Ш§!

Ж

шяяшшжт

щшшщ «Шеи

Л.

:•

У:;

118

Шш

-•

IÄ!

W:

Ш:

Ш1    ']

1lfca*'flBwfr

If:

/у

#!

: >. •

ШШ

;;у

' ii

Шл

рш

уу

ШШ

ШШШШЩ'уШ,

../• : г

■Ш

.у

;У

ЩШ&

■шш, 'ш

:::

ff:

тШт

Щш

'AÏS,:

шэд

mmmmm

•'}

Щ1Щ

та

:;;

;Д

Лл

•:

Ши

Î’L:

У;

•л

Й-

Ш:

:л4 у

: : ■: ; ’Ą

:--Ч

■Ч

;'.;й

■,

щ.

, м

;

вШЙЙ1«1

Ж'

«'i

:ш

/л;::

а;

Яв|«:

. • Г -

■/У:

%т

pi

'<х{

::

ШШ

щтттЁтщ

: ■

‘ &. ; .

ШШ

•is

'V

У.

:::

кЩчЩншада'г.“

Ж.:.ч'1.1муж- 1

’■.'.if ■

ЩШ

шшм

II

ШШ

ШШ

:г!

ifefś

Шуу

ж::::

'ж

ШШ

ШШ

ЩтШттШюшт

'ШШ

у'ш''

■Й

щ.

■ :М

ЩШ

Шу

*...... 'яНВННМЮЙЙ

шщмщШёшш

шшшмтШМ$ШтЁМЁШШ

жж'И-

Ж; У

УШУ

■з

ШУУ 1Ж

Wwj У У У

i-

>:■

,г

щШ

у;

У.

(ééib

ШШ

щш

Щт тт

ШщШШЁ

тмт '

щщ

ШшШШМ

V.

■ •:}

ШЩ

Ш :

■Ш

I з; "г

щш

Wmmi

Г,:УУ.УУ

■'у.:.:::-

•у

ÉÉI

ЯЁШШ ШяшЯж

-----ГГ-Г.„Т.Г~П

ШШЖШ

ШШ

уй

11

ШШ

у:

ill

I:

Шж

ШШ

ШУшШ

ж».

й;

::

■SS

::

У-й!

ШШ

;;

i\;

■у

is; ■; '■

ÉpÉtl

ШтшшШШ

'ё

Ш:

:v;

;у

У-У

fei

:'Ж

i;

вщ

■мм

вшшШ

1ж

,::'й

:У

-У

щШ

Ï.

:у;у

Hilf

:

;:у • у у.

у!

ж ::;'л

улУ

ЩШ

1111:

Ш:

у. : :

1Ш

:;;;:

ш.

ШУ

•У’

■ШШШ: У

::.Ж

lïHSfe:

:Д

III

Шшш

■■ж" ;■

шшш

у';

|лй;

:л;

:ж

'ш

:У

шу

у:у;

У. :

'■УУ

•л;,

>;

ШшШ

j:v

1|!|

жШ

;й

•л

liii

■

ж«Ш1»

У11;1

ж-ж

'Г

'•у

:У ;

I......

ЖЖДЖ

Л^ЛШшЁЁшШ

.Ж^штжшШтШ¥МЖ¥к> mwÈÈÈm

‘ :ж.

••••V

1Йй::

'•:УУ

'<•

i-

::

ч.

Д.ДДжж

щвншшр

’у'ууУШЩ

-V

'у

i:ï :.

$ шт&шшж. I

^тШштт

•yv--

Ш:

:::

тШЁж*

ШШ

:ж. -Ш :

ШтяяЯШтт

mmmmi

Дл;

■:д

;д.

ш»

вжМАч

УШ:

ЩтШШЫт.

mmmmm

йШШШШЁШш

$«Й{ЖНлГКлг

жжД; жж; Щ

ШШ

штШтшжШЖ

:vi;

N'

•t

O KONWERGENCJI POŁUDNIKOWEJ

W ODWZOROWANIU ROUSSILHE’OWSKIEM ELIPSOIDY

NAPISAŁ

Dr. L. GRABOWSKI

РВ0Г. POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

PRACA WYDANA NAKŁADEM AKADEMJI NAUK TECHNICZNYCH

W WARSZAWIE.

LWÓW 1929.

S

\

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

100000297933

O KONWERGENCJI POŁUDNIKOWEJ

W ODWZOROWANIU ROUSSILHE’OWSKIEM ELIPSOIDY

NAPISAŁ

Dr. L. GRABOWSKI

PROF. POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

PRACA WYDANA NAKŁADEM AKADEMJI NAUK TECHNICZNYCH

W WARSZAWIE.

LWÓW 1929.

tęfrcuK^

KRAKÓW

ЬкаамяГ*'''

1Ш36Х

Pierwsza Związkowa Drukarnia we Lwowie, ul. Lindego 1. 4.

Âkc. Nr.

Г

ii

O konwergencji południkowej w odwzorowaniu Roussilheowskiem elipsoidy.

i.

W paragrafach. 1—3 niniejszej pracy rozważam zagadnienie następujące: Mając na elipsoidzie obrotowej punkt dany zapomocą długości geograficznej Я i szerokości geograficznej go, obliczyć konwergencję południkową у w tym punkcie w odwzorowaniu płaskiem Roussilhe’owskiem elipsoidy, z dokładnością około 1 sekundy. Z uwagi, że mam tu na myśli głównie odwzorowanie obszaru Polski z otaczającym ją wzdłuż granicy szerokim pasem, zakładam przy tern, iż przyjęte centrum odwzorowania leży w szerokości geogr. około 52° (choćby w bardzo grubem tylko przybliżeniu), i że najdalsze od niego punkty odwzorowywanego obszaru są od niego oddalone nie więcej jak 600 Km., a rozmiary elipsoidy i jej ekscentryczność e są tego rzędu jak przyjmowane w geodezji i kartografji. W paragrafach dalszych rozważam tosamo zadanie w przypadku, gdy punkt elipsoidy jest dany zapomocą spółrzędnych prostokątnych płaskich x, y jego obrazu w odwzorowaniu.

Oczywiście, dokładność wartości konwergencji na sekundę nie byłaby wystarcza-jącą, gdybyśmy chcieli wartości tej używać w rachunkach geodezyjnych, stosując w nich mianowicie odwzorowanie płaskie do rozwiązywania zadań dotyczących sieci triangulacyjnych pierwszorzędnych. Jest jednak zupełnie wystarczającą do różnych innych celów, w szczególności kartograficznych i wojskowych (artyleryjskich).

Ze wrzględu na projektowane obecnie zastosowania odwzorowania Roussilhe’ow-skiego w Polsce na szeroką skalę, opracowanie wspomnianego wyżej zagadnienia, aczkolwiek temat ten nie daje pola do eleganckiego traktowania, lecz raczej do nieco uciążliwej dyskusji, wydało mi się aktualną potrzebą.

Punkt wybrany na centrum odwzorowania nazwijmy O; jego szerokość geograficzna niech będzie gp₀, promień krzywizny południka w tej szerokości oznaczmy przez M₀, promień krzywizny przekroju normalnego poprzecznego przez N₀, a średni promień krzywizny elipsoidy przez R₀=^M₀N₀. Położenie jakiegokolwiek innego punktu elipsoidy może być wyrażone albo przez podanie wartości jego spółrzędnych geograficznych Я i (p (przyczem Я liczyć będziemy od „południka centralnego“ t. j. południka punktu O, a to jako dodatne na wschód), albo przez podanie wartości jego spółrzędnych „łukowych“ s i u, przyczem s oznacza długość łuku południka od równoleżnika o szerokości

jednego metra (t. j. wielkości y₀, V₀, ę₀, о, V, £, ł] ; te wielkości : y₀, v₀, ę₀,... są-to więc liczby oderwane, w przeciwieństwie do tamtych (i dzięki tej swojej naturze mogą występować jako argumenty funkcyj przestępnych, np. logarytmów ; dzięki niej też nie będą pozbawionemi sensu wielomiany lub szeregi zawierające w różnych swoich wyrazach potęgi ich o wykładnikach różnych).

geogr. <p₀ do równoleżnika o szerokości ср (dodatną ku północy), zaś u długość łuku równoleżnika w szerokości q> od południka centralnego do uważanego punktu (dodatną na wschód). Spółrzędne prostokątne płaskie obrazu punktu (Я, q>) w odwzorowaniu Roussilhe’owskiem oznaczmy х, у, przyczem osią ж-ów jest obraz południka centralnego, i jej kierunek dodatny odpowiada jego kierunkowi północnemu.

"Wprowadźmy dalej stosunki tych różnych długości iŁf₀, N₀, R₀, s, и, х, у do MN..

, ~ itd.) i oznaczmy je dla krótkości przez odpowiednio

W niniejszym i następnym paragrafie okażemy, że, w obrębie wspomnianego obszaru i przy określonym wyżej stopniu żądanej dokładności, można konwergencję jako funkcję Я i (p obliczać zupełnie tak, jakby się obliczało w rzucie stereograficznym kuli, dokonanym na płaszczyznę styczną do niej w punkcie o szerokości <p₀, konwergencję południkową przy tychsamych Я i cp.

W każdem odwzorowaniu płaskiem elipsoidy obrotowej, jeśli oznaczymy przez у konwergencję (mianowicie odchylenie, w danym punkcie płaszczyzny odwzorowania, kierunku równoległego do osi x-ów od północnego ramienia obrazu południka, — rozumiane jako dodatne w sensie obrotu od dodatnego kierunku osi x-ów ku dodatnemu kierunkowi osi y-ów), wartość у jest, jak łatwo zrozumieć, określona przez

dy

tg У

dy

дх

Jeśli odwzorowanie jest wiernokątne, to*)

дх M dy - P дЯ

dm

zatem

dcp

(P promień równoleżnika, M promień krzywizny południka) ;

_ Jl dJL

M dy

_1_ ày '

P dl

"Wprowadzając zaś spółrzędne łukowe s, u, mamy

^=дл*°+^и = м    u.

d(p ds d(p du dq) ds    du

dy _ dy du _pdy dX du dЯ du ’

podstawiając w (1), otrzymujemy więc, jako formułę do obliczania y, jeszcze zupełnie ścisłą

(1)

tg y =

dy

dy **)

дУ

ds

tg У — ^ sin (p — dy

du

*) Czasop. Techn. (Lwów) 1928, Nr. 6, str. 69, równanie (4).

**) Jest bowiem m==PX, więc ^ = 1^- = — MX sin ®. Por. loc. cit., równanie przed (4').

albo — со na jedno wychodzi —

ÓT)

(3)

tg У = A sin <p--~

Ó7)

dv

a a i V z

calcul en coordonnées rectangulaires..., Paris 1924, str. 49] :

W odwzorowaniu Roussilhe’owskiem elipsoidy, związki między £ i r\ z jednej, drugiej strony są następujące [por. Roussilhe, Rapport sur les procédés de

(4)

I -1]= v-\-(A₁vo²—Aiv³)—A₃v³a-\-(Aivoi—A₅v³a'²—A₆vb)—(A₁v³o³-j-A₈v⁵a) ^=((+B₁v²-{-(B₂a³-\-B₃v²a)-{-(Bliv²o2jt-Bbvi)-{-(B₆a⁵ + B₁v²o³—Rsu⁴a)4-+ (Z?₉v²o⁴—R₁₀ü⁴a²—Buv⁶).

