__________________________r-Tr-

WÊâÊÊËÊÊÈmÊÊM«miÊÈb

il

^^■«■111

'■''-: '■■- . ;> :' :' ;    .:::

:    ;':-.:-

:

:

- . " ■- ::> ■    ;i -    '    ::    -    ■'

- ■    ': k . -i ■ '

: k.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000059521

tei- jfk}y

<r>. • > '

.-'-te-

Ś444

~ te

«P

■; r-C-v .-'/'.-f te te--

t    te....... -''te- : >«■

t.:'--⁴?-

-, •; tejpï

? 44

te

te 'te-' ::

sr

•'..-te- ' ,

. wtete

-4 'C#4 "-^rte

teSStete

'4S ^' o'4 4

;>>■

•■. -■-t

H: ;P

y - -; •--

te*    : là

te te-'

itete^ te ' ■

'tetete' te-te; te.4te4.'4

î»

.-vtetete tetete

tes;; - te, -te- z, ?tei

teA te'

'•te..

-'te.' ';

ïv

tete-I

tetel

te

yf:

3*3ïte

4 ^ Si

' •'' 44~te~ ~ -

&    ~ tete'-- -    -

Mietete

ir~rT>

SS.

Jte

te'-

J-

, —te-./" 'te-;te^. te - '

■-    .    =••'. * 'te, •> ^ . te

°t&TH <-■ i.v&t

A~te

^'te

• "' t--r te->~ ■& . ',>''»

4SĄ4

.

- ' #"4'" teStelte ~£~ -

Kafej;

■S.

tey.':tev ;

■V

o-te- -

\-cr

>-

i4y

3^fÿte4r

44

V '

tete⁴ te%; ".- -.-,- .te ;.

v4 ■ '., Artetet

tetete:

' 4 '"tete' tete te'-

4 ^-4444 •■ ■ 4 - te îâte.4: ;• te. ' -v: 4

, .tetetetete :

ï-'s-.-.-ao

'    '..A., te"

+Y?

.-. '•-•"te    .    , w--\ -tev

4-hteteteter-^;-te’te;-4

":Ą

sf r ’ ,tete    rte

. •;, te' te"^ ^ ‘te - . ' ^ - ^-,;' • '•

--. Ł- ^Jj^L . ;A4 ••*•>

Âtete .'■■ - -~tev . te* te':.-:- te -    -.---

te.

i'-tte te'-4

4-44

4S

? -te:' 1444

'■

S i teinte

aW'îW^-^

¹ 11

te"'"!

iSÉr

^441444 -SI

* ~S Pr • M

-

#25** te,'

^ r-' 44 > ' <

44-

te 4 4 4.1

:44

S-

,-: :44

•o N.~: te,te-V'.    - - •

■■-Ś ■

444444 te44

44-^-te

■ .

"te"

fï,«r ,.„

■ - 4.44*

- " " .te ■- <4tei-te>>te r>i 4tete4terw

teste ^

>te;ô

4>v

^V- •    -,.^V/ tes.

K,

AV“

•:. ■

-te-

. •- ‘

rw?

»s

. te ■    . .    . te

IS

tetetef

vl

-

|| -tetete "tete ■■!

4- .:<:te, “ •.    - te,.

fi *►

DR. KÄZIMIERZ BÄRTEL

PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

GEOMETRJA

i

V,

ich pośrednictwem najprostszą konstrukcję. Rozwiąz

4. Wyznaczyć odległość punktu P(P'P") od płaszczyz

20. Wykreślić ślady płaszczyzny przechodzącej prze

a) a dowolne, b // % ; b) a//nlf b//jr2; c) aJ_jrt

wędzie kwadratów, przechodzące przez punkt A, wyno

A~A±_B~Bl C~Cy A A2 B B2 C Ć2

Wykreśliwszy z punktu S" równoległą do boku W" C",

GuC/\ \ ■■ /VOyi*

Weźmy raz jeszcze pod uwagę sześciokąt ABCDEF i wy

d) Równolegle do danego kierunku „a“ wykreślić sty

siecznemi krzywych kit k2 \ k3, a więc / i sieczne

ryP

sce danej tworzącej powierzchni obrotowej, przyjmi

mierny prostą 1(1 i ) równoległą do tworzących wal

7. Przetnijmy stożek obrotowy (rys. 479) płaszczyz

Rys. 500

Przenikanie się prostego, czwór ościennego granias

nu

193. Ćwiczenia.

Przy numerach rysunków 176, 218 i 225 należy odrzu

GEOMETRJA

WYKREŚLNA

WYDANIE DRUGIE, POPRAWIONE I UZUPEŁNIONE Z 584 RYSUNKAMI W TEKŚCIE

.-f ,,

"X

ST

vf|..    -

LWÓW - WARSZAWA

SiąŻNICA POLSKA T-WA NAUCZYCIELI SZKÓŁ WYŻSZYCH

.r

C7I

a»

<K

/•*lt

ar

•o I

* .^0

% <

li 6110

WYKONANO W ZAKŁADZIE DRUKARSKIM „QRAFIA“ WE LWOWIE

's

_42%l

W stosunkowo bardzo krótkim odstępie czasu zaszła potrzeba drugiego wydania tej książki, a z nią konieczność poddania rozwadze celowość ogólnego jej układu i przeglądnięcia poszczególnych ustępów.

Postanowiłem nie rozszerzać omawianego obszaru, zachować elementarny charakter wykładu, a wobec niemożności znacznego powiększenia objętości usunąć, pobieżnie tylko w pierw-szem wydaniu opracowany, rozdział o perspektywie środkowej. Zarówno układ jak i opracowanie materjału uległy częściowej przeróbce, a także dość licznem uzupełnieniom. Kilkanaście rysunków zastąpiono nowemi ; mimo usunięcia rozdziału o perspektywie, objętość książki powiększyła się, ilość rysunków wzrosła.

Za pomoc w czytaniu trudnej korekty składam serdeczne podziękowanie panu koledze proî. dr. R. Plamitzererowi, a za techniczne wykonanie dodatkowych rysunków p. M. Teliczkowi, asystentowi przy mojej katedrze. Szczególnie wielki dług wdzięczności zaciągnąłem wobec „Książnicy“ T-wa Nauczycieli Szkół Wyższych i Zakładu „Grałji“ za gotowość w uwzględnieniu wszystkich, tak licznych, moich życzeń i ponowne świetne wyposażenie wydawnictwa.

We Lwowie, dnia 5. lipca 1922.

K. Bartel.

•w

..

' *5

«3-

//

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

1. Przedmiot geometrji wykreślnej. Podobnie jak mowa lub pismo, jest wszelki rysunek sposobem porozumiewawczym, służącym celom nauki, techniki lub sztuki.

Prawa rządzące mow^ą lub pismem są przedmiotem nauki gramatyki, względnie ortogralji; niezmienne, a więc w dziedzinie nauk ścisłych leżące prawa, którym podlega każdy rysunek, są przedmiotem geometrji wykreślnej. Geometrja wy-kreślna jest więc, nie ulegającą zmianom, gramatyką wszelkiego rysunku.

Odtworzenie przedmiotu, przedstawionego rysunkiem, wymaga współdziałania tej władzy naszego umysłu, którą określamy mianem zmysłu przestrzeni. Zdolność wyobrażania sobie ściśle okreś’onych i określone położenie w przestrzeni zajmujących utworów przestrzennych, w najogólniejszem ich rozumieniu, nie jest właściwą w równym stopniu, każdemu umysłowi. Są ludzie, którzy patrzą a nie widza, w podwójnem znaczeniu tego wyrazu: nie umieją spostrzegać i nie posiadają zdolności należytego zapamiętania, względnie odtworzenia tego, na co patrzą. Zdolność spostrzegania da się rozbudzić i wykształcić, podobnie jak i pamięć przestrzeń*, a nauką, która , pośrednio zadanie to spełnia, jest geometrja wykreślna.

Geometrja wykreślna podaje właściwe sposoby notowania, kreślenia tego, co spostrzegamy, albo wyobrażamy sobie w przestrzeni, uczy wykresy te odczytywać, badać ich własności i wnosić, na podstawie otrzymanych wyników, o własnościach utworów przedstawionych rysunkiem. Umiejętność czytania rysunków polega przedewszystkiem na zdolności wywoływania wyobrażeń, ćwiczenie się w tem czytaniu jest ćwiczeniem zmysłu przestrzeni.

A wreszcie, jak zapomocą praw gramatyki sprawdzamy poprawność, z jaką wyraziliśmy myśl swoją pismem, tak geo-metrją wykreślną sprawdzamy poprawność każdego rysunku, który jest również jedynie wyrazem naszych wyobrażeń i pojęć.

2. Uwagi o rysunku geometrycznym. Znajomość geo-metrji wykreślnej łączy się ściśle z umiejętnością wykonania rysunku, który myśl geometryczną wyraża. Od najprostszych zadań począwszy, winną być rysunkowi geometrycznemu poświęcona szczególna uwaga i stała dążność osiągnięcia jak największej w nim biegłości. Rysunek winien być zawsze dokładny i najstaranniej wykonany. W wielkim stopniu zależy osiągnięta dokładność rysunku od przyborów rysunkowych, które jednak, ani w części, nie zastąpią wprawy, nabytej ćwiczeniami.

Ołówek do rysunku musi być dostatecznie twardy i zawsze ostro, stożkowato zacięty; użycie ołówków w rodzaju „Penkala“ jest tu niemożliwe. Do zacinania ołówków używać należy scyzoryka; wszelkiego rodzaju maszynki nie odpowiadają celowi. Koniec ołówka musi być stale ostry jak rylec, co osiągnąć się da w doskonały, łatwy i szybki sposób tylko zapomocą małego, drobno siekanego, płaskiego pilnika; papier piaskowy, czy szklany, a także i kamień nie zastąpią pilnika. Używanie zbyt twardych ołówków z dwóch względów nie jest wskazane: Przedewszystkiem wzgląd na oczy, które cierpią bardzo zmuszone do dłuższego, wytężającego wpatrywania się w zbyt cienkie, szarej barwy linje, a po drugie, niemożność usunięcia linij wykreślonych, albo raczej wyciśniętych, zbyt twardym ołówkiem.

Papier na rysunki może być bardzo rozmaity. Na ćwiczenia, wykonywane tylko ołówkiem, nadaje się zwykły papier do pisania, wycieranie linij jest tu jednak tylko wówczas możliwe, gdy do rysowania użyto ołówka średniej twardości, więc np. „Polonja“ Majewskiego Nr. HB. Początkujący, który używać będzie częściej gumy dla wytarcia swych nieudolnych prób rysunkowych, nie może posługiwać się papierem pisarskim i musi także do rysunków, wykonanych tylko ołówkiem, użyć papieru rysunkowego. Jakość tych ostatnich, bardzo rozmaita, zależy od ceny i pochodzenia. Rysownik biegły zadowoli się papierem cienkim, dobrze gumowanym, o powierzchni gładkiej ; początkujący użyje z większą korzyścią papieru grubszego, dobrze gumowanego, jednak o powierzchni mniej gładkiej, raczej

szorstkiej. Papier taki znosi bardzo cierpliwie zcieranie linij wykreślonych nietylko ołówkiem ale i tuszem.

Przybornik. Zespół cyrkli i przyborów do kreślenia tuszem t. z w. graîjonow, stanowi przybornik. W handlu występują przyborniki od najtańszych i mało dokładnych, aż do kosztownych szkatuł, wykonanych z nadzwyczajną dokładnością. Przybornik zawierać winien w każdym razie: cyrkiel z wkładką na ołówek i graîjon, cyrkiel do kreślenia maleńkich kół, t. zw. zerownik i graîjon. Nóżki cyrkla powinne dawać się nastawiać prostopadle do płaszczyzny papieru. Graîjon służący do kreślenia, a raczej pociągania tuszem linij narysowanych ołówkiem, winien być zawsze dostatecznie ostry i po każdorazowem użyciu starannie oczyszczony, jednak nie papierem lub bibułą, tylko cienką szmatką, która należy do przyborów rysunkowych.

Kierownica, wykonana z drzewa, nie powinna być krótszą od deski rysunkowej, a głowa jej musi być dobrze przymocowaną do lineału. Używania kierownic, w których głowa nastawiać się da, względem lineału, pod rozmaitemi kątami, zalecić nie można.

Trójkątów, które wykonywane bywają z drzewa, masy papierowej, celuloidu, twardej gumy, metalu, a także i szkła, potrzebuje rysownik dwóch: prostokątny trójkąt równoramienny i prostokątny trójkąt, w którym stosunek jednej przy prostokątnej do przeciwprostokątnej wynosi 1 : 2. Kąty, jakie przeciw-prostokątna zawiera z przyprostokątnemi, są więc w pierwszym trójkącie równe 45°, w drugim wynoszą 30° i 60°. Polecenia ‘godne są przedewszystkiem trójkąty z drzewa, w dobrem wykonaniu, a potem dopiero z twardej gumy, celluloidu i masy papierowej. Metal brudzi zbytnio papier, szkło jest zbyt kruchym materjałem, chociaż ze wszystkich wymienianych da się najczyściej utrzymać. Trójkąty z drzewa odczyszczać można tylko gumą lub chlebem. Do kreślenia tuszem nadają się najlepiej trójkąty z drzewa, przy użyciu innych następuje łatwo zalewanie linij.

Deska rysunkowa, służąca do przypinania, zapomocą pluskiewek, względnie naklejania papieru, powinna być wykonana z zupełnie suchego drzewa lipowego, topolowego, jaworowego lub sosnowego, ujętego w dwie łaty z drzewa twardego. Ściany czołowe tych łat muszą być najdokładniej obrobione, po nich bowiem posuwa się kierownica.

Guma do wycierania śladów ołówka musi być miękka. Wytarcie linij, wykreślonych tuszem, osiągnąć się da tylko na papierze nie najgorszego gatunku, a na papierach dobrych jest zawsze możliwe, przy pomocy ostrej gumy i ewentualnie bardzo ostrego scyzoryka. Użycie scyzoryka wymaga wprawy i doświadczenia, początkujący posługiwać się nim nie powinien. Usunięcie tuszem błędnie wykreślonych linij, względnie większych plam z tuszu, łączy się z umiejętnością rysowania. Przy pewnej wprawie, a zawsze przy znacznej cierpliwości, wytarcie choćby całej siatki linij lub dowolnie wielkich plam, bez pozostawienia znaczniejszych śladów, jest zawsze możliwe.

Tusz, t. j. czarna farba, służąca do pociągania linij wykreślonych ołówkiem, występuje w handlu w dwojakiej formie: płynny, a więc gotowy do użytku i stały w laseczkach, który rysownik przez roztarcie z wodą na szkle matowcm lub w miseczce przygotowuje do użytku. Pierwszy, przy małej wprawie w posługiwaniu się graf jonem „zalewa“, t. zn. spływa zbyt gwałtownie, zwłaszcza przy kreśleniu grubych linij. Tusz tarty wady tej nie posiada i jest zawsze znacznie czarniejszy.

Jeżeli rysunek wykonywamy na małych kartkach papieru, względnie w notatce, a więc bez posługiwania się deską rysunkową i kierownicą, to lin je równoległe i prostopadle do nich kreślimy przy pomocy dwóch trójkątów. Jeżeli trójkąt 1, (rys. 1), przytrzymamy lewą ręką, zaś trójkąt 2, oparty stale o 1, posuwać będziemy prawą ręką w kierunkach oznaczonych strzałkami, to proste, kreślone wzdłuż przeciwprostokątnej trójkąta 2, są do siebie równoległe. Przez obrót trójkąta 2, (rys. 2), przy zachowaniu położenia trójkąta 1, uzyskujemy możność kreślenia prostych prostopadłych do poprzednich. Jeżeli rysujemy na desce, to kierownica, której głowa posuwać się musi zawsze po lewej krawędzi deski, służy do rysowania prostych poziomych; użycie irójkąta umożliwia kreślenie prostych prostopadłych do pierwszych, lub nachylonych do nich pod 30°, 45° i 60° (rys. 3). Aby rysunek geometryczny, którego konstrukcja jest

Rys. 1

rjt

IM

? a'

Rys. 2

niejednokrotnie zawiłą, uczynić przejrzystym i łatwo czytelnym, nadajemy linjom odpowiednie grubości. W szczególności odróżniamy linje pomocnicze, prowadzące do wyniku, od innych. W zadaniach początkowych wyróżniać będziemy trojakiego rodzaju linje: dane, pomocnicze i wynikowe. Pierwsze wykreślamy zawsze pełne, średniej grubości, drugie tak cienko, jak tylko pozwala graîjon, a to albo jako linje ciągłe, pN __ z punktów i kresek. kreślimy jako ciągłe, -czyli, jak mówimy, pełne i znacznie od !' danych grubsze. W zadaniach, odnoszących się do utworów przestrzennych, więc wielościanów i powierzchni, używać będziemy również trojakiego rodzaju linij, jednak często w innem ich znaczeniu. Linje pomocnicze pozostaną jak poprzednio, limami najgrubszemi wykreślamy nietylko wynik, ale także i obrazy danego utworu przestrzennego, jeśli linje wynikowe leżą na tych utworach. Przykład najlepiej sprawę wyjaśni: zadanie wymaga wyznaczenia przecięcia kuli płaszczyzną. Obrazy kuli wraz z wyznaczonym przekrojem wykreślimy grubo, obraz płaszczyzny, która jest dana, średnią grubością, a resztę linij, jako linje pomocnicze, bardzo cienko i w rozmaity sposób poprzerywane. Linje pomocnicze wykreślać można tuszem barwnym, jednak tylko barwy niebieska i sepja są polecenia godne.

Ale najlepiej pod względem doboru linij wykonany rysunek geometryczny nie jest zupełny, dopóki nie jest opisany, t. j. dopóki punkty i linje nie otrzymają oznaczeń. Staranne opisanie rysunku należy do ważnych zadań rysownika, gdyż dopiero opisanie rysunku czyni go czytelnym.

Do opisywania używać należy pisma według niżej podanego wzoru (rys. 4); pismo t. z w. rondowe uważamy dla rysunków geometrycznych za nieodpowiedne.

albo

Linje

-m

jæ_m

__, - - -,

Rys. 3

p/

a bcdefgh i jklmnopqrstuv w x y z

A BCDEFGHU KLM NOPQRSTUVWXVZ

1234567890

Rys. 4

ALFABET GRECKI

S § to —    «

§73 tt-S -S 1 tdcQOÛWNUH

ö ffl. >-co

< PQ U <f W N X- ®

to

su

p kh x e k P y

S-^X-6 G H Q -o

1 "-•-l.'l'f I

trc    O 3

to

fO

3.    Elementy przestrzeni. Oznaczenia. Przedmiotem rozważań geometrycznych wogóle jest przestrzeń, a w szczególności utwory geometryczne, powstające wskutek rozważań geometrycznych.

Najprostszemi utworami geometrycznemi, stanowiącemi punkt wyjścia dla naszych rozumowań, utworami zasadni czerni, które też] zwiemy elementami przestrzeni są: punkt, lin ja prosta czyli krótko prosta i płaszczyzna. Dla jednostajności wykładu oznaczać będziemy stale: punkty dużemi literami alfabetu łacińskiego np. A, B, C... względnie liczbami arabskiemi, proste małemi literami tegoż alfabetu (a, b, c,...), płaszczyzny małemi literami alfabetu greckiego (a, ß, y,...)*

4.    Proste przecinające się i równoległe na płaszczyźnie. Dwie proste posiadać mogą jeden punkt wspólny, czyli jak mówimy, przecinać się. Wtedy istnieje jedna płaszczyzna, pro-stemi temi wyznaczona, czyli przez owe proste „przechodząca“, albo jak też wyrażać sięŁbędziemy, na prostych owych leżąca.

Weźmy pod uwagę dwie proste a i b przecinające się w punkcie P, (rys. 5), a na prostej a punkt A. Jeżeli prosta a obraca się około punktu A, w kierunku wskazówki zegara, przyjmując położenia alf a aé ,... an , to punkt P posuwa się po prostej b, od ręki prawej ku lewej, oddalając się od pierwszego uważanego położenia P i przyjmując położenia PtiP₂... Przez dalszy obrót prostej a, ruchomy punkt P znajdzie się po prawej stronie punktu P, zbliżając

ËL

ft/ /P" ,P

\Pn*i\Pn_

dl /d-f

Rys. 5

2» • *

się do niego od ręki prawej ku lewej. Najwidoczniej prosta-a, obracając się około punktu A i przecinając prostą b w punktach coraz dalej leżących od punktu P, osiągnęła pewne położenie graniczne ag, po przekroczeniu którego, jej punkty przecięcia się Pn, Pn+i,... z prostą b, poczęły zbliżać się do punktu P. Owo graniczne położenie prostej a, względem prostej b, nazywamy położeniem równoległem, a prostą ag, prostą równoległą do b.

O punkcie przecięcia się prostej a z prostą b, w położeniu granicznem, mówimy, że leży w odległości nieograniczenie albo nieskończenie dalekiej na prostej b i nazywamy go punktem niewłaściwym, w odróżnieniu od punktów właściwych, leżących w odległości skończonej na prostej. Dla oznaczenia punktów niewłaściwych używamy znaku pisząc go jako wskaźnik, więc np. Poo, a położenie punktu niewłaściwego na płaszczyźnie oznaczamy linją opatrzoną strzałką, czyli t. zw. kierunkiem.

Z powyższego widzimy, że przez punkt A przechodzi jedna prosta ag, równoległa do danej prostej b, i, że nawzajem prosta b jest równoległa do prostej ag, gdyż punkt niewłaściwy Poo jest punktem wspólnym obu prostych ag i b. Dwie proste równoległe stanowią tedy szczególny przykład prostych przecinających się, gdzie punkt wspólny leży w odległości nieograniczenie dalekiej, czyli jest punktem niewłaściwym. Przeprowadzone rozumowanie poucza nas dalej, że prostą uważać możemy za zbiór (mnogość) nieograniczonej ilości, następujących po sobie w sposób ciągły, punktów właściwych i jednego punktu niewłaściwego.

Rys. 6

Nieograniczona ilość punktów linji prostej stanowi t. zw. szereg punktów, dla którego prosta ta jest podstawą.

Przez każdy punkt A, prostej a, prze- J³— chodzi dowolna, nieograniczona ilość prostych, których zbiór, wraz z prostą a, / nazywamy pękiem prostych, a punkt A bo wierzchołkiem tego pęku (rys. 6 a). Przez — punkt niewłaściwy Poo, prostej a, przecho-dzi również pęk prostych, który nazywamy — pękiem prostych równoległych (rys. 6b).

5. Proste skośne. Jeżeli dwie proste a i b, znajdujące się w przestrzeni, nie posiadają punktu wspólnego, ani właściwego ani niewłaściwego to położenie ich określamy jako skośne lub wichrowate (rys. 7).

\P

/ cc,

~bl

Rys. 7

6.    Prosta i płaszczyzna. Prosta posiadać może jeden punkt wspólny, właściwy z płaszczyzną, a wtedy ją przebija (rys. 8), albo jeden punkt wspólny, leżący w odległości nieograni-czenie dalekiej, czyli punkt niewłaściwy, a wówczas mówimy, że prosta jest do płaszczyzny równoległą.

Rys. 8

(trj

7/ / /

----

Ć?/7

<3/7 +1

Rys. 9

7.    Płaszczyzny przecinające się i równoległe. Przyjmijmy dwie płaszczyzny cc i p, przecinające się w prostej a (rys. 9), a na płaszczyźnie a dowolną prostą b, równoległą do prostej a. Niechaj położenie prostej b, w odniesieniu do płaszczyzny p, będzie niezmienne i niechaj płaszczyzna a obraca się około tej prostej jako osi i to np. w kierunku wskazówki zegara, przyjmując położenia an a₂.. ag, a„... Prosta a posuwać się będzie na płaszczyźnie p od ręki prawej ku lewej, oddalając się od pierwszego uważanego położenia a, przyjmując położenia alf a₂ ..., aż przekroczywszy pewne położenie graniczne ag, pojawi się po drugiej stronie prostej a, zbliżając się do niej. Owo graniczne położenie płaszczyzny cc, nazywamy położeniem równoległe m, a płaszczyznę cc która osiągnęła owo położenie, płaszczyzną równoległą do płaszczyzny p. O prostej przecięcia się płaszczyzn ag i ß, w p łożeniu granicznem, mówimy, że leży w odległości nieograniczenie albo nieskoń

czcnie dalekiej i nazywamy ją prostą niewłaściwą płaszczyzn ag i p. Podobnie, gdy w miejsce prostej b przyjmiemy

dowolny punkt B, dojdziemy do tego samego rezultatu i stwierdzimy, że przez punkt ten przechodzi dowolna ilość płasz- ' czyzn przecinających płaszczyznę ß, ale jedna tylko płaszczyzna do niej równoległa. Płaszczyzny ag i ß są w tym przypadku wzajemnie równoległe, a prosta niewłaściwa jest prostą wspólną obu płaszczyzn. Podobnie jak przy prostych równoległych, stanowią dwie płaszczyzny równoległe szczególny przykład płaszczyzn przecinających się, przyczem prosta przecięcia się leży w odległości nieograniczenie dalekiej i jest

prostą niewłaściwą.

Przez każdą prostą a na płaszczyźnie Jt (rys. 10) przechodzi dowolna, nieograniczona ilość płaszczyzn, których zbiór wraz z płaszczyzną Jt, tworzy t. zw. pęk płaszczyzn o osi a. Przez prostą niewłaściwą płaszczyzny Jt przechodzi również pęk płaszczyzn, który nazywamy pękiem płaszczyzn równoległych (rys. 11).

Dowolna płaszczyzna przecina pęk płaszczyzn w,pęku promieni, którego wierzchołkiem jest punkt przecięcia się osi pęku z płaszczyzną sieczną. Gdy pęk płaszczyzn jest pękiem równoległym, otrzymany pęk promieni jest również równoległy, punkt bowiem przebicia się osi pęku, którą jest prosta niewłaściwa, jest niewłaściwym wierzchołkiem pęku promieni.

Z rozważań ustępu 4 i powyższego widzimy, że na płaszczyźnie znajduje się nieograniczona ilość punktów i prostych właściwych i jedna prosta niewłaściwa. Owo pojęcie wszystkich punktów, względnie prostych danej płaszczyzny, określamy mianem układu płaskiego.

Zbiór nieograniczony prostych, przechodzących przez jeden punkt w przestrzeni, nazywamy wiązką promieni, a punkt ów środkiem, albo wierzchołkiem, tej wiązki. Jeżeli środek wiązki leży nieograuiczenie daleko, to wiązka składa się z promieni równoległych.

ot

ot

cc

fi

fi

Rys. 10

Ot

Rys. 11

8. Pojęcie rzutu środkowego i równoległego.

a) Rzuty na prostą. Przyjmijmy na płaszczyźnie rysunku • prostą a i zewnątrz niej punkt 5 (rys. 12), a nadto dowolne punkty A, B, C,.... Wykreślmy proste pif p₂, p₃..., łączące punkt z punktami A, B, C.., to ich punkty przecięcia się A', B\ C',....

/p->

ip₂

pi p₂

<A

\B

S°°

a A'/

C’\B’

a //?'    /B’

A’

pi

P3

P2

'B

\A

Rys. 12

Rys. 13

z prostą a nazywamy rzutami punktów A, B, C... na prostą a. Punkt 5 jest środkiem rzutów, a proste plt p₂, p₃... są promieniami rzucającemi punkty A, B, C,... na pod-stawę a.

Jeżeli środek rzutów jest punktem niewłaściwym S°° płaszczyzny rysunkowej, a więc wyznaczony kierunkiem, to promienie rzutów są do danego kierunku równoległe (rys. 13).

Rzut A\ B'..., punktów A, B,...., ze środka rzutów «S (rys. 12), który jest punktem właściwym płaszczyzny rysunkowej, nazywamy rzutem środkowym; gdy środek rzutów jest punktem niewłaściwym, rzut nosi nazwę rzutu równoległego (rys. 13).

Szczególny, a dla nas bardzo ważny, przypadek rzutu równoległego stanowi rzut, którego kierunek jest prostopadły

do podstawy a, a który nazywamy r z u-c tern prostokątnym (rys. 14).

b) Rzuty na płaszczyzną. Przyjmijmy płaszczyznę n i zewnątrz niej punkt «S (rys. 15), to proste, łączące dane punkty A, B,... z punktem S, przebiją płaszczyznę jr w punktach A', B'..., które nazywamy rzutami*

Rys. 14

CU c

'pi

B,

wäs

Rys. 15

/P1 Jp2 Jp3

Ha

B’

Ht

A';

BrJ

/ C)

p₂

7 Ib

Rys. 16

środkowemi punktów A, B... na płaszczyznę jc. Punkt S jest środkiem rzutów, płaszczyzna n płaszczyzną rzutów, albo krótko rzutnią, a prostepy, p₂... są promieniamirzucającemi. Jeśli położenie punktu C w przestrzeni jest tego rodzaju, że promień p₃, rzucający go na płaszczyznę ar, jest do niej równoległy, to rzut punktu C jest punktem niewłaściwym i leży w odległości nieograniczenie dalekiej na płaszczyźnie jt.

Przyjmijmy, że środek rzutów jest punktem niewłaściwym S°° (rys. 16), to wówczas promienie rzutów tworzą pęk równoległy i równoległy do danego kierunku, zwanego kierunkiem rzutu. Mówimy w tym wypadku o rzucie równoległym punktów na płaszczyznę.

Jeżeli kierunek rzutu jest prostopadły do rzutni, to mamy szczególnie ważny przypadek rzutu równoległego, zwany rzutem prostokątnym.

Prócz punktów odosobnionych rzucać można na płaszczyznę całe ich skupienia, zbiory, w formie linij, figur i t. d.; poznanie sposobów kreślenia rzutów tych utworów jest jednem z zadań geomelrji wykreślnej.

9. O konstrukcjach geometrycznych. Przy założeniu, że przyrządy rysunkowe, któremi się posługujemy, są dokładne, że ołówek jest ostro zacięty, a papier gładki, rysunek nasz nie będzie nigdy dokładny w'znaczeniu matematycznem. Możemy tylko bardziej lub mniej zbliżyć się do tej idealnej dokładności, a stopień tego zbliżenia stanowi o stopniu dokładności rysunku. Rysujemy więc zawsze z pewnym błędem, a staraniem na-szem, popartem doświadczeniem i wprawą jest, by błędy rysunkowe nie przekraczały pewnych granic.

Jest rzeczą zrozumiałą, że np. linja prosta tern dokładniej wyznaczona jest na płaszczyźnie rysunkowej, im dalej leżą od siebie punkty, prostą tę wyznaczające ; że punkt przecięcia się dwóch prostych tern dokładniej jest wyznaczony, im bardziej zbliża się do kąta prostego kąt, jakie proste te tworzą, i t. p. Pamiętając o tern, możemy w wypadkach, w których konstrukcja pozwala na' pewną dowolność i pozostawia rysownikowi zastosowanie tej lub innej metody, użyć zawsze tej, która zabezpiecza osiągnięcie najdokładniejszego rezultatu.

Dalsze trudności wynikają z tego, że płaszczyzna rysunkowa jest ograniczona i że potrzebne nam do konstrukcji punkty i proste leżą poza jej obrębem. W tych wypadkach

stosować będziemy szczególne konstrukcje, z których najważniejsze poniżej podamy.

a) Przez dany punkt P i nie leżący w obrąbie płaszczyzny rysunkowej punkt R, przecięcia się prostych pl i p₂, wykreślić prostą (rys. 17).

P’

Ai

Pierwszy sposób. Z punktu —— P wykreślimy dowolnie dwie proste PA i PB, a do prostej AB w do-wolnem miejscu równoległą At By. Równoległa, wykreślona z punktu A y do AP, przecina prostą, wykreśloną z punktu By równolegle do BP, w punkcie Py, który jest punktem szukanej prostej PR, gdyż punkt R jest środkiem podobieństwa trójkątów ABP

i AyByPy.

Drugi sposób. Z punktu P kreślimy/Mi ĆLpy \PBy -Lp₂ (rys. 18), to prostopadła, wykreślona z punktu P do prostej A₂ B₂, rozwiązuje zadanie. r\

W istocie proste Ay A₂, Bx B₂, a także PR, są wysokościami trójkąta R A,B₂.

b) Przez niedostępny punkt R, przecięcia się prostych Py i p₂, wykreślić równoległą do danej prostej m (rys. 19). Kreślimy dowolnie prostą Py P₂, a przez punkty Py i P₂ równoległe do danych prostych: qjlp₂, <łi\\ Pi-

Z punktu Q prowadzimy równoległą Q M do m, a następnie odcinamy P₂ N = Py M. Prosta n, wykreślona przez punkt N, równolegle do prostej m, rozwiązuje zadanie.

Bi

Pl

Pi

P2

Rys. 17.

Pi

p₂

Ai

b7a₂

Rys. 18

Pi

Ał'

c) Wykreślić prostą, przechodzącą przez dwa niedostępne punkty przecięcia się Pi Q prostych pyP2 i qtq₂. Z dowolnego punktu C, prostej AB (rys. 20), kreślimy nHp₂ i mHq₂, to prosta MN jest równoległa do szukanej, której punkt Zależący na prostej AB, znajdziemy na podstawie proporcji AE:AD = AB:AC. Jeżeli

Ps

Rys. 19

N,

punkt C jest środkiem odcinka AB, to wówczas AD —DE. (Czytelnik uzupełni rysunek, oznaczając punkt przecięcia się prostych qt i m literą M).

ß‘

P'/l

A,

/A Id e \c

A>

'/V

<1*

d) Znaleźć dwusieczną kąta, którego wierzchołek leży poza obrębem rysunku

mr/

n.

m₃

Rys. 21

Rys. 20

(rys. 21). Do prostej rp Pi kreślimy równoległe mx i n j, a do prostej /?,, w tych samych odległościach, równoległe m₂ i n₂. Prosta q, przechodząca przez otrzymane punkty M i N, równo oddalone od ramion pv i p,, rozwiązuje zadanie.

ROZDZIAŁ PIERWSZY

GEOMETRJÄ WYKREŚLNA ELEMENTÓW PRZESTRZENI, UTWORÓW PŁASKICH I WIELOŚCIANÓW § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH

10. Określenie położenia punktu w przestrzeni. Przyjmijmy dowolny punkt A i postanówmy stworzyć warunki, umożliwiające względne ustalenie położenia tego punktu w przestrzeni.

lA

*A'

fur

Rys. 22

W tym celu przyjmiemy dowolną płaszczyznę n (rys. 22), z punktu A wyprowadzimy prostą p, prostopadłą do tej płaszczyzny i znajdziemy punkt przebicia się A' tej prostopadłej z płaszczyzną jr. Punkt A', odcinek AA' i zaznaczenie, po której stronie płaszczyzny n znajduje się punkt A, wyznaczają położenie tego punktu, w odniesieniu do płaszczyzny jt. Płaszczyznę jt, która z reguły jest płaszczyzną poziomą, nazywamy płaszczyzną rzu-t ó w lub krócej rzutnią, prostą p zwiemy promieniem rzucającym, lub krótko rzucającą, a punkt A' rzutem prostokątnym punktu A. Liczbę, wyrażającą w przyjętych jednostkach długości odległość punktu A od jego rzutu A', czyli długość odcinka AA', nazywamy cechą lub znamieniem punktu A.

Odległość punktu, leżącego nad płaszczyzną rzutów od tejże płaszczyzny, nazywamy „wysokością“ tego punktu; miarą odległości punktów, leżących pod płaszczyzną rzutów od tej płaszczyzny, jest „głębokość“ tych punktów. Cechom punktów, znajdujących się nad płaszczyzną rzutów, dajemy znak dodatni, cecha wyrażająca głębokość punktu, otrzymuje znak ujemny. Jeżeli w rysunku występują jedynie cechy ze znakami dodatniemi albo jedynie ujemnemi, to znaki te pomijamy.

