mśaamM “

y»

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

JOTEKA GŁÓWNA

mî

K'

i-

tri

L. inw.

flUI

•î

ni.

11

* r,

• «r

■fj

L*\'

,*35V^

hu;

r#v

P»

LV

LL:

«*

w.

IF

»!

*< #.Hjl

«as:

»*

•*

[fi

fj

k'i

•<,

•y

sj

!•

7» % »

[«

V,

,fa

Fvi1

UM*

rr i -r-.^

*» # AT

>•

!fj

i#

sSE§

L*

***** y#.

Kft&

.

.

' S

»

\

. -.

#

t

40-

■0-’

}

V

*

V

i

#

lv

X

6

x

■

V

t

t

X

s.

«

t

r

«

Biblioteka Politechniki Kiakowskiei

\

K

/

100000267668

*

■t

% -

-

ł .

l V

\

»

4

A

\ ,

’

)

\...

.s

,

\

'

V

*

r

< * •

—

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA - TOM XXXI.

TEORYfl ŻELBETU

OPRACOWAŁ

Dr. MAKSYMILIAN THULLIE

RADCA DWORU, PROFESOR SZKOŁY - POLITECHNICZNE] WE LWOWIE -

ZE 125 RYSUNKAMI W TEKŚCIE

a®

LWÓW 1915

NAKŁADEM KOMISYI BIBLIOTEKI POLITECHNICZNE]

I. ZWIĄZKOWA DRUKARNIA WE LWOWIE, LINDEGO 4.

nim

ms&tiiik

AK

W 500^

T- 'b$S&62>

i

Ak

/

/

m

j

PRZEDMOWA.

tfiV

=C^=4=^’' & ■

; .    .«Ç,~

Oprócz małej książeczki p. Jurkowskiego niema w polskiej literaturze technicznej żadnego dzieła, omawiającego teoryę żelbetu. Pracując w tym dziale nauki dość dawno i wykładawszy przez lat parę ten przedmiot w szkole politechnicznej lwowskiej, postanowiłem tę lukę w naszej literaturze wypełnić.

Przedmiot starałem się wyłożyć wedle obecnego stanu nauki, uwzględniając jednak zawsze sposób obliczenia przepisany rozporządzeniami ministeryalnemi w Austryi, Prusiech i Posyi. Dziełko to wykończyłem i oddałem do druku w czasie wojny. Czytelnik zechce wybaczyć tą okolicznością papier nie zupełnie jednolity.

Pracę tę oddaję do użytku inżynierom polskim i proszę o tak przychylne przyjęcie, jakiem cieszyły się inne me dzieła.

■ We Lwowie, w niaju bOlö.

Dr. Maksymilian Thullie.

Teorya żelbetu.

A. Własności mechaniczne betonu i żelaza.

§ 1. Wstęp.

W ostatnich czasach nowe horyzonty dla techniki stworzyło zastosowanie żelaza wspólnie z betonem do budowli. Te dwa materyały, odpowiednio razem użyte, tworzą nowy materyał budowlany, żelbet¹) (n. Eisenbeton, fr. béton armé, a. reinforced concrète). Chociaż ten materyał budowlany jest od niedawna znanym, mimo to zastosowanie jego w praktyce jest jak najobszerniejsze i coraz to nowe zdobywa sobie dziedziny. Dzisiaj budowle żelbetowe współzawodniczą skutecznie z budowlami kamiennemi i żelaznemi, a nawet z drewnianemi. Ten szybki rozwqj i tak obszerne zastosowanie tego materyału umożliwił także szybki postęp teoryi, poparty bardzo wieloma doświadczeniami.

W podręczniku tym ograniczymy się tylko do teoryi żelbetu, gdyż ustrój zeskładów żelbetowych należy do budownictwa żelbetowego, osobnego działu nauki.

§ 2. Beton.

Wiadomo, że beton (n. Beton, fr. béton, a. concrète, wł. calcestruzzó) jest mieszaniną cementu, piasku, żwiru, która w połączeniu z pewną ilością wody twardnieje i staje się podobną do kamienia. Mieszaninę tę wykonywamy w różnych stosunkach, zależnie od celu do którego ma być użytą. Jeżeli damy więcej cementu, to zapełnia on otwory między ziarnkami

J) Dla oznaczenia tego materyału używa się od dawna w formie przymiotnikowej wyrazu „źelaznobetonowy“. W formie rzeczownikowej używają wprawdzie żelazobeton, beton wzmocniony, ale pierwszy wyraz jest przeciwny duchowi języka polskiego, drugi za długi. Dlatego przyjąłem wyraz „żelbet“, używany w Warszawie, jako najodpowiedniejszy.

Dr. M. Thullie. Teorya żelbetu.

piasku, a zatem beton będzie mniej porowatym i przemakalnym a więcej wytrzymałym. Beton taki nazywamy „tłustym“, (n. fette Mischung, a. rieh mixture, fr. mélange gras, wł. impasto grasso), w przeciwieństwie do „chudego“, (n. magere Mischung, a. poor mixture, fr. mélange maigre, wł. impasto magro), który ma mniejszą zawartość cementu. W zeskładach żelbetowych części cienkie, silnie obciążone, przylegające do żelaza, robimy z betonu tłustego, o mniejszej zawartości żwiru, mniej obciążone wykonywamy z betonu chudego. Tam gdzie chodzi o lekkość, używamy niekiedy betonu żużlowego, (n. Schlackenbeton, a. slag concrète, fr. béton de laitier), t. j. betonu, w którym zamiast żwiru dajemy żużel.

Stosunek mieszaniny (n. Mischungsverhältniss, a. proportion of mixture, fr. proportion de mélange) wyrażamy albo wedle objętości, albo wedle ciężaru. Stosunek 1 : 8 oznacza 1 część cementu na 3 części mieszaniny piasku i żwiru. Jeżeli wyrażamy stosunek mieszaniny wedle ciężaru, to podajemy ciężar cementu na lm³ betonu. Mniej więcej stosunek mieszaniny 1:2 jest to 650 kg cementu na lm³ betonu, czyli 400 kg piasku i 800 kg żwiru, 1:3 jest to 440—470 kg, 1:4 jest to 340—350 kg, 1:5 jest to 280—300 kg, 1:6 to 230 kg, 1:9 to 160 kg, 1:12 to 120 kg na lm³ betonu.

Dla zeskładów żelbetowych nie używamy mieszaniny chudszej niż 1:5, czyli 280 kg na lm³ betonu.

Własności betonu zależą w znacznej mierze od jakości użytego cementu. Cement powinien być portlandzki i wolno-wiążący; szybko wiążącego używamy jedynie przy naprawkach lub szczegółach. Grubość żwiru jest zawisłą od użycia betonu. Drobny żwir dajemy w częściach bardziej pracujących, grubszy tam, gdzie mamy większe ilości materyału, w ogóle wielkość ziarnek piasku i żwiru stosuje się do tego, aby ubicie betonu między wkładkami a opierzeniem było możliwem.

Beton ubijamy w warstwach najwyżej 20 cm grubych (rozp. austr.), w Bosyi 10 cm.

§ 3. Żelazo.

Zwykle jako wkładek używamy prętów okrągłych, jednak czasami używane są także i kształtówki. Żelazo okrągłe o tyle jest lepszem, że łatwiej uzyskać można przyleganie betonu do

żelaza. Najmniejszy odstęp powierzchni wkładki żelaznej od powierzchni betonu wynosić musi dla płyt najmniej 1 cm, dla belek 2 cm. Najmniejszy odstęp między wkładkami ma wynosić 2 cm, przy grubszych wkładkach musi być co najmniej równy średnicy pręta.

Dawniej używano dla wkładek żelaza spawalnego, dzisiaj używa się wyłącznie zlewnego, jako wytrzymalszego, a nawet czasem stali zwłaszcza w Ameryce, gdzie jest tańszą. Żelazo musi być czyste od rdzy. Unikać należy spawania w miejscach niebezpiecznych. Pręt ciągniony należy zakończyć hakiem (rys.l.).

Rys. 1.

§ 4. Wytrzymałość betonu na ciśnienie i ciągnienie.

Wiadomo ogólnie, że wytrzymałość betonu na ciśnienie jest znacznie większą, niż na ciągnienie. Wytrzymałość betonu zależy od bardzo wielu czynników jako to: stosunku mieszaniny, dobroci cementu, jakości piasku i żwiru, sposobu wykonania i mieszania, ilości wody i wieku.

a) Wpływ wysokości. Wytrzymałość na ciśnienie kostek jest większą, niż wytrzymałość słupów. Przy zgnieceniu powstają bowiem zazwyczaj ostrosłupy, których wysokość jest większą od szerokości słupa. Przy kostkach nie mogą się te ostrosłupy regularnie uformować, dlatego wytrzymałość jest większą. I tak otrzymał P e r e t dla graniastosłupów o szerokości boku 2 cm.

Tabliczka I.

Wytrzymałość na ciśnienie w kgjcm².

Wysokość w cm Cement

średnią

123    100 67    64 54    59 kg/cm².

Widzimy więc, że w słupach wytrzymałość na ciśnienie wynosi około 60°/₀ wytrzymałości kostki.

b) Wpływ stosunku mieszaniny i wieku betonu. Wytrzymałość betonu wzrasta znacznie z biegiem czasu, a zwiększa się też z ilością cementu, co widzimy z następnej tabliczki według doświadczeń amerykańskich (Kimballa):

Tabliczka II.

Wytrzymałość na ciśnienie w kgjcm².

Stosunek

mieszaniny

7 dni 1 mieś. 3 mieś. 6 mieś.

i-i i-H rH rH -r-ł H H i—I

^ ..    .. O 03

CO ^    „00 TH rH

TH0303COCO'^iO'dH

T—i

‘■Goto

a5<x>iOTjHcoi—i05t>. 1—1 tH i-I t—I t—I tH

lOCOb-H-^OiO^H COOOONiO^ON 03 03 H r-1 i—I t—I T—(

HOiOONCOiOMH OiOMH05i>eoo5 CO 03 03 03 r—I t—I r“l

Doświadczenia Considère’a okazały że wytrzymałość względna betonu jest po 7

28    90 dniach 1 r.

Va Va

1*5

90 150 dniach

Probst otrzymał po 70 wytrzymałość na ciśnienie 205    252    268 kg/cm²

Bach otrzymał : (Versuche mit Eisenbetonbalken tom I.

str. 44) po

7    28

90 dniach

pod wodą w mokrem przechowaniu 339 kg jem2 36*1 kg jem'¹.

Doświadczenia Dyckerhoffa co do wytrzymałości na ciągnienie dały następujące wyniki:

ciśnienie

ciągnienie

203 263    331

24-2 31*6    37-6

Tabliczka III. ,

lata

mieszanina tygodnie

14    13    26    12    345

1:1    25*5    27-4    41*4    41-9    45*5    63*3    61-5    63-3    69-1    kg/cm

1:2    22-2    26-5    38*3    39-1    42-4    55-2    58T    59-3    64*3    kg\em²

1:3    18*6    23-4    34-5    35-4    36*6    50-9    46*2    56*3    57-9    kg\cm

Rysunek 2. przedstawia wykreślnie wzrost wytrzymałości.

p.o V* %

S łatnrcA

65

60

\50

f*5

z?

3/ł

R

20 i5

Rys. 2.

str. 129.)

Bach otrzymał z doświadczeń (Beton und Eisen 1909

po dniach 28 100 268 348

latach

12 6 418 478 561 kg/cm2 Przedstawiliśmy ten stosunek wykreślnie na rys. 3.

fi=

,.o 28 tOO 265

730

2130 ef.ninch

sso

500

z;

•2

•i '‘300

Rys. 3.

Analitycznie da on się wyrazić w=874(l—d—ü:—), je-

\    ’6m+l/

żeli vmu oznacza liczbę miesięcy.

Doświadczenia wydziału żelbetowego austryackiego (Mitteil. Heft 1. Druckfestigkeit) okazały :

Tabliczka IY.

cementu nalm³ mięszaniny 4 tyg. 420 320 250

6 tyg. 255 (1-10) 281 (1-14) 188 (1-14)

5 mieś.

312    (1-35)

313    (1'27) 241 (1-46)

Wpływ stosunku mieszaniny betonu jest tak znaczny, że rozporządzenie austryackie z r. 1911 wedle niego normuje natężenia dopuszczalne, przepisując pewną najmniejszą wytrzymałość.

231 (1) 246 (1) 165 (1)

Rozp. min. austr. z 1911. § 10.7. Beton musi po sześciotygodnio-wem tężeniu na powietrzu wykazać przynajmniej następne wytrzymałości na ciśnienie w kostkach wi^na 1 cm² prostopadle do kierunku ubijania:

Przy stosunku mieszaniny: na 1 m³ mieszaniny piasku i żwiru:

170

a)    470 kg cementu portlandzkiego

150

b)    350 „    „    „

130

c)    280 „    „    „

Rozp. minist, rosyjskie z 1911 § 12. Beton winien mieć taki

skład i winien być wykonany z takich materyałów i takim sposobem, ażeby sześciany, wykonane z betonu na miejscu robót o wymiarze 30 x 30 x30 cm, po 28 dniach leżenia w wilgotnym piasku przy temperaturze pokojowej wytrzymały chwilowo na ściskanie nie mniej, niż IhOkgjcm³.

c) Wpływ ilości wody. Beton może być wilgotny (n. erdfeucht), lub plastyczny (n. plastisch). Plastyczny beton posiada około 50°/₀ więcej wody i ubija się go w grubszych warstwach. Bach robił pod tym względem liczne doświadczenia i okazało się, że po 28 dniach, beton wilgotny miał większą wytrzymałość od plastycznego, lecz już po 100 dniach różnica wytrzymałości malała, a w końcu całkiem znikała. Do zeskładów żelbetowych lepiej używać betonu plastycznego, który szczelnie wypełnia formy i dobrze przylega do żelaza.

7-9    9    10*1 %

220    215 kg jem².

Wytrzymałość betonu na ciągnienie nie jest dokładnie poznaną, gdyż zazwyczaj mierzymy tylko wytrzymałość zaprawy cementowej.

Probst otrzymał po 70 dniach: dla dodatku wody wytrzymałość na ciśnienie 300

Doświadczenia z ciągnieniem betonu robił Mörsch i okazało się, że dla mieszaniny 1: 3 po 3 mieś. otrzymał 12*6 kg/cm² ;

dla 1:3 po 2 latach średnio (3 doświadczenia)

8-8+15-8+22-0

= 15-5 kg/cm²; zaś dla 1:4 po 3 mieś. 9-2 Jcgjcm². R e i d otrzymał z doświadczeń :

3 miesiące 28 do 35 kg/cm2 14 do 25

1 miesiąc

dla mieszaniny 1:2:4    21

10 do 14

1 : 2 : 5

Probst otrzymał na podstawie doświadczeń na złamanie dla mieszaniny 1 : 2 : 4 po 70    90    150    170 dniach

14-8    19-5    23-6    25-9 kg/cm².

wytrzymałość

Zazwyczaj wytrzymałość na ciągnienie równa się ¹ji0 wytrzymałości na ciśnienie, chociaż czasem jest mniejszą i tak otrzymał Bach (Forscherarbeiten zeszyt 95.)

Tabliczka Y.

9-0    191    209    297 ' 329. *

Tu więc wynosi wytrzymałość na ciągnienie ¹/₁₄ do V8 wytrzymałości na ciśnienie.

d) Wpływ wielkości kostek. Doświadczenia okazały, że wytrzymałość małych kostek jest większą, niż wielkich i tak Bach otrzymał (Mitt. über Forscherarbeiten zesz. 90 i 91), wytrzymałość na ciśnienie, podaną w tabl. YI.

dodatek wody °/0 wytrzymałość na ciągnienie 7*8

77

„ ciśnienie

77

77

Tabliczka VL

długości krawędzi kostki stosunek 7 cm 30 cm 208 260 293

Doświadczalnia w Gross-Lichterfelde (Berlin) otrzymała w r. 1907 wytrzymałość betonu na ciśnienie po 28 dniach :

i: T-

wiek

dni

TH GO iO

156

183

203

1-33 : 1 1-42 : 1 1-44:1.

mieszanina

1:3

długość krawędzi kostki 30 cm 170 do 272 126 do 232

20 cm

1:4-5

1:5

1:6

131 do 461 118 do 400 141 do 262 91 do 346 87 do 251

106 do 310 103 do 249

1:7

183

1:8

93 do 102

Burchartz podaje wyniki doświadczeń w Gross-Lichter-felde (Arm. Beton 1912 str. 288).

wiek

Tabliczka VIII.

wielkość krawędzi kostek 7-1    10    20    25    30    40    50 cm

-4^

CO lO

r—H rH

w ⁰/o

475 450 422 373 375 328 100 97    89    79    79    66

367

Tabliczka VII.

77

W Austryi przyjmuje się kostki o krawędzi 20 cm. w Ro-syi i Prusiech 30 cm.

e)    Wpływ mieszania. Na wytrzymałość betonu ma wpływ także mieszanie. Przy mieszaniu maszynowem wytrzymałość jest wedle Taylora i Thomsona większą o 10°/₀ do 20°/₀, niż przy mieszaniu ręcznem.

f)    Wpływ zmian natężenia. Feret pierwszy stwierdził zmniejszenie się wytrzymałości wskutek powtarzania się zmian w natężeniu. Yan Orumne licznemi bardzo doświadczeniami stwierdził, że beton wytrzymuje przy powtarzanych natężeniach na ciśnienie względnie zginanie około połowy natężenia przy granicy wytrzymałości, a wielkość natężenia przy złamaniu i ilość zmian natężenia stoją w odwrotnym stosunku.

Jeżeli natężenia nie przekraczają połowy spółczynnika wytrzymałości, wytrzymałość tych belek, jak to stwierdził Berry (Engineering Record 1908 str. 90.), nie zmniejsza się o wiele nawet przy powtarzaniach obciążenia, dochodzących do miliona.

Natężenie dopuszczalne jest tylko n tą częścią spółczynnika wytrzymałości, przyczem n oznacza spółczynnik pewności.

Związek towarzystw niemieckich (Betonverein) w r. 1904 dopuszcza ciśnienia przy zginaniu 40 kg/cm²; zaś przy ciśnieniu środko-wem 35 kglcm².

Pruskie rozporządzenie dopuszcza na zginanie J/₅ część, a w słupach Vio część wytrzymałości na ciśnienie.

Francuskie rozporządzenie przyjmuje 0’28 część wytrzymałości betonu po 90 dniach.

przyjmuje:

Rozporządzenie ministeryalne dla austr. kolei państwowych

dla rozpiętości l 2-0 m 2> ż> 5 5 >1

35 kglcm²

77

30

77

77

25

77

Austr. przepisy z roku 1911 przyjmują dla zeskładów żelbetowych w razie zginania i przy ciśnieniu mimośrodkowem dla mieszaniny

470 kg cem. na 1 m3 350 „

280 „

dla zeskładów betonowych:

mieszanina

ii

ciśnienie

budown. mosty budown.

ciągnienie

42

37

32

mosty

19 + 0-11 najw 22 18+0-11    „    21

16-5 + 0-11    „    19-5

ciśnienie bud. mosty 28 + 0'2 l 30    25 + 0-21

26    22 + 0-21

21 18+0-21

ciągnienie bud. mosty

470 kg cem. na 1 w³ 33 360 „ •

280 „

230 160 „

120 „

Przy ciśnieniu środkowem dopuszcza się

dla zeskładów żelbetowych budown.

ii

ii

r>

77

2-5

2-5

20

20

13

13

1-5

1-5

dla mieszaniny 470 kg cem. na 1 m3 350 „

280 „

28

25

mosty

25

22

77

22

19

dla mieszaniny 470 kg cem. na lm3 350 „

280 „

230 „

160 „

120 „

dla zeskładów betonowych budown.

mosty

77

77

77

77

77

22

20

17

14

05 CO

20

18

16

13

05 CS

Rosyjskie rozporz. min. zr. 1911. 5. Najwyższe dopuszczalne natężenia żelaza i betonu w częściach ściskanych, przy zupełnem wyłączeniu zginania i przy zawartości przekroju uzbrojenia podłużnego nie mniejszej, niż 0 80% przekroju betonu, nie powinny przekraczać dla betonu % wytrzymałości na ściskanie w terminie 28 dniowym.

W częściach, na które nie działają wstrząśnienia lub siły często zmieniające się, powyższe natężenia dopuszczalne mogą być podniesione, ale nie więcej, niż o 20%.

6. W częściach zginanych najwyższe natężenie dopuszczalne oznacza się w następujący sposób: dla betonu: ściskanie jako ^ część wytrzymałości betonu na zmiażdżenie w terminie 28 dniowym.

W częściach, znoszących silne wstrząśnienia lub gwałtownie zmieniające się siły, należy wyżej wspomnianą normę zmniejszyć o 10%, w częściach, znoszących silne uderzenia, o 20%.

§ 5. Sprężystość betonu.

Doświadczenia Bacha wykazały, że sprężystość betonu

dl

jest zmienną, wedle równania : — = avm (Statyka budów. wyd.

II. str. 194), gdzie a==~ i m s4 zmienne, zależne od stosunku mieszaniny. Dla mieszaniny w stosunku : cem. piasek żwir

l 298000‘V .

1-14

1    : 2V₂ : 5 (żwir tłuczony) dl

1    : 2 V₂ : 5 (żwir rzeczny)

dl

l    457000"V

1-16

dl

rH .

7    315000‘V

1-15

dl

T—ł

1    : 1 Va

_=___yi-u

l 356000

Krzywą odkształceń przedstawia rys. 4. Dla małych natężeń możemy przyjąć stosunek A 1:1 jako stały, a e— od 200.000 do 300.000 kg cm², dla większych ciśnień e zmniejsza się do 150.000, a nawet do 50000 kg\cm².

Ciekawe wyniki otrzymał Considère dla żelbetu, pracującego na ciągnienie. Znalazł on, że gdy beton sam pracuje na ciągnienie, okazuje najw. wydłużenie, przy którem się już przerywa, 0-1—0-2 mm\m, zaś beton z wkładkami żelaznemi przerywa się dopiero przy przedłużeniu od 0545 do l⁻25 mm/m.

Przy drugiem doświadczeniu otrzymał jednak Considère nieco mniej, a to dla betonu samego od 0-10 do 0-22, z wkładkami zaś od 0*56 do l⁻07 mm\m. Inni inżynierowie, jak Kleinlo-gel robili doświadczenia podobne, lecz nie otrzymali takich wyników.

ÙJL

ci An tente

Bys. 4.

Dopiero doświadczenia Bacha wyświetliły sprawę. Jeżeli "'ciągnienie belki były trzymane w wilgoci, to nim powstały pęknięcia belki, okazały się naprzód w tych miejscach plamy wodne, które są dowodem, że miejsca te były już osłabione. Przy belkach betonowych następuje wtedy pęknięcie, przy żelbetowych w tych miejscach ciągnienie przenosi się po części na żelazo i przedłużenie może być wprawdzie większem, ale nie tak wielkiem, jak mniema Considère.

Na wielkość spółczynnika sprężystości ma też wpływ wiek betonu i tak otrzymał Hartig (Le Ciment 1906 str. 11.).

Tabliczka IX.

dni

1:3

cement czysty c=313500 kg/cm2 £=353100 £=389900 £=407200 £=417300

Taylor i Thomson wyznaczali linie odkształceń dla betonu różnego wieku i otrzymali wyniki, uwidocznione na rys. 5. W o o 1 s o n otrzymał dla betonu 1:2:4

dla małych natężeń £=350000 kg/cm2 dla «>5>9'5 kglcm² £=281000

*

Granica sprężystości dla ciśnienia leży w

jeżeli (i jest spółczynnikiem wytrzymałości.

Zwrócić uwagę należy, że oprócz odkształceń sprężystych mamy też odkształcenia stałe, które jednak zwykle tylko przy pierwszem obciążeniu występują.

50

100

200

300

400

r>

77

366600 kglcm2 394700 430200 450800 464800

r>

77

77

(i ,    2

g- do -g-

Spółczynniki sprężystości dla ciągnienia otrzymał Szyt-kiewicz dla v=l*6

£=267000, 238000, 230000, 221000, 203000, 196000

§ 6. Wytrzymałość na ścinanie.

Zależnie od stosunku mieszaniny betonu i innych okoliczności, wytrzymałość betonu na ścinanie jest zmienną.

3-1

4-6

6-2

7-9

9-2

kg! cm²

Z81

i*¹¹

Wf

70

iH

0005

względne odkształcenia.

0010

0015

Rys. 5.

Mörsch *) udowadnia teoretycznie, że wytrzymałość na ścinanie    fi.g', to znaczy, że jestto średnio geometrycznie

proporcyonalna wytrzymałości na ciągnienie i ciśnienie.

ł) Der Eisenbetonbau IV. wyd. str. 55.

Dla betonu 1 :3 dwuletniego otrzymał on doświadczalnie g=65-9 kglcm²; zaś teoretycznie gi=^g.g'=Yl5-5.308= 69 kglcm². Jest to jednak wyjątkowo wielka wartość. Inni inżynierowie przyjmują znacznie mniejszą wytrzymałość, i tak: Dr. Saliger przyjmuje 20 do 35 kg/cm², Feret 24 do 36 kg/cm². Feret otrzymał gi==7-9 do 97*4 kglcm² i wykazał doświadczalnie propor-cyonalność gt i g' (wytrzymałość na ciągnienie). Mesnager otrzymał gx = 1-25 g' do 1*3 g'. Bauschinger otrzymał po 4 miesiącach ^=1*25 g', po 2 latach g^—1'h g', Luigi 20—25 kgjcm².

Doświadczenia Wayssa i Freytaga wykazały

Tabliczka X.

1:3

1:4

1:5

stosunek mięszaniny dodatek wody wytrzymałość na ścinanie „ ciśnienie

„ ciągnienie 12'6 1(>5    9’2

Niemiecki Beton verein przyjmuje natężenie dopuszczalne 4*5 kg/cm², podobnie też przepisuje pruskie rozporządzenie najwięcej 4‘5 kg\cm². Czasami jednak i te natężenia mogą być za wielkie n. p. dla betonu chudego lub bardzo młodego.

8% 14%    8% 14%    8°/₀ 14%

Austr. rozporządzenie kolejowe przyjmuje 4*5 Jcg/cm*, francuskie 10% natężenia dopuszczalnego dla ciśnienia.

Austr. przepisy minist er yalne z r. 1911 przyjmują:

betonowych

dla zeskładów żelbetowych bud. mosty 470 kg cem. na 1 m³ 4*5 4 kglcm2 4-0 4    „

mieszanina

350 „ „ 280 „ „

3-5 3

bud. mosty 470 kg cem. na Im³ 3*5 3 kglcm2 3*5 3    ,,

mieszanina

„    2-5 2 „

„    2-0 1-5 „

Rosyjskie rozporządź, min. z r. 1911. 6. W częściach zginanych, najwyższe natężenia dopuszczalne... dla betonu... ścinanie betonu

45 kglcm².

W częściach, znoszących silne wstrząśnienia lub gwałtownie zmieniające się siły... należy zmniejszyć natężenie o 10%» w częściach znoszą

cych silne uderzenia... o 20%.

§ 7. Przyczepność öo żelaza.

Na tej przyczepności (n. Haftfestigkeit, Gleitwiderstand, fr. adhérence du beton, a. adhesion, wł. resistenza alV adesione) polega cała teorya, bo tylko wskutek niej działa beton i żelazo, jako jedna belka. Z początku wątpiono o tej wytrzymałości, dopiero Bauschinger otrzymał z doświadczeń, że wytrzymałość ta wynosi 45 kgjcm² na 1 cm² powierzchni. Długi czas uważano tę cyfrę jako stałą. Z dawniejszych doświadczeń wspomniemy tu o doświadczeniach Service français des phares et balises, w których otrzymano przyczepność od 20 do 48 kgjcm²,

\rvkf.ncŁkn żela żyto

Rys. 6.

zależnie od wielkości przekroju. Nowsze doświadczenia okazały, że przyczepność może być znacznie mniejszą. I tak naprzód doświadczenia (Wayssa i Freytaga) Mörscha, wykonane w r. 1904, jak to wskazuje rys. 6., okazały przeciskaniem żelaza przez beton, że dla betonu 1:4 czterotygodniowego przy dodatku wody 10°/₀, wynosiła przyczepność 48'8 kgjcm², po zniszczeniu przyczepności pozostałe tarcie wynosiło już tylko 32-1 kgjcm². Dla innej ilości wody otrzymano przyczepność wedle tabliczki XI.

Tabliczka XI.

Dodatek wody % Przyczepność kgjcm²

Tarcie po zniszczeniu przyczepności w kgjcm²

O 04 lO

i—i i-i i—i

OO <M rH

th do

CO 04

iH 00 iQ

Ô4 ^ co

CO 04 04

Doświadczenia B a c h a, wykonane w Stuttgarcie 1905 r., okazały, że przyczepność zależy w wielkim stopniu od powierzchni pręta, a mianowicie, czy posiada on naskórek, czy też go niema. Pręty walcowane mają naskórek czyli wierzchnią warstwę twardszą, i dla nich wyniki są inne niż dla prętów bez naskórka. Dla praktyki to zresztą niema znaczenia, bo używamy zawsze prętów walcowanych z naskórkiem. Ważniejszym jest wpływ długości wkładki na przyczepność. W kilku doświadczeniach Bach otrzymał przyczepność K przy długości Z=150 cm.K= 18-4, 21*0, 18-4, 18-9, 15-8 kgjcm2 „    „    1=300 cm.K= 18-5, 14-5, 17-7, 12-5, 17*2 kgjcm²

Wpływ ilości wody widzimy w zestawieniu następuj ącem : Pierwsze doświadczenie

% wody 12    15    18

384 24*5    14*9 kgjcm²

Drugie doświadczenie

°/₀ wody 13

15

18

K=

32’6    26-4    15-0 kgjcm²

Jeżeli 1= 150cm a średnica wkładki d= 10 mm.20 mm.40mm wówczas przyczepność ńf=144,18-5, 27’7 kgjcm'1 Meyer otrzymał następne wyniki:

Tabliczka XII.

Stosunek Grubość mieszaniny pręta w mm

Opór przeciw przesunięciu w kgjcm²

I. pow. pręta II. pow. pręta obrobionego z naskórkiem

stosunek II/I

25

10-2

49-8

4-88

1:4

^ £

i—f Ol

to to -Cl

Ô -5

-śH Ol

co cb cc co

Ci 1—1 Ol lO

Ól t-H

1:6

Ol lO rH Ol

15-2

lO

(9*36)

T—I

Ci

©»-*

CO 1-1

4¹ *%*

CÔ tH

1:8

25

12-5

30-0

2-40

K o misy a francuska otrzymała dla prętów odosobnionych

ze strzemionami 16 do 39

6 do 29’7 kgjcm²

Doświadczenia Bacha z 1906 wykazały dla betonu

po 6 miesiącach w belkach zginanych 19*1 do 22-0 kgjcm2 po 50 dniach

Kirsch badał wpływ powtarzanych natężeń w przyczep-Dla liczby zmian 50 nie stwierdził żadnego wpływu powtarzanych natężeń na opór przeciw przesunięciu.

Wpływ wielkości i kształtu przekroju widzimy z doświadczeń Bacha, średnio otrzymał on przekrój

17-9 kgjcm²

ności.

kwadrat prostokąt a=20    4/10 10/40

26-2 22-6    19*6 kgjcm²

koło

d=10    20    40;

wytrzymałość 14*1    18'5    27*7 ;

Że przyczepność zmniejsza się z długością pręta, zdaje się, że przyczyny należy szukać w nierównym rozdziale natężeń z powodu odkształceń pręta.

Gdy wyciągamy pręt żelazny, to w punkcie a (rys. 7.) żelazo pracuje na ciągnienie, a równocześnie beton jest ciśnio-

i .....

Rys. 7.

nym, odkształcenia są więc wprost przeciwne i następuje przesunięcie. Natężenie w żelazie zmniejsza się jednak w dalszym ciągu pręta; tak samo i ciśnienie betonu. Tam gdzie te natężenia są naj mniejsze tj. w b, tam występuje największy opór. Średni opór przeciw wyciągnięciu będzie więc tern mniejszym, im więk-ksze jest Z.

Ponieważ z doświadczeń otrzymano tak różne wyniki, przyjmuje Dr. Emperger jako średnią przyczepność w zginanej belce 16 kg\cm².

Natężenie dopuszczalne musi być n razy mniejsze.

Niemiecki Betonverein przyjmuje natężenie dopuszczalne j£=7'5 kg/cm²; pruskie rozporządzenie zaś 4-5 kg\cm², tak wielkie, jak na ścinanie.

Takie samo natężenie dopuszcza austr. rozporządzenie kolejowe, francuskie zaś 10°/₀ natężenia dopuszczalnego na ciśnienie.

Rozporządzenie austr. minist, zr. 1911 nakazuje przyjmować średnią przyczepność przy zeskładach żelbetowych dla

mosty

mieszaniny betonu 470 Lÿ na 1 w³ mięsz. 840

,, n    ?»    »

280 „ „    „    „

budown.

B-5

5-0

50

4⁻5

5-0

4-0

Rosyjskie rozporz. minist, z r. 1911 przyjmuje przyczepność 4⁻5 kg/cm¹. W częściach, znoszących silne wstrząśnienie lub gwałtownie zmieniające się siły, o 10%, znoszących silne uderzenie, o 20%•

§ 8. Zasaöy obliczenia belek żelbetowych na zginanie.

^5=y 1Ö«13+0*4&! (d—)3+0*4(ô—bi ) (e—^ )3] +

Tabliczka ta da się przedstawić też wykreślnie (rys. 36a i 36b).

§ 29. Uwzględnienie ciągnienia przy obliczaniu wymiarów belki prostokątnej.

, C,"=^ (1-r-o)2.

najw. ai 2I

E. Obliczenie prętów cisnionych środkowo.

§ 58. Przekrój prostokątny ciśniony mimośrobkowo w fazie drugiej.

§ 64. Płyta z jednej strony uzbrojona.

I. Ugięcia i zeskłady statycznie niewyznaczalne.

Zj=Z, M =0-033 p A2 Zt = 3 Z, M= 0-012 pP.

LITERATURA.

§ 8. Zasaöy obliczenia belek żelbetowych na zginanie.

Przy obliczeniu belek żelbetowych na zginanie robimy najpierw założenie, że żelazo i beton są tak ze sobą połączone czy to za pomocą przyczepności, czy też w inny sposób (haki, strzemiona), że się względem siebie nie przesuwają. Doświadczenia okazały, że założenie to j est aż do pewnej granicy praw-dziwem. W chwili zaś, gdy nastąpi przesunięcie względne żelaza

i betonu belka przestaje być złożoną, działa zupełnie inaczej i jestto zwykle początkiem złamania belki.

Drugiem założeniem jest, że przekroje po ugięciu pozostają płaskie. Jestto założenie, które aczkolwiek nie zupełnie ścisłe, jest podstawą teoryi zginania jakichkolwiek belek.

Jeżeli belkę żelbetową obciążamy, to dopóki natężenia są małe, możemy przyjąć, że spółczynniki sprężystości betonu ciągnienie i ciśnienie są równe, a wtedy natężenia są propor-

cyonalne w betonie do odstępu od osi obojętnej (rys. 8.), jak to pierwszy podał Neumann. Belka znajduje się w fazie I. Dla nieco większych natężeń możnaby uwzględnić zmienność spółczynnika sprężystości na ciągnienie (rys. 9.), otrzymalibyśmy wtedy dla natężeń na ciągnienie krzywą ob: zamiast

której Melan przyjmuje prostą obi, a zatem przyjmuje on inny spółczynnik sprężystości betonu na ciśnienie Ed, inny na ciągnienie Ez. Nazwijmy to fazą Ib.

Gdy belkę dalej obciążać będziemy, to ciągnienie dosięgnie wreszcie spółczynnika wytrzymałości, beton pęknie, a wtedy zaczyna się faza II. "W tej fazie nie

uwzględniamy już ciągnienia betonu, o ile nastąpiło pęknięcie (rys. 10.). Ponieważ linia ciśnień jest krzywą, dlatego przyjmuję zamiast niej dwie proste A'F' i F' O, którą przedłużamy do E' aż do spółczynnika wytrzymałości na ciągnienie. Considère,

Rys. 8.

Rys. 9.

Rys. 10.

btb

A Ä

§HPy

fWf’

A_A’

f0

E%E

B’ B

na

,    ::    Rys. 11.

uwzględniając zdolność betonu uzbrojonego do większych od-

Dr. M. Tłmllie. Teorya żelbetu.

kształceń (§ 5.), przyjmuje linię natężeń wedle rys. 9. Nazwiemy to fazą II a, w przeciwstawieniu do fazy II b, w której przypuszczamy pęknięcie. Zwykle j ednak nie uwzględniamy małych ciągnień wcale i tak Ritter przyjmuje linię ciśnień paraboliczną,

A_Ał

Rys. 12.

Rys. 13.

(rys. 12.) zaś Christoph i Emperger linię prostą (rys. 13.). Po przekroczeniu granicy płynności żelaza występuje wreszcie faza trzecia i belka się łamie.

§ 9. Faza pierwsza. Belka prostokątna.

Mamy tu do czynienia z belką, złożoną z dwu materyałów. betonu i żelaza, przyczem, jak stwierdziły doświadczenia, przyczepność między tymi materyałami jest dość wielką, aby przeszkodzić przesunięciu wzajemnemu tych materyałów.

\B

A,

LA

_ El t

___Hf

iS?

%_____

IA

mmm

-X

Ul

Rys. 14.

Na rysunku 14. widzimy belkę betonową o przekroju Ai i A₇, wewnątrz której jest wkładka żelazna o przekroju A\ i A\.

Çzj    r«2    w

■r

•/o

v^dAx —s'

Niechaj XX będzie osią obojętną dla obciążenia pionowego, nazwijmy dalej natężenie w betonie vx i v₂ w warstwach odległych od osi obojętnej o i v2l w żelazie v\, v'₂w odstępach v\ i v'₂, to ponieważ wydłużenie i skrócenie włókien jest proporcyonalnem do odstępów od osi obojętnej, a natężenie proporcyonalne do spółczynników sprężystości, więc jeżeli spół-czynnik sprężystości betonu nazwiemy Eb a żelaza Ee, to v₂_v₂    v'₂__v'₂

Eb r ’ Eb r’Ee r ¹. Ee r jeżeli r oznacza promień krzywizny.

Suma natężeń normalnych musi być równą zeru, więc

V\dA\ + (*²

Jo

V1

■ • (1)

-r

«/ o

vidA₁ —

v₂dA₂ +

Cz'

Jo

² v'₂dA'₂ =0

a stąd po wstawieniu wartości z (1)

\ v₁dA'₁ +£\ v₂dA₂ +.£/ \    v₂'dA'₂=0 (2)

o    */ o    «/ o

Podobnie otrzymamy drugi warunek równowagi

v₂²dA₂ +

"-Tf

Jo

v'^dA't+y-j 2 2v'₂?dA'₂

Te same równania otrzymalibyśmy, gdybyśmy, przyj ąwszy

• . (3)

Eb

•    • (4)

Ee *’ •

uważali przekrój jako jednolity betonowy, powiększyli jednak elementy przekroju wkładki żelaznej nnu razy. Obliczamy więc belkę żelbetową w pierwszej fazie tak, jakby była jednolicie betonową, przyczem jednak elementy przekroju wkładki żelaznej powiększamy nnu razy.

§ 10. Belka prostokątna o wkładkach gibkich.

a f=

Przypuśćmy, że wkładki gibkie umieszczone są tylko po stronie ciągnionej belki. Nazwijmy F przekrój wkładek żelaznych, F

— grubość warstwy żelaza, rozdzielonej na całą szerokość, to otrzymamy w pierwszej fazie (rys. 15.):

xAd—z) , To2 , . z—a n

— -+-|-+^ —2—t2=°

a że —=

d—z x% z ’

więc (d—£)²+z²+2w/‘(z—a) = 0

_ d^+ftafn

Z~ 2(d+fri)

........^

.......

Narhf*

^•->4

st

w-

c Zz

Rys. 15.

Dalej musi być suma momentów sił zewnętrznych i wewnętrznych równą, więc ze względu na oś obojętną

i»/

tAd—z) 2    . To 2 2    * 0—a    ,    .

.l V ——, -jT- (d—g)H—z+nf - o - ^2 (z—a),

2 o    ä o    a

a wstawiwszy wartości za

^Æ=[cL—.2)³-fs³-f 3n/* (2—a)².

T2

Otrzymamy więc natężenia we włóknach skrajnych % (ciśnienie) i t₂ (ciągnienie) :

3 Mz

*2 =

EZ

r b {z*+(d-z)³+3nf(z-ay}

__3 M(d—z)

~ 6{z³+(rf—z)³4-3w/*(z—a)²}

3 M(z—a)n    _

ój0³H-(^-2)³+3w/,(0-a)²) Ta z

(6)

e(d—z)

■ (!) Z

n .    .    (8)

„ c(z—a) r

Moglibyśmy te wzory napisać też inaczej, a mianowicie:

z—a

Jfz

M (d—z)

nM. (z—a) oe= j-

przyczem /=- -Jz²+(d—z)²-\- 3 w ~

05 CS-

• • (10)

oznacza moment bezwładności przekroju idealnego ze względu na oś ciężkości.

Przykład. Dana płyta żelbetowa o wymiarach : d=20 cm, =17 cm, o=3 cm, F= 8-55 cm² (9 (fi 11 mm na 1 w szerokości płyty), 3/=124000 kgcm. Obliczyć natężenia.

Mamy tu /=

8-55

100

=00855 cm, »=10.

Odległość osi obojętnej według wzoru (6):

20² +2X8X0-0855X10 2(20 + 0-0855x10)

2=

=9'75 cm

Według wzoru (10):

1=

100

g- [9-75³+(20—9-75)³+3x10x0-0855(9-55—3)²]=70600

cmł

Nakoniec natężenia według wzoru (9): 124000X9-75

70600

= 17*1 kgjcm², t,=

124000(20—9-75)

70600

=—18 kgjcm

10X124000 (20 3)

70600

=298 kgjcm².

Z rysunku 4. widzimy, że Eb nie jest stałem, lecz dla większych ciśnień zmniejsza się, a zatem przedłużenia względne stają się stosunkowo coraz większe. Możemy zatem dla małych natężeń przyjąć mniej więcej Ebz—Ehd=210000 kglcm2 a więc gdy dla żelaza zlewnego Ee=2100000 kglcm², będzi 2100000

10. Dla większych ciśnień jednak Eb zmniejsza

się, dla drugiej fazy należy więc przyjąć n większe, o czem później będziemy mówić. W równania (1), (6), (7), (8), dla fazy pierwszej należy więc wstawić n = 10, bo równania te ważne są tylko do czasu wyczerpania wytrzymałości betonu na ciągnienie, a więc dla małych jeszcze natężeń.

Rozporządzenie pruskie każe w pewnych wypadkach obliczać belki wedle fazy pierwszej i przyjmować »=15.

n=

210000

§ 11. Belka prostokątna podwójnie uzbrojona.

Czasem umieszczamy wkładki żelazne nie tylko w ciągnionej, ale i w ciśnionej części belki. W tym wypadku (rys. 16.) suma natężeń dodatnich ze względu na oś obojętną, równa się sumie natężeń ujemnych. Zatem

(d—z) Xi+F'o'e^

-O KM

ziiĄ-FOe, a że

więc

zi :t₂ :a'e:ae=(d—z):z :10 (d—z—at): 10(z—a) b {d—z)²+20 F'(d—z—ai)=bz²-\-20F(z—a).

bd²+20 (aF-\-[d—a^]F') 2[bd+10(F+F')]

Stąd otrzymamy z

-Ol:

-Fëi

1---’Â---’f------

i    2    »’

et

*>

Tz

Rys. 16.

Dalej otrzymamy

I=JL^zz + (d-z)^ + X0F(z-a)²+10F' (d-z-a)² .    .

10 M{z—a)

• • (12)

Mz

Oe

M(d—z)

Oe~-

10 M{d-z-a,)

■    • (13)

Przykład. Płyta o wymiarach, jak poprzednio, z dodaną wkładki, górną, taką samą i w takim samym odstępie od górnej krawędzi, jak dolna. Należy obliczyć natężenia.

Odległość osi obojętnej według wzoru (11):

10 cm

100 X 20* 4- 20[8 X 8’55 + (20—B) X 8*56]

2[100X20+10(8-55 + 8'55)]

Według wzoru (12):

100

[103+(20-10)*]+10x8-56(10-3)* + 10x 8-55x(20-10-3)*=75040 cm'

Natężenia według wzoru (13): 124000X10 75040

124000(20-10)

■=—16’5 kfflcmi

, 10x124000(10-8) łlRŁł ,    ,    10x121000(20-10-3) c , , ,

3e--”75040--~¹¹⁵'6 k9lcm\ ae=--7^--^=115-5 kg jem*

=16’5 kg\cm*, Tj = —

75040

§ 12. Belki o przekroju teowym.

Często wzmacniamy płytę żelbetową żebrami, a przez to powiększamy jej wysokość, wkładkę zaś żelazną umieszczamy

w żebrach. Belkę taką nazywamy żebrową lub teową (n. Rippenplatte, Plattenbalken). Belka taka jest więc ekonomiczniej szą od płyty lub belki o przekroju prostokątnym, bo materyałjest bardziej oddalony od osi -------------—obojętnej, a tę część przekroju, która jako ciągniona w fazie IIó i tak nie działa, zmniej szamy ile możności.

Obliczać belki teowe możemy w fazie pierwszej wedle ogólnego sposobu. Jeżeli chodzi o wzory szczegółowe, to nazwijmy szerokość belki b (rys. 17.), grubość płyty e, całą wysokość d, szerokość żebra , odstęp osi oboj ętnej od dolnej krawędzi z, warstwy żelaznej a, grubość tej warstwy równomiernie na całą szerokość belki F

rozłożoną Z¹——.

Tu musimy rozróżnić dwa wypadki, wedle tego czy oś obojętna przecina płytę czy nie.

TTt

i*.....*

X-----y—f-------

i? i

8i*~

TtT **........6t.......-»*

Rys. 17.

...................*i

TT

__i.

Li

~»F6e

a) Oś obojętna nie przecina płyty.

Suma natężeń poziomych musi być równa zeru, więc

b{?i—n)⁶ , b\ vo

btj₂z

FeOe = 0

a stąd dla n=10

(d-z-e)'-    (d-z~ey+^- ^+10i?(«-a)=0,

bt

więc gdy nazwiemy    to

1 e{2 d—e)+ß (d—e)²+20af Z= 2    e+ß(d-e) +10 f ~

Dalej jeśli M oznacza moment zginający belki, otrzymamy: 7=-i-    —ł- {ex-e)\b-b,)+^ bxz*+10F{z-a)*

■    • (14)

a ze —

Mz

więc

3 Mz

b [et ³ —(;*:i -e)³ (1-/?) +M+30 F{z—a)%

ZMz^

b fa³ - («i - e)³ ( 1 - /S) + ß z³]+30 i^(s-a)2 30Jf(z—a)

ô h³ -fa -e)³ (1-/?)+/?s³] + 30 iP(*-a)

Dla wkładki obustronnej otrzymamy podobnie :

■ (17)

_ 1 e(2d—e)+ß(d—e)² + 20 [a f+(d—a,) f']

S~¹2    e+ß (d—e) +10 (f-\- f )

a /=

• • (18)

|_(d_₂)3_i_(c?_s_e)3₍₆_6i)+i_óiJ,₃₊₁qjp(s_a)2+

+*"(<*—z—a^²] .    .

45Q

ió

TT

io

-i

-F—

-tu-

• • •- rJUJ

*—27~J

Eys. 18.

Przykład. Dany moment 3f=800000 fc^cm, wymiary jak na rys. 18. Obliczyć natężenia.

28*28    27

F=28-28 cm* (4 $ 30 mm), /= ^^-=0*188, ß=^=0-186 Według wzoru (14):

1    10(2 X 42—10) + 0*186(42—10)² + 20X 3 X0-188

Z=2- --

Z\ =42—26=16 cm Natężenia według wzoru (16):

3 X800000X26

150[16 *—(16—10)*(1-0-186) + 0-186 X 26³] + 30 X 28-28(26—3)²

b) Oś obojętna przecina płytę.

Suma natężeń poziomych równa się zeru, więc

fyóiP*

10 + 0-186(42—10) + 10X0-188

=26 cm

*2 =

=40-8 kg/cm*

fh.    (*e—s,

b \ vtdvi + b\

J o    «/ o

î>₂dv₂ -f bfoe=0,

C—»!

a stąd

—z\ + (e—Zi )²+ß[(d—zi )²—(e—si )²]+20 f(d—zi

—a)=0,

zatem

z\ 2

1 e²+ß(d²—e²) + 20f(d—a)

e-\-ß(d—é) + 10f

• • (19)

................

%......

V    .    V‘

X    y    T —

rt

Vx

J.......y

■>F(ôe

Rys. 19.

Dalej otrzymamy :

/=-t **, + ® («_*,)«hA[d-*₁)*-(«-*i),]+lOffr-a)« (20)

iUfs,

-y¹»

Mz

. • (21)

T2 “ j J Ti

Jeżeli we wzorach (14), (15), (16), (19), (20), (21) wstawimy bx—b czyli ß—1, to otrzymamy wzory (5), (6), (7) i (8). Czy oś obojętna przecina płytę, czy nie, należy zawsze najprzód zbadać z równań (14) i (19).

Dla wkładki obustronnej otrzymamy podobnie:

1 e²-\-ß (d²—e²) + 20[f(d—a)Ą-f'ax]

Zi~ 2 ~~ e+ftd-e] + U\f+f']

/=Ï²³₁⁺Ï (e“²i)³+ ^[(d~si)³—(«—*i)³J +10{2^(«—a)² +

•    • (23)

. . (22)

+F'(zi-ai)²}    .    .

Przykład. Dany moment zgięcia Jfef=250000 kgcm, przekrój według rysunku 20. Obliczyć natężenia.

F= 18-57 cm² (8    24 bidi); /=

13-57

160

=0-085

20

S=16Ö=°-¹²⁶

Odległość osi obojętnej według wzoru (19):

_ 1 12²+0-125(40?—12²) + 20 X0-085(40—3) _ 9i ~ 2    12+0126(40-12)+10X0085

11 cm

r.

Moment bezwładności według wzoru (20): j=ł|?[ll³+(12—ll)3]+^[(40-ll)*—(12—11)³]+10X13*57(11—3)s=242320cmł

460

ii

iz

Z9

------ml

's.

-J

-3Ó24-

Rys. 20.

A natężenia podług wzoru (21): 250000X 29 242320

=29*9 kglcm²; t₁=—-

250000X11

242820

=11*3 kg jem

—268 kg jem²

10 x 250000(29-8) “    242320

§ 13. Faza Iby belka prostokątna.

Jeżeli obliczać będziemy natężenia wedle fazy I, to pokaże się, że ciągnienia, obliczone w betonie w chwili powstania pierwszych pęknięć, są znacznie większe od spółczynnika wytrzymałości na ciągnienie i wynoszą często 40 kgjom² i więcej. Aby przy obliczeniu ciągnień w tej chwili otrzymać natężenia, zbliżone do spółczynnika wytrzymałości na ciągnienie, nakazuje rozporządzenie austryackie w tych wypadkach, gdy chodzi o niedopuszczenie pęknięć, obliczenie wedle fazy 16, przyczem należy przyjąć n = 15, a spółczynnik sprężystości betonu na ciągnienie J^te=0-4 Ehd.

