l.-;

wmmu

gtffe

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000293399

*>

mk

■■

■N

A -

-

^s

-, , Sv? '

•,£>:• **<r ^ ,A.f >‘ ■

i/t-    •

mg? ■* -i.    , - :'1. ” -t

lH 1

'Cp-^fS

- -V

ap

\' -s

J,^. ^:<r*

^7:

pMpl

... V:;

r: m

ii f

Ssl

;V -'-V

-’A : i - «■

fcBlrL,ft'rt

A;’•]* 'Ar-A*"/ - * V/ /A ' ‘

<■:. ">

' • g£ P3 ■

--- -■ ’

'-■>• “V ..    '■ T*'--. '-•.....

jl|

-

•>

-.■i{ i*® IS:*#⁹®    ,'-Ł;-

* S⁵# lit ^ P

■

gl

A£

•T:"

:V.

; . , - -*

• 'V;    .

-

.....■•

■

■

-

- ‘    ‘    *£ . i :

•.;.>p ’„f -;#>

5 fr'yiłV-'w- ■•;::•

•.

£»

SR®⁵

:£i;

4!:

H \-

'i-

^sJ p

W ■ V <

- , '

■ i j    •-

fAgpfS

^ -is;

łvV',

'A.;^ ;    ą~ \

§0i&xĘ

'" 'C*r<

*■ i

$}!‘    ■f?*-

3fte'

■

'4*2; - - »4 ••

*“    . . .    . r Cfo; 'S.Jg» :

%

%

m

mns?

t

«*

%fc '&?. "':

> i* f

S ^

fSfK

fe s# ^

;m

i

:..*ł:

K

^5?;^

i?5 ‘ *

3$

>' ¥';

iiS

f.; |" i

fC

;|f%;

)

s,.„.

'-> f    -

§r|

lś

*

£§11#

•jj-

<?<*?

ĘŹiĘ"

ss

■

-;:\

SU

k ‘X

■ ' jŚH

■Mh

'^4.

' * ~

mm

Y'-    ,

4

j

M.

W-

X6r&

hit*". .'£}'

, ; ■ - .

M,

■:<

4:|:

.

«

i;

V

■'f^;

* ?

.....;•■ ;vv’

mmi

K

: ■!

igtSfi

; % Mj7t

,r    .

,■ ' ■ ■*•■ . . ■*:•;' ■■■■:£■ mm

v

pps^ ;.!

•i;?'

;*'■•• V.

\

, '>v '; *■ V<>

- ,.Ł

.

P?

■$łX

;-4%J

• 3§1

,

V>-

:;~WJ

X::j%::

‘'■f '

0

%

gf

J;

‘t}:

(

i

mm

’ '‘4    ‘ SŚ# , .

'■

- y

. y "* v

?y

i

s

r

;::i'

f

“ t-

mm *

.- ■!* >; -,

1

ry

' rh

■Ą<

ł

•>4“

~^-/ ,.^łi>K-

ł

'

■’'"^' , "^y.-

Sfe^' '"

'^\- ’

■

v • -.i''    ;-. •-. ■    .?■'.; v,,    ..* ■.

TEORYA

FUNKCYJ ANALITYCZNYCH

NAPISAŁ

Dr. JÓZEF KNIAŹ PUZYNA

PROFESOR UHIWER3 Y TETU LWOWSKIEGO.

TOM I-

[Z 54 figurami w tekście].

L W Ó W.

Nakładem autora z zasiłkiem Akademii Umiejętności w Krakowie.

Główny skład w księgarni H. Aitenberga we Lwowie.

r

g<ISK/Ss

*

e®

& f

eb*

łtfi-

1%.

>w

BIBLIOTEKA

INSTYTUTU MATEMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ

nr J4L..

J£s. iw/,.

PIERWSZA ZWIĄZKOWA DRUKARNIA WE LWOWIE, ul. Lindego 4.

PRZEDMOWA.

Od lat kilkunastu zajęty wykładami matematyki na Uniwersytecie lwowskim, odczuwałem brak dzieła, któreby mogło obzna-jamiać z teoryą funkcyj analitycznych tworzących z jednej strony podstawę do rozumienia klasycznych dzieł i rozpraw, pisanych przez współczesnych autorów, a z drugiej strony dających możność dochodzenia do nowych, nie wyśledzonych jeszcze dotąd związków analitycznych. Z tego powodu zamierzyłem, korzystając z zaczerpniętych wiadomości u autorów pracujących w tej gałęzi matematyki i z nabranego doświadczenia z wykładów, jakie peryodycznie o funkcyi miewałem, przystąpić do ogłoszenia zebranych i uporządkowanych materyałów, wydając ten oto Tom I. Teoryi funkcyj analitycznych.

Lecz — aby takie dzieło mogło ile możności być przystępne — uważałem za stosowne: w tym I. Tomie zamieścić i ustępy ele-mentarniejsze, które zarówno mogłyby i Algebrze wyższej i Teoryi funkcyi służyć za początek. Do tego skłaniałem się tern bardziej, że u nas i dziś jeszcze niektóre z tych rzeczy, jak n. p. nauka o mnogościach, funkcye symetryczne i wielopostaciowe, eliminacye, grupy i funkcye wielościanów umiarowych, nauka o formach jednorodnych i t. p. na nowo opracowane i ogłoszone nie są uprzykrzo-nem powtórzeniem tego, co już przody pisano.

uwagę czytającego zwrócić

Zamierzając zresztą zamknąć teoryę funkcyi w dwóch obszerniejszych tomach, chciałem już i wstępne rzeczy przedstawić takr jak ich później potrzebować będę

już naprzód na to, co w dalszym ciągu badań stanowić może analogie ujednostajniające system i ułatwiające temsamem objęcie całości teoryi.

Toż przez 400 stron tego tomu zajmuję się — po opracowaniu na początku elementów arytmetyki, (do czego i mnogości nieskończone zaliczam) — wyłącznie funkcyami wymiernemi jednej i wielu zmiennych. A rozwijam tu już-to wszystkie ich charakterystyczne własności, kładąc nacisk na warunki potrzebne do ich wyznaczenia, już-to na wyniki rugowania, które, szczególnie gdy występują w formach wymiernych, ważną potem w dalszych poszukiwaniach odegrają rolę. Teoryę form, a głównie niezmienniki form dwójkowych wydało mi się koniecznem wciągnąć do tego zakresu badań.

W dwóch częściach ostatnich (str. 401—541) wprowadzam teoryę szeregów potęgowych, a z nich wysnuwam pojęcie funk-cyj analitycznych dając tu tylko najogólniejszy ich podział, a to : na funkcye jednoznaczne i wieloznaczne i na funkcye wymierne i przestępne. Nie pominąłem także funkcyj z próżniami i wyrażeń analitycznych, przedstawiających w różnych obszarach różne analityczne funkcye.

zna-

u nas

Rachunek całkowy lub równania różniczkowe nie należą do środków, jakimi posługiwałem się w tym Tomie, a funkcye trygonometryczne mają w ciągu tej całej książki czysto geometryczne czenie. Przy tern używałem często symbolu 1^, wprowadzonego przez Żmurkę, a zastępującego wyrażenie dłuższe: cos q)Ą-isiny, bo się okazał dogodnym w wielu formach, dowodach i związkach.

W opracowaniu trzymałem się metody Weierstrassa, —

uwzględniając autorów, którzy jak: Stolz, Bi er mann, Pringsheim care, Borel, Bendixson odnośniki wskażą, skąd czerpałem wiadomości, choć niektóre z nich

za nim w jego kierunku pracowali, Tannery J., Poin-Dautlieyille i w. i. Zresztą

mają tylko na celu zachęcenie do dalszego badania rzeczy krótko omówionych w tekście. .

że dziś na

Przytaczając Weiertrassa wspomnieć muszę wyższych zakładach u wszystkich cywilizowanych narodów wygła-

szają jego teoryę, a bez obznajomienia się z jego pomysłami trudno postępować. A jakiej miary, jakiego znaczenia są te pomysły, dość przytoczyć słowa Kroneckera, jakiemi ten niemniej sławny uczony skreślał zasługi Weierstrassa:

„Niejedne pytania matematyki są stare jak świat i każ-„demu zrozumiałe, jak: kwadratura koła, algebraiczne rozwiązanie zadań. Ale pytanie, któremu Weierstrass poświęcił „swoje życie, nabrało po większej części formę dopiero w jego „rękach i dlatego nie jest ani powszechnie znane, ani nie da „się wyrazić krótkiemi słowami“ [por. W. Killing: „Karl Weierstrass. Rede gehalten beim Antritt des Rektorats an der kgl. Akademie m Munster am 15. Oktober 1897a — Munster 1897].

Niechże — jeżeli dokonałem choć w części podjętego zadania — i u nas znajdzie się dzieło, któreby dla jednych było początkiem tej wiedzy, dla drugich przypomnieniem tego, co już ich ducha stało się własnością.

Kończąc nie mogę nie wyrazić wdzięczności Akademii Umiejętności w Krakowie, która dbała zawsze o rozwój naszych nauk i w tym razie przyszła w pomoc z zasiłkiem na wydanie tej książki.

Kolega mój p. Placyd Dziwiński, profesor tutejszej Szkoły politechnicznej, podjął się trudu, aby — czytając manuskrypt po ostatniej mojej redakcyi — tu i ówdzie usunąć mimowolne usterki. Przez to niejedno miejsce zyskało na jasności, za co Mu tutaj składam podziękowanie.

Wreszcie nadmienić mi przyjemnie, że PP. Roman Jamró-giewicz i Franciszek Słuszkiewicz, słuchacze wyższych lat lwowskiego Uniwersytetu, prowadzili ze mną bardzo pilnie korektę, a P. Stanisław Ruxer, również słuchacz tego Uniwersytetu, ułożył spis przytoczonych autorów i alfabetyczny rejestr rzeczy. Za ten ich gorliwy współudział należy się Im pełne z mej strony uznanie.

We Lwowie, w październiku 1898 r.

Autor.

%

SPIS RZECZY.

CZĘŚĆ I.

O liczbach, ilościach zmiennych i mnogościach.

Rozdział I. Z Arytmetyki.

1.    Określenie rzeczywistych liczb wymiernych i niewymiernycl i ich systematyczne rozwinięcia .....

2.    Rozwinięcie liczby wymiernej w nieskończonej formie peryo dycznej..........

8. Rozwinięcia nieskończone, a nieperyodyczne. Określenie liczi niewymiernych przez szereg liczb wymiernych, posuwających się w nieskończoność .......

4.    Działania arytmetyczne liczbami niewymiernemi

5.    Szeregi liczb dodatnich i ich rozbieżność lub zbieżność

6.    Działania arytmetyczne szeregami o dodajnikach dodatnich

7.    Praktyczne znamiona zbieżności .....

8.    Szeregi o wyrazach dodatnich i ujemnych. Określenie ich bez warunkowej zbieżności .......

9.    Warunkowa zbieżność. Przykład .....

10.    Zbieżność szeregów o dodajnikach naprzemian dodatnich i ujem

nych. .    .    .    .    .

11.    Szeregi wahające. Twierdzenia Abla i Dirichleta .

12.    Iloczyny nieskończone o czynnikach rzeczywistych. Konieczny warunek ich zbieżności .......

13.    Bezwarunkowo zbieżne iloczyny ....

14.    Współistnienie zbieżności bezwarunkowej i absolutnej. Warun kowo zbieżne iloczyny .......

15.    Rozwijanie liczby rzeczywistej na ułamek łańcuchowy. Skoń czony i nieskończony ułamek łańcuchowy. Systematyczne roz winięcie Straussa

Art.

Str.

o*

i—*■ i—*-

i-¹ O c ri*- i-ł

w w    to to to to

to O    -1

iD CO 00 CO co co

Rozdział II. 0 liczbach złożonych.

16.    Określenie liczby złożonej (urojonej) i jednostki urojonej

17.    Łączenie liczb złożonych za pomocą działań arytmetycznych .

48

vm

18.    Bezwzględna wartość liczby złożonej. Twierdzenia o bezwzględnej wartości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu

19.    Geometryczne przedstawienie liczby złożonej. Płaszczyzna liczbowa .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .

20.    Geometryczne wykonywanie działań arytmetycznych

21.    Wprowadzenie symbolu 1^,. Wzory Moivre’a i Eulera

22.    Obliczenie n^° pierwiastka liczby złożonej. Całkowity system reszt ...........

23.    Algebraiczna postać n^° pierwiastka przy w=2?. Algebraiczna postać, dająca przybliżenie przy dowolnem n.

24.    Pierwiastek wty jednostki -f-1. Pierwotne pierwiastki jednostki

25.    Dwa twierdzenia o pierwotnych pierwiastkach

26.    Przypadki algebraicznych rozwiązań równania oon—1=0. Geometryczne konstrukcye wykonalne za pomocą cyrkla i linii .

27.    Uwaga o ogólnej potędze (a-{-bi)a+Pi .    ...    .

28.    Szeregi nieskończone o dodajnikach złożonych. Ich warunkowa i bezwarunkowa zbieżność .......

29.    Iloczyny nieskończone o czynnikach złożonych. Różne rodzaje ich zbieżności .........

Ol    i-O CO

JO JO JO JO

05    CO JO GO

JO    © © ©

-a 05

H—* 00

to

Rozdział III. Z teoryi mnogości.

30.    Zmienna rzeczywista i zmienne rzeczywiste. Ograniczone i nieograniczone ich. obszary. Miejsca i otoczenia .

31.    Obszar jednej zmiennej urojonej x .

32.    Różne sposoby ograniczenia obszaru jednej urojonej zmiennej Miejsce obszaru. Otoczenie miejsca ....

33.    Punkt w nieskończoności ......

34.    Okrążanie punktu leżącego w skończoności lub nieskończoności

35.    Obszary kilku zmiennych urojonych ....

36.    Nieskończona mnogość miejsc wyjętych. Punkta skupienia

37.    Mnogości pochodne. Mnogości pierwszego i drugiego rodzaju Przykłady

38.    Mnogość miejsc odosobnionych. Mnogość zamknięta. Mnogość wszędzie gęsta. Stosunek pochodnych do samej danej mnogości 95

39.    Liczby pozaskończone. Mnogości pochodne o wskaźnikach po-zaskończonych .........

40.    Mnogości pierwszej mocy, albo przeliczalne. Przykłady .

41.    Mnogości złożone z przeliczalnych mnogości ...

42.    Mnogości mocy wyższych. Mnogości mocy drugiej w jednokrotnym obszarze

43.    Mnogość w obszarze w-krotnym. Obszary ciągłe (continua)

44.    Moc pierwsza i druga (ostatnia) mnogości w obszarze w-krotnym

45.    Obszar punktów pozostający po wydzieleniu przeliczalnej gości

46.    Pojęcie granicy dolnej i górnej ....

47.    Rzut stereograficzny płaszczyzny liczbowej na kulę

X 00 00 00 00

05 T-i

CO JO © l> 05

93

05 o o

to O 05

.    105

mno-

109

113

JO © 00

CZĘŚĆ II.

O funkcyach wymiernych.

Rozdział IV. O wymiernych całkowitych funkcyach jednej zmiennej.

48.    Określenia funkcyi wymiernej całkowitej f(x) jednej zmiennej.

Jej rozwinięcia, ciągłość i pochodne

49.    Wartości funkcyi w nieograniczonym obszarze jej zmiennej x

50.    Zasadnicze twierdzenie algebry. Miejsca zerowe (pierwiastki) .

51.    Wielokrotne pierwiastki. Pierwiastki =0 i =oo . Wartość

funkcyi dla x=co    ........

52.    Wzór interpolacyjny Lagrange’a. Uogólnienie wzoru La-grange’a ..........

53.    "Wzór interpolacyjny Gaussa

54.    Dzielenie dwóch funkcyj całkowitych przez siebie .

55.    Łańcuchowe dzielenie ........

56.    WTspólny podzielnik jako jednorodna liniowa funkcya- danych funkcyj ...........

57.    Rugownik dwóch funkcyj. Wyróżnik funkcyi

58.    Niewspółmierność funkcyj. Związki (m,n,a) — 0. Dostateczne warunki istnienia największego wspólnego podzielnika stopnia Tc 148

59.    Wypadek znikania podwyznaczników rugownika i?=0 .

60.    Obliczenie największego wspólnego podzielnika z samego rugownika R = 0. Największy wspólny podzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność n funkcyj (raj> 2)

. 122

125

127

co

.    151

.    153

Rozdział V. 0 wymiernych funkcyach ułamkowych jednej zmiennej.

61.    Określenia. Miejsca zerowe i nieskończonościowe i wartości funkcyi ułamkowej u(x) .

62.    Ciągłość i pochodne funkcyi u[x) .

63.    Warunki potrzebne do zupełnego wyznaczenia funkcyi u{x)

64.    Wyznaczanie funkcyi z danych warunków

65.    Rozkład na ułamki częściowe funkcyi u(x) danej w najprostszej formie .

66.    Rozkład funkcyi z mianownikiem o powtarzających się pierwiastkach .'    .

67.    Rozkład funkcyi nieskróconej na ułamki częściowe

68.    Rozkład funkcyi na ułamki o mianownikach pierwszego i drugiego stopnia

.    157

.    159

161

.    163

.    165

CO L -

to co

.    173

69.

O średnich wartościach mod. m funkcyi /(#) =    i o spół-

- n'

czynnikach takiej funkcyi

.    174

Rozdział VI. O wymiernych funkcyach całkowitych i ułamkowych wielu zmiennych.

70.    Określenie funkcyi całkowitej, jej stopnie, wymiar i ilość wyrazów w niej zawartych. .......

71.    Miejsca zerowe funkcyi / w skończoności lub nieskończoności 179

72.    Cząstkowe pochodne ........

73.    Rozwijanie funkcyi ........

74.    Zachowanie się funkcyi w otoczeniu miejsca zerowego. Równanie algebraiczne /= 0 i funkcya algebraiczna

75.    Funkcye jednorodne. Twierdzenie Eulera. Zastosowanie do wyróżnika ..........

76.    Wyznaczenie funkcyi całkowitej z danych warunków

77.    Zastosowanie metody Lagrange’a do wyznaczenia funkcyi.

78.    Dzielenie dwóch funkcyj. Iloraz. Reszta ....

79.    Podzielność jednej funkcyi przez drugą. Iloraz w kształcie funkcyi całkowitej we wszystkich zmiennych ....

80.    Największy .wspólny podzielnik. Łańcuchowe dzielenie

81.    Rugownik dwóch danych funkcyj. Znamię współmierności i nie-współmierności .........

82.    Przywiedlność lub nieprzywiedlność funkcyi całkowitej

F(x, ..., xp), lub równania F— 0.    .....

Wspólne miejsca zerowe dwóch funkcyj i zachowanie się ich w otoczeniu tych miejsc .......

84.    Funkcya ułamkowa wielu zmiennych. Jej wartości skończone i nieskończone. Jej zachowanie się w miejscach wspólnych zerowych licznika i mianownika ......

85.    Ciągłość i pochodne funkcyi U .....

86.    O średnich wartościach modd. [m., m₂, ...]    ....

177

183

184

187

191

202

204

207

210

83.

211

to to

Ot OT to

CZĘSC III.

O funkcyach symetrycznych i wielopostaciowych.

O obrotach wielościanów umiarowych i ich funkcyach.

Rozdział VII. O funkcjach symetrycznych, grupach i o funkcyach wielopostaciowych.

87.    Określenie funkcyi symetrycznej i grupy symetrycznej. Elementarne funkcye symetryczne ......

88.    Zasadnicze twierdzenie o funkcyach symetrycznych

89.    Metoda bezpośrednia wyrażania funkcyj symetrycznych przez elementarne .

90.    Zastosowanie symetrycznych funkcyj do tworzenia rugowników i wyróżników

to to

Ol Ol

O Ol

.    225

91.    Wspólny jednokrotny, lub wielokrotny pierwiastek dwóck równań o jednej lub wielu zmiennych

.    234

92.    Wyznaczanie funkcyi symetrycznej z danych warunków. Zastosowania

to to to

CO CO CO

CO 05

93.    Wymierna funkcya pierwiastka lub pierwiastków danego równania f(x)—0    .........

94.    Złożenia i iteracye podstawień ......

95.    Przestawienia i cykle .    .    .    .

.    243

93. Grupy i funkcye wielopostaciowe. Tworzenie funkcyi o danej grupie .

.    246

97.    Funkcye półsymetryczne i grupa półsymetryczna. Funkcye dwupostaciowe

.    248

98.    Rozdzielenie grupy symetrycznej na substytucye, sprowadzające różne wartości funkcyi ^-wartościowej. Rząd i wskaźnik grupy. Podgrupa i jej rząd .

.    251

99.    Grupy należące do poszczegókiych. q wartości funkcyi (przetwarzanie grup)

O'

100.    Wyróżniona częściowa grupa. Szereg złożenia. Złożenia grupy symetrycznej i półsymetrycznej ......

.    255

101.    O podstawieniach przemiennych z danem podstawieniem i z daną grupą. Izomorfizm .

102.    Związek algebraiczny między q wartościami danej funkcyi .    258

108. Związek między funkcyami o tej samej grupie lub funkcyami,

. 261

z których jedna należy do podgrupy drugiej .

.    264

104.    Gatunki funkcyj. Zawieranie się gatunku w gatunku. Gatunki sprzężone. Gatunek G a 1 o i s .

Hozdział VIII. O obrotach wielościanów umiarowych i ich funkcj ach.

.    265

105.    Grupa obrotów dwuścianu

to to

I-¹ 00

106.    Grupa czwórki. Szereg złożenia grupy czwórki i grupy dwuścianu ...........

107.    Grupa obrotów czworościanu umiarowego. Izomorfizm

.    274

108.    Podział kuli opisanej na czworościanie przez jego przekroje symetryi. Izomorfizm Szereg złożenia

109.    Grupa obrotów ośmiościanu umiarowego. Podział kuli opisanej na ośmiościanie przez jego przekroje symetryi. Izomorfizm.

.    276

Szereg złożenia ........

. 280

110.    Grupa dwudziestościanu umiarowego. Podział kuli opisanej na dwudziestościanie pi*zez jego przekroje symetryi

.    284

111.    Dwie zasadnicze substytucye grupy dwudziestościanu. Izomorfizm. Niepodzielność grupy

.    285

112.    Liczby vl, v.v charakteryzujące wdelościany umiarowe. Grupa rozszerzona .........

.    287

113.    Grupa punktów danego wielościanu. Rozszerzona grupa punk-tówr. Szczególne grupy punktów

114.    Stereograficzny rzut kuli podzielonej podług wpisanego umiarowego wielościanu. Liniowe podstawienia jednorodne i niejednorodne

115.    Grupy liniowych podstawień dwuścianu i jego zasadnicza funk-cya Z ..........

116.    Grupy liniowych podstawień czworościanu i ośmiościanu

117.    Zasadnicza funkcya Z czworościanu i ośmiościanu .

118.    Grupy liniowych podstawień dwudziestościanu

119.    Ogólna metoda wyprowadzenia formy F? ...    .

120.    Wyprowadzanie formy F\. Zasadnicza funkcya Z dwudziestościanu .

O O CO CD CD

Zachowanie się funkcyi Z w grupach rozszerzonych

.    307

.    310

121.

122. Przedstawienie dowolnej funkcyi wielościanu przez funkcyę Z 311

CZĘŚC IV.

O eliminaeyacli i tsoryi form dwójkowych.

Rozdział IX. O eliminaeyacli z dwóch równań.

123.    Metoda Sylwestra tworzenia rugownika dwóch równań o jednej niewiadomej

124.    Stopień rugownika wynikającego z dwóch równań o dwóch niewiadomych

125.    Ilość miejsc wspólnych zerowych danych równań o dwóch niewiadomych

126.    Wprowadzenie podstawienia x—Qtx,y = Qt.₁. Wyznaczenie miejsc wspólnych zerowych, lezących w nieskończoności .

127.    Metoda dająca się stosować dla miejsc wspólnych zerowych, lezących w skończoności i nieskończoności

128.    Symetryczna funkcya wszystkich gałęzi algebraicznej funkcyi. Rugownik jako taka symetryczna funkcya

129.    Wyróżnik równania f(x, y)=0. Wielokrotne miejsca tego równania

130.    Wyznaczenie równania f{x,y) = 0 z danych miejsc zerowych funkcyi /. Punkta wyjątkowe. Pęki krzywych

131.    Wyznaczenie takich punktów na danej krzywej, które mogą być wszystkiemi przecięciami się jej z drugą krzywą .

.    312

.    315

.    317

.    321

.    323

.    325

.    326

.    329

•    334

Rozdział X. O eliminacj ach z n równań (n > 2).

132.    Symetryczna funkcya wszystkich miejsc zerowych wspólnych dwóch równań o dwóch niewiadomych .

133.    Wprowadzenie do równań zmiennego parametru. Postać funkcyi symetryczuej w tym wypadku......

134.    Rugownik trzech równań o 3 niewiadomych .    .    .    .

135.    Ilość wspólnych miejsc zerowych trzech równań o 3 niewiadomych .

136.    Symetryczne funkeye wspólnych miejsc zerowych trzech równań o 3 niewiadomych.

.    337

co co

CO

tO CD

.    344

137.    Rugownik czterech, lub więcej danych równań. Osądzenie jego stopnia i oznaczenie wspólnych miejsc zerowych tych równań 348

138.    Równoważność dwóch funkcyj według danych modułów

139.    Wprowadzanie równoważności z funkcyą jednej tylko zmiennej 355

140.    Rugownik ilukolwiek równań w postaci wyznacznika lub w postaci liniowej jednorodnej funkcyi pierwszych stron samych równań .

141.    Wyznaczenie funkcyi wielu zmiennych, która na wspólnych miejscach zerowych danych równań ma przybierać dane wartości, (interpolacyjny wzór H. Laurent’a) .

Rozdział XI. Z teoryi form.

.    352

.    357

.    359

142.    Własności wyznaczników Hessego i Jacobiego

143.    Własności rugowników i wyróżników form jednorodnych

144.    Niezmienniki i współzmienniki form dowolnego stopnia .

145.    Kształt i własności niezmiennika formy dwójkowej

146.    Równania różniczkowe, którym zadość czyni niezmiennik formy dwójkowej .........

147.    Równania liniowe (jednorodne) spółczynników niezmiennika. Zupełne wyznaczenie niezmiennika ze znanej już jego formy .

148.    Kształt i własności współzmiennika formy dwójkowej

149.    Równania różniczkowe, którym zadość czyni współzmiennik. Zupełne wyznaczenia współzmiennika o danych jego stopniach

(«> °) • • • • . • • • . •.

150.    Półzmiennik. Niezmiennik jako funkcya pierwiastków formy .

151.    Źródło (półzmiennik) współzmiennika. Wyprowadzenie współzmiennika z jego źródła ......

152.    Inna metoda wyprowadzania współzmiennika z danego źródła. Współzmienniki formy kwadratowej dwójkowej. Współzmiennik jako funkcya pierwiastków formy ....••

153.    Niezmienniki współzmienników. Niezmienniki wspólne

154.    Niezmienniki i współzmienniki danej formy dwójkowej, niezależne od siebie algebraicznie. Określenie systemu podstawowych form niezmienniczych ......

155.    System form podstawowych kubicznej formy dwójkowej .

156.    System form podstawowych dwukwadratowej formy dwójkowej

co co co co

co CD CO h

K 00 OI Li

.    374

376

.    379

CO co

GO GO

rH Cn

.    385

co co

00 Ci

.    392

.    394

397

CZBŚC V.

O szeregach potęgowych.

Rozdział XI. O szeregach potęgowych; o ich zbieżności.

157.    Określenia. Zakres zbieżności szeregu $)3(:e)    .

158.    Sposoby zachowania się szeregu na Wspólny zakres zbieżności dwóch szeregów

.    401

jego obwodzie zbieżności.

Art.

Str.

.    405

159.    O szeregach P(x) .

160.    Zbieżność szeregu potęgowego wielu zmiennych. O szeregach

P(*,y,*,-: 0 •

161.    Jednostajna zbieżność i ciągłość szeregów jednej zmiennej    . 411

162.    Jednostajna zbieżność i ciągłość szeregów wielu zmiennych . 414

163.    0 wydzielonych szeregach podług danego modułu lub danych modułów. Twierdzenia o spółczynnikach .

164.    Punkta zerowe (pierwiastki) szeregu potęgowego jednej zmiennej w zakresie zbieżności

165.    Punkta zerowe (pierwiastki) szeregu potęgowego wielu zmiennych w zakresie zbieżności

.    407

.    416

.    420

.    421

Rozdział XIII. Arytmetyczne łączenie szeregów potęgowych.

166.    Sumowanie skończonej liczby szeregów jednej lub wielu zmiennych

00

167.    Zakresy jednostajnej zbieżności sumy 2PjJ(x) i jej ciągłość

w tych zakresach .

168.    Sumowanie nieskończenie wielu szeregów jednej zmiennej w razie jednostajnej zbieżności

169.    Ciągłość sumy nieskończenie wielu szeregów wielu zmiennych w razie jej jednostajnej zbieżności. Sumowanie nieskończenie wielu szeregów kilku zmiennych .

170.    Mnożenie i dzielenie szeregów o jednej i wielu zmiennych

171.    Szereg dwumienny (Newtona). Arytmetyczne obliczanie pierwiastka danej liczby ........

172.    Badanie zbieżności szeregu N(x, fi) w punktach #=±1

173.    Znamiona zbieżności szeregu u₀ -p ux -j- ... obmyślone przez Gaussa i Raab e’go. Przykłady

A—O

.    428

.    424

.    428

.    482

437

Ił* o

.    446

Rozdział XIV. Rozwijania ułamkowych funkcyj wymiernych.

174.    Rozwijanie funkcyi wymiernej ułamkowej na szereg zwrotny (serie recourrante) .........

175.    Zastosowanie do funkcyi /'(x)\f(x) ......

176.    Szeregi liczb zwrotnych .......

177.    Przedstawienie liczb szeregu zwrotnego przez stałe parametry ...........

178.    Funkcye Aleph (£$) Wrońskiego

179.    Rozwijanie funkcyi ułamkowej wymiernej w różnych zakresach jej argumentu

OT 0< OT

OT OT

CZĘŚĆ VI.

Przeprowadzanie szeregów. Określenie i najogólniejszy podział funkcyj analitycznych.

Rozdział XV. Przeprowadzanie szeregów potęgowych.

180.    Przeprowadzania szeregu    w wnętrzu jego zakresu zbie

żności ..........

181.    Pochodne i pierwotne szeregi i ich zakresy zbieżności .

182.    Charakterystyka szeregu potęgowego w jego kole zbieżności .    469

183.    Znaczenie wspólnego zakresu zbieżności szeregu i jego przeprowadzenia .

184.    Górna i dolna granica kół zbieżności szeregów przeprowadzonych. Punkta osobliwe .

185.    Znamiona zachowania się szeregu na całym jego obwodzie zbieżności ......

186.    Warunkowa zbieżność. Punkt

187.    Określenie wartości szeregu w punktach okręgu zbieżności . 487

188.    Punkt szczególny szeregu w jego pierwotnych i pochodnych szeregach

189.    Szeregi o samych punktach osobliwych na okręgu zbieżności.    491

190.    Przeprowadzenia szeregu $P(<r, y, z,...) wielu zmiennych .

191.    Miejsca zerowe szeregu ?fi(x,y,z). Szeregi identyczne. Wspólne obszary zbieżności dwóch szeregów ^3(a;, y, z\a. 6, c),

%{x,y, z\a‘,b\c‘).........

192.    Punkta osobliwe .........

.    463

.    467

.    471

.    473

.    478

.    483

.    490

.    493

CD CD

CD CO

201.

Rozdział XVI. Określenie i ogólne własności funkcyi analitycznej, alko sum takich funkcyj.

193.    Przeprowadzenie szeregu y—S^{x) poza zakres zbieżności

194.    Zakres istnienia funkcyi y. Jej punkta osobliwe i linie punktów osobliwych. Próżnie .    .    .    .    - .

195.    Analityczne, monogeniczne funkcye jednej zmiennej lub wielu zmiennych. Jej elementa i granice ......

196.    Określenie spółczynników w przeprowadzeniach funkcyi za pomocą pochodnych, albo średnich wartości ....

197.    Znaczenie nieskończonej sumy S(x)=2Pk(%) w różnych zakresach jej jednostajnej zbieżności ......

198.    Różniczkowanie i całkowanie sumy S(x) .

199.    Ogólniejsze szeregi zwrotne. (Metoda Andre’go) .

200.    O nieskończonych sumach S(x, y, g, ...)=UPic(x, y, Z,...)

Rozdział XVII. Twierdzenie Laurenfa. Najogólniejszy podział jednoznacznych funkcyj analitycznych.

Średnie wartości funkcyi f(x) regularnej w pierścieniu (ri Zasadnicze własności takich średnich wartości

Ci    o    o    o

T+l    lO    lO    »o

Ol    Ol    Cl    Ol

tO    H    M    K

O    <1    CJ    O    —I    Ol

Art.

XVI

202.    Twierdzenie Laurent’a

203.    Punkta nieskończonościowe i istotnie osobliwe

204.    Zachowanie się funkcyi w otoczeniu punktu istotnie osobli wego ..........

205.    Punkt osobliwy: x=<x> .......

236. Charakterystyczne własności funkcyi wymiernej. Funkcya prze

stępna .    .    .

207.    Charakterystyka funkcyi podług jej wartości

208.    Punkta istotnie i nieistotnie osobliwe a: wielu zmiennych .....

209.    Punkta osobliwe funkcyi wymiernej całkowitej lub wielu zmiennych .......

Spis autorów przytoczonych    ....

Alfabetyczny rejestr rzeczy    .....

:n⁻

Ważniejsze pomyłki.

Str. 10 wiersz 9 z góry z ani.:

10 0 n , 1

--1---1--5 ma byc: —    —

6 ~ 6 ‘ 62 J    6

6²'

Oi Oi

to to

OO Ol

o co co co

lO iO

co o co co

iO iO

538

589

543

546

77

77

to O

77

16

77

39

77

77

77

77

77

77

O CO o H co

77

90

77

l> 00

11

„trzeciego⁴⁴, ma być „posuwa-

„czwartego⁴⁴ „

„    2, 1 od dołu „ „posuwających się⁴⁴

jący się“.

15    z góry „ „a przez zwiększenie n możemy“ ma być „a przy e dowolnie małem możemy n zwiększając⁴⁴.

„według (A) i (jB)“

(4) i (/i), [art. 13.]⁴⁴.

ma być:

„Mn⁴⁴ ma być: „Jf„„_₂⁴‘.

„w⁴⁴ ma być:    ⁴⁴.

„ 17, 18 i 19 z góry zam.: „2?i⁴⁴ ma być: „22<?144.

7 od dołu z a m.: + ma być: =.

\y—/?| = pp=(0... oo), ma być:

\y—P\=Qi p = (0... oo).

„(I)⁴⁴ ma być: „(2)⁴⁴. ii ~U\¹¹ ii

16    od dołu „    „s —1, 2, ...“

„wspólną⁴⁴ ma być: „wspólny⁴⁴.

„aby B(fy)“ ma być: „aby w R(fg)“.

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

17

18

12

75

77

77

77

77

77

77

77

77

77

Tl

77

77

17 z góry „

77

77

77

ma

być: „według

77

77

77

11 z gólT » 9 od dołu „

ma

ma być:

cotg-n-cotg~n

ma być: „wg0“.

„tv tv tn“ ma być; vtv tv ..., fB“

11™

go u

Str. 181 wiersz 21 od dołu, zam.: „spółczyników z początku lub z końca"

ma być: „spółczynników z końca lub z początku".

„funkcyę" ma być: „funkcyą".

„A₁“ ma być: „4a. zamiast końcowego wyrazu: ma być:

zamiast końcowego wyrazu: ma być: „7j„aw".

»(9>o+MofiMtt ma b y ć : ,,(ę>₀+«₀)^“ „pierwiastkawnosimy“ ma być: „pierwiastka Xi, wnosimy".

„Spółczynniki“ ma b y c :    „Spółczyn-

niki icha.

77

ii

77

00 CC 00

11

ii

77

15 z góry

11

»    185

77

77

77

77

00 00

CD CD

O CD

00 <1

„ 261 „ 262

„    326

„    328

ii

ii

h viu iin 1

AQl“-

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

15 z góry zam.:

19

77

77

8 od dołu 12 z

góry

77

77

ma

być:

rH r-H VI

77

77

77

77

77

14

18

77

77

77

77

77

„Wyjąwszy" ma być: „Z wyjątkiem", „założenia" „ m a

77

„złożenia".

77

77

77

77

77

77

77

77

„ 14, 15    „

„ 18, 17 od dołu „

77

ii

14 z góry zam,

ii

16

ii

ii

być: „GjOa".

być: „substytucye“. „do funkcyi <7(p—1)“ ma być: „do funkcyi stopnia <7(p—1)“. „podstawień" ma być: „podstawienia". „sc,u ma być:

„/3) około"

m a być: „ U‘VU

„ośmiościanu" ma być: „ośmiościan". „z niego na iloczyn elementów jej głównej i iloczyn elementów jej pobocznej przekątni wyrazy" ma być: „w nim między innymi dwa takie wyrazy". vy²-\-y³=Ou ma być: „£C²-J-³=0“.

1 df

„substytucya" ma

być: „/?). Około".

c)

ii

1 df

2 dx

„równania".

„systemu".

zamiast pierwszych czterech wierszy w górze ma być: nAs—A‘s znika widocznie na wspólnych miejscach funk-

Cyj : f\if=ii •••> fs—ii fsĄ-\‘"i fki

stosując tu twierdzenie I. dostajemy relacyę :

„    401 wiersz    9    od dołu    zam.:    „było" ma być: „była".

„    402    „    9    „    „    „ (x)u „    „    „E(x).

„    328

” ³³J

„    355

77

11

15 od dołu „

**

2 dy „równanie" „ „systemem" „

ii

77

a że jest funkcyą całkowitą, więc

OO

„    406

ii

3 z góry

„    406

77

18 od dołu

77

A=o

„reduje,,

77

być: 2

A — 1

„redukuje".

77

„    416

ii

15 z góry

być:

Str. 429 wiersz 11 z góry zam,:

ma być:

„    429

11

13

11

11

n — 1    n — 1    oo    oo

(2 Wa~~ 2 v«) + (2 Wa~ 2v«) • oo

2 0*-jł *■-** k—n co

2 **.-**r_M-

ff=1 + l + T +

I. Szereg s — według tego, czy go się uważa za gra

ik jest znowu = -f-1 tak, że z i4, i5, i6, i7 dost

(^±*"= + 1.

(1)

1 A (1 1) (1 1) .

dS=d<z)II— ę |2.

2(i+rt(i+y)...(i+1)—1),

(4)

«i «2 f(x)

Aj b«—1 P ... p AVi £n_ Vj p ... P-ZL2 Cj £n—1 P CvJjn—v3.

to teraz (5) można symbolicznie w ten sposób krótk

!, x6, jfei xeV6,

V. Gdy funiccye F1 G nie są współmierne, to istnie

... “ł” (^n—1 Sn—2 "h C2 —3 ... - |-W.Cn ,

(5) ?(Pi, 02

<P\ = <P i ^2+^1-

ł3 = Ą + ĄV'£

U)

(/')

(5)

T{ę)=k0\ pf*-1 +...+kp, 4= 0.

O eliminacyach z n równań (n> 2).

(4)

0.

trzeba a0, ą,... zastąpić przez a'0, a\, ... Lecz

\ (a0a3 —a1a.2), 2(ai a3 — a2 2)

(C) 2a^-

s==0,1, 2,...

(6)

(»+!)-+ g .-2 + ... (w+ 1)4 2

&„Ei + &i = «i

Q‘v<,9i

(4)

~ 1 + 2^ + awhJr «2vh2Jr-‘-)

F(x) — ( 1 -j-x)2E(x).

g>\c-*\ę-l>g\>

Alfabetyczny rejestr rzeczy.

2 **.-**r_M-

k~n

2 24^ ma by°:

^=-i'v    '

-00 co

XX.

2(2-)

/l=—i k—n

„    429

11

12 od dołu

„    430

11

11

11

„Z tego wynika, źe suma szeregów (6', (7) równa się“ ma być: „Z tego wynika, że suma:

ma być:    .

A=-i

00

„    433

11

11

11

Z——1

„dostatecznemu ma być: „dostatecznie

CO

„    435

1 z góry p o

Pk ma być wstawiony znak = .

„    491

ii

k~n

1 od dołu zam.: „punktów!“ ma być: „punktów

CZĘŚĆ I.

O LICZBACH, ILOŚCIACH ZMIEHHYCH I MNOGOŚCIACH.

ROZDZIAŁ I.

Z Arytmetyki.

1. Określenie rzeczy wisty cli liczb wymiernych i niewymiernych i ich systematyczne rozwinięcia. W najelementamiejszej matematyce, (nauce rachunków), szuka się wielkości (niewiadomych) zadaniami określonych, a przedstawia się je liczbami.¹) Według tego liczbami dodatniemi lub ujemnemi rozwiązuje się n. p. zadania:

-l=3tf+4

A

(1)

2x+3=5x

x²=4.

wyznaczając x na podstawie pewnych zasad arytmetyki. Trudniejsze są już zadania

x⁶=6

x^7+3

12 ¹=45

i t. p.

choćby się tylko żądało przybliżonego obliczenia niewiadomej x.

Odrzućmy na razie z naszych poszukiwań takie zagadnienia, których rozwiązania prowadzą do:

(2)

(3)

x=A+]—.Z?,

będzie:

gdzie S dodatnią jest liczbą (jak n. p. w równaniu: x²—4#4-13=0), to pierwszem, głównem i bardzo ogólnem zadaniem arytmetyki znaleśó sposób szukania i formę niewiadomej, (w pewien sposób określonej wielkości), w takich zadaniach jak (1) i (2).

Niechżeż x będzie jakkolwiekbądź określoną wielkością, to w założeniu, że do postaci (3) nie j>rowadzi, a więc jest —jak się wyrażać będziemy — rzeczywistą i że jest prócz tego dodatnią, możemy ją zawsze jedną, systematyczną formą przedstawić, a to w sposób następujący:

Grdy g jest liczbą dodatnią, całkowitą i większą od 1, to

znajdziemy zawsze taką

w naturalnym szeregu liczb 1, 2, 3, liczbę ^₀, że będzie

(a)

7*o

~T<X<

9°

9°

Podobnie znajdziemy tam liczby /ii1

takie, że

— o<

7*1+1

(/?)

th ^t^7*2 + 1

rt 2    ^ ^ ^    2

7*«—i

7*s—i + l

r<x<

gs~¹

Tworząc te nierówności musimy w ogóle albo przyjąć, że się one zakończą równością:

9S~

(a)

7**

9S

albo, że do takiej równości nie dojdziemy, tak, że prócz (a) i (/?) mieć jeszcze będziemy nierówności:

(&)

9t

7*# + l

~<x<

9*

s +1, s + 2

W pierwszym przypadku wielkość x przedstawia się liczbą

t=s

9*

in inf.

albo — krócej mówiąc — jest liczbą wymierną

Lecz, aby dać poznać, za pomocą jakiego szeregu nierówności (a), (/?) do jej przedstawienia (a) dochodzimy, napiszmy raczej

9s

wymierną —

9S

7*o +

(4)

/7*s-i \9

s—l

h.    h₉    hs

x==9o H----1—y + • • • • d——<

9    9l    9

9$    7*«—i

9S 9S~

czyli

gdzie

hz=gz—ggz-1J

i=l, 2

s.

"Wszystkie liczniki hz są widocznie całkowite; lecz pokażemy, że są one prócz tego dodatnie i <.g—1, nie wykluczając zera. Napiszmy w tym celu dwie po sobie następujące nierówności:

gz~\-^-

gz

gZ

<a<

gz+1

gZ

gz+i

<£<

gz+1+1

to z nich dostajemy:

gz +1+1

^~ł~l

gz

gz+1

gZ + i

Pierwsza z nich daje: gz+i—gzg)>—1? druga zaś daje: gz + i—gzg<ig, a to znaczy, że g^>hz^>—1, c. b. d. d.

W formie (4) mamy przedstawienie liczby x na zasadzie g analogiczne z rozwinięciem danego ułamka na ułamek dziesiętny (skończony), jak tego uczy elementarna arytmetyka; cyfry bowiem ułamka dziesiętnego są wszystkie mniejsze od 10, a jednostką

gz

gZ + i

miejsca te⁰ jest —.

Lecz ta analogia jest jeszcze dalej idąca.

Nierówność <C x <C

gz    g*

Z (4) wynika zaś, że, gdy

ft+^+V-+

g g²

wskazuie, że x—~ < —.

gz gz

hz

gZ gZ

!x =B,

to

x —Hz —JEtz+i

Tiz + i

Ti$

gZ ’

gZ + i

a to znaczy: Beszta formy (4) poczynająca się od miejsca (ż-fl)go jest zawsze mniejszą niż jednostka —-

gS

gz

ostatniego zatrzymanego miej-

sca (&°). To samo dzieje się i w ułamku dziesiętnym. Po uwidocznieniu reszty Bz+i mamy

x=g₀ +—+^\+... + ^

g gz

_ g₀gz+Tiigz-i+...+hz

gZ

\-Bz+1

gZ

\-Bz+1

t*z

=-^7 + ^ + 1

gZ

a że Bz + i<.-^r- jest, więc stąd wynika:

gZ

I. Rozwinięcie (4), obliczone tylko do miejsca X³° , wskazuje swym licznikiem yz He razy najwyżej —T jako dodajnik w liczbie x dokładnie

gz

mieścić się może. Stąd nazwa: rozwinięcie systematyczne.

Ponieważ

yz-bl

gZ I

gZ

więc stąd mamy:

Hz <C.x yoĄ—-4—-Ą4-.

g gL

hz + 1

9X

Hz ;

to znaczy: Gdy w początkowem rozwinięciu aż do miejsca X°° zwiększymy ostatni licznik hz o jednostkę, dostaniemy wartość większą od x; przytem jest

rr 1

x—Hz<—:

gZ *

Pd. 1. Gdy x —

17

32’

a g = 2, to mamy szereg nierówności:

< a; <C

23 <•* < ₂3

Stąd p-o = 0, hi= 1 — 2.0, h₂ — hs = 7i₄ = 0, 7i₅ = l7—8.2 = 1; a więc

¹ i ¹

X==12 + ~2^'

Uwaga. Rozwinięcie (4) sięgające aż do miejsca sgo daje po zsumowaniu ułamek, który ma mianownik gs, a który przez żadną potęgę liczby g skrócić się nie daje.

Gdy mamy dwa systematyczne rozwinięcia

g g%

które tę samą liczbę x przedstawiać mają, to musi być przede-wszystkiem y₀=y‘0j gdyż tak jedno, jak drugie rozwinięcie ma ele-

tę samą ilość razy najwyżej mieścić w sobie. Lecz 9

wtedy rozwinięcia —

ilość razy mają dokładnie mieścić w sobie element —

9

musi być \ — h\. Dalej w rozwinięciach

h₂ \

lii ~h/e)

*⁺7⁺p⁺--⁺^

hs

9S

ment

9S

h'a

9a

k\ ,    h‘a

tę samą

) a więc

h‘a

musi być ń₂=A'₂ i t. d. W końcu okazać się musi s=a wynika :

a stąd

II. Dwa rozwinięcia o tej samej zasadzie przedstawiające tę samą liczbę są identyczne. Naodwrót: dwa różnej postaci rozwinięcia nigdy róimiej nie mogą być wartości.

Przejdźmy do przypadku drugiego, kiedy nierówności (a), (/?) utrzymują się w nieskończoność (nierównościami (&)). Wtedy wielkość x można ułamkiem dopiero przy t—co dokładnie przedstawić, a wskutek tego w miejsce skończonego rozwinięcia (4) dostajemy tu nieskończone rozwinięcie

(5)

y

f...+ in inf.,    9 !*z-i

in inf.

\ i ^3

g² g³

2, 3,

gZ-\-2

Wszystkie uwagi, jakie wypowiedzieliśmy o formie (4) stosują się jednak i tutaj z tą różnicą, że tu reszta Rji +1 jest rozwinięciem nieskończonem —

Mamy więc i tu : III. 1.

—1 <hz<g.

2.    Gdy

%—IIi=Ił z i ■< —j^.

3.    Gdy Ą_,,₀₊Ł₊...₄

H‘a— x <    .

9*

4.    Dwa równej wartości rozwinięcia o tej samej zasadzie są Iconiecznie identyczne.

i* ■ • • -f

gZ    g

lizĄ-1 __ ^4*1

gZ

2. Rozwinięcie liczby wymiernej w nieskończonej formie peryodycznej. Pierwsze pytanie jakie się tu nasuwa jest: czy i kiedy wymierny, właściwy ułamek można przy danem g przedstawić nieskończonem rozwinięciem (5) [art. 1.] i czem się takie rozwinięcie charakteryzuje?

Dany ułamek właściwy — (w razie niewłaściwego ułamka wydzielono już z niego liczbę całą) — niech będzie = —, a obrana

zasada g mech. będzie taką, że za pomocą pewnego całkowitego dodatniego c można nzyskać cn=gs. Grdy c — co przyjmujemy — nie jest wielokrotnością zasady g, to potęga gs jest najniższą z potęg (liczby g) równych wielokrotności liczby n.

Przyjąwszy, że istnieje takie c, mamy dalej:

c. m c .n

Szereg nierówności (/?), [art. 1.], zakończy się wtedy równaniem (a), [art. 1.], a rozwinięcie będzie skończone i będzie sięgać aż do miejsca s%°.

X =■ —

tlą

9S

Ten przypadek jedyny, w którym — dać może rozwinięcie

n    ■ M

skończone, wykluczając odtąd, przyjmijmy, że: 1° g jest dowolną liczbą, pierwszą względem n [tern samem przypadek c.n—gs jest już wykluczony].

Liczby ru r₂, rz

niech przedstawiają wszystkie liczby pierwsze względem n i mniejsze od n (nie wyjmując liczby 1). Utwórzmy liczby

(«)

ffru 9*21—1 9*&») •

Są one również pierwsze względem w, a gdy je po porządku dzielić będziemy przez n, dostaniemy na reszty : (p (n) liczb pierwszych względym n i mniejszych od n. Te reszty muszą być wszystkie różne między sobą; przyjmując bowiem że dwa dzielenia dają tę samą resztę r‘ mamy

gra=na-\-r‘, gr^nb + r

Stąd dostajemy:

9 (/«—r(J)=n (a—b).

Toby wskazywało, że iloczyn g{ra—rp) jest podzielny przez n. Lecz to jest niemożliwe, bo (ra—rp) bezwzględną wartością jest O, a g jest pierwsze względem n.

Muszą więc reszty r‘ być wszystkie różne między sobą, a że one są wszystkie pierwsze względem n i mniejsze od w, a jest ich wszystkich dokładnie (p (n), więc owe reszty są liczbami r1? r₂,..., w pewnem jakiemś uporządkowaniu n. p.

(/?)

*K i rK

(y)

Dzielenie liczb (a) przez n przedstawia się teraz w ten sposób: grs=n ,qs+rk;

Mnożąc równania (y) stronami ze sobą, dostajemy związek:

'M

cp(n).

albo

g^nKri. r₂.. .rrf{n)=n .C+r±rv.. ry(n)

^. r₂... r^(n) (>¥(²) — 1] = w . C.

Liczba n nie jest poclzielna przez iloczyn ri.r₂... ry(») być zatem C podzielne przez ten iloczyn. Połóżmyż C: r₁r₂.. .r<p („) = e, liczba cała, to mamy

mnsi

(<>)

— 1 = c. n.

Gdy (pin) naznaczymy krótko przez to powiemy:

I. Ułamek

— można przez pomnożenie licznika i mianownika przez stosowny czynnik c sprowadzić zawsze do postaci

m.c

p gdy g jest pier-

wsze względem n. Wykładnik v pozostaje zawsze ten sam = (p(n) przy każdem, dowolnem g, pierwszem względem n. ²)

9V~

Z dzielenia gv—1 :g—1 dostajemy gv~'■Jrgv~²-\- .... + 1, a stąd:

g²-l = (g-l)gv-l + (g-l)gv-l₊„.Jr(g-l)g₊(g-l).

Ponieważ mc<Żgv—1 założono, więc po systematycznem rozwinięciu licznika mc według zasady g, (przedstawienie w układzie o zasadzie g)y dostaniemy:

mc=i gv ~¹ -f hv~i gv~² -\-...-\-hxg-\-li gdzie koniecznie nie wszystkie li z będą = g—1. Mając to, położymy 1 1

gv-1

9V

i-l

gv + g2v

gZv +

in inf., i

9V

K-i gv~x—kv~ 2 gv~²+...+K

gv—l

=(K-i gv~^+K-2 gv~²+. •..

+ V)

--K.

?,v    '

czyli

V +    +

lip__i , lip—2

gvJr‘ż

iż&+-~⁴-jk)+..... in inf-

Jestto widocznie rozwinięcie systematyczne, nieskończone, od ]30czątku peryodyczne, o peryodzie v miejsc zawierającym. Lecz

/ A \    U

U)

/ kv-~ \    9

lip—2

, lip

JlV—\

g2vĄ-±    g

'k-²--P_nr

gV

) (I

v~ęi

3

Jestto widocznie ten sam rezultat, co przy użyciu wykładnika ę(w) = 4.

Tak samo w każdym innym przypadku, w którym wykładnik 8 <C v istnieje, nie ma potrzeby uwzględniać go ze stanowiska teoretycznego. Jeżeli bowiem przy wykładniku v dostajemy rozwinięcie o zasadzie g, a potem przy wykładniku 8 również takie rozwinięcie, to one — według art. 1. — musza być identyczne.

11

Pd. 2. Przedstawić ^ rozwinięciem systematycznem o zasadzie <7 = 11.

Pd. 3. Przedstawić

może się zdarzyć, że już w porządku napisanych liczb : /+_i, hv h₁, hG zawiera się kilka n. p. v‘ peryodów. Wtedy każdy peryod

zawiera miejsc ——ó, gdzie ó jest podzielnikiem liczby v.

Stąd twierdzenie:

II. Ułamek właściwy, wymierny o mianowniku n pierwszym względem g daje nieskończone systematyczne rozwinięcie o zasadzie g peryo-dyczne od początku. Ilość miejsc zawartych w peryodzie jest albo dokładnie = cp(n), albo jest podzielnikiem tej liczby.

Pd. 1. Gdy — = -jb, to o (w) = 4, a gdy <7 = 3, mamy 3⁴ —1=10.8, (c = 10). Stąd

—2

50

3³ + 2.3² + 3 + 2    3³ + 2.3² + 8 + 2 , 3³ + 2.3² + 3 + 2

3⁴— 1

3⁴ — 1 1 , 2

3⁴

3⁸

o (n) = 4.

3 U 32    *    33 ~ g4 I g5 “ g6 ~ ' ' * '

Peryod zawiera tu widocznie 2 miejsca, gdzie 2 jest podzielnikiem liczby

Z drugiej strony mamy także 3² — 1 = 1.8, (c = 1) , tak 3_}_2 _ 3 + 2 , 3 + 2 , 3 + 2

3²

3⁴

36

: §*

g

— rozwinięciem systematycznem o zasadzie g — 46.

III. Naodwrót: pewne dane naprzód, systematyczne rozwinięcie (A) przedstawia wymierną liczbę

hv~igv-i + ...+h

gv—1

co icynika z zwijania (sumowania) tego rozwinięcia.

II⁰. Przyjmijmy teraz, że w właściwym ułamku — mianownik

n zawiera czynniki obranej zasady g i to nawet z wyższymi wykładnikami, niż w g. Tak n. p. może być n=2².3.5, a g=6. W takim razie wydzielamy z n wszystkie czynniki liczby g z ich zupełnymi wykładnikami i mnożymy n przez taki czynnik c, aby on wraz z wyłączonymi czynnikami dał ga z możliwie najmniej szem a. W przykładzie przytoczonym wyłączyć według tego potrzeba 2².3, a mnożąc w = 2².3.5 przez c=3 dostajemy

cw = 3.2².3.B-=6².5.

c.m

gdzie cn=ga.ni

i gdzie nx jest już pierwsze względem g. Gdy %=1, mamy skończone rozwinięcie:

Ułamek dany piszemy dalej w formie

₌ h, 4. ht 4.    _i_ ht

n g g²    ga‘

W ogólniejszym przypadku 1 dostajemy:

c. m

Połóżmy

cm

n ga. nx ga nx

171

g-\--- gdzie g jest największą liczbą całą >0

ni

zawartą w

według I.: m.

9+—

ni

a stąd

cm

nx

*1

=g-\-    ¹ ' K~²

\ 9

jest już ułamkiem właściwym, to mamy

9³ 4

M

g2vJ

hv-2

gCcĄ-2

Ponieważ dany ułamek założyliśmy właściwym, więc z ostatniej relacyi wynika, że g w układzie o zasadzie g przedstawione może najwyżej g“-¹ zawierać. Połóżmyż

g=^a-i90!~¹+^a-2goe~²-h----h^₁g+^o

gdzie ka_x, ha-2, ..., ko są wszystkie <śg (początkowych kilka może być zerami, a w razie g=0 wszystkie są =0), to ostatecznie

m g

- ~ —a V

n ga

/ Jip—i

V 9

cs-f-l

h \

ga+v)

mamy :

ka— 1

ka—2

(B)

^0 1 /    lnv—2

ga ( ga+i    ga+2

K \

ga+v )

liv—\

lip-2

ho

gCC    1    ¹    gOCt\-V-\“⁽2i

J estto widocznie rozwinięcie

in inf.

ga-{-2v

które począwszy od miejsca (a +1)«°, (a^> 0), posuwa się już peryodycznie, a stąd twierdzenie:

.B

b h Ico

6² ^ 6³

Pd. 4. W ułamku— = ^ w 64

071

to położymy: c . w = 7³.4³, (e = 7³) i —

28 uporządkowane daje 23.28² -j- 5.28 + 7, a stad bedzie :

28 ^ 28² ^ 28³’

mamy m = 4³, a gdy <7 = 28 = 4.7 obierzemy,

7³.53

28³

. Lecz 7³.53 podług zasady

Pd. 5. Gdy dla ułamka — = ^ obierzemy g — 6, mamy n = awięc3w = 6².5 (c = 3, n₁ = 5). Stąd

2².3.5

33

= +-1-^ 6² L 6

6    *    6    ‘    6² gs ' g4 ‘ G⁵ ‘ ......

Peryod zawiera tu jedno tylko miejsce, a peryodyczne rozwinięcie zaczyna

3

się od miejsca czwartego. W ułamku — użyto dozwolonego 8 = 10, gdyż v jest

tu = <p (5) = 4. W istocie mamy 6⁴—1 = 1295, a więc podzielne przez 5.

711    17

Pd. 6. Przy danym ułamku — = — i g = 8 mamy n = 4².3. Obierzmy

771

c — 2² a więc c.n = 8².3, to mamy —

4.17

8².3

M²² + |]=4r|>-⁸ + ⁶ +

[-^r + ^4- +

+ A ₊ (A_fA) ₊ (A ₊ A),

^ 8² ^ \ 8³ ^ 8⁴/ ^ l 8⁵ ^ 8⁶ / ‘

1 68

21.2

00 C1

CO CD

8² —

5.8 + 2

cO CO

8²

8²

in inf.

Y. Naodwrót każde systematyczne rozwinięcie (B), naprzód dane, przedstawia liczbę wymierną

ka — i Qa ~¹ + • • • + k₀

gU

kv—\gv 1 + ... + /i₀

9a (^-1)

— ^«+» —i • gaJr v ~¹4" • • • + c^ ga(gv—1)

co znowu ze zwijania tego wyrażenia wynika.

Obejmując rozwinięcia, podane w (A) i (B) tego artykułu wspólną nazwą „ peryodyczne powiemy:

YI. Każdy ułamek wymierny — (w razie niewłaściwego ułamka trzeba w (A) i (B) dodać z początku całą liczbę u₀) — a więc każda liczba ivymierna — daje rozwinięcie icedług dowolnej zasady g albo skończone, albo nieskończone, ale peryodyczne.

mianownik nie jest dokładnie

(a)

Połóżmy

Uwaga. Niech x będzie skończonem, systematycznem rozwinięciem

,    ^1    , h i , hs

x=^+T+-^+...+—.

hs

hs — 1 .    1

9S

9S

9S ’

to z uwagi, że

9-1 ,

możemy położyć:

hs hs — 1

.9 ~ ¹ , g-¹

gs ' gs + 1    * gs +²

—1 | 9-¹ | 9~l

gs ' gs+l    gs-\- 2

Widzimy tu, że dwa różne rozwinięcia (a), (b) tę samą liczbę wymierną przedstawiają. Lecz stąd nie wynika, aby zastrzeżenie, że skończone systematyczne rozwinięcie wyklucza nieskończone i naodwrót, nie było prawdziwem. Zajmowaliśmy się bowiem dotąd tylko rozwinięciami systematycznemi i do takich tylko odnosi się owo zastrzeżenie. Tutaj rozwinięcie (a) jest systematycznem,

0)

9S

X === p₀ -j--

9

podczas gdy rozwinięcie (b) już takiem nie jest, [reszta jego 2?*-pi

a więc

gs ’

nie jest    jak to ma miejsce w rozwinięciach systematycznych]. Tej to

okoliczności przypisać tu trzeba, że różne rozwinięcia (a), (6) tę samą liczbę określają. *) Możemy zatem być pewni, że jak długo liczby wymierne rozwijamy systematycznie, tak długo twierdzenia II., III. [art. 1.] nie doznają wyjątku.

3. Rozwinięcia nieskończone, a niepcryodyczne. Określenie liczb niewymiernych przez szereg liczb wymiernych, posuwających się w nieskończoność. Po tem, co się o rozwijaniu wymiernych liczb powiedziało, możemy przejść do rozwinięć nieperyodycznych :

'h/A ~h/e)    .    . p

x=ia,q -j—H—|-f...+ m ml.

9    9

Jest ich nieskończenie dużo, bo z jednej strony można g

nieskończenie wiele sposobów obrać (g = 2, 8, 4, .....), a z drugiej

strony przy każdem g istnieje nieskończenie dużo nieperyodycznych porządków <u₀ , ń₁₅ ń₂,...., (—l</^<y).

Ze tak utworzone rozwinięcie (1) liczby wymiernej nie przedstawia, łatwo okazać.

Przyjmijmy bowiem, że x

1YI

Ułamek — rozwinięty według zasady g jest — według art. 1§° n

(1)

na

= ułamkowi wymiernemu —.

J    n

*) Takich rozwinięć, jak (6), używa n. p. Peano. Por. cytat w art. 44.

zie więc —

i 2®° — albo rozwinięciem skończonem, albo peryodycznem. W ra-=x musiałoby być to rozwinięcie skończone, albo pe-

W/

ryodyczne identycznem z rozwinięciem nieperyodycznem (1). Lecz to, [art. 1., tw. III.], jest niemożliwe.

Rozwinięcie (1) jest zatem nie tylko co do formy, ale także i co do istoty, t. j. zdolności określania pewnej wielkości x rożne od rozwinięć peryodycznych. Dokładniej ta różnica określi się w ten

sposób:

Grdy w rozwinięciu danem bez względu, czy ono jest peryodycznem, czy nieperyodycznem, położymy, jak wyżej :

ń^+1

• d--r

gz

+ ...4

gZ    gX

=E‘x

możemy dowolnie zwiększając X, podać granice, między któremi wielkość x się mieści:

Hx<x<Bx, ⁵ = 1, 2, 3,

1

Przy X=t różnica E‘t—Ht wynosi — i jest tern mniejszą, i

im

9⁵

większe t obrano. Że zaś w zwiększaniu t nie mamy żadnego ogra-

a wtedy

niczenia, więc ~ wreszcie do zera zredukować się może

mamy Et=E\ przy t=co. To wyrażamy krócej, pisząc:

lim Et = lim E‘t=x.

t = 00

W rozwinięciach peryodycznych szeregi liczb (wymiernych)

nie przedstawiają żadnej

t = oo

war-

E& j HI •••• ■, E x j -E- x -f-1

tości, bo zwijanie tych rozwinięć, jest tu lepszą, praktyczniejszą drogą, do dokładnego określenia wielkości x prowadzącą.

mo

nie dająca się wprawdzie osiągnąć, ale istniejąca logicznie,

Przeciwnie w rozwinięciach nieperyodycznych tylko przez użycie bardzo wielkich X w szeregach Ex żerny coś dokładniejszego o wielkości x przysądzić, a granica lim Et

t = 00

jest jedyną definicyą tej wielkości x. Stąd wnosimy:

I. Prócz liczb wymiernych istnieje jeszcze nowy rodzaj liczb, które dokładnie się określają, przez szereg liczb wymiernych, posuwających się w nieskończoność. Te nowe liczby nazywamy niewymiernemi. ⁵)

Naznaczmy na prostej nieograniczonej stały punkt P₀ i obierzmy pewien odcinek liniowy za jednostkę długości. Każdą liczbę

<yyi

wymierną — przedstawić wtedy możemy na tej prostej długością

71

171

P₀P, zawierającą dokładnie — obranych jednostek. O samym punk-

71

7)7

cie P mówimy, że on przedstawia liczbę — liczby

albo jest punktem

Biorąc wszystkie możliwe liczby wymierne, dodatnie i ujemne pod uwagę, możemy na prostej po jednej stronie punktu P₀ naznaczyć punkta wszystkich liczb dodatnich wymiernych, po drugiej jego stronie punkta wszystkich ujemnych takich liczb.

Na prostej pozostanie — mimo nieskończonego zagęszczenia się punktów P — jeszcze nieskończenie dużo punktów wolnych P. Te już odnosić się będą do liczb niewymiernych tak, że każdy odcinek P₀B — albo wprost punkt P — przedstawiać będzie lim Ht

t — cc

pewnej liczby niewymiernej. Każdy punkt P jest przy tern granicą w

pewnego nieperyodycznego rozwinięcia.

-1 7ft

W przypadku n. p. określenia 4?=y —

— nie jest kwadratem innej liczby wymiernej, jest x niewymierne. Lecz mimo tego pisząc w miejsce równania x =

771

proporcyą x: -—=1:4?, mamy sposób geometryczny (szukanie śre-71

TYb

dniej geometryczno - proporcyonalnej między -—

71

mierna

nieskończoność malejących różnic odcinków H‘z— Hz =

gdzie liczba wy

a 1, za pomocą

linii i cyrkla) dozwalający przedstawić x całkiem dokładnie pewnym wyznaczonym odcinkiem linii. Tą samą drogą możemy dalej

i t. p.

Istnienia liczb niewymiernych dowiedliśmy powyżej, biorąc

2? I

dojść do przedstawienia wielkości x=K q

\ n

=2, 3, 4, 5

H. Lipschitz, „Grundłagen der Annlysis1,1, T. 1, str. 37. i nast.; J. Thomas „Elementare Theorie der analytischen Functionenu (Halle 1880), str. IB., a wreszcie H- Weber, „Lehrbucli der Algebra“ (Brunszwik 1895), T. I., str. 1 — 20.

systematyczne, nieskończone i nieperyodyczne rozwinięcia za określenie wielkości. Lecz jasnem jest, że liczba jakbądż określona, n. p. za pomocą równań (2), [art. 1.], o której dowieść można, że nie jest wymierną, a także i kształtu (3), [art. 1.], nie dopuszcza, daje się jedynie nieperyodycznem rozwinięciem przedstawić i jest „niewymierną “.

"W pierwiastkowaniu n. p. liczb całkowitych dodatnich jest rozstrzygającą uwaga, że każdy pierwiastek takiej liczby, nie będącej potęgą drugiej liczby całkowitej, jest niewymiernym. Podobnie w określeniu 10=6 jest x liczbą niewymierną, gdy b nie jest liczbą całkowitą, dodatnią i t. p.

Ze względu na poszukiwania w dalszych ustępach podajemy tu jeszcze takie uwagi:

1.    Gdy# jest rozwinięciem nieskończonem, to każdą liczbę e, (wymierną lub niewymierną), której pewna wielokrotność ve (v = l,

,) mieści się w x z resztą <Zs, lub =0 nazywamy elementem liczby x. Wtedy jest ve <i% <^{vĄ-l) e. Do takich elementów £ należały liczby -p.

2.    Ponieważ zawsze JG +1    , to — obrawszy dowolnie małą

— można A obrać tak duże, że będzie    a

2, 3

dodatnią ilość ó

tern samem będzie i <C <2. To znaczy: Z rozwinięcia x możemy zawsze wydzielić restę iśU-fi tak, że    będzie mniejszą od do

wolnie małej obranej ilości.

4. Działania arytmetyczne liczbami niewymiernemi. Gdy

dwie dane są liczby niewymierne w, n, a do nich należą szeregi liczb wymiernych H}m), iG⁽?i, .....; Hjn), Hz+1

tak, że

m=limHt™'*, n—limHt^ , to (m + n)

t = oo

sposób:

— określą się w ten n

Z sumą, różnicą: (m+w) połączony jest szereg liczb wymier-

nych

a więc:

(m±ń) = lim ±Ht{n));

t 00

z iloczynem m. n łączy się szereg liczb wymiernych H^m). H}n\

a więc:

m ,n =

UrnHt{m).Ą{n);

t = oo

liczb

z ilorazem

lYb

— ostatecznie złączony jest szereg wymiernych

Yl

Bin)

a więc:

— = lim

t ~ oo

h!"“ H,(n)'

mogą niekiedy

Przy tern zauważyć trzeba, że m + n

wypaść w liczbach wymiernych. Grdy a jest liczbą wymierną

a m — jak wyżej — liczbą niewymierną z szeregiem Hzm>, ...., to om określa szereg liczb (niewymiernych) :

nr

dających w przybliżeniu am

, 1=1, 2, 3

a samo

am = lim a

Ht

(m)

t=zcc

Grdy wreszcie a jest także liczbą niewymierną z szeregiem

Hw,

■Kh, 2=1, 2

2=1, 2, ....

_____ to szeregiem liczb (niewymiernych)

przybliżamy się czem raz więcej do am

]j(rn)

a samo

a¹ = lim Kt

t ~ cc

W ten sposób należy pojmować działania arytmetyczne, podjęte na liczbach niewymiernych.

5. Szeregi liezb dodatnich i ich rozbieżność lub zbieżność.

W analizie okazuje się często potrzeba badać nieskończone sumy liczb dodatnich (wymiernych, niewymiernych)

in inf.

s — ao ~h a\ a2 i' a3 d"

Taką sumę nazywają zwykle szeregiem (tu: szeregiem

— podobnie jak

liczb dodatnich). Każde a* (2=0, 1, 2

w rozwinięciu systematycznem — jest (A + l)sz:ym dodajnikiem, albo wyrazem szeregu.

Przedewszystkiem chodzi o to, czy suma 5 jest skończoną czy nieskończoną (czy określa liczbę skończoną, czy nieskończoną) ?

W razie jej skończoności musi — choć w możliwość zupełnego obliczenia s nie wchodzimy — istnieć nieskończenie dużo liczb e

.)

takich, że pewna wielokrotność ve zawiera się w s z resztą <r lnb =0. Taką każdą liczbę e nazywamy i tu elementem (por. zakończenie art. 3§°). Związek między e a s wyraża się nierównością:

(«)

VE <C s <C (^+1) £

i wskazuje, że suma s jest skończoną, albo — jak mówią — że szereg «₀ + a₁ .....jest zbieżny.

akn przy d o state-

Lecz jeżeli przy obranem e spełnia s nierówność (a), to już i suma s‘n=aki -f akt+... + a*w pewnych, w jakim bądź porządku wyjętych dodajników aki, aki cznie dużem n musi także podobną nierówność spełnić. Musi więc także być:

(a¹)

VE<s‘n<Z{v-\-l)E; s i s‘n możemy więc zawsze zamknąć w tych samych granicach ve , (y+l)£. Stąd wynika, że różnica s—s'n bezwzględnie wzięta jest <.£, a przez zwiększenie n możemy s‘n dowolnie zbliżyć do s. Z tego wnosimy:

I. Suma szeregu zbieżnego o samych dodatnich wyrazach jest niezależną, od porządku jego dodajników.

Prostem następstwem tego, jest także i to, że w takim szeregu można dodajniki dodawaniem dowolnie łączyć w grupy: A i te grupy (sumy) potem dodawać. Suma taka .. będzie —s.

nazywają rozbieżnym..

Gdy się naodwrót da w jakiś sposób wywnioskować, że się pewien element e mieści w s nieskończenie wiele razy, to suma s nie jest skończoną, a szereg a₀+a₁ +

Takie szeregi w analizie nie mają znaczenia.

Rozbieżnym według tej uwagi jest n. p. szereg :

¹

Co do zapatrywań na istotę liczb i icb arytmetykę najrozmaitszych myślicieli por. S. Dickstein. „Pojęcia i metody matematyki⁴' T. I. Warszawa 1891.

Teorya funkcyj,

²

W teoryi liczb dowodzi się, że niekiedy wykładnikiem 8 v można dojść do związku — 1 = cin i że wtedy 8 jest podzielnikiem liczby v. W naszych poszukiwaniach jednak nie będziemy potrzebowali uwzględniać tych przypadków. Równanie (8) jest wyrazem tak zwanego twierdzenia Fermata; por. n. p. Ct. Wertheim „Elemente der Zahlentheorie¹¹ (Lipsk 1887).

³

Gdy w ułamku (właściwym)

⁴

=gs, ale nie jest też i pierw szem względem g, to, gdy rozwinięcie jego podług zasady g jest nieskończone, jest zarazem i peryodyczne począwszy od (« +1)go miejsca, (a>>0). Ilość miejsc w peryodzie jest i tu — cp (n) albo jest podzielnikiem tej liczby.

⁵

Tę definicyę liczb niewymiernych prawie równobrzmiącą dali Weier-strass i G. Cantor. Gdy x ma oznaczać liczbę niewymierną, to „« jest znakiem tylko wskazującym, że istnieje pewien dany szereg liczb“. Por. E. Illigens Matli. Ann. T. 33., str. 155. Por. także G. Cantor, Math. Ann. T. 22., str. 484,

ff=¹ + l + T ⁺

zwany harmonicznym. Połóżmy bowiem:

(a)

⁺ T ⁺ "' ⁺ 2i

= V-u

2t+l ^ 2t-\-2

(y)

h'"⁺8

i t. d.

4t+l 4ć+2

to gdy w (a) za każdy dodajnik podstawimy ostatni niemy    przy czem będzie v2t>    Podobnie

dosta-

gdy w (/?) podstawimy za

każdy dodajnik dostaniemy 2t.^=-

-. Tak samo z (y) wyniknie tym sa

mym sposobem: Vst^> yp i t. d.

Dostaniemy zatem: H=Vit + V it + V8t +

—-p —-p —-p —

2 2 2 ^2

W H zawiera się zatem element £=yp nieskończoną ilość razy,

£1

+.... in inf.

a skutkiem tego: Szereg ńfjest rozbieżny.

Bardzo dużo zbieżnych szeregów o dodatnich dodajnikach można tworzyć w sposób następujący:

Połóżmy a₀ + ax + a₂ + .. ,-\-an = sn i zażądajmy, aby sn = f(n): gdzie f(n) jest wyrażeniem zależnem od w, skończonem, dodat-

i posiadaj ącem skończoną dodatnią

niem przy n = 0, 1, 2 granicę limfin). [Liebłęin].

n — cc

W tym razie mamy więc

5 = a₀ + «! -f «₂ + • • • i¹¹ i-nf- ⁼ fin)

n — co

a dodajniki:

zbieżny.

«o==/‘( 0)

«2=S2 — «1=A2)— f(l), ••

o« = Sn — sn-i = f\n) — f(n— 1)

Suma s jest skończoną , a więc szereg aQ + ax + % + .... in inf.

Pd. 1. Gdy Sn

Sn Sn—1

i w tym razie mamy:

8w + 2 _ 3

Sn -p2 4 n-j- 3

3w + 2 S(n-l) + 2 4w + 3    4(n — 1) -j- 3    (4 w — 1) (4 n + 3) ’ n

, to s = lim

n~ oo

4w~p 3    4

S° "3" ’

3 ~ 3.7' 7.11 ~ 11.15 ^ 15.19

Pd 2. Gdy «,

1    n²-ł-»

S==W    . o r a-TT

2    n =oo 4n² + 4n-p 1

1    n(n + l)

2    (2 «    l)² ’

= lim

* n = ■

1+i

W

a szer<

zbieżny je

4    1

n

^(4w²— l)²    (2n — l)²(2n + l)² ’ W

»0 = °r

-1, 2, 3

¹

1².3²3².52_r 5².72 _r 7².9²

CO l-¹

Pd. 3. Utworzyć szeregi, których sn są:

8.2W+1 — Q

2W + 1

2w + 4

Mieliśmy nierówność s—s‘n<Xe, gdzie sln—aki-\-ak2-r... + akni a gdy zważymy, że e dowolnie małą (dodatnią) ilością być może,

powiemy:

2n

II. Z szeregu zbieżnego s = a₀ + ai -f .... można zawsze wyjąć dostatecznie dużo dodajników iv ten sposób, że suma pozostałych dodajników będzie mniejsza od dowolnie małej obranej ilości.

W rozważaniach jednak, z któremi ma się do czynienia w teoryi funkcyi, albo w ogólności w analizie, spotykamy się zwykle z takimi szeregami s = a₀ + ax +...., że z nieb przy każdej dowolnie małej obranej ilości e trzeba wydzielać snmę (n +1) pierwszych dodajników

sn — a₀ -f-    ... -f- an

aby przy dostatecznie dużem n dostać:

s~sn—an + l -\~an-\- 2 +

JRn-\-1 nazywa się resztą szeregu. Stąd twierdzenie: III. Resztę Rn p i=an 4.1 + an 2 4-.... zbieżnego szeregu

(P)

— Rn-\-1    £•

Uq -J- a j ... = s

można przez zwiększenie n uczynić mniejszą od dowolnie małej obranej (dodatniej) ilości e.

Połóżmy (n+l)=X, to mamy Ra<że , a dalej Ra    Ra +11> Ra + 2    • • • •

i wreszcie lim Ra—0 tak, że w miejsce twierdzenia III. można

A = 00

powiedzieć :

IV. Reszta szeregu zbieżnego zdąża zawsze do zera.

Y. Naodwrót: Gdy reszta Ra danego szeregu staje się przy dostatecznie dużem X mniejszą od dowolnie małej obranej ilości, albo — co jest tern samem — gdy granica jej limRA=0, to szereg jest niezawo-

X — 00

■dnie zbieżny.

Mamy bowiem w =    +    + * • .JraA — \—g skończoną i ozna

czoną sumę, a Ra<Ż£‘, stąd wynika, że s = Sa — i + Ra <Xg+£= skończona ilość.

Gdy Ra — ó e , a Ra+\=ó\ Ra ₊ 2=6“ <5>d'>d">

To znaczy:

to oczywiście a tem bardziej <C ó ,    aA j. 2<Có", ....

VI. W szeregu zbieżnym, począwszy od dostatecznie dużego wska-

mniejsze od dowolnie małych wciąż

znika X, są dodajniki a a, malejących ilości, a w granicy być musi liman=0.

71 — cc

Warunek ten jest koniecznym, aby dany szereg był zbieżnym; nie jest jednak dostatecznym, bo i w szeregach rozbieżnych jak n. p. w szeregu H, dodajniki w ten sam sposób się zachowują, a jednak suma takich szeregów nie jest skończoną.

Z warunku liman—0 wynika:

n = oo

VII. Szereg zbieżny można zawsze od pewnego dość dalekiego do-dajnika tak uporządkować, że te dodajniki wciąż po sobie maleją. Szeregi , z jakimi się w analizie spotykamy, są zwykle już począwszy od n=O iv ten sposób dane.

Przy skończonem n to malenie dodajników objawia się tern,

że ilorazy + 1 są ułamkami właściwymi. Nie potrzebuje jednak an

być ułamkiem właściwym ; ta granica bo-

wtedy także i lim

an -|-1

oo an

wiem często mieć może wartość =1, jak to w wielu szeregach zbieżnych ma miejsce.

Na tern możnaby już zakończyć rozbiór szeregów zbieżnych, gdyby nie używano w analizie określeń zbieżności inaczej wysłowionych, niż, jaktośmy mieli w twierdzeniu V.

in inft.

I tak: gdyśmy położyli (*o+ai + . • .Ą-az —\=g, a IG-fi <+ założono, to wtedy okazało się s<^g-\-e. Lecz wtedy jest oczywiście So<# + £>    + <#+£, s₂<g + e

co znaczy •

VIII. Szereg jest zbieżny, gdy suma dowolnie wielu jego dodajni-

ków pozostaje zawsze mniejszą od pewnej danej skończonej liczby.

00

Gdy Rj,=ax,-\-az +i + .... = X av <C.e jest, to także — wskutek do-

A-r A'

datnich wszystkich wyrazów av — będzie jSav<C.e gdzie A‘ = l, 2, 3, ...

v= Z

To znaczy:

IX. Szereg jest zbieżny, gdy poczynając od dostatecznie dalekiego dodajnika a z suma ilukolwiek dalszych dodajników pozostaje zawsze mniejszą od pewnej dostatecznie małej ilości e.

Zauważjm wreszcie trzeba, że z sumą 5=6*0+%+.... łączy się ściśle szereg liczb s₀=c*₀, si=a₀ +%,...., sw=a₀ +%+% + .. . + <*„ ciążący do granicy limsn=s i że pod tym względem mamy tu także

n — co

zupełną analogię z rozwinięciami systematycznemi. W szeregu n. p.

_1_. J_ + j^ ₊ j_

12' 23' 3 4 T 45

kładąc

1 _ 1 ¹

1.2    “T "2

1__1 __ 1

2.3    “ 2 ” “3

Sn =

nin-Y 1)

1.2 ¹ 2.3

dostajemy :

= 1--

n-\-1

——n=1, 2, 3, ...., zbliżamy się

rl JL

n-Y1

+ • • • +*

n(n-f-1)

Szeregiem zatem liczb 1 do sumy szeregu

s = lim | l--1 = 1

» = ooL ^+1J

6. Działania arytmetyczne szeregami o dodajnikach dodatnich. Z tej uwagi ważne wyprowadzają się wnioski. Weźmy dwa szeregi s = a₀ -f- ax +.... i s'= b₀ -f- bi + • • • • Do pierwszego z nich niech należą liczby s₀, si, s₂, ...., dążące do granicy limsn=s;

n — cc

w drugim szeregu analogiczny szereg liczb s'₀, s'1? s‘₂....., niech

n = oo

dąży do granicy lim s‘n=s‘. Aby było s=s‘, musi się koniecznie spełnić warunek taki:

Przy jakkoIwiekbądź małej obranej ilości e musi się znaleść dostatecznie duże n takie, że — począwszy od tego n — mamy zawsze różnicę sn + n<—co do bezwzględnej wartości <£.

Szeregi n. p.:

s‘

1111

1.22.8 T8.4

^⁼T⁺T⁺¥⁺l6 +

mają równą wartość, mamy bowiem:

S‘n =

1--

n + 1

S” 2"

różnicę U

n-\-l    C° ^ bezwzS^dnej wartości można przez

zwiększenie n uczynić mniejszą od dowolnie małej obranej ilości e.

3,    dołączających się

do szeregów s, s' dochodzimy wreszcie do takich definicyj:

I. Bo sumy s+s' dołącza się szereg liczb sn-\-s‘n, n=0, 1, 2, . a więc s-\-s,=lim{sn-\-s,n). Analogicznie mamy s—s‘=lim(sn—s‘n).

n = oo

Za pomocą liczb sn, s¹

n=O, 1, ,

tc

n = oo

miernemi.

mają

7. Praktyczne znamiona zbieżności. Twierdzenia art. 5., określające zbieżność szeregu s o samych dodatnich wyrazach wprawdzie wielką teoretyczną doniosłość, w praktyce jednak nie są wygodne i dlatego — nie wchodząc w dość wielką ilość znamion zbieżności szeregu¹) — podamy jedną przynajmniej zasadę używaną nierzadko w analizie. Zasada ta jest taka:

Gdy porównywając dany szereg s = a₀ + ax +.... 0 drugim szeregiem c₀ + ei -f c₂ + • • • • 5 ⁰ którym wiemy na pewno, że jest zbieżny, możemy wykazać, że od pewnego n począwszy, jest zawsze:

-f- 2 'C. Cn p. 2 j • • •

to szereg s jest zbieżny. Niech n. p. okazuje się statecznie an + i <Zran, + 2 O² , a„ + 3<r³a„, ...., gdzie r jest ułamkiem właściwym, to wtedy mamy:

<:C @n 1 @>n -f-1    -(- 1

(«)

II. Iloczyn s . s' określa się granicą lim sn. s‘n, do której zdąża sze-

71=- oo

Analogicznie określa się iloraz

n=0, 1,

reg liczb sn.s‘

III. Potęga ss = lim sj n jest granicą liczb sns n , n—0, 1, 2, ...

71 = 00

przyczem lim sn, lim s‘n mogą się równocześnie okazać liczbami niewy-

71 = oo

71 = 00

r

an + i + Q>n -f-2 + • •. • <ian\r-f-r²-j-r³-j-....] = an --——

liczba skończona, a szereg dany jest zbieżny.

Na podstawie tego okażemy:

I. Gdy w szeregu s = a₀ + ad -f a₂ -f... oe? pewnego n począwszy, okazuje się statecznie:

1

1)

(¹ n

<r,

2)

0"n + 1

<r,

3)

+3

Cr,

in inft.

2

r jest ułamkiem właściwym, to szereg jest zbieżny.²) Mamy bowiem:

z 1) an + i<ran-, z 2) an+2<raw + i z 3) «„₊₃<ran+2, a więc: ara + 3<r³a„;

Z tego widocznie nierówność (a) wynika , a więc szereg jest

więc: an + 2<r²an;

zbieżny.

Gdy dla skończonych n ma być

Mn-\- 1

<>, to także lim

<r

71    00

okazać się może, ale nie musi [art. 5.]. Lecz gdy ta granica jest O, to od pewnego n=ni począwszy mamy niezawodnie in infin.

Mn -(-1

O? a stąd wynika, że ostatnie twierdzenie także tak krócej ctn

wypowiedzieć można :

I'. Szereg jest zbieżny, gdy granica ilorazu lim ułamkiem właściwym.

I a. Jeżeli przeciwnie okazuje się od pewnego n począwszy

MnĄ-\

n — co Mn

okazuje się

an + l

an

Un-\-2

>r,

an + 3

a<n-f-1

■> r, . . . , (albo lim

n = oo an

Mn-f-1

od jedności, to szereg jest rozbieżny.

Wtedy bowiem mamy:

M-n -f-1 r an, an _j_ ₂ ^ r ~ an , an 3 r ^ an

Mn + 2

r), gdzie r jest większe

a stąd:

-f 1 "k an + 2 + Mn _j_ 3 -f

Pd. 1. Szereg 1 -j- -Ę- -\-Ę- •

O o

n -f-1

2«d~l

2

Pd, 2. Okazać, że szereg 1 -j--

zbieżnym, a szereg 1 + -jj-

flw + l

tu lim

71= OO #72

2.5

9.11

!> Mn[r-\-r²-\-r³-\-.. ..] = 00.

2.3.4

3.5.7

2.3.4.B

3.5.7.9

jest zbieżny, gdyż

2.3,2.3.4, 2.3.4.5

1.4

.5.8

1.4.7 2.5.8.11

1.4.7.10

jest

9.11.13

9.11.13.15

jest roz-

bieżnym.

W pierwszym z tych. szeregów jest każdy dodajnik iloczynem ułamków:

3 p — 1

= 2, 3,

Pd. 3. Jakimi są szeregi:

„ . 1.2

1.2.2.3

1.4^1.4.8.

w i+4

1.5

8.11

a w drugim ułamków:

1.2.2.3.3.4

1.4.3.7.5.10

.5.9

8.11.14

Mn 4- 1

2p + 7

, p=l, 2, 3

1.2.2.3.3.4.4.5

1.4.3 7.5.10.7.13

p... [Dziwiński: Matematyka, kurs I. 1886].

= 1 (odgraniczający znamię niewątjńiwej

Przypadek lim

n — 00 an

zbieżności od znamienia niewątpliwej rozbieżności) —przyj) a dek wątpliwy — trzeba osobno zbadać.

Przyjmijmy naprzód, że mamy do czynienia z szeregiem 5 = ax + «₂ + a₃ -f ...., w którym od pewnego n począwszy mamy statecznie an ]> an + \ ;> an + 2]>

Ponieważ w dowodzeniu obo-

jętną jest wysokość wskaźnika n, więc zakładając n= 1

«i> a₂> a₃>

mamy

a wskutek tego:

ax< 2    ,    2 a₂ = 2 a₂,    4a₄<2a₃p2a₄

8 flg <C 2 u₅ p 2    -j- 2 u₇ p 2 Ug

Stąd wynika :

krótko :

(Xy p 2 u₂ p d u₄ -j- S ctg p16 <pg p • • • • ‘'C 2 s.

Połóżmy : a₄ d- 2 a₂p 4a₄P 8a₈p 16a₁₆ p......= s'

to mamy

s‘ <Z 2 s.

a stąd:

Z drugiej strony mamy :

2 «₂ >>’ a₂ p a₃ ,    4«₄> «4+«₅ + a₆ p a₁

8 fl!g (Zg p <35g p • • • • p Q>1

ax =    ,

s‘ > s.

Nierówności (/?), (/?') wskazują, że szereg s jest rozbieżny, gdy s‘ jest rozbieżny, a jest zbieżny, gdy s‘ jest zbieżny. Pod względem zbieżności jest więc s takim samym szeregiem, jak s‘. ³)

an + 1

1, to tworzymy prze-

Gdy więc w szeregu s mamy lim

n —

dewszystkiem s‘ i staramy się rozstrzygnąć, czy s‘ jest zbieżnym lub rozbieżnym szeregiem.

Zastosujmy to porównywanie szeregu s z szeregiem s‘, w przy-

co (%7l

padku :

1111

1«

2«

3«

Ą.ci

1.

w którym okazuje się właśnie lim

Tworząc s' mamy tu :

s' = lp2¹-«p4¹- «p8¹-«p... .=

= lp2¹-“p(2¹-«)²p(2¹-«)³p(2¹-a)⁴p.....

Jest więc szereg s‘ zbieżnym, gdy 2¹⁻“<Cl, a rozbieżnym gdy 21 — “>1. Dany szereg s będzie więc zbieżny dla a 1. rozbieżny dla a<l.

Z tego to powodu są szeregi:

111

H-1 + -+J+J+ —

lp—p—P—p....

‘ 2³ ’ 3³^4³ '

₁ i i 1

¹⁺P⁺V§ Vl⁺--

rozbieżne, a szeregi i . ¹

32"^ 4²

zbieżne.

Korzystając z zasady porównywania szeregów ze sobą dochodzimy przez zestawienie szeregu danego    a₁ -p a.₂ + .... z szere

giem geometrycznym lĄ-rĄ-r-r<ś 1, j⁴eszcze do nowego znamienia, a to:

II, Gdy od pewnego n począwszy, okazuje się statecznie:

nĄ-m

an + „< <^rn + n', n‘=0, 1, 2, 3, .... czyli ~\an + n< <r, to szereg jest zbieżny. ⁴)

To wynika z nierówności:

(= skończona liczba)

an + aw + id-a„ + 2+. •.. <rre + r”+¹-j-rw+²-|-.....

która w takim razie ma miejsce.

Podług tego będzie n. p. szereg:

CO

1 1 1 ⁺ ¥ + 17 + 55 ⁺'' ’'

zbieżnym, bo —

przy r==~ęp — mamy zawsze:

an

2W + 1

Gdy szereg jest tak uporządkowany, że od pewnego n pora    n -(- 1

cząwszy, mamy statecznie ^an^> V««-f i • • •

(i)'-

a lim ~\an —a , uła-

71 = oo

mek właściwy, to możemy wtedy pewną ułamkową ilość /?>» a tak wyznaczyć, że — od pewnego v n poczynając — mieć będziemy :

av +1 </P + 1

av<i3v

av -f- av p i -f- av 2 -f- . ... <C d~    "i”¹ d⁻ @v T² -j- • • • •

Stąd-to twierdzenie II. w ten sposób zwykle wysłowiają:

71= CC

III. Gcly w szeregu s—a₀ 4-ć^-j-.... okazuje się limjan ułamkiem właściwym, to szereg jest zbieżny.

8. Szeregi o wyrazach dodatnich i ujemnych. Określenie ich bezwarunkowej zbieżności. Przejdźmy teraz do ogólniejszych szeregów złożonych z wyrazów dodatnich i ujemnych, a aby w tym kierunku poszukiwania uprościć, wprowadźmy tak zwane bezwzględne wartości liczb i ich oznaczenia.

Bezwzględną wartością liczby dodatniej + a jest sama liczba +■ a, • bezwzględną zaś icartością liczby ujemnej —a jest -f-a.

Niech więc symbol sgn a (czytaj: signum liczby a, albo krócej : signum a) oznacza +1 lub —1 według tego, czy a jest dodatnią, czy ujemną liczbą, to iloczyn sgn a. a jest zawsze bezwzględną wartością liczby «.*) W krótszy jednak sposób będziemy bezwzględną wartość liczby a naznaczać znakiem |«|, wprowadzonym przez Weierstrassa. Według tego j+12| = + 12, [—6| = = +6 i t. p.

Z tej detinicyi odrazu wynika twierdzenie:

Gdy ai, «₂, ...., am są liczbami rzeczywistemi, to:

! a\ + a2 + •••• + am i < j cci i + : «₂! + .... + ] am \.

Znali równości tylko wtedy wy stępuje, gdy at, a., kie jednakowego znaku.

(a)

, am są wszyst-

Weźmyż po tych uwagach szereg s, złożony z dodatnich

— &₂,    dodanych

wyrazów a₀, ai, a₂, .... i ujemnych —b do siebie w pewnym, dowolnym porządku.

Załóżmy, że szeregi

+ ai + a+.... = A są zbieżnymi i połóżmy ni£ <żA <C (ni +1) e , ^₂£<5<(^₂ + l)£, gdzie e jest pewnym obranym elementem. Przyjmijmy A^> B, a więc    7 ^o — w jakikolwiek sposób następują po

sobie dodajniki —bw s, — trzeba przez s rozumieć ilość dodatnią <((v₁+l)£—v.₂e.

Ze zaś przy bezustannem maleniu elementu e mamy (n₁ + l)£=rł, n^E—jBj więc s=A—B przy każdem uporządkowaniu dodajników. Gdy ma być A<iB, to pisząc A—B=—(B—A) stosujemy tu to samo rozumowanie. Z tego wynika :

—b

bo w bi + b₂ +.... --B

I. Szereg s, w którym suma wyrazów dodatnich dla siebie, a suma wyrazów ujemnych dla siebie jest zbieżną, jest zbieżny i niezależny od porządku dodajników. Te niezależność od porządku dodajników określają, mówiąc, że szereg s jest bezwarunkowo zbieżny.

Napiszmy:

S = Uq + U^ +■ U-₂ +.....,

oznacza pewne aa lub pewne —bx według tego, czy na miejscu mamy wyraz dodatni, czy ujemny, to w razie

&₀ + bx + b.₂ + .. . . będzie ko-

gdzie ur (r+1)

zbieżności szeregów a₀ + ai + a₂ +... niecznie szereg:

em

S = | u^ | + \uj\ + j u₂1 +

*) Wygodne w wielu przypadkach (szczególnie w teoryi liczb) wprowadzenie symbolu sgn a zawdzięczamy Kroneckero w i.

zbieżnym. Naodwrót zbieżność szeregu S musi pociągnąć za sobą

zbieżność szeregów a₀ + ax + a₂ -f- .. .. , b₀ + bx -f- b.₂ -f.....

Szereg s, którego suma S bezwzględnych jego dodajników jest zbieżną, nazywamy absolutnie zbieżnym, a wskutek tego twierdzenie I. możemy króciej tak wyrazić:

II a. Szereg s absolutnie zbieżny jest zarazem i bezwarunkowo zbieżnym, czyli: absolutna zbieżność pociąga za sobą zbieżność bezwa

runkową.

Przyjmijmy, że o szeregu s wiemy tylko to, że jest zbieżnym bezwarunkowo. W takim razie jest on zbieżny także i w porządku [a₀    + ....— (b₀ Ą-b^ +....)] i tę wartość przy każdym innym po

rządku zatrzymuje. Z tego wynika, że szeregi a{)-\-a^Ą-... b₀ + bi +.... muszą być równocześnie zbieżne , a także ich suma ao "b a\ + • • ■ • + b₀ "h bx +.... = j uQ [ -f- | w₁1 + | w21 + • • • • jest zbieżną. To zaś znaczy:

II b. Bezioarunkowa zbieżność szeregu pociąga za sobą zbieżność absolutną; obie więc icłasności są pod względem określenia zbieżności szeregu identyczne.

W szeregu S możemy — jak wiadomo — wydzielić zawsze pewną skończoną , dostatecznie dużą ilość dodajników w ten sposób, że suma pozostałych dodajników

|w«| + \uj -|- '\Uy\ + . . . . — B

będzie mniejszą od dowolnie małej dodatniej ilości e.

podług nierówności (a), która się oczywiście mamy równocześnie :

Lecz wtedy

utrzymuje przy dowolnie rosnącem m

ua-\~ uptĄ-Uy....I<C £•

To znaczy:

III. Z szeregu beztearunkowo (albo absolutnie) zbieżnego można zawsze wydzielić dostateczną ilość dodajników w ten sposób₁ że bezwzględna wartość sumy pozostałych dodajników (reszty) okazuje się mniejszą od dowolnie małej obranej ilości.

O ile to twierdzenie da się odwrócić, rozbierzemy później [art. 10. tw. P],

Pd. 1. Ponieważ szereg l+yV +

27

bT

jest zbieżny, więc

i szereg

— -f- 1 1! ‘ 2!

+ T!

Pd. 2. Ponieważ szereg 1 +-y-f-+■ • • • • jes^ zbieżny, więc także

będzie bezwarunkowo zbieżny.

~ 3T

i szereg

¹ I 1    1    .    1    1 I

s'—¹    ' 2$' ' " '

Pd. 3.

’’ 1.2 ¹ 2.3^ 3.4^4.5

będzie bezwarunkowo zbieżnym. Jaką wartość przedstawia szereg ś? Szeregi l-f-i- + A ₊ jL₊...

sa zbieżne. Jakaż wartość ma szereg

i-J

1.2"¹⁻ 3    2.3’¹~ 3²    .4    3³    4.5

Pd. 4. Czy szereg. 1 —~ -f- --

—1—    rH | bO

i- -f- ,..... jest absolutnie

(i bezwarunkowo) zbieżny?

jak w art. 6., gdzieśmy rozważali szeregi o dodajnikach jednakowego znaku.

Równość dwóch danych bezwarunkowo zbieżnych szeregów, ich sumy, różnice, iloczyny, ilorazy i potęgi określają się tu tak samo

9. Warunkowa zbieżność. Przykład. Gdy w szeregu s — uo "h % + % 'i'.....

okazuje się suma w₀| +1 ux \ + j u.₂\ + ... . rozbieżną, wtedy przynajmniej jeden ze szeregów:

Uo~f~Q>i 4~ • • • • — ^aA, ?    bo~\~ Gd⁻ • • • • — -N b%

musi byó rozbieżny. Przyjmijmyż, że obydwa te szeregi są rozbieżne, ale w obydwóch szeregach równocześnie jest limaz=0, limb^-O.

Z ==■ 00    Z — OG

Obliczenie szeregu s sposobem jest widocznie bez znaczenia, bo ta różnica — co — go, i nic oznaczonego nie daje. Pytanie więc zachodzi, czy taki szereg trzeba już wskutek tego raz na zawsze jako nieprzydatny odrzucić? Na

to odpowiemy takiem rozumowaniem : Niech A₀, A1} A

2’

przedstawiają sumy pewnych grup

dodajników ciz*): tak, że:

^0 7    7 -®2 7.....

ków bji, tak, że :

A₀ -j- A^ -f- A₂ + • • • .=2ax.

niech przedstawiają podobne sumy grup dodajni-

_B₀ +Ą +^2 d⁻ • •• '—2 b A.

Prócz tego niech będzie dany dowolny szereg zbieżny

G₀ + Cj + G₂ + C?> -f-.....

samych liczb dodatnich. Możemy dalej M₀, Ai, ... zawsze tak powybierać, że spełni się szereg nierówności:

A₀ JB₀1 <C 6’₀, | Ai Ri| <Gl7 A₂ R₂| < C₂, ...

R₀, Z

To jednak znaczy, że szereg

(A—-®0 ) + (A —+    ) + • • • - =

o dodajnikach Vj=(Aj,—i?^), jest już absolutnie zbieżny, a sam szereg s obliczany w porządku A₀—B₀-{-Ai—B₁+.... jest zbieżny.

możemy dostać inny szereg 2jv‘z znowu zbieżny i o innej wartości. Wreszcie — co zaraz pokażemy — możemy z pewnych uporządkowań dostać szereg rozbieżny.

Grdy bowiem C'c -f 0\ + C‘₂ +.... jest rozbieżnym szeregiem (lim C‘z—0) *) o samych dodatnich wyrazach, to znowu można na bardzo wiele sposobów dostać nierówności:

v\ — A₁ B₁ > C\, v₂ =A₂ B₂ C\ , ....

Stąd rozbieżność szeregu    albo szeregu s obliczonego

w porządku A₀—B₀-\-Ai—Bi-f .... odrazu wynika.

Co się tyczy porządków dających skończoną wartość, to udowodnimy, że przez stosowne uporządkowanie możemy każdą do-wrolną wartość g daną otrzymać.

Niechżeż g będzie naprzód dowolną dodatnią liczbą. Wtedy możemy zawsze tyle początkowych dodajników z szeregu złączyć w grupę A₀ , że będzie A₀(>g. Dalej z szeregu Sbz tworzymy sumę _Z?₀ tylu początkowych wyrazów, aby było A₀—B₀<(g i aby ta różnica pozostała dodatnią. Połóżmyż:

A “A

Przy użyciu innych A

v₀ A₀ B₍₎ C'

(1)

o>

to mamy: A₀>g>g‘.

Z szeregu JSaj, bierzemy dalej sumę A₁, tylu bezpośrednio dalszych dodajników, aby dostać Ai^>g‘, a z dalszych dodajników szeregu Sbz tworzymy taką sumę Bi7 aby się okazało:

Ai—Bi

(2)

gdzie znowu A^g‘^>g'\

W ten sposób postępując dalej, otrzymamy analogicznie nte

równanie :

(3)

An_i— Bn^=g    g W

gdzie znowu An_i(>g(n~V(>gW.

Im większe jest n, tern dalsze dodajniki z szeregów Sbz wchodzą w An — i, i; a że te dodajniki są przy czem raz większem n

uczynić dowolnie małe. Wtedy z równań (1), (2) jemy związek :

czem raz mniejsze, więc w równaniu (3) można gW

(3) dosta-

*) Podobnie jak tu będziemy i w dalszym ciągu pisać często wprost: lim

zamiast lim.

00

jŁq —_Z?q -f-    -f- -^2—-®2 • • • “ł"-^-w—i—-2?^—i —g—g

z dowolnie małem ^W, Przechodząc poza n dostajemy dalej : </(”) ^>>g(w + ¹) y> ^(»+²)^>}. . . .} tak nicznem:

że ostatecznie w równaniu gra-A₀ — B₀-\-Ai — Bi +A₂ —B% + • • • • i¹¹ inf. — g — lim gW mo-

n = oo

żerny przyjąć limg^—O i napisać: A₀— B₀-\ Ai—BiJr... .—g.

n = oo

W razie ujemnego g mieniają swoje role sumy Az , B;y.

Z wszystkich tych uwag wynika:

I. Szereg s, którego | w₀|-i-|w₁! + |w₂!+,--• jest sumą rozbieżną, zmienia swą wartość ze zmianą porządku dodajników. W uporządkowaniach dających zbieżność może przedstawiać każdą dowolną wartość, ⁵) a w niektórych uporządkowaniaeh okazuje się rozbieżnym. Taki szereg nazywają icarunkowo zbieżnym.

Szereg ĆSbz jest niezawodnie rozbieżny, bo w postaci:

2bx-

okazuje się połową szeregu harmonicznego.

Co się tyczy szeregu    to mamy po porządku azi>bz- co

od razu na jego rozbieżność wskazuje. Utwórzmy teraz z szeregów ŚSa^, —Tb z sumę:

H¹⁺^ ⁺

tH CO

1    ¹ . ¹

+ 3--‘4“    5

W tym porządku dodajników będzie ten szereg zbieżny, bo

tH CM

r-H ko

pisząc :

12"¹~3 4t56

mamy:

. = 1. (art. 5).

1.2 ¹ 2.3 ^3.4 Połóżmyż s=c5, to 0<ia<;l-Samo przez się rozumie się, że gdy w 5 — nie zmieniając porządku — będziemy dodajniki w grupy łączyć i grupy te do siebie dodawać, dostaniemy tę samą wartość. A więc n. p. otrzymamy :

1.2

3.4 ¹ 5.6

(a)

ot H-¹

--— 4. —___

6^7    8)

P... = cc.

Porządek (b) daje więc inną wartość, niż porządek (a).

10. Zbieżność szeregów o dodajnikach naprzemian dodatnich i ujemnych. G-dy w szeregu warunkowo zbieżnym mamy pewien porządek:

wo + wi + u2 d⁻- • • •⁼⁼(-^o —^o)d" (-^-l —+ -dający jego zbieżność, to oczywiście, że za obraniem dowolnie małej, dodatniej ilości ó możemy przy dostatecznie dużem n dostać

\ 2 Vx\<id: gdyż    jest już absolutnie zbieżnym szeregiem [art.

Z— n 9.]. Lecz wtedy możemy równocześnie przy dostatecznie dużem v otrzymać:

To znaczy:

I. W szeregu warunkowo zbieżnym uporządkowanym tak, że daje wartość skończoną, jest granica jego reszty zerem.

P. Naodwrót: Szereg dający (w pewnem uporządkowaniu) resztę zdążającą do zera jest zbieżny, a ta zbieżność może być albo warunkowa, albo beziuarunkowa.

Zastosujmy to twierdzenie do szeregu:

S = a₀ — ai -j- a₂—a₃+ ak—ahĄ-.....

o dodajnikach naprzemian dodatnich i ujemnych i takich, że od pewnego n począwszy, mamy:

a^ ^> ay, _|_ i a^ ^ 2 • • • • i Izm a^ $ 0. Przyjmijmy n parzyste i połóżmy:

2. anĄ.2—anĄ.z=anĄ.\—a'n +3

4. anĄ.₆—anĄ.i=a‘n j_₅—a‘n.1.7

Weźmy pod rozwagę inny porządek dodajników n. p.:

11

1-1 ICO

Odejmując (a) od (b) dostajemy: ₁    1 /li 1

s _s“T ⁺ (y ⁺

1 1

10+12"

Oi I—L

i-t CM

i-i CM

1-1 co

t-¹

Ol I-¹

to 1-1

iH CO

i—1 kH

Oi t-i

i-h ko

to Co

Stąd wynika : s‘ =

to CO

co

CO CM

1 • an a,j i=an an _j_ \,

3. anĄ~4 anĄ.f,=anĄ.^ anĄ.5

.....a>n + 2 t — an + 2 ł f 1 = d⁶ n -j- 2 t — 1 — a n -{- 2 t -f 1 ,

Ilości a¹ z są tu już przez wprowadzenie pierwszej a'„_f_₃ całkiem dobrze określone i są wszystkie dodatnie.⁶) Utwórzmy wyrażenie:

Rn. t — (an — an-\- l) + (an + 2 — dn -f ?>)+•••• 4" (an + 2 t — dn -f 2 t -}- l) i

to ono jest niezawodnie dodatnie przy każdem dostatecznie dużem n i jest: =an—a'n + 2< + i.

W razie n=oo i t—co mamy w

lim lin. t — lim an — lim a‘n 4 ₂ < +1

n = oo t =■ cc

71 — CO

n — co t=z co

granicę reszty poczynającej się od parzystego dodajnika i jako sumy parzystej ilości dodajników. Lecz gdy — jak to założono — lim an=0, a limRn,t =— lima‘n.j-2⁶+i ujemnem być nigdy nie może,

71 — CC    ?l — CC

t — CC    t —

wskutek czego mamy

więc przyjąć trzeba także l«a'n|2( + i=0

71— CC

t — 00

lim Rn,t = 0. To wskazuje, że szereg $ z swym porządkiem dodajników jest zbieżny, gdy się bada granicę wyżej określonej reszty. Utwórzmy, przyjmując znowu n parzyste, wyrażenie;

R‘n,t

i wprowadźmy ilości a⁽n + ₄, a'n + 6

= an—\[an pi—-«n-)-2) + K-|-2 — ^ + 4) + - • • • + (<⁶'» + 2 i — 2 —    2<)]

=    \dn -j_ 1 d n -j~ 2 J⁶

Wyraz w nawiasie — wskutek    >» ^„4.2 )> a„+₃^> .... —

znowu nigdy ujemnym być nie może; a że przy w —oo jest liman+1=0,

71— CC

= an—\[dnJr\—    4-2) + («» + 3 —    + ⁶ • • • + (<⁶«+ 2« — i—dn +2i)]

o'n + 2<, to mieć będziemy:

R‘

n, t

więc musi być także lima,n+2t= 0 i wreszcie:

71 — CC t — CC

lim 12 V t = 0.

71 = 00 t — CC

To wskazuje, że szereg $ z swem uporządkowaniem dodajników okazuje się zbieżnym, gdy się bada granicę jego reszty, jako sumy nieparzystej ilości dodajników, a poczynającej się od parzystego wyrazu.

To samo oczywiście dotyczyć będzie granicy reszt:

że ctji są dodatnie, więc i a\ muszą być dodatnie.

— ćirc-f i + «n+2—^»+3 + tt»+4 —• •• • = — [ttn+i—<2'« + 2 +    — an+4 + - • • •] 7

poczynających się od wyrazu nieparzystego. Stąd twierdzenie :

II. Szereg, którego dodajniki są naprzemian dodatnie i ujemne, a co do bezwzględnej wartości wciąż maleją, dążąc do granicy: zero, okazuje się w tern uporządkowaniu zawsze zbieżnym, bez względu na to, czy suma, wyraźcie dodatnich i suma wyrazów ujemnych są równocześnie zbieżne czy rozbieżne.*)

C; h-*-

4" +

Tej-to okoliczności zawdzięczyć należy, że szereg ¹~~2 ⁺ 3

okazał się zbieżnym, jak to wykazano w art. 9.

11. Szeregi wahające. Twierdzenia Ahla i Diriclileta.

Dotychczas zajmowaliśmy się takimi szeregami u₀ -f* ux -f- u₂ +...., w których zawsze lim\un\ — O było. Nie trudno jednak będzie two-

n = co

rzyć i takie — pewne znaczenie mające — szeregi, w których okazuje się lim \un\=ę, gdzie q i> 0 jest,

71 — 00

Wyobraźmy sobie w tym celu dwa nieskończone następstwa samych dodatnich skończonych liczb :

(1)

ao i    7

(2)

b₀, 1)

i utwórzmy

dążących do tej samej granicy : lim an — lim bn — g z nich szereg:

s=(a₀—b₀) + (at — &i)+(a₂ —ó₂) + - • • -—Ś2vz 7 albo szereg: s‘i + ....+aM_i -f- (au—&o)-|-(fyi+i—&i) + . • • albo wreszcie szereg:

s“v — —bo—b\—....—bv—\ -{-{a-o—bv) d- —&v+i)-b • • • .=2!v"z •

Mają one wszystkie tę własność, że:

lim vz =lim v\—lim v"z=0;

spełniają więc w dodajnikach vz, v‘z, v" z konieczny warunek zbieżności (art. 5. tw. VI.) i może się zdarzyć, że są zbieżne. W dodajnikach az-, —bz mamy przeciwnie lim az=limbz=Q, a same szeregi 9, s\i,s"v są różnemi uporządkowaniami tych dodajników. Przyjmijmy, że szereg s w dodajnikach Vz jest zbieżnym i że =«. Ta wartość jest granicą, do której zdążają sumy:

) W jaki sposób dany szereg rozważanego tu rodzaju przerobić można na zbieżniejszy — por. Oltramare: Nutę sur les serieS decroissantes... Crelle J. T. 45. str. 345-348.

KATEDRA i ZAKŁAD

r-n A T B M A T V K » WYDZlAiU INŻYNIERII W KRAKOWIE

sl}=(a₀—&₀)-}-(a₁ —&i)p.. ..-\-(aq—bq)

przy czemraz wzrastaj ącem q.

Aby z szeregiem s porównać szereg s\u, połóżmy :

SV> ?=aoP^iP- • • • + &/(-1    —&o)P(JVt-i—&i)p. • • • + (««+<?—bq),

to przy każdem q mamy: s¹

Stąd — gdy q = go — dostaniemy: s,/i—a=lim[aq+i-\-aq+‘l+....+aq+li\={i.Q, czyli: s',i=a+p. q. Połóżmy analogicznie :

s“ V, q—    — . . .—&„_1 + (ao — +    -p . . . .p(flf j ^>v-\-q)

a stąd przy q = go :

to mamy s"

v, g

fA,, q

—S? — &2-flpft?+2p* • • • +

sq bqĄ.\ bq-Ą-2 • • • • bVĄ.q

s“v — a — v. q.

Trzy szeregi s, s‘a, s“„ różnią się więc od siebie całkowitemi wielokrotnościami pewnej liczby ę. Przy p=1, mamy:

s'i = a₀ P {ai — b₀) p (a₂— &i) P.....

= «a— (&0 ~a\ ) — (*! — «₂) — (&2 —    = « + p.

Podczas więc, gdy s = a określa się granicą

lim [(a₀ — b₀) p (%—\) + .... + {aq—bq)\

q = oo

mamy:    = a + q = lim [a₀—(b₀—ax) —....—(bq—aę)], a to znaczy:

¹

Dużo znamion zbieżności jużto ogólnej, jużto mniej ogólnej wartości, zebrał i podał Wł. Witkowski w dziele: „Nowy rachunek funkcyi granicznych¹⁴. Warszawa 1865.

²

Cauchy: Cours d’Analyse (de Tecole rogale połytechniąue) [1821] str. 134

³

Ca uchy: 1. c. str. 135, 136.

⁴

Ca uchy, 1. c. str. 132, 133.

⁵

Por. Eiemann: Ges. math. Werlce, wydanie II. str. 235.

⁶

Wynika to stąd: ponieważ    więc w równaniu 2. (str. 30.);

być musi a'„₊₃>«w+3. A więc także jest a'n+3>ffw+4, a wtedy z równania 3. wynika rt'n+6>>an^.₆. Równocześnie jest więc a'n+5 > an+$ , a wskutpk tego w równaniu 4. musi być a/n+7>«w+7. Zawsze więc jest «'„₊3>®»+3» «'n+5 >«w+5,

• ••

I. Szereg s — według tego, czy go się uważa za granicę sumy parzystej, lub nieparzystej liczby dodajnihów — daje inną icartość.

Pd. 1. Najprostszym szeregiem tego rodzaju jest:

s = (i-«-(-«-a4-.....

Jest on =0, a daje s'^ = [j.a, ś"v = — v a , s\=a.

2 X %    _2X + 1

2X_1 ’    ~ 2 X

VI 2/^\3    4/^\5    6 / '    1.2 ¹ 8.4 ¹ 5.6

) — •••• = » +1 i t. p.

Pd. 2. Gdy

.6

X —1, 2, .... to lim    = l

f ... .<1

Szeregi, jakie tu poznaliśmy, nazywać będziemy wahającymi, albo wahaj ąco zbieżnymi.

Kończąc teoryę szeregów nieskończonych, podamy tu jeszcze kilka twierdzeń, z których później korzystać będziemy.

II. Gdy szereg

s = «o+ u\ P ui P.....

jest zbieżny bezwarunkowo, a liczby y₀, y₁₅ y₂

r-iN |y₂|»

s« takie, #<?

rob

szereg y₀u₀ P yt ux P y₂ u₂ p

czoną sumą

mniejsze od pewnej dodatniej ilości C, to jest również bezwarunkowo zbieżnym. Z założenia o szeregu wynika, że |w₀|p-| ux |p .. . < jest skoń-z założenia zaś o liczbach yx wynika nierówność:

kyol+Kyii-rKy2l+ • • • •<c C(i wol + lw,i!+ • • • •)

co już dowodzi prawdziwości twierdzenia.

Uwaga. System y₀, y1; .... o samycli skończonych y- , (i różnych od zera) dopełni już warunku potrzebnego w tw. II.

III. Gdy szereg s = «₀t% + «₂+.... jest rozbieżny, a liczby

y₀, yi, . ... są takie, że j y0 tniej ilości C> 0, to szereg y₀wo+7iwi + runkowo zbieżny. W razie y₀, yn y₂, .

są wiglcsze od peicnej doda-.... jest rozbieżny, albo wa-. . . jednakowego znaku jest

stanowczo rozbieżnym.

szereg y₀ w₀ + yi % + y₂w₂ 4-

Z założeń bowiem mamy:

I youo I+17iui I+• • • • >    I+\u\ !+••••)?

a stąd już prawdziwość twierdzenia wynika.

Przyjmijmy, że szeregami liczb (1), (2), danych do utworzenia szeregu wahającego, są:

b₂, ...., limbn=Q

(2') b₀, b

(P)    &₂, &₃, ..

"Wtedy:

s=Um [(ftj — b₀) • b — bx) +.... + (bq— &₂_i)] = — b₀ + ę ,

q = oo

a gdy założymy b₀y> bxy> b₂y> .... albo b₀<C_bi<ib₂<i.... to s wdo-dajnikach b\—Vz będzie bezwarunkowo zbieżnym, gdyż w takim razie Vz są wszystkie jednakowego znaku, a ich suma jest skończona = — &₀ g.

Mając to, przyjmijmy, że szereg:

a = u₀ -f % -\-u₂ 4-.....

jest bezwarunkowo, warunkowo lub wahająco zbieżnym. Jego więc częściowe sumy a^—u^, ^    -}- u1} a₂ = u₀ Ą-u^Ą-u^, .... nie prze

chodzą bezwzględnemi swe mi wartościami pewnej dodatniej skończonej liczby C. Według tw. II. jest wtedy równocześnie z s zbieżnym bezwarunkowo także szereg:

t=o₀(bi—b₀)Jroi(b₂—bx) -f- a₂ (Z>₃—b₂)-\- • • • •

Lecz częściowa jego suma:

in⁼⁰o(b₁ 5₀)-[-O'₁(&2—^l) + " • • + 0'»-l (bn—l) =

=—Oo^o—(^1—Ob) &1 — (^2 —) *2 — - •. —    0'„_₂) bn-t + on-\ bn.

Stąd — gdy zważymy, że ax—a^-\=Ux, że limbn=Q, a granica lim on jest skończoną, dostaniemy:

it^—bęUy — bpu,^ — b₂u₂ —.... + q lim on

n = 00

a, to wskazuje, że szereg b₀u₀ -\-biui-f-. .. jest zbieżnym. Mamy więc twierdzenie :

IY. Gdy szereg w₀+ %+ %+•••. • jest bezwarunkoico, warunkowo lub wahająco zbieżny — w razie warunkowej zbieżności dąży do skończonej granicy w danym porządku swych dodajników — a dane liczby b₀, bx, b₂, .... statecznie malejąc lub rosnąc — dążą do skończonej granicy, to szereg b₀u₀-\-biui-\-b.₂u.₂ + ków jest zbieżny. *)

w tym porządku dodajni-

12. Iloczyny nieskończone o czynnikach rzeczywistych. Konieczny warunek ich zbieżności. Na wzór szeregów nieskończonych można także badać iloczyn nieskończenie wielu liczb rzeczywistych albo — jak krócej mówią, — iloczyn nieskończony

P= a±. a₂. a₃. . . .

= II az. z=i

Jeżeli te tu naznaczone mnożenia wykonane in inf. dać mają ostatecznie skończoną liczbę, to mówimy, że iloczyn (w tym wskazanym porządku czynników) jest zbieżnym.

Aby konieczne i dostateczne warunki jego zbieżności wyprowadzić, wyłączmy na zawsze z naszych poszukiwań takie iloczyny, w których znajdują się czynniki, wartość zera mające.

Już z pojęcia zbieżności iloczynu P wynika — podobnie jak w teoryi szeregów — że obrawszy dowolną dodatnią liczbę e, zamknąć możemy wartość P — gdy dodatnią jest — nierównością:

ve <P<^(v-f lje,-

— w razie jej ujemności — nierównością:

— VE^> P)>— (vĄ-l)s.

Przy bardzo małem e — co odtąd przyjmujemy — są te granice bardzo siebie bliskie.

Wtedy z iloczynu P będzie można zawsze wyjąć (n + r) pewnych jego czynników, tak, że przy dostatecznie dużem n i r—0, 1, 2, .... iloczyn tych czynników: P(w+r) będzie się również równocześnie z P między granicami (a) lub (b) zawierał.

Lecz zwykle iloczyny P, jakie spotykamy w analizie, są tak utworzone, że POH-r) może być iloczynem pierwszych {n+r) czynników. Oznaczmy ten iloczyn przez Pn+r, to mamy:

v e <C Pn+r <C (v +1) e równocześnie z (a)

— v e~^> Pn+r^>— (v + l)e równocześnie z (b).

Z nierówności (a), (ax) lub (6), (jbx) wynika:

O)

0)

(«i)

Ol)

a zaś

*) Abel. Oeumes completes (par L. Sylow et S. Lie. — Christiania 1881) T. I, str. 219 i nast. Dirichlet. Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Wyd. 3. (1879), str. 376.

\P—Pn+r

<£.

Po podzieleniu przez |Pw+rj, co jest dozwolone, gdyż założyliśmy, że w Pn+r nie ma czynnika =0, dostajemy:

— 1 <£'

Pn+r

£

gdzie s'=|p-1 pozostaje ciągle dowolnie małą dodatną ilością.

I n+r |

Połóżmyż:

Pn+r

—1 = d , 0<d <£'.

to mamy stąd :

(e)

= l + d.

Pn+r

To równanie wskazuje, że się iloczynami Pn+r — zwiększając w — dowolnie zbliżyć możemy do dokładnej wartości iloczynu P. Napiszmy równanie (c) w formie:

=P.    ¹

1 + d

n+r

P(X±Vr)i

gdzie tjr jest również ilością dodatnią dowolnie małą, to stąd przy r— 1 i r=0 mamy:

Pn+i=P(l±Vi), PM=P( l±i7o)-Pn+1

Z podzielenia i z uwagi, że

Pu

an+1 dostajemy tu związek:

an+1

¹±V\

1 + $n+i

gdzie dw+i również dowolnie małą dodatnią jest ilością. Stąd wynika:

I. Aby iloczyn nieskończony P był zbieżny, jest koniecznem, aby od dostatecznie dużego n począwszy, czynniki an+r różniły się nieskończenie mało przez nadmiar albo niedomiar od jednostki.

Wyrażając to inaczej warunkiem lim an+r=1, mamy w tern

y r — oo

analogię do warunku lim an=O w teoryi szeregów.

W iloczynach n. p.:

w Ł(i++)

ten warunek się spełnia i dlatego możemy dalej badać, czy one są rzeczywiście zbieżnymi.

13. Bezwarunkowo zbieżne iloczyny. Sprowadźmyż każdy czynnik ax iloczynu P do formy l + (o^—l) = l-ffe^, ź=0, 1, .....

i przyjmijmy, że zadość się czyni warunkowi koniecznemu limba—0,

Z — co

to o iloczynie

p=u (i+&z)

z = o

— w razie jego zbieżności — powiadamy:

1.    Iloczyn P jest absolutnie zbieżny, gdy 7Z(l+|6z|) Jeść zbieżne.

z —o

2.    Iloczyn P jest bezwarunkowo zbieżny, gdy się jego wartość nie zmienia za zmianą porządku jego czynników.

Trzymając się zasad obliczania iloczynów skończonych, mamy

formalnie:

(1)

P— 1 + ^ bp,-j-^ ba b u + -5¹ ba btl bv +......

2=0, 1, 2,    , ^=0, 1, 2,    v=0: 1, 2, ..

a w sumach nigdy dwa znaczki równe się nie schodzą. Z równania (1) wynika, że iloczyn P uznać trzeba za zbieżny, gdy nieskończona suma szeregów po stronie prawej będzie skończoną. Aby to zbadać, połóżmy |ba\—Qa i załóżmy, że 2ba jest szeregiem bezwarunkowo zbieżnym. Wtedy jest także szereg 2Qa zbieżny, a spełnienie tego jedynego warunku jest — jak się pokaże — dostatecznym warunkiem zbieżności iloczynu P.

a stąd wynika nierówność:

A. Połóżmy ^Qa=Q i załóżmy ę<;l. Jest więc q dodatnim właściwym ułamkiem. Wtedy mamy tern bardziej 2 qa Q(l <C p², Qa Qia Qi> Q °

1+ 2qa + 2 QaQtl+. ...<l+p + p²+...

¹~Q

wskazująca, że szereg 1+^ęaA- • • ■ jest zbieżnym. Lecz, że 1+ba\+21 ba11 btl | +.... =1 -f- 2 Qa+2qa    ...,

iloczyn P — według równania (1) — zbieżnym być musi.¹) Lecz, jak szereg lĄ-SbaA. •.. jest rozwinięciem samego iloczynu P, tak też i szereg 1 + S\ba\-\-.... jest rozwinięciem ilo

więc szereg 1 Ą-Sba + ^bab^A.... jest absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym

a że ten szereg jest zbieżny więc, widocznie

czynu II(l + \ba\)

Z = o

iloczyn P jest absolutnie zbieżny. Zmieńmy dalej porządek b0: bi: b₂, .... na inny bka, bki , bkl , . . . ., to w miejsce szeregu 1-j-JjbaA..-. dostaniemy 1 -f- A¹ bk} +...., gdzie jednak niezawodnie jest:

1 -b 2 ba -f-. -.. = 1 -f 2? bk;, -f-...

P=77(l + &^)

a to znaczy, że iloczyn P jest bezwarunkowo zbieżny-.

JB. Przyjmijmy teraz, że szereg Eb^ jest wprawdzie bezwarunkowo zbieżnym, jak przody, ale że 2\bĄ=2Qx okazuje się >>1.

Z szeregu ^^=s|6₀|+|6₁|+|&₂|+ resztę |6„| + |6„+i| + ... przedstawmy w ten sposób:

wyłączmy wtedy taką że się ona już <<1 okazuje, a iloczyn P

71 — 1

a że ten. drugi szereg jest rozwinięciem iloczynu 77(1 Ą-bkj), z równania (2) wynika:

a=o

więc

P=77 (1 Ą-bj). 77 (1 Ą-bj).

A =O    A = n

Pierwszy czynnik jest iloczynem skończonej liczby czynników, a jako taki jest skończony.

"W drugim iloczynie mamy \bn\ + |&n+ij -h|ó»+2; + . • • • = p<Cl ? a więc ten iloczyn według ustępu A. jest absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym. Cały więc iloczyn ma również te własności.

Z tych uwag dochodzimy do twierdzenia :

I. Gdy w iloczynie P jest szereg 2bx bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżnym, to iloczyn jest równocześnie absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym.

Według tego iloczyn (a) [art. 12.] posiada niezawodnie obie te własności.

14. Współistnienie zbieżności bezwarunkowej i absolutnej. Warunkowo zbieżne iloczyny. Zapytać teraz należy, czy warunek absolutnej i bezwarunkowej zbieżności szeregu 2b^ jest dostatecznym, aby iloczyn łączył w sobie oba te rodzaje zbieżności.

W tym celu przyjmijmy, że

1° przekonaliśmy się — nie badając ŚEbz — że iloczyn P jest absolutnie zbieżny.

oo.

Iloczyn 77(l + p^), ^=|Óa|, jest Więc zbieżny, a gdy a=o

n+r

to

=77 (l-f-ęu) j 7JW=77 (1+^)

A—O    A —O

1 = (1 +    (1 + ^+2) (1+^+3) • • • • (1 “f" Qn+r)— 1

przy dowolnem r jest zawsze skończone i przy dostatecznie dużem n może być mniejsze od dowolnie małej dodatniej ilości ó. Mamy

(l + 0B+l)(l +(>„+2). . . .(1 + pn+r) —1<Ó    CZyli

(l + ^»+l) (1 “k Qn+‘ł) • • • • (1 P^n+r) <(1+0,

więc:

Pn+r

Pu

n+r

a że (1 + ^w+i) (l + ^n+2). • • • (l+{??j+r)^> l + ^«+i+ • • • • +(>«+

więc

l + ^«+l + (>«+l + (>«+2+ .... +(>ra+r <(1 + 0, czyli

(?n+1 +^»+2+ • • • • + (>»+»• <C Ó.

To jest znakiem, że szereg q₀ -f ^ + p₂ + • • • • (art. 5. tw. IX.) jest zbieżnym, że zatem szereg Ubz jest absolutnie i bezwarunkowo zbieżny i że według A. i B. mamy twierdzenie :

I. Iloczyn absolutnie zbieżny jest zarazem i bezwarunkowo zbieżnym. Przyjmijmy teraz, że

11° o iloczynie P — nie badając 2b;„ — wiemy, że jest bezwarunkowo zbieżny.

Gdy w P są wszystkie bz dodatnie, to Sbx jest zbieżną absolutnie i bezwarunkowo — a tern samem — według A. lub P. i iloczyn jest absolutnie zbieżnym.

Przy tern zauważyć trzeba, że gdy przy samych dodatnich b^ jest Sbx = go, to iloczyn P = 00, jest więc rozbieżny, gdyż P^>lĄ-Sbz. Takim jest iloczyn (/?) [art. 12].

Gdy przeciwnie w P są b;„ wszystkie ujemne tak, że

co

P =11 (1—aj) , «^)>0, to w każdym razie przy dostatecznie dużem z = o

n+1, ....

n , są ~an, an+i, an+2 , .... już ułamkami właściwymi i wtedy mamy : 0<1—«^²<1, czyli 0<1—c*Ji<₁ + a-1 h=n Stąd wynika:

(l-[-Clri) (l + Ofn + l) • , • •

-#(i aj) <c n

/l—n    a — n    u a

więc tern bardziej

a że (l-{-an) (l-j- ctn+i)....    1    ®«+i +

będzie :

11(1— aj) <

1 + C5ra+ Cłn + 2+ • • • >

00

Przyjmując, że szereg 2jest rozbieżnym, mamy 77(1 — aj) <0.

Z — n

Lecz ten iloczyn składa się z samych dodatnich czynników, a stąd

co

wynika, że w miejsce nierówności 77(1—aj) <C O wystąpić tu

Z — n

00 00 równość: 77(1—aj)= 0. Tern samem i cały iloczyn 77(1 — aj)=O

Z =r n    Z —Tl

choć żaden z jego czynników nie jest zerem. O takim iloczynie mówimy, że on jest rozbieżnym do rażenie tern usprawiedliwiamy, że jego rozwinięcie zawiera sumę 2aj,= 00 . Takim iloczynem był iloczyn (y) [art. 12.].

Z. — n

musi

żera

a to wy

Po uwzględnieniu rozbieżności sumy 2az, prowadzącej do rozbieżnych iloczynów o wartości: zero, pozostaje tylko ta jedna możliwość, a to: przyjąć, że w iloczynie bezwarunkowo zbieżnym jest suma 2az absolutnie i bezwarunkowo zbieżną. [Warunkowej zbieżności tu nie ma, bo jest to szereg o samych dodatnich wyrazach], Ale wtedy iloczyn Pjest nietylko bezwarunkowo ale i absolutnie zbieżny.

Niech teraz iloczyn P, o którym wiemy, że jest bezwarunkowo zbieżnym, składa się z nieskończenie wielu czynników o dodatnich bz—Ą-fa i nieskończenie wielu czynników o ujemnych bz= —(3‘z-Wskutek bezwarunkowej jego zbieżności, mamy także:

P=77 (1 -\-faj) • II (1—fi'A—U (1 -\-bz), gdzie każdy z częściowych iloczynów jest bezwarunkowo zbieżnym. Pierwszy z nich ma same dodatnie bz, drugi same ujemne bz, a wtedy — jakto dopieroco widzieliśmy — muszą być sumy 2fiz, 2(3'z bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżne. Wtedy jednak także i suma 2fa—2fi'z=2fiz jest w ten sposób zbieżną, bo tu dodajniki dodatnie dla siebie i dodajniki ujemne dla siebie tworzą sumy zbieżne. Suma 2\bz\ jest więc zbieżną, a to wskazuje, że iloczyn dany jest absolutnie zbieżny. Z tych wszystkich uwag wynika:

II. W iloczynie zbieżnym ivy stępują zbieżność absolutna i bezwarunkowa zawsze róicnocześnie. Jedna z nich pociąga za sobą drugą i po-iv o duje bezwarurikoicą zbieżność sumy 2bz. Naodwrót bezwanmlcowa zbieżność szeregu 2bz jest koniecznym i dostatecznym warunkiem, aby iloczyn byl absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym.

(b) na-bz)=o

Gdy az, bz są dodatnie liczby, a 2bz, 2az są szeregami rozbieżnymi o lima;,—0, limbz=0, to iloczyny (a)    TI (1 -f- a £) — go

a z szeregów 2az, —2bz utworzyć jnożna — [art. 9.] — szereg 2cz zdążający do dowolnej wartości. Spróbujmy, czy też podobnie nie można z (a) i (b) utworzyć warunkowo zbieżnego iloczynu

m₂

o danej naprzód wartości. Oznaczmy częściowe iloczyny IKjlĄ-^z)

n?

częściowe iloczyny TI (1—bz) przez JB

to przede-

przez    a

wszystkiem jest zawsze Amiin?^>l, a gdy wszystkie bz<ż 1 są, to wszystkie Bni„₂ są dodatnie i <A. Obierzmy dalej dowolną, skończoną dodatnią liczbę g₁ to możemy zaA^sze częściowym iloczy-

n, ti, i

t    ...    c

nem

A\mx uzyskać nierówność A\r„i'^>cj. Niech, więc będzie A\mi — ~~,

kx

O 1 ■ Z iloczynu (b) możliwem jest znowu wyjąć taki częściowy iloczyn Bi„i? że przy dostatecznie dużem nx okaże się B\ni <ik\.

Jc

Niech więc Bi„x = —h, gdzie g₂^>l, to mamy teraz:

Jc

Dalej możliwem jest utworzyć:

n

An?j+ii m₂ 1 tak, ze Ami+i₎mI⁼⁼ 1

Wtedy będzie : Ax jrii BlJti .A

m, -f-1, m₂

7^2 <C 1 •

— t . —. Ą?-. Dalej tym samym k\ 9 2 ^2

-7^+1, W₂ =

Jc₂

sposobem dostaniemy: Bni+i>n,<C,k

teraz będzie: Almi Bi„tAmi+i,m„Bni+h}l3=^-.-^.-^.^A

kx g₂ k₂ g₃

wynika, że po ciągłych skróceniach, jakie tu po porządku bez końca wykonywać można, dostaniemy:

-d-l Wj -Si +    l, n2 Am2-i-j; m,₅ Bn₂+i, n₃

2?

9?,

i t. d. Stąd

=9

a to znaczy :

III. Iloczyn warunkowo zbieżny o wszystkich iloczynach częściowych dodatnich można taJc uporządkować, że on się dowolnie do dowolnie danej slcończonej dodatniej wartości przybliża. ²)

15. Rozwijanie liczby rzeczywistej na ułamek łańcuchowy. Skończony i nieskończony ułamek łańcuchowy. Systematyczne rozwinięcie Straussa. Przejdźmy do innego rodzaju rozwinięć zwanych ułamkami ciągłymi, albo łańcuchowymi i pokażmy, że liczba dodatnia x‘ wymierna lub niewymierna, da się zawsze rozwinąć na taki ułamek. Sposób rozwijania polega tu znowu na ścieśnianiu pewnych granic, pomiędzy któremi zamykamy liczbę daną x‘ [art. 1.]. Gdy x‘=[i₍₎-}rX, gdzie pi₀ jest największą liczbą całkowitą, zawartą

w xj to dalej w szeregu liczb 1, 2, 3, 4,..... znajdziemy zawsze

taką liczbę mx i tylko jednę taką, że będzie:

(a)

■—->

mx +1 ²

^2 + ^2³

dostaniemy albo: xv

mk

Połóżmyż: x

gdzie koniecznie 0 <^xi<^i, to znowu

mi +xi

x₁ określić będzie można podobną nierównością, jak (a)

n. p.

(fi)

m₂

>^1>

z jednoznacznie określonem m₂. Stąd wynika , że xi — -—

^2 "k^'2

m₂-fl

gdzie znowu 0<;^₂<;1 i że

Postępując analogicznie z i prowadząc to rozwijanie dalej — albo do takiego określenia nigdy nie doj-

dziemy. W pierwszym razie mieć będziemy: (a) X¹ =    , m

m₂, .

mi +

w drugim :

(b) x‘ = (/i₀, ml, m₂,

nik

■) = +

m2 in inft. ³)

jf₀

y₀ +1 _ 4

Połóżmy : P₀ == -y1 P₁₌=(^₀, w₁)=y₀+^

ui

4-

_ w₂4+4

~~ WaJfj+Jfo i przyjmijmy, że:

-P»-i=Oo, #»i,    ...

to podstawiając tu    —

»»2

il/₂

, (.L₂=m₂Li yL

M₂ =m.₂Mi +M₀)

1 Ln^-^-Ln—Z

— za mn_i, otrzymamy:

w,

Pn =

m„ Ln—\ + 4_2

mn Mn-i + Jfw_₂

Mn

gdzie

(7)

Ln — Mn Ln—1 Ą~Ln-% , Mn — Mn Mn—\ Ą-Mn czem mamy stwierdzoną jednakową budowę wszystkich Pn, Ln, Jłfn i gdzie    w przypadku .(a), w=2, 3, 4, ....

Ułamki P₀, P1? P₂,

nazywaj ą się przybliżone mi wartościami ułamków łańcuchowych (a) lub (6).

W przypadku (a) mamy odrazu:

(«')

P=P

w przypadku zaś (6) położyć trzeba :

x,—lim P*.

k — aa

W tym drugim przypadku wyraża się więc P —jak to z określeń (y) przy n—co wynika — ułamkiem o liczniku i mianowniku nieskończonym. Z tego powodu tern nowem określeniem (b‘) musimy się bliżej i dokładniej zająć. Lecz — aby zająć odrazu ogólniejsze stanowisko — rozważajmy formy (a), (b) same dla siebie t. j. jako wyrażenia, które przy danych fj,0 określać mają i obliczmy różnicę

Pn Pn—\⁼⁼ 3n

Mn.-2

pewne wielkości x‘

mn Ln—iJrLn-2

mn Mn_ 1 -f Mn

Ln—\

Ln—1

Mn

Mn_\

Ln-2 1

Mn-\ Mn-2 Ą

-71 jr • ^ n

Mn

-i-

Stąd po porządku dostajemy:

Jl==+i^⁷ ^

M'd

4=-

31 n—2

a stąd znowu wynika relacya :

4=P„-Pn-l = (-l)"-¹

Napiszmyż — gdy mamy rozwinięcie (a) —

P,^P₀ + (P₄ -P?) + (P₂ -P₄) + .... + (Pk-Pk-l)

to wprowadzając (ó) dostajemy:

(c)    P,=P=u₀+-^ MiM₂ ¹ JPiłf.

a ta suma określa tę samą wielkość P co rozwinięcie (a).

W razie rozwinięcia (i) określimy wielkość X¹ przez owo rozwinięcie zdefiniowaną, szeregiem:

*-1

3I]C-iMjc

(d)

P=^o

in inf.

MXM₂ ^ M,M, M?M,

Lecz mx, m₂₎ .... są liczbami całkowitemi dodatniemi. Wskutek tego uwzględniając (y) mamy tu niezawodnie wszystkie Mn^> 0,

i lim Yr —n/1-“ O

n = <x,MnMn+1

Mi " MiM₂ " M₂M?> a szereg (d) [art. 10, tw. II.] jest zbieżnym.

To znaczy:

I. Każdy nieskończony łańcuchowy ułamek przedstawia peicną skończoną wartość, czyli jest zbieżny, a każda wielkość, którą takim ułamkiem przedstawić można, da się równocześnie określić szeregiem zbieżnym.

Przez to mamy tę korzyść, że wielkość x‘ rozwiniętą na ułamek (b) i określoną potem granicą (&'), mamy teraz przedstawioną w formie znanej i już zbadanej, bo w szeregu zbieżnym.

Zbadajnry teraz bliżej przybliżone wartości P₀, P±, P₂, P₃, .... nieskończonego ułamka (b). Mamy tu:

Po=t*o<x\ pi =    %)>P, P₂ = (fi<»    m₂)<x‘ it. d.

Ili A

a więc zawsze mamy: P%n <CP2«+i , co znaczy:

II. Dokładna wartość rozwinięcia (b) zawiera się zawsze między dwiema, bezpośrednio po sobie następującemi wartościami przybliżonemi. Z nich większą zawsze jest przybliżona wartość nieparzysta (o nieparzystym znaczku).

Z równania (d) mamy dalej : x‘ —

r⁺i

M,M₂

albo P—P^=(—l)'“p

gdzie :

ĆM!A,₊\    2

Są to ilości zawsze dodatnie i malejące (dążące do zera) ze

zwiększającem się p. Różnica więc \x‘—PM| maleje z wzrastającem p, a gdy się przy tern uwzględni twierdzenie II., to mieć będziemy

;> X¹. To znaczy :

III. Przybliżone wartości parzyste przybliżają się do x‘ rosnąc, nieparzyste zaś malejąc.    h

Gdy równaniu (d) nadamy postać:

Ln-1

P₀<P₂<P₄<.....<P; P₁>P₃>P₅>

(Ó¹)

Ln iMn-1 —Mn Ln—i

Mn-1

to z (d) i (d') dostajemy związek:

Ln . Mn_ i —Jfw Pw _ i= (—1)

który wskazuje, że Ln, Mn z jednej strony, a Ln-\, Mn-1 z drugiej strony są liczbami pierwszemi względem siebie. Gdyby bowiem jedna z tych par liczb miała wspólny czynnik ń>> 1, to przez ten czynnik i (—1)”~_1 musiałoby być podzielne, co jest niemożliwe.

(*)

n— 1

Stąd twierdzenie:

IV.    Przybliżone iv art ości P₀, P1} P₂, prostszych strych formach.

Lecz z równania (e) wynika także, że Jf. pierwsze względem siebie, a stąd dalej wnosimy :

V.    ćrdy pierwszy liczniJc Mi jest parzysty, to Mx, Jf₅, liczbami parzystemi₁ a M₂, ilf₄, .Mg,

TL ra.2'P nieparzystego Mx ma się rzecz odwrotnie.

To twierdzenie jest bardzo ważne, za jego bowiem pośrednictwem możemy zbadać wymiernośó lnb niewymierność liczby P, określonej nieskończonem rozwinięciem (b). Przyjmijmyż — aby mieć pewien oznaczony przypadek — że:

są liczby nieparzyste, a są liczby parzyste.

W tym razie jest więc liczba 2 pierwszą względem wszystkich mianowników I) a liczba 3 pierwszą względem wszystkich

mianowników II). Weźmy ułamek Pa — ^r

uwagę. Jego systematyczne rozwinięcie o zasadzie =2 będzie pe-ryodyczne od początku [art. 2, tw. I.] a po jego zwinięciu dostaniemy :

są ułamkami w naj-

Mn-\ są zawsze

są nieparzystemi liczbami.

I)    31„ M„ 31 „

II)    31,, 31,, U

01

a=l, 3, 5, .... pod

P« =

Ha

a= 1, 3, 5,

2*'“—1

gdzie va wskazuje ilość miejsc, zawartych w peryodzie. Przy tern zauważymy, że :

2v«-l=ca.Ma>M

a=1, 3, 5

[art. 2. (ó)].

Gdy analogicznie ułamek Pę=~~

Alp

rozwi

niemy systematycznie według zasady =3, będziemy po zwinięciu mieli:

PS-

3^—1

/3=2, 4, 6

gdzie znowu jest :

(■'),    3V-1

Żaden z ułamków PfS, Pę nie daje się skrócić [Tw. IV.]? a ze mianowniki Ma i Alę wciąż wzrastają, dążąc do nieskończoności, to równocześnie z nimi — według (£), (£') — wykładniki v rosnąć będą do nieskończoności.

Granice : lim Pą = lim Pę = P. Ale wtedy mamy va—oo , Vę — oo , co wskazuje, że P nie daje się ani na zasadzie 2, ani na zasadzie

'i r

cc i

vp

3 przedstawić rozwinięciem peryodycznem i jest liczbą przestępną. Stąd twierdzenie:

VI. Nieskończony ułamek łańcuchowy (g₀, mi, m₂₁ ....) nie przedstawia nigdy liczby wymiernej.

Stąd dalej wynika wniosek:

VII. Liczba wymierna nigdy się nie rozwija na nieskończony ułamek łańcuchowy.

(w nierównościach (a), (/?)) w jednoznacznie określonych liczbach. Stąd wnosimy, że x‘ tylko w jeden sposób da się rozwinąć na ułamek łańcuchowy.

m2:

15

Rozwijając daną liczbę x‘ na ułamek łańcuchowy, dostaliśmy mianowniki m

Zauważmy naodwrót dwa różne ułamki łańcuchowe :

0 5 »⁴i, ^2 5

skończone lub nieskończone i przyjmijmy, że one jednę i tę samą liczbę x‘ określać mają. "W takim razie musi być przedewszystkiem p₀=p‘₀, gdyż w równaniu:    +(mii m₂, . . . .)=^'o +(.m‘u #»'₂, ....)

rozwinięcia (mi, m₂, ....), (m\, m'₂, . . . .) są już ułamkowe i mają przedstawiać znowu tę samą liczbę (ułamkową) x.

Połóżmy: (m₂, m.₃, . ...)=a?₁, (m'₂, m\, ....)=x\, gdzie x^ x\ są oczywiście znowu ułamkami Ayłaściwymi, to mamy równocześnie

x=—-—.

m\ -f- x\

mx + x₁

Toby wskazywało, że równocześnie ma być:

>#>

^>x

mi-Jr 1

Lecz to jest niemożliwe, gdy mt

m.

m\

m'

m\ + r

Musi być zatem mx—m\.

"Wskutek tego muszą dalej rozwinięcia (m₂, m₂₁ ...), (m'₂,    ...)

przedstawiać jedną liczbę #1? a gdy do nich zastosujemy analogiczne rozumowanie, dostaniemy m₂=m'₂ i t. d. Mamy stąd twierdzenie :

4

VIII. Dana liczba wymierna lub niewymierna daje się tylko w jeden sposób rozwinąć na ułamek łańcuchowy, a dwa ułamki łańcuchowe skończone lub nieskończone — jeżeli mają tę samą liczbę przedstawiać — muszą być identyczne. ⁴)

Rozwinięcie (c) lub (d) danej ilości x‘ możemy także wprost otrzymać, a to na podstawie uwagi, że gdy dana jest ułamkowa

Ch. 32, 33.

i t. d. —

Stąd — uwzględniając kolejno :r₂ w xi, x?i w x2 dostajemy :

różnych od 0

wielkość x, to w szeregu liczb 1, 2, 3, ..... znajdzie się jedna tylko m spełniająca nierówność:

¹ i ^    ^ ¹

— m

Ułamek x można wtedy przedstawić w formie:

x = — (1—a;,), m

gdzie xx jest znowu ułamkiem. Grdy więc dane jest x‘= fi₀-{-xi, 0 <ą<l , to dalej mamy według (A) i (B):

1    , 1

lir--¹<xi <"ii

1 <tf₂<-^

1    ^3 "C. -

(4)

(B)

Mx

a więc

a więc    ^

^3

X‘ ,M°⁺ Mx M,M₂ ¹ MxM₂M?i * gdzie to rozwinięcie będzie skończone, w razie wymierności, a nieskończone w razie niewymierności x'. Lecz tę formę rozwinięcia możemy jeszcze uogólnić, a to w ten sposób: Niech będzie dany szereg dodatnich całkowitych liczb: ax, a₂, «₃, i od 1. Dana ilość wymierna lub niewymierna xx niech będzie dodatnia i (po odrzuceniu całkowitej zawartej w niej liczby) <1.

Połóżmy:

axxx—ax-\-x₂, a₂x₂ = a₂ + x?t, azxz=-a₂-\-xk gdzie av jest największą całkowitą liczbą, zawartą w avxVl to z szeregu tych równań wynika przedewszystkiem: av<.av—1, a potem:

(0)

xx

a,

a₂

cci cc₂

ax a₂ a₃

To rozwinięcie jest znowu skończone, albo nieskończone. Uwzględniając resztę tego rozwinięcia od wyrazu v%° mamy :

Hv

av

ctv—1

0&V + i 1

b-— +

L ccv

Ct₂Cl₂..“ CtVĄ.\

axaz.... av

axa₂.... ccp-j-i

CC p    CCp

CCp CtpĄ. i

...

0*2 •#.. Ctp—.\

Stąd wynika, że — gdy rozwinięcie (O) bez różnicy, czy jest skończone, czy nieskończone — urywamy na (v—l)szrm wyrazie., to

a₁ ctp-i

w dokładnem określeniu wielkości xi popełniamy błąd <C

Gdy więc rozwinięcie (C) jest nieskończone sumując dostatecznie dużo początkowych jego dodajników — wielkość xi przedstawić z żądaną dokładnością. *)

to można niem —

ROZDZIAŁ II.

O liczbach złożonych.

IG. Określenie liczby złożonej (urojonej) i jednostki urojonej.

Już w bardzo elementarnych zadaniach znaleśó można takie, których za pomocą liczb rzeczywistych Rozdziału I®⁰ rozwiązać niepodobna. Mając n. p. rozwiązać równanie stopnia drugiego:

a#²-f-2 bxĄ- c=0 o rzeczywistych a, b, c możemy je przerobić na równanie:

(ax+b)² = b²—a c.

Gdy b²—ac^>0, okazuje się (ax-{-b) wistą liczbą. W razie 6²—ac<0 piszmy (2) w postaci:

(G

(2)

a tern samem x rzeczy a więc n. p. b²—ac=—ft²,

na-

to rozwiązanie zagadnienia (1) sprowadzamy do określenia takiej wielkości z, której kwadrat ma być = — 1.

Takiej wielkości nie podobna przedstawić liczbą rzeczywistą, a gdy mimo tego zadanie postawione ma być przedmiotem poszukiwań matematycznych, to trzeba zakres liczb rozszerzyć liczbami nowemi. Z tych pierwszą, zasadniczą ma być liczba z spełniająca związek z²=— 1. Nazwijmy ją i, albo Y—i, to dostajemy z—-\- i, albo =+]/—1 i mamy odrazu już zarazem i jedną jej regułę arytmetyczną: i. i——1, albo (—i)(—i) — —1, regułę, która zmusza wydzielić ją z zakresu liczb rzeczywistych. Z tej reguły wynika, dalej, że ż²+-l=(z+i)(z—i).

W zakresie liczb rzeczywistych jest -fl i —1 zarówno jednostką. Otóż wskutek tego, z analogii, jaką spostrzegamy w ró-

(3)

*) Por. rozprawę E. Straussa p. t. „Eine Verallgemeinerung der ćlccn-dischen Schreibiceise nebst functionentheorełiścher Amoendung¹¹ Acta Mathemalica. T. 11. (1887-88), str. 13-18.

49

l—*■

CD

wnamach 1.1=+1, (—1)(—1) = +1; i.i——1, (—i)(—&)=— 1 nazywamy Ą-i jednostką urojoną dodatnią, a —i jednostką urojoną ujemną.

Lecz ze związku (3) dojść nam trzeba do wyznaczenia niewiadomej x, t j. do ostatecznego rozwiązania równania (1).

Ze związku (3) dostajemy formalnie :

(4)

{ax -f &) = + & -i,

gdzie h jest rzeczywistą dodatnią liczbą i gdzie przedewszyst-kiem -\-h.i określić nam trzeba.

Gdy h jest całkowitą dodatnią liczbą, to jest zbiorem h dodatnich jednostek +1. Iloczyn ha, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, określają często tak: h.a powstaje z liczby h w ten sposób, że za każdą jednostkę liczby h położyć trzeba a. Trzymając się tej de-finicyi, mamy: h. i—i + i + .... + i.

Gdy h=ljn, gdzie n jest całkowite, dodatnie, to podług praw mnożenia mamy (1 jn)i—ijn. Lecz Ijn określają często tak: Jest to liczba, którą pomnożona liczba n daje +1. Na wzór tej definicyi określimy i\n jako taką liczbę, przez którą pomnożone n daje -\-i. Ułamek 1 jn nazywają jednostką ułamkową. Otóż i\n nazwiemy analogicznie urojoną jednostką ułamkową. Iloczyn

mi

—, gdzie m i w są całkowite dodatnie liczby, będzie zbiorem

77/

m jednostek ułamkowych urojonych ijn.

Gdy v jest liczbą niewymierną, dodatnią, do której się zbliżamy nieskończonym szeregiem liczb wymiernych , H₂, .....

[art. 3.], to vi określi się granicą, do której się zbliżają liczby

n₂i,.....

W ten sposób uzyskujemy matematyczne określenie liczby T hi. Jestto pewna suma (zbiór) jednostek urojonych i lub ijn. Liczba —hi będzie zbiorem takichże jednostek ujemnych.

Każdą liczbę hi o rzeczy wistem h nazywamy czysto uro-j o n ą.

Z relacyi (4) dostajemy dalej formalnie: ax=—h-j-hi a stąd okazuje się potrzeba określenia naznaczonej sumy aĄ-jHi. Przede-wszystkiem zapytać trzeba, czy ona z inną sumą tego samego rodzaju równoważną być może, (jak w zakresie liczb rzeczywistych mamy n. p. 5 + 2 =3+4 i t. p.) Połóżmyż: aĄ-pi=a,Ą-ftli, gdzie

a^a¹,    to stąd — zatrzymując prawidła arytmetyczne —

wynika i—(a—«')/(/?'—/?)= liczba rzeczywista. Lecz to jest niemożliwe, a przeto przyjąć trzeba a=ci‘, /?=/?'. To znaczy, że suma ta nie daje się przywieść do żadnej sumy o innej postaci. Nie daje się więc i wykonać, co zwykle się łączy z pojęciem naznaczonej sumy, a z tego powodu uważać ją raczej trzeba za zbiór jednostek rzeczy w istycb zwyczajnych ( + 1, —1) lub ułamkowych z dołączeniem pewnego zbioru takich jednostek urojonych. Sumę taką nazywać będziemy krótko liczbą złożoną albo liczbą urojoną.

W liczbie «-f(H nazywają a jej częścią rzeczywistą, (Hi jej częścią urojoną. Same liczby a, (3 nazywają spółrzędnemi i to: współrzędną pierwszorzędną (albo pierwszą), a /Współrzędną drugorzędną (albo drugą).

Ostawanie się równania a-^-fii-ci' tylko przy « = «', /?=/?' wysłowimy teraz w ten sposób:

I. Dwie róicne liczby urojone są identyczne.

I a. W razie a±(3i=0 musi być równocześnie a=0, (3-=0.

W przeciwnym bowiem razie mielibyśmy i= — a/(3, liczba rzeczywista, co jest niemożliwe.

17. Łączenie liczb złożonych za pomocą działań arytmetycznych. Przejdźmy do łączenia liczb urojonych za pomocą działań arytmetycznych. Z uwagi, że w liczbie ccĄ-fii część urojona jest w istocie iloczynem liczb (/?, i), wykonywać będziemy wszystkie działania arytmetyczne według przepisów algebry z tern jednem ważnem zastrzeżeniem, że w miejsce iloczynu i.i zawsze wstawimy — 1. Według tego dostajemy:

(a)

(« + &«) + («•' + b‘i) -f {a“ -\-b"i) -f ....=

= (a + a' + «" +... )-f (& + &' +&" + ••••) i a także:

(/?)

(a+b i)—(a¹ -f b‘i)={a—a‘) + (b—b‘) i.

Prócz tego wnosimy z równania (w), że suma kilku liczb urojonych nie zmieni swej wartości za zmianą porządku dodajników.

Podług praw algebry mnożąc dwie liczby {aĄ-bi) ₁ (a‘-\-b‘i) ze sobą, dostajemy: (a + b i) (a‘ + b‘i)=a a* -f bb‘i ,i-\-(ab' + a‘b) i.

Lecz za i i położyć trzeba —1, a wskutek tego:

(y)

(a -f bi) (a' + b'i) — aa¹—bb‘ + (ab' -f a‘b) i,

Mieniając czynniki ze sobą musimy po prawej stronie a z a' a b z b‘ pomieniać; lecz przez to wyrażenie po prawej stronie nie ulegnie zmianie; stąd wnosimy, że tu tak, jak w zakresie liczb rzeczywistych, ze zmianą czynników nie zmienia się iloczyn. To prawo można wykazać i w iloczynie złożonym z więcej niż 2 czynników.

Ale w zakresie liczb rzeczywistych mamy iloczyn a.b =0 tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem. Zapytajmyż, czy to i tntaj ma miejsce? Niechżeż w (y) liczba urojona po prawej stronie będzie zerem. Jej obie spółrzędne muszą być wtedy zerem, a więc: aa¹ — bb' =0, ab‘-\-a‘b=0. Stąd dostajemy równoczesne re-lacye: ajb = b‘laj i a b=—ajb¹, a te widocznie tylko wtedy mają miejsce, gdy albo a=b=0, a więc a-\-bi = 0, albo «' = &'= 0, a więc a‘-\-b‘i=0. To znaczy:

I. Iloczyn dwóch (lub więcej) liczb złożonych jest wtedy tylko zerem, gdy jeden z jego czynnikóic jest zerem.

Ilorazem

nazywamy taką liczbę złożoną rĄ-si, która

Liczby złożone a = a-\-bi, ct₀=a—bi nazywają się sprzężone. Icb iloczyn aa₀ = a²-f-&² jest sumą kwadratów ich spółrzędnych i nazywa się normą tak liczby a jak liczby z nią sprzężonej a₀. aĄ-bi a‘-\-b‘i

a‘b— ab1 S a‘²-{-b

(aa‘-\- bb‘)Ą- {a'b—abj i

al2jrb<2

Gdy ai2-f-&'²=0, a więc a‘--=b‘ = 0 — inaczej bowiem byłoby a‘=+b‘i, co jest niemożliwe — to widocznie wtedy dzielnik jest zerem, a dzielenie (jak w zakresie liczb rzeczywistych) jest niemożliwe.

a więc:

spełnia równanie (rJrsi)(a‘Jrb'i)=a-\-bi. Po wykonaniu mnożenia mamy: (ra¹—sZ>')-b(y&' + sa') i=a,Ą-bi. Być więc musi a'r—b's=a, b‘r-\-a‘s = b. Z tych dwóch równań dostajemy: aa‘ + bb‘ a‘²-\-b12 aĄ-bi a‘ -\-b‘ i

Pd. 1. Okazać:

Gdy a = a -j- bi, a' — a'-\-b‘i, a utworzymy liczby z niemi sprzężone: a₀ = a — bi , a'₀ = a' — b'i , to

(1) (cc+a'),    («o + a/o)>

«₀ . O ,

(2) (a — a'),    —a'₀),

(3) a . a' ,

G)

są parami sprzężonych liczb.

Pd. 2. Gdy 2i (a, a', a" . ..) jest wyrażeniem utworzonem z liczb złożonych przez dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a Ii(«₀,

a, a', a",

O) a"o> • • • •) jest takiem samem wyrażeniem, utworzonem z odpowiednich liczb sprzężonych, wyrozumować, że 2?(a, a', a", ....), B(a₀, a'₀, a"₀, ... .) są liczbami

sprzężonemi.

Pd. 3. Co wynika z równania aĄ-bi — a — bi?

Rozszerzyliśmy zakres liczb rzeczywistych w ten sposób, że teraz każda liczba jest zbiorem jednostek -{-1, —1, + &, — i i jednostek ułamkowych +1 jn, —l/w, +ijn, —ijn.

Z tych 1, i nazywają się jednostkami głównemi tego obszaru.⁵)

Jednostki -{-1, —1, -j-i, — i mają tę własność, że ich normy są =-j-1. I tak: gdy x Ą- yi = + \ , to a? = + 1, y — 0 i x² Ą- y² = -j- 1,

„ x Ą- yi = + i, to x =0 , y —+ 1 i x% Ą~ 2/² = + !•

(0

Te jednostki można otrzymać przez potęgowanie jednostki i. I tak mamy: »° = +1,    = + i² = — 1

¹

Weierstrass: Math. Werlte. Tom I. str. 173.

²

Poszukiwania tego art. przeprowadzono podług rozprawy A. P r i n g s-lieinia: „Ueber die Convergenz unendlicher Producte“ Math. Ann. Tom 33. — str. 119. (1889).

³

A. Hurwitz podał sposób rozwijania danej ilości x‘ na ułamek ciągły o mianownikach odmiennych od m₁, «?₂j ••••> zawartych w (a), (b). Por. „Zleber eine besondere Art der Kettenbruchentwickelung reeller Grusśen¹¹ Acta Mathematica T. 12. (1889), str. 367—405.

⁴

Wyczerpującą teoryę ułamków łańcuchowych znajdzie w dziele O. Stolz a v Vorlesungen uber allgemeine Arithmetiku (Lipsk 1886). T. 2., str. 264....

Por. także: E. Chrystal — Algebra an elementary text-book. Part. 2.

⁵

Co się tyczy liczb złożonych z n głównych jednostek, por. C. Weier-strass: „Zur Theorie der aus n Hciupteinheiten gehildeten complexen ZaJdenu.— Góttinger - Nachriclden. Rocznik 1884, str. 516 — 519. Por. także uwagi Schwarza w T. II. (str. 346—349) jego Gesammelte math. Abhandlungen.

ik jest znowu = -f-1 tak, że z i⁴, i⁵, i⁶, i⁷ dostajemy znowu po porządku -pi, -j-i, —1) —i , i t. d. Także i4?=-|-l, gdy p jest całkowitą dodatnią liczbą, a gdy całkowita dodatnia liczba n nia postać 4p -f-£, £ — 0, 1,2, 3, to

= s = 0, 1, 2, 3, i jest jedną z jednostek (e). Dalej mamy:

i⁴

t-¹«=-=¹3:==_ /, i-2===i+2₌₌_lj    <-¹= + 1

l

a więc także i~ = -f-1 (p całkowite, dodatnie).

— = i-£, £ = 0, 1, 2, 3.

Potęga i~a

18. Bezwzględna wartość liczby złożonej. Twierdzenia o bezwzględnej wartości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Mając liczbę złożoną a—-a-\-bi, nazywamy dodatnią (bezwzględną) wartość pierwiastka a2jrb² bezwzględną wartością liczby «, a naznaczamy ja krótko przez jaj. Mamy więc:

|a| = |a + bi\=]la²-\-b².

Gdy & = 0, mamy liczbę rzeczywistą a, a pierwiastek 'ja² = \a\, co zgadza się z definicyą bezwzględnej wartości liczby rzeczywistej [art. 8.].

O bezwzględnych wartościach liczb złożonych da się udowodnić:

I. Bezwzględna icartość sumy dwóch liczb nie jest nigdy większa od sumy bezwzględnych icartości dodajników.

Niechże a=a\bi^ a'-\-b‘i. to \a\Jr\a,\=^a²Ą-b² Ą-^a^+b¹², \a-}-al\=^(a-\-a,)²-{-(b + b,yi. Stąd: {|«| + |a'|}2₌=a²+ó²+«'²+^'² + 2V(a²-fó²)(a,2 + &/2)

|a-j-«¹ |²=a² -d- ² + a,2Ą-b‘²-\-2 aa'-f-2ó&'.

Lecz łatwo przekonać się, że pierwsza z tych ilości jest większą od drugiej, albo równą drugiej. Spróbujmy bowiem — odrzucając z obydwu ilości sumę a²-j-^² + «'²-fb'² — położyć:

V(a²+&²) (a'² + &'²) >aa, + bb%

to podnosząc obie strony do kwadratu, dostajemy:

a‘ia,^Ą-b‘lb,2-\-ani^a,^>a‘¹a,2-\-V²b^-\-2aa,bb\ czyli a²b‘²-\-a‘²b² > 2 aa‘bb': czyli ostatecznie (ab‘—a‘b)²> 0,

co prawdą i to jedyną jest prawdą. Zatem |os| -f |a'| >;|a-f a‘\. Znak równania odpowiada takiemuź znakowi w (a), a to zajdzie wtedy, gdy at. j. gdy = gdzie q jest liczbą czywistą.

(a)

rze-

Łatwo teraz wyrozumować, źe mając ai =ai +bii, a.₂=a₂ -\-b₂i, .... ccm=am-\-bmi dostaniemy i tutaj:

I +    +    +    +«2 + -- + Om|, m> 2.

II. Bezwzględna wartość różnicy dwóch liczb a, a¹ nie jest nigdy mniejszą od różnicy bezwzględnych ich wartości.

Mamy udowodnić, że prawdziwą jest nierówność a—a'l>la| — \a‘\.

V)

(c)

W razie |aj <C |«'[ jest ta nierówność z pewnością prawdziwa ; pozostaje więc tylko przypadek ja| >■ |a'| bliżej rozebrać. W tym celu pisząc tę nierówność wyraźnie, mamy :

^(a—a‘)²-\-(b—b‘)²    ^a²+ ó² — ^a,2-\-b'².

Podnosząc obie strony do kwadratu i odrzucając po obydwu stronach sumę a² + a'²-f&²-f-ó/2 dostajemy:

— (aa¹ ■\-bb,)'Ć> — ^a²+ b² .^al2+b‘², albo (ariĄ-bb¹) <y«²+ b². '^ai2Ą~b‘².

Po podniesieniu obydwóch stron do kwadratu i odrzuceniu z nich sumy a²al2-\-b²bl2: mamy:

czyli

2aa‘bb‘ <a²b‘²-\-a>2b2 0 <ś(ab'—a‘b)², co prawdą — i to jedyną jest prawdą.

Twierdzenie II. jest zatem udowodnione. Znak równości w (c¹) odpowiada takiemuź znakowi w (c), a to zajdzie znowu, gdy będzie a :a‘=b :b‘.

(*')

(d)

Podobnie łatwo sprawdzimy, że

\a . ] os'| =- | aa‘\

i że

(«)

a to znaczy:

III.    Bezwzględna wartość iloczynu równa się iloczynowi bezwzględnych wartości czynników.

IV.    Bezwzględna wartość ilorazu równa się ilorazowi bezwzględnych wartości z dzielnej i dzielnika.

a'

a¹

19. Geometryczne przedstawienie liczby złożonej. Płaszczyzna liczbowa. Napiszmy liczbę a = aĄ-bi w postaci

a = \a\

|a| = \/a²-f- b²

b²    ., , . a

= 1, a ilości

co funkcye trygonometryczne wstawa i dostawa dowolnego

sin cpi, to marny :

to widocznie

a¹

i—nr ^

\ cup

12

mają tę własność

kąta. Połóżmy zatem |aj=r, y~

cos (pi

a — r (cos cpi -j- i sin (pi), a=r .cos (pi: b—r.sin^.

Poprowadźmyż na danej nieograniczonej płaszczyźnie dwie do siebie prostopadłe nieograniczone proste xx‘, yy* przecinające się w punkcie 0 (fig. 1.). Punkt 0 niecb odgranicza części dodatnie Ox,

0y od części ujemnych 0x‘, 0yl owycb prostych. Na jednej z nich: xx‘

P,

x’

Fig. 1.

(poziomej) odetnijmy od punktu 0 odcinek a = 0P,, a na drugiej yy' odcinek b — 0P₂ z uwzględnieniem ich znaków. Przez Pi poprowadźmy prostą równoległą do yy', a przez P₂ prostą równoległą do XX¹. Poprowadźmy dalej, gdy te dwie proste przecinają się w punkcie P, prostą 0P, to dostajemy trójkąt 0P₁P, w którym

0P₁ —a, P₁P=OP₂=6, OP=VćP+V=\a\^r.

Gdy kąt PLOP nazwiemy qpl5 to mamy dalej :

0P₁ —r. cos cpi, 0P₂ = r sm gą,

a już konstrukcyą samą dostajemy kąt do liczby a się odnoszący. Ale i punkt P jest tu całkiem jednoznacznie określony; jest on — jeżelibyśmy proste XX¹, yyf¹ wzięli za osie spółrzędne geometryi analitycznej — punktem o spółrzędnych a, b. Z drugiej strony gdy promień ruchomy, z punktu 0 wychodzący, nachylimy do osi xx‘ o kąt (pi i na tym promieniu od punktu 0 długość r odetniemy, to w punkcie końcowym tej długości dostaniemy również ten sam dobrze oznaczony punkt P. Z tego powodu powiadają, że punkt P przedstawia liczbę a i naznaczają go wprost literą a. Naodwrót każdy dowolny punkt na rozważanej płaszczyźnie przedstawia jedną i tylko jedną liczbę postaci a-\-bi, a cała płaszczyzna, na której prostą xx‘, yy‘ poprowadzono, wszystkimi swoimi punktami przedstawia wszelkie liczby a-\-bi i zwie się

płaszczyzną liczbową. Każdy punkt na osi xx‘ przedstawia pewną liczbę aĄ-Oi — a, a więc liczbę rzeczywistą i z tego powodu ta oś xx‘ nazywa się osią rzeczywistą albo pierwszorzędną. Obrany dowolnie punkt na osi yy‘ przedstawia liczbę postaci 0-{-bi=bi: a więc liczbę czysto urojoną i z tego powodu tę oś nazywają urojoną, albo drugorzędną. Punkt początkowy 0 należy do liczby 0-j-0i t. j. do

Kąt o, konstrukcją geometryczną (P₁0P=ę₁) wyznaczony jest wprawdzie jednoznaczny, gdy się jednak zważy, że:

cos <Pi = cos (v₁ -fi ś . 360°), sin ©j = sin (©, -f- s . 360°), s = +l, +2, +3, ... to widocznie możemy ępt którymkolwiek z kątów:    -j- s . 360°, s = + 1, +2, ....

zastąpić.

zera.

Dwa punkty przedstawiające liczby sprzężone — dwa punkty sprzężone — leżą na płaszczyźnie liczbowej po różnych stronach osi xx‘ są równo oddalone od osi xx‘ a łącząca je prosta jest prostopadła do tej osi.

Dwa punkty a = a -j- bi, — a = — a — bi, — punkty przeciwne — leżą na jednym promieniu przechodzącym przez punkt 0 po różnych jego stronach i są równo od niego oddalone.

20. Geometryczne wykonywanie działań arytmetycznych. Mając dwie liczby ct=a-\-bi, «' = «' + &'£ i ich punkty P, Pl mamy

w odcinkach 0P, 0P‘ (fig. 2.) ich bezwzględne wartości. APOP dopełnijmy do równo-ległoboku P0P‘Q: to widocznie mamy:

0P=a+a', BQ=b-\-b‘, a stąd wynika, że punkt Q przedstawia i—X sumę    Odcinek 0Q—\aJra‘\. W trójką

cie 0P Q mamy:

0P=|a|⁽, PQ=\a‘\i 0Q = |a+a'|, a więc według elementarnych twierdzeń z geometryi dostajemy : 1°. |a| + |a'|>»|a + a'|, [art.

111°. | aĄ-ct* |+[ a\ | a‘\

fal

—/P'

Fig. 2.

. ||a|—|a'||    |os-f-os' 1

tw. I.]

j>ja|,

IY°. |ja + a'|— |a||<C|a'| lub ||a + a'|— |aJ|]<C|a|.

Gfdy z liczb a, a¹ utworzyć chcemy różnicę a—a¹ i wyznaczyć punkt tej różnicy, to postąpimy w ten sposób: Do punktu P' = a' (fig. 3) doszukamy przeciwnego P\ = —a¹ i do-■X pełniamy P\0P do równoległoboku P‘i0PQi. Punkt Qi będzie =(«—«'). W trójkącie 0P\Qi mamy: 0P'₁ = [a'|, PiQi—\a\, 0Qi=\a—a'|, a więc i tu będzie:

jc<|

fi

I-I "s

CU;

•P

Fig. 3.

y°. la — a¹

VI⁰. | a—a¹ j YII°. j a—a' | YIII°.

— | a¹11 [art. 18. tw. II.]

a‘

a'| lub \ a — a¹ \ Ą-a¹ \^> \ a a—a¹ | — | a j j <. [ a' j lub

a—ct‘ | — j a¹ | j <C j « |.

Nierówności 1°, ...., VIII⁰ przechodzą w równania, gdy P, P1 leżą w prostej linii z punktem 0.

Geometrycznie znajdziemy punkt iloczynu a. a¹ w ten sposób: Połóżmy:

a=r (coscpi + i sin (pp, a'=r' (cos cp\ + i sin (p\), r=0P, P=0P', to stąd dostajemy:

U)

a . a'=r. r'[cos (cpx + <Ai) + i sin (q)i -\-cp\)]. Poprowadźmyż z punktu 0 promień nachylony do osi pierwszorzędnej pod kątem    a na nim od punktu 0 odetnijmy

odcinek 0Q‘=r.rl, to punkt Q‘ będzie punktem a. a¹. Całą tę kon-strukcyę wykonać można za pomocą liniału i cyrkla.

W razie iloczynu n C> 2) czynników as=rs (cos cps-\-isin(ps), s — 1, 2, ...., w, otrzymamy analogicznie:

a₁.a₂....an=rir₂.... rn [cos (<p± + cp₂ +... -f cpn) + * sin + cp₂ -f... + <pH)]-

Skracając tu przez czynnik ri.r₂....rn, dostajemy:

(cos (pi + i sin (pi) (cos (p₂ Ą-i sin cp₂).... (cos cpnArisin (pn)

U¹)

=cos{(pi + (p₂ + ...+(pn) + isin((p₁+(p₂ + ... + (pn).

Naodwrót każdą liczbę postaci:

cos (<pi-\-(p₂-^.... + (p„)+isin((pi + <p₂ + .... + (pn)

23rzedstawió będzie można iloczynem n czynników, jak to równanie (A¹) wskazuje.

Gdy wreszcie chodzi nam o punkt ilorazu

r cos cp^Ą-i sin cpi a¹ r¹ cos cp\+i sin cp\ ’

to mnożąc licznik i mianownik przez cos cp\— i sin (p\, dostaniemy — z uwagi, że w mianowniku będzie wtedy cos² cp\ + sin² (p\ =1 — iloraz żądany w takiej postaci:

[cos (Pi —<P‘t)+i sin

oddalony będzie od

Stąd widzimy, że punkt aj a¹ leżeć będzie na promieniu nachylonym do osi xxl pod kątem (pi—cp\, punktu 0 o rjr¹. I tę konstrukcyę będzie można wykonać za po-mocą liniału i cyrkla.

21. Wprowadzenie symbolu 1^,. Wzory Moiyre’a i Eulera.

W równaniu ą-=r (cos cpx -\-i$in cpx) jest cos cpx-\-i sin cpx liczbą urojoną

o bezwzględnej wartości 1; często ją nazywać będziemy charakterystyką liczby a. Wchodzą w nią funkcye trygonometryczne cos px , sin px kąta px. Lecz analiści obliczając takie funkcye nie przedstawiają ich wprost przez kąt px, ale raczej przez luk p jaki w kole o promieniu =1 do tego kąta należy. Łuk ten określa się proporcyą (p : <2ji — px: 360, z której wynika:

2.^

gdzie fi jest wymierną lub niewymierną liczbą. Z tego powodu będziemy odtąd zamiast sinpXj cos px pisali sin p, cos <p, rozumiejąc przez p luk, a nie kąt, jakkolwiek w liczbowych przykładach można nie odstępować od utartego sposobu pisania: sin 6 0°, cos 45°, i t. p. Po tej uwadze liczbę cos px 4- i sin px, napiszemy teraz w postaci : cos cp + i sin p. Jej punkt na płaszczyźnie liczbowej znajdziemy w dwojaki sposób:

1° gdy jednostkę +1 na osi XX¹, od punktu 0 odciętą, obrócimy o kąt px; [punkt końcowy tej jednostki w jej nowem położeniu będzie punktem liczby cos piJr i sin px], albo

2° gdy punkt liczby 1, na dodatniej części osi xx‘ leżący, zakreśli na kole o promieniu —1 łuk p; [punkt zajmie położenie liczby cos px-\- i sin px, przedstawionej przez cos p + i sin p\.

Z tego powodu położymy krótko:

cos pĄ-i sin p—1

czytając ten symbol: jeden z obrotem kąta, którego łuk =p: albo krótko: jeden z obrotem p. *) W szczególności dostajemy:

1 £=+*, U= — 1

1(2*4-1)71; =

Wskutek tego oznaczenia i wprowadzenia łuku p zamiast kąta px położymy teraz:

1₀ = + 1

l2*7T— + 1

-1

=fin

<p 1

I 1 gTT    i

Jc=0, +1, +2

127!:= + 1*

a=r (cos pĄ-isinp)—r. 1 a nazwiemy charakterystyką liczby a.

Lecz z drugiej strony punkt samej liczby a na płaszczyźnie liczbowej tak się określi: gdy na dodatniej części osi xx‘ odetniemy od punktu 0 długość r i obrócimy tę długość o kąt px, to punkt

cp i

*) Zatrzymuję tę nazwę taką, jak ją Żmurko w swoicli W3⁷kładacli wprowadził, nadmieniając, że 1^ — już z lukiem o — możnaby także czytać w ten sposób: punkt 1 z przesunięciem cp (na kole o promieniu 1).

końcowy tego odcinka w tem położeniu będzie punktem liczby a. Z tego powodu — wprowadzając łuk cp w miejsce kąta cpx — położymy:

a = r (cos cpĄ-isin cp)^=r(p

i ten symbol czytać będziemy: r z obrotem kąta, którego łuk = cp, albo krócej: r z obrotem cp.

a'=r' (cos cp^isin cp)=r. 1^', gdzie cp, cp‘

<p i

Stąd wynika, że iloczyn a. a¹ i iloraz aja¹ liczb: a— r (coscp-\-i sin cp)=r. 1

są już łuki, wyrazić możemy teraz krótko równaniami:

{a)    a.a'=r.r'ly+ę,,=(rr%₊y/

a    r i

(J) a,    ri ¹

Cp— cp'

r¹

cp — cp'

Stąd czytamy, że charakterystyką²) iloczynu (a) jest 1 a ilorazu (b) 1

Z wzoru pierwszego, założywszy ct — a\ dostajemy a² = r².l2y,, stąd dalej mamy a³=r³. lZcp i ogólnie:

O, całkowite.