(76)

Rys. 23

Rzut prostokątny A'y punktu A, na płaszczyznę jt, przy znajomości względnej wartości cechy tego punktu, nazywamy rzutem cechowanym punktu A. Niechaj płaszczyznę rzutów stanowi płaszczyzna tej kartki; jeśli na prostopadłej, wyprowadzonej w punkcie A! do płaszczyzny rzutów, odmierzymy 7’6 przyjętych jednostek długości, więc np. cm, nad płaszczyzną kartki — to otrzymamy punkt A (rys. 23). Punkt B, którego rzut znajduje się w punkcie Br, a cecha wynosi — 3 cm. leży o 3 cm pod płaszczyzną kartki. Punkt leżący n a płaszczyźnie rzutów oznaczymy Ą' np. literą C bez kreski i bez cechy, która równa jest zeru. Äby zaznaczyć, że w danym wypadku chodzi o punkt np. A, którego rzut A' i cecha np. 7’6 cm są dane, używać będziemy następującego wyrażenia: Dany jest*punkt A (A\ 7’6). Rzut prostokątny punktu na daną płaszczyznę wyznacza położenie tegu punktu względem tej płaszczyzny, jeśli opatrzony jest cechą czyli znamieniem. Metoda geometrji wykreślnej, posługująca się cechami, nazywa się metodą rzutów cechowanych i ona będzie przedmiotem naszych rozważań w następnych ustępach.

11. Rzut cechowany prostej. Przez rzut prostokątny prostej rozumiemy miejsce geometryczne rzutów prostokątnych dowolnej ilości punktów tej prostej.

Prosta a i promień b (rys. 24), rzucający dowolny jej punkt B na płaszczyznę Jt, wyznaczają (ust. 4) płaszczyznę y,

cXd

CD'

a' B'

Rys. 24

która przecina płaszczyznę jt w prostej a'. Ponieważ na płaszczyźnie tej, którą nazywamy płaszczyzną rzucającą, leżą wszystkie promienie, rzucające punkty prostej a, więc prosta ar jest miejscem geometrycznem rzutów wszystkich punktów prostej a, jest tedy rzutem prostej a. Widoczne stąd, że rzut linji prostej jest w ogólności prostą.

Prostą wyznaczają dwa punkty; znajomość więc rzutów dwóch punktów i ich cech, określa jednoznacznie po

łożenie p ostej w przestrzeni, w odniesieniu do danej rzutni. Jeżeli np. ₄ aszczyznę tej kartki uważamy za rzutnię, to w odniesieniu do ' j, określone jest jednoznacznie położenie prostej a, które; rzuty cechowane dwóch puyiktów, a mianowicie A i B są dane, jeśli przytem podana jest jednostka miary, w której cechy tych punktów wyrażamy. Napis VJ=1 cm“ na rys. 25 oznacza, że przyjętą dla tego rysunku jednostką długości jest centymetr.

12. Podziałka rysunku. Odcinek A' B' w rys. 25, wyraża prawdziwą odległość rzutów punktów A i B; rysunek wykonany jest w podziałce (wielkości) naturalnej, co zaznaczamy na rysunku literami n. w. Jeżeli jednak jednostka długości, w stosunku do płaszczyzny rysunku, jest za wielka, to wówczas rysunek wykonać musimy — w stosunku do prawdzi-

B'(34k

B'o-%

l’(Sy

a,'

Æ(S'Z)r

A’rs-sx

a’

J“ lm.

Poc/ziaika 1:100.

Rys. 26

J-lcm.

2m

OS O

jn. w

Rys. 27

Rys. 25

wych wymiarów — w pewnem pomniejszeniu, w pewnej podziałce pomniejszonej. W tym wypadku, obok jednostki długości np.: vJ=lm“ (rys. 26) podać musimy na rysunku stosunek jego wymiarów do wymiarów naturalnych, czyli „podziałkę“. Napis „Podziałka 1 : 100“ (rys. 26) rozumieć należy w ten sposób, że 1 cm na rysunku oznacza 100 cm w rzeczywistości, że w celu otrzymania naturalnej, prawdziwej, długości odcinka A'B\ należy odcinek A'B' — 1.55cm powiększyć sto razy.

Notowanie na rysunku rodzaju przyjętej jednostki długości i stosunku pomniejszenia, względnie powiększenia, zastępujemy zazwyczaj umieszczeniem na tymże rysunku pojedynczej lub podwójnej linji prostej, na której odmierzamy pewną ilość w żądanym stosunku pomniejszonych lub powiększonych jednostek długości, pisząc obok ostatniej miano jednostki naturalnej.

W rysunku 27 jednostkę długości metr, wyraziliśmy również centymetrem; stosunek więc wymiarów rysunku do

się tak, jak 1 : 100.' Rysunek

wymiarów rzeczywistych, ma

ten wykonany jest w setnem pomniejszeniu, c yli- w po-

üin

dzijałce 1 : 100.

AB° / \

■'a°

pß\

13.    Kład prostej. Rzuty cechowane Ar'(l.d) i B'(22) (rys. 28) określają położenie prostej a, wyznaczonej punktami A i B. Wyprowadziwszy bowiem w punktach A' i B' prostopadłe px i p₂ do płaszczyzny rysunku i odmierzywszy na pierwszej z nich, od punktu A' nad płaszczyzną rysunku 1 cm, zaś na drugiej 22 cm od punktu B\ również nad płaszczyzną rysunku — otrzymamy punkta A i B, a więc i prostą a punktami temi wyznaczoną.

:/

<A°

a-

P°\

A'rroj

ï³. V

:m.

Rys. 28    ^

W celu wyznaczenia prawdziwej wielkości odcinka, którego rzut cechowany dwóch punktów jest znany, weźmy pod uwagę punkta A, B, A' i B\ bedące wierzchołkami trapezu, którego trzy boki i dwa kąty są znane. Bokami temi są odcinki A'B', A' A i B'B; kątami, kąty proste AA! B' i BB' A'.

Przez wyrysowanie więc tego trapezu, otrzymamy nieznany bok AB. Na prostopadłych, wyprowadzonych w punktach A' i B' do prostej a" (rys. 28), odmierzymy A' A° — 1‘Ocm, B' B°=22cm; otrzymany odcinek A° B° równy jest prawdziwej długości odcinka AB. Przeprowadzenie konstrukcji trapezu A' B' A B° nazywamy wykonaniem kładu odcinka AB. W istocie bowiem trapez A'B'A°B° powstaje, jeśli trapez AB A' B', znajdujący się na płaszczyźnie rzucającej, położymy około jego boku NB' na płaszczyznę rysunku. Odcinek A°B° jest kładem odcinka AB i równy jego długości; odcinki A'A° i B'B° są kładami promieni rzucających À A' i BB'.

Jeśli rysunek wykonany jest w podziałce pomniejszającej, to długość odcinka AB równa jest ilorazowi z długości jego kładu A°B° i wykładnika stosunku pomniejszenia.

14.    Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny rzutów. Ślad i nachylenie prostej. Kąt cp, jaki prosta b tworzy ze swoim rzutem poziomym b', nazywamy kątem nachylenia prostej b do płaszczyzny poziomej. Kąt ten otrzymamy przez wykonanie kładu prostej, a więc kładu dwóch jej punktów na płaszczyznę rysunku. Kąt bowiem cp° (rys. 29) jaki zamyka prosta b°, bę-

dąca kładem prostej b, z prostą b', równy jest kątowi cp, bez

B°

Aj

ZA

b⁰/

''B'(va)

/<po

Ä(Oa)

względu na podziałkę, w jakiej wykonany jest rysunek. W istocie bowiem, gdy podziałka rysunku wynosi np. 1 : n, to boki A B° Hb B' są proporcjonalne do boków trójkąta wyrażonego rysunkiem; oba trójkąty są więc podobne, a zatem kąty ich są równe.

Hb

n.w.

Rys. 29

Poprowadźmy przez punkt A° prostą 6/, równoległą do b', to kąt cp t °, jaki tworzą proste b° i bt°, równy jest oczywiście kątowi cp°, a więc i kątowi cp, jaki prosta b zawiera z płaszczyzną poziomą. Prostą bt°- posłużymy się w wypadku, gdy punkt Hb przecięcia się prostych b' i ó°, nie leży w obrębie rysunku.

Punkt Hbt którego wysokość (cecha) równą jest zeru, jest punktem przebicia się prostej b z płaszczyzną rzutów, a więc elementem wspólnym prostej b i rzutni i nazywa się śladem

poziomym tej prostej. ____

A .

— = tg cp = v

nazywamy nachyleniem prostej b.

Jeżeli cechy dwóch punktów, wyznaczających prostą, są równe, to cechy każdego dowolnego punktu tej prostej są równe, a prosta jest równoległą do płaszczyzny rzutów.

15., Podział odcinka Obierzmy na danej prostej, wyznaczonej punktami A (A', a) i B (B', b) punkt C, którego cecha wynosiłaby c jednostek długości, w podziałce rysunku. W tym celu (rys. 30) wykonamy kład ^4°B° odcinka AB, a następnie odmierzymy od punktu B', w podziałce rysunku, odcinek B'Ń=c. Prosta wykreślona z punktu N, równolegle do p', przecina prostą p° w punkcie C°; prostopadła z C° do p' przecina tę ostatnią w punkcie C, który jest szukanym rzutem punktu C o cesze c. Na rysunku 30, wykonanym w podziałce 1 : 100, przy przyjętej jednostce miary równej 1 m, (1 cm na rysunku wyraża 1 m w rzeczywistości) obrano : a = O’8 m, b = 2’3 m, c = 165 m.

Oznaczmy odcinek A' B' = A°Bliterą d, zaś różnicę wysokości punktów A i B równą odcinkowi B°B₁° literą A, to stosunek:

Ponieważ A°C° : C°B° = A'C' : C'B', więc punkt C dzieli odcinek A'B' w tym samym stosunku, w jakim punkt C dzieli odcinek A°B°. R ponieważ odcinek .A⁰/?⁰, jako kład odcinka AB leżącego w przestrzeni, wyraża jego prawdziwą długość i położenie względem swego rzutu, więc: stosunek podziału odcinka w przestrzeni nie zmienia sięwskutek rzutu tego odcinka.

\N

B'(b)

Ä'fa) P' C'm

2m

! OS Ç

Rys. 30

Innemi słowy: podzieliwszy odcinek w przestrzeni w pewnym stosunku, a więc także na pewną ilość części i rzuciwszy punkty podziału na rzut tego odcinka, podzielimy ten rzut w tym samym stosunku, względnie na tę samą ilość części.

W szczególności, punktowi połowiącemu odcinek w przestrzeni, odpowiada punkt środkowy rzutu odcinka, jako rzut tego punktu połowiącego.    _

I wzajemnie: Z proporcji A°C⁰ : C°R° = A! C : CB' wynika, że punkty dzielące w pewnym stosunku, albo na pewną ilość części, rzut odcinka, są rzutami punktów, dzielących w tym samym sto sunku, względnie na tę samą ilość części, odcinek w przestrzeni.

16. Płaszczyzny równoległe i kład prostych na nie. Płaszczyzny równoległe do rzutni poziomej nazywamy płaszczyznami warstwowemi albo poziomem i. Przez wysokość płaszczyzny poziomej rozumiemy oddalenie jej od płaszczyzny rzutów, którą w odniesieniu do pierwszych nazywamy płaszczyzną porównawczą. Płaszczyzny warstwowe, których wysokości są liczbami całemi, nazywamy głów nem i, inne pośredniemi.

Jeżeli cechy końcowych punktów odcinka są duże, to wykonanie jego kładu, ze względu na ograniczoną płaszczyznę rysunku, natrafia na trudności, albo też jest nawet niewykonalne. W tych wypadkach kład odcinka wykonujemy na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez jeden z punktów końcowych, zazwyczaj przez punkt o cesze mniejszej.

Rys. 31 podaje konstrukcję kładu prostej [A (A', a = 18), B(Br, b = 19.8)] na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez

punkt A (A', 18). Na prostopadłej, wykreślonej w punkcie B', odmierzymy, w podziałce rysunku, odcinek B'B°, równy różnicy

wysokości punktów B i A, więc

r___ b — a — 1-8 m i punkt B° połą-

\ I czy my z A', otrzymując tym spo-fj ?" sobem kład odcinka AB na główną płaszczyznę warstwową o wysokości a — 18 m. Oczywiście, że * B°A'B' = cp° równy jest kątowi, 2m jaki prosta (AB) zawiera z płasz-J czyzną porównawczą.

Rzut C punktu C, któryby leżał na prostej (AB), a miał żądaną cechę np. c — 19'1 m, znajdziemy podobnie jak w ust. 15, odmierzając jednak na prostej B' B° odcinek B' M, równy różnicy wysokości punktów C i A, więc c—a = Pl m.

Z rys. 31 czytamy:

ÄTC : C~W=7TC° :    MW=(c-a) : (b-c),

jeśli literami a, b, c, oznaczymy cechy punktów A, B i C. r’Z równości powyższych wynika, że

: CrW=(c-a) : (b-c)

P>

'Ä(aj P'

i os o

cl

ST—

Cto

B'(b)

Rys. 31

co oznacza, że punkt C dzieli odcinek A' B' w stosunku (c—a) : (b—c), albo, że wyznaczenie rzutu punktu C o żądanej cesze c na prostej, danej cechowanemi rzutami dwóch punktów A (A', a) i B(B',b), sprowadza się do znalezienia punktu C, dzielącego odcinek A' B' w stosunku (c—a), : (b—c). W rys. 32 przyjęliśmy a — 0'8, b = 2'3, c — V6 — odcinek tedy ~A' B' podzielimy w stosunku

(c —a) : (b — c) = 0‘8: 0'7, a otrzymany punkt C rozwiązuje zadanie.

Ä(OS) P’

Cire)

?r

sf

J-2cm.

n.w.

Rys. 32

17. Stopniowanie i moduł prostej. Wyznaczenie rzutów tych punktów danej linji prostej, których cechy są liczbami całemi, nazywamy zestopniowaniem prostej, albo wyznaczeniem jej po działki nachylenia.

Gdy cechy dwóch danych punktów prostej są liczbami całemi, to zestopniowanie prostej wykonać można zapomocą

17. STOPNIOWANIE I MODUŁ PROSTEJ

CM

podziałki milimetrowej, dzieląc dany odcinek na części, których ilość równa się różnicy cech.

Zestopniowanie prostej A (A', 5‘4), B (B\ 8‘7) (rys. 33) wykonać można zapomocą jej kładu na płaszczyznę warstwową 5’4 — powtarzając zadanie w ustępie 16, albo dzieląc dany odcinek według proporcji (równanie I), podobnie jak w rys. 32. W tym celu w punkcie A' (5'4) poprowadzimy dowolną prostą q i odmie- / rżymy na niej kolejno, od punktu A! począwszy, odcinki równe 0’6, BO,

BO, 0'7 dowolnej jednostki długości, a przez punkty podziału wykreślimy równoległe do boku Q B'. Otrzymane punkty na prostej p' posiadają cechy 6, 7, 8 i tworzą podziałkę nachylenia.

Odległość rzutów poziomych dwóch punktów prostej, których różnica wysokości, a więc i różnica cech, równa jest

jednostce, stanowi jednostkę podziałki nachylenia i nazywa się modułem (p.) prostej. Modułem np. prostej (AB), rys. 34 jest odcinek C D' — D' E' = p. Rys. ten poucza też nas bezpośrednio, że im większy jest kąt nachylenia prostej do rzutni, tern mniejszy jest jej moduł i odwrotnie.

Proste nachylone do płaszczyzny rzutów pod tym samym kątem, mają równe moduły. Moduł prostej, nachylonej pod 45°, równy jest przyjętej na rysunku jednostce długości.

Jeżeli w równaniu I (str. 18) wstawimy A równe jednostce przyjętej miary, to według określenia powyżej podanego, d stanie się modułem p prostej, czyli:

A'fSV,

/s

P’

2    3 im

Rys. 33

C⁰/

,fr

E⁰/

ć-

D⁰/

fr

B°,

• P : P j j Ä(5«) C'fS) D'(7)    E'(8) jB'<8 7)

J=lm.

• Podnatka 1: WO.

Rys. 34

0-1 >T-i 9-0

P'

II

co znaczy, że nachylenie i moduł prostej są liczbami odwrotnemi.

Położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do płaszczyzny rzutów, jest w zupełności wyznaczone, gdy prócz jej rzutu i cechy jednego jej punktu, znany jest jej moduł i wskazany (strzałką) kierunek jej nachylenia, przez który rozumiemy kierunek następstwa punktów prostej, o cechach malejących.

W dalszym ciągu wyznaczać będziemy prostą przeważnie jej podziałką nachylenia, czyli jej zestopniowanym rzutem. Liczby podziałki nachylenia nazywamy wskaźnikami tejże podziałki.

18. Dwie proste przecinające się. Przez każdy punkt P

prostej a, wyznaczonej np. podziałką nachylenia o module przechodzi dowolna ilość prostych, które prostą a przecinają w punkcie P. Aby określić położenie jednej z nich, np. b (rys. 35), musimy dowolnie przyjętym modułem p₂ zestopnio-wać prostą b', przeprowadzoną dowolnie przez punkt Pr(8),

7.

9.

P'(8)

J’lcm.

n.w.

Ił'

16

15

ay

18

b\

17

17

18

16

15

J‘im

Podziatkd 1:100.

Rys. 36

Rys. 35

który jest punktem wspólnym prostych a i b. Proste, łączące jednakowe wskaźniki prostych a' i b', są do siebie równoległe i odwrotnie: jeżeli proste, łączące równowartościowe wskaźniki rzutów dwóch prostych, tworzą pęk równoległy — to rzuty owe wyrażają dwie proste przecinające się.

19j Dwie proste skośne. Jeżeli punkt przecięcia się M' rzutów a' i b' dwóch prostych, uważany za rzut punktu prostej b, ma inną cechę, aniżeli uważany za rzut punktu prostej a, to proste a i b nie posiadają punktu wspólnego, nie przecinają się ; ich wzajemne położenie określamy jako skośne lub wichrowate. Przez kąt- nachylenia dwóch prostych skośnych rozumiemy kąt, jaki otrzymamy, jeśli przez dowolny punkt

w przestrzeni poprowadzimy proste równoległe do danych prostych skośnych.

feOy Dwie proste równoległe. Rzuty prostych równoległych są prostemi równoległemi, o zgodnych kierunkach nachylenia i o równych modułach, gdyż proste równoległe nachylone są do poziomu pod tym samym kątem.

Z równości modułów dwóch prostych równoległych i zgodności ich kierunków nachylenia wynika, że proste, łączące punkty o jednakowych cechach są równoległe (rys. 36). I nawzajem: jeśli proste, łączące jednakowe wskaźniki rzutów dwóch prostych a' // b' tworzą pęk promieni równoległych, to owe dwie proste a i b są równoległe.

21. Zadanie. Wyznaczyć rzut prostej q, równoległej do danej prostej p, a przechodzącej przez dany punkt P (P/ 9’4) (rys. 37j.

Rzut q' przejdzie przez punkt Prównolegle do p'.

—O'ô—

s-r

\    \ 9

—o-1-

■Mp-*

9 P'm) jo

H-0--1—

Kierunki nachylenia obu prostych są zgodne, moduły równe, należy tylko zestopnio-wać, — w jeden z poznanych sposobów, (np. zapomocą po-działkiX — prostą q'.

2m

Rys. 37

(22y Wyznaczenie płasz- f czyzny. Położenie punktu w przestrzeni, w odniesieniu do płaszczyzny rzutów, wyznacza

jego rzut cechowany, a więc również punkt opatrzony cechą. Względne położenie prostej w przestrzeni wyznacza jej zesto-pniowany rzut, czyli również prosta. Położenie trzeciego zasadniczego elementu geometrji t. j. płaszczyzny, wyznaczone jest położeniem dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, prostej i punktu, względnie trzech dowolnych punktów.

Mówimy, że dwie proste przecinające się, dwie proste równoległe, względnie trzy dowolne punkty wyznaczają płaszczyznę, w tern rozumieniu tego wyrażenia, że:

1)    istnieje jedna jedyna płaszczyzna, przechodząca równocześnie przez obie proste, względnie przez trzy punkty, że:

2)    znając położenie dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, znamy położenie płaszczyzny elementami temi wyznaczonej i że:

3) znajomość położenia dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, dozwala na wyznaczenie położeń każdej dowolnej ilości punktów i prostych płaszczyzny, elementami owemi określonej.

Ponieważ prostą wyznaczają dwa jej punkty, więc gdy dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to prosta — a więc zbiór wszystkich jej punktów, leży na płaszczyźnie.

Hb

Jim

'Hs

Proste a' i b' (rys. 38) są rzutami dwóch prostych przecinających się, wyznaczają więc położenie pewnej płaszczyzny, którą ■^2» oznaczmy literą e.

■ 1.

4e

,nr

b'

Połączmy wskaźnik 2 prostej — a' ze wskaźnikiem / prostej b\ to 2k otrzymana prosta m! jest rzutem prostej 772, przecinającej zarówno prostą a, jak i b, a więc leżącej na płaszczyźnie e, wyznaczonej prostemi a i b.

J=lm

Podziałka 1:75.

Rys. 38

Na szczególną uwagę zasługują proste, leżące na płaszczyźnie a równoległe do rzutni. Rzuty Oe, h, 2e, 3e,... tych prostych otrzymamy, łącząc punkty o jednakowych cechach prostych a' i b'. Proste te, leżące na płaszczyźnie e, a równoległe do płaszczyzny poziomej, są linjami łączą-cemi punkty przebicia się prostych ai b z głównemi płaszczyznami warstwowemi, a więc także linjami przecięcia się tych płaszczyzn z płaszczyzną e. Proste Oe, U, 2e... nazywamy linjami warstwowemi albo linjami poziomu, rzuty zaś tych linij warstwicami płaszczyzny e.

Linja warstwowa Oe = hs leży na rzutni poziomej (płaszczyźnie porównawczej), jest prostą przecięcia się płaszczyzny s z tą rzutnią i nazywa się śladem poziomym płaszczyzny s. Ślad poziomy płaszczyzn oznaczać będziemy stale literą h.

Płaszczyzna prostopadła do rzutni, czyli t. zw. płaszczyzna rzucająca (ustęp 11), wyznaczona będzie swoim śladem poziomym, z którym schodzą się rzuty wszystkich punktów i prostych,

A B=^:P₂ A B jako odpowiednie kąty w trójkątach przystających. Z kolei otrzymujemy:

AA C Px 2L A A C P₂, a więc Pl C=P₂ C.

R wreszcie:

A M C Pt ^A M C P₂, zatem

^CMP₁=^CMP₂, a ponieważ kąty te są kątami przyle-głemi, więc skoro oba są równe, to każdy z nich musi być kątem prostym czyli: p A c. Tym sposobem dowiedliśmy następującego twierdzenia: Jeżeli prosta p, przechodząca przez punkt przecięcia się dwóch prostych, jest do nich prostopadłą, to wówczas jest prostopadłą do każdej prostej przechodzącej przez ten punkt, a leżącej na płaszczyźnie jt, wyznaczonej przez owe dwie proste. Mówimy, że prosta p jest prostopadłą albo normalną do płaszczyzny jt. Innemi słowy : gdy prosta jest normalną do dwóch prostych w ich punkcie przecięcia się, to jest normalną do płaszczyzny temi prostemi wyznaczonej.

Przez dowolny punkt płaszczyzny Jt (rys. 39) poprowadzimy proste c, /I c i pt II p. Kąt, jaki zawierają proste

leżących na tej płaszczyźnie, która tym sposobem rzuca je w swoi ślad.

(23) Prosta prostopadła do płaszczyzny. Przyjmijmy na płaszczyźnie x (rys. 39) trzy proste a, b, c, przechodzące przez punkt M, w którym to punkcie wyprowadźmy prostą p prostopadłą zarówno do prostej a, jak i b. Niechaj dowolnie na płaszczyźnie jt przyjęta prosta q, przecina proste a, b i c w punktach A, B i C. Obierzmy następnie na prostej p punkty i P₂, przycezm niech P₁ M=P₂ M i połączmy je z punktami A, B i C. Z rysunku 39 czytamy:

AAMPt~AAMP₂ i AB M P,^AB M P2 więc ~Pt A = P₂ A, Pl B = P₂ B jako odpowiednie boki w trójkątach przystających. Następnie mamy:

A A B P₂ ^ A A B P₂ więc

a_\

p>

P',

ąL

AT

Mi

W

P2

Rys. 39

skośne p i c{, równy kątowi jaki tworzą proste pv i cn jest kątem prostym (ust. 19), a ponieważ prosta p jest prostopadłą do każdej prostej, przechodzącej przez punkt M, a leżącej na płaszczyźnie jt, więc jest prostopadłą do każdej prostej płaszczyzny jt. Czyli: gdy prosta jest prostopadłą do płaszczyzny, to jest prostopadłą do wszystkich prostych, leżących na tej płaszczyźnie.

Rzut kąta prostego. Twierdzenie: Rzut kąta prostego na płaszczyzną jest kątem prostym, gdy jedno jego ramią jest równoległe do płaszczyzny rzutów.

i

a*

Rys. 40

Przyjmijmy ramię a kąta prostego, jaki tworzą proste a i b, równolegle do płaszczyzny rzutów jt (rys. 40), to rzut ar jest równoległy do prostej a. Ponieważ promień rzucający p jest 1 do prostej a, a ta znowu 1 do prostej b, zatem prosta a jest 1 równocześnie do prostych b i /?, a więc prostopadła do płaszczyzny p, prostemi temi wyznaczonej. Ale z ustępu poprzedniego wiemy, że gdy prosta jest normalną do płaszczyzny, to jest normalną do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyznę; prosta tedy a jest prostopadłą do prostej b', która leży na płaszczyźnie p = (/?, b) i jest rzutem prostej b na płaszczyznę jt. Ponieważ wkońcu prosta a' jest równoległą do prostej a, więc i a' jest 1 do b'— co było do wykazania.

Ut

2e

'2e

Je

Je

Łe h Oe

A,

l’e

J os

O J 2    3 4m

iiiii

Rys. 42

Rys. 41

(25.) Linja spadu płaszczyzny. Prosta U, leżąca na płaszczyźnie e a prostopadła do jej linij warstwowych, nazywa się lin ją największego , spadu, lub kro-cej lin ją spadu tej płaszczyzny (rys. 41). Ponieważ lin je warstwowe są równoległe do płaszczyzny porównawczej, więc na podstawie ustępu poprzedniego rzut l'e linji największego

spadu /ej estprostopadłydowarstwicpłaszczyzny (rys. 42). Kąt nachylenia 1 in j i spadu płaszczyzny s do płaszczyzny rzutów nazywamy kątem nachylenia płaszczyzny e do płaszczyzny rzutów.

Prosta /e jest i do he, podobnie jak l'e lhe — a ponieważ h& jest prostą wspólną (przecięcia się) płaszczyzn e i — więc ogólnie powiedzieć możemy: przez kąt nachylenia dwóch płaszczyzn rozumiemy kąt, jaki tworzą dwieprostetychpłaszczyzn, poprowadzone w d o-wolnym punkcie prostopadle do wspólnej prostej obu płaszczyzn.

Podziałkę nachylenia rzutu l'e, linji spadu płaszczyzny e, nazywamy podziałką nachylenia płaszczyzny, moduł linji spadu płaszczyzny — modułem tej płaszczyzny. Najczęściej wyznaczać będziemy położenie płaszczyzny jej podziałką nachylenia, którą rysujemy jako dwie blisko siebie leżące równoległe proste. Wskaźniki podziałki są oczywiście liczbami całemi, a odcinek ograniczony dwiema liczbami po-rządkowemi jest modułem płaszczyzny ; odwrotną wartość modułu nazywamy nachyleniem płaszczyzny. Im większy jest więc moduł, tern mniejsze nachylenie płaszczyzny, czyli tern mniejszą jest styczna trygonometryczna kąta, jaki uważana płaszczyzna zamyka z płaszczyzną porównawczą (rzutów). W dalszym ciągu wykładu używać będziemy zwrotów: dana jest linja spadu, wykreślić linję spadu i t. p., rozumiejąc zawsze przez linję spadu jej rzut.

lego, jej punktu.

(26. Zadania : 1. Wykreślić podziałką nachylenia płaszczyzny e, wyznaczonej prostą a i punktem A (rys. 43).

Mhzs)''

Płaszczyzna 1 do rzutni wyznaczona jest swoim śladem poziomym t. j. prostą przecięcia się z rzutnią ; położenie płaszczyzny, równoległej do rzutni, wyznacza cecha jednego, do-woln

12e

11 s

ar

10

10t

2m

OS

Rys. 43

Na prostej a szukamy punktu M o cesze punktu A. Prosta A M— jako równoległa do płaszczyzny porównawczej i leżąca na płaszczyźnie, której linji spadu szukamy, jest warstwicą tej płaszczyzny. W ten sposób linja spadu i jej podziałka są wyznaczone.

(2) Wyznaczyć płaszczyzną, przechodzącą przez prostą a, której podziałka nachylenia a' jest dana (rys. 44).

Przez prostą przechodzi dowolna ilość płaszczyzn; proste równoległe Oe, le,..., przechodzące przez wskaźniki podziałki nachylenia a', są warstwicami jednej z tych płaszczyzn. Rzutem linji spadu tej płaszczyzny jest prosta l'e prostopadła do tych warstwie. Punkty przecięcia się linij l'e z warstwicami są wskaźnikami podziałki nachylenia płaszczyzny e.

'a¹

OS O

'2

r3

/£

Oe

6/

A’(su

2rn

Btyo

8'ć+

1/

lęki

Ib'

fi 8e

7e

6e

Se

2m

Rys. 44

Rys. 45

(3) Wyznaczyć podziałką nachylenia płaszczyzny e, wyznaczonej trzema punktami A (A', 5), B (B', 9), C (C, 6) (rys. 45).

Z trzech prostych, wyznaczonych danemi punktami, weźmy pod uwagę dwie np. a = (A B) i h = (B C), które przecinają się w punkcie B. Zestopniujmy obie proste — to linje łączące równoliczbowe wskaźniki są warstwicami płaszczyzny e i wyznaczają na prostopadłej l'e podziałkę nachylenia.

4. Wykreślić rzut pięciokąta płaskiego, leżącego dowolnie w przestrzeni.

Rozróżniamy wielokąty płaskie od przestrzennych, zwanych także skośnemi. Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki, — a więc i boki, leżą na płaszczyźnie, nazywamy płaskim; dowolna, ponad trzy, ilość punktów przestrzeni połączona prostemi daje wielokąt, którego nie można położyć na płaszczyźnie, który nazywamy wielokątem skośnym.

Ponieważ trzy dowolne punkty wyznaczają płaszczyznę, więc trójkąt jest utworem płaskim.

Z pięciu wierzchołków żądanego wielokąta trzy, np. A (A', 3), B (B', 7) i C (C, 9) (rys. 46), przyjmiemy dowolnie, dwa dalsze t. j. D i E obrać musimy na płaszczyźnie, wyznaczonej trzema pierwszemi. W tym celu zestopniujmy prostą A' B' i dwa dowolne wskaźniki np. 5 i 6 połączmy prostemi p' i q' z punktem C. Proste p i q, wyznaczone rzutami pr i q\ leżą na płaszczyźnie trójkąta ABC, gdyż mają z tą płaszczyzną po dwa punkty wspólne.

D'(4)

B'(7)

ZJs

C'(9)

J-1 cm. n.w

A'(3)

Rys. 46

Zatem każde dwa punkty tych Ea prostych, np. D (D' 4) i E (E, 3), leżą na płaszczyźnie trójkąta i mogą być przyjęte za dalsze wierzchołki pięciokąta płaskiego A B C D E.

27. Przenikanie się dwóch płaszczyzn. Dwie płaszczyzny przenikają się w linji prostej, którą nazywamy krawędzią tych płaszczyzn. Ponieważ prostą wyznaczają dwa jej punkty, a krawędź jest prostą leżącą równocześnie na dwóch płaszczyznach — więc dwa punkty, leżące równocześnie na obu płaszczyznach, wyznaczają ich krawędź.

Dowolna płaszczyzna warstwowa przecina dwie płaszczyzny a i ß w dwóch warstwicach, których punkt przecięcia

Vß

%v<t

się leży równocześnie na obu płaszczyznach, a więc jest punktem szukanej krawędzi.

k’

o\Hk

J “ Icm n.w.

Rys. 47

Krawędź dwóch płaszczyzn określić więc można jako miejsce geometryczne punktów przecięcia się linij warstwowych obu płaszczyzn, leżących w tych samych wysokościach, a więc na wspólnych płaszczyznach warstwowych (rys. 47). Punkt przecięcia się śladów poziomych obu płaszczyzn jest śladem poziomym Hk krawędzi, której rzut oznaczyliśmy literą k'. Przykłady: 1. Obie płaszczyzny zamykają z poziomem jednakowe kąty. W tym przypadku rzut k' krawędzi jest dwusieczną kąta, jaki tworzą warstwice danych płaszczyzn. W isto-

cie bowiem niechaj w rys. 48 e i cp uzmysławiają nam dwie płaszczyzny, nachylone pod jednakowym kątem do płaszczyzny rzutów jr, czyli takie dwie płaszczyzny, których lin je spadu zawierają z płaszczyzną te same kąty a. Proste he i /zcp s| siadami po-ziomemi danych płaszczyzn. Rzućmy punkt A, obrany na krawędzi k, na płaszczyznę n i otrzymany punkt A' połączmy z punktem Hki śladem poziomym krawędzi k. Prosta k' = (A' Hk) jest rzutem poziomym krawędzi k. Płaszczyzna, przechodząca przez prostą A A' i 1 do he, przecina płaszczyznę e w linji spadu U, a płaszczyznę n w prostej /'e, będącej rzutem prostej U. Podobnie płaszczyzna, przechodząca przez prostą A A' i i do /zcp, wyznacza linję spadu /cp płaszczyzny cp i rzut /'cp tejże linji. Weźmy pod uwagę trójkąty prostokątne A A' M i A A' N — to ponieważ bok AA' jest wspólny, kąty <PAMA' i AN A', będące kątami nachylenia obu płaszczyzn e i cp, według założenia równe — więc oba uważane trójkąty są przystające. Wobec tego A' M=A' N, a ponieważ /'e 1 he zaś /'cp 1 /rep, więc punkt A! jest równo oddalony od śladów obu płaszczyzn, leży zatem na dwusiecznej kąta, jaki owe ślady ze sobą zawierają.

<p

hep/ P

N,

>r

"k

Hk

Rys. 48

l'v

le

Bp(2)

Am

AzP)

Bi(2)

J-Icm n.w

Rys. 49

2. Podziałki nachylenia obu płasz- k< czyzn są równoległe (rys. 49). War-stwice obu danych płaszczyzn e i cp są wzajemnie równoległe. Ponieważ krawędź określiliśmy jako miejsce ge- ' ometryczne punktów przecięcia się warstwie dwóch płaszczyzn, więc wobec wzajemnej równoległości warstwie, wyznaczają te ostatnie tylko jeden punkt w odległości nie-ograniczenie dalekiej, czyli kierunek krawędzi, równoległy do warstwie. Połączmy dwa punkty np. A/(l) i BL'(2) prostej

/'e z punktami A/ i B₂' o tych samych cechach na proste] /'cp — to, wskutek zachodzącej proporcjonalności odcinków, każda prosta, przechodząca przez punkt M, wyznacza na po-działkach l'e i l\ punkty o jednakowych cechach. Prosta więc k\ przechodząca przez punkt M i równoległa do warstwie, jest rzutem krawędzi płaszczyzn e i cp.

9t?