R,, B₂. . w (4) są-to liczby oderwane, zależne tylko od szero-

Spélczynniki Aj} A₂..

kości <p₀ punktu centralnego (i od stałych elipsoidy) ; wyrażenia spółczynników A przez tę szerokość — spółczynniki B nie będą nam teraz potrzebne — są, wedle Roussilhe’a (l. cii. str. 50), następujące¹):

(5)

(6)

Ai

₌ 2f«-l-2e»c»¹g 12 P„¹

A _ ¹ o[l+4tl-e¹cl (8fg —7)] Po _ f₀[l + 4<g-3«¹ С;(2¹«-|)] ³    12 Po    >o    12 P®

log 4,= 15-787 94 \ogA₂ = Ï5-672 13

log Аг — 21-496 12

(7)

24 pj 12/o + H 4 — 1 24 pj

—2<о + 11¹о — 2

240 p£

logAk= 29-399 78 log Л₅= 27-098 53 log A₆= 29-429 91

(8)

Ач

■^8

₌ Ą,(24f« + 34<«+7) 36 pb

_ <q(—8¹S+29t« + 7)

240 pl

log A₇ = 34-638 25 log ^₈ = 35-224 01

gdzie dla krótkości wprowadziliśmy oznaczenia

c₀ — COS (pQ •

*o = tg (po

prawych stronach (8) opuściliśmy czynnik -^-=^^-=^1 +    с0®² 9>о

Na

со nie zmienia

rzędu przybliżenia tych dwu wyrażeń, ponieważ wyrazy zawierające czynnik e² są w tych wyrażeniach Roussilhe’a zaniedbane. Dołączone obok (5) — (8) logarytmy (odnoszące się do przypadku elipsoidy Bessela) są zaczerpnięte z rozprawy kpt. Fr. Biernackiego (Odwzorowanie Roussilhe’a i próba zastosowania jego metody do obszaru Polski,

Warsz. 1927), który je obliczył (na 8 miejsc dzies.) dla <jp₀=52 7-5. Tu zmieniliśmy je jednak przez dodanie n.log 0-9995, gdzie n oznacza wykładnik przy ę₀ w mianowniku odpowiedniego spółczynnika A. Logarytmy podane przez kpt. Biernackiego nie są-to

uwagę, że u Roussilhe’a litera c₀ ma inne znaczenie, niż u nas.)

Dla każdego oddzielnego z iloczynów ггoq występujących na prawych stronach tych równań, maksymalną jego wartością bezwzględną w obrębie uważanego przez nas obszaru będzie największa (bezwzględnie) z wartości jakie on przyjmuje w punktach odległych od punktu O o 600 000 metrów. Możemy znaleść tę wartość, w wystarczającem dla niniejszej dyskusji przybliżeniu, jeśli weźmiemy na uwagę w płaszczyźnie odwzorowania promień wychodzący z punktu O w azymucie a i długi na 600 000 metrów, wyszukamy tę wartość a przy której | sinpa cos⁷a | staje się maximum, i dla tej wartości obliczymy wartość iloczynu 600000p~^²1 sinpa cos²« |. Znajdujemy dla u²u : tg³а = 2 sin²a cos« = 0²385

dla    ua    :    tg²« =    l    sin« cos² = }j

„    ■uv³    :    tg²«=^    sina cos³a = 0²325

„    o³a    :    tg²a =    3    sin³a cos² =0²325

„    u³a²:    tg²a =    f    sin³a cos²a = 0²186.

bowiem logarytmy wyrażeń powyższych (6) — (8), lecz tych, jakieby z nich powstały przez zastąpienie w mianownikach wszędzie przez 0²9995 (>₀. ²)

Tworząc występujące w (3) pochodne cząstkowe, przez różniczkowanie pierwszego z równań (4), mamy

= l + (A₁o²—3 A₂v²)—3 Л₃и²а+(Л₄о⁴—3A₅v⁷o²—bA₆vk)—(3 A₇v²o³+5 А₈ь^а)

drj

(9)

Cl, Cw

— = 2 Aiva—А₃у³+(4А^а³—2A₅v³a)—(3 A₇v³o²+A₈v⁵).

„ u² a²: tg² а = 1 sin² а COS² а = £

„    и²«³: tg²a=| sin²acos³oc = 0²186

„ и⁴а : tg²« = 4 sin⁴« cos² =0²286

Mamy przeto dla oddzielnych wyrazów prawych stron (9) następujące nierówności (co do wartości bezwzględnych) :

m³)

(10)

A.,a²    < 0²002 21

ЗЛ₂и² <0²005 08 ЗЛ₃и²а < 0²000 78 Л²а⁴ < 0²000 004 30²000 12

5    А₆ и⁴ < 0²000 02 3zl₇u²a³< 0 000 02

6    Л₈и² а < 0²000 00₂

Î8 0

rłe

fło 7 SÔ T7Ô

słs

(И)

2А₁ча < 0²002 21 fi₃u³ < 0²000 68 4Л₄иа³ < 0²000 004 2Л₅и³а < 0²000 11 3 j4₇u³a²< 0²000 02 Л₈и⁵ < 0²000 00₂

i bVö

żłe

de

fis •

Z nierówności tych wynika ostatecznie :

dt)

dt)

«-5

10 0!

3 3 0 *

Widzimy więc, że, w naszym obszarze, wyraz drugi prawej strony (3) pozostaje wszędzie mniejszy od (czyli od 10^-'). Wyraz zaś pierwszy, t. j. Я sinęp, pozostaje w nim wszędzie mniejszy (bezwzględnie) od 0121 (czyli od 7°).

dv

do

2.

Pomyślmy teraz kulę o promieniu =R₀, na niej obrany w szerokości <p₀ punkt O' (od południka jego liczyć na niej będziemy długości geograficzne), i ustanówmy, że każdemu punktowi elipsoidy odpowiadać ma na kuli punkt określony temisamemi wartościami spółrzędnych geograficznych. Część kuli odpowiadającą w ten sposób uważanemu przez nas powryżej obszarowi elipsoidy wyobraźmy sobie następnie odwzorowaną przez zwykły rzut stereograficzny na płaszczyznę styczną do kuli w punkcie Oprzyjmijmy ten punkt za początek układu spółrzędnych prostokątnych w tej płaszczyźnie, a rzut jego południka za oś odciętych. Otóż, oznaczając spółrzędne łukowe punktu (Я, (p) kuli przez s', u', spółrzędne prostokątne jego obrazu stereograficznego przez x', y', konwergencję południkową w tym punkcie przez y', wreszcie stosunki długości x', у', s', и' do jednego metra przez r)’, o’, v', będziemy widocznie mieli równanie

д r/ d a'

tg у' — Л sin (p

dri'

d\>'

oraz*) równania — nazwijmy je równaniami (9') — jakie powstają przez dopisanie w równaniach (9) kresek przy literach 1), o, v i przy wszystkich literach A. Spółczyn-niki A' tych równań będą się różniły od odpowiednich spółczynników A jak następuje (nie wypisujemy tych, które się nie różnią) :

g²Cp<0

6pS •

e4l{2t>-§)t₀

(б')

A₂'—A

(6')

log (A₂'-A₂) = 17-2308 **) _Ho 10

log {Аг'-Аъ) = 24-2948.**)

A-ъ -^3 —

Stąd okazuje się, że przez zakreskowanie spółczynników w równaniach (9) zmieniłyby się, co do wartości bezwzględnej, w pierwszem równaniu

*) Odwzorowanie Roussilhe’owskie elipsoidy ma bowiem tę własność, że w przypadku granicznym e = 0 przechodzi na rzut stereograficzny kuli o promieniu = R₀ na płaszczyznę styczną do elipsoidy w punkcie O. Wynika to odrazu z uwagi, że odwzorowanie Boussilhe’a jestto odwzorowanie wiernokątne, w którem obrazy punktów południka centralnego przypadają na osi ж-ów (prostej stycznej do południka w punkcie 0) w tych właśnie jej miejscach, w którychby przypadły, gdybyśmy ten południk najpierw odwinęli na kulę o promieniu R₀ styczną do elipsoidy w punkcie 0, a następnie z kuli odrzutowali jego punkty stereograficznie na tę płaszczyznę.

**) Logarytmy te są tutaj, gwoli porównywalności z przytoczonemi na str. 3 wartościami loga-

rytmów spółczynników A, obliczone nie dla szerokości =» 52°, lecz dla ©g = 52 7'5 (co zresztą jest dla wyników niniejszego paragrafu obojętne).

wielkości: o około

3 A₃v²o

igop

wielkość Asv³ o około swej wartości,

UV5"

podczas gdy pozostałe wyrazy prawych, stron równań (9) nie uległyby zmianie.

Pozostaje jeszcze zbadać zmiany stosunkowe oddzielnych wyrazów powstające przez zakreskowanie liter o i v. Otóż, oznaczając £²cos²<jp₀ przez 0 (s² = jbjy przez Acp, mamy [por. Jordan, Handb. d. Verm., 3. Bd., 7. A.ufl., str. 229, form. (38)]

3 M0 l + ^o

wartości, w drugiem zaś

3Anv²

⁺ 276

<P~<Po

w<p*⁺гатЬ¹ & а-ч+й+4fu<î) V+- • •

t. j., z pominięciem wyrazów zawierających czynnik Acp² lub e² Acp\

— M₀A(p + 2

M₀

-Jp + *04V+Ko(l-<Î)V,

Mn    1

a stąd, ponieważ    = -—— = 1

yl + £o

z czynnikiem ekAcp lub e²Acp³,

— ł^o+f^o— •••» mamy, pomijając jeszcze wyrazy

(12)

4- = Acp (1—10) + %

lio

• 2~ £o 4 •

Dla kuli natomiast będziemy mieli (12')

Z porównania (12) z (12') widzimy, że stosunek — jest większy od jedności tylko o wielkość (z pominięciem wyrazów 4-go rzędu ekscentryczności)

y £o (1    3 t₀ A(p) ,

która, wobec tego, że 0 jest około    4 około 1-3, a \Acp\ w naszym obszarze <

wynosi w naszym obszarze conaj więcej około

Z drugiej strony, oznaczając promień równoleżnika naszej kuli w szerokości geogr. (p przez P', promień krzywizny przekroju poprzecznego elipsoidy w tej szerokości przez N, mamy

(a)

ponieważ

У N₀

yi+&

гг'

s'

s'

TÔ)

f_ = £»=!+. N«

p я y~wa-~w

оУТ+Т²

«У 1 + £²

VÏ+Ç

Vl+?0

(£ = f² cos² 9).

więc widzimy, że stosunek — jest (z pominięciem wyrazów 4-go rzędu ekscentryczności)

= (1+    0(1— 0) = 1+ ^£² cos² <jp — £² cos²<jp₀, t. j. w przybliżeniu (z pominięciem wyrazów

zawierających czynnik e² Acp²)

1— |£²cos²<5P₀— |-£² cos (po sin cp₀ Acp ; jest on więc mniejszy od jedności tylko o wielkość

|0(1+ t₀Acp), która w naszym obszarze wynosi conaj więcej około

Z (a) i (b) wynika, że przez zakreskowanie liter view równaniach (9) zmienią się wartości bezwzględne występujących w nich iloczynów vpo'¹ w przybliżeniu o następujące części w stosunku do tychże wartości: o² O *bf y2 0 тЬг

U²!J o (1+ 5*₀Д») t. j. mniej niż o

°⁴    ° T4Ö

u²a² o 4Ç₀*₀ A?    я

о т 7 б

U² cr³ О J Ç,(l—1Н₀Д») „

o ję₀(9-t-m₀A®) я

11    » 7 5ТГ

U*

о 2 ï₀t₀ Д<р

⁰ 2fô

иа³ о £₀(1— 5*₀Д?)    „

и³а о £₀(1 + Зг₀(Д?) и³*² О |Ç₀(1+9*₀ Дв) „ и5 о тЬг •

t. j. mniej niż о TFVo

fcsl wl oo|h* coj»-*

» W 5 1 5

11 11 Л

Zbierając to razem z otrzymanemi wyżej wartościami zmian wywoływanych zakreskowaniem spółczynników A , przekonywamy się, że przez zakreskowanie wszystkich liter w równaniach (9) zmienią się wartości bezwzględne wyrazów na prawych stronach mniej niż o takie ich ułamki, jakie są wypisane obok (10) i (11) pod m.

Zestawiając nakoniec te ułamki z nierównościami (10) i (11), otrzymanemi dla wartości oddzielnych wyrazów, przekonywamy się w rezultacie, że zmienią się wartości bezwzględne wyrazów :

w pierwszem równaniu (9):

w drugiem równaniu (9):

mniej niż o 0 000 0015

„    „ „ 0-000 003Г

„    „ „ 0 000 0004

„ „ 0-000 0003 ,

A^o2 3 A₂v2 3 A₃v²o 3A₆v²o²    „

5 AßV* „

podczas gdy u pozostałych wyrazów zmiana maksymalna żadnego z nich nie dosięga nawet jednostki 7-go miejsca dziesiętnego. Zatem

mniej niż o 0-000 0080 „    „    0-000    0038

„ „ 0-000 0022 „ „ 0 000 0002 „ „ 0-000 0001

2.4^0-A₃v3 2 A₅v³o 3A₇v³o²    „

(13)    .