Ze’zaś am — rm .(cos cp-\~i sin (p)m , więc stąd wynika wzór: (cos cp + i sin cp)m=cos mcp-\-i sin mcp , znany powszechnie pod nazwą wzoru M o i v r e’ a.

am—rm. 1

(m)

Z niego — przy m= 2 — dostajemy:

cos² 9 — sin² <p -j- 2 cos 9 . siw cp. i = coś 2 9 -{- i sin 2 cp cos 2 <p — cos² 9 — sin² 9, sin 2 9 — 2 cos cp. sin ©.

Przy m = 3 wynika związek : cos³ 9    -f- 3 cos² o . sin 9 . i — 3 cos 9 . śin² 9 — sin³ <0 .i — cos 3 9 -j— i sin 39, a z    niego

cos    89 = cos³ 9 — 3 coś 9 sin² 9 , śin 39 — 3 cos² 9 . sin 9 — 3 cos 9 sin² 9 i t.    d.

Wzór (m) oddaje więc ważne usługi w obliczaniu cos w 9, sin ?n 9 przez

a więc:

cos © , sin ?.

Określmy, jak w arytmetyce liczb rzeczywistych

(a-\-bi)~™

to dostajemy po skróceniu przez r~m:

(a-j-bi)m

(cos cpĄ-i sin cp)-m

Pisząc prawą stronę w postaci

cos m cpĄ-isin m cp ’ cos 2 71+i sin 2 n cos mcp-\ i sin m cp

mamy stąd

podług wzoru (b) — przy r=r' = l —

cos (2n—mcp)Ą-i sin (2n—mcp)-=cos mcp—isinmcp

a więc ostatecznie:

(m‘)

(cos cpĄ-i sin ty)~m= 1

=cosmty—i sin m cp.

Stąd widać, że wzór (m) tak przy dodatniem, jak ujemnem całkowitem m zarówno się utrzymuje.

Przy m=l dostajemy z (ni¹):

cos (p—i sin <p=

—mcp

— Cf‘

To znaczy: Odwrotność liczby złożonej o bezwzględnej wartości — +1, jest do niej sprzężoną,.

Zauważymy wreszcie, że i w zakresie liczb urojonych zatrzymujemy definicyę (aĄ-bi)°—l.

Z równań lrp = cos f -j-i sin ® , 1 -cp — cos <? — i sin f dostajemy uwagi go

dne formy:

(0

cos ?

Są to formy Eulera.³)

_l<pĄ-l-cp •    _1 <p-1

2    ’    ₂ i

-9

22. Obliczenie nK0 pierwiastka liczby złożonej. Całkowity system reszt. Obliczyć nty pierwiastek danej liczby a—(a-\-bi) — =r (cos tyi sin ty) znaczy to samo, co: znaleść wszystkie różne między sobą liczby (o = aty- (3i=p (cos ty-\-i sin <p) spełniające równanie:

(1)

con — a-\-bi.

Trzeba więc umieć rozwiązać równanie (1). W tym celu na-piszmy je w formie :

Qn cos nepty-ipty sin nty—r cos ty ty-i r sin ty

to stąd mamy:

(2)

Qn cosncp=r cos ty

Q=V'r =)jv/a⁴ty-b'⁴ = V/| a |.

Pierwiastek nty obliczyć tu trzeba arytmetycznie. Mając p

dostajemy z równań (2) związki: cos ncp = cos ty , sin nrp — sin ty,

wskazujące, że n cp=tyty-<2 sn, s=:0, +1, +2

ty 2 sji

ty —--b ■—--

n n

s=0, +1, +2

a więc:

Z tych znanych już wartości q i łuku cp wynika:

n    n r / .

a) = \/a+bi = VV. cos (—

2 sn

albo, [art. 20. {A*)]:

(3)

2sn

o)—\/r . (cos — + i sin - -}. ( cos —- + i sin

\ n    ) \ n    n

3 hs-

2 sn

albo wreszcie, [art. 21.] :

(30

oj = \/r . 1

I2

s=0. +1. +2

Z trzech czynników, tu się mieszczących, tylko ostatni jest wielowartościowy; zmienia bowiem swą wartość ze zmianą wartości s. Aby tę wielowartościowość bliżej określić, zauważmy, że

I2 sn ⁼⁼ I2 {kn+s)ji n    n

Połóżmyż 5 = 0, 1, 2, ... sobą różnych wartości.

1, I2

Lecz przy s=0, 1, ...

(4)

(5)

••

, k całkowite dodatnie lub ujemne.

n—1, to 1₂

S 71 7

daje wtedy n między

I4

I2 (n—1) n

n—1 ma dać I2 {kn+s)n — według równa-

nia (4) — te same wartości i w tym samym porządku, a to można także w ten sposób tłómaczyó, że za 5 kładziemy po porządku wartości Ttn,    , Jcn-Ą-2

Gdy Jc= 1 dostajemy: s—n, n-\-1, w+2, .. lc=—1 mamy: 5=—w, —n-\-1, —n-\-2, ...., —1. Dalej dostajemy te same wartości (5) i w tym samym porządku dla: 5=2w, 2w + l,

— w-j-1

"3

a przy

3n — 1, (/c = -)-2) lub dla: s=—2w, —2w + l (7g=—2) i t. d.

w—1, albo

—n, aby dostać wszystkie różniące się między sobą nte pierwiastki danej liczby a+bi.

Używszy pewnego s z szeregu liczb 0, 1, 2, widzimy z równania (4), że liczby :

Z tego widać, że dość jest wziąć s=0, 1, 2, s=—1, -2

, w—1 w I2

, +Tcn-\-s , . . ..

S = 0.W + 5,    + W+S, +2w + 5,    +3^ + 5

są z tego względu równoważne, że dają tę samą wartość pierwiastka oj. W jakim stosunku zostają takie liczby do siebie? Widocznie każde JcnĄ-s jest liczbą (dodatnią lub ujemną), dającą tę samą dodatnią resztę s, z dzielenia przez n. Niechżeż Jcin-\-s=a₁, k₂n + s=a2: to Gauss określa takie dwie liczby jako przysta-

J ące

albo pozostające z sobą w kongruencyi modliło n i tę ich

własność naznacza „kongruencyą“

cp = a.₂ (mod. n).

Według tego określenia powiemy:

I,    Wszystkie liczby przystające do siebie, modulo n podstawione za s, dają te samą wartość pierwiastka.

Do liczb a₁, a.2 a z tego powodu możemy także powiedzieć:

II.    Wszystkie liczby przystające do s mod. n dają te samą wartość pierwiastku oj.

zalicza się także i ich wspólna reszta s,

I2

S7T.

III. Gdy w I2

jest s> n albo ujemne, to można to s zawsze

sprowadzić do liczby dodatniej <+ n, nie zmieniając wartości pierwiastka.

Pd. 1. Gdy mamy 5 = 9, to przy n — 4 dostajemy 9 = 2.4 + 1, a więc możemy położyć s = 1 i l\%n = l%n. Przy s — — 17 i n = 4 mamy —17 =

~r t

— 5.4-}-3, a więc znowu położyć możemy ś=3 i 1 —34jr = l6 7r i t. p.

— 1, -7, —13, —19, —25, ....

Pd. 2. Liczby: 5, 11, 17, 23, 29. są wszystkie przystające do siebie mod. 6. Mają one bowiem wszystkie postać + k 6 + 5, a więc wspólną resztę 5, [17 = 2.6 + 5,

Wskutek tego jest: I2.5 = ..

—l_2?r—1-2.7 ==

~E~n

Pd. 3. Znaleść wszystkie liczby przystające do liczby 15 modulo 7. Ponieważ 15 = 2.7 + 1, więc wspólną resztą żądany cli liczb będzie 1, a same liczby

— l. 7 + 1 = - 6 , -2.7 + 1 =

będą : 1, 2.7 + 1 = 15, 3.7 + 1 = 22, ..

= -13, .....

Niech li będzie dowolną całkowitą dodatnią albo ujemną liczbą. Utwórzmy szereg n po sobie następujących liczb: li₁ 7&+1, h + 2, ....., hĄ-n—1 i dzielmy je przez n. A więc:

7& = /c₀w+s₀, li +1=k^n + +, li + 2=k₂n + s₂, ...., h-\~n    \=kn—\.n-\-sn—\.

są-to najmniejsze dodatnie reszty, jakie

Liczby s₀, si}

j., dostajemy: a—§=(ka—kp)n.

z tego dzielenia wynikają i są jako takie, wszystkie n. Przyjmijmy że między temi resztami znajdują się i równe tak, że n. p. sa=sp. Odejmując wtedy od siebie: h + a=kan + sa 7^+/? =kęn-\-Sę

To równanie wskazuje, że a—/? jest podzielne przez n. Lecz to jest niemożliwe, gdyż a i (3 równocześnie są liczbami <>.

Muszą zatem reszty s₀, s1? s₂, ....., sn-\ być wszystkie różne,

a że ich jest dokładnie n i wszystkie są < n, więc muszą to być liczby O, 1, 2, n—1 w pewnym porządku. Z tego jednak i z tej uwagi, że za sa<ćn położyć można kank-sa, wynika:

IV. Dając iv czynniku I2sn — w (3') — znaczkowi s wartości n po sobie następujących liczb, zaczynając od dowolnej dodatniej lub ujemnej — dostajemy wszystkie n wartości pierwiastka, różniące sie między sobą.

hn-1 i przyjmijmy, że one

h-\-n—1), a zatrzymując

Weźmy ogólniej n liczb 7^c, h z dzielenia przez n dają reszty różne między sobą. Reszty te muszą być zatem znowu liczbami 0, 1, 2, ...., n—1 w pewnym porządku, a z tego powodu można będzie — nadając znaczkowd s po porządku wartości h₀, 7&1? ...., An_ 1 — dostać wszystkie różne wartości pierwiastka co. Gauss nazywa system liczb h₀₁ li...., 7i„_ 1 całkowitym systemem reszt mod. n, (takim systemem był w szczególności szereg liczb h, h-fi tę nazwę powiemy:

V. Aby dostać wszystkie różne toartości pierwiastka co, potrzeba iv (3') iv jego trzecim czynniku lisn za s podstawiać ivszystkie liczby

dowolnego całkowitego systemu reszt mod. n.

Pćl. 4. Całkowitym systemem reszt mod. 5 będzie szereg liczb postaci :

[5 7"o + 0, 5 -j- 1, B + 2 , B k?j + 3 , B 7r₄ + 4], a więc n. p.:

[B, 16 , 12 , 23 , 4], albo [IB , 1, 22 , 3 , 14] i t. p.

Lecz w naszych rozumowaniach pominęliśmy milcząco jedną okoliczność. Oto dochodząc do formy (3') położyliśmy a-\-bi=r. lę. Lecz ip zastąpić tu można przez yj+2kn (k dodatnie lub ujemne, ale całkowite), a wtedy zapytać się trzeba czy z tego powodu nie dostaniemy teraz nowych jeszcze pierwiastków co?

Otóż tego obawiać się nie ma potrzeby. Używając bowiem yj-j-27cyr zamiast dostajemy z (3'):

n

co — \/r .1^ . I2 (£+s)

n    n

a 7£ + s przy s=0, 1, ...., n—1 okazuje się szeregiem n liczb po sobie następujących.

n

Pisząc (6) w postaci co = Vr. L/,+2    • I2

(6)

5 — 0, 1, 2

n—1.

S TC

mamy twierdzenie:

I2

VI. Jakikolwiek nty pierwiastek danej liczby (aĄ-bi) mnożony przez s = 0. 1. 2....., n—1 daje wszystkie pierwiastki nte tej liczby.

n

że Vr. 1

Nadmieniamy wreszcie

(a więc s=0) nazywamy

\/ a-\-b i.

Pd. 5. Rozwiązać równanie — — A , gdzie A jest liczbą rzeczywistą

dodatnią.

główną

albo arytmetyczną wartością pierwiastka

Kładąc — A = A . \n dostajemy :

w = y/ — A = \/Ll .Lr .12

S 71

n — 1.

Pd. 6. Gdy a + b i = 16 - 16 y/3 . i czyli = 32

wagi, źe ~=eos —

5 _

\/ a + b i =

'ir 'J ■ t0

z u-

5 r.

V*

sin

5 ju

"3

— mamy:

2An .12

sn

ś — 0. 1,2, 3, 4, gdzie ln

i ,V». z+—'-

23. Algebraiczna postać pierwiastka przy n — 2q. Algebraiczna postać dająca przybliżenie przy dowolneui n. W szczególności zajmijmy się równaniem:

(1)

o)²=a-\-bi.

żymy, dostajemy <n = VV . 1^ . I2

Z niego, gdy, jak przody, a Jrbi = r(cos/ipJr isinip), Polesi 0, 1, a źe 1₀ = + 1, 1*=—1

więc mamy w = + VV . 1

Lecz prócz tej formy, zawierającej funkcye trygonometryczne, możemy dostać jeszcze inną, algebraiczną formę.

Gdy bowiem ma być (O—aĄ-fii, to mamy:

{aJr^i)²=aĄ-bi, czyli a²—/?²-t-2 afti=a-\-bi {a) a²—P=a

Z drugiej strony równe liczby (2) muszą posiadać jednakową bezwzględną wartość, a to znaczy, że:

a²-f-/?²= V/a²-j- b².

Z równań (a) i (c) dostajemy dalej :

a + Va²-\- b²

(2)

(<0

a²

a -\-Va2j\- b²

(6)    2 ap-=b.

— a+ V/ a²+ ó²

a więc:

a stąd :

— a-f- V a²Ą- b²

gdzie wyrazy pierwiastkowe są liczbami rzeczywistemu Tn jest ^ = +1 lub —1, e₂ również ==+l

-1

a w jakiem

z tych znaczeń ich nżyó, trzeba dopiero wyrozumowaó. Do tego posłuży związek (6), a ten wskazuje :

1°. Grdy b^> O, to a, /? mają być jednakowego znaku, i wtedy mamy jeden pierwiastek co z ^ = + 1, e₂=-\-l, drugi zaś z £₁ —— 1,

*2 = — 1:

II⁰. Grdy b<i 0, to a, /? mają być znaków przeciwnych i wtedy mamy jeden pierwiastek co z = -f-1, e₂ = — 1, drugi zaś z £i= — 1,

£ =-pl.

III⁰. Grdy b =0, redukuje się (3) do (u=f'₁V/a, ^ = + 1. Algebraiczne rozwiązanie równania (1) jest więc w zupełności

gotowe.

Naznaczmy dwa pierwiastki — bez względu, czy one do wypadku Ig0, IIg0 lub IIIg0 należą — przez Qi, *0₂, to możemy teraz, posuwając się o krok dalej, rozważyć równanie :

(4)

oj⁴=a-f b i.

Połóżmy tu co²=co], to mamy teraz równanie coi² = aĄ-bi₁ którego dwa pierwiastki nazwijmy coi=Qlf coi—Q₂. Lecz wracając do oo — dostajemy stąd dwa równania: co²=Qi, co²=Q2: które znowu algebraicznie rozwiązać możemy. Każde z nich daje dwa algebraicznie wyrażone pierwiastki. One razem dają cztery pierwiastki równania (4) w formach algebraicznych. Przy tern zauważymy, że formy te tylko drugie pierwiastkowania zawierać w sobie będą.

Pd. 1. Przeprowadzić całkowicie rachunek, dający 4 pierwiastki algebraiczne równania (4).

Pd. 2. Rozwiązać algebraicznie równania : co² = 3 -f- 2 i , w² — 5 — 7 i, to⁴ = *, w⁴ =— i, o)⁴;=-j-7, ro⁴ =— 7, w⁴=l + *.

Analogicznie postępując z równaniem co$=a-\-bi, dalej z równaniem coiG=a-\-bi i t. d. dojdziemy wreszcie do ogólnego wniosku:

I.    Każde równanie con^=a-\-bi^ którego n ma postać 2? daje się rozwiązać algebraicznie. W jego n pierwiastkach zawierają, się tylko drugie pierwiastkowania, które po kolei wykonać należy.

Dalej pokażemy:    n

II.    Gdy n nie jest =2⁹, a mamy wartości co = Va+ &i obliczyć, to możemy je w dowolne m przybliżeni u algebraicznie przedstawić formami zawierającemi wyłącznie drugie pierwiastkowania.

Obierzmy bowiem bardzo duże g, to możemy znaleść zawsze taką całkowitą dodatnią liczbę t₁ że będzie ć/2?<C l/w <C (tf + l)/2b Wtedy t/2q i (t-\-l)/2? różnią się nieskończenie mało od l/w, (o ilość

< 1/2^), a gdy w co—rnl^. I2

s=0, 1, 2

n—1 zamiast

użyjemy

(albo

- ~j~ ~^) dostaniemy w przybliżeniu:

ĆJ *

co=r2?l

• 3-2

tns^ \r2qly

2 <7    2?

• 3-2

1‘

7TS I 2? -*

s=0, 1, 2,

n—1.

—ty 2?

Formy te dają żądane, algebraiczne, przybliżone rozwiązania.

24. Pierwiastek njednostki +1. Pierwotne pierwiastki

jednostki. Bardzo ważne i częste w zastosowaniach są tak zwane wte pierwiastki jednostki t. j. liczby w, spełniające równanie con — l. Są one <y = l2

S TC 1

5=0, 1, .

n — 1. Gdy n jest parzyste

— 2 m, a położymy: 5 =—(m—1), .. dwa jedyne |iierwiastki rzeczywiste, a to co = + l dla s = 0 i co— — 1 dla s = m. Inne pierwiastki podzielą się widocznie na pary sprzężonych pierwiastków.

Gdy n nieparzyste = 2m1, a położymy: s——m, m, to mamy tylko jeden rzeczywisty pierwiastek w=-|-l przy 5=0. Inne pierwiastki podzielą się znowu na pary pierwiastków sprzężonych.

—1. 0. 1. ...

to mamy

-1, 0,

1. ..

W obydwóch razach mieszczą się na płaszczyźnie liczbowej punkta przedstawiające owe pierwiastki (punkta pierwiastkowe) na okręgu koła o promieniu 1 ze środkiem w punkcie początkowym i są wierzchołkami zwykłego , niekrzyżu-jącego się umiarowego n boku.

n—1 i na-

-r,.    , .    2sn , . . 2sn

Bisząc wyraźnie co = cos——j

2 TC

znaczając pierwiastek z 5=1 t. j. cos-—-\-isin — jirzez £j, widzimy, że pierwiastki wszystkie możemy także przedstawić w postaci co=si% 5 = 0, 1, 2, ...., n—1 [art. 21, (m)]. Istnieje zatem jeden taki pierwiastek, którego potęgi dają wszystkie pozostałe, ą pierwsze pytanie, które się tu nasuwa, jest: czy inny pierwiastek może mieć analogiczną własność?

Weźmyż pierwiastek £i—l2i7t pod uwagę.

1°. Przyjmijmy, że l, n nie są pierwsze względem siebie. Ułamek Ijn po skróceniu ma postać X\v, gdzie już ź, v są pierwsze względem siebie, a sam pierwiastek ą =    . Z potęg tego pier-

-71

V

wiastka są — jak to zaraz udowodnimy — tylko potęgi:

e*°, Ci¹, O²,

między sobą różne. Wyraźnie mają one postać I2xa

V

v— 1, a gdy szereg liczb i.O, i.l, ...., Z(v—1) przez v podzielimy, otrzymamy — (podobnie postępując, jak w art. 22. str. 61.) — reszty s₀, 51? ..

Teorya funkcyj.

(a)

£iv

-1

0=0. 1. 2

5„„ 1 wszystkie między sobą

różne. Jest ich dokładnie v

a wszystkie są    przedstawiają

^—1 w pewnym porządku. Same

więc szereg liczb 0, 1, .....

liczby Xo = X.0, X.l, ...., i 0—1) tworzą całkowity system reszt mod. v, a nim — jak to już wiemy — wyczerpujemy wszystkie różne między sobą wartości liczby    Stąd wynika: Potęgi (a) są tylko częścią pierwiastków (v pierwiastkami) równania o>w=l, a wszystkimi pierwiastkami równania eov=l. Nie jest więc możliwe potęgowaniem takiego pierwiastka dostać wszystkie nte pierwiastki jednostki.

II⁰. Przyjmijmy przeciwnie, że l jest pierwsze względem n. Wtedy przeprowadzając tu takie rozumowanie, jak o liczbach X, v, dojdziemy do przekonania, że l. 0, 1.1, 1.2, ... witym systemem reszt mod. n i że więc potęgi

cp-¹

l(n—1) jest całko-

(b)

Ą°,

przedstawiają wszystkie różne między sobą pierwiastki równania 0)n=l. Każdy taki pierwiastek et, w którym l jest pierwszem względem n, nazwiemy pierwotnym pierwiastkiem równania con=l, albo pierwotnym wtym pierwiastkiem jednostki, i powiemy:

2, .

I.    Z każdego pierwiastka pierwotnego podnosząc go do potęg 0, 1, n— 1 dostajemy wszystkie pierwiastki równania con—1=0.

Zwykle ilość liczb pierwszych do n i mniejszych od n naznaczają przez (pin) [art. 2.], a stąd wynika:

II.    Równanie o/¹—-1=0 ma dokładnie <p(n) różnych między sobą

pierwotnych pierwiastków. Róicnanie con=1 o wykładniku n bezwzględnie pierwszym, ma dokładnie (n—1) pierwotnych pierwiastków.

Ponieważ w pierwotnym pierwiastku eż=l2z ułamek l\n skró

cić się nie daje, więc stąd wynika, że taki pierwiastek nie jest równocześnie pierwiastkiem żadnego równania cov —1=0 niższego stopnia; ale i naodwrót wnioskować można na pewno:

III. Każdy pierwiastek e% równania (on—1=0 niebędący pierwiastkiem równania niższego stopnia cov—1=0 jest pierwotnym.

Gdy Ei nie jest pierwotnym pierwiastkiem równania con—1=0 to Ei=I2Z , a X, v są pierwsze względem siebie. Z tego powodu

jest Ei pierwotnym pierwiastkiem równania of—1=0. To wyrazimy w twierdzeniu:

IV. Każdy niepierwotny pierwiastek równania ojn—1=0 jest pierwotnym pierwiastkiem równania niższego stopnia of—1=0, gdzie v jest podzielnikiem wykładnika n.

Z tegoto właśnie powodu dostaliśmy w szeregu (a) wszystkie pierwiastki równania cov—1=0.

Z dwóch ostatnich twierdzeń wynika :

Y. Każdy dowolny pierwiastelc równania oon—1 = 0 jest albo jego pierwotnym pierwiastkiem albo jest koniecznie pierwotnym pierwiastkiem równania of—1 = 0, gdzie v jest podzielnikiem wykładnika n. Innych pierwiastków równanie nie posiada.

Niech wykładnik n w równaniu con—1=0 ma podzielniki 1, d₂i d₃, ...., dq_i, n i niech to będą wszystkie podzielniki tej liczby w, a przy tern niech będzie 1 <C d₂<ż d₃<Z.... <C dq-,\ «<n.

Zauważmy równania:

(q) con—1=0

• •>

(1) w—1=0, (2) a)d*—1=0, (3) (o**—1=0, .. i w każdem z nich wyznaczmy pierwotne pierwiastki. Równanie (1) ma pierwiastek <u=l i ten jest zarazem jego pierwotnym pierwiastkiem. Pierwotne pierwiastki równania (2) — a jest ich cp{d.l) — są wszystkie różne od 1. Takież pierwiastki równania (3) — a jest ich cp(d₃) — są znowu różne od pierwiastków równań (1) i (2). Podobnie pierwotne pierwiastki równania (4) — a jest ich <p(c?₄) — nie są pierwiastkami równań (1), (2), (3) i t. d. Wszystkie zatem tak wyznaczone pierwiastki są różne między sobą i są albo pierwotnymi pierwiastkami danego równania con—1=0, albo takimiż pierwiastkami wszystkich równań (ov—1=0, gdzieś jest podzielnikiem liczby n. Stąd według twierdzenia V. wynika.

YI. Pierwotne pierwiastki samego równania con—1=0, i takież pierwiastki icszystkich równań cov—1=0, gdzie v(=l, d₂, d:,n) oznacza podzielniki liczby n, dają razem wszystkie różne między sobą nte pierwiastki jednostki, stąd także wnosimy, że:

l + (p(d₂) + (p(d₃) + ...-\-(p (dq-i) + q)(ń)=n, co jest wyrazem twierdzenia z teoryi liczb.

Pd. 1. Wyznaczyć wszystkie pierwotne pierwiastki równań w⁷—1 = 0, “¹⁸-1=0, <o¹⁵-l = 0.

Pd. 2. Okazać: Gdy z jest jednym z pierwotnych, pierwiastków równania ton—1=0, to e°,e¹,..., zn~l są punktami pewnego umiarowego w —boku, którego kształt zależy od obranego e.

Pd. 3. Okazać: Gdy z jest jednym z pierwotnych pierwiastków równania w*—1 = 0, to w szeregu e°, e¹, e²,..., e”~¹ można zamiast wykładników 0, 1,2, n—1 użyć wykładników k₀,    Tc2l..., kn-1 byleby one tworzyły całkowity system

reszt inocl. n. (Trzeba w tym celu dowieść, że szereg liczb 7r₀7, lej, ..., Jcn—i.l który tu w miejsce 0.7, 1.7,... (w—1).7 występuje, jest całkowitym systemem reszt mod. n.)

Pd. 4. Okazać: Gdy e jest jednym z pierwotnych pierwiastków równania

we⁰, we¹, we²,,.., we'1 1 są wszystkimi pierwiastkami równania u>n—1 = 0.

c"-¹,

25. Dwa twierdzenia o pierwotnych pierwiastkach. Przedstawiwszy wszystkie nte pierwiastki jednostki szeregiem £°, e możemy bardzo łatwo dowieść twierdzeń, które nieraz później ważną, odegrają rolę.

I. Suma qmtych potęg wszystkich n pierwiastków jest = n albo = 0, według tego czy q jest (całkowitą) wielokrotnością liczby w, lub nią nie jest.

Kładąc e0,9-f-f¹widzimy odrazu, że — przy q= zb k.n{k całkowite) jest sq=n, gdyż wtedy każde

¹

Co się tyczy liczb złożonych z n głównych jednostek, por. C. Weier-strass: „Zur Theorie der aus n Hciupteinheiten gehildeten complexen ZaJdenu.— Góttinger - Nachriclden. Rocznik 1884, str. 516 — 519. Por. także uwagi Schwarza w T. II. (str. 346—349) jego Gesammelte math. Abhandlungen.

²

Nazwę „charakterystyka” wprowadził A. Pringsheim w rozprawie, którą już przytoczyliśmy w Bozdziele I.

³

Introductio in Analysin infinitorum (1748), str. 120.

Co się tyczy bliższych , historycznych szczegółów wprowadzenia liczb złożonych (Argand , Moiyre, Euler, d’Alembert-, Gauss, Cauchy) por. rozprawę E. Baltzera „Ueh er die Einfuhrung der complejen Zalilena. Crelle J. T. 94. (1883) str. 87-92.

⁴

sin ncp=r sin ty.

Podnosząc do potęgi drugiej obie strony tycłi równań i dodając następnie stronami otrzymujemy Q2n=r⁴: a dalej :

(^±*"= + 1.

Gdy przeciwnie q nie jest wielokrotnością liczby n: to mamy:

s,=1 +' (£«)¹ + (£?)² + • • • + O⁵)”'¹=

un—l=0, a w = l2

S TC

s<»,jest dowolnym ntym pierwiastkiem jednostki, to

lecz 1— £?#=0, a 1 — e?n=0, a więc s₂ =0.

II. Iloczyn wszystkich n pierwiastków ntych jest = + 1 lub — 1 według tego, czy n jest nieparzyste czy parzyste.

•y (»-l)

= EZ    =

11 (»-1)», gdy £ •= 1 un Gdy

n

Mamy bowiem e°. e¹. e²... P¹⁻¹

n jest nieparzyste, to l i (n—1) są równocześnie parzyste, a iloczyn ma wartość = + l. W razie parzystego n są l i (n—1) równocześnie nieparzyste , a więc iloczyn =

Lecz także i z równania l₂.o.». bs-.l2(»—i) do tego samego wniosku.    n n n

26. Przypadki algebraicznych rozwiązań równania to"—1=0. Geometryczne konstrukcyc wykonalne za pomocą cyrkla i linii.

Równanie coM—1=0 będzie miało — gdy w—2?— podług ogólnych rozważań art. 23. — pierwiastki które algebraicznie wyrazić będzie można, które tylko drugie pierwiastkowania zawierać w sobie będą. Lecz tu — jak to Gauss pokazał — dołączają się jeszcze równania cow—1=0 z takimi wykładnikami n, które mają postać 22<?1 + 1 i są przy tern bezwzględnie pierwszemi liczbami. Takiemi liczbami są n.p. 2°+l = l, 2¹ + 1=3, 2² + l=5, 2⁴+l = 17, 2⁸+l=257. Poszukiwania ogólne w tym kierunku należą jednak do teoryi liczb i algebry i nie leżą w zakresie tej książki¹).

1.

(n—1) n

dochodzimy

0 Por. pod tym względem dzieło Bach mann a „l)ie Lelire von der Kreis-theilung“.... 1872.

Rozbierzmy przypadki qx =0 i = 1, w których mamy równania w³—1=0, w 5— 1 = 0.

A. Ze związku w³—1=0 dostajemy to = l2«.?r s —0, 1, 2, a więc to = l,

w = cos

2tc 1    Y/3

+tsin =--+~r

2 TC

4 tc . . 4 tc 1    y/3

»=M8g-+,«»x    =    -¥-    —

i.

B. Z równania w⁵—1 = 0 dostajemy:

2 stc

co — COS

-Ą-isin ²~, 8 = 0, 1, 2, 3, 4.

2 TC

Połóżmy -g=a, to mamy coś a >• 0, św a 0, a, tg a jest największą między 2stc

dodatniemi tg—^~. Dalej cos a-\-i sin a będzie pierwotnym pierwiastkiem i spełni (jak każdy inny pierwiastek) niezawodnie równanie:

1 = (cos a -j- i sin a)⁵= cos⁵ a -j- 5 cos⁴ a .i . sin a — 10 cos³ a . sin² a — 10 cos² a . i sin³ a + 5 cos a sw⁴ a -j- i sńi⁵ a.

Stąd wynika , że 5 cosi asin a — 10 cos² a . Sin³ a -j- sin⁵ a — 0 czyli:

5 — 10 tg² a + tgi a = 0

Rozwiązaniami tego równania są tg a = + \/b + 2[/b. Z nich największem,

dodatniem rozwiązaniem jest żt/a = +V/s + 2\/S. Ta wartość przedstawia za-2tc    2 7e    . 2ju -    .    , ,

tern tg ^ a że ma być cos -g- > 0, sm -g- > 0, a więc położymy :

cos a

-i+V/b

V/l + &-j-2 y/5    Y/5 + 1

siw a =

\/B + 2V/B _ V/10+2v/5

Y/5 + 1

i dostajemy pierwotny pierwiastek:

_ i + Y/5 + i Vl 0 + 2 \/5

Wszystkie pierwiastki równania to⁵ —1 = 0 dadzą potęgi h = 0, 1, 2, 3, 4.

Oznaczmy liczby bezwzględnie pierwsze postaci 229i + 1 literą p a liczby takież, różne między sobą literami pi , p₂,.. wodnimy.

to ndo-

I.    Nietylko równania con — 1=0 z wykładnikiem, n=2q, lub n=p, ale także z wykładnikiem n — px p₂...2? (gdzie q także zerem być może) dadzą się algebraicznie rozwiązać a do ich rozwiązań wejdą tylko drugie pierwiastkowania.

To okażemy, dowodząc takiego twierdzenia:

II.    Gdy n=nx .w₂, gdzie nx, w₂ są liczby względem siebie pierwsze i gdy równania o)Ui —1=0, con*—1=0 mają pierwiastki:

0)Si—\'2,sini ^1 “O? 1, 2,..., Ux 1, (Os₂ —12 s₂n , s₂ 0, 1, 2,..., w₂ 1, to

»»

”1

iloczyny coSl.coS2, których — kombinując sx =0, 1,..., nx — 1 z s₂=0, 1,

2,..., w₂ —1 — dostajemy dokładnie n, są wszystkimi (między sobą różnymi) pierwiastkami równania o)n—1=0.

Gdy dowiedziemy, że w iloczynach a)Si. ćy4ł==l2(n₁«I + Wj*l)w liczby ni s₂-\-n₂ si stanowią całkowity system reszt mod. w, to i twierdzenie

II. będzie udowodnione. Załóźmyż w tym celu, że między n liczbami nxs₂+n,sx znaleść można dwie takie nxs₂Ą-n₂sx, wis2/+w2siS które z dzielenia przez n dają równe najmniejsze dodatnie reszty. Mamy wtedy :

nis₂-\-n₂s₁ =kn+ o, nis‘₂-\-n₂s\ ^k‘nĄ-0 (k,h‘ mogą mieć wartość 0 lub 1), a odejmując te związki od siebie, dostajemy:

(a)

nx (s.₂—.s\)+n₂ (si — s\) = (k—k‘) n.

{k—k‘ może mieć wartości 0,+ 1, —1). Stąd: nx    (k—kl)n—(si—s\)

n₂

S2 S<2

Liczby , w₂ są względem siebie pierwsze, a | s₂—s'₂\<Zn₂.

To równanie wskazywałoby zatem, że ułamek — można przedsta-

n₂

s\), mielibyśmy n₂(s₁—s\)=(k— k¹) n,

wić innym ułamkiem o mianowniku <Zn₂. Lecz to jest niemożliwe. W razie s₂=s'₂, (a więc

co także jest niemożliwe.

Założenie przeto (a) jest fałszywe; liczby nxs₂-\-n₂sx są rzeczywiście całkowitym systemem reszt mod. n, a twierdzenie II. mamy udowodnione.

Łatwo teraz to twierdzenie uogólnić, przyjmując n=ni.n₂...nn gdzie nx, w₂,.., nr są pierwsze względem siebie. Przyjmijmy bowiem, że liczby:

s₁ni -\-s₂n₂ + sr_iwr_i, (Sj =0, 1,..., nx — l,..., Sr-^O, 1, 2... wr_ i—1) okazały się już całkowitym systemem reszt mod.(%w₂...wr_i). Te liczby można zatem zastąpić liczbami 0, 1, 2,..., (nxn₂...nr — \)— 1, a gdy położymy (nx.n₂...nr — \)=mx1 nr=m₂, to iloczyny:

a₂ — 0,1,.., m₁— 1 a₂= 0,1m₂— 1

będą wszystkimi, między sobą różnymi pierwiastkami równania (on— 1=0 (według tw. II.). Lecz liczby ax zastąpić tu można na-powrót liczbami s₁n₁ +s₂ n₂ + .. + sr_i nr-i, sx =0, l,...nx— 1,.

=0, ly..nr—\ — 1, a stąd wynika , że iloczyny

U>o 1 • (Oa2—l2ot n • 12

Sr— 1 =

12

ł-2s₂n ••• I2

srn ,

»i

r>₂

nr

są wszystkimi różnymi między sobą pierwiastkami równania

(on—1=0*). Twierdzenie II. mamy zatem uogólnione, a przez to i twierdzenie I. już dowiedziono (p1? p₂,..., 2? są, właśnie liczbami względem siebie pierwszemi).

Pd. 1. Rozwiązać algebraicznie równanie w¹⁰— 1 = 0.

Pd. 2. Jaldemi liczbami (algebraicznemi) wyrażają się wierzchołki regularnego sześcioboku, ośmioboku i dwudziestoboku ?

Pd. 3. Rozwiązać algebraicznie równanie w¹⁵—1 = 0, (15 = 3.5 =Pi-Pi)-

Elementarna geometrya uczy w bardzo prosty sposób przedstawić średnio geometryczną proporcyonalną x określoną proporcyą x:a = 1 :x albo równaniem x = Y/a, odcinkiem linii prostej za pomocą liniału i cyrkla. Każde więc algebraiczne, nieurojone wyrażenie, które zawiera tylko drugie pierwiastkowania z powtórzeniem lub po porządku (n. p. liniału i cyrkla pewnym odcinkiem linii prostej — przy obranej jednostce — całkiem dokładnie przedstawić.

W równaniach o>» — 1 = 0, które algebraicznie rozwiązać można, każdy pierwiastek cos a -j- i sin a ma właśnie cos ot, sina. takiej postaci. W tych równaniach jest n — 2q albo =2?1 -j-l = p, albo =PiPz-..2q. Stąd wnosimy: Każdy umiarowy wieloboje, którego ilością boków jest n = 2'!, 2?,+ l = p albo p^.p^.. .2qda się wykreślić za użyciem jedynie liniału i cyrkla, albo: koło (o promieniu = 1) da się za pomocą liniału i cyrkla podzielić na n równych części, gdy n = 2q, 2?1-j-l=jp, lub =px p₂ ... 2q.

27. Uwaga o ogólnej potędze (a + b i)a+Pl. Po tych rozważaniach możemy już każdą potęgę (a+biy, gdzie [z jest rzeczywistą, wymierną liczbą, całkiem dokładnie określić. Grdy fz=plq i jest ułamkiem w najprostszej swej formie, to (a+biy jest q—wartościowe. Jeżeli fz jest niewymierną liczbą, a do jej idealnej wartości zbliżamy się szeregiem liczb wymiernych Hz, J=0, 1, 2 (a-\-b określi się granicą, do której zdążają wielo wartościowe wyrażenia:

Ma + + ya

t. p.) da się także za pomocą

ri

to

(aĄ-b i)

Hz

J—0, 1, 2, 3,....

Ponieważ Hz^fzz/g* są ułamkami właściwymi, lub niewłaściwymi o mianownikach (i licznikach) wciąż rosnących, więc stąd wnosić wypada, że wyrażenie (aĄ-biy o niewymiernem (z jest nieskończenie wi e 1 o w ar t o ś c i o w e.

Lecz mimo tego nie jesteśmy w stanie za pomocą zdobytych dotąd środków określić potęgi:

(<a-\-b i)

Przyjmując bowiem, że i tu, w zakresie liczb urojonych, byłby dozwolony związek:

*bPod względem pierwiastkowania liczb urojonych por. także: "Wł. Zajączkowski „Zasady Algebry wyższej" (Lwów 1884) str. 14—23.

(a + b i)a+^    (a ~j- b i)a (a + b if¹,

(a)

gdy już środki na to pozwolą — zapełnimy tę lukę

to mamy w tym związku czynnik (aĄ-b , który się usuwa z pod wszelkiej arytmetycznej interpretacyi. To jest punkt, w którym arytmetyka przestaje dopisywać, zdając określenie naznaczonej potęgi (a) innej gałęzi matematyki, zwanej teoryą funkcyi. Później

przechodząc teraz do szeregów i iloczynów nieskończonych, złożonych z liczb urojonych.

28. Szeregi nieskończone o dodajnikacli złożonych. Ich warunkowa i bezwarunkowa zbieżność. Grdy w szeregu:

s=«₁+a₂+«₃+.....,

w którym a^=a^+b^i, a lim\aj\=0, położymy:

OO    00

2a^=P, 2b^=Q,

Z — 1

a szeregi P, Q okażą się w wskazanym porządku swych dodajni-ków zbieżne, to kładziemy s=P-\-Qi i mówimy, że szereg s jest w swym porządku dodajników zbieżnym.

jest zbieżną, a że

Grdy sumy 2a^₁ 2bx są absolutnie i bezwarunkowo zbieżne, to mówimy, że i szereg s jest absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym. Wtedy także suma

\az\ + \bz\>Y aP+bP=\a^\, Z=l, 2, 3, .... więc tern samem jest szereg 2\a^\ zbieżnym. To znaczy:

I. Gdy szereg s jest absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym, w tem znaczeniu, że szeregi P\ Q są, w ten sposób zbieżne, to wtedy suma bezwzględnych wartości dodajników szeregu s jest zbieżną.

Nazwa absolutnej i bezwarunkowej zbieżności przenosi się tu z szeregów P, Q na szereg s, a że te — jeżeli nie są warunkowo zbieżne — są zawsze równocześnie i absolutnie i bezwarunkowo zbieżne [art. 8.] więc i o szeregu s to samo powiedzieć trzeba.

Przyjmijmy teraz — nie wchodząc w zbieżność szeregów P, Q — że mamy sumę 2\a^\ zbieżną.

Połóżmy \aĄ — \ax\. j^j, to    jest ułamkiem właściwym

dodatnim, albo jednością, a

2\a^\=2\a^\e^.

Lecz suma po prawej stronie jest niezawodnie zbieżną, a stąd wynika, że i 2\aĄ jest zbieżną. Analogicznie można dowieść, że 2\bx\ jest zbieżną. Ze zbieżności tych dwóch sum wypływa, że szeregi P, Q są bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżne i że tem samem w ten sam. sposób jest szereg s zbieżny. Mamy więc i odwrócenie twierdzenia I.:

II. Gdy suma bezwzględnych wartości dodajnikóio szeregu s jest zbieżną, to szereg s jest bezicarunkowo (i absolutnie) zbieżny.

Zbieżność sumy 2\ax\ jest więc nie tylko koniecznym, ale i dostatecznym warunkiem bczwarunkoiucj zbieżności szeregu s.

Pd. 1. W jaki sposób są zbieżne szeregi

( 2~ "ł" 3"72 ') ⁺ (22 ⁺ 273ł) ⁺ ('2* ⁺ 5A *) ⁺ ‘'

(lT ⁺ ¥ *) + (i +    ») + (|i + -p *) +.....

i jakie wartości mają w nieb P i Q?

znaleść Q w ten

Pd. 2. Gdy P — rx cos <p + r₂ cos 2 o -j- r₃ cos 3 y -}-.....,

sposób, aby w P-j- = była suma S|    | = rt-f-r₂ -f- r₃-{-

Pd. 3. Przy jakich rzeczywistych a będzie szereg absolutnie zbieżnym.

Za obraniem dowolnie małej dodatniej ilości ó możemy przy dostatecznie dużem n ze zbieżnego szeregu samych dodatnich wyrazów |«₁| + |«₂|'l⁻l a3 ! + •••• wyłączyć taką resztę, że ta reszta będzie |a»|-f|a»+i| + |aB+a|4-—. <ó [art. 5., tw. III.].

Lecz |«n+fln+i+ ...•! 5^ |flnl-Hfln₊il + «‘.» a stącL wynika, że

n + t

JBn=|an+aB+i-f-....|.<.ó, i że także |2«^|<d, t= 1, 2, 3, .....

n

To znaczy:

— jest statecznie

III. Z szeregu s=2a^ absolutnie zbieżnego można za obraniem dostatecznie malej dodatniej ilości ó przy dostatecznie dużem n wydzielić resztę anĄ-an+1 + .... taką, że jej bezwzględna icartość Rn będzie mniejszą od ó, i że — przy dowolnem t= 1, 2, 3,

n+t

\2ax\<ó.

n

Lecz odwrotnie z nierówności Rn <j ó nie można wnioskować o absolutnej zbieżności szeregu s. Gdy bowiem szereg s jest zbieżny warunkowo w ten sposób, że szeregi P, Q są warunkowo zbieżne, a są skończone w wskazanym porządku swych dodajników

n+t

przez 2az, 2b^, to także i tu będzie niezawodnie Rn <jó i \2a^\ <ó.

n

Możemy więc tylko powiedzieć:

IY. Gdy w szeregu s okazuje się Pn<ó, lub przy dowolnem t=1,

n+t

2. 3

\2ax\ < 3, to szereg w porządku swych dodajników wska-

n

zanym przez 2 a,z jest zbieżnym.

Przeciwnie — gdy zamiast Bn weźmiemy R‘n=\an\Ą-\an+\\Ą-.... pod uwagę, to możemy stanowczo twierdzić:

Y. Gdy w szeregu s okazuje się Ii‘n <C ó, to szereg s jest absolutnie (i bezwarunkowo) zbieżnym; albo: gdy iv szeregu s okazują się sumy

n-f t

2J\aj\ przy doioolnie rosnącem t zawsze skończone, to szereg jest abso-

Z—n

lutnie (i bezwarunkowo) zbieżnym. Przy dostatecznie dużem n będą te sumy mniejsze od dowolnie małej dodatniej ilości ó. [art. 5., tw. IX.].

Do tych uwag o szeregach liczb złożonych dołączamy jeszcze twierdzenie, które zaraz w następnym art. zastosujemy. Jest ono takie:

e¹ mają ive

VI. Gdy iv szeregu s=2a^ są a^Ea^pćb^i wszystkich dodajnikach ustalone znaczenie +1 lub —1 (e=e‘, lub e 4~- e¹), to szereg s jest bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżnym, albo rozbieżnym.

Prawdziwość tego wynika stąd, że szeregi P—EĆSa^ , Q=E‘Xb^ mogą być tylko albo bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżne, albo — jeden z nich, lub obydwa — rozbieżne, a nigdy warunkowo zbieżne być nie mogą.

Zauważmy wreszcie m szeregów absolutnie zbieżnych 5i = [«!! + 0!i2+ •••], s₂= [a₂₁ + 05₂₂ -h...] , ..., Sm = [am\Ar C5)n2+

Ich suma jest oczywiście znowu absolutnie zbieżnym szeregiem, a stąd wynika:

VII. W sumie skończonej liczby absolutnie zbieżnych szeregów można dodajniki dowolnie grupować lub grupami w sumy łączyć.

Uwaga. W zbieżnych szeregach, jakimi dotąd zajmowaliśmy się, mieliśmy zawsze lim |    | — 0. Przyjmijmy teraz lim \    | = p > 0. Wtedy w s = PĄ-Qi

możemy mieć:

1°. P lub Q rozbieżne przy wahającej zbieżności szeregu Q lub P.

2°. P i Q równocześnie rozbieżne

3°. P i Q równocześnie wahaj ąco zbieżne.

Szereg S jest więc: albo rozbieżny, albo — najwyżej — wahająco zbieżny.

29. Iloczyny nieskończone o czynnikach złożonych. Różne rodzaje ich zbieżności. Przejdźmy do nieskończonego iloczynu

(a)

P—ai.a₂.a₃....

liczb złożonych ciz—aiĄ-btf,. Przyjmijmy, że ten iloczyn — w porządku (a) swoich czynników obliczony ma się zbliżyć do skończonej wartości (P), a żaden z jego czynników a% nie jest zerem.

Pisząc ostatnie równanie w postaci |aB+i—l| = |^n+i| przychodzimy do wniosku:

Gdy iloczyn P ma ł>yć zbieżnym, koniecznem jest, aby, od dostatecznie dużego n począwszy, jego czynniki an+r bezwzględną wartością dowolnie mało różniły się od jednostki.

to te-

Przedstawmyż wszystkie czynniki az w postaci 1 Ą-Cz raz — podobnie, jak w zakresie liczb rzeczywistych — szukać trzeba za dostatecznym warunkiem zbieżności iloczynu

P=II{lĄ-cz).

Z— i

W takim razie możemy — tworząc iloczyny Pn+r=al. a₁...an+r — przy dostatecznie dużem n dowolnie się przybliżyć wartościami do P i otrzymać nierówności:

I P-P

<C £ , T 0, 1,

w których e dowolnie małą dodatnią jest ilością. Dzieląc przez |Pn+r|, a jest to dozwolone wskutek wszystkich 0, mamy:

n+r

1 < e‘.

n+ r

Połóżmyż względnej wartości <V, to mamy:

l + dV, albo Pn+r

l = d‘

n+r

gdzie 6‘r jest urojoną ilością o bez-

-*■ n + r

Przy r—\ i r—0, mamy:

1 + dV

P(1 -j- dr).

Pn+\— P(l + ^i) j P» = P(l + d₀), Pn+\

a stąd :

Pn

®'n+1 — -i

l+ó

1+^0

gdzie gn+i jest ilością urojoną o nieskończenie małej bezwzględnej wartości.

Rozwijając ten iloczyn, mamy według praw arytmetyki P— 1 + ^ Cz 2 cz c^-\-....

Przenieśmy tu definicyę absolutnej i bezwarunkowej zbieżności iloczynu z art. 13®° i przeprowadźmy rozumowania (A) i (B) tego artykułu, to dojdziemy do wniosku:

I. Gdy w iloczynie P jest ŚEcz szeregiem bezwarunkowo (i absolutnie) zbieżnym, to iloczyn jest równocześnie absolutnie i bezwarunkowo zbieżny.

Potrzeba teraz i tu zbadać, o ile jedna zbieżność pociąga za sobą drugą.

Przyjmując, że P jest absolutnie zbieżnym, mamy:

n(l + \cz\)=l + 2\cz\ + ....,

a suma 2\cz\ jest tu zbieżną. Stąd wynika, że 2\cĄ jest bezwarunkowo zbieżną, a iloczyn P również w ten sposób zbieżnym.

To znaczy :

II. Absolutna zbieżność iloczynu pociąga za sobą zbieżność bez-luarunkową, a wtedy szereg ĆE\cz jest honiecznie zbieżnym.

Nim do odwrócenia tego twierdzenia przejdziemy, zbadajmy przedewszystkiem w jaki sposób zachowują się iloczyny

pi = n [1 + (£Pz+£‘flz*)]

o takich własnościach:

1.    pz, ąz, są w nich dodatnie liczby ;

2.    £ jest we wszystkich czynnikach bez wyjątku albo=+l, albo we wszystkich czynnikach bez wyjątku = — 1, a to samo odnieść trzeba i do e¹ :

3. Suma 2cz=2(£pz + £‘qzi) jest rozbieżną, a lim Pz = =lim ątr^r-O.

Połóżmy 1 + epz + £,ąz i=rz.l<pz, (lim rz= 1), to mamy

sin cpz = - —.

rz

Przy dostatecznie dużem X, n. p. dla X > l, mamy 1 + £P;l>0*) a więc i cos ^>>0, a sincpz pozostaje tego samego znaku. Z tego powodu można przyjąć, że:

7Z

albo 0<,cpz<^^, gdy £'= + 1

Tt

albo 0>cpz>— -g, gdy £'= — 1

a tak w pierwszym, jak drugim razie mamy

łuk | (pz j > —

^z

Z założonej rozbieżności szeregu 2cz wynika, że w nim jeden przynajmniej ze szeregów 2p;, jest rozbieżnym (art. 28, tw. YI). Przyjmijmyż nasamprzód, że ^ =-j-oo, a suma Spx jest skończoną , lub nieskończoną i rozważmy obok siebie szeregi:

cos (pz

1 P£Pz

rz

(a)

(P)

są wszystkie dodatnie, skończone i dążą do skończonej granicy —1, więc szereg^^ń jest rozbieżny

.,rz

(art. 11, tw. III), a wskutek warunku (a) i nierówności (/?) będzie

2(pz=-\-co , lub = —oo

Z tego — ponieważ P^^JJrz). ls    • h?z “ wynika, że

*) To zastrzeżenie potrzebne jest wtedy, gdy e=—1. a pz są początkowo >1.

Ponieważ r~

-i r-i

rr'<

iloczyn P₁ ma w tym razie charakterystykę nieoznaczoną :

1 -j-oo

że suma Hąz jest skończoną — wtedy

lub l_oo.

Przyjmijmy teraz suma ^px^ a z nią suma .2(1-\-spz) jest rozbieżną i=+co¹).

7T

Połóżmy w tym razie <Pz=-^ — (pl z, a więc:

1 + epz

rz

sin (p‘z

£‘ąz

rx

cos (p'z

to można tu założyć, że :

JT

dla X > l.

(y)

albo O <(p‘x<2i gdy £'= + 1

n    [

albo g <(p'x<n, gdy e¹——lj

Stąd wynika, że tu <p‘z> O i że łuk (p‘zj> ~~~~~

Postępując dalej taką samą drogą jak wyżej dojdziemy do 1 -\-epz

X>1.

wniosku, że ^

^ rz

+ 00

+ oo , czyli

^n = co

— GO

a to wskazuje, że iloczyn P₁ ma i w tym razie charakterystykę nieoznaczoną. Zbierając te uwagi, mamy twierdzenie:

III. Iloczyn Pi=II (l + c+), w którym Cz=£pz+£‘qz, a tak £, jak £' we wszystkich czynnikach ma znaczenie +1, lub —1, (£=£' lub £ + £')

1    w którym limpz=lim qx=0, a Scz jest rozbieżną, ma — bez względu na to, czy | Px | okaże się skończone lub nieskończone — charakterystykę nieoznaczoną.

Bozbieżność szeregu 23\cz\ w takim iloczynie wyklucza zbieżność jego najzupełniej. Iloczyn taki jest nieoznaczony²).

Co się tyczy tego, czy bezwzględna wartość

jest skończoną lub nieskończoną, to się o tem przekonamy, pisząc | Px \ w formie TI[1+(r^—1)] i badając zbieżność szeregu 2(^ — 1). Zadanie to można jeszcze tem ułatwić, że się zamiast |P₁| weźmie | Px|² = II [1 + (r^²—1)] i zbada się szereg

2    (»'+— 1). Do iloczynów nieoznaczonych należą w szczególności iloczyny postaci II(l + gr^t), 11(1 —i) o rozbieżnym szeregu IIq^.

Grdy teraz przyjmiemy, że w P₁ jest suma Sc^ = S(epz + £'⁽U i) zbieżną, to z tej uwagi, że taki szereg nie inaczej , jak tylko bezwarunkowo i absolutnie jest zbieżny, (art. 28. tw. VI.)? dochodzimy do wniosku:

IV. Iloczyn P₁ — jeżeli jest zbieżny — to jest równocześnie absolutnie i bezwarunkowo zbieżny.

Po tych uwagach możemy przejść do odwrócenia twier

dzenia II.

W iloczynie P=17 (1-j-ty), o którym przyjmiemy teraz, że jest bezwarunkowo zbieżnym, niech znajdują się czynniki postaci: 1-t- (pa + qaij =a‘a, l + { — pp — qpi) = b‘p, 1 + (Py — ty *) = CV> l + (— Pó + qó i)=d‘d.

Wskutek przyjętej bezwarunkowej zbieżności będzie także

n (a¹ a), n (b\s). n(cy). n (d'd) =p.

Lecz każdy z tych czterech iloczynów jest równocześnie i absolutnie i bezwarunkowo zbieżnym, a szeregi:

2\c'y\, S\d‘d

Sb¹

Pd. 1. W iloczynie U ^1 +-j) jest I P |² = Tl^l 4* a więc | Pt |² i | Pj j skończone.

Pd. 2. Zbadać iloczyny fT^l -j-    , !T ^1 -f

względnych wartości.

Pd. 3. Bezwzględna wartość iloczynu 11(1jest nieskończoną

gayż|p,l>=ii[i+(4 + _L + l)]

Pd. 4. Okazać, że bezwzględna wartość iloczynu TT (h

są

, a suma

V/r

^ pod względem

ich bez-

skończoną.

Vxf)jest

S\»'«

są zbieżne. Ich suma = S\cz\ jest zbieżną, a to znaczy, że iloczyn P jest i absolutnie zbieżny. Stąd twierdzenie:

Y. Bezwarunkowa zbieżność iloczynu P pociąga zawsze za sobą i absolutną jego zbieżność.

Tj, wszystkich powyższych twierdzeń wynika ostatecznie:

YI. Koniecznym i dostatecznym warunkiem zbieżności iloczynu P=II(lĄ-cI) jest zbieżność absolutna i beziearunkowa szeregu Sc z ■ Oba te rodzaje zbieżności występują w P zawsze równocześnie tak, że jedna pociąga za sobą drugą.

ROZDZIAŁ lit

Z teoryi mnogości.

30. Zmienna rzeczywista i zmienne rzeczywiste. Ograniczone i nieograniczone icli obszary. Miejsca i otoczenia. I. Wielkość rzeczywista x, która może przybierać wszystkie możliwe wartości od —go do +oo nazywa się zmienną, a cały zbiór wartości tej zmiennej zawarty między —oo, a + co nazywamy nieograniczonym obszarem (zakresem) tej zmiennej, albo nieograniczonym obszarem jednokrotnym. Naznaczamy go pisząc :

(«)

(#) = (— 00... + oo).

Całkowity zbiór systemów wartości (+, #₂,..., xn) jakie nadać można n zmiennym rzeczywistym xt, #₂,..., xn mogącym się zmieniać od —oo do + oo nazywamy w-krotnym, nieograniczonym obszarem, albo: nieograniczonym zakresem n zmiennych xi, x2r.., x„.

Naznaczamy go, pisząc

(#!,    xn) = ( — 00 ... + GO , — GO ... + 00    — GO ... + C0 )

Czasem rozważa się także ograniczone obszary zmiennych rzeczywistych. I tak: Całkowity zbiór wartości, jakie zmienna rzeczywista x przybierać może między skończonemi granicami a, b tworzy obszar ograniczony

(«')

(&)

(x) = (a...b)

tej zmiennej , (jednokrotny ograniczony obszar).

Wszelkie systemy wartości (xi7 x2y..₁ xn) wyjętych z ograniczonych obszarów xi=(a₁...bl)₇ x₂ — (a₂...b₂)y..₇ xn = {an...bn) tworzą ograniczony obszar n zmiennych rzeczywistych:

Xn)⁼⁼{P'\ ...&i, tt₂...&₂,..., (Xn,..bn)

0*1, ^2

(w-krotny ograniczony obszar).

Gdy w (b) jedna z granic a, & a w (&') niektóre — ale nie wszystkie — z granic ai7 a₂,.., an, bit l = — co to takie obszary uważać będziemy za ograniczone.

Pewien oznaczony system x₁=ci, x₂ = c2r.., xn = cn wyjęty z ograniczonego lub nieograniczonego obszaru n zmiennych xl, x₂,..., x„ nazywa się miejscem, albo punktem tego obszaru.

Takie miejsca znaczymy pisząc xi—ci7 x₂=c2r.., xn=cn albo (xi7x2y.., xn)=(ci: c₂,..., cn) albo (c1? c₂,..., cn); [w jednokrotnym obszarze piszemy x—ci, albo wprost (ćą)]. Gdy takie miejsce może się zmie^ niaó, to nazywamy je bieżącem albo zmiennem.

bn są = + oo , lub

II.

III.    Całkowity zbiór wartości zmiennych xi} x2r..i lezących w obszarze ograniczonym

(»!, X₂»„) = (<?! —    +(5'1} C₂ — Ó₂...C₂ f d'₂,..,Cn — ÓW...CM + Ó'„)

ón, ó‘n dowolnie małe, dodatnie są ilości, nazy-

gdzie d1? ó‘

wamy otoczeniem miejsca (ci: c₂,..., c„). W jednokrotnym obszarze piszemy (xi)=(ci—d^.. ^+<5^).

IV.    Gdy na prostej nieograniczonej obierzemy stały punkt 0 i założymy — zgodnie z art. 3.,— że (dodatni lub ujemny) odcinek x=QP, a raczej jego punkt końcowy P przedstawia liczbę x to powiemy: prosta nieograniczona ze wszystkimi swoimi punktami przedstawia geometrycznie jednokrotny albo liniowy obszar nieograniczony. Wszystkie jej punkta między a i b zawarte, a więc punkta odcinka ab przedstawiają ograniczony liniowy obszar x=

= {a...b).

Grdy na płaszczyźnie położymy prostokątny układ Descar-t e s’a (x 0 y)₁ a (x, y)—jak zwykle — oznaczać będzie punkt o spół-rzędnych x, y, to taka nieograniczona płaszczyzna swoimi punktami przedstawia nieograniczony obszar dwóch rzeczywistych zmiennych x, y.

Na takiej płaszczyźnie przedstawi się ograniczony obszar {x₎ y) = (ai...a₂, bi...bJ) jako zbiór punktów leżących w prostokącie o wierzchołkach :

(C)

(■«i &i)>    («2    («i \)

Z obszaru nieograniczonego, albo płaszczyzny (x, y) trzeba czasem wydzielić obszar ograniczony w rozmaity sposób inny [nie koniecznie ograniczony obwodem prostokąta (c)] i taki obszar należycie określić.

Pd. 1. Obszar wypełniający odcinek łączący punkta    {x₂y₂) określić

można równaniami:

P. 2. Gdy w obszarze nieograniczonym (a?, y) tylko te punkta uwzględniamy które leżą na obwodzie koła

V\ ~t~ ^ Hz , _ 1 + X » A —

(³)

Trójkowy ograniczony obszar (#, y, g)=(a₁..,a₂, bi...&₂, ci...c.₂) będzie w tej przestrzeni zbiorem wszystkich punktów (miejsc) zawartych w prostościanie o wierzchołkach:

(«l&lCl)> (aACl)l («2&2Cl)> («ACl)

(a₁&₁c₂)? (c*2^i^2)5 (®2^2®2)> (dib₂c₂).

Każdy system (xl y₂ ^i)=(ki,'k₂^7c₂) taki, że — gdy ^ <C «₂> Z>i<ó₂, Ci<c₂ — mamy a₁<*₁<o₂, &₄< *₂< 6₂, ct< ft₃< c₂ — jest miejscem tego ograniczonego obszaru. Otoczenie miejsca (kl:Ł2:lc₂) oznaczone przez (^ —^...^ -f S\,h₂ — ó.₂..Jc₂-\-ó‘2: Jc₃ — ó'₃...ft₃ + ó'₃), gdzie d1?    d₂, ó'₂, d₃, d'₃ są dowolnie małe dodatnie ilości, będzie do

wolnie małym prostościanem w którego wnętrzu leży punkt (Ici:7c.₂,Je.₂).

31. Obszar jednej zmiennej nrojonej x. AVielkość urojona x=u-\-vi, której sjDÓłrzędne zmieniać się mogą w obszarach:

(1)

u = (— 00...+ 00 ), v=(— 00... + 00 ) nazywa się nieograniczoną zmienną urojoną. Cały nieskończony zbiór jej wartości z w, v branych z obszarów (1) jest jej nieograniczonym obszarem, albo zakresem. Taki obszar jest więc nie czem innem, jak tylko nieograniczoną płaszczyzną liczbową (art. 19.), której punkta przez x naznaczamy, a której osie są uu\ w¹. Z tego powodu taki, nieograniczony obszar (x) nazywamy także krócej płaszczyzną zmiennej (u r 0-j on ej) x.

Gdy zważymy, że wszystkie punkta % leżące w płaszczyźnie (x) na okręgu koła (r) o środku x—0, a o promieniu r, określają się

równaniem

(2)

81

CO

r—i

x I=r,

to stąd wynika , że tu nieograniczony obszar (x) także tak określić możemy | % | = (0...oo ) albo |a;|<^Go.

Gdy przeciwnie w zmiennej x jej spółrzędne u, v przybierać mogą tylko wartości zawarte w obszarach w=(o₁...a₂), v=(bi...b₂) to całkowity zbiór wartości x z tak ograniczonemi w, v jest ograniczonym obszarem tej zmiennej. Jeżeli im', vv‘ uważamy za osie spółrzędnych Descartes’a, to na tej płaszczyźnie przedstawia się taki obszar jako zbiór punktów zawierających się w prostokącie (w, v)=(ai...a₂, bi...b₂).

Lecz jeszcze i w rozmaite inne sposoby możemy ograniczać obszar urojonej zmiennej x. Tak n. p. równanie (2) przedstawia tylko te punkta, które mieszczą się na okręgu koła (r). Nierównością |#|<r określimy obszar ograniczony, zamknięty kołem (r).

Teorya funkcyj.

Nierówność \x\> r określi obszar ograniczony, na który się składają te pnnkta płaszczyzny (#), które leżą -poza, kołem (r). Przy-tem same okręgi koła (r) do tych obszarów się nie wliczają.

Gdy przeciwnie do obszarów tych i punkta okręgu (r) chcemy wliczyć, to to naznaczymy, pisząc \x\ <>, \x\^>r.

Gdy z punktu x=0, jako środka zakreślimy dwa koła (r), (r'),    <>'), to wszystkie punkta zawarte między temi kołami

[w pierścieniu (r...r')] utworzą ograniczony obszar, który określimy, pisząc r < | x | <C r¹.

Gdy i punkta okręgów (r), (r') do tego obszaru wliczyć się mają, to napiszemy r<^\x\ <^r‘. Zakreślmy teraz koło (r)„ o promieniu r z punktu a=aĄ-b i =)= 0, jako środka. Jego równanie współrzędnych Descartes’a uu',vv‘ jest (u—a)²-\-(v—J)²=r², albo

(3)

V (u—o)² + (v—b)²—r.

Lecz tu lewa strona nie jest czem innem, jak właśnie bezwzględną wartością liczby urojonej

(u—a) + (v—b) i=(u+v i)-(a-\-bi)=x—a

Wskutek tego w miejsce równania (3) możemy napisać \x— a\ = r i to równanie wziąć za określenie ograniczonego obszaru, na który się składają wszystkie punkta okręgu koła (r)«, leżącego w płaszczyźnie (x).

(4)

Łatwo teraz zrozumieć, że nierówności \x—a| O, \x—a|>r

określają: pierwsza zbiór punktów leżących wewnątrz koła (r) druga zbiór wszystkich punktów zewnątrz tego koła leżących. Przy tern do tych ograniczonych obszarów nie wlicza się sam okręg koła (r)a. Relacye :

(5)

\x—u\<r,    \x—a\>r

określą obszary (4) z wliczeniem do nich punktów całego okręgu koła (r)a.

Równania

\x—a\    \x—a\=r‘,    r'> r

określą dwa koła (r)„, (r% o wspólnym środku «, a nierówność

r <C\x—ct\ <V

oznacza obszar, na który się składają wszystkie punkta zawarte między okręgami kół (r)«, (r% bez wliczenia do niego punktów tych kół.

(6)

(7)

Gdyby w (6) przy znaku nierówności był jeszcze i znak równości, to do obszaru (6) i same okręgi (r)a, (r')« wliczyćby po

trzeba.

32. Różne sposoby ograniczenia obszaru jednej urojonej zmiennej. Miejsce obszaru. Otoczenie miejsca. Gdy w nieograniczonym obszarze (x) dane są dwa punkta xi = ui-\-vii, x₂=u₂-\-v₂i, to w układzie osi uu\ w' ich. oddalenie wyrazi się wzorem:

V(ui-u₂)²-]-(vi — v₂)i^\xi—x₂\=\x₂—xi\, którego używać będziemy, chcąc określić obszary inaczej, niż do-tąd, ograniczone.

Pd. 1. Obierzmy na płaszczyźnie (a?) dwa stałe punkta a, (3 i zażądajmy bieżącego punktu x w ten sposób, aby suma jego oddaleń od punktów a, (3 była stałą i —2 A. Taki punkt x spełni związek:

0)

\x — «| + \x — P\ = 2A,

a jego miejscem geometrycznem będzie elipsa, której oś główna —2 A, oś poboczna 2B=\/4 A² — ja — p|², a jej ogniskami są punkta a, [3. Nierówności

(«')

\x— a| + |# — P| < 2 A , ja; — a| + \x — p| > 2 A

dają: pierwsza wszystkie punkta leżące wewnątrz elipsy (e), druga wszystkie punkta zewnątrz niej leżące.

Pd. 2. Związek \x — a| — \x — [3| — 2 A określa na płaszczyźnie (x) hyper-bolę (h) o osi głównej 2 A, a osi pobocznej 2 B = \/4 A²\<x. —$t², a o ogniskach a, [3. [Określić obszar, leżący wewnątrz i obszar leżący zewnątrz hyper-boli O)?].

Pd. 3. Na jakiej krzywej leżą punkta x, określone warunkiem |a?|²= |1 —x²\?

[Odp. Na hyperboli równobocznej

Pd. 4. Gdy

te)’ (w)*

!]•

(l)

\x — a|. \x — S|1= r, r > 0, to równanie (Z) określa krzywe C a s s i n i’ego , która — gdy r > d², jest jednym owalem ,

„ r = <Z², jest lemniskatą ,

„ r < (Z², jest parą owalów.

Ogniskami tych krzywych są punkta a, (3.

Gdy r — 0, a d > 0, mamy parę punktów a, S. Gdy r > 0 , a d — 0, a więc a = [3, mamy koło o promieniu r, a o środku a. Nierówność

\x — a\.\x — P| <r

określa obszar leżący wewnątrz jednej z krzywych C a s si ni’ego.

Pd. 5. Okazać, że: a) równaniem ——- =t wydzielamy z płaszczyzny

(x) prostą u = — , równoległą do osi drugorzędnej vv‘ i oddaloną od niej o --

b) równaniem —= 1 prostą u — —— c) równaniem —= r, r < 1, \x -j-1    ^    #    1

T

i o promieniu ——^ > a wreszcie — <Z) równaniem

--r- — r. r > 1, koło o środku x = —^—— , a o promieniu —₅——.

x — 1    ¹    H — 1    r    r² — 1

koło o środku x

r²

1 — r²

Pd. 6. Jakie punkta określa równanie —

= 1?

x -f- 1

Pd. 7. Jaki obszar określa równanie \x —    |. \x — a₂ f.... \x — a„| = 0 ?

Pd. 8. Równanie x — r . 1 <p, w którem r — const., a ⁰ < ®1 < <?2 < ?3 < ®4 < ?5 < <P0 <2 n

określa — jeżeli o =    ... o₂), ® = (cs₃... <p₄), <p — (<p₅... ®₆) — obszar składający

się z 3 łuków koła (r).

"Wydzielmy z nieograniczonej płaszczyzny (#) pewną ilość skończoną lub nieskończoną punktów xi, #₂, %z, ...., to pozostałą po tem wydzieleniu płaszczyznę uważać możemy za obszar, którego ograniczeniem są punkta xi, x₂, .... Obszar, n. p. określony nierównością |a;|>0 jest nieograniczoną płaszczyzną (x) po u prze d-niem wydzieleniu z niej punktu x=0.

Nierówność \x—ct^\.\x—a₂\...\x—an|)>0 określa nieograniczoną płaszczyznę (x) po uprzedniem wyjęciu z niej punktów au ct₂, ...., an.

Na ograniczenie obszaru mogą się wreszcie złożyć punkta (x₁, x₂₁ ....) i pewne linie (71? l₂, ....).

Czy w takim obszarze moźliwem będzie dwa dowolne jego punkta £1? £₂ połączyć linią nieprzecinającą ograniczenia (71} l₂, ...), zależy to od jakości i położenia linij l

Z tycb wszystkich uwag wynika, że w płaszczyźnie (x) możemy mieć takie obszary:

(I) obszar nieograniczony — (II) obszar ograniczony linią zamkniętą lub kilkoma takiemi liniami — (III) obszar, którego ograniczeniem jest pewna skończona, lub nieskończona ilość punktów — (IV) obszar, na którego ograniczenie składają się punkta i linie; te obszary są obszarami o dwóch wymiarach. (V) obszar będący linią krzywą, jej odcinkiem lub złożony z odcinków linij krzywych; takie obszary nazywamy liniowymi. (VI) obszar złożony z grupy punktów [Pd. 7.].

Uwaga. Gdy obszar ograniczony dwuwymiarowy zajmuje skończoną i w skoń-czoności leżącą część płaszczyzny (x), to można go zawsze objąć obszarem prostokątnym (u, v) =,(«■!... a₂ ,    • • • ^2) w ten sposób, że wszystkie punkta danego

obszaru i jego ograniczenie całkowicie się mieszczą w tym prostokącie.

Gdy x=c—aĄ-bi jest miejscem wyjętem z nieograniczonego, lub ograniczonego obszaru zmiennej urojonej x, to a, b nazywać będziemy spółrzędnemi tego miejsca.

Gdy c—aĄ-bi jest miejscem w obszarze zmiennej x=u-\-v i to (u, v)=(a—ói...a+ó\, b—d₂...b+ó,₂)₁ gdzie di, ó\, ó₂, ó‘₂ są dowolnie małe dodatnie ilości utworzą otoczenie miejsca c. Jestto dowolnie mały prostokąt, w którego wnętrzu leży punkt c. Lecz także i obszar \x — c | <( d gdzie ó jest dowolnie małą dodatnią ilością będzie otoczeniem miejsca c. Jestto dowolnie małe koło, w którego środek wpada punkt c.

Gdy w obszarze liniowym punkt c leży na linii l, to otoczeniem punktu c będzie tu nieskończenie mały odcinek linii l mieszczący w sobie punkt W szczególności może być punkt c punktem końcowym tego odcinka.

¹

W razie e = +1 jest to odrazu widoczne. Gdy e = — 1, to suma 2 (1 + zp^ zawierać będzie — wskutek lim pA = 0 — nieskończenie dużo dodajników zbliżających się dowolnie do 1; stąd jej wartość + go wynika.

²

Por. Pringsheim Ulath. Ann. T. 38. str. 13G. i nast.

³

— a)² -f- {y — ó)²=r2 to już samo to równanie określa ten obszar. Lecz można go także określić równaniami sc — a = r cos <?:y — b — r sin 9, 9 —(0...2 ii).

Pd. 3. Wszystkie punkta (x, y) leżące wewnątrz koła (k) wypełnią obszar,

który się określi nierównością (x — a)² -j- (y — 6)² <(r².

Gdy w przestrzeni położymy prostokątny układ Descartes’a 0(xyg), to dowolny system wartości (x,y,g) wyznacza pewien jakiś punkt w tej nieograniczonej przestrzeni, a taka przestrzeń jest obrazem nieograniczonego obszaru 3 zmiennych x, y, g (nieograniczonego trójkowego obszaru).

33. Punkt w nieskończoności. Co się tyczy poszczególnych miejsc zawartych w nieograniczonej płaszczyźnie (x)₁ to przede-wszystkiem zwrócić uwagę trzeba na punkta leżące w nieskończoności. Takie wszystkie punkta wyrażają się liczbami, których bezwzględne wartości są =co , a więc są — to punkta :

(«) (+co + co i), (—00— coi) (b) ( + 00—00 i), (—00 4 00 i)

(c) (fi + co i), (fi —co i),    (d) (+00 +fii)j (—00+fi i),

gdzie w c) d) jest fi dowolną skończoną rzeczywistą liczbą dodatnią, lub ujemną , a także zerem być może.

Krócej możemy punkta (1) naznaczyć równaniem x = co . 1

(1)

(2)

<p j

<jp=(0...2+),

wszystkie bowiem takie x mają rzeczywiście |a?| = oo. Widzimy stąd, że obszar punktów x leżących na płaszczyźnie (x) w nieskończoności składa się z nieskończenie wielu punktów, które oznaczeniami (1), albo oznaczeniem (2) w całości wyczerpujemy.

Lecz najczęściej spotykamy się w teoryi funkcyi z takiemi zagadnieniami, że w nich: albo obojętnem jest, której z wartości a), b), c), d), używamy, albo — gdy rozróżnienie to jest potrzebne i do różnych wyników prowadzi — te różne wyniki i bez owego rozróżnienia można wyprowadzić. Tak n. p. wyrażenie l/x staje się zerem gdy x jest nieskończonością bez różnicy, którą z nieskończoności (2) za x położymy. Gdy więc ó jest dowolnie małą dodatnią ilością to nierówność

(3)

l/|*j <d

wskazuje, że \x\ od pewnej granicy począwszy — bezustannie róść może dążąc do co , a samo x przytem dążyć może do której bądź z wartości (2).

Wskutek tego możemy związku (3) używać do określenia otoczenia któregokolwiek z punktów (2).

Właściwie na wzór nierówności \x — a\<(6, dającej otoczenie punktu a leżącego w skończoności należałoby i tu analogicznej re-lacyi: | x — ool^, |«< d, (p=(0...+) użyć do określenia otoczenia punktów (2). Lecz — wskutek nieuchwytności tego oznaczenia — zatrzymamy raz na zawsze określenie (3) i zgodzimy się zarazem każdą różnicę (x—col<p) zastępywać przez l/x.

Ale przez to wszystkim wartościom nieskończonym (a), (b), (c),(d) równą nadajemy rolę, tak, że obejmując je wszystkie odtąd jednym znakiem x—<x> wyrażać się będziemy:

I.    Płaszczyzna nieograniczona (x) ma jeden tylko punkt x = oo w nieskończoności. Jego otoczenie tworzą takie punkta x, które spełniają nierówność 1/ [ x\<ćó z dowolnie małą dodatną ilością 3. Różnicę (x— go) zastępywać zawsze będziemy przez 1/#.

Wracając do związku (3), napisać go możemy także w formie \ x\^>ljd=R‘ gdzie R¹ dowolnie dużą dodatnią jest liczbą. Z tego powodu powiadamy :

II.    Otoczeniem punktu x=cd są wszystkie punkta leżące na płaszczyźnie (x) poza pewnem dostatecznie dużem kołem (R) o środku x=0. Jak duże ma być owo koło, to zależy każdym razem od danych i dobrze określonych warunków.

wzdłuż całej

34. Okrążanie punktu leżącego w skończoności lub nieskończoności. Do ograniczeń pewnego danego obszaru (x) niech, należy zamknięta nieprzecinająca się z sobą linia l tej linii niech do niej z jej jednej strony (wewnętrznej, lub zewnętrznej) przylega albo część [#] danego obszaru, albo cały obszar (x). W pierwszym przypadku może jeszcze i po drugiej stronie linii lx w całej jej rozciągłości przylegać inna część [x]‘ rozważanego obszaru.

Niech dalej po lt przebiega punkt ruchomy, to ruch tego punktu w ten sposób określamy:

r/

Gdy wyobrażamy sobie, że iv kierunku ruchu, strzałką s (fig. 4.) oznaczonym po linii lx kroczymy i mamy wtedy [x] po lewej ręce, to mówimy, że każdy punkt części [x] i całą tę część okrążamy po li w kierunku dodatnim. To samo określenie przenosimy na każdą zamkniętą linię należącą do ograniczeń obszaru (x). Przeciwne kierunki dają okrążania ujemne.

Fig 4.

Pd. 1. Koło (r) określone równaniem |x\—r ogranicza albo obszar

(a)    |*| er, albo obszar ((i) | x | > r, (fig. 5. na str. nast.).

Ruchomy punkt poruszający się w kierunku strzałki s okrąża obszar (a) w dodatnim, a obszar (p) w ujemnym kierunku. Przeciwnie ruchem punktu wskazanym strzałką s‘ okrążamy obszar (a) w kierunku ujemnym, a obszar ((3) w kierunku dodatnim.

Pd. 2. Gdy mamy obszar określony nierównością r<^\x\<ir' (fig. 6.), to po kole (r) okrążamy go dodatnio w kierunku strzałki s, a po kole (r‘) dodatnio w kierunku strzałki ś'.

[xr

°0-

[X]

XL

■»

Fig. 6.

Fig. 5.

Pd. 3. Gdy te same koła (fig. 6.) ograniczają obszar złożony z części:

[x] określonej przez \x\<>ri części [x]‘ określonej przez \x\> r', to część jego [x]

okrążamy dodatnio po kole (r) w kierunku strzałki a, a część [X]¹ po kole (r') w kierunku strzałki a'.

Pd. 4. Obszar, który ograniczają zamknięte linie Tc, Tcu Tc₂₎ Tc₃, (fig. 7.) okrążamy w dodatnim kierunku, poruszając ruchomy punkt po Tc, Tc₂, Th w kierunkach strzałek s, sl5 s?, s₃.

Widzieliśmy, że dostatecznie dnże koło (R) o środkn x=0 jest ograniczeniem otoczenia punktu x=oo . Stąd — gdy uwzględ-określenie okrążania punktów ob-

©f

(9}

Tc

nimy szaru — wynika:

Fig. 7.

I. Punkt x=co okrążamy, prowadząc po kole (R) punkt ruchomy ujemnym kierunku ze względu na dowolny punkt leżący wewnątrz (R).

35. Obszary kilku zmiennych urojonych. Gdy danych jest n zmiennych urojonych x± = % + v± i,    x₂=u₂Ą-v₂i, ..., xn—un\vni}

a przytem:

(w«, v«)=(—oo ..., + oo go ... + co ) albo ba...b Ct) G5⁼⁼l} 2, ••• ^7

(1)

(2)

(w«, Va) Jr{acl...al

z za-

uro-

to zbiór wszystkich systemów (a?1} x2y.xn) o ua, va branych kresów (1) nazywamy nieograniczonym obszarem n zmiennych jonych x^, x₂,...xn, a zbiór tych systemów z wartościami ua, va leżącemi w zakresach (2) ograniczonym obszarem takich zmiennych.

Każdy system (x\, x‘₂,    x‘n)=>{u\,+v\i, u\-Yv\i, ..., u‘n+v,ni)

którego u‘a, v'a leżą w (1) lub (2) nazywa się miejscem, albo

punktem obszaru; x‘

X ₂,

x\ są s p ó ł r z ę d n e m i tego

miejsca.

Zbiór systemów (#1? x₂, ..., xn): w które wchodzą xa ze zmieniaj ącemi się ua, va w zakresach

(««)“(««-+ <$'«), (V«) = (W'« — ««...»'«+£'«), 05 = 1, 2, ..., W —

— a da, £«, £'a są dowolnie małe dodatnie ilości —jest obszarem zwanym otoczeniem miejsca (x\, x,₂, x'a) ==(...,    .)—(#*«)•

Z określeń (1) i (2) widać, że obszar nieograniczony, lub ograniczony n zmiennych urojonych przedstawia się jako takiż obszar 2n zmiennych rzeczywistych ua, va, a — 1, 2, n.

Obszar nieograniczony (1) n zmiennych urojonych można sobie unaocznić zbiorem n nieograniczonych płaszczyzn (xi)i (x₂)    (xn).

Miejsce jego jest zestawieniem n punktów xif x₂, ..., xn wyjętych z leJ, 2®ieJ, ..., wtej płaszczyzny.

Ograniczony obszar (2) będzie znowu zbiorem n prostokątów leżących w płaszczyznach (x₁), (x₂), ..

Lecz oprócz obszarów w ten sposób ograniczonych możemy i tu mieć obszary ograniczone w inny sposób. Z każdej bowiem z płaszczyzn (xi), (x₂)..., (xa) możemy wyjąć pewne punkta, pewne linie, a wreszcie i pewne dwuwymiarowe obszary, a pozostałe części (płaszczyzny niezupełne) uważać razem za obszar ograni-

(xn) •

czony..

Pd. 1. Obszar dwóch urojony cli zmiennych a?, y określony nierównościami \x\ <r, \y | O' wypełniają tylko takie pary punktów (x, y), których x leżą wewnątrz koła (r) na płaszczyźnie (.r), a y wewnątrz koła (r‘) na płaszczyźnie (y). Pd. 2. Jakimi punktami płaszczyzn (x), (y) zapełnione są obszary («) | x | <r, | y |:> r‘,

Pd. 3. Jakie punkta płaszczyzn (#), (y) tworzą obszar

(S) | « | > r, | y | > r' ?.

< 1,    y^—\    1 ? (por. art. 32. Pd. 5.)

Oprócz obszarów ograniczonych, lub nieograniczonych mamy tu jeszcze nowy rodzaj obszarów takich, że spółrzędne ich miejsc muszą zależeć od siebie. Takie obszary nazywać można obszarami o miejscach niedowolnych.

Pd. 4. W obszarze dwóch zmiennych x, y określonym równaniem |a?|.|y]=-l należy do takiego x że |* | =r = (0...oo) wprawdzie nieskończenie dużo wartości y,

x—l

ale te wszystkie y mają bezwzględną wartość =—.

Pd. 5. Zauważmy obszar: |« —a|-j-[ y — (3| = 1 to — gdy x jest takim punktem w (x), że \x — a| = p<l, — to do owych x mogą jedynie należeć y o

|y-P I=i—p.

Pd. 6. W obszarze | * — a | — | x — [31 = 1 mamy | a; — a |    1, a gdy

| * —.a | = 1 -f Pl to \ y — p | = P P = (0...CO).

36. Nieskończona mnogość miejsc wyjętych. Punkt skupienia.

całkowity ich zbiór nazwiemy

Zdarza się często, że w obszarze ograniczonym, lub nieograniczonym jednej zmiennej x, lub n zmiennych xi, x2f ...., xn (rzeczywistych lub urojonych) potrzeba oznaczyć pewne miejsca (x\) lub • x‘₂i •••., %'n) w skończonej lub nieskończonej ilości i temi miejscami bliżej się zająć. Takie miejsca nazywać będziemy określ o n e m i albo wyj ę t e m i skończoną, lub nieskończoną mnogością tych miejsc albo punktów. Takie mnogości mają bardzo interesujące i ważne w zastosowaniach własności.

Zacznijmy od mnogości w obszarze jednej zmiennej.

I. Gdy iv ograniczonym obszarze (x)=(0...1) jednej zmiennej rzeczywistej wyjmiemy nieskończoną mnogość miejsc x‘, to iv tym obszarze znajdziemy jedno przynajmniej, dobrze oznaczone miejsce xQ, w letórego otoczeniu (x{) — d... x(} -j- ó) zawierać się będzie niesJcończona ilość tych miejsc ivyjętych. Miejsce xin które nazywamy punktem skupienia, albo punktem granicznym, może do wybranych należeć lub nie należeć.

Pd. 1. Tak n. p. na prostolinijnym odcinku (x) = (0 ... 1) punkta 11111 T’ "2 ’    3"’ T’ T’ .....

skupiaj ą się w nieskończonej ilości około j edynego punktu x = 0.

Pd. 2. Mnogość punktów :

l.-¹ A !.J_ 1 1,1 1 1,1

2 ‘ 3 ’ 4 ’ 2"r4’ 5’ 2 ‘ 5 ’ 6 ’ 2_1~6’ ¹ mieszcząca się całkowicie w obszarze (0... 1) ma dwa punkta skupienia 0 i

Pd. 3. Mnogość punktów

. 1 1 11 1 11 11 1 11 11

’ 2’    ’ ¥~t~    ' T’ ¥ ⁺ T’ ¥ + T’ ’    +    ’ ¥+5"’

¥ + ¥’ T + JT’ +    ’    ’ ••••

iH CO

td

Oli M-

|»o t-h ]t>

’ ¥’

mieszcząca się również w obszarze (0...1) posiada nieskończenie wiele punktów

skupienia, a mianowicie: 0, 1, 1, 1, 1, ....¹)

Z tych. przykładów widać, że — jeżeli punktów skupienia jest więcej, niż jeden — to może ich. być albo ilość skończona, albo nieskończona.

“6

Dowód. Jeżeli w obszarze (0...1) jest miejsc określonych x‘ nieskończona ilość, to przynajmniej w jednym z częściowych jednej z jcołów] mnsi ich. być nieskończenie dużo.

£l £l j oznacza połowę

Niechże ^ znaczy 0, albo 1, to

połowę -....1^ według tego,

ŁOI 1—l

czy e₁=0, czy e₁ = l.

Zatrzymując tylko tę połowę, w której miejsc x' jest niezawodnie nieskończenie dużo, możemy ją w każdym razie przedstawić przez:

albo

(1)

gdzie f ₁ = 0, albo =1 według potrzeby. [W razie, gdyby w obydwu połowach było miejsc nieskończenie dużo, zatrzymamy na razie jedną tylko z nich],

W połowie (1) mamy nieskończenie dużo miejsc x‘; musi się przeto znowu w jednej przynajmniej z jej połów zawierać nieskończona ilość tych miejsc.

Tę połowę obszaru (1), kładąc £₂=0, albo =1, oznaczymy, pisząc :

(1)

ł    £1 , g2+l\

I r. "1 22    2    2² /’

(o ...i)

Przy e± = 0, e₂ = 0 mamy w (2):

” ” (4 •■■•2)

■ . (1-4)

. - (4-4

n-

„ £₁ 1 , £₂ - 1

„ gi ^ 1 g2'    1

Otóż według tego, w której z tych ćwiartek całego obszaru jest miejsc x‘ nieskończenie dużo, używamy £1; e₂ w jednem z powyższych znaczeń. [W razie, gdyby ćwiartek takich było więcej (2, 3 lub 4) zatrzymujemy znowu na razie jedną z nich tylko].

W ćwiartce (2), w której już si7 e₂ mają ustalone znaczenie, znajduje się zatem znowu nieskończona ilość miejsc x\ a więc — rozumując tak samo jak o (1) — powiemy: przynajmniej w jednej z jej połów znajduje się tych miejsc nieskończenie dużo. Tę połówkę obszaru (2), (l/8)mą całego obszaru (0...1) oznaczymy przez: określone nagromadziły się w nieskończonej ilości. Tę część przedstawimy formą.

(3')

D_ i _^2 i j__^    £1 i g2

2 "' 2^ “i • •• • ”i    •••• ^ " i ^2

gdzie ogólnie z e1} e₂, ...., £„ niektóre są =0, a niektóre =1. Dla Ei — £₂ = ...=£„=0 obszar (3') byłby pierwszą, a dla ex = e₂ — ...=ev— 1

/ 1 \tą

częścią obszaru (0...1). Połóżmy:

co

/ j__^2 I _^3    1    I ^3

1 2    ' y2 "'    ^3 *"*' ^    '    2^ "    ^3

gdzie znowu. £₃ — O, albo =1, według potrzeby.

Takie wnioski można widocznie prowadzić dowolnie daleko

1 \tą

i z zakresu (0...1) wydzielić tę jego

2V

część, w której miejsca

ostatnią

2 ^ 2² 2³ 2”

to zamiast (3') napiszemy krótko:

Xv .... ^ + TC

Dobierając dalej , £„+2, £v+3, •••• w znaczeniu O lub 1 według wyżej już danycb reguł, przyjmijmy, że :

£1    1    £2    1 g3 1    1    1

Y+ 22+ 2^+-•+ 2^ + to mamy niezawodnie [art. 3.]:

(4)

(5)

£i>4-1

2^+i

+ .... in inf. = x₀,

(6)

xv <C “"C P > >

a punkt #₀ mieści się widocznie w obszarze (4).

Niechże ó będzie dowolnie małą dodatnią ilością, to możemy v

wybrać zawsze tak duże (6) — sprawdzają się nierówności:

x₀ — 0 <a xv

że będzie : ó >>

1 ,1

xv+ -2;    ^0 + “2„-

Wtedy — wskutek

Nierówności te wskazują, że obszar (4) zawiera się całkowicie w obszarze:

(#0    ó.... Xq -f ó),

który jest otoczeniem punktu a?₀.

W nim mieści się zatem miejsc wyjętych nieskończenie dużo, a punkt x₀ jest według określenia — punktem skupienia.

Punkt ten dostaliśmy tym sposobem, żeśmy z 2V równych części obszaru (0...1) każdym razem tylko jedną zatrzymali i ją

dalej dzielili. Jeżeli w owych 2V częściach mamy więcej takich, które zawierają w sobie miejsc określonych nieskończenie dużo, to każdą z tych części trzeba uwzględnić i ją dalej dzielić. Tym sposobem można dojść w niektórych mnogościach do skończonej, w niektórych do nieskończonej liczby punktów skupienia. [Por. Pd. 2., 3].

II. W obszarze ograniczonym (x) = (a...b) różnym od (0...1) określona nieskończona mnogość punktów x‘ posiada przynajmniej jeden punkt skupienia.

Połóżmy x=a( 1—f) + bt} a więc t—{x—a)j(x—b), to widocznie gdy x zmienia się od a do b, t zmienia się od 0 do 1, a w obszarze t= (0...1) mieści się mnogość punktów t‘—(x¹—a)l(x‘—b). Ta mnogość — według twierdzenia I. — posiada przynajmniej jeden punkt skupienia t₀, a to dowodzi, że i mnogość (x‘) w obszarze (a...b) będzie miała jeden przynajmniej punkt skupienia x₀=a(l — t₀) + bt₀.²)

III. W nieograniczonym obszarze (x) = (—oo ... -j-oo) określona nieskończona mnogość [xj posiada przynajmniej jeden punkt skupienia.

Obierzmy dwa punkty a, b, a <jb, i cały obszar złóżmy z trzech: (~oo ...a), (a...b), (&...-foo).

Gdy (a...b) zawiera nieskończenie dużo miejsc wybranych x‘ to w nim [tw. II.] znajdziemy przynajmniej jeden punkt skupienia. W przeciwnym razie punktów skupienia tam nie będzie. Gdy w pozostałej części (a... — co), ( + 00...&) mamy miejsc X¹ nieskończenie dużo, to i tu da się udowodnić istnienie przynajmniej jednego punktu skupienia.

Obierzmy w tym celu dowolny punkt c w obszarze (a...b) leżący, a więc a<ćc<ćb i połóżmy :

b—c x—a b—a ’ x—c

Gdy x zmienia się od a do —00 a dalej od +00 do 6, to t równocześnie zmienia się od 0 do (b—c)l(b—a) i od (b—c)/(&—a) do 1; przytem (b—c)l(b—a) jest właściwym dodatnim ułamkiem. Zmienna t tworzy zatem obszar (0...1), a w nim mamy nieskończoną mno-

gość punktów

--.—-. Ta mnogość posiada przynajmniej je-

0 — Cl 00 — c

den punkt skupienia t₀. Odpowiadający mu podług równania (7) punkt

a (b—ć)—c(b—a) t₀

(b—c)—(b—a) t₀

będzie punktem skupienia w obszarach (a...—-oo), ( + ao ...&).

Gdy w szczególności ł₀ — (b — c)/(b — a), to punkt skupienia x₀ wypada w nieskończoności. Do takiej należy n. p. mnogość punktów 1, 2, 3, 4, ....

= ±1, ±2, ±3

Przeciwnie mnogość xv

w nieograniczonym obszarze, posiada miejsca skupienia -pił —b Miejsce x = co (dla v = +l) jest tu wprawdzie miejscem należącem do mnogości, ale nie jest jej punktem skupienia.

V/v² + l’

rozrzucona

37. Mnogości pochodne. Mnogości pierwszego i drugiego rodzaju. Przykłady. Daną nieskończoną mnogość naznaczmy krótko literą P. Jej miejsca skupienia są albo w skończonej ilości [Pd. 1. i 2., art. 36] albo ich jest nieskończenie dużo. [Pd. 3., art. 36.]. Tworzą one mnogość P, którą nazywać będziemy pierwszą pochodną mnogości danej P.

Grdy P‘ zawiera miejsc nieskończenie dużo, to z niej znowu dostaniemy pochodną mnogość P"; nazwiemy ją drugą pochodną danej mnogości P. [W Pd. 3. druga pochodna jest jednym punktem: 0].

To tworzenie pochodnych w ten sposób określonych możemy posuwać tak daleko , póki nie dojdziemy do pochodnej PM złożonej już ze skończonej ilości miejsc. Taka mnogość bowiem nie posiada już mnogości pochodnej, co naznaczymy, pisząc p(v+¹)=0.

Lecz z drugiej strony istnieją takie mnogości P, że ich po

chodne

P', P", P",    P^, ....

o dowolnie dużych, skończonych wskaźnikach okazują się statecznie nieskończonemi mnogościami. Według tego możemy mnogości odróżniać między sobą w ten sposób :

Definicye. Mnogościami pierwszego rodzaju są te, które tylko skończoną liczbę pochodnych posiadają. Gdy taka mnogość ma pochodnę PM złożoną już ze skończonej liczby miejsc (a więc p(v+¹)=Oj, to tę mnogość nazywamy pierwszego rodzaju, a v⁹° stopnia. Mnogość P zerowego stopnia, a więc taka, że jej pierwsza pochodna P = 0, jest mnogością skończoną.

Mnogość posiadającą pochodne dowolnego skończonego rzędu:

P, P“, P"', ...., PM, .... nazywamy mnogością drugiego rodzaju.

Pd. 1. Nieskończona mnogość P niech będzie złożoną z miejsc:

(słs₂....sj=n¹

2*l + *2 + *3

Wykładniki s1? s₂, ..., sv przyjmują równe lub różne wartości, wyjęte z szeregu 1, -f- 2, +3, ....

Miejscami skupienia tej mnogości będą tu punkta:

2*i

2*1+*2

2*l + *2 + -+*ł>

(«)

Um(slśi...sv), lim (st$₂... sv),    lim(sis₂...sv)

Si    S2    Sp

gdzie , X = l, 2, ..., v, umieszczono dla krótkości pod lim zamiast = co. Właściwie należałoby jeszcze prócz miejsc (a) uwzględnić miejsca

lim (st s₂... sp) = [a p... y], scc */?••• *y

gdzie sa, Sp..., sy jest dowolnym zbiorem kilku wykładników sl5 s₂, ...., sv. Lecz — jeżeli a <CP <C - • • <C T widocznie [a [5... y] = lim (s₁s₂... 6P), a to miejsce

jest już w (a) zawarte.

Miejscami (a) sa więc już wszystkie miejsca skupienia objęte, tak, że w nieb dostajemy pierwszą pochodną mnogość:

P' = 0    ¹

*a

2*i ’

O-

V2*.

1_A /

2*i+*2 J ’    ' ’    ^2*1

2*i+*2

2*i + *2 + - •+**>-! ^

Ta pochodna jest tu nieskończoną, gdyż su s₂, ..., s t przybierają wszystkie (różne, równe) wartości szeregu liczb 1, 2, 3, ... Na wzór miejsc samej mnogości P, możemy położyć:

P' = 0, (Sl), (*i*l), (MjSs),    ^...S^)-

Z P' dojdziemy do P“ dając wykładnikom slt s₂, ....,    po porządku

wartość co. Mieć więc będziemy:

P" = 0, —

2*i ’

/ i__A_A / JL

^2*i ¹ 2*i +**/’    ‘ ’ \ 2*i

2*i+*2

2*1 +*2 + ••• + «!> -2

)•

P“ = 0, («i) (*!**), ••••» (*1*S o nieskończonej ilości miejsc, gdyż każde == 1 , 2, ....

Pochodna ke° stopnia (k <[v) będzie znowu zbiorem nieskończenie wielu

albo

miejsc:

(6)

P(*) = 0, (*l)j (»l»s)l •••

Postępując w ten sposób dalej otrzymamy:

Sj = 1, 2, 3, ... • a P(v) = punkt zero.

P(v-1) = 0, —

2*i ’

Mnogość P jest zatem — według definicyi — mnogością pierwszego rodzaju, a vs° stopnia. [M i 11 a g - L e f f 1 e r: Acta mathematica T. IV. str. 58].

Pd. 2. W obszarze (0...1) niech się zawiera mnogość P złożona z wszystkich punktów [J. przedstawiających właściwe wymierne ułamki.

Szukajmy jej mnogości pochodnej P'. Niech w tym celu a przedstawia dowolną wartość wymierną lub niewymierną taką, że 0<a<I. Wtedy w jej otoczeniu znajdziemy niezawodnie zawsze nieskończenie dużo punktów [->, a stąd pochodzi, że P' = (0 ... 1) wraz z punktami 0 i 1. Ale wtedy mieć statecznie będziemy P" = P‘" =... = (0 ... 1), co znaczy, że mnogość rozważana jest rodzaju drugiego.

38. Mnogość miejsc odosobnionych. Mnogość zamknięta. Mnogość wszędzie gęsta. Stosunek pochodnych do samej danej mnogości. Dowodząc istnienia punktu skupienia mnogości P, powiedzieliśmy, że on do P może, ale nie musi należeć. Wskutek tego punkta pochodnej mnogości P‘ albo:

1° mieszczą się w P całkowicie , albo 2° zawierają się w P częściowo tylko, albo wreszcie 3° będą punktami różnymi od punktów mnogości P.

Gdy przez P₀₁ lub (PP') naznaczymy punkta wspólne mnogościom P, P', to równania

(3) Poi—

(1) =

charakteryzują owe trzy wspomniane przypadki.

I. Mnogość P niep o siadającą punktów wspólnych ze swoją pierwszą pochodną — a więc scharakteryzowaną równaniem (3) — nazywamy mnogością odosobnionych punktów, albo mnogością odosobnioną (izolowaną).

Mnogość rozważana w art. 37. [Pd. 1.] jest odosobnioną. Weźmy mnogość P o równaniu (1) lub (2) pod uwagę. Odrzuciwszy z niej punkta P₀₁, dostaniemy nową mnogość, którą przez

(4)

J=P-P₀₁

naznaczyć możemy, a która będzie już izolowaną. Lecz z równania (4) mamy dalej:

(&)

Stąd wynika:

II.    Każdą mnogość można uważać za zespolenie pewnej odosobnionej mnogości i mnogości wspólnej jej samej i jej pochodnej.

III.    Mnogość scharakteryzowaną równaniem (1) nazywa Cantor mnogością zamkniętą.

P=*J+Poi.

Przyjmijmy teraz, że mnogość P — bez względu na to, czy jest rodzaju pierwszego czy drugiego — posiada prócz pierwszej pochodnej jeszcze i dalsze, a więc 2gą, 3cią, .... Weźmy pochodną

p(m)

o skończonym znaczku m)> 2 i jeden jej punkt f pod uwagę, to pokażemy, że ten punkt do mnogości P‘ koniecznie zaliczyć się musi.

Gdy bowiem punkt f do P¹ nie należy, to w otoczeniu (|—d....£-j-d) mamy tylko skończoną ilość punktów mnogości P, albo tam nie ma ani jednego punktu tej mnogości. Wtedy całe to otoczenie wolne jest nie tylko od punktów mnogości P‘, ale i wszystkich wyższych pochodnych. Lecz to sprzeciwia się założeniu, że i należy do PK Stąd:

IV. Gdy mnogość P prócz pochodnej P* posiada jeszcze i wyższe pochodne ?W, m=2, 3, .... to każda z nich o skończonem m jest częścią składową pochodnej P‘.

Zestawmy mnogości p("l-²);    p{m) j uważajmy p(m~²) za

P(m-1) w p(”!-²)

mnogość daną,, to P^ mieści się w pi™-') całkowicie. Lecz w zestawieniu p(m-³)? P(m 2)j P(m_1) mieści się znowu całkowicie i t. d. Stąd wynika :

Y. Pochodna PW jest wspólną częścią wszystkich mnogości P(m~¹), P(m~²),    P', u utworzywszy P¹, nie dostajemy w P", P'", .... już ża

dnych nowych punktów. Każda zatem pochodna jest zamkniętą mnogością.

W szczególności — gdy P jest mnogością w obszarze (<*...&), a P(m), m > 2, wypełnia całkowicie ten obszar [a więc P(m) = (a..b)], to i P' — (ct...b) być musi, a dana mnogość P jest widocznie taką, że w otoczeniu każdego punktu w (a...b) znajdujemy jej punktów nieskończenie dużo. Taką mnogość nazywa Ca n tor wszędzie gęstą, a Du-Eois-Eeymond: pantachiczną, albo pantachią. Taką n. p. jest mnogość wszystkich ułamków wymiernych, zawartych w (0...1).

VI.    Gdy P jest pierwszego rodzaju, a jej P(ł'+¹)=0, to PM jest wspólną wszystkim mnogościom P⁽-V~i\ P^~²\ ...., P‘. Gdy P jest zamkniętą mnogością, to PW mieści się jeszcze i iv P.

Gd}⁷ P jest mnogością drugiego rodzaju, to tworzenie pochodnych P', P", P‘“, .... można dowolnie daleko prowadzić, a o nich da się udowodnić:

VII.    Wszystkie pochodne o skończonych stopniach mnogości drugiego rodzaju posiadać muszą pewne wspólne punkta. Gdy wszystkie te punkta zbierzemy, utworzą one największą mnogość, jaka się to owych pochodnych zawierać może.

Oznaczmy ową największą wspólną mnogość przez P(w), to dowód twierdzenia VII. przeprowadzimy, okazując, że PO) nigdy zerem być nie może. PO) uważać trzeba za pierwszą pochodną, następującą po wszystkich pochodnych o skończonych stopniach, tak, że co zastępuje tu co. Przyjmijmyż, że P(w)=p(°°) == 0, to widocznie już pewna pochodna PW o skończonym wskaźniku v składałaby się ze skończonej ilości miejsc, a sama mnogość P nie byłaby drugiego rodzaju, jak założono.

Z dowodu tego wynika zarazem nowe twierdzenie :

VIII. Równanie P^—0 charakteryzuje wyłącznie mnogość pierwszego rodzaju.

39. Liczby pozaskończone. Mnogości pochodne o wskaźnikach pozaskończonych. Gdy P^ — według twierdzenia VII. [art. poprz.] — nie może być zerem, to musi być albo mnogością skończoną, albo nieskończoną.

G-dy P(“) jest mnogością nieskończoną, to posiadać znowu będzie pochodne, które po porządku nazwiemy:

(1)

p(w+1)? p(M+ 2)    p(<0+ 3)

Tu mogą zajść znowu dwa przypadki, albo 1° jest rodzaju pierwszego, tak, że mamy P(°>+v+¹)=0, a P(b>+³) jest skończoną mnogością; albo 2° Szereg (1) jest nieskończony.

W tym drugim przypadku wszystkie mnogości (1) mieć znowu będą swoją wspólną mnogość P(2w) różną od zera. Gdy ta jest nieskończoną, to posiada pochodne

(2)

p(2w+l)^ p(2w+2)^ p(2w+3)

które znowu albo skończą się pochodną P(²"+ł’+¹)=0, albo okażą się wciąż mnogościami nieskończonemi.

W tym drugim przypadku muszą pochodne (2) znowu posiadać wspólną mnogość P(3w).

Przyjmijmy, że w ten sposób postępując, nigdy nie dochodzimy do mnogości skończonej. Znaczy to innemi słowy, że wtedy pochodne o wskaźnikach:

I.

0i

~s|

cc

ęo

v...

(O

3 ...

co -j- 2 2 o) -j- 2

oo-\-v... 2 co-\-v...

coa

Ww+1

statecznie istnieją, a każda jest zamkniętą.

Lecz znaku co użyliśmy zamiast go. Z tego powodu liczby

II. objąć można nazwą „liczby pozaskończonew (transfinitae), albo — odróżniając je od liczb I. — nazwać je liczbami klasy

Teorya funkcyj.

vx co

co²

2o²

Ćt>² + 1

2w²+l

w² + 2 2o>²-|-2

co²Ą-v... 2 co²Ą-v...

II.

v₂co²

v₂co²+ 1

y₂w²+2

v₂co%Ą-v...

v₂co²Ą- v^co

v.₁co²-\-vx 6j +1

^₂fe)²-|-^₁(n+2

v<lco²Ą-vico-\-v...

II., podczas gdy liczby I. (liczby skończone) nazywać będziemy liczbami klasy I.

Liczby klasy II. mają tę własność, że po każdej z nich dowolnie wyjętej następuje inna, tylko jedna, całkiem dobrze oznaczona. Lecz naodwrót każdej z nich nie poprzedza zawsze liczba oznaczona. Liczby bowiem postaci Vk<okĄ-Vk--{■...-\-v-yO) a więc bez wolnego wyrazu nie mają oznaczonych liczb bezpośrednio przed niemi stojących.

dniając i to

możemy dojść wreszcie i do mnogości pierwszego rodzaju, powiemy :

Wprowadziwszy te nazwy i oznaczenia, a przy tern uwzglę-że w tworzeniu pochodnych p^kw+vk—iw’ +••■+«',«)

I. Mnogości drugiego rodzaju są albo talde, że — gdy a jest pewną liczbą hlasy II. — to P(a)=0, albo talde, że dla wszelkich liczb tej Masy nigdy nie mamy    0.

Pd. 1. Zauważmy mnogość P złożoną z miejsc:

2²+'si “ 2²+*»+ł*

(!) «=4-+2lL.    ¹

1    ₊ ^_ _ _

2    ³    2³+S*    23_tSl~t*2 2³ + *l+S2+'S3

(r) (sis₂...sr) = ^

JL _p ¹

2r-K ~

. in inft., w których

2r+*i+^    "    2?'d'Sl't^'t'”'t*r'

sI? s₂,...sr,.. przybierają wartości liczb 1, 2, 3,.., inft.

Miejsca (1), (2), (3),... (r).., są w niej po porządku mnogościami l-s°

p go

Pochodna rta miejsc (r) będzie jednem miejscem = — podczas gdy rtepo-

2-^°

3-8°

stopnia.

2r

chodne miejsc (1), (2)..., (r—1) nie istnieją. Lecz r zwiększając się bez końca, dosięgnie wreszcie wartości w = 00, a wtedy miejsce Km ^- = 0 jest pochodną P^

r = oo u

całej mnogości P. Mamy więc tu

zero.

P^= punkt p(w + ¹)₌o. [Mittag-Leffler 1. c]

Punkt zero będzie się więc tu zawierał we wszystkich pochodnych skończonego stopnia.

Pd. 2. Na mnogość P niech się składają miejsca:

(1)

— -j------------

2,?i    2,s'i+^    2'?i~t *»+•••+ sv ‘ 2si+ x2+- + sv ż-Pi

2*«

—---1-...4

2-,'+s2 ‘ ‘

2Sl+S2+"+Sl»

2*t+⁴i+"+si>+²+^i Ppi

(3)

2*i

2*i+a* _r"‘

2*i+**+’ -+*i>

2*1+S*+-+SH + ³ +^l+^2+^3 ’

(r)

2*i+** ~r"‘

2*i+**+-+*i> +r-tPii-P2+-+Pr ’ s1? s₂,..; sv, pu PiyiPr przybierają tu wszystkie (równe, różne) wartości szeregu

1, 2, 3,.......

2*i

2*i+**+••+*!»

Miejsca (1), (2), (3),..., (r) są tu po porządku mnogościami stopni (v -f-1), (v -j- 2), (v + 3),..., (v -j-1*

Gdy    to rtc pochodne mnogości (1), (2), (3),..., (fc—1) już nie istnieją,

a rfa pochodna mnogości (r) będzie

_ł_ j__^_

2*i ’    2*i    2*i⁺** ’

0,

2*i

2*i + **

2*1 +*2+ ••• + *!»

2*i    2*i + **

2*i+**+—+*i>+r

2*1 +*2+ — +*!>

Gdy r = w = cc, to i Jc równocześnie jest = w = co , a wtedy pochodne miejsc (1), (2), (3), .... są wszystkie zerami, a rta pochodna miejsc (r) — przy r= w — daje:

2 *1 + *2 + • * • + *21

Jestto mnogość nieskończona vs° stopnia tak, że z niej dostajemy: p(« +v) — pUnkt zero, pl^+n+b _ o [Mittag - Leffler 1. c.].

Pd 3. Zauważmy mnogość złożoną z miejsc:

2*i ’    2*i

2*i+*2    , 2*1

2*i+**

(O

2M

2n+*i

2»+*i+*2+—+*re

2W + *l+*2 + — + *ft+l

2w+*i +•••+*»+!+Pi

n = 1, 2, 3,

(2)

— 4---

‘    2”+*i

2»

2w+*i+—+*«

2”+*i+•••+*»+²

-ł-

2**+*i +—+*n+²+Pi

2n+*i +—+*n+²+-Pi+?,2    ’

n = 1, 2, 3

(8)

2n

-—-f...

2w+*i

2«+*i+...+*n

2«+*i + . . + *w + 3

2    + *i + ... + *„ + ?>+£)j

2"+*i+-+*n+³+^i+^*

w -1, 2, 3, ....

2«+*i+~ +*„+3+?ii+P₂+/U

(r)

2«

2B+*i

2»+*i+•••+*»

2n+*i+— + *«+ r

2»+*i+...+%+i'+p,

2»+*, + .-+*n+r+p,+Pj+...+i>r

w = 1, 2,3, .....

Dalej następują miejsca (r4*l)> (r 4~ 2), .... in iw/¹#., a st, s₂, pr przybierają wszelkie (różne, równe) wartości szeregu liczb 1, 2, 3, 4,

•5 i Pu Pu

zawierają po porządku mnogości o stopniach (n-j-1) ,, » = 1, 2, 3, .... Pochodne («-|-r)te miejsc (r) zawierają po

Miejsca (1), (2), (3),

(» + 2), (n + 8)

jednem tylko miejscu, a to: —, w = 1 , 2, 3

2n

...., podczas gdy (w -J- r)t0 pochodne

wszystkich miejsc poprzedzających (1), (2), ...., (r — 1), a przy danem n, takież pochodne miejsc (r) o n = l, 2, ..... (»— 1) już nie istnieją. Gdy więc położymy n = r = w = co , to (n -j- r)ta pochodna wszystkich mnogości (r)r=w będzie już ich pochodną stopnia 2w i będzie zarazem, pochodną tegoż stopnia danej mnogości P. Mamy więc tu

, P^+b^O.

Pd. 4. Gdy P jest mnogością wszędzie zagęszczoną w obszarze (a...b), to — [art. 38.] — P' = P" — ... =    a gdy a jest dowolną liczbą klasy II., to

mamy statecznie P^

P(2w) = punkt

zero

40. Mnogości pierwszej mocy, albo przeliczalne. Przykłady.

Dane mnogości odróżnialiśmy dotąd między sobą według skończonej lub nieskończonej ilości icli pochodnych. Lecz mają one jeszcze inne, nie mniej ważne cechy, któremi je charakteryzować można, a gdy te cechy nie mają już wynikać z mnogości pochodnych, więc daną mnogość pojmować odtąd możemy i będziemy daleko ogólniej jako nieskończenie wiele danych, dowolnie zdefiniowanych, różnych między sobą elementów e (n. p. brył, powierzchni, odcinków, punktów, liczb i t. p.). Z takiej mnogości, którą przez (e) naznaczymy, możemy dowolne elementa wyjmować. Nazwijmyż pierwszy wyjęty element: e1: drugi wyjęty: e₂, ..., vty wyjęty: ev i t. d., to mogą tu — gdy przy tern następstwie elementów po sobie trzymaliśmy się jjewnego prawidła — dwie zajść możliwości, albo 1° porządkiem

(1)

.... in inft.

Cl? e2? C3) "

ustalonym według założonego prawa wyczerpujemy całą mnogość (e), albo 11° porządkiem (1) nie wyczerpiemy całej mnogości, tak, że jeszcze skończona, lub nieskończona liczba elementów pozostaje nie wyjętą.

Bp

= 4 v, to widocznie nie wyczerpu-t. j. wszystkie

Gdy n. p. dana jest mnogość liczb parzystych, to gdy je wypiszemy w porządku 2, 4, 6, 8, ...., a więc ev — ‘2v, to je tym sposobem wyczerpujemy w zupełności. Gdybyśmy jednak wybierali naprzód liczby podzielne przez 4 i je uporządkowali w ten sposób: 4, 8, 12, 16

jemy tu całej mnogości, bo jeszcze pozostały elementa 2, 6, 10, liczby podzielne tylko przez 2. Podobnie, gdybyśmy nazwali:

2 (w-J-1) = gj, 2(w-f-2) = e₂j 2 (» -1- 3) = e₃, .... to przez eu e₂, e₃, .... nie wyczerpujemy całej mnogości liczb parzystych; pozostają bowiem jeszcze nieuwzględnione elementa 2, 4, 6, ..., 2n.

D e f i n i c y a. Mnogość, której elementa można choć w jeden sposób ivy czerpać porządkiem ei, e₂, e₃, .... in inft. nazywamy mnogością mocy picrioszej albo mnogością przeliczalną⁴)

Jej elementa dają się widocznie podporządkować w pewien sposób liczbom szeregu 1, 2, 3, 4, ...., gdy do niego zaliczymy i liczbę co bezpośrednio następującą po wszystkich liczbach skończonych. Każdy element ev, (v=\, 2, 3, ...) ma vte miejsce, a element poprzedzający go i po nim następujący są niedwuznacznie oznaczone (są-to elementa ev_\, ev+\). [Do takich mnogości pierwszej mocy zaliczają się wszystkie mnogości skończone]. Z tej de-finicyi bezpośrednio wynika:

I. Każda część mnogości mocy pierwszej jest również mocy pierwszej.

Gdy bowiem mnogość dana mocy pierwszej jest już uporządkowana, tak, że

(a)

(e)—ei>    £31 •••>

a częściową jej mnogością jest (ea), to możemy ea przedstawić w takim porządku:

(fi cc)-

że i w szeregu (os) jest eax późniejszym elementem niż ea wtedy widocznie mnogość {§) jest przeliczalną, c. b. d. d.

ecc₂1 e«₃1 ••••

z-i 1

ale

Z tego powodu wszystkie liczby parzyste lub nieparzyste, lub wreszcie wszystkie liczby dodatnie pozostające w kongruencyi z daną liczbą q (mod. w) tworzą mnogość przeliczalną.

II. Gdy z szeregiem 1, 2, 3, ... jest pewna dana mnogość tak związana, że doszedłszy w szeregu 1, 2, 3, ... do liczby k zmuszeni jesteśmy podług pewnego obranego prawa z tej danej mnogości wyjmować skon-

(<⁴)

elementów całkiem dobrze określonych, to taka umo

czoną ilość gość jest przeliczalną.

Z określenia takiego wynika bowiem, że każdy element zajmie całkiem oznaczone miejsce, a cała mnogość da się potem podporządkować szeregowi liczb 1, 2, 3, 4, ....

Stosując twierdzenie II. udowodnimy:

A. Nieskończona mnogość odcinków n mieszczących się w skończonym odcinku (a...b) o długości p w ten sposób, że jeden odcinek nie zachodzi na drugi a więc dwa sąsiednie co najwyżej stykają się z sobą, daje się liczyć. Gdy bowiem zauważymy długości p/l, p/2, p/3, ... tworzące widocznie mnogość przeliczalną i zauważymy p/v, to odcinków Jt większych od p/v jest tylko skończona liczba < v. Stąd wynika przeliczalnośó odcinków ic.

To samo odnieść trzeba i do odcinków w obszarze nieograniczonym, taki bowiem obszar można zawsze [art. 36.] zmieniać na zakres (0...1).

B. Mnogość P punktów odosobnionych jest przeliczalną. W takiej mnogości nie zawierają się — jak wiemy — punkta pierwszej jej pochodnej P\ Znaczy to, że wszelkie oddalenia co dwóch sąsiednich punktów w P mają dolną granicę p koniecznie >0. Wskutek tego można każdy punkt mnogości zamknąć takiem otoczeniem, że 1° w jego wnętrzu tylko się ten jeden punkt zawiera, 2° dwa sąsiednie otoczenia nie mają wspólnych punktów. Otoczenia te przedstawiają się jako odcinki, które — według A — dają się liczyć. Tern samem i mnogość P jest przeliczalną.

Sv

G. Nieskończona mnogość, której miejsca wyrażają się przez ($,s₂ ..sv), zawierają więc v parametrów, a te parametry przybierać mogą wszystkie (równe, różne) wartości z szeregu liczb 1, 2, 3, ..., jest pierwszej mocy. Niech n będzie > v, to wszystkich miejsc (s,, s₂, ..., sv^ w których parametry sl3 ś₂, .. mają najwyżej wartość n, jest nv.

Zauważmyź szereg liczb v, v -{- 1, v 2 , ... to widocznie przeliczając go i doszedłszy do liczby n -j- r zbieramy równocześnie w mnogości (s₁s₂...sł,) miejsc nv+r, a więc ilość skończoną. Stąd — według twierdzenia II. — będzie ta mnogość mocy pierwszej.

D. Mnogość ułamków wymiernych, właściwych jest mocy pierwszej. Niech k = 2n — 1, to wszystkie ułamki właściwe p/g, w których pg — 2n — 1 są

2, 3, 4,...

2n— 2 ’ 2n— 3 ’ "

Gdy k = 2 n , to wszystkie ułamki właściwe p / g, w których p -f- g — 2 n

------, a ich liczba jest (w — 1), n —

Są 2n - 1 ’ 2n— 2    n + 1 ’ a ich liczba jest znowu O — 1) i ♦» = ² , 3 , 4, ...

W ten sposób z liczb k = 3, 4, 5, 6, .... dostajemy po porządku:

¹

Przykłady 2., 3. znajdują się w dziele: Ul. Di ni (Liiroth, Schepp) — Grundlagen fur eine Th. der Functionen einer rerdnderlichen reellen Grósse (1892) str. 23, 24.

²

Dwom bowiem nieskończenie bliskim wartościom t, t' w obszarze (t) odpowiadają takież wartości %, x‘ w obszarze (x).

³

^CO    V...

⁴

U Niemców: „Mengen der er sten Machtigkeit, abzahlbare Mengen“ — TJ Francuzów: „Ensombleś de la premiere puisśance, ensembles denombrables¹¹.

1    A (1 1) (1 1)    .

2    ’ 3 ’ \4 ’ 3/ ’ V 5 ’ 4/ ’

Przeliczając szereg 3, 4, 5, ... i tworząc odpowiadające tym liczbom ułamki dostajemy — doszedłszy do liczby k — 2n— 1 — ułamków:

n

2n—i

=22(v-2) + (»-1) = (»-1)>.

v—3

Gdy k — 2n, to tych ułamków mamy:

n

V—%

Widocznie Z

2w —i

<C(2 »— l)², a ?2w < (2 w)², a gdy jeszcze i to uwzględnimy, że powtarzające się ułamki trzeba tylko raz policzyć, to tern bardziej mamy lk<^k². To wskazuje — według tw. II. — że mnogość uważanych ułamków jest rzeczywiście mocy pierwszej.

41. Mnogości złożone z przeliczalnych mnogości. Zwróćmy się teraz do składania danych przeliczalnych mnogości w jedną mnogość. Przeliczalną mnogość (o ilości elementów co) przedstawmy raz na zawsze szeregiem liczb 1, 2, 3, ..., nazywając ją Pw i weźmy pod uwagę mnogość złożoną z nx mnogości przeliczalnych a 1J a2J •")

/ [li?    31? ...], [1₂> ^₂, 32j    [1/?Ł ? 2Bi , 3W

) i mnogości skończonej [al5 a₂, a₃, an].

Ilością jej elementów jest nxoj-fn, a więc liczba klasy II., na co już sam porządek (.4) wypisanych elementów wskazuje.

Pierwsze pytanie, jakie się tu nasuwa jest: czy taka mnogość jest pierwszej mocy t. j. czy można znaleźć taki porządek, któryby spełniał warunki definicyi w art. 40. Wypiszmyż w tym celu elementa złożonej mnogości w porządku:

5    5 ^25 •">    5

(B) {

i •>

element poprzedzający go

3i, 3₂, .... 3Ki ; 41? 4₂, ..., 4zn to widocznie dowolny element 7cs, s== 1, 2, ..., ma swoje całkiem oznaczone miejsce [n-\-(h—l)w₁+s]te, i następujący po nim są również jednoznacznie oznaczone. Elementa więc złożonej mnogości wypisane porządkiem (B) dają się podporządkować szeregowi 1, 2, 3, ... i dają się tym porządkiem całkowicie wyczerpać. To znaczy:

I. Mnogość złożona ze skończonej liczby przeliczalnych mnogości jest przeliczalną. Niektóre — lub nawet icszystkie ¹) — mnogości w skład wchodzące mogą być skończone, albo

Mnogość PniW+n o ilości elementów nxco + n jest przeliczalną.

Jej każda część [art. 40., tw. I.] będzie również przeliczalną.

Taka złożona mnogość ma w porządku (A) ilość elementów n₁coJrn; w porządku (B) przeciwnie przedstawia się ta ilość jako co i wskazuje na przeliczalność mnogości.

Już z tego przykładu widać, że „ilość“ w nieskończonej mnogości nie jest czemś ustalonem niezmiennem. Lecz w każdym razie, gdy przeliczalność pewnej danej mnogości została już stwierdzoną , to można zawsze wziąć co za jej ilość. Przypuszczać bowiem trzeba, że się ją już ma tak uporządkowaną, że jej elementa odpowiadają liczbom 1, 2, 3, 4, ... i w tym porządku wyczerpuje ją się w zupełności.

Na podstawie twierdzenia I. możemy dowieść:

mn

At. Mnogość P, której pochodna P‘ daje się liczyć, jest przeliczalną. Połóżmy bowiem (P, P') = Poi [art. 38.], to P—Poi — J jest mnogością izolowaną i daje się liczyć [art. 40., tw. JEf], P₀₁ jako część przeliczalnej (według założenia) ogości P' daje się także liczyć. Stąd P= J-p Poi jako złożona z dwóch przeliczalnych mnogości jest pierwszej mocy.

. Każda mnogość P pierwszego rodzaju a rw° stopnia daje się liczyć. Gdy ta mnogość ma pochodne P‘, P", ...., P(n), (P(n+1) = 0), to możemy położyć pi __ ępt pn) _[_ (pn P'") _p ... -p (p(w_1) _ p(n)) _j_ p(”).

Lecz P(«)_P(«+¹\ a — 1, 2, ...., tów, gdyż każde P^ jest zamkniętą :

w —1, są mnogościami izolowanych punk-mnogością. P^ jest mnogością skończoną,

Stąd wynika, że P' jako mnogość złożona ze skończonej ilości mnogości przeliczalnych jest także mnogością przeliczalną. Z nią i P — na podstawie tw. Al — daje się liczyć.

Z szeregu :

(«)

1, 2, 3, 4, ;...

utwórzmy nieskończenie wiele szeregów w ten sposób: Szeregiem pierwszym niech będzie sam szereg (a). Szereg drugi niech zawiera jako elementa dwukrotne liczby szeregu (a). Szereg trzeci niech będzie złożony z 3-krotnych liczb szeregu (a) i t. d. in inft.

Wszystkie tak -utworzone szeregi przedstawiają się w sposób następujący :

(a)

(/?)

1.1|, 1.2 , 1.3 2.1, 2.2 , 2.3

1.4

2.4

1.5,

2.5

(y)

3.1,    3.2

3.3 , 3.4

3.5,

(Ó)

4.1

4.2 , 4.3

(«)

5.1

5.2 , 5.3

4.4    , 4.5, ...

5.4    , 5.5, ...

Tworzą one razem mnogość Pw2 o ilości elementów co². Gdy te elementa wypiszemy w porządku:

(B‘)

1, (1.2, 2.1, 2.2), (1.3, 3.1, 2.3, 3.2, 3.3), ....

...., (1 .k, k.l, 2.k, k.2, &.k, k.3, ..., k.k), .... to widocznie mnogość ta jest przeliczalną, a stąd:

II. Nieskończona przeliczalna mnogość przeliczalnych mnogości (a), (fi) 7 (y), ....jest mnogością pierwszej mocy. [Niektóre z przeliczalnych mnogości w skład jej wchodzące mogą być skończone] — albo Mnogość o ilości elementów co² jest przeliczalną.

Za pomocą tego twierdzenia udowodnimy:

Ci. Każda mnogość drugiego rodzaju, której P(<°) jest mnogością przeliczalną (albo skończoną) jest również przeliczalną. Jej pierwszą pochodną mnogość P‘ możemy przedstawić w ten sposób:

P' = (P'~ P") + (P"— P'") +

Jest ona złożeniem nieskończenie wielu przeliczalnych mnogości , jest zatem i sama przeliczalną. Grdy zaś P‘ daje się liczyć to i P— według tw. Ai —- będzie pierwszej mocy.

Di. Mnogość, której miejsca wyrażają się w dowolny sposób przez (s,), (sis₂), in inft., a w których st, s₂, $₃, .... są parametry mogące przybierać

(»1 s2 s3)i

wszystkie (różne, równe) wartości liczb 1,2,8,... jesf przeliczalną. Taka mnogość składa się bowiem z nieskończonej przeliczalnej liczby mnogości Pl=(sl)> l\ — (®1 ^2)1 Ą — (SlS2S;-t)) ••••

również przeliczalnych [art. 40. tw. Ć7.] a więc jest i sama pierwszej mocy.

Okazaliśmy, że mnogość P₍₀j jest pierwszej mocy. Ody teraz mieć będziemy n₂ mnogości

Pa,.’, a=l, ²- ³> •

o ilości elementów co², ni mnogości

P(?, w,

n-i

1, 2, 8,    Wj

to

o ilości elementów co, a oprócz tego w elementów cc,, a.₂, ...cc z nieb złożona mnogość P„₂₍₀*będzie — według I. — przeliczalną.

Podobnie z co mnogości Pa,a>'-, a — 1, 2, 8, ... utworzona mnogość Pws będzie mocy pierwszej.

W ten sposób j^ostępując dalej i stosując przy składaniu mnogości to twierdzenie I., to twierdzenie II., dojdziemy do wniosku: III. Wszelkie mnogości

P(ós ) Pn^ -f

w których s, k, nk, nk-1 Znaczki

(a)

i/

nk-

..., n„ n są skończone, dają, się liczyć.

(jb)

cos, nkCok-\-nk — icok~^.. + nxoo-\-n wskazują ilość elementóio zawartych w tych mnogościach, gdy się Pw« pojmuje jako złożoną z co różnych mnogości Pws-1, a P”^*+ » jako złożoną

różnych mnogości Pwt n    n Pu* — ¹

Z nk

r, nk — 1

Ptó

77    77    77

d 71'

i z n elementów a,, a₂, ..

Po wszystkich liczbach (b), które wszystkie do klasy II. należą następuje co⁰³ [art. 39.]. Występuje ona jako granica wszystkich liczb (6), a mnogość Pw« jako mnogość, do której przez tworzenie bez końca mnogości (a) zdążamy.

Pytanie , jakiej mocy jest ta mnogość Pw« która po wszystkich mnogościach pierwszej mocy następuje, czy jest ona jeszcze także mocy pierwszej ?

42. Mnogości mocy wyższych. Mnogości mocy drugiej w jednokrotnym obszarze. W art. 15. okazaliśmy, że liczba niewymierna rozwija się zawsze na nieskończony ułamek łańcuchowy i że na-odwrót każdy nieskończony taki ułamek określa liczbę niewymierną. Dwa różne ułamki nigdy tej samej liczby nie przedstawiają.

I.    Mnogość Pwm ma moc mnogości wszystkich liczi) niewymiernych zawartych w zakresie (0....1).

Dwie takie mnogości P,, P₂ których elementa dadzą się jednoznacznie podporządkować [jak Pwu i W] nazywać będziemy równoważnemi, a ich równoważność naznaczać będziemy przez Pię\J)P₂. Mając to określenie udowodnimy:

II.    Mnogość icszystkich liczb niewymiernych zakresu (0...1) a więc i mnogość Pww ma talią, moc, jak mnogość wszystkich punktów zakresu (0...1).

Niechże d przedstawia wszystkie liczby niewymierne zakresu (0...1), a ich mnogości nazwijmy: N=(d). Niech x przedstawia dowolne miejsce tego zakresu, a (P) = (0...1). Niech dalej (pv, v= = 1, 2, 3, .... przedstawia ułamki właściwe wymierne zawarte w (0...1), a ich całą mnogość naznaczmy przez (cpv). (Jest ona przeliczalną według art. 40). Określmy wreszcie w zakresie (0...1) do-

ogość (jjv) liczb niewymiernych yv ^n.p.^^-j.

że (.h)

Pomyśłfjiyż sobie całą nieskończoną mnogość N różnych między

,) niezaczynających

sobą, nieskończonych ułamków (mi się liczbą całą, to one przedstawiają wszystkie niewymierne liczby

zawarte w zakresie (0...1) a ich ilość jest <nw.

Gdy bowiem w skończonym ułamku łańcuchowym (mx, m₂,..., mn)

za jego mianowniki podstawiać będziemy wszystkie waryacye z powtórzeniami liczb 1, 2, 3, ..., n, to otrzymamy nn różnych między sobą ułamków wymiernych właściwych. Gdy teraz 1, 2,

3, •

n zmienimy na nieskończony szereg liczb 1, 2, 3, 4, w i ich

ms, ...)

waryacyj z powtórzeniami użyjemy w rozwinięciu (m1 dostaniemy ułamkowych liczb niewymiernych. Widać stąd, że elementa mnogości Pww można podporządkować jednoznacznie elementom mnogości i naodwrót, a stąd wynika:

2?

wolną , przeliczalną mn

Mając te mnogości połóżmy: (x)— (q>v) — (t]v)=(h) tak przedstawia mnogość wszystkich punktów zakresu (0...1) po uprze-dniem wyjęciu z nich punktów (pv i r\v. Wtedy widocznie jest (x) = (h) Ą-((pv)-b(^), co możemy krócej napisać:

(x)=(h, (pv, ri„)

Mnogość [d) złożoną będzie z miejsc h i z miejsc , a więc

(d)-=(h, ryś).

Lecz to samo można napisać we formie (d)=(h, f]2v—i, g-iv), bo (f]v) można podzielić na dwie przeliczalne mnogości {r\%v— i), (772^), v—

Lecz (h) = (h), (^2v_i)C\J (#>„), (172*) (X) (^) a więc będzie N=(d)ę\j(h, (pv , ??!,)=(#)=(0...1), c.b.d.d.

=1, 2, 3,

Z tego wynika, że trzeba nam teraz przedewszystkiem zbadać moc mnogości (0...1). Otóż co do tego udowodnimy:

III. Mnogość (0...1) nie jest mocy pierwszej , nie daje się liczyć.

Gdy w (0...1) określimy dowolną, przeliczalną mnogość P—(ul: w₂, uz, ...), a dowiedziemy, że w (0...1) można znaleść nieskończenie wiele punktów yr, które się do P nie zaliczają to tern samem i twierdzenie III. udowodnimy.

Niech (a.../?),    będzie dowolnym zakresem mieszczącym

się w (0...1). Gdy P nie jest mnogością wszędzie zagęszczoną, to znajdziemy nieskończenie dużo odcinków («.../?) takich, że w nich miejsc uk wcale nie ma. Każdy punkt n tych odcinków nie mieści się w P.

Gdy P jest pantachiczną mnogością w całym zakresie (0...1), to jjozostaje taką i w dowolnym zakresie («.../?) mieszczącym się w (0...1). Niechżeż w porządku (%, w₂, w₃, ...) w którym — najogólniej — miejsca nie są ułożone podług wielkości, będzie uki pierw-szem miejscem a drugiem mieszczącem się we wnętrzu

Mniejszą z wartości ukll ukz naznaczamy przez aj a większą przez /?' to mamy a<^a‘ <a we wnętrzu (a*.../?') nie mieszczą się z pewnością miejsca w1? w₂, uZ) ..., gdzie musi być 7v₂)>2 (%i; są krańcami tego zakresu).

Zauważmy pozostałe miejsca +i, uki+₂, ^ą.3, ... to w tym porządku znajdziemy znowu, pierwsze miejsce n. p. , a potem drugie ukti mieszczące się we wnętrzu    Naznaczmy mniejsze

z miejsc w*₃, przez a" a większe przez /?", to mamy

/?" <;/?'<; /?

a we wnętrzu (a".../?") nie mieszczą się miejsca wl5 w₂, ..., ukli gdzie znowu &₄)>4. Postępując tak dalej mieć będziemy a<a" < a'" <... <    </?(**) </?(* -*>< ... </?

a we wnętrzu zakresu (aM.../SW) nie zawierają się miejsca

Tciv > 2

Z powodu, że mnogość P jest wszędzie zagęszczona, nie dojdziemy tu do odcinka    0 wolnego od miejsc całej

mnogości, ale to zmiejszanie odcinków da się tu prowadzić dalej i dalej. Granicą tego zmniejszania będzie:

q= lim (aM )=0

p—CG

a więc punkt lim a^— lim ftv)=n

V <x>

v=.<x>

Poza nim leżą, wszystkie miejsca us t. j. cała mnogość P, gdyż in inft. mamy /g2 v 2 Punkt yr nie należy więc do P, a że (a.../?) można wybrać dowolnie, więc takich punktów yr znajdziemy w (0...1) nieskończenie dużo.

Gdyśmy tak istnienia nieskończenie dużo punktów n nieliczą-cych się do pantachicznej, lub niepantachicznej mnogości P wykazali, udowodniliśmy tern samem twierdzenie III. w zupełności.

Mnogość Pww ma moc, która — jak to wykazaliśmy — odmienną jest od mocy pierwszej, a że następuje bezpośrednio po wszystkich mnogościach mocy pierwszej, więc jej moc nazwiemy drugą. Z drugiej strony okazało się, że ta mnogość jest równoważną z całkowitym obszarem (0...1), a tern samem z dowolnym całkowitym obszarem ograniczonym (a...b) lub nieograniczonym (—00...+ go) [art. 36.]. Taki zakres jest oczywiście mnogością najwyższej mocy, jaką w nim określić można. Stąd wynika:

IV. a) W obszarach jednokrotnych są mnogości mocy drugiej zarazem mnogościami ostatniej, najwyższej mocy.

b) Tworzenie liczb klasy II., określających ilość elementów w mnogości punktów na danym odcinku (w mnogościach liniowych) można zakończyć liczbą ww.

Oznaczmy przez (x) zakres (0...1) z wliczeniem do niego punktów końcowych 0, 1, przez (y)¹ taki zakres (0...1) z uprzedniem wyjęciem punktu końcowego 0, a przez (y) znowu zakres (0...1) z wliczeniem do niego punktów 0, 1 (a więc (y) jest tern samem, co (ix)). Połóżmy dalej:

(i)

to I-²-

..4+

A\ + (A_|_A. tA_p A_pA]

2V l 2 ^2² 2 t22T2³/

(2)

{y)= (- -.-o) + (

rH CM

tO₍ I—L

... ₂

H⁺(

to i I-*

r-H

r—1

cm

to

~FT 'f"

to widzimy, że każdemu punktowi podziału zakresu (x) odpowiadają dwa różne punkta końcowe częściowych zakresów zakresu (y) a to w ten sposób:

, ^11 punkta y= 0 ,    2^

punktowi x=-^r

U

(a)

11

11

JL+l

2 t2²

₌1+1+1

v 2 ' 22_r2³

11

11

11

11

A A A

2 i ~2    2²^ 2³

A A A A . A.A

2 ' 2²* 2 ^ 2²' 23 ' 2⁴    ^

(/?)

Z każdych tycli dwóch punktów odrzućmy jeden, a to: w (a) punkt 0, w (/?) zaś, w (y), w (d), ... odrzućmy zawsze punkt drugi. Wtedy widocznie (2) przechodzi na (y)‘, a że zresztą punkta leżące wewnątrz częściowych zakresów (2) można jednoznacznie podporządkować odpowiednim zakresom (1) [i naodwrót], więc mamy:

0r)(X3(y)', a to znaczy:

Y. Każdy całkowity zakres (0...1) jest równoważny z sobą po uprze-dniem ivyjęciu z niego jednego z punktów końcowych 0, 1.

To samo dotyczy każdego zakresu (a...b), w którym a lub b ma skończoną wartość.

Naznaczmy to, pisząc:

(a...b) ę\3{a...b)aę\g(a...b)b, b u dołu wskazują wyjęcie punktu a lub b

gdzie znaczki a z zakresu.

Mając to twierdzenie zauważmy w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze liniowym pewną skończoną, lub nieskończoną ilość odcinków następujących po sobie:

(a)

(«i-M,    («2-&₂)j    («3-&₃)>    •

leżących tak, że dwa sąsiednie leżą zewnątrz siebie, albo najwyżej stykają się z sobą, a ich punkta końcowe wliczają się do nich.

Zastąpmy (a) równoważnymi odcinkami:

i zsuńmy je w ten sposób, aby tworzyły jednolity odcinek («.../?), to mamy:

(&)

Oi-A)6l + (a2-A)b2 +(«?,-b₃\ + ...OJ(a...p) gdyż wskutek wyjęcia punktów bi, &₂, 5₃, .... każdy punkt po zsunięciu już tylko raz występuje.

Grdy zważymy dalej, że (a...(3) jest mocy drugiej i że w razie nieskończonej ilości odcinków (a) jest ich mnogość przeliczalną, to z równoważności (b) wnioskujemy:

VI. Skończona albo nieskończona, ale przeliczalna ilość odcinkóio zawiera w sobie mnogość punktów drugiej mocy.

43. Mnogość w obszarze n- krotnym. Obszary ciągłe (continua). Przejdźmy teraz do obszaru (aą, x₂₁ ..., xn) n zmiennych rzeczywistych i do nieskończonej mnogości miejsc (x\, x‘₂₇ ..., xn‘) zdefiniowanych w tym obszarze. Tutaj da się udowodnić:

I. Gdy w ograniczonym obszarze n zmiennych rzeczywistych (xil x₂, ..., #«)=(0...1, 0...1, ..., 0...1) zdefiniujemy nieskończoną ilość miejsc (x\, x'₂, ..., x‘n), to znajdzie się

w tym obszarze jedno przynajmniej miejsce (xi (°), #₂(°), ..., xf(i'>), w Mor eg o otoczenie zgromadzą się miejsca zdefiniowane w nieskończonej ilości. Takie miejsce nazywa się i tu miejscem, albo punMem skupienia.

Przy n = 2 mamy obszar (aą, #₂) = (0...1, 0...1), a jeżeli w nim mamy miejsc zdefiniowanych nieskończenie dużo, to przynajmniej

w jednej z czwartych części 1, 2, 8, 4 (fig. 8.) tego obszaru (kwadratu) musi ich być nieskończona ilość. Taką czwartą część możemy naznaczyć w ten sposób: gj + 1    %+l

2 2

c, i d,

----co.....

-■4--

(«)

£i

gdzie według potrzeby ^ = 0, 7^ = 0, albo = O

£i⁼¹> Ii=1-

Tak samo rozumując o obszarze (a) powiemy : Przynajmniej w jednej z czwartych jego części gromadzić się muszą miejsca zdefiniowane w nieskończonej ilości. Tę część — będzie to jeden z 4²=16 kwadratów a₁, bt, ci} d1; a2: ..., a₄, ó₄, c₄, d₄ — zatrzymamy i naznaczymy ją w ten sposób:

f₂+l rl\

c<. i

Fig. 8.

albo =1, % = 0, albo

(&)

ł⁺#-ł+

Tutaj znowu e₂=0, ?/₂=0, albo f₂ =0, ?y₂ = 1, albo £₂ = 1? V2⁼⁼^7 albo wreszcie e₂ = l ^₂ = 1, według potrzeby.

Prowadząc to dzielenie i wydzielanie jednej z czwartych części dalej, przedstawić możemy (l/4I')tą część — v^>2 — zatrzy-

maną

CS

(c)

to\J?

hO\ cr>

to|tO

to |<?3

to

tO ty>

to | to

£i>+ 1

2V 1

Ii

2V "" 2

rjv +1

+ 02 +-+ 2*

gdzie el7 e₂, ..., ev są albo wszystkie =0, albo wszystkie =1, albo niektóre są =0, a pozostałe =1. Tak samo się zachowują gi ..., 1]V. Połóżmy:

£1 I g2 , i Ev _ y (p) Ii i II i i    __ r (v)

2+2²⁺”'⁺2¹' ^ ’ 2⁺2²⁺⁻"⁺2¹’ ’

to obszar (c) możemy krótko tak napisać:

(ć)

x^)..

2V’

przy czem r dowolnie duże być może. Obierzmyż dowolnie małą

dodatnią ilość d, to możemy v tak duże założyć, że będzie ó^> lj2v a gdy położymy :

+ 22 + 2I +*■•    =a;i⁽⁰⁾

to obszar

Y +f| + ff +••• inft- = ^2⁽⁰⁾

(aąW — d ...    + d, a;./⁰) — d ... #₂⁽⁰⁾ + d)

jest otoczeniem punktu (xi⁽^ x.₂^) i mieści w sobie całkowicie obszar (c‘). W otoczeniu zatem (d) mamy miejsc zdefiniowanych nieskończenie dużo, a punkt {x^\ x₂^)} do którego tu dojść musimy, jest punktem skupienia.

Dla n = 2 mamy zatem twierdzenie I. udowodnione. Gdy n >2, to dowód poprowadzi się analogicznie z tą różnicą, że obszar (*G, x₂, •

podzielić tu trzeba na 2n równych części, a każdą z nich — gdy V\i d±?

(d)

••5

xn)=(0...1, 0...1, ..., 0...1)

nx są n znakami mogącymi znaczyć 0 albo 1 — wy-

razimy przez:

(ł-

+1    V\    ^i+I    dt +1

' 2 ’    2 2 ;    2    "" 2 ’

2 •••• 2 ;■

Tę część znowu trzeba będzie podzielić na 2n części i t. d. Zauważmy obszar ograniczony

0®1 , *^2 5    ⁼    ••• ^1 j ^2“‘^2 5

różny od obszaru (0...1, 0...1, ..., 0...1) i o skończonych av, bv, ^=1, 2, ..., w. W nim niech się znajduje nieskończona mnogość miejsc zdefiniowanych (x'iJ x'₂,

Xvz==-0>v (1 —bp) -f- bv tv

an...bn)

(^)

x‘n). Kładąc r = l, 2, .

przeróbmy ten obszar na

(*1? b~2 j 4) = (0...1, 0...1, ..., 0...1), to w nim miejsca (ź'₁₅ ź'₂, ..., tf'„) odpowiadające — podług (e) — miejscom    #'₂,    ..., #'„) mieć będą jeden przynajmniej punkt

skupienia    ć₂⁽⁰⁾5 •••> 4⁽⁰⁾)* Tern samem i w obszarze {ax...b

a₂...b₂, ..., an...bn) mieć będziemy jedno miejsce skupienia {x^\ x₂^\ ..., xnW) odpowiadające miejscu    4⁽⁰⁾? —? 4⁽⁰⁾)-

Przyjmijmy teraz, że mamy nieskończoną mnogość miejsc

x'n) w nieograniczonym obszarze (xif x₂, ..., xn) = (—oo... + oo, —oo... + oo Obierzmy w każdym zakresie xv—(—00... + 00) trzy miejsca av, bv, cv, (av < <C 5V) i połóżmy

bv Cp Xp ttji bp ^ Xp Cp

to dostaniemy [art. 36.] obszar

zdefiniowanych (x\, x‘

25 ’"’5

— 00 ...-f-GO ).

(f)

itjf • ■ —■

(^11 ^2?

a w nim mnogość miejsc (t\, t‘₂, .... t‘n) odpowiadających podług (/') miejscom (x‘u x‘2: ..., x‘n). Miejsca (t\, t‘₂, ..., t‘n) muszą mieć przynajmniej jeden punkt skupienia. Tern samem i miejsca (x\, x‘₂, ..., x‘n) w nieograniczonym obszarze posiadać będą przynajmniej jeden taki punkt. Z tych uwag wynika:

II.    W ograniczonym obszarze (xi: a?₂, ..., xn)=(ai...bi, a₂...b₂, ...,

an...bn), albo w obszarze, litóry się całkowicie wraz z swem ograniczeniem w nim mieści,    wreszcie w nieograniczonym obszarze nieskończona

mnogość miejsc zdefiniowanych posiada przynajmniej jeden punkt skupienia. Krócej: W dowolnym obszarze mieszcząca się taka mnogość ma przynajmniej jeden punkt skupienia.

Grdy zważymy, że obszar n urojonych zmiennych xi1 x₂, ..., xn , [xv—uv-\-vvi, v=l, 2, ..., n), przedstawia się jako obszar 2n zmiennych rzeczywistych («1? vu u₂, v₂, ..., un, «7W), [art. 35], to odrazu wnioskować możemy:

III.    Gdy iv dowolnym obszarze n urojonych zmiennych xv=uv-\-vvi

mamy nieskończoną mnogość miejsc zdefiniowanych (x\, x‘2) x‘v=u‘PJrv‘v i, to ta mnogość musi posiadać jeden przynajmniej punkt skupienia, Ten punkt jest (u^    ufd) +v₂(°)i,    m„(°)    ,

jeżeli miejsca (u\, v\, u‘₂, v'₂, ..., u‘nv‘n) mają miejsce skupienia

(w⁽⁰⁾i> «⁽⁰⁾i, w⁽⁰⁾₂, ^⁽⁰⁾2J    w⁽⁰⁾», v⁽⁰⁾«).

mno-

Uwaga. Podobnie, jak w mnogościach liniowych możemy i tu dostać skończoną lub nieskończoną ilość punktów skupienia; dalej — co samo przez się jas-nem jest — możemy tu mieć mnogości pierwszego lub drugiego rodzaju gości wszędzie zagęszczone, izolowane lub zamknięte, a to odróżnianie mnogości w ten sposób, zależne jest i tu od zachowania się ich pochodnych mnogości [art. 37, 38] względem mnogości danej.

mieści się w ob-

Pd. 1. Mnogość (*' y‘) = (1/tą, l/n₂), w₁ = tt₂ = l, 2, 3, szarze (oclyi) = (0...1, 0...1) i ma jeden punkt skupienia (0, 0).

Pd. 2. Mnogość (x‘, y% s‘) = (a, b, c), gdzie a, b, c przybierają (różne, równe) wartości ułamków właściwych wymiernych mieści się w obszarze (0...1, 0...1, 0. .1) i jest mnogością wszędzie zagęszczoną w tym obszarze.

Pd. 3. W obszarze jednej urojonej zmiennej x = u-\-vi określona mnogość

miejsc

x' = u‘ + v‘i = [l +    (

cos

2 Je r.

-j- i sin

21cr.

)==(*, *0

« = 0, 1, 2,

Jc — 0, 1, 2

Je

posiada punkta skupienia

lim (s, Jc) = lim (cos

8~ co    8— co '

2 kr.

k = 0, 1, 2, 3,

■f- i sin in inft.

2 kr.

s+ 1

Jest więc tu miejsc skupienia nieskończenie dużo. Tworzą one mnogość pochodną i", która się mieści całkowicie na okręgu koła zakreślonego na płaszczyźnie (x) z punktu sc — O promieniem =1 i jest mnogością wszędzie zagęszczoną na tym okręgu. (M i 11 a g L e f f 1 e r. 1. c.)

Widzieliśmy już-to w teoryi mnogości liniowych, już-to tu, rozważając mnogości w w-krotnych obszarach, że pochodna P‘ mnogości P wszędzie zagęszczonej w danym obszarze przedstawia się jako sam dany obszar. Z tego widzimy, że całkowity, ograniczony lub nieograniczony obszar uważać trzeba często za mnogość. Taki obszar nazywają także krótko „continuum¹⁴ albo obszarem ciągłym a definiują go jako mnogość w ten sposób:

Definicya. a) Mnogość o takiej własności, że wszystkie punkta leżące w otoczeniu dowolnego jej punkta należą do mnogości, tworzą „continuum¹¹. Punkta, w otoczeniu których znajdują się i punkta należące do mnogości i punkta nie wliczające się do niej tworzą granicę obszaru ciągłego (ograniczenie obszaru; art. 32., I—V., art. 35.)

b) „Continuum¹¹ P takie, że z dowolnego jego miejsca (x\, x\, ..., x‘n) do innego dowolnego jego miejsca (x‘\, x“₂, ..., x“n) przejść można przechodząc przez same miejsca należące do tegoż „continuum“ nazywa się zwartem, albo obszarem zwartym.

44. Moc pierwsza i druga (ostatnia) mnogości w obszarze ^.-krotnym. Przejdźmy do nowego punktu w rozważaniu mnogości zawartych w w-krotnym obszarze (n~ż> 1) a to do pytania: jakiej mocy mogą być takie mnogości?

W tym celu zauważmy obszar n zmiennych rzeczywistych:

(a)

(xi, x₂, ..., xn)={0...1, 0...1, ..., 0...1), do którego — jak to widzieliśmy — wszystkie obszary w-krotne przywieść można. Równocześnie z nim niech będzie dany obszar jednej zmiennej t:

(&)

Podług art. 42. tw. II. jest obszar (b) równoważny z mnogością (d) wszystkich liczb niewymiernych d zawartych w (0...1), a więc

(t) C\J (d).

Podobnie — gdy (dx), (d₂), ..., (dn) mają takie samo znaczenie jak (d), są więc również mnogościami wszystkich liczb niewymiernych zawartych w (0...1) — możemy położyć:

(e)

(#i, x₂, ..., #«) CV)[(ć^)j (d₂), ..., (dn)J, gdyż każda zmienna xv w (a) wypełnia zakres (0...1).

Teorya funkcyj.

Według równoważności (c) będzie każdemu miejscu (xi, x₂, ...,x„) odpowiadało pewne oznaczone miejsce (d1} d₂, ..., dn), którego spół-rzędne dl, d₂, ..., dn są albo wszystkie różne albo są częściowo lub nawet wszystkie sobie równe. Niechże

di=(ctii, a2i, 05₃₁, ...),    ^2~(⁰⁵125 ft221 a321 •••)>

^23? ®337 ^43? ••■)? •") dn — ((X 1TC? CJ2«j    •••)

będą rozwinięciami liczb di} d₂, ..., na ułamki łańcuchowe, nieskończone [art. IB.]. Z temi n niewymiernemu liczbami można zawsze Sprządz \n + l)szą liczbę niewymierną postaci

d-i^Ct^, 0^2) •••?    ^21? ^22; •••> ^2w) ^31? •••)•

Ale i naodwrót gdy mamy dowolną liczbę d=(^, /?₂, /?₃, ...) wyjętą z mnogości (c?) to można z nią w jednoznaczny sposób sprządz n liczb niewymiernych tak utworzonych:

(/?!, /?»-{-jj @2n —f-1 j •••)>    ^2⁼⁼(/^2?    2? ^2nĄ-2^ •••)>

^3⁼⁼(/^₃j fin-f-3j /^2» + 3? •••); ••• dn=g((łni, @2ni @3nj •••)•

Z tego wynika równoważność

[(^l)? (^2))    (4)].CV(^)

a z niej — wskutek (&) i (c) — równoważność (a?A, #₂, •••,

To znaczy:

I. Ograniczony n-krotny obszar \xu x.₂₎ ..., #»)=(0...1, 0...1, ..., 0...1) da się całkowicie i jednoznacznie sprządz z obszarem (tf)=(0...1) jednej Zmiennej w ten sposób, że miejscu (x\, x'₂, ... #'„) jedno całkiem oznaczone miejsce t\ a miejscu V naodwrót nie inne miejsce, ale (x\, x\, ..., x‘n) odpowiadać będzie²).

Ponieważ w jednokrotnych obszarach mamy tylko mnogości pierwszej , lub drugiej mocy, więc — na podstawie tw. I. — wnioskujemy:    .

II. Wszelkie mnogości, jakie określić można w obszarach n-kro-tnych są — jak liniowe — albo mocy pierwszej, albo mocy drugiej (ter-tium non datur).

A. Miejsca .²'₂, x‘n) zdefiniowane tak, że spółrzędne x'a przybierają wartości pewnych mnogości przeliczalnych, tworzą mnogość pierwszej mocy. To udowodni się w ten sam sposób, jak przeliczalność mnogości rozważanej w C art. 40.

B.    Gdy w obszarze w-krotnym mieści się przeliczalna mnogość, to znajdują się w nim punkta, które do tej mnogości nie należą.

C.    Jak w liniowym obszarze mnogość takich odcinków, że dwa sąsiednie nie mają wspólnych punktów, daje się liczyć, tak — podobnie — w obszarze (a?, y) mnogość powierzchni, a w obszarze (x, y, s) mnogość brył tak ułożonych, że względem jednej , dowolnej z nich wszystkie inne leżą całkowicie zewnątrz niej, jest mocy pierwszej.

Przerobiwszy dane obszary na (0...1, 0...1) lub (0...1, 0...1, 0...1) prowadzić można dalej dowód tak, jak w art. 40. A.

45. Obszar punktów pozostający po wydzieleniu przeliczalnej mnogości. W teoryi funkcyi ma ważne zastosowanie następujące twierdzenie:

Gdy w dowolnym, obszarze (%, y) dwóch zmiennych rzeczywistych mieści się przeliczalna mnogość P miejsc (V to, po icyłączeniu z tego obszaru tych miejsc, pozostałe punkta tworzą continuum zwarte.

Rozbierzmy przypadek najmniej korzystny, przyjmując, że mnogość P jest w danym obszarze wszędzie zagęszczona. Połączmy dwa punkta si, s\ do mnogości nie należące, dowolną linią Z, leżącą całkowicie w obszarze; na niej znajdować się będzie skończona albo nieskończona ale przeliczalna ilość punktów mnogości P. a w dowolnie małym odcinku znajdują się niezawodnie punkta, które do Pnie należą. Z tych punktów zauważmy punkta si,s2:s3:... po sobie na l następujące i tak położone, że proste odcinki s^, s₂s?), ... całkowicie się mieszczą w obszarze.

(a)

Między si a s₂ niech się na l mieszczą punkta mnogości P, Przez punkta s1? s.₂ da się przeprowadzić nieskończona ilość kół (si ^2)11 (si ^2)2? (si ^2)3? •••

Środki tych kół leżeć będą na prostej (połowiącej odcinek sxs₂ i prostopadłej do niego). Na tej prostej można wyznaczyć taki odeinek a /?, że w nim leżące punkta występują wszystkie jako środki tych kół (a), które się całkowicie mieszczą w obszarze. Z tych kół pewna ich ilość, zawsze przeliczalna, przechodzić będzie przez punkta mnogości P. Ich środki tworzą więc na aft także mnogość przeliczalną, a stąd wynika, że na a (3 znajdują się punkta n (art. 42.) do nich nie należące. Zatoczmyż z punktu n koło przechodzące .przez s1? s₂ i zastąpmy łukiem tego koła odcinek linii lx łączący z s₂, to mamy w tym łuku przejście z punktu do s2 z ominięciem punktów mnogości. Tak samo postąpić trzeba z częściami s₂ s₃, S3S4, ... linii Z, jeżeli się w nich punkta mnogości

zawierają. Przez to uzyskujemy przejście z punktu st do z ominięciem punktów mnogości P, a że te punkta (s1} s\) są dowolne, więc twierdzenie jest udowodnione.

To samo da się udowodnić o obszarze jednej urojonej zmiennej x=u-\-vi, gdy go zamienimy na obszar dwóch rzeczywistych zmiennych (w, v).

To samo wreszcie da się przenieść i do obszaru (#, y₁ z) trzech rzeczywistych zmiennych. Potrzeba tylko w dowodzie koła (sis₂)i, (Sj$2)2 ••• zastąpić kulami przez punkta si, s₂ przechodzącemi³).

46. Pojęcie granicy dolnej i górnej. Przejdźmy teraz do nowego pojęcia, jakie się wyłania z teoryi mnogości.

Niech nieskończona mnogość P miejsc wyjętych (rzeczywistych) x‘ zawiera się w ograniczonym obszarze (0...1). Gdy punkt 1 ani do wyjętych miejsc nie należy, ani nie jest miejscem skupienia mnogości, to punkta £, których spółrzędne są większe od wszystkich P, mieścić się będą w pewnem continuum (6r...l), a punkt ćr, 0 <6r<Cl, będzie punktem x‘ albo najbliższym punktu 1 —

i A i

2’ 3’ 4

dzie punktem skupienia mnogości a więc także punktem całkiem

r.    1

oznaczonym jak n. p. punkt w przypadku, gdy

A_ A

2~    4

“W szczególności może sam punkt 1 być takim punktem G.

[jak

n. p. punkt

A w mnogości P==^

HI

rH CO

rH KM

T⁻¹ 'lO

rH i lO

I_i )]

2    6’ 7J

Podobnie, gdy punkt 0 ani nie należy do określonych, ani nie jest miejscem skupienia mnogości P, to continuum miejsc §' takich, że są mniejsze od wszelkich x\ będzie (0...g), a y, (0 <Cg < 1)’ być może albo pierwszem miejscem określonem w P, albo punktem skupienia tej mnogości. I tu w szczególnych przypadkach mógłby sam punkt 0 być takim punktem g.

Gdy zważymy dalej, że wszelki ograniczony lub nieograniczony liniowy obszar da się zamienić na (0...1), to stąd wnioskujemy, że każda liniowa nieskończona mnogość posiada koniecznie punkta ćr, g. W szczególności mogą być: ćr=-foo, g=—co, albo jeden z tych punktów leżeć może w nieskończoności. Te jrankta ćr, g określamy w ten sposób:

Definicya: Gdy dana jest w ograniczonym obszarze liniowym nieskończona mnogość miejsc określonych (zdefiniowanych) x to zawsze znajdziemy całkiem oznaczony punkt ćr o takiej własności, że zdefiniowanych x‘ większych od ćr nie ma , a w obszarze (ćr—S...G), gdzie d jest dowolnie małą dodatnią ilością, znajdują się miejsca określone — (przynajmniej jedno). — Sam punkt ćr do określonych albo należy, albo nie należy.

Podobnie musi się znaleśó punkt g o takiej własności, że g jest mniejsze od wszelkich określonych xl, a w obszarze (g...g-fió), gdzie ó znowu dowolnie małą dodatnią jest ilością, miejsca X¹ — (przynajmniej jedno) — zawsze się znajdują. Gdy ćr, g nie są miejscami skupienia, to w (G...G—6) i w (g...gĄ-d) mieszczące się miejsca x‘ są-to : samo miejsce ćr i samo miejsce g.

Przechodząc do nieograniczonego obszaru możemy mieć w szczególnych przypadkach: ćr=-{-co, g——go, albo ćr=+oo przy skoń-czonem y, albo wreszcie g=—oo przy skończonem ćr.

punkt g dolną granicą

Punkt ćr nazywamy górną granicą miejsc wyjętych. G=co określamy w ten sposób, że między wyję-temi X¹ znajdują się i takie, które okazują się > A, choć A jest dowolnie dużą dodatnią ilością. Analogicznie określa się g=—co .

Z tych uwag wynika:

I. Nieskończona mnogość miejsc określonych rzeczyioistych (nieskończona mnogość określonych liczb rzeczywistych) musi koniecznie posiadać pewną górną i dolną granicę. Granice te do zdefiniowanych miejsc (liczb) nie potrzebują należeć.

Pd. 1. Mnogość wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich ma górną granicę G = -j- oo, dolną zaś g = 0.

Pd. 2. Wszystkie ułamki właściwe wymierne mają dolną granicę g = 0, a górną G— 1, przytem granice te do mnogości zdefiniowanej nie należą.

Pd. 3. Mając szereg s = <*₀ -}-at -J- a₂ + ..., w którym lim an — O, połóżmy

•®n,łHa»+a» + l + ••+«» + ;!)    ^b,*⁵*!** 1+1 an+l I +"■ + I a«

z dowolnem t. Obierzmy dowolnie małą dodatnią ilość 8 i przyjmijmy, że przy dostatecznie dużem skończonem n spełnia się albo nierówność

(p)- *'•,,<*•

f=0, 1, 2, ... (aż do

+t

(a) Bn t<^ 8, albo nierówność W razie nierówności («) leżą wszystkie miejsca B

n. 11

musi się znajdować w tym

t — w) w obszarze (0...8), a więc i B₀ = lim B

ż = CO

obszarze, a szereg s jest w danym porządku zbieżnym, (choć bezwarunkowa zbieżność nie jest wykluczona). B₀ jest tu punktem skupienia miejsc Bn t a w szczególnych przypadkach może być górną lub dolną granicą tych miejsc.

Gdy się nierówność ((3) sprawdza, to mamy B‘n 0 < R‘n , < B'

n, £

w, 2? "•

wszystkie te miejsca leżą znowu w obszarze (0...8). Lecz ich punkt skupienia występuje tu zawsze jako górna granica. Szereg s jest bezwarunkowo

lim B'

t oo

zbieżnym, [art. 5. tw. IX. i art. 28. tw. IV.].

n, t

47. Rzut stcreograficzny płaszczyzny liczbowej na kule. Niektórzy autorowie , jak C. Ne u mann*), F. Klein**) mają w zwyczaju zamiast nieograniczonej płaszczyzny urojonej zmiennej, którą teraz dla wygody nazwiemy z=x-\-yix używać kuli, która z płaszczyzną (z) w taki sposób jest złączona : Jej środek jest w punkcie £=0, jej promień =1, tak, że jej równanie — gdy osie ff', rjrj1 wpadają w osie: pierwszorzędną xx, drugorzędną yy, a oś ££', jest prostopadłą do płaszczyzny (z) — ma postać:

t?

O?

B'

Fig. 9.

(a)

Na płaszczyźnie (z), którą za równikową kuli uważamy, obierzmy dowolny punkt P~x-\-yi (fig. 9.) i połączmy go z biegunem B (|-0, y = 0, £=1) prostą, to prosta ta raz i tylko raz przebije kulę w punkcie Q. Jego spółrzędne niech będą i, rj, £.

*) Vorlesungen ii. Biemanns Theorie der Abelschen Integrale — Lipsk 1884. (Wydanie drugie).

) Vorlesungen u. das llcosaeder und Auflósung der Gleichungen vom fiinf-ten Grade — Lipsk 1884. str. 32.

Połączmy punkta P, 0, prostą i poprowadźmy QQ1 dalej Q R # (^0, to mamy:

OP

0P:RQ=0B:RB.

Połóżmy 0 P=r=Vx²Ą-y², RQ=OQi=Q=V £² + r\² i zauważmy, że OP— 1, RB= 1—£, to mamy:

(/?)

albo r— —

Lecz, gdy P=x-\-y i=rl w miejsce równania (/?) położyć możemy:

0*=*x+yi=(§+i]i)I(1—£), stąd £), y=riK 1 —f), gdzie £² + ??² + £²=l.

(A)

(y)

<p i

Ze związków (y) dostajemy (1—£)² (x²-hy²)=£² + y², a gdy to wstawimy w równanie (a), mieć będziemy:

(l-0²(*«+y²Hl-£>=(l-£)(l + £); stąd

(d)

—l+^²+y²

l+»²+y²

Wstawiając tę wartość w związki (y) dostaniemy

(<*')

JJLT)

1+x²+y

^ lĄ-% ²+y²

W (ó) i (d‘) mamy wyrażone spółrzędne punktu Q przez X, y

punktu P.

Gdy P przebiega całą płaszczyznę (#) zewnątrz koła K, to $ przebiega całą tą półkulę, na której leży biegun P. Sam biegun B odpowiada punktowi £=oo .

Gdy punkt P wejdzie w wnętrze koła K iw niem poruszać się będzie, to tej części płaszczyzny (0) odpowie półkula druga z biegunem B‘ na sobie.

Cała kula może więc zastąpić całą płaszczyznę nieograniczoną (0); dowolnemu punktowi xĄ-yi tej płaszczyzny odpowiada jeden tylko punkt na kuli o spółrzędnych obliczonych w (d) i (ó¹).

Naodwrót każdemu punktowi (£, 1/, £) kuli odpowie na płaszczyźnie (0) jeden tylko punkt z=x-\-yi przedstawiony wzorem (J.), a o spółrzędnych x, y obliczonych w (y).

Takie sprzężenie kuli (jej punktów Q) z jej płaszczyzną równikową (z jej punktami P) nazywa się jej rzutem stereografi-cznym albo stereograficzną projekcyą — na płaszczyznę.

Biorąc kulę w miejsce płaszczyzny (0) ma się tę korzyść, że tu punkt B zastępujący punkt w nieskończoności nie zachowuje się wyjątkowo w stosunku do wszelkich innych punktów kuli.

Uwagi. — I. Rzutem stereo graficznym każdego koła leżącego na kuli jest również koło. Niech bowiem na kuli leży koło K (fig. 10) o środku c na kuli.

Poprowadźmy przez c południk X, a dalej — co na stereograficzny rzut koła nie będzie mieć wpływu — obróćmy kulę około jej osi BB' tak, aby południk X padł na płaszczyznę papieru (fig. 11.).

oq

ber

r**

V...

LO.

C~3

°ls

to

Fig. 10.

Fig. 11.

Rzucając koło K z biegunu B dostaniemy skośny, kołowy stożek GB D, a stereograficzną projekcyą koła K=(C D) będzie płaska zamknięta krzywa (CD') leżąca na stożku.

Narysujmy w B styczną t do koła X, to dostajemy:

— Y,)=^P:=^a/> a więc:

Z tego wynika, że płaszczyzna równikowa CD' przecina dwie rodzące stożka BC, BD leżące w jego płaszczyźnie osiowej pod takimi samymi kątami, jak płaszczyzna CD danego koła (CD), a wskutek tego krzywa {C‘D'), będzie również kołem c. b. d. d. To określamy, mówiąc: Przez rzut stereograficzny powstaje pokrewieństwo kołowe kuli z płaszczyzną.

II. Z równania (A) przez różniczkowanie dostajemy:

de=[(l-S) (d ę + d r) i)+(ę + n i) d q/ (1 -    ; stąd

W²

[(l-jOdg+S^ + Kl-Odg + grfg* ,

i —ę 1⁴

a po wykonaniu działań w liczniku i uwzględnieniu związku ^d^-\- f] driĄ-^dK—O, który z (a) wynika, mieć będziemy:

(0

| dz |² = (d£² + dr)²-j-d£²)/11 — £|⁴> a więc | dz | ={d¥ + d^Ą- <U²)l/2/11 — ę|².

Lecz    ćZ*i²-j-d‘(²)1/2 = d a uważać można za element łuku poczynający

się w punkcie (£, rj, ’G) a należący do dowolnej krzywej, leżącej na kuli i przechodzącej przez punkt (Ę, rj, £).

| dz | przedstawia wtedy odpowiedni element łuku ds na płaszczyźnie (z). Przy tych oznaczeniach napisze się związek (e) w postaci:

¹

Wtedy złożona mnogość jest skończoną.

²

Co się tyczy bliższych szczegółów podporządkowywania w ciągły sposób punktów odcinka (0...1) punktom kwadratu (0...1, 0...1) por. G. Pean o „Sur une courbe, qui rempht toute une aire piane¹¹. Mathematische Annalen. T. 36. str. 137. (1890). D. Hilbert „O odwzorowywaniu ciąg.łem linii na kawałku powierzchni¹¹. Prace matematyczno-fizyczne. T. 5. str. 13. (1894).    ‘    '

³

Rozprawy i dzieła, podług których w tekście opracowano naukę o mnogościach miejsc określonych, są :

M. Cant or. „ U eh er unendliche, lineare Puriktmannigfaltigkeiteri³. Mathe-matische Annalcn: T. 15., str. 1.—-7., T. 17., str. 355.-358., T. 20., str. 113—121., T. 21., str. 51—58, i str. 545—591., T. 23. str. 453—488. (W francuskim języku okazały się artykuły tego autora traktujące o tym samym przedmiocie w „Acta mathematica¹').

M. Cantor. „Etn Beitrag zur Monnigfaltigkcitslehreu. Crell e. Journal T. 84. str. 242-258.

Bendisson J. „Queląues tlieoremes de la theorie des ensembles“. Acta ma-thematica. T. 2. str. 415—429. Gr. Mittag-Leffler: „Sur la representation ana-lytigue des functions monogenes uniformes d’une rariable independante". Acta ma-thematica. T. 4. str. 1—79., szczególnie §. 3. str. 57—63.

Du Bois Eeymond, „Allgemeine Functionen-Theorie¹¹.

dS=d<z)II— ę |².

Gdy ds', da' będą elementami innych dwóch odpowiednich łuków takich, że ds' poczyna się znowu w punkcie z, a da' w punkcie odpowiednim (?, i\, £), to także będzie:

(2)

(3)

Ze związków (1), (2) wynika:

d»' = do'/11 —S|².

ds : ds¹ = da : da'.

Połóżmy ds = PP₁, ds' = PP₂, dz=QQl, da' = QQt, to także oddalenia PjP2 (na płaszczyźnie),    (na kuli) będą odpowiednimi sobie łukowymi elementami

ds", da"; przy tern wyniknie i tu:

(4)

a z rezolucyj (3) i (4) mieć będziemy:

ds : ds" = da : da",

(5)

ds : ds': ds" = da : da': da",

co znaczy: 1F rzucie stereograficznym każde diva nieskończenie małe trójkąty (płaski i sferyczny) odpowiadające sobie są podobne.

Każde pokrewieństwo o tej własności nazywamy cząsteczkowe m.

III. Z tej własności wypływa, że dwie przecinające się krzywe pod kątem 9 w punkcie Q na kuli, dają w stereograficznych swych rzutach dwie krzywe przecinające się w odpowiednim punkcie P również pod kątem <p. Tę okoliczność określają mówiąc: Przez rzut stereograficzny powstaje pokreicieństwo izogonalne.

IY. Pokrewieństwo kuli z płaszczyzną nie przestanie być kołowem, cząsteczkowem, a w dalszym ciągu izogonalnem, gdy płaszczyzna {z) — przestając być równikową — pozostaje równoległą do pierwotnego swego położenia.

Sprzężenie punktów kuli z płaszczyzną we wszystkich takich położeniach obejmują również wspólną nazwą: rzutu stereograficznego, określając rzut o równikowej płaszczyźnie (z) — jeżeli go odróżnić potrzeba — jako rzut stereogra-ficzny równików y.*)

*) Literatura. Gauss: Allgemeine Auflosung der Aufgabe, die Theile

W er k e.

einer gegebenen Flachę auf einer anderen gegebenen Flachę so abzubilden.

T. 4. str. 189. — N. H e r z: Lehrbuch der Landkartenprojection. Lipsk 1885. — G. H o 1 z m ii 11 e r : „Einfuhrung in die Theorie der isogonalen Verivandschaften“. (Lipsk 1882).

CZĘSC II.

O FUNKCYACH WYMIERNYCH.

ROZDZIAŁ IV.

O wymiernych całkowitych funkcyach jednej zmiennej.

48. Określenia funkcyi wymiernej całkowitej f(x) jednej zmiennej. Jej rozwinięcia, ciągłość i pochodne. Jedną z najprostszych form, w których stałe ilości połączone być mogą arytmetycznie z nieograniczoną zmienną x, j est fnnkcya wymierna całkowita mgo stopnia:

(1)

f(x)=a₀xm-\-alxm-i + ... + am-iX-\-am, a₀=k0.

Spółczynniki a₀, a1? ..., am są — bez różnicy — rzeczywistemi lub urojonemi stałemi.

Przedewszystkiem widać odrazu, że f\x) dla wszelkich skończonych wartości x¹) jest zawsze skończoną, a na dowolnem miejscu skończonem x przybiera — jak zaraz się przekonamy — jedną i tylko jedną wartość; jest więc — jak się wyrażają — funk-cyą jednoznaczną, albo jednowartościową.

x=aĄ-r. 1

<p i

Jeżeli f(x) swoim jednym kształtem miałoby w pewnem miejscu x przedstawić kilka wartości, to to zjawisko mogłoby być spowodowane jedynie różną definicyą tego samego miejsca x. Otóż dowolne miejsce x można zawsze przedstawić w postaci gdzie a jest dowolnie obranym punktem w skończo-

funkcyi.

•ności, a r i (p podług niego wybrano. Lecz to samo miejsce może mieć postać x=a-\-r.    , która wskazuje, że wychodząc z punktu

x okrążono punkt a posuwając punkt na płaszczyźnie {x) po pewnej zamkniętej linii i wrócono znowu do tego samego punktu x. Kształt krzywej zależy od zmieniania się promienia podczas ruchu; po zupełnem okrążeniu przybiera ten promień znowu wartość r. Dodajniki funkcyi f(x) mają postać am-^.x'L a gdy w nich położymy za zmienną x jej kształt pierwszy a potem jej kształt drugi, to wskutek (a + r.    , (bo ź są całkowite i >>0),

dodajniki a tern

nie będzie miało dokonane okrążenie wpływu na samem i na funkcyą.

Podług art. 34. tw. I. okrąża się punkt x=cc, okrążając punkt x=0 w ujemnym kierunku po pewnem kole. Niechże to koło ma promień R, a punkt x leżący na niem niech będzie ińl to po okrążeniu punktu x=cc dostaniemy x—R.\.(p-ci7t. Lecz i tu także jest {R.l(pY=={R.l(p^nY co stwierdza, że i okrążenie punktu x=co nie może zmienić wartości funkcyi. Funkcya f(x) jest więc jednoznaczną.

Obrawszy dowolne miejsce x leżące w skończoności, zastąpmy w funkcyi zmienną x przez (x-\-h), gdzie li jest dowolnym dodatkiem; dostaniemy wtedy: f(xJr'h) = a₀(x-JrJi)mJral(x-\-h)m~ijr... + «» a -- po uporządkowaniu podług potęg li — mieć będziemy:

Ji    ²

(2)    f(x+h)=fW+f‘W ■ p +/'"(*) • ₇ + -+f{m)W •

hm

gdzie

m—1

(3)

f‘ (x)=m.a₀x f“{x)=m (m—1) a₀x

1) (m—2) a₁icwl-3+... + 2.1.am_2

-f (m—l)a₁x

m—2

m—2

f(.™) (x) = m! ciu

funkcyi f(x)

Wzór (2) nazywa się rozwinięciem w otoczeniu miejsca x.

Uważmy w (3) x za nieograniczoną zmienną, to wtedy /’'(#), ..., f,(~m\x) są funkcyami wymiernemi całkowitemi i nazywają się pochodnemi funkcyi /*(#)? f‘(x) nazywa się pierwszą, f"(x) drugą, ..., f(m\x)    ochodną. Są one odpowiednio stopni:

(m—l)s°, (m—2)s°,¹ ost nia pochodna mta jest stopnia zerowego, czyli jest ilością stałą. Dalsze pochodne są już zerami.

Pierwsza pochodna f‘(x) tworzy się z samej funkcyi f\x) w ten sposób, że w f{x) — opuszczając wolny wyraz am — za każde xs kładziemy s.xs~^. Podobnie i f(v\x) tworzy się z f⁽~v~i\x) przez opm

szczenię wolnego wyrazu w f^v~\x) i podstawienie s.xs~A za x\ Z równania (2) dostajemy z drugiej strony:

~, + ...+fW{x).

f(x+h)—f(x)

llm~ i

'2!

a stąd wynika:

(4)

f‘(x)=lim

f(x+h)—f(x)

h—0

którem to równaniem określona pierwsza pochodna na miejscu x przedstawia się jako granica ilorazu [f(x+h) —f(xj\:h, dla h—0. *) Granica ta, niezależna od tego, w jaki sposób na płaszczyźnie (x), h do zera zdąża, pozostaje zawsze ta sama =f‘(x). Z tej samej równości (2) dostajemy dalej

hm~1 ml

Zażądajmy, aby — gdy d jest dowolnie małą dodatnią obraną ilością — spełniała się nierówność

(5)

| f {x+h)—f{x) | = | h\. f‘(cc)+f"{x). ~ +... 4-fW (x)

(«)

Temu — podług (B) — zadość uczynią wszelkie bardzo małe \h\ nie przechodzące pewnej dowolnie małej dodatniej granicy d₁. A więc, gdy \h\<C.ói} to wtedy i (a) się spełnia, a to określamy mówiąc, że fmikcya f(x) jest funiccy ą ciągłą swego argumentu.

Gdy daną funkcyę f(x) =    + am- \ x -f- ••• 4" oą xm~¹ 4" «₀ xm uważać chce

my za pochodną pewnej funkcyi całkowitej wymiernej F(x), to F(x) łatwo utworzymy z f{x) zmieniając każde xs na xs+^l(s-\-1), nie wyłączając x° i dodając jeszcze stałą dowolną c. Dostaniemy więc:

xi

F(x) = amx+ am-i ~2 + - + «l

X™

X™+¹

m -J- 1

f c.

