nazywa się odwróceniem punktów P w kole (r). P₁ nazywają obrazem albo odbiciem punktu P w kole (r) i naodwrót. Grdy P= ęe^, to Pj = Q'eW. Pytanie, czy takie pokrewieństwo jest izogonalne i kołowe? Aby to zbadać, połóżmy P=£=(>e9£)/ punktowi P odpowiada wskutek    jDunkt f'=P' — Q*e~&, a wi-

więc OP= q , wtedy

docznem jest, że :    = Pi = £‘е2гР' — Р‘.е²⁽Р'.

Punkty Pj powstają więc z punktów P. gdy promień OP‘ obrócimy o kąt 2cp, albo inaczej : płaszczyzna (£]) powstaje z płaszczyzny (£'), gdy tę płaszczyznę (£') obrócimy o 180° około jej osi pierwszorzędnej. Lecz mimo takiego obrotu, pozostaje pokrewieństwo i izogonalne i kołowe, a stąd wynika :

I. Odwrócenie płaszczyzny iv dowolnem kole daje pokrewieństwo izogonalne i kołowe.

Gdy prosta qq' przecina koło (r) w punktach A, P, to relacya OP.OPi = r² wskazuje, że (ABPP]) są czwórką harmonicznych punktów.

a stąd wynika, że obwód samego a i każdy punkt tego obwodu jest

Gdy OP—r, to i OPi=r koła r odpowiada sam sobie, sam sobie odpowiadający.

Poprowadźmy dowolne koło К(РР^, przechodzące przez punkty P, Pi. Niech to koło przecina (r) w punkcie R (i R'). Ponieważ punkt R sam sobie odpowiada, więc mamy OP.OPi =OR²- Stąd z własności koła (jego potęgi) wnosimy, że OR jest styczną do koła K(PP)). Ze zaś OR jest zarazem i promieniem koła r, więc stąd wnosimy :

II. Każde koło, przechodzące przez punkty P, Pi, przecina koło (r) ortogonalnie.

Przyjmijmy naodwrót, że ze względu na koło (r) wybraliśmy dwa punkty P, Pi w ten sposób, że każde koło К(РР±), przez te punkty przechodzące, przecina (r) ortogonalnie w punktach R, R‘. W takim razie OR jest styczną do koła K(PPj)\ relacya:

ОР.ОР^Ш²=Г²

tu zachodzi, a stąd twierdzenie :

III. G-dy dwa punkty P, P₁ leżą tak względem koła (r), że każde koło, przechodząc przez P, P,, przecina się ortogonalnie z (r), to każdy z punktów P, P, jest obrazem drugiego w kole (r).

Niech К będzie dowolnem kołem, przecinaj ącem się к (r) ortogonalnie w punktach S, S¹ (fig. 103). Poprowadźmy z O dowolną poprzeczną Ot i promień OS. Grdy poprzeczna Ot przecina К w punktach Q, Qx, to mamy OQ.OQi=7JS²=:r², a stąd wynika:

IV. Każde koło K, przecinające się z (r) ortogonalnie, odpowiada samo sobie przy odwróceniu punktów w kole (r).

Zauważmy teraz trójkąt kołowy A=ĄBC o kątach Ял, рл, пл.

1°. Grdy Л-\-1 jest

boki AB, BC, CA należą odpowiednio do kół K₃, K₂, Kx (fig, 104.), to taki system trzech kół

S'

y]

К.

Fig. 104.

posiada zawsze i to jedno tylko rzeczywiste p koło K, które je równocześnie przecina ortogonalnie. Takie koło nazwiemy głównem; sam trójkąt ABC zawiera się całkowicie w kole К, a gdy Л=р=г=0, w którym-to razie mamy graniczny wypadek Л + ^4-^=0 (co dwa koła z systemu Kx, K₂, K₃ stykają się z sobą), to same wierzchołki A, В, C leżą na obwodzie koła K.

Trójkąt АВС=А możemy odbić w każdym z boków AB, BC, CA, (w każdem z kół Ki: K₂, K?). Przez to powstaną 3 nowe odbite trójkąty:

At =A'BC, A.₂=AB‘C, A^ABO.

[tw. IV.]

trójkątów, przykrywających się

Przez każde z tych odbić nie naruszy się wcale koło główne К trójkąty Ax, A₂, A₃ mieścić się będą znowu wewnątrz K. Dalej każdy z trójkątów A₁, A₂, 4₃ możemy odbijać w jego bokach, niebędących równocześnie bokami trójkąta A. Przez to dostaniemy 6 nowych trójkątów, a te znowu całkowicie mieścić się będą wewnątrz K. Takie odbite trójkąty możemy dalej tworzyć wychodząc z nowych powstałych trójkątów i prowadzić to w nieskończoność. W ten sposób — nie wchodząc tu w to jeszcze, czy w tym pochodzie dostaniemy trójkąty częściowo się nakrywające, lub nakrywające się zawsze zupełnie (a więc przystające) — zapełnimy w zupełności całe wnętrze koła К trójkątami. Trójkątów tych, gdy już przy ich tworzeniu tylko na to baczymy, aby się nimi coraz więcej zbliżyć do okręgu koła K, musi być i w wypadku 0<Яр^ + ^<1 i w wypadku Я+^ + ^=0 nieskończenie dużo. Ale w razie Л-\- p-\-v = 0 wszystkie trójkąty mają zawsze wszystkie trzy wierzchołki na kole К

częściowo, nie znajdziemy tu wcale (fig. 105., str. nast.).

II⁰. Gdy Л-j-p + Ol , to koła 7sT1? /f₂, K₃ (fig. 106.) nie posiadają koła głównego (koło to jest urojone), a trójkąty,

K₃

Fig. 105.

Fig. 106.

tworzone przez odbicia in inft., mogą się albo częściowo, albo zawsze w zupełności nakrywać. O tern, jak i o ich mnogości skończonej lub nieskończonej tych trójkątów, będziemy mogli później dopiero rozstrzygnąć. Gdy Л-Ą-fi-f ^=1, a żadna z liczb Л, r nie jest zerem, to mamy trójkąt ABC (fig. 107 a), a gdy Л— 0, a więc — n, mamy

A'

a)

ia

b)

7°

4/

yv

4\v

bV

A,

'A

SÄ

Fig. 107.

trójkąt AiBiCi lub A₂B₂C₂ (fig. 107ó, c). Gdy taki trójkąt leży na płaszczyźnie (£), a położymy £'= («£-}-/?)/(y£+d) z warunkiem, aby — gdy £=J.', lub    lub    —

w me-

a w skończoności ograniczony prostą r (fig. 108).

178. Własności funkcyi w=f(z) i jej odwrócenia 2 = (p{w). Podstawienia liniowe i ich grupy. Gdy w jest jedną całką równania {w, г} = Щз) [art. 173.], to także:

Fig. 108.

odpowiadający punkt £' leżał na płaszczyźnie (£') w nieskończoności, to trójkąt ABC Л przejdzie na trójkąt prostolinijny o kątach r źyr, [m, vtc , a w wypadkach c) dostaniemy obszar rozciągający się między dwiema równoległemi p, g w jedną stronę skończonośó

aiv-\-ß yw-rô

(1)

z dowolnemi a, ß, y, ô jest całką tego równania, a forma ta wyczerpuje już wszystkie możliwe całki [art. 176., tw. III.]. "Wartości obrane: a, ß, y, ô zmieniają dany trójkąt A=ABC na inny:

A^A'B'C¹,

który z A pozostaje w pokrewieństwie cząsteczkowem. Niech punkty А, В, C leżą tak na płaszczyźnie (w), że w tym właśnie kierunku okrążamy trójkąt dodatnio. Punkty Aj В, C odpowiadają — jak przody — po porządku punktom: 0=0, 0=1, 0=ztco .

Głdy w równaniu (1) obierzemy tak a, ß, у, d, aby bok A‘B‘, leżał całkowicie na osi pierwszorzędnej Ou [fig. 109.] płaszczyzny

w'

2=00

w,

fi

JÈ

fil

->u.

Fig. 109.

(wß, dostaniemy trójkąt A‘=A‘B‘C' z jednym już prostolinijnym bokiem A‘B‘. Ten teraz trójkąt zapełniony jest punktami wi, odpowiadającymi górnej półpłaszczyźnie i. Na płaszczyźnie (2) zauważmy dwa dowolne sprzężone punkty M=xĄ-yi, M‘=x—yi, y^>0, to gdy położymy:

(a)

w\ = fi 0»+yi)=u(xy) + iv{xy), będzie v(x,y)^0, według tego, czy A¹ leży nad osią, lub pod osią Ou. Ze zaś funkcya f\{0) daje się przeprowadzać przez oś xx‘, zatem być musi:

w\ =j\{x—yi)=u{xy)—iv{xy).

Punkty w\ muszą więc wypełnić trójkąt A/l = A‘BIC" (fig. 109.), który ze względu na oś Ou będzie symetryczny do trójkąta A‘ = A‘B‘0, a podług (/?) dolna połowa płaszczyzny (0) odpowiada właśnie trójkątowi AlBlC". Niech naodwrót:

a‘w. + /?'

--¹ *

y,wi -fid'’

Pytanie zachodzi, jakie punkty w, w' odpowiedzą punktom w\. Punkt w, odpowiadający punktowi w,, leży oczywiście w danym trójkącie ABC. Co się tyczy punktu w‘, to zauważmy naprzód, że każde koło przechodzące przez w,, w\, przecina ortogonalnie bok A‘B‘ (lub jego przedłużenie). Dalej z tej uwagi, że podstawienie (2) jest izogonalne i kołowe, wnioskujemy, że i wszelkie koła, przechodzące przez w, w‘, przecinają bok AB (lub jego przedłużenie) ortogonalnie.

w\i

To podług tw. III., art. poprzedź, wskazuje, że punkty w, w1 są swymi obrazami w kole AB i że trójkątowi A‘B‘C" odpowiada trójkąt Az==ABCi, będący obrazem danego trójkąta w boku AB. Z tego jednak wynika:

I. Gdy sam trójkąt dany ABC odpowiada górnej półpłaszczyźnie i, to to odbicie jego A,, A₂, lub A?> го którymkolwiek z jego boków BC, CA, lub AB odpowiada dolnej półpłaszczyźnie ź‘.

Wiemy już, że funkcya w=f(z) jest regularną we wszystkich punktach z z wyjątkiem punktów 0, 1, co .

Przyjmijmyż, że tak, jak w art. poprzedź., tworzymy przez odbicia z danego trójkąta ABC = Aw coraz dalsze trójkąty, to cała taka sieć trójkątów da graficzne wyobrażenie i o przebiegu funkcyi w=f(z) i o przebiegu funkcyi z=cp(w).

Trójkąty, jakie się ułożyły około wierzchołka A, naznaczmy w tej sieci przez Aw, Aw¹, Aw", Aw¹“, ... (fig. 110.), i obierzmy

C'

Ab' 7V'

Aw

Z=-uo

(O

ZfO

(A)

(B)

(C)

Fig. 110.

w górnej półpłaszczyźnie z dowolny punkt Q. Jemu odpowie w płaszczyźnie (w) pewien punkt w, leżący w trójkącie Aw. Grdy teraz z punktu Q wychodząc, okrążamy punkt z—0 dodatnio, przechodzimy przez (0... — oo) do i', a potem przez (0...1) wracamy do punktu Q. Równocześnie punkt w wyjdzie z trójkąta Aw, przejdzie

przez AC do Aw¹, a z Aw‘ przez AB‘ do Aw". Trójkąt Aw" odpowiada więc znowu półpłaszczyźnie z, a że w" zapełniając trójkąt Aw" jest całką równania \w, z) = 1(2), a wszystkie całki tego równania mają postać:

(ctwĄ-ß) J (ywĄ-ó), więc i w"

ai "iv-\-ß, "

yC'W+ÔC

z pewnemi — powstającemi z okrążenia punktu A — stałemi a₁", ß₁", yx", ôx". Wróciwszy w opisany dopieroco sposób do Q, okrążajmy punkt z = 0 na nowo w dodatnim kierunku. Wtedy punkt w" wyjdzie równocześnie z trójkąta Aw" przez AC¹, znajdzie się w trójkącie Axwn‘, a potem przez bok AB" wkroczy w trójkąt Aw^\

Trójkąt AwW odpowiada więc znowu półpłaszczyźnie i, a że wszystkie w nim zawarte są znowu całkami równania {w,z} = I(z), więc i tu znowu mamy :

U, W w + /?, yx W W 4- ói W

Niech podstawienie :

w,

to widocznie mamy :

yx "wĄ-0

го" = (А)го, го^ =(A)²w, a dalej będzie: w(⁶)=(A)³w, i t. d. in inft.

