.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000231321

1śtfmtiMBS@Ę&

’Säfe-i

wwmwMm

$

v*

ARCHIWUM NAUKOWE

WYDAWNICTWO

TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ.

DZIAŁ II. - TOM I. - ZESZYT I.

ŁUKASZ J. BODASZEWSKI.

TEORYA RUCHU WODY NA ZASADZIE RUCHU FALOWEGO.

CZĘŚĆ PIERWSZA.

WE LWOWIE.

NAKŁADEM TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ.

1902.

nt I. STELLA-SAWICKI

TEORYA RUCHU WODY

NA ZASADZIE RUCHU FALOWEGO

NAPISAŁ

ŁUKASZ J. BODASZEWSKI.

CZĘŚĆ PIERWSZA.

Z 76 FIGURAMI W TEKŚCIE I 2 TABLICAMI.

11.®.

WE LWOWIE.

NAKŁADEM TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ.

1902.

Słowny skład w księgarni 6UBRYN0WICZA i SCHMIDTA

we Lwowie.

vX^y?

. biblioteka

Główną *

^0

1:

'P

/.

4-

i»fc

Z drukarni Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie pod zarządem J. Filipowskiego.

Akc. Nr. ^^4

Teorya ruchu wody

na zasadzie ruchu falowego.

Napisał

Łukasz J. Bodaszewski.

WSTĘP.

Zagadnienia z ruchu cieczy, rozwiązane dotychczas przez hydrodynamikę zapomocą równań różniczkowych ruchu, postawionych przez Lagrange’a i Eulera, odnoszą się przeważnie do wypadków, mających dla celów praktycznych małe znaczenie.

Prawa wypływu cieczy przez otwory w ścianach naczynia, prawa ruchu cieczy w rurach i łożyskach otwartych, nie zostały dotąd teoretycznie rozpoznane; a liczne usiłowania praktyków do ustawienia wzorów empirycznych, na podstawie bezpośrednich obserwacyj, nie doprowadziły również do celu.

Zasadniczem twierdzeniem hydrostatyki jest, że ciśnienie w cieczy idealnej jest we wszystkich kierunkach stałem. Odnosi się to

oczywiście tylko do cieczy, znajdujących się w

m- <Mx

ciśnienie.JESJOWto. cieczy lub na granicy tejże zostanie zmienionęm,

następuje ruch .cieczy ..w. kierunku.....zmniejszonego...ciśnienia. Ten

ruch powstać może także przez zmianę gęstości cieczy.

Znane są prądy wody morskiej ciepłej i zimnej, a więc wody o różnej gęstości. Prądy wody ciepłej w morzu nazwano równikowymi; zaś prądy wody zimnej prądami podbiegunowymi. Każdemu prądowi równikowemu z zachodu na wschód, towarzyszą prądy równikowe ze wschodu na zachód. Krzywę chyżości ruchu wody w płaszczyźnie poziomej przedstawiałaby przy tych prądach w przybliżeniu linia nakreślona na fig. 1. Prądy równikowe rozprowadzają bardzo wielką ilość ciepła; tak np. prąd zatokowy (Golfstrom) prowadzi dziennie według obliczenia Crella: 6xl0¹⁰ Kaloryi. Ta ilość

Fig. 1.

ciepła wystarczyłaby do wytworzenia strumienia roztopionego żelaza wielkości rzeki Mississipi.

Prąd zatokowy, wychodzący z zatoki meksykańskiej, zwraca się na północny wschód, gdzie styka się z prądami podbiegunowymi. Jeden z tych prądów, najsilniejszy, *prąd Labradoru«, spotyka prąd zatokowy koło Nowej Fundlandyi, odrzuca go od wschodnich wybrzeży amerykańskich aż do południowej Karoliny, gdzie zanurza się popod prąd zatokowy, płynąc w kierunku przeciwnym do górnego prądu ciepłego. Krzywę chyżości ruchu wody w płaszczyźnie pionowej przedstawiałaby w tym wypadku fig. 2.

Et-:*

Te prądy morskie prowadzą olbrzymie masy wody przez tysiące kilometrów długości biegu, bez łożysk o stałych ścianach, bez dna, lecz w łożyskach utworzonych tylko z wody. Największe rzeki lądu stałego nie mogą iść w porównanie z temi rzekami morskiemi.

Fig. 2.

Prócz różnej gęstości wody morskiej, sprowadzonej różnomiernem ogrzaniem, niepoślednią przyczyną powstania tych strumieni są także i wiatry. Wywołany w głębi cieczy impuls ruchu dochodzi do powierzchni bardzo szybko, lecz ruch wzbudzony na powierzchni, dostaje się do głębi bardzo powoli. Gdy na powierzchni morza przebiega burza, to w głębi około 100 mtr. wcale się to odczuwać nie daje. Na zasadzie przyczepności powietrza do wody obliczył A. Supan, że w morzu głębokiem na 4000 mtr. wiatr wiejący stale w jednym kierunku, nadając górnej warstwie wody chyżość c wprowadzi w ruch w tym samym kierunku warstwę położoną w głębokości 100 mtr.

c    c

po upływie

z chyżością po upływie lat 41. a z chyżością

lat 239. 1U    *    ¹

Po upływie 200.000 lat. według Supana, cały słup wody będzie w ruchu. Prędkość od powierzchni do dna zmieniać się będzie według prawa linii prostej, tak źe gdy chyżość na powierzchni będzie c, to na dnie wynosić będzie zero. Obecne więc krążenie wody morskiej jest ruchem wypadkowym z ciągłego promieniowania słońca i ziemi, oraz działania wszystkich wiatrów, jakie dotychczas wiały.

Na ruch wody w łożyskach stałych oddziaływa również ruch powietrza: Humphrey i Abbot stwierdzili to pomiarami na Mississipi.

Zagadnienia, rozwiązane obecnie przez hydrodynamikę, odnoszą się przeważnie do undulacyjnego ruchu falowego i do ruchu wirowego. Ruch postępowy cieczy został bardzo mało zbadanym, gdyż całkowanie odnośnych równań różniczkowych ruchu przedstawia znaczne trudności. Przez wprowadzenie w hydrodynamice w rachunek równania ciągłości cieczy, a raczej stałości masy cieczy w ruchu będącej, oraz przez wprowadzenie pojęcia potencyału prędkości, zostało umożliwionem rozwiązanie niektórych zagadnień z trwałości ruchu cieczy, a w szczególności ruchu równoległego do płaszczyzny; zarazem okazała się analogia równań elektrodynamicznych z hydrody-namicznemi. Zamieniwszy w odnośnych równaniach elektrodynamicznych wyraz potencyału elektrycznego na wyraz potencyału prędkości, przechodzi się bezpośrednio do równań hydrodynamicznych. Stosując naprzykład prawo Ohma do ruchu cieczy w łożysku, otrzymuje się bezpośrednio tak długo szukane hydrodynamiczne prawa tego ruchu, o czem w drugiej części niniejszej rozprawki będzie mowa W tej części t. j. w pierwszej, przedstawionym jest mało znany ruch wody wgłębnej (gruntowej) i ruch wody w łożysku, odnośnie do wyznaczenia tak zwanej paraboli chyżości, którą szczegółowo ta część się zajmuje.

Przez określenie ruchu cieczy, jako ruchu falowego nieundula-cyjnego, i przez wprowadzenie pojęcia fali wypływowej, zamiast potencyału, udało mi się, mniemam, bez zawiłych równań różniczkowych, przedstawić rzecz przystępnie dla każdego.

1. Ruch falowy.

Gdy na powierzchni cieczy, znajdującej się w spokoju, zostanie jaJ^.,cz^.„ciec^wj^rowMzQn%.. £ położenia „równowagi, to. jau -ważyć się dają kręgi, rozchodzące się z tego miejsca po całej powierzchni, w kształcie pierścieni współśrodkowych. Jeżeli impulsy, które spowodowały rozchodzenie się kręgów, trwale powtarzać się będą, to i rozchodzenie się kręgów będzie trwałem. Kręgi takie^ uderzając o ścianę naczynia, odbijają się i powracają w przeciwnym kierunku, według znanych praw ruchu falowego. Ze ruch tego rodzaju jest objawem ruchu falowego, udowodnili doświadczalnie bracia Weberowie.

Podobne kręgi na powierzchni wywołać też można, wyprowadzając ciecz z równowagi w głębi cieczy. Impuls ruchu, udzielony cząstkom cieczy w głębi położonym, rozchodzi się w przybliżeniu na powierzchni kuli, której przecięcie z powierzchnią cieczy daje kręgi powyższe. Doświadczenie to pouczaj że: z miejsca zmienionej równowagi w głębi cieczy, i m puls zmieniaj ą e y równowagę, rozchodzi się równomiernie ive wszyskich kierunkach.

Pomyślmy sobie wewnątrz cieczy kulę o promienu r, którą możemy dowolnie powiększać lub zmniejszać (fig. 3). Powiększając kulę,

Fig. B.

wywieramy nacisk na otaczające elementy cieczy, które od powierzchni kuli w kierunkach promieni odpychane będą; w skutek czeego nastąpi zgęszczenie cieczy w około kuli. Ciśnienie więc od wnętrza kuli będzie większem, niż ciśnienie wywierane przez otaczającą ciecz na elementy, przy kuli położone; nastąpić więc musi ruch cieczy w kierunku mniejszego ciśnienia, t. j. w kierunku od kuli na zewnątrz.

Gdy zaś powierzchnię kuli zmniejszać będziemy, to przy kuli powstanie dla otaczającej cieczy powiększona przestrzeń do wypełnienia. Następuje tu przy kuli zmniejszenie ciśnienia, a więc i zmniejszenie gęstości, a pod ciśnieniem cieczy otaczającej zajmą elementy tejże, najbliżej kuli położone, miejsce pierwotnie przez kulę zajmowane; i ruch taki udzielać się będzie stopniowo całej cieczy, równomiernie we wszystkich kierunkach.

Powiększając i zmniejszając na przemian objętość kuli, wprowadzimy ciecz w ruch falowy, którego prawa już są znane; a te prawa odnoszą się tak samo do ruchu okresowo zmiennego, jak i do ruchu statecznego, spowodowanego stałem powiększaniem się lub stałem zmniejszaniem się powierzchni rzeczonej kuli; czyli innemi słowy: powiększanie się powierzchni rzeczonej kuli wywołuje odpływ cieczy od kuli w przestrzeń przez ciecz zajętą, zmniejszanie się powierzchni kuli wywołuje dopływ otaczającej cieczy do kuli. Prawa ruchu falowego odnoszą si'ę zarówno do dopływu jak i odpływu; a każdą z tych części ruchu falowego podlega tym samym prawom. O b i a w więc płynięcia cieczy jest tylko częściowym objawem ruchu falowego, i na zasadach tego ruchu może bvćzba-d a n y m.

Gdy promień wspomnianej kuli statecznie się zmniejsza, to trwałość ruchu cieczy wymaga, by w każdej chwili ta sama ilość cieczy z otoczenia do powierzchni kuli równomiernie dopływała. Jeżeli więc masa cieczy, zajmującej przestrzeń powstałą po usunięciu się powierzchni kuli, wynosi na sekundę M tonn, a gęstość cieczy przy kuli wynosi g, zaś chyżość, z jaką ciecz do powierzchni kuli dopływa, wynosi v, to oczywiście będzie:

M = 4 . r². -. v. g

Wskutek zmniejszania się powierzchni kuli i rozchodzącej się równomiernie zmiany ciśnienia będzie i zmiana gęstości cieczy równomiernie rozłożona w kulach spółśrodkowych. Jeżeli więc zatoczymy ze środka rzeczonej zmiennej kuli, promiemiem r₁ kulę spóf-środkową, to przez powierzchnię tej kuli, z powodu trwałości ruchu, dopływać musi do kuli o promieniu rt na sekundę ta sama masa cieczy, jaka poprzednio odpłynęła; będzie więc:

M — 4-k r‘\ vtG{ = 4 7z r₂ ² v₂ g₂

r² ,v.g— Const.

Z czego wynika:

Jeżeli zmiana gęstości jest tak małą, że gęstość w całej cieczy za stałą uważać możemy, natenczas uzyskuje się związek:

r² v

(1)

a stąd:

(S

czyli: chyżość. z jaką u w aż an y element cieczy.....do kuli

dopływa, jest odwrotn i e pro p orcynalną dok w a dr atu

odległości tego elementu od środka wspomni an ej kuli. To samo odnosi sie także do ruchu cieczy w kierunku od rzeczonej kuli na zewnątrz.

Gdy ruch cieczy jest zwrócony ku środkowi wspomnianej zmiennej kuli, to objaw tego ruchu jest taki, jak gdyby ciecz do tej kuli, względnie do jej środka, przyciąganą, w drugim zaś wypadku, jak gdyby ciecz od powierzchni tej kuli, względnie od jej środka, odpychaną była. Z tego też względu środek tej kuli, a względnie samą tę kulę, nazwiemy w pierwszym wypadku ę e, n t r.e m. atxa.k-cyjnem, w drugim: centrem repulsyjnem. Gdy promień tej kuli jest nieskończenie mały, przeto nazywać ją będziemy centrem ele-mentarnem. Każdy element cieczy może być takiem centrem. Dzia-łanie centrów atrakcyjnych lub repulsyjnych na ciecz otaczającą da-nem jest przez równanie (1).

Załóżmy w tern równaniu v — stałej, to w takim razie będzie r = stałej; co oznacza, że cząstki cieczy, podążające z jednakową chyźością do lub od centra, znajdują się na powierzchni kuli. Powierzchnię takiej kuli nazwiemy powierzchnią falową dla tego rodzaju ruchu. Powierzchnia falowa obejmuje elementy o jednakowej fazie. Faza określa stan ruchu uważanego elementu; ten stan jest danym przez wielkość wychylenia elementu od miejsca równowagi, i przez chyżość, z jaką element w uważanej chwili się wychyla. Na rzeczonej powierzchni kuli mają wszystkie elementy jednakowe wychylenie i jednakową chyżość; znajdują się więc w tej samej fazie dopływu lub odpływu. Rzeczona więc powierzchnia kuli zawiera cechy powierzchni falowej. Gdy przy zwykłym ruchu undulacyjnym czas drgania i dalekość drgania (amplituda) mają wartości skończenie wiel-kip, to przy tym rodzaju ruchu dopływu lub odpływu, wyrażone powyżej wartości są nieskończenie wielkie. W hydrodynamice nazywa się ta powierzchnia powierzchnią potencyalną; .jest ona kulą, gdy wewnątrz cieczy znajduje się tylko jedno centrum atrakcyjne lub repulsyjne.

Linię, wzdłuż której odbywa się ruch cząstek cieczy, podążających do lub od centra, nazwiemy linią ruchu cieczy lub też linią prądu; przy ruchu, spowodowanym jednem centrem, linie prądu_ są promieniami powierzchni falowych. Linie prądu przecinają powierzchnie falowe czyli powierzchnie potencyalne pod kątem prostym. Zakreśliwszy na powierzchni falowej około punktu przecięcia się li-nij prądu z tą powierzchnią, nieskończenie małą krzywę zamkniętą, odgraniczymy nieskończenie male pole df\ a obwiódłszy je liniami prądu, odgraniczymy w cieczy część nieskończenie małą, którą nazywamy strugą; jej przekrojem jest powyższe pole. Przekroje strugi są do powierzchni falowych proporcyonalne; z czego wynika, że w strudze wartość iloczynu z chvżości cieczy, przez przekrój strugi i gęstość cieczy w dotyczącem polu, jest, ilością stałą:

df. v. n — C.

Gdy jeden z rozmiarów przestrzeni, zajmowanej przez ciecz, jest w porównaniu z dwoma innymi rozmiarami mały, natenczas ciecz tworzy warstwę. Przypuśćmy, że w warstwie poziomej o grubości h znajduje się wewnątrz cieczy, dajmy na to na dnie, centrum atrakcyjne, dane przez:

M = 2s²~ o.

powodujące ciecz do ruchu ku temu centrum. (Przypuśćmy dla wyjaśnienia, że w dnie znajduje się otwór, przez który ciecz wycieka, fig. 4).

Ek

Fig. Ł

Z centra atrakcyjnego rozchodzić się więc będą fale półkuliste. Fala o promieniu h zetknie się z powierzchnią warstwy cieczy w prostopadłej, poprowadzonej z centra O do powierzchni warstwy, nadając elementowi cieczy ET, w tym punkcie położonemu, chyżość r0 określoną przez związek:

M — 2 h² Tc v₀.

Fala o promieniu Rx większym od h, przetnie się z powierzchnią cieczy w punkcie I\ nadając wszystkim elementom cieczy, położonym na powierzchni kulistej krążka EFGO, chyżość rl3 wynikającą ze związku

M—2h²’KV₀ — 2'xR₁hv₁;

gtlyź kulista powłoka krążka o grubości h, wyciętego z kuli o promieniu Ru równa się 2~Rxh.

Z powyższych równań wynika:

hv₀ = R₁v₁ = B₂v₂ =... = C Nadto z trójkąta EOF wypada:

R₁=\/ r²-)- h²

a jeżeli h jest stosunkowo bardzo małe, to można przyjąć, że Rx =r, a wtedy:

v r— C

a stąd co oznacza, że gdv centrum atrakcyjne oołożonem jest w warstwie

'    aHrffiTir*^—r—-t—r- -- ■-— —we ¹ — ** ■ ■■

o małej grubości, to chyżości elementów cieczy, podążają-cych ku środkowi, są do odległości tych elementów od centra odwrotnie proporcjonalne. Powierzchnie falowe są powierzchniami wąlcowemi. Przecięcia tych powierzchni walcowych z po-wierznią warstwy dają linie falowe czyli linie potencvalne. które dla jednego centra są kołami współśrodkowemi; a linijami prądu są promienie tych kół. (fig. 3).

2. Działanie centrów atrakcyjnych.

Poznawszy, że

jawem ruchu falowego, możemy zasady Huyghensa, Dopplera, zasady interferencyi i t. p. stosować bezpośrednio do objawów płynięcia cieczy.

Gdy na element cieczy działają dwa centra atrakcyjne, to każde z nich nadaje temu elementowi w kierunku do środka atrakcyi odpowiednią chyżość, a element cieczy poruszać się będzie po wypadkowej z tych dwu działań. Niech fig. 5 przedstawia w warstwie cieczy dwa centra atrakcyjne A i B, których stałe są dane przez:

Rx vx = Cx

Odciąwszy na promieniu A E wartość E F=vz, a na promieniu B E wartość E G — vx, i wykreśliwszy znany równoległobok chy-źości EG HF, otrzymamy przez przekątnię EH tego równoległo-boku kierunek i wielkość chyżości wypadkowej.

Jeżeli uważany element cieczy położony jest na prostej, łączącej

oba centra, to pozostanie on w równowadze, jeżeli impulsa nań działające będą sobie równe, a więc jeżeli:

Ci

Ty

•-Ą-—fc.....-

Fig. 5.

Niech odległość AB obu centrów równa się 2a; w takim razie: B₁ -|- łł₂ == 2a;

a z tego wypada, że położenie elementu, zostającego w równowadze w obec działania centrów A i B, danem jest przez:

R, — 2a

Ci

Ci + ą ’

B₂ = 2a

Cl -j- ą

Gdy C\ = C₂, natenczas Rx = R₂ =a.

wza-

Element cieczy, położony w środku między dwoma centrami, na osi przez te centra przechodzącej, pozostaje w równowadze, gdy centra mają jednakowe na-tęźenia; t. j. gdy przez nie wypływa jednakowa ilość cieczy. Gdy centra atrakcyjne zajmują stałe położenie, natenczas działanie ich na siebie zostaje zniesione oporem stałości położenia. Jeżeli oba centra są ruchome, to się wzajemnie przyciągać będą; udzielając sobie jemnie chyźości, wzrastających w miarę zbliżania się ku sobie. Gdy natężenia ich są równe, to zetkną się one w środku pierwotnej odległości.

Zjawisko to można przedstawić doświadczalnie. W dnie naczynia, napełnionego cieczą, znajdują się dwie nasady, komunikujące z pompką. Na tych nasadach utwierdzone są rurki gutaperchowe, zaopatrzone w górnym końcu lejkami półkulistymi. Gdy pompkę wprowadzimy w ruch, półkule zbliżają się do siebie, fig. 6.

Dla uproszczenia badań nad działaniem dwóch centrów atrakcyjnych stałych w nieograniczonej warstwie cieczy, załóżmy, że natężenia tych centrów są równe, dane przez:

(2)

t\ v₁ = r₂ v₂ = K

Fig. 6.

Na fig. 7 są te dwa centra oznaczone przez A i B; znajdują się one w odległości 2a = AB. Centrum atrakcyjne A udziela elementowi E, odległemu od A o długość promienia A E=r₁, chyżości ty ; zaś centrum atrakcyjne B udziela temuż elementowi na promieniu BE—r₂, chyżości v₂.

ąu-

X-

7/

!//.

il

/ 0 / /A / /

/ /

/ ■

*TjL

---

//

Fig. 7.

Z równania (2) wynika:

U?

Chcąc więc wyznaczyć kierunek chyżości wypadkowej, trzeba na promieniu r₄ odciąć długość promienia r₂ = EB = EF, zaś na promieniu r₂ odciąć długość promienia r₁ = EA = EH, i utworzyć ró-wnoleglobok El GH. Przekątnia tego równoległoboku EG daje kierunek chyżości wypadkowej; i będzie ona styczną do drogi, jaką przebiegnie element E wskutek działania chyżości wypadkowej. Poprowadziwszy z punktu E prostopadłą EP do EG, otrzymamy kierunek normalnej w tym punkcie do drogi elementu E. Ta normalna będzie styczną do linii fali wypadkowej, czyli^ skutecznej, powstałej w punkcie E z fal elementarnych, rozchodzących się z centrów falowania A i B. Linia fali skutecznej nazywa się w hydrodynamice linią potencyalną. Z elementu E możemy przejść do innych położeń tego elementu, przechodząc po każdorazowej stycznej do drogi tego elementu; albo też, wychodząc w kierunku normalnej, szukać ugrupowania elementów cieczy w linii falowej. Przejdźmy więc po drodze, jaką element E przebywać będzie wskutek działania fal, wychodzących zi i B. t. j. po linii, po której każdy element cieczy z położenia E kolejno w ruch wprowadzonym zostanie, czyli innemi słowy przejdźmy po liniji prądu, w celu wyprowadzenia analitycznego wyrazu dla tej linii.

Rzędne elementu E niech będą dane przez OL = x, EL — y; przyczem prosta, łącząca środki centrów atrakcyjnych, jest osią X, zaś prostopadła, przechodząca w połowie odległości centrów, jest osią y. Odległość centrów od środka układu osi współrzędnych niech będzie AO= OB = a,

Oznaczywszy kąt, jaki zawiera promień z dodatnią częścią osi OX, t. j. kąt EAL przez xy, zaś kąt między promieniem r2 i osią OX, t. j. kąt EBL przez x₂, otrzymujemy na wyrażenie rzędnych elementu E związki:

x — rx cos xt -j- a = r₂ cos v..2 y —1\ sin xt — r₂ sin x₂

tudzież

tg xx — - --—

'    ¹ x—a wreszcie :

rl² = {x— a)²-j- y2 r₂² = (a? -f- a)² —J- «/²

Wskutek działania centra atrakcyjnego A wszystkie elementy cieczy, znajdujące się na obwodzie koła, zatoczonego z punktu A promieniem rt, zostają pobudzone do ruchu w kierunku do centra A z chyźością vt; zaś z centra B z chyżością v₂, które są dane przez:

ds — V.dt

zajmując położenie El, gdzie z powodu zmienionych odległości od centrów atrakcyjnych, otrzymuje znowu chyżości v\, v\ i t. d. Składowemi drogi ds, tworzącej element linii prądu, będą:

.dt

»1 =

v₂ =

Składowe tych chyżości, działających na odnośnych promieniach rt i r,, w kierunkach osi OX i OY, są dane przez:

r2

T r x — a = K------

= K -J-

rt ²

(3)

x-j-a

r2

Oznaczywszy przez V chyźość wypadkową elementu E, a przez:

( 0 ’ ( !/) kładowe tej chyżości w kierunkach osi współrzędnych,

i zważywszy, że wypadkowa z chyżości, udzielonych w jednym kierunku danemu punktowi, równa się algebraicznej sumie chyżości składowych, otrzymamy:

x-\-a \

?\²

('i A"!

r₂ ²

Z powyższych składowych obliczona chyżość wypadkowa daną jest przez:

(4)

V=

2K

rt r₂

\ ir

Z tą chyżością przebiegnie element E po st*

-, w czasie

nieskończenie małym dt, drogę:

*=(D

dx=(^ ^j.dt

a ztąd otrzymujemy stosunek:

dy dx

Wstawiwszy w to równanie wartości, otrzymujemy równanie różniczkowe linii prądu:

{x

a).dy — ydx

(x -\-a) dy — ydx ( + ;ra)² + y²

(5)

a po zcałkowaniu:

arc

( tg

x~r)+arit9

x —J— a

(6)

albo też:

*i -f- a₂ = C

Rozwijając sumę tuków w równaniu (6) otrzymujemy:

arc

(ty

2xy

X¹ — y² — a²

^ = Const

albo:

(7)

x² — y²— 2 Axy — a²= O

gdzie A oznacza stalą dowolną.

Równanie to przedstawia układ hyperboli równobocznych, przechodzących przez centra atrakcyjne; przyjmując bowiem

y= o

otrzymuje się:

x = ±a.

Jedna tylko linia prądu nie przechodzi przez centra atrakcyjne; jest to linia prądu (prosta) położona w_ osi y; nazwiemy ją obojętną linią prądu, a strugę, której oś tworzy obojętna linia prądu, nazwiemy strugą obojętną. £7)z*'~T w<?dLj

Elementy cieczy, położone w strudze obojętnej, nie doznają zboczenia przez działanie centrów atrakcyjnych; lecz poruszają się ku środkowi układu wzdłuż osi y. W celu uzyskania wyrażenia na linię fali skutecznej, względnie linii potencyalnej, przejdźmy po normalnej, poprowadzonej z punktu E prostopadle do EG; wtedy na wyrażenie stycznej kąta, zawartego między tą normalną a dodatnią osią OX, otrzymamy związek:

dy dx

a po wstawieniu wartości otrzymujemy równanie różniczkowe linii potencyalnej

{a — x)dx-\-y dy

(a — x)² -\-y²

{aĄ-x)²-\-y²

-—O

Równanie to zcałkowane daje:

log {{a — x)² A~y²) -j- log ((a -|- x)² -j- y²) — Const

albo też:

(8)

lub wreszcie:

[{x — a)²-\-y²]*. [(a-]-x)²-{-y²]*=B

(9)

r₁.r₂ = B

gdzie B oznacza stałą dowolną.

d-

y/

___

Równanie to jest wyrazem analitycznym linii potencyalnej tego układu centrów atrakcyjnych, i przedstawia lemniskaty krzywe Cas-siniego. Centra atrakcyjne A i B są ogniskami tych krzywych.