Rozporządzenie minister, austr. z 1911 dla budownictwa § 5. ust. 9. Przy takich dźwigarach, które pracują na zginanie, a które narażone są na wpływy atmosfery, na wilgoć, parę, dym albo na gazy, szkodliwe dla żelaza, należy także wykazać największe ciągnienie betonu, które otrzymujemy dla spółczynnika sprężystości betonu na ciągnienie 56000 kg/cm², a zresztą dla założeń, podanych w ustępie 8 a i 6.

Rozporządzenie minister, austr. z 1911 dla mostów drogowych § 4 ust. d. Przy zeskładach niosących, pracujących na zginanie, należy także udowodnić największe ciągnienie w betonie, a to przyjmując spółczynnik sprężystości betonu na ciągnienie 66000 kg/cm², równy 0^4 razy wielkości spółczynnika sprężystości (ustęp 7 d).

Wedle założenia otrzymamy (rys. 21.).

Tt

M >)<—W

(9

Y or Y

Rys. 21.

«1

dalej

_______ i Ii___

t₂ 0-4 {d—zs ) ae 15 [dx —0, ]

bxxzx _b%i(dx —zx)

tFOe

Wstawiwszy wartości za t₂ i ae, otrzymamy równanie kwadratowe, a stąd zx — — AĄ-^A²+B .

przyczem A

.    .    (24)

&(1—0*4) 0*4&<f²4-30JFV?1 ft(l—0*4)

•    (25)

Tu chodzi nam tylko o ciągnienie w betonie t₂

0*4 JMT (<£—«, )

otrzymamy więc =

przyczem I' =

• • (26)

~&[*,³+0-4(d!-*₁)i!l+15.F’(<*₁-*₁)² .    .    (27)

/'

Przykład. Dana płyta o wymiarach, jak poprzednio. Zatem eZ= 20 m, dt = 17 cm, a—3cm, P= 8-55 cm², 41=124000 kg cm. Obliczyć ciągnienie w betonie w fazie 16.

Według wzoru (26): 0-4x100X20+ 15 X856

0-4 X100 X 20² + 30 X 8 65 X17 100(1—0-4)

Według wzoru (24) «, = —15 50+Vl5‘50² + 339 =8-50 Według (27) jest moment bezwładności:

l'=~ 100 {8-50³+0-4(20-8-50)³} + 15x8'55(17-8-50)²=49960 cm⁴, a ciągnienie w betonie podług (26):

4=

100(1-0-4)

= 15-50, B=

cm

ÄjI, lcgjcm*

§ 14. Belka prostokątna obustronnie wzmocniona, faza I*.

Dla warunku pierwszego : suma natężeń =0 (rys. 22.)

mamy:

iii

A A CU A

■V-

y cg y

Rys. 22.

y T₁*₁+^e,.0re,=s Y (d~Z\ )h+Fae

Dalej mamy :

t₂    04(tf—Zj)

si

Z1

ae' 15(2!—aj)

Jeżeli w poprzednie równanie wstawimy wartości za Tt oe i Oc, otrzymamy równanie kwadratowe, a stąd

+V^i ²+^Bi •

jeżeli A₁ =

0*4&g?+15(jPT+^ł') ft(l—0*4)

Dalej mamy r₂

A=-

0-4 M(d—x< )

. . (28)

0-4ôÆ²+30(^+J,a₁)

b (1-0*4)

(29)

przyczem

•    (30)

i b\s\+0-i(d-ziy\ + lhF{di-x,y+

+15 F'(zi—aiy

(31)

Przykład. Płyta o wymiaracli, jak poprzednio, z dodaną wkładką górną o przekroju równym przekrojowi wkładki dolnej i w takim odstępie od krawędzi górnej, jak wkładka dolna. Należy obliczyć ciągnienie w betonie.

Według wzoru (29):

, _ 0-4 X100 X 20 +15(8-55 + 8-55) , „ „

¹    100(1—0-4)    ¹⁷'b’

_    0-4x100x 20* + 80(8-55 X17 + 8*55 X 3) QKO

Bi==    lOOfl-O-4)----⁼⁸⁵²

cm.

Według wzoru (28): ^ =—17-6 +Vl7*6² + 852=8-20

t....

.—-j

-USE

Według (31):

7t=^-100 {8-20³+0-4(30-8-20)³} +15x8-55(17-8-20)²+15x8-55(8-2-3)J=

=53780 mł,

ciągnienie w betonie podług (30):

§ 15. Belka teowa, faza Ib.

Tu znowu rozróżnić musimy dwa wypadki.

a) Oś obojętna nie przecina płyty. Z rys. 23. otrzymamy:

z. —e

*2 = *1

«I

, 0'e=15

d—z.—a    ~ . d—zx

—~T-*1, *2    A

zi    z\

-------

—Hhi-

a-

M-

f l<—ą5L,

Rys. 23.

Dla pierwszego warunku równowagi otrzymamy: «i =    -4₂+^^.₂:i+J52 .

a stąd:

•    •    (32)

Dalej mamy i₂ —

O^d+ib-bJe+WF (1—0*4)&

0 •4bidi+(b-bi)e*+30Fdi ²    (1—0*4)6

0*4 Mjd—mJ

•    •    (33)

I,

:    .    (34)

przyczem

*2 =

y[&#₁³-(&-ô₁)(«₂-e)?+0-4&(<î--«₁)³l+15JF(Æ₁-»₁)² (35)

Przykład: Dane: i=150 cm, &x=27 cm, rf=42 cm, <^=39 cm, e=10 cm, F=23’23 cm² (4 (ß 80 mm), 4f=800000 %cm. Obliczyć ciągnienie w betonie.

-n «    foo\ • .. 4    0-4 X27X42+(150-27)10+15X28-28

Podług wzoru (83) jest: J₂=~--——(1-O4)lê0--⁼²²'³

„    0-4 X 27 X 42² + (150 —27)10² + 30 X 28-28 X 89 __

®>”-(1-0-4)160--⁷¹⁶

Według (82) jest: zi = —22‘3 + ^22.3² + 716=12‘5cm

Według (85): /₂=i- [150xl2-5³-(150-27)(12-5—10)³+0-4x

X 150(42—12 5)³] +15 X28*28(39—12*5)²=908030 cm*.

Nakoniec ciągnienie w betonie według wzoru (34):

0-4 x800000(42-12-5)

²    908030    kg‘

b) Oś obojętna przecina płytę.

Moment statyczny powierzchni idealnej ze względu na oś obojętną równa się zeru, więc (rys. 24.)

-----------------------------------------Ó.......—-

A

<?

i A I a

m4+-

-*ifi

SJ

F6e

^=16JKd,-*,)»+

Rys. 24.

0-46t(df — z,)² t 0-4(6—ô₄)(c—z)²

Stąd otrzymamy = —A^A₃%+B₃    .

O-ąbid+ib—bi )é[+15JF’

0*4[6, £*+(6-6! )e²]+3(hFd,

^■3

.    •    (36)

•    •    (37)

*3 =

Dalej otrzymamy xi =

&*' ³+°,4&i(<*-«i)³+0-4(6-6₁)(6-«₁)²] + +15iFt(d₁-s₁)² .    .

(1—0*4)6 0-4Jf(<g-*t)

•    •    (38)

Przykład. Dane: 6=160 cm, 6, =20 cm, <2=40 cm, <2t =37 cm, c=12 cm, jP=13,57 cm² (8 0 24 mm), 4f=250000 kgcm. Obliczyć ciągnienie w betonie.

12-48

i w    ,Q„N , 0*4(20 X40 + (160—20)12] +15 X 13*57

Według wzoru (37): A₃=—±--(i_₀.₄)₁₆₀---=

B₃

374

0-4[20 X 40² + (160—20)12*] + 30 X1357 X 87 (1-0-4)160    ~

cm.

Według (36): % =—12-48 + Vl2-48² + 374=10*52 Moment bezwładności według (39):

J₃    [160X10-52³ + 0-4 X20(40-10-52)*+0-4(160-20)(12-10-52)³] +

+ 15x13-57(37—10-52)²=273510 cm*.

Ciągnienie w betonie według wzoru (38):

0-4 x250000(40-10-52) 1A _ . .    ,

⁼    273510    ---¹⁰*⁸ */""*

§ 16. Belka teowa obustronnie uzbrojona.

a) Oś obojętna nie przecina płyty.

Tu otrzymamy podobnie dla odstępu osi obojętnej (rys. 25.).

6--------------

F’e;

li

-HH

"A

"Ą - *>*

Rys. 25.

to ' i—

a stąd

6z, »—i- (i-i, )(z, -ey+15F'(z,-a₁) = 15Ąd, -*,)’+ +04 -i- 6,(<i-%)²

«1 = —-44+\^4² + -B4 •

15(JF+ F')

■    •    (40).

A=

0-6&

0t4ösda+(b—öi)e¹+S0(JFd₁ +F'ai)

0-6&

0*4 [bj d+(b-b, ) e\ +15 (F+F')

0*6 b

Wreszcie t₂

0*4JMT(c^jS5—₁ )

•    •    (42)

CC M

[&*!³ - (b-&!>(«!-é)³+0*4 bx (d-Zi )³] +15 [F(di -^ )²+ +F,(zi — «i)²J    .    .

Przykład. Dane: &=150ctm, bt =27 cm, d=42cm, di=39cm, e=10cm, F= F'=28'28cm² (4 (ß 30mm), a=al=3cm, M =800000kgcm.

Należy obliczyć natężenie w betonie na ciągnienie.

Podług wzoru (41) jest:

0'4X27X42 + (150-27)10 +15(28-28 + 28-28)

0-6X150    ⁰

D 0-4 X27X42²+(150—27)10²+30(28-28x39+ 28'28x3) _₀₀

Bi=    :    .....0-6X15Ö    ⁼⁷²²

Według (40): zt= — 28+Y28²+722-=10*8cm..

Moment bezwładności według (43):

Z₄ =    [150X108³—(150—27)(10-8—10)³+0-4 X27(42—10*8)³]+

+15[28-28(39—10-8)² + 28-28(10-8—3)²]=535950 cmK Ciągnienie w betonie według wzoru (42):

0-4x800000(42-10-8) ł~    535950    ⁹¹    '

b) Oś obojętna przecina płytę.

Tn otrzymamy podobnie (rys. 26.)

.    . • (43)

^4 —

* z,

ai

F&ê

~Rt—

fi

i łl

Zi

........>

hz ^

-~-+lbF'^ —ttj ) «= 15F(dt — zß) + a stąd zi = —A₅+^A₅²+B₅    .

Rys. 26.

0-4 bx(dx—zxY 0-4 (b—bx){e—zß)

to

(44)

0*6 b

Wreszcie r₂ =

.    .    (46)

^5=y 1Ö«1³+0*4&! (d—)³+0*4(ô—bi ) (e—^ )³] +

+ 15 [F(di—^)² + JE¹'(zi—aiy]    .    .    . (47)

Przykład. Dane: 6=160 cm, 6,= 20 cm, d=40 cm, <2, =87 cm, e=12 cm, F=F'=lB’hl cm², a=ał=3cm, Af=250000 kgcm. Obliczyć ciągnienie w betonie.

Według wzoru (45):

,    0-4 [20X40+(160-20)12]+ 15(13-57+13-57)

As~    ô^xïëô    ~¹⁴'⁶

0-4[20 X40² + (160-20)12²] + 30(13-57 X 37 +13-57 X 3) 5_    0-6X160    “

Odległość osi obojętnej według (44):

zt =—14-6 + Vl4-6² + 387=9-9

387

cm.

Według (47):

7₅=A[₁60x9-9³+0-4X20(40-9-9)³+0-4(160-20)(12—9-9)³] +

+15[13*57(37-9-9)²+ 13*57(9-9—3)²]=283410 cm*. Ciągnienie w betonie podług wzoru (46):

0*4 x250000(40-9-9)    ,    ₂

—Sb—=1(he *»/'"•

§ 17. Faza II«.

Faza ta ma obecnie chyba historyczną wartość, od kiedy się przekonano, że doświadczenia Considère’a, które stwierdzały, że beton uzbrojony żelazem nie pęka, osiągnąwszy spółczynnik wytrzymałości na ciągnienie, ale rozciąga się dalej, a natężenie

V₀

4?

>F6e

Rys. 27.

zur

wtedy nie wzrasta, — nie były zupełnie pewne. Obliczenie natężeń w tej fazie jest dość trudnem, bo tutaj t₂=^₂ s^a^e (rys* 27.), zaś v₀ zmienne. Powołuj ąc się na mój artykuł : Beitrag Berechnung der Monierplatten [Zeitschr. d. östr. Ing. Arch. Vereines 1903 str. 13.] podam tu tylko wyniki.

Dr. M. Thullie. Teorya żelbetu.

—a)² .    .    (50)

zaś

Otrzymujemy mianowicie dla ^ = 10 i f— ^

Ä = d+v₀ + 10/- V^ + Vo+lO/^-taOaf+^+V) •    •    •

W tym wzorze vQ jest niewiadomem i zmiennem. Dalej

Mvo /« ’

mamy

M(d—z)

/«

Oe

10Hf(s—a)

/fi

co

Jeżeli ^₂ jest wiadomem, n. p. ^₂ = 12

^ to z równań (48).

cm

za z

(49), (50) dadzą się z i v₀ obliczyć. Trzeba wstawiać wartości lub v₀ i dopiero po kilku próbach można natężenia obliczyć.

Przykład. Dana jest płyta Monier a 100 cm długa, 60 cm szeroka a 4-5 cm gruba. Uzbrojenie stanowi 7 wkładek (ß Qmm] zatem:

Moment M—14640 kgcm.

- =0*033 cm, a=1‘3 cm.

0-6² .

60.4

Przyjmijmy n. p. v₀=O-2Ocm, to według (48):

«=4-5 + 0-20 + 0-033.10—V(4-5 + 0-20 + 0*88)*—(20.1-3.0'033 + 4*5² + 0-2²)=8‘0 cm

następnie z wzoru (50):

fin    0.03 u

I₆= ^ [(4-5—3-0)²—+ T-. 0-20.3-O²] +10 . l-98[8*0— l-3]²=178-6cmł, więc z (49)

14640.0-20

178-6

=16-4 kg jem² >12 ległem².

Przyjmijmy teraz =0*15 cm, to:

2=4*5 + 0-15 + 0-033.10—V(4*5 + 0-15 + 0-33)²- (20.1-3.0-033 + 4-5²+0-15²)=8-07em fin    n-iR3 q

= 13 h kg jem². Wartość ta niewiele się różni od 12, więc

więc p-2 =

I₆= ^ [(4-5—3-07)3—-^-+ ~. 0-15.3-07²] + 10. 1*98 [3-07—1*3]²=163cm⁴, 14640.0-15

163

ostatnie wartości na v₀, z, Ib i możemy uważać za wystarczająco dokładne i obliczyć natężenia xt i ae z wzorów (49):

7<=10J4640gOT-Łe=I59#

lbo

§ 18. Faza II b.

"W § 8. mówiliśmy o rozmaitych założeniach co do kształtu linii natężeń. Teraz przyjmujemy, że beton już pękł, że zatem w betonie niema wcale ciągnień albo tylko bardzo małe.

Obecnie ogolnie przyjmuje się linię natężeń jorostą, chociaż wiemy, że w ten sposób otrzymamy ciśnienie liczebne w betonie większe, niż rzeczywiste. Nim jednak wyprowadzimy wzory na podstawie tego przypuszczenia, zastanowimy się nad założeniem linii łamanej natężeń, więcej zbliżonem do rzeczywistości.

Ei

k

\ ___i___j__i1ÜS

d A i..............q

-V-

Rys. 28.

E t₂ t₀

Oe *)

Z rys. 28. otrzymamy —

E    E

Na długości FB zaś oi-—[v₀-\-a(vi—v₀)]=—v₀(l—a) +

v₂ v₀ n(z—a)

-ł--av,.

r

Suma natężeń ma być równa zeru, więc

ziE.

a stąd

Jo    Jvo

(1—a) + avx ] dvt — nF^^—— ₌0 + vo (! -¹«) («i — »o ) + Y (*i ²~vo ²)“^y (2-a)=0.

o₂dv₂ + b

otrzymamy

2 !

Opuściwszy bardzo małe wyrazy ---1-

<2nF

2v₀ (1—o)(«j — v₀) +    ²--(rf—■«i —®)=°

a jeżeli v₀=ßzi a 2/5(1—a)(l—/5) + a=y, to

VSfê⁺*H

.    .    (51)

--*7+

i) Por. artykuł autora: lieber die Berechnung der Monierplatte. Zeit. d. österr. Ing. u. Arch. Vereines 1897 Nr. 13 i Podr. Stat. Budow. II. wyd. str. 229.

W przybliżeniu możemy przyjąć    a To ^^Okglcm²,

wtedy (rys. 29.)

1 z±-v₀

x =50+-q- —

2 v₀

.50=50 Tl 4--^

1 z,—v₀

vo

V° 50_V° ~~

y [%—*><> L a źe vo=ßzu wi?c

(52)

25

-25

ZfVo

?i

t______

.J

Vo y

Rys. 29.

Moment sił zewnętrznych równa się sumie momentów sił wewnętrznych, więc

zi    Eb P *i

ViGfc>i+a— \

Jv₀

^ ²dvi +

EbCvo . Eb „    Czi

M=— \ vi*dvx+—-v₀(l—■a)\

J o    t/ vo

v₂ ïdv₂ + n. F(d—zi —a)².

Eb

Po opuszczeniu małych wartości v₀³ i v₂s otrzymamy M=^(ciz^+^Vq(1—a)zt2>j+nF(d—zt—a)².

3

Wstawmy v₀=ßzi i nazwijmy ó=a-\--^ ß( 1—a), to

M=    óz^+nF(d—zi—a)².

Jeżeli cc—

/3=02, to <5=065, a gdy n=10, to

x, =25-f

oe

0-18 Mzi

0-6öbz₁³+30F(d—z₁—a)²

__1-5 Me,_

0-65 bzx ³-p 30 F (d—z₁ —a)²

•    •    (53)

30 M(d—zx—a)

0-65 bzx³+30 F (d—z₁—a)

ilia rozmaitych xx obliczyliśmy z (B2) ß, a potem y \ ô i otrzymaliśmy następną tabliczkę :

Tabliczka XIII.

xx w kg jem²

BO

7B

100

12B

1B0

200

22B

2"

TT

0-7B

0-72

0-69

0*67

0*62

0-60

0-87

0-7B

0-69

0-6B

0-61

0-B8

Wzory więc (B3) są tylko ważne dla xx==lhO kg cm², dla

Tl

innych xx otrzymujemy tak spółczynnik — w (BI), jak i spół-czynnik ô w (B3) inny, a mianowicie:

Tabliczka XIV.

BO

75

100

12B

1B0

200

2B0

— w rów. (BI)

y

10

13-33

13-8B

14-5

IB

16-1

16*67

ô w rów. (S3)

0-87

0-75

0-89

0-66

0-61

0-B8

Jeżeli więc chcemy jakąś belkę obliczyó dla kilku obciążeń, to musimy dla każdego obciążenia przyjąć inny wzór i to spróbować parę razy, dopóki nie otrzymamy wyników zadawalniających. Prócz tego istnieje jeszcze ta niepewność,

ono zależy od nachylenia linii natężeń

•>

że przyjęliśmy a=~

(rys. 28.), a ponieważ mamy mało doświadczeń co do a, przeto

a może być w rzeczywistości większem lub mniej szem niż zatem wzory powyższe się zmienią. Widzimy więc, że wzory te nie nadają się wprost do praktyki, lecz mają tylko teoretyczne znaczenie.

§ 19. Sposób przybliżony Christopha, Empergera i Wilczkowskiego.

Christophe i Emperger przyjmują jako linię natężeń jednę

10 + 20 fasadę tę przyjęto

w rozporządzeniu pruskiego ministerstwa, w zasadach obliczenia niemieckiego Betonvereinu, w rozporządzeniu austryackiem, francuskiem i rosyjskiem, tak że obecnie liczymy w praktyce prawie wyłącznie wedle tego założenia.

__ Bi Ti B

prostą, a to dla średniego n—15

0*

Rys. 30.

Dla przekroju AB (rys. 30.) jest najprzód suma natężeń równa zeru. Więc

bx^zx

-^-—Fae) a że

brlzi

1 K. ^1

cre = 15 —-- Ti, więc

z\

—— t₄, a stąd

IB F

«i

.    • (54)-

Możemy to jeszcze inaczej wyrazić, jak w pruskiem rozporządzeniu, mianowicie

¥IV'-

«i

15 F

■]

.    . (55)

Christophe podaje konstrukcyę wykreślną wyznaczenia położenia osi obojętnej, a mianowicie naznaczoną w rys. 31.

F

na-

Na przedłużeniu przekroju ae odcinamy ab=lbf=lb — stępnie kreślimy poziomą i odcinamy na lewo od punktu b 15 fi bc=

z*

F*“

ty r f

SL

di

M y____

'A?

i&i

y r/

>F6e

Eys. 31.

= dj, zataczamy dalej promieniem cr=15/’+d₁ łuk aż do przecięcia się z pionową ae. Punkt e jest punktem linii obojętnej. Mamy bowiem eel=dx ²-j-be¹ czyli (d} +15f)ï=di ²+(ae+15/‘)², zatem a e=15 f + VI5? (157+2^)=

Drugim warunkiem równowagi jest, że suma momentów równa się zeru. Więc

stąd

i oe—

-■-i)

.    .    (56)

Są to wzory Christopha i Empergera.

Wychodząc z wzoru zasadniczego    otrzymujemy:

3 Mzx

Mzi

bzx ³+45 F(dx —%)²

•    (57)

2₁³+15i^T(d₁— «J

45 i/ (dj—*₄)

<7e_^₁³+45^(rf₁-s₁)²

wzory, które ustawiłem w rozprawie mej w Zeitsch. des Ing. und Arch. Vereines 1896 Nr. 24.

Przykład. Dana płyta o wymiarach, jak poprzednio. Zatem d—20cm, d^ — Yicm, a=‘ócm, F=8‘bbcm², M = 1240(30kgctn. Obliczyć natężenia.

Ze wzorów Christopha i Empergera otrzymujemy:

15.8-55

z (55)

*i =

100

|VI+

2.100.17

15.8 55

0-

5’45 cm

z (56)

Ti =

2.124000

=29*5 kg jem²

100.5-45^17-^J 124000

₈.₅₅{l7-^)

Tl =__3 . 124000.5-45    -^lzajCm²

¹ 100.5*45³ + 45.8-55(17-5-45)²“    ^

45.124000 . (17—5-45) ae~100.5-45³ + 45.8-55(17—5*45)

Nazwijmy z Wilczkowskim

V-Ge- ¹⁵(rfi~■z\)

z równania (57):

to stąd

°e

15

db^kgjcm²:

=955 kg jem².

•    -    (58)

dx

•    •    (59)

15+v

Dla danego stosunku natężeń v dane jest położenie osi obojętnej, bo

bzx

bxx 15 ~2~ Î5 + V

F<Je=~f Tt = gdy p oznacza procent uzbrojenia, to

p .bdx

dx, więc j eżeli F

pbdxv bdx 15

WT Ï5+?

100

• (60)

a stąd

750

^ v(lh+v)

(61)

^ = — 7*5 H- 56*25 4

750

• • (62)

to

Jeżeli nazwiemy ramię momentu wewnętrznego m — dx—

_v+10 ⁼v+V5

M _ M{v+lh) mF (v+10)dxF

dxi zatem

Oe

.    • (63)

Oe

M=ae

?4=—    .    •

ł V

b p(v+10) 100 u+15

■    ■    (64)

dx² .    .    .    .    (65)

Wuczkowski¹) ustawia tabliczkę XV. dla b = 100cm, ae= 1000 kg/cm².

Tabliczka XV.

% w kg\cm

45

40

35

30

25

20

15

Oe

v=—

22-2

25

28-5

33-3

40

50

66-6

M=

787

658

533

418

310

214

129. A*

0*93

0-75

0-61

0-47

0-34

0-23

0-14

P°lo

Przy kład: Dana płyta o wymiarach jak poprzednio, a więc d—20 cm, di=17cm, a—3cm, F=8'bhcm², M= 124000kgcm. Obliczyć natężenia.

100 . F 100.8-55 b.di ~ 100.17

Procent uzbrojenia z rów. (60) p=

=0*503%

z rów. (62) v=—7*5 + ^56’25 + ^^=31*8, czyli natężenie w żelazie z rów-

124000(31-8 + 15)    ₂

°e ~ (31-8+10). 17.8-55    / r//    ’

nania (63):

natężenie zaś w betonie z rów. (64):

⁹⁵⁴ QA 7    /

Tl=8P8=30Ä:ör/

§ 20. Belka obustronnie uzbrojona.

Żelazo w ciśnionej części nie może być wyzyskanem, bo n = 15, więc przypuściwszy nawet t, =40kg/cm², to najwyżej będzie ae' = 15 x 40= 600 kg/cm². Pomimo tego niezupełnego wyzyskania żelaza może być całkowita ilość żelaza znacznie mniejszą tak, że w niektórych wypadkach ekonomiczniej jest używać belek podwójnie uzbrojonych, jak o tern później obszerniej pomówimy.

Jeżeli więc mamy belkę obustronnie uzbrojoną (rys. 32), to otrzymamy dla warunku pierwszego, że suma natężeń ma

być równa zeru:    +F‘oj=Fae, a że

Z

<re=15

Zi-ai

zl i Oe' = 15 Tj = 15J?

%

¹) Por. Eich. Wuczkowski: Eisenbetonkonstruktionen bei Biegung und bei exzentrisch wirkenden Druck — oder Zugkräften. Tab. I. str. 5.

bzizi

~+15PT/

*1

Tl, więc

zi, skąd

15 (F+F')

V(

lb[F+F'] ₀ Fdy +F'dy \ lb[F+F'\ M F+F' )

lub też Zy

lb (F+F')

(-i+yi+a*

Fdy + F'dy

lb (F+F')²

.    .    (67)

-A-

7 ćc v

Rys. 32.

Z warunku drugiego, że suma momentów równa się zeru, otrzymamy :

xJ=Mzx, a moment bezwładności I—~ä~ b»^+\hF'—d\)² +

O

+157^-ą)²

(68)

Jeżeli we wzorach 66. i 67. wstawimy F' = 0, otrzymamy wzory 54. i 55.

Sa li g er otrzymał wzory te w nieco innym kształcie, albowiem tworzy on moment ze względu na dolną wkładkę i otrzymuj e :

(rf₁- |j + -F'a,/(rf₁-a,) = 4ll?l (<*,-    ) +

iPieo

+15.F'

- g| h(di~ai) st%d

6Mz,

X 1 bzi ²(3 dl Zy ) + 90.P (Zy — dy ) (dy — CLy )

_____90 M(dy —Zy)_

Ge    bZy\3dy-Zy)-{- 90 F' (Zy — dy) (dy dy)

,    90 M(Zy~dy)

~ bZy²(3 dy—Zy ) + 90.F' (z y —dy ) (dy —dy)

■    • (69)

Przykład: Płyta o wymiarach, jak poprzednio, z dodaną wkładką górną, taką samą i w takim samym odstępie od górnej krawędzi, jak dolna. Obliczyć natężenia.

Położenie osi obojętnej otrzymamy z wzoru (67):

15(8*55+8'65)f ,

—1ÖÖ—h¹⁺V

1 + 2 . 100 .

8-65.17 + 8-55.3

5*02 cm

15(8-55+8*55)²

natężenia zaś w betonie w wkładce dolnej i górnej z wzorów (69), mianowicie :

6 . 124000.5-02

Oe =

Oc'

100.5-02²(3.17-0—5-02)+ 90.8-55(5-02-3-0) (17-0—3*0) 90.124000(17—5-02)

100.5*02²(3.17-0—5-02)+ 90.8-55(5-02-3-0) (17*0—3-0) 90.124000(5-02—3-0)

100.5-02²(3.17-0—5-02)+ 90.8-55(5-01-3-0) (17-0—3-0)

=27*1 Jcg/cm²

=972 kg/cm²

=163-2 kg jem

§ 21. Belka o przekroju teowym, faza II b.

Jeżeli oś obojętna leży w płycie, więc zx<e (rys. 33.), to jest rzeczą obojętną, czy belka ma żebro, czy też jest pełna o grubości d, bo i tak nie uwzględniamy części betonowej poniżej osi obojętnej. Należy więc stosować wzory 54 do 57.

->!

Ił

TT

____Y

ił*?*

Ł. ..i

i.....

>F6e

-------......

Rys. 3B.

Czy oś obojętna przechodzi przez płytę, można się prze-

konać z wzoru (59) zi

15

15-1- v

d, przyczem v należy wyznaczyć

z wzoru (62) albo też z wzorów (54) lub (55).

Przykład: Daną belkę przekrojuTo wymiarach &=150cw, bi=80cm, d—QQcm, di^GOcm, e—20 cm, Fe =49*28cw² (8cß28mm) zbadać ze względu na natężenia przy M=2000000kgcm.

Ze wzoru (55) otrzymujemy:

15.49-28

zi

150

[Vi+

2.150.60

15.49-29

4-

19*85 cm

ze wzorów (56) zaś:

h=—

2.2000,000

150.19-85

KT)

=25*2 leg jem²

Dla ö=öA otrzymamy stąd wzory (54) i (57).

Przy kład: Daną belkę przekroju T o wymiarach fc=lB0cw, &₁=27cw, d—42cm, =39cm, c=10cm, f,7=28'28cm² (4^80mm) zbadać ze względu na natężenia przy M=800000 kgcm.

Położenie osi obojętnej wyznaczymy z równ. (70):

*i =

(150-27). 10+15.28-28

27

12-5 cm,

Oe

2000000

—760*0 kffjcm²

49-28 {ôO-

Jeżeli oś obojętna wychodzi po za płytę i przecina żebro (rys. 34.), to musimy uwzględnić ciśnienie w żebrze o mniej

si

szej szerokości bv Nazwijmy    to dla osi obojętnej suma

momentów statycznych musi być równa zeru, zatem ——b-b^    J.5

a stąd

(b-bJe+lhF

V(

{b-bx)e+\5F

{b-bi)e*+$to.Fdi

(70)

6-........—

T~1

-> F(Oe

Dalej otrzymamy xx

Rys. 84. Mzi

l&M(dx—%)

•    • (71)

6s,s-y (6-&₁)(*₁-e)»+15J'(«ï₁-2₁)J    .    .    .    (72)

/i

i ae

/J (150—27). 10+15.28-28\ 2    (150-27). 10» + 80.28-28.39

⁺ Vl    27 ~l ⁺    27

z (72) It =i. 150.12-6S—hl60-27)(12-5-10)³+15.28'28(89-12-5)!=.395000ctm *,

Ti =

=25-8 kg/cm* i s« =

a z rów. (71):

800000.12-5

395000

15.800000(39-12-5)

395000

§ 22. Sposób przybliżony wyznaczenia natężeń.

Rozporządzenie pruskie przyjmuje sposób przybliżony wyznaczenia natężeń, opuszczając wpływ bardzo małych natężeń w żebrze, przez co wzory stają się prostsze. Z rysunku 35A) mamy : v':zi = (zi—e):zi} zatem

z¹ —e

--•

«i

v' —

Tu

e tr

_JLj-------y.____

Rys. 35.

A że suma sił ma być równa zeru, więc

bvxzx bxi(zi—e)

bx^zx bv'{z^ — e)

F°e, -g

2at

iócre

^ (2zi-e)=Foe=

si

xi, a stąd

nowicie :

^“2(06+15^)

Wyznaczmy teraz odstęp środka ciężkości trapezu y, a mia-

.    .    (73)

«i —y=

e xi-\-2v/

3 Ti+v'

³ ¹1+¹! -

e 3z^—2e

y=¹ i-Dalej mamy

Jf

Fidi —zx +y)’

stąd

z\—y

e 3&₁—2e

¥ 8¹!—« ~¹¹~¥'r 6(^-6) ' •

3 2%—e

e²

■    (74)

«i

Przykład: Przeliczyć zagadnienie poprzednie sposobem przybli

żonym.

Z rów. (73) otrzymujemy:

_150.10² + 30.28*28 . 39 2(150.10+15.28*28)

10²

2 ⁺ 6(2.12*49—10) 800000

y=12*49—

10

=12 49 cm, z rów. (74):

=8*6 cm, a z wzorów (75)

ae =■

28*28(39—12-49 + 8*6) 806    12*49

=806 &gr/cm², i

Tl 15 ' 39 —12*49

=25*3 fcgr/cm².

Wilczkowski podaje jeszcze inny sposób przybliżony obliczenia w razie, jeżeli zx>e.

Snma momentów statycznych ze względu na oś obojętną jest równa zeru, więc

15Fw=beyi: a że w = u—więc 15 F(u—yi)=beyv

Jeżeli nazwiemy <p procent uzbrojenia, odnoszący się do

powierzchni płyty, czyli F

(76)

(pbe

100

15 Fu

15 cpu

.    .    (77)

Vi = be+IhF^ ÏOO + I69? a 15qm t e 2    100+15®‘

Wyznaczywszy środek ciśnienia, jak przedtem, otrzymamy

m=di—zi -\-y=d1 M .

Oe=-s 1 Tj =-

mF v

e 3zi—2e

3 2^—e

.    .    (78)

Oz

•    •    (79)

przyczem v=15 w.

Przykład: Przeliczyć poprzednie zagadnienie sposobem Wuczkow*-skiego. Ponieważ wiemy z poprzedniego przykładu, że oś obojętna nie prze-

28*28.100

cina płyty, więc obliczamy odrazu z rów. (76) <jP=

15.1-89.34    10

Zl “100+15.1*89 ⁺ 2 -¹²'48 cm’ e    10

przyczem u=dl——=39——=34 cm,

dalej z rów. (77)

,„Q, QQ 10    3.12*48-2 . 10

z (78)    m=39—— .

2 . 12-48—10

=35*02 cm,

150 . 10

=1*89%

Wilczkowski oblicza na tej podstawie tablicę dla

<7e = 1000, przyczem k₂

a z wzorów (79) <re =

800000

35-02.28-28 15.26-52

12-48

=81*25 a tt =

808

31-85

=25*4 Jcg/cm²

^100

Tabliczka XYI.

2-0

cp

3-0

4-0

Jc₂

<P

5-0

k₂

<P

6-0

k₂

cp

7-0

k'2

<P

8-0

k₂

cp

9-0

k₂

<P

10-0

k₂

<P

15

20

30

40

9 cn to i—L -i O

900

0-46

1700    2600

0-91

1-48

1150

1900

3750    5800

0-41

0-69

1-37

2-21

2050

3400

6350    9500

0-55

0-92

1-78

2-67

3200

5150

9250    13300

0-69

1-13

2-03

2-93

4600

7050

12175    17150

0-82

1-26

2-19

3-11

6050

9000

15125    21125

0-91

1-37

2-30

3-24

7500

0-98

8975

1-03

10450

1-08

10900

1-45 ,

12875

1-51

14800

1-55

18050    25100

2-39

3-33

20975    29100

2-45

3-41

23900    33000

2-51

3-46

¹

Na rys. 85 zakreskowano przez pomyłkę część powierzchni natężeń, leżącą w żebrze.

Tabliczka ta da się przedstawić też wykreślnie (rys. 36a i 36b).

Przykład: Zbadać tę samą belkę przy pomocy tablic Wilczkowskiego.

d 39

Dla belki tej mamy A:₁¹)= -j =    = 3 9, a procent uzbrojenia ®=

d,

9 W rysunkach 36 a i 365 czytaj na osi odciętych — zamiast

foc) =-.

e

100.28-28

150 . 10 wiadające Tj=32kg/cm²,

= l'89°/₀. Dla tych wartości odczytamy z rysunku 366 odpo-na podstawie tego z rys. 36 a wartość fc₂=6500.

ÔZ000

88000 8.0000

zoooo

1ÔOOÜ

18000

rrZ0>yL{

8000

zz

0000

O1Z30Ô67    83    10

Rys. 36«.

CO- touP

007r~^~

35

30

Zr3s%„

85

T‘=30A'S/crn'

rzZ0k7c^

Zri5k%nł

O 1 Z 3    0 S 6    7    8    3    10

Rys. 366.

/. d

SC- e

Natężenie w żelazie jest więc ae = wiste ciśnienie w betonie:

800000.1000.100

150.6500.10²

=820 Icff/cm², a rzeczy-

T‘,=100Ö • “* “îffij ■ S²⁰“²⁶'²*#“’-

Te przybliżone obliczenia dają natężenia w betonie i żelazie prawie takie same, jak obliczone sposobem dokładnym. W budownictwie lądowem różnice są tak małe, że można używać zawsze równań przybliżonych (73) i (75), w budowie mostów jednak lepiej liczyć dokładnie według wzorów (70), (71) i (72).

§ 23. Belka teowa obustronnie uzbrojona.

Jeżeli z± jest mniejsze od e, to belkę teową obliczamy jako prostokątną. Dla zi większego od e (rys. 37.) otrzymamy dla osi obojętnej sumę momentów statycznych równą zeru, zatem b i (% —e)

b %2 o' ---+lźF'{zi-ai) = lhF(di-zi) -b--

TÂ7T3

........

FW e\

Zi y !

A.___

Y.........

■>FGe

A""""

: 4 !

*<■------- Ö£~"~ v

Rys. 37.

zatem

è₁0₁²+2s₁e(ô-ô₁) + 3O^₁-3OF/a₁+3O^₁-3OJPrf₁-e²(ô-6₁)=O

e(b-b,)+lź(F+F') ,

«i

⁺f(

eib—bJ + lbiF+F')

e^b-b^+SOjFdi-F'a,

(80)

Ciśnienie w betonie wyznaczymy z równań Mzx .

Tl = -r-- 1 Ge

15 M{d±—zx)

. . (81)

przyczem

rH

fts,»_i-(6-6,)(*₁-e)s+151î’(Æ₁-*₁)³+15-F'(*,-n₁)² (82)

O

Dr. M. Thullie. Teor.ya żelbetu.

Przykład: Dana belka T o wymiarach (jak na str. 44.): 5=150cm, b, =27 cm, d—42cm, d, =39 m, e=10cm, F— F'=‘28'28cm² (4cß30mm), a=at = =Scm, M—800000kgem. Obliczyć ciśnienie w betonie i ciągnienie w żelazie. Podług (80):

10 (150-27) + 15 (28*28 + 28*28)

zi =

Podług (82):

7₂=-|- 150X9*5³—(150—27)(9‘5—10)³] + 15[28‘28(39—9*5)²+28*28(9*5—3)²]=

=429800 cm*, a natężenie podług (81): 800000X17*7

Ti =

542600

=17*7 kg jem¹, ae =¹⁵X80(X)Wg9    1^)₌₌₈₂₅ kg/cm².

§ 24. Współdziałanie płyty.

natężenia i wielkość obcią-

Pytanie teraz zachodzi, o ile płyta współdziała z żebrem. Grdyby ugięcie płyty i belki było jednakowe, to płyta tworzyłaby z belką jedną całość. "W rzeczywistości płyta ugina się także, ale nieco mniej, jak to okazały doświadczenia Bacha. Oprócz tego powstaje między płytą a żebrem znaczna siła ścinająca, z tego powodu należy w tern miejscu wzmocnić belkę wkładkami żelaz-nemi poprzecznemi. Aby zbadać, o ile rozmaite założenia co do współdziałania płyty mają wrpływ na żenią, zróbmy przykład *). Rys. 38 przedstawia belkę żebrową.

lb

ÖO

i...

.......i'Ot>

...y

215 ■>r*~

Rys. 38.

0=200 cm, f=

M = 409400 kg cm, t, =18-5 kg jem².

Tutaj d = 30 cm, e=13 cm, ó,= 25 cm. F=20 cm². Przypuśćmy najprzód, że cała płyta współdziała, to 20

200

= 0-1 cm, wtedy =8*1cm; dla ae=7h0kgjcm

Teraz przyjmujemy, że tylko część płyty współdziała, przyjmujemy po kolei 6=100, 50, 2bcm, a otrzymamy wyniki zestawione w tablicy XVII.

Tabliczka XVII.

w cm

w cm

w cm

natężenia w kg jem²

w żelazie w betonie

na 100 cm szerok. w kg cm

h-L bC

88

O iO iO <M

o o o o

cb iA tó i-Ci

CO CO CO b-CO CD CO CD CO CO CO CO ÓÓH Ô3

lOO 05 Ht>05 CO

db Ô cb t>

i—i i—I i—l

750

750

750

{7501

\454j

ip Ol    O CO

qo t- cb cb th

tH    CD ^

409400

384700

879900

{3629001

\218770j

W ostatnim wypadku t. j. gdy 6=25 cm, moment M musi być mniejszy z powodu zbyt wielkiego natężenia w betonie z=69Jcglcm‘i. Zresztą dla ae—7b0kg\cm² różnice momentu M od 6 = 200 do 6=50 są bardzo małe, jednak z malejącą szerokością, ciśnienie w betonie znacznie zwrasta. A więc widzimy, że przyjęcie mniejszej lub większej szerokości płyty jako współdziałającej ma głównie wpływ na natężenie w betonie.

Rzecz ta nie jest jeszcze doświadczeniami ostatecznie wyjaśniona, jednak szerokość wliczalna płyty nie może byó zależna od rozpiętości belki, tylko od grubości płyty i szerokości żebra.

Podajemy tu przepisy w rozmaitych państwach w tej

sprawie.

Rozporządzenie pruskie dozwala liczyć do przekroju szerokość płyty najwyżej równą -i- rozpiętości belki.

Rozporządzenie äustr. z r. 1911 dla budownictwa §5 ust. 12. Szerokość płyty, którą możemy przyjąć jako współdziałającą, może być liczoną od osi żebra po każdej stronie nie większa, niż czterokrotna szerokość żebra lub ośmiokrotna grubość płyty albo połowa odstępu żebra. Najmniejszy z tych wymiarów należy wybrać.

Płyty o mniejszej grubości, niż 6 cm, nie mogą być uważane w rachunku jako współdziałające.

Możemy to wyrazić następnie

6<16e,    6<a

b<Sb„

•    • (83)

Przy mostach niema takiego zastrzeżenia, szerokość jest tam ograniczona ciągnieniem w żebrze.

Ś2-■ - Rozporządzenie rosyjskie instr. A do § 1. ust. 4. Jeżeli Bglki stanowią jedną całość z płytami, pokrywającemi przestrzenie między belkami, to do obliczenia należy włączyć przekroje płyt z każdej strony osi belki, każdy szerokości nie większej, niż ³/₈ odległości pomiędzy osiami belek, ale też nie większej niż */₆ rozpiętości belki w świetle. Należy przy-tem sprawdzić, czy jest wystarczająca wytrzymałość połączenia belki z płytą, w razie przeciwnym należy zmniejszyć wprowadzoną do obliczenia belki szerokość płyty. O ile odległość między belkami w świetle nie przekracza półtorakrotnej szerokości belki, to można wprowadzić do przekroju belek całą płytę tj. szerokość równą odstępowi odległości pomiędzy osiami sąsiednich belek.

§ 25. Faza trzecia.

Po przekroczeniu granicy płynności żelaza następuje trzecia faza¹). Wyznaczenie natężeń w tej fazie jest trudnem, bo nie znamy dobrze spółczynników. Zresztą chodzi tu o granicę płynności, a ona nie jest stałą nawet przy materyałacłi jednolitych.

Obliczenie natężeń zależy od dalszego przebiegu linii odkształceń dla żelaza (rys. 39.).

"A

i/

SV

.......

■Âe~..........

Rys. 39.

największe ciśnienie betonu znacznie

Gdy natężenie przekracza granicę płynności, to przy dal-szem obciążaniu powstaje moment większy głównie przez przesunięcie środka ciśnienia ku górnej podstawie, przez co też oś obojętna się podnosi, wzrasta. Złamanie belki następuje wtedy prawie zawsze przez

9 Porównaj autora: Neue Versuche mit Hennebique Träger in Lemberg. [Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Vereines 1902. Nr. 50.].

osiągnięcie spółczynnika wytrzymałości betonu na zgniecenie. Liczyć tu możemy tylko w przybliżeniu. Dlatego przyjmiemy tutaj linię odkształceń betonu prostą (rys. 40.).

cj

q... y

V u aV.'M'T ]0

4-

Bys. 40.

\ •

Ciągnienie w żelazie równa się ciśnieniu betonu, więc

bziz1 ~2~'

Foe =

Dalej mamy

Oq = aA₀, ae=aA₀ + ax(Ae—A ₀) = aA₀ (1—x) + axAe £ _ Gę— gQ(l— X)

az

Dla założenia, że przekroje pozostają po ugięciu płaskie także po przekroczeniu granicy płynności mamy

lub

A j i — Ae * (d^    )

ae—<r₀(l—x).

ax

wreszcie

a stąd

więc

(TÉ— <T₀(1 — X)

: (dt —

15 Z Tj (<*, — zx ) = [Ge—a₀ (1 — X)] Zx

M5aęŁ-S)₊    . .

Ti

cc

Suma natężeń równa się zeru, więc

^1=15xt\F ———=ff₀(l—x)F, a stąd

*i=~

30 xFdi

(85)

Jeżeli wedle doświadczenia, podanego przez Mehrtensa w Forsterze¹), przyjmiemy x =00047, to

—^^0²0705—0²9953 -^ +

tm

0-0705-0²9953 -^V+0²141 ~

xj    b

dx .    .    (86)

Przyjmijmy, jak w tym wypadku, a₀ — 2680 kg]cm², to otrzymamy dla

Tj =100 150 200 250 kgjcm —=26²8 17²9 13²4 10²7

Z warunku, że suma momentów równa się zeru, otrzymu

(87)

jemy M=bZ^¹^di—jj==F<re^di—~j, zatem jak rów (56)

stąd oe=

bz,

(²-²)

■ • (88)

Tok obliczenia byłby następny. Przyjmujemy rl większe, niż podczas osiągnięcia granicy płynności żelaza, obliczamy z (85) z₁, z pierwszego równania (87) M, z rów (88) oe.

Fae.

Sprawdzamy wreszcie, czy

Jeżeli kształt linii odkształceń jest wedle rys. 41, to dla długości ab będzie

ffe=aJ₀ + ax₁(^e—/ł₀), dla b    =o₀ d-axj^ — A₀)

więc

, <Ti—a₀(l—Xi) Ai —    —    j

ax₁

dla długości bc

ae' = ai₀ + ax t (^ — ) + «²2 (V—^i) = a4(l—^i) + «^i(^i—3f2) +

(²!— x₂) + ax₂Ae'.

+ aX₂ie' = <7₀(l —XjH

o⁻!—^i)

Xi

Dalej mamy

=4/zi/)

ae‘—a₀(l—xt)    o^l— j

CS* ! *r-ł

X I X

ax₂

:(^i—«i0

V/V =

lÖX²^'^ —z₁/)

(Te'-aoCl-^)

15x₂

: (di—«iO

więc Oe

lBxaTj^dj—gjp

(Te⁷ — <7₀(1 — *i) ~^|l— j

fa₀(l-^) ^ + ^(l-^) . . (89)

x" *T

7T

,y

rf

a/

afc

jîi

..........Ji

■i—Ti

A

-j

Rys. 41.

Suma natężeń równa się zeru, więc bzi % _ 15^^ /(tft — zt ')

F+a,(l-xt)X2-

*1

F+ai(l-ÿF,

a stąd

JP

^15^2

(- »

(M «rH

s ! s

M)))

² 30xzFd,

ff¹⁵"*-"⁰

Równania (87) i (88) są i w tym wypadku ważne.

Przykład: Dany przekrój z doświadczeń Kleinlogla: d^=21cm, ł)=lhcm, F=S'8cm², procent uzbrojenia p=0'887%. Wartości, obliczone z krzywej odkształceń żelaza, wynoszą: x, =0*014, x₂=0-0017, a₀=2330kgjcm². Dla fazy IIb mamy odległość osi obojętnej według wzoru (55):

r,/i 2X15X27    1

LV 15X3-8 J

=11 cm.

15X3-8

Zl~ Ï6~~

Dla granicy płynności mamy a₀=2330 kg jem², więc według drugiego równania (56) lub pierwszego (88) jest moment zgięcia:

JM= 2330x3"8 (27—=206600kgcm, a natężenie w betonie według drugiego równania (88):

=101 kg/cm².

2X206600

15XU(27-(1)

Przyjmijmy teraz natężenie w betonie x,=150 kgjcm², to według równania (85) jest odległość osi obojętnej:

3-8

{l5 X0-014—(1 -0-014)} +

+ y (p )²{l5X0 014

Ot co

2330

150

(1 -0-014)J² + 30 X0-014 X^|- X27=7*93 cm.

Moment zgięcia otrzymamy według drugiego równania (88):

M=

15X150X7-93

(27—⁷*!³) =217500 kgcm.

Natężenie w żelazie podług pierwszego równania (88): 217500

Ge =

3-8

(»-W

=2350 kg/cm².

Podobnie otrzymamy dla przyjętego x, =250kg/cm²:

Zi =5*07 cm,

Dla tj=400 kg/cm²:

»1 =3*58 cm,

M=241000 kgcm,

ne =2510 Tcg/cm².

Ge =2820 kg jem².

M=211000kgcm,

Nakoniec dla x,=530 kgjcm²'. zt =3*02 om,

Złamanie nastąpiło tu przy momencie M=301b00kgcm.

Użycie wzoru (90) do obliczenia odległości osi obojętnej (stosownie do rys. 41) okazuje się zwykle niepotrzebnem, bo natężenie w betonie tak szybko wzrasta w stosunku do natężenia w żelazie, że ostatecznie nawet przy złamaniu natężenie w żelazie nie dosięga wartości granicznej : ai.¹)

Jeżeli wkładka jest obustronna, to zachodzi pytanie, czy liczyć na tę wkładkę w fazie trzeciej, albowiem żelazo okrągłe

31=312000 kgcm,

Ge =3160 kg jem¹.

9 Porównaj także: Dr. M. v. Thullie: „Die dritte Phase der gebogenen Eisenbetonträger“ (Zeitschrift d. öst. Ing. u. Arch. Vereines, 1913, Nr. 48).

ma mały moment bezwładności, i może się łatwo wyboczyó. Powtóre, warstwa betonu ponad wkładką j est zwykle niewielka, a przy doświadczeniach Empergera wr. 1906 ^ okazało się, że wytrzymałość belki o wkładkach obustronnych jest taka sama, jak przy wkładkach pojedynczych. Zazwyczaj jednak liczymy na wytrzymałość żelaza, a wtedy, aby nie nastąpiło wyboczenie, należałoby dać bardzo dobry beton i odstąpić dosyć znacznie z wkładkami od krawędzi. Dr. Huber (Czasopismo techniczne 1905 str. 162) sądzi, że można uwzględnić wkładkę górną, tylko trzeba przyjąć ^>2 do 3d.

Jeżeli liczymy na podwójne wkładki, to możemy wyprowadzić wzory dla trzeciej fazy w sposób, poprzednio podany, (rys. 42). Otrzymamy

B, Tl R

a<h a

-^0

.¥■■ .¥■

ZTv

Rys. 42.

■ y* F'Oe — Foe, a więc, jak poprzednio,

Z

+-a₀(l—x).

Oe = 15xTi ———

«1

We wkładce górnej zazwyczaj nie dosięgnie ciśnienie granicy płynności, a wtedy

Więc *T1Î1

o z : Tj == löfo —ax) : ^, a ae' —15^ Tj 15 (2, —ax)

Hi?⁷'

*i—«i

«i

*i

j eżeli

•    • (91)

30

-®2— y (uFcl^ + F'ct] ). b Patrz Beton u. Eisen. 1906 str. 267.

stąd

Dalej otrzymamy

' (di ~ ï)⁺F'ae'(di ~ai)

Jf=

«i

(rfi— Oj)

pf"'- )

2if.