9'

28. Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną wyznaczymy w ten sposób, że przez prostą poprowadzimy dowolną płaszczyznę, znajdziemy krawędź tej płaszczyzny z płaszczyzną daną, a punkt przecięcia się tej krawędzi z daną prostą jest szukanym punktem.

Niechaj zestopniowana linja spadu l'e wyznacza płaszczyznę e, a zestopniowana prosta p' prostą p (rys. 50). Dowolną płaszczyznę <\r przechodzącą przez prostą p wyznaczą dwie warstwice 7Ąr i 9\|r. Prosta k' = (A' B') jest rzutem krawędzi płaszczyzn s i \Jr, a punkt P (Pf) szukanym punktem przecięcia się prostej p z płaszczy-

7nr

6-

J=lm.

Podziafka: 7:100.

zną e.

Rys. 50

29. Zadanie. 1. Wyznaczyć rzut krawędzi dwóch płaszczyzn, których równowartościowe warstwice przecinają się zewnątrz płaszczyzny rysunkowej.

Krawędź dwóch płaszczyzn określić także można jako

Sy

SC'

/'

k’

k~

J -1 cm.

n.w.

lit

Tp

miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych jednej płaszczyzny z płaszczyzną drugą. Prosta więc, łącząca punkty przebicia się dwóch dowolnie obranych prostych na jednej płaszczyźnie \4ó'- z płaszczyzną drugą, jest krawędzią - owych płaszczyzn.

Rys. 51

W naszym przykładzie (rys. 51), gdzie płaszczyzny a i ß wyznaczone są swojemi podziałkami nachylenia l'a i l'ß, znajdziemy rzut k' krawędzi, łącząc rzut A' punktu przebicia się linji la z płaszczyzną ß — z rzutem B' punktu przebicia się linji /ß z płaszczyzną a.

2. Wykreślić rzut prostej, przechodzącej przez punkt A (A', 6‘6) i przecinającej dwie proste skośne a (a') i b (b').

Pierwszy sposób. Przez punkt A i prostą a, a następnie przez punkt A i prostą b, poprowadzimy płaszczyzny, których krawędź jest rozwiązaniem zadania.

Na prostych a' i b' (rys. 52) szukamy punktów M i N' o cechach równych cesze punktu A> więc &6. Prosta A' M' jest warstwicą płaszczyzny (A, a), prosta A' N' warstwicą płaszczyzny (A, B). Wyznaczywszy punkt przecięcia się B' (7) warstwie 7 obu płaszczyzn i połączywszy go z punktem A' (6’6) otrzymamy żądany rzut p' prostej p, przechodzącej przez dany punkt A i przecinającej dane proste a i b.

<i\C/Sa

a’

08

a'

12

I A’(Se) \b’<7)

7ß

rScc

kV

[Ä

7«

f(śp

.......

12

Oi

.........

i P'

.........

G2/7

Osj

6ß \ \p’

J~1 cm. n.W.

Rys. 53

Rys. 52

Drugi sposób. Przez punkt A i jedną z prostych poprowadzimy płaszczyznę a i wyznaczymy punkt przebicia się drugiej prostej z tą płaszczyzną, a prosta łącząca otrzymany punkt z punktem A, rozwiązuje zadanie (rys. 53).

30. Płaszczyzny równoległe. Przeciąwszy pęk płaszczyzn warstwowych płaszczyznami równoległemi, otrzymamy pęki promieni równoległych, jako linje warstwowe, wzajemnie do siebie równoległe. Ponieważ rzuty prostych równoległych są do siebie równoległe, więc otrzymane warstwice płaszczyzn równoległych, a więc i ich linje spadu, są do siebie wzajemnie równoległe. Z pojęcia płaszczyzn równoległych wynika, że ich moduły muszą być równe.

Stąd : równoległe, ozgodnymkierunku nachylenia i tymsamym m o d u łe m z e s t o p n i o w a n e linje spadu, wyznaczają płaszczyzny równoległe.

(3lj Zadania: 1. Wyznaczyć położenie płaszczyzny e, przechodzącej przez punkt A(Aj 1P5), a równoległej do płaszczyzny y, której lin ja spadu /'cp jest dana

(rys.54). Linją/'e ///'cp,apo- ł* prowadzona przez punkt A', zestopniowana modułem prostej /' cp, stanowi podział-kę nachylenia płaszczyzny e, a więc płaszczyznę tę

■77

10

Vp

A '(Ili

le

12

11

■10

wyznacza.

2. Przez punkt P(P', 14"6) J-icm. ń.w poprowadzić prostą równo- Rys 54

3    04

y<T 16

2,

'1

o L/o

\/2

13

'U

.J-lcm.

<3

15

rP\ue)

n.w.

Rys. 55

ległą do płaszczyzny e, wyznaczonej linją spadu l'e (rys. 55). Na płaszczyźnie e przyjmiemy dowolną prostą a (a'), to prosta b' // a', zestopniowana modułem prostej a, jest rzutem V prostej równoległej do prostej a, a więc także i do płaszczyzny e.

3.    Przez punkt P (P, 15) prowadzić płaszczyzną równoległą do dwóch danych prostych skośnych a (a') i b (b') (rys. 56). Przez punkt P kreślimy proste pt i p₂ równoległe do a i b. Płaszczyzna, prostemi temi wyznaczona, jest równoległa do dapych prostych; Ve jest linją spadu tej płaszczyzny.

4.    Wyznaczyć prostą, przechodzącą przez dany punkt A (A',- 9), przecinającą daną prostą a (a') i równoległą do danej płaszczyzny e (l'e).

(l> Sposób. Szukana prosta łączy punkt A z punktem przebicia się prostej a z płaszczyzną cp, przechodzącą przez punkt A równolegle do płaszczyzny e (rys. 57). Prosta Vcp, wykreślona przez A' równolegle do l' e i zestopniowana jej modułem p., wyznacza, ł\ jako podziałka nachylenia, płaszczyznę cp równoległą do e i przechodzącą przez punkt A. Punkt B' jest rzutem punktu przebicia się prostej a z płaszczyzną cp, a prosta p'-(A'B') rzutem prostej, przechodzącej przez punkt Ą przecinającej prostą a w punkcie B i równoległej do płaszczyzny e.

le

" 13

10 Z

11 U

:i3

12

12

J- lcm. n.w.

Rys. 56

le

■6

\S l*

io \a-

A'®)

\° A’ ''A

J°lcm

n.w.

Rys. 57

2./Sposób. Szukana prosta jest krawędzią płaszczyzny a=(A, a) i płaszczyzny cp, poprowadzonej przez punkt A równolegle do płaszczyzny e (rys. 58). Płaszczyznę cp wyznacza — jak poprzednio — jej po-działka nachylenia/'cp. Łącząc punkt A' z punktem M' prostej a' o tej samej co punkt A' cesze, otrzymamy warstwicę 9 a płaszczyzny a. Punkt A' i punkt przecięcia się warstwie 8 płaszczyzn cp i a wyznaczają szukaną prostą p'.

©\a'

co

Ä/9)

Jff3)

"Sau

8 cc.

cm

lv

n.w.

Rys. 58

Je

P’

ł)

6-

Nni)

pi

13 ł

5-

Ater-.A¹

32. Prosta prostopadła do płaszczyzny. Wiemy (ust. 23), że prosta prostopadła do płaszczyzny jest prostopadłą do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie. Ponieważ linje warstwowe płaszczyzny są równoległe do płaszczyzny rzutów, więc r zu t pro st e j prostopadłej do płaszczyzny musi być prostopadły do warstwie (t. j. rzutu linji warstwowych), rzut kąta prostego jest bowiem kątem prostym, jeśli jedno jego ramię jest równoległe do płaszczyzny rzutów. Ponieważ dalej warstwicę płaszczyzn są prostopadłe do rzutu linji największego spadu, więc: rzut prostej prostopadłej do płaszczyzny jestrównoległy do rzutu jej linji spadu.

P’<

/a°

Jeżeli podziałka nachylenia /'e (rys.

■■15

a'

■ IB

3-

Rys. 59

59) wyznacza położenie płaszczyzny e, 4 to prosta b', przechodząca przez dany punkt A {A\ 12) równolegle do /' e, jest rzutem prostej b, prostopadłej do tej płaszczyzny. Jednak do wyznaczenia położenia prostej potrzebna jest znajomość jej modułu i kierunku nachylenia, które znajdziemy w sposób następujący. Wyobraźmy sobie, że prócz prostej b, poprowadziliśmy przez punkt A prostą a, równoległą do linji spadu płaszczyzny e. Połóżmy następnie płaszczyznę poziomo-rzuca-jącą, przechodzącą przez owe dwie do siebie prostopadłe proste, wraz z temi prostemi na płaszczyznę warstwową w wysokości 11. W tym celu odmierzmy na prostopadłej w punkcie A' do prostej a'

poprowadzonej jednostkę długości A! A° = 1 m, w podziałce rysunku. Jeżeli A! M' = p jest modułem płaszczyzny e, to prosta A°M' jest kładem a{) prostej a. Prostopadła b°, wykreślona w punkcie A° do #°, jest kładem prostej b, przyczem odcinek A' Ń' wyznacza jej moduł pt. Jak z rys. 59 wprost widzimy, kierunek nachylenia prostej b jest przeciwny kierunkowi nachylenia prostej a, a więc i przeciwny kierunkowi /e, do której a jest równoległą. Z trójkąta A⁰ N' M' czytamy:

A' A": p = pi : A! A°, więc p.p.₁ = 7

czyli p-i =— t. zn., że: moduł prostej prostopadłej

P*

do płaszczyzny jest odwrotnością modułu płaszczyzny, t. j. równy jej nachyleniu.

Tak tedy jeśli prosta jest 1 do płaszczyzny to:

1.    jej rzut jest równoległy do rzutu linji spadu płaszczyzny,

2.    jej kierunek nachylenia jest przeciwny kierunkowi nachylenia płaszczyzny,

3.    jej moduł jest odwrotnością modułu płaszczyzny.

33. Zadania: 1. W punkcie A (A', 4-4) danej prostej p poprowadzić do niej płaszczyzną prostopadłą (rys. 60). Znajdziemy moduł p-j szukanej płaszczyzny a, kreślimy prostą Va // p'

Co

6°

/.

lec

Ć¹

co'

,V

0-7/M

44cc

■Ja (4 4)

i/ A//-

NI

Ol'

■a.

CO

fP

Sl %

O,

âs

3m

1 OS O

3m

Rys. 60

Rys. 61

i warstwicę 4‘4a płaszczyzny a. Odmierzywszy 0‘4\ii i 0'6y.l, jak to wskazuje rys. 60, otrzymamy cechy 4 i 5 prostej V a, a więc podziałkę nachylenia płaszczyzny a.

2. Wyznaczyć odległość punktu A (A',4’3) od prostej p(p') (rys. 61). Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę cc prosto-

padłą po prostej p i znajdziemy punkt przebicia P. Odcinek A P rozwiązuje zadanie.

Rzut /'«, linji spadu la płaszczyzny a, będzie równoległy do p', a jego zestopniowanie przeprowadzimy jak w rys. 60.

r6

a'

Va

6°

'4

'3

S'>

JP

Ä-

4a

I'

>3

B'

-----

Sol

~4

47

fik

I 06 O

2m

1    05 O

2m

Rys. 62

Rys. 63

Prosta p przebija płaszczyznę a w punkcie P(P',5’6), który otrzymaliśmy w znany sposób. Odcinek A' P/ jest rzutem odległości punktu A od prostej p, zaś odcinek A' P° = a jej kładem na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez punkt A.

3.    Znaleźć odległość dwóch prostych równoległych. Prowadzimy płaszczyznę a, prostopadłą do danych prostych a i b,

a odcinek zawarty między punktami przebicia A i B rozwią- - -żuje zadanie (rys. 62). Prawdziwą wielkość tego oddalenia, otrzymanego w rzucie cechowanym, znajdziemy, kładąc odcinek A B na jedną z płaszczyzn poziomych.

4.    Znaleźć odległość dwóch płaszczyzn równoległych. Prowadzimy prostą p prostopadłą do danych płaszczyzn a i p, a odcinek, zawarty między punktami przebicia, wyraża żądaną odległość (rys. 63).

§ 2. ZASADY RZUTÓW PROSTOKĄTNYCH NR DWIE

PŁASZCZYZNY

34. Rzuty punktów. Rozważania, przeprowadzone w § 1, opierały się na wyznaczeniu położenia punktu w przestrzeni zapomocą jego rzutu i cechy, t. j. liczby wyrażającej odległość danego punktu od rzutni. Rzutom towarzyszyły tam zawsze

liczby, a przeprowadzenie zadań wymaga znajomości podziałki, w której rysunek jest wykonany. Od cechy punktu uwolnimy się, jeśli jego położenie ustalimy w odniesieniu do drugiej płaszczyzny rzutów, na której zaznaczymy w formie odcinka wysokość danego punktu. Tę nową płaszczyznę rzutów przyjmujemy z reguły prostopadle do pierwszej i nazywamy płaszczyzną pionową rzutów, albo krótko rzutnią pionową. Przez wprowadzenie drugiej płaszczyzny rzutów, otrzymaną metodę geometrji wykreślnej nazywać będziemy od jej twórcy metodą Monge’a. (Gaspard Monge, znakomity matematyk francuski, twórca geometrji wykreślnej, jako nauki, urodzony 10 maja 1746, urn. 28 lipca 1818 w Paryżu).

He

Rzulnia pionowa xa przecina rzutnię poziomą st₁ wzdłuż prostej x, którą zwiemy osią rzutów. Obie rzutnie dzielą przestrzeń na cztery obszary, których następstwo oznaczone jest liczbami I, II, III i IV na rys. 64.

Oś rzutów dzieli każdą z rzutni na dwie części. Mówić więc będziemy o rzutni poziomej przed i z a osią x, o rzutni pionowej nad i pod osią x.

Rys. 64

Hz

A"

[A

Pi

Ax

bA'

Ki

Rys. 65

Przyjmijmy dowolny punkt A, leżący w pierwszej części przestrzeni i wyznaczmy rzut A' (czytaj A z kreską) tego punktu na płaszczyznę jtj i rzut A" (czytaj A z dwiema) na płaszczyznę jt2 (rys. 65). Rzuty A! i A" wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie punktu A w przestrzeni, naodwrót bowiem proste pi i p2, prostopadłe w punktach A! i A" do płaszczyzn i x₂, przecinają się w punkcie A. Punkt A' nazywamy rzutem poziomym, punkt A" rzutem pionowym punktu A. Jeśli napiszemy: A {A' A") to symbol ten rozumieć należy w ten sposób, że punkt A wyznaczony jest swoim rzutem poziomym A! i pionowym A".

Odległość punktu A od płaszczyzny poziomej rzutów, równą odcinkowi A A', nazwaliśmy wysokością, odległość zaś

od płaszczyzny pionowej, wyrażoną odcinkiem A A", nazwiemy głębokością punktu A.

Ażeby określić obszar przestrzeni, w której znajduje się punkt, zachodzi potrzeba względnego oznaczenia wysokości i głębokości punktu. Przyjmujemy więc, że wysokość wszystkich punktów, znajdujących się nad płaszczyzną poziomą rzutów, jest dodatna, zaś punktów, znajdujących się pod rzutnią poziomą — więc w części III i IV— ujemna. Głębokość punktów leżących przed rzutnią pionową, a więc w / i IV części przestrzeni, uważamy za dodatną, punkty za rzutnią pionową, t. j. w obszarach II i III, mają głębokość ujemną. Przez uwzględnienie znaków przy odległościach punktów od rzutni, wyznaczamy położenie tych punktów w odpowiednich częściach przestrzeni.

Płaszczyzna, poprowadzona przez proste P F i PP", przetnie oś rzutów x w punkcie Px, rzutnię poziomą Jtt w prostej F Px prostopadłej do osi X, zaś rzutnię pionową n2 w prostej P" Px, prostopadłej do tejże osi x. Z rys. 66 czytamy, że wysokość punktu P równa się odległości rzutu pionowego tego punktu od osi rzutów, zaś głębokość tegoż punktu P równa jest odległości jego rzutu poziomego F od osi rzutów x. Ażeby rzuty punktu na dwie prostopadłe do siebie płaszczyzny wyrazić się dały rysunkiem na jednej płaszczyźnie rysunkowej, więc na tablicy lub papierze, postępujemy w ten sposób, że jedną z tych płaszczyzn rzutów obracamy około osi x tak,

JI2

aż padnie, wraz ze znajdującym się na niej rzutem, na drugą rzutnię.

\ 'S.

spó

Px

n,

Rys. 66

Jeżeli płaszczyzną rysunku jest płaszczyzna stołu, a więc płaszczyzna pozioma, to obracamy około osi rzutów x płaszczyznę pionową jr₂, jak to uzmysławia rys. 66. Podczas obrotu tego, prosta F' Px prostopadła do osi x nie zmienia swego położenia na rzutni jc₂ — gdy więc rzutnia n2 padnie na rzutnię n₁, prosta Po" Px pozostanie prostopadłą do osi,, rzutów x. Ponieważ jednak prosta F Px jest również prostopadłą do osi rzutów —

po dokonanym więc obrocie rzutni jt₂ prosta P₀ Px zejdzie się z prostą Pr Px, stanowiąc jej przedłużenie.

jfr,

p”

Px

Jeżeli płaszczyzną rysunku jest płaszczyzna tablicy, a więc płaszczyzna pionowa, to płaszczyznę tę pozostawiamy nieruchomą, obracamy zaś około osi rzutów x rzutnię poziomą nl tak, aby jej część przednia padła na dolną część rzutni pionowej (rys. 67).

pó

Rzut poziomy P' punktu P zajmie położenie oznaczone literą Pn', przy-czem prosta P₀' Px stanowić będzie przedłużenie prostej P" Px, prostopadłej do osi rzutów x.

Rys. 67

Tak więc po sprowadzeniu płaszczyzn rzutów do jednej płaszczyzny, będącej płaszczyzną rysunku, rzut poziomy i rzut pionowy punktu leżą na prostej prostopadłej do osi rzutów.

I odwrotnie: dwa punkty, umieszczone na prostopadłej do osi rzutów, są rzutami pewnego, dokładnie oznaczonego punktu w przestrzeni. Jeżeli bowiem M' i M" są rzutami punktu, umiesz-czonemi na prostopadłej do osi rzutów x — to prosta M" Mx

Mr

M"

V'.........Mx

Rys. 68

(rysunek 68), pozostając stale na płaszczyźnie prostopadłej w punkcie Mx do osi rzutów, zajmie, po podniesieniu płaszczyzny pionowej w jej pierwotne położenie, miejsce M” Mx. Prostopadłe, poprowadzone w punktach M' i Af₀", przetną się w punkcie M, którego rzutami, spro-wadzonemi na płaszczyznę rysunku, są punkty M' i M". Z powyższego wynika też wprost, że dwa punkty nie leżące na jednej prostopadłej do osi rzutów, nie mogą być rzutami jednego punktu przestrzeni.

Każdą prostą prostopadłą do osi rzutów, łączącą dwa rzuty tego samego punktu, nazywać będziemy prostą odnoszącą albo wprost odnoszącą.

35. Rozmaite położenia punktu w przestrzeni. Ponieważ dwie rzutnie dzielą przestrzeń na cztery części, więc mówić

możemy o punkcie, znajdującym się w pierwszym, drugim, trzecim lub czwartym obszarze przestrzeni.

a) Punkt leży w pienvszym obszarze (rys, 69 a).

Po kładzie rzutni pionowej na płaszczyznę poziomą, którą przyjmujemy za płaszczyznę rysunku, rzuty punktu A leżą

ÏÏ2

77

i"

77Ö

ĄAx X

■■ Ax

W-

6/7'

Rys. 69 a

Rys. 69 b

>£

po obu stronach osi rzutów, w szczególności, rzut poziomy A' leży pod osią x, rzut pionowy A" nad osią x (rys. 69 b). Dotąd oznaczaliśmy rzuty punktu mianem tego punktu, więc dużą literą alfabetu i kreską umieszczoną u góry tej litery, gdy chodziło o rzut poziomy, dwiema kreskami, gdy wyrażaliśmy rzut pionowy. Rzut punktu sprowadzony na rzutnię, będącą -»płaszczyzną rysunku, otrzymywał u dołu znak małego zera. (Rys. 66, 67, 68, 69 a). Z tego też powodu winien być oznaczony rzut pionowy (rys. 69 b) punktu A znakiem AQ,r. Jeśli jednak zauważymy, że przez kład rzutni poziomej na pionową znak zera przypadłby literze A' — że więc każdy z obu rzutów punktu oznaczony być może u dołu znaczkiem zera, więc pomijamy ów znaczek i oznaczamy rzuty punktu na rysunku jedynie kreskami.

kB'

i/

tes

X,

Bx

Hi

Rzut poziomy otrzymuje jedną, rzut pionowy dwie kreski. Znak A', czytany A z kreską, wyraża rzut poziomy, znak A", czytany A z dwiema, określa rzut pionowy punktu A.

Odcinek A" Ax (rys.

Rys. 70 b

Rys. 70 a

69 a i b) równy jest odległości punktu A od płaszczyzny poziomej, przedstawia więc wysokość tego punktu; odcinek A' Ax równy jest odległości punktu A od rzutni pionowej, jest więc jego głębokością.

b)    Punkt leży w drugim obszarze przestrzeni.

W tym wypadku rzut poziomy B' punktu B znajduje się na tylnej części rzutni poziomej ; — po obróceniu rzutni pionowej oba rzuty B' i B₀" (rys. 70 a) znajdą się po jednej stronie osi rzutów, a mianowicie nad osią rzutów. W rys. 70b rzuty punktu B oznaczyliśmy przez B' i B". Jeśli wysokość punktu B, a więc jego odległość od rzutni poziomej, większa jest, aniżeli jego głębokość, czyli odległość od rzutni pionowej — to punkt B" leżeć będzie nad punktem B'.

Wysokość punktu znajdującego się w drugiej części przestrzeni jest dodatna, głębokość zaś ujemną.

c)    Punkt znajduje się w trzeciej części przestrzeni.

%2

?c'

Rzut poziomy C punktu C leży na tylnej części rzutni poziomej, rzut pionowy C" na dolnej części rzutni pionowej (rys. 71 a).

% czy

ęr

>C

C"

ÓC"

Rys. 71 a

Rys. 71 b

Po sprowadzeniu obu rzutni do jednej płaszczyzny, rzut poziomy leżeć będzie nad osią rzutów, rzut zaś pionowy pod osią rzutów jc (rys. 71 b).

Zarówno wysokość jak i głębokość punktu, znajdującego się w części trzeciej są ujemne.

d) Punkt przynależy do czwartego obszaru.

Dx

kD’

i o"

Rys. 72 a

Rys. 72 b

Rzut poziomy D' punktu D leży na przedniej części rzutni poziomej; rzut pionowy, podobnie jak w przypadku poprzednim, na dolnej części rzutni pionowej (rysunek 72 a). Po sprowadzeniu obu rzutni do jednej płaszczyzny oba rzuty leżeć będą pod osią x (rysunek 72 b).

Wysokość punktu, znajdującego się w czwartej części przestrzeni, jest ujemna, jego głębokość natomiast dodatnia.

e) Punkty leżące na rzutniach.

Gdy punkt E leży na przedniej części rzutni poziomej,

Jt*

FF?

F°Fn

iu

F’

x E" I F’ x

to z nim schodzi się równocześnie jego rzut poziomy E', zaś rzut pionowy E" leży na osi rzutów (rys. 73 a i b).

°EE’

E'°E’

Rys. 73 b

Rys. 73 a

Hlz

G?G'

Rzut pionowy F" punktu F, leżącego na górnej części rzutni pioflowej, schodzi się z punktem F, rzut zaś poziomy F' leży na osi x (rys. 73 a i b). Punkt G, leżący na tylnej części rzutni poziomej, jest równocześnie swoim rzutem poziomym; jego rzut pionowy znajduje się na osi x (rys. 74 a i b).

o GG'

£Lg:-"

x H' \G” X

IL

°HH”

H'°H"

Punkt //, leżący na dolnej części rzutni pionowej, jest równocześnie swoim rzutem pionowym; jego rzut poziomy leży na osi rzutów (rys. 74 a i b).

Rys. 74 a

Rys. 74 b

36. Rzuty i ślady prostej na dwie płaszczyzny.

Pr

A"

P"

B"

B,

I.-"

pb Bo

A’

Rys. 75 b

Rys. 75 a

Położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, wyznaczone jest rzutami tej prostej na te .P" B* płaszcżyzny, a jak z ust. 11 wiadomo, rzut prostej na płaszczyznę jest linją pro-—\-Z stą. Jeżeli punkty A i B wyznaczają prostą p — (rys. 75 a), a punkty A' i B' są rzutami poziomemi tych punktów — to prosta p' (czytaj p z kreską), wyznaczona punktami A' i B' i leżąca na rzutni poziomej, jest rzutem poziomym prostej p.

Prosta p" (czytaj p z dwiema), łącząca rzuty pionowe A" i B" punktów A i B, jest rzutem pionowym prostej p. Mając rzuty p' i p" prostej p, odtworzymy tę prostą w przestrzeni, jeśli przez prostą p' poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do rzutni poziomej t. zw. płaszczyznę poziomo-rzucającą (patrz ust. 11), a przez prostą p" płaszczyznę prostopadłą do rzutni pionowej, czyli t. zw. płaszczyznę pionowo-rzucającą. Prosta przecięcia się obu płaszczyzn jest prostą p. Nawzajem: rzut poziomy p' prostej p określić można jako przecięcie się płaszczyzny „poziomo-rzucającej, poprowadzonej przez tą prostą, z rzutnią poziomą, a rzut pionowy p" jako prostą, powstałą z przecięcia się płaszczyzny pionowo-rzucającej, przechodzącej przez prostą p, z rzutnią pionową. — Po sprowadzeniu obu rzutni, zapomocą obrotu około osi rzutów x, do płaszczyzny rysunkowej, rzut poziomy p' prostej p łączyć będzie punkty A' i B\ leżące pod osią rzutów, a rzut pionowy p" przejdzie przez punkty A" i B", leżące nad osią rzutów x — rys. 75 b.

m"

a.)

Rozważmy rozmaite położenia prostej względem rzutni.

a)    Położenie dowolne. Mianem tern okre- x ślać będziemy proste, nachylone do obu rzutni.

Przy takiem położeniu prostej oba jej rzuty przecinają oś x (rys. 75 a i b).

n"

n’

b)    Prosta pozioma. Tak nazywać będziemy prostą równoległą do rzutni poziomej, a nachyloną do pionowej. „Wysokość“ wszyst-kich punktów takiej prostej jest jednakowa, x jej rzut pionowy m" — rys. 76 a — jest ~~ równoległy do osi rzutów, a rzut poziomy m' oś tę przecina.

Q"

c)    Prosta czołowa. Mianem tern oznaczać będziemy prostą, równoległą do rzutni pio- c) nowej, a nachyloną do poziomej (rys. 7bb).

<7'

Ryc. 76 a—c

Wszystkie punkty takiej prostej mają tę sa- “ mą „głębokość“ ; rzut poziomy n' jest wobec tego równoległy do osi x, a rzut pionowy przecina tę oś.

d)    Prosta równoległa do osi rzutów. Oba jej rzuty są równoległe do osi rzutów x (rys. 76 c).

e)    Prosta pionowa, czyli prostopadła do rzutni poziomej (Rys. 77 a). Rzut poziomy takiej prostej jest punktem, rzut pionowy prostą, prostopadłą do osi rzutów.

f)    Prosta prostopadła do rzutni pionowej. Rzut pionowy s tak położonej prostej jest punktem — rys. 77 a — rzut poziomy s' prostą, prostopadłą do osi rzutów.

g)    Prosta leży na jednej z rzutni. Rzut poziomy prostej t, leżącej na rzutni poziomej, schodzi się z tą prostą, rzut pio-

?S-

U U”

I*

àr

S’

tt'

Rys. 77 a

Rys. 77 b

Rys. 77 c

nowy leży na osi rzutów — rys. 77 b. Gdy prosta u leży na rzutni pionowej’, to schodzi się ze swoim rzutem pionowym, a jej rzut poziomy leży na osi x — rys. 77 c.

h) Prosta prostopadła do osi rzutów, czyli leżąca na płaszczyźnie e prostopadłej do osi rzutów — rys. 78 a i b. Rzuty

q' i q" takiej prostej są prostopadłe do osi rzutów i nie wyznaczają położenia prostej q w przestrzeni; wszystkie bowiem x proste, leżące na płaszczyźnie e, mają te same rzuty, a mianowicie q' i q". Do wyznaczenia położenia prostej prostopadłej do osi rzutów, potrzebna jest znajomość rzutów dwóch punktów tej prostej. We wszystkich położeniach prostej dwa jej rzuty położenie to wyznaczają, z jedynym wyjątkiem prostej prostopadłej do osi rzutów, gdzie potrzebna jest znajomość rzutów

Jls

B"'

•ET

qA"

ÔV⁵!--

, Lxi¹/

<r

qó

■Ao

oq Cr

Rys. 78 a

Rys. 78 b

dwóch punktów prostej. Äby zaznaczyć, że wzięta pod uwagę prosta np. p wyznaczona jest, w odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, swoimi rzutami, używać będziemy symbolu: p (p' P")i w odróżnieniu od przypadku, gdzie prostą wyznaczają dwa jej punkty, co wyrażamy znakiem tożsamości, pisząc np. m = (A, B).

JÜ2

vP

Vp

p/ /P"

py

Vp

Hp

Vp\/x

P‘

^y/Hp

Ślady prostej. Wiadomo z ust. 14, że punkt leżący równocześnie na prostej i na rzutni, a więc punkt przebicia się prostej z płaszczyzną rzutów, nazywa się śladem prostej. W odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, mówić będziemy o śladach poziomych i oznaczać je stale literą H ze wskaźnikami u dołu, wyraża jące-mi proste, do których się odnoszą, więc np. Ha, Hb...

Hp

P’

Hp

Rys. 79 a

Rys. 79 b

ni"

mn

rrf\x

i o śladach pionowych, t. j. punktach, w których proste przebijają rzutnie pionową. Te ostatnie oznaczamy literą Vze wskaźnikiem u dołu, wyrażającym miano prostej, do której się odnosi, więc np. V

Hm

Vm

Hm Vm x

Vb... Vp.

-*

nr Hm'

*>

Hm \

Vm

'i Vm

Rys. 80 b

Rys. 80 a

W przypadku przedstawionym na rys. 79 a, prosta p przebija rzutnię poziomą w punkcie Hp, rzutnię pionową

w punkcie Vp. Rzut pionowy Hp" śladu poziomego Hp leży na osi rzutów, podobnie jak rzut pioziomy V'p śladu pionowego Vp.

Rys. 80 a uzmysławia takie położenie prostej, w którem prosta przebija rzutnię pionową, leżącą poniżej osi rzutów x.

Ślad pionowy prostej m leży pod osią x, jego rzut poziomy na osi. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunkowej otrzymamy rys. 80 b.

Przy położeniu prostej /, podanem na rys. 81 a, prosta ta przebija rzutnię poziomą w obszarze, rozciągającym się

i"

v,

l"

Vi

Hu'

Hi"

u-

Rys. 81 a;

Rys. 81 b

za osią rzutów. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny. rysunku, ślad poziomy Ht prostej l leży nad osią x

(rys. 81 b).

Kr

yś°

HT

Ślad poziomy prostej r (r' r"), równoległej do rzutni poziomej (rys. 82 a), jest punktem niewłaściwym zarówno prostej, jaki płaszczyzny poziomej rzutów. Podobnie ślad pionowy prostej s (s' s"), równoległej do rzutni pionowej (rys. 82 b), jest punktem niewłaściwym tej prostej.

37. Dwie proste.

1. Proste przecinające się. Punktem wyjścia do wyznaczenia rzutów tych prostych jest pewnik, że proste te posiadają jeden punkt wspólny. Rysujemy rzuty m' i m" prostej m, na niej przyjmujemy dowolny punkt A (A' A"), przez który prowadzimy prostą p (pr p") przecinającą prostą m (rys. 83 a).

Jeżeli więc punkt przecięcia się rzutów poziomych dwóch prostych leży na wspólnej odnoszącej z punktem przecięcia się

rn

S"

K/

S'

HU

Hr

Vś°°

Hs

Rys. 82 a

Rys. 82 b

rzutów pionowych tychże samych prostych — to proste rzutami wyznaczone przecinają się.

2. Proste równoległe. Ponieważ płaszczyzny, rzucające poziomo dwie proste równoległe, są równoległe, więc proste

m"

RA

P"

b"

RnBy

Cy

a'

ß'

Cj

rrù

A'

P'

b'

A'

Rys. 83 b

Rys. 83 c

Rys. 83 a

przecięcia s’ę tych płaszczyzn z rzutnią poziomą, czyli rzuty poziome danych prostych są równoległe. Ponieważ dalej płaszczyzny, rzucające pionowo dwie proste równoległe, są również równoległe — więc i rzuty pionowe tych prostych są równoległe (rys. 83 b). Jeżeli tedy rzuty poziome i rzuty pionowe dwóch prostych są równoległe — to proste, rzutami temi wyznaczone, są równolegle.

3. Proste skośne. Rzuty dwóch prostych skośnych podaje rys. 83 c. W punkcie przecięcia się rzutów pionowych c" i d prostych c i d schodzą się rzuty pionowe dwóch punktów: punktu A (A' A"), leżącego na prostej c (cr c") i punktu B (B' B"), leżącego na prostej d (d' d"). Podobnie w punkcie przecięcia się rzutów poziomych c' i d' prostych c i d schodzą się rzuty poziome dwóch punktów, a mianowicie: punktu C (C C"), leżącego na prostej c (c' c") i punktu D (U D") leżącego na prostej d (d' d").

Jeżeli tedy prosta, łącząca punkt przecięcia się rzutów poziomych z punktem przecięcia się rzutów pionowych, nie jest prostopadłą do osi rzutów — to proste rzutami wyznaczone są skośne.

38. O płaszczyźnie i jej śladach. - Wiadomo z ust. 22, że dwie proste przecinające się lub równoległe, prosta i punkt, względnie trzy punkty wyznaczają płaszczyznę. Znając więc rzuty tych elementów, przyjętych na płaszczyźnie, znamy położenie samej płaszczyzny, t. zn. potrafimy określić położenie

dowolnych dalszych punktów i prostych, leżących na tej płaszczyźnie. Ponieważ jednak rzuty trzech punktów, względnie dwóch dowolnie na płaszczyźnie przyjętych prostych, nie dozwalają na szybkie odtworzenie i uzmysłowienie położenia tej płaszczyzny względem rzutni, dlatego chętnie wyznaczać będziemy płaszczyzny zapomocą dwóch prostych przecinających się lub równoległych, takich jednak, z których jedna leży na rzutni poziomej a druga na pionowej (rys. 84 a i b). Proste te

ci

.b

Voi

hot.

Rys. 84 a

Rys. 84 b

Rys. 84 c

V,

określają wyraźniej, aniżeli dwie dowolne proste przecinające się lub równoległe, położenie płaszczyzny w przestrzeni i zwą się jej śladami, gdyż uważać je można za proste przecięcia się (analogja ze „śladem“ prostej!) danej płaszczyzny z rzutniami.

Prostą a (a a") — rys. 84 a i b — leżącą na rzutni poziomej, nazywamy śladem poziomym, prostą zaś b (b' b), leżącą na rzutni pionowej, śladem pionowym płaszczyzny a, wyznaczonej temi prostemi. Dla uproszczenia, a raczej celem lepszego orjentowania się w rysunku, oznaczać będziemy stale ślady poziome płaszczyzn — dla analogji ze śladami prostych — małą literą „/z“ z grecką literą alfabetu, określającą płaszczyznę, jako wskaźnikiem u dołu. Ślady pionowe płaszczyzn oznaczane będą małą literą „v“ z odnośną literą alfabetu greckiego (rys. 84 c). Symbolem a (ha v‘a) zastępować będziemy zdanie: „płaszczyzna cc, której ślad poziomy ha i ślad pionowy va są dane“. Punkt przecięcia się obu śladów, leżący na osi rzutów, oznaczamy literą „Xa ze wskaźnikiem, będącym mianem płaszczyzny, więc w przypadku przedstawionym na rys. 84 c, Xa.