Funkcyę F(x) nazywają pierwotną, albo całkową funkcyą funkcyi f{x). Widocznie przy jakiejkolwiek wartości c jest f(x) pochodną funkcyi F(x).

dF(x) _ cl

Oznaczenia: F‘(x)

dx

dx

F(x) i F(x)=^f(x)dx -f- c

jakich się

w rachunku różniczkowym i całkowym używa, przyjmujemy tu i w dalszym ciągu jako wiadome.

Eozwijając funkcyę f(x) w otoczeniu miejsca danego x₀ podług wzoru (2) mamy

f'(xo)

1!

hĄ-... 4

hm}

*) Analogicznie można także określić:

h=z0    U

= 2, 3,

....

m.

gdzie h jest dowolnym dodatkiem. Połóżmyż x₀~{-h=x, gdyż przy dowolnem h można dowolne x w tej formie wyrazie, to mamy h=x—xQ i

(6)

fix) =f(X()) 4

f‘M

1!

(x—x₀) + ... 4

f {m)M

(x—x₀)m.

Stąd wynika:

I. Funkcya wymierna całkowita mr,° stopnia jest io zupełności oznaczona, gdy na pewnem danem miejscu x₀ jej argumentu znamy jej ivar-tość i wartości m jej pochodnych.

Aby ją sprowadzić do formy amĄ-am-\ x-\-...Ara^™ dość jest rozwinięcie (6) podług potęg x uporządkować.

W szczególności, gdy #₀=Omamy: f {x) = am-\-am^\ xĄ- am^x¹Ar

+ ... + «o*"=AO)4

n°)x+mxr,₊

2!

a stąd wynika, że spółczynniki am znaczenie f(0)

am—,\

..., a₀ mają po porządku

Pd. 1. Wyznaczyć funkcyę ms° stopnia taką, źe na miejscu x—1 ma wartość 1, a jej pochodne wszystkie mają również wartość 1?

Pd. 2. Wyznaczyć funkcyę 3S° stopnia posiadającą na miejscu x = \ wartość 4, a pochodne po porządku są o wartościach 5, 8, 6?

Pd. 3. Jaką jest funkcya 5s° stopnia o wTartości f(i) — 1, a o wartościach pochodnych f‘{i)    =f'"(i) = 0, f^\i) = 24, f^\i) = 120?

Gdy mamy iloczyn skończonej ilości funkcyj całkowitych wymiernych f(x)=fi(x).f₂(x).fz(x)... to on jest również funkcya całkowitą wymierną. Połóżmy w nim (xA-h) za «, to mieć będziemy:

f(x + h) = [/, (x) 4

fi(4>

h + •••] • [/2O) 4

A O)

1!

Pochodną funkcyi f(x) jest spółczynnik przy h w rozwinięciu f(x 4 h) podług potęg h. Ten spółczynnik wprost z prawej strony wynika w postaci:

iloczynu.

AWL/łC*)#)™]    +A(4)[/iOO-AC*)-] 4-...

cL    ci

Jest on zarazem pochodną f‘(x)= ~f(x) = -^[fl(x).fi(x).f₃(x)....] danego

49. Wartości funkeyi w nieograniczonym obszarze jej zmiennej X. Zajmijmy się teraz dokładnie wartościami funkcyi f(x) rozpostartemi w całym, nieograniczonym obszarze jej argumentu. Napiszmy f(x) w formie :

.    r. a. 1

f(x)=a,xmy ^4-^- —4-

«2 1 a₀ x

.    . am 1j

i⁺-"⁺V^\    ¹

i połóżmy:

a₀ x a₀ x

am 1 a₍₎ xm

= cr. Według art. 20 [II⁰] mamy:

(«)

ax 1

ai 1

a₀ xm

(&)

a{) x a₀ x

Kładąc dla krótkości \x\=f-, mamy dalej [art. 20., I⁰]: os₀ x a₀ x²    aQ xm

a.₂

——--j--*

a₀ i a₀

— trw ,i_a

2 + ”” +

«0

a gdy z liczb dodatnich | ax /a₀1, |o5₂/o50 wartość os, to zachodzi nierówność:

0₄ l «₂ 1    05ni 1    / 1    1    1 \    05    1

(c) FT⁴ ^F⁺-;⁺^F<“lT⁺y⁺-'⁺F)⁼F'1^r-

Przy tern bardzo jest łatwo znaleśó taką dostatecznie dużą wartość £=r, że dla niej, a więc i dla wszystkich £i>r, będzie prawa strona tej nierówności dodatnim ułamkiem właściwym. Taką wartością r jest n. p. 05-fl; mamy bowiem wtedy: a gm— 1

źm‘ i-1 _ («+!)«

am/a₀\ największa ma

(05 + l)w—1    (« + l)w—1

(a + l)m

Dla takich £>^ = 05 +1 będzie także — wskutek (c) i (&) — ^ ułamkiem właściwym dodatnim

05

05

<1.

052    1

O5₀ a:

O5₀

go w (05) zastąpimy ułamkiem większym

wyraz

a gdy

a £m—1

^ otrzymamy:

J oji> 1—G5(£w—1    —!)• Opuśćmy tu jeszcze po prawej stronie

dodatnią ilość G5/£m(£—1), to mamy | oj > 1 — 05/(|—1), a że

\f(x)\ = \a^m.\a\

Mając nierówność (d) przyjmijmy, że chodzi nam o te miejsca x, na których f(x) = c, gdzie c dowolną skończoną jest wartością. Utworzywszy | c j, możemy — gdy w obszarze \x\^>r nie

więc

(d)

przy £ >r=Q5 + l.

jest jeszcze statecznie |a₀|£m^l—^ a ^ j | c | — znaleśó takie rx'ż>r₁

że dla £>>rx już się to ciągle sprawdzać będzie. Wtedy jednak w tym obszarze \x\'ę>ri statecznie także okazywać się będzie | f(x) [ > j c |, a to znaczy:

I. Biorąc jakąkolwiek skończoną ilość c możemy na płaszczyźnie (x) odgraniczyć 'zawsze taki obszar \x\ 'Ż>ri, że się w nim okazuje statecznie | f(x) | >> | c |; albo :

Szukając miejsc x, na których ma być f(x) — c, można się ograniczyć do pewnego dobrze oznaczonego obszaru \x\<żrx; poza nim bowiem nie znajdziemy miejsc dających f(x)=c,

Z nierówności (d)‘ wynika dalej ':

II. Jeżeli w obszarze nieograniczonym argumentu x mają się znajdować miejsca dające f(x)=0, to one wszystkie mieszczą się w kole \x\ <C«4-1.

Przez bezustanne zwiększanie £ — poczynając od £=a-f-l, —

CL

można dalej w (d) uczynić ułamek |—j

dowolnie małym (dodatnim) — £• dla |=go staje się on zerem. Wskutek tego przy bardzo wielkich j x j mamy :

(«)

\f{x) |^|a₀|.|a? \m (1 + e)

a że; gdy £=oo, staje się (7=1, więc mamy lim

f(x)

= 1; to znaczy:

\x\=oo a₀x n

III. Funkcya f(x) staje się nieskończonością równocześnie z argu

mentem iv ten sposób, że iloraz [f(x): a₀xm] zdąża do granicy =1.

Pd. 1. Okazać, że miejsca x, na którychby funkcya f(x) = 4x⁵ — a?⁴-f-3;r³ — 2x²-\-x ■— 4

mogła przybrać wartość = 0, mieszczą się wszystkie w kole o promieniu = 2 , a o środku w x = 0, a wszystkie miejsca, na którychby ta funkcya mogła mieć wartość c, gdzie . | c \ —100 , w obszarze | x | <; 3.

Pd. 2. Jak duże koło zakreślone z punktu x — 0 jako środka, zawiera wszystkie możliwe miejsca x dające f(x) = 4.r⁴ — (2 -j- 3 i) x³ — 3 x² -j- (3 -f- 4 i) = 0 a jak duże koło (o środku x = 0) zawiera wszystkie miejsca x dające \f(x) | == 110?

50. Zasadnicze twierdzenie algebry. Miejsea zerowe (pierwiastki). W artykule poprzedzającym (tw. II.) podaliśmy obszar j a? f <3 gs -f-1, w którym miejsc spełniających równanie f(x) = 0 (jeżeli istnieją) szukać wyłącznie trzeba. Czy jednak w istocie takie miejsca istnieją, trzeba dopiero zbadać. W tym celu obierzmy dowolne, leżące w skończoności miejsce x, na którem jest f(x) 4=0 i dodajmy do x dowolny dodatek h. Według art. 48 mamy wtedy:

k2jr ..• +

f(x+h)=f(x)i

f\x)

h-\

f"{x)

hm.

Stąd , gdy położymy dla krótkości:

fW(x)

2! f(x) ~ C'²

f\x)

dostaniemy:

1 !/•(*)

c\ i

/'(’")(#)

m! f(x)

0m

f(x+h)

f(x)

1 + cji + c₂h²-{-... + cm hm.

Przyjmijmy dla ogólności, że na miejscu x jest :

a /‘H (x) 4= 0, to wtedy cx = c₂ = ...== cv_i~0,    0

f(x+h)

(«)

f{x)

= 1-j-cphv-f-cvą-\ li¹ ^¹ +... -f-cmhm.

z dowolnem )> 0 , a cv.hv=— | c„|

a położymy hv= — ęG s=0, 1, ..., v—1, [art. 22]

Gdy Cv— \cv\l to ——— ii < _ ()• 1 ;i—(p• 1-2

V

Dalsze dodajniki rozwinięcia (a) będą kształtu : cv+ihiv+x = d%₊i-ęv+1, Cp₊₂h/+²=c⁽%₊2-ę>p+2,    cm kr=cJ°>.Qm,

gdzie spółczynniki przy ^⁺¹, qv+2, .... ęm są-to ilości stałe o wartościach zależnych od użytego hs, co przypomina znaczek (s) u góry. W miejsce (a) dostajemy więc:

1-\Cv\qv+cW„+i Qv+X +... + ej* Qm.

(&)

cp :

Gdy q obierzemy tak małe, że \cv\qv—u jest ułamkiem (do-

to 1—\cv\qv jest ilością \cv\qv. Skutkiem tego — uważając za pierwszy dodajnik po prawej stronie —

datnim) właściwym, a więc q << l/V/j dodatnią tak, że |1—\cv\qv\~1 w (b) wyraz (1—\cv\qv) możemy położyć: f(x+hs)

Cp

t\x)

f(x + hs)

f\x)

<l-\Cv\\cPv+i IQv+' +...+|cWmIPWI, albo

<1—|cv|pvfl

Gdy dalej wartości p<l/\/|c„| ograniczymy jeszcze — jeżeli

-— o ...

cv

ułamkiem (dodatnim) właściwym v, to mamy:

f(x+hs)

potrzeba — tak, aby wyrażenie 1 —

/>(«)

- ^ qm~v było

fi»)

<C 1—u.v. Stąd widać, że:

(<0

\f(se + ht) | <!/■(») |

jeżeli tylko q nie przechodzi pewnej górnej granicy p1? obliczonej podług wyżej podanych warunków.

Gdy q rośnie od zera nie dochodząc do p1? to miejsca /&₀, xĄ-hi1 ..., x-\-hv-i oddalają się od punktu x po prostych wychodzących z punktu x, a nachylonych do osi pierwszorzędnej pod kątami:

Tl—(fi

Ti—cjD + 2yr

Tl — (p-\-ćtTl

n—(p-f-2 (v—1) n

Podczas tego ruchu nierówność (c) statecznie się utrzymuje. To znaczy:

I. Gdy na miejscu x leżącem w sJcończoności mamy f{x) =1=0, to można zawsze z tego miejsca x poprowadzić iv jedną stronę przynajmniej

jedną, prosię o takim kierunku, że na niej we wszystkich punktach x‘ dostatecznie bliskich punktu x będzie \f(x) j ^>\f(x‘) ].

Zatrzymując taki jeden punkt x‘ i przekonawszy się, że f(x‘)-1=0 jest, możemy tu znowu zastosować to samo twierdzenie. Znajdziemy więc przynajmniej jedną, całkiem oznaczoną prostę wychodzącą z x‘ o takiej własności, że w jej punktach x“ dostatecznie bliskich punktu x‘ będzie znowu statecznie \f(x‘) | ;> \f{x“) |.

x\

X"

x„.

Fig. 12.

Gdy tak dalej postępować będziemy, dostaniemy na płaszczyźnie (x) wie-lobok XX¹ x" xn> ... (fig. 12.) o tej własności że punkt ruchomy f przebiegając po nim począwszy od punktu x daje czem raz mniejsze |/’(^)|. Podczas tego ruchu musi się wreszcie |/'(£)|, a więc i /'(f) stać zerem [art. 46. Pd. 1.], a tę wartość przybierze w punkcie xi} który leżyć musi w skończoności, gdyż miejsca x dające f(x)=0 leżą w obszarze |a?|<;a-ł-l. To znaczy:

II. W płaszczyźnie argumentu x dowolnej, wymiernej, całkowitej funkcyi f(x) znajduje się koniecznie jedno przynajmniej miejsce xl, dające f(x[)=0. Takie miejsce nazywa się pierwiastkowemu albo zerowem, albo wreszcie wprost pienciastkiem funkcyi f(x), [równania f(x)=OJ. *)

Pd. 1. Funkcya:

f(x) — 32 — i x -f- 5    -j- ] 0 i x³ — 10 xi — 5 i x⁵ -f- x⁶

daje w otoczeniu punktu x — i rozwinięcie f(i -fi h) = 32 -f- i . h⁵ -j- h⁶ , gdzie 32 =/(*). Stąd:

/(» + h)

m- •

Mamy tu c₅ = ^ = ¹ ; 1^ , (v =    <p = - j) ; połóżmyż :

2

h⁵ = — p⁵ .1 n , hs = p .    . l2« n , s = 0, 1, 2, 3, 4, to wtedy będzie :

~Y

/(O

S]r si

SI

*) Dowód podany w tekście jest C a u c li y’ego. Por. Cours &’Analyse de 1’ecole rogale polytećhniąue (Iere partie 1821) str. 329, Por. także 3 dowody Gaussa Werke T. III. Dowód lszy str. 3. i nast. Dowód 2”! str. 33. i nast. Dowód 3c! str. 59. i nast.

Z współczesnych prac por.: P. G o r d a n: „ Uber den Fundamentalsatz der Algebra“ (uproszczenie 2®° dowodu Gaussa). Matli. Ann. T. 10. str. 572 (1876). — E. Holst. „Beweis des Satzes, dass eine jede algebr. Gleichung eine Wurzel hat.u Acta math. T. 8. str. 155 (1886). — F. Mertens. Der Fundamentalsatz der Algebra. Monatshefte f. M. u. Phys. T. 3. str. 293.

Teorya funkcyj.

/(»+*.

p« + i

32

^P⁵ + ~P⁶, przytem p < V/32=2.

<1—

32'

<1— —^ p⁵ (1 — p) to gdy założymy p< 1, dostaniemy

!/(*• + *.) ! <1/001

Zatoczmyż z punktu a? = i jako środka koło (p) o dowolnym promieniu p < 1, a z punktu * poprowadźmy prostą, która z osią pierwszorzędną tworzy kąt 18°

(fig. 13.), to ona przetnie koło (p) w punkcie i -f- h₀. Inne punkta i 4 \, i -ł~ h-i,    i -j- //₄

utworzą razem z punktem i -j- h₀ wierzchołki regularnego pięcioboku wpisanego w koło (p).

Pd. 2. Rozwinięcie funkcyi f{x)= 1 —

— 60 a?² -j- 100a?³ — 45.vi — 12 x⁵ -f 10a?G ma w otoczeniu punktu x — l postać /(I -f- h) — — 6 -j--j- 45 hi -f- 48    -J-10 7/⁶. Okazać , że :

l/(l + *.)l<l/(l)l. * = 0, 1,2, 3, gdy ht =

i‘K,

i+K₀

lH

i+h„

p . l2m,

Fig. 13.

Okazawszy, że dowolna całkowita wymierna funkcya zawsze jeden pierwiastek posiada, możemy teraz dalej dowieść:

III. Każda funkcya wymierna całkowita m°° stopnia posiada m1 i tylko m pierwiastków.

Dana funkcya niech będzie:

f(x)=a₀ xm + a₁ xm ~¹ +... + am _ i x+am ; jednym jej pierwiastkiem niech będzie x1} tak, że :

/ (%\)—%%\nJraiXirn~¹ -f- ...-\-am—\X₁    —0

Stąd wynika, że możemy położyć: f{x)=f\®)—f(%i)=«₀ (ocm—xlm) + ai    (x—xi)

Po wyłączeniu czynnika (x—xi) dostaniemy:

f (%)=(x—xi) [a{)(xm~~¹ -\-xm~²xi +... +    TO“'¹)-f-

+ a₁ (xm~-J + xm~?,xi + ... -\-Xi m~²) -f- ... +    2 (#+#•[) +    1]₇

gdzie drugi czynnik po prawej stronie jest funkcyą całkowitą wymierną (m—l)ff0 stopnia. Nazwijmy ją fm_₁(x), to mamy:

(«)

f(x) = (X—Xi) fm-1 («)

Lecz funkcya fm-\{x) ma — według tw. II. — znowu jeden pierwiastek x₂. Stosując więc do niej to samo, co do funkcyi f(x), dostaniemy:

(fi)

fm—1    — (x X2 ) fm—2 (yf) j

gdzie    jest funkcyą stopnia (m—2)g0.

Posługując się tak dalej twierdzeniem II. otrzymamy po po

rządku :

(y) fm—2 (•&) (X X₃) fm—3 (²®)j ••• (Ó)    (p^ ^m—l)/i(²^)?

(fi) f\(x)={x—xm)f₀(x),

gdzie funkcya f₀(x) jako funkcya zerowego stopnia jest pewną stałą ilością c. Z równań (a), (/?), (y),    (<5), (e) dostajemy:

/‘ (a?)=c (a:—aą) (a;—x₂) (x—x₃).. .(x—xm)

To wskazuje przedewszystkiem, że takim iloczynem można f(x) przedstawić przy każdej dowolnej wartości x. Porządkując ten iloczyn podług x mamy cxm jako wyraz zawierający xm. Po lewej stronie takim wyrazem jest a₀xm. Musi więc przy każdem x być a₀xm=cxmj a stąd wynika: c=a₀, i ostatecznie:

(at) f(x)=a₀(x—xt) (x—x₂)...(x—xm) przy każdem x.

Widać z tego, że f(x) ma m pierwiastków xi1 x2: x₃, ..., xm. Między nimi mogą być i równe sobie. Gdy mamy xi=x₂=...=xv (v < m), to x₁ nazywa się ^-krotnie powtarzającym się, albo ^-krotnym pierwiastkiem. Każdy ^-krotny pierwiastek liczy się v razy.

Załóżmy, że dana funkcya f (x), stopnia m staje się zerem jeszcze na (m-fl)szem miejscu; wtedy aQ musi być =0, bo czynniki (x—xs) zawarte w (%) temu żądaniu zadość uczynić nie mogą. Lecz, gdy a₀=O, to mamy do czynienia już z funkcyą (m — l)⁹° stopnia: (aAxm~i    -{-...-fthn)) a o niej założyć analogicznie

trzeba, że jest zerem na m miejscach. To założenie pociągnie za sobą warunek: 6^=0, a idąc w tern wnioskowaniu dalej, dojdziemy do: a₀=a₁=...=am=O, co wskazuje, że przy uczynionem założeniu musiałoby być identycznie: f(x)= 0, przez co twierdzenie III. mamy już w zupełności udowodnione²).

Dalej wnosimy, że dana funkcya mgo stopnia da się tylko w jeden sposób rozłożyć na czynniki (x—xs), 5 = 1, 2, ..., m, które nazywamy czynnikami pierwiastkowymi. Z tego naodwrót wynika:

IV. FunJccya wymierna całkowita jest zupełnie wyznaczona, gdy znamy jej miejsca pierwiastkowe i jeszcze jej wartość na miejscu £ rożnem od tych miejsc.

Gdy bowiem miejsca pierwiastkowe mają być aą, x3 i powtarzać się odpowiednio vu n₂, ..., vr razy, to żądana funkcya f{x) ma postać:

& (X—Xi)vi.(X—X₂)v²...(X—Xr)vr.

Dla wartości #=£ mamy dostać: c' (|—#i)M£—x₂)v*... (£—xr)vr~c. Stąd obliczywszy c', dostaniemy:

(6,) f(x) = e.

(X — Xi)vi (X—X₂)v*... (X—Xr)vr

Pd. 3. Gdy /(.r) = J_₀ + Ax a: -j- ... Anxn ma mieć pierwiastki

PT’ P*¹’

a na miejscu a? = 1 ma mieć wartość

¹

Zmienną x wchodzącą w f(x) nazywają rzęsto argumentem tej

²

O ile wyznaczenie punktów pierwiastkowych xu x%,... xm na płaszczyźnie (x) prowadzi do twierdzeń geometrycznych (łączy analizę z geometryą) por. F. Lucas „Nourelle methode d’Analyse...u Comptes Bendus T. 75. str. 1250.

2(i+rt(i+y)...(i+₁₎—¹),

to podług (b\) — po wszystkich skróceniach dostajemy:

0)

f{x)=(lĄ-x)(lĄ-px)(l +pix)...(l+pn~¹x), ^o = l-

Okazać, że spółczynniki A₍ znalezionej funkcyi przedstawić można formami

1 JrPJrP‘iJr••• +/*

t-l ,

t= 1, 2,    »

-n(

r = 0

W razie = 1 , dostajemy ^ = a więc

f(*) = (l+x)n=l + (l)x+(%) x² + ... -f x*

jak to z elementów matematyki wynika [Eisenstein: Crelle J. T. 28. str. 44-48].

Iloczyn samych czynników pierwiastkowych:

f(x)

(x—xi) (x—x₂)...(x—xm)

a₀

=xm—(xi +x₂-\-... + xm) xm-¹ + (xix₂+...-\-xm -\)rm xm-² + ...+

+ (—l)mx^ .x₂...xm,

a stąd widzimy: W każdej funkcyi m°° stopnia o spółczynniku =1 przy xm jest spółczynnik

przy xm~i odjemną sumą pierwiastków =—S(xi)

xm~² dodatnią sumą iloczynów co 2 pierwiastków = +£ (xix₂)

(ci)

xm 3 odjemną sumą iloczynów co 3 pierwiastków = —S (xix₂x₃)

„ x° iloczynem pierwiastków z czynnikiem (—l)w.

51. Wielokrotne pierwiastki. Pierwiastki =0 i =oo. Wartość ftinkcyi dla 6C = oo. Przyjmijmy, że dana funkcya m⁹⁰ stopnia ma wszystkie spółczynniki a₀, a1? ..., am rzeczywiste, a jej pierwiastki są:    x", ...x<'m\ Zmieńmy wszj^stkie pierwiastki na sprzężone:

Q.m

x‘₀, x“₀, ..., x₀⁽-m\ to w f(x) wszystkie spółczynniki a₀, a1? .

To znaczy :

Lecz f{x^)—0, a czynnik (x—xx) musi się dać wyłączyć z f(x) w potędze Stąd wynika, że być musi:

0, f“(xi)=0, ..., f⁽-v~i\xi)=-0.

mają przejść na sprzężone (art. 17. Pd. 2). Lecz, że są rzeczywiste, więc się przez to nie zmienią, a stąd wynika, że gdy f(x) posiada ^-krotny urojony pierwiastek x(“) to posiadać także musi i v-krotny pierwiastek sprzężony x₀⁽-ct\ czyli:

I. Funkcya f(x) o samych rzeczywistych spolczynnikach może posiadać pierwiastki rzeczywiste, a pierwiastki urojone są w niej zawsze parami sprzężone.

Niech, równanie f(x)=0 ma ^-krotny pierwiastek xi. Rozwijając f{x) w otoczeniu tego pierwiastka dostajemy:

«,)²+...-ł

/•<»)(*,)

m)

1!

(x—xi)

v\

m\

(x-xi).

II. Gdy równanie f(x)=Q ma pierwiastek xi poictarzający się v — a nie więcej — razy, to xi jest równocześnie pierwiastkiem pochodnych równań f‘(x)— 0, fu(x)—0, f⁽-v~^(x)=0, a fG)(x) 4=0. Naodwrót, gdy okazuje się f(xi)=fi(xi)=*...=f(v—¹'>(xi)=0,a f(v)(xi)~j=0, to xi jest v-krotnym pierwiastkiem równania f(x)—0.

Napiszmy f{x)={x—xi)v(p(x), to stąd wynika fl(x)=(x—x₁)v~i(p₁(x), gdzie cp(x) i <pi(x) nie są zerami dla x=xi. Z tego wnosimy:

Ila. Pierwiastek v-krotny jest (v—1 )-krotnym równania pochodnego, a w równaniach f(x)=0, f(x)=0, fu(x)=0, ..., f(v~i)(x) =0 powtarza się pierwiastek xi odpowiednio razy v, v — 1, v—2, ..., 1.

W równaniu:

(«)

f(x)=a₀xmĄ-aix

TO—1

⁻l⁻*"d_®TO=0

znamy już z art. poprzedniego znaczenie ilorazów —, 0,2

a,n

Z nich dostajemy:

U>m—1

a₀ a₀

S (x\.x2.. .xm—i)

am

Ufn—2

Xj .x^...xm S (X^ ,X2.. ,Xm—2)

am

Co    x

n—\Xm)    \ X^ X2/

«o

1)«_...

X₂ Km

Ctm

(&)

cp(z) = amzm + am_

a stąd wynika, że równanie -f- ••• -t⁻ a^z-\~ (Iq =0.

pierwiastki %=—,

8m——'

xm

Mając ten związek między równaniami (a) i (b) przyjmijmy, że w równaniu (a) mamy v początkowych, spółczynników (przy najwyższych potęgach niewiadomej) o wartości zero. W równaniu (b) mamy wtedy v spółczynników końcowych (przy najniższych potęgach niewiadomej) o wartości zero i — jak łatwo wywnioskować— v pierwiastków o wartości zero. Niech te pierwiastki

ma

będą Zi =z₂ = ...=Zv-=0, to ponieważ xi =

xv — —

mamy w równaniu (a) v pierwiastków xi, x₂, ..., xv nieskończono-ściami. Stąd twierdzenie:

III. Gdy w równaniu mP° stopnia v spółczynników (n=l, 2, ..., m) przy najwyższych potęgach niewiadomej znika, to równanie posiada ictedy v pierwiatków nieskończenie wielkich.

Gdy c ma dowolną skończoną stałą wartość, a równanie f{x)—c napiszemy w formie:

a ₀ xm + a i X™-¹ +... + am _ t x-f- (am—c) =0, to wnioskujemy odrazu (art. poprzedzający tw. III):

(c)

IY. Funlccya wymierna całkowita mP° stopnia przybiera na m i tylko m miejscach dowolnie daną skończoną wartość.

Gdy c—co, a równanie (ć) napiszemy w tym przypadku

w formie:

lim c. £

am—i

dostaniemy równanie lim c .

M=oo L

lj = 0, które

0. xm+0 xm~x +... + 0. x —

swym drugim czynnikiem wskazuje — podług tw. III. — m pierwiastków x nieskończenie wielkich. Stąd :

Y. Funlccya wymierna całkowita mg0 stopnia staje się nieskończonością m-krotnie dla nieskończonej icartości swego argumentu.

52. Wzór interpolacyjny Lagrange’a. Uogólnienie wzoru Lag rangę’a. Twierdzenie III. (art. 50.) o ograniczeniu ilości pierwiasków funkcyi m%° stopnia do liczby m, można także tak wyrazić:

I. Gdy funkcya mgo stopnia ma znikać na więcej, niż m miej-scach, to musi być identycznie zerem, (jej wszystkie spółczynniki muszą być zerami).

Takie wysłowienie prowadzi do dalszych, bardzo ważnych własności funkcyj całkowitych wymiernych.

+    niech będzie dana

jeszcze druga funkcya g(x) — b₀xn -\-b^xn~+ niższego stopnia n <i,m.

Prócz funkcyi f(x)=a₀xmĄ-aix

m—1

Przyjmijmy, że obie funkcye na (m-fl) miejscach:

(«)

1 &2J    Xm + \

między któremi mogą się także znajdować grupy miejsc równych, przybierają obie odpowiednio wartości:

(/?)

•••) Vm+1¹

(Do równych sobie miejsc (a) odnoszące się wartości (/?) będą również sobie równe). Tworząc różnicę:

/ 0¹0 —9(x)=«o'xm + ai+ ... ■. + am-n-1 .^n+1 + (Om_„ - &o )xn+

-\-(am~n+\—\)xn~¹4¹... + (am—&w),

dostajemy w niej funkcyę wymierną, całkowitą m%° stopnia, która na (m + 1) miejscach (a) staje się zerem. Jest więc — według tw. I. — identycznie zerem, a to znaczy: a₀— O, ai= O, ..., am—n—i=0; am_w=&₀, aTO_n+i=6₁, ..., am=bn. Stąd twierdzenie:

II.    Taka funkcya wymierna całkowita m°° stopnia, która na (m +1) danych miejscach xi1 x₂, ..., xm + i przybiera wartości g(xi), g(x₂), ..., g(xm+1) funkcyi g(x) niższego stopnia n, nie istnieje; jest ona icprost funkcyą g(x). W szczególności f{x)—c, ilość stała, gdy f(x) na (m+1) miejscach przybiera wartość c. fg(gć) jest zerowego stopnia].

Gdy n—m, a więc y(a:) jest stopnia m, a jest przy tern daną oznaczoną funkcyą, to mamy twierdzenie :

III.    Gdy dwie funkcye mg0 stopnia na miejscach x₁, rr₂, ..., xm+l przybierają równocześnie wartości dane yu y₂, ..., ym+1, to są identyczne¹).

Z twierdzeń II. i III. wnioskujemy:

IV.    Funkcya wymierna całkowita mP° stopnia, która na (m-\-1), danych miejscach ma przybierać dane wartości, jest tylko jedna. W szczególności może się ona zredukować do funkcyi niższego stopnia niż m, ale i wtedy także jest tylko jedną

Inaczej wyrazić to możemy w ten sposób:

Y. Funkcya wymierna całkowita mff0 stopnia jest w zupełności wyznaczoną swemi (m-Pl) wartościami yu y₂, ..., ym+\ wa (m-fl) danych miejscach xi: x₂, ..., xm+\. W szczególności może się w niej kilka spółczynników przy najwyższych potęgach argumentu okazać zerami.

A. Przyjmijmy naprzód, żemiejca (a) są wszystkie między sobą różne.

Jedną funkcyą przybierającą wartości (/?) na tych miejscach jest:

(L)

Xz

f ipd) — -Yj yi ² P X₂y₂ d⁻ ••• d⁻ ~Xzy z d- ••• d- ^+1 ym-\-1 j gdzie

l—l, 2,m-fl

a że innej takiej funkcyi — według twierdzenia IV. — nie ma, więc formą (L) wyraża się funkcya żądana. Ta forma nazywa się interpolacyjną formą Lagrange’a²).

Ten wzgląd, że w szeregu (a) zawiera się każde x^ tylko jednokrotnie, nie potrzebuje koniecznie pociągać za sobą jednokrotnego tylko powtarzania się pierwiastka x^ w równaniu y —y ^ = 0.

Gdy funkcya f{x) stopnia jest dana, to ją naodwrót przedstawić można

formą (L).

Lecz wyznaczając funkcyę z danych jej wartości na (m -p 1) miejscach jej argumentu możemy czasem — jak to wspomnieliśmy w tw. IV. — dojść do funkcyi niższego stopnia niż m. Stąd i naodwrót wynika:

VI. Daną funkcyę f(x) nietylko mo°, ale także niższego stopnia można zawsze przedstawić formą (L) z danych (m -f- 1) jej icartości na (m -j- 1) danych różnych między sobą miejscach jej argumentu.

Formę (L) można także w ten sposób wyprowadzić: Gdy żądana funkcya ma mieć postać y =f(x) = am -f- «m_₁ x am_₂-p • • • d~ alxm^¹ -p a₀ xm, to mamy związek:

y am “m lx - ■ ■ ■ - atx

a oprócz niego jeszcze (m-j-1) równań:

m—1

— a§x™ — 0, \ = 1, 2, 3, ..., m-pi

Z tych (md-2) równań liniowych, jednorodnych eliminując 1, — arn, —«„i_₁, ..., — «l5 — «₀ dostajemy związek:

yz~am~a

fz ••• ai xz

Pd. I. Szukając funkcyi m«° stopnia, która na (m -f- 1) miejscach xy, x₂, xm+\ ma odpowiednio wartości x% , x% , ..., x^+i, {j. = 0,1,..., m, dostaniemy f(x) = xm,

Pd. 2. Funkcyą ms° stopnia, która na miejscach x^, (X —1, 2, ma wartości:

1,

xm

(1)

xim

m+1

Wskutek założenia, że wszystkie miejsca x ^ są między sobą różne nie mamy w tym wyznaczniku dwóch wierszy identycznych. Rozwijając go podług wyrazów pionu pierwszego, otrzymamy stąd — pozostawiając samo y z czynnikiem

= 1 po jednej stronie — właśnie formę (L).

Jeżeli w (1) są y^ — g{xz)t X = l, 2, m -j- 1, a

g(?) = t>n + bn_x « + ... + 6, ajw-¹ + &₀    > »»<*» ,

to odejmując w (1) od elementów pionu ls° bn - krotne elementa pionu 2«°, bn_i-krotne elementa pionu Qe°,

/+-krotne elementa pionu (n -j- 2)s°, dostaniemy:

y- g(x),    1

xm

X™

= 0,

•• O

i,

xm+i) "•>

*S+i

czyli wprost y — g(x) [Tw. II. i VI].

Połóżmy (x—xi)(x—x₂)...(x—xm+i)=q)(x), to pochodną, tego

?n+1

iloczynu jest: cp,(x)='^i(x—xi) ... (x—xz-\)(x—Xa+i) ... (x—xm+i). Dla

.1=1

x—xi ma ona wartość :

<P‘ (O = 0*U—Xi)... (x^—Xx-i) («*—afc+i) ... (Xx—.Xm+1) a wskutek tego żty spółczynnik w formie (L) napisać będzie można tak:

(p(x)

(x—xfi (p\x£) ■

Sama forma (L) przybierze wtedy postać:

m+l

(Li)

f{x) = (p(x).^

y*.

A=1

(x—za) <p‘(xa) ‘

V'A — (XZ    xl) — (xz    xJL~l)(-x/L xZ-j-l )’i‘(xZ xm+1) jes^

m+1

/O) =2 (X-?l)(X- Xi)- 0* - XZ-l) (X - XZ+1) -0» -^m+l)-

Ż=1

Jestto widocznie pochodna funkcyi <p(a?).

Pd. 3. Stosując formę Lagrange’a (Lt) do funkcyi f(x) redukującej się

Połóżmy: (x—xx)... (x — xx_i) (x — xx+1) ... (x — xm+i) =

(Pi)

= xm ~ AM xm~l +    xm-² - ... + (- 1 r a.

m mają takie znaczenie, jak sumy (e,) w art. 50. z tą xX-u Xx+ii •••»    t0 wstawiając (Pt)

do stałej c, t. j. do funkcyi stopnia zerowego (tw. VI.), mamy na dowolnych (mĄ-1) miejscach x^ zawsze = c, a więc:

ot-fi

(x—xl)...(x — xx_i) (x — xx+1) „.(x — Xm+x)

^=l

f‘(xÓ

albo

m +1

= 1.

k— 1

Jestto związek identyczny, jaki między spółczynni-kami Xj każdej formy Lagrange’a zawsze zachodzi. W związku tym. jest x całkiem dowolne.

Pd. 4. Gdy f(x) — xn (n < m), a do tej funkcyi, jako do funkcyi m%° stopnia redukującej się do xni zastosujemy formę L a g r a n g e’a, to mieć będziemy

OT-f-1

(«l)

xn =2 X1 .

(x-xi)...{x-xz_i) (x - xx+i)...(x — xm+i)

A—l

?'(*d

gdzie AXi , Ax%

różnicą, że w nie tu wchodzą xu x.₂, w (aj) i porządkując podług potęg x, dostajemy:

(P)

(r)

= xm^

*"-‘2

Ax 2

cp' (au)

1)”2

ot

OT —W *

?'(xx)

Z tej relacyi, która ma miejsce przy dowolnem x, dostajemy związki:

At, m-n' * Al

= 0, n' ^ n,

W =

n⁴ -=■

o'o

w -f- 1.

W (a), (P), (y) odnoszą się sumy do X = l, 2,

.Równania (p), (y) są-to identyczne związki jakie zawsze zachodzą między (m -f-1) dowolnemi danemi liczbami xlf x₂, ..., xm^_₁ między sobą różnemi.

Z (P) — gdy n — m — mamy relacyę:

(«i)

2x%lr(xj) = l,

a z (y) zaś przy n — m— a i n'— w, dostajemy:

(§2)

W.

At a/— 0) a—1, 2,

Związki identyczne (St), (S₂) znane są pod nazwą form Eulera.

Pd. 5. Sprawdzić związki (P), (y), [(8A (8«)1 dla liczb:

[1, 2, 3, 4], [+*, -i, +1, -1], [a + bi, a bi].

B. Gdy przyjmiemy teraz, że między miejscami xi, x₂, ..., xm+i są i równe sobie, to już forma (L) nie będzie przydatną, tak, że funkcyę y=/(#), m%° stopnia, która na miejscach Xx, 2=1, 2, ...,

r < (m -f- 1) przybiera Vx - krotnie wartość yx , spełnia więc warunki:

(a)

f(x)—yx=(x—xx)v*Fx(x), gdzie Fz (x£) może być albo =0, albo 4=0, 2vx=(mĄ-1), trzeba będzie przedstawić odmienną, formą. Połóżmy w tym razie:

(x—xi)vi ... (x—Xi_i)vA-i (x—Xz₊\)vA+l ... (X—Xr)vr

(Xx—Xi) vi ... (Xx—Xx-i)vX-l (Xx—Xx+x)vW ... (Xz — Xr)vr

i zauważmy funkcyę:

(L‘) y=f(x)=Xx.yx fl+ ^

X—1    '

-t i {x Xx) d⁻... d

1!

(**-!)!

(X—Xx)vt-l\

o nieoznaczonych jeszcze spółczynnikach Cm stopnia m%° i spełnia już warunki f(xx)=yx, gdyż dla x=Xx jest *a=1, Xa=0, a>L

Ponieważ ze spółczynników Xa tylko Xx nie zawiera czynnika (x—Xx), inne zaś Xa zawierają go wszystkie w potędze vx, więc kładąc:

CX2

... Jest ona

X*=i +

U‘x

Xa=Pa.{x—xtfi+.

11 (x Xx)d"... otrzymamy z (L¹) w otoczeniu miejsca Xx‘

••i

U'x

y-yx=y^ H-yy

(x—^a) + . .j Jld-

cm

1!

{X—Xx) d- ..j —yiJr(x—xl)vxP(x)

a aby ta różnica zadość uczyniła warunkowi (a) trzeba zażądać, aby dla A=l, 2, ..., r było:

U‘x

Cm

0)

1!

1!

₀ U" X U‘* CM

’ 2! ⁺ 1!'1!

cx 2

2!

0, ...

U^~²⁾ CM

c*,(rx-i)

(vx-l)\

Z tych równań oblicza się Cxi, Cm, A=l, 2, ..., r. Punkcya (Zć) w ten sposób utworzona spełnia już wszystkie warunki (a), a że taka funkcya jest tylko jedna, więc forma (L') w którą już wstawiono spółczynniki Cx,s obliczone z (&) jest żądaną formą.

Ma ona postać:

TT + ...f

= 0.

(L‘)

y X-xyx‘

z~i

Połóżmy [(x—xi)v*... (x—xr)vr]—(p(x), a [(Xx—X₁)v> ... (XX— Xx-₁)v*-l (Xx—Xx+i)v*+l ... (X—Xr)vr] = Kx to formę (L‘) można będzie także tak napisać:

* (l + c“ (*-¹)+

(g-l)³(a?-3)    ,    (x iy(x 2)²

(2-1)³ (2—3) ^ + 21 ^ ^ ³ (3—1)³(3—2)²

5    8

Z rozwinięć tych wyrażeń dostaniemy £7 t = —— , U'\ = -(—» ^r/2 = 2,

5

■2 » Cl2 “"2 ’

17

c₂₁ = — 2. Żądaną funkcyą

-1

{x—xx)vi Ki

(W—1)!

(«—

Z=1

Pd. 6. Utworzyć funkcyę , która

na B-krotnem miejscu x — l ma mieć wartość yi =

n ²-    n

1.

» x    »

Mamy tutaj :

i-l (M CO

a stosując równania (/>), otrzymamy clt

będzie więc:

(x—2)² (x—3)

(x-iy(x—2)²

- 2(«-l)³(«-3) [1—2(fic—2)] + 3 .

Uwaga. Weźmy dla uproszczenia funkcyę 6«° stopnia y — a₀x⁶-\-...-\-a₆=f(x) i zażądajmy, aby na 2-krotnem miejscu przybierała wartość yx n 4-    „

1/3

75

n 1*

Prócz równania

(«)

mają się więc spełnić jeszcze równania :

y—f(x) = o

(P)

Vi —/Oi)=0, y₂ —f(x₂)=0, y₃ —/(^₃)=0 Lecz pierwsze z nich ma dwukrotny pierwiastek xx, a drugie 4-krotny pierwiastek x%. Wskutek tego oprócz (a) i (p) muszą zajść jeszcze związki:

(T)

—f\xi) = 0, ~f\xs) = 0, —/"(^₂)=0, —f'"(x₂) = 0 Z równań (a), (p), (y) eliminując 1, —a,Qj..., —a₆, dojdziemy do wyznacznika D — 0, a z jego rozwinięcia — pozostawiając y ze spółczynnikiem 1 po jednej stronie — dostaniemy żądaną funkcyę. Analogicznie postąpić należy i w ogólnym przypadku.

Pd. 7. Utworzyć w ten sposób funkcyą 3«° stopnia, która na 2-krotnem miejscu x=l ma wartość = 0, a na dwukrotnem miejscu x — 2 ma wartość =3; [odp. y = — 6 x³ -j- 27 x² — 36 x -f-15].

53. Wzór interpolacyjny Gf a u s s a. Formę Lagrange’a (L) można inną zastąpić. Połóżmy — gdy f(x) ma na (m+1) miejscach au, /t=l, 2, ..., m-\-1, przybierać wartości yu y₂, ..., ym+1—>

(Jf) f(x)=A₀ + Ai(x—xi)+A₂(x—xi) (x—x₂)+...+Am(x—x₁)...(x—xm), to z równań: yi—Aa +A₁(xx—ą) + ...+Ał-1 {xx—xi).'.{xx—xar-i\

(1)

A=l, 2, 8, ..., m, m-\-1, dadzą się spółczynniki A₀, Ax, ... obliczyć; a gdy je w (M) wstawimy, dostaniemy żądaną funkcyę. Forma (31) nazywa się formą interpolacyjną Gaussa*).

Pd. 1. Utworzyć funkcyą 3e° stopnia która na miejscach x = 0, 1, 2, 3 ma

8 19

przybierać odpowiednio wartości 1, -g-, --

Pd. 2. Wyjaśnić, że zmiana porządku par wartości (x^, yf) na jakikolwiek inny zmienia formę (M) na inną, ale nie zmienia funkcyi /(#).

Pd. 3. Uważając równania (M), (1) za współczesne i wyrażając tę współczesność wyznacznikiem =0, wyprowadzić stąd formę (M).

Pd. 4. Gdy dany jest szereg liczb: a₀, ai: a₂, a₃, ai—a₀ = a₂—a₁=a₃—a.₂ = ... i dalie są wartości f(a₀), /(«i), f(ai)i ko witej wymiernej funkcyi /(V), to kładziemy:

f(asĄ-1) /(as) ~    (as)l S = 0, 1, 2, ...,

13.

o tej własności, że pewnej cał-

(«)

a więc w szczególności

(P)

Stosując dalej oznaczenie (a), położymy A/(at) — A/(a₀) — AA/(a₀) = A²/(a₀), a że V0i)— a/(«o)=/(«j)— /(«i)~/K)+/(«o)₅ więc A²/(a₀) :=/(a₂) - 2/(«₁) + + /(«₀) i analogicznie

(T)

^²/K)=/K+2)-²/K+i)+/K)’ Sr=1> ²> -

Wzory (B), (y) możemy symbolicznie w ten sposób napisać:

0 — !)/» ^²/=(s ~ 1) /»

gdzie tu w rozwinięciach: 0—z°, z²—2 z-[-z⁰, trzeba za 0⁰, z¹, z² położyć odpowiednio /(«o)j /(«i)j /(«ś)- Wyjmij my ź, że i Xta różnica A^/(a₀) = A*⁻¹/(%)—• A^_1/(a₀) daje się wyrazić symbolicznie formą (z—1)^, to w takim razie [z. (z—l)'¹]/ oznaczać będzie A^/(a,), bo czynnik 0 podnosi tu w każdem a₀, o₁, «₂, ... znaczek o jedność. Zauważmy teraz (0—lyG¹ =[(0—1)(0—Vf\j-=\z(z—1)^ — (0—1)^. Tutaj

[0(0—l/]/=A'l/(«i), a (0-1)*/= A*/(a₀), mamy więc (0—l)**¹ = aV(«i) — — A*/(a₀) a to jest (X -f- l)sza różnica A'?',P¹/(a₀). Ogólność więc symbolu A* f (o₀) = = (0— 1)*, X =0, 1, 2, 3, ... mamy udowodnioną**).

Po tych uwagach postarajmy się przedstawić formą Gaussa taką funkcyę

wymierną całkowitą f(x) stopnia n, która na miejscach 0, 1, 2, odpowiednio wartości/(O),/(l), /(2), ..., /(n). Połóżmy:

f(x) = A₀ -j- Axx -j- A₂x (x—1) + ... -J- An x (x—l)...(x—n—l)

n przybierać

ma to na wyznaczenie spółczynników rł₀, Ax, A₂, ... mieć będziemy równania :

*) Theoria interpolationis methodo nora tractata. Werke. T. 3. p. 274.

**) Por. W. Folkierski. Zasady rachunku różniczkowego i całkowego (Paryż 1870). Tom I. str. 18—31. Por. także: Collection of exemples of the applica-tions of the calculus of finite differences by J. F. W. Herschel. (Cembrigde 1820).

/(a) — A₀ -j- a -j-    + 3(3^34-...+(a —l)^a_2^

+ a! Aa

cc—1

a —O, 1, 2, ...,

Pierwszych. X owych równań mnożąc po kolei przez (—1)^ (—1)^ ¹ (x—l)’ (— ly¹⁻'Z^^_2)’ •“ * dodając dostaniemy:

A*/(0)

gdyż (0) (^) — (1) C U. X) + • • • - (^) jest zawsze = °> gdy H- = 0, 1» ²? •••»    Po

wyznaczeniu w ten sposób spółczynników A0l Ai} ..., mamy:

A²/(0)

—2j— * (x —!) + ••• 4

A/(0)

.r -j-

An/(0)

a? (./•—1) ... (ar—»—1). i to jest

żądana forma.

54. Dzielenie dwóch funkcyj całkowitych przez siebie. Przejdźmy do rozważania dwóch funkcyj całkowitych wymiernych równocześnie danych:

f{x)=a₍₎xm-\- ... + am, g(x)=b₀xn + ... + bn.

Zakładając m>n: dobierzmy jeszcze trzecią funkcyę (m—n)e° stopnia h (x)=c₀xm~n-\- ...Ą- cm_n o niewyznaczonych c₀, c1? ..., cm_n i zauważmy wyrażenie f{x)—g{x)h{x). Porządkując je według potęg x, dostajemy:

f{x)—g (x)h(x)=

Oo —boco)xm + Oi —&i4) — ci &o)a Lecz w h (x) mamy (m—n-fi) dowolnych spółczynników c₀, c1? ...    a te możemy tak wybrać, aby w r(x) spółczynniki

xn były zerami. Takie cs znajdziemy z równań : ao ^oco

ai~bic₀—b₀ ci = 0

VI—1

przy xm, a;

(U)

—n    w—\C^ ... b^Cm—n — 0,

w których bs o znaczkach s^>n zastąpić trzeba zerami. Wyznaczone stąd cs wstawiając w h(x) i w dalsze spółczynniki funkcyi r(x), dostaniemy r(x) jako funkcyę (n— l)g0, albo niższego stopnia. Mamy więc:

(b)

f{x)—g (x) h(x)=r (x), a stąd twierdzenie:

I. Gdy mamy dwie funkcye całkowite wymierne f\x) stopnia mqo i g(x) stopnia nq0 — m > n — to można zawsze oznaczyć funkcyę h (x) (m—n)ff0 stopnia w ten sposób, że f(c) — g (x) h (x) jest funkcyą r(x) najwyżej (n — V'f° stopnia.

Oznaczenie funkcyi h(x) i r(x) za ich spółczynniki określamy jako dzielenie funkcyi f(x) przez g (x). Funkcya h(x) jest ilorazem

pomocą równań (a) dających

r{x) resztą dzielenia.

W szczególności mogą oznaczone z równań (a) spółczynniki cs sprowadzić r(x) do identycznego zera: 0xn~i -f 0# w_2 + ... + 0. Wtedy mówimy, że f(x) jest podzielną przez g(x), albo — c z równania f{x)=g(x).h(x) w tym przypadku wynika — funkcy g{x) jest podzielnikiem funkcyi f(x).

Pd. 1. Podzielić 3xi—3x³—2x-\-1 przez a-²—1, a x³ + ct³ przez x—a. Pd. 2. Podzielić 4xi—6x³— 8.t² 4- Gx-\- 4 przez x³—2x²—x -j- 2.

55. Łańcuchowe dzielenie. Gdy g(x) nie jest podzielnikiem funkcyi f(x), to można badać, czy te funkcye nie mają wspólnego podzielnika w postaci funkcyi całkowitej wymiernej , albo — jak się krócej wyrażają — czy nie są współmierne. Taki podzielnik o możliwie największym stopniu nazywa się największym wspólnym podzielnikie m. Oznaczyć go można w sposob następujący:

Dzielimy f(x) przez g(x):

(1)

(2)

f(x)=g(x).h(x)+gx(x)-, dzielimy g (x) przez g^{x): g(v)=gi(x).\(x)+g.₂(x); dzielimy gx{x) przez g₂(x) :

(3)

9\ («) =9-1 (x) -h (®)+g 3 0*0 i tak postępujemy dalej. Z uwagi, że stopnie reszt gu g₂, #₃, ... ciągle się obniżać będą, dojdziemy wreszcie do dzielenia, z którego reszta wypadnie zerowego stopnia t. j. będzie = stałej ilości c. Na tern owe dzielenia , z których ostatnie są:

¹

Caucliy „Cours d’Analyse“ str. 87, 88,

²

Journal de l’ecole polytechnigue 7«me et 8eme cahier (1812) str. 274—278 w „Leęons elementaires sur les mathematigues donnees a Vecole normale en 1795“.

gv-₃ (x)=gv-z(x).hv-2 (x) +gv-i (x)

9v—2 {x)=gv-\{x).hv-i(x) +gv (x) gv-1 (x) =9v (x).hv (x) + c, kończymy.

Ostatnia reszta c może być =0, albo =j=0.

Gdy c=O, to widocznie gv jest podzielnikiem funkcyi gv-₁, a

Zatem i lewa strona

(4)

(5)

(6)

prawa strona w (5) jest podzielną przez gv. w (5) t. j. gv-2 jest podzielną przez gv. W (4) jest więc prawa strona, a tern samem i lewa, t. j. gv-3 podzielną przez gv. Idąc tak dalej do czem raz wyższych równań, dojdziemy wreszcie do wniosku, że gv(x) jest wspólnym podzielnikiem funkcyj

/ 0*0 > g{x).

Lecz można zarazem okazać, że gv{x) jest największym wspólnym podzielnikiem funkcyj f(x), g{x). Przyjmijmy bowiem, że te funkcye posiadają podzielnik %(x) wyższego sto-

pnia, niż gv(x). Z równania (1) wynika wtedy, że %(x) jest także podzielnikiem funkcyi gx (x). Według równania (2) byłaby funkcya %(x) także podzielnikiem funkcyi g₂(x) i t. d. Okazałoby się ostatecznie, że %(x) jest także podzielnikiem funkcyi gv(x). Lecz to jest niemożliwe. Zatem gv(x) jest w istocie największym podzielnikiem funkcyj f (x), g{x). Naznaczmy ten największy wspólny podzielnik gv(x) przez t{x) i przyjmijmy, że jest on stopnia 7c®°, to mamy dalej :

f(x)=t(x).(pm_k(x), g(x) = t(x).yw„k{x), gdzie (pm—k j yn-k są stopni: (m—k), (n—h). Lecz — gdy cx jest dowolną stałą =j= 0 — to także położyć możemy:

(pm—k

’

i w miejsce t(x) uznać cxt(x) za największy wspólny podzielnik. Stąd wynika, że największy wspólny podzielnik trzeba pojmować jako funkcyę z dowolnym stałym czynnikiem.

Ta okoliczność może ułatwić dzielenia (1), (2), ..., (6); możemy bowiem każdorazową dzielną lub dzielnik pomnożyć naprzód stosownym czynnikiem.

Pd. 1. Znaleść największy wspólny podzielnik funkcyj:

f(x) = 2a?⁴ -j- xz ■— Ba:² — a? -j- 3, g(x) — 5a?³    a?² — 5 a: — 1.

W dzieleniu /(x) przez g(x) będziemy mieli dwa częściowe dzielenia. Stąd więc korzystnem tu będzie dzielić 5²./(a?) p.zez g(x). Z tego dzielenia dostajemy:

B²./(a?) = (B a?³ -f- a?² — 5 a: —1)(10 x + 3)+(—78 a--² + 78), gx{x) = — 78 . x² +78.

Zamiast dzielić g{x) przez gx(a?), dzielmy raczej g(x) przez — ^q9\(x)i f° dostaniemy : 6a?³-f-a.'²— Ba?— l=(a?²— 1). (5 x -f-1) -f- 0. Z tego okazuje się, że ('x² — 1) jest największym wspólnym podzielnikiem danych funkcyj.

Pd. 2. Jaki jest największy wspólny podzielnik funkcyj:

(x) = 6x⁵ -(- 11 a?⁴ -f- x³ — a?² — Ba? — 12, g(x) = 24ad -j- 38a?³ — 31 a?² — 43a? -f-12?

[Odp.: = 6 a?³ -J- 11 a?² — Ba? — 12].

(7)

f(x)=cx.t{x).

g{x)=cxt(x).^-k (/\

56. Wspólny podzielnik jako jednorodna liniowa funkcya da-

[art. 55.] — gdzie c=0 znowu założymy, możemy wszystkie reszty gx: g2: ..., gv wyrazić przez fig. I tak z równania (1) mamy:

9\ = f—9K\

równanie (2) — [1. c ] — daje g₂=g—gxhxi a gdy tu za gx wstawimy wyrażenie (a), dostaniemy :

nych funkcyj. Z równań (1), (2), ..., (6)

(«)

(&)

g₂ = —f:hx + (hhx +1 )g.

W ten sposób postępując dalej, otrzymamy ostatecznie gv(x)—

a to znaczy:

(1)

t(x)=y(x). f (x) + (p(x). g(x)

I. (Największy wspólny podzielnik t{x) dwóch danych funkcyj f\x), g{x) daje się przedstawić liniowo, jednorodnie przez te funkcye.

Z drugiej strony mamy:

f(x)=t(x).rpm_k(x)

g[x)=t{x).yn-k(x)

tych równań wynika związek:

(2)

yn-h (^) f{x)—(pm—jc g(x)=0.

..., xr. Na tych miejscach niech f\x) =0 razy a g(x)=0 razy ?>"₂, ..., v“r. Naznaczmy mniej-

Związkami (1), (2) zajmiemy się później, a teraz przyjmijmy, źe funkcye f{x), g{x) stają się równocześnie zerem wyłącznie na miejscach xx, x2 v‘u v‘₂, ..., v‘

szą liczbę zawartą w parze (vla, v"a), a= 1, 2, ..., r przez va, to iloczyn c.(x—xx)v'.(x—x₂)v¹...(x—xrvr)—t(x) z dowolnym stałym czynnikiem c będzie największym wspólnym podzielnikiem funkcyj f(x), g(x). Z tego wynika :

II. Bicie funkcye f\ g mają wspólny podzielnik, gdy posiadają jeden przynajmniej wspólny pierwiastek.

57. Rugownik dwóch funkcyj. Wyróżnik funkcyi. Pomnóżmy związek (2) — art. 56. — przez funkcyę uQ dowolnego stopnia q i o dowolnych spółczynnikach, to mieć będziemy :

(1)

f(x)-yn-kMę—g(x)<pm-k.uę=0. Połóżmy:

(2)

—k-Mg yn— (k—q) 7    (pm — k-WQ⁼ tym—(k— p) ;

gdzie znaczki n—(k—q)₁ m—(k—ę) oznaczają stopnie i połóżmy dalej k—Q = a: to mieć będziemy z (1):

(3)

f(x).yn-ce—g{x)tym_a=O¹)    a=1, 2, 3, ..., k,

jeżeli — jak to dostatecznem będzie — do tych tylko liczb ograniczymy znaczek a.

Z tych rozważań — pisząc związki (3) krótko w postaci (m, n, a)=0 — dostajemy twierdzenie:

I. Gdy funkcye g posiadają największy wspólny podzielnik k;,° stopnia, to możliwem jest dobrać (na bardzo wiele sposobów) k par funkcyj tym-a, yn-a to ten sposób, że identycznie sprawdzają się równania (m, n, a)=0, a—1, 2, ..., k. Ziciązek (m, w, &-fl)=0 jest już niemożliwy.

Przyjmijmy naodwrót, że do danych funkcyj /", g daje się para funkcyj yn-a, tym-a tak dobrać, że identycznie zachodzi równanie (m, n: a)—0, a więc wyraźnie: fyn-a—gtym-a=0. Dla ka-

10

żdego z pierwiastków xX) x₂₁ ..., xm równania f= 0 jest f.yn^a=0; mnsi więc także dla tych samych pierwiastków być g cpm-a=0. Z nich może funkcya (pm-a najwyżej m—a posiadać, a stąd wynika, że a z nich, albo i więcej, posiada funkcya g. Z tego wnosimy, że: (1°) /, g mają wspólny podzielnik ag0, albo wyższego stopnia i że (II⁰) — jeżeli a > 1    — to jeszcze

prócz związku (m, n, a)=0, dadzą się wyznaczyć związki (m, n, 1)=0, (m, n, 2)=0, ..., (m, n, a—1)=0. Stąd twierdzenie:

II. Aby funkcye f, g posiadały największy wspólny podzielnik stopnia &go, konieczneni i dostatecznem jest, aby można dobrać dwie pary funkcyj (/„_*, cpm-f), (y„-(*+1)» 9>«-(*+i)) w ten sposób,    (w, w, lc)=0,

(m, n, 7£+1)4=0. Związki (m, n, a)=0, a=l, 2, ..., 7:—1 muszą się wtedy także dać koniecznie utworzyć; pierwszy z nich wskazuje, funk-cye są współmierne.

Z tych wszystkich uwag wynika, że przedewszystkiem trzeba zbadać, czy spełnia się identyczny związek (m, n, 1)=0, nim się przystąpi do szukania największego wspólnego podzielnika za pomocą szeregu dzieleń.

Przyjmijmy dla uproszczenia : f(x)=a₀x⁵+axxIk f...-j-a₄a:-f a₅, g(x)=bQx³+bix²-\-b₂x+b₃

i połóżmy:

yn—i—y₂ — CqX‘jcxx&2? (pm—i—9^4— dxxxlt dxx₃ ... ć7₄, to identyczny związek (m, n, 1) = (3, 5, 1) = 0 daje tu takich m-\-n=8 jednorodnych liniowych równań:

(A)

Cq -{- 0 cx -{-0c₂ -f- będą -j-(ó.dx -f-0,d₂ -j-0.<7₂ -j-Oć7₄ =0 axc₀ + a₀cx + . -\-bld(jĄ-l⁾odlJr .

a2C0 +ttlCl +a0C2 + ^2^0 +^1^1 +^0^2 +    •

«₃ c₀ + «₂ ci + ai c2 "b ^3 d- 7»2 dx + bx d₂ + b₀ d₃ -f-. a₄c₀+<*3^-ba₂c2 "k • +^3^1 + ^2^2 ~b^i^3 Ah₀di=O

a5C0+a4Ci+«3C2+    •

. +a₅c₁+a₄c₂+ •

.    .    +ć*₅c₂ f- .

=0

k~bsd₂ +&₂(7₃ -f- bxdi=0 -\-b₃d₂-\-b₂di=0

•    .    .    +&3^₄=0

Z równań tych — jeżeli f(x), g{x) są współmierne — muszą spółczynniki funkcyj 9p₄, y₂ wypaść 4=0.

Warunkiem zaś tego koniecznym i dostatecznym jest, aby wyznacznik:

Wyznacznik B(fxg) nazywa się rugownikiem (rezultan-tem) funkcyj f(x), g(x).

7i tego szczególnego przypadku m = 5, n — 3 łatwo wywnioskować, jak w każdym innym razie tworzyć rugownik. W pierwszym jego wierszu wypisujemy po porządku spółczynniki a₀, a1: ... jednej z funkcyj , dając spółczyunikowi a0 miejsce elementu głównego. Po ostatnim elemencie wypisujemy tyle zer, aby cały wiersz lszy zawierał elementów (w -j- n). W drugim, trzecim, ... wierszu przesuwamy a-₀, ax, ... o jeden pion, o dwa piony ... naprzód, wypełniając wolne miejsca z początku i na końcu zerami. To przesuwanie odbywa się tak długo, aż się ostatni element am dostanie do pionu ostatniego. Następny wiersz tworzymy tak, jak pierwszy, ze spółczynników b₀, Zą, ... drugiej funkcyi, a w analogiczny sposób (jak a₀, aj, ...) przesuwając je, tworzymy dalsze wiersze tak długo, aż dostanie się do pionu ostatniego.

Sprowadziwszy w ten sposób całe badanie, czy istnieje wspólny podzielnik danych funkcyj, do obliczenia wyznacznika, możemy teraz powiedzieć:

Ilia), jDwie dane funkcye f(x), g(x) są współmierne, gdy ich rugownik B(f\g)=Q.

-l

(B) B (/', g)=

OOOOJP-OOJS

o    o    ©j*    o    a    a

o    O    O- a-    a    ®    a

O    o- ^    a    o    a

^    w    w .o⁻    O    a    a    a

o ^    ^    ba co

^ ^ o- o o a a a c^a^oooa a o

to co

.ch O O O O a o o

Gdy B(f,g)~j=0, to nie istnieje wtedy para funkcyj    yn

spełniająca związek (w, w, 1)=0 a stąd — na postawie tw. II. — wnioskujemy :

IIIb). Gdy B (f, g)^0, to funkcye f\ g nie posiadają żadnego wspólnego podzielnika, albo — jak mówią — są względem siebie pierwsze.

Widzieliśmy w art. BI., że gdy równanie f\x)=0 posiada ż-krotny pierwiastek xu a więc f(x) mieści w sobie czynnik (x — xi)z, to w równaniu pochodnem f\x)=0 jest xi pierwiastkiem (A—1)-krotnym; zawiera się więc w niem czynnik {x—xi)^~¹.

Z tego wypływa, że gdy wszystkie powtarzające się czynniki pierwiastkowe, zawarte w f(x) tworzą iloczyn (a—xx)\x—x^y{x~xi)v. ż> 1, /t> 1, v > 1, to w f\x) mieści się iloczyn t(f,fr) = (x—xxy-' (x—x.₂y-¹ (x—xi)v-i..., który będzie największym wspólnym podzielnikiem fnnkcyj f‘(x), f‘{x). Grdy przeciwnie f(x)=0 nie ma powtarzających się pierwiastków, to f(x), f\x) są względem siebie pierwsze. Stąd twierdzenie:

IV. Równanie f(%')=() posiada powtarzające się pierwiastki, jeżeli rugownik R(f,f‘), który tu nazywa się wyróżnikiem, (dyskry-min ant em) róiunania (funkeyi f(x)), jest zerem. W razie R(f,f‘)d\p 0, nie ma powtarzających się pierwiastków.

Pd. 1. Funkcye f{x) = 2#⁴ -j- 3,/'³ — 6# ² — B.r -j- 6, r/(.«) = i#³ -f- 3a?² — 2x — 3

posiadają

o o o to o o to

CO 03 O CC (M O O

-6 -B 6    0    0

3 — G -B

2    3 —6 -B G

0    2    3 —2 —3

= 0, gdyż po dodaniu wyrazów wszystkich pionów do wyrazów pionu pierwszego, dostajemy w pionie pierwszym same zera. Jakiż jest największy wspólny podzielnik tych funk-cyj ? [Odp. 2x² -(- x — 3]

Pd. 2. Jakim jest rugownik i? funkcyj:

/■(a?) = 2,/:²—x—3, g(x) — 2x²—B.r -f- 3? [Odp R = 0, t(x) — 2x -j- 3]. Pd. 3. Okazać że równanie

f(x)= xh—a?⁴—5x³ -j- x² -f- 8rr —j- 4 = 0

ma powtarzające się pierwiastki, stwierdzając, że wyróżnik -#(/,/')— 0.

Pochodna f'(x) = Ba;⁴—4a?³—1 Ba?² -|- 2x -j- 8, a łaiicuchowe dzielenie daje tu : 5²f (x) =f‘(x). (5x—1)—B4-(.r³ — Sx—2), f'(x) = (x?>—3a;—2) (Ba;²—4) -f- 0 ; stąd wynika, że    = x³—3x—2»= {x-\- l)²(a;.—2) i że: x — — 1 jest 3 krot-

nym , a a; = 2 dwukrotnym pierwiastkiem równania.

Pd. 4. Równanie f(x) = x'i -f- pxĄ- g = 0 ma wyróżnik

0 p q 0 1    0    p    q

0 p 0 0 = 4p³-f 27 g².

3 0 p 0 0 3 0 p

W szczególnym przypadku, gdy f(x) = Łr³—y₂x—(/₃ =0, mamy:

-|iJ ==—x’ a więc

—4²i?(/,/') — ^2³— 27,9₃². Uwaga. Gdy/(a;) = «₀.rr" -j-... — 0, to / '(a?) = a₀m.x'

= 0 a równanie

y(x) = m .f(x) — xf,(x)= 0 jest (m — l)s° stopnia. Zamiast wyznaczania wyróżnika równań f(x) =0, f‘(x) = 0 można szukać rugownika równań /‘(x) — 0, cp(.r) = 0

i przez to poszukiwanie ułatwić.

58. Niewspóliniernośó funkcyj. Związki (m, n, a) = 0. Dostateczne warunki istnienia największego wspólnego podzielnika stopnia k. Grdy szereg dzieleń (1), (2), ..., (6), [art. 55.], zakończy się dzieleniem gv_\=gvhv-\-c o reszcie c=j=0, to ta okoliczność wykluczy tak dobrze możliwość wspólnego podzielnika, jak R(f,g) 4= 0.

Przyjmijmy, że do danych funkcyj f, g możliwem jest dobrać dwie funkcye y„_i, (pm-1 w ten sposób, że identycznie spełnia się związek

(1)

(■m, w, 1)=1.

Szukając spółczynników c₀, c1? ..., d₀, c71? ... funkcyj yn_i, —i, dostaniemy na ich wyznaczenie z równań (A) — art. 57. — wszystkie z wyjątkiem ostatniego, które teraz przechodzi na

Mm Cn—1 “h bn dm—1⁼⁼ 1 •

nie-

Dostajemy zatem system (mĄ-n) równań liniowych j ednorodnych:

(2)

Z nich c₀, cl7 ..., d₀₇ di7 ... dadzą się wyznaczyć, gdy Lecz wtedy f, g są względem siebie pierwsze , a stąd wynika:

I. Gdy dane funkcye f(x)₇ g (x) nie posiadają wspólnego podzielnika , to istnieje para funkcyj (pm-1, yn-1 spełniająca identycznie związek (m, n, 1)=1. Odwrócenie tego twierdzenia jest także praicdziwe.

wskutek tego stopień tych funkcyj nie dał

Za pomocą ostatniego twierdzenia możemy bliżej określić związek t(x) = yf— (pg, [art. 56.]. Tam funkcye y, cp wynikały z łańcuchowego dzielenia się ogólnie podać. Połóżmy jednak f(x)*=t(x).cpm-k, g (x) — t (#).yn_*, to ponieważ <pm—k, yn-k nie mają już żadnego wspólnego podzielnika, znajdzie się para funkcyj yn-k—\-,(Pm — k—\ spełniająca identycznie związek

(3)

yn—k—1 (pm—k    tym—k—1 7»—k — L

Mnożąc ten związek przez t(x) dostajemy:

(4)

t (x)=yn-k-1 -f(x)—(pm—k—i-g(x)=y (x) f(x) + rp(x)g (x), a stąd wynika, że y i cp są odpowiednio stopni n—(&+1), m—(/c+1) i że t(x)=(m₇ n, k-\-l).

oznaczone

Ze związku (3), w którym w t{x) (stopnia kgo)₇ i w y, cp₇ (odpowiednio stopni n~(/c-fi), m-(k-\-1)), są spółczynniki jeszcze nie-dostaniemy (przez porównanie równomiennych wyrazów) dostateczną ilość równań do wyznaczenia tych wszystkich spółczynników a więc i największego wspólnego podzielnika t{x). Mamy więc twierdzenie:

II. Gdy f(x), g (x) mają mieć największy ivspoiny podzielnik ky0 stopnia, to musi się dać (&+1) par funkcyj yn k-\-l tak wyznaczyć, że identycznie (m, n, a)=0, a=l, 2, ... k, a wyrażenie (m, n, ft-j-1) redukujące się do funkcyi stopnia k jest żądanym podzielnikiem.

Pd. 1. Funkcye f(x) — — 1 4 # — 3 x² -f- 3x³, g (x) — 1 4 x 4" 3x² 4 3x³ posiadają największy wspólny podzielnik stopnia 2e°; wyznaczyć go.

Tutaj Yn—k—i = c, <Pm-k—i = d. Połóżmy t(x) — t% 4^*4 to mamy: c (—1 4 x —3x² 4 3x³) 4 d (1 -4- x*4 3x² -j- 3x³)    -j- ttx 4 Ą,#², stąd c — d— 0,

— 3c-J-3e? = Ął, c4^ —4— c 4 d = t₂, a więc: c =— <2, ^, = 6(2,    = 0, ż₂ — 2c2

i ż(aj) a= c'(l 4 3x²).

Pd. 2. Funkcye

f(x) — — 12 — 5x — x²4 x³-\- llx'⁴ -f- 6x⁵, ^(x) = 12 — 43x — 31x² 4 38x³ 4 24x4 mają największy wspólny podzielnik stopnia 3®° [por. Pd. 2. art. 55.]; wyznaczyć go.

Stwierdziwszy, że istnieje związek (m, w, &) = 0, połóżmy:

—A.--1

Yn—(Ar-pl) —

4-4cM_*, ę)OT_ (*₊i)=d₀xm-k-x 4-4 <4-*, ć(4)=4₀:z*4^_1i--44, 4+0,

to w związku (w, w, &-fl)=£(#) zrównując ze sobą spółczynniki przy xm+n-~k~i,    ><i? /pi dostajemy dostateczną ilość równań

do obliczenia spółczynników c₀, c1? ..., d₀, di1 ..., (w funkcyi t₀). Równania te w razie m=5, n=3 i &—1, mają postać:

+4> <4

U₀C₀

OiC₀ + a₀c₁ + &₁4 + &₀ć?₁

=0

=0

Uo c₀ + at c₄ 4 &₂ d₀ + 4^4b₀ d2 a₃c₀ + a₂ci+b₃d₀ +b₂di + bid₂ + b₀d₃=O ^4c₀ +a₃ci +0 <4 4b₃d^ 4b₂d₂ 4b₂d₃ = 0 «5co 44ci 40 4O 4b₃d₂ Ą-b₂d₃=t(j.

Wspólny mianownik niewiadomych jest tu:

CL 2

«1 «2

4    ^3

4 4 3 0 4 4 2 3 o 4

i powstaje z R(f\g) przez opuszczenie ostatniego wiersza z elementami a₉, ostatniego wiersza z elementami bs i dwóch pionów ostatnich.

A, =

<3* <3- 3*

a₅

«₄

o- a*

W ogólnym wypadku mianownikiem takim będzie wyznacznik Ak powstający z jU (f, g) przez opuszczenie ^ wierszy ostatnich z elementami & wierszy ostatnich z elementami bs i 2Jc ostatnich pionów, a ażeby c₀, c1? ..., c?₀, 4, ..., były skończone, koniecznem i dostatecznem jest, aby Ak 0 było.

Przyjmijmy 4t=0. Wtedy musiałoby być i t₀=O, a wspólny podzielnik t(oc) musiałby się zredukować do funkcyi o stopniu (k—1). To jednak jest niemożliwe po stwierdzeniu już związku (m, n, Jc)=0 ch ba, że z t₀=O także równocześnie ti —t₂ = ...—tk=0, a ięc zachodzi jeszcze związek (m, n, k+1)=0.

Mamy więc przy    g)=0:

1°.    (w, w, &-fl)=-0, gdy (m, n, &)=0 i Ą-=0;

II⁰. (m, n, &+1)=£(#), gdy (m, n, Jc)=0 i    —

a zatrzymując II., mamy dalej podług I.:

(m, n, Jc)=0j gdy (m, n, k—1)=0 i Ą_i=0;

(m, n, Jc—1)=0, gdy (m, w, Z;—2)=0 i Ą_₂=0;

(w, w, 2)=0, gdy (w, w, 1)=0 i

(»), n, 1)=0, gdy B(f, g)=0.

4 = 0;

Stąd twierdzenie :

III. Jńy cfocie dane funJccye f\ g posiadały największy wspólny podzielnik stopnia £, dostatecmem jest aby Wi 9)^0₁ Ą = 0, A₂=0,

4t- i=0,    Ą=^0.'

59. Wypadek znikania podwyznaczników rugownika JEt = 0.

tym — 1 — (Pm—k • U/;—i

W związku (w, », 1)=0 jest gdzie 17* ~i jest funkcyą (Z;—l)s° stopnia o dowolnych spółczynni-kach. Z tego wynika, że albo w yw_i, albo w cpm-1 można będzie znowu 7; spólczynników obrać zupełnie dowolnie.

Pomyślmyź sobie równania (A) — art. 57 — utworzone przy ogólnych m, n i przyjmijmy, że rugownik tych równań R(f, y)=0. Te równania — gdy 7(#) ma być stopnia k — muszą się dać rozwiązać w ten sposób, że k spólczynników cs pozostaje dowolnych.

Jestto znakiem, że z równań (A) można wtedy opuścić Jc równań, albo że w R(ft g)—0 wszystkie podwyznaczniki lsze, 2&ie, .

(*-l)

znikają, ale z podwyznaczników Z^⁰¹¹ nie wszystkie są =0. Stąd twierdzenie:

I. Gdy f, g mają największy wspólną podzielnik stopnia k, to w R(f, g)=0 znikają wszystkie podwyznaczniki lsze, 29ie, ... (7^—1) a z Jct,jch podieyznaczników nie wszystkie są =0.

Przyjmijmy naodwrót, że w R(f,g)=0 znikają wszystkie pod-wj^znaczniki lsze, 2^

sze

kte podwyznaczniki nie wszystkie =0. Opuśćmy w tym przypadku z równań (A) k równań pierwszych — zawierają one cs, ds — z najmniejszymi znaczkami — to wtedy przez

(*-l)

sze

(1)

^OJ ^1J ^2J    G—1

które pozostają całkiem dowolne, będzie można z pozostałych równań liniowo jednorodnie przedstawić wszystkie inne spół-czynniki ck, ckĄ...., cn—ij dę, dy,    dm—\.

Połóżmyż po rozwiązaniu : Ck=Lk, ^k+\=rLk-\-\ , ..., Cn—\ = Ln—\', gdzie X*, Zf*₊i

—1 — L m—i ,

.... Zć₀, L\, ... są właśnie wspomnianemi jednoro-dnemi funkcyami, to wtedy przy dowolnych ilościach (1) tak obranych, że c₀4=O — a więc wskutek a₀c₀ + b₀d₀ — 0 także jest ^₀rJ=;O — mamy:

yn^=c₀xn-'-{-cixn-²Ą-...+ck-xXm-kĄ-Lkxn-k-l + ...+Ln-i (pm-i=L‘₀xm-i+L,ixm-²+... + L,m-l, a związek (w, n, 1)=0 niezawodnie się spełnia.

Wskutek dowolnych ilości (1) możemy przyjąć c₀=O, ^=4=0; dostajemy wtedy równocześnie d₀= 0 (z równania a₀c₀ Ab₀d₀=O)’, a w (2) mamy parę drugą yn-2, (pm-2 spełniającą związek (m, w, 2)=0.

Gdy dalej założymy c₀ =ci =0, C2+O, to z równania «₀c₀ +ó₀^₀ =0 dostajemy równocześnie d₀== 0, a zrównania atcQ Ą-o{jciĄ-bid₀Ą-b(idi= 0 wyniknie dl = 0. Z założenia więc c₀=c₁==O,    dostajemy

w (2) trzecią parę yw_₃, qpm_₃ spełniającą związek (m, w, 3)=0.

Początkowych k równań (J.), [art. 57], zawiera po porządku z ilości cs, ds tylko takie, jakie tu — pisząc te równania w skróconych postaciach :

(2)

(3)

(coj ^0)—0? (coj c1 j <*oj ^1)—0, ... (C₀, Cj, ..., C/c—1, <7q ,    , ..., d/c—1)=

ujęte mamy w nawiasach.

Połóżmyż c₀ =ci=...=c/c-2=0, to z równań (3) wyniknie równocześnie d₀~di=d₂=...—dk-2=0; w funkcyach (2) dostaniemy parę yn-k, (pm_k j a dalej związek (m, w, &)=0.

Założenie dalsze: c₀=c₁ = ...=c*_i=O już jest niemożliwe. Ono bowiem prócz d₀=di — ...=dk-1=0 powoduje jeszcze:

IJk⁼⁼ Lk+\:= •••⁼⁼ 7/ o h ^ =...    0,

co znaczy, że fuńkcye yn_(*+i)

(w, w, &d-l)=0 są identycznie zerami. Związek więc (m, n, &-j-l)=0 już nie istnieje, a stąd wynika:

II. Aby f\ g posiadały największy wspólny podzielnik stopnia k dostatecznem jest, aby B(f, g)=0 wszystkie podwyznaczniki lS2e, 2gie, . (k—l)sze były —0, z podimyznaczników zaś ktgch nie wszystkie były zerem.

Łącząc to twierdzenie z twierdzeniem III. — art. 58 — tego samego znaczenia wnosimy:

III. Gdy w rugowniku R(f, g) = 0 okazuje się J₁=J₂ = ...==Ą._i=0, 4t=J=0, to jego wszystkie lsze, 2gie, ..., (A—    podwyznaczniki znikają

a z ktych podwy znaczników nie wszystkie są =0. Odwrócenie tego jest także prawdziwe.

60. Obliczenie największego wspólnego podzielnika z samego rugownika It = 0. Największy wspólny podzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność n fnnkcyj    Postarajmyż się teraz

o wyznaczenie największego wspólnego podzielnika t(x) w formie (m, n, kĄ-\) z samego rugownika.

W tym celu weźmy dla uproszczenia funkcye /*, g z art. 57., [m==5, n=3], a w R(f\ y) = 0 o 8² elementach pomnóżmy wyrazy pionu lgo, 2s°, ..., 7g0 odpowiednio przez #⁷, x(S₁ ..., x i dodajmy do odpowiednich wyrazów pionu ostatniego. Dostaniemy wtedy:

W, g) =

O O o O O p J5

o o o    p P _P

p o P    t F i⁵ i⁵ i⁵

P P tf i⁵ jf of Pi⁵ cf i5 P ,P oF P P cP oP cP

^ P P P i⁵ cf P

0.

Po rozwinięciu podług ostatniego pionu mieć będziemy:

R(f\ g)^=f\x)[c₍₎x²-\-cixĄ-cll\Ą-g{x) [d^dxxzĄ-d₂x²Ą-dzx-\-01^=0^ co wskazuje, że rugownik R dwóch funkcyj g (bez względu, czy ma być =0, czy nie) daje się zawsze przedstawić liniowo jednorodnie przez funkcye f\ g i jest —{m, n, 1).

Gdy przy 72=0 jest    a odrzucimy z wyznacznika R(f: g)

danego w pierwotnej formie (U), [art. 57.], ostatni wiersz z elementami as, ostatni wiersz z elementami bs i ostatni pion, to po wydaleniu tych elementów pozostanie prostokątny schemat:

S,...

Utwórzmy z niego wyznacznik o 6² elementach :

Pomnóżmy wyrazy pionu lg0, 2g0, ..., 5g0 odpowiednio przez x² i dodajmy do odpowiednich, wyrazów pionu ostatniego,

/y» 6    /y> 5

łA/ ^ lA/

to stąd dostaniemy:

«0

(!•)

o a- a a

O    to ^ K

a\

«3

O O ©a o

=A\X-\-A‘.

bi b₂xĄ-bz

ai

ao

O a a

co

xf(x)

/»

x*g{x)

x²g(x)

xg{x)

^2    ^3

bx b₂

bo \

(/?)    ~=f(x)[c,₀x+c,i]+g(x)[d,₀xi+d'ix²+d,₂x+d,₃]=A₁x+A,i ;

[d₁ należy do wyznaczników Aa określonych w art. 58].

Ponieważ dt4 0 założono, więc (/?) jest wyrażeniem (m, w, 2) nieznikającem identycznie, a że jest stopnia lg0, więc — [tw. II., art. 58.] — mamy t (x)=Aix+A\, co zn. że funkcye f\ g mają taki właśnie największy wspólny podzielnik.

Przyjmijmy B=A₁= 0, d₂=|rO i odrzućmy z wyznacznika 12=0 danego znowu w pierwotnej formie (B) dwa ostatnie wiersze z elementami as, dwa ostatnie wiersze z elementami bs i dwa ostatnie piony. Pozostałe elementa utworzą schemat:

OO,?

«₀    %    a3    ab

\    \ b₂ 6₃ 0

²'“ )0    \    b,    b₂    3

0    0    bo    by    ₂

z którego utwórzmy wyznacznik:

ai a₂ a₃^²-j-a₄^-f-«5 b\ ^2    &₃^²+0.iC+0

bo bi b₂x²-ł-b₃x-\-0 0 b₀ bix² + b₂x + b₃

Pomnóżmy tu wyrazy pionu lg0, 2g0, 3g0 odpowiednio przez #⁵, xi, xz i dodajmy je do opowiednich wyrazów pionu ostatniego, to dostaniemy także:

(II.)

B₂ —

=A₂x²+A‘₂x+Au₂.

¹

Związki (3) można także pisać w postaci /.yn_K-j- g = bo użycie znaku -j- lub — przed funkcyami jeszcze nieoznaczonemi nie zmieni rozumowania. Teorya funkcyj.

«i    «₂    f(x)

H₂ —

bx    b₂    xhg(x)

b₀    \    x g(x)

0    &₀    Q (x)

(y)

f(x) c₀“+g(x) [ćV'£²+tf₁''£4A'1⁼4;*;2 + /Va;+4‘'-

W razie d₂r|=0, mamy w (y) wyrażenie (m, w, 3), nieznikające identycznie, a że jest stopnia 2®°, więc t(x)—Aix2jrAl₂xĄ-Au₂.

W razie R=Ai=A₂=0, a/lj^O, zwracamy się do utworzenia wyrażenia (m, n, 4) przez odrzucenie z 22( /', ć/) trzech ostatnich wierszy z aę, trzech ostatnich wierszy z bs i trzech ostatnich pionów i t. d.

W ten sam sposób postępować należy i w każdym innym

razie*).

Pd, 1. W Pd. 1. — art. 57.

03 O C3 O O

CO CO N CO (N

-5

— okazaliśmy już, że R = 0. Dalej okaże się:

OD tO OD Oj

CD lO O CO (M

— 0, A₂—

o to to

CO CO 03

CD 03 CO

= -16.

Stąd wynika , że:

2 3 — 6,r²—5x -j- 6

t(x)= 2 3 —2a:²—3a?4"0 = — 16a?²— 8a;-j-24, 3x²—2x — 3

albo t(x) — 2x² -\-x— 3.

Pd. 2. Tą samą metodą znaleśó t(x) funkcyj rozważanych w Pd. 2. art. 57. Pd. 3. W Pd. 3. — art. 57. — okaże się oprócz R (/,/') = 0, jeszcze Aj=A₂=0, a A₃ = —54, a więc:

1 —1    —5 x³ -f* x²-\-8x-\-A

*(/,/') = 5 -4 —15#³ 4* 2x² + 8x+0 5 — 4x³ 4~ 15,r² 4" 2x -J- 8 = — 5Łx³ 4- 3.bŁx 4- 2.54, albo t(f,f') = x³— 3^ — 2.

Pd. 4. Gdy utworzymy rugownik równań xi—1 =0, b₀x³ 4- b{x² 4- b₂xĄ- bs=0 i w nim dodamy pion 5ty do lgo, 6ty do 2«°, 7my do 3«°, dostaniemy:

*) Bałt z er. Theorie und Anwendung der Determinanten [5te wydanie 1881.]

str. 117, 118.

Por. dalej: Wł. Kretkowski. Przyczynek do teoryi eliminacyi. Prace mat. fizyczne. T. 2. str. 21—32.

Lemonnier. „Theremes concernant les eguations, qui ont des racines commu-nes. Comptes Rendus. T. 80. str. 111.

Yenteiols. „Sur un probleme comprenant la theorie de l’elimination. C. E. T. 84. str. 546.

P. Mansion. Sur Velimination. C. R, T. 87. str. 975.

(*) R=

OOO r4° iJs’ 1-sT

b?’¹    ►?" O O O

^ «?* <?*

=v+~

Gdy e jest jednym z pierwiastków równania a;⁴—1=0, a ostatnią formą rugownika przetworzymy tak , że teraz :

4~ ^i£ "1“ ^2£2 4" ^3£3t ^1 ^2 ^*3

e² ó₂ &0 8³ \ b% b₀

Talde przekształcenie rugownika E da się przeprowadzić za użyciem każdego z 4 pierwiastków e. Utwórzmyż iloczyn :

n(&o + M + &2£2 + &3£3) = V+

R — (^0 + ^le + ^2£2 + MO •

(P)

to z (a) i (|i) wynika:

, to z uwagi, że

E — TI (b₀ -f- bis -f- &₂£² -bM³)>

8

gdyż E z jednej strony zawierać musi każdy z czynników [b₀ -\- b^Ą- £2 —j— £3], a z drugiej strony przy b₀ ⁴ ma mieć spółczynnik -f- 1.

Gdy danych, funkcyj jest więcej niż dwie n. fs(%), /'₄(»), a posiadają największy wspólny podzielnik £■(#), to go znajdujemy w ten sposób:

Wyznaczamy największy wspólny podzielnik:

O2 funkcyj /;,

fz

fi: fk‘

Dalej szukamy największego wspólnego podzielnika:

"h funkcyj ti2, tn ^23: hi‘

Największy wspólny podzielnik funkcyj i₂: x3 będzie żądanym podzielnikiem t(x) danych funkcyj.

^23

^3 4

Zauważmy te same funkcye /j, /₂, /₃, f\ i połóżmy: fl — 7 /2~^2> f2⁼⁼ ^3J t^ ⁼ ^ki

gdzie Aj, A₂, A₃, A₄ sąto całkowite wymierne funkcye jakie z podzielenia danych funkcyj przez ich największy podzielnik t wynikają, to wtedy funkcyę T(x) =    nazywamy najmniej

szą wspólną wielokrotnością danych funkcyj. Jest to funkcya najniższego stopnia podzielna przez /j, /₂, /₃, fk.

Gdy dane funkcye są niewspółmierne, to T(x)=f\. f\. /'₃./‘₄.

ROZDZIAŁ V.

O wymiernych funkcyach ułamkowych jednej

zmiennej.

61. Określenia. Miejsca zerowe i nicskońezonośeiowe i wartości fnnkcyi ułamkowej u(x). Poznaliśmy dotąd własności funkcyi wymiernej całkowitej jednej zmiennej jako najprostszej formy łączącej ilości stałe ze zmiennym argumentem. Przejdźmy teraz do innej, ogólniejszej formy, a to do funkcyi wymiernej ułamkowej

!».

Jest ona najogólniejszym rezultatem łączenia pewnych stałych ilości ze zmienną x za pomocą już wszystkich czterech działań arytmetycznych, a jako iloraz dwóch funkcyj jednoznacznych jest sama jednoznaczną funkcyą.

Funkcyę a₀ xm + ax xm~i + ... + am = f(x) nazywamy licznikiem, a funkcyę b₀xn-\-bixłl~¹ -f-.. .Jrbn=g{x) mianownikiem funkcyi u(x) i przyjmujemy raz na zawsze, że f{x), g{x) są względem siebie pierwsze. Do takiej bowiem „najprostszej formy“ można zawsze każdą wymierną ułamkową funkcyę sprowadzić odrzucając z licznika i mianownika największy ich wspólny podzielnik.

Przy takiem założeniu nie mają funkcye f(x), g{x) wspólnych pierwiastków, [art. 57. tw. I.] tak, że gdy

(2) f (x)=a₀(x—ai) (x—a₂)...(x —    g(x)=b₀(x—pi) (x—p₂)...(«—/?»),

to żadno z miejsc aX) a₂, ..., am nie jest identyczne z żadnem z miejsc ft, fi₂,

Uwzględniając tylko skończone wartości argumentu dzimy odrazu z (1) i (2) że u(x) jest zerem

«1, «2 •

(1)

u{x) —

a₀xm + aix

m—1

b₀xn +\xn~x + ... + bn

Pn-

na m

X Wl-

miejscach:

(a)

i jest wszędzie skończoną, i oznaczoną w skończoności z wyjątkiem miejsc zerowych mianownika:

(¹)

$13 $23 •¹•} $

na których staje się nieskończonością. Miejsca (a) nazywają się ze-r o w e m i, a miej sca (b) nieskończonościowemi funkcyi u(x).

Jeżeli w szeregu (a) lub (b) pewne miejsce powtarza się v razy, to je nazywamy ^-k r otnem zerowem lub nieskończonościowem. Uważamy je za v miejsc spadających na siebie i powiadamy, że funkcya na tern miejscu znika , albo jest nieskończonością v razy, albo w Uym stopniu. Z tego wynika, że funkcya u(x) jest w skończoności tyle razy zerem, ile stopień licznika zawiera jednostek, a tyle razy nieskończością, ile jednostek zawiera stopień mianownika.

Uwzględnijmy obok wszystkich skończonych a: jeszcze i punkt x=cc i zbadajmy funkcya u(x) w tym punkcie. Napiszmy:

u(x)=xm

—n

ao +ai —

, to stąd mamy:

(3)

W (^)ar = oo —

«0

. Xm~

X— 00 }

a więc:

gdy m=n i to u (x)x==    , skończona wartość =j=0.

=co (m—n) razy¹) =0    (n—m)    „

„ wi )> w „ „ „ m<in „ „

a to znaczy:

I. Funkcya u (x) staje się w całym, nieograniczonym obszarze swego argumentu zawsze tyle razy zerem i tyle razy nieskończonością, ile jednostek zawiera niemniejszy ze stopni funkcyj f (cc), g (z), a mianowicie: gdy m=n, mamy tylko miejsca (a) i (6), gdy m n, mamy miejsca (a) (b) i jeszcze (m — n) miejsc nicskończonościowyćh w nieskończoności, gdy m n, to prócz (a) i (b) marny jeszcze (n — m) miejsc zerowych w nieskończoności.

Gdy    jest skończoną, dowolną ilością to równaniem:

(4)

u (x)—c

Grdy przyjmiemy \h\ tak małe , że xĄ-h nie jest żadnem z miejsc to różnica u(x-\-h)—u{x) jest skończoną. Dalej mamy

miejsca x.

żądamy tych miejsc na tych miejscach nie będzie z pewnością g(x) — 0 (gdyż c założyliśmy skończone), to możemy równanie (4) pomnożyć przez g(x) i napisać je w postaci:

na

których funkcya ma wartość c. Ponieważ

(5)

f\x)—c. g(x)=0.

Równanie to ma taki stopień, ile jednostek niemniej szy ze stopni funkcyj f(x), g (x) zawiera. Na tyhi też miejscach leżących w skończoności (przy c skończonem, 4=0) będzie u(x)=c.

Dołączając tu jednak i wartości c=0, c=oo i uwzględniając twierdzenie I., powiemy:

II. Funkcya u (x) przybiera w nieograniczonym obszarze swego argumentu każdą dowolną wartość — a więc i wartości 0 i oo — zawsze na tylu miejscach ile jednostek niemniejszy ze stopni funkcyj f(x), g (x) wynosi.

62. Ciągłość i pochodne fiilikcyi u(x). Niech x będzie miejscem leżącem w skończoności a rożnem od wszystkich miejsc nie-skończonościowych A=l, 2, ... w, funkcyi u(x). Połóżmy x-\-h) za a?, gdzie h jest dowolnym dodatkiem, to różnica

{a)

f(xĄ-;h) _f(x) g(x+h)    g(x)

g(x)[f(x)+f' (x)h + ...] — f(x)[g (x) +g\x)h-\ ...]

u (xĄ-h)—u(x)

g(x+h)g(x)

Możemy to napisać krótko :

(P)

u (x + li) — u (x)=h

g{x) f‘ (x) —f(x) g‘(x) + h. H(x, h)

g{x+h).g(x)

gdzie H(x,h) jest funkcyą całkowitą wymierną ilości h ze spół-czynnikami przedstawiającymi się jako takież funkcye obranego

(C)

\u(x-\-h)—u(x) | = |/i| .

g (x) f ‘ (x) —f(x)g‘(x) + hll(x,h) |

g(x+h)g(x)

(«')

Obierzmy dowolnie małą dodatnią ilość dA i zażądajmy, aby | u(x-\-h)—u(x) | <C.ói było, to widocznie temu zadość uczynimy obierając

h \ < d,

a więc dowolnie małe, nieprzechodzące pewnej dowolnie małej granicy d.

Tę własność funkcyi u(x) określamy i tu mówiąc: funkcya u (x) jest ciągłą dla wszelkich skończonych x z wyjątkiem jej miejsc nieskończonościowych.

Z równania (b) wynika dalej :

id)

lim u ix+h)—u (x)    g (x) f‘ (x) —f {x) g' (x)

h—0

li

[g (x)Y

Tę granicę nazywamy (na wzór takiej granicy w teoryi funkcyi całkowitej wymiernej [art. 48.]) pochodną (pierwszą) funkcyi

du{x)

u(%) i naznaczamy ją przez u¹ (x) albo

dx

albo wreszcie przez

Gdy w (d) przyj mierny x jako zmienny argument, to powiemy : pierwsza pochodna funkcyi u(x) jest skończoną i oznaczoną na wszystki cych w skończoności z wyją skończonościowych. (Jej wartość nie zależy od sposobu, w jaki li na płaszczyźnie x zdąża do zera).

Pochodna ta jest znowu funkcyą wymierną ułamkową. Możemy więc tworzyć znowu jej pochodną i nazwać ją drugą pochodną funkcyi u (x). Pochodna tej drugiej pochodnej będzie trzecią pochodną funkcyi u (x) i t. d. bez końca. To znaczy: z funkcyi u(x) można tworzyć pochodne aż do stopnia nieskończonego:

n- o

tr

miejscach x 1 e ż ą-

e m jej miejsc me-

d u    d²u dzu

dx² J dx³ ’

Wszystkie są funkcyami wymiernemi ułamkowemi i wszystkie mają miejsca nieskończonościowe (3 a.

Gdy jest v-krotnem pierwiastkiem licznika f(x), to jest v-krotnem miejscem zerowem funkcyi u[x). Prócz/(a^) — 0 mamy wtedy także /'(a)^=0, a — jak z równania (d) widać — mamy wtedy prócz u(a^) —0 jeszcze równocześnie i u'(ol^) = 0. Lecz i naodwrót, gdy u(<x^ = 0 i u'(«^)=0, to oc, jest niezawodnie powtarzającem się miejscem zerowem funkcyi u(x). Tworząc dalej pochodne drugą, trzecią i t. d. przekonać się można, że: gdy j e s t v - k r o t n e m miejscem zerowem funkcyi u(.r), to wtedy:

u(<x^)^=0, U' (ocj) = 0, ...    = 0, U^V\a) r-j-t o.

Odwrócenie tego twierdzenia jest również prawdziwe.

dx

63. Warunki potrzebne do zupełnego wyznaczenia funkcyi

li(pć). "Widzieliśmy, że funkcja u(x) ma tylko m miejsc zerowych leżących w skończoności, a n miejsc nieskończonościowych leżących również w skończoności.

Żądając, aby funkcya u(x) na (m-fl) miejscach leżących w skończoności przybierała wartość zero, musimy dostać identycznie u(x)=0, gdyż licznik takiej funkcyi będzie identycznie zerem. Podobnie żądając, aby u(x) = cn na (w+1) miejscach leżących w skończoności musimy dostać identycznie u{x)=co , gdyż mianownik takiej funkcyi jest identycznie zerem. To znaczy:

I. Funkcya u(x) o liczniku stopnia m, a mianowniku stopnia n, któraby na (m-j-1) lub więcej miejscach leżących w skończoności była zerem, albo na (w + l) lub icięcej miejscach leżących w skończoności była =oo, nie istnieje. Jest ona w pierwszym przypadku zerem, a iv drugim nieskończonością na całej płaszczyźnie argumentu x.

Naznaczmy większą z liczb m, n przez p i zażądajmy, aby u{x) na (^ + 1) miejscach leżących w skończoności miała wartość ci skończoną i różną od zera. Równanie

f(x)—c.g(x) = 0 ps° stopnia

(a)

ma wtedy (^+1) pierwiastków, jest identycznem a wskutek tego mamy u{x) = c.

Gdy n. p. mj>n jest, to z identycznego równania (a) do

stajemy :

a₀= 0, ai= 0, .. a?i—m e bq, an—m i = c b ^, stąd widocznie (a analogicznie i w razie m<n) wynika u(x) = c. To znaczy :

II. Funkcya wymierna ułamkowa u(x), w której ze stopni m, n niemniejszy jest p₁ a która na (^-f-1), lub więcej miejscach leżących w skończoności przybiera wartość c skończoną i różną od zera, redukuje się do tej stałej c.

(*)

Zauważmy dwie funkcye wymierne ułamkowe :

u (x) =

f 0*0

9 0*0

ux [x]

fi 0*0

#i0*0

o stopniach w licznikach i mianownikach (w, w), (ml: n{). Z tych funkcyj pierwsza niech będzie dana w najprostszej formie.

Przyjmijmy, że z sum najmniej niemniejszą) suma m+n₁ i że obydwie funkcye (b)

(m + n^, (rn^n) jest większą (a przy-

na

Teorya funkcyj.

g{x).gx{x)

{mĄ-nxJrl) miejscach, leżących w skończonóści przybierają te same wartości w₀, ux, w₂, ..., um + ni- W różnicy:

u(x)—ux(x)

dostajemy funkcyę ułamkową, której licznik jest stopnia (m-\-nx) i która na    1) miejscach staje się zerem. Według tw. I.

jest więc ta różnica identycznie zerem a równocześnie i jej licznik f{x).gx[x)— fx(x).g{x) jest identycznie =0. Stąd wynika, że iden

tycznie :

(c)

f(x) • 9\ (x) —A 0*0 • g{%), i że dalej m-\-nx—mx-\-n czyli mx—m==%—n.

Gdy więc mx ^m-\-a, musi być równocześnie nx    co znaczy,

że stopnie funkcyi ui muszą być o tę samą liczbę większe od stopni funkcyi u.

Połóżmy wyraźnie."

g(x)=g(x)

— U)

gdzie znaczki wskazują stopnie tych funkcyj , to teraz identyczny związek (c) będzie miał postać:

/■(«)

m₁—cc

a to wskazuje, że funkcye fx, gx mają największy wspólny podzielnik stopnia > a. Lecz, że /', g są funkcyami względem siebie pierwszemi, więc ten wspólny podzielnik t(x) jest stopnia as°. Mamy więc fx=t.f, gx=t.g i identycznie ux(x)—u(x). Stąd twierdzenie :

III. Funhcya ux(x), która z funkcyą u(x) o najprostszej formie i o stopniach m, n te same wartości u₀, ux, ... um^.n na {m-\-n-j-1) miejscach leżących w shończoności przybiera, jest z u(x) identyczną, albo:

Wymierna ułamkowa funhcya, której licznik ma być stopnia m, a mianownik stopnia n, jest zupełnie wyznaczona, gdy na (w+w+1) miejscach leżących w skończoności przyjmuje dane wartości u0: ux, w₂, ..., um+n. Z (mĄ-n-Hi) owych wartości może ich być m — ale nie więcej — zerami, albo n — ale nie w ięcej — równych nieskończoności, albo y — ale nie więcej — równych sobie.

W najprostszy sposób wyznaczają funkcyę u{x) dane równocześnie: a) jej miejsca zerowe «1? a₂, ..., am leżące w skończoności, b) jej miejsca nieskończonościowe /31? /?₂, ..., /?„ leżące w skończoności, c) jej wartość u₀ na miejscu x₀, rożnem od miejsc

Danych miejsc mamy tu razem (m-f-w+1), jak tego twierdzenie wymaga.

(a)

Dwa pierwsze warunki określają funkcyę o tyle, że:

(x—ai)(x—a₂)...(x—am)

u(x) = c

a stała c jest dowolną. Z warunku trzeciego mamy:

C=UQ[{X o — &)...(«„ —/?»)] / K —«i)-(®0 —«»)]■

Tę wartość c wstawiając w (a) dostajemy żądaną funkcyę. Gdy żądamy funkcyi z zerowemi miejscami a1? a₂, ..., a przybierającej wartości:

(fi)

u₀,

na

miejscach :

różnych od , to jej licznik f{x) możemy położyć ={x—a^) (x—a₂)...(x—am). Co się tyczy jej mianownika g(x), to go z warunków :

(y)

fffa)

f(x£)

Ul

2=0, 1, 2,

wyznaczyć możemy, przedstawiając go formą (L) lub (L') [art. 52.] lub wreszcie formą (M) [art. 53.].

Gdy dane będą wartości (/?) i miejsca nieskończonościowe to możemy naprzód [u(x)]~x wyznaczyć, a potem

fil? fizi

utworzyć u(x).

64. Wyznaczanie funkcyi z danych warunków. Przejdźmy teraz do najogólniejszego wyznaczenia funkcyi u(x) z danych jej wartości:

(U)

U₀, U^,    ..., Um+n

xQ: x^} x₂

Między miejscami (X) nie ma

..., XmĄ-n.

na miejscach:

powtarzaj ą-

cych się.

Gdy ma być u(x)=f(x)jg(x), to przy danych warunkach prócz

równania:

(1)

u.g(x) —f{x) =0

mają się jeszcze spełnić równania:

2=0, 1, 2, 3, m+n.

ux.g{xi)—f\xi)=0 [Dla krótkości piszemy u zamiast u{x)].

Wszystkich równań (1), (2) mamy tu w+w+2. Są one liniowe, jednorodne ze względu na m-j-w+2 ilości:

..., ttm |    6₀, ój, bn,

(2)

a te eliminując, dochodzimy do wyznacznika:

(3)

Dx (m, #)=0.

Z jego rozwinięcia — pozostawiając u ze spółczynnikiem =1 na jednej stronie — dostajemy żądaną funkcyę u.

Pd. 1. Przyjmując vi = n= 1 mamy:

1,

1,

= 0, a stąd:

1,

(x₀—x₂)(xl — x₂)

(x — x j)4

U<2

(x₁ — x₀')(x.₂—x₀)

(a?—®o) 4

(x₂—x₀)(x₃ — x₀)

(cc—)

u₀(x₍₎ — x)

u\ (x\ — x)

Uj(x ■l—x)

(x₀—xi)(x₀—x₂)    (xi — x₀(xl — xi) (x₂—xQ)(xi — xl)

Por. Ser ret J. A. Algebra w niem. tłom. Wertheima

wyd. 2.

T. I., str. 426.

Forma funkcyi u(x), jaka powstaje z rozwinięcia wyznacznika (3) nazywa się interpolacyjną formą C a u c h y’ego. *)

B. Między miejscami (X) znajdują się równe mię

dzy sobą.

Przyjmijmy dla uproszczenia, że m=3, n=2 i że u=(a₀xiJr... + «₃) / (ć₀#² + bflĄ- b₂) x₀ być =u₀;

ma:

1° na 3 miejscach 2° na 2    „

3° na jednem miejscu #₂    „

Mamy tu przedewszystkiem:

x₁ „ —wi‘j

=w₂-

(«)

f (x)—ug(x)=0.

Równanie /*(#)—w₀^(a?)—0 ma trzykrotny pierwiastek #₀ , a wskutek tego mamy związki:

(/?) f(P ₀)-w₀yO₀)=O,    /•'(ą,)—Moy'(^₀)=O, f“(x₀)-u₀g"(x₀)=O.

Równanie /(#)—w₁^(a;)=0 będzie miało dwukrotny pierwiastek xi, a więc spełnią się relacye :

f\x₁)—uig{x^)^0,    f\xi)—ulg‘(xi)=0.

Z trzeciego warunku dostajemy:

f(x₂)—u.zg(x₂)=0.

Z równań (a), Q3), (y), (d) eliminując —d₂, —&1? — 6₀, a₃, a₂, f/₁, mamy wyznacznik D₂(u,x) = 0, który znowu, jak w pierwszym razie daje żądaną funkcyę u.

(y)

(<S)

Pd. 2. Wyznaczyć funkcyę u(x) o stopniach m— 1, n = 2 , która na dwukrotnem miejscu *₀ = 3 ma wartość «₀ — 1

»    jj    r X1 ⁼⁼ ^    »

[Odp. « =

25 — 10 a:

— 11    14 x — 4 .r²

*) Cours d’Analyse. Notę V., str. 325 [r. 1821].

65. Rozkład na ułamki częściowe funkcyi u(x) danej w najprostszej formie. Dana ułamkowa funkcya u^x) niech, ma mianownik wgo stopnia:

Q(x) = q₀xn+qixn-² + ... + qn=q₀(x—xi)(x—x₂)...(x—xn)

=--q₀cp(x); cp(x)=(x—xi) (x—x₂)...(x—xn).

Jej licznik Pi(x) niech będzie stopnia m. Przyjmując m>w, podzielmy P₁(oj) przez Q(x), to dostaniemy:

(a)

Pi 0*0 = Q(x).G(x) -t- P(x), gdzie P(x), jako reszta [art. 54.] jest funkcyą (n—l)g0, albo niższego stopnia. Z relacyi (a) dostajemy tti(x)=G(x)Ą-P(x) / Q(x) gdzie G(x) jest funkcyą całkowitą stopnia (m — n), a drugi dodajnik

(&)

u(x)=P(x) I Q(x)

jest tak zwaną ułamkową funkcyą właściwą i posiada te same miejsca nieskończonościowe, co funkcya u₁(x). [W razie m O, dana funkcya ux(x) jest już odrazu właściwą].

Grdy P,(cc) i Q(x) nie mają żadnego wspólnego podzielnika, to także — jak z równania (a) wynika — P(x) i Q(x) są względem siebie pierwsze, a funkcya u(x) — co tu założymy — jest w najprostszej formie.

Napiszmy: u(x)=q₀~² P(x) / cp(x) i przyjmijmy naprzód, że: miejsca xx, a?₂, ..., xn są wszystkie różne między sobą.

Do P(x) możemy zastosować wtedy formę Lagrange’a (Lf) [art. 52.] tak, że mieć będziemy:

(?)

q₍₎-² P(x)=ę(x)Si

PM

Z- 1

(x—xx) <p‘M

Z=i

(x—x£) Q\xx) '

Połóżmy:

PMIQ'(Xx)=Ax, i=l, 2, ..., n, to dzieląc równanie (c) przez cp(x), dostajemy:

(cl)

(e)

u(x)

P(x) A.

A,

X—x₂

X—xi

a stąd przechodzimy do ux (x) za dodaniem G(x). To znaczy:

(*')

Przyjmijmy, że inną metodą postępując, dostajemy:

A'n

u(x)

A¹.

X—x₁

x —xn

X—x₂

gdzie tu liczniki A\, A\, ..., A‘n różne są od liczników obliczonych, w (e) przez zastosowanie formy Lagrange’a. Połóżmy:

u(x) —Az I {x—X}) = H(x), u{x)—A‘zl {x—Xa)=H‘(x),

to mamy: u(x) =

(/•)

Aa

A‘a

X—Xa

a H(x), H‘(x) są funkcyami skończonemi na miejscu Xa. Przyjmując Aa^=A'a, dostalibyśmy z (f) związek:

H{x)=H‘{x) + (A¹ a—Az) I (x—xz)

niemożliwy, bo H(x) na miejscu Xa jest skończone, podczas gdy drugi dodajnik po prawej stronie jest na miejscu Xa nieskończonym. Musi więc być Aa=A‘a, 2=1, 2, 3, ..., n, a to znaczy:

II. Funkcya u{x) [a więc i ul (x)J tylko w jeden sposób da się rozłożyć na ułamki częściowe.

Gdy tak jest, to niech będzie qfi~i.P(x)=bixn~¹ +b₂xn~2jr...-{-b gdzie z początkowych spółczynników kilka ich może znikać i połóżmy u{x)=

— Xa

bx xn~i + b₂ xn~²+... + bn

^-2

An

(x—xt) (x—x₂)...(x—xn)

rp rp    rp rp

iAS %K/A    *As lA/p

przyjmując Av, A₂, ..., in j e s z c z e nieoznaczone.

Z tego równania, które ma być identycznością, dostajemy

dalej :

b₁xn~¹ + b₂xn-²+...-t-bn

A₁(x—x₂)...(x—xń) + ...+An(x—x₁ )...(x—xn^₁)

(x—x₁)(x—x₂)...(x—xn)

(x—x₁) (x—x₂)...(x—xn) Mianowniki są tu identyczne; muszą więc być i liczniki iden

tyczne, a ten wzgląd prowadzi do równań :

A₁ -\- A₂-\- ...Ą- An=bx, b2XAx Ą-b₂₂A₂    ...-\-b^An=b₂,

^31 -^i d⁻^32A₂ "1 • • • d⁻bgn An=b₂, ..., b„i Ai-}-b„2 A%-\-...bnn An=bn, w których lewe strony są-to spółczynniki przy xn~i, xn~², ..., x, x° otrzymane z uporządkowania licznika

Ax (x—x₂)...(x—»») + .•• 4- An(x—xi)...(x—xn_i) podług potęg argumentu x.

Z tych równań obliczą się liczniki A1} A₂, ..., A„*)

(S)

*) Ten sposób rozkładania funkcyi na ułamki częściowe podał Dirksen. Ober die Zerfdllung einer echt gebrochenen Function in einfache Bruche. C r e 11 e J. T. 1. str. 23. — Ten sam autor wyprowadza z rozkładu funkcyi formę interpolacyjną Lagrange’a por. Bemerkung iiber die Lagrange’sche Interpolations-For-mel. Crelle J. T. 1. str. 221.

Me ma obawy, aby wyznacznik pierwszych stron równań (S) okazał się zerem, gdyż — podług tw. II. — liczniki Au A₂, ... wypadają zawsze te same i całkiem jednoznaczne, jakąkolwiek metodą rozkładu dokonywamy. (Por. zi’esztą : Dirksen 1. c.).

Gdy b₁ = 0, to mamy Ai + A% + ... + złn=0, a stąd twierdzenie:

III. W funkcyi, w Tctórej stopień mianownika przewyższa stopień licznika o 2, lub więcej jednostek, jest suma częściowych liczników zerem.

nie uźy-

Do definicyi (d) liczników Az można także dojść wając formy Lagrange’a.

Wyjdźmy bowiem z identycznej równości (<?), to w niej Az jako stałe pozostają te same przy każdej wartości x. Dla x=%z mamy zaś z (e)

X—Xz

Q(Xz)

X—Xz

Q(x)

P(xz).

X—Xz

l ¹⁻¹

=Az, a że

więc

q₀(x—xi)..(x—xz~\)(x—xz₊i)...(x—xn)

i Az=P(xz)i Q'(xz), i=l, 2, ..., w, jak wyżej.

Q‘(Xz)

X = X Ą

Jeżeli    jest, to możemy rozkład na ułamki częściowe zastosować na

przód do funkcyi v(x) = P(x)/ <p (a?) a potem z niej przejść do funkcyi u(x).

Pd. 1. u (a;)

?'Q*Q

x—xt    x—x₂

|--, co otrzymujemy odrazu,

X—Xn

wiedząc, że

?'0)= ^ [(x-x₁)...(.x—Xz_i)(x—Xz+i)...(x—xn)].

Z—l

Tutaj mamy: At -f- A₂ -f-... -f- An — n — ilości pierwiastków mianownika. a?³-j- 2x²Ą- 1

Pd. 2. u (x)

x² — 1

X² — 1    (x-\-l)(x—1)    x-\-l X —

ijp i gdyż

X — 3~|

X — 1 k- =

= 2>    =— 1, a więc

1    X-\-l

u (x) = (x -p 2)--r

Pd. 3. u(x)

xi-\- 5x² — 3

(x — 1) (a? — 2)

X + 1 a? — 1' x²Ą-3x + 12 d

a?² + 3a? —J— 12 -    -+ x _ ₂*

, f(x)= sc2 n -f- 1, <f'(.«)=2n.x2n

3(k —27 (a;—1) (a?—2)

33

. Zakładając m<in

mamy m — 1, a więc 2m <42n — 2, co znaczy, że w funkcyi u(x) jest stopieii mianownika o 2 lub więcej jednostek większy od stopnia licznika.

Równanie a;²” 4-1 = 0 ma same pierwiastki urojone

12 sit - - 1 n

■5':    M

2 n — 1.

Połóżmy ljt = v, ln = e, gdzie widocznie £ jest pierwotnym pierwiastkiem

2n

2n

równania zln = 1, to mamy teraz krótko: xg=-v.ł. Pierwiastki x₀, xl ,

mają urojone dodajniki dodatnie i są z pierwiastkami a?₂„_i, xin—21 •••»*» P°

poi’ządku sprzężone.

Rozkładając w(a?) na ułamki częściowe, dostaniemy licznik:

, a że x~ln = — 1, więc

n. x

1 2m — 2n -f- 1

= — a?

2w. x

2n—1

XS

A.=

2m +1~]

x    J.T

= xs —

(«)

2n—1

2^.-1

s— 0

~ vim +¹ . e*'(²“+¹)j g===0, 1, ..., 2n — 1. Stąd

%n—1

.    £,,|(2m+¹) = 0 [art. 25., tw. I.],

6 =; o

jak być powinno, gdyż tu 2m'^2n — 2. Gdy a = 0, 1, 2, ..., n — 1, to do pierwiastka xa należy Aa =--^.

1    —(2?n-(-l) —«(2m-fl)

należy licznik A^ =--~^.v

17. Pd. 2.]. Suma

24.-—i- •

2m + i

£ce(2m+l)^ a Sprzężonego pierwiastka

gdyż z Aa musi być sprzężone [art.

v2j»+1    £a(2m-f-l)__ _

a—0

Lecz £”(2m+1) =    = — 1, a więc

1

2 '⁴«=

OJ

"2*

1 _ £2m -|-1

. r2m+l 1-

£«(2wi+1)

1 _ =2m+¹

1 _ £2m+l

(t)

Wskutek związku (a) musi więc być:

2^

v2m + l

1 _ s2m+¹    ’

a że sumy (B), (y) są sprzężone, więc muszą one być zarazem czysto urojone.

2m+l

W istocie tak jest; pomnóżmy bowiem licznik i mianownik ułamka

2mĄ-\

przez £

= 1 2m+lr. = v (2m+b₅ to dostaniemy:

2m-)-i    , 2m+l

£    2 — s"*    2

a stąd wynika , że ostatecznie będzie:

2m-fl

2m-ł-l £ 2 — £ "2~

1 f . 2m 4~1    I-¹

2 i l-    2n J ’

2^-—2

cc    p

2 -'«-2 M

a ? J

2³' sin^r.

■2n

i że

sin

2m+i

~³ rK

To znaczy: Gdy obliczymy częściowe liczniki As funkcyi

x2m

pomnożymy każdy licznik Ag przez es = -f- 1, lub — — 1

x2n +1

według tego, czy As należy do pierwiastka z dodatnią częścią urojoną lub odjemną tą częścią, to

U)

S = [)

Pd. B. W funkcyi u (’x) = n .

x2n~l

zakładamy m, m‘ nieparzyste,

dodatnie i m — 1 < 2rc — 2, m‘ —1< 2»-2,

Naznaczając pierwiastki równania Pn—1 = 0 przez xs = lSn, s — 0, 1, 2,

n

2n — 1 okazać , że:

1<>.    f¹™

n —1

1msn - lw^f| , 8 = o, 1, 2,

2 n- 1

2³-1;2A = 0.

s = 0

20.

2^.-4

X z=z 0    L

1 m³

~2nn

(³)

.    . rn

isin 2-nn

1 f m‘    m "I    .

⁼AC0,<>    \=~2iA>

2n—1

a    a    a    , mr.

^A-^A~c°tg—-cot₉ —

s—0

' i sin

2w—1

a więc

*)

66. Rozkład funkcyi z mianownikiem o powtarzających się pierwiastkach.

Dla uproszczenia przyjmijmy:

Q(x)=q₀(x—xi)^ (x—x₂p (x-x₃p =q₀cp(x)

P(x) funkcyi u (x) = q₀~i P (x) / cp (x) możemy wtedy

Licznik q₀

[art. 52.J przedstawić formą, Lagrange’a (Zą'), tak że dostaniemy :

(a)

P(x)

(p(x)

(x—xi )v*

[AVl -f- AVi_i (x—x₁) + ...+ At (x—x₁ )v»-¹]

cp(x)

(x-x₂)v*

<p (x)

Stąd wynika:

u(x)

[Pv₂ + Pv₂—i (% — ^2)"^    (x—^2 )¹’² 1]

(X—Xap

P{x)

A,

[ Cv₃ -j- CV3—\ (x—.r₃) -j-... + Cx(x—^Y³ 1]’

Q(x) x—xx

ł* ••• +

AVi

p,

Pv₂

(x—xx )V1

x—x%

(z—x₂y>

Ov%

(X—X₃p'

00

Takie przedstawienie fnnkcyi u(x) nazywa się i tu jej rozkładem na ułamki częściowe.

Przyjmijmy, że w inny sposób postępując dostajemy tę samą funkcyę przedstawioną podobną formą jak (a) i że w tej drugiej formie w miej sce :

Vi 1 V11 VZi (-^1? •••? AVJ, (P\i •••> PvJ: (C\ 1 ••• CVJ

mamy:

/h? l¹2) ^3) (A u •••, A‘^₁), (2?^, ...,    (C'1? ... C'p₃).

Przedewszystkiem musi być /ii=vi1 gdyż tak z pierwszej jak drugiej formy musi wyniknąć ^ jako miejsce nieskończonościowe tej samej krotności. Analogicznie da się wyrozumowaó, że /x.₂ = v2 [iz=va być musi.

Połóżmy u(x)—AVx/(x—xi)v*=H(x), u(x)—A‘vJ(x—xx)v'=H‘(x) to mamy teraz

u(x)=H(x    , w(x)=H‘{x)Ą

Różnica po lewej stronie jest na miejscu xx nieskończonością najwyżej w stopniu (vx—1) a nigdy w stopniu vx. Stąd pochodzi, że koniecznie być musi A‘Vi = AVi. Odrzuómyż z u(x) tak w formie (a) jak w drugiej formie identyczny dodajnik AVJ(x—xx)Vi, to teraz do dodajników AVl—\ I (x—xi)v'~\ A‘Vi_\ / (x—xi)vi~¹ da się to samo zastosować; dostaniemy więc A„i_i=A<₁,ł_i, dalej Ał,t_2=AV₁-2, ... i wreszcie AX=A‘

Analogicznie dowiedziemy, że:

P v₂ — Pv₂i P‘v₂—\ = Pv₂—ii ..., P\—BiJ Ov=CVi, <?Vi = ćL

A‘

Vl

--:— 1

(x—xi A

1*

C\ = CX.

Przez to i tu dowiedliśmy, że funkcya u(x) da się tylko w jeden sposób rozłożyć na ułamki częściowe.

Pojmujmyż w równaniu (a) liczniki Ax, . jako jeszcze nieoznaczone stałe ilości i sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika, to mieć będziemy związek:

!o ~'P(x) _

u •••

(P)

cp(x)

Aj —1 P •• • P Av^n—Vi

P Bj r\n—\ +... P BV2rjn-Va-\ Cj 'Qn—\ p... P Cvt,n

cp(x)

w którym £n—i, ... yn—i,    i, ••• są-to funkcye o takich sto

pniach, jak ich znaczki wskazują. Przy najwyższej potędze x mają wszystkie spółczynnik =1.

Gdy związek (b) zachodzić ma identycznie, a mianowniki po obydwu stronach są już identyczne , to i liczniki identyczne być muszą, a więc q₀~'¹ P(x) = blxn~iĄ-b₂xn~'²p...p&„=

¹

Wyrażamy się w ten sposób dlatego, że funkcya -y-xm n jest przy

m)>n wymierną całkowitą stopnia (m — n) i staje się dla x = co nieskończonością (m — n) razy [art. 51. tw. V.].

²

Funkcyę ułamkową ux (x) o n jednokrotnych miejscach nieskoń-czonościowych xx, x₂, ..., xn można zawsze 'przedstawić sumą złożoną z funkcyi całkowitej (która się do zera redukować może) i z sumy n „<częściowych ułamkóiv“ postaci Ax\(x—xf).

Liczniki Ax są stałe i określone równościami (d).

Takie przedstawienie funkcyi ux(x) nazywa się jej rozkładem na ułamki częściowe.

³

Co do funkcyj w Pd. 4. i 5. por. — G. F. Meyer — „ Yorlesungen iiber die Theorie der bestimmten Tntegrale¹¹. (Lipsk 1871.) str. 74. i nast.

Aj b«—1 P ... p AVi £n_ Vj    p ... P-ZL₂    Cj £n—1 P    CvJjn—v₃.

Z tej identyczności dostaniemy — zrównując ze sobą spółczynniki przy równych potęgach x — dokładnie n liniowych równań:

(c) Lx{Aj, ..., Bj) ... Cj)...)=&i, L.₂(Aj) ... Bj) ..., Cj,...)=b₂...

Bn {Aj) ..., Bj) ... Cj...))—bn

między n licznikami. Z tych równań dadzą się więc te liczniki całkiem dokładnie obliczyć. Liczniki Aj, Bj) Cj, nazywamy pierwszymi, A₂, B₂, C₂ drugimi... częściowymi licznikami i t. d.

Pierwszy ze związków (c) ma postać Ax Ą-Bj p Cj =bx a gdy bj= 0, to mamy AjĄ-Bx-\-Cj =0, co znaczy:

I. Gdy iv funkcyi u{x) stopień mianownika jest o dwie lub więcej jednostek większy od stopnia licznika, to suma pierwszych liczników jest zerem.

Pd. 1. u{x) =

X-\~ 1

Aj

-p

-. Tutaj równania (c) mają

{x—l)²    {x—l)³

postać Ax = 0, —2Aj-\-A₂ — 1, Ax — A₂ p_d₃ — 1 i dają A, =0, A₂ = 1, As=2,

(.x — l)³    x—1

a więc u{x)

(x-iy ^ (x - l)³'

Pd. 2. Do każdej funkcyi u(x) postaci

/ 0*0

{x—Xj)n

można także zastosować

taką metodę:

Rozwijając f(x) w otoczeniu punktu x,, mamy:

f{x) =/Oi)-b

f{xi)

| fn 0*0^    Wstawiając to rozwinięcie wu(x)

dostajemy:

u(x)

f{n~²V O

/fa)

(w—1)! x—xx Zastosować ten sposób do Pd. 1.

(n—2)! (x—«i)²

Pd. 3. u{x)

X¹ -f-1

(x — 3)²(.r + 4) x — 3^(x — Sy ^ x + 4’

Równania (c) są tu: AXĄ- B = 1, ^ + J.₂ — 6 R — 0,    12    -4- 4 ^.₂ 4“ ^ B ~ ^ •

Z nich dostajemy:

,    32    _70

Ai~ 49’ ^²" 49’

17 .    , . lf 32

jej 1    =

17 1

3 ¹ (x — 3)² ¹ x + dJ ’

70

67. Rozkład funkcyi nieskróconej na nłamki częściowe.

"W dwu ostatnich art. mówiliśmy o funkcyi u(x) danej zawsze

że tak nie jest i że

w najprostszej formie. Przyjmijmy teraz

wspólnym podzielniku licznika i mianownika funkcyi u{x) zawiera się czynnik (x—xi)a, a<ivx. Połóżmy:

A = = G-j (?)

(x—Xi)vi (x—x₁)t'¹ ’

we

Aj_

2 +- +

(x—x₁)

a analogicznie G₂(x) / (x—x₂)v*, G₃(x) / (x—x₃)v³ niech będą sumami ułamków o licznikach i Cz, to mamy: w(#) =

Gy (x)(x—x₂yyx—x₃)v* + G₂(x){x—x?yAx-x^ + G₃(x)(x-xiyix—x₂)v>

q₀(x-xi)v>(x—x₂)v>(x—x₃)v>

W liczniku zawiera tu dodajnik drugi i trzeci niezawodnie czynnik (x—x₁)cl. Stąd wynika, że i w pierwszym dodajniku musi G₁ (x) zawierać ten czynnik. Lecz

Gi(x)=AViĄ-AVi—1 (x—xi)-\-...Ą-A^{x xi)Vi, a ażeby żądany warunek się spełnił, musi być

AVi — Ap₁—i="'⁼⁼ Apt—{a—i)⁼0.

To znaczy, że jeżeli funkcyę u(x) skrócić można przez (x—xi)ce — a przez (x—xi)a+1 już jej skrócić nie można — to w jej rozkładzie na ułamki częściowe dostajemy tylko:

a₂

AVl—a

(x—xl)

{x—x₁)v*-a '

sum ułamków częściowych

X—xi

To samo dotyczy oczywiście i z mianownikami Bz, Cz] a wskutek tego funkcya u(x), która się da skrócić najwyżej przez (x—xi)cl.(x—x₂y.(x—x₃y, będzie po kładzie na ułamki częściowe miała postać:

roz-

u(x)

(x—X₁)Vl~

-— +

k— a ¹

(x—x₂y*~p

-t* -

Ci

Cp

*-y

x—x₃

(x—x₃)v~y *

Stąd twierdzenie:

I. Rozkład na ułamki częściowe funkcyi u(x) — bez różnicy, czy jej mianownik ma same różne czy i powtarzające się pierwiastki — daje zarazem poznać, czy funkcya jest dana w najprostszej formie, czy nie, i daje możność wyznaczenia największego wspólnego podzielnika licznika i mianownika tej funkcyi u(x).

Pd. 1. Gdy w ®(.-r) — (x — xf)vt(x — x₂)vfx — x₃)vi są 1 , v₂ > 1 , v₃ > 1 ; to <p(aj) i o (x) mają największy wspólny podzielnik t(x) = (x— X₁)vi~i(x —xiy,i—¹ (x—X₃)v3 <t>‘(x)—vl(x—xi)vi — 'i{x—xf)vi(x-—X₃)v3 4- v2(^—xf)vi(x—X₂)vi -!(x—X₃)v* -j-

——"1 , stad x—x₃ J

-)- ')₃(x—Xl')vi(x—X.f)vdx—X₃)v3~i = z(x) £

V1

v2

-i

V1

[art. 51., tw. II a.].

X—X₁

v3

v2

X—x₂

?(x)

x—x₃

x—x₂

Z tej formy rozkładu widać, że wspólny podzielnik funkcyj ©(a?)? ©‘(x), jest t(x) i że suma liczników jest =n = ilości pierwiastków mianownika.

a;² — 3 x 4- 2

Pd. 2. u(x)

(,x — 1) (a? — 2) (x -j- 3) (x -f- 5)

1 1

2 » -j- 3    2 x -j- 5

stąd wynika, że tu t(x) = {x — 1) (a; — 2) i że u(x)

a?⁴ — 3 xs — 12 af² 4~ 52 x — 48 (x — 2) (a? — 3)² (x — l)²

, 7    1

(x + 3) (x 4- 5)'

Pd. 3. u(x) —

10 1

4 a? — 1

4 (x — l)²'

x — 2

Stąd wynika, że u(x) daje się tu skrócić przez (x — 2) (x — 3).

68. Eozkład funkcyi na ułamki o mianownikach pierwszego i drugiego stopnia. W funkcyi u(x) niech jej mianownik będzie postaci Q{x) = cpi{x)a.cp₂{xf.(pz{x)y(x—xi)v*(x—x₂)v*(x—xz)v*, gdzie cpu cp₂, go₃ są wszystkie funkcyami całkowitemi drugiego stopnia a 2(a-\-^-\-y) + ni-\-v₂ + vz = n jest stopniem tego mianownika.

Jej licznik niech będzie P(x) = cixn~i -\-c₂xn~2jrcn- Połóżmy:

u{x)

-A-p,

Ry₂

rp_rp

\Aj    tA/a

(x—Xx)v' x—x₂ {x—x₂)v*

CV3

x—xz

(a)

.M, JrNix

<Pi A)

P\ + Qi %

(x—xP>)

Jfd₂ “h

Ma+Nax

<Pi 0*0 ²

P'i "h

<PiAa

PpJrQęx

cp₂(x)

Sx-\-T^x

(p₂{x)2 S₂ 4- T₂x

(p₂(xy

Sy 4“ Ty X

(pz(x)

<,v?Xx)²

(pz{x)v

gdzie J.1? .

jeszcze nieoznaczone stałe. Sumując po prawej stronie dostajemy ułamek, którego mianownik będzie Q(x), a licznik będzie miał postać:

(*)

-Jj —1 4" •••    ^>n—vj

+ Clbn—1 + *“+

+ (7Łfl + TYi «)|r/w_2 4“ • • • + (Jf « + Nax)%¹

+ (P\ + Qi x)y‘n—2 + •>• + (Mp-\-Npx)rj,n~ 2p

-\-(Si 4 T^x)t,‘ w_2 + ••• + (Sy-\- Tyx)£,‘n—iy ;

~va

n—2a

gdzie i j •••? ^]n—i j •••> £»-i j •••) £ w—2 j •••j Tj n—2 ? •••; £ w—2; ••• są tu funk-cyami całkowitemi o takich stopniach, jak ich znaczki wskazują.

T.

1,    Ji-y ,

związków :

P\(^-\i •••? Ty)⁼ci,    ..., Ty)—c₂5    Pn(A

Jeżeli (a) ma być związkiem identycznym, to funkcya (b) musi być identyczną z licznikiem P(x), a że jest (n—l)g0 stopnia, a jej spółczynniki są liniowemi funkcyami n nieoznaczonych stałych więc porównanie spółczynników daje tu n liniowych

i? •••? Ty)=cn

Z nich wynikające wartości stałych 4^, ..., Ty sprawdzają równania (a) identycznie i dają nowy rozkład rozważanej funk-cyi u(x).

Takiego rozkładu funkcyi używa się z korzyścią wtedy, gdy licznik i mianownik mają spółczynniki rzeczywiste, a mianownik (prócz możliwych rzeczywistych pierwiastków) posiada pierwiastki parami sprzężone.

Pd. 1. u(x)

4#ł —x³ -f- 8x³ -j-1

(x² 4-1)² (x — 1)

(x³ 4-1)

(x² 4- l)²

Stąd:

4^4 _ x% _|_ 8x³ + i = ^₁(*² 4-1)² 4- (Jft + ^4) (^² + 1) (a — 1) 4- (Jfj+Ą*)(a-1), a więc: A=Ai + Nu —1 =M₁ — Ni, 8 =*2Ą —1Ą +Nt +Nit 0 = Ml— Nt + M₂—

1 =    — ilf, — M₂. Z tych równań dostajemy:

A=3, ńft=0, 4^=1; M₂ — 2, N₂= 1 i «(a>)*= —®

2 + a;

— 1 ¹ x³-j-l ¹ (a^-pl)²’

n

— n⁴

69. O średnich wartościach mod. m funkcyi f(x) =2 i o spólczynnikach takiej funkcyi. Funkcya:

f(x)=ą-n‘ x~n‘ 4 a-n'+i x~n'+i 4-... 4- a_i x~¹ + a₀ + x 4-... 4-%n jest funkcyą wymierną ułamkową z jednem w'-krotnem miejscem nieskończonościowem x=0, gdy n‘)> 0, a jest funkcyą wymierną całkowitą fl₀4%«+fl(₂a;²+...4aKa:n, gdy n'=0. Spółczynniki funkcyi

f(x) — bez różnicy, czy n‘ > O, czy n‘=O — są w pewien charakterystyczny sposób związane z wartościami funkcyi. Tym związkiem tu się zajmiemy.

G-dy £₀ = 1 i ei7 e₂, ..., em-\ są wszystkimi pierwiastkami równania zm—1=0, to [art. 25. tw. I.] s<=£¹₀-ł-e^+ ... + £    gdy t jest

wielokrotnością m, a 5^=0 przy wszelkiem innem całkowitem t. Wprowadzając st mamy:

f(XE₀ ) + f{X£i ) + ... +f{X£m-\) ■=    , + <Pl + • • • + (pm =

t=—n‘

a gdy w n‘ i n mieszczą się największe wielokrotności ę>‘m7 qm, to:

(1) f(%i w)=a^Q'm.x~Q mĄ-... -f-a—^x~~m-j-a{) + amxm-f-... + aQmxQm. f(x, m) jest widocznie średnią arytmetyczną wartości funkcyi f(x), jakie wypadają w wierzchołkach:

(«)

X, X£i , X£₂, .

XEm—1

regularnego m-boku (fig. 14. dla m—8) o środku x—0, a o jednym pierwszym wierzchołku w dowolnym punkcie x.

Tę średnią wartość nazwiemy średnią arytmetyczną mod. m z wartości funkcyi, a punkta (a) wierzchołkami tej średniej wartości. Prawa strona w równaniu (1) powstaje z f{x) w ten sposób, że z tej ostatniej zatrzymujemy tylko te dodajniki, których wykładniki podzielne są przez m. Tak utworzoną funkcyę nazwijmy funkcyą wy dzie

xe;

ją.

xs?

xłs

Fig. 14.

1 o n ą mod. m, to mamy twierdzenie :

I. Średnia arytmetyczna mod. m z wartości funkcyi f(x) jest równa funkcyi wy dzielonej mod. m na jednym z wierzchołków tej średniej arytmetycznej. ")

Przy dowolnem m takiem, że m^>n i m ]> n¹ dostajemy ze związku (1) relacyę :

(2)

f(x, m)=a0 o dowolnym pierwszym wierzchołku x.

Ze środka x=0 zakreślmy koło (r) promieniem \x\=r. Na okręgu tego koła pozostaje funkcya f(x) ciągłą i skończoną, a między wartościami \f{x)\ na okręgu tego koła będzie jedna największą. Niech ta największa wartość wypada w punkcie £ (fig. 15.), a |/‘(|)| niech będzie =g. Rela-cya (2), jeżeli tylko zatrzymamy my>n , m^> n\

utrzyma się i wtedy, gdy pierwszy wierzchołek x umieścimy w punkcie    Będziemy

a₀, a stąd :

Gdy tu po lewej stronie wszystkie dodajniki }/’(£)', |/‘(^6’₁)|, .. \f{f-£m-i)\ zastąpimy przez y, to tern bardziej będzie:

(3)

a stąd twierdzenie:

II. Gdy na płaszczyźnie (x) ze środka x=0 zakreślimy koło (r) o dowolnym promienia r, a z wartości \f(x)\ na okręgu tego koła największa jest g, to bezwzględna wartość wolnego wyrazu a₀ funkcyi f{x) nie jest nigdy większą od tej wartości g.

Niech a„xtt, a>0, będzie jednym z dodajników funkcyi f(x)

Funkcya x~a.f\x)=F(x) ma wtedy wolny wyraz aa, a według twierdzenia II. jest tu: \aa\ od maximum wartości \x\~a\f{x)\ na okręgu (r). Ta największa wartość wypada i tu znowu w punkcie £ i jest =r~a.g; mamy więc \aa\<r~a.g, albo:

g > \aa\ra=\aaxa\; to znaczy:

III. Bezwzględna icartość każdego dodajnika funkcyi f(x) z dowol-nem \x\ =r nie jest nigdy większa od największej wartości \f{x)\, mieszczącej się na kole (r).

Gdy z wartości \f{x)\ na kole (r) najmniejsza jest y=\f(gl)\r to także mieć będziemy:

(4)

y<\aaxa\

( )    7< \ao

( )    9>\ac^a\>y, a=—n‘, .

[Znak nierówności tylko po jednej stronie może tu być zastąpiony przez znak równości]. Z równania (6) mamy ostatecznie takie twierdzenie:

1.0 co

a więc:

1, 0, 1, ..., n.

IV. Gdy na płaszczyźnie argumentu x z punktu #=0, jako środka zakreślimy dowolne koło (r), a na jego okręgu największa icartość \f(x)\

hn,

jest g, a najmniejsza jest y, to bezwzględna wartość każdego z dodajni-Jców funkcyi zawsze się mieści między g i y.

Gdy f\x) jest wymierną całkowitą funkcyą n%° stopnia a jej przeprowadzenie do punktu x ma postać:

f'(x)

fn\x)

f(x+h)=f(x) 4

1!

to średnia arytmetyczna mod.m z wartości funkcyi f(x-\-h), jako funkcyi argumentu li ma — gdy m)>n — wartość:

f(x+h, m)—[f(x+h)-\rf(x+hei) + ...+ f{x+hem_i)]/m=f(x).

To znaczy:

Y. Gdy na płaszczyźnie argumentu x funhcyi wymiernej całkowitej m⁹° stopnia narysujemy dowolny m-bok regularny o ilości boków m~j>n, to średnia arytmetyczna z icartości funkcyi w jej wierzchołkach jest zawsze równa wartości funkcyi to środku tego m-boku. Gdy środek m-boku jest punktem pierwiastkowym funkcyi, to średnia arytmetyczna jest zerem.²)

Pd. 1. Znaleśó średnią arytmetyczną mod. 3 funkcyi:

f(x) = 1 -p -p 4 a?⁴ -f- 5«⁶ -(- 9 x⁸

przy dowolnie obranym pierwszym wierzchołku x. [Odp. f(x, 3) = 1 -p ox⁶].

Pd. 2. Jaką jest średnia arytmetyczna mod. 4. funkcyi:

f(x) = 1 -p 2x² -p 3xi -p 5a?⁷ -p Ga;⁸-p bx9 gdy pierwszym wierzchołkiem jest cc —i. [Odp. /(cc, 4) == 10].

ROZDZIAŁ VI.

O wymiernych funkcyach całkowitych i ułamkowych

wielu zmiennych.

70. Określenie funkcyi całkowitej, jej stopnie, wymiar i ilość wyrazów w niej zawartych. Skończoną sumę

(1)

f (p i?    •••> ^n) ⁼⁼⁼ ^ Ga} p, a .    ...%na ,

12

w której x1} x₂, ..., xn są zmienne, Ca^..a stałe, a wykładniki «, /?, ..., g są w każdym z dodajników całkowitemi dodatniemi liczbami, nazywamy wymierną całkowitą fnnkcyą n (nieograniczonych) zmiennych xi, x2: ..., xn, m%° wymiaru, jeżeli w jej dodaj-nikach suma «+/?+... + a najwyżej jest =m. Grdy xs w f(xi, x₂, ..., xn) występuje z najwyższym wykładnikiem ns, to mówimy, że /‘jest w tej zmiennej stopnia nss°.

Zupełną funkcyą f'(x₁, a?₂, ..., #„)    wymiaru nazywamy

taką, w której znajdujemy wolny wyraz v₀, (a + /?+y+... + <7=0), a dalej dodajniki o wszelkich możliwych (a+/? + ...+ u) < w. Grdy sumę wszystkich dodajników o (« + /?+...+ a) = r nazwiemy vr, to możemy położyć:

(2)

f=v₀ + vi + «?₂ + ... + «

Pierwsze pytanie, jakie się tu nasuwa, jest: ile wyrazów (dodajników) taka funkcya zawiera? Suma vT o samych dodajnikach posiadających (aĄ-(3Ą-...Ą-o)=x nazywa się jednorodną n zmiennych, a stopnia, albo wymiaru z. Zawiera ona (jeżeli — jak tu — jest zupełną) tyle wyrazów, ile potęga:

(Xy +x₂ xn)T

po jej wykonaniu, zawierać ich będzie. Do liczby wyrazów potęgi (3) możemy zaś dojść w ten sposób :

(3)

(a)

(Xy + x₂)z zawiera wyrazów zĄ- 1 =

(/?)

Połóżmy x₂ -f- x₃ = X₂, to

(x± X₂)T=x₁T+z. x₁z~¹ X₂ +

^-².X₂²+...+X₂+

a stosując tu (a) do X₂, X₂², ..., X₂T, dostaniemy w (/?) wyrazów

Cp+2) (t+1)

1 + 2 + ... + (^+1)

fs>

to +

Przyjmijmyź, że (xy\-x₂-\- ...Ą-xn-\)z ma wyrazów:

z-\-n—2 n—2

to kładąc teraz x₂+x₃-j-xn=X₂ i (xx -\-x₂ +...+^w)T=(a:₁ +X₂)r= xiT+z.xiT~¹X₂+(^)xiT~².X₂² + ...+X₂T

(y)

i stosując tu do X₂, X₂², X₂Z wzór (y) dostaniemy na liczbę wyrazów w (3):

(n—l\ ( n \ /n + l\    /n+z—2\ (z+n—1\

U-2J ⁺ U-2J +    ( n—2 j = l n-1 )

*) W. Żraurko: Wykład matematyki. T. I., str. 129.

Zauważmy teraz zupełną funkcyę jednorodną mgo stopnia, o (w-f 1) zmiennych xi, x2: ..., xn+1; zawiera ona wyrazów q=

/m+n\ \ n /'

Kładąc w niej £w+i = l, dostaniemy z niej funkcyę zupełną n zmiennych xl, x₂, ..., xn już niejednorodną również wyrazów: ³)

niej zawierać się będzie

(4)

_/m-\-n\ _

Q\n)

(m-f w) (m-\-n— l)...(w+l)

to znaczy:

I. Każda funkcya wymierna całkowita n zmiennych, a mtego wy-

1.    2.    ... n.

. ,    ...    ,    (m-\-n\

miara posiada najwyżej wyrazów q—I I.

Grdy f podług potęg jednej ze zmiennych n. p. podług potęg zmiennej xi uporządkujemy, dostaniemy

(5)

f [Pm "f" tym— 1 Xy "t" tym — 2³^1 “ "f" • • • d⁻ tym—nt    ¹ )

gdzie m jest wymiarem funkcyi f\ nx jej stopniem w zmiennej a ..., tym-nx są całkowitemi wymiernemi funkcyami pozo-

tym ; tym—1

stałych zmiennych #₂, x₃, ..., xn o takich najwyżej wymiarach, jak ich znaczki wskazują. Jedna jednak z tych funkcyj musi być dokładnie takiego wymiaru, jak jej znaczek wskazuje, inaczej bowiem funkcya sama f nie byłaby wymiaru m. Z zupełnej funkcyi do

staniemy :

a każda z funkcyj tya jest tu dokładnie wymiaru a i jest zupełną funkcyą pozostałych zmiennych x₂, x₃, ..., xn.

(6)

tym

71. Miejsca zerowe funkcyi / w skończoności lulb nieskończoności. Z samego określenia i kształtu funkcyi /' wynika, że jest ona nakaźdem miejscu (xi} x2: ..., xn), leżącem w skończoności (o skończonych spółrzędnych xi: x₂, ..., xn) skończoną.

Rozumując podobnie jak w art. 48., dojdziemy i tu do wniosku, że funkcya /'jest jednowartościową w swoich argumentach.

Na dowolnem miejscu (,x\, x‘₃, ..., x‘n), leżącem również w skończoności, dostają funkcyę tya w (5) i (6) [art. poprzedzający] skończone wartości gp'«, a równanie /‘(a^, x‘₂, x‘₃, ..., x‘n)=0 ma %, a względnie m pierwiastków xi,=xii) xi2, ... To ma miejsce przy każdym dowolnie obranym skończonym systemie (x‘₂, x'₃, ..., adw), a że takich systemów jest nieskończenie wiele, więc stąd wynika,

że funkcya f ma w nieograniczonym obszarze (xx, #₂, xn) swoich zmiennych nieskończenie dużo miejsc zerowych.

Gdy c jest dowolną, ale skończoną wartością, to f—c jest również funkcyą całkowitą wymierną, a równanie f—c=0 ma również nieskończenie wiele miejsc zerowych. Stąd wynika, że funkcya /przybiera każdą skończoną, dowolną wartość na nieskończenie wielu miejscach. Wartość c = oo tylko na miejscach o nieskończonych spółrzędnych (przynajmniej niektórych) przybierać może, co wynika z samego jej kształtu.

Aby teoryę funkcyi f posunąć dalej, trzeba już tu uwzględnić nową formę zawierającą n zmiennych xX) #₂, ..., xn. Powstaje ona w ten sposób: Gdy fi(x₁,x₂,..., x„), f₂(xx, x₂, ..., xn) są dwiema różnemi całkowitemi funkeyami, to ułamek :

R(xx, x₂,..., xn)—fx (xx i x2J..., Xn) I f₂ (xx, x₂, ..., xn) nazywamy funkcyą wymierną ułamkową zmiennych xx, x₂, ..., xn. Na danem miejscu (#1?#₂, ..., xn) ma ona jedną tylko wartość (gdyż /], /₂, są jednowartościowe) i to wartość ułamka, którego licznik jest wartością /j, a mianownik wartością f₂ na tern miejscu. Taką funkcyą zajmiemy się później systematycznie. Tu wystarczy nadmienić, że ma ona skończoną i oznaczoną wartość na każdem miejscu leźącem w skończoności i dającem

Gdy f\, f₂ są iloczynem kilku czynników, będących funkeyami całkowitemi, a zawierają ten sam czynnik g{xx,x₂,.to przez ten czynnik — co arytmetycznie jasnem jest — można JR skrócić na każdem miejscu (ccx, #₂, ..., xn).

Nie troszcząc się o wymiar całkowitej funkcyi /’, napiszmy równanie /‘= 0 w postaci:

(a)

(p₀xit*+⁽pixii*-i + ... + (p^O', jest więc ono stopnia g w zmiennej xx.

Przyjmijmy, że dla niektórych miejsc:

(b)

(#₂j    #3j    •••?    %n) j

okazuj ą się funkeye :

¹1 •••>    (*—i) 5

o bezwzględnych wartościach dowolnie małych. Funkcya ęp0 na tych miejscach niech nie staje się dowolnie małą.

Gdy x\\, #12, ..., #1^ są pierwiastkami #1? jakie z równania (a) przy użyciu takich miejsc wynikają, to wtedy jest [art. BO.]:

Te ilości są dowolnie małe sposobem, że między pierwiastkami x₁ jest ich k (co do swej bezwzględnej wartości) nieskończenie małych.

<Po

mogą być takiemi tylko tym

<Pk

=(— iy.xn.xn -xitl

(—l)^-¹ S(xn. x₁₂... a^_i), ...

(c)

Gdy <jp₀ jest funkcyą (nie stałą ilością), a z miejsc (&) używamy tych, które (p₀ czynią dowolnie małem, gdy dalej na tych miejscach — prócz ą>₀ — jeszcze także <px, cp₂, ..., cpk-\ są dowolnie małe, ale <pm nie jest takie, to wtedy z pierwiastków X\x, X\₂, ..., x^t równania (a) będzie ich k nieskończenie dużych [art. 51.]. Stąd twierdzenie:

I. Gdy w równaniu f= 0 na miejscu (x₂, x₃, ..., xn) można 'przy potęgach zmiennej xi, dostać Jc spółczynników Jcońcowych niesJcończenie małych, to równanie ma Jc pierwiastJców xi niesJcończenie małych. Gdy zaś możliwe są miejsca (x₂, ..., xn), Jctóre dają Jc spółczynników początkowych o wartościach nieskończenie małych, to mamy tyleż pierwiastków xx nieskończenie dużych.

Dalej wnioskujemy :

I a. W razie znikania k spółczyników z początku lub z końca równania, na miejscu {x₂, x₂, ..., x„) są pierwiastki xx — w liczbie k — wprost zerami, a względnie nieskończonościami.

Z drugiej części twierdzenia I. wnosióby trzeba, że nie każde równanie /== 0 posiada miejsca zerowe (xx,x₂,..., xn) o niektórych lub wszystkich spółrzędnych nieskończonych. Tak jednak nie jest, a aby to okazać, napiszmy równanie f=0 wpostaci vm-\-vm-[por. (2) art. 70.] i połóżmy xi—ęti, k₂~q\t₂, ..., xn=Qtn, gdzie tu t₂, ..., tn są nowe zmienne, a q czynnik dowolny.

Równanie przybierze wtedy postać:

m -1

(d)

TmQm+Tm^Q

+ ... + 7\ę+T₀= 0, a w niem Tm, Tm~\, ..., Tx, T₀=v₀ są jednorodnemi funkcyami zmiennych tx, t₂, tn i powstają z v zmiennych tx, t₂, ..., tn w miejsce xx, x₂, ..., xn. Wykluczając miejsce (tx— 0, t₂=0, ..., tn—0) znajdziemy w obszarze zmiennych ^ nieskończenie dużo miejsc (t\, V spółrzędne będą =0, a które dają Tm=0. Dla takich miejsc jeden przynajmniej z pierwiastków q równania (d) będzie =oo , a miejce (xi = ęti‘ł x₂=Qt₂‘ będzie niezawodnie przynajmniej jednokrotnem miejscem zerowem równania f=0.

Wm—1

..., vx, v₀ przez podstawienie

t‘n) w których niewszystkie

(«)

xn=ętn), przy p=GO

Gdy w (t\, V₂, ... t‘n) jest ^=0, to xs=qts daje w miejscu (e) stą jego spółrzędną o wartości dowolnej. Stąd twierdzenie:

II. Każde róimanie /'= 0 posiada miejsce zerowe leżące w nieskończoności (o niektórych, lub wszystkich spółrzędnych nieskończonych).

Gdy równanie jest o dwóch tylko zmiennych x, y, to ze związku

'Om

=0 obliczone ——G5₂, ... wskazują, w jakim stosunku pozo-

stają do siebie spółrzędne miejsc zerowych , leżących w nieskończoności.

Po odrzuceniu wszystkich pierwiastków ę=ao, dostaniemy dalej z równania (d) na miejscu t‘₂, ..., £'w) jeszcze pewną ilość n. p. ^ pierwiastków skończonych :

^i? Q%i •••} Qv? v <Z.m.

t‘n) jeszcze v miejsc

Za ich użyciem dostaniemy z , tf'₂, leżących w skończoności a to:

v\

"7

(^'l⁼⁼^a^l , X.2⁼Qat 27 •••? ‘^n=zQal «)? OJ—1, 2, . razem więc z miejscami (e) mamy m miejsc zerowych.

Niech teraz miejsce (ż'1? £'₂, ..., £'„) będzie takie, że na niem Tm-Ąi0, jest. Na tern miejscu ma równanie (d) m skończonych pier-wiastków ęa, 05=1, 2, ..., m. Z każdego z nich dostaniemy w miejsc zerowych leżących w skończoności (xi=ęatti, x₂—Qcct‘₂, ..., xn=Qat‘n)1 05 = 1, 2, w, a stąd wynika:

III. Gdy równanie f—0, o n zmiennych, jest wymiaru m., a obierzemy dowolny system n skończonych liczb (t\, t‘₂, ..., to podporządkowując liczbę t‘s zmiennej xs, znajdziemy między miejscami zero-wemi tego równania zawsze m takich, że ich spółrzędne będą proporcyo ■ nalne do owych liczb.

xn)—0 nazywa się algebraicznem.

Równanie f(xi, x₂

Uwaga. Gdy system liczb (t\,    • • •? t'n) tak obrano, że on wprost jest

miejscem zerowem równania /=0, to równanie (cl) ma wtedy niezawodnie jeden przynajmniej pierwiastek p = 1.

Pd. 1. System liczb t\ = t'.₂=i‘i = 1 powoduje w równaniu:

(4r³—y³—z³)—2z(x -j- 4// -f-z)-f-11 (x -f y) —12 == 0 trzy miejsca zerowe: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (8, 3, 3); kładąc bowiem x — y — z — p, dostajemy — po skróceniu przez 2 — równanie p³—6p² -f-11 p— 6 = 0, którego pierwiastkami są: p = l, 2, 3.

Pd. 2. Kładąc w równaniu:

(x%y³—x³y²) ^ -f- (x² -f- y²) z² x y z 1 = 0 x — pi, y = p, z = o (a więc t\ — i, t\ =1, t\ — 1) dostajemy związek (1—?-)?⁶— — i p³ — 1=0, z którego wynikaj ą wartości:

= 11 i ± V³ — 4 i 2 (1 - i)

Każdy system (t\ — a -j= O, t\ = & =|= O, t\ = 0) daje tu trzykrotne miejsce zerowe: x = co , y = co , przy dowolnem ».

System (f't = t\ =J= 0, z — c-j=0) powoduje jednokrotne miejsce zerowe: a; = co, y = co , z = co.

Jakie są pozostałe dwa miejsca zerowe leżące w skończoności przy (ż't = = t'2=3, s — 5) ?

72. Cząstkowe pochodne. Niech f będzie zupełną funkcyą wymiaru m₎ a Axiv'X₂v*...xnvn—U niech będzie jednym z jej dodajników. Tworząc jego pochodne według xi, [art. 48.] mamy:

d^V

xi ² ’    d#₁‘'*

Z każdej pochodnej (a) możemy znowu tworzyć pochodne według x₂. Będą one postaci: d* ()? dxict * dx₂P

, . dU TJ d²U

(«0

d-r*

d^-t

2 = ^K-1)

vx!

a postępując tak dalej dostaniemy dalej pochodne:

d“    d?

d^“ ’ da^*³ dxnv

w których    =[vi (vi — l)...(v₄ — a +1). ..vn(vn—l)...(vn—y+1)], a które

nie są identycznie zerami, jeżeli a <vx, /?<o>₂, ..., y<vn. Pochodne (/?) nazywają się cząstkowemi pochodnemi rzędów (a + j8 + ... + y) dodajnika £7. Łatwo przekonać się, że:

d“ d^ jj    da

dxsa ‘ dx? dxtP ‘ d#,a

(P)

U=C

ct(ł"’y

a stąd wyniknie, że żadna z pochodnych (/?) nie zmienia się za zmianą porządku różniczkowania.

d« dP d^

Cząstkowa pochodna

f będzie

dxA a ’ dx₂P""    ^ dic₁ “dx₂ P...dxJ

sumą takichże pochodnych wszystkich dodajników £7 zawartych w /‘. A że w f mamy dodajniki £7 o wszelkich możliwych vi +

+ v₂ + ... + *>„ <Cm, więc stąd wnosimy:

I.    Zupełna funkcya wP° wymiaru posiada wszelkie możliwe cząstkowe pochodne nie będące identycznie =0 aż do rzędu m włącznie. Pochodne rzędów <fm są funkcyami wymiernemi, pochodne rzędów =m są stałemi; pochodne rzędów f> m są wszystkie identycznie =0.

O funkcyi niezupełnej f zauważyć potrzeba:

II.    Niezupełna funkcya f posiada z pochodnych niebędących iden-

óf

tycznie =0: loszystkie pochodne pierwsze -—,

O Xs

s—I. 2,

..., n\ inaczej

bowiem nie byłaby funkcyą wszystkich zmiennych xx, x₂, ..., xn. Posiada też koniecznie pochodne rzędu 2g0, 3go, ..., mgo, ale nigdy w takiej ilości, jak je posiada funkcya zupełna.

Grdy /'jest funkcyą jednorodną m%⁰ stopnia, a jednym jej dodaj nikiem jest:

(a)

to jej pockodna:

A . xi .x₂v⁴...xnvn, vx    ...+ vn=m

(«')

dvi

dv⁴

dvn

f—v^ \ v₂!... vn ! A.

dx₁ ’ dx₂vi dxnvn

W dodajnikach bowiem różnych od (a) musi koniecznie jedna przynajmniej ze zmiennych (xs, s= 1, 2, w) zawierać się z wykładnikiem mniejszym od vs, a wskutek tego z tych dodajników dostajemy same zera.

Tę uwagę zastosujemy do wypadku, który w dalszem poszukiwaniu okaże się wielkiej doniosłości.

Daną funkcyę całkowitą wymierną n zmiennych , |₂, ..., n niech będzie :

irrr

(6)

9>=(§i -ł-£₂ + ...+t⁴)#ł, y całkowite >0.

Z wykonania tej potęgi dostaniemy jednorodną funkcyę ytes°

£n. Jednym z dodajników tej funkcyi

stopnia zmiennych £1} £ niech będzie A^Vl Ł?V2---Źnn,    + ^₂ + •••    Połóżmy krótko

cp—[...Ą-A£;iv'    to według zrobionej dopiero uwagi mamy:

^1+^2+—+^ (p

dxiv'dx₂v⁴...dxnvn Lecz z drugiej strony mamy także:

vi\v₂\...vn\A.

di+ia+-+g.r=r'-

dx₁ v'dx₂v⁴...dxnvn Z (c) i (d) wynika więc, że A—(y\)l(v₁\v₂\...vn\) i że

(e)

ŹlVl hV⁴-£⁴ V⁴

Vy! v₂\...vn\ vi+v₂ + ... + vn=y.

73. Rozwijanie funkcyi. Maj ąc tę formę (e) obierzmy w nieograniczonym obszarze zmiennych xi, x₂,..., xn pewne miejsce (xi,x₂,...,xn) leżące w skończoności i w danej funkcyi zupełnej⁴) f(x₁,x2r..,xn) połóżmy xiĄ-hx, x₂+h₂, ..., xn+hn zamiast xi, x₂₁ ..., xn, gdzie    h₂,

..., hn są zupełnie dowolne dodatki.

Jednym z dodajników fnnkoyi niech będzie Axia'X₂a*...xnan= Połóżmy:

X₂, ..., Xn) = ...+Axia*X₂a*...Xnan + ..., to : x₂-\-h₂, ..., xnJrhn) = ... -j-A(xi -\-hy)a'{x₂ -\-Ji₂)a*...(xnJrhn)an + •••

= W.

••• cc ^

^1«1 +

| xiai~vihlvi + ...+hi

Xnan + ...

Ctn

Vn

\Xnan vn hnvn

+ hn"n j

Po wykonaniu mnożeń w tym dodajniku, wyjmijmy z niego wyraz zawierający (hiv*.h₂v*...h₁?n). Jest on:

(1)

x.₂

a₂—v₂

(an\

..\Vn)Xn“»-*n\

hivi.h₂v>...hnvn

—1).. .(Oj — v± + l)xi a*~v*.. .an(an—1).. .(an—vn +1) xn an~vn J.

/V¹ V*    }lnn\

\vA! ' v₂\ vn ! /'

Iloczyn w nawiasie jest tu =

dvi    dv*    dvn

dxivi dx₂v-‘    dxnvn

a więc (1) — gdy jeszcze położymy vi-\-v₂    — napisać

możemy w postaci:

1    d**    dvn

fil dxiv>dxnvn

Lecz z każdego dodajnika funkcyi f\ który posiada cząstkową pochodną (2) różną od zera, dostaniemy analogiczny dodajnik (3) w f{xiJrh...).    Ich    suma    będzie:

1    r)¹’!    dv*    dvn

li \ dxivC dx₂v*dxnvn

Uwzględnijmy    dalej    wszystkie takie wyrazy, jak (4)

z wszystkiemi takiemi zestawieniami v₂₁ ..., vn, że v₁ + + v₂-{-...-\-vn=fi, to sumując je dostaniemy w f(xl-{-Jii, ...) zawartą sumę :

(2)

(3)

(4)

f(xi X₂...Xn)

W

yya₂,

fi!

vx\v₂ \ ...Vn!

h₂v*...hnvp

(5)

^2

dxiv^ dx₂v*dxnvn

f(xix₂...xn)

vx \ v₂\...vn\ P=Vl+V₂Ą-... + Vn, Vs^O.

Napiszmy (B) symbolicznie :

[i!

vil v₂\...vn\

.f\XxX₂...Xn),

to podług (e), [art. 72.], mamy dalej symbolicznie:

(ai\

(6)

vx \ V₂\...Vn\

dxt hi + lk¹‘"> ⁺ -

44¹⁺Ś4²⁺"'

dxn

. Połóżmy : — hn=A

()X,i

¹

Widocznie f(x, m) nie zmienia się za podstawieniem xsa za x, gdyż posiada same wykładniki =0 {mod. m).

²

Pierwszą krótką notatkę o średniej arytmetycznej mod. m podał E. Bouche w rozprawie „Memoire sur la serie de L ag r ang e“ w „Journal de Vecole politechnique“ Cah. 39. [1862]. str. 199.

Por. także A. Grutzmer „Ein Satz iiber Potenzreihen“ Mathemałische Anna-len. I. 32. str. 596. (1888).

Por. dalej: J. Puzyna „O wartościach funkcyi analitycznej na okręgach spółśrodkowych z kołem zbieżności jej elementu⁴⁴. Rozp. Wydz. mat. przyr. Akad. Um. w Krakowie. T. 26. str. 311. — Tegoż „O nierówności g | aQ |.⁴⁴ Prace matematyczno-fizyczne T. 5. str. 1. Dowód twierdzenia II. podany jest w tekście podług tej rozprawy.

Por. także: W. Lewicki „O wyrażeniach symetrycznych z wartości funkcyi mod. m.li Prace mat.-fiz. T. 5. str. 7.

Teorya funkcyj.

³

Serret: Algebra (po niem Wertheim). T. 1. str. 121.

⁴

Funkcyę niezupełną możemy i będziemy pisać w teoretycznych rozważaniach zawsze w formie zupełnej z tern zastrzeżeniem, że niektóre ze spółczyn-ników są zerami, a w dalszem następstwie niektóre z wyższych cząstkowych pochodnych nie istnieją.

to teraz (5) można symbolicznie w ten sposób krótko wyrazić : Af*f(xi,x2y..,x„)l(i\. Takie wyrazy utworzone dla ^==0, fi=l, ... fi=m (m jest wymiarem funkcyi f) dodane do siebie przedstawią już w zupełności f‘(xi-\-h₁, ...), tak, że ostatecznie mieć będziemj^:

(A)

Af A¹!' At*f Amf f(x, +ht, ...,) -/ + JI + 2<+" + Jl + "+ ^1-

W szczególności mamy :

(7)

Af=

A²f-

df

df

dxi

hi + -—h₂ + ...d

df

dx₂

ÓXn

hn

dY

dx.²

V + -4

dY

dxnl

hn² + 2

d²f

dxi dx₂

dY

dY

a³/'

hnz + 3

dxi ²dx₂

... i. t. d.

dxnz

dxidx₂dx₃

Każde A^f jest jednorodną funkcyą fiee° stopnia dowolnych dodatków \, h₂, ... hn. Naznaczmy to, pisząc (hs) za A^f to mamy :

Wm (łls)

1!

(B)

"Weźmy w szczególności miejsce (a1? a₂, an) pod uwagę, to ponieważ dodatki hs są całkiem dowolne, może as-\rhs przedstawiać dowolną wartość zmiennej xs, tak, że położyć możemy xs=asAr^s1 a stąd hs—xs—as. Wskutek tego dostaniemy teraz z (A) i (JB):

Amf

.    Af AY

(Ai)    f{X\> x%, ..., xn)=f(ai,a₂,...,an) + jj+-2j- + ... + —[,

(-Bi) f(xux₂, ...,xn)=f(aua₂,...,an)4

W] (xs—ag) W₂(xs—as)

+ 2l

W tych formach przypomina pierwszy wyraz f(aif a₂, ... a„), że wszelkie cząstkowe pochodne wchodzące w dalsze dodajniki

trzeba obliczyć na miejscu , a2 xs—as, s=l, 2

an), a wszelkie hs zastąpić przez

Rozwinięcie (A^ lub (JB^) nazywać będziemy rozwinięciem funkcyi (/) w otoczeniu miejsca (al7 a₂, ... a„), albo przeprowadzeniem funkcyi do otoczenia miejsca (ai: a₂,..., an) i naznaczać krótko przez f (fl?j , ^2? •••}    j ^2? •••>

Pd. 1. Utworzyć cząstkowe pochodne funkcyi:

f(xi} x₂, x₃) = 2 -f-    4 4i»;t-j- 5xt²x₂x₃ 4- Qx^

i okazać, że w otoczeniu miejsca (1, 1, 1) jest:

f(x\, x₂, a?₃) =f(xux₂, x₃ 11, 1, 1) =

20 4- (17*! -f 9*j + Bh₃) + (57*!² 4 18/ą ² 4 14/ą/ą + 5h₂h₃ + 10/ą/ą)

4 (67*2³ 4 57*t ²/ą -f 5/*! % 4 10Vi₂7i,) 4" bJh Vhh 7*! = x₁ — 1, h₂ =x₂ — 1, h₃ = x₃ — 1.

Pd. 2. Eozwinąć funkcyę:

/(aą, x₂. x₃) = 1 -f xi ² 4 ² 4 xi² 4 x\⁴ 4 aą⁴ 4 x34 w otoczeniu miejsca (1, 2,1). Jedyne cząstkowe pochodne tej funkcyi są:

-2+12V,^=2K, ^ = 24 a = 1, 2, 3.

więc tu dostajemy f(xi, x₂, x₃ | 1, 2, 1) = 25 4 6 (aą — 1) 4 36 (aą—2) 4 6(aą—1) 4“ 4 7 (aą—l)² 4 25 <>₂-2)² 4 7 Or₃-l)² 4 4 (%-l)³ 4 8 (aą-2)³ 4 4 (aą-1)³ +

4 (a?! — l)⁴ 4 (aą 2)⁴ 4 (aą — l)⁴.

df

0xa

= 2xK+4xsa,

a²/

óx\

Połóżmy : f (xi 4 \\ i

...4XWraV.V’---^4...,

to stąd dostajemy:

I /*(a?! 4 \ , ^2 + ^2 5    + *») — /‘Ol , #₂1 • ■• ■-, Xn) | <

...4| X„,    | | \\VK \ Tl₂\v*...\hn\vnAr ...

Z tego wnosimy, że, żądając takich h₂, ...,hn, aby

\f(xiĄ-hi, x₂ + h₂, ..., Xn+hn) — f (xux₂,..., Xn)\<Ó , musi być równocześnie:

(«)

(/?)

więc \W, \h

| | Ój , | ^2 I    d₂ j •••) |    | <^. d«

hn | nie mogą przechodzić pewnych dowolnie

215 •••>

małych według d obranych granic.

Tę własność funkcyi f określoną równocześnie nierównościami (a), (($) wyrażają w ten sposób: funkcya f jest na miejscu (xi, x₂, ..., xn) leżącem w skończoności ciągłą.

k a ż dem

74. Zachowanie się funkcyi w otoczeniu miejsca zerowego. Równanie algebraiczne /= 0 i funkcya algebraiczna. Z ciągłości funkcyi f wynika, że w otoczeniu miejsca zerowego (xi: x₂, ..., xn) leżącego w skończoności [art. 71.] będzie funkcya f przybierała

same wartości nieskończenie małe. Pytanie więc zachodzi, czy w tern nieskończenie małem otoczeniu miejsca zerowego znajdą się znowu miejsca zerowe funkcyi?

Aby na to odpowiedzieć, napiszmy równanie f— 0 w postaci

(1)

1 d⁻ ••• + ^1 +    =0

gdzie va są jednorodne funkcye stopnia a.

Grdy już w każde va wstawimy miejsce zerowe (,rl7 x.₂, ... xn), to równanie:

Vm Qm+Vm~iQ

mieć musi jeden przynajmniej pierwiastek p = l i ten się właśnie do obranego miejsca zerowego odnosi [art. 71].

Zauważmy system liczb (t\, t‘₂, ..., t‘n) = (xi + £1? x₂+%₂, ..., xn-\-^n) o dowolnie małych. |£SJ. Każde va — prócz v₀ — zmieni się wtedy na va-\-óa, gdzie |óa\ będą również dowolnie małe. Temu systemowi liczb odpowie miejsce zerowe (xil, x₂‘, ..., xn‘) o spółrzędnych xs‘ = =ę‘tsl=Ql(xs-\-^s), [art. 71]; a gdy czynnikowi proporcyonalności ę‘ nadamy kształt (l-{-a), to dodatek a będzie pierwiastkiem równania :

m—1

Om + Óm) (1 + O)w + 0

+    (1 + ff)

m—1

Po uporządkowaniu tego równania podług potęg a — z uwzględnieniem vm-{-=0 — dostaniemy związek:

+    + ... + d₁)=0.

W nim wolny wyraz jest widocznie dowolnie małą ilością, a że równocześnie vm + óm nie jest dowolnie małem (bo vm, nie będąc na obranem miejscu zerowem dowolnie małe, nie może w najbliż-szem swem otoczeniu stać się znikomem), więc jeden pierwiastek jest niezawodnie nieskończenie małym, [art. 71., tw. I.]. Przy takiem oi mamy x‘s=(l + ai)(xsĄ-^s)=xs+fjs^ s = l, 2, ..., w, gdzie rjs są nieskończenie małe dodatki. Z tego okazuje się, że w otoczeniu obranego miejsca zerowego mamy znowu miejsce zerowe i że ich— dobierając dodatki na nieskończenie wiele sposobów — mamy tam nieskończenie dużo. To znaczy:

I. Tl⁷ dowolnie małem otoczeniu miejsca zerowego leżącego w skoń-czoności znajduje si§ nieskończenie dużo miejsc zerowych.

Aby tę mnogość bliżej określić, zbadajmy naprzód, jak się skończony pierwiastek^, odpowiadający skończonemu miejscu (x2l #3, ..., xn) zmienia, gdy to miejsce nieskończenie mało zmienimy na inne.

Pierwiastek xi przyjmijmy różny od zera — (w razie przeciwnym, położywszy xx—sx—a,    dostaniemy z danej funkcyi

(2)

postać:

ma

funkcyą o zmiennych x₂, a?₃, ..., x„, a o pierwiastku #i=a na uważanem miejscu) — i napiszmy równanie f — 0 w postaci (p₀x^+(pixi^-¹+...+(pl^=0, zakładając, że <p₀ na miejscu (x₂, x₃, ..., xn) nie jest nieskończenie małe , a więc i pierwiastki dalsze, dołączające się do x₁ są wszystkie na tern miejscu skończone. Zmieńmy dalej miejsce (x₂, x₃, ..., xn) na 0₂ + |₂, x₃ +^3, ..., xn + ęn), gdzie £₂, i₃, ..., in są nieskończenie małe, a pierwiastek x₁ na tem miejscu naznaczmy przez (xiĄ-^i) z niewiadomym jeszcze dodatkiem |₁. Równanie (2) przejdzie wtedy — gdy (pa przechodzą na ((pa + ua) — na związek (<p₀+wo) (®i + !i)**+ — ... + (gp^i + m^—i) (xi +|₁) + ęp#ł=0, który w uporządkowaniu podług PO^g li

(gp₀+w₀^₁/ł+... + (w₀^₁^-fw₁a?i^¹ + -.. + V₁)=O.

Wolny wyraz jest tu dowolnie małym (nie jest zerem, bo 0 założono), a że (gp₀+w₀) nie jest dowolnie małe, więc stąd wynika, że jeden z dodatków będzie dowolnie małym. Odnosząc go do pierwiastka wnosimy, że x₁, a więc i każdy ze skończonych pierwiastków nieskończenie mało się zmienia, gdy miejsce (x₂, x₃, ..., xn) nieskończenie mało przesuwamy. Zmienia się więc xx — jak powiadają — w sposób ciągły z miejscem

(#2} ^3? •••> %ri)‘

Wartość zmiennej xt jest w ogólności zawsze zależną od obranego miejsca to określamy, mówiąc, że xt jest funkcyą pozostałych

x ) równanie

*«)>

(#2, x₃,

(n— 1) zmiennych, jakkolwiek owo xx spełniające razem z (a;₂, x3) f— 0, nie umiemy jeszcze wyrazić przez te ostatnie zmienne. Równanie/=0 nazwaliśmy algebraicznem , a z tego powodu i xx nazywamy algebraiczną

xn-

funkcyą zmiennych x₂, x₃

Funkcyą algebraiczna xt nie jest jednoznaczną, jeżeli równanie /= Ojest w zmiennej xx stopnia 1. Jest ona — jak powiadają — funkcyą wieloznaczną, albo wielowartościową, gdyż na każdem miejscu (x₃,xz,.. ,x^) ma równanie/=0 kilka pierwiastków xt. Z własności funkcyi xx — a tem samem każdego x, jako algebraicznej funkcyi pozostałych zmiennych — poznaliśmy tu dwie, a wyrazimy je w twierdzeniu:

la. Przez równanie algebraiczne f — 0 określa się każde x$ jako funkcyą (algebraiczna) pozostałych zmiennych. Taka funkcyą jest (w ogólności) wielowartościową funkcyą na kazdem miejscu (xly..pcs_i,xa^_x,...}xn) i jest ciągłą funkcyą na miejscach, gdzie przybiera skończoną wartość przy skończonych wartościach pozostałych zmiennych.

W geometryi analitycznej określa równanie algebraiczne f{x,y) — 0 o dwóch zmiennych krzywą, którą algebraiczną nazywają.

Wielowartościowośó wspomnianą w tw. I.a później dopiero będziemy mogli całkiem ogólnie zbadać. Lecz już tu możemy uwzględnić pewien szczególny przypadek, który w zastosowaniach jest ważny. Oto przyjmijmy, że mamy dane algebraiczne równanie postaci:

«₀(xi,x₂,...,£cra>m — '^(xuxiy..,xn) =0, albo

ym = — =2?^,a:₂,Połóżmy xa = ra. 1^, , * — l, 2i niech będzie R=? . 1^

m

to mamy «/ =Y/p • !</>• 12^ , m = 0,l,2...,m —1 albo także,

V — V/p. !</>+2tar • 12

HT’

[art. 22.tw. VI.]. Lecz czynnik \/p ,l<p+2*ji jest dowolnym »itym pierwiastkiem funk-

m

cyi E. Zamiast (A) napisać więc możemy:

m

y = \ZR(xlJx₂,...,xn). I2sn, s = 0,1,..., m—1. m

Uwaga. Wielowartościowośó nie jest zawsze do każdej ze zmiennych wchodzących w równanie przywiązaną, bo jeżeli n. p. mamy równanie:

xiyz -p 2xz + 3 = 0

towniem y będzie wymierną, a więc j ednozn aczną funkcyą zmiennych x, z. Dlatego-to w twierdzeniu la. powiedzieliśmy, że równanie algebraiczne określa w ogólności każdą ze zmiennych jako wielo wartościową pozostałych zmiennych.

Po tych uwagach możemy teraz bliżej określić mnogość miejsc, o których mowa była w tw. I. Gldy xs=us+vsi, s=lr..,n są spół-rzędnemi miejsca zerowego funkcyi /, to

(...,us—ó...us + ó,...; ...v,—ó...vt+ó,...), gdzie d jest skończoną, bardzo małą dodatnią ilością, przedstawia otoczenie tego miejsca i tworzy w-krotny ciągły obszar (continuum), [art. 35., art. 43.].

Z tego obszaru zauważmy część jego tylko, a mianowicie; dowolny jeden system spółrzędnych:

(rp l rp l    rp ^ ó

\'*'2 ?    ,3 y * • ? d/n )

leżący w (3) złączony ze wszystkiemi wartościami:

xi,=ul+vii obszaru (Wj— d...% Ą-d,vx — d...^+d).

Łatwo wywnioskujemy, że miejsca zerowe otaczające dane miejsce zerowe (x₂,x₃nie wypełniają nawet tej części [(«),(/?)] obszaru ciągłego (3). Każdy bowiem obrany system (a) utworzy miejsca zerowe funkcyi ze skończoną tylko ilością wartości (4), a nigdy ze wszystkiemi leżącemi w (/?). Stąd wynika twierdzenie wielkiej doniosłości:

(*)

(3)

(a)

(4)

(P)

II. Miejsca serowe funkcyi f otaczające pewne jej miejsce serowe nigdy nie utworzą continuum n-Jcrotnego, gdzie n jest ilością zmiennych 10chodzących w f\ a funkcya, któraby miała być zerem na wszystkich miejscach pewnego — choć bardzo małego — takiego co ntinuum musi być identycznie zerem. Podobnie w takiem continuum nie może nigdy funkcya f mieć statecznie wartości stałej c 4=0.

Dodać przytem należy:

Jla. Już funkcya n zmiennych, która przy danych wartościach (n—1) zmiennych x₂,x?j,...,xtl miałaby być serem, lub stałą wartością c 0, dla nteJ zmiennej xi wypełniającej choćby bardzo małe continuum, jest identycznie =0, lub = c.

Dla krzywej algebraicznej f(x,y) = 0 mają dwa ostatnie twierdzenia takie

znaczenie:

a)    Dwuwymiarowe — choćby bardzo małe — otoczenie doicolnego punktu krzywej nigdy nie bedzie wypełnione samymi punktami należącymi do krzywej.

b)    Dowolnej prostej nigdy nie bedzie krzywa dotykała w jednolitym ciągu punktów mogących utworzyć choćby bardzo mały odcinek na tej prostej.

Uwaga. Przyjmijmy, że na zerowem miejscu (xi, x₂,..., xn) ma się pierwiastek xi powtórzyć g, — ale nie więcej — razy. "Wtedy — [art. 51. tw. II.] — muszą na tern miejscu sprawdzić się związki:

du—if ’’ dx^~y

/=o,

cWf

a w rozwinięciu :

dxi

(e)

f (x i -\-hi,...,xn-\-hn) = ^~- +

Amf

ml

nie zawierają się wtedy wyrazy postaci Cihi, C₂hi²,...,    .