~~ różni się od dv'

drj

dr]'

mniej niż o 0-000 0143 dv    J

„    „ 0-000 005f. *) •

drj

” да

Ponieważ zaś w równaniu (3), jak widzieliśmy wyżej, mianownik jest mało (o mniej niż ji^) różny od jedności, więc z (13) wynika zarazem, że zastępując w (3) ду    przez , nie popełnimy w tg y błędu większego niż o 0-000 005^,

a więc w y błędu większego niż około 1".

Z tą dokładnością, możemy więc obliczać dla danego punktu (A, cp) konwergencję południkową w odwzorowaniu Roussilhe’owskiem elipsoidy tak, jak w rzucie stereograficznym kuli dla tychsamych A i cp. **).

do'

drj

dr]

л Przez

Zna.*--IW;

się jeszczerlîorzystniej, gdyż np. w wyrazie J₃v³ zmiana dru-

*) W rzeczywistości sprawa ma giego i zmiana pierwszego czynnika następują w przeciwnym sensie; a nadto, nie mogą też zmiany wszystkich wyrazów jednego równania dosięgać swych maksymalnych wartości jednocześnie.

**) Promień kuli jest przytem oczywiście dowolny; dla danych X i ® konwergencja południkowa nie zależy od promienia.

3.

W rzucie stereograficznym (ukośnym) kuli łatwo jest wyprowadzić do obliczania konwergencji południkowej y z danych A i cp formułę zupełnie ścisłą. Oznaczając szerokość geogr. punktu O kuli obranego za punkt centralny odwzorowania przez (p₀, jego południk przyjmując za południk A = 0, i utworzywszy rzut stereo-graficzny punktów kuli na płaszczyznę do niej w tym punkcie styczną (w której przyjmiemy ten punkt za początek układu spółrzędnych prostokątnych X y a obraz jego południka za oś ж-ów), będziemy mieli między spółrzędnemi geografieznemi punktu bieżącego A kuli a spółrzędnemi prosto-kątnemi jego obrazu następujące związki, w których R oznacza promień kuli, a odchylenie łuku OA od północnego ramienia południka OB (В biegun kuli)

O A

w sensie obrotu od północy ku wschodowi, a m =

у = 2 R tg у sin a ,

B\

(Oznaczenia łuków odnoszą się do wartości odpowiadających kątów środkowych).

czyli

sin m cos a

y = 2R

1 -f cos m

sin m sin a

= 2R

cos cp₀ sin cp — sin cp₀ cos cp cos A

1 + cos m

1 4- cos m

gdzie cos m = sin cp₀ sin cp -f cos cp₀ cos cp cos A.

cos cp sin A 1 + cos m

otrzymuj emy

Różniczkując x i у cząstkowo względem cp, i kładąc dla skrócenia czasowo

sin cp₍₎ = h cos cp₀ = к

sin A = p cos A = q

.(l + coam)^g =

(1 + cos m)

czyli

(1 -f h sin cp -f к q cos cp) (Je cos cp + h q sin cp)

—    (k sin cp — h q cos cp) (h cos cp — kq sin cp)

² 2~ß    = — (1 + Л sin ę? + Æ <7 cos Ф) V sin Ф

—    p cos cp (h cos cp — к q sin cp),

«I

(1 + cos m)²

1 dx

(14)

I (1 -f- cos m)

2 R 1йр ⁼    ^ C0S ^ + ^q + ^ Я sin Ф + Wq = к cos cp + hq sin cp -j- q

1 dy

2 R dep

— — p sin cp — hp — — p (h + sin cp).

Stąd można natychmiast otrzymać formułę na konwergencję południkową у w punkcie A' (obrazie punktu o spółrzędnych A,cp), t. j. odchylenie kierunku równoległego do osi ж-ów od obrazu południka (w sensie obrotu od północy ku wschodowi): stosując wzór

дУ

,    d<f

дю

otrzymujemy z (14)

(15)

tg y = sin Я

sin <p₀ + sin cp

' cos (p₀ cos cp + cos Я sin <jp₀ sin cp + cos Я '

tg y=sin Я

Oznaczając cp—<p₀ przez d, możemy jeszcze napisać tę formułę tak:

2 sin^~

U

Ssmtó

U

COS 2

t. j.

cos d—2 sin² ~ sin <jd₀ sin cp-{-cos Я

— sin Я

COS 2

2—2 sin²^ —2 sin²-^ —2 sin² sin <p₀ sin cp

(150

tg у — sin Я sin ^

u

sec —

^    1—sin²-^ (1 + sin (p₀ sin cp)

sec²

tol ot

Formuły (15) i (150 są jeszcze zupełnie ścisłe; kształt (150 nadaje się jako wyjściowy do wyprowadzenia formuły przj+liźonej, polegającej na założeniu że Я i ô są małe, a dogodniejszej do rachunku. Wyprowadzimy tu taką formułę dla zastosowań takich, w których błąd w у o parę sekund jest jeszcze uważany jako nieszkodliwy.

Skoro Я i d są małe, możemy, oznaczając czynnik po kropce w (150 przez J, rozwinąć w nim funkcje sin² , sec²-^ na szeregi, i uwzględniając zarazem że jest

sin cp₀ sin cp = h² + hк. d — \ h² d² + . .

J = l+(^-^)(l + Ä*+A*d-|AM*)(l + ^) + ^(lH-Ä!)²,

w czem zaniedbane są tylko wielkości małe rzędu piątego i wyższych. (Błąd w у powstający przez to zaniedbanie byłby więc rzędu 6-go.) Wykonywaj ąc wskazane działania, i porządkując według rzędów wielkości, otrzymamy

X²    1232    n

J= 1 +    (1 + Ä²) + -^hk + -У- (1 - Ä²) + ~ (2 + 5Л² + в A0.

napisać

(16)

W naszym obszarze, gdzie \Я\ <0-15, ostatni wyraz tego wyrażenia jest (przyjmując <p₀=52°) wszędzie mniejszy od 0-000 065. Co się tyczy przedostatniego, to na kole około punktu O, ograniczaj ącem nasz obszar, a więc kole o promieniu sferycznym ra = 5°-4 czyli 0Ю94, wynosi on, w punkcie o azymucie a, w przybliżeniu (podstawiając d = m cos a, Я = т sin a sec cp₀)

0-000 209 sin² a cos² a

16

. (1—Д²) ;

osięga więc maximum przy tg² a = 1 i wynosi wtedy 0 000 001,. Zatem suma obu wyrazów 4-go rzędu w J jest w każdym razie mniejsza od 0 000 07. Z uwagi na małość czynnika przed kropką w (15') (jest on w przybliżeniu równy konwergencji, która w naszym obszarze nie wynosi nigdzie więcej jak kilka stopni) możemy więc te wyrazy w (16) opuścić. Co się tyczy wyrazu В-go rzędu w (16), to na wspomnianem kole wynosi on w punkcie o azymucie a

0002 22 sin² a cos a

hk ;

największą wartość bezwzględną przyjmuje więc dla tg²a = 2 i wynosi wtedy (bezwzględnie) 0-000 103. Zatem i ten wyraz w (16) można również opuścić, gdy zadowalamy się w y dokładnością na parę sekund. Wskutek tego formuła (15') redukuje się do

* 1*.» 4?v.

(17)

tg y = sin Я sin

gdzie

Acp = cp - (p₀

<7=1 +

(I) (!+ sin²g?₀)

Dla wygodniejszego rachunku logarytmicznego można wprowadzić kąt pomocniczy l określony przez

= ! Vl + sin*<p₀,

^^•lio^⁰’000 290 882--*)>

У1 + sin²<jp₀ = (p).[4-16270]Vl +sin²9?₀ ,

Я

gdzie — naturalnie oznacza stosunek długości geograficznej do jednej minuty (czyli liczbę

albo, co jest tożsamo (ponieważ 1° = -^-

180

(18)

0-000 290 882

wyrażającą ile ona zawiera w sobie minut). Czynnik po kropce w (18) jest dla danego <p0 stały, obliczy się go więc tylko raz dla całego odwzorowania; Z zaś obliczać się będzie z (18) zależnie od długości geograficznych. Do obliczenia konwergencji będziemy wtedy mieli formułę

(19)

dogodną do rachunku logarytmicznego.

tg у = sin Я sin    sec 4^

b ' 2

g-.sec ²Z,*)

Jeśli wypada obliczać у dla wielu punktów w obrębie jednego odwzorowania (<Po stałe), pożytecznem będzie sporządzić tabelkę, która argumentem Я daje wprost log sec²/. Dla illustracji podaję tu taką tabelkę, obliczoną w przyjęciu cp₀ = b2°:

log sec² ?

log sec² ?

log sec² ?

log sec² ?

log sec² ?

00 0'

<=>

10

1° 0'

20

10

0-000 05

30

20

07

40

30

10

50

40

12

50

15

18

0-000 21

09

oSê§85o

0 000 21

25

3° 0'

10

4° 0'

29    . 20

33

38

30

43

40

50

0-000 48    4    0

10

20

30

40

50

0-000 86 0-000 93 0-001 00 0-001 08 0-001 16 0-001 25 0-001 34

log sec²?

log sec²?

log sec² ?

log sec² ?

5° 0'

10

20

30

40

50

0-001 34 0001 43 0-001 52 0-001 62 0-001 72 0-001 82 0-001 92

6° O'

10

20

30

40

50

0-001 92 0 002 03 0-002 15 0-002 26 0-002 37 0-002 49 0-002 62

7° 0'

10

20

30

40

50

0-002 62 0-002 74 0-002 87 0-003 00 0-003 13 0-003 27 0 003 41

8°

0-003 41 0 003 55 0-003 70 0 003 85 0-004 00 0004 15 0-004 31

Można także nadać formule (19) kształt

(20)

у = Я sin (p₀ + d ,

gdzie d będzie małą poprawką, zależną od Я i <p, którą się stabuluje w stosownych odstępach tych argumentów. Mając obliczony z góry czynnik stały sin cp₀ w formule (20), można będzie przy pomocy tej tabelki obliczać wygodnie у dla danych Я i <p, nawet bez potrzeby sięgania do tablic logarytmicznych. Dla (p₀= 62° tabelka taka przedstawia się tak:

*) Formuła ta jest dokładniejszą od formuły jaką podałem (bez wywodu) w r. 1927 w końcowym ustępie mojej odpowiedzi na ankietę Wojsk. Instytutu Geogr. w sprawie wyboru odwzorowania dla polskich map wojskowych ( Wiad. Służby Geograficznej, roczn. 1, str. 276). Tam pominąłem mianowicie Д    *

czynnik sec — , w granicach Polski niezbyt różny od jedności, aby formułę jeszcze bardziej uprościć.

Przez pominięcie go może powstać w obliczanej konwergencji południkowej błąd o parę dziesiątych minuty, co jednak dla artylerji jest jeszcze zupełnie bez praktycznego znaczenia.