AjP"

Z linii potencyalnych tego układu charakterystyczną jest pętlica (ósemkowata); przechodzi ona bowiem obwodem swoim przez ogniska wszystkich hyperboli, będących liniami prądu w tym układzie; wierzchołek zaś tych hyperboli, leży również na pętlicy, która wszelako nie jest linią potencyalną. Pętlica ta przecina się z osią X w centrach atrakcyjnych. Na fig. 8 są przedstawione linie prądu i linie potencyalne dla dwu centrów atrakcyjnych równego natężenia.

A₃

Fig. 9.

obojętnych, będą hyper-

Jeżeli dane są trzy centra atrakcyjne o równem natężeniu, ułożone w wierzchołkach trójkąta równobocznego, fig. 9, to w takim razie linie prądu będą liniami trzeciego stopnia; a tylko te linie prądu, które przechodzą normalnie do osi bolami. Równanie linij prądu będzie:

arc

(j9=~ aJ-³-)+arc(tg

(:x — a)

Na linie potencyalne otrzymamy wyrażenie:

[(y — aV3 )■ + **]. [y² + (^+«)²] [y*+{x—aY] = B

Trzy dane centra atrakcyjne będą ogniskami tych linij potencyalnych, mających kształt analogiczny z liniami Cassiniego.

3. Zastosowanie.

W głębi ziemi, w szutrowisku, znajduje się warstwa wody gruntowej, stojącej na poziomej warstwie nieprzepuszczalnej. Tę wodę pobiera się z dwóch studzien zapomocą oddzielnych pomp o wyda-tności po 648 m³ na dobę z każdej studni. Odległość jednej studni od drugiej wynosi 20 m. W ciągu nieprzerwanego pompowania dniem i nocą osiągnięto stan trwałości wydatku wody, przy stałem obniżeniu się zwierciadła o 10 mtr., mierzonem w osi przechodzącej przez środki obu studzien, na wewnętrznej ścianie studni, przeciwległej środkowi obu studzien. Średnica studzien wynosi 2 m.

Ma się obliczyć i graficznie przedstawić:

1)    kształt depressyi w płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez środki obu studzien;

2)    warstwice tej depressyi, z których jedna ma przechodzić przez punkt zwrotny, jedna powyżej tego punktu, a jedna poniżej. Grubość warstwy wodonośnej, względnie grubość warstwy wody, jest w porównaniu z odległością studzien bardzo mała. Na osi, przechodzącej przez środki obu studzien w odległości 100 mtr. od punktu środkowego między studniami, znajduje się obserwacyjny otwór wiertniczy, stojący z warstwą wodonośną w połączeniu. Do tego otworu zapuszczono stosowną ilość barwnika, n. p. fluoryzyny. Należy wyznaczyć:

3)    czas, jaki upłynie od chwili zapuszczenia barwnika w otworze obserwacyjnym, do chwili w której ukaże się zabarwienie wody w studni, przyjmując, że grubość warstwy wody nie jest bardzo małą, n. p. że ta grubość wynosi 2 mtr.

Do rysunku ma być użytą podziałka dla długości 1:500, dla wysokości 4:10. Odległość między studniami wynosi: 2a = 20 mtr. przeto a =10 mtr. Punkt, w którym mierzono obniżenie zwierciadła wody. leży na osi obu studzien, przeto y — O. Jest on odległym od środka układu o długość x = ll mtr. przeto:

rx = x-—a = 1 mtr. r₂ = x-\~a = 21 mtr.

a więc stała dowolna dotyczącej linii potencyalnej wynosi:

C == r, r₂ =21

Obniżenie zwierciadła wody wynosi dla tego punktu i na tej linii potencyalnej ilość:

s = 1'0 mtr.

Ponieważ, według założenia, grubość warstwy wody jest bardzo małą, przeto można przyjąć w przybliżeniu, że s będzie do C2 odwrotnie proporcyonalne, albowiem:

®i

ri

v₂ =

>2

a ponieważ y — O, przeto:

F* =

albo też:

Pl+r2)²

2gs

s==

K² fr, -J-r₂)⁸

2g ' rx ² r₂ ²

Przyjmując:

K*

2g

gdzie <p oznacza współczynnik, otrzymujemy:

_ Ä(ri +^)²

(■-

-o

Ponieważ znaleziono powyżej, że dla punktu, w którym obniżenie zmierzone wynosi 1'0, wartość stałej dla linii potencyalnej wynosi 21, przeto uzyskujemy:

A = 0911

Przyjmując w osi różne wartości na x oblicza się według powyższego depressyą dla wyznaczonych w ten sposób punktów. Obliczenie jest w następującej tabliczce zestawione:

ri

10

10

100

0036

12

96

0 039

14

84

0051

16

64

0088

18

36

0-280

19

19

1009

11

21

21

1000

12

22

44

0-270

14

24

96

0-077

16

26

156

0 038

18

8 | 28

224

0023

20

10

30

300

0016

Z wartości na x i s jest depressyą powierzchni wody wgłębnej wskutek działania tych dwu pomp na fig. 10 narysowana. Przyjęto trzy poziomy i oznaczono przez 1, II, III, dla tych poziomów wyznaczono warstwice t. j. linie przecięcia płaszczyzny poziomej z powierzchnią depressyjną.

Archiwum nauk. B. X. X,

Poziom I przecina linię depressyjną w odległościach od osi układu danych przez x = ±16a tej wartości na x odpowiada z powyższej tabliczki stała C=rt r₂ — 156.

4-

Y:

Fig. 10.

Dla poziomu II jest xi=0,x₂ — ±14'14, C=100.

Dla poziomu III jest xv = ±4t x₂ = ±13 56, C=84.

Z równania O— rx r₂ wyznacza się wartości na rt i r₂, uzyskanymi promieniami zatacza się z centrów atrakcyjnych koła, a punkty przecięcia się tychże łączy się ze sobą w odpowiedniem następstwie.

W następującej tabliczce zestawione są promienie wodzące dla tych trzech warstwie.

C—1Ö6

C=100

G—84

600

2600

rt

r2

4-14

24-14

600

14-00

7:00

22-28

500

20 00

5-50

15-27

8-00

19-50

5-50

1818

500

1680

900

17-38

600

16-66

450

18-22

700

400

1000

15-60

14-28

2100

800

1200

1300

1250

1000

1200

12-50

1000

Czas potrzebny, ażeby element wody z otworu obserwacyjnego położonego w osi X w odległości 100 mtr. od środka układu współrzędnych, doszedł do przyległej studni, oblicza się w następujący sposób:

W odległości x od środka układu, wynosi chyźość elementu cie-, czy na osi OX.

2Kx

x²—a²

W nieskończenie małym czasie dt przesunie się uważany ele-

chyźością ( przez drogę dx—{^.    ;

ment z a ztąd wypada:

■ a,

dx{x²— a²)

i

~u, (t

a² log x ^

Ilość wody, jaką studnia na dobę wydaje, wynosi M=648 ms; grubość warsty wody wynosi h = 2‘0 mtr., przeto:

2rxvxit .In — 648; rx vx = r₂ v₂ = K — 51'58 xx—ll,x a = 100 ,a — 10.

Po wstawieniu wartości w równanie na t wypada:

t = 45-74 dni.

a ztąd

2Kx

2K

4. Linie prądu, powstające w poziomej cienkiej warstwie cieczy wskutek działania centra repul-syjnego i atrakcyjnego.

W wielkiem naczyniu Px z poziomem dnem (fig. 11), znajduje się cienka warstwa wody. Za pomocą przewodu i dostaje się woda do

Pl i

naczynia P₂ przez otwór Rp. Z naczynia Pt wypływa woda otworem A. Otwór Rp będzie polem repu! syj nem, zaś otwór A polem atrakcyjnem dla cienkiej warstwy cieczy w poziomie P₂.

Natężenia tych centrów niech będą jednakowe i dane przez

rx vx =r₂v₂ — K.

Odległość między centrami niech wynosi: 2a.

Prosta, łącząca środki centrów, niech będzie osią X, a prostopadła do niej, przechodząca w połowie odłegłości między centrami, niech będzie osią y (fig. 12).

.....

u® ,

Y—&AśL

Fig. 12.

Na dowolnie obrany element E działać będzie fala wypływowa z centra Rp na powierzchni walca o promieniu rt, nadając elementowi E chyżość vx w kierunku pro-_X mienia RPE. Podobnie fala atrakcyjna, podążająca do centra A, natrafi na element E powierzchnią walca kolistego o promieniu r₂, u-dzielając temu elementowi chyżości v.₂ w kierunku EA.

Rozłóżmy te chyżości elementarne na składowe w kierunku osi Ox i Oy. Jeżeli promienie wodzące tworzą z dodatnią osią Ox kąty ocj i o^, otrzymamy na składowe chyżości wypadkowej wyrażenia:

(D

= vi cos a₂ — vt cos aj.

cos

cos xi —

Związki między rzędnemi elementu E są następujące: a-\-x

rl

rx sin o.j = r₂ sin x^ = y

ri* = (a?+®)² + y*, r₂² = (x — a)²-f-y²

Wskutek działania chyżości wypadkowej przebędzie element E w kierunku tej chyżości drogę ds w czasie dt, względnie przesunie się w kierunku X o długość

albo:

(10)

dx =

(.>

wskutek działania składowej wypadkowej w kierunku X; tudzież o długość

iy={Vy)

. dt

wskutek działania składowej w kierunku y. Z tego wypada

(r)

dy _ V y )_ v^sino^ — vl sin a,

dx

v₂ cos a₂ — vx cos a,

Po wstawieniu wartości odpowiednich będzie

dy

2xy

dx

—a¹-\-x² — y²

(a²-j-y²— x²)dy-\-2xydx= O.

W celu zcałkowania podzielmy to równanie przez y², a otrzy

mamy:

a²

• dy-\~dy

2xydx — x²dy ^

a z tego całka:

X²

a²

(U)

rir** = B,

15. Ruch cieczy w łożysku, wskutek działania jednego centra atrakcyjnego lub repulsyjnego.

jW

25. Profile poprzeczne.

O.

o-uo+co-

*9Wl^4i^«*r^?róa^ae?<ąp0!a^a®<

rossjeaöwfisat!^

albo:

(U)

jako równanie linii prądu, gdzie G jest stałą dowolną.

Dla y—0 wypada x = ±a, co oznacza, że UL§.z,yjtjy.eJ.in.ię prądu przechodzą przez oba centra. Równanie powyższe przedstawia układ kół, które obwodem swoim przechodzą przez centra A i Bp, a których środki leżą na osi Oy.

Zmienny promień tych kół niech będzie Rx; natenczas równanie linii prądu przybiera kształt: gdzie \jRi²—a² = v] oznacza rzędną środka koła. W podobny sposób uzyskuje się równanie układu linii potencyalnych

(12)

x² -f~ y²—2 ²-j- ö²—«²

gdzie R₂ jest zmiennym promieniem kół, których środki położone są w osi 0X w odległości l = \JR₂²-\-ai od środka układu współrzędnych.

Linie prądu przecinają linie potencyalne pod kątem prostym, i są nakreślone na fig. 13 (tab. L).

Dla szczegółowego wypadku, w którym odległość centrów wynosi 15 mtr.; a obniżenie lub podniesienie zwierciadła wody w od-

is

Fig. 14.

ległości 1 m. od centra na osi OX, wynosi 2 cm., przedstawione są na fig. 14 linie potencyalne i linie depressyjne w płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez OX.

Linie wykreślone zostały zapomocą następującej tabliczki.

i:

X₂ R₂

±s

oo

oo

00000

1-5

37-5

18

00052

2-5

22-5

10

0-0056

3-5

1605

6-27

00062

45

12-50

4-00

00078

5-5

10-22

2-36

00108

6-5

8-55

102

0 0300

0=K(

ri²

5. Ruch cieczy wskutek działania trzech centrów atrakcyjnych lub repulsyjnych, rozłożonych w linii

prostej.

Dane są trzy centra o jednakowem natężeniu, rozłożone na prostej w równych od siebie odległościach. Natężenie centrów dane jest przez:

i

4r*V/ i

:y

. / / :

Przyjmując prostą łączącą środki centrów    _*_x

za oś y, a prostopadłą do niej, przechodzącą przez środkowe centrum za oś X, oraz zakładając, że odległości pomiędzy centrami są jednakowe i wynoszą b, otrzymamy na składowe chyżości wypadkowej dowolnego elementu E, którego położenie danem jest przez x,y. wyrażenia:

r\v\ =r₂vx — r₈vt = K

A₃<pXx.

Fig. 15.

= Kx

(“hr+~h~⁺~^r)

■ y—b

‘ r₂²

y+b\ r₃² J

Ponieważ zaś:

ri² = x² -j-y², r₂lx² -f-(y — 6)².r₃² = x² -|-(y -j- 6)²

A V\ ( V\

przeto wstawiwszy te wartości w równania na ^ x J i \y J otrzy

mamy na wyrażenie kierunku chyżości wypadkowej wzór:

_ dy

dr

y—b

y+h

x²~\-y² ' x²-\-{y — bY ' X² Ą-{y-\~by²

\ x²Ą-y²

+ {y —b)

a z tego:

xdy — ydx

xdy — (y — b) dx

&²-f~y²

x2Jr{y—by

x<ły — iyĄ-b) dy _

x2-\-(y-\-by

o (13)

jako równanie różniczkowe linii prądu. Podstawiając dla każdego wyrazu powyższego równania wartości: y=tx dla pierwszego, (y — b) — ux dla drugiego, y-\-b = wx dla trzeciego, wypadnie z łatwością całka:

arc

gdzie <p oznacza stałą dowolną.

Jeżeli nazwiemy przez ax, x₂, a₃ kąty. które dotyczące promienie rl5 r₂, r₃ zawierają z osią X, to powyższe równanie przybierze kształt

“l + ^ + as — ?

co znaczy: dla jednej i tej samej linii prądu suma kątów, jakie tworzą z osią X promienie wodzące, poprowadzone z danych centrów do dowolnego punktu tej linii, jest ilością stałą.

Zważywszy że:

arc

{ty — ^~)+arc( ł9 —    arc{ ł9

2xy

x⁸—y²-\-b²

tudzież że:

arc

(t9 = ~)~h^c(tg

2xy

x²—y9:Ą-b²

otrzymamy:

arc

zakładając zaś otrzymujemy:

(ta== yjW — yt+b*) \ \ 9 x{x² — 3y*-\-b*))

tgv = A

(15)

y    3x²—y²-f-^»² .

x ' x² — 3y²-\-b²

jako równanie linii prądu, w którem .4 oznacza stałą dowolną. Podstawiając

otrzymujemy z powyższego równania:

x²—

b²(A — a)

a(3 — a²) — A(l—3a²)~'

Za pomocą tego wyrażenia na x jest wykreślenie, względnie obliczenie dowolnych punktów tej samej linii prądu bardzo ułatwione. Po obliczeniu wartości na x otrzymuje się:

y — ax.

Linie prądu obliczone według tego uproszczonego równania są przedstawione na fig. 16.

Linie, oznaczone literami Dz 1) tworzą dział pomiędzy centrami; przechodzą one przez punkty zwrotne z dla których:

%o=0,y₀=±-

//

CA

Z-

W76

fl

Fig. 16.

Wartość stałej dowolnej dla tych linij jest:

A = oo •

a ich równanie danem jest przez

(16)

Linie działowe DzD są więc hyperbolami, których ogniska, położone w osi y, odległe są od środka układu współrzędnych o

, 2b

yj=±—=-

Wszystkie linie prądu, położone w polach na zewnątrz linii działowych, przechodzą przez centra atrakcyjne zewnętrzne A₂ A₃; zaś linie prądu, położone w polu wewnętrznem pomiędzy liniami działo-wemi DzD, przechodzą przez środkowe centrum atrakcyjne Jeżeli tę strugę cieczy, względnie linię prądu, która przechodzi prostopadle do prostej, łączącej środki centrów atrakcyjnych, nazwiemy strugą główną, to dla środkowego centra Ax strugą główną będzie linia prosta, a mianowicie oś X. Element cieczy w osi X nie doznaje zboczenia przez centra uboczne. Główne linie prądu dla centrów A₂, A₃ są na fig. 16. oznaczone przez GA₂G i GA₃G. Przechodzą one przez centra atrakcyjne normalnie do osi y.

Dla wierzchołka tych linii mamy:

X₀= O,y₀—±b

(D=0=*

Wartość stałej dowolnej dla tych linii wynosi:

A = O

a równanie ich jest:

(17)

3x² — y² b² = O.

Są one więc hyperbolami, których ogniska położone w osi y znajdują się w odległości:

2b

yf=

od środka układu współrzędnych; są więc hyperbolami współogni-skowemi z liniami działowemi. Wszystkie inne linie prądu są krzy-wemi trzeciego stopnia. Na fig. 16 podana jest dla każdej linii prądu wartość stałej A, odniesiona do wartości na b = 5 mtr.

Poprowadziwszy przez punkt E (fig. 15 str. 23), dla którego chy-żość wypadkowa wyznaczoną została, prostopadłą do kierunku tej chyżości, otrzymujemy na wyrażenie kierunku tej prostopadłej równanie :

x\ ^+yź

x%^y² ' x² -f- (y — 6)²    ' ;r² -j- (y -f- 6)!

x2-\-(y — b)2 y — b

^²+(y+&)²1 y+h

a po uporządkowaniu tegoż równania:

ydy -j- xdx (y — b) dy -j- xdx | {y -|- b) dy — xdx

x²-j-y

x² -\-(y — b)²

x*+ (#+*>)'

Podstawiając w tem równaniu zamiast (%²-\-y²) wartość 2u: i wstawiając różniczki otrzymane w powyższe równanie, otrzymujemy dla pierwszego wyrazu całkę i log (x²-\-y²). Podstawiając zaś kolejno:

x² -\-(y — bf = 2w, i x³ -(- {y -f-bf — 2t; i różniczkując te wartości, uzyskuje się całkę powyższego równania:

■1 (log(X²-\-y²) -f- %(x2 4~ (i¥ — &)²) -f-%(a;2+ (y + b)²) = Cowsź (18) z czego wypada:

albo też:

O»²+y²) • O«² + (y — &)²) • (*²+(y+&)²)=

(19)

(20)

n r₂r₃ — B

jako równanie linii potencyalnej.

Na fig. 16 wykreślona jest linia potencyalna, przechodząca przez punkty zwrotne z. Wartość stałej B dla tej linii wynosi:

M3.

a szczególne rzędne tej linii dla x — O są:

\I3

yf = ±

Dla b = 5 mtr. oraz x = 1 obliczono: y = ±l‘85 mtr.

K.

\!

:v

Fig. 17.

Ao.

Przy założeniu, że grubość warstwy cieczy jest małą, tudzież że obniżenie powierzchni cieczy w osi y dla punktu y — 0’5 mtr. wynosi s^ — 01 mtr., wyznaczono na fig. 17 odkształcenie powierzchni cieczy w osi y powstałe wskutek działania centrów atrakcyjnych Aj , A

W następującej tabliczce podane są wartości obniżenia dla szeregu punktów w osi y.

0-5

o«

40

0049

1-0

0064

4-5

0070

1-5

0051

0056

20

0044

60

0032

2-5

0041

70

0017

30

0040

80

0011

3-5

0 042

10-0

0006

6. Działanie prostolinijnego układu elementarnych centrów atrakcyjnych.

Niech fig 18 przedstawia warstwę cieczy rozpostartej w bardzo małej grubości Js na płaszczyźnie poziomej, ograniczonej tylko nieskończenie długą krawędzią LL, przez którą ciecz się przelewa; zaś c oznacza chyżość, z jaką ciecz na krawędzi LL do przelewu pobudzoną zostaje. Każdy element cieczy, na tej krawędzi położony, staje się centrem atrakcyjnem dla elementów cieczy w warstwie położonych.

Niech więc na element E, położony w odległości OE—y od krawędzi przelewu, działa element A, położony na krawędzi LL w odle-y\

->■

}B

-f-

Ffc s ~' \ \

fi

Fig. 18.

głości O A —x od prostopadłej do LL, przechodzącej przez E. Z centra atrakcyjnego A rozejdą się fale wypływu, z których fala o promieniu EA = r dosięgnie elementu E. Niech szerokość elementów, na krawędzi położonych, daną będzie przez dx; natenczas elementarna ilość cieczy, jakaby przez element A wypłynęła, daną będzie przez:

dM = c.\.dx

Fale wypływowe, powstałe z każdego elementu na krawędzi LL, rozchodzić się będą w warstwie cieczy na powierzchni walca półkolistego, o wysokości X, nadając elementowi E jakąś chyżość w kierunku do centra atrakcyjnego, o wielkości, odpowiadającej ilości wypływu przez centrum atrakcyjne.

Chyżość na powierzchni walca o promieniu EA — r daną będzie przez związek:

dM — r re .>..(§ t>),

jeżeli tę chyżość oznaczymy przez ($0). Z zestawienia tych dwu równań otrzymujemy chyżość, udzieloną elementowi E przez element A; daną równaniem:

fiv)

— dx

%r

Z elementu, położonego w punkcie 0 na krawędzi przelewu, wyjdzie fala wypływowa o promieniu OE—y, udzielająca elementowi E chyżości (§0O). Oznaczywszy kąt EAO przez x, uzyskuje się równanie:

yz=rsinoc, x = rcos a (&w) = (§0O). ~r— i^vo) • ^n a

Odciąwszy na promieniu O E z punktu E długość EJ) — (%v₀), zatoczmy z punktu B promieniem BE=~zl koło, przechodzące przez

punkt E. Koło to przetnie promień EA w punkcie F, a długość EF będzie równą (§0). Promień, poprowadzony do każdego dowolnego elementu na krawędzi LL (z punktu E), odetnie na obwodzie tego koła punkt, którego odległość od E przedstawiać będzie chyżość, udzieloną punktowi E przez dotyczący element.

Rozłożywszy chyżość (Sv) na dwie składowe w kierunku osi 0x i Oy, otrzymamy:

(*;)=«

. cos ot

(y)=$v)si

n ot

Ponieważ elementy cieczy są po obu stronach osi Oy symetrycznie rozłożone, przeto składowe chyżości w kierunku X, udzielone punktowi E} będą dla symetrycznych elementów równe, lecz co do kierunku przeciwne, więc działanie ich wzajemnie znosić się będzie, tak że:

—00

Pozostaje więc tylko składowa w kierunku y. Wyznaczywszy ją dla wszystkich elementów i sumując dotyczące wartości, uzyskamy chyźość wypadkową

O-TO

Wstawiwszy wartości za (8v), będzie:

7T r

da.

7t sina

a ztąd:

2c_r°

w h

Wynika więc, źe,wskutek działania fal elementarnych, powstałych z wypływu cieczy przez przelew na krawędzi prostej, z war-

stwy cieczy nieograniczonej o bardzo małej grubości, chyźość elementu cieczy będzie stałą; a kie-runek ruchu będzie prostopadłym do krawędzi przelewu. Ponieważ j w równaniu na chyźość wypadkową ^ nie ma ani x ani y, przeto wszystkie elementy poruszać się będą z jednakową chyżością.

*70 Jeżeli uważana warstwa cieczy ograniczoną jest z jednej strony krawędzią przelewu, a z drugiej ścianą do krawędzi prostopadłą (fig. 19), natenczas będzie:

(21)

AZ

Fig. 19.

doL—C

---

c dx

cos x. sin x.

c sin x

7U cos x

a ztąd:

*c> O

to

sin x

COS X

dx = — oo

co oznacza, że ciecz oddala się od ściany z chyżością nieskończenie wielką.

Jest to najprostszy przykład kontrakcyi cieczy przy wypływie. Z przykładu tego widocznem jest, że kontrakcja cieczy jest wynikiem atrakcji hydrodynamicznej; wynikiem działania potencyalnego elementów cieczy, wynikiem interferencji fal wypływowych.

*** „Poznawszy ruch cieczy w cienkiej warstwie nieograniczonej oraz działanie centrów atrakcyjnych lub repulsyjnych, można wyznaczyć każdą strugę cieczy, będącej w ruchu skutkiem działania powyżej przytoczonych przyczyn.

Niech tą warstwą cieczy będzie woda wgłębna, rozpostarta na płaskiej warstwie pochyłej, nieprzepuszczalnej. Za pomocą otworów

'Ą

yn

wfß

Ił

11

Fig. 21.

Fig. 22.

Fig. 20.

wiertniczych wyznacza się wysokość zwierciadła wody w kilku punktach, oraz chyżość jej ruchu, w celu uzyskania dat do zamie-

rzonych rachunków, lub dla rozpoznania kształtu powierzchni wody, z którego wnioskować można o jej ruchu.

Kształt powierzchni wody jest danym przez warstwice. Jeżeli stok, na którym woda wgłębna jest rozpostartą, jest płaski, natenczas i powierzchnia jest płaska, a warstwice tej powierzchni będą prostemi równoległemi. Jeżeli zaś stok jest płaskim, ale zmienia swe pochylenie, natenczas i warstwice będą miały rożną odległość, (fig. 20, 21).

Gdy dwa stoki tworzą kosz, natenczas warstwice przybierają kształt fig. 22.

7. Linie prądu, powstałe skutkiem działania jednego centra atrakcyjnego w nieograniczonej warstwie płynącej cieczy.

Niech A będzie centrem atrakcyjnem, którego natężenie danem jest przez r. v = K. Ciecz, rozpostarta na płaszczyźnie, porusza się

<----

*<

Fig. 23.

równolegle do tej płaszczyzny z chyżością c. Przyjąwszy centrum atrakcyjne A za środek współrzędnych, a kierunek ruchu warstwy cieczy za kierunek osi X, otrzymujemy dla dowolnego elementu E cieczy w tej x warstwie, wskutek działania centra atrakcyjnego A i ruchu tego elementu E z chy-źością c, następujące warunki dla ruchu wypadkowego. Centrum atrakcyjne A u-dziela elementowi E, odległemu od A o długość r, chyżości v w kierunku EA. Element E posiada chyźość c w kierunku równoległym do osi X, przeto składowa w kierunku osi X dla chyżości wypadkowej będzie:

V COS OL.