Tj =

1-«1

»1—«1

(Te⁷ = 15^

h

-16*4=*

05

²1

C. Obliczenie wymiarów.

§ 26. Zasady obliczenia wymiarów.

Poprzednio wyłożyliśmy sposoby wyznaczenia natężeń betonu i żelaza w fazach la, Iô, IIa, lift i III, jeżeli wymiary belki jakoteż i obciążenie są dane.

Przy projektowaniu mamy inne zadanie do rozwiązania. Dla danego obciążenia, momentu i sił poprzecznych i danego ustroju belki należy wyznaczyć wymiary.

Zachodzi tu najprzód pytanie, na podstawie której fazy należy wyznaczać wymiary.

Najwłaściwiej byłoby liczyć wedle fazy trzeciej, bo głównie nam chodzi o pewność ze względu na złamanie. Jednak obliczenie dokładne w trzeciej fazie jest niemożliwem, bo granica płynności żelaza jest niepewną, dalej panuje wielka niepewność co do spółczynnika x₁ bo nachylenie linii odkształceń jest zmien-nem. Dlatego dopóki nie mamy dokładnych danych, musimy liczyć wedle fazy II b.

Rozumie się, że pamiętać musimy, że jeżeli obliczenie wedle fazy IIb zastosujemy przy złamaniu, to tylko wtedy otrzymamy dobre wyniki, jeżeli złamanie nastąpiło skutkiem przezwyciężenia wytrzymałości betonu na zgniecenie, zanim ciągnienie żelaza przekroczyło granicę płynności. Jeżeli jednak przekroczymy granicę płynności żelaza, to natężenia liczone wedle fazy drugiej są tylko rachunkowe, a nie rzeczywiste.

Można wyznaczyć taki procent żelaza, dla którego nastąpi zgniecenie betonu równocześnie z osiągnięciem granicy płynności żelaza. Jeżeli procent żelaza jest mniejszy, to granicę płynności w żelazie osiągniemy pierwej, niż zgniecenie betonu.

Przeciwnie rzecz przedstawi się, gdy mamy więcej żelaza, bo wtedy beton prędzej ulegnie zgnieceniu, niż żelazo przerwaniu.

100 F

żelaza zostanie prze-

bdi

Przy małych procentach p

kroczóna granica płynności już przy niewielkiem ciśnieniu betonu, wtedy po przekroczeniu granicy płynności może moment M jeszcze wzróść tembardziej, im mniejsze było natężenie betonu przy wejściu w fazę trzecią. Jednak, ile on może wzrosnąć, obliczyć trudno, bezpieczniej więc jest nie liczyć wcale na fazę trzecią.

Jeżeli chcemy mieć pewność co do trwałości wykonanego zespołu, to ponieważ spółczynniki i obliczenie we fazie trzeciej są niepewne, więc nie uwzględniamy tego, co będzie poza granicą płynności i liczymy wedle fazy II b.

Wiemy, że w pierwszej fazie wkładka żelazna ma mały wpływ na zniżenie ciągnienia, które jest mało co mniejsze od ciśnienia. Pożyteczność wkładki żelaznej uwydatnia się dopiero w drugiej fazie po przezwyciężeniu wytrzymałości betonu na ciągnienie, sprawia ona wielką wytrzymałość płyty na złamanie ; grubość zatem wkładki żelaznej obliczać musimy głównie ze względu na złamanie, a więc wedle wzorów fazy 116.

Wedle fazy IIZ? obliczamy jednak belki tylko ze względu . na pewność na złamanie. Dla zwykłych obciążeń natężenia są znacznie mniejsze i zazwyczaj belka znajduje się wtedy w fazie la lub Ib. Zachodzi teraz pytanie, czy należy obliczać także

w ten sposób, aby mieć jakąś pewność ze względu na pęknięcie betonu, czy należy więc nietylko liczyć belki wedle fazy II&, ale także i wedle fazy I. Zdania są podzielone ; niektórzy żądają, aby obliczać w ten sposób, by uniknąć pęknięć betonu, bo jeżeli belka pęknie, to może się przez to pęknięcie dostać do żelaza powietrze, para wodna, gazy i spowodować rdzewienie wkładek,

więc pośrednio spowodować znacznie zmniejszenie wytrzymałości. Drudzy twierdzą, że obawy te są płonne, bo doświadczenia wykazały, że małe rysy nie są szkodliwe, a nie-

bezpieczeństwo rdzewienia zachodzi dopiero przy £ znacznych pęknięciach, występujących przy zbliżaniu się do granicy płynności żelaza.

Pomimo tego w Niemczech, Austryi i Rosyi żąda się obliczenia belek także według fazy I przy belkach mostowych ze względu na wstrząśnienie i takich belkach, używanych w budownictwie, które narażane są na wpływy atmosferyczne lub szkodliwe gazy. W Austryi i Rosyi żąda się obliczenia wedle fazy Ib, w Niemczech wedle la, co jest niekorzystniejsze i podraża bardziej wykonanie belek żelbetowych.

Rozporządzenie ministerstwa austryackiego z r. 1911 dla budownictwa § 5. ust. 8.

Obliczenie natężeń w dźwigarach żelbetowych ma się wykonać przy następnych założeniach.

aj Pierwotnie płaskie przekroje pozostają płaskimi przy odkształ

ceniu.

b)    Spółczynnik sprężystości betonu na ciśnienie należy przyjąć 140000 kg/cm*, a więc równy jednej piętnastej części spółczynnika sprężystości żelaza na ciągnienie i ciśnienie 2100000 kg/cm*.

c)    Natężenia w betonie na ciśnienie i żelaza na ciągnienie należy obliczać dla założenia, że w betonie niema wcale ciągnień.

9. Przy takich zginanych dźwigarach, które narażone są na wpływy atmosferyczne, na wilgoć, parę, dym albo gazy szkodliwe dla żelaza, należy też wykazać największe ciągnienia w betonie, które wypadają dla spółczynnika sprężystości betonu na ciągnienie 56000 Ä#/cm², a zresztą wedle założeń podanych w 8 oj i b).

Rozporządzenie ministerstwa austryackiego z 1911 dla mostów drogowych § 5. ust. 7.

Obliczenie natężeń w dźwigarach żelbetowych ma się wykonać przy następnych założeniach.

a), b), cj jak wyżej.

d)    Przy zginanych dźwigarach należy wykazać także największe ciągnienia betonu, które występują dla spółczynnika sprężystości betonu na ciągnienie 56000kg/cm^.

Rozporządzenie ministerstwa rosyjskiego z roku 1911. Normy §2. Natężenia w częściach budowli żelaznobetonowych wyznacza się w przypuszczeniu, że beton nie przedstawia oporu siłom rozciągającym, że te ostatnie działają jedynie na uzbrojenie rozciągane, oraz stosując zasady teoryi gięcia o płaskich przekrojach poprzecznych i o proporcyo-nalności pomiędzy wydłużeniem i natężeniem.

§ 4. Stosunek m spółczynników sprężystości uzbrojenia żelaznego i betonu, służący do zastępowania różnorodnego przekroju żelbetu jednorodnym przekrojem zastępczym, należy przyjmować przy prostem (nie spiralnem) uzbrojeniu równym 15.

Instrukcya A. do § 2. Jeżeli charakter danej budowli jest tego rodzaju, że tworzenie się pęknięć w betonie pod wpływem obciążenia nie jest dopuszczalnem (n. p. części żelbetowe, poddane działaniu wilgoci, dymu, gazów i innych szkodlrwych czynników), to należy, sprawdzić obliczeniem największe ciągnienia w betonie, które nie powinny w tym wypadku przekraczać wytrzymałości betonu na ciągnienie, przyjmując ją jako 7₁₀ wytrzymałości tegoż na ściskanie.

Do § 3 i 4. W obliczeniach odkształceń sprężystych i natężeń w ustrojach statycznie niewyznaczalnych należy przyjmować stosunek m=15, oraz równe spółczynniki sprężystości betonu na ciągnienie i ciśnienie E—140000 kg/cm^. W tych zaś wypadkach, gdy w obliczeniu na zgięcie jest uwzględniane ciągnienie betonu, należy przyjmować spółczynnik sprężystości betonu na ciśnienie E—140000 kg/cm², a na ciągnienie E=h6000Jcg/cm².

Eozporzą d żeni e pruskie z r. 1907 dla budownictwa. §15.

1.    Spółczynnik sprężystości żelaza należy przyjąć 15 razy większy od spółczynnika sprężystości betonu, jeżeli nie udowodni się innego spół-czynnika sprężystości.

2.    Natężenia w przekroju dźwigaru zginanego należy obliczyć dla założenia, że odkształcenia proporcyonalne są do odstępu od osi obojętnej i że wkładki żelazne mogą przyjąć na siebie całe ciągnienie.

8. Przy budowlach albo częściach budowli, które wystawione są na wpływy atmosferyczne, wilgoć, djun albo inne szkodliwe wpływy, należy oprócz tego wykazać, że nie dopuszcza się do pojawienia się pęknięć betonu ze względu na ciągnienie, w betonie występujące.

§ 16. 1. Dla części budowli zginanych nie powinno przekraczać ciśnienie betonu szóstej części jego wytrzymałości, ciągnienie i ciśnienie żelaza 1000 kglcm².

2. Jeżeli uwzględnia się w wypadkach w § 15. ust. 3 wymienionych ciągnienie betonu, należy przyjąć jako ciągnienie dopuszczalne dwie trzecie wytrzymałości betonu na ciągnienie, wykazanej doświadczeniami na ciągnienie. Jeżeli wytrzymałości betonu na ciągnienie nie udowodniono, nie może ciągnienie przekraczać jednej dziesiątej wytrzymałości na ciśnienie.

§ 27. Belki prostokątne pojedynczo uzbrojone.

Przekrój idealny.

Chodzi nam teraz o wyznaczenie wymiarów belki dla danego momentu M. Załóżmy najprzód, że wymiary tak obieramy, aby natężenia w żelazie i betonie były równe dopuszczalnym. W takim wypadku zazwyczaj belka jest najtańszą, bo oba materyały zostały należycie wyzyskane. Przekrój taki nazywa się idealnym (n. Idealer Querschnitt). Koszt belki zależy wprawdzie od stosunku ceny jednostkowej żelaza i betonu,

ale dla obecnych stosunków możemy przyjąć, że belka prostokątna, o przekroju idealnym, jest najtańszą x). Dla tego zało-

^ _£

żenią mamy wedle § 19 (str. 38.) ae=15 —--— t₁₇ a stąd

²i

15 Tx

ae+15ta.

lub gdy nazwiemy —=y, to f'

•    •    (93)

•    •    (94)

l-j-15y

Dla natężeń dopuszczalnych, przepisanych w rozporządzeniu austryackiem, da się z równań (93) i (94) obliczyć dla różnych mieszanin betonu i otrzymamy dla budownictwa

oe

zx =0*3865 dx z{ =0*3569 dx z x =0*3243 dx

dla mostów znajdziemy odnośne z{ w tabliczce XVIII.

Znając zx można wyznaczyć dx i F przekrój idealny.

2 M

dla betonu 470 kg\cm’Ł cementu „    350

280

I tak z wzoru (56)

otrzymamy, wstawiwszy

bz{

Z, =i'd 1

t, bi'd₁ («/, —    ) = 2M, a stąd

«1,-1 /_!»_

Vf

.    .    (95)

Dalej z wzoru oJF-

rfi-

4-f)

mamy

lub też z wzoru oeF=5^ z, (str. 38.) otrzymamy

.    .    (96)

‘.F-

= CjlM, .    .    .    (97)

wreszcie

‘F-¹-ri' V**L(i-L\ F~V,2 ^ h'H'V sj

« . . .

.    .    (98)

*) Później nad kwestyą tą osobno się zastanowimy i wykażemy, kiedy belka o przekroju idealnym jest najtańszą.

Na podstawie powyższych wzorów obliczyli Haberkalt i Postuvanschitz następną tabliczkę XVHL, przyczem pro-

lOO’i'⁷

cent idealnego uzbrojenia

bdi '

Tabliczka XVIII.

Stosunek

miesza

niny

l <se w kg/cm²    w kg/cm²

zi

*1

iF

iF

ip'

oa

• rH

0 800

33-0    0-3822 04263 0-007882 0-003360 0-788

2 806

818

^ 6 g oa -

* o 10_830

11 a 114    842

CD

181    854

22 866

35-8    10-3894 0-4060 0-008278 0-003361 0-828

36 6    0-3913 0-4007 ! 04)08385 0-003360 0-839_

374    0-3931 (13957 0-008487 0-003358 0*849

1000

42    0-3865 0-3761 0-008117 0-003052 0-812

cem. na 1 wi³miesz. mosty

i—¹ i—*■ i—■-

CO ^ O Oł to O

800

806

818

830

842

854

29- 0 0-3533 0-4710 0-006383 0-003006 0-638 294“ 0-3536 0*4670 04)06448 0*003011 0-645

30- 2 "<>3564 Ö4592 0-006579 0-003021 0-658 3HT~ 0-3591 045Î8 "Ö.006707 0-003031 0-671

31- 8    0-3617" Ö4447" 0*006832 0*003038 0*683

324T“ 03641 "Ö4379 0-006949 0-003044 0-695

22 !' 866

co bud.

1000

0 800

2 806

818

334    0-3665    0-4314    0-007068    0-003049

3743    "(>3569“    0-4146    0-006603    0-Ö02738

25-0    0-3191    0-5297    0-004985    0-002640

25-4    Ö-32Ö91    05242    Ö-005055|    0002660

202    j 0-3245    0*5136    04X)5196    0-002669

27t0—|Ö-3280 Ô5Ô36 0-005336 0-002687

0-707

0-660

0-499

0-5Ö6

0-520

bud.

842 I 27*80-3312 0-4941 0-005467 0-002704 854~~ ~28-6~ 0-3844 04851 0-00560ÖI 0-002717 22    866 I 29-4 10-3374 0-4766 0-005727 0-002730

TÖ00 324) Ö-3243 04648 0-005189 Ö-002412

0-534

CH347

0*560

7>573

0-519

S

CQ

ległem¹    Jcg/cm²

di

Hi

feil

o

lOOid

bd

<Ji

4-

§ 28. Ogólne obliczenie wymiarów belki prostokątnej.

Dotychczas mówiliśmy o wyznaczeniu przekroju idealnego. Jednak w praktyce mogą zajść wypadki, że przyjmujemy inną wysokość di i inną wielkość przekroju F wkładki żelaznej. Ze względu na małą rozporządzalną wysokość ustroju, przyjmujemy nieraz d₁ mniejsze, a wtedy musi być przekrój wkładki większym. Moglibyśmy odwrotnie przyjąć wysokość belki większą, jeżeliby chodziło nam o oszczędność żelaza, ale to się

tylko czasem opłaca.

Jeżeli więc mamy wogóle obliczyć przekrój żelaza dla

10QF

bdi ’

danej wysokości dlf to nazwijmy procent uzbrojenia p'

zatem F

P'    r    ~

bd{. Wstawmy to. w rów (54), to otrzymamy

100

= [—0-15i>'+Y0‘15j?'(0-154>/ +2)R =i'di.    . (99)

Widzimy więc, że dla danego p' możemy obliczyć zi i £'. Wstawiając za p‘ wartości w (99) otrzymamy następną tabliczkę XIX. (rys. 43).

Tabliczka XIX.

p' =

0-4

0-5

0-6

0-7

0-8

9.₀

UYr

0-292    0-319    0-344    0-365    0-384    0-402

P' =

1-0

1-2

1-4

1-6

1-8 2-0 %

i/Trr

0-418    0-445    0-471    0-493    0-513    0-531

mis

osc

0-* 05 06 0-7 OS 0-3 11)    i Z    n r6 i& Ł O

Rys. 43.

A’

mamy Ti

Wstawmy teraz wartość za zi i F w rown (57), a otrzy-

ö^'/3rf₁³H-45(rf₁ —

3 P'dib

Ci bd”

100

przyczem (7j

Jir

/•

A stąd

C,M c

• • (100)

przyczem C=

n-i

Lfrr

Tl[£'³+0-45(l-£')V] ’ *

• • (101)

0-508

0473

c.

0434

0 403 0.179 0358 <7341

________0436

o:m

0411

%y, ™4t

0332

<7313

(7292

<7273

0259

0240

00

04 05 00 07 00 OS tO

t'2

te

18

20

Dalej mamy oe=xx

Rys. 44.

16(0,—0j) 15(1—-f') _

-:    Ti t*

«i

i'

“Ci

15(1-1') M ' bdl ²*

iTrr

-V

16(1-10 C,M

bOe

■ ■ (102)

przyczem C

-v

46(1-10

•    ■ (103)

ae[^³+0*45(l-^)²P']' ’    ’

I tak n. p. dla ae=1000 kg jem² otrzymamy (rys. 44).

Dr. M. Thullie. Teorya żelbetu.

Dla

<re=1000

ri =42

Dla

<re=1000

Tabliczka XX.

05

05

C 0-528 0-473 0-434

C 0-426 0-411 0-396

P'

1-0    1-2    1-4

C 0-341 0-313 0-292

C 0-364 0-354 0-347

0-403 0-379 0-358

0-386 0-378! 0-370

1-6 1-8 2-0

0-273 0-259 0-248

0-341 0-335 0-332

xx ==42

"Widzimy więc, że przyjąwszy natężenie <re=1000 i Tj—-42 Icg/cm², otrzymamy dla p' <0-81 wartości C większe dla żelaza niż C dla betonu, zaś dlajt>'>0-81 jest C dla betonu większem. Rozumie się, że zawsze musimy przyjąć większą z dwu wartości Ci C. Spółczynniki Ci O dadzą się też przedstawić wykreślnie

zapomocą linij prostych, jeżeli jako odcinki odetniemy^-^¹ 1^/-^-

Proste te widzimy na rysunku 45.

Dla przyjętego procentu żelaza p' i przyjętego natężenia w żelazie lub betonie, otrzymujemy z wykresu wartości C i C',

a wysokość belki żelbetowej dt

Z tablic tych można dla danych natężeń i danych p', otrzymać względnie możemy procent żelaza p' zmienić ze względu na żelazo i beton, tak aby oba materyały wyzyskać.

Profesor Huber postawił sobie zadanie, wyznaczyć taki ustrój, aby koszta były najmniejsze. Wzory jego²) jako bardzo zawiłe nie nadają się do praktyki. Myśl jego zasadnicza jest następuj ąca :

Nazwijmy koszt żelaza Ć7Z, betonu Cj, to wtedy koszt belki będzie

di = Ct Yf,

K=b(dl -\-a)Cb=FCz, a że F p'

dla

P'

bd

100

100

bd..

0 Na rys. 45 i ma być zamiast ²) Czasopismo techniczne rok 1905.

wartość

Vł

08

or

p'-O 4

06

05

04

p'=a5

p'- 06

p'- 0 7 p•- 0~8 p’- 00 P'- 10

p'~ n p14

g: ff

5f= ?-»

03

oz

0-1

II

1ZOO

0011

0001

900

800

too

Î00

0S9

009

0S$

Kys. 45 a. Natężenie żelaza.

or

p'-rr-t

D'=OS

' - ou

os

05

S;I

04

03

Oi

01

CJ

«    t    *r>

N- > N- ^5    ï*5

t; ié

Kys. 45 b. Natężenie betonu.

Ze względu na beton mamy

K=b

Hf*-)

a+w

tośó Cx {cb + Cz j będzie najmniejszą.

Z tego widać, że K będzie najmniejsze, gdy dla danego b, M i a war

¹

Porów, autora. Dimensionierung d. T form. Träger, Beton und Eisen 1904 Y zeszyt.

²

Förster: Taschenbuch, für Bauingenieure str. 197.

§ 29. Uwzględnienie ciągnienia przy obliczaniu wymiarów belki prostokątnej.

W niektórych wypadkach, powyżej podanych, należy, po obliczeniu wymiarów wedle ciśnienia betonu xx i ciągnienia żelaza ae w fazie Ilh, przekonać się jeszcze, czy ciągnienie betonu t₂ nie jest za wielkiem. Haberkalt i Postuvan-schitz¹) udowadniają, że jeżeli przy płytach i belkach prostokątnych obliczymy przekrój idealny wedle fazy II ó,

zawsze t₂ jest niższe od dopuszczalnego i tak dla -^-=0-08 mamy według tabl. XXI. :

Tabliczka XXI.

Ilość kg cementu na lm³ mieszaniny żwiru i piasku

natężenie dopuszczalne na ciągnienie

mosty

rozpiętość w m 2 “ 22

budów.

ciągnienie rzeczywiste budów.

mosty

rozpiętość w m

22

470

25 kg [cm²

19-2

21*2

16'Okg/cm²

13-2

14-7

350

24

18-2

19-0

14-8

11-6

13*4

280

22

16-7 18-7

12-8

10-2

11-8

A więc dla płyt i belek prostokątnych o przekroju idealnym nie potrzebujemy wcale badać ciągnienia. Haberkalt udowadnia dalej²), że i dla innych belek prostokątnych i płyt ciągnienie betonu jest zawsze mniejszem od dopuszczalnego tak, że wogóle dla płyt i belek prostokątnych nie potrzeba badać ciągnienia betonu.

*) Haberkalt i Postuvanschitz : Die Berechnung der Tragwerke aus Betoneisen oder Stampfbeton II. wyd. Wiedeń 1912 str. 41—43.

²) Dtto str. 49.

§ 30. Długość wkładek żelaznych.

Długość wkładki zależna jest od zmienności linii największych momentów i położenia osi obojętnej. Jeżeli n. p. mamy w belce 4 pręty dla bezwzględnie największego M, to opuszczamy 1 pręt i dla ³/₄ F obliczamy zi, a stąd, dla danego ae, moment M'. Wkładka 4-ta teoretycznie powinna byó np. według rys. 46 na długości 1‘43m, lecz przedłużamy ją jeszcze o tyle, aby siłę, która w niej działa, przenieść na beton za pośrednictwem przyczepności.

k-

.......4-------/ ~ So rn......⁴

■O

k.....

.....H

------>J

Bys. 46.

(104)

Nazwijmy przedłużenie wkładki lif to l^oxp — Fxac jeśli „ou oznacza obwód przekroju pręta, xp przyczepność dopuszczalną, Fi przekrój j ednego pręta. O uwzględnieniu baków dla długości lA będzie mowa później.

Ponieważ jednak oś obojętna nie o wiele się zmienia, więc wystarczy w praktyce wyznaczyć zx tylko dla największej i najmniejszej ilości równo grubych prętów, w tym samym rzędzie się znajdujących, z tego odnośne M, a dla dowolnej ilości prętów interpolować momenty wedle linii prostej. Jeżeli średnice prętów są różne, to należy przy interpolacyi uwzględnić przekrój poszczególnych prętów.

Przykład. Dźwigar prostokątny ma przy rozpiętości l=b0m, obciążeniu jednostajnie rozłożonem g=AOOkglmb wraz z ciężarem własnym, a więc przy momencie M—125000 kgcm, natężeniach dopuszczalnych ae =

=81bkg/cm², Tt=8 ikg/cm², wymiary : 6=20 cm, (1^=33 cm, F=b'bbcm² to jest 7cßlOmm. Wyznaczyć długość wkładek żelaznych.

Postępując wyżej podanym sposobem, obliczymy położenie osi obojętnej dla skrajnych ilości wkładek, dla pośrednich zaś zainterpolujemy wedle linii prostej, poczem obliczymy inne potrzebne daty statyczne. Mamy więc:

Przekrój

ni.

7(ßl0mm(b'hcm²) QfßlOmm(A'7icm²) 4göl0mm(3'14cm²) 2(fil0mm(l-h7 cm²)

84‘5 cm 7'8 cm 40800 kg cm

przyczem zl liczymy z wzoru (65), zaś M z wzoru (56), podstawiając za (je wartość dopuszczalną, bo wskutek zmniejszania się procentu uzbrojenia przez opuszczanie wkładek przekroczyłyby natężenia w żelazie prędzej wartość dopuszczalną, niż natężenia w betonie. Na podstawie tych danych wykonywamy wykres, jak na rys. 46., z którego otrzymujemy szukane długości wkładek.

Fe

dt

33*0

12*5

I.

II.

IV.

129000

33-5

10-9

114500

340

9-3

79000

§ 31. Obliczenie wymiarów weble Wilczkowskiego.

Przy obliczeniu płyt ważną jest rzeczą uwzględnianie od razu ciężaru własnego płyty, bo inaczej musimy parę razy obliczać, gdy przyjęta grubość nie zgadza się z otrzymaną z obliczenia.

Przyjmijmy w przybliżeniu odstęp środka uzbrojenia od dolnej powierzchni płyty a=l‘hcm. Niech dalej będzie M=

pbda .

i na razie oe=

qP

=-=—=/kź², przekrój uzbrojenia na 1 mb: F

łC

100

= 1000kg/cm², to przyjąwszy M=ßd², jest di =

spółczynnik ß wyznaczymy z tabliczki XV. (str. 41.).

Jeżeli mamy oe różne od 1000kglcm², to z tabl. XV. odczytamy dla danego v=— odnośny procent p i obliczamy ß' =

przyczem

“Ï05Ô A wi<?c

«-VÏ

(105)

Jeżeli teraz ciężar ruchomy nazwiemy a ciężar własny płyty wyrażony na Im²

<7=24dj+24a, wtedy dla a=l‘bcm <7=24^+36, a

100

i^-[(p₂+36)+24d₁]P

<7=0r+jo₂=Oo₂+36) + 24d₁, zatem M=ß'di

a stąd dv = kß

¹⁰    120Z+V144Ö0Z²+ß'k(p₂+36) J

. . (106)

Przykład. Niech będzie ?=3‘0m, p₂=426kg/mi, k=8, ce =809kg/cm²,

-=24’05. Z tablicy otrzymamy (przez interpola-

809 1000

Przyjmując a=l'bcm, mamy z równ. 106:

10.30

Tt=33"(jkg/cm², to »=

809

33-6

cyę) p=0‘806°/o, zaś ß'=

. 694-75=662.

8.562

[l20.3-0+ V14400.3-0²+562.8(426+86)] =12*3cm.

_F=0-806.12-3=9*92 cm². Przyjmiemy więc 10 prętów cfi 11 mm (F—9'bcm*). Grubość płyty <?=12-3 +1-6=13*8 cm.

Sprawdzenie natężeń.

Ciężar własny </=24(12⁻3 4-l-5)=831ły/m

Ciężar ruchomy

p₂=426 „

Iblkg/m².

Obciążenie na całą rozpiętość płyty 0=757X3=2271 kg. 2271X300

Ciężar całkowity

=8b300kgcm.

Moment zgięcia M=

Według wzoru (63):

* ⁼(24^1^-8x9-5c88,,'g/CT>tł’ a wed‘"g (64): ■i    4-8 ft»/««’.

§ 32. Wyznaczenie wymiarów belki podwójnie uzbrojonej.

Jeżeli podwójne uzbrojenie daliśmy ze względu na zmianę znaku momentu, to dla pierwszego przyjęcia wystarczy obliczyć tak, jak gdyby była tylko wkładka jedna lub tylko druga. Potem można ostatecznie i w tym wypadku obliczać dokładnie.

Melan zastanawiał się nad tą kwestyą szczegółowo w Technische Blätter 1907 i doszedł do następujących wyników w razie, gdy nie zachodzi zmiana znaku momentów.

1.    Uzbrojenie w części ciśnionej belki tylko wtedy jest korzystnem, jeżeli uzbrojenie w części ciągnionej nie jest wy-zyskanem, bo wtedy nie możemy powiększyć momentu ze względu na ciśnienie betonu; jeżeli damy drugą wkładkę, moment może być większym. A więc korzyść może być tylko dla procentów żelaza wyższych od idealnego, względnie dla wysokości mniejszej od idealnej.

2.    Jeżeli ma równocześnie wystąpić natężenie dopuszczalne w żelazie ciągnionem i w betonie ciśnionym, więc dla idealnego przekroju podwójnie uzbrojonego musi być pewien stosunek między uzbrojeniem na ciśnienie i na ciągnienie.

I tutaj otrzymamy, jak pierwej, wedle (93)

*1 i Î'

15^

Ue+lör/

Jeżeli wstawimy te wartości w równanie (66) na zy i jeżeli

nazwiemy — = a, — = an a stąd -

Cl    CL    j

₂ , 3O0F+.F')

«i

a,

- to otrzyma-

1-a’

my wedle Haberkalta |/2d₁²d

30

l'rfi=y ('-F'«, + «i, ), F'=~b^d

stąd 16(l-|')^-16(|'-jŁ-j

b^di ³+15[i?'(?'d,-a₁)a + i?(d₁ -£'<7,)³]

16(1—fO’^+Wf'-

.. a), dalej

«1

f'JLf 1

rfiTi

Z równań a) i /?) otrzymamy wreszcie

T(C

3c*!

■    ■ (107)

ifcr—

“■-A

«1

i—«

) %\d\

Widzimy, że potrzebne F \ F' zmieniają się ze względu na M wedle równania linii prostej, jeżeli oe i t, przyjmiemy

jako stałe. Dla danego M i przyjętego F lub p=

100 F

bd

przy-

czem to p musi być większe, niż p idealne dla pojedynczego

IOOjP'

na-

uzbrojenia, otrzymamy tylko pewne F', czyli pi=—^

żywa się ono idealnem uzbrojeniem na ciśnienie (n. idealle Druckarmierung), chociaż tu a/ będzie mniej szem od dopuszczalnego.

Z dwu równań (107) wynika

jLzf'— j?--

F' =

rf(c

«1

30

«i

1-a

• • (108)

1—a

Dla przyjętego F można więc zawsze obliczyć F'.

M e 1 a n sporządził następną wykreślną tablicę *) (rys. 47) dla a=0-lrf.

lr =

II

*>

•er

;t5r-

TiW ^ ś

~5l

î. ? fr. ?

i?

r-

ii

11

Ir.

'i

Sa

ił

Ji

i*»

Kys. 47.

Dla przyj ętego ą id szuka się m

każdy punkt tej linii

bd‘\

dwa odpowiednie punkty p (na osi poziomej) ipi (na osi pi nowej). Dla danego stosunku zi i ae kreśli się promień ab. Punkt daj e nam p i pA, dla których osiąga się równocześnie t, i ae. N. p. przypuśćmy, że mamy dany moment M=QStm, b=0-3m, d=0‘6m,

680000

oznacza

Tj = 33 kg/cm², ae= 1000kg/cm². Będzie wtedy m

każdy punkt krzywej 0*19 na rys. 47 wskazuje nam procenty p i Pi, których użyć możemy. Jeżeli będzie tylko uzbrojenie w części ciągnionej, a px =0, to widzimy z tablicy, że p — 2‘4:S⁰/₀. Jednak wtedy byłoby wprawdzie ^=33kg/cm², ale według linii ukośnych w tern miejscu byłoby ae = 10-78.33 = 356/fc^/cw², a więc żelazo byłoby zupełnie niewyzyskanem. Gdybyśmy chcieli wyzyskać żelazo, a więc v= 1000:33 = 30, to przecięcie się linii m = 0*19 z prostą ukośną 30 wskazuje, że musiałoby

więc p-\-Pi = l⁻66, zatem znacznie mniejsze, niż w poprzednim wypadku. Najmniejszą ilość ma-

być j9=0-79,

pi =0*87°/o,

30.60².33

c =0-19

9 Poi*. Technische Blätter 38 Jahrg. 1907, Heft 4.

teryału dla obustronnego uzbrojenia otrzymamy dla punktu przecięcia się prostej ab z krzywą 019 w punkcie n. Otrzymamy mianowicie j9 = 0-96, px =067, więc p+p^ —1*63.

Trzeba jeszcze przy mostach i niektórych budowlach zwracać uwagę na ciągnienie betonu. Haberkalt udowadnia¹), że dla idealnych przekrojów i wogóle dla przekrojów w praktyce używanych ciągnienie betonu w płytach podwójnie uzbrojonych jest zawsze mniejsze niż dopuszczalne, więc nie potrzeba go wcale liczyć.

Haberkalt podaje też konstrukcyę, zapomocą której można wykreślnie wyznaczyć długość prętów górnych i dolnych. Pomijamy ją tutaj. Wspominamy tylko tyle, że zmiana prętów dolnych następuje grupami, dla których należy wyznaczyć odnośne M, a dla nich obliczyć potrzebną grubość wkładki górnej z równań lub tablic.

Jeżeli wyznaczymy dla belki idealnej zt i z rów. (93) i (94) dla rozmaitych mieszanin betonu, to otrzymamy, jak pierwej n. p. dla mieszaniny betonu 470kgjcm² dla budownictwa £'=0-3865. Przyjąwszy a = at —0⁻l zatem a = a₁=0,l a tt = =42Jcg/cm², otrzymamy z (107)

0-3865 Fjf+^-0-3865 (o-3865-    42.bdx ²

¹⁵ (1_~0~4) (¹-°'³⁸⁶⁵)42rfi

-F=0*001112 M

F=-

czyli

== + 0-000160 bdi.    .

(îj

.    .    (109)

F'=--

0-3865 ^M—^ 0-3865 (3-0-3865) 42. bdx ²J

15

(*“»)(

0-3865-

42 d²

, czyli

. . (110)

F'=0*002478 ^=0*01750^ .    .

di

W podobny sposób możemy obliczyć wzory dla innych mieszanin i dla mostów. Zestawiwszy je, otrzymamy tabliczkę XXII, dla wzorów

F=A ——|- Hbd.

dx

M

• • (Ul)

J) Porównaj Haberkalt u. Postuvanscbitz : Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton II. wyd. str. 70.

a»

Tabliczka XXII.

Spółczynniki równań 110 i 111.

bT

0*3865 ; 42    1000    0*001125    + 0*000162    0*002506    0*0175

0*3833    33*4    806    0*001392    +0*000148    0*003161    0*0176

0*3931 || 37*4    866 il 0*001292    +0*000190    0*002795    0*0178

0*3569    37*0    1000    0*001125    +0*000058    0*002945    0*0171

0*3536    29*4    806    0*001357    +0*000048    0*003718    0*0170

0*3665    33*4    866    0*001298    +0*000088    0*003215    0*0173

0*3243    32*0    1000    0*001122    -0*000018    0*003565    0*0164

0*3209    25*4    806    0*001392    -0*000023    0*004515    0*0154

0*3374 || 29*4 || 866 || 0*001299    +0*000009 || 0*003805 || 0*0167

Rodzaj

budowli

budown.

Z=2

1=22

mosty

budown.

1=2

ZZ=Î

mosty

budown.

1=2

Z=22

mosty

Ilość cementu w kg m³

470

350

280

§ 33. Obliczenie belek podwójnie uzbrojonych sposobami Suen-sona i Wuczkowskiego.

Suenson¹) podaje następny sposób:

Uzbrojenia podwójnego używa się tylko wtedy, gdy jesteśmy do tego zmuszeni ograniczoną rozporządzalną wysokością. W takim wypadku możemy przyjąć d, a stąd i dx (rys. 48). Dla danych natężeń dopuszczalnych oe i zi da się w znany sposób obliczyć idealne pojedyncze uzbrojenie dolne F, odstęp osi obojętnej zx i moment JU, który odpowiada tym wymiarom.

,_4.

"ł't

■F

U-----j6~-...........>

.4 i ...JŸ

~Id

.....—>■'

Rys. 49.

Rys. 48.

Jeżeli dany moment M, to dla reszty momentu AM—M—M' trzeba dać uzbrojenie górne F'²) i zwiększyć uzbrojenie dolne o AF. Jeżeli chcemy zatrzymać położenie osi obojętnej, to F'oe' = AF.ae i dalej mamy F'ae' (dx —ai)=AM=M—M', a stąd

M-M'

Ge'(dx—ax)

oe' możemy wyznaczyć z równ. oe'= lhxx —-a wreszcie

AF=—

F'

F'a'e

Oe

■ ■ (112)

•    .    (113)

Np. dla (je =1000%/cm², xt =42%/cm², mamy zx =0'3865d,, .F=0⁻0081 bdi,

0-3865 dt -2 0-8865 dt ~

M'—TOllbd^. Dalej będzie F'=

M—7-071 bdx 2 oe'(dt-2) ’ ae

=15.42.

fl__²—)

V 0-3865 dj-

Dla: 6=100cm, di —20cm, M=367000hgcm będzie: 2,=0-3865.20= =7-73cm, jP=0-0081.100.20=16-2cm², M'=7071.100.20²=282840fc<7cm,

-⁶⁸⁰(¹-o^2ö)-⁴«’*®-/«”*’. r-

10.467

= 630

367000—7-071.100.20*

A F—

1000

467(20-2)

=4-67 cm² czyli ^+AF= 16 2+ 4-7=20-9 cwi².

=10-0 cm\

być przekrój wkładek ciśnionych oznaczony

ma

J) Porównaj Beton u. Eisen 1912 str. 167. ²) W rys. 48 i 49 przez F', a nie przez Ft.

Według Wuczkowskiego postępujemy w następujący

sposób.

Nazwijmy v

(di—01 ). 15 ae

r M

⁷⁼V'

—. Mamy dalej =—zl, więc Ti    I

Przyj ąwszy ae i możemy obliczyć 0,

15

16Ti*' ■ ⁽¹¹⁴⁾

a stąd potrzebne I.

dalej

Ze względu na oś obojętną mamy (rys. 49)

hz ^

15F'(0₁-a₁)-15^(d₁-0₁)+-§-=O

hz ^

15F'(0₁-a₁)²+15^(d₁-0₁)²+^|-₌

• • (115)

. . (116)

Z tych dwu równań możemy obliczyć F i F' ; otrzymamy mianowicie

,    M

tl (»i-3«i)+— »,

F=—__^_

15(di —»i )(dx—ax)

(3^1—*,)

.    .    (117)

il/

Ff

• (118)

15(di — a, ) («i — a, )

Z rów. (118) widzimy, kiedy wogóle potrzebne jest uzbrojenie podwójne, a mianowicie wtedy, gdy licznik jest dodatni, M bz.² /0 ,

więc

§ 34. Wkładki szerokie.

Dotychczas przypuszczaliśmy, że żelazo jest skupione w jednym punkcie i natężenie w wkładce żelaznej jest stałem.

______i--±----

*-

■T--

'S'*’

Rys. 50.

Możemy to przypuszczenie zrobić, jeżeli wkładka składa się z prętów okrągłych, ułożonych w jednym rzędzie. Inaczej się

rzecz ma, jeżeli, jak to często bywa w belkach, dajemy dwa rzędy prętów (rys. 50.).

W takim razie oś ciężkości wkładki jest mn i natężenie oe oznacza ciągnienie żelaza w środku ciężkości wkładki oe=mm'. Jednak w dolnych wkładkach jest ciągnienie ae" większem, a to:

.    .    (119)

Ge" = Ge

dx —zi + e

di ~zi

O tej poprawce nie powinniśmy zapomnąó, gdyż oe" nie może być większem, niż natężenie dopuszczalne.

Rozporządzenie minist, austr. z r. 1911 § B ust. 8. Jeżeli wkładki gibkie urządza się w dwu lub więcej rzędach, to należy wykazać natężenie dla odnośnego rzędu skrajnego; dla wkładek tęgich, należy to obliczenie przeprowadzić dla warstwy skrajnej.

§ 35. Obliczenie wymiarów belki teowej.

Jeżeli obciążenie działa na belkę teową (rys. 51.) bezpośrednio na całej powierzchni, to płyta na rozpiętości t, niesie jak belka, i przenosi obciążenie na żebro. Musimy więc wtedy płytę również uzbroić wkładkami.

“"1

mmmmmm,

/“T\

• ••

. I.......i.........J

Rys. 51.

Obliczaćby należało wtedy grubość płyty, jako belki ciągłej i otrzymamy wtedy na żebrze największy moment ujemny, a w środku płyty największy dodatni.

W punkcie A mamy wtedy natężenia dwojakie, jedne dla płyty, a drugie dla belki. Ponieważ jednak natężenia te działają w płaszczyznach do siebie prostopadłych, nie możemy ich zatem wprost dodawać. Obciążenie płyty spowoduje odkształ-eenia wskutek ciągnienia w kierunku poprzecznym, a te należałoby dodać do odkształceń, wywołanych wskutek ciśnienia głównego.

Jeżelibyśmy płytę obliczali dla natężenia mniejszego, niż dopuszczalne, więc n. p. dla rl' =-^-, to idealne natężenie było-

1 T

by t₁' = t₁—^--J-=0,875t₁, czyli, że natężenie w belce głównej

należałoby o 12°/₀ zmniejszyć, czego jednak rozmaite rozporządzenia dotychczas nie uwzględniają.

Jednak i bez względu na to, lepiej jest przyjąć trochę większą grubość płyty, niż wypada z obliczenia dla natężenia dopuszczalnego, więc płytę obliczać dla natężenia mniejszego n. p. 15 do 25 kglcm*. Rozporządzenie pruskie zresztą przepisuje wyraźnie, że najmniejsza grubość płyty może być 8 cm.

Rozporządzenie ministeryalne dla budownictwa z r. 1911 brzmi:

§ 5. ust. 12. Płyt o mniejszej grubości, niż 6c?n nie uwzględnia się w rachunku jako współdziałających.

Rozp. dla mostów § 5 ust. 10. Płyt o mniejszej grubości, niż 8cm nie uwzględnia się w rachunku jako współdziałających.

Jeżeli oś obojętna znajduje się w płycie, to wszystko jedno, jaki jest kształt belki poniżej osi obojętnej. Wzory dla obliczenia wysokości belki teowej są wtedy zupełnie takie same, jak dla obliczenia belki prostokątnej.

Jeżeli zaś oś obojętna wychodzi z płyty, to wzory odpowiednio się zmieniają.

-o -o

= to otrzymamy z wzoru (70), przyj ąwszy

Nazwijmy

p .db

100

e=cd

c(l—x) + 0"l bp

c(l—x) + 0-15^]²^ 2 ( c²rf₁²(l— x)+0-3pdi I “i J    " ~

*i“[

c(l— x)-\-0‘lbp

c(l—x)+0-15p \²    c²(l—tt)-j-0'3p

(120)

Dalej otrzymamy z równ. (71), (72) i (120) 45.Jf.(l—B)di

oe =

b BH^-^B-e)³ (l-Jf)rf₁³+0-45p(l-JB)²rfI 45(1—B)

bd.²

B³—(B—e)³(l—a) + 0-45^(l—B)² 'bd.t²

więc dx —

45(1—R)

J/

ae[B² -f- (5-C,)³(l-x) + 0-45jo (l-^)²- £

rf,=e,y

&(7e

• • (121)

a i C¹).

Mając te wzory, możemy obliczać tabliczki dla różnych

Ze względu na natężenie betonu otrzymamy

3 .M.Bd

b B³dl³—(B—C)³(l—x)dl³+0-45 p(l - B)²dx ³

Mi²’

a stąd    yg.

• (122)

§ 36. Wyznaczenie wymiarów belki teowej iöealnej.

zwykle o najtańszą belkę. Jeżeli natężenie

nam

Chodzi

dopuszczalne zostanie osiągnięte dla żelaza i betonu, a więc

dla cen mate-

dla przekroju idealnego, otrzymamy, dla

ryałów austryackich zarazem najtańszą belką, jak to twierdzi

to może-

Haberkalt na podstawie wielu obliczeń. Jeżeli k<i~:

my przez powiększenie wysokości żebra zmniejszyć przekrój żelaza o tyle, że belka będzie pomimo większej ilości betonu tańsza²). Różnica w kosztach będzie jednak nie wielką tak, że i tutaj będziemy przedewszystkiem szukać przekrojów idealnych.

*) Porównaj rozprawkę autora w Beton u. Eisen 1904, V zeszyt str. 809 i Beton u. Eisen 1905 zesz. VII. str. 175.

²) Porównaj artykuł Prokscha w Beton u. Eisen (1911 str. 200). Najtańszy przekrój zależny jest od stosunku ceny betonu do ceny żelaza a także od kosztu opierzenia i wygładzenia cementem. Autor podaje wzory dla wysokości najkorzystniejszej. — Völker i Richter (Handbuch für Eisenbetonbau II. wyd., I. tom str. 599) twierdzą dla stosunków niemieckich, że zawsze taniej jest przyjmować wysokość większą, niż dla przekroju idealnego, a wysokość belki teowej można przyjmować, jak dla belki prostokątnej. O tem zresztą później obszerniej pomówimy.

Nazwijmy -f-k, ±-t, ±-a, i-y, i idealny przekrój wkładki iF.

Mamy ogólnie ^-y- 16(rfl'B_Si),

„    16(d—a)y

¹    1 + 15 y ' •

g, _15y(l—a) d    1 + 15 y

A więc odstęp osi obojętnej jest od e niezależnym, jeżeli tylko przekrój jest idealnym. Przypuśćmy na razie, że d<f, czyli e<zi, więc oś obojętna A (przy obliczeniu wedle fazy II b, gdy przy obliczeniu na ciągnienie wedle fazy I wedle rozporządzenia nazwiemy oś obojętną B), przecina żebro, to, jak wiemy, wedle równ. (70)

a stąd

więc

UYr

'ftr

.    .    (123)

■    ■    (124)

*!=■

(b—b, )e+15 F

b—b,)e+lbFV (b-bi)e²-\-30Fdi

(125)

Równanie (125) możemy inaczej napisać iF=bi (z, —e)²+z₁²—(z, —e) a wstawiwszy za z. wartość z równania (123)

./ 15/M,

2(l + 16y)

albo po wstawieniu wartości za £ z równania (124)

*F= Ca bd .    .    .    .

b^z^ ²+2zxe{b—bx)—e²(b—bt)

30 (d, —Zi)

e(l + 15y)

30 d.

. (126)

jeżeli

. • (127) . . (128)

Moment, który wywołuje w idealnym przekroju + i o>, nazwijmy momentem idealnym to

1 biM(di —zt )=oJi, zatem

\ fe,⁵—1 (z₁-«)!l(i-*₁)+16i.F(d₁-^₁),

•M

Oe

<M=o, a ze względu na (123) iM=oe

15 (d,—^) bi(zi — e)³+be(3zi ²—3zie+ei)

45 (dj—«J

[■«<1

6, (zx — e)³+b e (3 zy ²—3 zx e+e²)

30j

Dr. U. Thullie. Teorya żelbetu.

albo po wprowadzeniu k, ô i f iM=C₂bd²oe, F(dx-zx)^ y

(129)

jeżeli C₂

bd²

b(|-(i)s+i(3P-3^+dJ)|

_n ^1 ²i_^ wiec

* ~Cl d ~Cl 15/ Wię°

[fr(Ç-ô)³+â(3i²-3iô + ô¹)] .    .    (130)

trrr

Ze względu na (127) F

bd²

C    I y

C2~15y⁺3£

Jeżeli powiększamy grubość płyty, to wzrasta d, a wtedy Cx i C₂, a zatem F i 'M. Gdy e=zx, otrzymamy największe F i najw ‘M, wtedy d = £ a A=l, co wstawiwszy w (127) i (125)

y|

otrzymamy najw. iFx = Cx,bd, Cx '—-0 zaś najw. iM=C₂,bd²ae.....

q'g yf² l+10y „

²    16y ⁺ 3    30    )

Jeżeli e jeszcze wzrasta, to, najw. F i najw. M pozostają te same, bo oblicza się wtedy przekrój, jak dla belki prostokątnej, więc równania powyższe są ważne też dla belki prostokątnej .

•    • (131)

.    .    (132)

§ 37. Wyznaczenie wymiarów belki idealnej żebrowej ze względu na ciągnienie.

Tu trzebaby dwa wypadki rozróżnić, czy oś obojętna B przecina płytę czy żebro. Ograniczymy się jednak tylko do drugiego wypadku, bo przy belkach żebrowych pierwszy wypadek zachodziłby tylko przy niestosunkowo grubej płycie.

Tu jednak mogą znów zajść dwa wypadki: Oś obojętna A (w fazie lid) albo przecina płytę albo żebro (rys. 52). Nazwijmy zx'=£₎'d, to najprzód niech będzie I. zx > e i %x ' > e

z{ ' wyznacza równanie z} '=—Bx + ^BX ²+Dx =£'d, przyczem wedle Haberkalta ¹)

Bx=C₂dr Z), = C₄eC

2fc+5ó(l-jfc) + 75C₁

C₃

3*

•    •    (133)

C₄

2&+5Ó² (!-&) +150^(1—a)

c,+V<v+c,

(134)

tT'

f*dt:bid:

-bi

's

r«-"

Rys. 52.

r₂ da się teraz wyrazić wedle równ. (34) i (35), tylko należy tu wstawić *M zamiast M, z rów. (129) i 'F zamiast F ż rów. (126) t₂ da się wyrazić teraz przez ae i tak otrzymamy T₂ = Cioe 0*4(1—i)C₂    1

c.

C₅ + 0-4C₆ +15 C₇

<?5

*(i-D

(135)

C₇ = C, (!-£,-<*)

t₂ — C^'Oe

IL «!<c, z^>e'.

W podobny sposób Haberkalt otrzymuje

Cs

C₅

0-4(1 -£')ĆV C₅' + 0-4C₆' + 15C₇'

.    (136)

C₆

, ^a-go⁸

f/rr

tf₇'=y (l-£'-a)²

T₂ — Cg //0re

III. «!<e,    ' <^.

Tu otrzymamy podobnie

A'

0-4(l-g')(V C₅"+0-4C₆" + 15C₇"

¹

Haberkalt i Postuvanschitz : Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton II. wyd. str. 102.

, C,"=^ (1-r-o)².

Haberkalt obliczył powyższe wartości dla szeregu typów belek teowych i wykonał tablice (rys. B3.) dla założenia a=-^-=008.

CL

Przyjmuje on dla budownictwa

0*20 0-20

k= 03

<5= 030 i średnie a=008; dla mostów k= 0-3,

0= 0-30, 0-25

to co

0*10

0-25, 0-20, 0-16

0-20. 0-16. 0-13.

Dla idealnego przekroju mamy wedle (124) następną

tabliczkę.

Tabliczka XXIII.

Stosunek mięszaniny kg na 1 m³ mięszaniny

l w m r^wkgjcm

<?

irrr

% _ 13*8 y

d l + 15y

470

33-8    812    0-0416

0-354

20

37-0    860    0-0430

0-361

350

29-8    812    0-0367

0-327

20

33-0    860    0-0384

0-336

280

25-8    812    0-0317

0-297

20

29-0    860    0-0337

0-309

dla budownictwa

Tabliczka XXIV.

Stosunek mięszaniny

to

łT| to

UYr

470

350

Aby wytłómaczyć używanie tablic Haberkalta podajemy tu jedną z nieb dla mięszaniny 470 kg {cm* dla budownictwa (rys. 53) i robimy następny przykład:

ovm

/r-o47/

4M’

0-fsJ\ i

Cs

0 i JŻ

S.tfió

Æ.

5s*r

4-

7

Si:

7]

<y-,>2r

5É3

7---

JVł0J»

-Jam

ĆA2S

5IR

IM /T

#/«?

N^_

~Æ\

\*L

Zrt

ef-«g

Rys. 53.

Dane: ô = l‘0m=100cm, najw M= 1340000kgem, stos. mięszan. HOkgjm². Płyta dla danego obciążenia jest gruba 12 cm. Przyjmujemy na razie 12

d—Q0cm, ik=0'2, więc 8₁=gQ=0,2, zatem otrzymamy z tablicy iM=5‘22bd²=

e 12

=1340000 kgem, stąd d=504 cm dla 8, =—=^-^=0-237. Dla tego St otrzymamy z tablicy iM=b’55bd²=1340000kgem, stąd d=id’l cm. Lecz punkt odnośny na tablicy leży na lewo od granicy ts, widzimy więc, że k jest za

małe. Przyjmmy więc od razu k=0‘22, a wtedy dla (2=49‘1, 8=

49-1

¹² =0*245,

jAf = 560 bd²=1340000 kg cm, więc d=48-9cm, a że a=0⁻08, o=0’08.48*9 =3‘9 więc d^ =45 cm.