Jeżeli punkty го^^ = (А)А^ w przy skończonem к x zapełnią znowu dokładnie trójkąt Aw, z któregośmy wyszli (tak, że trójkąty Aw, Aw№A są identyczne), to funkcya w=f(z) jest taka, że w punkcie z=0 posiada cykliczny element Zą⁸⁰ stopnia.

Jeżeli przeciwnie takiego skończonego kx znaleść nie można, to tu w punkcie £ =0 występuje cykliczny element, łączący ze sobą nieskończenie dużo gałęzi funkcyi w. Funkcya w jest z tego powodu już nieskończenie wielowartościową.

Naznaczmy czworobok (AwĄ-Aw¹) przez Px, to około punktu A ułożyły się po porządku czworoboki :

(Г)

P„ Û)Pit (A)*PU (A)*PU ....

a₂ "lO-\-ß₂ "

Takie same badania przeprowadzić trzeba w otoczeniu punktów z= 1, £=±oo . Mogą więc tu wypaść znowu cykliczne elementa stopni skończonych: k.₂, k₂.

Niech przez okrążenie punktu £=1 przechodzi го na

у 2 W-\-0₂

a podstawienie

w, -h—ту-j niech —(B), to około punktu В — w -f d₂ /

gdy dwa po sobie następujące trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem В tworzą czworobok P₂ — układają się na płaszczyźnie (w) czworoboki:

P₂, (P)P₂, (P)²P₂, (P)³P₂, ....

Grdy wreszcie w przechodzi przez dodatnie okrążenie punktu «з "w> + ß?> "

punktu (7 układają się czworoboki:

А, (ОД,,    (C)³P₃, ••

jeżeli P₃ utworzyły dwa sąsiadujące trójkąty z wspólnym wierzchołkiem C.

Szeregi (I), (II), (III) wskazują zarazem gałęzie funkcyi w, łączące się cyklicznie w punktach rozgałęzienia 0, 1, oo .

Weźmy pod uwagę którykolwiek z czworoboków (I), n. p. czworobok (А)тРи gdzie m jest całkowite ^0, to z niego przez м-krotne okrążenie punktu 0=1 dostaniemy czworobok (B)n(A)mPu a z tego czworoboku znowu dojdziemy p-krotnem okrążeniem punktu 0=cc do czworoboku (C)p(B)n(A)mPi i t. d. Przez składanie zatem podstawień liniowych (А), (В), (C) — i to w dowolnym porządku — dochodzimy do każdego czworoboku (do każdej gałęzi funkcyi w), zawartego w tworzącej się sieci czworoboków.

Cały zbiór różnych między sobą j3odstawień — nie wyłączając identycznego podstawienia =1 — tworzy grupę G = (1, s1? s₂,...). Podstawienia (A), (B), (C) są związane ze sobą relacyą (A)(B)=(C)~\ albo relacyą (A)(B)(C) = 1, albo wreszcie relacyą:

(A)-\B)~' = C,

gdyż okrążając punkty 0=0, 0=1 w kierunku dodatnim, okrążamy temsamem punkt 0=00 w kierunku odjemnym. W razie gdy Jcu &₂, Ł są skończone i całkowite, dołączają się tu jeszcze relacye : ■{A)^=l, (£)*.=1,

Wskutek relacyi (a) można całą grupę utworzyć wyłącznie z podstawień (A), (P), które z tego powodu nazywają się dniczemi grupy G.

Niech :

(П)

0=<X) na

(iii)

(«)

(a)

a podstawienie

A, A

w,

a, “tv Aß. "

j = (P), to około

zasa-

będą punktami odpowiadającymi punktowi A podług utworzonej grupy G.

Analogiczne znaczenie niech mają :

Ф)

B, B\ B“

(C)

C, C‘, c% ...

Niech przytem (N)^P₁ ==P₁, (_B)**P₂=P₂, (С)**Р₃=Р₃. W takim razie przebieg funkcyi' w=f(z) możemy już dokładnie określić w ten sposób: Jeżeli punktów (a) jest w, punktów (6) jest n, a punktów (c) jest p, (gdzie m, n, p mogą być skończone lub nieskończone), to funkcya w jest taką wielo wartościową funkcyą, że posiada: w punkcie z=0, m cyklicznych elementów stopnia Jc₁, w punkcie z=l₇ n cyklicznych elementów stopnia Jc₂, a w punkcie g=cc, p cyklicznych elementów stopnia 7c₃.

Co się tyczy funkcyi z ==<p(w), to ona wyobrażona jest punktami całej płaszczyzny (z), a wychodząc tu z dowolnego punktu z i wróciwszy do niego po rozmaitych okrążeniach punktów z=0, 1, co , mamy znowu tę samą wartość z, podczas gdy го zmienia się na s₁w, s₂w, ... Stąd wnosimy, że:

z=ę(w)=q>(s₁w) = q)(s₂w)=. czyli, że: funkcya z posiada grupę G, bez względu, czy ta funkcya z okazuje się jednoznaczną czy wieloznaczną. Jednoznaczną jest wtedy, gdy w sieci utworzonych trójkątów nigdy nie znajdujemy 2 trójkątów częściowo się tylko przykrywających ze sobą. W razie przeciwnym będzie funkcya z wieloznaczną, gdyż jeden obrany punkt го, należąc do różnych i różnie położonych trójkątów, ma różne swoje odwzorowania: zi, z₂, ... na płaszczyźnie (z).

W, z •

Niech ffîw,z będzie powierzchnią Riemanna, wyobrażającą przebieg funkcyi го, to całą sieć czworoboków, utworzoną na płaszczyźnie (го), uważać trzeba za odwzorowanie powierzchni Ищг na jednoliściowej powierzchni — (płaszczyźnie) — (w).- Na każdy trójkąt przypada jeden półliść powierzchni 9г

Funkcye trójkąta dzielą się na dwa rodzaje: na funkcye rodzaju pierwszego о (Я + fi + v)^> 1 i na funkcye rodzaju drugiego о (Я-\-p-\-v)<l-

zawsze na prostolinijne łukiem koła, wypukłym tu koniecznie na zewnątrz trójkąta (fig. 111). Gdy łuk BC dopełnimy do całego koła k, okaże się , że tu wierzchołek A zawsze leży wewnątrz

179. Funkcye trójkąta rodzaju pierwszego (l+p,+v>\). Trójkąt kołowy o (Я-\-р,-\-г)^>1 można zamienić taki, że dwa boki AB, AC będą bok trzeci BC będzie już

A‘

JB

Fig. 111.

tego koła*); wskutek tego — gdy nazwiemy A0=d, 0C=0B=r — mamy tu zawsze r^>cl, a wielkość R= \/r-—d² jest rzeczywistą. Zatoczmyż z punktu A, jako środka, kulę ÜT promieniem R, a jej promień prostopadły do płaszczyzny (w) trójkąta niech ją przecina w punkcie A (fig. 113.), to mamy w niej przedewszystkiem :

0 Ax = \/WÇd>=r.

Gdy teraz z punktu A₁ rzucimy punkty płaszczyzny (w) ste-reograficznie na tę kulę, to boki AR, AC przejdą na kuli w łuki

Ai

Fig. 113.

wielkich kół, przecinających się w Ал pod kątem A. Co się tyczy rzutu boku trzeciego BC, to ten będzie oczywiście kołem [T. I., str. 147]. Lecz gdy w kole Jc zauważymy średnicę ST, przechodzącą przez A, to wskutek 08=0Ал = 0Т=г spiera się na niej kąt prosty y( TA] 8, a rzuty stereograficzne S‘, T‘, leżąc na kuli, leżą na jej

*) W razie przeciwnym posiadałby trójkąt ABC koło ortogonalne, gdyż

c\

Fig. 112.

trójkąt AB'C, który ma Х +    v <1 j posiada takie koło (ma ono środek w A,

a przecina ortogonalnie koło К).

więc Jc przejdzie na kuli również w wielkie koło, a BC na łuk wielkiego koła. Trójkątowi ABC będzie na kuli К odpowiadał zwykły trójkąt sferyczny A₁BiCi o kącie Л w wierzchołku A1} a o kątach \i₁ v w wierzchołkach Bi, C₁.

wielkieni kole T‘AiS‘Q tak, że prosta S‘T‘ podpiera w tem kole również kąt prosty TAiS¹. Wskutek tego S‘T‘ będąc średnicą wielkiego koła TAS‘Q jest zarazem i średnicą kuli K. Zauważmy koło Æ, na którem leży bok BC. Na kuli przejdzie h na takie koło, które się przetnie z T‘AXS‘Q w punktach S‘, T‘. Ze zaś S‘T‘ jest średnicą kuli

Wychodząc z trójkąta ABC, utwórzmy przez odbicia na płaszczyźnie (w) całą sieć trójkątów i całą tę sieć rzućmy na kulę z punktu A₁. Każdy trójkąt rzucony na kulę będzie na niej zwykłym sferycznym trójkątem, o kątach Л, v. Z tego wynika, że wszystkie trójkąty na kuli będą przystające, a więc będą zawsze tejsamej powierzchni: B²(À-\-[i-\-v — 1)я.³)

Przyjmijmy, że funkcya z=cp(w), wynikająca z funkcyi w, ma tu być jednoznaczną. Wtedy cała kula K ma się przykryć raz tylko ⁴) pewną ilością czworoboków, a gdy tych czworoboków jest N na całej kuli, to mamy:

czyli: À + p + v—

47?²jr

2R\à+[i+v-1)k=^A

v = ljn, gdzie m, n są znowu

Taki jest warunek konieczny, aby funkcya z była jednoznaczną. Lecz wskutek identycznego przykrywania się ze sobą wyłącznie identycznych czworoboków (za każdem dalszem pokrywaniem kuli) musi być: 2л:2Ятс=1, liczba cała, skąd wynika Я=1/г. Podobnie musi być ^=1/ liczby całe, a dostatecznym już warunkiem jednoznaczności funkcyi

Temu równaniu zadość uczynią takie jedynie układy liczb całych l, m. n, N:

m=2, n—n, dowolne m=3, n= 3, m=3, w=4, m=3, n=5,

Porównując te wyniki z poszukiwaniami Rozdz. VIII. Tom I. wnosimy, że siecie trójkątów utworzone na płaszczyźnie (w), przedstawiają się tutaj w ten sposób:

I. 1=2

U)

N=2n ; N= 12; JV'— 24; N=m.

1) W wypadku I. mamy stereograficzny rzut kuli, podzielonej przez wszystkie płaszczyzny symetryi wpisanego w nią, dwuścianu (o n krawędziach) [fig. 114.];

mm

■')

ЖШ

mii ш

W>

li

ЩЯЩ

IM;

Fig. 114.

2) W wypadku II. mamy stereograficzny rzut kuli, podzielonej przez wszystkie płaszczyzny symetryi wpisanego w nią czworościanu [fig. 115.] ;

z~f

0k

-Ц

rW >p u \/w-1■*

YY-Q

C W V*= 1

SKÄ

7\

шШуШ

Fig. 115.

3) W wypadku III. stereograficzny rzut kuli, podzielonej przez wszystkie płaszczyzny symetryi wpisanego w nią ośmio-ścianu [fig. 116.];

JÊk

ЩА

Fig. 116.

4) W wypadku IY. stereograficzny rzut kuli, podzielonej przez wszystkie płaszczyzny symetryi wpisanego w nią dwudziesto-ścianu [fig. 117., str. nast.].