О' О'

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

о о о о о

т-1 05 СО Ht ОТ

46°

470

48°

49°

50°

51°

52°    53°

54°

550

56°

57°

58°

О' О" О' 0“ О' О"

D Gi CO C- I> CD ;юю^сосо

ЧСОЮЧСО Ю НСОЮНСО О О ОНИ гЧ ; DJ Dl Dl СО СО

CD DJ СО 41 Ч ч СО 41 DJ

О О О ч ч

СО CD <Х> DI 41 Ч DJ СО Ю

О О О О гЧ

- 1 37 - 1 17

to to W to НЧ

ОТ Ф- to or -5ИОТ

со а

О СО CD 05 Dl СО 4 Ю Dl

тЧ тч гЧ Dl DJ

- 3 52 — 3 13 - 2 34

СЛ от Ф. ф. ф-tO СЛ 05 ł-t

оосооои

05 ОТ iH С— СО 05 Н< тч со

ОТ ОТ Ht Ht Ht

С- О со со со Н i—i Ot от

05 ОТ ОТ ОТ ОТ

— 5 47 - 4 49 — 3 51

14 CD LO 41 СО DJ 41 Dl

CD CD CD 14 14

MIII

05 СЛ СЛ от СЛ

От 05 to СО 05 -Л I—» сл

- 7 42 - 6 25

CD СО СО СО СО

Ч СЛ ОЭ to Ч СО CD о и

О CD DJ СО СО

Ю н C'J CD CD 14 14 14

mmmmmiii

ОСЛСЛСЛСЛ|СЛ 4^^^^^

ооосло50,-з ortoconM

б 0 - 9 36

~W - 9 55 20 -10 14 30 —10 32 40 -10 51 50 -11 10

6    0 -11 29 10 -11 47 20 -12 6 30 —12 24 40 -12 43 50 —13 2

7    0 -13 20

“TÖ —13 39

20 -13 57 30 -14 15 40 -14 34 50 -14 52

8    0 -15 10 10 -15 28 20 -15 47 30 -16 б 40 -16 23 50 -16 41

9    0 -16 59

- 7 59 - 6 23

Mill

Ю О CD DJ 14 тЧ СО 41 тЧ

со со со о о

ЮОО(МЮ СО 41 ТЧ DJ

CD CD 14 14 14

- 9 33 - 7 37

- 9 48 —10 4 —10 19 -10 34 -10 50

00 00 СО СО -Л

05 tO t Ф-00 05 Ф- I-¹ со

-11 5 - 8 50 -11 20 — 9 2 -11 35 - 9 14 -11 51 - 9 26 -12 6 - 9 38 -12 21 - 9 50

-12 36 -10 2 -12 51 -10 14 -13 6 -10 26 -13 21 -10 38 -13 36 -10 49 -13 51 -11 1

-14 6 -11 13

О' О" -О Ю -О 19 -О 29 -О 39 -О 48

-О 58 -1 8 -1 17 -1 27 -1 37 -1 46

-1 56 -2 5“ -2 15 -2 25 -2 34 -2 44

-2 53 -3 3 -3 12 -3 22 -3 31 -3 41

-3 50 -3 59 -4 9 -4 18 -4 28 -4 37

-4 46 -4 55 -5 б -5 14 -5 23 —5 32

-5 41 -5 50 -5 59 -6 8 -6 17 -6 26

-6 35 -6 44 -6 53 -7 2 -7 11 -7 20

-7 28 -7 37 -7 46 -7 54 -8 3 -8 12

-8 20

O' О" О' О" О' О" О' О" О' О" О' О" О' О" О' О" О' О"

—06—03 -О 13 -О 19 -0 10 -О 26 -0 13 -О 32 -0 16

-О 39 -О 45 -О 51 -О 58 -1 4 -1 11

-1 17 -1 23 —1 30 -1 36 -1 42 -1 49

-I 55 -2 1 -2 8 —2 14 -2 20 -2 27

о о о о о

+ +++ +

СО со О

CO CO 05 CO 05 i—i i—i 05 CO

о о о о о ++ + + +

от со

l-ч г—t

о о о о о

+ + + + +

+0 10 +0 19 +0 29 + 0 39 + 0 48

CO CD CO Dl 4 H см СО Ю

O O O O ч

t-¹ i—¹ O O O

CO Ф- 05 I—1 h- от CO CO 05

+ + +■+ +

Oï Oi CO t>

4 CO lO 4 CO

О О О ч ч

-О 19 +0 0 +0 19 +0 39 +0 68 + 1 17 + 1 37 + 1 56

-О 23 -О 26 -О 29 -О 32 -О 35

-О 38 +0 О

-О 42 -О 45 -О 48 -О 51 -О 54

О О О О гЧ

+ 0 23 +0 45 +1 8 +0 26 +0 52 +1 17 +0 29 +0 58 +1 27 +0 32 +1 4 +1 37 +0 36 +1 11 +1 46

+0 39 +1 17 +0 42 +1 24 +0 45 +1 30 +0 49 +1 37 +0 52 +1 44 +0 55 +1 50

tO to h-i к-* г-*

tO ОТ ф- CC СО CD 05 05 О

ОТ 05 ОТ -ч С-iO 05 Н< lO

—i 05 05 05 05

i СО ОТ Ht Ht со 11—I СО ОТ Г-t со

05 05 05 СО СО

+ 1 об +2 35

-Ы~ + + +

со to to ю со

От,

соююю

т-1 OJ СО -ii

++++ +

СО -тН Ht с- о

Ht Т-4 С5 Н< 05 СО СО СО СО

Н< о со 05 со -+ и со^ 1-1 СО

СО !сО СО Н< Ht

+ ' + + + + +

+I+++++

СО

to ч СЛ СО »—Ll сл О О и и tOj Ю

-О 57 +0 1 +0 59 +1 57 +2 55 + 3 53 + 4 51 + 5 49

H Н Ч гЧ тЧ

О СО СО 05 ОТ

+++++

—J т-Н тЧ т-Н тЧ

05 ОТ 05

05 СО

гЧ Ч

ад о со со о

тН тч 05 СО Ol Ol Ot 05 05 + + + + +

со со со со со

+ + + + +

ОТ

Ht Ht Ht Ht т-i см со hi

+ +++ +

CD Ot) (М ю со Ч СО 41 lO

41 ^ Ч ^ 41

++ + + +

ююююсо

СО С5 СО 05 05 СО ОТ гН

+++++

со со со с— о-

00

СО С— С— СО С5 Ht С5

-2 33 -1 16 +0 2 +1 19 +2 36 +3 53 + 5 11 + 6 28 + 7 45

—2 39 -1 19 -2 45 -1 21 -2 51 -1 24 -2 57 -1 27 -3 3 -1 30

-3 10 -1 33 -3 16 — Г~36 -3 22 -1 39 -3 28 -1 42 —3 34 -1 44 —3 40 -1 47

о о о о о

+++++

05 05 05 ОТ ОТ

+ 1 22 + 1 26 + 1 29 + 1 33 + 1 36

CO CO CO CO CO H 05 CO Ht

Ht Ht Ht Ht Ht

+ + + + +

CO 05 CO Ht Ht ОТ

05 05 05 CO CO

+ + + + +

CO 05

Ht с- O CO CO

05 СО Ю 1—I

iDioiococo

+++++

Ht O C- CO 05 Ht H CO Ht

CO c- c~ c- c-

+++++

tO Ht CO CO 05 Ht 05

CO CO CO 05 05

+ 0 8 +1 40 +3 16 +4 53 + 6 29 + 8 6 + 9 42

+++++

о о о о о

Ht Ht Ht ю от

+ 1 43 +3 23 + 1 47 +3 30 + 1 50 +3 36 + 1 54 +3 43 + 1 57 +3 50

СО 05 05 05 05 i-t 05 СО Ht

от от от от от

+ + + + +

+++++

05 Ю СО 05 Ю Ht ОТ 05 СО

со со о с— о

+++++

со со со со со

to ч сл со to «<J ч сл со to

+ 10 2 + 10 21 + 10 41 + 11 О + 11 20

-3 46 -1 60 +0 6 +2 1 +3 57 +5 62 + 7 48 + 9 44 +11 39

Ф- Ф>- Ф- 05 05

t—¹    О¹ ОТ

От СО 05 —э и-¹

MIII

to to И И H

От От от СО от 05

СО ОТ

тН СО

05 05 05 05 05 H 05 CO Ht

CD CD CD CD CD

+ + + + +

Ht о O Ht T-I iH TH 05 CO 41    4

+ + + + +

05 CO 05

тЧ гН тЧ

DJ DJ DJ CM DJ

+ + + + +

CO CO с— C— CO

-4 21 -2 6 +0 9 +2 23 +4 38

-4 26 -2 9 +0 9 -4 32 -2 11    +0 10

-4 38 -2 14    +0 10

-4 43 -2 16 +0 11 -4 49 -2 19 +0 12

+ + + + + to to to to to

Ф- 05 Ü5 05 to

to CO or t— -5

+ + +++ От СЛ ф. rfu.

ОТ 05 05 СО СО Н< Ю ОТ тч

+ 6 53 + 7 3 + 7 13 + 7 23 + 7 33 + 7 43

О-

D1 СО 4< Г-н

со со со со со I съ аао^о^оо

+ + +++I + ++ + + +

гЧ тр Г- —I 41 Ч (М 41 Ю

+10

—4 55 -2 21    +0 13 +2 46 +5 20 +7 53

О со тч t> (м

тЧ тЧ DJ

Ю Ю Ю lO ю

-2 23 -2 26 -2 28 -2 30 -2 33

о о о о о

++++ +

СО Ht Ю СО с-

гЧ т-Н г-н тЧ гЧ

05 С5 05 СО СО

+ +++ +

+ 6 27 + 5 34 + 6 41 1 + 5 48 + 6 66

ОТ Н1 Ht Ht Ht ГН 05 СО Ht

00 00 00 00 00 + + + + +

-5 28 -2 35 +0 17 +3 10 +6 2 +8 55

+ 11 69 + 10 16 +12 18 + 10 33 +12 38 + 10 49 +12 68 + 11 б +13 17

+ 11 22 +13 37

+ 11 38 ! +18 66 + 11 65 +14 16 + 12 11 +14 36 + 12 28 +14 65 + 12 44 +16 16

+ 10 27 +18 1 +15 34 + 10 40 +18 17 +15 54 + 10 54 +13 34 +16 14 + 11 7 +13 50 +16 33 + 11 20 +14 7 +16 53 + 11 34 +14 23 +17 13

+ 11 47 1 + 14 40 +17 32

(Ponieważ przy obliczaniu tej tabelki obliczano y

6.

|S. oij

¹

z lekką modyfikacją formalną; por. mianowniki i w (6) czynnik —. (Zarazem zwracamy

Po

²

Podanie przezeń takich właśnie logarytmów tłómaczy się tem, że autor dążył tam do obliczania spółrzędnych prostokątnych x, y w odwzorowaniu Boussilhe’owskiem skurczonem o 0²05% (przez co kompensuje się w pewnej mierze odkształcenia długościowe wynikające z odwzorowania płaskiego). Odwzorowanie skurczone można, oczywiście, istotnie osięgnąó przez wspomniane tylko-co zastąpienie, pod warunkiem wszakże, że przy obliczaniu następnie аз, у według formuł (4) zastąpimy w nich również a wszędzie przez 0²9995 а i u przez 0²9995 u. — Prościej nieco można tensam cel osięgnąó, rachując według formuł pierwotnych odwzorowania, a dopiero na końcu mnożąc otrzymane аз i у przez 0²9995. [Psychologicznie, ten drugi tryb postępowania odpowiada pojmowaniu skurczania jako wykonywanego dopiero na obrazie płaskim; poprzedni natomiast odpowiada pojmowaniu go jako skurczania elipsoidy przed odwzorowaniem. Operacja skurczania elipsoidy wymaga jednak nietylko zmniejszenia jej promieni krzywizny, lecz pociąga za sobą także konieczność zmniejszenia, w tymsamym stosunku, spółrzędnych łukowych s, u punktów na niej leżących (jakkolwiek spółrzędne geograficzne pozostają bez zmiany)].

³

Znaczenie ułamków wypisanych pod m będzie objaśnione później.

(Ponieważ przy obliczaniu tej tabelki obliczano y według formuły przybliżonej (19), wartości d w tej tabelce mogą częściowo być o parę sekund niedokładne. Obliczono d z formuł (19) i (20) tylko dla całkowitych stopni długości geograficznej ; dla pośrednich wartości Я uzyskano następnie wartości d przez interpolację.)

Oczywiście, przy Я ujemnych (gdzie zatem i у jest ujemne), należy także d z tej tabelki brać ze znakiem przeciwnym.