Omówimy z kolei rozmaite położenia płaszczyzn względem rzutni.

a) Płaszczyzna dowolna. Jeżeli płaszczyzna — jak to widzimy na rys. 84 a, b, c, nachyloną jest do obu rzutni — to

. 38. O PŁASZCZYŹNIE I JEJ ŚLRDHCH

4v~

takie położenie określamy mianem „dowolneu w tym przypadku oba ślady przecinają się na osi rzutów w punkcie właściwym i oba nachylone są pod kątami ^90°.

b) Płaszczyzna równoległa do jednej z rzutni. Ślad pionowy płaszczyzny ß, równoległej do rzutni poziomej, jest

JÏ2

!JÏ2

Vß

Vß

__x

ah

fa

hy

Rys. 85 a

Rys. 85 b

Rys. 85 c

równoległy do osi x; jej ślad poziomy jest prostą niewłaściwą (ust. 7) rzutni poziomej (rys. 85 a). Ślad poziomy hx, płaszczyzny y, równoległej do rzutni pionowej, jest równoległy do osi x ; ślad pionowy leży w odległości nie-ograniczenie dalekiej.

c) Płaszczyzna równoległa do osi rzutów przecina obie rzutnie wzdłuż prostych, śladów, równoległych do tej osi (rysunek 86 a i b).

VS

Vs

(S

hs

hs

Rys. 86 a

Rys. 86 b

d) Płaszczyzny rzucające. Mianem tem określiliśmy (ust. 36)

płaszczyzny prostopadłe do płaszczyzn rzutów. Ślad pionowy ve płaszczyzny e, prostopadłe] do rzutni poziomej, więc płaszczyzny poziomo rzucającej (rys. 87 a i b), jest prostopadły, a ślad poziomy he nachylony do osi rzutów.

•*JL

Rys. 87 a

Ve

Ve

XfkjC

Rys. 87 b

90°.

Rys. 88 a uzmysławia płaszczyznę pionowo rzucającą,

a rysunek 88b podaje jej obraz w rzutach prostokątnych. Siad poziomy jest prostopadły do osi x, -ślad pionowy zawiera z nią kąt ^

ho.

hp

Rys. 88 a

Rys. 88 b

Ul

Vn

Xn

Xn x

X.

hn

Ul:

e) Płaszczyzną prostopadłą do osi rzutów, podaje rys. 89 a i b. Oba ślady tak położonej płaszczyzny są prostopadłe do osi x.

f) płaszczyzna przechodzi przez oś rzutów. Oba ślady wszystkich płaszczyzn przechodzących przez oś x, schodzą się z tą osią. Do wyznaczenia położenia jednej z tych płaszczyzn, potrzebna jest znajomość jednego dowolnego punktu tej płasz-

czyzny.

hn

Rys. 89 b

Rys. 89 a

39. Kład odcinka i jego podział. Prawdziwą długość odcinka, którego rzuty na dwie płaszczyzny są dane, otrzymamy, wykonując kład

A°

B°

Y¹

B"

A"

A"

B’

tego odcinka, podobnie, jak to uczyniliśmy w ust. 13, na jedną z rzutni. Zadanie sprowadza się więc do wykreślenia trapezu, którego bo-y²    kami równoległemi

B'    są proste, rzucające

A'k

A!

Ir

B°

A°

Rys. 90 b

Rys. 90 a

punkty końcowe odcinka jednym z boków nierównoległych jest dany odcinek, a drugim jego rzut.

W rys. 90 a wykonaliśmy kład odcinka A B około jego rzutu A' B' na rzutnię poziomą, otrzymując odcinek A° BJ; rys. 90 b podaje kład tego samego odcinka na rzutnię pionową.

Wskaźniki „o“, umieszczone u góry liter, oznaczać będą w ciągu całego wykładu punkty, względnie proste, po dokonanym kładzie. Zamiast na płaszczyznę rzutów, j. dokonać można kładu odcinka na płaszczyznę równoległą do rzutni, poprowadzo- A’ ną przez jeden z punktów końcowych odcinka. W miejsce trapezu wchodzi wówczas trójkąt, jak o tern dostatecznie wyraźnie poucza rys. 91.

Wykazane w ust. 15 twierdzenie, odnoszące się do rzutu poziomego odcinka, a opiewające, że stosunek podziału odcinka w przestrzeni wskutek rzutu prostokątnego na płaszczyznę poziomą nie zmienia się, odnosi się oczywiście i do rzutu pionowego odcinka. W istocie bowiem czytamy bezpośrednio z rys. 92:

TTC: C~W =A~C:CB = WrC" : C" B"

B"

Z2-Z1

C"

A,

A"

Zz\

Zf

■4

Ze

V,

B°

Rys. 91

Podzieliwszy więc rzut poziomy danego odcinka w pewnym stosunku i odniósłszy punkty podziału na rzut pionowy, otrzymamy rzuty punktów, dzielących ten odcinek w przestrzeni w tym samym stosunku.

40. Zadania. Dane są rzuty trójkąta ABC; wyznaczyć rzuty jego środka ciężkości (rys. 93). Wiadomo, że proste, łączące środki boków trójkąta z jego wierzchołkami, czyli t. zw. dośrodkowe, przecinają się _2L_ w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości tego trójkąta. W myśl tego, cośmy powiedzieli w ustępie poprzednim, rzut poziomy O', środka A ciężkości O, jest punktem przecięcia się O' dośrodkowych /' C i II' A'

ar

B'

Rys. 92

A"°

O"

Cn

i*

I'

/u"

B"

O'

o'

Rys. 93

trójkąta A' B' C\ a rzut pionowy O" punktem, w którym przecinają się dośrodkowe I" C" i II" A" rzutu pionowego A" B" C" trójkąta ABC. Wiadomo, że środek ciężkości trójkąta dzieli każdą dośrodkową na dwa takie odcinki, których stosunek wynosi 1 :2. Wykreśliwszy więc dośrodkowe I' C' i I" C" otrzymamy na nich punkty O' i O", przyjmując I' O' = H I' C i I" O" = | I" C", a wtedy odpada potrzeba kreślenia rzutów drugiej dośrodkowej.

§ 3. ZÄDÄNIH ODNOSZĄCE SIĘ DO WZÄJEMNYCH POŁOŻEŃ PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

41. Proste i punkty na płaszczyźnie. Dwie przecinające się proste a (a' a") i b (b' b") wyznaczają płaszczyznę cp. Jeżeli punkt A (A' A") (rys. 94), obrany na prostej a (a' a"), połączymy z punktem B (B' B"), przyjętym na prostej b (b' b"), to punktami A i B wyznaczona prosta c (ć c") leży na płaszczyźnie cp. Jeden z pewników geometrycznych powiada bowiem, że gdy prosta ma z płaszczyzną dwa punkty wspólne, to ma z nią wszystkie punkty wspólne, czyli jak mówimy, na tej płaszczyźnie leży.

b"

A'XC"

B"

Płaszczyzna 4^, przechodząca przez x oś rzutów, wyznaczona jest jednym punktem (ust. 38/"). Dowolny punkt B osi rzutów, połączony z danym punktem A (A' A"), wyznacza prostą m (m' ni"), leżącą na płaszczyźnie 4ri> (rys. 95a). Część prostej m', leżąca pod osią rzutów, i część prostej m", znajdująca się nad tą osią, są rzutami tej części prostej tn, która leży na płaszczyźnie 4/i> w pierwszej części przestrzeni; część prostej m', leżąca nad osią x i część prostej m", która leży pod osią rzutów, są rzutami tej części prostej m, która znajduje się na płaszczyźnie 4ri w trzeciej części przestrzeni. Punt C (C C") leży więc na płaszczyźnie 4y> wyznaczonej punktem A (A' A") i osią rzutów w trzeciej części przestrzeni.

c>

3'

t>

M'

C'y

(A'

Rys. 94

B’

rC

Między płaszczyznami, przechodzącemi przez oś rzutów, znajdują się i takie, które rozciągają się w drugiej i czwartej

części przestrzeni. Podobnie jak w przypadku poprzednim, płaszczyzna taka wyznaczona jest przez punkt leżący, jednak nie w pierwszej, lub trzeciej, ale w drugiej i czwartej części przestrzeni. Prosta r (r' r")

/«4 fi

m’y

(rys. 95 b), łącząca dowolny punkt Q osi rzutów z przyjętym w drugiej części przestrzeni x : punktem P (F F'), leży na płaszczyźnie ^₂,    \/ A>

rozciągającej się w drugiej i czwartej części    ^

r~/ Ÿ,-'

X

Rys. 95 a i b

przestrzeni, a wyznaczonej osią rautów i punk-tern P (F F'). Części prostych r' i r", leżące nad osią x, są rzutami tej części pro-stej r, która znajduje się w drugim obszarze ''f/ przestrzeni na płaszczyźnie J/₂. Części pro- /R” stych r' i r", leżące pod osią rzutów, są rzutami części prostej r, znajdującej się w czwartym obszarze przestrzeni. Jeżeli na płaszczyźnie wyznaczyć mamy punkt, leżący w czwartej części przestrzeni, to najpierw obieramy na płaszczyźnie \]/₂ prostą r (r' r"), a na niej dopiero punkt R (Rr R")t którego rzuty leżą pod osią x.

TT

\A’A"

\B'

'a”

ß’

Rys. 96

Rys. 97

42. Płaszczyzny dwusieczne. Płaszczyzny 6/ i ó//( przechodzące przez oś rzutów, których punkty są równo oddalone od obu rzutów, nazywamy płaszczyznami dwusiecznemi. Płaszczyzna 6/, przechodząca przez I-szą i III-cią część przestrzeni, wyznaczona jest osią rzutów i punktem, którego „wysokość“równa x jest „głębokości“, a który, jak np. punkt A (A' A") (rys. 96), leży w pierwszej, albo jak punkt .Z? (Br B"), w trzeciej części przestrzeni. Przez połączenie dowolnego punktu C (C C"), osi rzutów z punktem A (A' A"), lub B (B' B"), otrzymamy prostą a (a' a"), leżącą na płaszczyźnie dwusiecznej ó/. Oczy-Y^iście, że * a' x = a" x, więc: dwie proste, przecinające się na osi rzutów i zamykające z nią te same kąty, względnie dwie proste równoległe do osi rzutów i równo od ni ej oddalone, są rzutami

prostej leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 8/, rozciągającej się w pierwszym i trzecim obszarze przestrzeni.

Punkt równo oddalony ód obu rzutni, znajdujący się w drugiej, lub czwartej części przestrzeni i oś rzutów, wyznaczają płaszczyznę Ô//, rozciągającą się w drugim i czwartym obszarze przestrzeni. Rzut poziomy A' każdego punktu A (rys. 97) płaszczyzny ó// nakrywa sie z rzutem pionowym A" tego punktu, gdyż jego „wysokość“ i „głębokość“ są równe. Każdy punkt, leżący nad lub pod osią rzutów, uważać można za skupienie rzutu poziomego i pionowego punktu, leżącego na płaszczyźnie 8//. Rzuty a' i a" prostej a, leżącej na płaszczyźnie Ô//, zejdą sie na jednej prostej. Prosta, przecinająca oś rzutów albo do niej równoległa, uważana być może zamsze za skupienie obu rzutów prostej, leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 8//, rozciągającej się w drugim i czwartym obszarze przestrzeni.

43. Proste i punkty na płaszczyznach, wyznaczonych śladami. Niechaj daną będzie płaszczyzna e, wyznaczona swoimi śladami hs i ve, czyli jak piszemy, płaszczyzna c (he Ve) (rys. 98). Punkt Hp, przyjęty na śladzie poziomym he,t leży

Vp

vP

P\

p”

A¹

Ve

Vp

J£

Xe

P'x

Hi

P’

Hp

Rys. 99

Rys. 98

na płaszczyźnie e, podobnie jak punkt Vp obrany na śladzie pionowym ve. Prosta p, łącząca punkty Hp i Vp, leży więc na płaszczyźnie e.

Po sprowadzeniu płaszczyzn rzutów do jednej płaszczyzny (rys. 99), otrzymamy rzuty p' i p" prostej p, leżącej na płaszczyźnie s (he Ve), łącząc odpowiednie rzuty punktów Hp i Vp. W szczególności rzut poziomy p' otrzymamy przez połączenie

punktów Hp i V'p, zaś rzut pionowy p" przez połączenie punktów H"p i Vp. Punkty Hp i Vp, leżące na rzutniach i równocześnie na prostej p, są śladami tej prostej.

Zatem: gdy prosta leży na płaszczyźnie, to ślady tej prostej leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny.

Punkt A (A' A"), obrany na prostej p (p' p") (rys. 99), leży na płaszczyźnie e (7ze, Ve).

Jeśli chodzi o przyjęcie dowolneno punktu na płaszczyźnie, wyznaczonej zapomocą śladów, to obieramy na tej płaszczyźnie prostą, a na niej dopiero punkt.

y<p

nm

W"

Vm

hp

Hm,

hp

TH

Rys. 100 b

Rys. 100a

Proste tworzące. Prosta m (m' m"), leżąca na płaszczyźnie <p (hp Vcp) (rys. 100 a i b), jest równoległą do rzutni poziomej, ślad tedy poziomy Hm tej prostej eży w odległości nieogranicze-nie dalekiej na śladzie poziomym /zcp płaszczyzny cp, a co zatem idzie, rzut poziomy m' prostej m jest do śladu hp równoległy.

!V“V

&*

Vn\ \y?

n \n"

rr

Każda prosta, leżąca na płaszczyźnie, a równoległa do rzutni poziomej, jest równoległą do śladu poziomego danej płaszczyzny i nazywa się prostą poziomą tej płaszczyzny.

Hn

Hn

hę

,Vń~ rr

Hf

Rys. I0l b

Rys. I0l a

Prosta ii (ii' n"), leżąca na płaszczyźnie p (hp Vp), jest równoległą do rzutni pionowej (rys. 101 a i 101b). Ślad pionowy Vn°° tej prostej leży w odległości nieograniczenie dalekiej na rzutni pionowej i na śladzie pionowym vP płaszczyzny p, rzut tedy pionowy n" prostej n jest równoległy do śladu pionowego Vp. (Na rys. 101 b należy ślad pionowy prostej n oznaczyć przez Vu°°, uzupełniając oznaczenie VP.

Proste, leżące na płaszczyźnie i równoległe do rzutni pionowej, są równoległe do śladu pionowego danej płaszczyzny i zwą się prostemi czołowemi tej płaszczyzny. Proste poziome i czołowe •płaszczyzny określamy także mianem prostych tworzących tej płaszczyzny.

Przez ruch prostej m (rys. 100 a), stale równoległej do rzutni poziomej i do swego pierwotnego położenia, utworzy się płaszczyzna cp, jeżeli ślad pionowy Vm tej prostej porusza się po śladzie pionowym v<p płaszczyzny cp.

Prosta n, poruszając się równolegle do swego pierwotnego położenia (rys. 101), zakreśli płaszczyznę p, jeśli ślad poziomy Hn prostej n przebiega ślad poziomy hP płasz

czyzny p.

44. Zadania. /. Dany jest jeden rzut prostej, leżącej na płaszczyźnie ; wyznaczyć rzut drugi.

a) Płaszczyzna wyznaczona jest prostemi a (a' a") i b (br b")

(rys. 102).

Prosta c' przecina proste a' b' w punktach A' i B',

które są rzutami poziomemi punktów, leżących równocześnie na prostej c i na płaszczyźnie (a b). Wyznaczmy, rzuty pionowe A" i B" punktów A i B, to prosta c", łącząca punkty A" i B", jest szukanym rzutem pionowym prostej c.

Zr

'a"

A"

B" C"

Va

Va

x_

Cl’

B'

A’

Rys. 102

'J!

Hl

Ha

'a”

'a’

Rys. 103

Vax

ha.

b) Płaszczyzna wyznaczona jest zapomocą śladów (rys. 103).

Przy założeniu, że dany rzut poziomy a' jest rzutem prostej a, leżącej na płaszczyźnie a, punkt przecięcia się Ha rzutu a' ze śladem ha jest śladem poziomym prostej — a rzut pionowy H"a tego śladu leży na osi rzutów. Punkt przecięcia się Va prostej a' z osią rzutów, jest rzutem poziomym śladu pionowego tej prostej, który to ślad znajdziemy na śladzie Va. Przez połączenie punktów H"a i Va otrzymujemy żądany rzut pionowy a'\ prostej a.

d) Dany rzut prostej jest rzutem pionowym c" i równoległym do osi x.

B"

A",

to

C"

Hc° c" \Vc

b"

Vi

X.

B’

Cy

A’

/h*

a’

Gdy płaszczyznę wyznaczają dwie proste a (a' a") i b (W b") (rys. 104), to prosta c\ łącząca punkty A! i B', jest szukanym rzutem.

Rys. 105

Rys. 104

Prosta c (c' c") jest poziomą płaszczyzny (a, b).

Gdy płaszczyzna ô wyznaczona jest zapomocą śladów, to rzut poziomy c' przejdzie przez punkt V'c, równolegle do śladu poziomego hb (rys. 105).

2. Znany jest rzut poziomy P' punktu P, leżącego na danej płaszczyźnie ; wyznaczyć rzut pionowy P".

Przez dany rzut poziomy P' punktu P prowadzimy prostą, którą uważamy za rzut poziomy prostej, leżącej na danej płaszczyźnie; wykreślimy rzut pionowy tej prostej (ust. 41),

a linja odnosząca wyznaczy rzut pionowy/³"' punktu P.

Ve

b/

fe/a- r

Va

.a'

■*>

sr

P’

Ha*

cy A’

łls

Rys. 106

Rys. 107

W rys. 106 płasz-* czyzna wyznaczona jest zapomocą dwóch prostych równoległych a (a' a") i b (b' b"), w rys. 107, zapomocą śladów he i Ve. W tym drugim przypadku użyliśmy do wyznaczenia rzutu pionowego P" punktu P prostej poziomej płaszczyzny e.

3. Wyznaczyć rzuty pięciokąta płaskiego, leżącego dowolnie w przestrzeni.

Z pięciu wierzchołków żądanego wielokąta trzy np. A (A' A"), B (B' B") i C (C C") przyjąć można dowolnie, trzy punkty bowiem wyznaczają płaszczyznę (ust. 221. Dwa dalsze wierzchołki D i E obrać musimy na płaszczyźnie, wyznaczonej trzema pierwszemi. W tym celu na jednym boku trójkąta np. B C (rys. 108) przyjmiemy dwa punkty 1(1' 1") i 2 (2' 2") i połączymy je z wierzchołkiem A. Otrzymane proste 1 A i 2 A leżą na płaszczyźnie (A B C), gdyż

B”

D"

Vb

5"

3"

A’4

₂n

V(p

Vc"

b'r

Xçz.

E"

2"

a"

45'

D'

He

ar

A’>

Rys. 109

Rys. 108

mają po dwa punkty z tą płaszczyzną wspólne. Każdy zatem punkt prostych 1 A\ 2 A, a więc punkty D (U D") i E (E E") leżą na płaszczyźnie (ABC) i mogą być uważane za dalsze wierzchołki wielokąta.

Jeżeli dane są ślady EP i Vcp płaszczyzny wielokąta, to rzuty jego wyznaczymy, kreśląc rzuty punktów leżących pa rzutach prostych,¹ przyjętych na tej płaszczyźnie.

W rys. 109, przyjęliśmy na płaszczyźnie cp (h<$> i Vcp^ dwie proste poziome a (a' a") i b (br b") i jedną czołową c (cr c"), za pośrednictwem których wyznaczyliśmy rzuty wierzchołków pięciokąta.

45. Ćwiczenia.

1.    Dana jest dowolna płaszczyzna a (ha va) i rzut pionowy A" B" C" D" czworokąta; wykreślić rzut poziomy A' B' C D' tak, aby czworokąt AB CD leżał na płaszczyźnie a.

2.    Rozwiązać zadanie powyższe dla położeń płaszczyzn i rzutów czworokątów, określonych rysunkami 110 a — 1.

3.    Dane są rzuty dwóch prostych / i m, przecinających się w punkcie A. Na płaszczyźnie a = (l, m) leży pięciokąt MNRST; wykreślić rzut pionowy tego pięciokąta, jeżeli rzut poziomy M' N' R' S' T jest dany.

4.    Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli proste / i m mają położenie

następujące:

a)    m dowolne;

b)    l/l 3tu ml/n

c)    ///«i, m dowolne;

d)    m dowolne;

e)    l//nii m leży na jt₂;

f)    l leży na nu m na jtj.

5. Dane są rzuty prostych równoległych l i m, które wyznaczają płaszczyznę a i rzut pionowy A" B" C". trójkąta ABC, leżącego na tej płaszczyźnie; wyznaczyć rzut poziomy A! B' C tego trójkąta.

a.)

b.)

C.)

Va

B"

•    d.)

ß"

e.)

Va

Va

75"

Dn

>C"

A\

A'k

\,C"

D"

■C"

hC" £r

ha

ha

D"

h:i

'ha

fi"

f.)

A"

9>

B"

B"

h.) ß”

Va    /

ha

K.)

va

I.)

và-

B"

ha

fi"

■ A”'

A"

C"

fi"

B”

fi"

D"

’C"

ha

D"

ha

Vcc

D"

A"

0"

A"

ha=Va

Rys. 110 a — 1

6) Rozwiązać zadanie powyższe, jeżeli położenie danych elementów określonych jest rysunkami 111 a — e.

a.)

A" l/ Bn

b.)

c.)

d.)

777"

A"

L" my

l"

e.)

m«

m"

fi"

Bn

S"

>L

B"

m’

777'

c»

C"

k:

m’

C”

777'

C"

Rys. 111 a — e

7.    Na płaszczyźnie o. = (l, A), wyznaczonej prostą l (i l") i punktem A (A' A"), leży czworokąt PQRS. Wykreślić rzut pionowy tego czworokąta, skoro jego rzut poziomy P' Q' R' S' jest dany.

8.    Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli prosta / zajmuje położenia:

a)    i //    ;

b)    ///*,;

c)    lUx;

d)    / leży na płaszczyźnie dwusiecznej 8/, względnie 8//, a dla każdego z tych położeń punkt A znajduje się w I, II, III i IV części przestrzeni.

9. Płaszczyzna a wyznaczona jest dwiema prostemi przecinającemi się / i m, których położenie określają rysunki 112 a — e:

Wyznaczyć rzut pionowy trójkąta leżącego na płaszczyźnie a, gdy jego rzut poziomy jest dany.

1C. Na płaszczyźnie dwusiecznej 5/ leży trójkąt, którego rzut poziomy A' B' C jest dany; wykreślić rzut pionowy tego trójkąta.

a.)

b.)

d.)

e.)

TD"

V'/

77?"

777"

I"/

lyrh"

X_

X.

m>'

Z'Xw

m<

777'

\V

\nv

Rys., 112 a — e

46. O płaszczyznach, przechodzących przez proste

i punkty.

a) Płaszczyzny przechodzące przez jedną prostą. Wiadomo (ust. 7), że przez jedną prostą poprowadzić można dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn, stanowiących t. zw. pąk płaszczyzn, dla którego owa prosta jest osią.

Jeżeli oś pęku płaszczyzn jest dana, to poszczególne elementy tego pęku wyznaczyć możemy w sposób następujący: na osi p przyjmiemy punkt A, przez który poprowadzimy proste a, b, c,...; proste (p, a), (p, b), (p, c)... wyznaczają płaszczyzny, będące elementami pęku o osi p.

W odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, wyznaczamy najczęściej elementy pęku płaszczyzn o osi p zapomocą śladów tych płaszczyzn. W tym celu łączymy dowolny punkt Xa osi rzutów (rys. 113 a) ze śladami Hp i Vp prostej p (p' p")

py

yP

VoC

y? /Va.

Va

Va

v-t a" Vii

Va

y,

P"

x /Hp    il/p

b y XjXyjHâ /Xi

/P’

la

x?v

y    h,s\

Jia

a- vr

.c

M \hy

Rys. 113 a — d

i otrzymujemy ślady ha i Va płaszczyzny a. Proste bowiem i Va, jako dwie proste przecinające się w punkcie Xa, wyznaczają płaszczyznę a; prosta p leży na tej płaszczyźnie, ma bowiem z nią dwa punkty wspólne, a mianowicie punkt Hp (Hp H"p) Vp (Vp V'p).

Zatem: ślady płaszczyzny przechodzącej przez prostą, przechodzą przez ślady tej prostej.

Jeżeli prosta a (a' a") (rys. 113 b, gdzie opuszczono znak a") jest równoległą do rzutni poziomej, więc jej ślad poziomy Hf znajduje się w odległości nieogranitzenie dalekiej, to ślady poziome ha, /z”,.. płaszczyzn, przechodzących przez prostą a, są równoległe do rzutu poziomego a' tej prostej. Ślady pionowe Va, vp,.. przejdą przez punkt 14, jako ślad pionowy prostej a.

Ślady pionowe Vy, vs,.. płaszczyzn y, 8,.. przesuniętych przez prostą a (a' a"), równoległą do rzutni pionowej (rys. 113 c), są równoległe do rzutu pionowego a" tej prostej.

Z pomiędzy płaszczyzn, przechodzących przez prostą c, wyróżnić należy płaszczyzny rzucające tę prostą (ust. 36): płaszczyznę poziomo rzucającą s (he ve) i pionowo rzucającą cp (Tzcp Vcp) (rys. 113 d).

b) Wykreślenie śladów płaszczyzny, wyznaczonej zapomocą dwóch prostych lub trzech punktów. W ustępie 38. zauważyliśmy, że położenie płaszczyzny w przestrzeni chętniej wyznaczamy zapomocą jej śladów, aniżeli prostych dowolnych. Bardzo też często zachodzi potrzeba wykreślenia śladów płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie proste przecinające się, równoległe przez prostą i punkt lub przez trzy punkty.

ĄK\

Ha/yś ffijłb X

'a'

ha.

Hb

Rys. 114

Konstrukcja śladów płaszczyzny a, poprowadzonej przez dwie proste a (a' a") i b (b' b") (rys. 114), opiera się na twierdzeniu, że ślady płaszczyzny przechodzącej przez prostą, przechodzą przez ślady tej prostej (ust. 46a). Prosta więc ha, łącząca ślady poziome Ha i Hb prostych a i 6, jest śladem poziomym, prosta va, łącząca ślady pionowe 14 i 14 danych prostych, śladem pionowym płaszczyzny a. Ślady ha i Va przetną się w punkcie Xa na osi rzutów. Gdy punkt Xa leży w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to nie zachodzi potrzeba wyznaczenia wszystkich czterech śladów prostych — trzy ślady wystarczą, czwarty zastąpiony będzie punktem Xa.

W rys. 115 wyznaczyliśmy ślady płaszczyzny a, przechodzącej przez dwie proste równoległe c (c' c") i d (d' d").

Ślad poziomy Hd połączyliśmy ze śladem Hc, leżącym w drugiej części przestrzeni, prostą ha, będącą śladem poziomym płaszczyzny a. Otrzymany punkt Xa i ślad Vc wyznaczają jej ślad pionowy Va.

Jeżeli chodzi o wykreślenie śladów płaszczyzny, wyznaczonej trzema punktami, np. Aj B, C, to łączymy punkt A z B i np. A z C, otrzymując tym sposobem dwie proste przecinające się, których ślady wyznaczają ślady płaszczyzny. Połączywszy punkt A z B, możemy przez punkt C poprowadzić prostą równoległą do poprzedniej i wykreślić ślady płaszczyzny, wyznaczonej dwiema prostemi równoległe.

47. Zadania.

\Hc l/c

Va,

tla'

cf

Rys. 115

1. Wykreślić ślady płaszczyzny wyznaczonej dwiema proste-mi przecinającemi sie: poziomą a (a' a") i czołową b (b' b") (rys. 116).

Ślad poziomy ha płaszczyzny a jest rów- '—J? noległy do rzutu poziomego a' i przechodzi przez ślad Hb; ślad pionowy jest równoległy do rzutu pionowego b" prostej b i przechodzi przez ślad Va.

--

g Ą

i i \

Va.

M"

g’

.Xa/vĄ /Hb

Rys. 116

2. Wykreślić ślady płaszczyzny wyznaczonej dwiema prostemi, których ślady nie leżą w obrąbie płaszczyzny rysunkowej.

Na płaszczyźnie a, wyznaczonej prostemi a (a' a") i b (b' b"), obieramy dwie proste p (p' p") i q (qr q") (rys. 117), których ślady leżą w obrębie rysunku. Ślady poziome Hp i Hq tych prostych wyznaczają ślad poziomy ha, zaś ślady pionowe Vp i Vq określają położenie śladu pionowego Va płaszczyzny a.

â'

b’ '

/zr

;p’

!hp

M’

ha

Rys. 117

3’

Hq\

48. Ćwiczenie.

Wykreślić ślady płaszczyzny, wyznaczonej dwiema prostemi l, m, prostą Z i punktem A, względnie trzema punktami A, B, C w przypadkach podanych na rysunkach 118 a — s.

aj

b.)

c.)

d.)

V’/

t"

/m"

r,

ej w A”/¹

f)

9)

h).

'mn

mn

l"

l"y

i"

m"

Xk

v:

pc

ii

^    .....3..

to

o>

B'

VI"

⁶C

B°

Rys. 118 a — s

49. O płaszczyznach przecinających się i równoległych.

a) Dwie płaszczyzny przecinające się. Wiadomo, że gdy dwie płaszczyzny posiadają dwa punkty wspólne, to posiadają całą prostą wspólną, a mianowicie prostą, łączącą owe dwa punkty. Tę prostą wspólną obu płaszczyzn nazwaliśmy w ust. 27 ich krawędzią. Weźmy pod uwagę płaszczyzny a i ß nachylone do obu rzutni (rys. 119 a), to prosta k, łącząca punkt przecięcia się Hk śladów poziomych ha i /zß obu płaszczyzn z punk- ' tern 14, który powstał jako przecięcie się śladów pionowych v« i Vß płaszczyzn a i ß, jest krawę-dzią tych płaszczyzn. Ponieważ punkt Hk jest śladem poziomym, a punkt 14 śladem pionowym prostej k, więc wykreślenie rzutów krawędzi dwóch płaszczyzn sprowadza się do wyznaczenia rzutów prostej, której ślady są dane. Rzut pionowy H"k śladu poziomego (rys. 119 b) łączymy ze śladem

Hz

Vß

Va

hß Hk

(” : )/

, \ a /

Ù*\/ a,

Va^.

HL

Rys. 119 a

■v

hß

7r"

Hi?\

ha

Rys. 119 b

Va

x.

pionowym 14, otrzymując rzut pionowy k" krawędzi k; prosta k', łącząca ślad pioziomy Hk z rzutem poziomym V\ śladu pionowego, jest rzutem poziomym krawędzi płaszczyzn a (ha Vß)

i ß (ha Vß).

b) Trzy płaszczyzny przecinają się w punkcie. Wyznaczywszy prostą kx (kx kx"), jako krawędź płaszczyzn a i ß (rys. 120),

W, .

\    \y₇

f*Ç\i \ Hitom »v

Va

ÄK m

A>\ ! bß

a następnie prostą/:, (k/ kŁ"), w której płaszczyzna cc przecina płaszczyznę y, otrzymamy punkt przecięcia sie A (A' A") prostych k± i k₂, przez który przechodzi także kraję wędź k₃ płaszczyzn ß i y. Punkt A jest punktem leżącym równocześnie na płaszczyznach a ß i y.

Rys. 120

Va

Va/ Vß/ Vy

Vß

'Xa/Xß/Xr_X ’

h(x>

hß

Rys. 122

Rys. 121

c) Płaszczyzny równoległe. Dwie płaszczyzny, nie mające żadnego wspólnego punktu właściwego, określamy mianem płaszczyzn równoległych. Wiadomo, że dwie płaszczyzny równoległe przecięte trzecią, tworzą z nią krawędzie równoległe. Ponieważ ślady poziome ha, /zß, hy (rys. 121), płaszczyzn a// ß // y są prosłemi przecięcia się tych płaszczyzn z rzutnią poziomą, ślady zaś pionowe va, Vß, Vy,.. są prostemi, w których rzutnia pionowa płaszcz) zny te przecina, więc: ślady poziome jak też i ślady pionowe płaszczyzn równoległych, są równoległe (rys. 121'. I nawzajem, jeśli ślady poziome i ślady pionowe płaszczyzn są równoległe, to płaszczyzny śladami te mi wyznaczone są równoległe. Wyjątek od tej reguły stanowią płaszczyzny równoległe do osi rzutów x (rys. 122), których ślady są zawsze równoległe, ale płaszczyzny przenikają się w ogólności podług prostej właściwej.

d) Przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn.

1. Płaszczyzna cc (ha Va) jest nachylona do obu rzutni, płaszczyzna ß jest równoległą do

rzutni poziomej (rys. 123). Ślad poziomy płaszczyzny p jest prostą niewłaściwą na rzutni poziomej, ślad poziomy Hf szukanej krawędzi jest więc punktem niewłaściwym, leżącym na śladzie ha płaszczyzny cc.

Szukana kra-

Vß_Vk

Va.

Vk

Vcc

Vß

k" Hit-

wędź jest zatem równoległa do rzutni poziomej, gdyż posiada na tej rzutni jeden punkt niewłaściwy.

Vi

_x

1fi

ha 'vA

Hk

Rys. 123

hß

.ha\k'

Rys. 124

H}-

2.    Dwa równoimienne ślady płaszczyzn są równoległe (rys. 124). I w tym przypadku ślad poziomy krawędzi jest jej punktem niewłaściwym, leżącym na rzutni poziomej, krawędź więc obu płaszczyzn jest równoległą do tej rzutni.

3.    Położenie płaszczyzn cc i p określone jest rys. 125. Ślad poziomy Hk krawędzi k (kr k") leży w tym

VßjVy/k”

# A

///:

i\W/i

\ /,» \

\ \

tfe\ ■

\/r"

\/Ar

to

Ks

Hk

.ha,

lßs\k'

Rys. 125

x

hJ v\\k’\hp

I \ \    \

Rys. 126

Va    Vß

k%Hk

1/fóJ

Rys. 127

wypadku w obszarze przestrzeni, rozciągającym się poza rzutnią pionową.

4. Ślady płaszczyzn nie przecinają się w pierwszej części przestrzeni (rys. 126). Ślady poziome ha i /zp płaszczyzn cc i ß przecinają się na rzutni poziomej, leżącej poza rzutnią pionową. Ślady pionowe Va i Vß danych płaszczyzn przecinają się w punkcie Vk, który jest śladem pionowym szukanej krawędzi, a który leży pod płaszczyzną poziomą. Krawędź k (kr k") leży poza obszarem pierwszej części przestrzeni, jest więc niewidoczną, czemu daliśmy

płaszczyzny poziomo-rzucające. W przypadku podanym na rys. 127, krawędź, będąca prostą pionową, leży w obszarze przestrzeni, rozciągającym się za rzutnią pionową.

wyraz kreśląc rzuty tej krawędzi linjami złożonemi z punktów i kresek.

5. Dwie

6. Ślady pionowe płaszczyzn nie przecinają się w granicach płaszczyzny rysunkowej.

Rozwiązanie pierwsze. Jeden punkt szukanej krawędzi, a mianowicie ślad poziomy Hk, jest znany (rys. 128).