0-+

W kierunku osi y

— v .sin a

gdzie a oznacza kąt, zawarty między promieniem r i osią X. Wskutek działania tych składowych przebiegnie element E w czasie dt drogę:

v. sm a / V\    c-f-v. cos a

wyrażający kierunek ruchu elementu E wskutek działania powyższych chyżości.

Ze względu na to że:

r . y == r sin z,

dx =

(x)dt,dy = {y)

. dt

a ztąd stosunek:

= r cos y.. r- = x²-\- y-

otrzymujemy:

dy

K.y

dx c (x² -f y²)-\- Kx

albo:

(24)

c{x²-\-y²)dy Ą-Kxdy— Ky dx = 0

W celu zcałkowania tego równania różniczkowego podzielmy je przez: (%²-\-y²)', naówczas będzie

Kx dy — Ky dx ;r²4 y²

pomnóżmy i podzielmy drugi wyraz przez xl. a otrzymamy:

(Kx dy — Ky dx) x²

-Ąc+W'

Gałka lego równania daną jest przez:

cy-\-Karc(tg=-yx )= 6j

c dy —j—

ody-j-

(25)

gdzie C\ oznacza stałą dowolną.

Jest to równanie drogi, jaką element E przebiegać będzie wskutek działania powyższych chyżości; czyli: jest to równanie linii prądu, względnie równanie odnośnej strugi cieczy.

W podobny sposób otrzymujemy dla linii lali skutecznej czyli dla linii potencyalnej równanie:

dy

c{x²-j~ y²) -f- Kx

dx

Ky

Kg dy 4- c (x- -j- y²) dx -f- Kx dx = 0

cdx -j- K

ydy-f-xdx x² -J- ifl

. log {x- -|- y~) = Const

(26)

K. log(x²-j-y²)±2cx — C₂

gdzie również 0₂ oznacza stałą dowolną.

Niechaj tą warstwą cieczy będzie woda wgłębna, znajdująca się w warstwie wodonośnej, rozpostartej na pochylonej warstwie nieprzepuszczalnej. Chyżość wody, spływającej po tej warstwie, niech będzie c — 4 mtr. na 24 godzin. Za pomocą wierceń znaleziono, że grubość warstwy wody wynosi h = 3 m. Ma być założoną studnia, z której za pomocą pompy ma się pobierać 105 lit. na sekundę, czyli 9072 m? na dobę. Ta ilość wody dopływać będzie do studni z dowolnego okręgu o promieniu r, z chyżością v. będzie więc:

M— 9072 n/s = 2 riz h ,v

a ztąd wypada:

rv = K= 481-3

Element wody, znajdujący się na prostej, przechodzącej przez środek studni, a równoległej do kierunku ruchu wody wgłębnej, nie dozna zboczenia, lecz tylko powiększenia lub zmniejszenia chyżości. Na tej prostej, a więc w osi x znajdzie się punkt taki, w którym chyżość ruchu wody wgłębnej zrówna się z chyżością, udzieloną dotyczącemu elementowi wody przez pompę, w kierunku przeciwnym. Niech odległość tego punktu od środka studni będzie a, to musi zachodzić związek

a ztąd wypada a = 12034 = x.

Rzędna tego punktu jest y = 0.

^ = Ct=Kn

— x

Ct = 1514-16.

Rzedną dowolnego punktu tej linii, położonego na promieniu wo-

Wstawiwszy te wartości w równanie dla linii prądu, otrzymamy 0-\- K. arcitg

czyli

dzącyrn z punktu A, zawierającym z osią Ax kąt oc, będzie daną według równania 25 przez:

(*Hr)

1514-16 — 481-3. arc

y~

Niech kąt a wynosi 30°, to łuk tego kąta będzie:

arc 30° = ~ — 0'523 o

Wstawiwszy tę wartość w równanie na y otrzymamy:

y = 3156

Poprowadziwszy więc z punktu A promień nachylony pod kątem '    30° do osi Ax, odetnijmy na osi Ay długość y — 315 6 mt i popro

wadźmy przez ten punkt równoległą do osi Ax\ gdzie równoległa przetnie promień wodzący, tam leży szukany punkt dotyczącej linii prądu.

Na fig. 24 są linie prądu i linie potencyalne przedstawione. W celu wykreślenia linii prądu, obwód koła zatoczonego z punktu A dowolnym promieniem, podzielony został na 48 części. Kąt za-

warty między dwoma promieniami podziałkowymi wynosi

Biorąc kolejno łuki, odpowiadające tym kątom między promieniami, oblicza się według powyższego wzoru dotyczące rzędne uważanej linii prądu, które są w następującej tabliczce zestawione:

= 7°30.

360

48

Kąt y.

30

0-523

251-72

315-6

37-5

0654

314-77

300-0

45

0-785

377-80

284-6

52-5

0-915

440 86

268-4

60

1047

502-81

2526

67-5

1180

566-97

236-9

75

1-309

63000

2210

90

1570

75560

189-2

105

120

150

180

1- 932    881-70

2- 094    1007-80

2-618 1260 00 3141 I 151416

1581

1261

631

~T~T"

'S,

!'

4

-4

\H l\\

\

m

V

=V-

V

ik

'/' /

.

l.i_.

VVwy;

_—

/

tr-i

.7

/ VC/

7

' v

/

V

/

I /

Fig. 25.

// /

/ ' ai

i

/

\]T

'i1

Iß

6

y\

V'.

Fig. 24.

Fig. 26.

7

/

/

,1

/

■

/

/

'7

/-

/ /

/

1

7.

/

___*__:

\

/\ 4 /

\

/

Otrzymana w ten sposób linia dzieli warstwę cieczy odnośnie do centra atrakcyjnego na dwie części, a mianowicie: w części, objętej ramionami tej linii dążą wszystkie linie prądu, względnie strugi, do centra atrakcyjnego, natomiast strugi, położone po za obrębem tej linii do centra atrakcyjnego nie dochodzą. Linia ta nazywa się linią działową i jest na lig. 24 oznaczoną literami DXZD

W celu wykreślenia linii potencjalnych przyjmujemy dowolne x i y i szukamy odpowiedniej stałej C₂. Tak naprzykład dla _ zwrotnego Z, dla którego y = 0,x= — a — — 12034.

będzie

. C₂ = K log x² -— 2cx,

0a = 481-3 log (;120S4)* — & 120-34 = 3645-4.

Według tej stałej obliczone są wszystkie inne punkty odnośnej krzywej potencyalnej i zestawione w następującej tabliczce:

C₂ = 3645-4

C₂ = 3645-4

335

+ 20-0

— 25-0

— 50 0

— 750

!/

■4

—120-34

31 6

440

48-2

44-4

338

—1500

—1750

—200-0

-2500

3000

322

70-7

118-8

248-4

442-0

18-4

—1000

Krzywa w ten sposób znaleziona, przechodząca przez punkt zwrotny Z. jest wykreślona na fig. 24 i oznaczona literami P₁ZmZP₂; przedstawia ona pętlicę z dwoma ramionami. Wszystkie strugi, wchodzące do studni, przecinają pętlicę pod kątem prostym, natomiast strugi, do studni nie dochodzące, nie przecinają się z pętlicą, lecz tylko z ramionami jej i także pod kątem prostym. W podobny sposób można więc wykreślić dowolną strugę i dowolną linię potencyalną. Krzywe potencjalne przedstawiają tutaj tak zwane warstwice. Jeżeli za pomocą wiercenia stwierdzono wysokość powierzchni wody w jednym punkcie, to wykreśliwszy przechodzącą przez ten punkt krzy-wą potencyalną, otrzymujemy wszystkie punkty położone wtej samej wysokości powierzchni wody.

jGdy pierwotnie, przed ustawieniem pompy, wszystkie strugi wodne były dane przez proste równoległe do kierunku ruchu, i każdy element poruszał się z chyżością c, a więc elementy wody, które w danej chwili znajdowały się na prostopadłej do kierunku ruchu, lazły się po uły wie jednostki czasu znowu ną linii ..prostej, przechodzącej prostopadle do kierunku ruchu; to wskutek działania pompy elementy wody, znajdujące się w uważanej chwili na prostopadłej do osi Ax. znajdować się będą po upływie jednostki czasu na ob-wodzie linii krzywej, która tu zastępuje miejsce^jnjLzwanpL. z i om ej po rab o li« c h y ż o ś„c i. a dana jest przez równania

zna-

»p o-

(V\ . Kx

UJ=c-f

Ky

x~-\-y¹ 2

które są zarazem równaniami składowych chyżości wypadkowej w kierunku x i y.

Na fig. 25, 26 są przedstawione poziome krzywe prędkości dla profilu o 200 m. powyżej studni, i dla profilu, o 200 m. poniżej studni położonego. Profile wzięte są prostopadle do osi x.

8. Rozwiązanie ogólne.

Cienka warstwa wody, rozpostarta na stoku płaskim,... płynie jutom kierunku z chyżością.....c„

As

Przyjmując dowolny układ prostokątnych osi współrzędnych, w którym oś x przyjmujemy równolegle do kierunku naturalnego ruchu cieczy, oznaczmy przez xy położenie dowolnego jej elementu, a przez ax bx... a₂ b₂... a, bs... położenie centrów atrakcyjnych, których natężenie niech będzie danem przez:

r-₁ vl=Ki, r₂ v., = Kt... r, v, = Ks...

Na wyrażenie składowych chyżości wypadkowej w kierunku osi ox, oy otrzymamy

C)=«±Ż*

8— 1

ir    8—11

9 — 1

x—as

»"

(27)

—b.

Na wyrażenie analityczne warstwie i trajektoryi (linii potency-alnych i linii prądu), otrzymamy: a) dla linij prądu:

s~=n    i

— Const

K,arc{t₉=^‘ ) 8^1 ⁸

(28)

b) dla linij potencyalnych

CX +

Y_ i Ks log [ (x — at )³ 4 -f (y — bxf ] =

8— i

Const

Jeżeli c = o. to powyższe równania przechodzą w następujące: a) dla linij prądu:

± Ks a, ±... = Const

Kx «j -f- A, a₂ -j-

b) dla linij potencyalnych

a-i

a₂

arc

(^=i+a) + Sarc(^

__ y

a?—a

'j — Const

Po rozwinięciu tego równania otrzymujemy

# [#² — 3y²

y [3x²— y²

a²] — a[x² — y- — a²]

Linie prądu będą więc liniami trzeciego stopnia, a trzy linie szczególne będą hyperbolami.

Zakładając w powyższem równaniu y = 0, otrzymujemy: x=±a; wszystkie strugi przechodzą przez centra atrakcyjne. Dla y = 0, otrzy-

mujemy również:

a

::

₀ ; jedna struga szczególna nie przechodzi przez centra atrakcyjne; jej równanie danem jest przez:

3x‘² — y- — 2ax — a²~0\

jest to hyperbola, której oś wielka równa się a oś mała równa się a. Ta linia prądu rozgranicza warstwę cieczy na dwa obszary, należące do odnośnych centrów atrakcyjnych; elementy cieczy, położone w jednym obszarze, nie dochodzą do drugiego.

—.......- --

r«»

/X

\ /I®

X'X

Fig. 28.

Równanie:

x² — 3y² — <il = O

przedstawia główną linię prądu, przechodzącą przez środek At normalnie do osi x: a równanie

x- — y²

a‘ = 0

takąż samą linię prądu dla środka A₂.

Dla linij potencyalnych otrzymamy równanie:

¹

X

²

Fig. 27.

Na dnie znajduje sie n otworów, przez które ciecz dopływa lub odpływa; otwory te tworzą więc centra atrakcyjne lub repulsyjne o róż nem natężeniu.

³

j

rp N. p:.

W cienkiej warstwie cieczy znajdują się dwa centra atrakcyjne: Ax i A₂, których położenie danem jest przez:

⁴

a, bx = b₂ — 0 Natężenie tych centrów jest danem przez:

C V] =K, r₂ v₂ — 2K

Równanie linii prądu będzie danem przez:

rir** = B,

albo też:

[ (x -f- a)² -)- y²]lf'². [' (x —- af -j- y² ] — B

Podstawiając w powYŻszein równaniu y = 0. x = —otrzymu-

3

jemy wartość dowolnej stałej potencyalnej dla pętlicy:

32

B = t\ r₂ ² =■

Na powyższej lig. 28. są przedstawione rzeczone główne strugi i pętlica, oraz dwie strugi dowolne.

27

a³

9. Dwa centra atrakcyjne w warstwie płynącej wody wgłębnej.

Zakładając, że woda wgłębna w warstwie wodonośnej porusza się z chyżością c. w kierunku prostopadłym do osi, łączącej środki obu studzien, przyjmujemy zarazem, że natężenia tych studzien są jednakowe, t. j. że:

)\ v{ — r₂ v.₂ = K.

Przyjmując dalej, że wzajemna odległość studzien wynosi 200 mh którą celem zmniejszenia .wielkości liczb w rachunku przyjęto jako:

2a = 2

tudzież, że stosunek chyżości ruchu wody w warstwie, do natężenia studzien wynosi:

L—0-8.

wykreślono na lig. 29 odpowiadające temu przypadkowi linie prądu i linie potencyalne, których równania, wynikające bezpośrednio z równań 1. (28) dane są przez:

ł/2%l>+a)2Jr y²]-[(x

(29)

a)2Jry²\Jr^y = lo9.B

—

Z porównania fig. 29. i fig. 8. poznajemy różnice w ukształtowaniu się warstwie i strug powstałych w ruchomej i w stojącej

arc (ta — - --f— )4-arc( tg — ——— )— —x ' y x-\-a- ' ¹    ^ x—a / K

warstwie wody wgłębnej, podczas działania dwu studzien jednakowego natężenia.

Poniżej podaję kilka obliczeń, zapomocą których linie na lig. 29 wykreślone zostały. N. p. mam wykreślić linię potencyalną. przecinającą oś y w punkcie danym przez x — 0, y — 300 m. Ponieważ już powyżej zamiast 2a = 200 m. przyjąłem 2a = 2, przeto i tu przyjmuję na y zamiast 300 m. wartość stosunkową 3. Mam więc dane następujące wartości:

a = l, Cj£ = 0'8, x — 0, y — 3,

wstawiam je w równanie (29) i otrzymuję:

V* log (1 -f 9) {1 -f 9) -f 0-8.3 = log 10 -f 2 4 = log B ponieważ log 10 — 2‘30258509, przeto po wstawieniu wartości i zaniechaniu dalszych miejsc dziesiętnych otrzymuję:

log B = 4-70

W celu wyznaczenia następnych punktów tej samej linii potencjalnej, przyjmuję n. p. y — 2'80. lecz x muszę z równania na log li. obliczyć. Otrzymuję przeto:

Vs log [ (x + lf -f 7-84] [ (x — 1)*-f 7-84] + OS. 2S0 = 4 70 albo: log [ {x -f 1 )² -f 7S4] [ (a? — lf-j- 7S4] = 2 (470 — 2-24)

Po uwolnieniu od logarytmu, przy użyciu tablic logarytmów naturalnych będzie:

[ (x -j- iy -f 7-84] [ (x — iy -f 7-84] = e*S2 = 137

Rozwinąwszy to równanie otrzymuje się po skróceniu: xA -j- 13'68x² — 58'8544 = 0

z czego wypada:

,r² = — 6-84 ± 10-27, ±x = \ 3 43 = 1S5.

Tak otrzymane rzędne zestawia się w tabliczkę dla każdej linii z osobna, (str. 43).

W celu obliczenia strugi dowolnej przyjmuje się dowolny punkt, którego rzędne są określone według powyższych założeń, a przez który struga ma przechodzić. N. p. x = 4:50, y — 3’50. te wartości wstawia się w równanie na strugę (29), któremu nadaje się kształt:

2xy

—a%—y²

tg(Ai + X x)

Po wstawieniu wartości będzie:

tg (At0-8.4-50) = 4-o

log B = 470

300

2-80

1-85

2-50

297

200

434

100

702

10-53

Log tg (A₁ -}- 360) = 10 6532125 ,

przeto

ten logarytm na styczną odpowiada kątowi:

77° 28’ 15”

temu zaś kątowi przynależny luk wynosi:

AXĄ- 3-60 = 1-352121, At = - 2-247879

z czego wypada:

W celu wyznaczenia dalszych punktów tej strugi przyjmuję n.p. x = 4, a y muszę obliczyć; wstawiam tedy wartość na a? w powyższe równanie i otrzymuję:

8y

15—y*

z czego się otrzymuje:

tg (— 2-247879 -f 0S4) = tg (54⁰ 33' .9”) = 1-4046

a z tego wypada

y--j- 5‘69y —15 = 0 » = + 1-95

Dla tej samej strugi mamy więc już dane punkty przez:

y — 1’95.

x = 4'50, y = 3’50. x = 4'

W podobny sposób wyszukuje się resztę punktów, których rzędne zestawia się w tabliczkę dla każdej strugi, w celu jej wykreślenia. Przy obliczaniu strug trzeba zawsze zwracać uwagę na każdorazowe

przejście luku: yAx    ) przez wielokrotność wartości ^

dującą zmianę znaku.

Na fig. 29. oznaczoną jest główna struga literami GG, punkt zwrotny literą z, a dział jyójd literami DzD, przyczem na każdej linii potencyalnej wypisane są logarytmy dotyczącej stałej potencyalnej B.

00 5

powo-

/ równania (29), po uwolnieniu od logarytmu. otrzymujemy wyrażenie:

[ (x -j- a) - -f y²]'. [ (x — af + y'³J;. gdzie podstawiając x — 0, będzie:

*y=B

(30)

(a²-'ry-)el-y = B

równaniem zmiany potencyału w osi y.

Uważając stałą dowolną B jako zmienną, zależną od y. i różniczkując równanie (30) otrzymamy:

(31)

dB

(32)

*\**+-ev+Ą

Równanie (31) przybiera wartość zera, dla:

y-+ y-v<r = o

dy

Po rozwiązaniu powyższego równania otrzymujemy:

//,=

ar

jako rzędne punktu, w którym główna struga przechodzi przez oś y, tudzież

y-= —

na rzędnę przecięcia się działu wód z osią y.

Dla wypadku przedstawionego na lig. 29 jest: yg=—0‘50, yd= — 2.

10. Kształt typowy tak zwanej paraboli chyżości.

W zbiorniku bardzo wielkim, nieograniczonym, jest rozpostartą warstwa cieczy o bardzo małej grubości a; na poziomem dnie zbiornika znajduje się mały otwór, przez który ciecz wypływa. Otwór ten będzie centrem atrakeyjnem dla warstwy cieczy w zbiorniku zawartej. Wypływ niech będzie trwały, to znaczy, że w każdej jednostce czasu wypływa przez otwór ta sama ilość cieczy.

Wszystkie elementy cieczy, znajdujące się w danej chwili na obwodzie walca prostokątnego, którego wysokością jest grubość warstwy, a podstawą koło. zatoczone ze środka otworu dowolnym promieniem r, będą płynęły do otworu z jednakową chyżością v, gdyż gęstość cieczy w warstwie o małej grubości jest w każdym kierunku jednakowa. Masa cieczy przepływającej na jednostkę czasu przez obwód rzeczonego walca będzie, ze względu na trwałość ruchu, taką samą, jaka w jednostce czasu przez otwór wypływa; za podstawieniem a = l₁ będzie:

M — 2r%\v

Przez obwód walca o promieniu t\ będzie przepływać ta sama ilość cieczy z chyżością vt, przeto:

M= 2 f\ iz a vl a z powyższych równań otrzymuje się:

rv — K

gdzie K oznacza ilość stałą.

Poprowadźmy w dowolnej odległości od centra atrakcyjnego płaszczyznę pionową w dowolnym kierunku; płaszczyzna ta przetnie się z warstwą cieczy w pasku pionowym, który w rzucie poziomym jest przedstawiony jako prosta MN na fig. 30.

Prostopadłą do MN, poprowadzoną z centra atrakcyjnego, przyjmijmy za oś x, a równoległą do MN. przechodzącą przez centrum, za oś y. Ponieważ skuteczne fale, rozchodzące się z centra atrakcyjnego, są powierzchniami obwodowemi współśrodkowych walców kołowych, więc w rzucie poziomym będą się te fale przedstawiały jako koła współśrodkowe, przecinające się z prostą MN w punktach rozłożonych symetrycznie po obu stronach osi ox.

Oznaczmy odległość centra od prostej MN przez OA = a. Linie falowe o promieniu mniejszym od a nie przetną się z prostą MN.

Każdy element cieczy, położony w pasku MN, należy do innej linii falowej, oznaczonej odległością dotyczącego elementu od centra atrakcyjnego; będzie więc płynął ku temu centru z chyżością, odpowiadającą dotyczącej fali. Kierunek ruchu każdego z tych elementów jest w tym wypadku danym przez prostą, łączącą dotyczący element z centrem atrakcyjnem. Dowolny zatem element E, leżący na prostej MN, którego odległość od centra wynosi: OE=r, poruszać się będzie wzdłuż tego promienia z chyżością: v= -oznacza chyżość r elementu cieczy, położonego na

Niech

linii MN w najmniejszej odległości od centra; t. j. w punkcie Ax dla tego elementu będzie:

.a = K.

'"9-

Fig. BO i 31

rrn

4P

C.

Z*

Dla dowolnego elementu E jest

a ztąd wynika:

ŚsS f?*. (i /    \

V = - •

Oznaczmy przez z kąt, zawarty między promieniem OE i osią Ox, w takim razie wynika z trójkąta OAE, że:

czyli:

co wstawione w równanie na chyżość elementu E, daje:

O A — OE cos a a — r cos a

. COS 7. .

To oznacza dla uważanego wypadku: że c h y z o ś ć dowolnego elementu cieczy, położonego na p ros t ej M X, Je st......ilo

czyn e m z c h y ż o ś c i elementu, położonego w osi Ox. przez dostawę kąta, jaki promień wodzący uważanego punktu tworzy z osią Ox.

Przyjąwszy na przedstawienie chyżości ( ^ j długość AD—{^ V£ j

zatoczmy koło z punktu O promieniem OH—AD i połączmy punkt E z punktem O; wtedy kąt EGA będzie równy a. Z punktu, w którym promień OE przecina się z kołem, zatoczonem promieniem OH, t. j. z punktu F. poprowadźmy prostopadłą do osi Ox, aż do przecięcia z tą osią w punkcie G: wtedy długość OG będzie daną przez

OG = OE cos y. = OH eos x — AD cos a

(U

COS a

Długość OG będzie więc przedstawiała chyżość v elementu E wzdłuż prostej EO. czyli w kierunku linii prądu w punkcie E.

Odznaczywszy więc na promieniu EO z punktu E, El— OG=v, otrzymamy punkt 1, przedstawiający położenie elementu E po upływie jednostki czasn od owej chwili, w której dotyczący element cieczy znajdował się w położeniu E na prostej MN. Dowolny inny element cieczy, znajdujący się w uważanej chwili na prostej MN w punkcie S, znajdzie się po upływie jednostki czasu na promieniu SO w położeniu T i t. d. Wyznaczywszy w podany sposób położenia dowolnych punktów prostej MN po upływie jednostki czasu na dotyczących promieniach, połączmy kolejno uzyskane punkty ze sobą; wtedy otrzymamy linię krzywą, oznaczoną na fig. 30 przez l.D.I.T. ialbo przez 1.D1.

Linia ta przedstawiać będzie położenia wszystkich elementów cieczy, które w danej chwili znajdowały się na prostej MN, po upływie jednostki czasu od owej chwili; będzie więc tak zwaną para-bolą chyżości. Nazwijmy tę linię t a c h o i d ą. Niech rzędne dowolnego elementu cieczy, położonego na prostej MN w punkcie E} dane będą przez: OA = x = a;... A.E—y; a rzędne punktu tacho-idy, odnoszącego się do elementu E, a więc punktu /, przez ; = O A —TL,... 7j = AE—EL.

EL = El siu a

Natenczas zachodzić będzie związek IL — El. cos a

a ponieważ przeto będzie:

EI=OG = v

i — a — v cos a,... 7}=y — v sin a.

Zostawiwszy w obu równaniach wyrazy kątomiernicze po jednej

stronie, utwórzmy kwadraty tych równań i dodajmy do siebie, na-ówczas otrzymamy:

{a— S)a + (y —    =

Ponieważ

r² — a²-j-y², av² =

r² ‘

przeto powyższe równanie przekształca się na:

« 'S

(«* + !/³) {(« — y² + (y — ²! =0S

Ponieważ dalej:

tg-, = y~=l

a c

czyli więc podstawiwszy zamiast y wartość a Ü w powyższe równanie, otrzymamy po uproszczeniu: (33) jako równanie rzeczonej tachoidy; z czego się okazuje, że ta-c h o i d a, p o w s t a ław cienkiej warstwie cieczy wskutek działania jednego centra a tr akc y j n ego, j es11 i n ią trze-ci eg o stopnia.

Tworząc z tego równania iloraz różniczek zmiennych ć i rt, otrzy

mamy :

tgy =

di] _

<Ę~

2 ri (a — ę)

Dla i) = 0 jest tg (<p) = oo. Styczna, poprowadzona przez punkt: = 0, 'i —a—(Jj)o do tachoidy, jest równoległą do osi Oy.

la    i —a jest 7] = ^ = oo, tg<p = °o

Prosta MN jest ledwonitstyczną tachoidy. Jeżeli chyżość w głównej strudze, t. j. w kierunku prostopadłej, poprowadzonej z centra atrakcyjnego do prostolinijnego układu elementów MN, jest co do wielkości równą odległości centra atrakcyjnego od prostej MN,

t. j. dla =a, natenczas tachoida będzie miała szczyt położony w punkcie środkowym układu współrzędnych i przybierze kształt, przedstawiony na fig. 30, a oznaczony 202.

Jeżeli chyżość w strudze głównej jest większą od odległości cen-

tra atrakcyjnego od prostej MN, t. j. jeżeli    > a, natenczas

tachoida przejdzie po za centrum atrakcyjne, tworząc z niem pętlicę; a kształt tej tachoidy przedstawia na fig. 30. linia, oznaczona przez SONS.

Gdyby centrum O było centrem repulsyjnem, t. j. gdyby przez centrum O ciecz dopływała do warstwy, natenczas tachoida przedstawiałaby się według kształtu linii 4B4 na fig. 30.