Jeżeli na tern miejscu zerowem ma być każda ze spółrzęd-nycłi xs wielokrotnym pierwiastkiem, to koniecznem jest, aby na tern miejscu — oprócz /‘=0 - było jeszcze

(d)

df

df

dxi

Pd. 1. Okazać, że równanie:

3-p x—2y—2cc² -py²-pcc³ = 0

ma miejsce zerowe (x,y) — (1,1) takie, że w niem cc = l i y — 2 są dwukrotnymi pierwiastkami.

Pd. 2. W równaniu:

—3-p 8x—10y—5cc² -p 5y² -p 8ccy -pcc³—4ccy²—2i/cc² -p cc²«/² = 0 będzie do x=2 należał dwukrotny pierwiastek y — 1, a do y=1, trzykrotny pierwiastek x = 2.

75. Funkcye jednorodne. Twierdzenie Eulera. Zastosowanie do wyróżnika. Zastosujmy teraz rozwinięcie (A) [art. 73.]. do funkcyi jednorodnej ą>(xx,x₂,...,xv) w-te®° stopnia, kładąc hs—xst, a więc

zastępując każde xs przez xs-\-xst=xs{l-\-t), s==l, 2,..., n, gdzie t jest także nieograniczoną zmienną. Z jednorodności funkcyi wynika :

cp (xi (l+t),x₂(l + t),..., xn(l -f t))=(1 + t)m cp (x₁, x₂,..xn). 7i drugiej strony — gdy położymy:

-ŁrxJ+-Łrx*t+ —d

. + 4-

dostaniemy cp(x₁(l + t),x₂(l + t)J..., x„(l~\-t)) =

dxi

dx₂

dxn

(J-x+A.

l dxt ¹ dr,

x% + • •

ÓXyi

xn

t=Ax.t —

(1)    (1+t)m<p=(p-ł

Ax(p

A²*(p

Aj*q>

1!

2!

(i!

0M--4

Axm(p

tm.

W tym związku po lewej stronie spółczynnikiem przy P* jest

wyraz

Po prawej jego stronie spółczynnikiem przy P* jest (Axi*<p / fil) Stąd — ponieważ związek (1) jest identycznością, a więc istnieje przy każdym systemie (a^, x₂,    t) — otrzymujemy:

Ax^(p

/ m\

W

cp

fi!

albo

(2)

cp (aą, x2J..., xjj "W szczególności dostajemy:

Aj*<p.

(«)

cp

-ir.

m [ dx±

dcp

xt -f-

dcp

dx₂

x₂-j- ... -f-

dcp

dxn

xn

(P) <P

d²cp

dx^

2 a;²n-}- 2

d²cp

dxi dx₂

II. Gdy całkowita wymierna funkcya n zmiennych xi,x₂,xn jest taka, że po wyjęciu z niej czynnika x™ pozostaje całkowita wymierna funkcya ilorazów x„l xg, a 5 s, to taka funkcya jest jednorodną mte9° stopnia.

Przyjmijmy, że funkcya całkowita wymierna f(x u x₂, ...,xn) — gdy się w niej xia,i (f*< n) odpowiednio txv tx₂,..., txu, a za xIA,+\ wiednio t#u+1, txk — przechodzi na ta^cbf(xi, x₂, ..., xn).

Funkcyę / uważać więc trzeba za jednorodną tak w zmiennych x₁, x₂,..., a? jak i w zmiennych » ₊₁, xn. Lecz gdy #=t, mamy tmf(xu x₂, wskazuje, że / jest funkcya jednorodną we wszystkich zmiennych.

Stąd twierdzenie :

III. Funkcya jednorodna w pewnej ilości swych zmiennych i jednorodna w pozostałych zmiennych, jest jednorodną we wszystkich swych zmiennych.

W funkcyi całkowitej wymiernej ms° stopnia f(x)=a₀xm+aix

położy za xi: x₂,

xn odpo-

xn), a to

potem ją pomnóżmy przez ym. Dostą-

CC

połóżmy — w miejsce x

niemy wtedy jednorodną funkcyę:

F(x, y)=a₀xm-{-a₁xm-iy-\-a₂xm~²y²+...-\-amym, a według (a) mieć będziemy:

m .F(x, y)=[m.a₍₎xrn-i-\-(m—l)arxm~².y + ... + am-iym~'¹]x + [axxm~x 4- 2 a₂xm~².y +...+mamym-i] y.

Kładąc tu y— 1, mamy:

m. f(x) — cp{x). x+f‘(x), gdzie <p(x)—ma₀xrn~iĄ-(m—l)a₁xm~²+... + am-₁, a f‘(x) jest pochodną. Z (3) wynika, że jeżeli równania f(x)=0 f‘(x)=0 mają wspólny pierwiastek, to go także posiadać i równanie <jp=0, Szukając więc wyróżnika jR(/,/') funkcyi / (równania /=0), zastąpić go można rugownikiem:

(3)

musi

ja

CO

e s • • co c<i

3a₃

(4) R(f\cp) =

ma₀, (m—1)%, (m—2)a2 maQ,

(m—l)at, (w—2)a₂

wyróżnik (dyskryminant) ró-

i ten rugownik uważać wprost wnania f= 0. Nazywają go także wyróżnikiem jednorodnej

za

funkeyi F(x,y).

Okazać, że do postaci (4) sprowadza się rugownik równań f(x) = 0 i m ./(aj — xf{x) = 0 [por. uwagę na końcu art. 57].

T*ory» funkeyj.

1S

194

76. Wyznaczenie fnnkcyi całkowitej z danych warunków.

Przejdźmy teraz do wyznaczania fnnkcyi zupełnej f(xi, x₂,xn) z danych warunków. Niech

(1)    f\xi, x2:..., xn)=a-\-bxi +cx₂ -f- ...+pxnm=f(a, b, c, ..., p, x₁, x₂, ..., xn),

m-\-n

gdzie spółczynników a, b, c, ..., p mamy tu {?=(

\ w

Z miejsc jej zerowych, których, [art. 71.], jest nieskończenie dużo, wyjmijmy ich p dowolnych:

(2)    (a?/, a?₂',..., a?B'), (^i ", V> ®»"), Oi(e),    ^(p))

z tern tylko zastrzeżeniem, że wszystkie są między sobą różne.

Te miejsca czynią zadość równaniom :

(3)

/'(«, b, c, ...,p, xi W, x₂ M,..., a?*W) = 0, *>=1, 2, ..., ę.

Są. one wszystkie liniowe, jednorodne w spółczynnikach a, b, c, ..., p; eliminując więc z nich te spółczynniki, dostaniemy związek :

1,

(4)

P=

, ...

=0. To znaczy :

i, xx x₂&\...

I. Między q dowolnemi, między sobą różnemi miejscami zerowemi funkcyi f zachodzi zawsze związek P= 0.

Zbadajmy, do czego doprowadzi założenie, że istnieje funk-cya f\ wymiaru w, o q miejscach zerowych (2) nie spełniających równania P= 0?

Połóżmy /(a, 5, c, ..., p, , #₂, ..., xn)=z, to prócz równania :

c:> ot

( )    z—f(a,b,    p, xux ₂,...,xn)—0 mamy jeszcze:

( )    0—f(a,b, .‘..,p,x₁(v\x₂(v\...,xnM)=0, v=l, 2, ..., ę.

—p do-

Z ((> + 1) równań (5), (6), eliminując 1, —a, —&,

staj emy: 1, xit 1, xi 1, x^

= 0. Stąd — gdy wyznacznik rozwijamy podług elementów pionu pierwszego — wynika: Pz—0, a że P^O założono, więc mamy tu : z=-0, a to znaczy:

II. Funkcya f, mg0 wymiaru, która na q miejscach, dających P4=0, stoję się zerem, jes£ identycznie =0.

co znaczy:

W razie P=0, mamy O.£=0, a więc

III. Funkcyj f m⁹° wymiaru, przybierających wartość zera na ę> miejscach, spełniających równanie P= O, jest nieskończenie dużo.

W wyznaczniku P=0 niech minory pierwszego (albo któregokolwiek innego) wiersza będą: a, /?, y, ?r, i niech nie będą zerami. (Do tego tylko przypadku tu się ograniczymy).

Spółczynniki a, b, c, ...,p funkcyi f o miejscach zerowych, czyniących zadość równaniu P=0 będą proporcyonalne do tych minorów. Połóżmyź a=Xa, b = X(3, c=Xy, ..., p=śIn, gdzie X dowolną jest stałą, to dostaniemy f(x i, x₂, ..., xn) = Xf(a, (3, y, ..., n, ^, a?₂» — > ^«), a to znaczy:

IV a. Gdy jedną funkcyą m'J0 wymiaru o miejscach zerowych, spełniających związek P=0 jest f(a, (3, y, ..., n, xx,x₂₎ ...,xn), to wszystkie funkcye określone w twierdzeniu III. będą Xf(a, (3, y, ..., n, xi, x₂, ...,xn), gdzie X całkiem dowolną jest stałą.

Grdy w wyznacznik P= O wstawimy (ę — 1) pewnych miejsc zerowych, to ()te miejsce będzie już warunkiem P— 0 w pewien oznaczony — choć wieloznaczny — sposób określone i będzie miejscem zerowem każdej z funkcyj X.f\a, (3, y, ..., w, x1} x₂, ..., xn). Z tego powodu twierdzenie IY a. można także tak wyrazić:

IY 6. Funkcya, która na q — 1 miejscach danych ma być zerem, jest oznaczoną o tyle, że można ją opatrzeć dowolnym stałym czynnikiem.

(a)

Pd. 1. Funkcya z = a -\-bx-\- ey przedstawia rzędne z płaszczyzny: z — bx — cy — a — 0.

Wszystkie punkta zerowe tej funkcyi spełniają równanie:

a -f- bx -(- cy = 0;

które w ■ geometryi analitycznej przedstawia prostę przecięcia się płaszczyzny z poziomem (xOy). Gdy trzy z tych. miejsc zerowych są:

« + hxa \

w-)' —

Va = -to spełniają zawsze związek:

1, 2, B, p — 3

1 ? x\‘iV\

P= l,a?₂,y₂ = 0, gdyż leżą na prostej (a).

1,^3,2/3

taka płaszczyzna nie jest jedna. Jest ich nieskończenie dużo;

Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkta (b) przechodzi zarazem przez całą prostę (a)

wszystkie określone są równaniem z = X (a -j- bx -\- cy), przy X dowolnem. To równanie daje zarazem wszystkie funkcye z, których trzy miejsca zerowe spełniają związek P= 0.

Gdy P =}= 0, to trzy punkty xa ? ya nie leżą w linii prostej, a płaszczyzna, która przez nie przechodzi, będzie samym poziomem (xOy); t. zn. z = 0. Funkcya z jest więc wtedy identycznie zerem.

(a)    z — a + bx + cy Ą- dx~ -f- exy fy¹

Pd. 2. Funkcya:

przedstawia rzędne z nieśrodkowej powierzchni stopnia drugiego. Poziom (xOy) przecina ta powierzchnia w krzywej:

(*)

a-\-bx j- cy -f- dxl -|- exy -Ą-fy^ = 0, a związek (b) spełniają wszystkie miejsca zerowe funkcyi z. Sześć z owych miejsc zerowych zadość uczyni zawsze związkowi:

p=

1, xu yu ajj², xxyu y^ ij x2i x2²) x2i/ii y*i²

= 0,

¹

t. d. To znaczy:

I. Każdą jednorodną funkcyę mtes° stopnia, m > 1, można przedstawić jednorodną liniową funkcyą wszystkich jej cząstkowych pochodnych tego samego rzędu.

²

Każda jednorodna funkcya cp (xi} x₂,... xn) mte®° stopnia ma tę własność, że po wydzieleniu z niej czynnika xtm, mamy:

!, x6, jfei xeV6,

a każda powierzchnia (a), przechodząca przez te miejsca (x,y,), (x₂y₂) przechodzi przez krzywę (b) i określa się równaniem:

2 =t= X (a -}- bx -j- cy -f- dx‘i -{- &xy +/^²)*

Gdy P=p0, to powierzchnia ma przechodzić przez 6 punktów w poziomie, nie leżących na krzywej (b), a taka powierzchnia jest wtedy samym poziomem (ooOy) t. j. z — 0.

we-

Gdy f na q miejscach, dających P=f=0 ma przybierać tę samą wartość c¹, to f—c* jest zerem na tych miejscach, jest więc — dług tw. II. — identycznie zerem, a f=c‘. To znaczy :

Y. Funkcya f\ mgo wymiaru, przybierająca na q miejscach o P^O tę samą wartość c¹, jest wprost tą stałą c‘.

Po tych uwagach weźmy dwie funkcye zupełne f i f±, mteg0 wymiaru, pod uwagę. Przyjmijmy, źe one na q danych miejscach między sobą różnych i dających P4=0, przybierają te same wartości zit z₂, ..., zQ, a wykluczone są wartości: zi =z₂ =z₃=...=zę. Różnica f—fx jest również funkcyą zupełną wymiaru m o tej własności, że na q miejscach owych jest zerem. Według twierdzenia

II. będzie więc identycznie /—4=0 i f=fy, a stąd wynika:

YI. Funkcya mtego wymiaru, przybierająca wartości 2y, z₂, ..., zQ na q danych miejscach, nie spełniających związku P=0 jest tylko jedna i jest wskutek tego przez te wartości zupełnie wyznaczona. Przy % tern zi=Z2=z₃=...=zQ=cl wyklucza się, bo w tym razie funkcya f redukuje się do stałej c‘.

Szukając funkcyi f mteg0 wymiaru, która przez te warunki ma być wyznaczoną, połóżmy z—f{a, b, c, ...,p, Xy, x₂,..., jj„) , Fgdzie’/' z nieoznaczonymi jeszcze spółczynnikami ma formę funkcyi] zupełnej, to mamy przedewszystkiem związek;

(7)

*—/*(«, c, Xy,x₂,..., xn)=0.

Gdy dalej f ma mieć na miejscach {x^a\ x₂^a\ ...,xnW) wartości za, a= 1,2,3,ę, to prócz równania (7) mają się jeszcze spełnić związki:

%a / (®j C, >»j    ^a\""i '^n’⁰¹'^) —0; ® 1} 2, 3, ...j

(8)

Z równań (7) i (8) eliminując 1, —a, —b, —c, ..., —p, dostajemy ich. wyznacznik : D(z, zt,..., zQ1 xi,xi\ ...)=0.

Stąd wyznaczymy 0, rozwijając ten wjrznacznik podług wyrazów wiersza pierwszego i zostawiając z ze spółczynnikiem =1 po jednej stronie.

Uwaga. W szczególnych wypadkach może wynikająca stąd funkcya z okazać się wymiaru niższego niż m, albo wypaść niezupełną, albo wreszcie być niezupełną i równocześnie wymiaru niższego niż m.

Pd. 8. Punkcya z=f(x,y) wymiaru =1, przybierająca na miejscach (1,1), (0,0), (1,2) odpowiednio wartości z₁=6₎ z^—b, 0₃=4, wynika ze związku:

= 0 i jest: z=b -\-3x — 2y.

0, 1, X, y 6, 1, 1, 1 5. 1, 0, 0 4, 1, 1, 2

Pd. 4. Wyznaczyć funkcyę z—f(x,y) pierwszego wymiaru o wartościach 2^=1, 02 = 2, 0₃=O na miejscach (1,1), (2,4), (8,9).

[Odp. z=-3-\-~x — ^y\

Pd, 6. Wyznaczyć funkcyę z=f(x,y) drugiego wymiaru, która na miejscach (0,0), (0,1), (1,0), (0,2), (2,0), (1,1) ma mieć odpowiednio wartości: 1, 1, — 2, -5, -15, -1.

[Odp. z = 1 Ą-2x Ą- 3y — 5x% -f- xy — 3y²].

77. Zastosowanie metody Lagrange’ a do wyznaczenia funkcyi. Inny sposób wyznaczania funkcyi bierze swój początek w żądaniu, aby funkcya /‘w zmiennych xi, x2J ..., xn była odpowiednio stopni nv n₂, ..., nn, gdzie przy tern jej wymiar pomija się milczeniem. Zauważmy naprzód funkcyę f{x, y) dwóch zmiennych x, y i przyjmijmy, że ma być o stopniu fi w zmiennej #, a o stopniu v w zmiennej y.

Gdy w tym razie dany jest szereg (fi-ł-1) wartości:

(«)

, x₂

zmiennej x i szereg (v-\-l) wartości:

(*)

zmiennej y i wartości funkcyi:

~> n «

a<P' 8

= 1, 2,..., [i +• 1

P = 1, 2,v + 1»

2a(!—/ (Xa, yp)

a więc na (fi-\-1) (vĄ-l) miejscach (xa,yp)i tworzących wszystkie zestawienia jednej wartości (a) z jedną wartością (b), to funkcyę żądaną można już w zupełności wyznaczyć.

cp

Sli*

xm

xs

Xs

gdzie g jest funkcyą całkowitą samych już ilorazów xalxs

2,...,

05=1,

s—1, S-f-1, ...,

Lecz i naodwrót łatwo wywnioskować:

m.

- 198 -

Przyjmijmy dla ogólności, że tak między miejscami (a), jak (b) mogą być i powtarzające się, tak, że te szeregi miejsc — wypisując powtarzające się miejsca raz tylko — można przedstawić

przez :

(&') Vi,

ia,    1

to uważając funkcyę f(x,y) jako funkcyę jednej zmiennej x dosta-

' («') ii,

jemy z danych warunków:

Ta forma w razie a=y + l jest wprost formą Lągrange’ a (L), [art. 52.], a w razie a<iy-f-1 (t. j. w razie powtarzających się wartości w szeregu (a)) jest uogólnioną formą (L‘), zatrzymującą jednak stopień y.

(c)

Każdą z wartości f(£s,y) jako funkcyę jednej zmiennej y o stopniu v możemy dalej znowu przedstawić albo formą (L) albo formą (L‘). Dostaniemy więc :

{d)    f(Ł^)=f(£s₎%)Yi+f£s,r].₂)Y₂+...+f(£s,yT)YT, 5=1, 2, a,

a wstawiając (d) w (e) otrzymujemy żądaną funkcyę już wyznaczoną.

Pd. 1. Wyznaczyć funkcyę /(cc, y) o stopniu 3 w zmiennej x, o stopniu 2 W zmiennej y, a dla kombinacyi wartości szeregu:

(«)

[b)

(«)

(?)

sposób:

tc,=CC2== 2, a;₄—c₂= 5 z wartościami szeregu: y, = 1, y₂ = 3, y₃ — 4 przybierającą wartości:

/ (2; 1) = 0, / (2, 3) = 1, / (2, 4) = 3 ;

/(5,1)=2, /(5, 3) = 0, /(5, 4) = 4.

Żądana funkcya, jako funkcya samego x przedstawi się formą (L‘) w ten

O- 2)³

(5—2)³’

a spółczynniki c₁₂ obliczone podług równań (b), [art. 52.], mają tu wartości:

X—5

2=5

[l +    (*—2) + ^    - 2)J] + /(5, y)

(5)

Funkcya/(2, y) przybierająca na jednokrotnych, miejscach (6) wartości (a) przedstawi się formą (L):

(£)

/(², y) = l •

(y-1) (y—4)

(y-i)G/-3)

(3-1) (3-4)

Analogicznie mieć będziemy:

•(4-1) (4-3)

(y²-3y + 2).

(£/)    /(5,y)==2.

(y—3)(y-4)

(y-!)(y—3) (4-1) (4-3)

f 4.

= y(5y³-23y + 24). Wstawiając (8), (e), (s') w (y) otrzymamy żądaną funkcyę o postaci /+, y) =

- >~3y + 2).    [1+1 (*-2)+l(*-2)*]

+ l(5y³-23y + 24)

(1—3) (1—4)

(x—2)3 27 ’

Pd. 2. Funkcya /(#, y), która — gdy dane są szereregi wartości (xt = l, «2 = ²), («/i=0, y₂=¹) — przybiera wartości /(1,0) =1, /(1,1) = 2, /(2, 0)=2, /’(2,1) — 1, wyrazi się — jako funkcya samego x — formą:

x—1

2-1'

Z danych warunków wynika dalej:

-1

V/(M) j =s<+l, /(2. y)=f( 2.0) ^ +/(2,1) f = -!/ + 2,

a więc ostatecznie mieć będziemy:

/O, y) = — (y + i) (*—2) — 0—'2) (®— i).

Uwaga. Co do samych danych wartości f{xa,!/y), to jeszcze zauważyć potrzeba : Gdy każdy szereg wartości:

/(*« jji), /(a?«yj),...,/(»«yn-i), *=1,2, p+h z osobna przedstawia równe sobie wartości 6‘a, to wtedy już funkcye /(»«y) jednej zmiennej , jakie formami (d) przedstawiać mamy, są stałemi ilościami ca, [art. 52. II.], a funkcya żądana /(cc,y) redukuje się widocznie do funkcyi jednej tylko zmiennej x

Gdy wszystkie wartości f(xa, yl) są te same ==c, to wtedy widocznie formą (c) wyznaczamy funkcya f (x, y) samego x o tej własności , że na (u -j- 1) miejscach tę samą wartość c pi’zybiera. Taka więc funkcya jest wprost — c.

Łatwo wywnioskować, że ta metoda wyznaczania daje się analogicznie zastosować do funkcyi więcej, niż dwóch, zmiennych; wyznaczające ją warunki określą się tu w ten sposób:

I. Funkcya całkowita, icymierna n-zmiennych x, y, z, ...,w jest wy znaczona, gdy żądamy 1° aby była w tych zmiennych odpowiednio stopni g, r, ę, ..., r, 2[) aby — gdy dane są szeregi wartości:

(A) (%] i ^2 •••? i)j ii/\ i Vi i    2/v-(-l)j    )")    (^1 1 ^2>

przybierała dane ivartości f(xai y^ zy,..., w£) wa (₁a + l).(«'+l).(£+l).--(2:-}-l) miejscach (xtt) y^ zy,..., w£) o spółrzędnych tworzących wszelkie kombinacye wartości wyjętych z (A).

Szukając formy, jaką tak określona funkcya ma się przedstawić, zaczynamy od tego, że ją naprzód uważamy za funkcyę jednej tylko zmiennej i ją jako taką przedstawiamy formą (L) lub (L'), [art. 52]. Do funkcyj (n — 1) zmiennych zawartych w tej formie zastosowujemy znowu to samo , aż w ten sposób dochodzimy do formy, w której już tylko funkcye jednej zmiennej się zawierają. Po ich wyznaczeniu otrzymujemy ostatecznie żądaną

funkcyę.

nych xi, x2 wyznaczoną z danych jej wartości ryacye nteJ klasy danych liczb (a,, a₂

Na szczególniejszą uwagę zasługuje przypadek, w którym funkcya w-zmien-xn , stopnia najwyżej (n—1)*° w każdej z tych zmiennych, ma być na nn miejscach tworzących wszystkie wa-<x ). Połóżmy:

/(aV «*s,*3-v*łl)

^K)

^(^3)

podobnym sposobem, dojdziemy do postaci:

/0*1>*2ł •••>Xn) = [9(X\)-9(Xn)]^

w której sumowanie odnosi się do wszystkich »w waryacyj utworzonych z liczb ®1, ®2» •••) ®n-

78. Dzielenie dwóch funkcyj. Iloraz. Reszta. Przejdźmy do dzielenia dwóch funkcyj całkowitych wymiernych. Gdy dane są funkcye F, G tych samych zmiennych x, xit x₂,..., xp o wymiarach m i n, to, trzymając się oznaczeń przyjętych, możemy je napisać w formach :

F— vmĄ-vm~.i + ... + v₀, G=wn 1 -f-...+*0o gdzie vs, ws są to jednorodne funkcye zmiennych x,x₁, ...,xp stopnia s.

Gdy te funkcye zechcemy uporządkować podług potęg jednej ze zmiennych n. p. x, to możemy tu natrafić na dwa przypadki: albo w funkcyach vm, wn znajdują się dodajniki a‘₍₎xm: b‘₀xn, albo tam tych dodajników nie znajdujemy. W tym drugim przypadku połóżmy:

(1)

0-®i )(»-«*)... (*—«„)=y 0),

to uważając / za funkcyą samego xu dostaniemy:

/(*! *> - **)

(«)

Podobnie dostaniemy:

_ ^/(av x*’ •••>*»)

= 1,2,..., w. [art. 65.]

(P)

/(aA-p *2) —j xn) __    /C®A-j5 a/tj’ X21 —J

a uwzględniając to w (a) mieć będziemy:

a;n) ₌X! ⁹ W% "* »->”») ^ 0*1 -«*,) (**-«*,)

^*2

Przedstawiając dalej po porządku funkcye:

X— «oow_baoiwi d"•••_b⁰⁵orM/> xx = ai{)u-\-anu^ + ... Ą-aipup

Xp —    "fi ^ P\ d⁻ • • • d⁻ p

app stałe, a w, w1?w₂? •••> up

w których-to podstawieniach są a₀₀,a01 są nowemi niezależnemi między sobą zmiennemi. Stałe a₀₀,a₀₁

ctpp

mają spełniać warunek:

(2)

«00 «01> •” a0P «10 °hi? ••• alP

=|= 0.

api? •••

Wstawiając za x,xi,...,xp w funkcye F, G liniowe formy (1) dostaniemy funkcye f\ g zmiennych w,    ...,Wp znowu wymiarów

w i w. W f spółczynnikiem przy w,n będzie:

(«00! «10 J •”? ai>o)?

a w </ przy dostaniemy spółczynnik

&₀ — wn (a₀o, or₁₀, ..., o^₀).

Poddawszy stałe a₀₀? aio> •••> warunkowi (2), możemy je jeszcze — nie naruszając tego warunku — wybrać na bardzo wiele sposobów tak, że równocześnie będzie

«0 ~ł“ Oj &0 "4“ 0.

Porządkując dalej fig podług potęg zmiennej u, dostaniemy:

f=a₀um+aium-¹ + ... + am , g^b₀un + b₁un-¹ +...+bn,

gdzie «c, J₀ są stałe ilości 4=0 a os, s>0, są funkcyami całkowitemi wymiernemi zmiennych uuu₂,...,up o wymiarze s.

Przyjmijmy w>w; wtedy w przerobionych funkcyach f\ g ich stopnie w zmiennej w są: m^n. Utwórzmy w tym razie funkcyę:

h=c₀um-n+cium-ncm o nieoznaczonych jeszcze spółczynnikach c₀, ci, ..., cm—n i zażądajmy, aby różnica:

(3)

(4)

(5)

f—gh=r (u)=d₀utt~i1 +    :2+...-j-<4-i,

aby więc w zmiennej u była stopnia (w —l)s°.

Wtedy — podobnie jak w art. 54. — dostaniemy związki

C?q ÓqCq=0j    ÓqC^ &jCg⁼⁼0j ttm 6„ Cm—n dn—l»

Z pierwszych (m — w+1) tych równań obliczymy c₀,    cm

Te ilości tak obliczone wstawione w dalsze równania dadzą d₍₎, dl7 ..., dn-\. Każda z obliczonych ilością będzie miała za mianownik 6*₀, a więc liczbę stałą; będzie więc całkowitą wymierną funkcyą zmiennych w₁₇ w₂₇ up wymiaru s. Spółczynniki d₀₁ d,, dn—\ będą również całkowitemi wymiernemi funkcyami tych zmiennych, ale d, nie będzie już wymiaru s.

Identycznem równaniem f— gh = r określamy dzielenie funkcyi /'przez g\ h nazywa się ilorazem, a r resztą dzielenia.

Wskutek warunku 0 4=0 możemy napowrót wrócić do funkcyj F, G-. Funkcyom h i r odpowiedzą w zmiennych x,xi,...,xP funkcye

(6)

—»•

całkowite H, R, z których, pierwsza będzie wymiaru (m — n), a dzielenie funkcyi F przez G określi się tu równaniem identy-cznem :

(7)

F — G H==R.

Uwaga. Jeżeli funkcya G wymiaru n posiada dodajnik h'xn a tunkcya b uporządkowana podług potęg zmiennej x posiada dodajnik ę(«1} x₂,..., x )a^*, gdzie o jest funkcyą całkowitą a p. jest największym wykładnikiem zmiennej cc i jest > n, to możemy — nie przerabiając F, G na /, g — dzielenie F przez G wprost wykonać. Funkcye bowiem H i R okażą się tu odrazu funkcyami całkowitemi.

Pd. 1. Podzielić funkcye F—x³-\-y³ przez funkcyę G= xy-\-a. Połóżmy x = uv^y — w—v, gdzie u, v są nowe zmienne, a o =—2, to dostajemy: f = (u -j- O³ + {u—v)?> — 2u³ -f- Qv²u , g== {u -j- v) (u—v)    a — ui—vi -j- a ,

h = 2u, v — (8c²—2a)u.

Wracając do danych funkcyj mamy :

x~y.

x -j—«/

u =—v

u

wtedy z li i r dostajemy:

H=x-\-y, R — x³ -[- y³— xy²—x¹y—ax—ay, a równanie (7) określające dzielenie F przez G ma tu postać:

(x³ -f y³) — (xy -f-a)(x -]- y~) — x³ -\- y³ — xy²—xhj—ax—ay.

Pd. 2. Funkcyę F = yzxi -j- (y -j- z) x³—y cc² + ax 4przez funkcyę :

G — x ²—8 (y—z) x    yz

możemy dzielić bez ich przerobienia ; kładziemy więc:

(yzceł -}- (y    z)x³—yx² -f-    -f* yzr>) — (c₀cc² d~ cix + c₂). (cc² —3 (y—z)x -f- y z)

— cif) x —d^,

a wtedy równania (6) określające spółczynniki w funkcyach H i R mają postać:

yz—co =0, (y + z) -f- 3 (y-z)c₀ — ą = 0,

—y—yzc^ -f3 {y—z) ą—c₂ = 0, a—yzct -j-3 (x—0) c₂ =rZ₀, yz⁵—yzc₂ = di. Z nich dostajemy: c₀ = yz, q == 3y²z — 3yz² 4- f/j-0,

c₂ — — 19y²0² 4- 9//³0-j- 9//0³ 4* 3//²—80²—//,

a przez to już d₀, dj są wyznaczone.

Żądany iloraz będzie tu:

H— yzx² 4- (3y²z—3yz² y z)x—(19yV²—9y³z—9yz³ — 3y² 4* 3^² 4" 'j)i a resztą dzielenia będzie R —

[a—yz(Sy²z—3yz² 4- y -j- z)—3(y—z) (19y²z²—9y³z—9yz³—3y² 4~ 3s² 4" n)\ x 4- \yzh -j- yz (19y²z²—9y³z—9yz³—3//² -j- 3^² 4- //)]•

79. Podzielność jednej funkcyi przez drugą. Iloraz w kształcie funkcyi całkowitej we wszystkich zmiennych. W obydwóch wspomnianych przypadkach dzielenia zdarzyć się może, że po wyznaczeniu cs i spółczynników d₀,    ,..., dn—\, te ostatnie okażą się

wszystkie identycznie zerami. Wtedy mamy identycznie J?=0, a dzielenie F przez 6r określa się równaniem: F=G.H, gdzie H jest całkowitą funkcyą we wszystkicłi zmiennych.

Grdy to zachodzi, to mówimy, że _Fjes"t po dzielne p Gr, albo że G jest podzielnikiem funkcyi F.

Kilka funkcyj danych może posiadać ten sam podzielnik, wtedy nazywamy je w s półmi ernemi funkcyami. Grdy-ten podzielnik jest wymiaru £, a funkcye już nie posiadają wspólnego podzielnika wymiaru i>Z;, to taki podzielnik nazywamy największym. Szukaniem takiego największego podzielnika dwóch funkcyj zajmiemy się później, rozbierając przedtem jeden bardzo ważny przypadek podzielności dwóch danych funkcyj, nie przerabiając ich na funkcye/, g przez podstawienia (1) art. poprzedź.

Dzielmy F przez G: uważając je za funkcye samego x i przyjmijmy, że w G spółczynnik Z>₀ przy xn nie jest ilością stałą, ale funkcyą pozostałych zmiennych x₂, ...,xp. Dzielenie tych funkcyj tak pojętych niech wykaże podzielność funkcyi F przez ćr, a więc F=G.Hj gdzie spółczynniki c₀₇ci,..., funkcyi ff, całkowitej w zmiennej x, dostajemy z równań    ₀

«o—⁶oco=°) a\~&oci— Vo=0,-

Oj 1)q Ij j

o postaciach:

rzez

i⁵

D =

Są one w ogólności ułamkowemi funkcyami zmiennych xx x₂, ..., xp, gdyż b₀ jest funkcyą a nie stałą ilością.

Pd. 1. Dzielenie funkcyi F=z³ -j- 2yz² -)- (y²—x³y)z— x³y² przez

G = xyz -p xy²■

daje — gdy się je równocześnie uw,aża za funkcye samego z —

— X¹

Po —

, ...

Z²

z

+-

X

lł = 0.

Pd. 2. Funkcyą: F — yz²x³— y²(z²— l)x² — (y³ — ciz²)x— ayz¹ jest jako tunkcya samego x podzielną przez funkcye G = y²z²x—y³z² pojętą znowu jako funkcyą samego x.

xy

Na icli iloraz dostajemy tu: H — — . x² -j- x> -f-

Lecz i w tym przyjętym wypadku, t. j. gdy b₀ nie jest ilością stałą, ale funkcyą zmiennych xi7 x₂, ..., xp, możemy — dzieląc F jako funkcyę samego x przez funkcyę G jako funkcyę samego x — dostać z ich podzielności iloraz H w funkcyi całkowitej wymiernej wszystkich zmiennych x, xi, x₂, ..., xp. Da się bowiem łatwo udowodnić twierdzenie :

I. Gdy F jako funkcyą samej zmiennej x jest podzielną przez G jako funkcyę samej zmiennej x, a spółczynniki b₍₎, bi, ..., w G nie po-

siadają, wspólnego podzielnika, to wtedy F jest podzielne przez G, gdy je już za funkcye wszystkich zmiennych uważamy — co znaczy, że iloraz H jest funkcyą wymierną całkowitą we wszystkich zmiennych.

Przyjmijmy bowiem, że i w tym przypadku funkcya H ma spółczynniki ułamkowe. Wspólnym ich mianownikiem niech będzie całkowita funkcya y(xx, x₂,xp). Połóżmy:

(1)

gdzie Hx jest funkcyą całkowitą wszystkich zmiennych, to mamy teraz: F=G,(Hxjy).

Równanie to jest identycznością. Po lewej jego stronie mamy funkcyę całkowitą wymierną F. Jego prawa strona musi więc także byó taką funkcyą, a że funkcya G nie może zawierać czynnika y, bo jej spółczynniki założyliśmy bez wspólnego podzielnika, więc Hx musi być podzielne przez y. To znaczy jednak że H jest funkcyą całkowitą wymierną wszystkich zmiennych (a funkcyi H można było nadać formę (1) tylko tym sposobem, że ją równocześnie pomnożyliśmy i podzielili przez y).

80. Największy wspólny podzielnik. Łańcuchowe dzielenie.

Po tych określeniach dzielenia dwóch funkcyj, lub ich podzielności przejdźmy do szukania największego wspólnego podzielnika danych funkcyj F, G zmiennych x, xi, x₂, ..., xp.

Bez względu na to, czy F', G posiadają największy wspólny podzielnik zależny jedynie od xu x₂, ...,xp, lub go nie posiadają, szukać będziemy tylko takiego największego wspólnego podzielnika T, który zawiera w sobie koniecznie zmienną x. Wszelki zawarty w nim czynnik, zależny jedynie od pozostałych zmiennych odrzucimy. Ilorazy (F:T), (G:T) mają byó całkowitemi funkcyami we wszystkich zmiennych.

Tak pojmując najw. wspólny podzielnik przystąpmy do metody wyznaczania go.

Gdy F, G pojmujemy jako funkcye samego x o stopniach m, n w tej zmiennej i założymy m~>n, to — bez względu na ich wymiary — mamy, szukając ich wspólnego podzielnika (jako funkcyj samego a:), dokonywać po porządku takich dzieleń:

F=GH+^1

\

TT ,    ^3

\ h₂ ² ■*" h?>

W resztach dzielenia:

G=

(«)

TT [

K i+ \

G₂

h₂

^3 TT ,    ^4

*3    ³⁺ K

... [art. 55].

#3 G\ hx ’ h₂ ’ h₂ hk

... są Gx, G₂, 6r₃,

ćr₄, ... całkowitemi wymiernemi funkcyami wszystkich zmiennych;

h₂. ..., zawierają jedynie xi, x₂₁ ..., xp, a ilorazy , H₂, ..., są całkowitemi funkcyami w zmiennej x, a mają w ogólności ułamkowe spółczynniki w xi, x₂, ..., xp.

W tych dzieleniach musimy dojść do reszty zerowego stopnia w a:, a więc do reszty będącej funkcyą już tylko pozostałych zmiennych.

Przyjmijmy dla uproszczenia, że taką resztą jest już GJh4 i załóżmy, że ta reszta identycznie =0. Wtedy — jak w art. 55. — wnosimy, że G₃\h₃ jest jako funkcya samego x podzielnikiem funkcyj F: G pojętych również jako funkcye samego x. Mamy więc :

F=(G₃/h₃).F‘, F=G₃.(Fjh₃),

a={G₃lh₃).G‘, albo G=G₃.(G‘lh₃),

gdzie F‘, G¹ są funkcyami całkowitemi w zmiennej x, ale w ogólności nie potrzebują być takiemiż funkcyami w zmiennych pozostałych.

(&)

Przyjmijmy naprzód, że wszystkie spółczynniki przy potęgach x w G₃ są względem siebie pierwsze. Wtedy — według tw. I. art. poprzedzającego — muszą być w (b) funkcye Fjh₃, G‘lh₃ całkowitemi funkcyami a G₃ jest podzielnikiem funkcyj JP, G jako funkcyj wszystkich zmiennych.

Gdy przeciwnie spółczynniki w G₃ mają największy wspólny podzielnik y(xt, x₂,..., xp), tak, że G₃=y. T(x, x1} ..., xp) to wtedy mamy F=T.(yF‘lh₃), G=T.(yG‘lh₃), a że w T spółczynniki są już względem siebie pierwsze, więc y.F‘lh₃, y-G‘lh₃ są tu funkcyami całkowitemi we wszystkich zmiennych, a T(x, x1} x₂,..., xp) jest wspólnym podzielnikiem funkcyj F, G.

Stąd wynika:

I. Gdy w łańcuchówem dzieleniu (a) dojdziemy do dzielenia bez reszty, to licznik w dzielniku tego ostatniego dzielenia po wydaleniu wspólnego podzielnika jego spółczynników jest podzielnikiem danych funkcyj.

co nazna-

w, u^, u₂j ..., up n, dostaniemy:

Znaleziony podzielnik T niech będzie wymiaru k czymy pisząc Tk za T. Przyjmijmy, że F\ G posiadają prócz Tk jeszcze wspólny podzielnik T{ wymiaru Z> k. Wtedy — [art. 55.] — musiałoby Tk być podzielne przez Th Za pomocą podstawień (1) — art. 78. — możemy Tk i Tt przerobić na funkcye zmiennych a po uporządkowaniu ich podług potęg zmiennej

Ti—byi -(-... -j- b(j

Tk—akuk —8... —J— gs₀

(d)

ze spółczynnikami ok, ^ stałymi i różnymi od zera.¹)

"Wskutek li <il nie może być jednak Tk podzielne przez Tl w zmiennej u, a tern samem w zmiennych u, ui, u₂, ..., up. Założenie więc, że istnieje wspólny podzielnik T₍ jest fałszywe, a stąd

wynika :    •

największym wspólnym podziel-

II. Podzielnik T= Tk jest zarazem icspólnym podzielnikiem najwyższego iv y miar u czyli — jak mówimy nikiem.

Uwaga I. Lecz także i możliwość istnienia podzielnika T' różnego od T, a o tym samym wymiarze h, musi być wykluczoną. Przyjmijmy bowiem, że taki podzielnik T‘ oprócz T istnieje. Przerobiwszy T i T‘ na funkeye zmiennych. u, ut, ..., u możemy dostać T = Ą-    at₀, T¹ =t $kuk -f- — + P₀ ze stałymi

spółczynnikami a-k) różnymi od zera. Przytem T musiałoby być podzielne przez T‘, a to jest tylko tym sposobem możliwe, że : 3^ = ... = «₀: (3₀. Pierwszy z tych stosunków jest ilością stałą, a stąd wynika, że i wszystkie dalsze odpowiednie spółczynniki pozostają do siebie w stałym stosunku ~a.kj^k. Lecz przez to T i T¹ nie są od siebie istotnie różne, c. b. d. d.

Uwaga 2. Aby dostać największy wspólny podzielnik dwóch funkcyj odrzuciliśmy w ostatniem dzieleniu (a) z dzielnika wspólny podzielnik jego spółczynni-ków. Tę uwagę zużyć można w zastosowaniach, a to w tym celu, aby wszystkie dzielenia w łańcuchu (a) ile możności ułatwić. Można bowiem będzie w razie potrzeby dzielną poszczególnego dzielenia pomnożyć stosownie obranym czynnikiem, albo z dzielnika odrzucić wspólny podzielnik jego spółczynników.

Pd. 1. Szukając największego wspólnego podzielnika funkcyj :

F = z⁵ -4- (1 4- y²)zi 4- (xy 4- y 4- y²)z% 4- (x 4- xy 4- y³)z² 4- 2xy²z 4- x²y g = (x-\- y)z³ + [¹ + y² (x + y)}P + \xy (x + y) + xy²]z + x%y, uwaźmy je za funkeye samego z. Zamiast dzielić F przez G, możemy dzielić (x-\-y)³.F przez G [por. art. 55. Pd. 1.]. Z równania:

(x -j- yfF — (c₀z² + cvz -f- ej) G = d₀z² + dtz + d%, określającego to dzielenie, dostaniemy iloraz:

H=(x -j- y)²z² -j- y(x -f- y)z -f- [y(x -j- y)² — ¹] i resztę:

Gy = x²[(x + yf 4- y)z% -f x\y\x + y)² + y\z + x¹y[{x + y)² + y\

Z tej reszty możemy wydzielić czynnik x²\(x    y)² -j- y\ i dzielić dalej G

przez z² -f- y²z -)- xy. To dzielenie daje już resztę —0, a więc tu

T(x, y, z) = z²-f y²z + xy.

Pd. 2. Dane funkeye są:

F=xi Ą- (3y² -j- y) x³ -j- 3y²x² — x — y , G = x² yx² -j- y³x -f- «/⁴. Uważając je za funkeye samej zmiennej x i dzieląc F przez G dostajemy iloraz H= x -j- 3//² , a resztę G-y — — [y²x² -f- (1 -j- y⁴ -j- 3y⁵)x -f- (y -f- 3«/⁶)].

Dzieląc dalej y⁶.G przez —Gt dostajemy z równania:

y⁶G — (c₀x -f Cy) (—Gi) = d₀x + dy

iloraz Hx — c₀x -f- c{ = ?/³ . x — (1 -p 3 if°) i resztę :

+ d\ — [i/⁹ + O + %⁵)²] (* + y)-

Oddalając z tej reszty czynnik pierwszy i dzieląc dalej — Gi przez (x Ą-y), dostaniemy już resztę =0, a więc tu

81. Rugownik dwóch danych funkcyj. Znamię współmierności i nie współmiernośei. Z samego oznaczania największego wspólnego podzielnika i określenia jego wynika, że dwie fnnkcye F: 6r, które posiadają jako funkcye samego x największy wspólny podzielnik stopnia 7ć, posiadają zarazem i największy wspólny podzielnik całkowity wymierny we wszystkich zmiennych, a stopnia k w zmiennej x. Połóżmyż :

F=a(ixm-\-aixm-i + ... + «„, G=b₀xn Ą-b^xn~x + ...+kn , gdzie an a,, ..., b₀, b₁, ... są całkowitemi funkcyami pozostałych zmiennych xi, x₂, ..., xp i utwórzmy rngownik:

j    i @2 i ••• j

®mi Oj •

bn) 0, ..

B(F,Gr)= bbi

u0 1 u\ 1 u'2l •

0 F(x^, a?2j •••} ®p)

to możemy wnioskować [art. 60.]:

I. Gdy identycznie

JR{pc^, x₂,■..., Xp)=0, A₁=A₂ — ...=Ak^i=0, a Ą.=j=0, to funkcye F, G jako funkcye samego x posiadają największy wspólny podzielnik t=AkxkJr A,kxk-i-\-...-\-Ak<®. Gdy, odrzuciwszy z Ą., A‘k, ..., największy ich tuspólny czynnik, dostaniemy stąd

T{X) xux₂, ...,    + — +

to T jest największym wspólnym podzielnikiem funkcyj F, G jako fu n k-cyj iv s zy stkich zmi enny ch.

Ze względu na dalsze poszukiwania określimy współmiernośó funkcyj F, G jeszcze w inny sposób: Identyczny związek:

dd(ęx^j a?2 j **«j xfl—0

wskazuje, że funkcye F, G mają wspólny pierwiastek x na każdem dowolnem miejscu (a^, a?₂, ..., xp). Naodwrót, gdy F, G mają mieć wspólny pierwiastek # na dowolnem miejscu pozostałych zmiennych, to JR być musi identycznie zerem.

Ograniczmy teraz dowolność miejsc (xi:x2: ..., xp) w ten sposób, że bierzemy pod uwagę tylko te miejsca, które tworzą dowolnie małe continuum. Rugownik będzie w tern continuum =0, a skutkiem tego [art. 74., tw. II.] będzie identycznie zerem.

Stąd twierdzenia:

II.    Gdy dwie funkcye F, G mają pierwiastek x jednakowo się zmieniający z bieżącem miejscem (xi, x₂,..., xp), [mają wspólny pierwiastek x na dowolnem miejscu pozostałych zmiennych], albo — co dostatecznem jest — mają wspólny pierwiastek na wszystkich miejscach dowolnie małego continuum zmiennych xi, x2l ...,xp [n. p. na wszystkich miejscach otoczenia pewnego miejsca (xx, cc₂, ...,xp)J, to takie funkcye są współmierne.

III.    Gdy H(xiJx₂,..., xp) nie jest identycznie zerem, to F, G są względem siebie pierwsze.

Spółczynniki c₀, ct

Cn—1

Co się tyczy związków (m, n, a)=0, a=1, 2,..., [art. 57, B8], to zauważyć tu trzeba : Parą funkcyj w związku (m, n: 1)=0, która tu , gdy funkcye F, G pojmujemy jako współmierne funkcye samego x: niezawodnie istnieje, niecb będzie F‘n_i, 0‘

dm_i są jeszcze nieznane, ale mają się wyznaczyć z równań :

(A) aoc₀ +b₀d₀ =0, at c₀ +a₀c₁ -\-b^d₀ Ą-b^ =0,..., am cn~\ -\-bndm^ =0. Gdy 72=0, Ą =d₂ =.. .=Ą._i==0,    0, to w wyznaczniku

72=0 tych równań znikają wszystkie lsze, 2sie,..., (k—l)sze podwy-znaczniki, a z ktych podwyznaczników nie wszystkie są =0 (art. 59.). Uznajmy wtedy c₀, ci, ..., c*_i za wielkości zupełnie dowolne (a więc najlepiej za stałe dowolne), to dostaniemy:

71a-(-i

L/c

Ck= —

0

C/t+1

7In—1    7

-; «n =

tp ⁷    0 yj

L rn—1

71*, 71*4.1,..., 71'₀, L\,... są-to całkowite funkcye zmiennych a^,^,..., a;^, a liniowe jednorodne funkcye dowolnych stałych c₀, c1?..., c*_i. "Wspólny mianownik jest całkowitą wymierną funkcyą zmiennych xt, x₂, ...,xp.

Połóżmy:

albo wyraźnie :

-Tn-i=ę [c₀ as*-¹ +...+c*_i a”-*]+71*.a;w- k+¹ +... ■+ Ln-\, 0m—1 = H'₀ Xm~^ + Li lXm~% + •. • + 71'm _i,

w—1

gj.r‘n-i=rn-.i, xpF

to tej pary użyć można w związku (m, n, 1)=0, (gdy c₀r|zO) i z niej dalsze pary, (por. art. 59.) wynikną. Stąd twierdzenie:

05=1, 2, ..., k, jakie spełniają związki (m.n. ci) =0 są całkowitemi wymiernemi we wszystkich zmiennych.

IY. Fary funkcyj Fn

—a i

0m

—a j

Pd. 1. Funkcye F=x³-\-y²x²— y²x— 1, G — x²-\-yx— (y-)-l) jako funkcye samej zmiennej x mają identycznie:

1 y²    —y²

0 1 i y o i o o

B(F,G) =

-y² -i

-(y+i) o y — (y +1)

— 0, gdyż za dodaniem wyrazów wszystkich pionów do odpowiednich wyrazów pionu pierwsze-dostaniemy w nim

go

zera.

same

Utworzmyż:

1 y²

¹ y — 0+1) *+0 yx— (y+i)

*i=    1

<M

—y‘l

~{y +1) = —    + // +1 nie jest identycznie zerem.

—y-x—i

= (—y3Jr y-\-1)(»—1), to widocznie

T(x, y) = x — 1.

Pd. 2. Pnnkcye F— yx³ -j-cc² -|-y³a; -j- i/², G = x'i—x¹‘-\- y’lx — y2 jako funkcye samego x posiadają rugownik R (/,y) — 0*).

Dalej dostajemy:

^    I—l ^

fcO    co

y³

—y²

y²

1 -1

y²

O rH o

^    iH T—j

= 0, a

— y—1 nie jest identycznie zerem. Utwórzmyź:

V, o:² + y³a: + y2 1, —cc² -(- y²* — y²

— (y-f-1)^²—(y-j-l)y², to widocznie

T(x,y)=x²—y\

Pd. 3. Znaleźć największy wspólny podzielnik funkcyj F = x?> (y z)x^-\-+ s²*-(-2²(y-j-z),    — cc²-4- —y(y + «). [Odp. T(x,y,z)

*+y+4

Gdy dane funkcye jP, 6r nie posiadają wspólnego podzielnika, a uważamy je za funkcye samego x, to dadzą się do nich dobrać dwie funkcye l¹ ‘n_\, Q)lm—\ stopni w—1, w—1 w zmiennej x, takie że zachodzi identycznie związek FF‘n^i-{-G i = 1 [art. 58.] Z niego — jeżeli c₀,cj?... są jak przody spółczynnikami funkcyi .. spółczynnikami funkcyi    — dostaniemy na

oznaczenie tych spółczynników wszystkie równania (J.) [art. 57.], z wyjątkiem ostatniego, które teraz zastąpić trzeba przez równanie

"b "bn dtn—1 ⁼⁼ 1»

Każde cs, ds tak obliczone posiadać będzie jako mianownik R x.₂, ...xp) zj=0. Ich liczniki będą wymiernemi całkowitemi funk-cyami zmiennych x1} x₂,..., xp. Połóżmyż:

r<

n—1 j

r,

W—1 }

to mieć także będziemy:

jP-Zój—i-j- ćr &m-i = R {%\ ,^2, .•. rp) 5 a    twierdzenie:

*) Wyjmując bowiem w R(f,g) z przedostatniego pionu y² i takiż czynnik z pionu ostatniego, a następnie odejmując wyrazy pionu ostatniego od pionu czwartego dostaniemy R(f,y) w takiej formie, w której po wyłączeniu//² z pionu czwartego mamy pion 2fed i 4ty identyczne.

Teorya funkcyj.

14

¹

Przerobienia takiego tylko wtedy użyć trzeba, gdy Tk Tt w zmiennych x, Xy, x.₂, ..., xp nie mają formy (d).

V. Gdy funiccye F₁ G nie są współmierne, to istnieje para funkcyj @m-1 całkowitych wymiernych we wszystkich zmiennych o tej własności, że FFn_\ -\-G0m-\ równa si§ rugownikowi tych funkcyj.

n—1 i

82. Przywiedlność lub nieprzywiedlność funkcyi całkowitej JF(x₉x±,...,0^), lub równania F=0. Całkowitą wymierną funkcyę F(x, xi, ..., Xp), którą można przedstawić iloczynem kilku całko wi-tycli wymiernych, funkcyj tych samych zmiennych nazywamy przywiedlną. Grdy takiej formy nadać jej nie można, to ją nazywamy nieprzywiedlną.

O funkcyach przywiedlnych da się udowodnić.

I. Funkcyę przywiedlną można tylko w jeden sposób przedstawić iloczynem kilku funkcyj nieprzywiedlnych.

Przyjmijmy bowiem, że równocześnie jest:

F—Fa F F F=F ‘ F ' F ¹

J- M i . J. ₂...Z ^ , J. —J. l . -C ₂ •••-£>?

Fi ', Ff, ... są nieprzywiedlnemi funkcyami. Z równań

(a)

gdzie FUF.

(a) wynika, że iloczyn (Fi. F₂... F^) jest podzielny przez Ff, a że funkcye Fi1 F₂, ... F^ Ff są nieprzywiedlne, to to jest tym sposobem możliwe, że jedna z funkcyj JF1? F₂₁ ..., F^ jest identyczną z Ff. Przyjmijmyż, że FX^F\. Oddalając te identyczne czynniki, wnioskujemy dalej , że iloczyn (F₂.F₃... Ff) jest podzielny przez F‘₂. Musi więc być znowu jedna z funkcyj F₂₇ Fs, ... Fp identyczną z F₂ n. p. F₂ = F₂‘. Tak postępując dalej otrzymamy Fi=FijF₂ =F₂, ..., F^Fp i y=v c. b. d. d.

Przyjmijmy teraz, że F stopnia m w zmiennej a; jest funkcyą nieprzywiedlną i posiada z drugą funkcyą 0{x₇ xu..., xf) — stopnia    w zmiennej x — jeden wspólny pierwiastek x.

[Równania F—O, 0=0 mają na bieźącem miejscu (xi7 x₂₇ ... xp) ten sam pierwiastek x.].

Funkcye F, 0 posiadają zatem jako funkcye samego x wspólny podzielnik T, który, [art. 81.], ma być wymiernym całkowitym we wszystkich zmiennych. Jego stopień w x nie może być <i.m, gdyż F jest funkcyą nieprzywiedlną. Może więc być jedynie T^F, a stąd wynika, że funkcyę nieprzywiedlną można także tak określić :

II. Funkcyą jest nieprzywiedlną, gdy każda inna funkcyą, posiadając z nią jeden pierwiastek wspólny x, posiada tern samem wszystkie jej inne pierwiastki x=x\x¹¹, ...

Przyjmijmy, że nieprzywiedlną funkcyą F, jako funkcyą samego x posiada powtarzający się pierwiastek x zależny od bieżącego miejsca (xi, x₂₇ ..., xp).

Na dowolnem miejscu (xt1 x₂,... xp) zajść muszą wtedy równocześnie równania:

dF(x, x₁₇..., xv)

=0.

F{x, xi,..., $p)=0j

dF

Funkcye jP, ~ posiadaćby zatem musiały wspólny podzielnik

O 00

całkowity, wymierny we wszystkich, zmiennych, a F nie byłaby funkcyą nieprzywiedlną, jak założono. Stąd wynika:

III. Nieprzywiedlną funkcya F nie posiada nigdy wielokrotnych pierwiastków w którejkolwiek zmiennej na bieżącem miejscu pozostałych zmiennych.

Nazwę przywiedlności lub nieprzywiedlności przenosimy także na równanie algebraiczne F(x. xi7.... xp) =0.

83. Wspólne miejsca zerowe dwóch funkcyj i zachowanie się ich w otoczeniu tych miejsc. Widzieliśmy, że współmierne funkcye (p-fl) zmiennych posiadają wspólny pierwiastek x na bieżącem miejscu (a^, x2y.., xp), [art. 81.], a więc wspólne miejsca zerowe z zupełnie dowolnym systemem wartości p zmiennych. Zbadajmy teraz czy takie funkcye, a także i funkcye nie współmierne nie posiadają jeszcze wspólnych miejsc zerowych innego rodzaju.

1°. Dane funkcye F₁ 6r, są względem siebie

pierwsze.

Jako funkcye samej zmiennej x mają rugownik F(xi,x₂,..., xp) nie będący identycznie zerem. Ale ten rugownik, jako funkcya całkowita p zmiennych posiada przecież swoje miejsca zerowe, i to w skończonej liczbie, gdy p=1, a w nieskończonej, [art. 71.],

gdy p> 1.

Gdy jednem takiem miejscem zerowem jest (xix₂\ ...,xp) to funkcye F(x, xy\x₂\ ..., x‘p), G (x, xil, x₂ ',••*, xp*) jednej już tylko zmiennej x posiadają przynajmniej jeden wspólny pierwiastek X¹. Stąd wynika, że funkcye F, G jako funkcye wszystkich zmiennych posiadają koniecznie wspólne miejsca zerowe (xl,xil, x₂‘,... xp), a spół-rzędne xi‘,x₂‘, ...,xp tych miejsc określa równanie R{xv x₂, ...,xp)=0.

II⁰. GdyF,6r posiadają wspólny podzielnik T, to wszystkie miejsca dające T— 0 są już miejscami zerowemi tych funkcyj. Do nich jednak dołączają się jeszcze inne miejsca zerowe, jeżeli przypadkowo nie jest T identyczne z G lub z F, albo jeżeli w równaniach :

F=T0

G=TT

n—k

m—k i

funkcya $m-k jest funkcyą tych zmiennych, których właśnie w T

n—k

brakuje. Za wyłączeniem tych. dwóch przypadków będą funkcye — jak w przypadku I. funkcye F, G — posiadały wspólne miejsca zerowe. Stąd twierdzenie:

I. Jakiekolwiek dwie funkcye całkowite wymierne tych samych zmiennych posiadają w nieograniczonym obszarze swych zmiennych zawsze wspólne miejsca zerowe.

Pd. 1. Funkcye F,G w Pd. 3. [art. 81.] mają przede wszystkiem wspólne miejsca zerowe x-\-y-\-z — 0. Po wydaleniu z tych funkcyj największego wspólnego podzielnika dostaniemy <t>₂ — a^ + 2², i\ = x -j- y; te funkcye są już względem siebie pierwsze, a ich wspólne miejsca zerowe będą:

(«)

x = + zi, y = + zi z dowolnem z.

Wszystkie więc miejsca zerowe funkcyj F, G są: x-\-z — Oz dołączeniem

miejsc (a).

Pd. 2. Okazać, że spółrzędne y wspólnych miejsc zerowych funkcyj F = X¹yxy², G = y?’x- -f- x—1 względem siebie pierwszych są pierwiastkami równania y¹⁰—y⁶-\-y⁵    V ⁼

Niech F: G będą funkcyami niewspółmiernemi a jednem z ich wspólnych miejsc zerowych niech będzie (x,x₁,...,xp'). Przyjmijmy, że wszystkie miejsca zerowe funkcyi F (lub G) leżące w otoczeniu tego miejsca są zarazem miejscami zerowemi funkcyi G (lub F).

[art. 81., tw. II.],

Spółrzędne xi,xi, ...,xp, jakich przy uczynionem założeniu użyć mamy w rozważanych miejscach zerowych funkcyi F (lub G) wypełnić mają całe bardzo małe continuum (xx, x₂,..., xp). "W" niem rugownik JR (F, ćr)=0, jest więc identycznie zerem, a wskutek tego funkcye F,G nie są niewspółmierne, jak założono. Stąd wynika:

II. Gdy (x,xi,x₂xp) jest jednem ze icspólnych miejsc zerowych niewspółmiernych funkcyj F, G, to iv otoczeniu tego miejsca znajdują się zawsze takie miejsca, na których, gdy F= 0, to G jest =f=0, a gdy G = 0, to F jest rjrO.

xn)

84. Funkcya ułamkowa wielu zmiennych. Jej wartości skończone i nieskończone. Jej zachowanie się w miejscach wspólnych zerowych licznika i mianownika. G-dy dane są dwie funkcye F, G całkowite wymierne tych samych zmiennych xi, x₂₁ ..., xn, to ułamek FjG zmieniający swą wartość z bieżącem miejscem (xi,x2 nazwaliśmy, [art. 71.], wymierną ułamkową funkcyą

U(X] )X₂y..:X„)

_F (x^, x₂, • • •, xj)

G(x i, x₂,..., xrj)

Jej własnościami — przyjmując odrazu, że F, G nie są współmierne — zajmiemy się tu systematycznie.

Na każdem miejscu, na którem mianownik ćrjestrf=0, ma U skończoną oznaczoną i tylko jedną wartość; jest więc — jak mówimy — jednoznaczną funkcyą. Na miejscach, na których ćr=0, a licznik F jest =fzO, jest TJ= co. Dowolną wartość c przybiera funkcya U na nieskończenie wielu miejscach; równanie bowiem TJ—c można, w razie c=0 zamienić na F— 0, a w razie c4=0, a więc i G^zO zamienić na F—Gc=0, a tak równanie F=0, jak F—Gc=0 ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Funkcye F, G — choć nie są współmierne — mają przecież swoje wspólne miejsca zerowe, a zachowanie się funkcyi U na takich miejscach leżących wskończoności iw ich otoczeniu trzeba osobno zbadać.

Biorąc jedno wspólne miejsce zerowe (a) = (ai,a₂,..., an) pod uwagę zajmijmy się jego otoczeniem, wydzielając początkowo samo to miejsce z naszych rozważań.

Podług tw. II. art. poprzedzającego znajdują się w otoczeniu miejsca (a) i takie, na których F= 0, a (r4=0 jest, i takie, na których F^zO, a G=0 jest. W tern otoczeniu przyjmuje więc funkcya TJ i wartość =0 i wartość = oo. Grdy dalej c jest dowolną , skończoną i różną od zera wartością, a napiszemy:

U=£—c+c=

to (a) jest znowu miejscem na którem F—Gc—0, a w jego otoczeniu znajdą się znowu miejsca, na których jest F—Gc=0, a ćrzpO; na takich miejscach będzie widocznie U—c, a więc:

I. W otoczeniu wspólnego miejsca zerowego licznika i mianownika przybiera funkcya U każdą dowolną wartość c bez wyłączenia wartości c=0 i c=oo .

F-Gc ,

Aby na samem miejscu (a) zbadać funkcyę U, przeprowadźmy — kładąc xs=as+hs, s = l, 2,..., n — jej licznik i mianownik do otoczenia miejsca (a). Wtedy mieć będziemy, [por. (B) art. 73.], U=(Vfl+ F^i-p...) I(WV+    a F«, Wa są-to jednorodne

funkcye stopnia a dowolnych dodatków hs. Połóżmy 1is=ęts, s = l

TT    V' P+ę I⁷⁷ n«+l + —

gdzie teraz V‘a, Wa‘ są jednorodnemi funkcyami zmiennych tx,t₂, ..., tn. Dla ę=0 dostaniemy stąd wartość funkcyi na miejscu (a). W}rrazi się ona granicą:

2,..., n, to dostaniemy:

Gdy [i <Cv, to lim ęt* v=cc , ale równocześnie w skończonym 0 = 0

obszarze (ti, t₂, tn) znajdziemy między innemi i miejsca dające jWp —Oj a U(„) jest nieoznaczonością: oo.O. Gdy    to lim

Q = 0

a więc Z7₍₀) będzie i tu nieoznaczonością : 0. oo.

Ql*-V=0] ale w obszarze skończonym , t₂, tn) zawierają się miejsca dające F^'/ Wv‘=oo W razie    mamy U^)— F^'/ W/. Tu — gdy napiszemy wyraźnie

yt!=‘2Axt^ntiH₂K..tnxn₁    t/d₂^...tjn — może zajść

przypadek, że :

(«)

d-Z₁Z₂...Zn • BZ₂...Zn    ^

przy wszelkich zestawieniach znaczków i.,, ż₂,    , a więc każde

dwa odpowiednie spółczynniki licznika i mianownika zostają w tym samym stosunku. Gdy to zachodzi, to mamy .U^—k, co znaczy, że funkcya U ma na miejscu (a) oznaczoną wartość. Jeżeli przeciwnie równania (a) się nie sprawdzają, to U(a) przedstawia wszystkie wartości funkcyi Y^jW^ w skończonym obszarze (tilt2y.. £„), a więc funkcya U na miejscu (a) jest nieoznaczoną. Z tych uwag wynika.

II.    Wyjąwszy jednego tylko bardzo szczególnego przypadku jest funkcya U i na samem miejscu (a) nieoznaczoną.

Przyjmijmy, że funkcya Fj G w jakiemkolwiek continuum swych zmiennych jest statecznie zerem. W tern continuum jest więc statecznie F— 0, a tern samem jest F= 0 identycznie t. j. w całym nieograniczonym obszarze swoich zmiennych [art. 74. tw.

II.]. Z tego powodu i sama funkcya F\G będzie identycznie zerem.

Przyjmijmy teraz, że dwie dane, ułamkowe funkcye wykazują te same wartości na wszystkich miejscach pewnego continuum. W tern całem continuum mamy wtedy statecznie

aa

U(a)= tim Q^—v

9 = O

V1 y /1

' W‘j

F_ _ Fp_FG G Gi

a więc statecznie jest tam FGi—FiG^0. Ta równość jest więc identycznością i pociąga za sobą identyczność F/G=Fi IGi. To znaczy:

III.    Dwie funkcye ułamkowe wykazujące te same wartości na każdem miejscu pewnego co nt inuum są identyczne. Lecz już i obszar opisany w tw. Ila. — art. 74. — wystarcza, aby taka identyczność istniała.

85. Ciągłość i pochodne funkcyi U. Po wyłączeniu miejsc nieskończonościowych i miejsc nieoznaczoności funkcyi, weźmy z pozostałych, jedno miejsce (xi,xi:..., #«), leżące w skończoności. Na niem jest licznik i mianownik skończonym, a gdy hi, ń₂,...,hn są — jak wyżej — dowolne dodatki, to

U(xi -j-Aj,    xn -\-lin) U(pC] , #25 •••5 xn) =

F+AF+... F G[AF —F[AG+...] T G+AG+... G~ G[G+AG f...]    ' 6CZ

(a) | G (AF+ ...)—F(AG+...) | < | G |. | AF+...\ + \ F\. | AG+... |

(art. 20). Obierzmy dowolnie małe dodatnie ilości d., i załóżmy:

(/?)

K\ < Ag, 5=1, 2, 3,..., n to — gdy ó będzie nową, dowolnie małą dodatnią ilością — możli-wem będzie ds tak wybrać, że dla wszelkich hs wybranych podług (/?) spełni się nierówność:

G . G+AG + ...

<d.

\G{AF+...) — F(AG+...)

\G\.\G + AG + ...\

G\.\AF+...\ + \F\.\AG+...\

Lecz, że lewa strona tej nierówności jest [ U(xi-\-hi, ...,xn+hn)— — U(#j #₂, ..., xn) |, więc mamy :

(y)

| U d~ ^0, •. •, Xn -j- ńji)    U (X^ , 3 2, ■ • •, Xn) |    Ó.

Tę możliwość równoczesnego spełnienia się nierówności (/?), (y) określamy, mówiąc, że funkcya U jest ciągłą na wszystkich miejscach (x₁ ,x₂,..., x„), na których jest skończoną i oznaczoną.

Funkcję U uważając za funkcyę jednej tylko zmiennej, n. p. zmiennej xv, możemy — jak w dziedzinie funkcyj jednej zmiennej [art. 62.] — tworzyć jej pochodne dowolnego rzędu. Te pochodne nazywamy tu cząstkowemi. Pochodne licznika i mianownika, jakie przytem wejdą, będą oczywiście również cząstkowemi. Na wzór funkcyi ułamkowej jednej zmiennej mieć więc będziemy przede-wszystkiem:

(1)

ku

a z tego wnosimy, że taka pochodna jest skończoną i oznaczoną (istnieje, jak się wyrażają krócej) na wszystkich miejscach, w których sama funkcya U jest skończoną i oznaczoną. Pochodna (1) jest znowu ułamkową; z niej możemy dalej tworzyć Avyż-

ó²    d³    da

sze cząstkowe pochodne -—^ L —^ U,... Z pochodnej —-U tworzyć dalej

oxp    óxp    óxva

db da

możemy pochodne -r s

J r    dx^ dxv»

U,    [i

v, 6 = 1,2,8,.., Istnieją zatem (jak łatwo

już wywnioskować) pochodne:

(X, ĘS, p

_____jj

óxla dx./ dxn^

(2)

dowolnego rzędu (a-f- P -j- y -j- ... + p).

W pochodną taką wchodzą równocześnie cząstkowe pochodne Fu,p,p, Ga, p,p licznika i mianownika (Z'T, ćr), a że w nich porządek tworzenia pochodnych jest dowolny [art. 72.] więc i do funkcyi U to samo odnieść trzeba.

Mianownikiem pochodnej (2) — jeżeli jej postać ułamkowa skrócić się nie daje — jest mianownik G z wykładnikiem    a stąd wnosimy, że po-

chodne cząstkowe wszelkich rzędów funkcyi U istnieją na tych miejscach, na których sama funkcya U jest skończoną i oznaczoną.

86. O średnich wartościach model, [mi, m₂, ...]. Niech funkcya f(xi,x₂,...,xn) określa się sumą:

/ (X^ , X₂, ..., Xn) = 2 Aa, cc₂... an K‘ Xa~...XnKn ,

(1)

są stałymi spółczynnikami, a sumowanie odnosi

w której A

się do całkowitych wartości alt a2: ..., a„ zawartych między granicami :

at a₂... an

—PlSalS4l1 -P₂<« 2^22ł-ł — Pn<an<Sn; ps, qs są całkowite (dodatnie) skończone liczby.

Gdy niektóre lub wszystkie ps^> 0 są, to funkcya /'pozostaje skończoną na wszystkich miejscach (xi, x₂₎..., xn) leżących w skoń-czoności i o wszystkich spółrzędnych xs :4= 0.

W razie pi =p₂ = ...=pw=0 jest f funkcyą całkowitą wymierną i jest również w tym obszarze niezawodnie skończona.

Obierzmy n liczb dodatnich, całkowitych

m₂, m₃,..., mn

w,

i oznaczmy pierwiastek równania —1=0 przez ss, s=1, 2

ms

tO £s°, fi,¹, Es², ...,£sms

będą już wszystkimi pierwiastkami tego równania. Obierzmy dalej miejsce (xil x₂,..., xn) o wszystkich spółrzędnych różnych od zera, to z niego utworzyć możemy mi.m₂ ... mn miejsc:

(2)

( Xy h, X₂ £₂*², ..., Xn Erf n)

ki — 0, 1,...,    1, fc₂=0, 1,..., m.₂—1,..., kn=0,1,..., mn — 1.

Na każdem z tych miejsc ma f skończoną i oznaczoną wartość, a naszem zadaniem jest obliczyć sumę:

(3)

...kn

(4)

(k₁,...,kn')

tych wartości Sumowanie odnosi się tu do wszystkich [mi. m₂ ...wn] zestawień wykładników , Jc₂,..., Tcn podbierających równe lub różne

wartości wyjęte z szeregów (3). Aby tę sumę obliczyć, zauważmy j.ecl e n dodaj nik A czątek sumie:

.xiceKX₂cc'-... xncen zawarty w /. Da on po-

(5)

(tj,.... kn)

która jest niezawodnie częścią składową sumy (4). W sumie zawierają się wyrazy z czynnikiem £₁°⁰'*, wyrazy z czynnikiem £j lob..., wyrazy z czynnikiem :*K, a gdy to uwidocznimy, mieć będziemy:

(^i i

£„A “w).

⁰⁵²• £3 *³

(^•j, ..., kn)

Po prawej stronie odnosi się sumowanie znowu do wszelkich [m.₂.mz.....m„] zestawień wykładników &₂,&₃, ..., kn wyjętych z szeregów (3). Lecz £₄ °-<*»-ł-£₁1,ai +    ¹)“‘=s«₁, jest =0, gdy a₁ nie

jest podzielne przez m1} a więc w tym razie jest cała suma (5) zerem. Gdy przeciwnie 0^ = 0 (mod. m₁), to sKi ma wartość m₁

[art. 25.] i wtedy suma (6) ma wartość m₁^2j (£₂*i0!*.£₃ł»aa £/»“»).

(Jc₂,...,kn)

Wyraz ten będzie, [podobnie jak suma (6)], zerem, gdy a₂ nie jest podzielne przez m₂, będzie zaś miał wartość

£nknCin)

mi m₂ (£₃*3 a\ £₄*»

(£3ł

gdy gj₂=0 (mod. m₂). Rozumując w ten sposób dalej, dojdziemy do wniosku, że suma (5)

Un

. x₁(ei x₂a*... xnctnJ gdy wszystkie

1° jest zerem, gdy nie wszystkie z wykładników a₁,a2 wyjętego dodajnika były odpowiednio podzielne przez mi, w₂, ..., mn, 2° ma wartość ml.m₂...mn A wykładniki a₁,a₂,...,a„ tego dodajnika były odpowiednio wielokrotnościami obranych liczb m₁,m₂, ..., m„.[as=0 do tych liczb także się zaliczają].

Niech więc f(x₁, x₂, ..., xn; mi, m₂,..., mn) przedstawia sumę takich dodajników funkcyi f\ w których wykładniki a1} a2}a„ są odpowiednio podzielne przez mum₂,...,mn i niech iloczyn m₁m₂...m„ —M, to mieć będziemy:

[^>-„ *„... *J / M=f(xx ,x₂,...,xn] mi, w₂,..., mn),

gdzie iloraz po lewej stronie jest tu, [por. art. 69.], średnio - arytmetyczną M wartości funkcyi / obliczonych na miejscach (2)» Nazwiemy ją średnią arytmetyczną wartości funkcyi f (modd. ą, m₂,    ; [czytaj: według modułów m1? m₂, ..., mj\. Nazwijmy dalej

m1? m₂,..., funkcyą wydzieloną z funkcyi /'według to relacyę (7) wysłowimy krótko w ten

/ (¹^1 > ¹^2 ? •

modułów m1? m₂, sposób :

m„) równa się

I. Średnia arytmetyczna funkcyi {modd. m wydzielonej funkcyi icedług tych modułów.

Gdy ms obierzemy tak duże, że równocześnie jest msj>pst ms->qs, s=l, 2, ..., n: a / ma wolny wyraz A, to z relacyi (7) otrzymamy:

(8)

II. Przy dostatecznie dużych modułach ms jest średnia arytmetyczna funkcyi f stałą ilością — A w całym nieograniczonym obszarze (xi, x₂,..., x„). Z relacyi (8) dostajemy związek:

(9)

{2\<Pk„k„^¹ n\}IM>A.

Nieograniczony obszar n zmiennych xi,x₂,...,xn można — jak wiadomo — przedstawić za pomocą n nieograniczonych płaszczyzn (a^), (x₂),..., (xn), [art. 35]. Połóżmyż \x»\—rt i na każdej z płaszczyzn (Xg) zakreślmy z punktu xs=0, jako środka, koło (rs), wpiszmy dalej w to koło foremny ms-hok o jednym wierzchołku w dowolnym punkcie xs na obwodzie tego koła, to każde miejsce (2) będzie takim zbiorem n wierzchołków tych wieloboków, że w nim żadne dwa wierzchołki do jednego wieloboku nie należą. Na wszystkich miejscach (xi} x₂,..., xn), w których | xs j =r,, jest f skończoną, a na jednem przynajmniej z tych miejsc n. p. na miejscu (£i> £2? in) posiędzie |/'[ największą wartość | /¹(|₁, |₂,..., |») \ = G¹).

w relacyę (9)

Zatrzymaj myż założenia: ms >• ps, ms "> qs wstawmy za każde | ą>kvk₂kn | największą wartość G, to dostaniemy związek:

(10)

6r > | A |, a to zn.

III. Gdy na miejscach (xit x2: xn) o spółrzędnych xs leżących na kołach (rs) ma funkcya f największą bezwzględną wartość G, to ta bezwzględna wartość nie jest nigdy mniejszą od bezwzględnej wartości wolnego wyrazu funkcyi.

Przyjmijmy, że funkcya f ma między innymi dodajnik postaci Aa,^n.tffxiax₂ P...xnQ. Funkcya xi~a x.₂~P... xn~t/‘ ma wtedy wolny wyraz AUj^.^e i jest funkcyą o tej samej budowie , co f. Do niej relacya (10) również odnosić się będzie, a więc: n a j w. wart. \xl~cex₂~^... xn-Q |. j f(xu x₂,x„) | będzie | Aaj ^

gdy

\xi\ = ril \x₂ |=r₂, \xn \ == rn. Ta największa wartość będzie tu r\~a'r%Gr, a stąd wyniknie:

(U)

rxa r^...rnQ; to znaczy:

IY. Największa bezwzględna wartość funkcyi f na miejscach

Gr\> | Aa,ę,

(xi,x₂,xn) o spólrzędnych leżących na obwodach kół (rs) nie jest nigdy mniejszą od bezwzględnej wartości któregokolwiek z jej dodajników dla

Gdy r jest najmniejszą z wartości |/‘| na tych miejscach, to równocześnie jest:

CZĘSO iii

O FUNKCYACH SYMETRYCZNYCH I WIELOPOSTACIOWYCH;

O OBROTACH WIELOŚCIANÓW UMIAROWYCH I ICH FUNKCYACH.

ROZDZIAŁ VII.

O funkcyach symetrycznych, grupach i o funkcyach wielopostaciowych.

87. Określenie funkeyi symetrycznej i grupy symetrycznej. Elementarne funkcye symetryczne. Z funkcyj wymiernych całkowitych wielu zmiennych mają doniosłe, tak teoretyczne, jak praktyczne znaczenie funkcye wymierne symetryczne. Są-to funkcye JR(xi, x₂, ...,xn), które postaci swej nie zmieniają, gdy w nich zmienne xt, x₂, ...,xn dowolnie uporządkujemy. (Wliczając i porządek xi, x2J ..., xn, mamy takich porządków (permutacyj) n\). Takiemi funkcyami są n. p. x₁²+x₂²-j-x₃²-{-x₁+x₂ -{-x₃, (x₁+x₂)/x₁x₂ i t. p. Lecz w teoryi ograniczymy się jedynie do funkcyj całkowitych.

[a]

Funkcya symetryczna (całkowita) pozostając tej samej formy za zmianą porządku x1} x₂, ..., xn na porządek xkl, xki, ..., xkn przedstawia mimo tej zmiany na bieżącem miejscu (xu x₂₎..., xn) tę samą wartość. Stąd nasuwa się bezpośrednio pytanie, czy naodwrót funk-cya wymierna całkowita nie zmieniająca swej wartości na dowol-nem miejscu za zmianą porządku x₁, x₂, ..., x„ na dowolny inny jest symetryczną? Aby na to odpowiedzieć, przyjmijmy, że funkcya całkowita wymierna f(xt, x₂, ..., x„) ma właśnie własność: ffa 1? *®2? ^n)—f{Xkll Xk^j ..., Xkn).

Połóżmy f(xki, xkt, ..., xkn)=(p(xl, x₂,..., xn), to funkcya

/ (' X, , X₂ , ..., Xn)    ^(^i j %2 ? '''? ^n) jest =0 na wszystkich miejscach nieograniczonego obszaru (xix₂...xn) i jest według tw. II. art. 74. identycznem zerem. Stąd wynika, że równanie (a) jest identycznością, a to znaczy:

I. Furikcya wymierna całkowita n zmiennych xx, x₂, ..., xn, ivyka-zująca na bieżącem miejscu ty samą wartość, choć się jej zmienne xi, x₂₁ ..., xn zastąpi dowolną ich permutacyą, jest symetryczną.

Zmienienie porządku xi, #«,, ..., xn na Xk

Xk₂, .... xkn nazywamy podstawieniem albo substytucyą i znaczymy ją przez:

xn \ XkJ

X\ ? ^2

Xkt j Xk

Taki symbol (substytucyę) naznaczamy jedną literą n. p. s. Litera s z różnemi znaczkami, jak sa, sp oznacza różne substytu-cye. Wszystkie substytucyę w ilości n\ nazywamy symetryczną grupą substytucyj. Znaczyć ją będziemy przez:

(s)=(Sj , S₂, S3l •••? Sn\)•

i substytucyą ^

szająca wcale porządku zmiennych (subst. identyczna). Znaczą ją pisząc s₁ = l.

Z tej definicyi wynika, że funkcyi symetrycznej nie zmienia, (nie alteruje) symetryczna grupa podstawień. W grupie takiej znajdują się podstawienia, które porządkują na wszystkie możliwe sposoby t którychkolwiek zmiennych n. p. zmienne xi, x₂, xt , a nie naruszają wcale pozostałych zmiennych xt+i, ..., xn. Z tego wynika :

W. niej zawiera się i

6*!, nie naru-

II. Funkcya symetryczna w n zmiennych jest symetryczną w t którychkolwiek swych zmiennych.

Grdy dana funkcya symetryczna F posiada dodajnik:

/y* CC /y» 3    /y* G

yy • %axa • ł • • • w vi 1

to musi jeszcze posiadać dodajniki, które z niego powstają przez zmienienie porządku aą, a?₂, ..., xn według wszystkich n\ podstawień grupy (s). Zawiera więc funkcya F niezawodnie sumę:

G.2xia.xJ... xna.

w której znaczek (s) wskazuje właśnie zastosowanie całej grupy symetrycznej , a która jest jednorodną funkcyą w swoich zmiennych. Grdy ta sama nie wyczerpuje jeszcze wszystkich dodajników funkcyi F, to znajdziemy w niej jeszcze inną funkcyę jednorodną

C‘Sxia' .x./'... xna‘, i t. d. Z tego wynika, że dość w dalszym ciągu badać tylko funkcye symetryczne jednorodne.

Funkcye symetryczne:

S(x^) — ci,    . x^)—c₂, S(x^.:r₂• ^3)—C3    3/^ • ... Xn—,

a więc: sumę n zmiennych, sumę wszystkich iloczynów co dwóch zmiennych, sumę wszystkich iloczynów co 3 zmiennych, .... i wreszcie iloczyn wszystkich zmiennych nazywamy elementarnemi funkcyami symetrycznemi.

Zmienne x₁, x₂, ..., xn zwane tu zwykle elementami, są pierwiastkami równania:

f(x) = Xn — Ci Xn-¹ + c₂ Xn~ ² —... + Cn=0 , którego spółczynniki są właśnie elementarnemi funkcyami symetrycznemi [art. 50.J.

Pierwiastki pojmować trzeba, jako między sobą różne, a w szczególnych przypadkach powtarzające się pierwiastki pood-róźniaó od siebie różnymi znakami, a to dlatego, aby i w tym razie mieć n elementów i nie naruszyć symetryczności danych funkcyj, jak to n. p. daje się sprawdzić na funkcyi (a² + a² + &² + c²). Jest ona — gdy pierwszy element a oznaczymy przez a1? a drugi przez a₂ — symetryczną w 4 elementach ai: «₂, b, c, ale przestaje być symetryczną w 3 elementach a, b, c.

88. Zasadnicze twierdzenie o funkcyach symetrycznych. Po

tych uwagach i definicyach przejdźmy do dowodu zasadniczego twierdzenia w teoryi funkcyj symetrycznych, a mianowicie:

I. Każda symetryczna funkcya n zmiennych jest wymierną całkowitą funkcyą n elementarnych, symetrycznych funkcyj clf c₂, ..., cn.

Tego twierdzenia ogólnego dowiedziemy stopniowo, okazując naprzód, że każda funkcya symetryczna postaci:

v całkowite, dodatnie,

O -rp V 1 _ rp V ,1 _ rp V 1 _    . f rp V-Qff rp lA

Op--I tA/9 I łX/q [    ••• | w72. ~~~~    J

jest całkowitą wymierną funkcyą elementarnych funkcyj symetrycznych.

Równanie f(x)=0, a tern samem i równanie xr ./'(#)=0, gdzie r całkowite dodatnie zakładamy, spełnia się dla x=xi, x₂₎ ..., xn. To mając na względzie dostaniemy związki:

xi

n+r

—c₁x₁n+r~¹+c₂x₁n+r-²—...+ cnx₁r=0 X₂n+r—C₁X₂n+r-¹ + c₂x₂n+r~²—... + CnX₂r=0

xnn+r—cixnn+r~i + c₂xnn+r-²—...± CnXnr=0.

Po icli dodaniu otrzymamy relacye:

U)

C\ Sn-\-r—1 "ł⁻^₂£«+)—2    «».²P Cn Srz=0, T=0, 1, 2, 3, ....

Stąd, gdy r=0, możliwem jest przedewszystkiem sn przedstawić wymiernie całkowicie przez sw_i, sn_₂,..., s₀ =n i przez c1? c₂, c„, a na podstawie tego — gdy r>0 — można sB+ił s„₊₂, sw+3, ... wyrazić w wymiernych całkowitych funkcyach ilości:

Sn-n Sn—2, • ••> Si: s₀=n i c1? c₂, ..., cn.

Zbadajmyź, czy dalej możliwem będzie s1; s₂, ..., sn_i wyrazić wymiernie całkowicie przez cu c₂, ...,    ? W tym celu zauważmy,

f(x)

że: f‘(x)

/y²_nr    nr_/y²

łA/    «A/-j    %AJ    lA/p

i że:

(1)

/(²)

X—Xi

... + (xzn~i—+    ...=Fc„_i)

[art. 50., str. 130.], 2=1, 2, ..., 7?.

Po dodaniu tych ilorazów, dostaniemy identyczne równanie: f,(x)=n.xn~i—(n—1) ci xn~² + (n—2) c₂a;n_3—...=Fe„_i =w.#n-¹-f(s₁ —wc₁)a;”-² + (s₂—+wc₂)icw_3+...

¹

Funkcya A ². x₂ ma na miejscach \xf = rt, | #21 ~r%, I xz1=r3 statecznie tę samą bezwzględną wartość \ A \ rf.r₂ \ r₃.

²

Te formy nazywają formami Newtona; por. „Arithmetica Universalis sita de compositione et resolutione arithmetica liber“ (w ustępie: de transmutationibus aeąuationum) str. 192. (1732), chociaż już Girard (1629) umiał formami (2) wyrażać ,9,, s₂, s₃, s₄ — por. M. Ca n t or: Yorlesungen ii. Geschichte d. Mathem.

T. 2. str. 719.

... “ł” (^n—1    Sn—2 "h C₂ —3 ... - |-W.Cn    ,

z którego wynika :

(B)

(2)

s₀—w=O, Sj— ct=0, s₂—ćąSj +2c₂==0, s₃—c₁s₂+c₂s₁—3c₃=0, ..., s¹-i —c₁s„_2 + c₂sw_3—c₃sh_₄ + ... + (—l)c«_i=0.

Z tych równań, a potem z równań (A) dostaniemy po po

rządku :

s₀ n, si c.l} s₂ — Cj² 2c₂, s₃— Cj •’ 3^ c₂ + 3c₃,

Si=⁴—c,² c₂ + 4cj cs + 2c₂ ²—4c₄ ,

s₅ =Ci⁵—bej ³c₂ + 5^² c₃ +5^62²—5c.,c₄ — bcx ²c₃ +5c₅ ¹)

Każde więc sv daje się wyrazić wymiernie przez elementarne funkcye symetryczne.

W wzór na sv, v^>n, wejdą w (2) ci, c₂, ..., c„, a że ich jest tylko n, t. j. c1? c₂, ..., cn , więc w wzorach na sw+r, r=l, 2, 3, ... trzeba cn+1, cM+2, ... położyć =0.

Za pośrednictwem sv będzie można teraz każdą całkowitą symetryczną funkcyę przedstawić wymiernie całkowicie c₂, Cg, ..., cn. Przy tern dostatecznem będzie —

przez cx, na podstawie uwag

w art. 87

Położmy: sv Gv(cx, c₂, ..., cn) — S.Ac^c^ ...cnan , to — gdy tu x\ i x21 •••? xn zastąpimy przez qxx, ęx2J ..., ęxn z dowolnym czynnikiem    — przejdzie sv na qvsv. W funkcyi Gv każdy jej do-

dajnik Ac^c₁at...cnan przejdzie na ę«-+^₂+..Acxa'C₂cc²...cnan..

Stąd wynika, ze musi byc v—cix i~2a₂ +3a₃-\-nctn w każdym dodajniku funkcyi Gv. Tę własnosc funkcyi Gv wyrażamy mówiąc : funkcya Gv jest izobaryczną o wadze v.

cli c2>

Z form (2) dadzą się naodwrót całkowicie przez ą, s₂, szych v równań dostajemy : ²)

ł s2i s3i sll ⁵2)

2; S,,

(3)

Cv~~T\

CęT rH O' cT

o, o,

cn wyrazić wymiernie sn- Używając bowiem do obliczenia cvi pierw-

⁵j>-i

Sv~2

(V-¹), ² i

gdzie (sv_h sp—2,    ą) jest całkowitą wymierną funkcya zakreślonych ilości

— ograniczyć się do funkcyj symetrycznych jednorodnych.. Zacznijmy od funkcyi: S(x\.x?₂),    [przy a=5, /3=7] mamy

n. p. w trzech zmiennych xx, #₂, % funkcyę:

(^i ⁵#₂ ⁷+£₁ ⁵#₃ ⁷-f #₂⁵#i ⁷+^₂⁵a?₃ ⁷-+    7+iCg ⁵#₂ ⁷) i t. p.

Zauważmy:

(I)

Sp—xxP-\-x₂@-\-    -\‘Xn&, to

stąd:

sa=xi“+x₂«+...+xn“

SaSp = S(xx °+0) -\-S(xi «. x/) = sa+p + S(xx Cl. x₂P)

S(xx aX₂‘⁷) = SccSfj Sa-f-p.

W razie «=/? mamy funkcyę: S(x₁ce.x₂ce). Zauważmy:

Sa²=zS(x₁2ce) + 2S(x₁ce.x₂ce)=S2a+^S(x₁ce.x₂ce), to stąd wynika:

(II)

S(xxa.x₂a)=~[sJ—s2a\.

Aby funkcyę S(xia.x₂^.xz?) o różnych między sobą u, /?, y wyrazić przez sv, zauważmy iloczyn:

sa.sp.sy=S(xicl+^+y)+S{xxa+P.x₂y)+S{xxa+y. a?/)

+S(xx P+y. x₂ a) -f S(xx a. x₂p. xz y).

Pierwsza suma jest =s«+/?+r Sumy: druga, trzecia, czwarta, wyrażone wzorem (I), dają :

S(X + P'Sy Sa + p + y , SK+y.Sp    Sp+y.Sa Sa-fj3+yj

a że piąta suma jest daną funkcyą: więc mamy:

(III) S{X^aX₂^X₂^ = SaS^Sy (Scs-^.Sy-j⁻    SaĄ.y.Sp) 2Sa.|_|9_J_ j, .

W razie dwóch wykładników równych, trzeba utworzyć iloczyn sa².Sp. Wtedy dostaniemy:

(IV)

S[X^a.X₂a.X^)— ^ [s«²-SjS SiaSp ^Sa-fj3.S₀[-j-2S2a+|9]<

Gdy a=/?=y, to tworzymy :

sa³=sa².sa=[S(xi2cc) + 2Sfaax₂aj\ (xia+x₂cl-\-...+xna)

—S(xi 3tt)-\-S(xi2 ax₂ “) + 2 S(x₁2 a.x₂ a) + 6S(x₁ ax₂ axz a)

=s₃ a+3S(xi 2 a.x₂ “) -f 6S(xt ax₂ ax?j a) ³)

Stosując do sumy drugiej wzór (I), dostaniemy ostatecznie:

S(xl a.x₂ ax₂ a)=~ [sa³—3sa.S₂ «+2s₃ „].

(V)

W ten sam sposób możemy postępować dalej , a więc każdą

funkcyę postaci ^2xxa.x₂^...xna wyrazić wymiernie całkowicie przez

W

więc zasadnicze twierdzenie I. mamy dowie-

funkcyę sv. Lecz sv są wymiernemi funkcyami elementarnych funkcyj ci 7 c21 •••? Cn

d zionę.

89. Metoda bezpośrednia wyrażania funkcyj symetrycznych przez elementarne. W funkcyach symetrycznych., wyrażonych już przez ci,c₂,...,cn znajdują się dodajniki postaci:

(b)    , ...

(a)    C₁⁰'iC₂“2...Cw_₁“rc-l Cnan

[stałych spółczynników nie uwzględniamy].

Wyraziwszy (a) i (b) przez xi1 x₂, ..., xn, dostaniemy w nich na wyrazy najwyższego wymiaru:

( )    Zicli+cl³+-+cen .X₂a2+a³⁺"+an ...%n_ian-l+cen .Xnan W (tt) i

( )    #₁/?i+&+-+/?ra 'X₂P2⁺P³⁺ ‘"⁺Pn ...Xn-lPn-l+Pn .xJn W (&).

Jeżeli (a), (b) po wyrażeniu ich przez xi, x₂, ..., xn mają hyc identyczne, to także (a‘), (b‘) identyczne być muszą, a wtedy być musi a„=/?w, a w następstwie: an-i=pn-i, •••, «2~A> ai-Pi- To znaczy :

I. Gdy iloczyny (a), (6) po wyrażeniu ich przez xl, x₂, . być identyczne, to muszą być takimi już iw e1} c₂, .

Mając to, przyjmijmy, że symetryczną funkcyę F możemy w dwojaki sposób wyrazić przez c1} c₂, ..., c„:

Cn>

"i

xn mają

F    C₂, >") ^ 1 F—^(^1? ^2J •■•» £»)•

Różnica 6rt—ćr₂ — po wyrażeniu jej przez #1? #₂, ...,    —

jest identycznem zerem. Gi, G₂ są identyczne, jako funkcye■zmiennych xil x₂, ..., xn. Lecz to jest wskutek tw. I. tylko tym sposobem możliwe, jeżeli Gi1 G₂ jako funkcye ilości c1} c₂, ..., c„ były już identyczne. Stąd twierdzenie:

II. Symetryczną funkcye można tylko iv jeden sposób wyrazić przez elementarne funkcye symetryczne.

Ten wzgląd, że iloczyn cia'C₂a*...cnan jest wymiaru:

05^ -j-2os₂ -f 3g!₂ -f-••• d~nctn,

[por. (a')], w każdej zaś ze zmiennych xs stopnia ai -f-a₂ d~«n — [bo w xi jest tego stopnia] — prowadzi do metody, która dozwala wyrażać bezpośrednio symetryczne jednorodne funkcye:

cp = 2(xi a<,X₂a*.X₃as...Xnan) ,

przez elementarne; [niektóre z wykładników ai} a₂, ..., an mogą być zerami]. Wymiar aiJra₂Jr...Jran funkcyi cp niecłi będzie =m. Przyjmijmy, że największy z wykładników as jest y, to (p jest w każdej ze zmiennych stopnia y.

Jeżeli więc m^>n jest, a funkcyę cp chcemy wymiernie przedstawić przez cs, t. j. przez sumę wyrazów A.ciaw₂cc*cnan₎ to w nich tylko takich wykładników as używać możemy, które równocześnie spełniają dwa warunki:

(<0

S=a₁ + a₂ + ...-f    W—ai + 2a₂ + ...-{-nan=m.

CL-ni'

Grdy przeciwnie jest m<n, to z funkcyj cs użyć tylko trzeba c±, c₂, ..., cm (gdyż już cm+1, cm+2, ••• są same wyższego wymiaru, niż m), a z wykładników as tylko wykładników a1} a₂, . Warunki (c) będą tu więc miały postaci:

(ic‘) S^cii +a₂ + ...am<y , W‘=>a^ +2a₂ + ... + mam=m.

W obydwu przypadkach będzie funkcya cp w c1? c₂, ... izo-baryczną o wadze m, gdzie m wskazuje wymiar funkcyi w elementach.

Spółczynniki A w każdym z przypadków m^n obliczą się przy szczególnych wartościach wszystkich zmiennych xs i przy odpowiadających im wartościach funkcyi (p.

Uwaga. Wyraziwszy funkcyę (p — (pn przez cs przy n zmiennych, możemy z niej przejść odrazu do funkcyi (pv tak samo zbudowanej, a zawierającej już tylko v zmiennych (v<C.n), zakładając cn=c„-₁=...=ct,+i=0. Wtedy ci: c₂, ..., cv są już wszystkiemi ele-mentarnemi funkcyami v tylko elementów.

Pd.    1.    Jeżeli w funkcyę S(xy ²%2²x₃²xt\ mają wchodzić tylko 4 zmienne

a?n x₂, x3:    a:₄, to mamy tu n — 4, m — 7,    jx = 2, (m>~n), a więc: S<2 , W= 7.

Pierwszy warunek spełniają wyrazy:

C1) c2» c3> ci> C1 ²i ^2²) c3²) clclc2) clc3) clc4) C2C3; C2C4) C3C4⁻

Z nich jednak tylko ostatni wyraz spełnia warunek drugi, a stąd pochodzi, że S(xy ²as.₂ ²£c₃ ²xi )₄ — c₃. c₄.

Pd.    2.    Gdy funkcyę utworzoną w    Pd. 1. odniesiemy do n zmiennych,

gdzie    n =    7,    to warunkami będą: S' ~ 2,    TP = 7, a ct, c₂, ... ograniczyć trzeba

do Cj, Cj, ..., c?. Do wyrazów (a) w Pd. 1. dodamy tu jeszcze:

Cb1 c61 C7> C5²) c6²j C7² ł

C1 c5, clc6) ^7) C2C5; C2C6> C2C7) C3C5? C3C6) C3C7)

(“)

(P)

C4CS, C4C6»    C5C6> C5C7) C6C7⁴

Lecz z wyrazów (a), (j3) tylko wyrazy: c₃c₄, c₇, ctc₆, c₂c₅ spełniają warunek drugi, a stąd wynika, że funkcya będzie tu postaci:

S(xy ²x₂ ²x₃ ²xk )n — Ac₃ c₄ -j- Bc₇ -f- Ccy c₆ -{- Bc₂ c₅,    7.

Pd. 8. Przyjmując, że funkcya &(x₁³.x₂².x₃)₃ zawiera 3 zmienne xlf x₂, x₃, mamy n — 3, m = Q, ij. = 3, a więc: ⁴ S'«c 3, W=6. Wyrazy:

cij c2) c3) C1²? c2²j c3 ²) cl³) c2³) c3³j c1c2) c1c3) c2c3) C12c2) ci ²^3) ^2^3 ł Clc2²ł clc3², C₂C₃ ², CyC₂C₃

spełniają tu wszystkie warunek pierwszy. Drugi warunek spełniają z nich:

c3²> c2³> cicic3) a więc:

S(xt ³. x₂ ². x₃ )₃ = Ac₃ ² + Bc₂ ³ + Ccj c₂ Cg.

Okazać, że B musi być = 0.

Pd. 4. Uważając S(xy³ ,x₂² x₃)n za funkcyę o w zmiennych w>6, okazać, że: S(xx³ ,x₂²x₃)n = Ac₃²Bc₂³    Cc₄c₂c₃ -\- D. Cy ²c₄ -f--Łc₂c4 + Fcyc5 -+■ Gcg, n 6

i że B = 0.

znacznik :

Pd. 6. Połóżmy :    + #2⁴ -f-... -f- xnk) = <Hc=s/c/ fc i zauważmy wy

()0j    03%

ÓXy    ÓXy

d%2    bx₂

d<J₂

ÓXn ÓXn

n?

*)

Z uwagi, że:

(«)

d(xyx₂...xn) ⁼    |

¹, dostaniemy:

1, Xy, Xy²,

1, a?₂, a?₂², ..., fl7₂,ł ^

=p.

h xn²> -I

Wyrażając cv przez a₄, c₂, ..., an [art. 88, (3)], dostaniemy:

*„ = (—l)v+¹^ + K_i,    ffi)-

Z tej definicyi wynika:

(-!)»+■,

K

W wyznaczniku

gdy X>v,

=ł= O, gdy X < v.

d(q ('2 ...Cn)

mieć więc będziemy w jego głównej przekątni

wyrazy (—1), (—l)², (—l)³,    (—l)v, po jej jednej stronie same zera, a wsku

tek tego:

(P)

ć(cl c2 • • xn)

ć(a₁a₂...an)

Zauważmy teraz wyznacznik: -

n(n— 1)

ć(c^ r₂ • • • Cn) ó(xxX%...Xn) d(c₁C₂...Cn) d('Jlai...an) ⁵) a2 • • • ff») Kxi xi • • •Xn)

Jest on =

a uwzględniając (a) i (j3) dostajemy:

d(ct (‘2...Cn)

n(n—1)

ó(xiXi...Xn)

(— 1)    ²    . P. ⁶)

90. Zastosowanie symetrycznych funkcyj do tworzenia rugo-wników i wyróżników. Gdy, jak przody, f(x)=xn—clxn~x-\-...±cn=01 to naodwrót każda wymierna funkcya JB(c₁, c₂, ..., cn) da się zamienić na symetryczną funkcyę S(xi, x₂,..., xn) pierwiastków równania /== 0. Funkcya S może być ułamkową, a jej licznik i mianownik nie potrzebują być jednorodnemi funkcyami symetrycznemi.

Z takiemi funkcyami już mieliśmy do czynienia.

g=b₀xn+bixn~l + ...-\-bn można — po wyjęciu czynnika a₀n (czynnika a₀ z każdego z n pierwszych jego wierszy) i czynnika 6₀m (czynnika bQ z każdego z m ostatnich wierszy) przedstawić w formie:

Rugownik n. p. dwóch równań [art. 57.]: f=a₀xm-\-aix

(]i

' «0

’’ v V •

I. Rugownik jest jednorodną funkcyą wymiaru n w współczynnikach as równania stopnia m, a wymiaru m w współczynnikach bs równania stopnia n [art. 75, tw. II.], i jest symetryczną funkcyą tak pierwiastków jednego, jak pierwiastków równania drugiego:

I^ifi    1 >    •••}    | j @2, •••? fin)'

(1)

J •⁵

-^). Stąd wynika :

«2» -

«0

as są pierwiastkami równania f= O, a (Hs pierwiastkami rowna-(Xm

V bo

funkcyj symetrycznych].

Rugownik równań f—O, f‘= O, t. j. wyróżnik równania f=0:

j • • •

nia <7=0. [—

«o

T

mają tu znaczenie elementarnych bo

«o

m«₀₎ (m—l)a1} (m—2)a₂,...

w«₀, (m—l)a, (w—2)a₂, ...

da się zredukować do wyznacznika o (2m—2)² elementach, jeżeli w nim elementa wiersza pierwszego pomnożone przez m odejmiemy od elementów wiersza m®°. Otrzymamy wtedy:

R(/,/')=a₀J7(a₀j    •••? #m) ?

a gdy z wyznacznika H wyjmiemy czynnik «0 sza czynnik a₀), dostaniemy:

2771 — 2

(z każdego wier-

(2)    B(f,n=D(n=a₀.a₀*»-*B

\ ao ’ «0

_

«o/

S(^CC^j GJ₂j **'5

a to znaczy:

II. Wyróżnik równania /=0 jeść jednorodną funkcyą (2m—2) wymiaru w spólczynnikach równania, a symetryczną funkcyą pierwiastków równania.

go

Zajmijmyż się przedstawieniem rugownika w symetrycznej formie (1). W tym celu weźmy naprzód dla uproszczenia — jak w art. 57. — równanie f'(x)=0 stopnia 5®°, a g(x)=0 stopnia 8®°. Pierwsze z nich niech ma pierwiastki a1} a₂, a₃, a₄, a₅, a drugie: /?i, /?₂, /?₃. Rugownik B(f,g) [art. 57. (R)], pomnóżmy przez wyznacznik :

01, 1 02? ^ 03? 1

«i? 1

7=w+w—1.

A⁷? A @2 ⁷) @2 @3 ⁷)    ^3 ⁶?

«1⁷, aj⁶,

«5? 1

«₅⁷?    «5

Gidy iloczyn B.Q obliczać będziemy, składając po porządku pojedyncze wiersze wyznacznika B z wszystkimi wierszami wyznacznika Q. to dostaniemy:

15

A W: l); A ² AA); A ² AA); «i ²/(«i); •••; «5 ²/(«₅)

•    • «i /⁷(«l); •••; «5 /■(«ó)

A /“(A); • •

/(A),

/'(«l); -

/(«s)

A V(A); A V(A); A V(A); «i V(«i); •••; «₅ V(«s)

«lM«l), -; «₅V(«₅)

AWi)

AA) • •

Lecz /'(«,)=O, AA)=⁷0; a więc

A«i)

A««)

[/‘(A) -/(A)) -/‘(A)] • [A«i)A«a)-A«s)] •

A²; A², ², A; A; ; 1; 1,

O, o o, o o, o o, o o, o,

Ppooo^^tt)

"• V⁷ ⁷-⁷    "• to CO

cT o'o' e 8 e ęT

^ o? cP c?

1, i, 1

3.2

5.4

=[/‘(A)/(Ay(A)]• [A^)A«₂)...A«5)](-1)² (-1)². Pa • Pp, gdzie:

1, a₄

1;«1²; •••; «₅ ²

a₅

i, A, A2 1; A; A2 A A; A²

1, cc₁⁴,a₅

W razie ogólnych stopni m, w mieć będziemy:

m(m—1)

•(-1)

n(n—1)

•Ą.Ą,

gdzie w Pa, Pp najwyższe potęgi są a,”-⁷,    a wyznacznik <) —

po odwrotnem uporządkowaniu jego pionów — ma postać :

1, A; A²; AW+W_1

Q=(-l)

(m+n)(m+n—1)

1; A; A²;

1; «l; V;

Aw+

n—1

lj ^mj ^

Po obliczeniu go otrzymamy:

n m+n—1

e-(-D

(m+n) (m+n—1)

(®i A)«(«i A)⁷"(^i A) (®2 A) • (^2 A)-(«2 A)

• Pa-Qp

(®m A)⁷(«» A)-(«» A)

Iloczyn w nawiasy ujęty jest widocznie funkcyą symetryczną tak pierwiastków as, jak pierwiastków (Js, a można go wyrazić albo przez

(«)

(-1)

mn

mn

«o"

«0n

albo też przez

(/?)

g(a₂)...g (ctm)

*), tak, że mamy

(4)

h ¹⁷¹

G=(—l)mn-^—.F, gdzie

a₀

Stąd wynika , że :

(a)

Q=(-i)

a₀n

.Pa.Ppi albo

(m-f-n) (m + n—1)    ^7

2    ^

Ti m w0

Połóżmyż w równaniu (3) za Q wyrażenie (a), to po skróceniach i uwzględnieniu , że :

(5)

Q=(-1)

Pa-Pp-

(-1)

(m +n) (m-j-n — l) + 2mn— m (m— i) — n (n—1)

= +l

otrzymamy — po skróceniu przez F — :

g)=a₀nG.

(I.a)

Korzystając zaś z relacyi (4), mieć także będziemy:

(1.6)

Pelacyami (I.a), (1.6) spełniliśmy już żądane zadanie⁷ ⁸). Z (I.a) — gdy wrócimy do iloczynu różnic pierwiastków — dostaniemy jeszcze

(I.e)

R(f,g) = a ont>omJI («»■—&)

r = 1, 2, ..., n, s = 1, 2,..., w.

Widocznie iloczyny F, G, II(ar—/?,) są takie, że stają się zerami, gdy równania /‘=0, g=0 mają choć jeden wspólny pierwiastek.

Przejdźmy do wyróżnika D{f)—R(/,/''). Weźmy równanie f‘=0 za g=0, to — zważywszy, że tu n=m—1 — dostaniemy z (I.a);

(Il.a)

D{f)-<h"-lr, r-r(a,)f («,),

LeCZ / (05s) = ć?q(05₄    )} •••>    — i) (#s (Xs..., (as ccm)

s=l, 2,..., m, a więc:

F—aom(ai    «₂) («j —a₃)>    («i — a«)

(«2— «l)(«2—¹«₃)ł    ««)

(«3 —«1) («3 —¹«₂)» -I («3 ~¹««)

(0Jm 05^)(0fm    #2)? *"•» (®wt GJm—l)*

W tym iloczynie znajdują się parami czynniki (ah—ak), (ak—aA). W wszystkich czynnikach (aA—ak) w wierszu pierwszym mamy

mtym -wierszu mamy odpowiednio: jeden czynnik, dwa czynniki, trzy czynniki,..., (m—1) czynników o znaczku    Zmieniając te czynniki na czynniki o pierwszym

znaczku mniejszym od drugiego, dostaniemy:

m(m — 1)

^=(—1)    ²    a₂)²(«i-«3)²

h<Ł W 2«*“, 3cim, 4^,...,

®»ł) ²

(CC.2    ^3) ²) •••> (a2    ®»») ²

CCm) ²

m (m—1)

= (— 1)    ² a₀m. Pa², a więc

m (m—1)

c-ir^p«².

Pa¹¹—A jest widocznie symetryczną funkcyą pierwiastków as i ma tę własność, że jest zerem, jeżeli dwa przynajmniej pierwiastki są sobie równe.

A jako symetryczną funkcyę pierwiastków ots można także będzie przedstawić w wymiernej całkowitej funkcyi sum symetrycznych sv — <xlv-\-<&iv oe^ł’. Mnóżmy w tym celu wyznacznik Pa przez Pa w ten sposób, że każdy pion pierwszego czynnika składamy z wszystkimi pionami drugiego i z tak tworzących się wyrazów składajmy wiersze iloczynu, to dostaniemy:

(H.»)

D(f)=a₀

2m—1

CC ...    £>

fM CO

CO Co

Sm-f-2 * * * s2m

w żądanej już formie.

91. Wspólny jednokrotny, lub wielokrotny pierwiastek dwóch równań o jednej lub wielu zmiennych. Gdy równania f(x)=0,g(x)=0 mają jeden tylko pierwiastek wspólny, a więc funkcye f\g mają największy wspólny podzielnik stopnia pierwszego : AixĄ-A\ [art. 60.],

to ten wspólny pierwiastek = —A\IAv Lecz d1? A\ będą (podobnie jak B) wymiernemi jednorodnemi funkcyami spółczynników a₀, ail •••? K ^1 v równań /*= 0, <7=0, a stąd wynika:

I. Gdy dwa równania mają jeden tylko pierwiastek wspólny, to ten pierwiastek jest wymierną funkcyą spółczynników obu równań i da się zatem przedstawić w funkcyi symetrycznej wszystkich pierwiastków tak jednego, jak drugiego równania.

Gdy równania /== 0, g=0 mają wspólny, ^-krotnie się powtarzający pierwiastek a, a mają, to największy wspólny podzielnik:

t(x)=Af~. xk+A‘kxk^ -f ... +    —Ak [xk-}- ~

Ak

funkcyj f\g ma się zredukować do t(x)=Ak(x— ct)k=Ak[xk—k.a.xk-x + ...]. Z tego wynika, że :

innych już wspólnych pierwiastków nie

1 A‘k

k ‘~Ak ’

a że [art. 60.] będą jednorodnemi całkowitemi funkcyami tak spółczynników równania /‘=0, jak równania <7 = 0, więc mamy twierdzenie:

II.    Gdy dwa równania mają k-krotnie się powtarzający pierwiastek icspólny a, a innych wspólnych pierwiastków nie mają, to a wyraża się wymierną funkcyą spółczynników obydwu równań lub symetryczną funkcyą wszystkich pierwiastków tak jednego, jak drugiego równania.

Weźmy teraz pod uwagę dwie funkcye całkowite wymierne wielu zmiennych: F(x, xi, x₂, ..., xp), G (x, xi, a?₂,..., xp) i załóżmy, że są współmierne, posiadając największy wspólny podzielnik stopnia k^° t=Akxk+A,lcpck-^-\-...+ 4⁽*).

Spółczynniki Ak, A‘k, są tu wymiernemi całkowitemi funkcyami zmiennych pozostałych xi: x₂₁xp [art. 81]. W razie A‘

k=l, jest x=—~ jedynym wspólnym pierwiastkiem równań 1^=0, G=0 na dowolnem miejscu (xl} x₂, ..., xp), a w razie t=(Ax-\-Bjk mamy i tu A=kAk, B=A‘k

pierwiastkiem tych równań. Stąd twierdzenie:

III.    Gdy dwa równania F= 0, G=0 (p +-1) zmiennych x, xt, x₂,..., xp posiadają k-krotny pierwiastek x, (&=1, 2, 3...), na bieżącem miejscu (p^i ? X2

taki pierwiastek jest zawsze wymierną funkcyą pozostałych zmiennych xi

X%) •••} Xp.

A'k

Ak

= —ket i ct=

A‘

j-r- jest krotnym wspólnym kAk

xp), a innych takich pierwiastków wspólnych nie posiadają, to

92. Wyznaczanie funkcyi symetrycznej z danych warunków. Zastosowania. Mając n zmiennych xi, x₂,..., xn i (n+v), (*>;>0), stałych wartości , £₂, •••» wybierzmy v którychkolwiek z tych stałych

i utwórzmy iloczyn :

U. P< £n +1 5 £»-f-2 7 •

(#1    bn+ió

(1)

⁽*! T?”+,)-⁽*2 _ ^ ' = D(xi, a. | I.+I i.+i,&+,)•

Iloczyn ten jest symetryczną funkcyą wszystkich zmiennych i stopnia vg0 w każdej ze zmiennych. Iloraz

(2)

D{Xi j ^2 7 "•)    | ^b+I?    2 j •••j

-^i£ij ^2? ”•?    ; ^»+27 •••7 £n-j-v)

jest =1, gdy (xt,x₂,..., xn)=(£j,£₂,..., £„), a jest =0 dla każdej innej kombinacyi (f*,, f^, ..., £*J, w-tej klasy utworzonej ze wszystkich £1} i₂, £₃, ..., £n+t>. W każdą bowiem taką kombinacyę wejdzie przynajmniej jedna z ilości £n+i, £n+2,..., £n+v

być

ma

Mając to, spróbujmy wyznaczyć funkcyę całkowitą symetryczną S(xi: x₂, ..., xn) o takich własnościach: 1° funkcya S

stopnia vs° w każdej ze swych zmiennych, 2°na(    j miejscach:

(3)

0^1 , ^2? “V *^«)    (^i) ^₂7 •••>

tworzących wszystkie kombinacyę wteJ klasy z danych wartości

ma odpowiednio przyjmować dane wartości: #(£*„    Zauważmy sumę:

£l 5 ^2> •••?

D(x₁,x₂

D {£\ 7 ^2 > •••> £» | £n+l J £n+2]

którą z wyrazu zamieszczonego po znaku 2 utworzyć trzeba, zmieniając (£₁, £₂₎£n) na wszystkie kombinacyę (3), to taka suma: 1° jest symetryczną całkowitą funkcyą n zmiennych xt,x₂,...,xn stopnia v%° w każdej z tych zmiennych , 2° ma na miejscach (3) wartości S(£kl, £k₂,£kn) (wskutek własności ilorazu (2)).

Różnica S—S‘ jest zerem na wszystkich    miejscach (3).

Zauważmy dowolne z tych miejsc n. p. (£ki, £ts,..., f*n) i ostatnią jego spółrzędnę £k zamieńmy na zmienną xn. Wtedy dla (xi,x₂, ..., #») = (£*,, £kfi_v xn) ta różnica będzie funkcyą jednej zmiennej xn stopnia v%° i będzie zerem dla (v + l) wartości xn=£kn, £kn+v •••? jest więc identycznie zerem [art. 52.]. Różnica S—S‘ jako już

funkcya wszystkich n zmiennych jest więc zerem w calem continuum    ..., ikn_v #»), | rrn| = (0.. . + go ) i jest wskutek tego —

[art. 74., tw. II. a] — identycznem zerem. Identycznie zatem jest S=S‘, a stąd twierdzenie:

I. Funkcya symetryczna n zmiennych xx, x₂, ..., xn stopnia vgo

(fl

w każdej z nich, jest wyznaczoną, gdy znane są jej wartości na I 1

miejscach (£*,,    ..., fjtB) tworzących wszystkie kombinacye z (nĄ-v) da

nych stałych wartości |1? f₂, ..., %n+v i daje się przedstawić formą (4) analogiczną z interpolacyjnym wzorem Lagrange’a*).

(A). Rugownik R =(—l)mw.    F= <p((3l5 (3₂,..., (3») [art. 90. (1.6)] jest syme

tryczną funkcyą n pierwiastków |3* i jest stopnia ms° w każdym z tych pierwiastków. Obierzmyż (n~\~m) stałych ilości c₂,rcn+m , to możemy do niego zastosować wzór (4) i położyć:

¹

Te formy nazywają formami Newtona; por. „Arithmetica Universalis sita de compositione et resolutione arithmetica liber“ (w ustępie: de transmutationibus aeąuationum) str. 192. (1732), chociaż już Girard (1629) umiał formami (2) wyrażać ,9,, s₂, s₃, s₄ — por. M. Ca n t or: Yorlesungen ii. Geschichte d. Mathem.

T. 2. str. 719.

²

Por. H. Hankel: Darstellung symmetrischer Functionen durch die Potenz-summen. Crelle J., T. 66., str. 90—94. (NB. Wyznacznik obliczony według ostatniego pionu).

³

Spółczynnik 6 pochodzi stąd, że wszystkich porządków z elementów x\i xii x'i jest 6; wszystkie te porządki wskutek jednakowego wykładnika a dają 6 jednakowych dodajników.

Teorya funkcyj.

⁴

Ja c obi: De determinantibus functionalibus — Crelle J. T. 22. str. 319.

⁵

Por. Żelewski: „Nauka o wyznacznikach z zastosowaniami". (Kraków 1877), str. 162, — M. Baraniecki: „Teorya wyznaczników". (Paryż 1879), str. 493.

⁶

B. F. Scott: „On some alternating functions of n variablesu, The Mes~ senger of mathematics. Vol. XI. str. 98—103.

⁷

W (a) zbieramy po porządku w jeden iloczyn czynniki w jednym pionie zawarte, w (j3) zaś czynniki zawierające się w jednym wierszu.

⁸

Rugownik w formach (I.a), (1.6) podał poraź pierwszy Euler w rozprawie : „Demonstration sur le nornbre de points, ou deux lignes des ordres quel-conąues peuveut se couper“. Histoire de V Academie de Berlin z r. 1748, str. 843.

Identyczność rugownika w formie wyznacznika lub w formie iloczynów (I.a), (1.6) wykazał C. W. Borchardt w rozprawie: „Vergleichung zweier Formen der Eliminationsrcsultante¹¹. Crelle J. T. 57., str. 188—188.

D(Pl; ih) —i | 'Śn+i-Ąn+ni)

E (zy, ł,,i J Cn-f-l... Sn-f-m)

(⁵)    ?(Pi, 02

(-1)

60*

#(5j+l)</(?«+2)...</?w4-łn)-

Wstawiając te wyrażenia w (5) otrzymamy:

(6)

?(Pl5 P₂? ■••) P») —h'—

R(?l j ?2» •••i    | ?n+l 7?«+2,...,5łt-ł-m)

(-B) Gdy R=(—l)?n« 6qto f jest rugownikiem równań /== 0, <7=0, to równania / — 0, (#—z)g = 0 mają rugownik:

£«=*= 6₀m(-l)«(«+l)/(p₁).../’(^)/(^) = (~l)*R./(*),

(«)

a rugownikiem równań:

(P)

(a?—z)f= 0, ,</ — 0 będzie :

6₀-+i    - z)

—    )(m+i)n+n ./(&).../(&,)g(z) = (—1)2« R.g(z).

Ponieważ tak suma stopni równań (a), jak (j3) wynosi [m -f- n -f-1), więc obierając    1) stałych ilości Ę₀,..., cn+m, możemy tak do Ra, jak do P,?

zastosować wzór (6) i położyć:

(«')

(PO

/ ,\m x, ,    X? /(?o)-/(^)ff(^+i)(?M-i—*)-;?(?»+«) (Sn+m—g)

^    J ■ ‘JU    ^    P(Ę₀,...,Sn|S*₊i, ...,?«+,*)

77 „ /-A _ %g/go) (gp -    (S««—1—g) g^.n).-g(jn+m)

D (f₀, ..., Ęn—1 | ijn ...Sn+m)

Gdy podzielimy (a') przez (£') i gdy dalej licznik i mianownik podzielimy przez [i<(?o)    a za każde /(?«)/ cfód) położymy krótko ua, to dosta

niemy f (z)/g(z) =

*) L. Kronecker. Ober einige Interpolationsformeln fur ganze Functionen mehrerer Yariabeln.

Miesięczne sprawozdania (Monatsberichte) Akad. berlińskiej z r. 1865, albo „Werlceu. T. 1. str. 135. (1895). Por. także Baltzer. Theorie u. Anicendung der Determinanten 1881. (wyd. 5te) str. 108.

**) Rosenhein. Neue Darstellung der Resultante der Elimination von z... Crelle J. T. 30. str. 157. Baltzer 1. c. str. 130.

93. Wymierna funkcya pierwiastka lub pierwiastków danego równania/(a5) = 0. Funkcye, któremi zajmowaliśmy się w ostatnich artykułach były wymiernemi spółczynników jednego, lnb dwóch równań i dawały się przez to zawsze sprowadzać do symetrycznych funkcyj pierwiastków.

Rozważmy teraz funkcye wymierne, ułamkowe i niesymetryczne pierwiastków xx, x2:..., xn równania f{x)=xn— c₁xn~¹+...+ cn=0. Niech :

(1)

R (Xj , X₂ y    *®») ⁼ <P (*^j ; J "'I    (®1 7 ^2 ? **•> ^n)

będzie właśnie taką funkcyą, a jej mianownik ip za zastosowaniem do niego wszystkich podstawień symetrycznej grupy (s) niech przybiera p i tylko p różnych postaci ty, rpix tp2: ..., W—i, p<n\. Iloczyn ipx xp₂ ... ^_i będzie już funkcyą symetryczną wszystkich pierwiastków xs równania f{x)—0 i da się przedstawić w funkcyi całkowitej wymiernej g (cl, c₂,..., cn) spółczynników cx, c₂, ..., cn- Pomnóżmyż więc licznik i mianownik funkcyi R przez iloczyn ipx. ip₂... ip/t—i, to dostaniemy:

(2)

U₀ • • • i/ fi

(5w+l—z)...(ęn+m—z)

U = (—l)m .

U₀Ul...Un—j

^(?0r-i ?«—1 | ?«,•••> ?«+»*)

Jestto interpolacyjny wzór Cauchy’ego, którym wyznacza się funkcyę ułamkową u o stopniach: m, n z danych jej wartości u₀,u,... miejscach jej argumentu [art. 64., Bosenhein 1. c ].

na

(m -j- n -|- 1)

R=(p tpx ip₂ ... typ—i /g    c₂, •••, cn)=g (xXJ a?₂,...,

gdzie (/' jest już funkcyą całkowitą pierwiastków xs. Stąd twierdzenie:

I. Dowolną, ułamkową funkcyę 'pierwiastków równania f(x)=0 można zawsze sprowadzić do całkowitej wymiernej funkcyi tych pierwiastków.

Pd. 1. Przy n= 4 mamy xx/x.f = xx³xfxit²/ci²,(i>. =4). Gdy n— 2, to x₁/(xi—xi) = — x₁(xi—xl)/ {xx —x₂f = (x₁ —x₂)/(ą ²-4 c₂), (ji = 2).

Pd. 2. Przy n = 3 jest 1 /(x₁-jr x₂) = (x₁-\-x₃)(x₂+x₃')/(cs—^ą).

Uwagi godnem jest to przekształcenie w przypadku, kiedy funkcya R zawiera jeden tylko pierwiastek xx równania f{x)= 0, kiedy więc R (xx) = g)(xx)l tp(xx). Iloczyn [ip(xx) ...ip (xn)\ jest w tym razie funkcyą symetryczną wszystkich pierwiastków xs i będzie całkowitą wymierną funkcyą g(cx, c₂₎..., cn). Mnożąc licznik i mia-. nownik przez [\p{x₂) ..^{xnj\, dostaniemy:

R(zi)=[(p(xi) yj(x₂)...ip(xn)]lg(cx, c₂,..., cn)

Lecz if)(x₂)tp(x₃)...tp(Xn) jest symetryczną funkcyą pierwiastków x₂, #₃,..., xn równania : f\x)j{x—xi)=0; spółczynniki wymierne, całkowite w ilościach xif ci7 c₂, cn [art. 88, (1)], więc i iloczyn [ip(x₂)...ty(xn)] będzie taką fnnkcyą. Stąd wynika, źe B(xi)=G(xi), gdzie G jest funkcyą całkowitą.

Przyjmijmy, że G(x) jest stopnia n‘)>n i podzielmy G(x) przez f(%), to mieć będziemy G(x)=P(x) ,f(x)-\-Q(x), gdzie Q(x), jako reszta dzielenia jest stopnia <jn. Dla x—x₁ mamy stąd: G(xi) = gdyż f\xi)=0, a stąd wynika:

II. Wymierna (ułamkowa) funkcyą jednego pierwiastka równania f (x)—0, daje się zawsze sprowadzić do całkowitej funkcyi tegoż pierwiastka o stopniu mniejszym, niż stopień równania.

że to równanie posiada

94. Złożenia i iteraeye podstawień. Wymierna, niesymetryczna funkcyą cp (x±, x₂,xn), którą według tw. I. art. poprzedniego możemy założyć odrazu całkowitą, dozna kilkakrotnej zmiany swej postaci, za poddaniem jej wszystkim n\ podstawieniom symetrycznej grupy (s). Takie funkcye nazywają się wielo-postaciowemi, albo (niewłaściwie) wielowartościowemi. Ilość jej różnych postaci będzie zawsze 5Cn! [Funkcyą n. p. xx ³ + x₂² + x₃ jest 3!- postaciową ; funkcyą (xi—x₂) (xi—x₃) (x₂—xz) jest 2-postaciową i t. p.]. Bozwinąó teoryę takich funkcyj będzie teraz najbliźszem naszem zadaniem.

Gdy Si jest jednem podstawieniem grupy (s), a funkeyę cp poddamy tej substytucyi, to postać funkcyi stąd wynikającą zwiemy cpsr Do cpsx zastosujmy substytucyę s^, gdzie może być identyczne z Si, albo różne od Si] wynikającą stąd postać naznaczmy przez (9>^)sjlł=9⁾^*^ i t* d. Postać cpSXS[X będzie-to funkcyą (p z takiem uporządkowaniem zmiennych, do jakiego zastosowanie naprzód substytucyi Si, a potem substytucyi do prowadziło; da się więc otrzymać z cp przez poddanie jej pewnej substytucyi a, która się w grupie (s) niezawodnie zawiera, gdyż grupa (s) zawiera w sobie wszelkie możliwe substytucyę. Podstawienie u nazywamy złożone z podstawień Si, sfl i to w porządku Si, s^ i naznaczamy je krótko n. p. elementach mamy :

X\X₂X₂ XąX₅

/y* /y 'Y /y* T

na-

pisząc G=Si.Sfx. Gdy przy pięciu

(a)

Si=

xi x₂x?xixr> Xy x?> x₂xh x!i

a w Sp poukładamy górne elementu w porządku dolnych elementów substytucyi Sz i z niemi rów nocześnie podpisane dolne ele-menta poprzekładamy, to otrzymamy:

/y» /y» /y» /y» /y»

«A/£)    9

/y» /v* ry* ry* ry>

•A/o we %AS r. *A/e\ *AJA

/y* /y» /y* /y* /y»

lA/O *A/ A «A/r «A/q

sy* sy* ry* sy* sy*

»A/q we wa wn «a/-j

W ten sam sposób postąpić trzeba dalej tworząc złożenia sjiS^s^... W razie Sz=s[A,=sv... piszemy krótko: o=Sz-Sz.Sz—=Sza, co oznacza, że u jest a-krotnem złożeniem, albo powtórzeniem substytucyi (iteracyą substytucyi Sz)- Liczbę a wskazującą ilość powtórzenia nazywamy wykładnikiem substytucyi Sza.

Pd. 1. Gdy    mają znaczenie (a), utworzyć:

V • sn s/>    V’ V³’ VV W'*¹

x₁x₂x₃xi)    /.

x₁x₃x₂xi/ ’ i* V

sxspsvi SZ,SVSfV sl?SfA,sv> sX⁸[*sXsv

a dalej:

o=szs^

Pd. 2.

-(

^ x₂x?ixix₅

/y* sy* sy* sy* sy*

)(

)-(

x₁x₂x₃xix₅

ry* /y* /y» /y* /y*

V s == {xix2x3xi\ utworzyć: x₂x₃xix₁Ji v    \a?₄x₃x₂x^)'    J

xlx₂x₃xi

Pd. B. Okazać , że gdy :

#2 ^3

^3^2

to s^.s^.sv jest identyczną substytucyą =1 [art. 87.].

SX — (

)’V=(    )> s»=(

).

Dwie substytucye, których złożenie daje identyczną sub-stytucyę nazywamy odwrotnemi. Gdy jedną z nich jest Sz₇ to drugą naznaczamy przez Sz~¹; ich złożenie Sz.sz~¹ albo Sz~~isz jest zawsze =1.

Złożenie s^.Sz-Sz^ albo s^sz^sz jest zawsze =sM, gdyż SzSz~i= =Sz~~lSz=1 nie narusza już porządku danego przez sPodobnie mamy Sz Sz^s^=Szs^=, bo    nie narusza danego

porządku elementów; sMs^s^~¹sv=siWs^-¹s/iSt(=sitts„, gdyż — po s^ — poddanie elementów substytucyi SzSz~‘i=Sz~iSz pozostawia je w porządku wskazanym przez s

Symbol s~a oznacza a-krotną iteracyę substytucyi s~¹; nazywają ją także ujemnem a-krotnem powtórzeniem substytucyi s; Sa.S-a=S~a.Sa=l.

Zbadajmy substytucyę    ¹. Według przytoczonych do

piero co uwag mamy:

(s^)-¹5^=1, dalej (szS/t)-' SzSpSp-^Sn-¹, czyli (StS/J-isz^Si*-¹, stąd (SzSp)-¹ SzSz-¹=Sp-isz-* a więc: (szs/x)-i=sfr¹ Sz-¹.

na powtarzające się substytucyę. Niech więc sA=s(*, A, to stąd wynika, że s;\ s~2,= 1=sp s~-\ czyli s^^= 1,

Przez dodatnie i ujemne iteracye danego podstawienia s nie mogą powstawać czemraz nowe i nowe podstawienia; inaczej bowiem w grupie symetrycznej (s) musiałoby się mieścić podstawień nieskończenie dużo; a tak nie jest. Z tej przyczyny musimy — powtarzając dodatnio substytucyę s — natrafić w szeregu s°. s¹. s². s³. s⁴

a to znaczy, że istnieją wykładniki dające identyczną substytucyę. Najmniejszy z nich niech będzie Jc, to mamy: s*=l a dalej jest niezawodnie s²*=s³*=... = l.

Przytem zauważyć trzeba, że w szeregu s°= 1, s,s²

Gdy s₁a.sa⁴=s₃, to dalej mamy Sj⁻®.st®s₂b=si ®.s₃ czyli:

O 6 __ O -O Q

^2 —*1    * ^3 *

Lecz także mamy sia s₂b s₂~b=s₂. s₂

Q O - O O -b

dl —*3^2

(2)

—b

czyli:

(3)

sk~¹

wszystkie substytucyę są różne między sobą. Przyjmując bowiem, że sa=sP, a    —1, mielibyśmy dalej sa. s~a=sP.s~a=sP~~C{,

czyli s@ “== 1. Lecz to jest niemożliwem, gdyż (J—a    a k przy

jęliśmy jako najmniejszy wykładnik dający s*=l.

Zauważmy odjemną iteracyę s~a. Z liczb &, 2Jc, 3&,..., wybierzmy najmniejszą, rft a, to wskutek srk= 1, możemy położyć:

s ®=srk • s~a—srk~ ®,

gdzie widocznie jest: rh—ai>0, ale równocześnie: (rJc — a)<^h. To znaczy:

Badając dodatnie i ujemne iteracye danego podstawienia można się ograniczyć jedynie do jego dodatnich iteracyj.

"Wykładnik h nazywa się stopniem, albo peryodem danego podstawienia; a ponieważ ze związku sk—1 wynika: s*:+¹=s, s*+²—s², ... więc stąd wnosimy, że w (s°, s¹, s², ..., s*⁻¹) mamy już wszystkie, różne między sobą substytucyę, jakie z iteracyi substytucyi s powstają.

95. Przestawienia i cykle. Z uwagi, że grupa symetryczna (s) zawiera wszystkie możliwe podstawienia, wynika :

I. Złożenia iluJcolwiehbądź podstawień grupy (s) i ich powtórzenia dają znowu podstawienia mieszczące się w ($).

W tern tkwi właściwe i ściśle określone pojęcie grupy — pojęcie , z którem się dziś spotykamy we wszystkich gałęziach tak analizy, jak geometryi. Grupą nazywamy pewien skończony lub nieskończony zbiór wskazanych, a róż-n y c h między sobą działań [działań arytmetycznych, algebraicznych, ruchów w przestrzeni, lub na płaszczyźnie i t. p.] o tej własności, że złożenie ich kilku lub iteracyę jednego znajdujemy znowu w tym zbiorze.

Jeżeli w porządku (xi, x₂, ..., xn) tylko dwa elementa xa, Xp ze sobą przestawiamy, a inne elementa pozostawiamy nienaruszone, to takie podstawienie:

... xa ... Xp ... ... xp ... xa

piszemy krótko (xa xj) lub (xp xa)¹) albo transpozycyą.

Złożenie:

O)

nazywamy przestawieniem

(P)

{cca Xp) (xa Xp)=(x„ Xp) (x? xa)=(xaXp)¹=(xpXa)²=l, gdyż dwukrotne przestawienie tych samych elementów nie narusza ich z miejsc pierwotnych.

Po tern określeniu transpozycyi dowiedziemy ważnego twier-

dzenia :

II. Każde podstawienie można otrzymać ze założenia pewnej skończonej ilości przestawień.

Przy n—2 wypełniają całą symetryczną grupę (s) dwie sub-

sty tucye:

=hxA=i, s₂Jx'xA-,

\XiX₂J    \x₂ xj:

z nich s₁ nie zawiera ani jednej transpozycyi, albo — według (b) — jest == (xix₂) (x₂xi)} druga substytucya s₂ jest transpozycyą (,xlx₂) Twierdzenie II. jest więc tu prawdziwe.

zauważmy podstawienie :

Przyjmijmyż, że podstawienie o (n—1) elementach umiemy już złożyć z samych przestawień

X \

Xkj

—(

CC ^    • • •

Xfc^ Xk₂ ...

o n elementach. Aby dostać porządek (xki xki ... xkj), trzeba w porządku (%u x₂, ..., xn) przedewszystkiem przełożyć ze sobą elementa xi,xki²). Dostaniemy wtedy porządek:

xn.

j X₂, X₂, • • •, X^ ,...,

Pozostawiając xki na pierwszem miejscu, mamy teraz z porządku (x₂,x₃, ..., xiy..,xn) dojść do porządku (»¹,,²„ ..., xkn), czyli wykonać substytucyę:

' /V*    /Y»    /Y»    /Y*    \

iA/O iA/0 • • • «A/.4 • • • ^ Tl I

Xk₂Xk₃......*^in/

wem

Tę — według założenia — umiemy już złożyć z samych przestawień, a gdy dla w=2, jak to wykazaliśmy, jest to możli-więc i daną substytucyę s można będzie złożyć w ten sposób , c.b.d.d.

Pod względem takiego tworzenia podstawień rozróżniamy w grupie symetrycznej substytucyę parzyste czyli lszel klasy (o parzystej liczbie przestawień) i substytucyę nieparzyste , czyli 2el klasy (o nieparzystej liczbie przestawień).

Pd. 4. Substytucyę symetrycznej grupy o 3 elementach przedstawić przez złożenia przestawień. [Odp. i, (^2X₃),(x₁x₂),(xix₂')(x₁x₃),(xix₃')(x₁x₂\(xix₃)].

Z twierdzenia II. wynika nowe określenie funkcyi symetrycznej , a mianowicie:

III. Funkcya wymierna n zmiennych jest symetryczną, gdy swej postaci nie zmienia przy wszelkich możliwych przestawieniach swoich zmiennych.

"Weźmy pod uwagę podstawienie:

XiX₂X₃XiX₅X₆Xrj

/y» /Y* //• Of* /y» /y» %AJ a «a/k łA/j 1A/0 iA/n

Podług niej trzeba:

element xx zastąpić przez x₂

x₂

X,.

Przez to, z elementu xi wychodząc, dochodzimy kolejnem podstawianiem znowu do xi. Taką substytucyę częściową

/xi x₂ z₄ \

\*®2 *^4    /

nazywamy cyklem, albo podstawieniem kołowem i znaczymy je krótko przez:

(c)

0»i x₂ a?₄).

Przytem zauważyć trzeba, że (xix₂xi)=(x₂xixi) = (xllxix₂), że więc w cyklu można elementa kołowo przesunąć, nie zmieniając jego znaczenia.

Cyklem (c) wyczerpaliśmy w s elementa xi,x₂,xi. Przechodząc teraz do nowego (najbliższego) elementu x₃ zawartego w s, mamy x₃ zastąpić przez xh

„ x₃, a to daje cykl: (x₃xb)—(x₆x₃)

redukujący się widocznie do jednego przestawienia.

(d)

16

Teorya funkcyj.

Dalej mamy w s zastąpić xG przez x₇, a x₇ przez xG co daje

cykl:

(e)

(xGx₇)=-(x₇xG).

Substytucyę s można więc napisać s — (xxx₂x^) (x₃x₅) (xGx₇). Gdy snbstytucya dana nie narusza pewnych elementów, to każdy z tych elementów tworzy cykl, którego się jednak zwykle nie uwidacznia n. p.

) =    ₃xi)(x₂) (x₅) = (xix₃xi).

xi x₂x₃xlix₅

rp rp rp rp rp

^3*^2 u 5

Składanie substytucyi z cyklów wskazane wyżej na szczególnej substytucyi da się zastosować i w każdym ogólnym przypadku , a to znaczy:

IV. Każdą substytucyę przedstawić można symbolicznie iloczynem cyklów. Cykl o 2 elementach jest przestawieniem tych elementów. Porządek cyklów w złożeniu jest dowolny, bo żadne dwa cykle nie zawierają wspólnych elementów.

Do uporządkowania wskazanego substytucyą kołową (x₁x₂x₃...x/c) możemy dojść w ten sposób. Naprzód xi przemieniamy z x₂, dalej element xi stojący już na drugiem miejscu przemieniamy z x₃, dalej ten sam element x₁ stojący już na trzeciem miejscu przemieniamy z ce₄ i t. d. Według tego będzie więc:

(xix₂x₃...xi)=(xix₂) (x]x₃)...(x₁xk), co znaczy:

Y. Cykl złożony z k liter — kP° rzędu — jest równoważny z (k—1) przestawieniami.

W szczególności, gdy k=3, mamy (xxx₂x₃)= (xxx₂)    i na-

odwrót (xix₂) (rxx₃)—(xxx₂x₃). Zauważmy substytucyę (xxx₂) {pCoW^), której przestawienia nie mają wspólnego elementu, to ją możemy w ten sposób napisać :

(xix₂) (xix₃) (x₃xi) (x₃xi), gdyż (xix?J (x₃xx) = l; a że (xxx₂) (xix₃)=(xix₂x₃), {x₃xx) (x₃xli)==(x₃xixll), więc {x^x₂) (x₃xj)=(x₁x₂x₃) (x?xxxj).

Zauważmy podstawienie kołowe piątego rzędu (xix₂x₃xix₆), to odrazu sprawdzimy, że

(x₁x₂x₃xix₅)=(x₁x₂x₃) (x₁xix₅), gdyż

(X\ x₂x₃) (xx XIiX~)    |

xx x₂ x?i XliXz₎

rp rp rp rp rp tA/a lA/p 1A/o iA/r %AyA

rp rp rp rp rp tir 1 tA/p «X/q tir r tA/r

rp rp rp rp rp tA/p *A/q «A/A «A/c iX/j

xx x₂x₃xix₅

rp rp rp rp rp tA/p »X/q A %ĄJ A 1A/r

rp rp rp rp rp ^2^3 U/j Jy^Jy^

rp rp rp rp rp

*^2 ,3 *^4 *^5 *^1 = (xx X₂ X₃ XiXr> )

co znaczy, że każdą substytucyę kołową rzędu Bs° przedstawić zawsze można złożeniem dwóch kołowych substytucyj rzędu 3^°.

Naodwrót da się pokazać, że (xix%xz)=(xix₇,x<ixlix-) (xix₅xltXrix₂): co znaczy znowu, że każda substytucya złożona z cyklów rzędu 3S° (parzysta) jest zarazem złożeniem cyklów rzędu piątego.

Z tych wszystkich uwag wynika:

VI. Wszystkie substytucye złożone z samych cyklów 3⁹° lub 5go rzędu można przedstawić przez złożenia parzystej liczby przestawień i naodiorót: Wszystkie substytucye parzyste dadzą się złożyć z samych ciyklów 3go lub 5°° rzędu.

Pd. 1. Okazać, że gdy Ck jest substytucya kołową Urzędu, to Cka, a •*= k^ jest również substytucya kołową, gdy « jest pierwsze względem k, a składa się z a cyklów, gdy a jest podzielnikiem liczby k.

Pd. 2. Okazać, że substytucya kołowa Ckl k$° rzędu, jest zarazem substy-tucyą fcgo stopnia, tak, że Ck — 1.

sze

96. Grupy i funkcye wielopostaciowe. Tworzenie funkcyi o danej grupie. "Według określenia danego w poprzedzającym art. nazwiemy grupą każdy zbiór r podstawień — choć r<^n\ — różnych między sobą, a dających powtórzeniami i złożeniami swemi znowu podstawienia zawarte w tym zbiorze. Liczba r nazywa się rzędem grupy. Przytem zauważyć trzeba, że z potęg sub-stytucyi s stopnia k, zawartej w grupie tylko najwyżej jej (k-1) potęgi wchodzą w złożenia podstawień lub występują same jako podstawienia.    v

Pd. 1. Gdy s jest dowolną substytucyą stopnia k«° , to zbiór substytucyj 1, S, S²,    s

jest grupą. Nazywają ją grupą kołową, albo cykliczną. Jej rząd = k. Wszystkie substytucye tego zbioru są widocznie między sobą różne, a dowolne złożenia sa. s^..., lub iteracya (sa)ft w tym zbiorze musi się mieścić.

Pd. 2. Zbiór wszystkich substytucyj parzystych [albo: składających się z samych cyklów 3go lub z samych cyklów 5go rzędu] będzie grupą, bo wszystkie ich złożenia i iteracye są znowu substytucyami parzystemi i mieszczą się w tym zbiorze. Eząd takiej grupy później wyznaczymy.

Lecz uwagi godnem jest, że pojęcie grupy ściśle się łączy także z teoryą wielopostaciowych funkcyj. Pod tym bowiem względem istnieje twierdzenie :

^3? •••)

I. Wszystkie podstawienia, które postaci danej funkcyi <p(xux₂,...,xn) nie zmieniają, tworzą grupę, którą się określa jako grupę tej funkcyi.

Przyjmijmy, że (p nie zmienia swej postaci dla r, i tylko dla r podstawień

(1)

r <fn\

[Substytucya identyczna 5t=l musi się do nich zawsze zaliczać].

Według przyjętego znakowania mamy więc cp=cpS2⁼⁽Ps₃="-=(Psr-Niech sa, Sp będą substytucyami wyjętemi z szeregu (1), to bez różnicy, czy sa, Sp są różne od siebie, czy nie, mamy (<Psa)ap=<Psasp-Lecz (pSa=*cp, a więc (q>,J,p=q>,p, a że ęcy=9>, więc: ę=(pS(t^.

Stąd wynika, że substytucya saSp i wszelkie wyższe złożenia (lub iteracye) substytucyj (1) zawierają się w (1), przezco — podług definicyi — szereg (1) jest grupą, a twierdzenie I. mamy dowiedzione.

Twierdzenie I. da się także odwrócić; możemy bowiem udo

wodnić :

II. Do danej grupy ćr=[s₁ = l, s₂, s₃,..., sr] można zawsze znaleść funkcyę, (która jedynie dla substytucyj grupy nie zmienia postaci). Funkcya:

(2)

9V

(p=<Pi=(ph=a₀ + aixi+a₂x₂Ą-... + anxn o spółczynnikach al, a₂, ..., an wszystkich między sobą różnych jest oczywiście w!-wartościową. Jej różnemi wartościami w substytucyach danej grupy G niech będą cpSi, cpS:t, (pS3, . Utwórzmy iloczyn 0=(pSl.(pS2...<pSr i poddajmy go dowolnej substy-tucyi a należącej znowu do grupy G. Iloczyn 0 przejdzie wtedy na &o=(Pslo(pS:to~-(Psro- Każda z r substytucyj zbioru G‘=(s₁a, s₂a,...,sra) jest substytucyą danej grupy a że nie może być sao=Sp<j przy a > /?, bo stądby wynikała identyczność sacr-o~i—Spcro~i, czyli s^—Sp, więc G¹ jest wprost grupą G w pewnem uporządkowaniu jej substytucyj . Stąd wynika: 0„= 0, a to znaczy, że iloczyn 0 nie zmienia swej postaci za poddaniem go substytucyom grupy G. Trzeba teraz dowieść, że tylko dla tych substytucyj nie zmienia się 0. W tym celu zauważmy substytucyę z nie zawierającą się w G i zastosujmy tę substytucyę do 0. Otrzymamy wtedy:

0T= (fSiT . (pS]i;...(PsrX.

Załóżmy 0t= 0, czyli wyraźnie:

(3)

0S₂f (Ps₂T'”(pSrT=:(Ps₁'(Ps₂'‘-(pSr 1

które-to równanie ma być identycznością, to podług tw. I. art. 82. da się funkcya wymierna całkowita wielu zmiennych tylko w jeden sposób rozłożyć na czynniki nieprzywiedlne. Takimi są tu właśnie z jednej strony czynniki <jpv, a z drugiej strony czynniki (pS(X, ..., jako liniowe funkcye (o wymiarze =1). Wskutek tego identyczność (3) tylko tym sposobem zacbodzićby mogła, że n. p.:

<PsaT=(f>si >    •••

Lecz to jest niemożliwe, bo funkcya cp jest n! wartościową. Funkcya 0 jest więc rzeczywiście funkcyą o grupie G.

Zamiast funkcyi q> o postaci (2) użyóby można w!-wartościowej funkcyi:

(4)

'lp=Xice'X₂a\..Xnan

o różnych między sobą wykładnikach ai, a₂, ..., a„ i podobnie udowodnić, że suma tP=xpSiJrtySi-\-...Ą-ipSr jest funkcyą o grupie G.

Te sposoby tworzenia funkcyj należących do danej grupy nie wyczerpują oczywiście wszystkich możliwych funkcyj należących do tej grupy. Lecz bardzo ważnem jest, że za pomocą twierdzeń I., II. obie teorye: teorya grup i funkcyj wielopostacio-wych w ścisłym ze sobą pozostają związku, a funkcya rozważana równocześnie z grupą pojaśnia, ożywia i rozszerza teoryę grup.

Nakoniec zanotować tu trzeba twierdzenie, jakie z opisanych sposobów tworzenia funkcyi wprost wynika. Jest ono takie:

III. Gdy (r=( 1, s₂, s₃,..., sr) jest daną grupą, a o jedną z jej podstawień, to Go—(a, s₂o, s₃o, ..., sro) jest grupą G.

Pd. 3. Grupą funkcyi n!-wartościowej jest jedyna substytucya identyczna s—1.

Pd. 4. Funkcya 9 = xtx₂ 4 x₃xi jest 3-wartościowa i posiada grupę:

G = [1, (x₁x₂), (x₃xi), (x₁x₂)(x₃xi), (x₁x₃x.₂xi), (x₁x₃)(x₂xi), (x₁xiXx₂x₃), (x₁xix₂x₃)]. Okazać, że złożenia (xtx₂). (x₁x₃x₂xi), (x₁x₂)(x₁xi)(x₂x₃) i t. p. zawierają się

w grupie.

sn—1

Pd. 5. Okazać, że, gdy s = (x₁x₂...xn)=Cn7 to do grupy: [1, s, s², s³, należy funkcya :

o = xix₂ ² + x₂x₃ ² 4 x₃xit² + ... + xm_₁ . a?m² + xmxi ², m < n.

Pd. 6. W Pd. 4. mieliśmy funkcyę i grupę G do niej należącą o rzędzie = 8. Połóżmy: 9 =xl-\-ix₂ — x₃ — ix₄, to tworząc ⁽I> = 9,.9₂...«>₈ dostajemy w tym iloczynie funkcyę:

a. = [(*! - x₃y + (x₂— as₄)²]². [(xl—xiy 4 {x₂—x?y-f należącą również do grupy G. Lecz widocznie i funkcya:

V/‘l> = [(®i — *₃)² + (®2 »t)²] • [(*1 — xi )² + (*®2 — ^₃)²] >

zawierająca same kwadraty różnic co dwóch, zmiennych, będzie miała grupę G.

Połóżmy — przechodząc do drugiego sposobu tworzenia —

to suma:

4 = xt ⁰ . x₂¹. x₃ ². xi ³,

w = <l, 4 ó₂ 4... 4 =[(>, 4 xi) (*₃ 4 *4)] • [*!² ^2² 4 ^3 ²x^²]

będzie już funkcyą o grupie G. Lecz tu obydwa czynniki należą do tej samej grupy G, a stąd wynika, że także

= (x\ + x₂) (#3 + #*) , ^2 = ^1²² 4* xs²^4²» i wreszcie : Ya = xlax₂a +

— o dowolnym całkowitym dodatnim wykładniku a — będą funkcyami o grupie G.

97. Funkcye półsy metryczne i grupa półsymetryczna. Funk-cye dwupostaciowe. Rozważmy funkcyę:

V~A=-.{cci —x₂) (xi —a?₃)...(*! —xn)

(x₂    Xo)... (x₂ xn)

(1)

(Xn—i Xn).

Za poddaniem jej przestawieniu (xa, xj), a<Zfi może się w niej zmienić jedynie częściowy iloczyn Kap=(xa—Xp)x

Xa)...{xa 1 Xce)\.[(xa XaĄ.\)..,(xa Xp_ 1)] • \(xa Xr$Ą. \)...{xa    ^»)]*

[(%i—Xp)...(Xa-i—Xp)].[(xa+i—Xp)...(Xp-l—Xp)].[(Xp—Xp+i)...(Xp—Xn)] Po przestawieniu xa z przejdzie (xa—Xp)

fap <&a)⁼⁼ face <Ep) •

Z sześciu dalszych iloczynów: zewnętrzne, nad sobą stojące, tylko się przemienią ze sobą; ze średnich zaś przejdzie: górny na dolny ze znakiem (—l)P-i-«

(—1 y-t-a.    przejdzie więc na

Za zastosowaniem przestawienia innych dwóch elementów dostaniemy Kai?, trzecie przestawienie da —Kt

!• Funkcya \/A nie zmienia swej postaci, gdy do niej zastosujemy dowolną substytucyę złożoną z parzystej liczby przestawień. Grupą tej funkcyi jest więc zbiór wszystkich substytucyj złożonych z parzystej ilości przestawień albo z samych cyklów rzędu trzeciego lub z samych cyklów rzędu piątego. *)

Pozostałe substytucye grupy symetrycznej, utworzone parzystej liczby przestawień zmieniają \/A innych substytucyj już nie ma w grupie (s) przeto :

II. Funkcya \/A jest dwupostaciową; jej drugą postacią jest —VA.

Funkcye o dwóch postaciach, różniących się tylko znakiem, nazywamy krótko półsymetrycznemi.

Zajmijmy się utworzeniem wszystkich półsymetrycznych funk-cyj całkowitych wymiernych i wyznaczeniem ich grup.

x{

na

a dolny na górny również ze znakiem (-1)1+20-1 ~a),K    czyli

na

FCą{.

11,:

i t. d. Stąd wnosimy:

na

z nie-— Y/4. Ponieważ

) W drugim przypadku musi być oczywiście    a w trzecim n -r” 5.

Gdy P(xix.₂...x„) jest taką funkcyą, to musi istnieć pewne przestawienie n. p. (xm xj) zmieniające P na —P, inaczej bowiem byłaby funkcya P symetryczną. Za zastosowaniem przestawienia (xcpcj) mamy:

a stąd wynika, że:

P(xi ...xa...Xp...xn)=—P(xi ...Xp...Xa...Xn)

(2)

=0.

xa

Położmy w miejsce xa dowolną zmiennę z, to funkcya

P(xi...z...Xp...x„)

stanie się — według (2) — zerem dla z=Xp, czyli jest podzielną przez (z—Xp). Przy z=xa mamy funkcyę P(xl ...xa...xp...xn) i mamy ją podzielną przez (xa—xj).

P² będzie już funkcyą podzielną przez (xa—Xp)², a że jest symetryczną, więc musi być podzielną przez cały iloczyn A. Dana funkcya P będzie podzielną przez Y/J, a jeżeli zawiera w sobie VA w najwyższej m-tej potędze, to iloraz

(3)

P/(V/4),n

jest całkowitą funkcyą, która może być tylko albo półsymetryczną albo symetryczną. [Licznik P zmienia tylko znak, mianownik zaś, albo jest już jednopostaciowym, albo tylko znak zmienia].

Półsymetryczność ilorazu odrzucić jednak trzeba, bo w takim razie funkcya P zawierałaby czynnik V/A w wyższej potędze niż mteK Niechżeż (3) będzie funkcyą symetryczną Si, to mamy P=Si(VA)m. Lecz wykładnik m nie może być liczbą parzystą, bo wtedy P byłoby funkcyą symetryczną, a tak nie jest. Połóżmyż m—2^+1 i uwzględnijmy, że Si(VA)²‘u=Si jest funkcyą symetry

czną, to mamy ostatecznie:

(4)

p^sVa

To jest najogólniejsza postać całkowitej półsymetrycznej funk-cyi; a że się ona widocznie nie zmienia tylko po tych podstawieniach, w których \/A pozostaje niezmieniony, więc stąd wynika:

III. Wszystkie funkcye półsymetryczne mają 'wspólną grapę: grupę funkcyi VA. Taką ich grupę [określoną w tiv. 1.] nazyioamy grupą półsymetryczną.

Przejdźmy do funkcyi cp{xxx₂...xn) dwupostaciowej, ale nie-półsymetrycznej. Jej dwie wartości oznaczmy przez:

¹

{xa xp) lub (%p xa) ma to samo znaczenie, bo w przestawieniu 2 elementów ze sobą nie ma odgrywać żadnej roli następstwo elementów po sobie.

²

W razie gdy xk^ jest identyczne z xu trzeba to przestawienie odnieść do najbliższego elementu, który z podpisanym nie jest identycznym.

<P\ = <P i ^2+^1-

Gdy substytucya sa nie zmienia postaci (pi: to równocześnie nie zmienia i postaci (p₂; niemożliwem jest bowiem z nieidentycz-nych wyrażeń po zastosowaniu do nich identycznych zmian otrzymać wyrażenie to samo.

Podobnie, gdy Sp zmienia cp^ na <jp₂, to równocześnie musi zmienić cp₂ na (pi (z tej samej przyczyny). Z tego wynika, że:

(a)

(P)

(pi+(p₂=2Si, jest funkcyą symetryczną, ęp±—(p₂ =2Sy A jest funkcyą półsymetryczną.

Stąd :

(5)

(p^St+SyA, ą>₂=S,-S₂VA.

Każda z tych wyrażeń daje najogólniejszą formę (jednej z postaci) funkcyi dwupostaciowej, (a półsymetrycznej w razie Si = 0). "Widocznie i te funkcye nie zmieniają się jedynie w sub-stytucyach nie zmieniających funkcyi VA, a stąd twierdzenie:

IV. Grupa półsymetryczną jest grupą wszystkich dwupostaciowych funkcyj, a naodwrót wszystkie funkcye dwupostaciowe należą do grupy półsymetrycznej.

98. Rozdzielenie grupy symetrycznej na substytucye, sprowadzające różne wartości funkcyi ę>-wartościowej. Rząd i wskaźnik grupy. Podgrupa i jej rząd. Niech cp(xi, x₂, ..., x„)=(pi(xi, x₂,..., xn) będzie ^-postaciową funkcyą, gdzie w ogólności jest (>]>2. Jej grupą niech będzie:

Gl — (1, s₂, s₃,..., sr), tak , że :

<Pi ⁼ *P*X⁼ ty-H —    — ⁽Psr'

Każda inna substytucya o₂ niezawarta w grupie G± da już inną postać funkcyi cp, n. p. postać (p₂A^cpi. Utwórzmy szereg sub-stytucyj :

Gio₂

°2V^2°2 5 ^3®2J ”•? SrG₂.

(a)

to okażemy:

1°. Wszystkie substytucye (a) są między sobą różne. Przyjmijmy bowiem, że s/lu₂==5^(7₂,    to stądby wynikała identyczność

substytucyj Sz, a tak nie jest.

2°. Każda substytucya (a) zmienia cp=(pi na cp₂. Mamy bowiem

a więc =(p₂ , według założenia o substy-

<Pszai ~ ^<Ps;)o₂ — (⁽Pi)a2 tucyi o₂.

więc

3°. Tylko substytucye (a) zmieniają (pt na cp₂. Przyjmijmy bowiem, że istnieje substytucya t, niezawarta w (a), a zmieniająca również (px na <p₂, to mamy: (<jPib=<jP₂? a ze

GP\ )™₂_1 = (^1) ai 1 = ^1 •

Z tego wynika, że w₂_1 jest jednem z podstawień grupy G Połóżmyż ra₂~i=s^, to stąd dalej mamy tg^g^—s^g^ czyli %— s^g₂.

substytucye (a) są jedynemi zmieniaj ącemi (pt

Poddając te identyczne funkcye podstawieniu a2 identyczność:

-i

dostaniemy

Substytucya % należy więc do szeregu (a). Nasze założenie było fałszywe;

na cp₂.

Gdy (p nie jest 2-wartościową funkcyą, to posiada jeszcze trzecią wartość, którą otrzymać można, stosując do (pi pewną nową substytucyę <r₃; (p₃=(q>i)a- Szereg

(/?)

#1°3

°3? S2°3> S3 1 •••»

będzie zbiorem wszystkich między sobą różnych podstawień, przerabiających cpi na (p₃. Żadna substytucya tego szeregu nie mieści się ani w 6r1? ani w szeregu (a).

Przechodząc tak wszystkie wartości:

(Pu tPz) Wo

danej funkcyi, możemy utworzyć takie zestawienie:

s2?

^2! a2J ®2®*2i ^3^2? "■) ^^2 •

0>3> ^3? $2^3, ^3®3J SrG₃ .

sru₃.

S3?

Sr

G.

Gu₂

Gi(7₃

G₀.

tPęi ^2^01 $3    ’•’} SrOp-

Podstawienia wiersza pierwszego tworzą grupę Gi. Podstawienia poszczególnych wierszy dalszych nie będą grupami (w każdej grupie bowiem musi się zawierać substytucya identyczna). W zbiorze całkowitym

(y)

(Gri, G^G.^j    ..., Gr^Gę,)

sza

nie ma dwóch równych sobie podstawień; musi on przy tern zawierać dokładnie n\ podstawień całej symetrycznej grupy (s). Inaczej bowiem musiałaby istnieć jeszcze nowa substytucya, dająca (ę>+l) wartość (pQ+i• Lecz takiej wartości — według założenia — już nie ma.

Z drugiej strony mamy w (y) rę substytucyj, a więc:

(1)

r.Q—n\

Ponieważ r jest rzędem grupy 6r1? więc mamy twierdzenia:

I. Gdy funkcya posiada grupę, o rzędzie r, a jest ę-wartościową to symetrycznej grupie (s), to r, q są takimi podzielnikami liczby n!, że rę—n! Liczbę Q=n! jr nazywają wskaźnikiem grupy.

II.    jRząd grupy pólsymetrycznej o n elementach jest , gdyż ta grupa należy do Jcażdej dwuwartościowej funkcyi.

W nawiązaniu do tego dowiedziemy :

71 \    •    r

III.    Grupa o n elementach, a o rzędzie jest pól symetryczną

albo — innemi słowy — oprócz grupy pólsymetrycznej, nie ma innej,

którejby rząd był    . [Cała grupa symetryczna zawiera dokładnie

A

podstawień pierwszej i -V podstawień drugiej klasy], A    &

77 \    ,

Niech do grupy o rzędzie — należy funkcya <jp, to {?, ilość

wartości tej funkcyi musi — podług I. — być =2. Funkcya cp jest więc dwuwartościową, a stąd — według tw. IV. [art. poprzedzający] — wynika, że grupa dana jest półsymetryczną.

Niech Gi=(l, $₂? sp, •••> sr) będzie, jak przody, grupą funkcyi cp,. W niej niech się mieści grupa II, =(1, s₂, s3 ip—ip, nie zmienia,

zmienia tp, na tp₂, to szereg podstawień:

°2'    J Sp, @21 •”) Sfi°2

srj), która funkcyi której rząd jest ri<C,r. Gdy o? wyjęte z Gi

(«i)

H,g₂

zawiera

— podobnie jak (a) wszystkie już (różne między sobą)

Podobnie,

podstawienia zawarte w ćr1? a zmieniające ip, na ip₂.

(A)

°3 1 S2 Fi ’ ⁵3°3> •••? ⁵U°3

zawiera już wszystkie substytucye grupy Gi przetwarzające rp, na ip₃.

(7i)

Tak dalej postępujemy i kończymy na szeregu:

H,ąu

&in s2®i*i ^3°)o •••? srau

zmieniającym ip, na tp^ i wyczerpujemy przez

d[ o₂, II,o?<, .... II,a, wszystkie substytucye grupy Gx. W (1) jest podstawień r,g one grupę G, o rzędzie r wypełniają, więc mamy:

(2)

a że

(3)

p.r₁ = r.

Nazywając H, podzielnikiem, albo częściową grupą albo wreszcie podgrupą grupy Gn mamy twierdzenie:

IV. Rząd podgrupy jest zawsze podzielnikiem rzędu grupy, albo: Rząd grupy jest wielokrotnością rzędu każdej grupy częścioiuej.

Przyjmijmy, że funkcya oi jest p-wartościową, a funkcya p, -wartościową (z jej Pi wartości objęła grupa Gx szeregami (2) tylko wartości a < pt), wtedy według (1) mamy równocześnie:

(4)

a stąd:

r.P = n\, rlPl = n! r\ri = Pi: p.

stąd wynika :

Grdy dane są dwie różne funkcye cp, ip tych samych zmiennych, a o różnych grupach G, G‘: rzędów r, r', to funkcya acp-\-btp nie zmienia swej postaci j e d y n i e dla podstawień wspólnych grupom ćr, 6r\ Takie podstawienia tworzą — według zasadniczego twierdzenia I., art. 96. — grupę

Y. Wszystkie wspólne podstaicienia dwóch danych grup G, G‘ tieorzą grupę H. Jest ona częściową grupą tak grupy G, jak grupy G\ a jej rząd rh jest podzielnikiem i rzędu r i rzędu r‘.

99. Grupy należące do poszczególnych q wartości funkcyi (przetwarzanie grup). Spróbujmy teraz — mając daną p-wartościową funkcyę o wartościach qo1? cp.₂, (pQ — utworzyć grupy 6rl7 ćr₂, GQ należące odpowiednio do tych wartości. Pierwsza grupa Gt jest już dana i ma postać:

(1)

Gi (1) s₂, s₃, ..., sr) 5 prócz tego przyjmijmy, że substytucya az zmienia cpx na cpz, ż=2, p, to oz~x zmieni naodwrót (pz na (pv Według tego mamy taki szereg identyczności:

(2)

(n)o^-ua=(q>i)ta=<Pi, (n)oX-',aoX=(<Pt)oA=<px-Stąd wnosimy, że substytucye :

a=l, 2, 3,

nie zmieniają wartości (pz, a rozstrzygnąć trzeba, czy wypełniają całkowicie grupę Gz- Po tego potrzeba: 1° aby prócz podstawień

(2) nie istniało żadne inne podstawienie r, pozostawiające (pz nie-zmienionem, 2° aby w (2) nie było dwóch równych substytucyj, 3° aby złożenia kilku podstawień (2) zawierały się w (2).

Co do punktu pierwszego przyjmij my, że :

(<pz\=<Pi, a więc: (ęp^-i =    •

Lecz za (pz możemy położyć (cpj)

tak, że mieć będziemy (⁽Pi)oztoz~'l = (Pi• Z tego wynika, że oz^oz_1 jest jednem z podstawień grupy ćr;1. Połóżmyż ozxoz~^=sa, to stąd wynika:

G^OzTOz^Oz^Oz-^SaOz, czyli, [art. 94.], T=oz-'saOz.

Ta równość wskazuje, że x musi zawierać się w (2). Przyjmijmy, aby na punkt drugi odpowiedzieć, że:

to stądby wynikała równość sa=Sp. Lecz to jest niemożliwe przy W (2) nie ma więc dwóch, równych sobie podstawień.

Aby na punkt trzeci odpowiedzieć, zauważmy złożenie: Oir^SaOz.o^SpOi] daje ono oz^.SaSp.Oj,, a więc substytucyę zawartą

w (2).

Z tego wynika, że zbiór podstawień (2) jest rzeczywiście należącą do (wartości) (pa. Tę grupę naznaczymy symbo-

grupą

licznie przez Ga~iGiGa i nazwiemy przetworzoną grupy Gi

przez Ga-

Z tych uwag wynika :

I. Gdy do (pi należy grupa Gi, to

o₂~iGia₂ = G2 °?> ~~'Gi oz = G₃

r> $2

V ^3

gq~¹G^gq = G₀.

r> tyę

Każde Ga jest jednem z podstawień zmieniających cpl na (pa.

Każda z grup Ga zawiera substytucyę identyczną; powtarza się więc ona w zbiorze (Gi-\-G₂-\-GQ) Q razy. Nie jest więc ten całkowity zbiór grupą symetryczną (s).

Pd. 1. W Pd. 4. [art. 96.] mieliśmy grupę G funkcyi co, = xtx₂ -j- xix!i. Ta funkcya jest trzy wartościową. Za zastosowaniem substytucyi = (X)X₃) dostajemy wartość xix₃-p x₂xi, a po substytucyi (xixi) wartość o₃—xixiĄ-x₂x₃.

Grupami tych wartości <p₂, <p₃ będą więc tu:

u₂—¹ G<s-2 — [1, (xtx₃), (x₂xi), (xlx₃)(x₂xi), (xix₂x₃xi), (x₁x₂)(x₃xi\ tyl^) (^2*3), (x₁xix₃x₂)],

(r3-16!a3 ==[lj G\Xi)l (X2Xl), (x₁Xi) (x₂X₃), (xix₃xixi), (xtX₃) (x₂Xi),

(■X₁x₂)(x₃xi), (xix₂xix₃)].

Pd. 2. Jaka substytucya przetwarza a^—¹    na G?

Jasnem jest, że jeżeli s jest dowolną substytucyą danej grupy G, to s~'G.s będzie wprost grupą G, że więc przetwarzając daną grupę G przez dowolną jej substytucyę dostajemy znowu G.

Lecz -prócz podstawień samej grupy G mogą jeszcze istnieć inne podstawienia x tego rodzaju, że %~xGx=G.

Pd. 3. Półsymetryczna grupa, nie zmieniająca wartości funkcyi Y/A [art. 97.] nie zmienia także i drugiej wartości —\/^ tej funkcyi, a stąd wynika, że półsymetryczna grupa przechodzi na siebie, gdy ją dowolną substytucyą tych samych elementów przetworzymy.

Pd. 4. Grupa: H= [1, (xlx₂)(x₃xi), (xix₃)(x₂xi\ (#1^4) O*^)] przechodzi na siebie po przetworzeniu jej przez dowolną substytucyę czterech elementów xu a?₂, x₃, xk. Funkcya należąca do grupy II jest tu sześciowartościową, a z własności grupy H wynika, że grupy tych wszystkich 6 wartości będą identyczne.

Z symbolicznego równania:

T-i Gz=G

(«)

dostajemy xx~x Gx=x G czyli:

(P)

G x= r6r,

co oznacza, że gdy s jest dowolną substytucyą grupy 6r, to x~¹s x jest znowu pewną substytucyą s‘ grupy G. W szczególności może się zdarzyć, że x~lsx=s, czyli sx=xs.

Takie dwie substytucye s, x nazywamy przemiennemi a tę nazwę przenosząc na (a), (/?), mówimy: substytucyą x jest przemienną z grupą G.

100. Wyróżniona częściowa grupa. Szereg złożenia. Złożenia grupy symetrycznej i półsymetrycznej. Wspomnieliśmy już, że każda substytucyą samej grupy G przetwarza G na nią samą.

To samo dzieje się z jej najmniejszą częściową grupą:

. l.s=l. Jeżeli prócz tych zawsze istnie-

s₁=l, mamy bowiem S' jących wypadków, posiada grupa G częściową grupę H różną od G i od Sj = l o tej własności, że ją wszystkie substytucye s grupy G przetwarzają na JT, co naznaczamy relacyą:

(a)    6r_1 HG=G, albo (6) HG=GH,

to taką grupę nazywamy częściową wyróżnioną grupą. Według (6) można ją także określić jako częściową grupę przemienną z G.

Gdy grupa G oprócz Gis₁=l nie posiada wcale wyróżnionej grupy częściowej , lub grup wyróżnionych , to nazywa się niezło ź o n ą albo niepodzielną; w przeciwnym razie zwie się złożoną lub podzielną. Grupę złożoną G rozkładamy, gdy w niej poszukamy największej wyróżnionej częściowej grupy H] oznaczymy dalej największą wyróżnioną grupę iZj w H i tak dalej postępujemy, aż wreszcie dojdziemy koniecznie do ostatniej grupy s₁=l. Szereg G: H, Hi} JT₂, ..., 1 nazywa się szeregiem złożenia grupy G. (Nie rozstrzygamy tu, czy taki rozkład da się przeprowadzić tylko w jeden sposób).

Grupa symetryczna jest zawsze złożoną; zawiera bowiem grupę półsymetryczną jako wyróżnioną [por. art. 99. Pd. 3.]. Lecz jest-to zarazem jej największa wyróżniona grupa, gdyż po funk-cyach jednowartościowych (symetrycznych) następują bezpośrednio dwuwartościowe, a stąd wynika , że między liczbami <w !

pierwszą mogącą określić rząd grupy jest

Aby więc szereg złożenia grupy symetrycznej dokończyć, trzeba się teraz zająć złożeniem grupy półsymetrycznej.

Przy n=2 redukuje się taka grupa do Sj =1; jest więc nie-złożoną.

Grdy n—3, to rzędem grupy jest liczba 3; jej podzielnikami są 3 i 1, grupa jest więc i tu niezłożoną.

W razie n=4 znajdziemy w grupie największą wyróżnioną grupę (por. art. 99. Pd, 4):

#1=[1> (V₂) (.X3Xb)l (*1*₃) (X2Xi), (XlXi) (X2 X3 )])

a grupy J3’₂=[l, (x₁x₂) (#₃#₄)], ^==1] dokończą jej szeregu złożenia. Przy n=A jest więc grupa półsymetryczna złożona.

Weźmy »>4 i przyjmijmy, że i w tym razie ma półsymetryczna grupa G‘ częściową największą wyróżnioną grupę H.

Wyjmijmy z H substytucyę s=f=l zawierającą najmniej elementów. Przedstawmy ją złożeniem cyklów i przyjmijmy, że znajdujemy w niej cykl A=(x₁ x₂ x₃ xk x₅...) o więcej, niż 3 elementach, tak, że n. p. s — S.A. (S i A nie zawierają wspólnych liter, można więc cykl A umieścić — jak to uczyniono — na samym końcu, [art. 95. tw. IV.]). Przetwarzając s substytucyą <j=(xix₃xi) zawierającą się w ćr, dostaniemy:

s¹ == a~xs o=Sa~¹ A u,

o ¹ można położyć po S gdyż przetworzenie substytucyą a nie zmienia S. Dalej okaże się a⁻¹ Aa=At = (xiXoXtLx^x....), a s⁻¹=(SA)—¹=[art. 94.(1)].

Substytucyę s, s‘ mieszczą się w H, a więc i ich złożenie s~~l. s‘=A~¹S~~iSA‘=A~~iA‘=(x₂x₃x₅) mieści się w H ima widocznie mniej liter, niż s.

Z tego okazuje się, że substytucyą s nie należy do żądanych i że substytucyę o najmniejszej liczbie elementów nigdy nie są tak złożone , aby się w nich cykle o więcej niż 3 literach zawierały. Trzeba więc przyjąć, że s jest złożeniem samych cyklów 2g0 lub 3g0 stopnia i położyć albo:

s=su—S.(xix₂)(xzxIk), albo:

s=Sp—S. (xix₂xz) (x₆xix₆), albo wreszcie:

s==Sy=S.(x₁x₂) (ff₃#₄z₅),

gdzie S są substytucyami złożonemi również z samych cyklów o 2 lub 3 elementach.

Grdy położymy o=(xix₂x₅) i zauważymy substytucyę stt. a—lsaa, SpO-^SpO mieszczące się również w DT, to sprawdzimy i tu, że one mniej już zawierają elementów, niż odpowiednio sa, Sp¹). Podobnie kładąc x=(xix₂) (x₂xll) sprawdzić można, że syx-i syx mniej elementów, niż sy.

zawiera

Z tego wynika, że i złożone substytucye sa, Sp, sy nie mogą być w II substytucjami s o najmniejszej liczbie elementów, i ze więc wyłącznie być może s=(xa, Xp), lub s = {xaXpXy). Lecz pierwszą możliwość odrzucić trzeba [art. 97. tw. I.]; druga wskazuje, że w H zawierają się wszystkie substytucye parzyste, i że więc H jest wprost grupą G'. To znaczy:

I.    Grupa półsymetryczna G‘ io razie n=4 jest złożoną, i posiada szereg złożenia G‘, Hi, H₂, 1. Przy w < 4 jest niezłożoną.

II.    Grupa symetryczna w razie w=4 posiada szereg złożenia G, G‘, j0j, H₂, 1. Przy n 4 jest jej szeregiem złożenia G, Gj 1.

W ogólności dowolnej grupy częściowej H nie przetworzą wszystkie substytucye danej grupy G w nią samą. Mieć więc będziemy :

sw¹ Hs^Hz, 2=2, 3,..., r, łh^zH (r jest rzędem grupy G). Lecz każda grupa Hz jest oczywiście także częściową grupą grupy G. Takie dwie grupy nazywa Klein²) równou prawnionem i. Z tej definicyi wynika, że wyróżniona grupa częściowa jest-to podgrupa częściowa sama z sobą równouprawniona.

101. O podstawieniach przemiennych z danem podstawieniem i z daną grupą. Izomorfizm. Po tych określeniach przejdźmy do dalszych twierdzeń z teoryi grup.

które z daną substytucyą s

I. Wszystkie substytucye tx, t₂, o tych samych elementach co tx,t₂, ... są przemienne, tworzą grupę.

Według definicyi podstawień ti, t₂, ... mamy tx _1 s tx =s, t₂—¹s^₂ = 5, ... Przetwórzmy s złożoną substytucyą tx . t₂, to mamy:

(a)

(txt₂)~'stx t₂.

Lecz (M₂)_1==1₂~% położymy t₂~' (tx~'s tx)t₂ =t₂

-i

według (1) art. 94., a stąd zamiast (a) ⁻¹ st₂=s.

To wskazuje, że wszystkie złożenia substytucyj t₂, ... mieszczą się w nich i że więc zbiór    jest grupą, c. b. d. d.

II. Wszystkie substytucye ti} t₂, ..., które z daną grupą G są przemienne, tworzą grupę r o tej własności, że jej wyróżnioną grupą częściową jest G.

(«')

Według określenia podstawień ti,t₂,... mamy tu znowu: ti~iGti=G, t₂-iGt₂ = G,..., a dalej (*i h )⁻¹    h=;*2 "¹ (*iGtx )h = ■h~x G h = G.

To wskazuje, że substytucye t₂,...) tworzą grupę F. W niej zawierają się z pewnością wszystkie substytucye samej grupy G. Prócz niej może grupa F zawierać jeszcze inne substytucye, co symbolicznie naznaczyć można, pisząc r>G. Lecz wszystkie równania (a‘) napisać można jednem symbolicznem równaniem F~^Gr=G co znaczy, że G jest wyróżnioną częściową grupą grupy F.

Niech rząd grupy G będzie r, a druga grupa F, o tych samych , lub zupełnie odmiennych elementach (których może być nawet więcej lub mniej niż w G) niech zawiera Xi +>ł₂ + ...+-Xr podstawień 04]>1, k=i, 2,..., r). Podporządkujmy substytucye grupy F substytucyom grupy G w ten sposób:

*i-=l

U)

S2

S3

✓Y- "I ST    iY ***    ST *** I

% I °1 °2 , •>    | -

i przyjmijmy, że z schematu tego dowiadujemy się o takim związku grup G, F ze sobą :

1.    Gdy iteracya saa leży w htym dziale , to iloczyn a którykolwiek (równych, różnych) o wyjętych z ates° działu uporządkowany dowolnie leży w W?™- dziale.

2.    Gdy złożenie saa. sbP. scv... leży w htym dziale, to iloczyn podstawień o utworzony w ten sposób i w tym porządku :

a dowolnych    czynników    (równych,    różnych)    o    z    as° działu :

P dowolnych    czynników    (równych,    różnych)    o    z    &s° działu;

y dowolnych    czynników    (równych,    różnych)    o    z    c®⁰ działu...

leży również w htyrn dziale.

O grupach G, F posiadających tę własność powiadamy, że pozostają z sobą w izomorfizmie, i to: w izomorfizmie wielostopniowy¹¹¹? gdy 1, k=1, 2, ..., r, a w izomorfizmie jednostopniowym gdy wszystkie i*=l. W tym drugim przypadku schemat (A) prostszą formę:

ma

(B)

G 1 ⁵i 1 | S-2 1 S3 1 •••

Gdy Sjia. Sp⁶ ...=sh to także    ...=oh

a rząd grup jest

tu ten sam.