Mamy teraz o₃ =

12

48-9

=0"245 i k=0*22, bierzemy z pierwszego odcinka

tablicy XIII. iF— 0685

100.48-9

100

=33*5. A że fc=0"22, więc =0-22.100=22 cm.

Wkładkę umieszczamy w 2 rzędach, wskutek tego będzie natężenie większe, więc iF musi być większe. Mamy zt =0'356.49=17*4, dt—zt = =27*6. Ze względu na wkładkę w dwu rzędach uwzględniamy odstęp 27-6 + 2

. 33-5=34-9, więc 6 prętów po 28 mm, F=369 cm².

2 cm, zatem F—

Najmniejsze szerokości żeber, przy których możliwem jest uzbrojenie idealne, podajemy w tabliczce. Jeżeli mniejsza jest szerokość żebra, to musi być wtedy większe uzbrojenie, aby otrzymać ciągnienie jeszcze w granicach dopuszczalnych.

27-6

Tabliczka XXV.

mosty.

budownictwo.

Wartości x = -J 0

470

350

280

470

350

280

1 = 4:    20

20

20

0-30

0-287 0-286

0-223

0-220

0-238

0280

0-268

0-277

0-270

0-25

0-280 ^ 0-277

0-211

0-208

0-229

0-265

0-253

0-264

0-257

0-20

0-260 0-257

0-190

0-189

0-213

0-241

0-230

0-243

0-236

0-16

0-236 0-233

0-165

0-168

0-197

0-215

0-205

0-218

0-211

013

0-144

0-149

0-178

0-190

0-180

0-194 0-187

0-212 0-209

0-10

0-122

0-124

0144

§ 38. Obliczenie przybliżone wymiarów belki teowej.

Haberkalt podaje też obliczenie przybliżone dla belki idealnej, które zresztą może być też użyte dla belki teowej o dowolnym procencie uzbrojenia, a więc i wtedy, gdy przyjmiemy wysokość, jak dla belki prostokątnej.

a stąd 2t

Wedle Haberkalta z rys. 54. mamy ri : oe=zi : lh(dx—2, )

15^

(Te+lÔ^

(138)

->!

\SL

......H

îs 4.

Rys. 54.

w żebrze,

Ze względu na wkładki żelazne mamy, nie licząc ciśnień

C*i

= \ boyydy,

J d₁—e

a ze oy

y—d, +st

«1

*i, więc

4/

=“( Xy—di+zx)ydy=^\^

J dj—e    2) l O

-K— *i)

2|Ą

e^—e

Po wstawieniu wartości otrzymamy

ber

jf-â?1

^3^(2rf, — e)—e(3d, — 2e)J albo, jeśli [3f, (2—<», )—<ł, (3—2d, )1

öd,²

.    .    (139)

Stąd otrzymamy di=Cr₁V~ .

■    ■ (HO)

j eśli Cr, =

Jj/j

<W3|₁(2-d₁)-<i₁(3-2d₁)    *    •

.    .    (141)

i oe

Ponieważ    oydy={Fo€, po wstawieniu wartości za oy

15 ./ci(di —Zi)

zi

otrzymamy    —0 =

>F

1 ox^{d^ —2,)

, a stąd

F-

be(2zi —e)_óx (2^—^)

30(rfj —zx )    30(1-^)

bd, .

•    •    (142)

(143)

30(1-1,)

Obliczenie dt i F mogłoby nastąpić tylko przez próby, bo ćj jest funkcyą dx.

XXVI., i 10002.

Dla budownictwa możemy to łatwo zrobić wedle tabl. w której dla rozmaitych wyznaczono Glf lOG^ój

Mamy bowiem <5.

di

10e

y?

więc

(144)

Dla danych e, M i b, wyznaczamy z (144) 10Glói, szukamy w tabliczce odpowiedniego a stąd d,, wreście z (143) {F-

Tabliczka XXVI.

Budownictwo.

Stosunek mięszaniny.

di

G,

0-08

0-10

0-588

0-536

0-12

0-499

470

350

280 kgjcm

100^

1OO0₂ G,

10öjii

10002

Gx [lÓ^dJlOOgą

0-14

0-471

0-16

0-450

0-18

0-433

0-470

0536

0-599

0-660

0720

0*780

0-301

0-366

0-426

0-482

0-533

0-580

0-629

0-574

0-536

0-506

0-484

0-467

0-503

0-574

0-643

0-709

0*775

0-841

0-263

0-318

0-369

0-416

0-459

0-498

0-681 0-545 10*224 0*623 “D623 Ö-27T

0-582

Ö-MT

0-528

0-698

0-772

0-845

0-313

0-351

0-511

0-20

0-420

0-839

0-623

0-22

0-409

0-24

0-400

0*26

0*393

0-900

096T

1-023

0-661

0-695

0-725

0*454

0-442

0-434

0-427

0-907

0-533

0-497

0-974

1*042

0-563

0*589

0-486

0-478

1*111

0-919

0-993

1-070

0-386

(>416

0-443

0-465

1-148

0*28

0-388

1086

0-750

0-422

1-183

0-612

0-630

0-472

0-468

1-228

0-484

D498

0-30

0-384

0-32

0*380

1-151

1-217

0-771

0-419

1-256

0-643

0-466

1-311

1*398"

0-509

0-516

0-34

0-378

1-286

0-788

0-800

0-416

0-415

1-332

0-653

0-465

1-488

0-519

1-411

0-659

0-36

0-377

1-356 0-808

0-3865

0-376

1-454 0-812

il

<11

os_

02

01

cJÇM

To samo wykreślnie przedstawia rys. 55.

iife

(MÏ

t?

■B

Æ&i

M>£ L

oias

vy

ai

si ;

7T^z_ic

si

Ü's.'-

7!Śn^

ÉL

Æé.

0\3

ûju

,'îL

Bys. 55.

Podobnie otrzymamy dla mostów tabl. XXYII.

mięsz. kglm3 470

20

350

20

280

20

d—Zy +y 0-9117 0-9093 0-9131 0-9131 0-9130 0-9142

0-4230

0-4439

0-5056

0-4771

0-5545

0-5180

0-006157 0 006410 0-005569 0-005571 0-004407 0-004739

0-2610

0-2847

0-2821

0-2621

0-2444

0-2454

dy

Vt

bdy

-V

loo y b

Przykład. Przy stropie żelbetowym dany odstęp żeber 6=1-6»», grubość płyty e=16 cm i moment i¥=21(XX)00 Atfcwi ; stosunek mieszaniny

1:3 (470kg/m³). Wyznaczyć wysokość i uzbrojenie żebra przy zupełnem wyzyskaniu betonu na ciśnienie i żelaza na ciągnienie.

10X16

Według wzoru (144) 10(5^ =

10e

Y' y

2,100,000

160

= 1-396

Według tablicy XXVI. dla 100^=1*366 . . . 8t=0-36, dla 10ą8t = = 1-454 . . . 8=0-3865

e

Interpolując, otrzymamy S^O-371. Zatem wysokość żebra <?t = g-=

¹⁶

=43 cm.

0-371

Z tabeli XXVI. otrzymamy dla 8t=0-360, 100(t₂=0-808, dla 8t = =0-3865 . . . 100ć?₂ =0*812, interpolując otrzymamy dla 8, =0-371 . . . 100ćr₂=0-8097, stąd ć?₂=0-008097.

Według wzoru (143) *F=G₂ . b . ^=0008097.160.48=55*6 cm¹. Przyjmuję 8^30(7^=56-55cm²}, szerokość żebra bl=32cm.

. Całkowita wysokość belki <Z=43 +1-5 + 3 + 3=50*5 cm.

Sprawdzenie natężeń. Podług wzoru (70) jest:

(160-32)16 + 15x56-55

Zt =

32

₊ y |(160—32) 16+ 15x56-55j² ₊

| (160—32) 16²+30x56-55x43 1Q.icm

82

Według (72):

7₁₌=-1 [1G0X16-4³—(160—32)(16-4—16)'ł]+ 15x56-55(43—16'4)²=836670 cm*.

i⁵x²isr⁴¹^^

Według (71): 2100000X16-4

836670

=41*3 kg/cm*, ae

te ^

to    to

Według (33):

0-4 X 32 X 60-5 + (160-32) 16 +15 X 56 55 0-6X32

_ 0-4 X 32 X 50-5² + (160-32)16² + 30 X 56-55 X 43 ⁼    0-6X32

= 184

=7220

Według (32):

zt =184 + yi84² + 7220=l8*8cm, a ciągnienie w betonie podług (34):

0-4 x 2100000(50-5-18-8)    .    , . , ..    ,QKN

T2==-96406Ö--=27*6 fcgr/cm², jeżeli według (35):

I-I I co

I₂=    [160X18 8³—(160—32X18-8—16)³ + 0-4 x32(50*5—18-8)³] +

+ 15x56-55(43—18-8)²=964060 cm*.

Dopuszczalne ciągnienie betonu 1:3 wynosi 25kg/cm², dopuszczalne ciśnienie 42 kg/cm², a dopuszczalne ciągnienie żelaza 1000Tcgjcm. Wobec przekroczenia natężenia dopuszczalnego na ciągnienie należałyby powiększyć grubość żebra może do 35 cm.

Powyższe wzory wyznaczono nie uwzględniając ciśnienia w żebrze. Allitsch dowodzi, że w belkach teowych, których wymiary w ten sposób obliczono, nie będzie zupełnie wyzyskany beton na ciśnienie, w żelazie zaś natężenia będą nieco za wielkie. Należałoby więc przy przyjęciu wymiarów żelaza zawsze zaokrąglać F ku górze.

któ

Allitsch oblicza też dla belek teowych o ó=k =

rych wymiary wyznaczono wedle powyższych wzorów, natężenia na ciągnienie i otrzymuje zawsze natężenia mniejsze od dopuszczalnych.

Allitsch przyjmuje jako najkorzystniejsze stosunki

rH IIÄ

ô =— = — i fe=^i ₌ - -⁰¹ Æ 5 k b

Dla tych stosunków otrzymamy dla przekroju idealnego z (138) zi, dalej mamy wedle (74)

e(3zi—2e)

3(2 zt —e)

Jeżeli wstawimy wartości za zi, to otrzymamy dla budownictwa dla mięszanin

y=^

.    .    (145)

470 Icg/m³ d{—zi-\-y=0,311Q d^

350

280

d\—2₁+2/=0,9127 dx d^ —zx +y— 0-9141 di

■    •    (146)

Oe

—zi 15 di—zl lbF(di—zl+y)

Dalej mamy zi = —

Ze względu na oś obojętną

15 (d, -z, ) F-b [i *,»- t (₂, -«)¹’] = 1 (2*, e-eh

więc xi

d^-z^Ą-y b(2ez₁—ei)

Jeżeli teraz wstawimy wartości za d₁

(147)

-z, +y z 146, e=^

i wartość za zi z 138, to otrzymamy stąd dla budownictwa mięszaniny

V?

470 kgIm²    r7, =0*4197

350

dx = 0*4535

.    .    (148)

280

d. =0*4969

V?

Wstawiwszy wartości odnośne otrzymamy

dla 470 kgjmA

Z poprzedniego mamy

F=

b(2ezi—e²)

30 (dj— e±)

(149)

0*006227 bd₁ =0*2618 ~

dla 350    „

JF=0*005326 bd, =0*2415

100

(150)

dla 280    „

F= 0*004426 bdi =0*2199

100 V b

Przykład. Dany moment M=2100000kgcm, odstęp żeber 6=l,6m i stosunek mięszaniny 1:3(470kg/m³).

Wyznaczyć wysokość żebra i płyty oraz uzbrojenie żebra według

Allitscba.

Według wzoru (148)    =0-4197 y ^-=0'4197^-

2,100,000

—48 cm,

§1=^-=-^-, zatem «=*^-=^=10cm; wzór powyższy jest więc ważny dla grubości płyty e—10cm.

160

Według wzoru (160) _F-0-006227ód₁=0-006227Xl60x48=47*8cw².

160

Przyjmuję 8^28(F'=49'26cm²), szerokość żebra ó₁=-^-=32cm.

Całkowita wysokość belki <i=48 +1*5+ 2-8+ 3=55-3 cm.. Sprawdzenie natężeń. Podług wzoru (70) jest:

(160-32)10+15x49-26 n / [(160-32)10+ 15X49-261²

§2 ⁺Vl-S2-1 ⁺

(160—32)10’+80X49-26X48

*1= —

32

Według (72):

=-^-[160X18-2³—(160—32) . (18-2-10)³] + 15x49-26(48-18-2)²=927466cw*. Według (71):

=413 kglcm\ ać =^X21000W(48 ¹⁸'²⁾=995 fcflf/cm².

Ti =

2100000X18-2 927466

Według (33):

■4 2

0-4 X 32 X B5-3 + (160-31) 10 +15 X 49*26 “    0-6X32

= 142,

„    04 X 32 X 553²+(160—32)10² + 30x49-26x48

Bi =-0*6x32--=5<9°-

Według (32)

Sj=—142+Vl42² + 5790=19 cm,

moment bezwładności według (35):

7₂=-^- [160X19³—(160—32)(19—10)³+0⁻4xB2(55'3—19)³] + 15x49⁻26(48—19)²=

= 1157530 cm⁴.

Według (34):

04x2100000(55-3-19)    .    .

=-ÎÏBTëSÔ-I=25-6Ag\cm\

§ 39. Wyznaczenie długości prętów.

Przekrój wkładki żelaznej wyznaczamy według największego momentu. Dla przekroju wkładki po opuszczeniu jednego lub dwu prętów wyznaczamy moment, dla którego jeszcze natężenia dopuszczalne (także na ciągnienie) nie zostaną przekroczone. Po za miejsce, wskazane tym momentem, należy jeszcze wkładkę przedłużyć, jak to poprzednio poznaliśmy.

§ 40. Wyznaczenie wymiarów belki teowej poöwojnie uzbrojonej.

Jak wiadomo, zadanie takie jest nieokreślonem. Belkę uzbrajamy podwójnie tylko wtedy, jeśli przyjmiemy mniejszą wysokość belki od idealnej. Przyjmijmy, że mamy dane d, b, b{ i e, a chodzi nam tylko o przekroje FiF' takie, aby równocześnie uzyskać największe ciśnienie w betonie i największe ciągnienie w żelazie, a więc o uzbrojenie idealne.

Aby uzbrojenie było idealnem, musi być, jak pierwiej, (rów. 122. i 123.)

_    15(d—a)y

1 + 15 y ’

’frr

«i

15y (1—a)

d 1 + 15 y Teraz znowu rozróżniamy dwa wypadki.

I. <e, (£«5a)

Dla wyznaczenia osi obojętnej mamy po przekształceniu ostatniego równania na str. 41 :

z, !+30 Ç (z,-a,)-30 y (d,-z,)=0.

Pomnóżmy obie strony równania przez b i wstawmy £= za    a . a.

“i a~d ¹ “*=•?t0

ftd^*+30i^(|—o)—301^1-a—D-0 .    .    .    (151)

Dalej mamy według równania (68) :

V+45 y (<*,-*,)»+« Ç (*,-«,)

,    SM z,

bt*

₂ 3Jfg

45F(1—a-£)²+45.F'(|—a,)

rid

Z równań 149. i 150., możemy obliczyć F i F' i otrzy

mamy :

(Trr

fi»J+i(5-3a₁)Tl6<Zï|

F'

15(1—a—ojj) (1—a—Çfad [iK—t |(3-3a- )i,

• ■ (153)

'Frr

iTrr

15(1—a—ßj )(£—£*!

II. *,><?, (|>(J₁).

Wstawiwszy w odnośne wzory wartości dla zi i t1? otrzymamy podobnie wedle Haberkalta.

• (154)

15(1—a—at)(l—a—%)xxd

IM-t [f a(3-3a-§)-(l-fc)(3-3a-23-£) (5—bd‘

15(1—a—aj)(£—ax)zxd

(155)

To są idealne przekroje żelaza, dla których natężenie dopuszczalne osiąga się równocześeie dla wkładki ciągnionej i dla betonu. Jednak nie wiedzieć jeszcze, czy ciągnienie betonu nie będzie przekroczonem. Trzeba więc to zbadać, ewentualnie zmienić wymiary. Można w tym celu użyć poprzednich tablic jeżeli użyjemy zwiększonej szerokości i zamiast b przyjmiemy F'

b'=b+15 —    .

e

Jeżeli według Allitscha i tu przyjmiemy jako najkorzystniejsze stosunki    i Jc = ^    ^ , to otrzymamy

najprzód znowu z (138.) i tak n. p. dla budownictwa i betonu 470Icg/m³ zK— 0‘3865di. Dalej mamy ze względu na oś obojętną, jeśli    i nie uwzględniamy ciśnienia w żebrze

i-i CM

- b(2ez{— a^+lB.F'fa — a,)—15^.— z^=0 ....    (156)

Wstawiwszy wartości, e = 0-2 d, d=0'ldl, otrzymamy

5(2.0-2.0-3865d, ²-0-04dt ²) +15^(0-3865—0-l)d. -

(157)

-15^(1-0-3865)^ =0 czyli 0-0573 bdt = 9-202jF—4-297JF/

h=b

Podobnie otrzymamy

² e—zx rf²+ lbF'fa — »! ) ²+15F(cLy — ei )², .

.    (158)

a po wstawieniu wartości

7)=ó ^0-3865².0-2 — 0-3865.0-04+ ^-0-008j d^+

+ IhF ²(0-3865—0-1) ²dx²+15i^(l—0-6865) ²dl ²=0-01710^³+ +1-2312F'di ² + 5-6456^².

M

Dalej mamy 42 = -—- zi1 więc

Ii

42 =

a stąd

(0-0171 bdx +1-2312 F' + 5-6456^)^

0-3865 dx

51-71^' +237-12^=0-3865 =-—0-7182 bdi .

a,

Z równań (157.) i (159.) otrzymamy

F' = 0*002379 ^-00135 bdx

0*000083 bdi

_F=0*001163

d,

Podobnie otrzymamy wartości dla F i

.    (159)

. . (160)

F' dla innych

natężeń dopuszczalnych, przyczem ogólnie możemy powiedzieć

F' = k, —--kFbd.

¹ dx

M

F = k₂ *r—k₂'bdi

. . (161)

Wartości dla ki} kx k₂ i k₂' zestawiliśmy poniżej

Tabliczka XXVIII.

mięszanina rodzaj zespołu

kg Im*

k\

k.

k₂¹

470

budów.

mosty

350

budów.

mosty

r>

CM

budów.

mosty

0002379! 001350 0-001163 0-000083 0-002960 0-01350 0-001381 0-000083 0-002702 ! 0-01350 0-001272 0-000083 0-002702 0-01350 0-001262 0-000083 0-003356 0-01350 0-001568 0-000083 0-003030; 0-01350 0-00141410-000083 0-003131 0-01350 0-001458 0-000083 0-003878¹ 0-01350 0-001810 0-000083 0-003448 0-01350 0-001610 0-000083

D. Natężenia ścinające i główne.

§ 41. Siły ścinające belki prostokątnej, (faza I.).

Natężenie ścinające jest w belce o materyale jednorodnym (wedle równania 194. Statyka Bud. wyd. II.)

a QS

(162)

<7i = —

U

Największa siła ścinająca jest w osi obojętnej. Dla stałej szerokości belki u, albo gdy przynajmniej szerokość w osi nie jest większą, niż gdzieindziej, natężenie ścinające jest też

lu

.....f

4--------

__A_____

______1

jL

Rys. 56.

w osi największem. Dla przekroju prostokątnego (rys. 56.) jest

A²

QS

Qb^r

najw. a^b=—

2

— h=h₂ jest odstępem środka ciśnienia od środka ciągnie-

O

(163)

a że

12

nia, więc najw. ox =t|-ufl 2

Równanie to jest ogólnie ważnem dla dowolnego przekroju. Dla belki żelbetowej mamy

bz\

^-■+16^,-*,)’ -§-*,+³⁰ T-(d' Z|1”

Podstawiając z równania, poprzedzającego równanie (54)

b z ^

(str. 38.), F=₃₀.    otrzymujemy

<7 =

Jeżeli belka jest w dwu punktach podpartą, to przy podporach siła poprzeczna jest największą a moment najmniejszy, zatem belka przy podporach znajduje się w fazie pierwszej, i należałoby wedle fazy I. obliczać siłę ścinającą w następujący sposób :

Mv

1. Dla wkładki jednostronnej: (rys. 56.) Natężenie w odstępie v od osi obojętnej jest v =

*2

gdzie /=

|4**+(rf-*)⁸+30 ^

_ , .    __    _ (*d~zMvdv bM

Dalej mamy H=b j —-——

(z-d)

.    .    (164)

(165)

Zatem natężenie ścinające o

MI Q

bAx

^.[(d—z)²—VJ (166)

Dla v=0 najw. =

27 W

21

.    .    (167)

Dla v=—(z—a)

'm

<h = 2j [«ia—(«-a)²].

7 77Z

A/f, * \

Wvl

mVÊ

I¹

----j—

Zr

rz

r-e-------AX

Eys. 57.

Jeżeli będziemy liczyć od dołu, to otrzymamy

bQ

11=    {z²—v²), zatem =~ÿj (z²—v²) .

Dla v=—z Oi —0

Dla v=—{z—a) ai⁼⁼~^j W~(z~®)²]-

Przykład. Dana płyta żelbetowa o wymiarach (jak na str. 21.): d—20ctn, di = 17cm, a=3cm. P=8,55ć?w²(9^11»wot na lm szerokości płyty), ii/= 124000 fc<7c»ï, Q—6200kg. Obliczyć największe natężenie ścinające.

Mamy tu/=^^==0*Ô855cot, «=10, więc według (5):

Według (164):

7=1^ [9-7534.(20—9’75)³+30

8-55

(9*55—3)²] =70600 cm».

Największe natężenie ścinające według (167): 6200X10-252 2 X 70600

Najw. at =

100

=A&hgjcni'¹.

AIv

2. Dla wkładki obustronnej będzie (rys. 58.). v= —

J2S' 6

"i

i-i

_n

—;-----ç.

rL..

Æe

Kys. 58.

przyczem I=~ [z³+(d—z)³]+ 10F(z—a)²+10F'(d—z—at) a licząc od a do b, otrzymamy

H[z^—v^\ zatem

⁼    [V~V] • •

Licząc od b do c, otrzymamy

rr b AI r „    _

H==2Ę [äi -^1 ]+^ “

-.=4 [^^+10^,-»,)]

Dla Vj=0 otrzymamy największe ai :

-T [ 2+1#f (**-“<)].....

zatem

najw. o*

ŁOli⁴

,,    —a, )

.    (169)

•    (170)

.    (171)

Przykład. Płyta o wymiarach, jak poprzednio, z dodaną Wkładką górną, o przekroju równym przekrojowi wkładki dolnej i w takim odstępie od krawędzi górnej, jak wkładka dolna. Obliczyć największe natężenie ścinające.

Z przykładu na str. 22 mamy:

ż=zl=10cm, J=75040ćłwł; a największe natężenie ścinające według (171):

6200 rio²

hr ⁺

10XB-55

75040

100

(10—3) jj =4*6 łcglcm\

§ 42. Siły ścinające belki teowej (faza I.).

1. Belka teowa pojedynczo uzbrojona. a) Oś obojętna nie przecina płyty.

Odstęp osi obojętnej z od dolnej krawędzi (rys. B9.) znajdziemy z rów. (14) (str. 23).

vi

X y—f-------

# i

-------H--------x

- Yi

ir............i.

- <5, ^

Rys. 69.

Dalej mamy

jeżeli 7=-^ [%³—(2j — e)s(l — ä) + ä«³] + 10^(«—a)² (172) Analogicznie do poprzedniego otrzymamy [Zi*-{z,-e)\l-k)-v*\    ....

⁰    l*!²—(*,—e)=(l—fc)l    . .

przyczem Q należy liczyć na szerokość b.

Przykład. Według przykładu na str. 24 mamy dla M=800000kgcm i przyjętego teraz Ç=1600Â#: z=26cm, zt =16 cm.

Według (172):

160

1=~ [16³—(16—10)³ . (1—0-186) + 0-186 X 26³] +10 X28-28(26—3)²=508700cmł.

O

°i =

2 Ik

(173)

a najw. oi

2 Ik

.    •    (174)

Podług (171): Raj w. =

1600

[16*-(16—10)¹(1—0-186)]=l*9 fcgr/cm¹.

2 X 508700.0-186 b) Oś obojętna przecina płytę.

Tu zi wyznaczamy z rów. (19) str. 25; nazwijmy dalej

(rys. 60):

/=|- |)*+*[(d-«i)*-(«-*i)*l} +10Fiz-aY .

a otrzymamy analogicznie

(175)

2 Ik

[{d—z)¹—vx¹] ....    (176)

a najw. oi

(177)

.......6-

^ >r<

-«----------i......

.......^

*.....I

CSj

Rys. 60.

Przykład. Z przykładu na str. 25 mamy dla M—250000kgcm i Q=\2QOkg\ Zj = llcm, z—29cm, fc=0'125.

Według (175):

jll²+(12—11)² + 0’125[(40—ll)²— (12—ll)²]j +10x13-67(29-3)*= =316400 cm*.

Według (177):

Najw. at =

1200X11*

2X316400.0125

=1*8 kff/cm¹.

Dalej 1= -g- [z₁³—(zi — e) ³(1—k) + kz³] +10 F(z—a)²+ + 10 F'iZi—aJ* .    .    .

Q [v-te-epa—

.    .    (178)

)] (179)

a wtedy najw. at =

Przykład. Dany moment M=800000kgcm, wymiary: d—^2cm1 dl =39 cm, e—10cm, b=lbOcm, b{ =27 cm, a=or₁=3cjM, F=F'=28'28cmi₁

/=/' =

jące dla ę=1600fc</.

Według (17) str. 24:

21k

28-28

150

•JT

=0'188, &=—-=0*186. Obliczyć największe natężenie ścina-

150

_ 1 10(2X42—10)+ 0-186 (42—10)² +20 [8 X0-188+ (42- 3)0*1881 2    10 + 0-186(42—10)+10(0-188 + 0-188)

Według (178):

150

I=-g- [14-4³—(14-4—10)³(1-0-186) + 0-186 X27-6³] +10X28-28 (27*6-3)² +

+ 10X28-28(14-4—3)²=549800 cmł.

[l4-4²- (14-4-10)² (1-0-186) +

+ -—ïgQ-(14-4—3) J =1-8 kg jem².

b) Oś obojętna przecina płytę.

Odstęp osi obojętnej zx otrzymamy z równania (22) str. 25., a zarazem

/==T [2l 3+ (e~‘Sl^⁾³] ⁺ Y    )³—(e—Si)³ j + 10{f(ż—a)²+

+ F'(zx—a{y| .    .

(* i-®i

Według (179):

Najw. a, =

1600

2X549800.0-186

=14'4 cm.

=27'6 cm

. . (180)

a najw. ai =

2 Mc

h²+

20.F'

>]• ■

. . (181)

Przykład. Dany moment M=2b0G00kgcm, wymiary: d~A0cm, dl =37 cm, e=12 cm, i=160 cm, bl=20cm, a=ai=8cm, F= F'=13-57 cm², 13-57

20

/=/'= dla Q=1200kg.

Według (22) str. 25:

160

=0*085, &=-^r=0⁻125. Obliczyć największe natężenie ścinające

Leo

■tassât*-'» —<-•

Według (180):

^f[n,3 +(12—ll‘4)s] +y[(40-ll-4)³-(12-ll-4)³] + lo]l3-57(28-6-3)² + + 13*57(11*4—8)

[ll⁻4² +

§ 43. Siły ścinające w przekroju prostokątnym, (fąza II.).

1. Wkładka pojedyncza.

Wytnijmy z belki żelbetowej o przekroju prostokątnym, część o długości Ąx, (rys, 61.) i oznaczmy siły wewnętrzne, będące w równowadze z zewnętrznemi. Na część belki m m' p' p, działają z prawej i lewej strony natężenia, których wypadkowe nazwijmy II i II'.

h......4.........W

Według (181);

Na.jw. a, =

1200

2 x 333400 0-125

m'

333400 m*.

20X13*57

1G0

(114—3)J =2 »:\kgjcm².

Z*

Z¹

-Alü

T &

_____

..L. a

££ ».

A.X

Rys. 61.

Jeżeli w podobny sposób, co pierwej, wyznaczymy z tego siły ścinające¹), to otrzymamy parabolę mx rx i prostą rx nx. Największe siły ścinające, a dla przekroju prostokątnego i największe natężenie ścinające, będzie w osi obojętnej.

My jednak zadowolimy się wyznaczeniem sił i natężeń ścinających dla założenia, że linia natężeń jest prostą (rys. 62.)

i nazwawszy moment bezwładności I=~bzx ³ + lbF(d

O

otrzymamy

₂ y (V~V)

w

*) Por. Thullie. Die Schubspannungen in Betoneisenträger. Beton u. Eisen. 1903, zesz. III.

a dla v = 0 otrzymamy

¹

Belka teowa obustronnie uzbrojona.

²

b) Oś obojętna nie przecina płyty. Tu otrzymamy z z równ. (17) str. 24.

(182)

najw. ai 2I

Z porównania z wzorem (167) widzimy więc, że wzór (182) jest dla belki pojedynczo uzbrojonej prostokątnej ogólnie ważnym, tylko w danym wypadku trzeba za I wstawić odpowiednią wartość.

rrt

dt-

-t-

F6i

Rys. 62.

Wedle Empergera mamy analogicznie do równ. (163)

najw. j

bh₂

(183)

Przy płytach i belkach prostokątnych największej, obliczone wedle równań (182 i 183) jest w zwyczajnych wypadkach zawsze mniejszem od dopuszczalnego natężenia ścinającego, dlatego zazwyczaj nie obliczamy w tym wypadku sił ścinających. Tylko przy bardzo wielkich obciążeniach otrzymujemy j za wielkie tak, że musimy wzmacniać płytę strzemionami, o czem później mówić będziemy.

Przykład. Z przykładu na str. 40 mamy:

/

100X5-45³

+ 15X

zt =5'45 cm. Dla podanych tam wymiarów otrzymamy ł—

=3’6 kg/cmi.

Rajw. <j. =

X 8-55(17—B’45)?=2B280 cm*. Przyjąwszy Q—&100kg mamy według (182): 6200X5-452 2X25280

Według (183):

Najw. <jj=

6200

100

=3*9 kg jem².

2. Wkładka podwójna.

Jeżeli belka żelbetowa uzbrojona jest dwiema wkładkami żelaznemi, to wtedy:

~ bz^+lbF'^-a^+lbFi^-z^

Q ² F'    \

a najw.    (-|- +15 — (#!—«!> I ....

. Tu jednak trzebaby najprzód obliczyć A₂.

/=

.    .    (184)

albo najw. al

bh₂

złożyć ciśnienie ae'F' z ^

i.

i_.............L.

«i

Bys. 63.

Przykład. Z przykładu na str. 42 mamy zx =B⁻02cm; następnie 1=^- 100x 5-02³ +15 X8-BB (B-02—8)» + 1B X 8'B5 (17—B-02)²=23304 cm*. Przyjąwszy również Q—&2ßOkg^ mamy według (184):

23304

■ —2—ł- IB    (5-02—3) I=4*04 kg jeml.

§ 44. Siły ścinające w przekroju teowym (faza II.).

1. Wkładka pojedyncza.

Linię odkształceń przyjmujemy znowu jako prostą (rys. 64.). Jeżeli oś obojętna nie przecina płyty, to największą siłę ścinającą poziomą obliczamy podobnie, jak poprzednie.

Dla v=0 otrzymamy

Czi Mv    M

dv+b\    ‘+bz,²-b(zt-ey]

[z,²—(z, —e)²(l—&)], przyczem

y

«'O

H=b

więc jeśli    , H

a stąd najw. o y

bM

2Iy

.    .    (185)

1 dH 1 Q

by dx %kly

[Zy>-(Zy-e)\l-k)\    (186)

r.

b-

Li

>; Ö

F<Oe

A-"'

By s. 64.

Przykład. Z przykładu na str. 44 mamy: e=10cm, zt =12'5cm, 27

=395000cm⁴, ÂJ=jgg=018. Przyjąwszy 0=10600^, otrzymamy z równania (186):

Najw. CTj =

10000

[125²—( 12-5—10) ?(1—O⁻18)]=10*6 leg jem *.

2X0-18X395000

Jeżeli nie uwzględniamy ciśnień w żebrze (rys. 65), otrzymujemy wedle równ. (163) :

najw. Oy

(187)

+y)

Przykład. Według str. 44 i 46 mamy: i», =27 cm, dx =39cm, Zy =12*49cm, y=8’6cm. Przyjąwszy jak poprzednio Q—10000kg, mamy według (187):

Najw. a,—

10000

= 10*6/cgr/cm².

27(39-12-49 + 8-6)

Jeżeli oś obojętna przecina płytę, to obliczenie o y jest zupełnie takie samo, jak przy przekroju prostokątnym, tylko

w żebrze będzie natężenie ścinające — razy większe,

1 Q

zatem najw.    • z\

(188)

lub najw. Uj

Ml

(189)

He

ił

nr

I I 4

.......LJL

Pys. 65.

Przykład. Według przykładu na str. 43 mamy dane: b, =30 cm, dt =60 cm, zl = 19m8hcm. Przyjmując Ç=10000fcy, otrzymamy z wzoru (189):

Najw. ort =

10000

30

(-T)

=6*3/.7//cm¹.

a jeżeli przecina płytę

Ä(tt⁺¹⁵t <*•-“<>) • •

.    .    (191)

najw. <7t

przyczem należy za /₂ i /₃ wprowadzić odnośne momenty bezwładności.

Przykład. Według przykładu na str. 50 (por. dostrz. omyłki) ma-

27

my: Zi — 10‘9cm, e=10cm, at=Scm, b=lb0cm, fc=j^=0'l8, F'=28'28cm¹,

7₂ =470800 cm⁴.

Przyjąwszy Q=10000 kg, otrzymamy z równania (190):

Tu obliczymy znowu analogicznie do równań (184) i (186), jeżeli oś obojętna przecina żebro, wedle wzoru

Q F*i

najw. =

f 15

.    (190)

Najw. a, =

10000

0-18 X 470800 28-28

+ 15

150

riO-9² (10-9-10)²(l-0-18)

L 2    2    ⁺

- (109—3) J=9’7 kg/cm².

§ 45. Siły ścinające w belce wielobocznej. Wedle rys. 66. mamy

"£r

D—Z

Z)

tsj N

= , , stąd *®2

h^dM—Mdh₂

Äo²

1 dJf M dh

da:    h ₂ da; A₂ ² da;

.    .    (192)

i-

-p. i •

Dalej mamy =

Rys. 66.

niu A₂ = Aj, mamy

Wstawmy to w rów. (192) to , _Q M 7

¹⁻4TV~8

n Jf 7 ,    ^ -

Q~h^sta Q~h,

Ç. Jeżeli ó

jest szerokością belki, a, natężeniem ścinaj ącem, to możemy napisać boidx=dZ: przyj ąwszy w przybliże-dh₂    7 dA,    7

da;    8 da;    8

sta.

sta.

sta

AA₂

.    .    (193)

&/*■!

Więc obliczamy, jak dla belki równoległej, tylko Q zmniej-M 7 K 8

mym kierunku, lecz w przeciwnym, to znak jest ujemny i Q zwiększy się o

szamy o

sća. Jeżeli M i h.₁ nie zmieniają się w tym sa-

st a.

A₂ 8

Przy belkach ciągłych, gdy zwiększamy wysokość na podporze, zwiększa się M i A₂ równocześnie, więc Q należy zmniejszyć. Przy belkach w dwu punktach podpartych jest przeciwnie, Q należy zwiększyć, więc zwiększenie wysokości nie wiele tu pomoże.

Przykład. Z przykładu na str. 40 mamy : J/=124000 kgcm, =17 cm, b = 100cm. Przyjąwszy Q=6200kg, a=20°(s£<x=0'364), mamy według równania (193) :

6200-

124000

a,=

17

0-364

001 -1

100X17

=2-01: kg lent¹.

§ 46. Obliczenie strzemion.

Jeżeli z obliczenia według poprzednich wzorów wypadnie największe natężenie na ścinanie betonu większe, niż dopuszczalne, to należy zastosować strzemiona. Z poprzedniego wynika, że dla płyt nie okazuje się zazwyczaj potrzeba użycia strzemion. Zachodzi teraz pytanie, jak te strzemiona liczyć. Rozporządzenie pruskie przyjmując 4-5 kg/cm'¹ jako natężenie dopuszczalne na ścinanie betonu, nakazuje resztę siły przenieść na żelazo. To jednak nie jest słusznem, gdyż nie wiemy, ile siły przenosi się na beton, a ile na żelazo. Możnaby przyjąć tu rozdział w stosunku spółczynników sprężystości na ścinanie, albo w przybliżeniu w stosunku 1:»=1:15, albo też idąc pewnie, możnaby nie liczyć wcale na beton, a tylko na żelazo.

Z tych trzech sposobów, trzeci byłby najpewniejszym, drugi nie zgadza się z doświadczeniami, pierwszy jest obecnie używanym w Niemczech.

W Austryi rozporządzenie z r. 1911 nakazuje, aby siły ścinające, których nie może przenieść beton, przyjąć jako dzia-

_ _ łające na strzemiona, najmniej

“ r    -j |— r jednak 60%, beton zaś musi

przenieść przynajmniej 30°/₀ całej siły.

Rozporządzenie austrya-ckiego ministerstwa z r. 1911 § 6 ust. 7. Jeżeli natężenia ścinające i natężenia główne w betonie, obliczone wedle § 5 ust. 7, przekraczają granice, dozwolone w § 6 ust. 1, należy umieśció strzemiona, albo im odpowiednie wkładki w takiej ilości, żeby zniosły nadmiar siły, przypadającej na beton, a co najmniej 60n/o całej siły. Beton powinien sam przenieść najmniej 30% tej siły, przyczem natężenie dopuszczalne nie może przekroczyć dozwolonej granicy.

Nazwijmy przekrój jednego pręta strzemion As, to cały przekrój będzie nAs, przyczem zwykle n=2 lub 4. (rys. 67.).

Rys. 67.

Jeżeli siła Q działa na belkę o szerokości b i jeżeli na

zwiemy e odstęp strzemion o przekroju stałym, to dla przekroju prostokątnego otrzymamy, jeżeli natężenie na ścinanie dla żelaza nazwiemy aie i siłę ścinającą, przeniesioną na żelazo, nazwiemy to

nAsaie

Jeżeli

⁶ (*-£)

= Te, a stąd ale«=—■

<(?!, to nie potrzeba strzemion wcale.

Jeżeli

(-.-W

>u₁, to musimy dać strzemiona, które

przenoszą siłę ścinającą Te. Wedle rozporządzenia musi być

a bOt = Th> 0-3    0-3

Te>0-6 ^=0-6

(*■-«

W tycb granicach jest Te

—boi.

Ze (194) otrzymamy wreście e

Th As e

Te

.    .    (195

i.¹.), i

T/

y._

____Y

Eys. 68.

Nazwijmy —

s{, to gdy s>at i Te=T—box

Te = b{si— Gx) a jeżeli Te=0*6 T

Th As (7j e

a stąd e=

Th As Ox e

.    .    (196)

^ TbAgO^e e^0-(jbsi •    '

.    .    (197)

Jeżeli przekrój strzemion nAs jest stałym, to gdyby zt było stałem, to śi zmieniałoby się odwrotnie proporcyonalnie do Q. Tak jednak nie jest, zatem nie pozostaje nam nic innego, jak tylko obliczać odstępy e wedle (195) (196) lub (197) i dla wyznaczenia położenia strzemion użyć podobnej konstrukcyi, jak przy belkach złożonych drewnianych J) (rys. 68.).

Sa li g er podaje inny sposób wyznaczenia odległości e (rys. 69.). Wykreślmy linię sił poprzecznych dla belki żelbetowej. Przekroje strzemion niech będą nAs, natężenie

dopuszczalne na ścinanie dla żelaza oie, to wedle (195) e= nAsaie

przy-

nAsa₁

Te

Qe:

Y i    A

Rys. 69.

A⁷

czem Qe oznacza część siły poprzecznej, która działa na

żelazo. Jeżeli nA

i oie są stałe, to e>Qc jest stałem. Mając Q i e otrzymujemy powierzchnie F= {Qe. de. Te powierzchnie muszą być zatem

.....

* 1?

yZ równe. Jeżeli więc całą po-ys' wierzchnię sił poprzecz-nych, działającą na żelazo, yz podzielimy na równe części Fi' F, to otrzymamy punkty, w których trzeba wstawić strzemiona.

Rys. 70.

Ten podział da się wyznaczyć sposobem wykre-ślnym (rys. 70.) dla linii sił poprzecznych prostej, którą w przybliżeniu przyjąćbyśmy mogli dla obciążenia ciągłego.

Jeżeli w punkcie A, wystawimy prostopadłą, a na niej odetniemy yi, y2. . . . y ri, następnie połączymy z B i do tej prostej poprowadzimy równoległe przez punkty yt, y₂ i t. d., to otrzymamy szukane punkty podziału Bu B₂, B₃,....Bn, bo wtedy powierzchnie trójkątów mają się jak 1:2:3.....n.

!) Por. Podręcznik Statyki Budowli II. wyd. str. 216.

Sposób ten, podany przez Saligera, nie jest dokładnym, zawiera bowiem W samem założeniu wiele przypuszczeń, jak

yly—jest stałem, co nie jest prawdą, zatem lepiej

n. p. że

obliczac wedle ogólnych wzorów i wyznaczać e według rys. 68.

Przykład. Wyznaczyć rdzkład strzemion dla belki T, podanej w przykładzie na str. 44.

Przyjąwszy na podporze Q=10000kg, mamy tu s, =

10000

²⁷1⁸⁹“¹?)

^lO-Okgjrm², Przyjitiijmy następnie dopuszczalne ścinanie dla żelaza arie = =600kg/cm², a np. dla betonu 1:4 dopuszczalne (Jl=Akg/cm². Jeżeli zarazem przyjmiemy strzemiona czteroramienne (więc »=4), o przekroju jednego drutu As=0bcm² (cß&mm), to według równania (196):

==6⁻75 cm.

4X0-BX600 27(10-6-^4)

Mając wykres sił poprzecznych obliczymy wielkości e w tylu miejscach, aby otrzymać dwie krzywe symetryczne (według rys. 68) dla wyznaczenia właściwego odstępu strzemion e'. Grdyby ku środkowi belki wraz z malejącą siłą poprzeczną Q wzrastały znacznie odstępy eto ze względu na usztywnienie szkieletu żelaznego podczas betonowania nie-przekroczymy odstępu e'=40 do 50 cm.

Doświadczenia jednak najnowsze wykazały, że powyżej podany sposób obliczenia, przepisany zresztą rozmaitemi rozporządzeniami, nie jest uzasadnionym. Okazało się bowiem, że przy obciążaniu belki nigdy strzemiona nie zostały ścięte, ale przeciwnie stwierdzono przesunięcie ich pionowe w betonie ; pracuj ą one zatem nie na ścinanie, lecz na ciągnienie. Właściwie więc obliczać byśmy ich powinni wedle Saligera *) jako słupy wiszące belki kratowej, u której ciśnienia przenoszą się zamiast zastrzałów przez beton.

Rozróżnić przytem trzeba kratę pojedynczą (rys. 71 a) gdy e=Ä₀, od kraty dwu lub trzykrotnej (rys. 71 b), gdy e=

Ä₀. W pierwszym wypadku kraty pojedynczej

ho lub

£

(rys. 71 a) jest V= Q. Przy kracie wielokrotnej jest F== Q (198)

Oprócz tego na podporach powiększają gęste strzemiona zakotwienie prętów analogicznie do owinięcia i zmniejszają siły, przenoszone z uzbrojenia wprost na beton, i rozdzielają je

J) Deutsche Bauzeitung-Mittheilungen 1912 Nr. 4.

na większą długość. Zatem strzemiona są tam skuteczniejsze, gdzie inne środki przeciw natężeniom głównym *) są niedostateczne.

§ 47. Pręty odginane.

W belce zginanej powstają, jak wiemy, natężenia główne nachylone do pionu, a w osi obojętnej kąt wychylenia tych natężeń głównych jest 45°. Dla belki żelbetowej wchodzi tu w grę największe ciągnienie, które (wedle rów. 202 w Pod-

v

ręczniku Statyki Bud.) jest najw. v' = -^

-■>-

-1"' \ fes 0

........

K.............r

Jn ⁵

«-i

wmm,

Rys. 71 a.

sr

i/7

'777,.

AJhÂ Aï»/

7ft °7

k-c-*?

Rys. 716.

s*

7D

W osi obojętnej v=0, a stąd î>' = a, a zatem ciągnienie główne jest równe natężeniu ścinającemu. Ponieważ beton na ciągnienie jest mało wytrzymałym, więc tam, gdzie natężenie przekracza dozwoloną granicę, wzmacniamy belkę odginanymi prętami.

Ciągnienie dopuszczalne główne dla betonu przyjmujemy równe natężeniu dopuszczalnemu na ścinanie.

*) Patrz następny paragraf.

Właściwie powinno ono być mniej szem, bo wytrzymałość na ciągnienie jest mniejszą, niż na ścinanie, ale przy tej drugorzędnej konstrukcyi zadawalamy się mniejszą pewnością i dlatego przyjmujemy równe natężenia dopuszczalne na ścinanie.

Na długość poziomą, równą jednostce, przypada 2 (ry

sunek 72.) długości, w której działa ciągnienie główne.

za:

Rys. l2.

. . (200)

Dlatego, j eżeli odstęp odgiętych prętów j est e, a ciągnienie w nich. Z, to ^=-^-^2.^1—--= oeFe •

di~~t

a stąd da się obliczyć e lub Fe, przyczem Fe oznacza sumę przekrojów potrzebnych prętów odginanych w danym przekroju na długości e.

Rozporządzenie austryackie żąda też, aby rozdział ciągnienia na beton i żelazo przyjmować w pewnych granicach. Na żelazo ma mianowicie przypaść najmniej 60%> a na beton najmniej 30% ciągnienia.

Wykreślnie da się rozdział odginanych prętów przedstawić w przybliżeniu następnie (rys. 73.).

Na osi w połowie rozpiętości w d odcinamy kąt 45° i kre-

O 9

ślimy prostą da. Na prostej 0 a odcinamy długość ab=——, czyli

QS

tu

O 9

tH CO

dalej robimy ac=boi i af= 04    W podobny spo-

d. —z

sób dzielimy dd, w stosunku 4:6 i inne rzędne tak samo i otrzymu-jemy krzywą ffx. Kreślimy teraz cex // a% to na tej długości cct potrzebne są odgięte pręty, a powierzchnia kreskowana przedstawia nam siłę na nie przypadającą. Jeśli teraz okaże się

Dr. M. Thullie. Teorya żelbetu.

z rów. (200), że n. p. potrzebne są dwa pręty, to powierzchnię kreskowaną dzielimy na dwie równe części, w ogóle mówiąc

e-

te

p**

.V

V.

kW

r»

j......f r

i

Rb

ii

<3*

Rys. 78.

na n równych części, wyznaczamy środki ciężkości powierzchni, a z nich kreślimy równoległe do Ob, które wyznaczają położenie odgiętych prętów.

Rozumie się, że odginać pręty możemy tylko o tyle, o ile na to pozwoli badanie ze względu na momenty (§ 30.).

Dla obciążenia jednostajnego zupełnego jest siła poprzeczna w środku równa zeru i da się przedstawić linią prostą. Rys. 73. zmienia się tu o tyle, że punkty di i fx wpadają na d i że linie bcidi i ff± są proste.

W tym paragrafie i w poprzednim przyjmowaliśmy we

QS Q

dla przekroju

wzorach siłę ścinającą poziomą

prostokątnego o pojedynczem uzbrojeniu. Jeżeli mamy uzbrojenie podwójne lub belkę teową, to należy zamiast przyjąć inną wartość dla siły ścinającej, jakto poprzednio wykazaliśmy, a także dla belek teowych biai zamiast ba:.

Rozporządzenia ministerstwa austr. dla budownictwa § 6. ust. G i dla mostów § 6, ust. 7 brzmią: Jeżeli natężenia ścinające i ciągnienia główne w betonie, obliczone wedle § 5. ust. 8, przekraczają wartości, wyznaczone w § 6. ust. 1, to należy urządzió strzemiona albo inne odnośne wkładki żelazne i takie im dać wymiary, aby przyjęły tę część natężeń ścinających i ciągnień głównych, które nie może wziąć na siebie beton bez przekroczenia normowanych natężeń dopuszczalnych, a najmniej 60 procent całych natężeń ścinających i ciągnień głównych. Beton sam musi przenieść najmniej 80% sił ścinających jako natężenia ścinające o dopuszczalnej wielkości.

W Szwajcaryi wedle rozp. z 1909 mają, jeżeli natężenia główne przekraczają 4A#/cm², pręty odginane przenieść całe natężenie główne.

Przykład. Przyjąwszy, że dla przykładu na str. 44 mamy ze względu na ciągnienia główne z czterech istniejących odgiąć dwa druty g$30mm (lub dać dwa druty dodatkowe) o przekroju Fe ==14*14cm¹ i mając dla przyjętego Q—10000 kg dane: dx =39 c/w, z₁ = 12'25cm, =27cm, <r₁ = =4%/cm², de =950kg/cm², to odstęp e możemy obliczyć z wzoru:

=52 cm.

950X7-07

27X4

10000

12-26

Zatem jeden drut przenosi siłę ciągnącą: Z=950x7-02=6608feflr.

. Zwykle jednak odstępy e wyznacza się wykreślnie według rys. 73, a liczebnie sprawdza się tylko, czy natężenie ciągnące w żelazie nie przekroczyło wartości dopuszczalnej.

§ 48. Uwzględnienie przyczepności.

Przyczepność żelaza i betonu jest warunkiem działania zespołów żelbetowych jako całości. O przyczepności mówiliśmy już w § 7. Podaliśmy tam też natężenia dopuszczalne. Jeżeli natężenie wypada z rachunku' większe, niż 2 do dkgjcm², trzeba

i) **

_____Ż5..

^ 3&ZO'i9Lm........._ Z\9() -

...SM

M-------

— 3'oo......-

<N

i»

'j

•1

G=i7 7t

4>

r 33 -j

Gr=49-6*

~J0<

e) _

Rys. 74 a.

użyć odpowiednich środków dla wzmocnienia, względnie przeszkodzenia przesunięciu.

W tym celu używają specyalnych prętów żelaznych, które stawiają opór przesunięciu swym kształtem. Wtedy wedle roz-

e*

porządzenia austryackiego może być natężenie przyczepne o 10°/0 większe. Nie może ono być większem, bo żelaza te przy więk-szem natężeniu rozsadzają beton.

⁷)

Z90

_Z_

...

w::::::::.::.

.......-ttO-...........

......    j.₉₀..............

}< 33

4Kj

C=Z83t

r* Z8*r<.....

~25'^.......—

230

TH

>-

G=30t

G~Z9‘8t

rwr.

h« 3S *~

fązs

yrx'nx

-léZO

Eys. 74 b.