Rozłożywszy chyżość v elementu E na składowe w kierunku osi 0x i Oy, otrzymamy dla składowej w kierunku 0x:

(x)z=vmso'»

— v sin y.

a w kierunku Oy —

Wyprowadziwszy z punktu E prostopadłą do MN, czyli równoległą do osi Ox, odetnijmy na tej prostopadłej długość EZ—vcos a

w kierunku składowej    Uczyniwszy to dla każdego elementu,

czone

położonego w prostej MN, otrzymamy szereg punktów, które połą-ze sobą, dadzą linię krzywą, przedstawiającą zmianę wielkości

składowej (^ ) , z rosnącą rzędną y dotyczącego elementu cieczy

prostej MN Linia ta będzie tachoidą dla chyżości składowej kierunku x. Linia ta jest na fig. 31 oznaczona przez 5D5.

Związek, zachodzący między wartością (^ ) a rzędną y uważanego elementu cieczy, położonego w prostej MN, będzie:

(«²+«/³) (*)=«²(«)„

Jeżeli więc daną jest chyźość elementu w strudze głównej, t. j. w osi Ox, odległość centra od układu prostolinijnego MN i rzędna

ma być wyznaczoną, to

y tego elementu, którego składowa

powyższe równanie da nam wielkość tej składowej.

Jest to również linia trzeciego stopnia, dla której ledwon^tyczną

jest linia MN. W równaniu tachoidy dla jest linia MN przyjętą za oś y, a środkiem układu współrzędnych jest punkt przecięcia się głównej strugi z prostą MN. Równaniu temu można nadać kształt inny, przyjmując inne położenie dla środka układu współrzędnych. Przyjmijmy więc wierzchołek tej tachoidy, jako środek układu osi sprzężonych, zatrzymując jednakowoż ich kierunki. W tym celu podstawmy

i wstawmy wartość na (J^j w powyższe równanie tachoidy, a

otrzymamy:

Po uproszczeniu będzie:

(35)

) .y²— a²x — xy² — 0

Dla punktów tachoidy, położonych w pobliżu strugi głównej, będą rzędne x i y bardzo małe; a tem bardziej iloczyn xy² małym będzie; więc można go z równania opuścić dla punktów położonych w pobliżu środka układu osi. W takim razie otrzymamy:

(36)

(v)

yX )

— v .cos a, v —

I , cos a =

r² — a²-\-y²

z czego wypada:

I y² — a²x = 0 ;

a zakładając

w <s

2p

uzyskamy dla tachoidy uproszczone równanie dla rzędnych małych:

(37)

y² = 2px

na

Jest to równanie paraboli, a różne pomiary chy-żości wody płynącej wykazały, że w łożyskach bardzo regularnych, linia, według której zmienia się chyżość powierzchni wody płynącej, lub wogóle w płaszczy-źnie poziomej lubpionowej, jest wprzybliżeniu para-

I Ąmt tnifjam, I l    'IH' I «■-    HC&JJIU1 -WFJu:.glg¹1'Iąi l    i mw-»»¹*'—u III—Wi—W*

bolą.

Przyjmując układ prostolinijny elementów cieczy, załóżmy, że centrum atrakcyjne znajduje się w odległości:

a = 1:5 mtr.

od tego układu, a chyżość w strudze głównej ma wartość:

(    ^ —1'00 mtr.

W takim razie otrzymamy dla paraboli:

2p = 2’25

z czego na położenie ogniska i punktu, przez który przechodzi kierownica paraboli, otrzymamy

±xp — ~ =0-5625

z tego wykreślić można parabolę.

Dla dowolnej małej rzędnej y wyrachujmy odpowiednią odciętą paraboli, n. p. dla y = 0-20; wypada z równania paraboli x=0‘01777.

Wstawiwszy zaś wartość y = 0'20 w równanie tachoidy, odniesionej do tego samego układu współrzędnych, t. j. w równanie (35)

( )₀^² = ^(«² + y²)

uzyskuje się wartość:

Na fig. 32 jest wykreśloną tachoida i parabola dla a —1-5,

ę^^ = P00, parabola jest zaznaczona linią pełną, punkty zaś tachoidy są oznaczone kółkami.

Dla składowej chyźości w kierunku osi y mieliśmy powyżej wartość:

x = 0-017 51

<S

= v. sin a

a z tego wypada:

a.y

V J #²-f-^² ' V Jo

jako równanie chyżości składowej w kierunku y, wyrażonej przez chyżość w strudze głównej i przez rzędną dotyczącego elementu

cieczy, w uważanym układzie prostolinijnym MN.

Wystawiając w dowolnych punktach linii MN prostopadłe i odcinając na nich wartości

odnośnych    tudzież łącząc

kolej no otrzymane punkty, otrzymamy linię krzywą, według któ-

rej zmienia się

niającem się y. Linia ta jest przedstawiona na fig. 31 i oznaczoną przez 6A6, tudzież przez 7A7, zależnie od tego, jaki kie-

dla(J) przyjęty

nie za dodatni lub ujemny. Wszystkie powyższe wywody odnoszą się także i do repulsyi.

ze zmie-

Fig. 32.

runek

zosta-

11. Tachoida wskutek działania dwóch centrów.

W cienkiej warstwie cieczy dane są dwa centra atrakcyjne Ax o natężeniu rx vx = r₂ v₂ — K. Prosta, łącząca środki centrów atrakcyjnych, niech będzie osią x, a prostopadła do niej w połowie odległości między centrami niech będzie osią y. Na prostej MN, równoległej do osi x, uważanym jest element E, na który działają centra atrakcyjne Ax i A₂. Odległość między centrami oznaczmy przez 2a, a odległość prostej MN od osi x przez b. Rzędne punktu E będą x, b.

Pod tern założeniem uzyskuje się na składowe chyżości wypadkowej następujące równania:

(JM

(x — a)²~\-b²    (a? —|— a)² -\~b²

X —(— Cl j

( F>\ ₌ x~a__

\XJ ((tf—a)²+6²^(x-f ft)²-j-&²j

Pochodna z ( ^ ) względem x przybiera wartość zera

<D

dx

0, dla x — oo.

Uważana prosta MN jest łedwonistyczną do tachoidy.

Dla x — 0, jest styczna równoległą do MN, zaś wartość yy )

jest minimum z wartości dla punktów, położonych między centrami. W punkcie x — 0 jest tachoida wklęsłą i przybiera wartość

2 .Kb

a²-j-6²

W punktach danych przez:

-\/ a\j4aż-\-5b²

jest wartość na j maksymalną. Prosta, równoległa do MN, styka

się w dwóch punktach z tachoidą, jest ona tu wypukłą. Kierunek i wartość chyżości wypadkowej V} dla dowolnego punktu układu

MN, są dane przez ( \    ■

■a²—b²

4-

CL

CL

A,

Fig. 33.

k-

cd

Fig. 34

Tachoida V dla dwu centrów jest przedstawiona na fig. 33, a tachoidy(y) i (J) na fig. 34.

12. Fale odbite.

Niech plaska pozioma warstwa cieczy będzie ograniczoną z jednej strony płaszczyzną pionową, jakoby brzegiem. Fale wychodzące z centra atrakcyjnego lub repulsyjnego, uderzające o brzeg, rozejdą

się według prawa odbijania fal, tak jak gdyby centrum dla fal odbitych znajdowało się po przeciwnej stronie płaszczyzny odbijającej, w tej samej odległości od brzegu, jak centrum wysyłające fale pierwotne. Gdy ruch cieczy, który powstał wskutek działania centra B, jest trwałym, natenczas dowolny element E, pobudzony do ruchu przez pierwotną falę o promieniu rt pod-d ziałaniu fali odbitej z centra B' o promieniu r₁. Jeżeli natę-

;y

yE -

Fig. 35.

Fig. 36.

źenie centra B jest rv — K, to natężenie centra B' będzie r^—K a ztąd wypada, jak poprzednio:

\ r²

* n-HJ

Tachoida dla V jest wykreślona na fig. 36.

13. Izotachy i powierzchnia tachoidalna.

Niech wewnątrz cieczy nieograniczonej, której gęstość jest w każdym kierunku stałą, znajduje się centrum atrakcyjne lub repulsyjne, przez które, na jednostkę czasu, odpływa lub dopływa stała ilość cie-

czy M. Fale wypływowe łub dopływowe, niosące na swej powierzchni zgodne fazy falowania, t. j. w tym wypadku, niosące na swej powierzchni elementy cieczy o równej chyżości, będą kulami współ-środkowemi. Przez powierzchnię takiej kuli o promieniu r przepływają elementy cieczy, mające chyżość v; a ilość cieczy, przepływającej przez powierzchnie tej kuli na jednostkę czasu, będzie:

M= 4 r² %v .g

Jeżeli ruch jest trwały, to M będzie dla każdego czasu ilością stałą, więc przez kulę o promieniu r, z chyżością vx przepływa także

a ztąd

M=4rl²'KVxn y\ ²vl = r²v = Const. = K

Poprowadźmy w odległości x = a od centra dowolną płaszczyznę MN, dajmy na to pionową; to ta płaszczyzna przetnie wszystkie fale, dla których promień r jest = a.

Ponieważ każda z tych powierzchni falowych niesie elementy cieczy z inną chyżością, przeto płaszczyzna MN zawierać będzie płaski układ elementów cieczy z róźnemi chyżościami. Przecięcie kuli z płaszczyzną jest kołem, więc w płaszczyźnie MN wszystkie elementy cieczy, położone na kole. powstałem z przecięcia się tej płaszczyzny MN z dotyczącą powierzchnią falową, będą miały jednakową chyżość; a wszystkie koła w płaszczyźnie MN w ten sposób powstałe, będą miały wspólny środek, który jest rzutem prostopadłym centra na tą płaszczyznę.

-y

Przesunąwszy przez centrum atrakcyjne płaszczyznę pionową równoległą do MN, tudzież płaszczyznę poziomą i płaszczyznę pionową prostopadłą do krawędzi przecięcia się dwóch pierwszych płaszczyzn, otrzymamy układ płaszczyzn i osi współrzędnych, którego środkiem będzie centrum atrakcyjne lub repulsyjne O.

-X

Rzut punktu O na płaszczyznę x_y_

MN nazwijmy przez A, oraz długość OA = a. (fig. 37).

Fig. 37.

Dowolny element cieczy E, położony w płaszczyźnie MN,

niech będzie dany przez rzędne x — a, y, z. Prosta, łącząca punkt E z centrem O, niech będzie r; będzie to promień odnośnej fali ku-

listej. Połączywszy punkt E z rzutem centra na płaszczyznę MN t. j. z punktem A, otrzymamy AE—p₀, jako promień koła, w któ-rem płaszczyzna MN przecina kule o promieniu r.

W obec tego będzie więc:

p₀*= r²— a² — y²    z².

Połączywszy każdy punkt koła o promieniu p₀ z centrem atrak-cyjnem, otrzymamy wszystkie linie prądu dla elementów cieczy, położonych na kole o promieniu p₀. Dla łatwiejszego zrozumienia możemy sobie pomyśleć, że koło o promieniu p₀ jest geometrycznem miejscem położenia wszystkich środków nieskończenie małych elementów (dydz); środkiem paska nieskończenie wąskiego o szerokości do₀.

Wszystkie uzyskane w ten sposób linie prądu będą leżały na powierzchni stożka obrotowego, którego podstawą jest koło o promieniu p₀, a wysokością a. Każdy element cieczy, przechodzący przez ten pasek kolisty o promieniu p₀, a szerokości c?p₀ posiada jednakową chyżość wzdłuż linii prądu w kierunku do lub od centra. Jeżeli więc na każdej linii prądu odetniemy wartość chyżości v, od punktów koła o promieniu p₀, i punkty tak uzyskane połączymy ze sobą, to otrzymamy geometryczne miejsce położenia elementów cieczy wyszłych z układu koła o promieniu p₀, po upływie jednostki czasu od chwili wyjścia z płaszczyzny MN. Linia, powstała przez połączenie odmierzonych punktów na dotyczących liniach prądu będzie kołem, którego płaszczyzna będzie równoległą do MN. Uczyniwszy to dla wszystkich elementów cieczy, położonych w płaszczyźnie MN, otrzymamy położenie tych elementów po upływie jednostki czasu od chwili, w której się na płaszczyźnie MN znajdowały. Jeżeli wszystkie tak uzyskane punkty połączymy jedną powłoką, otrzymamy powierzchnię krzywą, powierzchnię tachoidalną.

Niech chyżość w punkcie A będzie daną przez ( # ) i wtedy chyżość dla dowolnego elementu E na płaszczyźnie MN będzie daną przez:

Oznaczywszy przez współrzędne Ę, yj, (, położenie elementu E po upływie jednostki czasu od chwili wyjścia z płaszczyzny MN, otrzymamy:

V- = {a - i)² + (y — r,)² + (z — ‘O²

(a-^.p + V + (Y = 5«(")o²

7]²-f-‘(²3=p²

a ponieważ:

r² = a²-j-y²-j-s²

-i

V-

y—a

,n\*],

bibuctek^ ^ .

1*    6LÓ'^^r

ii

,/

przeto ze względu na to, ze:

(a — Ę)² -j- (y — 7])² + (z — 'Q² =

“W

\X

otrzymamy na analityczne wyrażenie powierzchni tachoidalnej równanie:

(40)

Zważywszy że:

jako promieniowi koła, na którym znajdą się po upływie jednostki czasu wszystkie elementy cieczy, położone w danej chwili na obwodzie koła o promieniu p₀ w płaszczyźnie MN, widzimy, że powierzchnia tachoidalna będzie powierzchnią obrotową.

Zakładając w równaniu tej powierzchni *(= Gonst. otrzymamy linię przecięcia tej powierzchni z płaszczyzną poziomą. Dla linii przecięcia się tej powierzchni z poziomą płaszczyzną układu współrzędnych, t. j. z płaszczyzną xy otrzymamy:.

{a — Ę)²P + 7]²]³ = £⁶(^)o

Linia przedstawiona tern równaniem będzie odmienna od linii, przedstawionej w poprzednim rozdziale (fig. 36).

Zakładając kolejno E, = Const tudzież v = const o różnych wartościach, przetniemy powierzchnię tachoidalną płaszczyznami równo-ległemi do płaszczyzny yz, a na linie przecięcia otrzymamy równanie

>]²—1-*(²= Const.

jako równanie izotachy, t. j. linii, położonej w płaszczyźnie pionowej, prostopadłej do osi ox, na której to linii znajdują się elementy o jednakowej chyżości. Izotachy są więc kołami, których środek leży w głównej linii prądu.

W celu wykreślenia przecięcia się powierzchni tachoidalnej z płaszczyzną xy zauważmy, że: jeżeli a oznacza kąt zawarty między osią ox a promieniem wiodącym do dotyczącego elementu, natenczas:

— = cos x: r

więc

Fig. 38.

a to pozwala nam bezpośrednio wykreślić linię, przedstawioną na fig. 38.

14. Ruch elementu cieczy w grubej warstwie, wskutek działania dwóch centrów atrakcyjnych.

Nieograniczona warstwa cieczy, o grubości h, rozpostartą jest na dnie poziomem, w którem znajdują się dwa otwory równej wielkości. Przez te otwory wypływa jednakowa ilość cieczy. Ruch jest trwały. Dno poziome niech tworzy poziomą płaszczyznę układu współrzędnych; płaszczyzna zaś przechodząca przez środki centrów atrakcyjnych, prostopadle do poziomej płaszczyzny rzutu, niech będzie drugą, wreszcie płaszczyzna pionowa, prostopadła do prostej, łączącej oba

A,"

środki atrakcyjne, przechodząca przez punkt w połowie ich odległości, niech będzie trzecią płaszczyzną układu współrzędnych (fig. 39).

Fig. 39.

Odległość pomiędzy centrami niech wynosi 2a. Fale wypływowe. rozchodzące się z centrów atrakcyjnych A, i A₂ (przy założeniu że rj — const), będą dla promieni mniejszych od h półkulami, a dla promieni większych od h, powierzchniami krążków kulistvch.

Jeżeli ilość wypływającej cieczy przez jeden otwór atrakcyjny wynosi M, to ta ilość dopływa do tego otworu stale przez dowolną powierzchnię fali wypływowej o promieniu rx z przynależną chyżo-ścią vx, będzie więc:

M = {2 ~ rx ² — 2 - rx (rx — h))vx<j dla powierzchni falowej o promieniu r₂ będzie:

a ztąd:

M—{2% r₂ ² — 2% r₂ (r₂ — h))v₂<> r\ Vl — r2 V2 —K

Dowolny element cieczy E niech będzie danym przez x, y, z; odległości tegoż od centrów atrakcyjnych przez: EAx—rx, EA₂=r2 Element E zostanie przez centrum atrakcyjne Ax pobudzony do ruchu w kierunku EAX z chyżością vx, a przez drugie z chyżością v₂ w kierunku EA₂. Przesunąwszy przez punkt E i oś xx płaszczyznę, łatwo wyrozumieć, że w tej płaszczyźnie odbywać się będzie ruch elementu.

Na wyrażenie promieni rx i r₂ przez współrzędne, otrzymujemy:

rx =(x — a)² Ą-y*z2 r₂* = (x-\-aY-\-y2-\-z'²

Przesunąwszy przez punkt E płaszczyznę równoległą do płaszczyzny yz, przetniemy oś x w punkcie F. Prosta EF—p będzie rzutem promienia rx i r₂ na tę płaszczyznę, będzie więc:

rx ² = [x — a)² -j- p2 >2 ² = (x-\- a)² -j- p²

Rozłożywszy chyżości vx i v₂ na składowe w kierunku osi x,y i z, otrzymamy

=kĄ,

rxŁ

(vx\_ x-a (vx\Ky_ (vx\ rx² ’ \y ) rx² ’    )

x-\-a

= K<

r2

r₃

(?)

a składowe chyżości wypadkowej będą:

X —j— CL

(D= *<£+£)

(I)= Kz{h+E)

r₂

f V\    —a , a;-{-a ^

Składowe chyżości wypadkowej w płaszczyźnie Ex będą:

\x)— A    )

(p)=^p(f4+,Ą)

Ponieważ ruch elementu E wskutek działania centrów At i A3 odbywać się będzie w płaszczyźnie Ex, przeto na wyrażenie drogi tego elementu E w tej płaszczyźnie otrzymamy:

a z tego:

dp _

dx

(x— a) [ (x-\-a)

t\²

r₂²

(x—a), dp — pdx

(ix — a)²-j-p²

(x-\-a)dp— pdx _

(x-\-a)² -j- p²

Po zcałkowaniu otrzymujemy na wyrażenie linii prądu w płaszczyźnie Ex

x² — p² — 2A± xp — a² — 0;

jest to układ hyperboli równobocznych, gdzie Ai oznacza stałą dowolną.

Wstawiając w powyższe równanie wartość

p² = y² -f- z²

otrzymamy:

(41)

x² — y² — z² — a² — 2Ax\Jy²-\-z² = 0,

gdzie A oznacza stałą dowolną.

Jest to układ powierzchni obrotowych, powstałych z układu równobocznych hyperboli, obróconych około osi x.

Dla y = 0, z = 0 jest x = ±a; wszystkie te powierzchnie mają po obu stronach osi x jeden punkt wspólny.

Zakładając z = 0, otrzymujemy znane już poprzednio równanie linii prądu dla dwóch centrów atrakcyjnych w płaszczyźnie poziomej.

Przesuwając przez punkt E płaszczyznę normalną do kierunku chyżości wypadkowej, otrzymamy na wyrażenie nachylenia krawędzi tej płaszczyzny z płaszczyzną Ex, do osi x,

{x — a)

x + a

rx²

do

dx

a z tego:

p dp(x— a) dx    p dp -j- [x-\-a)dx _

(x — a)²-fp²    (a?-j-a)²-fp²    ’

co zeałkowane, daje:

((x — a)'² -j- p²) ((x -j- aY -f- p²) = B², Albo po podstawieniu wartości na p

((x — a)² -j- y² -f- z²) ((x -j- a)² -f y* + z²) = i?²

(42)

gdzie B² oznacza stałą dowolną. Jest to równanie fali skutecznej czyli powierzchni potencyalnej,’ której elementy stoją normalnie do każdorazowego kierunku chyźości wypadkowej. Równanie to przybiera kształt uproszczony:

>\ r₂ — B .

(43)

Zakładając w równaniu na powierzchnię prądu, t. j. w równa-

z — h

niu (41) otrzymujemy:

x² — y² — h² — a² — 2 A x \jh²-\-y² — 0 jako równanie linii przecięcia dotyczących powierzchni prądu z poziomem zwierciadłem cieczy.

Wstawiając w równaniu układu powierzchni potencyalnych na 2! bardzo małą wartość, zbliżającą się do zera, otrzymamy znane już poprzednio równanie układu linii potencyalnych, które w tym wypadku będą lemniskatami.

Przez podstawienie wartości z—h, otrzymamy równanie układu linii, w których powierzchnie potencyalne przecinają się z poziomą powierzchnią cieczy, a mianowicie:

((x — a)² -\-y² A- h²) ((x -f a)² + y² + h²) = B²;

linie te są podobne do lemniskat Gassiniego. Na wyrażenie chyźości wypadkowej otrzymujemy:

| (x—a

V²=K²

r2

Przyjmując w tern równaniu V—Const i zakładając kolejno wartości: x,y,z— Const, otrzymuje się równania izotachy w odnośnych płaszczyznach. Będą to linie czwartego stopnia.

Podstawiając w powyższem równaniu, y — 0, z — h, otrzymujemy na przybliżoną wartość depresyi w płaszczyźnie xz wyrażenie:

U-

“ ' X+ay+hi^+{

'•,²

^*2

Jest to wartość tylko przybliżona, gdyż skutkiem depresyi zmieniają się wartości na chyżość wypadkową i na promienie wodzące, których równania przybierają kształt:

rt ² — (x — a}² -j- (h — s)², r₂ ² = (x -|- a)² -j- (h — s)².

Kształt linii depresyjnej w płaszczyźnie xz przedstawia w przybliżeniu tachoida V na fig. 33.

Środowisko, z którego się wodę wgłębną pobiera, stawia ruchowi wody pewien opór, skutkiem którego następuje opóźnienie w dopły-wie wody z warstw odległych, a w następstwie tego opóźnienia większe obniżenie powierzchni w uważanym punkcie. Po upływie jakiegoś czasu napływa wskutek zwiększonego obniżenia większa ilość wody do uważanego punktu, w którym powierzchnia cieczy znowu się podnosi, następnie opada, poczem się podnosi i t. d.

Przebieg depressyi co do czasu w uważanym jakimś punkcie na powierzchni wody wgłębnej przedstawia linię falową (sinusoidę), o malejących stopniowo wzniesieniach, które nikną dla czasu: t = oo.

15. Ruch cieczy w łożysku, wskutek działania jednego centra atrakcyjnego lub repulsyjnego.

Danem jest łożysko prostokątne o brzegach równoległych. W środku dna łożyska znajduje się centrum atrakcyjne lub repulsyjne,

a w płaskiej warstwie cieczy, o małej grubości, został ruch wypływowy utrwalony.

Niech oś łożyska będzie osią x, a prostopadła, przez centrum przechodząca, niech będzie osią y (fig. 40). Grubość warstwy cieczy niech bę-Tmfrr/m dzie X, chyżość wypływu na promieniu r₀ niech będzie c, gęstość jest wszędzie stałą a=l. Objętość wypły-

. j//j r/////////;/ ///;/ ;//// ;// /s// s/// //// /;/ //

?>ME

x-

T7777777777,

7777777777

fi

Fig. 40.

wającej cieczy będzie zatem

M=2%r₀\c.

Dla promienia AF=x będzie

V.-+S)

M = 2 x X v₀ arc ^ tg

czyli

r₀1: c =

2 x v₀ arĄ' tg

V-+(|)

)■

²\!x²-\-yZ—

Dla dowolnego punktu E, położonego w przekroju MN, będzie: 2\Jxi-\-y². arc ^ tg

Zważywszy, że składowe chyżości dane są przez:

\lx² -j- g-

otrzymujemy:

55 «5 <S

55 N:

g=C₁x

a z tego: jako równanie linii prądu; tudzież

x²Aryi—G2

a z tego: jako równanie linii potencyalnej.

Taki więc byłby ruch cieczy w łożysku, wskutek działania jednego centra atrakcyjnego lub repulsyjnego, gdyby nie następowało odbicie fal wypływowych od brzegów.

Na dowolny element E cieczy w łożysku uważanem, prócz fal pierwotnych, wychodzących z danego centra A, działają także fale od obu brzegów odbite; tak jak gdyby wychodziły z centrów, położonych po za brzegami w odległości, równej połowie szerokości łożyska; przeto następuje tutaj ruch złożony, analizowany w poprzednim rozdziale dla prostolinijnego układu trzech centrów. Linie prądu, względnie strugi, będą więc liniami trzeciego stopnia. Na chyżość wypadkową dane były wyrażenia przez (.jT), (y)j z czego można obliczyć i wykreślić wszystkie trzy tachoidy.

Fig. 41.

Na fig. 41. są przedstawione linie prądu dla tego wypadku.

16. Ruch cieczy w łożysku, wskutek działania prostolinijnego układu centrów atrakcyjnych.

Danem jest poziome lub bardzo mało nachylone prostokątne

łożysko, o brzegach równoległych, rozciągające się w nieskończoność, wypełnione cienką, płaską warstwą cieczy. W jednym końcu jest łożysko otwarte, a ciecz zasilana stale w nieskończoności, wypływa trwale przez krawędź przelewową na dnie, stojącą prostopadle do brzegów.

Szerokość łożyska niech będzie daną przez 2b; grubość cienkiej warstwy cieczy przez X, a chyżość wypływu na krawę-dzi przez c. Gęstość cieczy niech będzie stałą i daną przez g=1.

Oś łożyska niech będzie osią x7 krawędź przelewu osią y. (f. 42).

W warstwie cieczy płynącej łożyskiem badajmy ruch dowolnego elementu E, danego przez współrzędne x, y. Oznaczmy OF—y, EF=x, AE=r, AF—r^.

Poprowadźmy przez punkt E równoległą do osi xx aż do przecięcia się z krawędzią przelewu w punkcie F} a w dowolnej odle-

*//ZJ//ZZZZZ/JZZ?///SJjS/S//

ZJZJZZZZZZ/Z//

x~

WJ777T77177777777777777TJ7777777ti7777777777J7777777777»

Fig. 42.

ległości 7] od tego punktu, na krawędzi przelewu, przyjmijmy dowolny element A, przez który ciecz pobudzoną zostaje do wypływu. Szerokość przelewowego elementu A niech będzie dy, a wysokość jego X.