Pd. 1. Grupy <? = [1,    r=[l, (^2X^4); (^3X^4)) (hhX^₃)] pozostają

w wyższym, dwustopniowym izomorfizmie, a ich podporządkowanie przedstawia schemat:

G|

Pd. 2. Grupy

<*=[ 1) (xixi)(x^xe)(.xixa), (x\xs) (x2x5)(xix<>),

(xlxi)(x₂x₆)(x₃x₅), (xtx₅x₆) (x₂x₃xi), (x₁x₆xb) (x₂xix₃)}

r=x[l, (^₂), (?lU (?2?₃), (?1?2?₃), O^)]-

są w jednokrotnym izoformizmie; potrzeba tylko podporządkować substytucyę pierwszą pierwszej , drugą drugiej i t. d.

Bardzo łatwo okazać , że system podstawień 2= (a\, o\, który w wielostopniowym izoformizmie odpowiada substytucyi identycznej ^=1, tworzy grupę. Z określenia bowiem izomorfizmu wynika, że i wszelkie złożenia i iteracye podstawień tego systemu odpowiadają substytucyi s₁=l, mieszczą się więc w 2, a to jest dostatecznem znamieniem grupy.

Lecz dalej okazać można, że grupa 2 jest wyróżnioną częściową grupą grupy I⁷. W tym celu wyjmijmy z l⁷ dowolną substytucyę u; gdy w Cr odpowiada jej substytucya s [<j, s pozostają w tym samym dziale schematu (M)], a o-^ = ok-r , jest więc a stopnia 7cs°, to u⁻¹ odpowiada substytucyi s*⁻¹.

Lecz z drugiej strony ó.ok~¹ — ok==l leży w pierwszym dziale. Musi więc także s.s*"¹ w pierwszym leżeć dziale, a to znaczy, że sk=s^ — 1 i że 5 jest również stopnia Tc.

Stąd dowiadujemy się przy tej sposobności, że w grupach izomorficznych substytucyę odpowiadające sobie są zawsze tych samych stopni.

i sk~‘l=s~i

więc

a przetworzenia g~]oa‘G,

Ponieważ więc równocześnie ok~'¹ = a g b s—1 odpowiadają sobie znowu s~¹.l.s=l są także odpowiadającemi sobie substytucyami [znajdują się w pierwszym dziale schematu (4)], to stąd wynika, że wszelkie substytucyę o"⁻¹ Ga‘G należą znowu do 2) a że u może być dowolną substytucyą grupy 6r, więc mamy l⁷⁻¹ 2F— 2, c. b. d. d.

Z schematu (4) izomorfizmu wielostopniowego widać, że wszystkie substytucyę:

G^Ga‘

(1)

G₂'Gcc¹¹, ...,

gdzie a ma wartość jednej z liczb 1, 2, ..., ż₂ odpowiadają substytucyi l.s₂=s₂. Są one wszystkie między sobą różne i różne od podstawień grupy 2.

Przyjmijmy, że prócz podstawień (1) istnieje jeszcze inne t2 odpowiadające snbstytncyi s₂. Iloczyn %₂{aa,>)~¹ odpowie substytu-cyi s₁ = l, gdyż %₂ mieści się w dziale [s₂], a (Ua")⁻¹w dziale [s₂⁻¹]. Będzie więc T₂(ace“)~¹ = aei, a stąd t₂=oq,.occ¹¹, co oznacza, że %₂ jest już zawarte w systemie (1). Naznaczmy ten system przez 2. aau, to widocznie tylko on odpowiada substytucyi s₂, a X₂—Xi. Podobnie gdy oa,u jest jednem z podstawień działu [s₃], to system 2.0ci,n obejmie już wszystkie substytucye tego działu, a X₃ będzie znowu =Xi i t. d. Mamy więc twierdzenie :

III. Gdy grupy G, F pozostają w wielostopniowym izomorfizmie a substytucyi si^-l z grupy G odpowiada X substytucyj grupy F, to i każdej innej substytucyi z G odpowiada także X substytucyj w F. Taki izomorfizm jest X - stopniowym. Gdy rząd grupy G jest r, to r jest rzędu Xr.

Niech (sa, s,₃,...) tworzą częściową grupę grupy 6r, a tym substytucyom niech odpowiadają w F po porządku systemy:

(2)

(aa> aa'i    p    •••>

wtedy substytucye (2) są również grupą, a więc częściową grupą grupy F. Widocznie bowiem każde złożenie kilku podstawień (2) odpowiadać będzie takiemu podstawieniu w G, które się mieści w (s₍₍, s^...). To znaczy:

IV.    Substytucye grupy F odpowiadające substytucyom częściowej grupy grupy G tworzą częściową grupę w F. Izomorfizm tych grup częściowych jest rótmież \-stopniowy t. j. taki, jak grup G, F.

Bez trudności dowiedzie się twierdzenia:

V.    Wyróżnionej grupie częściowej w G odpowie iv F również wyróżniona jej grupa częściowa.

Wreszcie dowiedziemy:

VI.    Gdy z G wyjmiemy wyróżnioną największą grupę jej częściową , to tej grupie odpowie w F grupa największa wyróżniona.

Gdyby bowiem odpowiadająca wyróżniona grupa wF nie była największą, to i wyjęta grupa wyróżniona z G nie byłaby taką, co jednak sprzeciwia się założeniu.

102. Związek algebraiczny między q wartościami danej funkcyi. Wiemy już w jakim stosunku pozostają wartości (pi) <p₂, ..., cpQ ^-wartościowej funkcyi do symetrycznej grupy (s) swoich zmiennych, [art. 98.]. Zbadajmy teraz związek algebraiczny zachodzący między temi wartościami.

Jasnem jest, że każda symetrycznafunkcya wszystkich wartości ęp₂, ..., cpQ będzie zarazem symetryczną funkcyą wszystkich zmiennych xi, x₂,..., xn wchodzących w ą>i. Stąd wynika , że gdy c1} c₂, ... cn są elementarnemi funkcyami symetrycznemi zmiennych xux₂

$(^l) — -^l(Cl> c25 •••? Cn) -^1

(1)

S((p₁.(p.₂)=H'2(ci: c₂,C») = .4₂

(p^(p2'"{pn — -Rn{ę 1) ^2J •••} Gi)— ^n)

C?j.

gdzie prawe strony tych równań są wymiernemi w c₁,c₂₎. Równanie

(2)

<jpe—(pe-i + AzP?-²—... + ^=0 posiadać będzie pierwiastki cpil <p₂, ..., cpQ, a stąd twierdzenie:

I. Wartości Q-wartościoivej funkcyi są pierwiastkami równania stopnia q%° o spółczynnikach wymiernych w funkcyach elementarnych symetrycznych o zmiennych xi, x₂,x„.

Pd. 1. Okazać, że 3 wartości funkcyi <p₁ = a;₁a:₂-|- x₃xi związane są równaniem ?³— c2 ?² + (^‘i c? — 4c₄) <o — (q \ — 4c₂ c₄ -f ą ²) = 0.

Pd. 2. Wyprowadzić równanie (2) funkcyi trzywartościowej (xix₃-\-xi). Spytajmy, czy i kiedy równanie (2) przejść może na równanie dwumienne. Gdy ten wypadek zachodzi, to mamy ^+^ = 0, gdzie +yl? jest symetryczną funkcyą. Nazwijmy ją — S, to mamy związek:

(3)

<?Q*=S.

a pytanie nasze możemy tak postawić: czy istnieją funkcye wielowar-t o ś c i o w e, kt ó r y chb y potę gi by ły funkcyami s y m et ry c znemi?

Niech p zawiera czynnik pierwszy p, tak, że p =p.q. Równanie (3) możemy wtedy napisać =• S, a kładąc ^9 = ij<, mamy związek:

(4)

y=s

z którego widzimy, że w wykładnikach prowadzących do funkcyj symetrycznych możemy się ograniczyć do liczb pierwszych. Ponieważ S już w całej symetrycznej grupie się nie zmienia, więc <[» ma wszystkich różnych wartości t y 1 k o p; są one :

(5)

b 'K bo²,...,¹

jeżeli w jest jednym z ptych pierwiastków jednostki, różnym od 1.

Funkcya | nie ma być funkcyą symetryczną; znajdzie się zatem zawsze jedno przestawienie n. p. (xix₂) zmieniające <{< na inną jej wartość (5). Połóżmyź wyraźnie <j» = <J» (x₁x₂x₃...) to mieć będziemy po zastosowaniu przestawienia (x₁x.₂):

(6)

ł (x₂x₁x₃...) = ó (x₁x₂x₃...), p. ma jednę z wartości 1,2,3,..., p—1. Stosując do (6) znowu (xix₂), dostaniemy ^(x₃XyX₃...) = M¹¹ \(cc^a^,...) czyli ty(xxx%x₃ ..) = w²'¹ <}(a?,x%x₃...).

Z tego okazuje się, że    1 być musi, a że równocześnie jest top = l,

i    więc to się stać tylko tym sposobem może przy p pierwszem, że p.= 1,

a p — 2 położymy. Przy p== 2 wartości (5) redukują się do <|», — <[, a funkcya ó jest widocznie półsymetryczną. Stąd wynika:

II. Z wszystkich wielowartościowych funkcyj tylko półsymetryczne mają tę własność, ze ich potęgi mogą być funkcyami symetrycznemu Wykładniki potęg sa tu parzyste.

Po tym rezultacie najbłiższem pytaniem, jakie się nasuwa, jest: czy może zajść równanie <pm = Si -j- \/kS₂, Sl = 0 lub #^0, albo czy jest możliwa funkcya wielowartościowa cp, którejby potęga była funkcyą dwuwartościową, a w szczególności półsymetryczną [art. 97. (5)]. I tu — jak w poprzednim przypadku — możemy się ograniczyć do wykładnika pierwszego, biorąc za punkt wyjścia równanie:

(6)

■    = ,S'j -j- S₂ \/A , P liczba bezwzględnie pierwsza.

Funkcya <j* nie może być widocznie funkcyą symetryczną.

Przyjmijmy, że jest dwuwartościową lub półsymetryczną, to w pierwszym razie — jak odrazu widać — każdy wykładnik pierwszy p, a w drugim każdy taki wykładnik z wyjątkiem p — 2 spełni już równanie (6).

Właśnie w przypadku dwóch tylko zmiennych x₁, x₂, (n = 2), nie mamy innych funkcyj, jak symetryczne, dwuwartościowe i półsymetryczne. Dlatego — gdy n — 2 — to | i p do tych dwóch tylko przypadków odnieść trzeba.

Gdy n ^3, to prawa strona równania (6) nie zmienia się w całej grupie półsymetrycznej t. j. w grupie, którą tu można określić jako zbiór wszystkich podstawień złożonych z cyklów 3®° rzędu [art. 95., tw. VI.]. Funkcya ó przeciwnie nie będzie w tej grupie jedno wartościową i w tych już substytucyacli wykaże p wartości dających się przedstawić szeregiem (5). [Me jest przez to wykluczone, że prócz tych wartości będzie funkcya <]> posiadać jeszcze i inne wartości, a to: dla substytucyj nie leżących już w grupie półsymetrycznej].

Z tego wynika, że już i między kołowemi substytucyami rzędu 3g0 znajdą się takie, które ć zmienią na inną wartość, zawartą w (5), inaczej bowiem byłaby funkcya ó półsymetryczną, albo nawet symetryczną, co wykluczono.

Mech więc substytucya kołowa (XyX₂x₃) zmienia właśnie ó na wH, to

mamy:

(7)

ty(x₂X₃Xlxi...) — 10^(3?! #2 #3 #4...)

Po zastosowaniu tu znowu tej samej substytucyi dostaniemy:

x₂xk..() — ^>v^{x₂xzxlxi...)    (xlx₂x₃xi....).

Zastosujmy tu znowu tę samą substytucyę, to się okaże:

^(x₁x₂x₃xi...) = (i)2v^x₂x₃x₁xi.r) , czyli podług (7): $(x₁x₂x₃xi...) — M3v'}(x₁x₂x₃xi...)

Widocznie jest więc w³¹⁷ —1 • a że równocześnie także jest wP = l, a v <j>, więc być musi v = 1 i p =3. Funkcya <]/ jest więc wielowartościowa; jej wartości w grupie półsymetrycznej są: <]/, ów, ów², w³ = 1 , a

¹

Tak n. p. mamy

1°) Sa ¹ s(t'i = S .(xxx₂) (x?xi) (xlx₅x₂) . S .(xlx₂) (xixC> (xix2xh)

— S. (x,x%) (¹₃a:₄) (x:txi) (x₁x₅x₂). S. (xlxi) {x₁x₂x₅)

= S. (xxx₂)(X\xhx%) • S. (xlx.₂) (xix2xs)-2°) Porządek xx, x₂,x₃, xi, xh, x₆ przez zastosowanie kolejno s zmieni się na:

x₅,x₂, xi, x1} x₆, x₃, a stąd wynika, że s^a~i    S² (x₁x₅x₆x₃xi), (nie zawiera

elementu x₂).

²

Yorlesungen ilber das Ikosaeder... (1884) str. 7.

(8)

ł³ = Ą + ĄV'£

W razie n

5 można będzie grupę półsymetryczną funkcyi óp określić jako zbiór wszystkich substytucyj złożonych z cyklów 3S° albo 5K° rzędu Między cyklami 5g0 rzędu znajdą się z pewnością takie, które ó zmienią na inną wartość (5). Rozumując, jak wyżej, dostalibyśmy tu

<l(x₁x₂...) = <j)5vty(xlx₂...'),

skądby wynikło v = 1 , p — 5 i = Sx -{- S₂ \/A.

Lecz to się sprzeciwia równaniu (8), które tu także ma istnieć, bo grupę półsymetryczną można było uważać także jako zbiór wszystkich substytucyj złożonych z cyklów 3go rzędu. Stąd twierdzenie:

III. Miedzy funkcyami o 3 i 4 zmiennych istnieją funkcye wielowartościowe ^ o tej własności, ze ó³ jest juz funkcyą dwuwartościową, albo półsymetryczną. W pierwszym razie jest także ó'² o dowolnem 0 (mod. 3) dwuwartościową funkcyą , a w drugim jest óv półsymetryczną tylko przy nieparzystem q~ 0 (mod. 3). Przy n ^ 5 jwi takich funkcyj nie ma — chyba dwuwartościowe lub półsymetryczne. Z tych pierwsze podniesione do dowolnej potęgi, zostają dwuwartościowemi, drugie podniesione do nieparzystej potęgi, zostają półsymetrycznemi).

(Por. Pd. 4. i 5. w art. następnym).

103. Związek między funkcyami o tej samej grupie luk funk-eyarni, z których jedna należy do podgrupy drugiej. Zbadajmy teraz algebraiczny związek, jaki zachodzi między dwiema funk-cyami (pu , należącemi do tej samej grupy 6r o rzędzie r. Ich wielowartościowość q jest ta sama =—, a jeżeli substytucya Cra₂,

6r(T₃, Ggq [art. 98.] zmieniają cpi po porządku na cp₂, (p₃₁ ..., q>₉, to te same substytucye dają po porządku także czem raz nowe wartości tp₂, .... tpQ funkcyi ipi. Utwórzmy funkcyę:

<Pi*Vi +    + ••• + <pQx%=Bz

gdzie >i=0, 1, 2, ..., to ta funkcya jest symetryczną we wszystkich zmiennych xi, x₂₁ ..., xn, a więc wymierną w c₁, c₂, ..., c„, gdyż jakakolwiek substytucya zmieni w niej tylko porządek dodajników. Przy ż=0, 1, 2, ..., ę — I mamy:

Vi+'if>₂+... + %=B₀, ^i + 9L^2 + --- + <U>t/k=:J5l>

(1) cpi%ipi + cp₂%ip₂ + ...-]r(pQ²'ipQ=B₂,

.....................(pi?_1^l +    + • • • + <PqQ~''*Pq=•

Jest-to system ę liniowych równań w q niewiadomych ipi) ip2 ..., tp₀. Z nich dostajemy:

B₀ 1    1    ... 1    11    ... 1

... <pQ

² ... cpQ²

T-t t-H 8> 8-

bo bo

... WQ

B₂

²    (pQ²

Mianownik V[art. 97.] różny jest od zera, gdyż (pi, cp₂, ..., cp₉ są wszystkie różne między sobą. Mnożąc licznik i mianownik przez \/4p, dostajemy:

1 ... 1 ... typ ²    .- (pQ²

B₀

B,

B,

rH 8    8

CO CO

8 8

to

-8 'S i-¹

tO fcO

<N

... cpQ

... <iPo²

P-i

p-l

*P\ =

(pę, gdyż każde

Licznik jest tutaj wymierną całkowitą funkcyą (ę — l)g0 stopnia w cpx. a symetryczną funkcyą w cp₂, ęp₃, .

przestawienie ((pu, typ), a >(3=2, 3, . zmianę znaku w obydwóch wyznacznikach. Mianownik jako symetrj^czną funkcyą w gp1? (p₂, ..., cpQ można będzie zmienić na wymierną funkcyę (całkowitą) w c1} c₂, ..., cn. Dostaniemy więc:

p, wywołuje równoczesną

(2)

G'o <P ip+ C\ <Pj p~²+. ■ • + G‘q-\

Lecz O ₀, G\, ..., Gl Q-1 jako funkcye symetryczne (wymierne, całkowite) w <jp₂, (p₃, ..., cpQ wyrażą się wymiernie, całkowicie przez spółczynniki równania:

[qfl—Aiqfl-¹ + A₂q>v-i—...ztAę]l (qo—ępt)=0 i będą wymiernemi całkowitemi funkcyami w <jp1? ci} c₂, ..., cn [art. 88., (1)].

Uwzględniając to, mieć będziemy z (2):

(3)

Vi = (C₀(pim+Ci(p₁m-i+... + Crn):A gdzie w ogólności m^ę—1. Ten kształt jako wymierną funkcyę jednego tylko pierwiastka <jp, równania <pQ—M₁^o_1 + ...drM₍,==0 można dalej — w razie mj>ę—1 zredukować do funkcyi    (ę—1)

[art. 93., tw. II.]. Stąd, gdy zważymy, że w całem powyższem rozumowaniu (pi z pomieniać można — dostajemy twierdzenie:

I. Gdy dwie funkcye należą do jednej grupy, to każda z nich jest wymierną (całkowitą) funkcyą drugiej.

Gdy cp — jak przody — ma grupę G, a utworzymy wymierną funkcyę R((p), to funkcyą

(4)

tp=R((p)

w całej grupie G z pewnością się nie zmienia. Lecz prócz grupy G może ip mieć jeszcze inne substytucye, za których zastosowaniem pozostaje niezmienioną. Te wraz z G tworzą jej grupę I⁷, a grupa G okazuje się wtedy podgrupą grupy i⁷. Gdy jednak równocześnie jest ty=R(cp) i (p=Ri(ip), to widocznie G ma być podgrupą w U, a r ma być równocześnie podgrupą w G. To jest zaś tylko tak możliwe, że G, I¹ są identycznemi grupami. Stąd twierdzenie:

II. Gdy mamy dwie funkcye, a z nich każdą można ivyrazić wymiernie przez drugą, to obie funkcye należą do tej samej grupy. Jestto odwrócenie twierdzenia I.

Pd. 1. Funkcye ? = Ą    =    należą obie do jednej,

półsymetrycznej grupy, wyrazić 1 przez cp?

(S^-S^ + S^cp.

[Odp. 1 =

Pd. 2. Funkcye: cp = xlx₂Ą-x₃, ^ == xx %x₂² -j- xz ² należą obie do jednej grupy; wyrazić przez cp?

[Odp. 1 =    —2c₃, ą = xix₂a^].

Pd. 3. Funkcya <p =\/A . S jest półsymetryczną, a utworzona z niej funk-cya f =©² ma już grupę symetryczną.

Pd. 4. Funkcya o = xl-\-(n x₂-\- w²x₃, w³—1, w=pl, ma grupę G==si = \\ okazać, że '1 = ©³ ma już grupę półsymetryczną.

Pd. 5. Funkcya o = (xtx₂ -j- x:ixk) 4- w (xlxs -j- x₂xi) -[- o>²(xlxi -f- x₂x₃) ma grupę G = [ 1, (xlxi)(xoXi), (xlx₃)(xixi), (xlxi)(xix-i)]; okazać, że <[» = ?³ jest już funkcya półsymetryczną.

Z założenia związku (4) wynikło, że grupa funkcyi #> jest podgrupą grupy funkcyi tp. Wyjdźmyż teraz z założenia odwrotnego: Niecił F będzie grupą ^-wartościowej funkcyi 'ip=ipi) a G będąc podgrupą grupy T⁷, niech należy do ^-wartościowej funkcyi cp=(pi. Funkcya cpi niech ma w grupie F wartość #>, = #>n, a dalej #>₁₂, #>13? ..., cplmj a za zastosowaniem podstawień Fa₂, Ta₃, ..., Fo₀ [art. 98.] niech system wartości:

,(pi; gon, #>12,    #>i,m przechodzi na takie systemy:

(«)

%"l 9>21 , #>22,    #>2,m

^Po i    , #>£>2 ,    #>£>,m •

Za zastosowaniem dowolnej substytucyi s do wszystkich systemów (a) zmieni się tylko ich uporządkowanie, przyczem równocześnie i uporządkowanie wartości #> w poszczególnych systemach przejdzie na inne. Wskutek tego wyrażenie:

(5)

(#>li;l+#>12;l + ... + #>lm) #>₁+(#>₂₁;l-f#>₂₂;l-i-... + #>2m;l)#>₂ +

••• + (#>(, i* + <Pq2Z + • ■. + (pQmX) % = będzie symetryczną funkcyą zmiennych x₁, x₂, ..., xn, a więc wymierną funkcyą w c₂, ..., cn. Napiszmy związek (5) dla A=0, 1, 2, ..., ę—1, nie ściągając wyrazów o wspólnym czynniku ipk, to dostaniemy równania:

V>i +</h + ••• + */>! --•JrVJQJr'lPoJr”>Jr'lPo~-®o <Pl 1 ^1 + 9>12% + •'. ■■ + #>1 mfpi + • • • + <Pq ! % + (pQi% + • • • +    = Bi

#>1 1 ²V>1 + <Pl 2 Vl + • • • + #>lm²^1 + . ■■ ■■ + (pQl    + <Pq2 ²*Pe + ■ • • + <Pęm= B₂

⁽PiiQ-i'Pl<Pi2°~i*Pi+- + (plmQ-i*p2 + - + <Pl?lQ~i% + ⁽pQ2Q~ltpQ +

...-{-#>(>m^ ^'^Pq⁼⁼Bq^.\.

Wyznaczając z nich funkcyę #>1? stojącą w pierwszym wyrazie każdego z tych równań dojdziemy — na podstawie takiego samego rozumowania, jak w rozwiązywaniu systemu

(1) do związku:

Co <Pi    ¹ + ••• + Cu

=R(<Pi)

w którym /i,<jnię—l, ^pi=<pii, a odnosi się do wszystkich mę wartości funkcyi (p. Stąd twierdzenie:

III. Gdy grupa funkcyi cp jest podgrupy funkcyi ip, to ip można ivy mierne wyrazić przez (p.

Gdy r — jak przody — jest grupą funkcyi ^, a w tej grupie ma m wartości <p₂, •••, ?m, to każda symetryczna funkcya Sfa, ®₂> •••> ?»») należy już do grupy F i jest — według I. — wymierną funkcya funkcyi b* W szczególności mieć będziemy:

¥l4* f2"ł“ ••• + ?»»=■ Ą(fi)>    ••• =⁼-®2(łl)>••■» ?1?2 •••?»*—^»*0h)

(Ą, /<*₂; ... są znakami wymiernych funkcyj), a stąd wynika, źe równanie :

(6)

<pm— i?j(b) ®’w—1 -f--R2(h)?m—2 — ... + -Km(4) = 0 ma pierwiastki ®₂> •••) ?m. To znaczy:

IV. Gdy ® ma m wartości w grupie i¹ należącej do funkcyi b> to te wartości są pierwiastkami równania o spółczynnikach wymiernych w 4*i •

Przyjmijmy, że grupa G jest wyróżnioną (częściową) grupą w F, a więc:

(7)

r-i GT—G. Do wartości <pt, ®₂, niech należą odpowiednio grupy Gt, G₂, 6r₃,..., Gm, albo wyraźnie:

(8)

G, a₂—¹ Gtij, 03 * ćrff₃,..., aTO—1    ,

gdzie substytucye a₂, <r₃, ...,am zmieniają po porządku na ©₂, <p₃,..., <pm.

Wskutek (7) będzie każda z grup (8) wprost grupą G, tak, że <Pi, ¥%, ..., ®/» będą wszystkie do jednej należeć grupy. To znaczy:

V. Gdy 4*i posiada grupę F, a cp₁ w tej grupie jest m-wartościowe, gdy przytem grupa G jest wyróżnioną częściową tv F, to wszystkie wartości 9i, <p₂, •<•, fm mają te samą grupę G, a (m—1) z nich można ivyrazić wymiernie przez jedną n. p.

<Pl =?1» ?2~-^2(?l),?3 = -R3(fl),

104. Gratunki funkcyj. Zawieranie się gatunku w gatunku. Gratunki sprzężone. Gratunek Gralois. Wszystkie funkcye fg^hy.. należące do jednej grupy G określamy jako jeden gatunek funkcyj i naznaczamy go przez G (/, g, A, ...). Jedną funkcyą f należącą do takiego gatunku określony jest cały dany gatunek, do którego f należy (gatunek funkcyi /'), gdyż

g=Ri(f), h=R₂(f),... [art. poprzedź.].

Lecz prócz tego określone są jeszcze i wszystkie funkcye f', g‘, h‘, ... o dowolnej grupie F takiej , że się w niej G częściowo zawiera; określone więc są gatunki Ff‘. g\h\...), a to wskutek związków

r=R‘(0, g‘=B\(/•),

one za-

O takich gatunkach F{fj g\ h‘,...) mówimy, że się wierają w gatunku G(f, y, A,...), tak, że zawieranie się grupy w grupie jest wprost przeciwne z zawieraniem się gatunku w gatunku.

,...,

6re(<p&,...) do których po porządku

Gatunki G^tpjG₂(cp2y..)

należą wartości p-wartościowej funkcyi nazywamy sprzężonymi.

Gdy danych jest kilka funkcyj /', g‘, h“, ... należących do różnych gatunków (do różnych grup: F, G¹, H“, ...), a utworzymy funkcyę ca — a f+bg' + ch“ +to ta funkcya posiada jako grupę: wspólną grupę częściową grup F, GII“,... i należy wskutek tego do gatunku zawierającego się równocześnie i w gatunku F(f,...), i w gatunku G‘(g‘,...) i w gatunku H'¹ (h“,...)... Stąd wynika, że f=R((o), gl=R\(o)} /&"=!?" (co),..., a to znaczy:

I.    Każdą z dowolnie danych funkcyj o różnych grupach można zawsze wyrazić wymiernie przez jedną, liniowo z nich utworzoną funkcyę która dane funkcye w swym gatunku zawiera.

Funkcya ax^ + bx₂ -j-cx₃ sxn=t jest — w razie różnych między sobą a,b,c,...,s— funkcyą w!-wartościową i posiada grupę Si = l. Lecz ta grupa we wszystkich się zawiera, a stąd wynika:

II.    Gatunek funkcyi t zawiera się we wszystkich możliwych gatunkach, a każda dowolna funkcya o dowolnej grupie (dowolnego gatunku) da się wymiernie wyrazić przez t. Gatunek funkcyi t nazywamy gatunkiem Galois¹).

ROZDZIAŁ VIII.

O obrotach wielościanów umiarowych i ich funkcyach.

105. Grupa obrotów dwuścianu. Określając grupy wspomnieliśmy, że pewne prawidłowe ruchy geometrycznych regularnych figur (ich obroty) dadzą się ściśle sprządz z pewnemi szczególnemi grupami. Otóż właśnie przypadki zasadniczego znaczenia²) rozbierzmy tu bliżej.

**

Grdy na danej płaszczyźnie leży regularny w-bok o wierzchołkach xif x₂. ..., xn, wpadających odpowiednio w punkta A1} A₂, ..., An tej płaszczyzny, to cały zbiór (pojedynczych, lub złożonych) obrotów, zmieniających położenie w-boku tak, że wierzchołki jego we wszystkich możliwych sposobach wpadają znowu w punkta A\ ? ^27 *••? A

każde położenie występuje raz tylko — tworzy grupę. Rząd takiej grupy jest równy ilości wszystkich różnych między sobą możliwych położeń rozważanego w-boku. Taki rząd musi tu być <^n\ jeżeli n^> 2, t. j. jeżeli w-bok nie redukuje się do pary punktów.

A.

h.

~y

AA

AA

Am

/t

sjr

/r

0ł ar>

ir> m

AA

•* Se

Fig. 16.

Przez środek 0 (fig. 16.) danego w-boku poprowadzimy oś d prostopadłą do jego płaszczyzny. Obracając w-bok około d o kąty

(a)

0», —, 2.—, (»-1) -

fl ¹ fi 7    7 ^    -fi

w kierunku, wskazanym przez strzałki, dostaniemy po porządku położenia, w których punkta

&s a

ot    co co

wpadają wierzchołki (1)

xn

X\ 7

(2)

(3)

Zauważmy kołową, substytucyę s==(xix₂...xn), to przejścia z położenia (porządku) (1) do położeń (porządków) (1), (2), (3), ..., (n) określą substy tucye:

oO q 1 o 2    qW —1

O • u • O •••••O    •

(a)

Niemi będzie też można naznaczać obroty (a), które do żądanej grupy niezawodnie zaliczyć trzeba.

Lecz każdy regularny n-bok bez względu czy ma parzystą, czy nieparzystą liczbę boków posiada n osi symetryi hi:h₂,hz,..., hn Obrót jego (Jia) o 180° około osi symetryi hu da pewne uporządkowanie wierzchołków. To uporządkowanie , a równocześnie i obrót (ha) można naznaczyć wypadającą stąd substytucyą ta. Ponieważ 05=1, 2, 3, ..., n, więc mamy prócz (a) jeszcze obroty:

(fi)

^1J ^2? 4? •••? 1

które również do żądanej grupy zaliczyć trzeba, jako różne między sobą i różne od wszystkich substytucyj (a).

Po każdem ta mamy takie uporządkowanie wierzchołków, że przechodząc przez xi, x₂,..., xn okrążamy obwód w-boku w przeciwnym kierunku do kierunku wskazanym przez porządek A₁,A₂,...,An. Po każdem si* przeciwnie kierunki wskazane przez xi, x₂,..., xn, i A₁, A₂,..., An są zgodne.

Każde 4² = 1, gdyż dwa półobroty około tej samej osi ha wprowadzają w-bok do pierwotnego położenia: każda substytucya ta jest więc 2^° stopnia.

W (a), (b) mamy już wszystkie możliwe żądane obroty, albo substy tucye określające te obroty.

Tworzą one już grupę:

(A)

której rząd =2n. Taki w-bok nazywa Klein krótko dwuścia-nem, uważając go za bryłę nieskończenie płaską o dwóch ścianach (stronach).

stytucyj :

Wybierzmy jedną substytucyę ta i utwórzmy szereg sub

(o)

4, sta, s²4,..., sn 11„

Są one wszystkie między sobą różne, gdyż przyjmując sHa=sl*tai    mielibyśmy także tata~'l = sf*tata~'¹ czyli s^—s^

co przy >2 < ^ jest niemożliwe.

Substy tucye (c) określają dalej półobroty około osi symetryi, bo powodują, że po każdej z nich porządek xi, x₂, ..., xn jest przeciwny porządkowi AJ} A2} An; a że są wszystkie między sobą

Fig. 17.

różne, więc są wprost substytucyami tut₂,...,tn w pewnem uporządkowaniu. Stąd wynika:

Grupę obrotów dwu ścian u przedstawić można substytucyami:

1, S, S², ..., S”-¹ ; ta,.st„, S²t

cc j •

.., sn-xta.

Pierwsze z tych substytucyj tworzą grupę cy

kliczną.

Pd. 1. Grupą równobocznego trójkąta będzie podług {A):

1, (x₁x₂x₃), {x,x₃x₂), (xxx₂\ (x₂x₃), (x₃xx). Utworzyć tę samą grupę podług (A¹).

Pd. 2. Grupa kwadratu utworzona podług (A) ma postać:

1, (xlx₂x₃xi), {xxx₃){x₂xk\ (xixtx₃xi),

(x₂xi), (xtx₃), (xlxi)(x₂x₃), (x,x₂) (x₃xi).

Pd. 3. Utworzyć grupę pięcioboku i sześcioboku regularnego.

106. Grupa czwórki. Szereg złożenia grupy czwórki i grupy dwuścianu. Wyobraźmy sobie kulę z kołem równikowem , w które wpisano regularny w-bok (xi, x₂, ..., %„), a której bieguny naznaczymy przez P, P¹. (fig. 17. n = 4). Płaszczyzny PP‘h

a=l, 2, ..., n, położone przez oś kuli PP‘ i przez każdą oś symetryi ha, podzielą razem z płaszczyzną równikową całą powierzchnię kuli na 4n trójkątów sferycznych równoramiennych o kątach

CC )

TL

przy równiku wynoszących —, a o ką-

U

tacli = -

- przy biegunach.

P'

Dla łatwiejszego orientowania się zróbmy pola tych trójkątów naprzemian to jasne to ciemne. Pierwsze z nich naznaczmy przez I, I1? I₂,..., I2„_i, drugie zaś przez II, II1? II₂, ..., II2n-i (na razie o dowolnym porządku). Zauważmy jeden trójkąt jasny (trójkąt I.), to gdy równocześnie z obrotami grupy n-boku obracamy i stale z nią połączoną kulę, miejsce trójkąta I zajmować będą po porządku wszystkie trójkąty jasne. Gdy substytucya o (=S‘M, albo —s^ta) wyjęta z grupy daje obrót sprowadzający trójkąt I₀ na miejsce trójkątu I, to Ie nazwiemy la, a trzymając się tego oznaczenia możemy wszystkie trójkąty jasne nazwać:

Podobnie i wszystkie trójkąty ciemne naznaczymy przez II/, II/³ a,    0, 1, 2, ..., n—1.

(2)

Porządek trójkątów tak w (1) jak w (2) zależy tylko od pierwszego obranego trójkąta, jeżeli substytucyj grupy już zawsze w pewnym ustalonym porządku używamy.

Gdy dwa sąsiadujące bokiem trójkąty (I + II) weźmiemy pod uwagę, to za obrotem wskazanym przez substytucyę u miejsce ich zajmie również para trójkątów przylegających do siebie bokiem. Gdy tę parę nazwiemy (I + II+, to jasny trójkąt Ia padnie zawsze na jasny trój kąt I, ciemny II₀ na ciemny trójkąt II a obszary naznaczone przez (I + II)/, (I + II)/+, albo krócej przez

(3)

M, (sHa), <a = 0, 1, 2, ..., n—1

wypełniają całą }30wierzchnię kuli.

Taką obraną parę (I + II), która naodwrót położeniami

swo-

jemi podczas obrotów całej grupy wypełni całą powierzchnię kuli nazywamy zasadniczym obszarem, albo zasadniczym z a kr e s e m³).

wraz

P’

Fig. 18.

Naznaczmy obrót o kąt n około osi PP‘ przez S, a półobrót około hi (lub h₂) przez T to przez obroty

To łączenie obrotów w-boku z równoczesnymi obrotami kuli stale z nim połączonej i dzielenie powierzchni tej kuli na trójkąty dozwoli teraz utworzyć także grupę złożoną z 2n—4 obrotów i w przypadku n—2. Niech bowiem (fig. 18.) xi, x₂ będą końcowymi punktami średnicy koła równikowego. Samą średnicę xix₂—hi uważać trzeba za \ jedyną przekątnię dwuboku^pj^), T a więc za jego jedną oś symetryi. i Drugą jego osią symetryi będzie prosta QB=h₂, prostopadła do x₁x₂, a przechodząca przez środek koła. Płaszczyzny PP'hi, PP‘h2 z płaszczyzną równikową podzielą kulę na 4.2=8 trójkątów.

(5)

1, S, T, ST

miejsce dowolnego obszaru (I + II) zajmą po porządku trzy inne takie pary, które razem z obraną wypełniają całą powierzchnię kuli. Przytem — jeżeli T jest obrotem około hi (lub Ji₂) — to ST jest obrotem około h₂ (lub \)] S, T, ST są o peryodzie 2.

Obroty (B) jako obroty regularnie podzielonej kuli są grupą obrotów, którą krótko czwórką, albo grupą czwórki nazwiemy. Określić jej jednak grupą podstawień dwóch elementów xi,x₂ jest niemoźliwem.

Przechodząc bowiem do takiej grupy trzeba:

podstawień (XiX'²\ = l \vCi x₂)

1 brać w znaczeniu

(%i%₂)

1 lub (x^x₂)

lB‘)

według tego czy T jest obrotem około ht lub h₂. Wtedy odpowiednio trzeba ST określić jako (xix₂) lub 1. Taki jednak zbiór 23odstawień nie jest nigdy grupą. Przy n >>2 jest przeciwnie grupa obrotów zarazem grupą podstawień wierzchołków ^-boku. Znacząc odtąd obroty dużemi literami dostajemy jako grupę w-boku, (n>2) : S^, S^T, ^=0, 1, 2, ..., n—1,

T jej pół-

• •

gdzie S jest obrotem kuli około jej osi PP‘ o kąt — obrotem około którejkolwiek z osi symetryi w-boku (dwuścianu).

Łatwo spostrzedz, że wszystkie obroty w grupie czwórki są, z sobą przemienne i że każde 2 obroty: (1, S), (1, T), (1, ST) stanowią częściową grupę grupy czwórki G. Są-to zarazem największe zawarte w niej grupy, a przytem każda z nich jest wyróżnioną, a więc i największą wyróżnioną grupy. [Weźmy n.p. grupę (1, S) pod uwagę, to przetwarzając ją przez T, mamy T⁻¹.1.T=1, T~~^ST— TST=STT=S] ten sam rezultat dostaniemy z przetwarzania jej przez S lub ST],

Szeregiem złożenia grupy czwórki G będzie więc [6r, (1, S), 1]. W grupie dwuścianu Gn, (n^> 2), znajdują się 2 grupy częściowe:

Hn = (l, S, S²,...,#-¹) i (1, Sf*T)-,

z nich pierwsza jest największą, a równocześnie wyróżnioną podgrupą, gdyż S-a Sa=Sl*, a Ta~¹ Sf* T« = 8P.

Gdy n jest bezwzględnie pierwszą liczbą to szeregiem złożenia grupy Gn będzie [Gn, Hn, 1]. W razie, gdy n posiada podzielniki:

1,    ^id₂cZ₃, ... tak, że

n — l.n, dYru dxd₂r₂, dld₂dzr^₎ ...

to w Hn zawierać się będą podgrupy

' Hri=( l,/‘, s2d' Hr₂=(l,sd'd*,

Sdl<lt(r2—

a każda następna będzie największą wyróżnioną bezpośrednio ją poprzedzającej. Na szereg złożenia grupy Gn dostaniemy więc [G„, Hn, 7/r,, Hr,,..., 1.].

107'. Grupa obrotów czworościanu umiarowego. Izomorfizm.

A.x„

Przejdźmy do regularnych wielościanó w, które sobie wyobrażamy wpisane w kulę i z nią stale połączone.

,a⁴

jźó

Czworościan o narożach xi, x₂, x?), xk (fig. 19.) wpadających w punkta A1} A₂, A₃, Ak zajmując za pomocą obrotów znowu tą samą, 4 ścianami zamkniętą przestrzeń (Ai A₂ A₃ Ak) może przedewszystkiem takie mieć położenia :

Fig. 19.

w Aa.

1°) Wierzchołek xa ma pozostać

a) Nie dokonywamy żadnego obrotu; każde więc x

to możemy naznaczyć

ce = l

2, 3, 4, pozostaje na swojem miejscu identyczną substytucyą:

(1)

x₁ x₂ x₃ xi

/y»    /y» y' /y⁴

tA/Ą iA/O iX o

/?) około wysokości ha czworościanu wychodzącej z naroża xa dokonywamy obrotu o kąt Każdy z pozostałych wierzchołków

Xp, xy, Xó ściany przeciwległej wierzchołkowi xa przesunie się o jeden, tworząc porządek XyX$Xp. Taki obrót można więc naznaczyć substytucyą kołową:

(2)

Ua—(xpXyX$), cc—1, 2, 3, 4.

y) Około tej samej wysokości ha dokonywamy — gdy czworo-

/ •    •    •    2 TC

ścian jest jeszcze w pierwotnem położeniu — obrotu o kąt 2.—

O

(3)

Każdy wierzchołek Xę, xy, X$ przesunie się wtedy o dwa, tworząc porządek x?,, xp, xy. Taki obrót można będzie naznaczyć substytucyą U a² = (Xp Xy x₆) ²=(xóXp Xy), 05=1,2,3,4.

W (1), (2), (3), mamy 9 różnych między sobą żądanych obrotów czworościanu dających się określić substytucyami :

(4)

1 TT TT ² TT TT ² TJ TT ² TT TT ²

ull u\ 1 u2> U2 1 u3> u3 J Uk1    •

Te wszystkie substytucye — wyjąwszy identycznej — są o peryodzie 3, a oprócz położeń niemi osiągniętych nie znajdziemy już żadnego, w któremby przynajmniej jedno z naroży xa zatrzymało pierwotne swe położenia Aa⁴).

II⁰) Aby naroże Xp, /?=1, 2, 8, 4 zajęło położenie punktu Aa—xa, «</?? «=1) 2, 3, 4, musimy się przedewszystkiem postarać o jakikolwiek obrót, któryby właśnie tę zmianę wprowadził.

Naznaczmyż krawędzie czworościanu, wychodzące z naroża Xi przez a—xix₂, b=xix₃, c—xix₄. Jedyną krawędzią, która z krawędzią a wspólnego naroża nie ma, jest krawędź xzxti—a'. Nazwijmyż parę a, a‘ parą krawędzi przeciwległych, to takiemi samemi parami są jeszcze: (b—xix₃, b‘=x₂xlt) i (c=xlxi, c‘=x₂x₃). Połączmy środki krawędzi «, a' prostą y.,, krawędzi &, prostą y₂, a krawędzi c, c' prostą y₃, to te 3 proste (środkowe czworościanu) przeci-nają się. w jego środku 0, są do siebie prostopadłe (jak PP', hi, h₂ w grupie czwórki) i prostopadłe do krawędzi, których środki ze sobą łączą. Dalej: pary płaszczyzn (g₁a), (,glat), ... są do siebie prostopadłe.

Obrót o kąt n około wprowadzi równocześnie przestawienia (xix₂), (x₃xi) [por. fig. 19.J i da się określić substytucyą:

(5)

S=(xix₂)(x ₃xi).

Obrót o 2ji daje już pierwotne położenie

więc s²=l. Obrót o kąt n około g₂ wprowadzi przestawienia (xixz), (cc₂xk) i da się określić substytucyą:

(6)

T²=l.

T=(xixz) (x₂xi),

Obrót wreszcie o kąt n około gz da równocześnie przestawienia (xixi), (x₂xz) i określi się substytucyą:

(7)

^=(^^4) (^2^3),    Z²=1.

Lecz obroty S, T, Z są tej samej natury, co nieidentyczne obroty czwórki, a wskutek tego mamy Z—ST, co zresztą i składaniem podstawień S, T sprawdzić można. Przy tern zauważyć trzeba że tu podstawienia (5), (6), (7) określające obroty S, T, ST będą wszystkie między sobą różne, a 1, S, T, ST jest tu grupą nie tylko obrotów ale i substytucyj, co przy dwóch elementach nie miało miejsca.

Po obrotach S, T, ST zajmuje miejsce naroża xi, po porządku naroże x₂, xz, xK, co widać z przestawień wchodzących w (5), (6), (7).

Po obrocie S pozostanie x₂ w miejscu xi: choć dokonamy jeszcze obrotów, U₂, U₂², a więc utworzymy złożone obroty SU, SU₂². Lecz podług zasad składania podstawień [art. 94.] dostaniemy SU₂ = Ui, SU₂²=(xix₂xi)=Uz, a także i wszelkie złożenia WUa, WUa², a=l, 2, 3, 4, gdzie W oznacza S, T lub ST znajdziemy już między obrotami (4).

Stąd wnosimy, że obrotami (4), (5), (6), (7), wyczerpujemy wszystkie możliwe obroty i mamy twierdzenia :

I.    Grupa czworościanu sltłada się z 12 obrotów:

(e)

1, Ux. Ux\ U₂, U₂², U₃, U², Z7₄, U², S, T, ST;

w nich znajdujemy: a) identyczny obrót, b) 8 obrotów około wysokości (po dwa obroty około każdej z nich), pozostawiających po porządku jeden tylko wierzchołek xa w Aa, c) 3 obroty około 3 środkowych czworościanu, zmieniające wszystkie naroża dwoma przestawieniami.

II.    Grupę czworościanu można określać grupą 12 podstawień o 4 elementach xi, x₂, x₃, xi, a mianowicie:

1, (X₂x₃xi), (x.₂xix₃), (x₁x₃xi), (x₁xix₃), (x₁x₂xi), (x₁xix₂), (x₁x₂x₃), (xxx₃x₂), (x₁x₂)(x₃xi), (x₁x₃)(x₂xi), (xjxi)(x₂x₃).

Jestto widocznie grupa wszystkich parzystych podstawień, utworzonych z 4 elementów (grupa półsymetryczna).

Niech U, przedstawiając pewną obraną substytucyę Ua, wchodzi w złożone obroty:

(8)

U, SU, TU, STU-, U², SU², TU², STU².

O tych obrotach, które są niezawodnie obrotami około wysokości, dowiedziemy, że nie dają nigdy ani substytucyi identycznej, ani równych sobie substytucyj.

U-*

Połóżmy bowiem WTP=1, (i=l, 2), gdzie W — jak przody — oznacza którykolwiek z obrotów S, T, ST, to stądby wynikało: WU*'U~k—U~x, czyli W=U~'¹. Lecz to jest niemożliwe, bo po obrocie W nie znajdujemy żadnego naroża xa w Aa, a po przeciwnie jeden wierzchołek xa koniecznie znajduje się w Aa.

Podobnie okazać można, że w (8) nie mogą się zawierać równe sobie substytucye.

Obroty zatem (8) przedstawiają wszystkie (nieidentyczne)

2 TC    2 TC

obroty około wysokości czworościanu o kąty i 2.-^-, a stąd

O    o

wynika:

III. Grupą czworościanu jest zbiór obrotów:

(cl) [1, S, T, ST], [U, SU, TU, STU], [U², SU², TU², STU²]. Gdy U ma znaczenie n. p. obrotu Uk, to (&) przedstawić można substytucyami 4 elementów (naroży), w ten sposób:

(ć i)

1, S=(xxx₂)(x₃xk), T=(xlx₃)(x₂xli), ST=(xixi) (x₂x₃), U=(xix₂x₃), SU=(xix₃xi), TU=(x₂xix₃), STU=(xixix₂)T U²=(xix₃x₂), SU²=(x₂x₃xi), TU²=(xix₂x₄), STU²=(xixix₃).

18

Teorya funkcyj.

Ponieważ przez każde z naroży xa przechodzi jedna wysokość ha czworościanu, więc stąd wynika, że w (c\) można xi, x₂, xz, xk zmienić na hi, h₂, h?j, hk i powiedzieć:

IY. Grupę czworościanu określają, wszystkie parzyste substytucye, utworzone z czterech jego wysokości; albo: Grupa czworościanu pozostaje jednostopniowyni izomorfizmie z pólsy metryczną grupą przemian jego 4 wysokości.

108. Podział kuli opisanej na czworościanie przez jego przekroje symetryi. Izomorfizm. Szereg złożenia. Płaszczyzny PP‘ha, które podzieliły kulę stale połączoną z w-bokiem regularnym, były płaszczyznami symetryi rozważanego w-boku. Tu w czworościanie płaszczyznami symetryi są:    0a, Oa¹,

Hi

Ob, Ob¹, 0c, 0c‘. Jest icb 6; są-to dwój-sieczne 6 kątów dwuściennych. W każdej z wysokości h& trzy takie płaszczyzny przecinają się z sobą i dzielą trójkąt )CaXpXy [fig. 20.] na 6 przystających trójkątów. Każdy z nich ma kąty

TC

⁵    3 ’    2 '

Fig. 20.

7Z

Wierzchołki ich o kątach — wpa-

O

A\

dają wszystkie w punkt H‘ó, spodek wysokości h&. Trzy płaszczyzny dwój sieczne kątów dwuściennych o krawędziach xaXp, XpXy, XyXa wytną na kuli czwartą jej część (równoboczny sferyczny trójkąt) xaXpXy (fig. 21.), a trzy płaszczyzny, przecinające się w h₆, podzielą tę część na 6 trójkątów,

Gv

każdy o kątach    Wspól

ny ich wierzchołek jest punkt Hq, punkt przebicia kuli przez wysokość hy, w nim mają wszystkie

TC

trójkąty kąt =y.

Fig. 21.

Z tych 6 trójkątów zaciem-

nijmy co drugi i w ten sposób odróżniajmy trójkąty sąsiadujące na powierzchni całej kuli.

g- około wysokości li

Stosownie do obrotów o kąty

O

2 n    Sn

ł ^ . "TT"

hp, hy hs obracać będziemy kulę o takież kąty około jej średnic kończących się w xa, Xp, xy, Hs, a że każde dwa sąsiadujące bo-

kiem trójkąty mają w tych punktach sumę kątów    więc

O

przy obrotach około wszystkich 4 wysokości hs jasny trójkąt zajmie zawsze miejsce jasnego, a ciemny ciemnego.

Punkta G-ą, G^ Grv, połowiące boki trójkąta x^CpXy są punktami, w których środkowe g^, g^, gv przebijają kulę. Około nich trzeba robić obroty o kąt n

że właśnie tak każdy jasny, jak

TC

każdy ciemny trójkąt ma w tych punktaah kąt więc stąd wy-

nika, że i przy obrotach około wszystkich 3 środkowych czworościanu padnie znowu jasny trójkąt na jasny, a ciemny na ciemny.

Podczas dokonywań obrotów całej grupy czworościanu połączonego już stale z kulą przekryje się trójkąt sferyczny xaXpXy, który teraz krótko przez Cs naznaczymy, 3 razy sam ze sobą (obroty około hs), z uwzględnieniem identycznego obrotu. Po trzy razy zaś nakryje się trójkątami pozostałymi Ca, Cp, Cy, każdym razem z innym nakrywaniem się wierzchołków (obroty około gx, g^, gv i każde 2 obroty około x„, Xp, xy). Naodwrót Cs nakryje podczas tych ruchów 3-krotnie całą powierzchnię kuli.

naodwrót poło-raz całą po-

Gdy jednak zauważymy w Cs dwa sąsiadujące bokiem trójkąty: jasny I. i ciemny II., to taki obszar (I-f-II) podczas obrotów całej grupy przykrywać się będzie po porządku czemraz nowemi takiemi parami; żeniami swemi wypełni raz i tylko wierzchnię kuli.

Jestto dalszem następstwem tej okoliczności, że w Hs (a także

2yr

w kąt n, a właśnie

w xa, xp, xy, xs) ma taki obszar kąt

tyleż wynoszą obroty około hs i gx> Połóżmy (I -ł- II) = (1)

taką inną parę, wstępującą po obrocie a na miejsce (1) naznaczmy przez (a), to obszarami

¹

Dalszy rozwój teoryi substytucyj i ich zastosowań znajdzie w dziele E. Netto’na „Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra(Lipsk 1882), podług którego w tym rozdziale teoryę opracowano.

²

Por. dalej. C. Jordan. Traite des substitutions et des eguations algebrigues (Paryż 1870). Nie tak obszernie jak w tych dwóch przytoczonych dziełach traktuje rzecz o substytucyach Jul. Petersen w „Tlieorie der algebraischen Gleichungen“ (Kopenhaga 1878). Por. także: H. Weber. Lehrbućh der Algebra T. I., II. (Brun-szwik 1895). E. Picard. Traite d’Analgse. T. 8. Ch. 16.

) F. Klein. Yorlesungen uber dąs lkosaeder (1884) str. 5.

³

U Niemców „Fundamentalbereich, u Francuzów „region generateur“.

⁴

Gdy bowiem mimo obrotów ma xa pozostać w Aa — xa, to te obroty mogą być wyłącznie około wysokości ha- (Czworościan ma 4 wysokości hx

(1)    (8)    (T)    (ST)

(U) (SU) [(TU) (STU) (U²)    (SU²)    (TU²)    (STU²)

U)

wypełnia się cała powierzchnia knli. Obszar (1) nazywa się z tego powodu i tu obszarem zasadniczym, a grupę obrotów czworościanu można określić jako całkowity zbiór takich obrotów kuli, które na miejsce obszaru zasadniczego (1) wprowadzają, wszystkie obszary (każdy raz tylko) regularnie podzielonej jej powierzchni przez wszystkie płaszczyzny symetryi regularnego czworościanu w nią wpisanego. Podczas tych obrotów naodwrót obszar (1) położeniami swojemi wypełnia całą powierzchnią kuli.

Co się tyczy częściowych grup w grupie czworościanu , to sa one:

(1, S, T, ST), (1, Ua, U«²), « = 1,2, 3,4.

Z tych pierwsza ma rząd największy i jest przytem wyróżnioną. Obroty bowiem z—^Sa, a—1 Ta, a—1 S Ta, gdzie a jest dowolnym obrotem wyjętym z całej grupy, są zawsze jeszcze obrotami około środkowych g^, g%, g₃ ; a że wszystkie są różne między sobą, więc muszą wraz z identycznym obrotem w pewnym uporządkowaniu dawać 1, S, T, ST.

Wskutek tego szeregiem złożenia grupy czworościanu będzie: sama grupa, grupa czwórki zawarta w niej i szereg złożenia tej ostatniej. Złożenie grupy możnaby wreszcie wywnioskować także z półsymetrycznej grupy 4 wysokości. Ta jest zawsze złożoną [art. 100, tw. I.] a więc i grupa czworościanu izomorficzna z nią musi być złożoną.

109. Grupa obrotów ośmiościanu umiarowego. Podział kuli opisanej na ośmiościanie przez jego przekroje symetryi. Izomorfizm. Szereg złożenia. Naroża ośmiościanu    (fig-22.) niech

"73 [Bj)

mieszczą się w przestrzeni w punktach A₂, A₃,    , -Z?₂ j ^3•

%PQ-

Do obrotów, które ten ośmiościan znowu do przestrzeni zamkniętej (Ai A₂ A₃ Si .Z?2 -®3) sprowadzą, zaliczają się:

a)    Obroty około 3 jego przekątni

ti*7u    £3% ⁰ kąty*' JI i ~JT.

,C»J

Fig. 22.

b)    Obroty około 3 par prostych połowiących boki przeciwległe o kąt n.

ć) Obroty około 4 prostych łączących środki ścian przeciw-

jj- Qtt

“ległych (środkowych przeciwległych ścian) o kąty -5-, 2.-^-;

o o

^ około przekątni wyrażą się^

d) Obrót identyczny. Obroty o kąty ny -n substytucyami:

ttl) (^2f₃^2^3)1    ^l) (§2%f₃ł?₃)l Cl) (f2^3%f₃) i

około przekątni substytucyami:

«₂) (flf3%%)l &₂) (fl%)(f₃%)l C₂) (flMlf₃); a wreszcie około przekątni f₃v/₃ substytucyami:

°₃) (fif₃¹?i%)» &s) (fi^i)(f₂%)ł cs) (iiV2Viia)-Przechodząc do obrotów o kąt jr około prostych łączących środki co dwóch boków przeciwległych, mamy: 1) obroty:

(1)

(fifa) (*7i%) (f₃%)i (fi%) (iaVi) (£3%) około środkowych kwadratu (£1^2%%) i 2) obroty:

(2)

(iais)(VaV3) (iiVi)> (f₂%)(f₃%)(fi^i) około środkowych kwadratu (i₂i₃%%) i wreszcie 3) obroty:

(3)

(fifs) (M₃) (f₂%)i (fi%) (f₃%) (f₃%)

około środkowych kwadratu

Pary przeciwległych ścian w ośmiościanie nazwijmy: (1, 1'), (2, 2'), (3, 3'), (4, 4') a proste łączące ich środki nazwijmy odpowiednio h₂, h₃, hik. Po zsunięciu każdej takiej pary ścian po ich prostej środkowej do jednej płaszczyzny, mieć będziemy takie zestawienia :

, r i'

2.. 2.

3. 3'

■fc

lŁ

V ¹ Sł \/ T

3,

II

Fig. 23.

[Górne trójkąty w tych rysunkach są górnemi ścianami ośmio-ścianu (fig. 22.)].

2 n    4 7i

— około hl,h2ih₃,ht odpowia-

O

Obroty ośmiościanu o kąty

O

dać będą obrotom o takież kąty gwiazd I, II, III, IV około ich środków (fig. 28.); przytem obrotów dokonywa się w dowolnych kierunkach, a więc n. p. w kierunkach strzałkami wskazanych. Obroty te takiemi podstawieniami dadzą się określić:

(4)

*2

A*

Możemy teraz łatwo geometrycznie wykazać, że tymi 24 obrotami wyczerpujemy już całą grupę ośmiościanu.

W tym celu wróćmy do czworościanu (xix₂x₃xi) wpisanego w kulę. Trzy jego środkowe gl,g₂, g₃ przebijają kulę w 3 parach punktów (Gi, G\), (6r₂, 6r'₂), (ćr₃, Gr'%) (fig. 21. str. 274.). Nazwijmy je teraz %, i₂, %, £s, %, i weźmy je za naroża naszego ośmiościanu; gx,g₂, g₃ będą jego przekątniami, a proste hi,h₂,h₃,hi łączące środki jego ścian przeciwległych będą zarazem wysokościami czworościanu.

"Wszystkie obroty czworościanu muszą się oczywiście zawierać w obrotach ośmiościanu. Są-to właśnie obroty (4) i obroty bx), b₂), b₃) o kąt n około g^,g₂,g₃. Te ostatnie razem z identycznym utworzą grupę czwórki:

(A)

1, S, T, ST.

Obroty (4) można zastąpić obrotami:

[U, SU, TU, STU], [U², SU², TU², STU²]

przy obranem U— Ua-

(A) i (B) są-to jedyne obroty ośmiościanu tego rodzaju, że mimo nich czworościan (xix₂x₃ic₄) z swej przestrzeni pierwotnej (A₁A₂A₃Ai) nie występuje.

Z drugiej strony punkta Hi, Il₂, H₃, H₄ w których wysokości czworościanu X=(xix₂x₃xi) przebijają kulę, wyznaczają również czworościan przystający do X. Ten nowy czworościan H=(HiH₂H₃Hi) zwany czworościanem wzajemnym do X mimo obrotów (X), (J5) nie wychodzi również z swojej przestrzeni, a nowe obroty ośmiościanu mogą być tylko te, które X wprowadzają w H.

Niechżeż V oznacza obrót około jednej ze środkowych czwo-

rościanu X (przekątni ośmiościanu) o kąt

lub obrót o ~ (równo-

jT

ważny z obrotem o — to obroty złożone

(<?)

V, SV, TV, STY UV, SUY, TUY, STUY U²V, SUW, TU²V, STU²V przeprowadzają każde położenie czworościanu X w przestrzeń H (por. fig. 21.). Obrotów ((7) jest widocznie 12; są one wszystkie między sobą różne (z identyczności SV=TU²V i t. p. wynikłyby identyczności niemożliwe: SVV~i=T U²V. Y~l czyli S—TU² i t. p.), a że w przestrzeni H czworościan X tylko na 12 różnych spo-

sobów mieścić się może, więc (C) są już wszystkimi obrotami przeprowadzającymi X w H i dopełniają grupy ośmiościanu.

Właśnie w a±), o₂), a₃), Cj), c₂), c?>) 1), 2), 3) mamy 12 obrotów ośmiościanu nieobjętych w (A), (15); muszą więc te obroty być w pewnym porządku obrotami (C). Stąd twierdzenie:

I.    Grupa ośmiościanu składa się z grupy czworościanu i ze złożeń obrotów tej ostatniej grupy z ćwierćóbrotem około jednej z jego przekątni. Jej rząd =24.

Zauważmy sześcian (fig. 24.) i w nim przekątnie nierówno-ległe w dwóch jego ścianach równoległych nazwijmy: x₁x2: x₃xk.

Naroża przeciwległe narożom xi,x₂,x₃,xi oznaczmy przez Hit H₂, H?>, ff₄. Pierwsze tworzą czworościan X, drugie czworościan H. Względem nich ma ośmiościanu    ⁰ narożach w środ

kach ścian sześcianu właśnie położenie takie, jakiego potrzeba w tworzeniu grupy [(A), (B), (C)].

Przekątnie xlHi=hi, x₂H₂=h21 x₃H₃=h₃, x!iH₄= 7&₄ są wysokościami i czworościanu X i czworościanu H, i wpadają w proste łączące środki ścian ośmiościanu. Po każdym z 24 obrotów ośmiościanu zajmuje sześcian tę samą pierwotną swoją przestrzeń — lecz każdym razem w inny sposób. Za każdym też razem i przekątnie jego w inny sposób się przemienią ze sobą. Mamy ich cztery, a że przemian ich , między sobą różnych, jest tu właśnie 24=4!, więc stąd wynika:

II.    Grupa ośmiościanu o narożach w środkach ścian sześcianu pozostaje w jednokrotnym izomorfzmie z symetryczną grupą czterech przekątni sześcianu.

Trzema płaszczyznami połowiącemi kąty dwuścienne ośmiościanu podzieli się opisana na nim kula na 8 równych trójkątów

o kątach wszystkich =- -. Każdy taki trójkąt podzielą dalsze płaszczyzny symetryi na 6 trójkątów do siebie przystających

71    71 TC

T’ 4"’ 3 '

H.

Fig. 24.

vi,

to a

o kątach

Na całej kuli będzie ich 48. (fig. 25).

Fig. 25.

Dwa z nich, sąsiadujące bokiem, jasny i ciemny, utworzą —

jak w czworościanie — zasadniczy obszar o analogicznem, jak tam , znaczeniu.

W grupie ośmiościanu mieści się widocznie grupa czworościanu składająca się z obrotów (A) i (B).

Jestto zbiór wszystkich tych obrotów, które czworościanu X nie wprowadzają w położenie czworościanu II: zbiór ten jest przytem podgrupą największą-Nazwijmy ją: 6r₄. Jej obroty naznaczmy wspólną literą a; pozostałe, które X przenoszą w położenie H nazwijmy t, to jasnem jest, że a—i ćr₄ a = ćr₄ bo grupa, ór₄ i po przetworzeniu jej przez <j zawiera 12 obrotów różnych między sobą, a niezmieniających X w H. Lecz także t-1 ór₄t = (r₄, bo obrót t wykonany na końcu niweczy zmianę spowodowaną przoz i-¹ na początku. ćr₄ jest więc wyróżnioną największą grupą grupy ośmiościanu, a szereg złożenia tej ostatniej składa się: z samej grupy, z grupy czworościanu i jej szeregu złożenia.

To samo wywieśćby można także z złożonej półsymetrycznej grupy 4 wysokości sześcianu. Z tą ostatnią grupa ośmiościanu pozostaje w izomorfizmie.

110. Grupa dwudziestościanu umiarowego. Podział kuli opisanej na dwudziestościanie przez jego przekroje symetryi. Dwu-

X5

dziestościan posiada 12 naroży, z których co dwa: xa, a=l, 2, 3, 4, 5,6, połączyć można przekątniami xayce W każdym narożu schodzi się pięć ścian (trójkątów równobocznych). Patrząc na dwudziestościan w kierunku przekątni x₆y₆, widzimy tę bryłę tak, jak ją fig. 26. przedstawia. U naroża #₆ schodzi się 5 ścian objętych obwodem (xix₂x.₃x!lx₅) • u naroża yQ jest ich znowu 5 zamkniętych obwodem    Te

y₅

yi

dwie części dwudziestościanu oddziela od siebie 10 trójkątów (a?^*), (y^J^y^),...

³

y.

Fig. 26.

Osi symetryi są tu takie: 1) Przekątnie xiyi: ..., xey₆ ; jest ich 6; 2) Proste łączące środki dwóch przeciwległych ścian (naznaczać je będziemy literą p) ; jest ich tu 10);

3) Proste łączące środki IB par równoległych krawędzi, jak {xxx₂,

2/12/2)7 (^2^37 2/22/3)7 •••? (*1^4) 2/1^4)? — ; mamy ich tu IB; znaczyć je będziemy krótko literą q.

Te środkowe q dzielą się na B systemów (&J, (ft₂), (k₃), (&₄),(k₆) zawierających po 3 do siebie prostopadłych środkowych. Takimi systemami będą n. p. proste q łączące środki par krawędzi:

[0*1*2 7 2/12/2)7 (^32/57 *^52/3)7 (^4^67 2/42/6)] i t. P*

Obroty około przekątni, około prostych p i prostych q o stosownie dobranej wielkości zaliczać się będą do gnrpy obrotów dwudziestościanu. Obroty te są:

a) Około każdej z przekątni o kąty    s=l, 2, 3, 4; razem

ŹJl

O

obrotów 24.

b)    Około każdej z 10 prostych p (środkowych ścian) o kąty

razem obrotów 20.

9 —

* 3

c)    Około każdej z 15 prostych ą obrót o kąt n, razem obrotów 15.

d) Obrót identyczny.

Wszystkich tak wyliczonych obrotów mamy 60.

Aby grupę utworzyć i zbadać, czy w nią oprócz a), b) c), d) mogą jeszcze i inne wchodzić obroty, poprowadźmy w dwudzie-stościanie wszystkie jego płaszczyzny symetryi t. j. dwój sieczne wszystkich jego kątów dwuściennych. Podzielą one każdy z trójkątów x₆xlx₂, ... dwudziestościanu na 6 przystających do siebie

trójkątów o kątach    Całą kulę opisaną na dwudziesto-

A ó o

ścianie podzielą te płaszczyzny na 120 sferycznych trójkątów do

P.ot,

siebie przystających (fig. 27.) o kątach n 7i n

T’ W’ T'

Z tych trójkątów zaciemnijmy co drugi, a dwa którekolwiek z nich sąsiadujące bokiem złączmy w jeden obszar (I + II). Każdy z dwóch trójkątów wchodzących w taki

£ io

7t

obszar ma kąt - u naroża, kąt — w P. punkcie przebicia kuli przez prostą p, a kąt

Fig. 27.

TC

^w§, punkcie przebicia kuli przez prostą q. A

2 TC

A że obroty odbywają się właśnie o kąt około przekątni,

O

o kąt -K- około każdej z prostych p, a o kąt ji około każdej

O

z prostych g, więc z tego wynika, że i tu po każdym z obrotów (a), (b), (c) (i wreszcie (d)) jasny trójkąt padnie zawsze na jasny, a ciemny na ciemny. Zauważmy 5 obszarów (I + II) ułożonych około jednego naroża n. p. x₆ (fig. 27.) i naznaczmy je po porządku przez 1, 2, 3, 4, 5. Utworzą one na kuli regularny pięcio-bok A o środku w #₆, a mający swe wierzchołki w samych punktach P, (a., a₂, a₃, a₄, a₅). Punkta połowią jego boki.

Do każdego jego boku przylega znowu pięciobok złożony z 5 obszarów (I-j-II). Tycb nowych 5 pięcioboków nazwijmy po porządku A₀, At, A₂, A₃, A₄. W ten sam sposób dadzą się na kuli dalsze takie pięcioboki odgraniczyć. Na całej kuli będzie ich 12, gdyż każdy z nich ma swój środek w jednem narożu dwudziesto-ścianu. Przez 5 wierzchołków każdego takiego pięcioboku kładąc płaszczyzny dostaniemy regularny dwunastościan pięcio-kątny, wpisany w kulę. Z jego siatki zauważmy 6 pięciokątów, odpowiadających

kuli pięciokątom A, A₀, A

na

Az

A₂, A₃, Ak (nazywając je również temi samemi literami) (fig. 28.).

Gdy dokonamy obrotu około prze-

kątni x₆y₆ o kąt

znaczymy literą S, to po obrotach 8°, S\ S², S³, S⁴

obszar 1 przykrywać będzie po porządku obszary: 1, 2, 3, 4, 5 (fig. 27.); (pięciobok A przykrywa sam siebie a obroty (a) wyczerpują wszystkie możliwe sposoby tego przykrywania się).

Naznaczmy obrót o kąt ji około tej prostej q=QQ‘, której punkt Q połowi x₆x₂, (mamy go na fig. 28.), przez T, to po obrotach

T, ST, S'²T, S*T, SiT zajmie miejsce pięcioboku A pięciobok /ł₀ w pięciu możliwych sposobach ich nakrywania się.

i ten obrót na-

A,

(«)

Fig. 28.

08)

A 7,

>■

Fig. 29.

a)

ar

i.

>>

-t

A.

Aj

ał

Po obrocie n. p. S² mieć będziemy zamiast położenia wskazanego na fig. 28. położenie (a) — fig. 29. — a po obrocie S*T położenie (b) — fig. 29.

Poddając dalej (b) obrotom S°, S\ <8'², <S’³, Si, około x₆y₆, a więc po złożonych obrotach: S²T, S²TS, S²TS², S²TS³, S²TSi wstępować będą na miejsce -d. po porządku pięcioboki A₀, Ai: A₂, -d₃, ^t₄.

obrotach

Po każdym obrocie (fi) dokonajmy jeszcze obrotu Sv, to po

TS , STSV, S²TSV, S*TSV, S^TS”, v=0, 1, 2, 3, 4 zajmie miejsce pięcioboku J. pięciobok Av w pięciu możliwych wypadkach ich nakrywania się. Ze zaś r=0, 1, 2, 3, 4, a obroty (a) dają B wypadków nakrywania się pięcioboku A przez siebie, więc (a) i (fi) razem, t. j. obroty

1, 5, £², S³, S⁴; St*TSv,    1, 2, ,4

— w liczbie 30 — wyczerpują już wszystkie możliwe obroty, po których miejsce pięciokąta A zająć może jeden z pięcioboków A, Aj Aj Aj Aj Aj przykrywając go

Właśnie w 6 pięciobokach A, A₀, A1} A₂, A₃, Ai} wypełniających połowę kuli, mamy 30 obszarów (I + II)'. Z nich: obszar (1) mieszczący się w pięcioboku A przykryje się po każdym nowym obrocie (y) nowym takim obszarem (I + II)' tak, że obrotami (y) każdy z owych 30 obszarów, wypełniających połowę kuli wprowadzić można do położenia obszaru (1).

Drugą połowę kuli wypełnia znowu 6 regularnych pięcioboków B, B₀, Aj 3₂j Aj A>

Aj Aj Aj A Otaczają B. W każdym z tych 6 pięcioboków mieści się 5 obszarów (I-fII)".

Obroty (y) dopełnimy więc do grupy, gdy jeszcze za pomocą nowych 30 obrotów wprowadzimy 30 obszarów drugiej połowy kuli w położenie obszaru (1).

W tym celu zauważmy, że oś g, około której obrotu T dokonano, należy do jednego z systemów (7cv), v=l, 2, 3, 4, B i że w tym systemie mamy trzy osi g, g1? g₂ takie, że gJjZu ⁽< 1 ^ ?i_L?2,¥) Około g₄ (lub g₂) wykonajmy obrót U o kąt yr, to ten obrót wprowadzi w dwudziestościanie część jego (y^y^y^y^y^) na miejsce (xix₂x₃xkx₅), (fig. 26.), i naodwrót.

Dokonajmyż po każdym obrocie (y) jeszcze obrotu U, to po każdym z 30 obrotów

(y)

na

co

wszystkie możliwe sposoby.

z których J5 ma środek w y₆

a Aj

miejsce pięciokąta .4 zajmie pięciokąt B

*) Oś q w tym systemie jest osią przechodzącą przez punkt Q; równocześnie więc jest qtJ_2 i 9i_L*We-

St*U, S^TS^U,    O, 1, 2, 3, 4,

(70

przykryje się obszar (1) ozemraz innym obszarem (I-fII)" drugiej półkuli (o biegunie y₆). Tych obszarów jest właśnie 30, a w (y') mamy obrotów także 30, stąd pochodzi:

I. Obroty:

U)

#*, St*TSv, S^TS^U,    0, 1, 2, 3, 4,

wypełniają grapę obrotów dwudziestościanu. Jej rząd =60.

Podczas obrotów tej grupy zajmuje naodwrót obszar (1) położenie czemraz innego obszaru z 60 obszarów (I-j-II)', (I + II)", rozpoztartych na całej kuli. Obrany obszar (1) nazywa się i tu obszarem zasadniczym.

Naznaczmy tę parę (I + II)' lub (I + II)", która po obrocie a wstępuje w miejsce obszaru (1), przez (o), to wszystkie obszary całej kuli naznaczymy przez

(S^), (St*TSv), (St*TS»U), yĘr=0, 1, 2, 3, 4.

Gdy się okazało, że rzędem grupy jest 60, a w (a), (ó), (c), (d) mamy właśnie 60 różnych między sobą obrotów, to stąd odrazu wnosimy, że te ostatnie są taką samą grupą dwudziestościanu, jak grupa (A).

111. Dwie zasadnicze substytucye grupy dwudziestościanu. Izomorfizm. Niepodzielność grupy. Gdy w drugiej połowie kuli pięcioboki Bv, v=0, 1, 2, 3, 4, w takiem są uporządkowaniu, że patrząc na dwunastościan z bieguna #₆, widzimy między Av a Av+\ u dołu Bv, to dwunastościan można schematycznie przedstawić takiem zestawieniem liter:

Aq A| A₂ A₃ a^

B₀ B^ B₂ Bo -Z?4

"Widocznie pięciokąt A₂ otaczają pięciokąty A, Ai, B₁, J5₂, A₃; pięciokąt A% pięciokąty A, A₂, B₂, B₃, A^ pięciokąt B2 pięciokąty A₂, Bu B, B₃, A₃ i t. d. Gdy a₂ jest bokiem pięciokąta A, odgraniczającym go od A₀, a /?₄/?₅ bokiem pięciokąta B, odgraniczającym go od pięciokąta B₀, to w dwunastościanie leżą pierwotnie A, B względem siebie tak, jak fig. 30 (os) [nast. str.] wskazuje, po obrocie zaś TJ o kąt n około qx dostaniemy ich względne położenia takie, jak fig. 30 (/?) wskazuje.

Stąd widocznie wynika, że w dwunastościanie można U przedstawić taką substytucyą:

u=

a\ a2 a\ U5 fil @2 fi Z fi i fib fi* fii fiz fil fil aó «4 «3 «2 «1

Gdy zaś ai, a₂, a3ł «₄, «₅ w tym samym kierunku po sobie następują, jak xx, x₂, x₃, x!l, xn w dwudziestościanie. a także i

u.

-cxu

A ;X₆

°o

a.

P*<

p.

ye

>0(₅

<*.

Fig. 30.

0i» 02: 0.3) 04 05 zgadzają się co do kierunku z yt, y₂, y₃, yk, yh — to mamy odrazu: U={xiyh){x₂yIt){x₃y₃){xky₂)(xhyi). Lecz uwagi go-dnem jest, że obrót (substytucyę) TJ złożyć można z samych obrotów S, T, które — jak z fig. 26. (str. 280.) wynika — substytu-cyami w ten sposób dadzą się określić:

S=(xix₂x₃xItx₅) {yxy₃yzy„yt), T=(x₂xQ) (y₂y₆) («₁®₃) (y^g) (s₄y₄) (a₅y₅). (Obrót T odbywa się około tej osi ę, która punktem ^ połowi krawędź x₆x₂). Mając S, T w tych formach, łatwo już sprawdzimy, że S²TSZTS²T= U i że więc :

I.    Grupę 60 obrotów dwudziestościanu złożyć można z dwóch jego obrotów S, T.

Co się tyczy złożenia ST, to łatwo sprawdzić, że ST.ST.ST— 1 że więc ST ma peryod 3.

Równocześnie z 60 obrotami grupy przemieniają się z sobą systemy (kf), {k₂), (k₃), (&₄), (k₅) trójek środkowych linij dwudzie-

,    5!

stościanu na 60 rozmaitych sposobów. Ze zaś 60=więc wszyst-

kie przemiany tych systemów określi grupa półsymetryczna 5 elementów (k„), a=l, 2, 3, 4, 5 [art. 98., tw, III.]. Stąd twierdzenie:

II.    Grupa obrotów dwudziestościanu pozostaje w jednostopniowym izomorfizmie z półsymetryczną grupą pięciu elementów (systemów (ka)).

Taka grupa 5 elementów jest niezłożoną [art. 100., tw. I.]. Każda grupa pozostająca z nią w izomorfizmie jest także niezłożoną [art. 101., tw. IV., V., VI.] a stąd wynika, źe grupa dwudziestościanujest grupą niezłożoną.

112. Liczby vt, v.Ł, vs charakteryzujące Wielościany umiarowe. Grupa rozszerzona. Zauważmy na kuli trójkąt jasny lub

TC

ciemny,    odnoszący    się do jednego z rozważanych wielościanów

. i    ,..    , n 7i

i kąty tego trójkąta —, —

z wpisanym    w    nią    dwuścianem :

„    „    czworościanem:

,,    „    ośmiościanem:

—, to dostaniemy na kuli

*1=2, ^2=2, v₃=n *i =2, ^₂=3, ^=3 *i=2, ^₂=4, ^o=3 „    „ dwudziestościanem: vi=2, v₂ = 5, v₃=S.

Ilość trójkątów bez odróżnienia jasnych od ciemnych jest 2r, gdzie r jest rzędem grupy wielościanu; 2r=4w, 24, 48, 120.

Z liczb vi, v₂, v₃ odnosić będziemy pierwszą do punktów połowiących krawędzie, drugą do naroży wielościanu, trzecią do środków ścian wielościanu.

"Wszystkie takie punkta nazwiemy wierzchołkami grupy. W wierzchołku, do którego należy vs schodzi się dokładnie vs obszarów (1-j-II).

Opuszczając warunek, aby się grupa jedynie tylko z obrotów składała, można dalej utworzyć grupę taką, że już sam trójkąt I. lub II. będzie jej zasadniczym obszarem. Zauważmy bowiem w każdym z wielościanów dowolną płaszczyznę symetryi A, dzielącą zarazem kulę na dwie półkule, to jedną półkulę można uważać za obraz drugiej w płaszczyźnie A i analogicznie w tej samej płaszczyźnie będzie jedna połowa wielościanu obrazem połowy jego drugiej.

Pomieniajmyż ze sobą dwie półkule, nie naruszając stałego ich połączenia wzdłuż wielkiego koła dzielącego je, to równocześnie i każda połowa wielościanu przejdzie w swój obraz.

Gdy w jednej takiej połowie mamy wierzchołki xi, x₂, x₃, ..., a ich obrazami w A są wierzchołki yi: y₂, y₃, ..., to substytucyą wskazującą tę zamianę jest:

&₂y₂) (x₃y₃) .

z²=1.

xi x₂ x₃ ... yy y₂ y₃ ...

Vl V% y3 •••    ^2 ^3 - _

Samą taką zmianę położenia nazywamy odwróceniem, albo odbiciem w płaszczyźnie A. Wzdłuż wielkiego koła, będącego przecięciem się płaszczyzny A z kulą przytykają do niego symetrycznie: trójkąt ciemny i jasny; ale i pozostałe trójkąty są tak względem A ułożone, że każdy jasny jest obrazem ciemnego i naodwrót.

Mając to, naznaczmy przez G grupę któregokolwiek z wielościanów i utwórzmy zbiór substytucyj G.z, gdzie z jest odbiciem w dowolnej płaszczyźnie symetryi A wielościanu.

G wprowadza na obrany trójkąt jasny (lub ciemny) wszystkie jasne (lub ciemne). Aby dalej miejsce obranego trójkąta jasnego zajęły trójkąty ciemne, dostatecznem jest znaleśó r różnych między sobą odbić. Niechżeż a, ai będą dwoma różnymi obrotami grupy 6r, to ut, gx% nie są już z pewnością obrotami, ale odbiciami. Nie może byó przy tern gt— ox t, bo stądby wynikało otf⁻¹ = gx t.t⁻¹ , czyli g=gx, co się sprzeciwia założeniu. Stąd wnosimy, że Gt przedstawia r różnych między sobą odbić, i że zbiór 2r substytu-cyj (przemian) G+Gt jest zdolny każdy jakibądź trójkąt zamienić na każdy inny trójkąt jasny lub ciemny. Zbiór ten jest przy tern grupą. Klein nazywa ją grupą rozszerzoną; jej rząd ==2r.

113. Grupa punktów danego wielościanu. Rozszerzona grupa punktów. Szczególne grupy punktów. Gdy punkt P leży wewnątrz dowolnego obszaru (I + II) grupy 6r, albo na jego boku, ale nie w jego wierzchołku, to za obrotami grupy G zajmie jego miejsce r punktów:

(4)

Pr-1.

P\    i •

Żadne dwa z tych punktów nie leżą w jednym obszarze, a za obrotami grupy G punkty (A) przemieniają się z sobą na kuli na r sposobów. Taki zbiór punktów nazywamy: aggregentem punktów danej grupy G, albo krótko: grupą punktów danego wielościanu. Każdy punkt Pa nazywamy równoważnym z P. Gdy punkt P zajmuje położenie jednego z wierzchołków grupy, a w tym wierzchołku schodzi się v obszarów (I + II), to z uwagi, że taki punkt należy równocześnie do v obszarów, dosta-

niemy z niego przez obroty G już tylko — punktów różnych:

P, Pj, P₂,

Takie punkta tworzą grupę szczególną punktów rozważanego wielościanu i wszystkie są wierzchołkami kuli o v schodzących się w nich obszarach (I+II).

Z tego wynika, że — gdy do rozważanego wielościanu należą liczby vx, v₂, v₃ — to na kuli według dowolnie obranego

zasadniczego obszaru

(B)

Pr

(każdy po v razy).

dostajemy (^+^+^)

wierzchołków.

Odróżniając trójkąty jasne i ciemne, mamy kulę podzieloną na 2r trójkątów według grupy danego wielościanu, obrany wewnątrz jasnego (ciemnego) trójkąta daje:

a punkt P

1° r punktów P, P1? P₂,    Pr-1 przez obroty ćr; wszystkie

te punkta leżą w jasnym (ciemnym) trójkącie;

P%r_1 przez odbicie G%\

2⁰ r punktów Pr, Pr+1, Pr+2 wszystkie te punkta leżą w ciemnych (jasnych) trójkątach.

Taki zbiór punktów

P? Pl5 P₂,    P2r-1

nazywamy rozszerzoną grupą punktów wielościanu.

Gdy P leży w wierzchołku obszaru (I) lub (II), to w tym wierzchołku mamy tam teraz takich obszarów 2^, a wskutek zmian

2r

wskazanych przez G+Gt dostaniemy ^=— punktów

Pj P11 P21 •••>

Obierzmy’ wreszcie Pna boku Z obszaru I (lub II). Obroty G dadzą początek r punktom:

(O)

P, Pil P21 —J Pr-1*

Obraz każdego z nich w dowolnej płaszczyźnie symetryi znajdziemy znowu w grupie (£'), a stąd wynika, że za każdem z odbić Gx grupa punktów {O) na nowo się odtwarza, tak, że nowych punktów — mimo grupy rozszerzonej — już tu nie znajdziemy.

Zanotować tu wreszcie trzeba, że obrawszy dwa bokiem sąsiadujące obszary I, II, znajdziemy w rozszerzonej grupie zawsze jedną substytucyę (zawartą w Gx), nie naruszającą ich wspólnego boku (i punktów na tym boku leżących).

114. Stereograficzny rzut kuli podzielonej podług wpisanego umiarowego wielościanu. Liniowe podstawienia jednorodne i niejednorodne. Sprzężmy teraz kulę o promieniu =1 stereograficznie z jej płaszczyzną równikową [art. 47.] i tę płaszczyznę weźmy za nieograniczony obszar zmiennej urojonej z=x-\-yi z punktem z—O w środku kuli.

Na takiej kuli o równaniu:

(1)

l²+*?²+£²=l

obrany punkt P będzie podczas obrotów grupy G któregokolwiek z wielościanów poruszał się po kołach (dużych lub małych), zakreślonych na kuli.

Równocześnie z nim będzie odpowiadający mu punkt z poruszał się również po okręgach pewnych kół [art. 47., fig. 11.], a naszem zadaniem będzie ruchy tego punktu z należycie określić.

Jasnem jest, że jeżeli kula obróci się o kąt a około osi swej BB‘, prostopadłej do płaszczyzny (0), a po tym obrocie punkt P zajmie położenie P', to punkta 0, z‘ odpowiadające punktom P, P‘ związane będą równaniem:

(2)

0J=la.0.

Obróćmy dalej kulę około jej środka tak, aby biegun B przebiegł łuk BB wielkiego koła (południka) i zajął położenie punktu 22= (|,77, £). Biegun B¹ zajmie wtedy położenie punktu:

-n, -ą,

a punktom P, R' — po stereograiicznej projekcyi kuli — odpowiedzą na płaszczyźnie (0) punkta :

—i —vi

[art. 47.].

z,

(3)

v HrV*

A~i-r

"Wszystkie punkta 0 lub 0' — [jakie mamy w (2)] — wyruszą na płaszczyźnie (0) ze swego pierwotnego położenia, zajmując nowe położenia 0i lub 0i‘. W szczególności punkt 0=0' — 00 zajmie położenie 0i=0ii—Zi, [bo B na kuli zajęło położenie (£,rj, £)], a punkt 0—0* =0 zajmie położenie 0i=0i‘=Z₂, [bo B¹ na kuli zajęło położenie (—|, — rj, —£)]. Połóźmyż :

,0k=C.Z-±

0=C.

(4)

ą-Z₂

z\—Z\

to widocznie te związki, za oznaczeniem stałej C określają nowe położenia 0lt 0i‘ punktów 0, 0¹.

Podstawmy w (2) za 0, z' formy (4), to dostaniemy :

V-^2

z\ Z\

1    z2

a^-z±⁹

(5)

a 0wynikające z tego związku, będzie położeniem dowolnego punktu 0i osiągniętem już i po obrocie kuli o kąt a około osi BB‘ i po przebiegnięciu punktu B po całym łuku BB. Przytem zauważyć potrzeba , że te ruchy można ze sobą pomieniaó, bez naruszenia końcowego położenia kuli i że wykonywaniem tych dwóch ruchów w dowolnym porządku można dojść do dowolnego położenia kuli.

Pisząc w (5) za 0i,0ll wprost 0, z‘, i wstawiając formy (3) za, Zi, Z₂, mieć będziemy:

. *'(1+S)+(g+iyi) ₁ 8(1+g) + (g+i?Q -7^(1 -£)-(l+^0 fs(l-D-(£+^)'

Rozwiązując to równanie ze względu na z‘ i kładąc:

t - a    . a j. . a    a

Ęsm-^-=a, rj sm-^-=0, ę sm    cos-^-=a,

otrzymamy:

Teorya funkcyj.

(6)

z‘

(d+c i)z— (b—a i)

(bĄ- ai)z-\-(d—ci)

/(#), gdzie widocznie:

d-\-ci, —b-\-ai bĄ-ai

Równanie (6) piszą często w formie :

A=

d—ci

=a² + ó² + c²-M² = l wskutek (1).

(7)

a( (d+ci)z—(b—ai)\ X ’ (b+ai)z+(d—ci)J

co ma oznaczać, że po dokonanych obrotach kuli punkt z zastępuje się przez punkt z‘=f(z). S nazywać można podstawieniem albo substytucyą, a ze względu na obrót kuli — wprost obrotem. Sam punkt z‘ znaczyć często będziemy przez Sz.

Gdy naodwrót dany będzie związek postaci (6), ale o i^l, to kładąc (a²-\-b² Ą-c² Ą-d²)² =p, a w miejsce a, b, c, d, używając w (6):

(co jest dozwolone),

mieć już będziemy:

Dalej dostaniemy:

(7)’+ (7)*+' (j)*+ (jf⁼

1.

a²-\-b²-\- c²

d²

■ <> * sin² —

=cos²

¥’ 7

skąd już 7], ę obliczyć się dadzą , gdy według kąta a znaki funkcyi wstawy i do-

P²

~2’

stawy oznaczymy.

Punkt z¹ możemy dalej poddać nowemu obrotowi:

fV)), gdzie (d*+c‘i)z‘—(b‘ —a‘ i)

fV)

(&'-f-a‘i)z‘ -f (d‘—c‘i)

z“=Tz‘

wskazuje końcowe położenie punktu z¹ po dokonanym obrocie T. Lecz z‘=8z, a więc z“ = T(Sz) = TSz=

(d+ci) z—(b—ai)

(b + a i) z+(d—ci)

(d‘ -f &i)

— (b‘ — a‘i)

czyli

(8)

O) {

(d-f ci) z—(b—ai)

(b + ai) z Ą-(d—ci)

_ (d“ + c“i)z-(b“—a“i)

(ibttJrat,i)zJr{d,t—c“i)

a“=(ad'Ą-a‘d)—(bc‘—blc), b“=(bd‘ + b‘d)—(ca'—c‘a) c“=(cd‘-\-c'd)—(ab¹—a‘b), d“ = — aa‘— bbl—ccĄ-dd*.

(b‘ + a‘i)

(d — ci)

, gdzie

TSz daje formą (8) końcowe położenie punktu z po wyprowadzeniu go z jego pierwotnego położenia nasamprzód obrotem S, a potem obrotem T i dlatego mówimy, że TSz powstaje przez substytucyą złożoną:

(b“ + a,,i)z-\-(d“—c“i) która widocznie również jest pewnym (wypadkowym) obrotem¹). W ten sposób można dalej składać i więcej obrotów w jeden wypadkowy. W równaniu (6) połóżmy z=zijz₂, z‘¹=¹ zi>lzt₂, to przybierze ono formę:

ST=(

zfi _(d+ ci)zi — (b—ai)z2 z₂    (b+a i)zi +(d—ci)z₂ ’

niej wynika, że położyć możemy :

(ot)

zii=(d+ci)zi —(b—ai)z₂, z₂‘=(b-\-ai)zl +(d—ci)z₂, albo (za zmianą znaków wszystkich spółczynników):

(fi) #i‘=—(d+ci)z₁+(b — ai)z₂, z₂‘==—(b+ai)z₁—(d-—ci)z₂.

lub (/?).

Przez to przedstawiliśmy obrót S jednorodną substytucyą (ot)

Lecz — nie tłómacząc rzeczy geometrycznie — musimy sub-stytucye (ot), (/?) — jakkolwiek one jeden i tensam obrót określają — uważać (ze stanowiska analizy) za różne i obie zatrzymać, a to z tego powodu, że później z takich jednorodnych podstawień, tworzyć będziemy grupy. W grupie zaś znajdować się muszą wszystkie między sobą różne składniki (podstawienia, obroty i t. p.), pewnym wymogom zadość czyniące.

Podobnie obrót T dokonany na punkcie przedstawić będzie można dwoma współczesnemi podstawieniami:

(«') zr>>=(d>-\-c,i)zil—(b¹—a‘i)z₂‘, z₂,,=(bl+a,i)zil + (d‘—cii)z₂i;

(/?') V' = — (d, + cli)zil+(bl—a‘i)z‘₂, z₂“=-(b‘ + oli)zi,-(d‘-cii)z₂i.

Kombinując (a) z (a') lub (/?) z (/?') dostaniemy na oznaczenie obrotu ST przedewszystkiem substytucyę jednorodną:

(a") zfi‘—{d“Jrc"i)Zi —(b“—ani)z₂, zll₂=(b,‘+ atti)zi + (dl,-ci/i)z21 gdzie a", bu, c", d“ mają znaczenie (9). Druga substytucyą, która ma dopełnić określenia tego obrotu powstanie z kombinacyi (a) z (/?') lub (a¹) z (/?) i wyniknie z (a¹¹) przez zmianę znaków wszystkich spółczynników.

115. Grupy liniowych podstawień dwuścianu i jego zasadnicza funkcya Z. Przyjmijmy, że w kulę o promieniu =1 mamy wpisany wielościan umiarowy o grupie Gr, a podzieloną kulę według tego wielościanu mamy stereograficznie rzuconą na płaszczyznę (z).

płaszczyźnie (z)

Wszystkim obszarom kuli (I+1I) odpowiedzą obszary (I+II)' ograniczone lukami kół (niektóre z tych łuków mogą być odcinkami prostych). Na tak podzielonej płaszczyźnie (g) obierzmy dowolny punkt z i zastosujmy do niego wszystkie niejednorodne substytucye określające grupę G. Z takiego punktu 2 dostaniemy wtedy r lub r\v punktów; będą one stereograficzną projekcyą grupy punktów (A) lub (B) [art. 113].

Kładąc z=zilz₂, będziemy juz mogli stosować substytucye jednorodne powstające z grupy G i tworzące temsamem również grupę F (o rzędzie 2r), każde bowiem złożenie kilku takich sub-stytucyj określa znowu pewien obrót zawarty w G i wskutek tego znajdować się znowu musi w F.

W grupie dwuścianu on krawędziach zawiera się grupa cykliczna obrotów:

na

S**, fi=0, 1, 2, ..., n—1

a tę substytucyami niejednorodnemi lub jednorodnemi po obraniu punktu z odrazu bez stosowania relacyi (6) lub relacyj (a), (fi) [art. poprzedzający] napisać możemy. Mamy tu bowiem:

z'=U *«.*,

Stąd — kładąc 1^=8, 1

n

K U₂'=«V₂

Jc=0.1. 2

2, n—1.

s₀ — dostajemy :

d) /V—***1

n — 1, albo

Przyjmijmy, że jedna z osi symetryi dwuścianu (w-boku) wpada w oś pierwszorzędną a około niej dokonywamy obrotu T o kąt n. Uwzględniając, że tu f=-l, rj=ę=0, a—n dostaniemy z (6) [art. 114.] na określenie tego obrotu relacyę :

02+i _ 1 Z izĄ- 0 z

(fi)

In—1.

Stąd wynikną jednorodne substytucye:

V=^₂

z₂‘=izi

(«') {

Kombinując (a) z (a'), a potem zmieniając znaki w tych złożeniach, dostaniemy na wyrażenie w obrotów S^T, 2n jednorodnych substytucyj:

(<*)" {

zi‘=i.Ekz₂

z₂t=i.£k₀zi

, <**o

\z₂‘----

— 0| 1 y 2, M*i w—slIIdo •

(C¹)

01 —i • Ek Z2) 0₂ —®    J ^—0,1,2,»., 2n 1 • ’

Cała grupa dwuścianu składać się będzie z 4w substytucyj (c'), (c'), a w substytucyacb niejednorodnych określi się przez

2, 1

(d)

0'=£²*0, Z¹ =E

Przejdźmy do 3 szczególnych grup punktów (5), [art. 113].

1. Punkty 0=00, 0=0 odpowiadające biegunom utworzą taką 2 w

grupę o —=2,    punktach, a w zmiennych 01} 0₂ określa je

równanie:

(*)

0₁-0₂=O

(przy zx =0 mamy —=0=0, a przy 0₂=O jest —

2. Naroża dwuścianu t. j. punkty 1₂^, 7c=0,1,2,n—1, będą

=0=00 ).

drugą taką szczególną grupą, (v₂—2), a w zmiennych z1} 0₂ określa je równanie:

(-»)

17 (0t— e²*0₂)=0₁n—0₂”=O

które równaniem dwuścianu nazywają.

3. Trzecią wreszcie szczególną grupę, (^=2), utworzą punkta: ^k=l2nk 2?r=l2H-l    , A . „

¹    --—    -TT, & = 0, 1,2, .o,»— 1

w ¹ 2n    n

odpowiadające środkom krawędzi dwuścianu. Są one w-tymi pierwiastkami odjemnej jednostki i są pierwiastkami równania:

II(zi —?/* 0₂)=z\ 4-0W₂ = 0. Połóżmy :

k=0

(1)    .F^, 0₂)=0”₁+0*₂, F₂(0i, 0₂)=0*i— 0”₂, 1^(0!, 0₂) = 0^2,

to za podstawieniami (c) dostaniemy:

*i(0'i» *'₂)“(-1)*(0*1 +0"₂)=(— 1)"Fi(0!, 0₂),

F₂(0'i, 0'₂)=(— 1)"(0W₂— 0*i)=(—1)^₂(0₁» *₂)»

Ą(0ł! , 0'₂ ) ■= % • 0₂ =F3 (*! , *₂)>

z podstawień zaś (c') mieć będziemy:

*i(V» V)=^(—l)"(0”₂+0*i)=»” (-1/ ^(01,0₂),

' 0₂/)=^(—1)^2(01,02),

. ^₃(V> 02,)==^²01-0₂=*²J?3^1! %)•

Z (e) i (<?') wynika, że funkcye

^, ^2, F₃«

przez substytucye (c) wcale się nie zmienią, przez substytucye zaś (&) przechodzą na i2n.F^², i2nF%², i2nF₂nj

(O

(«)

(«0

71—1

*=o

odtwarzają się więc z jednakim czynnikiem iH, a wszystkie są jednakiego wymiaru: (2n)teg0.

Z tego powodu będą już ilorazy Fa²IFpn , a—1, 2, /3=3 funk-cyami niezmieniającemi się w całej grupie dwuścianu [(c), (c')]. Funkcya:

1 F₂²

(2)

z=—

mając tę własność, wykazuje w punktach z—co, z—0 wartość: Z=co , a w narożach dwuścianu wartość: Z= 0 (gdyż tam _F₂=0).

Aby i w punktach trzeciej grupy zbadać jej wartość, zauważmy, że między Fit F₂, F?t zachodzi identyczna relacya:

3L__

4:F₃n    4:F₀n

_Ai

4Fzn ’

a ponieważ iloraz po prawej stronie jest zerem w punktach trzeciej grupy, więc w tych punktach jest Z— 1. Ze związków (2) i (4) wynika:

(3)

(4)

(5)

F^-F^-4:F?;=0. Stąd

— 1=0, czyli

^-1

: Z—

rH

W ilorazie Z mamy funkcyę niezmieniającą się w jednorodnej grupie dwuścianu. Dzieląc w nim licznik i mianownik przez #₂2ra, dostajemy funkcyę:

(6)

4 zn

niezmienną w niejednorodnej grupie (d).

Z, Z (z) nazywamy zasadniczemi funkcyami dwuścianu; mają one tę własność, że w grupach punktów o charakteryzujących je liczbach vif v₂, v₃ (takie grupy w następnych wielościanach nazywać będziemy krótko: (1^), (v₂), (r₃)) ma odpowiednio wartości: 1, 0, 00 .

(z'i=±izi iz\=+iz2 \z\ =+4 z₂ ’ lz'₂=±iz₁

(/')

Przy n—2 dostajemy grupę czwórki; określają ją albo: 8 sub-stytucyj jednorodnych: z\ =±zx =±*2

albo: 4 niejednorodne substytucye :

¹

Niektórzy autorowie poddając punkt z obrotom S, T, U w tym właśnie porządku, używają tego porządku liter nie tylko w złożonej substytucyi: STU, ale także i w naznaczaniu końcowego położenia punktu: STUz.

(/')

14-i

116. Grupy liniowych podstawień czworościanu i ośmiościanu.

W kulę o promieniu =1 wpisany sześcian niech, ma względem układu osi takie położenie, że jego naroża wyrażają się spół-rzędnemi:

B’

£-

i JL 4 y/3 ’ \/8 ’ v/3’

1 1 1 y/3’ y/3’ y/3 111^ y/3’    y/3’    y/3    ’

y/3’    y/3’    \/3

D.

Pozostałe naroża A', B\ C‘: D‘ mają spółrzędne o przeciwnych znakach (fig. 31). Punkta A, B, C: D i A\ I?', C\ D' tworzą czworościany (X, -ET, art. 109.), które są sobie wzajemne.

Każdy z nich ma środkowe gx, ^r₂, ć7₃ [art. 107.] wpadające tu w osie spółrzędnych.

Obroty około nich tworzą grupę czwórki [/'), f') art. poprzedź.] i wliczają się do grupy tak jednego, jak drugiego czworościanu. Xby grupę czworościanu X.=^ABCD dopełnić, trzeba utwo-

2 Ti Aji

rzyć substytucye odpowiadające obrotom Z7, U² o kąty -g-, -g-

około jednej z przekątni sześcianu (wysokości czworościanu) n. p. około AA‘.

Przy wartościach £, rj, £, odpowiadających punktowi A i przy

Fig. 31.

a=— dostajemy tu: a=|. sin

7    .    «    . a

= b=7] sin - =c=£ sm -^-—a = cos A    A

stąd więc obrót U określi niejednorodna substytucya:

, albo

z'

(U)

(1+»>-(!-♦) (1 -\-i)z-\- (1 —i)

z—i

z'-

)•

A;i

Przy «==-q“ dostaniemy a

O

= b=c—

*) gdyż t

(1-M) z-\-{—1—i)

1 -i z+1 1 +i ' z—1

czyli :

z‘=i.

z+1

2—1 '

Stosując dalej prawidło składania substytucyj, określimy grupę obrotów czworościanu X takiemi substytucyami niejednorodnemi:

(a)

(&)

(<0

(1, S, T,

(U, SU, TU; STU) = (z‘=d (Z7², SU\ TU² STU*) = (z‘=±i

Z, — doZ₇ Z‘ — ~t

r)

zĄ-i

zĄ~ 1

0—1

*4-1/

W jednorodnych formach wyrażą ją: substytucye (/') [art. poprzedź.], a więc:

= fĄ=±i#i, (z'i==Fiz2 z\=drZ₂, \b\ = ±*u 1 z\=dr:iz₂₁ \z'₂=ztiz₂

i substytucye:

=± 4-¹+—c i—os₃]

=±4 [<i+*>t+(i—»>,]

“±4[(l+»>i+(l-»>,]

i wreszcie substytucye:

~2~ (*i +^2)

^2= +^-(^l-^₂)

-^--(^1 +*2) które z (6), (c) dostajemy, kładąc tam i czynnik 4y przedtem opuszczony.

(o¹)

Z¹

*f2

1—i

^‘1 =- ± ^K¹ +0% —(i—i)«₂]

*'j- + 4k¹⁺»>< H1—*)*l] -±4[a+^+(i-*>d = + 4 K¹+*)Ą —(!•—»)*»]

*'2

^2=4

1_i

*‘i — ± ~2~ (*1 4-*2)

*^"=■±^-(*1 —^2) 1-* ,

—^—(^1 +^2);

1+i

1—i

i przywracając

Jasnem jest, że (a), (6), (c) lub (a'), (6'), (c') będą zarazem grupami wzajemnego czworościanu H.

Obróćmy czworościan X około osi gg‘ o kąt 45°. Zajmie on wtedy takie położenie, że jego krawędź zawierając się w płaszczyźnie yOg będzie równoległą do osi yy‘

Punkta #, g‘ po takim obrocie zajmą położenia:

Stąd:

*1 = 1 n-g, g\ = l n.g‘.

0=1 n.g.

~T

i—i

V/2

g‘ = l „ .g\

1 —i

~T

V2

.0\.

"Wstawiając tak wyrażone g₎ g‘ w (a), (6), (c) dostaniemy na grupę czworościanu X w jego nowem położeniu X' substytucye g\ —

gyV2-(1 -i)

(1)

*1

±i

0iV'2 + (1 —i)

(l+i)0x + \/2' ±\l+i)0i-V2 ^y/j+g+o .gy2—(i+i) (l-^-y/śT ~\i-i)g,+V2

Z grupy czworościanu X, którą teraz według tego, czy ma być jednorodną lub nie — krótko przez:

(a)

/ (2), ...) 5 lub ćr(..., /^(^i, #₂)> fi^.0\ 1 0%)i •••) naznaczmy, dojdziemy do grupy ośmiościanu o narożach leżących na osiach spółrzędnych, gdy utworzymy jeszcze substytucyę,

odpowiadającą obrotowi V [art. 109.] o kąt

to a

około jednej z osi

(przekątni ośmiościanu). Gdy oś 00* za oś takiego obrotu weźmiemy, to ten obrót określi się substytucyą 0'=ig, a w jednorodnej formie substytucyami:

0 y -ljt

(2)

0'₂ -1 n0₂

albo:

V2

*1

1—i

0‘₂ =

G-rupą niejednorodnych substytucyj ośmiościanu będzie tedy:

G(...,f(0),    /W, .••)

ik ..0-ł-l ..0—1 ..*+» i

0 ’    0—1’    £ + 1’ „0—i¹ 0Ą-i

W taki sam sposób dopełnimy grupę czworościanu X' do

JT

grupy ośmiościanu, obróconego o kąt około osi gg‘.

Będzie ona: zl =

(3)

ik0

“T

V2

czyli: 0' =

* = 0, 1, 2, 3.

(3)

z₁⁴+2Y/—3 + ².²+£₂⁴=0.

Te równania określają odpowiednio czworościan X i H Co się tyczy sześciu środków krawędzi, to mają one spółrzę-dne (£, 27, £)=(0, 0,1), (0,0, -1), (1,0, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, -1, 0); w stereograficznej projekcyi odpowiadają im punkta z=zll z₂ = co , 0, 1, —1, i, —a, a równanie:

(4)

(4)

7- y (! + »)*+V/2 ,y2.^-(l—t)

⁴ Y/2.*—(1—*)’ * (l-H>+V/2’

(1—a>+Y/2 Y/2.*—(1 + i)

Do grup jednorodnych dojdziemy, tworząc substytucye:

./1 + a 1-i \ r(lĄ-i 1—i

ikz,

i*.

i*.

\/2.g—(1 + i) (l—i)g+\/2 ’

= 0,1,2,3.

V/2*1?V/2r

gdzie 6r — [por. («)] — jest grupą czworościanu X lub X, i gdzie widocznie

1—i

V/2

^V/2

i.

117. Zasadnicza fimkcya Z czworościanu i ośmiościanu. Aby

utworzyć zasadniczą funkcyę Z czworościanu X, zauważmy, że tu jako ilości punktów, zawartych w grupach (v^), (v₂), (v₃) mamy:

1. sześć punktów połowiących krawędzie (jako grupa (2^),

vi=2).

2.    cztery naroża A, J5, C, D (jako grupa (v₂), v₂=S);

3.    cztery środki ścian (jako grupa (2^), vz=3), są-to naroża wzajemnego czworościanu H — art. 109).

Naroża mają rzuty stereograficzne:

(1) (A) a

1 +i

1-i

i/3 + 1

(C) y

Y/3-1

równanie (z₁ — az₂) —fiz₂) (#, — yz₂) (^ —óz₂) = zx ⁴—21/—3. zi ². z₂ ² + z2 ⁴=0

(2)

ma pierwiastki

L-i 1 +

V/3—1

(D) ó

1-i

N/3 + l’

= «, /?, 7, d. Punkty (v₃) określą się równaniem:

^1 ^2 (^1 —^2 ⁴)=o ma właśnie takie wartości zi/z₂ jako pierwiastki. Połóżmy: ( Fx=zxz₂(z^-z₂k)=t

F₂ =z₁ ⁴-2V/^3 g₁ ² g₂ ²+z.₂ ⁴= F

I F,=0,‘+2\/:^VV+V=®>

to wszystkie te 3 formy nie doznają wcale zmiany za temi sub-stytucyami grupy, które do obrotów czwórki się odnoszą. W pozostałych substytucyach pozostaje t jeszcze ciągle niezmienione,

podczas gdy 0 odtwarza się z czynnikiem 1₂

T

Z tego wynika, że funkcye: 0³, 0³, t², 0.0= W — trzy pierzy

wsze 12®°, a czwarta 8®° wymiaru — nie zmieniają się wcale w całej jednorodnej grupie substytucyj.

Utwórzmy analogiczne funkcye :

.P₂=V-2Y/3 ^²^₂²+^ -®¹'

F‘o = ⁴ + 2V/3    g₂i+g₂i=0¹

dla czworościanu X', to w jego grupie nie doznają wcale zmiany funkcye W*³ 0'³ t‘², 0‘0‘ =W‘.

Łatwo dalej sprawdzić można identyczne związki: 12V/X3^-0³+^³=O 12\/3 .f²—0'³ -f- 0‘S=O. Połóżmy:

2',

0" z czynnikiem

(6)

(8)

0'3

03

0'3

to są-to funkcye, z których pierwsza niezmienną jest w grupie wielościanu X, druga w grupie wielościanu X, a każda z nich ma w punktach (v₂) wartość =0, w punktach zaś (vz) wartość = oo . Co się tyczy punktów (a^), to zauważmy, że ze związków (7)

wynika:

(9)

X-l = -12Y/-3~

t¹²

Z'—1 = —-12U3.

03 »

a że ilorazy po prawej stronie mają w punktach (v^) wartość =0, więc widocznie funkcye X, Z' mają w tych punktach wartość =1. Z (8) i (9) wynikają definicye:

(1 )    X:X-1:1=2J,3:-12V/X3^:0³

03

Z': Z'—1: l=r³: -12\/3J'²: 0/3

a funkcye Z, Z' z analogicznemi własnościami jak funkcya Z dwu-ścianu, nazywają się i tu zasadniczemi. W zmiennej z mają one postać:

Z{e)

(₀4_2V/_3.0²+l)³

zw-

(^⁴+2V/-3.0²+l)³

(^■4_2v/3.0²+1)³

(^⁴ + 2V/3.^²-f l)³

W ośmiościanie mamy ^+2, v₂ =4, v₃ =3, r=24, a gdy jego naroża leżą na osiach, spółrzędnych, to grupę (v₂) jego naroży określi równanie :

F₂=t=ziz₂^ k—z₂ ⁴)=0.

Grupę (v₃) środków jego ścian (naroży sześcianu) określi równanie: F?>= W=W0=zis+14:Z₁!lz₂i+z₂s=6.

Co się tyczy grupy (v±) środków jego krawędzi, to spółrzędne tych punktów są: (£, y, £)=

(±W(44°)

, 0, +-

(o, +—

V/2

k)

Ich stereograficznymi rzutami są na płaszczyźnie (z) punkta : 1 + i , l—i

~ \/2 ⁷ -V/2’

±(V/2 + l), ±(\/2-l), ±i{V2 + 1), ±i(V2-1)

a w zmiennych #1} £₂ określi je równanie:

Fi =#=V²—³³ *z₂ ⁴—32 ^⁴ ^₂ ⁸4-0₂¹²==O.

Formy JF1? F₂, F₃ nie zmieniają się w grupie czworościanu, zawartej w grupie ośmiościanu. W dalszych jednorodnych substy-tucyach także i forma W wcale się nie zmieni, a formy t, % przejdą na —t,

Z tego wynika, że formy tk: W³, #², wszystkie jednakowego, 24te£° wymiaru są już niezmienne w całej jednorodnej grupie ośmiościanu. (W tej grupie już i t² nie zmienia się wcale). Między niemi zachodzi identyczny związek:

(13)

Połóżmyż:

X²— W³-\-108£⁴=0. 108 ć⁴

W³ ’

to ze związku (13) mamy równocześnie:

— X²

a stąd:

Z^:Z^-1: 1=108ż⁴:—%²: W3 i to równanie określa zasadniczą funkcyę ośmiościanu w jego pier-wszem położeniu. Ma ona wartości: 1, 0, oo odpowiednio w punktach: (^), (v₂), ty₃).

Po obrocie ośmiościanu o kąt 45° około osi zz/ dostaniemy:

^-1 =

W³

(14)

Fx -*'-*i¹²+33*₁8 4~33 %⁴ V~V²,

F₂=t'=ZxZ ₂(V + V)>

F₃=    14ą⁴^₂⁴+^₂

-1:1-108 </4;-^*:Tr/8.

Jeżeli przez Z, Z' naznaczymy odwrotność funkcyj Z1? Z', to w zmienne! z będą one miały postać:

(s⁸+14,s⁴+l)³

i odpowiednio :

(z&—14s⁴ + l)3 108^V + 1)⁴ ’

a w punktach: (vx), (r₂), (v₃) przybierają wartości 1, oo, 0. Z określa proporcya:

(15)    Z(0)

108 0⁴(#⁴—l)⁴

, Z'(z) =

(16)

Analogicznie określa się Z'.

Z: Z—1: 1= W³: %²:108 tf⁴.

118. Grupy liniowych podstawień dwudziestośeianu. Dwu-dziestościan wpisany w kulę o promieniu =1 niech ma takie położenie, że jego przekątnia xeyQ [fig. 82.] w oś zz' wpada, a jego

środkowa q przez punkt Q przechodząca niech leży w płaszczyźnie zDx, przecinając w niej ligą i iytą ćwiartkę.

Przez to położenie dwudzie-stościanu jest już zupełnie dokładnie określone. Oś    [ar^*

110.] spada wtedy z osią yy\ Około zz'=x₆y& odbywa się obrót 8, około qt obrót U, a substytucye niejednorodne, o-kreślające obroty S>*, U są:

(Si*) z'=1fi=0,1,2, 3,4.

<2- -

.... *6

■V

JE

X'

CSi o*

-1 1

Z'

Fig. 32.

W jednorodnych formach mieć będziemy:

Z\ = + £³^    ,    ^₂ = + Zx

e=l2

7t 5

(TT)

*^ — ±*21 ^₂ = + ^.

Co się tyczy obrotu T o kąt n około osi q, to — znacząc 2)⁼y — dostajemy przedewszystkiem na spółrzędne punktu Q (na kuli): £=—siny, t]=0, ę=cosy. Stąd wynika, że:

a=—siny, b=0, c=cosy, d=0

i że więc:

cos y.i.s — sin y. i

Tz

(1)

— sin y. i. z — cos y . i

cosy.i. lnz — siny .i.l n

TSz

~5

—sin y.i.ln.z — cosy.i. 1

T

Ponieważ wyznacznik A tej substytucyi jest już =1, więc

7lż

możemy położyć wprost: —cos y .sin —=+d.

CC

Lecz d = cos a że ST jest obrotem o peryodzie 3, [art. 111],

a więc a=+-g-. W ten sposób dostajemy:

. tt    Ti    , 1

—cos y. sm -=-= + cos — = + ₀ ;

O    o    ^

a że cosy ma być dodatne, sin

t    TC 1

łożyć trzeba cos y . sin    . Połóżmyż :

1 TC 1«

T T

jest > 0, więc ostatecznie po-

.    71

sm-fr-

5

lyr —    16 Ti--

t—¹ tc

71 -

~ T e²—£³

i uwzględnijmy, że —14?r=    £², to dostaniemy:

.    71

sm-=-—    ₀ t-

5

fi²— fi³

(2)

Lecz ze związku (e²—fi³)(fi⁴—fi)=£-|-£⁴—fi²—e³=\/5 ¹) mamy: a uwzględniając to, dostajemy:

£—fi⁴

^V/6“

cos y =

a więc: sin²y

5+(e—e⁴)²

Lecz, że 5==(fi-pfi⁴—c²—£³)²=—£—£²—£³—e⁴+4, więc: e+e⁴—2

(£²—£³)²

i wreszcie:

sm y

e²—£³

iV 6“¹

(5)

Wstawiając (2), (3) w (1) dostaniemy:

— (e—fi⁴) 0-f(fi² —fi³)

(fi² — e³) z-\- (fi — e⁴) ’ y/5~. zi =4-~ (fi—fi⁴)    (fi²—fi³) 0²,

V/5 .    =± (f²—e³) ^2 —£    £⁴) ² a)-

Z substytucyj S, T, U można już utworzyć całą grupę dwu-dziestościanu [art. 110, (4.)]. Będzie ona w jednorodnej formie:

W₂=+ e² t²z₂

albo

T:

Sf²:

S>² U:

/²' i=+£²^2 \z>2=JTE^Zi

4:

S(² TSV:

_ (V/b.^₁=+£3v {—(fi—fi⁴)£³^^+(e²—e^fi²^} ’ I y/iT.z\ = + £2,,{ + (fi²—£³) £³^+(e—£⁴) fi²^

St²TSv U:

y/5 . Z\ =4- E2v { +(fi²— £³) £³^ ^ -j~ (fi — fi⁴) fi²^ £₂}

y/fT. z\ = + fi³¹' {—(e—£⁴) fi³'1²    + (f³— fi³)fi2|M z₂}

[a, v = 0,1,2, 3, 4,

a w niejednorodnej 0,= Eil²

£■“. £,--

-(fi—fi⁴) £^£-f(£² —fi³)

+ (fi² — fi³) £^£ + (£ — fi⁴)

c4ł, (£2-£3) c³ •²+(£-£%.

’—(fi—£⁴)fi^ + (£'² — £³) '

Na płaszczyźnie (z) dostaniemy grupę punktów (v₂) [naroży dwudziestościanu], gdy w wyrażeniach (B) położymy £=0.

Będą-to punkta:

B:

(4)

Z—~ = 0, 00 , £v(e -(-fi⁴), £v(fi² + £³),

a równanie:

v=0, 1,2, 3, 4.

F₂ =f=ziZ₂(z₁i0-ł-l 1^ ⁵£₂ ⁵—£₂¹ °)=o, mające właśnie pierwiastki (4) jest równaniem dwudziestościanu. Sama funkcya f — jak łatwo sprawdzić — nie zmienia się w całej grupie.

119. Ogólna metoda wyprowadzania formy F%. Formę F₃, a potem Fi wyprowadzimy tu metodą, którą również i w teoryi czworościanu lub ośmiościanu zastosować można.

F₂^=Z

Potęga F₂v* ma w czworościanie znaczenie S*"³, a w ośmio-ścianie znaczenie bez różnicy więc, czy do czworościanu, czy ośmiościanu, czy wreszcie do dwudziestościanu należy, nie zmienia się już w całej odpowiedniej grupie jednorodnych substytucyj. Stąd wynika , że równanie:

(1)

już o wymiarze r przy dowolnej wartości    wyznaczy na płasz

czyźnie (z) r punktów tworzących grupę punktów wielościanu*).

Przy /L=0 mamy tych punktów w (1) również r, ale z nich po v₂ wpada w jedno naroże.

Gdy w jednym z punktów (v₃) — w jednym ze środków S ścian wielościanu — mamy % = ^, £₂ = £₂, i

(2)

■^2^3?

to Pj”* ma we wszystkich punktach (v₃) wartość i₃, a para (£], £₂) trzykrotnie zadość czyni równaniu.

Podobnie, gdy w jednym ze środków S‘ krawędzi wielościanu — w jednym z punktów grupy (vx) o określnikach £'₂) — mamy:

(3)

F₂v>=X

to F₂v* ma tę samą wartość Xi we wszystkich punktach (vx), a para (£'1? £'₂) dwukrotnie spełnia równanie (3). W pierwszym bowiem razie punkt należy zawsze do trzech obszarów (I+II), w drugim do dwóch takich obszarów [art. 113.].

Niech a—Ł lub to równanie:

(4)

F₂v* — a=0

ma mieć takie własności: W pierwszym razie mamy przy obra-nem z₂ dostać po dwa razy powtarzające się #if a przy obranem gi po dwa razy powtarzające się z₂. W drugim razie mamy przy obranem z₂ dostać same zi po trzy razy się powtarzające a przy obranem zx same, po trzy razy się powtarzające z₂.

Aby dostać warunki, przy których to zachodzi, przyjmijmy, że (£1? £₂) jest już parą zaliczającą się do pierwszego, lub drugiego przypadku. W miejsce równania (4) zauważmy związek:

(5)

*) Obrawszy pewną wartość z₂ będziemy mieli w (1) równanie /*s° stopnia o niewiadomej zx. 7i niego dostaniemy r pierwiastków z\, z‘\,... takich, że 22 )> {z“x, z₂),... określać właśnie będą grupę tych r punktów wielościanu, w których F₂v* ma wartość X.

przy dowolnych stałych a, /?. Równanie @.₂(zi, £₂)=0 ma między innymi także i pierwiastek £,, gdyż przy £₂=£₂ i ^i⁼^i przechodzi 0₂(^,^₂) na -F₂v’(£i, Q — a. Dalej    będzie przy 0₂ = £₂

dwukrotnym, lub trzykrotnym pierwiastkiem równania (4), jeżeli będzie takimże pierwiastkiem równania <2>₂(£1} £₂)=0. To samo odnosi się do 0₂ = £₂, kiedy ^ ma mieć wartość £

Przy dwukrotnych (£], £₂) muszą się (por. uwagę przy końcu art. 74g0) —na tern miejscu (£1? #₂)—(f^) spełnić takie związki:

-v F^-i d^ -    ²²

1-

diP₂ orahr—1

«£] + /?£2 d.F₂ arBhr~¹

af₁+^₂”°’

gdzie dla krótkości położono (a^ +/?0₂)/(afi -f/?£₂) = A. Z nich wynika :

(6)

d^₂

d^₂

d-F₂

^rr, o

(7)

d^t

dF₂

di^₂ d.F2 n

^f'³-aZa=0’

d0₂

to wskazuje, że, gdy tylko położymy:

/3=&. dla %==^1? 2₂=£₂, dowolne]

(8)

05 =

d^

d#₂

to już równanie $₂=0 posiadać będzie dwukrotne miejsce zerowe

(?!,&)•

Gdy na miejscu zerowem (£1? £₂) ma w równaniu ®₂=0 do fj należeć dwukrotny pierwiastek £₂ i odwrotnie, to muszą na tern

mi ej cu — oprócz (6) — sprawdzić się jeszcze związki:

dz₁

=0,

d²

— &₂==0, które — uwzględniając (8) — w ten sposób napisać

d^₂

można :

(a)

d²F₂

d*₄²

a.r .(r —1) .7ir

«+^₂)²

—2

^2(^2—!)--p

7? v₂—2

x 2

a.r.(r—1) ./&r~²

«+/5?₂)²

P/:-²l

-^2(^2— X)--p J-

Lecz na miejscu (£1? £₂) jest ^₂=0, a że tb₂ — jako jednorodna funkcya — da się wyrazić liniowo jednorodnie, [art. 75.,

d²<ft₂ d²<fr₂ d²<£2 d^² ’ d^₂ ² ’ d^d^₂

(t1? £₂) dwie pierwsze są zerami, więc na tern miejscu być równo-

tw. I.], przez pochodne

z nich na miejscu

Teorya funkcyj.

20

cześnie musi w postaci:

d²<Z>₂

dzidz₂

0. Ten ostatni związek można znowu napisać

(y) v₂f₂v>-¹

d²F₂

dzt dz

i'

raf>\

a .r . (r—1). Jir~²

F₂V⁴~X

Ki+^₂)²

M^-i)

Z (a), (/?), (y) wynika odrazu związek:

d²F₂ d²F2 dz{v dzidz2 d²F₂ d²F2 dz₂dz₂ dz₂

d²F₂' d²F₂ / d'Ft \2 dz²‘ dz₂² \dzldz₂)

=0

spełniający się zawsze na każdem trzykrotnem miejscu zerowem (0t, z₂) = (^i, £₂) funkcyi (P₂, czyli równania i?T₂ł'¹ — i₃=0. Że zaś taka para (£1? £₂) określa środek $ dowolnej ściany, więc stąd wynika, że wszystkie pary spełniające związek:

r)zi dz₂

12l d²F^z₂)    d²F₂{z^z₂)

dz₂dzi

są parami określaj ącemi środki ścian. Wymiar tego związku wy-

(9)

dz⁴²

r)⁴₂²

-0⁴)

raża się liczbą 2^——2^

że ta u wszystkich trzech rozważa-nych wielościanów =— , ilości środków S, więc stąd wynika, że

równanie (9) zredukować się musi do :

C3 ^3(^1 1 Z₂)=0.

Dla dwudziestościanu mieć będziemy :

(10)

j2i H{F₂)—F₂ —

— (zx² 0+0₂ ² °) + 228 (zt 1 ⁵z₂ ⁵— zi r°z₂¹⁵)—494 0t ¹ %¹ °.

Aby zachowanie się tej formy w całej grupie zbadać, pójdziemy drogą, którą również do _F₃ czworościanu i ośmiościanu zastosować można.

Pewną substytucyę:

A

Q!₂    /?₂

^1, «i0i+/V2 0₂, a₂0! +jd₂02 zawartą w grupie przedstawmy równaniami:

(11)

Zi=aiz\Ą-^z,₂, z₂=ct₂z\+p₂z‘₂,

to z nich mamy :

a że (aiP₂—a₂/?i) = l w każdej substytucyi grupy, więc:

(14)

OZ,

dz>

dz₂

d-h

p2‘

an Pi 7

dz\ ⁰⁵²⁷ dz\

Połóżmy dalej P₂Oi^ia₂z\ -p₂P₂)=P₂(z\, z\\ to P2 będzie=KF₂(zi: z₂), gdzie (8ilz₂) są z (z\, z‘₂) połączone równaniami (11), a spółczynnik K jest w czworościanie = 1, l4?r, w ośmiościanie

dz\

dz\

= + l, —1, a w dwndziestościanie = + l.

Pochodne funkcyi P₂ można — za uwzględnieniem (11) — w ten sposób przedstawić:

(12)    =    ai+Ed-^ cc₂

dz\ dz] ¹ dz₂ ²

K(0iF% _ , dlF2 d²P₂

a²P₂ ^/d^ d#'₂    \ dzi

Stąd wyniknie:

(13)

{dz\y

d²P₂

(<^'₂)²

“*(

<>Ft

dF₂

dz‘₂

dzi

dz₂

/V

«i -j-

d²P₂

fM

dz, dz

d*F

d£, d# d²P₂

d^d#

H(P₂)=K*

)a+*(

dz₂ dzi d*F2 dzi dz2 d*F2 dz₂ dzi

«i 4

Pi d

d -5 \a

<v / ²

d*F„

d^₂

■cc, a

bs    bs

*>)

«2

Pi Pi

H(F₂),

H{P₂)=KKH{F₂)=czK\Fz.

Z tego widzimy, że u czworościanu odtwarza się P₃ z czynni-w ośmiościanie zaś i dwudziestościanie nie zmienia

kiem 1, lub 1₂

7t 1

1“

się wcale (K²=1).

przy obranej wartości

Funkcya Fzv* już wymiaru rteg0, nie będzie się wcale zmieniać w całej grupie rozważanego wielościanu fi i z₂ — t₎\ da równanie F%v*=fi grupę r punktów,

120. Wyprowadzanie formy F\. Zasadnicza fnnkcya Z dwu-dziestościanu. Grdy w punktach (v±) t. j. w środkach S‘ krawędzi ma F₃v* wartość fi±, to równanie F^—fi^ spełnia się samemi dwu-krotnemi parami (£'1} £'₂) i to temi samemi, dla jakich jest F₂v*=Ai [art. 119, (3)]. Z równań tych dostajemy dla pary (£'₁₅ £'₂):

F₂Vs fiiF₂Vi—0,

a że ta para dwukrotnie ma spełniać to równanie, więc dla zl =^/i 0₂=£'₂ ma być równocześnie:

dFz

(1)

AimP*F** ¹ dz K V* Fzv*~l

dF?,

dF₂

W₂F₂V*~'

dla (0lt *₂)==(£'i, £'₂). Współczesność równań (1) wyraża związek:

dz₂

£ ^ S' ^

KS

dF₂

dz₂

dF,

=0

dz₂

a że Z,\, £'₂ mają określać dowolny punkt z grupy (ł^), więc stąd pochodzi, że równaniu :

dF\ ()F2 dzi ’ dz2 dF?j dFz dzi ¹ dz₂

zadość czyniące (%,0₂) s% zawsze określnikami grupy {vs). Równanie

(2)

ĄF₂₁F₃)=

=0

(2) jest wymiaru

2^, a że ta liczba=-^-, więc stąd

wynika, że to równanie zredukuje się ostatecznie do związku:

ą F± =0.

Dla dwudziestościanu dostaniemy:

(zx ³⁰-f-³°)-|-522 (ą ²⁵z₂a—zi ⁵z₂²⁵)—10005 (zi ²⁰ z₂i0+zi¹⁰z₂²⁰).

Aby zmienność formy Fi w grupie całej zbadać, napiszmy znowu substytucyę S w formie (11) — art. poprzedź. — i naznaczmy przetworzoną funkcyę Fz przez P₃, to wtedy P₃=K²F₂, a że P₂=KF₂ więc dostaniemy:

J(P₂, P₃)=K² J(F₂,F₂).

Z tego wynika, że Fi czworościanu i dwudziestościanu nie zmienia się wcale, w ośmiościanie zaś już-to nie zmienia się, już-to przechodzi na

Tak więc łatwą drogą, łatwiejszą niż przez uprzednie wyznaczenie grup (^₁), (v₃), utworzyliśmy Fi i P₃ dla dwudziestościanu. Aby związki liniowe identyczne:

aiFiVi+a₂F₂Vx-\-a₃F₃v»=0, jakie zachodzą między trzema formami u wszystkich trzech wielo-

(3)

(4)

-*i-

ściano w, teoretycznie uzasadnić i stałe aXl a₂, a₃ oznaczyć ważmy wyrażenie:

¹

Według art. 25. tw. I. jest —1—s—e²—s³—e¹=0, a więc —e—s¹—ss—sł+ -(-4 = 5. Z drugiej znowu strony — uwzględniając: e⁸ = 1 — dostajemy: [(e¹—e³) (e¹—s)]² = (e + e⁴—e²—e³)² właśnie =— s—e²—e³—s⁴-{-4, a więc =5. Stąd już związek użyty w tekście wynika.

²

Oprócz przytoczonych wykładów o dwudziestościanie por. F. Klein.

³

TJber bindrę Formen mit linearen Transformationen in sieli selbst. Math. Annalen T. 9. str. 183—208. P. G o r d a n wyprowadza grupy wielościanów czysto algebraiczną drogą w rozprawie „ Lber endliche Gruppen linearer Transformationen einer Veranderlichen“. Math. Annalen T. 12. str. 23 — 46. Por. także A. Cayley. „On finite Groups of linear Transformations of a Yariable. Math. Annalen. T. 16. str. 260—266.

⁴

Spółczynnik przydano tu dla uproszczenia późniejszych form.

zau-

(5)

z dowolnemi stałemi o₁, a₃.

"Wyrażenie to jest oczywiście także niezmienne w całej grupie. Żądając, aby ono na pewnem obranem miejscu (£1? £₂) znikało, dostajemy związek a₁l?₁v»(£₁£₂)+a₃.F₃,’3(£₁£₂)==0, z którego oznaczone Oj, o₂ (stosunek o₁:o₂) wstawione w (5) dają funkcyę znikającą na miejscu (£1?£₂) i na miejscach z niem równoważnych. Pomyślmy sobie ai:a₂ tak oznaczone, że (5) znika na jednem z miejsc grupy (v₂). Wtedy trzeba położyć aiFivi + a₃F₃v*=—a₂F₂v*, gdzie o₂ jest jeszcze nieoznaczoną stałą. Lecz stosunek ax:a₃ musi być dla ośmio-ścianu i dwudziestościanu =—-1, gdyż Fxv*, F₃Vi zawierają tam dodajniki zxr, z₂r, a w F₂V* takich dodajników nie ma. Połóżmyż «₁ = 1, a₃ ——1, to gdy z Fxvi, F₂vFzv* wybierzemy dowolnie równo-imienne dodajniki Axzxaz₂P, A₂zxaz₂^ A₃zxaz₂P, dostaniemy związek Ax—A₃Ą-a₂A₂= 0, z którego a₂ obliczymy.

Z 3 form czworościanu posiadają F₂V*, jpł₃ł'» dodajniki jSj¹², #₂¹², a takich dodajników nie ma. Tu więc trzeba położyć a₂ = l, a₃ — — 1, a ze związku A₂-A₃-\-axAx — 0 obliczy się ax. Dla dwudziestościanu dostaniemy jako związek (4):

(6)

Połóżmyż: Zx =

T²+fl’³_2728/‘⁵==0

1728/*⁵

a więc Zx—1 =

_y2

W’

to w funkcyi Zx mamy zasadniczą funkcyę dwudziestościanu o wartościach 1, 0, go w punktach (vx), (v₂), {v₃).

Gdy znowu — jak w ośmiościanie — naznaczymy odwrotność funkcyi Zx przez Z, dostaniemy:

(7)

Z-l =

1728/‘⁵

(8)

1728/

Z: Z— 1:1    : — T²:1728f.

i proporcyę:

W zmiennej z ma ta funkcya postać:

(9)

_[(^2o₊₁)_228(0¹⁶—s⁵)+494s¹⁰]3 1728[^¹⁰+11^⁵— l)]5 i ma wartości: 1, oo , 0 w punktach (vx), (v₂), (v₃).

Dla ośmiościanu i dwudziestościanu utworzyliśmy oprócz funk-cyj Zx jeszcze funkcye Ż, różniące się tern od ZX1 że w punktach (vx), (v₂), (v₃) mają odpowiednio wartość: 1, co , 0.

Pomieniajmyż w tych dwóch wielościanach znaczenia liczb v₂, v₃ ze sobą tak, że w nich v₂ odnosi się do środków ścian, a v3 do naroży, to mamy teraz:

w dwuścianie w czworościanie w ośmiościanie w dwndziestościanie

tO tO bO hO

(M co co co

§ CO ^ lO

a funkcye zasadnicze Z wszystkich wielościanów przybierają w punktach {vx), (v₂), (v₃) odpowiednio wartości 1, 0, co.¹)

121. Zachowanie się funkcyj Z w grupach rozszerzonych.

Funkcye Z(z) nie zmieniając się wcale w grupie niejednorodnych substytucyj odtwarzają się bez żadnej zmiany w obszarach (1+II),.... w ten sposób, że w każdych dwóch równoważnych punktach są tej samej wartości.

Lecz

Lecz ważnem jest zbadać zmianę funkcyi po dowolnem odbiciu punktu z, t. j. zbadać jej zachowanie się w grupie rozszerzonej. W tym celu zauważmy, że po wyłączeniu czworościanu X mają wszystkie rozważane wielościany płaszczyznę xOz za płaszczyznę symetryi. Odbicie w niej określa substytucya t =(#, £₀), gdzie z₀=x—yi, jeżeli z=x+yi. Ody G=[ou <r₂, <r₃, ..., os, ...] jest grupą niejednorodnych substytucyj wielościanu, to wszystkie odbicia określają substytucye: [o-jT, <t₂t, u₃t, ..., ast: ...] Poddajmyź funkcyę Z(z) odbiciu ast, to otrzymamy: Z(z)0sZ=[Z(z)„Jt. Z(z)as=Z(z), a stąd wynika, że Z(z)asx=Z{z\=Z(z₀). To znaczy:

I.    Po każdem odbiciu wartość zasadniczej funkcyi punktu z przechodzi na wartość sprzężoną. [N. B. Wszystkie funkcye Z(z) mają spół-czynniki rzeczywiste].

Ody x-\-yi leży na boku X trójkąta I (a więc i II), to odbicie w tym boku nie narusza wcale tego punktu [art. 113]. A że w tym punkcie ma mieć funkcya zasadnicza równocześnie i wartość Z{z) i wartość Z(z₃), więc musi być Z(z)=Z(z₀), co znaczy, że Z{z) ma tam wartość rzeczywistą. Ponieważ to w innych punktach zajść już nie może, więc stąd wnosimy:

II.    Gdy Z—U(x,y)-\ V(x, y)i, to V(x,y)=0 daje wszystkie koła i proste, które płaszczyznę (z) dzielą na trójkąty I, II stereoyraficznie rzucone z kuli podzielonej podług wielościanu.

122. Przedstawienie dowolnej funkcyi wielościanu przez funk-

eyę Z. Przyjmijmy, że mamy wymierną funkcyę F(z), różną od Z(z), a niezmieniającą się w grupie G.

W punkcie dowolnym z niech ma F(z) wartość v, a Z(z) wartość w tak, że mamy równoczesne równania:

(a)

(b) Z{z) = w.

F(z)=v,

Eliminując z z tych równań, dostajemy algebraiczne równanie:

(fi)

G{y, w)—0.

[G(v, w) jest rugownikiem równań (a), (&)].

Funkcya F(z) może przybierać wartość v w ogólności na więcej miejscach z, między sobą nierównoważnych, n. p. na miejscach z, zi, z2,    zp-\. Do nich dołączają się zawsze miejsca ró

wnoważne wskutek założonej własności funkcyi F(z).

Szukając przeciwnie punktów z, na których ma być :

{d)

Z(z)=w,

gdzie w ma być różne od 1, co, 0, dostaniemy, po sprowadzeniu związku (d) do formy całkowitej , równanie stopnia r, posiadające niezawodnie jako pierwiastki r punktów równoważnych. Ze zaś już więcej pierwiastków to równanie posiadać nie może, więc stąd wynika, że funkcya Z{z) przybiera tylko w punkcie 2 i na miejscach z nim równoważnych wartość w.

Z togo wynika, że do jednej wartości Z[z)—w należy jedna tylko wartość v=F(z)=F(zi)= ... = F(zp-1). Do jednej przeciwnie wartości v należy p wartości funkcyi Z(z), a mianowicie Z(z), Z(%),

..., Z(Zp—i).

Równanie (c) musi więc być pierwszego stopnia według a pg0 stopnia według w, co znaczy, że przy jakimkolwiek p zawsze mamy: F(z)=R(Z), gdzie R jest znakiem funkcyi wymiernej. Grdy p—1, to równanie (c) jest pierwszego stopnia ze względu na v i w. Mamy zatem twierdzenia:

I. Dowolna wymierna funkcya F(z), nie zmieniająca się w grupie wielościanu, daje się zawsze icyrazić wymiernie przez zasadniczą funk-cyę Z{z).

II. Funkcya F{z) będzie liniową funkcyą funkcyi zasadniczej, jeżeli z miejsc, na których F(z) tę samą wartość przybiera, każde dwa są równoważne.

Że naodwrót każda funkcya wymierna R(Z) nie zmienia się w grupie, nie ulega wątpliwości.

CZĘSO IV.

0 EUMINACYACH I TEORYI FORM DWÓJKOWYCH.

ROZDZIAŁ IX.

O eliminacyach z dwóch równań.

123. Metoda Sylwestra tworzenia rugo wnika dwóch równań O jednej niewiadomej. W teoryi szukania największego wspólnego podzielnika dwóch danych funkcyj f(x), g(x) [art. 56.] wspomnieliśmy, że takie funkcye są współmierne, jeżeli równania / (a;) = 0, g(x)—Q po s i a da j ą j e d en przynajmniej wspólny pierwiastek. Ta uwaga może posłużyć za punkt wyjścia teoryi szukania wspólnego podzielnika. Połóżmy: f\x)=a(jxm+a^x

to dla wspólnego ich pierwiastka x, który różnym od zera zakładamy, spełnią się równocześnie równania:

(1)

(2)

xn~if(x) —O, xn~² f'(x)=0,...,xf(x)=>0, f(x)= 0; xm—¹g(x)=0, xm—²g(x)=0,..., xg(x)=0, g(x)=0.

Mamy tu równań (m-j-n), a uważając je za liniowe jednorodne w niewiadomych:

(3)

xm+„—i, xm+n-², ...,x², a?¹, x°=l, wyrazimy ich współczesność relacyą :

m²

a₀ aj...    a

t₀ \... i. -³ ⁴) tp°r-art- B7-I- Gdy

(4)

są podwyznacznikami któregokolwiek wiersza w R (f) g), to wtedy:

• X • 1    D₄: D₂: ••• • DmĄ.n—1 •Dm^ny    .*

/pm-f-ft—1 • ,jęin-\-n—2 •

(5)

x—Ra—\\Rcn a — 2, 3

m+n.

Przyjmując wszystkie podwyznaczniki (4) różne od zera, mamy w (5) szukany wspólny pierwiastek, a funkcya liniowa: DCc%—Dce_i=t(x) jest podzielnikiem funkcyj : f(x)₁ g(x).

Lecz możnaby także tak postąpić :

Z równań (1) i (2) opuściwszy ostatnie równania f (x) — 0, g (x)=0, możemy pozostałe skrócić przez x, które założyliśmy =ł=0.

Te równania przy m=5, n— 3 — co przyjmujemy dla uproszczenia — mają postać:

(I)

a₍₎xQA-aix⁵-\-a₂x^+azxz-\-a!lx²Ą-{at)x-¹r 0) =0 OxQĄ-a₍₎x⁶+aix!t-\-a₂xz-\-a?tx²-t(a!ix-\-ah) =0 ó₀:r⁶-f &₁a:⁵-l-ó₂a;⁴+bzxz-{-0x² Ą-(0x + 0) =0 Ox%-\-b₀xh-\-bixi+b₂x³-{-bzx²+ (0x -f 0) =0 O#⁶ -\-0xh -\-b₍₎xti-\-bxx?,Jrb₂x²-\-(b₂x-{- 0) =0 O#⁶ -f O#⁵ 4- O#⁴+6₀;r³+ó₁#²+(&₂#-l-&3) =0 Jest tu równań o jedno mniej, niż niewiadomych: Gdy jednak w nich dwa ostatnie dodajniki uważamy — jak to uwidoczniliśmy — za jeden wyraz, za spółczynnik przy as°=l, to mamy już tylko 6 niewiadomych xQ, #⁵, #⁴, #³, x², 1 i tyleż równań.

Współczesność ich wyrazi relacya R₁=Aix-\-A\ = 0, gdzie Ri jest wyznacznikiem, jaki mieliśmy w art. 60 (I). Stąd wynika, że x=—A\lA1} (=Da_\ jJ)a) jest wspólnym pierwiastkiem.

W razie gdy w R(f^g) — 0 wszystkie podwyznaczniki pierwsze są =0, trzeba wspólnych pierwiastków równań f(x) =0, g(x)=0 szukać dalej podług wymogów teoryi jednorodnych równań liniowych. Teorya ta wymaga, aby — gdy nie wszystkie podwyznaczniki drugie równań (1), (2) znikają — 1° z równań (1), (2) dwa którekolwiek odrzucić ;    2° dwie z niewiadomych uważać za

wiadome i 3° przenosząc je na stronę prawą, uważać pozostałe równania za liniowe, a niejednorodne.

Uważajmyż — gdy dwoma odrzuconemi równaniami nie są /*(#)=0, g(x) =0, ale dwa inne — X¹ i cc⁰ za wiadome, to rozwiązaniami pozostałych równań będą:

(a)

xce=Aclx-\-Bce, a>2.

Dla a== 2 mamy:

a to równanie określa dwa wspólne pierwiastki równań: f{x) — 0,

0 0*0= 0.

W razie a >2, trzeba uwzględnić, że prócz (a) mamy jeszcze

a dzieląc (a) przez (6) dojdziemy do relacyi (6).

Największym wspólnym podzielnikiem funkcyj /', y będzie w tym razie:

0)

xa~i = A

(7)

x²—A₂x—B₂ =t(x).

Gdy odrzucone dwa równania są :/(cc) =. 0, g(x) = 0 to pozostałe równania skracając znowu przez cc dostajemy system równań (I). Uważając w nicłi, jak przody, cc⁶, cc⁵, cc⁴, cc³, cc'², 1 za niewiadome i znacząc kolejno przez :

PaX-\-Qcii a =6, 5, 4, 3, 2, 1, [P, “0], minory któregokolwiek wiersza równań (I) dostajemy:

cc⁶: cc⁵: xi:x³: cc²:1 =

P%x + Qe : P$x 4- Qh: Pix + Qi '■ p?,x + Qs ■ P2X + Q-i: Q\ | stąd /+¹//₌=(Pa+₁*4-^₊₁)/(Paa;+ Qa), «=6, 4, 3, 2,

cc =

i cc²== (P₂cc -f- Qi)/ Qi, a te relacye będą temsamem, co (6).

Można jednak także tak postąpić:

Z równań (1) opuszczamy dwa ostatnie: x .f (x)—0, f(x)=0 i z równań (2) również dwa ostatnie: xg{x) =0, g(x)—0. Pozostałe— po icb skróceniu przez x² — tworzą system (m + n — 4) równań o    niewiadomych:

— 3    —* 4 , 1

Napiszmy je — przy m — 5, n=3, co znowu dla uproszczenia przyjmijmy — w postaci:

(II)

a₀x⁵ + a₁xi + a₂x³ + (a₃x²+a^x-\- a₅)=^0 b₀ x⁵+b₁xi+b₂x³+(b₃x² +0 x + 0)=0 Ox⁵+b₀xi+b₁x³+(b₂x² + b₃x + 0) =0 0a;⁵+ Oxi+b₀xs-{-(b^x²-{-b.₂x+b₃)=O,

to uważając w nich za niewiadome x⁵, xi, x³, 1 dostajemy na warunek ich współczesności:

B₂=A₂x²-{-A‘₂x+A“ =0 [por. art. 60, (II)] a B₂ będzie tern samem co (7) (po podzieleniu przez czynnik A₂).

Gdy i wszystkie drugie podwyznaczniki w E (/, g) znik ają, (wtedy ń'₂= A"₂=0 por. art. 59, tw. III), a trzecie już nie znikają, to można równań (II) użyć odrazu do wyszukania największego podzielnika stopnia trzeciego. Mamy bowiem z tych równań:

cc =

cc⁵ : cc⁴: cc³: 1 =

P/cc² -j- Qh‘x-j- Rh‘ : P₄'cc² + $₄'cc -f- P₄': P₃'cc²-|- Q₃‘x -j- P₃': Pt ‘ a stąd: xa+i/Xa = (PJCC+1X² -f Q‘a+1 CC -j- P'a-f-1)/(P'« CC² -(- Q'aX-\- E'a), « =4, 3 i x³ = (P₃ ycc² —Q₃ ‘ x -j— P₃¹) / E\.

w ten sam sposób i dalej w razie znikania dalszych jeszcze wszystkich podwyznaczników postępować należy.

124. Stopień rugownika wynikającego z dwóch równań o dwóch niewiadomych. W art. 83. powiedzieliśmy, że dwie niewspółmierne funkcye wielu zmiennych posiadają zawsze wspólne miejsca zerowe i że tych miejsc jest skończona ilość, jeżeli funkcye dane zawierają tylko dwie zmienne. Zajmijmyż się oznaczeniem tej ilości.

Niech f{x:y) będzie funkcyą wymiaru w, a g(x:y) wymiaru n; położywszy:

f(x, y)=a₀ym + a.,y'"-¹ + ...+am, g (x, y)=b₀y* + \yn~x + ...+bH załóżmy^, że 0,    i że a₀, ax,    b₀, bx, ..., bn, są wymier-

nemi całkowitemi funkcyami zmiennej x o stopniach równych ich znaczkom. Wartości x należące do wspólnych miejsc zerowych równań f(x, y)=0, g(x,y)= 0 są-to pierwiastki rugownika:

Ri (x)=

. Cr-¹

o •••

=0

Tworzenie równania R₁(x')=0 nazywają eliminacyą zmiennej y z danych równań.

Przedewszystkiem trzeba zapytać: jakiego stopnia jest równanie Rx(x) =0, a potem: ile wartości y należy do każdego pierwiastka x (tego równania).

Naznaczmy element wyznacznika Rx(x) stojący w wierszu wtym i kolumnie &tej przez cw,*, to gdy «0=1, 2, 3, ..., m mamy:

cwk—ak—w dla k—w=0, 1,2

CwkT=0^ gdy k—w<0 lub>m. Grdy w=m+1, m-\- 2,..., mĄ- n, a więc:

w=m+v, v=lto cwk=bk-v dla k—v=0, i, 2,..., w, a zaś

m, a zaś

Cu>jfc=0, gdy k—v<;0, lub ^>n.

Jakikolwiek dodajnik wyznacznika Ri(x) po jego obliczeniu ma postać:

-J — +C1.0, ^2 >a2 '''    £*•••

gdzie oij, a₂, am są dowolną permutacyą liczb 1, 2,..., /?₂, ... /?„ dowolną permutacyą liczb m+1, m + 2,..., m + w.

Przywracając znaczenie czynników cW)* mieć będziemy: A-=    —1    1 ••• ®am—m •    1    2 ••• ^jSn—*•

Z takich wyrazów tylko te nie są zerami, w których («!—1,am—m mieszczą się w granicach (0...m), a    1, •••) fin W    n

Są one wtedy w x stopnia (a₁—l + a₂—2 + -. + «m —m) + (/3₁ — l+/?₂—2—w)

=[1 ~ł~2 -J- ••• "t⁻ (w -j-w)] — (1 —2 —|—... -f- mi) — (1 -J-2 -f-... -j- n)=m. n.

Stąd jednak nie wynika jeszcze, że rngownik jest zawsze stopnia mn, gdyż najwyższe potęgi zmiennej x zawarte w poszczególnych wyrazach A mogą się poznosić. Lecz właśnie ta okoliczność, że poszczególne wyrazy A przygotowują równanie stopnia mn, a dopiero przypadkowe znoszenia się mogą obniżyć ten stopień, powoduje, że w takich przypadkach trzeba w równaniu Ri(x)=0 upatrywać tyle pierwiastków x—oo , o ile jednostek obniża się jego stopień pod mn.

Niech teraz f(x,y) =0, g(x,y)=0 będą takiemi równaniami, że w nich £*0 4=0, &₀4=O, am, bn są jeszcze funkcyami stopni m, n, ale pośrednie spółczynniki aa, ba niekoniecznie dosięgają stopnia a. Te i poprzednie równania można krótko tern scharakteryzować, że w nich już same zmienne #, y występują zawsze w stopniu równym wymiarowi tych równań. Utworzywszy rugownik takich równań dostaniemy z niego na iloczyn elementów jej głównej i iloczyn elementów jej pobocznej przekątni wyrazy:

a₀nbnm, ±b,mamn.

Są to widocznie wyrazy stopni mn w zmiennej x, a ponieważ ta okoliczność, że aa, ba mogą nie dosięgać stopnia a, nie może wpłynąć na podwyższenie stopnia innych wyrazów ponad m.n, więc stąd wynika, że i tu JRi(x)—0 może być najwyżej stopnia mn, a w razie niższego jej stopnia =mn—r trzeba jej przyznać r pierwiastków £C=oo . Mamy więc twierdzenie:

I. RugowniJc takich dwóch równań f(x,y)=0, g(x,y)=0 o wymiarach m, n, w których już same zmienne x, y występują w tych stopniach, jest — bez względu na jakość innych wyrazów tych równań — najwyżej stopnia: m.n. W razie gdy jego stopień jest niższy =m.n — r, trzeba do jego skończonych pierwiastków doliczyć jeszcze r pierwiastków x = oc.

Oczywiście, że i eliminacya x z danych równań doprowadzi do rugownika jR₂(y)=0 o najwyższym stopniu m.n, a w razie niższego jego stopnia trzeba w nim upatrywać jeszcze i pierwiastki y=go .

125. Ilość miejsc wspólnych zerowych danych równań O dwóch niewiadomych. Ograniczając się do równań wyżej okre -słonych zajmijmy się teraz rozstrzygnięciem drugiego pytania, a to: ile do pewnego pierwiastka x rugownika Bl(x)=0 należy takich y, że (x, y) są już wspólnemi miejscami zerowemi danych równań.

W teoryi wyznaczników dowodzi się, że w wyznaczniku Z) o elementach cwk , podwyznacznikiem elementu cwk jest cząstkowa

pochodna ^ ^

d cwk

Podwyznacznik drugiego rzędu, który z D powstaje przez opuszczenie dwóch wierszy w, w' i dwóch kolumn Tc, Tc‘ wyraża się

pochodną

d²D

dCick (TCw‘k‘

i t. d.

Według tego, naznaczając znowu elementa rugownika Bi przez cwk i pisząc jRi(x)=A (c11? c₁₂, ..., cm+n , m+n) dostajemy pochodnę JR\(x) w formie:

(1)

R'i w =2

d d d cwk d &    (%x

, iv ^ Ti

w której

di

w, A:

w = 1, 2, wi+rc, £ = 1,2, m+ra

są pierwszymi podwyznacznikami.

d Cwk

Mając to, przyjmijmy, że x==x± jest skończonym i jednokrotnym pierwiastkiem równania Bi—0. R‘i(x) dla    nie jest

zerem, a zatem idzie, że w (1) nie mogą podwyznaczniki dla x=xx znikać. To oznacza, że funkcye f(xi,y), g (xi, y) mają największy wspólny podzielnik stopnia pierwszego óiy+ó\=ti(y), a ti(y)~0 daje jedyną wartość yx odpowiadającą wartości x±. Miejsce (x₁, yi) jest wtedy jednokrotnem miejscem zerowem danych równań.

Z tego wynika, że gdy JRt=Oma same skończone i jednokrotne pierwiastki xi,x₂,...,x wspólnych miejsc zerowych (xiyi), (x₂y₂),..., (x w skończoności.

to dane równania mają mn ymn) leżących

Niech teraz x=xx będzie dwukrotnym (ale nie trzykrotnym) i skończonym pierwiastkiem równania 1^=0. Dla x=x₁ jest więc (1) zerem i to albo: 1° z równoczesnem znikaniem wszystkich pierwszych podwyznaczników, albo 2° bez ich równoczesnego znikania. Źe zaś:

(2)    R,“(x)=

d²d

w,

i*

d Cw'k' dCwk dCwk dcw‘k‘ dx ’ dx dcWk dx²

dA d²cwk

ma być dla x=xi rożnem od zera [art. 51.], więc gdy wszystkie pierwsze pod wyznaczniki znikają , nie mogą widocznie drugie pod wyznaczniki równocześnie znikać. Z tego wynika, że /'(jjj), g(xi, y) nigdy nie mogą posiadać wspólnego podzielnika stopnia trzeciego; mogą zaś posiadać albo 1° wspólny podzielnik stopnia drugiego: ż₂(y), albo 2° wspólny podzielnik stopnia pierwszego: ti(y)i

W pierwszym przypadku dadzą się obydwu równym wartościom xi podporządkować pierwiastki yx, y% [równania t₂(y) = 0], tak, że z owego dwukrotnego xi dostajemy tu dwa miejsca zerowe (xiyi), {xiy₂)₁ gdzie w szczególności może być yt =y₂.

W drugim razie mając tylko jedną wartość y=y₁ wynikającą z ti(y)=0, możemy ją jednemu tylko xi podporządkować. Czy do drugiej powtórzonej wartości xi ma należeć pewne y, nie mamy pewności. To tylko pewna, że jeżeli taka wartość y istnieje, to musi być ona =y₁.

Jeszcze gorzej wypaść może poszukiwanie, gdy przyjmiemy, że xl jest trzykrotnym pierwiastkiem skończonym równania =0. Wtedy funkcye f(xi,y), g(xvy) mogą mieć albo 1° największy wspólny podzielnik stopnia 3®°: t₃(y), albo 2° stopnia 2^° : t₂(y), albo wreszcie 3° stopnia ls° : ti (y).

W pierwszym razie otrzymujemy trzy miejsca zerowe wspólne (#1,2/1), {xiy₂\ (^y₃), gdzie y1? y₂, y₃ są pierwiastkami równania t₃(y) = 0. W drugim razie dwa pierwiastki y1? y₂ równania t₂(y)= 0 dają dwa miejsca zerowe (xi yA), (xiy₂), a czy do trzeciego xi ma należeć pewne y nie da się rozstrzygnąć. W razie istnienia takiego y nie mogłoby być ono inne, jak chyba yr lub y₂.

W trzecim wypadku dwie wartości xx pozostają bez y, ale — jeżeliby im trzeba pewne y podporządkować — to muszą być one =y₁₅ gdzie yt jest pierwiastkiem równania ti(y)=0.

Z tego wynika , że zliczanie wspólnych miejsc zerowych za pomocą wyznaczania największego wspólnego podzielnika funkcyj /‘Ol, y), g(xi:y) nie zawsze prowadzi do celu»

To tylko pewna, że miejsce zerowe ze skończonym pierwiastkiem x₁ równania 7^=0 posiadać także będzie i skończone y=y₁, gdyż równania f(xlf y)=0, y(a:₁,y)= 0 posiadają same tylko skończone pierwiastki, są bowiem przy skończonej wartości xi zawsze stopni m, n w zmiennej y [wskutek ao =ł=0» ^0=4=0].

Inna metoda da nam całkiem dokładną odpowiedź o ilości wspólnych miejsc zerowych.

Zauważmy prócz danych równań:

(a)    /'=0,

(P)

jeszcze trzecie równanie

x+Ay=y,

w którem A, y są dowolne parametry. Rugownikiem równań (a) (c) będzie:

(<0

(«)

a rugownikiem równań (ó) (c):

f(p — Zy, y)=O,

giy — Zy, y)=O,

Równanie (a) daje te y, które do wspólnych miejsc zerowych równań (a), (c) należą; analogiczne znaczenie ma równanie (/?) dla pary (b), (ć).

Lecz parametry A, y można tak wybrać, aby równania («),(/?) posiadały koniecznie wspólny pierwiastek y. Dość jest w tym celu utworzyć rugownik R (y, A) tych równań i położyć:

R(y,A) =0.

Przy A=0 i y=x przechodzą równania (a), ((3) odpowiednio na (a), (b). Z tego wynika, że R(y,0) przy y=x jest wprost rugownikiem 1l₁(x) i że więc — gdy (y) podług potęg A rozwiniemy — dostaniemy : R(y: A) = Ri(y)Jt- Si(y)A-\-Ti(y)A2jr...=0.

Połóżmy tu za y wyraźnie xĄ-Ay i zauważmy, że:

R%(x)

2,y²+->

(/?)

(y)

Rx (x+Ay)=R) (x) + R‘ i (x)Ay 4

St (x + Ay) =    (x) 4- S\ (x)Ay 4

S\{x)

T\(x)

rĄ O 4- Ay) =    (x) + T\ (x)Ay + —₂ ,

A²y²+...,

to otrzymamy związek:

(<5) Bi(x) + ĄR\(x)y + Si(x)] + ^ [J^-y²+S'₁(x)₃,+ri(a;)j4-..=0.

Dla jakichkolwiek (x, y) = (x/, y‘) są pierwiastki A¹ tego równania takie, że przy nich i przy obliczonem y=y'—x‘-\-A'y'i równania (a), ((3) mają y¹ jako wspólne miejsce zerowe.

Żądając, aby równanie (d) przy pewnych wartościach (x1} y) miało pierwiastek ^=0 przechodzimy z równań (a), (/?) do równań: /=0, g=0. Wartość x=xi musi więc przedewszystkiem dać Rt(x)=0 bez względu na to, ile razy A—0 powtarza się w (d).

Przyjmijmyż, że A—0 ma być dwukrotnym pierwiastkiem równania (d). Wtedy mieć musimy równocześnie:

Ą(*i)-0, R\(xx)y + Sx{xx)=0.

Gdy nie jest równocześnie: R‘i(xi)=0, Si(xi)= 0, to drugie z tych równań daje y=yx, należące do niepowtarzającego się xi w równaniu Rx=0, a (xi, yj) jest jedynem miejscem zerowem wspólnem o spółrzędnej xx.

Gdy jednak oprócz Ri(xx)=0 jest jeszcze JR'₁(a:₁)=0, to musi być i /S'₁(ici)=0, gdyż do skończonych xl skończone wartości y należeć muszą. Równanie (ó) ma wtedy już odrazu dwukrotny pierwiastek >1=0, a gdy R‘\(xx), S\{xx), Ti(xx) są =f=0, to kładąc:

1!

(a więc żądając trzykrotnego pierwiastka i=0), dostajemy z tego równania dwie wartości yi, y₂, dające z dwukrotnie powtarzającem się ajj — (gdyż R} (xi)=R\(x₁)=0, R" x(xx)z^zO) — dwa wspólne miejsca zerowe o spółrzędnej xt i t. d. Stąd twierdzenie :

I. Skończony pierwiastek xi, powtarzający si§ v razy w równaniu Ri(x)=0, daje zawsze początek v miejscom zerowym wspólnym (xi,yi), («i,y₂)» •••> (*ił Vv) o skończonych yit y₂, ..., yv. Owe yx, y₂, yv są zawsze pierwiastkami pewnego równania algebraicznego (stopnia v), o spółczynnikach wymiernych w pierwiastku xx i w spółczynnikach samych danych równań, Gdy v=l, to yx jest wymierną funkcyą pierwiastka xx i spółczynników danych równań.

Wyczerpawszy wszystkie skończone pierwiastki x równania Rx(x)=0 i podporządkowawszy im odpowiednie skończone y możemy być pewni, że przez to wyczerpaliśmy również wszystkie skończone pierwiastki równania R₂(y)=0. Przyjmijmy bowiem, że istnieje jeszcze skończony pierwiastek rj równania R₂— 0, to w takim razie do owego rj należałaby już wartość x=co . Lecz to jest niemożliwe, gdyż na miejscu y=f] mają równania f(x, rj)=0, g(x, 77)=O, [wskutek ag^O, 6₀=f=O], tylko same skończone pierwiastki x. To

znaczy:

II.    Rugowniki Rx(x), R₂(y) dwóch równań, których wymiary są równe stopniom w obydwóch zmiennych, są zawsze tego samego stopnia. Gdy ten stopień —mn—r, to równania f— 0, g=0 mają dokładnie mn — r miejsc zerowych wspólnych, leżących w skończoności, a r miejsc (co , cc) — o obydwu spółrzędnych nieskończonych — leżących w nieskończoności.

Nie robiąc dalej różnicy między miejscami, leżącemi w skończoności i nieskończoności, mamy ostatecznie rezultat;

III.    Dwa równania o wymiarach m, n i takichże stopni w obydwóch zmiennych, mają zawsze m.n miejsc zerowych wspólnych.

126. Wprowadzenie podstawienia x=Qti2 y=Qt%. Wyznaczenie miejsc wspólnych zerowych, leżących w nieskończoności. Co się

tyczy miejsc wspólnych, leżących w nieskończoności, to zauważyć potrzeba:

I. Spółrzędne x=co , y—co każdego z miejsc wspólnych (oo , oo) zostają, do siebie w stosunku skończonym.

Niech bowiem

f=vm(x, y) +    y) + ...=0 , g=wn(x, y) + wn~x{x, y) 4-...=0 ,

gdzie va, wa są funkcyami jednorodnemi stopnia «, to kładąc x=ęti7 y—ęt₂, [art. 71.], dostajemy ti7 t₂, powodujące ę—ao w równaniu /*= 0 ze związku: vm(ti,t₂)=0. Ze zaś f zawiera w sobie i xm i yOT, więc ze związku tego obliczone stosunki t₂:ti nie będą ani =0, ani ==oo. Niech więc t₂:ti = kv, v=l, 2,

(y-x)a0=kv,

a kv są skończone i rf=0. Lecz to samo i miejsc zerowych, leżących w nieskończoności równania g=0 — a więc i wspólnych miejsc zerowych tam leżących — dotyczy. Stąd już prawdziwość twierdzenia I. wynika.

Zauważmy jedno z miejsc (1) n. p. o stosunku kx. Będzie ono wspólnem miejscem zerowem, jeżeli vm(ti^t₂)^ wn(ti:t₂) mają wspólny

to widocznie mamy:

(1)

czynnik t₂

— [Wtedy rugownik funkcyj vm^l, -y-j , wn ^1, -yj

jest identycznie zerem]. Rozstrzygnąć więc tylko jeszcze należy, ile razy takie miejsce policzyć trzeba.

W tym celu utwórzmy równania:

g(Q,ti, h)=Qnu>n(ti, t₂) + Qn~'wn^(tu ż₂) + ...=0, to teraz spółrzędne x, y wszystkich miejsc zerowych wspólnych mają się przedstawić w postaci x=ęti, y=ęt₂. Przyjmijmyż, że po eliminacyi q z równań (2) dostajemy związek P(tiJt₂)=0, to do pewnej pary (t\, t‘₂), spełniającej ten związek, należy jakiś wspólny pierwiastek q równań (2).

Zastąpmy w tych równaniach £1? t₂ przez o^, at₂, gdzie o jest dowolne, to teraz P(tl^t₂) przejdzie na P(ati,at₂). Lecz równania (2), gdy już w nich ^, t₂ zastąpiono przez o^, at₂, można napisać także w ten sposób:

(2)

(ęo)mvm(ti, t₂ ) + ...=0, (Qo)nwn{ti, t₂) +...=0, a te równania dla wszystkich tych ż'₂)> dla których równania (2) miały wspólny pierwiastek q, mają niezawodnie również wspólny pierwiastek qo.

Teorya funkcyj.

21

Z tego wynika, że P(ati,at₂) musi się dać zredukować do ahP(t₁,t₂), a to wskazuje, że P(ti,t₂) musi być funkcyą jednorodną. ⁵) Wymiar li musi być dokładnie =m.n, bo tylko tym sposobem związek P= 0 spowoduje m.n miejsc zerowych wspólnych. Niechże P{t^,t₂) zawiera — między innymi — liniowy czynnik (t₂— w potędze    Kładąc wprost t₂ = lc

przyjmijmy, że

t, =1

Vm(l, ⁵4)4=0, w»(l, &t)=ł=0 i że funkcye f(ę, 1, £,), g{q, 1, hx) mają największy wspólny podzielnik:

¹

Por. F. K 1 e i n. 1. c. str. 21.

²

Theorie generale de l’elimination, (Paryż 1859).

³

Ten sposób tworzenia rugownika nazywają „dialityczną metodą“ Syl-w e s t r ’ a : por. G. Salmon-Fiedler Yorlesungen ilber die Algebra... (Lipsk 1877). str. 95.

⁴

Wyczerpującą ogólną teoryę eliminacyi znajdzie w dziele Faa de Bruno

⁵

Por. J. Załuski: „O pewnym sposobie przedstawienia wspólnych miejsc zerowych...“ Prace mat.-fiz. T. VIII., Str. 129—188.    ⁵

T{ę)=k₀\ pf¹-¹ +...+kp,    4= 0.

Gdy T(q) = 0 ma pierwiastki g1} g.,, ..., gu , to czynnik (tf₂—^ p)ft powoduje miejsc zerowych wspólnych (#=(>«, y=Qa]cP), «=1, 2,..., g, leżących w skończoności.

Gdy przeciwnie vm{l₁Tci)=0, 7^)=0, to równania f(g, 1, ^₁)=0, y(p, 1,^₁)==0 nie są już stopni min, a jeżeli funkcye f(g, 1,^), g(g, 1, hx) — już tych niższych stopni mają wspólny podzielnik:

Ą-^\qv~xĄ-, h‘₀z^zO, v<Pg,

i jeżeli T‘= 0 daje pierwiastki g\, q‘₂, ..., q‘v , to w takim razie czynnik (t₂—hxtxY powoduje v miejsc wspólnych zerowych:

{x=g‘a, y=Q‘ahi), «=1, 2, ..., v,

leżących w skończoności i [gi—v) miejsc wspólnych zerowych, leżących w nieskończoności, a dających stosunek (g:x)x=Jci. To jest droga, jaką iść trzeba, chcąc dokładnie oznaczyć powtarzanie się każdego z miejsc zerowych wspólnych w nieskończoności.

Uwaga. Jeżeli dane równania mają mieć r miejsc zerowych wspólnych w nieskończoności, a    — Q> wn(.hih)—® mają r różnych między sobą czyn

r, lub jeden

ników pierwiastkowych wspólnych t-₂ — kvtx = 0, v = l, 2, tylko wspólny czynnik t₂ — kti==0 w dowolnej potędze, to wtedy bez tworzenia związku (3) trzeba w pierwszym razie każde z wynikających miejsc policzyć jednokrotnie, w drugim zaś przypadku policzy się miejsce (y: x’)a0 = k r-krotnie.

Pd. 1. Dla równań:

/ = a?2 _j_ yi aiX _p \y-\- ^ = 0, y =    + a₂x + b%y + c₂ = 0

dostaniemy:    —

[(a₂—ai)x + (c₂—Ci)]² -f- (&₂— K) [(^2—&l)    + cł&2—c2^l] = °-

Gdy nie jest równocześnie a₁ = a₂, bi—b₂, to Ei=0 jest stopnia drugiego. Dwa tylko miejsca zerowe wspólne leżą w skończoności, dwa są w nieskończoności. Co się tyczy tych ostatnich, to kładąc x = ptl, y — pt₂ dostajemy z danych równań związki :

?\h² + ¹2²) 4¹ P («iń+ M2) -pcI = 0, pKh² + h²) + pYihYhh) + c-2 — d.

Przy tp -\-tp~Q mamy p = oo i (y: x)₀₀ — + i, co znaczy, że z dwóch miejsc w nieskończoności jedno charakteryzuje się stosunkiem -f- i, drugie stosunkiem —i.

W razie a,= a₂, \ — b₂, c, 4= ą obniży się stopień rugo wnika Bt aż do zera; a wtedy trzeba przyjąć, że wszystkie 4 miejsca zerowe wspólne leżą w nieskończoności. P(ti,t₂) matu postać ² -j—    ²)² (<?2—c\) ? a z czynnika (#x² + ^)² = 0

wnosimy, że z 4 wspomnianych miejsc dwa są o stosunku a dwa ° stosunku —i. Pd. 2. Dla równań :

dostajemy:

/=sy*_as*+l= 0,    ^ = ^ + ^+1=0

Bt(x) = (a;² - l)³ - (1 - x³)² = 0.

To równanie jest tylko 4g0 stopnia (a nie szóstego); dwa więc miejsca zerowe wspólne danych równań leżą w nieskończoności. Ze skończonych pierwiastków równania Bl(x) = 0 jest jeden a: = l, a jest on dwukrotnym, gdyż B‘{x) dla x — l jest również zerem. Wydalając z Bt(x) czynnik (x—l)² dostaniemy równanie 8a;² -j- 4a: -f- 2 = 0, a z niego wynikają dwa dalsze pierwiastki:

(«)

2±i\/2

Dla x = 1 przechodzą funkcye /, g na y², y³ i mają największy wspólny podzielnik y². Z tego wynika, że dane równania mają dwukrotne, wspólne miejsce zerowe (1, 0).

Aby znaleść wartości y, odpowiadające wartościom («), możemy w ten sposób postąpić. Tworząc B₂{y) — 3y⁴ + 2y³ -j- 3y² = 0, mamy tu dwukrotny pierwiastek y = 0, który jest już spółrzędną dwukrotnego miejsca zerowego (1, 0). Po wydzieleniu go dostajemy jako pozostałe dwa pierwiastki:

— 1 + 2 i\/2

(6)

00

y —

Sprzężmyż wartości (a), (b) w ten sposób : 2 + i\/2    -l—2i\/2

(-f

).(

2 - i\/2

1 + 2i\/2\

s—r

to sprawdzić łatwo, że takie tylko pary wartości spełniają tak rów’nanie /= 0, jak równanie g — 0.

Wszystkie zatem wspólne zerowe miejsca danych równań są : dwukrotne miejsce (1, 0), dwa miejsca (c) i dwa miejsca w nieskończoności. Aby te ostatnie scharakteryzować, zauważmy, że:

¹h(t\, h) = h² — h \    , h) = h³ — k ³»

posiadają tylko jeden wspólny czynnik t₂ — tx. Z tego — podług zrobionej uwagi — wynika, że obydwa miejsca wspólne, leżące w nieskończoności, są o stosunku

(y •• *)«=+!•

127. Metoda dająca się stosować do miejsc wspólnych zerowych, leżących w skończoności i nieskończoności. W razie, gdy z równań /‘=0, g=0 jedno przynajmniej nie jest jnż takie, że jego wymiar jest zarazem stopniem w obydwóch zmiennych, możemy — kładąc:

x=aź+(3ii y=yŹ+ór]

zamienić je — przy stosownem doborze stałych a, /?, y, ó — na takie równania:

(1)

"Co

=r=^0

<p{ź,v)=O, V»(l, i?)=0,

(2)

że tak w jednem jak drugiem już same zmienne #, y odpowiednio w stopniach, w, n wystąpią.

Równania (2) mają — według art. 125., tw. III. — zawsze m.n miejsc zerowych wspólnych (£„, r\i), a każdemu z takich miejsc odpowie — według (1) — jedna tylko para {xv , y„).

Przy tern jednak zauważyć trzeba: Z każdej skończonej wspólnej pary (£„, r]v) dostaniemy zawsze skończoną parę (xv, yv).

Z jednej pary £„=co, ^„=oo o stosunku {gv'Ę,i)^=k otrzymamy, kładąc wprost = £&]?=00, £v=p]?=oo

(3)

(yyv: xj)X} —

a+{3k y-\-ók}

a ten stosunek może tu już mieć także albo wartość = go albo wartość =0. W pierwszym razie mamy y„=co przy skoń-czonem ą, a w drugim odwrotnie.

W każdym jednak razie z jednoznacznego odpowiadania sobie par (|t,, fjv), (xv, yv) wynika twierdzenie:

I.    Każde dwa równania /'= 0, g=0 o wymiarach m₎ n mają, m.n miejsc zerowych wspólnych.

Przyjmijmy, że dla równań (2) — po podstawieniu w nich

(4)

i po wyeliminowaniu p —dostajemy związek P₁(t₁, t₂)=-0. Jest on oczywiście jednorodny i posiada wymiar w.w. Równocześnie z po d stawieniem (4) można w (1) położyć x=ęti, y=Qt₂, tak, że mieć będziemy ti = + /fc₂ , £₂ = yr, -f ót₂ .

Wskutek    można stąd naodwrót r₁₇ t₂ wyrazić liniowo,

także jednorodne i oczywiście także wy-

ono

jednorodnie przez ^,4- Przyjmijmyż, że ^ =a/^₁ -j-/?'^₂, T₂=y^₁+d/^₂, to dokonując tych podstawień w P₁(t₁,t₂)=0, dostajemy równanie P(^, ź₂)—0. Będzie miaru m.n i będzie wynikiem eliminacyi q z danych równań /‘=0, g=0, przetworzonych na f(ę, ti, t₂)=0, g(q, tf1} ć₂)=0. Stąd twierdzenie:

II.    Wyznacznik P(ti,t₂) dwóch równań /’=(), <7=0 — Je# względu na to, czy /“, g są o w y miar ach różnych stopniom w ohy-dioócli zmienny ch x, y, czy nie — jest jednorodną funkcyą stopnia

m.n, a nie niższego, m.n par (t\,t‘₂), spełniających związek P— 0 daje zarazem n.m miejsc zerowych wspólnych (£,t\, Qt\) danych równań.

W geometryi analitycznej określają — [por. art. 74.] — cały nieskończony zbiór punktów (x,y) spełniających algebraiczne równania f(x,y)=0 wymiaru m, jako krzywe algebraiczną stopnia m"°. A każdy punkt {x,y), dający / = 0 zalicza się — bez różnicy, czy spółrzędne x, y są rzeczywiste lub nie — do punktów tej,

krzywej. Po takiem uogólnieniu przyjmuje się i w geometryi, że dwie krzywe algebraiczne stopni m, n przecinają się zawsze w m.n punktach. Przy tem wielokrotność każdego z takich wspólnych punktów ważną tu bardzo odgrywa rolę (por. n. p. Baltzer: Theorie und Anwendung der Determi-nanłen. 1881, str. 119.). Wspólne punkta o jednej przynajmniej spółrzędnej nieskończonej wskazują, że krzywe posiadają asymptoty równoległe.

128. Symetryczna funkcya wszystkich gałęzi algebraicznej funkcyi. Rngownik jako taka symetryczna fnnkcya. W art. 74. określiliśmy każdą zmiennę xs, przybierającą tylko takie wartości, które przy bieżących . algebraicznego f (xi, x₂, ..., x„)=0, jako algebraiczną funkcyę wielo-wartościową zmiennych xi} ..., xs_i, xs^i, ..., xn. Weźmy pod uwagę równanie algebraiczne dwóch tylko zmiennych: f(x,y)=0. Jeżeli ono jest wymiaru m, a w zmiennej y jest stopnia    to

przez to równanie określa się ^-wartościowa algebraiczna funkcya. Naznaczmyż wartości, które do dowolnego x należą, przez:

V\i */₂> •••» U/*j

to mówimy, że te wartości, zmieniające się równocześnie z bieżą-przedstawiają y gałęzi funkcyi y. [W geometryi analitycznej są to g gałęzie krzywej algebraicznej]. Połóżmy:

f(®y)s=a₀yt* + aiyi*-‘i+... + alt=0 i przyjmijmy, że oprócz równania /‘=0, mamy jeszcze drugie równanie g(x,y)—0 o wymiarze w, a o stopniu v <n w zmiennej y> to analogicznie dostaniemy tu v gałęzi:

xs—i, Xs^-i

..., xn wynikają z równania

(«)

cem x

(1)

(0)

%

funkcyi y, a samo równanie można napisać znowu w postaci: g(x, y)=b₀yv-\-biyv~i + ... + bv=0

Wartości (a), (/?), uważać należy odpowiednio za pierwiastki równań f=0, g=0 przy wspólnej bieżącej wartości x.

Z tego według art. 90. [I a, I b\ — wynika, że rugownik Bi (x) danych równań — bez różnicy czy    n^v — można przed

stawić jedną z form:

(2)

(A)

Vv

-#i 0*0=(■— 1)^- V [ /0*w i) ./■(*,%)••    »

0*0=«/ •    )g{^y₂)...g{x,yt,)\.

Ze każde z tych wyrażeń będzie wymierną funkcyą argumentu x — jak-to być powinno — sprawdzimy łatwo w ten sposób:

Elementarne symetryczne funkcye pierwiastków (a) mają — choć tych pierwiastków jeszcze przez x wyrazić nie umiemy — po porządku postacie —a±l a₀, +a₂/a₀, —a?Ja₀, ...; są więc wy-miernemi funkcyami argumentu x.

(B)

Podobnie przedstawiają się elementarne funkcye symetryczne pierwiastków ((i), mają bowiem postacie —bijb0}    •••

Otóż prawa strona w (A) jest symetryczną wymierną funk-cyą pierwiastków rj₂, ..., r\v, a stąd wynika, że [art. 89., tw. I.]:

Ri(x)=b₀flR'.

h h

h ’ h

uo u

Ri (x)=afR"

ct^ a<2

«o ^0

są znakami fnnkcyj wymiernych. Stąd twierdzenia:

,...

gdzie jR'₁₅ R"

I.    Wszystkie symetryczne wymierne funkcye wszystkich gałęzi algebraicznej funkcyi są wymiernemi funkcyami spółczynników równania f(x₁y)=Q₁ a więc wymiernemi funkcyami argumentu x.

II.    Rugownik Rl (x) dwóch danych równań f—0, g== 0 daje się przedstawić albo jako wymierna symetryczna funkcya wszystkich gałęzi funkcyi y rótmania f— 0, albo wszystkich gałęzi funkcyi y równania g—0.

Pd. 1. Dla równań: x²-\-y'¹—l, ?/² + ?/³ = 0 , obliczywszy z pierwszego z nich y = Jr\' 1—sc², dostaniemy:

HA[x) — [x² -j- (1 — ic²)³/d [a;² — (1 —x²)³H\ = xi — (1 — x²f.

