fl......:

'il'"¹

Mm

;$•

■ tgiægf

nm

;;:v

il

i;:;,:.;::

$1

MR

aiiis

Silil

é§|i

■Ml

%

ipaiiii

lllllfiil

lliüiiisii

'IIP

Billi

HHMBM

'

fil

RMMBRMRMRRRRPffiif^fw

■H)

ül

ï

iLiafe-fai

fQ(

MRHMHRH

III

:j

fili:

’’à\

m.

msgmm'xmSÊi

WKÊÊMKÊtmÊmmmBÈmÈM

Itf

wBm

mm

•i

•a

-

RifiÉ»

éèa a

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000278502

PRACE NAUKOWE "

W YDAWNICTWO TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ

/ DZIAŁ II. - TOM I.

/.

PODSTAWY

KRYSTALOGRAFII

WYKŁAD ELEMENTARNY PRAWA JEDNORODNOŚCI, PRAWA KĄTÓW STAŁYCH I PRAWA KIERUNKÓW RÓWNYCH

NAPISAŁ

ZYGMUNT WEYBERG

Z 124-MA RYSUNKAMI W TEKŚCIE I Z CZTEREMA TABLICAMI

|l ",

'x

«I

WE LWOWIE

NAKŁADEM TOWARZYSTWA DL A POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ Z FUNDUSZU BOLESŁAWA ORZECHOWICZA 1916.

Skład główny wydawnictw Towarzystwa utrzymują: we Lwowie Gub-ynowicz, w Krakowie Gebethner i Sp., w Warszawie E. Wende V Sp.

WYDAWNICTWA

TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ WE LWOWIE.

Abraham Władysław. Powstanie organizacyi kościoła łacińskiego na Rusi.

Tom I. 8° wiek. str. XVI i 418. 1904............

Balzer Oswald. Porządek sądów i spraw prawa ormiańskiego z r. 1604. 8° więk. str. 64. 1912..................

—    Sądownictwo ormiańskie w średniowiecznym Lwowie, 8° wiek. str.

187. 1909......................

—    Statut ormiański w zatwierdzeniu Zygmunta I z r. 1519. 8° więk.

str. 289. >1910....................

—    Stolice Polski 968—1188, 8° więk. str. 76. 1916........

—    ‘Z zagadnień ustrojowych Polski. 8° więk. str. 75. 1916......

Bodaszewski Łukasz J. Teorya ruchu wody na zasadzie ruchu falowego.

Część 1, z 76 fig. w tekście i 2 tabl. 8° więk. str. 126. 1901. . . . Buzek Józef. Studya z zakresu administracyi wychowania publicznego.

1. Szkolnictwo ludowe. 8° więk. str. 479. 1904.........

Chodynicki Henryk: Sejmiki ziem ruskich wwiekuXV.8°więk.str. 119.1906. Dąbkowski Przemysław. Dobra rodowe i nabyte w prawie litewskiem od XIV do XVI wieku. 8° więk. str. 117. 1916.........

—    Litkfip. Studyum z prawa polskiego. 8° więk. str. 68. 1906.    .    .    .

—    O utwierdzeniu umów pod grozą łajania w prawie polskiem średnio-

wiecznem. 8° więk. str. 75. 1903..............

—    Prawo prywatne polskie, tom I. 8° więk. str. XXII i 602. 1910, t. II.

8° więk. str. X i 731. 1911................

—    Prawo zastawu w zwierciadłach saskiem, szwabskiem i niemieckiem.

Studyum z historyi prawa niemieckiego. 8° więk. str. 88. 1913. .    .

—    Rękojemstwo w prawie polsltiem śr,edniowiecznem. 8° więk. str. 255.

1904. . . :h -...................

—    Stańowisko cudzoziemców w prawie litewskiem w drugiej połowie

XV i w XVI wieku (1447—1588). 8« więk. str. 85. 1912.....

—    Wierna ręka czyli pokład. Studyum z prawa polskiego. 8° więk.

str. 188. 1909......^.............

—    Załoga w prawie polskiem średniowiecznem. 8° więk. str. 49. 1905. Dembińśki Bronisław. Stanisław August i Ks. Józef Poniatowski w świetle

własnej korespondencyi. 8° więk. str. 259. 1904.    . ^    ,    . y .

—    ż,ródła do dziejów drugiego i trzeciego rozbioru Polski. Tom I. Poli

tyka Rosyi i Prus wobec Polski od początku Sejmu Czteroletniego do ogłoszenia Konstytucyi Trzeciego Maja, 1788—1791. 8° więk. str. LXXI i 565. 1902..............• .    . . .

Ehrlich Ludwik. Starostwa w Halickiem w stosunku do Starostwa lwowskiego w wiekach średnich (1390—1501). 8° więk. str. 136. 1914. . Grochmalicki Jan. Badania nad regeneracyą soczewki ocznej u ryb, z tablicą. 8° więk. str. 28. 1908...........*.    .    . .

Grzegorzewski Jan. Z Sidżyliatów rumelijskich ępoki wyprawy wiedeńskiej akta tureckie. 8° więk. str. 408. 1912........

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Kor.

so eo io

te

co

CM

co

<N

CO

eo

co

i-^

50

CNI

cfi

CD

100000278502

V-

i

m

&

\dcciu

fl

CLiXr

*k!k

iù.

/    i    ___y

\Cy\>y/'

PRACE NAUKOWE

WYDAWNICTWO

TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ

DZIAŁ II. - TOM I.

ZYGMUNT WEYBERG

PODSTAWY KRYSTALOGRAFII

fes

WE LWOWIE

NAKŁADEM TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ Z FUNDUSZU BOLESŁAWA ORZECHOWICZA 1916

PODSTAWY

KRYSTALOGRAFII

WYKŁAD ELEMENTARNY PRAWA JEDNORODNOŚCI, PRAWA KĄTÓW STAŁYCH I PRAWA KIERUNKÓW RÓWNYCH

NAPISAŁ

ZYGMUNT WEYBERG

Z 124-MA RYSUNKAMI W TEKŚCIE I Z CZTEREMA TABLICAMI

Ml iS

WE LWOWIE

NAKŁADEM TOWARZYSTWA DLA POPIERANIA NAUKI POLSKIEJ Z FUNDUSZU BOLESŁAWA ORZECHOWICZA

1916.

■3

T- WW

^pUOTEK^ KRAKÓW e ch

III45

Z drukarni Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie pod zarządem J. Filipowskiego.

Akc. Nr. _....._......mt&O

Przedmowa.

»Podstawy« niniejsze zawierają wyldad elementarny trzech praw krystalografii, oraz wiadomości o najważniejszych następstwach, które z tych praw wypływają.

Dotychczasowe podręczniki krystalografii pisane są przeważnie dla mineralogów; a więc są to dzieła obszerne, zapełnione ogromem szczegółów krystalografii opisowej i techniki metod badania. Wiadomości w nich zawarte nie wiążą się w całość spoistą, gdyż z równą dbałością traktowane są tam elementy nauki, jak i jej technika. Z tego powodu koło ich czytelników jest daleko szczuplejsze, niż na to'’ zasługują. Prawa krystalografii w nauce o stanie stałym są tem samem, czem w nauce o gazach są prawa Boyle’a, Gay-Lussaca, Dumasa. Sprawy izomorfizmu, polimorfizmu, stopów, roztworów złożonych, roztworów stałych, dwójłomności i polaryzacyi światła, oraz wielu innych kwestyj, w spółczesnej fizyce i chemii coraz bardziej wysuwających się na plan pierwszy, są niezrozumiałe dla tych, którym obce są podstawy krystalografii.

Należy pragnąć, aby każdy podręcznik fizyki i chemii ogólnej zawierał rozdziały, traktujące ściśle i dokładnie o tych prawach, które rządzą ciałami stałemi, tak samo jak zawiera on prawa, dotyczące gazów i cieczy. Nie dzieje się tak tylko z powodu tradycyi przestarzałej i szkodliwej, która ciągle jeszcze umieszcza krystalografię w ramach mineralogii, zamiast w jej granicach przyrodzonych, t. j. w zakresie nauk fizykochemicznych. Powoduje to istotną i dotkliwą lukę w całokształcie wykładu tych nauk, co się szczególnie odbija niepomyślnie na fizykochemicznem wykształceniu początkujących uczonych.

Książka niniejsza napisana jest w celu zapełnienia tej luki. Jej zadaniem jest przedstawić i podać kwintesencyę krystalografii w takiej postaci, jaką ma geometrya, t. j. nie opisowej i rozlewnej, jak się to przeważnie praktykuje, tylko w jednolitym i spoistym systemie, w ścisłym szeregu definicyj i twierdzeń, logicznie z sobą związanych i kolejno po sobie następujących.

Książka, ułożona w tym celu i w tym zakresie, co niniejsza, nie może być odbiciem bezpośredniem ani bieżącego piśmiennictwa naukowego, ani klasyków. Z temi praźródłami nauki winna się ona łączyć przez monograficzne opracowania i wielkie podręczniki. Na te ogniwa pośrednie autor »Podstaw« niniejszych wybrał podręcznik Grotha¹ — pierwszego popularyzatora krystalografii, Li-bischa¹ 2 — twórcy najdoskonalszych dzieł o krystalografii fizycznej i Wulff a³, który do krystalografii geometrycznej w czasach, ostatnich wprowadził najwięcej prostoty i ładu. Za wzór ogólny służyły autorowi dzieła Millera, »A Treatise on Crystallography« (1839) i »A Tract on Crystallography« (1863). Źródła te spoinie odbiły się na treści paragrafów tej książki w różnej mierze, tylko nauka o projekcyi stereograficznej i o symetryi, jako oryginalne pomysły i teorye Wulff a, są opracowane prawie wyłącznie na zasadzie jego dzieła.

Wybór materyału i zakres książki, układ całości wyłącznie dedukcyjny w jednym szeregu wniosków i następstw, kolejno wypływających z jednego tylko założenia, oraz dobór przykładów i sposób ich opracowania, pochodzi od autora.

Aby koło czytelników »Podstaw« mogło być jak najszersze, opracowane są one tak, że zrozumie je każdy, kto zna prawa równości i podobieństwa trójkątów, własności koła i kuli oraz ich przekrojów, komu nie obce są początki stereometryi płaszczyzny i prostej, kto umie rozwiązywać najprostsze równania pierwszego stopnia i kto wie, co to jest wstawa i dostawa kąta.

Dla uwydatnienia budowy i ciągłości wykładu użyto w »Podstawach« pisma trojakiego. Najgrubszem podana jest treść główna, ujęta w paragrafy numerowane kolejno. Ustępy, łączące części wykładu i streszczające zawartość ustępów poprzednich, są oznaczone gwiazdkami na początku i na końcu ustępu. Średniem pismem wytłoczone są różne następstwa i dodatki, pomagające do głębszego wniknięcia w istotę rzeczy. Nakoniec przykłady i uwagi, do tekstu wtrącone, odbite są czcionkami najdrobniejszemi. Trzy pisma te stanowią ciągłą całość, ale pismo najgrubsze samo również tworzy treść jednolitą rzeczy najważniejszych.

W książkach takich jak niniejsza, rysunki są tegoż znaczenia, co tekst. Stąd ich obfitość: sto dwadzieścia cztery na 155-ciu stronicach. Wszystkie wyszły one z pod ręki autora. O ile który został zapożyczony, źródło jego wskazane jest w spisie rysunków, umieszczonym po streszczeniu i spisie rzeczy.

»Podsta.wy« niniejsze są wstępem do krystalografii, którego znajomość jest nieodzowna w cyklu zasadniczych wiadomości fizykochemicznych.

Całokształt krystalografii w formie przystępnej i dość treściwej, acz niezbyt ścisłej, czytelnik polski znajdzie w dziełach następujących:

Z. W e y b e r g, Wiadomości początkowe z krystalografii. Warszawa. E. Wende i Sp. 1905.

G. T s c h e r m a k (Przełożył .1. Morozewicz), Podręcznik mineralogii. Warszawa. E. Wende i Sp. 1900.

Dr. M. Goldszlag z całą koleżeńską uprzejmością wziął na siebie niewdzięczne zadanie korekty »Podstaw«. Autor składa serdeczne podziękowanie D-rowi Goldszlagowi za tę nieocenioną pomoc.

Z. W.

We Lwowie, przy ul. Długosza 6, w instytucie chemicznym uniwersytetu, d. 18. kwietnia 1916 roku.

SPIS RZECZY I STRESZCZENIE.

Str-

Wstęp..............................

§ 1. Dwa rodzaje ciał. Są ciała bezpostaciowe i krystaliczne . . .

CZĘŚĆ PIERWSZA.

Prawo jednorodności.

§ 2. Pierwsza definicya kryształu. Kryształ jest to ciało fizycznie

jednorodne, różnokierunkowe .................

§ 3. Sieć przestrzenna. Wyrazem graficznym ciała jednorodnego jest

sieć przestrzenna...............•.......

§ 4. Ograniczenia sieci przestrzennej i kryształu. Jak sieć przestrzenna ogranicza się płaszczyznami siatkowemi, tak kryształ

ograniczony jest ścianami ..................

§ 5. Wyraz graficzny ścian i krawędzi kryształu. Wyrazem graficznym ściany kryształu jest płaszczyzna siatkowa, czyli sieć płaska punktów analogicznych, a wyrazem graficznym krawędzi kryształu jest szereg prostolinijny równoodległych punktów analogicznych ..........................

§ 6. Związek geometryczny ścian i krawędzi kryształu. Jak płaszczyznę siatkową wyznaczają dwa szeregi, a szereg wyznacza się dwiema płaszczyznami siatkowemi, tak ścianę kryształu wyznaczają dwie krawędzi, a krawędź wyznacza się dwiema ścianami § 6a. Związek arytmetyczny ścian i krawędzi kryształu. Jak płaszczyzny siatkowe odcinają od każdego szeregu sieci przestrzennej odcinki wymierne, tak ściany kryształu odcinają odcinki wymierne od każdej jego krawędzi . ...............

§ 6b. Wyznaczniki. Położenie każdej sieci płaskiej i każdej ściany kryształu można wyrazić stosunkiem trzech liczb całych......

§ 7. Pasy. Ściany kryształu tworzą grupy krawędzi równoległych . . . § 8. Związek pasów i ścian. Każda ściana kryształu leży na skrzyżowaniu przynajmniej dwu pasów’ ...............

§ 9. Poszukiwanie arytmetycznego wyrazu związku paso w.

Trzy zagadnienia.......................

§10. Wyznaczniki. Położenie ściany kryształu wyznacza się stosunkiem trzech liczb, zwanych jej wyznacznikami.........

8-

16-

18

21

21

23

Str.

§ 11. Czworościan jednostko wy. Znaki ścian czworościanu jednostkowego są: (111), (100), (010) i (001)................

§ 12. Zagadnienie pierwsze. Wyznaczenie kierunku osipas a.

Jaki jest kierunek krawędzi, powstałej z przecięcia się dwu nie-

równoległych ścian, których położenie jest wiadome?......

Rozwiązanie. Kierunek krawędzi, powstałej z przecięcia się dwu ścian nierównoległych (hkl) i (h'k’1’) wyznacza się stosunkiem wyznaczników [uvw], których wartości są następujące: u:v:w —

— (kl’—lk’): (Ih’—hr) : (hk’—kh’)................

§ 18. Zagadnienie drugie. Równanie pasów. Jakim warunkom czynią zadość wyznaczniki każdej ściany, równoległej do krawędzi,

której kierunek jest wiadomy?.................

Rozwiązanie. Wyznaczniki każdej ściany (hkl), równoległej do krawędzi [uvw\, t. j. leżącej w pasie [uvw\ czynią zadość równaniu:

hu -f- ko -(- Iw = 0    ......................

§ 14. Zagadnienie trzecie. Dedukcya. Jakie jest położenie ściany, równoległej do dwu przecinających się krawędzi, których kierunki

są wiadome ?    ........................

Rozwiązanie. Położenie ściany X, równoległej do dwu krawędzi : [«jPj«;,] i [M₂*:₂?r₂], t. j. leżącej w dwu pasach: [w,», w,] i [u.,v₂w₂] wyznacza się stosunkiem wykładników (hxkxlx), których wartości są następujące: hx:kx: lx — (v₁u>₂—w₁v₂):(w₁ua—uxw^) : (u₁v₂—■v±u₂)    . .    88

§ 15. Wyraz arytmetyczny związku pasów. Prawo wyznaczników całych, czyli prawo wymiernych odcinków krawędzi. Położenie każdej ściany kryształu wyraża się stosunkiem trzech liczb całych, bo wszystkie ściany kryształu od każdej

jego krawędzi odcinają odcinki wymierne............

§ 15*. Dedukcya pasów i jej przy kład y........• . . .

§ 16. Wyraź fizyczny prawa pasów. Prawo jednorodności. Kryształ jest to ciało jednorodne, różnokierunkowe.......

27

80

34

35

36

37

38

40

43

CZĘSC DRUGA.

Prawo kątów stałych.

§ 17. Prawo kątów stałych. Wszystkie kryształy jednej substancyi chemicznej, skrystalizowanej w jednakowych warunkach temperatury, ciśnienia i stężenia, mają jednakowe nachylenie ścian. t. j.

stale kąty dwuścienne ....................

§ 18. Przyrost kryształów. Płaszczyzny kryształu podczas jego przyrostu oddalają się od jego środka równolegle samym sobie . . . . §19. Kierunek przyrostu ściany. Podczas przyrostu kryształu każda jego ściana odsuwa się od jego środka w kierunku swej normalnej, której kierunek jest stały...............

§ 20. Związek kątów pomiędzy nor m alnemi ścian i kra w ę-dziami osiowe mi, a wyznacznikami ścian. Znak ściany jest to stosunek trzech ilorazów, otrzymanych z dzielenia dostaw

Str.

kątów pomiędzy jej normalną i krawędziami osiowemi przez dostawy kątów, jakie tworzy normalna ściany jednostkowej z temiż

krawędziami osiowemi . . ».................

§ 20“. Wnioski z prawa kątów stałych.............

§ 20b. Pomiary kątów......................

§ 20c. Rzutstereograficzny..................

§ 20d. Siatka stereograficznaG. Wulffa............

§ 20e. Ogólnie przy jęty sposób oryentowaniakryształu i oznaczania krawędzi osiowych ...............

§ 20f. Rzut stereogr a liczny kryształu skalenia potasowego i obliczenie sposobem graficznym w y znaczników jego ścian............................

52

56

56

60

63

67

69

CZĘŚĆ TRZECIA.

Prawo kierunków równych.

§ 21. Definicya kierunków równych i prawo kierunków równych. Kierunki równe są to kierunki, w których kryształ ma wszystkie własności jednakowe. Kierunki równe leżą w krysztale

75

symetrycznie ......................... .

*§22. Druga definicya kryształu. Kryształ jest to ciało fizyczne, którego kierunki równoległe i symetryczne są fizycznie równe, a kierunki nierównoległe i niesymetryczne są fizycznie nierówne .    77

§ 23. Symetryczność kryształów. Różny jest stopień i rodzaj

78

symetryczności kryształów......■ .............

§ 24. Definicya płaszczyzny zwierciadlanej, odzwierciedlenia utworu, utworów symetrycznie równych i utworów symetrycznie leżących. Jeżeli płaszczyzna PZ ma obok siebie po obu swych stronach dwa utwory Fj i Fu tego kształtu i tak leżące, że pion, spuszczony na płaszczyznę PZ z któregokolwiek punktu utworu F\ przecina utwór Fu w punkcie analogicznym, i odwrotnie, przyczem płaszczyzna PZ dzieli ten pion na dwa odcinki równe, to nazywamy płaszczyznę PZ płaszczyzną zwierciadlaną i mówimy: 1° że utwory Fi i Fu mają się do siebie wzajemnie tak, jak się ma przedmiot do swego odbicia w zwierciedle plaskiem, t. j., że jeden jest odzwierciedleniem drugiego w płaszczyźnie PZ. 2° że Fi i Fu są symetrycznie równe, 3° że Fi i Fu leżą symetrycznie .    79

§ 25. Definicya symetryczności. Symetrycznością nazywamy ten stosunek przestrzenny, który zachodzi pomiędzy utworem i jego odzwierciedleniem w jednej lub w kilku płaszczyznach zwierciadlanych 80 § 26. Definicya przekształcenia symetrycznego i powtórzenia symetrycznego. Wykreślenie odzwierciedlenia utworu danego, dokonane przez zastosowanie jednej lub kilku przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych, nazywa się przekształceniem symetrycznem danego utworu. Jeżeli utwór jest tylko punktem,

vin

Str.

prostą, lub płaszczyzną, to odzwierciedlenie jego, dokonane przez zastosowanie jednej lub kilku płaszczyzn zwierciadlanych, nazywamy powtórzeniem symetrycznem punktu, prostej lub płaszczyzny .    80

§ 26*. Twierdzenie o miejscu symetrycznych powtórzeń punktu. Punkt i wszystkie jego powtórzenia symetryczne, wywołane płaszczyznami zwierciadlanemi, przecinającemi się w jednym punkcie, leżą na powierzchni kuli, której środkiem jest punkt przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych..............

§ 27. Twierdzenie o trzech przekształceniach symetrycznych. Są trzy przekształcenia symetryczne: odbicie, obrót, inwersya.........................

§ 28. Definicya pierwszego przekształcenia symetrycznego czyli odbicia. Przekształcenie symetryczne, dokonane jedną płaszczyzną zwierciadlaną, nazywa się przekształceniem pierwszem lub odbiciem, a płaszczyzna zwierciadlana, do tego przekształcenia potrzebna, lub to przekształcenie uzasadniająca, nazywa się płaszczyzną pierwszego przekształcenia symetrycznego, albo płaszczyzną odbicia.....................

§29. Definicya drugiego przekształcenia symetrycznego, czyli obrotu. Przekształcenie symetryczne, dokonane dwiema przecinaj ącemi się płaszczyznami zwierciadlanemi, nazywa się przekształceniem symetrycznem drugiem, albo obrotem; a dwie przecinające się płaszczyzny zwierciadlane, do tego przekształcenia potrzebne, lub to przekształcenie uzasadniające, sprzężone warunkiem istnienia i działania spólnego, oraz warunkiem dawania tylko wyniku ostatecznego, nazywają się płaszczyznami drugiego przekształcenia symetrycznego, albo płaszczyznami obrotu......

§ 30. Definicya trzeciego przekształcenia symetrycznego, czyli in wersy i. Przekształcenie symetryczne, dokonane trzema płaszczyznami zwierciadlanemi, przecinaj ącemi się w jednym punkcie, lecz nie w jednej prostej, nazywa się trzeciem przekształceniem symetrycznem, albo inwersya, a trzy płaszczyzny zwierciadlane, do tego przekształcenia potrzebne, lub lo przekształcenie uzasadniające, sprzężone warunkiem istnienia i działania spólnego, oraz warunkiem dawania tylko wyniku ostatecznego, nazywają się płaszczyznami trzeciego przekształcenia symetrycznego, albo pła-szczyznamiinwersyi. . . . ...............

§ 31. Zachowanie się wzajemne przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych. Przecinające się płaszczyzny zwier-ciadlane odzwierciedlają się w sobie nawzajem, wobec czego kąty dwuścienne płaszczyzn zwierciadlanych i ich trójkąty sferyczne powtarzają się naokoło prostych ich przecięcia się tak, jak w kalejdoskopie .    85

§32. Twierdzenie o kącie obrotu. Przekształcenie symetryczne, uwarunkowane dwiema płaszczyznami zwierciadlanemi, tworząeemi

80

81

82

83

84

kąt A°, równe jest obrotowi o kąt 2A° około prostej przecięcia się

Str.

87

tych płaszczyzn zwierciadlanych, jak około osi.........

88

§33. Twierdzenie o wielkości kątów pomiędzy płaszczyznami zwierciadlane mi. Kąty pomiędzy płaszczyznami zwier-ciadlanemi mają mierzyć tylko 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, jeżeli uwarunkowane temi płaszczyznami zwierciadlanemi powtórzenia symetryczne kierunków równych mają czynić zadość prawu jednorodności ...........................

§ 34. Twierdzenie o jedenastu typach symetrycznych. Jest jedenaście połączeń płaszczyzn zwierciadlanych, czyniących zadość

92

prawu jednorodności.....................

93

§ 35. Oznaczanie typów symetryczności. Kąty 180°, 90°, (30°, 45° i 30°, lub boki trójkątów sferycznych kątom tym przeciwległe, oznaczamy liczbami: 1, 2, 3, 4 i 6.................

96

§ 36. Ho losy metr y a. Z jedenastu połączeń płaszczyzn zwierciadlanych otrzymujemy jedenaście rodzajów bolosymetrycznycli, gdy płaszczyznom zwierciadlanym nadamy znaczenie płaszczyzn odbicia . . .

97

§ 37. Hemisymetrya zupełna. Z jedenastu połączeń płaszczyzn zwierciadlanych otrzymujemy jedenaście rodzajów bemisymetryi zupełnej, gdy wszystkim płaszczyznom zwierciadlanym nadajemy znaczenie płaszczyzn obrotu ...................

99

§38. Konieczność istnienia rodzajów bemisymetryi niezupełnej. W niektórych trójkątach sferycznych płaszczyzn zwier-_ ciadlanych jeden bok może być płaszczyzną odbicia, a dwa pozostałe boki mogą być płaszczyznami obrotu...........

99

§ 39. Twierdzenie o kątach płaszczyzn obrotu w trójkątach sferycznych. Jeżeli'w trójkącie sferycznym płaszczyzn zwierciadlanych tylko dwa boki mają być płaszczyznami obrotu, a w trójkącie tym jest kąt, będący nieparzystą częścią półkola, to płaszczyznami obrotu muszą być oba boki. tworzące kąt nieparzysty .

§40. Twierdzenie o siedmiu rodzajach hemisymetryi niezupełnej. Siedm jest rodzajów hemisymetryi niezupełnej, czyli siedm jest połączeń płaszczyzn obrotu z płaszczyzną odbicia ...    100

102

§ 41. Konieczność istnienia rodzajów tetartosymetrycznych. Inwersya, wymagająca trzech płaszczyzn zwierciadlanych, wraz z istnieniem trójkątowych typów symetryczności, wywołuje konieczność istnienia rodzajów tetartosymetrycznych.........

*§ 42. Definicya osi przystawania, jej okresu i jej rzędu. Prosta, powstała z przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych, nosi nazwę osi przystawania. Kąt, o który obrócić należy utwór około osi przystawania, aby przystał do położenia pierwiastkowego, czyli, aby stał się sam z sobą jednokładny, nazywa się okresem osi przystawania. Liczba wskazująca, ile razy układ przystaje do swego położenia pierwiastkowego w pełnym obrocie 360° dokoła osi przystawania, nazywa się rzędem tej osi...........

Str;

§ 43. Twierdzenie o okresach i o rzędach osi przystawania, powstałych z płaszczyzn in wersy i. Płaszczyzny inwersyi tworzą osi przystawania, których okres jest 4A° i rzed jest 360:4A°, gdzie A° jest to wielkość kąta pomiędzy dwiema płaszczyznami

inwersyi, tworzącemi daną oś.................

§44. Twierdzenie o kącie płaszczyzn inwersyi. Płaszczyzny inwersyi

przecinają się tylko pod kątami, będącymi parzystą częścią półkola . 107 § 45. Twierdzenie o trzech rodzajach tetartosymetryi. Trzy

są rodzaje tetartosymetryczne.................

§46. Twierdzenie o trzydziestu dwu rodzajach symetry-czności krystalograficznej. Są trzydzieści dwa rodzaje sy-metryczności krystalograficznej.................

105

108

108

ZAKOŃCZENIE.

§ 47. Znaczenie krystalograficzne płaszczyzn z wierci ad lali ychiosiprz y stawania .................

§48. Sposób wyprowadzania wszystkich form, możliwych w jednym rodzaju symetryczności, i przykład opisu

jednej klasy krystalograficznej.............

§ 49. Przegląd klas, do których należą kryształy ciał, wymienionych w » Podstawach« jako przykłady, oraz wyjaśnienie różnicy pomiędzy symetryą geometryczną i fizyczną ......................

§ 50. Kształty czworościanów jednostkowych, spis klas kry-stalograficznych, ich nazwy i przykłady. Podstawy krystalografii fizycznej. Klasyfikacya kryształów pod względem różnych zjawisk fizycznych. Kryształy bliźnię ce, wielokrotne i naśladowcze.........

112

117

125

129

DODATEK.

TABLICA I. Wstawy i dostawy kątów od 0° do 90° co 30'. (Przedruk. J. Claudel, Tables: 1° des carrés et des cubes etc., Paris, Dunod, éditeur. 1871).

TABLICA II. Logarytmy czterocyfrowe liczb od 100 do 1109. (Przedruk. Tablice matematyczno-fizyczne. Ułożył A. W. Witkowski, profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego. Nakład redakcyi »Wiadomości Matematycznych«, Warszawa 1904).

TABLICA III. Siatka stereograficzna U. Wlilffa, zmniejszona z 20 cm do 15 cm średnicy.

TABLICA IV. Odbitka rękopiśmiennej projekcyi kryształu skalenia.

SPIS RYSUNKÓW W TEKŚCIE.

Str.

§ 2. Rys. 1. Roraboedr...................

» Rys. 2. Kryształ gipsu.................

» Rys. 3. Spękania w krysztale soli kamiennej, wywołane wbijaniem

O ffi w

Ol    Ol    CO    tO iO tO    lO    CO    05

rH    tH    t—i    vH T-t tH    r—I    tH    tH

to    LO 1.0 LO

05    CH ^ tO

co cc cc 3h 3h

igły. Powiększenie 10.................

» Rys. 4. Figury wytrawione ałunu. Powiększenie 20......

§ 3. Rys. 5. Sieć płaska..................

» Rys. 6. Sieć przestrzenna................

§ 6.    Rys.    7. Wyodrębnienie czworościanu    z    sieci przestrzennej    .    .    .    .

»    Rys.    8. Czworościan, wyodrębniony    z    sieci przestrzennej    płaszczyznami siatkowemi .    .................

» Rys. 9. Schemat powstawania pięciościanu.........

» Rys. 10. Pięciościan, wydzielony z sieci przestrzennej płaszczyznami

siatkowemi.............!......

» Rys. 11. Dwie pozostałe płaszczyzny siatkowe, wyznaczone krawędziami czworościanu rys. 8    ..............

» Rys. 12. Czworościan w połączeniu z trzema ścianami, wyznaczonemi

przez jego krawędzi................

» Rys. 16. Wielościan rys. 13 po zjawieniu się na nim ścian L, wyznaczonych krawędziami T/T i 1/1............

§ 6*. Rys. 17. Odcinki, odcinane różnemi płaszczyznami siatkowemi od

jednego szeregu sieci przestrzennej............

§ 6b. Rys. 18. Wielościan ze ścianami, odcinającemi różne odcinki od jednej

jego krawędzi............1......

» Rys. 19. Wielościan rys. 18 po rozpostarciu jego ścian do przecięcia

się wzajemnego...................

§ 7. Rys. 20. Kryształ apatytu................

§ 8. Rys. 21—24. Rzut pionowy czterech kryształów skalenia (Według Tb. Diebisch a »Grundriss der Krystallographie«. Lipsk. Veit & Comp.

1896, str. 24, fig. 54-57)...............

§ 10. Rys. 25. Czworościan.................

» Rys. 26. Pięciościan.................

» Rys. 27. Pięciościan po rozpostarciu ścian do przecięcia się ich

z każdą krawędzią osiową...............

§ 12. Rys. 28. Kierunek prostej, powstałej od przecięcia się dwu płaszczyzn (Według P. Grotha »Physikalische Krystallographie« Lipsk.

W. Engelmann. 1905, str. 308, fig. 173)..........

§ 14. Rys. 29. Kryształ aksynitu...............

» Rys. 30. Wielościan ze ścianą w dwu pasach........

§ 15*. Rys. 31. Ściany czworościanu jednostkowego w połączeniu ze ścianą,

leżącą w pasie [(100) / (111)] i [(001) / (010)].........

» Rys. 32. Kryształ aksynitu i znaki jego ścian........

§ 16. Rys. 33. Sieć przestrzenna. (Według G. Wulff a »Rukowodstwo po kristałłografii«. Warszawa. Drukarnia okręgu naukowego. 1904,

Str.

44

str. 94, rys. 90)...................

» Rys. 34. Prąd koncentracyjny. (Z G. Wulff a »Zur Frage der Geschwindigkeit des Wachsthums und der Auflösung der Krystallflä-clien«. Zeitschrift für Krystallographie etc. 1901. XXXIV. 449—530)    46

48

§ 17. Rys. 35. Kierunek przyrostu ściany............

» Rys. 36—39. Cztery kryształy kwarcu. (Według M. Rauer a »Lehrbuch der Mineralogie« Berlin i Lipsk. J. Guttentag (D. Collin) 1886,

49

str. 328, fig. 362-365)................

» Rys. 40—41. Dwa kryształy staurolitu. (Według M. Bauera, str. 24,

50

fig. 15 i 16)....................

51

§ 18. Rys. 42. Ośmiościan umiarowy ...............

51

» Rys. 43. Trzy kryształy magnetytu............

» Rys. 44. Ośmiościan umiarowy ze ścianami, równolegle poprzesu-

51

wanemi ...”...................

53

§ 20. Rys. 45. Czworościan i normalna ściany jednostkowej.....

54

» Rys. 46. Powierzchnia kuli z przecięciami się z nią krawędzi osiowych X, Y, Z i normalnych ścian Pi i Pn........

57

§ 20b. Rys. 47. Goniometr przykładany, ¹/₈ wielkości naturalnej ....

57

» Rys. 48. Zasada goniometrów z odbiciem.........

»    Rys. 49. Goniometr z odbiciem jednokołowy, ¹/₅ wielkości naturalnej    58

»    Rys. 50. Goniometr z odbiciem dwukołowy czyli teodolitowy ‘/₆

59

wielkości naturalnej.................

61

§ 20c. Rys. 51. Zasada rzutu stereograficznego..........

» Rys. 52. Okręg koła małego na powierzchni kuli i jego rzut stereo-

61

graficzny. (Według G. Wulff a, str. 17. rys. 25).......

» Rys. 53. Przekrój kuli rysunku 52-go.(WedługG.Wulffa, str.17, rys.26)    62

§ 20d. Rys. 54. Graficznie dokonana dedukcya pasów. (Według G. Wulff a,

67

str. 79, rys. 79)....................

68

§ 20*. Rys. 55. Krawędzi osiowe i osi (por. rys. 19)....... .

68

» Rys. 56. Osi, ich promienie dodatnie i odjemne.......

69

§ 20f. Rys. 57. Kryształ skalenia...............

70

» Rys. 58. Rzut stereograficzny kryształu skalenia.......

73

» Rys. 59. Kryształ skalenia...............

76

§ 21. Rys. 60. Spękania muskowitu. Powiększenie 20.......

.. 77

» Rys. 61. Kryształ sfalerytu ...............

77

» Rys. 62. Kryształ platynocyanku magnezowego.......

§ 23. Rys. 63. Figury wytrawione apatytu. (Z H. Baumhauera »Die

Resultate der Aetzmethode«. Lipsk. W. Engelmann. 1894, Tabl III. 10)    78

79

» Rys. 64. Kryształ aragonitu..............

79

§ 24. Rys. 65. Płaszczyzna zwierciadlana i stosunek utworu do jego odzwierciedlenia ...................

§ 26*. Rys. 66. Miejsce powtórzeń punktu, wywołanych przecinającemi się

80

płaszczyznami zwierciadlanemi.............

§ 27. Rys. 67. Trzy przekształcenia symetryczne figury na powierzchni kuli 81 § 28. Rys. 68. Pierwsze przekształcenie symetryczne .    .

Str.

83

§ 29. Rys. 69. Obrót...................

83

» Rys. 70. Płaszczyzny obrotu..............

84

§ BO. Rys. 71. Inwersya..................

84

» Rys. 72. Płaszczyzny inwersyi..............

§ 81. Rys. 73. Płaszczyzny zwierciadlane i ich powtórzenia kalejdoskopowe 85 » Rys. 74. Kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta sferycznego wrzucie

85

stereograficznym...................

87

§ 32. Rys. 75. Trzy przekształcenia symetryczne.........

89

§ 33. Rys. 76. Sieć płaska i jej symetryczność..........

95

§ 35. Rys. 77.* Rzuty stereograficzne 32-u rodzajów symetryczności krystalograficznej ...................

98

§ 37. Rys. 78. Kwaśny prawy winian strontu..........

100

§ 39. Rys. 79. Powtórzenie kalejdoskopowe kąta parzystego o niejednakowym charakterze boków...............

100

» Rys. 80. Powtórzenie kalejdoskopowe kąta nieparzystego o niejednakowym charakterze boków.............

. . 104

§ 42. Rys. 81. Powtórzenie kalejdoskopowe dwu przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych w rzucie stereograficznym .    .

» Rys. 82. Płaszczyzna MN rysunku 8l-go a na niej ślady płaszczyzn

104

zwierciadlanych i przekształceń figury..........

105

» Rys. 83. Płaszczyzny zwierciadlane z rys. 81-go i 82-go mające znaczenie płaszczyzn obrotu................

§ 43. Rys. 84. Kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta płaszczyzn inwersyi

105

w rzucie stereograficznym...............

110

» Rys. 85. Utwór rys. 84-go w rzucie pionowym na płaszczyznę Pm Zja 105 § 46. Rys. 86. Kryształ zasadowego margarycianu wapniowego z figurami wytrawionemi (schematycznie)

» Rys. 87. Rzut stereograficzny biegunów (hkl) w klasie <S'(2'/2"4//) . UH

111

» Rys. 88. Podwójny sfenoid tetragonalny..........

» Rys. 89. Figura wytrawiona kryształów margarycianu wapniowego

na płaszczyźnie podstawowej, widziana z góry. Powiększenie 810 111

111

>    Rys. 90. Figury wytrawione na płaszczyznach podstawowych margarycianu, widziane z boku. Powiększenie 310.......

112

» Rys. 91. Figury wytrawione margarycianu na ścianach słupa. Powiększenie 310...................

. 113

§ 47. Rys. 92. Płaszczyzna odbicia i cztery przecinające się z nią ściany kryształu w rzucie stereograficznym

>    Rys. 93. Rzut stereograficzny osi przystawania rzędu parzystego

i dwu sieci płaskich. (Według G. Wulff a, str. 160, rys. 129)    . . 114

>    Rys. 94. Przekrój MLMi , prostopadły do płaszczyzny rys. 93-go . 114

>    Rys. 95. Rzut stereograficzny osi przystawania rzędu nieparzystego

115

i trzech rzędów symetrycznie równych i symetrycznie leżących. (Według G. Wulff a, str. 160, rys. 130)..........

» Rys. 96. Drugie przekształcenie symetryczne, dokonane różnie oryen-

towanemi płaszczyznami obrotu, tworzącemi kąt jednakowy .    . .    116

§ 48. Rys. 97. Rzut stereograficzny biegunów formy [hkl) w klasie S(2'2'2) 121

Str.

§ 49. Rys. 98. Kierunek prążków na ścianach sześcianu kryształów sfa-

127

lerytu ......................

» Rys. 99. Kierunek prążków na ścianach sześcianu kryształów pirytu 127 » Rys. 100. Kształt i układ figur wytrawionych na ścianach sześcianu

128

bromianu sodowego........

128

»    Rys.    101.    Figury wytrawione sylwinu . .    .

128

»    Rys.    102.    Figury wytrawione soli kamiennej

148

§ 50.    Rys.    103.    Kryształ bliźnięcy kalcytu .    . .

cc cc

» Rys. 104. Gips ............

» Rys. 105. Spinel ..........

»    Rys.    106.    Fluoryt..........

>    Rys.    107.    Gips...........

149

»    Rys.    108.    Staurolit..........

150

»    Rys.    109. Spinel..........

150

>    Rys.    110. Fluoryt..........

150

»    Rys.    111. Mikroklin.........

150

»    Rys.    112. Perowskit.........

151

>    Rys.    113. Roracyt...........

151

»    Rys.    114. Leu cyt..........

152

»    Rys.    115—118. Kryształy filipsytu ....

»    Rys.    119. Desmin..........

»    Rys.    120. Cyrkon...........

CO CO ^ iC iO tÓ tO

»    Rys.    121. Dwunastościan rombowy ....

»    Rys.    122. Adular..........

»    Rys.    123. Penin...........

»    Rys.    124. Korund..........

WSTĘP.

§ 1. Dwa rodzaje ciał. Są ciała bezpostaciowe i krystaliczne.

Różne substancye ciekłe różnie zachowują się z obniżeniem temperatury.

Roztopione szkliwa lub żywice, gdy stygną, gęstnieją i twardnieją, aż wreszcie stają się ciałami takiemi, jak znane wszystkim szkło, kalafonia lub smoła, zachowując do końca kształt kropel lub naczynia, w którem stygły. Ciała takie noszą nazwę ciał bezpostaciowych.

Gdy którekolwiek z nich rozpuścimy w jakimś rozpuszczalniku, a potem wydzielimy go z roztworu, n. p. przez dolanie cieczy, w której dana substancya się nie rozpuszcza, to każde ciało bezpostaciowe wydziela się w kształcie kropel kulistych, podobnie jak to czynią ciecze, gdy są wytrącone ze swych roztworów w cieczach innych.

za-

Olbrzymia ilość substancyj stanowi drugi rodzaj. To są substancye takie, jak n. p. woda. Zachowują się one we względzie omawianym wprost przeciwnie. Każda z nich w pewnej, pod stałem ciśnieniem stałej, temperaturze raptownie zmienia swą gęstość i razem się zestala. N. p. woda pod ciśnieniem jednej atmosfery w temperaturze 0° C. staje się lodem, który jest od niej lżejszy o ¹j₁-i w tej samej temperaturze i pod tem samem ciśnieniem.

Substancye tego drugiego rodzaju, krzepnąc, przybierają samorzutnie postać wielościanów geometrycznych, zwanych kryształami.

roz-

Substancye takie, jeżeli są zdolne do rozpuszczania się w jakimś rozpuszczalniku, to w każdej temperaturze i pod każdem ciśnieniem rozpuszczają się w nim tylko do pewnego kresu, stałego u każdej substancyi i u każdego rozpuszczalnika w tej temperaturze i pod tem ciśnieniem. Tworzą one wtedy ze swym rozpuszczalnikiem

-Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

twór nasycony. W temperaturze stałej i pod stałem ciśnieniem roztwór, pewną substancyą nasycony, już więcej nie rozpuszcza tej substancyi, ani też jej nie wydziela. Lecz gdy temperatura roztworu nasyconego zostaje obniżona, lub gdy rozpuszczalnik poczyna zeń uchodzić przez parowanie, wtedy roztwór staje się przesycony i wydziela substancyę stałą również w postaci kryształów.

Substancye, mające takie własności, nazywamy ciałami krystalicznemu

CZĘŚĆ PIERWSZA.

Prawo jednorodności.

§ 2. Pierwsza deflnicya kryształu. Kryształ jest to ciało fizycznie jednorodne, róznokierunkowe.

Niepodobna przypuścić, aby ciała bezpostaciowe i ciała krystaliczne różniły się tylko swym kształtem. Postać, niewątpliwie, jest tylko wyrazem ich własności fizycznych. Własności fizyczne ciał bezpostaciowych i krystalicznych muszą być zasadniczo odmienne, jeżeli postać tych ciał jest tak różna.

Istotnie. Wiadomo, że szkliwa, kalafonie, żywice, smoły i t. p. ciała bezpostaciowe, od silnych uderzeń kruszą się i pękają powierzchniami przypadkowemu Powierzchnie ich odłamu są zawsze nierówne; przebiegają one każdą bryłę ciała bezpostaciowego w kierunkach nieokreślonych i nieregularnych. Gdy rozbijamy ciało bezpostaciowe, przeciwstawia ono opór jednakowy w każdym kierunku, a więc spójność jego jest na ogół równa we wszystkich kierunkach; a zatem, ciało bezpostaciowe jest fizycznie równokierunkowe czyli izotropowe.

Ciała krystaliczne zachowują się wprost przeciwnie: od uderzenia, a niektóre nawet od lekkiego nacisku, pękają i łupią się do-skonałemi, gładkiemi, nieraz nieskazitelnie lśniącemi, a zawsze równo-ległemi płaszczyznami. Własność kryształów łupania się równo-ległemi płaszczyznami nazywa się łupliwością.

Weźmy kryształ soli, zwanej pirochromianem potasu, K₂Crt0₇; duże jej osobniki krystaliczne możemy nabyć w każdym składzie materyałów aptecznych. Rozbijając kryształ taki, spostrzegamy, że w jednym kierunku łupie się on daleko łatwiej, niż w innych, przytem łupie się gładkiemi, lśniącemi , równoległemi płaszczyznami.

Łupliwość może być stwierdzona jeszcze wyraźniej w kryształach kal-eytu, CaC0₃. Zlekka żółtawe, prawie zupełnie przezroczyste, osobniki tego minerału otrzymamy n. p. z góry Kadzielni pod Kielcami. Osobnik kalcytu, uderzony młotem, rozpada się na bryłki ró-wnoległościenne takiego kształtu, że przez równoległe odłupywanie zawsze możemy zeń otrzymać wielościan foremny, nazy-\ wany romboedrem (rys. 1).

\\

M/

Tak samo doskonałą łupliwość wykazuj ą kryształy g a 1 e n i t u PbS, albo soli kamiennej NaCl, które za lada uderze-Rys. 1. Romboedr. niem łupią się równoległemi płaszczyznami w trzech kierunkach prostopadłych.

Rys. 2. Kryształ gipsu.

Kryształy gipsu, CaS0₄.2H„0, (rys. 2), są tak łupliwe, że równolegle do ściany P dzielą się na równoległościenne płytki już lekkiem naciśnięciem noża, a nawet twardego kartonu na ścianę F albo L.

Zjawiska łupliwości dowodzą, że spójność kryształów w kierunkach, prostopadłych do płaszczyzn łupliwości, jest bardzo mała, a w innych kierunkach tak wielka, że nie ustępuje nawet bardzo silnym naciskom.

Prócz tego, równoległościenność odłupanych okruchów kryształu dowodnie przekonywa, że spójność kryształu jest równa w kierunkach równoległy cli.

¥ X!

Dla unaocznienia sprawy omawianej zwróćmy uwagę na rys. 3. W ścianę kryształu soli kamiennej lekkiemi uderzeniami młotka wbijano igłę. W każdym punkcie, w którym wbito w ścianę kryształu ostrze igły, powstały dwa prostolinijne spękania. Spękania te, otrzymane w jednym punkcie ściany, są równoległe do spękań, powstałych w którymkolwiek innym punkcie tej ściany. Rys. 3 jest to mikrofotogram tych spękań w powiększeniu dziesięciokrotnem.

Rys. 3. Spękania w krysztale soli kamiennej, wywołane wbijaniem igły. Powiększenie 10.

Doświadczenie, przed chwilą opisane, dowodzi, podobnie jak opisane poprzednio, że spójność kryształu jest różna w kierunkach różnych, i że jest ona jednakowa w kierunkach równoległych, t. j. że około jednego punktu wielkości jej są takie same i tak samo ułożone, jak około każdego innego punktu tego kryształu.

Nie tylko ze spójności, ale z innych własności kryształu też wnosimy, że kierunki równoległe w krysztale są fizycznie jednakowe, i że własności kryształu zmieniają się ze zmianą kierunku.

Rys. 4 jest to mikrofotogram widoku, jaki przedstawia ściana kryształu ałunu glinowopotasowego, KAl(SOi)i. 1211 fi. zwilżona czystą wodą. Ałun rozpuszcza się w wodzie dość znacznie. Rys. 4 dowodnie przekonywa, że prędkość rozpuszczania się ałunu w wodzie, nie jest równa we wszystkich, kierunkach. Woda, rozpuszczając kryształ ałunu, wybiera w ścianie jego wgłębienia trójścienne. Zarazem rys. 4 przekonywa, że podobnie jak łupliwość, tak sarno i prędkość rozpuszczania się kryształu jest równa w kierunkach równoległych, gdyż na całej płaszczyźnie figury wytrawione są do siebie równoległe. Innemi słowy, figury wytrawione wodą na ścianie kryształu ałunowego są jednakowe i jednakowo ułożone w każdym punkcie tej ściany, tak samo jak spękania, powstałe od igły, wbijanej w ścianę kryształu soli kamiennej, są jednakowe i jednakowo leżą w każdym punkcie ściany badanej.

Rys 4. Figury wytrawione ałunu. Powiększenie 20.

Jeżeli zjawiska tak różne w swej istocie, jak spękania i figury wytrawione, objawiają się w krysztale jednakowo, to musimy wnosić, że kryształy zachowują się tak samo pod względem wszystkich zjawisk fizycznych. Tak jest rzeczywiście.

Wszystkie badania kryształów stwierdzają zgodnie, że nie tylko spójność, ale wszystkie własności fizyczne każdego kryształu są zmienne w kierunku, lecz są jednakowe w kierunkach równoległych.

Przypuśćmy, że poznaliśmy wszystkie własności kryształu około jednego jego punktu. Wobec różnokierunkowości kryształu będą one w ogóle różne w kierunkach różnych.

Poznajmy je około drugiego punktu. Wobec jednakowości kierunków równoległych będą one takie same i tak samo ułożone około punktu drugiego, jak około punktu pierwszego.

To samo znajdziemy około trzeciego, czwartego i wszystkich innych punktów tego kryształu.

Wszystkie kryształy zachowują się tak samo.

Ciało, które ma różne własności fizyczne w różnych kierunkach, nazywa się ciałem fizycznie różnokierunkowem albo anizotropowe m.

Ciało, które ma takie same i tak samo ułożone wła-sriości fizyczne około każdego swojego punktu, nazywa się ciałem fizycznie jednorodne m.

A więc kryształ jest to ciało fizycznie jednorodne róż no kierunkowe, t. j. własności kryształu są zmienne zależnie od kierunku, lecz w kierunkach równoległych są one jednakowe, czyli, wszystkie własności kryształu około jednego punktu są takie same i tak samo ułożone, jak około każdego innego punktu tego kryształu.

To jest prawo jednorodności.

§ 3. Sieć przestrzenna. Wyrazem graficznym ciała jednorodnego jest sieć przestrzenna.

Rozważmy, jakim utworem geometrycznym możemy wyrazić poznane dotychczas własności kryształu, t. j. różnokierunkowość i jednorodność.

-^•1

f iTTłf

rH;

Rys 5. Sieć płaska.

Nasamprzód pomyślmy tylko o jednej dowolnej płaszczyźnie kryształu. Wobec tego, co się rzekło na końcu ustępu poprzedniego, w każdym szeregu prostych równoległych, leżących na tej płaszczyźnie, wszystkie proste są fizycznie jednakowe. Wykreślmy więc na płaszczyźnie szereg prostych, r ó-wno 1 egłych i równoodległych np. AAx (rys. 5), i przetnijmy go drugim szeregiem prostych AAn, również pomiędzy sobą równoległych i również oddzielonych odstępami równymi. Dwa szeregi prostych równoległych i równoodległych, przecinając się, pokrywają płaszczyznę jednostajną siecią punktów. Punkty te nazwiemy analogiczne m i, ponieważ około któregokolwiek z nich wszystkie pozostałe leżą tak samo, jak około każdego innego w tej sieci, a więc każdy może być zamieniony na którykolwiek z pozostałych.

Przeprowadźmy prostą przez dwa dowolne punkty analogiczne utworu omawianego (n. p. prostą E lub prostą F, albo prostą H, rys. 5). Widzimy, że każda prosta do niej równoległa jest podzie-

łona punktami analogicznymi na odcinki tej samej długości, co i ona, a więc wyobraża to graficznie jednakowość fizyczną wszystkich prostych, należących do jednego szeregu prostych równoległych.

Utwór tak zbudowany, t. j. dwa przecinające się szeregi prostych, w każdym szeregu równoległych i równoodległych, nazywamy siecią płaską punktów analogicznych, albo płaszczyzną siatkową. Niekiedy bywa ona zwana z łacińska płaszczyzną

retykularną. Punkty analogiczne nazywamy też węzłami.

Kryształ jest bryłą, a wiec utworem trójwymiarowym. Zatem wyraz jego własności, wykreślany obecnie, musimy uczynić również trójwymiarowym. To może stać się w sposób następujący:

Rys. 6. Sieć przestrzenna.