Element A tworzy centrum atrakcyjne »elementarne« dla wypływającej cieczy. Objętość cieczy, wypływającej przez centrum elementarne A, jest daną przez:

dM—l.dri.c

Do tej ilości wypływu zostaje ciecz pobudzoną na krawędzi przelewu w punkcie A. Ten elementarny impuls wypływu rozejdzie się w otaczającej cieczy na powierzchniach falowych, półkolistych, o wysokości X, i dosięgnie elementu E na powierzchni walca kolistego o promieniu r, pobudzając element E do ruchu w kierunku EA z chyżością (Sv), daną przez relacyę:

d M = w. r. X. (<fo)

z czego wypada:

Z każdego elementu na krawędzi przelewu rozchodzić się będą fale, udzielające elementowi E odpowiednich chyżości w dotyczących kierunkach, wskutek czego element E poruszać się będzie w kierunku wypadkowym z chyżością wypadkową. Wszystkie więc fale wypływowe, wychodzące z centrów elementarnych, na krawędzi przelewu położonych, interferować będą w punkcie E. Rozłóżmy chyżości, udzielane temu elementowi, na składowe w kierunku osi x i y, wtedy składowe chyżości wypadkowej dane będą przez algebraiczną sumę równoimiennych składowych chyżości elementarnych.

Oznaczmy składową chyżości (8t>) w kierunku osi y przez ^ ^ J

a w kierunku osi x przez tości otrzymamy:

naówczas na wyrażenie ich war-

'i |

Ze względu że:

CL

5'

ri.dr!

(44)

Archiwum nauk. B. I. 1.

c xdr{

(44)

7; ’ x²-^tf

przez

rżąc z powyższych wyrazów algebraiczne sumy, otrzymamy:

Oznaczmy dla chyżości wypadkowej składową w kierunku y (a składową w kierunku x przez ( ^T), naówczas two-

H-»

C >1-^

ja;²-|-7]²

bĄ-y

b—y

U Ci

x. d r,

a?²—j— 7j

, c C xdr{

² ' tc Jx²Ą~r,

Zważywszy, że wobec tj rzędne x i y są niezależne, otrzymamy po zcałkowaniu powyższych wyrazów:

(45)

0=^7

a:

(46)

arc

TU

(^=^)+are(^⁼^)

Podstawiając w równaniu na {^y') > dla dowolnego x, wartość y = 0, otrzymujemy: (    = 0; co oznacza: elementy cieczy,

Przyjmując x=0, otrzymujemy chyżość poprzeczną w centrach atrakcyjnych, powstałą przez atrakcyą tych centrów na siebie. Chyżość poprzeczna w centrach atrakcyjnych daną jest przez:

—max. =

położone w osi łożyska, nie doznają zboczenia p r zy przepływie. Dla y=b, jest

(v)=<Llog\±L

yyy -    ^ b — y

Dla y = 0, będzie    —0; dla y — b, staje się: (J)

n a krawędzi

00

co oznacza: element

lew u przy brzegu, zostaje odchylonym ku osi łożyska z chyżością nieskończenie wielką.

............. ...y - ■ V ........ .    ......•.    .......... ....    .......    '    ⁶

Przy założeniu: b — 1, c = dla profilów: x = 0, oraz x = 1, a odnośne ich wartości dla szczególnych punktów w następującej tabliczce zestawione. Te dwie tachoidy

1, obliczone zostały składowe (^

(oraz    są na fig. 43 i 44 wykreślone.

x=0    x=l'₀

CO

0-256

0-99    !    1-685

0-90    0-937

0-250

0-241

0-80    0-700

0-223

0-70    0-552    0-202

0-60

0-441    0-178

0-50

0-350    0152

0-40

0-270    0123

0-30

0197    0-094

Fig. 43.

0-20

0129    0063

010

0-063

0-031

Różniczkując względem y równanie na składową chyżości wypadkowej w kierunku ruchu cieczy (46), otrzymamy:

4bxy

[x* + (b-\-yY][x* + (b-yy]

Druga różniczka jest ujemna; a więc maximum dla y—0.

Ta wartość jest:

0.-0

max. —

2c

TZ

arc

(*=*)

Gh y ż o ś ć w kierunku podłużnym łożyska jest największa w nurcie (w tym wypadku w osi łożyska).

dla

Zakładając x—Gonst, otrzymamy równanie tachoidy J profdu, odległego o długość x od środka współrzędnych. Dla wartości b = 1, c = l, x = l są wartości (obliczone w następującej tabliczce, a dotycząca tachoida ( ^T) wykreślona na fig. 44.

dx

dy

Po wstawieniu wartości otrzymujemy:

-dx

Fig. 44.

7v)

10

0-9

0-8

0-7

0-6

0-5

0-4

0-352

0-877

0-401

0-424

0-443

0-460

0-474

Przez wyznaczenie składowych ( ^

została określona wielkość chy-

żości wypadkowej oraz jej kierunek, który jest stycznym do drogi, jaką uważany element E przebiegać będzie wskutek działania krawędzi przelewu.

Kierunek stycznej do drogi elementu E, czyli do linii prądu, jest danym przez:

0-3

0-2

01

0-485

0493

0-497

0-500

+ { arC ( ^ =b~^~ )+ arC(tg =~

To równanie różniczkowe jest różniczką zupełną; przeto całka tego równania będzie:

= c,

Jest to równanie linii prądu, gdzie Cr oznacza stałą dowolną. Na fig. 45 wykreślona jest struga, przechodząca przez punkt: x~l, y — 1 dla b = l. Wstawiwszy te wartości w równania linii prądu otrzymujemy

2 arc {tg — 2) — i log {—j^) = Ct Ct= 1-40957

Dla tej samej strugi stała Cx będzie mieć tę samą wartość. Podstawiając w równaniu linii prądu (47) x — 0, otrzymamy:

(b -j- y) arc {tg — oo) — {b — y) arc {tg — oo) — 0 — Cx

izy = 1-40957

y = 0-448681

wypadnie z tego

albo:

a z tego:

jest rzędną, znamionującą w centrach atrakcyjnych (albowiem x=0) położenie tego punktu, przez który przechodzi uważana struga.

Wyznaczając następnie dla każdego punktu wartość: tgy można wykreślić uważaną strugę.

"V

t\

Fig. 45.

Z ilorazu:

a*

SL

przez podstawienie wartości i całkowanie powstałego równania różniczkowego otrzymuje się równanie linii potencyalnej.

Jeżeli uważane elementy cieczy w łożysku znajdują się w znacznej odległości od krawędzi przelewu, natenczas wszystkie powyższe równania przybierają kształt prostszy.

-^{(b+yf—ip—yY)

2 TZX²

a po uproszczeniu wypada:

(48)

2bcy

TC X^

Niech w tym samym profilu, w którym wyznaczono powyższą wartość na ( chyżość poprzeczna przy brzegu, a więc dla: y—b,

daną będzie przez , to zachodzić będzie związek

2bcb

7VX²

podzieliwszy oba ostatnie równania przez siebie otrzymamy:

(49)

(V) = (V) JL yyJ \yh k

co oznacza: w profilach, odległych od krawędzi przelewu, chyżość poprzeczna zmienia się w tym samym profilu według prawa linii prostej.

= max. —

Zważywszy, że wartość x jest wielka, widzimy że

(h+yY

xK

ma

wartość bardzo małą; więc można go wraz z następnymi zaniechać. Niech będzie n. p. szerokość łożyska daną przez: 2b = 10 mtr.

a profil uważany niech się znajduje w odległości x = 100 mtr. to

. WY

₄ = O'OOOl mtr., daje ilość bardzo małą.

Ob

wartość ułamka:

Po zaniechaniu wyższych potęg ułamków, otrzymujemy:

Jeżeli bowiem w równaniu na w szeregi, otrzymamy:

{^y') (45) rozwiniemy logarytmy

Dla y = 0 jest (^) = 0, dla y = b jest

Chyżość poprzeczna w uważanym profilu maleje od brzegów ku środkowi, i dla dowolnego punktu uważanego profilu daną jest przez chyżość poprzeczną

^    J    v    *    V    A Ł    *

przy brzegu, pomnożoną przez iloraz z odległości tego punktu od nurtu (osi), i z po ł o w y js ze. r o kości, łożyska. > Kierunek chYŻości poprzecznej przy odpływie (centra atrakcyjne)

— • ii—irTi--nrt« -jf-i⁻*"'—■■ -fi— Jlpwir^ I . n ■ ■ . i ■    «... i..,.. — -J

jest zwrócony do osi łożyska; przy dopływie zaś (centra repulsyjne) jest chyżośó poprzeczna odwróconą od osi łożyska. Dla obudwu wypadków służą te same wzory.

Rozwijając wyrażenie na w szeregi (46), otrzymamy:

-*(*-=*)•+*}

( \ __c\b+y

X

Zważywszy, że x w porównaniu z b jest wielkie, możemy zanie--(-& jako bardzo małych; a w takim razie

chać ułamków:

.(H-y)⁵

5xb

otrzymamy:

2bc |

~x

(50)

Podstawiając w tem równaniu y — 0, otrzymamy wyrażenie na chyżość w osi łożyska, czyli w tym wypadku w nurcie. Oznaczmy

tę chyżość w nurcie przez ( ^ )o naówczas będzie

( \ ₌ 2bc \₁    b² l

■XX

1    ¹    ‘    3x² i

Te dwa równania, podzielone przez siebie, dają

3x² — b² - 3y²_ ~ 3x² — b² ~

- C)

3x²

a oznaczając

3x² — b2 —3—=p

otrzymujemy:

(51)

Jest to równanie paraboli, w którem p oznacza pa-rametr zmienny, zależny od odległości uważanego pro-filu od krawędzi przelewu, albo od krawędzi dopływu. Zapomocą tego równania można niezależnie od x wyznaczyć tachoidę chyżości podłużnej, jeżeli tylko zmierzone lub wyznaczone zostały

chyżości w dwu punktach tego samego profilu, i jeżeli zmierzoną została szerokość łożyska.

Niech pomierzone rzędne dane będą przez: yx, y,, pomierzone chyżości w tych punktach przez (x\⁵ (5 t0 Parametr będzie:

p=

[¥}

ax -(a

H*k

a chyżość w osi

>CL >0).

p—ył

V A yi — yt*

Na przykład: Zmierzona szerokość łożyska wynosi 2 b = = 10 mtr. W odległości od osi

Fig. 46.

łożyska, wynoszącej yx =2 mir., zmierzona chyżość wynosi (Ję')

wynosi chyżość:

= 0'84 mtr. Dla y₂—3 mtr. Z tych danych jest

= 0‘64 mtr.

9.0-84 — 4.0-64

25

0-84 — 0-64 fV\ _ ²⁵ + °'84 \xJo~ 25 —4

Odpowiadająca temu przypadkowi tachoida    jest przedsta

wiona na fig. 46.

Pomyślmy sobie całe łożysko wraz z cienką warstwą cieczy obrócone około osi x, tak, ażeby każdy punkt opisał pełne koło, natenczas otrzymamy rurę zamkniętą walcową o przekroju kolistym, wypełnioną przepływającą cieczą. W równaniu

= 1-00

podstawmy

(I)=(I\Hl

ß=*(D.

= «o; y=r> P — K\

a otrzymamy:

r²

To równanie wyprowadzonem jest w hydrodynamice dla ruchu cieczy w rurkach Poiseuilla.

Ciecz w tych rurkach porusza się cokolwiek inaczej aniżeli to tam przedstawiono.

Przez całą długość rury od naczynia ku wylotowi rury, porusza się każda cząstka cieczy ruchem przyspieszonym. Gęstość cieczy w naczyniu, z którego ciecz wypływa pod znacznem ciśnieniem, jest większą od gęstości cieczy u wylotu rury; gęstość cieczy w rurze maleje od profdu do profilu w stosunku do malejącego ciśnienia, a odnośne chyżości wzrastają. Ciśnienie w jednym i tym samym przekroju rury jest zmienne, w osi najmniejsze a wzrasta ku ścianom rury. Przez każdy przekrój rury przepływa w jednostce czasu inna (zmienna) objętość cieczy, w szelak oż ta sama masa cieczy, według związku:

u₀ a₀ — ut =.... = Gonst.

a tu się sprawdza twierdzenie o stałości lnasy ciecil, będącej w ruchu.

17. Strugi i fale.

Jeżeli uważane profile łożyska leżą w wielkiej odległości od krawędzi przelewu, to zmiany chyżości ( \ ) i ( ! ) w profilach sąsie-

*    ¹    -    ¹    *    -    \ JU y y « y . ..    ....... . .. .    - ... V-

dnich są bardzo małe. W takim razie można przyjąć, że parametry w równaniach na i (y) dla jakiejś małej przestrzeni łożyska

tak mało między sobą różnić się będą. że je za stałe uważać można.

Przy tern założeniu można w jakiejś części łożyska, niezależnie od x, wyznaczyć linie prądu czyli kształt strugi i linię poten-cyalną czyli falową, jeżeli tylko w uważanym profilu wyznaczone

zostały parametry dla ( x j i ( j.

Niech przecięcie uważanego profilu z osią łożyska będzie początkiem współrzędnych. Oś łożyska niech będzie osią x, jej kierunek dodatni w kierunku ruchu cieczy, a linia profilu niech będzie osią y.

Na składowe chyżości wypadkowej dowolnego elementu cieczy w tym profilu dane są równania:

(D I

przyczem zakładamy, że dla sąsiednich profilów ilości (x) i V s4

stałe; tudzież

\y J b\y A’

gdzie również ^ uważamy jako stałe dla sąsiednich profilów.

W takim razie na wyznaczenie kształtu strugi otrzymujemy:

dy

dx

( )’

a dla kształtu fali skutecznej:

dy_ _

dx

(J) i (y) uzyskuje się po zcał-

Po wstawieniu wartości na kowaniu: dla linii prądu:

(52)

x\

y²

2Ap

log y —

'S:

b.

a dla linii potencyalnej:

(5Ö.)

x₂ = C₂ — iBlog{p — y‘¹)

przyczem:

h-=Ap.

Ilości: Cy i C₂ są stałe dowolne, wszelako tylko w pobliżu sąsiednich profilów.

Dla uważanego profilu pp wyznaczono

Cr\ = l,Q=0-20,i = l,p = *5

Z tych danych wyznacza się:

A = 0-20, B = 0 5.

Dla punktu zaś (elementu) danego przez x—0, y = l, wypada: Ct = l, C₂ = 0-1014.

W celu wykreślenia strugi i fali skutecznej, przechodzącej przez element, dany rzędnemi: x—0, y—1, obliczono następującą tabliczkę.

1-60

\p

1-577

Struga

xx

— 0 790

Fala

x₂

+ 00

+ 1-256

1-500

— 0-777

•- 0-449

1-4

— 0-722

+ 0-255

1-3

— 0-622

+ 0-154

1-2

— 0-469

4- 0087

11

— 0.266

+ 0-037

10

0-9

+ 0-336

— 0 030

0-8

+ 0-755

— 0054

0-7

+ 1-273

— 0 073

06

+ 1-914

— 0088

0-5

+ 2-715

— 0101

0-4

+ 3-714

— 0113

03

+ 5-109

— 0-118

02

0-1

-;i~

+ 7-087

— 0124

+10-522

— 0-127

-f 00

— 0128

Według wartości rzędnych, podanych w powyższej tabliczce, wykreślono na fig. 47 linię prądu i linię potencyalną.

Linie prądu i linie potencyalne tworzą układ linii logarytmicznych. Ponieważ, według założenia, rzędne linii, tą tabliczką oznaczonych, mają się odnosić tylko do sąsiednich profilów, położonych przy x=0, przeto zauważyć muszę, że wartości na xx i x₃ większe od szerokości łożyska, zostały podane tylko dla wykazania kształtu linii.

Chcąc uzyskać na xx i x₂ wartości większe, trzeba wprowadzić w dotyczących równaniach zmienne parametry.

Q%

''ct

ir

iii

*!

Fig. 47.

Jeżeli u brzegu łożyska znajduje się jakaś nierówność, o małej powierzchni, to będzie ona działać odkształcaj ąco na przebieg strug płynącej cieczy. Przez tę nierówność zostanie część cieczy w ruchu wstrzymaną; wskutek czego w tem miejscu powstaje nowe centrum falowania.

Dla uproszczenia rachunku załóżmy, że przeszkodę ruchu tworzy mała, płaska powierzchnia (A/), stojąca prostopadle do brzegu. Wskutek tego zostanie wstrzymaną w ruchu struga o przekroju (A/)-Ponieważ, według założenia, płaszczyzna przeszkody stoi prostopadle do brzegu, więc też dla strugi (A /), położonej przy brzegu, zniesioną zostanie tylko składowa ( j. Następstwem tego będzie podniesienie się cieczy w miejscu przeszkody, i powstawanie fal, rozchodzących się w łożysku. Załóżmy, że powierzchnia (A/) jest małą, a fala przez nią wzbudzona niech będzie płaską. W takim razie ruch, rozchodzący się z centra oporu, przejdzie niezmieniony od strugi do strugi. Wynikiem tej nowej interferencji będzie struga, przechodząca przez łożysko, a wychodząca z miejsca oporu.

Jeżeli chyżość w kierunku ruchu przy brzegu wynosiła to chyżość fali płaskiej będzie także (    ; a na wyrażenie kształtu

strugi oporowej, przy założeniu stałych parametrów chyżości ^ j (p) w sąsiednich profilach, otrzymamy równania:

dy

dx

(D+(IX

Zważywszy że:

C)-(Dł- } OrOk-i)

*8 i⁵«

otrzymamy po wstawieniu powyższych wartości w równanie różniczkowe: gdzie:

b.

Po zcałkowaniu otrzymuje się równanie strugi powstałej z oporu:

\-\_-^—^\lo9{Ay^ra)—^j^{AyJra)JrCfi (54) gdzie C₃ oznacza stałą dla x₃ = 0, y=b.

x₃

{Ay+ay

2A³p

Zakładając:    ( ^=0‘20, p=2-5, b—1, otrzymujesię:

Cs=34’90, A=0-20, a = 0'60

Wartości x₃ obliczone dla kolejnych y, są zestawione w następującej tabliczce: (str. 78).

Według tej tabliczki wykreśloną została struga oporowa na fig. 48. (str. 78).

Kąt, pod jakim struga oporowa wychodzi z miejsca oporu, jest dany przez:

— 0-8 2-668

0 3    0-789

0-7

0-276

— 0-4    1-949

0-6    0-390

— 05

2140

0-5    0-513

— 0-6

2-319

04    0-647

— 0-7

2-496

UJT

O+Cl

n

\y J*

ß.

W pobliżu centrów atrakcyjnych wartość chyżości poprzecznej ( ^ zbliża się do <*>, a tera samem i tg 9 zbliża się do 00, czyli 9 do j.

X‘A

1-0

— 0-1 I 1-429

0-9

OIM)

— 0-2    1-603

08    0-173

— 0-3    1-780

0-2    0988

— 0-9

2-833

0-1    1-096

- 1-0

2-988

1-260

Jeżeli zaś strugi są równoległe, natenczas jest:

= const,

/ F\    . w

ly)⁼⁰>    f-p

struga oporowa tworzy linię prostą, nachyloną ku brze-gom pod kątem 45°.

na-

Jeżeli po obu brzegach znajdują się małe przeszkody ruchu,

tenczas z dwu punktów na brze-\    gach przeciwległych wyjdą strugi

oporowe. Te dwie strugi przetną u w iakiemś miei-

scu, zależnem od położenia pun-któw wyjścia tych strug. W punkcie zetknięcia się tych strug oporowych zostanie składowa

Fig. 48.

kie-

(T), zniesioną. z Powodu runków przeciwnych, wskutek czego podnosi się ciecz w tem miejscu

i powstaje f a la stojąca /, jako centrum repulsyjne dla dalszego przebiegu strug (fig. 49).

Fig. 49.

35

Powstaje tu więc podobne zjawisko, jak przy przejściu dwu ciągów fal undulacyjnych z jednakową fazą w punkcie przecięcia się tych fal.

Jeżeli przeszkody ruchu są po obu brzegach symetrycznie rozłożone. natenczas strugi oporowe przecinają się w osi łożyska, gdzie, wynikiem interferencyi fal płaskich, niesionych przez strugi oporowe, będzie szereg fal stojących, rozłożonych w osi łożyska, (fig. 50, 51, 52).

><

Fig. 50.

egg

Fig. 51

Jeżeli brzegi łożyska są równc-ległe, to struga oporowa przedstawiona na fig. 48 uderza o brzeg przeciwległy pod kątem danym przez:

tyty

O-O. , O.

Fig. 52.

odbija się od tego brzegu pod kątem określonym powyżej przez <p, t. j. pod kątem, którego styczna daną jest przez:

(IX ’

przechodzi ponownie przez łożysko i uderza pod kątem ó o brzeg pierwotny, z którego wyszła, odbija się od tego brzegu ponownie pod kątem <p, przechodzi przez łożysko na drugą stronę, gdzie następuje znowu uderzenie i odbicie pod kątami wyżej podanemi i t. d. (powstawanie serpentyn). Za każdorazowem odbiciem przebiega struga oporowa długość łożyska, daną przez graniczną wartość: (x₃)_b, (oznaczoną w powyższej tabliczce wartością: 2'988\ tak, iż po n krotnem odbiciu, struga rzeczona przejdzie długość łożyska, daną przez: (nx₃)_b.

Gdy zaś główne strugi łożyska są równoległe, gdy więc: ( ) =

^ ^ = const., natenczas jest

tg 'i/ = tg <p = 1, <p = ó 45°;

w tym wypadku jest kąt padania równy kątowi odbicia.

18. Fale odbite.

Fala wypływu, rozchodząca się z dowolnego elementu A, położonego na krawędzi przelewu, po przejściu przez uważany element E w łożysku, rozszerza się dalej ku brzegom, od których według znanego prawa odbijania się fal odbitą zostanie (fig. 53).

j¹.

f¹.

As

0 AY

'S

Fig. 53.

Fala od brzegów odbita rozchodzi się na powrót w warstwie cieczy w łożysku, tak jak gdyby wychodziła z centra atrakcyjnego (lub repulsyjnego), położonego na tej samej krawędzi przelewu, po drugiej stronie brzegu, w odległości od tegoż, równej odległości centra pierwotnego od tego samego brzegu i oddziaływa ponownie na uważany element

A jest dowolnem centrem atrakcyjnem na krawędzi przelewu yy, Aj jest obrazem centra A dla brzegu Bx, czyli urojonem centrem atrakcyjnem dla fal odbitych od brzegu Bt, wreszcie A₂ jest centrem dla fal odbitych od brzegu B₂.

Dalej niech oznacza:

AE=r, A₁E=r₁, A₂E=r₂

OF= y

EF=x, AF—ri, A₁F=2(b-y)-\-ri, A₂F= 2{bĄ-y) — yj .

Na dowolny element E działać więc będą fale:

1) pierwotna z centra A, 2) odbita od brzegu Bt, 3) odbita od brzegu B₂ i udzielą elementowi E chyżości: (§v), (&%), (§v₂), w kierunku promieni r, r1} r₂.

Rozłożywszy te chyżości na składowe w kierunku osi x i y, otrzymamy dla składowych w kierunku osi x:

(t)

cx

dr\

TC ' a? ² —j— 7J²

cx

d‘fj

X²+[2(jb-y)+viY

dr\

cc a;²-|-[2(fe + ^) —Y)]²

Składowa chyżości wypadkowej w kierunku osi x będzie daną przez algebraiczną sumę chyżości elementarnych pierwotnych i odbitych, wyznaczonych dla każdego centra na krawędzi przelewu. Będzie więc:

(.Vn(ir)+rt,)+ft)]+

7j = 0

+T[(t)+ft)+ft)]

71 =0

Po wykonaniu całkowania otrzymamy:

( x)=i { arc ( t9 = i-~L) + are ( ¹⁹

±Ä)+a«(^ ₌ fa))] +

2 arc ( tg

2{b

b--y\ x J

(55)

-j~arc( tg =    ~ ) +    ( ł9 = ³^ x ^~) +

3b —y \ \ x ) J '

-)- arc( tg —    ) + arc ( ty

Przechodząc do przekrojów, znajdujących się w znacznej odległości od krawędzi przelewu, rozwijając w równaniu na x^) funkcye ko we w szeregi i opuszczając wyższe potęgi ułamków, otrzymamy:

6bc

TZX

a dla chyżości w nurcie:

(D.

łu-

Podstawiając:

7xx l    3x²    J

3x² — 13b²

i dzieląc powyższe równania przez siebie, otrzymamy podobnie jak poprzednio: (56) jako wyraz paraboli o zmiennym parametrze, ze zmieniającą się odległością uważanego przekroju łożyska od krawędzi przelewu.

= 0-0634,

Przyjmując: b = l, c = 1, x = 10, otrzymamy:

bez fal

odbitych, = 0-1743 z falami jednorazowo odbitemi; z czego już widocznem jest, że przy współudziale fal odbitych chy-żość cieczy w łożysku wzrasta.

Zauważyć tu jednak należy, że przy uderzeniu fal o brzegi następuje częściowa strata siły żywej, przez zniesienie składowej (

wskutek czego działanie fal odbitych znacznie się zmniejsza.

Im więcej razy fala pierwotna elementarna odbitą zostanie, tem większą będzie chyżość elęm&itów cieczy w łożysku, przy tern samem natężeniu centrów w układzie elementarnym.

Skoro odbijanie się fal elementarnych jednej i tej samej.....cieczy

w danem łożysku zależnem jest tylko od brzegów, więc w .łożyskach o brzegach miękkich, podatnych, odbicie fał słabem, ciecz będzie płynąć powoli; w łożyskach o brzegach twardych, opornych, nastąpi silniejsze odbicie, ciecz będzie płynąć szybciej

* ' ¹    * -    *¹    ~ '1nmrtifiiiinT»iiiwimiiuiiiwTm-ir ~TrriT- n i — — rri-rfim - r- ,    ~......, ,

W łożyskach o brzegach szorstkich, z nierównościami sterczą-cemi w łożysko, powstają strugi oporowe, przv których składowa

w kierunku ruchu zniesioną zostaje, a ciecz w łożysku się

i'r -

Jb

podnosi; będzie więc ruch cieczy powolniejszym, niż w łożyskach o równych i .gładkich brzegach.