Bardzo ciekawe doświadczenia z belkami żelbetowemi ogłosiło przedsiębiorstwo Eella i Neffe w Wiedniu w Beton und Eisen (1909 str. 62

i nast.). Badano na złamanie 36 belek, zawsze po 3 takich samych, zatem 12 typów belek teowych 35 m szerokich 32 cm wysokich. Grubość płyty wynosiła 7cm, żebra 12cm, wkładki były 3 okrągłe (d=20cm). Na rys. 74 a b zestawiliśmy wszystkie typy wraz z wynikami doświadczeń. Widzimy z tego, jak dobre zabezpieczenie przeciw przesunięciu i ciągnieniom głównym powiększa wytrzymałość.

W Ameryce używają specyalnych prętów żelaznych w celu przeszkodzenia przesunięciu i tak Ransome (rys. 75) skręca wkładki o przekroju kwadratowym.

Rys. 75.

Stapf używa szerokich wstęg z żelaza płaskiego, o kolistych wypukłościach (rys. 76) naprzemian w jedną i drugą stronę wytłoczonych.

.2/0

Rys. 76.

Thacher ma wkładki przedstawione na rys. 77.

V'

'W/'ML

Mitm

Rys. 77.

Johnson przyjmuje wkładki żelazne z obręczami (rys. 78). Wszystkie te specyalne kształty żelaza zwiększają o tyle opór

Rys. 78.

przeciw przesunięciu, że ścięcie betonu następuje na zewnątrz nierówności, więc przy obliczeniu możemy uwzględnić trochę większą powierzchnię lnb co na jedno wychodzi przypuścić trochę większe natężenie.

Zresztą zapobiegamy przesunięciu też przez zaginanie prętów i tworzenie haków.

Zwrócić uwagę należy, że odgięcie musi być dość długie, bo przez hak przenosi się siła na beton, a ciśnienie na beton nie może być za wielkie¹). Właściwie należałoby to ciśnienie obliczyć wedle całej siły, działającej w pręcie, czyli dla założenia, że już przyczepność zniesioną została.

Doświadczenia Bacha wykazały, że początek przesunięcia nie wiele się opażnia przez haki, że jednak wytrzymałość się

te

cT

zwiększa o 40—50%, aż nastąpi wygięcie haków. Considère proponuje użycie haków w kształcie, jak na rysunku 79., przyczem d= 5d.

Rys. 79.

Ponieważ pręty dolne bez udziału górnych nie mogą się przesunąć, należy według doświadczeń Bacha do obliczenia natężeń przyczepnych przyjąć także oprócz powierzchni prętów dolnych i powierzchnię górnych.

Doświadczenia Empergera ²) wykazały, że strzemiona powiększają przyczepność, może dla tego, że otaczając beton, ściskają go, a tern samem przeszkadzają oddaleniu się betonu od pręta i powiększają tarcie między betonem a żelazem. Doświadczenia Bacha potwierdziły to, że tarcie jest o 20% więk-szem i wytrzymałość znacznie większą, za to pęknięcia betonu występują prędzej tam, gdzie są strzemiona.

Jeżeli natężenie zatem nie przekracza 2 do 3 kg, możemy nie dawać wcale strzemion, przy natężeniu większem powinniśmy bezwarunkowo użyć strzemion.

Natężenia przyczepne liczymy przytem wedle wzoru

QSi Q uli h₂u

przyczem Q oznacza siłę poprzeczną, S-, moment statyczny idealnej powierzchni przekroju ponad daną warstwą ze względu na oś ciężkości, a w fazie drugiej moment statyczny powierz-

. . (201)

J) Por. Thullie: Versuche von Goodrich-Brooklyn (Ben. u. Eisen 1906 zesz. IV.).

²) Emperger: Die Abhängigkeit der Bruchlast vom Verbund.

chni ciśnionej lub ciągnionej idealnej, u obwód wkładki żelaznej, Ii idealny moment bezwładności przekroju, zaś h% odstęp środka ciśnienia od środka ciągnienia.

§ 49. Przyczepność weöle rozporządzenia austryackiego.

Przeciw powyższemu obliczaniu podnosiły się rozmaite głosy. I tak Kleinlogel występował wogóle przeciw obliczaniu przyczepności. Ja zwracałem uwagę, że na podporze, gdzie moment jest równy zeru, belka znajduje się w fazie I, a nie drugiej. Obliczenie to nie uwzględnia wreszcie haków, kończących wkładki.

Nowe przepisy austryackie z 1911 stanęły więc na zupełnie odmiennem stanowisku. Natężenia przyczepne należy obliczać z ciągnienia albo ciśnienia wkładek żelaznych i długości przyczepnej (n. Haftlänge), przyczem działanie haków prostokątnych należy uwzględnić dodając czterokrotną, półkolistych zaś haków, dodając dwunastokrotną wysokość wkładek żelaznych do długości przyczepnej. W ten sposób otrzymujemy natężenie przyczepne przeciętne (n. mittlere Haftspannung), które od natężenia rzeczywistego będzie się jednak znacznie różnić.

Sposób uwzględniania haków nie wydaje mi się odpowiednim, bo haki zaczynają dopiero wtedy działać, gdy nastąpi

7/i

.......

pgp»

-I------

d TH i ? Wl

i..............

=1

eto

.

-—■jC-—........

Eys. 80.

przesunięcie, gdy więc natężenie przyczepne zostanie w części, albo też w całości przezwyciężone; działanie haków jest rozsadzające beton, a wchodzi też w grę głównie ciśnienie na beton, niezależnie zupełnie od długości przyczepnej. Byłoby więc

właściwiej haki uwzględniać przez podwyższenie natężenia dopuszczalnego.

Pomimo tego nowy sposób obliczenia natężeń przyczepnych, obecnie w Austryi obowiązujący, stanowi pewien postęp.

(202)

Przypuśćmy, że mamy jedną wkładkę żelazną (rys. 80), to w przekroju m—n w odstępie x od podpory A] siła ciągnąca Z=oeF

Siła przyczepna TP) gdy u oznacza obwód wkładki żelaznej, c zmodyfikowaną długość wkładki żelaznej od podpory do końca tejże wkładki, a %p stałe natężenie przeciętne przyczepne jest

Tp=u(c-\-x)tp, oeF

----,_ •

p u(cĄ-x) u(e-\-x):

lhMve 15 FveM U(c-\-x)Ii

Dla rozmaitych x otrzymamy z rów 203 rozmaite wartości tp. Chodzi o wyznaczenie takiego x=r, dla którego %p jest naj większością. Otrzymamy wtedy

FveM u(c + x)ïi

więc

a że rre =

ii

Tp

.    (203)

dxp

15 d

) -(Äs)

dx

dx

dx

0.

Dla stałego F, xe, u i Ii otrzymamy warunek

"i

.    .    (204)

d(JL)

■l+?Ło

dx

który wyznaczy nam x=r dla naj w rp.

Jeżeli w jednej wysokości znajduje się kilka wkładek, to Fiu oznaczają sumy powierzchni przekroju i obwodów wkładek. Jeżeli wkładki znajdują się w różnych wysokościach, to ściśle wziąwszy, należałoby dla każdej wysokości osobno obliczyć xp. Haki należy uwzględnić, wprowadzając odpowiednio zwiększone c.

Wyznaczmy dla dowolnego obciążenia stałego natężenia przyczepne, przyczem przyjmiemy na razie tylko jedną wkładkę (rys. 81).

Wykreślmy w znany sposób linię momentów A'E'G'B Jeżeli h₂ jest odstępem sił D i Z (rys. 81) to M = Zh₂

więc Z=j-~, otrzymamy zatem z równania (203) Ä₂

.    .    (205)

Tp h^uic+x)

Widzimy więc, że dla stałego Ä₂ i « jest %p wprost pro-

porcyonalnem do

31

. Stąd konstrukcya : Przyjmijmy dowolną

c-\-x

pionową (rys. 81.) w odstępie f od Cv Jeżeli połączymy dowolny punkt linii momentów np. E' (w odstępie x od pod-

P,

r.c

—>i /Zcł-Aj\

iajA

......Ą

2’FFf.......

-4

TT

Os

VA-5—

A <c

4-

Tît

t+ZC.

P>

S-

Lr-

v. !

!\

!tS>

/\\\

te

■SC

n \A

r\

.s

«*

1”

m

-•a^KV

V*£--

Rys. 81.

<••••*— .....

“-#d

^ .?/

-K

1*-

.S

je.

G”

pory A) z Cx aż do przecięcia się z prostą £jft i potem poprowadzimy poziomą fE", to E₀E" przedstawia nam xP} bośmy

31 pomnożyli przez

Ci + x

Chodzi teraz o podziałkę, w jakiej mamy odczytać %p.

Otóż długość E₀E" odczytamy jako 31

f(r

Ci + X¹

przyczem

(|) cm przedstawia (cm2

cm¹.

czyli (1) cm przedstawia ( --

\u₂uç/

Jeżeli podziałka momentów była

1 cm

--, to

gkgcm

(1) cm przedstawia [    ^ . J kgjcm².

\h₂ ut,/

Jeżeli odwrotnie przyjmiemy podziałkę dla xP) więc, że n cm przedstawia xpkg\cm², to

(ł)

stąd

(£) cm przedstawia

(fi) kgcm

. . (206)

(A₂) cm (u) cm

. kg cm²

Przyj ąwszy w odstępie £ promień , otrzymamy rzędne E₀E" w podziałce n : xp.

Przyj ąwszy inny punkt linii momentów, możemy w ten sam sposób otrzymać punkt linii xp.

W ten sposób otrzymamy linię A' 1"E"B\ a z drugiej strony zapomocą pionowej £₂£₂ w odstępie £ od C₂ linię B'G"A'.

Największe xp otrzymamy, gdy z C,, względnie C₂ poprowadzimy styczne do linii momentów, a więc loi" względnie GqG". Obie linie xp przecinają się w pionowej KK, połowiącej odstęp Cx C₂, a każda z tych linii przecina się z linią momentów w punkcie przecięcia się odnośnej pionowej

Jeżeli 1' jest styczną do linii momentów w 1', to przez Ci przechodzi odnośne Q i mamy

.    .    (207)

, x M

(ci +ri)=

Zapomocą tego równania możemy też liczebnie wyznaczyć punkt 1'. Jestto punkt, dla którego siła poprzeczna Q wpada na punkt Ci, albo go przekracza, jeżeli, jak w G\ linia C₂G' nie jest styczną do linii momentów, bo tam jest nagłe załamanie tej linii.

Punkty 1₀ i G₀ nazywamy punktami miarodajnymi (n. massgebender Punkt).

Dla punktu 1₀ otrzymamy z równania (205)

najw. tp

Mr

hiu(ci Ą-r^) htv] a więc wzór zupełnie taki sam, jak wedle dotychczasowego sposobu liczenia, tylko, że dla obliczenia xp bierzemy w rachunek Qr w punkcie miarodajnym, a dotychczas braliśmy dla obliczenia xpł siłę QA na podporze. O tyle więc teraz wypada mniejsze natężenie przyczepne.

Pi

3 i u.

j g I?

fiuu.

[..3i.iL i

Tl“

PT

o.

h».

..........lüs

ą.....ri

.............li?.

pè

u.......m

i......Jp

Ąiip.

4. li!!

âTé V..

Ç-.

r- .

-J j,-I Y

SëHTrrtioâ.

X>i I is&r*

Aj

S>

-Jl

i—

W--

%■

Rys. 82.

Jeżeliby cx=0, to punkt miarodajny byłby na podporze i mielibyśmy

TP

Qr

Tp.

h₂u

Zapomocą nowej metody uwzględniamy więc przedłużenie wkładki i wj)ływ baków.

Jeżeli niektóre pręty żelazne odginamy, to dla. każdej wkładki nie powinno natężenie przyczepne przekroczyć pewnej granicy.

Na rys. 82 widzimy tę samą belkę tak samo obciążoną. Obliczmy xpu dla jednego pręta, xp2u dla dwn, xpBu dla trzech i t. d. i odetnijmy w podziałce, to widzimy, że aż do a wystarczy jeden pręt, dalej musimy dać 2 pręty, rzędne linii zp zatem zmniejszamy o połowę. Wystarczy ona do b, poczem

linii

dajemy 3 pręty, a rzędne odnośnej linii wynoszą

o

W ten sposób otrzymujemy punkty [a], [ó], gdzie mogą się odginać pręty, jeżeli h₂ jest stałe. To ostatnie założenie nie sprawdza się jednak, bo h₂ zależy od ilości prętów; lecz wedle Haberkalta¹) wystarczy, jeżeli dla tej konstrukcyi przyjmiemy średnio dla wyznaczenia h₂ tylko ³/₄ wkładek przekroju środkowego.

Ponieważ na mocy konstrukcyi punktu a otrzymamy odnośny punkt a' linii momentów, jeżeli Cx połączymy z aXj to dla wyznaczenia (a) nie potrzeba kreślić linii xp, lecz otrzymamy punkty, w których mogą kończyć się pręty, połączywszy punkty au bx z Cx do przecięcia się z linią momentów. Nie potrzeba więc kreślić całej linii xp, wystarczy wyznaczyć tylko 1", a potem punkty a1} bx, a stąd a' i b'.

Haberkalt udowadnia dalej, że w przybliżeniu długość przyczepna prętów odgiętych oznacza się jako rzut poziomy tych prętów.

Poza punktem b linia zredukowanych tp nie dochodzi j uż do wielkości dopuszczalnej. Najwyższy jej punkt jest punkt V". Jeżeli liczba prętów wzrasta dalej ku środkowi, to odgięcie może — ze względu na przyczepność — nastąpić w dowolnym punkcie; stosuje się więc ono tylko do momentu. Zato ta odgięta wkładka nie potrzebuje wtedy sięgać aż do podpory.

Długość jej od punktu odgięcia, da się obliczyć z siły Z działającej we wkładce z równania (203)

. . (208)

uxp

xi =

przyczem w długości xx należy uwzględnić haki.

0 Por. art. Haberkalta i Postuvanschitza w Oest. Wochen, f. d. öffentl. Baudienst 1911, zeszyt 27 i 28.

Jeżeli ciężar jest ruchomy, to — rozumie się — zamiast M musimy w każdym punkcie wyznaczyć najw M.

Kreślimy linie najw M, a wystarczy to zrobić tylko dla skrajnych ćwiartek rozpiętości. Konstrukcya zostaje ta sama. Dla wyznaczenia punktu miarodajnego kreślimy z CA styczną do linii najw M.

W przybliżeniu możemy dla wyznaczenia końców prętów użyć też linii najw M.

Jeżeli belka jest utwierdzona, to z konstrukcyi wynika, że punkt miarodajny jest na podporze. Trzeba od tego punktu mieć odpowiednie długości na podporze. Można też zwiększyć u, przyjmując małe średnice prętów, można użyć wkładek dodatkowych, powiększyć h.n połączyć haki poprzeczką. Jeżeli pomimo tego nie osiągniemy przepisanego xx, to belkę uważać należy jako częściowo utwierdzoną.

Rozporządzenie ministerstwa austryackiego z r. 1911 §. 5 ust. 23. Co do przyczepności żelaza do betonu należy udowodnić, że siła ciągnąca lub cisnąca wkładki żelaznej, działająca w jakimkolwiek przekroju a obliczona wedle ust. Sc, zostaje przeniesiona już przed tym przekrojem zapomocą „średnich natężeń przyczepnych“ o dopuszczalnej wielkości. Dla obliczenia tego średniego natężenia przyczepnego należy przyjąć całkowitą siłę ciągnącą lub cisnącą, rozdzieloną równomiernie na odnośną powierzchnię przyczepną (obwód wkładki żelaznej pomnożony przez długość przyczepną). Uwzględniając działanie haków prosto i ostro-kątnych należy do przyległej prostej długości przyczepnej dodać poczwórny, haków półkolistych dwunastokrotny wymiar przekroju wkładki żelaznej, wpadający w płaszczyznę zginania.

Przykład. Wyznaczyć największe natężenie przyczepne dla belki, podanej w przykładzie na str. 44.

z    12*26

Dla tego przypadku hi=dl—w=S9--=34*92cm; przypuśćmy, że

O    o

dwa druty są już w badanem miejscu odgięte, to dla pozostałych dwóch jest «=18*84cm.

Następnie przyjmijmy Cj+rj=120cm, Mrt=300000kgcm, to według równania (205):

300000

=3*8 kg jem*.

Najlepiej jednak natężenia przyczepne zbadać (według żądań austr. przepisów) wykreślnie, zatem na podstawie konstrukcyi, podanych w rys. 81 i 82.

34*92X18*84X120

Najw. tp =

¹

Wkładka podwójna.

E. Obliczenie prętów cisnionych środkowo.

§ 50. Obliczenie słupów żelbetowych.

Jeżeli siła P działa na słup żelbetowy środkowo, to przypuścić należy, że siła rozdziela się równo na beton, na żelazo zaś w stosunku do spółczynnika sprężystości, zatem

.    .    (209)

P=Fbti + F'ae .    .

gdy Fb oznacza przekrój betonu, a F' wkładki żelaznej. Zwykle przyjmujemy, jak w fazie IIb, oe = 15t, więc

. . (210)

P=x,[Fb + lbF'] .    .

Równanie to, obecnie powszechnie używane do obliczeń wymiarów słupa, okazało się też ważnem ze względu na bezpieczeństwo przeciw zniszczeniu słupa, ale tylko do stosunku F'    .

—=0*02, czyli do 2°/₀ uzbrojenia. Równanie (210) możemy Fb

jeszcze napisać, jeżeli nazwiemy p =

100 Fb

• • (211)

Ti^⁶(¹⁺¹⁵ 100 )

przyczem 08 <£><2.

Jeżeli i? >2, to należy w rachunku uwzględnić tylko trzecią część ponad 2 °/₀, więc należy w wzór wprowadzić

p' = 2+~ (p—%) = 1-33 + 038p    .    .    .    (212)

otrzymamy zatem dla

p=0-8    2

p'=0-8    2

CO CO

4    5    %

2-67 3-00    „

Natężenie dopuszczalne dla betonu przyjmujemy, rozumie się, niższe przy ciśnieniu środkowem, niż przy ciśnieniu przy zginaniu, jak o tern w pierwszym rozdziale mówiliśmy.

Wedle rozporządzenia austryackiego z r. 1911 natężenia dopuszczalne są następne:

w budownictwie dla mostów drogow.

25 %/cm2 22 „

19 „

Powyższe wzory są ważne wedle rozporządzenia austryackiego dla

stosunek mięszaniny, w kg cementu na lm³ mięszaniny

28 kg jem' 25 „

22 „

470% na 350 „

280 „

—<60. Jeżeli —>60, należy obliczać na wyboczenie.

Przy licznych doświadczeniach, robionych ze słupami, nie

ulegały one zgnieceniu, ale ścięciu, przyczem pręty podłużne przytrzymywane poziomem! strzemionami wyginały się (rys. 83).

.i

Jaki jest najkorzystniejszy odstęp strzemion i ich ustrój, nie wykazały jeszcze doświadczenia. Dawniej dawano strzemiona w odstępie = b, przy mniejszym odstępie zwiększa się nieco wytrzymałość.

»,

Bys. 83.

Dla zeskładów betonowych

w kg cementu na 1 mięsz. stosunek mięszaniny

470

850

280

mamy

budownictwo kg jem²

co_

200

H M tO tO

o to

03 05 00 O "§~ ~.o

I-

CD

160

120

05 CC

05 CO

Powyższe wzory są ważne dla czad na wyboczenie.

—<60. Słupy o ^->60 należy obli-

Z licznych doświadczeń wynika, że według wzoru (210) możemy liczyć tylko do pewnego procentu uzbrój enia, a mianowicie jeżeli F'<i0‘02Fbl czyli do2°/₀ uzbrojenia. Jeżeli zwiększamy uzbrój enie poza tę granicę, to wytrzymałość nie rośnie w tym samym stosunku lecz powolniej.

Rozporządzenie austryackie pozwala uwzględniać wtedy tylko 7, nadmiaru przekroju wkładek ponad 2°/₀. Zresztą niektórzy inżynierowie (Emperger) przeczą potrzebie zmniejszania wytrzymałości w tym wypadku. Dalsze doświadczenia może rozstrzygną tę kwestyę.

Doświadczenia okazały, że aby słupy funkcyonowały jako żelbetowe, procent żelaza nie może być mniejszy, niż 0*8°/₀.

Co do wielkości natężenia dopuszczalnego są rozmaite zdania. Rozporządzenie pruskie przyjmuje natężenie dopuszczalne równe ~ wytrzymałości na ciśnienie. Jest to bardzo

mało, bo jeżeli n. p. ^ = 180 do 200kg\cm², to równałoby się 18 do 20kgjcm². „Leitsätze des Beton-Vereines“ przyjmują = So kg I om².

Słusznem jest, aby natężenie było w stosunku do wytrzymałości, a to zależy także od stosunku mięszaniny betonu. Natężenie dopuszczalne należałoby więc zmieniać wedle mięszaniny i innych okoliczności, uwzględniając wstrząśnienia, większe lub mniejsze zmiany natężeń.

=60.

Rozporządzenie austr. minister, z r. 1911 dla budownictwa § 5. ust. 14. Przy prętach ciśnionych, to jest prętach, pracujących na ciśnienie środkowe lub mimośrodkowe, trzeba zważać na potrzebną wytrzymałość na wyboczenie, jeżeli stosunek długości wolnej L do odnośnego promienia bezwładności i powierzchni przekroju, którą się ma wyznaczyć wedle ustępu 8 d, przekracza wartość —

15.    Jako długość wolną L należy przyjąć długość pręta między dwoma punktami osi podłużnej, zabezpieczonymi od wychylenia się.

16.    W prętach należy zbadać wkładki żelazne także same dla siebie co do wytrzymałości ich na wyboczenie, przyjmując ich długość wolną równą odstępowi strzemion; umieszczać je należy w odstępach najwyżej równych najmniejszej średnicy przekroju, poprowadzonej przez jego środek ciężkości.

17. Przy prętach należy uwzględnić ewentualnie mimośrodkowe dzia

łanie siły.

18. Pręty ciśnione z wyjątkiem sklepień mogą być obliczone w myśl § 5 i 6 tylko wtedy, gdy przekrój wkładek podłużnych w każdym przekroju wynosi najmniej 08% całej powierzchni przekroju. Jeżeli powyższy przekrój żelaza wynosi więcej, niż 2% tej całkowitej powierzchni przekroju, to należy ze zwyżki powierzchni przekroju — prętów podłużnych nad 2% brać w rachubę tylko trzecią część. Jeżeli przekrój wkładek żelaznych jest mniejszy, niż 0’8% całego przekroju, to nie należy wcale uwzględniać wkładek żelaznych przy wyznaczaniu ich udźwigu, ale liczyć pręt jakby z betonu ubijanego.

§ 6 ust. 4. Jeżeli należy uwzględnić wyboczenie wedle § 5 ust. 14., to jako natężenie dopuszczalne powinno się przyjąć:

Dr. M. Tłrallie. Teorya żelbetu.

Leitsätze des Betonvereines z r. 1903 przyjmują dla różnych vt następujące najmniejsze wymiary słupów, dla których nie potrzeba jeszcze liczyć na wyboczenie:

hOkgjcm'¹

SI*-* S

14

17

a)    przy środkowo obciążonych prętach cisnionych natężenia dopuszczalne dla obciążenia środkowego wedle ustępu 1, pomnożone spółczyn-

nikiem zmniejszającym a=^l⁻72—0012    ;

b)    przy mimośrodkowo obciążonych prętach ciśnionych natężenie dopuszczalne dla obciążenia mimośrodkowego według ustępu 1, zmniejszone

^_ a

o - razy ciśnienie, odpowiednie pomyślanemu obciążeniu środkowemu.

a

Jeżeli przy wkładkach żelaznych baczyć należy na wyboczenie, to należy ciśnienia dopuszczalne wedle tablicy w ustępie 1 zmniejszyć do wartości <sw wedle następnych wzorów:

a)    dla stosunków długości -^-=10 do 105 = {o-816-0-003

b)    dla stosunków długości 105 aît>=

Te same przepisy stosują się też do mostów żelbetowych.

Dla budowli betonowych przepisy są te same z następnemi zmianami: W § 5 ust. 14 należy zmienić ^-=60 na

w § 6 ust. 4 brzmi wzór a = ^1-72—0036

Qui

h’

5580

t-ij

Ti-

=20,

Rozporządzenie pruskie z r. 1907 § 15 ust. 6. Obliczenie słupów na wyboczenie ma nastąpić, jeżeli ich wysokość wynosi najmniejszego wymiaru poprzecznego. Strzemionami należy ustalić niezmiennie wzajemny odstęp prętów żelaznych. Odstęp tych strzemion musi w przybliżeniu odpowiadać najmniejszemu wymiarowi słupa, a nie może być większym, niż 30 krotna grubość wkładki podłużnej.

7. Do obliczenia słupów na wyboczenie należy użyć wzoru Eulera.

§ 16 ust. 4. W słupach nie może beton pracować więcej, niż ^ swej wytrzymałości. Przy obliczeniu wkładek żelaznych na wyboczenie należy udowodnić pięciokrotną pewność.

Rozporządzenie ministeryalne rosyjskie z roku 1911. Normy: 5. Najwyżśze dopuszczalne natężenia żelaza i betonu w częściach ściskanych przy zupełnem wyłączeniu zginania i przy zawartości przekroju uzbrojenia nie mniejszej, niż 080% przekroju betonu, nie powinny przekraczać dla betonu ^ wytrzymałości na ciśnienie w terminie 28 dniowym, a dla żelaza zlewnego 800 kg/cm².

W częściach, na które nie działają wstrząśnienia lub siły, często się zmniejszające, powyższe naprężenia dopuszczalne mogą być podniesione, ale nie więcej, niż o 20%•

Grdy długość części ciśnionej przekracza 18 razy wzięty najmniejszy wymiar przekroju poprzecznego, wytrzymałość tej części należy sprawdzić na wyboczenie. Przyjmuje się wtedy za wolną długość — odległość pomiędzy punktami, które nie dopuszczają wyboczenia.

Instr. A. do § 5. 10. W obliczeniach prętów ściskanych, posiadających uzbrojenie podłużne, przekraczające 2% przekroju poprzecznego betonu,

należy brać w rachubę tylko — przekroju uzbrojenia ponad 2%.

11.) Spółczynnik zmniejszenia zasadniczego natężenia w obliczeniu na wyboczeniu należy brać: przy ciśnieniu środkowem e=

0*96+ 0-0001 (*■)**

gdzie o stosunek natężenia dopuszczalnego do zasadniczego, l długość wolna, i najmniejszy promień bezwładności przekroju poprzecznego; wiązania poprzeczne muszą się znajdować jedno od drugiego w odległości nie większej, niż najmniejszy wymiar przekroju poprzecznego ciśnionej części, licząc tę odległość po linii, przechodzącej przez środek ciężkości tego przekroju.

Przykład. Wyznaczyć największe ciśnienie w betonie dla słupa żelbetowego, o przekroju kwadratowym 30 x 30cm (Fb =900cm²), uzbrojeniu

£(f)20mm \F'=12*57C7W², zatem p=-^^-=0,014j, pod działaniem siły osiowej 30000 kg.

Według wzoru (211) mamy:

. T< “•5OO(l + ISâ0l4)=a,'J

§51. Słupy żelbetowe owijane.

Considère doświadczalnie wykazał, że przez owijanie słupa wytrzymałość znacznie się powiększa. Powodem tego jest ta okoliczność, że owinięcie przeszkadza odkształceniu poprzecznemu betonu. Wykazał on doświadczalnie, że wytrzymałość betonu wzrasta przez owinięcie 1-5 razy, zaś żelazo w owinięciu niesie 2-4 razy tyle, co wkładki podłużne.

Wzór Considéra więc jest

P= 1 -5t, Fu + oe{Fj+2-4Fs) ....    (213)

przyczem Fk oznacza przekrój jądra słupa, zawartego między owinięciem (rys. 84), Ft przekrój wkładek podłużnych, Paprze-

${0%L

u-

Zh

•>

Rys. 84.

krój urojonej wkładki podłużnej o tym samym ciężarze, co owinięcie dla danej wysokości.

Postaramy się uzasadnić bliżej ten wzór wedle Saligera¹). Nazwijmy l długość walca betonowego, d jego średnicę wewnątrz owinięcia, sumę przekrojów owinięcia fu na wysokości Z, P siłę podłużną, to powstaje wskutek niej ciśnienie P 4P

podłużne

Temu ciśnieniu odpowiada skrócenie jednostkowe £i= a rozszerzenie jednostkowe c=—. To rozszerzenie sprawia cią-

gnienie w owinięciu, które znów ciśnie na beton. Między ciśnieniem poprzecznem betonu oq a ciągnieniem owinięcia ou istnieje zależność oq.dl=2fuau.

Jeżeli spółczynnik sprężystości poprzecznej betonu jest Eqi spółczynnik sprężystości żelaza na ciągnienie Eu, to oq=sqEq i ou=euEu, co wstawiwszy w poprzednie równanie, otrzymamy £qEqdl=2fu£uE,n czyli

E„ dl

Eq

Eu 2 fu

•    •    (214)

Ponieważ skrócenie poprzeczne betonu eq, powiększone przez rozciągnięcie owinięcia eu, musi być równe rozszerzeniu poprzecznemu słupa nieowiniętego £, więc możemy napisać = czyli

ou

oq

Ol

.    .    (215)

_ Eu Eq E,m

*) Der umschnürte Beton. Rundschau f. Techn. u. Wirt. 1908. Zur Theorie des querverstärkten Betons u. Eisenbeton 1910.

zaś

Z obu równań (214) i (215) otrzymamy

oq

Oi

Ei Ei dl m E,,⁺E„2 f>(

Oi

• • (216)

Gu Ei Ei 2fu m Eu Eq dl

Przyjmijmy w ^przybliżeniu Et=Eq Vu fudn 4 fl

■ Eu

¹ E~Uu

l.

dl7i

jdl

Vu

•    (217)

Wstawiwszy to w równ. (216), otrzymamy

o,,

x₊-?-

W* U Vu

Ou

Oi

■ . (218)

Vu

— + -7T

nH

Jeżeli Oi wrośnie aż do granicy wytrzymałości ku, to jeżeli o u oznacza granicę płynności owijania, otrzymamy z równ. (218)

ku

stąd

nu

inou ^ Vu ,' ⁺ 2

n„

mou

.    .    (219)

Jeżeli niema wcale owinięcia, to wedle (217):

Vu—0, więc z (219) otrzymamy k=

możemy napisać ku = k-\

Wytrzymałość na ciśnienie słupa owijanego składa się z dwu części. Pierwsza część to k, wytrzymałość słupa z wkładkami podłużnemi bez owinięcia, druga część to ~ mou.

mou.

mou

nu

co wstawiwszy w (219),

(220)

Spółczynnik

[*u

oznaczył Considère doświadczalnie

równy 2-4. Gdy przytem zważymy, że wytrzymałość betonu w jądrze okazała się według Considère o 50% większą, niż zwykle, to otrzymamy wzór (213): P=l*5ziFk-\-ae(jP,iJr2-4:Fs).

Przykład. Wyznaczyć wymiary słupa z betonu owijanego, obciążonego osiowo siłą P=22000 kg.

Przyjmijmy t, =25 kg/cm², ae = 1000 kgjcm², przekrój wkładek pionowych Fz=3"93cm² (5 (ß 10 mm), średnicę jądra dla okrągłego przekroju słupa D=20 cm (zatem Fu = 314-16 cm²), to pozostaje do wyznaczenia tylko przekrój wkładki owijającej. — Z wzoru (213) otrzymamy:

= 2⁻6 cm.

Fs =

22000—1-5 X25 X 314-16—1000x3-93 2-4X1000

Jest to przekrój wkładki owijającej, określony przepisami austr.

Przyjmując skok śrubowego owinięcia 4 cm, otrzymamy rzeczywisty

2-6X4

przekrój drutu owijającego : /=

(/=0’16 cmi²).

3-14X20

= 0-165 c»m²

zatem cß=5mm

Dodając jako grubość skorupy 2 cm, mamy zewnętrzną średnicę słupa Z)'=24 cm (rys. 84).

Rozporządzenie francuskie dozwala najwyżej obciążać takie słupy do 65% wytrzymałości betonu. Wytrzymałość zwiększa się w stosunku

1: (l + m'^\, gdzie V oznacza objętość uzbrojenia poprzecznego lub ukośnego, V betonu, wszystko na Im długości ; m' oznacza spółczynnik, który wynosi

dla strzemion, jeżeli e=b m'=8; e=— m' b m'=15.

= 15

e=

„ owinięcia „

m' =32.

e=-~b (dla 50kg) i e=-|-& (dla 100kg)

Eozp. min. austr. z r. 1911 dla budownictwa § 5. ust. 19, dla mostów § 5. ust. 17. Przy prętach olśnionych żelbetowych, w których, oprócz wkładek podłużnych umieszczono także śrubowo wyginane ciągłe łączniki poprzeczne (beton owijany), należy do wyznaczenia ciśnienia wskutek siły cisnącej środkowo wprowadzić urojoną powierzchnię przekroju Fi = F* + 15 Fi+ 30Fs, przyczem Fs oznacza cały przekrój betonu, Fi przekrój wkładek z uwzględnieniem poprzedniego ustępu 18, a Fs powierzchnię przekroju pomyślanego pręta podłużnego, którego ciężar równa się ciężarowi śrubowatego łącznika poprzecznego, jeżeli oba ciężary odniesiemy do jednostki długości pręta ciśnionego. Jeżeli przytem tak utworzona urojona powierzchnia Fi wynosi więcej, niż 1*5 (Fb 4- 15 Fi) albo więcej niż 2Fi, to można w rachunek wstawić tylko mniejszą tych obu wartości granicznych.

Rozporządzenie pruskiego minist, z r. 1909. Słupy z betonu owijanego ustroju Considéra, jakoteż z innem poprzecznem uzbrojeniem spiralnem, które dla wytrzymałości żelbetu ma ten sam skutek, mogą być dopuszczone, jeżeli przytem będzie zachowanym następny sposób obliczenia:

Jeżeli Fb jest całkowity przekrój betonu, Fi całkowity przekrój pionowych wkładek, Fs przekrój pomyślanej takiej pionowej wkładki żelaznej, który powstaje, jeżeli ilość żelaza owijana na jednostkę wysokości słupa zamieni się na przyjętą wkładkę żelazną podłużną na tej samej wysokości o równej ilości, to na podstawie stąd utworzonego przekroju idealnego Fi = Fb + 15 Fi+30 Fs wyznacza się obciążenie dopuszczalne P słupa wedle wzoru P=abFi, przyczem aj wedle istniejących przepisów

oznacza natężenie dopuszczalne ciśnień w słupach

Przekrój, wynikający z powyższego wzoru, dopuszcza się tylko tak długo, dopóki nie przekracza on 2 Fb.

Rozporządzenie rosyjskie z roku 1911 nie zawiera żadnej wzmianki o obliczaniu słupów owijanych.

§ 52. Wyboczenie słupów.

Jeżeli — jest większe, niż 60, to należy liczyć słupy na

CL

wyboczenie.

Rozporządzenie pruskie przepisuje obliczać słupy żelbetowe wedle wzoru Eulera:

. . (221)

J=m

PI²

Id •    • jeżeli m oznacza spółczynnik bezpieczeństwa, a P siłę podłużną. W Prusiech przepisy wymagają pięciokrotnej pewności, więc m = 5, #=140000.

Wzór Eulera, jak wiadomo, ważny jest tylko dla stałego E. Tu dla betonu wzór ten nie może być ważnym, gdyż E znacznie się zmienia. Dlatego inni obliczają wedle wzoru Rankina:

At₁

. . (222)

Chodzi teraz o spółczynnik a, którego z doświadczeń jeszcze nie wyznaczono.

Ritter¹) obliczył wzór dla natężeń

na

podstawie linii odkształceń Bacha

[1 —e-10W0<3] .

.    .    (223)

‘) p. Schweizer-Bauzeitung 1899.

jeżeli fi jest spółczynnikiem wytrzymałości betonu na ciśnienie

6 = 2-171828 zasada log. natur., d =

względne skrócenie.

dó ’

Wiemy ze statyki, że E

Jeżeli więc różniczkujemy równ. (228), to otrzymamy E-*1

dó

fi 1000. e~-¹⁰⁰⁰⁰ = 1000 [fi-Tx ].

Wstawmy te wartości we wzór Eulera, który opiewa:

JT²

P=-p-.£'.J, to otrzymamy

n²EJ

W tym wzorze jako xi wstawmy natężenie przy rozpoczęciu wyboczenia fiw, więc P^=Fbfiw.

Wstawmy 7r²=10, J=Fba¹, to

F/jO,2, 10

p=——J Y—100 [fi—/iw]=Fb. ostąd otrzymujemy fiw

fiw-

a'L

fi

1 + 00001.-

.    .    (224)

Dla w-krotnej pewności otrzymuj emy :

Fb

nP

fiw

1+0-0001

Ü-1

a² \

.    .    (225)

wzór, podobny kształtem do wzoru Rankina.

Wzór ten przyjmuje rozporządzenie francuskie.

Najnowsze doświadczenia Bacha¹) wykazują, że spółczyn-nik powinien być o połowę mniejszy, więc 0-00005.

Austryackie rozporządzenie przyjmuje wytrzymałość na

wyboczenie jako funkcyę liniową —

a

i przyjmuje spółczynnik zmniejszający dla — >60.

Ci

więc wedle Tetmajera,

Iw—

1-72-0-012

. . (226)

0 Por. Zeit. d. Verein, deut. Ing. 1913 II. str. 1969.

a zatem dla —=60 70 80 90    100

—=£=1 0-88 0-76 0-64 0-52.

.    .    (227)

Doświadczenia okazały, że wzór ten daje dobre wyniki. Według (226):

Przykład. Wyznaczyć największe ciśnienie w betonie dla słupa żelbetowego 4 m wTysokiego o przekroju, podanym na rys. 85, pod działaniem siły P=30000 kg.

—Ô0

io

4Jf%*

Rys. 85.

Mamy tu Fi, = 900 cm², Fi=12‘bl cm² (4<jć>20mm, p=O014j, Z=4’00 m.

urn

1=^2 +¹⁵ X12-57 X 12-5²=29550 cm\

Jl — _^=77 Ç=80

a 6-2    K 0U'

-y

29550

900+15X12-57

=52 cm,

Zatem ciśnienie w betonie z uwzględnieniem wyboczenia będzie według (227):

~i =

30000

[900(1 + 15X0-014)] 0-80

=34-4 Jcgjcin².

§ 53. Obliczenie słupów żelbetowych z wkładkami tęgiemi.

Oczywista rzecz, że o ile chodzi o wyboczenie, tęgie wkładki żelazne o znaczniejszym momencie bezwładności powiększają wytrzymałość. Ile wynosi to powiększenie, nie wiemy dokładnie. Wedle rozporządzenia ministeryalnego uwzględniać-by chyba można tę okoliczność przy obliczeniu wyboczenia, wstawiając w równanie (226) odpowiednio zwiększone a. Przy obliczeniu momentu bezwładności przekroju uwzględnia się mianowicie także moment bezwładności własny kształtówek.

Inaczej rachuje Emperger. Słupy takie według niego niosą sumę ciężaru, odpowiadającego osobno słupowi żelaznemu a osobno betonowemu. Doświadczenia nieliczne, któremi popiera ową teoryę, nie są dość przekonywujące i raczej należałoby obliczać słupy takie na innej zasadzie.

Wiadomo, że słup żelazny, składający się z pojedynczych prętów, jeżeli ma nieść odpowiednio do momentu bezwładności całości przekroju, musi bjm albo stężony kratą lub też rozporami w odstępie o połowę mniejszym od teoretycznego, tj. takiego, który odpowiada długości wolnej poszczególnych prętów. Jeżeli stężenie nie jest tak silne, to słup ten niesie mniej. Otóż zabetonowanie takiego słupa stęża dostatecznie pręty żelazne tak, że możemy pomimo większej odległości wiązań poziomych liczyć, że wszystkie żelaza działać będą jako całość. Wytrzymałość słupa takiego jest czasem jeszcze większą, bo i beton nieco się przyczyni do niesienia, jednak z doświadczeń nie można jeszcze twierdzić, ile na beton liczyć można. Dlatego pewniej będzie, jeżeli słup taki liczyć będziemy jako słup żelazny dostatecznie stężony, a beton będziemy uważać tylko jako wypełnienie.

Rozporządzenie minist, austr. z r. 1911 § 5. ust. 22 dla budownictwa a ust. 29 dla mostów: Prętów ciśnionych z wkładką żelazną, która sama zdolną jest do niesienia, u których beton tylko służy jako materyał wypełniający albo osłaniający, nie można liczyć jako zeskładów niosących żelbetowych po myśli § 5.

§ 54. Słupy żelbetowe z wkładką z żelaza lanego.

Jest to zasługą Dr. Empergera, że pierwszy zAvrócił uwagę na możliwość zastosowania wkładek tęgich z żelaza lanego do słupów żelbetowych i wykonał odnośne doświadczenia. Wykazały one, że udźwig rury z żelaza lanego tylko wtedy zwiększa się przez zabetonowanie, jeżeli beton owiniemy, przyczem krok owinięcia co najwyżej równy jest grubości warstwy betonu, osłaniającego żelazo.

Pod tym warunkiem twierdzi Emperger, że udźwig takiego słupa równa się sumie udźwigów słupa żelaznego i słupa żelbetowego. Możnaby to wytłumaczyć w ten sposób, że gdy z początku rozkłada się siła cisnąca na beton i wkładki żelazne proporcyonalnie do spółczynników sprężystości, potem jednak, gdy osiągniemy spółczynnik wytrzymałości betonu, może on wskutek owinięcia jeszcze dalej się odkształcać, jednak natężenie betonu bardzo mało już wzrasta. To samo się dzieje z osiągnięciem płynności żelaza zlewnego wkładek podłużnych. Wtedy dalsze obciążenie wywołuje tylko zwiększenie natężenia żelaza lanego i słup się łamie po wyczerpaniu sumy udźwigów wszystkich trzech materyałów.

Możemy więc napisać

1*5 Fk Ti -J- 2400 Fi -j- ag Fg

Przy betonie uwzględniamy tu zwiększenie wytrzymałości półtorakrotnie przez owinięcie.

Jeżeli wchodzi w grę wyboczenie, należy przy obliczeniu

. . (228)

ag zmniejszyć stosownie do —. Przy obliczeniu a uwzględnić

CL

można też i beton, przyjąć mianowicie F F 4- Fl _L Fk

Fi—Fg-\    + “3Q

Ji

°“"K-

W ten sposób uwzględniamy wpływ stężający betonu.

Jeżeli przyjmiemy dla żelaza lanego ^=8000 kg/cm, to dla pewności n=5 możemy przyjąć a,, = 1600 kg cm'*, co ewentualnie należy zmniejszyć ze względu na wyboczenie; dla betonu nie należy przyjmować zbyt wielkiego natężenia.

Przykład. Weźmy słup o przekroju okrągłym z doświadczeń austr. wydziału żelbetowego. Średnica jądra w-ynosi 244cm; laną wkładkę stanowi rura, o zewnętrznej średnicy 144 mm, grubości ścianki 19 mm; przekrój pionowych wkładek zlewnych 1'57 cm² (8 (fi 5 mm); -drut owijający

skok A =4 cm. Długość rzeczywista słupa wynosi 300 cm, dłu-

mm ma

</;¹⁰

gość wolna Ż=0⁻7X300=210cm.

Mamy tu zatem: i^=^-(14-4²—12-5²)=895cm², Jÿ=0-0491(14-4⁴-

—12-5⁴)=912 cm⁴, jF*=0-785(24*4²-14-4²)=304 cm², J*=0 0491 (24*4ł—14-4*)= = 15250 cm⁴.

Według (229):

Fi=39-5 + -il-57 +

304

^-=50-3 cm²,

i    i koRn

Ji= 912 + J-0-39(10² + 15²) + d^l=l472 cm⁴,

K.o    ¹    210

= 5'42 cm. — =

a

-V

1472

50-3

5-42

=38-8, o=0-488.

jeżeli F oznacza przekrój wkładki żelaznej.

Po podstawieniu za ei i e₂ wartości z (230), otrzymamy:

.    .    (232)

bd³ . bdFm²n

12

J=

bd³

₁₂ + bde\-\-nFe\ .    .

.    .    (231)

bd+nF

Nazwijmy a ramię bezwładności a i odstęp jędrny, to otrzymamy

Dalej jest

J _ b M⁴ + dFrc(d²+12wt⁵) Fi ~ 12 [bd+nFÿ~

.    .    (233)

a²

a²

"2 e'

'2+e’

.    .    (234)

a największe natężenia:

na ciśnienie betonu

Tl =

(^2 + C + ei )    + «1 )

na

ciągnienie betonu t₂

F{c+e,-i,)

(235)

na ciągnienie żelaza <re

Przykład: Obliczyć natężenia w wezgłowiu strony obciążonej próbnego sklepienia wiedeńskiego (Bericht des Gewölbeausschusses 1895, str. 125).

Tam było P=41695 kg, c=81*5 cm, d=60 cm, i=100 cm, w = 10. Wkładka żelazna składała się z 15 drutów (ß 14 mm (F=23'09 cm²).

Niech będzie a=6 cm, więc m=30—6=24 cm.

Według (280):

ct =

10X23-09X24

100 X 60+10 X23-09

= 0*89 cm.

100X60X24

= 28*2 cm.

e₂ =

Dalej mamy wedle (231):

,    100 X 60³ , 100 X 00 X10 X 23-00 X 21 -

12    ⁺    100X60+10+26-09    =1928960

100 X 60+10 X 23-09

zatem wedle (232):

,    100 100 X 60* + 60 X23-09X10(60² + 12 X24²)_

12 '    100 X 60 + 10X23-09

Siła, którą przenosi żelazo lane, jest (według Tetmajera):

154000

P/=8000x0,488X39’5=154;f, zatem ag=

30-5

=3900 kg jem'¹.

Podług równania (228) otrzymamy przyjąwszy Tj=352 kgjcm² (taką wytrzymałość okazały kostki betonowe tego samego wieku, jak beton słupa), siłę łamiącą słup:

P= 1 -5 X 304 X352 + 2400X P57 + 3900 X 39-5 =31S-27 t.

Złamanie słupa nastąpiło przy sile P=3làt: zachodzi zatem prawie zupełna zgodność z siłą obliczoną.

F. Obliczenie prętów ciśnionych mimośrobkowo.

§ 55. Przekroje ciśnione mimośrodkowe.

Wkładki gibkie. Faza I.

Jeżeli przekrój zeskładu żelbetowego ciśniony jest mimo-

P M Fb — W '

Wkładki żelazne uwzględniamy tn znowu w ten sposób , że powiększamy

środkowo, to otrzymamy wedle prawideł statyki xx =

Er

Eb

razy przekrój wkładki żelaznej,

JB’

Zt

£>

in

->r*-

f i

• i r “T"

Wt 4

Ó-_

,0

Bys. 86.

b— C1-

Ik

przyczem Ee oznacza spółczynnik sprężystości żelaza, Eb spółczynnik sprężystości betonu. Jeżeli liczymy wedle fazy I., to przyjmować by należało n = 10, jeśli zaś wedle fazy II. to n = lb. Dzisiaj zazwyczaj nie liczą wedle fazy II., a w fazie I. przyjmują nie bardzo właściwie n = 15.

Środek ciężkości Sx idealnego jednorodnego przekroju otrzymamy wedle Melana (rys. 86)J).

nFm

bd -1- nF

et

bdm

.    (230)

bd+nF

Moment bezwładności J ze względu na oś ciężkości, przechodzącej przez Sx mamy

a wedle (234):

309-60

60

=10 64 cm

—0-89

309-60

to; g

= 10 02 cm.

+ 0-89

60

Dla sklepienia betonowego byłoby î'j =?'₂=-g-= 10 cm, widzimy więc

że uwzględniając wkładki żelazne, otrzymujemy tylko małoco większy odstęp jędrny.

Dalej mamy wedle (235):

41695 +10.02 + (31-5 + 0-89) (|° + 0-89^

1928950

41695 (31-5+ 0-89-10-64) (~0‘89)

=28 4 kg/cm²

T2 =

1928950

=13*7 kg jem²,

w końcu

Ce—

10X41695 (31-5 + 0 89-10-64) 23-20

1928950

=109*1 kgjcm².

r°_>P

-5,0—

! itS

i r-J

<—•-----•—

Tych wzorów możemy także użyć do obliczenia słupów prostokątnych.

Mamy n. p. słup prostokątny, mimo-środkowo obciążony (rys. 87).

Gdy c=4cm, P= 60.000, F = 28-27 + 14-14(4 (ß 30+2 (ß 30).

Wyznaczmy środek ciężkości. Zatem moment statyczny ze względu na oś mamy :

15[28-27.20-14-14X20=et [50.48 +

+ 15(28-27 + 14-14)] c, = 4-19 cm, c₂=15*81 cm.

J=-L₄8.50³ + 48.30.419² +

IZ

j~j—15——!

---Z.O^-^-2,0-«+5-U.

Rys. 87.

+ 28-27.15.15-81 *+15.14*14.24‘19²=755370 755370

50.48 +15 (28-27 +14-14) ~

753370

a²—

30361

=248-77 cm²

a²

248-77

25-4-19

= 11*96 cm

*2 —

a²

248-77

25 + 4-19

—8"5 cm

+ 4-19

60000 (8-5 + 4 + 4-19) (25 + 4-19) T‘⁻    755370

OT00(4+4;¹

=38*7 kgjcm²

§ 56. Wkłabki tęgie.

Jeżeli przekroje wkładek żelaznych są małe, to przyjąć możemy stałe natężenie w całym przekroju pręta, gdy jednak wkładki są o znacznych przekrojach kształtówki lub belki bla-

JB>    ri

Ii

V_i.

At2A

Rys. 88.

szanej lub kratowej, musimy zmiany natężeń w przekroju uwzględnić.

Wedle prof. Melana (rys. 88) będziemy liczyć w następu-j ący sposób :

bd.

Przyjmijmy n = 15. Mamy dla betonu J=zr^bd³, F =

LA

a dla wkładki żelaznej nJe i nFe: przyczem b oznacza odstęp żeber w m. Jc moment bezwładności, a Fc przekrój wkładki żelaznej. Jest więc

.    .    (236)

Fi=bd+nFe .

Oś ciężkości przekroju całkowitego przechodzi przez s₀ w odstępie e od środka, zatem e(bd+nFe)=nFe.m, stąd

n.Fe

e—-r~---.to

.    .    (237)

bd-\-nF₍.

bd

ßf _

bd-\-nFe

Moment bezwładności ze względu na oś ciężkości S₀ jest

J;=-Lbd*+bde*+n[Je+Fce'*\ .    .    .    (238)

Natężenie największe w betonie mamy: P Mzi

zl ÏT +

P Mza

Fi

Ji

Ji

.    .    (239)

a w żelazie

oe'=n

Mz'

Ji

.    .    (240)

n[-F,

Przykład. Przyjmijmy d=AO cm, ijówkę 1. 30, symetrycznie umieszczoną, jP=50t. M=1A'2 tm, &=100cm. Wtedy .P7=100.40+15.780=5170 cm².