Promień kuli przyjęto we wszystkich tycli wypadkach = 1.

Sieć trójkątów w wypadku 2) wynikła z takiego położenia czworościanu w kuli, że jego jedna wysokość h, przebiwszy środek ściany, trafia kulę w biegun, który ma właśnie służyć za środek rzutu stereograficznego. [Płaszczyzna {w) przechodzi przez środek czworościanu i jest prostopadłą do h].

W wypadku 3) i 4) bieguny wpadają w dwa przeciwległe naroża wielościanów.

Punkty A są rzutami środków krawędzi :

ścian ;

naroży.

IS

§8Si§È

=====

.--5g

pgp

£\

§sp

wm

î=Si

шш

r^Xrrr--

--

V -rr.'r-

r--r-T—JZ

IP⁵

...

ЙР

Sir⁷"

Sf

Fig. 117.

180. Zasadnicze funkcye z=çp(w) wielościanów umiarowych.

Wiedząc, że funkcya z ma być wymierną w argumencie w, można ją określić, dając w jednej parze trójkątów, złożonej z jasnego i ciemnego trójkąta, a tworzącej zasadniczy czworobok, jej miejsca zerowe, nieskończonościowe i jeszcze miejsce, na którem ma przybierać daną wartość skończoną i różną od zera. Żądając:

aby

(A)

było =1 w punktach A

<>> «Î ÎSi

55

=0

55

= co

schodzimy przez to do zasadniczych funkcyj [Z(z)], jakie mieliśmy w Tomie I., Rozdz. VIII., [art. 105—122.], dla każdego z wyliczonych wielościanów. Według uwag tam zamieszczonych uwzględnieniem warunków (A) będzie tu :

55

r>

55

a za

I.

4 w¹¹

2 dla dwnścianu

III.

(wn — 1)

(гу⁸+14w⁴4-l)3 108 го⁴(гб⁴—I)4 —[(w²⁰-j-1)—228 (?о¹⁵—w⁵) -1-494 w¹⁰]3 1728 [гг;(ге;¹⁰ +11 w⁵— I)]⁵

dla ośmiościanu

dla dwudziesto-ściann.

Czworościan trzeba na nowo omówić, gdyż położenie jego w kuli względem płaszczyzny (го) jest tu inne, niż jak-to przyjęto w Tomie I. (1. c.). Punkt В, w którym się na fig. 115. przecinają 8 proste, jest punktem w== 0, a gdy z tych prostych tę, która jest poziomą, weźmiemy za oś pierwszorzędną uu‘ płaszczyzny (w), to punkt C, leżący na tej osi na prawo od punktu B—w = 0 jest punktem w=1. "Wszystkie punkty В i C będą tu miały takie określenia :

IV.

ni

5 ni

2 ni    kni

С... 1, e з , e 3 ,oo .

Co się tyczy punktów A, to zauważmy przedewszystkiem, że oddalenia co dwóch punktów 6’, leżących w skończoności, są promieniami q trzech równych sobie kół, jakie mamy na rysunku.

Obierzmyż C= 1 i С=е~з

В... 0. 2ез. 2ея', 2е з ;

ïni

to :

2 ni

— 11 — eWl = Y/3

a wskutek tego odrazu wnioskujemy, że 3 punkty A, bliższe punktu w=0, są :

_    ni    _ .—    §ni

A... (V/3-l)eT, —(\/3-l), (V/3-l)6 3 a zaś trzy punkty Л. dalsze będą :

2ni

ini

A... (\/3 + l), (V/3 + l)e"3“, (У/3 + 1)ез.

punkty G

Punkty В czynią zadość równaniu w>(M7³-f 8)=0, równaniu w°°—1 = 0. Gdy więc — podobnym sposobem, jak w Tomie

I. — utworzymy :

II.

м>³(гб? + 8)³

⁰⁼⁼ 640³-ТУ"

to będzie to funkcya, która w punktach В jest trzykrotnie a w punktach C trzykrotnie nieskończonością ; [w każdym z punktów B i G schodzi się po 3 pary trójkątów]. Gdy zażądamy wartości го, na których ma być z—1, to otrzymamy z (II) równanie.

zerem,

(w⁶—20w³—8)²=0

a to równanie ma wszystkie punkty A jako pierwiastki*) (każdy pierwiastek jest dwukrotny). Funkcya z jest więc funkcyą, która rozwiązuje zadanie w wypadku II.

Połóżmy w II. :

_i_    д+\/щу-У2+\/зх1-\/з)

Z ’    V-V2 + W

to mieć będziemy :

IP.

[t;⁴-2V3.V-1]

[v⁴ + 2V/3.v—l]3 ?

a to jest funkcya, jaką mieliśmy w Tomie I., przy przyjętem tam położeniu czworościanu.

Za pomocą równań Г., II., [lub II'], III., IV. rozwiązuje się zadania odwzorowania danej półpłaszczyzny w trójkącie kołowym o przyjętych jego kątach w każdym poszczególnym wypadku, a trzeba dodać, że tylko liczby?

[art. poprzedź.] prowadzą do odwzorowań, określających się równaniem z=(p(w) z wymierną funkcyą <p(w).

n, zestawione w (A)

Uwaga I. Powiedzieliśmy już wyżej , że cała grupa podstawień, zapomocą których obraną którąkolwiek parę sąsiadujących trójkątów (czworobok) przetworzyć można na parę inną, jest złożeniem lub powtórzeniem 2 podstawień (d), (B), lub (-B), (O) lub wreszcie ((7), (d). Takie dwa podstawienia są zasadniczemu Podstawienie (d) odtwarza jasny trójkąt A = ABC znowu w jasny trójkąt, mający wspólny wierzchołek d z trójkątem A, a przegrodzony od d jednym tylko trójkątem ciemnym. Analogiczne znaczenia mają podstawienia

(P), ((7).

Wybierzmy w wypadku 1) [art. poprzedź.] trójkąty I, II, III (fig. 114.), to trójkąt I przetwarza się w II przez substytucyę:

2 ni

(B)=(tv,,we~^') — S (na fig. 114. jest n— 6),

*) Z równania w⁶—20ws—8 = 0 mamy:

2 mi

ы=\У 10±V/Ï08.

s= 0, 1, 2.

Że zaś:

10± у/Ш-= 1 + 3.3zt 6 \/3= 1 + 3.3 ± 3 v/з ± ( V/3)'³ = ( 1 rb VÏÏ)³,

a więc :

czyli dla znaku -)- mamy :

w = (l±V/3)

2 sni

s=0, 1, 2

w = (V 3 + 1)

2 snt .e~T~

s = 0, 1, 2

a dla znaku — dostajemy:

2 sni

IV —

- ( V/З -1>W= ( \/8 -1) e“!

(2,v-pl)7i(

s = 0, 1, 2.

Tak utworzone substytucyę S', T będą zasadniczemi grupy czworościanu. W rzucie stereograficznym kuli, podzielonej podług ośmiościanu (fig. 116.), zauważmy znowu trzy trójkąty I, II, III, to widocznie trójkąt I przejdzie na II przez substytucyę:

(<7) = («?', V/ —1 .tp) = S

a przejdzie na trójkąt III przez substytucyę:

a przetwarza się w trójkąt III przez substytucyę :

(c')=(<0=r-

Cała więc grupa dwuścianu posiada zasadnicze substytucyę S', У.

Gdy na fig. 116. zauważymy trójkąty I, II, III, to trójkąt I przetworzy się w II za substytucyą :

2 ni

(B)=(w‘, e~ru>) = S,

a przetworzy się w trójkąt III za substytucyą :

a w -fi ß

y w8

w której «, ß, у, 8 tak wybrać trzeba, aby punktom :

w —A— (Y/3 — 1) e T 13 — 0 м>= С = 1

odpowiadały punkty :

(wierzchołkom trójkąta I)

w'

— A =V/B-fil I

u« I

w‘—B—2ез «>' = (7=1

(wierzchołki trójkąta III).

i to będą zasadnicze substytucyę grupy ośmiościanu.

W dwudziestościanie wreszcie dostaniemy grupę o zasadniczych substy-

tucyach:

o f , N m (    —fi—S⁴)«« + fi²—S³)\

s= Г=Ь (ег-е»)№+)■ '=

2 ,~ii

[T. L, art. 118].

71

ni

*) Z tego podstawienia wynika, że wierzchołkom tv—C=0 i w—A —tg-g w trójkącie I odpowiadają wierzchołki:

w> = 0=1 i w' = A = eT

w trójkącie III. Co się tyczy wspólnego wierzchołka В, to go obliczyć możemy zrównania w{ivĄ- г) — — {w—i), z którego dostajemy:

4L»    8

—1—i+\/6 \/i e¹¹ — еТ+V/6    _

¹

L. Schlesinger: „Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen“. Lipsk 1895.

L. He f ft er: „Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen“. Lipsk 1894.

²

Oprócz dzieł, przytoczonych już w art. 174., por. Kummer: „lieber die hypergeom. Reihe 1 + ^.x    C. J. T. 15., str. 39-83. i str. 127-172.

³

Рог. T. Tod hunter. Spherical Trig. Londyn 1886. — Dziwiński. Wykłady matematyki I. Wykład IV. str. 49.

⁴

Każde powtórne przykrycie kuli przez trójkąty ma być już identyczne z przykryciem pierwszem.

co

A±v/6 ]=[₂.. «W.-fi' ± у-g j

= ^ . j 2cos^-J:+\/б j.

Uwaga 2. Funkcya w, wynikająca z równania g = ą(w), jest w każdym z opisanych czterech wypadków algebraiczną i jest: w wypadku lym    (dwuścianu)

stopnia (2nf° ; 12¹° ; 24«° ; 60s°.

„    2®im    (czworościanu)

„    3cim    (ośmiościanu)

„    4tym    (dwudziestościanu) „

Gdy d\(w,z) oznacza powierzchnię Riem anna, wskazującą każdym razem przebieg funkcyi w, to rysunki zamieszczone na fig. 114—117 są czas teczko w cmi odwzorowaniami tej powierzchni na (jednolistnej) płaszczyźnie (w). Te rysunki dadzą więc wyobrażenie i o naturze funkcyi w i o złączonej z nią powierzchni ź) ¹).

W dwuścianie (fig. 114.) mamy: n punktów fi, n punktów В i 2 punkty C. W każdym punkcie fi i w każdym punkcie В schodzi się po 2 czworoboki (2 pary trójkątów), a w każdym punkcie C po n czworoboków (n par trójkątów). Z tego wnosimy : Funkcya w dwuścianu jest taką funkcya algebraiczną argumentu z, ze w punkcie z— 1 i w punkcie z = 0 posiada po n dwukrotnych punktów rozgałęzienia nad sobą położonych, a w punkcie z—cc ma diva n-krotne punkty rozgałęzienia, znowu nad sobą leżące.

W czworościanie (fig. 115.) mamy: 6 punktów fi, a w każdym z nich schodzi się po dwa czworoboki, dalej mamy tam 4 punkty В o trzech schodzących się w nich czworobokach, a wreszcie cztery punkty C znowu o trzech schodzących się w nich czworobokach. Z tego wnosimy: Funkcya algebraiczna w czworościanu posiada w z =1 sześć punktów dwukr otny ch rozgałęzienia nad sobą leżących, a w punktach z — 0, z — co ma po cztery trzykrotne punkty rozgałęzienia nad sobą leżące.

W ośmiościanie (fig. 116.) mamy: 12 punktów fi, a w każdym z nich schodzą się po dwa czwoi’oboki, 8 punktów В o trzech schodzących się w nich czworobokach i wreszcie 6 punktów O, a w każdym z nich schodzi się po 4 czworoboki. Stąd wnosimy : Funkcya algebraiczna w ośmiościanu posiada w z—1 dwanaście dwukrotnych punktów rozgałęzienia, w z — 0 ośm trzykrotnych punktów rozgałęzienia, a w z=cc sześć czterokrotnych punktów rozgałęzienia.