19. Zapory.

Przeszkody, znajdujące się na dnie łożyska, wstrzymują również bieg cieczy, bądź to przez zniesienie jednej, bądź też obu składo-wych chyżojci.

Załóżmy, że na dnie uważanego łożyska stoi stawidło jako za-pora ruchu.

Dla uproszczenia rachunku załóżmy, że strugi są równoległe; że zatem    = Const — c.

Szerokość stawidła niech będzie 2b, a płaszczyzna oporowa sta-widła niech stoi prostopadle do kierunku ruchu. Układ osi współrzędnych przesuńmy przez środek stawidła.

(C

R//

Oznaczmy przez: EF=x, OF=y BF=ri: RE=r odnośne rzędne dowolnego elementu E cieczy w łożysku i dowolnego elementu R zwilżonej powierzchni stawidła.

y-

Fig. 5i.

Jeżeli szerokość elementu R oznaczymy przez efa], a grubość warstwy cieczy przez X, to wstrzymana w ruchu elementarna ilość cieczy, dopływająca na jednostkę czasu do powierzchni elementu R, wynosić będzie:

dM —

Ciecz ta rozejdzie się z elementu R jako z centrum repulsyj-nego na powierzchniach falowych kolistych o wysokości X. Fala o promieniu r uderzy na dowolny element E cieczy w łożysku, udzielając temu elementowi chyżości elementarnej (Sv) w kierunku RE. Gdy zaś element E postępuje na powierzchni fali płaskiej z chyżością c, przeto wskutek zetknięcia się tych fal nastąpi interferencya w punkcie E. W celu wyszukania wypadkowych z tej interferencyi, otrzymujemy z powyższego:

c~kdr\ — rx\. (öv)

z czego wypada:

c x.drj

x ’    7]²

a?² —|— 7j²

Ponieważ z każdego elementu zwilżonej powierzchni sta widia, rozchodzą się fale repulsyjne, działające na element Ł, przeto tworząc algebraiczne sumy wszystkich chyżości jednoimiennych, olrzy-mamy chyżości wypadkowe w kierunkach osi x i y. Będzie przeto:

y+b    7] =y+b

c r x.di] / F \ c c rj.dfj

X JiC² —|— YJ² ’ v V J    7T ja?² —[— 7J²

7] =y—b

7] =y—b

a po zcałkowaniu otrzymamy:

arc

(57)    (1) = '

:+⁽#y⁾

Dla y — 0, jest: ^ J — c — arc(^tg = — a dlay

)est ( D

Dla y = 0, jest =0, to znaczy: przypadająca struga na środek sta widia nie doznaje zboczenia o.d.Pierwotnego kierunku ruchu.

(58)

= 0.

=<0, x=0,

Fig. 55.

Dla profilu Pj powyżej stawidla i dla profilu P₂ poniżej stawidła, są przedstawione tachoidy (.jT) na fig. 55, 56.

Kierunek chyżości wypadkowej danym jest przez:

SU

Fig, 56.

a to równanie zcałkowane daje:

[y+&)arc(t9=v—~~) + (y -h)arc{t9=v-~-) +

+|%

Tzy —

^H-fy+fr)8 x* ~\~(y — b)²

jako równanie linii prądu, względnie kształtu strugi. Cx oznacza stałą dowolną.

Z równania:    ✓    >.

= <k

(59)

dy dx

otrzymuje się równanie linii potencjalnej:

x [ arc( t9=z^-~-)-arc(t9 = ^—^-)~^ ] +

-Z+± loq *!+>+*)*_ M ioa 2    ⁹ (y+by    2    ⁹

(60)

x²-\~(y — b)²

\y— b)

Zakładając, że ciecz przepłynąwszy poza płaszczyznę stawidła, spływa dalej dnem łożyska, wykreślono strugi odkształcone przez stawidło, czyli linie prądu, tudzież linie potencjalne odnośnie do powyższych równań (fig. 57).

Gdyby w płaszczyźnie stawidła, t. j. w osi oy znajdowała się krawędź przelewu, przez którąbv ciecz spływając, dalej wolno opadała,

¹

- &-• i ■ .-i¹-— zb-—

jW

Fig. 57.

natenczas kształt strugi przelewowej zostałby wskutek grawitacyi zmienionym, a łatwo znaleść kształt zmieniony według znanych zasad ciążenia.

20. Pionowa parabola chyżości.

i pozio »tach o idami«.

JSl=

I I «I

I X

-Y-

Liczne pomiary, wykonane w łożyskach różnych rzek i kanałów, wykazały, że chyżość przepływu wody jest w każdym elemencie uważanego przekroju łożyska inną, że zmienia się ona tak_w kierunku poziomym jak i pionowym. Linie, według których ta zmiana chyżości następuje, nazwano parabolami chyżości, pionową , a linie te zostały wr niniejszej rozprawce nazwane

Dla tych dwu kategoryi tachoid    t. j. linij, przedstawiających

zmianę chyżości w kierunku podłużnym łożyska, uzyskano z pomia-rów najrozmaitsze typy, na podstawie których usiłowali liczni hy-drotechnicy znaleść prawo, według którego odbywa się zmiana chy-żości przepływu w różnych elementach uważanego przekroju łożyska.

V\

Gerstner twierdził, że tachoida J jest elipsą.

Yoltmann mniemał, że jest parabolą o pionowej osi, i że wierzchołek tej paraboli położonym jest w jakiejś odległości pod dnem łożyska.

Prony przyjął, że dno i brzegi łożyska są wysłane przylegającą do nich warstwą wody.

Funk obliczył na tej podstawie, że prawo zmiany chyźości da-nem jest przez »1 o gary tmikę«.

Dupuit udowodnił, że taka warstwa wody, wyścielająca łożysko, jak gdyby nieruchoma poduszka, jest niedopuszczalną.

Dopiero pomiary na Mississipi, których z wszelką ścisłością dokonali Humphrey i Abbot, położyły koniec różnym błędnym poglądom co do kształtu tachoidy w kierunku podłużnego ruchu wody.

Rozpatrywanie praw ruchu cieczy w łożysku będzie znacznie uproszczonem, jeżeli ograniczymy je tylko do łożysk, których kształt w przekroju poprzecznym da się matematycznie określić. Rozpatrujmy więc najprostszy wypadek ruchu cieczy w łożysku prostokątnem o brzegach równoległych. Na razie przyjmijmy, że poziome łożysko o długości l i małej szerokości X jest zamknięte na jednym końcu zastawą pionową, którą możemy dowolnie usunąć, a na drugim końcu połączone jest ze zbiornikiem nieskończenie wielkim, z którego ciecz trwale wypływać może. Załóżmy nadto, że brzegi ikra w ę d z i e łożyska p r z y p o ł ą c zeniu ze zbiornikiem nie wy wieraj ą żadnego opornego działania na ruch cieczy w łożysku, której głębokość niech będzie daną przez a.

Przyjąwszy poziomą powierzchnię cieczy w zbiorniku jako płaszczyznę xy, płaszczyznę pionową, przechodzącą przez środek łożyska jako płaszczyznę xz, a płaszczyznę zastawy prostopadłej do osi łożyska, jako płaszczyznę yz, otrzymamy prostokątny układ współrzędnych.

Ciecz, znajdująca się w zamkniętem łożysku, wywierać będzie ciśnienie na płaszczyznę zastawki, wskutek którego każdemu elementowi cieczy w tej płaszczyźnie położonemu, odpowiadać będzie według zasady Torricellego przygotowana chyżość wypływu o wielkości:

v — \2gl

jeżeli przez £ oznaczymy głębokość, w jakiej uważany element pod powierzchnią cieczy się znajduje.

Jeżeli zastawkę usuniemy, to nastąpi w płaszczyźnie pionowej, zajmowanej poprzednio przez zastawkę, wypływ cieczy z chyżością przygotowaną dla każdego elementu.

Położenie elementów wypływających zajmą wskutek atrakcyi następujące po nich elementa; a ruch udzielać się będzie stopniowo elementom, leżącym coraz dalej od płaszczyzny wypływu.

Elementy cieczy, położone w pionowej płaszczyźnie przelewu (tj. w płaszczyźnie, zajmowanej poprzednio przez zastawkę), tworzyć więc będą płaski układ centrów atrakcyjnych, w których prawo ruchu cieczy zostało powyżej określone.

Dowolne centrum atrakcyjne, oznaczone przez A, którego rzędne dane są przez: (Ę = o), (£), oddziaływać będzie na dowolny element

E cieczy w łożysku, dany przez rzędne: [x, z). (fig. 58).

--------

i..

■>

Fig. 58.

Odległość elementu E od centra A niech wynosi AE=r. Z elementu A, \ jako z centra atrakcyjnego, rozchodzić się będą elementarne fale wypływu na powierzchniach półkolistych walcowych, z których fala o promieniu r dosięgnie elementu E, pobudzając go do ruchu w kierunku promienia EA z chyżością elementarną (&t>).

Powierzchnia elementu atrakcyjnego A daną jest przez: Id'C, więc elementarna ilość cieczy, jaka w płaszczyźnie (yz) przez ten element wypłynie, będzie daną przez:

dM=\.dl.\j~2gl

Gęstość cieczy przyjęto: g = 1.

Ta sama ilość cieczy dopływa z otoczenia w łożysku przez powierzchnię fal półkulistych walcowych, więc przez powierzchnię fali o promieniu r dopłynie do centra atrakcyjnego A ilość:

dM = r Tr X (Sw)

z czego wypada:

(61)

fiv)

7cr

X.dl

Z każdego centra atrakcyjnego, położonego w płaszczyźnie przelewu, rozchodzić się będą fale wypływowe interferujące w elemencie E. Wynikiem interferencyi będzie ruch elementu E z chyżością wypadkową w odpowiednim kierunku wypadkowym. Składowe tej chy-źości wypadkowej dane są przez algebraiczne sumy równoimiennyeh składowych chyźości elementarnych.

Rozłożywszy wi-ęc elementarną chyżość (ßv) na składowe w kierunku osi x, z, otrzymamy:

(62)

X.'C, i

7V ' X² -j- (£-Z)

¥.d?

\2g (C — z)U

V z J    7T ' X²-\-(C,-z)²‘™

Po zcałkowaniu i wstawieniu granicznych wartości wypada:

3_\2

2x²b

(63)

( V\2 a\2ag L v*7    3 « 'i

^a² —

12

— a³z -|- — a²z²—

*s    /

Ot 00

+!-]+ az3 +1⁰⁴ J--i" & } >

az

(64)

jako wyrażenie chyżości w kierunku podłużnym; tudzież:

%a²z -4-v az2 — 7    o

co to

a\i 2ag \{2 7c x² \v5 a

«8 ] 4- — & }

Oo! to

(65)

jako chyżość składowa w kierunku 2.

Jeżeli założymy, że w równaniu (64) a; ma dla dowolnego profilu wartość stałą, natenczas to równanie będzie równaniem pionowej tachoidy (; czyli równaniem pionowej paraboli chy-

źości, dla ruchu cieczy przedstawionego w tym wypadku.

Z równania tego widzimy, że tachoida jest w ogólności linią krzywą n -tego stopnia.

Przechodząc do profilów, położonych w znacznej odległości od centrów atrakcyjnych, można w równaniach 64 i 65 opuścić dalsze wyrazy, zawierające wyższe potęgi x w mianowniku, jako wartości bardzo małe; a w takim razie te równania przybierają kształt prostszy, mianowicie:

7 F\_2 a \j 2ag

) ~3

-XX

s[

2x²

a² -

jaz+§*sl I

(66)

F\_a\2ag

² 1

3 z\

(67)

V J    7ZX²

Dia x— Const jest równanie (66) równaniem paraboli; a więc pio-

tachoida (

nową

względem 0 otrzymujemy:

iai

Różniczkując równanie (66)

. Const — 0

Druga pochodna będzie ujemna:

Z tego wypada:

z = 0'6a,

największa chyżość f ^ znajduje się w głębokości 0'da pod powierzchnią; gdzie zarazem położonym jest wierzchołek paraboli.

(67) wskazuje, że tachoida ( z j, tj. linia chyżości wkie-

czyli przy ruchu wyżej o

Równanie

(D

runku pionowym, jest linią (dla x =

2    2

staje się zerem, jeżeli: — a= — z, czyli, z = 0'6a\ co znaczy: że

O    o

wgłównei strudzenie ma działania poprzecznego (pio-

-• • 1 1 * .....

n o w e g o).

Zakładając w równaniu (66) na 0 wmrtość zero, otrzymamy wyrażenie chyżości na powierzchni:

Wartość na

(68)

( V\ 2 a\i2ag I.

U Jo=*-^r-{*

3a²1

7 x²\

3

a przyjmując P = %²— ^a², i dzieląc równanie (66) przez (68), otrzy

mamy

(69)

z²— — az

•5

wyrażenie chyżości w dowolnej głębokości 2, przez chyżość na

. ........

powierzchni w uważanym profilu.

Nachyżość w kierunku pionowym otrzymuje się w podobny sposób:

na

(70)

CMIU

5z\

Przyjmując dla przykładu dowolne wartości:    — 1'₀ mt-,

a — 2'₀ mt. p — 5; otrzymamy:

o'ßa

KV-) m.».x

1-6

20

1-000

1-160

1-256

1-288

1-256

1080

Fig. 59.

Dotycząca tachoida (x') jest wykreślona na fig. 59.

21. Obniżenie powierzchni cieczy w układzie centrów atrakcyjnych.

Z paska elementarnego A, o szerokości d£ a długości \ położonego w głębokości £ pod poziomą powierzchnią cieczy (fig. 58) rozejdzie się fala wypływu o promieniu Ae = ‘C i pobudzi element e do ruchu w kierunku eA.

Ilość cieczy, wypływającej na jednostkę czasu przez elementarny pasek A; wynosi

dM =\<Kt\J 2 gX,;

ta sama ilość dopływa przez powierzchnię fali o promieniu £, przeto

dM= \ Tc % (8v)

a z tego wypada

\2g d'C

* ’vr

Wszystkie fale wypływu, wychodzące z płaszczyzny układu centrów, interferują w punkcie e, nadając temuż chyżość wypadkową, wskutek której działania nastąpi obniżenie powierzchni cieczy w punkcie e. Niech wielkość tego obniżenia będzie s„ to całkując równanie (71) otrzymamy

(H

(71)

{a\- - sj- ),

\2g f dC,_2\2g

■k J Soy V    tc

jako wyrażenie tej chyżości, którą element e nabędzie wskutek atrak-cyi przy wypływie; tej zaś chyżości odpowiada obniżenie s₀, przeto

a z tego wypada

V— \/2gs₀

2\2g

— {a\- — s₀\)

TC

4a

(tc+2)2

(72)

Przyjmując małą wartość na a, możemy na podstawie równania 72 wyznaczyć ilość wypływu (odnośnie do łożyska, fig. 58) przez centra atrakcyjne; w tym wypadku jest:

M—

Po wstawieniu wartości na sa będzie

M—

t[>

- J «a . \j2ag.

(tc-|-2)

Za pomocą powyższego wzoru można łatwo obliczyć ilość wy-

pływu z otworu w dnie naczynia o wielkiej rozciągłości, jeżeli miary otworu znacznie przewyższają małą wysokość warstwy cieczy.

roz-

Otwór w dnie naczynia niech będzie kołowy, o promieniu r, wysokość cieczy nad dnem niech będzie a. Poprowadziwszy przez środek otworu dwie płaszczyzny pionowe, odchylone od siebie o kąt dcc, otrzymuje się wtem naczyniu idealne łożysko (fig. 58.) Elementarna ilość wypływu będzie zatem:

.r dcc

Po zcałkowaniu między granicami 0 i 2% wypadnie M = 0-6273923 . [2 r% a]. \j2^g~;

odnosi się to do wypadku, w którym jest r>a ; w takim razie wypływ cieczy jest tylko przelewem przez krawędź otworu.

22. Przelew.

Jeżeli w bocznej pionowej ścianie zbiornika znaiduie sie otwór (zazwyczaj prostokątny z pionową krawędzią), przez który ciecz przepływa, a powierzchnia cieczy nie zakrywa całego otworu, natenczas powstaj e tak zwanv przelew.

Powierzchnia cieczy w bliskości otworu przelewowego obniża się podczas wypływu; elementy zaś cieczy, położone wewnątrz yv pobliżu krawędzi przelewu, zostają przy wypływie ponad tę krawędź wzniesione.

Zjawisko to obniżenia powierzchni i podniesienia się strug ponad krawędź przelewu, jest objawem atrakcyi wypływu; wielkość obniżenia powierzchni w pionowej płaszczyźnie przelewu jest równą wielkości podniesienia się strug ponad krawędź przelewową, gdyż atrakcya od powierzchni do krawędzi jest tak wielką, jak atrakcya w kierunku przeciwnym; jeżeli tylko dno zbiornika znajduje się w głębokości znacznie większej od wysokości powierzchni cieczy nad krawędzią przelewu.

Jeżeli wielkość obniżenia powierzchni cieczy w płaszczyźnie przelewu oznaczymy przez s, to wzniesienie elementów cieczy ponad krawędź będzie także s.

Do wyznaczenia wielkości całkowitego obniżenia służy równa

nie {fZ):

4a

= 2s

s‘ H-2)²

przeto obniżenie powierzchni cieczy w pionowej płaszczyźnie otworu

Przelewu_danę

będą przez połowę wartości z równania (72), a mianowicie przez:

2a

S (-~2f

(73)

«•ł"> Wzór powyższy został sprawdzony przy sposobności pomiarów wydatności źródeł »Jaryny« dla wodociągów miasta Lwowa. Woda pompowana ze źródeł wprowadzoną była do obszernego zbiornika, z którego po przejściu kilku przegród, wypływała przez bronzową ramę o szerokości 0'60 m.; krawędzie ramy nyły prostolinijnie zaostrzone, a ściany wygładzone.

Krawędź przelewu była dokładnie poziomo ustawiona.

Wysokość pionowej powierzchni wody w zbiorniku ponad krawędzią przelewu wynosiła ściśle:

OOS

h = 0‘26 mtr.

Wielkość obniżenia powierzchni wody poniżej poziomu zbiornika, wynosiła 2 cm. Wysokość podniesienia się granicznej dolnej strugi ponad krawędź przelewu, wynosiła również 2 cm. (fig. 60).

Wielkość obniżenia i podniesienia obliczona z równania (73) wypada:

2h 20-26

'I

o;oS

h-0'2-6

26-436

0-01975 mtr.

Fig. 60.

Ponieważ współczynniki kontnakcyi na przelewie, wyznaczone przez pp. Lebros etPoncelet odnoszą się do niewielu wypadków, mię-dzy którymi przelew o wysokości ciśnienia h = 0-26 mtr. się nie znajduje, więc zachodziła tutaj pewna trudność w wyborze odpo-wiedniego współczynnika kontrakcyi; a tern samem i w możności dokładnego obliczenia ilości, wypływającej przez przelew, względnie ilości pompowanej wody.

Ustawioną nad źródłem lokomobilą nie było można uzyskać większej wysokości ciśnienia nad krawędzią przelewu. Wysokość 0-26 mtr. była maksymalną.

Korzystając z możności obliczenia depresyi wyrazem (73), ustawiłem wzór, empiryczny na obliczenie ilości przepływu, zakładając że:

1)    Powierzchnie, ograniczające całkowitą strugę wypływową, są w przybliżeniu powłokami parabolicznemi (fig. 61).

2)    Przeciętna wartość składowej { x) dla dowolnego elementu w płaszczyźnie przelewu wynosi w przybliżeniu

(D=v*

TT

z. cos—

<•

O

--*—*

i».......Ł;

.3 *

r,S?

Fig. 61.

Przez powierzchnię „012“ wypływa bardzo mała ilość wody i tej nie wciągam w rachunek, przez powierzchnię „23322“ wypływa ilość przez powierzchnię: „12341“ wypływa ilość m₂ przez powierzchnię: „34433“ ilość m₃.

Całkowita ilość wypływu jest

przyczem:

(74)

2mo =

M=m{ -f- 2m₂ -f- m₃

l j . [(A— sf>* —s3/a] .V9

[s+y [(*—

— s»/*

] -V<7

w₃ =

(7* — s³'s 1 . \jg

2h

¹ (ic+Zf

Dla omawianego powyżej wypadku wynosi:

2b — 0-60 h — 0'26

a ilość wypływu oblicza się na:

M=0‘1431 m³.

W następującej tabliczce zestawiłem kilka przykładów obliczeń ilości przelewu dla porównania.

Według Lebros

to

r--

Według

wzoru

0-48171 003088 0 09400 000367

0-48240 0 03078 0-09600 000368

Powyższy empiryczny wzór

•    i    -     .-i    »we»»«*... - ^ V o.

mógłby być użytym w tych wypadkach, dla których współczynnik kontrakcyi nie jest wiadomy.

23. Wypływ cieczy przez otwór w dnie naczynia.

na

ilość wypływu przez przelew

Na dnie obszernego naczynia znajduje się bardzo mały otwór kolisty o promieniu r, wymiaru skończenie małego. Ciecz, wypełniająca naczynie do wysokości h ponad dnem poziomem, wypływa trwale. Krawędzie otworu są ostre.

Ponieważ zakładamy, że otwór jest bardzo mały, więc fale wypływowe możemy w przybliżeniu uważać jako półkule współśrod-kowe, z których jedna przejdzie przez krawędź otworu, a więc promieniem jej będzie także r.

Elementy cieczy, znajdującej się w naczyniu, podążać będą do środka otworu wzdłuż promieni prostopadłych do powierzchni kulistych.

Wysokość ciśnienia h niech będzie większą od 2r, lecz stosunkowo niewielką.

---ts

Pole otworu odgraniczamy we- , wnątrz cieczy powierzchnią półkuli, poprowadzoną przez kołową krawędź otworu, jako powierzchnią potencyalną i możemy obliczyć ilość cieczy, jaka przez to pole wypłynie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny otworu.

Figura 62 przedstawia przecięcie warstwy cieczy, otworu i powierzchni potencyalnej płaszczyzną pionową, przechodzącą przez środek otworu. Dowolny element E, podążający z otoczenia wewnątrz, ku środkowi

r_

- /f-Ę

4M

■y-i

y

02)

Fig. 62.

v = \2gz

otworu 0, uzyska w punkcie E według zasady Torricellego chyżość v, daną przez:

i podążałby dalej ku środkowi otworu, gdyby nie było równoczesnego dopływu innych elementów cieczy ku środkowi, wskutek czego powstaje opór przeciw ruchowi dośrodkowemu. Przez równoczesny dopływ symetrycznie rozłożonych elementów, zniesioną zostaje składowa pozioma chyżości dośrodkowej, a centralny kierunek ruchu uważanego elementu cieczy, zostaje zmienionym w pionowy.

Kąt, zawarty między osią y a pierwotnym kierunkiem ruchu, oznaczmy przez a; natenczas składowa chyżości v w kierunku pionowym będzie

= v .sin cc

a odległość y, w której dotyczący element cieczy przechodzi obok środka 0 z chyżością    , będzie:

y = r. cos cl

Zatoczywszy promieniem y, tudzież promieniem y-\-dy, koła w płaszczyźnie otworu, odgraniczymy w tym otworze pole, przez które przepływać będą elementy cieczy z chyżością

( ^ ) = v. sin y. — \ 2gz. sin cl — \j2g (h — r sin a). sin cl

Elementarna ilość cieczy, jaka tym paskiem kolistym o szerokości: dy przepłynie, będzie:

dm = 2r: .ydy J

całkowita zaś ilość, jaka wypłynie uważanym otworem (po wstawieniu wartości na y, dy i (^ ) ), będzie daną przez:

2izr²\i 2gh ^

V    \ll2

h sin cc j . sin² cl cos cl d cl

po rozwinięciu otrzymamy:

|QO

1    yZ

5 r⁴

40 hs 96 hs 896 ' h⁴

7 r⁶

33 r⁷

7 r⁵

— 2048'    ~ 3Ö72 ' ~W _ 2Ö480' J⁷

jako przybliżone wyrażenie na ilość wypływu.

j == r²7c ,\j 2gh . a

Podstawiając dla r i h różne wartości, otrzymujemy współczynnik wypływu dla odpowiednich przypadków; a mianowicie:

i-i

y- =

0-57697    0-60072    0-61448    0-62350    0-64114

0614.

Według pomiarów wypływu, dokonanych przez Weissbacha dla r 1

stosunku    wynika: g =

24. Ruch cieczy w łożysku.

Rozpatrując dalej ten sam wypadek, załóżmy, że to poziome łożysko o długości l, o brzegach równoległych prostokątnych, pozostające w połączeniu z nieskończenie wielkim zbiornikiem, ma szerokość 2b, a głębokość wody wynosi a. Ze zbiornika wypływa ciecz trwale bez oporu na połączeniu z łożyskiem.

Łożysko jest u wylotu zamknięte zastawą pionową, którą w danej chwili dowolnie usunąć można.

Przyjąwszy poziomą powierzchnię cieczy w zbiorniku jako płaszczyznę xy, płaszczyznę pionową, przechodzącą przez środek łożyska jako płaszczyznę xz, a płaszczyznę zastawy prostopadłej do osi łożyska jako płaszczyznę yz. otrzymamy prostokątny układ współrzędnych.

Początkowy stan cieczy w łożysku będzie więc taki, że powierzchnia cieczy w łożysku i w zbiorniku tworzyć będzie jedne płaszczyznę poziomą.

Ciecz, znajdująca się w zamkniętem łożysku, wywierać będzie ciśnienie na płaszczyznę zapory (zastawki), wskutek którego każdemu elementowi cieczy, w tej płaszczyźnie położonemu, odpowiadać będzie, według zasady Torricellego, przygotowana chyżość wypływu :

v=\J2g'C ;

jeżeli przez ( oznaczymy głębokość, w jakiej uważany element znajduje się pod powierzchnią cieczy.

Jeżeli zastawkę usunierpy, to nastąpi w płaszczyźnie pionowej,

Archiwum nauk. B. I. 1.

zajmowanej poprzednio przez zastawkę, wypływ cieczy z chyżością dla każdego elementu przygotowaną. Położenie elementów wypływających zajmują wskutek atrakcyi następujące po nich elementy; a ruch udziela się stopniowo elementom, położonym dalej od płaszczyzny wypływu.