Przez którykolwiek punkt analogiczny wykreślonej poprzednio sieci płaskiej przeprowadźmy prostą, przecinającą się z tą siecią pod kątem dowolnym, lecz większym od zera, i podzielmy tę prostą punktami analogicznymi na odcinki dowolne, lecz równe. Innemi słowy, przez jakiś punkt N przeprowadzamy sieć płaską i nachylony do niej pod kątem A° szereg równoodległych punktów analogicznych punktowi N. Lecz jeżeli węzły tego szeregu (nazwijmy go szeregiem L) mają być analogiczne punktowi N, to przez każdy z nich musimy przeprowadzić taką samą sieć płaską, jak ta, która przechodzi przez N, i nachyloną do szeregu L pod tym samym kątem A°, t. j. do sieci pierwszej równoległą. W ten sposób otrzymamy t. zw. sieć przestrzenną (rys. 6), t. j. przestrzeń, podzieloną płaszczyznami na równoległościany, których naroża, czyli wierzchołki, są punktami analogicznymi, czyli węzłami, sieci.

Oczywista, w utworze takim szeregi nierównoległe mają różne odstępy pomiędzy punktami analogicznymi. Obrazowo wyraża to

fizyczną niejednakowość kierunków nierównoległych w krysztale, czyli jego różnokierunkowość fizyczną.

Gdy przez dwa dowolne punkty analogiczne sieci przestrzennej przeprowadzamy prostą, to znajdujemy, że wszystkie szeregi punktów analogicznych do niej równoległe mają równe odstępy pomiędzy węzłami, t. j. obrazowo przedstawiają jednakowość fizyczną kierunków równoległych w krysztale.

Innemi słowy, sieć przestrzenna jest zbiorem węzłów, ułożonych jednostajnie: około któregokolwiek węzła wszystkie pozostałe ułożone są tak samo, jak około każdego innego węzła tej sieci.

Z poprzedniego wiadomo, że własności fizyczne kryształu około jednego, któregokolwiek, punktu są takie same i tak samo ułożone, jak około każdego innego punktu w tym krysztale.

A więc sieć przestrzenna jest wyrazem graficznym własności ciała jednorodnego różnokierunkowego, t. j. kryształu.

Sieć przestrzenna jest obrazem kryształu tak dokładnym, że, jak przekonamy się niżej, da nam ona możność przewidzenia różnych własności kryształu, dotychczas nie wymienionych jeszcze w wykładzie niniejszym.

§ 4. Ograniczenia sieci przestrzennej i kryształu. Jak sieć przestrzenna ogranicza się płaszczyznami siatkowemi, tak kryształ ograniczony jest ścianami.

Doszliśmy do przeświadczenia, że sieć przestrzenna przedstawia graficznie własności ciała jednorodnego różnokierunkowego. Rozważmy jednak, czy sieć przestrzenna jest wyrazem graficznym tylko fizycznych własności kryształu, czy też może ona także wyrażać pewne geometryczne jego własności.

Sieć przestrzenna, jako utwór geometryczny, może być przez nas budowana w nieskończoność, t. j. możemy wyobrażać ją sobie ciągnącą się bez ograniczeń w każdym kierunku dowolnie daleko. Ale kryształ, jako ciało fizyczne, jest ograniczony. Chcąc zatem upodobnić sieć przestrzenną do kryształu nie tylko pod względem jednorodności i anizotropii, należy wydzielić z nieograniczonej sieci przestrzennej jakąś jej część skończoną.

Rzecz jest sama przez się jasna i zrozumiała, że najnatural-niejszemi i najwłaściwszemi ograniczeniami sieci przestrzennej są płaszczyzny siatkowe.* Czyli: wyosobnienie wielościanów, ograniczonych płaszczyznami siatkowemi, jest najnaturalniejszym i najprostszym sposobem wydzielania z nieograniczonej sieci przestrzennej jej ueząstków skończonych.

Wielościenność tych wyodrębnianych przez nas ueząstków sieci przestrzennej jest wynikiem układu jej węzłów, a układem tym wyraziliśmy jednorodność i anizotropię kryształu. W takim razie jednorodność i anizotropia kryształu powinna pociągać za sobą wielościenny kształt jego, tak samo, jak jednostajność i różnokierunko-wość sieci przestrzennej pociąga za sobę wielościany, jako najprostsze ograniczenia jej części skończonych.

A więc, gdy wyraziliśmy siecią przestrzenną własności fizyczne kryształu, to pierwszem następstwem tego jest wniosek, że najprostszemi i najnaturalniejszemi ograniczeniami ciała jednorodnego ró ź no ki er m i ko w ego są płaskie ściany. W takim razie wnosimy dalej, że wielościenność kryształu nie jest jakąś cechą od własności fizycznych niezależną i odrębną, ale że jest to tylko zewnętrzny wyraz jednorodności i różno ki erunkowości.

Innemi słowy: jednorodne ciało stałe, wydzielając się z cieczy, samorzutnie przybiera kształty wielość i a n ó w geometrycznych jako bezpośredni wynik swej jednorodności.

§ 5. Wyraz graficzny ścian i krawędzi kryształu. Wyrazem graficznym ściany kryształu jest płaszczyzna siatkowa, czyli sieć płaska punktów analogicznych, a wyrazem graficznym krawędzi kryształu jest szereg prostolinijny równoodległych punktów analogicznych.

Kryształ otoczony jest ścianami, które, przecinając się, tworzą krawędzi.

Ciało jednorodne różnokierunkowe, pojęte w sposób nieograniczony, wyraziliśmy graficznie nieograniczoną siecią przestrzenną. Bezpośredniem tego następstwem był wniosek, że tak, jak ucząstki sieci przestrzennej ograniczają się płaszczyznami siatkowemi, tak kryształ jest ograniczony ścianami. Czyli: czem w sieci przestrzennej są sieci płaskie i szeregi węzłów, tem w krysztale są ściany i krawędzi.

Innemi słowy: jeżeli część sieci przestrzennej jest graficznym wyrazem kryształu, to każda płaszczyzna siatkowa tej sieci przestrzennej jest graficznym wyrazem jakiejś ściahy, na tym krysztale

możliwej, a każdy szereg tej sieci jest wyrazem graficznym możliwej tego kryształu krawędzi. Czyli w ogóle uznajemy, że wyrazem graficznym ściany kryształu jest sieć płaska, a wyrazem graficznym krawędzi kryształu jest prostolinijny szereg równoodległych punktów analogicznych.

§ 6. Związek geometryczny ścian i krawędzi kryształu. Jak płaszczyznę siatkową wyznaczają dwa szeregi, a szereg wyznacza sie dwiema płaszczyznami siatkowemi, tak ścianę kryształu wyznaczają dwie krawędzi, a krawędź wyznacza się dwiema ścianami.

Doszliśmy do wniosku, że najwłaściwszemi i najprostszemi ograniczeniami sieci przestrzennej są sieci płaskie. A więc w następstwie powinniśmy rozważyć, jak mamy postąpić, gdy pragniemy wydzielić z nieograniczonej sieci przestrzennej jej część i ograniczyć ją najmniejszą ilością płaszczyzn siatkowych. W takim razie wypada nasamprzód rozwiązać zagadnienie, jak przeprowadzają się płaszczyzny siatkowe w danej sieci przestrzennej.

Przypomnijmy zatem konstrukcyę rysunku 5-go. Wykreśliwszy dwa szeregi: AAX i AAn, tem samem wykreśliliśmy sieć płaską. Bowiem punkt A jest przecięciem się szeregu A Aj z szeregiem AAU pod kątem AjAAn. Zatem analogia wszystkich punktów analogicznych na obu szeregach AAl i AAU musi być wyrażona w ten sam sposób, t. j. przez każdy z tych punktów musimy przeprowadzić dwa szeregi, tworzące kąt, równy kątowi AxAAn.

Oczywista, że otrzymamy tę samą sieć płaską, jeżeli zamiast szeregów AA₁ i AAn pod kątem AxAAn, wykreślimy którekolwiek dwa inne przecinające się szeregi tej sieci, i przez węzły jednego przeprowadzimy pod ich kątem szeregi równoległe i analogiczne drugiemu, n. p. gdy założymy szereg E i F pod ich kątem.

Od płaszczyzny siatkowej do sieci przestrzennej przeszliśmy w ten sposób, że przez równoodległe węzły szeregu dowolnego przeprowadziliśmy równolegle analogiczne sieci płaskie.

Stąd oczywista, że gdy w sieci przestrzennej wybierzemy w który mkolwiekbądź kierunku dwa przecinające się szeregi, to płaszczyzna, przeprowadzona przez te dwa szeregi, będzie płaszczyzną siatkową.

Również jest oczywiste, że gdy chcemy wytknąć szereg punktów analogicznych, to otrzymamy go przez przecięcie się dwu nie-równoległych płaszczyzn siatkowych.

Słowem, leży to w istocie sieci przestrzennej, że przecięcie się każdych dwu nierównoległych sieci płaskich jest szeregiem równoodległych punktów analogicznych, a każda płaszczy zna, przeprowadzona przez którekolwiek dwa nierównoległe szeregi, lub do obu tych szeregówrównoległa, jest płaszczyzną siatkową.

Mamy więc sposób przeprowadzenia dowolnej lub żądanej płaszczyzny siatkowej w danej sieci przestrzennej.

Możemy zatem przystąpić do rozwiązania zagadnienia, postawionego na początku paragrafu niniejszego: mamy wydzielić z sieci przestrzennej część, ograniczoną najmniejszą ilością płaszczyzn siatkowych.

W tym celu, w sieci przestrzennej (rys. 7) obierzmy trzy szeregi dowolne OX. O Y, OZ, nie leżące na jednej płaszczyźnie, które wychodzą z jednego dowolnie wybranego węzła O. Te trzy szeregi, parami, wyznaczają trzy płaszczyzny siatkowe : para szeregów OX/OY wyznacza płaszczyznę XOY, para szeregów OXI OZ wyznacza płaszczyznę XOZ, para szeregów OY/OZ wyznacza płaszczyznę Y OZ. Z rys. 7 widoczna, że wszystkie te trzy płaszczyzny XOY, XOZ, Y OZ, są siatkowe.

~N

L.

T/;

V\

Yr-

Y!r-r

-L --

I'

r-

-v

j/f J

■f

-y

Rys. 7. Wyodrębnienie czworościanu z sieci przestrzennej.

Dalej, na którymkolwiek z tych trzech szeregów, n. p. na szeregu OX, wybierzmy dowolny węzeł H. Poczem weźmy dwa dowolne szeregi, przecinające się w tym węźle H. lecz takie, aby jeden przecinał się prócz tego z szeregiem OY, a drugi z szeregiem OZ. Niechaj takimi szeregami będą szeregi HK i HL. Te dwa szeregi, HK i HL, wyznaczają płaszczyznę siatkową HKL. Że ona jest istotnie siatkowa, to jest widoczne z rys. 8-go.

Płaszczyzna siatkowa HKL przecina się ze wszystkiemi trzema sieciami płaskiemi, wytkniętemi poprzednio, t. j. z XOY, XOZ i Y OZ. Innemi słowy, cztery płaszczyzny siatkowe: XOY, XOZ. Y OZ i HKL tworzą czworościan, t. j. bryłę, ograniczoną najmniejszą ilością pła

szczyzn.

Tak więc rozwiązaliśmy zagadnienie: z danej sieci przestrzennej mamy wydzielić wielościan, zamknięty najmniejszą ilością pła-

HU

Rys. 9. Schemat powstawania pięciościanu.

Rys. 8. Czworościan, wyodrębniony z sieci przestrzennej płaszczyznami siatkowemi.

szczyzn siatkowych. Rozwiązaliśmy to zagadnienie przez wybór dowolny trzech nierównoległych i nieleżących na jednej płaszczyźnie szeregów, oraz przez przecięcie wszystkich tych trzech szeregów dowolnie obraną płaszczyzną siatkową.

Następnie powinniśmy przejść od czworościanu do brył bardziej złożonych, t. j. ograniczonych ilością płaszczyzn siatkowych większą od czterech. Najprościej sprawić to możemy ścięciem krawędzi czworościanu jakąś nową siecią płaską, laką płaszczyznę siatkową wytkną nam którekolwiek dwa szeregi z pomiędzy szeregów OX, O Y, OZ, HK, HL, KL. Oczywista, że możemy połączyć te szeregi w trzy pary, a każda para wytknie nam nową płaszczyznę siatkową.

Mianowicie: dwa szeregi — OL i HK— wyznaczają równoległą do obu nich płaszczyznę H^MN, która jest wykreślona w rys. 9. Rys. 10 uwidacznia, że płaszczyzna ta jest również siatkowa.

Tak samo siecią płaską jest płaszczyzna ALNK (rys. 11), wytknięta przez parę szeregów OX/LK, a także jest płaszczyzną siatkową płaszczyzna EFPM (rys. 11), równoległa do szeregu OK (czyli O Y na rys. 7 i 8) i do szeregu HL.

>fi

OU, OV, OL.

§ 20“. Wnioski z prawa kątów stałych.

iMäälSSsSL;

Najważniejszym dowodem słuszności tej teoryi jest

Chloran sodu NaClOs.

¹

   P. Groth, Physikalische Krystallographie. Lipsk. Engelmann. 1905.

²

   Tli. Liebisch, Grundriss der physikalischen Krystallographie. Lipsk. Veit i Sp. 1896.

³

s G. Wulff, Rukowodstwo po kristałłografii. Warszawa. Drukarnia okręgu naukowego. 1904.

>fi

"7

- -i '

/;

K₃

7k

• 'O

\1\P-

Hr

Rys. 10. Pięciościan, wydzielony z sieci przestrzennej płaszczyznami siatkowemi.

Rys. 11. Dwie pozostałe płaszczyzny siatkowe, wyznaczone krawędziami czworościanu rys. 8.

Wytknęliśmy zatem trzy nowe płaszczyzny siatkowe. Są to wszystkie płaszczyzny, które mogą być wytknięte przez wszystkie krawędzi czworościanu pierwiastkowego OHKL rys. 7 i 8. Temi płaszczyznami możemy teraz pościnać kąty krawędziowe czworościanu OHKL i otrzymamy bryłę, w ściany obfitszą. To jest zrobione na rysunku 12-stym. Na tym rysunku ściany OHK. OHFAL, OKEL i MNF są to ściany czworościanu pierwiastkowego, a ściana HKENMF odpowiada płaszczyźnie H₁K₁MN rysunku 9-go i 10-go, ściana ALENP jest to płaszczyzna ALKN rysunku 11-go, ściana zaś APMF jest równoległa do płaszczyzny EFPM rysunku 11-go.

Na wielościanie rys. 12 mamy nowe krawędzi: AP, EN i FM. Jako przecięcia się płaszczyzn siatkowych, nie są to dowolne proste, tylko są to również kierunki szeregów sieci przestrzennej, podobnie jak krawędzi czworościanu pierwiastkowego. Każdy z tych nowych szeregów z którymkolwiek z szeregów poprzednich, t. j. z którąkolwiek krawędzią czworościanu pierwiastkowego, wytyka kierunek nowej sieci płaskiej. Te nowe sieci, przecinając się z sieciami, wytkniętemi poprzednio, dadzą znów szeregi nowe i t. d.

L,

M,

Tak więc z dowolnie wybranego węzła O, trzech dowolnych szeregów OX, O Y, OZ i dowolnie obranej płaszczyzny HKL, przecinającej wszystkie trzy szeregi ON. O Y. OZ, możemy wyprowadzić jaknajrozmaiciej pochylone sieci płaskie, które wydzielają z danej sieci przestrzennej najrozmaitsze wielościany.

O.

Rys. 12. Czworościan w połączeniu z trzema ścianami, wy-znaczonemi przez jego krawędzi.

Wszystkie te wielościany są zbudowane jednym sposobem, opisanym przed chwilą. 'Należy więc spodziewać się, że mają one jakąś cechę spoiną, która wyróżnia je z pośród ogółu wie-lościanów geometrycznych.

W rzeczy samej. Zwróćmy uwagę baczniejszą n. p. na płaszczyznęMNHi^ rysunku 9-go i 10-go. Ona jest równoległa do prostej HK (rys. 9). A ponieważ ta prosta jest przecięciem się płaszczyzn OHK. i HKL (rys. 9), więc wszystkie te trzy płaszczyzny LMN, MNHX Kx i OHL Ky (rys. 9 i 10) są równoległe do prostej HK. Grupę płaszczyzn, równoległych do jednej prostej, nazywamy pasem, a prostą, do której wszystkie płaszczyzny pasa są równoległe, nazywamy osią pasa. W danym więc razie prosta HK, lub każda do niej równoległa (n. p. prosta HxKx, lub MN rys. 10) jest osią pasa płaszczyzn [ OHj Kx / Hx Kx MN/ LMN] na rys. 10-ym.

Ale płaszczyzna w mowie będąca — Hl Kx MN — prócz tego jest równoległa także do prostej OL. A że prosta OL jest przecięciem się płaszczyzn Hx OLM i Kl OLN, więc mamy tu drugi pas płaszczyzn: [IL Kx MN/ Hl M LOI LNKX O], którego osią jest prosta OL.

À zatem płaszczyzna    MN leży w dwu pasach.

Czasami używa się też wyrażenia, że płaszczyzna leży na przecięciu się dwu pasów, lub na ich skrzyżowaniu.

Rzecz jasna, że każda z dwu pozostałych płaszczyzn, wyprowadzonych przez nas z czworościanu OHKL, ma te same właściwości: płaszczyzna APMF (rys. 12) leży w pasach [OHFAL/MPN] i [OKEL/ OHK\ bo jest równoległa do prostej HL rysunku 9-go i OK rys. 9—12, a płaszczyzna ALENP (rys. 12) leży w pasach [OKEL/MNP] i [OHFALI OHK] jako równeległa do osi OH i KL (rys. 9. 10. 11).

To więc jest cechą charakterystyczną wielościanów, wydzielonych z sieci przestrzennej płaszczyznami siatkowemi, że ściany ich są ugrupowane w pasy, i że każda ściana leży przynajmniej w dwu pasach.

Poprzednio przyrównaliśmy kryształ do sieci przestrzennej. To pociąga za sobą przyrównanie ścian kryształu do płaszczyzn siatkowych i krawędzi do szeregów sieci przestrzennej.

W takim razie powinniśmy oczekiwać takiego samego związku pomiędzy ścianami i krawędziami kryształu, jaki zachodzi pomiędzy płaskiemi sieciami i szeregami punktów analogicznych, t. j. musimy przewidywać, że ściany kryształu grupują się w pasy, których osiami są krawędzi kryształu, i że każda ściana kryształu leży przynajmniej w dwu pasach.

Innemi słowy, jak w sieci przestrzennej przecięcie się każdych dwu płaszczyzn siatkowych jest szeregiem węzłów sieci, tak na krysztale przecięcie się każdych dwu ścian winno być kierunkiem krawędzi, możliwej na tym krysztale; jak w sieci przestrzennej każda płaszczyzna, wyznaczona dwoma przecinającymi się szeregami, jest płaszczyzną siatkową, tak na krysztale każde dwie nierównoległe krawędzi wyznaczać winny położenie ściany, możliwej na tym krysztale.

Wobec tego, że omawiana obecnie zależność ścian i krawędzi jest sprawą wagi pierwszorzędnej, więc dla ugruntowania jej i najdokładniejszego zrozumienia nie od rzeczy będzie rozpatrzenie przykładu następującego.

Wyobraźmy sobie naroże czworościenne, takie n. p., jakie na wielu kryształach g a l e n i t u PbS (rys. 13) tworzą pary ścian T z parami ścian I. Ściany Tt rozpostarte do wzajemnego się przecięcia, tworzą proste, uwidocznione liniami kropkowanemi na rys. 14. Ściany I, w razie rozpostarcia do spotkania się, dają proste, oznaczone liniami przerywanemi na rys. 15. Związek pomiędzy ścianami i krawędziami kryształu polega nasamprzód na tem, że proste TjT rysunku 14-go, lub 2/2 rysunku 15-go, śą to krawędzi, możliwe na wielościanie rys. 13, t. j. że w zmienionych warunkach wzrostu tego kryształu ściany T mogłyby odsunąć się Od środka bryły przez przybytek na nich substancyi aż do pojawienia się krawędzi 2/2, lub odwrotnie, przez przyrost ścian 2 mogłyby się zjawić krawędzi T/T. A następnie, w mowie będąca obecnie zależność pomiędzy ścianami i krawędziami kryształu wyraża się w tern jeszcze, że gdy w zmienio-

7>

r/i

'-■\x

t y/

Rys. 13. Wielościan z narożami czworościennemi.

Rys. 14. Kształt wielościanu rys. 13 po rozpostarciu ścian T.

7/ \T

T,

Rys. 15 . Kształt wielościanu rys. 13 po rozpostarciu ścian 2.

Rys. 16. Wielościan rys. 13 po zjawieniu się na nim ścian L, wyznaczonycch krawędziami T/T i 2/2.

nych warunkach wzrostu kryształu rys. 13, zamiast naroży TT/II zjawią się ściany L (rys. 16), to będą one równoległe do obu kierunków krawędzi możliwych: TT i II, t. j. będą one leżały w obu pasach: w pasie ILI i w pasie TLT, czyli będą one miały jedne parę krawędzi równoległych do możliwej krawędzi T/T rysunku 14-go i drugą parę krawędzi, równoległą do możliwej krawędzi 2/2 rysunku 15-go.

To więc znaczy, gdy mówimy, że każde dwie nierównoległe ściany wyznaczają kierunek możliwej na krysztale krawędzi, i że każde dwie nierównoległe krawędzi kryształu wyznaczają położenie ściany, zdolnej do zjawienia się na nim.

Innemi słowy, jeżeli postąpimy tak, jak poczynaliśmy sobie w konstruk-cyi rys. 7 i 8, t. j. jeżeli wybierzemy na krysztale takie cztery ściany, że po ich rozpostarciu do przecięcia się wzajemnego utworzą one czworościan, to wszystkie pozostałe ściany tego kryształu dadzą się wyprowodzić z tego czworościanu w sposób podany w konstrukcyi rys. 9, 10, 11 i 12, o ile wykreślenia te będą doprowadzone dostatecznie daleko. Rozumie się, że ta zależność nie tylko daje możność wyprowadzenia wszystkich ścian, istniejących na krysztale danym, ale pozwala nawet przewidzieć wszystkie ściany, które mogłyby się na nim pojawić.

Jednem słowem, dochodzimy do przeświadczenia, że ciało jednorodne, wydzielając się z cieczy, musi przybierać samorzutnie postaci wielościenne, ograniczone ścianami, które winny tworzyć pasy, i które winny być związane zależnością pasową. A zależność ta polega na tern, że każda ściana leży na przecięciu się dwu pasów, t. j. że położenie jej wyznaczają kierunki dwu nierównoległych krawędzi. Te zaś krawędzi wytknięte są dwiema parami przecinających się ścian.

W tern więc, co się rzekło, przewidujemy prawo pasów. Prawo to, jak widzimy, jest geometrycznym wyrazem prawa jednorodności.

W paragrafie siódmym i dalszych przekonamy się o trafności tego przewidywania. Tymczasem jeszcze omówioną zależność geometryczną płaszczyzn i szeregów, czyli ścian i krawędzi, przedstawimy w sposób arytmetyczny.

§ 6a. Związek arytmetyczny ścian i krawędzi kryształu. Jak płaszczyzny siatkowe odcinają od każdego szeregu sieci przestrzennej odcinki wymierne, tak ściany kryształu odcinają odcinki wymierne od każdej jego krawędzi.

Oprócz zależności geometrycznej, którą wyprowadziliśmy z sieci przestrzennej w paragrafie poprzednim, sieć przestrzenna daje nam możność przewidzenia pewnego arytmetycznego związku pomiędzy ścianami i krawędziami kryształu.

Wybierzmy w sieci przestrzennej jeden dowolny węzeł O (rys. 17) i trzy którekolwiek przecinające się w nim szeregi OX, OY, OZ', nie leżące na jednej płaszczyźnie. Następnie, przeprowadźmy dwie płaszczyzny siatkowe H,K,L, i HKL, przecinające się z szeregami OX, O Y, x    OZ w różnych stosunkach odcinków

Ky OH, : OK, : OL, i OH : OK : OL.

Dowiedliśmy poprzednio, że płaszczyzna siatkowa wyznacza się dwoma nierównoległymi szeregami. Niechaj więc płaszczyznę H^jL, wyznaczają szeregi: H,K, i II, L,, a płaszczyznę HKL szeregi: HK i HL. Innemi słowy, jeżeli Rys. 17. Odcinki, odcinane ró- płaszczyzny H, K, L, i HKL są siatkowe, żnemi płaszczyznami siatkowemi to muszą one przecinać szeregi OX, O Y, od jednego rzędu sieci prze-    OZ, w punktach analogicznych, czyli

w węzłach sieci. W takim razie odcinki, odcięte płaszczyznami H,K,L, i HKL od szeregów OX, OY. OZ, są wielokrotnościami odcinków O A, OE i OF.

Ho:'

$-

fF

-J⁰"

strzennej.

Napiszmy, że

O A = a OE — b OF — c.

W takim razie możemy napisać, że

OII[ = mxa OiTj = n-J) OLl = Pic

OH = ma 0£"= »6 OL — pc

gdzie m

i?i, w, p, są to liczby całe. Stąd wynika, że stosunki

0Ht : OH OKr : OK 0L{ : OL

są wymierne, jako ilorazy liczb całych, bowiem

OHr

m,

OK

0Li _Px

OL

W rozumowaniu tem założyliśmy dowolne trzy szeregi i dowolne przecinające się z nimi płaszczyzny siatkowe, a więc wyniki nasze stosują się do każdego szeregu i do w s z y s t k i ch płaszczyzn retykular-nych jednej sieci przestrzennej. Możemy więc powiedzieć, że wszystkie płaszczyzny siatkowe jednej sieci przestrzennej od każdego jej szeregu odcinają odcinki wymierne.

Gdy w twierdzeniu tem wyrazy »sieć przestrzenna«, »płaszczyzna siatkowa« i »szereg« zamienimy kolejno na wyrazy »kryształ«, »ściana« i »krawędź«, to otrzymamy prawo odcinków wy miernych: wszystkie ściany jednego kryształu od każdej jego krawędzi odcinają odcinki wymierne.

Prawo to, również jak prawo pasów, potwierdza się na wszystkich kryształach dotychczas poznanych.

Prawo pasów jest geometrycznym wyrazem prawa jednorodności, a prawo odcinków wymiernych jest prawa jednorodności następstwem arytmetyczne m.

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

§ 6⁶. Wyznaczniki. Położenie każdej sieci płaskiej i każdej ściany kryształu można wyrazić stosunkiem trzech liczb całych.

Z wymierności odcinków należy wysnuć jeszcze pewien wniosek. Dowiedliśmy, że

OHj

mx

OH

OKj _nx

OK '

OLj __ px

OL

gdzie m

ni i Pi i mt ni Pi s4 1° liczby całe. Weźmy stosunek tych ilorazów. Otrzymamy:

OH, OK, OL, OH : OK : OL

nh . h . Pi m n p

Stosunek może być pomnożony przez jakikolwiek mnożnik spoiny i wartość stosunku przez to nie ulega zmianie. Pomnóżmy więc stosunek

przez iloczyn mnp. Otrzymamy:

rn,. % .Pi

mnp

A że liczby m,, nv p„ m, w, p, są całe, więc iloczyny ich są również całe. Możemy przeto napisać, że

mnp = mxnp : n,mp : p,mn

OH, OK, OL, OH : OK ' OL

gdzie h, k, l, są to liczby całe.

Innemi słowy, gdy dwie płaszczyzny siatkowe — H,K,L, i HKL — od trzech szeregów, nie leżących na jednej płaszczyźnie i przecinających się wjednym węźle, odcinają sześć odcinków

OH„ 0K„ 0L„ OH, OK, OL,

to stosunek ilorazów

OH, OK, OL, OH : OK : OL

wyraża się zawsze stosunkiem trzech liczb całych.

Nie robiliśmy żadnych zastrzeżeń w tem rozumowaniu. A więc, twierdzenie, wyrażone przed chwilą, jest słuszne względem każdych trzech szeregów i każdych dwu płaszczyzn siatkowych jednej sieci przestrzennej.

wza-

Zastosujmy teraz to rozumowanie do kryształu. Niechaj tym kryształem będzie np. wielościan, wyobrażony na rys. 18. Rozpościerajmy jego ściany APKHE, PKML¹ VT, EFVÜNH, MNL¹ i KlIMN do jemnego się przecięcia, tak jak to jest do widzenia na rys. 19. Nazwijmy

tl

ip \

fi

.fe

<zł~-

,>

Rys. 18. Wielościan ze ścianami, odci-nającemi różne odcinki od jednej jego krawędzi.

Rys. 19. Wielościan rys. 18 po rozpostarciu jego ścian do przecięcia się wzajemnego.

kolejno krawędziami OX, OY, OZ rys. 19 krawędzi HE, KP, LlV rys. 18. Przenieśmy twierdzenie o stosunku liczb całych na kryształ. Otrzymamy co następuje: gdy dwie ściany kryształu HlKlLl i HKL (rys. 19) od trzech jego krawędzi OX, OY, OZ, nie przylegających do jednej płaszczyzny i przecinających się w jednym punkcie O, odcinają sześć odcinków

OHx, OKx, OLx, OH,; OK, OL,

to stosunek ilorazów

0HX OKj OLx

öh:ök:oT

wyraża się zawsze stosunkiem liczb całych.

To prawo jest słuszne względem każdej pary ścian i każdych trzech krawędzi kryształu. Jeżeli więc wszystkie ściany danego kryształu

HnKnLn

HKL, HaKaLa, HbKbLb

odniesiemy do jednej jego ściany to nachylenie każdej ściany tego kryształu do którejkolwiek z nich, wybranych na ścianę

HXK1X1

i jej odcinków

OHu OKu OLl

wyrazi się zawsze stosunkiem trzech liczb całych:

o| o o| o o| o

0(0 Oj O Oj o

■oj O 0| O o|'o o! o

h:k:l

h„:kn: ln.

OH, OK, OL, 0Hn ¹ 0Kn : 0Ln

Liczby te nazywamy wyznacznikami danej ściany.

Twierdzenie omawiane, t. zw. prawo wyznaczników całych, jest tylko odmiennem wyrażeniem prawa odcinków wymiernych.

* Zanim pójdziemy dalej, streśćmy w kilku słowach bieg naszego rozumowania dotychczasowego.

Z łupliwości, ze spękań i z figur wytrawionych wysnuliśmy pojęcie fizycznej jednorodności kryształu.

Potem graficznie wyraziliśmy ciało jednorodne siecią przestrzenną.

Logicznem następstwem przyjęcia tego wyrazu graficznego było przyrównanie krawędzi kryształu do szeregów sieci przestrzennej, i ścian kryształu do płaszczyzn siatkowych, oraz przypisanie ścianom i krawędziom kryształu takich samych zależności geometrycznych i arytmetycznych, jakie charakteryzują związek szeregów z sieciami płaskiemi.

To przyrównanie ścian do sieci płaskich i krawędzi do szeregów sieci przestrzennych, oraz przypisanie im jednakowych własności, doprowadziło nas do przewidywania, że ściany kryształu mu-

szą być związane zależnością pasową i że muszą one odcinać od krawędzi odcinki wymierne, a więc, że mogą być wyrażone wyznacznikami całymi.

Te wyniki, wysnute z rozbioru sieci przestrzennej, winniśmy stwierdzić empirycznie, t. j. sprawdzić słuszność ich przez obser-wacyę kryształów.

Stanie się to w paragrafie następnym i w dalszych *.

§ 7. Pasy. Ściany kryształu tworzą grupy krawędzi równo

ległych.

Obserwacya przekonywa nas nieustannie, że wielościany krystaliczne posiadają pewną wybitną cechę. Mianowicie: ściany kryształu, przecinając się wzajemnie,    ___—

tworzą zawsze kilka grup krawędzi równoległych. Np. widzimy to nie-    x

wątpliwie na kryształach minerału apatytu 3Cas(POA)₂. CaFt, z których jeden, bardzo w płaszczyzny obfitujący, jest wyobrażony na rys.

Rys. 20. Kryształ apatytu.

20. Własność ta wpada w oczy z równą dosadnością w pozorze każdego kryształu, posiadającego znaczniejszą ilość ścian.

Już poprzednio, w paragrafie 6-tym na str. 13, wspomnieliśmy, że grupa ścian, przecinająca się w krawędziach równoległych, nazywa się pasem ścian, albo pasem krystalograficznym.

Oczywista, że płaszczyzny, tworzące przez przecięcie się wzajemne grupę prostych równoległych, same są równoległe do jednej prostej, którą już powyżej nazwaliśmy osią pasa. Również jest oczywista, że oś pasa jest równoległa do każdej krawędzi tegoż pasa, czyli że oś pasa i wszystkie jego krawędzi mają jeden kierunek.

§ 8. Związek pasów i ściail. Każda ściana kryształu leży na skrzyżowaniu przynajmniej dwu pasów.

Wynika z poprzedniego, że ściana, przecinająca się z dwiema sąsiedniemi ścianami tego samego pasa, ma jedną parę krawędzi równoległych.

Obserwacya dokładniejsza przekonywa, że ściany kryształu mają nie jedną, ale więcej par krawędzi równoległych. N. p. ściany Z kryształów apatytu (rys. 20) mają po dwie pary krawędzi równoległych, ściany V mają trzy pary, ściany M cztery pary i t. d. Przykładów takich jest mnogość niezliczona. A więc, na zasadzie całego zasobu faktów, stanowiących materyał krystalografii opisowej, stwierdzamy empirycznie, że każda ściana kryształu leży przynajmniej w dwu pasach się przecinających.

Kierunek każdego pasa wytknięty jest przez jego oś, albo, co na jedno wychodzi, przez którąkolwiek jego krawędź. Ponieważ dwie proste nierównoległe wyznaczają położenie płaszczyzny równoległej do obu tych prostych, więc położenie ściany, leżącej w dwu pasach, t. j. równoległej do osi obu tych pasów, jest wyznaczone przez kierunki tych osi, albo, co wszystko jedno, przez kierunek którejkolwiek krawędzi jednego pasa i przez kierunek którejkolwiek krawędzi pasa drugiego. Powstaje pytanie, czy taka ściana jest możliwą ścianą tego kryształu?

Na to pytanie wszystkie obserwacye kryształów dają odpowiedź twierdzącą.

Ilość ścian na różnych kryształach jednej substancyi bywa różna. Weźmy kryształy jakiejkolwiek substancyi o różnej a znacznej ilości ścian, np. kryształy

T.

Rys. 21—24. Rzut pionowy czterech kryształów skalenia.

skalenia potasowego K₂AlźSieOie. Ułóżmy j e kolej no, tak j ak na rys. 21—24, w miarę powiększającej się ilości ścian. Przekonamy się wtedy, że każda ściana, przybywająca na krysztale o większej ilości ścian, jest równoległa do dwu nierównoległych krawędzi, istniejących na krysztale poprzednim, który ma ilość ścian mniejszą: ściany N są równoległe do krawędzi P/M i PjT, ściany O są równoległe do krawędzi T/2 i P/N, ściana 3 jest równoległa do krawędzi 2/P i O/O i t. d.

Łączność tą stwierdza się powszechnie przez porównanie kryształów jednej substancyi o różnej ilości ścian; daje się ona również widzieć podczas wzrostu jednego kryształu.

Ilość ścian kryształu zależy od bardzo różnorodnych warunków wzrostu. Kryształy na początku swego wzrostu mają bardzo często ilość ścian nieznaczną. W miarę powiększania się kryształu na miejscach jego krawędzi i naroży zjawiają się nowe ściany. Stwierdza się stale, że nowe płaszczyzny pojawiają się zawsze na skrzyżowaniu dwu lub nawet większej ilości pasów, t. j. że one są równoległe przynajmniej do dwu istniejących przedtem krawędzi nierównoległych.

Są substancye *, których kryształy, w pewnych warunkach i na pewnych stadyach ich wzrostu mają tylko cztery ściany, t. j. ich ilość najmniejszą, jaka może utworzyć bryłę zamkniętą. Te cztery ściany wystarczają zupełnie do obliczenia wszystkich ścian innych, które zjawiają się na tych kryształach, stępiając ich krawędzi i naroża w innych warunkach wzrostu dalszego. Z niezmiernie bowiem obfitego zasobu faktów, zebranych przez wszystkich krystalografów, wynika stale, że każda ściana kryształu wyznacza się dwiema nierównoległemi krawędziami, a każda krawędź wyznacza się przez dwie nierównoległe ściany. Stąd, gdy mamy czworościan — bryłę w ściany najuboższą — to z trzech par jego krawędzi, nieprzylegających do jednej jego ściany, możemy wyprowadzić ścianę piątą, szóstą i siódmą. Te trzy ściany nowe, przecinając się między sobą, tworzą nowe krawędzi. Każda z tych nowych krawędzi wraz z którąkolwiek poprzednią wyznaczy nową ścianę ósmą, dziewiątą i t. d., i t. d., i wogóle wszystkie ściany, na tym krysztale możliwe.

Obserwacya wszystkich znanych kryształów utwierdza nas w przekonaniu, że wszystkie ściany każdego kryształu znajdują się w związku pasów, który polega na tem, że każda ściana jest spoina przynajmniej dwu pasom.

Tak więc ohserwacya stwierdza trafność przewidywań, wysnutych z rozbioru własności sieci przestrzennej i z przyrównania sieci przestrzennej do kryształu.

§. 9. Poszukiwanie arytmetycznego wyrazu związku pasów. Trzy zagadnienia.

Poznaliśmy geometryczną zależność ścian i krawędzi kryształu. Należy zatem znaleźć wyraz arytmetyczny tej zależności, czyli należy teraz wykonać rachunkiem to, co się odbywa na krysztale pod-

¹ Np. chloran sodu XaCl0₃, bromian sodu NaBrOs, azotan strontu Sr(NOa)v azotan baru J9a(iV0₃)₂, azotan ołowiawy Pó(JV0₃)₂, sulfoantymonian sodu Na₃SbS₄.9H₂0, octan uranilowosodowy NaU0₂(C₂H₃0₂)₂, arsenian strontowo-sodowy NaSrAs0₄.9H₂0, sfaleryt czyli przyrodzony siarczek cynku ZnS, dya-ment C.

czas jego wzrostu. Mianowicie: z wzajemnego nachylenia najmniejszej ilości ścian kryształu, zamykających przestrzeń, to jest z czterech jego ścian, dowolnie wybranych, lecz takich, które po rozpostarciu tworzą czworościan, mamy obliczyć położenie ściany piątej, szóstej, i t. d. Aby tego dokonać, należy rozwiązać trzy zagadnienia.

Zagadnienie pierwsze. Jaki jest kierunek krawędzi, powstałej z przecięcia się dwu nierównoległycli ścian, których położenie jest wiadome?

Zagadnienie drugie. Jakim warunkom czyni zadość każda ściana, równoległa do krawędzi, której kierunek jest wiadomy?

Zagadnienie trzecie. Jakie jest położenie ściany, równoległej do dwu przecinających się krawędzi, których kierunki są wiadome?

Lecz aby rozwiązać te zagadnienia, trzeba nasamprzód wyrazić położenie ściany znakiem liczbowym. Uskutecznimy to w sposób następujący.

§ 10. Wyznaczniki. Położenie ściany kryształu wyznacza Się stosunkiem trzech liczb, zwanych jej wyznacznikami.

a,

:ß.m.

H,//

Rys. 25. Czworościan.

Mówiło się wyżej wielokrotnie, że cztery przecinające się i zamykające przestrzeń ściany kryształu przez związek pasów wyznaczają położenie wszystkich innych ścian, obecnych na tym krysztale, lub na nim możliwych. Ponieważ wszystkie ściany kryształu związane są spoiną zależnością pasową, więc wszystko jedno, czy te cztery ściany będą ^ ścianami, pierwiastkowo istnie-jącemi na krysztale, jak to się czasem zdarza u niektórych substancyi i o czem wspominaliśmy poprzednio tylko dla ułatwienia wykładu, czy też będą to cztery dowolnie wybrane ściany z pośród wielu ścian, obecnych na krysztale. Stąd wynika, że czterem ścianom kryształu, po rozpostarciu do wzajemnego się

przecięcia tworzącym czworościan, możemy dać znaki dowolne, ale już wszystkie ściany pozostałe muszą otrzymać jakieś znaki pochodne od znaków, którymi oznaczone zostały ściany czworościanu. To znaczy, innemi słowy, że gdy chcemy wyrazić liczbami wzajemne nachylenie ścian kryształu, to nie możemy posługiwać się jakimś niezależnym od kryształu, dowolnie obranym, układem spółrzę-dnych, lecz na ten układ musimy użyć ścian samego kryształu, mianowicie, musimy użyć tych ścian, które wybraliśmy na czworościan, tak często przez nas omawiany w wykładzie niniejszym.

Hii.

Rys. 26. Pięciościan.

A więc, wyobraźmy sobie, że cztery dowolnie wybrane na krysztale ściany, po rozpostarciu ich do wzajemnego się przecięcia tworzą czworościan OHj^L, (rys. 25). Możemy również wyobrażać sobie, że kryształ w pewnym stanie wzrostu ma kształt tego czworościanu.

Jeden z czterech wierzchołków czworościanu OHjKjL,, dowolnie wybrany, np. O, niech nosi nazwę początku. Przecinające się w nim krawędzi OH,, OK,, OL,, oraz ich ciągi dalsze OX, OY, OZ, nazwijmy krawędziami osiowe mi. Krawędzi osiowe przylegają parami do trzech płaszczyzn osiowych: OK,L,r OH,L,, OH,K,, i na tych płaszczyznach tworzą kąty a, ß, y.

Wielkość i pokrój czworościanu wyznacza się sześcioma da-nemi: długościami trzech odcinków OH,, OK,. OL,, i wielkościami trzech kątów a, ß, y. Rzecz jasna, że bezwzględne wymiary tego czworościanu — jego wielkość — to sprawa dla nas obojętna. Nas obchodzi jego postać, forma czyli pokrój. Dla określenia postaci tego czworościanu wystarcza wielkość kątów i stosunek trzech odcinków

OHl : OK, : OL,.

Następnie załóżmy, że którakolwiek z pozostałych ścian kryształu, rozpostarta dostatecznie, przecina się z płaszczyznami czworościanu OIIjKjL,, i tworzy płaszczyznę NLM rys. 26.

Jeżeli poprzednio wyobrażaliśmy sobie, że czworościan OHj^L, jest kształtem pierwotnym jakiegoś kryształu, to teraz możemy wyo-

Rys. 27. Pięciościan po rozpostarciu ścian do przecięcia się ich z każdą krawędzią osiową.

brażać sobie, że podczas dalszego przyrostu tego kryształu powstała na nim ściana piąta LMN, lub do niej równoległa, która nadała mu kształt wielościanu OLMNH,K, rys. 26.

Ściana LMN do ścian czworościanu OHlKlLl niechaj będzie nachylona tak, że po dostatecznem jej rozpostarciu niech przetnie

ona ciąg dalszy wszystkich krawędzi osiowych OX, OY, OZ (rys. 27) i niechaj odetnie od nich odcinki OH, OK, OL (rys. 27).

Nachylenie ściany LMN czyli HKL do czworościanu OH,K,L, wyznacza się stosunkami jej odcinków do odcinków czworościanu, t. j. wartościami trzech ilorazów:

.....N

iU

/ iP

Nb:

,M

■6

/hJl

■y

HI'-''

OH, OKj OL, OH’ OK’ ~0L'

Ale tak samo, jak obojętna jest dla nas wielkość bryły omawianej, tak samo obojętna jest odległość ściany LMN od początku O. Mamy więc na względzie nie tylko ścianę LMN, ale każdą do niej równoległą, bo wtedy wszystkie one, ścinając naroże L, czworościanu OHlKIL1 w sposób, wynikający z ich nachylenia, jednakowo modyfikują kształt bryły. Innemi słowy, obojętna jest dla nas wartość bezwzględna ilorazów

OH, OKr OL OH ’ OK ’ OL ’

natomiast winniśmy mieć na względzie stosunek tych ilorazów

OH, OK, OL, OH :OK : OL

bo on wyznacza położenie względem czworościanu OH,K,L, zarówno ściany LMN czyli HKL, jak każdej płaszczyzny do niej równoległej.

'TH

Napiszmy, że

OH = OH,. h OK = OIÇ . k OL = 0LI . I

Wtedy

OH, OK, OL, _

öh:ok'ol~ :

Liczby h, k, l, są to wyznaczniki ściany HKL, a wyraz (h kl) jest znakiem tej ściany, lub każdej do niej równoległej. Znak

(hkl)

jest skróconym sposobem pisania stosunku

lak więc każda ściana kryształu może być wyrażona trzema liczbami (h k l). Liczby te wskazują oryentacyę danej ściany względem pewnych czterech ścian kryształu, wybranych tak, aby po do-statecznem ich rozpostarciu przecięły się wzajemnie i utworzyły czworościan.

§ 11. Czworościan jednostkowy. Znaki ścian czworościanu jednostkowego są: (111), (100), (010) i (001)¹.

Sposób wyznaczania ścian wyznacznikami, zastosowany do ściany HKL, zastosujemy obecnie do ściany czworościanu H, K, L,. Możemy tego dokonać przez podstawienie jej odcinków

OH,, OK„ OL,

pod wielkości

OH, OK, OL

w stosunku ilorazów

OH, OK, OL, OH ‘ OK ' OL

Otrzymamy wtedy dla płaszczyzny H,K,L, wyraz

= 1:1:1.

OH, OK, OL OH,: OK, '.OL,

A więc, według sposobu wyznaczania ścian wyznacznikami,, wyznaczniki ściany H,K,L, są 1, 1, 1, a znakiem jej jest znak

(111)

1 ę płaszczyznę nazywa się więc płaszczyzną jednostkową a czworościan OH,K,L, nosi miano czworościanu jednostkowego.

Go zaś do ścian osiowych czworościanu jednostkowego, to na-samprzód przypomnijmy sobie, że znak ściany, jako stosunek trzech liczb, wyznacza położenie nie tylko jednej płaszczyzny, ale położenie każdej płaszczyzny do niej równoległej. A więc przesuńmy równolegle każdą płaszczyznę osiową tak, aby każda z nich przecinała krawędź osiową w wierzchołku czworościanu a nie w początku O, t. j. ściana L, OK, (rys. 25) niech będzie przesunięta równolegle samej sobie do punktu H,, ściana L, OH, do punktu K, i ściana H,OK, do punktu L,. Ponieważ w pierwiastkowem ich położeniu każda z nich przecina jedną krawędź osiową, a do dwu pozostałych przylega, więc po przesunięciu ich równoległem każda odetnie od jednej krawędzi osiowej odcinek skończony, a do dwu drugich krawędzi osiowych będzie równoległa t. j. odetnie od nich odcinki nieskończenie długie.

Gdy więc po tern przesunięciu równoległem ścian osiowych zastosujemy do nich ten sam sposób wyznaczania, który zastosowaliśmy do ściany HKL, t. j. gdy odcinki ścian osiowych, otrzymane po równoległem tych ścian przesunięciu, wstawimy na miejsce odcinków

w wyrazie

OH, OK, OL

OH, OKi OL, _ OH * OK ' 7)L    :

i-*,

T-H

to otrzymamy wyrazy następujące: dla ściany K,OL,

OH, OK, OL,

= 1:0:0

OH, oo oo

dla ściany H, OL,

OH, OK, OL,

oo OK, oo

0:1:0

dla ściany H,OK,

OH, OK, OL, oo OL,

A więc znaki ścian osiowych i ścian do nich równoległych są

(100)

(010)

(001).

oo

= 0:0:1.

Innemi słowy, jeżeli jeden z czterech wierzchołków czworościanu jednostkowgo obierzemy na początek, to znak ściany mu przeciwległej jest (111) i nazwą tej ściany: płaszczyzna jednostkowa albo ściana jednostkowa; wtedy ściany, przecinające się w tym wierzchołku, który nazwaliśmy początkiem, otrzymują znaki (100), (010) i (001), a wszelka inna ściana wyraża się znakiem

(h/cl)

gdzie

■r-i

1 __ OH, OK, OL,

:    : T ~OH:OK 'OH*

Albo, jeżeli wybierzemy takie cztery ściany kryształu, że po rozpostarciu przetną się one w czterech punktach czyli w sześciu prostych, t. j. że utworzą czworościan, i jeżeli jednej z tych ścian nadamy dowolnie znak

(111)

a pozostałym trzem przypiszemy w takim razie znaki

(100), (010), (001),

. . (hnknln)

to wtedy wszystkie inne ściany tego kryształu wyrażą się znakami (h k l), (ha ka la), (hb kb lb) . .

gdzie

OH, OK, OL,

1 1 1

hn : k„: łn ~ OHn • OKn • OLn •

Taka więc jest zasada liczbowego wyznaczania ścian kryształu.

Obecnie, gdy znamy już tę zasadę, i gdy, opierając się na niej, oznaczyliśmy liczbami ściany czworościanu jednostkowego, możemy przystąpić do rozwiązania zagadnienia pierwszego z trzech wymienionych w paragrafie dziewiątym.

§ 12. Zagadnienie pierwsze. Wyznaczenie kierunku osi pasa. Jaki jest kierunek krawędzi, powstałej z przecięcia się dwu nierównoległych ścian, których położenie jest wiadome?

Dany jest (hkl) — znak ściany HKL (rys. 28) i (h'Jc'1') —-znak ściany HKL', t. j. niech ściany HKL i HKL' od osi OX,

+Z

,7A\

/©i

-x-

+X'

-Z

(W.

Rys. 28. Kierunek prostej, powstałej od przecięcia się dwu płaszczyzn.

OY, OZ odcinają odcinki OH, OK, OL, OH', OK', OL', do których odcinki jakiegoś czworościanu jednostkowego OHxKxLx, w danym razie dla nas obojętnego i przez to na rysunku 28-ym nie wykreślonego, mają się jak:

0HX. OK. . OLx _

OH OK ‘ OL ~    •

0HX 0KX 0LX _

UH : OK : OL' ~ h' :

Wobec tego, że czworościan OHxKxLx dla nas nie istnieje, a więc jest dowolny, uznajmy jego odcinki za równe jedności, t. j. napiszmy, że

oh' = ¥ (>K' = W ol' = 7

1

OH=t

h

OK=y

K

OL = l

Płaszczyzny HKL i H'K'L' przecinają się i tworzą krawędź SE. Kierunek krawędzi 0E i każdej do niej równoległej mamy wyrazić znakiem liczbowym, pochodnym od znaków {hhl) i (h'k'1').

Przesuńmy równolegle płaszczyznę H'K'L' aż do punktu L, t. j. do położenia płaszczyzny EFL, która z płaszczyzną HKL przecina się w prostej LŁ. Jeżeli płaszczyzna EFL jest równoległa do płaszczyzny H'K'L', to prosta LŁ jest równoległa do prostej SE. W takim razie zamiast krawędzi SE możemy poszukiwać krawędzi LŁ, jeżeli bowiem są one równologłe, t, j. mają jeden kierunek, to wyznaczają się one stosunkiem tych samych wielkości.

Nazwijmy

OH = a OK — b OL = c

OE=q OF = r OL = c.

OH' = m OK' — n OL' — p

Po równoległem przesunięciu płaszczyzny H'K'L' do położenia EFL odcinki, odcinane płaszczyzną H'K'L' na osiach 0X,0 Y, OZ, powię-

kszyły się — razy ¹.

/’

A więc płaszczyzna EFL odcina odcinki:

cm

OE —

Ol

OF = r = —

OL

Jak się wyżej rzekło, zagadnienie, w mowie będące, polega na wyznaczeniu kierunku prostej LŁ. Tę prostą wyznaczają dwa punkty: punkt L, określony wyznacznikiem l, wiadomym ze znaku {hhl), i punkt Ł, którego spółrzędne są właśnie poszukiwane.

¹ e od p jest większe ^ razy, ponieważ przez równoległe przesunięcie płaszczyzny H’K'L' odcinki osi powiększają się proporcyonalnie, więc to przesunięcie jest pomnożeniem odcinków przez spółczynnik ^ .

Przeprowadźmy przez ten punkt Ł dwie proste, równoległe do osi OX i 07, i nazwijmy punkty przecięcia się tych prostych z osiami przez U i V. A więc ŁU jest równoległa do 07 i Ł V jest równoległa do 0X.