Vß

Vd

Vß

VcLj

Drugi punkt krawędzi otrzyma-

Va

<k"

k"

/3"l

'Hâ \Va

Hk,

Và j Hh\

Vb \ x

/?<\ : tß'/hß

'Ha

<k'

ha'

. Xhk- /

y/, y j

Rys. 129

by

a'

Rys. 128

my przy pomocy trzeciej płaszczyzny y, tną-* cej dwie dane wzdłuż prostych a(a'a")ib(b'b"). Punktu,przecięcia się prostych a i b, leży na szukanej krawędzi. Płaszczyzna

pomocnicza y może być oczywiście dowolną, wzgląd na uproszczenie konstrukcji podyktował nam płaszczyznę y,,równoległą do rzutni poziomej.

Rozwiązanie drugie. Do jednej z danych płaszczyzn, np. a, prowadzimy płaszczyznę równoległą y (7zr v.x) (rys. 129), i wyznaczymy krawędź a (a' a") tej płaszczyzny z drugą daną płaszczyzną, otrzymując tym sposobem kierunek szukanej krawędzi.

7. Zarówno ślady poziome jak i pionowe nie przecinają się w granicach rysunku.

Zadanie rozwiązać możemy w dwojaki sposób:

1°. Dwie dane płaszczyzny cc i ß przecinamy dwiema płaszczyznami pomocniczemi y i ó. Płaszczyzny a, p i y, przecinają się w punkcie A, płaszczyzny a, ß i Ô w punkcie B. Prosta k, łącząca punkty A i B, jest krawędzią płaszczyzn a i ß.

2\ Dane płaszczyzny cc i ß przecinamy płaszczyzną pomocniczą y (rys. 130) i wyznaczamy punkt A (A' A") przecięcia

się tych trzech płaszczyzn. W miejsce drugiego punktu krawędzi płaszczyzn cc i p znajdziemy kierunek tej krawędzi. W tym celu przeprowadzimy płaszczyznę ô (hb Vb), równoległą do jednej z danych płaszczyzn, np. do a, wyznaczymy

Vcc

Vv\

Wa

Vct,

\C”

kn b" yß \.a"

Va

yć\ Wś

\,

k'

hp

U\b’

A’

va\\: 4 W

h\ 44 / \\/w

/?<t

W f/a

/?Vs

Rys. 131

Rys. 130

krawędź c fc' c"J płaszczyzny ô z drugą daną płaszczyzną, a więc z p, a prosta k (k' k"), przechodząca przez punkt A (A' A") równolegle do prostej c (ć c"), jest krawędzią płaszczyzn a i p.

8. Jedna płaszczyzna jest równoległa do osi rzutów, druga do rzutni poziomej.

W tym wypadku chodzi o wyznaczenie jednego punktu krawędzi, której kierunek, równoległy do osi rzutów;, jest znany.

Prowadzimy płaszczyznę pomocniczą y, w naszym wypadku (rys. 13i), poziomo — rzucającą, która przecina płaszczyznę a (ha Va) w prostej a (a' a"), za ś płaszczyznę p wzdłuż prostej b (b' b"). Punkt A (A' A) przecięcia się tych prostych leży także na krawędzi płaszczyzn cc i p. Rzuty k' i k" krawędzi k, przejdą przez rzuty A' i A" punktu A, równolegle do osi rzutów, przyczem rzut pionowy k" schodzi się ze śladem pionowym vp płaszczyzny p.

9. Obie płaszczyzny są równoległe do osi

rzutów.

Krawędź będzie w tym wypadku także równoległą do osi rzutów; potrzebny do wyznaczenia krawędzi jeden punkt, znajdziemy, przecinając dane płaszczyzny trzecią płaszczyzną dowolną. Przykład, gdzie krawędź płaszczyzn a i p znajduje się

w pierwszym obszarze, podaje rys. 132. Położenie rzutów k' i k"

krawędzi płaszczyzn a i ß w rysunku 133 dowodzi, że kra-wędź ta leży

-w drugim obsza-

|— rze. W obu przykładach użyli ś-H my płaszczyzny poziomo - rzucającej y, jako pomocniczej.

10. Wszystkie ślady przecinają się w jednym punkcie na osi rzutów (rys. 134).

Punkt Xa jest jednym punktem szukanej krawędzi. Drugi punkt, a mianowicie punkt A (A' Af/), znaleźliśmy jako przecięcie się danych płaszczyzn z płaszczyzną pomocniczą y (7zy vy).

50. Wyznaczenie punktu przebicia się prostej z płaszczyzną.

a) Prosta p (rys. 135 a) nachylona do płaszczyzny a, przebija ją w punkcie A, który znajdziemy w ten sposób, że przez prostą p poprowadzimy dowolną płaszczyznę e i wyznaczymy jej krawędź k z płaszczyzną cc. Punkt A, przecięcia

się prostych P i k, jest żądanym punktem. Zazwy-V/!"' x czaj przyjmujemy płaszczyznę e jako poziomo lub pionowo rzucającą, u-zyskując za

Va

Va

Va

X Vàtyé: \Hâ

X³’

v-0’

hß

a.)

k"

N.Ar

Rys. 132

Vß_

Hb~-

//

7)

Rys. 135 a

\Vb\

Vß

Vf

\b

X ' *Fyà]Vé\HÏ

hß

ha

Rys. 133

b.)

fi”

al

Q"

Va.

k"

Vâ^b

a>6

Sh₇

Ha

Hb

hß

Rys. 134

k'

ha

k”,

Hk

Hk.

p'/hs

A"

Vs

ha

Rys. 135 b

ich pośrednictwem najprostszą konstrukcję. Rozwiązanie zadania w rzutach prostokątnych podaje rys. 135 b. Przez prostą P (p' P") poprowadziliśmy płaszczyznę poziomo-rzucającą e (he Ve), która przecięła daną płaszczyznę a (ha VaJ w prostej k (kr k"). Prosta k" przecięła p" w punkcie A'\ który jest rzutem pionowym szukanego punktu przebicia się prostej p z płaszczyzną a. Rzut poziomy A' otrzymamy na p'.

b) Przykłady :

sn

a”

P”

1. Punkty przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyznami dwusiecznemi 6/ i 8n (rys. 136). Punkt A = A", w którym przecinają się rzuty prostej a, leży na płaszczyźnie dwusiecznej ó// (ust. 42) i jest jednym z szukanych punktów.

Ha"

*-X

B'

Rys. 136

Rzuty punktów przebicia się prostej a z płaszczyzną dwusieczną 6/ znajdziemy w sposób następujący: Spo-łówmy odcinek P' P" (rys. 136) dowolnej prostej odnoszącej i jej środek S połączmy z A' = A". Przez punkt T, w którym prosta S A' przecina oś rzutów, poprowadzona prostopadła do osi x wyznacza na a' i a" punkty B' i B", które są rzutami punktu B przebicia się prostej a z płaszczyzną ó/. Gdyby

K« Vk\kn

V7

punkt T wypadł po prawej stronie punktu

Kx

PZ-

ß == ßr,    pUnkt

P"

k/

, M Yh/ x

ä_HlźL

M.

p’

B (B' B") leżałby na płaszczyźnie dwu-- siecznej 6/ w trzeciej części przestrzeni.

Hk

Ac

hy

Rys. 137

Rys. 138

2. Jeżeli płaszczyzna a (ha Va) jest równoległą do osi rzutów, a prosta p (p' p") ma położenie jak na rys. 137, to punkt przebicia A (A' A") leży w drugiej części przestrzeni.

3. Punkt przebicia się A (A! A") prostej p (pr p") z płaszczyzną poziomo-rzucającą a (ha Va) wyobraża rys. 138.

4. Przebicie się prostej p (p'=p”), leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej S//, z płaszczyzną nachyloną do obu rzutni podaje rys. 139. Punkt A (A' = A") leży w czwartym obszarze przestrzeni.

Yk

-\0L )" : \

■x\Vk_

P’

5. Rys. 140 przedstawia konstrukcję rzutów punktu przebicia się prostej \x poziomej p (p' p") z płaszczyznami dwu--siecznemi. Punkt przecięcia się A (A' = A")

'Hk

hec

„ obu rzutów prostej jest punktem przebicia się prostej p z płaszczyzną dwusieczną ó//# Punkty B' i B", tak obrane na prostych

Rys. 139

p' i p", że B' Bx — B" Bx = a, są rzutami punktu przebicia się B prostej p z płaszczyzną dwusieczną 6/, przechodzącą przez pierwszą i trzecią część przestrzeni.

A”A'

P Tß"

1Ba.

3 ■

B’ |

P’

B\

Rys. 141

Rys. 140

6. Rzuty punktów przebicia się prostej p (pf p") prostopadłej do rzutni pionowej z płaszczyznami dwusiecznemi wyznaczyliśmy na rys. 141. W punkcie p" schodzą się oba rzuty Ar i A" punktu przebicia ~ się prostej p z płaszczyzną ó//₎ i rzut — pionowy B" punktu B, w którym prosta p przebija

płaszczyznę 6/. Od- _

mierzy wszy B' Bx = B" Bx, otrzymamy rzut poziomy B' punktu B.

51. Dalsze przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn.

1. Płaszczyzna a wyznaczona jest śladami, płaszczyzna p dwiema prostemi równoległemi a (a' a") i b (br b") (rys. 142). Ponieważ krawędź dwóch płaszczyzn określić można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych jednej płaszczyzny z płaszczyzną drugą, wiec prosta k (kr k"), łącząca punkty przebicia się A (A' A") i B (B' B") prostych a i b z płaszczyzną cc, jest szukaną krawędzią. Kontrolą dokładności

rysunku jest to, że ślady Hk i 14 leżą na śladach ha i v<x płasz

czyzny a.

2. Płaszczyzna a (ha Va) ma położenie dowolne, płaszczyzna ß przechodzi przez oś rzutów i przez punkt P (F P")

(rys. 143). Szukana krawędź przejdzie przez punkt Xa, a zadanie nasze ogranicza się do wyznaczenia jeszcze jednego jej

a"

b'

Va

/fv ■

Yc

B”

k-

a"

C"

x / Vk. Vv. VL \ \HÎ

—Xr-°śX ^—

\ X. \ A

Hk X

xXou

Hc x

ha

N\

\hT

S'

VS

h*

B'\

\hy

Ht

''P !

b’

hy

Rys. 143

Rys. 142

punktu. W tym celu połączmy dowolny punkt A osi x z punktem P, to prosta a (a' a") leży na płaszczyźnie ß. Punkt przebicia się B (B' B") prostej a z płaszczyzną a, jest szukanym punktem krawędzi k (k' k").

3. Wyznaczyć rzuty krawędzi płaszczyzny dowolnej a (ha va) z płaszczyznami dwusiecznemi ô₇ i ó₇₇.

Pierwszy sposób: Na płaszczyźnie dwusiecznej ó7 przyjmujemy prostą a (a' a") (rys. 144), a punkt przebicia

ICC t \ an

Va

Y'

kl

\C”C

Va

kl\

BT

x 'X*

Hm x

! hy

N../cr

a' \kż

\

mf\A*

\kh

■x

HI H

Hm\ha

Rys. 145

Rys. 144

się tej prostej z płaszczyzną cc (ha Va) łączymy z punktem Xa, otrzymując jedną z szukanych krawędzi, a mianowiciek^(kvr k^").

Uważajmy następnie prostą a" za złączenie rzutów b' i b" prostej b, przyjętej na płaszczyźnie dwusiecznej 6//. Punkt (C' = C") jest skupieniem dwóch rzutów punktu przebicia się prostej b z płaszczyzną ô //. Prosta (C' = C"> Xa) wyraża rzuty drugiej szukanej krawędzi k₂ (k₂ k₂").

Drugi sposób: Na płaszczyźnie cc przyjmujemy prostą dowolną m (m' m") i szukamy punktów przebicia się jej z płaszczyznami dwusiecznemi (patrz ust. 50 b).

Konstrukcyjne rozwiązanie zadania podaje rys. 145.

4. Ślad poziomy ha płaszczyzny a schodzi się ze śladem pionowym vß płaszczyzny p, zaś ślad pionowy va nakrywa ślad poziomy hß.

Pierwszy sposób: Punkt Xa (rys. 146) jest jednym punktem szukanej krawędzi k, której kierunek znajdziemy przy pomocy płaszczyzny y (hr vr)> poprowadzonej równolegle do płaszczyzny p (hß Vß). Płaszczyzny cc i y przecinają się w prostej a (a' a"), równoległej do krawędzi k. Ponieważ punkty Xa, Va, Xx i Hà tworzą równoległobok, więc proste a' i a" są równoległe, a w następstwie tego rzuty k' i k" krawędzi k zejdą się na jednej prostej. Płaszczyzny a i p przenikają się wobec tego w prostej, leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 6.

■s

■§

-A.

a>

hp /

fk’

A"*

V» ik’

/ hr/ i

Rys. 146

.ha

Vr\Hp

Rys. 147

Drugi sposób: Obierzmy na płaszczyźnie cc (ha Va) prostą p (p' p") (rys. 147). Rzut poziomy p' oznaczony literą r" i rzut pionowy p" oznaczony literą r\ wyznaczają prostą r, leżącą na płaszczyźnie p, ślady bowiem prostej r leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny p. Proste p i r przecinają się w punkcie A (A' = A"), który leżąc równocześnie na obu prostych jest punktem szukanej krawędzi k.

52. Zadania.

1. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p '(pr p") z płaszczyzną a, wyznaczoną dwiema prostemi przecinającemi się a (a' a") i b (b' b") (rys. 148). Przez prostą p prowadzimy płaszczyznę e, jak w naszym przykładzie, poziomo-rzucajacą. Szukamy krawędzi k (k' k") płaszczyzny a =(a, b) z płaszczyzną e, a punkt przecięcia się P (F F') prostych k i p rozwiązuje zadanie.

2L

he

//

/

B"

P"

A”

r:

\k-

U"

C"

ÀA’..

2L

\P’

'p"B

a’

M'

b'

B'

2'

hs

Rys. 149

Rys. 148

2. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p (pr p") z płaszczyzną trójkąta A (A' A"), B (B' B"), C (C C") (rys. 149j. Szukamy punktu przebicia się P (F P") prostej p z płaszczyzną wyznaczoną dwiema prostemi A B i B C, które przecinają się w punkcie B (B' B").

53. O punktach „widocznych“ i „niewidocznych“. Kierunek rzutów jest równocześnie kierunkiem, w którym patrzymy na odnośną rzutnię, z odległości nieograniczenie dalekiej. Na rzutnię pionową patrzymy więc z przodu, w kierunku strzałki s₂ (rys. 150 a), na rzutnię poziomą z góry, w kierunku strzałki st (rys. 150 c). Przyjmijmy dwa punkty A i B (rys. 150 a i b) tak położone, aby ich rzuty

a.)

/r

B"

n,

A B Sp

Sz

?■■■■*-y

Rys. 150 a

b.)

°B’

S21

Rys. 150 b

pionowe A" i B" padły na siebie, to punkt B, którego głębokość jest większą od głębokości punktu A, uważać będziemy za widoczny, gdy patrzymy w kierunku rzutu pionowego. Rzut

*1

d.)

c.)

C"°

ÏÏ2 \ Q"

c;\D'

C'°D'

Rys. 150 c

Rys. 150 d

pionowy B" punktu B na-°cn kry w a rzut A" punktu A. Analogicznie : z dwóch punktów np. C i D (rys. * 150 c i d), których rzuty poziome nakrywaj ą się, ten uważać będziemy, w odniesieniu do rzutu poziomego za widoczny, którego wysokość jest większa. Rzut poziomy D' punktu D będzie więc niewidoczny, zakryty punktem C.

A"

\k"

Pojmowanie rzutów jako „widoków“ z przodu, względnie z góry, przy równoczesnem uwzględnieniu punktów „widocznych“ i „niewidocznych“, przyczynia się do podniesienia przejrzystości i plastyki rysunku.

fi"

■\

Zastosujmy uwagi powyższy, do rozpatrywanego zadania (rys. 151).    -"T

P'

(A i P

>C'

ML

.2'

hs

Rys. 151

Przyjmijmy, że trójkąt ABC wy- 7“ konany jest z materjału nieprzeźroczystego, to w następstwie tego założenia, rzuty tego trójkąta nakryją częściowo rzuty prostej p. W celu wyznaczenia Bdt rzutów niewidocznej, płaszczyzną trójkąta zakrytej części prostej p, weźmy

pod uwagę dwie proste skośne p i A C. Punkt przecięcia się rzutów pionowych tych prostych jest skupieniem rzutów pionowych dwóch punktów: punktu 1(1' 1"), leżącego na prostej A C i punktu 2 (2' 2") prostej p (pr p"). Głębokość punktu 2 jest większa aniżeli punktu 1, zatem punkt 1 obserwowany z przodu, przysłonięty jest punktem 2, a więc niewidoczny. Skoro rzut pionowy 2" jest widoczny, więc widoczną jest także część prostej p" aż do punktu P", leżąca przed płaszczyzną trójkąta.

W podobny sposób zbadamy, która część rzutu pozio-mego p' jest widoczna. Punkt przecięcia się prostych p' i C B'

jest złączeniem rzutów poziomych II i III' dwóch punktów: punktu II, leżącego na boku C B i punktu III, przynależnego do prostej p. Ponieważ wysokość punktu III jest większa aniżeli punktu II, więc w widoku z góry punkt III jest widoczny, a zatem i część prostej p, na której punkt III leży, jest w rzucie poziomym widoczna. W widoku z góry część prostej, od punktu III do P, leży nad trójkątem, więc odcinek TlT F jest widoczny.

54. Zadania.

1.    Wykreślić rzuty linji przenikania się płaszczyzny trójkąta A (A' A"), B (Br B") i C (C C") z płaszczyzną czworokąta I II III IV (rys. 152).

A"

<S"TŚ

y)

D”l

\7"

\I7"

x_

ß’

u’

Pi

r.

¹ ej

?yL,

Znajdziemy punkt przebicia się Pt (Pt' Py") boku I II czworokąta z płaszczyzną trójkąta i punkt przebicia się P₂ (P./ P₂") boku B C trójkąta z płaszczyzną czworoboku, a odcinek Px P₂ rozwiąże zadanie. Części niewidoczne — wyznaczymy sposobem podanym w ustępie poprzednim, co czytelnik niechaj przeprowadzi na rys. 152.

“W

6' 2'

Rys. 152

2.    Wykreślić rzuty krawędzi dwóch płaszczyzn, z których jedną wyznaczają dwie proste równoległe, a drugą dwie proste przecinające się. Prosta, łącząca punkty przebicia się jednej pary prostych z płaszczyzną wyznaczoną przez drugę parę, rozwiązuje zadanie.

3.    Wyznaczyć rzuty prostej, przechodzącej przez dany punkt P (F P"), a przecinającej dwie proste skośne a (a' a") i b (b' b").

Pierwszy sposób: Bierzemy pod uwagę płaszczyznę? wyznaczoną przez dany punkt i jedną z prostych, szukamy punktu przebicia się M drugiej prostej z tą płaszczyzną i łączymy go z danym punktem P. Prosta M P rozwiązuje zadanie.

Drugi sposób: Szukamy krawędzi płaszczyzn, wyznaczonych przez dany punkt i każdą z danych prostych.

4.    Wyznaczyć prostą, przecinającą trzy proste skośne.

Pierwszy sposób: Na jednej z prostych obierzemy

dowolny punkt i wyznaczymy prostą, przechodzącą przezeń, a przecinającą pozostałe dwie proste (patrz zadanie poprzednie). Ponieważ przez każdy punkt, przyjęty na pierwszej prostej, przechodzi prosta przecinająca dwie pozostałe, więc istnieje tyłe prostych przecinających trzy skośne, ile punktów posiada prosta, więc nieograniczenie wiele.

Drugi sposób: Przez jedną z prostych poprowadzimy płaszczyznę i znajdziemy punkty przebicia się pozostałych prostych z tą płaszczyzną. Prosta, wyznaczona owemi punktami przebicia, rozwiązuje zadanie, leżąc bowiem na płaszczyźnie, która przechodzi przez pierwszą prostą, prostą tę także przecina. Na każdej płaszczyźnie, przechodzącej przez pierwszą prostą, leży jedna prosta przecinająca trzy dane skośne, których zatem ilość równa jest ilości płaszczyzn przechodzących przez prostą, a więc jest nieograniczona; •

Zadanie nasze posiada nieograniczoną ilość rozwiązań, czyli, jak się wyrażamy, jest nieoznaczone.

5.    Przez dany punkt A poprowadzić płaszczyzną równo oddaloną od trzech danych punktów B, C, D. Poprowadźmy

CCi

(m, A F), to

przez punkt A proste m, n,p równoległe do boków trójkąta B CD, a nadto połączmy go ze środkami E, F, G tychże boków (rys. 153). Weźmy pod uwagę płaszczyznę a

Rys. 153

ponieważ prosta m jest równoległą do B D, więc płaszczyzna ta jest równo oddalona od punktów B i D. Ponieważ jednak płaszczyzna przechodzi przez prostą A F, więc jest także równo oddalona od punktów B i C, a więc jest równo oddaloną od trzech danych punktów. Prosta F G, łącząca środek dwóch boków trójkąta, jest równoległą do boku B D, a więc i do prostej m, czyli, że płaszczyzna at=(m, A F) przechodzi też przez prostą A G. Jak to z rysunku z łatwością odczytamy, zadanie nasze posiada cztery

rozwiązania, a mianowicie: 1°. płaszczyzna at=(m, A F, AG,FG); 2°. płaszczyzna a₂ ee (n, A E, AG, E G); 3°. płaszczyzna a₃ =(P> A F, A E, F E) i 4°. płaszczyzna a₄ =(m, n, p).

55. Ćwiczenia.

1. Wyznaczyć proste przecięcia się płaszczyzn a i ß w następujących przypadkach (rys. 154 a — 1).

a.)

b.)

c.)

d.)

e).

** /Va

Vß h ß

Va,

Vß.

Va

Vß

hß

hß

pa

fia

--■W- hß.

ha

'hß

hcfr

f)

g).

h.)

k.)

Va

Va hß

I)

Va hß

Va.

Vß.

'Vß

Vß

ha

ht*

nj

iß /ha

__V£______

ha

ha Vß

Rys. 154 a — I

2.    Wyznaczyć w następujących przykładach punkt przebicia się prostej l (V l") z płaszczyzną a (ha oa) (rys. 155 a — h).

3.    Wyznaczyć

krawędź płaszczyzny a (ha oa), równoległej do osi rzutów jc, z płaszczyzną ß, która wyzna- ' _x_

czona jest: a) osią x i dowolnym punktem    /

A (Ar A"), b) dwiema prostemi równoległemi,    e.)

c) dwiema prostemi przecinającemi się na

osi rzutów, d) trzema a_

dowolnie przyjętemi pünktami w przestrzeni, e) trzema punktami, z których jeden leży na rzutni poziomej, <drugi na pionowej, a trzeci na płaszczyźnie dwusiecznej 8/, względnie 5//.

4.    Wykreślić rzuty krawędzi płaszczyzn dwusiecznych 8/ i 8// z płaszczyzną a (ha oa), która ma następujące położenia: a) jest równoległą do osi rzutów, b) jest równoległą do rzutni poziomej, c) jest równoległą do rzutni pionowej.

a.);

b.)

c.)

.Va

Va

f.X

r hcć

i"Z

/ Va

d.)

V . ha

g)

ha

d’

ha / Va

h.)

/a

l".

Va

l"

_ ha _

la

ha

L.-.Va_

Rys. 155 a — h

5. Wyznaczyć punkt przebicia się prostej' p (pr p") z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie proste równoległe a i b, bez posługiwania się śladami płaszczyzny, w następujących przypadkach: a) a // b // x, p dowolnie; b) a /I b 1/ X, p II nx; c) a H b // xu p // d) a // b // *₂, p // « i ; e) a // b // «„ p i JTj; f) a // b // Jtj, p leży na 8/, względnie 8//.

•    6. Płaszczyzna a przechodzi przez trzy punkty A (A' A”), B (B' B")

i C (C C"); wyznaczyć punkt przebicia się prostej p (p' p") z tą płaszczyzną, jeżeli: a) p 1/nu b) p//«„ c) p = x, d) p // x, e) pi«!, 1) p 1 g) p leży na 8/, h) p leży na 8//.

7. Wyznaczyć krawędzie płaszczyzn dwusiecznych 8/ i 8// z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie proste równoległe / i m, przyczem: a) l // m // jtj, b) l /I m // jt2, c) l H x, m = x; d) J // m // X.

56. Proste równoległe do płaszczyzny. Aby prosta była równoległą do płaszczyzny, potrzeba i wystarcza, aby była

VasfV<*

P"

Ki

P7 Pi

Hk

//a

Pi

P’

'P

P’2

a;

ha

ha

Rys. 156

Rys. 157

równoległą do jednej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie. Jeżeli zadaniem naszem jest poprowadzenie przez dany punkt P (F P") prostej równoległej do płaszczyzny a(7za, Va) — (rys. 156', to na płaszczyźnie tej przyjmiemy dowolnie prostą a (a' a"), — do której przez punkt P (Pr P") poprowadzimy równoległą p (p' p"). Zadanie nasze jest nieoznaczone, t. j. posiada nieograniczoną ilość rozwiązań, tyle mianowicie, x. ile prostych przyjąć można na płaszczyźnie cc.

a.)

a"

cc

a’

b"

Proste px (px px") i p₂ (p/ p₂") (rys. 157) są także równoległe do płaszczyzny a (ha va) ; pierwsza jednak jest równoległą do śladu poziomego, a druga do śladu pionowego tej płaszczyzny.

b.) b’

Rys. 158 a i b

Rzuty prostych równoległych do płaszczyzn dwusiecznych 8/ i óII> muszą zawierać z osią rzutów te same kąty (ust. 43). W szczególności prosta a (a' a") (rys. 158 a) jest równoległą do płaszczyzny 8I> zaś prosta b (b' b") (rys. 158 b) równoległą do płaszczyzny dwusiecznej ó//.

Va.

Vß

P"

VpP

~P’T

XA

VP

ha,

Rys. 159

57. Zadania. 1. Wykreślić ślady płaszczyzny p, przechodzącej przez dany punut P (P P") i równoległej do danej płaszczyzny a (ha Va) (rys. 159). Równoimienne ślady obu płaszczyzn będą równoległe (ust. 49', wystarczy zatem wyznaczyć jeden punkt któregoś ze szukanych siadów. Przez punkt P (P P") poprowadzimy prostą poziomą p (p' p") szukanej płaszczy-zny ß a równoległą do płaszczyzny a. x Przez ślad pionowy Vp prostej p, przechodzi ślad pionowy Vß równoległy do Va, a przez punkt Xß ślad poziomy /Zß II ha.

2.    Przez dany punkt A poprowadzić prostą, przecinającą daną prostą a i równoległą do danej płaszczyzny a. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę e równoległą do cc, znajdziemy punkt przebicia się prostej a z płaszczyzną e i punkt ten połączymy z danym punktem A.

3.    Wyznaczyć prostą, która przecina dwie dane skośne a'(a' a"), b (b' b") i jest równoległą do trzeciej danej prostej

fi”

c”

b"

\2"

P"

k"

p’

-----^

c (c' c"). Pierwszy sposób: Przez prostą a prowadzimy płaszczyznę a równoległą do protej c (rys. 160), szukamy punktu przebicia się P prostej b z tą płaszczyzną i przez ten punkt prowadzimy prostą p równoległą do c, rozwiązującą zadanie.

Rys. 160

Dla wyznaczenia płaszczyzny a równoległej do prostej c, obraliśmy na prostej a (a! a") punkt A (A' A") i poprowadziliśmy prostą d (d' d") // c (c' c"). Płaszczyzna a = (a, d) jest równoległą do prostej c i przecina prostą b (b' b") w punkcie P (P P').

Drugi sposób: Przez prostą a, a następnie b, poprowadzimy płaszczyznę równoległą do prostej c; krawędź tych obu płaszczyzn spełnia żądany warunek.

4. Przez jedną z dwóch danych prostych skośnych poprowadzić płaszczyzną równoległą do drugiej prostej. Na jednej prostej, np. a, obierzemy punkt, przez który poprowadzimy prostą c równoległą do prostej b. Płaszczyzna e=(a, c) rozwiązuje zadanie.

58. Ćwiczenia.

1.    Przez punkt A poprowadzić prostą równoległą do dwóch danych płaszczyzn, w następujących przypadkach:

a)    a i ß nachylone do obu rzutni,

b)    a dowolnie położona, ß //

c)    a _L Jtj, ß //

d)    a _L *,» ß //

e)    a = 5/, ß // jc,

f)    a = 8//, ß dowolnie położona.

Uwaga: Szukana prosta jest równoległą do krawędzi obu płaszczyzn ai ß.

2.    Przez dany punkt A poprowadzić taką płaszczyznę a, równoległą do danej prostej p, aby:

a)    a była równoległą do osi rzutów jc,

b)    a była prostopadłą do nt,

c)    a była prostopadłą do ji₂.

3. Dane są proste skośne l (Y i") i m (iri m'j; przez prostą m poprowadzić płaszczyznę równoległą do prostej / i wyznaczyć ślady tej płaszczyzny skoro :

a) l /I    m nachylona do obu rzutni,

b)    l // m // «

c)    / // 8//, m nachylona do obu rzutni,

d)    l // 8/, m // jc,

e)    l _L , m U jc,

f)    / J_ *2. ™ II bn,

4. Dany jest punkt P (P' P") i proste skośne l (Y V) i m (m' m"); wykreślić ślady płaszczyzny, przechodzącej przez punkt P, a równoległej do prostych / i w.

59. Proste prostopadłe. Prosta prostopadła do płaszczyzny. Wykazaliśmy w ustępie 24, że aby rzut kąta prostego był kątem prostym, jest koniecznem i wystarczającem, by jedno ramię kąta było równoległe do płaszczyzny rzutów. Stąd wynika bezpośrednio, że prosta jest prostopadłą do prostej poziomej (czołowej), skoro rzuty poziome (pionowe) obu prostych tworzą kąt prosty. Aby z punktu P (Pr P ') (rys. 161 a) poprowadzić prostą prostopadłą i przecinającą daną prostą m (mr m"), wykreślimy p' _L m', odniesiemy punkt M' na prostą m", a punkt M" połączymy z punktem P", otrzymując rzut pionowy p" szukanej prostej p (p' p"). Podobnie (rys. 161 b) prosta q (q' q") przechodzi przez dany punkt a.) \j>n ^ Q(Q' Q")> jest prostopadłą do prostej czołowej n (n' n") i przecina ją w punkcie N(N’ N").

M"

m*

P"

mr . \P)

(P<

b.)

Vv

77"

Q"

Ale prócz prostej p (p' p"), prostopadłej do Ł prostej m (m' m") i prostą tę przecinającą, poprowadzić można z punktu P dowolną, nieograniczoną ilość dalszych prostych również prostopadłych do prostej p, jednak prostej tej nieprzecinających, a więc prostych skośnych. Miejscem geometrycznem wszystkich tych prostych jest płaszczyzna prostopadła do prostej m, a przechodząca przez punktj P. Rzut poziomy tych prostych w przypadku, gdy prosta m jest po- X zioma, musi być prostą prostopadłą do m', a więc schodzącą się z prostą p'. Płaszczyzna \l (Tzp. Vyi), przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej poziomej m, jest więc płaszczyzną poziomo-rzucającą, podobnie jak Rys. 161 a —b płaszczyzna v (hv Vv), przechodząca przez punkt Q i prostopadła do prostej czołowej n, jest płaszczyzną pionowo-rzucającą.

,b" /a”

W"

£0"_jy

rin

M'

P'

Rys. 162 a

Niechaj daną będzie płaszczyzna cc, wyznaczona prostemi a (a' a") i b (b' b")\ wykreślmy rzuty prostej, przechodzącej przez dany punkt P (F P"), a prostopa-₂„ oP" dłej do płaszczyzny a. Przyjmijmy na płaszczyźnie a prostą poziomą m (m' m") z i z punktu Pf wykreślmy prostą s' _L m' (rys. 162 a). Prosta s' jest rzutem poziomym nietylko pewnej określonej prostej s> lecz dowolnej, nieograniczonej ilości prostych, przechodzących przez punkt P, prostopadłych do prostej m, a leżących na płaszczyźnie poziomo-rzucającej p., prostopadłej do prostej m. W istocie bowiem rzut kątów prostych, jakie prosta pozioma m tworzy z prostemi, leżącemi na

płaszczyźnie p., jest kątem prostym i to zawartym między prostemi m' i s'.

Obierzmy następnie na tej samej płaszczyźnie a=(a, b) drugą prostą, a mianowicie prostą czołową n (n! n"), przyczem

dla łatwiejszej orjem

tacji przeprowadzimy konstrukcję na dru-/ gim rysunku (rys. \    162 b), będącym ko-

pją pierwszego.

Z punktu P ' po-/ prowadzimy prostą 5" prostopadłą do n", to prostą tę uważać możemy za rzut pionowy nietylko jednej prostej 5, lecz dowolnej ilości prostych, przechodzących przez punkt P, prostopadłych do prostej n, a leżących na jednej płaszczyźnie pionowo-rzucającej. Wynika to stąd, że prosta n jest równoległą do rzutni pionowej, a zatem rzut kątów prostych, jakie ona tworzy z prostemi, przechodzącemi przez punkt P, jest kątem prostym i to zawartym między prostemi n" i s". Połączmy teraz rysunki 162 ai 162 b w jeden rysunek 162 c, to proste s' i 5" są rzutami jednej prostej, prostopadłej jednak zarówno do prostej m, jak i n, a więc prostopadłej do płaszczyzny prostemi temi wyznaczonej. Ä ponieważ proste m i n leżą na płaszczyźnie a = (a, b), więc prosta 5 (s' s") jest do tej płaszczyzny prostopadłą i rozwiązuje zadanie.

Rozwiążmy to samo zasadnicze i bardzo ważne zadanie, t. zn. wykreślmy rzuty prostej prostopadłej do płaszczyzny cc, która jednak wyznaczona jest swoimi śladami ha i V«. Prosta m' (rys. 162 c), jako rzut poziomy prostej poziomej przyjętej na płaszczyźnie a, jest równoległą do śladu poziomego tej płaszczyzny, podobnie jak prosta n", będąca rzutem pionowym prostej czołowej na płaszczyźnie cc, jest równoległą do śladu pionowego tej płaszczyzny.

b" 37

ITsr/

mn

S" ny

4'

.j,

a’

Rys. 162 b

T'y

4': rr

Rys. 162 c

P" /a

Rys. 163

Pn

P’

Zatem: rzuty prostej prostopadłej do płaszczyzny są prostopadłe do śladów tej płaszczyzny, a to rzut poziomy do śladu poziomego, a rzut pionowy do śladu pionowego (rys. 163). I wzajemnie: ślady płaszczyzny prostopadłej do prostej są prostopadłe do odpowiednich rzutów tej prostej.

60.    Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny, W punkcie płaszczyzny poprowadzić można dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn prostopadłych do tej płaszczyzny. Wszystkie te płaszczyzny tworzą pęk, którego osią jest prosta prostopadła, poprowadzona w danym punkcie do płaszczyzny. Aby więc w danym punkcie płaszczyzny poprowadzić płaszczyznę prostopadłą, wyprowadzimy w nim prostą prostopadłą, a przez nią poprowadzimy płaszczyznę. Możemy też przez dany punkt poprowadzić prostą leżącą na płaszczyźnie, a w tym punkcie płaszczyznę prostopadłą do tej prostej.

61.    Zadania.

a>

1. Wykreślić ślady płaszczyzny prostopadłej do prostej a (a'a"), a przechodzącej przez punkt A (A' A") (rys. 164).

Vm \Xcc.

a'

m’N

hcty

/Mb

Rys. 164

■vB"

t\

xs/vk y.