O ile chodzi o obliczanie konwergencji w rzucie stereograficznym kuli z przybliżeniem na parę sekund, rachunek według formuły (20), z użyciem tablicy poprawek d, jest zapewne najwygodniejszy (o ile, naturalnie, mamy już obliczoną tablicę d dla przyjętego gp₀). Jeżeliby jednak chodziło o obliczenie tej konwergencji ścisłe, to, wygodniej niż zapomocą formuły (15), można ją obliczyć według formuły

Я sin i (<jc₀ + <p)

*g| = tg|

[Związek ten jest wyprowadzoną z trójkąta kulistego O AB formułą na tg i (a'—a), gdzie a' jest azymutem koła wielkiego OA w punkcie A. Różnica a'—x jest mianowicie równa konwergencji południkowej, jak łatwo zrozumieć przez uważanie obrazu tego koła w płaszczyźnie odwzorowania i wzgląd, że azymuty zostają w odwzorowaniu zachowane. — Moźnaby było, naturalnie, także tablicę poprawek d obliczyć na podstawie tej formuły ścisłej ; lecz, aby tablica taka służyć mogła do obliczania konwergencji ścisłego, musiałaby podawać d na drobne ułamki sekundy, i wskutek tego też tabulowanie musiałoby być o wiele gęstsze.

Co się tyczy rachunku konwergencji według formuły przybliżonej (19), zużyciem tabelki log sec²Z, to jest on tylko niewiele krótszy niż rachunek według podanej ostatnio formuły ścisłej ; krótszy o tyle, iż odpada połowienie kąta Я i podwajanie kąta —■.

4.

Zajmijmy się teraz sprawą obliczania, z dokładnością na 1", konwergencji południkowej w odwzorowaniu Roussilhe’owskiem w przypadku, gdy punkt, dla którego mamy obliczyć konwergencję, jest dany nie przez spółrzędne geograficzne Я, (p na elipsoidzie (jak w paragrafach 1. i 2.), lecz przez spółrzędne prostokątne płaskie x, y w odwzorowaniu. Przyjmuję przytem, jak i poprzednio, że punkt obrany na centrum odwzorowania leży w szerokości geogr. około 52°. Zakładam także, że poddana odwzorowaniu część elipsoidy (Bessela) jest tak ograniczoną, iż w płaszczyźnie odwzorowania obraz jej mieści się całkowicie wewnątrz koła zatoczonego dokoła tego punktu promieniem 600 Km.

Weźmiemy najpierw na uwagę równania służące do zamiany spółrzędnych łukowych s, u punktu elipsoidy na spółrzędne prostokątne x, y jego obrazu w płaszczyźnie, i równania do zamiany odwrotnej.

Do pierwszego celu służą przytoczone już wyżej pod (4) związki między |, r\ z jednej, a a i V z drugiej strony, przyczem spółczynniki A i В ze wskaźnikami oznaczają wielkości zależne jedynie od szerokości geogr. <jp₀ punktu centralnego (i od stałych elipsoidy) i wyrażają się przez tę szerokość jak następuje [por., dla Al...Ast równania (5)—(8)]*):

*) Przekształcając nieco wyrażenia Roussilhe’a spółczynników A i В (por. mianowniki oraz

czynniki — , —) , opuściliśmy zarazem w A₇, A₈, Bg, B₁₀, Bn pojawiający się przytem czynnik —, co Po V(K    ...    ...    Po

nie zmienia rzędu przybliżenia tych wyrażeń, ponieważ składniki zawierające czynnik e* są w wyrażeniach Roussilhe’a tych pięciu spółczynników zaniedbane.

f₀(24<S+46¹g+23)

48 pE

(21)

л=A

4р?

2 Po ’ ''о

^o(2-r₀ + iq)

4 Po

_2¹g-l-2e»rg/g

12 P¹

, _¹ o [1 + 4 <g — 3 e²cg (2fg — •$)]

³    12 Po

^4 =

24 P¹

D    1

² 12pg

₌ l + Ztl-2e'clt\

4p§

a.

12^ + 11 <g —1

24 po

_ ¹₀[5 + 4¹g-głcg(13 + 8¹g)] _p^ 8 Po

₌ 4 (2 — ¹ q + 2ć²)

24 P®

f₀[6+4<g-e»cg(V + 6<g)]

Po

ÖP?

f₀ [2—/g + g»eg (3-b f <g)]

l¹o

24 рз

_ —2<g +11/g —2

240p¹

(22) BQ

120 p¹

*₀(24<¹ + 34<g+7)

12<{+19<g + 6

36 pg

24 Po

л _^(-8«g + 29«g+7)

240 pg

Bo =

6<g-6<g-2

48p¹

5io —

*o(24² + /¹-17)

96 Po

₌ t₀ (-2 /¹ + 26/¹-17) 1440 pg

Do zamiany zaś odwrotnej t. j. spółrzędnych prostokątnych w odwzorowaniu plaskiem na spółrzędne łukowe na elipsoidzie służą formuły następujące (por. Roussilhe, Cours d’Astronomie appliquée et Géodésie, Paris 1924, str. 337/338; zwracamy uwagę, że w książce tej osie x i y są z sobą przestawione w porównaniu z naszemi):

(23) I +    +    +

K \o = i-Drf-(Dti¹ + Dzil4)-(DrfP-Dtii') + (D'§'-D₁fJ¹§¹ + Drt4).¹)

Spółczynniki C i D (funkcje stałych elipsoidy i szerokości punktu centralnego) mają wyrażenia następujące:

D, = B,

B₂ — B2 5₃ = B₃

D,= Bi-2AiB₁-SBiBi B₅— B\B₃ 2 A₂ B₁ Bb D₆=SBI-B6 D-. = B₁ — <2AlB₃—4:B₂B3 D₃ = -2B,Bk~B\-B₃+2A₃B, A3BfB₂ + +4,А,В\+¹2А₂В₃.

ą = a c₂ = a₂

(24)

С’з — 2 Aj B₁ A A₃

(25)

(7₄_ Aa

C₅ = 2 AtB₃— 4 A₁A₂ + As C₃ = A,B\+A₃Bx-bAl-A

Weźmy teraz znów na uwagę kulę o promieniu = R₀ i obrany na niej w szerokości geograficznej = (p₀ punkt i2, i wyobraźmy sobie, że utworzono rzut jej stereogra-ficzny na płaszczyznę styczną w punkcie Û. Ustanówmy teraz (inaczej niż w paragrafie 2-im), że każdemu punktowi elipsoidy ma odpowiadać ten punkt kuli, którego obraz w tym rzucie miałby tesame wartości spółrzędnych prostokątnych x, y [oś x-ów kładziemy wzdłuż stycznej do południka w punkcie i2, a za początek spółrzędnych prostokątnych przyjmujemy ten punkt], jakie ma obraz uważanego punktu elipsoidy w odwzorowaniu Roussilhe’owskiem mającem za punkt centralny punkt O. Oznaczmy spółrzędne geograficzne tego punktu kuli przez Л*, <jd* (długości geograficzne liczymy znów od południka punktu Q), a jego spółrzędne łukowe na kuli przez u*, s*, stosunki zaś długości tych odcinków do metra przez v*, o*. Wreszcie konwergencję południkową w obrazie Roussilhe’owskim punktu elipsoidy nazwijmy y, a konwergencję południkową w obrazie stereograficznym odpowiadającego mu punktu kuli nazwijmy y*.

Jeśli dla jakiegoś punktu elipsoidy mamy dane spółrzędne x, y jego obrazu w płaszczyźnie, to spółrzędne łukowe w*, s* punktu kuli odpowiadającego owemu punktowi elipsoidy możnaby widocznie obliczyć z tych danych x, y zapomocą równań — nazwijmy je równaniami (23*), (24*), (26*) — jakie powstają z równań (23), (24), (25) przez opatrzenie w nich gwiazdkami liter via oraz (jak w paragr. 2) kreskami liter A, B, C, D, i ustanowienie, że wyrażenia spółczynników oznaczonych literami A', B' ze wskaźnikami powstają z wyrażeń (21) i (22) spółczynników A i В przez podstawienie w nich e — 0.

Będziemy więc mieli, kładąc dla skrócenia An'—An = óA A’ = ¹

¹ 4Po

óAt = 0

ł0

Bn'—Bn= ÔB

dB <<,(!-KoK

a\

2/S —1

12 Po

a:

^(1 + 4/S)

12po

A\

24 po

ÓA>- 6pJ ÓAZ =

ÓA,. = 0

3(4/g —6)

8pg

B'

b:

12 P?

1 + 2tj

4 Pg

#o(5 + 4<?)

8p?

óBz= 0

óB,=

3(21 + 12/»)

16p®

A'

12 + И/g —1

/₀(2 — /g)

24 Pi

24 P®

a:

—2 /g + 11 /p —2

240

ÓA₆ = 0

в:

120 Po

12/* + 19/g + 5

24 Po

ÓB₅ = -

<5R₆ = 0 ÓB₇ = 0

S(2 + /g)

16pg

в:

6/g — 5/g — 2

48 pj

ô Bo = 0

gdzie przez ^ i т oznaczyliśmy = e¹ cl t₀ ,

Jest (w przyjęciu go₀ = 52°) J = ok. т = ок.

Z równań (24*) i (25*) wynika, oznaczając Cn'— Cn przez ô Cni Dn'— Dn przez ć Д,, i traktując przyrosty ôAn, dZ?„, ôCn, à Dn jakoby różniczki (mianowicie zaniedbując w ÔC₆₎ ôDb, ÓD% kwadraty i iloczyny przyrostów ô A , ô В),

г = е'сЦ1

(Со = cos 0>о

<о = tg Фо) •

ÔDX=ÔBX ÔD₂= 0 ô Dz— ô Вг

óą = o ô c₂ = óAi

ô    2 A\ ÔBX+ ÓAS

ôc, = 0

ÔCb=2A\ÔB₃-AA\ÔA, ô    2 А\В[0Вх+А‘₃0В-ЬА',0А^

ôDk = ÔBi—2A‘₁ôB₁—SB,fôBl ôDb = B'bôBx + B[ÔB₃-2B[ÔA-2A\ÔB,-ÔBb ÔD₆ = 0

ô Dr, = - 2 A\ôB₃-4B'tôB3 ô D& = - 2 B'iôB₁-2 B[ôB₄-2 B'₃ôB₃ +2B;ôA , +■

+2 4;<ш₁+бядоя₁+8лдоя₁ + +2J9^,+ 2^ttó,;

a wstawiając za ÔA i ÔB wyrażenia wyżej wypisane, przyczem wszędzie z wyjątkiem

•    3*    •    •    •

w óDx wyrażenie na ÓBX zastępujemy przez —, otrzymujemy (przy uwzględnieniu

4 Po

że    t)

(26)

ôC₃

ÔCè =

ôc₆

Oil H

'S

1448

1-70.10

-17

ÔDX

У1-Ло)«о 1

1229

1-27.10

-10

Po

3430

—1-12.10

—24

12' Pi t(2-*q») _i 12    ‘ Pt

2895

8043

2-08.10

7-49.10

-31

—82

(27)

ôDk =

ÔDb =

2' Po

3(7 + 6*’)    1

‘ Po

3(11+9*’) 1

48

‘ Pl

481

81-3

675

6-09.10

-17

4-73.10

6-68.10

—23

—24

ÔD₇

d De =

—бт 1 12 ' Pi

— T (103 + 24*jj)

' Po

579

-104.10

-30

48

81-3

-7-41.10

-30

Obok każdego z równań (26) i (27) wypisana jest, dla orjentacji, przybliżona wartość liczebna czynnika występującego przed kropką (wypisana w formie ułamka o liczniku 1), jakoteż przybliżona wartość liczebna prawej strony równania.

Jeżelibyśmy utworzyli równania (23*), to odjąwszy od nich (23), otrzymamy na V* — V = ôv i a* — o = Ôo wyrażenia następujące :

j ôv = &Ci.ns + »Câ.n4 + «Cb.n4i-àC,.rl<’

( 1 X Ô0 = -ÔD₁.i₁¹-ÔD₃.r₁*i-ÔDi.tI¹Ç* + ÔDs.4i-ôD,.ri,i³ + SDa.i]i§.