Położenie punktu Ł wyznaczają odcinki ŁU i Ł V: albo równe im odcinki 0V i OU. Nazwijmy je u i v, mianowicie:

ŁV = OU = u ŁU = OV=v.

Wobec równoległości ŁU do 07 i ŁV do 0X zachodzi podobieństwo trójkątów:

A OKU ~ A UŁH A OFE ~ A UŁE.

Z podobieństwa trójkątów wynika

«żyli

av — ab — bu qv — qr — ru.

Rozwiązujemy te równania względem u i v, jako niewiadomych i otrzymujemy:

aqr — abq ar — bq abr — bqr

i; ---—

ar — bq

Wyłączając aq i br, otrzymujemy:

u = aq

ar — bq

~2 ar — bq

Wprowadźmy pod q i r ich wartości:

v = br

cm

S=P

cn

Otrzymujemy wtedy

ani

cn — bp

p an — bm

cm

Wyżej zaznaczyliśmy, że poszukiwany kierunek krawędzi LŁ ■(rys. 28) jest wytknięty przez dwa punkty: punkt L i punkt Ł, czyli przez odcinki

¹

Znaki te wymawiamy w sposób następujący: (111) — »jeden, jeden, jeden«, (100) — »jeden, zero, zero« i t. p. Tak samo czytamy wszystkie innne znaki ścian.

OU, OV, OL.

Ponieważ odcinek OL dany jest przez wyznacznik l w znaku (ih k l), a wartości u i v otrzymaliśmy przez dopiero co dokonane rozwiązanie zagadnienia pierwszego, więc jesteśmy w posiadaniu wszystkich trzech wyznaczników, wytykających kierunek poszukiwanej krawędzi LŁ. Obecnie może tylko iść nam o uproszczenie i o ujednostajnienie trzech tych wyrazów.

Aby to osiągnąć, wykreślmy równoległościan

OULVWMPN

(rys. 28) na odcinkach

OU, ov, ow,

jak na krawędziach, przyczem niech

OW=— OL.

Odcinkowi O W nadajemy znaczenie odjemne, bo leży on względem odcinka OL po przeciwnej stronie początku O.

Nazwijmy

OW = w

a że wartość OL na początku oznaczyliśmy jako równą c, więc

w —— c.

cza

Przekątna równoległościanu OULVWMNP\ t. j. prosta OP, jest równoległa do krawędzi LŁ, bo kierunek obu tych prostych wyzna-się stosunkiem tych samych wielkości, mianowicie stosunkiem

u : v : w.

Wartości tych wyznaczników są, jak wiadomo, następujące:

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

am cn — bp p an — hm

bn ap

v =----

p an — bm

— cm

w = — c.

Ponieważ wyznaczniki te wytykają kierunek krawędzi swym stosunkiem, a nie wartościami bezwzględnemi, więc nie zmienimy wartości stosunku, czyli kierunku prostej, jeżeli wszystkie trzy wyznaczniki pomnożymy przez dowolny spółczynnik.

Niech spółczynnikiem tym będzie iloraz

an — bm

arnbnc.

Wtedy

1 1

U~Jp

cn

cm

ap

an

g- i-»-

bm

Podstawiając

h/

otrzymamy

u = ki' — lk' v = lh'~ hi' w — hk' — kin'

Rozwiązanie. Kierunek krawędzi, powstałej z przecięcia się dwu ścian nierównoległych

(h k l) i (h'k'V)

wyznacza się stosunkiem wyznaczników

[u V w]

których wartości są następujące:

u :v:w= (kV — W) : (W — hi') : (AA' — W).

Wyznaczniki krawędzi w wyrazach ogólnych oznaczamy stale literami u, v, w i znak krawędzi ujmujemy w nawias kątowy (u v w] dla odróżnienia od wyznaczników ściany, dla których przyjęte są litery A, k, l, i od znaku ściany, który zamykamy w nawias zwykły (h ki).

Krawędź, powstała z przecięcia się dwu ścian nierównoległych przylega do każdej z tych dwu ścian, czyli jest do każdej z nich równoległa. Przez to samo jest ona równoległa do osi tego pasa, w którym leżą obie te ściany, tworzące przez przecięcie się wzajemne krawędź omawianą. A ponieważ znak [u v w;], jako stosunek trzech liczb, wyznacza nie tylko kierunek jednej jakiejś prostej, ale wszystkich do niej równoległych, więc znak ten wyznacza też kierunek osi pasa. Dlatego znak \u v w] nazywamy albo znakiem krawędzi, albo znakiem osi pasa, albo też krócej znakiem pasa.

§ 13. Zagadnienie drugie. Równanie pasów. Jakim warunkom czynią zadość wyznaczniki każdej ściany, równoległej do krawędzi, której kierunek jest wiadomy?

Niechaj trzy ściany

(h k l)j (AjAj/jj, (A₂A₂/2)

będą równoległe do jednej prostej, t. j. niech będą to ściany jednego pasa.

Obliczmy kierunek osi tego pasa ze znaków dwu ścian, do tego pasa należących, n. p. ze znaków:

(A₂A₂?₂) i (Aik^l]).

Według odpowiedzi na zagadnienie pierwsze otrzymamy:

-    4^1

w — hik₁ — A'₂Aj

Obliczmy następnie kierunek tej samej osi ze znaków drugiej i pierwszej ściany z trzech nam danych, t. j. z

(KKh) i (AfcZ).

ux — kxl — lxk vx = lxh — hxl wx — hxk — kxh

Otrzymamy

Ponieważ otrzymane przez nas wyznaczniki [u v w] i [uxvxwx\

wyznaczają kierunek jednej prostej — osi jednego pasa — więc stosunki ich są równe:

i wartości u, v, w, są kolejno równe wartościom ux, vx, wx, pomnożonym przez jakiś spółczynnik s.

A więc

u = s (kxl — lxk) v = s (lxh — hxl) w — s {hxk — kxh)

Pomnóżmy obie strony równania pierwszego przez h, równania drugiego przez k i równania trzeciego przez l. Otrzymamy:

hu — s h kxl — s hklx k v = s hklx — s hxk l l w — s hxk l — s h kxl

Po zsumowaniu tych trzech równań otrzymujemy równanie

hu -J- kv -J- Iw = 0.

Rozwiązanie. Wyznaczniki każdej ściany

(h k l)

równoległej do krawędzi

[u V w]

t. j. leżącej w pasie [uvw\ czynią zadość równaniu hu -(- kv -J- Iw — 0.

Równanie to, noszące nazwę równania'pasów, wyraża kardynalne prawo krystalografii, a więc ma ono znaczenie pierwszorzędne.

§ 14. Zagadnienie trzecie. Dednkcya. Jakie jest położenie ściany równoległej do dwu przecinających się krawędzi, których kierunki są wiadome?

Załóżmy, że znaki czterech ścian P, AL T, N,

(rys. 29 lub 30) są wiadome.

f- \

A,

'v-'

Rys. 29. Kryształ aksynitu.

Rys. 30. Wielościan ze ścianą w dwu pasach.

Mamy znaleźć wyznaczniki ściany X, która leży w pasie [PXM\ i w pasie [TXN].

Znak osi pasa [PXM], obliczony z wiadomych nam wyznaczników ściany P i ściany M, niechaj będzie [u^w-^. Znak osi pasa [TXN], obliczony z wiadomych nam wyznaczników ściany 1 i ściany iV, niechaj będzie [u.₂v₂w₂\.

Poszukiwane wyznaczniki ściany X

(hxkjx)

jako należącej do obu pasów

[ttjihWj] i [u₂v₂w₂]

muszą czynić zadość obu równaniom następującym:

hxux -j- kxvx -j- lxu\ = 0 hxu₂ + kxv₂ -f- lxw% = 0.

Rozwiązując te równania względem hx i kx, jako niewiadomych, otrzymujemy:

hx = lx

kx — lx

UXV₂ VXU2 wxu₂ — uxw₂

UXVa V] Un

Znak ściany jest to stosunek trzech liczb. A więc jednej z tych liczb zawsze możemy nadać wartość dowolną i wartość stosunku przez to nie ulegnie zmianie.

Nadajmy zatem wyznacznikowi ^wartość mianownika uxv₂—vxu₂ :

lx = UXV.₂ -Vy u₂.

Gdy w wyrazach, powyżej otrzymanych, na miejsce lx wstawimy mianownik uxv₂ — vxu₂, to otrzymamy następujące wyrażenia wyznaczników hxl kx, lx:

hx = vxw₂ — wxv 2 Jcx = u\ u₂ — uxw2 lx — uxv 2 — vxu₂.

Rozwiązanie. Położenie ściany X, równoległej do dwu przecinających się.krawędź i:

[uxvxwx] i \u₂v₂w₂\

t. j. leżącej w dwu pasach:

[uxvxu\\ i [u₂v₂w₂\

wyznacza się stosunkiem wyznaczników

hx . h’x . lx

których wartości są następujące:

hx : kx : lx — (vxw₂ — wxv₂) : (wxu₂ — uxw₂) : (uxv₂ — vxu₂).

§ 15. Wyraz arytmetyczny związku pasów. Prawo wyznaczników calycli, czyli prawo wymiernych odcinków krawędzi. Położenie każdej ściany kryształu wyraża się stosunkiem trzech liczb całych, bo wszystkie ściany kryształu od każdej jego krawędzi odcinają odcinki wymierne.

Porównajmy wartości, otrzymane w rozwiązaniu zagadnienia pierwszego (§12 str. 34) z wartościami, podanemi w odpowiedzi na zagadnienie trzecie (§ 14). Spostrzeżemy nasamprzód, że wyrazy te są jednakowe, t, j. że znak krawędzi oblicza się ze znaków dwu ścian tak samo jak wyznaczniki ściany ze znaków dwu krawędzi. Po-wtóre widzimy, że wyrazy te są to różnice i 1 o c z y n ó w.

Jednakowość tych wzorów, oraz ich charakter, są to sprawy wielkiej wagi.

Gdy do oznaczenia rozkładu ścian na krysztale zastosujemy sposób wyznaczników, opisany w § 10-tym, to, jak wskazano w § H-tym, ściany czworościanu jednostkowego otrzymują znaki

(Ul), (100), (010), i (001),

a wyznaczniki

h, k, l,

wszelkiej innej ściany tego kryształu są to pochodne wyznaczników czworościanu jednostkowego i obliczają się według wzorów, wyprowadzonych w § 12-tym i 14-tym. A zatem: rachunek ten rozpoczyna się od liczb

1 i 0

i polega tylko na mnożeniu i odejmowaniu, więc prowadzony dowolnie daleko, zawsze daje tylko liczby całe.

Tu więc możemy sformułować prawo następujące: wyznaczniki wszystkich ścian kryształu są to zawsze liczby całe, albo, każda ściana, wyznaczająca się wyznacznikami całkowitymi, jest na krysztale możliwa.

Dla jaknajdokładniejszego zrozumienia sprawy omawianej nie będzie od rzeczy, jeżeli jeszcze raz przypomnimy sobie, że według empirycznie ustalonego prawa pasów, któremu podlegają wszystkie kryształy bez wyjątku, każda nowa ściana wyznacza się dwiema poprzednio istnie-jącemi krawędziami. Nazwijmy ściany czworościanu jednostkowego ścianami pierwszego okresu. Z jego krawędzi parami możemy obliczyć wyznaczniki ścian nowych, t. j. ścian drugiego okresu. Dadzą one nowe krawędzi, które z krawędziami dawnemi wytkną ściany trzeciego okresu i t. d., i t. d., i t. d. Rachunek ten nie wychodzi po za liczby całe.

Tak oto, obserwacyą stwierdziwszy prawo pasów, i poddawszy go rozbiorowi odpowiedniemu, doszliśmy do poznania prawa wyznaczników całych, które przewidzieliśmy w § 6-tym przez poznanie sieci przestrzennej i przez przyrównanie ścian i krawędzi kryształu do płaszczyzn siatkowych i szeregów sieci przestrzennej.

Na czworościan jednostkowy możemy wybrać każde cztery ściany kryształu, przecinające się w czterech punktach czyli w sześciu prostych, t. j. na krawędzi osiowe możemy wziąć każde trzy krawędzi kryształu, nierównoległe i nieprzylegające do jednej płaszczyzny. A więc wyżej wywnioskowane prawo wyznaczników całych możemy wyrazić również w ten sposób: wszystkie ściany kryształu od każdej jego krawędzi odcinają odcinki wymierne, albo odcinki, odcięte od jednej krawędzi kryształu przez wszystkie jego ściany, są spółmierne, t. j. stosunki ich wyrażają się liczbami całemi.

Jak widzimy, dokonaliśmy zadania, które postawiliśmy w paragrafie dziewiątym, t. j. znaleźliśmy wyraz arytmetyczny prawa pasów. Wyraz ten, jak już wiadomo, nosi nazwę prawa wyznaczników całych czyli prawa odcinków wymiernych. Nazwa ta pozostała z przeszłości, kiedy prawo odcinków wymiernych było wykryte empirycznie, niezależnie od prawa pasów i prawa jednorodności. Obecnie jednak umiemy wyprowadzić z jednorodności zarówno związek pasów jak całkowitość liczb wyznacznikowych, a także umiemy dowieść łączności pomiędzy związkiem pasowym i całkowitością wyznaczników. A więc dla nas obecnie jest jasne, że prawo pasów i prawo odcinków wymiernych są to objawy fizycznej jednorodności kryształu.

§ 15“. Dedukeya pasów i jej przykłady.

Wartości w, v, w, ze znaków (A k l) i (hxkxlx), lub A, A, l, ze znaków [u v ic\ i [m₁v₁*c₁] obliczają się według następującego schematu.

Wypisujemy po dwakroć znak pierwszy (AA l) lub [u v w] w jednym wierszu, a pod nim, w wierszu następnym, tak samo piszemy dwukrotnie znak drugi (AjA-jłj) lub [wjCjtPj], poczem odrzucamy pierwszą i ostatnią kolumnę pionową. Pozostaje ośm liczb. Mnożymy je w tej kolei, którą wskazują krzyże na dyagramie, podanym niżej: 1) pierwszą górną mnożymy przez drugą dolną, 2) drugą górną przez pierwszą dolną. 3) drugą górną przez trzecią dolną. 4) trzecią górną przez drugą dolną, 5) trzecią górną przez czwartą dolną, 6) czwartą górną przez trzecią dolną. Do każdego nieparzystego iloczynu dodajemy ze znakiem odwrotnym następujący po nim iloczyn parzysty. Otrzymujemy trzy wypadkowe: wypadkowa pierwsza jest to u albo A, wypadkowa druga jest v lub A, wypadkowa trzecia to jest w albo l.

XXX

A k l h k l XXX

Mj Vx IVX Wj Vx

iox

h₁ Aj lx Aj Aj łj

u = klx — lkx v — lhx — hlx w — AAj — AAj

A = vwx — wv j A = wux — uwx l = uv j — vux

Obliczenie to nosi nazwę dedukcyi albo dedukcyi pasów. Mamy w niem dwa rodzaje zagadnień: albo stwierdzenie, cży dane ściany

należą czy nie należą do jednego pasa; albo znalezienie wyznaczników takiej ściany, która leżałaby w dwu pasach, wyznaczonych przez dwie pary ścian wiadomych.

Zagadnienie pierwsze rozwiązuje się w ten sposób, że z danych, znaków wybieramy dwa dowolne, obliczamy z nich znak pasa i liczby otrzymane wstawiamy do równania pasów wraz z wyznacznikami ściany trzeciej, czwartej, lub w ogóle wszelkiej ściany pozostałej.

Przykład pierwszy. Pytanie. Czy ściany (312), (212), (112) leżą w jednym pasie?

Rozwiązanie.

B 1 2 3 1 2

XXX

2 12 2 12

nam

(0X1) + (2X1) + (1X2) = 0.

[021] i (2 — 2), (4 — 6), (B — 2) = [021]

Odpowiedź. Ściany (312), (212), (112) leżą w jednym pasie [021], Przykład drugi. Pytanie. Czy ściany (211), (221), (111) leżą w je

dnym pasie?

Rozwiązanie.

112 1

XXX

2 12 2

(i X l) + (0 X i) + (2 X1) = l.

[102]

Odpowiedź. Ściany (211), (221), (111)

Rozwiązanie zagadnień drugiego rodzaju poznamy na czterech przykładach następujących.

nie leżą w jednym pasie.

O Oj

Przykład pierwszy. Na rys. 31 jest widoczne, że ściany P, M, Ti N, rozpostarte do przecięcia się wzajemnego, tworzą czworościan. Ściana N niechaj będzie ścianą jednostkową (111).

T loo -

N ui

" to

i⁰'

N = (111)

Wtedy

T = (100) M = (010) P = (001).

Rys. 31. Ściany czworościanu jednostkowego w połączeniu ze ścianą, leżącą w pasie

((100)1(111)] i ((001)1(010)].

¹ Znak (021] czytamy: »pas: zero, mniej dwa, jeden«, (102]: »pas: mniej jeden, zero, dwa«, liczby odjemne oznaczamy znakiem »mniej« położonym nad liczbą.

Pytanie. Jakie sa wyznaczniki ściany X (rys. 31), która leży w pasie [X/P] i w pasie [P/M]?

Rozwiązanie.

(N) 1 1 1 1 1

XXX (T) 1 o O 1 O

(P) o

(M) O

0 10 0

XXX

10 0 1

[jv/r] oiioii

XXX

[P/M] 10 0 10 0

[N/T] = [Oli]

(hkl)x = (011).

Odpowiedź. Wyznaczniki ściany X są: (01/), leży ona w pasach [011]

i [100].

Przykład drugi. Rys. 32 przedstawia wielościan krystaliczny minerału aksynitu IlMgCa₂Al₂BSii0₁₆. Mineralodzy opisowi ustalili następującą oryentacyę ścian tego minerału:

Tiio

Rys. 32. Kryształ aksynitu i znaki jego ścian.

N = (111)

P=(ih)

M = (110)

T = (.1Ï0)

Pytanie. Jaki jest znak ściany X (rys. 32), która leży w pasie

i w pasie

[T/N] [i¹¹⁰)/[Ul)]?

Rozwiązanie.

(P) 1

1111

XXX 10 11

(T) 1101 1 0

XXX

(N) 111111

[P/M] 11 2 1 1

X X x_

[T/N] 1 I 1 2 1 1

[P/M] = [112]

X=(402).

[T/N]=ll2]

Odpowiedź. Ponieważ znak ściany jest to stosunek trzech liczb, więc 4:0 :2 = 2 :0 :1

a zatem, wyznaczniki ściany X są (201), ściana ta leży w pasach [112] i [Ü2]. Przykład trzeci. Pytanie. Jaki jest znak ściany, leżącej w pasie

[(004/(110)] i W pasie [(J01)/(on)] ?

Rozwiązanie.

H* O

ł—*

!t-H |t—1

r-H i-r—i

T—i |t—(

[iii]

(112)

cm

Odpowiedź. Znak ściany poszukiwanej jest (112), ściana ta leży w pasie [110] i w pasie [iii].

Przykład czwarty. Pytanie. Jaki jest znak ściany, leżącej w pasie [i⁰¹¹)/[HO)] i w pasie [i¹¹²)/\oiO)\ ?

Rozwiązanie.

O. tH

T—I T—I

O r-H

03 O

03 O

ItH 103

|t-H t—I

bDl h-M

IrH

(132).

[X01\

Odpowiedź. Znak ściany poszukiwanej jest (i32), ściana ta leży w pasie [Ï1Ï] i \20T\.

Cztery te przykłady wskazują, jak od ścian czworościanu jednostkowego dochodzimy drogą dedukcyi do ścian o wyznacznikach coraz większych od jedności.

§ 16. Wyraz fizyczny prawa pasów. Prawo jednorodności. Kryształ jest to ciało jednorodne, różnokierunkowe.

Podane w paragrafie poprzednim prawo wyznaczników całych, czyli prawo odcinków wymiernych, jest wyprowadzone przez nas dwukrotnie: po raz pierwszy dedukcyjnie z pojęcia jednorodności, a raczej z jej obrazu graficznego, i po raz wtóry na drodze induk-cyi, z empirycznie stwierdzonego związku pasów.

Zapomnijmy na czas pewien o pierwszej, dedukcyjnej, drodze i aby sprawdzić ścisłość rozumowania naszego, spróbujmy przedstawić graficznie prawo odcinków wymiernych, otrzymane indukcyjnie z rozbioru prawa pasów.

Prawo odcinków wymiernych głosi, że wszystkie ściany kryształu od każdej jego krawędzi odcinają odcinki wymierne. Rozważmy więc nasamprzód, jaki utwór geometryczny byłby odpowiednim wyrazem takiej prostej, jak krawędź kryształu, która może być dzielona tylko na odcinki wymierne.

na

Wielkości wymierne są to wielokrotne pewnej wielkości skończonej. Jeżeli więc krawędź kryształu dzieli się tylko na odcinki wymierne, to dla jej zobrazowania nakreślmy prostą i podzielmy ją odcinki równe, oraz załóżmy, że są one niepodzielne.

Równe odcinki prostej są jednokładne: którykolwiek odcinek AB przylega do odcinka BC, CD, i t. d., t. j. do każdego z odcinków, na które prosta, w mowie będąca, została podzielona. Stąd wynika, że punkty końcowe odcinków są analogiczne, t. j. punkt A może być zastąpiony przez punkt B. C, i przez każdy, dzielący prostą omawianą na odcinki skończone, równe, niepodzielne.

Znaczy to, że obrazem graficznym krawędzi kryształu jest szereg prostolinijny równoodległych punktów analogicznych, czyli prosta, podzielona punktami analo-gicznemi na odcinki równe, skończone i niepodzielne.

wi

Au

Niechaj punkt A (rys. 33) wyobraża wierzcho

A*

Aur

'-7,

pi-:

W/

/\

Anit

■-.......

łek czworościanu jednostkowego 1 prosta AA’i niech wyobraża jedną krawędź tego czworościanu, t. j. niechaj będzie o-na szeregiem równoodległych punktów analogicznych A, AI} A'h.

A’’

Aj.

Rys. 33. Sieć przestrzenna.

Wierzchołek czworościanu jest punktem przecięcia się trzech krawędzi, nie przylegających do jednej płaszczyzny. Więc jeżeli punkt A ma być obrazem wierzchołka czworościanu, to oprócz prostej A.Aj musimy przez punkt A przeprowadzić szereg drugi AA\\. Gdy jednak punkty Aj i An mają być analogiczne z punktem A, a przez punkt A przeprowadziliśmy dwa szeregi AA\ i AAjj, tworzące kąt AjAAjj, to analogia punktów Aj i An, oraz wszystkich z nimi analogicznych, musi być wyrażona graficznie tak samo, t. j. przez każdy z nich muszą być poprowadzone dwa szeregi, przecinające się pod takim samym kątem; a więc otrzymujemy dwa przecinające się szeregi prostych równoległych i równoodległych, czyli sieć płaską punktów analogicznych. A że dwie krawędzi kryształu wyznaczają ścianę, więc sieć płaska, wytknięta przez dwa szeregi AA\ i AAjj, wyrażające dwie krawędzi, jest obrazem graficznym ściany kryształu.

Wierzchołek czworościanu, jak wiadomo, jest to punkt przecięcia się trzech krawędzi, nie leżących na jednej płaszczyźnie. Jeżeli więc punkt A ma być obrazem wierzchołka czworościanu, to oprócz szeregów AA\ i AAh winniśmy przez punkt A przeprowadzić szereg trzeci AA in, nie przylegający do płaszczyzny ATAAn, t. j. taki, który przecina się z nią pod kątem, większym od zera.

Niechaj w tym trzecim szeregu AAln punktem analogicznym punktowi A i mu najbliższym będzie punkt Am. Ponieważ przez punkt A przechodzi sieć płaska A^A^, więc analogia punktu Am winna być wyrażona graficznie tak samo, t. j. powinniśmy przeprowadzić przez punkt Am taką samą sieć płaską, jak A₁AA1I i tak samo jak ona nachyloną do szeregu AAïn, t. j. do sieci AlAAn równoległą. Dalej to samo uczynić należy ze wszystkimi pozostałymi punktami analogicznymi szeregu AA{n.

A więc w wyniku ostatecznym, jako wyraz graficzny prawa odcinków wymiernych otrzymujemy sieć przestrzenną, t. j. zbiór punktów analogicznych, ułożonych tak, że około jednego punktu pozostałe punkty leżą tak samo, jak około każdego innego punktu, znajdującego się w tym zbiorze.

Fizycznym odpowiednikiem takiego utworu geometrycznego jest ciało, które około jednego punktu ma własności fizyczne takie same i tak samo ułożone, jak około każdego innego punktu.

Widzimy zatem, że gdy rozpoczynamy rozumowanie nasze od empirycznie stwierdzonego prawa pasów, to dochodzimy do jego wyrazu arytmetycznego w prawie wyznaczników całych, a wyrazu graficznego w sieci przestrzennej i fizycznego w ciele jednorodnem różnokierunkowem.

Odwrotnie, gdy poznaliśmy jednorodność kryształu i wyraziliśmy ją graficznie siecią przestrzenną, to przez przyrównanie kryształu do ucząstków sieci przestrzennej, ograniczonych jej płaszczyznami siatkowemi, doszliśmy do przewidzenia prawa pasów i prawa odcinków wymiernych czyli wyznaczników całych.

Zgodność ta przekonywa nas, że w całem rozumowaniu do-tychczasowem nie popełniliśmy błędu, i upewnia, że jednorodność i różnokierunkowość jest istotną i najważniejszą cechą ciała krystalicznego, a wielościenność, związek pasowy i wymierność stosunku wyznaczników, są to tylko objawy tej jednorodności i nieodzowne jej następstwa.

Tak więc, czy wychodzimy z fizycznych czy z geometrycznych własności kryształu, dochodzimy do jednego wniosku, że kryształ jest to ciało jednorodne różnokierunkowe.

Zarazem wnosimy, że ciało stałe jednorodne, wydzielając się z cieczy, musi przybierać samorzutnie postać wielościanów, których ściany są związane zależnością pasów, a więc dzielą każdą krawędź na odcinki wymierne.

Ostatecznie więc dochodzimy do przekonania, że kardynal-nem i podstawowem prawem nauki o ciele stałem jest prawo jednorodności.

Prawo jednorodności nazywane bywa też drugiem prawem krystalografii.

Widząc obok kryształów nieskazitelnych kryształy mętne, niedoskonałe, pełne ciał obcych, moglibyśmy pomyśleć, że jednorodność ciała stałego jest raczej rzadkim wyjątkiem, niż główną i istotną własnością kryształu. Taki pogląd byłby jednak błędny.

Nasamprzód prawo pasów — prawo empiryczne, na kryształach nieustannie obserwowane — nieodzownie przywodzi do pojmowania kryształu, jako ciała jednorodnego, jak właśnie poucza nas rozumowanie wyżej przeprowadzone.

Następnie, o jednorodności kryształu przekonywa nas łupliwość, figury wytrawione i w ogóle wszystkie własności kryształu.

Nakoniec, do tegoż wyniku prowadzą nas wszystkie obserwacye i doświadczenia, dokonywane nad powstawaniem kryształów.

Rys. 34.

Prąd koncentracyjny.

Mówiło się na wstępie, że kryształ powstaje w roztworze przesyconym, t. j. w roztworze, zawierającym część substancyi w stanie równowagi niestałej. Warstwa roztworu, która styka się z kryształem rosnącym, oddaje powierzchni kryształu wydzielający się nadmiar substancyi — swe przesycenie — przez to warstwa ta staje się lżejsza, wznosi się i rozprasza w górnych częściach roztworu. Powstaje wyraźnie widoczny prąd koncentracyjny (rys. 34). Na miejsce uchodzącego do góry roztworu napływają nowe jego części, mniej odsycone, które znów ten sam los spotyka. Tak więc wzrost kryształu pociąga za sobą nieustanne krążenie roztworu. Gdy roztwór jest przesycony dużo, ruch w nim bywa znaczny, prądy silne, wzrost kryształu odbywa się pospiesznie, powstają w roztworze zakłócenia, które pociągają za sobą zakłócenia w krysztale. Kryształ, rosnąc, zamyka w sobie krople roztworu i wszelkie ciała obce, znajdujące się w roztworze, w razie gdy roztwór jest nieczysty. Prócz tego, wobec anizotropii kryształu, różne ściany rosną z prędkością nierówną, co powoduje niejednostajne zmniejszanie się gęstości w warstwie roztworu,

przylegającej do kryształu. Prądy cieczy wznoszą się niejednostajnie z różnych ścian kryształu, u krawędzi jego się kłębią i wywołują w krysztale zakłócenia. Tak więc w samym procesie krystalizacyi zachodzą zjawiska nieraz znacznie zakłócające przebieg stopniowego ustalania się równowagi pomiędzy cieczą i ciałem stałem. Zawsze jednak gdy widzimy niedoskonałości kryształu, to wraz z nimi widzimy nie tylko ich przyczyny, ale i to, że przyczyny te leżą poza kryształem, a nie w nim samym. I w miarę tego, jak powiększamy masę roztworu, jak zmniejszamy przesycenie, jak chronimy roztwór coraz staranniej od niepomyślnych, nagłych i znacznych zmian temperatury, otrzymujemy kryształy coraz, doskonalsze. A gdy w doświadczeniach odpowiednich osiągamy zupełne wyzwolenie kryształu z pod wpływu czynników niepomyślnych, otrzymujemy go w stanie jednorodności niezakłóconej.

CZĘŚĆ DRUGA.

Prawo kątów stałych.

9

§ 17. Prawo kątów stałych. Wszystkie kryształy jednej substancyi chemicznej, skrystalizowanej w jednakowych warunkach temperatury, ciśnienia i stężenia, mają jednakowe nachylenie ścian, t. j. stałe kąty dwuścienne.

W wykładzie dotychczasowym nie mieliśmy na względzie kryształów jakiejś określonej substancyi. Podawaliśmy tylko ogólne własności ciał krystalicznych bez względu na cechy indywidualne tych ciał. Tak samo zachowywaliśmy się względem sieci przestrzennej: roztrząsaliśmy jej istotę, ale nie mówiliśmy o żadnym przypadku szczególnym sieci przestrzennej. Te rozważania ogólne dały nam poznać jednorodność, jako cechę istotną ciała krystalicznego, cechę właściwą kryształom wszystkich substancyj skrystalizowanych.

Obecnie wypada nam zastanowić się nad tern, jakie są istotne cechy spólne kryształom jednej substancyi.

Jeżeli kryształ w ogóle przyrównaliśmy do dowolnej sieci przestrzennej, to wszystkie kryształy jednej substancyi możemy przyrównać do jednego jakiegoś szczególnego przypadku sieci przestrzennej, t. j. do sieci o pewnych określonych kątach pomiędzy szeregami i o pewnych określonych odstępach pomiędzy węzłami.

Zważmy jednak, że cechą istotną każdej sieci przestrzennej jest równoznaczność wszystkich jej szeregów równoległych. A ponieważ przekonaliśmy się, że przyrównanie szeregów sieci do krawędzi kryształu nie naraziło nas dotychczas na wysnucie wniosków błędnych, przeto trwajmy dalej w tein przyrównaniu i miejmy za jedno wszystkie równoległe krawędzi wszystkich kryształów jednej substancyi, jeżeli kryształy te ustawimy obok siebie jednakowo.

Tak samo jednoznaczne są wszystkie równoległe płaszczyzny •siatkowe jednej sieci przestrzennej. W takim razie musimy uważać za jedno różne wielościany, wydzielone z jednej sieci przestrzennej płaszczyznami siatkowemi jednoznacznemi, t. j. równoległemi, chociażby te płaszczyzny leżały w różnych odległościach od punktu środkowego każdego wielościanu.

Z tego wynika, że równoległe ściany kryształów jednej substancyi są również jednoznaczne, bez względu na ich odległość od środka, lnnemi słowy, kryształy jednej substancyi mogą być wielo-ścianami różnego pozoru i pokroju, ale ściany tych wszystkich wie-lościanów są równoległe.

Mj M

Mi M

Rys. 35. Kierunek przyrostu ściany.

W rzeczy samej. Jeżeli własności kryształu w kierunkach równoległych są jednakowe, to prędkość jego przyrostu w kierunkach równoległych musi być równa. Wyobraźmy sobie kryształ rosnący i jego ścianę MM (rys. 35), której kierunek przyrostu jest PT i prędkość przyrostu w tym kierunku jest m. W takim razie na wszystkich prostych, równoległych do PT, prędkość ta jest również m. A więc, po pewnym czasie ściana MM znajduje się w położeniu M₁MU równoległem do MM. To samo ściąga się do każdej ściany kryształu. Jeżeli więc przemieszczanie się ścian kryształu podczas jego wzrostu musi być równoległe, to równoległe ściany muszą być jednoznaczne. lnnemi słowy, kryształy jednej substancyi mogą być wielościanami różnego kształtu i pokroju, lecz kąty dwu-ścienne pomiędzy ich ścianami muszą być stałe, t. j. wzajemne nachylenie ścian wszystkich kryształów jednej substancyi musi być

jednakowe.

na-

Istotnie. Porównanie kryształów jednej substancyi, skrystalizowanej w jednakowych warunkach temperatury, ciśnienia i stężenia, przekonywa nas o słuszności rozumowania powyższego. Mianowicie: Pomimo, że kryształy jednej substancyi są to wielościany różnego pozoru i pokroju, jednak ściany jednego kryształu są

chylone do siebie tak samo, jak ściany każdego innego kryształu substancyi tej samej.

Jest to prawo kątów stałych, zwane też pierwszem pra- . wem krystalografii.

Prawo to nazywa się pierwszem dla tego, że było ono odkryte przed innemi prawami i stanowiło zaczątek naukowego badania kryształów. Obecnie widzimy, że nie jest ono prawem samoistnem. Jest to tylko jeden z wyrazów zewnętrznych jednorodności kryształu, która powoduje, że kryształ rośnie z równą prędkością na prostych równoległych.

P \z

Z/ P \ Z

pNvz

F\\ z /P

Z,

z.

Rys. 36—39. Cztery kryształy kwarcu różnego pokroju.

Prawo kątów stałych możemy poznać przez doświadczenie bardzo proste. W wosku, albo w innej masie plastycznej, odciśnijmy którykolwiek kąt dwuścienny na krysztale jakiejś substancyi. A potem przykładajmy ten odcisk do innych kryształów substancyi tej samej. Przekonamy się, że na każdym krysztale jednej substancyi do każdego kąta dwuściennego dokładnie przystają odciski, zdjęte z odpowiedniego kąta innych kryształów substancyi tej samej.

Bardzo pouczającym i ogólnie przystępnym okazem, na którym możemy przekonać się łatwo o istocie prawa kątów stałych, są kryształy kwarcu Si0₂, zwanego też kryształem górskim lub skalnym. Mają one pozór bardzo rozmaity (rys. 36—39), lecz zawsze odcisk z kąta P/T jednego kryształu, przy-

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

staje do tegoż kąta na krysztale drugim i t. d., bowiem u wszystkich kryształów kwarcu kąt P/T = 141° 47', kąt P/Z = 133° 44', i t. d.

Na- rys. 40 i 41 mamy wyobrażone dwa kryształy minerału staurolitu HFeAl₆Si₂Ow. Z pozoru są to dwa wielościany różne, że jednak mają nachylenie ścian jednakowe, więc z krystalograficznego punktu widzenia oba są tym samym wielościanem. Bez względu na pozór zewnętrzny wielościanów staurolitu zawsze kąt pomiędzy ich ścianami M/M wynosi 129° 26', Rys. 40—41. Dwa kryształy wszystkie ich kąty M/T mierzą 187° 58', zawsze staurolitu.

4__p frf]

Xr\

y \tv

kąt M/O = 115° 17', M/P = 90°, 0/P= 90».

§ 18. Przyrost kryształów. Płaszczyzny kryształu podczas jego przyrostu oddalają sie od jego środka równolegle samym sobie.

W paragrafie poprzednim była mowa o tem, że prędkość narastania substancyi na ścianach kryształu jest równa w kierunkach równoległych, podobnie jak wszelkie inne własności kryształu.

Obserwując kryształ podczas jego wzrostu, przekonywamy się istotnie, że w miarę powiększania się kryształu, rosnącego w cieczy, ściany jego rzeczywiście pozostają zawsze równoległe samym sobie. Zależnie od przypadkowych warunków miejscowych, zachodzących w cieczy, różne części kryształu mogą podczas wzrostu powiększać się rozmaicie, np. jedna część kryształu może otrzymywać obfitszy zasób substancyi, niż części pozostałe, a więc kryształ może stawać się wtedy w jednym kierunku wydłużony lub spłaszczony, lecz ściany jego podczas przyrostu zawsze pozostają równoległe pierwotnemu swemu położeniu. Stąd pochodzi różnorodny pozór zewnętrzny kryształów jednej substancyi z zachowaniem stałości kątów dwuściennych. Różne kształty i różny pokrój kryształów jednej substancyi jest tem samem, czem są różne sta-dya wzrostu jednego kryształu. Wszystkie kryształy jednej substancyi, skrystalizowanej w jednakowych warunkach temperatury, ciśnienia i stężenia, są zawsze jednym wielościanem, którego ściany są poprzesuwane równolegle na różne odległości od środka.

Obserwować przyrost ścian kryształu możemy doraźnie przez mikroskop, gdy krystalizacya odbywa się w kropli roztworu, parującego na wolnem powietrzu. W czasie dłuższym obserwacyi tej możemy dokonać okiem nieuzbro-jonem na kryształach, rosnących zwolna w roztworze przesyconym, który znajduje się w przeźroczystem naczyniu. W ciągu dni kilku możemy wtedy widzieć wyraźne powiększanie się kryształu oraz niezmiennie i stale towarzyszące przyrostowi jednakowe nachylenie ścian kryształu do dna naczynia.

Tak samo o równoległem przesunięciu ścian przekonywają nas przykłady, podane wyżej w §-fie 17-stym, jak również przykład następujący.

Minerał magnetyt Fe" Fe"' Ox zdarza się często w kształcie ośmiościanów umiarowych, t. j. wielościanów, ograniczonych ośmioma ścianami, stale nachylonemi do siebie pod kątem 109° 28'

Rys. 42. Ośmiościan umiarowy

(rys. 42). Ten sam kąt wykazują ściany wszystkich ośmiościennych kryształów magnetytu, choć często mają one kształt wielościanów takich, jakie wyobraża rys. 48, są to bowiem te same ośmiościany, tylko że ściany ich poodsu-wane są od środka niejednostajnie, co ilustruje rys. 44.

Rys. 48. Trzy kryształy magnetytu.

©i

-.U--

/,-•

Rys. 44. Ośmiościan umiarowy ze ścianami, równolegle poprzesuwanemi.

§ 19. Kierunek przyrostu ściany. Podczas przyrostu kryształu każda jego ściana odsuwa się od jego środka w kierunku swej normalnej, której kierunek jest stały.

Jeżeli ściany kryształu podczas jego przyrostu zawsze pozostają równoległe samym sobie, to, po pierwsze, kierunkiem przyrostu każdej ściany jest linia prosta, prostopadła do tej ściany czyli t. zw. normalna ściany, i po drugie, kierunek normalnej jest niezmienny.

Gdyby bowiem ściany kryształu zmieniały kierunek swego przyrostu, to odchylałyby się od swego położenia t. j. nie pozostawałyby ciągle równoległe sobie, a więc tworzone przez nie kąty byłyby zmienne. Że jednak kąty te są stałe, przeto stałe są również kąty pomiędzy normalnemi. Innemi słowy, we wszystkich kryształach jednej substancyi chemicznej, skrystalizowanej w jednakowych warunkach temperatury, ciśnienia i koncentrący i, rozkład normalnych jego ścian jest niezmienny. Zdanie to jest tylko innym sposobem wysłowienia prawa kątów stałych.

Z tego wynika, że w rozważaniach krystalograficznych odrzucamy pojęcie kształtu wielościanów i mamy na względzie tylko rozkład pionów, spuszczonych ze środka kryształu na jego ściany. To właśnie stanowi różnicę pomiędzy geometrycznem i krystalograficznem traktowaniem wielościanów. Wielościany geometryi charakteryzują się kształtem wielo-boków je ograniczających. Sześcian, słup kwadratowy i równoległościan prostokątny są to wielościany zupełnie różne dla geometry. Dla krystalografa są one kształtem jednym, bo kąty ich są równe, więc normalne ścian we wszystkich tych trzech wielościanach są to trzy proste wzajemnie prostopadłe, i każdy z tych trzech wielościanów może być otrzymany z któregokolwiek z dwu pozostałych równoległem przesunięciem ścian. Przesuwając równolegle ściany wielościanu geometrycznego zmieniamy go. Czyniąc to ze ścianami kryształu, nie zmieniamy ani charakteru ścian, ani charakteru wielościanu. Na to właśnie znak ściany (h k V) i krawędzi [u v w] jest stosunkiem trzech liczb, aby wyznaczał tylko kierunek ściany lub krawędzi, a nie jedną płaszczyznę lub prostą. Słuszny on jest względem wszystkich płaszczyzn, prostopadłych do jednej prostej, lub względem wszystkich prostych, prostopadłych do jednej płaszczyzny. Gdyby zaś składały go liczby bezwzględne, a nie stosunkowe, to odnosiłby się on tylko do jednej jakiejś ściany o pewnej odległości od środka, lub do jednej prostej, przechodzącej przez dwa określone punkty.

A więc w krysztale istotnym elementem geometrycznym jest tylko rozkład normalnych t. j. kąty pomiędzy normalnemi jego ścian.

§ 20. Związek kątów pomiędzy normalnemi ścian i krawędziami osiowemi a wyznacznikami ścian. Znak ściany jest to stosunek trzech ilorazów, otrzymanych z dzielenia dostaw kątów pomiędzy jej normalną i krawędziami osiowemi przez dostawy kątów, jakie tworzy normalna ściany jednostkowej z te-miź krawędziami osiowemi.

Wobec prawa kątów stałych, jedynymi niezmiennymi elementami, które charakteryzują kryształ, jako utwór geometryczny, są

kąty dwuścienne, albo, co na jedno wynosi, kąty pomiędzy normal-nemi ścian. Lecz poprzednio, w rozdziale o prawie jednorodności, doszliśmy do przekonania, że każda ściana charakteryzuje się znakiem (h k l). A więc obecnie należy znaleźć ten związek, który zachodzi pomiędzy kątami normalnych i znakami ścian.

Niechaj będzie czworościan OHjKjLj (rys. 45) i trzy jego krawędzi osiowe OX, O Y, OZ.

<X

X"Hx

Rys. 45. Czworościan i normalna ściany jednostkowej.

Z początku O spuśćmy pion na płaszczyznę    Niech pion

ten przetnie płaszczyznę H₁K₁L1 w punkcie Px. Mówiąc krócej, wykreślmy OPT — normalną ściany

HjKîLï. Następnie połączmy prostemi punkt Pi z wierzchołkami Hj, Ki, Li. Otrzymujemy trzy trójkąty prostokątne:

OP₁H₁

OPiKi

OP\Li

które mają spoiną przyprostokątną OPi i kąt prosty u spólnego wierzchołka PT.

Z trójkątów tych mamy :

(JHi =

Ot i

cos (.PiOX)

OKx =

OPi

cos (PjOY)

OLi =

OPi

cos (PiOZ)

Skąd wynika bezpośrednio, że :

0Hl '■ 0Kl : °Ll ~ cos (.PiOX) 'cos (PiOY) • cos (PjOZ) Jest to słuszne względem każdej ściany

HKL

której normalna

OP

przecina ją w punkcie i z trzema krawędziami

OX, OY, OZ,

tworzy kąty

POX, POY, PO Z,

czyli: każda ściana HKL czyni zadość równaniu

OH : OK : OL

cos (POX) ■ cos (POY) • cos (POZ)

A że stosunek wyznaczników każdej ściany H K L jest równy stosunkowi ilorazów odcinków, odcinanych przez nią od krawędzi osiowych, i odcinków odcinanych od tychże krawędzi przez ścianę jednostkową, t. j.:

OHl OK, OL, OH : OK : OL

więc gdy w ilorazach

OH, OK, OL, O H ’ OK ¹ O L

na miejsce OH,, OK,, OL,,

OH, OK, OL kolejno wstawimy

cos (P,OX) ’ cos(P,OY)’ cos (P,OZ) ’

cos (POX) ’ cos (POY)⁵ cos (POZ)

to otrzymamy, że

cos (POX) cos (POY) cos (POZ) cos (P,()X) ' cos (P,OY) ' cos (P,ÖZ)

Dla unaocznienia i łatwiejszego spamiętania tej zależności przedstawmy ją na powierzchni kuli.

Mianowicie, z początku O, jak ze środka, zakreślmy kulę promieniem dowolnym. Krawędzi osiowe i normalne ścian przetną powierzchnię tej kuli w różnych punktach: punkty X, Y, Z, (rys. 46) niech będą to punkty przecięcia się z powierzchnią kuli krawędzi osiowych OX, OY, OZ, normalna ściany H,K,L, niech przecina powierzchnię kuli w punkcie P,, a normalna ściany HKL w punkcie PN. Ponieważ środkiem kuli jest początek O, więc miarą kątów normalnej OP, i normalnej OPN

J?

ty

t-

Rys. 46. Powierzchnia kuli z przecięciami się z nią krawędzi osiowych X, Y, Z, i normalnych ścian Pi i Ąj.

z krawędziami osiowemi OX, O Y, OZ, są luki wielkich kół:

ĄX, l\Y, P,Z, PNX, PNF, PnZ.

Przeto, w myśl równania ostatniego, wyznaczniki ściany H KL mają się jak następuje:

h:k: 1

cos (PNX) _ cos (PNF) _ cos (PNZ) cos (PjZ)": cos (P[r) : cos (PXZ)

A więc wyznaczniki każdej ściany (h k l) otrzymujemy w ten sposób, że dostawy kątów pomiędzy jej normalną i trzema krawędziami osiowemi dzielimy kolejno przez dostawy kątów pomiędzy normalną ściany jednostkowej, a temiż krawędziami osiowemi; otrzymujemy trzy ilorazy, poczem znajdujemy ich stosunek, t. j. dzielimy dwa większe przez trzeci najmniejszy.

Wszystkie dotychczas wykonane pomiary kryształów i obliczenia wykazują zgodnie, że gdy weźmiemy trzy którekolwiek przecinające się w jednym punkcie krawędzi kryształu, i którekolwiek dwie normalne jego ścian, to stosunek trzech ilorazów dostaw wyżej omawianych zawsze wyraża się liczbami całemi.

Np. w krysztale pewnego minerału, zwanego skaleniem (ob. § 20^) normalna jednej ze ścian (oznaczmy ją przez L) z trzema pewnemi krawędziami tego kryształu tworzy kąty następujące:

L/X = 64°

L/Y = 299 LIZ = 90o

Z temi samemi krawędziami normalna innej ściany tego kryształu (normalna ściany O) tworzy kąty następujące:

0/X = 470 O/Y = 63o 0/Z = 36°

Na ścianę jednostkową weźmy ścianę O, ponieważ, jak widzimy z kątów pomiędzy jej normalną i krawędziami osiowemi, przecina ona wszystkie trzy krawędzi osiowe. Wtedy wyznaczniki ściany L, w myśl równania ostatniego, otrzymujemy ze stosunku ilorazów następujących:

cos 64° cos 29° cos 90° cos 47® ' cos 63° ’ cos 36°

Wstawmy w równanie to wartości dostaw kątów w niem podanych.

Wartości te mamy na osobnej tablicy I w dodatku do książki niniejszej. Otrzymamy, że:

438 875 682 : 454 : U

t. j.

ÄL : kL : lh = 0-64 : 192 : 0

czyli:

h-.k-.l = 1 : 3 : 0

A więc znaki ścian skalenia O i A są:

0 (hkl) = (111)

L(hkl) = (130)

Ustęp niniejszy jest wyjątkiem z § 2ty, w którym czytelnik znajdzie więcej przykładów, stwierdzających prawo wyznaczników całych, gdyż znajduje się tam opis kryształu skalenia, ograniczonego pięcioma parami ścian.

§ 20“. Wnioski z prawa kątów stałych.

Z prawa kątów stałych wysnuwamy wnioski następujące.

I.    Pomiaru godne są tylko wielkości kątów dwuściennych kryształu, albo, co na jedno wychodzi, kątów pomiędzy normalnemi jego ścian.

II.    Rozwiązując zagadnienia krystalograficzne, w razie potrzeby możemy przesuwać równolegle ściany i krawędzi, t. j. wszystkie płaszczyzny równoległe mamy za jedną płaszczyznę i wszystkie proste równoległe uważamy za jedną prostą.

III.    W rozważaniu jakichkolwiek odcinków linij prostych nie mamy na względzie ich długości absolutnych, a tylko ich stosunki.

IV.    Za najracyonalniejszą powierzchnię do wykonywania wykreśleń krystalograficznych uważamy powierzchnię kuli, a za podstawę racyonalnych pomiarów i obliczeń krystalograficznych uważamy trygonometryę kulistą.

Wniosek pierwszy i drugi jest sam przez się oczywisty.

Wniosek trzeci jest również prosty. N. p. gdy przesuwamy jeden bok trójkąta równolegle, to otrzymujemy różne trójkąty podobne, których pole i suma boków jest zmienna, ale kąty są stałe i stosunek boków niezmienny.

Wniosek czwarty zawiera w sobie trzy następstwa metodologiczne: 1° używanie kątomiarów teodolitowych,

2° stosowanie w krystalografii rzutu stereograficznego,

3° posługiwanie się w obliczeniach krystalograficznych sposobami trygonometryi sferycznej.

§ 20". Pomiary kątów.

Obecnie więc wypada odpowiedzieć na pytanie, jak otrzymujemy wielkości kątów pomiędzy ścianami kryształu, lub ich normalnemi t. j. tu mamy podać zasadę pomiarów krystalograficznych.

Kąty dwuścienne kryształów wielkich mierzymy goniometrem przykładanym (rys. 47). Przyrząd ten składa się z półkola, podzielonego na stopnie, i z dwu ruchomych linijek. Sposób użycia tego prostego narzędzia jest sam przez się zrozumiały. Czułość jego nie przenosi jednego stopnia (1°). Goniometr przykładany daje się stosować tylko, jak się rzekło, do kryształów dużych i przytem do kątów pomiędzy ścianami dość szerokiemi. Gdy kąt tworzą ściany o polu małem, rzecz oczywista, goniometr przykładany jest przyrządem zbyt ' niedołężnym do takiego przypadku. Jak widzimy, jest to przyrząd niedoskonały i ograniczony w użyciu do ścian szerokich i na kryształach pokaźnych, a więc nie na- . daje się do badań ścisłych i dokładnych.

Ł-.

Jgjl,

s?

Jednak w wielu przypadkach praktyki, szczególniej mineralogicznej, oddaje dobre usługi.

Wiadomość o gońiometrze przykłada- Rys- 47. Goniometr przykła-nym podajemy nasamprzód z powodu jego dany, ¹/₃ wielkości naturalnej, znaczenia historycznego w krystalografii, jako

pierwszego przyrządu mierniczego w tej nauce, a powtóre dla tego, że poznanie jego budowy czyni łatwiej zrozumiałą zasadę przyrządów ścisłych.

Rys. 48. Zasada goniometrów z odbiciem.

Ścisłe i dokładne pomiary kątów dwuśc-iennych dokonywamy go-niometrami refleksyjnymi czyli goniometrami z odbiciem. Zasada przyrządów tych polega na odbiciu promieni światła od ścian kryształu. Z kolimatora K (rys. 48). oświetlonego źródłem światła A. pada a na ścianę kryształu E wiązka równole- */CNP głych promieni, które po odbiciu się od ściany E, wpadają do lunety L i zbierają się w jej ognisku. Oko, spoglądające w lunetę L, widzi obraz szczeliny kolimatora. Obróćmy kryształ EF, wraz z kołem dzielonem, tak, aby w położeniu ściany E znalazła się ściana F t. j druga ściana mierzonego kąta dwuścien-nego. Wtedy oko znów ujrzy w lu necie obraz szczeliny kolimatora. jeżeli, rozumie się, położenie lunety i kolimatora jest stałe i jeżeli krawędź kąta mierzonego jest prostopadła do płaszczyzny kolimatora i lunety. Rzecz jasna, że aby ujrzeć odbicie od drugiej ściany, należy obrócić kryształ o kąt. równy kątowi pomiędzy normalnemi dwu ścian w mowie będących. Wielkość tego kąta odczytamy na kole dzielonem, notując położenie jego względem stałej wskazówki N przy pierwszem i drugiem odbiciu. Na rys. 49 przedstawiony jest goniometr refleksyjny w postaci najczęściej używanej. Oprócz kolimatora K, lunety L i koła dzielonego, które jest ukryte w pierścienio-

wem pudełku A, goniometr ten posiada przyrząd do ustawiania pionowo krawędzi kątów mierzonych, oraz śruby mikrometryczne, któremi każda ściana, odbijająca wiązkę promieni, ustawia się ściśle w to samo położenie. Dokładny opis tych przyrządów należy już do praktyki krystalograficznej.