Przez punkt A (A' A") prowadzimy pro- ^ stą poziomą m(m' m"), prostopadłą do danej prostej a (a'a"). Przez ślad pionowy Vm prostej m kreślimy ślad pionowy Va płaszczyzny a prostopadle do a", a przez

punkt Xa ślad poziomy hala'. Płaszczy-

’ć__x zna a(haVa) jest prostopadłą do prostej

hy

£'

>U\

a (a' a"), gdyż ślady jej są prostopadłe do rzutów prostej, a przechodzi przez punkt ' A (A'A"), gdyż zawiera prostą m(m'm"), poprowadzoną przez ten punkt.

Rys. 165

2. Na prostej p(p'p"-) znaleźć punkt równo oddalony od danych punktów _AfA'A") i B(B'B") (rys. 165). Przez środek C odcinka A B poprowadzona płaszczyzna prostopadła, przecina prostą p w punkcie P(P' P"), rozwiązującym zadanie. Znalazłszy środek C(C' C"), wykreśliliśmy prostą poziomą m(m'm"), przyczem m'lA'B', wyznaczyliśmy ślad Vm> a na-

f\

stępnie ślady Ve i he płaszczyzny e, przechodzącej przez punkt C i prostopadłej do odcinka AB. Przy pomocy pionowo-rzucają-cej płaszczyzny y (Äy Vy^, poprowadzonej przez prostą /?, otrzymaliśmy punkt P(F P").

3. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzny a (ha Va). Z punktu A prowadzimy prostą p prostopadłą do płaszczyzny a, a odcinek zawarty między punktem A a punktem przebicia się B, prostej p z płaszczyzną a, wyraża odległość punktu A od płaszczyzny a.

a) Płaszczyzna a(haVa) nachylona jest do obu rzutni (rys. 166). Prostopadła p(p'p") przechodząca przez

punkt A (Ar A"), przebija płaszczyznę a w punkcie B(B'B"). Odcinek A°B° jest kładem odcinka AB na płaszczyznę poziomą rzutów i wyraża prawdziwą odległość punktu A od płasz-czyzny a.

We

hr/k 1 iw

B'k

B°

ha

vP'

ha

Rys. 166

b) Płaszczyzna a jest wyznaczona dwiema prostemirów-noległemi. W sposób podany w ust. 59 wykreślimy z punktu A prostopadłą do płaszczyzny, znajdziemy jej punkt przebicia i kład odcinka, fpodobnie jak w zadaniu powyższem.

ys

Vßy

Va.

B°

UVk

hn

B"n

te

VÂ

'Xa

\k'\ A

'A ' I ha

Hh

4.    Wyznaczyć odległość dwóch płaszczyzn równoległych. Prowadzimy prostą prostopadłą do obu płaszczyzn, a odcinek zawarty między punktami przebicia wyraża żądaną odległość. Dla uproszczenia konstrukcji prowadzimy (rys. 167) prostopadłą p(prp") z punktu Xa płaszczyzny a. Odcinek XaB° rozwiązuje zadanie.

P'

i he

Rys. 167

5.    Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m. Przez dany punkt prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do danej prostej, szukamy punktu przecięcia się tej płaszczyzny z tą prostą, a odcinek zawarty między otrzymanym a danym punktem rozwiązuje zadanie.

W rys. 168 prosta m(m'm") jest pozioma. Płaszczyzna e(hsVe), przechodząca przez punkt A (A' A") prostopadle do prostej m, jest poziomo-rzucającą i przecina prostą m w punkcie B(B'B"). Odcinek AB położony na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez prostą m, daje odcinek A'B° rozwiązujący zadanie.

Odległość punktu A (A' A") od prostej m(m'm"), mającej dowolne położenie w prze- — strzeni, wyznaczyliśmy na rys. 169. Odcinek AB położyliśmy na płaszczyznę po- -ziomą, przechodzącą przez punkt A, otrzymując odcinek A'B°, wyrażający prawdziwą odległość punktu A od prostej m.

6. Wyznaczyć odległość dwóch prostych

ne.

m" Bny

a:

Ve

à.

JL

*A°

skośnych m i p. Przez odległość dwóch prostych skośnych rozumiemy ich odległość najkrótszą, a więc odcinek wspólnie prostopadły do obu prostych. Odcinek ten znajdziemy w ogólnym przypadku w następujący sposób: przez prostą p (rys. 170), poprowadzimy płaszczyznę cp, równoległą do prostej m, a następnie rzucimy prostą m w kierunku prostopadłym na tę płaszczyznę.

Rys. 168

777"

B\

v7\    /z\ ! \\/r"

\ \ A^\ nn

■V

Vn

Vś

Hd \VA

Mi

rrn

B’

<P

B⁰'

Df.

7)8

Rys. 170

Rzut fliy przetnie prostą p w punkcie Aft, w którym wyprowadzona prostopadła n do

_płaszczyzny cp, przetnie

prostą m w punkcie M. Odcinek MMt jest wspólnie prostopadły do prostych m p i wyraża ich najkrótszą odległość.

A¹

tiĆHlr

nr

Rys. 169

00

§ 3. WZAJEMNE POŁOŻENIA PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

a) Prosta p(p'p") jest pionową (rys* 171). Wspólna prostopadła n(n'n") jest poziomą, jej rzut poziomy n' jest prostopadły do m'. Odcinek M'MX' wyraża wprost odległość prostych skośnych m i p.

b) Obie proste m i p mają dowolne położenie w przestrzeni (rys. x_ 172). Na prostej p(p'p") przyjmiemy dowolny punkt P(P' P")y przez który prowadzimy prostą q(q'q"), równoległą do prostej m(m'm"). Proste q i p wyznaczają płaszczyznę y(hy Vcp), równoległą do prostej m.

Rzućmy prostopadle na płaszczyznę q> dowolny punkt N(N' N") prostej m, a przez otrzymany punkt NX(NXNx") poprowadźmy prostą mx(mx mx") równoległą do m(m'm"). Prosta m ₁ przetnie prostą p(p'p") w punkcie MX(MXMx"), z którego wyprowa-

D" M"

mi

m’

77'

Ml/p'

Rys. 171

va

5:

/?

/k”

//

Vy

//

/5>x

jnn

4q

ml

■f

.6-

mL

P’

'by

P'

k’

Hp\

M'

Ni

N'

\/77'

\/7?f

77'

Hą

Rys. 172

dzîmy prostopadłą do płaszczyzny cp. Prosta ta przetnie prostą m w punkcie M(M' M"). Odcinek M, M jest wspólnie prostopadły

do obu prostych skośnych, jego kład M/'M°, wykonany na płaszczyznę pionową przechodzącą przez Mt, wyraża prawdziwą odległość tych prostych.

Inny sposób wyznaczenia wspólnej prostopadłej do dwóch prostych skośnych m i p otrzymamy, zważywszy, że owa wspólna prostopadła jest równoległą do każdej płaszczyzny, prostopadłej zarówno do jednej, jak i do drugiej prostej. Prowadzimy więc płaszczyznę prostopadłą do prostej m i drugą prostopadłą do prostej p. Wyznaczymy krawędź k obu płaszczyzn, a następnie prostą, przecinającą dane proste skośne i równoległą do krawędzi k (patrz ust. 57, zad. 3).

7.    Dane są: punkt A (A'A") i dwie skośne 1(1' l") i m(m' m"); przez punkt A poprowadzić prostą przecinającą prostą l, a prostopadłą do prostej m. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę cc, prostopadłą do prostej m, a krawędź tej płaszczyzny z płaszczyzną p^=(A, l) rozwiąże zadanie.

8.    Dane są : punkt A (A'A"), prosta l (i l") i płaszczyzna a (ha. Va); przez punkt A poprowadzić prostą tównoległą do płaszczyzny a, a prostopadłą do prostej /. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę ß//cc, a następnie płaszczyznę yl /. Krawędź płaszczyzn ß i y rozwiąże zadanie.

9.    Przez daną prostą p poprowadzić płaszczyzną prostopadłą do danej płaszczyzny y. Z dowolnego punktu prostej p prowadzimy prostą q, prostopadłą do płaszczyzny y ; płaszczyzna Ąr = (p, q) rozwiązuje zadanie.

62. Ćwiczenia.

(1. Wyznaczyć odległość punktu A(A'A") od płaszczyzny a(hava), w następujących przypadkach (rys. I73(ay b, c, d).

a.)

b.)

c.)

d.)

Va/

A\

va Va'

(2. Wyznaczyć    —

rzut prostokątny od- .

°A'

ha

hcc

A.

\A"

cinka AB na płaszczyznę a(hava) na-

A"l

ha\^nl

Rys. 173a—d

chyloną do obu rzutni.

3. Przez daną prostą / (U l") poprowadzić płaszczyznę, prostopadłą do danej płaszczyzny a (ha va) i wyznaczyć jej ślady w następujących przypadkach:

a)    l II nv>

b)    l±nt,

ic) l leży na 8/,

d)    l ,    „ S n,

e)    l = x.

4.    Wyznaczyć odległość punktu P(P'P") od płaszczyzny, przechodzącej przez punkty A, B, C w przypadkach podanych na rys. 174a—!.

5.    Przez każdy z czterech dowolnie w przestrzeni leżących punktów A, B, C i D, poprowadzić płaszczyznę tak, aby wszystkie były do siebie równoległe i równo od siebie oddalone.

a.)

b.)

c.)

Ar

C'°Pn i

?*'

vC"°p”

---/--

■A"

<,P’

a

A' P’[

°Cn iß’

>B"

Cip¹

A* U B’\

A»i

fE

d.)

e.)

?c

f)

A'?A"

xff B"

p'ipn

i CA    B’C"-.    P    C" i ß    \ a

O— O ■■    O ...»    O-    Ol    —    ... ' ■ o

'°A °B

°C

°P"

Rys. 175

Rys. 174a—ł

Rozwiązanie: Weźmy pod uwagę odcinek AD (rys. 175) i wyznaczmy punkty E i F, dzielące go na trzy równe części. Połączmy punkt B z punktem E, a przez ten ostatni poprowadźmy prostą e, równoległą do F C. Płaszczyzna ß = (e, EB) i p aszczyzny a, y i S, przechodzące przez punkty A, F i D równolegle do płaszczyzny ß, rozwiązują zadanie. Dalsze rozwiązanie otrzymamy, łącząc punkty A z B, A z C, B z C, B z D i C z D i powtarzając tę samą konstrukcję. Otrzymamy w ten sposób dalszych pięć rozwiązań. Äle zważmy jeszcze, odnośnie do pierwszego rozwiązania, że punkt B połączyć można z punktem F, a zaś punkt C z punktem E, a prostą e poprowadzić równolegle do CE. Wówczas płaszczyzna ß, wyznaczona przez proste e i BF i płaszczyzny przechodzące przez punkty A, C i D, równoległe do ß, stanowią dalsze rozwiązanie zadania, a ponieważ możliwość ta zachodzi dla dalszych pięciu rozwiązań, więc mamy w rezultacie 12 rozwiązań.

§ 4. WPROWADZENIE TRZECIEJ PŁASZCZYZNY

RZUTÓW

63. Rzutnia boczna. Rzuty boczne punktów. Zauważyliśmy, że w pewnych przypadkach (prosta prostopadła do osi rzutów, płaszczyzna przechodząca przez oś) położenie prostej w przestrzeni nie da się określić jej rzutami, a położenie płaszczyzny jej śladami, i że w tych przypadkach uciekać się musimy do pośrednictwa poszczególnych punktów przyjętych na prostej, względnie na płaszczyźnie. Wzgląd na korzyści wynikające z wyznaczania położenia prostej jej rzutami, a płaszczyzny jej śladami, ale przedewszystkiem wzgląd na możliwość uproszczenia i skrócenia konstrukcyj, odnoszących się do zadań bardziej zawiłych — o czem przekonamy się na długim szeregu przykładów — poleca wprowadzenie trzeciej płaszczyzny rzutów, t zw. płaszczyzny bocznej rzutów, czyli krótko rzutni bocznej. Płaszczyźnie tej nadajemy położenie prostopadłe do osi rzutów x, a więc prostopadłe do rzutni poziomej i pionowej, albo prostopadłe tylko do jednej z tych rzutni.

His

a) Płaszczyzna boczna n₃, prostopadła do osi rzutów x, przecina rzutnię poziomą w prostej, którą nazywamy osią rzutów y; prosta przecięcia się płaszczyzn n{ i n₃ stanowi oś rzutów z (rys. 176*). Osi x, y i z są wzajemnie do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie O, który nazywamy początkiem lub środkiem tego układu osi.

+z.

Ao

U-

■<U:

-X

Uh

■Ax !

\0

3Ci

Ay

A’\

■A."'

-z

Płaszczyzny rzutów n₂ i n₃ dzielą przestrzeń na ośm części; za pierwszą część przestrzeni uważamy tę, która leży przed rzutnią pionową, po prawej stronie bocznej a nad rzutnią poziomą. O położeniu dalszych ósemek przestrzeni informuje nas rysunek 176*.

Rys. 176*

Płaszczyzny przechodzące przez dowolny punkt A, prostopadle do osi rzutów, przecinają je w punktach Ax, Ay, Az i wraz z płaszczyznami rzutów tworzą równoległo-ścian prosty. Wierzchołki A', A" i A'" tego równoległościanu są rzutami punktu A na płaszczyznę poziomą, pionową i boczną. Odcinki O Ax, O Ay, O Az osi rzutów, nazywamy spółrzędnemi punktu A i oznaczamy mianem odpowiednich osi, więc literami x, y, z.

Z rys. 176* czytamy, że wysokość A A' punktu A równa jest odległości rzutu pionowego A" od osi x, równa odległości rzutu bocznego A'" od osi y i równa wkońcu spółrzędnej O Az —z. Głębokość AA" punktu A, równa jest odległości rzutu poziomego A' tego punktu od osi x, równa odległości rzutu bocznego A"' od osi z i równa wreszcie spółrzędnej y = O Ay.

Odległość punktu od rzutni bocznej nazywać będziemy krótko „szerokością“ punktu. Jeżeli punkt znajduje się po prawej stronie rzutni bocznej, więc w I, II, III lub IV części przestrzeni —to szerokość jego określamy jako dodatną, szerokość punktów leżących po lewej stronie rzutni bocznej uważamy za ujemną.

Szerokość AA"' punktu A, równa jest — jak czytamy z ryś. 176* — odległości rzutu poziomego A' od osi y, równa odległości rzutu pionowego A" od osi z i równa spółrzędnej

x = OAx.

Hżeby spółrzędne punktu wyrazić mogły także i część przestrzeni, w której dany punkt się znajduje, nadajemy osiom rzutów, a przez to i spółrzędnym znaki + lub —.

W szczególności, część osi x rozciągająca się na prawo od początku O, otrzymuje znak +, część osi x leżącą na lewo od punktu O oznaczymy znakiem —. Część osi y, znajdująca się bod rzutnią pionową i część osi z nad rzutnią poziomą otrzymują znaki +; część osi y rozciągającą się za rzutnią pionową i część osi z leżącą pod rzutnią poziomą oznaczamy znakami — (rys. 176*).

w VIII: x - —, y= -f, z — —.

Przystępując do sprowadzenia płaszczyzn rzutów na jedną płaszczyznę rysunkową, zauważmy, że rzutnię boczną położyć można na poziomą, albo też pionową, a następnie te dwie rzutnie — w poznany już sposób — (ust. 34), sprowadzić do jednej płaszczyzny.

Obrotu rzutni bocznej na pionową dokonywamy około osi z, i to dla punktów leżących w obszarach przestrzeni na prawo rzutni nz, zgodnie z ruchem wskazówki zegara, leżącego na płaszczyźnie poziomej, dla punktów leżących w obszarach V, VI, VII i VIII w kierunku przeciwnym.

Obrót rzutni bocznej na poziomą wykonywamy około osi y, a mianowicie dla punktów znajdujących się w pierwszych czterech ósemkach, w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówki zegara, przytwierdzonego na płaszczyźnie piono-

wej, dla punktów znajdujących się w innych ósemkach, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówki tego zegara.

Przyjmijmy punkt A w pierwszej części przestrzeni, a po wyznaczeniu jego rzutów A' A" A (rys. 177), obróćmy rzutnię boczną około osi z, aby padła na pionową, a następnie rzutnię pionową połóżmy na poziomą.

Oś rzutów y leży równocześnie na rzutni poziomej i bocznej; po kładzie płaszczyzny bocznej na pionową, znakiem + oznaczona część osi y padnie na ujemną część osi Jt, a równocześnie oś —yvzleje"się z osią +jc.

Po sprowadzeniu płaszczyzny pionowej na rzutnię poziomą, oś —z nakryje się osią +y, zaś oś +z padnie na oś —y (rys. 177).

///

-y

o-

-x A y

ts°

-z

Az A"

...........o

A* +x

-y

Ay    ! A’ '

)■■■■........-O

*y

Rys. 177

Punkt Ay, po zakreśleniu ćwiartki obwodu koła na płaszczyźnie poziomej, padnie na oś oznaczoną literami — x, +y, po lewej stronie początku układu O. Rzut boczny A'", po sprowadzeniu płaszczyzny bocznej na pionową, oznaczyliśmy na rys. 176* literą A₀"'t aby w ten sposób wskazać nowe położenie tego punktu. W rys. 177 znak o przy A'" opuściliśmy jako zbędny.

!ÏÏ2

X»

+z

-y

-x£

Am

i Az

Az

■9 A"

Xi

Ao [■

..........

-0\

Ax j

.....Va-

ty !

!-x [Az

Ax +X

+z

-z

Ay......yA’

-Z

Jl3

-z +y

Rys. 178 a

Rys. 178 b

Z rys. 178 a odczytamy z łatwością przebieg kładu rzutni bocznej na poziomą, dokonanego dokoła osi y. Znakiem +

oznaczona część osi z padnie na oś —x, a zaś —z zejdzie się z osią + x.

Ponieważ oś z leży na rzutni bocznej i na pionowej, więc po sprowadzeniu płaszczyzny pionowej na poziomą, oś +z zleje się z osią —y, a oś — z z osią 4-y. Punkt Az zakreśli ćwiartkę obwodu koła na rzutni pionowej i padnie na oś, oznaczoną literami — x, +z (rys. 178b).

Bez trudności potrafimy wyznaczyć teraz rzuty punktu, znajdującego się w przestrzeni na lewo od rzutni bocznej, więc

+Z,

Xa

'Bc j

b;

tz-y

x,

Bm

tz -y

Bz

-77

By j *x

-a Bx

-z

Ł +K

+z

Xz

-z

jSL______

yy-z

IS.---------ßy____jar

-zVy

Rys. 179 a

Rys. 179 b

Rys. 179 c

np. w części V (rys. 179 a). Jak w przypadku poprzednim, kład rzutni bocznej wykonać możemy na rzutnię pionową (rys. 179 b), albo poziomą (rys. 179 c).

Uwaga. Symbol: A (a, b, c) oznaczać będzie punkt A o spółrzędnych x = a, y=b, z=c przyjętych jednostek długości.

Ćwiczenia: Wykreślić rzuty następujących punklów: A(4,5,4); B(4, -3, -3); C(—3, +4, +3); D(—3, -3, -4); E(l, -4. +3); F(4, 6, —5/.

b) Rzutnia boczna jest płaszczyzną poziomo■ lub pionów o-rzucającą. Ślad poziomy rzutni bocznej n₃ oznaczać będziemy literą y (rys. 180 a), pomijając jej ślad pionowy, który dla konstrukcji przeważnie nie ma znaczenia. Punkt A'" jest rzutem bocznym punktu A. Gdy płaszczyzna jit padnie na rzutnię poziomą,

Olz

A’

y,

5L

ßx

AS

°........ Ay

^ST,

■w

°A"’

Rys. 180 a

An

z li

i A’

ßy

Rys. 180b

punkt A"' zajmie położenie A₀"\ na prostopadłej wyprowadzonej z punktu A' do osi y. Po sprowadzeniu trzech rzutni do płaszczyzny rysunku, otrzymamy rys. 180 b, w którym jednak rzut boczny oznaczyliśmy literą A"', pomijając jako zbędny znak o u dołu. Gdy dana jest oś y i rzuty A' i A", znajdziemy rzut A'", uwzględniając, żeM A' = A" Ax =A"rAy =z.

i Bn

Bm

"Bo

1I2

°k

1Ci

Ślad pionowy płaszczyzny pionowo-rzucającej, uważanej za rzutnię boczną, oznaczamy literą z. Z korzyścią będzie dla czytelnika, gdy sprawę rzutu punktu B na płaszczyznę pionowo-rzu-cającą n% odtworzy bezpośrednio z rys. 181 a i b, bez wszelkich z naszej strony wyjaśnień.

Rys. 181 b

Rys. 181 a

64. Kzuty i ślady boczne prostej. Z dwóch

rrr

danych rzutów a! i a" prostej a, znajdziemy rzut trzeci a (rys. 182), jeśli wyznaczymy trzecie rzuty dwóch dowolnych punktów A i B tej prostej.

Przy tej sposobności zauważyć należy, że łuki, któremi przenosimy punkty z jednej osi na drugą, zastępujemy chętnie

+Z -y

B-

prostemi, jak to uwidocznione jest ^ na rys. 182.

nrr    ^

an

A"

-x \By -.Ay O

-y

*y

Ml

A?

By

-z +y

Rys. 182

W ogólnym wypadku dwa rzuty prostej (poziomy i pionowy, poziomy i boczny, pionowy i boczny) wyznaczają położenie prostej w przestrzeni. , Jeżeli jednak prosta leży na płasz-czyźnie cp, która jest prostopadłą do którejkojwiek z osi rzutów, a więc prostopadłą do dwóch rzutni, to jednym z dwóch rzutów, wyznaczających położenie prostej w przestrzeni, musi być rzut na tę rzutnię, do której płaszczyzna cp nie jest prostopadłą.

Gdy rzutnia boczna jest prostopadłą do osi rzutów x, to prosta równoległa do tej płaszczyzny wyznaczona jest rzutem bocznym i jednym z dwóch dalszych rzutów; położenie prostej, równoległej do płaszczyzny poziomej wyznaczone jest rzutem poziomym i rzutem pionowym lub bocznym; prosta równoległa do rzutni pionowej wyznaczona jest rzutem pionowym i jednym z dwóch dalszych rzutów.

By

A”

Zi

B"

S-

A’

A"

B’

Rzut boczny V" pro- ÏX} stej / na płaszczyznę poziomo-rzucającą    (rys.

y.

y>

y₂

A'

■\Zi

Am$

B'

Rys. 183

Rys. 184

y 183) znajdziemy, łącząc x rzuty boczne dwóch dowolnych punktów A i B $B° tej prostej. Podobnie wyznaczyliśmy rzut boczny prostej / (1' l") na płaszczyznę pionowo-rzucającą (rysunek 184).

ltą,'''

-i/

+Z

VS

an‘

Ka*

KS

HS.

VIL' tx

-y

Rozważmy z kolei sprawę śladów prostej a (a' a" a'") (rys. 185), odniesionej do układu trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn rzutów. Ślad pionowy Va leży, jak widzimy, nad osią rzutów x, jego rzut poziomy Vy leżeć będzie oczywiście na osi x, a w szczególności, na tej jej części, -a Ha którą oznaczy-    1

cL'

///

Kk

hS

Ha

-z f-y Rys. 185

liśmy znakiem + . Rzut boczny śladu pionowego leży na osi + z. Ślad poziomy Ha prostej a leży na obszarze rzutni poziomej, rozciągają-jącym się przed

rzutnią pionową, a po lewej stronie rzutni bocznej, czyli uważać go można za należący do V lub VIII części przestrzeni. Rzut pionowy Ha" śladu poziomego leżeć będzie na osi — x i oczywiście na a"; rzut boczny Ha"' leży na

osi 4- y i na rzucie a" . Rby otrzymać punkt Hrzucimy punkt Ha na oś (+y —z) i otrzymany punkt Hay odniesiemy na oś 4- y, leżącą na rzutni bocznej. Ślad boczny Ka leży przed rzutnią pionową i nad poziomą, a wyznaczenie go tłumaczy wyraźnie rys. 185.

Rys. 186 przedstawia rozwiązanie zadania następującego: daną jest prosta a (a' a"), wyznaczyć jej rzut boczny za pośrednictwem jej śladów. Szukana prosta a'" przejdzie przez wyszukać się mające punkty H i Va"'. Wyznaczenie śladu pionowego V a    1

i j ego rzutu poziomego r*—-

IV i bocznego Va"' +y    ⁰

nie wymaga wyjaśnień. Ślad poziomy Ha leży w obszarze przestrzeni, rozciągającym się za rzutnią

pionową i po lewej stronie bocznej. Ślad boczny Ka leży nad rzutnią poziomą a za pionową; najpierw otrzymamy jego rzut

pionowy Ka", a na przecięciu się równoległej do osi x z prostą a'", ślad Ka. Ponieważ poziomy śladu bocznego leżeć musi na rzucie poziomym prostej a, więc będzie to punkt przecięcia się Ka ' prostych

a' i z. Podczas obrotu rzutni bocznej około osi — y, punkt Ka ' zakreśli na rzutni poziomej w II obszarze przestrzeni łuk

Ka\ +z

-x

+y

- <Ka°

■ \kb~

a;"

a"

<<Va

Hl

4'Ha

z+y

+z

-y

Ha

am

tZ

-y

Ha

Ka

Va

3"

Va

kl

Va

.jfTT

Ha tx

-y

-z

Rys. 186

Kb°°

b"

\)

Ha

Wà tx

-x

Hff

hi -y w

\\

Hby

V6 +x

rzut

Hb

a’

Pys. 187

\ 6 vit*...................

•< <Vb

-z ty Rys. 188

W°°

koła i znajdzie się w punkcie Kay. Odcinek KaKa' po obrocie zajmie położenie Kay Ka _L x.

Wyznaczenie śladów prostych, równoległych do rzutni bocznej, przeprowadziliśmy na rys. 187 i 188. Ślady boczne, a więc i ich rzuty, są punktami niewłaściwemi. Ślady pionowe i ich rzuty wyznaczymy bez trudności. Rzut boczny Ha"' śladu poziomego jest punkiem przecięcia się prostych a'" i — y. Przed sprowadzeniem rzutni bocznej do płaszczyzny rysunkowej punkt Ha '" zajmował miejsce Hay ; prosta, wykreślona z tego punktu równolegle do osi rzutu x, przecina a' w punkcie //a, który jest śladem poziomym prostej a. Analogicznie przedstawia się sprawa ze śladem poziomym prostej b (b', b", b'") irys. 188).

65. Ślady boczne płaszczyzn. Prostą przecięcia się płaszczyzny z rzutnią boczną nazywamy śladem bocznym

tej płaszczyzny i oznaczamy literą k ze wskaźnikiem u dohi wyrażającym uważaną płaszczyznę. Ślad boczny ka płaszczyzny a wyznaczony jest dwo-ma punktami, a mianowicie >L punktem przebicia się Ya osi y z tą płaszczyzną i punktem Za, w którym oś z przebija płaszczyznę a (fys. 189).

Podczas obrotu rzutni bocznej na pionową, punkt Ya zakreśli ćwierć obwodu koła; punkt Y a leżący na osi — x, y połączony z punktem Za, wyznacza ślad boczny ka płaszczyzny a (rys. 190 a). Gdy rzutnię boczną obró-

----iZcc

-A

Ib/kß,

jZa Aa.

\ki/""// ; / /

ii

+y

Ya

ha

Rys. 189

*z

-y

Va

+z

-y

Z*

•>

ka.

Va

Va

-X Ya.

⁺y

g_

Xa +X ~X (Zet

~y V~

_0_

-z

ha,

ka,

'ha

Ya

-z+y

-z+y

Rys. 190 b

cimy na poziomą, to ślad boczny będzie prostą, łączącą punkt Ya z punktem Za, leżącym na osi — x, + y (rys. 190 b).

Rys. 190 a

Äby znaleźć ślad boczny płaszczyzny przy założeniu, że rzutnia +Ÿ boczna pada na pionową, należy punkt przecięcia się śladu poziomego płaszczyzny z osią y przenieść w kierunku zgodnym z ruchem wskazówki zegarowej na oś x i punkt ten połączyć z punktem przecięcia się śladu pionowego

płaszczyzny z osią z. Przy założeniu, że rzutnia boczna pada na poziomą, obracamy punkt przecięcia się śladu pionowego płaszczyzny z osią z w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówki zegarowej na oś x i otrzymany punkt łączymy z punktem przecięcia się śladu poziomego płaszczyzny z osią y, otrzymując ślad boczny.

Rys. 191 jest przykładem wyznaczenia śladu bocznego płaszczyzny, która przecina oś z pod płaszczyzną poziomą; rzutnię boczną położyliśmy na pionową. Rys. 192 podaje to samo zadanie z tą różnicą, że rzutnię boczną obróciliśmy na poziomą.

Wyznaczenie śladu bocznego płaszczyzny p, która przebija oś z pod rzutnią poziomą w punkcie ZP, zaś oś y za rzutnią pionową w punkcie Yp, podają rysunki 193 i 194 a-b.

Obrót rzu-

+z

-y

+z

-y

kpi

' V?/~Y.

YpN

// hp

fy

ŚPf

!/

X'

tle

Rys. 193

tm bocznej w ry-

l/e

-X

+x

+y

Ve \0 Xe

he/f

Vs

-z

+y

Rys. 191.

Ob

+z -y

kp i Np

SJXp

Ypi i

!/

u,

-z+y

Rys. 194 a

+X

-y

+x

-y

hp

-X

1-Z

Aj,

+z

O W Zß

ys

h/k

-z

+y

Rys. 192

+z -y

vP

yp

ZP

-z+y

Zp +x

iXp

-z

hp-

Rys. 194 b

sunku 194a wykonaliśmy na pionową, w rys. 194 b na poziomą płaszczyznę rzutów.

66. Przykłady użycia rzutni bocznej do rozwiązania

zadań.

1. Wyznaczyć rzuty punktu przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyzną a (ha v«) (rys. 195). Przez prostą a, wyznaczoną dwoma punktami A (A' A") i B (B' B"), poprowadźmy płaszczyznę prostopadłą do osi rzutów x i uwa-

A"\y

TT

TT

Vcc/pr\

Ax

' B\

hec

A’\

Ami

yi

Rys. 195

Rys. 196

///

zajmy ją za rzutnię boczną. Wyznaczmy rzut boczny a prostej a i ślad boczny ka płaszczyzny a, to punkt i ka jest rzutem bocznym

nr

przecięcia się P'" prostych a szukanego punktu. Z łatwością wyznaczymy teraz rzut poziomy F i pionowy P".

2. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od osi rzutów x. Przez punkt A poprowadźmy płaszczyznę prostopadłą do osi rzutów x, a uważając ją za rzutnię boczną, połóżmy np. na rzutnię poziomą (rys. 196), to odcinek A'" Ax wyraża odległość punktu A do osi x.

3. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A")

od płaszczyzny a (ha Va ), równoległej do ______

osi rzutów x. Przez punkt A prowadzimy    \\

rzutnię boczną prostopadłą do osi rzutów x, --?

A"

Va

Za

KIN

B’

wyznaczymy ślad boczny ka płaszczyzny a i rzut boczny A!" punktu A (rys. 197).

Z punktu A”' kreślimy_prostopadłą do

prostej ka, a odcinek A'" B'" równy jest odległości punktu A od płaszczyzny a.

4. Wyznaczyć rzuty krawędzi płaszczyzn a (ha Va) i ß (/iß Vß), równoległych do osi rzutów x. Przyjąwszy rzutnię boczną prostopadłą do osi x, wyznaczymy ślady boczne ka i k$ danych płaszczyzn (rys. 198)

ha \'a

/ka

Am

Rys. 197

i otrzymamy rzut boczny a'", a także i dwa dalsze rzuty a" i a' szukanej krawędzi.

5. Wyznaczyć odległość dwóch prostych skośnych a (a' a") i b (b' b"). Jeżeli przez prostą b poprowadzimy płaszczyznę e, równoległą do prostej a, to odległość prostej a od płaszczyzny e wyraża odległość prostych skośnych a i b.

Niechaj punkt Af, przecięcia się rzutów poziomych a' i b' danych prostych (rys. 199), będzie rzutem poziomym punktu M, leżącego na prostej b. Oznaczywszy rzut pionowy punktu M literą M", poprowadzimy przezeń prostą c" // a", którą uważajmy za rzut pionowy prostej c, przechodzącej przez punkt M równolegle do prostej a. Rzut poziomy c' prostej c schodzi się z prostą a'. Proste b i c wyznaczają płaszczyznę e, równoległą do prostej a. Wyznaczmy ślad poziomy he płaszczyzny e,

+z -y

Va

a-J'

/fot/ li-

//Zß

Vß

a-

*y wy*

Y*

Yß

-z+y

Rys. 198

ar

-y

ha

hß

a"i

c"!/b"

4Mm

B"

A"

tr

HS/jHi !HS

P’ :    P’^ß’ -''y

fr

'~'Hb

/Ha

c/a'

LHS

A'"

\Y

Po

Rys. 199

Rys. 200*

a następnie przyjąwszy płaszczyznę rzutów prostopadłą do poziomej i do płaszczyzny e, wyznaczmy ślad boczny ke tej ostatniej, a to łącząc rzut boczny M" punktu M z punktem przecięcia się osi y ze śladem he. Ponieważ prosta a jest równoległą do płaszczyzny e, więc jej rzut boczny a"' otrzymamy, kreśląc z punktu Ha'" prostą równoległą do ke. Odległość prostych równoległych ke i a'" równa jest odległości prostych skośnych a i b.

6. Wyznaczyć odległość punktu P (P P') od prostej P fp' P") (rys. 200*). Wyznaczmy rzut boczny p'" prostej p i rzut boczny P" punktu P na płaszczyznę poziomo - rzuca-jącą, a zarazem równoległą do prostej p. Odcinek P" Q"\

''.kói

ve

Bm

f/T

wÇ'jXe x

Wyto

/ kón hs

A’

Rys. 201

prostopadły do p'", jest rzutem bocznym odcinka prostopadłego do prostej p; rzut boczny bowiem kąta prostego A Q P będzie w tym wy padku kątem prostym, gdyż ramię A Q jest równoległe do rzutni bocznej. Wyznaczywszy punkty Q' i Q" otrzymamy rzuty poziomy i pionowy odcinka, wyrażającego odległość punktu P od prostej p. Prawdziwą wielkość odcinka P Q znajdziemy, wykonując jego kład P₀ Q0 na rzutnię boczną.

///

7. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzn dwusiecznych 6/ i bu. Odcinki A!" B i A"' C" (rys. 201) rozwiązują zadanie.

z\vàn

Va

Ve kójy

am/

a"

vâ

Hä

8. Wyznaczyć odległość prostej a (a' a"), równoległej do płaszczyzny dwusiecznej Ô// od tejże płaszczyzny (rysunek 202). Wiadomo (ust. 56), że rzuty prostej równoległej do płaszczy-    /

SCO

/₄₅o

zny ô // są wzajem- 7 wg nie równoległe, za-    \

a>

he

tern a'Ha".    \

Ha

Rys. 202

Płaszczyznę e (he Ve ) prostopadłą do osi jc uważamy za rzutnię boczną, wyznaczymy rzut boczmy a'" prostej a, wykreślimy śted boczny k&n płaszczyzny àut a odległość n tych dwóch prostych równoległych rozwiązuje zadanie.

67. Ćwiczenia.

1.    Wyznaczyć rzuty i ślady prostych, które przechodzą przez punkty:

a)    A (1, 2, 3) \B (-2, 4, -5),

b)    C (0, -3, 4) i D (4, -2, +2),

c)    E (2, -2, -3) i F (-2, +2, +3),

d)    G (—5, 3, -3) i H (2, -5, 2).