Stosunek promienia wspomnianego wyżej koła w płaszczyźnie xy do metra (a więc liczbę 600 000) oznaczmy dla krótkości przez wówczas możemy powiedzieć, że w równaniach (28) każdy z wyrazów prawych stron jest, wewnątrz tego koła, mniejszy co do wartości bezwzględnej od liczby, jakąbyśmy otrzymali podstawiając w nim £ = r\ = x. Kolejne wyrazy prawej strony pierwszego równania (28) są więc bezwzględnie mniejsze niż odpowiednio

1448

2896

a wyrazy prawej strony drugiego są bezwzględnie mniejsze niż

1 2

8430 ⁰⁾⁵ *

8043

to⁴ X

481

Si⁰**

575

679

81е0 *

gdzie

X

co = — . Ponieważ zaś jest w przybliżeniu £0

co² =

(O =

10-6

113

co³ =

1*04

w⁴ =

12 800

więc widzimy, że na prawej stronie pierwszego równania (28) dwa ostatnie wyrazy wynosić mogą zaledwie parę setnych; są więc dla naszego celu t. j. obliczania konwergencji z dokładnością na 1" zupełnie zaniedbywalne, gdyż błąd o parę centymetrów w położeniu punktu praktycznie nie wpływa wcale na konwergencję (w obrębie naszego obszaru przesunięcie punktu nawet o 1 metr zmienia konwergencję co najwięcej o około T5-Wyraz pierwszy prawej strony tego równania jest (bezwzględnie) mniejszy niż 3*8; drugi przy podstawieniu 77 = £=600 000 miałby wartość bezwzględną 0J45, lecz w rzeczywistości wyraz ten na obwodzie koła ograniczającego nasz obszar osięga największą swą wartość bezwzględną w punktach, w których tg²a = 3, skąd [ sin³ a cos a | = niespełna

Zważywszy jeszcze, że nie mogą oba wyrazy przyjmować swych największych wartości jednocześnie, możemy więc powiedzieć, że suma algebraiczna tych obu wyrazów nie przekracza, co do wartości bezwzględnej, liczby wynoszącej około 3-8. Jest więc, dla nas, też zaniedbywalna.

W drugiem równaniu trzy ostatnie wyrazy są również zaniedbywalne, gdyż nawet przy podstawieniu 77 = £ = 600 000 czwarty wynosi mniej niż 0-9, piąty mniej niż 0-08х, szósty mniej niż 0-58. Wartość bezwzględna wyrazu trzeciego przy podstawieniu £ = 77 = 600 000 wypada = 6’12; ale w rzeczywistości, na obwodzie wspomnianego koła, wyraz ten osięga swą maksymalną wartość bezwzględną przytg²a=l (sin²a cos²« = £), i przeto maksymalna wartość tego wyrazu wynosi tylko około Г5. Możemy więc i ten wyraz opuścić.

)•

skutkiem czego wartość maksymalna tego wyrazu wynosi więc tylko około 0-05.

Pozostaje tedy

ôv — 0

£0 — To? T 1

W drugiem z tych równań wyraz —ÓD₁.?]² przy podstawieniu maksymalnego 17 wypada co do wartości bezwzględnej =45-9; wyraz —dZ)₃.»7²£ przy podstawieniu £ = 77= 600 000 miałby wartość bezwzględną blisko 11, lecz na obwodzie wspomnianego wyżej koła osięga swą największą wartość przy tg²a = 2 (zatem sin² a cos a = 0-385) i maksymalna jego wartość bezwzględna wynosi więc tylko około 4. Suma obu wyrazów jest więc w naszym obszarze wszędzie mniejsza niż około 60; to znaczy: różnica między spółrzędnemi łukowemi s i s* jest mniejsza niż 60 metrów. Ten wynik przyda nam się wkrótce.

(29)

d a = — d Dx. rj² — ô D₃. T7²£ =

irt

'Ser

5.

Konwergencja południkowa y w odwzorowaniu Roussilhe’owskiem elipsoidy, w punkcie będącym obrazem punktu o spółrzędnych geograficznych Я, cp (łukowych : w, s) jest — jak widzieliśmy w paragr. 1-szym — związana ze spółrzędnemi tego punktu elipsoidy związkiem

àn

(30)

Га

tg у = Я sin cp - —

przyczem

dt]

= 1+ (^u³—3 ^4₂v²)—3^4₃vV+(^4₄0⁴—3^4₅ü²cr³—6 ^4₆t>⁴)—(3.4₇u²<7s+5 A₃v^g) ^a~ 2 Âxva—.4₃u⁸ + (4 A^vo*— 2 Abv³ o)—(3 A₁v³o²-\-Asvb).

Zatem konwergencja południkowa y* w rzucie stereograficznym naszej kuli, w punkcie o tychsamych wartościach spółrzędnych prostokątnych płaskich x,y, jest związana ze spółrzędnemi geograficznemi À*, (p* punktu kuli, tam się odwzorowującego, związkiem

(31)

drj

(32)

tg y* = A* sin (p

ßrA*

* w

w czem

(33)

(Й)*-

(ЙГ-

1    + (^₁ct*²~3^₂/u²) — 3 A₃' v² o*-\- (4₄a*⁴ - 3 A₆v*o*² — 5 Л₆и⁴) — — (3 A₁v²o*i-\- 5 Л₈?й⁴ст*)

2    Atvo*—Л / u³ + (4 Л₄г>(х*³—2 A₅v³o*)—(3 .4₇г>³сг*²4-Л₈г;⁵) •

Ponieważ mianowniki drugich wyrazów prawych stron w równaniach (30) i (32) nie są wielkościami małemi [są bowiem, jak widzieliśmy w paragr. 1-szym, mało (o mniej niż yi-ц) różne od jedności], można w ostatnich dwu nawiasach drugiego z równań (33) zastąpić a* przez o. Odejmując następnie drugie równanie (31) od drugiego równania (33), znajdujemy

/drj\* drj

Idu/

— 2 A^v. óo — ô A₃.v³.

Lecz, ponieważ u i a są mniejsze od x, jest 2 А, V da < 2 А. x². —

1    ¹    X

60 . 1 600 000    12 000 ’ A₃

a zatem, z uwagi że — < z formuł (10) i drugą z formuł (11)]

v³óA₃< A₃x³.^ •

"3

3 3(4*?-5)

2 <o (1+4 «51

ok 1 U ‘ 1280 ’

i że [por. pierwszą

2 A₁x² = 0-004 43

A₃x⁵ = 0-000 68

widzimy, że

2Aivóa< 0-000 0004

u³ ÓA₃< 0-000 0005

d w    ( d rj\ *

t. j. oba wyrazy razem wynoszą mniej niż 0-19. Różnica między a I^J jest więc dla nas zaniedbywalna.

Prawą stronę pierwszego zaś równania (33) możemy również zidentyfikować z prawą stroną pierwszego równania (31); jakoż, A^o² różni się od A^o*² mniej niż o 0-000 0004 , 3 A₃v² od 3.4аг>² mniej niż о 0-000 018, 3A₃v²o od З.4'₃и²ст* mniej niż

o 0-000 002, a różnice w pozostałych wyrazach nie dochodzą do

nawet różnica o    w mianowniku (30) lub (32) nie wytworzyłaby jeszcze w у zmiany

o więcej niż około 0-11.

10 000 000

; tymczasem

Tym sposobem otrzymujemy ostatecznie, jako wystarczające przybliżenie, związek tg У* — tg y = Я* sin cp* — Я sin cp ,

czyli inaczej

(34)

tg У* tg у = w

* sin cp* _ sin (p

U zr

p*

gdzie P oznacza promień równoleżnika elipsoidy w szerokości cp, a P* promień równoleżnika kuli w szerokości q>*.

Wyraźmy teraz ^ przez s, i

, .    sin cp

A sm (p = u —— —

sin cp*

p*

przez s*. Jest *)

(36)

MS

о/ o 2

(1+ <S+ ?,) + ^rt₀ (1+ <; -    2f5)+- • •

N1

gdzie £₀

1—e²

cos²<p₀ ( —ok. 3^); przytem, jak wiadomo, N₀=R₀ (1+ £o)² , tak iż

(36)

t _ 1    /1    1 f- ,    3 C.g

2&»⁺8&0_

^-^a-ü+ÎJ-ÎS + .-O

1    1 /-(    3 c. i 16    85 с.» . ч

N>- ~Щ (1_ T^o+-8?o“Ï6^o+--0 •

SI«*

Я + -)

W (36) ostatni wyraz jest w przybliżeniu = -Ц-1₀ (1+ <J) ; a ponieważ    1\) =

„ C2 Po

= ok. 3-4 (w przyjęciu gp₀=52°), czynnik zaś osięga na wspomnianem wyżej kole naj-

Po

większą swą wartość bezwzględną przy tg²a = (a = 36° 16', sin a cos² a — 0385), przeto wyraz ten jest w naszym obszarze mniejszy co do wartości bezwzględnej od liczby wynoszącej około 0-385 (y-) . 3-4 t. j. 0-001 088, czyli około 224". w nawiasie tego wyrazu opuścić składnik —2 f g wobec 1 + źg. Podstawiając (36) w (35) otrzymujemy

Wobec tego możemy

'lsm₅»=-^<o(¹-łfo + f^-Aa⁾+^f⁽¹ + <5 + ?o⁾⁽¹-& + a⁾H

czyli

(37) Я sin cp=

US²

^<»(l-ł?» + ł?S)+||(i+<?-fo<5) +

Opuściliśmy w pierwszym wyrazie składnik jego — ^ £j> h ~]f błędu większego niż Ó-000 13,

R\

MS²

Щ1/0

<„(! + «— Ł)(l— *£,)

<o(i+<S-Ko-ł£><5)-

gdyż nie sprawia to w Я sin cp co nie sprawia

us

w drugim wyrazie składnik £5 ź²

błędu większego niż 0-01. Ponieważ w ostatnim nawiasie suma dwu ostatnich składników wynosi —4-96 £₀, można zamiast ostatniego wyrazu prawej strony napisać prościej : '—t.a+ti-bQ.**)

BI

*) Por. artykuł mój „O odwzorowaniach płaskich wiernokątnych...“ (komunikat pierwszy) Czasop. Techn., Lwów, 1928, formuły (6) i (22).

**) To zastąpienie, jakkolwiek tu wyprowadzone z założenia ®₀ = 62°, nie wytworzy, zresztą, żadnego dla nas w rachubę wchodzącego błędu w konwergencji nawet i w razie, gdyby szerokość punktu centralnego różniła się od 62° o kilka stopni.

Mamy więc

Я sin ęp =

i analogicznie

u , _ us

К 0 +S$

^ <„*■*+

MS

m*s*

м* 5*²

Я* sin (p* =

oznaczając przez i^⁷, G, i7 wyrażenia w trzech kolejnych nawiasach w (37), a przez F*, G*, H* wyrażenia jakie z nich powstają przez zastąpienie £₀ przez £₀* (t. j. przez 0). Zapamiętajmy, że Fjest bliskie jedności, F* = 1; G i H są bliskie 1+ ł\ t. j. około 2-64, G* i H* są = l+ą .

Tworząc różnicę obu pierwszych wyrazów stron prawych, mamy

R₀

KI

G* 4

t₀H*

r/) ⁴ [ Ą ⁽¹ F) + F '

lecz, jak widzieliśmy [równ. (29)], -g- jest dla konwergencji zaniedbywalne ; zatem pozostaje tylko wyraz ł₀ (1—F). Jest°l— F= ^ f₀ — -§- £o î    mamy

J?L_ ^0 (£ S£8}

Л • 2    4=0/*

(38)

(39)

t (*

°Uo

'•(¥ *

Różnicę drugich wyrazów utworzymy na wzór tożsamości a'b'— ab = b'ôa + a'ôb — ôaôb.

(ôa=a'—a, ôb=b'—6)

Będziemy mieli, przy uwzględnieniu że — jest zaniedby walne,

л₀    -^o    -“0    -^o    -“o

и* i    8s    1

ponieważ — < t. j. około 19460", a — <    > m°żna w nawiasie pierwszy i (tem-

* MS m*s* ,

G “Bi®—5f4e

M*S*

t. j.

bardziej) ostatni składnik opuścić, i napisać

M*S*

czyli

Rs

ло

(40)

U* 8*

G*-^G =

Nakoniec

KI

G><8-

s*²

~    S*²    MS²

жмн

»-«ИЗ

dtf-d

ponieważ d = w przybliżeniu 2

8s

t. j. maksymalnie około ^8 600

Ą Rq

dla naszego celu składniki w nawiasie pierwszy i ostatni, i mamy

odpadają znów

(41)

Zbierając wreszcie razem (39), (40), i (41), otrzymujemy

MS² \ _ u* /s*\²

s / ąuj

(42)

tg у*-ьёу = -щ&₀

[₍₁_Ko) + 2i^o₊lo(0].