Pd. 2. Znaleść rugownik    równań: x⁵.y’¹1 = 0, x‘t—yz — 0, wy

znaczając z drugiego równania gałęzie : y = xąU.l2sn , s = 0, 1, 2 [art. 74., (J3)].

[Odp. = a?⁴³ -f-1],

129. Wyróżnik równania f(x,y) = 0. Wielokrotne miejsca tego równania. Naznaczywszy w równaniu f(x,y)=0 gałęzie funkcyi y, jak przody, przez:

(1)

Hm y-n Uzi •••

możemy szukać takich poszczególnych wartości x, dla których kilka — lub po kilka — gałęzi (1) jednakową przybiera wartość. Aby te miejsca znaleść, zestawmy równania:

f(x,y)=vm(x,y) + vm_i(x,y) +...=0, óf (x,y)

(2)

dy

(3)

i wyrugujmy z nich y. "Wyróżnik:

Di(x)=b^[f(x,f]i).f(x,f]₂)...]=0,

w którym przez , rj₂, ... naznaczono gałęzie funkcyi y równania

(3), może najwyżej być stopnia m(m—1) i wskaże swymi pierwiastkami xj x'\ ..., te miejsca x, na których właściwie kilka — lub po kilka — gałęzi (1) zrównywa swoje wartości.

na

Wysokość powtarzania się skończonych wartości (1) danym skończonym pierwiastku x\ można w ten sposób wy-

/?«•

Mówiąc językiem geometryi analitycznej wyrażamy się, że przez punkt (#',/?«), a=l, 2, ...,s przechodzi równocześnie gałęzi y.

Jeżeli analogicznie rozstrzygnąć chcemy, do ilu gałęzi funkcyi x należy miejsce (x*, /?«), to to wywnioskować możemy z równania f(x, /?«)=(), a=l, 2, ..., s, badając w niem wysokość powtarzania się pierwiastka x‘. Jeżeli to równanie daje x‘ z powtórzeniem ha, to miejsce (#', (Ja) można dwojako pojmować, albo 1°) jako miejsce, przez które Jca gałęzi funkcyi alg. y przechodzi, albo 2°) jako miejsce, przez które ha gałęzi funkcyi alg. x przechodzi.

Gdy Di= 0 jest stopnia m(m—1)—r. (r)>0), to jeszcze i w nieskończoności obszaru (x) znajdziemy przecinające się z sobą gałęzie y. Co się tyczy tych ostatnich i tych powtarzających się

które do skończonych x należą, to kładąc w równaniach

y=cc

(2), (3) x—Qtl, y=Qt₂ dostajemy związki:

QmVm (tu t₂) + ...=0,    ż₂)-f ...=0.

Gdy w nich    mają wspólny podzielnik

(at.₂—/?to to wskazuje, że miejsce:

(4)

należy do powtarzających się y. Prócz vm i v,m—\ muszą się więc w f{xuy) jeszcze i dalsze jednorodne funkcye , vm-2, ... okazać podzielne przez ten czynnik.

Przyjmijmyż , że ostatnią jednorodną funkcyą podzielną w f przez (at₂—jest    to miejsce (4) do Jc (a nie do więcej),

gałęzi y należy. Inaczej mówiąc: przez miejsce (4) przechodzi h

gałęzi y.

df{x,iy)

mają na &-krotnym pier-

znaczyć : Gdy funkcye f(x, y),

wiastku x‘ największy wspólny podzielnik:

t=(y—A)*i_1 (y — @2 )^2 1 • • • (2/ — ft)V“¹

(o skończonych    • ••, &), to na miejscu af będziemy mieli między

^ gałęzi o wartości

^2 n n n    2

gałęziami (1) :

Aby równocześnie zbadać ile gałęzi funkcyi x przez to miejsce

c)f

przechodzi, trzeba wziąć pod rozwagę równania f— 0,

wiwszy w nich x=Qt₁, y~Qt₂ przeprowadzić analogiczne— jak ze względu na y — poszukiwania.

dx

=0 a podsta-

We wszystkich w powyższy sposób wyznaczonych miejscach (x‘, y‘) bez różnicy, czy leżą w skończoności, czy nieskończoności, powtarza się y‘ razy    podczas gdy powtórzenie h spółrzęd-

nej X¹ może byó także =3.

Miejsca, na których równocześnie    1 nazywają się

miejscami osobliwemi, albo wielokrotnemi równania (krzywej) /—O. Miejsca, na których mamy &j>l, li— 1, (lub & = 1, Ji^> 1) nazywają się miejscami osobliwemi (ramifikacyi) algebraicznej funkcyi y, (lub x).

df

Pd. 1. Dla równania :/== cc²*/² — 1 = 0 mamy — = 2^ = 0, a więc Dx —

óy

= ck²— 1 = 0, a do każdego z pierwiastków a?= -j— 1, = — 1 należy dwukrotnie y — 0. Same x=-\-l, — 1 nie powtarzają się na tych miejscach,

(—1, 0) są miejscami osobliwemi funkcyi y.

Pd. 2. Z równania :

więc (+ 1,0),

(«)

/= (ck² -f- y²)² + (y² — ck²) = 0 dostajemy:

= 2(*² + y%)y -f- y = 0,    (e)

¥    O*²+?*)* — ir=a

co daje:

Równanie (6) ma pierwiastki y —0, +i y—-    ^

A=/(*)°)-/( ck, i    ./ t y²-;+]) = 0,czyli (cr⁴ -cr²)(8cK²-f 1)² = 0.

Ten wyróżnik jest stopnia 8 > 4.3 i ma pierwiastki: 1)ck = 0,    2)ck= + 1, 3) CK = +

2^2~"

Dla er = 0 mają równanie (a), (&) największy wspólny podzielnik y, a więc do x — 0 należy dwukrotnie y = 0. Że zaś równaniu /(ck,0)= 0 zadość czyni ;k = 0 także dwukrotnie, więc stąd dostajemy miejsce:

(1)

(ck = 0, y = 0), o powtórzeniach: 2, 2.

Co się tyczy pierwiastków (2) to dla nich mają równania (a), (ó) znowu największy wspólny podzielnik y, a więc do ck = +1 należy y— 0 dwukrotnie.

Z równania /(ck, 0) =0 wynikają jednak ck = -f-1, —1 tylko j ednokrot-n i e. Stąd pochodzi, że z pierwiastków (2) dostajemy 2 miejsca:

(2)

(ck = + 1, y— 0) o powtórzeniach 1, 2.

Dla każdego z pierwiastków (3) przechodzi równanie (a) na:

Stąd wynika, że do obydwóch pierwiastków 3) należy dwukrotnie

JQ    . g    r    r    •

y—-j- yjb i y = —    *. Wstawiając którąbądź z tych wartości w równanie/= 0,

14

CK²—

15

dostajemy związek: ck⁴--g-

kaźdy z pierwiastków 3). Stąd wypływają więc miejsca:

— = Q, który tylko jednokrotnie zawiera

(3)

\x

2\/2~ ’ *)’ {x~~

i miejsca :

' 2Y/2⁻’ V~ o powtórzeniach. 1,‘2

|co |co

(,

2V/2 ’

również o powtórzeniach 1, 2.

Przechodząc do tych miejsc leżących w nieskończoności, przez które kilka gałęzi cc, lub y przechodzi, zauważmy, że w równaniach (a), (ó) posiadają t?t? «'3 wspólny czynnik t/²-|-a;² — (y—a ®₂ jest zerem. Zupełnie tak samo zawiera się ten czynnik w jednorodnych funkcyach v równań (a), (c). Stąd wynika że w nieskończoności dostaniemy miejsca:

(y '• x)oo — + *> (y'-x)x> — —®    ° powtórzeniach 2, 2.

2V/2"

(5)

Z miejsc (1)... (5) są tylko trzy, a mianowicie miejsce (1) i dwa miejsca (5) wielokrotnemi miejscami równania (a). Z miejsc pozostałych jest miejsce (2) miejscem osobliwem funkcyi alg. x, a miejsca (3), (4) miejscami osobliwemi funkcyi alg. y. Krzywa określona tern równaniem nazywa się lemniskatą.

Pd. 3. Okazać, że w równaniu:

O)

f xhy² — {a -j- #)²(ó²—a;²) =0

mamy:

(1) miejsca (x = Ą-b, y— 0), (x = — ó, y = 0) o powtórzeniach 1, 2. miejsce (sc = -j-a, y = 0), o powtórzeniach 2, 2. miejsce (y:x)aa = cc, o powtórzeniach 4, 4.

Miejsca (1) są tu miejscami osobliwemi funkcyi y, a miejsca (2) (3) miejscami wielokrotnemi samego równania.

Uwaga. Ody na pewnem miejscu (a, S) mamy k wartości y = $ i h wartości x=a, gdzie 1, &>1, to po sprowadzeniu równania f(x, y)=0 do otoczenia tego miejsca przez podstawienia a?== a -j- 5, y = [3 -f rj dostaniemy równanie/, (?, rj) —0 w którem ij samo zawierać się będzie z najniższym wykładnikiem h, a rj samo z najniższym wykładnikiem &, [art. 74]. Przyjmijmy k^>h, to przez podstawienia lż = axl-\-byi, r\ = a'xi -\-b'yi zmienić można równanie tak, że w nowem równaniu /2(#i,^i)=0 dostaniemy dla x₁= 0, h wartości 0 i odwrotnie dla y\=0 także h wartości xl = 0. To wyrażamy, mówiąc, że punkt wielokrotny o powtórzeniach (h, k) można — gdy h <^k — zawsze sprowadzić do punktu o powtórzeniach Qi,h). Taki punkt nazywa się ń-krotnym.

(2)

(3)

130. Wyznaczenie równania f(x,y) = 0 z danych miejsc zerowych funkcyi /. Punkta wyjątkowe. Pęki krzywych. Wiadomo z art. 70., tw. I., że zupełna funkcya dwóch zmiennych, a wymiaru m posiada [(m+1) (m+2)]/2 spółczynników a, b, c,d,..., s. Jeżeli jednak chodzi o wyznaczenie kr żywej algebraicznej określonej równaniem f(x,y)—0 stopnia m z dostatecznej ilości jej punktów, to dość jest tylko stosunki tych spółczynników wyznaczyć. Do ich

Ali

\=—(jn-{-3)=k punktów.

wyznaczenia wystarczy

(m + 1) (m-f 2)

(1)

Niechże tymi punktami będą :

(■®i?    0^2 >^2)? •••? yk)

to z k równań :

(2)

aĄ-bx 1 +c^j +cfo;₁y₁ + ... + sy₁B,-«=0 a + &^₂ -\-cy₂ Ą-dx₂y₂ Ą-sy₂m=0

a + 5#*+cyk+d Xk yk-b• • • L sykm=0,

za obraniem a dowolnie, dojdziemy — z wyjątkiem wypadku, który poniżej omówimy — do całkiem oznaczonych wartości:

b=Ba, c=Ca, cl=Da: ..., s=Sa.

Krzywa żądana będzie zupełnie oznaczona, określi ją równanie: l+Bx + Cy + Dxy-\-...JrSym—0. Stąd twierdzenie:

I. Krzywa algebraiczna stopnia mgo jest to ogólności zupełnie wy-

znaczona zapomocą ■ „ - (m + 3) punktów, przez które ma przechodzić.

Uwaga. Analogicznie można udowodnić, że równanie f(x₁, x2 m«° wymiaru owzmiennych daje się w ogólności wyznaczyć zapo-

mocą p — 1 — Jc swoich miejsc zerowych; p = ^[art. 70].

Równaniu znalezionemu można nadać kształt:

y, xy, -,ym 1, yu xiyu...,yim

xn) = °

1, x

(3)

=0.

1 xkx yk, xk yk, ..., yk

a to z tej uwagi, że równania {f'(x,y)=0, f(xl:yi)=0,...,f(xk,yk)=0 są liniowe, jednorodne i współczesne o (&+1) niewiadomych a, &, c,..., s.

Lecz może się zdhrzyó, że wszystkie podwyznaczniki Pkj jakie z kombinacyj kolumn wydłużonego schematu:

1 yl x₁yi... yxm 1 x₂ y₂ x₂y₂... y₂m

(4)

1 xk yk xkyk... ykm

są zerami. Wtedy — według teoryi równań

utworzyć można

liniowych — dwie niewiadome uznać trzeba za dowolne, a jedno z równań (2) odrzucić. Opuśómyż pierwsze równanie, a pozostałe napiszmy w formach:

(5)

cy₂ + dx₂y₂Ą-...+sy₂m=a+bx2 cyz + dx ₃ y₃ + .„ + sy₃m=-a + bx?>

c yk + dxkyk+... + s ykm=a±bxk, to, pozostawiając a, b dowolnemi, dostaniemy:

c=aC-\-bC‘i d^aD+bD¹,..., s=aS+bS‘ i /= ci -t- bx -f- (aC-j-bC/) y -ł- (cii.) -(- bDl^xy -j-... ... Ą-(aS4-bS‘)ym=0.

Połóżmy b\a=A i

1 + Cy + Dxy + ...Sym=cp (x, y)

bx+ CiyJr.D,xy + ...-\-S<ym=(p\x₁ y) to możemy żądaną krzy wę określić równaniem:

(6)

f=cp f Z(p'—0

z dowolnym parametrem i.

Lecz przez punkta (1) dające wszystkie P*.=0 przecliodzą także krzywe cp=0, <p‘=0; gdyż f przechodzi na cp przy 2=0, a na

cp‘ przy i = oo (gdy zamiast cpĄ-Ap‘ = 0 napiszemy cp‘Ą—cp—0).

A

Przy jakiemkolwiek zatem A spełnia się równanie (6) dla m2 wspólnych punktów krzywych cp=0, cp‘=0. W tych m² punktach mieszczą się i dane punkta (1).

Doszliśmy więc tu nie do jednej krzywej ale — jak się wyrażają — do pęku krzywych (mso stopnia) t. j. do nieskończenie wielu krzywych mB° stopnia, które wszystkie przechodzą przez m² punktów przecięcia się dwóch wyznaczonych krzywych cp=0, <p‘= 0. Z tego powodu nazywają się punkta (1) wyjątkowymi a punkta, przez które wszystkie krzywe pęku równocześnie przechodzą, a których jest m², nazywają się podstawowymi tego pęku.

Jedną oznaczoną krzywę wyjmujemy z pęku, żądając, aby przechodziła przez pewien punkt (£, rj) nie liczący się do podstawowych. Mamy bowiem z tego warunku:

<p a, v) Pd, n)

żądaną krzywą jest cp-{-Axcp‘ =0.

Lecz jedną tu okoliczność trzeba omówić bliżej. Do równania (6) doszliśmy, biorąc spółczynniki a, b za dowolne i opuszczając równanie pierwsze z systemem (2). Przyjmijmy teraz, że opuszczając równanie pierwsze, bierzemy dwa inne spółczynniki za dowolne, lub opuszczając inne równanie, pozostawiamy dwa jakiekolwiek spółczynniki dowolnymi i że w tych przypadkach dochodzimy do równania:

(7)

f=ipĄ- A‘ip'—0

gdzie ip, tp‘ różne będą od <jp, cp‘.

Każde z nich określa znowu pęk krzywych o m² podstawowych punktach. Lecz co się tyczy tych punktów — to, o ile można mieć pewność, że się w nich punkta (1) zawierają²) — nie można stanowczo twierdzić, że dalsze punkta w ilości m²—k spadają z dalszymi podstawowymi punktami pęku (6).

Aby to zbadać, obierzmy dowolny punkt (£, rf) nie liczący się ani do podstawowych pęku (6), ani do podstawowych pęku (7) i wyjmijmy z pęku (6) i (7) krzywe przechodzące przez ten punkt. Muszą one być identyczne, gdyż do ich wyznaczenia można użyć (k—1) punktów (1) i punktu (£, 77), skoro te punkta w ilości k nie dają wszystkich P²=0. Gdy więc równaniami tych krzywych są: cp-\- Zcp‘ =0: ip-j-= 0, to musi tu zajść identyczność:

(8)

<pĄ-Z\p^ip+Pip¹.

Że zaś przez zmienianie położenia punktu (£, rj) można objąć cały pęk <jp-f-lęp' = 0, a dla każdego położenia zajdzie identyczność (8), więc stąd wynika, że pęki cp-\-Z(p‘ =0, ty+Zty—O są identyczne i mają wskutek tego tesame punkta podstawowe. Do pęku zaliczają się i krzywe ip = 0, ^'=0; musi więc być ip — cp + fi cp¹, ip‘= (py'<p‘: a to wskazuje, że w razie wszystkich Pk=0 dochodzimy — mimo rozmaitych sposobów rozwiązywania równań (2) — zawsze do tegosamego pęku (6). Zmiana sposobu rozwiązywania na inny ma tylko ten wpływ, że w równaniu pęku w miejsce krzywych cp—0, cp‘=0 występują dwie inne krzywe cp-\-ptcp'= 0, cpĄ-fi‘(p‘=0 liczące się do pęku³). Z tych wszystkich uwag wynika twierdzenie⁴).

II. Gdy do wyznaczenia krzywej mg0 stopnia danych jest ~ (m + 3) punldów w ten sposób, że one zadośćczynią wszystkim

związkom P²=0, to punkta te nie wyznaczają jednoznacznie krzywej, ale dają pęk krzywych o m² podstawowych punktach; w tych podstawowych punktach mieszczą się i dane.

Lecz nie tylko system k danych punktów jest wyjątkowym; przez każdy bowiem dowolnie wybrany system k punktów miesz-czącycłi się w podstawowych przechodzi cały pęk krzywjmh, a nie jedna oznaczona krzywa. Stąd wynika:

III. Jakkolwiek wyjęte punkta w ilości k z punktóio podstawowych danego pęku m⁹° stopnia tworzą system wyjątkowy dla każdej krzywej pęku.

Uwaga. W danej krzywej ms° stopnia /= O można na nieskończenie wiele sposobów znaleść jej punkta wyjątkowe; potrzeba tylko przyjąć, że one leżeć mają na pewnej, najdowolniejszej zresztą krzywej m®⁰ stopnia ?' = 0. Niecli dalej © będzie funkcyą m«° stopnia o jednym spółczynniku oznaczonym, a o innych spółczynnikach A, B, C,... nieoznaczonych, to żądając identyczności:

(«)

/ = cp-f X?',

mamy lewej stronie    (m-f- 3) spółczynników, a po prawej stronie również

~2~ (m + 3) ilości do oznaczenia

A, B, C, ... i dowolną 1. Zrównując ze sobą odpowiednie spółczynniki w (a) i wyznaczając stąd A, B, C,..., X, dostajemy w istocie identyczność (a). Gdy już o mamy wyznaczone, to wyjmując z w⁵ punktów przecięcia się krzywych ® = 0, ©' — 0 dowolnych Jc punktów dostajemy w nich żądany wyjątkowy system.

a mianowicie - (m -j- 8) — 1 spółczynników A

Do utworzenia pęku krzywych m°⁰ stopnia można — wskutek dowolnego parametru X, który wchodzi w równanie pęku — (Jc—1) punktów wybrać całkiem dowolnie. Te punkta niech będą :

(9)

0^25 1/2)“^    1 ) Vk— l)j

to teraz nasuwa się pytanie: jak i na ile sposobów do danych dowolnie punktów (9) można dobrać punkt kty • (xkyj), tak, aby on razem z punktami (9) dawał system wyjątkowych punktów?

Dane punkta (9) dają pęk krzywych cpĄ-Aąd'=0 o m¹ podstawowych punktach. Do tych zaliczają się punkta (9), dalsze zaś punkta w ilości :

(m—1) (m —2)

są już zależne od obranych punktów (9), a każdy z nich razem z danymi utworzy system wyjątkowych punktów. Stąd twierdzenia:

(m—1) (m—2)

IV. Do (k—1) dowolnie danych punktów można na

sposobów doszukać punktu Jc⁹⁰, tworzącego z danymi system wyjątkowy.

V. Wszystkie krzywe stopnia mgo mające (k—1) wspólnych punktów

(m—1) (m —2)

stałych punktach.

VI. Gdy system m² punktów ma być zbiorem wszystkich przecięć się dwóch krzywych stopnia m°°, to w tym systemie tylko (k—1) punktów można obrać dowolnie.

(m — 1) (m — 2)

Pd. 1. Dla m = 3 jest k =9, a (m — 1) (m — 2) _

1, dla m— 4 zaś mamy

3. Stąd wynika:

Wszystkie krzywe 3^° stopnia przecinające się w 8 punktach przechodzą: jeszcze przez 9ty punkt stały.

Wszystkie krzywe 4s° stopnia przechodzące przez 13 danych punktów przechodzą jeszcze przez 3 stałe punkta

Pd. 2. Gdy w równaniu / = 0 danej krzywej brakuje v spółczynników, a chodzi o wyznaczenie na niej pewnego systemu wyjątkowych punktów, to można sobie zadanie ułatwić, przyjmując © i ?' tego samego kształtu co/. Tak n. p. gdy y^ -f- x -\-y -(- 1 , a obierzemy o' — 2xi— 5y⁴— x-\-y -f- 3 i f = Sx -j- ay⁴ -j- bx -f- cy-\- d, (por. uwagę 2), to z relacyi :

-\- x y l = (Sxi -j- ay⁴ -j- bx -f- cy -f- d) -f- X (2xi — 5yi— x -f- y -f- 3),

dostajemy:

3 + 2X=l, a—5X = 1, b— X=3, e-fX = l, <7-j-3X = l. Stąd X==—1, a = — 4, b = 0, c = 2, d = 4, a wyjątkowy system punktów danej krzywej utworzy 14 punktów wyjętych dowolnie z 16 punktów przecięcia się krzywych:

3x⁴—Ayi -\-2y -j- 4=0, 2x'⁴—by - x-\- y-\-3 = 0.

131. Wyznaczenie takich punktów na danej krzywej, które mogą być wszystkiemi przecięciami się jej z drugą krzywą. Zajmijmy się teraz krzywemi różnych stopni m, n.

Niech /=0 będzie równaniem danej krzywej stopnia mąo, a g=0 niech przedstawia ogólną krzywą — (z ogólnymi spółczynnikami) — stopnia ngo. Naszem zadaniem będzie: na pierwszej z t3mh krzywych wyznaczyć m.n punktów tak, aby one dawały przecięcia się krzywej /=0 z ogólną krzywą g=0*).

71

Przyjmijmy m^>n. Na krzywej f— 0 obierając^- (w+ 3) punk-

tów dowolnie, mamy przez nie wyznaczoną pewną krzywę n%° stopnia g—0. Jej dalsze punkta przecięcia się z krzywą /‘=0

71

w liczbie m.n—^(w-ł-3) już nie będą dowolne, ale zależne od obranych pierwszych punktów.

*) Por. Ja c obi: „De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarurn curcarum vel...“ Crelle J. T. 15, (1836), str. 285.

Pliicker: „Theoremes generaux concernant les eąuations d’un degre ąuelcon-ąue entre un nornbre quelconque d’incomwes“. Crelle J. T. 16, (1837), str. 17,

Salmon Fiedler: „Analytische Geometrie der hoheren ebenen Curven (Lipsk 1873), str. 15—25.

Przypadek m<n wymaga poprzedniego przygotowania.

Gdy równanie #=0 nie jest ogólnem, ale określa pewną dobrze oznaczoną krzy wę, przecinającą /'= 0 w m.n punktach (/’ g), to także i krzywa <7' = <7 + tL/‘ o dowolnej całkowitej funkcyi ip(x, y) przetnie f—0 w pewnym systemie punktów (S), do którego się niezawodnie punkta (f,g) zaliczą, gdyż widocznie g*=0, przy ró-wnoczesnem /'= 0, g=0.

Lecz, aby system (S) nie był liczniejszym od (/' </), trzeba, aby funkcya gl była ns°, a nie wyższego wymiaru. Trzeba więc o ip założyć, że jest funkcyą najwyżej (n—m)s° wymiaru.

Przyjmijmyż jej wymiar =(w—m), to y> zawiera:

(w—w—1) (w—m—2)

spółczynników dowolnych. Za ich pomocą możemy w g' nadać tyluż spółczynnikom pewne oznaczone wartości. (Przytem unikać trzeba znikania wszystkich spółczynników w wyrazach najwyższego wymiaru, aby g‘ pozostało funkcyą nteg0 wymiaru). Można więc — nie zmieniając systemu (f,g) — krzywę g=0 zastąpić krzywą #'=0.

Z tego wynika, że przechodząc do ogólnego równania <7=0 (■n—m—1) (n — m—2)

spółczynników uważać

za oznaczone, jeżeli nam chodzi o wzajemną zależność n.m punktów, wypływających z przecinania się jakiejkolwiek krzywej stopnia n, z krzywą daną /== 0 stopnia m; (m<w).

Równanie <7=0 ma teraz jeszcze:

(n — m—1) (n—m—2)

możemy w niem zawsze

n(n + 3)

mn

(m—1) (m—2)

spółczynników nieoznaczonych. Tyleż więc także punktów potrzeba do jej wyznaczenia. Gdy te punkta na f= 0 dowolnie wybierzemy, to pozostałe będą już od nich zależne. Stąd twierdzenie:

I. Gdy na krzywej mgo stopnia mamy wybrać m.n punktów, tworzących przecięcia się jej z krzywą ng0 stopnia, to:

71/

1) w razie m> n można (n -f 3) punktów wybrać dowolnie, a po-

£

71

zostale w ilości: ti=mn—^(w+3) będą już od nich zależne;

A

(m—1) (m — 2)

2) iv razie m<gn można mn

punktów icybrać do-

wodnie; pozostałe w ilości: t2 leżne.

(m—1) (m—2)

będą od pierwszych za

Przytem zauważyć potrzeba, że w pierwszym razie dostajemy tylko jedną krzywę g =0 stopnia n., w drugim zaś razie po obraniu (m—1) (m—2)

mn

j stałych punktów na /'== 0, a

r wb

~2~ (w + 3)—mn+

(m—1) (m—2)

czemraz innych punktów poza f= 0 dochodzimy do krzywych gi =0 g₂=0, ..., które wszystkie, przecinając krzywę f—0 w

(m—l)'(m—2)

mn

obranych punktach, przecinają ją jeszcze w dalszych

(m—l)(m—2)

punktach stałych. Drugą zatem część twierdzenia I. można dokładniej tak wypowiedzieć:

to j mn

II. Gdy krzywe g± =0, gt =0, ... stopnia n przecinają si§ z sobą (m—l)(m—2)

tycli samych punktach na krzywej f= 0 stopnia (w— 1) (m—2)

n<jn,    przechodzą jeszcze wszystkie przez

punktów, leżących na f—0.

III. Z ~(n-\-3) punktów, potrzebnych do wyznaczenia krzywej

tych samych

(m—1) (w—2)

y=0 stopnia n, rnoie najwyżej znajdować się ich

na pewnej krzywej f= 0 stopnia m <Cn, jeżeli g—0 wie ma sig składać z samej krzywej f—0 i krzywej stopnia (w—m).

Uwaga. Żadnego z dowolnych punktów nie należy umieszczać w wielokrotnym punkcie krzywej f= 0; gdyż w twierdzeniu I. jDrzypuszcza się, że każdy obrany punkt będzie jednokrotnym punktem przecięcia się krzywych /=0, g=0.

mn

Pd. 1. Przy m = 4, n = 3 jest ^ (n Ą- 3) = 9, ^=3, a stąd: Z 12 punktów

przecięcia się danej krzywej 4g0 stopnia z krzywą 3g0 stopnia 3 ich zależy od pozostałych 9.

Pd. 2. Przy m —4, n =6 mamy: mn—

Z 24 punktów przecięcia się danej krzywej 4go stopnia z krzywą 6g0 stopnia 3 ich zależy od pozo stałych 21, a wszystkie krzywe stopnia 6g0 przechodząc przez 21 punktów, leżących na krzywej 3go stopnia przecinają się z sobą jeszcze w 3 punktach stałych na tej krzywej.

(m—\){m—2)

21, t₂=3, a to znaczy:

ROZDZIAŁ X.

¹

Por. J. Załuski: „O pewnym sposobie przedstawienia wspólnych miejsc zerowych...“ Prace mat.-fiz. T. VIII., Str. 129—188.    ¹

²

Teorya równań uczy, że się opuszczone równanie sprawdza już przez rozwiązania równań pozostałych.

³

Zauważyć tu przytem potrzeba, że co się tyczy wyboru parametrów |r, [j/ mamy tu zupełną dowolność.

⁴

*) Por. Euler, „Sur une contradiction apparente dans la doctrine de lignes courbes“ Histoire des V Academie des Sciences et belles lettrcs (Berlin) [Memoires — Classe de pJiilosophie experimentale] r. 1748 str. 219.

⁵

rzecinają się jeszcze w

O eliminacyach z n równań (n> 2).

132. Symetryczna funkcya wszystkich miejsc zerowych wspólnych dwóch równań o dwóch niewiadomych. Dane równania f(x,y)=0, g(x,y)=0 o wymiarach m, n niech mają spółczynniki stałe, a₀₁ a1? a₂,6₀, 61; &₂, a zawarte w nich fnnkcye jednorodne najwyższych wymiarów niech będą postaci:

vTO==J,₀a;w+J.₁«łK-¹y+...+    tt>n=2?₀izw+.B₁3^¹y+...4--B»yn.

Aby te fnnkcye posiadały wspólne czynniki liniowe (ax-\-(3y),... potrzeba, aby rugownik A (A₀, A₁, ..., Bf),BlJ...) równań:

My MMyT

-f- ...=0

+ •••=0, B₀

był identycznie zerem.

Za wykluczeniem A₀,Ai,..., B₀, Bi... dających d=0 będą dane równania, o których zakładamy, że ich pierwsze strony są niewspółmierne, posiadały wspólne miejsca zerowe leżące wszystkie w skończoności. Niech one będą:

0®i2/i), (*^"22/2)? ***j 0^7*2^*)} m.n.

AYymierna funkcya 8(xiyil x₂y2: ..., x[/ly/yl) o tej własności, że swej postaci nie zmienia za przemianą między sobą dowolnych dwóch miejsc (xa ya), (xp yp) nazywa się symetryczną funkcyą miejsc (1).

(1)

W badaniach takich funkcyj można się oczywiście ograniczyć do całkowitych takich funkcyj. Lecz dalej jasnem jest, że jeżeli taka całkowita funkcya zawiera dodajnik :

(2)

C .x„p .ya9 .xpr.yps... o Jc parach (xay to musi także posiadać wszystkie dodajniki, jakie z (2) powstają, gdy się w nim (a,/?,'...) zastąpi dowolną kombinacyą &tel klasy szeregu 1,2,3,...,^. Musi więc zawierać jednorodną funkcyę symetryczną stopnia (p-\-q-\-rJs-s+...). Z tego powodu, można się ograniczyć do jednorodnych, całkowitych symetrycznych funkcyj wszystkich par (1). Takie funkcye nazywamy porządku pierwszego, jeżeli w każdym jej dodajniku (2) tylko się jedna z par (1) zawiera. Są-to więc funkcye postaci:

(3)

xx *yx ?+tf/y ₂ * +... + z/ V == -2 V- *•

Funkcyami drugiego porządku nazwiemy te, których dodajniki po dwie z par (1) zawierać będą, a więc funkcye postaci:

22

Teorya funkcyj.

(4)

Xipyiqx2ry2s+-=2xipyiqx₂ry₂s i t. d.

Zajmijmy się naprzód funkcyą pierwszego porządku (3). W tym celu połóżmy t=xĄ-ay₁ gdzie t jest zmienną parametrem. Stąd x=t—ay, a w dane równania, dostaniemy:

a a dowolnym gdy to wyrażenie za x wstawimy

*/)= 0, git—ay, y) =0.

(5)

Eliminując tu y, dojdziemy do równania:

H (t, cc) —    C] -J-••• "i⁻ Cfi=0

o pierwiastkach t—

(6)

[C₀, Ci, ..., są całkowitemi funkcyami w a].

Przy tern zauważyć potrzeba : Ponieważ jeden z tych pierwiastków n. p. tz przy skończonem a może być =oo tylko

to może zajść tylko przy d=0, więc C₀ nie może zależeć od cc i musi być =Ah₁ gdzie h jest pewną liczbą całkowitą dodatnią*).

Suma 2>tych potęg {y całkowite, dodatnie) pierwiastków (6) jest [art. 88.] wymierną całkowitą funkcyą ilorazów

wtedy, gdy xk lub yk jest =oo

C i c₂

<V c₀

..., a więc n. p.

C, Ą \

<v ery

W spółczynnikach o₀, al7b0} b±,... przedstawi się już 6rjako wymierna ułamkowa funkcyą J?(a₀, o1? ..., b₀, bi7...). Parametr a wejdzie w nią jednak całkowicie. Połóżmyż

G=R₀ -f-jBj cc-j-B₂cc^4-...,

(x₁ + ccy₁)v + (x₂ -\-ay₂)v-\-...

to ze związku

(x₁ -\-ccy₁)v-{-(x₂-\-ccy₂)v-\-...=lł₀ -j-jRjO-f-j?₂a²-}-. który zachodzi przy każ dem a, dostajemy:

X\V-\mX₂> ... =-R₀(o₀ , a\ 7 •••> h, b

v -1

y i +x2

y2 d⁻*”]—ai

(7)

(^yxiv-²yi²+x₂v-²y₂ + :.]=B₂(a₀,al

,..., 6₀, ...)

-Rj, (Oq, Oj, ..., 2>₀,    ..•)

Każda z funkcyj 22₀, Bi,..., ma za mianownik pewną potęgę dodatnią wyznacznika A.

yiv+y2v+-

*) Wartość wykładnika h jest dla teoryi obojętną. Przez spółczynnik różny od A, a zawarty w C₀ można równanie (5) skrócić.

Formy (7) wskazują, że każda symetryczna funkcya pierwszego porządku, dowolnego stopnia v daje się wyrazić wymiernie przez spółczynniki danych równań¹).

Lecz i funkcya drugiego porządku (4) ma również tę własność, a aby to okazać, zauważmy iloczyn dwóch funkcyj porządku pierwszego :

Każdy z czynników po lewej stronie i pierwszy dodajnik po prawej stronie są już wymiernemi funkcyami w o₀, o1} ..., b₀, ó₄,... Drugi dodajnik po prawej stronie jest właśnie żądaną funkcyą. Stąd pochodzi, że i tu będzie:

2xfp.y?.x₂ry₂—R (a₀, a^,..., b§, b

W razie p=r, q=s dostaniemy:

2xfp. yfi. x₂p. y₂⁹=-^-R (®o»

W obu tych ostatnich wzorach funkcya R posiada jako mianownik pewną potęgę wyznacznika A.

W ten sposób postępując dalej na wzór teoryi symetrycznych funkcyj pierwiastków jednego równania z jedną niewiadomą [art. 88.] dojdziemy ostatecznie do twierdzeń:

I.    Każda symetryczna funkcya wspólnych miejsc zerowych (xa, ya)1 dwóch danych równań f(x₁y)=0, g (x,y)=0, (A^zO), jest wymierną funkcyą spólczynników obydwóch tych równań; a ivięc:

^    ? ¹^2^2? •••) ⁼ B («0) al ? "•?    ¹••)•

II.    Gdy w szczególności S jest całkowitą symetryczną funkcyą, to R ma za mianownik pewną potęgę wyznacznika A.

133. Wprowadzenie do równań zmiennego parametru. Postać funkcyi symetrycznej w tym wypadku. Przyjmijmy, że S jest całkowitą i jednorodną funkcyą stopnia v i połóżmy w danych równaniach :

a-i

Przy dowolnej wartości q mają równania (1) wspólne miejsca

zerowe :

(2)

[i,

gdzie r\ są nowemi zmiennemi

dowolnym czynnikiem. Tak

przerobione równania: f i    g    pomnóżmy o -

powiednio przez pm, pw, to dostaniemy związki:

(1)

"(f f)-

...+Ag,rQm^~r^ vr + ...=0,

9*9

(f f)-

...+Arr⁵-^!r + -=0,

9, r 7

niach.

Bq, r

są - to spółczynniki przy rf w pierwotnych równa-

(§a=ęxa, i7«“£y«), «=1,2 a gdy — tworząc symetryczną, całkowitą i jednorodną funkcyę •••) zastosujemy tu twierdzenie I, art. poprzedź, dostaniemy :

^ (^1% 7 ^2^2? ”•)    (••■AS:r Qm q B₉,rQ

—S(ęx₁₁    qx₂, (?y₂, ...) na podstawie (2).

Z funkcyi S(ęxi^ ę>yl5...) da się wyłączyć czynnik w ten sposób, że pozostały czynnik już od q wcale nie zależy. Musi się więc z R dać ten czynnik w tensam sposób wyłączyć, a to znaczy, że musi byó:

(3) B(...Aq,rQ

7?i—q—r

V?

Rq,rQn~i~r---) = QVR(-“A

&07 &!•..)•

n—q— r

wagi

=qv R (a₀, %

Tę własność funkcyi i? określamy, mówiąc

7 ***?

że -R jest

..., w vm, wn.

Podług twierdzenia II., art. poprzedź., mianownik funkcyi R jest pewną potęgą wyznacznika A. A jest znowu całkowitą wymierną > funkcyą spółczynników A₀, A1} ..., R₀, B Wszystkie więc te spółczynniki pomnożyć trzeba będzie przez Qn~n=l, a to znaczy, że czynnik qv w (3) pochodzi jedynie z licznika funkcyi R.

Bi, r*

9) r 7

Definicya wagi nabiera niemałego znaczenia , gdy się przyjmie, że spółczynniki Aq>r, Bq,r są wymiernemi całkowitemi funk-cyami dowolnego parametru z stopni: (m—q—r), (n—ą—r), a więc stopni, w jakich właśnie przystępuje czynnik q do A Spółczynniki A₀₁ Ai7 ..., B₀, Bi:..., pozostają i przy wprowadzeniu parametru z stałymi; A nie zależy więc od

Przy takich założeniach wskazuje wyłączony czynnik qv w (3), że R jest wymierną całkowitą funkcyą parametru z o stopniu v.

Stąd twierdzenie :

Bqr zmieniają się spółczynniki w ciągły sposób (przyczem i stopnie m—q—r, n—q—r obniżyć się mogą), to i w R zmieniają się spółczynniki w ciągły sposób. Podczas tego i pierwiastki z równania R=0 w ciągły się sposób zmieniają, a gdy to równanie zniża swój stopień na v—r, to r jego pierwiastków staje się =oo . Z tego powodu powiedzieć można:

I. Gdy równania f(x,y)=O, g(x,y)—O z wy znacznikiem 44=0 są wymiarów m, n, a w ich spółczynniki wchodzi parametr z wymiernie, całko-luicie w ten sposób, że funkcye f(x, y; z), g(x, y; z) są w trzech zmiennych x, y, z już jednorodnemi wymiarów m, n, to każda jednorodna symetryczna ccdkowita funkcya o stopniu v, a utworzona ze wspólnych miejsc zerowych danych równań jest icymierną całkowitą funkcyą parametru z o stopniu = v.

Z tego wynika, że taka funkcya najwyżej dla v skończonych z staje się zerem.

Gdy w A

qr,

II. Funkcya symetryczna jednorodna S stopnia v miejsc wspólnych zerowych równań f(x, y; z)=0, g(x,y, z)=0 zawierających vm(x,y), wn(x, y) nieidentycznie znikające, a A 4:0 — staje si§ zerem dokładnie na v miejscach z. Lecz z tych miejsc z niektóre mogą leżeć w nieskończoności. Gdy f \ g są zupełncmi funkcyami we wszystkich 3 zmiennych i posiadają 4 4=0, to S jest w zmiennej z zawsze stopnia v, a nie mniejszego.

Pd. 1. Z równań :

/=a;²-f y²Ą- z{x—i/)+2² = 0, g = a:²-,?/² + z {x Ą-tj) -f1 =0, A = —2 dostajemy: 1° za icli dodaniem:

z²+l

= 0, a więc x

— z dl * \/ z² -f- 2

*1) *3,

a 2°) za ich odjęciem:

i)

y² — zv + z—y~ = °»skad v

s + i \/ z²2

— 2/1, 2/2 •

Wspólne miejsca zerowe zależą wszystkie od z i są

0*i,2/i), 0*2,2/2), 0*i, 2/2), (^2,2/i)-Z równań a), b) dostajemy wprost:

0*1 JJi.) 0*2*2/2) 0*1 -2/2)0*2-2/l) — ^1 2;*2 ²• 2/1 ²2/2 2 =    ) (~_2~) ’

z pierwiastków zaś tych równań dostaniemy:

*i2/i + **22/2 +*12/2 4- *22/1 = — z\

Pd. 2. Wynaleść wspólne miejsca zerowe równań:

f=x² +1/³ + 2z³ —1 = 0, g = x³ — y³ + 1 — O, A = 2, i obliczyć funkcye symetryczne:

(*l2/l) (*2.y2)-(*92/9), (*l2/l)² + (**22/2)² + .« + (*92/o)²-Pd. 3. Wynaleść wspólne miejsca zerowe równań:

f=xy — (z²-{- 1) = 0, g = 2x² -j- Sy² — z²—0, A = 2/3.

Uwaga I. Gdy A=0, to równania f(x,y; z) = 0, g(x,y,z)= 0 posiadają nie [*, ale mniej miejsc zerowych wspólnych zależnych od z. Gdy tych miejsc jest o

a utworzymy całkowitą i jednorodną funkcyę symetryczną tych. miejsc, to ona w zmiennej z nie wypadnie już w funkcyi całkowitej ale ułamkowej.

Pd. 4. Dla równań:

f=x²y²-\~ (x² + y²) z -{- 1 = 0, g = x²y² -\-(x²— y²) z -\-z³= 0 jest jj.= 8, a A = 0. Po ich odjęciu od siebie mamy 2y² — s³-(- 1=0, a stąd:

\Zz3_i

2 z ' y ~    2 z

y%

z³—1

= V\i

Za ich dodaniem dostajemy 2a;²y² -(- 2x²z -(- z³ -f- 1 = 0. Po wstawieniu tu wartości za y² otrzymamy:

x— + iJ g4 + *

~ \;s³d-2.s²—1

Równania dane posiadają więc 4 miejsca zerowe wspólne, zależne

od 2, a to:

Oiyi), (ajjy₂), faya), (x₂y₁), CT = ⁴-S=(xi²Ą-yi ²) + (x₂ ² + y₂ ²) + (a»i² + Mi²) + (*j² + Vi²) = 0⁶—2^³—4^² -f-1 z(z³-j-2z²— 1)

Okazać, że xi ³y₁³ ce₂ s^2³ ~f" x\ ?>lh³ 4“ x-2 ³//i³ — 0, a obliczyć:

Pd. 5. Równania:

f=x³ j-y³ -j- 2*² — zy² -j- 1 = 0, g — x³ y³ — zx² — zy² — 1=0 mają trzy wspólne miejsca zerowe w nieskończoności (niezależne od z). Wyznaczyć 6 miejsc wspólnych zerowych zależnych od z?. [Odp. Wszystkie kombinacye x, y utworzone z wartości

cc = 4- i

Uwaga 2. W dalszych art. wyprowadzić mamy sposoby eliminowania (Tc — 1) zmiennych z h równań: JĄ =0, Fa =0, ...,Fk = 0, z których każde zawiera & zmiennych xlt x₂,..., %. Przytem uważać będziemy w tych równaniach funkcye jako zupełne, niewspółmierne, nieprzywiedlne, a między spółczyn-nikami którychkolwiek 2, 3,... tych równań nie będziemy wprowadzać żadnych zależności.

Niech w JĄ, JĄ,... zawierają się funkcye jednorodne (xx, x%

(ojj, a7₂, —ixk)ni ••• najwyższych stopni w?, w,... to przyjąć trzeba, że niema wcale takiego miejsca (a^, a?2j...,a^) na któremby równocześnie było:

(#1, »2) •••)    0*1»    '”ixk)n⁼~    •••

W takim bowiem razie między spółczynnikami funkcyj (dL), a więc i funkcyj Fa zachodzićby musiały pewne zależności, a to wykluczono. Że zaś związki (A) miałyby wskazywać, że wszystkie równania Fa = 0 mają wspólne miejsca zerowe w nieskończoności więc ostatnie, zrobione zastrzeżenie o funkcyach Fa wyklucza możliwość wspólnych miejsc zerowych w nieskończoności (o niektórych lub wszystkich spółrzędnych nieskończonych)

(4)

xk)

7715

134. Jtngownik trzech równań o 3 niewiadomych. Niech będą dane 3 równania:

0=0, g(x,y,z)=0, h(x,y,z) =0 odpowiednio wymiarów m, n, p.

(1)

Gdy w dwóch którychkolwiek równaniach n. p. w równaniu /=0 i y=0 zauważymy vm(xy y,2), wn(x,y,z), to wskutek zastrzeżeń zrobionych przy końcu art. poprzedź, musimy przyjąć 4=(=0, gdyż J=0 wprowadzałoby już zależność między spółczynnikami tych równań. Z tego powodu przyjąć musimy, że równania /²= 0, g=0, w których z jako parametr pojmujemy, posiadają dokładnie p—mn miejsc zerowych:

(2)

(x\V\)i fotó (xi² Vt») zależnych od z. Utwórzmy iloczyn:

(a?,,yu²)’.h(x₂, y₂> ²)••• ²,²0

i przyjmijmy, że 0=0' daje P=0 znikaniem czynnika h{x„yaz) i że dla 0—p jest xa=xa‘ docznie zadość wszystkim 3 równaniom danym, jest więc wspól-nem zerowem ich

ya~ya!• Wtedy miejsce (xa‘ yu‘ z¹) czyni wi-

miejscem.

Z tego wynika, że — aby wszystkie wspólne miejsca zerowe wyznaczyć — trzeba przedewszystkiem iloczyn P przedstawić w funkcyi samego z, a potem rozstrzygnąć jakiego stopnia będzie on w tej zmiennej.

W tym celu uważamy w P każde xai ya jako jeszcze niezależne od z. Uporządkowawszy P podług potęg z dostaniemy:

P=8plt(xiyi1..)-\-8Plt-l(xiyi1..) z-\-Sp^₂(xiyu ..)z‘>+...

... + S₀(xiyi,..)zw.

Sa są tu symetrycznemi całkowitemi i jednorodnemi funk-cyami miejsc (2).

Każde Sa będąc funkcyą wszystkich p miejsc zależnych od z, jest [art. 133.] całkowitą wymierną funkcyą zmiennej z stopnia ci. Stąd pochodzi, że P będzie funkcyą z stopnia pmn.

stąd wynika:

Równanie P= 0 ma więc pmn pierwiastków. Wszystkie te pierwiastki — i te tylko²) — mogą być spółrzędnemi z we wspólnych miejscach zerowych 3 danych równań

I. Gdy z trzech danych równań o 3 niewiadomych, a o wymiarach m, n, p, wyeliminujemy zmienne x, y, to ta eliminacya prowadzi do równania P=R(z)=0 o stopniu n=mnp. B(z) nazywa si§ i tu rugo w n i hi em.

Pd. 1. W art. 133. miały równania/ = 0, ^ = 0 w Pd. 1. wspólne miejsca

zerowe:

— z + iy/z²-{-2

z + i \/z²-f- 2

gdzie

Prócz równań f = O, g = O zauważmy jeszcze 3de równanie:

h(x, y, z) — 2x² + 3t/² — 2zx -f- 3zy -(-1 == O,

B(z)=h{xiylz) h(x₂y.₂z) h (xty.₂z) li{x%y^z) =

— 3625^⁸ — 1540z⁶ + 10702.S⁴ — 18Cte² -f- 81 =0. Pd. 2. Przy h — z² + x + y—1 = 0 dostaniemy w Pd. 1:

R (z) = I62⁸—48z⁸ _[_ 67z⁴ — 48^² + 20 = 0.

to się okaże P =

y\,yt

185. Ilość wspólnych miejsc zerowych trzech równań o 3 niewiadomych. Mając równanie P(»=0, można — podobnie, jak w art. 125. — zapytać się iln miejscom zerowym wspólnym (x‘ y‘ 0¹) daje początek jeden pierwiastek równania B=0?

W tym celu oprócz równań danych:

(«) f-O, (b) g=0,    (c) h=0,

zauważmy jeszcze równanie:

(d)

0+o (Ax+fiy)=v, w którem o, ź, g, v są zupełnie dowolne ilości.

Eliminując 0 z par równań (d) (a), (d) (6), (d) (c) dostajemy: /‘(z, y, v—o(Xx+gy))=0, g(x,y, v—o (Xx+gy))=0, h(x, y, v—o (Ax+gy))=0.

Z tych 3 równań rugując x, y dochodzimy do związku :

Ri(v, oA, og)=0,

mu czyniące powodują wspólne miejsce

(1)

(2)

a wszelkie v, o A, og zadość zerowe (x, y) równań (1).

Lecz przy <7=0 i v=0 przechodzą równania (1) na (a), (5), (c). Stąd wynika, że B₁(v, 0, 0) pisać można w takiej formie:

V=Z

=B(z) i że więc związek (2) na-

(3)

R(v) + o[M(v) h + P(v)g]Ą-o²[Q(v)A²-\-S(v)hg+T(v)g²] +

+ oz[U(v)Z*4- W(v)l²g-\- V(v)Ag²+Z(v)g²] + ...=0.

B, M, P,... są tu całkowitemi, wymiernemi funkcyami ilości v. Połóżmy tu wyraźnie v=0+o{lx+gy), to rozwijając B, M, P, ... podług potęg o, mieć będziemy:

B {v)=B{0) 4-P' (0) o{Xx+gy) + ... M(v) = M(z) \-M\0) o(Ax+gy) + ...

(4)

Z(v)=Z{0) +Z‘(0)o(Zx+[iy) + ...

(R‘(0)i P“ (^)? •••? -3PC⁰)? ^n(⁸)i ••• oznaczają pierwsze drugie , ...

pochodne).

Równanie (3) po uwzględnieniu rozwinięć (4) przybierze formę : R (z) o [A(R' x M) p (R'. y -\- P)]-\-

(T²

U²(¹^-x-+M‘x+Q)+i³i(I^yi+p‘y+T)

4- 2>2 . jtt

a³

P³ ( 3!

R‘“

a;³4-

M“

(5)

3 /R,lł

3!

₂y%²+Q,X+U^

2] y2jrT‘ y + Z^

2] + #'³/ + $'#+ w)

2j-y> + ^+5'y+Fj]

P"

/ P'"

+ 2^(³-gT

+^² (³^ra::^²+2T

i)p'

x²y + ^y2xy +

P“

=0, co krótko napiszemy:

P (#)-J" "k\a4"^2^ d~^3a34-••• =0.

Z tego równania, gdy założymy, że jego pierwiastkiem ma być <7=0 — a więc z nim równocześnie o/,=ofi=0 — dostajemy R(Z) = 0.

4-

Przyjmijmyż

że a = 0 ma być dwukrotnym pierwiastkiem. Wtedy — ponieważ to ma zajść przy wszelkich skończonych i, fi— musi być przy R(z)—0 — równocześnie:

(6)

P'. #4-ilP=0, B'.y+P=0.

Grdy dla pierwiastka zv równania P=0 okazuje się IV(zv) = =P'ł,=f=0³), to wtedy z (6) dostajemy:

#= MV\R‘V, y= Pvj R v.

(7)

Lecz P^^pO zaznacza, że się pierwiastek równania P=0 nie powtarza, a z jedynej pary (7), jaką dla z=zv dały równania (6), wynika:

I. Gdy P (z) jest stopnia n, a niema powtarzających się pierwiastków, to trzy dane równania posiadają dokładnie tc miejsc wspólnych zerowych.

a-l

ct—1

Gdy dla z=zv mamy RV=R‘V=R“V=...=RV{(3~'⁾=0, P„(ce)4=0, to zv jest a-krotnym pierwiastkiem równania P=0, a wtedy — podobnie, jak w art. 125. z powodu skończonych x, y we wspólnych miejscach zerowych — wywnioskujemy i tu, że wszystkie spółczynniki przy x, y, #², y², xy₁...^x

9>iO), <p₂(y), fit f₂,    1,

będą dla z—zv zerami. Gdy dalej przyjmiemy, że (7=0 jest aż a-krotnym pierwiastkiem, to każde wspólne zerowe miejsce (x, y, 8V) o spółrzędnej zv ma jeszcze zerem uczynić wszystkie funkcye mnożące    +t~_2Jw²,..., A[ia~¹ w spółczynniku Jca. Gdy te

funkcye po porządku nazwiemy:

to (p₂ — zależąc odpowiednio od samego x, y — są stopnia a; f\, /j, ..., fa—i są zaś funkcyami obydwóch zmiennych, a o stopniach 1, 2, 3,..., ct — 1 w zmiennej y. Są one przytem — jakto z (5) można wywnioskować — postaci:

(a)

t\ =

(/?)

fi

0²+0₂(a:)0+-==O’

... - - .

(y)

Niechże (g>i)v=O, (<p₂)v —O dają odpowiednio pierwiastki:

Vci

(^4.)    , ^2 J    V\ J 02? ”

to z szeregu (J.) wraz z da z pewną wartością y szeregu (2?) wspólne miejsce zerowe danych równań. W jaki sposób do (xQ, zv) dobrać y wskaże ta okoliczność że (xQ,y,zv) będąc już miejscem zerowem wspólnem danych równań ma równocześnie zadość uczynić równaniu (a), (/?)... (y),... Załóżmyż

(O

MM

\ x —

=t=°»

rt?

to z równania (a) dostajemy y=Ri (xQ)v, gdzie 7?t jest wymierną,, a więc jednoznaczną funkcyą. To wskazuje, że do jednej wartości szeregu (Tl) tylko jedna wartość y=yQ szeregu (B) należy. Przy założeniu (C) trzeba więc a-krotnemu zv podporządkować a tylko par: (+, 0i), fai, Vi), ••', (xa j y<x) i

co znaczy, że a-krotny pierwiastek zv rugownika B{z) daje początek dokładnie a miejscom zerowym wspólnym:

(K^y-n Zv)i •••> {Xai Vai %v)'

Niech teraz w szeregu {A) powtarza się wartość xx razy r. Wtedy mamy dla x=xi

(9>i)p=O,

d(Pi

dx L

=0,..

a więc spółczynniki przy najwyższych potęgach y w równaniach :

(8)

(fr)

C/i)**—(.f%)v—O? •••? (/)—i)i> 6 dla x xj znikają. Lecz — że wartości y, które z parą (xi} zv) tworzyć mają wspólne miejsca zerowe, mają hyc skończone, [por. uwagę 2. w art. 188.], — więc w równaniach (8) muszą wszystkie spółczynniki przy potęgach y i wolny wyraz znikać. Dopiero równanie =0 da wartości y, które z szeregu (2?) odpowiadają r-krot-nemu xi. Ze zaś tych wartości jest r, więc i tu, przeszedłszy wszystkie wartości x w szeregu (A) i doszukując odpowiednich im y w szeregu (B), dojdziemy do wniosku, że z a- krotnego pierwiastka zv równania R(z)=0 dostajemy dokładnie a miejsc wspólnych zerowych. Stąd twierdzenie:

II. Równanie R(z)=0 stopnia n bez względu na to, czy ma same jednokrotne pienciastki, lub niektóre, albo wreszcie wszystkie powtarzające się pierwiastki daje początek n miejscom wspólnym zerowym 3 danych równań.

136. Symetryczne funkcye wspólnych miejsc zerowych trzech równań o 3 niewiadomych. Przejdźmy do tworzenia symetrycznych funkcyj n wspólnych miejsc zerowych:

V\ Z\)i •••? (XnV n^n)

(1)

3 danych równań:

(2)

/‘(•r?    V, z)m f ...0, g(x, y, z)=(x, y, z)n + ...0,

h(.r, y, z)=(x, y,z)p+...=0.

Połóżmy x=t—ety—/3z, to z równań :

f(t—ay—pz, y, z)=0, g(t—ay—^z, y, z)=0 h(t—ay—pz, y, *)=0, rugując y, z, dostaniemy związek:

22 (2, a, /?)=CitJI~i-f-... + 6^=0,

(3)

dający pierwiastki:

tQ=xQ—ayQ—pzQi 1, 2, ..., yr.

Przy skończonych dowolnych a, /? są te pierwiastki wszystkie skończone wskutek miejsc (1) leżących w skończoności.

Gdyby jeden z nich n. p. pierwiastek tQ miał być =oo przy dowolnych skończonych «, /3, to wtedy jedna ze spółrzędnych xę, y?, zQ wchodzących w ten pierwiastek musiałaby być nieskończonością , a w równaniu (3) C₀ musiałoby znikać. Ze zaś posunięcie się miejsca (xę, y₀, zQ) w nieskończoność zależy — od spółczynników

... jakie znajdujemy w (#, y, #)m,

A¹ o, J.¹

5'o, B'

1 7 **

•7 ^0 7

(,x, y, z)n, (#, y, z)p , więc C₀, nie zależąc od a,/?, jest funkcyą jedynie spółczynników A‘₀, A1 C\, ... Dalsze spółczynniki są całkowitemi funkcyami dowolnycłi ilości «, /? i wszystkich spółczynników wszystkich 3 danych równań, co wynika z tworzenia rngownika (3).

& o,

Mając ten rezultat, utwórzmy symetryczną sumę:

¹

Sposób umieszczony w tekście wyprowadzenia tego wniosku podał Poisson w rozprawie „Sur V elimination dans les eąuations algebriques“ Journal de l’Ecole polytechniąue Cahier 11 (w tomie 4.) (1810) str. 199....

»    Praktyczne wzory przedstawiające funkcye pierwszego porządku znajdują się

w rozprawie E. Hess'a „ Uber die Darstellung der einfdrmigen symmetrischen Fune-iionen ... Zeitschrift filr Maik. u. Phys. — Eocznik 15. (1870) str. 325—343.

²

Pierwiastki z' są jedynemi wartościami zmiennej z dającemi przy /= 0, g — 0 także i li— 0. P jest bowiem iloczynem czynników h(x ya) z).

³

W dalszym ciągu przydany znaczek v literom oznaczającym funkcye zmiennej z wskazywać będzie wartość tych funkcyj na miejscu z=zv.

(4)

G jest funkcyą całkowitą ilorazów, wchodzących w nią.

Gdy w (4) obie strony uporządkujemy podług iloczynów

<?,(

które wskazuj ą:

dostajemy relacye:    (xe, yQ) zQ)p=

9i \

6’,’ Co’"')

I.    Każda symetryczna funkcya pierwszego porządku, a dowolnego stopnia g, wspólnych miejsc zerowych (1) jest wymierną funkcyą spółczynników wszystkich 3 równań. Jej mianownik jest pewną potęgą funk-cyi Cq(A\, A\,..., K‘0}K\,..., C‘₀, C\,...).

[Porządki funkcyi określają się tu zupełnie analogicznie, jak w art. 132., w przypadku dwóch tylko równań].

Dalej przejdziemy tu z funkcyj porządku pierwszego do funk-cyj porządków wyższych, z nich do całkowitych, jednorodnych i symetrycznych funkcyj dowolnego stopnia v, a wprowadziwszy pojęcie wagi, mieć będziemy twierdzenie:

II.    Każda całkowita jednorodna i symetryczna funkcya miejsc (1) stopnia v jest wymierną funkcyą spółczynników wszystkich 3 równań] jest ivagi v, a jej mianownik jest potęgą funkcyi C₀ i jest wagi = zero.

W równaniach danych zawierają się wyrazy postaci Axq.yr.z*, a gdy A, ... uznamy za funkcye całkowite nowej zmiennej u stopni: m— (q-\-rĄ-s) w f n—(q+r+s) w g, p-(q-\-r-\-s) w h, to — ponieważ C₀ będzie zerowego stopnia w tej zmiennej — więc stąd wyniknie:

III. Gdy dla 3 równań zupełnych f(x,y,z,u)=0, g(x,y, z,u)=0, h(x,y,z,u)=0 o wymiarach m, n, p, utworzymy jednorodną całkowitą i symetryczną funkcyą m.n.p miejsc wspólnych zerowych stopnia v, to ta funkcya będzie zarazem w zmiennej u całkowitą funkcyą stopnia v.

137. Rugownik czterech, lub więcej danych równań. Osądzenie jego stopnia i oznaczenie wspólnych miejsc zerowych tych równań. Gdy do trzech równań:

(a)

f(x,y,z,u)=0, g{x,yiz,u)= 0,    h(x,y,z,u)=0

przydamy jeszcze czwarte:

(¹)

k(x,y,z,u)=O,

a ich wymiary po porządku nazwiemy m, n, p, q, to teraz — gdy (xQyQzQ), {?=1,2, ..., n=mnp są wszystkiemi wspólnemi miejscami

71

równań (a), wywnioskujemy łatwo, źe P=IIk(xpyQzQu)=R(ii)=0 będzie rugownikiem czterech równań (a), (&) i będzie stopnia =m.n.p.q.

Przechodząc dalej do czemraz więcej równań o czemraz większej ilości niewiadomych, dojdziemy do twierdzenia:

dojdziemy do równania

I. Gdy danych jest k równań fl — 0, f₂= 0, ..., fk=0, posiadających wymiary nx, n₂, ..., nk) a zawierających k niewiadomych xi,x₂,...,Xk, to po eliminacyi niewiadomych x1} x₂,.

R(Xk)=0, które będzie stopnia nx.nr..nk.¹)

Ze R(jXk)=0 swoimi pierwiastkami prowadzi dokładnie do (n₁.n₂...nJc) miejsc zerowych wspólnych, pokażemy to na 4 równaniach

(a), (ft).

(1)

Oprócz danych równań zauważmy jeszcze równanie: u -j- o(Ax -f- py -j- vz)=x

o dowolnych x, u, ż, y, -y. Kładąc w (a), (6):

(2)

u=x— a(^r+py+vz) i eliminując z nich x, y, 0, dojdziemy do związku:

(3)

^ (t, a/l, ay, a^)=0; a że ^(t, 0,0, 0)=R(x), więc (4) napisać można w formie:

R(t) + (A, y, v; ń^a-f^/l, y,    t)₂(T² + -.=0.

(>2, y, v; x)a są tu jednorodnemi funkcyami stopnia « ilości Z, y, ^ z całkowitymi spółczynnikami w zmiennej x.

Gdy tu za x położymy wyrażenie (1), to po uporządkowaniu według potęg u, mieć będziemy:

(4)

R(u)-\-[X, y, v\o-\-[A. p, ^]₂a²4-...=0.

Tu znowu [i, y, v]a są jednorodnemi funkcyami stopnia a trzech ilości 2, y, v o spółczynnikach całkowitych, zależnych od x, y, z, u. Gdy spółczynniki przy pa, va nazwiemy:

<PlO,M), (p<i{y,U), to będą one w x,y. z stopnia a%°.

- («)

Co się tyczy dalszych spółczynników, mnożących Aa pb vc, a-{-b -\-c=a, to znajdziemy między nimi:

dx V + ••• przy A«~'p- 9t

dVi

/;

dtp 1

(/?)

da?²

» ^a_V²; 9i

d.r²

z²+...

dx³

„ ża~V; 9g

d³ę>i

d£³

0³ + ...

„ Ża-V³;

Do tych spółczynników ograniczając się na razie przyjmijmy, naprzód, że % jest jednokrotaym tylko pierwiastkiem równania K = 0.

Przyjmując, że wtedy a ma być dwukrotnym pierwiastkiem równania (4), trzeba wskutek całkiem dowolnych A, p, v — przyjąć dalej, że spółczynniki w [A, p, v\ dla x₁y₁z, tworzących razem z uv wspólne miejsca zerowe, są zerami. Że zaś te spółczynniki mają po podstawieniu u=uv — postacie:

Gx (O—G\ (O x, ćr₂ (uv)—G‘₂(uP)y, Gr₃(uv) — G,s(uv)n,

... są wymierne funkcye], więc stąd dostajemy: x=Gi (O I G\ (O, y=G₂(uv) I G‘.₂(uv) , z= G?>(uv) / G‘?>(uv).

Przenosząc ten rezultat do k równań o k niewiadomych (xi, #₂, #3, ..., a?*) mamy twierdzenie:

II. Gdy x‘k jest jednokrotnym pierwiastkiem rug o wnika R(x/c)=0, to ten pierwiastek powoduje jedno tylko wspólne miejsce zerowe (x\, x‘₂,..., a;'*), a w niem spólrzędne x\, x\, ...,    wyrażają się wymiernie przez xj.

Przyjmijmy teraz — wracając do k=4, że uv jest a-krotnym pierwiastkiem równania JR(u)=0.

Funkcye [A, p, n]lf [A, p, r]₂, ..., [A, p, v]a~\ znikać wtedy muszą identycznie [por. art. 135.]. Przyjmując wtedy, że wysokość powtarzania się pierwiastka <r=0 jest (a + 1), trzeba zarazem założyć, że x, y, z tworzące z uv wspólne miejsce zerowe danych równań (1) powodują znikanie wszystkich już spółczynników w funkcyi [ż, p, v\a.

\GUG‘

17

Dla tych miejsc muszą więc także funkcye (a) i (/?) być zerami. Połóżmyż:

to z tych równań dostajemy:

<Pi 0,0=0,    (p₂ (y, O >    W?, (*, 0=0,

(AL)

(^)

(O

X X#2j .*.}

y=yi? «/₂7 -7 y«

z=zu Z 2 •

są-to widocznie algebraiczne funkcye wartości uv.

Chcąc z tych szeregów wybrać trójkę (x, y, z), dającą z uv miejsce zerowe wspólne, weźmy z szeregu (A) jedną wartość, n. p.

wartość xi i — regu (A) — połóżmy:

gdy(|“)*⁰>

więc xi nie powtarza się w sze-

(/i )v, x—xx

—0,    (g\)v,x=zxt 0.

Z tych równań dostaniemy wartości:

y=Ri(xl)

i)

(wyrażone wymiernie przez xx), które właśnie do xl należeć będą, a z których pierwszą w szeregu (B), drugą zaś w szeregu ((7) znajdziemy. Z (A,), (B), (C) dostaniemy w tym razie a trójek (x, y, z), a te z uv utworzą a wspólnych miejsc zerowych.

Gdy x=x₁ powtarza się w szeregu (A) r razy, r<Za, to — prócz cpi = 0 musi jeszcze być:

dla x—xi.

Wtedy funkcye : /], gi] f₂,g₂) •••? fr— i ? 9r—i muszą dla x—xx i u=uv w ten sposób być zerami, że w nich wszystkie spółczynniki przy potęgach zmiennych y, z znikają [por. art. 135.].

Dopiero równania: (fr)

=0 — pierwsze r£° stopnia w y, drugie takiegoż stopnia w z — dadzą wartości:

Vy

= 0,    (9r)

(A)

(Bl)

2/l 7 911 ""> Vr 5

z których trzeba tworzyć pary (y, z), dające razem z a?₁, uv miejsca wspólne zerowe. Aby te pary rzeczywiście utworzyć, zauważmy, że w \A, fi, v]a oprócz spółczynników (a), (/?) znajdziemy jeszcze

spółczynniki postaci:

d(p₂

dy z -f... przy „

(y)

K=

d²cp₂

dy

n ^a_V²,

d*<p₂

Za ich pomocą podobnem rozumowaniem, jak w art. 135., będziemy mogli do s-krotnej (s>l) wartości yx dobrać s wartości z szeregu (Bx), w ten sposób, że z tych r par (y, z) dostaniemy już za dołączeniem xx i uv dokładnie r miejsc zerowych wspólnych.

Przechodząc w szeregu (A) wszystkie xt już-to powtarzające, się już-to niepowtarzające się i rozumując każdym razem podobnie jak wyżej, dojdziemy do wniosku:

III. Gdy x‘kjest a-Jcrotnym pierwiastkiem ruyownika R(xix₂...xk)=O Je równań o Je niewiadomych, to taJei pierwiasteJe daje począteJe a miejscom zerowym wspólnym {x^a\ x₂(°\ ..., o?'*), a=l₇ 2, ..., a. Spółrzędne Qte tych miejsc (>=1,2,..., Je—1, a więc x‘Q7 x''P7 x‘"ę7..., xQW są pierwiast-Jeami jednego równania cpę(x₇ x'k)=0 a,J0 stopnia, wyrażają się luięc zawsze algebraicznie przez x‘k — [por. szeregi (A), (B), {Cj\.

Z twierdzeń II. i III. wynika:

IY. RugowniJe R(xk)= O, wsJeazuje swoim stopniem [%.n₂... nj\, że równania posiadają dóJeładnie \ny.n₂.. nj\ miejsc zerowych wspólnych.

138. Równoważność dwóch funkcyj według danych modułów.

Aby rngownik R utworzyć bez pomocy symetrycznego iloczynu P i nadać mu formę wyznacznika, jak to miało miejsce w przypadku dwóch równań o dwóch niewiadomych, musimy się naprzód zająć pewnemi własnościami funkcyj wielu zmiennych zasługującemi — nawet z pominięciem ich doniosłych zastosowań — na uwzględnienie.

Niech danych będzie Je funkcyj całkowitych, wymiernych i niewspółmiernych:

(1)

/u fii •••? Aj n zmiennych xi7 x₂₇ ..., xn, a o wymiarach:

(2)

mt>m₂>ms>... > w*.

Podporządkujmy tym funkeyom odpowiednio Je funkcyj całkowitych wymiernych i zupełnych:

..., A*

Ai, A₂₇

tych samych zmiennych x₁₇ x₂₇ ..., x„. Ich spółczynniki al7 a₂, ... uważajmy wszystkie za zupełnie dowolne, a ich wymiary pi7 fi₂₇ pk niech będą takie, że:

(3)

(4)

mi-\-pi—m₂Jrp₂ — ...=nikJrPk=g^ gdzie g jest jeszcze bliżej nieoznaczoną dodatnią całkowitą liczbą. Wszystkich spółczynników ai7 a₂₇... mamy:

--('■rw

a z (2) i (4) wynika, że pi    •••

Przyjmijmy dalej, że mamy jeszcze funkcyę F(xi7 x₂₇ ..., xn) wymiaru m₇ a mającą tę własność, że staje się zerem równocześnie z /[    =...=/*=O, t. j. na ml.m₂...Mk=>p miejscach zerowych wspól

Je.

nych równań /i=0, ,s = l, 2

Przy tych założeniach zażądajmy identyczności:

F=Aifi -\-A₂f₂ -Akfk-

(Widocznie do jej spełnienia potrzeba przedewszystkiem, aby z ró-wnoczesnem znikaniem funkcyj fs, także i F było zerem, co jnż założono).

Prawa strona w (5) jest wymiaru g i posiada — po wykona

niu dodawań tam wskazanych — spółczynników    Wszystkie

te spółczynniki są jednorodne i liniowe w e^, a₂,...; nazwijmyź je: La(ct^ , G5₂> •••) >    , C5₂,    , ...

Po lewej stronie w (5) jest spółczynników ( J. Przyjmijmy g^>m, a spółczynniki funkcyi F: [którą za funkcyę wymiaru g uważamy, wskutek czego, gdy    niektóre z jej spół

czynników muszą być zerami], odpowiadające spółczynnikom

(6) nazwijmy a, ó, ..., to dostaniemy

(6)

równań:

a La(ct^, a₂,.,.), ó ZŻj(g5^ , cc₂,...), ...

Z nich możliwem będzie a1} a₂, ... oznaczyć, jeżeli będzie:

Podług tej nierówności wybrać trzeba g, zatrzymując zawsze g~>jm. Zastąpmy w o wszystkie dodajniki dodajnikiem naj-

i zażądajmy, aby jeszcze i wtedy było :

mniejszym:

(7)

^+”) < +") +K)

to liczbą g, zawsze >m, a spełniającą tę nierówność będzie można zadaniu tern bardziej zadość uczynić.

Napiszmyź (7), pozostawiając tylko znak nierówności, (co jest w tern zadaniu dozwolone), we formie:

(■

-)(■

m₁ — n +1

to za obraniem dostatecznie dużego g^im mieć będziemy

albo :

albo:

<Jc

1—

gdzie V) vx są już dodatnimi właściwymi ułamkami, które się ze zwiększaniem g równocześnie zmniejszają.

\-\-v

Lecz 7c> 2, a że

1-ł-Pi

<l-b^<C2, więc dość duże g>m,

Teorya funkcyj.

sj)ełniające tę nierówność, zadość uczyni i nierówności:

(l + v)/(l + Vi) <&, k> 2.

Zażądajmy podobnie , aby było (1 -j- v) / (1 — v±) <[2, czyli aby l+v + 2^₁<C2, to widocznie dostatecznie dużem g^>m można spełnić i tę nierówność, a temsamem i nierówność (1 + y) /(1— k~>2. Stąd twierdzenie:

nych xi, x₂

tych samych zmiennych w ten sposób, że identycznie będzie 12Asfs—F,

I. Do k niewspółmiernych całkowitych funkcyj /],/₂,...,/i n zmien-xn można zawsze dobrać k funkcyj całkowitych Alf A₂, ...At

gdzie F jest dowolną funkcyą całkowitą tych samych zmiennych xi,x₂,...,xn, a znikającą na wszystkich wspólnych miejscach zerowych równań fs=0, s=l, 2,..., k. Funkcye As nazywają się mnożnikami.

Już z przeprowadzonego tu rozumowania wynika, że systemów funkcyj (mnożników) A1} A₂, At może być nieskończenie dużo. Lecz dalej okazać łatwo, że z każdego danego już systemu można dostać jeszcze nieskończenie icb dużo.

Zażądajmy bowiem identyczności:

F=(Ai +<*12/2 + a\ 3/3 + 4/4 + •••+an fk) f 1

+ (^-2 d⁻°2\f\ ~\~a2zfz d-«24/4    — + f%

(8)

Ą-(AZ Ą-azxf] +a₂₂f₂ + a₂J!i + ... + aikfk) 4

+    A A-anfi d-%3/3 + •••+%, * — 1 A—1) A?

w której A₂, ..., Ak mają być właśnie danym systemem mnożników, a a₁₂, aiSl...a2k, ..., ak,k-1 mają być stałemi, lub nawet funkcyami całkowitemi zmiennych %i,x₂,..., to po prawej stronie w (8) mamy przedewszystkiem Aifi+A₂f₂+—+Akfk, a ta suma — wskutek (5) — jest już —F. Gdy więc dalej zażądamy, aby identycznie spełniły się związki:

#12-ł“®21 "O, «₁₃ +ć*31 =0, •••> %-l ,k~\~ak, i—1=0,

to przez to już się identyczności (8) w zupełności uczyniło zadość, a sumy w nawiasach po prawej stronie są nowymi mnożnikami.

Weźmy naodwrót dwa różne systemy mnożników: (Ai, Ai:...)> (^4, ^2>•••)> t° mamy wtedy równocześnie:

F=Aifl Ą-A^fi + —? F—A\A +A*₂f₂ + ...

Stąd wynika identyczność:

(9) ^-4'.—+ ...+(A,_i -    +

+ (-4«+i—-4^+i) A+1+ ...]•

Że zaś (^4S—A‘s) jest funkcyą całkowitą, a/jj/j, ...,/* są funk-

więc po prawej stronie muszą być (-4.-1 — u4',_i), (^L₊i — J.'s+i), ... podzielne przez fs.

cyami niewspółmiernemi

(A-A)v

Uzwględniwszy to, dostajemy zamiast (9) relacyę:

As—A‘s=as\ +... + as, s_i fs—i + as, «_j_i / s_p i +...

(10)

a to znaczy:

II. Mnożniki ste # dwóch różnych dowolnych systemów różnią się zawsze o pewne liniowe jednorodne wyrażenie funkcyj /i, f₂, ..., fs—i,

/i-ł-lj fk-

Ich różnica jest więc zerem na wszystkich wspólnych zerowych miejscach równań f\ =0

/i—1=0, fs+1=0,..., fk=0.

Lecz identyczność (5) piszą jeszcze w innej formie, a to:

i powiadają: Funkcya jFjest równoważną z zerem podług modułów (podzielników) /i ,/₂, •••/*•

Według tego relacyą (10) można będzie także przedstawić równoważnością:

(11)

-4-s As 0 (modd. f^,...,^—i,    ...,/i),

albo wreszcie równoważnością:

■4* A g {modd. fy,... ^ —i, /s-j-i, «••), która się tern określa, że przechodzi na równanie, gdy się po jednej jej stronie doda pewną oznaczoną liniową jednorodną funkcyę modułów.

(12)

139. Wprowadzanie równoważności z funkcyą jednej tylko zmiennej. Dla uproszczenia dalszych dowodzeń zauważmy trzy tylko równania o trzech niewiadomych:

f{x, y, £)=0, g{x, y, *0=0, h(x, y, *0=0 a o wspólnych p=m.n.p miejscach zerowych:

(xiyizi), (x₂y₂z₂),..., (xfly!,zfl).

Grdy prócz tego daną będzie dowolna funkcya k(x, y, z), która na miejscach (2) nie jest zerem, to da się o niej udowodnić:

I. Do funkcyi k{x, y, z) możliwem jest zawsze — pod warunkiem, że Zp w miejscach (2) są wszystkie między sobą różne — dobrać

(1)

(2)

Z1, ^2? •••»

funkcyę całkowitą (z) jednej tylko zmiennej z, a stopnia {p—l) w ten sposób, ie wa miejscach (2) 6gd*;«e k(x₉₁ yQ,zę)='if>(zQ), (>=1,2,...,^.

Połóżmy bowiem (*0 = c₀ + c₄ £ + c₂ z² + ... +    z>*~¹, to

z równań:

k (%q yQzQ)=c(i+cxZę+c₂zQ²+...-\- C^x zf~¹

p = l, 2,... fi

będzie możliwem, oznaczyć ca\

„    & 0»iVi 01) A'a--f k (x₂y₂z₂) A“a +...,. +.k (xft ya z ^)dfc*>«

C„---

gdyż d=

« = O, 1, 2,

1 Z± Z^...Z^~X 1    Z^.-.Z^

[A,—i,

4= O , wskutek założenia

O &i J ^2 ? •• *}    1

1 Ą, Z^...Z^-X

a przez to już dowiedziono istnienia funkcyi ■?/>(£).

[d«', dK",..., d^)a są podwyznacznikami ag0 pionu w d].

Łatwo sprawdzić, że każde c«jest taką symetryczną funkcyą miejsc (2), że w niej licznik i mianownik zmieniają równocześnie znak, gdy się dwa miejsca (2) ze sobą przestawi. Pomnóżmy jednak licznik i mianownik przez A, to w mianowniku dostaniemy d², a więc już symetryczną funkcyę miejsc (2). Licznik

A ■ [h{xxy^±) Aa‘+k(x₂y.₂z₂) Aali ...-^rk(x!Xyliz,f) A«W] będzie również taką funkcyą.

Stąd wynika, że każde ca wyrazi się wymiernie przez spół-czynniki wszystkich 3 równań i spółczynniki funkcyi k.

Zauważmy różnicę k(x:y,z)—ty(z). Różnica ta znika na wszystkich miejscach (2), a wskutek tego da się według (11) — art. poprzedź. — przedstawić równoważnością:

albo równoważnością:

Tc (#, y, z)—ty(z) =0 (modd. f\ g, li)

Tc (x, y₎ z) = ty(z). (modd. /, y, h).

Stąd — przenosząc to rozumowanie do funkcyj i równań o dowolnej ilości zmiennych — dostajemy twierdzenie :

II. Dowolna funkcyą j (xi}x₂, ...,#*) nieznikająca na y wspólnych miejscach k danych równań f\ =0, /₂ =0, ...,/i=0 spełnia równoważność j(x^ j x₂1 "*i    ⁼ ty(^s) (modd. ff..-i fk);

w której ty jest wymierną całkowitą funkcyą stopnia (y—l)g0 i zależy od tej zmiennej xs, której wartości w wspólnych miejscach zerowych równań fx — 0, /₂—0, ...,/*=0 są wszystkie między sobą różne. Spółczynniki funkcyi ty(xs) są-to wymierne funlccye spółczynników funkcyj j, fi5 fil *•'J

Co się tyczy funkcyi ty(xs), to można dowieść, że istnieje tylko jedna taka funkcyą argumentu spełniająca równoważność (3). Przyjmijmy bowiem, że mamy prócz (3)

(3)

jeszcze

(4)

to z (3) i (4) wynika:

j(xi, x₂,..., xk) — ty'(xs) (modd. /j,/₂,..., /i)

xp (xs) = ip‘(xs), albo ip (xs) — ip‘(Xs) = 0 według tych samych modułów /1} /₂,..., /*. Różnica ta znikać ma na ^ miejscach a?₂,a że jest funkcyą stopnia (fi — l)s° więc musi być identycznie zerem [art. 52., tw. I.]; ?/>'(#«) nie różni się więc od 'ip (xs), c. b. d. d.

140. Rugownik ilukolwiek równań w postaci wyznacznika lub w postaci liniowej jednorodnej funkcyi pierwszych stron samych równań. "Wprowadzone w poprzedzających art. równoważności dozwolą już nadać rugownikowi formę wyznacznika.

W czterech danych równaniach o 4 niewiadomych:

(1)    f(x,y,z,u)=0, g(x,y,z,u)=0, h(x,y,z,u)=0, k(x,y,z,u)=0

a o wymiarach m, ^ uważajmy w tymczasowo za zmienny parametr i przyjmijmy, że trzy pierwsze równania posiadają fi—m.n.p wspólnych miejsc zerowych:

(2)

(*101*i), (^2*2)7 •••» {^y^) zależnych bez wyjątku od u. Przy takiem założeniu trzeba •••? uważać wszystkie za różne między sobą, a ta okoliczność daje możność utworzenia szeregu równoważności:

^ = c₀₀+c₀₁^+c₀₂^²+... + c₀^_i^-¹=^0 S& = C₁₀+C₁₁3 + C₁₂3²+...-i-C₁^_i 2^! = ^

(modd. f\ g, h).

(3)    z²Jc = c₂₀ + C₂₁^+c₂₂s²+... + c2/ł_i

z^h= c^i, o + cM_i, i * +... + o—1,^—1    =ty_i

c₀₀, c₀₁,...,    i są wymiernemi, i do tego całkowitemi funk-

cyami parametru u, gdyż w ten sposób zawiera się ten parametr w pierwszych stronach tych równoważności.

Pomyślmy sobie za x,«/, z, u podstawione w (3) spółrzędne któregokolwiek miejsca wspólnego zerowego wszystkich 4 równań (1). Dla takich wartości jest f=g=h=ic=0, a równoważności (3) przechodzą na system współczesnych równań:

co o + C0t Z + c₀₂z² +...+c0fi-i et*-*=0 c10+c₁₁^+c₁₂^²+... + c₁^_i^‘-¹=O

1,0 + fyt—1,1    1,2£²++    1,/ł—1 Zt* ¹ — 0.

Wyrazem tej współczesności jest związek:

ci i

H(u) =

coo coi-*-C10 C11"*

- o,

Cfi—1,0 Cfi—1,1 •• • Cfi—i,u—1

H(u)=Jc(xiyiziu).Jc(x₂y₂z₂u)...k(xlA,yl/tzlliu), a ten iloczyn jest widocznie =R (u).

W wyznaczniku H(u)—R(u) pomnóżmy elementa pionu: 2®° 3g0,...,yg0 odpowiednio przez z, z²,..., ^u,_1 i dodajmy do odpowiednich elementów pionu pierwszego. W pionie pierwszym mieć wtedy będziemy elementa:

(4)

a sam wyznacznik — po rozwinięciu go według elementów (4) — będzie postaci:

(5)

E (w)=a₀ % + ipx +... +    ty* _ i.

Lecz z równoważności (3) mamy:

tyi ^)=zxk—Ax,f—Ax“g—Ax“‘h.

Z=0, 1,..., ^ — 1.

Wstawiając to w (5) dostajemy:

(6)

w którym u jest spółrzędną dowolnego wspólnego miejsca zerowego 4 danych równań, a przy u zmiennem spełnia się równanie H(u)=0 dla spółrzędnych u owych miejsc zerowych wspólnych.

Że H(u) ze zmiennem u jest identyczne z rugownikiem R{u) [art. 137.] możemy się tak przekonać:

Tworząc iloczyn

coo

H.A=

C10

i⁴

1 zi... %M_1 1 *₂... z₂^~x

i obliczając go składaniem wierszy z wierszami, dostajemy:

//.J=

Lecz, że ęa (%)=£3“ & ^ y? z^u)=zfk^ więc

^2 7 • • •

z.Jc

1?

H.A=

z₂k

=A    Stąd

R (u)=F. f+ G.g+H.h-\-K .k, w której-to formie są F, ćr, J7, Z⁻ całkowitemi, wymiernemi funk-cyami wszystkich zmiennych aj, y, 5, w.

Stąd — gdy i tu to rozumowanie zastosujemy do dowolnej liczby równań — mamy twierdzenie:

I. Rugownik dowolnie wielu równań przedstawić zawsze można liniową jednorodną funkcyą pierwszych stron równań o spółczynnikach wymiernych, całkowitych we wszystkich zmiennych*).

141. Wyznaczenie funkcyi wielu zmiennych, która na wspólnych miejscach zerowych danych równań ma przybierać dane wartości, (interpolacyjny wzór H. Laurenfa). W art. 138. uczyliśmy się tworzyć najogólniejszą funkcyę o tej własności, że znika na wspólnych zerowych miejscach k danych równań /[=0, /2⁼⁼0,//fc=0, zawierających ilekolwiek zmiennych.

Przyjmując n=k zażądajmy teraz utworzenia najogólniejszej funkcyi F(xi ,x₂,..., xj) przybierającej na p=mim₂...mk wspólnych rowych miejscach danych równań /[ =0, /₂==0, ...,/*=() dane tości Xi: X₂, ..., Xu.

W tym celu naznaczmy wspólne miejsca zerowe przez: (A)=(xu, Xu,-,%kz), i=l, 2

na-

ze-

war-

(1)

, ..., [A

i załóżmy, że żadne z nich się nie powtarza.

Przeprowadzając każdą z funkcyj fa do otoczenia obranego miejsca (i), mieć będziemy:

fa4“hx, X‘iz-\-h₂,..., Xiczjrh)c) =

Ih

Lecz na podstawie własności jednorodnych funkcyj [art. 75.], możemy położyć:

v2(cc) Qh > ]h i •••» hh=(v2i (“) hx + v₂₂ («) /^₂ -f... +fl₂*(a) &*)*» v₃ (“) (ń,, h

2?

hk)z=(vs x <«> hx +    ₂ («) h₂ +... + v.u(te) A*)*,

i wskutek tego napisać:

d#*

+W“) + r₃*(a)+..

*) Podany w tym art. sposób tworzenia rugownika znajduje się w rozprawie H. Laurenfa „Memoire sur les fonctions entieresu. Journal de l’ecole poly-techniąue — Cahier 60. 1890. str. 107—136. Por. także: J. Molk. Sur notion, qui comprend celle de la dirisibilite et sur la Theorie generale de l’elimination. Chapitre III. str. 50—59. Acta matbematica T. 6. (1885).

'df

-+A«i

lhi⁺[S

W~+K'⁺⁴-L

7**.

Px\

Aai i ^aki ••• jako sumy funkcyj v nie posiadają wyrazów wol-nycłi od Ji1: h₂, ...

Przyjmijmy v ^ X i połóżmy :

—X\p , #2/1 + h₂ —X2v 7% ⁼⁼3/li/    #1.1 , T&2 ⁼⁼#2v    #2/1

to dla takich hi:Ji₂,...,Jik mieć będziemy:

(2)

a więc Tik ⁼⁼ #£v XkX

(2,) [(^y ⁴“'), A*⁺£;+ 4“²l *>⁺-⁺(^⁺⁴«*)a ht\P) ⁼⁰’*⁾

oj — 1, 2, 3,k

x2v, ..., #*»>)? są więc zerami.

W (2') mamy & współczesnych jednorodnych liniowych równań ze względu na \, h scach (1) nie wszystkie mają być zerami.

Wyrazem tych współczesności jest:

bo te wyrażenia są fa(xi

21

lik, które wskutek założenia o miej-

(3) ®Z,{v) =

(4+4,iL’(4+4i2l’ ■"’(

(S⁺⁴”L (

(Ś⁺H’ (£+ iah H M

dfi

d#*

+ Al *

d/2

H. _o

G-dy tu w h±,h₂, ...,hk, które w 4n, 4₁₂,... wchodzą, a są postaci (2), położymy za #i„, x2v,...,xkv wprost #1?#2 mamy funkcyę całkowitą, wymierną ®z tych Jc zmiennych o tej własności, że ona — jak to właśnie (3) wskazuje — staje się zerem na wszystkich miejscach zerowych (r)=(xiv, x2v,xkv) różnych od miejsca (i). Na samem miejscu (i) jest h₁=h₂ = ...—hk—0, a więc:

xk, to otrzy-

A (A)

(d_f\\    (df\\

\dxji    \dx₂)^'"¹ \dxk)z

(d£>\    /W

= \dxJS \dx₂)z,“',\dxk}z ₌

/d/*\    /d/*\    (dfĄ

\dxjx \dx₂)z,'",\dxk)z

d(xux₂ ...xk) ]w

Dx.

*) Znaczek (v) ma wskazywać , że wszystkie hg = xsv — xs^.

Przy tern , jako wyznacznik jednorodnych, równań (2') posiadających w tym wypadku rozwiązanie: hi==h₂ — ...=hk—0, przyjąć trzeba rożnem od zera. Par Dj), gdzie jest funkeyą, a Dx już stałą ilością , mieć możemy y. Utwórzmy wyrażenie:

L (x^,    •••, x²)=;Xi

(h)

+ +

które jest funkeyą całkowitą wymierną zmiennych xltx2 w niem na miejscu (Z) jest:

D,

xk, to

@₁==@2 = -=^-₁ = -=@^ = 0> a

¹

Twierdzenie o stopniu rugownika przypisują Bezoufowi, który w rozprawie swej p. t. „Becherches sur les degres des eąuations resultantes de Vevanouisse-ment des inconues“ (Memoires de l’Academie de Paris z r. 1764, str. 288j; gruntownie tem się zajął. — Por. także sprawozdanie z tej rozprawy w „Histoire de l’Academie de Paris z r. 1764, str. 88.

²

H. Laurent. 1. c. str. 131.

0.

L na miejscu (Z) ma więc wartość Xj,, Z—l, 2, ..., fi¹).

Funkeyą L jest więc jedną funkeyą zadość czyniącą postawionym warunkom.

Niech dalej F(xi, as2?..., Xk) będzie inną funkeyą przybierającą również na miejscach (Z) wartości X¹, to wtedy [art. 138].

A), a stąd

2’ •**?

F—L=0 (modd.    ,/¹), czyli F=L (modd. fi,fi

twierdzenie:

I. Każda funkeyą F całkowita, wymierna przybierająca na y miejscach wspólnych zerowych danych równań fl =0, f\ =0, ..., /¹—0 ^‘esć równoważną według modułów A,/₂,    2 funkeyą L.

Pisząc wyraźnie F—L-\-AiflJrA₂f₂-\-...-ł-Akfk, będziemy mogli funkcyę F z dalszych warunków, a mianowicie dających jej wartości na pewnych miejscach różnych od (Z) w zupełności już wyznaczyć.

Wzór Lagrange’a [art. 52. (L)] służył do utworzenia funkcyi ne° stopnia jednej zmiennej x przybierającej dane wartości yif y₂, ..., ynJr\ na (n + 1) danych miejscach x₂,...,rn+i. Miejsca te określa równanie:

f(x)=(x—xl)(x—x₂) ... (x—xn+1) = 0.

-Al wypadną tu w postaciach:

A—r—

=    - ¹ t)~ (** “ ^-l) fo-^+l) - (^-^n+l):

0^

a iloraz — jest w istocie Atym spółczynnikiem formy Lagrange’a L(x), która określa nA

żądaną funkcyę »¹° stopnia. Jeżeli jednak najwyższy stopień n w zadaniu nie jest oznaczony, to każda funkeyą F(x)=L (x) -f- o (x) ,f(x), gdzie <p(#) jest dowolną całkowitą funkeyą argumentu x zadość uczyni zadaniu.

Pd. 1. Równania:

/i ==a?²-j-«/² + 1 = 0, fz = x² — 2«/² —1=0

mają wspólne miejsca zerowe:

foys)

O)

(*)

/i(^ 4- » y% + *2) — 0*^ + ^i)² + (y^ + ⁷»₂)² +1 —

— ² ** *i + 2 ^ h₂ + *i² + h₂ 2 = (2 ^ + \) 7h -f (2 ^ + A₂) h₂ ;

/»(** + ⁷h, Vx + ⁷'₂) =    + \y — 2 (yx + /?₂)²— 1 =

= 2x^hl 4 ;//^7»₂ ~p Aj j — 2^2² = (2 x^ -f- hx) lix — 2 (2y^ -j- 7j₂) h₂.

Połóżmy: \ = x — x ^, h₂ — y — to spółczynniki mnożące A1? h₂ w końcowych postaciach (a), (b), będą:

Xx + Xi y* + y, xx + x, —²(yx + y)- St^d:

©*=

= 4-

2a4> I ₁₀    .    .

2^,-4 ^l ⁼ -12x^A,    ¹ wreszcie :

¹ (»ji + *)(y^ + y)

Dk 4

(V/3. as -j- 7) ( \/3.y+\/2. i)    ©2

4.1/2

4.V/2

Xxyx

a więc w szczególności:

Z>

4. Y/2

— = 4-

i>₄

4V/2

Z tak obliczonych elementów utworzyć funkcyę, która: a) na wszystkich miejscach (X) ma tę samą wartość 4V/2; (3) na miejscach (X) przybiera odpowiednio wartości:

4Y/2. a

4.Y/2.0, 4V2J, 4 .Y/2.6 Pd. 2. Gdy dane są równania: /j = 0, ft—O

KAh-fk)

a^b.

fk = 0, to funkcya :

Z>

xy

ma na miejscach (X) wartości D%, Okazać, że: -Ds®i + ®2+-+0* {rnodd.

ROZDZIAŁ XI.

Z teoryi form.

142. Własności wyznaczników Hcssego i Jacobiego.

Funkcyę jednorodną f(xux2: ...,xn) n zmiennych, a wymiaru (stopnia) m nazywają krócej formą ms° stopnia o n zmiennych. Formę o 2, 3, 4 zmiennych nazywają dwójkową, trójkową, czwórkową.

F\—f    f₂ci2r-\-fnunr, t—1, 2, n.

Biorąc tu po obydwóch stronach pochodną według x‘s, s =r, dostaniemy :

(3)

Frs—(fi i «l« + /i20f2« + >*»+/ln^w«)«rl + (/2lali + /22a2s+ •••

••• +/2n«ns)w/-2+ •”⁻l⁻(/nl⁰⁵ls + /n2^2s + ••• +/n» ans)ar

gdzie drugi znaczek s przy Fr oznacza pochodnę funkcyi Fr według x‘s, a przy fr oznacza pochodną funkcyi fr według xs.

Naznaczmy wyrazy ujęte w nawiasy w (3) krótko przez ..., (pns, to mamy teraz:

(4)

k w a-

Podług stopnia w=l, 2,3,4 dzielą formy na: liniowe dratowe, kubiczne i dwu kwadratowe.

Zauważmy formę f(xi, x₂,..., xn) dowolnego stopnia nC> 1, ipo-

i₁ = a₁₁*'₁+a₁₂a:,₂ + ,..+aln^ |

= CCn^X ^ CCn 2X 2"ł" Wnn % n }

łóżmy:

(1)

z warunkiem: r—

*^11 ^12 *** al*

•    |    |    0, to dostaniemy z f p r z e r o-

CC CC712 ••• (^n n 2?

x‘n) tego samego stopnia, a na miejscach xn), (x\, x‘₂,x'n), związanych równaniami (1)

bioną formę F(x\:x‘ (xlfx2 zawsze:

mamy

(2)

F(x i j x 2 , •••> X Ti') f (Xj ^ ) •••) Z powodu (1) i (2) dostajemy:

ÓX‘r

Połóżmy dla krótkości

df dxi df dx₂

dxl dx‘r dx₂ dx‘r

df

dxa

df dxn

dx‘r dx‘r

fa i zauważmy, że z (1) mamy

zawsze

dxi

ÓX‘r

>n

dx.₂

ÓX‘r

a₂,r, ... to mieć teraz będziemy:

Frg= (p\sari + ę?₂6«r2 + ••• + (pnsttrn , r^s=l, 2, ..., n.

Utworzmyż wyznacznik :

^) =

•^11 -^12 ”• ■^21 -^22 ”•

(•Frs = Fsr) —

-^nl -^*»2 •••

to on — wskutek (4) — będzie:

fn\ fn2 ••• fnn

(6)

Pil

P21

tO

,r.

Gdy tn otrzymamy:

za

ff>n\ <Pn2 ••• (fnn

cprs wyraźnie napiszemy friccis+fr2a2S+...+frncin»,

(5)

H(F)=r²

fil fl2 fin

fil / 22 ”• f2»

albo:

H(F)=r²H(f)

jeżeli wyznacznik po prawej stronie w (5) przez analogię także H(f) nazwiemy :

Wyznacznik H(J) nazywają: Hess e’a nem albo wyznacznikiem H e s s e g o. *) Ma on tę charakterystyczną własność, że, gdy go utworzymy także i dla przerobionej formy (F), to dostajemy 3(f) ze stałym czynnikiem r². [rzjrO nazywają modułem podstawienia (1)].

Gdy w szczególności f jest formą kwadratową postaci:

(«i i *i²+• •• + 2at ^ a?₂ +...), a po podstawieniach (5) przerabia się na:

3= (a\ ₁a:'i ²+... + 2 a\₂x\x\ +...), to mamy: frsl2=ars, Frs\2=alrs i

a‘

12 •

«n aX2 ... ain

=r²Hf)

(7)    H(F)=    :

... ctnn

a‘ni a‘n2 ... a1 (po odrzuceniu czynnika 2”).

J7(/) nazywa się tu wyznacznikiem formy /'.

Gdy mamy n form fit f₂, ...,/* o tych samych n zmiennych,

a położymy dla krótkości:

df,

T——frst gdy dalej formy te przero-oxs

bimy przez podstawienia (1) na Fu F₂,..., to z nich dostaniemy: dFr df dx‘s dx.

~ als + 3-—

df

dx₂

dxn

&ns —fr\    s "t" fr2 &2 * “ł” • • • "f" frn^ns j

r^s, 1, 2,

Utwórzmy funkcyjny wyznacznik:

*) Eor. H e s s e: „ Uber die Elimination der Yariablen zwischen drei Gleichun-gen zweiten Grades“. — Crelle J., T. 28, p. 68. i nast.

to się okaże:

J{FU F₂, ... Fn)

d(F^v..Fn)

d{x₁x₂...xn)

d(F,F₂...) rd(f\f₂...)^ dxix₂...) d(xix₂...y

Wyznacznik J(fif₂...) nazywa się wyznacznikiem Jacobi’ego j akobianem) funkcyj (form) f\, f₂

Ma on według (8) tę charakterystyczną własność, że utworzony z form przerobionych odtwarza się ze stałym czynnikiem który jest wprost modułem podstawienia.

(8)

143. Własności rugowników i wyróżników form jednorodnych.

Zauważmy formę dwójkową,:

/*(«, y)=xm+«i ^w~ V+• • •+=/ (®, y, «)•

00

Dzieląc ją przez ym i kładąc —=0 dostajemy funkcyę całkowitą

y

wymierną:    \-aiz

łsTaodwrót funkcyę q>{s) — kładąc w niej 0=

m*

i mnożąc przez

ym — zamienić można na formę /.

to w takim

razie mamy: f(x,y,a)=a₀(x—aiy)(x—a₂y)...(x—amy), gdzie prawa strona wskazuje, że się forma dwójkowa m%° stopnia daje zawsze rozłożyć na m liniowych jednorodnych czynników; a1} a₂,... nazywać będziemy pierwiastkami formy.

Gdy dane są dwie formy: f(x,y,a), f\(x₎ y, b) o stopniach m, n, o spółczynnikach (a₀, am), (b0} ..., b„), a o pierwiastkach (alf ..., am), (/S₁.j a zmienimy je na funkcyę ę>(#), <^(0), to rugownik funk-cyj (p: (pi określamy zarazem jako rugownik form f, f\. Gdy <p, cpx mają wspólny podzielnik t(^)=ó₀^+d₁^~¹+ — + ó#ł, to podzielnikiem form /', /i jest ^,y)=d₀^+d₁a:fł_1y-l-...4-d^y'M.

Gdy (^c,2/) jest miejscem dającem ź=0, to mamy równocześnie f—fi =0. Połóżmyż :

Gdy równanie (p(z)=0 ma pierwiastki at, a₂,a

y=o,

mf= dx

nfi=dtx+~dfy=0’

to stąd wynika, że dla takich (x:y) jest:

[art. 75.].,

df df

dx

d(x, y)

dx dy

a to znaczy, że wspólny podzielnik dwóch form dwójkowych jest równocześnie podzielnikiem ich jakobianu.

Rugownik funkcyj cp,    , a więc i form f f] ma — jak wia

domo — postać:

tart-⁹⁰-]

r = s, r=1. 2,

Przerabiając /’ snbstytncyą:

rr=p M+g v y^=p‘u+q‘v

rej spółczynnikiem przy um będzie f(p, p‘), a spółczynnikiem przy vm będzie f{q₁q‘). Uwzględniając pierwiastki, mamy:

F=a₀\(p—aipl)u—(q‘ai —q) v]...

(1)

, dostaniemy formę F₁ w któ-

=«oj^(P—

*) -]

=f(p,p‘)II(u

ą'ar—q

).

p—arp‘

Analogicznie z formy f dostaniemy:

r=1

Różnice (ar—/?,) przejdą po podstawieniu (1) na: q‘ar—q

Fi

=f{p,p‘)Il(

s=l V

q.'P>—q

pq‘—q‘p

P—psP¹

a stąd — gdy zauważymy, że:

p—arp‘

(p—ClrPr') {P—M

(ctr—p»\

H(p—arp,r)*=f(p,p‘)la₀,    n(p-^p,)=fi(p,p,)lb₀ -

dostaniemy:

(4)

R(F, Fx) = (pg‘'—qpTnR(f, /!)•

To znaczy: Rugownik dwóch form dwójkowych — po ich przerobieniu przez podstawienia liniowe, jednorodne — odtwarza się z czynni-kiem, który jest modułem podstawienia z wykładnikiem mn.

W formie f kładąc y=l dostajemy funkcyę: f(x, l)=(p{x), a równanie cp{x)= 0 ma pierwiastki a1} a₂,... Badając powtarzanie się tych pierwiastków, trzeba według art. 75. zmienić (p(x) znowu

■\/    ii¹

na formę f, a uwzględniając związek: m.f—x. — Ą-y-~-y utworzyć

rugownik równań:

. <¥

dx

1=0, —1—0, czyli [według dopieroco da-

J?/=i ty Jy=i

df df

nego określenia] form ,

ooc oy

Taki rugownik, który jest wyróżnikiem równania q)(x)=0, nazywać będziemy wyróżnikiem D(f) formy f. Ma on dla formy f takie znaczenie:

Wiadomo z art. 74., że gdy na pewnem miejscu (x, y) mamy

to w tern miejscu zerowem

powtarzają się spółrzędne x, y przynajmniej 2 razy. Lecz, że tu

^=0,    =0 dają już i /'= 0, więc rugownik D(f)=0 wskazywać

będzie, że forma /' posiada miejsca zerowe w obydwu powtarzających się spółrzędnych.

Wyróżnik D(f) można — jak wiadomo z art. 90. przedstawić także formą:

równocześnie : /=0,    ^

dx

*-0, f-0

dy

2m—1

m(m—i)

(-1)    ² n(ar—as)².

Wyróżnik formy przerobionej _F będzie postaci:

2m—1

D{f)=a₀

m(m—1)

D(F)=f(pp‘)

(a‘r—ał,) =

(—1)    ² II(a‘r—a‘s)². Lecz:

(pq‘—p'q)

(2> — ttrP‘) (p—CCsp¹)

(ar—as), a stąd wyniknie:

Z? (a'r—a,s)²=(pql—

II(ar—as)²

II(p— arp‘)² (p—asp‘) ²=f(pp‘)

77(p—arp⁴)²(p—ctsp‘)r

2 m—1

Że zaś:

/«₀

2m—1

więc mieć będziemy :

2m-i

m (m—1)

(—1) ² (pq‘—p‘q)

D(F) =■ (pq‘ —p‘q)m

To znaczy: Wyróżnik danej formy dwójkowej odtwarza się po przerobieniu formy przez liniowe, jednorodne podstawienia z czynnikiem, który jest modułem podstawienia o wykładniku m(m—1).

Weźmy pod uwagę formę f(a₀, «t. ..., a;,, a;₂, ..., a?w) o spółczynnikacłi a₀,    ...

a o zmiennych. xi,xi,...,x. gdzie n^>2 przyjmujemy. Takie miejsce zerowe tej formy, które obok /=0 daje jeszcze:

D(F)=a₀

(3)

(«)

o/

m {m—1)

II (ar—as), czyli:

⁰

ma każdą spółrzędnę xa powtarzającą się przynajmniej dwa razy. Lecz i tu równania (a) już pociągają za sobą /= 0, a gdy je zmienimy na:

<V«-1 • <tea

*₄ = ^, * = 1.2,

= ?a0i> *2,

to rugownik Z), (a₀, cą,...) równań (ó) nazywamy wyróżnikiem D(/) formy/. Warunek D(f) — 0 jest wystarczającym, aby forma / posiadała miejsca zerowe o wszystkich powtarzających się spółrzędnych.

Gdy n form /i, /₂,    o n zmiennych xu ..., xn , a dowolnych wymiarów

u.,, jx₂, ... będzie danych i gdy równania /i==0, /₂=0, ...,/w = 0 zmienimy na równania:

/i

?2 = 0,

/»

Xn^

o zmiennych (xa : a;w) = za , a = l, 2,    1, to rugownik równań nazwiemy

rugownikiem J// ,/₂, ...,/OT) danych form.

144. Niezmienniki i współzmienniki form dowolnego stopnia.

Podstawę do dalszy eh. badań w teoryi form utworzą takie definieye:

a) Gdy dana jest jedna forma f n zmiennych, a J(a) oznacza pewną funkcyę wymierną całkowitą jej spółczynników, gdy dalej przez liniowe jednorodne podstawienie dokonane na zmiennych przechodzi / na formę F o spółczynnikach a', ..., a utworzywszy J(al) mamy związek:

J(a‘)=rzJ(a)

(1)

— gdzie X jest całkowitą dodatnią liczbą, a n£:0 jest modułem podstawienia — to J(a) nazywamy niezmiennikiem (inwaryantem) formy /.

Wykładnik X nazywa się wskaźnikiem niezmiennika. W razie >1=0 jest J(a) bezwzględnym niezmiennikiem.

Według art. 142. jest H(f) należący do formy kwadratowej zarazem jej niezmiennikiem i posiada wskaźnik =2. Każda forma dwójkowa stopnia m ma wyróżnik jako niezmiennik o wskaźniku = m{m—1).

a, jeszcze i zmienne za-a po jednorodnych linio-

b)    Jeżeli J, prócz spółczynników wiera — co naznaczamy, pisząc J(x, a) — wych podstawieniach, dostajemy dla formy przerobionej :

(2)

J(x‘, a')=rxJ(x, a), to J(x, a¹) nazywamy współzmiennikiein (kowaryantem) formy /.

Według tej definicyi będzie H(f), gdy m >2, współzmiennikiem formy/ o wskaźniku =2.

c)    Jeżeli funkeya J utworzona ze samych spółczynników, albo ze spółczynników i zmiennych więcej , niż jednej formy, spełnia

równanie (1), a odpowiednio (2), to ją nazywamy wspólnym niezmiennikiem, lub wspólnym współzmiennikiem danych form.

"Według tego będzie jakobian kilku form liniowych ich niezmiennikiem o wskaźniku =1. itugownik dwóch form dwójkowych o stopniach m, n jest ich wspólnym niezmiennikiem o wskaźniku = mn. Jakobian kilku form, z których jedna przynajmniej jest stopnia ">1, będzie wspólnym współzmiennikiem tych form o wskaźniku =1.

Formy J zadość czyniąc tym definicyom i związkom (1) lub

(2) będą musiały spełnić pewne warunki, a te określą bliżej ich własności. Tern się teraz zajmiemy, udowadniając przedewszystkiem:

I. Niezmiennik J(ct) danej formy f jest zawsze jednorodną funkcyą spółczynników a.

Mając niezmiennik :

(3)

J(a) =...+Aa₀e»a₁ei... formy /'==.. . + ax₁s*%₂**... stopnia m, a więc si+s₂+...=mJ wykonajmy podstawienia:

(4)

—cy\i —cy₂f •••>    —cyn

o module r=cw, to dostaniemy przerobioną formę F=...-\-a,yi^y₂*»... o spółczynnikach a‘ = ćma: a dalej będzie:

Jr(a')=...+AcTO(e°⁺*i+-)a₀e°a₁?i...

To — według równania (1) — wskazuje, że musi być wszystkich dodajnikach w (5) m(e₀ +ei + ...)—nZ, czem już twierdzenia I. dowiedziono. Połóżmy (e₀+ei...)—e, to mamy:

me=nX.

(5)

(6)

Taka relacya zachodzić zawsze musi między stopniem formy (w), a stopniem niezmiennika (e), ilością zmiennych (n), a wskaźnikiem (ź).

"W razie formy dwójkowej mamy n=2 i

A=mel 2,

co wskazuje, że przy nieparzystem m musi być e zawsze parzyste ; to znaczy:

(7)

II.    Forma dwójkowa nieparzystego stopnia ma niezmienniki wyłącznie stopnia parzystego.

Opierając się na twierdzeniu I. udowodnimy:

III.    Forma liniowa dwójkowa nie posiada iccale niezmienników — chyba że taki niezmiennik ma być dowolną stałą ilością.

Przyjmijmyż, że forma f=axx-\-a₂y posiada niezmiennik J(al)a₂) o charakterystycznem równaniu:

J(a\a‘₂)=rxĄaia₂), istniejącem oczywiście przy każdem podstawieniu. Połóżmyź :

(8)

24

Teorya funkcyj.

x=a₂u-\-b₂v, y=—aiu—biv, r=alb₂ — a₂b^ 0 , gdzie &₁₇ b₂ dowolnemi są ilościami, to mamy po skróceniach :

F=(aib₂—bia₂)v=r.v,

a więc a\—0, a‘₂=r. Zamiast równania (8) mieć będziemy:

J(0, r)=rlJ(aia₂).

Lecz e7(0, r) jest funkcyą jednorodną. Połóżmyż J^O, r)=Orf*} to mamy J(aia.₂)=C.r^~'L. Że zaś J\axa₂) nie ma być zależne od dowolnych ilości &1?ó₂,więc byó musi (i—i=0, i J(axa₂)= G. c. b. d. d. [Clebsch]* Niech Ąa,x) będzie współzmiennikiem formy f i niech J(al, x‘)=rxJ(a, x).

Zauważmy w J(a,x) sumę wszystkich wyrazów: {\ +h₂ + ...), tworzących jednorodną funkcyę pewnego stopnia: t. Z tych wyrazów — i tylko z tych — dostaniemy w J{a\x‘) jednorodną funkcyę (h\ +h\-f-...) stopnia t, przyczem muszą już sumy:

(hi -\-h₂ + ...), (h\ -f h‘₂ + •••)

zadość uczynić związkowi (h\+h‘₂+..,)=r'L(h₁-\-h₂+...).

To mając na uwadze, możemy się odtąd ograniczyć do współ-zmienników, przedstawiających się jako jednorodne funkcyę zmiennych xi,x₂,..., xn.

Zauważmy współzmiennik:

J(pc, a)=...4- Aa₀e»aiei...%iaiX₂a*...-ł-...

o wskaźniku X formy (4).

Po podstawieniach xa=cyn, a = l,2,..., n, dających moduł r=cn, dostajemy w przerobionej formie F spółczynniki a,—cma.

Ut worzmy ż:

J(y? a‘) =... -f- Acm («o+«i+—)a₀ «oat ei...yi a*y₂°2... to — ponieważ yi=c~ixi, y₂=c~ix₂,..., więc mieć będziemy:

(9)

J(x,    Acm(e°+ei+-)-⁽'ai+a2⁺":)a₀eo.aie*...x₁aiX₂a*...

Lecz, że J(x,a‘) ma byó =rV(#, a), a r=cn, więc być musi we wszystkich dodajnikach w (9):

(10)

mO₀ + el + ...)—(<h + o₂ + ...)=ni.

Jednorodność współzmiennika J we wszystkich zmiennych daje (a± +o₂ -j-...)=a o tejsamej wartości we wszystkich dodajnikach. Wskutek tego musi być — według 10. — także (e₀+e₁ + ...)=e jednakiej wartości we wszystkich dodajnikach, a i suma (e+a) będzie statecznie tasama w każdym dodajniku. To znaczy:

IV. Każdy współzmiennik J(x, a), jednorodny w zmiennych x, jest zarazem jednorodną funkcyą w spółczynnikach a, a więc jednorodną ive wszystkich swoich argumentach (a, x).

Przyjmijmy m nieparzyste. Wtedy w (c) muszą być e, a koniecznie równocześnie parzyste, lub równocześnie nieparzyste, a stąd twierdzenie:

Y. Forma dwójkowa nieparzystego stopnia posiada współzmienniki o stopniach e, a równocześnie parzystych lub równocześnie nieparzystych; q jest więc zawsze parzyste.

Grdy m jest parzyste, to musi być koniecznie i a parzyste, a stąd wynika:

VI. Forma dwójkowa parzystego stopnia posiada współzmienniki wyłącznie parzystego stopnia w zmiennych (x); ę i e muszą być zatem równocześnie parzyste lub nieparzyste.

145. Kształt i własności niezmiennika formy dwójkowej.

Po ty cli ogólny cŁl twierdzeniach przejdźmy do dokładniejszego ob-znajomienia się z kształtami niezmienników, a później współzmien-ników form dwójkowych.

Niech forma dwójkowa:

m~²y²+.-+y

f(x, y)=a₀xm+miaixm~¹ y+m₂x

w której mk=

(«)

(&)

(«)

Z (10) dostajemy:

X=(me—o) fn.

Połóżmy (e+a)=ę, to związek (a) możemy tak napisać: ź.=[(w»+l) e—ę]ln.

Dla formy dwójkowej mamy n=2, a więc :

A=(me— a)/2=(w+l)e/2—ęj 2.

i w której same stałe ilości a₀,a₁₎... nazywać

będziemy jej spółczynnikami, posiada niezmiennik:

J {a)=...Ą- Aa₀e» ax'²...²)

o wskaźniku k. Połóżmy x—u, y=cv, a więc r=c, to w przerobionej formie F mieć będziemy a\=c^    , (i=0,1,    a

J (a‘)«»...+^l(j0eo+¹-² ł+- a₀e» axet...

Stąd wynika , że:

(1)

a to znaczy:

I. Niezmiennik formy dwójkowej jest jednorodną, izobaryczną funkcyą h a jego waga — wskaźnikowi.

Za pomocą tego twierdzenia możliwem już będzie z form jednorodnych (p(a₀,ai...) danego stopnia e wybrać te, których kształt — oczywiście z nieoznaczonymi jeszcze spół-czynnikami A — nadawać się będzie do tego, aby przedstawić wszystkie niezmienniki danego stopnia e.

Pd. 1. Wynaleźć kształt niezmienników o stopniu e=2 formy kwadratowej dwójkowej /= a₀x² -j- 2aixy Ą-a₂y%.

Mamy tu m= 2, e = 2, a więc wskaźnik X=2, art. 144, (7). Połóżmyż:

J(a) =... + Aa₀®° a,e* a₂e’ -f- ••• to w każdym wyrazie ma tu być równocześnie :

(«)

(P) 0 . e₀ -{- l.e^ -j- 2e₂ = 2.

eo + ei + e2 =2, i

Według warunku (a) mamy utworzyć zupełną jednorodną funkcyę argumentów «₀, a1} a₂ stopnia 2&°. W jej wyrazach będą miały e₀, e₂ P° porządku takie wartości:

1) [2, 0, 0],    2) [0, 2, 0],    3) [0, 0, 2],

4) [1, 1, 0],    5) [1, 0, 1],    6) [0, 1, 1].

Z tych jednak systemów wartości tylko 2®¹ i 5^ zadość uczyni warunkowi (P), a stąd wynika, źe wszystkie żądane niezmienniki mają postać:

(I)

J(a) = Aat ²-f-2? a₀ a₂.

Pd. 2. Wyznaczyć kształt niezmienników stopnia e — 4 formy kubicznej : f= a₀x³ -f 3 avx²y + 3a₂xy² + a₃y³?

Mamy tu m = 3, e = 4, a więc X = 6 ; w każdym wyrazie Aa₀e°a^¹ a₂e* a₃e3 żądanego niezmiennika ma być równocześnie:

o. 4" 1. ®i 4” 2 . c₂ 4-3 . s=6.

Tym warunkom zadość uczyni 5 systemów wartości, a mianowicie:

e0 +el + e2 ■+" e3 == I)

eo

1) 2

2) 1

OS to 1-1 o O 4?

(H)

Stąd wynika, źe tu:

J(a)=Aa₀²a% -j-Ba₀ a₂³ -j- C a₀aia₂a₃    D al² a₂² E c^³ a₃.

Pd. 3. Okazać, źe forma dwukwadratowa f=a₀xi-j- 4atx³y+«4^/⁴; ma

niezmiennik stopnia e — 2 postaci:

(HI)

J(a)= A a₀ ai -j- B aia₃ -f" Oo₂ ², X = 4, a niezmiennik stopnia e = 3 zawsze postaci:

J(a) == J.a₀a2«4 4~ B o₁o₂«3 + Ca2³ + D °o°3²4"-® ®i²®4 , X = 6.

(IV)

Za użyciem szczególnego podstawienia:

o module r =—1

x=Ou-\-l.v

y=l.w+0.v

dostajemy z formy    ‘y+...4-«m2/?n przerobioną formę

F—a₀vm+mi ai    +...+amwm,

której spółczynniki a\—am-*, &=0, 1, ...,    .

Mamy więc tu:

(2)

tf {ci ) —17"(fltm , dm~t j •••) «₀) — (    1)^ łI (O₀^ •••(Im)]

a to znaczy:

II. Każdy niezmiennik formy dwójkowej — gdy się w nim za każde ak położy am_* — odtwarza się z czynnikiem (—l)z.

Z tego wynika, że jeżeli J zawiera dodajnik:

O)

A afaafxaf²... to się w nim znajduje niezawodnie dodajnik postaci:

(P)

(“I )^ame°am-llam-2e'~

Jeżeli w (a) mamy eQ = em, ei=em—i. e₂ = em—2,... to, suma tych dwóch dodajników jest =0, gdy X jest nieparzyste, a jest = 2 A af° af¹ af¹... przy X parzystem.

Przestawienie ak z am_k nazwiemy symetryczną przemianą spółczynników, a to z powodu, że ak, am_k leżą symetrycznie w /. Równanie (2) — według tego, czy X jest parzyste, czy nieparzyste — wskazuje na symetryczność lub półsymetryczność niezmiennika (charakter parzysty, lub nieparzysty — według Clebscha).

Jeżeli forma / dana jest w postaci:

(«0

b₀xm -]- btx a więc bez mk to jej niezmiennik:

m—i

J(&)=... + 5&₀e,V¹-

jako funkcya ilości bk będzie oczywiście także jednorodnym i o wadze = wskaźnikowi. Ale także i ostatnie twierdzenie utrzyma się, bo kładąc bk = mk ak, mamy J(b)—... +    a więc:

A =

(&0

Mieniając bk z bm_k mieniamy równocześnie ak z a

m,. — 7n

m—k J

m—k

a więc spółczynników A przez to się nie narusza.

i mk z mm_k; lecz

W formie f=a₀xm+rniaix

«/+... podstawmy:

(fi)

x=u+iv

r=2

y--=iu-\-v

to spółczynniki a‘k formy przerobionej:

F= a'₀ um+m± a\ um~¹ v ■+■ m₂ a\ um~² v²+• .■•

(4)

możemy w ten sposób obliczyć: Zauważmy formę:

f‘=(x+ay)m

o spółczynnikach ak=ak, to widocznie ak przechodzi na a*, gdy się w niem ak zastąpi przez ak. Po przerobieniu formy f⁴ podstawieniem (3) dostaniemy:

(5)

(6)

~|m

”]

i -\-a

,F'=[(1 +ai) u-\-(i+a)v]m=(l-\-ai)m £

(rSO*

o spółczynnikacb \

(7)

a‘k

uĄ

Gdy tu wykonamy naznaczone potęgowania i mnożenia, a potem każde as przez as zastąpimy, dostaniemy już spółczynniki a‘k formy F.

Gdy f posiada niezmiennik J(a), to po podstawieniach. (3)

mamy tu:

(8)

J(a‘)=WJ(a);

a że spółczynniki A w J (a) nie zależą od ak lub a\ więc możemy w (8) za ak położyć ak, a a\ zastąpić przez a\ dane w postaci (7). Dostaniemy więc:

2A{1+air(i±^)

=2 * 2 Aa®

Lecz ponieważ Oe₀ +l.e₁ +...=Z, me=2A, więc mieć będziemy: (l + ai)*(i+ay2A=(2a)Ji2A , albo [i*(l+aY-2*a*]2A=0.

Ponieważ to wyrażenie ma być zerem przy wszelkiej wartości a, więc stąd wynika, że:

(9)

2A—0, a to znaczy:

III. Gdy formę f napiszemy ze spółczynnikami o postaci mk ak, to w niezmienniku, jako funkcyi samych ak jest suma spółczynników A

zawsze zerem.

Wskutek związku (&'), gdy f dane będzie w postaci («'), a jej niezmiennik w funkcyi bk, mieć będziemy:

0)

146. Równania różniczkowe, którym zadość czyni niezmiennik formy dwójkowej. W formę f=a₀xm+m₁aixm-i yĄ-... wstawmy:

r=l,

to aby dostać spółczynniki a‘k formy przerobionej F= a\umĄ- mi a\ wm—1 v +...

zauważmy znowu f‘=(x-{-ay)m. Z niej po podstawieniach (1) dostaniemy formę F‘—[u-\-((}-\-a)v]m=um-\-mi({}-\-a)um~l v + ... o spółczynnikach :

(1)

x=u + (]v) y=0.u+vf'

a,k=(^+a)k=[ak+kiak~i ^+ ...], kr=

a'k=ak+klak—¹^przejdzie na a‘k, gdy się w niem wszystkie as zastąpi przez as. Mieć więc będziemy:

a‘k=ak-\-kiak~\ ¹ -J—..•

Połóżmy J(a)=(p{a) to — ponieważ tu r—1—więc:

(2)

(3)

(p(a‘)=(p(a).

Z drugiej zaś strony — uwzględniając (2) — dostaniemy; ^ cp{a\, a\, ...)=■ ę>(«o, «i, ...) + Cip+C₂P² + .~ gdzie C1} C₂,... zależą wyłącznie od a. Uwzględniając tu (3), mamy Cip-{- C'₂/3²d-...==0, a że fi jest całkiem dowolne, więc być musi:

Ci = C₂=...=0.

Chcąc C₁ wyznaczyć dość jest widocznie w rp (a'₀,    ...) za

a'* położyć tylko +    /?, a potem w

ęp (a₀, ai+a₀p, ^+2^/3, am+m am_i/3), wyszukać spółczynnik przy /3¹. Będzie on właśnie Ci —

,~=°.

dO/m

(4)

U)

,UP |-2«,|2+3«,

d(p

da₂

da₃

a to znaczy:

I. Każdy niezmiennik zadość czyni cząstkowemu równaniu różniczkowemu (.A), albo: Spółczynniki A, ... i elementaa₀, a₁, a₂,... każdego niezmiennika spełniają zawsze identy czny związek (A).

Wskutek własności: (p (a₀ ax ... am) = (— l/<p(a

mieć także będziemy:

d (p    . s drp

+    l)a₂-z- + ... + 2am_i

am ~-i

(-B)

drp

d«₀

&4y /= &₀*w + Zą®

.    _o.

d —2    d £?m—1

to w miejsce (J.), (B) mieć będziemy:

+    ¹>,^ + - + 6^₁ ^ = 0,

b,w₀ + 2h wl⁺-+mtm

gdyż ak==bk /mk.

łW—1

dcp

da₁

j- a

= 0,

Połóżmy symbolicznie:

-+2aJ

«o

(5)

d%

da₂

+ ...+rnam_ i

dam

D.

dam

d ₀ d

—+2am_i --

dam_2

___i)

„ --L,l 5

d«₀

to równania (JL), (5) krótko się teraz tak napiszą:

Drp=0, Dirp=0.

Aby w rozwinięciu (4) także i znikające spółczynniki C₂, C₃,... co do ich formy wyznaczyć, zauważmy, że funkcyę <p(a'₀, a'i,...) = = rpi((3) można także w taki zwykły sposób rozwinąć:

1 a>l • /»»+.-

J/*=o

i®

d/? 1 * ^

op J,j = 0

drpi

rp(a\,a\,...)=cp(a)-\ Porównując to z (4) mamy:

2! dp

1 d²^

2! d/?

4 -

² J(?=o

2! d/?

j? = 0

= ^T D.D(p=^D²(p=c₂.

Analogicznie dostaniemy:

Cs=~D²(p, i t. d.

Z tych form wynika, że jeżeli już 0₁=0 położono, to w następstwie tego musi być C₂= 0, C₃— 0,..., gdyż działanie Z) wykonane na identycznie znikającem Ci=Dcp, musi dać także identycznie: D²q)=0, Ds(p=0, ... To znaczy:

II. Niezmiennik czyniąc zadość równaniu różniczkowemu Dcp=0 spełnia temsamem równania D²cp=0, Dz(p=0, ... Analogiczne równanie 7)^=0 pociąga za sobą równania D²iq)=0, D²i(p=0,...

147. Eównania liniowe (jednorodne) spółczynników niezmiennika. Zupełne wyznaczenie niezmiennika ze znanej już jego formy.

Przyjmijmy, że mamy pewną funkcyę całkowitą wymierną 'ip(a₀ai...), która, nie będąc niezmiennikiem, czyni zadość równaniu Dip=Q. Czyni ona temsamem zadość związkom D²xp=0, ..., a więc nie zmienia się wcale, gdy się w niej za o₀, ai, o₂, ..., położy spółczynniki przerobionej formy przez podstawienie x=u-\-fiv, y=v. Stąd twierdzenie:

I. Dostatecznym warunkiem, aby się pewna funkcya tp (a₀, ai...) nie zmieniała, gdy a₀, ait... zastąpimy przez spółczynniki przerobionej formy podstawieniem x=u~\-@v, y=v, jest: Dtp=0.

Z równania (A), [art. poprzedź.] dostaniemy liniowe jednorodne związki, jakim zadość czynić muszą spółczynniki A danego niezmiennika J=(p.

Połóżmy bowiem jak zawsze :

cp=A₀e° a^' a₂e>, ... + ...

to mamy po porządku:

d(p

dai

=e₁4fl₀e«a₁ei⁻¹ a₂e*...-f...

d cp

da₂

=e₂ Aa₀ eo ai ^ a₂ e*~¹... -f...

Po wstawieniu tych pochodnych w równanie (A), mieć bę-

2A [e± a₀ e«_1    a₂«*...+2e₂a₀ e« at ei+¹ a₂ ⁻¹... + ...] =0.

Łącząc w tej całej sumie jednoimienne wyrazy ze sobą, dojdziemy do związku postaci:

dziemy:

(1) (JiA+‘A, + ...)a^a^...+(hA+hlA'+...)a₀£°'aiv...-|-...=0; a że się on ma utrzymać przy wszelkich, wartościach a₀, ax, więc stąd wynikają jednorodne liniowe równania :

(2)

7^4+ń'.4/-|-...=0 7ćJ.+&b4.' + ... = 0

którym zawsze zadość uczynić muszą spółczynniki A, A¹, A", ... danego niezmiennika J.

spółczynników

Przyjmijmy, że tych równań mamy s A, A‘, ..., jest t, to bez względu, czy s=7, lub s <7, muszą A, A¹,... spełnić wszystkie te równania. Nierówność s~^>t jest niemożliwa, bo t jest ilością spółczynników w formie J stopnia e, a wagi X, podczas, gdy s jest ilością spółczynników formy (1) o stopniu wprawdzie jeszcze ale już o wadze X—1.

W przypadku: s=t wypadną A, A¹,... albo proporcyonalne do podwyznaczników któregobądź wiersza wyznacznika :

D=

r-sT r4f ' • •

=0³)

albo też — gdy w D znikają wszystkie pierwsze, drugie,... pod-wyznaczniki — będzie można pewną ilość tych spółczynników wyrazić liniowo jednorodnie przez pozostałe.

W drugim wypadku s <C t można zawsze s spółczynników wyrazić liniowo jednorodnie przez pozostałe.

W razie, kiedy — czy-to w pierwszym, czy drugim przypadku — wyraża się pewna liczba spółczynników przez pozostałe

n. p. przez A, A¹, A“, spróbujmy te ostatnie, nie nadając im wartości, jakie one rzeczywiście mają w J, uważać za dowolne.

Niezmiennik J będzie miał w tych razach postać:

(3)

J=AJ, -\-A‘tT^ -\-A“J₂

o dowolnych A, A', A“.

Za podstawieniem: j

y—y u -f ą vf⁵    ^    ³    >

¹

H. Laurent. 1. c. str. 131.

²

Widocznie stałe czynniki m₀eo mAe\... włączono do A,...

³

D musi być = 0, bo gdy — jak-tośmy przyjęli — istnieje niezmiennik J, to jego spółczynniki nie są wszystkie =0.

trzeba a₀, ą,... zastąpić przez a'₀, a\, ... Lecz przez to A, A‘, A“ pozostają nienaruszone, a tylko J₀, J₂ przejdą na rzJ₀, rxJ, rxJ₂ — eTg, e71? J₂ są więc niezmiennikami.

Niezmiennik J daje więc w takich razach początek nieskończenie wielu niezmiennikom; ale one wszystkie są liniowemi, jed-norodnemi funkcyami kilku zupełnie oznaczonych niezmienników. Przyjmijmy teraz, że mamy funkcyę:

a o wadze

ip—Ba^a^ ...JrB‘a₀e»,ai e*'... + ... jednorodną i izobaryczną o stopniu e₀ +e₁ + ...—e

Oe₀ + l.el + ...=X^

różniczkowemu (4). Jeżeli także ma istnieć niezmiennik J=cp(a) stopnia e i wagi i to i różnica;

a wiemy, że ona zadość czyni równaniu

tp—cp=(B—A) a₀e« a... Ą-(B> — A‘) a₀e°‘ a.^ musi również zadość uczynić równaniu (4). Z tego równania dojdziemy do związków liniowych jednorodnych (2) z tą różnicą, że tam teraz w miejsce A, A', A“,... mieć będziemy: (B—A), (B‘—A‘), {B"-A“),r

Na rozwiązania systemu równań (2) dostaniemy tu :

,...

B-A=A, B‘—A‘=A‘, B“—A“=:A''

a więc:

,...

B=2A, B'=2B‘, B“~2A“

Gdy tu czynnik 2 opuścimy, mieć będziemy B=A, B‘=A\ _B"=.4.",... a stąd wynika, że identycznie jest: ip^=cp.

Jeżeli równania (2) nie posiadają rozwiązań skończonych, to widocznie nie istnieje funkcya jednorodna i izobaryczna stopnia e i wagi X zadość czyniąca równaniu (4), a wtedy i niezmiennik o tym stopniu i o tej wadze nie istnieje. Z tych uwag wynika: II. Każda funkcya jednorodna i izobaryczna o stopniu e₀ +ei Ą-...—e,

o wadze Oe₀ -j-l.e₁ + ...=X=1i^, a czyniąca zadość równaniu różniczkowemu (A) jest niezmiennikiem o wskaźniku X.

Na podstawie tego twierdzenia możliwem już będzie każdy niezmiennik żądanego stopnia e, wagi X dowolnej formy / — w przypuszczeniu, że taki niezmiennik istnieje — albo zupełnie dokładnie oznaczyć, albo dojść do niezmienników, z których on ma być liniowo jednorodnie [podług (3)] złożony.

Pd. 1. W art. 145., Pd. 2, oznaczyliśmy już formę, jaką mieć powinien niezmiennik J(a) o stopniu =4, a o wskaźniku =6 formy kubicznej /. Wstawiając J(a) w równanie różniczkowe (A) dostajemy:

a₀ (Ca₀ a₂ «₃ -f - 2I)al a₂ ² -f- 3E al %₃    (BBa₀ a₂ ² -f- Ca₀ at a?i -j- 2Dat ²«₂) -f-

3 a₂(2Aa₀ ²a₃ -j- Ca₀at a₂ -{- Eav ³) — (CĄ- GA) a₀ %₂a₃ -f- (21) -f- GB -f- 3C)a₀at a.₂ ² -f-+ (BE 4- 2 C) a₀ ² a₂ a₃ + (4 D + 3 E) at %₂ = 0,

a stąd związki:

C + 6A = 0, 2D + 65+3(7=0, BE+2C=Q, ADĄ-BE^= 0.

Gdy tu jL= 1 założymy, otrzymamy :

J(a) =• «₀²a₃²-j-4a₀a₂³ — 6 a₀a₁a₂«3—3«₄ ²a₂ ² Ą- 4at ³a₃.

Gdy forma daną była bez spółczynników dwumiennych m bk — mk ak , a więc ah=bk/ mk mielibyśmy;

— 27 J{b) = 18&o*i Ms — 4 &₀&2³ - 4 bx ³bs + \ ²ó₂ ² — 27 \ \².

Pd. 2. Obliczyć w ten sam sposób niezmienniki III, IV, których formy dane są w Pd. 3, art. 145.

ki

to z uwagi, że

[Odp. (III) J(a) = a₀a₄ - 4a₄a₃ 4-3a₂²,

(IV.) J(a) = a₀a₂a₄ +2«₂«₃ — «₂ ?’~aoa?,² — ²«₄.].

148. Kształt i własności współzmiennika formy dwójkowej.

Wiemy już, że współzmiennik J(x,a) formy dowolnego stopnia i o dowolnej liczbie zmiennych jest jednorodną funkcyą tak we współczynnikach a, jak we wszystkich zmiennych x. Gdy n—2, mamy formę dwójkową:

(1)

y + ...

f=a₍₎xmJrmi aix

a jej każdy współzmiennik J(x^y,a) ma pod względem swych stopni e, o, q własności, o których już była mowa w art. 144. Szukajmy dalszych własności takiego niezmiennika. Połóżmy:

J(x, y, a)=C₀xaJrCixa~¹y4-... \-Caya, to

(2)

(3)

Ca («₀ «!•••) = ■² (A(a) a0 e° a\ *' •• 0j

cc — Oj lj •• f (7,

są funkcyami jednorodnemi spółczynników o₀, «1? ... i to jednakowego stopnia e. Połóżmy:

(4)

x=l.u-\-0.v

j, 0

y=0 uĄ-ev

to w przerobionej formie F mieć będziemy: alk=Ekak, a J(u, v: a')=2'(4.®fl₀^!«af^..£o^»■fle‘+••)M(,

+ H(ASi'>a₀e»' «/i<...e0e«,+1,e*'⁺-) w®⁻¹+...

Lecz, że u=x, v=E~iy, więc:

J (u, v,a‘)=

(5) 2(J/°>a₀e° ax **.. .£0<?°+le»+•••) xa+ 2(A^a₀*»' V... eo«„'+i v+--*) ^a—i y_p

(«)■ («)

+    a₀eo a...£0e» -+lei +■•■-“)^

Z drugiej strony — jeżeli A jest wskaźnikiem rozważanego współzmiennika — mamy dla podstawienia (4):

J (u, v, a‘)=E'L J(x, y, a),

Stąd i z (5) wynika, że we wszystkich wyrazach spół-czynnika Ca mieć musimy: O.e₀(a)+l.e₁⁽“⁾+...—a=Z czyli:

0.e(«)4-l.e₁(«⁾+...==i+a

os = 0,1,2, ...a

(«)    (a)    (a)

(6)

(7)

a to znaczy:

I. W współzmienniku są spółczynniki przy zmiennych jednorodnemi, izobarycznemi funkcyami. Spółczynnik przy xa~aya ma wagę A—a. Wagi więc po sobie następujących spółczynników C₀, Ci1 ... tworzą postęp arytmetyczny: [2, 2 + 1, 2+2, ..., 2+ o].

Połóżmy:

x—0.u-\-hv y=l.u-\-0.v

to w F dostaniemy spółczynniki a‘k=am-k a gdy w J(u, v, o') za u pisać będziemy wprost y, a za v wprost x, dostaniemy:

e7"(y? x, anj,    ..., ttQ)=

(9)    Co(amam—i*    *#+••• + Ga{amam-\..jxa

=(—i )^ [ c₀ (a₀ «i — )^a + K ai • • 0^ ~ ry+• ■• ■•+CaK    ff] >

(8)

a to znaczy:

II. Gdy w współzmienniku J(x:y,a₀, ai,...) zmienimy x,y na y, x,

a₀), to się niezmiennik odtwarza z czyn-

a (ot©, ,..., Um) na (am,    i, .

nikiem (—1)+

Zrównując z sobą w (9) równomienne wyrazy, dostajemy: Cu(amam-i...)=(—lyCo-aia^...) albo:

Go—aiP¹ o^i,,,)⁼⁼(    i*..), a to znaczy.

III. Gdy w współzmienniku przy (xa~ccyct) mamy spółczynniki C<x(a₀ai...), to przy (xaya~a) jest spółczynnikiem (—l)zCa(amam-i...).

Zastąpmy formę f przez f‘=(x-\-ay)m o spółczynnikacb ak=ak, a przerobioną formę F przez podstawienie:

#=l.w+v

(10)

j, r— 1, zastąpmy formą:

y=0.w+v .F'—[w+(1 + a)v]m,

o spółczynnikach aJk=(l +a)k. Takie zastępstwo jest i tu w badaniu spółczynników A(°), A(i), ... dozwolone, bo one od a₀, a1} ... nie zależąc, nie zmieniają się, gdy ak przez ak, a a‘k przez (1 + a)* zastąpimy. Z równania: J(u:v,a,)=r'iJ(x,y,a) — ponieważ tu r= 1, a wszystkie spółczynniki AG), ... w Ga są jednej wagi ga=A-\-a — dostaniemy:

... + (2AG))( 1 + ay+aua~avaĄ- ...=... + (2AG))a'L+ax,J~ceya-ł-... Połóżmy 2AG)—C‘a, to mieć będziemy:

C"a(l + a);l+0'Mff“av“=^2 C‘aCi;L+clxa~ceyce.

a— 0

Lecz, że    v=y, więc także będzie:

i?C,'C!(l+a);l+⁰'(#—y)a-uya=2Cl Stąd — gdy #=y — wynika (po skróceniu przez ya).

a=0

C‘o(i+ay+a=2ClaaJL+ce:

albo:

a— 1

C‘a\(l + ay+a— aA+<71—C‘a .ci;i+ct=O «=o

a to przy dowolnej wartości a okaże się tylko tym sposobem, że G‘₀ = C‘i = ...=C‘a=0? co znaczy;

IY. W każdym spółczynniku Ca współzmiennika jest suma spół-czynników zerem.

149. Równania różniczkowe, którym zadość czyni współ-zmiennik. Zupełne wyznaczenia współzmiennika o danych jego stopniach (e, o). Połóżmy :

}, 1

x=u+{3 v y=O+l.-y

, to dostaniemy z formy f formę przerobioną F o spółczynnikach ak=ak+kiak_i^+... i relacyą J(u, v, a,) =

(i)

J(x—@y,y, ak+kiak^ip+...)=J(x,y, a)

Rozwijając lewą stronę podług potęg /? dostajemy:

J(x, y, a)Ą-    C₂/3²-p...

Lecz podług (1) musi tu być G₁=0, C₂=0,... Z tych równań pierwsze: C. =0 daie związek:

dJ dJ , ₀ dJ

yd~x=a“^ri+2a^-' •

Wskutek zaś własności (9) — art. poprzedź. — mieć także

(A)

dJ

dam

będziemy:

C»i)

dJ

dJ

% -    — am

óy dam-1

dJ

dJ

d ttm—%

+ ...Ą-mai —

da₀

a to znaczy:

I. Każdy współzmiennik formy dwójkowej czyni zadość równaniu różniczkowemu cząstkowemu (Af), lub (Bx).

Takiem samem rozumowaniem, jak w teoryi niezmiennika będzie można i tu dojść do zupełnego wyznaczenia współzmiennika o żądanych stopniach e, o.

Mając e, a wyznaczamy nasamprzód A—(me—o)/2 a potem tworzymy:

(p= C₀xa+ C^-iy+...+■ Caya,

gdzie C₀(a₀...), Ci(a₀.mają wszystkie jednaki stopień e są po porządku o wagach i, i-f-1, i+2,...; spółczynniki A^,... są jeszcze nieoznaczone, ale:

(2)

Wstawiając dalej cp w równanie (A±) dojdziemy do jednorodnych liniowych równań, z których już spółczynniki dadzą się oznaczyć (jeżeli współzmiennik żądanej postaci rzeczywiście istnieje).

Mamy tu X

4. Spółczynniki więc O₀, Ct, 0₂ będąc drugiego

Pd. 1. Oznaczzyć współzmiennik o stopniach, e — 2, <j = 2 formy 5=° stopnia /= aQxh + 5ata;⁴y + 10a₂a;³y² + 10a₃a;²i/³ + 5a₄a:y⁴ + a₅y5 5.2-2

stopnia mają być wag: 4, 5, 6. Przytem postać spółczynnika 0₂ już się wywnioskuje z O₀ (podług związku (2). Trzeba więc położyć:

C₀=A₀a₀ai +£₀«1«3 -P Ci = +«5«4 +P₀a4«2 + ^0«3²

O4 ⁼⁼ + ®o ®5 d”    + Ć/J ĆZ₂ tt₃

? = (A«0«4 + Ą«l«3 + 0)«2²)^² + (^l«0«5 4-Ą«ł«₄ + Cla1<h)Xy + (A%«1 +^o«4«2 + C^a?})y’L.

Utworzywszy

d p dp dp dp dp dp da:’ d«t ’ d«₂ ’ da₃ ’ d«₄ ’ da₅

i wstawiwszy w równanie Oh), dostaniemy zrównując do zera spółczynniki przy r»², x ,y, y², związki:

0 —d~ 4    d⁻ 3 5₀ai ai + 4+Uq,

2+a₀a₄ p 2B₀ala₃ -p2 O₀«₂² =

==P₁a₀a₄ -p2C₁a₁a₃ +3C₁a₂²-p4P₁aia₃ -p5+a₀«₄,

+ «o«5 d“    d- Ci«2«3 =

= ^ł₀o₁«₅ -p 2P₀a₁a₄ + 6C₀a₂a₃ + 45₀a₂a₃ Ą-hA^c^

Te związki mając się ostawać przy wszelkich wartościach a₀,at,... prowadzą

do równań:

2) 400+31*0=0,

1) 5₀+4+ = 0,

3) 2Aq—Bl —5+ =0, 4) 250-204-4^=0, 5) 2O₀-3Oi=0 6) +-+ =0, 7) B₁—2B₀—5A₀ =0, 8) Oi-6O₀—45₀ =0. Połóżmy według 6)

to dalej mamy:

z 3) : .Zp = — 3, z : 5₀ = — 4, z 4): Ot — 2, z 5) O₀ — 3, a te wartości sprawdzają pozostałe równania: 1) 2), 8). Żądanym więc współ-zmiennikiem będzie:

J = («o«₄ — 4«4 a₃ + 3a₂ ²) X¹ + (a₀a₅ —3at «₄ + 2«₂«₃) xy + (^403—4a2«4 + 3 a²₃)y².

Pd. 2. Oznaczyć współzmiennik o stopniach e = 2, 3 = 2 formy kubicznej : f = a₀xi + Sa^y + 3a₂a;y² + a₃y³.

[Odp. 5 = (a₀a₂ —«i²) a:² + (a₀«3 —«i<*2) xy + («j a₃ —a₂ ²) y²].

150. Półzmiennik. Niezmiennik jako fnnkcya pierwiastków formy. Z funkcyj wymiernych całkowitych ty (a₀, a1? ...) czyniących zadość równaniu różniczkowemu Dty—0 nazywamy półzmienni-kami (seminvariants) te, które nie licząc się do niezmienników są jednorodne i izobaryczne.

Gdy stopień takiego półzmiennika ty jest e, a waga w, to nie &

może być w=-q-, bo w takim razie funkcya ty byłaby już nie-

zmiennikiem. Z danych jednak e, w będzie można półzmiennik już zupełnie wyznaczyć, a to drogą taką, jakiej już do niezmiennika [art. 147.] stosowano. Napiszemy naprzód jego kształt możliwy (z danych e, w) z nieoznaczonymi spółczynnikami, a potem te spółczynniki z równań liniowych jednorodnych wynikających z Dty=0 obliczymy.

Połóżmy ty=ae<p^l

«₁ a₂

-)

ao ao

funkcya spółczynników równania:

zm+m₁^-zm-¹

jest symetryczną funkcyą:

«0

to widocznie ty jako wymierna

a₀eS (ai, a₂, ..., «m) pierwiastków tego równania, albo formy:

f=a₀(x—aiy) (x—a₂y) ,..{x—am y).

Zbadajmy bliżej budowę tej funkcyi symetrycznej.

Równanie JDty=0 jest — jak wiemy — dostatecznym warunkiem , aby się funkcya ty nie zmieniała wcale przy podstawieniach x=u-\-(3v, y=v. Po nich przechodzi /' na

F=a₀(u—(ai—p)v) (u—(a₂—p)v)... o pierwiastkach a}—/?, a₂—/?,..., a że:

ty{a\,a\, ...)=a₀e S(ai —/?, ot₂— /?,...) i ma być —ty(a₀ai...), więc mamy:

^(« 1—A «2— A -) = £(«!?    -)

przy dowolnem (3. To jest tylko tym sposobem możliwe, że ty=a₀eS, będąc symetryczną funkcyą w pierwiastkach ai, a₂,..., jest funkcyą samych różnic pierwiastków, a więc: ty=a₀e. 2 C[aa—ab)h (ac—«<*)*...]. To znaczy:

I. Półzmiennik jestto funkcya symetryczna pierwiastków formy utworzona z samych różnic tych pierwiastków z warunkiem, że po wyrażeniu przez spółczynniki formy będzie w nich jednorodną i izobaryczną. Pomieniajmy w f zmienne x: y ze sobą. Dostaniemy wtedy

formę:

a₀(y—aix)(y—a₂x)...=(—l)ma₀aia₂...a

=am{x—

«i

«2

Dla niej funkcya:

/ am—\ \ \ ’ Om ’ ‘ /

będzie oczywiście także półzmiennikiem i spełni równanie różniczkowe :

(1)

ty (am am—i... Mq)—0.

Takie dwa półzmienniki, z których jeden powstaje z drugiego przez zmienienie wszystkich ak na am_k nazywać będziemy symetrycznymi albo sprzężonymi.

Na podstawie tw. I. będzie można i niezmiennik cp przedstawić w funkcyi pierwiastków. Musi on — spełniając równanie Dcp=0 — zawierać również tylko różnice pierwiastków. Ale tu przybędą jeszcze nowe warunki.

Napiszmyż cp w postaci:

(2)

(p (a₀av..)=a₀e2C[{aa—ctb)h (ac—ad)k...]

i połóżmy:

x=p u + qv\ y=p‘u-\-q‘v! ’

to w przerobionej formie F mieć będziemy a‘₀=f (pp¹), a gdy jej pierwiastki są a'₂, ..., to ich różnice:

(pq‘—p'ą) {ag—ab)

{p—aap,){p—abp⁴)

(3)

(4)

a‘a—a,b= Mamy zatem:

r=(pq‘—p‘q)-]=0,

[art. 143.].

(pq'—p,q)h+k+- [(aa—ctb)h (g₀—«d)*...] {p—aap‘)\p — abp‘)h (p—acp‘)k (p—adp‘)k...

Gdy przyjmiemy, że g>(a₀ai...) będąc symetryczną funkcyą pierwiastków, jest w nich i jednorodną, a więc hĄ-& + ... = i, gdy dalej w każdym z dodajników sumy wszystkie się mieszczą pierwiastki, a każdy z tych pierwiastków dokładnie e razy się znachodzi, to wtedy z (5) dostajemy:

(p (a\a\..0=(P2'-jp'g)*g>(«o«!•••),

(5) <p{a\a\...)=f(pp,)^C

gdyż:

(p—aap‘)h (p — ab p')h(p—acp‘)k(p—adp‘)k...=f(p, p‘) / ad]e Funkcya q)(a₀ai...) jest więc wistocie niezmiennikiem i mamy twierdzenie:

II. Każdy niezmiennik (stopnia e) jest symetryczną i jednorodną funkcyą pierwiastków, złożoną z samych różnic tych pierwiastków. Jest więc sumą iloczynóio C[(aa — ab)h(ac — ad)k... ] o tej własności że: 1° w każdym z nich zawierają się wszystkie pierwiastki, 2° każdy pierwiastek znachodzi się w każdym z nich tęsamą ilość razy, (razy e).

Naodwrót każda funkcya symetryczna jednorodna pierwiastków o wyrażonych tu własnościach jest niezmiennikiem. Stopień Z=h-\-k+... takiej funkcyi w pierwiastkach jest loskaźnikiem niezmiennika.

Z tego-to powodu wyróżnik formy / był [art. 148.] jej niezmiennikiem. Zauważmy formę kwadratową :

f = a₀x'i -j- 2axxy -f a.₂y².

Gdy jej pierwiastki są at, a₂, to wszystkie jej niezmienniki mają postać:

9g = a₀«(a₁—a₂)«

o e koniecznie parzystem. Dla e =2 dostajemy:

cp₂ = 4 (a*² — a₀a 2)5

a to jest wyróżnik formy f. Z tego wynika:

III. Forma dwójkowa kwadratowa ma jeden tylko niezmiennik. Jest nim jej wyróżnik, a każdy inny niezmiennik o stopniu ej> 2 bedzie potęgą wyróżnika.

151. Źródło (półzmiennik) współzmiennika. Wyprowadzenie współzmiennika z jego źródła. Zastosujmy teraz definicyę i własności półzmiennika do teoryi kowaryantów. Połóżmy:

J(x, y, a) = C₀xa-j- ax Gxxa-¹ y + o₂C₂xa~²y²+... + Caya

a*={k)

i wstawmy J w równanie różniczkowe (Ax) — art. 149. kładąc tam y=0, #=1, a więc J (1, 0, a)— Ca, dostajemy:

V2ax

to

a₀

dC₀

dC₀

da±

da₂

dam

D C₀ =0.

Podobnie, gdy położymy x=0, y=1 mieć będziemy:

a więc J(0, 1, a)= Ca,

am

dCa

•dCa

da^n—2

f... = ĄCff=0.

dam—3

Wiemy przytem, że C₀ przechodzi na C„, gdy się każde ak

me — a „ .

2—5 <7* jest

zmieni na    że C₀ jest stopnia e, a wagi Z—

nyi p 1 (j    ...

—P—Nie są więc Ć7₀, C7₀ niezmiennikami,

ale półzmiennikami i to: symetrycznymi (sprzężonymi).

Gdy teraz, nie nadając szczególnych wartości zmiennym x,yr wstawimy J(x,y,a) w równanie (A-y), dostaniemy związek:

yk+1+...

stopnia e, a wagi A-ptr

=a₀

Gł₀. xa~x y + ...Ą-Ckok (o—k) xa dCk+1

-J-2a₁

■ąg,

:dCo

da₂

xa-k-i yk+iĄ-...

dCk+i

-—x

Xa-\~. . .-\-Ok+l

......=0,

który, będąc identycznym, daje relacye:

a—k—i

da₂

•p

25

Teorya funkcyj.

Mamy zatem twierdzenie :

I. Pierwszy i ostatni spółczynnik w współzmienniku są-to półzmien-niki o wagach A, Z A-a. Z pierwszego dostaje si§ wszystkie przez powtarzanie operacyi DXx z ostatniego zaś wszystkie stosując z powtórzeniami operacyę D.

Z tego powodu nazywają C₀ — lub Ca — źródłem współ-zmiennika (podług Eobertsa).

Przyjmijmy, że istnieje współzmiennik J(x,y,a) o stopniach e, o, a o źródle C₀ zawierającem spółczynniki A, A', A“, ... C₀ czyni zatem zadość równaniu różniczkowemu:

(1)

DC₀=O.

Porządkując tu podług wyrazów jednomiennych dojdziemy, jak w art. 147. do liniowych jednorodnych równań:

(2)

ńA + 7&'A' + ...=0, kA+PA¹-f ...=0, ... którym A, A‘, A",... zadość muszą uczynić.

W razie gdy przez kilka (n. p. przez trzy) A, będzie można pozostałe A wyrazić (liniowo jednorodnie), dostaniemy:

(3)

C₀—AC₀>-JrAlC₀/‘-\-A“C₀lu a C₀‘,C₀“, C₀‘“ będą znowu półzmiennikami. Pozostawiając A, A', A“ dowolnemi — co nie narusza półzmienności C₀ — mamy oprócz

‘ danego C₀ jeszcze nieskończenie ich wiele naniem (3) określone.

a stąd :

dCk+i

dCk-(-i

1-.-, czyli

f 2o₄

(&+1) Ck=a0 (Je-\-l) C/c—DCk+i, Je—o—1, o—2

dax

0.

oCa-\=DCoX o(o—l) Co-z^D^Coi o\ C₀=DaCa. Analogicznie postępując, dostaniemy z równania (Bx) — art. 149. — związki:

(a)

AC₀

_A² Co

°2-a(a_₁₎₅-? ^

Zapomocą form (a) można obliczyć wszystkie spółczynniki Gk ze spółczynnika ostatniego (7ff: formy (6) służą przeciwnie do wyznaczenia tych spółczynników z pierwszego spółczynnika C₀. Uwzględniając (b) możemy współzmiennik napisać w postaci:

2!

(6)

Ci

tr

A c₀

* . X

(7-1

A "Cn

A "Co

li

al

ty

Oi)

Uwzględniając zaś (a) mieć będziemy :

DC,

J(x, y, a) = Caya f

1!

ya~xx-\

D²Ca 2 2 ,

___ ya~“ x² . . .

DaCa a

-T~ X⁰.

o!

wszystkie są rów-

Zauważmy — mając to — funkcyę jednorodną C₀ ilości aoiai>"'} °m stopnia e, a wagi Z—(me—a)j 2 z nieoznaczonymi spół-czynnikami B, B', B‘\ ... Taki kształt funkcyi C₀ nadaje się, aby być źródłem współzmiennika o stopniach e, a, a wskaźniku Z, a jeżeli ma być półzmiennikiem, to spełni równanie różniczkowe:

(4)

DC₀= 0._

Z (2) i (4) wynika, że i różnica C₀—C₀ spełni równanie

D(Ć₀-C₀)=O.

Z niego dojdziemy do liniowych jednorodnych równań (2) o niewiadomych B — A, B¹—A¹,... a z nich wywnioskujemy, że identycznie jest C₀=C₀, a to znaczy:

me—a , ₇ . 2— będzie

źródłem kowaryantu o stopniach e, a i wskaźniku Z, jeżeli tylko taki współzmiennik danej formy f istnieć może.

Obliczywszy C₀ = G₀ będziemy mogli dalej, stosując operacye Di²,... wyznaczyć żądany współzmiennik w postaci (&₄).

Pd. 1. Wyznaczyć współzmiennik o stopniach e=2, a=6 formy 5°r° stopnia. Wskaźnikiem żądanego współzmiennika będzie tu X = 2; trzeba zatem utworzyć półzmiennik o stopniu i wadze =2. Ma on formę C₀ — Aa₀a₂ -f- Bai ², z której dostajemy DC₀ = 2a₀ai(A-\- B)=0. Stąd — gdy A — 1 położymy — wynika B — — 1 , a więc : C₀ — a₀a₂—at².

II. Każdy pół zmiennik o stopniu e, a wadze Z—

A,

—hy°- — 3a₀az 8    Ct,

|-p = 3 <*4 —«₃—6a₂²— (2)^2)

p-p — «o«₅ + 7% «4+Ba₂«3= (3) cs,

Zmieniając dalej każde ak na «m_k, dostaniemy:

Cg =®3W5 — a4²) ^5) C5 = 3a<> «₅—3«₃a₄,

(4) <4 = 3 a₅ -f 3 «₂ a₄ — 6 a₃ ²,

przez co już żądany współzmiennik mamy wyznaczony.

Pd. 2. Tym samym sposobem wyznaczyć niezmiennik:

C₀x² 4- 2 Cxx y 4- C.₂y²

o stopniu e = 2 formy kubicznej. [Por. Pd. 2. art. 149].

152. Inna metoda wyprowadzania współzmiennika z danego źródła. Współzmienniki formy kwadratowej dwójkowej. Współzmiennik jako funkeya pierwiastków formy. Dany półzmiennik stopnia e wyrażony już-to przez pierwiastki formy, już-to przez jej spółczynniki, niech ma postać:

(1)

%e<P («i> a₂,...)=g(ą₀, %, ...)•

Uważając (1) za źródło C₀, możemy z niego dojść do współzmien-nika jeszcze w inny, a mianowicie taki sposób: Z formy:

f=a₀xrn-\-mia₁xm~i y Ą-...

utwórzmy funkcyę:

(2)

Um=a₀ 0™+Wj ^m-1 4-a z niej — zastępując m po porządku przez m—1, m—2,    1, 0 —

funkcye:

(3)

Um-1=a₀ ¹ + (m—1)₁ # Um_2 == a₀ zm-² + (m—2)₄ % 0

m—3

+ + d-... + am_2

staniemy :

=a₀£-f-

U₀=a₀.

Zmieniając (1) na symetryczny (sprzężony) półzmiennik do

(4)

( ''i")"

Po sprowadzeniu lewej strony do wspólnego mianownika, dostaniemy:

że zaś ame=(—l)wea₀e (a₁a₂...)®, więc mieć będziemy:

(—l)mea₀e'ip(aia₂...)=g(amam-l,...), gdzie tp jest już całkowitą funkcyą pierwiastków.

Połóżmy tu za cck wszędzie ak—0, to równocześnie każde ak przejdzie na:

a‘k=ak-\-Jciak—i 0-\-h₂ak..2 0²-j-...= Uk (por. (2), art. 146.; zachodzi tu tylko ta różnica mamy tu 0) i dostaniemy:

(—1 )meaQeip(ai—0, a₂—0,...)=g(Um, Um-i,... U₀)=

że w miejsce /?

(5)

cr!

gdyż g(Um, £7m_i,...) trzeba tu tak rozwijać jak <p(a'₀, «'i, •••) w art. 146. — z tą uwagą, że tu li zastąpiło się przez m—Jc, a to pro

wadzi do działania Du a nie do D.

Sprowadzając (5) do jednorodności, dochodzimy do formy:

A °g

Aq~V

X⁰-¹ y + ..-+g(am am_ 1 ... a₀)

która widocznie jest współzmiennikiem o źródle Ca=g(a>miam-i, •••> %)• Stąd twierdzenie:

(6)

a\

xa 4

(u—1)!

na TJ\

I. Gdy w danym półzmienniku g(a₀, a₁,..., am) zmienimy każde a* i utivorzymy g(JUm, Um-i ,    G₀) ya, to tak otrzymana funkcya

jednorodna jest współzmiennikiem formy, jeżeli zawiera x, y, a będzie jej niezmiennikiem, jeżeli zmiennych nie zawiera.

Zastosujmy to twierdzenie do formy kwadratowej: f=a₀x2jr<2aixy-\-a₂y².

Jej najogólniejszym półzmiennikiem jest: «o2i>(«i-«2)22,==(«²i—¹^%)p=g ^axa₂)^[D {fj\p gdzie D(f) jest wyróżnikiem formy.

Z samej formy f dostaniemy :

U₂= a₀z²+2a₁z+a₂, U^aęZ+a^ Z7₀=a₀, a jej współzmiennikiem będzie :

g (U₂ TJx U₀)=(Ui²— U₂ U(i)p=Dp. Stąd wynika :

III. Forma kwadratowa f nie posiada żadnego współzmiennika oprócz samej formy f. Każdy jej współzmiennik różny od f jest postaci [Z)(Jest on stopni: e=2[i-\-v, o=2v. Gdy v=0 dostajemy jej niezmienniki.

Pćl. 1. Z półzmiennika :

«0²[(«1 —a2)²+ (“2—»3)² + (a3—al)²] = ¹⁸ Ol²—OflOj), formy kubicznej utworzyć jej kowaryant podług tw. I,

[Odp. — {UJ— Z7₁C⁷₃) = Oo⁰'2—¹«i²)z² +Oo«3—¹ai«-2)^ + Oi%-«²2)]-Pd. 2. Okazać, że półzmiennik:

«0 2 S («i — «2)² («3 —a4)² = ²4 Oo«4—4«1«S + ³«2 ²) jest już sam niezmiennikiem formy dwukwadratowej.

Z łatwością można także utworzyć funkcyę, która zawierając różnice pierwiastków danej formy / i zmienne x, y będzie współzmiennikiem formy. Dowiedziemy bowiem :

III. Suma :,

■■i

? Oo, - *» y) =    ² («« —«/ (*₀ — «rf)*- O—«iy)*¹ (* - «a y)⁴-

gdzie w każdym dodajniku mamy wszystkie pierwiastki oą, <x₂> ..., a w każdym z nich każdy pierwiastek znachodzi sie p razy — jest współzmiennikiem formy.

Przez podstawienia x=pu Ą- qv, y =p*u-\- q'v, z których naodwrót wynika: u = (x<f — yq) / r, v = (—p‘x-\-py)/r przejdzie forma / na F. Ta nowa forma będzie miała wolny wyraz a₀‘ =f(pp'\ a pierwiastki :

O)

(8)

“r

q‘*r—q

p—\v‘'

r=l, 2,

m.

Obliczywszy (a'—<x'₆) podług art. 143. dostaniemy o(af

(pg¹ -p'q)

*+*+..•

(p*a—pjh J-%vjh

Gdy zaś w (u—afv) wstawimy (7) i (8), dostaniemy (a?—ary) / (p—arp‘). Uwzględniając to mieć będziemy teraz o (a'₀,v) =

(P-¹ aP't+A'atP-«bP‘)h+1 b

h+k+. .

że zaś według założenia każdy czynnik (p—<¹ ap') mamy w mianownikach w po

tędze p, więc ich iloczyn da /(pp')?/«₀? i mieć będziemy:

cp Oo',    u. v) = (pq‘-p‘q)h+h+~<p (a₀,..., x, y),

c. b. d. d.

153. Niezmienniki współzmienników. Niezmienniki wspólne.

Niecłi forma /‘(a^, y) posiada współzmiennik:

c₀xa+oicixa-iy+...=(p(c₀, Cj

(1)

y)

w którym

(2)

Ck=gk((¹ Q, «!,-.)?    o

i niech ten współzmiennik przerobiony podstawieniami:

x=pu+qv, y=p‘u+q‘v

(3)

przechodzi na:

c₀‘ua+o₁ci‘ua-ivJrr.. = <p(c₀‘, c±‘,..., u, v).

funkcye:

Gdy przerobioną formą jest f(a₍₎lai

w, v)¹)f a utworzymy

Ck=gh(ao¹, V,...), ¹=0,1,a, to (p(G₀, Ci, ..., w, v) będzie jej współzmiennikiem związanym z (1) relacyą :

(4)

<p(C₀, 0

«, v)=rf¹(p(c₀, cx

x, y).

Połóżmy tu po prawej stronie za x, y wyrażenia liniowe (3), to dostaniemy:

<p((7₀, Cj,..., u, v)=rPcp(c₀ Sc/, w, v). Z tego okazuje się, że:

Gk=n¹ Ck

(5)

&=0,1, u.

Zauważmy teraz dowolny niezmiennik </(c₀, Cj...) formy (współ-zmiennika) (p prowadzący do:

(6)

a oprócz tego utworzymy J(C₀, C±, ...).

Wskutek (5) możemy położyć:

jeżeli <7 jest stopnia w G₀, Ci:..., a uwzględniając (6) dostaniemy: ^(Go, Gv..)=r^+PvJ{c₍₎,cu ...)•

Wstawiając tu za ck, Ck wyrażenia (2), (4) otrzymamy ostatecznie Jx (a₀', ait...)—r*+i*v Jx(a₀, ax...), a to znaczy:

I.    Dowolny niezmiennik każdego współ zmiennika formy jest niezmiennikiem formy.

Analogicznie można dowieść twierdzenia:

II.    Współzmiennik icspółzmiennika jest znowu wspólzmiennikiem formy.

Przyjmijmy, że mamy dwa współzmienniki, charakteryzujące się równaniami:

(D(u, v)=rJLq)(x,y),    &(u, v)=rutp(x, y).

Z tych równań — uwzględniając związki x=pu-\-qv, y=p‘uĄ-q‘v: dostajemy:

d&

du

riZp+d£p‘)

dtp

du

(dtp dtp A \YxP+dxP )

d@

dv

(dcp d(p \

U² aa

dtp

dv

a stąd wynika :

dv

dv

I    | Cl;

1^- « !■«

Cul

To znaczy :

III. Z dwóch znanych współzmienników <jp, tp danej formy utworzony jakobian

jest znowu współzmiennikiem formy. (Jednym

d (x, y)

ze wzpółzmienników cp, tp może być sama forma f).

Aby wreszcie jeszcze i o wspólnych współzmiennikach dwóch dowolnych form cp, tp wspomnieć, zauważmy przedewszystkiem, że

d (cp, tp)

już w art. 142. określiliśmy jakobian nik. Lecz weźmy teraz dwie formy:

9>(aoi«ii ...,x,y), tp(b₀, bu ..., x,y) jednakowego stopnia m pod uwagę.

Gdy J(a₀, ai: ..., x, y) jest współzmiennikiem formy <jp, a utworzymy formę cp-\-ktp gdzie k jest dowolnym parametrem, to J(a₀ Ą-kb₀, ax -\-kbu ...,x,y)

jest oczywiście współzmiennikiem dla cpĄ-ktp. W jego rozwinięciu

d (x, y)

jako taki współzmien-

Jc d

fi.

J(a„ax...x, y) +

będzie każdy ze spółczynników:

av..x, y)

również współzmieńnikiem formy cpĄ-kip, a nie zawierając dowolnego parametru k będzie wspólnym współzmiennikiem form cp, tp.

154. Niezmienniki i współ zmienniki danej formy dwójkowej niezależne od siebie algebraicznie. Określenie systemu podstawowych form niezmienniczych. Forma f\ mgo stopnia posiada (w4-1) spółczynników aQ, ait ..., am, a gdy ją przez podstawienie x—pu-\-qv, y=p‘u-\-q'v, w którem r—[pqj—p'q) rj=0, przerobimy na formę F o spółczynnikach a₀‘, ai‘,..., am‘ dostaniemy (m-fi) związków:

...,p, q,p', q'),...,    ...,p,q, p‘,q‘).

W razie 3 mamy zawsze m-|-1>>4, a z równań (1) dostaniemy (m-f 1)—4— m—3 relacyj :

Q a (p> o i    d

(i)

(2)

.., a‘m)=0, a—1, 2, 3, ..., m—3, które nie zawierają już p₎ g, pjqj a są od siebie (w najogólniejszym wypadku) niezależne.

Przyjmijmy, że forma /‘posiada nieskończenie dużo od siebie niezależnych niezmienników (nie dających się w kilka związać równaniami algebraicznemu). "W nich uwzględnijmy 2, a mianowicie:

(3)

J₂‘=r^J₂,

— (J~i‘i J₂‘ położono zamiast J±{u, v, a'), J₂(u, v, aj) — Eliminując tu r dostaniemy związek:

a ten musi być identycznym z jednem z równań (2).

Takich relacyj (4) niezależnych od siebie nie podobna dostać więcej , niż (m — 3). Gdyby ich bowiem było w istocie więcej , niż (m—3), to i związków (2) od siebie niezależnych moglibyśmy mieć więcej, niż (m—3), a to jest niemożliwe. Niezależnych związków (4) w liczbie (m — 3) można dostać z (m — 2) równań =rk J], ... od siebie niezależnych, a stąd wynika:

I. Forma dwójkowa stopnia m nie posiada niezmienników niezależnych od siebie nieskończenie dużo; jest ich najwyżej (m—2).

Dla formy kubicznej mamy m—3—0. Nie ma więc tu ani jednej relacyi (2) zawierającej tylko a₀,..., «' dwóch niezmienników od siebie niezależnych. Jej jedynym niezmiennikiem jest niezmiennik J(d) podany w Pd. 1. art. 147., a wszelkie inne — wyższych stopni będą jego potęgami całkowitemi.

(4)

a wskutek tego taka forma nie może posiadać

J‘k=rhJk, Jc=1,2,... przedstawia Jk już-to samą formą f — [równanie F(u, v)=f(x, y) wskazuje, że f{x,y) uważać trzeba za współzmiennik o wskaźniku 2=0, o stopniach e=l, o=m\ — już-to niezmiennik, już-to wreszcie współzmiennik formy.

Niech, w relacyach:

(5)

Każde równanie (5) jest jednorodne w u, v, x, y ; dzieląc je przez vak, gdzie ak jest stopniem formy Jk w zmiennych#,?/, dostaniemy z (5) szereg równań o 4 niewiadomych:

(6)

?/ u

aby zaś z tych równań dotrzeć do (m—3), a nie więcej związków (2) trzeba, aby tych od siebie niezależnych równań nie było więcej, niż (ni + 1). Z tego wnosimy:

II. Każda forma f ma niezależnych od siebie współzmi enników i niezmienników zawsze skończoną tylko liczbę. Górną granicą tej liczby jest (m+1).

W dziełach zajmujących się szczegółowo teoryą form, [por. zapiski literatury przy końcu tego rozdziału], znajdują się badania prowadzone dalej w takich kierunkach :

1°) Bierze się pod uwagę wszystkie niezmienniki tego samego stopnia e danej formy dwójkowej i poszukuje się, ile między tymi niezmiennikami znajduje się liniowo od siebie niezależnych'²');

2°) To samo pytanie stosuje się do wszystkich współzmien-ników tej samej formy, a tych samych stopni: e, o.

3°) Podaje się najrozmaitsze sposoby zapomocą których można dla danej formy utworzyć rozmaite niezmienniki i współ-zmienniki.

4°. Podaje się sposoby, zapomocą których można dostać różne niezmienniki i współzmienniki kilku danych form.

gdzie ai, a.₂

niezawodnie także niezmiennikiem lub współzmiennikiem formy. Pytanie zatem zachodzi, czy możliwem będzie dla danej formy wyznaczyć pewne niezmienniki Jx, e7₂? •••

j ri

5°) Porusza się wreszcie jeszcze jedno bardzo ważne pytanie : Oto, gdy mamy pewną ilość niezmienników Jx, ••• i współzmien-ników Ki,K₂,... danej formy /‘, to iloczyn [Jty J₂a ...Kty *...], /?₁, @2, ••• s4 dodatniemi i całkowitemi liczbami, jest

Ki, K₂,... w skończonej ilości niezmiennik lub współzmiennik tej samej formy da się wyrazić całkowitą, wymierną funkcyą Gr(Ji1 J₂, ...,    K₂, ...). Takie niezmien

o tej własności, że każdy nowy

niki i współzmienniki nazywają się podstawowemi formami (niezmienniezemi) albo pierwotnymi niezmiennikami i współzmien-nikami. Tych podstawowych form trzeba oczywiście szukać między niezmiennikami i współzmiennikami najmniejszych stopni.

Badanie poruszonych tu pytań wypełniające teoryę form nie leży w zakresie tej książki. Ale pytaniem 5tsm —- odnosząc je wyłącznie do form kubicznych i dwukwadratowych — zajmiemy się w dwóch najbliższych artykułach.

155. System form podstawowych kubicznej formy dwójkowej.

Dla formy kubicznej :

/=a₀ x³ -f- 3 cii x²y+3 a₂ xy² + a₃ y3 możemy z łatwością takie formy utworzyć.

11=

1°. Współzmiennik Hessego (z opuszczeniem czynnika 36): aQx-¹raiy, aixJra.₂y

axx+a₂y, a₂x+a₃y

= (a₀a₂ —ax ²) x²+(a₀a?>— a±a.₂) xy-\-(aia₃—a.₂²)y'²,

[e=2, a=2, 1=2].

Jego źródłem C₀ jest (an, a₂—ax ²) o wadze =2.

II⁰. Wyróżnik (ze znakiem odiemnym) współzmiennika H [art. 153., tw. I.].

d=-

! 2(a₀a₂ — «j²), (a₀a₃—ct^)

¹

Naznaczaliśmy dotąd przez /(cc, y), f/w, v) formę daną i przerobioną. Gdy jednak formą daną, uwzględniając zawarte w niej spółczynniki a₀, at,... piszemy w formie/(a₀, oą,..., cc,y), to przerobioną formę — gdy jej spółczynnikami mają być #₀', ap, ... — nazwać trzeba /(«/,    »).

²

współzmienniki

*) spełniających równanie Ct Ą -f C₂ Ą + ... =0 tylko wtedy, gdy C, = C₂ =... = 0.

\ (a₀a₃ —a₁a.₂), 2(ai a₃ — a₂ ²)

= K °3 ~al a2 ) ²~⁴ («0 a2 ~ a\ ²) («1 «₃ ~ ^2 "O »

[«=4, 1=6].

Jest on wyróżnikiem samej formy, a przez jej pierwiastki «l5 a₂, a₃ wyraża się w postaci:

«o ⁶(«i — «₂)² («₂ —“s)² (o₃ — «i)² = — 27 A.a₀ ².

III⁰. Jakobian form /‘ J? — art. 153., tw. III. — z opuszczeniem czynnika 3 — :

^    1    3a₀^² + 6((₁a:y + 3af₂y², 3a₁a:²+6a₂^y+3«₃y²

3 2(a₀or₂—²)^-f-(»oa3 — «ia₂)«z, (a₀a₃— axa.₂)x +-2(a.,a₃—a₂ ²y |

(«₀ ²a₃—3a₀ ^ a₂ -f- 2^ ³) a:³ -f

=3 (a₀at₁a₃—2#₀a₂ ²+a₁²a₂)x²y—3 (a₀a₂n₃ —2^ ²a₃ +</, «₂ ²)#y2 — (a₀a₃²—3a₁a₂a₃ + 2a₂³)y³,

[e=3,    1=3].

Jego źródłem. C₀ jest (a₀²a₃—3a₀aia₂+2ai³) o wadze =3.

IV⁰. Do tych form niezmienniczych dołącza się jeszcze sama

forma f.

(1)

Z formy f przej dźmy do równania:

U₃ =«o£³+3a₁£²+3a₂0-l-a,₎==O

i połóżmy w niem: 0=£—— , to otrzymamy równanie:

«o

r?j=^+3.

którego pierwiastki są:

a₀a₂ — ax ²

ao²

'fr

«o³

(2)

JUJ⁵

ft2 +

«3+“-

ao

Kładąc:

a₀a₂—a₁²=h(a₀, a1} o.₂,a₃) a₀ ²a₃—3a₀a% + 2at ³=g(a₀, aua₂, az)

mamy

JL₌₀

«o³    ’

gdzie /&, g są źródłami [C₀] współzmienników H, Gr. W wyróżniku:

*W³-f

ao ²

[fi

'aj \a₀    a₀²)\a₀’a₀ a₀

można U zastąpić przez zero, —

przez

a — przez gdyż «o    «o³

«o2>

w A wyrażonem przez różnice pierwiastków można za ai1 a₂, wstawić pierwiastki (2) równania F₃=0.

Po takiej przemianie dostaniemy :

(3)

a₀ ²d=<7²+4/&³,

a ten związek, jak się to zaraz okaże, będzie bardzo ważny w swoich następstwach. Uważajmy:

«₀ ⁶(«i - «₂) ²(«₂ — «3)²(«3 — «1) ² = - 274.«₀ 2 za źródło pewnego współzmiennika, który mamy utworzyć według sposobu podanego w tw. I. art. 152. "W takim razie mamy to źródło przedewszystkiem przerobić na:

«3

\«1    «₂ M«2    «3/\«3    «1 /

= — 27

+4/K«3J«2₅al>«o)

Gidy tu lewą stronę sprowadzimy do wspólnego mianownika i uwzględnimy, że:

«₃⁶

«₃ ⁶«i ² «₂ ²    ²

(^a^g)⁴

(«i«2«₃)G

«o⁶* “i²- «2²- a₃ ²>

dostaniemy:

a₀ ⁶ K — a₂)² («₂ — «₃)² («₃ — “i)² • «i²- «2²- «₃²=

=—27

|"#(«₃a2aiao) -k4&(«₃

a₂,«i,«₀) J-

W tym związku trzeba dalej za au a₂, a₃ położyć odpowiednio «₁—g, a.₂—3, a₃—z. Wtedy po lewej stronie dostaniemy tu iloczyn czynników :

«o⁴ («i — «₂)² («2 — «s)² («s — «i)²    —²⁷⁴

a₀² (3—a^ (3-a₂)\3-a₃)²=U₃²] po prawej stronie trzeba g(a₃,    a₀), h(a₃,...,a₀) zamienić na:

9(US, U₂, Uu U₀) = Crz, h(U₃, U₂, Uu U(])=H

gdzie :

G.—

a h

i/3 >

Mieć więc będziemy:

act₃²=^²+w}

a gdy ten związek do jednorodności sprowadzimy, dostaniemy ostatecznie :

(4)

A.p=G*+m s.

Taki identyczny związek zachodzi tu między formami

i, /; a, h.

Mając to, zauważmy dowolną symetryczną funkcyę (p{aua₂,a₃) samych różnic pierwiastków ar, a₂, a₃.

Te pierwiastki można — bez naruszenia jej — zastąpić przez (2), a wskutek tego będzie można cp wyrazić przez spółczynniki równania V₃—0.