2.    Dane są rzuty prostej l, przechodzącej przez punkty A (0, 5, 3) i B ( 1, —3, 1); wyznaczyć rzuty punktów, leżących na prostej l, a mających głębokość równą 4; 3; 0; —4 i rzuty punktów o wysokości 4; 2; 0; —2; —3.

3.    Wyznaczyć rzuty i ślady poszczególnych boków trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty:

Î) A (6, 3, -4), B (3, -4, 6), C (-4, 6, -3),

g) A (0, 4, 0), B (5, 1, 0), C (3, 0, 6).

'    4. Wykreślić rzuty równoległoboku A B C D, którego trzy wierzchołki

są dane:

d)    A    (4,    -1,    -8), B (-1, -8, 4),    C (-8,    4, -1).

5. Dane są rzuty punktu A (5, 4, 6). Wyznaczyć rzuty oraz ślady prostej, która przechodzi przez punkt A i jest:

d) J_ do jrt,

c) // do osi x,

a) // do    b) // do

6. Rozwiązać powyższe zadania, skoro położenie punktu A jest na

stępujące :

a) A (0, -5, 4), d) A (0, 0, 5),

b) A (0, -4, 4), e) A (0, —5, 0),

c) A (0, —4, —5),

1) A (0, -3, +3.).

7. Dane są rzuty punktu P (5, 1, 4) i prostej l, wyznaczonej śladam // (3, 8, 0) i V (10, 0, 8). Wyznaczyć rzuty prostej m, która przechodzi przez punkt P, przecina prostą / i jest:

a) równoległa do nit do .

b)

8. Rozwiązać zadanie 7, jeżeli położenie punktu P i prostej l = (H, V)

określają:

a)    P    (2,    7, 5), H    (8, 9,    0)ti V (1, 0, 9),

b)    P    (6,    -7, 4),    H (3,    -4, 0), V (13,    0, 6),

c)    P    (7,    1, -4),    H (2,    10, 0), V (5, 0,    -8).

9. Dane są rzuty dwóch prostych l i m, przecinających się w punkcie

A (3, 5, 4).

Skonstruować ślady płaszczyzny a, wyznaczonej prostemi l i m,

przyczem :

fi)    m //

h) I ± m // do osi

k)    / // jrt, mi«,,

l)    l II jr,, m J_ «2.

m)    l II do osi *, m X jt2>

n)    l J_ srlf m_L «s-

10. Rozwiązać zadanie 9 w przypadkach a)... n), jeżeli położenie punktu A będzie następujące:

a)    / // «

b)    l // «i, m // *i,

c)    / // nt, m II do osi x,

d)    /_m dowolna, ej lj_ jr,, m // jr,,

ł) Z // «J, m // do osi *,

m dowolna,

g) A (3, 0, 5).

11.    Dane są rzuty prostej Z i punktu A, nie leżącego na tej prostej; wykreślić ślady ha, pa i ka płaszczyzny a, wyznaczonej elementami Z i A> które zajmują następujące położenia w przestrzeni:

e)    Z // jt₂, A

f)    / // do osi

g )/_L*

h) Z JL*₂,

-3, -3),

A (3, 3, -3),

A (4, -5, 2),

A (2, -3, -5),

. a) l// xu A (0, 3, -5),

b)    Z // nit A (0, —4, —41,

c)    Z // A (6, -5, +2),

d)    Z // *„ A (3, 2, -4),

12.    Dane są rzuty dwóch trójkątów A B C i M N P; nie posługując się śladami płaszczyzn tych trójkątów, wyznaczyć przenikanie się tych trójkątów, jeżeli:

a)    A (2, 2, 4), B (12. 5, 5). C (8, 9, 9); M (3, 5, 9), N (10, 3, 1), P (12, 9, 7J.

b)    A (2. 4, 2), B (10, 2, 10), C (6,10,-3); M (4, 6, 1), N (5, -3, 3), P (10, 5, 10).

c)    A (0, 2, -4), B (8, 0, 0), C (3, -4, 4); M (0, -3, 0), N (2, 4, 2), P (6, -3, 6).

13.    Dane są rzuty punktu P (P' P") i ślady płaszczyzny a (ha pa). Przez punkt P poprowadzić płaszczyznę ß // do a, skoro:

a)    a // *i, P (0, 6, —6),

b)    a I/ do osi x, P (0, —4, 6),

c)    a // *₂, P (5, —4, -4).

14.    Wykreślić ślady płaszczyzny a _J_ do prostej a (a' a"), a przechodzącej przez punkt A (A' A"), gdy:

a)    a // jr,, A {0, 5, 6),

b)    a // A (0, —5, —6),

c)    a // jt₂, A (0, —5, 5),

d)    a // «₂, A (0, 4, —6),

15. Dane są rzuty A' B' i A" B" odcinka A B. Wyznaczyć rzeczywistą wielkość tego odcinka, jeżeli położenie punktów A i B jest następujące:

a)    A    (0,    -3, 6),    B    (8, 3, 3),    .

b)    A    (2,    —3, 3),    B    (10, -6, —2),

c)    A    (3,    -3, 3),    B    (12, 6, -6),

d)    A    (0,    3, -7),    B    (7, 4, -2),

e)    A    (0,    3, —3),    B    (10, -5, 5).

16. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzny a (ha va) w przypadkach określonych rysunkami 203 a — d.

a.)

Va

b.)

Va

c.)

_Æ'_

ha

d.)

ha

ha

?A"

A'\

⁶Æ

ó/T

°/T

ha

Ani

Va

_ Va_

Rys. 203 a — d

17. Wyznaczyć rzeczywistą odległość punktu A (A' A") od płaszczyzn dwusiecznych 8/ i bu, jeżeli położenie punktu A jest określone:

a)    A (0, 6, 0),

b)    A (5, 0, 8),

c)    A (4, -8, 2),

d)    A (3, -8, -2),

e) A (0, 3, —10).

18.    Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzny a, wyznaczonej przez proste przecinające lim:

a)    Z // «i, m

b)    Z // jtj, m

c)    Z II osi x,

d)    Z // rn // do osi jc.

19.    Wyznaczyć odległość punktu /ï (Æ Æ') od prostej Z (Z' Z"), jeżeli położenie tych elementów jest następujące:

a)    /I (0, 5, —5), Z dowolne,

b)    /I (0, 4, -5), Z

c)    /ł (3, -6, 2), Z

d)    /ł    (3,    -    3. —    3), Z    // do osi *.

e)    /[    (3,    8,    2),    l    leży    na    8/,

f)    A    {4,    2,    6 ,    l    leży    na    bu,

g)    A    [4,    4,    4),    l    leży    na    nt,

h)    A (3, 6, —6), l leży na jt₂,

i)    A (2, -4, -6), l = X, k) podane na rys. 204.

do

•35 o

ly

A’

A"

Rys. 204

20. Wykreślić ślady płaszczyzny przechodzącej przez daną prostą Z (/' 1") prostopadle do danej płaszczyzny a (ha; na), w następujących przypadkach:

a)    Z dowolna, a // do x,

b)    Z // wi, a dowolna,

c)    l // Jtj 5 CC = (AT, A)f

d)    Z J_ jr,, a dowolna,

e)    Z J_ jt₂ , a = 8/,

Î) Z J_ jt₃ , a dowolna,

g)    l /I x, a = bu,

h)    Z leży na 8/, a // jc,

i)    Z leży na 8//, a dowolna, k) Z = X, a = (*, ^).

§ 5. OBROTY, KŁADY I ICH Z AST OSOWANIA

68. O metodzie obrotu. W dotychczasowych rozważaniach naszych istnieje luka, uniemożliwiająca rozwiązanie zadań natury miarowej, t. j. takich, gdzie w grę wchodzą wielkości odcinków i kątów. Przykład najlepiej rzecz wyjaśni. Niechaj zadaniem naszem będzie wyznaczenie prawdziwej wielkości kąta, którego rzuty ramion są dane. Wiadomościami, któremi dotąd rozporządzamy, zadania tego rozwiązać nie potrafimy, nie znane nam są bowiem sposoby, któremi na-daćby można ramionom kąta położenie równoległe do rzutni, lub też wprost ramiona te, bez zmiany zawartego między niemi kąta, na tę rzutnię położyć. Istota rozwiązania omawianego zadania polega na zmianie położenia ramion kąta w przestrzeni, przy zachowaniu danego odchylenia tych ramion. Owóż, zmiana położenia ramion kąta dokonywa się przy pomocy pewnej metody konstrukcyjnej, zwanej metodą obrotó w.

Najpierw zajmiemy się poznaniem metody jako takiej, a następnie zastosowaniem jej do rozwiązywania zadań.

69. Obroty punktu. Mówiąc o obrocie punktu, mamy na myśli jego obrót około danej prostej, zwanej osią obrotu, i o dany kąt, przyczem punkt pozostaje stale na płaszczyźnie

A,

'S

Rys. 205

prostopadłej do osi obrotu, zwanej płaszczyzną obrotu. Oś obrotu m przebija płaszczyznę obrotu e (rys. 205) w punkcie S, który jest środkiem obrotu. Odcinek r, łączący punkt A z punktem S, nazywamy promieniem obrotu. Punkt A zakreśli podczas obrotu około osi m na płaszczyźnie 8 łuk koła, równy danemu kątowi cp i zajmie położenie At.

Przeprowadzimy zadanie powyższe w rzutach cechowanych, przyczem niechaj oś m leży na płaszczyźnie porównawczej, a punkt A, który obrócić mamy 0^9, niechaj ma cechę 3’4 danych jednostek (rys. 206).

Płaszczyzna obrotu, przechodząca przez punkt A X m, przecina rzutnię wdłuż śladu hE _L m. Punkt 5 jest środkiem

obrotu, a odcinek S A' = r' rzutem promienia obrotu. Kby móc dokonać obrotu punktu A około osi m, wykonajmy kład płaszczyzny e około jej śladu he na płaszczyznę rysunku, czyli w naszym przypadku na rzutnię. Kład ten ujawni się kładem promienia r na płaszczyznę poziomą i wyznaczy jego prawdziwą wielkość r°. Następnie zakreślmy ze środka 5 promieniem r° łuk koła w żądanym kierunku, obracając tym spo-

S/

v-

9>

''(3-4)

,A°

po

fi Ar

z\

tp"

A"

x mn

—Ó-

S"/

><

ht

'r

rAi

A⁰

<p

po

Æ'Æ

/b,

Rys. 207

7 os 0    1    2    3 Am

Rys. 206

sobem punkt w kładzie o dany kąt cp aż do położenia At°. Zkolei wrócić musimy z punkten na płaszczyznę obrotu w jej pierwotnem położeniu, t. j. niejako płaszczyznę tę wraz z punktem Ax podnieść, albo raczej obrócić około śladu he o 90°. W tym celu ^rzucimy punkt prostopadle na prostą he, a odcinek At" A/ wyraża w przyjętej jednostce długości wysokość punktu Ax po obrocie, a więc jego cechę. Konstrukcyjne rozwiązanie tego zadania w rzutach Monge’a podaje rys. 207.

Poziomo-rzuca;ąca płaszczyzna obrotu wyznaczona jest śladami he i Vb; środek obrotu S (S' S"), połączony z danym punktem A (A' A"), daje promień obrotu r (rf r"). Dokonamy obrotu, a rzut pionowy Ax" punktu po obrocie znajdziemy, odmierzając od osi Jt na prostej odnoszącej otrzymaną wysokość z — Ax .4/.

Jeżeli oś obrotu jest równoległą do rzutni np. pionowej (rys. 208), to obrót dowolnego punktu o dany kąt wykonamy zupełnie analogicznie: kreślimy ślady he i ve płaszczyzny obrotu, prostopadłej do osi obrotu m (m' m"), wyznaczymy środek obrotu 5 (S' S"), promień obrotu r (r' r”/, wykonamy kład płaszczyzny obrotu i otrzymanym promieniem r° obró-

cimy punkt A⁰ o dany kąt cp. Po podniesieniu płaszczyzny obrotu w jej pierwotne położenie, otrzymamy rzuty At" i A/ punktu Av, po dokonanym obrocie. Zadanie uprości się w pewnej mierze, jeśli, jak to widzimy na rys. 209, v kład płaszczyzny obrotu i obrót wykonamy na j płaszczyznę równoległą J do rzutni jr,, a przecho-/ dzącą przez oś m.

y.£

Y°

A”%

A"ï

S'

nr

Xr

TT

y\

A!

ha

ha

1/

Rys. 209

r. 208

70. Obroty prostej. Ponieważ prostą wyznaczają dwa punkty, więc obrót prostej sprowadza się w ogólności do obrotu dwóch jej punktów, o ten sam kąt i w tym samym kierunku. Jeżeli oś obrotu i prosta przecinają się a punkt przecięcia się M leży w granicach rysunku, to wówczas obrócimy jeden punkt prostej i łączymy go po obrocie z punktem M, który jako leżący na osi obrotu, położenia swego nie zmienia. Gdy prosta jest równoległą do osi obrotu, to i wówczas obrócimy tylko jeden jej punkt o dany kąt i w żądanym kierunku, po obrocie prosta pozostanie bowiem do osi obrotu równoległą.

Przykłady.

a"

BI

B"

m"

a'

A'

B'

'B\

Si

<&/

\d

ai

a) Obrócić prostą a (a' a") około osi m, leżącej na rzutni poziomej, o dany kąt a (rys. 210). Obróciliśmy punkty A i A' A") i B (B' B") pro- -stej a około osi /n o ^ a, a otrzyma-‘ ne punkty Ai(Al'A₁") i Bx (Bx' Bx") wyznaczają prostą a{ (a/ ax") po obrocie.

Rys. 210

yB?

b) Około osi m, leżącej na rzutni poziomej, obrócić prostą a, przecinającą oś w punkcie M, o dany kąt cp

(rysunek 211). Zadanie wykonaliśmy w rzutach cechowanych. Punkt A (A\ 2), przyjęty na prostej a, obróciliśmy około m ocp, a otrzymany punkt Ax połączyli ze stałym punktem M. Wysokość punktu Ax równa

jest długości odcinka A/ At° i równa w naszym rysunku 2:5 przyjętych jednostek. Zestopniowanie prostej av przeprowadziliśmy według ust. 17.

c) Odcinkowi A B, mającemu dowolne położenie, nadać położenie równoległe do rzutni poziomej (rys. 212). Przyjmiemy oś my

3’

B"

os

A’(Z)

A°

BI

A"

Ir

rrn"\ s'ś

S,

po

<p

nr

t>T I'

.3

A?

M'

he

B)

j< S2    _hv

1 O S 0    1    2 3 4 Sm

nr

B'

Rys. 212

Rys. 211

przecinającą odcinek A B w punkcie M i obrócimy około niej punkt np. A tak, aż znajdzie się na wysokości punktu M.

71. Obrót płaszcz) zny. W najogólniejszym przypadku obrót płaszczyzny sprowadza się do obrotu dwóch prostych, przyjętych na tej płaszczyźnie. Jeżeli prosta m (m' m'j (rys. 213) jest osią, około której obrócić mamy płaszczyznę a(haVa) o 9, to

A"b&p _ p"_

Vos

mn

B"

Va

fer

QJ y

A"

A!

Va

mn \Vcci

Pt

Va,

x / Hhy

Vp

/A"

!p'

-.ĄA',

h₇ _\i h' rn' jA'

v-'

rrr

Pi

Hk

fP7

ha

pa, \a;

ha

ha,

Rys. 213

Rys. 214

płaszczyzną obrotu dla śladu poziomego ha jest rzutnia pozioma. Styczna hav w punkcie P₁ do koła, zakreślonego z punktu m' promieniem m' P, jest śladem poziomym płaszczyzny po obrocie. Tworząca a (a' a") płaszczyzny a, obrócona około m o cp, zajmie położenie at (at' a/j, a jej ślad pionowy Va położenie

Vai (Vai'Vai). Ślad pionowy VaA płaszczyzny cc po obrocie jest tym sposobem także wyznaczony.

Rys. 214 przedstawia również obrót płaszczyzny a (ha Va) około prostej pionowej m (m' m"), dokonany jednak w inny sposób. Obróciwszy ślad poziomy ha do położenia ha lt jak w przykładzie pierwszym, znajdziemy punkt przebicia się A (A‘ A") osi obrotu m (m! m") z płaszczyzną a. Ponieważ punkt ten udziału w obrocie nie bierze i przezeń przejdzie płaszczyzna cc po obrocie, więc wykreśliwszy tworzącą p (pr p")

P.

Va

i jej ślad Vp> otrzymamy ślad pionowy Va, płaszczyzny a po obrocie.

- J>_ Vk/ k"\/r

'P

■mn

Przykład obrotu płaszczyzny ~    a (ha Va), nachylonej do obu rzutni, do

A x położenia pionowego widzimy na rys.

Ji’

m'

8V*

hau

Rys. 215

215. Przyjmiemy oś obrotu m(m' m"), ' prostopadłą do rzutni pionowej i około niej obrócimy ślad pionowy v« tak, że zajmie położenie VaA, prostopadłe do x. Ślad poziomy hax przejdzie • przez rzut poziomy A' punktu A, przebicia się osi obrotu z płaszczyzną cc.

72. Kład płaszczyzny rzucającej. Szczególny, a dla dalszych rozważań naszych bardzo ważny, przykład obrotów stanowi obrót płaszczyzn, względnie punktów i prostych, leżących na nich, około śladów, względnie warstwie, albo tworzących. Kątami obrotów są kąty, jakie płaszczyzny te zawierają z płaszczyznami rzutów. Po tak dokonanym obrocie, płaszczyzna wraz z utworami na niej leżącemi znajdzie się na płaszczyźnie rzutów, względnie na płaszczyźnie do rzutni równoległej; dokonaną operację nazywamy wykonaniem kładu płaszczyzny. Jako zadanie odwrotne występuje pjodnosjzejnie z kładu, t. j. obrót punktów, prostych czy też linij, leżących na płaszczyznach rzutów lub na płaszczyznach do rzutni równoległych, około odnośnych śladów, względnie warstwie o taki kąt, by po obrocie utwory te znalazły się na danej płaszczyźnie.

Z kładem płaszczyzn rzucających zapoznaliśmy się przy sposobności wyznaczenia prawdziwej wielkości odcinka (ust. 13 i 39).

W istocie bowiem wyznaczenie długości odcinka jest kładem płaszczyzny rzucającej ten odcinek na rzutnię poziomą, względnie pionową. Wyznaczmy ślady H i V prostej (A,B) (rys. 216), a także

ślad pionowy płaszczyzny poziomo-rzucającej, przechodzącej przez nią, to prosta Va° będzie kładem śladu pionowego na rzutnię poziomą, a punkt V' połączony z H wyznaczy kład prostej w granicach jej śladów. A⁰ B° jest kła- Jjg. dem poziomym odcinka A B.

Kład tejże samej płaszczyzny a na rzutnię pionową widzimy na rys. 217.

Ślad poziomy H zakreśli na rzutni poziomej łuk koła o środku V\ a punkty A\ B obrócą się na płaszczyznach poziomych, jako płaszczyznach obrotu, prostopadłych do osi obrotu Va.

73. Kąty nachylenia prostej z płaszczyznami rzutów. Kątem nachylenia prostej z płaszczyzną nazywamy kąt, jaki prosta tworzy ze swoim rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę (ust. 14). Jeżeli p' (rys. 218*) jest rzutem poziomym prostej /?, a p" rzutem pionowym tej prostej, to jak z rysunku widzimy: a -f y = 90'. Lecz kąt, ja-x ki prosta tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, jest najmniejszy, jaki zawierać może z prostemi, le-żącemi na płaszczyźnie rzutów, a przechodzącemi przez jej ślad; zatem ß < y, a więc a + ß < 90 ', czyli : suma kątów nachylenia prostej z obu rzutniami jest mniejsza od kąta prostego.

Przez wykonanie kładu px prostej p (rys. 219) na rzutnię poziomą, otrzymamy kąt cc, jaki prosta zawiera z rzutnią poziomą; kład p° prostej p na rzutnię pionową wyznacza kąt ß tej prostej z rzutnią pionową. O ile ślady prostej nie leżą w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to kłady wykonamy na płaszczyzny równoległe do rzutni, jak to widzimy na rys. 220.

Niechaj zadaniem naszem będzie wykreślenie rzutów

*²hS

PI'

P"/

h"p

HP

Al

ha.

KA‘

IM

p’

Rys. 218*

Va

Al

Va

Æ_

B’ \

Rys. 216

A HI

Hyf

Rys. 217

Ve_

Ii

Ąy y

prostej, przechodzącej przez dany punkt A (A' A"), a zawierającej z rzutniami dane kąty a i ß. Najpierw znajdziemy dowolną prostą, tworzącą z rzutniami żądane kąty,

ß'

vP

B"

W'

A⁰^ ■ "

P?"ß.

P"

K.

P"

\z

Va

A"

Vp

Hp

B’

P’

a P'

A'

*P

"p*    - _\Yp

Rys. 219

Rys. 220

a następnie przez punkt A poprowadzimy do niej równoległą.

Przypuśćmy, że prosta p (rys. 218*) jest szukaną prostą i przeprowadźmy rozbiór konstrukcji. Äby otrzymać a, jaki prosta p tworzy z rzutnią poziomą, obróćmy ją około osi (VP, Vp') na rzutnię pionową. Otrzymamy prawdziwą wielkość odcinka prostej ograniczonej śladami Hp i VPi równą odcinkowi ■Hp⁰ VP i •£: cc. Odcinek Hp Vp> jego rzut pionowy Hp" Vp, i odcinek Hp Hp" tworzą trójkąt prostokątny z kątem ß, przeciwległym bokowi Hp Hp" i z kątem prostym w wierzchołku Hp". Znając ß i odcinek Hp' Vp, wykreślimy trójkąt prostokątny Hp⁰ //px Vp, przystający do trójkąta Hp Hp" VPj a przy jego pomocy rzuty żą-- danej prostej w sposób następujący. Przez dowolnie na osi x przyjęty punkt Hp ” (rys. 221) kreślimy prostą pn pod kątem a do osi x i dowolny punkt Vp uważamy za jej ślad pionowy. Kreślimy trójkąt Hp" Hpx Vp o kącie prostym przy Hpx, a kącie ß przy Vp. Bok Hpx Vp równy jest długości rzutu pionowego szukanej prostej p, a ponieważ punkt Vp jest jej śladem pionowym, więc zakreśliwszy promieniem VPHPX, z punktu Vp jako środka, tłuk koła aż do

Bp_____—    s”

p°>

/P”

A"

* \Aą/ Hß | Hp

HP

P’

Vp_

S'

Rys. 221

A’

przecięcia się z osią x, otrzymamy rzut pionowy Hp" śladu poziomego prostej p, a więc i jej rzut pionowy Hp" Vp=p". Łuk koła o środku Vp' a o promieniu Vp Hp" przetnie prostopadłą, wykreśloną w punkcie Hp" do osi x, w punkcie //p, który jest śladem poziomym prostej p. Prosta (Hp< Vp') jest rzutem poziomym p' prostej p, przyczem oczywiście Hp Hp" = HP" Hp *. Przez A (A' A") poprowadzona równoległa s (s' s") do prostej P (P' P") rozwiązuje zadanie.

Rozważmy jeszcze warunek, który spełniony być musi, aby rozwiązanie zadania było możliwe. Przedewszystkiem łuk Hpx Hp" musi przeciąć oś x, czyli musi być: Vp Vp' ^Hpx Vp albo (patrz rys. 2l8*) Hp Vp sin a ^ Hp Vp cos ß czyli: sin a Z sin (90 — ß), albo ponieważ kąty a i ß są ostre

a ^ 90 ' — ß czyli a + ß ^ 90¹

Wykazaliśmy już, że powyższy warunek jest konieczny, widzimy teraz, że jest on też wystarczający.

74. Kąty nachylenia płaszczyzny z rzutniami. W ust. 25 określiliśmy kąt dwóch płaszczyzn jako kąt, zawarty między dwiema prostemi, leżącemi na tych płaszczyznach, a prosto-padłemi w dowolnym punkcie ich krawędzi. Ponieważ owe proste są prostopadłe do krawędzi danych dwóch płaszczyzn, więc płaszczyzna niemi wyznaczona jest do tej krawędzi prostopadłą. Stąd wynika następujący sposób postępowahia przy wyznaczaniu kąta nachylenia dwóch płaszczyzn : W dowolnym punkcie krawędzi dwóch płaszczyzn prowadzimy do niej płaszczyznę prostopadłą, wyznaczamy proste przecięcia się z obiema płaszczyznami, a kąt zawarły między temi prostemi, mierzy kąt, jaki tworzą dwie uważane płaszczyzny.

Suma kątów, jakie płaszczyzna zawiera z dwiema rzutniami, leży w granicach miądzy jednym i dwoma kątami prostymi. Suma ta osiąga swą granicę dolną, kąt prosty, gdy płaszczyzna jest równoległą do osi x; kąty a i ß są w tym wypadku uzupełniające. Suma kątów a i ß osiąga granicę górną, dwa kąty proste, gdy płaszczyzna jest prostopadłą do osi x. Dla wszystkich innych położeń płaszczyzny, suma kątów z płaszczyznami rzutów jest większą od kąta prostego, a mniejszą od dwóch kątów prostych. W istocie, dwie nieprostopadłe płaszczyzny tworzą jeden kąt ostry i jeden rozwarty, spełniające się do dwóch kątów prostych; kąt ostry jest wedle umowy kątem, który mierzy nachylenie dwóch płaszczyzn, w następstwie czego musi być a + p < 180\ Zresztą mamy także: a + ß 4- 90° > 180°, ponieważ suma trzech kątów naroża trójściennego jest większą od dwóch kątów prostych, więc istotnie:

a + p > 90\

Celem wyznaczenia kąta, jaki płaszczyzna cp (Tzcp Vy) (rys. 222) zawiera z rzutnią poziomą, poprowadzimy, zgodnie z podanym wyżej tokiem postępowania, płaszczyznę e (heVE) prostopadłą do krawędzi obu płaszczyzn, t. j. do śladu poziomego h<p i znajdziemy krawędź k (k' k") tej płaszczyzny z płaszczyzną cp. Kąt a, zawarty między tą krawędzią a śladem poziomym he, rozwiązuje zadanie.

Ale z ust. 25 wiemy, że krawędź k jest linją największego spadu płaszczyzny cp w odniesieniu do rzutni poziomej,

k?/k"

Hk

k'

Ve

Vk

Vk

Vv

Yr

Vs

H?

ix

Ä'p,

/'

Vk

hip

hr

hâ

■v⁰

ht,

Hr

Rys. 223

Rys. 222

t. z. taką prostą płaszczyzny cp, która ze swoim rzutem tworzy najmniejszy kąt. Powiemy więc: kąt nachylenia danej płaszczyzny z rzutnią poziomą lub pionową wyraża się kątem nachylenia linji największego spadu tej płaszczyzny w odniesieniu do rzutni poziomej lub pionowej.

Rzut poziomy kąta a równy jest zeru, gdyż k i he nakrywają się; rzut pionowy kąta a oznaczyliśmy na rys. 222 przez a". Wykonawszy kład k° krawędzi k na rzutnię poziomą lub na pionową (k^'), otrzymamy prawdziwą wielkość tego kąta. Na rys. 223 podaliśmy ponadto konstrukcję kąta nachylenia p płaszczyzny cp z rzutnią pionową.

Przyjmijmy płaszczyznę cp (hy v<$>) nachyloną do obu rzutni (rys. 224). Poprowadźmy przez punkt A, obrany na osi x, płaszczyznę e (he ve) prostopadłą do h<$ i płaszczyznę Y (hy Vx) -L Vcp. Krawędź kx płaszczyzn cp i e obróćmy

około Ve na rzutnię pionową, a krawędź k₂ płaszczyzn cp i y około hy na rzutnię poziomą. Kąt a, jaki kx° utworzy z osią x, jest kątem nachylenia płaszczyzny cp z rzutnią poziomą, a kąt $ = AV.₂i'H₂ jest kątem nachylenia płaszczyzny cp z rzutnią pionową. Wykreślmy z punktu A prostopadłe m i n do k i k^, to AB = AC, gdyż każdy z tych dwóch odcinków wyraża odległość punktu A od płaszczyzny cp. W istocie, prostopadła wyprowadzona z punktu A do płaszczyzny cp jest krawędzią płaszczyzn e i y, prostopadłą do linij największego spadu kv i k₂ tych płaszczyzn. Po wykonaniu kładów płaszczyzn e i y, a więc i prostych k{ i k odcinki AB i AC przedstawią tę samą prostopadłą.

Przeprowadzone rozumowanie umożliwi rozwiązanie następującego zadania: Przez dany punkt P poprowadzić płaszczyzną, zawierającą z rzutniami dane

XriPs

Yf m

B\

he

Rys. 224

Vi

Vt

hy

H2

2*

kV,

Zs

kąty a i p.

Wiemy, że musi być: a ^ 90°, — p ^ 90°, a 4- p > 90°.

Najpierw poprowadzimy płaszczyznę cp, nieprze-chodzącą przez punkt P, a nastę-pnieprzezten punkt płaszczyznę równoległą do płaszczyzny cp. Na prostopadłej wykreślonej w punkcie A do osi x (rys. 225*) obierzmy dowolnie punkt M, z którego wyprowadźmy prostą kx °, zawierającą z osią x kąt a. Odcinek AC = n, prostopadły do kx °, równy jest odległości

P"

S"

H°,

Xv

l/s'

'ß

S¹

a suma

\k°

'he

< O*

hvr

Rys. 225 *

punktu A od szukanej płaszczyzny. Zakreślmy z punktu A, jako środka, promieniem A Ć koło i drugie z niem współśrod-kowe promieniem AHDo pierwszego koła wykreślmy styczną k₂ ⁰ pod p do x. Z punktu N wykreślona styczna hep do drugiego koła jest śladem poziomym szukanej płaszczyzny 9, a prosta (Xep M) jej śladem pionowym.

Oczywiście, że koło zakreślone promieniem A V"⁰ z punktu A, jako środka, jest styczne do śladu Vq>.

Aby móc wykreślić styczną hep musi punkt N leżeć zewnątrz koła H H°, czyli musi być AH° ^ AN, biorąc zaś pod uwagę trójkąty prostokątne ACH⁰ i AB N, wyrazimy powyższy warunek w ten sposób:

AB

TC

sin a —sin (90° — ß) a ponieważ AC = AB, więc mamy:

sin a X sin (90° — $).

A ponieważ kąty a i ß są z założenia ostre, więc a X (90⁰ — $) czyli (a + $) z 90°.

Wykazaliśmy już poprzednio, że dwa warunki są konieczne, aby rozwiązanie zadania było wogóle możliwe:

1) (cc + ßj z 180° i 2) (d + p) z 90°.

Z powyższego widzimy, że warunki te są zarazem wystarczające.

Płaszczyzna Ąr (h<\r v^), poprowadzona przez punkt P(P'P"), równolegle do 9 (hep Vep), rozwiązuje zadanie.

Zadanie.

Przez daną prostą poprowadzić płaszczyzną, nachyloną pod danym kątem do jednej z rzutni. Rozwiązanie tego zadania znajdzie czytelnik w ust. 160, rys. 474.

75. Kłady płaszczyzn dowolnie położonych w przestrzeni. Wykonać kład płaszczyzny a (ha va) na rzutnię poziomą znaczy, obrócić ją wraz z punktami i prostemi, leżą-cemi na niej, około jej śladu poziomego tak, aż padnie na rzutnię poziomą. Wykonanie kładu płaszczyzny, o ile nie są brane pod uwagę inne punkty i proste na niej leżące, sprowadza się do obrotu śladu pionowego tej płaszczyzny około śladu poziomego, jako osi obrotu tak, aż ślad ten padnie na rzutnię poziomą. Przykład takiego kładu widzimy na rys. 226 a.

Punkt A, obrany na śladzie Va, obróciliśmy około ha o kąt 180⁰ — ty, jaki płaszczyzna a zawiera z rzutnią poziomą. Prosta Va°, łącząca punkty A° i Xa, jest kładem śladu pionowego płaszczyzny a.

Odcinek XaA" równy jest odcinkowi Xai4, wobec // czego zakreśliwszy ze środka Xa (ry- 'VcL sunek 226 b)^ promieniem XaA łuk, aż do przecięcia się z prostopadłą wyprowadzoną z punktu A'

do ha, otrzymamy punkt A°, i tą drogą uzyskamy również rozwiązanie zadania.

Na rys. 227 dokonaliśmy kładu płaszczyzny a, której oba ślady tworzą jedną prostą, na rzutnię poziomą W tym celu obraliśmy na śladzie pionowym Pa punkt A i obrócili go około śladu poziomego, podobnie jak w rys. 226 a, na rzutnię poziomą. Prosta Va°, łącząca A° z punktem Xa, rozwiązuje zadanie.

Jeżeli na płaszczyźnie a (ha va) (rys. 228a) leży prosta a (ar a"), to po wykonaniu kładu tej płaszczyzny pro-

X Xc

Ax)

hs

Vct

VOL

A'

A'

j*

i A

r>

A*

ha

Va i

A°

ha'

Rys. 226 a

Rys. 226 b

Va

Vs

J\°

ha

Rys. 227

Ka

Va

Va

Ka

an

Xa

A”

rv

Va

Xa

HS

\ A”

Va

\Hà

HS

TT

a-

v°(\ /N.

ivs

Va \\a°

hcr

A⁰

Va⁰

Va⁰

ha

Rys. 228 a

Rys. 228 b

sta ta znajdzie się również na rzutni poziomej. Wyznaczywszy Va°, znajdziemy kład 14° śladu pionowego prostej a i połączymy go ze śladem poziomym Ha. Prosta a° jest kładem prostej a (a' a") na rzutnię poziomą. — Kład A° punktu A (A' A") otrzymamy, rzucając punkt A' prostopadle do ha na a'\

7)

a,

„ Va/A xt 7 \

Rys. 228b podaje kład płaszczyzny a na rzutnię poziomą, dokonany w ten sposób, że ślad pionowy Va prostej a obróciliśmy około ha na rzutnię poziomą i otrzymany punkt 14" połączyli z Ha prostą a°. Prosta (Xa Va°) byłaby kładem śladu pionowego płaszczyzny cc.

XI

Va

W"

W"

Ä.

XcCjs ~'.\

X XccJ

7    M''

W'........-.....r*

vâ\

Va'

ha

A°V

-Va°

A

ha

Rys. 229 b

Rys. 229 a

lic

-9

-8

N.

7*

\ «-

O'

8&

8°

Przykłady kładów płasz-* czyzny na płaszczyznę warstwową (równoległą do rzutni poziomej) widzimy na rys. 229 a i b. Osią obrotu jest w tym przypadku dana warstwica (prosta tworząca w (w' w") płaszczyzny a. Dowolnie obrany punkt A śladu pionowego va obróciliśmy około w (w' w"), aż padł na płaszczyznę poziomą, przecho- Sa gx dząoą przez w. Prosta łącząca punkt A° z V jest kładem śladu pionowego; —- 7 prostopadła do w', wykreślonazXaprze- — tnie Va⁰ w punkcie Xa°, przez który przechodzi, równolegle do iv', kład/za0 śladu poziomego płaszczyzny a. Ponie- _ll waż AV=A{V', więc korzystając z tego, uprościmy konstrukcję zadania , postępując tak, jak na rys. 229 b.

2m

Rys. 230

Kład płaszczyzny cc na płaszczy- M znę warstwową jtc, wykonany w rzutach cechowanych, przedstawia rysunek 230. — Płaszczyznę obrotu poprowadziliśmy przez linję największego spadu, na warstwicy 9a odmierzyli 9 9X = 3 m w podziałce rysunku. Odcinek 9X 0' jest kładem linji największego spadu

i tworzy z la' kąt 9, równy kątowi, jaki płaszczyzna wiera z poziomem. 7a°, 8a{\ 9a°.. płaszczyzny a na płaszczyznę warst-

a za-

. są to kłady warstwie

a.)