Pozostaje teraz wprowadzić tu, zamiast spółrzędnych łukowych s*, u*, spółrzędne prostokątne płaskie x, y.

Otóż, możemy przedewszystkiem zamiast u*

[na mocy pierwszego z równań (23*)] w przybliżeniu

v* — 1] = — Сгт]£² +    ;

największa na wspomnianem wyżej kole wartość bezwzględna tego wyrażenia występuje przy cos²a = 0 i wynosi około 1000; zatem błąd powstający na prawej stronie (42) przez

podstawienie y zamiast u* wyniesie co najwięcej około £₀ź₀ t. j. około

" Po

Równanie (42) przechodzi więc na

wprost wstawić y. Albowiem, jest

3 882 000

cz. 0-05.

tg Л-t*r = Ą f. 4 [d-łW + 2^0+10 (£)’] .

Zastąpienie w tern ostatniem równaniu wyrazu ~ £₀1₀.2 y-1₀ przez wartość prawej strony równania [według drugiego z równań (23*)] w przybliżeniu

o £₀tl, co wynosi w najgorszym razie około 2-2.10~⁶; ponieważ jesttojuż wielkość

Po    „

porównywalna z 1" (jest bowiem = 0-45), nie wykonywamy tu tego podstawienia (a*=£), lecz podstawiamy dokładniej a* = £— Z),^² czyli a* = £— ^ry⁷?²» przez co błąd zredukuje się do zaledwie kilku setnych sekundy. Wreszcie, co do ostatniego wyrazu:

to podstawienie w nim o* — £ zmienia jego wartość w przybliżeniu

P*

£oą zmieniłoby

co na wspomnianem wyżej kole osięga swą największą wartość przy

czyli niespełna Oli ; podsta-

o 10

tg² a — 3 (sin³ a cos a = 0-325) i wynosi wtedy 5-26.10 wienie to jest więc dopuszczalne.

-7

Otrzymujemy tedy ostatecznie

(43)

tg y* —tg y

Z równania tego widać, że tgy* —tgy, a więc także i y* — y, w uważanym przez nas obszarze nie przekracza około ggQQ (około 32").

Z formuły tej wyprowadzimy nakoniec jeszcze formułę na y — y*. Mamy, przez rozwinięcie tg y — tg y* według wzoru Taylora

(tgy_tgy*)cos²y*==(y —y*) + (y—y*)²tgy* 4- ... ; ostatni wypisany wyraz jest dla nas już bez znaczenia, wobec tego że (y — y*)² wynosi

t. j. około 0-005 a tgy*<-^-: na lewej stronie zaś można

co najwięcej około

czynnik cos²y* zastąpić przez 1 — iy*² (y* wynosi co najwięcej około 7-4 t. j. niespełna , czyli, z dostateczną ścisłością, przez 1— $ (Я sin <p₀)² = 1--^ y- /² ; i otrzy

mamy tedy ostatecznie

42 000 000

(44)

y-y* =

W szczególności dla elipsoidy Bessela i przyjęcia ę>₀ = 52° będzie У-У*

rj ([ 6-7208] + [ 11-325] i + [ 17-11 ]    - [ 18-60] v*)

(440

l"

Y —Y*

gdzie

jak wyżej powiedzieliśmy, stosunki rzędnej y i odciętej x do metra (t. j. są skróceniami

1"

oznacza oczywiście stosunek kąta y — y* do jednej sekundy; rj i£ oznaczają

zamiast

[Jeśli błąd o kilka sekund nie szkodzi, można oba ostatnie składniki wyrażenia w nawiasie pominąć.]

Uwaga. Jeśli chodzi o obliczenie konwergencji południkowej w odwzorowaniu Roussilhe’ow-skiem z danych 1 i ® punktu, wartość jej jest oczywiście niezależna od tego, czy mamy na myśli odwzorowanie skurczone, czy też nieskurczone. Gdy jednak, jak w niniejszym paragrafie założyliśmy, mamy obliczyć konwergencję z danych spółrzędnych prostokątnych punktu w odwzorowaniu, to oczywiście należałoby podane nam wartości S; i rj, jeśli odnoszą się one do odwzorowania skurczonego, przed podstawieniem ich do powyższej formuły napowrót odpowiednio powiększyć. Jeśli więc skurczenie było np. o 0-05%) to należałoby je podzielić przez 0-9995 (w praktyce: dodać do nich jednę 2-tysięczną

część ich wartości). Wszelako zmiana taka nie zmieniłaby wartości у — Y* ° więcej jak 002, jest więc co do y — y* bez praktycznego dla nas znaczenia. — Natomiast gdy chodzi o obliczanie samego y* (o czem będzie mowa w następnym paragrafie), powinna być dokonana.

Następująca tabelka, obliczona przez p. W. Szpunara według formuły (44'), podaje wartości różnicy y — y* dla różnych wartości x i y. Wartości y — y* są podane do dziesiątych części sekundy, które jednak, jak wynika z wprowadzonych przy wywodzie owej formuły przybliżeń, nie mają realnego znaczenia; są one zachowane tylko dlatego, aby przez zaokrąglanie do całkowitych sekund nie powiększać jeszcze tkwiących w owych wartościach niedokładności. Liczby ujęte w nawiasy należą do punktów leżących już poza przyjętem przez nas kołem.

Y—7*

0 Km.

+ 100 „ + 200 „ + 300 „ + 400 „ + 500 „ + 000 „

-000 Km.

-500 Km.

-400 Km. -300 Km. -200 Km. -100 Km.

+ 100 Km. +200 Km.

+ 300 Km.

+ 400 Km.

+ 500 Km.

+ 000 Km.

o-o

o-o

o-o

d-'o

oo

ó-'o

o:o

ó:o

d:o

ó;o

ó:o

ó;o

ó:o

(- 4-4) — 4-5 (- 8-8) - 9-0 (-13-2) -13-5 -    (-17-9)

- 4-6

— 9-2

-18-8

-18-3

(-22-7)

- 4-7

- 9-5

-14-1

-18-8

-23-3

- 4-9

- 5-1

- 5-3

— 5-5

- 5-7

- 60

- 6-3

- 6-6

- 9-8

-14-6

-19-4

-24-1

-10-1

-10-5

—10-9

—11-4

-12-0

-12-6

-13-2

-15-1

-15-7

-16-4

—17-1

-17-9

-18-8

-19-8

(- 7-0) (-13-9) (-20-8)

-20-0

-24-9

(-27-8) (-28-7) (-29-7)

-20-8

-21-7

-22-7

—23-8

-250

(-26-3)

-25-9

-27-0

—28-3

-29-6

(-31-1)

-30-9

(—32-2) (-33-7) (-35-3)

W przypadku ujemnych у należy wchodzić do tej tablicy argumentem |y|, i u wartości у— у powziętej z tablicy zmienić znak na przeciwny. Zawsze у jest co do bezwzględnej wartości mniejsze od y*.

¹

Opuściliśmy wyrazy rzędu 6-go i 7-go (u Roussilhe’a są jeszcze podane); według rachunków p. Szpunara, asystenta Obserwatorjum Politechniki Lwowskiej, wartośó bezwzględna sumy wyrazów 6-go rzędu w u nie przekracza, w obrębie uważanego tu obszaru, 2| metrów, a wyrazów rzędu 6-go w s Ц metra. Przesunięcie zaś punktu o 2£ m. po równoleżniku zmienia konwergencję co najwięcej

²

o około 0‘1. Powiększanie spółrzędnej s wpływa na konwergencję jeszcze o wiele słabiej, niż powiększanie spółrzędnej w.

6.

Sprowadziwszy w ten sposób zadanie do analogicznego zadania w przypadku kuli, zajmiemy się teraz tern ostatniem zadaniem.

Dla rzutu stereograficznego (ukośnego) kuli łatwo jest wyprowadzić, do obliczania konwergencji południkowej y z danych spółrzędnych prostokątnych płaskich x i y, formułę zupełnie ścisłą. Oznaczajmy promień kuli przez R, szerokość geograficzną punktu O kuli obranego na punkt centralny odwzorowania przez (p₀, dopełnienie jej przez v₀₇ i południk tego punktu przyjmijmy za południk Л — 0. Wyobraźmy sobie iż utworzono rzut stereograficzny punktów kuli na styczną do niej w punkcie O płaszczyznę, — w której też przyjmiemy ten punkt za początek układu spółrzędnych prostokątnych xy a obraz jego południka za oś ж-ów.

Jeśli B' i C są obrazami biegunów północnego В i południowego C kuli, A' obrazem punktu A, obraz południka punktu A będzie kołem С'А'В'. Środek tego

koła nazwijmy Q, środek cięciwy СB' nazwijmy M, a rzut punktu A' na oś x-ów oznaczmy przez F; i połóżmy

7~.

QM = a, MF = b , MB' — c. Promień koła oznaczmy przez r.

Z prawa geometrycznego tworzenia rzutu stereograficznego wynika, że jest

OB'=2Rtg^, OC'=2Rctg~;

a zatem mamy

c=r(t+±.).

Dalej

(46) b=c-FB'=c-(2 RT—x) =

= r(±-t) + x.

Wreszcie, z trójkąta QMB' i z trójkąta między wierzchołkami Q, A' i rzutem punktu A' na prostą QM, mamy dwa równania

a² + c² = r²

a¹ + 2 ay + y² + b² = r², z których rugując r, otrzymujemy równanie

2ay = (c² — ft²) — y²,

czyli, wstawiając za c i b wartości powyższe, równanie

(46)

2 ay = 4 R"¹— 2 -ß(-^r — T^x — z'² — y² = 4 i?² — 4 Rz tg <p₀ — z²—у²

które wyznacza a.

Konwergencja południkowa у w punkcie A' jest równa kątowi MQA'\ mamy więc, z trójkąta między wierzchołkami Q, A' i rzutem punktu A' na prostą QM,

tg у

a-f У

Mnożąc licznik i mianownik przez у i wstawiając następnie w mianowniku za ay wartość z (46), a w liczniku za b wartość (45) t. j. 2 Rtgcp₀ + x, otrzymujemy

t*v = v_21itg<?0 +-_

У 2 i?²—-VRxtg    + Ay²

Oznaczając

przez Y

X    V

— przez X H

możemy to napisać ostatecznie tak :

(47)

tg У = y tg cp₀.

1 + 1X ctg c₀

i-xtgł0 + Hr*-*y

Formuła ta wydaje się napozór nieporęczną do rachunku logarytmicznego. Jednak, gdy obliczymy sobie logarytmy trzech wielkości

X—

2

X tg ?₀

można dla czynnika po kropce w (47) obliczać dość wygodnie logarytm licznika i logarytm mianownika przy użyciu tablic logarytmów addycyjnych i subtrakcyjnych.

7.

Następująca tabela podaje, dla różnych wartości z i y, różnicę

У — (У)

(zaokrągloną do całkowitych sekund), gdzie (y) oznacza kąt obliczany według formuły

(y) =Y tg ęp₀.

Jako szerokość geograficzną punktu centralnego dla odwzorowania kuli przyjęto przytem <p₀ = 52°, a jako promień kuli przyjęto wartość średniego promienia krzywizny elipsoidy Bessela w tejże szerokości. Kąt (y) obliczano więc według formuły

(48)

= [ 2-61662] f—r .

Rachunek tej tablicy wykonał również p. W. Szpunar. Obliczano у i (y) bezpośrednio według formuł (47) i (48) dla z i у będących wielokrotnościami stu kilometrów, a to do dwóch miejsc dziesiętnych sekundy; otrzymaną tabelkę wartości у — (у) zagęszczono następnie w kierunku y-ów przez interpolację z uwzględnieniem różnic tablicowych wyższych rzędów, rachując i tu również na dwa miejsca dziesiętne sekundy. Nakoniec dopiero zaokrąglono wyniki do całkowitych sekund.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

510

520

530

540

550

560

570

580

590

600

-600 Km. —500 Km.

—400 Km.

—300 Km.

—200 Km.

—100 Km.