Mówiło się jednak niejednokrotnie, że kryształ najwłaściwiej charakteryzuje się rozkładem normalnych w przestrzeni a nie wielko-

j. i i

Rys. 49. Goniometr z odbiciem jednokołowy, ł/₅ wielkości naturalnej.

ściami kątów pomiędzy niemi. Z tego więc powodu krystalografowie spół-cześni najchętniej i najczęściej posługują się goniometrem teodolitowym (rys. 50). Przyrząd ten ma dwa koła dzielone, jedno poziome drugie pionowe N. Kryształ umieszczamy na przecięciu się osi geometrycznych obu tych kół. Z kołem pionowem złączona jest luneta L i kolimator K. Luneta i kolimator ustawia się do siebie pod kątem stałym w ciągu pomiaru. Przez obrót koła poziomego z kryształem, oraz przez obrót koła pionowego z kolimatorem i lunetą zawsze możemy tak ustawić każdą ścianę kryształu badanego, że dwudzielna kąta kolimatora i lunety będzie prostopadła do ściany kryształu. Wtedy wiązka promieni światła z kolimatora padnie na ścianę, odbije się od niej i trafi do lunety. Ujrzymy w lunecie obraz szczeliny kolimatora i zapiszemy podziałki obu kół, znajdujące się wtedy naprzeciw stałych wskazówek. Jeżeli więc ustawiliśmy poprzednio kryształ tak, aby normalna jednej jakiejś jego ściany była równoległa do pionowej osi przyrządu, to odczytanie koła pionowego da nam, jak mówią astronomowie, »odległość wierzchołkową« każdej innej normalnej, a z odczytania koła poziomego będziemy mieć jej »azymut«, albo, używając terminów geograficznych, otrzymamy »długość i »szerokość« każdej ściany ¹.

Czułość goniometrów refleksyjnych, jednokołowych i teodolitowych czyli dwukołowych, bywa doprowadzana przez konstruktorów spółczesnych

J- Xnr i «K

•i

Z' i-

%.JgSN|

Rys. 50. Goniometr z odbiciem dwukołowy, czyli teodolitowy, ⁴/₆ wielkości naturalnej .

do 10", jednak w przeważnej większości badań krystalograficznych zupełnie wystarczają przyrządy, dające możność pomiaru z dokładnością 1'.

Rzeczą jest oczywistą, że dokładność pomiaru zależy nie tylko od czułości i dokładności przyrządu, oraz umiejętności nim władania, ale i od stopnia doskonałości kryształu. Im ściany kryształu są gładsze i lepiej lśniące, tem pomiar jest dokładniejszy.

§ 20c. ßzut stereograficzny.

Mówiło się wyżej, że jedynym niezmiennym elementem geometrycznym kryształu jest ugrupowanie w przestrzeni prostych, które nazwaliśmy normalnemi jego ścian. A więc w razie gdy zechcemy podać istotną charakterystykę geometryczną kryształu jakiejś substancyi, czyli, gdy zapragniemy oderwać się od wszystkich zmiennych szczegółów ich pozoru zewnętrznego, to postąpimy najsłuszniej, jeżeli ze środka któregokolwiek kryształu tej substancyi promieniem dowolnym zakreślimy kulę i przesuniemy równolegle jego ściany tak, aby każda zetknęła się z powierzchnią tej kuli w jednym tylko punkcie. Otrzymamy wtedy na powierzchni kuli punkty styczne. Z powodu stałości kątów dwuściennych rozkład tych punktów jest stały u wszystkich kryształów jednej substancyi, a więc dla niej charakterystyczny, godny pomiarów, wykreśleń i obliczeń.

Innemi słowy, dla scharakteryzowania kryształu spuszczamy z jego środka piony na każdą jego ścianę i z tegoż środka zakreślamy kulę. Wtedy każda ściana otrzyma na powierzchni kuli swój biegun, t. j. punkt przecięcia się jej normalnej z powierzchnią kuli. Kulę tę nazwijmy kulą projekcyjną, albo kulą projekcyi.

Rozkład biegunów na kuli może być oznaczony tym samym sposobem, jakim geografowie oznaczają położenie punktów powierzchni ziemi na globie, t. j. dwiema spółrzędnemi sferycznemi: szerokością i długością, albo, używając języka astronomów, jak to już wspomnieliśmy w opisie ■goniometru teodolitowego, odległością wierzchołkową i azymutem. Z tego widzimy, że istotnie, wykreślenia krystalograficzne najprościej wykonywać możemy na globusie.

Globus, wszakże, nie jest wygodny w użyciu, a, co ważniejsza, jego powierzchni nie możemy dołączać do pisma. Użycie globusu ogranicza się tylko do pracowni i sali wykładowej. Abyśmy więc mogli dokonywać wykreśleń krystalograficznych na tablicy i papierze, musimy przenieść powierzchnię kuli na płaszczyznę.

Liczne są sposoby przenoszenia powierzchni kuli na płaszczyznę. Z pomiędzy nich wybierzemy ten sposób, który wymaga użycia tylko linii prostych i łuków kół. Jest to t. zw. rzut ster eogr a fi czn y, albo projekeya stereog rafie zna. W rzucie tym »płaszczyzną projekcyi« jest przekrój środkowy kuli projekcyjnej, a »punktem widzenia« jest jeden z biegunów tego przekroju.

A więc wyobraźmy sobie kulę O (rys. 51) i na jej powierzchni kilka punktów: P, PA, PM, PN, Pv Mamy wykreślić te punkty na płaszczyźnie w projekcyi stereograficznej.

Przetnijmy kulę 0 dowolną płaszczyzną środkową EFHK i obierzmy ją na płaszczyznę rzutu. Koło, powstałe z przecięcia kuli projekcyjnej płaszczyzną rzutu, będziemy nazywali kołem projekcyi, a jego okręg, obwodem projekcyi, albo okręgiem koła projekcyjnego. T. zw. »punkt widzenia« w rzucie stereograficznym jest jednym z dwu biegunów płaszczyzny rzutu, t. j. leży on na powierzchni kuli w odległości 90° od płaszczyzny rzutu. Na rys. 51 widoczna, że biegunami płaszczyzny

EFKH są punkty P i PT, jako przecięcia się z powierzchnią kuli prostej PPX, która jest normalną płaszczyzny EFHK, czyli do niej prostopadłą. Prostą PP[, prostopadłą do płaszczyzny rzutu, będziemy nazywali osią p r o j ek cy i.

Obierzmy na punkt widzenia biegun P. Następnie połączmy liniami prostemi każdy punkt znajdujący się na powierzchni kuli z punktem

■ P*

»o

,oRM

21

Pw

Rys. 51. Zasada rzutu stereograficznego.

widzenia P. Te proste przecinają się z płaszczyzną rzutu EFHK w różnych punktach: prosta PP₁ w punkcie 0, prosta PPM w punkcie P)r, prosta PPA w punkcie PA, prosta PPN w punkcie P^ i t. d. Otóż punkty, w których proste omawiane przecinają płaszczyznę rzutu, są rzutami stereograficznymi punktów, znajdujących się na powierzchni kuli. A więc 0 jest rzutem czyli projekcyą punktu Pl5 punkt P*¹ jest rzutem punktu PM, Pj jest projekcyą punktu PN, a punkt PA jest sam sobie projekcyą, bo pada na płaszczyznę EFHK.

-'i

i,.' i;

Taka więc jest istota rzutu stereograficznego, który panuje wszechwładnie w krystalografii, a panuje on w niej z powodu swej najważniejszej własności, że każdy okręg koła, znajdujący się na powierzchni kuli, wrzucie ste-reograficznym wyraża się również okręgiem koła. Mianowicie, niechaj M (rys. 52) będzie okręgiem małego

punktem widzenia, powierzchni kuli i jego rzut

koła na powierzchni kuli, K niechaj będzie Rys. 52. Okręg koła małego na płaszczyzną rzutu, P

stereograficzny.

Wtedy rzutem stereograficznym okręgu M jest krzywa N, czyli przekrój stożka ukośnego z płaszczyzną K. Wierzchołkiem tego stożka jest P, a podstawą koło M. Oczywista, że istnieje jedno takie wielkie koło południkowe PTPI: które

dzieli stożek PNM na dwie połowy symetryczne. Przeprowadźmy płaszczyznę tego koła. Otrzymamy przekrój kuli i stożka, wyobrażony na rys. 53. Ńa przekroju tym rozpatrzmy się w trójkątach PEF i PE\FV Miarą kąta PEF jest łuk Jr (PKj-^-KjF), a miarą kąta PE₁F₁ jest również ^ (PKj-Ą-^F), a więc kąty te są równe. Kąty PFE i PFlEl są też równe, bo miary ich są równe: (PK-j- KE) i ^(PKX-1- KE). Stąd wynika, że trójkąty

Pt

•>-

Rys. 53. Przekrój kuli rys. 52-go.

PEF i PE\FX są podobne, bo mają spoiny kąt EPF i kąty pozostałe odpowiednio równe. Obróćmy trójkąt PElF1 o 180°, tak aby przybrał on położenie PEnFu. Wtedy część stożka od P do N (rys. 52) obróci się i przystanie do ca-k? łego stożka PM w położeniu symetrycz-nem do położenia pierwotnego. Jeżeli j trójkąty PEF i PElFl są podobne, to w położeniu PEnFu podstawy ich EnFn i EF są równoległe. A że równoległe przekroje stożka są podobne, więc jeżeli krzywa M jest. kołem, to również kołem jest krzywa N. Ponieważ koło M zostało przeprowadzone dowolnie, przeto twierdzenie: każdy obwód koła na powierzchni kuli jest również obwodem koła w rzucie stereograficznym jest słuszne względem wszystkich kół wielkich i małych.

Przekonamy się niebawem, że stwierdzona przed chwilą własność rzutu stereograficznego istotnie ma znaczenie pierwszorzędne dla potrzeb krystalografii. Mianowicie, nie wymaga dowodzenia, że wszystkie normalne ścian, równoległych do jednej prostej, t. j. należących do jednego pasa, leżą na jednej płaszczyźnie, prostopadłej do osi pasa. Stąd oczywista, że bieguny ścian jednego pasa leżą na okręgu jednego wielkiego koła kuli projekcyjnej. A zatem, pasy krystalograficzne wyrażają się na kuli wielkiemi kołami, (t. zw. kołami pasowemi), które w rzucie stereograficznym też wyrażają się kołami, jak to dowiedziono powyżej.

Związek pasów, jako wyraz najważniejszego prawa krystalografii, jest sprawą wagi pierwszorzędnej w konstrukcyach i obliczeniach, odnoszących się do kryształu. Więc w rysunku musi on być zachowany. Rzut stereograficzny nietylko uwydatnia związek pasów, ale wyraża pasy kołami, co zatem daje możność pomiaru łuków pomiędzy biegunami na projekcyi. Ta cecha rzutu stereograficznego czyni go doskonałym środkiem graficznego rozwiązywania zadań trygonometrycznych. Inne krzywe byłyby tu zupełnie nieprzydatne.

Powracając do opisu szczegółów' rzutu stereograficznego, zważmy, że koło projekcyjne jest kołem pasowem ścian, prostopadłych do płaszczyzny rzutu, a zarazem jest ono swą własną projekcyą stereograficzną (ob. np. punkt PA na rys. 51) jako przecięcie się powierzchni kuli projekcyjnej z płaszczyzną rzutu. Wszystkie zaś pasy, pochylone do pła-

a w rzucie stereograficznym wyrażają się okręgami kół ekscentrycznych względem koła projekcyi i mających promień większy od promienia koła projekcyjnego. Okręg każdego takiego koła przecina się z okręgiem koła projekcyi w dwu punktach. Oba te punkty i środek koła projekcyi zawsze leżą czyli zawsze są one końcami średnicy koła projekcyjnego.

szczyzny rzutu, czyli te, których osi przecinają płaszczyznę rzutu pod kątem nierównym 90°, na kuli wyrażają się wielkiemi kołami, przecinającemu się z kołem projekcyi,

. one

jednej prostej,

na

Im więcej odchyla się oś pasa od osi projekcyi, tern większy jest promień koła, będącego rzutem stereograficznym owego pasa. Aż wreszcie, gdy oś pasa z osią projekcyi tworzy kąt prosty, t. j. gdy oś pasa przylega do płaszczyzny rzutu, to wtedy promień koła stanowiącego rzut stereograficzny pasa odnośnego, staje się nieskończenie wielki, t. j taki pas projektuje się już nie kołem lecz prostą. Oczywista: koła pasowe o osiach równoległych do płaszczyzny rzutu są do tej płaszczyzny prostopadłe, a więc w projekcyi stereograficznej wyrażają się one jako proste, przechodzące przez środek koła projekcyjnego.

Z rys. 51 widzimy, że ta półkula, na której powierzchni znajduje się punkt widzenia P, projektuje się zewnątrz obwodu koła projekcyjnego. Tę część rzutu stenograficznego, jako rozciągającą się na bardzo rozległej płaszczyźnie, odrzucamy. Pozostawiamy tylko tę drugą część rzutu, zawartą w obrębie obwodu koła projekcyi. Jest to rzut półkuli górnej, t. j. tej, która znajduje się po przeciwnej stronie płaszczyzny projekcyjnej od punktu widzenia.

Tak więc projekcya stereograficzna kryształu ma zawsze kształt koła, w którego obwodzie powykreślane są różne średnice jako projekcye pasów równoległych do płaszczyzny rzutu, i łuki kół o różnych promieniach, opierających się na średnicach koła projekcyi jak na cięciwach, jako rzuty pasów, pochylonych do płaszczyzny projekcyjnej (ob. rys. 54, 58 i tablicę IV dodatku).

§ 20d. Siatka stereograficzna O. W u 1 ff a.

Do wykreślania rzutów stereograficznych i do graficznego rozwiązywania różnych zagadnień trygonometryczno-sferycznych nadzwyczaj jest przydatna siatka stereograficzna G. Wulff a. Jej okaz zmniejszony mamy na osobnej tablicy III w dodatku do książki niniejszej. W oryginale ma ona 20 cm średnicy. Siatka ta składa się z koła projekcyjnego, na którego obwodzie wybrane są dwa bieguny przeciwległe.. Przez bieguny te stereograficznie wykreślone są południki co 2°. Sieć południków przecięta jest siecią kół równoleżnikowych, odpowiadających biegunom sieci południkowej. Koła równoleżnikowe również wykreślone są w odstępach 2°. Na siatkę kładziemy gładką i równą kartę przeźroczystej kalki. Na kalce wykreślamy obwód koła, równy obwodowi siatki, naznaczamy jego środek i na obwodzie zaznaczamy jakiś punkt, odpowiadający któremukolwiek stałemu punktowi siatki. Wtedy możemy za każdym razem ułożyć kalkę na siatce w położeniu tern samem.

Opiszmy rozwiązanie czterech najważniejszych zagadnień rzutu stereo-graficznego. To wyjaśni nam sposób użycia siatki.

1°. Mamy wykreślić wielkie koło, przechodzące przez dwa bieguny dane, oraz mamy zmierzyć odległość kątową pomiędzy tymi biegunami.

Weźmy np. projekcyę kryształu skalenia, wykreśloną na przeźroczystej kalce na tablicy IY w dodatku do książki niniejszej i wyobraźmy sobie, że mamy już wyznaczone bieguny ścian 0, P, N, M, T, L, i t. d., lecz niema jeszcze na niej wyznaczonych kół pasowych, które wykreślić należy dla uwidocznienia, a nieraz nawet dla wykrycia związku pasów. Przypuśćmy, że mamy znaleźć wielkie koło, przechodzące przez [bieguny: P(001) i Oi(lll). A więc, układamy kalkę na siatce tak, aby środek projekcyi t. j. punkt -(- Z leżał na środku siatki, poczem obracamy kalkę koncentrycznie, to znaczy tak, aby punkt -|- Z ciągle pozostawał na środku siatki. Tym sposobem doprowadzimy kalkę do takiego położenia, że oba bieguny: P{001) i Oi(lll) znajdą się na jednym południku siatki. W danym razie będzie to południk, odległy od południka środkowego o 14°. Południk ten jest właśnie poszukiwaną projekcyą tego pasa, do którego należą ściany P(pOÎ) i Oi(llï). (Znalazłszy ten południk zarazem spostrzegamy, że ściany 7j, Oj, P i ïjn należą do jednego pasa). Policzywszy równoleżniki pomiędzy biegunem P i 0\ na znalezionym południku, otrzymujemy poszukiwaną odległość kątową tych biegunów: 56°. W razie gdy południk poszukiwany znajdzie się pomiędzy dwoma południkami siatki, to łatwo możemy go interpolować na oko, wobec tego, że południki siatki^ wykreślone są dość gęsto. W każdym, zatem, przypadku jesteśmy w stanie wykreślić od ręki z pomocą siatki znaleziony południk.

2°. Mamy znaleźć biegun danego koła wielkiego.

Np. dano nam koło M\N\PN\\Mu (tabl. IV). Mamy znaleźć biegun tego koła, t. j. punkt na powierzchni kuli odległy od koła omawianego o 90°.

Obracamy kalkę koncentrycznie, aż dany rzut koła wielkiego przylegnie do któregoś odpowiadającego mu południka siatki. Koło MNP przylega do południka, leżącego w odległości 25° od południka środkowego. Znalazłszy ten południk, na równiku siatki odliczamy od niego 90° i znajdujemy biegun poszukiwany. W danym, razie biegunem koła MNP jest punkt — X.

Zagadnienie odwrotne — mamy znaleźć koło wielkie, odległe o 90° od bieguna wiadomego — rozwiązuje się tak samo: koncentrycznym obrotem kalki ustawiamy dany biegun na równiku siatki, odliczamy na równiku punkt, odległy od danego bieguna o 90° i wykreślamy na kalce południk, przez ten punkt przechodzący.

3°. Mamy znaleźć miejsce punktów, odległych od bieguna wiadomego o daną ilość stopni.

Rzecz oczywista, że będzie to jakieś koło małe. Dla wykreślenia tego koła przykładamy kalkę do siatki koncentrycznie w położeniu dowolnem, i na południku, który przechodzi w tern położeniu przez dany nam biegun, liczymy równoleżniki, poczynając od danego bieguna. Przez odliczenie żądanej ilości stopni znajdujemy punkt, który na tym południku leży w odległości żądanej. Następnie obracamy kalkę koncentrycznie o kąt dowolny i w tern drugiem po-

łożeniu kalki znów wyznaczamy tak samo punkt, odległy od danego bieguna o żądaną ilość stopni na tym południku, na którym znalazł się biegun, będący przedmiotem zadania. To samo robimy jeszcze po raz trzeci. W ten sposób znajdujemy trzy punkty, które wyznaczają całe koło. Ponieważ jednak dokonywamy wykreśleń, w mowie będących, od ręki, więc musimy manipulacyę, opisaną przed chwilą, powtórzyć więcej niż trzy razy. Trzy bowiem punkty wystarczają do wykreślenia koła cyrklem, a do wykreślenia odręcznego jest to ich ilość zamała. Zwykle przeto wyznaczamy punkty, odległe od danego bieguna o żądaną ilość stopni, nie tylko po jednej, lecz i po drugiej stronie bieguna, a prócz tego powtarzamy to wyznaczenie więcej niż trzy razy. Sześć pozycyj wystarcza zazwyczaj.

Po wyznaczeniu kilku lub kilkunastu punktów, odległych od bieguna danego o żądaną ilość stopni, przesuwamy kalkę ekscentrycznie i wyszukujemy takiego koła równoleżnikowego, do którego przystawałyby punkty przez nas znalezione. Obracając kalkę ekscentrycznie i bacząc, aby za każdą pozycyą kalki kilka wyznaczonych punktów leżało na odpowiedniem kole równoleżnikowem, możemy skopiować cały równoleżnik i wykreślić całe koło poszukiwane.

4°. Mamy zmienić płaszczyznę projekcyi.

Biegun płaszczyzny projekcyjnej, jak nam wiadomo, projektuje się w punkcie środkowym koła projekcyjnego. A więc, w razie zmiany płaszczyzny projekcyjnej na inną, biegun tej nowej płaszczyzny projekcyjnej znajdzie się w środku projekcyi. Obracamy przeto kalkę koncentrycznie, dopóki biegun tej płaszczyzny, którą obraliśmy na nową płaszczyznę rzutu, nie padnie na równik. Gdy wreszcie umieścimy biegun omawiany na równiku siatki, wtedy liczymy stopnie, dzielące go od środka. Ponieważ w nowem położeniu projekcyi biegun ten ma znaleźć się w środku koła projekcyjnego, więc musi on być przesunięty do środka o tę ilość stopni, która go obecnie oddziela od środka, i którą odliczyliśmy na równiku przed chwilą. Lecz razem z nim o tę samą ilość stopni i w tym samym kierunku muszą być przesunięte na swych kołach równoleżnikowych wszystkie inne bieguny tej projekcyi.

Wykreślenie to wykonywa się najlepiej w sposób taki, że projekcyę pierwotną układamy na siatce tak, aby. biegun nowej płaszczyzny rzutu był na równiku, a na tę projekcyę kładziemy czystą kalkę i na niej wyznaczamy nowe miejsca biegunów na ich równoleżnikach, przemieszczając je tak, jak się rzekło wyżej. Robi się to bez trudności, bo linie siatki widać dobrze nawet przez kilka warstw kalki.

Te cztery zadania obejmują najważniejsze przypadki użycia siatki ste-reograficznej w praktyce.

Gdy sposób użycia siatki jest już nam znany, możemy przystąpić do wyjaśnienia, jak notuje się na siatce wyniki pomiarów goniometrycznych.

Przeniesienie na siatkę wyników pomiaru goniometrem teodolitowym jest samo przez się tak proste i zrozumiałe, że nie wymaga żadnych wyjaśnień bliższych.

Co zaś do pomiaru, wykonanego goniometrem jednokołowym lub przykładanym, to zważmy co następuje.

Zanim przystąpimy do pomiaru kątów dwuściennych kryształu badanego,

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

oznaczamy ściany jego numerami, lub wogóle jakimikolwiek znakami dowolnymi. Poczem, gdy zmierzyliśmy już kąty pomiędzy normalnemi ścian, przystępujemy do wykreślenia projekcyi stereograficznej na kalce. A więc, jak się to już mówiło, naznaczamy na kalce środek, wykreślamy okrąg koła, równy obwodowi siatki, i na okręgu tym zaznaczamy jakiś punkt, zgodny z którymkolwiek punktem stałym siatki. Potem na obwodzie projekcyi w punkcie dowolnym umieszczamy biegun ściany Nr. 1. Licząc po obwodzie równoleżniki, wyznaczamy punkt bieguna Nr. 2, który od Nr. 1 leży, rzecz jasna, w odległości kąta, jaki tworzą normalne ścian Nr. 1 i Nr. 2. x\by wyznaczyć miejsce bieguna Nr. B wykreślamy dwa małe koła (zagadnienie 3°), których środki sferyczne leżą w biegunach Nr. 1 i Nr. 2, a promienie sferyczne równają się zmierzonym kątom normalnej Nr. 1 z Nr. 3, oraz Nr. 2 z Nr. 3. Punkt przecięcia się tych dwu kół jest biegunem ściany Nr. 3. W ten sam sposób przechodzimy do ściany Nr. 4 i t. d. A więc w pomiarach kątów kryształu uważać należy, aby każda ściana była związana pomiarem z dwiema innemi ścianami.

Po wyznaczeniu wszystkich biegunów przerysowujemy rzut sposobem 4° na odpowiednią celom naszym płaszczyznę projekcyi, o ile, rzecz jasna, od razu nie obraliśmy na płaszczyznę rzutu przekroju kryształu, prostopadłego do pasa ścian Nr. 1 i Nr. 2.

Gdy wreszcie ustaliliśmy w ten czy w inny sposób płaszczyznę rzutu, wybieramy ściany czworościanu jednostkowego, a potem wyznaczamy punkty, w których powierzchnię kuli projekcyjnej przecinają krawędzi osiowe czworościanu jednostkowego, mając na względzie co następuje.

Rzeczą jest oczywistą, że jeżeli w jakimś punkcie powierzchni kuli znajduje się biegun ściany, to ściana ta, po jej równoległem przesunięciu do środka kuli, tworzy koło wielkie, odległe od swego bieguna o 90°. Innemi słowy wszystkie proste, do tej ściany przylegające, po jej równoległem przesunięciu do środka, przecinają powierzchnię kuli na okręgu wielkiego koła, odległego od jej bieguna o 90°. Z tego wynika, że prosta, która powstaje z przecięcia się dwu ścian, przecina powierzchnię kuli w punkcie odległym od obu biegunów tych ścian o 90°. A więc gdy mamy bieguny dwu ścian i pragniemy wyznaczyć punkt, w którym krawędź tych ścian przecina powierzchnię kuli, to wykreślamy wielkie koło, odległe o 90° od jednego bieguna i wielkie koło odległe o 90° od drugiego bieguna. Punkt przecięcia się tych dwu wielkich kół, jako odległy o -90° od obu biegunów, jest rzutem tego punktu, w którym krawędź poszukiwana przecina powierzchnię kuli. Tym sposobem wyznaczamy punkty: X, Y, Z, t. j. punkty przecięcia się trzech krawędzi osiowych z powierzchnią kuli.

Nakoniec, koncentrycznymi obi’otami kalki mierzymy łuki pomiędzy biegunem każdej ściany a trzema punktami osiowymi X, Y, Z, poczem, wziąwszy z tablicy I dostawy kątów otrzymanych, obliczamy znak każdej ściany wzorem:

cos (P X) cos (P Y) cos (P Z) cos (PiX) ' cos (PiF) ’ cos (ĄZ)

Sposobami, opisanymi powyżej, bardzo łatwo przeprowadza, się deduk-cya pasów t. j. graficzne rozwiązywanie tych zagadnień, które w § 15° rozwiązywaliśmy rachunkiem. N. p. niechaj punkty Â, E, F, //, (rys. 54.) będą

§ 20*. Ogólnie przyjęty sposób oryentowania kryształu i oznaczania krawędzi osiowych.

Przez stosowanie rzutu stenograficznego, a więc przez sprowadzenie wszystkich kierunków równoległych do jednej prostej, ten wierzchołek czworościanu jednostkowego, który oznaczyliśmy literą O i nazwaliśmy początkiem, staje się środkiem kuli projekcyjnej t. j. środkiem koła projekcyi. Umieszczenie początku O w środku konstrukcji stosujemy we wszystkich przypadkach praktyki krystalograficznej. Mianowicie, na krawędzi osiowe wybieramy trzy nierównoiegłe i nieleżące na jednej płaszczyźnie krawędzi kryształu (n. p. ox, oy, oz, rys. 55), a potem przez jego środek przeprowadzamy trzy proste, równoległe do tych wybranych krawędzi, (n. p +X~X, + Y~Y, +Z~Z. rys.. 55). Te proste nazywają się osi. Następnie wybieramy ścianę kryształu, która po rozpostarciu przecina wszystkie trzy osi i nadajemy jej znak (111). t. j. mianujemy ją ścianą jednostkową. Wtedy wszystkie pozostałe ściany tego kryształu otrzymują znaki

(KKK)

biegunami ścian czworościanu jednostkowego. Te cztery ściany wyznaczają sześć pasów: AE, AF, AH, FE, FH, EH. Wykreślmy ich koła pasowe. Widzimy, że przecinają się one w punktach : V, VI,

VII, VIII, IX, X. Punkty te są to pro-jekcye ścian, możliwych na tym krysztale, które bezpośrednio wyprowadzają się z czterech ścian A, E, F, II. Jeżeli następnie przez otrzymane bieguny i bieguny ścian czworościanu jednostkowego parami prze- vii prowadzimy dalsze koła pasowe, to ich przecięciami wyznaczą się bieguny ścian XI, XU, XIII możliwych na tym krysztale.

Po nabyciu pewnej wprawy, kreśląc uważnie i starannie na kalkach zupełnie gładkich i równych, możemy graficznie rozwiązywać zagadnienia z dokładnością do 30', o ile używamy siatki oryginalnej, t. j. mającej średnicę 20 cm. Siatka, zmniejszona do wymiarów tablicy III, daje dokładność 1°, co także zupełnie wystarcza do rachunków przybliżonych.

i w ogóle wszystkich

IX

XVI

IXVH

.i

Rys. 54. Graficznie dokonana dedukcya pasów.

(h k Z), (hjcala), (hbkblb)

z długości łuków pomiędzy ich biegunami oraz biegunami ściany jednostkowej a punktami osiowymi, t. j. tymi punktami, w których krawędzi osiowe przecinają powierzchnię kuli, jak wskazuje znany nam wzór:

h:k:l =

(PX)

cos (P\X)

cos

cos

cos

(pj).

cos

(PZ)

(PiY) ' cos [PXZ)

Co zaś do ustawienia, czyli oryentowania kryształu, to ogólnie przyjęta jest zasada następująca.

W znaku ( hkl) i [uvw\ liczba pierwsza (h lub u) ściąga się do osi X, liczba stojąca na drugiem miejscu (Je lub v) odnosi się do osi F, i liczba ostatnia (l lub w) ma się do osi Z.

Kryształ ustawia się tak, aby oś X była skierowana do obserwatora. Oś Y biegnie od obserwatora na prawo i na lewo. A więc oś Z ma kierunek w górę i w dół.

Z początku O wychodzą zatem po dwa promienie każdej osi (rys. 56). Promień przedni osi X, prawy osi Y i górny osi Z mamy za dodatni. Pro -mień tylny osi X, lewy osi F i dolny osi Z uważamy za odjem ny. Gdy ściana przecina odjemny promień osi, to wyznacznik jej, odnoszący się do promienia odjemnego, oznaczamy znakiem »mniej«, położonym nad liczbą np. {112).

Gdy dla charakterystyki substancyi podaje się kształt czworościanu jednostkowego jej kryształów, t. j. kąty krawędzi osiowych i stosunek odcinków ściany jednostkowej, który w książce niniejszej stale ozna-+y czarny przez OHt : OKx : OLx, to powszechnie przyjęto, że odcinek OHt odcięty od osi X, jest oznaczony literą a, odcinek osi F, t. j. OÄ'x, mn znak b i odcinek osi Z, t. j. 0Lj, oznacza się przez c, czyli OHji OKx\ OLl = a\b:c, nie dodatnie i odjemne. prZyCzem b stale przyjęte jest zrównywać z jednością. Kąty* krawędzi osiowych czworościanu jednostkowego oznacza się literami greckiemi: a, ß, 7 (rys. 56). Mianowicie : a oznacza kąt osi YOZ’ ß = XOZ, 7 = XOY. A więc kryształ zwraca się do obserwatora kątem ß, przytem za dodatnie promienie osi X i Z ma się boki rozwartego kąta ß.

ec

-y

;L

Rys. 55. Krawędzi osiowe, i osi (por. rys. i str. 19).

i-Z

-X

-z

Rys. 56. Osi, ich promie-

N. p. kształt czworościanu jednostkowego jednego ze skaleni, mianowicie albitu Na%Alfi\Oy6 jest:

a :b : c — 06833 :1 : 0-5575

a = 94° 4', ß = 116° 28', y = 88° 8'.

Związek chemiczny potasu, glinu, krzemu i tlenu skaleń potasowy — jest bardzo rozpowszechniony w skorupie ziemskiej. Jeden rodzaj tego skalenia, t. zw. mik rok lin, tworzy duże i piękne kry- ^ ształy. Łatwo je nabyć możemy w każdym zasobniejszym składzie minerałów. Wielościany krystaliczne tego minerału bywają ograniczone różnemi ilościami płaszczyzn, jak to już wiemy z rysunku 21—24-go na str. 22.

§ 20y. Rzut stereograficzny kryształu skalenia potasowego i obliczenie sposobem graficznym wyznaczników jego ścian.

Rozpatrzmy teraz przykład, na którym poznamy bliżej użycie projekcyi i siatki, oraz przekonamy się naocznie o istocie prawa pasów i wyznaczników całych.

K₂Al₂Si₆Ol

Pewien kryształ skalenia był połączeniem ścian :

Rys. 57. Kryształ skalenia.

-M, L, T, P, E, 2, O, N (rys. 57 i 58). Jedna ze słuchaczek autora zmierzyła kąty pomiędzy jego ścianami gonio-metrem przykładanym. Spełnienia tych kątów do 180° są to kąty pomiędzy normalnęmi ścian. Oto te spełnienia :

Mi/Li = 29° Mi/T² = 60«

Tiy/P = 68« P/S = 50« P/2    = 80«

P/Ni = 45° S/Oi =27«

Mając kąty pomiędzy normalnęmi ścian, oraz posiadając siatkę stereo-graficzną i arkusz kalki, możemy od ręki wykreślić rzut stereograficzny tego kryształu.

Ustawmy pas ścian MLT pionowo i obróćmy kryształ tak, aby ściana P była do nas pochylona. Ścianę P odróżnimy od ściany 3 i poznamy po tern, że równolegle do niej biegnie w kryształach skaleni łupliwość, która zwykle uwidacznia się na ścianach M delikatnemi szczelinkami, równoległemi do krawędzi MjP. W takiem ustawieniu kryształu ściany M znajdują się na jego prawej i lewej stronie.

Obierzmy na płaszczyznę rzutu przekrój prostopadły do pasa MLT.

Następnie naznaczmy na kalce punkt środkowy i nakreślmy obwód koła projekcyi *.

Kąt M/P w granicach dokładności pomiaru goniometrem przykładanym i w granicach dokładności siatki stereograficznej wynosi 90° z obu stron (prawej i lewej) kryształu. A więc możemy podzielić kryształ na dwie połowy symetryczne płaszczyzną, równoległą do ścian M. Nakreślmy zatem na kalce prostą K\Ku (rys. 58) t. j. ślad tej płaszczyzny na płaszczyźnie rzutu. Ta prosta KiKn ułatwi nam w następstwie pewne postępowanie.

Rzecz oczywista, że gdy płaszczyzną rzutu jest płaszczyzna prostopadła do pasa MLT, to obwód koła projekcyi jest kołem paso wem tego pasa,

K,

Lin

Lu

t. j. bieguny ścian 3f, P, 7) znajdują się na obwodzie koła projekcyjnego. Jeżeli średnica K\Kn jest śladem płaszczyzny środkowej, równoległej do ścian Mi i Mn, to bieguny tych ścian leżą o 90° od tej średnicy, t. j. znajdują się w punktach Mi »w, i Mn rysunku 58-go. Z pomiaru wynika, że w odległości 29° od biegunów M leżą bieguny L, a w odległości 60° bieguny T.

Rys. 58. Rzut stereograficzny kryształu skalenia.

Dalej, marny kąt normalnych 7Yv/P= = 68°. Nazwijmy biegun siatki odpowiadający punktowi Ki biegunem północnym, podobnie jak to przyjęte jest na mapach geograficznych. Obróćmy kalkę koncentrycznie tak, aby biegun T\y znalazł się na południowym biegunie siatki. Policzmy koła równoleżnikowe i odszukajmy koło, odległe od bieguna o 68°. Rzut bieguna P leży bowiem od T\y w odległości 68°, a z kształtu kryształu widać, że winien on leżeć na linii KiKu, linia ta bowiem jest rzutem koła pasowego P32. A więc poszukiwany rzut bieguna P jest to punkt przecięcia się równoleżnika 68° ze śladem K\Kn w tern położeniu, gdy na biegunie południowym siatki leży biegun T\y.

Mając już biegun P, przywracamy pierwotne położenie kalki, t. j. to, w którem linia KjKn przystaje do środkowego południka siatki i, licząc koła równoleżnikowe wzdłuż linii KiKn od punktu P, wyznaczamy 3, odłegłe od P o 50° i 2 odległe od P o 80°, jak wskazuje pomiar.

Następnie, z równoległości krawędzi wnosimy, że ściany M, N i P należą do jednego pasa, a więc bieguny tych ścian znajdują się na jednem kole pasowem. Obróćmy kalkę koncentrycznie o 90° od położenia pierwotnego, t. j. ustawmy punkty Mj i Mn na południowy i północny biegun siatki. Wtedy na tym południku, na którym znajduje się biegun P, liczymy koła równoleżnikowe, odliczamy odległość 45° od P i znajdujemy biegun N. W tern samem położeniu kalki na kole pasowem MOZ wyznaczamy biegun O, odległy od 3 o 27°, widać bowiem na krysztale, że ściany M, O, 3 należą do jednego pasa.

Jeżeli za każdym razem wyznaczyliśmy bieguny nie tylko tych ścian, o których tu mowa, ale również odpowiednich im po drugiej stronie K\Kn, to pro-jekcyę ukończyliśmy.

Teraz obracajmy kalkę koncentrycznie. Przekonamy się, że siatką wykryjemy pasy, niewidoczne pierwotnie na krysztale. W bezpośredniej obserwa-cyi kryształu spostrzegamy tylko pasy [MLT\, [P32] [3/03] i [3/3/7']. Dopiero na projekcyi siatka wykazuje, że bieguny Ljy, Nj, On, Ln, leżą na jednem kole tak samo, jak Lm, Nu, Oi, Ti, a także Try, Nj, Oj, 2, Tu i Tin, Nn, Ou, S, Ti, oraz TiV, P, On, I'u i Tm, P, Oi, Tj.

Przykład ten jest naocznym dowodem związku pasów: każda ściana leży na skrzyżowaniu nie tylko dwu, ale trzech, a nawet, jak 0, czterech pasów.

Ponieważ zawczasu wybraliśmy na płaszczyznę rzutu przekrój odpowiedni, przeto nie zachodzi potrzeba przerysowywania projekcyi na inną płaszczyznę.

Przystąpmy teraz do wyboru krawędzi osiowych i ściany jednostkowej.

Ustawiliśmy kryształ pionowo pasem [MLT], A więc już przez samo ustawienie wybraliśmy oś Z i oś Y. Mianowicie: osią Z jest oś pasa [MLT] t. j. krawędź M/L\\L/T, a osią Y jest oś pasa [PSS] czyli krawędź P/S||S/S, albo normalna ścian M. Co zaś do osi X, to możemy obrać na nią oś pasa [MNP], albo oś pasa [MOS], W przypadku pierwszym, t. j. gdy na oś X obierzemy oś pasa [MNP], ścianą jednostkową będzie ściana 0, a znak (001) dostanie się ścianie P. W przypadku drugim, t. j. gdy osią X stanie się oś pasa [MOS], znak (111) otrzyma ściana N, a znak (001) przypadnie dla ściany S. Rzecz jasna, że ścianom M, jako równoległym do osi X i Z, a przecinającym oś Y, należy się znak (010).

Ponieważ na ścianę (001), czyli na t. z w. ścianę podstawową, wybieramy zwykle tę ścianę, do której równolegle biegnie najdoskonalsza łupli-wość i która się znajduje na większości kryształów substancyi badanej, przeto w kryształach skaleni na ścianę (001) przyjęta jest ściana P. A zatem znaczenie osi X ma krawędź P/N\\N/M, t. j. oś pasa [MNP], i przez to znak (111) należy się ścianie 0, gdyż od razu widoczna i na krysztale i na projekcyi, że przecina się ona ze wszystk-iemi trzema krawędziami, wybranemi przez nas na krawędzi osiową.

Gdy krawędzi osiowe są już obrane, należy wyznaczyć projekcye tych punktów, w których krawędzi osiowe przecinają powierzchnię kuli projekcyjnej.

Rzeczą jest oczywistą, że oś X, jako oś pasa [MNP], jest prostopadła do płaszczyzny swego koła pasowego, a więc rzut przecięcia się jej z powierzchnią kuli znajduje się na linii K\K\\ w odległości 90° od P, ponieważ normalna ściany P i oś X leżą na jednej płaszczyźnie i są do siebie prostopadłe; innemi słowy, ściana P jest do osi X równoległa, jak to zresztą wskazuje pierwszy wyznacznik w znaku ściany P = (001).

Oś U jest to normalna ścian M, a więc oś ta przecina powierzchnię kuli w tych samych punktach, w których znajdują się bieguny M.

Oś Z, jako oś pasa [MLT], jest prostopadła do koła pasowego tego pasa, przeto spotyka powierzchnię kuli w punkcie, odległym od koła MLT o 90°, t. j. w środku projekcyi.

Co zaś do znaków promieni osiowych, to ponieważ ustawiliśmy kryształ tak, aby ściana P biegła do nas ku dołowi, więc oś X, jako równoległa do ściany P, jest również ku nam pochylona, przeto jej promień dodatni przecina powierzchnię kuli projekcyjnej pod płaszczyzną rzutu, a stąd punkt tego przecięcia leży na powierzchni dolnej półkuli, i co za tern idzie, rzut jego znajduje się na zewnątrz obwodu koła projekcyi. A jak wiadomo, tę część projekcyi odrzucamy. Zatem na projekcyi mamy tylko odjemny promień osi X. Oś Y ma na projekcyi promienie oba. Oś Z ma tylko promień dodatni.

Teraz koncentrycznymi obrotami kalki sprowadźmy każde żądane dwa punkty projekcyi na jeden południk siatki i odczytajmy odległości kątowe pomiędzy punktami, t. j. rozwiążmy graficznie zagadnienie: jaki kąt tworzy normalna każdej ściany z osią X, z osią T i z osią Z.

Osoba ta sama, która wykonała pomiar kryształu goniometrem przykładanym, zmierzyła siatką łuki pomiędzy biegunem każdej ściany i punktami —X, Y i Z. Otrzymała ona wyniki następujące.

Wypiszmy z tablicy I (dodatek do książki niniejszej) dostawy kątów

otrzymanych.

. 0-

0-682

0-438

0-777

0-766

0-985

0154

0-875

0-500

0-

o-

0-707

0-809

o-

0-

0-913

0-588

0-643

Każdą z trzech liczb, odpowiadających danej ścianie, podzielmy przez liczbę ściany O], znajdującą się w tej samej kolumnie pionowej.

A więc :

r ,Ł7 a    438    875 n

Lj(hkl) = -ë82:454: 0

= — 064 :1-92 : 0

1\ (h k l) = — — ; ⁵⁰⁰ • 0 u ’    682 454

766

682 ’

= 1 12 : 110 : 0

« — 102 : 1

E (hkl) = —

913

’809

= — 112: 0 :112 == — 1 :0 :1

985

588

2 k ^    682 : ° : 809

= — 1-44 : 0 : 072 = — 2    : 0    :1

Ni (hkl) —

707 643 _ ° ' 454'809

0 : 1-56: 0-79=    0    :1 98 : 1

Jak widzimy, nawet pomiar przyrządem najprostszym i sposób obliczeń graficzny, więc tylko przybliżony, z dużym stopniem dokładności daje liczby całe :

N/

L\ = (ISO) Ti = (Ï10) S =(101) 2 = (201) ' Ni = [021)

Rys. 59. Kryształ skalenia.

Sprawdźmy wyniki obliczeń powyższych przez de-dukcyę pasów.

Nasamprzód ze ścian czworościanu jednostkowego obliczymy wyznaczniki ściany Ti, wytkniętej skrzyżowaniem się pasów [M/K] i [P/O]. Mamy ściany czworościanu jednostkowego : 0(111), M(010) i P(001). Na krysztale, opisanym w niniejszem, nie było ścian K. którym przypadają znaki (100), ale one są możliwe: leżą w dwu pasach [M/L] i [P/E| i rzeczywiście zdarzają się na kryształach skalenia, jak wskazuje rys. 59.

(Mi) 0

m i

0 10 10 0

[Mi/Ki] = L 00Ï]

.    (P)    0 1    0 1

(Oi)    | 1 1    1 11

(P/Oj) - [110]

[Mi/Ki] 0

[P/Oi] 1

nj O

O IrH

O IrH

rH O

Ti = (Ï10)

Mając znak ściany rl\ = (Î10), możemy znaleźć wyznaczniki ściany 2, którą wyznacza pas [P/Ki] i [Ti/On].

(P) 0 0 (Ki) T 0

O Ha

O !t-h

(Ti)

0 1    : 0

(On) |    1 Ï    \_1_

rH |rH

[P/Ki] 0 [Ti/On) 1

IrH tH

O 03

LC O

[P/Ki] — [010]

[ TiOn ] = [112]

Następnie obliczamy znak ściany S z pasów [Oi/Mi] i [P/K{]

2 = (201)

(Oi) 1 1 1 (Mi) 0 10

[Oi/Mi] Ï

f P/Ki) 0

O IrH

h*| O

[P! Kl) = 1010]

Dalej, z pasów: ['Źj/On] i (P/M{\ obliczamy Nu.

[Ol/Ml] = [101]

S = (101)

(P) 0:0 1 (Mi) 0 10

rH O

[Ti/Ou] 1 [PI Mi] 1

tH O

Ol O

tH IrH

O cc

[P/Mi] = [Ï00]

Nu = (021)

Nakoniec wyznaczniki ściany Lr obliczamy z pasów [Mi/Ki] i [Nn/Oi] :

[Ti/On] = [112]

(Nu)

(Ol)

I Ol tH

O 'h

[Mi/Ki] 0 [Nn/Oi] 3

■te: ni

O ICO

Jak widzimy, nie popełniliśmy błędu: wyniki dedukcyi są zgodne z wynikami pomiarów i ich obliczenia J.

Z pomiarów, podanych w ustępie niniejszym, możemy jeszcze obliczyć kształt czworościanu jednostkowego, charakterystycznego dla kryształów skaleni, t. j. kąt ß i stosunek odcinków O Hi : OK\ : OLi = a :b : c, odciętych od krawędzi osiowych OX, O Y, OZ przez ścianę jednostkową. (Kąt a i y w kryształach skalenia mierzy po 90°).

Kąt ß jest to kąt osi OX i OZ, a więc miarą jego jest łuk +Z/—X. Długość łuku od punktu +Z do punktu —X (rys. 58. i tabl. IV) mierzymy siatką i otrzymujemy 65°, a więc ß, jako spełnienie do 180°, mierzy 115⁰⁻

Stosunek odcinków OHi : OKi : OLi (ob. str. 58, rys. 45 i str. 54, rys. 46) jest równy stosunkowi ułamków:

cos (PiX) ' cos (ĄF) • cos (PiZ)

gdzie P] jest to punkt przecięcia się z powierzchnią kuli normalnej ściany H\K\Li ; w danym razie ścianą HiK\L\ jest ściana O, więc

cos 0\X ' cos Oj Y ' cos O/Z

a ponieważ 0/X= 47°, O/Y— 68°, O/Z = 36°, przeto

a:b:c =

111 682 : 454 : 809

Odcinek b przyjmuje się za jedność, więc czworościan jednostkowy skalenia, opisanego w ustępie niniejszym, ma kształt następujący:

a :b : c — 066 : 1 : 056; ß = 115° s.

Rzecz jasna, że jest to kształt, wyrażony tylko w przybliżeniu, gdyż obliczyliśmy go z pomiarów, wykonanych goniometrem przykładanym, i obliczenie było dokonane sposobem graficznym: siatką stereograficzną.

Tak przedstawia się w zarysie najogólniejszym istota pomiarów i obliczeń krystalograficznych.

Co zaś do ścisłych pomiarów goniometrami z odbiciem i dokładnych obliczeń sferyczno-trygonometrycznych, to sprawy te nie leżą w zakresie książki niniejszej, bo jej celem jest tylko informacya o podstawach krystalografii, a nie technika naukowego badania kryształów.

¹ Przykład powyższy, jako sprawdzenie bezpośrednie prawa pasów i wyznaczników całych przez pomiar i obliczenie kryształu, a nie przez ilustracyę sztucznymi modelami, poleca się czytelnikowi do powtórzenia. a Por. na str. 68 czworościan jednostkowy albitu.

CZĘŚĆ TRZECIA.

Prawo kierunków równych.

§ 21. Definicya kierunków równych i prawo kierunków równych. Kierunki równe są to kierunki nierównoległe, w których kryształ ma wszystkie własności jednakowe. Kierunki równe leżą w krysztale symetrycznie.

Wykład powyższy doprowadził nas dwukrotnie do sieci przestrzennej jako do graficznego wyrazu istotnej własności kryształu: jego jednorodności fizycznej. Sieć przestrzenna jest tak dokładnym obrazem kryształu, że dała nam ona możność przewidzenia prawa pasów czyli odcinków wymiernych i prawa kątów stałych.

Rozważmy jednak, czy wysnuliśmy już wszystkie płynące z sieci przestrzennej następstwa, czy też przeciwnie, możemy opierać na niej dalsze przewidywania innych istotnych własności kryształu, które dotychczas nie są nam znane.

Sieć przestrzenną wykreślaliśmy w ten sposób, że zakładaliśmy pomiędzy punktami analogicznymi odstępy równe w kierunkach równoległych, a kierunki nierównoległe charakteryzowaliśmy wogóle nierównymi odstępami punktów analogicznych. W całym jednak wykładzie dotychczasowym nie nastręczało się nam ani jedno zastrzeżenie, które nie dozwalało by w wykreślaniu sieci przestrzennej zakładać, n. p. jednego kąta prostego pomiędzy szeregami punktów analogicznych. Wykreślmy więc sieć przestrzenną, w której dwa szeregi są sobie prostopadłe. Gdy to uczynimy, otrzymamy sieć, mającą szeregi przekątne równe, choć nierównoległe. Jeżeli wykreślimy trzy szeregi pierwiastkowe wzajemnie pomiędzy sobą prostopadłe, to otrzymamy jeszcze więcej nierównoległych szeregów przekątnych, które będą równe. Dwa te przykłady są dowodem zupełnie wystarczającym, że szeregi równe, choć nierównoległe, nie tylko nie są sprzeczne z zasadą sieci przestrzennej, ale nawet są następstwem pewnych kątów pomiędzy jej szeregami. Zarazem przykłady te dowodzą, że szeregi równe, acz nierównoległe, nie mogą leżeć w sieci przestrzennej bezładnie, lecz muszą być ułożone w pewnym prostym porządku, który powszechnie nosi miano symetrycznego.

Z tego należy wnosić, że ciało jednorodne może mieć równe kierunki pomiędzy kierunkami nierównoległymi, oraz, że kierunki te muszą być symetryczne.

Istotnie. Obserwacya i doświadczenie uczy, że są kryształy, które mają wszystkie własności fizyczne jednakowe w niektórych kierunkach nierównoległych. Kierunki nierównoległe, w których wszystkie własności kryształu są jednakowe, nazywamy kierunkami r ó w n y m i.

Prócz tego, obserwacya i doświadczenie wykazuje, że kierunki równe zawsze ułożone są w krysztale z pewnym ładem. Jest to ten rodzaj ładu, który nazywamy symetrycznym.

A więc, z poznania zasad sieci przestrzennej wysnuwamy trafne przewidywanie zarówno istnienia kierunków równych, jak sposobu ich ugrupowania w krysztale, czyli przychodzimy do prawa kierunków równych, które głosi, że kierunki równe leżą w krysztale symetrycznie.

Prawo kierunków równych nazywamy też prawem symetry-czności, albo trzeciem prawem krystalografii.

Nie podlega zaprzeczeniu, że prawo kierunków równych, podobnie jak prawo kątów stałych, jest następstwem jednorodności. A więc znów mamy jeden dowód więcej, że jednorodność jest najistotniejszą i najważniejszą cechą kryształu, a wszystkie inne są tylko jej objawami. Z tego więc względu prawo jednorodności uważamy za kardynalne prawo krystalografii.

Że w krysztale istnieją kierunki równe i że ułożone są one symetrycznie,

to widzimy z przykładów, przytoczonych w § 2-gim, w którym była mowa o jednorodności i różnokierunkowości kryształu. Podane tam figury wytrawione (rys. 4 str. 4) wykazują trzy kierunki równe i niewątpliwie symetryczne. To samo odnosi się do łupli-wości. Trzy kierunki łupliwości kalcytu lub soli kamiennej są symetryczne. Również są symetryczne spękania, które wywołuje igła, wbijana w kryształ soli kamiennej (rys. 3 str. 3) albo w kryształ muskowitu (rys. 60).