Elementy cieczy, położone w pionowej płaszczyźnie przelewu (tj. w płaszczyźnie zajmowanej poprzednio przez zastawkę), tworzyć więc będą płaski układ centrów atrakcyjnych, w których prawo ruchu cieczy powyżej określono.

są: {1 = 0), (y —tj), cieczy wr łożysku, dany przez x, y, z.

Dowolne centrum atrakcyjne, oznaczone przez A, którego rzędne oddziaływać będzie na dowolny element E

Yx i

Ol^

p.....T

' tSł-*v.....;

W\N

N-S

Fig. 63.

Odległość elementu E od elementu A niech wynosi EA — r.

Z elementu A, jako z centra atrakcyjnego, rozchodzić się będą elementarne fale wypływu, na powierzchniach półkulistych, z których fala o promieniu r dosięgnie elementu Et pobudzając go do ruchu w kierunku promienia EA, z chyżością elementarną: (S²v).

Niech powierzchnia elementu atrakcyjnego A daną będzie przez iloczyn drj.d^; wtedy elementarna ilość cieczy, jaka wypłynie przez ten element w płaszczyźnie yz, daną będzie przez:

d~m = dri.d(,.\j 2gC,\

gdzie gęstość cieczy przyjęto s-l.

Ta sama ilość cieczy dopływa z otoczenia w łożysku przez powierzchnię fal półkulistych, więc przez powierzchnię fali o promieniu r dopłynie do centra atrakcyjnego ilość:

d²m = 2 r² t: (<$²v)

z czego wypada:

ę»¹

(76)

Z każdego centra atrakcyjnego, położonego w płaszczyźnie przelewu, rozchodzić się będą fale wypływu i będą interferować w punkcie E.

Wynikiem interferencyi będzie ruch elementu E z chyżością wypadkową w odpowiednim kierunku wypadkowym. Składowe tej chy-żości wypadkowej dane są przez algebraiczne sumy równoimiennych składowych chyżości elementarnych.

Rozłożywszy więc elementarną chyżość (ß²v) na składowe w kierunkach osi x, y, z, otrzymamy:

\[2g_

2 TU

(?)

‘C’-

(s;°>

2 TU

dri.

r\

^•3

(77)

V'%

CC-*)#

^•3

Zważywszy że:

r² = x²-|-7]²-|-f( — s)2 otrzymujemy na składową chyżości wypadkowej w kierunku ar;

(D

2~x²

15

8x*

Po zcałkowraniu względem r\ i po wstawieniu na ’t\ wartości granicznych, mianowicie:

(od = 0 do vj = b-f-y)-f-(od v] = 0 do vj = (6— y)),

otrzymamy:

C)

b\'-2g

^r[ j+y²+(<:-^)⁸] +

+^,[^-+26sy²+y⁴ + 2(|'+y²)(<: —Z)² + (C--*)⁴ j — + &j

tu ar²

Całkując powyższe równanie względem *( i wstawiając wartości graniczne od '( = 0, do £ =    otrzymujemy:

^ Fj_5 ab V

{* "Ji [(+1 ff“ “J "+1 ** ] ]+

[(y + 24*y* + «/*)+ 3 (y+C) (|“2_f a2,+|^) +

I (²    4    ⁸    ,

5tuF²

75

crj |o*

(78)

jako wyrażenie chyżości w kierunku podłużnym dla dowolnego elementu cieczy w łożysku.

Zakładając w tern równaniu x — Const, otrzymamy wyrażenie chyżości dla wszystkich elementów, położonych w płaszczyźnie jednego profilu, odległego o x od początku współrzędnych. Podobnież zakładając y= Const, x = Const, otrzymamy z powyższego równania wyrażenie chyżości wszystkich elementów cieczy, położonych na krawędzi pionowej, powstałej z przecięcia płaszczyzny powyższego profilu z płaszczyzną pionową odległą o y—Const od osi łożyska. Otrzymamy więc równanie dowolnej tachoidy pionowej, czvli równanie »pi on o w ej paraboli« chyżości dla dowolnej pionowej, krawędzi w.....danym profilu łożyska.

Jak widzimy z równania (78), będzie to w ogólności krzywa n-tego. .stopnia.

Analizując równanie (78) spostrzegamy w piewszym rzędzie, że chyżość dowolnego elementu cieczy w łożysku zależną jest od ilości a i b; t. j. od rozmiarów i kształtu łożyska i od rzędnych, znamionujących położenie uważanego elementu cieczy w łożysku.

Przyjmując, że uważane łożysko ma tylko w układzie danych centrów atrakcyjnych i w pobliżu tychże podane rozmiary a i b, że natomiast powyżej tego układu rozmiary łożyska dowolnie się zmieniają, można dla dowolnych profilów, obieranych w tem zmiennem ło-

mśss*) i

J-

i\\Wt

Fig. 64.

źysku, otrzymać z równania (78) rozmaite typy tachoid poziomych i pionowych, jakie już uzyskane zostały przez bezpośrednie pomiary (fig. 64). ‘

Przyjmując zaś łożysko o stałych wymiarach a i b, oraz profile, położone w większej odległości od układu centrów atrakcyjnych, będziemy mogli w równaniu na chyżość zaniechać dalszych wyrazów, zawierających wyższe potęgi z x w mianowniku, jako bardzo małe; w takim razie równanie (78) znacznie się uprości i otrzymamy:

t F\ 2 ab\/2^l ( _ 3_ |Y b*3    \ ,

3 TZX* i 2x*l\3^7

Podstawiając w tern równaniu: y = 0, otrzymamy wyrażenie chy-żóści w płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez oś łożyska; a różniczkując następnie względem z, otrzymamy j wmkc dla z—0’6a

Dla rozważanego zatem wypadku największa chyżość w pła-szczyźnie pionowej nurtu znajduje się w ³/₅ głębokości łożyska pod powierzchnią.

Podstawiając w równaniu (79) x = 0. żościjia powierzchni; a po zróżniczkowaniu względem y, okazuje się, że dla y = 0 największa chyżość ma miejsce na powierzchni; t. j. w osi łożyska (w nurcie).

Po wstawieniu wartości: z — 0, y — 0 w równanie (79) otrzymujemy wyrażenie chyżości na powierzchni w nurcie; oznaczmy tę chyżość przez ( naówczas będzie:

az

+ ** ] j (79)

/ F\ _2 ab\J2ag \

V # / o 3 izx²    [

bE+WI

a dzieląc następnie równanie (79) przez (80) i porządkując wyrazy, otrzymamy:

(80)

(T)=(D₀ {j-JU*

(81)

przyczem:

p oznacza parametr zmienny, zależny od x, a równanie (81) jest wyrażeniem chyżości w kierunku podłużnym, dowolnego elementu cieczy w łożysku, przez chyżość na powierzchni w nurcie.

Podstawiając w równaniu (79) albo (81)

(    = Const, x — const,

otrzymamy wyrażenie:

(82)

y²—

^ az 4- z² — Const o

jako równanie izotachy.

W tym wypadku izotachy są kołami, których środek leży w głębokości

z = SJ 5 a

pod powierzchnią cieczy w łożysku.

Z uzyskanych wzorów (79) i (81) na chyżość w kierunku podłużnym wynika: elementy cieczy, w łożyskiljlnajd.ujjicjg. się w uważanej chwili w płaszczyźnie pionowej, pro-

I»«- -li r-——•-‘^-~Jiir*llfrtta»ift-fS^'1il!lBfi1üil«i'WMir«IBnrTrt<nlii>Mi Ihn» ni Willi ITHH—WWI*'*—lWiWrwftnr I-H wm' m II--in II T-irnntimrriV ■W lirn-IWITI—i-t-*-'    ^

st opadłej do osi łożyska, znajdą się po upływie je- * dnostki czasu na powierzchni paraboloidy obroto w ej.

Całkując dalsze dwa równania z układu (77), otrzymujemy wyrażenia na składowe chyżości wypadkowej: w kierunku y:

w d)=

__ 2 ab \j2ag f _ 3_ [Y 3 nx* J\    2x² LV

b² —

Co

) + y²—    ± & }

tudzież w kierunku 0: (»*) (T)=

a²zJr~az‘²~zzJ ±&J

Dla profilów więcej odległych od układu cenlrów atrakcyjnych, można w powyższych równaniach zaniechać wyrazów, zawierających wyższe potęgi z x w mianowniku; w takim razie równania te znacznie się uproszczą, a mianowicie:

(85)

(86)

f V \    2 ab \J2 a g

\y) = 3-^r-y

ck^s-a

Dla x = const znaczy to, że w profilach łożyska, bardziej odległych od układu centrów atrakcyjnych, zmieniają się chyżości poprzeczne w kierunkach y i z według

K

prawa linii prostej.

Wstawiając zaś w równaniu (81) z = 0, otrzymujemy analogicznie:

(88)

ź V \ 2 ab \/2 ag 3

v z Jo    3 t:x³    5 ’

a podzieliwszy równania (85) przez (87), tudzież (86) przez (88), otrzy-

muj emy:

O-O.

Cc CA

a o

Chyżość poprzeczna w kierunku y jest przy brzegach największą

płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez oś łożyska (względnie nurt) staje się zerem. Wskutek tej chyżości mogą być przedmioty, znajdujące się w wodzie przy brzegu, uniesione runku 0 jest na powierzchni i na dnie największą; maleje zaś ku środkowi, względnie ku płaszczyźnie poziomej, przechodzącej przez strugę obojętną, względnie przez oś paraboloidy chyżości podłużnej. Wskutek tej chyżości w kierunku pionowym mogą być przedmioty, znajdujące się na powierzchni wody w rzece, wciągnięte w środek nurtu pod powierzchnię, a przedmioty, znajdujące się na dnie rzeki, mogą być podniesione i uniesione.

Podkładając w równaniu (85) y — b, i oznaczając dla tej wartości na y chyżość poprzeczną w kierunku y przez (^ J muj emy:

i maleje ku środkowi łożyska;

na

środek łożyska. Chyżość poprzeczna w kie-

otrzy-

/    2 ab.\j2 ag

v y Jb 3    7ux'⁶

(87)

(D-(D>

jako wyrażenie chyżości poprzecznych niezależnie od x.

Mając więc wyrażenia na te trzy składowe chyżości wypadko-wej dla dowolnego elementu cieczy, w łożysku, jesteśmy w możności wyznaczyć wielkość i kierunek chyżości wypadkowej, jako też i drogę, którą dowolny element podczas przepływu przejdzie, t. j. linii prądu, dalej powlokę całej grupy linii prądu, wreszcie linie i powierzchnię potencyalne.

Ponieważ fale dopływu lub wypływu, rozchodzące się z układu centrów działających, odbijając się od dna i brzegów z pewną utratą żywej siły ruchu, jako odbite z mniejszem już natężeniem, niż fale pierwotne, ponownie w uważanym elemencie interferują, więc skutkiem tego zostanie uważany element pobudzony do szybszego ruchu.

W łożyskach o dnie i brzegach twardych i gładkich fale będą skuteczniej odbijane, ruch będzie szybszym niż w łożyskach szorstkich, miękkich, podatnych. W wygładzonem łożysku betonowem płynie woda szybciej, niż w łożysku sporządzonem z desek hyblowanych przy tych samych warunkach; w łożyskach, wykopanych w glinie, płynie woda szybciej niż w łożyskach wykopanych w torfie, przy tych samych rozmiarach łożyska, przy jednakowem jego wygładzeniu w obu wypadkach i przy jednakowym spadzie.

Przy wprowadzeniu wzorów, przedstawiających ruch cieczy w łożysku, przyjęliśmy w założeniu, że wszystkie fale wypływu (lub dopływu) dosięgają uważanego elementu na powierzchniach półkolistych, co rzeczywiście się dzieje przy elementach położonych bardzo blisko układu centrów działających; to założenie umożebniło i ułatwiło przeprowadzenie rachunku dla uzyskania praw uważanego ruchu. W rzeczywistości jednak fale, wychodzące z centrów dosięgają uważanego elementu na powierzchniach kulistych, ograniczonych przecięciami się dotyczącej kuli, z geometrycznym pryzmatem zwilżonego łożyska.

z ra-

Na prawa ruchu to nie wpływa, lecz tylko na liczebną wielkość szukanej chyżości dotyczącego elementu. Chyżości uzyskane chunku zapomocą fal półkulistych są o tyle mniejsze od rzeczywistej chyżości uważanego elementu, o ile mniejszą jest od powierzchni przynależnej półkuli ograniczona na niej powierzchnia wieloboku, powstałego z przecięcia się rzeczonej półkuli z pryzmatem łożyska.

Dla elementów cieczy w łożysku, położonych w znacznej odległości od układu centrów działających, otrzymuje się z bardzo małym błędem wielkość chyżości uważanego elementu, przez pomnożenie

dotyczącego wyrazu na j, ilorazem 2izR‘i, gdzie R jest odległością uważanego elementu od środka centrów działających, t. j. od punktu, w którym oś nurtu przecina się z płaszczyzną układu centrów, a / powierzchnią wieloboku, odgraniczonego pryzmatem zwilżonego łożyska na powierzchni półkuli o promieniu R. Przy obliczaniu chyżości dla elementów położonych, bliżej układu centrów działających, a więc dla malejących x₇ trzeba uwzględniać dalsze

z x w mia-

wyrazy w równaniu na (3); zawierające wyższe potęgi nowniku.

Z wywodów przeprowadzonych powyżej widocznem jest, że elementarne fale wypływu, powstałe z dowolnego centra atrakcyjnego A (fig. 63), rozchodzą się w łożysku na powierzchniach kulistych, ograniczonych przecięciem się powierzchni odnośnych półkuli ze zwilżonym pryzmatem łożyska, czyli przecięciem się tychże z dnem, brzegami i powierzchnią cieczy.

Wielkość tych powierzchni kulistych, a w uważanym wypadku czworoboków, maleje ze wzrastającą odległością od centra i coraz bardziej zbliża się do wielkości powierzchni przekroju łożyska. Możemy tedy z małym błędem przyjąć, że elementarna fala wypływu, wychodząca z centra A, dosięgnie elementu E, położonego w znacznej odległości od układu, na powierzchni płaskiej, co do wielkości równej przekrojowi łożyska, czyli wprost: na powierzchni przekroju łożyska i według tego założenia obliczenie przeprowadzić.

Ilość wypływu z centra A, danego przez rzędne \ — 0, y — rh wynosi według poprzedniego wywodu (str. 98)

dhn = drldZ, \ 2 g ( ;

ta ilość dopływa zaś do elementu A (centra) przez powierzchnię płaskiej fali elementarnej o wielkości przekroju łożyka równej 2ab,

d'²m = 2ab (§²-y),

co zestawione z powyższem równaniem, daje:

na której znajduje się uważany element E, pobudzony przez tę falę do ruchu z chyżością elementarną (&%>), w kierunku EA, z czego wypada w przybliżeniu:

(§²V)

v%

2ab

V r-, ■ drt d '.

(90)

Rzędne elementu E są dane przez x, y, z, wobec czego promień EA, równy r, danym jest przez

•r² = a?² —|— 7j² —j— — z)²,

co uwzględniając, otrzymujemy na składowe chyżości elementarnej (&²u) następujące wyrażenia:

(?)

[<+£±S^-']

\2g

2ab

<s

»J

“l-

S-

a,

cO

Rozwijając pierwsze z powyższych równań, otrzymujemy: a po zcałkowaniu i wstawieniu granic dla równania pierwszego i następnych będzie: (x) = TjVZaf l¹

(92)

(D=!v^

(D=fVs,*lfa-']

Dalsza analiza tych równań przeprowadza się jak poprzednio.

25. Profile poprzeczne.

Wskutek wypływu cieczv przez układ centrów następuje obni-Jenie powierzchni cieczy tak w układzie samym jak i w łożysku.

Zakładając w równaniu (78) albo (92) lub też w innych t. p. dla y wartość zero, przesuńmy przez oś łożyska (nurt) dwie pionowe płaszczyzny, odległe od siebie o elementarną ilość 1; odgraniczymy w ten sposób wzdłuż osi łożysko elementarne. Oznaczmy przez Am ilość cieczy, jaka tern łożyskiem przepływa, a przez S₀ wielkość obniżenia powierzchni w osi przy tym przepływie, dla dowolnego x naówczas otrzymamy na wyrażenie ilości przepływu:

(93)

Am — 1

jeżeli ruch jest trwały. Rozwijając powyższą całkę, otrzymuje się równanie linii, znamionującej obniżenie się powierzchni cieczy w nurcie (w osi łożyska). Będzie to równanie trzeciego stopnia pomiędzy zmiennemi x i S₀.

Przyjmując, że gęstość cieczy podczas ruchu jest taką samą, jaka była w początkowym stanie równowagi, t. j. przy poziomej powierzchni cieczy w łożysku, oraz że ciśnienie zewnętrzne pozostało to samo, możemy ilość S„ uzyskaną z równania (93), uważać jako wy-

sokość ciążenia uważanego elementu na powierzchni w osi łożyska, a w takim razie ilość Su da się przedstawić j ako suma z dwTu wysokości :

S₀ = h +

(.7

²9

Dla wszystkich elementów cieczy, położonych na powierzchni w tym samym profilu poprzecznym, jest h ilością stałą, a wobec

który oznaczamy przez s dla dowolnego y.

tego kształt powierzchni w tym profilu zależnym będzie tylko od y F2

i wyrazu — ,

Z uwagi na to, że w profilach, bardziej odległych od układu centrów, są chyżości poprzeczne bardzo małe, możemy przyjąć, że s

zatem:

zaleźnem będzie tylko od y \{X.\ otrzymujemy

to

to

tc

Cc

cc

a z tego wypada:

i

2 12

(95)

jako wyrażenie na obniżenie powierzchni w dowolnym profilu poprzecznym. gdzie p oznacza parametr zmienny, zależny od x.

Zakładając x=Const; a tein samem i p = Const, będzie powyższe równanie przedstawiało kształt powierzchni wdanym profilu poprzecznym.

Różniczkując równanie (95) względem y przy stałem p otrzymujemy:

ds

4s₀

V²1

p \ p I

z czego widoczna, że przy ruchu cieczy, sp pływ (centra atrakcyjne) w nurcie; tudzież, że krzywa, przedstawiona równaniem (95), ma dwie poziome styczne, albowiem:

dy

(96)

ds

dy

Przyjąwszy wartości: b — 5 mtr.. p = 64, sa = 100 milimetrów, wykreślono krzywą kształtu powierzchni profilu poprzecznego na fig. 65.

-!ö

26T

7|- I|ii

--•/I 'Si s JÜÜ |W4I =Q

li li!

ii iii

t!

Fig. 65.

w nur-

Figura powyższa przedstawia zaklęśnięcie cieczy w profilu po-przecznym przy zwykłym odpływie w rzekach; widocznem jest z przebiegu tej krzywej, że ciśnienie hydrostatyczne jest przy brzegach największe, w środku zaś łożyska.

C-ł eŁjaimjmasze'

Jeżeli ruch cieczy w łożysku spowodowany został działaniem centrów repulsyjnych (napływ cieczy), natenczas ciecz rozlewa się od środka ku brzegom (fig. 66).

Fig. 66.

Największe podniesienie powierzchni znajduje się w nurcie.

26. Ruch cieczy w łożysku skutkiem działania układu centrów repulsyjnych.

Z wielkiego zbiornika wpływa woda pod ciśnieniem do łożyska prostokątnego o szerokości 2b i głębokości a. Wysokość zwierciadła wody w zbiorniku nad poziomą powierzchnią wody w łożysku niech będzie h. Elementy cieczy, położone w łożysku a zarazem i w zbiorniku w pionowej płaszczyźnie zasuwy Z, odgraniczającej zbiornik od łożyska, tworzyć będą dla elementów cieczy, położonych w łożysku, układ centrów repulsyjnych, działających według prawa

c — \j2gh = Const,

a dla elementów cieczy położonych w zbiorniku tworzyć będą układ centrów atrakcyjnych, działających również według powyższego prawa.

Niech rzędne y — rj/C, określają położenie dowolnego działającego centra A, którego pole o wielkości elementarnej dane jest przez dhfj. d *(. (fig. 67).

----K ~

*~y—>

-AZ' ~

Fig. 67.

Ilość cieczy, jaka wypłynie na jednostkę czasu przez to pole, wynosi:

d‘żm = c.dri.dC-

Ta ilość dopływu rozejdzie się w otaczającej cieczy w łożysku, na powierzchniach fal półkulistych (względnie na powierzchniach czworoboków kulistych, powstałych z przecięcia się odnośnych półkulistych powierzchni ze zwilżonym pryzmatem łożyska).

Fala o promieniu AE dosięgnie elementu E, danego przez rzędne x, y, z, pobudzając go do ruchu w kierunku AE z elementarną chyżością (§²u), której wielkość określa równanie:

d²m =*= 2 r² n; (ß²v)

Składowe tej chyźości elementarnej w kierunkach osi współrzędnych są następujące:

x .dr^.dC,

(97)

ó§V\_ e

V    x )~~2% '

_ c rj.d’fj.d'C,

V    y

c (z—*() .df\.d 2%

C)

^•3

r² — x² -|- rf -]- (£ — z)2 Całkując powyższe równania, otrzymujemy po wstawieniu granic: 2abc

przyczem

y[i—J^[| +Js+y²—02+s²] + — &} {(a_₂₂)[j_l_(61+y)]_

—a²0-f- ^ ćłs² —s³ J ± & |

Analizując powyższe równania, otrzymujemy

/i    a

*='°>*=r

Ghyżość poprzeczna ( przybiera wartość zera dla y — 0, a chyżość ( staje się zerem dla y

W celu otrzymania prawdziwych wielkości składowych w układzie równań (98), trzeba każdą z tych chyżości pomnożyć ilorazem:

(*s+y²+(|— z))

C)

2%x²

2abc

(98)

(D

2kxs

2abc

2%x²

Jjo³

2a:²L i

=0, z =

maximum dla

2 7T

gdzie / oznacza kulistą powierzchnię czworoboku, odgraniczonego zwilżonym pryzmatem łożyska na powierzchni półkuli o promieniu DE, której środek D położony jest w środku układu centrów re-pulsyjnych; to odnosi się do profdów, położonych bardzo blisko układu centrów działających. Dla profilów więcej odległych, gdzie x jest znacznie większe od rozmiarów łożyska, wystarcza w zupełności pomnożenie ilorazem:

2 TZX²

Biorąc pod uwagę zamiast powyższego łożyska prostokątnego, łożysko trójkątne, przedstawione na fig. 68, wyznaczymy w niem dla dowolnego elementu chyżość w kierunku podłużnym. Największa głębokość cieczy w łożysku niech będzie a, szerokość na powierz-

..........>

i<~.

i-

?/

Vr

t?7:

Fig. 68.

chni 2b. Boki łożyska niech będą rozłożone symetrycznie. Oznaczmy przez ß połowę szerokości łożyska w głębokości £ pod powierzchnią, naówczas otrzymamy stosunek:

ß:6 = a —

y /• v/‘ I e

Gałka pierwszego równania z układu (97) daje:

2^\Sd^    +-&)

Granice całkowania są następujące:

Y    Y

(od 71 = 0 do ri = b(^l — ^ — y)~\~ (od t] = 0 dorj = b(^l — ^ -j- y)

od £ ^ 0 do £

Po zcałkowaniu i wstawieniu granic otrzymujemy:

f \_ ab c

V ) ⁼ 2~x-

Rzędne, określające położenie największej chyżości, są: y = 0,

s =    ; naj większa chyżość znajduje się w nurcie pod.

powierzchnią w jednej trzeciej głębokości.

Przyjmując dla tego samego wypadku działania centrów repul-syjnych, że uważane łożysko jest półkolem o promieniu R, wyznaczmy również chyżość w kierunku podłużnym.

C)

tudzież

(99)

Całkując pierwsze równanie z układu (97) otrzymujemy:

(I)

l\0-

</

//

Fig. 69.

Z fig. 69 widocznem jest, ze granice dla 7] są:

(od fj = 0 do 7] = R cos a - y) -f- (od 7] = 0 do tj = R cos a -f-y)

tudzież że:

C = R sin a, dC — R cos x.dx Po wstawieniu granic dla 7] otrzymamy:

COS OC- -—r.

3 [i?²    l    \

2x21 y ros³a-f//²co.?a-f(‘C—^)²cosaJ -j--

a za podstawieniem wartości na £ i dr^ wyżej podanych, wypadnie po zcałkowaniu

(100) (D

/    +y² + ^²] —

^R²sin scj j-J--&|

7C

Wstawiając dla a wartości graniczne od 0 do — , oraz mnożąc powyższe równanie ilorazem

cR²

XX²

3cos³x 1 2

Rz—

2ttx²

otrzymujemy przybliżone wyrażenie chyżości podłużnej w łożysku półkoli stem

(101)

?²z c (    3 f i? ² ,

7~‘2 r~ 2r\t2~^V

— —— Rz

3 TC

+**]+—&J

Położenie chyżości maksymalnej znamionują rzędne

4R

3~

= 0-42462 R

Z fig. 69 widocznem jest, że

sin a

cos cc-

\j2Ra—a2 ~R ’ a

= arc

a graniczne wartości dla a, od a = 0, do a = arc

, dają wyrażenie przybliżone na chyżość podłużną w ło-

wstawione w równanie (100), przy pomnożeniu tegoż ilorazem 2 TC x²

żysku łukowem, o promieniu R i głębokości a.

Największa chyżość znajduje się w osi łożyska, określona przez

rzędne

y—0, z=

R³ — (2aR — a²yii

R² arc(^sin= —J -f- (R—a) \j2a R—a²

(102)

Dla łożyska łukowego o promieniu R = 10 m., i o głębokości a = 2 m. wypada z = 0'15295 m.

Wstawiając w równaniu (100) graniczne wartości a = 0, x = 2%,

2-XX²

oraz mnożąc je ilorazem I' = dłużną w rurze

, otrzymujemy chyżość po-

R*%

c    ■+y*+Ą +

(103)

Przy stałem x przedstawia równanie (103) paraboloidę obrotową, której wierzchołek położony jest w osi rury, gdzie zarazem maximum chyżości się znajduje.

27. Obniżenie powierzchni cieczy w zbiorniku, nad otworem wypływu.

Wyrażenia na składowe chyżości wypadkowej, uzyskane z odnośnych równań na chyżości elementarne, dadzą się przedstawić przez funkcye określone bez rozwijania całek w szeregi.