О' О"

О' О"

05 CD ^ и 05 CD lOia iQ ^ ^ ^ CO CO

OHCQ СО ^ Ю CDl^CO

05 С—CD Ю Ttf CQ H005 ^ CO <N тн Ю tJICOh

OHIM    lOCDh

- 9 33 —10 31 —11 28 -12 26

-13 23 -14 21 -15 19

-16 16 -17 14 -18 12

-88

СО Ю Tjc Ю CO

00 05 о

60 tO 60 to Ю 60 H*

44 44 02 ЮиО «О h- 60    05 00 О

05

ю

-25 57 -26 56 -27 54

-28 53 —29 52 -30 51 -31 50

-32 49 -83 48 -34 48

-35 47 -36 47 -37 46

-38 46 -39 46 -40 46 -41 47

-42 47 -43 48 -44 48

—45 49 —46 50 -47 51

-48 52 -49 54 -50 55 -51 57

-52 59 -54 1 -55 4

-56 6 -57 9 -58 12

-59 15

-11 23 -12 12 -13 1

-13 51 -14 40 —15 29

—16 19 -17 8 -17 57 -18 47

—19 37 —20 26 -21 16

—22 6 -22 56 -23 46

-24 36 —25 27 —26 17 -27 8

-27 58 -28 49 —29 40

-30 31 -31 22 -32 14

-33 5 -33 56 -34 48 -35 40

-36 32 —37 24 -38 16

-39 9 -40 1 —40 54

-41 47 -42 40 -43 34 -44 27

-45 21 -46 15 -47 9

-48 3 -48 57 -49 52

-50 47

О' О"

-    9 58 -10 39

—11 19 -11 59 -12 40

-13 20 -14 1 -14 41 -15 22

-16 3 -16 43 -17 24

-18 6 -18 47 -19 28

-20 9 -20 51 -21 33 . -22 14

-22 56 -23 38 -24 20

-25 2 -25 45 -26 27

-27 10 -27 52 -28 35 -29 19

-30 2 -30 45 -31 29

-32 13 -32 56 -33 41

-34 25 -86 9 -35 54 -36 39

-37 24 -38 9 -38 54

-39 40 -40 26 -41 12

-41 58~

О' О"

О' О"

III III III

oc to to h-¹ h* о

Ю O! OO 02    021

44 44 02 02 tO 60 ИНО¹

4HN    CO 4J1 lO    lO    CO    l>

(M    CM -cH    CM    ЧЛ

ООН    HH(M    CM    CM    CO

-55

- 3 28

0' 0"

— 0 11

О' О"

-О О -О О -О О

-О О -О О -О о

-о о -о о

-О 1 —О 1

СО СО С- 00050 4 (MCO ICO СО СОН ч#чт)1

ko COCO C-C-CO CO 05 05

III III IM

05 О —' СМ СО Ю СО О 05 гч СО tö—iCO ЮгЧСО

CQtJIt*i чрюю IQ СО СО

INI

С-СО    05    О    iH СО    тШОСО

lO    т-<    со    чц Ю    гЧ (М

гЧ СМ    <М    СМ    см см    со со со

ООО 000 000

НгЧСС (мсосо

-10 14 -10 45 -11 17 -11 48

-12 20 -12 61 -13 23

-13 66 -14 27 -14 59

-15 31 -16 3 -16 36 -17 8

-17 41 -18 14 -18 47

-19 20 -19 53 -20 26

-21 0 -21 33 -22 7 -22 41

-23 15 -23 50 -24 24

-24 59 -25'34 -26 9

-26 44

-10 41 -11 4 -11 26 -11 49

-12 12 -12 36 -12 69

-13 23 —13 46 —14 10

-14 34 —14 68 -16 23 -15 47

—16 12 -16 37 -17 2

-17 27 -17 63 —18 18

-18 44

— 3 38

—О 6

III III III

ggSB 08ЙЗ

III III III

38е0

СЛ ot    СЛ    44    44    44    44    44    02

to 1-4    lb-    02    60    ł-4    44

СЛ 02    1-4    СО-О    СЛ    02    1-4    СО

— б 38

t> О ОТ ÎD о JJJ СО Ю СО СО СО CD СО

— 7 52

-О 7 -О 9 -О 10

-О 11 -О 13 -О 14

-О 16 -О 18 -О 20

-О 22 -О 24 -О 26 -О 29

—О 32 -О 35 -О 38

-О 41 —О 44 -О 48

—О 51

ФОЮ

w со со со со

-О 55 -1 О

-32 48

—23 15

—    9 51 -10 7

—    10 23 —10 40 —10 56 —11 13

-11 30 -11 47 -12 4

—12 22

—    12 40 -12 58

-13 17

— 1 13 -1 18

— 1 23 —1 29 -1 34

—1 40 -1 46 — 1 53 -1 59

-2 6 —2 13 —2 21

-2 28 -2 36 -2 44

-2 53

+ 100 Km.

0 Km.

0' 0"

0' 0”

г—(г)

+200 Km. +300 Km.

+ 400 Km.

+500 Km.

+600 Km.

0' 0"

0' 0"

0' 0"

0' 0"

0' 0"

óóó ооо óooj

ООО 000 ООН

3838 38е0 £88

ООО ООН

+ + + + + + + + +

г-н г-н г-н

+ + + + + + -+• + +

СО С» to to l-ч ł-⁴ ł-4 о о

8н»8 382 œ&ïè

Ю О 41 034103 СОСОСО СО тН н IО СМ СО »-H

ОНИ (МСЧСО ^ ^ ю

+ ++ + + + + + +

-иозсл ht-еооэ to 44 о

toco й^елч tocoit» -aoec слсоо озелео;

+++ +++ +++

.4 СП СО 41 Ю СО С- СО 03

тЧ СИ СО 41 ХО СО СО О-СО

н⁴ о со -пезел со to h⁴

H⁴    ОО I—⁴ ht» OI

ел о ел о ел о ел о ел

100

-0 1

+ 1 50

+ 3 46

+ 5 47    + 7 55    +10 9

+ 12 29

110

120

130

140

150

160

170

180

190

III III III

ООО 000 000

СЛ сл ^ оо оо te юии

И Ч (М СО СО 41 414141 т4 СЛ СО 41 Ю тЧ СИ

СИ СИ СИ СИ СИ СИ сососо

+ + + + + + + + +

+ + + +++ +++

00 О СО ХО С- 03 ЧСОТР СОЮ НСОЮ <м 41

41 4< ЮЮЮ со со t>

СЛ СО тЧ    LO    03    СО    О-    тЧ ю

СЛ ХО СО    СО    тЧ    41    СЛ ХО

СО СО С-    СО    СО    03    03    о о

+ + +    +++    +    + +

+ 8 42 + 9 29 + 10 16

+ 11 3 + 11 50 + 12 37

+ 13 24 + 14 10 + 14 57

+ 11 9 + 12 10 + 13 10

+ 14 10 + 15 11 + 16 11

+ 17 11 + 18 11 + 19 11

+ 14 59 + 16 13

+ 17 28 + 18 42 + 19 56

+21 10 +22 24 +23 38

200

-0 6

+3 35

+ 7 26

+ 11 28    +15 43    +20 10

+24 51

210

220

230

240

250

260

270

280

290

-0 7 -0 9 -0 10

-0 11 -0 13 -0 14

-0 16 —0 18 —0 20

LO 41 41 41 СО СО СИ гЧ О 41 iO    тЧ Ct СО 41 Ю

СО СО 41 414141 41 41 Ю

+ + + + + + + + +

05 О тЧ CM СО rtfЮ чф СО ЮНСО ю H CO

O* CD CO CO 05 05 05 о о

+++ +++ +++

+ 12 2 + 12 35 + 13 9

+ 13 42 + 14 15 + 14 48

+ 15 21 + 15 53 + 16 26

+ 16 29 + 17 15 + 18 1

+ 18 47 + 19 33 +20 18

+21 3 +21 49 +22 34

+++ +++ +++

tototo to to to to to to CD CD -a 05 ел ^ 00 to

О 03 СО ОСОЮ 41 СИ о

+26

+27 18 +28 31

+29 44 + 30 57 + 32 10

+33 22 +34 35 + 35 47

300

-0 22

+ 10 55

+ 16 58    +23 18    +29 58

+ 36 58

310

320

330

340

350

360

370

380

390

-0 24 -0 26 -0 29

-0 32 -0 35 -0 38

-0 41 -0 44 -0 48

СО CD 41 СО-г-1 СО СО 41 гЧ гЧ СП СО !ОЮ тЧ СП

ЮЮЮ ЮОЮ CD CD СО + ++ + + + + + +

+ 11 15 + 11 35 + 11 55

+ 12 14 + 12 34 + 12 53

+ 13 12 + 13 31 + 13 49

+ 17 30 + 18 2 + 18 33

+ 19 5 + 19 36 +20 7

+20 38 + 21 9 +21 39

+24 3 +24 47 +25 31

+ 26 15 +26 59 + 27 43

+28 26 + 29 9 +29 52

+ 30 56 + 31 53 +32 51

+33 48 +34 45 +35 41

+36 38 +37 34 +38 30

+ 39 21 +40 32

+ 41 43 +42 54 +44 4

+ 45 14 + 46 24 + 47 34

400

—0 51

+6 28

410

420

430

—0 55 -1 0 -1 4

440

450

460

470

480

490

-1 8 —1 13 —1 18

—1 23 —1 29 —1 34

Ю 1-1 СО 41 О CD i4 t— Dl

со ^ ^ ю    н н

CD СО СО СО t>- D—

+ 14 8 + 14 26 + 14 44 + 15 1

+ 15 19 + 15 36 + 15 53

+ 16 10 + 16 26 + 16 42

+22 9 +22 39 +23 9 +23 38

+24 8 +24 37 +25 б

+25 34 +26 2 +26 30

500

510

520

530

540

550

560

570

580

590

—1 40 -1 46 -1 53 -1 59

-2 6 —2 13 —2 21

-2 28 -2 36 —2 44

+7 26

HIOÖ5 СО СО О СО io со СО СО СО ^1^10 ю ю ю

О- О— I>— С'-О Is* + + + + + + + + +

+ 16 68 + 17 14 + 17 29 + 17 44

+ 17 59 + 18 14 + 18 28

+ 18 42 + 18 55 + 19 9

+26 57 +27 25 +27 52 +28 18

+28 45 +29 11 +29 36

+ 30 2 + 30 27 + 30 52

+30 35 +31 17 +31 59 +32 41

+33 22 +34 4 +34 45

+35 25 +36 6 +36 46

+37 25

+ + +    + + +    + + -Г

ht» ht» ht»    ht»- lU    tu    03    C»    CO

CO to H-⁴    H* о    O    CD    CC    CO

ГОСТ    и*⁴    ЬО    ht»

CD tO СЛ    •ООН⁴    СО    >£■    СЛ

+39 25 +40 20 +41 15 + 42 10

+ 43 5 +43 59 + 44 53

+ 45 46 +46 40 +47 32

+48 25 +49 17 + 50 9 + 51 1

+ 51 52 + 52 43 + 53 33

+ 54 23 + 55 13 + 56 2

+48 43 + 49 52 + 51 1 + 52 9

+ 53 17 + 54 25 +55 32

+ 56 39 +57 46 + 58 52

+ 59 58

+61

+62

CD ht-

+ 63 14

+ 64 19 +65 23 + 66 26

+ 67 30 + 68 33 +69 35

600

-2 53

+8 0

+ 19 22

+31 16    +43 45    +56 51

+70 37

Grdy dla danej pary wartości spółrzędnych x,y chcemy znaleść konwergencję południkową, można obliczyć najpierw dla danego y kąt pomocniczy (y), zapomocą prostej formuły (48), a następnie do znalezienia kąta y użyć powyższej tablicy. Interpolacja w niej w kierunku y-ów jest nader prosta i wygodna, dzięki bowiem gęstemu tabulowaniu wystarcza interpolacja linjowa. Interpolacja względem x wymaga uwzględnienia różnic tablicowych drugiego rzędu. Przez zaniedbanie ich mógłby powstać w y—(y) (a przeto iwy) błąd dochodzący w obrębie uważanego wyżej obszaru do niespełna 4" (w obrębie ogarnionym tablicą do 5").    _

f KRAKÓW !

|S. oij

_

f

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

IIL3396É

Kdn. 524. 13. IX. 54

/

j-.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

# ’S

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

111-33962