Ściany kryształów nie zawsze są zupełnie gładkie. Zazwyczaj mają one różne właściwości zewnętrzne, z których wnosimy o ich równości lub nierówności fizycznej. Najpospolitsze jest odróżnianie się ich delikatną rzeźbą lub deseniem rysunku. N. p. kryształy kwarcu (ob. § 17 str. 49) mają na ścianach T prążki (rys. 39). Ta cecha wskazuje, że ściany te są fizycznie odmienne od ścian F i Z, ale

A.

V-

* mm

.a \

Rys. 60. Spękania muskowitu. Powiększenie 20.

Rys. 61 przedstawia kryształ s f a 1 e r y t u ZnS, na którym wyraźnie widoczne są różnice fizyczne ścian E, F i H, oraz układ symetryczny ścian równych.

pomiędzy sobą jednakowe czyli sobie nawzajem równe. Kąt pomiędzy niemi mierzy 120°, a więc kąt ich normalnych wynosi 60° czyli rozkład ich jest symetryczny.

Bardzo pouczającym przykładem fizycznej równości i układu symetrycznego nięrównoległych ścian kryształu są kryształy platynocyanku magne-

y#

ÆÈm

¹

W razie gdy jest potrzebna wielkość kąta pomiędzy dwiema normal-nemi, to oblicza się ją z odległości wierzchołkowych i azymutów tych dwu normalnych przez rozwiązanie odpowiednich trójkątów sferycznych, lub oznacza się ją graficznie siatką stereograficzną, o czem mowa będzie niżej w paragrafie 20d.

²

Na tablicy IV w luźnym dodatku do książki niniejszej mamy na kalce odbitkę rękopiśmiennej projekcyi, którą opisuje ustęp niniejszy.

iMäälSSsSL;

li JL#

Rys. 61. Kryształ sfalerytu.

Rys. 62. Kryształ platynocyanku magnezowego.

zowego MgPt(CN)vlH₂O (rys. 62). Platynocyanki są to związki barwne o żywych mieniących się kolorach.

Otóż cztery ściany L kryształów platynocyanku przytoczonego mają połysk metaliczny i żywą barwę zieloną, dwie ściany podstawowe T są matowe ciemnoczerwone, a ośm ścian P w świetle od nich odbitem połyska barwą ciemnolazurową.

*§ 22. Druga definicya kryształu. Kryształ jest to ciało fizyczne, którego kierunki równoległe i symetryczne są fizycznie równe, a kierunki nierównoległe i niesymetryczne są fizycznie nierówne.

W tem miejscu przerwiemy wątek wykładu cofnięciem się na krótko wstecz.

W paragrafie drugim (str. 2—5), w którym zebrane są dowody jednorodności i anizotropii kryształu, określiliśmy kryształ jako ciało fizycznie jednorodne, różnokierunkowe.

Obecnie, poznawszy prawo kierunków równych, możemy powiedzieć, że kryształ jest to ciało, którego kierunki równoległe i symetryczne są fizycznie równe, a kierunki nierównoległe i niesymetryczne są fizycznie nierówne.

Rzeczą jest oczywistą, że te dwa określenia kryształu ani nie przeczą sobie, ani nie podają różnych cech kryształu. Są one tylko różnem wysłowieniem jednej myśli. Rozumiemy bowiem, że ciało jednorodne różnokierunkowe ma jednakowe własności w kierunkach równoległych i symetrycznych, oraz odwrotnie, że ciało, które ma jednakowe własności w kierunkach równoległych i symetrycznych, jest jednorodne. Różnica tych dwu defmicyi jest tylko ta, że pierwsza podaje istotną własność kryształu, a druga wymienia jej następstwa, po których najłatwiej i najpewniej poznajemy kryształ i odróżniamy go od ciał innych.

Po tern wyjaśnieniu powróćmy do treści przerwanej. *

§ 23. Syinetryezność kryształów. Różny jest stopień i rodzaj symetryczności kryształów.

Przytoczone poprzednio w § 21-ym dwa przykłady przypadków sieci przestrzennej są dowodem, że ilość i rozkład nierówno-ległych kierunków równych, t. j. rodzaj i stopień symetryczności sieci przestrzennej może być rozmaity. A więc należy spodziewać się, że różnym kryształom też musi być właściwy rozmaity rodzaj i stopień symetryczności.

W rzeczy samej. Kryształy różnych substancyj, a także kryształy substancyi jednej, powstałe w różnych warunkach temperatury, ciśnienia i stężenia, wykazują różny stopień i rodzaj symetryczności. t. j. mają rozmaitą ilość i różny stosunek przestrzenny kierunków równych.

Niejednakowy stopień i rozmaity rodzaj symetryczności kryształów widzimy na wszystkich przykładach anizotropii, jednorodności i symetryi kryształu,

które są przytoczone w książce niniejszej.

-*W‘

Spękania soli kamiennej, (str. 3 rys. 3), są sobie prostopadłe, a w muskowi-cie (rys. GO str. 76) tworzą kąty 60°.

Figury wytrawione ałunu są trójpro-mieniste (rys. 4 str. 4), a apatytu sześcio-hoczne (rys. 63).

j $ rwm

Łupliwość kalcytu biegnie równolegle do ścian romboedru (rys. 1 str. 3), które tworzą kąty dwuścienne 105° 5', a płaszczyzny łupliwo-ści soli kamiennej są równolegle do ścian sześcianu, t.j. kierunki jej są do siebie prostopadłe.

Rys. 63. Figury wytrawione apatytu.

Takie same różnice widzimy w kryształach jednej substancyi, powstałych w warunkach niejednakowych.

Węglan wapnia CaC0₃ występuje w przyrodzie, jako nieraz już wspominany minerał kalcyt, tam, gdzie krystalizacya zachodziła w temperaturze nizkiej łub

Rys. 64. Kryształ aragonitu.

w roztworach, zawierających nieznaczne ilości innych soli. Tam zaś gdzie węglan wapnia albo wydzielał się w temperaturze wyższej, albo z roztworów, zawierających znaczniejsze ilości sub-stancyj innych, skrystalizował się on jako minerał ara-gonit. Symetryczność kalcytu i aragonitu jest zupełnie inna. Wszystkie kryształy kalcytu są to pochodne geometryczne romboedru (rys. 1 str. 3), a kryształy aragonitu dają się sprowadzić do równoległościanu prostokątnego, jako do ich formy najprostszej. Łupliwość kalcytu biegnie równolegle do każdej ściany romboedru, a więc płaszczyzny łupliwości kalcytu leżą w trzech pasach; ara-gonit zaś ma łupliwość równoległą do ścian M/M i JV, (rys.

64) U j. tylko w jednym pasie.

Z tego należy wnosić, że każdy sposób ugrupowania w przestrzeni kierunków równych jest w krysztale możliwy, jeżeli jest symetryczny i jeżeli czyni zadość prawu jednorodności. A więc gdy poznamy wszystkie, zgodne z prawem jednorodności, sposoby symetrycznego rozkładu w przestrzeni kierunków równych, to wyczerpiemy wszystkie rodzaje symetryczności krystalograficznej, t. j. poznamy wszystkie rodzaje kryształów.

* Aby tego dokonać należy poznać pojęcie symetryi. Przerwiemy więc bieg wykładu na przeciąg kilku paragrafów, które będą poświęcone definicyom i twierdzeniom, odnoszącym się do symetryczności utworów geometrycznych, poczem w § 33-cim podejmiemy wątek przerwany.

A* o A,

E:

En

Rys. 65. Płaszczyzna zwierciadlana i stosunek utworu do jego odzwierciedlenia.

§ 24. Befiiiicya płaszczyzny zwierciadlanej, odzwierciedlenia utworu, utworów symetrycznie równych i utworów symetrycznie leżących. Jeżeli płaszczyzna PZ (rys. 65) ma obok siebie po obu swych stronach dwa utwory Fl i Fu tego kształtu i tak leżące, że pion, spuszczony na płaszczyznę PZ z któregokolwiek punktu utworu Fi przecina utwór Fn w punkcie analogicznym, i odwrotnie, przyczem płaszczyzna PZ dzieli ten pion na dwa odcinki równe, to nazywamy płaszczyznę PZ płaszczyzną zwierciadlaną i mówimy: i°, że utwory Fl i Fn mają się do siebie tak, jak się ma przedmiot do swego odbicia w zwierciedle plaskiem, t. j. że jeden jest odzwierciedleniem drugiego w płaszczyźnie PZ, 2°, że utwory Fl i Fu są symetrycznie równe, 3⁰, że utwory F₁ i Fu leżą symetrycznie.

§ 25. Deflnicya symetryczności. Symetrycznością nazywamy ten stosunek przestrzenny, który zachodzi pomiędzy utworem i jego odzwierciedleniem w jednej lub w kilku płaszczyznach zwierciadlanych.

§ 26. Definicya przekształcenia symetrycznego i powtórzenia symetrycznego. Wykreślenie odzwierciedlenia utworu danego, dokonane przez zastosowanie jednej lub kilku przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych, nazywa się przekształceniem symetrycznem danego utworu. Jeżeli utwór jest tylko punktem, prostą lub płaszczyzną, to odzwierciedlenie jego, dokonane przez zastosowanie jednej lub kilku przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych, nazywamy powtórzeniem symetrycznem punktu, prostej lub płaszczyzny.

§ 26“. Twierdzenie o miejscu symetrycznych powtórzeń punktu. Punkt i jego powtórzenia symetryczne, wywołane płaszczyznami zwierciadlanemi, przecinającemi się w jednym punkcie, lezą na powierzchni kuli, której środkiem jest punkt przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych.

PjPj i PnPn (rys. 66) niechaj będą to ślady płaszczyzn zwierciadlanych, prostopadłych do płaszczyzny rysunku. Na powierzchni rysunku niech będzie punkt Aj [to lewej stronie płaszczyzny PjPj. Jeżeli założyliśmy, że

płaszczyzna PrP, jest zwierciadlana i wyznaczyliśmy punkt AIt to musimy wyznaczyć punkt yln, leżący po drugiej stronie płaszczyzny PjPj symetrycznie do punku A,. Lecz jeżeli płaszczyzna PnPn jest płaszczyzną zwierciadlaną, to wobec istnienia punktowej i Ajj musimy po jej drugiej stronie wykreślić punkty symetryczne Am i A1V. W myśl definicyi odzwierciedlenia (§ 24) prosta AjAjj jest prostopadła do OPj i odcinek AjM jest równy odcinkowi Rys. 66. Miejsce powtórzeń AnM. Stąd OAj — OAn. Również AlTAin punktu, wywołanych przeci- jest prostopadła do 0Pn a AX1N jest równy nającemi się płaszczyznami emiV. Stąd OAj = 0An = OAm

we wszystkich kierunkach naokoło punktu O, jeżeli założymy S płaszczyzn zwiercia-

.....OPs, przechodzących przez punkt 0

OA,

As jest to powierzchnia

'..Aa

Ę-

'■V

Arv

OA

zwierciadlanemi.

dlanych OPj. 0Pn, 0Pm 0P1X we wszystkich kierunkach. Jeżeli więc odcinki O Aj, 0An, OAjjj, są równe, to miejsce punktów Aj, ATl, Aj kuli, której środkiem jest punkt O.

A więc: punkt Ą i jego odzwierciedlenia An, A

^iv? ...... As w płaszczyznach zwierciadlanych OP₁, OPl

OP\ii? ......OPs, przecinających się w punkcie O, leżą

powierzchni kuli AAIAIIAInAIV As, zakreślonej promieniem O Aj = OAjj — ....= OAs około środka O, t. j. około punktu przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych.

Twierdzenie to wprowadzamy, aby uniknąć nieporozumienia i nieścisłości w rozumowaniu wyłożonem w § 27.

iii?

§ 27. Twierdzenie o trzech przekształceniach symetrycznych. Są trzy przekształcenia symetryczne: odbicie, obrót? i n w e r s y a.

Niechaj F (rys. 67 i 75 str. 87) będzie figurą na powierzchni kuli. Niech AE będzie lukiem kola wielkiego, które powstało od przecięcia kuli płaszczyzną zwierciadlaną PrZj, przeprowadzoną przez środek kuli.

Jeżeli PjZj jest płaszczyzną zwierciadlaną, to po drugiej stronie tej płaszczyzny PjZj na powierzchni kuli (w myśl definicyi § 24) musi    /

istnieć figura Fh figurze F syme- i trycznie równa i symetrycznie z nią    Fi AH

leżąca.    \    /

W*

F,

Za figurą FI przeprowadźmy przez środek kuli drugą płaszczyznę

z;

Z,

zwierciadlaną PxzZn. Płaszczyzna PnZn przecina się z płaszczyzną R7S- TrzY przekształcenia symetryczne figury na powierzchni kuli.

PjZj w prostej, która spotyka powierzchnię kuli w punkcie A. Wobec istnienia figury Fl przeprowadzenie płaszczyzny zwierciadlanej PnZu pociąga za sobą wykreślenie figury Fn, symetrycznie równej i symetrycznie z nią leżącej. Względem zaś figury F figura Fn jest jednokładna. Jest rzeczą oczywistą z rysunku, że figura Fu doprowadza się do jednokładności z figurą F, czyli przystaje do niej, po obrocie kuli około prostej przecięcia się płaszczyzn PjZj i PnZn jak około osi.

Przeprowadźmy trzecią płaszczyznę zwierciadlaną PmZm, która z poprzedniemi płaszczyznami tworzy trójkąt sferyczny AEH. Wobec istnienia figury Fn przeprowadzenie płaszczyzny zwierciadlanej PmZm pociąga za sobą wykreślenie figury Fm. Figura Fm względem figury F nie jest ani symetrycznie jej równa, ani z nią jednokładna.

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

Z rysunku jest oczywista, że figura Fm nie może być doprowadzona do jednokładności, czyli przystawania, z ligurą F żadnym obrolem kuli około żadnej jej średnicy. Gdy ostrza figury F i Fm do siebie przystają, bełty ich są zwrócone w strony przeciwne¹.

Gdybyśmy przeprowadzili jakąkolwiek czwartą płaszczyznę zwierciadlaną, to otrzymalibyśmy figurę jednokładną z figurą F, t. j. taką i tak leżącą, że po obrocie kuli przystałaby do figury F. A więc miałaby się ona do figury F tak samo, jak się ma figura Fu. Przeprowadzenie piątej płaszczyzny zwierciadlanej pociągnęłoby za sobą istnienie figury takiej i tak leżącej, że miałaby się ona do F tak, jak się ma do F figura Fm, i t. d. Jednem słowem, staje się rzeczą oczywistą, że ilość płaszczyzn zwierciadlanych większa od trzech nie pociąga już za sobą nowych przekształceń symetrycznych.

Tak zatem rzec możemy: trzy są przekształcenia symetryczne. Innemi słowy, trójkąt sferyczny płaszczyzn zwierciadlany cli jest ich połączeniem najogólniej-szem, t. j. takiem, które daje wszystkie możliwe przekształcenia symetryczne.

p!

§ 28. Defiiiicya pierwszego przekształcenia symetrycznego Czyli odbicia. Przekształcenie symetryczne, dokonane jedną płaszczyzną zwierciadlaną, nazywa sie przekształceniem pierw-szem, czyli odbiciem, a płaszczyzna zwierciadlana. do tego przekształcenia potrzebna, lub to przekształcenie uzasadniająca, nazywa się płaszczyzną pierwszego przekształcenia symetrycznego, albo płaszczyzną odbicia.

Rys. 68. Pierwsze przekszałcenie symetryczne.

Jeżeli mamy figurę daną F (rys. 68) i chcemy wykreślić figurę FIh symetrycznie jej równą i symetrycznie z nią leżącą, to dokonywamy tego przeprowadzając płaszczyznę odbicia P¹ 2 3, i postępując w myśl defmicyi płaszczyzny zwierciadlanej t. j. w myśl §-fu 24-go.

Albo, gdy mamy dwie figury symetrycznie równe i symetrycznie leżące, to uzasadniamy ten

ich stosunek przestrzenny przeprowadzeniem pomiędzy niemi jednej płaszczyzny odbicia.

§ 29. Defmicya drugiego przekształcenia symetrycznego ezyli obrotu. Przekształcenie symetryczne, dokonane dwiema przecinającemi sie płaszczyznami zwierciadlanemi, nazywa się przekształceniem symetrycznem drugiem lub obrotem, a dwie przecinające się płaszczyzny zwierciadlane, do tego przekształcenia potrzebne, lub to przekształcenie uzasadniające, sprzężone warunkiem istnienia i działania spólnego, oraz warunkiem dawania tylko wyniku ostatecznego, nazywają się płaszczyznami drugiego przekształcenia symetrycznego, albo płaszczyznami obrotu.

¥’

Fo

Rys. 70. Płaszczyzny obrotu.

Rys. 69. Obrót.

ona

Jeżeli mamy daną figurę F (rys. 69) i chcemy wykreślić figurę Fn, jednokładną z tą figurą, oraz leżącą tak, aby przystawała do figury F¹ po obrocie, to dokonywamy tego przez przeprowadzenie płaszczyzn obrotu czyli dwu przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych P₁ i Pn (rys. 70), sprzężonych warunkiem działania i istnienia spólnego, t. j. warunkiem, aby jedna z nich nie istniała i nie działała bez drugiej, a także warunkiem, aby znaczenie realne miał tylko wynik ostateczny ich istnienia, t. j. figura Fu, co zaś do figury pośredniej (Fx na rys. 70) to nadajemy jej, przez warunek poprzedni, tylko znaczenie urojone, czyli uważamy ją za niebyłą.

Albo, gdy mamy dwie figury jednokładnie równe i leżące tak, że jedna przylega do drugiej po obrocie około pewnej prostej, to uzasadniamy i tłómaczymy ten ich stosunek przestrzenny przeprowadzeniem pomiędzy niemi przez tę prostą dwu płaszczyzn zwierciadlanych i nadajemy tym płaszczyznom znaczenie płaszczyzn obrotu, t. j. zakładamy, że jedna nie istnieje bez drugiej i że znaczenie istotne t. j. rzeczywiste, ma tylko ostateczny wynik ich istnienia, a figura pośrednia ma znaczenie tylko pomocnicze, czyli mamy ją za fikcyjną i w rzeczywistości nie istniejącą.

§ 30. Definicja trzeciego przekształcenia symetrycznego czyli i li W ć r S y i. Przekształcenie symetryczne, dokonane trzema płaszczyznami zwierciadlanemi, przecinającemi się w jednym punkcie, lecz nie w jednej prostej, nazywa się trzeciem przekształceniem symetrycznem albo inwersyą; a trzy płaszczyzny zwierciadlane, do tego przekształcenia potrzebne, lub to przekształcenie uzasadniające, sprzężone warunkiem istnienia i działania spólnego oraz warunkiem dawania tylko wyniku ostatecznego, nazywają się płaszczyznami trzeciego przekształcenia symetrycznego albo płaszczyznami inwersyi.

Piz

Rys. 71. Inwersyą.

Rys. 72. Płaszczyzny inwersyi.

Jeżeli mamy daną figurę F (rys. 71) i chcemy wykreślić figurę taką i tak leżącą, jak figura Fm, to dokonywamy tego przez przeprowadzenie płaszczyzn inwersyi t. j. trzech płaszczyzn zwierciadlanych Pl5 Pu i Pm (rys. 72) przecinających się w jednym punkcie, lecz nie w jednej prostej, sprzężonych warunkiem istnienia i działania spólnego, t. j. warunkiem, aby żadna nie działała i nie istniała bez dwu pozostałych oraz warunkiem, aby znaczenie rzeczywiste, realne, miał tylko ostateczny wynik ich istnienia i działania, t. j. figura Fm (rys. 72), a figury pośrednie (FI i Fu\ aby miały tylko znaczenie fikcyjne, urojone, czyli aby uważane były za nieistniejące, t. j. po wykreśleniu figury Fm, aby zostały usunięte.

Albo, gdy mamy dwie figury takie, i tak ułożone, jak np. F i Fm na rys. 71, że ani są jednokładne, ani symetrycznie leżące, to uzasadniamy i tłómaczymy ten ich stosunek przestrzenny tern,

że przeprowadzamy pomiędzy niemi trzy przecinające się w jednym punkcie, lecz nie w jednej prostej płaszczyzny zwierciadlane (rys. 72) i nadajemy im znaczenie płaszczyzn inwersyi, t. j. zakładamy, że żadna z nich nie istnieje i nie działa bez dwu pozostałych, że istotne, rzeczywiste znaczenie posiada tylko ostateczny rezultat ich istnienia (figura Fm\ a figury pośrednie (F₁ i Fn) są tylko pomocnicze, t. j. fikcyjne, urojone i w rzeczywistości nieistniejące.

§ 31. Zachowanie się wzajemne przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych. Przecinające się płaszczyzny zwierciadlane odzwierciedlają się w sobie nawzajem, wobec czego kąty dwuścienne płaszczyzn zwierciadlanych i ich trójkąty sferyczne powtarzają się naokoło prostych ich przecięcia się tak, jak w kalejdoskopie.

fi

R'

R¹

ZV

p;

Zn

.fi

*r\

■K

Ä*

T.. K ..

Zj

z;

5i

Rys. 7B. Płaszczyzny zwierciadlane i ich powtórzenia kalejdoskopowe.

Rys. 74. Kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta sferycznego w rzucie stenograficznym.

W paragrafach, poprzedzającycli niniejszy, poczynając od dwudziestego czwartego, podane są definicye i twierdzenia, stanowiące podstawę nauki o symetryczności. Z tych definicyj i twierdzeń wynika, że do otrzymania utworów symetrycznych winniśmy założyć płaszczyznę zwierciadlaną, a także winniśmy zakładać kąty dwu-ścienne lub trójkąty sferyczne, których boki są płaszczyznami zwierciadlanemu

Załóżmy płaszczyzny zwierciadlane LZ i LZY (rys. 73) prostopadłe do płaszczyzny rysunku. Definicya płaszczyzny zwierciadlanej głosi, że płaszczyzna zwierciadlana ma po obu swych stronach utwory symetrycznie równe i symetrycznie leżące. A więc gdy każda z dwu założonych płaszczyzn ma po jednej swej stronie drugą płaszczyznę, to, jeżeli zakładamy je jako zwierciadlane, w takim razie już przez to samo założenie musimy po drugiej stronie każdej z nich założyć też płaszczyznę zwierciadlaną LPn i LZU pod tym samym kątem. Ale te znów, jako zwierciadlane, wymagają istnienia płaszczyzn LL\ i LP. Tak więc widzimy, że definicya płaszczyzny zwierciedlanej pociąga za sobą powtórzenie kąta dwuściennego płaszczyzn zwierciadlanych, jak w kalejdoskopie.

Stąd jasnem się staje, że trójkąty sferyczne płaszczyzn zwierciadlanych, odzwierciedlając się w swych własnych bokach, również powtarzają się kalejdoskopowo, jak to unaocznia rys. 74.

W takim razie, gdy pomiędzy dwiema płaszczyznami zwier-ciadlanemi lub w polu ich trójkąta sferycznego założymy jakąś prostą. to wraz z kalejdoskopowem powtórzeniem się kąta dwuściennego, czy trójkąta sferycznego płaszczyzn zwierciadlanych, powtórzy się również założona prosta. Otrzymamy więc układ przestrzenny prostych, z których każda będzie symetrycznem powtórzeniem którejkolwiek z pozostałych. Innemi słowy, będzie to symetryczny rozkład kierunków równych w przestrzeni.

A więc wytknięta jest wyraźnie droga do rozwiązania zagadnienia, postawionego w §-fie 23-cim: mamy znaleźć wszystkie te symetryczne układy w przestrzeni kierunków równych, które są zgodne z prawem jednorodności. Zgodność ich z tern prawem polega na pewnej ich ilości i na pewnem ich nachyleniu wzajemnem. A ilość ich i wzajemne nachylenie jest wynikiem wielkości kątów, pod jakiemi przecinać się będą wywołujące te rozkłady prostych płaszczyzny zwierciadlane w ich kątach dwuściennych i trójkątach sferycznych. Należy przeto nasamprzód rozwiązać zagadnienie: jakie kąty płaszczyzn zwierciadlanych czynią zadość prawu jednorodności, potem połączyć pod temi kątami płaszczyzny zwierciadlane po dwie i po trzy, a potem wywołać ich powtórzenia kalejdoskopowe. Wtedy założony pomiędzy niemi kierunek również powtórzy się wraz z niemi kalejdoskopowo, skąd powstanie w każdym przypadku układ kierunków równych, który będzie zarazem i symetryczny i zgodny z prawem jednorodności.

A zatem na pierwszem miejscu musi stanąć zadanie o kątach

płaszczyzn zwierciadlanych. Rozwiązanie tego zadania podaje twierdzenie, zawarte w §-fie 33-cim.

Niemoże ono jednak być dowiedzione bez twierdzenia o kącie obrotu. A więc przejdźmy do tego twierdzenia.

§ 32. Twierdzenie O kącie obrotu. Przekształcenie symetryczne, uwarunkowane dwiema płaszczyznami zwierciadlanemi, tworzącemi kąt A°, równe jest obrotowi o kąt 2Ä⁰ około prostej przecięcia się tych płaszczyzn zwierciadlanych, jak około osi.

Rys. 75 przedstawia część powierzchni kuli, na której znaj

duje się figura ^ i jej przekształcenia symetryczne, dokonane przez trójkąt sferyczny AEHpłaszczyzn zwierciadlanych P\Zh PnZn\ PmZm.

Z defmicyi odzwierciedlenia (§ 24) wypływa, że każde dwa punkty analogiczne utworów symetrycznie równych i symetrycznie leżących, znajdują się na prostej, prostopadłej do płaszczyzny zwierciadlanej. W takim razie punkty K, N i V figur P\ Fu i Fu leżą na jednej płaszczyźnie, prostopadłej do obu płaszczyzn zwierciadlanych PiZt i PnZu, a więc prostopadłej do średnicy kuli Lh t. j. do prostej, która powstaje z przecięcia się wzajemnego płaszczyzn PxZj i Pu Zn- Płaszcz yzna KN V, przecinając się z powierzchnią kuli, tworzy okręg koła małego, którego łu-kiem jest łuk K V.

Podobnież, z defmicyi płaszczyzny zwierciadlanej wynika, że łuk KM jest równy łukowi MN i łuk NT równa się łukowi TV:

Si

■j

Lii

Z,

«-1

F /»

CM

M—

Rys. 75. Trzy przekształcenia symetryczne.

KM = NM NT = TV.

Z tego wypływa, że

TN -j- NM =VT-f- MK

czyli, że

VK =22 M.

Łuk TM jest miarą kąta A°, utworzonego przez płaszczyzny PiZi i PnZn, a więc

VK=2A°.

To samo jest słuszne względem każdego punktu figur F\ T\ i Fn.

A zatem, jeżeli kąt pomiędzy płaszczyznami PlZ₁ i PUZU mierzy A°, i jeżeli całą kulę rys. 75-tego obrócimy około średnicy Lh jak około osi o kąt 2A°, to figura F będzie doprowadzona do przystania z figurą Fnx. Jednem słowem, działanie dwu przecinających się pod pewnym kątem płaszczyzn zwierciadlanych równe jest obrotowi około prostej ich przecięcia się o kąt dwa razy większy.

Po tem twierdzeniu, którego słuszność jest konieczna do dowodzenia teorematu następnego, możemy nawiązać treść przerwaną i podać twierdzenie najważniejsze w nauce o symetryi krystalograficznej, a tem jest twierdzenie o wielkości kątów pomiędzy płaszczyznami zwierciadlane mi*.

§ 33. Twierdzenie o wielkości kątów pomiędzy płaszczyznami zwierciadlanemi. Kąty pomiędzy płaszczyznami zwier-ciadlanemi mają mierzyć tylko O⁰JO⁰, 45⁰, 6o° i QO°, jeżeli uwarunkowane temi płaszczyznami zwierciadlanemi powtórzenia symetryczne kierunków równych mają czynić zadość prawu jednorodności.

Na tem miejscu mamy więc ostatecznie znaleźć te wszystkie kąty, pod którymi będziemy łączyli płaszczyzny zwierciadlane, aby otrzymać wszystkie powtórzenia symetryczne kierunków równych, możliwe w jednorodnem ciele różnokierunkowem. A ponieważ wielokrotnie uciekaliśmy się z dobrym skutkiem do sieci przestrzennej, gdy szło nam o przewidywanie następstw jednorodności, więc i obecnie zamienimy zagadnienie, postawione na początku paragrafu niniejszego, na zagadnienie następujące: znaleźć wszystkie kąty płaszczyzn zwierciadlanych zgodne z symetrycznością sieci przestrzennej, t, j. nie przeczące zasadom jej budowy.

Płaszczyzna rysunku 76-go niech będzie siecią płaską i niechaj LF będzie to którykolwiek szereg tej sieci.

¹ Porównaj także rys. 73, gdzie to sarno jest przedstawione na pła

szczyźnie.

Załóżmy, że rozłożenie kierunków równych na tej płaszczyźnie siatkowej czyni zadość dwom prostopadłym do omawianej sieci płaskiej płaszczyznom zwierciadlanym, których ślady PZ i PXZX przechodzą przez węzeł E, dowolny w szeregu LF, i tworzą kąt A°.

K⁶-

2Î

Rys. 76. Sieć płaska i jej symetryczność.

W takim razie, według twierdzenia o kącie obrotu (§ 32) po obrocie sieci o kąt 2A° około prostej, prostopadłej do sieci i przecinającej ją w punkcie E sieć przystanie do swego położenia poprzedniego. Jeżeli więc w szeregu LF najbliższym od węzła E punktem mu analogicznym jest węzeł F, to na końcu łuku długości 2A° i promienia EF znajduje się punkt H, analogiczny punktowi F. Lecz jeżeli punkt H jest analogiczny punktowi F, a F ma na lewo analogiczny mu punkt E, to i punkt H musi mieć na lewo w tej samej odległości na prostej równoległej do LF punkt K: który jest analogiczny punktowi E. Jeżeli zaś punkt K jest analogiczny punktowi E, to płaszczyzna siatkowa też przystanie do swego położenia pierwotnego, gdy będzie obrócona około prostej prostopadłej w punkcie K o kąt 2A°. To znaczy, że w szeregu LF na końcu łuku HL długości 2A° i promienia KH = EF znajduje się punkt L, analogiczny punktowi H i wszystkim innym, poprzednio wymienionym.

Zasada sieci przestrzennej polega na tem, że szeregi jej są prostolinijne oraz, że odległości pomiędzy jej węzłami są skończone i w jednym szeregu równe. A więc, jeżeli napiszemy, że

EF = p

to musimy uznać za słuszne, że

LF = mp

gdzie m jest jakaś liczba cała.

Znajdźmy zależność pomiędzy wartością m i wielkością kąta A°. Trójkąt EFH jest równoramienny, ponieważ boki jego EFi EH są równe, jako promienie jednego koła. W takim razie:

EFH = ĘHF = V, (180° — 2A°) = 90° — A°

Trójkąt FLH też jest równoramienny, gdyż boki jego FH i HL są równe, jako cięciwy dwu równych łuków jednego promienia. A więc

HLF= LFH = 90° — A°

W takim razie trójkąty EFH i HLF jako równoramienne o równych kątach u podstawy są podobne, a zatem ich kąty przeciwległe podstawie są równe, więc każdy mierzy po 2A°:

LHF = FEH = 2 A°

Przeprowadźmy EM prostopadłą do HF i nazwijmy FM = n

Widoczna, że

n : p = sin A°

czyli

ii= p sin A°

Przeprowadźmy HN prostopadłą do LF. Widoczna, że FN : FH = ii :p

czyli

FN : FH = sin A«

a że

FN = ¹/₂ m p FH =2n

więc

x/₂ nip : 2u = sin A°.

Skąd po wstawieniu na miejsce n wartości jego: p sinA⁰, otrzy

mamy

m = 4 sin²yl°.

Wstawa kąta jest to wielkość, której krańcowemi wartościami jest zero i jedność:

0 < sin A° < 1.

Jeżeli więc

m = 4 sin² A°,

to krańcowemi wartościami m jest 0 i 4 :

A ponieważ m jest to liczba cała, więc wartościami jej są wszystkie liczby całe od zera do czterech włącznie:

m — 0, 1, 2, 3, 4.

Stąd wynikają następujące wartości kąta A°:

bO

sin² A°

sin A°

A°

180o

30«

45°

S/4

w.

60o

900

A zatem: kąty pomiędzy płaszczyznami zwierciadlanemu mogą mierzyć tylko

180°, 30o, 45°, 60°, 90°,

aby uwarunkowane przez te płaszczyzny zwierciadlane powtórzenia kalejdoskopowe kierunków równych czyniły zadość prawu jednorodności.

Twierdzenie to jest podstawowe w nauce o symetryczności kryształów, ono bowiem wyłącza wszystkie te skojarzenia płaszczyzn zwierciadlanych, które są niemożliwe w ciele jednorodnem.

§ 34. Twierdzenie o jedenastu typach synietryczności. Jest jedenaście połączeń płaszczyzn zwierciadlanych, czyniących zadość prawu jednorodności.

Z definicji przekształceń symetrycznych wynika, że kojarzenie płaszczyzn zwierciadlanych może być trojakiego rodzaju: 1) albo jest to jedna płaszczyzna, 2) albo są to dwie płaszczyzny, 3) albo wreszcie są to trzy płaszczyzny zwierciadlane.

A więc, gdy A° = 0° = 180°, to jest jeden typ kojarzenia płaszczyzn zwierciadlanych, mianowicie jedna płaszczyzna.

Dwie płaszczyzny zwierciadlane mogą dać cztery typy, t. j. mogą być połączone w kąt dwuścienny, który mierzy albo 90°, albo 60°, albo 45°, albo 30°.

Go zaś do połączeń trzech płaszczyzn zwierciadlanych, to są niemi wszystkie trójkąty sferyczne, zbudowane z kątów 90°, 60°, 45° i 30°.

Dla utworzenia wszystkich możliwych trójkątów sferycznych, które miałyby kąty wskazane, ułóżmy wszystkie połączenia trzeciej klasy (t. j. po trzy) elementów: 90°, 60°, 45°, 30° z powtórzeniami, a potem odrzućmy przypadki niemożliwe, t. j. te, które są sprzeczne z zasadniczą własnością trójkąta sferycznego, że suma kątów jego jest większa od 180°, a mniejsza od 3 X 180°.

Oto wszystkie połączenia trzeciej klasy elementów: 90°, 60°, 45° i 30° z ich powtórzeniami.

90° 90° 90» 90° 90° 00» 90» 90° 45»

90» 90» 30»

90» 00» (»0»

60°

60° 60»

90» 60» 45°

60»

60« 45°

90» 60» ¹ 30°

60»

60° i 30»

90» i 45»

45»

60»

45» 45»

45»

45» : 45°

90» 45»

30»

60»

45° 30»

45» 45° | 30»

90» 30»

30° 60»

30» j 30»

45»

30« 30»

30«

30»

30»

Od jednego rzutu oka na tę tablicę widzimy, że suma kątów w każdem z połączeń, wytłoczonych pismem grubszem, jest większa od 180°, przyczem największa z nich 3 X 90° jest mniejsza od 3 X 180°. A więc sześć tych skojarzeń jest możliwe jako trójkąty sferyczne. Lecz już połączenie siódme w kolumnie pierwszej odpada, bo suma kątów jego jest 180°. Tak samo odpadają kolumny pozostałe, albowiem suma kątów połączenia pierwszego w kolumnie drugiej jest 180°, a suma kątów pozostałych w połączeniach jest od 180° mniejsza.

A więc, z kątów 90°, 60°, 45° i 30° można zbudować tylko sześć trójkątów sferycznych.

Spiszmy razem typy, wyprowadzone w paragrafie niniejszym, na tablicy następującej.

1.

1800

Jedna płaszczyzna zwierciadlana.

2.

90o

Dwie płaszczyzny zwierciadlane.

8.

60°

4.

45°

5.

30°

6.

90o

90o

90o

Trzy płaszczyzny zwierciadlane.

7.

90°

90»

60°

8.

90o

90o

45°

9.

90«

90°

30o

10.

90o

GO»

60°

11.

900

60°    45°

Z tablicy tej widzimy, że istotnie, zgodnych z prawem jednorodności skojarzeń płaszczyzn zwierciadlanych, czyli typów symetryczności krystalograficznej jest jedenaście.

§ 35. Oznaczanie typów symetryczności. Kąty i8o°, ęo°, 6o°, 45° i JO⁰, lub boki trójkątów sferycznych kątom tym przeciwległe, oznaczamy liczbami: J, 2, J, 4 i ó.

Kąty 180°, 90°, 60°, 45° i 30° możemy wyrazić jako ułamki

półkola:

Vi• 180⁰, y₂.180°, y»-180°, y₄.i8o°, y₆.i80®.

Umówmy się, że w typach o dwu płaszczyznach zwierciadła-

nych kąt pomiędzy płaszczyznami zwierciadlanemi będziemy wyrażali mianownikiem odpowiedniego ułamka. A więc kąt 180° oznaczać będziemy liczbą 1, kąt 90° oznaczymy liczbą 2, kąt 60° oznaczać będzie liczba 3, kąt 45° liczba 4, kąt 30° liczba 6.

Go zaś do trójkątów sferycznych, umowny się, że bok trójkąta sferycznego będziemy oznaczali mianownikiem kąta przeciwległego, a więc liczba 2 oznaczać będzie bok przeciwległy kątowi 90°, liczba 3 oznaczać będzie bok przeciwległy kątowi 60°, liczba 4 oznaczać będzie bok przeciwległy kątowi 45° i liczba 6 oznaczać będzie ten bok trójkąta sferycznego, który jest przeciwległy kątowi 30°.

Znaki te zamykać będziemy nawiasem zwykłym, i dla odróżnienia od wyznaczników ścian położymy przed nawiasem literę 5 (symetrya).

Otrzymamy znaki proste, obrazowe, łatwozrozumiałe i nietrudne do zapamiętania.

1.1 £( 1 )

Jedna płaszczyzna zwierciadlana.

= 180»

2.

Si 2)

Dwie płaszczyzny zwierciadlane, tworzące kąt:

₉₀o

3.

4.

5.

0.

7.

8.

9.

10.

11

Si 3) S(4) SjS)

S( 2 2 2 ) £( 2 2 3 ) £( 2 2 4) £(226) £(238) £(234)

JUL»⁰ — 450

8 0°

= 30»

Trzy pł. zwierciadlane, tworzące trójkąt sferyczny: 90» 90» 90«

90» 90° 60»

90» 90» 45»

90« 90» 30»

90» 60« 60»

90» 60« 45»

Przecinające się płaszczyzny zwierciadlane, powtarzają się kalejdoskopowo naokoło prostej ich przecięcia się (§ 31). A ponieważ kąty, pod którymi łączymy te płaszczyzny, są to ilorazy dzielenia 180° przez liczby całe, więc powtarzające się płaszczyzny skojarzeń omawianych zapełniają przestrzeń bez przerw.

Zakreślmy kulę promieniem dowolnym z któregokolwiek punktu prostej przecięcia się dwu płaszczyzn w skojarzeniach S( 1 ), S( 2 ), S( 3), 5(4), 5(6) i z punktów przecięcia się trzech płaszczyzn w skojarzeniach 5( 2 2 2 ), 5( 2 2 3 ), 5( 2 2 4 ), 5( 2 2 6 ), 5( 2 3 3 ), 5( 2 3 4 ). Kalejdoskopowe powtarzanie się wycinków kuli lub trój-

Holosy-

metrya.

zupełna

flemisYraetrya

niezupełna

Tetarto-

symetrya.

s(l)

s a')

s (2)

'"o

s|2')

Rys. 77. Rzuty stereograficzne 32-u rodzaju symetryczności krystalograficznej.

0><î «

s Ci)

s (3-)

s (4)

'o

h.

\°

o'-',

-;;'s (4' o/\

o\V

s(6i

/O

yO /

s (6'1

s (2 2 2)

s (2'2' 2')

s (2' 2' 2)

s (2" 2" 2")

s (2 2 3)

s (2'2’3')

s (2' 2’ 3)

■<T>

-v-7

s (2 2 4)

sf2’2’4'l

s(2' 2' 4)

s(2’2 4')

vx

-Ll.

s(2<'2"4")

;•

j.

---I

9 (2 2 6)

s (2’2' 6')

s (2' 2' 6)

s (2'2 6')

s (2" 2" 6";

-''s (2 3 3)

s <'2' 3' 3')

s (2 3 4)

s (2' 3' 4')

s(2'34'>

kątów sferycznych w każdym przypadku pokryje powierzchnię kuli bez reszty. W rzucie stereograficznym mamy to przedstawione na rys. 77-mym w pierwszej lewej kolumnie pionowej. Grube linie ciągłe tej kolumny oznaczają płaszczyzny zwierciadlane. Cienkie linie przerywane nie mają znaczenia symetrycznego, oznaczają one tylko przekrój kuli projekcyjnej płaszczyzną rzutu, t. j. obwód koła projekcyi w tych razach, w których płaszczyzna projekcyi nie jest płaszczyzną zwierciadlaną.

§ 36. Holosymetrya. Z jedenastu połączeń płaszczyzn zwierciadlanych otrzymujemy jedenaście rodzajów holosymetrycznych, gdy płaszczyznom zwierciadlanym nadamy znaczenie płaszczyzn odbicia.

Poprzednio, w paragrafie dwudziestym siódmym, wywnioskowaliśmy o istnieniu trzech przekształceń symetrycznych: odbicia, obrotu i inwersyi. Do otrz ymania odbicia potrzebna jest jedna płaszczyzna zwierciadlana, niezależna od innych. Obrotu dokonywa się dwiema płaszczyznami zwierciadlanemu, niedziałającemi jedna bez drugiej i sprzężonemi warunkiem dawania tylko wyniku ostatecznego. Inwersya wymaga działania trzech płaszczyzn zwierciadlanych, sprzężonych tym samym warunkiem.

W wyprowadzonych dopiero co w §-fie 35-tym skojarzeniach płaszczyzn zwierciadlanych nie robiliśmy żadnych zastrzeżeń co do charakteru tych płaszczyzn. A więc nadajmy im nasamprzód znaczenie płaszczyzn odbicia, t. j. załóżmy, że każda płaszczyzna istnieje sama w sobie, niezależnie od obecności innych, a więc objawia swe działanie zwierciadlane samoistnie, czyli załóżmy, że każde przekształcenie symetryczne, dokonane przez każdą z tych płaszczyzn z osobna, ma znaczenie realne, istotne, rzeczywiste. Następnie w każdem skojarzeniu płaszczyzn zwierciadlanych przeprowadźmy jakąkolwiek prostą, nie przylegającą do żadnej płaszczny zwierciadlanej w danem połączeniu. Gdy powtórzymy kalejdoskopowo płaszczyzny zwierciadlane, powtórzy się i ta prosta, którą przeprowadziliśmy pomiędzy niemi. A że założyliśmy we wszystkich typach płaszczyzny odbicia, więc wszystkie powtórzenia tej prostej będą miały znaczenie realne. W takim razie otrzymamy jedenaście holosymetrycznych powtórzeń jednego kierunku, czyli jedenaście holosymetrycznych sposobów rozłożenia równych kierunków w przestrzeni, albo jedenaście holosymetrycznych rodzajów symetryczności krystalograficznej. Mamy je właśnie na rys. 77 w pierwszej kolumnie, licząc od strony lewej. Płaszczyzny odbicia oznaczone są na tym rysunku grubemi liniami ciągłemi.

Nazwa holosymetryi przysługuje tym rodzajom dla tego, że wszystkie odzwierciedlenia w tych rodzajach mają znaczenie fizyczne, t. j. istnieją w rzeczywistości, gdyż niema tu odzwierciedleń urojonych, pomocniczych.

§ 37. Hemisymetrya zupełna. Z jedenastu połączeń płaszczyzn zwierciadlanych otrzymujemy jedenaście rodzajów he-misymetryi zupełnej, gdy wszystkim płaszczyznom zwierciadlanym nadajemy znaczenie płaszczyzn obrotu.

Drugie przekształcenie symetryczne czyli obrót, jest wynikiem sprzężenia płaszczyzn zwierciadlanych warunkiem, że realne znaczenie posiada tylko co drugie odzwierciedlenie danego utworu, t. j. że dany utwór geometryczny musi być odzwierciedlony w dwu płaszczyznach zwierciadlanych, aby wywołane w ten sposób przekształcenie miało znaczenie istotne. W jedenastu poznanych typach nadajmy wszystkim płaszczyznom zwierciadlanym znaczenie płaszczyzn obrotu. Otrzymamy wtedy jedenaście rodzajów, w których, po ka-lejdoskopowem powtórzeniu danego kierunku, znaczenie istotne ma tylko co drugie powtórzenie, a znów co drugie pomiędzy niemi ma znaczenie fikcyjne pomocnicze, geometryczne tylko, a nie fizyczne.

Rodzaje te, w których mamy tylko same płaszczyzny obrotu, oznaczamy przecinkiem, położonym u góry przy każdej cyfrze znaku symetryczności.

-8(2’) -8(3’) -8(4’) • -8(6’)

S( 2' 2' 2’ ) S( 2’ 2’ S\) S(2’2’4’)

S( 2’ 2’ 6’ ) S( 2’ 3’ 3’ )

£( 2’ 3’4’)

Z. Weyberg: Podstawy krystalografii.

Te jedenaście rodzajów nazywamy hemisymetryą zupełną; hemisymetryą dla tego, bo każdy rodzaj ma o połowę mniejszą ilość powtórzeń danego kierunku, niż odpowiadający mu rodzaj w grupie holosymetrycznej, a zupełną dla tego, że każda płaszczyzna zwierciadlana ma tu znaczenie płaszczyzny obrotu, t. j. że w tej grupie niema połączeń płaszczyzn obrotu z płaszczyznami odbicia.

Rodzaje hemisymetryi zupełnej w rzucie stereograficznym wykreślone są w drugiej kolumnie pionowej rysunku 77-go. Płaszczyzny obrotu oznaczone są tam liniami cienkiemi ciągłemi. Linie cienkie kropkowane oznaczają tylko obwód koła projekcyi w tych rodzajach, w których płaszczyzna projekcyi nie jest płaszczyzną zwierciadlaną.

Rodzaj <8( 1’ ) mógłby wydawać się nonsensem: zawiera on tylko jedną płaszczyznę obrotu, gdy tymczasem obrót, t. j drugie przekształcenie symetryczne, w istocie swej wymaga sprzężenia dwu przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych. Jednak gdy wejrzymy głębiej w treść znaku <8(1’), to przekonamy się, że ma on znaczenie rozumne.

Załóżmy na powierzchni kuli jakiś biegun dowolny, obok lego bieguna przeprowadźmy środkową płaszczyznę zwierciadlaną i nadajmy jej znaczenie płaszczyzny obrotu, t. j. takiej właśnie, jaką mamy w rodzaju <8(1’). W myśl definicyi obrotu, t. j. drugiego przekształcenia symetrycznego, utwór, odbity w jednej płaszczyźnie zwierciadlanej, nie istnieje. Nabrał by on znaczenia realnego dopiero wtedy, gdyby się odzwiercie-Rys. 78. Kwaśny prawy dlił jeszcze raz w drugiej płaszczyźnie obrotu.

winian strontu.

Lecz w rodzaju <S(1’) istnieje tylko jedna płaszczyzna zwierciadlana; drugiej już niema. A więc w rodzaju <8(1’) każdy biegun pozostaje samotny, bez wszelkiego drugiego mu symetrycznego, bo niema w czem się odzwierciedlić. Znaczy to, innemi słowy, że rodzaj *8(1’), otrzymany przez nas na drodze konsekwentnego i ścisłego stosowania definicyj i twierdzeń, przewiduje istnienie takich kryształów, których żadna ściana niema sobie równej i każdy kierunek jest jedyny: rodzaj <8( 1 ’ ) jest teoretycznem uzasadnieniem istnienia kryształów asymetrycznych.

Kryształy asymetryczne rzeczywiście istnieją. Na rys. 78 widzimy wielościan, ograniczony ścianami, z których żadna niema drugiej sobie równej. Jest to kryształ kwaśnego prawego winianu strontowego SrH^^C^HiO^ .2 H₂0. Oprócz tej soli istnieją też inne substancye krystalizujące się podobnie, t. j. tak, że żadna ich ściana niema sobie równej. Kryształy te podlegają prawu jednorodności, lecz są rzekomym wy jąt.kiem z prawa kierunków równych. Jednakże w tym sposobie przedstawienia symetryczności kryształów, który przyjęty jest w książce niniejszej, kryształy te znajdują swoje miejsce, a istnienie ich jest przewidziane i usprawiedliwione teoretycznie, jako ciał rodzaju S{ 1’) bez żadnej różnicy od wszelkich rodzajów innych.

§ 38. Konieczność istnienia rodzajów hemisynietryi niezupełnej. W niektórych trójkątach sferycznych płaszczyzn zwierciadlanych jeden bok może być płaszczyzną odbicia, a dwa pozostałe boki mogą być płaszczyznami obrotu.

Z jednej strony istnienie obrotu, który wymaga tylko dwu płaszczyzn zwierciadlanych, a z drugiej strony połączenia płaszczyzn zwierciadlanych po trzy, przywodzą nas nieodzownie do rodzajów hemisynietryi niezupełnej, t. j. do rodzajów takich, które są wynikiem trójkątów sferycznych, lecz w których dwie płaszczyzny zwierciadlane mają znaczenie płaszczyzn obrotu, a trzecia ma charakter płaszczyzny odbicia.

Zachodzi więc pytanie, czy możliwe jest związanie warunkiem obrotu każdych dwu boków w poznanych wyżej trójkątach sferycznych. Jeżeli zaś jest to niemożliwe, to należy rozwiązać zagadnienie: w których trójkątach sferycznych jakim parom boków możemy nadać charakter płaszczyzn obrotu. Zagadnienie to rozwiążemy w paragrafie następnym.

§ 39. Twierdzenie o kątach płaszezyzn obrotu w trójkątach sferycznych. Jeżeli w trójkącie sferycznym płaszczyzn zwierciadlanych tylko dwa boki mają być płaszczyznami obrotu, a w trójkącie tym jest kąt, będący nieparzystą częścią półkola, to płaszczyznami obrotu muszą być oba boki, tworzące kąt nieparzysty.

Niechaj P i Z (rys. 79 i 80) będą to płaszczyzny zwierciadlane, tworzące kąt A°. Niech Z będzie płaszczyzną obrotu t. j. taką płaszczyzną, która sprowadza drugie przekształcenie symetryczne, a P niech to będzie płaszczyzna odbicia, t, j. płaszczyzna przekształcenia pierwszego.

W kalejdoskopowem powtórzeniu tych płaszczyn, t. j. w ich wzajemnem się odzwierciedlaniu, dalszym ciągiem płaszczyzny Z może być odbicie tej samej płaszczyzny, co dzieje się wtedy, gdy A° jest ilorazem półkola i liczby parzystej (rys. 79), albo dalszym ciągiem Z będzie płaszczyzna P, jeżeli kąt A° jest nieparzysty (rys. 80). Ale rzecz jest oczywista, że drugi ten przypadek nie ma sensu, bo jest to niemożliwe, aby ta sama płaszczyzna miała równocześnie charakter płaszczyzny odbicia i płaszczyzny obrotu.

Również jest oczywiste, że gdy obu płaszczyznom P i Z nadamy charakter płaszczyzn obrotu, to czy A° jest parzystą czy nieparzystą częścią półkola, zawsze w powtórzeniu kalejdoskopowem dalsze ciągi płaszczyzn będą jednakowe.

z\

/Z

•p

z-

-F

Rys. 79. Powtórzenie kalejdoskopowe kąta parzystego o niejednakowym charakterze boków.

Rys. 80. Powtórzenie kalejdoskopowe kąta nieparzystego o niejednakowym charakterze boków.

A zatem kąty parzyste w trójkątach sferycznych mogą mieć boki różnego charakteru, ale nieparzyste muszą mieć oba boki obdarzone charakterem jednakowym.

Innemi słowy, jeżeli w trójkącie sferycznym płaszczyzn zwierciadlanych tylko dwa boki mają być płaszczyznami obrotu, a trójkąt ten zawiera kąt, będący nieparzystą częścią półkola, to oba boki tego kąta muszą być płaszczyznami obrotu.