W dwudziestościanie (fig. 117.) mamy : 30 punktów fi, a w każdym z nich schodzą się po dwa czworoboki, 20 punktów В o trzech schodzących się w każdym z nich czworobokach i wreszcie 12 punktów C, a w każdym z nich schodzi się po 5 czworoboków. Stąd wniosek : Funkcya algebraiczna w dwudziestościanu posiada 30 dwukrotnych punktów rozgałęzienia w z =1, 20 trzykrotnych punktów rozgałęzienia w z—0, a 12 pięciokrotnych punktów rozgałęzienia w z— co.

punktu odpowiedniego, to ta zmiana równoważna jest z jednem

źenie

181. Fimkeye trójkąta rodzaju drugiego (A+y + v <. 1) i graniczne wypadki i-f-/t + v=l, A + yĄ-v = 0. Przejdźmy do funkcyj rodzaju drugiego [o sumie    1]. Przedewszystkiem odrazu

wnosić można, że gdy jedna tylko z liczb A, у, v będzie niewymierną , to z okaże się funkcyą nieskończenie wielowartościową. Przyjmijmyż wszystkie te 3 liczby wymierne i połóżmy:

; V

A=T’

i

2л~—2тс A

2л1‘—2л АЛ.

To wskazuje, że wy chodząc z trójkąta ABC, dochodzimy dopiero po V okrążeniach punktu A do trójkąta, który się okazuje identycznym z ABC. Podobnie dopiero m‘ okrążeń około punktu В, a n‘ okrążeń około punktu C doprowadzi do początkowego trójkąta ABC. Funkcya z okazuje się w tym razie wielowartościową ze skończoną ilością gałęzi, jeżeli jedna przynajmniej z liczb V, m‘, n‘ okazuje się ^>1. Gdy przeciwnie jest V—m'—n'—1, to trójkątów przykrywających się nieidentycznie wcale nie ma a funkcya z=(p{iv) jest jednoznaczną. Mamy więc twierdzenie:

I. Gdy A, y, v są w funkcyi w drugiego rodzaju odwrotnościami liczb całkowitych, to z=w(w) jest w tym jedynym wypadku funkcyą jedno-

Z równania :

znaczną.

m‘

n‘

v=—,

mamy :

To samo twierdzenie odnieść trzeba do granicznego wypadku A+y+v= 1. Ale tu, kładąc А — Цг, (л—Цт, v=^\n można równaniu

1 ,

+ — + -=1

r4

tylko jedynie takimi układami liczb całkowitych l, m, n zadość uczynić :

m=3, w=6 ;

1=2, m=4, w=4;

Z=3, m=3, n=3.

W pierwszym razie mamy trójkąt ABC, jaki powstaje po obydwu stronach wysokości trójkąta równobocznego. W drugim trójkąt MBC jest równoramienny i prostokątny, a w trzecim jest równoboczny. Tworzeniem obrazów danego trójkąta, a dalej obrazów powstających ciągle trójkątów, zakryjemy tu całą płaszczyznę (w), nie wykluczając i części jej, leżących w nieskończoności.

Punkt w== go otoczony więc tu będzie nieskończoną mnogością trójkątów, a stąd wynika, że funkcya z = (p(iv) — jednoznaczna na

(«)

(ß)

(У)

1=2

podstawie twierdzenia I. — zbliża się w otoczeniu w=cc do każdej wartości, jaką posiada w dowolnej parze trójkątów. Punkt w = cc jest więc jej jedynym punktem istotnie osobliwym.

Ale jeszcze bliżej możemy określić charakter funkcyi 0. Oto przez sieć trójkątów, jaką mamy na płaszczyźnie (w), tworzą się zarazem w każdym z trzech wypadków dwie gromady równoległych prostych, a w powstających stąd równoległobokach joowtarzają się wartości funkcyi 0=(p(w) peryodycznie. Stąd twierdzenie:

I. Funkcya 0=(p(iv) w ra0ie y4-~+—=1 pr0y całkowitych l, m, n, jest funkcyą eliptyc0ną.

Podług art. 162. określi ją równanie:

z

w = f 0Я~\1— 0)iJ'~'id0 ,

J o

albo równanie różniczkowe :

dw

Funkcya w=f(ss) będzie tu funkcyą nieskończenie wielowar-tościową, a z identycznych podstawień :

(A)²=1, (Б)³= 1, (C)z=l, w wypadku (a),

(A)²=l, (B)*=l, (C)⁴=l . (A)³==l, (Б)³=1, .(Cj³==l wywnioskujemy z łatwością, jakiej krotności są dla w punkty rozgałęzienia, przypadające na 0=0, 1, 00. ЛУ każdym razie w każdym z tych punktów powtarzają się punkty rozgałęzienia tej samej krotności nieskończenie wiele razy.

W razie Я -j- p -f- v = 0, a więc : Я — p — v — 0 , jest funkcya 0 zawsze jednoznaczną [art. 177., fig. 105]. Oo się tyczy funkcyi w w tym wypadku, to zauważmy, że wskutek Я=р=г=0 ma równanie Gaussa (1) — art. 176. — postać:

1—20 dy

dz² ^ 0(1—0) eh    4:3(1—0) У

a jemu — jak łatwo można sprawdzić — zadość czynią całki:

<Â)

dhy

=0

(ß)

(у)

(a)    K(0) =

dcp

V1—0sin‘i(p

K‘(z)= J

dcp

\/l—(1 — 0)sin²(p

*)

, l² , l²-3² ₂ . 1².3².5² $(s) — £ [1 +    + 22422,2 d

*) Całkując równanie A szeregiem potęgowym, przekonamy się, że jemu zadość czyni szereg:

prowadzące do peryodów funkcyj eliptycznych. Jacobi’ego z modułem &²=0.

^*) [art. 131, (12)].

«0= —

Wskutek tego można tu położyć: iK\z)

K(e)

Gdy 0 = 0, dostajemy z (a): iń' = co , а К skończone. Dla 0 = 1 dostaniemy przeciwnie 2Г= co, a K‘ skończone. Stąd pochodzi, że:

(b)

«0 = co, gdy 0=0,

«0=0, gdy 0=1.

Napiszmy, gdy ma być 0=00, formy (a) w postaciach:

dcp

Vz jVz~x—sin‘l(p ’ o

to przekonamy się, że :

K\z)=

d(p

V z f V z-x — (z~x—\) sin²cp

(c)

«0 = 1, gdy 0=00.

Łatwo dalej sprawdzić można, że między К a K' zachodzi równanie różniczkowe :

K-

dK‘

dz

K-

dK

71

dz

40(1-0)

)•

Z niego dostajemy:

d (K‘

71

4/ń²0(l—0)

dz \ К

a gdy tu po prawej stronie za KL wstawimy szereg :

i rozwiniemy potem —тг j 4:K'²z(l—0) w otoczeniu 0=0 niemy :

to dosta-

d / K‘ dz \ К

rH i К

{7+ -+23P«}.

Л

a ten — gdy С— у — jest = K(z), art. 131. Gdy dalej w równaniu (d) położymy z— 1—z', okaże się, że całe równanie zmieni się tylko o tyle, że w nim wszędzie zamiast z wystąpi z‘. Że zaś naodwrót z‘■= 1—z, więc i K“(z) będzie całką równania (d).

*) Czynnik (—i) dodany ilorazowi K‘/K nie zmieni wcale natury zadania, bo w można zastąpić dowolną liniową funkcyą, utworzoną z w.

) Trzeba tylko К i K‘ przedstawić szeregami :

= i , K'(z) = J- [l+2-ï    +-• I'

Gdy punkt 0=0 okrążymy raz w dodatnim kierunku, to К przez to nie dozna zmiany, bo punkt 0=0 nie jest dlań szczególnym. Przeciwnie K‘ przejdzie na    a więc —iK‘ przechodzi na

(—iK¹ — 2K), a iloraz w zmienia się na (w—2).

W podobny sposób wywnioskujemy, ża przez okrążenie punktu 0=1, który jest znowu zwyczajnym punktem dla K‘, zmieni się

2w+ï

Z tego — według ogólnych zasad teoryi funkcyj trójkąta —

tylko К na K—2iKa więc w na

wynika, że funkcya z = (p(w) zmieniać się nie będzie w nieskończonej grupie podstawień, utworzonej z dwóch zasadniczych podstawień:

(w‘, w—2)

Stąd mamy :

K = -~,0gz + ^ \{e)

Kl

a więc :

K'=-

~log z + K%(0).

Zamiast pierwszej z tych substytucyj możemy wziąć jej odwrotność i tworzyć grupę z podstawień :

S=(iv‘, w + 2)

Co się tyczy kształtu trójkąta, to z (Ъ), (c) wynika, że ma on mieć wierzchołki w punktach 0, 1, oo . Połóżmyż w=u + vi, a tv=co obierzmy w punkcie vi= + cci, to kołem łączącem punkty iv=0 i vi=co i będzie oś w, określająca się równaniem u=0. Zakreślmy

dalej nad osią uu z punktu u=- -, jako środka, półkole Jc promieniem

a dalej narysujmy prostę u= 1, to trójkąt położony nad osią uu, a ograniczony prostemi u=0, u= 1 i półkolem Jc, będzie już spełniał warunki, dane w (b) i w (c). Taki-to trójkąt A odwzorowuje się tu w półpłaszczyźnie i. Trójkąt A wraz z trójkątem Ą, który może być obrazem pierwszego w prostej г«=0, będzie już zasadniczym czworokątem (Л-^Д) utworzonej grupy.

Funkcya 0=cp(w) nie zmienia się w tej grupie i istnieje tylko ponad osią uu, która jest tu ortogonalnem kołem dla trójkątów całej nieskończonej sieci. Argument zatem w=(o₃la>i =a-{-ßi posiada zawsze ß^>0. To zaś spełnić można zawsze, bo w razie ß<C.O dość jest zamiast (<y₃, w₁) użyć pierwotnej pary peryodów (—<y₃, toj. Spółrzędna ß może się dowolnie przybliżać do zera, ale zerem nigdy być nie może, gdyż stosunek peryodów nie może nigdy wyrażać się liczbą rzeczywistą.

182. Grupa harmoniczna i jej funkcya. Na fig. 118. mamy z punktów w— O, w= 1 zakreślone koła o promieniu —1 i ich wspólną cięciwę; przechodzi ona przez punkt w=1/2 i jest prosto-

VI

Wsi

У!

Fig. 118.

padła do osi pierwszorzędnej płaszczyzny (го). Te dwa koła wraz z ową, wspólną cięciwą i osią pierwszorzędną, dzielą całą płaszczyznę (го) na 12 trójkątów kołowych, a gdy z nich co drugi zaciemnimy, spostrzeżemy łatwo, że w każdej parze trójkątów o wspólnym boku jest każdy obrazem drugiego w tym boku. Zauważmy trójkąt jasny I, a każdy punkt w nim zawarty nazwijmy w. Wtedy w trójkącie jasnym II leżą punkta (1—w); w trójkącie jasnym III 1 (w, w trójkącie jasnym IV punkta 1/(1—w)-, w trójkącie jasnym V punkta w\(w— 1); a w trójkącie jasnym VI punkta (w—1)1 w.

Dopełnijmy trójkąt I trójkątem ciemnym I', będącym odbiciem trójkąta I w osi pierwszorzędnej i niech w przedstawia punkta zawarte w obszarze (I+P), to teraz cała płaszczyzna (го) rozpadnie się na 6 takich obszarów:

Obszar (I + Г)    zapełniony punktami w ;

(1—«0;

„    (H+IT)

1 \w

„    (iii-f-iiio

1/(1-w)

„    (IV+IV0

Teor. funkcyj analit. T. II.

Obszar (V + V') zapełniony punktami го I (w—1);

(VI + VP)

(w— 1) / w.

Wiadomo z rzutowej geometryi, że z anharmonicznego stosunku (abcd) = w czterech punktów a,h,c,d powstaje — gdy te punkta na 4! sposobów przemieniamy — tylko 6 grup, zawierających po 4 anharmonicznych stosunków i że anharmoniczne stosunki. zawarte w poszczególnych grupach, mają wartości:

. («)

w, 1 — w, w {(I —го), 11 w , 1/(1—w), (1 —who.