Niechże:

<p(«i a₂ a₃)=Fi (l gdzie Fi jest wymierną całkowitą funkcyą. Grdy ta funkcya F± będzie w argumentach swoich: —

(5)

«o³

«0

stopnia e, to mnożąc obie

strony w (5) przez a₀3e dostaniemy:

«o3e.^(«i, «₂, cc₃)=F(a₀, h, g), gdzie znowu F jest całkowitą i wymierną funkcyą argumentów

(6)

9'

Przyjmijmy teraz, że w (6) mamy półzmiennik formy. W takim razie F jest już jednorodną i izobaryczną funkcyą

w argumentach a₀,ai,a₂, «3 w pierwiastkach a1}a₂,a₃ stopnia w₎ [art. 89.].

jej waga w wskazuje, że cp jest

Ponieważ h jest wagi 2, a g jest wagi 3, więc w przypadku, kiedy F ma wagę parzystą, mogą się w F zawierać tylko same parzyste potęgi źródła g. W tym razie połóżmy za każde g² wyrażenie a₀²4 - 4/i³ wynikające z (3), a dostaniemy:

(A)

V£ęp(«l₇ «2>«3) = ^oK> 4 fc)ł gdzie .F₀ jest znowu funkcyą całkowitą.

Grdy przeciwnie przyjmiemy, że funkcya F jest wagi nieparzystej, to nie ma w niej ani jednego wyrazu bez g, a każdy z nich musi w sobie zawierać czynnik g2v+i. Wyłączając g, a g'2 wyrażając znowu przez A i h dostaniemy tu :

(-B)

a₀3e (p(ai: a₂, az)=g.F₀' (a₀, 4, h),

a to znaczy:

I. Każdy półzmiennik formy kubicznej wyraża się wymiernie całkowicie przez a₀, A, h bez czynnika g, lub z tym czynnikiem, według tego, czy jest stopnia parzystego lub nieparzystego w pierwiastkach formy.

Uważając {A) za dane źródło, dostajemy z niego półzmiennik F₀(f\ 4, i?), ze źródła zaś (B) mieć będziemy G.F₀‘(f, 4, JH). Każdy więc współzmiennik formy jest całkowitą wymierną funkcyą trzech form /, 4, H z czynnikiem ćr lub bez niego , a stąd wynika:

II. Forma kubiczna ma 4 podstawowe formy niezmiennicze: I) jej wyróżnik A; II) samą formą /’; III) jej hessean H; IV) jakobian G funkcyj f, H.

Te formy nie są od siebie niezależne, bo między niemi zachodzi identyczna relacya A . /'²=6r² -f- 4H³.

156. System form podstawowych dwukwadratowej formy dwójkowej. Zajmijmy się teraz formą dwukwadratową:

f— a₀ xIt 4- 4 a^xzy+Qa₂x²y²+4 azxy³+aky⁴.

Posiada ona niezmienniki:

1°.

tT₂=a₀ai—4a₁a₃ + 3ć*₂² [art. 147. Pd. 2].

[e=2, a ż=4 jest tu zarazem wagą].

11°.    J₃=a₀a₂aiĄ-2aia₂az — a₂z—a₀a₃²—ai²ai [art. 147. Pd. 2],

[e=3, ź=6 jest tu znowu wagą].

Z jej współzmienników utwórzmy:

III⁰, jej hessean (z opuszczeniem czynnika 12²)

TT 1 /ll /l 2 I _

12² f» f,t I

= (a₀x'²+2aixy + a₂y²)(a₂x²+2aixy+a₀y²) —

— (% a:²+2a₂ xy -f- a₃ y²)²=

= (a₀a₂ — ax ²)x⁴+2 (a₀a₃ — axa₂)x³y +

-b(«o«4 + 2»i«₃ —3a₂²)^²y²+2 (a^—a₂a₃) £y³+

+ («₂«4—²)2/⁴-

[e=2, <r==4, ź=2].

Jego źródłem C₀ jest h=a₀a₂—ax² o wradze =2.

IY°. Dalej utwórzmy jakobian funkcyj f, H — art. 153., tw.

III. — z opuszczeniem czynnika 8):

=(a₀ ²az—3a₀a₁a₂Jr2ai s)xG-\-(a₀ ²ai -\-2a₀axaz —9a₀a₂ ²-|-6«, ²a₂)xhy Jr(ba₍₎aiak—15#₀ff₂a₃ +10a, ²a?)xky²—lO(o₀a₃²—ax ²ak)xzyz— [e=3, o=6, A=3].

Jego źródłem C₀ jest g=a₀²az—3a₀aia₂ + 2«t³ i ma wagę =3. Y°. Do tych form dołączyć trzeba jeszcze i samą formę f. Dowód, że dane tu formy I—Y. są podstawowemi poprowadzimy podobnie jak dla formy kubicznej.

Z samej formy f przejdziemy więc przedewszystkiem do

równania:

TJk=a₀ z‘⁴+4a₄ z³ -f- 6a₂ z²+4a₃ z -f- a₄=0, nazywając jego pierwiastki a1} a₂, az, a₄.

Połóżmy —

a₀

*W⁴+

«o

to dostaniemy równanie:

:r+%₊«,²^-⁸Y,ft

a₀

«0⁴

Zauważmy niezmiennik :

=«o³[

«!² OąI

«o²«oJ’

a?>²

«₂³

+ ₂«1    «₂«3

a₀ «₀

Ponieważ on jest symetryczną funkcyą pierwiastków, zawierającą same tylko różnice pierwiastków [art. 150.], więc się nie

«2 ak

«0 «o

«03 a0²

zmieni, gdy w nim za —

(%2    $3    ^4

ao ao ao ao powiędnie spółczynniki równania F₄=0, t. j.

Ąg a₀²J₂—3h²

«o³’

«o

położymy po porządku od-

Dostaniemy zatem :

K) h-¹

a₀s J₃~a₀²h.J₂—4 h³—g², albo g²-Ą-4Ji³=a₀*(hJ₂—a₀J₃).

Gdy (wymierna całkowita funkcya) jest w swych argu-

h

mentach : —₂, ... wymiaru s , to mieć będziemy dalej :

«o"

a₀ie(p=F(a₀, h, g, J₂).

Przyjmijmy, że <jp jest dowolnym półzmiennikiem formy. W takim razie F jest jednorodną funkcyą w a₀, ai, ... i jest izo-baryczną w tych samych spółczynnikach a₀,    ,..., a jej waga w

jest stopniem półzmiennika w pierwiastkach a₁, a₂, a₃, ai.

g posiada wagę nieparzystą = 3 — zawierać

Gdy jej waga ma być parzysta, to — z uwagi, że h, J₂ są parzystych wag

się będzie w F źródło g tylko w parzystych potęgach. Korzystając w tym razie ze związku (2) dostaniemy :

a₀ie(p=F₀(a₀, h, J₂, J₃).

Gdy przeciwnie waga funkcyi F będzie nieparzystą, to w F nie znajdziemy ani jednego wyrazu bez g, a we wszystkich wyrazach zawierać się będzie g z wykładnikiem nieparzystym. Wyłączmyż g, a pozostałe g², g⁴, ... wyraźmy przez h, J₂, J₃ za pomocą związku (2), to dostaniemy:

“ois<P=9-Fo‘ (ao, h, J-A)-

(#)

Stąd widzimy :

I. Każdy dowolny półzmiennik formy dwukwadratowej wyraża się wymiernie całkowicie przez a₀, h, J₂, J₃ £ czynnikiem g, lub bez niego, icedług tego czy półzmiennik był nieparzystego lub parzystego stopnia w pierwiastkach formy.

Gdy taki półzmiennik ma być źródłem pewnego kowaryantu, który utworzymy podług tw. I., — art. 152. — to dostaniemy ten współzmiennik albo w postaci:

Fo (/, II, J₂? ^3)

albo w postaci:

Zauważmy teraz dowolną symetryczną funkcyę (p , a₂, a.A, af) zawierającą same tylko różnice pierwiastków. Będzie ją można wyrazić przez spółczynniki równania F₄=0, tak, że dostaniemy :

(/    a₀²J₂—3h²

<p

=Ft(l, -

V «0

«o⁴

)'

&-Fo‘ (/? -H} ^2? ^3)*

To dowodzi, że formy J₂, Jg, f, £T, G są podstawowemi dla/' i mamy twierdzenie:

II. Forma dwukwadratowa posiada 5 niezmienniczych form podsta-wowych, a mianowicie: I) niezmiennik J₂, II) niezmiennik J₃, III) samą formę /', IV) hessean II formy, V) jakobian funkcyj f, H.

Te formy i tu od siebie nie są niezależne. Uważajmy bowiem (2) za źródło kowaryantu, który mamy utworzyć, to dostaniemy identyczną relacyę:

(r²+4 JT³=/'²( H J₂ —fJz) *)

(3)

*) Literatura tego Rozdziału:

F a a de Bruno (tłom. na niem. przez T. Waltera). Einleitung in die Theorie der binilren Formen. (Lipsk 1881).

W. S. Burnside and W. Pan ton. The Theory of eąuations [3. ed. 1892]. Alf. Clebsch. Theorie d. binaren algebr. Formen. (Lipsk 1872).

P. Gordan. Vorlesungen iiber Invariantentheorie bearb.v. Dr. Kerschensteiner T. II. (Lipsk 1887).

Aronhold. JJber eine fundamentale Begriindung der Invariantentheorie. Crelle J. T. 62. str. 281-245.

D. H i 1 b e r t. Lber die vollen Imariantensysteme. Maili. Annalen. T. 42. (1893) str. 313-373.

A. Cayley. Sześć rozpraw o formach [upon guantics]. Dzieła. T. II. str. 221, 250, 310, 513. 527, 561.

G-. Salmon. Vorlesungen iiber d. Algebra der linearen Transformationen [przeł. na niem. W. Fiedler]. Lipsk 1887.

Por. wreszcie: F. Meyer (przeł. na polskie S. Dick stein). O stanie obecnym teoryi niezmienników [Warszawa 1896].

Zastosowania teoryi do geometry i analitycznej znajdują się w dziełach: Yorlesungen ii. Geometrie von Alf. Clebsch bearb. von F. Lind eman n.

(Lipsk 1876).

Grundlagen fur die geom. Anwendung der Imariantentheorie von P. Muth [Lipsk 1895]. Vorlesungen aus der analyt. Geometrie der Kegelschnitte von S. Gun-d elf i n g er herausgeg. von Fr. Ding eld ey. (Lipsk 1895).

częso v.

0 SZEREGACH POTĘGOWYCH.

ROZDZIAŁ XII.

O szeregach potęgowych; o ich zbieżności.

157. Określenia. Zakres zbieżności szeregu ^(sc). Jako formalne uogólnienie funkcyi całkowitej wymiernej aQ -\-a^x-\- ...-\-anxn mamy kształt:

(1)

a₀+aix+a₂x‘²-¹r... in inft. =^Si a^xx *)

który szeregiem potęgowym jednej (urojonej) zmiennej a: nazywamy, a który krótko przez ?$(%) znaczymy; spółczynniki o₀, «₁₇ ... są stałe.

^(a;)=l4-a;+2! #²+3! xz-{-...

W badaniu szeregu potęgowego $£(#) pierwszem będzie zadaniem wyznaczyć wartością;, dla których ten szereg jest absolutnie, a więc i bezwarunkowo zbieżnym. Takie wartości zadość mają uczynić warunkowi, aby suma 2\axxx\ było zbieżną, a pod tym względem zauważyć przede-wszystkiem trzeba: każdy szereg jest zbieżny dla #=0, gdyż dla tej wartości redukuje się on do skończonej wartości a₀. Jeżeli jednak taki szereg jedynie tylko dla #=0 jest zbieżnym, a dla #rj=0 jest już rozbieżnym, to go nazywamy rozbieżnym. Szereg n. p.

daje $j3(0)=l, a że z szeregu:

1 + 1 #| + |2 !#²|-l-|3!a;³| + ...=w₀-j-w₁+w₂ + ... mamy : lim (un+₁lun)=(n+l)\x\n-x=co

n = oo

Co do historycznego rozwoju teoryi szeregów por. R. Reiff. Geschichte der unendlichen Beihen (Tybinga 1889).

26

Teorya funkcyj.

przy wszelkich skończonych j % | rożnych od zera, więc szereg dany jest rozbieżny.

Przyjmijmy przeciwnie, że istnieje pewna skończona wartość !#|=£>0 dająca zbieżność szeregu | «₀| + | «i| £+— Szereg (1) jest wtedy widocznie absolutnie zbieżny na wszystkich punktach okręgu koła (£) o środku x=0, a o promieniu \x\=£. Lecz jeżeli £₀ jest dowolną dodatnią liczbą <C£ — lub jest zerem — to i szereg

lao i + !ai l!₀+-

jest także zbieżnym wskutek j | <C | a^ | £z, 2 = 1,2, 3,..., a stąd wynika, że szereg (1) jest absolutnie zbieżny także i we wszystkich punktach % wewnątrz koła (I). To znaczy:

I. Gdy szereg    jest zbieżny na wszystkich punktach obwodu

koła (i), [|#j=£], to jest temsamem zbieżny i wewnątrz tego koła¹).

Mając to , zapytać dalej trzeba, aż do jakiej granicy zwiększać można promień £ z zachowaniem tej własności koła (£), że w jego wnętrzu szereg $$(#) pozostaje zbieżnym? Na to odpowiemy w ten sposób: ¹

1°. Gdy szereg ty(x) jest dla wszelkich skończonych x zbieżny, to widocznie promień £ można dowolnie zwiększyć aż do nieskończoności. Szereg taki jest zbieżnym na całej, nieograniczonej płaszczyźnie argumentu x — dla wszelkich skończonych jego wartości — i nazywa się bezustannie zbieżnym. Analiza daje liczne przykłady takich szeregów. Tak n. p. szereg:

(2)

rp    rp 2

'W“l+T!⁺2!

xti

1 + T7 "f" •••

4!

jest bezustannie zbieżnym, bo dla wszelkich skończonych, choć dowolnie dużych \x\ daje suma:

lim (un+ijun)=lim [ | x | /(w-f-l)]=0.

n — oo

W = OO

Podobnie szeregi:

rp 2 rp 4 rp 6    rp rp 3 rp 5 rp 7

₍3) ¹(¹)-i-h + h~h⁺" (4) S(x)=u~h⁺h-h⁺-

są również bezustannie zbieżnymi, o czem analogicznie przekonać się można.

ło'

(6)

Z niej wynika skończoność sumy 2\ aj,\£₀*, a tern samem zbieżność szeregu $$(#) dla wszelkich [ x | <; i, c. b. d. d.

Obierzmyż dowolną całkowitą dodatnią liczbę t>»1, to w szeregu liczb 0, 1, 2, ... znajdziemy zawsze jedną liczbę fis taką, że dla | x \ =fi»I będą jeszcze wszystkie dodajniki \a^xk\ skończone, a dla \x\ = (/is-\-l)I t⁸ niewszystkie już te dodajniki będą skończone. Z tego wnosimy, że:

a stąd wyniknie [art. 2, 3]:

hn

II⁰. Gdy jest takim szeregiem, że dla pewnych |a;|=f >0 jest suma 2\a%xz\ zbieżną, a dla pewnych |#|=£₁>f okazuje się ta suma rozbieżną, to granicę \x\=r, odgraniczającą wartości £ od wartości |1? możemy znaleźć, dowodząc takiego twierdzenia:

II. Gdy dla |a?|=£ wszystkie dodajniki \ g* są skończone, a więc posiadają pewną skończoną granicę g [art. 46.], to szereg $£(#) dla wszelkich x o bezwzględnej wartości \x\=^₀<i ^ jest zbieżny.

Z założenia mamy :

ctz\Ź*<g, czyli |    \ £*•

t z bO

(5)

lazl§₀*£g(fy,

io

, albo

gdzie 0<y <1.

Sumując obie strony od A=0, aż do oo, dostajemy nierówność:

r=^/lo+Y⁺"'⁺^ lub +J7 ⁺ ^ ⁺ - in infL

Granica r jest więc w każdym razie zupełnie oznaczoną wielkością. Nazywamy ją promieniem zbieżności danego szeregu i mamy twierdzenie:

III. Gdy szereg zbieżny $£(#) nie jest bezustannie zbieżny, to jest zbieżny na wszystkich punktach w wnętrzu pewnego koka (r) o środku w punkcie x=§, a o promieniu r. Zewnątrz tego koła szereg nawet warunkowo zbieżnym być nie może, (bo tam już niewszystkie dodajniki \a^xx j są skończone).

Takie koło (r) nazywamy prawdziwym zakresem albo prawdziwem kołem zbieżności danego szeregu. Obwód koła (r) jest obwodem zbieżności.

158. Sposoby zachowania się szeregu na jego obwodzie zbieżności. Wspólny zakres zbieżności dwóch szeregów. Według uwag art. poprzedzającego ma promień zbieżności r tę własność, że wszystkie dodajniki:

j az | (r—e)* , ż=0, 1, 2.... przy dowolnie małem dodatnem e będą skończone , dodajniki zaś

«,!(,.+*, j-Ó, 1,2,...

przy takiem samem s nie wszystkie już będą skończone. Co się tyczy dodajników

(«)

(P)

az\r*: J=0, 1 to te mogą się albo do (a), albo do

sama nie potrzebuje należeć do określonych wartości [art. 46.].

Pd. 1. Okazać, źe szeregi:

/p    rp u    /v*    rp Ł

(«) i + f₂+|-₂+-    (*) ¹+T+T + - w i + *+*² +...

są zbieżne w kole o promieniu |a?|=l.

Pd. 2. Szereg : 1 +    "j" *) a? -f 2~    a?2 + (*3"^)    + —

gdzie m>0, i całkowite, zbieżnym jest dla | a? | <1, gdyż granica

m -J- n -j-1 n -j- 1

Pd. 3. W szeregach (a), (&), (c) [Pd. 1.] mają na obwodzie koła wszystkie dodajniki skończone bezwzględne wartości. Zauważmy jednak szereg:

i+(i+-f)*+(i+-f)(i+-|-)**+...

w którym a jest dodatnią, skończoną ilością. Jest on również zbieżnym dla |a? |C 1; na samym okręgu jego koła zbieżności (|a?| = l) dążą jego dodajniki swemi bezwzględnemi wartościami do granicy:

(r)

(d)

-Co LO

,...

zaliczać, gdyż granica

n*=i 00

. | x | = | x | i jest •< 1 dla | x | < 1.

J Ti — GO

a ta jest nieskończoną [art. 14.].

Pd. 4. Okazać na podstawie tw. III. — art. 7. — że gdy w szeregu Z a^ wartości \Z\ci%\ dążą do skończonej granicy:

lim \/| a | = l

71    ■ GO

to szereg ma promień zbieżności: r=ljl.

W razie 1 = 0 szereg jest bezustannie zbieżnym.

Już z samej natury rzeczy wynika, że jeżeli na obwodzie (r) mamy bezwarunkową zbieżność, — koniecznym, ale nie dostatecznym warunkiem tego jest skończonośó wszystkich \aj,\rz — to ona na całym obwodzie bez wyjątku objawiać się musi. Przeciwnie jeżeli dla \x^,\ —r jest 2\ax\rx> rozbieżną — co może zajść nawet przy wszystkich skończonych j ax\rx —, to na obwodzie (r) nie znajdziemy ani jednego punktu x\ dla któregoby szereg $$(#') okazał się bezwarunkowo zbieżnym. Z tego wynika :

I.    Pod względem zachowania się szeregów na obwodzie (r) można

je 'podzielić na dwa rodzaje: 1) szeregi bezwarunkowo zbieżne na całym obwodzie zbieżności,    2) szeregi nie dające

w żadnym punkcie tego obwodu bezwarunkowej zbieżnoś ci.

W szeregu (a) mamy na całym obwodzie bezwarunkową zbieżność. Szereg (ó) jest w punkcie -f-1 rozbieżny, a w punkcie x — — 1 warunkowo zbieżny. Szereg (c) jest w punkcie x = — 1 wahająco zbieżny [art. 11]. W szeregu (d) dostajemy w punkcie x = -{-l rozbieżność. W punkcie x —— 1 dążą nieskończenie dalekie dodajniki i do granicy -f-co i do granicy —co [szereg s = PĄ- Qi o dodaj-nikach w ten sposób się zachowujących i w pierwszorzędnej jego części P i w drugorzędnej jego części Q można nazwać nieprzydatnym. Jego wartość nie jest oznaczona].

Zauważmy wreszcie dwa zbieżne szeregi, to o nicli odrazu wywnioskujemy:

II.    Dwa zbieżne szeregi ^(#),    (x) o zakresach zbieżności {ri)₁ (r₂)

posiadają zaicsze wspólny zakres zbieżności a jest nim mniejsze (nie większe) z kół (rj, (r₂).

159. 0 szeregach JP{x). Oprócz zwykłego szeregu potęgowego    rozważa się często w analizie szeregi potęgowe o ar

gumencie 1 / x:

ax

(A)

albo wreszcie nieskończone szeregi:

¹

W dalszym ciągu mówić będziemy krótko „szereg zbieżny¹⁴ zamiast „szereg absolutnie zbieżny⁴⁴.

+ °°

(JB) 2 ax.x*

(C) 2a^-

Z — — oc

— m

Co się tyczy (A), to kładąc —=z, dostajemy zwykły szereg

potęgowy $(#), a gdy jego zakres zbieżności określa nierówność

\z\<C.r( to szereg {A) jest zbieżny w obszarze    —

zewnątrz pewnego koła (r).

Gdy w szczególności (A) jest bezustannie zbieżnym szeregiem

argumentu —=z} to r‘ = oo, a więc r=0, a taki szereg (4) będzie

zbieżny w obszarze |&|>0 t. j. na całej płaszczyźnie argumentu x z wyjątkiem punktu x=0. Stąd twierdzenie:

I. Jeżeli szereg    jest zbieżny — to jego zakres zbieżności

tworzą wzzystkie punkta leżące zewnątrz pewnego koła (r) [o środku x=0], które także do punktu x=0 zmaleć może.

2 a-z • «"*

Szeregi (B): (C) naznaczamy krótko przez P(x).

Pierwszy z nich jest sumą dwóch szeregów potęgowych, a to:

oo

=    i ^axxz=y$t(x). Gdy pierwszy z nich jest

Z — o

Z =0

zbieżny dla \x\'^>rx (podług tw. I.), a drugi zbieżny dla |a?]<Cr₂, to trzeba tu rozróżnić następujące wypadki:

1°. W razie <0₂ ? szereg (5) jest zbieżny w pierścieniu:

(a)

to zakres zbieżności

W szczególności, gdy rx— 0, a więc szereg ^(ar⁻¹) jest szeregiem bezustannie zbieżnym argumentu —

CC

(a) przechodzi na :

(/?)

0<|^j<r₂.

Gdy przy ^i>0, okazuje się r₂=cc

więc ^5₂(ic) jest szeregiem bezustannie zbieżnym, to zamiast (a) mamy wtedy :

|«| > .

Gdy równocześnie mamy ^=0, r₂ =oo, a więc ^1? ^$₂, są bezustannie zbieżnymi szeregami swoich argumentów {x~i, as), to zakres zbieżności szeregu (B) określi nierówność:

(y)

(<*)

x | >» 0.

2° W razie ri=r₂=r reduje się zakres zbieżności szeregu (B) do koła (r).

3° Gdy wreszcie rG>r2J to szereg (B) nie ma żadnego zakresu

zbieżności.

Szereg (G) uważać należy za szczególny przypadek szeregu (■B'); szereg (B) bowiem przechodzi na (G), gdy się w nim <^i(x—i)

redukuje do całkowitej wymiernej funkcyi argumentu —. Ta jest

CC

skończoną na wszystkich miejscach £=1=0, czyli dla takich x₁ których | x j 0. Gdy więc szereg $P₂(#) zawarty w (C) ma zakres zbieżności \x\ <>₂, to obszarem zbieżności szeregu (C) będzie: 0<(|^| 0₂. W razie r₂ = co, mamy obszar |a;j>0.

Zbierając te uwagi, dochodzimy do twierdzenia:

II. Gdy szereg P(x) będący sumą szeregu potęgowego argumentu x i szeregu potęgowego argumentu x~¹ ma zakres zbieżności, to jest zbieżny w pierścieniu o środku #=0. W szczególności może się ten pierścień zredukować do okręgu koła; jego wewnętrzne koło może zmaleć do punktu #=0, a zewnętrzne zwiększyć się do nieskończoności.

Łatwo wreszcie możemy wyrozumować:

III. Gdy szereg P(x) ma być zbieżny w najbliższem otoczeniu punktu x=0, to zaioarty w nim szereg    musi być albo bezustannie

zbieżnym szeregiem argumentu x~¹₁ albo całkowitą, wymierną funkcyą tego argumentu.

Wspomnieliśmy juz, że dwa zbieżne szeregi ^(#),    (x)

zawsze mają wspólny zakres zbieżności. Inaczej już pod tym względem zachowują się dwa zbieżne szeregi P(a), P\(x). One bowiem mogą, ale nie muszą mieć wspólny zakres zbieżności.

Pd. 1. Okazać, że P(x) =

00 00

2^+2**

ŹL =0 '

00    oo

.jest zbieżny w pierścieniu < | x | < 1, a P(x)=    -- -j- ^y

Z=o^'x    z=\

o < ! x | <i.

x&

w zakresie

Pd. 3. Jaki jest zakres zbieżności szeregu S(x—i) 4* K(x), gdzie S, K są szeregami określonymi w art. 157 ?

160. Zbieżność szeregu potęgowego wielu zmiennych. O szeregach JP(x, y, ...). Nieskończoną sumę :

+ co

(1)

2    xxy>* zv...

(^, = 0, [A ~ O, v—0,„.)

w której a^v... są stałemi, x, y, 0,... są m nieograniczonemi zmien-nemi, nazywamy szeregiem potęgowym m zmiennych x, y, z₁ ... a naznaczamy go krótko przez ^3 (x, y, z, ...).

Dla x—y=z...—O ma taki szereg zawsze skończoną wartość, «₀₀₀ ..., a gdy ⁰¹¹ tylko na tern jedynem miejscu jest skończonym nazywamy go rozbieżnym. W razie, kiedy szereg wykazuje skończoną wartość choć przynajmniej na jednem miejscu rożnem od (r=0, y=-O, z=O, ...), to go trzeba pod względem zbieżności dobrze określić.

Podług art. 35. przedstawiamy nieograniczony obszar m zmiennych x, y, z, ... zapomocą m nieograniczonych płaszczyzn. Na tych płaszczyznach zakreślamy okręgi kół:

(2)

i ten system okręgów naznaczmy krótko przez:

[(I). (V), ©,...],

(3)

nazywając go obwodem. Każde miejsce (x, y, z,...) o spółrzędnych \y\<^fj,... nazwiemy miejscem wewnątrz obwodu (3),

a miejsce (x,y,z,...) o spółrzędnych |a?|>|, \y\>y,... nazwiemy miejscem zewnątrz tego obwodu.

Przyjmijmy, że dla wartości (2) czyli na obwodzie (3) okazuje

się suma:

(4)

2\ ...

obwodzie (3) abso-

na

zbieżną. Wskazuje to, że dany szereg jest lutnie zbieżny, a że pomniejszenie wartości £, 17, £, ... w sumie (4) nie narusza jej zbieżności, więc stąd odrazu wnosimy:

I. Szereg absolutnie zbieżny na pewnym obicodzie jest w ten sani sposób zbieżnym także na każdem miejscu wewnątrz tego obwodu.

Jeżeli suma (4) okaże się zbieżną przy wszelkich skończonych |, g, f, ... to szereg jest zbieżny w całym nieograniczonym obszarze (x, y, z,...) i nazywa się bezustanie zbieżnym. Takimi są n. p.

szeregi:

co    oo

^[(xz+yz)lAl],    ¹ *• P*

źl ^.0

Jeżeli przeciwnie szereg nie ma być bezustannie zbieżnym i nie ma być rozbieżnym, to musi się znaleźć pewne miejsce (x,y,z,...) o bezwzględnych wartościach (2) różnych od zera dających sumę (4) zbieżną, a zewnątrz obwodu (3) można będzie zawsze wybrać pewne miejsce o dostatecznie dużych spółrzędnych a więc i ich bezwzględnych wartościach    ...., powodujących S\a;[JlA,v.%.\^lz    ^^... = 00 . (Inaczej bowiem szereg dany byłby

bezustannie zbieżnym, co wykluczono). Aby w tym razie określić zbieżność szeregu, dowiedziemy takiego twierdzenia :

II. Gdy dla x, y, z,... o bezwzględnych wartościach £, rp £, ... wszystkie dodajniki | (izuV... | Y 'if £*... okazują się skończone, a więc nie przechodzą pewnej skończonej granicy g₁ to szereg na wszystkich miejscach (x,y,z,...) o bezwzględnych wartościach | #j=£₀<!£> \ y i=<Z p, \e | = £₀< £, jest zbieżny.

Z założenia mamy:

\a>kpv...\ f*^albo

P Z bo

... <.g, albo wreszcie:

(5)

Sumując po obu stronach od i, fi,    O do co dostajemy

nierówność:

(6)

która wskazuje, że szereg po pierwszej stronie ma wartość skończoną, , a co dowodzi prawdziwości twierdzenia II.

Połóżmyż w (4): ^—rj—^=...^=r, to dostaniemy:

511 ,m v — j    ^

f.lV ..

... skończone, a dla miejsc

a tu można będzie znaleśó — jak w art. 1B7. — taką wartość r=R: że dla miejsc {x,y,z,...) leżących wewnątrz obwodu [(12), (12),...] będą wszystkie dodajniki \ax zewnątrz tego obwodu okażą się te dodajniki już niewszystkie skończone. Szereg sam będzie wewnątrz obwodu tego zbieżnym, a zewnątrz tego obwodu rozbieżnym.

a>Z/.iv... |12₁^12₂^12₃*’... były wewnątrz obwodu

Połóżmy £=12,, rj=R₂₁ £=12₃, ..., to możemy — dając wielkościom 12₂, 72₃, ... dowolne wartości — oznaczyć Rl tak, aby wszystkie dodajniki (2*1, Ą,...) skończone, a zewnątrz tego obwodu przynajmniej jeden z tych dodajników nie był już skończonym. Sam szereg jest wtedy zbieżny wewnątrz (JR₁, _R₂, ...), a rozbieżny zewnątrz (Rit I2₂, ...).

Przy tern z jR1? J2₂, J2₃, ... muszą być niektóre y>12, a niektóre <(12, a obwodów (72t,i2₂,...) o opisanej dopieroco własności jest nieskończenie dużo. Z tych uwag wynika :

III. Jeżeli szereg potęgowy y, z,...) nie jest bezustannie zbieżny, i nie jest rozbieżny, ń? możlkuem jest zawsze w obszarze jego m zmiennych wyznaczyć m hol równych lub różnych’. (12,,72,,...) w sposób, każdem miejscu wewnątrz tych kół szereg jest zbieżny, a wa każdem miejscu zewnątrz nich — choćby niektóre ze spółrzędnych określały się, punktami na obicodzie (72,, 12,,...) — rozbieżny.

Obszar wszystkich miejsc icewnątrz każdego obwodu (12,, 12₂, ...) tiuorzy continuum otaczające punkt (0,0,...,0) i nazywa, się ścieśnionym zakresem zbieżności. Obwody kół 1?,, 1?₂,... razem wzięte są jego obicodem.

Na zupełny zakres zbieżności składa się nieskończona mnogość zakresów ścieśnionych, a na jego obwód składają się obwody wszystkich zakresów ścieśnionych.

Uwaga. Gdy o szeregu

x^y^zv... wiemy, że bezwzględne wartości

jego wszystkich dodajników są skończone w obszarze; i\<C\x\<Żr\, r%<\y\<jr\ r₃<\z\<r'₃

to taki szereg niezawodnie jest zbieżny wewnątrz obwodu: (r'n r'₂, r'₃, ...).

+ - = &(«) +    + ^P:i 4) + %{x-y-z)

był zbieżnym trzeba, aby równocześnie spełniały się nierówności:

M<², |y|<B, |*|<7, |a?.y.»|<8³

Połóżmy |x\ = r1: \y\ — r₂, jz| = r₃, to r₁=r₂=r₃—2 dają ścieśniony zakres zbieżności (2,2,2). [|a?| = 2 jest prawdziwym zakresem zbieżności szeregu

27

Pd. 1. Szereg 1 +    + yp

xhj²    x³y³

—}- ... zbieżnym jest dla |sc.y|<4, a roz

bieżnym dla |«.y|>4. Pierwsza z tych nierówności wyznacza wszystkie miejsca zupełnego zakresu zbieżności. Połóżmy |x\=ru |y|=r₂ to równanie . r₂ = 4 daje

okręgami kół    0 < ^ < co, obwód zupełnego zakresu zbieżności.

Wnętrze każdego takiego obwodu jest ścieśnionym zakresem zbieżności, a ten przy r₁=r₂ określi się przez: |#|<2, |y|<2.

Pd. 2. Aby szereg :

¹ + T + ł + T + £ + 3T

Z²

J---t-

^ 7²

3³

#⁴

!/⁴

z⁴

a;⁵

y⁶

*ł“ 24 4" Q4 4” ^4 4” 05 4” g5 4

a?²y²z²

7⁵

86

Połóżmy ri= 2, y = 5, to warunek r₁r₂r₃ = 2.5.r₃<3³ daje: **3<^Jq, a w4‘c zbiór kół (2, 5, 27/10) będzie również ścieśnionym zakresem zbieżności i t. d. Zauważmy wreszcie dwa zbieżne szeregi:

$0«!•••),

Ponieważ każdy z nich jest przede wszy stkiem zbieżny w pewnem continuum otaczającem punkt (0,0,..., 0), więc stąd wynika:

IY. Diva zbieżne szeregi ivielu zmiennych posiadają zawsze wspólny zakres zbieżności, będący pewnem continuu m, otaczającem punkt (0, 0,...).

Gdy szereg ^

ma w

argumentach 1 jx, 1 jy, 1 jz,...

ścieśniony zakres zbieżności 1 j\x\<iR\^ H\y\<Ó.R\i •••» to w argumentach x, y, 0, ... jego ścieśniony zakres określi się przez :

\y\>r<₂? -

(«)

gdzie r'„=l/JB,a, a= l, 2, 3,... Zauważmy sumę:

P(a:, y,

aj y

r—i Y)

w której szereg ^ ma zakres zbieżności (a) zbieżności:

a szereg zakres

(&)

l^l<r2₇ -

Jeżeli okazuje się r\<jri1 r'₂<Zr₂, ... — to szereg P będzie miał (ścieśniony) zakres zbieżności:

(c)

r\<\x\<r^ r‘₂<.\y\<r₂, ...

W przeciwnym razie szereg P nie ma zakresu zbieżności — jest rozbieżnym.

Jeżeli szereg P ma być zbieżnym w bezpośredniem otoczeniu miejsca (0, 0,    0), to i tu    y⁻¹,#⁻¹,...) zredukować się musi

do szeregu bezustannie zbieżnego argumentów 1 jx, l/y, ljz,... lub do wymiernej funkcyi całkowitej tych argumentów.

161. Jednostajna zbieżność i ciągłość szeregów jednej zmiennej.

Zajmijmy się teraz własnościami szeregów w ich zakresach zbieżności.

Gdy a jest dowolnym punktem, leżącym wewnątrz zakresu zbieżności (r) szeregu $($(#), ale nie zbliża się dowolnie do obwodu (r), to taki punkt a okrążać tu możemy tylko po takich zamkniętych drogach, które całkowicie w (r) się zawierają. Zatrzymu-jąc ten konieczny warunek połóżmy:

raz x=a-\-Q.l<p, a drugi raz x=a-\-Q.lcp₊2n: to z tych samych powodów, jakie mieliśmy w art. 48., każde takie dowolne okrążenie poczynające się w punkcie x nie zmieni wartości szeregu po powrocie do punktu x.

Ponieważ równanie (a-j-ę>l₍p)p=(a + pl₉j+27r)p utrzymuje się przy całkowitem p dodatniem lub ujemnem, więc to samo da się powiedzieć i o szeregu P(x).

Lecz takie same wnioskowania dadzą się zastosować do szeregów ^5 (a?,y,£,...), P(x:y, z,a stąd twierdzenie:

I. Szeregi $(#), P(a?), 9$(x,y, z,...), P(x,y,z,...) są wewnątrz zakresów zbieżności jednoznacznemi funkcyami swoich argumentów.

W zakresie zbieżności (r) szeregu ^5 (x) zakreślmy koła (£), (£₀) o promieniach £₀<z£<^r i zauważmy nierówność:

[(5), art. 157.].

Sumując po obu stronach od pewnego 0 aż do co , dostajemy:

(1)

Z—n    1 —

io

£

a że -y-<l, więc n można będzie zawsze obrać tak duże, że prawa strona ostatniej nierówności okaże się mniejszą od pewnej dowol-

00

nie małej, dodatniej ilości e. Wtedy mamy także ^ 1 a z! £0 ^ < c,

a że

2 a z xz

oo

I    więc mieć będziemy:

Z—n

Z=n

(2)

Rn=

<£

Z=.n

[por. art. 28., tw. III.].

Połóżmy: £—r—ó, i₀=r—2d, gdzie (f>0 jest pewną obraną, dowolnie małą ilością, to |₀/^=(r—2d)/(r—(5)=^ będzie ułamkiem właściwym (dodatnim), a dla wszelkich |#|<> — 2ó będzie statecznie \x\j \x\j (r—ó) <jsĄ. Ponieważ dalej przy \x\<żr—2d mamy statecznie \az\\x\z <Z.\ai\Ę>z, więc tu na wzór nierówności (1) dostaniemy :

2 \a^x^\

Z.—n    1

gdzie e przy dostatecznie duźem n jest dowolnie małą dodatnią ilością. Znaczy to, że przy takiem n mamy Rn<C.s, a że zwiększenie n tej nierówności nie naruszy, więc także jest:

co

Bn+S= 2 az xz <£

Z=n+s

na wszystkich miejscach wewnątrz koła (r—2d), a te — ponieważ d>>0 jest dowolnie małe — wypełniają wnętrze zakresu zbieżności (r). To znaczy:

II. Gdy e jest dowolnie małą dodatnią ilością, to możliwem jest zawsze obrać dostatecznie duże, całkowite, dodatnie n w ten sposób, że bezwzględne icartości reszt szeregu poczynających się od anxn, an+iXn+1, ... okażą się iv całym zakresie zbieżności szeregu mniejsze od e. Tę własność nazywamy jednostajną zbieżnością szeregu i mówimy: szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżnym (w sic oj cm kole zbieżności).

Grdy (w-fs) wybierzemy tak duże, że już będzie Rn+S<^-

równocześnie zakładając h>s mamy także Rn+(J<Ż-Stąd wynika Rn+sĄ-Rn+a<Ż£. Lecz

(3)

s=0,1, 2, ...

to

tO co

n+a

Z—n+a

Z,—n-f-s

a więc równocześnie z (3) mamy także :

n -)-a

Z—tiĄ-s

(30

2a^ <«

s=O, 1, 2, ...; b>s.

Ta nierówność charakteryzuje jednostajną zbieżność szeregu, a dla o=oo przechodzi na (8).

Z tej nowej cechy zbieżności da się odrazu wykazać, że szereg $(#) jest wewnątrz (r) ciągłą funkcyą swego argumentu.

Niech bowiem x, x+h będą dwa miejsca leżące wewnątrz (r),

to mamy:

71 — 1

00

00

$(a+fc)=2 au0+^+2    $0*0=2 a^+2 a;/xZ'

Stąd — po odjęciu drugiej relacyi od pierwszej

71 — 1

dostajemy :

(4)

oo

2 (x+h)x — 2 a*    •

Przyjmijmy \h\<i£, gdzie e dowolnie małą dodatnią jest ilością i zauważmy, że drugi dodajnik po prawej stronie w (4) mniejszym jest od:

oo

oo

(B)

2 az (x-\-h)z + 2«*** •

(YI°, art. 20.).

Każdą z sum w (5) można — gdy już n podług warunku (3) obrano — w całym zakresie (r) uczynić mniejszą od dowolnie małych dodatnich ilości ó1} ó₂.

Połóźmyź w (4) za drugą sumę po prawej stronie: (d₁+d₂)=f₂, to dostaniemy:

71 — 1

(6)

^(x + h) — ^(x) < 2    2 aA X‘¹ +£2-

71— 1

Lecz 2i aAX* jako funkcya wymierna całkowita jest ciągłą o

dla wszelkich skończonych x, a więc i wewnątrz (r). Wskutek tego przy | li | <C e dostaniemy równocześnie:

n—1

n-1

gdzie ei jest również pewną dowolnie małą dodatnią ilością.

Uwzględniwszy to w (6), mamy: |$P(a:+7&)—$£(#) | <C.£\ + e₂-Lecz dalej    można uczynić mniejszą od pewnej dowolnie

małej P, a stąd wynika, że równocześnie z nierównością |ń|<.£ okazuje się:

!$(#+&)—$P(a?)| <V.

(7)

Takie zachowanie się szeregu    nazywamy — jak w teoryi

funkcyj wymiernych - jego ciągłością. Mamy więc twierdzenie:

III.    Szereg potęgowy jest bezwarunkowo i jednostajnie zbieżny w zakresie zbieżności (r) i jest ciągłą funkcyą swego argumentu.

Każdy szereg P(a?)==ipi(a;_¹)4-^2(a;) będzie w swoim zakresie zbieżności r₁<^\x\<ir₂ również jednostajnie zbieżnym, gdyż tak z    jak z    niożliwem będzie przy jednem i tern samem

dostatecznie dużem n wydzielić reszty, których bezwzględne wartości jRi)W+s, JR2,n+s dowolnie małe być mogą odpowiednio w zakresach r₁<Z \x\ i r₂j>\x\ a więc i w zakresie r^<^\x\<ir₂.

Lecz na podstawie tej własności udowodnić będzie można — analogicznie jak o $($(#) — że P(x) jest ciągłą funkcyą argumentu x w swoim zakresie zbieżności.. Mamy więc twierdzenie:

IV.    Szereg P(x) — w szczególności ^(a?⁻¹) — jest w swym zakresie zbieżności jednostajnie zbieżnym i jest funkcyą ciągłą swego argumentu x.

162. Jednostajna zbieżność i ciągłość szeregów wielu zmiennych. Analogiczne twierdzenia dadzą się udowodnić o szeregach z,...), P(x,y,z,...) m zmiennych x,y,z,...

Napiszmy szereg potęgowy ^5 w postaci:

S$(x,y:z: ...)=vę)Ą-viĄ-v₁-{-vi-\-..n

gdzie va jest jednorodną funkcyą ates° stopnia zmiennych x,y,z₁..., a nierówności (5) [art. 160.] sumujmy poczynając od

J-f-g -j- v -f- ...=a=n

aż do oo, to dostaniemy:

(1)

a=n

az=n

a stąd wy

Lecz w va mamy wyrazów    [art. 70.]

że gdy po prawej stronie ostatniej nierówności za ułamki

nika

fo/|, %lf], f₀/£,... wstawimy największy z nich =t, to dostaniemy sumę:

... Że zaś

az=.n

a—n

-Rn— Va    | Q>Znv... |

a—n

| a—n

więc mamy nierówność:

(2)

Rn /7^jj Gatci ,

a—n

która się spełnia na każdem miejscu (x,y,8,...) o bezwzględnycli wartościach |#[—£₀, \y\=rj₀₁ \z — f₀, leżącem wewnątrz zakresu zbieżności danego szeregu. Lecz wiemy [Pd. 2., art. 158.], że szereg

oo

2cata jest zbieżnym dla ułamkowych t, a jest tu właśnie takie.

o

Stąd pochodzi, że przy dostatecznie dużem n będzie można

co

g.2cata uczynić mniejszem od dowolnie małej dodatniej ilości

ct—n

g.£‘<i£. Wtedy — podług (2) — mamy równocześnie:

(3)

Rn <^£-

Ręcz się nie zmieni, gdy w reszcie Rn — \vnĄ-vn+\Ą-Vn+iJr...[ z pierwszej funkcyi vv odrzucimy kilka (początkowych) zawartych tam dodajników, a przez to i tu reszta poczynająca się od dostatecznie dalekiego dodajnika może co do swej bezwzględnej wartości być mniejszą od dowolnie obranej dodatniej ilości.

Niech (s) = ((r₁), (r₂), (r₃),...) będzie jednym ze ścieśnionych zakresów zbieżności danego szeregu. Połóżmy :

di, rj=r₂—ó₂,    Ó₃,

fo——2di, f}₀=r₂-2d₂, £o ==r₃“2ó₃, gdzie d1? ó2: d₃, ... są-to pewne obrane dowolnie małe dodatnie ilości. Największy z ułamków właściwych:

r₂ — 2ó₂

, ...

lo    _

I /-i—di ’    7]    r₂-ó₂

naznaczmy przez x. Wtedy — gdy tylko n dostatecznie duże obierzemy — dostaniemy:

a=n

na wszystkich miejscach wewnątrz obwodu ((y±—2d±), (y*₂—2da), ...) t. j. na wszystkich miejscach (x, y, z,...) o \x\<j\—2d1? \y\<J‘%—2d₂,... Lecz wtedy także będzie:

a—n

(4)

Rn+s— I 'yn+s + ^M+s+ld⁻ ... j <C£, i w całym zakresie ((>*!—2^), (r₂—2d₂), ...), a ten — ponieważ ót, ó₂,... są dowolnie małe — wypełnia wnętrze zakresu zbieżności (s).

Liczby n określone dla poszczególnych ścieśnionych zakresów zbieżności nierównościami (4) będą wszystkie skończone. Wybierzmyż ich górną granicę: v₎ to dostaniemy:

Pv+s~\vvą-s+Vv+s+\ + ••• | <C

i analogicznie:

| Vv+sĄ-VvJrS+x -1- ...-\-Vvjra\ <C

s==0,1, 2,...

we wszystkich ścieśnionych zakresach zbieżności, a więc i w zupełnym zakresie zbieżności. To wskazuje, że szereg ?${x, y, 0, ...) jest jednostajnie zbieżnym w zupełnym swym zakresie zbieżności. Niech (x, y, 0, ...), (#+7i, y+k: 0+7,...) będą dwa miejsca leżące

wewnątrz zupełnego zakresu zbieżności, a

(5)

h\Cei: |&|<£₂,    171 < £3j ...

gdzie £s są dowolnie małe dodatnie ilości. Połóżmy:

^    ^    oc

$(+V, z,...)=2va+2va

n—t    o,

^(z+h, y+k, 0+7, ...)=2wa-\-2w

gdzie va są — jak przody — funkcyami jednorodnemi ates° stopnia zmiennych #, y, 0, ... a wa takiemiż funkcyami zmiennych (z + h), (y+&), {2+1)7... i utwórzmy różnicę $($(#-}-h: y+&, 0+7,...)— ?$(x,y, 0, ...)

/n —

= ( 2 Wa—

\ O

Z tego równania wychodząc, dojdziemy analogiczną drogą, jak w teoryi szeregu ^(a:), do wniosku, że równocześnie z nierównościami (5) spełnia się zawsze nierówność:

(6)

$ (x+h, y+k, 0+7, ...)—$ O, y, + •••)! < o dowolnie małej, dodatniej ilości e — a to dowodzi, że szereg jest funkcyą ciągłą swoich argumentów na każdem miejscu wewnątrz zupełnego zakresu zbieżności.

Nie ulega wątpliwości, że to samo da się wywnioskować o szeregach “p (ar⁻¹, y⁻¹, 0⁻¹,...), P(x, y: 0,...), a stąd wynika:

I.    Szeregi $(£, y, 0,...), ^(ar^y-¹, z~\ ...), P(x, y, 0,...) są jednostajnie zbieżne w swych prawdziwych zakresach zbieżności.

II.    Takie szeregi są ciągłemi funkcyami swoich argumentów.

163. O wydzielonych szeregach podług danego modułu lub danych modułów. Twierdzenia o spółczynnikach. Gdy z szeregu P{x) — lub $P(a:), lub wreszcio ^(z_1) — zatrzymamy te tylko jego dodajniki, których wykładniki są =0{mod. m) to sumę wszystkich tych dodajników nazywamy wydzielonym szeregiem (mod. m) i naznaczamy przez P{x,m) [por. art. 69. i literaturę tam podaną]. Każdy szereg P(#, m) jest niezawodnie zbieżny w zakresie zbieżności pierwotnego szeregu P(x), a gdy napiszemy P(x)=a₀ +P'(x), gdzie a₀ jest wolnym wyrazem szeregu P{x), to w zakresie zbieżności jest zawsze :

lim P(x, m)—a₀

(1)

m=oo

gdyż lim P‘ (r, m)—0.

?n =oo

Podobnie w szeregu P(x, y, z,...), [lub y₁ z,...), lub wreszcie ^(ar⁻¹, y~\ £_1,...)] sumę wszystkich tycb jego dodajników, w których równocześnie: wykładnik zmiennej x jest =0 ([mod. w₁), wykładnik zmiennej y jest =0 {mod. m₂), ... nazywamy wydzielonym szeregiem według modułów mi,m₂,m₃,... [modd. m₂, m₃,...] i naznaczamy przez P(x,y,z,...) mi7 m₂, m₃₁...). Szereg ten jest i tu zbieżny w zakresie zbieżności danego szeregu, a jeżeli a₀₀₀ ... jest wolnym wyrazem szeregu danego, to w zakresie zbieżności będzie i tu:

lim P(x, y, z,...:    m₂, m₃, ...)=a₀₀₀...

(2)

m₁— co m₂— co

Po tych definicyach zakreślmy w zakresie zbieżności {rx <\x\<ir₂) szeregu P(x)=2az xx koło (r) o takim promieniu, że rt<Z.r <ir₂. Na okręgu tego koła naznaczmy punkta :

X, X£, £C£², X£³

gdzie x dowolnie leży na tern kole, a £=1.2

m

Punkta te (wierzchołki) wyznaczają regularny m-bok wpisany w koło (r). "W tych wierzchołkach ma P(x) wartości P(X£>*),

P(X£U)

(a)

X£

71-,

m^> O, całkowite.

a .ich średnia arytmetyczna:

suma m bezwarunkowo zbieżnych szeregów ma tę własność, że w niej można dodajniki dowolnie w grupę łączyć [art. 28. tw. VII]. Łącząc więc jednomienne jej dodajniki w sumy, dostaniemy:

771—1

fi*= 0,1, 2

m—1

jako

(3)

2j P (x&u)=P(x, m)

f

o czem w ten sam sposób, jak w art. 69. przekonać się można.

Nazywając (3) średnio arytmetyczną mod.m szeregu P{x) na okręgu (r), mamy twierdzenie:

I. Średnia arytmetyczna mod. m szeregu P{x) na okręgu koła (r) w jego zakresie zbieżności równa się wydzielonemu szeregowi P (x, m) dla x wpadającego w jeden z m wierzchołków.

Z równania (3) dostajemy:

m—1

Teorya funkcyj

a gdy x jest punktem, na którym \P{x)\ ma na okręgu (r) największą wartość g, to kładąc w (4) za każde \P(x.ett)\ największą tę wartość g, mamy:

(5)

g>\P(x, m) |

w.

przy \x\=r i przy każdem dowolnem, ale skończonem

Obierzmy dowolnie małą, dodatnią ilość ó, to wtedy dostatecznie dużem m możemy zawsze spełnić nierówność j P‘(x,m)j<^ó. W takim jednak razie mamy:

I p(x, m) |=|«₀ +-P¹ Ou w) | > | «₀| — I (®, *») |

>|«o| — d.

Uwzględniając to w (5) dostaniemy: #>|a₀| — d, czyli:

(5')

y-f d>|a₀|.

To wskazuje, że Ja₀| jest mniejsze od każdej wielkości nieskończenie mało większej od g, a gdy tak, to już musi być i

(6)

9^ KI-

Ponieważ według (1) jest a₀=lim\P(x, m)J, więc nierówność

772= oo

(6) można także napisać w postaci: g~>lim \P(x,m)\*).

Iloraz P(a;) / ^ = P* (oj) będzie nym wyrazie , lim Pz (x, wi)~ax. a że \Pz(x)\ posiada na kole (r) największą

772=00    °

771= 00

ale o wol-

znowu szeregiem ^ > 0. Według określenia (1) dostajemy tu

war

tość gir*, więc stosując tu (6) dostajemy:

!/>\az\r*, ^=0, jhl, +2,...

(7)

a stąd twierdzenie:

II. Gdy w zakresie zbieżności szeregu P(x) zakreślimy koło (r), a z wartości i P(x) \

na okręgu tego koła największą jest g, to bezwzględna wartość dowolnego dodajnika tego szeregu na tym okręgu nie jest nigdy większą od g.

Gdy na okręgu (r) ma \P(x)\ najmniejszą wartość y, to w podobny sposób dowieść łatwo, że :

(U)

y<\ax\r*.

Analogiczne twierdzenia dadzą się wyprowadzić dla szeregu P{x, y, z,...).

Zakreślmy na

kół (rj), (rj), (r₃), ... leżące wewnątrz zakresu zbieżności i wijmy je obwodem:

płaszczyznach. (x), (y), (z), ... odpowiednio okręgi

naz-

*) P(x,m) — a₀ uważać trzeba jako średnio arytmetyczną (3) nieskoń-

772 = 00

czenie wielu (m = oo ) szeregów.

na okręgu (r₂) m₂ punktów:

m₂

i t. d. i zauważmy [mt. m₂.w₃...]=211 miejsc:

(a*i“> ^ ^3y, •■•)

(9)

a = 0, 1,

w₂—1, y = 0, 1,..., m₃ — 1, ...

Miejsca (9) nazywać będziemy krótko wierzchołkami. Tworząc średnią arytmetyczną z wartości szeregu na tych wierzchołkach , mieć będziemy:

Ti/r    P(X£^aj y£₂^, Z£₃•••)    y1 8} ••• J

1,

(8)

((/i), 0₂), fa),-)-

Na okręgu (r^) wybierzmy mi punktów:

X£i™x

X, X£i, X£₁ ²

-12 TT

(10)

(por. art. 86.), a to znaczy:

III. Średnia arytmetyczna szeregu P modd. mx, m₂, m₃, ... wa oi-wodzie leżącym wewnątrz zakresu zbieżności równa jest wartości wydzielonego szeregu według tych modułów na jednym z obranych wierzchołków. Z równania (10) wynika:

(11)

1 ^

ijy 2 lpOei“5 ^ ^₃⁷, ...)|>!pO, y, 8,...,*

a,p,y,..

; ą,w₂,«₃, ...)|

a gdy (os, y, z, ...) będzie miejscem, na którem |P| ma największą wartość g na obwodzie (8), to kładąc w (11) za każde iP^e^ye/, ...)| największą tę wartość g, dostaniemy:

9>\P(#,y, 8,...; *%, m₂,m₃,...)|

przy dowolnie obranych, skończonych m₁, m₂, m₃,... Dalej takiem samem rozumowaniem, jak o szeregu P(#), dojdziemy do nierówności:

#)>Koo-|-

Iloraz Pl(xx y^ zv ...)=Pa₁a,v... jest znowu szeregiem, ale o wolnym wyrazie a^v,, \Pxgv...\ posiada na obwodzie (8) największą wartość g /(r^r^r^...). Stosując do tego nowego szeregu nierówność (13) mieć będziemy:

(12)

(13)

(14)

g<\ a*.nv... \rxxr₂f*r₃v... To znaczy:

IY. Gdy w zakresie zbieżności szeregu P zakreślimy obwód ((^i), (r₂), (r₃), ...), a z wartości \P\ na tym obwodzie największa jest g, to bezwzględna icartość dowolnego dodajnika tego szeregu na tym ob ■ wodzie nie jest nigdy większą od g.

Uwaga I. Z rozważań tego artykułu wynika, że dodatnia ilość g określona w tw. II. art. 157. i w tw. II. art. 160. iest tą samą, iaką tu mamy w nierównościach (7) i (14).

Uwaga 2. Powiedzieliśmy, że szeregi wydzielone są zawsze zbieżne w zakresie zbieżności danego szeregu. Lecz ten zakres nie potrzebuje być z reguły prawdziwym ich. zakresem zbieżności, tak, że raczej powiedzieć trzeba: Zakres zbieżności wydzielonego szeregu nie jest nigdy mniejszy od zakresu zbieżności szeregu danego.

Pd. 1. Z szeregu:

1 + 2x + x³ + (2x)³ +    (2x)⁵ +...

zbieżnego dla ja;|<C. wydzielić szereg mod. 2. i oznaczyć jego zakres zbieżności.

Pd. 2. Z szeregu:

00

l-\-X-\-x'i x't -p X⁵ -f- X⁶ -f- X

2/1+1

/l—3

zbieżnego dla [ as}    1 wydzielić szereg mod. 2. i oznaczyć jego zakres zbieżności.

164. Punkta zerowe (pierwiastki) szeregu potęgowego jednej zmiennej w zakresie zbieżności. Zauważmy zwykły szereg potęgowy :

%{x)=a(j +a₁x+a₂x²+... o zakresie zbieżności (r), a o wolnym wyrazie «₀=ł=O.

W zakresie jego zbieżności zakreślmy skończone (nie dowolnie małe) koło {rx) <^{r) i przyjmijmy, że na okręgu tego koła posiada |^(#)| największą wartość g. Wtedy mamy g|albo

Mnożąc obie strony tej nierówności przez ę*, gdzie dostajemy :

\<*a\ Q*<g    IrS).

Sumując tu po obu stronach od i=l do go i uwzględniając, że : | ayx + a^x²+o₃^³+ ... |! ^! = ₉ < | %| q + \a₂\ g²>+1 a₃\g³ +... otrzymamy na całym okręgu koła (ę):

ri

|aix+a₂x²+a₃x³+...\<g-^.

Lecz q, które już    przyjęto, można dalej ograniczyć do

takich wartości, że dla nich statecznie będzie:

Q ri

<l«o !•

ri ri~Q

Takie wartością posiadać będą pewną górną granicę: ii<r1 i wtedy będzie:

|ąa;-fa₂a;²+...| <|a₀1 dla wszelkich \x\<iB t. j. w wnętrzu nie nieskończenie małego koła (R) otaczającego punkt x=0 (o środku x=0).

W tern kole ostająca się nierówność (1) wskazuje, że się tam szereg nigdy zerem nie staje, a stąd twierdzenie:

(1)

I. Szereg potęgowy ^P(ic) o wolnym wyrazie a₀rpO nie jest nigdy zerem w pewnem skończonem otoczeniu swego środlca zbieżności (punktu x = 0).

Gdy w szeregu jest a₀=a₁=...=aTO_i=O, am =ł=0, to i w takim

szeregu =

xm [am-\-am+\x+am+₁x¹-\-..]=xm .?&(&) nie znajdziemy — oprócz m-krotnego punktu zerowego #=0 — żadnego więcej pierwiastka w pewnem skończonem otoczeniu \x\C.R. W przeciwnym bowiem razie szereg    o wolnym wy

razie am=$= O nie mógłby mieć własności wyrażonej w twierdzeniu I.

Z tych uwag wynika, że szereg — bez względu na to czy jego wolny wyraz =0, czy też jest r{=0 — nie może w swym zakresie zbieżności stawać się zerem na nieskończonej mnogości miejsc z punktem skupienia x=0, albo w pewnem, choćby bardzo małem continuum otaczającem x=0. Z żądaniem takiem musi się więc równocześnie łączyć identyczne znikanie szeregu, to zn. a₀—ai — = a₂==a₃ ==... = 0, a stąd twierdzenie:

II.    Szereg, który w swoim zakresie zbieżności ma się stawać zerem na nieskończenie wielu miejscach z punktem skupienia x=0, lub w calem— choćby dowolnie malem continuum otaczającem punkt x=0, nie istnieje — chyba, że jest identycznie zerem.

Lecz łatwo udowodnić twierdzenia:

III.    Szereg ^3 ty), który na nieskończenie wielu miejscach o skupieniu x=0, lub w bardzo malem continuum otaczającem ten punkt ma tę samą wartość c =4= 0, jest identycznie =c.

Zauważmy bowiem różnicę c—^5(a?)=(a?), to ^ty) jest identycznie zerem, a więc $J$ty) identycznie =c.

za-

165. Punkta zerowe (pierwiastki) szeregu potęgowego wielu zmiennych w zakresie zbieżności. Analogiczne własności posiada szereg $ty, y, *, ...). Przyjmując jego wyraz wolny ao₀₀...=£O, kreślmy w wnętrzu jednego ze ścieśnionych jego zakresów obwód (ty), ty), ...) i naznaczmy największą z wartości |$| na tym obwodzie przez g. Wtedy mamy:

Mnożąc obie strony tej nierówności przez dodatnie ilości Qi>Q2iQ3}— takie> źe Q\<ri: (>2<r2> ^3<r3?- dostajemy:

\(Hi*v..\qYq^Qzv -<g ■[ —

N Y(Qz Y

r± } \r ₂

Sumując tu po obydwu stronach od /i4-fi+v+...=a=l do go i uwzględniając, że na wszystkich miejscach obwodu 0>₂)> (śb)?-'-) jest:

'^az!Av..xxyflzv... ^ ^ | a Au

Qzv-, i ze:

a=l

« =i

..-1

(‘-Ir )K)K)-

/y* np fy*

^__rl * '2* a3,m__^

Oi—£i)0*2-£₂)0*3—£₃)-

mieć będziemy:

>]

r

«=l    L

rir2r3-

(rl £l) 0*2    £2)0*3    £3)-"

Lecz ^1? g₂, ... — zatrzymując warunek: g₁<C.ri, £2‘0*2>"’ — możemy ograniczyć do takich dostatecznie małych wartości, że dla nich będzie statecznie:

l]|<0 a₀₀₀ ...|

ry* ry* ry*

'!• A2* A3‘"

0*i —£i)0*2 — £₂)"‘

a dalej :

(1)

^    y‘w zv'... | <C | o o • • • I *

a=1

Te wartości będą miały pewne skończone, górne granice JRil R₂, ... Wtedy widocznie na wszystkich miejscach (x, y, z,...), gdzie    \y\<iR₂, I z\ <-^3? •••> spełnia się nierówność (1),

a stąd twierdzenia:

I.    Szereg y, ...) o wolnym wyrazie a₀₀₀...=fzO nie jest nigdy zerem iv pewnem skończonem otoczeniu miejsca (0, 0,..., 0).

II.    Szereg l^{x, y, z,...) o wolnym wyrazie a₀₍₎₀...rpO, znikający na nieskończenie wielu miejscach z punktem skupienia (0,0, ...,0), lub w pewnem , choćby bardzo matem continuum otaczającem punkt (0, 0, ..., 0), nie istnieje, chyba, że jest identycznie zerem.

Wreszcie dojdziemy i tu do twierdzenia:

III.    Gdy szereg na mnogościach miejsc określonych w tw. II. przy• biera wartość c~j=0, to jest identycznie —c.

ROZDZIAŁ XIII.

Arytmetyczne łączenie szeregów potęgowych.

166. Sumowanie skończonej liczby szeregów jednej lub wielu zmiennych. Po zbadaniu własności szeregów $(#), )$(#, y, z, ...) w ich zakresach, zbieżności, zajmijmy się teraz łączeniem ich zapomocą działań arytmetycznych biorąc pod uwagę odrazu ogólniejsze szeregi P(x), P(x, y, z, ...)¹ ²),

Przedewszystkiem zauważyć tu potrzeba, że o takiem łączeniu szeregów tylko wtedy może być mowa, gdy ta szeregi posiadają wspólny zakres zbieżności.

Gdy jest danych m szeregów:

P\łP),    -Pm (¹0,

-f- oo

Pk{x)= ^ akZxz

k= 1, 2, m

o wspólnym zakresie    to każdy z nich jest wewnątrz

4- oo

(r₁...r₂) absolutnie zbieżny. W ich sumie można więc dodajniki akxxz, 7c=1, 2, ..., w, 2=0, dz 1, ±2, ... dowolnie porządkować [art. 28., tw. VII]. Łącząc więc dodajniki jednomienne w sumy, dostaniemy:

2P¹(aO= 2 °zxX

k— i

Z — — CO

Stąd mamy taką regułę sumowania skończonej liczby szeregów Pk(x) lub $¹(«).

I. Sumę skończonej liczby szeregów Pk (x) (lub różnicę diuóch ich) tworzymy — pod warunkiem, że posiadają wspólny zakres zbieżności — łącząc dodawaniem (lub odejmowaniem) jednomienne ich wyrazy. Suma (różnica ich) będzie szeregiem P(x) zbieżnym niezawodnie w wspólnym zakresie szeregów Pk(x), ale ten zakres nie potrzebuje być prawdziwym jej zakresem zbieżności.

Tak samo sumuje się szeregi Pk (x, y, z,...), &=1,2, ..., m w razie, gdy posiadają icspólny zakres zbieżności    (r₂...r₂),...).

(Ti

fP(a?) = 1—2x-j-x² — (2x)z    xk — (2x)hĄ-...

Pd. 1. Szeregi:

%(x) =^2x + (2x)³ + (2xy +...

mają wspólny zakres zbieżności |aj)<l/2. leli suma 1Ą-x²xzxtzbieżną jest dla \x\<^ 1.

Pd. 2. Szeregi:

== 2 -f- 3 x 4 x² — x⁵ — a?⁶ — a?⁷ —...

5pt(a;) = xh a?⁶ -j- x"‘ -J- ...

mają wspólny zakres zbieżności: |#|<1, a icb suma =2 3x Ax², jako wymierna całkowita funkeya, zbieżną jest w całym nieograniczonym obszarze (x).

Przyjmijmy, że dwa zwykłe szeregi $J3(#), lub $P(#, y, z, ...) y, z,...) wykazują we wspólnym zakresie zbieżności te same wartości na nieskończenie wielu miejscach z punktem skupienia x=0 lub (0, 0, ...) albo wreszcie w dowolnie małem continuum, ota-czającem ten punkt. Bóżnice ^3—^3₁ są na wszystkich miejscach mnogości zerami, są więc identycznie zerami [art. 164, 165.], a stąd wynika, że identycznie 5)3=^. To znaczy:

II. Dwa szeregi potęgowe jednej lub wielu zmiennych, wykazujące ive wspólnym zakresie zbieżności równe wartości na nieskończonej mnogości miejsc z punktem skupienia x=0 lub (0,0, ..., 0), albo rereszcie w dowolnie małem continuum, otaczającem ten punkt, są identyczne.

167. Zakresy jednostajnej zbieżności sumy 2-P₇.(^) i jej

7—0

ciągłość w tych zakresach. Reguły sumowania skończonej liczby szeregów Pk(x) nie można zastosować do nieskończonej liczby szeregów, posiadających wspólny zakres zbieżności (ri...r₂), jeżeli się

poprzód nie zrobi pewnego zastrzeżenia wielkiej doniosłości.

00

Przyjmijmy mianowicie, że S(x)—2Pk(x) jako szereg o dodaj-

k—0

nikach Pk{x) jest w pewnym zakresie (JRi...B₂) zawartym w (r₁...r₂) jednostajnie zbieżnym. Ma to i tu to znaczenie, że za obraniem pewnej dowolnie małej dodatniej ilości £ można dostatecznie

oo

dużem n spełnić nierówności 12 Pk{x) | <C £ i wynikającą stąd nieró-

k^,n + s

«i

wnośó \ 2Pk(x)\<.e na wszystkich miejscach zakresu (Bi...B₂).

k—n

W zakresie tym jednak nie potrzebuje być suma S(x) równocześnie i bezwarunkowo zbieżną.

oo

Przy takiem założeniu udowodnimy naprzód, że S(x)==SPk(x)

k — O

jest ciągłą funkcyą swego argumentu w zakresie jednostajnej zbieżności (Rt...R₂).

a w jego

W tym celu obierzmy w tym zakresie miejsce x otoczeniu mieszczącem się całkowicie w (Ri...R₂) drugie miejsce xph i utwórzmy różnicę:

S(x+h) - S(x)=2 Pk(x+h)—2 Pk(x)

Tc— 0    Jc=0

n—i    oo

— ^ (Pk(x-\-h) Pk(x)) -Ą-2 (Pk(x-\-h)—Pk{x)).

*=.0    k=n

Z tego równania wychodząc, dojdziemy — rozumując dalej tak, jak w art. 161. — do wniosku, że S(x) jest ciągłe w (R₁...R₂).

oo

W razie gdy dla S(x)=2^k(x) jest wspólnym zakresem zbie-,    , .    .    *=o

źności dodajników    pewne koło (r), a gdy przyjmiemy, że ta

suma jest jednostajnie zbieżną w kole (R)<Z.(r), to w (R) będzie S(oc) zarazem i ciągłą funkcyą swego argumentu.

Lecz często sumy 2Pk(x), 2^k{x) nie będą jednostajnie zbieżne w pierścieniu (R₁...R₂) lub kole (R), ale w jednym lub kilku

obszarach (A), (B), (C), ..

zawartych w (r, ..., r₂) lub w kole (r), a nie mających formy kół, lub kołowych pierścieni. S(x) będzie wtedy ciągłą funkcyą w (J.), (B), (C), ..., bo widocznie w dowodzie ciągłości obojętnem jest jakiego kształtu jest zakres jednostajnej zbieżności; byle tylko miejsca x, x-\-h równocześnie zawierały się w takim jednym obszarze. Stąd twierdzenie:

I. Suma S{x) jest ciągłą funkcyą w obszarze, lub iv obszarach swojej jednostajnej zbieżności.

Pd. 1. Gdy na płaszczyźnie (cc) mamy dwa punkty: -f-a; —a o oddaleniu 2d=2jaj , to punkta cc spełniające nierówność:

|cc—a| |cc -j— a[ = |cc²—a²j <V

(r dodatnia skończona ilość) określają wnętrze krzywej Cassini’ego, która (a) gdy rPP jest jednym owalem,

(P)    „ r=P

„ lemniskatą,

„ r < d² „ parą owalów [art. 32. Pd. 4.].

Wszystkie te 3 krzywe mają środek w punkcie cc = 0, a punkta +a, są ich ogniskami.

(Y)

Mając to, zauważmy nieskończoną sumę wymiernych funkcyj :

z=o

Wspólnjun zakresem zbieżności wszystkich funkcyj (cc²—jest cały nieograniczony obszar (cc). Ale w tym obszarze jest suma S(cc) zbieżną tylko dla

cc—a| | cc-f- a |

a więc w wnętrzu krzywej (a), (j3) lub (y). Ta zbieżność jest tam zarazem jedno-

kresie |»|<r jednostajnie zbieżnym.

"W pierwszym razie (r><f²) przedstawia się obszar jednostajnej zbieżności sumy S(x) jako jedno continuum (a) otaczające punkt cc = 0; a ponieważ

\x²—«²|<|a;|²4-|a2|,

to dla takich x, które spełnią nierówność: |a;|²-{-|a|²= ja;²|²-{-ćZ²<»', suma S(x) będzie tern bardziej jednostajnie zbieżną. Są-to punkta x o bezwzględnych wartościach |as|<Y/V—d², a więc leżące w wnętrzu koła, (które tu obszar (i?) zastępuje).

W drugim razie (r = d²) obszar jednostajnej zbieżności tworzą dwie oddzielne pętlice (A), (B) lemniskaty.

W trzecim wypadku (r<(d²) mamy również dwa oddzielne obszary (A'), (B‘) jednostajnej zbieżności. Są-to dwa oddzielne owale krzywej (y).

W przypadkach ((3), (y) nie istnieje tu zatem kołowy zakres jednostajnej

zbieżności. ³)

zx

stajną. Połóżmy bowiem (a—a)(x j-«) = «, to szereg potęgowy    jest

w za-

źl=o

Pd. 2. Niech «1? a₂, «₃, ... tworzą nieskończoną, przeliczalną mnogość liczb urojonych o punkcie skupienia limav = 0. Zauważmy sumę:

S(x) = B₀-{-2 Bv (x—al)(x—a₂)...(x—av)

V—\

i przyjmijmy, że ona jest absolutnie zbieżną dla takich x = xx, których bezwzględne wartości \xl\ = ri. Obierając dowolne miejsce x, o bezwzględnej wartości | x₀\ <ry, napiszmy:

00

00

2 1 -^(go—°0-Oo-<)I=S    —PI

|(³ o — a])(x₀—a₂)...(xę—av)

V =1

v =1

Od pewnego dostatecznie dużego m począwszy będą ilorazy

|(®i —ai)(xi—a.₂)...{xx - av)

\x0-am+s\l\xi-am+s\ « =    1, 2,

statecznie ułamkami właściwymi, gdyż przy dostatecznie dużem m punkty am+s znajdują się już w nieskończenie małem otoczeniu punktu x = 0.

Gdy te ułamki mają górną granicę s, to mamy:

x0    am-f-s

0)

, dla s = 0,1,...

*1 ~am+s

Z drugiej strony będą wyrazy \Bv(xl — a₁)(xi—a₂)...(x₁—av)\ jako dodajniki absolutnie zbieżnej sumy S(x) na kole \x₁\ = r₁ posiadały pewną górną skończoną granicę G.

Uwzględniając to, mieć będziemy:

t~ i

okręgu koła \x\ =ri} to jest także absolutnie zbieżną na wszy si

na

oo

^I    (⁴0    ®1 )•••(⁴<) av) <C ^    ;-r—-f-r

Ol —«l )-0l — «v)

= ć?

v—?n

(gO — «l)-⁴.Qo —«»,_!)

0i—«i)-0i -«m_i)

Oo «i)-0o am-l) Ol~«l)-Ol—

<G

00

s-0

v—m

*l~«m

00

*0—«TO+1

*0“®m+s

*o-am+s

Lecz

d (wskutek (a)).

et jest sumą zbieżną, a stąd wnosimy: A) Gdy suma S(x) zbie-

oo.

jest absolutnie kich miejscach wewnątrz tego kola; albo:

Gdy na okręgu koła \x\ ==r₁, wyrazy: \Bv(x—aj) (x—aj)...(x—a, )| mają skończoną górną granicę G, to suma S{x) jest zbieżną wewnątrz tego koła.

Stąd — podobnie jak w teoryi szeregu potęgowego — wywnioskujemy: B) Zakresem zbieżności sumy S(x) jest zawsze koło (r).

Obierzmy dowolnie małą dodatnią ilość 8 i połóżmy : xt=r — 8, x₀—r — jao, gdzie fj. jest całkowite, dodatnie i >1. Zauważmy dalej:

(⁴)

xo am+s

I ⁴1 am+s

że już |am+sl<8. Przy takich założeniach mamy:

, s = 0, 1, 2, ...

o tak dużem m

(«)

lxo—am+s I < Oo I + I am+s |<r — ^S4-S = r — (p —1)3 l⁴i — am+s\>\xi\ — \am+s\>r — 8-8=---r-28. Stąd — gdy u = 4 położymy — mieć będziemy:

r — 3 8

xO~am+s

s , ułamek właściwy.

1⁴1

Lecz zmniejszenie bezwzględnej wartości \x₀\ tej nierówności nie naruszy, a stąd wynika, że ilości (b) są w wnętrzu całego koła (r—48) mniej sze od s. Mając to zauważmy:

CO

CO

x₀— al

xo — av

(d)

v—nxĄ-a

v=m-j-a

xl — ay

*1— «v

x₀—a₁

<G. ——-

*i—ai

*o—

00

^ J.

*1 —«m ,    ’

k=a

to widocznie za obraniem pewnej dowolnie małej dodatniej ilości rt można będzie — przyjmując dostatecznie duże m-\-a = ml — ostatni wyraz w szeregu nierówności (d) uczynić < rj w wnętrzu całego koła (>—48), a więc także — bo 8 jest dowolnie małe — w wnętrzu koła (r). Stąd twierdzenie: C) Zakres (r) absolutnej zbieżności sumy S{x) jest zarazem zakresem jej jednostajnej zbieżności. ⁴)

168. Sumowanie nieskończenie wielu szeregów jednej zmień-

oo

nej w razie jednostajnej zbieżności. Wypadek, kiedy suma 2Pk (x)

k—0

posiada zakres jednostajnej zbieżności (Ri...R₂), lub suma

oo

2tyk(x) zakres jednostajnej zbieżności (R), jest bardzo

k—O

ważny. Gdy bowiem ten warunek się spełnia, to istnieje twier* dzenie:

I. Sumę S(x) można dla każdego x, leżącego w jej pierścieniu, lub kole jednostajnej zbieżności wykonać, porządkując ją według potęg x, t.j. dodając do siebie jednomienne wyrazy jej dodajników Pk(x), lub $£*(#).

-f- 00

Dowód przeprowadzimy dla 2 Pk{x), Pk(x)= 2 akzxz.

Z——co

Gdy ó jest obraną dowolnie małą dodatnią ilością, to — wskutek założenia jednostajnej zbieżności w (R₁...R₂) — dostajemy dla wszelkich takich x, że R₁<Cjxj=r<^R₂:

oo

(1)

(2)

2 Pk0*0    ^Pk(x) <d

2^^) <<5,

k —71

k —n

gdzie    a n dostatecznie duże obrano. Dalej mamy:

/ ”i    \

2 Pk (a?) =2 (2 akZ) xZ

Z——oo k—n

jako sumę skończonej liczby szeregów. Podług (2) jest więc także na całym okręgu koła (r):

k—n

+ ⁰⁰    / ”i    \

2 (2 a>kx\x*‘

<d.

Z——co

Lecz wtedy — podług art. 168. (7) — mamy:

"i

kz=n

2«»* <*r-*<e, A=0, ±1, ±2, ...

k=n

gdzie s dowolnie małą dodatnią może być ilością. Z tego widzimy, że każda suma:

(3)

(4)

az—aoz    +

jest taką, że w niej przy dostatecznie dużem n i dowolnie wzrastającem »j>» mamy statecznie: | anz-\-anĄ.\, z+ttn+2, z-\- •••Jran₁,z\ <C £>. a to jest dowodem, że [art. 28 , tw. IV.]: a) Wszystkie a% będą skończone.

Wskutek tego w miejsce (B) możemy położyć:

(5)

k=:n

a jeżeli obrane n, d nie tylko do \x\=r się odnoszą, ale do wszystkich miejsc w    to w (5) można przez r rozumieć dowolne

\x\ — r zamknięte w granicach: Ri<^r<ZR₂. Napiszmyż (5) w formie

¹

Pod tym względem por. O. Biermann. Elemente der hSheren Mathe-mathik (Lipsk 1895) str. 282—290, 314—320. Tegoż Theorie der analytisclien Func-tionen (Lipsk 1887), str. 145—150. Por. także : Elements de la tlieorie des fonctions elliptiąues per Jules Tannery et Jules Molk (Paryż 1893) str. 51—57. Znajdują się tam rezultaty rozprawy Weierstrassa, którą później przytoczymy.

²

Przez (rt... r₂) znaczyć będziemy zawsze pierścień ograniczony kołami

³

Por. J. Puzyna: 0 rozwinięciach zbieżnych wewnątrz krzywych Cassinńego. Prace matematyczno-fizyczne. Tom V. (Warszawa 1894), str. 21—46. — Por. także Pincherle: I sistemi ricorrenti di prim’ ordine et di se-condo grado. Atti della Recile Academia... (Roma), T. V., str. 8.

⁴

Por. J. Bendirson: „Sur une extension a Vinjini de la formule d’inter-polation de Gauss.¹¹ Acta mathematica, T. 9. [1887], str. 1—34. — Por. także tego autora rozprawy w Comptes liendus T. 101, str. 1050 i 1129.

2a^ rZ < ^ ks.n

to ta nierówność — gdy ż=0, 1, 2, 3,... — wskazuje (art. 157., tw. II.), że szereg

(6)

CO    0°

2^ 2au)

.xx będzie zbieżny dla wszelkich \ x\O, a więc dla wszelkich \x | <iP₂. Przyjmijmy w (6) l odjemne, A=—

co

to mamy:    ak~^    < <5, a ta nierówność gdy fi=l} 2, 3,... —

k=n

wskazuje znowu, że szereg:

°°    / OO    \    -|    00

2 (2)-^ = 2 (2««) ^ \ k—7l    /    A——1

(7)

k=n

zbieżny jest dla wszelkich l/|a:|<;l/r, czyli dla wszelkich \x\^>r, czyli wreszcie dla wszelkich | £ | > R±.

Z tego wynika, że suma szeregów (6), (7)==

(8)

Dodajmy do (8) sumę 2 Pk(x) = 2 ( N akz) (bo ją moż-

k—0    X— —oo\£=0 /

na — art. 166. — uporządkować podług potęg x) to dostaniemy ostatecznie zbieżną sumę:

+ ⁰⁰ / 00 \ +⁰⁰

2 (2au)xZ = 2 a^=p{x)

X——oo \ k=0    /    X-~-00

będącą uporządkowaniem całej sumy S(x) podług potęg x. Dowiedliśmy zatem :

b) Suma S (x) uporządkowana podług potęg x jest zbieżnym szeregiem w (Ri... R₂).

Utwórzmy różnicę:

00    + ”    n—1    00

2 Pk {x) — 2°* ®*=2 Pk (*) +2 0*0

A=0

<1=—00

A'=0

k—n

+ oo /n 1    \    T® / oo

2(2    )ajA— 2(2 ^ r

X~—oo \&=0    /    —co V k~n J

to ponieważ :

n—1    -j-oo sn—i    \

2p*(*)“2 (2au)xX

k—0    2,——oo V k — 0    J

więc będziemy mieli:

00

+ 00

+ 00

2 p (x) — 2    *«2 Pk (*) ~ 2a<x

k—0

2—— co

k—n

2——oo

00

gdzie dla krótkości 2aa—a‘^ położono.

k=n

Stąd wynika:

oo

+ C0

(9)

S(x) —P(x) < 2 Pk (x) 4- 2 a‘z x* •

k—n

Lecz

(10)

y,pt(x) <d

k~n

a gdy w relacyi (6) za r położymy r₂^>r, (R₂^>r₂), i napiszemy ją w formie | a‘z \ r₂**    <C d, albo

r

0<—<1,

**2

to — sumując tu od >2=0 do oo — dostaniemy:

00

(U)

2la'*lr*<<J—•

ST

Podstawmy podobnie za r w relacyi (6): ri<C.r, (Ri<C.ri), i napiszmy ją w formie \a>lx\rtalbo

to sumując tu od >2=—1 do —co mieć będziemy:

(12)

oo

2 I a‘x\r^<d

ri

2——1

r—ri

Z nierówności (11) i (12) wynika , że w zakresie (Ri... R₂) mamy

zawsze:

+ °°

(13)

ri

r2

^2~

a uwzględniając (10) i (13) w (9) dostaniemy:

r—ri

r)

| S(x)—P(x) | < ó £l+—

r2

r]‘

~ri ^2

Prawa strona tej nierówności jest dowolnie małą (dodatnią) ilością, a gdy \S(x)—P(x) | ma być w (Ri...R₂) zawsze od niej mniejszą i zawsze dodatnią, to może byó tylko zerem. Mamy więc j S(x)'— P{$) |=0, a to znaczy :

c) Suma S(x)—P(x) w całym zakresie (Ri...R₂).

Dowiódłszy a), b), c) mamy tern samem twierdzenie I. dowiedzione*).

Pd. 1. Z sum S{x) podanych w art. 167. Pd. 1. tylko te, w których ! * \ ²-= cPzałożono, mają, zakres jednostajnej zbieżności w formie koła: | x j < \/r—d². Tylko więc takie sumy możliwem będzie uporządkować podług potęg x i położyć:

*l-2.

&(-irA

2%—4

+ •••

Z=0

Pd. 2. Zauważmy sumę:

oo

V~1

która zalicza się do sum rozważanych w Pd. 2. — art. 167. — a która zbieżną jest jednostajnie w kole |«|<1, to ją również możliwem będzie uporządkować podług potęg x. Połóżmyż:

(«—1) (* — jy) ( x

7) = (— P>v [cor~c\vxJrc2vx% — •••]»

to mieć będziemy:

00 00 »(*)=2⁽- w c^~x 2(_ 1)’'

ci»

00

+^2c-i)v—•

V=1

"W art. 167. powiedzieliśmy, że suma S(x) nie potrzebuje byó w dodajnikacli P* absolutnie zbieżną w (Ri... R₂). Połóżmy:

|    I +1 «*i x | -b| 0*2 a;²1 + ..•=<?* (| x |)

v~ 1

00

i przyjmijmy, że 2 Qk( \x\) jest zbieżną w pewnym zakresie

str. 73.

*) Weier stras s. Abltandlungen ans der Functioneńlehre. (Berlin 1886)

(R\ ... R\) zawartym w wspólnym zakresie zbieżności szeregów

Pk (x).

Ponieważ w (R\ ... R\) mamy:

Qk{\x\^>\Pk(x)\ i

(14)

(15)

2 Qk (1 X 1 ) > 2 1 Pk {x) 1 > ^Pk(x) ,

k—0

k—0

to stąd wynika przedewszystkiem, że przy zrobionem założeniu suma S(x) w dodajnikach Pk jest w (E\... R‘₂) absolutnie zbieżną. Lecz dalej pierwsza suma w (15) jest — jak zaraz pokażemy — jednostajnie zbieżną w (R\...R‘₂). Obierzmy bowiem dowolnie małą dodatnią ilość e, to na każdem miejscu x leżącem w (R\...R\) da

się oznaczyć pewne dostatecznie duże i skończone v takie, że

00

będzie    Qk<Le- Lecz w całem wnętrzu pierścienia (R\...R‘₂)

k=v-\-s

będą te skończone liczby v posiadały pewną skończoną górną granicę n. Stąd wnosimy, że na wszystkich miejscach w (R\...R\)

spełni się nierówność: 2 Qa(1#|)<C«, s = 0, 1, 2

a to jest

k—n-\-s

dowodem jednostajnej zbieżności sumy ^ w (R\...R\).

Lecz wtedy na tych samych miejscach będzie podług (14):

e> 2 I Pk(*) I ^ 2 PkW

a w następstwie tego

kz=.n+s

n,

yPk(x) < €, ni > n.

k=n

To wskazuje, że suma S(x) jest w dodajnikach Pk jednostajnie zbieżną w zakresie (R\...R\), a stąd twierdzenie:

II. Gdy suma S(x) o dodajnikach Pk jest w pewnym zakresie (R\...R\) zawartym w wspólnym zakresie zbieżności szeregów Pk{x)

oo

w ten sposób absolutnie zbieżną, że 2 Qk{\x\) jest zbieżną, to jest

k=. O

w tym zakresie zarazem jednostajnie zbieżną i daje się sumować uporządkowaniem podług potęg x.

169. Ciągłość sumy nieskończenie wielu szeregów wielu zmiennych w razie jej jednostajnej zbieżności. Sumowanie nieskończenie wielu szeregów kilku zmiennych. Przejdźmy do sumowania nieskończenie wielu szeregów:

Pk (x, y, g, ...)= 2 “Ma**- ** V¹*

(1)

05 — — oo

a = X -j- ja -(- v -f-... ; A: — 0, 1, 2, 3,... in inf.

Przyjmijmy, że szeregi P* mają wspólny zakres zbieżności i że w tym zakresie suma :

(2)

S(x, y, z, ...)=2 Fk 26 ^ -)

i—o

w dodajnikach P* jest jednostajnie zbieżną, albo w obszarze (pierścieniu):

(3)

((Pj... P'i), (P₂... P'₂), (P₃...P'₃)...) albo w jednym obszarze (J.) nie mającym formy (3), albo wreszcie w kilku obszarach (4), (P), (P), ...

Przy takich założeniach da się tu łatwo — rozumując podobnie, jak w art. 167. — wywnioskować:

I.    Suma S(x, y, z,...) jest ciągłą funiccyą swoich argumentóio w zakresie lub zakresach jednostajnej zbieżności.

Gdy obszarem jednostajnej zbieżności jest pierścień (3) — lub system kół ((Pi), (P₂),...) w razie gdy S jest sumą zwykłych szeregów potęgowych ^ — to da się udowodnić:

II.    Gdy suma S (#, y, z, ...) jest jednostajnie zbieżną w pierścieniu lub systemie kół, to można ją dla każdego miejsca (x, y, #, ...) leżącego w takim obszarze jednostajnej zbieżności wykonać, sumując w niej jedno-mienne wyrazy, a więc zamienić na szereg P(x, y, 0, ...).

Dowód podamy dla ogólniejszej sumy o dodajnikach Pk.

Z założenia jednostajnej zbieżności w (3), wynika, że na każdem miejscu tego obszaru mamy:

(4)

2'P* <^» s==0> 2,...

k—n+s

przy dostatecznem dużem — według dowolnie małej dodatnej wielkości 6 — obranem n. Następstwem tej nierówności jest dalej :

(5)

2P* <ó’

k=n

a że tu po lewej stronie mamy sumę skończonej tylko liczby szeregów Pk, więc można ją zamienić na szereg. Po takiej zamianie dostaniemy w miejsce (B) nierówność:

■+■⁰⁰    / *1    \

2 2    3* y* «*'••• <ó-

— 00 ' k — n    /

Teorya funkcyj.

Przyjmijmy:

gdzie

•Z?l <C <Z-R i, <''' r2 ^    2 ? -^3 ^ ^*3 <C 3 1 • • •

s|=*i> |y \—r₂, \z\=rzi ...

to z (6) [podług (14), art. 163.] wynika:

(7)

*»

2 Oł.ji/w... <óri-'L

k~n

To wskazuje, ponieważ n^n dowolnie wzrastać może, że:

a) szeregi

MZfiv ..—2j Z[A,v .. 7    — ć*—Oj ~ł~ 1, d~ 2,...

*=0

zbieżne.

Wskutek tego można w (7) % zwiększyć do oo mieć będziemy:

a wtedy

^2j &k,Z[a,v... r^. r^. Tov...<CŻ ó.

k^-n

Przyjmijmy, że n i ó tak wybrano, że ta nierówność nie tylko dla \x\~ri, jy|=r₂, |#|=r₃,..., ale na wszystkich miejscach (as,y,z,...) zawartych w (3) się spełnia, to z (8) wnosimy, że — [por. uwagę w art. 160.] —

(8)

(9)

+ “ / ⁰⁰    \

2    - JxZ-y¹*-zV

CC—0 \k—7l    /

jest zbieżną dla \x\ <C-R'u y |<C-^<₂j j £|<C-R'₃, ... i

— oo

^2 (^2 ^,uv—

XZ y[l gV

jest zbieżną dla    |y|>P₂, |0|)>P₃,...

Suma szeregów (9), (10) będzie więc zbieżną w obszarze (3)

M — 1

a gdy do niej dodamy sumę 21 P*, którą wykonać zawsze można sumując jednomienne wyrazy i którą także zbieżną jest w (3), to

-f- 00

stąd wyniknie : b) szereg 2 az^v... y^ zv... = P(x, y, z, ...) będący

(10)

«=—1

uporządkowaniem sumy S(x, y, z,...) podług jednomiennych wyrazów ak,Afiv... xxy^zv... jest zbieżny w (3).

Utwórzmy różnicę:

S(x, y, z, ...) — P(x, y, z...) =

Lecz

oo

(13)

2ft(»,y,«, •••) <<J

k—n

nierówność (8) — za wprowadzeniem    — możemy napisać

w formie:

(14)

więc mieć będziemy:

oo    + ⁰⁰

£(#, y,*, •••) — -P(«, y, *, •••)= 2 p*~ 2 aV~

A—n

gdzie dla krótkości 2    położono.

Z (11) wynika :

0°    4- 00

(12) | 5(a?, y, z,...) — P(a;, y,...)|Sś 2^* + 2 at    y^ zv....

(U)

xz yf* zv...

k—n

ct—~—oo

n—1    -f- oo iv — 1    \

2 p*⁼ 2

Ae=0    —oo \Ac=:0    /

n—l    o, 4-<» jn—1    \

-2 p*+ 2p*2 2

k— O    k^n cc— — oo \A~:0    /

to — ponieważ

00

xzyi*0v...— 2 (2^.>-r^

a=—oo \k"=n

| a‘xiA.v...\r^r^rzv...<.d.

Obierzmy [aJ^^ >r1? \y\=Q<₁'>r₂, \ z\=qz >r₃,... a leżące w (3) i połóżmy w (14): QUQ%,Q ₃,... za rlf r₂, r₃, ... to dostaniemy:

... < d, albo:

(15)

/TjY /rAi* (f±Y

\qJ ' W ’ W

|    V*V**3*'‘"

Sumując tu od a=0, do a= + oo dostaniemy:

+ oo

(16)

glg2(>3-

a—O

Obierzmy dalej w obszarze (3):

laj^^Cri, | y | = or2< r2 to analogicznie do (15) dostaniemy :

(^1 rt) (^₂    ^2) (^3    ^3) •**

erer®-

a sumując

| ct‘xfiv...\ rizr₂t*r₃v...<.d to od a =—1 do c(= — co mieć będziemy:

—00

(17)

2 Ia,^...\rYrYrY"-<ó-

a\⁰%⁰z —

Uwzględniając (13), (16) i (17) w nierówności (12) otrzymamy: ! S(xf y, #,...) P(oc, y, #,...) |

(Ql—‘ri)(Q2—r2)-

(r>i —o-i) (y₂ —<r₂)...

Prawa strona tej nierówności jest dowolnie małą dodatnią ilością, a gdy |S—P| ma być w zakresie (3) zawsze od niej mniejszą i zawsze dodatnią, to może być tylko zerem. Mamy więc \S—Pj=0 w całym zakresie (3), a to znaczy:

c) Suma S=P w całym zakresie (3) swej jednostajnej zbieżności.

Dowiódłszy a), b), c) mamy tern samem twierdzenie II. do

wiedzione.

Pd. 1. Zauważmy sumę:

(a:²— a²)^ (y²—(3²)^

JŁ=0

gdzie r jest rzeczywistą i dodatnią ilością. Suma ta będzie absolutnie zbieżną w obszarze, w którym szereg:

I#²—a²j^|ł/²—(3²|^

4=0

jest zbieżnym.

Połóżmy | a | = dif | p | = d.₂ i przyjmijmy, że r > dv ². a^², a więc da się przedstawić iloczynem pt.p₂ takim, że pi>^i², Pa>^2²* Suma S(x,y) jest wtedy absolutnie zbieżną w obszarze:

I*² — «²|<Pi,    12/² — P²1 < P2,

(«)

albo w szczuplejszym obszarze:

09

\so\<CV/Pi— ^1²J    |1 <1 P2 —² [art> 167. Pd. 1].

Lecz w tj^m obszarze będzie S zarazem jednostajnie zbieżną sumą. Po-

00

łóżmy bowiem (x²—a²) («/²—p²) = 2 to dostaniemy -S*{z^jr%), a ten szereg potęgo

go wy jest jednostajnie zbieżny dla \z\ < r; temu zaś zadość czynią nierówności (a), ((3). Obszar ((3) przedstawia system kół, a za tern idzie że S(x,y) można sumować zamieniając je na szereg potęgowy.

Pd. 2, Okazać, że w razie r=dl²di² można obszar jednostajnej zbieżności sumy S przedstawić albo: przez dwie lemniskaty, albo: przez owal i dwa owale, a w razie r<^dl²d₂² przez owal i dwa owale, albo przez lemniskatę i dwa owale, albo wreszcie: przez dwa owale i dwa owale.

W tych przypadkach nie da się więc S(x,y) zamienić na szereg potęgowy ; to tylko pewna, że w wyliczonych obszarach jest ta suma ciągłą funkcyą swoich argumentów.

Połóżmy: to w wspólnym zakresie zbieżności szeregów Pk mamy:

y>^ -Ol-

00

Przyjmijmy, że suma 2 Qk zbieżną jest w pewnym zakresie:

k— O

(18)

((^¹1 i ) j (? 2    2) J ²•) J

to w tym zakresie jest ona niezawodnie jednostajnie zbieżną¹), a że

* = 0

więc i suma S(x, y, z,...) o dodajnikacb Pk będzie w (18) absolutnie i jednostajnie zbieżną. Stąd twierdzenie:

III. Gdy suma S(x,y, z,...) o dodajnikach Pk jest w pewnym pier-

cc

ścieniu w ten sposób absolutnie zbieżną, że w nim jest 2Qk zbieżną, to

k— O

ta suma jest tam jednostajnie zbieżną i da się zmienić na szereg P(x,y,z,...).

170. Mnożenie i dzielenie szeregów o jednej i wielu zmiennych. Twierdzeń o sumowaniu nieskończenie wielu szeregów użyjemy do wyprowadzenia reguł mnożenia i dzielenia dwóch szeregów potęgowych przez siebie. Grdy szeregi:

(1) ip (£c)=o₀ +a₁a?4-a₂a:²+...,    <^i(x)=b₀-\-bix-\-b₂x²-lr...

mają wspólny zakres zbieżności (r), a położymy:

(2)

$ OO • % (x)=${x). b₀ + $(a;). x4-$(#). b₂x²-f..., to mamy tu po prawej stronie sumę nieskończenie wielu szeregów, która w (r) jest absolutnie zbieżną, gdyż szereg:

(3)

I $0¹011b₀1 ■-f1 $(a?) I I \x | +...:= | $(¹) I (| b₀1 +1 \x | +....)

jest w (r) zbieżny. Zastępując w (3) | $(#) | przez szereg:

| a₀f+\a₁x\ + ja₂x²\ +...

który w (r) jest także zbieżny, dostaniemy sumę:

2(\aQ\ + \aix\-\r\a₂x‘l\ + ...)\bkxk\=2Qle(\x\),

k=z 0

która również w (r) będzie zbieżną. Stąd — według tw. II., art. 168. — wynika, że nieskończona suma szeregów w (2) jest w (r) jednostajnie zbieżną i da się wykonać, zmieniając ją na szereg potęgowy. Mamy więc twierdzenie :

I. Iloczyn $P(a>)    (x) jest szeregiem potęgowym:

a₀b₀ + (a₁b₀+a₀b₁)x+...+ (anb₀+an_ib₁+... + a₀bn)xn + ...

zbieżnym niezawodnie w wspólnym zakresie zbieżności (r) mnożonych szeregów. Lecz (r) nie zawsze będzie prawdziwym zakresem zbieżności iloczynu.

Analogicznie rozumując i stosując twierdzenie III., art. poprz., dojdziemy do wniosku:

II. Iloczyn dwóch szeregów potęgowych:

y, z, ...)=«₀ +% +^₂+••■> ?i0»,y> -)=^₀ +^1+^2 +

gdzie ua, va są-to jednorodne funkcye stopnia a, zawarte w szeregach, będzie szeregiem potęgowym:

“Ov₀+ (w^o+Wo^) + (WaWo+tt^j+Motfa) +...

zbieżnym niezawodnie iv wspólnym zakresie zbieżności szeregów ^. Lecz ten wspólny zakres nie potrzebuje być z reguły prawdziwym zakresem zbieżności.

Przejdźmy do dzielenia dwóch szeregów przez siebie.

Grdy ^ są szeregami jednej lub wielu zmiennych o wspólnym zakresie (s), a ^ ma wolny wyraz b^0, tak, ze ^ = b— to iloraz:

a to na

możliwem będzie zawsze określić szeregiem potęgowym podstawie takich uwag:

Według art. 164., 165. istnieje zawsze pewne skończone otoczenie (a) miejsca x=0 lub miejsca (x, y, z, ...) = (0, 0, 0,...) takie, ze się w niem ^ zerem nigdzie nie staje. W tern otoczeniu jest mib\<l. Wskutek tego będzie rozwinięcie:

(4)

zbieżnem na wszystkich miejscach wewnątrz (a). Lecz szereg w nawiasy ujęty jest tam jednostajnie zbieżnym. Kładąc bowiem

^=0 dostajemy szereg potęgowy 1 + y+p+—, który jednostajnie

jest zbieżnym dla |#|<^|&|, a temu warunkowi zadość czyni każde miejsce w (a).

mo-

Skutkiem tego całą prawą stronę w (4) zamienić będzie żna na szereg potęgowy, a ten będzie :

aj zbieżny w (s), gdy (s) zawiera się w (o); b) zbieżny w (u), gdy (a) zawiera się w (s).

dostajemy związek:

Lecz ta metoda tworzenia ilorazu — jakkolwiek teoretycznie korzystna, gdyż rozstrzyga zarazem o jego zakresie zbieżności — nastręcza dużo długich rachowań. Z tego powodu trzeba ją w praktyce zastąpić inną, łatwiejszą.

A. Przyjmijmyż, że — w razie jednej zmiennej x — jest ^(x)=2a^xJi,    i(x)=2b^x'i, ó₀=ł=O, a iloraz o spółczynnikach jeszcze

nieoznaczonych ma postać: c₀ +c₁a:+c₂a:²-fc₃:r³+..., to z równania:

$(«) /    0*0 = c₀ + cx x + c₂a;² +...

(a₀ + aix + a₂x² p...) = (&₀ -fńjic-f ó₂#² +...) (c₀    c₂x² +...),

który w (s) lub (u) jest identycznym. Stąd wynika, że :

al = C0 d" ^0 ^1 7 ®2⁼⁼^2⁽'o4^i 4 ^oC2! ”•> a z tych równań po porządku obliczymy c₀, c,, c₂, ...

5. Gdy    +«!+..., ^=^0+^+..., ^0 + °) a położymy:

=w₀ +wx +w₂ + ..., gdzie wa są jednorodnemi funkcyami o nieoznaczonych jeszcze spółczynnikach, to stąd dostajemy związek:

Mo d“ u\ d"M-2 +••• —(^o + vi + v2 d~ •••) (wo "h^i + ^2 d“*-0; który ma być identyczny. Z niego wynika szereg równań:

u₀=v₀w₀, ui=viw₀-\-v₀ivi, u₂=v₂w₀+vxwl+v₀tv₂, ..., a z nich w₀, w₁₅ w2: ... dadzą się obliczyć. Mamy więc twierdzenie:

III. Iloraz (^3:^) dwóch szeregów potęgowych jednej lub wielu zmiennych, a o dzielniku ^ z wolny on wyrazem różnym od zera jest szeregiem potęgowym $p₂, spełniającym identycznie związek ^3=^-s^32 i jest zbieżnym: albo w wspólnym zakresie zbieżności (s) danych szeregów $J3,    , gdy w tym zakresie ^3, nigdzie nie jest zerem, albo w zakresie

(a), sięgającym do najbliższego miejsca zerowego dzielnika ^ (gdy się ten dzielnik w zalcresie (s) staje zerem).

Jeżeli dzielnik SPd®) nie ma wolnego wyrazu i jest = (Pod* $ix +■••.)»

(cod~ cix d~ •••)

to iloraz :

jPO0₌_i_ $(«9

X,n

i jest widocznie szeregiem P{x) zawierającym wyrazy z odjemnymi wykładnikami sięgającymi aż do —m. Jego zakres zbieżności utworzą wszystkie punkta wewnątrz pewnego koła po wyjęciu punktu x = O.

%(x) X™ • Pod-?!»+...

Z reguły dzielenia szeregów wyniknie nowy dowód zasadniczego twierdzenia algebry [art. 50., tw. II.].

Zauważmy całkowitą wymierną funkcyę :

/■(#)=c₀ + ^c₂a;² + ... + cnxn, c₀4=O i przyjmijmy, że ona na całej płaszczyźnie (x) żadnych miejsc zerowych nie posiada. W takim razie odwrotność:

f{x)

a₀ -[-a^Ą-a^Ą-a^Ą-.

gdzie

(5)

«o =

— al =--

co    c₀

«2 =

C\ 2 C0 C2

c₀³

, ...

musiałaby byó bezustannie zbieżnym szeregiem, (skończonym dla wszystkich skończonych x).

Funkcya f(x) ma tę własność, że przy obranej dowolnie małej dodatniej ilości e można zawsze wyznaczyć dostatecznie dużą dodatnią ilość q w ten sposób, że dla wszelkich jx —r^>Q będzie:

A więc:

1/0*0 ^>\cn | rn(l—e). [art. 49. (e)].

gdy |a?|=r>p.

Stąd wynika, że, gdy gr jest największą wartością | a₀ + na kole (r), to widocznie :

= \ cn |r”(l—e)

| cn\ rn(l—s)

>9r-

Lecz wtedy — według twierdzenia o si^ółczynnikach szeregu potęgowego mamy:

|    | rx <

2=0, 1, 2, ..., czyli:

, 2=0, 1, 2,...

cn\r'L+n( 1—c)

przy dowolnie rosnącem r. To wskazywałoby, że wszystkie współczynniki aji₇ 2=0,1,... są zerami. Tak jednak nie jest, gdyż to się sprzeciwia określeniom (5), a stąd wynika, że f(x) ma koniecznie punkta pierwiastkowe na płaszczyźnie swego argumentu.

171. Szereg dwumienny (Newtona). Arytmetyczne obliczanie pierwiastka danej liczby. W tym i następnych artykułach użyjemy reguł mnożenia i dzielenia dwóch szeregów potęgowych jednej zmiennej do wyprowadzenia pewnych form, określeń i związków, które w analizie ważną odgrywają rolę.

Wiadomo, że — przy całkowitem, dodatniem i skończonem

9 — jest:

(1)

x<1Ą-...JrX^, gdzie

(2)

(')

r+1)

1.2.8. ..r

a x jest zmienną nieograniczoną.

, r=0, 1

Niech teraz (t) przedstawia zakres wszelkich rzeczywistych skończonych liczb dodatnich i ujemnych z wyjątkiem wartości: O? +1, +2, +3, +4, ..., to przyjmując, że fi właśnie do tego zakresu (t) należy, możemy wyrazy (2) tworzyć dla r=0, 1, 2, 3, ... in inft; a formą uogólniającą rozwinięcie (1) będzie szereg potęgowy:

(3)

zwany szeregiem dwumiennym, albo szeregiem N e w t o n’a.³) Zawarty w nim parametr fi nazywa się wykładnikiem. Zakresem zbieżności szeregu (3) jest: |a-|<;l, gdyż tu

hm —— — lim

W—co Hn

fi—n

71 —

00 W + 1

Mając to, weźmy z zakresu (t) dwie dowolne liczby p, q i utwórzmy szeregi N(x,p), N(x,q). Ich iloczyn przedstawi się rozwinięciem :

N (a?, p). N(x, q)—1 -f

które niezawodnie będzie również zbieżne w zakresie |a;|<l. Co się tyczy spółczynników an, to mamy:

(«)

(/?)

‘-®+W(0⁺W(s)+-O-

(P) = ( P ) P~r+1 \r) \r — l) r

Lecz

(«')

(q) = ( q ) g~r+1 W \r—l) r

Uwzględniwszy więc (a¹) w (a), a (/?') w (/?), dostaniemy: / p \p—n+1 \w—1/ w

/    \(q\P—w+2 n— 1

—2/ \lj n—1 n

czyli:

( P Ug\p-« + 3-«-2 Vw—3/ \2/ w—2 n

( p Ui/' P \ (2\ U / ^ \ M 2^2 _3_ U-l/n U-2MU 2    W+U-3M2; 3 ' n

czyli wreszcie :

an—ci—i.

Stąd — ponieważ:

p-\-q—n+1

n=2, 3, ...

ai =

dostaniemy po porządku:

a₂

w następstwie czego mamy:

(4)

N(x, p).N(x: q)=N(x, p + q)

a to znaczy :

I. Dwa szeregi dwumienne o wykładnikach p, q dają, na iloczyn znowu szereg dimmienny o wykładniku (p + ą).

Z równania (4) wynika dalej:

N(x,p) N(x, q).N(x, s).N(x, t)...=N(x,p + q + s-\-t+...)

(5)

i wreszcie:

(6)

[.N(x, p)]k=N(x, kp) jeżeli k jest całkowitą dodatnią liczbą.

Lecz — cłioć p, q w (4) należą do zakresu (r) — suma ich p-\-q = c może być dodatnią całkowitą liczbą (albo zerem). W tym razie jest N(x:p-{-q)=N(x. c)=(l-\-x)c, a więc:

(7)

N(x,2)).N(x, q) = (l+x)°.

Iloczyn takich dwóch szeregów jest zatem całkowitą wymierną funkcyą, (zbieżną w całej nieograniczonej płaszczyźnie argumentu x), należy Avięc do tych iloczynów, któ^ch zakres zbieżności większym jest od wspólnego zakresu zbieżności mnożonych ze sobą szeregów.

Przyjmijmy w szczególności p-\-q= 0, a więc q=—p, to dostaniemy N(x, p).N(x,—p)=l [podług (7)], a więc stąd:

(8)

N(x,p)

N(x, —p),

to znaczy:

II. Odwrotność szeregu N(x,p) równa si§ szeregowi N(x, —p). Przy p całkowitem dodatniem dostajemy z (8):

(9)

N(x, —p)=( ± + a?)

co wskazuje

—p określa w zakresie |,r|<4 wymierną ułamkową funkcyę (lJrx)~p.

że szereg N z całkowitym ujemnym wykładnikiem

Przyjmijmy, że wykładnik g szeregu N(x,g) należąc do zakresu (t) jest wymiernym i niecałkowitym, ma więc postać

gdzie Z, v są niewspółmiernemi całkowitemi i dodatniemi już liczbami. Wtedy — wskutek (6), (1) i (8) — mamy:

N(x,±zZ)=(l+x)

a stąd: , ^

(10)

±17*).

Przytem po prawej stronie należy wziąć główną wartość ns° pierwiastka funkcyi ilĄ-x)—;>' [art. 22.], gdyż po lewej stronie przy x=0 dostajemy 1, a w razie innej wartości tego pierwiastka mieć-byśmy tam powinni dla x=0 jedną z wartości I2

TCS 1

5=1.2.3

,    ...J

v—l.

Gdy wreszcie wykładnik g nie będzie wymiernym i jest granicą liczb wymiernych hi, h₂, /&₃, ...; to i tu położymy:

N(x, g) = (lĄ-x)iJ'

ograniczając x do zakresu: [o?|<11 i rozumiejąc przez g granicę lim h

A, —ca

(U)

Z relacyj (1), (9), (10), (11) wynika:

III. Szereg dwumienny N (x, g) o jakiemkolwiek rzeczy wistem g nie mającem wartości liczb: 0, + 1,-f2,-f 3, ... określa — gdy \x\<Ó.l — potęgę (1 -}-x)f*; przytem w razie ułamkowego g icymiernego lub niewymiernego ma (lĄ-x)>* znaczenie głównej swej wartości.

Gdy g=0,-f l,-|-2,..., to ograniczenie | ic | <C 1 nie jest potrzebne, a N(x, g) jest skończoną, formą.

Uwaga I. Spółczynniki — w razie gdy w nich jj. jest odjemne całkowite albo ujemnym lub dodatnim ułamkiem, trzeba zawsze sprowadzić do form 4^ — ’ gdzie a i b są już iloczynami samych liczb dodatnich i całkowitych.

Uwaga 2. Rozwinięć N(x, ja), w których H- —^ w arytmetyce do przybliżonego obliczenia ms° pierwiastka danej liczby dodatniej.

Lecz — gdy zważymy, że

m = 2, 3, 4,... używa się

Pd. 1.

VT-b-ł)ł-*(

— IT’T

*) Co do wyprowadzenia relacyj (4)—(10) por. J. Dienger. Die allgemeinen iinendliclien Reihen in der Analysis... Crelle J. T. 34., str. 209.

to także będzie;

+ + r

-'(+4>

0+t)⁷

Pd. 2. Ponieważ 11 == 2³ -f- 3 = 2³ (^1 —}—, więc

V/ll = 2 (l+-|-)³=2.^(-|-, y). Podobnie

= 8² (i — y), a więc:

_2_ £

1T’ T

7 = 3²—2

^=3 0-t)*“

s _ /9FiO\    oka /    3 \

Pd. 3. \/260 obliczymy, kładąc 250 = 2⁸. y-^rj = 2⁸.    =2⁸^1 — Stąd

V/260 - 2(l-jŁ)J=2.JV

3. N

)•

(” i t)-

Lecz także mamy:

250 = 2⁸

a więc:

2⁸.

2⁸.

¹⁺05

₁/266 = 2(l+i|s)-i=2.W(i|,-i).

3 _

Pd. 4. Obliczyć \/3, kładąc 3 =

256

250

co co

CO <M

2³.3 • 3³

i kładąc 3

13³ 9³.3 W 13³’

172. Badanie zbieżności szeregu N(x,fi) w punktach sc= + l.

Na samym okręgu koła \x\ = l zbadajmy zbieżność szeregu N w punktach #=+ 1*).

Połóżmy:

fi—k

fiĄ-l — (&+1)

k+1

to mieć będziemy:

fc+1

-(■

^+1

k+1

( —1 )rqn a dalej

(2)

N(± 1, /O = l+0i+02 + 03 + 04 +05 +-Z (1) wnosimy, że — gdy ^t+l>0, a więc fi^> — 1 — to qn od dostatecznie dużego r począwszy, są już jednakowego znaku,

*) J. Dienger 1. c. str. 226. — por. także: E. Heine, flber die binomische JReihe. Crelle J. T. 55. str. 279.

a malejąc (co do bezwzględnych swych wartości) dążą do granicy zero [art. 14.]. Stąd wynika, że N(4-l,    — t będzie szeregiem

zbieżnym (w porządku dodajnikÓAV wskazanym przez (2) — [art.

10., tw. II.].

Gdy fj/4“ 1 <T0, a więc — 1, to qr dążą do granicy go, a w razie ^+1=0 t. j. fi— — l są wszystkie qr= 1. Z tego powodu będą szeregi N(zb 1,    i nieprzydatne, rozbieżne.

Niech fi=—s zawiera się w obszarze (—1...0). Wtedy mamy

3!

(3)    _s)_l₊^.+    + S(S + 1)(S + 2)

W jego dodajnikach:

*=1,2, 3,...

s(5 + l) (s 4*2)... (s-|-*)

1.    2.    3...    *+l

połóżmy w czynnikach (s+1), (s + 2),..., (s + *) za s zero, to dostaniemy sI(Jc-\-1), *=1,2,... a szereg sam przejdzie na szereg:

„ s s s s ¹⁺T⁺ 2 ⁺ ¥⁺ 4⁺‘" którego wartość ma być mniejsza od wartości szeregu (3). Lecz (4) jest szeregiem rozbieżnym (art. 5.), a więc i N(—1, —s)= go.

Pozostaje zatem jeszcze do zbadania:

N(—1^ ii) = \-\-q^-\-q^-\-qzJr... dla ^)>0.

W tym szeregu mamy przy dostatecznie dużem n:

qn+1 _+ 1

n + 1

Jestto więc szereg wątpliwej zbieżności, a chcąc go badać metodą opisaną w art. 7. nie dojdziemy do pożądanego celu.

Zauważmy jednak szereg:

(4)

(5) .

a lim

Q.n+1

-=1.

qn

qn

1m+i    3^+A

który przy 0 jest zbieżny, to mamy tu:

vn

(6)

rw-ł-iyi+l — U+2J

(¹⁺sii)

i_ ^+1

n+1

.“+¹

d“£»+i

gdzie En+1 (reszta rozwinięcia) jest ]>0.

Z (5) i (6) wnosimy, że, od dostatecznie dużego n poczynając, mamy statecznie:

Q_nĄ-k-f-1    Vn-{-k-f-1

Q_nĄ-k    rOn-\-k

I ^ 1 (jn+k [

VnĄ-k-\-\    'On-\-k

Dostajemy więc nieskończony szereg nierówności:

j ffn+fcfl 1    1 ę/nj-k 1

^n+kĄ-1    Vn+k

Połóżmy    to mamy :

Vn

| Q_n+\ | Q • Vn-f-i , | Qn+2 | <ŻŻ, Q • ^ra-f-2 j i Q[n+3 |    • ^rc-f-3 j •••

Stąd wynika , że :

| Q_n+1 | + | SVf2| + ) ^re+3 | +••• Q (Vnjr\-\-VnJt2JrVnĄ.z-\- •••) a to wskazuje, że szereg N {—1, y) dla ^>.0 jest bezwarunkowo zbieżnym. Lecz tern się zarazem stwierdza, że i 1^(4-1, y) jest tak samo zbieżne, gdy y"Ż>0, [art. 158., tw. I.].

Z przeprowadzonych wyżej poszukiwań dochodzimy do twierdzeń:

I.    Szereg N(dz 1, y) jesź bezwarunkowo zbieżny dla y^>0. Szereg N(±1, y) jest rozbieżny dla y< — 1. Szereg N( +1, (i) jest warunkowo zbieżny, a N(—l,y) rozbieżny dla — l<ly <C0.

II.    Szereg N(x, y) jest bezwarunkowo zbieżnym na całym okręgu \x\ = l gdy y;>0.

&=0,1, 2, ...

czyli

Q.n+1

^n+1

I <łn

Vn

I <ln

173. Znamiona zbieżności szeregu u₀+Ui+... obmyślone przez braussa i Raabe’go. Przykłady. Opierając się na rozwijaniu potęgi, możemy dojść do nowego znamienia zbieżności szeregu:

U^ -j“^2 "ł" ^3 +^4 4⁻**1 o rzeczywistych lub urojonych dodajnikach un dających :

lim un+1

(1)

nt=z oo

= 1.

(2)

Równocześnie z (1) zauważmy szereg:

¹ f ... = ^+^2+^3 + -

2m+l ' 3m+!

który zakładamy zbieżnym, przyjmując m^> 0. Utwórzmy wyraz:

Kr

n.--

-1

m-j-1

Zakładając wi>2, a wtedy dostaniemy :

na szereg N,

/ 1 \”⁴+⁴

możemy ll+—I rozwinąć ,    ,    1 (m+l)m 1    ,

¹

Dochodzimy tu do tego wniosku tern samem rozumowaniem, co o

²

sumie 2 Qk (x) w art. 168.

³

Por. Isaaci Newton i Opuscula (1744) T. I. „Analysis per aeąuatio-nes numer o terminorum infinitasu (1711) w ustępie ,,Exempla radicem extrahendau.

⁴

m w

W = co

Grdy wyznaczymy tu tak, że będzie (3<C.l—mi, to wtedy — poczynając od dostatecznie dużego n — mieć będziemy :

(»+!)-+ g    .-₂ + ... (w+ 1)4    ₂

l + (mfl)- + ...

Yl

Stąd wyniknie :

lim nil

n='*>    \

Vn +1

vn

—?» + l, a więc >> 1.

Przyjmijmy, że w danym szeregu (1) mamy:

lim nil —

\u>n-f-1

Uu

n-=. co

to wybierając 0 tak, aby    było, mieć musimy—po

cząwszy od pewnego dostatecznie dużego n — nierówności :

(n+Jc) ^1

|^ >(» + &)

Vn+k +i

^n+k

l^nĄ-k-f 1 ^n+k

^n-H+1

Stąd — gdy położymy \un\jvn=Q — dostaniemy, jak w art. poprzedzającym:

albo

Vn+k+1

Vn+k | ^nĄ-kj

Vn+k

albo wreszcie :

ft=0, 1, 2, 3,...

| Mn-fl | + [ Un+2 | + | Ww+3 | + ...<C Q (0»+l + ^»+2 + •••)•

To wskazuje , że szereg dany jest (absolutnie) zbieżny. Przyjmijmy przeciwnie, że:

lim n ^1— Un*¹ j=/?<!.

Biorąc wtedy m odjemne =—mi} dostajemy szereg (2) rozbieżny, a jego :

(n+h) (l

Un+k+1

Vn-\-k+l

UnĄ-k

*=0, 1, 2, .

a kładąc \un\lvn-=Q i postępując dalej analogicznie, jak w przypadku pierwszym, dojdziemy do nierówności:

| Mn-pi | +| Un±2 | + •••    (?Vpi +Vn + 2+ ...),

z której widocznie wynika rozbieżność danego szeregu. Mamy więc twierdzenie :

I. Gdy w szeregu Su^ jest ą=lim \un+ijun\ — 1, ale q'=lim w (1-| wb+i/m„|),

okazuje się 1, lub <C 1, w pierwszym razie jest szereg (absolutnie) zbieżny, w drugim rozbieżny *).

Pd. 1. W szeregu:

'bnĄ-k

"1

^ + 1 5!₄

2^2 3 '

1.8 cc⁵ 1.3.5 a;⁷

HTT *1P“ 2.4.6 *~7

mamy g = |a:|², a więc szereg jest zbieżny w kole: |»|<[ 1. Dla jxj—l mamy 2 = 1, ale:

2' = w (l

(2w—l)² v

2w(2»-pi)    = 00

2w²(2»-|- 1)—w(2«—

_ 2w(2»-j-1)—(2w—l)² ~i

“    2(2» + l ~~ J

2n(2»+1)

t > 1.

in

-*n = oo

W = oo

“T

Szereg jest zatem jeszcze zbieżny na całym okręgu koła |«|=1. Pd. 2. Szereg

a.(5

1 -j- a? +

°t(a~i~l)(oc ~ł~2)P(P + l)(P + 2)

xz-\- ...

£C²4

1. 2. y. (y + 1)

gdzie a, [3, y są stałe rzeczywiste, lub urojone, nazywa się szeregiem Gauss’a, albo szeregiem bypergeometrycznym **).

Co się tyczy parametrów a, [3, y wchodzących w spółczynniki jego, to zauważyć trzeba:

1)    y nie może być odjemną całkowitą liczbą —p: bo w takim razie, od (|j.-|-l)so wyrazu począwszy, wszystkie spółczynniki byłyby nieskończone, chyba że równocześnie a (lub (5) ma wartość — p (por. niżej punkt 3).

2)    a lub p nie może być całkowitą odjemną liczbą — p, bo w takim razie szereg zawierałby tylko (p -f-1) wyrazów i byłby całkowitą funkcyą wymierną pgo stopnia, (chyba, że równocześnie y= — p).

3)    w przypadku y = a (lub =S) — bez różnicy, czy te parametry mają wartość —p, czy nie — szereg będzie zależny jedynie od jednego parametru p (lub a) i będzie miał postać:

i-r

1. 2. 3. y(y + l)(y + 2)

*) Por. J. Raabe („ Untersuchungen ilber die Comergenz und Dicergenz der Reihenu) Zeitschrift fur Physik und Mathematik von A. Baumgdrtner und Ettings-hausen. T. X. str. 65. (Wiedeń 1832.).

a. 3

:*) Disąuisitiones generales circa seriem infinitam 1 -f- j—-

Gauss.

Werke. T. 3. str. 125.

iloraz:

P(P + l)(P + 2)

1 + fM ^+x)

Wykluczywszy wartości parametrów wyszczególnione w 1) i 2) utwórzmy

£C²4

1.2.3

a;³ —J—...

(¹⁺^) (¹⁺i)

“»+i _| (tt + »)(P + ») r = I (i 4- ») (r 4- »)

dąży on do granicy (j — | x |, a stąd wynika, że szereg — przy dozwolonych, wartościach a, {3, y — będzie zbieżny dla |ce|<[l.

Na samym okręgu \%\ = 1 mamy g = l

więc zbieżność wątpliwą. Gdy się tu do rzeczywistych a, (3, y ograniczymy i zauważymy, że w takim razie spółczynniki szeregu — począwszy od dostatecznie dużego n — będą statecznie dodatne, to g' przy takiem dostatecznie już dużem n — będziemy mogli napisać w ten sposób:

i+r-.-fnJrf)

n

14

!±r, r

n nz co

= 14-r —« — P-

Stąd wynika: Gdy parametry a, (3, y w szeregu Gaussa są czywiste, to szereg ten jest na okręgu |a?| == 1 zbieżnym, gdy y> « + P, & rozbieżnym, gdy y < a 4- (3.

Przyjmijmy, że szereg 2\uz |, daje — od pewnego n począwszy — ilorazy | un+\ / un | w postaci:

unĄ-1 _    +    +...

nk+Bi nk~¹-j-B₂ nk~² +... ’ gdzie h całkowitą dodatnią jest liczbą, a At, A₂, ..., Bi, B₂, ... są stałe od n niezależne. Z (3) widzimy, że tu ą—1. Utwórzmyż:

n = co

r z e-

(3)

V/n

/ p un+l \_

\    Un )

(i?i — Ai) -f (B₂ —A₂)-~ +...

IV

14^-452-,+...

¹n ² n²

to widocznie mamy tu: q‘=Bt—A1} a stąd na podstawie twierdzenia I. wnosimy:

II. Gdy w szeregu 2\u^\ mamy g=l, a ilorazy |w„ą_i/M„| mają— od pewnego n począwszy — postać (3), to szereg jest zbieżny, gdy Bi—Ai~Ć> 1, a rozbieżny, gdy Bi—■Ai<Z 1.²)

29

Pd. 5. Zbadać zakres zbieżności szeregu:

¹+(?)(*>*+(?)(!)■■>+(*) («)-+

Pd. 3. Szereg:

xJr^x^Jr

2.3

5.6'

x² 4

2.3.4

5.6.7

-j- ...

zbieżny jest w kole |aj|<^l. Przy \x\ — 1 mamy q = 1, ale

Un+1

n -f-1

a więc

n 4-4

24=4,    — 1, Bx — ^4, = 31; szereg jest więc zbieżny i na całym okręgu |a?|=l.

Un

Pd. 4. Szereg:

, 1.2 , , 1.2.2.3

* + 8^ +8Zi6

cc³4

1.2.2.3.3.4

3.5.4.6.5.T

będzie zbieżny dla \x\ <(!• Gdy |«|=1 mamy wątpliwą zbieżność; ale tu jest:

Un + \

»(»4l)

n² n

(»4~2)(»+4) n² 4 6» 4 8 A₁ = l, B₁=6, Bi — ^4₁=52>1, a więc szereg jest jeszcze zbieżny i na okręgu

un

\x \ = 1.

••■i

gdzie m, p nie są dodatnie całkowite liczby, ale są rzeczywiste i podać warunki, przy których ten szereg także i na okręgu swego koła zbieżności pozostaje zbieżnym. [Odp. m p    1].

Pd. 6. Zastosować twierdzenie II. do zbadania zbieżności szeregu Gauss’a na okręgu: |se| =1.

ROZDZIAŁ XIV.

Rozwijania ułamkowych funkcyj wymiernych.

174. Rozwijanie funkcji wymiernej ułamkowej na szereg zwrotny (serie recourrante). Regułę dzielenia dwóch, szeregów zastosujemy tu do rozwijania na szereg funkcyi wymiernej ułamkowej :

(1)

u(x)

c₀ -j- <4 a? -j-... 4" cnxn

kładąc:

(2)

u(x)=a₀    ... in inft.

i zajmując się dokładnie formami spółczynników aa.

1°. Przyjmijmy m<jn. Obliczywszy wtedy a₀, a1? aB_i z n

równań :

bn-i=c₀ an—i 4~ <4    2+• • • +    ao >

(3) ó₀—c₀a₀,    —coai + ciao

dostaniemy już potem statecznie:

dk 4* <4 ak—i d⁻ c₂ ak~² d~ •• • d⁻ Cnak—»—0,

(3')

czyli:

k — w, n -J- 1^ n “j— 2; ...

II⁰. W razie, gdy m>w, obliczymy a₀, au a₂,    z pierw

szych (m +1) równań :

—w ?

(4) b₀ — c₀a₀,    = c₀a₁ 4~c₁#₀,    =c₀ć)!m 4-■!■••• 4~<V*»i

a potem dostaniemy statecznie:

(4')

ci

C2

Cn

Ok—    Ok— 1--ćfyfc—2 — •••--Ok

CQ

C0

C0

-n i

Coa*+cia*-i + — -+ c»«i-w=0, czyli:

Ci

C2

Cn

Ok—    — Ok—1--- 2—...--«

C0

c0

co

A: = m 4- 1, w 4-2, m 4-3, ...

(^)

W pierwszym więc wypadku szereg liczb:

Oqj <zi, «₂J    ®3>    •••

a w drugim szereg liczb :

(5)

) Om—n+2 >    n+3 >    •••

(w4-2)§a, ... liczba jest zawsze taką

sza

jest tego rodzaju, że (w4-1) samą jednorodną funkcyą w liczb bezpośrednio ją poprzedzających.

Z tego powodu nazywamy szeregi (A), (B) szeregami liczb zwrotnych, a tę samą nazwę dajemy rozwinięciu (2) nazywając je szeregiem zwrotnym.

Grdy naodwrót dany będzie szereg zwrotny:

<$(%)=a₀+aix+a₂x²+...,

poczynający swoją zwrotność od a₀, lub am_n+1, to iloczyn:

(c₀ 4- cx x 4-... 4- cnxn)^(x)

będzie — wskutek związków (3), (3'), albo (4), (4), — funkcyą całkowitą wymierną f(x) stopnia mz°, tak, że

%(x)=f(x)l[c₀+cixi-...+cnxn].

Stąd twierdzenie :

I. Każdą wymierną ułamkową funkcyę można rozwinąć według rosnących potęg jej argumentu na szereg zwrotny. Naodwrót każdy taki szereg jest rozwinięciem pewnej takiej funkcyi.

Gdy z pierwiastków równania c^Ą-c^-t...Ą-cnxn=0 ma pierwiastek £1? najmniejszą bezwzględną wartość, to rozwinięcie $(#) zbieżne jest w kole |a|<|fi|.

Napiszmy:

u(x)=xm

—n

i połóżmy x~i=z, to mieć będziemy:

cw4-cw-i^-¹4-...+c₀aJ-w

u(x)=xm~n.

bm-\~bm—iZ-\-. .Ą-b₀zm

CnĄ-Cn-iZ+...+C₀Zn

WW=a‘o +a'iz+a,₂z²+a'zz³+. zbieżny dla    jeżeli fn jest pierwiastkiem równania:

Drugi czynnik po prawej stronie można — podług tw. I. — rozwinąć na szereg zwrotny:

\Sn\

c₀+cix+...-\-cnxn=O

o największej bezwzględnej wartości. Wracając teraz do zmiennej x, dostaniemy szereg :

(5)

zbieżny dla [a:[^>||n|. To znaczy:

II. Każdą funkcyę wymierną ułamkową rozwinąć można na szereg zwrotny uporządkowany podług spadających potęg jej argumentu, a zbieżny zewnątrz koła o środku w x—0, a o obwodzie przechodzącym przez najdalszy punkt pierwiastkowy jej mianownika.

175. Zastosowanie do fimkcyi f\oc)    Zajmijmy się roz

winięciem f‘(x)lf(x), w którym f\x) jest pochodną funkcyi:

f(x)=c₀xn+ci xn~x 4-c₂xn~²+... + cn.

Gdy równanie f{x)—0 ma pierwiastki:

£l? ^21 ^31 ”•?

o bezwzględnych wartościach :

to bez różnicy, czy między tymi pierwiastkami są powtarzające się, czy nie, mamy :

(a)

A*)    1

X—in

x-£i T Z drugiej zaś strony jest:

/'(*)

(&)

nCę>xn~Xjr(n—l) c₁xn~²-f... Cę₎xn-\-cixn-J[-{-c%xn~%-ir...-\-cn ' Rozwijając kształt (b) na szereg:

a\

(1)

Cli +

/Y* L    rp

%k/    JUo

zbieżny dla    , dostaniemy na wyznaczenie spółczynników

a‘₀, a\, a‘₂, ... związki:

a‘₀=n

co a\ + cx a*₀ =(n—1) clf c₀ a\ + ^ a\ + c₂a\=(n—2) c₂

a stąd — ponieważ dla |a;|>|fB|, będą \ijx\j \ź₂ix\i -j |!»/*| ułamkami zwyczajnymi — dostaniemy szereg (1) w postaci:

(2)

r + ^⁺-

r+->

[sr=§ir+fr+...+ęnr].

Stąd wynika, że :

(A)

«'o =n, a\ =s1? a'₂=s₂, a'₃,=s₃ ...,

a z nich a\, a'₂, ... wynikną w całkowitych wymiernych funkcyach spółczynników: cijc₀, c₂/c₀, ..., cn/c₀.

Wychodząc z kształtu (a) mamy:

A*)

ii-¹

•li-

a:

a;

i_jJ

a to znaczy:

I. Iloraz f‘:f rozwinięty podług ujemnych potęg argumentu x daje w swych spółczynniJcach po porządku symetryczne funhcye s₀, s1? s₂, ...

Rozwińmy teraz:

f(»)

cn_i+2 cw_₂ a?+8 w_ ₃ a:² +...

cra+Cn-i a;+c„_₂ a;²+•• • + c₀

na szereg:

(3)

a₀ +a₁a:+«2a:²+...

zbieżny dla \x|<!||₁|.

Na wyznaczenie spółczynników dostaniemy tu związki:

£n — l⁼⁼ %

2 cn—₂=a^ cn-{-a₀cn—i 3 Cw_3 = fl!₂Cw-f-®iCw—

z których a₀₎ ai, a₂, ... wyrażą się wymiernie, całkowicie przez ^0/cn, ...

Z drugiej strony z kształtu (a) dostaniemy:

f‘(x)

/■(«)

l¹-!) M¹-!)

a każdy z szeregów mieszczący się w tej sumie jest zbieżny dla x\<^\%i\i gdyż dla takich x są wszystkie |ic/|^|, A=l, 2 ułamkami właściwymi. Z sumy (4) dostajemy:

(4)

trrr

cc

454

₍5) m.

&)

Porównując to rozwinięcie z (3), mamy:

co znaczy:

5—1 ■" ⁻    a0? 5_»2 ■    ^1? ^—3—:    ^2 ? ***?

II. Iloraz f‘:/ rozwinięty podług dodatnich potęg argumentu x daje w swych spółczynnikach wziętych z przechmym znakiem po porządku

gdzie s_r jest sumą (—r)Ujch potęg

funkcye symetryczne s_i, s_₂, wszystkich pierwiastków równania f= 0.

Uwaga. Gdy f=xn—1, to tu rozwinięcia ilorazu /':/ prowadzą do twierdzenia I., udowodnionego w art. 25.

176. Szeregi liczb zwrotnych. Niech S=(a₀, al: a₂, as, ...) będzie szeregiem liczb zwrotnych, poczynającym się odrazu od a₀, a jego czemraz nowe elementa niech określają się związkami:

(1)

a^=ab—i -f- c₂    2 d⁻ • • • d⁻

Tc = n, n-\-1, n Ą-2, ...

Ponieważ związki te przedstawiają każdy nowy element przez n bezpośrednio go poprzedzających, więc z tego powodu nazwiemy szereg S szeregiem rzędu wg0, a same związki: związkami rzędu n.

Utwórzmy:

(«)

«0

«₁

xz Jr"’j

albo:

ć?g -J- <35^ # -j- ć?₂ ² -j- ..., to każdy z tych szeregów będzie wskutek (1) rozwinięciem pewnej wymiernej ułamkowej funkcyi o liczniku stopnia niższego od stopnia mianownika. Połóżmyż :

u(x)

f(x)    &₀ X”-¹+bt xn ~²+... -f bn-\

(2)

9&)

rfU_s» rjpU

%As    Isa *As

-i

i b°+bĄ+-

x '    1

l — ci--...

¹ X

⁼ ir ⁺ ^ ⁺ ^⁺-’

to stąd wyznaczymy:

(3) óg=ttQ, b^=a^ c^aQj ..., bn—\=an^i c^05w_₂ ... cn—i$q, a szereg (a) będzie rozwinięciem funkcyi w(a;) z wyznaczonymi spółczynnikami (3) w jej liozniku. Połóżmy podobnie:

...—cnxn

l( ' 1— to stąd dostaniemy: b o a₀ — 1)q , 5 ^    ⁼⁼b^, ..., ó ^—i ⁼⁼⁼an—i 6^an—₂ ••• i®o l^n—•*

a szereg (b) będzie rozwinięciem funkcyi: ui(x) =

-i

(4)

1—c^x—c₂x²—...—cnxn ’

Funkcyę u(x), u₁(x) nazywają się funkcyami rodzącemi szeregn S. Mianowniki icb s ą j u ż dane równocześnie ze związkami (1) i są stopni n = rzędowi szeregn S Z tego powodu równanie g(x)=0 (lub g^(x)=0) nazywają chara-kterystycznem szeregu S, a funkcyę g{x) (albo g^{x)) funkcyą charakterystyczną tego szeregu.*)

Po tych uwagach zapytajmy, czy rząd n, jakim się szereg S dał scharakteryzować, jest jego najmniejszym rzędem?

W tym celu przyjmijmy, że rodząca funkcya u(x) nie wypadła w swej najprostszej formie i że daje się przywieść do prostszej formy:

(5)

u‘(x)

(3₀xv~i +(3ixv~2jr... + (3v-i

Xv — c‘iXv~¹ —... — c‘ v

V<Jl,

która nie potrzebuje jednak być już najprostszą formą funkcyi u(x). Lecz ui(x)=u(x) identycznie. Stąd wynika, że u\x) rozwija się również na szereg (a), a nie inny, i że więc S — będąc szeregiem rzędu n — jest jeszcze szeregiem rzędu v<jn o związkach:

v<n,

(6)

<Xk— C\Q>k—\ + C‘₂ Clk—2 -j- ... -f

* = v> v + ¹i v+2, ...,

-V 5

a o charakterystycznej funkcyi:

(7)

g‘(x)=Xv — C\XV~¹ — C‘₂XV~² —    &

będącej podzielnikiem funkcyi g{x).

Przyjmijmy naodwrót, że — prócz równań (1) rzędu n — mamy jeszcze równania (6) rzędu v<ji. W takim razie szereg (a) określa prócz funkcyi u(x) jeszcze funkcyę rodzącą u‘(x) o postaci (5). A że te obie funkcyę na nieskończenie wielu miejcach x, bo w całym zakresie zbieżności szeregu (a), te same mają wartości, więc są identyczne. Tego następstwem musi być to, że u‘(x) jest skróconą funkcyą u(x)₁ a przeto g\x) jest znowu podzielnikiem funkcyi g(x).

Stąd mamy twierdzenia:

*) Co się tyczy treści tego i następnego art. por. E. Study: Recurrierende Reihen und bilineare Formen. Monatshefte f. Math. u. Ph. T. II., str. 23... (1891) — Por. także: M. Dietrich: Uber den Zusammenhcing getoisser Determinanten mit Bruchfunctionen — Cr e Ile J. T. 69, (1868), str. 190. i nast.

I.    Gdy n nie jest najniższym rzędem szeregu S, a jego charakterystyczną funkcyą w tym rzędzie jest g(x), w rzędzie zaś niższym jest g'(x), to g\x) jest podzielnikiem funkcyi g(x).

II.    Gdy S jest rzędu n, a jego funkcya rodząca u{x) nie wypada w najprostszej formie, to n nie jest najniższym rzędem szeregu S.

III.    Najniższy rząd szeregu S osiąga się, przywodząc jego rodzącą funhcyę do jej najprostszej formy. Stopień mianownika tej ostatniej będzie najmniejszym rzędem szeregu S.

Ponieważ funkcya u(x) nie posiada dwóch różnych form najprostszych , więc stąd dalej wynika:

IV.    JDo najmniejszego rzędu m należą zawsze jedne tylko równania rzędu m:

(8)

ak — ttk—l + y₂ ak—2 + ... + ym ajc—m k=m, m-fi, w-f 2,... t. j. o spółczynnikach y1} y2}..., ym nie dających się zastąpić innymi.

Gdy y(x) jest charakterystyczną funkcyą najniższego

rzędu m, v(x)

ep{x)

y(x)

rodzącą funkcyą, a położymy :

(9)

v(x)

cp(x). h(x)

y{x). h(x)

gdzie h(x) jest najdowolniejszą funkcyą wymierną całkowitą stopnia lgo? 2g°?... to kształt (9) prowadzi do szeregu S, jako do szeregu (m-t-l)g0, (m+2)£°,... rzędu i to na nieskończenie wiele sposobów. Stąd wynika:

V. Szereg najniższego rzędu m jest zarazem szeregiem każdego wyższego rzędu m‘, a równań należących do jednego takiego rzędu m‘ może być nieskończenie dużo. Każda funkcya stopnia m‘, podzielna przez y(x) może być charakterystyczną szeregu S jako szeregu rzędu ml.

Pd. 1. Szereg:

określony przez

a₀ = 1, av = 4, a-₂ = 14, as, a₄,...

== 9    — 26 ak_₂ + 24 ak_% , k = 3, 4,...

jest rzędu 3. Jego charakterystyczną funkcyą jest xz—9x² -p 26x—24. Kładąc

fe₀s² +

cc³—9#² -j- 26cc—24

dostajemy &₀=1, 6₁=5, 6₂=4, a więc rodzącą funkcyą szeregu będzie:

x²—5cc -f* 4

u(x)

(x—1) (x—4)

x³—9cc²    26cc—24

(x—2) (cc—3) (cc—4) •

Nie wypada ona tu w najprostszej formie. Jej najprostszą formą jest:

x—1

(x—2) (cc—3) ⁼ X*—5 cc + 6 ’ a stąd wynika, że dany szereg określają także równania:

v{x)

ak — ^ak—1 ^ak— 2 i ^    3, 4, ...

o równaniach:

najniższego rzędu 2. Szereg dany jest więc także najniższego rzędu: 2. Pd. 2. Okazać, że n=4 nie jest najniższym rzędem szeregu: a₀= 1, al=—4, a₂—14, 03=—48, a₄, a₅,...

ak= ^ak—i 4“ ^>ak—2 4“ ^ak—3 6ak_₄, & = 4, 5, 6,... i że jego najniższym rzędem jest 2.

Pd. 3. Jaką jest rodząca funkcya szeregu :

2°, 2¹, 22, 23,...?

Uwaga. Twierdzeń I —V można także dowieść na podstawie rodzącej funkcyi %(x). Tej drugiej funkcyi możnaby więc także użyć w Pd. 1, 2, 3.

177. Przedstawienie liczi) szeregu zwrotnego przez stałe parametry. Przyjmijmy, że mamy danych kilka szeregów liczb zwrotnych :

(1)

(«0» ®1> ^ 2 ? "Oj (^0? ^ 1J b ₂, ...), (^0? ^1) ^2? •••)?•••

o charakterystycznych funkcyach:

(2)

^1^), ^₂(*)» #»(*)> -które nie są w ogólności tych samych stopni i nie potrzebują koniecznie wskazywać najniższych rzędów szeregów (1). Funkcye (2) niech posiadają najmniejszą wspólną wielokrotność G(x) i niech będzie:

G(x)=g₁(x) .\{x)=g₂(x) h₂(x)=gz(x) hz{x), ...

G{x) jest więc funkcyą podzielną przez wszystkie funkcye (2), a stąd wynika, że wszystkie szeregi (1) mają wspólną charakterystyczną funkcyą:

G (x)=xt*— xfl~¹ — C₂ X‘u~²—...—C/j, najniższego stopnia y. Połóźmyż:

a‘k = Ci a'u—i + C₂ a‘k—2 + •.• + C^a^—zi

blk=Cib‘jc-i + C₂b‘jc-2 +~- + C/ib, k=y, y+1,...,

C jc= CiC Ti—i -j- C₂C T:—2 d⁻ ••• d~ C/j, C ii—/j,

to, gdy Ą, JBj C, ... są dowolnymi liczbami, mamy.

(3)

Aa*ii-\- JBb‘ii-\- Cc^Ą- ...==

Ci^Adii—i-{-Sb¹ Tc—i+ ...) + ...d- C/j,    •••)•

Z tego wynika, że szereg liczb :

(4)

CćicĄ-...], &=0, 1, 2, 3, ... jest szeregiem liczb zwrotnych o charakterystycznem równaniu G(x)=0. Stopień y tego równania jest najniższym rzędem tego szeregu. Stąd twierdzenie:

I. Gdy danych jest kilka szeregów (a‘0J a\...), (&'₀,    ,...),... liczb

zwrotnych o różnych charakterystycznych równaniach, to zawsze można

znaleść wspólne ich charakterystyczne równanie G (x) = O najniższego stopnia y; a każde liniowe połączenie (Aka'k-\-Bk b‘kĄ-...), k—O, 1, 2,... elementów danych szeregów jest szeregiem zwrotnych liczb o charaktery-stycznem równaniu G(x) =O, a o najmniejszym rzędzie y.

Mając to przyjmijmy, że szereg:

S= (Ctę , tty , tt'2 , • • •)

jest najniższego rzędu w i że jego charakterystyczne równanie stopnia ns° posiada same niepowtarzające się pierwiastki ii, ^2 ? * * * ? iw ? ^ "waęc •

g(x)=(x—Zi) (a—i₂) ... [x—lny,

g{x) można uważać za najmniejszą wspólną wielokrotność czynników (x—i^, (x—i₂), ..., (x—i„), a do nich, jako do charakterystycznych funkcyj należą szeregi :

1. i

(5)

i? ^2?

• No No

No No

1 7 •••

[art. 176. Pd. 8].

1» i», i«², i«³, •••

Podług twierdzenia I. powinny się zatem elementa szeregu S dać złożyć liniowo jednorodnie z elementów szeregów (2). Aby tego dokonać zauważmy rodzącą funkcyę u(x) szeregu S w jej najprostszej formie:    i połóżmy :

9\x)

u (x)

fix) ₌ A |_ A

g(x) x—ly 2Aa KAaAa

An

X i₂    x i«

2Aala² ,

X³

Stąd wynika , że :

(6)

AxXyA₂A₂^~h... + AnAnk) k=0,1, 2,... czem już zadanie jest spełnione. To znaczy :

II. Każda z liczb ak szeregu S o najniższym rzędzie n, a o charaktery stycznem równaniu n°° stopnia bez powtarzających się pierwiastków daje się przedstawić liniowo jednorodnie przez kłe potęgi pierwiastków tego równania ze spółczynnikami, które są licznikami częściowych ułamków funkcyi rodzącej.

Takie przedstawienie liczb szeregu S jest z tego powodu bardzo dogodne, że za pomocą niego można dowolnie daleki element ak odrazu obliczyć bez znajomości elementów poprzedzających.

Pd. 1. Utworzyć szereg S, którego rodząca funkcya:

Pd. 2. Szereg S ma 4 pierwsze liczby:

a₀ = l, a₁ = 2, a₂=—1, 03=3, a jego charakterystyczne równanie ma postać:

g(x) = (x—1) (x—2) (x—3) (x—4) = 0; obliczyć liczniki Au A₂, A₃, At funkcyi rodzącej :

x—4’

x — 1 ¹ x — 2    x — 3

(Z n pierwszych równań (6) można zawsze wyrazić Au A₂

an—1)‘

An przez

178. Funkcye Aleph ($$) Wrońskiego. Bardzo ważnem jest

tworzenie szeregu S o rodzącej funkcyi ~^—=[(x—Z₁)(x—Z₂)...(x—Zn)\

9\x)

bez różnicy, czy pierwiastki Zi7 Z między sobą różne rzające się.

Załóżmy | Zx | < | Z% |.< ... < | A | i połóżmy:

~ 1 _ 1 1 g[x) x—Z^x—Z₂ x — Zn to dla wszelkich |'fl?j>|^raj wynika stąd:

-i

Zn są wszystkie czy też są między nimi i powta-

— = [— + i

(x)    [ X X¹

Z₂

Zn

—+ •••

X2,

czyli

(1)

[Z] 1 , [Z]₂ , [Z]₃

g(x)

xn

xn+l

Xn+²

gdzie [Z]k jest funkcyą powstającą z wykonania potęgi:

(Zx -j-Z₂ -j-... -j-Zn)k=... AZXs* ZA ...Znn d⁻gdy się w niej za wszystkie spółczynniki A położy jednostkę. [4 są-to tak zwane funkcye Aleph Wrońskiego, które także wyraźnie symbolem [ZiZ₂...Zn]k naznaczają; [Z]₀ kładziemy =1. Żądany szereg jest zatem postaci :

(2)    s=(0,o,...,0,1, [4, [4,-0;

ma on (n—1) wyrazów =0 z samego początku; wty wyraz —1, a potem następują funkcye Aleph [4» [Z]₂,... Jego równania są an.j_*—i == [ż]fc= Cj [Z]k—i + c₂ [4-2 d⁻ • •• + c« [Z]k-n ,

7c=n, w-ł-1, n+2,...,

(3)

j eżeli :

g{x)—Xn— cixn~i — e₂a;w_2—...— Cn jest jego charakterystyczną funkcyą stopnia n.

Pd. 1. Zakładając pierwiastki , X₂, X3 dostajemy z rozkładu funkcyi 1 /g(x) na ułamki częściowe:

In wszystkie między sobą różne,

(«)

g(x) gX\)‘x—\ ^ gt(ki)‘x—X₂ 1    1 g‘(\n)'x—\n'

Stąd dla wszelkich | as |    | X» [ dochodzimy do rozwinięcia:

g{x)    X- J-i g‘(h)    f/'0i) "H"

Szeregi (1), (a) muszą być oczywiście identyczne, a wskutek tego dostajemy:

2^R)=°-s⁴yi;^-²-

[są-to formy Eulera art. art. 52. Pd. 4.] i wreszcie:

n—1+&

(p)

Tc = 1, 2, 3,...

9‘(\) ’

które-to równania uważać trzeba za nowe definicye funkcyj Aleph w razie wszystkich między sobą różnych, wchodzących w nie elementów*).

Pd. 2. Dla szeregu: a₀= a^ — ... = an_₂=0, an ₁ = 1, an,... o równaniach

ak ~ na/c—l

mamy charakterystyczne równanie:

(2) —2 "ł"* (g)    3 • ••— ak-n >    n

xn—nxn~i + (fy xn~²- ... + 1 = (cc-l)ra =0,

o n-krotnym pierwiastku = 1. Tu więc dostaniemy:

a więc szereg:

*) Por. S. Dickstein. Pojęcia i metody str. 213. i nast. albo tegoż rozprawy w Pamiętniku Akad. krak. T. XII. Porównaj dalej Maurice Ocagne Sur un algorithme algebriąue — Nomelles Annales de mathematiąues. T. 2. (Serya 2.) str. 220—226.

**) Te i t. p. przykłady znajdują się w rozprawie „Theorie elementaire des series recourrentes¹¹. M. Ocagne. Nom. Ann. de math. T. 3. (serya 3.) str. 65.

O innych związkach i zastosowaniach funkcyi Aleph. czyt. R. E. Scott. „On some alternating functions of n rariables. The Messenger of Mathematics“. Vol. XI. (1882) str. 98—103. Anglin „Zur Th. der symmetrischen Functionen Crelle J. T. 98. str. 175. Oayley. „On Mr. Anglins formula... Qudrterly Journal Vol. XIX. str. 223. P. Lachlan Proof, of a generalization of Newtons formula... The Messenger of Mathem. Vol. XIII. str. 155.

Na wzór rozwinięcia funkcyi 1 / g(x) prowadzącego do funkcyj Aleph rozważa Borchardt [Crelle J. T. 53. str. 193...] rozwinięcia funkcyi:

(*»—«*)

w której f, t₂

do wszystkich permutacyj n stałych 04, oc₂,..., «n. Funkcya T rozwinięta podług sa-

tn są zmienne, 04, «₂,

an są stałe, a sumowanie odnosi się

Pd. 3. Gdy f{x)jg(x) jest rodzącą funkcyą danego szeregu S = (a₀,    ...)

a położymy:

to mieć będziemy:

f(x) = b₀xn~X +    + ... + bn-i,

El

(«)

X x‘l ‘ X³

a z tej identyczności wynikają przedewszystkiem równania:

bo — ao

¹

m w

W = co

Grdy wyznaczymy tu tak, że będzie (3<C.l—mi, to wtedy — poczynając od dostatecznie dużego n — mieć będziemy :

²

Gauss 1. c. str. 139. — Raabe 1. c. str. 65. Ze względu na treść bieżącego art. por. także : J. Petersen „ Vorlesungen uber Functionstheorie“ (Kopenhaga 1898.), str. 121... Są tam podane inne jeszcze znamiona zbieżności (Bertrand, de Morgan, Kummer, Jensen).

Teorya funkcyj.

&„Ei + &i = «i

(P)

Z nieb dostaniemy:

&oE*-l+ ⁶iE» -2 + ••• + bn-i = an- V

hą = A[i0 a0 + A[A al + - + Ap, n-1 an-i ;•

[J-=⁰> b

•**)

O — 1).

jMO i

Api, są całkowitemi w [X]i> [X]₂,..., E»—li Dalej z identyczności (a) dostaniemy:

«*= h E* + \ E/t-l + - + bn-1 Ei-(n-l))

h = n, »-]-1. »4*2,...» a gdy tu za ba wartości (b) wstawimy, dojdziemy do określeń:

ak==Pk0a’0JrI>ldaiJr    + Pk,n—i«n-l>    n+b"*

W ten sposób dowolnie daleki wyraz szeregu S da się obliczyć ze znanych jego n początkowych wyrazów. W spółczynniki Pk0, Pki,... wchodzą funkeye Aleph, a ich tworzenie umożliwiają związki (3)*).

179. Rozwijania fankcyi ułamkowej wymiernej w różnych zakresach jej argumentu. Rozważaliśmy dotąd dwa tylko rozwinięcia funkcyi ułamkowej , a to : 1 °) rozwinięcie w otoczeniu punktu x=0 zbieżne w kole, o środku x=0, a niezawierającem żadnego z pierwiastków |₄, f₂,... mianownika, i 2°) rozwinięcie w otoczeniu punktu x=co [art. 33. tw. II.] zbieżne poza kołem, które w swem wnętrzu zawiera wszystkie pierwiastki £₂, ... Połóżmy wyraźnie :

u(x)—Gr(x) -j- Z± + Z% +... + Zv + Zv.pi +... + Z

mych odjemnych potęg zmiennych daje w spółczynniku przy

[f₁_(pl+¹) 4~(p2+1) f1t'“(p*⁺¹⁾]

o tern

symetryczną jednorodną funkcyę    a₂Pj... <*„”)' Bliższych szczegółów

rozwinięciu zasięgnąć można w dziele „Einleitung in die Theorie der bindren For-men“ Fad de Bruno. Por. także Betti, Crelle J. T. 54., str. 98.

*) Wyraźne formy spółczynników Pk0, Pk\ ,... podał E. Netto w rozprawie „ Uber recurrierende Reihen. Monatshefte f. Małh. u. Phys. T. 6. (1895) str. 285.

gdzie u(x) jest daną funkcyą, G{x) jest zawartą w niej funkcyą całkowitą, a Zv, v=l, 2    oznacza zawartą w niej sumę czę

ściowych ułamków o mianownikach (#—f„), (x—£v)², (#—1„)³,... Zakładając | ii |< | |₂|<C — <C 1|, można będzie sumę:

ZiĄ-Z₂-{- ...~\-Zv

rozwinąć na szereg    zbieżny dla wszelkich j x | >> 1f.

sumę zaś:

G (x) + Zvą.\ + Zv+2 -f-... -j- Zn

można będzie znowu rozwinąć na szereg $„(#) zbieżny dla wszelkich | x | < | ^+i |.

Z tego wynika, że w obszarze :

mieć będziemy:

«(*) =?*0)+=Pv(x). v=l, 2, w—1.

Do tych rozwinięć dołączają się jeszcze: rozwinięcie £(#) +    (a;)

dla otoczenia #=0, [|#|<C|t}|] i rozwinięcie G(x)Ą-ty'n(^-^ == Pn(x)

dla otoczenia x=cc , [| x\ ^>|    j].

Grdy G{x) nie istnieje, to to ostatnie rozwinięcie zawiera same tylko odjemne potęgi argumentu.

CZĘ&O VI.

PRZEPROWADZANIE SZEREGÓW. OKREŚLENIE I NAJOGÓLNIEJSZY PODZIAŁ FUNKCYJ ANALITYCZNYCH.

ROZDZIAŁ XV.

Przeprowadzanie szeregów potęgowych.

180. Przeprowadzania szeregu    w wnętrzu jego zakresu

zbieżności. Niech, szereg <$(x)=c₀+cix-\-c₂x² + ... nie będzie bezustannie zbieżnym i niech ma koło zbieżności (r). W tern kole obierzmy punkt a i połóżmy:

(1)

x=a-1- h.

Ponieważ \x\ ma być <jr, trzeba h tak wybrać, aby także

(2)

| a+h\<C.r było, gdyż tylko wtedy punkt a+h leży znowu w kole (r).

Lecz |«|+|&|>|a+&|; gdy więc h spełni warunek |a|+|h\<Zr,

czyli :

(3)

to tembardziej spełni się (2), a szereg:

(4)

^0*0—co "h ci (a++ c₂ {a+h)² +... jako szereg argumentu {aĄ-Ji) będzie zbieżnym. Jest on nieskończoną; sumą wymiernych całkowitych funkcyj :

cv(aĄ-h)v=cv[av +    av~lh +    av~²h² ■-f...+hv],

v = 0, 1, 2, ... ^

argumentu Ji i jest jako taki jednostajnie zbieżny w zakresie (2), a tern bardziej w zakresie (3); (aĄ-h) zastępuje bowiem x leżąc w (r) leży w zakresie jednostajnej zbieżności szeregu $(#).

Wx)=%(a+Ji)=C₀ + Cih+C₂W+..., to spółczynniki G₀, Gi, C₂, ... będą tu miały takie znaczenie: C₀=c₀-\-cxa+c₂a²-{-c₃a³+.,.=^(a)

Wskutek tego można będzie szereg (4) uporządkować podług potęg h [art. 168.]. Niech. więc:

1! Ci=ci -t-2c₂a + 3c₃a²+4c₄a³4-...==ip/(a)

(5)

2    ! (7₂=2c₂ + 3.2.c₃a4-4.3c₄a²+...=^"(a)

3    ! <7₃=3.2.C3+4.3.2.£'₄a+5.4.3.ćFa²-{-...=$'"(«)

Tworzą się one zupełnie w ten sam sposób, jak spółczynniki funkcyi wymiernej całkowitej f {a-\-h) , rozwiniętej podług potęg Ji [art. 48.].

Połóżmy jeszcze h=x—a, co z równania (1) wynika, to mamy identycznie:

ma)

(x—a)²+... = <^₁(x—a)

w zakresie \x—a\<Cr—\<Ą—q, a nie mniejszym.

\xl

ai

Zakres ten przedstawia koło (ię)=(a)r, które ma środek w punkcie a, a obwodem swoim dotyka koła (r) [fig. 33.]. Jest ono zarazem otoczeniem punktu a, a z tego powodu nazywamy ^ (x—a) przeprowadzeniem szeregu (x) do otoczenia punktu a i znaczymy krótko przez $)3(a;|a).¹) Mamy więc:

identycznie w kole (a)r=(ęi).

Fig. 33.

W kole (a)r = (q) obierzmy nowy punkt a, to do jego otoczenia przeprowadziwszy $(a?) dostaniemy — podobnie jak w (6) (7) ^(a:)=^(a:|a₁)=iP₂(a:—ax) identycznie w kole (ai)r=((>₁), gdzie koło («i)r=(()₁) ma znowu środek w punkcie ait a dotyka obwodem koła (r).

Lecz i szereg ^p(ir|a)=^₁ (x—a) w (6) jako szereg argumentu x—a możemy do otoczenia punktu przeprowadzić. Kładąc:

(8)

x—a=(a₁ -«)-[-

dostajemy:

1!

k+

«)

2!

7c²+...:

gdy potem z (8) położymy k=x—g1? dostaniemy rozwinięcie:

$1 Ol— a)-f

o)

1!

0—^)4

2!

O—aj)² + ...=?p,a(rB—aj)

jako żądane przeprowadzenie. Będzie ono zbieżne w kole (g^ o środku a₁₁ a o

wadzenie krótko przez ^(a?|g, aj naznaczymy, a równocześnie w (6) i szereg ^$0) do otoczenia punktu ai przeprowadzimy, dostaniemy ^0!ai)==^P0O, «i) identycznie w kole {ajQ, a więc i w kole (ajr=(gj [art. 166., tw, II.]. Z tej identyczności i z (7) mamy więc:

(9)    ^0) = $P(#|g₁) = $)30(g, aj identycznie w kole (ajr = (ęj.

W tern kole wybierzmy punkt a₂=^zai. Przeprowadzając $P(#) do otoczenia tego punktu, dostaniemy:

(10)    <ł$(x)=⁽ł$(x\aj='fyz(x—g₂) identycznie w kole (g₂)r.

Lecz równocześnie i 9fi(x\a,aj do otoczenia tego punktu a2 przeprowadzić możemy. To przeprowadzenie, które krótko przez $P(a?|«,«!, g₂) = $P'₃(:r—g₂) naznaczymy, zbieżne będzie niezawodnie w kole (g₂)?1 o środku w g₂, a o obwodzie dotykającym koła (ę^).

Gdy więc z (9) wyjmiemy identyczność ^3(aj)=^P(a:|g, g₁) i jej obie strony do otoczenia punktu a₂ przeprowadzimy, dostaniemy:

aj=ty(x\a,ai,aj identycznie w kole (g₂) a więc [art. 166., tw. II.] i w kole (g₂)r.

Z tej identyczności i z (10) mamy:

(11)    ^(a?)=^(a;|g₂)=$p(a;|g, gj, g₂) identycznie w kole (ajr=(ęj.

Obierając dalej g₃ w kole (g₂)r,..., at w kole (gf_i)r, ..., an

w kole (gn_i)r i tworząc każdym razem identyczności takie, jak (11), dojdziemy wreszcie do identyczności:

<^>{x)=<^{x\an)—<^{x\a, g1? a₂

Stąd twierdzenie:

obwodzie dotykającym koła (q). Gdy to przepro

si !

aj w kole (an)r.

I. Gdy an jest dowolnym punktem wewnątrz zakresu zbieżności (r) szeregu ^3(a?), to ^3(aj) da się bez zmiany swej wartości uporządkować podług potęg (x—aj), gdy tylko punkta x ograniczymy nierównością \x—an 1 O — |an\; da się toięc zamienić na szereg %(x\aj zbieżny dla \x—an\<jr — \an\. Przy tern obojętnem jest, czy $j3(a:) odrazu podług potęg {x—aj) porządkujemy, czy też do tego uporządkowania dochodzimy za pośrednictwem dowolnie wielu punktów. Inaczej: Szereg $j3(#) posiada dla otoczenia dowolnego punktu x₀ wewnątrz (r) jedno tylko przeprowadzenie

$(*!*„)•

Teorya funkcyj.

30

Przeprowadziwszy szereg $P(,r), który także jako $P(#jO) określić można do otoczenia punktu a, dostajemy identyczność :

O)

$P(#|0)=$P(#|0, a) w kole (ę) [fig. 34.].

Gdy punkt a leży bliżej punktu 0 niż obwodu (r), to w kole (q) zawiera się punkt 0, a wtedy bez obierania punktów pośrednich można naodwrót $P(#|0, a) przeprowadzić odrazu do otoczenia punktu 0.

Dostaniemy więc :

(6)    a)==^S(^|0, a, 0) w kole (p').

V)

Z (a) i(b) wynika identyczność:

Fig. 34.

$P(a;|0)==$P(.r|0, a,0) w kole (<?'), a więc i w kole (r).

Przyjmijmy teraz, że punkt a leży bliżej obwodu (r), niż punktu 0 [fig. 35.]. Wtedy mamy i tu prze-dewszystkiem:

(«')

^3(a:|0)==^P(x|0, a) w kole (<?); ale w tern kole nie zawiera sięfpunkt 0. Obierzmy w (ę) dowolny punkt a1? leżący bliżej środka 0, niż a i przeprowadźmy ^p(#|0, a) do otoczenia tego punktu, to dostaniemy identycznie:

(b‘) $P(.r |0)=^P(a?|0, a, a^) wkolefpj.

W kole (p₁) wybierzmy znowu punkt a₂, leżący bliżej punktu 0, niż punkt al: to przeprowadzając $P(#|0, a, a₁) do tego punktu, dostaniemy identycznie:

^P(ic|0)==^P(^|0, a₁ axi a₂) w kole (q₂).

W tern kole zawiera się już punkt 0. Przeprowadźmyż SP(#|0,a, a1: a₂) do jego otoczenia, to dostaniemy identycznie: $p(#|0, a, au a₂)=ip(ic|0, a, aita₂₁0) w kole (q₂).

Że zaś to koło całkowicie zawiera się w (p₂), więc z (c') i (d¹) wynika identycznie:

(O

(d‘)

’ai 3

te) ⁰

Fig. 35.

\{v]

a tern samem w kole (r).

Z tych uwag wynika:

II. Sam szereg ^3(ic)==^(a:jO) jest przeprowadzeniem każdego szeregu ij3(V0, a) z niego wyprowadzonego.

Jestto zarazem nowy dowód, że szereg    jest w swoim zakresie zbież

ności jednoznaczną funkcyą swego argumentu. Mając bowiem ^3(ie | xj) gdzie x₀ =0, lub 4=0, możemy dalej za pośrednictwem dowolnie wielu punktów a^,śnieżących w (r) wrócić znowu do x₀, a i wtedy będzie identycznie:

$0 | %o) = K³⁵ I X₀, x1: x₂, ..., x₀).

181. Pochodne i pierwotne szeregi i ich zakresy zbieżności.

Naznaczmy teraz dowolny pnnkt zawarty w (r) przez x₎ to w otoczeniu każdego takiego punktu mamy:

(1)

5P(cc -ł- A)=?P(a?) -ł-

1!

ograniczając punkty x+h do koła (%)r. Spółczynniki :

(2)

<$“(%)    ^“\x)

1! ’ 21

3!

któryck liczniki nazywamy pocłiodnemi (lsz% 2^, 3oi% ... ?>tą...) szeregu (x) będą niezawodnie dla skończonych v zbieżnymi szeregami w kole (r), inaczej bowiem niemożliwemby było tworzyć przeprowadzenia szeregu w otoczeniu dowolnego punktu w (r). Trzeba jednak rozstrzygnąć , czy koło (r) jest prawdziwym zakresem zbieżności szeregów (2)? W tym celu porównajmy:

x. {^\x)^=c₁x-\-2c₂x‘!‘Jr^czxz-\-...

(«)

z szeregiem:

<$(x')—c₀=c₁x+c₂x2j[-c₃x³-\-...

Szereg (a) począwszy od 2c₂x² ma wszystkie wyrazy co do bezwzględnej wartości większe od odpowiednich wyrazów szeregu (/?). Jeżeli więc szereg (/3) rozbieżnym jest dla |x\^>r, to tern bardziej szereg x.y$‘(x), a z nim i szereg pochodny i)$'(aj) rozbieżnym już będzie poza kołem (r).

Ponieważ $P"(a?) tworzy się tak z ^\x), jak i$'(aj) z i t. d. więc to samo odnosi się do wszystkich szeregów pochodnych o skończonych wskaźnikach v. A więc:

I. Szereg i£(a?) posiada pochodne wszelkich skończonych rzędów. Są-to szeregi potęgowe mające — wszystkie — kolo {r) jako prawdziwy zakres zbieżności.

0?)

Z (1) wynika, że i tu — podobnie jak w obszarze funkcyj wymiernych — mamy określenie:

/(x)==lim

h = 0

^(x-\-h) — i|3(ań cZi$(aj)

dx

mijmyż, że szereg posiada promień zbieżności r ]>1 a więc jest zbieżny także

dla !•< | x |< r. W takim razie musi być koniecznie lim cv = 0, a więc lim

Uwaga. W samym szeregu crxtrzeba cv uznać za

$W(Q)

. Przyj -

5«(0)

Wskutek tego w szeregu bezustannie zbieżnym będzie lim

skończonych x. Gdy przeciwnie r < 1, to lim | cv | może być albo skończone (nie wykluczając zera) albo nieskończone.

Szereg:

v!

0 dla wszelkich

(«l)

$iO*D=C+c^x+cĄ- + c₂ |- + ...

z dowolną stałą C ma jako pochodnę: szereg )$(#); nazywa się pierwotnym szeregu i określa się przez

(x)=C+J $(#) dx.

Porównując (a₁) z szeregiem :

x. ^(x)=cqx-\-c^x²-\-c₂xz+ ... widzimy, że ^(a?) będzie niezawodnie zbieżnym w kole (r), gdyż

(A)

w nim

— poczynając od    — są wszystkie spółczynniki co do

bezwzględnej wartości mniejsze od spółczynników odpowiednich wyrazów w (&).

Lecz (r) musi być zarazem prawdziwym jego zakresem zbież-, w przeciwnym bowiem razie musiałby i szereg (/?t) —

ności

podług tw. II. — mieć większy zakres zbieżności, niż jak to założono.

Mamy więc twierdzenie :

II. Koło zbieżności (r) szeregu $('#) jest także prawdziwym zakresem zbieżności szeregu pierwotnego C-Sr^(x)dx.

Pd. 1. Ze związku:

u(x) =    =

l—x

wyznaczyć rozwinięcia pochodnych

u‘(x) = (l-^)⁻², ut/(x') = 2.l(l-xr\ u"\x) =3.2.1 (1—ar)—⁴, ... (utworzyć pochodne szeregi).

Pd. 2. Okazać, że szereg E{x) — 1 -p ^    -J- ... posiada takie pochodne, że

(1—x)~¹= 1    * + #² + •••

E(x) = E'(x) = E"(x) = ...

Pd. 3. Okazać, że gdy $$(») = a₀ -f- axx -f- ... jest szeregiem zwrotnym o re-lacyach rzędu n%°:

ak = Clak-i + ciak-2 + ••• + + cn ak—n

h = n, n-\-1,...

to szereg pochodny ^'(V) = a, Ą- 2a₂x    ... jest również szeregiem zwrotnym o re-

lacyach rzędu (2»)s°. Jakiego kształtu są te relacye?

182. Charakterystyka szeregu potęgowego w jego kole zbieżności. O przeprowadzeniu $P(£cja) powiedzieliśmy, że ono jest niezawodnie zbieżne w kole (a)r i że dla punktów w tem kole istnieje identyczność:

Lecz przez to (a)r nie potrzebuje być zawsze prawdziwym zakresem zbieżności szeregu $P(#|a). Owszem — szereg ten może się czasem okazać zbieżnym w pewnem kole (r') większym od (a)r [fig. 36.].

W takim wypadku trzeba będzie w dalszem następstwie zbadać, czy wtedy identyczność (1) zachodzi w całym wspólnym zakresie ABCQA kół (r), (r')?

Gdy ^P(x) jest bezustannie zbieżnym szeregiem, to jasnem jest, że takie pytanie wcale się tu nasuwać nie po-o zakresach zbieżności jego przeprowadzeń nie

Fig. 36.

trzebuje

potrzeba robić żadnych zastrzeżeń, gdyż każde przeprowadzenie bezustannie zbieżnego szeregu $$(#) do otoczenia dowolnego punktu a leżącego w skończoności, będzie znowu bezustannie zbieżnym szeregiem argumentu (x—a) i będzie dla wszelkich skończonych x identycznem z samym $(#)• Podobnie każda pochodna takiego szeregu będzie również bezustannie zbieżnym szeregiem (argumentu x).

Takich bezustannie zbieżnych szeregów poznaliśmy trzy, a mia-

rfi    sjq 2

nowicie: E{cc)~ l-f^-j +    S(x), K(x) [art. 157.]. Z ich przeprowa

dzeń wynikną — jak później zobaczymy — ciekawe ich własności.

Bez różnicy, czy zakres zbieżności (r) danego szeregu jest skończony, czy nie, dadzą się z dowiedzionych dotąd twierdzeń ⁰ jeg° przeprowadzeniach wywieść nowe twierdzenia charakteryzujące    w kole (r). Za ich pośrednictwem będziemy mogli po

tem odpowiedzieć na pytania postawione tu na wstępie.

I. Szereg potęgoicy ^3(a;) nie może na nieskończenie wielu miejscach iv swym zakresie zbieżności (r) stawać się zerem; chyba, że jest identycznie zerem.

Przyjmijmy, że to jest możliwe, to te miejsca zerowe muszą posiadać w (r) jeden przynajmniej punkt skupienia a. Po przeprowadzeniu szeregu do otoczenia tego punktu dostajemy identycznie:

(1)

a) w kole (a)r.

Szereg $J$(£c|a) miałby więc w swym zakresie zbieżności nieskończenie wiele miejsc zerowych skupiających się w środku jego koła zbieżności. Taki jednak szereg jest identycznie zerem [art. 164. tw. II.]. W następstwie tego musiałby — na podstawie (1) — i sam szereg być identycznie zerem, c. b. d. d.

II. Szereg potęgowy ^(%) nie może na nieskończenie wielu miejscach w swem kole zbieżności (r) przybierać tę samą wartość c; chyba, że jest identycznie = c.

Za przyjęciem takiej możliwości musiałby szereg: c—<^(x)=(c—c₀) + cix+c₂x2jr...

stawać się w (r) zerem na nieskończenie wielu miejscach, a więc być identycznie zerem. Stąd wynikłoby c₀=c₁, a dalej: cl—c₂=...=0 czyli ^(#) = c.

III. Dwa zbieżne szeregi potęgowe )$(£■),    które w wspólnym

zakresie zbieżności na nieskończenie wielu miejscach lub w pewnem — choćby bardzo malem — continuum te same przyjmują wartości, są identyczne.

Wtedy bowiem szereg    ^ (x) będzie podług tw. I. identycznie zerem. Stąd już wynika identyczność $(#)    (#)²).

aby je krótko scharakte-

Uwaga. Twierdzeniami I, II uzupełniliśmy własności szeregu potęgowego w jego zakresie zbieżności ryzować, zauważmy naprzód skończony lub nieskończony obszar argumentu x jakiejkolwiek funkcyi wymiernej całkowitej.

W tym zakresie jest ta funkcya skończoną, jednoznaczną i ciągłą, posiada w każdym punkcie skończone i jednoznaczne pochodne (można powiedzieć: wszystkich rzędów), staje się w tym zakresie zerem tylko na skończonej ilości miejsc i daje się przeprowadzić do otoczenia każdego dowolnego punktu tego zakresu. Wszystkie te własności posiada i każdy szereg potęgowy wewnątrz swego zakresu zbieżności (r). Stąd pochodzi, że zachowanie się szeregu potęgowego w jego zakresie zbieżności można krótko tak określić: Każdy szereg potęgowy ma charakter funkcyi wymiernej całkowitej wewnątrz swego zakresu zbieżności■

183. Znaczenie wspólnego zakresu zbieżności szeregu i jego przeprowadzenia. Zauważmy teraz dwa zbieżne szeregi \ a), $P'(a?|&) o kołach zbieżności częściowo się przykrywających. O nich udowodnimy:

I. Dwa zbieżne szeregi potęgowe $j$(:rja),    b), których koła

zbieżności (r), (r³) mają iv spoiną część (AB CD A) — [fig. 37.] a które

co

w otoczeniu dowolnego punktu a leżącego iv (ABCDA) na nieskończenie wielu miejscach skupiających się w a, lub w continuum otaczającem ci, te same przybie-Jj rają tu art oś ci, są przeprowadzeniami jednego szeregu i są identyczne w całej wspólnej części (ABCDA).

Ponieważ punkt a leży równocześnie i w (r) i w (r‘) więc obydwa szeregi można do otoczenia tego punktu przeprowadzić.

Przeprowadzenia te ^(x\a, a), ?$‘(x\b, a) będą równocześnie zbieżne w kole (a)r [lub (a)r/, według tego, które z tych kół jest mniejsze].

W tern kole według założenia oba szeregi przybierają te same wartości na nieskończenie wielu miejscach, a więc w niem — według tw. II. — art. poprzedź. — mamy:

$P(#| «, a)=S$‘(% j b, a] identycznie , a szeregi dane (art. 180., tw. II.) są przeprowadzeniami tych identycznych szeregów.

Pierwszą część twierdzenia mamy więc już dowiedzioną.

Obierzmy dowolny punkt fi w kole (a)r; przeprowadzenia ^P(#|«, a, /?),    a, fi) zbieżne równocześnie w kole (fi)r (lub {fi)rt

znowu według tego, które z tych kół jest mniejsze) są identyczne w części (k) t. j. w wspólnej części kół {a)n (/?),., a więc (tw. III. art. poprzedź.) mamy:

$P(# |a, a, fi)=v$‘(% | b, a, fi) identycznie w kole (fi)f.

W ten sposób dalej postępując, możemy dojść do dowolnego punktu p leżącego w (ABCDA), a w jego otoczeniu będzie także identycznie:

Że zaś takie przeprowadzenia są w otoczeniu (fi)r [lub (p)r‘] identyczne z | a),    więc w tem samem kole (g)r mamy

identycznie | a) = ^‘(x \ b). Tym sposobem i druga część twierdzenia jest już dowiedziona.

Teraz możemy już całkiem dokładnie rozebrać przypadek, w którym przeprowadzenie $(a;|a) szeregu $(#) okazuje się zbież-nem w kole (r‘) niezawierającem się całkowicie w (r) [fig. 86. str. 469]. $P(#),    [ a) są tu w każdym razie identyczne w continuum

(a)r otaczającem punkt a. To zaś według dopiero dowiedzionego twierdzenia jest dostatecznem, aby zachodziła identyczność: w całej wspólnej części (ABCQA) kół (r), (r‘). Mamy więc twierdzenie :

II. Przeprowadzenie $ (x\a) także iw tym przypadku, kiedy prawdziwe jego koło zbieżności nie mieści się całkowicie w (r), przedstawia w wspólnej części kół (r): (r‘) szereg

Pd. 1. Na bardzo prostym szeregu przekonać się można , że zakres zbieżności przeprowadzenia nie zawsze mieści się całkowicie w kole zbieżności szeregu danego. Zauważmy n. p.

(«)

które-to równanie jest identycznością dla | x | < 1, [w kole (r) =(1)]. Gdy w tem kole obierzemy pewne x, to także identycznie mamy:

(P)

u(x -1-h) — $P(a? + Ti).

jeżeli h dostatecznie jest małe. Z (a) i ((3) wyniknie identyczność:

u(x -j- li) — u(x)

$P'(aj) = lim a stąd wnosimy, że:

h—o

?'(*)

^5 (a? -f- h)—ty(x)

lim

li

u'(x)

(l-x)

rc*)=

2!

3!

i że:

(1—a:)³

a-x)

4 > •••

(x— a)²

gdzie a jest dowolnym punktem wewnątrz koła | x | = 1. Szereg (yj jest zbieżny dla :

\x — a\<| 1 — a\,

a więc widocznie zawsze w takiem kole, które ma środek w punkcie A, ( = a), a obwodem przechodzi przez punkt B, (— 1) [fig. 38.].

Z tego widać, że tylko w tym wypadku, kiedy a umieścimy na odcinku OB, będzie (a)r prawdziwym zakresem zbieżności przeprowadzenia ^3(a? | a). Dla każdego innego położenia punktu a zakres zbieżności przeprowadzenia już się nie mieści całkowicie w (r) — (1).

0‘"

a'

A-a

laV

Fig. 38.