W tym wypadku m=0, więc e=e'=0, więc wedle (238) Ji=-^- 100.40³ + +15.10997=698255 cmł, więc

50000    1420000.20

Tl~ 5170 ⁺    698255

_ 50000    1420000.20

Ta—~5Ï7CT

Oe" =

698255

142000.15

M»'

Ji

-=9-7+ 4-1=13-8 %/cm2 -=9’7—4⁻l=5‘6 kglcm ) = 15 (9-7 + 3*1)=192 kg/cm* )=15 (9-7—3-l)=99 kg/cm\

,    50000

^    ¹⁸ (“BITO"⁺

„e"=15 (

Przy sklepieniacli liczą przeważnie wedle fazy I-szej, bo przeważa ciśnienie, jednak analogicznie, jak w belkach prostych należałoby ze względu na pewność obliczać natężenie wedle fazy II*. Zwłaszcza musimy wtedy tak liczyć, gdy ciągnienia w fazie I. wypadają większe, niż wytrzymałość betonu na ciągnienie.

698255

50000    142000.15

5170

698255

§ 57. Przekrój teowy cisniony mimosroökowo w fazie pierwszej.

Tu także będziemy liczyć natężenia wedle ogólnego wzoru

h=-jr±-W-

Środek ciężkości S idealnego przekroju otrzymamy, tworząc równanie momentów ze względu na górną warstwę A. Otrzymamy

stąd zaś e=d—ei.

(b-bt)£ + ^-+16 F.'a, +15Fecdl=[(b-bl)c+ -\-dby +15 (Fe-\-    )]

✓*2    (ff)²

(b-bl)~ + -^-+16(Fedi-^Fe'ai),

«i

{b-b,)C+dbx+lb(Fe+Fe')

Moment bezwładności ze względu na oś ciężkości S będzie

■gT bei g"(0    ^l) (e\ c)³ + -g-^iC³ +

4- 15i^/ (ei—ai)²+WFe(e—a)²

a¹ . . a²

— i    —

•    (241)

Teraz możemy wyznaczyć a²=—, ix —

F

a wreszcie

P(i—e+u) ex

.    .    (242)

t₂ =

«i

wreszcie

Oe' = 15 Tj

Tl +T2 01-«!

.    .    (243)

d—zi —a

.    .    (244)

rf—0i

r*----

----(s>---------

Ti. A

: tu

-tr

H-r

i d. ti

.a

I i-l-Ed

y__±__i____

__y

CU

u.

fc'

Eys. 89.

Przykład. Przyjmijmy w P=41700A#r, Mj =6cm, d!=60cm, &=100cm, c=12cm, èj =20cw, Fe=Fe'=616 (4 (ß 14 mm), a=a₁=6cm.

Wedle (240a) otrzymamy:

(100-20) f ₊ ⁶⁰'²⁰⁵

+ 15(6*16.54 + 6-16.6)

et=-

=9'9 cm.

(100-20)12 + 60.20 + 15(6-16 + 6-16)

Tu więc wpada środek ciężkości przekroju idealnego w płytę. Mamy dalej e==60—9-9=50-1 cm.

Dalej jest J=*^9-9³ + ^50-l³ + (12-9’9)3 ¹⁰°₃ 20 +¹⁶• M6(»1-6)»=106C074, «'“Rj02+Sm6Ï6=⁴⁶²'

+ 15.6-16(9-9—6)³ +

452

9-9

-=45*7c»î, it =

452

50-1

=9 0 cm,

a wreszcie

41700 (42-50-1 +54) 9*9 1060074 41700 (9-0 -9-9 + 6) 50-1 1060074 17-9.60

Ti =

= 17'9 kg jem

T2

= 10‘0 kg jem²

*i =

ae'=16.17-9

17-9 + 10-0 38-5—6

=38-5 cm²

88-5

—227 kg/cm²

ce=15.10-0 —

60-38-5-6

60-38-5

= 107 kg jem’¹.

¹

) Por. Statyka Budów. wyd. II. str. 397.

§ 58. Przekrój prostokątny ciśniony mimośrobkowo w fazie drugiej.

Wedle tej fazy należy wedle austryackiego rozporządzenia liczyć zawsze, ilekroć punkt zaczepienia wyjdzie z jądra.

ii

■i

łp-

!;-

7-I--¹ I '

> ii j

Rys. 90.

Przyjmujemy, jak zwykle, n =15. Suma sił poziomych jest równa zeru (rys. 90.), więc

b' o dv

-f

b'adv' = P

przyczem P liczymy na szerokość b, a że

v = x

zx

vł

a u=15 t, — z\

więc wstawiwszy wartości, otrzymamy

bxi 2,

IA

²'i

b'v'dv—

j* è/vû5^J=P

zi

.    (245)

gdyż całki te wyrażają momenty statyczne części przekroju wkładki żelaznej nad i pod osią ze względu na oś ciężkości.

Dalej suma momentów musi być równa zeru, więc

fzl    r.z'l

vxvdv-\- J b'ov'dv'-\- J b' ovdv=P(zi—ux)

albo

bï^zl

3

[l b'v'^dv'    5'^²cfa;j = P(z:l—wt)

15 t,

.    (246)

jeżeli J⁷ i J⁷' oznaczają momenty bezwładności tych części przekroju wkładki żelaznej ze względu na oś ciężkości. Z dwu

i otrzymamy

tych równań wyrugujemy

+ -^-(Ä'-S'O] (*,-Mi)-M₊    (247)

Jeżeli teraz S⁷, J' i J" wyrazimy jako funkcye z,, to możemy z tego równania z, obliczyć.

Dalej mamy z równ. (245)

15

—(S'-S")    ■    *

z\

.    (248)

Z'

.    (249)

<L

!___t

iX

-J

Eys. 91.

Jeżeli mamy uzbrojenie gibkie pojedyncze, to S' =J'=0, S" = Pe(d₁—Zj), J" =Fe(dl—ziYz (rys. 91.). Wstawmy te wartości w równ. (247), to

[ł

~PAd,~zĄ

(Zi—Ml) —

bz\ Ib g⁻ + Ft{d\ Zi) .

3+f

Po uporządkowaniu równania otrzymamy

2Î—8^01+90~ (d₁—ui)zi — 90    u₁)=0.

Wstawmy zi=y-\-u₁, więc y=zx—ui: to otrzymamy

90 Fejdj—u^²

90 Fe(dt-uA)

3 u\

2^J = 0 (250)

Wstawmy dalej

80 F

— (dx— uJ—u²n a

?= =

to

y=\l—q+}lq²+p³ + 'l—q—^q²+p³ •

Wyznaczywszy w ten sposób zi, mamy potem

•    (251)

0*1—z,)

bf~15F ,,

(T=15'fL(d₁ —zx)

.    (252)

1. Przykład. Przyjmijmy,jak w § 56, d=A0cm, ijówkę 1. 30 symetrycznie umieszczoną, P=50<, lecz M=‘ó0tm: b=100cm. Wtedy Fi=5170cm²,

Ji=698265, ~

S'=-*- [12-6 zt ²'-11 -4 (zt '²- 3-6 zt ' + 3-24)] = 0-6 z, '² + 20-62 zt '—18-47 = 06 (zt ²— —10z, + 25) +20-52 (zt -5)-18-47=0-6z₁²+14-52 zt -106-07,

S"=i-[12-6z'² —ll-4(z'—P8)²]=0*6z₁² + 20-52z'-18-47=0-6(35² -70z₁+z₁²)+ + 20-62(36—Zi)-18-47=0-6 z,²—62-62 z, +1434*73,

J'[12-6 z, '3-11-4 (zj ' ³-z₁'²6-4+9-72z₁ '-6832)]=0-4 zt ' ³+20-522l ' ²-36-94zx ' + + 22-16=0-4 (zt 3-16. zt ²+76z,—125) + 20-62 (zt ²-10zt + 25)-36-94 (zt -5) + + 22-16=0-4 z,³ +14-62 zt ²—21214 zt + 647*7,

J"=^-[12-6z'³-ll-4(z'—l-8)³]=0-4z'³ + 20’62z'²—36-94 z'+ 22-16=0-4 (46656— — 3676j z, +106zt ²— z, 3) + 20-52(1126—105zt +zt ²)-36-94(35-Z!) + 22-16= =0-4 zt ³ + 62-52 z,²—3627-66 z, + 2099306, zatem wedle (247): r 100.z,

L 2

— ui =

3000000

60000

=60cm, stąd =20—60=—40cw.

~ (0-6zt ² + 14-52 zt —106-07- 0-6zt ² + 62-52 z, -1434-73)] (z, + 40)=

=    + Ąo-4z! ³ + 14-52z₁²-212-14z, + 647-7+ 0'4zt ³ + 62-52 zt ²-

—3527-66 zt+20993 06)

60z, ² + 16(77-04z,—1540-8)(zi-40)=33‘3z₁³+ 12z, ³+1105-6^²-18699z, + 324611-4.

Stąd —45-33 *i-³ —48637 ar, + 599878-6 = 0 albo ³ + 1073 z₂-13233=0,

1073

gdy więc p=——=357-7, 9 =—6616"5,

O

Zl=l] 6616*5 + V 6616-5² + 357-7³' + ^6616-5-)/ 6616-5² + 357-7³ = Dalej mamy S"=0-6. ll-08²-6252.11-08+1434-73=815-67.

S"=0-6.11*08² +14-52.1108-106-7=127 84. 50000

11-08 cm.

Ti =

100

11-08

15

to

<*e'

11-08 15.132.6-08

(127-84-815-67)

= 132 kg jem*,

ae"=

11-08

15.132.11-08

=—1086 kg jem²

23-92

=917 kgjcm².

2. Przykład. Niech, będzie P=41695fcy, ct=63cm czyli «t =—33 cm, <2=60 cm, 6=100 cm. Wkładka żelazna składa się z 15 drutów 14 mm grubych, P=23-09, a—Qcm.

G.

-K—

“ł ćY

-i~P-

i¹

3-

Rys. 92.

Mamy wtedy di =60—4=56 cm, więc 30.23-09

(56 + 33)-33²=-473-5,

(66 + 33)²—33³] = - [82302 - 35937] = -46365.

y=^46365+V 46366²—473-5³ + ^463Gb46365²-473h³ =56*9 cm, Zl =66-9—33=23-9 cm,

41695

P=

45.23-09

100

100

23-9

100 ———15.23'09 15.57-1(56-23-9)

m=m⁼⁶⁷'lks/cm'’

23-9

= 1150fcy/cm².

Jeżeli wkładka jest podwójną (rys. 92.) to S,=Fei(zj—aj), J,=‘Fei(zl—aj)², S"=Fe{dx-zJ, J"=Fe(d,-z,).

23-9

Wstawmy to w równ. (247), a otrzymamy

r bz

l 2

15    1

iK («i— <h)—FMi-«i)]J(*i— ui)=

bz\

=-^ + ^-\Fei"(zx-ax)*+Fe' (d,-*)²],

a po uporządkowaniu

2,-3^21 + 90^ (dy ~Uy) Zy — 90    (Uy Gy ) Zy ~

.    (253)

-90

^-dy(dy —Uy) 90    Gy (% — Uy ) == 0 .

Wstawiwszy y—Zy—ui} otrzymamy

*/³+^90^ (dy —Uy)—90 {Uy — Gy)—3u\j y +

— [90J^K—wi)²+90^-(a₁ —w,)²+2 ^j=0.

W stawmy

30

P=-T-[Fe(dy— Uy) — Fej (Uy—Gy)] — U\

45

.    (254)

?=--^-[^(rfj— Uy^+Fe^Gy — UyY]— U\

to obliczymy y wedle równ. (251).

Wyznaczywszy w ten sposób Zy=y + Uy, otrzymamy

Tl Ó2,

15

-f- + —    («1 —ay)~Fe (dy -Zy )]

.    (255)

Zy—Gy

Ge' — 15 Zy —-—

Zi

Ge — —15 Zy

Zl

Aby niepotrzebnem było rozwiązywanie równania trzeciego stopnia, obliczono tablice, które dadzą się przedstawić wykreślnie⁴).

Przykład. Niech będzie i>=41695fcy, ut ——18cm,d=60cm, i=100cm. Wkładka żelazna u góry i u dołu składa się z IB drutów po 10 mm grubych, więc Fe=Fe, = 11*78 cm², a=a, =4 cm.

Mamy wtedy wedle (254):

80

p=-₁^ 11-78. [56 + 18—(—18—6)]—18*=24'33,

b p. Dimensionirung der betoneiserne Gewölbe. Oesterr. Wochenschrift f. d. öffent. Baudienst 1905. Heft 38..

2=—j^j-ir78[(56 +18)²—(—18—6)²]—(—18)³=—31807,

=t] 31807 + V 31807²+ 24-333 ₊ ÿ 31807-V

y=39'9 «w,    2j=39⁻9—18=21-9 c?w,

41695

21*9    15.11-78

¹⁰⁰-2 ae=—15.34-1

21-8

(21-9-4-56 +21-9)

21-9-4

21-9

—417’6 hg\cm²,

ae'=15.84-l

56-21-9

21-9

—802-4 kg/cm^.

-\-Fe,ae,—Feae^=P^

§ 59. Przekrój teowy ciśniony mimosroókowo w fazie örugiej.

Suma sił poziomych musi być równa zeru, więc

__(é_él)^L=î)

I—

? «1

U--

i__i

f-Ä-!

V—J*

Eys. 93.

to

fos?

Wstawmy

z. —e

*1

<Xe' = 15

«i—«i

«1

Tj,    ae = 15 ——— t,

*1

ÜL_i>

Część równania po lewej stronie przedstawia moment statyczny powierzchni idealnej.

Podobnie otrzymamy równanie momentów

— (ft-r₀    (0! — e) + Fg oe' (zx -ai) +

+15 Feoe (dt —zx )=P(zi—ui)

Pz 1

I-15 #'(*!— «i)—15i^(di —0i)= —

Ti

(256)

a stąd

bz\ A_iL(Si_e)3+1Bi?/(2i_ai)2+

15 Fe(dx —zt)

PZ\{Zj—Uj)

.    .    (257)

Lewa część tego równania przedstawia moment bezwładności przekroju idealnego.

Równania (256) i (257) dadzą się jeszcze napisać P*L i

PZ\ (zi    U\)

.    .    (258)

Z obu tych równań otrzymamy

.    .    (259)

Zi—Ui

^ ' '

z którego to równania można z{ obliczyć, uwzględniając tę okoliczność, że JH i SH są funkcyami zx.

Natężenie otrzymamy wtedy

16 (z\ a. )

. . (260)

°e=-

. . (261)

«1

Dla przekroju teowego otrzymamy z (256), (257) i (259):

bz\

(■b-bj)(Zj-e)³

Z'~U'~bz\

+■ 15    («i — a, ) — 15 Fe {dx — zY

a po uporządkowaniu, przyj ąwszy -~-=Æ,

ET /

z\—%1cUi z\-\-3{l—k)e (e—2 ut ) zx — 90    (wj —)Zi -ł-

+ 90-^-(rf₁ + Mj)«! + (1—A;) e²(3 Wj — 2 e)—90— wt)— —90^d,(d,— «,)—0.

y\+y 1 [90 -y (dl —Uy)—90 — (ttj — )—3 +3 (1—k) e (e—2ut )]

Wstawiwszy yx =zi —kux, otrzymamy Fe'

Fe

— |"90-y-(ax—ux)(ax—uxk)-ł~90y (di — ux)(dx— uxk) + 2k²u\-\-

—3(1—k)ekux(e—2ux)—(1—k)e²(3ux—2e)|=0 .    (262)

Wstawmy

30

P=-fr[Fe(d₁ — ux)— Fe'{ux — ax)]—k²u\+(l—k)e(e—2ux)

(263)

45

?-y [Fe'{a 1 —ux)(ax —kux ) -f- Fe{dx —ux ) (dt — kux )]—k²u\+

o* (1—k) ekux (e—2 ux )+(1—k) e² (3ux — 2 e)

A    Ł

to obliczymy yx wedle równ. (251), zaś ax=yx+kui (263a).

Jeżeli w równ. (262) wstawimy k== 1, otrzymamy y=yx

i równanie (254).

Przykład. Dane P = 20000kg, u, =— 10 cm, d = 00cm, 6=100cm, 6, =30 cm, e=l2 cm, Fe=Fe'=ll‘78cmi (15 drutów 10 mm gr.), a=al =4 cm. Mamy wtedy k=0"3 i wedle (263)

30

p=[11-78(56 +10)—ll-78(-10-4)]-0-3².10² + 0-7.12 (12 + 20)=542‘5 1UU

15

~2

q— ——11-78 [(4 +10) (4 +10.0-3) + (56 +10) (56 +10.0*3)] + 0'3³. 10³ +

Î- 0-7.12.10.0-3 (12 + 20) + y 0-7.144. (-30-24) = -21160 + 27-1209-6— -2721-6=-25064

yx = 25064 + V25064²+ 542-5³+Ï) 25064-V25064² + 542*5³=23-2 z, =28'2—03.10—20’2 kg jem"¹

równ. (256)

Tt =

20000.20-2

(20-2-12)²

+15. ll-78[(20'2-4)-(56-20-2)l

t₁=14,1 kg/cm

. 14'1 =—172 kgjcm⁵

14-1=876^.

de' = —

15(20-2)

20-2

§ 60. Projektowanie przekroju teowego ciśnionego mimoéroôkowo.

Obliczenie uzbrojenia w tym wypadku podamy wedle Lichtensteina *).

Siła P zaczepia w N (rys. 94.). Przypuszczamy, że zacho-

T<-

h.

pr

l i U

—r    ’î---------

____.JL__

i.

ii

^-4——

CL

U—b₄—J •

Rys. 94.

dzi tu faza II&, ciągnień w betonie nie uwzględniamy, tak samo ciśnień w żebrze.

Mamy wtedy ciśnienie w betonie i żelazie *1 +To

D=be

D' = Fet Oex , a

ciągnienie w żelazie Z=D-\-D'—P=Foe . Dalej

.    .    (264)

Tj : ae=zi : 15 (d, —2, ), t₀ : Tj = («, —«):*,

15 T,

2l Ue+15^

u«, : Tj =*15(0!— aj : «j, stąd

dl=£di (265)

. . (266)

.    .    (267)

Dalej mamy równanie momentów ze względu na dolną

wkładkę

àfa—e)

2 T° (dl e

b por. Oest. Wochen f. d. öff. Baudienst 1911 str. 755.

stąd

D'

OOlJP

be²

\b e

l 3

*r co

. . (268)

ß

Jeżeli nazwiemy = <p, to

I) .    .    .    (269)

D'

lub

T

Z równ. (268) otrzymamy, nazwawszy    ,

¥(>-H)l

<J(C

.    .    (270)

+ &eV(4| — 4 <jp)} .    .

Z równ. (254) mamy

dalej

a gdy

to

f_D+D'-P

D'

Oe

■    .    (271)

D'

15 t, —ß, J-d,

<P

D = 06^(1— Ó<jp)

.    .    (272)

F'

D'

.    .    (273)

"Wyraz be²/u(3Ç—4 ę>) jest mały, tak, że go można opuścić, wtedy mamy w przybliżeniu

L_/

di (

P (v — y+d^j — Dd^l—cp)

Lichtenstein obliczył następną tabliczkę:

42

1000

2 587;

630

16*11

37

1000

2-802

555

17-27

32

1000

3-083

480

16-44

50

45

1200 1200

40

35

1200 1200

13-000,2-770 2 597

750

675

009

21-65

2082

2000

Tabliczka XXIX.

30

1200

50

1000

3-6633 278

525

450

81-61

18-32

45

40

1000 1000

35

30

1000,1000'

50

750

45

40

750 750

2-252 2-109 2 000 3 215 2-906 2-667 2-480 2-331

750

675

009

525

450

750

675

009

19 43;

18 60

17-78

16-97

1601

16-67

35

750

2-427

525

14-1616-0015-82

30

750

2667

450

13-83

oe=

ß=

fi=

Przykład. Przyjmijmy t=42%/cm², ae=1000%/cm², P=30000%, v—40 cm, d=42cm, e—7 cm, d₁ =38'5 cm, 6=150 cm, a=ot =3'5 cm.

WięC ?=:08'5    77

= -jj-=0‘0909. Z tabl. XVIII. str. 63 dla Tj=42,

ce=1000 kgIcm² Ç=0'3865.

Z równ. (272) mamy wtedy

Z>=150.7.42(1-2-587.0-0909)=33756 kg.

Z równ. (270) mamy

æ-ô^ô [⁸⁰⁰⁰° (⁴⁰ ~ -⁴₂2 +88'⁵)~ ³³⁷³⁶ • ³⁸‘⁵ (l-0-0909) +

—150.7².16-11(3.0.3865—4.0-0909)] = -^- [l7250000— 1180800 + 94242] =

638442

= g₅ =18241 kg.

D'=

Wedle (271) mamy

P=

33736 + 18241-30000

1000

=22-0 cm²,

zaś z równ. (273)

F'=

18241

630

-2-587

3-5

=37-9 cm².

38-5

Obliczmy teraz natężenie:

42    30

Mamy ul=—--40=—19 cm. Przyjmijmy bl = 30 cm, k =

U

F= 22-62(5^24), F'=38-48(4 0 35), a=o, =3*5. Wedle (263) mamy

150

=0-2,

30

P=l5CT t²²'⁶² (³⁸’5 +19)-³⁸'⁴⁸(-19-3-5)]- 0-2².19² + 0-8.7 (7 + 2-19) p=438-3=-14-4 + 252=670-9

[38*48 (3-6 +19) (3*5 + 0-2.19) + 22-62 (38-5 +19) (38-5 + 0*2.19)+

+ 0-2³.19³+—|o-8.7.19.0-2(7 + 2.19)+-|-0-8.7²(-3.19-2.7)= 2=—18401*4+ 64-9—1436-4—1391-6=21165. yt=^ 21165 + V2ll65² + 67ÔT9³ + jJ/ 21165-V2ÎÏ66² + 670-9³=86-6-18-4=18-l zt =18-1—0-2.19=14-8 cm.

cm

Z równ. (256) otrzymamy

Ti =

30000.14-3

¹⁵⁰ .¹⁴'³²._(150_30) (łfl3 7)² ₊ lg. 38-48(14-3-3-5)-15.22-62 (88-5-14-3)

u    ù

Tj=42-2 kg jem².

wedle (261)

15(14-3-3-5)

42-2=478 %/cm2 CTe==.¹⁵(³⁸'³~¹⁴'³) 42-2=1071 kg/cm².

Ge' =—

14-3

Natężenia są więc nieco za wielkie, uzbrojenie trzeba powiększyć. Niedokładność pochodzi stąd, że w równ. (264) do (270) uwzględniono tylko ciśnienie betonu w płycie. Ta płyta jest 7 cm gruba, a 2^=13*9, więc różnica jest znaczna.

Inaczej moglibyśmy obliczyć wymiary w następny sposób.

Naprzód obliczymy zt z danych. tł==42 i ae= 1000kgjcm'L, jak dla belki

prostokątnej (tabl. XVIII. str. 63). Tam mamy zx =03865.38-5, z^lkScm. Dalej mamy z równ.(266) x₀ = [l 212 + 224

(264) D=150.7.

^g-) 42=22-1 1cg/cm\

•=33675 kg. Gdybyśmy chcieli uwzględnić także ci-

Zatem wedle równ.

22-1

śnienie w żebrze, to trzebaby jeszcze dodać AZ>=30. (1-4*8—‘7) —-—=2585-7, by-

A

loby więc dokładniej D=36261 kg.

Dalej mamy wedle (267) <re'=15 [l

35

14-8

) 42=481 kgfcm\

F'=

Wedle (268) mamy dalej z uwzględnieniem natężeń w żebrze [30000 (40-^- + 38-ö)

(l60 - 30) ¹⁴’⁸₂~⁷ 22-1 (s8-5 - 7

5=^73- (1725000—1B64000 + 298900)=27-3 cm1 o5.4ol

D'=27-3 X 481=13140 kg

(38-5—3-5)481

F'=

Z równ. (264) otrzymamy

150.14-8.42

(—Tb

Z=36261 +13140-30000=19401 kg

„ 19401    1Q,₇ ,    .

F=^ööö⁼¹⁹'ik!'lm■

Obliczmy teraz natężenie:

Mamy «,= — 19, bt=30 cm, fc=0*2, F= 19-63 (4 $25), F' = 28-27 (4$80), a—a, =3‘5 cm. Wedle (263) mamy

30

^⁼l50 f¹⁹"⁶³(³⁸‘5 +19)~²⁸'²⁷(—19—3-5)]—0-2².19² + 0-8.7 (7 + 2.19)

p—353—14-4 + 252=580-6

45

[28-27 (3-5 +19) (3*5 + 0-2.19)+19-63 (88-6 +19) (88-6 + 0-2.19)]-

loU

! 0-8.7.19.0-2(7 + 2.19) + ^-0-8.3.19-2.7)= = -15716-5 + 54-9 + -1436-4-1391-6=-18490

y=ll 18490+VT8490² + 580-6³ + ^/18490- VÏ8490H 580-6³=18-l «1=18-1—0-2.19=14-3cm. Wartość ta jest tu ta sama, co pierwej. Dalej mamy

—02³:19³ —

cm

30000.14-3

(14-3-7)²

¹⁵⁰-₂¹⁴:3a_₍150-30)    ₂

+15.28-27 (14-3-8-5)-15.19-63(38-5-14-3) , Tj=44-7

Ge' H---

15(14-3-3-5)

14-3

44*7=506 kg jem²

Ge —

15(38-5-14-3)

14-3

Tu więc są natężenia za wielkie F i F' mniej więcej o 15%.

44 7=1135 kgjcmt.

należałoby zatem zwiększyć

G. Wykreślne wyznaczenie osi obojętnej.

§ 61. Belka zginana.

Autenrieth podaje prosty sposób wyznaczenia osi obojętnej w belce zginanej w fazie la. Polega on na tern, że zmieniamy siły, proporcyonalne do powierzchni, w stosunku do spółczynników sprężystości. Dany przekrój dzielimy na paski i kreślimy dwa wieloboki sił dla betonu u góry i dla betonu i żelaza u dołu. Przyjmujemy dla obu jednaką odległość

7*5

t—

Ł__

£♦« K

f. i f.

Rys. 95.

¹—“““i

----w—■—

iTrïïTi

!i

Cd

■ps

15 pl

Rys. 96.

biegunową h (rys. 95.) i kreślimy wieloboki sznurowe jeden z góry, drugi z dołu. Przez punkt przecięcia się S boków obu wieloboków przechodzi oś obojętna, bo momenty statyczne górnej i dolnej części przekroju są równe.

Wedle Mohra J==2b.DZS.

Teraz obliczamy natężenia •

Mz

Mz.

*2 =

Zupełnie w ten sam sposób da się wyznaczyć oś obojętna w fazie Ib z tą tylko różnicą, że w dolnym wieloboku sił odcinamy 0-4/5, 0-4/₄ itd. Dalszy tok konstrukcyi ten sam.

Dla fazy IIb konstrukcya jest bardzo podobna (rys. 96.) tylko, że tu nie uwzględniamy ciągnienia, więc w wieloboku sił u dołu mamy tylko 15 F.

Zawilszy wypadek przedstawia (rys. 97.), gdy uzbrojenie jest umieszczone w całym przekroju. Tu dzielimy znów przekrój na paski i kreślimy wielobok sił, najprzód z prawej ku lewej siły odpowiednie paskom betonu, potem w odwrotnym kierunku siły odpowiednie przekrojowi żelaza. Kreślimy od a począwszy

i»-

OS

./a.

'•Q

tą>..

.J*

g__jVp

ijH

t*-

Rys. 97.

wielobok sznurowy ahg. Dla dowolnego przekroju NN' moment statyczny sił, na prawo leżących, Sp=h(r's' -\-t'u'), sił, na lewo leżących dla fazy IIb S,==k.ł'v', bo ciągnienia w betonie nie uwzględniamy. Dla osi obojętnej musi być moment równy zeru, więc rs-\-tu = tv, rs>=tv—tu—vu. Z rysunku widzimy, że vu jest tu różnica rzędnych między prostymi hh i gg. Dla osi obojętnej XX. uvi1 moment statyczny całego uzbrojenia, musi być równy momentowi statycznemu betonu po prawej stronie rs. W tym celu robimy albi=w=glhi, punkt 5, łączymy z S i otrzymujemy punkt przecięcia s,, przez który przechodzi oś obojętna.

Rys. 98

ktu E' kreślimy linię prostą GE', któraby wyrównywała powierzchnię momentów kreskowaną.

Konstrnkcyę tę jeśli zastosujemy do przekroju żelbetowego w fazie II b, to musimy tu uwzględnić tylko przekrój żelaza i ciśnioną część przekroju betonu. Jeżeli siła zaczepia w E (rys. 99.), to kreślimy najprzód wielobok sił dla betonu i żelaza, wielobok sznurowy, a z punktu E' kreślimy znów prostą E'G tak, aby powierzchnie kreskowane były równe.

9 Por. Podręcznik Statyki Budowl. str. 446.

11

Jeżeli uzbrojenie jest symetrycznem, to środek ciężkości żelaza jest tam, gdzie betonu, jednak 8 i Si niekoniecznie szą być w jednym punkcie. Jeżeli powierzchnię kreskowaną nazwiemy A, to J=2hA.

mu-

§ 62. Ciśnienie mimośrodkowe.

Jeżeli przekrój słupa jest dowolny, siła działa jednak w osi głównej w E (rys. 98.), to oś obojętną wyznaczamy pomocą znanej konstrukcyi *), która polega na tern, że z pun-

za-

II

-X

iF-

.. o

Ol'

Dr. M. Tłmllie. Teorya żelbetu.

H. Wyznaczenie wymiarów zeskładów żelbetowych ze względu na koszty.

§ 63. Uwagi ogólne.

Poprzednio idąc za wywodami Haberkalta i Postuvanschitza, uważaliśmy za naj ekonomiczniej sze wymiary zeskładów żelbetowych wymiary przekrojów idealnych t. j. takich, w których równocześnie osiągnięto natężenie dopuszczalne na ciągnienie żelaza i na ciśnienie betonu. Dla płyt mają być te przekroje

:.....f

fcl

il

'o

Rys. 99.

dla austryackich cen materyałów prawie zawsze najekonomicz-

b'

niejsze, dla przekrojów teowych, gdy — > */₄.

Kwestya ta nie przedstawia się jednak tak prosto. Zajmował się nią między innymi Dr. Maksymilian Mayer. (Die Wirtschaftlichkeit als Konstruktionsprinzip in Eisenbetonbau, Berlin, Springer 1913), i wedle jego wywodów postaramy się tę sprawę bliżej omówić.

§ 64. Płyta z jednej strony uzbrojona.

Jeżeli obliczymy wymiary płyty idealnej, to chcąc zmniejszyć koszty, możemy zwiększyć grubość, a przez to pomniejszyć przekrój żelaza. Że płyta cieńsza o większej ilości żelaza nie może być tańszą, jest oczywista. Zbadajmy więc, kiedy przez powiększenie grubości płyty można zmniejszyć koszt.

Z rys. 100 mamy

zatem

Z\(JC

więc

bz\

30 (dj —z{ )    F’

15 (rf, —zt)

bz\=Z0F(dx—Zi) .    .

.    .    (275)

Z równ. M=Foe

mamy zi

= 3(,

oeF

co wsta-

wiwszy w równ. (275), otrzymamy

9 b(d,

oeF

)-304*.-8 (*,-£)]

, a stąd

dx

30 F M

Fo,.

900 F¹ 30 M 81 b² ł 9 ba,.

.    (276)

i'S.......

■tf-i..........-

k......s*.....*\

TH*

MN

>F6e

Rys. 100.

Pochodna tej funkcyi ze względu na F

30 F

dd

30

dF

9 b    F²ae

-»/“Zł    30 Mb

V',+t

.    (277)

.    .    (278)

Koszt płyty k=diß=erF . w halerzach, jeżeli ß oznacza cenę jednostkową, betonu w koronach na 1 ?w³, e żelaza w kor. na 100 kg a r spółczynnik ustrojowy wkładki żelaznej. Koszt części płyty poniżej wkładki, jakoteż rusztowania, pomijamy jako ilość stałą.

Z rown. (278) mamy dk=ßddi Ą-erdF. Dla najmniej szóści dk—0, więc

dd dF

To równanie wraz z (277) wyznacza nam Fl, dla którego koszt płyty jest najmniejszym.

Zbadajmy teraz, kiedy będzie ekonomicznym przekrój

idealny.

Z równ. (279) otrzymamy

dk

dd

dF dF

\-sr=£r—ß

M 30

30 F

F²ae 9 b ⁺

Wstawmy teraz za *F największe i najmniejsze wartości z tabl. XVIII. str. 63, a mianowicie: dla ne=818, ^=34-2, mię-

1:3, ^=0-00336^1000 =0-03361to Ł=£r-1-1230.

dr

1-123    «    .

-. Dla płyt cią-

szan.

die    F

Jeżeli ^-^<0, to er < 1-123/5, więc — <

£

głych należy przyjąć r=l-35, więc -yö-<0-83, 0>l-2«.

lei

Dla płyt w dwu krawędziach podpartych r=1, więc 0>O-89 e. Podobnie przyjąwszy dla ^=32, <7e=1000, lF= 0-02412^M,

dk

£

—er—1-744/i. Dla płyt ciągłych r=135, więc -r-<

dF

1-744 1-35 '

-->0-775. Dla płyt podpartych r= 1, więc —>0-56. £ £

Mamy więc następną tabliczkę XXX.

ß ^=34-2 najw. — dla ff‘ _ ffl8

tl =32

” ae=l 100

płyta pod- płyta ciągła parta r=1

r==l-3B

0-89

0-56

1-2

0-775

najm. ~

Jakież mogą być ceny jednostkowe betonu i żelaza? Zależy to od wielu okoliczności. Przyimiimy wartości skraine dla «=38 i 22, 0=50 i 20, to

• ß 50 naJW- 7” 22“²'²

najmn.

CO UJ

20

: =0-53.

38

Widzimy więc, że dla zwykłych cen żelaza i betonu, przyczem należy rozumieć cenę jednostkową już w gotowej

płycie, -- j est dla płyt zwykłych (r= 1) większem, niż w tabliczce, £

a nawet można to powiedzieć i dla płyt ciągłych. Jeżeli jednak beton jest tani a żelazo bardzo drogie, to może się opłacić, zwłaszcza dla płyt ciągłych, przyjąć większą grubość płyty i zmniejszyć natężenie betonu. Przez to zmniejszyć możemy ilość cementu w betonie, a zatem i cenę jego jednostkową.

Jeżeli przyjmiemy 0 = 100cm, to z równ. (279) i (277) otrzymamy dla najmniej szóści kosztów

ô= +0-0334

F²ae

Mając ô i ae, możemy stąd obliczyć F, ale chyba przez próbowanie, bo równanie to jest ze względu na F szóstego stopnia. Wyraz ostatni w równ. (281) jest bardzo mały tak, że możemy go przynajmniej na razie opuścić, a wtedy obliczenie F z równania jest łatwem.

Mayer podaje tabelkę, obliczoną dla oe —1000 kgjcm2 i ue= 1200 kglcm², których można użyć tylko dla budownictwa.

W innych wypadkach możemy użyć przybliżonego wzoru

*-V?-Vf y?

. . (282)

k

Przykład. Niech będzie ß=24-^j-, E=36h. Płyta niech będzie ciągła. M=50000 fc^/cm², i=100 cm, oe=1000, tj=37, r=l*4. Znaleźć grubość najtańszej płyty i jej uzbrojenie.

Dla płyty idealnej (wedle tabl. XVIII. str. 63) jest

=9-3, d — llcm, ^=0-002738 VöÖÖ0ÖTIÖÖ= 6-14 cm²,

zatem 8 ($10 mm czyli 6'28cm². Koszt na 1 m² płyty bez kosztów opierzenia i warstwy poniżej wkładki dolnej wynosi wedle (278)

k=9-3.24+ 36.1*4.6-28=223+316=539-^-.

mL

Tu mamy wedle równ. (279)

^ =04146

50000

100

8=

36.1-4

=21.

czyli

Z równ. (281) mamy

21= +0-033 +

50000

FK 1000

30 y F* +

30.50000

100

2-066=

50

F'¹ 30 Vi^²+15000’ z czego po paru próbach otrzymamy ,F=4"9 cm².

6*28

Dla przekroju idealnego jest p'=~Q>c,-=0-68. Tu będzie p' mniejszem.

y*o

Dla p'=05 mamy wedle str. 67 0r₁/'=0‘475, więc dx =0⁻475y

50000

100

-, d=10-6,

zatem p¹—

I !»

10-6

=0*46. Przyjąwszy p'=0'45, to z tablicy mamy Oj'=0-5,

więc dl =0-₅y

¹50000

4-085

=0’435. Przyjmmy p’=Q'Ł2₁

=11-2, zatem p'=

4-05

= 11-6, stąd w,=--j-_g-=0,42. Możemy więc zatrzymać

dj = ll*6 cm. Mamy wtedy k—11-6 X 24 + 36.1-4.4⁻85=242 + 244=522. Widzimy więc, że koszt jest nieco mniejszym. W praktyce różnica jest jednak tak małą, że zakrytą zostanie zaokrągleniem grubości płyty lub średnicy prętów.

Wedle równ. (282) mamy przybliżone

to dx =0-52^

dx

100

11-2

50000

100

50000

1000

= 10-3 cm, a więc nieco mniej.

§ 65. Płyta uzbrojona w dwu kierunkach.

Tu zmienia się tylko r, mianowicie, jeżeli płyta spoczywa na krawędziach r=2xO-9 = T8, jeżeli zaś płyta utwierdzona na krawędziach r = 2xl‘2 = 2-4.

Jeżeli teraz obliczymy podobnie, jak poprzednio, to stwierdzić możemy, że wtedy płyta idealna jest najekonomiczniejszą,

m² betonu kosztuje więcej, niż a razy tyle, co kg ze-

laza. Przyczem a będzie

jeśli

T—

100

dla płyt

wolnopodpartych utwierdzonych r=1-8

r=2-4

T,/o-e=34-2/818 „ =32/1000 „ =42/1000 „ =25/800

1-6

1-05

1-6

2-14

1*39

2-14

Tu, j ak widzimy, bardzo często w praktyce zdarzyć się może a mniejsze i wtedy należy zmniejszyć natężenie betonu, zwiększyć grubość płyty, a zwłaszcza dla betonu taniego a żelaza drogiego. Dla płyt utwierdzonych w regule należy przyjąć grubość płyty większą, niż idealna.

Przykład. Przyjmijmy z Haberkaltem dla budynku płytę wolno-leżącą na czterech, krawędziach o rozpiętościach w świetle 1-9 m i 2'85 m. Obciążenie największe równo rozdzielone Q=1200kg. Beton 1:3.

Wedle rozporządzenia austryackiego (§ 82.) rozdzielamy Q na dwie części, działające na płyty, uzbrojone w kierunkach do siebie prostopadłych. Kozpiętość przyjmiemy 1'05.19=200 cm i 2‘85. P5=300 cm, zatem

«=—=1*5. Przyjmijmy k=~—0 3. a    ba

Na jedną płytę wypada

» druga »

0-3.2² + 32 0-3.2²

7200=6363 kg,

7200=847 kg.

0-3.2² + 3²

Dla rozpiętości 2 m mamy Ma =    6353.200=158825 kg cm

847.300=31762 kgcm.

V)

V)

Mb=

8“

Dla momentu Ma liczymy grubość płyty idealnej dla rt=32 kg/cm*,

a,,=1000. Mamy więc d, =0⁻4648 ^

= 10-7, jP=0⁻002412j 158825.300=

158826 300

= 16⁻65cm² albo na 1 m szerokości F--

¹⁶ ’⁶.⁵-=5-55 cm².

O

Dla kierunku poprzecznego mamy F'=0'3F—l'66bcm².

Zatem przyjmiemy w jednym kierunku 6 prętów po 11 mm, F=b7 cm*, a w drugim 6 prętów po 6 mm F'=V7cm², grubość płyty d = 10'7 +

1-1

H—-—|-10=1225, zamiast czego przyjmiemy 13 cm.

•Koszt bez uwzględnienia warstwy dolnej pod uzbrojeniem wynosić ma na lm² fc = 10*7.24 + 36X0-9(5-55 + l-67)=49()-7/<.

Tu mamy wedle równ. (279)

o=

36.18

24

=27.

Podobnie, jak dla pojedynczego uzbrojenia, otrzymamy tu

30

dl 9 b

(F-F'v)

F Ge

Vs.(

Ge' \ ²

F—F' — )

Ge /

30 M

F-F'

Ge'

Ge

9 b Ge F

Pochodna tej funkcji ze względu na F, gdy F'=<xF a Ç=l—q-CTe

Ge

30 F

ddj ₌ _ 30 M dF ~    9b    F*oe ⁺

Dla 0=100 otrzymamy analogicznie do (281) 8=0-033 Ç+ M

F‘lae

3₀y^₊ -⁰~y^,

Wstawmy teraz wartości, otrzymamy wtedy Ç=l-0-3i=0-8B

2-7=0-033.0-85 +

52942

.FU000

30

y.F²0'85² +

30.158825

1000

0-85

2-672=

52-94

30 V 0-722^2+4050-1'

Drugi wyraz jako bardzo mały możemy opuścić. Mamy wtedy 52-94 2-672

Wtedy F'=4-33.0-3=1-3 cm².

Dla przekroju idealnego jest p'=

F²—

= 19-7, i^=4-33cm².

5-55

10-9

=0"51. Tu będzie p' mniejszem.

Dla p'=0-48 będzie 0^=0'48, więc dt=0’4.8^

158825

300

-— = 11-05, zatem p'—

4-33

11-05

zatem p’—

=0-4. Przyjmijmy p'=0-44, to =0'bb, di—0-50b^

=3-8. Przyjmijmy p'=3‘7, to Cl'=0'bb,d₁ —0‘bb^

4-33

11-6

158825

300

= 11*6 cm,

158825

300

=12-9,

zatem p‘ —

4-33

12-9

=3 4. Grubość 12-9 będzie za małą, przyjmijmy więc dx =13⁻5.

Wedle (54) otrzymamy

15.4-33 i/15.4-33 ( 15.4-33

10Ö ^ V

zt =

100

100

+ 2.13-5^ =3-58 cm,

52942

ae = 4~33:(Tÿ5-3-58)=993 kff/cm’

2.52442

100.3-58

(¹⁸-B-ir)

Grubość może być trochę mniejszą, przyjmmy 13"4 cm.

Dla tej płyty wynosi

Jc=13-4.24 + 36.09 (4-33 +1*3)=504 h.

Widzimy więc, że tuśmy na cenie nic nie zyskali, że nawet płyta jest nieco droższą. Gdyby z powodu mniejszego ciśnienia w betonie można

było zmniejszyć cenę betonu, to możebyśmy mieli pewną oszczędność, która przy płycie ciągłej byłaby większą. Jednak musimy zwrócić uwagę na tę okoliczność, że ciężar własny grubszej płyty jest większym, oszczędność zatem w każdym razie nie będzie wielką, cbyba przy bardzo dro-giem żelazie.

§ 66. Płyta obustronnie uzbrojona.

Płyta taka rzadko jest używana, mianowicie wtedy, gdy obciążenie może działać i z jednej i z drugiej strony, a moment jest prawie równy. Tu zawsze należy przyjąć r—2’0. W podobny sposób licząc, otrzymuje autor wartości a=l*8 do 4'6, a więc tu zawsze należy przyjąć mniejsze ri} nie większe, niż 25 do 30 kg jem².

§ 67. Belka teowa.

Ponieważ powiększenie wysokości belki teowej o dh wywołuje tylko powiększenie powierzchni o b^^dh, a więc znacznie

■X.

i-

*

i.

i-T

fl

rc

ćr,-eJ

Bys. 101.

mniej, niż bdh, zatem tu tern bardziej nie będzie najtańszą belka idealna.

Jasną więc jest rzeczą, że belka najtańsza będzie miała tylko oe dopuszczalne, zaś xi znacznie niższe.

W przybliżeniu możemy tu napisać (rys. 101.)

UOe

.    .    (283)

Koszt belki będzie w przybliżeniu

k=b

uß+ +2 |u—j

sz+Fre.

.    .    (284)

F=^°r=24cm, i/=15 + 0,4x25=25o«.

60. 1

Rozumie się, że jeżeli belka jest ciągłą, przyjmiemy r=l*4.

§ 68. Przekrój ciśniony mimośrobkowo.

Przypuśćmy, że mamy dane M i N, wyznaczyć należy dla danego przekroju i danych natężeń F i Faby koszt był jak najmniejszy.

Najprzód należałoby zbadać, czy wogóle opłaci się dawać uzbrojenie podwójne. Uzbrojenie w ciśnionej części zastępuje 15 razy beton, więc, aby się opłaciło, musi być

. . (288)

r £<

Koszt płyty przyjmiemy stały, bo grubość jej już jest dana, więc jako stały nie uwzględniamy, to samo i dolną warstwę betonu a grubą. Za to uwzględnić musimy koszt szalowania sz, ale znów tylko żebra, bo koszt szalowania płyty jest stałym.

Wstawiwszy wartość za ^ z (283), otrzymamy

Mrs

k=biuß+ r^+2 (u — -|-)]

sz +

uoe

.    .    (285)

Chodzi teraz o przyjęcie szerokości żebra b'. Mayer proponuje wzór doświadczalny

bi = 15 + 0-4 F cm

. . (286)

Wartość za b{ wstawimy z (286) i (283) w (285) i otrzymujemy

0-4 M

&=^15 +

0-4 M

uae

Dla najmniej szóści

15 +

uoe

sz-\-

Mrs

'U'2 @ e

dk

du

=0 = 15 + ^2

0-4 M

Mre U² (Je

stąd

Przykład. Przyjąwszy

M. / 0*4 sz Ą-re Oe l 15 ß + 'ZsZ

n. p. fj=24Ä:/m³, s=25^

.    .    (287)

otrzymamy, przyjąwszy siły w t, wymiary w cm M=lbtm, oe= 1000 kgjcm‘l=\ tjcm

sz = 2'5 fc/m®, koszt w haljm belki, gdy

■t/1600 /

H-ri

04.25 + 1-0.2-5

15.0-24+ 2.2-5

^ = 60 cm,

15/?

> 6-67, co nie jest możliwem, więc uzbrojenie podwójne w ogóle się nie opłaca.

Jeżeli r— 1, to musi być

Pomimo tego nieraz dajemy uzbrojenie podwójne ze względów ustrojowych. Najtańszy ustrój będzie wtedy, gdy F-\-F' będzie naj mniej szem.

Przypuszczamy znowu w przybliżeniu, że uzbrojenie ciś-nione F' jest w środku ciśnienia i że na przekrój działa siła 2N (rys. 102.).

F’^i

N'

«ridü

--

i---

t-JL

Rys. 102.

Mamy wtedy

Tu aei=

Nazwijmy

a możemy napisać

(«,-£) <r.

Oc

«w

bzi Tj 2 a,t

.    (289)

2

g-. 15= 10tj; jeżeli to wstawimy, to 0-3 M

(3 di Z\ ) Tj

, _ ¹⁵*. rf ¹ ffe +15 T, ¹

_ ff„+ 15 Tt

^ ff«+ 10 T*

F^¹

di

M _ lOd^x. ^

F'

bz

20 ' *

.    (290)

•    (291)

.    (292)

1?' =

7—

ód

oe-{- Ï5

.    (293)

.    (294)

Zbadajmy, jak się zmieniają przekroje F i F' przy stałem ae a zmiennem xx.

dF

M dy

M (ffe-j-10^) 15—(ffe+15^)10

dxx dioe dxi

dxae

dx(Oe + 10 Tj)

.    .    (295)

di?'

3(7e²-t- 60t, oe+450z:.

dxx

30 dx x\

((Te+lO^)²

—-r-bd

Oe

i—¹

.    .    (296)

Jeżeli oba wyrazy dodamy i odpowiednio skrócimy, to okaże się, że snma obu wyrazów nie będzie nigdy zerem, lecz

—£■---*-

t*-------t'T---

pp—

h"4_>

—A1-

Rys. 103.

ilością ujemną. Więc jeżeli t, wzrasta, to F zwiększa się mniej, niż F' wzrasta. Na j ekonomiczniej więc będzie wyzyskać xx, przy tern pokaże się, czy jeszcze uzbrojenie ciśnione jest potrze bnem.

A zatem dla podwójnego uzbrojenia przyjmujemy xx dopuszczalne, a szukamy najkorzystniejszego oe.

M o⁻₍.² + 30T₁o'e+150'r? rfjffc² (c.+ IOt,)²

dF _ N

dOe    Ge²

.    .    (297)

dF'

. (298)

2dx(oe+ IOtj)* + 4    (gc+16Tj)

Oba te wyrazy dodajemy, czynimy równe zeru i obliczamy stąd Ge. Otrzymamy wtedy

doe

Oe

oe+15 T,

C \ M. i, (

M-

2    , \ . i 2.Vt

3    Ndl) V bd\ii '

(299)

C IR

ae==JHC I5 Ti • *

.    .    (300)

przyczem e' jest odstęp siły N od punktu E (rys. 103.) w jednej trzeciej części di. Więc oe tylko wtedy jest dodatnie, jeżeli e' dodatnie, gdy siła N zaczepia poza średnią trzecią d Będzie oe<oe dopuszczalne, jeżeli

Q

15Tl<.ae dopusz.....(301)

1—C

Najprzód należy badać wedle nierówn. (301). Jeżeli ta nierówność się sprawdza, to z (300) obliczamy an a potem z równ. (293) i (294) Fi F'. W danym wypadku możemy otrzymać F lub F' ujemne, gdy przekrój betonowy jest za wielki lub mi-mośród za mały.

Przykład. Na słup działa siła 281 w odstępie 24cm od osi. Przekrój słupa jest prostokątny, 6=30, d=h0cm, odstęp uzbrojenia od krawędzi 8cm, €=35, ß=25,    kg/cm², ae=1000kg/cm².

28000

Mamy więc N=———kg, 4/=28000.24= 672000 kg/cm². Należy wyzna-

U

czyć F i F'. Ozy opłaci się dawać uzbrojenie podwójne? Przyjmijmy r=l, 15.25

-, więc uzbrojenie podwójne się nie opłaca. Jeżeli ze wzglę-

to 1.35>

dów ustrojowych damy uzbrojenie podwójne, to wyzyskujemy t, =37 kgjcm2 a szukamy ae wedle równ. (299) i (300). Mamy tutaj

100

d, =50—3=47 cm, -^-=15‘7 cm, więc o

c“ Viölkfi (⁶⁷²⁰⁰° -1 •¹⁴⁰⁰⁰ • ⁴⁷)⁼⁰'⁴⁴⁰'

wedle przybliżonego wzoru mamy e'=24—(25—15⁻7)=14⁻7, stąd

=0-440,

c=i

2.14000.14-7 30.47*.37

0-440

ae==i=ölö¹⁵'³⁷⁼⁼⁴³⁶^/C7M2-

Teraz obliczymy przekroje z równ. (292) do (294)

T=

436 + 15.37    991

436 + 10.37    806    ¹‘¹’

F=

672000    14000

47.436    436

=36-1—82-1=4-0 cm²,

F'=

672000

10.47.37

l-l-³/t30.47.

37

436+15.37

=40-8-39-5=1-3 cm².

Uzbrojenie to będzie jednak ze względów ustrojowych za małe.

=12 cm², więc przyj-

0-8.30.50

Ponieważ najmniejsze uzbrojenie musi być

mierny może F=9cm², F'—2>cm², przytem natężenia tak w betonie jak i żelazie będą mniejsze.

100

§ 69. Przekrój ciśniony mimośrobkowo bez uzbrojenia ciśnionego.