Z tego określenia wynika, że podstawienia:

[w, w), [w, 1 —w], [w, w I (1 —w)\

[w, ljw], [w, 1/ (1—w)] , [w, (1 — w) I w]

G=

tworzą koniecznie grupę.

Utwórzmy dalej dowolną funkcyę f(w) wymierną i symetryczną w wyrazach (a), to taka funkcya widocznie nie dozna zmiany za któremkolwiek podstawieniem grupy G, a gdy w obszarze (I-j-I') lub w którymkolwiek innym obszarze ma ta funkcya wartość uz, to tę samą wartość posiada w odpowiednich punktach³) któregokolwiek z pozostałych pięciu obszarów. Przebieg wartości takiej każdej funkcyi dość jest więc poznać w jednym tylko obszarze (I-j-I'), ....

W szczególności, gdy utworzymy równanie :

-l=o

W J

[„ -ty] [ty] ty ty] [>

to jego spółczynniki, jako symetryczne w wyrazach (a), będą już funkcyami o grupie G. Że zaś to równanie sprowadza się do postaci :

Vй—4v⁵+[6—A(w))v!i—[7—2A(w)\ v³ + [6—A (w)] v²—bvĄ-1=0, gdzie :

(b)

A(w)

(w²—wĄ-1)3 (w²—w)2    Z'

więc widocznie i funkcya A(w) należeć będzie do funkcyj niezmie-niających się wcale w grupie G. Ta grupa — jak łatwo można okazać — posiada dwie zasadnicze substytucye:

T=(w, 1—w).

Uwaga I. Gdy położymy w = k², dostaniemy z (b) ~J(k), gdzie J(k) jest niezmiennikiem całek lub funkcyj eliptycznych o module к — por. art. 91.

Połóżmy: w— [    ) > to dostaniemy z (b) zasadniczą funkcyę z(v)

ośmiościanu.

fig. 118. jest także rzutem stereograficzny płaszczyznę (w) kuli К w pewien sposób podzielonej

m na

Uwaga 2. Kysunek na

posiadającej promień =!• W kuli К poprowadźmy równik R (fig. 119.), a przez jego bieguny P, P'

trzy południki p₂, p₃ tworzące kąty:

2C(Pi Vi ) = 'ÄSlhlh ) = 'ÄJlhVi ) = - J.

Fig. 119.

sprzęga półpłaszczyzną z z trójkątem kołowym [na (w)] o kątach

P, 1\ niech będą punktami, w których się południk pi przecina z równikiem R , a w punkcie 1\ połóżmy płaszczyznę styczną (w) do kuli. Gdy teraz tak podzieloną kulę rzucimy na (w) stereo-graficznie z punktu Г, to na (w) dostaniemy taki podział, jaki właśnie fig. 118. przedstawia. W każdym z trójkątów mamy tam 1—2, от —2, n — 3, a więc wypadek ten należy zaliczyć (jak jest w istocie) do dwuścianu o n —3, a równanie (b) uważać za takie, którem się cząsteczkowo

ROZDZIAŁ XXIII.

Z teoryi funkcyj modułowych.

183. Grupa modułowa. Całkowity nieskończony zbiór pod

stawień:

(1)

=Sz

az+b

cz-\-d

o całkowitych rzeczywistych spółczynnikach, czyniących zawsze zadość warunkowi, aby wyznacznik: A=ad—óc= + l, jest na podstawie już swojego określenia — grupą. Złożenie bowiem dwóch takich substytucyj Sz, S±s daje substytucyę znowu o całkowitych spółczynnikach, a gdy pierwsza ma wyznacznik 4= + l, a druga wyznacznik ^ = + 1, to złożenie SSiz*) ma wyznacznik A.AX, a więc znowu = + l. Tosamo dalej odnosi się do złożeń dowolnie wielu substytucyj i do iteracyj dodatnich, a nawet odjemnych dowolnego stopnia, nie wyłączając i każdej odwrotnej substytucyi.

*) SSlz oznacza

że na z dokonano naprzód podstawienia 6j, z czego powstało S\z, a potem <Sjs poddano podstawieniu S.

Taką grupę nazywamy modułową. W niej znajdują się niezawodnie dwie takie substytucye :

Tz=-

80=0+1

Z tych pierwsza iteracyami (dodatniemi i odjemnemi) nie doprowadzi nigdy do substytucyi identycznej, gdyż mamy: Sv0=Z+V,    ±2, ±3, ...

Przeciwnie z drugiej dostajemy:

T²z=z,

a więc identyczną substytucyę, a odwrotne podstawienie :

1^=- ¹

(3)

(4)

a więc = Tz.

(5)

Z tego powodu we wszelkich złożonych podstawieniach :

...SaTaiSn^...Sx

... SaTa‘SP TP ‘. ..SzTt-l‘

mogą być wykładniki substytucyi T wyłącznie =1, tak, że zamiast (5) dostajemy:

(6)

...S«TSPT...S*, lub ...SaTS?T...S*T.

gdzie a, ß, ,.., Л mogą być dodatnie lub odjemne.

Złożenia (6) zaczynają się (w ich pisaniu) albo od T albo od Sw. Takie złożenia należą oczywiście do grupy modułowej , bo posiadają spółczynniki całkowite, a ich wyznaczniki mają zawsze wartość == + l.

Udowodnimy naodwrót, że każda dowolna substytucya grupy modułowej da się przedstawić złożeniem substytucyj S, T: a to znaczy :

I. Grupa modułowa ma dwie zasadnicze substytucye:

Sz=z+1, Tz= —

Dowód. Zauważmy najdowolniejszą substytucyę: az +&

Uz

cz-\-d

ad—bc= + l

a obok niej substytucyę :

— cz—d az+b

U‘z należy znowu do modułowych, bo i jej wyznacznik jest ad—a z niej dostaniemy widocznie Uz poddając ją substytucyi T, tak, że :

Uz

Mając to, zauważmy nasamprzód taką substytucyę U z, w której |a|>[c| i połóżmy:

(7)

Uz=

az +Ъ

cz +d

gdzie Я ma być liczbą całkowitą gniemy. Z (7) dostajemy:

—4* Я,

а о jej znaku później rozstrzy-

Uz—Я

(a—cX)zĄ-(b—dX) *

cz-\-d

V\Z

a stąd widocznie wynika:

S*( Uz—/t).= Uz=Sz Vi z.

V^z należy znowu do podstawień modułowych, bo i tu wyznacznik J= i-1.

Założyliśmy |a|>|c|. Przyjmijmyż Я takiego znaku, aby Sign a= Sign сЯ,

[T. I., art. 8.], to można dalej \Я\ tak wybrać, aby się okazało —сЯ\. Podług (a) można położyć:

V₁z-=TV₂z,

Uz=S*TV₂z.

W V₂z jest spółczynnikiem przy z w liczniku: czynnik przy z w mianowniku jest: (а—сЯ). Połóżmyż znowu :

V₂z=SW₃z,

a więc:

spół-

to dostaniemy :

Uz=S*TSt*V₃z)

przytem w V₃z mamy jako spółczynnik przy z w liczniku:

c—(a—сЯ)[л,,

a spółczynnikiem przy z w mianowniku będzie : (a—сЯ). Tutaj g będzie można znowu tak obrać, aby było :

ja—cl [;> J c—(a—сЯ)fi\.

Podług (a) można dalej położyć:

Uz=SZTS^T F₄ z.

a więc :

Dalej będzie :

Uz=S*-TSiA‘TSvTVbz

i t. d.

taki, że :

Pojawia się tu szereg liczb:

c, a—сЯ , c—(a—сЯ)д, (a—сЯ)—[c—(a—cX)fi\v r ....

|a|;>|c| >|a—cź|>j с—{а—сЯ)(1 j >......

a że to są same liczby całkowite, więc ostatecznie po skończonej ilości przerobień dojdziemy do:

üz=S*TSt*T...S“T. V»z, gdzie :

(8)

F„z=-X* yz + ö

Lecz, jak w Uz, F^, F₂£, tak samo i w V^z musi być wyznacznik: O.d—ß.y= +1 przy całkowitych d, /?, y.

Gdy więc okaże się ß=— 1, y=-fl, to mamy:

V„z

z-\-ó'

Z tego kształtu wnosimy, że :

Vwz=TSôz.

Wstawiając to w (8) i uwzględniając, że TT= 1, mieć będziemy ostatecznie kształt :

(«)

TJz=S*TSt*T...TS*z.

W razie ß= -p1, y=—1, mamy:

— 1

Vaz

—zĄ-ó z—d

TS~ôz

a więc i tu kształt (a) utrzyma się. Uz jest więc — w założeniu |a|>|c| — zawsze złożeniem podstawień: S, T.

Przyjmijmy teraz ju|<C|c[. Tworząc wtedy:

TUz

—cz+d

az+Ъ

mamy już w tej substytucyi spółczynnik przy z w liczniku większy bezwzględnie niż bezwzględny spółczynnik przy z w mianowniku. Tę substytucyę będzie więc można przedstawić znowu złożeniem substytucyj S, T. Połóżmyż:

Tüz=S*TSn\..TS*z,

to stąd_poddając obie strony podstawieniu T_1 = T — dostaniemy

(&)

Każda więc substytucya grupy modułowej jest złożeniem substytucyj S, T. Twierdzenie I. mamy udowodnione.

Każde dwa punkta: z, z‘=TJz, gdzie Uz jest dowolną substy-tucyą grupy modułowej, nazywamy równoważnymi. Gdy tak nie jest, punkta z, z‘ są nierównowaźne; [te określenia pozostają w każdej dowolnej grupie].

O punktach równoważnych trzeba zauważyć :

az-\-b

Gdy z‘=Uz

cz -f- cl

a położymy z=xĄ-yi, z warunkiem, że

0 jest, to w z‘ otrzymamy na część czysto urojoną wyraz :

+ yi

vi

(сж+^)² + с²у² ’

a tu widocznie F>0. Z tego wnosimy :

II. Dowolnie wybrany punkt z na płaszczyźnie (z) nigdy — po zastosowaniu do niego dowolnej substytucyi grupy modułowej — nie przeniesie się na drugą stronę pierwszorzędnej osi xx.

W szczególności, gdy z=x, a więc leży na osi xx i każde z' leży na tej osi.

to także

Gdy I z\ = co , to z¹

a -f-

c+

i.

d I c

Z J Z— GO

N I S'

a stąd wynika, że punktom

z, leżącym w nieskończoności, odpowiada wszędzie gęsta mnogość punktów z‘, rozpostarta na osi xx.

Należałoby teraz ograniczyć na płaszczyźnie (z) taki obszar [2], któryby tworząc continuum zwarte — zawierał same nierówno ważne, i to wszystkie nierównoważne punkta. Taki obszar będzie zasadniczym obszarem grupy. Dalej wychodząc z obszaru [z] należałoby na płaszczyźnie (z) wyznaczyć wszelkie obszary U[z\, jakie z [z] powstają, przez zastosowanie do wszystkich jego punktów wszelkich możliwych substytucyj grupy mo

dułowej .

Tego dokonamy w następnych art., szukając funkcyi, która właśnie w grupie modułowej wcale zmieniać się nie będzie.

184. Funkcya modułowa J{r). Gdy 2<п₁₇ 2co₃ mają być pierwotną parą peryodów funkcyi eliptycznej fP(u), to można o nich zawsze założyć, że w ilorazie :

г—— = a-\-ßi

«i

jest /Г>0 — art. 181.