Pierwszy z tych szeregów zbieżny jest dla :

drugi zaś dla:

Pd. 2. Szereg:

jest rozwinięciem funkcyi:

ąj(ar) = l + x* + xi+...

i_l

1 xJ

-r—

2 L i—x

w kole (r) =(1). Pochodna vta tego szeregu będzie funkcyą wymierną —

u(x)

1—a?²

V ! r 1

a gdy a jest dowolnym punktem wewnątrz (r), to mamy:

V

H(-i)

(i+»)

¹_I

„w+ij

(a:—a)²

(!-«)² ‘ (1-a)

²    "J 1 r 1 x—a    {x—a)²

3    + - J + ~2 1-1+a⁻ (T+aj~2 + (l+o)³

Ix—a I <C I 1—a |,

I x~a I < 11 + «•

-1

Zakresy te są-to koła o wspólnym środku a; pierwsze z nich przechodzi przez punkt -j-1, drugie przez punkt —1. Z tego wynika, że samo przeprowadzenie | a) będzie— gdy punkt a leży w połowie I. koła (r), [fig. 39.]— zbieżne w kole (r') o środku w a, a o obwodzie przechodzącym przez -j- 1, a będzie zbieżne w kole + j (r‘) o środku w a, a o obwodzie przechodzącym V przez punkt —1, gdy punkt a leży w połowie II.

Gdy a leży na średnicy PQ, a więc a = + [J-i gdzie p jest ułamkiem właściwym dodatnim , to wtedy :

.a

-H-

OL

11—a [ = 11 -fa|=V/l + 9-², a koło (r') przechodzi równocześnie i przez punkt -f- 1 i przez punkt —1.

Gdy a na średnicy (—1... 4*1) umieścimy, to (r‘) mieście się będzie całkowicie w (r), [będzie kołem (a)r]. Dla wszelkich innych położeń punktu a nie będzie nigdy (r‘) kołem mieszczącem się całkowicie w (r).

Fig. 39.

184. Grórna i dolna granica kół zbieżności szeregów przeprowadzonych. Punkta osobliwe. Postarajmy się teraz zakres zbieżności (r') przeprowadzenia ^(a?|a) o tyle bliżej określić, że poszukamy dwóch kół Aa, Ba (Aa )> Ba) o środkach w punkcie a, a o tej własności, że (r‘) nigdy nie będzie większe od Aa, a mniejsze od Ba.

Niechże danym szeregiem będzie teraz i$(a;|a) o kole zbieżności (r), a punkt a niech leży wewnątrz (r). W jego otoczeniu przeprowadzenie    j a, a) będzie zbieżne w takiem kole (r¹), że:

(«)

r‘ >r — \a—a\.

Przyjmując, że a leży bliżej punktu a, aniżeli obwodu (r), możemy naodwrót — bez obierania pośrednich punktów — przyjść do szeregu:

| a)=y$(x J a, a, a).

Jego promień zbieżności przyjęliśmy r; będzie on — analogicznie, jak r¹ — ograniczony nierównością:

r>r‘— a—aj. Stąd wynika: r¹ <r-{- j a—a |,

(&)

a z (a) i (b) mamy:

r-f j a—a j > r‘ > r— | a—a j.

Gdy a leży bliżej obwodu (r) niż punktu a, to dolna granica (a) promienia r‘ pozostaje oczywiście i tu ta sama. Aby jego górną granicę znaleśó, wybierzmy na prostokreślnym odcinku aa —

(fig. 40.) — punkta a1; a₂, a₃ czemraz bliższe punktu a podług takich prawideł.

Szeregi:

(<0

(Tl

'TrJ

są niezawodnie zbieżne w kołach: (r'), (r^, (r₂), (r₃) które wszystkie dotykają koła (r) w punkcie P. Otóż alf a₂, a₃ wybierzmy tak, aby:

a było bliższe punktu ai} niż punktu P,

P,

a i n a2 n

a dla uproszczenia przyjmijmy, że punkt a₃ leży już bliżej punktu a, niż punktu P.

Mając to, zauważmy szeregi ^(x\ax), ^(xja). Uważając drugi za przeprowadzenie szeregu pierwszego mamy podług (b) :

r‘ <ri + \ct—ai\.

Lecz dalej analogicznie uznać trzeba :

*i<r₂ + ! ai ~ <h\i r₂~r3 + |a₂-a₃|, r₃<r + | a—a₃1.

Uwzględniając (/?) w (a) dostajemy :

r‘ < r₂ +| a—aj-f |at—a₂| = r₂ + 1 a—Qcź\'

Uwzględniając tu (y), mamy :

r‘ <r₃ + ja— a₂j-f-1 a₂ — a₃\=r₃ + j a- a₃1.

(a)

(/?)

(y)

(<*)

a₂

°3

Pi

Fig. 40.

Uwzględnijmy tu (d), to dostaniemy:

r‘<j r+ \a — a₃|+[ a₃—a\=r-{-\a—a\.

Z tego wynika, że i tu mamy granice (c) i że więc :

Aa={r+\a—ct\), Ba=(r - \ a—a\).

Pierwsze z tych kół dotyka obwodu (r) zewnętrznie, drugie zaś wewnętrznie. To znaczy:

I.    Koło zbieżności (V) jakiegokolwiek przeprowadzenia ! a) nie jest nigdy większe od koła opisanego z punktu a na kole (r), a nie jest nigdy mniejsze od koła wpisanego z punktu a w to koło.

Gdy a zajmie położenie dowolnego punktu a' na obwodzie (r), to suma r-f-|a — a\ w nierówności (y) przejdzie na r-\-\a‘—a; = 2r, która-to wielkość jest zarazem górną, a nigdy niedosięgnioną granicą tej sumy. Mając na to wzgląd dostaniemy dla wszelkich a leżących wewnątrz (r) nierówność 2r^>r', a stąd twierdzenie:

II.    Promienie zbieżności wszystkich przeprowadzeń <^(x' a)₁ gdzie a jest punktem wewnątrz koła (r), nie mogą, być nigdy większe ₀d 2r.

Nie trzeba jednak przez to rozumieć, że 2r jest zawsze górną granicą [art. 46., definicya] promieni r‘. To tylko pewna, że jeżeli przeprowadzenie ^(ada) o promieniu dowolnie mało mniejszym od 2r istnieje , to a jest punktem dowolnie blisko leżącym pewnego punktu a¹ obwodu (r).

W Pd. 1.. (art. poprzedzający) jest 2r = 2 rzeczywiście górną granicą promieni r‘. Wszystkie bowiem przeprowadzenia 5P(» | a) z punktem a dowolnie się zbliżającym do cc =— 1 mają promienie r‘ dowolnie mało mniejsze od 2.

W Pd. 2. przeciwnie górną granicą nie jest 2r = 2 ale \/2. Przeprowadzenia bowiem ^3(cc [ a) o punktach a dowolnie się zbliżających do x= + i mają promienie r' dowolnie mało mniejsze od \/'2, a przeprowadzeń z promieniami "> \/2 nie znajdziemy.

Gdy w nierówności (c) zajmie a znowu położenie dowolnego punktu a‘ na obwodzie (r), to r—\a‘—aj= zero jest znowu dolną, a nigdy niedosięgnioną granicą różnic r—\a—a\ dla wszelkich punktów a. Mamy więc tu r‘ )> 0, a bardzo waźnem jest rozstrzygnąć, czy też to zero występuje tutaj jako istotna, dolna granica promieni r‘ ?. Pod tym względem udowodnimy:

III. Gdy szereg )$(£)=c₀ +c^-f c₂a?²+... jest zbieżny w kole (r), a promienie zbieżnością jego przeprowadzeń ^(a:[ a) nie mają dolnej granicy zero, ale granicę p>0, to {r) nie jest prawdziwym zakresem zbieżności danego szeregu.

Z punktu x=0 zatoczmy koło (f^) o promieniu ri<ir (fig. 41.) Obierzmy na niem dowolny punkt | i utwórzmy:

(i)

wierni

mi)

1!

To przeprowadzenie będzie — jak założono — zbieżne niezawodnie dla :

x—!|<e' <ę-

Na okręgu koła (q‘) niech |^(a?|^)| ma największą wartość g%. Wtedy [art. 163., tw. II.] mamy:

$<*>(£)

(2)

(3)

Q,v<9ź-

4 (<?')

Fig. 41.

Gdy punkt | wraz z kołem (g¹) poruszać się teraz będzie po okręgu koła (r₁), przebiegając go całkowicie, a dla każdego położenia jego utworzymy nierówność (3), to wielkości g§ odpowiadające wszystkim położeniom punktu f będą skończone. Wybierzmy ż największą z nich: g i połóżmy ją w (3) za g%, to dostaniemy nierówność:

¹

Dla krótkości wyrażać się także będziemy : „szereg $p(x\a) otacza punkt «“.

²

Twierdzenia I., II., III. są ogólniejsze od twierdzeń II., III., art. 164. i tw. II. art. 166. W tamtych bowiem mnogości rozważane musiały mieć zawsze punkt skupienia x=0.

³

ai •••? iD ^P I hj a, fij .... p).

W* (i)

(4)

Q‘v<,9i

która już się spełnia na wszystkich punktach f okręgu (rt). Lecz :

'J(C

X=.v

uwzględniając to w (4), dostaniemy:

2(3

/i —V

~v <9-Q

i —-v

przy czem |f|=ri. Stąd wynika: cz\ri

(i)i

X=v,    ... albo:

)\c*\riJL.Q,v^g.riv. Dzieląc obustronnie przez rv mamy:

Stąd okazuje się, że wyrazy:

\‘ArĄ^)UcA(r^4-l

gdzie Z=v} vĄ-l, ...; v=0, 1, 2, ...; a więc i=0, 1, 2, ... nie przechodzą pewnej skończonej górnej granicy. Wyrazy te są to bezwzględne wartości \caX¹\ dodajników danego szeregu $$(#) dla:

według więc tw. II., art. 157. wnosić trzeba, że szereg )$(#) jest zbieżnym dla x | <[    .

Lecz ri można — zwiększając — dowolnie zbliżyć do r; podobnie ę¹ — rosnąc — dowolnie może się przybliżyć do q. Stąd

granicę górną (r-f-ę>). To koło będzie za-

\cz\ ¹ i^l+ j:

<9-

l-{- -J

z+i

— <9-

1--2-

ri

¥ Q¹

wynika, że rx Ą—~ ma

razem prawdziwym zakresem zbieżności danego szeregu.

Z tego potrzeba wnosić, że, gdy (r) jest prawdziwym zakresem zbieżności szeregu, to jego przeprowadzenia mają promienie zbieżności r‘ koniecznie z dolną granicą: zero. Że zaś ową granicę dostajemy z różnicy r—\a— a\, gdy a znajduje się na obwodzie (r) [a przeszło na a‘], więc stąd wnosimy:

IV. Na obwodzie prawdziwego koła zbieżności (r) znajdować si§ musi jeden przynajmniej punkt c o tej własności, że, gdy a nieskończenie zbliża się do c (wewnątrz (r)), to promień zbieżności przeprowadzenia %(x'a) doicolnie się zbliża do zera.¹)

Taki każdy punkt c nazywamy osobliwym, albo szczególnym punktem s zer egu.

Szereg 1 -f- x -f- cc² -f- ... ma taki punkt jeden, a jest nim c = —J— 1; szereg 1 -j- a;² + a;⁴ -J-... ma punktów osobliwych, dwa, a mianowicie c = +1 (por. Pd. 1. i Pd. 2., art. poprzedź.).

Z twierdzenia IY. wynika odrazu:

Y. Każdy punkt szczególny c szeregu $j3(a?) jest zarazem takim samym punktem dla każdego przeprowadzenia | a), którego obwód zbieżności przechodzi przez c.

a¹

Uwaga I. Z tego powodu chcąc zbadać, czy punkt a'jest osobliwym, można tak postąpić : Na promieniu Oci' (fig. 42.) wybieramy dowolny punkt b i tworzymy przeprowadzenie $P(a?|6). Jeżeli prawdziwy zakres zbieżności takiego przeprowadzenia jest kołem (&)r, a nie większem, to punkt a‘ jest szczególnym.

Uwaga 2. Co się tyczy ilości punktów osobliwych na obwodzie (r), to ta może być skończona lub nieskończona. W tym drugim wypadku mogą one utworzyć nawet continuum, stanowiące cały obwód (r).

Wszelkie możliwe przeprowadzenia (x j a) takiego szeregu mają koła (a)r , (a nie większe) za prawdziwe zakresy zbieżności.

(M

Fig. 42.

185. Znamiona zachowania się szeregu na całym jego obwodzie zbieżności.²) Powiedzieliśmy [art. 158.], że szeregi potęgowe pod względem zachowania się na samym obwodzie zbieżności (r) dzielą się na dwa rodzaje, a to: 1) na takie, które w każdym punkcie a‘ tego obwodu są zbieżne bezwarunkowo i 2) na takie, które w żadnym punkcie a‘ nie są w ten sposób zbieżne.

Bliższem rozpoznaniem tego zachowania się zajmiemy się teraz. Niech szereg: <^i(x) = cQ -4- -ł- c₂cn² +... ma zakres zbieżności (r). Połóżmy, gdy r^.1, x=r.z, to otrzymamy szereg:

%2(²)=co+(clr)0+(c₂r²)e²+...

zbieżny już w kole (|#J = 1), a stąd wynika: że możemy się w dalszym ciągu ograniczyć do szeregów:

U)

$P(#)=a₀ -f axxĄ-a₂x²Ą-... zbieżnych dla |#J<;1, t. j. w kole [1].

Przyjmijmy — co istotnie często w analizie się zdarza — że poczynając od n—v, mamy statecznie:

9 + hi, £i+V

(1)

Ct"n—i

14

n²

i=V—1

(2)

n=v, v + l, ^+2, ...

Stałe g, li, gx, hX) ... nie zależą od w, a samo rozwinięcie (1) jest skończone, lub bez końca, ale w tym drugim wypadku jest przy każdem n wyjętem z (2) zbieżnym szeregiem.

Z (1) — kładąc \ax\—ax — dostajemy:

i, \²    ! | 2y , g²+h²+2g

*⁺-\J ⁼¹⁺«

(₁₊^₊ą₊...)²+

\ an-\)    \ n n² J \n n² a stąd :

ti>n=g-\---h ...

C2

n

zera

(3)

ttn

®n—1

Stosunek ten dąży do granicy:

h¹⁺^⁺-

₇.    05n    ■<

hm-= 1

CCn-l

i nie rozstrzyga o zbieżności szeregu:

O5₀ + ai + a2 "k a3 + •••

(B)

Lecz, że tu:

lim nil---—

= ~9

05 n—1

Avięc — podług art. 173., tw. I. — będzie szereg (B) [absolutnie] zbieżny, gdy g<'—1, a rozbieżny, gdy g^>— 1, a dalej wnosimy:

I. Szereg    — w razie g<Z—1 —- jest iv każdym punkcie a'

kola [1] absolutnie zbieżnym, a iv razie g^> — 1 nie jest absolutnie zbieżny.

Grdy g~> — 1, to trzeba rozstrzygnąć, czy rozbieżność szeregu (JB) ma za sobą pociągnąć rozbieżność, nieprzydatność, lub wreszcie warunkową lub wahającą zbieżność szeregu {A) w punktach a‘. W tym celu napiszmy (3) w postaci:

n— oo

(4)

05 n

0!m —1

= 1-1—(g+—+...

n V n

c₂

=i+^

Liczniki con są widocznie wszystkie skończone, różne od i dążą dla n — co do skończonej granicy g. Będą więc dla dostatecznie dużych n — przyjmijmy i tu że dla wszelkich n">v — wyłącznie dodatnie, gdy y>O, a wyłącznie ujemne, gdy g<0.

Połóżmyż:

CSp-f.i G5j,_|_2

05t»-f-l

co jest identycznością, to teraz — stosując (4) — mieć będziemy:

(5)

05, — G!p .

av

05,

05,-1

s^>v

a,=a„n (l±Ml

lim 05,= civ 11    ;

n=v+l\    n )

znaku -f użyć trzeba, gdy #>0, a znaku — gdy g<S>-

Szereg -L. + _1_

+    + .■• jest rozbieżnym, że zaś

\tevĄ-l

j |o^»>+2

są wszystkie skończone, jednakowego znaku i różne od zera, więc i szereg: mamy:

(«)

(/?)

<J)VĄ. 2 |

v+2

będzie [art. 11., tw. III.] rozbieżnym.

Z tego i z twierdzeń o iloczynach nieskończonych [art. 12.]

&>v+i

V+1

v+3

lim an= d-oo , gdy g+>0, lim an—0, gdy g<Z0. Z (a) wynika:

II. $P(#) — gdy g+>0 — jest szeregiem rozbieżnym, albo nieprzydatnym iv punktach a‘ okręgu [1].

1°. Przyjmijmy: g=0, to:

C2

C3

-i+^.

nl

a ilości:

c3

d)n = C₂ + — + •••

W

zachowują się i tu przy dostatecznie dużych n — 0>v) — analogicznie, jak (on ; są więc skończone, jednakowego znaku, różne od zera i dążą do skończonej granicy c₂. Tu mamy dalej :

(6)

lim as=av JJ (l+^A

«=v+l\ w /

a że szereg:

<ov+i

d>v+2

O+i)2 + c^+2)

2 +-

jest absolutnie zbieżnym, [por. uwagę w art. 11.], więc iloczyn (6) jest zbieżny bezwarunkowo, daje wartość >-0, a to znaczy, że tu:

i że:

(y)

lim as= ilość skończona ^>0,

III. Szereg ty(aj jest — gdy g=0 — albo rozbieżnym szeregiem (z dodajnikami zdążającymi do granic skończonych i różnych od zera), albo szeregiem wahającym.

II⁰. Gdy g= — 1, mamy podług (/?): lim an= 0. Połóżmy:

gdzie m dowolną całkowitą dodatnią jest liczbą <C.v; n=v, v + l v+2, ...; i zauważmy iloraz:

Ctn Pn—1

an _ an—i Pn Pn—i    an—i

Pn

(l----1—y+ ...

\ n nA

C2

)•!=!

m+n

(7)

V n nl )\    \ n

1

A m+n )

_(lA+_^⁺-)(i+A

l^n

n² nz

W² '

d?>

Ilości hn=d₂Ą—-+... będą znowu dla n^>v wszystkie skoń-%

czone, jednakowego znaku i różne od zera (dążąc do granicy d₂). Z (7) dostajemy:

(8)

(%n    &n—1

Pn

Pn—1

(>4)

a to — podobnie jak w 1° — wskazuje, że granica lim an / pn = t jest skończoną, różną od zera i że więc ilorazy an\pn od pewnego n=v począwszy, są skończone, jednakowego znaku i różne od zera. Z (8) dostajemy dalej :

Ctn—i Ctn Pn—i Pn

a poczynając od n=v-1-1, mamy:

CCn 05n+l Pn    Pn+1

ttn-f-l    Mn-j-2

Pn+i Pn+2 ^n-J-2 (%n+3

Ctn—1 l^n

Pn

hn+1

hn

(»+1)²

hn+2

(w+2)²

hnĄ- 3

Prc-j-2 Pn+3

(w+B)²

(9)

Po zsumowaniu tycb relacyj m infinitum, okaże się:

hn+2

(»+l)

(»+2)

Jestto szereg zbieżny, gdyż an

regiem zbieżnym, a hn+1, hn+2, ... są wszystkie skończone. Połóżmy: hn+1

(wpl)² (n + 2)²

+-... jest sze*

^rc+2

•-A”((«Tij⁵⁺(SW⁺"A'"<r”

gdzie jest średnią wartości /P₊i, ńn-f-2? ... spełniającą właśnie równanie (10), to mamy teraz:

(10)

(w + 1)²Am + 2)²

(U)

CtnlPn = t—h‘nGn.

Lecz:

Teorya funkcyj.

81

On<

n 0+1)

(w+1) 0+2)

0 + 2) 0+3)

+■ ...

n w + 1 ¹ w + 1    w+2"^”‘ n

Wskutek tego można położyć: on=£njn, gdzie £n jest dodatnim właściwym ułamkiem, a wtedy — kładąc h‘n£n ——tn — dostaniemy z (11):

w=w, w + 1, ...

“*⁼ (t+'n)

Wskutek tego jest:

Ctv + Ctv+\ + &v+2 + ... = t (pv -\-pvĄ.]_ +Pt<-}-2 + •••)

i ^v    .

+Vft'⁴

W+1

Pv+id

tv+%

w+2

Pv+2 + ..

Lecz: pn

m—1 m

m+w—1 m—1

’ w+1

w+w

a więc szereg:

pv+pv+i + ...={m—

l)(- ¹

\ w + w m+w+1

jest rozbieżny.

Co się tyczy szeregu:

tv

(<5)

W+1

Pv-j-1 + ... 7

to — choć pv-\-pv+1 + ... jest rozbieżnym szeregiem, nie można tego

.. dążą do gra

samego powiedzieć o (ó), gdyż mnożniki —

tp tpj^\

’ W + 1’ '

nicy zero. Zauważmy jednak przody szereg:

Pv . Pv-f-1    , PvĄ-2

V W + 1 W + 2

{£)

+ ..•

Mamy tu :

P n % Pn—l

n ' w—1

i--+4

n nL

a więc jest g=—2<;0, a stąd wynika, że szereg (e), a z nim — ponieważ tv, tv+x, ... są wszystkie skończone — i szereg (<5) jest zbieżnym.

Z tego wnosimy, że tu szereg (B) jest rozbieżny [podług (/?) posiada lim as=0], i że:

IV. Szereg ^ (a‘) nie jest — gdy g — — 1 — nigdy absolutnie

zbieżnym.

186* Warunkowa zbieżność. Punkt x=Ą-l. Zakresy wartości g, dla których umiemy wywnioskować nietylko zachowanie się szeregu (a₀ + a₁ + 05₂ + ...), ale także i samego szeregu $$(«') są:

g<—1 i 9>°-

Pozostaje więc zbadać jeszcze obszar —1<</<;0. W tym celu zauważmy iloczyn:

(1—#).$(#)=$& O)=«₀ + («i—«₀) x + (a₂—at) x²+... Dla niego mamy:

O/n-J-l    On

On

On On—1

O/n—1 (Ofi I On—l)    1

\ n g-\-hi+c₂j(n+l) + ... '")n+1*    g+hi+c₂ln + ...

=14

Według twierdzenia I. [art. poprzedź.] będzie szereg ^ absolutnie zbieżny w punktach a‘, gdy będzie g—1<C—1, a więc : gdy g< 0.

$P(a') jest dla g<i—1 także zbieżny, a więc w zakresie tym nie mamy żadnej sprzeczności. Lecz, gdy —1<<7«<0, to $$(«') nie jest już absolutnie zbieżny [tw. I., IV., art. poprzedź.], ale iloczyn (1—x).^(x) ma tu być absolutnie zbieżny. Że zaś dla g<$) jest lim a₄=0, więc $P(#) trzeba w punktach a'=fc 1 uznać za szereg warunkowo zbieżny. Wyjątkiem może być punkt x—l, dla którego mamy :

_ lim as 1

J*=i 1—x\

$i(»)

X=.l

l—x

a że tu podług (/?) art. poprzedź, jest: limas=0, więc ^3(1) okazuje się nieoznaczonej wartości i może być także rozbieżny.

Pokażemy, że w punkcie x=l wykluczona jest warunkowa zbieżność. Niech

9+li i

m+1

)    \ m±n)

to łatwo sprawdzimy, że:

on ^ on—i

w² ’

P„ Pn~ i

Wskutek tego — podobnie postępując, jak w II⁰ [art. poprz.]— dojdziemy do form:

(«)

an=Pn{v+^j

gdzie v nie zależy od n, a wn są wszystkie skończone. Uwzględniając (a) mamy:

₎₊ Ąw* ■

Ponieważ iloraz:

Pn Pn-\

’ n— 1

14

(g—l)+hi

więc szereg (P₁/ld-P₂/2+P₃/3-J-...) będzie absolutnie zbieżny, gdy g—l<t), a równocześnie i szereg S± — gdyż wn są wszystkie skończone — taksamo zachowywać się będzie. Z tego wynika, że w razie g—1<C0, będzie się szereg ^3(1) tak samo zachowywał, jak szereg S. Zajmijmyż się szeregiem S. Połóżmy: P±+P₂ + ...JrPn=Sn, to mamy: Sn+PQ =P₀JrPi 4 ... + Pra. Lecz

g+hi

Pv—Pv—i

. Pv-\

czyli :

m-\-v

{m-\-v)Pv—{m-\-v—l)Pv^\={gJrhi-\-l)Pv-\.

Sumując obie strony tych związków od v=l do v=n-\-1, mamy:

(m+w-ł-l)Pw+i— mP₀

Sn 4"4-Pi 4" •••4~Pn

g+hi+1

Z tego wynika, że wartość szeregu S zależeć będzie od tego, do jakiej granicy dążą :

Pn+1

n=1, 2, 3, ... in inft.

Zauważmyż, że:

(M 4" fl + 1) PnĄ-1

-(.₊eą)(.4

Q/+l)+^ ,

=14

m+1

)K)=

to teraz wywnioskujemy:

1)    G-dy y + l=0, a więc g=—1, to {mĄ-n-\-l)\Pn+\\ dążą do skończonej granicy 4=0 [por. (y) art. poprzedź.], a szereg S, a z nim i szereg a₀ Jrai 4-... jest albo rozbieżnym, albo wahającym — [dla h=0

rozbieżnym].

2)    Grdy (^+1)>>0, to (m+w+l)Pn dążą do granicy nieskończonej , a wtedy szereg S, a z nim i szereg ^3(1) rozbieżny albo nieprzydatny.

Z wszystkich tych uwag dochodzimy do twierdzenia*):

I. Gdy 9$(x)=a₀-\-aix-\-a₂x²+... ma koło zbieżności [1], a od 'pewnego n począwszy, jest statecznie:

(&)

an

—-u

g+hi

o»-i

to na samym okręgu [1] jest $P(#):

1⁰ bezwarunkowo zbieżny, gdy g<i—1.

-2° rozbieżny, albo nieprzydatny (w jednych punktach rozbieżny, w drugich nieprzydatny (lub wszędzie o jednakowem zachowaniu się), gdy g > 0.

3° rozbieżny albo wahający, gdy g=0.

4° warunkowo zbieżny — z wyjątkiem punktu #=4-1 — gdy

o>g> —i.

Uwaga I. Napiszmy (b) w ten sposób:

«n

an-1

“14

g + hi

fh + h i

=i+sh:('+^)”V+^)4

to otrzymamy rozwinięcie:

«»

an—1

14

g+hi    g\ + h\ i

(n-iy

...,

w którem widocznie spółczynnik przy (n—1) ¹ jest taki sam, jak w (b) przy n~¹. Zamieńmyź tu « na »+l, to mieć będziemy:

aH+1 2= —

an

1 4- 0 + hi

n

z takiem g, jak przody.

Uwaga 2. W razie, gdy w szeregu danym 5p(a?) okaże się —lub

cin—l

an+1

postaci:

2 = ~14

T + S» , n

to pisząc 5(J(a:) w postaci:

«o—«i(~») 4- «2(—^)²—«s(—a³)³4- ... =^i(—a;), a więc uznając go za szereg argumentu (—x), dostaniemy już dla tej jego drugiej postaci:

w

<7 = — y decydować tu będzie o zachowaniu się szeregu    (— x) w punkcie

(—x) — a\ a szeregu danego w punkcie x= — a'.

Weierstrass Abhandlungen aus der Functionenlehre w rozprawie „ t)ber Theorie der analytisclien Facultdten¹¹ str. 212—225. Por. także Stolz Vorlesungen uber allg. Arithmetik. T. 2. str. 144.

f* + l

Pisząc N(x, p) w postaci: 1 — (f)(—x) + (jj) (—x)²— (jj) (—»)³+ ...

dostajemy już:

H-+ 1 i n '

Z tego wnioskujemy, że szereg dwumienny N(x, -p) będzie:

1.    na całem kole [1] bezwarunkowo zbieżny, gdy p > O;

2.    rozbieżny, lub nieprzydatny, gdy p<—1 ;

3.    rozbieżny, lub wahający, gdy p=—1;

4.    na całem kole — z wyjątkiem punktu x——l — warunkowo zbieżnym, gdy 0> p >—1.

W razie p — — 1 mamy szereg :

l—x -j- x²—x³ -f-...

Jest on rozbieżnj’ w punkcie a' — — 1, w każdym zaś innym punkcie a' = cos y -f- i sin <p (<p > ~) będzie wahającym.

Pd. 1. Dla szeregu dwumiennego :

mamy

an+1

_. [x—n

an » + l

(1+xf=N(x, p)= 1 +    + (£) a.2 ₊ ...

Pd. 2. W szeregu Gaussa [art. 173. Pd. 2.] jest:

(l+^-) C¹+-£-)

(¹⁺D (¹⁺i)

⁼ (¹⁺^) (¹+|-)(¹~^+-)(¹”i-⁺-)s=

a + jB-T-l

an+i

an

= i-f

Połóżmy, przyjmując, że a, S, y są urojone —

« = «i + «2*, P = h +hh Y =ci + c2 h

to mieć będziemy:

2=1 +

a więc tu:

Ol + h ~ci —1) + O2 +

g=(h+bi—Ci — 1,

a szereg tak się zachowywać będzie:

1.    gdy ct—O, jest bezwarunkowo zbieżnym;

2.    gdy «i+-&i— Ci>l, jest rozbieżny, albo nieprzydatny;

3.    gdy «i + &t—q = l, jest rozbieżny, albo wahający;

4.    gdy 1 >    +- bi — ct ^ O, jest — z wyjątkiem punktu x = -{-l — wa

runkowo zbieżny.

Pd. 8. Zbadajmy szereg:

X³ X⁵ X⁷    r (— X²) (— X²)² {—X²)³ 1

*—3+T-r+•••=4X+-0-+--++•• J

Szereg argumentu (— x²) ujęty w nawiasy, posiada iloraz:

a w nim jest g——1. Szereg dany będzie więc na całym okręgu warunkowo zbieżnym z wyjątkiem punktów —cc²= -J- 1, t. j. punktów -\-i , —i, na których jest widocznie rozbieżny.

Pd. 4. Zbadać zachowanie się szeregu:

na okręgu koła [1]? (Jest warunkowo zbieżny z wyjątkiem punktu x=—1, na którym jest rozbieżny)*).

187. Określenie wartości szeregu w punktach okręgu zbieżności. Możemy przyjść teraz do określenia wartości szeregu, w punktach a' na jego okręgu zbieżności (r).

1°. Jeżeli $P(«') jest warunkowo, albo wahająco zbieżnym, albo wreszcie nieprzydatnym szeregiem, to niewiadomo, jaką, wartość nadać. Lecz, gdy przyjmiemy, że ten punkt a‘ nie jest osobliwym, to znaleźć można bardzo dużo przeprowadzeń ! a) takich, że w ich zakresach zbieżności (r') ten punkt a‘ zawierać się będzie. Jedno z tych przeprowadzeń weźmy pod uwagę.

We wspólnej części kół (r), (r‘) można ^(x) także przez ^(a?|a) zdefiniować. Zatrzymując więc tę definicyę i w punkcie a', dostajemy jako określenie wartości szeregu w punkcie a¹:

i£(a')=iP(a'|a). To znaczy:

I. Gdy 'punkt a‘ jest punktem nieszczególnym, a ^(a‘) jest szeregiem warunkowo, wahająco, lub nieprzydatnie zbieżnym, to )$(«') określamy przez $(«' | a), gdzie ^(x\a) jest dowolnem przeprowadzeniem o kole zbieżności (r¹) mieszczącem w sobie punkt a¹.

Pd. 1. Szereg (a?)=1 -J- x-\-x² -f-... jest w punkcie x = — l wahająco zbieżnym. Jego przeprowadzenie:

zbieżne jest dla położymy:

mu

(1)

to Oj

, 1

xJr~2

i+i '    ‘ (h4)“ ‘'

, a w tym zakresie punkt —1 leży. Z tego powodu

(•+!)■

*-D-*(-i|-t)“ V

[Rzeczywiście jest -j^)    = |].

*) Szeregi użyte w Pd. 1, 3, 4, podaje Biermann „Elemente der holieren Mathematik“. (1895), str. 371.

Pd. 2. .Równanie:

(1 + xf-1 + (f)» +;(§h!+... = ?(*).

jest dla |»|<1 właściwie identycznością. W tym samym więc zakresie jest:

P(i+xf-i=?'(»), kh-i) (i+*r-²= **"(»), -

a stąd wynika, że przeprowadzenie:

W* | o) = (1 + af+ (f)(l+«f *(*-«)+...

-a₊.yt^(f)S+(S«⁺“]

-a+^i+^y.

Jest ono zawsze zbieżne w zakresie \x—a | <C]1+«| t. j. w kole o środku w punkcie o, a o obwodzie przechodzącym przez punkt x= — 1.

przeprowadzenia J -f" Ty).

Gdy założymy ;j.<— 1, to $p(a?) jest w punkcie x—-\-l nieprzydatnym szeregiem. Punkt ten mieści się w kole zbieżności

Połóżmyż a=~, to dostajemy (podług (1)):

= 2^.

W)=5p[l 1+41 “[1 + 4-]'

X—\

II⁰. Niech. 5)3(a¹) będzie bezwarunkowo zbieżnym szeregiem, a punkt a‘ niech nie będzie osobliwym. Obierzmy punkt x‘ leżący wewnątrz (r) dowolnie blisko punktu a‘, to dostaniemy:

(a)

5p(a')—5P(#')=e -f e‘ i, gdzie e, e' są rzeczywiste ilości o bezwzględnych wartościach nieskończenie małych.

Grdy dalej utworzymy takie przeprowadzenie 5)3(#Ja), że w jego kole zbieżności mieści się punkt a', to otrzymamy znowu:

(?)

5)3(a | a¹)—5)3 (a:' | a)=+ e\ i o e1? określających się tak samo, jak s, e'. Z (a) i (($) — ponieważ 5p(#')=5p(#'\a) — wynika: |5P(a')—5)3(a'|a) | <Có, gdzie d dowolnie małą dodatnią jest ilością. Lecz, że lewa strona tej nierówności jest stałą, więc musi być:

5)3(a')=5p(a'j a) a to zn.

II. Gdy a‘ jest na hole (r) punktem nieosobliwym, a 5J3(a') jest absolutnie zbieżne, to identycznie jest 5)3(a')=5)3(a'|a), a przeprowadzenie 5)3{cc | a‘) ma znaczenie, choć tu a¹ już na hole (r) leży.

III⁰. Przyjmijmy, że 5)3(a') jest szeregiem rozbieżnym bez różnicy, czy dodajniki |c^aa| są wszystkie skończone, czy dążą do granicy nieskończonej , przyczem nie wchodzimy, czy punkt a'jest szczególny czy nieszczególny. Połóżmy:

+    , x=q (cos cpĄ-i sin (p).

to dostaniemy : gdzie ^3₂ są-to szeregi potęgowe rzeczywistego argumentu <?, o rzeczywistych spółczynnikach zależnych od parametru cp. Niech

^(p),    ~v2(e),

gdzie U₁, U₂ są sumami dodatnich, a Vi, V₂ sumami odjemnych wyrazów w ^31} $P₂, to dalej mamy:

Z rozbieżności szeregu $P(a') wynika:

IWO|= 0° •

Przyjmijmy :

a'=r (cos 'ip+i sin ip),

to jasnem jest, że dla Q=r, (p='ip w jednej przynajmniej z par :

(a) (Z7i, Pi), (6) (U₂, F₂) jeden (tylko jeden) z szeregów staje się nieskończonością.

Lecz te szeregi są o wyrazach jednakowego znaku + . Stąd wynika, że gdy się q dowolnie przybliża do r (pozostając <C», a    to z szeregów (a), (b) te, które się dla ę — r, i (p=xp stają

nieskończonościami, mogą być większe od dowolnie dużej danej dodatniej ilości G‘.

Ze zbliżaniem się q do r, przy qp=^, dostajemy w (r) punkt x‘ nieskończenie bliski punktu a', a | ^(a;') | będzie również mogło byó większe od dowolnie dużej dodatniej ilości Cr. Mamy więc twierdzenie:

III. W otoczeniu takiego punktu a‘, w którym ^3(a') jest rozbieżnym szeregiem, znajdują się punkta x‘ o tej własności, że w nich |^3(#')| przybiera wartości większe od każdej dowolnie dużej skończonej dodatniej ilości 6r.

Przyjmijmy, że punkt a¹ (dający |^(a<)|==oo) jest punktem nieszczególnym. Istnieje wtedy przeprowadzenie $$(#) a), które w swojem kole zbieżności (r¹) zawiera punkt aj a gdy xl jest punktem zawartym równocześnie w (r) i (rj, to ma byó identycznie :

(2)

Lecz — gdy x‘ będzie punktem określonym w tw. II. — to identyczność (2) stanie się niemożliwą, bo ^S(ic'|a) dowolnie mało różni się od $P(u'ja), a |^ł(a;/)| jest dowolnie duże. Z tego wy-

nika, że założenie, iż punkt a¹ nie jest szczególnym punktem jest fałszywe i mamy twierdzenie:

IY. Każdy punkt a' na okręgu (r) taki, że w nim ^3(a') jest rozbieżnym szeregiem, jest osobliwym szeregu SO(sc).

188. Punkt szczególny szeregu w jego pierwotnych i pochodnych szeregach. G-dy a‘ jest punktem osobliwjun szeregu $P(#), a punkt b leży na promieniu Oa¹ wewnątrz (r), to wtedy — jak wiadomo — przeprowadzenie:

(1)

«P(*|ft)=TO +

TO

{x-b)Ą

TO

(,x-b)²+...

jest zbieżne w kole (b)r.

Pochodna tego przeprowadzenia:

(2)

d | b)

TOd

TO

1!

(x—b) + ...

d{x—b)

jest rozwinięciem zbieżnem również w kole (b)r [art. 181.].

Utwórzmy pochodny szereg $)3'(#) i przeprowadźmy go również do otoczenia punktu b: to dostaniemy:

(3)

TO &)=TO +

to

1!

{X— &) + ...

nie większe. To wskazuje, że $P'(#) ma

a to jest widocznie rozwinięcie identyczne z (2) i ma tern samem koło zbieżności (b) punkt szczególny aj a stąd twierdzenie :

I. Punkt osobliwy szeregu danego $P(#) jest punktem osobliwym także i w szeregu pochodnym $$'(#).

Dany szereg $$(#) o zakresie zbieżności (r) niech ma znowu punkt szczególny aj a jego szereg pierwotny naznaczmy przez

&(*)•

Przeprowadzenie *$(x | b) będzie znowu zbieżne w kole (b)r, a pierwotny szereg (tego przeprowadzenia):

¹

Por. pod tym względem także M. Krause: „Theorie der doppelpenodi-schen Functionen¹¹... (Lipsk 1895), str. 12—16.

²

Ten i następny artykuł można w pierwszej lekturze opuścić.

(4)

będzie miał (art. 181.) również za zakres zbieżności koło (b)r — a nie większe.

Przeprowadzając sam pierwotny szereg ^(x) do punktu b, dostaniemy:

5PiC®|&)=5Pi(&H

1!

(x—b)+-^P~(x—b)² + ...,

a porównując to rozwinięcie z (4) widzimy, że i (x\ b) jest zbieżne w kole (b)r, a nie większem. To wskazuje, że a¹ jest również szczególnym punktem szeregu ^(a?), a to znaczy:

II.    Punkt osobliwy szeregu danego $$(#) jest 'punktem osobliwym także i w piencotnym szeregu

Z dwóch ostatnich twierdzeń wnosimy:

III.    Gdy szereg dany ma punkt osoblmy a¹, to w każdym pierwotnym szeregu dowolnego rzędu i w każdym pochodnym dowolnego rzędu jest ten punkt osobliwym.

Z identycznych rozwinięć (2), (3) i ze względu na to, że d(x—b)

dx

mamy:

(5)

d^,(x\b)

identycznie,

a to wskazuje, że: utworzyć pochodną szeregu i ją przeprowadzić, jest to samo: co przeprowadzić szereg i z tego przeprowadzenia wziąć pochodną.

dx

189. Szeregi o samych punktach osobliwych na okręgu zbie żilOŚci. W tym ustępie zajmiemy się tworzeniem takich szeregów, w których każdy punkt ich okręgu zbieżności będzie osobliwym. W tym celu zauważmy szereg:

<fy(x)=c₀-\-cixmiĄ-c₂xm* + czxm3Ą-... o zakresie zbieżności |a?|<dl. Wykładniki:

»₀ = 0<«₁<w₂< mz <C ...

niech będą, takie, że każdy z nich jest podzielnikiem wszystkich następujących. Połóżmy:

ms=ms

miĄ.\=mstSĄ.i'=msrVgĄ.\,

ms2=ms-(_i.tg^.2—ms xs^.-\ tSĄ.2⁼⁼mgtsą.^

mSĄ-3=ms^.'i.tSĄ.%=ms 'vsjr\.tSĄ.‘i.tSĄ-3=ms

to .

to widocznie każde zs+i., k=0,1, , ... jest podzielnikiem wszystkich następujących ^+*+1, ts+*₊₂ > •••> a liczby:

2 > •••

xs i rs+i

będą — albo wszystkie nieparzyste, albo, gdy jedna z nich będzie parzystą, to wszystkie od niej począwszy, będą już parzyste. W każdym więc razie — od pewnego xa, o^>s poczynając — mieć będziemy w liczbach:

Xo ? raĄ.\, xaĄ-21 ...

same parzyste, albo same nieparzyste bez wyjątku.

Po tych uwagach zauważmy na okręgu zbieżności (|#| = 1) nieskończoną mnogość punktów!

(M)

k = 0, 1, 2, ...

0,1,2,...

Jestto mnogość wszędzie gęsta na całym tym okręgu. (W każdym dowolnie małym łuku znajdziemy punktów mnogości (M) nieskończenie dużo).

Nadając zmiennej % wartość x^s, dostaniemy:

ms

a—1

00

4=0

4=<7

ms

o—l

4=0

4=(J

Lecz l*w=+l, albo —1, a tct, t₀+i, ••• są wszystkie albo nieparzyste, albo parzyste. Wskutek tego

nTo-fl ’

są wszystkie albo =4-1, albo =—1. Niechże e ma znaczenie -fl lub —1 według potrzeby, to dostaniemy:

1*

7tXa1

l/t

l/t

nTo-\- 2’

(pCjc, s) —('A%'k s*f ® [fcr4 @a-\-14 ®o+2 4 •••]•

4=0

Z tego wnosimy, że dany szereg w mnogości (M) zachowuje się jednakowo i to tak, jak (cff-f <vpL + <Vf2 4 — )> albo jak:

(C0 +C1 4 C2 + C3 + —)•

Przyjmijmy, że szereg (1) jest rozbieżnym. W takim razie — podług III⁰, art. 187. — każdy punkt mnogości (M) jest osobliwym szeregu $(#). Lecz zauważmy dalej dowolny punkt 1=1^ nie należący do tej mnogości. Grdy a będzie punktem zawartym w kole (|# | = 1), a nieskończenie bliski punktu to wskutek wszędzie gęstej mnogości (M) także i koło zbieżności przeprowadzenia ^,{pc\a) nie weźmie w siebie punktu £, a to jest znakiem, że f będzie również punktem osobliwym. W szeregu takim 9$(x) będzie zatem każdy dowolny punkt okręgu zbieżności punktem osobliwym.*) Szeregami tego rodzaju są n. p.:

¹+Yx‘*⁺YxV+~Wx‘P+"‘

(1)

(A)

1 -f xx4 *² 4 #1,2,3 4 ,2,3,4 4 • • • Weźmy pod uwagę szereg:

i t. p.

(x)=b.xaJc b² xa2 -\-b'i xa3

des series,,.

*) M. L e r c Ji: Acta maihematica, T. 10., str. 87. „ Un tlieoreme de la theorie

który — gdy |&j<l, a a całkowite i >.1 założymy — zbieżny będzie nie tylko wewnątrz koła (ja:| = l), ale także w każdym punkcie obwodu tego koła.

Tworząc pochodnę tego szeregu, dostaniemy:

(x)=(ab) xa~x + (ab)² xa,2~i 4- (a&)³ ^ ~1 —x~i [(ab) xa-1- (ab)² x°² -f- (ab)³ x°³ +...].

Zakładając |a.ó|>l mamy w tej pochodnej szereg należący do kategoryi A; każdy punkt okręgu (|a;|=l) jest jego punktem osobliwym. Lecz wtedy — podług tw. III., art. poprzedzającego — wszystkie te punkta są osobliwymi i w danym szeregu ^(a;). ¹)

Takim szeregiem będzie n. p.:

(B)

xi3+...

Na tern kończymy badanie własności szeregu potęgowego jednej zmiennej w wnętrzu i na obwodzie jego zakresu zbieżności, a przejdziemy do przeprowadzenia szeregu potęgowego wielu zmiennych.

190. Przeprowadzenia szeregu    z,...) wielu zmiennych.

Niech ;

(1)

'^(xy3)=2AxlA,v xxy^Bv (dla uproszczenia ograniczamy się do 3 zmiennych) ma ścieśniony zakres zbieżności:

(2)

(0i)> (¹2)> (rs)) [art. 160.].

"W tym zakresie, który tworzy continuum, otaczające punkt (0,0,0) obierzmy dowolne miejsce (a,b,c) i połóżmy;

x=a-\-h, y=b-Ą-h, z—cĄ-l.

(3)

Zakładając:

|«|, I¹I<#¹2 — l&lł |^l<r₃— I c\

i wstawiając (3) w (1), dostajemy sumę:

(4)

N Az f,v(a+h)\b + iy(c+1)v

wymiernych funkcyj całkowitych o argumentach h, ft, l. Suma ta będzie jednostajnie zbieżną w zakresie (4), który całkowicie w (2) się zawiera. Skutkiem tego można ją podług potęg dodatków h,Jc,l

ju. Por. także: Wiener:

•uporządkować [art. 169.] postępując tak, jak z funkcyą wymierną całkowitą [art. 73.]. Mieć więc będziemy:

ąj(a+M+*,«+z)=mM+ff+Tf⁺-"

(5)

gdzie sj^mbolicznie:

a d ₇ , d ₇ , d 7 dx dy dz

i gdzie po różniczkowaniach wskazanych przez , —, — trzeba za x: y, z położyć a, b, c.

Rozwinięcie (5) — gdy h=x—a, Jc=y—&, l=z—c położjnny — przedstawia się jako szereg argumentów x—a, y—b, z—c. Pisać go będziemy w formie $}](#, y, z\a, b, ć) , a nazywać przeprowadzeniem szeregu (1) do otoczenia miejsca (a, b, c). Zakresem zbieżności (nie zawsze prawdziwym) tego przeprowadzenia jest:

(6)

|x-a\<ri—\a\, \y—b\<r₂ — jbj, jz—cj<r₃ — |cj.

W tym zakresie, który całkowicie leży w (2) mamy identycznie:

(7)

W zakresie (6) obierzmy nowe miejsce (a', 6', c'). Ponieważ ono leży równocześnie i w zakresie (2), więc szereg $P(#, y, z) da się również odrazu przeprowadzić do jego otoczenia. Z tego dostaniemy identjmzność:

(8)

w zakresie:

(9) \x—— \a‘\, | y—b‘ | <r₂-\bl |, |*—c'| <r₃— \c‘\.

Lecz do otoczenia miejsca (a‘, b¹, c') można także i szereg y, z\a, b, c) przeprowadzić. Gdy to przeprowadzenie nazwiemy ^8(a:, y, z\a, b, c \a‘, b‘ c'), to w dostatecznie małem otoczeniu [a‘ b‘ c‘] tego miejsca — (to otoczenie przedstawia się jako zbiór 3 kół o środkach a', b', c¹, a tak małych, że się one całkowicie w zakresie (9) mieszczą) — mieć będziemy identycznie:

(10)

(xyz | a Jc)=\(xyz\ct,b, c\a‘,b‘, c‘).

Z identyczności (7), (8), (10) dostajemy w [a', b\ &] iden

tycznie :

y, *)=$(«, y, c')=$P(«, y, ³\a,    c')-

Z tego wnosimy, że [art. 166., tw. II.] ty(x,y, z\a,b,c\al,b‘,c‘) jest szeregiem zbieżnym nietylko w [a', 6', c'], ale w zakresie (9). Mamy więc twierdzenie :

I. Szereg potęgowy można albo wprost,    pośrednictwem

różnych punktów przeprowadzić do dowolnego punktu jego ścieśnionego zakresu. Pośredniczące punkta leżeć jednak muszą wszystkie w obranym ścieśnionym zakresie zbieżności danego szeregu. Bez względu na to, czy między miejscami (0, 0, 0), (a¹, b\ c‘) mieszczą się miejsca pośrednie, czy nie, jest przeprowadzenie S${x,y, z\...\a,b‘ c‘) zbieżne niezawodnie w zakresie (9).

Ten zakres przedstawia się zbiorem 3 kół (, (b‘)r2, {&) które leżą odpowiednio na płaszczyznach argumentów x, y, z, mają środki w punktach a', b', ca dotykają wewnętrznie kół (rt), (r₂), (r₃), [fig. 43.].

Lecz nie zawsze taki zakres będzie prawdziwym ścieśnionym ^zakresem zbieżności przeprowadzenia $}](#, y, z\...\a'b‘c'). I tu bowiem

(rj

(Tz)

IX]

[yj

[ZJ

(1*0

a'

h'

Fig. 43.

możliwem jest, że się to przeprowadzenie zbieżnem okaże w ścieśnionym zakresie:

(U)

0'i), (r‘₂), (r‘₃))

którego koła (r\), (r\), (r‘₃) już częściowo leżą poza kołami (ł^), M, (r₃) ~ [fig- 44.].

CL)

c'

r,‘I

Vil

•ł

VS)

tr.)

irs)

(rai

Fig. 44.

W takim wypadku rozstrzygnąć trzeba, czy we wszystkich wspólnych punktach kół (ra), (r‘a), a=1,2,3 w (X, F, Z) jest

y, sL.la', b‘, &)

tern samem, co $P(a>, y, z)? W zakresie Q‘=((«%, (6')r,, tyty), który się w (X, Y, Z) całkowicie mieści, jest niezawodnie:

$P(#, Vi 3) = y${x₁ y, ty6' &) identycznie.

Obierzmy dowolny punkt (a, /?, y), leżący w to możemy do otoczenia tego punktu przeprowadzić $(#, y, z\...\a‘ b‘ c‘), przez co w pewnem otoczeniu [a, (3, y] tego punktu, które tu znowu składa się z 3 kół o środkach a, /?, y, a mieszczących się całkowicie w Q‘ mieć będziemy identycznie:

(12)

$0, y, ty»|a\ b‘, c,)=^(x₁ y, z\...\a\ b‘, ć| a, /?, y), a więc identycznie =^3(a:, y, 0).

Lecz z drugiej strony mamy identycznie:

(P)r₂ , (y)r₃)

<P(;r, y, ty.ty, (3, y)=tyty, y,e) w zakresie ((a)rt , (/ty₂, (yty), mieszczącym w sobie [a, (3, y]. Z tego wynika, że [a,/?, y] można, rozszerzając, zmienić na ((a) i identyczność (12) uznać za istniejącą w tym zakresie. W tym zakresie możemy dalej obrać nowy punkt a‘,/3l,y‘ i tu znowu dojść do identyczności:

09')r„ (y')r₃).

y, 4..ty, 6J, c')=$ty y, ty..|ty ty ety, /?, y|a', ty y')=$ty, y,0) w zakresie: ((ty

Postępując w ten sposób dalej, możemy — doszedłszy do dowolnego punktu (aty ty), yW) wspólnej części (X, Y, Z) — sprawdzić, że i tu w zakresie:

((«W)r1?    (y(TO))r₃)

sprawdza się identyczność:

^(x,y,z)=^(x, y,z\...\a‘,b‘ c')=^Cz’,y,ty..|ty ty c'|..tyty ty), yty.

Z tego wynika:

II. Gdy pewien ścieśniony zakres zbieżności przeprowadzenia nie mieści się całkowicie w ścieśnionym zakresie zbieżności danego szeregu to w całej wspólnej części tych zakresów przeprowadzenie jest identyczne z samym szeregiem.

191. Miejsca zerowe szeregu ty{x,y,z). Szeregi identyczne. Wspólne obszary zbieżności dwóch szeregów y, z\a, ty c),

^1 (oc, y, z | ty ty &). Zapomocą przeprowadzeń:

^(x,y,z\a,b,c)

będzie można całkowicie określić zachowanie się szeregu potęgowego w jego każdym ścieśnionym zakresie zbieżności, a więc i w zupełnym zakresie.

Przyjmijmyż, że szereg S$(x, y, 0)=O na nieskończenie wielu

497

CD

miejscach, leżącjmh w zupełnym zakresie zbieżności, a skupiających się w miejscu (a, b, c).

Przeprowadzenie $)$(#, y, z\a, b,c) będzie szeregiem, który miałby w swym zakresie zbieżności znikać na nieskończenie wielu miejscach z punktem skupienia (a, ó, c). Lecz to [art. 165., tw. II.] jest niemożliwie — chyba, że identycznie    y, z [ a, 5, c)=0 a więc

^(.r, y, z) =0. Mamy więc twierdzenie :

I.    Szereg potęgowy y, z) nie może na nieskończenie wielu miejscach leżących w jego zupełnym zakresie zbieżności stawać się zerem — chyba, że jest identycznie zerem.

Rozumując dalej zupełnie tak samo jak o szeregu jednej zmiennej dojdziemy do wniosków:

II.    Szereg, który w swym zupełnym zakresie zbieżności przybiera tę samą icartość crj^O na nieskończenie wielu miejscach jest identycznie = c.

III.    Dwa szeregi dane dla otoczeń tegosamego miejsca o równych wartościach na nieskończenie wielu miejscach w ivspoinym ich zakresie zbieżności leżących są identyczne.

Przejdźmy do rozważania dwóch zbieżnych szeregów : y, z | a, 6, c), %(x, y, z\a‘ b‘ &)

danych dla otoczeń dwóch różnych miejsc (a, b, c), (a‘,b‘,c‘) i przyjmijmy, że mają wspólne miejsca, na których równocześnie okazują się (bezwarunkowo) zbieżnymi. Gdy jedno z tych miejsc jest (a, /?, y), to ono zalicza się równocześnie i do pewnego ścieśnionego zakresu zbieżności szeregu i do pewnego takiegoż zakresu szeregu a do otoczenia takiego miejsca można tak y, z| a, b:c) jak    y, z\aj b‘, c‘) przeprowadzić.

Zauważmy wszystkie miejsca (a, /?, y), na których równocześnie $p, ^ są zbieżne.

Utworzą one zupełny, wspólny zakres zbieżności (W) tych szeregów. Z każdego miejsca (a, /?, y) tego zakresu można będzie dojść do (a, ó, c) po samych miejscach takich, na których szereg ^3 jest zbieżny, a do (a¹, b‘, c‘) po samych miejscach takich, na których ^ statecznie okazuje się zbieżny.

Wyjmijmy dwa różne miejsca («, /?, y), («',/?', y‘) z zakresu, (W). O nich nie można twierdzić, że z jednego z nich można

przejść do drugiego

zawsze

samych

miejscach o tej własności, że na nich równocześnie szeregi    są zbieżne. Pochodzi to stąd, że ob

wód zupełnego zakresu zbieżności każdego szeregu składa się

z nieskończonej mnogości obwodów ścieśnionych [art. 160, tw. III].

(W) rozpadnie się więc na pojedyncze od siebie oddzielone obszary zwarte:

(1)

(X₀, Y₀, Z₀), (Z1? Zt)j (X₂, r₂, Z₂),...

charakteryzujące się tem, że gdy dwa miejsca (a, /?, y), («',/?', y') mieszczą się w jednym z nich, to z jednego z tych miejsc przejść można do drugiego po samych miejscach takich, na których równocześnie <^i są zbieżne.

Gdy przeciwnie te miejsca leżą w dwóch różnych obszarach zwartych, to takie przejście jest niemożliwe.

Continua (1) są albo w skończonej ilości, albo ich jest nieskończenie dużo*).

Przyjmijmy teraz, że szeregi ^ w spólnym zakresie zbieżności (W) przyjmują równe wartości na nieskończenie wielu miejscach. Miejsca te posiadać muszą jeden, lub więcej punktów skupienia. Jeden z nich — nazwijmy go (a, {3, y) — niech mieści się w continuum (X₀, Y₀₁Z₀).

Przeprowadziwszy szeregi do otoczenia tego miejsca, dostaniemy równość:

$0®, y,z\a,b,c\a, /?, y) =%(x, y, e\a',b\ c'\a, /?, y) na nieskończenie wielu miejscoch w otoczeniu punktu (a, (3, y), a stąd wynika , że szeregi (2) są [art. 166., tw. II.] identyczne.

Same szeregi )$, są przeprowadzeniami szeregu (2), a stąd twierdzenie:

(2)

IY. Gdy dwa szeregi dane dla otoczeń dwóch różnych miejsc wykazują identyczne wartości na nieskończenie wielu miejscach leżących w wspólnym ich zakresie zbieżności, to są przeprowadzeniami jednego szeregu.

Gdy te miejsca mają punkt skupienia — jak założono — w zwartym obszarze (continuum) (X₀, Y₀, Z₀), to można dalej — taką drogą, jaką dowiedliśmy twierdzenia II. art. 183. i tu okazać, że takie szeregi są identyczne w calem tem continuum. (Gdy punkta skupienia mieszczą się w n zwartych obszarach, to ta identyczność zachodzi we wszystkich tych n obszarach).

*) Por. Konr. Z i n d 1 e r. Uber getrennte gemeinsame Comergenzgebiete zweier Potenzreihen zweier Verdnderlichen. Monatshefte fur Math. u. Physih. T. 4. str. 115. Tegoż „Bemerlmng uber Potenzreihen zweier Verdnderlichen“ — tamże, T. 5.

str. 287.

G-. V i v a n t i.“ „ Uber Potenzreihen zweier Verdnderlichen“ — tamże. T. 5.

str 99.

192. Punkta osobliwe. Powracając do jednego szeregu potęgowego ^(x,y,z), zauważmy obwód jego zupełnego zakresu zbieżności. Na taki obwód składa się — jak wiadomo — nieskończona mnogość obwodów:

(1)

((fl)>0,2)>(»3))> ((^l)» (r'₂)» (^8))> -

ograniczających jego ścieśnione zakresy zbieżności.

Niech #=f, y—rj naznaczają punkty leżące na okręgach (r*), (r₂) pierwszego z obwodów (1). Zauważmy szereg potęgowy:

(2)

W, % e)

jednej już tylko zmiennej z. Jego prawdziwym zakresem zbieżności jest \z\<C^*3, a na kole (r₃) musi istnieć jeden albo więcej punktów szczególnych. Niechże te punnta będą: £,    ..., to

w takim razie miejsca:

(i, v>£)>    (§,

trzeba już uznać za osobliwe punkta szeregu $$(#, y, z) na obwodzie

(»i)> Oh), Oh))-

Ze zmianą punktów £, rj na inne leżące na kołach (r,), (r₂) dostaniemy inne punkta szczególne tego szeregu, i t. d.

Ponieważ to samo odnieść trzeba do wszystkich obwodów (1) więc stąd wynika:

I. Każdy szereg potęgowy wielu zmiennych posiada na obwodzie swego zupełnego zakresu zbieżności nieskończenie wiele punktów osobliwych.

ROZDZIAŁ XVI.

Określenie i ogólne własności funkcyi analitycznej, albo sum takich funkcyj.

193. Przeprowadzenie szeregu y=^{pc) poza zakres jego zbieżności. Gdy dany jest szereg potęgowy y==^{x\a) z zakresem zbieżności (r) o środku a, który także z punktem x=0 spadać może, to przez to określamy pewną wielkość y, która zależąc od x, a więc będąc funkcyą tego argumentu, ma w wnętrzu (r) charakter funkcyi wymiernej całkowitej [art. 182.] albo — inaczej jeszcze to wyrażając — zachowuje się regularnie wewnątrz (r).

Przyjmijmy, że ^(a?|a) nie należy do kategoryi takich szeregów, jak 04) lub (Z?) [art. 189.]. W takim razie posiada on przeprowadzenia , których zakresy zbieżności (r*) nie mieszczą się cał-

W ten sposób dalej postępując, możemy czemraz nowe uzyskiwać zakresy : X^\ X^\ ... w których jeszcze y jako funkcya argumentu x, o charakterze funkcyi wymiernej całkowitej , istnieje albo — inaczej — zachowuje się regularnie w każdym punkcie wewnątrz tych zakresów leżącym.

Pytanie zachodzi, jaki obszar płaszczyzny (x) będzie można całkowicie przykryć zakresami (r), X', X", X^\ ... ?

Na to odpowiemy w ten sposób:

Ponieważ każdy szereg potęgowy posiadać musi przynajmniej jeden punkt osobliwy, więc na płaszczyźnie (cc) znajdą się pewne punkta c, c', c", ... leżące już-to na obwodzie (r), już-to zewnątrz niego o tej własności, że żaden z szeregów $P(a?|a),    a),

ty(x | a, a, a‘),...

w swem kole zbieżności nie zawrze tych punktów.

jego na

bardzo odległego — przeprowadzenia $(#!«, a, a¹,... aW) wraz z kołem

kowicie w (r). Jedno z nich n p. | a, a) o zakresie zbieżności (ra), [fig. 45.], weźmy pod uwagę. Określa ono wartości szeregu — a więc i wielkość y — na luku s t.

Lecz, że ^(cc|a, a) istnieje jeszcze i poza kołem (r) t. j. w części X ma tam charakter funkcyi wymiernej całkowitej, a z wartościami szeregu y$(x\a) w części X jest wzdłuż łuku st w ciągły sposób złączony, więc z tych powodów przyjmujemy, że to przeprowadzenie rozszerza zakres istnienia

(Tod

X"

(V>

(r)

Fig. 45.

wielkości y przez dołączenie do (r) jeszcze obszaru X‘. ^(x\a), S$(x\a,a) określają razem wielkość y już w zakresie (r)-\-X‘.

Lecz w kole (ra) — czy-to w jego części X, czy X‘ — możemy nowy punkt a‘ wybrać i utworzyć nowe przeprowadzenie ^3(cc | et, a, a‘).

Grdy to nowe przeprowadzenie ma koło zbieżności (ra«) którego część X“ leży poza (r)-fX', to znowu powiadamy, że ^(cc | a), a),    a, a‘) określają razem wielkość y już w zakresie

(r)+X' + X".

Rozłożenie i ilość tych punktów dana jest już z pierwszym szeregiem $P(#|a). Od spółczynników bowiem tego szeregu zależeć będzie nie tylko wielkość jego koła zbieżności (r) i zachowanie się obwodzie (r), ale także postać każdego — chocby już

zbieżności tego przeprowadzenia i własnościami jego na okręgu zbieżności²).

194. Zakres istnienia funkcyi y. Jej pnnkta osobliwe i linie punktów osobliwych. Próżnie. Punktów osobliwych c, c‘, c",... może być albo skończona, albo nieskończona ilość.

W pierwszym wypadku istnieć będzie wielkość y, jako funkcya argumentu x w całej nieograniczonej płaszczyźnie (x) z wyjątkiem punktów e, c', ... z których jeden i w nieskończoności leżeć może.

Co się tyczy drugiego przypadku, to przedewszystkiem jas-nem jest, że punkty c, c', c“, ... nie mogą nigdy utworzyć mnogości wszędzie gęstej, rozpostartej na całej płaszczyźnie (#), bo wtedy już sam zbieżny szereg $|3(#|a) i zbieżne szeregi    a),

$(# j a, a, a'), ... wcale nie mogłyby istnieć, a więc i wielkość y jako funkcya argumentu x byłaby niemożliwą.

Nieskończona mnogość punktów c, e', c“, ... może więc mieć jednę z następujących własności:

а)    Posiada oddzielne punkta skupienia w skończonej lub nieskończonej ilości;

б)    W mnogości zawierają się punkta tworzące albo nie zam

knięte linie AB, CD [fig. 46.] przedstawiające się jako skończone odcinki albo linie —    JE Fco — poczyna

II

: co

jące się w pewnym punkcie E leżącym w skończoności a ciągnące się w nieskończoność. Takie linie nie potrzebują być koniecznie skupieniami punktów 6', c', c",... leżących poza niemi, jak-to

n. p. mieliśmy w Pd. 3., art. 43. Wykluczamy przytem wypadek, w którymby kilka takich linij tworzyć miało zamknięte pasmo.

Fig. 46.

W obydwu wypadkach a), b) istnieć będzie y w całej płaszczyźnie (x) z wyjątkiem punktów c, c', c“, ... i dołączających się do nich punktów na liniach AB: CD,— (por. Pd. 5. str. 513. w art. 197.)—, EFco ,...

c) W nieskończonej mnogości zawierają, się takie punkta, które tworzą linie zamknięte ABC, DBF,... (fig. 47.) lub linie takie, jak oo PQ72 go (fig. 48.) rozpościerające się na płaszczyźnie (x) od nieskończoności do nieskończoności (uważać je więc trzeba także za zamknięte).

W tym wypadku c) zależy zakres istnienia funkcyi y od tego, jakie położenie miał punkt a.

Fig. 47.

cP

Gdy a miało położenie y, a szereg przeprowadzeniami wykrył linię ABC(fig. 47.) to y istnieć może tylko wewnątrz krzywej ABC z wyjątkiem oddzielnych punktów c, c', c", ... które możliwie mieszczą się w jej wnętrzu.

(U)

W szczególności może zamknięta krzywa ABC być wprost kołem zbieżności (r) danego szeregu, jak to mieliśmy w szeregach (A), (B)

[art. 189.]. Wtedy szereg ^(^ja) określa funkcyę y istniejącą wyłącznie wewnątrz koła (r).

Fig. 48.

ABC, DEF,

Gdy a miało położenie punktu (fig. 47.) a szereg przeprowadzeniami wykrył krzywe ABC, DEF,..., to y istnieje tylko w tej części płaszczyzny (x), która się rozciąga zewnątrz tych krzywych. Dla wielkości y są wnętrza krzywych próżniami. Poza temi próżniami może być istnienie funkcyi y wykluczone jeszcze w poszczególnych punktach c, c',... lub w punktach tworzących linie niezamknięte.

W razie gdy szereg i jego przeprowadzenia wykrywają zamkniętą linię go PQ72 co (fig. 48.), to y istnieje tylko w części (27) płaszczyzny (#), jeżeli a miało położenie punktu v, a istnieje w części (27) tej płaszczyzny, jeżeli a miało położenie punktu v\

Pd. 1. W art. 189. poznaliśmy szereg:

«*)=i+-R+\ **+4 *,!+ •••

posiadający okręg zbieżności (| as | = 1) o samych punktach osobliwych. Połóżmy w nim -i- za oc, to dostaniemy: podług potęg h rozwinąć. Niech więc a0v -j- alvh -f- a2vh² -j-dodajnika (§), to otrzymamy:

¹

Por. Weierstrass: „Abhandlungen aus der Functionenlehre¹¹, str. 92.,

3

gdzie a, b (rzeczywiste) spełniają warunek ab 1 -)—^

„Geom. u. andlyt. Untersućhungen“... Crelle J., T. 90., str. 221...; Fredholm: Acta math. T. 15., str. 279.

²

Pod tym względem por. J. Hademar „Essai sur l’etude des fonctions donnees por leur deeeloppement de Taylor¹¹ Journal de mathematiąues pures et appliąuees. 1892. str. 101. E. Fabry. Sur les points singuliers d’une serie de Taylor, tamże T. 4. (S. 5.) 1898. str. 317...

będzie rozwinięciem

00

09

² + ...

Tak otrzymany szereg zbieżnym jest dla | x |>» 1, a koło (\x | = 1) mieści i tu same jego punkta szczególne. Obierzmy dowolny punkt a w obszarze | x |    1 i połóżmy :

00

to dostaniemy z (a):

x=a -\-h,

-2

+ •••

Zakładając:

(T)

a więc widocznie

a a*

(8)

I « I - I h I > 1,

<C 1, będziemy mogli każdy dodaj nik:

— («+*)

-2*

~ ¹ + 2^ + awhJr «2vh2Jr-‘-)

V — 'l.

Ta nieskończona suma szeregów o argumencie li jest jednak w obszarze (y) jednostajnie zbieżną. Można ją zatem podług potęg argumentu h uporządkować, a że według (fJ) jest li = x—a, więc dostaniemy:

(0

$(*l «)*=! +

2 aov)

V—1    \ V—t /

(x—a) + ...,

OO

=%(!)•

gdzie 1 -f 2j

V— 1

Szereg (s) jest zbieżny w zakresie:

Hv

(0

X— «I < I a |—1

t. j. w kole, które ma środek w punkcie a, a. obwodem dotyka zewnętrznie koła

O 1 = 1)-

Szereg ten określa w tern kole funkcyę y daną równaniem (a). W tern więc

kole mamy identycznie :

a każde przeprowadzenie szeregu ^3(ic j a) do dowolnego innego punktu a‘ obszaru |cc|>l dostaniemy zmieniając w rozwinięciu (e) a na a¹.

Przyjmijmy, że przeprowadzenia szeregu | a) istnieć jeszcze mogą i poza obszarem |se |> 1 t. j. w punktach a wewnątrz, lub na obwodzie koła (|»| = 1), to i tu, aby takie przeprowadzenia dostać, dostatecznem będzie w ^3(.r \a) za a podstawić a.

Przyjmijmyź, że a leży na obwodzie tego koła, a więc | a] = 1. W takim punkcie mamy (kładąc w (s): a— «, x = a)\

I °9 —    ( a ) — ¹ + ₁    2 -r 2. a4 T 3. a8

Że zaś | a | = 1, wskutek czego ten szei’eg jest rozbieżny, więc przeprowadzenia j a) już nie mają znaczenia, a sam punkt a nie może się mieścić w kole zbieżności żadnego przeprowadzenia szeregu ?p(a? | a).

Z tego wynika, że 5P(a; | a) określa funkcyę    wyłącznie w obszarze

|a?|>l, bez żadnych punktów c, c‘, c",... wewnątrz tego obszaru. Wnętrze koła (I# | = 1) jest próżnią tej funkcyi.

Pd. 2. Z szeregu    jaki mielibyśmy w Pd. 1. utwórzmy ffii    )>

z tak utwo-

^cc^b ) > g&zie ru r₂ są dodatnie rzeczywiste wielkości. Pierwszy

rzonych szeregów zbieżny będzie dla \cc—b₁ j )> rt t. j. poza kołem (rt) o środku bx drugi dla \x — &₂|>r₂ t. j. poza kołem (r₂) o środku b₂.

Początkowo zakładamy, że jedno z kół (rt), (r₂) leży całkowicie zewnątrz drugiego (fig. 49. a)).

Gdy a jest punktem &) zewnątrz kół (rt), (r₂), a położymy :

%l

•a

■a

x—bi — a—bi-\-h x—b₂=a—b₂Ą-h z założeniem, że h tak wybrano, aby równocześnie:

I a—&i| —1^| >r₂,

| a—b₂\ — |A|>ra, a więc aby równocześnie okazało się:

cr

b₂

Tn)

<1,

Fig. 49.

<1,

a—ój

to wtedy — z tych samych, powodów, co w Pd. 1. — możliwem będzie tak

\a—b₂

(-\~)i .jak 5Pi(—~^r~) rozwinąć podług potęg argumentu h — (oc —a). Przyjąć '    x — b₂'

mijmyż, że w ten sposób dostajemy w otoczeniu punktu a rozwinięcia :

to suma tych rozwinięć :

$i    ) = Co+c^—a) -f c₂{x—af +...

$i (    = c'o+c'i(« - «)+c\{x-ay -f

Oo + c'o) + (ci + c'i) (*—») + (<* + c\)(x—®)² + ••• = 3K* | a)

określi funkcyę y, która w części płaszczyzny (a?) rozciągającej się zewnątrz kół (ri), (r₂) wszędzie bez wyjątku istnieje , a wnętrza kół (rt), (r₂) ma jako próżnię. Gdy te koła — jak w fig. 49. (5) —częściowo się przykryją, to j«) określi funkcyę y z jedną próżnią HKLM ograniczoną dwoma łukami kołowymi.

W analogiczny sposób można będzie utworzyć funkcyę y z próżnią ograniczoną więcej , niż dwoma łukami kołowymi.

195. Analityczne, monogeniczne funkcye jednej zmiennej lub wielu zmiennych. Jej elementa i granice. Z zupełną definicyą funkcyi y, jaka z uwag zestawionych w ostatnich art. wyniknąćby już mogła, wstrzymać się jeszcze musimy, a to z powodu , że przedtem jeszcze zbadać trzeba, jaki wpływ na ową definicyę może mieć

powrót do tego samego punktu a za pośrednictwem pewnego szeregu punktów:

«, «'» «",    - «(s)-

cv'

Ot

a"¹

\ [fig. 50.].

I Aby na to odpowiedzieć, za-/ uważmy szereg kół zbieżności (r), (r„), (*v), ... (fig. 51.) należących do przeprowadzeń bezpośrednio po sobie następujących. Z    możemy do ^(x\aa) przejść albo odrazu albo także

za pośrednictwem dowolnie wielu punktów pośrednich , byleby te

punkta wszystkie w (r) leżały. Obo-jętnem jest , czy takich pośrednich punktów wcale nie używamy, czy je bierzemy na prostolinijnym odcinku lub na odcinku krzywym a qa mieszczącym się całkowicie w (r). Lecz zwyczajnie, aby na płaszczyźnie (x) dać poznać, że punkty a, a w jednem kole (r) leżą, łączymy je prostym odcinkiem aa. To samo odniesie się do punktów a, a¹, które obydwa w kole (ra) leżą i t. d.

Z tego przedstawienia rzeczy wynika, że wszystkie drogi, jakiemu — wychodząc z szeregu (x | a) — wracamy znowu do punktu a napowrót, przedstawią się jako wieloboki:

a a a' a“ aa^ a

dfs)

CK

Fig. 50.

,a’

a'

(r)

Fig. 51.

I tv)

o4

a at a^ a₁/la₁,lt a a a₂a₂ a₂“ a i t. p. (fig. 52.).

Gdy takie wszystkie drogi — całą ich nieskończoną mnogość — uwzględnimy, a do punktu a powróciwszy, dostaniemy znowu ^(aba), to funkcyę y nazywamy

CK

Fig. 52.

albo jednowartościową w jej zakresie

jednoznaczną

istnienia.

G-dy przeciwnie między temi drogami znachodzą się i takie, które po powrocie do punktu a — dają:

(1)

^(a;—a)=ł=^(a;|a)

to w takim razie funkcyę y nazywamy wieloznaczną, albo wielowartościową.

Taką jedną zamkniętą drogę nazwijmy s i przejdźmy ją powtórnie, wracając znowu do a. Po tym powtórnym powrocie możemy znowu dostać -,]l₂(x—a) różne od szeregów (1) i t. d. $(£«),

—a), $P₂(#—określamy jako szeregi do różnych „gałęzi“ funkcyi należące.

Przytem zauważyć potrzeba, że podczas drugiego, trzeciego,... kroczenia po drodze s może funkcya y nabrać nowych szczególnych punktów c, c‘, c", ... (a nawet linij), na których jej istnienie jest wykluczone.

Wielkość y określoną uwagami zamieszczonemi w tym i poprzednim art. nazywamy funkcyą analityczną f(x) jednej zmiennej x. ¹)

Takich funkcyj jest oczywiście nieskończenie dużo. Podzielić je trzeba przedewszystkiem na funkcye jednoznaczne i funk-cye wieloznaczne i takie odróżnienie uważać za najogólniejszy ich podział. Jeden dany szereg potęgowy $($(a;|a) określa jedną tylko funkcyę analityczną (jednoznaczną lub wieloznaczną) i nazywa się jej elementem. Taki element wystarcza, aby wyznaczyć funkcyę z jej zakresem istnienia i granicami tego zakresu, t. j. punktami i liniami szczególnemi, które graniczne mi albo osobliwemi miejscami funkcyi f(x) nazywają.

Weźmy pod uwagę dwa którekolwiek różne przeprowadzenia 9$(x\a, a,..., «M), $P(a;'a,/?,..., |(?W) tego samego elementu $P(a;ja)— (w razie funkcyi wieloznacznej mogą-to być nawet dwa różne szeregi otaczające ten sam punkt n. p. ^(a:ja),    —a)) — to na płasz

czyźnie (x) znajdzie się niezawodnie droga, po której z jednego $p(#|«), ale każde dowolne przeprowadzenie określa tę samą funkcyę f(x) i z tego powodu jest także jej elementem.

z nich dojść będzie można do drugiego i naodwrót. Tę własność funkcyi f(x) określają mówiąc, że f(x) jest monogeniczną funkcy ą.

Z każdego dowolnego przeprowadzenia dojść wreszcie będzie można do elementu danego 9$(x\a), a z tego wynika, że nie tylko

znowu

Funkcya analityczna²) jest zatem określoną w zupełności jednym którymkolwiek swym elementem, jest monogeniczną, a wewnątrz całego swego zakresu istnienia ma w każdym punkcie i w jego otoczeniu charakter funkcyi wymiernej całkowitej; jest regularną.

W analogiczny sposób określimy dany szereg potęgowy:

(2)

$0, y,², b, c, ...)

wraz

z jego wszystkie mi przeprowadzeniami, j ako analityczną funkcyę f(x, y, #,...) wielu zmiennych. Szereg (2) nazywa się jej elementem, danym dla otoczenia miejsca (a, 6, c, ...) i określa funkcyę f jednoznacznie wraz z jej zakresem istnienia, miejscami szczególnemi i możliwemi próżniami.

Przy przeprowadzaniu można się ograniczać do ścieśnionych zakresów zbieżności, a każde przeprowadzenie — zarówno, jak szereg (2) — określa nie inną funkcyę analityczną, ale f(x, y, #, ...).

196. Określenie spółczynników w przeprowadzeniach funkcyi za pomocą pochodnych, albo średnich wartości. Niech § będzie punktem na płaszczyźnie (x), leżącym poza kołem zbieżności danego elementu y$(x\a). Wtedy — gdy x₀ obierzemy blisko punktu f, a w otoczeniu punktu x₀ mamy element:

(1)

taki

$(x\x₀)=-.c₀+c₁(x—x₀) + c₂(x—x₀)2 że on w swojem kole zbieżności (JR) zawiera punkt £ — to sama funkcya f\x) i jej pochodne w punkcie £ określają takie

dla \x—x₀\<C-B.

Uwaga I. Połóżmy w (3), jak zwykle, x—x₀ — h, to pod warunkiem, że |h\<fR, dostajemy:

f\xo)

/" Oo)

W szczególności w samym punkcie x₀, który jest środkiem zbieżnego elementu (1), mamy:

fM=co

(2)

1!

Ci

2!

C2

a więc:

(3)

rw

1!

(x—x₀)²+...

f(x₀+h)=f(xu)-{

Zatrzymując ciągle \h\<^B i w tym obszarze obierając pewną oznaczoną wartość h, zauważmy identyczność:

f(x, + h) —f(x₀) =f [(»₀ + 4) + y] —/[(®b+ 4) — 4]’

Gdy prawą stronę rozwiniemy w otoczeniu miejsca ^r₀-f- 4) ’ dostaniemy

stąd:

f(x₀ + h)=f(x₀)-]r2

(*)

[/'(xo+4)t!

+/"<*o+4)

(4)

/(5) (*⁰+2") 5l

a to rozwinięcie przy dostatecznie małem h zbieżniejszem się okaże od rozwinięcia (A), [Por. Jourjon: „Sur une transformation de la formule de Taylor¹¹. C. E. T. 78., str. 493].

Uwaga 2. Przyjmijmy, że dana funkcya analityczna f(x) posiada punkta osobliwe cu c₂, c₃, ...; otoczmy każdy ten punkt ca kołem (c«); mającem środek w c«, a promień =1 i przebrnijmy, że na płaszczyźnie {x) są jeszcze punkta xt. nie zawierające się we wnętrzu żadnego z kół (c«). W otoczeniu każdego takiego punktu mamy:

f'(xi)

a promień zbieżności tego rozwinięcia jest niezawodnie >1. Stąd — podług uwagi w art. 181. mamy tu:

/«(*i)    n

v!    ’

lim

a to znaczy: Gdy wszystkie punkta osobliwe ca funkcyi analitycznej f {as), otoczymy kołami (c«) o środku w ca, a o promieniu = 1, a na płaszczyźnie (x) istnieją jeszcze punkta xx, zewnątrz tych kół lezące, to tv całym obszarze tych punktów posiada f[x) własność:

lim [yH(xi)/v! ] = 0.

Lecz spółczynniki ci można tu jeszcze w inny sposób zdefiniować. Oto w art. 163. wywnioskowaliśmy, że spółczynnik ai

-f co

szeregu P(x)=2aix* jest = limPx{x,m), gdzie Pi=Pjxz, a P*(x,m)

— oo

m=cc

jest wydzielonym mod.m szeregu Pi. Stosując to do szeregu, (3) który teraz nazwijmy: q?(x—x₀)₁ to mieć będziemy:

m—1

c^—lim—'S-m=00

(4)

cp((x—x₀)£!*)

(x—x₀)'i.

2 TC

e=cos--[-i sin

m

Przytem \x—#₀|= q może być dowolne, byleby tylko było

Cp(x—x o)

(x—x₀y

na wszystkich punktach okręgu (q). Nazwijmy ją średnią (tej funkcyi) na okręgu (q) i naznaczmy przez :

{?<CP- W (4) mamy średnią arytmetyczną z wartości funkcyi

(5)

Tl

gdzie (jp^=

(p

(®—«o)

to mamy teraz:

(6)

Ct=Tł(ę,(pi), /l=0, 1,2, ...

jako drugą definicyę spółczynników Ci.

W szczególności, gdy x₀=O, dostajemy:

Ci=Tł (ę, fi)

gdzie fi=flxJi, a ę jest mniejsze od promienia zbieżności elementu

Gdy funkcya analityczna f(x, y, #), określona elementem : $(x, y, *|a, 6,c)

posiada przeprowadzenie:

$(®,y, *|a, 5, c|...|a;₀,y₀, «₀)=^o.(*—*o>y—y₀»    ^o)»

które w swym zakresie zbieżności zawiera miejsce (f, rp £), to mamy:

f(i, V: £)=%<>(£—*o, V 2/oj £—■«o)-Naznaczmy wartość cząstkowej pochodnej :

d“ d^ d^ d#“ dy^ d^

na miejscu (|, 77, £) przez /’(£, 77,    , a analogicznie niech $P₀(£, rj, £)a/?J,

oznacza taką samą cząstkową pochodnę szeregu na tern miejscu, to mieć będziemy :

/ (A % £)apy—V:

Przyjmijmy, że:

^Poy-y<>,z—^)=2ca§y(x-x<i)a(y~yj(z—z<₎)yi to •'

Capy —

05

**q

510

1    1    1 i'i

a\ p\ y] • ^0? ^OJ go)a((y

Takie znaczenie mają spółczynniki w elemencie funkcyi danym dla otoczenia miejsca (x₀,y₀,z₀).

Lecz także i tn gdy położymy:

?o(^—-)=<p{x—xo, y—yo,0—zQ)

(papy

cp

{x-x(i)Ci{y-yQf^—^y ’

s=1, 2, 3,

2 71

£s=cos--\-i sin

2n

można będzie capy w ten sposób przedstawić:

C<x{iy — iim

m₁—l mt—1 m₃—1

¹_y y y

^ ^ ^

(p[(x—xq)c/, (y—?/n)    (*—g₀)g₃1

(x-x₀)    (y—y₀)    (*—■*o)

9)?    , p₂ , p₃, cpa p y) >

gdzie dla

y y$\—Qii z *₀|—^3

I ^01 — ^1

szereg cp jest zbieżny.

197. Znaczenie nieskończonej snmy S(x)=2JPk(x) w różnych zakresach jej jednostajnej zbieżności. Niech szereg:

OO    00

(1)

p(x) =2 ^«-^_ce+2

a=l

p=o

zbieżnym będzie w pierścieniu (Ri...R₂), gdzie Ri<^R₂. Obierzmy wewnątrz tego pierścienia dowolny punkt a i z punktu tego, jako środka zatoczmy dwa koła, jedno o promieniu jaj—Rlf a drugie o promieniu B₂—\a\- Jedno z tych kół zawierać się będzie całkowicie w (Ri...R₂). To koło nazwijmy (q).

Połóżmy x—a\‘h i ograniczmy h tak, aby punkta a-\-h leżały bez wyjątku wewnątrz koła ((>), to z (1) dostaniemy:

(2)

a w kole (ę) będzie ta nieskończona suma funkcyj zależnych od h nie tylko zbieżną, ale także — podobnie jak (1) w wnętrzu całego pierścienia (Ri...R₂)— jednostajnie zbieżną. Że zaś w kole (q) jest |ń|<|a|, więc w (2) można będzie każdy dodajnik pierwszej sumy rozwinąć na szereg a(h), a każdy dodajnik drugiej sumy także szereg S$p(h). ³) Po wykonaniu tego dostaniemy z (2) nieskończoną sumę :

na

(3)

a=l

(?=0

która dla \h\<.Q jest jednostajnie zbieżną. Sumę (3) można zatem będzie podług potęg h uporządkować, a to — gdy uwzględnimy, że h=(x—a) — daje: P (x)=^{x—a) dla \x— a\<Q. Stąd wynika:

I.    Każdy szereg P{x) lub P(x—c), cr^O, zawierający i ujemne

potęgi argumentu x do skończonego lub nieskończonego stopnia, a zbieżny w pierścieniu    o środku x=0 lub x=c, określa iv tym pierście

niu pewną analityczną funkcyę. Funkcya taka zachowuje się regularnie iv tym pierścieniu (Pl...R₂).

Waźnem pytaniem czy naodwrót, analityczna funkcya regularna w pewnym pierścieniu    o środku w punkcie x = 0, lub w punkcie x = c-j= 0 da się

przedstawić zawsze szeregiem P{x), a względnie P(x—c) będziemy mogli zająć się dopiero później.

Mając już twierdzenie I., zauważmy:

(4)

S (x)=2 Pk{x)

k — 0

która w jednym, lub kilku obszarach (M), (B), (C), ... [por. Pd. 1., art. 167.] jest jednostajnie zbieżną. Grdy a jest punktem wewnątrz jednego z tych obszarów, n. p. obszaru (A), a h wybierzemy tak małe, że punkta a\-h wypełnią kołowe otoczenie punktu a, leżące całkowicie w (^4), to każde Pk(a-\-h) da się rozwinąć na szereg potęgowy    W obranem tern otoczeniu punktu a mieć będziemy :

S (a + li) — 2 Pk(a+h)=2 ^k(h)

k—0    k—0

a ostatnia z tych sum o argumencie h jest jednostajnie zbieżną w tern otoczeniu. Porządkując ją podług potęg ń, dostajemy:

a to znaczy:

II.    Suma S(x) jednostajnie zbieżna w obszarach (A), (15), (C), ... swego argumentu określa w każdym z tych obszarów — częściowo lub całkowicie — pewną analityczną funkcyę, zachowującą się tam regularnie. ⁴) Funkcye z różnych obszarów mogą być zupełnie między sobą różne; ale może się zdarzyć, że S(x) przedstawia w (A), (B), (C), ... części jednej

i tej samej fuńkcyi, t. j. jej części, przypadające na wnętrza tych obszarów. ⁵)

Podług twierdzenia I. można S(x) określić jako nieskończoną sumę funkcyj analitycznych, danych w otoczeniu punktu a?=0, lub punktu x=c^=.0, gdzie przez to otoczenie rozumiemy — ogólniej — juź-to pewien pierścień, już-to pewne koło o środku x=0. lub x=c.

Pd. 1. Na płaszczyźnie argumentu x niech dane będą punkta au a₂, ..., ap tworzące wierzchołki zamkniętego wieloboku (M).

Gdy mi, m₂, ... mp są całkowite dodatnie liczby, z których niektóre — ale nie wszystkie — mogą być nawet zerami, to punkt:

iii \ Cl| —j⁻ fil ₂((2 —i— ... —'iii p (lp

-j- w₂+...+ mp

zawiera się zawsze wewnątrz wieloboku (A), albo na jego obwodzie.

Gdy dalej uu w₂, nieskończona :

(«)

trrr

Up są ilości stałe dodatnie i wszystkie < 1, to suma

(⁵)

mp przybierają różne lub równe wartości z szeregu 0, 1, 2, ...

w której m₁, m₂,

— ale nigdy nie są wszystkie równocześnie zerami — jest niezawodnie absolut-

nie zbieżną.

Zauważmyż sumę:

U^miU₂m 2 ...Upmp

s(⁵ i=2l

mP)

w której mu m₂,..., mp przybierają te same wartości co w (6). Przy takich , m₂, ..., mp utworzą punkta £(»?) wszędzie gęstą mnogość zapełniającą wnętrze wieloboku (M) i jego obwód. Gdy x jest dowolnym punktem leżącym w (M\ lub na jego obwodzie, to dla nieskończenie dużo systemów (ml, m₂, okaże się różnica | cu— >(w) | <1 5, gdzie S dowolnie małą dodatnią jest ilością. Wskutek tego suma (c) nie będzie zbieżną ani w (M), ani na obwodzie.

Przyjmijmy przeciwnie, że x leży zewnątrz (M). Dla takich x będą bezwzględne wartości:

m\ ai + ••• + mP aP ml -j— ... -j— 'ilflp

wszystkie skończone, a suma: będzie [art. 11., tw. II.] zbieżną.

Suma S(x) będzie więc na wszystkich punktach x zewnątrz (M) nie tylko absolutnie — ale prócz tego jeszcze i jednostajnie zbieżną i da się zamienić na szereg potęgowy ^(a/—x), który będzie elementem pewnej funkcyi analitycznej istniejącej jedynie zewnątrz (M), a więc mającej (M) jako próżnię⁶).

która-to funkcya R(x,m) przedstawia średnią arytmetyczną mod.m funkcyi ń(r) tak w obszarze | cc | <1, jak i w obszarze | r | > 1.

Przy m = co daje 5 (a:, ni) w pierwszym z tych obszarów wartość (A)

m = co

a w drugim wartość (B).

Ponieważ m, dążąc do co, przebiegać może dowolne liczby, więc zakładając: m = 2°, 2', 2², 2³,..., oo

i kładąc:

Pd. 5. W razie dwóch tylko punktów: a₁—a, «₂=P dostajemy:

m, a. m^fi

« p. Stąd wynika , że w tym razie określa S(x) analityczną funkcyę z prostolinijnym odcinkiem a p punktów osobliwych.

Pd. 6. Zauważmy funkcyę :

a punkta ij(m)

zapełniają tu wszędzie gęsto prostolinijny odcinek

Jej elementem w obszarze \x\ <1 jest:

ip(r) = 1 x -f- x² -}- a:³ + ...

a w obszarze |a;|>l przedstawia ją rozwinięcie:

Jl _ A _ Jl_

X X²    X ³

P(x) =

U)

W pierwszym z tych obszarów dostajemy:

lim ip(a:, ni)—- 1

w drugim zaś:

m z=ico

[art. 163., (1).]

(*)

lim P (x, m) = 0.

Z drugiej strony mamy przy skończonem m: ?(ar, m)= 1 + a?”* + x2m 4- a:3m+ ... ==

l-xm

R(x, ni),

lim R(x, 2») = B(a>, 2°) 4- [fi (as, 2¹)-ń(r,2⁰)] 4-

dostajemy — obliczywszy

4- [R(x, 2²)-R(x, 29] +[R(x, 2*)-R(x, 2²)] + ...

R(x,2‘)-E(x,2-') = ^v

1—cc²*⁻¹

a:²* ¹

1—a:²*

— wyraz:

A (cc)

a:²

a;⁴

a;⁸

1—X²

1—xi

1—x&

1—X¹⁶

czarny Poincaremu. Por. A. R. Forsyth „Theory of Functions of a complex variable“ (1893) str. 142—143.

Por. także H. Laur en t „Traite d’Analyse“ T. III. str. 375—6. Z. Krygowski. Przyczynek do teoryi funkcyj o obszarach osobliwych. „Prace mat. fiz.“ T. 9. (1898) str. 213—221.

33

Teorya funkcyj.

—/» n

, , , /—lw obszarze | x j <C 1

kt<>ry\=o„ „    1*1 >1.

W tych obszarach jest A(x) jednostajnie zbieżną sumą, a na wszystkich punktach j cc | = 1 jest bez znaczenia.

Gdy fx(x\ /₂(sc) są dowolnemi analitycznemi funkcyami, to wyraz:

w 0*0 =/i (*) + A (x). /₂ (x)

przedstawi (x)-j-/?(cc) w obszarze \ x\ < 1, a funkcyę fx{x) w obszarze |*|>1.

W razie fi(x) ——/₂ {x) jest W(x) zerem w obszarze | a? | <C 1, a jest —fi(x) w obszarze | x | > 1.

Pd. 7. Przejdźmy do ogólniejszego przypadku. Gdy dana będzie funkcya:

⁼rxi⁺~2^~i +

3 x ¹    3

to każdy z jej dodajników da początek — podług Pd. 6. — nieskończonej sumie:

2"

Av(x') = —

¹ -    - V /

i, gdy I * i <v,

0> gdy I * I > V, v =1,2, 3,..., n Z całej funkcyi R(x) dostaniemy wyraz:

A (x) = Ai (cc) -f- A₂ (») + •..+ An(x), który

=i+!+-g-+-+ł ⁼    y+¥+-⁺^

ł + ~ + ł

będzie

Utwórzmy — mając danych n analitycznych f unkcyj /*(*)>    fn(x)

sumę:

to ona

w obszarze | x \ <; 1

/i0*0 Mx) +/2O) Mx) + - +fn O) An (*)»

określa ft -j-    + • • • 4* —/»

„    1<M<2

„    2 < | a? | < 3

V    (» —1)<|*|<»    »

| OCI > n

określa w obszarze \x\Cl funkcyę fx(x) +/a(a;)j a w obszarze ja? I > 1 funkcyę

/i (⁷)-/>(⁷)•

z—1

Połóżmy a:

Jakie funkcye w tycli obszarach określa

?i0)+^0)?₂0),

gdzie ®t, cp₂ są-to dwie dane analityczne funkcye? Pd. 8. Zauważmy jeszcze funkcyę:

Jej rozwinięciem w obszarze ( x | < 1 jest:

^>{x) = l-\-2[x-\-x²-\-xz-\-...] i daje: %(x, m) = 1 + 2[xm + x2m + xSm +...] l+xm

= It (a:, ni).

1 -xm

Ii (x, m) przedstawia i tu średnią arytmetyczną z wartości funkcyi R{x), mod.m, tak w obszarze | x) <C 1, jak i w obszarze [a;|>l i zdąża do granicy lim R(x,m) = + 1, gdy \x\ << 3, a do granicy —1, gdy \x\ >1, Gdy i tu zało-

772 —GO

żymy :

i obliczymy :

m = 2°, 2¹, 2², 23,...

R(ae, 2S) — R (x, 2⁷⁻¹)

2. X⁸-¹

x2S—1

to kładąc:

lim R (.■», 2») =» i? (⁷, 2°) + (B(aJ, 2¹)-J?(a:, 2°)) +

72 oo

dostaniemy stąd wyraz:

2x

2x²

2x⁴

x²—1

który {“ + 1

’== — 1, gdy \x\ >1.

a:⁴—1

a:⁸—1

+ ...

W tych obszarach jest on zarazem jednostajnie zbieżny, a dla \x\—l nie ma żadnego znaczenia⁷).

Gdy /i(a;), ffx) są dowolnemi analitycznemi funkcyami, to

/tW + d(⁷)/₂(a:)

= —r-r-, z = ^ Ą-ri i, to łatwo przekonamy się , że :

z-\-l

< lł gdy ->⁰’ a | Zzą\ | ^ ¹> sdy KO.

Stąd wynika , że wyraz :

będzie = +1 w tej połowie płaszczyzny (z), w której £ > O, a będzie — — 1 w drugiej pozostałej połowie.

Pd. 9. Nie trudno utworzyć nieskończone rozwinięcie, które w dwóch oddzielnych obszarach swej jednostajnej zbieżności określa tę samą funkcyę. W tym celu zauważmy wymierną funkcyę:

R O)

A—x²

w której A jest dodatnią, rzeczywistą liczbą. Gdy r będzie również taką liczbą, a położymy A-\-r = a², i

R(x)

A -j- r—x²—r

—r— (x²—a²)

^[i-t

x²—a² j

x²—a²    (a?²—a²)²

—i[i

r L

to wskutek | a j² > r jest to rozwinięcie zbieżne w dwóch oddzielnych owalach tworzących krzywe Cassini’ego [art. 167., Pd. 1]. Rozwinięcie A (cc) przedstawia więc tu jedne tylko funkcyę R(x) w dwóch oddzielnych obszarach swej jednostajnej zbieżności; przedstawia ją tylko częściowo, gdyż R(x) z wyjątkiem punktów +\/A jest zresztą wszędzie regularną*).

7*2

... ]=^(sr),

198. Różniczkowanie i całkowanie sumy $(3c). Połóżmy:

oo

S(x)=^%(x)=$(x)

A=0

to stąd mamy:

Lecz jasnem jest, że a wskutek tego mamy:

*(*>•'

d    d

-j- ?$(x) składa się z dodajników -=-$($*(#) r

(XX    (XX

s «*(»).

k=. O

Stąd twierdzenie:

I. Pochodny nieskończonej sumy S(x) ^ (x) dostajemy

k=O

zakresie jednostajnej zbieżności tworząc pochodny albo wykonanej już sumy $P(#), albo sumując pochodne wszystkich jej dodajników.

oo

To samo dotyczy i sumy ’^lPk(x).

00

w ) ej

k—0

*) Metod, jakiemi się posługiwali Hermite, Appel, Goursat, Fro-b e n i u s i inni celem tworzenia wyrażeń A(x) nie możemy tu uwzględnić.

Por. „Cours de Mr Hermite professe pendant le 2(l« semestre 1881—82 (Fa-culte des Sciences de Paris) par M. Andoyer str. 57., 58.

Podobnie wywnioskujemy:

II. Całkową funkcyę sumy S(x)=(x) przedstawić można to jej zakresie jednostajnej zbieżności albo przez:

albo też przez:

C+J$(;r) dx

00 p

C+^\%(x)dx.

k—{) J

199. Ogólniejsze szeregi zwrotne. (Metoda Andrć-go). Rozważymy tu jeszcze takie analityczne funkcye, których dany element da się rozwinąć na skończoną sumę pewnych innych analitycznych funkcyj za wprowadzeniem takich założeń⁹):

Równanie g{x)=xm—c₁xm~¹ -f...+ cm=0 niech ma pierwiastki r, r\ ... powtarzające się odpowiednio razy X, X¹, ... Utwórzmy wymierne całkowite funkcye o stałych sp ółczynnikach:

(#)j ^r‘(C) , ...

odpowiednio stopni: X—1, X‘— 1, ... i weźmy pod uwagę wyrażenia:

(1)

vn=2i;r(n)rn, n=O, 1, 2, ... w których suma odnosi się do wszystkich pierwiastków równania g(x)=0.

Podług Pd. 4., art. 53., gdy tam x—n, a n—X—1 założymy, możemy położyć:

tr(») = £r( 0)4

^r(O)

(2)

1!

n-f

A²UO)

g-j—»(«—!) + ...

0)

n(n—l)...(n—X+l) =

- ¹ (A-l)! ‘

— QrO~\~ Qrl tt-\- Qr2 W (u— 1)+ ...+ Qr,Z—\ W(w— l)...(w—XĄ- 1), i analogicznie przedstawić J>/(w), £r"(ri), ••• Elementem danej analitycznej funkcyi F(x) niech będzie szereg (zbieżny):

F(x)=u₀v₀ +uiv^x-\-u₂v₂x²-\-. w którym w₀, uj, u₂, ... są ilości stałe (zależne tylko od w), a vQ, vn, ... mają znaczenia (1). Zakładamy przy tern, że szereg: u₀ -\-ulxĄ-u₂x²+...=f(x) jest zbieżny, określa zatem w otoczeniu punktu x—0 analityczną funkcyę f(x).

Wyraz nty szeregu (3), gdy w tym wyrazie położymy za vn sumę (1), a w niej f r(w) przedstawimy formą (2), będzie miał postać:

(3)

(4)

Unvnxn=unxn2[ Qr0 + Qrin + ... + Qr,t-in(n—l)...(n—A +1 )]rn=

r

(5)

=2[Qr0 un (rx)n+rxQrl un n (rx)n~x +

r

-1-(rx)²Qr2Unn(n— 1) (rx)n~² +... + (irx)x~¹ Qr, z-\Unn(n—l)...(n—X +1)]. Sumując te wyrazy od n—0 do n=oo , otrzymamy : F(x)=2[Qro 2un(rx)n+rx.Qri 2unn(rx)n~x +

r    n    n

+ (rx)² Qr%2unn{n—l){rx)n-% +... + 0rx)z-¹ Qr, i-\2un [n...(n - l +1)] ]•

n    n

Lecz tu sumy 2 są widocznie po porządku:

f(rx), f‘(rx), f“{rx), ..., f^~x\rx),

[gdzie /*',    ... są pochodnemi funkcyi f na miejscach rx, r'x, ...].

Z tego powodu mamy:

(6) F(x)=2[Qr0 f(r%)+ Qri {rx)f‘(rx) +... +■ Qr,*-i {rxY~x

Lecz przytem założyć trzeba, że f(x) istnieje jeszcze i na miejscach rx, r‘x, ... Forma (6) jest widocznie skończona i określa F(x) w wymiernej całkowitej postaci, zawierającej funkcye :

/'N, f‘(rx), ..., f(r‘x), f‘(r‘x), ...

Szereg F(x) o podanej tu własności, nazywa się ogólniejszym szeregiem zwrotnym; g{x)=0 jest charakterystycznem równaniem wyrazów vn (albo szeregu F).

Pd. 1. Gdy:

F (x) = l* * + 2P    3P x:3 -f ..,

gdzie p jest całkowite >0, a położymy:

(1—X)

/“(*)

vn = np — nv.    q (n). lp

i ma charakterystyczne równanie: (%—l)p"t¹=0 o (p -j-1) - krotnym pierwiastku x =1. Mieć więc tu będziemy:

Qio—0, Qn

1P — 0P

1!

i Q\i

2P—2.\p-\-0P

Qio-O, 1!A^(0)= If—(F, 2!ę₁₂=A^(0) = 2^-2.F + (F,

3! @13 == A³ę,(0) = 3^ — 3.2P -f- 3.1^ — 0P, .

a F(x) wyrazi się formą:

F(x)=d.—X ₉+A2 v ¹    (1 —z)²

w której dla krótkości A* zamiast A* 2,(0) położono. W szczególności, gdy p = 2 dostaniemy :

X¹—*)

8+-+^

XP

'(1 —x)P+i

w której ^(n) jest wymierną całkowitą funkcyą stopnia (X —l)s° i połóżmy:

f(x) — 1 -f j-p + 2] + ••• = E'ix) — E‘(x) =

to mamy tu:

% = Kn).l*

z charakterystycznem równaniem (x—1)^ = 0 o X-krotnym pierwiastku x = l. Niechże:

ę(»)=p₀+p₁ę+...+ pl_₁^-i

to obliczywszy stąd: Q₁₀, Qn, Qn

2x²

(\-\-x)x

~ (1—ar)² ^ (1-a:)³    (1-a:)³ '

Pd. 2. Dla szeregu :

połóżmy:

F(x) = ~l³x +

i(ł⁺¹)

1.4

3.6

1.4.7

3.6.9

2³cc² -f

1.4.7

3.6.9

3³,«³+...

x³Ą

1.4.7.10

3.6.9.12

xi -f⁻ ...

2!

> /"(*)

9 (1— se)²Y//i—a?

--Ł=—l=f(x)

X/l — x

f‘“ (x)

28

21(l-x)³\/l—

*J ’

to dalej mamy:

i'w = n³ — n³.1³ = £t(w)

o charakterystycznem równaniu: (x—l)⁴ = 0. Gdy dalej obliczymy:

23_2.1³

2\    = 3» ft.

@io—9}    —

to otrzymamy:

1³— O³

— 1 ) @12

3³—3.2³+3.1³

3!

F(*) =

12x²

28 a;³

x (9 + 18 x—x²)

3(1 —x)\y 1—x    9(1—x)²\/1—x    27 (1—*)³V//1—x 27 (1—x)²\/ l—x'

Pd. 3. Zauważmy funkcyę :

*’(*) = 5(0) + ^H-|^*J +

dostaniemy:

F(x) — E(x).[Ql0-{-Qnx +—+@i,^_i*]• Przyjmując n. p. l(n) = 1 -j- n-\- n² mieć będziemy :

3-1

@io—1? @n —

2, @12

7-2.3-fl    ,

-—-= 1, a więc:

¹

Poincare i Yolterra udowodnili, że ilość elementów określających już całą funkcyę, jest zawsze mnogością przeliczalną. Por. co do tego: E. Borel „Leęons sur la theorie de fonctions“, (Paryż 1898), str. 53... Dowód tego polega na tern, że do wyprowadzenia każdego nowego elementu z danego używamy tylko punktów o spółrzędnych, będących liczbami wymiernemi. Przez to dostajemy przeliczalną mnogość przeliczalnych mnogości elementów, a taka mnogość, [art. 141.], jest przeliczalną.

²

Jak dawniej określali funkcyę: Leibnitz, Bernoulli Jan, Euler Lag rangę, i jak do nowych funkcyj torowali drogę Legendre i Abel; por. P. Dziwiński: „Krótki rys teoryi funkcyj peryodycznych jednej zmiennej “, (Lwów 1885), str. 5—9. Por. także: W. Laska: „Einfuhrung in die Func-tionentheorie“, (Stuttgart 1894). O obecnym stanie teoryi funkcyj analit. czytaj: Hurwitz: .„Uber die Entwickelung der allg. Th. der anal. Functionen in neuerer Zeit.¹¹ Verhcmdlungen des ersten internationalen Mathematiker-Kongresses in Ziirichy str. 91. i nast. (Lipsk 1898).

³

Są to właściwie wymierne funkcye, które dopiero przy a = (3 = co przestają być wymierne.

⁴

) C. Eunge wykazał, że suma nie przestanie być funkcyą analityczną, choć w rozważanym obszarze ustaje na pewnych liniach jednostajna zbieżność. (Zur Th. d. anal. Functionen. Acta math., T. 6. [1895], str. 245).

⁵

Weierstrass: „Abhandlungen aus der Functionenlehre“, str. 79. i nast.

⁶

) Funkcyę S(x‘) utworzoną w Pd. 4. tak elementarnym sposobem zawdzię-

⁷

Rozwinięcie A(x) podane w Pd. 8. utworzył pierwszy J. Tannery. Por. Weierstrass 1. c. str. 102.

⁸

Pod względem metody, jakiej użyto w Pd. 6, Pd. 7, Pd. 8. por. J. Puzyna „tiber eine methodische Bildung der analytischen Ausdrucke 'Lfv(x), 'Lfv(x, y) von con-stanten Werthen“. Monatshefte fur Math. und Pliys. T. V. str. 67.

W „Zeitschrift fur Math. und Phys.“ — Rocznik 22. (1877). str. 183. podaje także E. Schroder pewne wyrażenie A(x) o rozważanej tu własności.

⁹

D. Andre. „Sur la sommation des series“ Annales scientifiąues de Vecole normal superieure T. 12. (2°'a ser.) str. 191—198. — Sur les series ordonnees suwent puissances croissantes d’une mriable — tamże str. 287—300.

F(x) — ( 1 -j-x)²E(x).

Pd. 4. Za pomocą tej metody można będzie dojść do wzoru, jakim w art. 163. przedstawiono wydzielony szereg mod. m z danego szeregu:

^p(a;) = a₀-j- a^x -(- a₂x² -f ...

Kładąc wydzielony szereg:

«o+ am xm + «2m ®2m + - = F{x)

i biorąc ?P(a?) za f(x) mamy :

vn — 1, gdy n = 0 (mod. ni),

a, vn = O w każdym innym razie. Gdy więc:

r = E₀, rl = sl,

są wszystkimi pierwiastkami równania xJn — 1 = O , to możemy położyć :

e.B

Mamy tu więc: £r(«) = -

rH

obliczywszy spółczynniki 0, dostaniemy:

ftoO = (M ==•■ = Oem_l, 0 = 1; wszelkie inne Q będą zerami. Mieć więc będziemy:

F(x) = — c- b■ d- d-

[0 bardzo śmiałej metodzie Wrońskiego, rozwijania funkcyi na nieskończony szereg, postępujący podług danych innych funkcyj, pisał E. West: „Digression sur les series Journal de math. pures et appliguees. T. 7. (Ser. 8.) — 1881 - str. 111—128].

200. 0 nieskończonych sumach S (pc, y, z,...) = 2JPj.- (x, y, z₉...).

Rozumując zupełnie tak samo, jak w art. 197., dojdziemy do wniosku, że także i nieskończona suma S($, y,£,...) = 2Pk{x, y, 0,...) określa najogólniej w różnych swych zakresach jednostajnej zbieżności różne analityczne funkcye , a między określonemi w ten sposób funkcyami nie potrzebuje zachodzić żaden związek.

Przykładów takiej sumy dostarczy metoda, jakiej używaliśmy już w przytoczonym artykule, mówiąc o funkcyach jednej zmiennej.

Pd. 1. Rozważmy wymierną funkcyę:

—x.y

¹ + (»-y) + (^)²+

gdy |*.y|<l.

Wydzielony stąd szereg modd. m daje funkcyę :

E(x.y, m)

a z niej dostajemy:

1—{xy)m ’

lim R{x.y, m) =

i» gdy !*y|<i

0,    ,,    | x y |    1.

Dążąc do m= co po liczbach 2°, 2¹, 2², ... i postępując tak, jak w Pd. 6. — art. 197. — mieć będziemy:

m~ oo

Pd. 2. Funkcya:

xy

pry)²

l—{xyf

1-(xijP

f l, gdy \xy\<! 1°, n i*y|>¹-

— xy ’

R(x.y) = j

gdy z nią analogicznie, jak w Pd. 8. — art. 197. — postępować będziemy, da

początek wyrażeniu:

Gdy fi(x, y), /₂(x, y) są dwiema dowolnemi analitycznemi funkcyami, to

wyrażenie:

/i(*i §0 +    y)/a(»7 y)

określa w obszarze |ccy|<l funkcyę /1+/2) a w obszarze \xy\'^>l funkcyę /t—/₂.

Gdy się ograniczymy do zmiennych rzeczywistych, a, x, y określimy jako spółrzędne prostokątne układu osi, to wspomniane obszary oddzielać będzie od siebie hyperbola : xy = 1.

ROZDZIAŁ XVII.

Twierdzenie Laurenfa. Najogólniejszy podział jednoznacznych funkcyj analitycznych.

więc dla takich x wyraża się

to:

Mx■ y) = i

i + xy

2xy

2 (xy)²

— xy

które

201. Średnie wartości funkcji f(x) regularnej w pierścienia (9*i...9*»). Zasadnicze własności takicli średnich wartości. W art. 178. okazaliśmy, że — gdy się funkcya analityczna f(x) zachowuje regularnie w obszarze \x\<ill, szeregiem potęgowym c^Ą-c^Ą-

(1)

Umf(x, m)=c₀.

???^zoo

Średnia arytmetyczna mod. ni z wartości tej funkcyi (w obszarze \x\<^B) dąży tu zatem do granicy skończonej i oznaczonej c₀. Granica ta nie zależąc od x pozostaje tą samą — jaktośmy już i tam wspomnieli — na każdym okręgu (r), byleby tylko r<^JR było. Coś analogicznego znajdziemy i dla funkcyi analitycznej f(x), zakładając o niej, że się w pierścieniu JRi<^\x\<iR₂ zachowuje regularnie, a więc w otoczeniu dowolnego punktu x₀, leżącego wewnątrz tego pierścienia, daje się rozwinąć na szereg potęgowy:

(x-x₀)+t-^

Przyjmijmy Mi <^\x\=r<C.B₂, a obierając dowolny punkt: x=r.k

(na okręgu (r)), utwórzmy średnią arytmetyczną według modułu m=2^, (p^>0, całkowite) z wartości tej funkcyi, a więc:

f(ric) -\-f\rke) +... +/ (rksm~i)

(2)

/(*oH

f‘M

1!

(x-xoy-\-:..

|&| = 1.

(3)

/•(£, 2 p)

2i7i

gdzie e=cos ^

-f i sin

Grdy q będzie znowu dodatnią , całkowitą liczbą, a położymy 2q = mi: a więc 2p+‘¹==m.mi, to średnia arytmetyczna funkcyi f(x) o module m.mi będzie postaci:

f(x, 2^+⁹) =

(4)

f(rk) 4- f\rJcEx ) + •••+ f(rke ±m r'h~ *)

2 p+v

jeżeli:

(5)

si = cos

2jt

2v+'i

f i sin

2n

Połóżmy:

£ = COS

2>?2 n

\- i sin

2q2n

2 P+9

i napiszmy (3) w ten sposób:

2^+?

a więc =£₁2? — Ey™*

(6)

Zważywszy, że liczby:

2'b    li 4 ^

dają — gdy ft = v przybierają wartości:

, 1, 2,

? ? ²> —?

szereg liczb O, 1, 2, ..., 2p+ę — l=mm{ —1 bez powtarzania się, można będzie (4) znowu w ten sposób napisać:

2^—l=m— 1

y=0

2? — l=?w, —1

(?)

772 — 1 77/, -—1

/t=:0 f=0

Jestto suma o m.mj = 2/,+ff dodajnikacb.

Lecz w ten sam sposób można pojmować sumę (6), bo wskutek czynnika 2q każdy z m dodajników / (rke^ mi“) powtarza się

mi razy.

Podporządkujmyż mi dodajnikom f(rkelm^u+v), v—0,1,    — 1

sumy (7), ^ dodajników firkę sumy (6), to tworząc różnicę:

/(#, 2p+<J) — /‘(a¹, 2/J)

mieć będziemy:

977 — 1 777, — 1

Stąd wynika:

(A—O v=0

\f(x,2P+<ł)—f(x, 2?) | <

(8)

777 — 1 777,—1

Grdy d jest dowolnie małą dodatnią ilością, to różnicę: [ r7cei —rhsi    | =r. | Cjv— 11

można przy dostatecznie dnżem p, uczynić <Cd, gdyż — podług

(5) — £t będzie się wtedy tylko nieskończenie mało różnić od 1.

Że zaś f(x) jest funkcyą ciągłą w rozważanym pierścieniu, więc d można będzie obrać tak małe, że się

| f (rJc£i    —f{rks^n^) |

okaże mniejsze od dowolnie małej dodatniej innej ilości ói przy każdem v=0, 1,    2?—1.

Z tych powodów dostaniemy z (8) nierówność:

| f{x, 2p+⁽*)—f(x, 2?) | < dt gdy tylko p dostatecznie duże założymy.

Ta nierówność wkazuje , że granica:

lim f(x, 2p)=M{rk, f)

P— co

będzie skończoną i oznaczoną [art. 46., Pd. 3.], a miałaby zależeć jedynie od obranego początkowego punktu x=rk.

Lecz. wracając do definicyi (3), mamy :

f{x, 2p)—f\rJe, 2^)=/‘(rA*£, 2?)=...= f(ric£m—‘l, 2?)

wskutek y/łasności pierwotnego pierwiastka e i symetryczności formy (3) ze względu na £°, £i, £², ..., £m_1, co znaczy, że średnia arytmetyczna f[x, 2p) nie zmieni się, gdy w niej x oznacza którykolwiek z punktów:

(«)

rk, rJc£, rlc£², ..., rk£m~'.

Utwórzmy średnią arytmetyczną f(x\ 2?) znowu według modułu m=2P, ale o początkowym punkcie x‘=rk' różnym od x, |Aj'| = 1, to w tej średniej arytmetycznej może mieć x‘ znowu znaczenie któregokolwiek z punktów:

(P)

rk¹, rk*£, rk'£², ..., rk‘em~b

Lecz m możemy tak duże obrać, że między punktami (/?) znaleźć będzie można pewien punkt n. p. punkt rk‘£s taki, że — gdy ó jest dowolnie małą dodatnią ilością — to się okaże:

j rk—rk‘£s \ <Z ó.

W następstwie tego będzie dalej :

| rk£—rk‘£s¥X [ <Có, | rk£²—rk'fs+² [<C ó, ..., \rkem~~¹—rk‘£s~¹1 <Có. Utwórzmy różnicę :

777 — 1

f(x, 2p)-f(x‘, 2p)== ₉^2 [f(rk£^-f(rk‘£^+s)]

^ IA,~ O

(w której przez p+s, gdy już p-\-s^>m—1 jest, rozumiemy dodatnią resztę liczby p+s wynikającą z dzielenia przez m), to z niej wynika:

| f(x, 2p)—f{x>₁ 2p) |    | f(rk£t*)—f(rJc/£t*+s) |.

•m-—i

[A,= 0

Zakładając | f(‘rkef*)—f (rk‘&u+s) j <C dj, g=0,1, ..., m — 1, dostaniemy ostatecznie:

| f (x, 2P) —f(x‘, 2p) | < dA.

czyli, że:

Lecz d₁ ze wzrostem p dowolnie maleje, a stąd wynika, że: lim f(x, 2p)=lim f(x', 2P),

p-r co

p= 00

lim f(x, 2p)=Sjl(r, f)

P~ <»

, zależy tylko od r.

Pisząc (r, f) wyraźnie , mamy :

m—1

(9)

fjrlchj

SM (r, f)=lim

fl — U

Stąd:

p — oo

(10)

dSM{r,fj

(r/C£'W) £-w

7    7 . łt=0

=#. hm -—

= co

Gdy jednak 9Ji(r,/‘) nie zależy od k, nie może i

dr

dSM(r,f)

dr

zale-

żeć od li. Otóż drugi czynnik w (10) uważać trzeba za granicę średniej arytmetycznej z wartości funkcyi:

f'(r .z), z

na miejscach z—k, ks, ks², ...,ksm~I. Jako taki nie zależy on od i ma wartość skończoną i oznaczoną. Ze zaś cały iloczyn (10) nie ma zależeć od k, to ten drugi czynnik musi być =0, a temsamem i cały iloczyn :

dSM(r,f)

dr

Z tych wszystkich uwag wynika :

I.    Średnia na okręgu (r) z wartości funkcyi regularnej w pierścieniu (JRi...jR₂) jest skończoną i oznaczoną wielkością i nie zależy od wielkości (r), byleby tylko Mi<Zr<ZR₂ było.

Z definicyi (9) wynika dalej :

II.    Gdy f(x) = c. (p{x), a cp(x) jest wewnątrz pierścienia {Ri... JR₂) funkcyą zachowującą się regularnie, to

SDi(r, c. (p{x))—c. 9Ji(r, ęp(a?)), Ri<C.r <C_ R₂.

Niech:

to w takim razie :

/‘0*) = 9h + 0>2 + --“2 ^

A

9)i(r,/,(.r))=2R(r, 2(pz)=2Wł(r, gp*)

co znowu jest bezpośredniem następstwem definicyi (9), a co znaczy :

III. Średnia na okręgu (r) z funkcyi przedstawiającej się jako suma skończonej lub nawet nieskończonej liczby funkcyj cpz regularnych w pierścieniu (Ri... R₂) jest równa sumie średnich z wszystkich swych dodajników (pz-

202. Twierdzenie Laurenfa. Po tern określeniu i zestawieniu

własności średniej: 9H(r,/'), przejdźmy do utworzenia arytmetycznego wyrażenia, któreby właśnie funkcyę f(x) regularną we wszystkich punktach wewnątrz pierścienia (Ri... R₂) przedstawiać miało.

W tym celu zauważmy dwie dodatnie, rzeczywiste ilości r₁ <^ r₂ takie , że :

(1)

Ri <C ri <C t₂ <C R%

i wybierzmy pewien oznaczony punkt x₀ o bezwzględnej wartości #₀| spełniającej nierówność:

*i<l*ol<*v

Dana funkcya f(x) będzie się oczywiście także i w obszarze:

r, <[ | x 1 <C r₂

zachowywać regularnie. Lecz takiego samego zachowania się będzie w tym obszarze (3) także i funkcya :

(2)

(3)

(4)

(p(x)=x.

f{x)—f\x o)

X—Xq

Ze się tak rzecz ma w każdym punkcie x'4=    obszaru (8)

nie ulega wątpliwości. W otoczeniu zaś samego punktu x₀ mamy:

00

f{vK* o)

(x—x₀y

a więc

v= 1

f{V\X o)

(x—x₀)

co również na regularność funkcyi cp{x) w punkcie x₀ wskazuje.

Obszar (3) jest pierścieniem (rx...r₂) wraz z ograniczającymi go okręgami (r^), (r₂), a że na nich cp(x) jest również regularną, więc mieć będziemy:

czyli:

a»(

r₂,x.

f{x)—f\x o)

czyli wreszcie:

x—x₀

rux.

x—x₀

(5)

r*’x

-x₀

xf(x)

x—x₀

Lecz — gdy |x\=r₂ >■ \x₀\ stronie w (5) — to :

j—/■(*») (

—)■

X—x₀)

a takie x mamy po pierwszej

ri

X₀

x—x₀

i¹- )

—1-1---h

/y»    2

—2"4- ...

X²

a stąd wynika , że:

(a)

Tl

(r„—)

{ 2,x—x₀)

=lim

pzz: oo

Po drugiej stronie w (5) mamy \x\=ri<i\x(jJ, a więc:

a:

a;²

/y*_/y

»a/    %Aj a

/y* 2

JU ₀

Stąd:

(6)

postać:

2»)=0.

*1/    «A/Q /    p ₌ 00

Wskutek wartości (a), (S) przybierze relacya (5) teraz taką

3»(

ri

(6)

W pierwszem mamy | a: |=r₂>.( a:₀), a więc:

X f(x)

(7)

^v+-)

- 1 f(x)

00

=2    /"(#) • x~'x) xo'L [^w< H-> HI. art. poprz.]

A,—0

xo

W drugiem jest przeciwnie j x \ =ri <. |a:₀|, a więc:

(r<’^Sh m (r"-f(x)x-\-f{-x)x*-k

00

=2 (L, f\x) • «*) •

/l^O

W miejsce więc (6) mieć teraz będziemy:

oo

oo

.2=0

.2—0

Lecz ri możemy dowolnie zbliżyć do Ri, a r₂ dowolnie do R₂) x₀ wtedy będzie dowolnym punktem x w pierścieniu (Rl...R₂).

Dalej — wskutek niezależności średnich 9Jl od ri: r₂ — można w (7) zamiast kół (r₁), (r₂) użyć w obydwu jednego wspólnego koła (r). "Wskutek tego dostaniemy (7) w postaci:

+ *>

-f- oo

(8)

f(x) = 2    • x~x) xz= 2

Z —- 00

jeżeli W(r,f(x).x~x)==az, a

Z — — 00

RA < | x j <C R₂

+ ®>

w którym-to obszarze jest szereg    a^xz zbieżnym. W (8) mamy

Z— — co

już żądane arytmetyczne wyrażenie przedstawiające funkcyę f(x) w pierścieniu (Ri...R₂), a stąd twierdzenie Laurenfa*).

I. Funhcya analityczna f(x) zachowująca się regularnie wewnątrz pierścienia (Ri... R₂) rozwija się na szereg potęgowy F(aj zbieżny wewnątrz tego pierścienia.

Grdy pierścień (Rl...R₂) będzie miał punkt c O za środek, to formę (8) zastąpi :

+ °°

(9)

f{x)= ^ c'“ (%—cY-.

Z=—

Połóżmy:

co

00

to mieć będziemy:

(10)

2 c*(x—c)-*=%iCj^\,'^iCji(x—c)*==%₂(x--ć)

Jl—1    ŹI-zaO

*) Por. sprawozdanie Caudiy’ego o pracy Laurenfa p. t. „Extension du theoreme de M. Cauchy relatif d la comergence du developpement d’une fonction suwani les puissances ascendantes de la rariable x“. Comptes Rendus T. 17. str.

938. (1843).

Por. także. Mittag-Łeffl er „Demonstration nourelle du theoreme de Lau-reni“ Acta math. T. 4. str. 80.

Schaeffer „Beweis des Laurent’schen Satzes“ Acta mathematica. T. 4. str.

375. (1887).

W tekście obrano najprostszy elementarny dowód, jaki dotychczas istnieje, a który zawdzięczamy A. P r i n g sh e i m’ o wi. Podał go w rozprawie „Uber Yereinfachungen in der elementaren Theorie der analytischen JEunctionenu — Mathema-tische Annalen T. 47. str. 121. (1896).

gdzie przytem dla \x—c j > Bi jest szereg ^ a dla \x — c) <Z R2 jest szereg zbieżnym, jakkolwiek te zakresy nie potrzebują być ich prawdziwymi zakresami zbieżności, a więc f(x) może się jeszcze zachowywać regularnie i na punktach koła (i^) i na punktach koła (R₂).

Przyjmijmy w szczególności Rl =0 i załóżmy, że się f(x) jeszcze i w punkcie c regularnie zachowuje. W takim razie musi

^ (—-—)=0 a funkcya f(x) wyraża się wprost \ x—cf

byó identycznie

szeregiem potęgowym ^3₂(#—c), który wewnątrz (R₂) jest niezawodnie zbieżny.

Grdy naodwrót przy tworzeniu sumy (10) wypadnie iden-

to f(x) jest regularnego zachowania się

tycznie

nietylko w otoczeniu punktu c, ale i w samym punkcie c.

203. Punkta nieskończonośćiowe i istotnie osobliwe. Przypadek, w którym 1^=0, a w punkcie x—c funkcya f(x) nie zachowuje się już regularnie jest bardzo doniosłego znaczenia. Dla oto

nie

czenia punktu c nie istnieje szereg potęgowy, a więc

\ 00 — c I

ma byó identycznie zerem. Lecz

ma byó zbieżnym szeregiem dla \x— cj(>0, a to wskazuje, że jest bezustannie zbież

nym szeregiem argumentu —, albo (w szczególności) funkcyą

00 — c

całkowitą wymierną tego argumentu.

a)

Połóźmyż w tym razie ^ = G    to mamy tu :

gdzie ^5₂(a;—c) ma promień zbieżności R2y który — tak naprzód zakładamy — nie ma byó nieskończenie mały.

Taki punkt c jest oczywiście osobliwym funkcyi f(x), a poza nim w pewnem skończonem otoczeniu (R₂) zachowuje się f(x) już regularnie.

Punkt c, jeżeli G jest całkowitą wymierną funkcyą argumentu

—, nazywa się nieistotnie szczególnym 00—c

albo n i e s k o ń-

czonościowym punktem (we Francyi zwą go biegunem (pole).

mentu

W razie gdy G jest bezustannie zbieżnym szeregiem argu-—, punkt c nazywamy istotnie osobliwym.

Gdy w pierwszym razie jest:

(2)

G=*c‘m(x— ć)-mĄ-c‘m+i(%— ć)-m+i + ... + c\(x— c)⁻¹,

to widocznie (x—ć)mf(x) wyrazi się zwykłym już szeregiem potęgowym o wolnym wyrazie c'TO=j= 0. Znajdujemy więc tu w szeregu liczb 1, 2, 8, ... taką liczbę skończoną m, że iloczyn (x—c)mf(x) dla x=c ma wartość skończoną i różną od zera. Taki punkt c nazywamy dokładniej nieskończoność i owym m -krotnym, albo stopnia m. O samej funkcyi f(x) mówimy, że się ona w punkcie c staje nieskończonością m-krotnie (albo w mtym stopniu).

W drugim razie, kiedy G jest bezustannie zbieżnym szeregiem

argumentu -, liczby m o wyrażonej wyżej własności nie znaj-

OC C

dziemy.

Gdy f(x) jest funkcyą jednoznaczną, to i w otoczeniu punktu c jest taką, a temu już zadość czyni forma (1). Dlatego-to w razie jednoznaczności funkcyi f(x) innych punktów c o jej nie-regularnem w nich — a regularnem w ich otoczeniu — zachowaniu się, jak te, któreśmy wyżej określili, z pewnością nie znajdziemy.

Z tych uwag wynika:

I. Dla jednoznacznej funkcyi f(x), która się w skończonem naj-lliższem otoczeniu punktu c zachowuje regularnie, ale w samym punkcie c już jest nieregularną, jest punkt c albo punktem nieistotnie osobliwym, albo istotnie osobliwym [tertium non datur].

Gdy f(x) posiada punkt c, jako nieskończonościowy m%° stop-

nia, to odwrotność:

{x—ć)mf(x)

jako odwrotność szeregu potęgowego o wolnym wyrazie ^=0, da się rozwinąć na szereg potęgowy ^(.t—c), który również posiadać będzie wolny wyraz rjrO.

Z równania :

dostajemy:

{x—c)mf{x) -L-=(x-c)mę$(x—c)

34

Teorya funkcyj.

a stąd wynika :

II. Każdy punkt nieskończonościowy mg0 stopnia funkcyi f\x) jest zerowym tegoż stopnia m dla odicrotności —^ - .

t \x)

To twierdzenie daje się oczywiście także odwrócić, tak, że punkt nieskończonościowy ms° stopnia w ten sposób można zdefiniować:

III. Gdy [/'(ic)]⁻¹ staje się w punkcie c zerem m-krotnie, to c jest punktem nieskończonościowym stopnia m funkcyi f(x).

204. Zachowanie się funkcyi w otoczeniu punktu istotnie osobliwego. Punkt istotnie osobliwy mamy dotąd tylko formalnie określony, jako taki, w otoczeniu którego:

+ 00

(1)

f\x) = G    + $2 o-C) =2 C^X~CY

Z= — x>

z bezustannie zbieżnym szeregiem G. Promień zbieżności JR₂ szeregu    —c) nie ma być dowolnie mały. Aby zachowanie się

funkcyi w takim punkcie poznać, okażemy naprzód:

I. W pewnem dowolnie molem otoczeniu punktu c przyjmuje f(x) — między innemi — także i wartości dowolnie wielkie.

Niech \x—c\=q<^R₂, a \f(x)\ na kole (q) niech posiada największą wartość g. Wtedy [art. 163.]:

9>\cx\ę*'₁ A— go ...-{-go .

Zauważmy ujemne 2 =—Z, to zmniejszając dowolnie g, możemy

-i

I c-i\Q

uczynić większem od dowolnie dużej dodatniej ilości g±. Mamy więc:

g>\c-*\ę-l>g\>

przez co już twierdzenie I. udowodniono.

Gdy y jest znowu najmniejszą wartością |/'(#)] na kole (ę) to mamy:

y <C\cz\q*,    i=~-co ... + go .

Gdy $P₂(#—c) nie jest identycznie zerem, to przy każdem skończonem /f>0 możemy q=\x—c\ obrać tak małe, że |okaże się mniejsze od obranej, dowolnie małej, dodatniej ilości y₁.

Mamy więc:

y<\cz\ę>z<y±-

Przyjmijmy, że ?$₂(x — c) jest identycznie =0. Wiemy [por. uwagę w art. 181.], że w szeregu G dążą spółczynniki jego do granicy lim =0.

Niechżeż q będzie dowolnie małą ilością >>0, to można będzie zawsze obrać ujemne X=—l, o tak wielkiej bezwzględnej wartości, że iloczyn \c_i\q~¹ okaże się mniejszem od dowolnie małej obranej dodatniej ilości y₁. Mamy więc i tu:

a stąd wynika :

II. Funkcya f(x) w dowolnie modem otoczeniu punktu c przyjmuje między innemi także i wartości dowolnie zbliżające się do zera.

y<\c-i\Q~l<yx,

Funkcya f(x)—A, gdzie A jest dowolną, skończoną wielkością,¹) będzie w otoczeniu punktu c miała również własność, określoną w tw. II.

stąd znowu wynika :

III. Funkcya f(x) w pewnem dostatecznie matem otoczeniu punktu c przybliża się dowolnie także do każdej dowolnie obranej skończonej wartości.

Własności określone w tw. I., II., III. nazwiemy charaktery-stycznemi dla punktu istotnie osobliwego.

Lecz w szczególnych wypadkach dołącza się do tych trzech własności jeszcze własność nowa.

1°. Przyjmijmy, że jednoznaczna funkcya f(x) przybiera na nieskończonej — ale nie wszędzie gęstej — mnogości miejsc tę samą skończoną wartość A‘, |yl'|!>0.

Punkta skupienia c, c‘, c‘\ ... tych miejsc nie mogą należeć do punktów regularnego zachowania się funkcyi, gdyż (według art. 182., tw. II.) żaden szereg potęgowy nie może przybierać tej samej wartości na nieskończenie wielu miejscach we wnętrzu swego zakresu zbieżności. Jeden taki punkt weźmy pod uwagę. Nie może on być ani miejscem regularnego zachowania się funkcyi, ani jej miejscem nieskończonościowem. Musi więc być — według właściwości funkcyi jednoznacznej — jej punktem istotnie osobliwym. Funkcya f(x), posiadając tu trzy charakterystyczne własności — przybiera jeszcze w nieskończenie małem otoczeniu punktu c wartość A‘ nieskończenie wiele razy.

II⁰. Może się zdarzyć, że punkt c jest miejscem skupienia kilku różnych mnogości miejsc M: Mj M‘j ... (nie mających miejsc wspólnych), a na nich f{x) przybiera odpowiednio wartości skończone: A, Aj, A", ... Punkt c jest oczywiście i tu istotnie osobliwym, a funkcya w nieskończenie małem jego otoczeniu przybiera na nieskończenie wielu punktach już-to tęsamą wartość A, już-to tę samą wartość A‘ i t. d.

Rozbierzemy teraz taki wypadek , w którym forma (1), art.

203., już nie istnieje, jakkolwiek punkt c do istotnie osobliwych zaliczyć trzeba.

Oto przyjmijmy, że f(x) będąc jednoznaczną funkcyą posiada nieskończenie wiele (ale znowu nie wszędzie gęsto rozłożonych) punktów osobliwych Jeden z ich punktów skupienia — nazywając go c — weźmy pod uwagę. Z punktu c jako środka można będzie zatoczyć nieskończenie dużo, ciągle się zmniejszających i zwężających pierścieni a, (3, y, ...,

(3

(fig. 53.), o tej własności, że we wnętrzach ich można będzie f(x) wyrażać formami:

Fig. 53.

W nieskończenie już małem i wąskim pierścieniu co przedstawia się funkcya formą:

(2)

%(—)

\x— c)

w której szereg

jest już bardzo mało różny od szeregu

szereg ^^(a?—c)

bezustannie zbieżnego o argumencie (x—c) ma nieskończenie mały zakres zbieżności. Do funkcyi przedstawionej formą (2) można zastosować wszystkie uwagi, na podstawie których doszliśmy do twierdzeń I., II., a potem do tw. III., a więc funkcya f{x) posiada tu własności charakteryzujące jej punkt istotnie osobliwy i dlatego punkt c i tu do takich zaliczyć trzeba, jakkolwiek ta funkcya nie posiada w bezpośedniem otoczeniu punktu c formy (1), art. 203., [W (2) dochodzimy do pierścienia, okalającego bezpośrednio punkt c, gdy w = oo , ale wtedy    — c) jest rozbieżnym szeregiem.

Gdy miejsca są bez wyjątku nieskończonościowemi, to f{x) — posiadając własności charakterystyczne — staje się jeszcze w otoczeniu punktu c nieskończenie wiele razy nieskończonością.

Z tych wszystkich uwag wynika :

IV. Czemkolwiekbądź spowodowany punkt istotnie osobliwy c — [czy-to formą funkcyi w jego otoczeniu, czy skupieniem nieskończonej mnogości miejsc, dających tę samą wartość funkcyi =0 lub =j=0, jej miejsc nieskończonościowych, lub wreszcie, bez różnicy, jej miejsc osobliwych] — posiada dwie, nigdy niezawodzące deftnicye a to: 1) W szeregu liczb 1, 2, 3, ... niema liczby skończonej m, któraby dała {(x—c)mf {x)\ o wartości skończonej i różnej od zera. 2) W otoczeniu punktu c funkcya swojemi wartościami do każdej najdowolniejszej wartości dowolnie przybliżyć się może.

x~c

Z tej drugiej definicyi możemy odrazu wywnioskować:

gdzie A jest ilością skończoną i ró-

f(x) ’ f{x)-A

Y. Punkt istotnie osobliwy funkcyi f[x) będzie również takim punktem i dla funkcyj ~ żną od zera ²)

Uwaga. Gdy ^>0, Ri<It.₂, a funkcya w pierścieniu (B₁...R₂) ma postać:

(8)

ale już dla wszystkich x, leżących w kole (Ą), nie można funkcyi przedstawić żadną taką formą, jak (3), to wtedy funkcya f(x) posiada w kole (Ą)

-V

takie właściwości: albo 1° ma próżnię PQ, w której punkt c (choćby na jej ograniczeniu) leży, a która ograniczeniem swem przynajmniej w jednym punkcie dotyka obwodu (f?i) [fig. 54.], albo 2°) przez punkt c przechodzi linia pq o wszędzie gęstej mnogości punktów szczególnych, zawarta całkowicie w    a opierająca się przynajmniej jednym

(Hz)

swym końcem o okręg (P,).

Fig. 54.

Gdy taka linia, przechodząca przez punkt c, albo próżnia mieszcząca w sobie ten punkt, rozciąga się aż w nieskończoność, to funkcyi f(cc) w żaden sposób żadną taką formą, jak (3), nie można będzie przedstawić.

Gdy w wszystkich tych powyższych wypadkach punkt c nie leży wewnątrz próżni, ale: albo na jej ograniczeniu, albo na linii pq, to jest istotnie szczególnym.

205. Punkt osobliwy: oc = <x>. Z art. 33., tw. I. wiadomo, że gdy c=go , to za (x—ć)c = <x—(x—oo ) położyć trzeba —. Gdy więc f(x)

CC

ma byc funkcyą regularną, w otoczeniu punktu w nieskończoności w samym punkcie x=co , to jej formą dla tego otoczenia będzie :

(1)

f(%)—c₀ + ci—+c₂^ + ...=ty

a w obszarze zbieżności \x\^>r tego szeregu jest f(x) regularną. Obszar \x\^>r przedstawia tu otoczenie punktu x=cc , co zgodne jest z tern, co się o tern w art. 38., tw. II. powiedziało, że na otoczenie takie składają się wszystkie punkta, leżące poza pewnem, dostatecznie duźem kołem, mającem środek w x=0. Wielkość tego koła jest tu tern określona, że — jeżeli funkcya w jego wnętrzu jeszcze istnieje — to w tern wnętrzu mają się mieścić wszystkie jej punkta szczególne.

Jeżeli f(x) ma mieć punkt szczególny w nieskończoności, ale w bezpośredniem jego otoczeniu zachowuje się regularnie, to w tern otoczeniu przedstawimy funkcyę, gdy w formie:

za

(x—c) położymy (x—co)=—. Mieć więc będziemy:

CO

(2)

f(x)=G(x)+i

z obszarem zbieżności: r |# <Coo

jeżeli

pozostaje zbieżne

dla \x\^>r (6r zaś zawsze dla j#|<Coo)-

Według tego, czy Cr jest funkcyą wymierną całkowitą, czy też bezustannie zbieżnym szeregiem argumentu x, dostajemy w x=c& , albo punkt nieskończonościowy, albo też i s t o t n i e szczególny.

Połóżmy w pierwszym razie wyraźnie:

f(x)=amxm + am_₁£cw-¹ +... -f- axx c₀ + c₄ ^+c₂^ +...,

to stąd dostajemy:

(3)

1 N , 1 1

— f(x) = am+—+...+«! —_x

a to wskazuje — podług (1) — że już ten iloczyn zachowuje się regularnie w nieskończoności (i jest skończonej wartości, różnej od zera w x=co). Taki punkt nieskończonościowy nazywamy i tu m%° stopnia.

Gdy przeciwnie 6r będzie bezustannie zbieżnym szeregiem, to liczby m, określonej równaniem (3), nie znajdziemy.

Punkt x=ao jest wtedy istotnie szczególnym; może on być przy tern punktem skupienia jednej lub kilku mnogości miejsc, na której się ta sama wartość funkcyi powtarza.

Takiem samem wreszcie rozumowaniem, co o punkcie c wywnioskujemy i tu, że punkt x=<x> będąc punktem skupienia nieskończenie wielu punktów szczególnych, jest istotnie szczególnym, a i tu liczba m, dająca regularne rozwinięcie (3), nie istnieje. Z tych uwag wynika :

I. Gdy x=qtj nie jest regularnym punktem funkcyi jednoznacznej f (x), ani nie leży iv jej próżni, to jest: albo jej punktem nieskończonoś-ciowym, albo istotnie szczególnym. Pierwszym jest wtedy, gdy istnieje liczba całkowita niy>O, dająca w iloczynie x~mf{x) wartość skończoną i różną od zera — punktem zaś drugim, gdy taka liczba m nie istnieje. Co się tyczy zachowania się funkcyi w dowolnej bliskości punktu istotnie szczególnego x=co, to jest ono takie same, jak w otoczeniu takiegoż punktu, leżącego w skończoności.

iden-

Uwagi godnym jest wypadek, kiedy w (1) mamy ^ j tycznie =0. Wtedy widocznie funkcya :

f\x)=G{x)

i jest albo wymierną całkowitą, albo szeregiem bezustannie zbieżnym.

Pierwsza z nich ma według (3) i według tw. I. punkt nie-skończonościowy m%⁰ stopnia, jeżeli G=C₀xm-\- Cixm~¹ + ...+ Cm (por. także art. 51., tw. V.).

Druga ma znowu w a?=oo punkt istotnie osobliwy. Z tego dowiadujemy się przedewszystkiem, że nietylko szeregi o skończonym zakresie zbieżności, ale także szeregi bezustannie zbieżne posiadają (na okręgu zbieżności) punkt osobliwy.

Punkta szczególne są więc tak konieczną właściwością funkcyj analitycznych (jednoznacznych i wieloznacznych), że możemy wypowiedzieć bardzo ważne w następstwie twierdzenie :

II. Funkcya analityczna nie posiadająca ani jednego punktu osobliwego musi się zredukować do stałej ilości.

Wiadomo dalej , że żaden szereg potęgowy nie może posiadać w swym zakresie zbieżności stałej wartości c na wszystkich punktach pewnego — choćby bardzo małego continuum. Z tego powodu wnioskujemy:

III. Taka analityczna funkcya, która przybiera statecznie tę samą wartość c w doieolnie małym zwartym obszarze (choćby na wszystkich punktach bardzo małego odcinka) swego argumentu x redukuje się do stałej c.

206. Charakterystyczne własności funkcyi wymiernej. Funkcya przestępna. Wróćmy do bezustannie zbieżnego szeregu. Jest on dla wszelkich skończonych x regularnym , ma więc w punktach leżących w skończoności wszystkie własności funkcyi wymiernej całkowitej. Jedynie w nieskończoności zachodzi między nim a funkcyą wymierną całkowitą różnica. Ma on tam bowiem punkt istotnie szczególny, podczas gdy funkcya wymierna całkowita ma tam tylko punkt nieskończonościowy. Z tego powodu nazywać będziemy każdą funkcyę analityczną określoną szeregiem bezustannie zbieżnym (a więc jednoznaczną) całkowitą przestępną funkcyą.

Przy tej sposobności wspomnieć trzeba , że funkcyę określoną sumą :

e.M+Ą^)

w której Gri, 6r₂ są szeregami bezustannie zbieżnymi nazywają całkowitą przestępną funkcyą w szerszem znaczeniu³). Jest ona wszędzie regularną z wyjątkiem punktów x=0, x=cc , które są jej miejscami istotnie szczególnemi.

Istnienie tylko jednego punktu szczególnego i to nieskończo-nościowego w x—co jest tak charakterystyczną własnością funkcyi wymiernej całkowitej , że da się udowodnić :

I.    Funkcya posiadająca tylko jeden punkt osobliwy i to nieskończonościowy w x—co jest wymierną całkowitą funkcyą.

Wskutek bowiem regularności funkcyi dla wszelkich skończonych x można ją w otoczeniu punktu #=0 przedstawić szeregiem zbieżnym dla wszelkich skończonych x. Lecz ten szereg nie może być bezustannie zbieżnym, bo wtedy funkcya posiadałaby w x= co punkt istotnie osobliwy. Musi się więc ten szereg redukować do funkcyi wymiernej całkowitej , bo ta jedna pozostaje tu możliwość.

Analogicznie łatwo udowodnić:

II.    Funkcya posiadająca jedyny tylko punkt szczególny i to istotnie osobliwy iv x=co jest funkcyą przestępną całkoiuitą.

Nie tylko funkcye wymierne całkowite, ale także i fnnkcye wymierne ułamkowe pozbawione są — jak nam to dobrze wiadomo [art. 61.] — punktów istotnie osobliwych, a posiadają skończoną tylko ilość punktów nieskończonościowych.

Przyjmijmy naodwrót, że dana jest funkcya jednoznaczna f(x) bez punktów istotnie szczególnych, a z miejscami nieskończonościowemi:

^1 ) ^2) •••? ^» a o stopniach :

(o)

leżącemi w skończoności

vu v₂, ..., vn.

[Ta okoliczność, że f(oc) nie ma posiadać punktów istotnie szczególnych wyklucza możliwość, aby miejsc (a) było nieskończenie dużo].

Zauważmy iloczyn:

f(x) (x—bx)vi (x—&₂)v-\.. (x—bn)v”.

Jest on widocznie już regularnym i w punktach bl, &₂,..., a że dla skończonych x, różnych od bi: &₂, ..., bn zachowuje się także regularnie, więc przedstawia funkcyę regularną w całym obszarze skończonych x, a bez punktu istotnie osobliwego (wskutek założenia) nawet w nieskończoności. Taka funkcya może być tylko wymierną całkowitą y(x), [w szczególności może być ilością stałą], a stąd wynika:

f{x)

g{x)

(x — bi)v^ (x—b₂)v>... (x—bn)Vn ’

Mamy więc twierdzenie:

III.    Każda jednoznaczna analityczna funkcya f(x) nie posiadająca ivcale punktów istotnie osobliwych jest wymierną funkcyą (całkowitą, lub ułamkową).

To twierdzenie wysłowiają jeszcze inaczej, a mianowicie:

IV.    Funkcya analityczna posiadająca charakter funkcyi wymiernej, jest wymierną.

Ta okoliczność jest niesłychanie ważna.

Z niej bowiem wynika, że icszystkie jednoznaczne analityczne funkcye podzielić można na: 1) funkcye wymierne i 2) funkcye nieposia-dające charakteru funkcyj wymiernych, mające zatem przynajmniej jeden punkt istotnie osoblmy, zwane powszechnie funiccyami przestępnemi.

207. Charakterystyka funkcyi podług jej wartości. Każda funkcya wymierna przybiera — jak wiadomo i wartość zero i wartość nieskończoną. Co się tyczy funkcyi przestępnej jednoznacznej /⁴(#), to — nie wdając się w rozbiór jej zachowania się w regularnym zakresie i nie badając, czy posiada punkta nie-skończonościowe, lub nie — znajdziemy w otoczeniu każdego jej punktu istotnie szczególnego i wartość |/‘(a:)| = oo i wartość \ =0. Z tego wynika :

I.    Każda jednoznaczna analityczna funkcya musi w skończoności lub nieskończoności stawać się, zerem.

II.    Każda jednoznaczna analityczna funkcya musi w skończoności, lub nieskończoności stawać się nieskończonością⁴).

III.    Funkcya analityczna jednoznaczna nie posiadająca wartości zero, albo wartości go w punkcie x leżącym tu skończoności lub nieskończoności, nie istnieje.

Zauważmy funkcyę cp(x)=f(x) — c: gdzie c dowolną skończoną jest wielkością =f=0. Do cp{x) odnosi się również twierdzenie I., a z tego wynika :

raz

IV.    Każda jednoznaczna analityczna funkcya musi przynajmniej czy to dla skończonego x, czy też dla x=co , przybierać dowolnie

daną wartość.

208. Punkta istotnie i nieistotnie osobliwe analitycznych funkcyj wielu zmiennych. Definicye i twierdzenia art. poprzedzających dadzą się w ten sposób przenieść do teoryi funkcyj analitycznych wielu zmiennych⁵).

Grdy (a1? a₂, a₃ ... aM), jest miejscem o wszystkich spółrzęd-nych skończonych w obszarze n zmiennych xu #₂,%n, a w jego otoczeniu pewna analityczna funkcya f(xi,x₂,...,xn) daje się rozwinąć na szereg potęgowy :

(1)

zbieżny w obszarze :

xn—an | <rn

(2)

xi—ai\<ru \x₂-a₂\Cr2 to mówimy, że miejsce (a1?o₂, ..., an) wraz z swem otoczeniem (2) należy do regularnego zakresu funkcyi.

Gdy niektóre, lnb wszystkie ze spółrzędnych a±, a₂,an są nieskończonościami a więc n. p. a₁==a₂ = ...=as=ao , s<^n, to regularne zachowanie się funkcyi na takiem miejscu określi rozwinięcie:

1

, #S+1 ńs+1 } •••}

Jys

(3)

\«1 ^2

xn an

o pewnym zakresie zbieżności:

I *®1 I ^ 5 i *^2 I Q21 I I ^    5

3/j-j-i    |    ^"s-J-1 5 •••} | Xn Un\<^ł’«•

Jeżeli przeciwnie rozwinięciem (1) lub (3) niemożna określić funkcyi, to miej sce :

(4)

(«)

(^17 ^*2? ”⁻7

a względnie:

(5)

(go , oo , go, as+1, a„), s<n

nazywamy osobliwem.

A.    Miejsce szczególne (a) nazywamy nieistotnie szczególnem, jeżeli można znaleśó pewien szereg potęgowy:

'Pl 0^1    7 • • • ? Xn

o tej własności, że ^(0, 0, ..., 0)=0 i że iloczyn:

'PlO^'1    ^17 •••) Xn Ct>n)•/(*^i,    ? *'*7 *®»)

okazuje się szeregiem potęgowym o samych dodatnich wykładnikach argumentów [xi — «■/, ..., (xn — an).

B.    Analogicznie miejsce (b) uznajemy za nieistotnie szczególne, jeżeli można znaleśó szereg potęgowy:

*'(h

, xsą.\ as+i

Jss

o tej własności, że ^(0, 0, ..., 0)=0 i że iloczyn:

, ...,    , Xs+\ (Xsą_i ,...,

J/s

okazuje się szeregiem potęgowym o samych wykładnikach dodatnich w argumentach:

oo fi    an

Xn ttfi

■^2 7 •"?    7

J (^S+l    •

Jbs

(Xn &n) 7 S Si.

W szczególności mogą już szeregi ^ o skończonej formie , a więc całkowite wymierne funkcye dopełnić żądanego warunku.

Gdy przeciwnie nie można w otoczeniu miejsca {a) lub (&) znaleśó szeregu o określonej własności, to takie miejsca (a), (b) nazywamy istotnie szczególnemi, albo istotnie osobliwemi.

as/

209. Punkta osobliwe funkcyi wymiernej całkowitej lub ułamkowej wielu zmiennych. Po tych definicyach zauważmy przede-

wszystkiem wymierną całkowitą funkcyę G(x₁,x₂,...,xn). Każdy punkt (a1} a2J ..., an), leżący w skończoności, jest niezawodnie jej punktem regularnym [art. 71.]. Weżmyż pod uwagę miejsce (b). Przeprowadziwszy G do otoczenia miejsca x₁=0, x₂=0, ..., ^=0, xs+i=as±i, ..., xn=an, dostaniemy:

G{cci , x₂, t..j xj) G^(x^ , ..., 3^5 ,    ,...,    ₇

gdzie 6rt oznacza znowu funkcyę wymierną.

Przyjmijmy, że ćr, a więc i 6^ jest w zmiennyck xi, x2: ..., a?,, odpowiednio stopni |W₂, p,s i zauważmy iloczyn:

s ,

.(7

Xi^X₂^ ... £C/*S

to widocznie będzie on postaci:

xi^x₂^... X/ls

gJ—

\xt

a więc funkcyą całkowitą wymierną argumentów:

a? i

,    {—1 ttg-j-i, ..., Xn dfi'

x$

Stąd wynika — podług (_B), art. poprz. — że miejsce (b) jest miejscem nieistotnie szczególnem funkcyi G i mamy twierdzenie:

I. Każda funkcya wymierna całkowita G(x±, x₂,..., xn) posiada jedynie miejsca nieistotnie szczególne. Są-to miejsca o niektórych lub wszystkich spółrzędnych nieskończonych. Skończone spółrzędne w takich miejscach mogą mieć dowolne wartości.

Funkcya ułamkowa wymierna:

^(X\) X₂, ..., Xfjj

F(xi:x₂,..., xn)

G (Xj , x₂,..., Xji)

w której F, G przyjmujemy, niewspółmiernemi, będzie w skończoności na każdem miejscu (a), dającem GdjpO regularną [art. 84.] Każdy punkt (a), [art. poprzedź.], na którym G=0 będzie jej punktem nieistotnie szczególnym, gdyż iloczyn:

G(tux₂, ...,x„)u(xi, x₂,..., xn)=F(xi,x₂,..., xn) jest już w tym punkcie regularnego zachowania się.

Zbadajmy punkt (&). Przyjmijmy, że w zmiennych xifx₂, ..., xs jest licznik F odpowiednio stopni:

Wi, m₂,

*i

mianownik G odpowiednio stopni:

^1 ? ^21 • • • ^s•

«===!, 2,

Większy — (nie mniejszy) — ze stopni ma, n ., s, nazwijmy pa i połóżmy:

(1)

xi^x₂^ ... Xj*»

.F

Xi^X₂^... X,V*

gdzie Fit G± są przeprowadzeniami funkcyj F: G do miejsca:

Xn⁼⁼Ct'n j

x₁=x₂ = ...=*Xs=O, Xs+\=as+i to teraz z formy (1) możemy dojść do takich wniosków:

1°. Grdy n„. ma dla a=l, 2, ..., s i gdy mianownik ćr zawierał

dodajnik:

(2)

to

=A+aj

Xi

ot

X^X%^...XS/A'S

Połóżmy —=w₁, —==m₂, •••?

7 ^5-j-l    ^s-f-1 7

xs

——, to z (1) dostaniemy:

(3)

M_ F₂(u^u₂,..., A+G₂(uuii₂, ...,

W$ j Xs+1    «,+l i 3-"n Q"n)

^s-J-1 j • ••} ^re Ww)

gdzie F₂ i 6r₂ są całkowitemi wymiernemi funkcyami. Ponieważ MrfzO, więc z (3) wyniknie :

U = ip (W^, W₂, ...; Ws j

Wre)

Wre^ ,

7 *^s~f-1    ^5+1 j •••j&n

Xs

a to wskazuje — że miejsce (b) jest w tym razie regularnem.

Przyjmijmy przeciwnie, że G nie zawiera dodajnika (2). W takim razie miejsce (b) będzie jnż miejscem szczególnem i to: nieistotnie szczególnem. Mamy więc twierdzenie :

II. Funkcya wymierna ułamkowa wielu zmiennych posiada z miejsc osobliwych tylko nieistotnie osobliwe.

Spis autorów przytoczonych.⁶)

507.

Abel 32, 35, 507. d’Alembert 59. Andoyer 516. Andre 517.

Anglin 460.

Appel 516.

Argand 59. Aronhold 400.

.Bachmann 68.

Baltzer 59, 155, 235, 325. Baraniecki 228. Baumgartner 448. Bendixson 116. 427. Bernoulli Jan 507. Bertrand 449.

Betti 461.

Bezout 349.

Biermann 423, 487. du Bois-Raymond 96, 116. Borchardt 231, 460.

Borel 506.

Bouquet 538.

Briot 538.

Burnside 400.

Cantor 12, 95, 96, 116, 223. Cassini 83, 426, 516.

Cauchy 21, 23, 24, 59, 129, 135, 236, 527.

Cayley 303, 400, 460.

Chrystal 46.

Clebsch 370, 373, 400.

Dautheyille 538. Descartes 80, 81, 82. Dickstein 1, 400, 460. Dienger 443, 444. Dietrich 455.

Dini 89.

Dingeldey 400.

Dirichlet 32, 35. Dirksen 166, 167. Dziwiński 22, 507.

Eisenstein 132.

Ettingshausen 448.

Euler 56, 59, 138, 191, 231, 332,

Faa de Bruno 312, 400, 461. Fabry 501.

Fermat 7.

Fiedler 312, 334, 400. Folkierski 141.

Forsyth 513, 538.

Fredholm 493.

Frobenius 516.

Gralois 265.

Gauss 59, 60, 62, 68, 121, 129, 140, 141, 446, 448, 486. Girard 223.

544 -

do stron.

507.

G-ordan 129, 303, 400. Groursat 516. Gundelfinger 400. Gutzmer 177.

Hademar 501.

Hankel 224.

Heine 444.

Hermite 516.

Herschel 141.

Herz 121.

Hess 339.

Hesse 362, 364, 394. Hilbert 114, 400. Holder 533.

Holst 129.

Holzmliller 121. Hurwitz 42, 507.

Illigens 12.

Jacobi 227, 334, 362. Jensen 449.

Jordan 265.

Jourjon 508.

Klein 118, 255, 265, 267, 303, 310,

Krause 477.

Kretkowski 155.

Kronecker 25, 235.

Krygowski 513.

Kummer 449.

Lachlan 460.

Lagrange 134, 138, 165, 166, 235,

Laska 507.

Laurent 359, 361, 513, 521, 527. Legendre 507.

Leibnitz 507.

Lemonnier 155.

Lerch 492.

Lewicki 177.

Lie 35.

Lieblein 17.

Lindemann 400.

Liouyille 538.

Lipschitz 13. Lucas 131. Luroth 89.

JHansion 155.

Mertens 129.

Meyer 169 400.

Mittag-Leffler 94, 98, 99, 113, 116, 527.

Moivre 56, 58, 59.

Molk 359, 423. de Morgan 449.

Muth 400.

Netto 265, 461.

Neumann 118.

Newton 223, 440, 441, 460.

Ocagne 460. Oltramare 32.

Panton 400.

Peano 11, 114.

Petersen 265, 449.

Picard. 265.

Pincherle 426.

Plticker 334.

Poincare 506, 513.

Poisson 339.

Pringsheim 41, 58, 77, 527. Puzyna 177, 426, 515.

Raabe 446, 448, 449. Rausenberger 536. Reiff 401.

Riemann 29.

Roberts 386.

Rosenhein 235, 236. Rouche 177.

Runge 511.

Salmon 312, 334, 400, Schaeffer 527.

Schepp 89.

Schroder 515.

Schwarz 52.

Scott 228, 460.

Serret 164, 179,

-y

Stolz 46, 485. Strauss 41, 48. Study 455. Sylow 35.

Tannery J. 423, 516. Taylor 501, 508. Thomae 13.

Yentejols 155. Vivanti 498.

Volterra 506.

Walter 400. Weber 13, 265.

Weierstrass 12, 25, 37, 52, 423, 431, 485, 493, 512, 515, 533. West 520.

Wertheim 7, 164, 179.

Wiener 493.

Witkowski 21.

Wroński 459, 520.

Zajączkowski 71. Załuski 322. Zindler 498.

Zelewski 228. Źmurko 57, 178.

35

Teorya funkcyj.

¹

A łączymy z wolnym wyrazem funkcyi f(x).

²

Weierstrass był pierwszym, który istotę punktu istotnie osobliwego poznał i należycie określił. Por. także rozprawę O. Holdera: „Beweis des Satses...“ Matli. Annalen, T. 20, str. 138—143.

³

O. Rausenberger. „Lehrbuch der Theorie der periodischen Functionen einer Variabelen“. [Lipsk. 1884]. str. 133.

⁴

To twierdzenie przypisują Liouville’owi por. Theorie des fonctions elliptiques“ por. Briot et Bouąuet. (Parj^ż 1875.) str. 205. Por. także „Theory of functions of a complex varidble“ by A. R. Forsyth (Cambridge 1893) str. 63— 64.

⁵

) S. Dautheville. „Etude sur les series entieres per rapport a plusieures vciriables imaginaires independentes — Annales (scient.) de lecole normale superieure. T. II. (Supplement) str. 3.

⁶

Tu i w alfabetycznym rejestrze rzeczy — str. 546 — odnoszą się liczby

Alfabetyczny rejestr rzeczy.

cycligue, circulair] 243, 268.

Cząstkowe pochodne [partielle Derivirten, derirees partiellesJ 183, 215.

Częściowa grupa [Theilgruppe, Untergr., SousgroupeJ 250, 258.

— wyróżniona \ausgezeichnete Gr.l 255, 257, 280.

Częściowe ułamki [Partialbrilche, elements, fractions simples] 165, 160.

Czworościany wzajemne [Gegentetraeder] 278. 295.

Absolutna zbieżność [absolut e Comergenz, Cykliczna grupa [cyklische Gruppe, groupe comergence absolue] 26, 72, 407.

Alepłi (funkcya) 459.

Algebraiczne funkcye 189.

—    krzywe 189, 825.

—    równania 180, 189.

Analityczne funkcye [analyiische Functio-

nen, fonctions analytiąues] 506, 507.

—    wyrażenia [anal. Ausdrucke, Expres-sions] 513.

Asymptoty 325.

Bezustanna zbieżność [bestdndige 67] 402,

Dowód Weierstrassa o pierwiastkach f. wym. 440.

Dwudziestościan [lkosaeder] 280. Dwumienny szereg [Binomialreihe] .440, 486.

Dwupostaciowe funkcye [zweiwcrthige F., fonct. a deux valeurs\ 246.

Dwuścian [Dieder] 267.

Dyskryminant 148, 193.

Działania arytm. liczbami 14, 51.

— szeregami 20, 27, 423.

407.

Bezwarunkowa zbieżność [absolute, unbe-dingte C., comergence absolue] 25, 72.

Bezwzględna wartość [absoluter Werth, valeur absolu, moduł] 24, 52, 2 i 9.

Bezwzględny niezmiennik [absolut, Ima-rianteJ 368.

Biegun funkcyi [ausseroesentlicher Punct,

Unendlichkeitsp., póle] 529.

—    na kuli 118, 282.

Bieżące miejsce 79.

Całkowa funkcya [Jntegralfunction, inte-grale] 124, 467, 490.

Całkowanie [.Inłegrieren, integralion] 517.

Całkowita funkcya [ganze Function, fonc-tion entierej 178.

Całkowity system reszt [collstdndiges Rest-system] 62, 66, 70.

Charakterystyka 57, 77, 538.

Ciągłość [Stetigkeit, continuite] funkcyj 124, 159, 187, 215.

—    szeregów 414, 415.

Ciągłe obszary [continua] 113, 190.

—    ułamki [Kettenbruche, fractions con-tinues] 41.

Continuum 113, 214, 409, 410.

—    zwarte [zusammenhdngendes, connexe] 113, 115, 190.

Cykl 241.

Element liczby 14, 16.

—    funkcyi 506.

Elementarne f. symetryczne 222.

Eliminacya 312.

Formy jednorodne 362.

Funkcya analityczna 506, 507.

—    dwupostaciowa 246.

—    izobaryczna 224, 226, 371, 378, 380, 383.

—    jednorodna [homogene F., fonct. ho-mogene] 178, 191.

—    pierwotna — całkowa.

—    półsymetryczna [alternirende F., fonct. alternee] 246, 259.

—    przestępna [transcendente F., fonct. transcendente] 537

Niepodzielność grup 253, 284.

Jakobian (wyznacznik Jacobfegoj 365, 369, Nieprzywiedlność funkcyj [Irreductibilitdt, 391, 394, 397, 399.    irreductibilite] 210.

93.

Funkcya symetryczna 220, 241, 326, 337, 341, 348, 383.

—    elementarna 222.

—    ułamkowa 157, 213, 461.

—    ułamkowa właściwa [echtgebrocheńe id] 165.

—    wymierna [rationale F., fonct. ra-tionelle] 122, 178, 236,311,339, 361, 533, 536, 540, 541.

—    wydzielona 175, 180, 218.

—    zupełna 178, 194.

Gałęzie [Zweige, branches] funkcyj 325.

—    krzywych 325.

Gatunki funkcyj 264, 265.

—    sprzężone [conjugirte, conjugees] 265. Geometryczne przedstawienie liczb 13,

54, 71.

—    obszarów 80, 81.

—    wykonywanie działań 55.

Granica (górna, dolna) 117, 473.

—    funkcyi 506.

Główna wartość pierwiastka 63. Graniczny punkt [Grenzpunct, point limi-te] 89.

Grupy cykliczne (kołowe) 243, 268, 292.

—    częściowe 250, 258.

—    cykliczne wyróżnione 253, 257, 280,

—    czwórki [ Vierergruppe\ 270, 294, 295.

—    niepodzielne (niezłożone) [einfache Gr., groupes sini-ples\ 253, 285.

—    obrotów wielościanów 266, 287, 292, 295.

—    podstawień 239, 243.

—    półsymetryczne [alternierende Gr., groupes alternes\ 247, 252, 255, 273, 285.

—    równouprawnione [,gleichberechtigte] 255.

—    rozszerzone [erweiterte\ 287, 310.

—    symetryczne 221, 255.

Harmoniczny szereg 16, 29.

Hesse’an (wyznacznik Hessego) 364, 368, 397, 399.

Hypergeometryczny szereg 448, 486.

Iloczyny nieskończone 35, 74.

—    cyklów 242.

Iloraz funkcyj 143, 201.

Interpolacyjne wzory [Interpolationsfor-

meln, formules d’interpolation\ 134, 140, 164, 235, 236, 359.

Inwaryant 368.

Iteracya 238.

Izobaryczna funkcya 224, 226.

Izolowana mnogość 95.

Izomorfizm 156, 271, 276, 279, 285.

Jednorodne funkcyo [homogene F., fonct. homogenes] 168. 191, 368.

Jednostajnie zbieżne rozwinięcia [gleich-mdssig conyergente Entwickelungen, developpements conrergentes unifor-mement] 412, 415, 510, 511.

Jednostki ułamkowe 49.

—    urojone 48, 49.

—    główne 52.

Jednoznaczne funkcye [eindeutige F., fonct. uniformes] 122, 157, 179, 213, 411, 506, 529.

Koło zbieżności \Convergenzkreis, Cercie de comergence] 403, 469.

Kołowe grupy 243, 268.

—    podstawienia 241.

Kongruencya 61.

Kowaryant 368.

Lemniskata 329.

Liczby czysto urojone 49.

—    niewymierne 12, 46.

—    pozaskończone [transfinitae] 97.

—    przystające \congruente\ 60.

—    sprzężone [conjugierte, conjugues] 51.

—    urojone (złożone) \imagindre, imagi-nairs\ 50.

Linie osobliwe [singuldre L., lignes singu-lieres] 501, 533.

Metoda Andre’go 517.

—    - nieoznaczonych współczynników

438.

— Sylwestra (dialytyczna) 312.

Miejsca = punkta 79.

Mnogość [Mengen, ensemble#] 89.

—    odosobniona (izolowana) [isolirte M., ensemble isole] 95.

—    pantachiczna [uberall dichte M., ens. condense] 96, 112, 113.

—    przeliczalna (pierwszej mocy) [ab-zahlbare M., ens. denombrable\ 101.

-— drugiej mocy [2-ter Mdchtigkeit, de la 2-de puissance] 108.

—    punktów osobliwych 531.

—    rodzaju pierwszego i drugiego 93.

—    pochodna [abgeleitete M., ens. derive\

— wszędzie gęsta — pantachiczna. Mnożenie szeregów 437.

Mnożniki [,multiplieateurs] 354.

Moduł 355.

— podstawienia 364, 366, 367, 368. Monogeniczność [.Monogenitdt, monogenite\ 505, 507.

Norma 52.

Niewspółmierność funkcyj [incommesura-ble F. (zu einander prim), fonct. in-commensurables\ 148, 210.

Niewymierne liczby [irrationale Zahlen, nombres irrationels\ 12, 46.

Niezłożone grupy 253, 285.

Niezmienniki \Invariants\ 368, 369.

—    niezależne \unabhdngige, indepen-dants\ 392.

—    pierwotne \irreducieble Im., Grund-formen] 394.

Obszar [Bereich, Gebiet, domaine] 79, 81, 84, 87, 88, 113, 190, 269, 276, 280. 284, 287

Obwód zbieżności 403, 405, 478, 487, 491.

Odosobniona mnogość 95.

Odwrotne [inverse\ substytucye 238.

Określone miejsca [definierte Stellen, points dt'finies\ 80,

Okrążanie [TJmkreisung, revolution\ 80.

Osobliwe miejsca [singuldre Stellen, points singuliers] 326, 473, 490, 491, 499, 50i, 528, 538, 539.

Otoczenie [TJmgebung, roisinage] 213.

—    punktu istotnie osobliwego 530.

Parzyste substytucye 241.

Pęk krzywych 331.

Peryod podstawienia 239.

Peryodyczne rozwinięcie systematyczne 5.

Pierścień [Ring, couronne] zbieżności 406.

Pierwiastki form 365.

—    nte jednostki 65.

—    pierwotne [primitwe Einheitsivurzeln\ 65.

—    powtarzające się, wielokrotne 131, 133, 160, 232, 233.

—    równania 129, 440.

—    sprzężone 65.

—    wspólne 319, 321, 343.

Pierwotna funkcya = całkowa f.

Płaszczyzna liczbowa 55.

Pochodne cząstkowe 183, 215.

—    funkcye 123, 160.

—    jako współczynniki 507.

—    mnogości [abgeleitete Mengen, ensem-bles deriees] 93.

—    szeregi 467, 490.

Podgrupa 250, 280,

—    wyróżniona 270.

Podstawienia [Substitutionen, substitutions] 221, 237, 290.

Podstawowe formy niezmiennicze [Grund-formen\ 394.

Podwyznaczniki rugownika 151, 313, 317.

Podzielnik [Theiler, diviseur\ funkcyj 143. 203.

—    grup 253.

Pokrewieństwo cząsteczkowe [confortne Abbildung, representation conformĄ

121.

—    izogonalne 121.

—    kołowe \Kreisverwandtschaft] 120. Półsymetryczne funkcye 246, 259.

—    grupy 247, 252, 255, 273, 285. Półzmienniki \Semivariants\ 382, 385, 397,

399.

Potęga ogólna 71.

Powtórzenie [Iterieren, iteration] substytu-cyj 238, 239.

Pozaskończone liczby 97.

Prawdziwy zakres zbieżności [der wahre ConvergenzbereicK\ 403.

Projekcya stereograficzna [stereographische Projection] 119.

Promień zbieżności [Comergenzradius, ra-yon de comergenee] 403.

Próżnia [espace lacunaire] 501, 504, 533. Przeliczalna mnogość 101.

Przemienne substytucye [rertauschbare S., s. echangeables] 253, 255. Przeprowadzanie szeregów [Fortsetzung der Reihen, prolongement des series] 463, 471, 493, 497, 499. Przestawienie [Transposition] 240. Przetworzone grupy [transformierte Cr., gr. transforme's\ 252.

Przybliżone wartości [.Naherungswerthe, va-leurs approximatives\ 43, 44. Przystające liczby 60.

Punkt w nieskończoności (x = oo) 85. Punkta istotnie osobliwe [wesentlich sin-guldre, P., p. essentiels] 530, 534.

—    nieskończonościowe [ Unendlichkeits-stellen, póles] 134, 158, 528, 534.

—    osobliwe [singuldre P., points singu-liers] 326, 473, 490, 491, 499, 501, 528, 538, 539.

—    podstawowe [Grundpuncte] 331.

—    przecięcia krzywych alg. 325.

—    skupienia [.Hdufungspunct, point li-mite] 89, 91, 110, 501.

—    wyjątkowe [Ausnahmepuncte 331.

—    zerowe [Nullstellen, les zeros, les ra-cines\ funkcyj wym. 180, 194, 212. 213.

—    równań 129, 158.

—    szeregów 420, 421, 496.

Ramifikacya 326.

Reszta szeregu 3, 14, 18, 26, 73, 412, 415. Rezultant funkcyj 147.

Równania algebraiczne 182.

—    wielościanów umiar. 293, 303 Równoważność funkcyj \Aequivalenz, equi-

valence] 355, 356, 361.

—    mnogości 106.

—    punktów 287,

Rozbieżność [Diuergenz, dinergencĄ iloczynów 39.

—    szeregów 16, 401.

Rozwiianie \EntwicTcelunq, dóveloppement\ funkcyj 104, 123.

Rozwinięcie systematyczne 1, 11. Różniczkowanie \Differenzieren, differen-tiation\ 516.

Rugownik [Eesultante] 147, 193, 208, 228, 236, 312, 325, 343, 349, 359, 366, 369.

Rząd \Ordnung, Vordre] grupy 243, 250. Rzut stereograficzny 119, 288.

Ścieśniony zakres zbieżności [verengter Con-vergenzbereich\ 409.

Semiyariant 382.

Spółczynniki niezmieników 378.

—    szeregów 418.

Sprzężone gatunki funkcyj 265.

—    liczby 51, 55.

—    pierwiastki 65.

Średnie arytm. f. 175, 218, 521.

—    szeregu 416.

Średnie wartości jako współczynniki 509. Stopień 178, 239, 257, 316, 349, 369, 370. Substytucye 221, 290, 291, 294, 295.

—    kołowe 241.

—    nieparzyste (Ii-ej klasy) 241.

—    odwrotne 238.

—    parzyste (I-ej klasy) 241.

—    przemienne 253, 255.

Sumowanie szeregów 423, 428.

Symbol: lm 57.

' - A 186.

Symetryczność niezmiennika 373. Symetryczne funkcye 220, 241, 452.

—    f. elementarne 222.

—    grupy 221, 255.

System całkowity reszt 62, 66, 70.

—    form podstawowych 397, 399. Szeregi potęgowe [Potenzreihen, series en-

tieres] 401, 405, 407.

—    zwrotne [recurrierende Reihen, series recourrantes\ 450, 454, 517.

Transpozycya 240.

Twierdzenie Abla i Dirichleta 32.

— Eulera o f. jednorodnych 192.

— Fermata 7.

— Laurenta 525.

—    o współczynnikach szeregów 416.

— Weierstrassa o sumowaniu szeregów 428, 433.

— Weierstrassa o szeregu na okręgu zbieżności 478—487.

Ułamki ciągłe 41.

— częściowe 165, 169.

Ułamkowe funkcye 157, 165, 213, 461.

Waga [Gewicht] 226, 340, 348, 371, 380. Wahaj ace szeregi [oscilierende Reihen] 23. 74.

Warunkowa zbieżność \bedingte Corner-genz\ 29, 32, 483.

Wielopostaciowość funkcyj 237, 243. Wielowartościowość f. 189, 237, 259, 325. Wieloznaczność f. 189, 506.

Wskaźnik [index\ grupy 249.

—    niezmiennika 368, 385.

Wspólny podzielnik 143, 145, 153, 204, 313, 366.

—    niezmiennik 369.

—    współzmiennik 369.

—    zakres zbieżności 405, 407, 410. Współmierne f. \commensurable F., fonct.

commensurables] 143, 208, 312. Współzmienniki 368, 370, 380, 391, 394. Wydzielone funkcye 175, 180, 218.

—    szeregi 416, 519.

Wymiar 178, 194.

Wymierne funkcye 122, 236, 311, 361. Wyrażenia analityczne 512, 520. Wyróżnik \dyskrgminant1 148, 193, 229, 326, 367, 394, 397.

Wyznaczanie funkcyj 160, 178, 194, 234.

—    niezmiennika 378, 381.

—    krzywych alg. 330.

Wzór Moivre’a 58.

— Eulera 59.

—    interpolacyjny Cauchy’ego 236.

Gaussa 141. Lagrange’a 134, 198.

Laurenfa 361.

Zakres 79, 81, 269, 276, 280, 284, 287, 409.

—    istnienia funkcyi 501.

Zamknięta mnogość [abgeschlossene M.] 95. Zasadnicze funkcye [fundamentale F.] 294,

299, 300, 309, 311.

Zbieżność 16, 21, 36, 44, 75, 401, 405, 444, 446.

—    absolutna = bezwarunkowa 26, 37» 38, 72, 78.

—    wahająca 33, 74.

—    warunkowa 29, 32, 41.

Zwrotne szeregi 450, 454, 517.

Źródło współzmiennika \Quelle, source] 385, 387.

fgb

■

\

%

mmmmm

.

a

m

■■

i?'/'

V

f

£

isC

o

,v

4X;

* >

f

i

i

I

ł

n

J

■

1

't

f

m

S.93

'"_ 'Sms

4

' V«i

ACH

«#,.

O

O

V

\

*r

o

> i

4*

%

:

^<1

A ,A'.,:

s*

A ,:I ' ; .#:

• <r

' • s J

.< m -i ,rfv .

2?

,- ł,|T .,

*:' A' ‘

,

-

•r

\

- /• v ■

t4»ifea

AA

,7

.

7:7/ A'L : ¹

% -a A

A

i

.

■

;.    -/    - i    • m

■ A. .:    - ■ .... ■ AA#? '

; ' '' :

"-■A    '    \    “ <r    -

A A

'AV ■•##..'Sf

sś

A,-

'

f:    ||

sil

-AU ;

•:&

■

"f7^7 : ■    77^7    ’

■ ' ■ ?

••' — 'A, '• .....; - A

.

: /.

s

tal

a ■:

:

f

<

Vi

AA

M

:■ i" r₄;

'v; ~' 777#&77!&

V

M

- 7

%

■ 'A®- -

‘

, :

:<■;•• ’ ’ ¹

■

-Ay' ;.; ^77#

:®a

v5\

. 7

.

■ 1'.

'B

f

$

«A>#A t

AA#

ą«;

■ :%a

- ' , ■'•

’ " i' v ^ ,

AA S

;

I , ?|§/' !

%

■

*

V

-

> . « „ \ -

-*r- ’;:

5

A#

T77

/-,*

r -71? ‘

■

i$7

f:

V

is^-

*

-i

m\ '. -.v / • . ’

®S3

-iti';

i' \

'l

f-^-r

S

7 J^.;

A ?' *1

A## A

l . •    -?A

'M

r--;

’& U * A *V> * -

i

s®fg

■#

;

-    1 V ;

m

: ;    4// '4 3a';

~ "Sife-<A .

i

V#

••'O' ^

,

. '■ ••#-. ■■

e;ii' Sr ■■:

■ • ;

-

^ v '• .

ft % A*

%

S£

r: ':

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

V'

11-346767

Y<

.■r -,v,

■v.

i}. •«

..IW < ?,'v' "

■■ f:V

y/

!; ;■ w

i --■■■■■:V i-C.■ J-;, 'r    .    ■

'V- A’ ..'V    .• i    ; itUy.,J.?. tV.

/yY    Y v ' '

■:    ' .' /v:. -V-.

i'.

i,

Uf

r.

^ i ' U;,.

-.uy

U/UUUUU/U ‘

■‘ Y

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000293399