Z tego wynika, że w rodzajach hemisymetryi niezupełnej, gdzie jeden bok trójkąta sferycznego ma być płaszczyzną odbicia a dwa pozostałe mają być płaszczyznami obrotu, płaszczyzna odbicia nie może przylegać do kąta nieparzystego, tylko musi być mu przeciwległa, a przylegać winna do kąta parzystego.

§ 40. Twierdzenie o siedmiu rodzajach hemisymetryi niezupełnej. Jest siedm rodzajów hemisymetryi niezupełnej, czyli siedm jest połączeń płaszczyzn obrotu z płaszczyzną odbicia.

Z twierdzenia paragrafu poprzedniego wynika, że trójkąt

«( 2 2 2 )

jako zawierający wszystkie kąty parzyste i wszystkie trzy boki równe, może dać jeden rodzaj hemisymetryi niezupełnej:

£( 2’ 2’ 2 ).

Trójkąt

£( 2 2 3 )

w myśl twierdzenia paragrafu poprzedniego, może dać jeden rodzaj hemisymetryi niezupełnej :

£(;2’2’3 )

t. j. oba boki (2) przylegające do kąta nieparzystego V₈.180° muszą być płaszczyznami obrotu, a płaszczyzną odbicia jest bok (3), przeciwległy kątowi Vs-180°.

Trójkąty:

55 55

co co

CM CM

05

jako zawierające tylko parzyste kąty, mogą dać po dwa rodzaje hemisymetryi niezupełnej :

S( 2’ 2’ 4 ) S{ 2' 2 4’ )

S( 2’ 2’ 6 ) | S(2’2 6’) j

Trójkąt £( 2 3 3 ), jako zawierający dwa kąty nieparzyste, warunkowi hemisymetryi niezupełnej podlegać niemoże, bo gdy dwa boki jednego kąta nieparzystego zrobimy płaszczyznami obrotu, to drugi kąt nieparzysty będzie miał jeden bok" płaszczyzną obrotu, a drugi bok płaszczyzną odbicia, co jak wiemy z paragrafu poprzedniego, prowadzi do absurdu, więc jest niemożliwe. Innemi słowy, każdy bok tego trójkąta przylega do kąta nieparzystego, więc żaden nie może być jedyną płaszczyzną odbicia.

Nakoniec trójkąt

£( 2 3 4 )

jako posiadający jeden kąt nieparzysty, może dać tylko jeden rodzaj hemisymetryi niezupełnej :

£( 2’ 3 4’ ).

A więc rodzajów hemisymetryi niezupełnej mamy siedm:

S{ 2’ 2’ 2 )

S( 2’ 2’ B )

S( 2’ 2’ 4 )

S( 2’ 2 4’ )

S( 2’ 2 6’ )

S( 2’ 2’ 6 )

S( 2’ 3 4’ )

Rodzaje te są bardzo łatwe do zapamiętania: przecinkiem, oznaczającym płaszczyznę obrotu, opatrzone są tylko liczby parzyste.

płaszczyzny obrotu.

Kalejdoskopowe powtórzenia trójkątów sferycznych tej grupy podane są w kolumnie trzeciej i czwartej rysunku 77-go. Linie grube oznaczają płaszczyzny odbicia, linie cienkie

§ 41. Konieczn ość istnienia rodzajów tetartosy metrycznych. Inwersya, wymagająca trzech płaszczyzn zwierciadlanych, wraz z istnieniem trójkątowych typów symetryczności, wywołuje konieczność istnienia rodzajów tetartosymetrycznych.

Z delinicyj trzech przekształceń symetrycznych (§§ 24—26) wiadomo nam, że oprócz odbicia i obrotu, jest jeszcze trzecie przekształcenie symetryczne, które nazwaliśmy inwersyą. Inwersya jest wynikiem trzech płaszczyzn zwierciadlanych, tworzących trójkąt sferyczny, które są sprzężone warunkiem istnienia i działania spólnego oraz warunkiem dawania w rzeczywistości tylko ostatecznego następstwa ich istnienia.

Rzecz jest oczywista, że w kalejdoskopowem powtórzeniu płaszczyzn inwersyi znaczenie istotne mieć będzie odzwierciedlenie co czwarte. A więc rodzaje symetryczności, powstałe przez skojarzenie płaszczyzn inwersyi, możemy nazwać tetartosy metr y czny mi.

Rozważmy obecnie, jakie mogą istnieć rodzaje tetartosyme-tryczne, t. j. rozpatrzmy, które z trójkątów sferycznych, nam znanych, mogą podlegać warunkowi inwersyi.

Aby rozwiązać to zagadnienie, należy podać przed tem pewne definicye i pewne twierdzenie.

*§ 42. Definicya osi przystawania, jej okresu i jej rzędu. Prosta, powstała z przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych,

nosi nazwę osi przystawania. Kąt, o który obrócić należy utwór około osi przystawania, aby przystał do położenia pierwiastkowego, czyli aby stał się sam z sobą jednokładny, nazywa się okresem osi przystawania. Liczba, wskazująca, ile razy utwór przystaje do swego położenia pierwiastkowego w pełnym obrocie 360⁰ dokoła osi przystawania, nazywa się rzędem tej osi.

Z twierdzenia o kącie obrotu (§ 32) wiadomo, że przekształcenie symetryczne, uwarunkowane przez dwie płaszczyzny zwierciadlane, przecinające się pod kątem A°, jest równe obrotowi o kąt 2.4° około prostej przecięcia się tych płaszczyzn, jak około osi.

Prostą, powstałą od przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych nazywamy osią przystawania, bo gdy obrócimy około niej ten utwór, który powstał od spółdziałania płaszczyzn zwierciadlanych, to przystaje on do swego położenia pierwotnego, t. j. przywodzi się sam z sobą do jednokładności.

Jeżeli mamy w utworze dwie płaszczyzny zwierciadlane, prze^ cinające się pod kątem A°, to jednokładność utworu zachodzi po obrocie o kąt 2A°. Kąt 24° nazywamy okresem osi przystawania, albo jej kątem obrotu.

Rzecz oczywista, przez kalejdoskopowe powtórzenie płaszczyzn zwierciadlanych około osi powstać musi utwór, który przystaje sam do siebie co 2A° w obrocie o 360°. Podzielmy 360° przez 24°. Otrzymamy iloraz, który wskazuje, ile razy utwór przychodzi sam z sobą do jednokładności podczas obrotu około danej osi o 360°. Wobec tego, że wartości kąta A° są: 90°, 60°, 45° lub 30°, iloraz ten jest zawsze liczbą całą. Iloraz ten

360°

2 A°

= <P= 2, 3, 4, 6

nazywamy rzędem osi przystawania.

Dla ilustracyi rzeczonego przed chwilą mamy rys.: 81, 82

i 83-ci.    '

Rys. 82 jest to rzut stereograficzny płaszczyzn zwierciadlanych PZ i PiZi oraz ich powtórzenia kalejdoskopowego, t. j. płaszczyzny PuZn i dalszych ciągów tych płaszczyzn, przecinających się w średnicy kuli L. (Średnica ta na rys. 82 jest nachylona do płaszczyzny rzutu pod kątem 30°). Widoczna, że figury F i Fn są jednokładne, t. j. przystają do siebie po obrocie kuli około średnicy L jak około osi.

Rys. 82 jest to przecięcie utworu, nakreślonego na rys. 81-szymr płaszczyzną MN, prostopadłą do płaszczyzn PZ, PlZ₁ i PnZlh a więc

Tl

o:

»Tl

tn

A'

a“

Rys. 81. Powtórzenie kalejdoskopowe dwu przecinających się płaszczyzn zwierciadlanych w rzucie stenograficznym.

Rys. 82. Płaszczyzna MN rysunku 81-szego i na niej ślady płaszczyzn zwierciadlanych oraz przekształceń figury F.

i do osi L. Na rysunku tym wykreślone są wszystkie przekształcenia ftigury Ft wywołane kalejdoskopowem powtórzeniem płaszczyzn zwierciadlanych, przyczem płaszczyznom tym dany jest charakter płaszczyzn odbicia, t. j. przypisano realne istnienie każdemu przekształceniu z osobna. Oprócz tego na rys. 82 uwidoczniono, że

KM = MN

NT = TV

t. j. że

TM = KM + TV

a więc, że

VK — 2 TM

skąd staje się oczywiste, że cały utwór rys. 82, powstały z kalejdoskopowego powtórzenia kąta ZLZI; przychodzi do jednokładności

sam z sobą po obrocie o kąt 2^4° około L, jeżeli kąt ZLZX mierzy A°.

Rys. 83 przekonywa, że to samo dzieje się, gdy płaszczyznom zwierciadlanym nadamy znaczenie płaszczyzn obrotu, t. j. gdy uznamy za nieistniejące co drugie przekształcenie F.

Wnosimy więc, że bez względu na to, czy kąt A° jest utworzony przez płaszczyzny odbicia czy przez płaszczyzny obrotu, to zawsze jego powtórzenie kalejdoskopowe daje oś przystawania

Rys. 88. Płaszczyzny zwiercia-

okresu 2A° i rzędu 360° : 2A°.

W przypadku, przedstawionym na dlane z rYs- 81 i 82, mające

rys. 81, 82 i 83, ^4°=60°, 2^4°= 120°, <p = 360°: 120° = 3.

znaczenie płaszczyzn obrotu.

§ 43. Twierdzenie o okresach i o rzędach osi przystawania, powstałych z przecięcia się płaszczyzn inwersyi.' Płaszczyzny inwersyi tworzą osi przystawania, których okres jest 4A⁰ i rzęd jest JÓO°:4A°, gdzie A° jest to wielkość kąta pomiędzy dwiema płaszczyznami inwersyi, tworzącemi daną oś.

fi

ZV

L\

Pu

"M

Z />)//

‘gkl*

t*

v-

Z,

Rys. 84. Kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta płaszczyzn inwersyi.

'mk

Rys. 85. Utwór rys. 84-go w rzucie pionowym na płaszczyznę Pm Zm ■

Niechaj będą trzy płaszczyzny zwierciadlane J\Zh PnZn i PmZm (rys. 84) związane warunkiem działania spólnegó w myśl trzeciego

przekształcenia symetrycznego, t. j. niech żadna nie istnieje bez dwu pozostałych i realnego znaczenia niechaj utwór nabiera dopiero po kolejnem odzwierciedleniu się we wszystkich tych trzech płaszczyznach. A więc, wobec istnienia tych trzech płaszczyzn, figura F doznaje inwersyi w figurę Fm przez pośredniczące figury urojone, fikcyjne, FI i Fn. W powtórzeniu kalejdoskopowem trójkąta pierwotnie założonego muszą powstać płaszczyzny PjZj, P'nZ'n, P'i'Z'i, P'ńZn, a także spowodowana przez te płaszczyzny figura F\ która do Fni ma się tak samo, jak F przez figury urojone Fn i F^. Na rys. 85 mamy utwór rysunku 84-go w rzucie pionowym na płaszczyznę Pm Zm. Figury F półkuli górnej są obwiedzione konturem i prążkowane poprzecznie, figury dolnej półkuli, t. j. znajdujące się pod płaszczyzną rzutu, są bez konturu i prążkowane podłużnie. Figury fikcyjne są na rys. 85 pominięte. Nakreślone są tylko te, które istnieją w rzeczywistości.

Z §-fu 32-go wiadomo nam, że na rys. 85

KM-f- TV= A°

a więc łuk

KV=zĄA°

Tak więc z definicyj przekształceń symetrycznych wynika i z rysunków 84 i 85 widocznem się staje, że F jest jednokładne z F' i że utwory te przystają jeden do drugiego po obrocie o kąt 4A° około prostej L, t. j. około prostej przecięcia się płaszczyzn PjZj i PuZn jak około osi, jeżeli kąt, zawarty między temi płaszczyznami, wynosi A°.

Zarazem jest widoczne, że przez kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta sferycznego płaszczyzn inwersyi powstaje utwór, przystający sam do siebie po obrocie o 4A° i czyniący to 360° :4A° razy w obrocie o 360°.

To wszystko, co się przed chwilą rzekło, odnosi się do każdej prostej przecięcia się płaszczyzn inwersyi \ nie robiliśmy bowiem ża-

¹ Przypadek, wykreślony na rys. 84 i 85 jest to kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta S( 2 2 6 ), a więc L jest osią przystawania z okresem 80° X 4— == 120°, t. j. oś ta jest rzędu trzeciego: 860° : 120° = 3. Na dwu pozostałych krawędziach trójkąta płaszczyzn inwersyi niema jednokładności, bo pozostałe dwa kąty mierzą po 90°, a 90° X 4 = 360° i 360° : 360° = 1 : każdy utwór geometryczny po obrocie o 360° staje się sam z sobą jednokładny, a więc oś przystawania powstaje od płaszczyzn inwersyi tylko przy kącie mniejszym od 90°.

dnych zastrzeżeń co do wielkości kąta A°. A więc: płaszczyzny inwersyi dają osi przystawania okresu 4A° i rzędu 360:4A°, gdzie A° jest to wielkość kąta pomiędzy dwiema płaszczyznami inwersyi, tworzące mi danąoś.

Rzecz oczywista, że twierdzenie to jest następstwem definicyi inwersyi oraz definicyi okresu i rzędu osi.*

§ 44. Twierdzenie o kącie płaszczyzn inwersyi. Płaszczyzny inwersyi przecinają się tylko pod kątami, będącymi parzystą częścią półkola.

Dowiedliśmy w paragrafie poprzednim, że gdy trójkąt płaszczyzn inwersyi zawiera przy danej krawędzi kąt A°, to krąwędź ta jest osią przystawania rzędu <jp, gdzie

360° 4 A ⁰

Niech A° będzie nieparzystą częścią półkola, t. j. niech

A° =

180°

2 n -f 1 gdzie n jest liczbą całą.

Wtedy okresem osi jest

4A° =

4.180°

2 n -f 1

i rząd tej osi jest:

2» 4- 1 *=-2

co jest absurdem, bo (2n -f- 1) : 2 nie może być liczbą całą, tymczasem rząd osi jest to liczba cała, jak to wiadomo z §-fu 42-giego. Gdy zaś A° jest parzyste, to

180°

A° =

360°

4 A° =

(p — n

co nie przeczy pojęciu osi przystawania i założeniu, że n jest liczba cała.

A więc, kąty pomiędzy płaszczyznami inwersyi muszą być zawsze parzyste.

§ 45. Twierdzenie o trzech rodzajach tetartosymetryi. Trzy są rodzaje tetartosymetryi.

Z §-fu poprzedniego wynika bezpośrednio, że rodzaje tetarto-symetryczne mogą być następstwem tylko tych trójkątów sferycznych płaszczyzn zwierciadlanych, których boki tworzą kąty, będące parzystemi częściami półkola, t. j. typy

A więc mamy tylko trzy rodzaje tetartosymetryczne. Ich płaszczyzny zwierciadlane oznaczymy przecinkiem podwójnym.

ą 2” 2” 2” )

S( 2” 2” 4” )

S( 2" 2” 6” )

Rzut stereograficzny tych rodzajów znajduje się w piątej kolumnie rysunku 77-go. Płaszczyzny inwersyi oznaczone są grubemi liniami przerywanemi.

§ 46. Twierdzenie o trzydziestu dwu rodzajach syme-trycznośei krystalograficznej. Są trzydzieści dwa rodzaje syme-tryczności krystalograficznej.

Krótki przegląd dotychczasowego rozumowania naszego przekonywa, że wyczerpaliśmy wszystkie rodzaje symetryczności, czyniące zadość prawu jednorodności. A więc powtórzmy w streszczeniu wykład nasz o prawie kierunków równych.

Nasamprzód podaliśmy defmieyę kierunków równych i wskazaliśmy, że kierunki równe leżą w krysztale symetrycznie. Potem określiliśmy pojęcie płaszczyzny zwierciadlanej. Następnie dowiedliśmy, że istnieją tylko trzy przekształcenia symetryczne. Dalej doszliśmy do wniosku, że kąty pomiędzy płaszczyznami zwierciadlanemi czynią zadość prawu jednorodności tylko o tyle, o ile mierzą 180°, 90°, 60°, 45°

i 30°. W następstwie poczyniliśmy wszystkie możliwe połączenia płaszczyzn pod tymi kątami po dwie i po trzy. Nakoniec wszystkim tym połączeniom nadaliśmy wszystkie możliwe znaczenia płaszczyzn odbicia, obrotu i inwersyi.

Na tej drodze, krok za krokiem, poznaliśmy jedenaście rodzajów holosymetrycznych, jedenaście rodzajów hemi-symetryi zupełnej, siedm rodzajów hemisy me tryi niezupełnej i trzy rodzaje t e t ar t o s y me tr y c z ne, co w wypadku ostatecznym stanowi trzydzieści dwa rodzaje symetryczno-ści, możliwe w budowie i własnościach ciała krystalicznego. Znaki ich mamy zebrane w tablicy następującej.

Holo-

symetrya

Hem isymetrya

zupełna

niezupełna

Tetarto-

symetrya

S( 2' ) s( 3’ )

S( 6’ )

S( 2 2 2 )

S( 2’ 2’ 2’ )

S{ 2¹ 2¹ 2 )

S( 2” 2” 2” )

5( 2 2 3 )

S( 2’ 2’ 3¹ )

S{ 2’ 2’ 3 )

S( 2 2 4 )

S( 2’ 2’ 4’ )

S{ 2’ 2’ 4 )

S( 2’ 2 4’ )

S( 2” 2” 4” )

S( 2’ 2’ 6’ )

S( 2¹ 2’ 6 )

S( 2' 2 6’ )

S( 2” 2” 6” )

S( 2 3 3 )

S( 2’ 3’ 3’ )

S’( 2 3 4 )

S( 2’ 3’ 4’ )

S( 2' 3 4’ )

Z wyjątkiem rodzajów S( 2’ 2’ 3 ) i S( 2 2 3 ), których przykłady są nieznane, (ale odkrycie ciała, którego kryształy są przykładem danego rodzaju symetryczności, jest tylko sprawą czasu i przypadku), znamy kryształy wszystkich rodzajów pozostałych; a co ważniejsza, pomimo, że poznane są liczne tysiące ciał krystalicznych, nie znamy ani jednej takiej substancyi, której kryształy rodzajem swojej symetryczności nie odpowiadałyby żadnemu z rodzajów, przewidzianych przez teoryę.

Teorya rodzajów symetryczności krystalograficznej, podana w ten sposób, jak to się czyni w książce niniejszej, wyczerpująco i dowodnie przekonywa, że muszą istnieć trzydzieści dwa rodzaje symetryczności krystalograficznej i że nie może ich być ani mniej ani więcej.

¹

   Dla ułatwienia i unaocznienia sprawy figurom omawianym umyślnie nadano kształt strzałek niesymetrycznych.

²

   Na rys. 68 i dalszych płaszczyzna odbicia P jest wyrażona łukiem

³

koła, bo wyobrażamy sobie, że figury F i Fn są styczne z powierzchnią kpin

Najważniejszym dowodem słuszności tej teoryi jest rodzaj 8( 2” 2” 4”) który, jak widzieliśmy, wywodzi się zupełnie gładko, tak, że nie zwraca na siebie żadnej uwagi szczególnej, ani wymaga dowodzenia osobnego, podobnie, jak wszystkie inne rodzaje. A jednak możliwość istnienia tego rodzaju symetryczności była podawana w wątpliwość, a nawet zaprze-czana przez niektórych autorów teoryj innych, tembardziej, że kryształy rodzaju £(2” 2” 4”) były nieznane. Po ogłoszeniu wyłożonej tu teoryi otrzymany został zasadowy margarycian wapnia Ca₂Al₂SiOrj. którego kryształy mają symetryczność rodzaju S{ 2” 2” 4”).

Przez topienie bromku wapniowego CaBr₂ z niewielkim dodatkiem kaolinu H₂Al₂Si₂Os .II₂0 powstaje stop, składający się z kilku ciał krystalicznych.

Al

Rys. 86. Kryształ zasadowego mar-garycianu wapniowego z figurami wytrawionemi (schematycznie).

Pomiędzy niemi znajduje się bardzo drobna ilość mikroskopowej wielkości kryształów, które zostały wydzielone i zanalizowane, poczem ustalono ich skład, wyrażający się wzorem Ca₂Al₂Si0₇. Kształt tych kryształów mamy na rys. 86: słup kwadratowy Ł, zamknięty płaszczyznami podsta-wowemi P, którego naprzemianległe krawędzi podstawowe ścięte są czterema ścianami F. Figury wytrawione na ścianach słupa Ł okazują, że ściany te są asymetryczne i że wszystkie cztery są sobie równe, przyczem figury wytrawione, otrzymane na ścianach przyległych są do siebie w stosunku inwersyi, a figury na ścianach przeciwległych przystają do siebie po obrocie kryształu o 180° dokoła osi pionowej. Figury wytrawione na ścianach P również są do siebie w stosunku inwersyi i też dowodzą istnienia prostopadłej do P osi przystawania drugiego rzędu. Figury te rysunek 86 przedstawia schematycznie. Figury na ścianach tylnych wyobrażone są kropkami.

Załóżmy trójkąt S( 2”2”4”) i wykreślmy wszystkie jego powtórzenia kalejdoskopowe (rys. 87). Wtedy prosta Z, w myśl twierdzenia §-fu 43-ciego, musi być osią przystawania drugiego rzędu, bo A°= 45°, więc 44 = 180°, przeto

rp = 3600 ; 180" = 2.

Załóżmy biegun dowolny I i wyznaczmy wszystkie jego powtórzenia symetryczne. Z założenia inwersyi wynika, że każde z nich wtedy tylko jest realne, jeżeli powstało przez kolejne odzwierciedlenie w trzech płaszczyznach inwersyi. A więc pierwsze realne odzwierciedlenie bieguna I znajduje się na dolnej półkuli 11, drugie na górnej III, trzecie na dolnej IV, a czwarty raz biegun odzwierciedlony znajduje się w tym punkcie, z którego wyszliśmy. A więc, jeżeli jest biegun I, muszą być jeszcze trzy, równe biegunowi I, leżące w punktach II, III i IV. Gdy do punktów tych przeprowadzimy płaszczyzny styczne, to, oczywista, będą one odpowiadały ścianom F, rysunku 86-go. Rozpostarte do przecięcia się wzajemnego dają one bryłę rys. 88: t. zw. podwójny sfenoid

tetragonalny. Ściany w tym do siebie stosunku się znajdujące będą przez nas otrzymane bez względu na to, w którem miejscu założymy biegun I, z wyjąt-

Rys. 88. Podwójny sfenoid tetragonalny.

Rys. 87. Rzut stereogranczny biegunów (hkl) w klasie S( 2” 2” 4” ).

kiem okręgu koła projekcyi i jego środka. To znaczy, że w tym rodzaju syme-tryczności możliwe są liczne sfenoidy, których spoiną cechą jest naprzemian-ległość ich ścian co 90°.

Gdy przeniesiemy biegun 1 na obwód koła projekcyi, to samo stanie_się z biegunami i/, III i IV. Otrzymamy cztery bieguny na obwodzie w odstępach

11

Rys. 89. Figura wytrawiona kryształów margarycianu wapniowego na płaszczyźnie podstawowej, widziana z gó-[tj. Powiększenie 310.

Rys. 90. Figury wytrawione na płaszczyznach podstawowych margarycianu, widziane z boku. Powiększenie 310.

co 90°, a gdy przeprowadzimy do nich płaszczyzny styczne będziemy mieli słup kwadratowy Ł złożony z czterech ścian sobie równych, z których każda jest prostopadła do dwu z pozostałych, a do trzeciej równoległa. Słupów tych może być w tym rodzaju tyle, ile jest punktów na obwodzie koła. zgodnych z prawem jednorodności.

Nakoniec, przesuńmy biegun 1 w punkt środkowy koła projekcyi. Zleje się on wtedy z biegunem 111 w środku na półkuli górnej, a z biegunami II i IV stanie się to samo na dolnej półkuli. Otrzymamy formę jedyną w swoim rodzaju; dwuścian podstawowy \P rys. 86). Ściany tej formy, jako prostopadłe do osi przystawania drugiego rzędu, muszą mieć obrót 180°, to jest po obrocie o 180° muszą przystawać do swego położenia pierwotnego.

zu-

Jak widzimy, teoretyczne wyprowadzenie form rodzaju S( 2” 2” 4”) pełnie zgadza się z tern, co otrzymano na kryształach margarycianu wapniowego.

Dla ostatecznego i bezpośredniego dowodu, że tak jest w istocie, rys. 89, 90 i 91 podają mikrofotogramy figur wytrawionych, które na rys. 86 przedstawione są schematycznie.

Rys. 91. Figury wytrawione margarycianu na ścianach słupa. Powiększenie 310.

Rys. 89 jest to mikrofotogram figury wytrawionej kwasem solnym na płaszczyźnie podstawowej (P na rys. 86). Na rys. 90 widzimy inny kryształ margarycianu, leżący na ścianie słupa, a więc figury, wytrawione na ścianach P, w tem położeniu kryształu widzialne są z boku. Tak się zdarzyło pomyślnie, że na obu ścianach P powstały figury wytrawione, co pozwala widzieć, że na jednej ścianie P figura leży podłużnie, a na drugiej poprzecznie : dłuższa oś jednej jest równoległa do płaszczyzny fotogramu, a drugiej figury oś krótsza jest w tem położeniu. Nakoniec rys. 91 jest to mikrofotogram figur wytrawionych kwasem azotowym na ścianach słupa Ł. Jedną widzimy wprost, a drugą z boku. Widać, że figury na dwu przyległych ścianach słupa są odwrócone jedna względem drugiej o 180°.

ZAKOŃCZENIE.

§ 47. Znaczenie krystalograficzne płaszczyzn zwierciadlanych i osi przystawania.

Należy dodać stów kilka o znaczeniu krystalograficznem płaszczyzn zwierciadlanych i prostych, w których się one przecinają. Mianowicie, wypada rozwiązać zagadnienie, nasamprzód, czy płaszczyzny te i ich przecięcia się są możliwe na krysztale jako jego ściany i krawędzi. Następnie należy rozwiązać zagadnienie drugie: o ile są one możliwe w tym charakterze, t. j. które płaszczyzny zwierciadlane w każdym rodzaju i które ich przecięcia możliwe są

Znaczenie krystalograficzne płaszczyzn zwierc. i osi przystawania. H3 .jako ściany i krawędzi kryształu. Zagadnienia te stawiamy dlatego, że idzie nam o to, czy możemy i o ile możemy obierać na ściany i krawędzi czworościanu jednostkowego płaszczyzny zwierciadlane i proste, w których się one przecinają. A sprawa to nie błaha, bo najprostsze wyznaczniki ścian otrzymują się właśnie w takim wyborze czworościanu jednostkowego.

Odpowiedź na te pytania znajdziemy w trzech twierdzeniach następujących.

1°. Płaszczyzna odbicia jest zawsze możliwa jako ściana kryształu.

Li

Rys. 92. Płaszczyzna odbicia i cztery przecinające się z nią ściany kryształu w rzucie stereograficznym

Łuk wielkiego koła PZ (rys. 92) niech będzie odcinkiem przecięcia się płaszczyzny odbicia z powierzchnią kuli, a M i N niech będą to dwie jakiekolwiek ściany kryształu, rozpostarte do przecięcia się z powierzchnią kuli. Wobec istnienia płaszczyzny odbicia PZ ściany M i N muszą się w niej odzwierciedlić i powtórzyć symetrycznie t. j. muszą oprócz nich istnieć ściany M₁ i Nj. W punktach przecięcia się M z Mx i N z Nx krawędzi tych ścian przecinają powierzchnię kuli. Ponieważ punkty te leżą na obwodzie koła PZ, t. j. na płaszczyźnie PZ, więc PZ jest wyznaczona przez dwie krawędzi kryształu, czyli jest możliwa na krysztale jako jego ściana.

Z tego wynika, że każdą płaszczyznę odbicia możemy wziąć na płaszczyznę czworościanu jednostkowego.

2°. Oś przystawania jest możliwą krawędzią kryształu, a płaszczyzna do niej prostopadła jest możliwą ścianą kryształu.

Że oś przystawania, która powstała od przecięcia się dwu płaszczyzn odbicia jest możliwą krawędzią kryształu, to wynika z twierdzenia poprzedniego. Każda bowiem płaszczyzna odbicia jest możliwą ścianą kryształu, a więc prosta, powstała od przecięcia się dwu płaszczyzn odbicia, jest tern samem możliwą kryształu krawędzią.

Go zaś do osi przystawania, powstałej przez przecięcie się dwu płaszczyzn obrotu, to jej znaczenie krystalograficzne wyjaśni się zgodnie z twierdzeniem powyższem przez rozumowanie następujące.

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii.

Wyobraźmy sobie kryształ, jako sieć przestrzenną, symetryczną względem jakiejś osi przystawania, t. j. względem dwu płaszczyzn obrotu. Zakreślmy kulę dowolnym promieniem z węzła, przez który przechodzi oś w mowie będąca, jak ze środka. Niechaj punkt L (rys. 93) będzie biegunem tej osi przystawania.

N/.Ei

Ar    L

—o-A-------»o.--

>M

“M

•-O..

E7N

Ai

Rys. 93. Rzut stereograficzny osi przystawania rzędu parzystego i dwu sieci płaskich.

Rys. 94. Przekrój MLM\, prostopadły do płaszczyzny rys. 93-go.

Jeżeli oś L jest osią rzędu parzystego, to rozumować będziemy jak następuje. Punkt A i punkt E na powierzchni kuli niech będą to bieguny dwóch któryclikolwiek szeregów sieci, przechodzących przez środek. Ponieważ oś L jest parzysta, więc, wobec istnienia A i E muszą istnieć szeregi Al i Eh leżące na płaszczyznach LM i LN. Kąt LA równy jest kątowi LAU a kąt LE równa się kątowi LEV Ponieważ szeregi A i Al są symetrycznie równe, więc odstępy ich węzłów są równe. Tak samo odstępy szeregu E równe są odstępom szeregu Ej. A więc oś L jest przekątną dwu równoległo-boków, wykreślonych na szeregach A i Aj oraz E i Eh czyli sama też jest szeregiem sieci, a przeto jest ona możliwą krawędzią kryształu.

Dla unaocznienia tego na rys. 94 wykreślony jest przekrój MA LAjMj. prostopadły do płaszczyzny rzutu stereograficznego rys. 93.

Na rys. 94 widzimy, że, jeżeli istnieje szereg A, to musi istnieć symetryczny mu szereg Ah wobec czego prosta LL jest przekątną równoległoboku szeregów.

Prócz tego zaznaczyć się godzi, że, jeżeli L jest osią rzędu parzystego, to jest ona przecięciem się dwu sieci płaskich: MAA₁Ml i NEEjNj, a więc jest możliwą krawędzią kryształu.

Co się zaś tyczy płaszczyzny, prostopadłej do osi L, to zważmy, że punkty M i N na rys. 93 są to bieguny możliwych szere-

gów sieci, ponieważ punkty te wyznaczają kierunek przekątnych równoległoboku, utworzonego przez A i przez ocljemny kierunek szeregu AI oraz przez E i Ev Widać to naocznie na rys. 94, t. j. na przekroju MA. Przekrój NE jest w treści swej taki sam, od MA różni się tylko wielkością kąta pomiędzy szeregiem E i szeregiem N lub Ł, więc jako .zbędny, nie jest nakreślony. Ponieważ oba szeregi M i N leżą na jednej płaszczyźnie, prostopadłej do osi L, więc płaszczyzna ta, jako wyznaczona dwoma szeregami, jest siecią płaską, a zatem jest możliwa, jako ściana kryształu.

Znaczenie osi rzędu nieparzystego, jako możliwej krawędzi kryształu, oraz znaczenie płaszczyzny do niej prostopadłej, jako możliwej ściany, dowodzi się jeszcze prościej.

..a

L"

An°'

Rys. 95. Rzut stenograficzny osi przystawania rzędu nieparzystego i trzech szeregów symetrycznie równych i symetrycznie leżących.

Wobec tego, że pomiędzy płaszczyznami zwierciadlanemi możliwy jest tylko jeden kąt, będący nieparzystą częścią półkola, mianowicie A° = 60° — ¹/i. 180°, więc nieparzysta oś przystawania jest możliwa tylko rzędu trzeciego: 2A° = 120°, cp = 360° : 120° = 3.

Niechaj więc L (rys. 95) będzie biegunem osi trzeciego rzędu i Ax niech będzie to biegun jednego jakiegoś szeregu sieci przestrzennej, przechodzącego przez środek kuli.

Jeżeli symetryczność sieci czyni zadość trzeciorzędnej osi przystawania, to oprócz szeregu AI muszą istnieć dwa szeregi równe mu i symetryczne: An i Am. W takim razie prosta L, jako leżąca pomiędzy trzema równymi i symetrycznymi szeregami w równych odległościach kątowy cli od każdego szeregu, jest przekątną równoległościanu, którego krawędziami są szeregi Ah An i Am, a więc sama również jest szeregiem sieci, czyli jest możliwą krawędzią kryształu. Go zaś do płaszczyzny, prostopadłej do osi L to, rzecz oczywista, jest nią płaszczyzna, przechodząca przez trzy równoodległe od środka węzły szeregów AI} An i AIU: wszystkie te trzy szeregi mają odstępy węzłów równe i leżą symetrycznie około osi L, a więc płaszczyzna przechodząca przez trzy równoodległe od środka węzły tych szeregów musi być do L prostopadła. A ponieważ wyznacza się ona trzema nie leżącemi na jednej prostej węzłami sieci, więc sama jest płaszczyzną siatkową, czyli jest możliwa na krysztale w charakterze jego ściany.

Słowem widzimy, że każda oś przystawania, czy jest rzędu parzystego, czy nieparzystego, może być wzięta na krawędź osiową czworościanu jednostkowego, a płaszczyzna, prostopadła do każdej osi przystawania, może być ścianą tego czworościanu.

3°. Jedna z płaszczyzn obrotu, lub jedna z płaszczyzn in-wersyi, jest możliwą ścianą kryształu tylko w tych przypadkach, w których leżą na niej przynajmniej dwie osi przystawania, albo w których jest ona do osi przystawania prostopadła.

Pi

Pr

....

'-------.>

lF'

Rys. 96. Drugie przekształcenie symetryczne, dokonane różnie oryentowanemi płaszczyznami obrotu, tworzącemi kąt jednakowy.

Para płaszczyzn obrotu tworzy oś przystawania z okresem 2A°, a trójkąt sferyczny płaszczyzn inwersyi daje obrót jednokładny okresu 4A° (§ 42 i § 43). A więc stały jest tylko kierunek przecięcia się płaszczyzn, t. j. kierunek osi, powstałej przez ich spół-działanie, oraz kąt A°, jaki tworzą te płaszczyzny. Ale już położenie kąta A° w obrębie okresu 2A° czy 4A° jest nieokreślone, jak to widzimy n. p. z rys. 96, gdzie położenie figury F i jej przekształcenia symetrycznego wtórego Fn jest jednakie bez względu na to, czy to przekształcenie wywołały płaszczyzny obrotu P czy Ph o ile tylko kąt pomiędzy płaszczyznami obrotu jest ten sam i o ile ten sam jest kierunek prostej przecięcia się tych płaszczyzn. Tak samo, jeżeli w utworze rys. 84 i 85 będziemy zmieniali położenie kąta PjZj i PnZn, obracając go około osi L w obrębie łuku KV, to zmieniać się będą miejsca figur urojonych, pomocniczych, a więc znaczenia fizycznego niemających, ale figury realnie istniejące w rzeczywistości, pozostaną na tych samych miejscach. Stąd wynika, że płaszczyzny obrotu i płaszczyzny inwersyi, jako elementy geometryczne tylko, a nie fizyczne, nie mają oryentacyi stałej, nie mogą więc być ścianami kryształu i co zatem idzie na elementy czworościanu jednostkowego się nie nadają, z wyjątkiem przypadków, wyszczególnionych w twierdzeniu, t. j. z wyjątkiem tych rodzajów symetrycznośei, w których płaszczyzna zwierciadlana przylega do dwu przecinających się osi przystawania, albo gdy jest ona do osi przystawania prostopadła! Wynika to z twierdzenia 2°, które głosi, że każda oś przystawania może być kryształu krawędzią, więc płaszczyzna przylegająca do dwu osi przystawania może być ścianą kryształu, oraz że płaszczyzna prostopadła do osi przystawania też jest możliwą jako ściana kryształu. Z tych dwu przypadków, wskazanych w twierdzeniu 3°, i omawianych na tern miejscu, przypadek pierwszy (płaszczyzna przylegająca do dwu osi przystawania) stanowią płaszczyzny obrotu w klasach hemisymetrycznych o trójcyfrowym znaku symetrycznośei, z wyjątkiem klas 8(2’ 2’ 2 ), 8( 2’ 2’ 3 ), 8(2’ 2’ 4 ) i 8( 2’ 2’ 6 ). W tetartosymetryi przypadek len jest niemożliwy. Przypadek drugi (płaszczyzna prostopadła do osi przystawania) zachodzi we wszystkich rodzajach hęmisymetryi oraz w te-tartosymetrycznych rodzajach 8( 2” 2” 4” ) i 8( 2” 2” 6" ) gdzie boki 4” i 6” są prostopadłe do osi przystawania.

§ 48. Sposób wyprowadzania wszystkich rorni, możliwych w jednym rodzaju symetrycznośei, i przykład opisu jednej k 1 asy kry sta lograficznej.

8(2), 8(2’), 8(3), 8(3’),

Powtórzenia kalejdoskopowe wszystkich trzydziestu dwu skojarzeń płaszczyzn zwierciadlanych w rzucie stereograficznym wykreślone są na rys. 77. do którego odwoływaliśmy się już niejednokrotnie. Ńa rysunku tym linie grube ciągłe oznaczają rzuty płaszczyzn odbicia, linie cienkie ciągłe — płaszczyzny obrotu, linie grube przerywane — płaszczyzny in-wersyi. Linie cienkie przerywane nie mają znaczenia płaszczyzn zwierciadlanych; oznaczają one tylko obwód koła projekcyjnego w tych rodzajach, w których płaszczyzna projekcyi nie jest płaszczyzną zwierciadlaną, t. j. w rodzajach: 8'( 1 ), 8(1'

8( 4 ), 8( 4’ ),    8(    6 ), 8( 6’ ),    8( 2 3 3 ),    S{ 2’ 3’ 3’ ).

Na rys.    77    zaznaczone    są również    w każdym rodzaju    osi przysta

wania, powstałe z przecięcia się płaszczyzn zwierciadlanych, oraz wskazany jest. rząd każdej osi: prostokąty oznaczają rzut punktu, w którym powierzchnię kuli projekcyjnej przecina oś drugiego rzędu, trójkąty oznaczają oś rzędu trzeciego, kwadraty — czwartego i sześciokąty oznaczają osi szóstego rzędu. Wielokąty zaczernione oznaczają bieguny tych osi, które nie mają prostopadłych do siebie płaszczyzn zwierciadlanych, t. j. w rodzajach: 8( 2 ), 8( 2’ ), S(3 ), 8( 3’ ), 8( 4 ), 8( 4’ ), 8( 6 ), 8( 6’ ), 8( 2 2 3 ), 8(    2'    2’ 3’ ), S( 2    3 3 ), 8( 2'    3! 3’ ). Wielokąty    z polem bia-

łem oznaczają    te    osi przystawania, do których są prostopadłe płaszczy

zny zwierciadlane.

Powtórzmy kalejdoskopowo każde skojarzenie $( p ) czy p q r ), zakładając w każdem skojarzeniu dowolną ścianę (hkl). Powtórzy się ona kalejdoskopowo, i powtórzenia jej utworzą wielościan {liki} dający się dzielić płaszczyznami odbicia, o ile one w nim są, na części symetrycznie równe i symetrycznie leżące, oraz przywodzić do przystawania po obrocie dokoła pewnych prostych jak dokoła osi. Prócz tego w jednych przypadkach otrzymamy wielościany ze ścianami równoległemi, a w innych otrzymamy wielościany bez ścian równoległych. Wszystko to w każdym przypadku możemy odczytać z symbolu symetrycznego S( p ), czy <S\pqr) i skonstruować z jego projekcyi stereograficznej. Wielu autorów używa tu terminologii nieco odmiennej od naszej. Mianowicie płaszczyzna odbicia nosi u nich nazwę płaszczyzny symelryi. W rodzajach, mających ściany równoległe, według tego sposobu nazywania istnieje »środek symetryi«. Autorowie ci wypisują owe »elementy symetryi« ¹ wynikające, jak wiemy, z kalejdoskopowego powtórzenia skojarzeń S( p ) czy <S(pqr), oznaczając je następującymi znakami: L oznacza oś przystawania, mającą oba promienie symetrycznie równe. Lv oznacza oś przystawania biegunową czyli polarną, t. j. taką do której niema prostopadłej płaszczyzny zwierciadlanej. P oznacza płaszczyznę odbicia. C oznacza centrum, t. j. środek symetryi. Liczba położona przed znakiem L i P oznacza ilość płaszczyzn i osi w danym rodzaju. Liczba położona z prawej strony u góry znaku L oznacza rząd osi. Prócz tego jeszcze jakimikolwiek indeksami, dopisanymi u dołu liter L i P, odróżniają się osi i płaszczyzny niejednoznaczne pomiędzy sobą. Niektóre klasy mają jedną oś niejednoznaczną z pozo-stałemi, leżącemi na płaszczyźnie prostopadłej do lej jedynej w swym rodzaju osi. Taka jedyna w swym rodzaju oś nazywa się osią główną. Płaszczyzna prostopadła do osi głównej, o ile jest, płaszczyzną odbicia, nazywa się płaszczyzną symelryi głównej. Inne osi i płaszczyzny w tych klasach noszą nazwę osi i płaszczyzn bocznych.

Tak więc n. p. z projekcyi stereograficznej powtórzenia kalejdoskopowego trójkąta S( 2 3 4) odczytujemy, że len rodzaj symetryczności ma dziewięć płaszczyzn odbicia, trzynaście osi przystawania i wielościany o ścianach równoległych. Trzy płaszczyzny odbicia, do siebie wzajemnie prostopadłe, przylegają każda do dwu osi czwartego rzędu i do dwu osi rzędu drugiego. Pozostałe płaszczyzny odbicia przylegają każda do jednej osi rzędu czwartego, do jednej drugiego i do dwu trzeciego. A więc trzy pierwsze płaszczyzny nie są jednoznaczne z pozostałemi sześcioma. Według omówionego wyżej sposobu oznaczania możemy napisać symbol następujący:

5(2 3 4)= 3L\ 4£3, 6L\ 3Px, 6Pn, C.

Tak samo z innych znaków 5(pqr) możemy napisać n. p.

S( 2 3 3 ) = 3L\ 4jLp, 6P.

5( 2 2 6 ) = £«, 3L\, 3IĄU P, 3Pu 3Pu, C. i t. p.

W rzucie stereograficznym każdego rodzaju na rys. 77 oprócz tego, o czem była już mowa, umieszczony jest jeszcze biegun dowolny i wywołane przez płaszczyzny zwierciadlane jego powtórzenia symetryczne. Bieguny oznaczone kółkami są to bieguny półkuli górnej. Krzyżyki oznaczają bieguny, znajdujące się na półkuli dolnej, przyczem zastosowano do nich punkt widzenia drugi, mianowicie punkt widzenia umieszczony na górnej półkuli, aby rzuty ich znalazły się w obrębie koła projekcyi, a nie po za niem.

Z podanych na rys. 77 rzutów stereograficznych możemy również odczytać, czy wielościany danego rodzaju mają ściany równoległe, czy nie. Zważmy mianowicie, że bieguny dwu ścian równoległych leżą na jednej średnicy kuli. Jeżeli więc na jednym promieniu średnicy koła projekcyjnego na rys. 77 mamy kółko, a na drugim krzyżyk, to znaczy, że mamy tu ściany rówmoległe.

Umieszczając bieguny tak, jak to zrobiono na rys. 77, t. j. w polu trójkątów sferycznych, otrzymujemy w każdym rodzaju ogólny przypadek powtórzenia symetrycznego danej normalnej, czyli przypadek ogólny symetrycznego rozkładu kierunków równych. Kładąc zaś bieguny na bokach lub wierzchołkach trójkątów sferycznych, otrzymamy przypadki szczegółowe o mniejszej liczbie kierunków równych. Każdy x’odzaj S(p) czy S( p q r ) odpowiada jednej kłusie kryształów o spólnym rodzaju symetryczności. Prowadząc płaszczyzny styczne do kuli w tych biegunach, w każdym rodzaju i przypadku otrzymanych, możemy wyprowadzić wszystkie wielościany możliwe w danej klasie krystalograficznej, oraz przewidzieć symetryę fizyczną każdej ściany. To należy już do krystalografii opisowej, a więc przekracza założenie książki niniejszej, która ma nieporuszać szczegółów.

Dla przykładu i objaśnienia zrobimy to, o czem się mówiło przed chwilą w jednej kl asie, dowolnie wybranej ; mianowicie wyprowadzimy wszystkie możliwe w niej rozkłady kierunków równych, oraz wrszystkie rodzaje możliwych ugrupowań równych ścian i oznaczymy rodzaj fizycznej symetryczności każdej ściany na kryształach tej klasy, t. j. szczegółowiej powtórzymy z inną klasą to, co -ogólnikowo dokonaliśmy na str. 111 z klasą podwójnych sfenoidów tetragonalnych.

Jest jeden rodzaj symetryczności bardzo rozpowszechniony w świecie ciał krystalicznych. Do tego rodzaju należą kryształy substancyj wielkiej wagi w chemii i mineralogii; jedne z tych substancyj są bardzo rozpowszechnione w skorupie ziemskiej, jako istotne części składowe skał najważniejszych, zajmujących wielkie obszary i tworzących olbrzymie pasma górskie i płaskowzgó-rza, inne są znów w nieustannem użyciu chemii, lub medycyny i przemysłu, a są prócz tych znowuż takie, które były przedmiotem i podłożem badań bardzo ważnych i wybitnych w historyi nauk fizyko-chemicznych. Jest to ta klasa, do której należą kryształy wielu skaleni, licznych piroksenów, niektórych am-

fibolów, kryształy wszystkich łyszczyków, chlorytów i epidotów, kryształy niektórych stanów siarki, kryształy gipsu, soli glauberskiej, witryolu żelaza, soli Berthollet’a, boraksu, chlorku barowego, octanu sodowego, octanu miedzi (gryn-szpanu), octanu ołowiawego (cukru ołowianego), kwasu szczawiowego, kwasu salicylowego, antracenu, naftalinu i wielu innych substancyj. Czytelnicy książki niniejszej są już obeznani z nią, bo kryształ skalenia, opracowany w § 2(P należy właśnie do tej klasy.

Klasa omawiana nosi nazwę klasy słupów j e d n o s k"o ś n y c h. Stanowi ją zbiór wszystkich kryształów, których stopień i rodzaj symetryczności odpowiada rodzajowi hemisymetryi niezupełnej S( 2’ 2¹ 2 ). Jest to więc kalejdoskopowe powtórzenie trójkąta sferycznego o trzech kątach prostych, którego jeden bok jest płaszczyzną odbicia, a dwa pozostałe są płaszczyznami obrotu. To znaczy, że mamy tu dwie prostopadłe do siebie płaszczyzny obrotu przecięte prostopadłą do nich obu płaszczyzną odbicia. Ponieważ dwie, przecinające się pod kątem prostym, płaszczyzny obrotu dają oś przystawania drugiego rzędu, więc innemi słowy klasa ta charakteryzuje się tem, że ma jedną płaszczyznę odbicia i jedną prostopadłą do niej oś przystawania drugiego rzędu.

Rodzaj w mowie będący jest podany na rys. 77 w trzeciej kolumnie na pierwszem miejscu od góry. Tam płaszczyzna odbicia jest płaszczyzną proje-kcyi, a więc osią projekcyi jest oś przystawania. Ten sposób wyboru płaszczyzny rzutu, zastosowany na rys. 77 dla jednostajności z pozostałymi rodzajami kolumny trzeciej, nie jest wygodny ze względów praktycznych, a więc nie jest on zgodny ze sposobami oryentacyi, przyjętymi powszechnie, które podaliśmy w §-tie 20*. Tu więc obrócimy⁷ utwór omawiany o 90° i ustawimy płaszczyznę odbicia prostopadle do płaszczyzny rzutu, a osi przystawania nadamy kierunek Y (rys. 97), tak jak postąpiliśmy z kryształem skalenia, opracowanym w §20/.

Na powierzchni kuli, w jej prawym przednim górnym oktancie, załóżmy biegun dowolny, byle nie leżący na żadnym boku trójkąta sferycznego S( 2¹ 2’ 2 )._ Na rys. 97 oznaczony on jest kółeczkiem i cyfrą I.

Założywszy biegun J, wyznaczmy wszystkie jego odzwierciedlenia, które są następstwem trójkąta S( 2¹ 2’ 2 ), czyli odbijajmy go we wszystkich trzech płaszczyznach, dopóki nie otrzymamy odbicia w tym samym punkcie, z którego wychodzimy, t. j. w punkcie 1.

Pierwsze odzwiercielenie II jest realne, bo powstaje od płaszczyzny odbicia (2), oznaczonej na rys. 97 linią grubszą. Następne odzwierciedlenie w płaszczyźnie ( 2’)r, oznaczonej na rys. 97 cieńszą linią Y, nie istnieje, aż dopiero odzwierciedli się po raz wtóry w płaszczyźnie ( 2’ ), będącej w danym razie płaszczyzną rzutu. A więc odzwierciedlenie to znajduje się na dolnej półkuli. Jest to mianowicie biegun III, oznaczony krzyżykiem, tak samo jak na rys. 77, gdzie wszystkie bieguny półkuli dolnej oznaczone są krzyżykami. Biegun III odzwierciedlony płaszczyzną (2) daje biegun IV, który znów odzwierciedlony dalej jedną płaszczyzną ( 2¹ ), w danym razie będącą płaszczyzną rzutu, nie daje istotnego bieguna, aż dopiero po drugiem odzwierciedleniu się w płaszczyźnie (2’)r nabiera rzeczywistego istnienia i trafia w punkt I, t. j. w punkt pierwotnie założony. A wiec obeszliśmy całą powierzchnię kuli i powróciliśmy dó tego samego punktu, z którego wyszliśmy. To daje nam pewność, że wy-

Wyznaczywszy odzwierciedlenia bieguna założonego, otrzymaliśmy utwór geometryczny, który jedną płaszczyzną (2) dzieli się na dwie połowy symetrycznie równe i symetrycznie leżące, i który przywodzi się do jednokładności sam z sobą po obrocie o kąt 180° około prostej, prostopadłej do tej płaszczyzny. Z rozmieszczenia jednoznacznych biegunów wnosimy, że wielościany tego rodzaju muszą mieć pary ścian równoległych. Możemy to napisać w skróceniu: S{ 2’ 2’ 2 ) = L². P. C. Jak już nadmienialiśmy poprzednio, jest to cecha spoina, a więc istotna wszystkich kryształów do tej klasy należących. Mówimy o nich, że mają jedną płaszczyznę odbicia i jedną do niej prostopadłą oś przystawania drugiego rzędu. Widzimy to na wszystkich rysunkach, podanych w książce niniejszej, które przedstawiają kryształy klasy slupów je-dnoskośnych: gipsu (rys. 2 str. 8) i skalenia (rys. 21—24 str. 22 i str. (19 rys. 57, 58).

czerpaliśmy wszystkie powtórzenia symetryczne bieguna, pierwotnie przez nas założonego.

Z-£--ł\₊y

-Y\

2'

Rys. 97. Rzut stereograliczny biegunów formy {hhl} w klasie S{ 2’ 2’ 2 ).

Przeprowadźmy płaszczyzny styczne do kuli w tych biegunach, które wyznaczyliśmy na rys. 97. Otrzymamy cztery płaszczyzny, które tworzą słup o przekroju rombowym, równoległy do jednej jakiejś prostej, leżącej na płaszczyźnie odbicia. Cztery te płaszczyzny, rzecz oczywista, są pomiędzy sobą jednoznaczne. Zarazem stanowią one pewną całość, bo istnienie jednej z nich warunkuje obecność trzech pozostałych, są one bowiem wyrazem rodzaju symetryi tej klasy. Taki właśnie zbiór ścian jednakowego pochodzenia symetrycznego, a wiec fizycznie sobie równych, nazywa się w krystalografii formą krystalograficzną pojedynczą. Przykłady form pojedynczych już mieliśmy: ściany L kryształu platynocyanku magnezowego (§ 21 rys. (52 str. 77) stanowią jedną formę, ściany P drugą, ściany T trzecią formę, lub na kryształach margarycianu wapniowego (rys. 84 w § 48 str. 110) cztery ściany Ł tworzą jedną formę — słup, cztery ściany F — sfenoid, dwie ściany P — dwuścian podstawowy.