Wedle równ. (294) F' — O, gdy

__<Je+15 Tj

10dixi ’ oe-\-104

ilf

<^+15^

.    .    (302)

a stąd ^'<0, gdy

6M

<(1-C)(2+C) ....    (303)

Jeżeli niema uzbrojenia ciśnionego, to z równ. (302)

(1—(7)² (2+ C) 90M

bd\ oe

.    .    (304)

zaś

1-0 ae

Zl C 15

Jeżeli przyjmiemy, to obliczyć należy z równ. (305) oe i próbować, czy wypełnione równ. (304).

.    .    (305)

Przykład. Dla poprzedniego przykładu bez uzbrojenia ciśnionego mamy, jak pierwej (7=044. Obliczamy teraz z równ. (300) ac,

15.37.0-44

CTC =

1-0-44

=436.

Próbujemy teraz, czy równ. (304) jest wypełnione. Mamy wtedy (1—0-44P (2 + 0-44)

044

90.672000

" 80.47*.486

1-74 <2-99.

Widzimy więc, że prawa strona równania jest za wielka. Przyjmijmy mniejsze x,. Niech będzie r, =33 kg/cm*, to z równ. (299)

c=V

=0434,

2.14000.14-7

30'. 47*. 436

15.33.0-434 1-0-434

Próbujemy, czy równ. (304) jest wypełnione,

90.672000 “ 30.47*.380 *

<*c =-

=380,

(1-0-38)* ,2 + 0-38)

0-34

1-485 < 2-4.

Nierówność jest jeszcze większą, trzebaby więc t, zwiększyć. Jeżeli to jest niemożliwem, musielibyśmy zatrzymać ae=436, a stąd, jak pierwej F=4*0 cm*. Ze względów konstrukcyjnych jest to za mało, możemy przyjąć

F=-

0-8.30.50

——=9 cm*.

§ 70. Przekrój ciśniony mimośrobkowo bez uzbrojenia ciągnionego.

Z wzoru (293) można otrzymać F ujemne, wtedy przyjmujemy F — 0.

j—y—— a stąd

dx ae oe

.....(306)

Z równ. (293) otrzymamy wtedy

e'-cĄ, .

przyczem

e' = e—

di~ N

Ci

Oe

.    .    (307)

<7e+15 Tj

We wzorach tych należy wstawić xi dopuszczalne.

Jeżeli niema wcale uzbrojenia ciągnionego, to należy najprzód zbadać, czy wogóle uzbrojenie ciśnione jest potrzebnem.

----JOu

Eys. 104.

Stanie się to wtedy, gdy inaczej ciśnienie betonu byłoby za wielkie. Ciśnienie to obliczymy (rys. 104.) z wzoru

2 N

Jeżeli byłoby za wielkiem, to, rozumie się, przyjmujemy T, dopuszczalne i uzbrojenie ciśnione.

Dla tego wypadku mamy

(308)

bz

N=—~Ti+Foe 0=^ Tj ^—cj—F'Oet (c—a)

₃y bxi Ja²ÔTj + -|-iV(c—a) J

• (310)

a że

Oe

——15 %x

to

F' =

fł-)

2 Tl .    .    .    (309)

30 (zi—a) {g—a)

Oe'

zaś

zi=Ya+

Vf■■

6iV (c—a)    3

2bxl

■i-¹--

L<----

" V----A—

&U.

I

Rys. 10B.

bd(2zi —d)+oOF,(z[ —a)

Zwykle wypada zi>d (rys. 105.), wtedy płaszczyzna ciśnienia jest trapezem i otrzymamy 2 Nzx

6Nz^c

Ti

bzs—b(zi—d)² (2d-\-Zi) + 90F'afa—a)

stąd otrzymamy

bd²

2—{2d—3d)—bd²

Ti

60

.    (311)

bd [d²—3 a(d—a)]-f-3 — a(c—a)

Należy jednak przytem zbadać, czy % nie jest za wiel-kiem z równ.

Tl==&d*~(2rf-3c)’ •    •

gdyż w takim razie trzebaby dać uzbrojenie.

Przykład. Na słup działa siła 28# w odstępie Ihcm od osi. Przekrój słupa jest prostokątem 6=30, h=h0cm, odstęp uzbrojenia od krawędzi 3 cm, tj =37 kg jem² ae=1000 kgjcm², M=28000.15=420000 kgem, dt=50—

=14000    e/=15-(25-^)=5-7cm.

o    „    28000

—3=47 cm, N=-—-—

u

Wedle równ. (299)

c=V:

2.14000.5-7

30.47².37

=0-255

Ge=

0-2^^

ï^15.37=!90 kg/cmK

Wedle równ. (292)

7=

190+15.37

wedle równ. (293)

190+10.37

=133,

F=

420000

47.190

1-33-

14000

190

=626-737=-111.

ciśnienie t,=-

= G4:kg/cm², więc za wielkie. Potrzeba tu wkładki

Musimy więc przyjąć F= 0, badamy wedle (308), gdy c=25—15=10, 2.28000 3.10.30

ciśnionej. Wedle równ. (310) jest

^=-|⁸ +

3 y 30.37 [3².30.37 + -jj- 28000 (10 — 3)] 2.30.37    ⁼

4-5 + 32-8=37-3 cm.

Tu zt<d, więc wedle równ. (309) ae=

37*3-3

37-3

16.37=610 kg jem², a

28000-

30.37-3

.37

F' =

510

=14-3 cm².

Przyjmiemy 5(^14 czyli F'=1A‘2 cm².

I. Ugięcia i zeskłady statycznie niewyznaczalne.

§ 71. Zasada obliczenia.

Wiadomo, że gdy jakiś zeskład jest statycznie niewyzna-czalnym i brakuje pewnej ilości równań do wyznaczenia niewiadomych, to brakujące równania uzyskujemy, badając odkształcenie zeskładu. Sposób podparcia zeskładu określa pewne warunki podczas odkształcenia, z których otrzymamy te brakujące równania. Nim więc powiemy o układaniu takich równań, zastanowić się musimy przedtem nad wyznaczeniem odkształceń zeskładów żelbetowych.

12

Dr. M. Tłrallie. Teorya żelbetu.

§ 72. Odkształcenie zeskładów żelbetowych ciągnionych i ciśnionych.

Jeżeli chodzi o wyznaczenie odkształcenia prętów ciśnionych lub ciągnionych, to dla prętów jednorodnych mamy wzór

.    .    (313)

■ ■

(314)

Dla prętów żelbetowych ciągnionych dla małych natężeń możemy użyć tego samego wzoru, przyczem F oznaczać będzie przekrój urojony F= Fh + nFe, a n możemy przyjąć równe 10 do 15.

Wzór ten ważnym jest aż do natężenia w betonie, równego spółczynnikowi wytrzymałości betonu na ciągnienie. W fa-

loooo

-V

gooo

600o

koo‘(p7%

wn”'

=>*2cO “=•

J0Ô0

t.i

6ooû

.. Sûûû

5 4000

<U

4 3000

-i

1000

f-r

f-/

if-

!r $Q_c

9H-

S:--

200 tar

'•S^OO

rosce

y/gięć;

k> m.rrv.

f/

Rys. 106.

zie lia beton się przedłuża dalej bez wzrostu natężenia, dalsze

(315)

AP

więc przedłużenie /Dj—-^-^2

JcjePe .

" W chwili przerwania betonu cała siła przenosi się na żelazo i wtedy całkowite przedłużenie’ liczyè należy wedle równ. (313), wstawiając E=Ee i F=*Fe.

Dla prętów ciśnionych dla natężeń niewielkich, a więc także dla natężeń dopuszczalnych, należy odkształcenie liczyć wedle wzoru (313) i (314) dla 10 a E= 210000.

Przy większem ciśnieniu n wzrasta, a E maleje aż do złamania. Dla słupów owijanych po dojściu do granicy ciastowa-tości betonu dalsze odkształcenie zależy tylko od żelaza.

Jednak zazwyczaj chodzi nam o wyznaczenie odkształceń dla natężeń mało co wyższych od dopuszczalnych, a wtedy zastosować należy równania (313) i (314).

§ 73. Ugięcie belek żelbetowych zginanych.

Rozróżnić tu musimy fazę pierwszą, której odpowiada linia prosta odkształcenia ab (rys. 106.). Gdy nastąpi pierwsze

-Î4ÛOO

-rr-r-_

4*000

Hf

ar

---;

■10000

3000

6000

ii

ij

* 82oofcj.î\eriQ5ge.

----j-pskvçsie.—--

693 51^.? ue ?• 616^.

oste

•>    f

4ooo p> 2000

io rr\.n\.

©'S" -J'O -f'5" £o

Eys. 107.

pęknięcie, linia odkształceń się załamuje (rys. 106.) i jest dalej albo prostą albo też ku górze wypukłą (rys. 107).

Obliczenie w pierwszej fazie jest łatwem według znanych prawideł nauki o sprężystości zapomocą drugiego wieloboku sznurowego, przyczem zamiast J wstawić należy Jb-\-nJe. Po pierwszych pęknięciach wogóle dla fazy II i III byłoby za

Uwzględniając ciężar własny, przyjmiemy

P=1200 kg, więc y'=0-0189 c«i=0⁻189 mm P=2200 „    „ y'=0 0347 „ =0347 „

=9*5 ci»,

z—

trudnem obliczenie ugięcia zwłaszcza, że faza II istnieje tyłka w niektórych przekrojach, a w innych jeszcze faza I. W obliczeniu należałoby to uwzględnić, co dałoby się zrobić co najwyżej przy wyznaczeniu wykreślnem ugięcia. Należałoby mianowicie przy wyznaczeniu ugięcia uwzględnić moment bezwładności w każdym punkcie w tej fazie, w której się ten przekrój znajduje. Spółczynnik sprężystości przyjmujemy z wy-

F

kle E=Eb, Völker i Richter przyjmują E=Eb + nEb

Fb'

Przykład. Mamy belkę o przekroju prostokątnym, dla której b=29-9cm, h=30’8, l=2’0m, Pe=4-91cm², d₁=28,6cm¹). Belka obciążona jest dwoma ciężarami P w odstępie 0'5m od podpór. Ciężar belki wynosi 454 kg. Dla P=2Q00kg stwierdzono ugięcie y'=0275 œm, dla P = 1000 fcy y'=0’130mm. Mamy /=4*91:29*9=l⁻64 cm.

W pierwszej fazie jest dla »=10

30'8² + 2.2‘2.1-64.10 2 (30-8+ 1-64.10)

J=-129-9. (10-8³+17-8³) +10.491 (10'8-2-2)²=69080 + 8631=72711 cmK

Dla tego obciążenia wynosi strzałka Pd

(SI²—4o²). Tu 1=200cm, a=bOcm.

P. 50(3.200²—4.50)2 24.200000.72711

y'—

z—

= 10'8 cm,

24 iJ

Więc dla E=200000 kg(cm² y'=

=0-00001576 P.

Przyjmijmy »=16, jak w rozporządzeniu rosyjskiem, to 30-8² + 2.22.1-64.15 2(30-8 + 1-64.15)

J-=-|-299(9-5³ + 19-l³) + 15.4-91 (95—2-2)²=77960+3925=81885.

Więc dia ^=140000, ^--^SS^-OOOMP,

zatem dla P= 1200 kg, y'=0*024 c»»=0-24 mm „    „ P=2200 „ y'=0 044 „ =0-44 „

Widzimy więc, że rzeczywiste ugięcia były więcej zbliżone do wyników rachunku przy założeniu »=10, a wynosiły tylko 79% obliczonych.

Rozumie się, że zwłaszcza po przekroczeniu granicy pro-porcyalności ugięcie trwałe jest dość znacznem. Na rys. 106. i 107. widzimy to ugięcie zaznaczone.

ł) Por. Bach, Versuche mit Eisenbetonbalken. I. Th. belka 1. 10.

Rozporządzenie ministerstwa austryackiego z r. 1911 dla bud. § 12 ust. 5 i 6, dla mostów § 12 ust. 3 i 4.

Ugięcie sprężyste spostrzegane nie powinno przewyższać ugięcia, obliczonego na działanie obciążenia próbnego, więcej, niż 20%. Ugięcie trwałe nie powinno wynosić więcej, niż trzecią część ugięć sprężystych obliczonych. Przy ocenieniu wyników obciążenia należy uwzględnić ewentualny wpływ zmian ciepłoty.

Przy wyznaczaniu sprężystych odkształceń należy przekrój i spół-czynnik sprężystości betonu przyjąć wedle § 5 ust. 7 e (F=Fb + 15Fe, E= 140000 kg/cm² dla ciśnienia i ciągnienia).

Rozporządzenie ministerstwa rosyjskiego z r. 1911. In-strukcya A. do § 3. i 4. 9) W obliczeniach odkształceń sprężystych i natężeń w ustrojach statycznie niewyznaczalnych należy przyjmować stosunek n=15, oraz stałe znaczenie spółczynnika sprężystości betonu na ciągnienie i ciśnienie E—140000 Jeg/cm². W tych zaś wypadkach (p. 8), gdy w obliczeniu na zgięcie jest uwzględnione ciągnienie betonu należy przyjmować spółczynnik sprężystości betonu na ciśnienie £”=140000 kg/cm2 a na ciągnienie E—hQ000Jcfflcm².

§ 74. Dźwigary statycznie niewyznaczalne.

Jak wiadomo¹), jeżeli punkty podparcia są stałe w kierunku oddziaływań, to dla nich v=0, jeżeli końce belki są utwierdzone, to A(p=0, a stąd gdy L oznacza pracę odkształcenia, X nieznane statycznie niewyznaczalne oddziaływania, to

zatem

N dN

EFÖX

N dN

EF dM,

dL

dX

dx-j-

r    r

-dx-f- \

o    ^

M dM EJ ~dX M dM EJ dM.

dL

dM₀

dx+at ^

.    .    (316)

dx=0.    .    (317)

r ^ A

■~dX+at)^M₀

dx=0    .    (318)

Trzeci wyraz oznacza wpływ zmiany ciepłoty, pierwszy jest zwykle bardzo mały i możemy, licząc w przybliżeniu, go opuścić.

Ilości F i J w równ. (317) i (318) są te same, któreśmy poznali przy obliczeniu natężeń, F=Fb-\-nFe, J=Jb+nFe.

Zachodzi teraz pytanie, dla której fazy mamy wyznaczyć F i J. Otóż w zwyczajnych wypadkach przy dopuszczalnych natężeniach przeważna część zeskładu znajduje się w fazie pierwszej , a tylko niektóre, a może nawet żaden, w fazie II.

a) Por. Podr. Teoryi Mostów część I. tom II. str. 131.

Dlatego obliczamy siły zewnętrzne zeskładów statycznie nie-wyznaezalnych dla założenia fazy pierwszej, a więc przyjmując współdziałanie betonu na ciągnienie i równe spółczynniki sprężystości na ciągnienie i ciśnienie. Licząc ściśle wedle fazy pierwszej, wypadałoby właściwie przyjąć n = 10. Jednak wpływ uzbrojenia na stosunek momentów bezwładności, o który tu chodzi, jest zazwyczaj tak mały, że rozporządzenie austryackie i inne każą przyjmować takie samo w, jak dla zginania, więc n=15.

Niektórzy inżynierowie idą jeszcze dalej, bo przy pierw-szem obliczeniu momentów bezwładności w celu wyznaczenia sił zewnętrznych nie uwzględniają wcale uzbrojenia. Ponieważ tu chodzi tylko o stosunek momentów bezwładności i ponieważ na razie dokładne uzbrojenie nie jest jeszcze zna-nem, więc dla pierwszego przybliżonego obliczenia jest to zupełnie wystarczaj ącem.

nie uwzględniając drugiej, nie

Zarzucićby można temu sposobowi obliczenia, że licząc tylko wedle fazy pierwszej mamy wyobrażenia o pewności zeskładu. Zarzut ten jest słusznym. Jednak ponieważ niektóre tylko części zeskładu znajdują się w fazie drugiej, a inne w pierwszej, ponieważ ze zmienia-jącem się obciążeniem coraz inne części zeskładu wchodzą w fazę drugą, uwzględnienie tego przy obliczeniu przedstawia niepokonalne trudności. Aby jednak uwzględnić pewność, o którą nam przedewszystkiem chodzi, obliczamy wprawdzie siły zewnętrzne na podstawie fazy pierwszej, lecz z wyznaczonych w ten sposób momentów i sił poprzecznych obliczamy wedle fazy lift natężenia, względnie na podstawie ich wyznaczamy wymiary.

W budownictwie żelbetowem mamy do czynienia zwłaszcza z następnymi zeskładami statycznie niewyznaczalnymi :

a)    Dźwigary utwierdzone i belki ramowe;

b)    Belki ciągłe;

c)    Płyty;

d)    Sklepienia.

§ 75. Dźwigary utwierdzone.

Dźwigar utwierdzony (n. eingespannter Träger) jest to-taki dźwigar, dla którego przy obciążeniu styczne do osi w miejscach utwierdzenia się nie zmieniają. Belka prosta może być poziomo lub ukośnie utwierdzona¹).

Utwierdzenie może być zupełnem (n. vollkommen), przy którem styczna do osi w miejscu utwierdzenia wcale się nie zmienia, albo też niezupełnem (n. unvollkommen), przy którem styczna do osi zmienia bardzo mało swe nachylenie, a zmiana ta zależna jest od łożysk, sprężystości podpory i belki i obciążenia. Ściśle rzecz biorąc, utwierdzenie zupełne jest nie-możliwem, bo zawsze mamy do czynienia z materyałami sprę-żystemi. Chodzi więc teraz o to, jak uwzględnić w obliczeniach niezupełne utwierdzenie.

Otóż zbadać należy w danym wypadku, jakie utwierdzenie możliwem j est przy danych wymiarach i materyałach i tylko takie niezupełne utwierdzenie możemy przy wyznaczeniu sił zewnętrznych uwzględnić.

Rozporządzenie minist, austr. z r. 1911 brzmi § B. ust. 2. Przy wyznaczaniu sił zewnętrznych i momentów zgięcia można przyjąć na podporze tylko taką wielkość utwierdzenia, jaką się osiąga w rzeczywistości przy odpowiedniem ustroju budowli i bez przekroczenia natężeń dopuszczalnych w odnośnych częściach budowli. Jeżeli dźwigar utwierdzony jest w murze z cegieł zwykłych na zaprawie wapiennej, nie należy dla wyznaczenia momentów dodatnich w środkowej części przęsła przyjmować w obliczeniu żadnego utwierdzenia.

Rozporządzenie minist, pruskiego z r. 1907 II. § 14. ust. 4. Przy belkach można uwzględnić w obliczeniu moment utwierdzenia tylko wtedy, gdy ustrój budowli jest tego rodzaju, że zapewnia dowodnie pewne utwierdzenie.

Utwierdzenie możemy osiągnąć przez ciężar muru nad częścią wmurowaną belki albo też przez zakotwienie. Obliczenie natężeń w pierwszym wypadku znane jest ze statyki²). W krótkości przypomnimy tu sposób obliczenia natężeń.

Wyznaczamy najprzód moment utwierdzenia M₀. Aby utwierdzenie zupełne było możliwe, musi być moment ciężaru muru G (rys. 108.) ze względu na B większym, niż (7,2, więc

•    • (319)

jeżeli d oznacza grubość muru. Ciężar muru, działającego na belkę, obliczamy, nie uwzględniając spójności muru, przyjmując rozdział ciśnienia pod 45° (rys. 109.).

*) Por. Podręcznik Teoryi Mostów, część I., tom. II., str. 2 i 4.

²) Por. Podręcznik Statyki Budowli, str. 439.

Możemy teraz przyjąć w przybliżeniu M₀ — C₂c=

2

^C₂a, więc C₂

3 M₀

Jeżeli siła poprzeczna w punkcie B belki jest Q, to

C\—C% ~\~Q......

Wyznaczywszy w ten sposób Cf i C2l możemy obliczyć

więc    =x:(a—x).

(321)

natężenie, bo Ci=xl~, C₂=xx    ^

u    Ł

bx

14

li

zł

JL

ta

'i

Rys. 108.

Rys. 109.

Mamy więc xx-^

bx xx'b(a—x)

f Q, albo

a—x

* bxx'(a—x)

z²

(a—x)

a stąd

x²

(a—x)

2    aQ

3    M₀-

Nazwijmy

m=

2aQ

to mamy

am as=—-

1+m

•    • (321)

Stąd otrzymamy wreszcie

r _ 2 ą _ a /

bx bx \ 2 a t 2C₂ _ SM0 ¹    b(a—x) ab(a—x)

3M₀

°)

.    .    (322)

To są jednak tylko natężenia wskutek utwierdzenia belki. Oprócz tego powstają natężenia wskutek siły G (rys. 110.).

Na przekrój BB₂ działa siła G i C₂ czyli moment

'2 ^ 2—z^=M' i siła podłużna N' = G—C₂.

jg—jp—fi

îfc-

fi

.n

U'

Rys. 110.

2

Mamy dalej z=x-\--^-(a—x) =

/d x+2a\

2a V"2    3    )

N' = G-

x+2 a

M₀

4a (3d—4a—2x)    .    (323)

.    .    (324)

a natężenia włókien skrajnych \ w B₂ i B :

N' SM' ' bd bd,1 N' 6M'    '    '

bd ⁺ bd-

Naj większe ciśnienie będzie, rozumie się, w B, mianowicie t=t₁ + t//

Przykład. Niechaj będzie d = 100 cm, a = 50 cm, G = 25000 kg, My=600000 kgem, Q=6000 kg, 6=40 cm.

w B t' = -

.    .    (325)

w B₂ %" =

.    .    (326)

Otrzymamy wtedy z równ. (320) C\ =

3.600000

2.50

= 18000 kg. Z równ.

(321) c, = 18000 + 6000=24000%, wedle równ. (321) jest

50.1-27 *“"1 + 1-27.

m=f ₊

2.50.6000

3.600000

=1*27,

=280 cm.

Przypuśćmy, że słup jest betonowy, a podkładek żelaznych niema, to wedle równ. (322)

"i =

2.24000

V=

40.28

2.18000

=42 9 %/cm²,

40(50-28)

=40‘9 %/cm².

50

2S—*■

c-zi

Bi

Dt.

N-.-o

<N vo ^t-<T

___ t

Rys. 111.

. 2    2o + x

l)alej mamy « = a; + =-(<*—*)=—— o    3

2.50 + 28

=42-7 cm.

100

Wedle równ. (319) jest 25000.—^--18000.42'7 = 481490 %cm, więc

u

dodatnie, ciężar obciążający G jest dostatecznym. Dalej mamy

.¥'=18000. (-^-—42-7) = 131400 %em,

IV'=25000—18000=7000%, więc 6.131400 40.100*

6.131400 40.100 ⁺ 40.100*

więc w B t=42-9 + 3-7=46-6%/cm*, ciśnienie w f?₂ 40-9—0-2=40-7. Jeżeli ciśnienie 46‘6%cm jest za wielkie, to trzeba użyć podkładek żelaznych szerszych.

t' =

l" =

7000

40.100

7000

=—0 2 %/cm²,

= + 3⁻7 %/cm²,

Towarzystwo inżynierów i architektów w Wiedniu wykonało doświadczenia z belkami utwierdzonemi, których wyniki ogłosił Emperger¹). Okazały one, że przy przyczółkach be-

ł) Por. Mitteilungen über Versuche ausgeführt von Eisenbeton-Ausschuss. Heft 4. Versuche mit eingespannten Balken von Emperger 1913.

tonowych, ceglanych na zaprawie cementowej, a nawet przy przyczółkach na zaprawie wapiennej, jeżeli belki tkwią jednak w bloku betonowym lub w części muru na zaprawie cementowej, liczyć można na zupełne utwierdzenie. Tylko jeżeli belki tkwią w murze na zaprawie wapiennej, nie możemy liczyć na utwierdzenie zupełne.

Dalsza serya doświadczeń obejmowała belki zgrubione przy podporach. Wykazały one, że wzmocnienia te przy podporach zwiększają jeszcze bardziej wytrzymałość i to nie tylko przy belkach utwierdzonych, ale nawet i wolno podpartych. Wzmocnienia te działają poniekąd jako ramy.

§ 76. Belki ramowe.

Nie tutaj jest miejsce podawania teoryi dźwigarów ramowych. Tu przedstawimy tylko pokrótce, jak wedle rozporządzenia austryackiego można obliczać w przybliżeniu ramy jedno lub kilkopiątrowe.

§ 5. ust. 5. rozporządzenia minist, austr. brzmi: Belki ciągłe, połączone stale z podporami źelbetowemi jedno lub kilkopiątrowemi (dźwigary ramowe), można obliczać w przybliżeniu dla pionowych obciążeń, o ile nie wykazano sił zewnętrznych i momentów (dokładnie) w myśl ust. 3. i 4. — w następny sposób: Momenty ujemne należy przyjąć równe momentom tegoż przęsła przy utwierdzeniu zupełnem. Momenty dodatnie należy przyjąć równe momentom tegoż przęsła przy podparciu wolnem, jednak zmniejszone ze względu na momenty podporowe ujemne, powstałe przy temże obciążeniu a utwierdzeniu zupełnem, przyjmując tylko w rachunek dwie trzecie części tych momentów. Dla dodatnich momentów przęseł skrajnych nie należy na podporze skrajnej przyjmować utwierdzenia. Dla wyznaczenia momentów zginających w podporach należy uwzględnić powyżej podane zupełne momenty utwierdzenia przyległych przęseł, zakładając najniekorzystniejsze obciążenie przęseł. Moment stopowy podpory należy przyjąć równy połowie momentu głowicy tejże podpory, jednak o znaku przeciwnym. Siły poprzeczne i oddziaływanie należy obliczać, jak dla belek ciągłych.

Dla objaśnienia sposobu obliczenia podajemy poniżej przykład (rys. 112.). Tu jednak już zauważymy, że na słupy pośrednie oba sąsiednie przęsła działają w kierunku przeciwnym, że zatem jako moment utwierdzenia słupa należy przyjąć różnicę obu momentów utwierdzenia sąsiednich przęseł. W piętrze najwyższem uwzględnia się, rozumie się, tylko momenty przyle-

głych belek. W piętrach pośrednich uwzględnić należy jednak także momenty stopowe piętra wyższego. Jeżeli obciążenie jest zmiennem

to należy obliczyć największe momenty i siły po-

41

OLL

3*_Ca

5'od

4»!

Ct> B; \<S&

dł

OO./

4M

,3«

£) I iSa

m

Sr-

Eys. 112.

przeczne, a więc dla momentów w głowicach słupów należy obciążyć jedno z przyległych przęseł, drugie nie, a w piętrach sąsiednich odwrotnie.

Przykład. Dla obciążenia całkowitego ciężarem g₂=8,8t/m i gi = — l bł/m (rys. 112.) należy obliczyć w przybliżeniu momenty. Belki ciągłe AtDt i AiDi połączone są sztywnie ze słupami. Momenty ujemne liczymy w przypuszczeniu utwierdzenia zupełnego, więc

=_-L0-8.5>=—1-67 tm=M^

Lu

3/“=—-^-0-8.6*=—2-4 łm.

Momenty Mlę i 3/^ są takie same, jak i MDla wyznaczenia dodatnich momentów w przęśle środkowem zmniejszymy o */₃ momenty podporowe, przedtem wyznaczone, i otrzymujemy w ten sposób zamykającą. Najw. = -^-0-8.6²--2⁻4=20łm. Dla przęsła skrajnego wyznaczamy zamykającą, łącząc Az z punktem w wysokości */₃ M¹J1V

Dla wyznaczenia momentów w słupach mamy    Moment

w stopie Sa'——G¹^

—2-4 + 1-67=0-73łm a &'=-io-73=0-365f»«.

= + 0-83 łm.

Podobnie mamy G*j =M¹jlp—M^n = —

Na pierwszem piętrze mamy podobnie

4-¹'⁶-⁶-

=    U%-~

Największe momenty dodatnie są dla przęsła średniego najw. Mlm —

— 4 5 tm.

1‘5.6²—E-4‘5=6'75—3’0=3'75 tm.

Dla przęsła skrajnego wyznaczamy zamykającą łącząc, Ai z punktem w wysokości ²/₃ Mlm.

Dalej mamy moment u góry słupa Ga'=m\ +    = — 3⁻12+083 =

= —2é29tm, a Sa=^ Ga'=l‘14:tm, podobnie moment u góry słupa Gb'——

—4-5 + 3-12 + 0-365 =—1-015tm, a    Gü'=~V0lh=0-hltm.

§. 77. Rama jebnoprzęsłowa.

Powyżej podany przybliżony sposób obliczenia nie stosuje się do ram j ednoprzęsłowych, które możemy zresztą łatwo obliczyć dokładnie.

Podamy tu w krótkości wzory dla ramy j ednoprzęsłowej o równo wysokich słupach.

a) Rama prostokątna. a) Słupy przegibnie podparte.

to

Dla obciążenia siłą P (rys. 113.), jeżeli nazwiemy

<7, h

J* l * '

3 Px(l — x) ~"2hl(2(p + 3)

<P

.    .    (327)

.    .    (328)

kowym g

Dla obciążenia pionowego zupełnego ciężarem jednost

ffl²

.    .    (329)

4A(2?> + 3)    *    ’

Dla obciążenia siłą poziomą W (rys. 114.)

(p[ihz+yz—W “    h³(2(p-1-3)

Dla obciążenia poziomego zupełnego ciężarem jednostko-

~    •    (330)

wym w

llgp+18 wh

2 <p+3    8

ß) Słupy utwierdzone (rys. 115.).

11=

3 z(l—x) p

2 hl (2 + <p)

Ma

Px(l—x)

0,=P

l—x

Li___

L 2 -j— ęo    Z(l + 6qo)

x(l—2 z) ^²(1 + 6qp)

l—2z

.    (331)

sa

À*

«ç —

--

—i—

—>-

E 2>, i

ii.

■5»-

V-H

Rys. 113.

Rys. 114.

ES.

■<—I---1-----3

E.a

0,

Rys. 115.

Rys. 116.

Dla obciążenia zupełnego ciężarem jednostkowym y

H„=

4 Ä (2 + ępj

co

MAg

gl²

12 (2 +y)

9l

(332 a)

°h—o

Dla obciążenia siłą poziomą W (rys. 116)

Py²

2 Ä²

| y i+2<jp

2 + <jp

Ma

Py²

[i_ S(p . ¹⁺jł h~~y 1

[    l + 6<jp    2 + gv h

.    .    (333)

0A

SP.yKcp

hl(l + 6<p)

Dla obciążenia poziomego zupełnego ciężarem jednostajnym

wh 3 + 2 (p ó8 2+^”

12-+^____

2 + <p    1 + 6 cp

wh² .(p

Z(l + 6gp)

Dla jednoprzęsłowych ram piątrowych podaje Ostenfeld szczegółowe wzory¹).

Ma= —

Hw=

wh}

12<p

24

0A

.    .    (334)

§ 78. Belki ciągłe.

Nie mamy tu zamiaru podawać teoryi belki ciągłej, znanej skądinąd²). Jednak przepisy różnych państw co do budowli żelbetowych zawierają rozmaite postanowienia także co do sposobu obliczania belek ciągłych przybliżonego lub dokładnego.

Doświadczenia Mörscha wykazały, że belki żelbetowe ciągłe zachowują się tak, jak belki ciągłe jednolite i że można je obliczać wedle teoryi dla stałego przekroju, o ile zmienia się tylko przekrój wkładek, a przekrój betonu jest stałym. W razie zmiennego przekroju betonowego belki należy to w obliczeniu' uwzględnić.

«v *. »    .,*.■» i    '■ * i ! : ’    ^

Jeżeli belki lub płyty ciągłe są stale połączone z filarami względnie belkami, to właściwie należałoby to w rachunku

¹) Por. Der zweistiêlige Stockwerksrahm en, Zeit. f. Betonbau, 1914,

²) Por. Podręcznik Teoryi Mostów, część I. tomIJ.

uwzględnić. Jednak dla belek, względnie płyt ciągłych, możemy nie uwzględniać tego połączenia stałego, przez co liczymy trochę za niekorzystnie.

Utwierdzenie płyt stropowych w murach otaczających nie da się zwykle dokładnie wykonać. Nie uwzględnimy więc tego w obliczeniu, a tylko odginamy w pobliżu podpory parę prętów. Inaczej się rzecz ma, jeśli belki połączone są na końcowych podporach stale z filarami żelbetowymi. Wtedy mamy właściwie do czynienia z ramami. W przybliżeniu radzi Mörsch przyjąć moment utwierdzenia

Rozporządzenie minist, austr. z r. 1911 § 5. ust. 3. i 4. brzmi i

3.    Dźwigary, przechodzące przez kilka przęseł, a leżące wolno na podporach, należy obliczać wedle reguł dla belek ciągłych z uwzględnieniem każdorazowego najniekorzystniejszego obciążenia.

4.    Przy obliczaniu dźwigarów, które odpowiednio stale połączone są ze sprężystemi podporami, należy wogóle uwzględnić sprężyste odkształcenia, wynikłe wskutek sił zewmętrznych. Płyty ciągłe belek żebrowych można jednak obliczać bez względu na odkształcenia sprężyste belek jako na nich wolno spoczywające.

Rozporządzenie minist, ros. z r. 1911. Instr. A. do § 1.:

1. W celu ułatwienia obliczenia belek ciągłych wieloprzęsłowych można dokonywać go w przypuszczeniu, że moment pośrodku rozpiętości stanowi 80% momentu belki, leżącej swobodnie na dwu oporach, a moment ujemny na oporach równa się momentowi pośrodku rozpiętości ta-kiejźe belki.

Jeżeli jednak obliczenie ma być dokonane jako dla belki ciągłej wieloprzęsłowej, to można przyjmować, że na dane przęsła wpływa prócz jego własnego obciążenie przęseł przyległych po dwa z każdej strony.

W każdym razie należy przyjmować w rachubę możliwą zmianę położenia opór, przyczem wszakże przyjęcie pod uwagę zgięcia belek żelbetowych, stanowiących opory dla wieloprzęsłowych belek i płyt w obliczeniu stropów nie jest koniecznem.

Rozporządzenie minist, pruskiego z r. 1907 § 14.:

3. Przy płytach i belkach wieloprzęsłowych, jeżeli się nie wyznaczy rzeczywiście występujących momentów i oddziaływań liczebnie wedle reguł, ważnych dla belek ciągłych, przyjmując swobodne podparcie na podporach średnich i skrajnych albo też nie wyznaczy się ich doświadczalnie, można przyjąć moment zgięcia w środku przęseł równy */₅ momentu dla płyty na dwu oporach swobodnie podpartej. Na oporach należy wtedy przyjąć moment zgięcia tak wielki, jak moment w środku przęsła przy obustronnem swobodnem podparciu. Jako ciągłe mogą być wedle tej reguły obliczane płyty i belki tylko wtedy, gdy wszędzie spoczywają na stałych podstawach, leżących w jednej płaszczyźnie lub też na belkach

żelbetowych. Przy prowadzeniu wkładek żelaznych należy w każdym razie starannie uwzględnić możliwość występywania momentów ujemnych.

5. Założenia rachunkowego ciągłości nie należy rozszerzać dalej, niż na trzy przęsła. Przy obciążeniu użytkowem większem, niż 1000lcg/cw², należy obliczenie wykonać także dla obciążenia najniekorzystniejszego.

§ 79. Płyty, spoczywające na öwu krawędziach.

Płyty, podparte na dwu lub więcej krawędziach albo też w nich utwierdzone, obliczamy, o ile są ciągłe, w ten sam sposób, jak belki ciągłe. 0 tern już pisaliśmy w poprzednim paragrafie.

Chodziłoby tylko w tym wypadku o to, jaką szerokość płyty mamy przyjąć jako współdziałającą w razie, gdy na nią

działa ciężar skupiony. Kwestya ta nie została jeszcze dostatecznie wyjaśnioną doświadczeniami. Zazwyczaj przyjmujemy rozdzielenie się ciśnienia przez nadsypkę pod kątem 45°. Ponieważ płyta żelbetowa rozdziela bardziej ciśnienie od nad-sypki, więc jeśli i tu przyjmiemy rozdzielenie się ciśnienia pod kątem 45° aż do osi płyty albo, co lepiej , aż do wkładek żelaznych (rys. 117.), to rachujemy bezpiecznie. Wtedy otrzymamy szerokość, na jaką się rozdziela ........(335)

. So

IBM

i<-------y------>.

Eys. 117.

ciśnienie na płytę, 0 = 10 + 22!

Na tak samo wielką długość należałoby przyjąć rozdział ciśnienia w kierunku prostopadłym, a więc siła P rozdzieliłaby się na kwadrat o boku b.

Jeżeli mamy bruk, to w równ. (335) zamiast 10 należy przyjąć szerokość kostki bu a, z liczyć od dolnej powierzchni kostki.

Rozporządzenie austr. minist, z r. 1911 § 5. ust. 11. Siły skupione, jeżeli między ich punktem zaczepienia a niosącą płytą żelbetową jest warstwa nadsypki, należy przyjmować jako równo rozdzielone na powierzchni, której wymiary należy w stosunku do płaszczyzny zaczepienia ciężaru przy kształcie jej prostokątnym a) przy krzyżujących się

Dr. M. Thullie. Teorya żelbetu.

13

prętach uzbrojenia, przy których stosunek przekrojów odpowiada ustępowi 5¹) o podwójną wysokość nadsypki i podwójną grubość płyty, b) przy krzyżujących się prętach uzbrojenia, przy których tego stosunku niema, w kierunku silniejszej wkładki, dalej przy uzbrojeniu tylko w jednym kierunku co do tego kierunku, jak pod a), w kierunku zaś prostopadłym o podwójną wysokość żwirówki i pojedynczą grubość płyty. Przy płaszczyznach zaczepienia ciężaru innego kształtu, niż prostokątnego, należy co do jej powiększania analogicznie postępować. Jako statycznie działającą dla niesienia ciężaru szerokość płyty należy przyjąć odpowiednio w powyższy sposób powiększoną szerokość płaszczyzny zaczepienia. Ewentualnego bruku nie należy uwzględniać przy rozdziale ciśnienia.

Rozporządzenie minist, rosyjskiego z r. 1911 Instr. A do § 1. ust. 6). Szerokość części płyty, niosącej ciężar skupiony, oznacza się

z wzoru: 7t + -|*-, gdzie h oznacza sumę grubości płyty i nadsypki, (bruku,

nasypu i t. p.), zaś a oznacza odległość pomiędzy osiami opór (rozpiętość płyty), tę szerokość bierze się w rachubę przy obliczeniu oporu. Długość płyty, na którą się oddaje ciężar skupiony, należy brać równe h.

Przykład. Mech będzie P=2000kg, grubość żwirówki 10c/w, rozpiętość płyty 1*2 cm. Przyjąwszy tymczasowo grubość płyty d= 10 cm. mamy ciężar własny na lm szerokości ^=10.24 + 10.19=430kg/m. Szerokość, na jaką się rozdziela ciężar P, będzie ó=10 + 2.(10 + 8)=46c/w. (Wedle rozporządzenia austryackiego ó=10 + 2(10 + 10)=50cw/, wedle rozp. rosyjskiego 120

20+—g—=60c»t). Długość płyty, na którą się rozdziela ciężar P, będzie również 46c/w (wedle rozporządzenia austryackiego 10 + 2.10 + 10=40cm, wedle rosyjskiego 60 cm). Będziemy więc liczyć płytę na szerokość 46cm,

=0198 f//w, zatem    -2. l*2 + -^-0"198.1*2*,

+ 003564=0-63564 </n=63564 fo/c/w. Dla t, =33 b//cm¹, oc=800kglcm- otrzymamy wedle tabl. XVIII. str. 63    =0-4263 ^

płyta musi być znacznie grubszą. Przyjmijmy d=16cm, to otrzymamy *=10 + 2(10+14)= 58c/n, .¥ = 0‘6 +

więc g =

430.0-46

1000

0-58.430

1000

i¥=0'6 +

= 15-8 cm. Widzimy, że

1‘2¹ = 0"645 Un = 64500 kgcrn¹.

Stąd dt =0 4263

64500

58

= 14-2 c/w, a <2=16 c/w.

§ 80. Płyty, spoczywające na czterech krawędziach.

Teorya płyty, z czterech stron podjpartej, w ogóle jest je-dnem z trudniejszych zadań mechaniki, które tylko w j)rzybli-żeniu i dla pewnych założeń da się rozwiązać¹). Założenia te

.    (341)

naj w. My — 0*405 P

-Jr

Eys. 118.

najw. Mx —

Cl!

.    (337)

.    .    (338)

kï*!

2. Dla obciążenia skupionego P w środku płyty

1 P a³b³

f~2¥3bW~ïvr' ‘ '

najw. i^=g<;L

IV

.    .    (339)

aô

naj w. Mx=0’405 P

(è°î+é,h

.    .    (340)

są przedewszystkiem ważność prawa Hooke’a, dalej, że grubość płyty jest stałą i małą wobec innych wymiarów, że ugięcia płyty są małe w porównaniu do grubości i że wpływ sił poprzecznych jest w stosunku do wpływu momentów małym.

Uwzględniając jeszcze założenia co do kształtu powierzchni ugięcia wedle Lorenza dochodzi Huber do następnych wzorów.

1. Dla obciążenia q (kg\cm‘l) rozłożonego jednostajnie na całej powierzchni płyty (rys. 118.).

’    1 q a⁴M

60*1 Eb' N * m—1

jeżeli N*=Jxai+^(Jx+Jy)+2

J'

J aW + Jyb*

(336)

----yCL----

'U

-x—-

—-t—

ab fa² + “ô-) Jx \ m J

i\T

Jy = Jby + l?>Jey .    .    .    (347)

.    .    (348)

Jx Jbx 4 15 J ex j

J'—Jb~\~v.Je .

przyczem v oznacza spółczynnik, rosnący wraz ze sztywnością na skrzyżowaniach prętów, a zatem bardzo mały w przypadku ich luźnego skrzyżowania, zaś wszystkie momenty bezwładności liczyć należy na jednostkę szerokości płyty.

Spółczynniki m i v nie są dokładnie znane. Stała Poissona zmienia się od 6 do 10 i więcej *), a więc może w przybliżeniu przyj ąćby należało m=8 a v=0.

Przykład. Mamy płytę prostokątną, na czterech krawędziach podpartą, o rozpiętościach w świetle 145 i l⁻95 cm. Rozpiętość teoretyczną przyjmiemy a=15, h=2'0m. Obciążenie całkowite jednostajne bez ciężaru własnego 4800 kg. Przyjmijmy grubość płyty tymczasowo <2=10 cm, <2, =85 cm. Ciężar własny wynosi 2-4.0-1.8=0-72/, więc ciężar całkowity 4800 + 720= 5520A#, albo na m2 5-52

2=

5—=1-84 //m²=0"184 kg/cm².

O

Dla m=8 i v=0 otrzymamy z równ. (338)

i-0-184.100²

najw. M*=-₁

*) Por. autora: "Witheys Versuche mit Säulen aus Betoneisen. Öst. "Wochen, f. d. öff. Band, 1910.

Dla płyty kwadratowej, uzbrójonej w obu kierunkach jednakowo (b = a, Jx=Jy=J), upraszczają się te wzory i otrzymujemy:

Dla obciążenia jednostajnie rozłożonego

fJ ¹

120*18 Eb'J najw. M=j^qa²

1 + —+(l—)

m V m )

J' .    .    .    (342)

m—1 J' .    .    .    (343)

m+1 J

Dla obciążenia ciężarem skupionym P

' 1

1 Pa2 48-7 Eb'J

i+—+(i—)

m \ m)

.    .    (344)

najw. M= 0-2025P

Przytem jest

E'

m²E

m—1 J' m-\-1 J

.    .    (345)

m²—1

.    .    (346)

150² (-|-100² + 150²)jj,

przyczem, jeżeli opuścimy na razie wpływ żelaza na J,

Jy=~^ 10³=88-33=JX=J'

N=83-33.150* +    (83-33 + 83-33)

+ 83-33.200⁴=3254*5.10« więc

200²    150² + 200²) 83-33

3254*5.10«

150² (l50² +i- 200²) 83-33 3254*5.10»

Wyznaczmy wedle tych momentów przekroje.

Dla ^=25-4, ae==806 kg/cm² otrzymamy wedle tahl. XVIII.

=0*5242 V 297-7=9*0 cw, a i^=0 00265 f 297-7=0-0457 cm, czyli na lw szerokości 4*57cw². Przyjmiemy 6<j£l0cw czyli .F=4*71cw².

Dla przekroju prostopadłego mamy ^=0-5242 yi91-l=7*25cw,rzeczywiste dx=Thcm. Wedle równ. (100) mamy rfj=7*6= CV 191*1, stąd

najw Mx=^j-0184.150²

7-5

8-1

83-33] 150².200²+

=297"7 kgcm,

= 191*1 kgcm.

=0*54.

C V191-1

Z rys. 45b widzimy, że p'<0*4. Przyjmijmy p'=0*4, to na Iw

0-4

2^=^ 100.7*5=3 cw².

100

Przyjmiemy 6^58, więc F'=3‘01cm².

Liczmy teraz dokładniej. Najprzód obliczymy momenty bezwładności dla równ. (337) i (338), rozumie się, w fazie I. Widzimy, że potrzeba tu d=llcm, więc ciężar własny wynosi 2-4.0*11.3=0*7921, zatem ciężar

5-592

całkowity 4800 + 792=5592kg albo na w² q=—=1*864 f/w* = 0"186 kgjcm*.

Ô

Dla w=8 i v=0 otrzymamy dla przekroju XX. wedle (5)

_ll² + 30.2-0.0*0471 2(11 + 15.0-0471)

jx=i-(5-29³ + 5-71³)+15.00478(5*29-2)²=lll*4 + 7-65=119-05cwł

11²+30.3*5.003 2(11 + 15.0*03)

=-^-(5‘42³ +5-58³) +15.0*03 (5*42—3-5)²=110*99 +1*66=111-65 cw*.

110-99 + 111-4

Dla YY 2-=

J' =

=529 cw,

=5*42 cw,

= 111*2 cw*

X= 11905.

2

150⁴+[i (119-05 +lll*65)+2^-111-2]

160².200²+

+111-65.200⁴=4400.10«

najw. Mx=~0-186.150²

200³ (i 150² + 200²) 119-05 4400.10⁸

150² (l50² + -^200²) 111-65

=346'ł kgcm

najw. il4=^j-0186.200³

Wyznaczmy wedle tych momentów przekroje. Otrzymamy, jak pier-wej, <2, =0 5242Y346-1=9*75cw a jP=0"00265 Y 346-1=0-0493 czyli na lm szerokości 4⁻93 cm². Przyjmijmy 8(ß9cm czyli ,f’=5-08 cm².

Dla przekroju prostopadłego mamy

di =0 5242 V 208-5=7-57 cm.

Jeżeli w rzeczywistości jest ^,=8-3 cm, to 8-3=0^208-5 czyli

=0-575.

4400.10⁸

=208‘5 kgcm.

C=

8-3

V 208-5

Z rys. 45b widzimy, że p'<0-4. Przyjmijmy p' —0'4, to na lm

0-4

F' = yqq 100.8-3=3-32cm². Przyjmijmy 12^6, więc F'=SS8cm.

W przybliżony, jednak dla praktyki dostateczny, sposób stara się tę kwestyę rozstrzygnąć inż. Danusso¹). Przyjmuje on zamiast płyty pewną ilość równoległych i równo odległych

'1

belek w dwu przecinających się kierunkach i zakłada, że w każdym punkcie przecięcia się tych belek ugięcie obu belek musi być równem. Im więcej belek przyjmuje się, tern ^ bardziej zbliża się ten układ belek do płyty. Danusso uwzględnia przytem utwierdzenie częściowe płyt i ugięcie podpie-\t    rających belek.

Rys. 119.

Podamy tu tylko wyniki, do których doszedł Danusso.

J eżeli podzielimy płytę kwadratową swobodnie podpartą na ośm części (rys. 119.) i osobno wykreślimy jedną ósemkę (rys. 120.) a w przekrojach przez środek O, prostopadłym KO i w kierunku przekątni HO, wykreślimy rzędne, odpowiadające momentom i wy-kreskujemy powierzchnie, to otrzymamy wedle Danussa

<f

średni moment w KO Mm=

„ HO Md

HpP = 0-03SpP ,H-pP=0-0408pP

*aH

6° A

---J

s*

ra>

'/ yyf '

M,

■<— O'CfîpN.

1k

"O'LOTCT

10

=="--0-0^6^—

0'50-<J

Uc-0 033

W^¹⁵'

'//

.ob

Eys. 120.

Eys. 121.

3*

(Tn

Ko

frvj

ÓL/,

rnTflrn'i'S

! i ! i I I K C

0097^

<$.

Q 0 236C^

0°

Eys. 122.

Eys. 123.

Dla obciążenia ciężarem skupionym G w środku otrzymamy (rys. 121.).

średni moment w KO Mm =

„ HO Md=

iö=0-142 G

*-£=0125 G

Jeżeli płyta kwadratowa jest utwierdzoną, to dla obciążenia jednostajnego mamy (rys. 122.) :

-^pl*=0-0U3pl2 „ HO Md = ~pP=0-011pl* pP= —0-0294

średni moment w KO Mm =

v    v v HK M j

Dla obciążenia ciężarem skupionym G w środku płyty otrzymamy (rys. 123.).

średni moment w KO Mm =

jL 0=0-097 G „ HO =-^q £=0-0625 G

₌ _ 0-078 G

„ HKMi

J3°

Chodziłoby teraz o to, czy mamy obliczać wymiary wedle momentu średniego czy największego. Rozumie się, że grubość

ue

Rys. 124.

"1

ur

-i-i

OQ9o --jj-, 0 085 , O O 80

---o 075

---O O JO

— 0065

___0060

---O 055

—L 0 05c

4_j_ O 04-5 o’o4o

O 035 0030 0 025 0020 001 5 OOiO O 0 05

a**?*/»?*)'' a s+?6/i3£ Rys. 125.

«-Lr*

płyty będzie stała, chodziłoby więc o to, czy uzbrojenie ma być jednostajnem czy zmiennem. Zmienny odstęp prętów nie byłby jednak wskazanym w przekroju środkowym, bo wtedy w przekątni przekrój byłby za słaby. Zazwyczaj przyjmujemy więc nie tylko grubość płyty stałą, ale i uzbrojenie stałe, chyba uwzględniamy osobno momenty ujemne. Liczymy płyty wedle momentu średniego, wtedy wprawdzie w środku natężenia będą większe, ale ze względu, że powstaje też równo wielkie natężenie prostopadłe, jest to dopuszczalnem.

Dla płyt prostokątnych (rys. 124.) podaje Danusso wykresy (rys. 125.). Dla przekroju równoległego do AC, a więc -dla rozpiętości /, krzywa ab podaje momenty dla rozmaitych

stosunków więc dla

lt=l, M=0-033pP Z, =31, M=0-083pl²,

gdzie p oznacza obciążenie na jednostkę kwadratową.

Dla przekrojów równoległych do AB, a więc dla rozpiętości Z1? daje nam momenty krzywa ac z czynnikiem pA², gdy

. I tak dla

¹

) Ustęp 5. podamy w następnym paragrafie.

²) Por. Huber: Ogólna teorya płyt żelaznobetonowych i ich praktyczne zastosowanie. Czas. Techn. 1914.

²

) Beitrag zur Berechnung der kreuzweise bew-ehrten Eisenbetonplatte

³

und deren Aufnahmsträger v. Danusso, bearbeitet v: Bronneck, Berlin 1913.

Zj=Z, M =0-033 p A2 Zt = 3 Z, M= 0-012 pP.

Przykład. Zróbmy ten sam przykład wedle Danussa. Dla przekroju równoległego do AB, więc dla rozpiętości ll=2m, otrzymamy dla

?r=l,33,

l, _ 2 _ ï ~ Ï5 ~ 3

¹'⁵ + 2-=₌ 1-75 c/n,

U

M=0*0312.1-864.1‘75²=0‘178 tm.