Przyjmijmy, że do utworzonej funkcyi §?(w) należą niezmienniki g2: g3 i utwórzmy jej bezwzględny niezmiennik:

(1)

9^

Podług art. 139., (15) jest :

(2) y₂=602

gł-wgł'

= 1402'

(2plo)₁ 4-2/f₃«₃)⁶

gdzie sumowanie odbywa się na wszelkich ^ = ^==0, +1, +2, . ale p₃ równocześnie =0 nie wchodzą w te sumy. Niezmiennik g₂ jest więc jednorodną funkcya (—4)s° stopnia peryodów 2co₁, 2co₃, a g₂³ będzie takąż funkcyą już (—12)s° stopnia tych peryodów. Niezmiennik g₃ jest jednorodną funkcyą (—6)s° stopnia peryodów

(2gl(oi -\-2p?p)?j)

••i

2ы1? 2<n₃, a jego potęga дг² będzie znowu takąż funkcyą (—12)s° stopnia. Z tego wynika, że mianownik (<7₂³—27 ć?₃²) będzie również jnż funkcyą jednorodną (—12)g0 stopnia. Połóżmyż:

g₂ = G₂(Wi û)₃), r7₂ ³—27 дъ ²=£₃(е^, са₃), to wyjmując po prawych stronach czynnik c^⁻¹², dostaniemy:

-JT2-£₂(¹,'t)

Ш1

(3)

(4)

9 2 ⁼⁼⁼

03

12    j

wi

“A^sO);

"i

a stąd wynika , że :

(5)

Я₂(т)

<PG)

okazuje się funkcyą samego ilorazu

Lecz formy (2) nie zmieniają się wcale, jeżeli w nich zamiast 2w₁, 2 oj o użyj emy jakiejkolwiek innej pary pierwotnych pe-ryodów 2co₁, 2oj₃. Ze zaś każda taka nowa para peryodów związana jest z 2(oi} 2oj₃ związkiem:

wi

— г.

(o₃ = p‘co?)-\- q'coi z dowolnymi całkowitymi p, q, pj q‘ o wyznaczniku-:

A=pq‘ +p‘q=+1,

więc stąd wynika, że funkcyą J w formie (5), a więc jako funkcyą ilorazu T, nie zmieni się wcale, gdy w niej г zastąpimy przez:

pv + q

p‘xĄ-ql

o dowolnych całkowitych p, g, p‘, q‘ z wyznacznikiem A —+1.

Zatrzymując z podstawień (6) te tylko, w których 4=-j-l, dochodzimy do wniosku :

I. Funkcyą J=(p(x) nie zmienia sie ivcale mimo podstawień grupy modułowej, albo inaczej : funkcyą J jest automorficzną w grnpie modułowej.

col = pct)₃ -+• go)₁

(6)

x‘

185. Równanie różniczkowe peryodu całki eliptycznej rodzaju pierwszego. Każdy dowolny peryod 2w=2w₁ o>t + 2w₃o>₃ da się — jak wiadomo — przedstawić całką :

(a)

2o5

ds

V4:SZ— g₂s—g₃

obliczoną po pewnej zamkniętej drodze a, leżącej na powierzchni Piemanna obrazu algebraicznego $²=4s³—g₂s—g₃; [droga ta składa

się z wielokrotnych kół nieprzywiedlnych Ku    Gdy po tej-

samej drodze obliczony peryod całki rodzaju drugiego nazwiemy 2fj, to :

Ф)

s ds

Połóżmy w (a) s==~~z

9is U 3 to mieć będziemy:

2oj=

Jpj

dz

4z³—~(z + l)

9z

Ze zaś — jak z (1) art. poprzedź, wynika —

<7-2 ³ ₌ 27J

9 z²    J-1 ⁷

co nazwiemy krótko y, więc kładąc jeszcze 2<Z>.'\jj=Q₁ dostajemy:

Q= f ₇.__

J V4z³— g(z4~1)

Analogicznie postępując z całką ([b) i kładąc 2 mieć będziemy :

(a¹)

dz

zdz

f \/4 z³ 4- g {z4-1)

Z form (a'), (Ъ') wynika, że peryody Ü, —H będą funkcyami parametru J, zawartego w całkach. Połóżmy:

V4z³Ą- g {z4-1) =R ,

to różniczkując Ü i —H podług g, dostaniemy:

zdz

00

-H

(I)

Г dz f

JïRï-J

2 R³

i r

J 2Д=>

z²dz

2R³

Po prawej stronie mamy tu trzy całki : zadz

2 R³

a=0, 1, 2

które trzeba obliczyć. W tym celu zauważmy przedewszystkiem,

mając w pewnym punkcie P

za

że każda z funkcyj os = 0, 1, 2

drogi o pewną wartość W,

— po całkowitem obejściu drogi o — cimy. Wskuteg tego będą całki:

cę i

przybiera tę samą wartość Wa, gdy znowu do punktu P wró

(1)

/й6>°

ct=О, 1, 2

[obliczone po drodze a\ Gdy os=0, to :

— 12s²—

2Л³

La,

a więc dostajemy tu podług (1):

fz4z Г dz

¹² J ш+д J

(А)

2 R³

0.

Gdy a-l, lub =2, to:

(2)

te Га

2B²aza~¹—za(12z²+g) ^

2 R³

a więc dla 05 = 1 mamy podług (1) :

(3)

/f-/

120³+y£

2Д³

dz=0

albo :

rdz r3[4:Z³+gz+g)—2gz—3g

J R J 2R³

albo wreszcie :

v*4

Że zaś -4- f    , więc mamy stąd :

2 J R 2

„ fzdz ₀    /* dz

⁹ f\zw ⁺ v

Analogicznie postępując z całkowaniem formy (2) przy a = 2, dojdziemy do związku:

2 R³

= 0.

(B)

2R³ 2 '

(C)

»/;**/

z dz H 3R³ = 2

Gdy równania (A), (Z?), (C) rozwiążemy ze względu na 3 wchodzące w nie całki, otrzymamy: z²dz

2H-2Ü

dz    922—3H

Ш³⁼2дТдЛЩ'

Po wstawieniu tych tak obliczonych całek w równania (I) dostajemy :

2 R³    8(g+27)

fzdz 922 + 18ZZ Г

j2R³^^g±24)' J

Цд + 21)

dü

(И)

dg

f(18+£)22 + 6i?=-0

Цд+27)

dH 1

dg

\--^д^—{д+ЩН^0.

Uwzględniając tn :

27 7

⁹ 1-7

i dg

27

il-J)

Y dJi

mieć będziemy po wszelkich skróceniach :

dû

367 (7—1)^—3(7 4-2)£? + 2(7—1)=0

(B‘)

dH

24 (7-1)7^ - 37Ö+2(7+ 2 )H= 0.

Dalej różniczkowaniem równania (A'): dochodzimy do związku:

d²Û

dû

dH

(CJ) 36⁴7(7-1)

gdy z równań (A¹), (B'), (&) wyeliminujemy H i dojdziemy do równania:

dH

=(697-42)-~j + 2(7-1) ^-3Û+277=0

d²û 1 dû dH^ldJ

(5)

£=0. ⁴)

144e7    36

7²(7—l)²

Jestto równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego. Jego całką jest û=yj^- 2(3, a więc także i każdy dowolny peryod 2<5. Całkami tego równania będą więc i pierwotne peryody 2^, 2«₃, a ogólną całką będzie 2ci(oi-\-2c₃(o₃, przy najdowolniejszych wartościach stałych c1} c₂. W razie całkowitych cą, c₂ daje taka całka peryody 2o>, jako funkcye niezmiennika 7

Według teoryi równań różniczkowych liniowych rozwija się każda całka równania (5) na zwykły szereg potęgowy po za punktami 7=0, 7=1, 7=oo.

Przeciwnie punkta 7=0, 1, go są punktami rozgałęzienia każdej całki (2c₁coi-{-2c₃(0₃), a okrążenie każdego z tych punktów zmienia tę całkę w ten sposób, że w niej (po dokonanem okrążeniu) w miejsce coi, co₃ trzeba wstawić 2di(oi Ą-2d₃(a₃ z stosownie obliczo-nemi stałemi di: d.₂ dla każdego z punktów 0, 1, co .

186. Zasadniczy czworobok grupy modułowej. G-dy utworzymy dla równania różniczkowego (5) — art. poprzedź. — niezmiennik I analogicznym sposobem, jak w art. 176., dla równania różniczkowego Graus sa, okaże się, że on tu ma postać:

(«)

23

972 1 8(1—7)2 + 727(1-7)

sprawdzimy, że — przy J=z — (a) będzie identyczne z (ß), gdy położymy :

8’* 2

za-

a gdy tę formę porównamy z 1-Л² .

(ß)

1—p²

À²-\-p²—v²—1

2(1-«)

2Ą&—1)

Z tego wnosimy, że x—f(J) jest taką funkcyą trójkąta pomocą której odwzorowuje się trójkąt kołowy ABC, leżący na płaszczyźnie (x)₇ a o kątach :

TC

to а

0.

w górnej połowie płaszczyzny (J).

Wierzchołkowi A o kącie у odpowiada J=0, wierzchołkowi В o kącie у odpowiada J= 1, a wierzchołkowi C o kącie 0 odpowiada t/=0C .

Z (a) wynika dalej , że funkcya x=f{J) jest nieskończenie wielo wartościową, a jej wartości są: (px+q)/(p'x+q') o wszelkich całkowitych p, q₇p‘, q‘, czyniących zadość warunkowi (pq‘—p/q) = +1.

Przeciwnie funkcya J—cp(x) jest jednoznaczną, istnieje tylko w górnej połowie płaszczyzny (г) i jest automorficzną w grupie modułowej.

zau-

Aby teraz kształt i położenie zasadniczego obszaru grupy modułowej i odwzorowującego się trójkąta A=ABC znaleśó ważmy, że grupa ma dwie zasadnicze substytucye:

Tx=-

Sx=x+ 1

i że trójkąt A wraz z jednym ze swych trzech obrazow da jnź zasadniczy czworobok grupy. Taki czworobok ma zawierać takie tylko punkta x, które po zastosowaniu już-to substytucyi S, już-to substytucyi T przenoszą się na zewnątrz tego czworoboku. Niech x=% + r}i. Poprowadźmy w górnej półpłaszczyźnie dwie proste:

to

(P\)    £= —

|= +w [fig- 120. str. nast.],

to między temi prostemi zawierają się takie punkta, że jakiekolwiek dwa z nich są nierównoważne ze względu na podstawienie S, a tylko każdy punkt xi =— ś + ^’, leżący na prostej pi7 odpowiada punktowi x\ — A-    leżącemu na prostej p₂. W tym tak utwo

rzonym pasie (pl7 p₂) trzeba jednak do (4 +A) zaliczyć tylko takie

punkta, które także i ze względu na

Tx=x‘ — —

(1)

тН И

podstawienie :

będą nierównoważne. Połóżmyż :    i    gdzie q przyj

mujemy >>1, a y tak obierzemy, aby punkt г leżał w (pi, p₂), to mamy z (1) :

= — 1— ел!. Z tego wynika, że: ()(>' —1, (p‘=7i—cp, a więc {?'=— <;1. Z tego wnosimy, że gdy z punktu г=0 zakreślimy promieniem =1 koło K₀, to część obszaru (p^p₂), która rozciąga się poza kołem K₀, będzie już zasadniczym czworobokiem (A-\-A‘), Oś drugorzędna pp dzieli ten czworobok na dwa trójkąty (ABC)—A, A‘BC=A‘, każdy z nieb jest obrazem drugiego w osi pp i każdy ma kąty    0. Sam

czworobok (Aą-A‘)=ABA‘C i ma kąty:

71    71

3 ’    3 ’ ⁰

p.

•f°‘

X,

Л’

,r*

A,

T,

д.

л;

A’

к>

ii.

bo.

Fig. 120.

odpowiednio u wierzchołków :

А В A‘ C.

chołki są:

Trójkąt ABC jest włeśnie szukanym trójkątem A. Jego wierz

^_-l + Y/8"i

B=i

C—coi, gdzie i— {/—1

a w nich odpowiednio jest:

J(t)=0, e7" (t) = 1

J" (г)—co ,

W czworoboku ABA‘C odpowiadają sobie boki AC, A‘C podług substytucyi S

tych dwóch ostatnich bokach co dwa punkta :

boki AB, A‘B podług substytucyi T. Na

t'₂ == eW

/71    7l\

*- \W"A

T₂ = e{rt-W,

a więc symetrycznie ze względu na wierzchołek В leżące, są równoważne. Z obwodu czworoboku dość zatem będzie zatrzymać tylko boki CA, AB, (albo boki CA¹-, AB).