Słuszna jest rzecz, aby ściany jednej formy krystalograficznej miały jednakowe wyznaczniki, t. j. jeden znak krystalograficzny. Ponieważ biegun 1 założyliśmy dowolnie, więc możemy napewno twierdzić, że względem jakiegoś ewentualnego czworościanu jednostkowego należą mu się jakieś trzy nierówne wyznaczniki (hhl). Znak ten odpowiada ścianie prawego górnego przedniego oktantu, bo wszystkie, trzy jego liczby są dodatnie. Możemy go przypisać całej formie, a na znak tego, że oznacza on całą formę a nie jedną płaszczyznę, zamkniemy go w nawias klamrowy: {hhl}. Niewątpliwie znak ten jest słuszny względem wszystkich czterech ścian słupa, jeżeli tylko na krawędzi czworościanu jednostkowego wybierzemy oś przystawania i dwie proste leżące na płaszczyźnie odbicia.

Znak {hhl} oznacza w klasie omawianej tę formę, która jest zbiorem powtórzeń symetrycznych ściany, założonej w prawym przednim górnym oktan-cie. Zwróćmy jednak uwagę, że forma {hkl} zajmuje tylko cztery oktanty kuli; drugie cztery oktanty, tamtym przeciwległe, są wolne. A więc rzecz jasna, że w klasie omawianej może istnieć druga jeszcze forma tego samego znaku, poprzedniej nierówna i od niej niezależna. Istotnie, jeżeli założymy biegun (hkl), czyli ścianę w oktancie górnym prawym tylnym, t. j. gdy w rys. 97 zamienimy kółka na krzyżyki i odwrotnie, lo otrzymamy drugi słup {hkl} powstały z powodu zjawienia się ściany (hkl) nierówny fizycznie słupowi (hkl) i odeń niezależny, lecz tak samo jak on zoryentowany względem czworościanu jednostkowego, tylko leżący na przeciwległych poprzedniemu częściach kryształu.

Forma {hkl} czy {hkl} jest w klasie omawianej ogólna, t. j. ma największą ilość ścian w tej klasie możliwych, wyraża sio znakiem o trzech nierównych wyznacznikach, biegun jej nie leży w żadnym szczególnym punkcie względem wierzchołków i boków trójkąta sferycznego S( 2’ 2’ 2 ), a więc gdy nadamy jej wyznacznikom h, k, l, jakieś wartości szczegółowe, t. j. gdy po-• czniemy umieszczać jej biegun na bokach i wierzchołkach trójkąta S( 2’ 2’ 2 ), to otrzymamy wszystkie szczegółowe formy klasy omawianej.

Formę {hkl} w klasie omawianej nazywamy słupem jednoskośnym. Ponieważ wszystkie formy w tej klasie, których bieguny leżą w polu trójkąta S( 2’ 2’ 2 ), są to również słupy jednoskośne, a wszystkie formy, których bieguny znajdują się na bokach lub wierzchołkach tego trójkąta, są to szczegółowe przypadki słupa jednoskośnego, więc nazwaliśmy tę klasę klasą słupów j ednoskośny ch. Każda klasa krystalograficzna nosi nazwę swej formy ogólnej {hkl}, użytą w liczbie mnogiej (ob. § 50).

Rzecz jest sama przez się oczywista, że ściany (hkl) jako nie prostopadłe ani do płaszczyzny odbicia, ani do osi przystawania, są asymetryczne, to znaczy, że n. p. figury wytrawione, lub figury spękań na nich otrzymane są zawsze utworami, pozbawionymi wszelkiej symetryczności.

Ścianę jednego słupa obiera się na płaszczyznę (111), wtedy, rozumie się słup ten ma znak {111} n. p. słup O skalenia, lub L gipsu (ob. rys. 2, 57 i 58)

Wszystkie słupy, równoległe do krawędzi osiowej X, mają pierwszy wyznacznik równy zeru; znak ich: {Oki} np. słup N skalenia {021} (oh. rys. 57, 58, 59 i tabl. IV). Rzecz oczywista, że jeżeli każdej wartości wyznaczników h, k, l, odpowiadają dwa słupy: {hkl} i {hkl}, to każdemu znakowi {Oki} odpowiada słup jeden.

Wyobraźmy sobie teraz, że biegun 1 przesuwamy coraz bliżej do obwodu koła projekcyi. Oczywista rzecz, że, jeżeli jeden biegun odsuwa się od płaszczyzny odbicia, to wszystkie jego powtórzenia symetryczne czynią to samo. Aż wreszcie gdy znajdzie się on na obwodzie, to znajdą'się tam również wszystkie trzy pozostałe, przyczem otrzymamy jeden wynik bez różnicy czy będziemy to czynili z biegunem (hkl) czy (hkl), t. j. że każdy słup czy {hkl} czy {hkl} stanie się wtedy słupem pionowym {hkO}. Przykłady słupów pionowych to ściany T {110} lub L {130} skalenia albo F{110} gipsu. Słupom tym przypisujemy znak {hkO}, t. j. wyznacznikowi l dajemy wartość 0, bo oś Z zawsze czynimy osią projekcyi. A więc ściany, których bieguny leżą na obwodzie koła projekcyjnego, t. j. ściany do płaszczyzny rzutu prostopadłe, są przez to równoległe do osi Z.

Gdy przeniesiemy biegun 1 na drugą płaszczyznę obrotu, t. j. na drugi bok ( 2¹) trójkąta sferycznego, czyli w projekcyi na średnicę Y, otrzymamy również słupy.

krysztale jednego nie po-

na

Gdy biegun 1 umieścimy na boku ( 2 ), t. j. na płaszczyźnie odbicia, wtedy zleje się on z biegunem 11 w jeden punkt. To samo stanie się po drugiej stronie kuli, t. j. bieguny 111 i IV znajdą się na jednym punkcie płaszczyzny odbicia. Gdy w tych punktach przeprowadzimy płaszczyzny styczne, otrzymamy nową formę — dwu ścian. Ponieważ wszystkie ściany, których bieguny leżą na wielkiem kole ( 2 ), są równoległe do osi Y, więc znaki ich mają na drugiem miejscu 0 :{h01}. Rzecz jasna, że ściana (hOl), t. j. leżąca na górnej przedniej półkuli, należy do dwuścianu {hOl}\ a zarazem oczywista, że jest możliwa ściana (hOl) na górnej tylnej półkuli, należąca do dwuścianu {hOl}. A więc jednej wartości h i 1 odpowiadają dwa dwuściany {hOl} i {hOl} sobie nierówne i nawzajem niezależne, t. j. obecność ciąga za sobą istnienia drugiego. N. p. kryształy skalenia mają dwuścian 3{101} i dwuścian 3 {201}, a dwuścianów {101} i {201} na nich niema.

Zależnie od wyboru krawędzi na oś X i Z, dwa dwuściany otrzymują wartość 0 także dla trzeciego lub pierwszego swego wyznacznika. Mianowicie, dwuścian, równoległy do osi Z, ten którego biegun leży w punkcie przecięcia się obwodu projekcyi z płaszczyzną odbicia, ma znak {10o} to jest dwuścian K {100} niektórych kryształów skaleni (ob. rys. 24, 58 i 59), a ten, który jest równoległy do osi X ma znak {001} i nazywa się dwu ścianę m podstawowym, np. dwuścian P{001} u skaleni.

Rzecz jasna, że ściany dwuścianów są monosymetryczne, są one bowiem prostopadłe do płaszczyzny odbicia. Każde zjawisko fizyczne odbywa się na nich symetrycznie względem śladu płaszczyzny odbicia i względem ich krawędzi. N. p. spękania muskowitu rys. 60 (str. 76) wywołane są na ścianie (001). Są one symetryczne względem jednej szczeliny, a ta szczelina jest równoległa do jednej krawędzi dwuścianu {001}.

Nakoniec kiedy umieścimy biegun 1 w punkcie -j- Y rysunku 97-go, to spłynie się on w jeden punki z biegunem IV, a to samo stanie się z biegunem 11 i 111 w punkcie—Y. Przeprowadziwszy płaszczyzny styczne w tych punktach z kulą, otrzymujemy dwuścian {010} prostopadły do osi przystawania, równoległy do płaszczyzny odbicia, a więc równoległy do obu osi: X i Z. Przykłady tej formy: na kryształach skaleni forma M {010}, na kryształach gipsu P{010}.

Prostopadłość dwuścianu {010} do osi przystawania czyni go formą jedyną w swoim rodzaju w klasie omawianej: nie wymaga dowodzenia, że wszystkie zjawiska, na nim zachodzące, odbywają sie tak, że jest on jedno-kładny sam z sobą po obrocie o 180°. ale nigdy nie da się on podzielić na dwie połowy symetrycznie równe i symetrycznie leżące. A więc ściany (100) i (100) są fizycznie odmienne od wszystkich innych dwuścianów, bo tamte są monosymetryczne, i od wszystkich słupów, bo słupy są asymetryczne. Mówimy zatem, że dwuścian {010} na kryształach tej klasy ma obrót drugiego rzędu, albo obrót dwukrotny.

Zważmy teraz, że w znaku (hkl) nadaliśmy wartość 0 każdemu kolejno wyznacznikowi, a także porobiliśmy wszystkie przełożenia z jedności i dwu zer.

Wyrażając to graficznie, umieściliśmy biegun I we wszystkich szczególnych-punktach projekcyi, to znaczy, że poznaliśmy wszystkie rodzaje ścian i wszystkie połączenia ścian równych w formy proste, jakie tylko są możliwe na kryształach klasy słupów jednoskośnych. Oto ich spis dla powtórzenia.

Rodzaj symetryi ścian.

Nazwy form.

Wyznaczniki.

Słupy.

Dwuściany.

{hkl}, {Oki}, {hkl}, {hkO} {100}, {hOl}, {001}, {Ml}

Ściany asymetryczne.

Dwuścian.

{010}

| Ściany monosymetryczne.

! Ściany z obrotem 2-go rzędu.

To wszystko, co powiedziano o klasie omawianej i jej symetryi, odnosi się przedewszystkiem do symetryczności wielościanu przyrostu i rozpuszczania, t. j. do ilości ściap, do ich równości i rozkładu, oraz do figur na nich wytrawionych. Rozważmy jeszcze, jak zachować się winny kryształy klasy słupów jednoskośnych względem innych własności fizycznych.

Na płaszczyznach prostopadłych do najmniejszej spójności kryształy wykazują łupliwość, która w różnych kierunkach może być różna, o ile te kierunki są nierówne, a jednakowa w kierunkach równych. A więc w kryształach omawianych możemy spodziewać się łupliwości w jednym kierunku albo na płaszczyznach równoległych do płaszczyzny odbicia, albo na płaszczyznach do tej płaszczyzny prostopadłych. Jeżeli zaś łupliwość będzie równoległa do płaszczyzny tworzącej z płaszczyzną odbicia kąt nierówny 90°, to jednakowo doskonała łupliwość zachodzić bodzie w kierunku symetrycznym, tworzącym taki sam kąt z płaszczyzną odbicia po drugiej jej stronie. Istotnie tak się dzieje. N. p. kryształy skalenia potasowego (ortoklazu) mają doskonałą łupliwość równoległą do ściany P{001), (rys. 57 str. 691, mniej doskonałą, acz dość wyraźną, równoległą do ściany 31(010) i bardzo niewyraźną, równoległą do ścian słupa T (110), a więc w dwu kierunkach jednakową.

Kryształy posiadające osi polarne, t. j. takie proste, których kierunki dodatnie nie są równe kierunkom ujemnym, n. p. kryształy klasy S( V ) (por. str. 97) otrzymują na biegunach osi polarnych różnicę potencyału elektrycznego, gdy są jednostajnie ogrzewane albo studzone. Rzecz jasna, że kryształy klasy słupów jednoskośnych tej własności mieć nie mogą.

Co się tyczy tych własności fizycznych, które się odbywają według elipsoidy, jak n. p. zjawiska optyczne, to w kryształach klasy słupów jednoskośnych elipsoida każdego zjawiska, wywołanego energią promienistą, musi być zawsze elipsoidą trójosiową, lecz w każdym przypadku jedna oś elipsoidy musi być zgodna z osią przystawania. Doświadczenia i obserwacye wykazują, że tak jest w istocie. Tak n. p. wszystkie zjawiska optyczne w kryształach klasy omawianej odbywają się symetrycznie do krawędzi kryształu na ścianach pasa równoległego do osi przystawania. Na wszelkich innych ścianach odbywają się one skośnie względem krawędzi i największe odchylenie wykazują na ścianach (010) i (010).

Wyprowadzając wszystkie możliwe formy pojedyncze w każdej klasie ze znaku jej symelryczności (S'(pqr), t. j. przewidując ilość ścian każdej formy, ich wzajemny stosunek przestrzenny i symetryczność fizyczną każdej ściany, idziemy za prawem kątów stałych, t. j. rozważamy kompleksy normalnych a pomijamy wielościany, jakie powstają po przeprowadzeniu płaszczyzn do nich prostopadłych. Jeżeli przytem nazywamy kompleksy normalnych nazwami brył. to tylko przez hołdowanie tradycyi.

Jednak dla osób początkujących i nie mających wyrobionej wyobraźni geometrycznej bywają pomocne rysunki perspektywiczne wielościa-nów, odpowiadających temu czy owemu rozkładowi biegunów na kuli. Przyjęto wykreślać je izosymetrycznie t. j. tak, aby ściany równe, czyli będące wzajemnem powtórzeniem symetrycznemu leżały na równej odległości od środka. Wtedy, przecinając się wzajemnie, wszystkie ściany równe zostają otoczone pozostałemi ścianami jednakowo i otrzymują ograniczenia swe w kształcie jednakowych wielokątów np. na rys. 16 (str. 15) wszystkie ściany I są ośmiokątami, wszystkie ściany T mają zarys sześciokątów, wszystkie ściany L są równoległobokami prostokątnymi.

w wielu formach tych klas, których syme-

oraz

W takich rysunkach kształt wieloboku uzmysławia rodzaj syme-tryczności danej ściany, np. ściana I rys 16 jest czterosymetryczna, 1 trójsymetryczna, L — dwusymetryczna, o ile rozumie się symetryczność geometryczna i fizyczna idzie w parze, co właściwie dzieje się tylko w formach {h k /}, tryczność uzasadnia się tylko płaszczyznami odbicia, bez płaszczyzn obrotu i in wersy i.

W przypadkach wzrostu wyjątkowo pomyślnych czasami powstają kryształy izosymetryczne, np. galenit w postaci wielościanów rys. 13 (str. 15), magnetyt w ośmiościanach umiarowych, lub kwarc taki, jak na rys. 36, 37, lub 38 (str. 49). Ale są to przypadki rzadkie. Przeważnie ściany kryształów są bardzo znacznie poprzesuwane na rozmaite odległości od środka, a więc zazwyczaj kształt ich i pokrój jest bardzo daleki od kształtu izosymetrycznego, tak jak wielościan rys. 39 od wie-lościanu rys. 36-go i rys. 38-go.

§ 49. Przegląd klas, do których należą kryształy ciał, wymienianych w „Podstawach“ jako przykłady, oraz wyjaśnienie różnicy pomiędzy symetryą geometryczną i fizyczną.

Nie będzie od rzeczy wymienienie tych klas krystalograficznych, do których należą kryształy, przytaczane w tej książce jako przykłady.

Wielościan krystaliczny aksynitu IIMgCa₂BAl₂Si₄ Oie (rys. 29 str. 37) i 32 str. 42) oraz wielościan teoretyczny (rys. 30 str. 37 i rys. 31 str. 41) są to przykłady symetryczności rodzaju S( 2'' 2” 2”), t. j. klasy dwuścianów trój skośnych. Każda ściana ma tylko jedną sobie równą i równoległą na przeciwległej części kryształu.

Kryształy staurolitu BFeAl^Si^O^ i ar ago ni tu CaCOs (rys. 40, 41 str. 50 i rys. 64 str. 79) są oczywistym przykładem rodzaju S( 2 2 2 ), t. j. klasy podwójnych piramid rombowych: L^, L~l} L^, Pi\,Fu,Fni, C.

Dzielą się one trzema płaszczyznami prostopadlemi na części symetryczne, a wiec w trzech kierunkach prostopadłych mają obrót z przystawaniem dwukrotnemu

Kryształy piaty nocy anku magnezowego MgPt(CN)i.r/H₂0 (rys. 62 str. 77) należą do rodzaju symetryczności S{ 2 2] 4 ), t. j. do klasy po-djwój nych piramid dwutetragonalnyc h L*, JĄ, 2Ljp P, 2Pi,2Pjj, C.

K war c Si0₃ jest przykładem krystalicznym' rodzaju S( 2' 2’ 3')=L³, MĄ czyli klasy trapezoedrów trygonalnych. Trzeciorzędna oś przystawania szczególnie łatwo jest widoczna w wielościanie rys. 38 str. 49.

Apatyt 3[Ca₃(P0₄)₂]. Cai\, którego kryształ przedstawia rys. 20 (str. 21), krystalizuje się w rodzaju S{ 2' 2’ 6 ) — L⁶, P, C. Na rysunku przytoczonym istotnie widać, że kryształy te przychodzą do jednokładności po każdym obrocie o 60°; widzimy to z układu ścian L, V i E, F, oraz stosunku ich do ścian M. Potwierdzają to figury wytrawione (rys. 63 str. 78) apatytu, jakie powstają na płaszczyźnie P (rys. 20) jego kryształów od działania kwasu azotowego. Klasa ta nosi nazwę klasy heksagonalnychpiramid pod w ó j nyc h.

Minerał kalcyt CaC0₃ wymieniony jest na str. 3 i 79 dla doskonałej łupliwości. Kryształy jego są bardzo urozmaicone pod względem kształtu, ale wszystkich ich postacią zasadniczą jest romboedr wyobrażony na rys. 1 (str. 3).. Kryształy tego minerału mają symetryczność S{ 2' 2 6’), t. j. L³, 3L², 3P, C. i należą do klasy, zwanej klasą skalenoedrów heksagonalnych.

Kryształy ałunu KAl(KSOi)iA2 IItO należą do rodzaju 8'( 2’ 3 4’) = = 3L², 4L³, BP, C, t. j. do klasy dy akisdodekaedrów. Figury wytrawione,, które przedstawia rys. 4 (str. 4) powstają na ścianie ośmiościanu {111} (por. rys. 42 str. 51), która jest prostopadła do osi przystawania trzeciego rzędu-Kształt tych figur to potwierdza.

Spękania soli kamiennej Nad, które przedstawia rys. 3 (str, 3), wywołane są na ścianie sześcianu {100}: najpospolitszej formy kryształów tej sub-stancyi. Własności fizyczne kryształów soli kamiennej są takie, że zaliczamy je do rodzaju S{ 2 3 4 ) = BL*, 4L³, 6L², 3Pi, 6Pn, C, t. j. do klasy czterdzie-stoo śm i o ściano w. Jest to rodzaj najwyższej symetryczności krystalograficznej. Ściany sześcianu soli kamiennej są prostopadłe do osi przystawania czwartego rzędu, oraz do czterech płaszczyzn odbicia, przecinających się co 45° (kąt obrotu = 45° X 2 = 90°, rzęd = 360° : 90° = 4) : spękania na rys. 3 przedstawione, są sobie prostopadłe i z krawędziami sześcianu tworzą kąt 45°, a więc ściana sześcianu soli kamiennej istotnie czyni zadość wskazanemu rodzajowi symetryczności. To samo wykazują figury wytrawione, o czem będzie mowa niżej z powodu rys. 102.

Kryształy ga len i tu PbS, wyobrażone na rys. 13, 14, 15 i 16 (str. 15), należą do klasy S[ 2 3 4 j. Zaliczamy je do niej nie na zasadzie geometrycznej tylko symetryczności wielościanów. przedstawionych na tych rysunkach, ale na zasadzie własności fizycznych tego minerału. Gdyby bowiem dano nam tylko sam kształt wielościanów rys. 13, 14, 15 i 16, to mielibyśmy prawo zaliczyć je nie tylko do klasy S( 2 3 4 ), ale do S{ 2‘ 3 V ) i .s'( 2' 3' 4’), bowiem kształty te są możliwe we wszystkich tych klasach.

Aby lo co się rzekło przed chwilą, było zrozumiałe, zwróćmy uwagę na różnicę pomiędzy symetrycznością geometryczną a fizyczną.

Jeżeli założymy biegun (hkl), to otrzymamy formę ogólną, która w każdej klasie ma kształt inny, będący zupełnym wyrazem symetryczności danej klasy we wszystkich szczegółach. Symetryczność geometryczna takiej formy jest obrazem symetryczności fizycznej wszystkich kryształów danej klasy. Dla tego każdą klasę nazywamy mianem jej formy ogólnej {hkl}. Ale gdy założymy biegun nie w polu trójkąta £(pqr), lecz na jego bokach lub w którymkolwiek wierzchołku, czyli innemi słowy, gdy w znaku (hkl) nadamy wyznacznikom wartości blizkie do 1 albo nawet 1 i 0, to przez powtórzenie kalejdoskopowe tego bieguna otrzymamy formy szczegółowe, t. j. formy o mniejszej ilości ścian, niż forma ogólna {hkl}. Formy te o wyznacznikach najprostszych zazwyczaj są spólne kilku klasom. A więc geometryczna ich symetryczność jest nieraz wyższa, niż symetryczność fizyczna, wykazywana przez własności ciał, które w tych formach się krystalizują. N. p. forma o sześciu równych sobie i wzajemnie do siebie prostopadłych ścianach ² jest możliwa we wszystkich pięciu klasach typu symetryczności | 2 3 8 | i ; 2 3 4 | jako jeden z przypadków formy szczegółowej każdej klasy. Jeżeli ją wykreślimy izosymetrycznie, otrzymamy sześcian umiarowy, t. j. bryłę, której stopień i rodzaj symetryczności odpowiada klasie S( 2 3 4 ), a więc najwyższej symetryczności krystalograficznej. Tymczasem, gdy zbadamy ściany sześcianów na kryształach różnych substancyj chemicznych, to okaże się rzecz następująca.

Ściany sześcianu na kryształach sfalerytu, czyli rodzimego siarczku cynkowego ZnS, mają zawsze delikatne prążkowanie przekątne o kie-

Rys. 98. Kierunek prążków na ścianach sześcianu kryształów sfalerytu.

Rys. 99. Kierunek prążków na ścianach sześcianu kryształów pirytu.

runku, wskazanym na rys. 98 (por. ściany H na rys. 61 str. 77). Oczywista, że taki sześcian ma symetryczność rodzaju S( 2 3 3), t. j. każda ściana jego jest prostopadła do osi przystawania drugiego rzędu i do dwu płaszczyzn odbicia, których ślady tworzą z krawędziami sześcianu kąt 45°. Jest to klasa he-ksakistetraedrów: 3L², 4L%, 6P.

Piryt FeS₂ (rys. 99) ma na ścianach sześcianu prążki, równoległe do krawędzi, przyczem tak ułożone, że na dwu przyległych ścianach są one sobie prostopadłe. A więc każda ściana sześcianu pirytowego jest prostopadła do

Bys. 101. Figury wytrawione sylwinu.

Rys. 100. Kształt i układ figur wytrawionych na ścianach sześcianu bromianu sodowego.

dwu płaszczyzn odbicia, równoległych do jego krawędzi, t. j. mamy tu rodzaj S( 2' 3 4’) = 3L², 4L³, 3P, C t. j. klasę dy akisdodekaedrów (por. wyżej ałun).

Sześciany bromianu sodowego NaBrOa, potraktowane ostrożnie wodą otrzymują figury wytrawione rys. 100, które dowodnie wykazują, że ściany te są prostopadłe do osi drugiego rzędu, ale że niema tam płaszczyzn odbicia, a więc są to kryształy klasy S( 2' 3’ 3’) = 3L², 4L^, t.j. klasy dwunasto-ścianów tetraedr y cznie pentagonalnych.

F~7I

Na ścianach sześcianu sylwinu (rodzimego chlorku potasowego KCl) alkohol metylowy wyżera figury wytrawione kształtu i układu przedstawionego na rys. 101, to znaczy, że ściany te są prostopadłe do osi czwartego rzędu, ale bez płaszczyzn odbicia, bo całej ściany z jej figurami nie możemy w żadnym kierunku podzielić na części symetrycznie równe i symetrycznie leżące; a więc mamy tu klasę S( 2¹ 3’ 4’ ) = 3L⁴, 4L³, 6L², noszącą nazwę ki asy dwudziestoczworościanów pentagonalnych.

Rys. 102. Figury wytrawione soli kamiennej.

I dopiero sól kamienna (chlorek sodu NaCl) na swych ścianach sześcianu wykazuje figury wytrawione rys. 102, t. j. okazuje symetryczność fizyczną, zgodną z symetrycznością geometryczną sześcianu umiarowego, a więc kryształy jej należą do klasy czterdziestoośmiościanó w S{ 2 3 4 ) = = 3L⁴, 4L³, 6L², 3Pi,6Pn,C.

Magnetyt Fe" Fe"' 0₄ rys. 43 podobnie jak sól kamienna krystalizuje się w klasie S( 2 3 4 ).

Przykłady podane dają pojęcie o charakterze krystalografii opisowej

i o klasyfikacyi krystalograficznej. Zarazem wszystko wskazuje, że krystalografia geometryczna w obecnym jej stanie jest już zupełnie doprowadzona do poziomu nauki dedukcyjnej: cała jej treść daje się wyprowadzić z jednego założenia, z sieci przestrzennej, niezależnie od wyników obserwacyi i doświadczenia a jednak w zupełnej z nimi zgodności.

§ 50. Kształty czworościanów jednostkowych, spis klas krystalograficznych, ich nazwy i przykłady. Podstawy krystalografii fizycznej. Klasytikacya kryształów pod względem różnych zjawisk fizycznych. Kryształy bliźnięce, wielokrotne i naśladowcze.

W książce niniejszej daliśmy szczegółowe ugruntowanie zasadniczych praw krystalografii i ich następstw, oraz wskazaliśmy zasadę pomiarów i obliczeń krystalograficznych.

Na zakończenie tej książki podajmy jeszcze kształty czworościanów jednostkowych, nazwy klas i najpospolitsze ich przykłady, a także dajmy w zarysie związek pomiędzy nauką o symetryczno-ści, a kryształem jako utworem geometrycznym i ciałem fizycznem.

Z przykładów opisanych w § 48 i § 49 widoczna, że o należeniu kryształów danego ciała do tej czy owej klasy symetrycz-ności wnosimy z rodzaju symetryi fizycznej jego ścian i z ich układu wzajemnego. A więc z zespołu własności fizycznych i geometrycznych kryształu badanego wnioskujemy o kierunkach, ilości i rodzaju płaszczyzn zwierciadlanych, jakie należy przeprowadzić w nim dla poznania właściwego mu stopnia symetryczności.

Twierdzenia, wyłożone w §-fie 47-mym, zakreślają granice, w których możemy korzystać z płaszczyzn zwierciadlanych i osi przystawania na elementy czworościanu jednostkowego. Rzecz jasna, że przez użycie na czworościan jednostkowy odpowiednio obranych osi przystawania lub płaszczyzn zwierciadlanych, osiągamy to, że symetrycznie równe ściany kryształu otrzymują znaki o jednakowych wyznacznikach. Z tego więc względu taki wybór elementów czworościanu jednostkowego stale się praktykuje. Powoduje on kształty czworościanu niektórym klasom spólne.

I. Kryształy trójskośne.

W klasach S( 1’ ) i S( 2” 2'2,? ) niema ani płaszczyzn odbicia, ani osi przystawania. Więc w kryształach tych klas na czworościan jednostkowy obieramy cztery dowolne ściany kryształu. W tych zatem klasach kształt czworościanu jednostkowego jest trój skośny, t. j. wszystkie trzy odcinki krawędzi osiowych, odcięte przez ścianę jednostkową,

Z. We y ber g. Podstawy krystalografii.

są nierówne, a kąty krawędzi osiowych też nie są równe i żaden nie mierzy 90°. Wszystkie kryształy tych dwu klas nazywamy trójskośnemi. Postać ich czworościanu jednostkowego oznaczamy:

a:b:c; a, ß, y.

N. p. przytoczony już na str. 68 czworościan jednostkowy albitu: a:b :e = 0.6333 : 1 : 0.5575 a — 94°4', /? = 116*28', y = 88°8', czworościan jednostkowy aksynitu:

a : b : c = 0.4921 : 1 : 0.4797 a = 82°54', ß — 91°52/, y = 131°32'

czworościan jednostkowy kwaśnego prawego winianu strontowego:

a :b : c = 1.2136 : 1 : 0.9630 a = 66°53', ß = 102°48/, y = 105°40'.

1. S( V ). Klasa pedyonów trójskośnych. OL. OL. 0C.-

Tiosiarczan wapniowy = CaS₂0₃.6H0₂.

Octanoazotan strontowy = Sr(C₂H₃0₂)₂. Sr(NOa\ . SH₂0.

Kwaśny prawy winian strontu = SrH₂(CiHiOe)₂.4H₂0.

2. S( 2” 2” 2”). Klasa dwu ściano w trójskośnych. C.

Kwas borowy HgBOs.

Pirocliromian potasowy K₂Cr₂Ov Siarczan miedzi CuS0x.bH₂0.

Aksynit HCa₃BAl₂SitOi6.    .

Albit. Na₂Al₂Si₆Olt.

II. Kryształy jednoskośne.

Kryształy klasy S( 1 ), 8'( 2’ ) i S( 2’ 2’ 2 ) mają albo płaszczyznę odbicia S( 1 ), albo oś przystawania drugiego rzędu $( 2’ ), albo> płaszczyznę odbicia i prostopadłą do niej oś przystawania drugiego rzędu £( 2’ 2’ 2 ). A więc stopień symetryczności kryształów tych klas dostarcza na czworościan jednostkowy jednę płaszczyznę, której daje się znak (010) i jednę prostopadłą do niej krawędź, której nadaje się kierunek osi Y. Na pozostałe elementy czworościanu jednostkowego obieramy ściany i krawędzi na krysztale obecne, a więc krawędzi te, jako nie związane z sobą zależnością symetryczną, są nie równe. Co zaś do ich nachylenia, to dwa kąty krawędzi osiowych mierzą po 90°, kąt trzeci oznaczamy literą /?, t. j. kąt osi X i Z jest nierówny kątowi prostemu. Po^-nieważ tylko jeden kąt jest tu nieprosty, więc czworościan taki nazywa się jednoskośny. Ogólny znak kształtu tego czworościanu:

a : b : c; 90°, ß, 90°.

N. p. skaleń potasowy KzAl₂Si₆Oi6 obliczony przez nas na

itr. 69—74

a:b:c = 0.66 : 1 : 0.56; ß = 116*,

gips CaSOi.2HiO:

a:b:c = 0.6895 : 1 : 0.4132, ß = 98°58',

muskowit M₂KAl₃Si₃0,₂

a:b:c = 0.5774 : 1 : 2.2170, ß = 84°55'.

B. S{ 1 ). Klasa daszków jednoskośnych. P. Tetrationian potasu KtSfi₆.

4. S( 2' ). Klasa sfenoidów j ednos kośnych. L*. Prawy kwas winowy CfisOe i niektóre jego sole.

5. S( 2’ 2’ 2 ). Klasa słupów jednoskośnych³. L*,P,C.

Siarka S w temperaturach wyższych od —J— 95‘6° C.

Bezwodnik arsenawy czyli arszenik As}Ot.

Chlorek baru BaCl₂.2HtO.

Żelazicyanek potasu K₃Fe(CN)₆.

Żetazocyanek potasu KiFe(CN)t . ?>HtO.

Chloran potasu czyli sól Bertholleta KC10₃.

Węglan sodu czyli soda Na₂COH . 10H₂0.

Siarczan sodu czyli sól glauberska NaiSOi. 10H₂O.

Dwuwodny siarczan wapnia czyli gips CaSO₄.2HtO.

Siedmiowodny siarczan żelazawy czyli witryol żelaza FeSOi. ~H.fi. Boraks Na.fifi₇ . lOHfi.

Octan sodowy NaCfifi.,. SHfi.

Octan miedziowy czyli grynszpan Cu(Cfifi₂\ . IIfi.

Octan ołowiawy czyli cukier ołowiany Pb(Cfit0₂)t. 3IIfi.

Kwas szczawiowy Hfifii. 2II fi.

Kwas salicylowy HeC₇0₃.

Naftalin Ci0Hs.

Antracen CuHi0.

Skalenie potasowe K₂Alfiifil6: adular, ortoklaz i sanidyn. Muskowit i wszystkie łyszczyki.

Liczne minerały z grupy piroksenów i amfibolów.

III. Kryształy rombowe.

zw.

Kryształy klas: £( 2 ), 8( 2’ 2’ 2’ ) i £( 2 2 2 ) czyli t. rombowe, jako elementy czworościanu jednostkowego posiadają albo dwie prostopadłe płaszczyzny odbicia S( 2 ), a więc oś przystawania i płaszczyznę do niej prostopadłą, albo trzy prostopadłe nierówne osi przystawania £( 2’ 2’ 2’ ), albo trzy prostopadłe płaszczyzny odbicia £( 2 2 2 ). A więc mamy tu zawsze do użycia trzy nierówne, wzajemnie do siebie prostopadłe, kierunki jako krawędzi osiowe czworościanu jednostkowego; na ścianę (111) służy którakolwiek ściana kryształu, przecinająca się ze wszystkiemi trzema krawędziami osiowemi. Kształt rombowy czworościanu jednostkowego jest zatem

a : b : c ; 90°, 90°, 90°:

N. p. aragonit CaCOs a :b: c = 0.6224 : 1 :0.7206, staurolit HFeAl-oSi₂0₁₃ a:b: c = 0.4803 : 1 : 0.6761.

6. S( 2 ). Kl a s a p oj e dy ń czy c h piramid rombowych. L * ? iPj ? Pn#

Fosforan amonowomagnezowy NHxMgPOx. GH/).

Rezorcyna C₆Hx(OH)₃.

Kwas pikrynowy CeH/NOt)₃ . Oli.

7. S( 2' 2¹ 2’ ). K1 a s a p o d w ó j n y c h s f e n o i d ó w rombowych.    L^

Siedmiowodny siarczan magnezu czyli sól gorzka MgSOi. III/). Azotan srebra czyli lapis AgN0₃.

8. £( 2 2 2 ). Klasa podwójnych piramid rombowych. L\, Ajj , Ajn , Pi, pn\ Pm , C.

Siarka W temperaturach niższych od Bö’ß⁰ C.

Azotan potasu czyli saletra potasowa KN0₃.

Nadmanganian potasu KMnOx.

Aragonit CaC0₃.

Staurolit HFeAl₆Si₃Ot3.

Topaz bAlt$i0₆. AltSiFl0.

Kwas cytrynowy C₆IIH0₇ . II/).

Benzol C.IIe.

IY. Kryształy tetragonalne.

Kryształy wszystkich tych siedmiu klas, w których znaku syme-tryczności znajduje się liczba 4, lecz niema liczby 3, mają spoiny kształt czworościanu jednostkowego tetragonalny, którego postać:

'-D*

a : a :c ; 90°, 90°,    0°,

t. j. trzy krawędzi osiowe są wzajemnie prostopadłe, przyczem dwie z nich są równe, a trzecia nierówna dwom pierwszym.

N. p. p 1 a t y n oc yan ek magnezu MgPt{CN)i.lHiO a:c = = 1 : 0.5863,

siarczan niklu NiSO\.6iZ₂0 a : c =. 1 :1.9061.

9. S( 4’ ). Klasa pojedynczych piramid te tragonalnych. L*. Molibdenian ołowiu czyli wulfenit Pb Mo O ₄.

10. S( 4 ). Klasa pojedynczych piramid d w u te tr a go nalny ch.

L$, 2Pi, 2Pn.

Fluorek srebra AgF.H₂0.

11. $( 2” 2” 4” ). Klasa podwójnych sfenoidów te tr agon a 1 ny ch.L²., Zasadowy margarycian wapniowy Ca₂Al₂Si0₇.

12. S( 2’ 2’ 4’ ). Klasa trap ez o e drów tetragonalnych. L*, 2L‘~, 2L^, Siarczan niklu NiSOi. ()//₂0.

13. P( 2’2’4). Klasa podwójnych piramid tetrago n a lny ch. P⁴, P, C Wolframian wapnia czyli szelit CaTlr0₄.

14. S( 2’ 2 4’ ). Klasa skalenoedrów tetragonalnych. P², 2L², 2P. Chalkopiryt CuFeSr

15. P( 2 2 4 ). Klasa podwójnych piramid dwutetr agonalnych. L*, 2IĄ, 2 L\v P, 2Pi, 2Pn, C.

Dwutlenek cyny czyli kasyteryt SnOr Platynocyanek magnezu MgPt(CN)₄. ~H₂0.

Cyrkon ZrSiOy

V. Kryształy trygonalne i heksagonalne.

Dwanaście klas, których znaki symetryczności nie zawierają liczby 4 ani też dwu trójek, a tylko 3 lub 6 same, albo z dwójkami, są to klasy kryształów trygonalnych i heksagonalnych. Spoiny im czworościan jednostkowy — heksagonalny — ma kształt

a : a : c; 90°, 60°, 90°.

N. p. kwarc SiOz a : c == 1 : 1.0999.

kalcyt CaCOs a : c = 1 : 0.8543,

apatyt 3[C«₃(P04/)₂]. CaF₂ a : c — 1 : 0.7346.

16. S( 3’ ). Klasa p oj e dy n cz y cli piramid trygona I nych. L³. Nadjodan sodowy NaJO₄.3/7,0.

17. S( 3). Klasa pojedynczych piramid dwutrygonal nych. L³ ,SP. Lód 77,0.

Turmaliny ⁴.

18. S( 2' 2⁴ 3 ). Klasa podwójnych piramid trygona lny ch. L³, P. Przykład nie znany.

19. S( 2' 2’ 3’ ). Klasa trapezoedrów trygonalnych. U, 3ZA Kwarc SiOr

20. S\ 2 2 3 ). K l a s a p o d w ó j n y c h p i r a m i d dwutrygonal n y c h.

L³,‘SLl,P,SPh

Przykład nie znany.

21. S( 6’ ). Klasa pojedynczych piramid heksagonalnych. L®. Neleliny K₃NanAl„^SiiH + i0.

22. S( 6 ). Klasa pojedynczych piramid d w u he k s a gon a Iny c h.

L«.3Pi,3P .

Greno kit CcłS. Jodek srebra AgJ.

23. S( 2” 2” 6” ). Klasa romboedrów. LS,C. Dolomit CaMg(COJr Fenakit Be^SiO^

Dyoptaz CuH₂Si0₄.

24:. S( 2' 2’ 6’ ). Klasa trapezoedrów heksagonalnych. Le, 33L*r>

Połączenie azotanu potasowego z winianem antymonilowoołowiawym albo antymonilowobarowym : KN0₃ . Pb(SbO).}. (0₄77₄ 0₈), ; KNOs. Bn[SbO)₂.(C₄HtOs)r

25. S( 2⁴ 2⁴ 6 ). Kl as a p o d wój n y c h p i r a m i d h e k s ago n a l ny ch. LK,P,C. Apatyt 3[0«₃(P0₄ł,]. Cal\.

26. S( 2’ 2 6’ ). Klasa skalenoedrów heksagonalnych. Ps, 3L*, 3P, O. Kalcyt CaC0₃.

Korund Al₂Os. Hematyt Fe,Oy

27. S( 2 2 6 ). Klasa podwójny cli piramid dwulieks agonalnych. IĄ 3Lf, BLfj, P. BPi, BPir, C.

Beryl Be₃Al₂Sis0₁₈.

VI. Kryształy regularne.

Nakoniec pięć klas pozostałych, których rodzaj symetryczności należy do typu 2 8 3 albo 2 B 4 obejmuje tak zwane kryształy regularne Regularny kształt czworościanu jednostkowego jest

a : a: a; 90°, 90°, 90°,

t. j. czworościan regularny ma trzy równe wzajemnie do siebie prostopadłe krawędzi osiowe, a więc substancye krystalizujące się w tych klasach nie mogą mieć indywidualnie im właściwego kształtu czworóścia-nów jednostkowych: kształt czworościanu jednostkowego jest uwarunkowany przez ich wysoki stopień symetryczności, a więc wszystkim spoiny.

28. S( 2¹ 3’ 3" ). Klasa dwu nas to ściano w tetraedrycznie ‘pent a-gonalnych. 3L*, 4L^.

Azotan baru Ba(N()₃) ₂.

Arsenian sodowostrontowy NaSrAsOt. 9H₂0.

¹

Dla czytelników książki niniejszej jest zupełnie jasne, że jedynym i istotnym elementem symetryi jest płaszczyzna zwierciadlana, bo z jej skojarzeń i z wywołanych przez nie przekształceń symetrycznych wypływa i oś i środek symetryi.

²

{100}, jeżeli na krawędzi osiowe obierzemy krawędzi tej właśnie formy, jak to się czyni zwykle.

³

Opracowana przez nas szczegółowo na str. 119—124 w §-tie 48-mym.

⁴

Grupa minerałów, zwanych turmalinami, nie ma jeszcze ustalonego ogólnego wzoru chemicznego.

Chloran sodu NaClOs.

Bromian sodu NaBr0₃.

Sulfoantymonian sodu czyli sól Schlippego NaaSb&\ . 9H₂0.

29. S( 2 3 3 ). Klasa heksakistetraedrów. 3 L*. 4 L*. 6 P.

Dyament C.

Sfaleryt ZnS.

Boracyt Mg.BiB0MCl₂.

30. S{ 2’ 3’ 4’ ). Klasa d w u d z i e s t o c z w o r o ś c i a n ó w p e n t a g o n a 1 n y c h.

3L⁴, 4L⁸, 6Lł.

Chlorek amonowy NHtCl. Chlorek potasu KCl. Kupi’yt CUjO.

31. S{ 2: 3 4’). Klasa dw un a sto ścian ów podwójnych. 3L*.4L*. SP. C.

Ałun glinowopotasowy KAl(S0i)₂.\2H,0.

Piryt FeS₂.

Jodek cynawy Snl₂.

B2. S( 2 3 4 ). Klasa c z t e r d z i e s t o o ś m i o ś c i a n ó w. 3L\ 4L\ 6L\ 3/’j, 6Pn, C.

Sól kamienna NaCl.

Fluoryt CaF₂.

Magnetyt Fe"Fe₂'"0₄.

(Klasa symetryczności najwyższej: normalna (hlcl) ma czterdzieści ośm kierunków równych).

W wykładzie o trzydziestu dwu klasach symetryczności krystalograficznej nieustannie wspominaliśmy o fizycznej symetryi ścian kryształów i ciągle kładliśmy nacisk na to, że w granicach wyprowadzanych przez nas rodzajach symetryczności ma się wypowiadać stopień symetryi fizycznej każdego ciała krystalicznego. Obecnie więc należy odpowiedzieć na pytanie, czy wszystkie zjawiska fizyczne w równej mierze dokładnie idą za wszelkimi szczegółami symetryi krystalograficznej, czy przeciwnie symetrya zjawisk fizycznych jest hardziej ogólnikowa, niż symetrya krystalograficzna. Innemi słowy tu mamy odpowiedzieć na pytanie, czy pod względem każdego zjawiska fizycznego odróżnić można trzydzieści dwie klas ciał krystalicznych, czy też mniej.

Z rozproszonych tu i ówdzie uwag czytelnik mógł już wywnioskować, że symetrya krystalograficzna, t. j. ta, którą wywiedliśmy teoretycznie, jest zarazem symetryą wielościanów rozpuszczania i przyrostu. Wielokrotnie bowiem wspominało się o figurach wytrawionych, a także o ilości i o wzajemnem ustosunkowaniu przestrzen-nem ścian kryształu w każdej klasie. Nawet nazwa każdej klasy jest jej dana od nazwy tej bryły, jaką w tej klasie tworzą ściany {hlcl} t. j. od t. zw. postaci ogólnej każdej klasy. Istotnie. Zjawisko przyrostu i rozpuszczania ciała krystalicznego jest zjawiskiem najniesymetryczniejszem, a więc znajduje się ono w jak najściślejszej zależności od symetryi krystalograficznej, t. j. każde dwa nierówne kierunki krystalograficzne muszą być nierówne pod względem przyrostu i rozpuszczania. A więc trzydzieści dwa rodzajów symetryi krystalograficznej zarazem są trzydziestoma dwiema klasami symetryczności wielościanów przyrostu i rozpuszczania ciał krystalicznych.

Co zaś do innych zjawisk fizycznych, to każde z nich zachodzi w kryształach w zupełnej zgodzie z symetryą krystalograficzną, ale ponieważ symetryczność tych zjawisk jest przeważnie daleko wyż-

sza, niż symetryczność przyrostu ciała jednorodnego, przeto kryształy niektórych klas różnych zachowują się jednakowo pod względem wielu innych zjawisk fizycznych. Dwa kierunki krystalograficznie równe są także równe pod każdym względem fizycznym, t. j. wszystkie zjawiska fizyczne zachodzą i odbywają się w tych kierunkach jednakowo. Ale dwa kierunki nierównoległe a jednakowe pod względem jakiegoś zjawiska fizycznego, nie będącego zjawiskiem przyrostu lub rozpuszczania ciała jednorodnego, nie zawsze są kierunkami krystalograficznie równymi. Ich równość fizyczna pod względem jednego jakiegoś zjawiska fizycznego może być wynikiem wielkiej symetryczności samego zjawiska, a nie krystalograficznej równości tych kierunków. Wszystkie bowiem zjawiska fizyczne we wszystkich kryształach odbywają się jednakowo na wszystkich kierunkach krystalograficznie równych, ale wiele jest takich zjawisk fizycznych, które odbywają się jednakowo w niektórych kierunkach krystalograficznie nie równych. N. p. każde zjawisko centryczne, t. j. takie, którego przebieg jest jednakowy na dodatnim i odjemnym kierunku jednej prostej, przebiega jednakowo w klasach różniących się tylko posiadaniem lub nieobecnością w nich środka syinetryi. Albo n. p. wszystkie kierunki w każdym krysztale regularnym są równe pod względem termicznym, elektrycznym, magnetycznym i optycznym, tak że względem tych zjawisk one są izotropowe, t. j. jednokierunkowe. Przeciwnie w spójności, sprężystości, piroelektryczności i piezoelektryczności kryształy regularne wykazują anizotropię bardzo znaczną.

A więc rozpatrzmy w zarysie zachowanie się różnych klas krystalograficznych pod względem najlepiej poznanych zjawisk fizycznych.

I. Pod względem ł u p 1 i w o ś c i kryształy dzielą się na s i e-

dem grup.

1.    Kryształy trój skośne, t. j. klasy S( P ) i S( 2” 2” 2" ) zależnie od substancyi mają łupliwość rozmaitą, ale wszystkie one wykazują łupliwość jednakową tylko równolegle do jednej ściany. Może być w nich kilka kierunków łupliwości, ale w każdym będzie ona różnego stopnia.

2.    Kryształy je dno skoś ne, t. j. klasy S( 1 ), S( 2' ) i S( 2’ 2’ 2 ) mają łupliwość jednakową albo równolegle do ściany (010) albo do tej ściany prostopadle, albo mają one łupliwość jednakową w dwu kierunkach: równolegle do ścian słupa. Słowem, wszystkie kryształy jednoskośne pod względem łupliwości mają sy-metryę klasy słupów jednoskośnych S{ 2’ 2’ 2 ).

3.    Kryształy rombowe mają łupliwość zgodną z symetryą klasy £( 2 2 2 ), t. j. czyniącą zadość trzem płaszczyznom odbicia wzajemnie prostopadłym. A więc zależnie od substancyi bywa ona albo równoległa do jednej płaszczyzny odbicia, albo do dwu ścian słupa, tak że płaszczyzna odbicia dzieli kąt łupliwości na dwie równe części, albo też wreszcie* łupliwość jednakowa biegnie równolegle do czterech par równoległych ścian piramidy rombowej.

4.    Kryształy heksagonalne o osi głównej trzeciego rzędu mogą mieć łupliwość jednakowego stopnia albo równoległą do ścian romboedru, albo równoległą do ścian słupa o podstawie umiarowego sześcioboku.

5.    Kryształy beksa g o n al n e o osi głównej szóstego rzędu miewają łupliwość jednakową albo równolegle do ścian piramidy, której podstawą jest sześciokąt umiarowy, albo do takiegoż słupa. Ciała mające tę ostatnią łupliwość, nie różnią się od grupy poprzedniej.

6.    Kryształy tetragonalne mają łupliwość zgodną z symetryą rodzaju S( 2 2 4 ), a więc łupią się albo prostopadle do osi głównej, albo równolegle do ścian słupa kwadratowego, t. j. w dwu kierunkach, albo mają jednakową łupliwość w czterech kierunkach, t. j. równolegle do ścian piramidy o podstawie kwadratowej.

7.    Nakoniec .kryształy regularne mają łupliwość odpowiadającą symetryi klasy S( 2 3 4 ), a więc zależnie od substancyi łupią się albo w trzech kierunkach (równolegle do ścian sześcianu), t. j. prostopadle do osi przystawania czwartego rzędu, albo w czterech kierunkach (równolegle do ścian ośmiościanu umiarowego), t. j. prostopadle do osi przystawania trzeciego rzędu, albo w sześciu kierunkach (równolegle do ścian dwunastościanu rombowego), t. j. prostopadle do osi przystawania rzędu drugiego.

II. Pod względem sprężystości kryształy dzielą się na dziewięć grup.

Jeżeli zmierzymy spółczynnik rozszerzalności w różnych kierunkach kryształu i odetniemy odcinki proporcyonalne zmierzonym wielkościom od prostych ułożonych w przestrzeni tak samo, jak te kierunki, w których zmierzyliśmy spółczynnik omawiany, a potem połączymy końce tych odcinków powierzchnią, to otrzymamy t. zw. powierzchnię sprężystości tego ciała. Symetrya powierzchni sprężystości jest wielu klasom spoina. Jej rodzajów, jak wskazano przed chwilą, jest dziewięć. Mianowicie.

1.    Obie klasy trójskośne różnią się tylko tern, że jedna nie ma środka symetryi a druga go posiada. Ale obie one nie mają ani płaszczyzn odbicia ani osi przystawania. Ponieważ sprężystość jest zjawiskiem centrycznem, więc te dwie klasy nie mogą różnić się w tym względzie. Ich powierzchnia sprężystości musi być jednakowego rodzaju. Musi być ona asymetryczna i nie może być oryentowana w krysztale w jakikolwiek sposób zależny od jego krawędzi. Do wyznaczenia tej powierzchni należy zmierzyć spółczyn-niki sprężystości ciała trójskośnego w 21 kierunkach.

2.    Wszystkie kryształy jednoskośne wykazują powierzchnię sprężystości jednakowej symetryi zgodnej z symetrycznością klasy słupów jednoskośnych S( 2' 2’ 2 ), t. j. z jedną płaszczyzną odbicia i z jedną prostopadłą do niej osią przystawania drugiego rzędu. Do wyznaczenia powierzchni sprężystości kryształu jednoskośnego potrzeba pomiarów w trzynastu kierunkach.

3.    Kryształy rombowe mają powierzchnię sprężystości o rodzaju i stopniu symetryi podwójnej piramidy rombowej S( 2 2 2 ), t. j. o trzech prostopadłych płaszczyznach odbicia i, co z tego wypływa, o trzech osiach przystawania, do siebie prostopadłych. Do wykreślenia tej powierzchni trzeba zmierzyć spółczynnik rozszerzalności w dziewięciu kierunkach.

4.    Tetra go naine kryształy klas S( 2’ 2’ 4 ), S( 4’ ) i S( 2” 2" 4” ) mające tylko oś główną Z czwartego lub drugiego rzędu, a nie mające ani osi ani płaszczyzn bocznych, stanowią jedne grupę o spólnym kształcie powierzchni sprężystości. Do wyznaczenia tej powierzchni trzeba pomiarów w siedmiu kierunkach.