Z fig. 70 widocznem jest, że chyżości elementarne, powstałe przy

Archiwum nauk. B. I. I,

wypływie przez elementarne centrum atrakcyjne A, przy działaniu na element E, są następujące:

/&V\_\j2gh x dv\ dC /S²o\_\J2 gh dy.dC

\ x ) 2k r³ ’ V y ) 2iz r³

v)

\j2gh drj.d£(C—z)

2n

r² = X¹ -4- 7]² -j- (£ — z)²

“Si

'W

iii

-tH—

? V‘*.

Fig. 70.

Podstawiając dla składowej chyżości wypadkowej w kierunku z wartości:

(£ — z)² — (x² -[- 7]s) tg² ©, a?² —f— 7j² —|— (‘( — zY = (x² —j— 7j*) sec* <p,

a:² -(- tj²

cos² ą> —

—#)²

cos²©

zmienne niezależne, otrzymujemy:

oraz: (£—z) d= (a;² -J- tj²) tg <p

i uwzględniając, że tj i £ są

dfj dZ, (£ — z)

x2Jrrf-\-(l—z)

\/2gh ff dri. (x²-f-7)²) tg<p d<p 2~ 33 cos² <p (a^-j-r,²)³/² sec³ ©

COSf

\jx² -J-7]²

Po wstawieniu wartości granicznych £= In, do ^ — aĄ-h, będzie:

drj

\lx² -]- 7J²-j— (h —z²)

dr\

(1)

\/a7²—[—7j²—j— (A —j— ot

z)² i

(2)

Podstawiając dla wyrazu

(1 ),..yl² = [x² + (h-z)*]tg²h (2),..'/] ² = [x²-\-{h + a-z)²]tg² ^ wypadnie całka:

d'W 1 _

COS’l)₂ \

(v\ ₌ \²-jh \ Ldk

\ z J 2% J I cos^

I ht,j (iCi++0) - ■l°9 (\{ I+))}

Zważywszy że:

t(J (|(| + 'łi) =    ^ + tg d/j

po podstawieniu wartości otrzymamy:

(v\\j2gh (    (fe+y)+Va?8+(ft+y)*+(*—g)⁸

*    ^    \ (b y) -{- Vx² -j- {b -[- y)² -j- {a -(- h — z)²

log

[h—y) +V^²+(b~~y)-+ih—zY

(^—y)+ \ x2Mb~y)2Jr{aJrh—z)

I + 2log

\j x²~\~{a-\-h—z)

(104)

dla y mniejszych od b; tudzież:

( \ - VMl I

+%

(y ■+■b)+(y+■hY+(h^zf

i °⁹(y — b) -f \]x²-\-{y — b)2jr{h — zf

(y+b)+\'x2+(y+&)²-K°+^— g)²\

(y — &)+V^²+(y —&)²+(«+* — «r ’

2-

(105)

dla y większych od b.

W podobny sposób jak powyżej, wyznacza się składową chy-żości wypadkowej w kierunku y i x.

Składowa w kierunku y będzie:

2~

tog

I iAa +^—■g)+ V#²+(&—y)²+(«+^—ZY

(,h — z)~\~ \]%²-\~(b—y)²-j-(A— z)

(a-j-A —g)-f- Va;²-f-(&-|-y)²-|-(a-^A —g)²)

(A — 0) -j- \/'a:² —[— (2» —j— y)² -j-(A — z)²    I

I tog

(106)

Dla elementów, położonych na powierzchni, jest z = 0, a dla elementów znajdujących się w pionowej płaszczyźnie układu centrów działających, jest x = 0, przeto dla krawędzi przecięcia się powierzchni wody w zbiorniku z pionową płaszczyzną układu, wypada:

(D

Wgh 1    (&+y)+V0+y)²+fr!

277 » V+y) + V(J + y)! + (« + A)!

(107)    +% dla y mniejszych od b, tudzież:

(V)_\ll9h_ L^+&)+V(y+&)²+a²

Uy 2tT l -^)_j_ y (y ^)2_|_Ä2

(108)

— log

0+fr)+V0+ft)²+(a+fr)²l O—&)+V (y—^)²+(«+ä)*J ’

dla y większych od b; oraz składowa w kierunku y:

(109)

\j2gh \ (a-f-.h)-f - V (b — y)²-f {a -f hf I J hĄ-^b—yf+h*

(g-^A)^V(&-^)² ; - (u — h)-1

h+w-FW+h²    r

2tz

— log

Oznaczywszy przez: ^ j sumę logarytmów, zawartych w równa-

niu (107) względnie (108), tudzież przez:    sumę logarytmów,

zawartych w równaniu (109), otrzymamy na chyżość wypadkową elementów, położonych w rzeczonej krawędzi, wyrażenie:

[(y)+(^)s]=²?s

2gh

4tz²

a z tego na równanie linii depresyjnej w pionowej płaszczyźnie układu (nad otworem) wypada:

(110)

ł [©+©•]

i*

0*6 -—?-

___to 9 i 7 : ?    3 2

ISSSiläSilf¹^

------- X £;

\<vt W

Fig. 71.

Przyjmując: b — 0‘60, h — 0'2ó, a = 0’75, otrzymujemy na wyznaczenie depresyi następującą tabliczkę:

co

0-5

Odnośna linia depresyjna jest na fig. 71 przedstawiona.

28. Odkształcenie danej tachoidy.

Rozmaite nierówności brzegów i dna powodują zmiany w da-

*+im**>i*mj*~t**BaM**~j*m+mumWümmk«- ---y-y- X n -irrvr ~imim ■■■»TimiMlii.i i,, ir m . , ■-rr-iirn».

nym ruchu wody w łożysku. Ścisłe wyznaczenie tych zmian wy-maga długich obliczeń, jakie przekraczałyby rozmiary zakreślone ni-. niejszej pracy, dla tego też ograniczymy się tylko do szematycznego przedstawienia zmian, zachodzących w ruchu elementu wody wskutek przeszkód ruchu, znajdujących się w łożysku prostokątnem o szerokości 2B i głębokości a, w którem płynie dowolny element z chy-żością, daną n. p. przez:

•<

frC

111)

W dowolnem miejscu łożyska, w płaszczyźnie pionowej prostopadłej. do osi znajduje się jakaś zapora o' szeroköicr2T;“wysokosci a (dajmy na to, odsypisko łub wyspa), przez którą zostaje wstrzy-ma.na w ruchu ilość wody, dana w przybliżeniu wyrazem:

m = 2ab

O.

Z każdego elementu powierzchni tej zapory rozchodzić się będą fale repułsyjne z odpowiednią chyżością interferujące w uważanym elemencie wody, płynącej łożyskiem, i nadające temu elementowychy-żości w kierunku przeciwnym.

B..........p-y-J

Dla uproszczenia rachunku zakładamy, że skuteczne (wypadkowe) powierzchnie fal repulsyjnych będą powierzchniami walców kolistych, których oś tworzy krawędź, powstałą z przecięcia się pionowej płaszczyzny wspomnianej zapory z płaszczyzną pionową, przechodzącą przez oś łożyska; które to płaszczyzny przyjmujemy zarazem za układ współrzędnych.

_4U

Fig. 72.

Na dowolny element wody E, dany przez x, y, z, płynący z chyżością (2- ) , oddziaływać będzie wypadkowa fala repulsjrjna na powierzchni walca kolistego o promieniu r (fig. 72), nadająca temu elementowi w kierunku promienia r. chyżość u, której wielkość wyznacza się przez związek:

m — r-.au —

Zważywszy, że r² = af²-f-y², otrzymamy na wyrażenie chyżości, udzielonej uważanemu elementowi w kierunku x, relacyą:

CK-

2bx

{x*+i/y

runku

Ponieważ uważany element porusza się z chyżością ( a wkie-przeciwnym doznaje impulsu chyżości ( ^ j, przeto będzie się poruszał w kierunku podłużnym z chyżością wypadkową: (^x ) —

o-o

Po wstawieniu przynależnych wartości otrzymujemy:

(112)

O-O. !H<.-

— az

2bx |

(n-Ą-y²)J

jako wyrażenie chyżości wypadkowej z tych dwu ruchów.

Zakładając w pobliżu wspomnianej zapory x—Const; otrzymu-jemy równanie powierzchni tachoidalnej dla tego rodzaju ruchu; podstawiając przy tem z =~ otrzymamy równanie tachoidy w połowie

/V

głębokości łożyska.

Dla przyjętych wartości:

I = 1, p = 12, z — 1, %

= 1-2

wykreślone powyższą tachoidę na fig. 73.

3 oa

—6— — -o™ * ”0~ ^—o— —

■ 02,6 a.

i fff I %

Fig. 73.

Przy założeniu x = corcsż, ( ^    otrzymuj e się równanie

izotachy dla tego rodzaju ruchu.

Krzywe jednakowej prędkości są w tym wypadku liniami czwartego stopnia.

i. -----

Fig. 74.

Dla powyższych rozmiarów łożyska i wartości tam podanych wykreślono izotachy na fig. 74.

29. Ruch elementu cieczy wskutek działania dwu układów centrów.

W bocznej ścianie nieskończenie wielkiego zbiornika znajduje się prostokątny otwór o bardzo małej szerokości X, i wysokości a (fig. 75) zamykany zasuwą B. Otwór łączy się z łożyskiem prostokątnem o tej samej szerokości X; oś łożyska stoi prostopadle do pionowej

xr

d£r- /.

l-X

i>

i>

■*-

r,V;'

W/////*///////}/////////)////

Fig. 75.

płaszczyzny otworu w ścianie zbiornika. Łożysko to o długości l, zamykające się na końcu zasuwą A, wypełnione jest wodą do wysokości t ponad dnem, ewentualnie ponad krawędzią dolną rzeczonego otworu w ścianie. Poziom wody w zbiorniku znajduje się w wysokości h-\-t ponad rzeczoną krawędzią.

Przy nadmienionych zasuwach B i A znajdują się więc układy centrów repulsyjnych i atrakcyjnych.

Po usunięciu jednej i drugiej zasuwy wypływa ciecz z łożyska otworem A, a ze zbiornika dopływa do łożyska otworem B. Po upływie pewnego czasu odpływ i dopływ wyrównają się i utrwalą; nastąpi więc ruch ciągły trwały, którego objawy po kolei przejdziemy.

a) Podniesienie się cieczy w łożysku, przy układzie

centrów B.

Przez pasek elementarny o długości X, szerokości ef(, wypłynie ilość cieczy

dm — X dC,. \j2gh,

a fala wypływowa, wychodząca z tego paska, rozejdzie się na powierzchni walca półkolistego o promieniu *(, i o wysokości X; pobudzi element e i temuż przyległe elementy do ruchu w kierunku d'Cx e.

Chyżość, udzielona elementowi e, będzie:

CK?

w)

\j2gh <

7T '

(113)

Ponieważ na element e działają impulsy z każdego paska elementarnego, położonego w otworze repulsyjnym, przeto nabędzie on pewnej chyżości w kierunku pionowym i wzniesie się ponad poziom cieczy w łożysku do takiej wysokości, jaka według prawa Torricel-lego odpowiada uzyskanej przez ten element chyżości w kierunku pionowym. Oznaczmy tę wysokość przez a przynależną chyżość przez w, natenczas przez całkowanie otrzymamy] z równania (113) i-^ ‘"t"⁸¹

Ci

*rl°9

t— ci—|—Sj

■\j2gs₁

a z tego wypada na wysokość podniesienia się cieczy w łożysku, przy napływie z otworu i?, równanie:

log

t-Cl—j—

_ V*i T~

(114)

za pomocą którego podniesienie łatwo obliczyć się daje. N. p. niech będzie t = l'50, h = l’00, a = R00, to wypada: s₁=0'097, a dla t = 0'50, h = 0"20, a — 0‘40, wypadnie sx=0‘037.

Jeżeli powierzchnia cieczy w łożysku bardzo mało zakrywa górną krawędź otworu R, albo się z nią równa (t — a), to w takim razie rzeczone podniesienie się cieczy w łożysku oddala się podczas od-pływu łożyskiem od otworu R i występuje dopiero opodal.

b) Ilość dopływu i odpływu.

Ponieważ przez podniesienie się zwierciadła wody w łożysku, wskutek dopływu ze zbiornika'otworem R, zmieniła się wysokość ciśnienia h na h —    , przeto ilość wypływu otworem R daną będzie

przez:

= l.a .\j2g(h—st).

Przez każdy pasek elementarny o szerokości d(,₂ i długości X, położony w otworze A na końcu łożyska, wypływa ilość:

dm = a . dC₂ • V2g (₂.

Wskutek sumowania się działań tych elementarnych odpływów, powierzchnia cieczy w płaszczyźnie wypływu A obniża się o st. Otrzymujemy więc na całkowity odpływ wyrażenie:

Gdy ruch ma być ciągłym i trwałym, to ilości dopływu i od-pływu muszą być sobie równe, a więc:

(115)

a(h — sjl- =| (<*/* — s₂3/2) .

Ponieważ sx jest bezpośrednio dane przez równanie (114), przeto uwzględniając równanie (115) okazuje się, że s₂ jest funkcyą tych samych ilości, które tworzą sv

Jeżeli przy wypływie w opisanym przypadku ilości % i s₂ zostaną bezpośrednio pomierzone i okażą się zgodne ze wzorami (114) i (115), to w takim razie dane łożysko, w którem się ruch odbywa, nie stawia oporu ruchowi cieczy. Jeżeli pomiar okaże różnice względem obliczenia, natenczas łożysko stawia opór, który jest tern większy, im większe te różnice wypadają.

Niech wskutek oporu łożyska wzrośnie podniesienie się zwierciadła przy R do s\ tak że s\ > s, to ilość wypływu m' będzie mniejszą od ni.

Jeżeli przy tej ilości m’ ruch się ustalił, to ta sama ilość m’ musi stale odpływać, musi więc być:

|x\% («•'■ —s’t’'■)

z czego wypada

m = l.

vM

(O

Cc

*2

s\ > s₂

Nazwijmy sumę s₁-\~s₂ spadkiem bezwzględnym dla ilości m; wtedy s’i-f-s’g będzie spadkiem bezwzględnym dla ilości m\ dla której jest: s\ —[— s’₂ > s₁ —|— s₂.

Im znaczniejszy opór stawia łożysko ruchowi cieczy, tern mniejsza ilość cieczy w uważanym powyżej wypadku łożyskiem przepływa, i, tein większym musi być.......spadek bezwzględny. Ponieważ w wy

padku niniejszym mówimy tylko o łożysku szerokości elementarnej X, a opór oblicza się dla łożyska o skończonych wymiarach, przeto obliczenie oporu zostawiamy do drugiej części tej rozprawki.

c) Chyżość dowolnego elementu cieczy w łożysku.

Fala wypływowa, wychodząca po usunięciu zasuwy R (fig. 75) z paska elementarnego d'C,\ dosięgnie elementu E powierzchnią walca łukowego o promieniu rx, pobudzając ten element do ruchu z chy-żością (§%) w kierunku tegoż promienia. Niech wielkość rzeczonego luku daną będzie przez rx 9, w takim razie będzie:

dm — A ctC,x \]2 gh — ~k(rx <p)(Sv₁).

Jeżeli długość łożyska l jest wielka w porównaniu z głębokością t, to możemy, z bardzo małym błędem, w celu ułatwienia rachunku, przyjąć że: rx<D = t, wskutek czego otrzymujemy:

\2gh

(8®i)=

Niech położenie elementu E określają rzędne x i z, naówczas promień rx wyraża się przez:

r₁² = a;²-f-(;₁ — z)².

Na wyrażenie składowej poziomej chyżości (SyJ otrzymujemy:

(s:o

\'2gh

X²

)“V

(116)

Z paska elementarnego d^₂ położonego w pionowej płaszczyźnie odpływu A, rozchodzi się w łożysku fala atrakcyjna, która dosięgnie elementu i? powierzchnią a r₂ ó walca łukowego o promieniu r₂; i udzieli temuż elementowi elementarnej chyżości ($v₂), danej równaniem :

dm — a d'C₂ \i2g ‘C₂ = (r₂ ó) A. (Jy/).

A ponieważ a w przybliżeniu:

r2₂=(i—x)²-\-(C₂—zy,

r₂ d; = t,

przeto składowa pozioma elementarnej chyżości ($y₂) będzie:

( *)

\2g

rif j (^2    ⁰)²

•S2' \¹~ (l

(l — x)

(117)

Na poziomą składową chyżości wypadkowej otrzymujemy:

o-uo+co-

\j2g

{VÄ j[i +    ]• <£. + J & [1 + (l=|) ] ■ <&»}

£—«    O

Przyjmując, że głębokości łożyska nie są tak wielkie, ażeby zachodziła potrzeba użycia dalszych wyrazów, zawierających wyższe potęgi z x i U—x) w mianowniku: tudzież, że uważane profile ło-

żyska znajdują się w odległości x>t i (l— x) > t, otrzymujemy w przybliżeniu po zcałkowaniu:

at-\- J )—(2t—a)z+z*\ + — &) +

i_r *

3    2(1 —xf L

jako wyrażenie chyżości poziomej dowolnego elementu E, powstałej wskutek działania powyższych układów centrów repulsyi i atrakcyi.

Pierwotny poziom cieczy w łożysku obniża się podczas ruchu. Przyjmując, że wielkość tego obniżenia w uważanym profilu dla

x = const, wynosi s, wykreślono na fig. 76 tachoidy składowe (

, oraz tachoidę wypadkową^ jj, przy uwzględnieniu rzeczonego

obniżenia powierzchni cieczy w łożysku.

Z powyższego wywodu łatwo zrozumieć, że w razie działania całego szeregu różnych układów centrów atrakcyjnych i repulsyjnych, skła-dowe chyżości wypadkowej dowolnego elementu cieczy w łożysku dane będą przez algebraiczne sumy odnośnych składowych, udzielanych uważanemu elementowi przez dotyczące układy centrów dzia-

(118)

(10

(Y). i

2x²

to

Ox His

77777777777777?

'/77777777777//7777777777777777777777773

Fig. 76.

łających; wskutek czego tachoidy wypadkowe dla uważanego profilu jaknajrozmaiciej ukształtować się mogą, o czem nas bezpośrednie pomiary chyżości w rzekach pouczają.

Rzeczone powyżej obniżenie powierzchni cieczy w łożysku w czasie ruchu wyznacza się z wielkości stałego przepływu:

. dz

Wstawiwszy w to równanie wartość na zrównania (118), otrzymamy po zcałkowaniu:

(119)

C\S~\~C2 S² ^3 S³ (C1 ^ —I— C2 t² C3 ^³) H⁻ ~y

jako równanie powierzchni cieczy w profilu podłużnym. Współczynniki c₁, ą, c₃ są funkcyami zmiennej x i są dane przez równania:

-Ą-\j2gt

ci =at\l2gh[l

c2 =Ą\j2gh

c₃=^\2gh

2t —

2x²

5(1—x)²

3    7(1—x)² -I

(120)

' 3 2x²

+V

9(1 — x)²

Równanie (119) na s, jak również równanie (118) na wyrażenie ( ^ mają wartość tylko przybliżoną; gdyby zaś dla danego wypadku zachodziła potrzeba ścisłego obliczenia, natenczas trzeba

wyrazić przez funkcye określone, jak to uczyniono w równaniach (45, 46, 105, 106), a w takim razie i na s otrzyma się wyrazy łukowe i logarytmiczne.

d) Spadek względny.

Różniczkując równanie (119) względem x, otrzymujemy na styczną do linii profilu podłużnego w dowolnym punkcie:

ds

gdy przez a nazwiemy kąt, jaki styczna z poziomem zawiera.

Jeżeli dla sąsiednich profilów tgy bardzo mało się zmienia, a liczebna jej wartość jest małą, natenczas można wprost podstawić:

ds

(121)

Iloraz ten nazywamy spadkiem względnym na uważanej długości.

ds

Gdy a w calem łożysku ma mieć wartość stałą, natenczas współczynniki c₂ i c₃ w równaniu (119) muszą przybrać wartość zera. Według równań (120) jest to w takim razie możliwem, jeżeli x, oraz t—x, przybierają wartości nieskończenie wielkie; natenczas jest:

C2 - C3 - ^

ct — stałej,

wobec czego równanie (119) przybiera kształt:

(122)

ą (t — s) 1 = m .

Ponieważ zaś: m, 1, i cx są ilościami stałemi, przeto i różnica: (t — s) musi być ilością stałą; przedstawia ona głębokość płynącej oznaczmy ją przez tj , naówczas będzie:

(123)

— s — stałej.

Ilość t oznacza położenie uważanego punktu dna łożyska poniżej poziomu, przechodzącego przez punkt e, czyli przedstawia pionową rzędną dna w uważanym punkcie.

Na fig. 75 przyjętem było dno poziome; dlatego t miało wartość stałą. Dla dna pochylonego przybiera t wartość zmienną.

Wstawiwszy więc z równania (121) wartość na s w równanie (123), otrzymamy:

ty — t — xy. = stałej,

co po zróżniczkowaniu daje:

(124)

dt

</.<•

To znaczy, że dno łożyska musi mieć takie same nachylenie do poziomu, jak powierzchnia cieczy w łożysku przy stałej głębokości, jeżeli chyżość ruchu cieczy cx ma być na T'

ilością stałą, czyli innemi słowy: jeżeli ruch cieczy w łożysku ma

■ " . . . .... ......... .... . . ... —........_

ny.

os

ił #v:<^

'? CÜV!

OJ

BIBLIOGRAFIA.

A ner bach Felix Dr., Die theoretische Hydrodynamik. Exner Franz Dr., Vorlesungen über Electricität.

Franke Jan Nep. prof. S. P., Mechanika teoretyczna. Gerhardt P., Kreislauf des Wassers.

Hagen G., Wasserbaukunst.

Heinemann Hugo, Rationaltheorie der Wasserbewegung. Meissner G., Die Hydraulik.

Rychter J. prof. S. P., Roboty wodne.

Schlichting I. Prof., Binnengewässer.

Umlauft F. Dr. Prof., Das Luftmeer.

Müllner Adolph Dr., Experimental-Physik.

Wykaz omyłek.

Strona 7 wiersz IB z góry ma być 2^nc.

2>

17

23

CO

> w równaniu na s opuszczoną jest grubość h. » ma być r₂v₂.

23

10 z dotu >

49

4 z góry »

»    r², = x² 4- (y — i)*.

» ledwoniestyczną.

50

X>

74

9 dołu brakuje index (53).

Wstęp ......................

1.    Ruch falowy. .................. .

2.    Działanie centrów atrakcyjnych..............

3.    Zastosowanie.....................

4.    Linie prądu, powstające w poziomej cienkiej warstwie cieczy wskutek

działania centra repulsyjnego i atrakcyjnego.........

5.    Ruch cieczy wskutek działania trzech centrów atrakcyjnych lub repul-

syjnych, rozłożonych w linii prostej............

6.    Działanie prostolinijnego układu elementarnych centrów atrakcyjnych.

7.    Linie prądu, powstałe skutkiem działania jednego centra atrakcyj

nego w nieograniczonej warstwie płynącej cieczy.......

8.    Rozwiązanie ogólne..................

9.    Dwa centra atrakcyjne w warstwie płynącej wody wgłębnej. .    .    .

10.    Kształt typowy tak zwanej paraboli chyżości.........

11.    Tachoida wskutek działania dwóch centrów.........

12.    Fale odbite.....................

13.    Izotachy i powierzchnia tachoidalna............

14.    Ruch elementu cieczy w grubej warstwie, wskutek działania dwóch

centrów atrakcyjnych. ...............

15.    Ruch cieczy w łożysku, wskutek działania jednego centra atrakcyj

nego lub repulsyjnego................

16.    Ruch cieczy w łożysku, wskutek działania prostolinijnego układu cen

trów atrakcyjnych..................

17.    Strugi i fale.....................

18.    Fale odbite.....................

19.    Zapory...........• .    ........

20.    Pionowa parabola chyżości...............

21.    Obniżenie powierzchni cieczy w układzie centrów atrakcyjnych. .    .

22.    Przelew........................

23.    Wypływ cieczy przez otwór w dnie naczynia.........

24.    Ruch cieczy w łożysku.................

25.    Profile poprzeczne...................

26.    Ruch cieczy w łożysku, skutkiem działania układu centrów repul-

syjnych.....................

27.    Obniżenie powierzchni cieczy w zbiorniku nad otworem wypływu .

28.    Odkształcenie danej tachoidy...............

29.    Ruch elementu cieczy, wskutek działania dwu układów centrów.

-Ś3E3-

00 03

!-»■ h-k

CO >-* >-* o O <1 03

Strona.

SPIS RZECZY.

TABLICA I.

liii

■ ff V

Fig. IB.

cP

O.

A

o

ef>

P-.W

$

\0.

vi

0

'-T-

P

TABLICA II.

,A'’~

yr.

AA

p.

iA’

«5

£

■

5

X

K

o

<

i

t7^

-^ŁL.

I I

4

i

A»

*

r¹

rv.

Fig. 29.

f*

Misi

o

/

>

.

%

;

fCcftf'4§0 «QS#9§I§M:2S;£ls§§PcfffM ttr^€ß *&&%&& fy&?%ä% ffeS?!©’

*9Wl^4i^«*r^?róa^ae?<ąp0!a^a®<

- .M^M€°'S€i ~ ~-

®i*Sipi8

>--    ?v>*|^s*^w^5 ?: ,f-

^ :igL^^^f^vg s>^^- • äL^^<l5&!£ '•••'

fc^-jsisÄ^assr

sMe^stfef,

.....^    ^C4€ÄS#;'-^^fl^

ÄÄ^tÄW

sf§£    W&sgyt&A' £gß£&£#MtJ%Z M*

j3e^»ß^fSi67<5^^SS©«lfc^te«

ÄÄMÄ^Ä&Äei^s^j^eSölsS

■mSkWiÄÄkWÄ®S?lÄfeÄJiffiS

rossjeaöwfisat!^

'8&P&&ä&SS&S&$

a^fe^tpgb^sagi^lB^qPg

Jfcl* ..:- •^kö'-'wif "JTĄ#¹ *?/Jfcs :.:■: $*&&*•*%£’>S'Aß?* t&MŁkz»    ^Aj^’i-.^-P^i?;%■ :%fSŚB'P4£j‘:^.

- a?^^S3^9feM?ö»^^^rÄastos ą^^j«peŁ»^^jjaa8^a^»<a»aaaaia^

ga«ae^atea^jMaKgi^a^

^$ä|^g^£ii^sig^y9uß

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

wd0"*Lmf««p <sm

dn*. *»*,<»»*»,* m

Biblioteka Politechniki Krakowskiej 11-348364

Kdn. Z?m. 480/55 20.000

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000231321