Gdy A w łuku AB trójkąty AB0—Ai,A‘B0=A‘ wiadać sobie będą A, A\ i A‘, At. Czworobok ABA>Ó=(Al d-J'j) można wziąć znowu za zasadniczy obszar grupy modułowej.

а A‘ w łuku A‘B odbijemy, dostaniemy

przyczem podług substytucyi T odpo-

187. Podział półpłaszczyzny przez grupę modułową. Gdy teraz z trójkąta A wychodząc, tworzyć będziemy czemraz dalsze i dalsze trójkąty przez odbicia, a co drugi z nich zaciemnimy, utworzymy przez to nad osią || nieskończoną sieć trójkątów (fig. 121.) Każda para" sąsiadujących przez bok trójkątów (jasny i ciemny), dająca czworobok o kątach — , л, ”, 0 daje znowu nowy zasadniczy obszar grupy. Trójkąty maleją i zagęszczają się w nieskończoność za zbliżaniem się do osi Ta oś odgrywa tu rolę ortogonalnego kola wszystkich trójkątów utworzonej sieci.

An

«А

■НИ-- s'⁴t

^ STSTS

nr

lüpfe

Fig. 121.

Podstawienie S odpowiada jednokrotnemu obrotowi około punktu t7=oo, bo przetwarza parę trójkątów (Л-fd') o wspólnym wierzchołku C=coi, w następną parę o tymże wierzchołku. Pod-stawienie T odpowie jednokrotnemu obrotowi około punktu «7=1, gdyż przetwarza parę trójkątów (ń-fzi') o wspólnym wierzchołku В w parę następną, [dolną, oznaczoną przez (Al+A\) na fig. 120.]. Wskutek tego [art. 178.] podstawienia ST, TS, odpowiedzą obrotom około punktu e7= 0, zmieniając parę trójkątów o wspólnym wierzchołku A, w następną parę o tym samym wspólnym wierzchołku A. Że zaś około punktu A mamy 3 takie pary, więc być musi :

STSTS T=1 i TSTSTS=1,

- 687 -

[187

Podstawienia ST, TS nie są identyczne ; stąd wynika, że odpowiadają one okrążeniom punktu 0 w dwóch, przeciwnych kierunkach.

U wierzchołków В schodzą się po dwie zawsze pary trójkątów, i tem tłómaczy się relacya T²=l.

Co się tyczy wierzchołków C, to jeden z nich leży w nieskończoności, a inne wszystkie na osi ęg. Około każdego z nich grupuje się nieskończenie wiele trójkątów; z tego to powodu żadna iteracya Sv nie daje substytucyi identycznej. Przytem zauważyć trzeba,-że każdy punkt C, (w którym mamy </(t) = oo), jest zarazem punktem istotnie osobliwym funkcyi J(t).

Jeżeli obszar (A + A‘) naznaczymy krótko przez 1, to każdy obszar tworzący się będzie miał nazwę (...SaTS^.T...). Każde przesunięcie dowolnego obszaru V wprzód lub wstecz (o -jr_v jedynostek) równolegle do osi ££ nazwać trzeba S+vV, a każde odbicie jego w kole K₀ z odwróceniem jego około osi щ będzie miało nazwę TV. Ponad największymi półkolami rozpościerać się więc będą obszary :

1, 5, S~\ S², 5-², ....

Wewnątrz koła K₀ dostaniemy z obszarów 1, S, S_1 odpowiednio obszary: T, TS, T5_1, a te znowu przesunięte o +1, równolegle do osi ££, dadzą:

S-'T, ST, STS, S-'TS, STS-\ S-'TS-i^TST.

Zauważmy obszary ułożone około wierzchołka A‘, a następujące po sobie w kierunku strzałki a‘. Są one:

1, S, ST, STS, STST=TS~\ STSTS=T i wreszcie: S1STST= 1.

Z obszaru 1 weźmy pod uwagę tylko ciemny trójkąt A‘. Wtedy dwa następujące trójkąty ciemne z wierzchołkiem A¹ będą:

(a)

ST.A¹, STST.A' = TS~ Mb

Gdy podobnie z obszaru S weźmiemy pod uwagę jasny trójkąt A₊1, to dalsze dwa jasne trójkąty z wierzchołkiem A‘ będą:

STA+l, ST.ST.A+i.

Przejście z jednego trójkąta ciemnego lub jasnego do bezpośrednio następującego ciemnego lub jasnego odpowiada tu jednorazowemu okrążeniu punktu J= 0. Takie okrążenie daje —jak to wspomnieliśmy — podstawienie ST, (lub TS), a z tem oznaczenia (a), (/?) zgadzają się w zupełności.

Analogicznie z jasnego trójkąta A z wierzchołkiem A dostajemy, idąc w kierunku strzałki a, dwa dalsze jasne trójkąty:

ISA, TSTSA = S~'1A,

trójkąta ciemnego A_\ mamy znowu dwa następujące ciemne

w postaci : TSA_i

TST SA

a te oznaczenia znowu zgadzają się z tern, że TS odnosi się do jednorazowego okrążenia punktu е7"=0. Około wierzchołka A mamy więc 6 takich obszarów :

(5)

/ 1, T, TS, TST, TSTS=S-'T, TSTST=S~1 i wreszcie znowu: TSTSTS=1.

a ono wierz-A\ j to około A\ mieć będziemy

Jeżeli W jest dowolnem podstawieniem grupy, chołki A‘, A przeistacza w A‘ sześć obszarów :

W, WS, WST, WSTS, .

¹

Gdy punkt w poruszył się w otoczeniu punktu fi, В, C w ten sposób, że początkowo zawierał się w białym trójkącie, a potem przez jeden trójkąt ciemny przeszedłszy, dostał się znowu do trójkąta jasnego i zajął tam poło-

OLW + ß

yw -{- S

całkowi tern okrążeniem punktu z—0, z—1, lub z —cc z początkową wartością z w górnym półliściu ż powierzchni 9î(u>, «).

²

².4².6²

³

Grdy puakta obszaru (II-pil') naznaczymy na chwilę przez w', to punkt w' związany równaniem w—1—w' uważamy za odpowiadający w tym obszarze punktowi w obszaru (I-f-I'). W ten sam sposób doszuka się punktów odpowiadających punktowi w, a leżących w dalszych obszarach (Ill-j-IIP), .....

⁴

Por. Klein (F.r i с к e) — „Vorles. über d. Th. der elliptischen Modul-functionen¹¹. T. I., str. 33—34. Q, H nazywa Klein „peryodami unormowanymi“.

a około Ai sześć obszarów:

W, WT, WTS, WTST, ....

Wszelka funkcya (p(j) jednoznaczna, a automorficzna w grupie modułowej nazywa się modułową. Lecz w teoryę tych funkcyj wchodzić tu nie możemy, jak rówmie nie leży w zakresie tej książki rozbierać funkcye automorficzne t. j. funkcye, które pozostają niezmienione w pewnej skończonej lub nieskończonej liczbie liniowych podstawień tworzących grupę. W tym zakresie badań istnieją dziś znakomite dzieła i prace Fuchsa, Poincaré’go, Kleina, Eausenbergera, Hurwitza i w. i. O grupach podstawień liniowych traktują rozprawy Dycka i dzieło Burns id e’a.

KONIEC.

Neuwittelsbach koło Monachium, w maju 1900.

■еШ»

■ч„

<т

Spis autorów przytoczonych.¹)

Abel 277, 308, 309, 31!, 382, 400, 462, 471, 491, 509, 614, 619, 620, 623.

André 108, 110.

Appell 77, 80, 220, 349, 544. Aronhold. 494.

• Autonne 187.

Axel - Harnack 403, 580.

Bach mann 11,

Berger 100.

Bernoulli 99, 100, 103, 113. Bertini 6 .0.

Betti 462.

Biermann 99, 333.

Bouquet 509.

Briot 509.

Bruns 486.

Burnside 688.

Casorati 89, 623.

Castelnuovo 240.

Cauchy 400, 415, 416, 438. Cayley 240, 639.

Cesaro 119.

Christoffel 558.

Clebsch 355, 399.

Cousin 452, 454.

Cremona 259.

Dai’boux 405.

Dauthe ville 175.

David 207.

Desaint 430.

Dickstein 62.

Dingeldey 382.

Dirichlet 403, 549.

Dyck 379, 382, 688.

Dziwinski 544, 661.

Elliot 318.

Enriques 240.

Euler 7, 12, 95, 100, 112.

Feldblum 376.

Fiedler 232.

Forsyth 37, 379, 630.

Fouret 28.

Franklin 6.

Fricke 549, 607, 683.

Fuchs L. 486, 688.

Fuchs R. 486.

Gauss 649, 650, 651.

Gegenbauer 72.

Gordan 11, 355.

Goursat 137, 220, 435.

Graefe 494.

Green 547.

Greenhill 544.

Guichard 123, 435.

Günther 278.

Halphen 318, 544.

Hamburger 207.

Harkness 342 Haure 302.

Heffter 647.

Heine 427.

Hermite 11, 96, 115, 405, 408, 415, 430, 539.

Hettner 278, 349.

Hilbert 11.

Hoyer 397.

- 690 -

do stron.

619.

l’Huilier 879.

Humbert 494.

Hurwitz 11, 349, 688.

Jacobi 462, 506, 512.

Jordan 370, 412.

Kapteyn 497.

Kępiński 486.

Klein 300, 377, 378, 382, 549, 607, 644, 683, 688.

Kobb 222.

Koehler 364.

Koenigsberger 494.

Kummer 650.

Lacour 544.

Lageurre 93.

Laurent 417, 422.

Leibnitz 56, 101.

Lerch 435.

Lévy 544.

Lindemann 11, 357, 494.

Lippich 382.

Lipschitz 72, 115.

Lucas 101.

Lüroth 336, 399.

Maclaurin 115.

Maser 37.

Meyer 403.

Mittag - Löffler 137.

Moebius 170, 370, 379, 382. Moivre 21.

Morley 342.

Netto 310.

Neumann 382.

Niewęgłowski 207.

Noether 237, 268, 300.

Olivier 43.

Painlevé 137, 427.

Phragmén 568.

Picard 207, 404, 430, 462, 556, 583, 609.

Poincaré 382, 454, 688.

Prym 247.

Ptaszycki 311.

Puiseux 207, 415.

Puzyna 122, 544.

Raabe 6.

Raffy 237, 008.

Rausenberger 688.

Riemann 256, 300, 357, 382 — 399, 415,    571,    597,    600,    604,    607,

619,    623,    659,    668.

Roch 300.

Rosanes 259.

Runge 220, 497.

Salmon 232.

Scheibner 494.

Schläfli 382, 568.

Schlesinger 647.

Schumann 494.

Schwarz    349,    544,    556,    568,    582,

589,    600,    639,    648.

Seidel 128.

Serret 403.

Simart 462.

Simony 382.

Sochocki 541.

Sparre 93.

Staude 494.

Stern 100.

Stickelberger 311.

Stolz 170.

Sturm 441.

Taylor 417, 419. Tikhomandritzky 237. Todhunter 661.

Weber 11, 342.

Weierstrass 11, 89, 123, 137, 174, 207, 256, 272, 277, 302, 333, 342, 454, 462, 494, 515, 521,

Worpitzky 100. Wroński 43.

Yillarceau 23, 64. Vivanti 93.

Zajączkowski 37. Zaremba 582. Zmurko 6. Zórawski 34.

Alfabetyczny rejestr rzeczy.

96.

*3**»

Algebraiczna funkcya 216. Algebraiczny obraz (utwór) 188—222. Antaby [Ilänkel] 377.

Automorficzna funkcya 680, 688.

Bezustanna zbieżność 1, 33, 86, 87. Bieguny [pôles] 137.

Całka Cauchy’ego 415.

—    eliptyczna ogólna 539.

—    o argumencie rzeczywistym 403.

—    „    „    urojonym 405.

—    określona podwójna 401.

—    podwójna o argumentach urojonych 454, 459.

— Poissona 556.