5.    Tetragonalne klasy $( 2 2 4 ), S( 4' ), S( 2‘ 2‘ 4’ ) i S( 2’ 2 4’ ), mające płaszczyzny i osi boczne, do wyznaczenia powierzchni sprężystości wymagają pomiarów spółczynnika sprężystości w sześciu kierunkach. Powierzchnia sprężystości tej grupy niema w żadnym kierunku przekroju kołowego, ale każde dwie jej średnice prostopadłe do siebie i do płaszczyzny XOY zawsze są równe.

6. Heksagonalne kryształy klas S{ 2’’ 2" 6" ) i S( 3’ ) mają powierzchnię sprężystości o siedmiu niezależnych stałych. Powierzchnia ta ma oś trzeciego rzędu, ma jeden przekrój kołowy, ale nie ma trzech płaszczyzn symetryi bocznej.

7.    Heksagonalne kryształy klas S( 2’ 2 6’), S( 3 ) S( 2’ 2’ 3’ ) mają cechę spoiną: oś trzeciego rzędu bez płaszczyzny do niej prostopadłej oraz bez płaszczyzn i osi bocznych. Ich powierzchnia sprężystości jest niejako rotnboedrem, którego krawędzi i naroża są zaokrąglone, a przytem na każdej ścianie znajduje się wgłębienie. Do wyznaczenia tej powierzchni trzeba pomiarów w sześciu kierunkach.

8.    Kryształy klas heksagonalnych S( 2 2 6 ), S( 6 ),. S{ 2’ 2’ 6’ ), S( 2 2 3 ), S( 2’ 2’ 6 ), S{ 6’ ) i S( 2’ 2’ 3 ) mają spólność symetryi w tym stopniu, że mają one osi przystawania szóstego albo trzeciego rzędu i prostopadłą do niej płaszczyznę odbicia (rozumie się po wprowadzeniu dodatku wem w niektórych klasach środka symetryi, co już z góry zapowiedzieliśmy ze względu na centryczność zjawiska omawianego). Powierzchnia sprężystości tych kryształów jest powierzchnią obrotową, której osią obrotu jest główna oś kryształu. Do jej otrzymania potrzeba pięciu stałych. Każda płaszczyzna, przylegająca do osi głównej lub do niej prostopadła, dzieli tę powierzchnię na dwie połowy symetrycznie równe.

9. Wszystkie kryształy regularne, t. j. klasy S( 2’ 3’ 3’ ), S( 2 3 3 ), S( 2’ 3’ 4’ ), S( 2’ 3 4’ ) i S( 2 3 4 ) mają powierzchnię sprężystości, dającą się obliczyć z trzech stałych. Powierzchnia ta ma stopień symetryi klasy czterdziestoośmiościanu, t. j. S( 2 3 4 ), czyli ma trzynaście osi przystawania i dziewięć płaszczyzn odbicia.

III. Pod względem wewnętrznego przewodnictwa cieplnego t. j. pod względem przewodzenia ciepła od jednej do drugiej części kryształu w razie gdy temperatura ich nie jest jednakowa, kryształy dzielą się na sześć grup.

1.    W kryształach trój skośnych zjawisko omawiane odbywa się według równań o dziewięciu stałych.

2.    Kryształy jedno skośne wykazują we względzie omawianym symetryezność klasy słupów jednoskośnych S( 2’ 2’ 2 ) i równania odpowiednie mają spółczynników pięć.

3.    Kryształy rombowe przewodzą według symetryczności klasy podwójnych piramid rombowych S( 2 2 2 ) i równania tu się odnoszące mają trzy spółczynniki.

4. W kryształach klas heksagonalnych i tetragonalnych, które nie mają osi bocznych, t. j. S( 2’ 2’ 6 ), S( 6’ ), S( 2’ 2¹ 3 ), S( 2” 2” 6”), 8(3’), S( 2’2'4), 5(4’) i $( 2” 2” 4”) zjawisko wewnętrznego przewodzenia ciepła zawisłe jest od trzech spółczyn-ników.

5.    Klasy heksagonal ne i tetragonalne $( 2 2 6 ), S( 6 ), S( 2’ 2’ 6 ), S( 2 2 3 ), S( 2’ 2 6' ), S( 3 ), S( 2’ 2’ 3’ ), $( 2 2 4 ), S( 4 ), $( 2‘ 2’ 4’ ) i $( 2’ 2 4’ ), t. j. mające osi boczne, przewodzą zależnie od dwu spółczynników.

6.    Kryształy regularne we względzie omawianym są izo-

I ropowe.

IV. Optycznie kryształy dzielą się na o śni klas. Wektor świetlny zmienia się z kierunkiem tak, jak zmieniają się promienie wodzące elipsoidy. Najogólniejszym przypadkiem tej powierzchni jest elipsoida trójosiowa czyli powierzchnia krzywa symetryczna względem trzech prostopadłych płaszczyzn odbicia i trzech prostopadłych osi przystawania, dająca elipsę w każdym przekroju z płaszczyzną odbicia.

1.    W kryształach trój s k o ś ny ch, t. j. w klasach •$( V ) i S{ 2” 2” 2”) elipsa przewodnictwa świetlnego jest trójosiowa, dla każdej długości fali świetlnej oryentowana inaczej i niezależnie od krawędzi i ścian kryształu.

2.    Kryształy jedno skośne, t. j. klasy S( 1 ), S( 2’) i $( 2’ 2’ 2) mają tak samo elipsoidę trójosiową, ale jedna oś wszystkich elipsoid każdej długości fali światła ma kierunek spoiny : jest to kierunek osi Y. t. j. osi przystawania klasy S( 2’ 2’ 2) i S( 2’ ) czyli kierunek prostopadły do płaszczyzny odbicia klasy S( 1 ).

3.    Wszystkie klasy rombowe nie różnią się optycznie pomię

dzy sobą. Ich elipsoida trójosiowa dla wszystkich długości fal świetlnych ma wszystkie osi zgodne z trzema osiami przystawania albo z odpowiedniemi tym osiom krawędziami kryształu. Zatem każde zjawisko optyczne w krysztale rombowym zachodzi symetrycznie względem krawędzi trzech pasów do siebie prostopadłych, których osi są: [100], [010] i [001].    •

4.    Kryształy klas: pędy on ów trój skośny ch (S 1'), sfe-noidów j edno skośny ch S( 2') i podwójnych sfenoi-tłów rombowych S( 2’ 2’ 2’ ), zachowując wszystkie własności optyczne odpowiednie tym grupom do jakicli należą, mają jeszcze tę właściwość, że w dwu kierunkach, których oryentacya zależy od substancyi, wykazują optyczne skręcanie: własność ogólną i konieczną ciał nie mających płaszczyzn odbicia.

5. Wszystkie kryształy tetragonałne i heksagonalne optycznie zachowują się jednakowo. Mianowicie ich elipsoida przewodnictwa świetlnego jest elipsoidą obrotu. .Jest to przypadek szczególny elipsoidy trójosiowej z dwiema osiami równemi. Oś obrotu tej elipsoidy jest zgodna z krystalograficzną osią główną. Innemi słowy na płaszczyznach prostopadłych do osi Z własności optyczne kryształów heksagonalnych i tetragonalnych są równe we wszystkich azymutach.

6.    Kryształy klas tetragonalnych i heksagonalnych nie posiadające płaszczyzn odbicia, a więc klasy S( 2” 2” 4”), S( 4’), S{ 2’ 2’ 4’ ), S( 3’ ), S( 2’ 2’ 3’ ), S( 6’ ) i S{ 2’ 2’ 6’ ), zachowując wszystko co się powiedziało wyżej w ogóle o własnościach optycznych kryształów tetragonalnych i heksagonalnych, mają tę jeszcze właściwość, że w kierunku osi obrotu elipsoidy, t. j. w kierunku osi głównej mają zdolność skręcania optycznego. Własność ta polega na tern, że gdy przez te kryształy przechodzi w wymienionym kierunku fala światła, odbywająca swe drgania w jednym azymucie, to po przejściu przez taki kryształ przetwarza się ona na dwie fale o dwu przeciwnych drganiach kołowych, których wynikiem jest fala, odbywająca drgania w azymucie innym.

7.    Wszystkie kryształy regularne są optycznie izotropowe, t. j. ich powierzchnią przewodnictwa świetlnego jest kula, jako szczególny przypadek elipsoidy trójosiowej o trzech osiach równych.

8.    Kryształy klas S( 2’ 3’ 3' ) i S( 2’ 3’ 4’ ) w każdym kierunku wykazują anizotropię optyczną w tym względzie, że falę drgającą w pewnym azymucie przetwarzają na dwie fale drgające kołowo, w czego skutku okazuje się skręcanie optyczne.

V. Pod względem rozszerzalności cieplnej kryształy dzielą się na pięć grup. Kryształy ogrzewane rozszerzają się na ogół różnie w różnych kierunkach, a więc deformują się. Powierzchnia, wyrażająca tę deformacyę w przypadku najogólniejszym, jest elipsoidą trójosiową, rozmaicie oryentowaną względem płaszczyzn i krawędzi kryształu zależnie od jego symetryi.

1.    W kryształach trój skosu y cli osi elipsoidy rozszerzalności termicznej nie leżą w jakimkolwiek związku z kierunkami krawędzi i ścian kryształu.

2.    Gdy kryształ jednoskośny doznaje deformacyi przez jednostajne podwyższenie temperatury, to, podobnie jak w kryształach trójskośnych, punkty znajdujące się w nim pierwotnie na powierzchni kuli, po ogrzaniu znajdą się na powierzchni elipsoidy trójosiowej. Z trzech osi tej elipsoidy jedna jest zgodna z osią Y. Może być ona zmierzona przez przyrost grubości płytki równoległej do ściany (010). Dwie pozostałe osi elipsoidy rozszerzalności prostopadłe do wymienionej poprzednio, leżą w krysztale niezależnie od kierunków krawędzi kryształu na płaszczyźnie (010).

3.    W kryształach rombowych kierunki osi elipsoidy rozszerzalności cieplnej są zgodne z kierunkami trzecli osi przystawania albo ze śladami trzech płaszczyzn odbicia. Wielkości trzech spółcz y uników rozszerzalności otrzymuje się bezpośrednio z pomiaru zmiany grubości trzech płytek kryształu rombowego, równoległych do ścian (100), (010) i (001).

4.    Elipsoidą deformacyi termicznej kryształów tetragonalnych i heksagonalnych jest elipsoida obrotowa. Oś jej obrotu jest zgodna z osią Z, t. j. z osią główną.

5.    Powierzchnią rozszerzalności termicznej kryształów regularnych jest kula. Wszystkie punkty, leżące w nich na kuli wr pierwotnym stanie termicznym, po ogrzaniu jednostajnem również znajdują się na kuli.

Na te same pięć grup kryształy dzielą się pod względem in-dukcyi magnetycznej i dyelektrycznej, oraz przewodnictwa elektrycznego.

VI. W kryształach substancyj, źle przewodzących elektryczność, dopływ energii cieplnej lub mechanicznej wywołuje nie tylko powiększenie objętości i deformacyę kryształu, ale oprócz tego część tej energii przemienia się na energię elektryczną. Mianowicie w kryształach i na ich powierzchni powstaje różnica potencyału elektrycznego. Sama już polarność tego zjawiska dowodzi, że może ono zachodzić tylko w tych kryształach, które mają osi polarne, t. j. w których dodatnie i odjemne promienie jednego kierunku nie są krystalograficznie równe. A więc zjawiska te, zwane piroelektryczny mi i piezoelektrycznymi objawami, mogą zachodzić

następujących: S( V S{ 4’), S{ 4 ),

tylko w klasi

S( 3’ ), S( 3

S( 2 2 3 ), S( 2’ 3’ 3! ) i S( 2 3 3

Tych czternaście klas pod względem zjawisk piro- i piezoelektrycznych dzieli się na pięć grup.

1.    W trójskośnej klasie S( 1’)* różnica potencyału występować może w każdym kierunku.

2.    W jednoskośnej klasie S( 1 ) zjawiać się ona może tylko w kierunkach, leżących na jednej płaszczyźnie, mianowicie na płaszczyźnie odbicia.

S. W klasach: jednoskośnej S( 2’ ), rombowej S( 2 ), tetra-gonalnych: S( 4’ ) i S( 4 ), heksagonalnych S( 3’ ), S( 3 ), S( 6’ ) i $( 6 ) piro- i piezoelektryczne objawy mogą zachodzić tylko na biegunach osi głównej.

* 4. W klasach heksagonalnych (trygonalnych) S( 2’ 2’ 3’ ) i S( 2 2 3 ) piro- i piezoelektryczność może się objawić na przeciwległych biegunach trzech bocznych osi przystawania drugiego rzędu, leżących na płaszczyźnie prostopadłej do osi głównej. Osi te tworzą pomiędzy sobą kąty 60°. Bieguny elektryczne zmieniają się tu kolejno na przemian dodatnie i odjemne na jednej płaszczyźnie co 60°.

ą 1 ) ą 2’ ),

)■ 8( ), ą

- CO

co co

),

),

5. W klasach regularnych S( 2’ 2’ 3’ ) i $( 2 3 3 ) różnicy * potencyału należy oczekiwać na biegunach czterech osi trzeciego rzędu prostopadłych do ścian czworościanu umiarowego.

Te wszystkie przewidywania zupełnie potwierdzają się wynikami doświadczenia.

Z podanego przed chwilą zarysu łączności pomiędzy symetryą kryształów i symetrycznością ich własności fizycznych widzimy, że klasyfikacya kryształów, oparta na kształcie czworościanu jednostkowego jest bardzo ogólnikowa i co ważniejsza, jako wyłącznie geometryczna nie jest ani jednolita fizycznie, gdyż nie pokrywa się w całości z całokształtem własności fizycznych, ani jest istotna, bo kryształ jest przedewszystkiem ciałem fizycznem. Przeciwnie, klasyfikacya kryształów wynikająca z symetryi, jedynie może być uznana za istotną, bo jest i dostatecznie szczegółowa i daje możność przewidywania, jak to czy inne zjawisko zmieniać się winno w krysztale danej klasy ze zmianą kierunku. Jednak nie odrzucamy zupełnie klasyfikacyi kryształów, opartej na ich kształcie czworościanu

jednostkowego z powodu tego, że w wielu przypadkach jest ona niewątpliwie praktyczna jako pierwsze przybliżenie.

Kryształy wielu substancyj, szególnie organicznych, dochodzą do rąk krystalografa przeważnie w stanie tak mało podatnym szczegółowemu badaniu, że poznać on może zaledwie kształt czworościanu jednostkowego. A bywają przypadki, w których dokładne ustalenie rodzaju symetryczności ciała badanego może być dokonane tylko drogą doświadczeń i pomiarów bardzo starannych i dość rozległych. Prócz tego nauka o symetryczności ugruntowana została dość niedawno. Dopiero w ósmem dziesięcioleciu wieku dziewiętnastego zaczęto zdawać sobie dokładnie sprawę z samoistności i odrębności rodzajów symetrycznych i zrozumiano potrzebę charakteryzowania ciał krystalicznych zaliczeniem ich do tej czy owej klasy symetryczności. Przedtem w przeważającej ilości przypadków uważano za dostateczne wymienienie tylko kształtu czworościanu jednostkowego.

Pomiarowe badanie kryształów trwa w nauce około lat stu trzydziestu. Zbadano kilka tysięcy związków chemicznych. Dzielą się one pomiędzy wyliczone powyżej klasy krystalograficzne bynajmniej niejednakowo.

Według niezbyt dokładnego zestawienia dokonanego w roku 1902-gim z 5662 substancyj krystalicznych, do tego czasu poznanych, było

trójskośnych........

jednoskośnych ........

rombowych.........

tetragonalnych........

trygonalnych i heksagonalnych .    .

regularnych.........

581

2343

1703

273

432

329

W roku 1906-tym P. Gro tli rozpoczął wydawać spis i opis krystalograficzny wszystkich ciał krystalicznych, dotychczas zbadanych. Wyszły tymczasem trzy tomy, obejmujące związki nieorganiczne, a z organicznych połączenia alifatyczne i pochodne lieksa-hydrobenzolu. W tych trzech tomach niedokoiiczonego jeszcze wydawnictwa znajdujemy opisy 3652 ciał. Pomiędzy klasy krystalograficzne dzielą się one jak następuje:

Z. Weyfcerg. Podstawy krystalografii.

1.    8X1’)

2.    8'( 2” 2” 2”)

Klasa pedyonów trójskośnych Klasa dwuścianów trój skośnych

Trójskośnych o klasie nieoznaczonej lub wątpliwej Trójskośnych wszystkich

871

39

to

Klasa daszków jednoskośnych Klasa sfenoidów jednoskośnych Klasa słupów jednoskośnych

17

99

1216

Jednoskośnych klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Jednoskośnych wszystkich

68

1399

QC <1 O

DO DO tO CO DO DO DO

to to

ćb Sd ćb co n w (M ^ bi bt bi

CC fC CC

Klasa pojedynczych piramid rombowych Klasa podwójnych sfenoidów rombowych Klasa podwójnych piramid rombowych

Rombowych klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Rombowych wszystkich Klasa pojedynczych piramid tetragonalnyeh Klasa pojedynczych piramid dwutetragonalnych Klasa podwójnych sfenoidów tetragonalnyeh Klasa trapezoedrów tetragonalnyeh Klasa podwójnych piramid tetragonalnyeh Klasa skalenoedrów tetragonalnyeh Klasa podwójnych piramid dwutetragonalnych Tetragonalnyeh klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Tetragonalnyeh wszystkich Klasa pojedynczych piramid trygonalnycli Klasa pojedynczych piramid dwutrygonalnych Klasa podwójnych piramid trygonalnycli Klasa trapezoedrów trygonalnych Klasa podwójnych piramid dwutrygonalnych Klasa pojedynczych piramid heksagonalnych Klasa pojedynczych piramid dwuheksagonalnych Klasa romboedrów Klasa trapezoedrów heksagonalnych Klasa podwójnych piramid heksagonalnych Klasa skalenoedrów heksagonalnych Klasa podwójnych piramid dwuheksagonalnych Trygonalnych klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Heksagonalnych klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Trygonalnych i heksagonalnych wszystkich

29

242

572

275

17

24

18

59

107

12

16

t-h o CO

rH t—I tH

183

60

1118

232

od    ci © —' rai

rai    rai ora ora ora

ora    era    ^    ^

ora    ora    ora    ora    ora

rai    rai    rai    rai    rai

Klasa dwunastościanów tetraedrycznie pentago-

nalnych

Klasa heksaki tetraedrów

Klasa dwudziestoczworościanów pentagoiialnych Klasa dwunastościanów podwójnych Klasa czterdziestoośmiościanów

GO Ci

<N O O tH —tl ra I

77

172

8652

Regularnych klasy nieoznaczonej lub wątpliwej Regularnych wszystkich

Razem

Rzecz godna uwagi, acz niestety niewyjaśniona i niezrozumiała, że przeważającej ilości substancyj właściwy jest czworościan jednostkowy trójskośny, jednoskośny i rombowy, a z nich jednoskośny jest rozpowszechniony najwięcej.

Przewaga klas symetryi niższej trudna jest do wyjaśnienia z tego względu, że ciało krystaliczne, jeżeli można się tak wyrazić, ma niejako dążność do osiągnięcia symetryczności jak najwyższej, przynajmniej pod względem geometrycznym.

Już wyżej, tam gdzie była mowa o pięciu sześcianach: pirytu, sfalerytu, bromianu sodowego, chlorku potasowego i chlorku sodowego, wyjaśniliśmy pokrótce, że symetrya geometryczna kryształu wyższa jest zazwyczaj od jego symetryi fizycznej, bo najpospolitsze postaci kryształu są to formy o wyznacznikach najmniejszych, a formy takie są spólne wielu klasom.

Ale nie tylko w tym względzie symetryczność geometryczna u bardzo wielu ciał krystalicznych przewyższa fizyczną.

Stopień symetryczności geometrycznej wielu kryształów przewyższa symetryę fizyczną ich substancyj przez bliźnięcość, polisyn-tetyczność kryształu lub też jego postać naśladowczą czyli przez mimezyę.

Go to jest bliźnięcość, oraz co to są kryształy poii-s y nt etyczne czyli wielokrotnie zrosłe i kryształy mim etyczne czyli naśladowcze, wyjaśnią przykłady niżej podane.

W książce niniejszej miano na względzie tylko wielościany wypukłe, t. j. takie, których powierzchnia z prostą, przeprowadzoną dowolnie, przecina się najwyżej w dwu punktach. Jednak oprócz nich są pospolite w świecie ciał krystalicznych wielościany wklęsłe t. j. takie, których powierzchnia z dowolnie przeprowadzoną prostą przecina się w ilości punktów, większej od dwu. N. p. rys. 103 przedstawia kryształ kalcytu, mający kąty wklęsłe. Porównajmy go z rys. 1 (str. 3), który wyobraża romboedr tego minerału. Przekonamy się, że wielościan rys. 103 jest to jakoby romboedr przecięty płaszczyzną podstawową na dwie połowy i jedna z nich jest obrócona względem drugiej na kąt 60°. A więc wielościan rys. 103 pod względem symetryczności jest bogatszy od wielościanu rys. 1 o jedną płaszczyznę odbicia.

Rys. 104. Gips.

Rys. 103. Kryształ bliźnięcy kalcytu.

Drugi przykład kryształu z kątami wklęsłymi mamy na rys. 104. Jest to kryształ gipsu. Porównawszy go z rys. 2 (§ 2 str. 3), widzimy, że wielościan rys. 104 może być wyprowadzony z wielościanu rys. 2 przez przecięcie go płaszczyzną (100) na dwie połowy i potem przez odwrócenie jednej połowy względem drugiej o 180°.

Rys. 105 jest to wielościan minerału spinelu MgAlt Oi: ośmio-ścian regularny (por. rys. 42 w § 18 str. 51) o dodatkowej płaszczyźnie odbicia, równoległej do jednej ze ścian ośmiościanu.

Rys. 105. Spinel.

Rys. 106. Fluoryt.

Rys. 106 przedstawia kryształ minerału fluory lu CaFt. Jest to sześcian przecięty płaszczyzną równoległą do ściany ośmiościanu i odwrócony, a więc względem płaszczyzny ośmiościanu symetryczny.

Ten więc rodzaj kryształów bliźnięcych jest jakoby powstały z jednego wielościanu wypukłego przez przecięcie go płaszczyzną i odwrócenie jednej połowy względem drugiej o kąt taki, że potem płaszczyzna przecięcia staje się płaszczyzną zwierciadlaną dla obu połów całego utworu.

Przykładem drugiego rodzaju kryształów bliźnięcych jest wielo-ścian, przedstawiony na rys. 107. Mamy tu kryształ gipsu (ob. str. 3 rys. 2), który jest jakoby dwoma kryształami, złączonymi symetrycznie i nawzajem przerosłymi. Widoczna, że w tym razie również mamy podwyższenie symetryczności.

fi

/"A

A.

Z.

Rys. 107. Gips.

Rys. 108. Staurolit.

Podobnie rys. 108 wyobraża kryształ bliźnięcy minerału stauro-litu (ob. str. 50 rys. 40 i 41 w § 17), który jest jakoby, dwoma pojedynczymi kryształami tego minerału, przerosłymi na krzyż symetrycznie. Oczywista, jest on o dwie płaszczyzny odbicia bogatszy od kryształu pojedynczego rys. 40.

Tak samo wielośeian rys. 109 (kryształ spinelu) jest jakoby dwoma ośmiościanami przerosłymi symetrycznie tak, że kierunek, będący osią przystawania trzykrotnego, t. j. prosta, prostopadła do ściany ośmiościanu, w omawianym krysztale bliżnięcym jest osią przystawania sześciokrotnego.

Na rys. 110 widzimy kryształ fluorytu, który łatwo zrozumiałym się staje, gdy pojmować go będziemy jako dwa sześciany, przerosłe symetrycznie względem ściany ośmiościanu.

Należy dodać, że owo przerastanie czy zrastanie się wielo-ścianów, o którem mówimy obecnie, jest to tylko geometryczny

sposób tłomaczenia wielościanów wklęsłych. W rzeczy samej niema tu żadnego zrastania się gotowych wielościanów: każdy kryształ bliźniący odrazu powstaje jako taki.

\f

Rys. 109. Spinel.

Rys. 110. Fluoryt.

Tak więc każdy kryształ bliźnięcy ma albo więcej płaszczyzn odbicia, albo też posiada osi przystawania rzędu wyższego, niż elementarny wielościan wypukły. Z lego więc względu mówimy, że bliźnięcość podnosi stopień symetryczności kryształu.

Bliźnięcość zdarza się nie tylko dwukrotna, ale i wielokrotna, przyczem w kryształach różnych ciał wielokrotność jej zachodzi tak daleko, że są one jak gdyby subtelną tkaniną nieraz bardzo zawiłej, lecz zawsze symetrycznej budowy, tkaniną, złożoną z bardzo cieniutkich listewek lub płytek. Symetrya fizyczna każdej takiej listewki bywa nieraz bardzo nizka, n. p. trójskośna, a całokształt budowy

B5B

iiil

■1

Ml

■H

mpii

iii

Rys. 111. Mikroklin.

Rys. 112. Perowskit.

ma pokrój wysoce symetryczny, bo nieraz aż regularny. Te listewki w niektórych razach bywają tak cienkie, że dopiero zastosowanie bardzo czułych metod optycznych wykrywa je i ujawnia właściwą im symetryę. Oto kilka przykładów.

Rys. 111 przedstawia schematycznie budowę kryształów minerału mikroklinu (jest to jeden ze skaleni potasowych K^Al%Si^Ol6). Wie’oscian z pozoru jednoskośny w istocie jest splotem dwu grup trójskośnych listewek: jedna grupa listewek pomiędzy sobą równoległych przeplata drugą na krzyż prostopadle.

Drugi przykład mamy na rys. 112. Rysunek ten przedstawia sześcian minerału perowskitu (tytanianu wapnia Ca Ti 0₃). Ściany jego mają delikatną brózdkowatość, która jest wynikiem i ujawnieniem jego budowy wielokrotnie bliźnięcej z elementów jednoskośnych.

Podobnie wielokrotnie bliźnięce są kryształy minerału bora-cytu (i¥^₇C4-B₁₆O₈₀) rys. 113. Są one z pozoru regularne, z kształtu mogłyby być zaliczone do klasy heksakistetraedrów, jednak w istocie są one splotem listewek jednoskośny ch.

Rys. 113. Bora cyt.

Rys. 114. Leucyt.

Rardzo pouczającym przykładem w tym względzie są kryształy minerału leucyt u (K₂Al₂SiéOn) rys. 114. Z pozoru są to dwu-dziestoczworościany deltoidowe, możliwe w kilku klasach regularnych. Gdyby jednak było tak w istocie, to trzy kąty dwuścienne, tworzące naroże A, byłyby równe. Tymczasem dokładne pomiary goniome-tryczne stwierdzają, że wielościany leucytu właściwie są połączeniem ścian podwójnej piramidy tetragonalnej E i ścian podwójnej piramidy dwutetragonalpej F. Ale i to nie odpowiada jeszcze istocie fizycznej symetryi leucytu, bowiem kryształy jego składają się z drobniutkich elementów, których własności optyczne wykazują sy-metryę jednoskośną.

Nakoniec rozpatrzmy jeszcze bardzo ciekawą budowę kryształów minerału filipsytu (jest to jeden z glinokrzemianów składu {Ca,Z₂)A4^₅0₁₄.5i7₂0). Cieniutkie jego listewki jednoskośne tworzą

zespoły z pozoru rombowe rys. 115. Rys. 116 przedstawia drugi, tetragonalny stopień symetryi kształtu tych kryształów, gdzie dwa wielościany rys. 115 są na krzyż przerosłe. Wreszcie Irzy wielo-ściany rys. 116 dają zespół symetryi klasy ezterdziestoośmiościanów

ulw

fi

mgm

Bi

Rys. 115.

Rys. HU.

PP«

Yił

;;

./

Rys. 118.

Rys. 117.

Rys. 115—118. Kryształy tilipsytu.

rys. 117. Na niektórych kryształach filipsytu kąty wklęsłe są zupełnie zarosłe (rys. 118) tak, że powstaje całkowite podobieństwo do dwunastościanu rombowego, formy właściwej klasom regularnym.

Przykłady przytoczone dają pojęcie i o polisyntetyczności i o mi-mezyi czyli o postaciach naśladowczych zarazem. Ta naśladowczość form wyższej symetryi jest bardzo rozpowszechniona w świecie ciał krystalicznych. N. p. na rys. 119 widzimy rombowy kryształ minerału desminu. Jest to glinokrzemian składu CaAltSi₆0₁₆.6H%0. Rys. 120 przedstawia wielościan minerału cyrkonu Zr Si O ^ tetragonalny, a na rys. 121 mamy tetragonalny jodek czwórmetyloamo-nowy iV(C//₃)₄./, łudząco podobny do regularnego dwunastościanu rombowego (por. rys. 118) właściwego granatom i wielu innym ciałom klas regularnych.

To samo widzimy na rys. 122, który przedstawia jednoskośny kryształ a du 1 arii (jeden ze skaleni potasowych K₂Al₂Si₆0₁₆) na rys. 123, wyobrażającym jednoskośny penin (jeden z clilorytów

Rys. 119. Desmin.

Rys. 120. Cyrkon.

3HiMgsSi₂Oa . HilIg₂Al₂SiOa) i na rys. 124, podającym kształt kryształów trygonalnego korundu Al₂0₃.

A więc ustosunkowanie ścian i wielkości kątów dwuściennych wielu kryształów tylko nieznacznie różni się od pokroju i kątów ciał wyższego typu symetrycznego. Będąca w mowie obecnie na-

h-t

Rys. 121. Dwunastościan rombowy.

Rys. 122. Adular.

śladowczość istnieje nietylko u kryształów polisyntetycznych, ale - i u takich, których symetrya geometryczna odpowiada ich syme-tryczności fizycznej, np. cyrkonu, korundu lub adularu. Wobec tych faktów rzecby można, że gdy stopień symetryczności fizycznej jest indywidualną własnością każdej substancyi skrystalizowanej w pe-

wnych granicach temperatury i ciśnienia, to ciału stałemu wogóle właściwa jest dążność do osiągnięcia najwyższej symetryczności kształtu.

Rys. 123. Penin.

Rys. 124 Korund.

Kwestye te poruszamy na tern miejscu tylko ogólnikowo, dla zakończenia obrazu krystalografii geometrycznej. Stanowią one teren badań przyszłości, dotyczą bowiem najzawilszych i najtrudniejszych spraw: zależności pomiędzy składem chemicznym substancyi i jej symetryą, oraz stosunku cieczy i ciała stałego w chwili przejścia ich wzajemnego z jednego stanu w drugi.

Na tein zakończymy książkę niniejszą. Zawartość jej stanowi treść krystalografii geometrycznej, przedstawioną w sposób elementarny z uwzględnieniem rzeczy najważniejszych tylko i podstawowych. Całokształt tej pięknej i rozległej umiejętności, to pomiary i obliczenia krystalograficzne, oraz nauka o podziale przestrzeni na wielościany przylegające do siebie, a także nauka o jednostajnych rozkładach punktów w przestrzeni, czyli dalszy rozwój nauki o sieciach przestrzennych, prowadzący do poznania struktury kryształu.

Poznanie praw, według których własności fizyczne zmieniają się ze zmianą kierunku, jest przedmiotem krystalografii fizycznej.

Rzeczą krystalografii opisowej jest szczegółowe wyprowadzenie wszystkich form każdej klasy, wyjaśnienie w niej kryształów bliźnięcych, wielokrotnych i naśladowczych, oraz wskazanie sposobów krystalograficznego opisu ciał.

Wielki dział zjawisk i kwestyj, dotyczących związku pomiędzy krystalograficznemi i chemicznemi własnościami substancyj, a także spraw rozpuszczania się i przyrostu ścian kryształu, wzajemnego stosunku ścian pod względem ich wielkości, zjawiania się na krysztale ścian tych czy owych, zjawisko krystalizowania się substancyj tego samego składu chemicznego w różnych klasach krystalograficznych, oraz podobieństwa i różnice kryształów substancyj chemicznie sobie pokrewnych i t. p., jest to zakres krystalografii fizyko-che

micznej.

Że jednak wszystkie te sprawy są niezrozumiałe bez dokład

nego poznania pierwiastkowych wiadomości z geometryi kryształu, przeto autor streścił je jak najkrócej w książce niniejszej, usunął z niej wszystko, co tylko bez szkody całości i jej zrozumienia usunąć się dało i opatrzył graf ii«.    A

jJöoTEiqr

Kraków

d stawy krystalo-

\'

/j

SKOROWIDZ.

Adular 131, 153.

Aksynit 43, 125, 130.

Albit 69, 130.

Ałun 4, 78, 126, 135.

Amlibole 131.

Analogiczne punkty 5.

Anizotropowe ciała 4.

Antracen 131.

Apatyt 21, 78, 126, 133, 134.

Aragonit 79, 125, 132.

Arsenawy bezwodnik 131,

Arsenian sodowostrontowy 135. Arszenik 131.

Arytmetyczny wyraz prawa pasów 39. Asymetryczne kryształy 98.

Azotan baru 135.

Azotan potasu 132 Azotan srebra 132.

Chlorek amonowy 135. Chlorek barowy 131.

Chlorek potasowy 185.

Ciała anizotropowe 4.

Ciała bezpostaciowe 1.

Ciała izotropowe 2.

Ciała jednorodne 5.

Ciała krystaliczne 2.

Ciała równokierunkowe 2. Ciała różnokierunkowe 4. Cieplne przewodnictwo 140. Cieplna rozszerzalność 142. Cukier ołowiany 131.

Cyrkon 133, 152.

Cytrynowy kwas 132. Czworościan 11.

Czworościan jednostkowy 28.

Benzol 132.

Certholleta sól 131.

Beryl 135.

Bezpostaciowe ciała 1. Bezwodnik arsenawy 131. Bliźnięcość 147.

Boracyt 135, 151.

Boraks 131.

Borowy kwas 130. Bromian sodowy 128. 135.

Całych wyznaczników prawo 20, 39. Cbalkopiryt 133.

Chloran potasu 131.

Chloran sodu 135.

Dedukcya 40.

Definicya kryształu 2, 43, 77. Definicya symetryczności 80.

Desmin 152.

Dolomit 134.

Drugie prawo 46.

Drugie przekształcenie 83.

Dwojaki 148.

Dwukołowy goniometr 59. Dwunastościan rombowy 152. Dwuścian podstawowy 112, 121, 123 Dwutlenek cyny 133.

Dyoptaz 134.

Dyament 135.

Elementy symetryi 118.

Fenakit 134.

Figury wytrawione 4.

Filipsyt 151.

Fluorek srebra 133.

Fluoryt 136, 148, 149.

Forma krystalograficzna pojedyncza 121.

Forma ogólna 122, 136.

Fosforan amonowomagnezowy 132.

Galenit 3, 14, 126.

Gips 3, 121. 131, 148. 149. Glauberska sól 131. Goniometr dwukołowy 59. Goniometr jednokołowy 58. Goniometr przykładany 57. Goniometr tedolitowy 59. Goniometry refleksyjne 57. Gorzka sól 132.

Granaty 152.

Grenokit 134.

Grynszpan 131.

Heksagonalne kryształy 133, 145. Hematyt 135.

Hemisymetrya niezupełna 99. Hemisymetryi niezupełnej rodzaje 101. Hemisymetrya zupełna 97. Holosymetrya 96.

Inwersya 84.

Inwersyi płaszczyzn kąt 107. Izotropowe ciała 2. Izosymetryczność 125.

Jednokołowy goniometr 58. Jednorodne ciała 5.

Jednorodności prawo 2. Jednostkowy czworościan 28. Jednostkowa płaszczyzna 28. Jednoskośne kryształy 130, 145. Jednoskośnych słupów klasa 119. Jodek czwórmetyloamonowy 152. Jodek cynawy 135.

Jodek srebra 134.

Kalcyt 3, 78, 12«, 133, 134, 148. Kalejdoskopowe powtórzenie 85. Kasyteryt 133.

Kąt obrotu osi przystawania 87.

Kąt płaszczyzn inwersyi 107.

Kąt płaszczyzn obrotu 99.

Kąt płaszczyzn zwierciadlanych 89. Kątów stałych prawo 47, 49. Kierunek przyrostu ściany 48, 51. Kierunki równe 74.

Kierunków równych prawo 74.

Klasa słupów jednoskośnych 119. Klasy krystalograficzne 130, 146. Koncentracyjny prąd 46,

Korund 135, 153.

Krawędzi osiowe 25.

Krystaliczne ciała 2.

Krystaliczne spękania 3. Krystalograficznaformapojedynczal21. Krystaliczna forma ogólna 122, 136. Krystalograficzne znaczenie osi przystawania i płaszczyzn zwierciadlanych 112.

* Kryształ 43.

Kryształy 1.

Kryształy asymetryczne 98.

Kryształu definicya 2, 43, 77.

Kupryt 135.

Kwas borowy 130.

Kwas cytrynowy 132.

Kwas pikrynowy 132.

Kwas salicylowy 131.

Kwas szczawiowy 131.

Kwas winowy 131.

Kwaśny prawy winian strontu 98. Kwarc 49, 76, 126, 133, 134.

Lapis 132. Leucyt 151. Lód I, 134.

Łupliwość 2, 137. Łyszczyki 131.

Magnetyt 51, 128. 136. Margarycian wapnia 110, 133.

Mikroklin 69, 151. Mimetyczne kryształy 147. Molibdenian ołowiu 133. Muskowit 76, 78, 131.

Nadjodan sodowy 134.

Nadmanganian potasowy 132. Naftalin 131.

Nefeliny 134.

Niezupełna hemisymetrya 99. Niezupełnej hemisymetryi rodzaje 101.

Obrót 83.

Octan miedziowy 1-31.

Octan ołowiawy 131.

Octan sodowy 131.

Octanoazotan strontu 130.

Odbicie 82.

Odcinków wymiernych prawo 17. Ogólna postać 122, 136.

Okres osi przystawania 103, 105. Optyczne własności 141.

Ortoklaz 124, 131.

Oryentowanie kryształu 67.

Osiowe krawędzi 25.

Osiowe płaszczyzny 25.

Osi przystawania okres 103, 105.

Osi przystawania rzęd 103, 105.

Oś polarna 124.

Oś pasa 13.

Oś przystawania 102, 105.

Oś przystawania jako krawędź 113. Ośmiościan umiarowy 51.

Oznaczanie typów symetryczności 93.

Pas 13 Pasa oś 13.

Pasów dedukcya 40.

Pasów prawo 14, 16 Pasów równanie 36.

Pasów i ścian związek 21. Pasy ścian 21.

Pen in 153.

Perowskit 151.

Pierwsze prawo 49. Pierwsze przekształcenie 82. Piezoelektryczność 143.

Pikrynowy kwas 182.

Pirochromian potasu 2. Piroelektryczność 143.

Pirokseny 181.

Piryt 128, 135.

Platynocyanek magnezu 77, 126, 133.. Płaszczyzn inwersyi kąt 107, Płaszczyzn obrotu kąt 99.

Płaszczyzna jednostkowa 28. Płaszczyzna odbicia jako ściana kryształu 113.

Płaszczyzny osiowe 25.

Płaszczyzna projekcyi 60, 65 Płaszczyzna retykularna 6. Płaszczyzna siatkowa 6.

Płaska sieć 6

Płaszczyzna zwierciadlana 79. Płaszczyzny obrotu jako ściany kryształu 116.

Początek 25.

Podstawowy dwuścian 112, 121. Podwójny sfenoid tetragonalny 111. Pojedyncza forma krystalograficznal21.. . Polarne osi 124.

Polisyntetyezność 147.

Postać ogólna 122, 136.

Powtórzenie kalejdoskopowe 85. Powtórzenie symetryczne 80.

Prawo drugie 46.

Pnrfco jednorodności 2.

Prawo kątów stałych 47, 49.

Prawo kierunków równych 74.

Prawo odcinków wymiernych 17. Prawo pasów 14, 16.

Prawo pierwsze 49.

Prawo symetryczności 76.

Prawo wyznaczników całych 20, 39. Prąd koncentracyjny 46.

Projekcya stereograficzna 60. Przekształcenie drugie 83. Przekształcenie pierwsze 82. Przekszałcenie symetryczne 80. Przekształcenie trzecie 94. Przestrzenna sieć 5. 6, 44. Przewodnictwo ciepła 140. Przykładany goniometr 57.

Przyrost ściany 48.

Przyrost kryształów 50. Przystawania oś 102 105. Przystawania osi okres 103, 105. Przystawania osi rzęd 103, 105. Punkty analogiczne 5.

Refleksyjne goniometry 57.

Regularne kryształy 135, 145. Retykularna płaszczyzna 6. Rezorcyna 132.

Rodzaje hemisymetryi niezupełnej 100. Rodzaje hemisymetryi zupełnej 97. Rodzaje symetryczności 95.

Romboedr 3, 79, 148.

Rombowe kryształy 132, 145. Rozszerzalność cieplna 142.

Roztwór nasycony 2.

Roztwór przesycony 2.

Równanie pasów 36.

Równe kierunki 74. Równokierunkowe ciała 2.

Równych kierunków prawo 74.

Rzęd osi przystawania 103, 105.

Rzut stereograficzny 60.

Saletra 132.

Salicylowy kwas 131.

Sanidyn 131.

Schlippego sól 135.

Sfaleryt 77, 127, 135.

Sfenoid 111, 121.

Siarczan magnezu 132.

Siarczan miedzi 130.

Siarczan niklu 133.

Siarczan sodu 131.

Siarczan wapnia 131.

Siarczan żelazawy 131.

Siarka 131, 132.

Siatka stereograficzna 63. Siatkowa płaszczyzna 6.

Sieć płaska 6 Sieć przestrzenna 5, 6, 44. Skalenie 22, 55, 69, 121, 131. Skręcanie optyczne 142.

Słup 121.

Słupów jednoskośnych klasa 159.

Soda 131.

Sól Bertholleta 131.

Sól glauberska 181.

Sól gorzka 182.

Sól kamienna 3, 78, 125, 128, 136. Sól Schlippego 135.

Spinel 148, 149.

Spękania krystaliczne 3.

Spójność 3.

Sprężystość 138.

Staurolit 50, 125, 132, 149.

Stałych kątów prawo 47, 49. Stereograficzna projekcya 60. Stereograficzna siatka 63. Stereograficzny rzut 60. Sulfoantymonian sodu 135.

Sylwin 128.

Symetryczne powtórzenie 80. Symetryczne przekształcenie 80. Symetrycznie leżące utwory 79. Symetrycznie równe utwory 79. Symetryczność sieci płaskiej 89. Symetryczności definicya 80. Symetryczności prawo 76. Szczawiowy kwas 131.

Szelit 133.

Ścian i pasów związek 21.

Ściany znak 27.

Teodolitowy goniometr 59. Tetartosymetrya 108.

Tetragonalne kryształy 132, 145. Tetrationian potasu 131. Tetragonalny sfenoid 111. Tiosiarczan wapniowy 130.

Topaz 132.

Trójskośne kryształy 129, 145. Trygonalne kryształy 133, 145. Trzecie prawo 76.

Trzecie przekształcenie 84. Trzydzieści dwa rodzaje 109.

Trzy przekształcenia 81.

Turmaliny 134.

Typów symetryczności oznaczanie 93. Typy symetryczności 91.

Tytanian wapnia 151.

b>*

: £?c

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

II

L.

Druk. D. J. Zam. 356. 10.000.

160

Uńparowy ośmiościan 51. Utwory symetrycznie leżące 79. Utwory symetrycznie równe 79.

Węglan sodu 181.

Węzły 6.

Winian antymonilowobarowy 134. Winian strontu 98, 130.

Winiany 131.

Witryol żelaza 131.

Wklęsłe wielościany 147.

Woda 1.

Wolframian wapnia 133.

Wulfen it 133.

Wymierne odcinki krawędzi 39. Wymiernych odcinków prawo 17. Wyprowadzanie form 117.

BIRUftTEKÄ nimvuA

,    Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-341317

Znaczenie krystafógraticzne płaszczy zii zwierciadlanych i osi przystawania 112.

Znak ściany 27.

Związek kątów i wyznaczników 52. Związek pasów i ścian 21. Zwierciadlana płaszczyzna 79. Zupełna hemisymetrya 97.

Żelazocyanek potasu 131. Żelazicyanek potasu 131.

i»

Bibliotek

a Politechniki Krakowskiej

100000278502

-/

Sin a

Cos a

Sin a

Cos a

0-383

1000

1000

1000

1000

0-999

0-999

0-999

0-998

0-997

0-997

0-996

0-995

0-994

0-993

0-992

0-991

0-990

0-989

0-988

0-986

0985

0-983

0-982

0-980

0-978

0-976

0-974

0972

0970

0-968

0-966

0-964

0-961

0-959

0956

0-954

0951

0-948

0-945

0-943

0-940

0-937

0-933

0-930

0-927

0-924

90°

89°

88*

87°

86⁰

85°

84°

83 «

82⁰

81°

800

79°

78°

77°

76°

75°

74°

73°

72⁰

77°

70°

69°

68⁰

O^oo^oooooooooooo^ooooo

0-391 0-399 0-407 0-415 0-423 0 430 0438 0-446 0454 0 462 0-469 0477 0-485 0)492 0-500 0-507 0-515 0522 0-530 0-537 0-545 0-552 0-559 0566 0-573 0-581 0-588 0-595 0-602 0-609 0-616 0-622 0-629 0-636 0-643 0-649 0656 0-663 0-669 0-675 0-682 0-688 0-695 0-701 0-707 0-713

0-920    670

0917

0-913    66°

0-910 0 906 0-902 0 899    64°

0-895

0-891    63*

0-887 0-883 0-879 0-875    6P

0-870

650

62°

0-737

0-731

0-725

0-719

0-713

0-707

0-701

47 o

46 o

450

Cos ß

Sin ß ß

Cos ß

Sin ß

Z. Weyberg. Podstawy Krystalografii. Tablica I.

Logarytmy czterocyfrowe liczb od 100 do 609.

7    8 | 9    123    456    789

1Ü 0000 0043

11    0414 0453

12    0792 0828

13    1139 1173

14    1461 1492

15    1761 1790

16    2041 2068

17    2304 2330

18    2553 2577

19    2788 2810

20    3010 3032

21    3222 3243

92    3424 3444

23    3617 3636

24    3802 3820

25    3979 3997

26    4150 4166

97    4314 4330

28    4472 4487

29    4624 4639

30    47714786

31    4914 4928

32    50515065

33    5185 5198

34    5315 5328

35    54415453

36    5563 5575

37    5682 5694

38    5798 5809

39    59115922

40    60216031

41    6128 6138

42    6232 6243

43    6335 6345

44    6435 6444

45    6532 6542

46    6628 6637

47    6721 6730 6812 6821

49    6902 6911

50    6990 6998

51    7076 7084

52    7160 7168

53    7243 7251

54    7324 7332

55    7404 7412

56    7482 7490

57    7559 7566

58    7634 7642

59    7709 7716

60    7782 7789

48

0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334jü374

0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399Î1430 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

1818 1847; 1875 1903 1931 1959 1987 2014 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765

2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 3054 3075 5096 3118 3139 3160 3181 3201

3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945|3962

4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 4183 4200 4216 4232 4249 4265 1281 4298 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609

4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742(4757 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 5211 5224 5237 5250 «j263 5276 5289 5302 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428

5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899

5933 5944 5955 5966 5977 6042 6053 6064 6075 6085

6149 6160 6170 6180 6191 6253 6263 6274 6284 6294 6355 6365 6375 6385 6395 6454 6464 6474 6484 6493

6551 6561 6571 6580 6590 6646 6656 6665 6675 6684 6739 6749 6758 6767 6776 6830 6839 6848 6857 6866

6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6991 7007 7016 7524 7033 7042 7050 7059 7067

7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396

7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701

7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846

5587

5705

5821

5988 5999 6010 6096 6107 6117

6201 6212 6222 6304 6314(6325 6405 6415 6425 6503 6513 6522

6599 6609 6618 669316702 6712 6785 6794 6803 6875 6884 6893

to 10 to to    totototo    to to    to to co co    CO CO CO    ^

to to to totototo to to totototo totototo to to totototo CO CO CO CO) CO CO COCOCOCO    ^ ^ ^ ^    ^ ^    O* O' C Oi    05 05-V1    OC    OD

to

h-i.

29 33 37

26 30 34 24 28 31 23 26 29 21 24 27

20 22 25 18 21 24 17 20 22 16 19 21

16 18 20 15 17 19

14 16 18 14 15 17 13 15 17 12 14 16

910 121415 810 111315 8 9 1113 14 8 9 111214

7 9 10 12 13 7 9 1011 13

17 21 25

15 19 23 14 17 21 13 16 19 12 15 18

11 14 17 1113 16 10 12 15 912 14

91113 81113

810 12 81012

9 11

911

MMMM HMhM    h-¹-    b-* h-*    h-*- HHMH h-^h-Ł h-*■

co co cocococo cocococo co co cooroioj 04 or or oi 04 01

7 8 10 1112 7 8    911 12

561789 5 6j 7 7 8 551678 4 5    6 7 8

9    123    456    789

Z. Weyberg. Podstawy Krystalografii. Tablica II.

Lo gary tin y czterocyfrowe liczi* od

009 do 1109.

N 0    1    2    3    4    5    6|7|8j9

“60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846

61    7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917

62    7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987

63    7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055

64    8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122

65    8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189

66    8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 «241 «243 8254

67    8261 8267 8274 8280 8287 8293 3299 8300 8312 8319

68    8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382

69    8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445

70    8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 3500 8506

71    8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567

72    8573    8579    8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627

73    8633    8639    8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686

74    8692    8698    8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745

75    8751    8756    8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802

76    8808    8814    8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859

77    8865    8871    8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915

78    8921    8927    8932    8938    8943    8949 8954 8960 8965 8971

79    8976    8982    8987    8993    8998    9004 9009 9015 9020 9025

80    9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079

110    0414 0418 0422 0426 0430 0434 0438 0441 0445 0446

N |0|l|2|S|4|5|6|7|«,9|

123    456    789

rH t-H rH rH

r-t i—t i—I T-ł rH i—1 HHHH HHHH H H HHHH i—I

rH H t-H n H r-I tH t-H tH rH t-H H H rH

rH t-H t-H

H H HHrHH t-H r—I rH t-H

rH

OO OO OOOO OOOO OO O O O O O O O O OO T-l

t-H t-H t-H

h-Ł

t-H

t-H

t-H t-H t-H tH t-H

rH

totototo totototo to to totototo totototo to

(MCM CM CM CM CM (MCM

MMMM M-Ł. *—±

rH H h H tH H H H rH

70

■^1    Ttl    tJH cocococo

CO CO CO    cocococo    coco cocococo    cocococo    coco

co cocococo    cocococo    01 cm <m 01 <m cm    m m 01 m    m m    cm 01 cm <m

toto to to to to totototo toto to to to to to to to to toto to to to to CP toto totototo totototo toto

co co cocococo cocococo

tO lO 1.0 tO to to to to to to tO tO 05 05 05010505 C". I to to to to to (O tO 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05

Ol Ol    Ol Ol    Ol Ol Ol Ol    Oi    C 05 05    C5

C7iO> Ol CP Cn 0< ü< Ü» O» O*    05 05    05 05 05 05    05    05 05 05    05

^ ^ -rH -*ł< hH hH Tti co co co co cocococo cocococo

co co cocococo cocococo co co Ir»

lOOiOiO »£5 iT5 ^ Tjl Ttl rtl    ri< Tfl rjl    ^ ^    ^1 rfi rjt 05

■># Ttł ^ Tfl rti r*    COCO COCOCOOO 70 CO CO CO COCO 00

Siatka stercograficzna Gf. Wulffa zmniejszona z *20 c. do 15 c. średnicy.

wmm

mm

EM

•V

mm

ntm

-4

mtm

ij!!

X\4-ł

Vc

mii

mźE

s:

T:

SB

ff-

aa

±t

+-

łat

rt

Ji

SMm

Mm

T-

vW\

—

Mł

ai

jj

mm

:<7/.* v/ V/Sx

tSmmM

Z/7S

,7

§§

Sm

Mi

IB

Z. Weyberg. Podstawy krystalografii. Tablica III.

S:

»■n

àfj

mm

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Pi Hi , ' i|| I

MM»

100000278502

■.

[ 11-341317

:/