Dla przekroju równoległego do AC, więc dla rozpiętości Ż=1’6 cm, ilf=0*0475. 1-864.1'5² =0199 tm.

Licząc na lew szerokości, w pierwszym wypadku M= 178kgem, w drugim M=199kgcm, a więc mniej, niż wedle teoryi Hubera.

Rozporządzenie minist, austryackiego § 5. brzmi:

6. Płyty prostokątne, naokoło swobodnie podparte lub utwierdzone, z długościami boków (rozpiętościami) a i b i krzyżującemi się wkładkami należy w następny sposób obliczać: Ciężary, działające na płytę, należy przyjąć jako działające na dwie płyty, każda tylko z dwu stron podparta (swobodnie lub utwierdzona), jedna płyta o rozpiętości a, druga o rozpiętości i, a to w ten sposób, że na pierwszą wypadają tylko w stosunku

ka²

ka² + b²

zresztą takiem samem zestawieniu; przytem oznacza k stosunek powierzchni przekroju prętów żelaznych równoległych do a, obie powierzchnie na metr bieżący. Stosownie do tego rozdziału obciążenia należy wyznaczyć siły poprzeczne, oddziaływania i momenty zgięcia. Powyższy sposób obliczenia jest niedopuszczalnym, jeżeli jedna rozpiętość b wynosi więcej, niż półtora razy drugiej rozpiętości a, albo gdy powierzchnia przekroju jednego szeregu prętów wynosi mniej, niż 30% przekroju drugiego szeregu prętów żelaznych. W tych wypadkach należy płytę prostokątną obliczać tylko dla mniejszej z obu rozpiętości. Przy płytach ciągłych

b²

ka² + b²

a na drugą tylko w stosunku

zmniejszone ciężary przy

z krzyżującemi się wkładkami żelaznemi należy co do obliczenia postępować analogicznie. Przy tego rodzaju płytach ciągłych lub utwierdzonych nie można jednak przyjmować dodatnich momentów w środku przęseł mniejszych, niż dwie trzecie odpowiednich momentÔAv dodatnich dla swobodnie podpartej jednoprzęsłowej płyty.

gdzie a oznacza stosunek mniejszej rozpię-

Rozporządzenie minist, rosyjskiego z r. 1911. Instrukcya. A. do §. 1. ust. 5. Jeżeli w obliczeniu płyt, leżących na oporach całym swym obwodem i posiadających uzbrojenie w dwóch kierunkach, określa, się momenty zginające jak dla belek, wspartych tylko dwoma końcamir to można zmniejszyć moment, wyliczony dla mniejszej rozpiętości, mnożąc przez spółczynnik tości płyty do większej.

Rozporządzenie minist, pruskiego z r. 1907 § 14. ustęp !.. Naokół swobodnie podparte, uzbrojone krzyżującymi się prętami żelaznymi płyty można obliczać przy obciążeniu jednostajnie rozłożonem, jeżeli ich długość a wynosi mniej, niż półtora razy ich szerokości b wedle wzoru

pb2

M= . Przeciw momentom ujemnym na podporach należy odpowiednie-

±4U

zarządzenia poczynić kształtem i położeniem prętów żelaznych.

8. Grubość płyt i części płytowych belek teowych obliczoną należy przyjąć wszędzie najmniej 8cm.

Przykład. Dla naszego przykładu otrzymalibyśmy wedle rozporządzenia austryackiego

fc ¹’⁰⁸-i-5    *_

3-38    ’

więc na szerokość 1 m

dla rozpiętości P5 m    ^ - ^ + 2Q,-

1    P5.15²

”    „    2Om M- g 1>5 .pgï + gî

a więc momenty znacznie większe, niż dla obliczenia dokładnego. Wedle rozporządzenia rosyjskiego otrzymamy

2-0

1-864.15²=0-381 tm

1-864.2^=0-427 tm

=—^=076, więc M= l

8 1 + 0-75*

1-864. l-5²=0-398/m

a wedle rozporządzenia pruskiego

12

1-864. l-5²=0-350<w.

Widzimy, że wszystkie te momenty są większe, niż wedle obliczenia dokładnego.

§ 81. Sklepienia.

Obliczenie sił zewnętrznych sklepień należy do statyki budowli i budowy mostów. Wyznaczenie natężeń i wymiarów następuje tak, jak dla słupów mimośrodkowro obciążonych¹).

Tu więc niewiele mamy do dodania do tego znanem.

co już jest

Przekrój sklepień może być prostokątnym albo teowym. Zazwyczaj uzbrojenie jest obustronne, bo moment zwykle może zmieniać znak. AV układzie Melana mamy wkładki tęgie, umieszczone w pewnym stałym odstępie.

Dla przekroju prostokątnego, a nawet i dla teowego, nie potrzeba obliczać natężeń na ciągnienie, bo ze względu na siłę podłużną sklepienia są w korzystniej szem położeniu, niż belki proste, i ciągnienia są zawsze mniejsze od dopuszczalnych.

Dla obliczenia sił zewnętrznych uwzględnić należy odkształcenie, a to zrobić możemy tylko dla fazy I. Dla tej więc fazy należy wstawiać momenty bezwładności. Znając już siły zewnętrzne, momenty, siły podłużne i poprzeczne obliczamy w poszczególnych przekrojach natężenia i to znów wedle fazy I. Jeżeli jednak ciągnienia z tego obliczenia wypadają znaczne, gdy zbliżają się do granicy wytrzymałości, to w tych przekrojach obliczamy natężenia wedle fazy II b.

Przy obliczeniu sklepień bezprzegubowych i dwuprzegu-bowych musimy uwzględnić także zmiany ciepłoty. Spółczyn-nik rozszerzalności betonu jest a = 0-000012, a różnica ciepłoty sklepienia wynosi mniej, niż różnice ciepłoty powietrza. Zależy ona od grubości sklepienia i od tego, czy sklepienie jest nakryte nadsypką. Średnio możemy przyjąć dtl5°C. Jeżeli grubość sklepienia jest większa, niż 70cm, a nadsypka wynosi, co najmniej, 70cm, to wystarczy przyjąć różnicę ciepłoty i;10⁰C.

Rozporządzenie minist, austr. z r. 1911 §4. dla budownictwa. Wahania sie ciepłoty. Wahania się ciepłoty, o ile wywołują natężenia, należy, wyjąwszy wypadki wyjątkowe, jak suszarnie, chłodnie itd. — uwzględniać tylko wtedy, jeżeli dźwigar jest wystawiony na zmianę ciepłoty powietrza zewnętrznego; przytem należy przyjąć zmianę jego ciepłoty +lfj°C w porównaniu ze stanem bez natężenia i spółczynnik rozszerzalności betonu a=0000012 na 1°C. W wypadkach wyjątkowych, poprzednio wspomnianych należy przyjąć odnośne największe różnice ciepłoty od średniej ciepłoty +10°C.

§ 4. ustęp 3 dla mostów. Wahania się ciepłoty należy uwzględnić, o ile wywołują natężenie dla zmian ciepłoty dźwigara+15°C w porównaniu ze stanem bez natężenia i spółczynnik rozszerzalności betonu a=0 000012 na 1°C. Przy dźwigarach, u których najmniejsza grubość betonu wynosi więcej, niż 70cm, albo które zasypane są całkowicie ziemią,

żwirem lub innym materyałem na średnią wysokość najmn. 70 cm, można powyższe granice ciepłoty zmniejszyć na + 10°C.

Rozporządzenie minist, rosyjskiego z r. 1911. Instr. A. do § 1. ust. 1. Spółczynnik linijny rozszerzalności betonu dla zmian ciepłoty przyjmować należy 00000135 na 1°0.

III. § 5. Prócz natężeń, wywołanych przez obciążenie, w obliczeniu należy przyjąć pod uwagę natężenia dodatkowe, powstające przy zmianach ciepłoty, o ile nie są one usunięte przez zastosowanie odpowiednich środków.

BIBLI8TEKA PCllTECHHiGZUA

KRAKO*

10

05

C- I-I r-l    1—I CO    CO lO    CO CD lO    0WI>01>    HOlOlOtM    HP rH lO rp 05

O CO t>    05 05    OOQOOCpqO    1pcpojcpzp    rH    t> hP CO    HP    CpOlONO

ÓÓÓhh    bi cb    ib cb b-    <35 A-i cb xb b-    ô    bi ib do    Ah    Ap do Ah ib 05

HHHH    (M    (N (N (M    CO    COCOnprprp

00    CO CO    C-    -^’OIMCON    lO    CO lOCD    H    05    CO O    Cd 00    0--IOHC0

O (M    O r-l    05    lO hP lO C- O    xO    rH 05 00    05    O    Hp 05    XQ CM    rH (M hP C— rH

ÓÓÓhh    bicbApxbb-    do    Ô Ah cb    xb    do    Ô b)    »b do    Ah Ap b- ô Ap

HrHr-iH    HCJIMCqO)    COCOCO-^hP

K. Dodatek.

I. Tablica dla żelaza okrągłego (średnica w mm).

(Żelazo zlewne : ciężar gat. 7⁻85).

Powierzchnia przekroju prętów w cm²

co

OCMpSp NOOoS SoSmh O rH Cp CD ^H

ÓÓÓhh bidoApxbcb b-<35 ô bi Ap cb do ô bi ib b- ô cb <b> ôs

HHH 1-H tH CM CM CM CMCOCOCOCO

xO CM

lO CM 05 00 C—    000501100    lO H 05 tr-    l>- 05 rH XO 05    hP rH CO l>- CO

o cmco co    oąipf ip    œmoiiHçp    oœoDcooi    Nopoco

óóóóh    Ah bi bi Ap xb    cb b- Ô5 ô cm    Apxbb-ôsAH    Ap xb <35 Ah Ap

rH rH rH r-I rH r—I C5 (M C5 05 CO CO

S 88

Oh....._ f

óóóóh th bi cb cb Ap ib cb ô-Ô5 ô bicbibb-do ô bi Ap b- <35

rH r—I rH tH rH rH 05 05 05 05 05

05 CO CO O H H 05 H OCiCD^O CD 05 CD 05 rH CO rH CO ^ lO ^ t> tH l>-CO O CO I> I> O- OS 05 CD O CD 05 O CO l> CO CiHrji

Ci C—

CO lO iO CO CO    rH 05    rH CO CO    lOiCHO^    lO lO 05 00 rH    05^I>05H

O r-l CO CD ÇC    rtt CJi    IO rH Ob    D- CD CD l>- CO    O CO t>- rH F-    CO Ç> I>- CD iÇ>

óóóóó    Ah rH    cm cb do    Ap xb cb b-do    ôAnbiApxb    b-Ô5ÔbiAp

rH rH rH rH rH rH rH DI Ô1

-H CO

CO O CO O 00 COrpHtHril OC3HCDP- hP CO 00O iOH(MOCO O H çap |H HippfflH MipfflrlO OOHfflip OOęiOHO

óóóóó Ah Ah cm bi cb cb hp ib cb b⁻ do <35 ô Ah bj cbibcbdoôs

o8wmS œ Îh xp oc cp œmmom ooopïp^ cp § hp Sp £2 óóóóó ö HHH bi cm cb cb Ap xb cbcbb-doôs ô H bi do Ap

rH rH rH rH rH

CD CO

OOHNW ppSçqip 05 p p ç5 £p S p S p S S p p O 00 óóóóó óóh HH Anbibidocb hp hp ib »b cd cbb-doÔ5Ô5

Średnica|| Ciężar J Obwód | Przekrój mm

cm

cm

kyjm

oicoxoaoi^ S £h co S fC oSSSh ^oBÏhSot óóóóó óóóóó óhh Ah <m cm cm cm do do do Ap Ap Ap

ppppp-o8p»pp^ hp t> o hp o cp cp 05 cm pppipp ÓÓÓhh Ah cm cm cm do do cb Ap Ap Ap xbibxbibcb cbcbb-b-b-

cd c5 io 05 S oi o o? o 2 ^ 00 ^ o oö [2 §0 05 c8 cd    ao cd Io So

OOOo!h (MOOCOhPCD 8 O 8m 5“o5 01^P

óóóóó óóóóó ööAhAhAh AhAhAhcmcm bibidododo

rH CM CO HP xO CD i> co 05

O rH (M CO HP lO CD C-00 05 O rH CM CO HP lO rH r-H T—{ y~i r-i t—i rH rH rH rH C5 05 05 05 0505

10

5309

57-26

61-58

6605

70-69

75-48 80 42 85-53 90-79 96-21

101-70

107-52

113-41

119-46

125-66

132-03

138-54

145-22

152-05

159-04

166-19

173-49

180-57

188-57

196-35

47*78

51-53

55-42

59-44

63-62

67-93

72-38

76-97

81-71

86-59

91-64

96-77

102-07

107-51

11309

118-82

124-68

130-70

136-84

143-13

149-57

15614

162-86

169-72

176-71

Powierzchnia przekroju prętów w cm²

42-47

45-80

49-26

52-84

56-55

60.38

64-34

68-42

72-63

76-97

81-43

86-02

90-73

95-57

100-53

105-62

110-83

116-18

121-64

127-23

132-94

138-79

144-77

150-86

157-08

3717

40-08

43-10

46-23

49-48

52-83

56-30

59-87

63-56

67-34

71-26

75-27

79-38

83-62

87-96

79-22 |    92-42

83-12 i 96-98 87-13    10165

91-23    106-43

95-42    111-33

31-86

34-35

36-94

39-62

42-41

45-29

48-26

51-32

54-48

57-73

61-07

64-51

68-04

71-68

75-40

116-34

121-45

126-67

132-00

137-44

99-71

104-10

108-58

11314

117-81

26-55

28-63

30-79

33-02

35-34

37-74

40-21

42-76

45-40

48-41

50-90

53-76

56-70

59-73

62-83

66-01

69-27

72-61

7603

79-52

83-10

86-75

90-48

94-28

98-17

15-93    21-24

17- 18 22-90

18- 47 24-63

19- 81 26-42

21-21    28-27

22 64    30-19

24- 13 ! 32-17

25- 66 : 34-21

27- 24 : 36-42

28- 86 I 38-48

30-54    40-72

32-26    43-01

3402    45-36

35-84    47-78

37-70    50-26

39-61    52-81

41-56    55-42

43-56    58-09

45-61    6082

47-71    63-62

49-86    66-48

52-05    69-40

54-29 i 72-38 56-57 I 75-43 58-90    78-54

10-62

11- 45

12- 31

13- 21

14- 14

15- 09

16- 08 17-11 1816

19- 24

20- 36

21- 50

22- 68 23-89

25- 13

26- 41

27- 71 2904

30- 41

31- 81

33- 24

34- 70

36- 19

37- 71 39-27

îablica î. (ciąg dalszy).

Średnica|I Ciężar | Obwód | Przekrój

cm²

cm

kglm

mm

—I CC CD    m T*    iO ÇO CM    00 lO •<* iD l>    OlOCJHO    (MlOOO'#

co ç- 171 cp o    ipoipçœ    thi^-cooio    çQcpipçaos    cp cp    ih    oo cp

ibibcbcbi-    6* oo    ôo es ôs    ôôAc^Mcocb-êubib    cb ó-    do    óo os

T—i rH T—H rH r-H    rH tH rH tH H    rH rH    rH    H rH

i> o cp cp 8    ćp 2c œ! cm S    88 2 îp    So    ^    ę- 8 cp t>

c5o ô) œ ós ós    ósóóó-h    hhwńn    cm cb <x>    m    4*    -e<-êi »b »b »b

H t-H tH rH    rH t-H H rH rH    rH rH rH    rH    rH    tH rH rH rH rH

Tjł ^ kO lO lO CD CD l> !>• O 00 00 05 05

CO !>- 00 05 O    ï—I    <M CO ■«* lO    CO t-00 03 O    i—I    CM CO lQ CO t> 00 05 O

CM CM (N CM CO    CO    CO C0 CO CD    CCCOCOCO^f    rit    Tji ^    rjC rj< t}1 t lO

10

co co ^ Ttnoiooo

II*² 7Z

■Ę- W cm³ (średnica w mm).

ao oj ^ <m    §o    ih    l2 cd    cp    S    T-H«5<Mi>qo    i>hnot(

ôcbo-cbô    Ô5 ö    <M cb <m    di    do doib    h do    ć- tn    ói    ćbóicb»bib

rH    O)    OJ -Tl    id CD CO    05    tH CO    CD    OO    H co    CO Oł    OJ    CD <35 CO IH tH

HHHH    OJ OJ    OJ OJ    CO    CO CO -n -T< lO

prętów

inąocpąocp ^onno S^œSo § cp o cj tH t>HÇiHcp ô oj cd i—i c— ib hi ib ih ö ib h do do ói Oh cOiO

tH r—< i—I i—I

iHiH OJ CO -Tl lO IH CO

O -Tl <31 lO OJ HCJCOD-H OO O OJ lO CO HTjłHOr# H CJ OJ O) OJ CO CO CO -n Tl

%V SI

Ilość

05 tH

CO lO Q CO CO    tH OJ lO lO CO O -n LO

»pepąOTjItH    OJ    00 tH    t^“ 05    OJ    00    O -Tl    lO    00    OJ 00    CD cp    00 tH    <X> Çp    ÇJ

U. Tablica dla

0-471

1-885

4-24

7-54

11-78 !

^oShh    o    CO OJ co    O    00 <H    CO    -T* ip

cb di Ô oo    tn    tn1- cb ói    cb    óiŃói    ć- do    di    >h -r<

*h oj co co    -m    ococ^œo    oj co io i- oo    o oj    ^    ih ai

H    *-HrHt—(r—łrH    C^C^C^lCQ (M

co

lO iH 00 CO T* <M OJ OJ CO tP co Tf ih co oo c^coœtoco Ô tH «5 ib 00 OJ tn im do ib hhimcqco

42-76

50-89

5943

69-27

79-53

90-48

102-15

114-51

127-59

141-36

155-86

17106

186-96

203-6

220-9

o co

CO TÎ1 C* <Ji CO iO CO O O CO CM CO (M OlO^OrJi HHT^Oqo 05 Ci H D- oo    TU HÇOip    lOOOHO    COtHCOOCM    Ci O Cp IH (M

ôôôjcbib    do —h kb ói cb    docboicbcb    ó do cb ib -ti    do -ti -ti ib tn

HrtHIM    OJ CO CO Tl lO    CD CD tH 00 05    OhOJCOtU

HHHHH

co *h

0080    (M Si OO O iO ^ o Îh £o SÏ

th ih ój i"-- do

iO ŁO CD CD tH

tH t>-H "^1

tum

H (M CO ^ lO O O CO Ci O

OJ CO -TI lO) CD IH cc Ol O -H OJ CO-T< lO T—i rH t—( r—i Ht—i ri H (M (M CM CM CM (M

Tablica II. (ciąg dalszy).

mm

10

tJC CO CD 00 CO 03    05 05 03 l>C0(MC5O •«#

lilii iiiii isśii §|gg| gigu

O- CO 05 05 O ^ H H H H HHHHH H (M 03 03 03 Sl 03 03 <M 03

C0O5 03C-CO O C- CD l> 05 O1OHN1Û CO CO Tfl

ś£śśś śśśśś    àêggq; ^süssss

C- CD GO 00 05 OOH(N(M CO-^ilOCOCO l'- 00 Ci O H 03 CO 50 CO HHHHH t—ł H t—( H t—i HHrI 03 03 (M (N (N (N (M

p o p p <m t> h -jn 10 -rti mçioipo ąjipcptpo co

ii |§ Ś ^ÜH ÜIÜ

CDCDL l CO    HhHHH HHHHH H (M 03 03 03

XO03XOXOC3 xCxOHx003 C-O CO CO 50 CO C- C- lO 05 O C- O O

Ś3ŚŚ2 ŚŚŚŚŚ ŚŚŚŚŚ ŚŚ8ŚS

50 CD CD CD C- 0-00 00 05 0 OhhNCO CO TJ» xO 50 CD C-00 05 05 O 7—I tHtHHHH Ht—Ir-1 r-1 H H H H H 03

prętów

œçpwipçi fflcpępno OtJ-tJ-HO ÇIOSOOip^ t> p 03 p

ssSSl §SiSi sSUS HisiS SSIig

r—I rH rH rH rH tH r—1 tH r—I t—I tH tH rH

Ilość

(MHtiOO^TH H (Mio Q CD rtl ^ CD OS lO (N rH O 00    ''t» (M DQ CO CD

śśśśś isśśś śśsśś śśś§ś

CO ni 7<ji XQ 50 CO CO CD C— C- 00 CO CO 05    05 O O H H 03 CO CO H Tji

rH rH rH rH rH r-i rH rH rH

CD IC ^ CO    rH    CO    lO    CO CO CO    O H lQ CO O    rH    CO    (N CO 03    H o ^ H

rH LO

GO 05 05    05

rH CO CO ï>

tH rH rH rH

p CD tH Ç3 H I>05 05 ÿ0 OÇO'JiÇJip 7-1 H H p L— OSt^iNcpÇ

00 C- CO CD

P l—    L— H    tH    TjlWO^tp    CO    p    O    H CD CD 03    H    p    t* p IJ- h

ôs th    h œ    cm    <x> h cb <m âo    xb    <m ô â>    t—    cb xb xb cb    i—    <x>    ô <m xb ôs

IOC-C005H    03 -rf XO C- CO    O    03 H xO    C-    05HC0Ct-    05    03 TP CD CO

H H    H H    03    03<M<MCMC<I    CO    CO CO CO    CO    CO Ttf TP t*    rji    XO xO> 50 xO

<3) 8B Cp    <5    O    p    p    03 H    §3    ppHHp    O 00 qp    H    P    Cp P    tP    p p

05 xb 03    05    CD    CO    Ö    Ô> CD    tP    CM H ô 05 âo    âo t— C-    00    <X>    05 Ö    H    <M TU

C— 00 05    05    O    h    03    03 CO    tP    XOCDC-C-OO    05 O H    03    CO    t}i CD    r-    CO 05

H    HHHHH    HHHHH    H03 03    03    03    <M<M03    03<M

CD C-CO 05 O H 03 CO ^ x£5 CO C— 00 05 O H 03 CO tP xO CD t-00 05 Q 03 03 03 03 CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO tP ->#-<31-<# Tp Tp Tp -P 'S» Tp xO

10

0-20

0-79

1-78

3-17

4-95

7-13

9-68

12-67 16-04 19-78 23-94 28-50 33-46 38-78 44-53 50-67 64-15 79-17 95 83 114-01 133-77 155-18 178-40 202-68

w cm

0-178

0-71

1-60

2-85

445

6-42

8-71

11-40

14-44

17-80

21-55

25-65

30-11

34-89

40-08

45-60

57-73

71-26

86-25

102-61

120-39

139-66

160-29

182-41

dla żelaza okrągłego (średnica w calach).

Powierzchnia przekroju prętów

0-168

0-63

0-139

1-42

0-55

0-119

2-54

96-8

5-70

7-75

1014 12-83 15-82 19-15 22-80 26-77 31-02 35-62 40-54 51-32 63-34 76-66 91-21 107 02 124-14 142-48 162-14

1-25

0-47

660-0

2-22

3-46

4-99

6-78

8-87

11-23

13-85

16-76

19-95

23-42

27-14

31-17

35-47

44-90

55-42

67-08

79-81

93-64

108-62

124-67

141-88

1-07

0-40

610-0

0059

1-90

2-97

4-28

5-81

7-60

9-62

11-87 14-36 17-10 20-08 23-26 26-72 30-40 38- J 9 47-50 57-50 68-41 80-26 93-11 106-86 121-61

68-0

0-32

1-58

2-47

3-56

4-84

6-33

8-02

68-6

11-97 14-25 16-73 19-39 22-26 25-34 32 07 39-59 47-91 57 00 66-88 77-59 89-05 101-34

0-71

0-24

0-53

0-040

0-158

1-27

1-98

0 95

98-0

2-85

3-87

5-07

6-42

7-91

9-57

11-40

13-38

15-51

17-81

20-27

25-66

31-67

38-33

45-60

53-51

62-07

71-24

81-07

1-48

0-63

2-14

2-90

08-8

4-81

5-93

7-18

8-55

10- 04

11- 63 13-36 15-20 19-24 23-75 28-75 34-20 4013

'46-55

53-43

60-80

660

1-43

1-94

2-53

3-21

96-8

4-79

5-70

6- 69

7- 75

8-91

10-13

12-83

15-83

19-17

22-80

26-75

31-04

35-62

40-54

Przekrój cm²

0-020

0-08

0-18

0-32

0-49

0-71

0-97

1-27

1-60

1-98

2-39

2-85

3-35

3-88

4-45

5-07

6-41

7-92

9-58

11-40

13-38

15-52

17-81

20-27

III

Obwód

cm

ÓTHTHĆaóaÓJcodb-^-^ibibcbcbt^r-dooió^ĆJcb^ib

H H H H i-H t-H

Ciężar

kgjm

0016

0-062

0-140

0-249

0-389

0-559

0-760

0-995

1-259

1-553

1- 879

2- 237

2- 627

3- 044 3-496 3-978

5- 036

6- 215

7- 523

8- 950 10-501 12-182 13-981 15-910

<■;>

w mm

t-

co

CO CO lD) CO

lpT^t-ęooiipTH^-cpasipr-iocMcp-jHcoąDąsTHcoipcpoo

iHcfe-^cbó-óiTHÓjTtiibć-cjiÓCTcbibdo-^-^doś-i-^ó-ó

T-Hi-lT-li-lr-łi-HOlfNtNtNtMCOCOCCTh-tf-^iO

Średni

w calach ros.

10

2-967

11-88

26-72

47-50

74-22

106-88

145-41

190-01

240-6

296-7

359-1

427-5

501-9

581-7

667-9

760-1

962-3

1187-6

1437-4

17101

2007

2328

2672

3041

opoc2œSoooippçciçpc-ipiHT7ipot>*THp êciô'^ôicbcbô’Hcbt-cb-iHPcb^'^cbôiâDâîibio^ticD H<M->#«'05(NN7Hcccqa>ioiMoœœ«oœcoco®0'^ HHCTIMCOCO-^iOCDCDOOOCQiOCOO^t-HHHH(M(N(N

NOt-OOOOCOHiD

coiocopcoipcop'jfi-ÿçpoipçpOT-rHœçciasiHÇci^ êqâiTHÔoôiibcbôîêqD-tvôqPiib'^ÔDâiôôiôoibôi^-o (NCOlOGO^OasCOCO^OCDCOOCDlO'tfCDOCDCO'^ HHH(NCüC0T|c^iO5OI>,fl5THCOCDC0’H'^ WHHH(M(M

W cm² (średnica w calach).

prętów

!>•

OCMOOid (M Ö5H O

pCpL^CMOiOOl^P^L^^CpC^CMlppcp^CMT-^Cp^TH

CMCbÔOcb^^T^cbdOL^^HÔ^HL^D-GMcb^cbL^^ÔÔCO HCOiOOOCOCDO^aiiOOOCOl^COOOOC^lXM HHHCKMCQCO^^iOOCOOH^cûûOH HHHHH01

CO CO CO O CO CMC H ^ CO

l'-HOipiOHOipcpoOipHOop^D-fHgioaicp THD-cbÔD^^L^TH^cbibÔTHÔQiL^ÔMCMcbcbçbÔJr^ HCMTłi^COH^l^HiOO^OiO^HCroiOaiOCM HHH(M(MCOCO^^iOL^CCO(MCOCICX rH r-H rH t—I H

15 (Ptz

Ilość

CO-^CDiOtH--H^-ItHCOCDI>-

-^Pępę-TH^t^pCdCppOCppppTHOOC-T^CpODąOOT iHibifoebi^râôîibôdoàïcôôô'^ô'rHcbdoibcôcbibô i-ItMCOlCiC-OłCCI^C^^-iiOCiCOCOOODi—uDQCDCON T-Hi-lr-icciCCItNCOCO-^iOC-OOO^COŁO

T“i T—( 1—I T“I

1-187

L2 03§çq^iS04SoocoL7'ÇqOa5t-iop<X'T7l<:?<?¹

'^ôœ>Ô5ÔQ(X)⁽i5cbQOcb^ôôcit>'^-^ib)b'J'<>5’-HÔoô

HHN^iO^OSHTtlt-OCOœOÛOt'l'COQCCCCiCT

HHHfMfMfMCOCO^iOCOœœOtM

T—i T-H

IV. Tablica dla

®®oS^oS8woi>NiÓ?^Ot»OpCQOOą5ip«

ôcb(»^<^cNid3iVcNâigoogj^ô<x>agcD7HCOÔq<»^ôi

H JCCTfiOl ^T-H^nSJ-i^OJOJCoSfiiCCDSSoi

ioc§ê$§aSc8oS^icoœ§cBcS§o^»o»poçppcoT^ ÓŃióół^iHÓidjdoósś-ubó&cbtNiŃć-ć-

HtMdco-^ioixïiOHcoiûœicooo

T—1 i-H t-H »—i rH C\J c<l

CCI ’—i

lO ^ CO CD CO O -<* lO CD

ClCTSL'-iOCdOS^QCDC^r-IiCCïC-aST-HCOCD'^^H

Dj^cDę-^cpiopocDąłc^i-ii-ię-ocNę-ę-pę-cpoiTH

ô^ô^rjii^ô^âs^ÂibôciôœcbcbcbôoâC’HÔôîc^-'H T-lr-lT-łCNIMCOrjiiOlOCDC-ai—l-'tfC-OCOCDO H rH r-H GM CM CM Cw

Średnica

w mm

X CO CO iC ^ CO

OT-fL^cpw^ipT-^D-coa^ip^ocMCO-^ęcąoai^HCOipcooD

^Hcb^cbD-cx^CM^ibt^àiôôiâtiibôc^'^dDT^-i'rtiD-ô

HHHHHrH^KMt^CMtMCOCOCO^^^iO

w calach

¹

) Por. § 55 i następne.

²

Óhhćj TtfibcHCiTH -ricbridicb ô -r< do ój tn

³

rH H H H (M (M CO CO CO ^

LITERATURA.

Podajemy tutaj tylko niektóre ważniejsze dzieła i niektóre artykuły, gdyż literatura tego przedmiotu jest już tak wielką, że wychodzą osobne książki nią się zajmujące.

I. Dzieła i artykuły.

Sanders-Onderzock. Theorie der Beton en Cement-ijzer Construction. 1898.

Christophe P. Le beton armé et ses applications. Paryż-Lon-dyn 1899. II. wydanie 1902.

Lefort L. Calcul des poutres droites et planchers en beton de ciment armé. Paryż 1899.

Berger C. Guillaume. La construction en ciment armé. Paryż 1902.

Guidi Camillo. Sülle construzioni in beton armato, Rzym 1903. II. wydanie 1906.

Pomianowski. Tabela do obliczania płyt i belek żel. bet. 1903.

Sanders. Proevenmet Balken von Cement-ijzer 1904.

Marsch Charles. Reinforced concrète. Londyn-Nowy York 1904.

Tedesco et Mauvel. Traité théorique et practique de la résistances des matériaux appliquée à beton et au ciment. Paryż 1904.

H er z an. Beton a żelezo v modernich stavbach. Praga 1904.

Weiske. Graphostatische Untersuchung der Beton u. Eisenbetonträger. Wiedeń 1904.

S a 1 i g e r Dr. Rudolf. Der Eisenbeton in Theorie und Konstruktion. Kassel 1905. II. wydanie 1908.

Büsing u. Schumann. Der Portlandcement und seine Anwendung im Bauwesen. Berlin 1905.

Guidi C. Conglomerati di cemento semplice armati. 1905.

Huber M. Obliczenie belek żel. betonowych systemu Hennebi-que’a. 1905.

Huber M. Oznaczenie wymiarów belek żel. betonowych. 1905.

Bach. Versuche mit Eisenbetonbalken. Mitteil, über Forschungsarbeiten. Zeszyt 29, 39, 45—47, 72—74, 95, 1905 i nast.

Emperger Fritz. Die Rolle der Haftfestigkeit im Verbundbalken. For scher arb. Zeszyt III. Berlin 1905.

Grabowski. Formänderungsarbeit der Eisenbetonbauten bei Biegung. Forscherarb. Zeszyt IV. Berlin 1906.

Grabowski. To samo po polsku. „Przegląd Techniczny“ 1905.

F er et R. Etude expérimentale du ciment armé. Paryż 1906.

Mörsch. Der Eisenbetonbau. Stuttgard 1906. IV. wyd. 1912.

noÆOJiBCKin. 3ejie3oöemoHHoe „nocmu. Moskwa 1906.

Huber M. Obliczenie wymiarów belek betonowych obustronnie zbrojonych. 1904.

Pilgrim. Theoretische Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen. Wiesbaden 1906.

Probst. Das Zusammenwirken von Beton u. Eisen. Forscherarb ei. IV. Berlin 1900.

Göldel. Praxis und Theorie des Eisenbetons. Berlin 1906.

Barkhausen G. Theorie der Verbundbauten in Eisenbeton. Wiesbaden 1907.

Heid. Concrète and reinforced concrète construction. Nowy York. 1907.

Sanders. Het Cement Ijzer. Amsterdam.

Ker st en. Der Eisenbetonbau. Berlin I. 8, IL, VI. wyd. 1911 i 1912.

Foerster M. Das Material und die statische Berechnung der Eisenbetonbauten. Lipsk 1907.

Reid Homer. Concrète and reinforced concrète construction. Nowy York 1907.

Taylor Fr. A treatise on concrète plain and reinforced. 1907.

Emperger Fr. Dr. Handbuch für Eisenbetonbau. Berlin 1907. II. wydanie 1912.

Haberkalt u. Postuvanschitz. Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton oder Stampfbeton. Wiedeń i Lipsk 1908. II. wydanie 1912.

— Expériences, rapports et propositions par la commission du ciment armé. Paryż.

Spitzer. Berechnung der Moniergewölbe. Berlin.

K. i e g e r. Determination graphique des efforts dans une poutre. 1908.

Bosch Dr. J. Berechnung der gekreuztarmierten Eisenbetonplatte. Berlin 1908.

Ba zali M. Zahlenbeispiele zur statischen Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen. Glauchau 1908.

Bach Dr. C. Mitteilungen über die Druckfestigkeit von Betonkörper mit verschiedenem Wasserzusatz. Stuttgart 1909. Thullie Dr. M. Versuche mit exzentrisch belasteten betoneisernen Säulen. Berlin 1909.

Sonntag. Biegung. Schub und Scherung. Berlin 1909.

Brik J. Knickfestigkeit betongefüllter Eisensäulen 1909.

Klo kn er T. Vystuzeny béton. 1909.

Kleinloge 1. lieber das Wesen und die wahre Grösse der Verbundes zwischen Eisen und Beton. Berlin 1910.

Berby. Tests of concrète columnes made under building conditions 1910.

Rudeloff. Versuche mit Betonsäulen. Reih. I. u. II. Berlin

1910.

Rings Frederik. Reinforced concrète. Londyn 1910. Herzka Leopold. Dimensionierungsformein für einfach und doppelt bewehrte Betonplatten. Wiedeii 1910.

Hofmann Richard. Die Eisenbetonlitteratur bis Ende 1910. Berlin 1911.

Turneave. Principles of reinforced concrète construction. Allitsch Karl. Der Eisenbetonbau. Lipsk i Wiedeń 1911. Scheit-Wawrziniak. Versuche mit Eisenbetonbalken zur Bestimmung der Gleitwiderstandes. Berlin 1911.

Frank Dr. W. Der Eisenbetonbau. Stuttgart 1911.

Tedesco et Maurel. Béton et ciment armé. Paryż i Londyn

1911.

Gosyn Leon. Traité des constructions en beton armé. Paryż i Leodyum 1911.

Wuczkowski. Die Bemessung der Eisenbetonkonstruktionen. Berlin 1911.

Emperger Dr. Fritz. Neue Verwendung des Gusseisens bei Säulen u. Bogenbrücken 1911.

K o e n e n. Grundzüge für die statische Berechnung der Beton und Eisenbetonbauten. IY. wydanie. Berlin 1912.

Melan Joh. Versuche mit Plattenbalken. Lipsk i Wiedeń 1912. Spitzer Joseph. Versuche mit Eisenbetonsäulen. Lipsk i Wiedeń 1912.

Odorico. Neue Versuche mit ringbewehrter Eisenbetonsäulen.

1912.

Th ul lie Dr. M. Weitere Versuche mit exzentrisch belasteten Eisenbetonsäulen. Lipsk i Wiedeń 1912.

Aubry Ch. Calcul de béton armé. Paryż 1913. Danusso-Bronneck. Berechnung der kreuzweise bewehrten Eisenbetonplatten. Berlin 1913.

Ways u. Freytag. Umschnürter Beton.

Jurkowski Stefan. Żelbetnictwo. Warszawa 1914.

Taylor et Thomson. Pratique de la construction en béton et mortier de ciment armées ou non armées. Tłum. Darras. Paryż 1914.

II. Czasopisma.

1. Ogólne.

„Czasopismo Techniczne“, Lwów.

„Engineering News“, Nowy York.

„Engineering Record“, Nowy York.

„Oesterr. "Wochenschrift f. d. öffent. Baudienst“, Wiedeń. „Przegląd Techniczny“, Warszawa.

PPP

Rundschau für Technik und Wirtschaft“, Praga. Wochenschrift der oester. Ing. u. Arch. Ver.“, Wiedeń. Zeitschrift des Vereins deutsches Ingenieure“, Berlin.

2. Specyalne.

„Armierter Beton“, Berlin.

„Beton u. Eisen“, Berlin (Wiedeń).

„Cement a żelezo“, Praga.

„Deutsche Bauzeitung, Mitteilungen über Cement, Beton u. Eisenbetonbau“, Berlin.

„Cement und Beton“, Berlin.

OMYŁKI

które należy poprawić przeö użyciem książki.

Str.

Zamiast

Ma być

5 w. 2 z dołu 13 „ 2 z góry 16 nad w. 7 z d. 18 w.

18 „

[x=65-9

O* ł-±

z góry

rys. 9. Christoph

19 równ. (4)

Eb

Ee n

20    w. 12 z góry

20 „ 2    „

21    » 1    ii

22    „

22    „

22 „

lO <x>

. z—a

+ nf—g— t2 (d-zy+z*+... L[z*+(d-zy+... 10 F\d-z—ay

[xt =65*9

B. Natężenia przy zginaniu.

rys. 11. Christophe Ee

Eb ”

„ z—o

-(d-zy+**+...

±-[z3+(d-zy+...

10 F'(d—z—a,)²

Ce —

Ce—

ce—

Ce =

22 „

22 „

22 „

23 „ 8

7 z dołu

100

ce' = ce—

b(h~vo)e

—...—Fece

100

Ce— Ce —

KTi+vo)e

:..—Fce

25 równ. (20)

25    w. 1 z dołu

26    „ 1 „

26 rys. 20.

= 11 cm

20

[ll³ + (12-ll)³] + ^[(40-

— II)³—(12—11)³] + 10X X18-57 (11—3)²=242320 cm⁴

=12 cm

[12³ + (12-12)³] + ^ [(40-

—12)³—(12—12)³] + 10.

. 13-57 (28—3)²=323500 oś obojętna ma wpadać na dolną krawędź płyty.

Str.

Zamiast

26 w. 4 z góry

25000X29

26 „ 4

"i =

243320

250000X11

=29-9

242320

= 11-3

'i =

29    „ 10 29 „

29 „ 5 29 „ 4

29    „ 1

30    „ 4 z góry

ae=

10 X 250000(29-3)

242320

=268 ae=

Ma być

25000 X 28 323500 250000X12 323500 10 x 250000(28-3)

=21-6

=9-3

■>1

11

7 z dołu

ii

ii

ii

(dy—Zl)

323500

(d—zj

= 193

Fe'de'

F'rse'

t₂ =

15^^—^t)²+

(1-0-4) b (1-0-4 )b

(z₂—e)³+0-4 b {d—Zy ):3

=22-3

(1—0-4)150

"3==

15F(d,-2l) +

(1—0-4) by (1-0-4) by

(Zy — e)³ + 0-4 b y (d'— zx )3 “(1-0-4)27 ⁼¹³°

30 „ 5

=716

30 „

30 „

ai

30 „ 8

• 11

30 „ 9

(1—0-4) 150 = -22-3+V22-3²+716=12-5 [150X12-5³—(150—

—27)(12-5—10)3 150(42—12-5)³]+15x X28-28 (39—12⁻5)²=908030 0-4 x800000(42-12-5)

(1-0-4) 27

=3980

908030

= 10-4

=—130 + Vl30² + 3980=14 150X14³—(150—

—27)(14—10)3 27 (42—14)³] +15 X X28-28 (39-14)²=342080 0-4 x800000(42-14)

342080

=26

30 „

7 z dołu

\hF{dl -Ziy + ...+ 0-4(6-6,)(*-*)* '2

15 *'(<*»-*i)*

M(dz—1)

15 F(dl —)+...+ Q-4 (b-bt)(e-zt)* 2

lbF{dy—Zy)

M(d—zt)

8 z dołu

46 „ 7    „

49    „ 5    „

50    „ 7 z góry 50 „ 9

O T-l

rH rH

<3c

Ve

<*z

Oe

Tl=V

»=15 w

(Fdx —F'ax) X39—28-38X3

T1==T

»=15 —

zi

27

=9-6

{Fdi +F,al) X 39+ 28-28X3

27

=10-9

X9-5³-(150-27)(9-5-—10)³]+15 [28-28(39-9-5)2 +

28-28(9-5-3)2]

429800 800000X17-7 542ti00

15x800000(39-17-7) ^    15 x 800000(39-10-9)

-542600-⁼⁸²° ’<=--47Ö8ÖÖ-=‘¹⁷

Tl =

= 17-7

X109³—(150—27)(10*9— —10)³] +15.28-28 [(39— —109)2 + (10-9—3)2] 470800 800000X10-9 470800

'l =

= 18-5

Str.

56 w. 12 z dołu

62 „ 17 z góry

Zamiast

302 om

Vdx

Ma być

3*02 cm

Vdx

64    „ 18    „

65    rys. 44

66    w. 1 z dołu

66 „ 4    „

Ci ^

techniczne

=FC₂

O oo

C Cx Techniczne + FC,

71 po w. 16 z góry dodać: Natężenia za wielkie, trzeba więc przyjąć 5

prętów ęfi 16 mm (.F=10*05 cm²)

74 w. 11 z dołu

0*001112 —+ 0000160

di

0 001125—+ 0 000162

di

74 „ 8

0*002478 —=

di

0*002506 V—

di

g £ sï

„ 3 z góry n 15    „

» 5    „

B Bi

O) +

Bi

z dołu z góry

11 7    5»

» 12    „

„    8 z dołu

t, niesie t 1 T'

'“Ti

ministeryalne

XXVII.

2,100,000

t niesie,

=0 875

ti+łł“

1*125

ministeryalne austr, XXVII. dla o, =0*2. 2100000

y.

v.

T—i T-i

TH I-i

„ 11 z dołu

146

le

(146)

Te

113 „ 16

Q i e

obliczać byśmy ich

Qe i e

obliczać byśmy je

Fe

QS

113 „ 5

115    „    8 z góry

dx —z d\--5

C»| H*

z\

, 1 di~ "g z\

(ß 4 wî/w ' lb Fec Fe + Fex

na końcu dodać

V »1 ®i"

9 = —6616*5

+ 2k²ux

(ßh

mm

IbFe

Fe + Fe' (240 a)

de' <J Ge"

6616*5

+ 2&³V

Str.

Zamiast

Ma być

153    w.    7    z    góry

157    „    16    z    dołu

171 „lz góry

45

⁹=^r

483-3= —14'4

³“wt-+<m9)+

=21165

2= —

Q=

45

150

—0-2³:19H

».

9= —

45

483-3—14-4

45

[.... + 0-2.19)] + = -21165

150

45

q~~W0. —0'2³.19³

SPIS RZECZY.

A. Własności mechaniczne betonu i żelaza.

Str.

§. 1. Wstęp    . -.............

§. 2. Beton................

§. 3. Żelazo............> .

§. 4. Wytrzymałość betonu na ciśnienie i ciągnienie .

§. 5. Sprężystość betonu...........

§. 6. Wytrzymałość na ścinanie.........

§. 7. Przyczepność do żelaza..........

10

12

13

B. Natężenia przy zginaniu.

§. 8. Zasady obliczenia belek żelbetowych na zginanie .

§.    9. Faza pierwsza. Belka prostokątna.........

§. 10. Belka prostokątna o wkładkach gibkich ........

§. 11. Belka prostokątna podwójnie uzbrojona.......

§. 12. Belka o przekroju teowym...........

§. 13. Faza 1.6, belka prostokątna...........

§. 14. Belka prostokątna obustronnie wzmocniona, faza 16    .

§. 15. Belka teowa, faza 16.............

§. 16. Belka teowa obustronnie uzbrojona.........

§. 17. Faza II o.................

§. 18. Faza II6.................

§. 19. Sposób przybliżony Christopha, Empergera i Wuczkowskiego

§. 20. Belka obustronnie uzbrojona...........

§. 21. Belka o przekroju teowym, faza II6........

§. 22. Sposób przybliżony wyznaczenia natężeń.......

§. 23. Belka teowa obustronnie uzbrojona ........

§. 24. Współdziałanie płyty..............

§. 25. Faza trzecia................

C. Obliczenie wymiarów.

§. 26. Zasady obliczenia wymiarów ...........

§. 27. Belki prostokątne pojedynczo uzbrojone. Przekrój idealny §. 28. Ogólne obliczenie wymiarów belki prostokątnej.....

58

61

Str-

§. 29. Uwzględnienie ciągnienia przy obliczaniu wymiarów belki

prostokątnej................

§. 30. Długość wkładek żelaznych...........

§. 31. Obliczenie wymiarów wedle Wuczkowskiego......

§. 32. Wyznaczenie wymiarów belki podwójnie uzbrojonej

§. 33. Obliczenie belek podwójnie uzbrojonych sposobami Suensona

i Wuczkowskiego...............

§. 34. Wkładki szerokie...............

§. 35. Obliczanie wymiarów belki teowej.........

§. 36. Wyznaczenie wymiarów belki teowej idealnej.....

§. 37. Wyznaczenie wymiarów belki idealnej żebrowej ze względu

na ciągnienie................

§. 38. Obliczenie przybliżone wymiarów belki teowej.....

§. 39. Wyznaczenie długości prętów..........

§. 40. Wyznaczenie wymiarów belki teowej podwójnie uzbrojonej .

68

69

70

71

76

77

78

80

82

86

93

93

D. Natężenia ścinające i główne.

§. 41. Siły ścinające belki prostokątnej (Faza I.).......

§. 42. Siły ścinające belki teowej (Faza I.)........

§. 43. Siły ścinające w przekroju prostokątnym (Faza II.) « .

§. 44. Siły ścinające w przekroju teowym (Faza II.).....

§. 45. Siły ścinające w belce wielobocznej.........

§. 46. Obliczenie strzemion..............

§. 47. Pręty odginane...............

§. 48. Uwzględnienie przyczepności...........

§. 49. Przyczepność wedle rozporządzenia austryackiego .    .    .    .

E. Obliczenie prętów ciśnionych środkowo.

§. 50. Obliczenie słupów żelbetowych..........

§. 51. Słupy żelbetowe owijane............

§. 52. Wyboczenie słupów..............

§. 53. Obliczenie słupów żelbetowych z "wkładkami tęgimi

§. 54. Słupy żelbetowe z wkładką z żelaza lanego......

F. Obliczenie prętów ciśnionych mimośrodkowo.

§. 55. Przekroje ciśnione mimośrodkowo, wkładki gibkie, Faza I. .

§. 56. Wkładki tęgie................

§. 57. Przekrój teowy ciśniony mimośrodkowo w fazie pierwszej §. 58. Przekrój prostokątny ciśniony mimośrodkowo w fazie drugiej §. 59. Przekrój teowy ciśniony mimośrodkowo w fazie drugiej .

§. 60. Projektowanie przekroju teowego ciśnionego mimośrodkowo .

96-

99

102

104

107

108

112

116

120

127

131

135

137

138

140

143

144

146

151

154

G. Wykreślne wyznaczenie osi obojętnej.

§. 61. Belka zginana . ' .

§. 62. Ciśnienie mimośrodkowe

155

H. Wyznaczenie wymiarów zeskładów żelbetowych ze względu na koszty.

8tr.

§. 63. Uwagi ogólne...............

§. 64. Płyta z jednej strony uzbrojona .    ........

§. 65. Płyta uzbrojona w dwu kierunkach........

§. 66. Płyta obustronnie uzbrojona..........

§. 67. Belka teowa...............

§. 68. Przekrój ciśniony mimośrodkowo.........

§. 69. Przekrój ciśniony mimośrodkowo bez uzbrojenia ciśnionego §. 70. Przekrój ciśniony mimośrodkowo bez uzbrojenia ciągnionego 175

162

162

166

169

169

170

174

I. Ugięcia i zeskłady statycznie niewyznaczalne.

§. 71. Zasada obliczenia..............

§. 72. Odkształcenie zeskładów żelbetowych ciągnionych i ciśnionych

§. 73. Ugięcie belek żelbetowych zginanych........

§. 74. Dźwigary statycznie niewyznaczalne........

§. 75. Dźwigary utwierdzone.............

§. 76. Belki ramowe................

§. 77. Rama jednoprzęsłowa.............

§. 78. Belki ciągłe................

§. 79. Płyty spoczywające na dwu krawędziach .......

§. 80. Płyty spoczywające na czterech krawędziach.....

§. 81. Sklepienia.................

K. Dodatek.

lO H H Hk ►—Ł ł—»• I—Łh-*ł-A|—‘h-Ł

OCDCOCOCDCDCOCD-O-^-O

I. Tablica dla żelaza okrągłego (średnica w mm) w cm! (średnica w mm)

205

II. Tablica dla

15 diz

207

III. Tablica dla żelaza okrągłego (średnica w calach) .

w cm? (średnica w calach)

IV. Tablica dla

15 diT:

.    .    209

. . 210

Literatura Omyłki . Spis rzeczy

211

215

219

tłdll rJlNuitm

A’*

KRAKÓW^

15

Dr. M. Thullio. Teorya żelbetu.

'

■

#

.

£ «

V

£ .

■

'

<

vs

f

. ..

4»

» ■

.

f

*

«

.

zf/P pi oo

7

'

*

'

t

\ '

'v<

r

,f. .

I

ł •

/ '

«

'

/

ł

/

%

.

%

\

*

*

V

*

%

$

\

/

■ *

/

$

i

%

*

ft

ß

\

/

<1

/

/

. #

V

V

*

/

/

*

✓

«p

S

i

' %V

•Ç

X i

I»

*

*

♦

*

». .

\

o

J

■

*

s*

Ï1?u

Ri

ÜÉÊÏ

SSL

*i

’S

pr

*1

■ ri

Biblioteka Politechnik« Krakowskiej

11-338583

Jfci

.w»

»tj

L'

£?5

ß\

K<

!8

■A S V'V*

:tï

%/i

tH

Æfiî

jÿïSj

ï*

:•

»

1mr 3êêt v

r>

p5tfS

wz

F/l

S!

a

v **r*

» *

}M

es*

.Arpe

£•3

#*j

[-0

[4]

v* Ô5

î*,

•,

%i

«ri

to

>«

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

/•I

100000267668

tut

p*^

' lr*»^

WJPV

JN

ÏJJS

.f

l>

iMSi

r>7

Ä’

[f'

***

ä>

r-ij

Ql

«y

"tfS

V,

>V&

>■