—    zamknięta (okrężna) 410.

Całki Abla 309, 463, 471, 615.

—    „ normalne 614.

—    eliptyczne 333, 435, 477, 494, 497, 506, 515, 540.

—    hypereliptyczne 485.

Cięcia [Coupures\ w funke. 427, 430, 442.

—    kołowe w powierzchniach 365. 390. Cykl w obrazie alg. 217, 241, 313, 319,

383, 657.

Czworobok zasadniczy 658, 679, 683. Czworościan 662.

Czynniki pierwiastkowe 30.

Defekt krzywych algebr. 240.

Dołączone krzywe [courbes adjointes, ad-jungirte Gurren] 237, 262, 321, 324. Dołączone krzywe stopni : n - 1, n — 2, n- 3 240.

Dwudziestościan 664.

Dwuścian 662, 675.

Element cykliczny w obr. alg. 217, 241, 313, 319, 383, 395, 657.

— obr. alg. 189, 213.

Elementa proste [éléments simples] i. eliptycznej 536.

Eliminacya 221, 243, 248.

Formuła Greena 547.

Funkcya algebraiczna 216.

—    bez miejsc zerowych 75, 77.

—    ć?(e*>)±G(e28.

— II(xy, x'y') 249.

— H{xy)ai H‘(xy)a, R{xy,x‘y‘)y,

272, 288.

— H(xy) ogólna 312.

—    modułowa </(x) 679.

—    pierwsza o jednej zmiennej 84, 165.

—    pierwsza E(xy) 473, 487.

—    ,    „ E(xy,c₁c₂) 488.

—    równoważna 444. 448.

—    trójkąta 645, 649, 659, 669.

— Weierstrassa $3(«) 515.

—    wykładnicza 1, 73.

—    wymierna E(xy) w obrazie algebr. 241, 289, 293, 305, 619. '

—    z jednokrotnymi biegunami 137.

—    z nieskończoną ilością miejsc osobliwych 142, 146, 150, 158.

—    z nieskończoną ilością miejsc ze-rowych 83.

—    ze skończoną ilością miejsc osobliwych 130.

—    ze skończoną ilością miejsc istotnych 134.

—    sin~x w postaci iloczynu 93.

— COST.X    „    „

Funkcye eliptyczne 525—544.

— Jacobi’ego 506.

—    harmoniczne 545—609.

rodzaju 1«°, 2«° i 3S’

604.

—    rodzaju 1»°,    2s° i 3°° urojonego

argumentu 607, 609

—    trygonometryczne 4, 102, 104.

— Weierstrassa a« , cąw, оум

Ци) 521.

—    wielu zmiennych 442—462. Funkcyjne równanie [Functionalgleichung]

f. eliptycznych 533.

—    równanie logarytmu 44, 68, 71.

—    „    ogólnej potęgi 70.

- 692 -

Geometryczne badanie obrazu alg. 222. Nieprzywiedlność równ. alg. 188, 220. Grupa harmoniczna 674.    Niezmiennik I(z) 643, 683.

— liniowych podstawień 654, 658, Niezmienniki f. elipt. 345, 379.

Normalna forma funkcyi wymjg.Ufy) w obr. alg. 247.

— forma funkcyi H(xy) 321.

H‘{xy)a 325, 327.ЩЦ H(xy,x'y') 328, 330 „ krzywej rodzaju =1 341.

Щ obrazu elipt. Legendre’a i ’Weiers tras sa 341.

497.

Para funkcyj 189.

Peryod f. wykładn. 8.

Peryody całek Abla 462-477, 614.

ich związki 469,

—    nieskończonego rzędu 33, 36, 39. Podstawienia Cremony 529

—    liniowe 337, 627, 639, 649, 655. 657, 659, 667, 674, 676.

—    odwracalne 256, 345:

—    zasadnicze 658, 667, 676. Podzielność dwóch szer. wielu zmiennych

177, 181.

Powierzchnia jednostronna 676. Powierzchnia Riemanna 383—399, 571, 597, 600, 604, 607, 659, 668.

672, 674, 676. modułowa 676.

Harmoniczna grupa 674.

Harmoniczne funkcye 545—609. Historyczne uwagi o liczbach e, r. 11.

Iloczyn nieskończony 71, 84, 127, 163, 522.

Jednostajna zbieżność 87, 127, 138, 143, 163, 168, 172.

Klasa krzywych alg. 257, 341, 357, 625. Koła przywiedlne i nieprzywiedlne 368. Krzywe dołączone 237, 240, 262, 321, 324.

—    hypereliptyczne 352.

—    rodzaju = 0 333.

—    =1 339.

—    „    =2 349.

Kula z antabami 379, 381.

Liczby André’go 108.

— Bernoulli’ego 99.

— Eulera 1 i 2.

Linie analityczne 591, 625.

—    przejścia [Übergangslinien] 385.

—    zerwania ciągłości = cięcia 427, 430, 442, 466, 468.

Liniowe podstawienia 337, 627, 639, 649, 655, 657, 659, 667, 674, 676. Logarytm 43, 67.

Logarytmiczna pochodna 89, 91. Ludolfma 9, 62.

•Łuki analityczne 588.

Metoda Mittag-Lefflera 137—165.

— Weierstrassa rozwiązywania równań alg. 188—222.

—    wyrównawcza \Alternirendes Verfahren] Schwarza 582 — 604.

Miejsca osobliwe 50, 123. 130, 142, 146, 150, 158, 185.

—    równoważne 10, 678.

—    skupienia 16, 84, 125, 137, 142, 146, 158.

—    zerowe 14, 16, 81, 83, 93, 96, 436.

—    „    i niesk. f. elipt. 512, 525.

—    wielokrotne obrazu alg. 194, 200,

222.

—    zwyczajne obrazu alg. 188. Mnogość punktów 150, 158, 161.

Moduł f. elipt. 341, 345, 509.

Modułowa funkeya 679.

—    grupa 675.

Moduły klasy krzywych 355, 624. Monogeniczność 46, 216.

Obliczanie rzędu p=p 240, 318. Obraz algebraiczny 188—222.

— = odbicie w kole 651.

eliptyczny 270, 322, 332, 340, 341, 399, 477.

hypereliptyczny 270, 322, 331, 398, 485.

Odwracalne wym. podstawienia 256, 345. Odwracanie szeregu 166, 175.

—    całki Abla L° rodzaju 620!

—    » elipt. „

Odwzorowania 563, 571, 625, 638, 654, 664.

—    (przykłady) 630.

Ogólna funkeya H(xy) 312, 320.

—    funkeya wykładnicza 67.

—    potęga 66.

Okrążanie 48, 53, 55, 58, 656, 659. Ośmiościan 663.

Otoczenie 188, 194, 200, 207.

7? ■    r>

615-619.

całek elipt. 477, 483, 680.

„ hyperelipt. 485. funkcyj ełiptycz. 503, 512, 519, 670. „ harmonicznych 593.

„ rodzajów ls°, 2-°, 3®° urojonego arg. 609.

Peryodycznośó 502.

Pochodna logarytm. iloczynu 89, 91.

— mnogość Î50.

— Schwarza 639—645, 648, 654, 683 Pochodne funkcyj o urojonych argumeïi-' tach 408, 456.

\Л ÿ-93

- 693,-

xn)—0 171.

Pozostałość = residuum 289, 422. Pozostałości funkcyi R(xy) w obrazie ^~alg. 289.

Prawidło . dodawania [Additionstheorem] całek A.bla 491.

—    ■■ЩГ eliptycznych 494.

—    funkcyi-    wykładniczej 2, 17.

—    funkcyi    eliptycznych 507, 516.    533.

„    łimowych 61.

„    trygonometrycznych    19

Przecinanie się 2 krzywych alg. 232. Przedstawienie funkcyi R{xy) w obrazie A’.*alg. iloczynem funkcyj pierwszych 491.

Przegląd funkcyj z jednem miejscem oso-bliwem 123

Przekroje powierzchni 360. Przekształcenie powierzchni 376. Przemiana argumentu z parametrem 619. Punkta osobliwe — miejsca osobliwe.

—    rozgałęzienia 47, 55, 60, 217. 383, 658, 668.

—    wielokrotne obrazu alg. 194, 200, 211, 222, 228.

—    wielokr. złożone obrazu alg 226.

—    wyjątkowe Weierstrassa 300.

Residuum = pozostałość.

Eodzaj (rząd, defekt) krzywej alg. 255, 258, 268, 318.

—    =0 247, 333.

—    =1 339.

_ =2 349.

-- powierzchni 373, 378, 395. Równania funkcyjne 44, 68, 70, 71. 533. Równanie f(z) = Ó 435.

—    f(x,xt

—    różniczkowe Gausa 649.

—    „    ilorazu y,/y₂    648

—    „    funkcyi p(u)    516.

„    peryodu 0 630.

Równoległobok peryodyczności 503, 519. Rozwijanie f. harmonicznych 553.

Rząd = rodzaj — defekt 260.

—    klasy krzywych alg. 257.

—    iloczynu 88, 91, 116.

—    obrazu elipt. i hyperelipt. 270.

System zasadniczy całek 647.

—    zupełny kół nieprzywiedlnych 371, 381, 397.

Szereg Gaussa 650.

—    Laurenta 137, 417.

—    logarytmiczny 44, 61.

—    Taylora 417.

Szeregi SA-, Гц, U-ik 99.

—    secx, cosec X 104.

—    ;tgx, cotgx 102.

Trójkąt’ zwyczajny 570.

—    'kołowy 642-645, 650—688. Trygonometryczna f. 4, 12, 93, 96, 102. Twierdzenie Abla 311.

— Cousina 452.

— Hermite’a 430.

—    1’Huiliera 379.

— Laurenta 417.

— Rocha 300.

— Sturrna 439.

— Żórawskiego 35.

Utwór algebraiczny = obraz alg. Uwielokrotnienie argumentu 21.

Warunki spowodowane punktami wielokrotnymi w krzywych alg. 218. Wcięcia 365.

Wielobok kołowy 587, 638.

—    zwykły 563.

Własności f. alg. 216.

—    f. eliptycznych 512.

—    f. R{xy) w obr. alg. 241.

—    f. try gon. 12.

—    f. wykładniczej 7.

Wykładnicza funkcya 1, 73.

Wskaźnik (index) Cauchy’ego 488. Wyrażenia analityczne 161.. Wyznaczanie całek Abla 614.

—    funkcyj elipt. 527.

—    funkcyi R(xy) w obrazie alg. 2C6.

—    krzywych alg. 230.

Wyznaczniki K, S 27.

Zakres zbieżności elementu w obrazie alg. 213.

Zasada Dirichleta 549.

Zasadnicze funkcye wielościanów 665. Zasadniczy czworobok 658, 679, 683

—    system całek 647.

Zastosowania f. harmonicznych 609. Zerwanie ciągłości 559, 577.

Złożenie punktu wielokrotnego 226. Zupełny system kół nieprzywiedlnych

371, 396.

Zwartość powierzchni 358, 373, 393. 396 465, 471.

—    odcinków 363.

Związek między 2 funkcyami wymie.i-nemi w tymsamym obr. alg. 247, Związki między funkcyami H. 303.

"rk)

*

*

■ 9

V- V

%

Г"

. 9

9

'i

i

f

o

, »

t

»

■i:

-

<Ф

■V:

/•

Sr Щ

%

£

f/'"

%

f #

Г

t .

■gmtô* ■'*

J

C, OJ

{

ę _

^ '

i#r

»

л

■

i

i

:

;

.

; '

■

\

ч

■

î

{

♦

i

:

.

s-

■V

V

у

I

i-

I-

I

!

V

у.

/‘i

\v.

!'• К

.1- .*

lî

BiMiolt-k.« Polrtr« hfiiki Ki <«kowsfcii*|

4;

$

\'A

V.

VI.

ï-l

•л.

■ул

i .»

,<>V⁵

’ t. у .

Л4.

Biblioteka Pnlrtri liniki KMknwskir|

100000293400

11-346768

¹

Tu i w alfabetycznym rejestrze rzeczy — str. 691 — odnoszą się liczby