Bh)

wową jt₆.

Ćwiczenie.

Wyznaczyć prawdziwą wielkość trójkąta, którego rzut cechowany, względnie rzuty Monge’a są dane.

aj Rzut cechowany (Rys. 231 a). Wykonamy kład trójkąta na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez jeden z jego wierzchołków, np. C(C'[2‘5]) Wyznaczywszy na prostej A! Br punkt D' o cesze 2 5 i połączywszy go z punktem C otrzymamy war-stwicę 2'5s płaszczyzny trójkąta. Punkt A obróciliśmy około tej warstwicy, aż padł na płaszczyznę warstwową JT2-5 i punkt A° połączyli z D' i <7; kład B° trzeciego wierzchołka leży

D’(2S)

iS’

't3°

1 os 0    1    2    3 4m

b)

B"

C'(25)

W(zs)

Dl

A”

Va '

C"

na prostej (D’ A°).

b) Rzuty Monge’a (rys. 231 b).    --

Kład trójkąta wykonaliśmy na płaszczyznę poziomą a, przeprowadzoną przez punkt C (C C"). Punkt A (A' A") obróciliśmy więc około krawędzi m (m! m") płaszczyzny trójkąta i płaszczyzny a na tę ostatnią. Punkt A° łączymy z D' i C i otrzymamy punkt B°, który leżeć będzie wraz z punktem Br na prostopadłej do m'.

B'

........Q

A*

Cr

m'

76. Rzut na dowolną płaszczyznę. W § 4 rozpatrywaliśmy wprowadzenie trzeciej płaszczyzny rzutów i zastosowanie jej do rozwiązywania zadań. Owa trzecia rzutnia była z reguły prostopadłą do osi x, albo do jednej z dwóch rzutni. W pewnych przypadkach chodzić nam będzie (patrz ust. 89) o wyznaczenie rzutu utworu geometrycznego na płaszczyznę dowolnie położoną; rozpatrzmy więc przedewszystkiem rzut prostokątny punktu na taką płaszczyznę.

Zasadniczo postąpićby można — wyszedłszy z pojęcia rzutu — w sposób następujący: z danego punktu A poprowadzić prostopadłą do danej płaszczyzny rzutów a, znaleźć jej punkt przebicia, a następnie wykonać kład płaszczyzny a na jedną z rzutni. Sprawa da się jednak znacznie uprościć. Wyobraźmy sobie, że przez dany punkt A poprowadziliśmy dwie

'b°

Rys. 231 a i b

płaszczyzny prostopadłe do a, przyczem jedną poziomo-, a drugą pionowo-rzucającą. Każda z nich przecina płaszczyznę a w linji

v?/

Va

Al

p?

Vs,

P?

[H°

\ pl

\A1

O,

Vf\

H£ĄW\    H";

Àa X

największego spadu, a więc w prostych prostopadłych do Ąh?_ śladów ha i Va. Przez wykonanie kładu płaszczyzny a wraz z ich linjami największego spadu py i Pi na jedną z rzutni, otrzymamy jako punkt przecięcia się owych linij żądany kład A^ rzutu At punktu A na płasz-

Ar

czyznę a.

pr Mi,

Hz

pi

hp

Rys. 232

Konstrukcję zadania podaje rys. 232. Przez punkt A (A' A") poprowadziliśmy płaszczyzny ß (hß Vß ) i y (hx V\) prostopadłe: pierwszą do śladu ha y drugą do śladu Va danej płaszczyzny a. Następnie wykonaliśmy kład ha⁰ śladu poziomego ha na rzutnię pionową, a wraz z nim i kład /// punktu Ht. Prostopadła /?j°, wykreślona do ha⁰ w H(\ jest kładem linji największego spadu p t płaszczyzny a w odniesieniu do rzutni' poziomej. Kład p₂° linji największego spadup₂ (p₂' P±") płaszczyzny a, w odniesieniu do rzutni pionowej, schodzi się z p₂". Punkt Aj", będący przecięciem się prostych p^ i p₂°, rozwiązuje zadanie.

77. Podnoszenie płaszczyzn. Jako zadanie odwrotne kładu płaszczyzny występuje t. zw. podnoszenie płaszczyzny, przez które rozumiemy także obrót punktów i prostych, względnie wielokątów albo dowolnych linij, leżących na płaszczyznach rzutów około śladów danych płaszczyzn tak, aż padną na te płaszczyzny. Kilka przykładów rzecz najlepiej wyjaśni.

a. Przypuśćmy, że dany jest kład poziomo-rzucającej płaszczyzny a (ha Va) wraz z kwadratem, który na niej leży (rys. 233a). Znaczy to, że dane są: ślad poziomy haj prosta Va° _\_ ha jako kład śladu pionowego Va płaszczyzny a, a wreszcie kwadrat A⁰ B° C° D°. Podnieść płaszczyznę a z kładu w jej pierwotne położenie oznacza to samo, co wykreślić rzuty kwa-

dratu, leżącego na tej płaszczyźnie. Rzut poziomy kwadratu leży na śladzie poziomym ha płaszczyzny a. Ślad pionowy płaszczyzny a jest prostopadły do osi x w punkcie Xa. Rzuty pionowe A", B", C", D" wierzchołków kwadratu znajdziemy,

Va

B°

Vcc C",

Va,

c>

A°

odmierzając od osi x na promieniach vr    odnoszących ich

PC.

A"<

VÓ_\/no

Xa A-P

TT

x0"

x (Xß

vâ. À

A°A

/)

hccÂ

fB\ l

'B°

ha.

wysokości. I tak np. wysokość punktu A równa jest odcinkowi A° A', wysokość punktu B odcinkowi WW i t. d.

c°

D°

Rys. 233 b

Rys. 233 a

Wysokości poszczególnych punktówprzenieść można także za-pomocą łuków kół zakreślonych z punktu Xa i prostych równoległych do ha względnie x, jakto przeprowadziliśmy dla punktu B".

Jeżeli dany jest kład płaszczyzny a wraz kwadratem na rzutnię pionową (rys. 233 b), to rzuty tego kwadratu znajdziemy w sposób następujący: Rzućmy punkty C°, D⁰,... na oś x i przenieśmy te rzuty łukami kół o środku Xa na ślad poziomy ha, a otrzymamy rzuty poziome C',D'... wierzchołków kwadratu. Rzuty pionowe C", D"... są oczywiście punktami przecięcia się prostych odnoszących i śladów pionowych płaszczyzn obrotów, przechodzących przez punkty C°, D°.,. prostopadle do śladu Va, który jest osią obrotu. Uwzględniając, że boki kwadratu A° B° C° D° przecinają oś obrotu Va i że przez punkty te I, II i III przejdą także rzuty pionowe odnośnych boków, możemy znaleźć, wyznaczywszy w wyżej podany sposób C i C", dalsze punkty jak D", A" i B" przy pomocy tych właśnie punktów I, II i III.

b. Przyjmijmy proste ha i Va°, przecinające się w punkcie Xa na osi x (rys. 234 a) i uważajmy je za kład płaszczyzny a, dokonany około ha na rzutnię poziomą. Obróćmy płaszczyznę a około śladu ha jako osi obrotu tak, aż ślad pionowy Va° padnie na rzutnię pionową, czyli podnieśmy płaszczyznę a

w jej pierwotne położenie. Na prostej Va° bierzemy dowolnie punkt Vp\ przez który wykreślimy prostopadłą do ha, aż do przecięcia się z osią x w punkcie Vp'. Łuk koła, zakreślony promieniem Xa Vp¹ z punktu Xa jako środka, przetnie odnoszącą,

Ve

VI

Va

Xa

P"

Ka

Vp\

V'

P" \ <^Hß\ X

vx

fi’

\ A°

P‘

P°

/A°

p'

\Vd

Hp ha.

/ht

HP x ha

Rys. 234 a

Rys. 234 b

poprowadzoną w punkcie Vp[, w punkcie Vp. Prosta (Xa Vp) jest szukanym śladem pionowym płaszczyzny a. Jeśliby prócz Va⁰ dany był kład p° prostej leżącej na płaszczyźnie a, to wyznaczenie rzutów tej prostej, czyli podniesienie jej w przestrzeń w pierwotne położenie przeprowadzimy w sposób następujący: Punkt Hp (rys. 234 a) jest śladem poziomym prostej p, którego rzut pionowy Hp" leży na osi x. Punkt Vp° jest kładem śladu pionowego prostej p; znajdziemy Vp' i Vp i tym sposobem otrzymamy p' i p". Gdyby punkt A" na p° był dany, to rzut poziomy A' leżeć będzie na prostopadłej do ha.

c. Niechaj dana jest płaszczyzna a (ha Va), a na rzutni poziomej prosta p[); obróćmy prostą p około ha tak, aż padnie na płaszczyznę a. Postąpić możemy w dwojaki sposób: albo wykonamy kład śladu pionowego Va i zadanie sprowadzimy do poprzedniego, albo jak w rys. 234 b obrócimy dowolny punkt prostej p około ha o kąt, jaki płaszczyzna a zawiera z rzutnią poziomą. W tym celu przy pomocy poziomo-rzucającej płaszczyzny e (h& VeJ _!_ (x (ha Va) wyznaczymy kąt 9 płaszczyzny a z rzutnią poziomą, a następnie podniesiemy punkt A na płaszczyznę a, otrzymując jego rzuty A' i A"; (A', HP)=p\ a (A" Hp") = p".

nie waż proste a i b są równoległe, więc lin je 8a, 9a, 10a...y łączące punkty tych prostych o tych samych cechach, tworzą pęk promieni równoległych i są warstwicami płaszczyzny a, wyznaczonej te-mi prostemi. —

Około warstwicy 10a obróciliśmy punkt A prostej a na płaszczyznę warstwową Jt, ₀ i otrzymany punkt A" połączyli z punktem 10 prostej a'.

Prosta a° jest kładem prostej a, prosta b°// a" kładem prostej b na płaszczyznę jt₁₀. Odcinek n, prostopadły do obu otrzymanych prostych, wyraża odległość prostych równoległych a i b.

To samo zadanie, rozwiązane w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny, widzimy na rys. 238b. Znaleźliśmy ślad poziomy ha płaszczyzny a, wyznaczonej prostemi a i by a następnie wykonali kład tej płaszczyzny. W tym celu przyjęliśmy na prostej a (a' a") punkt A (A' A") i obrócili g© około ha na poziomą. Punkt A", połączony ze śladem Ha prostej a, daje prostą aQ; prosta b₀ przej dzie przez ślad Hb równolegle do a₀.

4. Z danego punktu A poprowadzić prostą, przecinającą daną prostą a i do niej prostopadłą.

a) Rzut cechowany. Jeżeli punkt A' (rys. 239a) ma cechę 5, to prosta 5cx, łącząca ten punkt z punktem 5 prostej aj jest warstwicą płaszczyzny a, wyznaczonej prostą a i punktem A. Punkt B (B' 6) obróciliśmy około 5« tak, aż padł na płaszczyznę warstwową n6y a w ten sposób otrzymaliśmy kład a° prostej a.

b’

8a

A"

A*

9a x HU

■a°

'a'

a.) poA

XB'(6)

Sa

<5"

b”/

HZ

10

w.

-tłL

łf

J⁵'

JOa

ha

1 o-s 0    1    2 3m

Rys. 238 a

:    5,

Ha

A’/!A'

b°

A'(S)

4°

/    3’

a°

Rys. 238 b

S}

S'

/ os O

bssi JTT.ŁtTT-1 -j—

2m

b.)

KP°

yc°

ya

P"

ap

CA

.Ar

. Vc/^

và m

a¹

,C'

P'

Rys. 239 a i b

A°

A" \

j-i

A'

*■>

Z punktu A! wykreślimy prostopadłą do a{\ którą następnie podniesiemy na płaszczyznę a. W tym celu rzucimy punkt P° w kierunku prostopadłym do 5a na prostą a' i otrzymany punkt F połączymy z A'. Odcinek A' P' jest rzutem odcinka, prostopadłego do prostej a i przecinającego tę prostą. Odcinek A! P° wyraża odległość punktu A od prostej a.

b) R z u t y M o n g e’a (ry s. 239 b). Przez dany punkt A (A' A") kreślimy prostą c (ć c"), równoległą do danej prostej a (a' a"). Szukamy śladu pionowego Va płaszczyzny a = (a c) i wykonamy jej kład, otrzymując punkt .4° i proste c° i a°. Z punktu A" kreślimy prostopadłą do a°, a odcinek A° P° równy jest odległości punktu A od prostej a. Prostopadła wykreśLona JZ P°

do Va przecina a" w punkcie P", który odniesiemy na a' jako P'. Odcinek AP

b”

a"

prr

P*

KP”

"Pnn

"    (A' P\ À" P") roz-

x wiązuje zadanie.

78. Kąt nachylenia dwóch prostych.

a) Proste przecinające się. jeżeli dane są proste a (a' a") i b(b' b") (rys. 240 a), to po wykonaniu kładu płaszczyzny a, wyznaczonej temi prostemi, na jedną z rzutni, albo na płaszczyznę równoległą do rzutni, otrzymamy prawdziwą wielkość kątów, jakie proste te tworzą. Wyznaczywszy ślad poziomy ha — płaszczyzny a, obrócimy około nie-    ^——-

go punkt P (F F'), aż padnie na 3*_<1

rzutnię poziomą. Proste a° i b°, łączące punkt P° ze śladami Hd i Hbf tworzą kąt cp rozwiązujący zadanie.

W rys. 240 b wykonaliśmy kład prostych a i b na płaszczyznę ty, równoległą do rzutni pionowej. Osią obrotu jest w tym przypadku prosta m (mr m"), będąca krawędzią płaszczyzny ty i płaszczyzny a = (a b).

Ha'

h\lr_

P’

''Ha \a° \ lb°

P°

Rys. 240 a

b"

A’

nr

"a’

b’

Rys. 240 b

P’(5),

of

p°

1 o-s 0.

1-3

2cc

2    3    4-m

Rys. 241

Rozwiązanie zadania^ w rzutach cechowanych podaje rys. 241, gdzie kład prostych a i b wykonaliśmy na płaszczyznę warstwową Jt₂. Osią obrotu jest warstwica 2a, à odcinek P' Px równy jest trzem jednostkom długości.

bx/a"

A”)

£c'

A*

b) Proste skośne. Przez kąt nachylenia dwóch prostych skośnych rozumiemy kąt, jakie tworzą dwie proste, przechodzące przez dowolnie obrany punkt w przestrzeni, równolegle do danych prostych skośnych. Jeżeli na jednej prostej np. a (a' a") (rys. 242) obierzemy punkt A (A' A"), przez który poprowadzimy prostą c (c' c") równoległą do drugiej prostej b (b' b"), to kąt cp, jaki tworzą proste a i c, rozwiązuje zadanie.

80. Ćwiczenia.

1. Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych skośnych a i b, które mają następujące położenia:

A'/y

Hc

3/

-''ha.

Jle C°

Ha

a»

Sr

A°

Rys. 242

\%

a) a dowolne, b // % ; b) a//nlf b//jr₂; c) aJ_jrt, b dowolne; d) a dowolne, b = x.

2.    Na pionowo-rzucającej płaszczyźnie a (ha pa) dany jest punkt S (S' S"), jako środek szcściokąta umiarowego, leżącego na tej płaszczyźnie; wyznaczyć rzuty tego wielokąta, jeśli długość boku jest dana.

3.    Wykreślić rzuty trójkąta równobocznego, leżącego na płaszczyźnie a, jeżeli:

a) ai*„ b) cc _j_ jt₂, c) a//a:, d) a = 0/, e) a = S//t

4.    Wyznaczyć rzuty pięciokąta umiarowego, leżącego na płaszczyźnie a, która zajmuje położenie określone w zadaniu poprzedniem.

5.    Dane są rzuty trójkąta, leżącego na płaszczyźnie cc (ba va); wyznaczyć prawdziwą wielkość tego trójkąta, jeżeli

a) a//cc, b) a// §/, c) cc_L.cc, d) a//§;/-, e) a = bj, f) a — bjj, g) a przechodzi przez x i punkt P (P' P"), leżący w drugiej, trzeciej lub czwartej części przestrzeni.

6.    Na płaszczyźnie a    {ha ua)    leży czworokąt    A B CD,    którego rzut

pionowy jest dany (rys. 110 a — 1, str.    59). Wykreślić    drugi rzut    tego czworo

kąta, a następnie wyznaczyć jego prawdziwą wielkość.

7.    Na płaszczyźnie a    (/ia ca),    nachylonej do    obu rzutni, leży trójkąt

ABC, którego rzut poziomy    jest dany. Wykreślić rzut    pionowy i    rzuty punk

tów osobliwych tego trójkąta.

Uwaga. Punkt przecięcia się wysokości, środek ciężkości i środek kola opisanego leżą na jednej prostej.

8.    Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych przecinających się Z i m i rzuty dwusiecznych tych kątów, jeżeli:

a)    l II xo m dowolna;

b)    l II Jtj, m 1/

c)    / // *„ m // x;

d)    l // jtj, m _L x.

9.    Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli punkt przecięcia się A prostych Z i m leży w II, III i IV części przestrzeni, a także gdy leży na ój, bjj,

10.    Dana jest płaszczyzna a {ha ua) i płaszczyzna ß = (/ m); na krawędzi obu płaszczyzn wyznaczyć punkty równo oddalone od prostych / i m.

11.    Dana jest płaszczyzna cc (Zia ua), oraz trzy punkty A (A' A"), B (Br B'r) i C (C' C"), nie leżące na tej płaszczyźnie. Wyznaczyć na płaszczyźnie cc punkt równo oddalony od tych trzech punktów.

12.    Dane dwie proste / // m. Wyznaczyć rzuty takich prostych p równoległych do danych, aby odległość prostych / i p wynosiła 5 cm, a prostych m i p 3 cm. Ile rozwiązań ma zadanie?

13.    Na danej prostej / (/' Z") wyznaczyć punkty, oddalone od danego punktu A (A' A") o daną odległość.

81. Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną. W określeniu kąta nachylenia prostej z płaszczyzną, podanym w ust. 14, mieszczą się dwa sposoby rozwiązania zadania.

y\p

vii

P’ Qi

Rys. 243.

1. Sposób. Wyznaczymy kąt cp, jaki prosta p zawiera ze swoim rzutem na daną płaszczyznę e. W tym celu wyznaczymy punkt przebicia się P (rys. 243) prostej p z e, a następnie rzut prostokątny Qv dowolnego punktu Q na płaszczyznę e. Prosta plt łącząca punkty P i Ql} jest rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę e i tworzy z nią kąt cp, który nazywamy kątem nachylenia prostej p z płaszczyzną e. Rozwiązanie zadania w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny podaje rys. 244. Prosta p (pr p") przebija płaszczyznę e (he Ve) w punkcie P (P' P"), który znaleźliśmy przy pomocy płaszczyzny pionowo-rzucającej a (ha Va). Z punktu Q (Q' Q") prostej p wyprowadziliśmy prostopadłą q (q' q") do płaszczyzny e i znaleźli jej punkt przebicia się Qi (Qi Q")- Prosta pl (pi 'pi'), łącząca punkty Pi Qlt jest

rzutem prostej p na płaszczyznę e. Około śladu pionowego vY płaszczyzny y, wyznaczonej prostcmi p i q, dokonaliśmy kładu

'\yr

VE

b"

a*

Vct

Ha

\x

/ ; \

I7i®

IS

\ >"•

Ty

Qx

; wpo

V \ i

Hä

Ai

Ma

"VP

; \n

<?

Ht

//

>P

Ai

ha

Q°

p\rr

Ia

II

Q'i

Q' \

p°\ pi\

P’

<b

Hb

Rys. 244

tej płaszczyzny, a w szczególności kładu prostych p i pt. Kąt cp, zawarty między p° i pt'\ rozwiązuje zadanie.

2. Sposób. Z dowolnego punktu Q prostej p (rys. 245) prowadzimy prostą q prostopadłą do płaszczyzny e, a kąt cp, uzupełniający kąt Ąr zawarty między prostemi p i q, jest szukanym kątem. —

W rysunku 245 wykonaliśmy kład płaszczyzny y, przechodzącej przez proste p i q, na rzutnię pionową, a otrzymany kąt Ąr uzupełnili do 90°, otrzymując kąt cp.

yz

.YS.

M±

Va

P°

Q"

P”

Qx

A,

Ho

Mi

vq

ro

yf

OPsr-

po]

Cl’

hi

jy

Rys. 245

82. Zadania.

1. Wyznaczyć kąt, jaki płaszczy na a(haVa ) zawiera z osiąx.

1. Sposób. Dowolny punkt A osi x (rys. 246a) rzućmy prostopadle na płaszczyznę a, a otrzymany punkt A. (Aj Aj')

p" yyy

/ .y A°-

Ita/

/T75^-—’

P\

p°

P°

ml

zp

Xa

Q,

V4 5'

-<k-

Xefc,

p'\pn

A-'

/J

/p'

P7 hy

Àf'"T

ha

P' ha

Rys. 246 a

Rys. 246 b

połączmy z punktem Xa prostą m (m' m"). Prosta ta jest rzutem osi x na płaszczyznę a, a kąt, jaki tworzy z tą osią,

rozwiązuje zadanie. Celem wyznaczenia prawdziwej wielkości tego kąta wykonaliśmy kład /72° prostej m około x na rzutnię pionową, otrzymując < cp = m x.

2. Sposób. Z dowolnego punktu A Y osi rzutów prowadzimy prostopadłą P (p' P") do płaszczyzny a (ha Va) (rys. 246b) i znajdziemy kąt, jaki ona zawiera z osią rzutów. W tym celu obrócimy dowolny punkt

X Hni

Hrr»

/, A* ■ na

.'Va

P"

A",

HpjVp

/ \

/ H"V’\

m",

HT

nr

A’ \

P’

z/

V‘

\p°

Vm

Zp"-

A'"

VP”

-sjw

Hm

U">

rim

mo

Rys. 247

P prostej p około osi x na rzutnię pionową. Kąt cp, uzupełniający do 90" otrzymany kąt jest szukanym kątem.

2. Wyznaczyć kąt, jaki dowolna prosta m (nć m") zawiera z płaszczyzną dwusieczną S//. Wyznaczmy rzut boczny m" danej

prostej (rys. 247), a także ślad boczny kb płaszczyzny dwusiecznej. Z dowolnego punktu A (A' A" A'") prostej m poprowadźmy prostopadłą p (p' p" p"') do płaszczyzny ó;/ i znajdźmy kąt, jaki prosta ta tworzy z prostą m. W tym celu wyznaczyliśmy ślady poziome Hm i Hp obu prostych i ślady ha, Va płaszczyzny a, na której łeżą. Wykonawszy kład tej płaszczyzny na rzutnię

poziomą, otrzymamy proste /7Zrt i po, a kąt cp, uzupełniający kąt ty tych prostych, rozwiązuje zadanie.

AT,

A"

m°/ /m”

\Pm

P'y

Va-

f* '

Hm

3. Wyznaczyć kąt nachylenia prostej p (p' p") z płaszczyzną a (ha Va), przyczem położenie

B*

Un/y

■ \

/pa

/ku

Xcc x

prostej jest takie, że rzuty jej he schodzą się ze śladami płaszczyzny (rys. 248). Dla zorjentowa-nia się co do wzajemnego położenia prostej i płaszczyzny, wyznaczyliśmy rzut boczny p'" prostej p i ślad boczny ka płaszczyzny cc. Następnie z punktu B (B' B") prostej p (p' p") poprowadziliśmy prostopadłą m (m'm") do a i wykonali kład płaszczyzny e (h& ve), wyznaczonej prostemi p i m, na rzutnię pionową. Kąt cp, uzupełniający kąt m₀ p₀, jest rozwiązaniem zadania.

y_

Ya

k—k~

0 Hm Vm

P'

Ya

A'

hu

m'

Rys. 248

położeń:

83. Ćwiczenia.

Wyznaczyć kąt nachylenia prostej p z płaszczyzną a dla następujących

a) a J_ jrt, p dowolnie; b) a J_ jt₂, p//jrt ; c) a//do x, p dowolnie; d) a//8/, p // % ; e) a = blt p dowolnie; i) a dowolnie, pl/x.

84. Kąt nachylenia dwóch płaszczyzn. Ogólnie omówiliśmy rozwiązanie tego zadania w ust. 74. Sprawa da się jednak pod względem konstrukcyjnym znacznie uprościć.

1. Sposób. W punkcie A krawędzi k płaszczyzn a i ß (rys. 249), poprowadzona płaszczyzna prostopadła e, przecina płaszczyznę a w prostej (A, M), zaś płaszczyznę ß w prostej A N, przyczem ślad poziomy he tej płaszczyzny jest prostopadły do rzutu lć krawędzi k i przecina go w punkcie P. Kąt MAN jest szukanym kątem. Prosta A P, leżąca na płaszczyźnie poziomo-rzucającej Hk A P i na płaszczyźnie e, jest pro-

stopadłą do krawędzi k i do śladu he; w istocie k, jako prostopadła do e, jest prostopadłą do A P, a ślad he prostopadły do k' jest prostopadły do płaszczyzny rzucającej HkAP, a więc

i do prostej AP.

Przystąpmy do rozwiązania zadania w rzutach prostokątnych (rys. 250 a). Wyznaczmy rzut poziomy k' krawędzi k, danych płaszczyzn a i ß, a w punkcie dowolnym P wykreślmy he Lk\ jako ślad poziomy płaszczyzny prostopadłej do krawędzi k. Wykonajmy kład kx krawędzi k na rzutnię poziomą (porównaj rys. 249 z rys. 250a) i wykreślmy z punktu P prostą (P, Ax) lkx, a otrzymany punkt Ax przenieśmy lukiem koła o środku P na k'. Punkt A połączymy z punktami M i N, a kąt M A° N = * cp rozwiązuje

a/K

Vk

U2

Va

yp

Vk

A.

ha

A)P\vX^<N

'A⁰

VJ/

Hk

he

Rys. 249

Vk

Vk

Va.

yp

Va

Voi

yp

Hk/

Wr

IX

HP

VU

k’/

S,

hcà

hp

y'k*

A.

Vit

hà\

L ra/w

bIa'p

\s

A⁰/

Pt

:n y'k*

ht''"

Pt

Hk

Hk

Rys. 250 a

Rys. 250 b

zadanie. Rzuty kąta cp otrzymamy, gdy znajdziemy rzuty A' i A" jego wierzchołka A. Prostopadła wykreślona z Ax do k' przecina ją w punkcie A', który jest wierzchołkiem rzutu poziomego kąta cp, którego ramiona przechodzą przez M i N. Punkt A' odniesiony na k" i połączony z punktami M" i N" wyznacza kąt M" A" N", będący rzutem pionowym kąta cp, jaki tworzą płaszczyzny a i ß.

Wykreślmy dwusieczną s° kąta cp (rys. 250 b) i połączmy punkt przecięcia się B~(s°, he) z punktem Hk. Otrzymana prosta ha jest śladem poziomym płaszczyzny dwusiecznej o, której ślad pionowy przejdzie przez punkt Vk.

K''

PA

fi

2. Sposób: Z dowolnego punktu M prowadzimy prostopadłe pt i p₂ do danych płaszczyzn cc i ß (rys. 251).    /

Rys. 251

Proste te wyznaczają płaszczyznę e \ prostopadłą do obu danych, a więc i prostopadłą do ich krawędzi k. Oznaczmy proste przecięcia się płaszczyzny e z a i ß przez a i b, to kąt cp, jaki tworzą te proste, przecinające się w punkcie A, jest kątem danych płaszczyzn.

P2

Z Rys. 251 czytamy:

w*

Va

4-    = 180° i + ty = 180°

. Mt-

p<

ha.

ij A⁵

a stąd cpt = cp, to znaczy, że wielkość kąta dwóch płaszczyzn — wyraża kąt, którego wierzchołkiem Jest dowolny punkt przestrzeni, a którego ramiona są prostopadłe do tych płaszczyzn.

Rys. 252

Rozwiązanie zadania w rzutach Monge’a podaje rys. 252. Wykreśliwszy z dowolnie przyjętego punktu M (M' M") prostopadłe pt (p/pt") i p₂ (p₂f p₂") do płaszczyzn a (haVa) i ß (7zß vßj, wykonaliśmy kład płaszczyzny e = (pit p.J około jej śladu pionowego ve na rzutnię pionową, otrzymując szukany kąt cpt = cp.

85. Zadania.

1. Obrócić dany punkt A (A' A") około osi m (nć m") tak, aby padł na daną płaszczyzną a (ha Va). Poprowadźmy przez punkt A (rys. 253) płaszczyznę e (he ve) prostopadłą do prostej m i wyznaczmy punkt przebicia się S (S' S") tej prostej z s, a także krawędź k (k' k") płaszczyzn a i e. Jeżeli promieniem 5 A ze środka obrotu 5 zakreślimy koło, to punkty przecięcia się At i A₂ tego koła z krawędzią k rozwiązują zadanie. W celu otrzymania tych punktów wykonaliśmy kład płaszczyzny e

wraz z punktami A, 5 i prostą k na rzutnię pioziomą, gdzie

promieniem S° Au zakreślimy koło, które przecięło prostą k°

w punktach At° i i4₂°. Punkty te odniesione na prostą k(k' k") dają rzuty A/ i A/', A/ i A₂" punktów A i A₂, spełniających Xe żądany warunek. Jeżeli prostak przecina koło, to zadanie posiada dwa rozwiązania rzeczywiste, jeżeli prosta k jest styczną do koła to otrzymamy jedno rozwiązanie, a gdy prosta k nie przecina koła w punktach rzeczywistych, to nie posiadamy rzeczywistych rozwiązań.

Äa

H"y

m>

h₇

■.....T*

HX

a'v

Sy

■^AS

AV

'r

Ve

mn

S'ÙxVl

*AÏ

'-.'k

//

//

/k'

y/At.

S'/

rn/o

Hk

ha,

Rys. 253

Vh

AÏ

■ VC°

S°

A⁰

Va

V-

2. Między dwie proste a i b wstawić dany odcinek m, równoległy do danej płaszczyzny e. Przypuśćmy, że żądany odcinek m = MN wstawiliśmy między proste a i b (rys. 254), przyczem jest m // e. Poprowadźmy prostą (N, P) II a, to płaszczyzna przechodząca przez proste b i (N,P) jest równoległą do prostej a i przecina daną płaszczyznę s w prostej q. Oczywiście, że PPt = M N = m. Zadanie rozwiążemy więc w sposób następujący: Wyznaczywszy punkt przebicia się Px prostej a z płaszczyzną e, zakreślimy z niego jako środka, promieniem równym danemu odcinkowi m,

'CLI

Nu

'b

a'

m.

[N

A,

Ptp

,a

Rys. 254

koło, a przez prostą b poprowadzimy płaszczyznę równoległą do a. Płaszczyzna ta przetnie płaszczyznę e w prostej q, a ta znowu koło w punktach P i Q. Równoległe do a, wyprowadzone z punktów P i Q, przetną prostą b w punktach N i Nt. Prosta, wyprowadzona z punktu N równolegle do PPt, przecina a w punkcie M, przyczem odcinek MN = m rozwiązuje zadanie. Podobnie prosta, wyprowadzona

Cy

Va

Ve

Vjy

Pt

qo 1

Hd

VL

HZ

3'-

hß

P*

----

-Bj

e/ky'

N"

P? i

«.........

.......

Pè

■*/

■a

Q"'

Vé \w

He

=b/ v'

A i A

321/

Ü.....

......4*

hy

Rys.

K r /? x

Ul

Vp

Cr

z Nt równolegle do P, Q, przecina prostą a w punkcie Af, przyczem odcinek MtNt = m stanowi drugie rozwiązanie zadania.

Przeprowadzenie konstrukcji w rzutach prostokątnych podaje rys. 255, którego studjum pozostawiamy czytelnikowi. Zauważymy tylko, że dla wyznaczenia płaszczyzny, przechodzącej przez prostą b (b' b") równolegle do a (a' a"), wzięliśmy pod uwagę prostą c (ć c") // a (a' a") a przecinającą b (b' b") w punkcie B (B' B"), przyczem przyjęliśmy c' = a\

od dwóch danych punktów w przestrzeni, a mianowicie A i B. Przedewszystkiem rozważmy sprawę następującą: Przyjąwszy proste skośne m i p (rys. 256), a na pierwszej punkty A i B, odpowiedzmy na pytanie, kiedy i pod jakimi warunkami punkty A i B będą równo oddalone od

Prosta c przebija płaszczyznę e (he Ve) w punkcie C (C C"), a prostą b w punkcie PÀ (P./ P₂"). Punkty te wyznaczają prostą q(q' q").

Jeżeli prosta q nie przecina kota zakreślonego z punktu Pt promieniem m, to zadanie nie fta rozwiązań rzeczywistych, odcinek m jest za krótki. Jeżeli prosta q jest styczną do kota, to wówczas otrzymamy tylko jedno rozwiązanie.

3. Przez punkt P płaszczyzny jc wykreślić na niej prostą, równo oddalort

Mi

Ai

d\pj

X,

Rys. 256

prostej p. W tym celu poprowadźmy przez prostą p płaszczyznę Jtj równoległą do prostej m i znajdźmy rzut prostokątny ml prostej m na tę płaszczyznę, a to przez wyznaczenie rzutów Ax i Bv punktów A i B. Rzućmy jeszcze punkty A i B prostopadle na prostą p i połączmy otrzymane punkty C i D, pierwszy z Ait drugi z Bx. Niechaj MMX jest wspólną prostopadłą do prostych m i p i niechaj ÄM = MB, to wówczas A~M\ - MVB , A C = B D a także ~A C = B D, trójkąty bowiem AAXC i BBtD będą przystające. Ponieważ odcinki A C i B D są oddaleniami punktów A i B od prostej p, więc widzimy, że: aby dwa punkty A i B, prostej m, były równo oddalone od innej prostej p, to potrzeba i wystarcza, aby punkty te były równo oddalone od wspólnej prostopadłej obu prostych. I nawzajem, skoro dwa punkty prostej m są równo oddalone od prostej p, to wspólna prostopadła tych prostych przecina prostą m w środku M odcinka AB.

W ten sposób zadanie nasze wykreślenia na danej płaszczyźnie Jt, przez dany punkt P, pros'ej równo oddalonej od dwóch danych punktów A i B w przestrzeni, sprowadza się do wyznaczenia na płaszczyźnie jt takiej prostej p przechodzącej przez punkt P, aby wspólna prostopadła do p i m = (AB) przeszła przez środek odcinka A B.

W tym celu poprowadźmy przez środekodcinka AB (rys. 257) płaszczyznę e prostopadłą do niego i wyznaczmy krawędź k płaszczyzn e i n.

Rzućmy następnie punkt M prostopadłe na płaszczyznę n, a na średnicy P zakreślmy koło. Prostep ipt, łączące punkt P z punktami przecięcia się N i Nt krawędzi k z tym kołem, spełniają żądany warunek i rozwiązują zadanie. W istocie bowiem prosta (M, N), jako leżąca na płaszczyźnie e (eiAB), jest prostopadłą do À B ; następnie prosta p jest prostopadłą do* '}NMlt gdyż ^ PNMv wspiera się] na średnicy,^ a^nadto p jest prostopadłą do MM gdyż MM, jest prostopadłą do Jt. Wobec tego prosta p jest prostota    padłą do płaszczy

zny MM^N, a za-Hi!    tern i do prostej

vń    \    MN. Ta ostatnia

_\

/NP

P'

A")

Cl

A--

Mi

Rys. 257

Vs

Va

rn

te

m"t

Vk

P"t

/vr\

M"

Và] Vk

a"

n;

p"

■i"

NP"

n"

N"

Hä /

Hc

'B

\a'

P>'

a° Hc

M?

Vi\

ha

__ Vk°l

A'

k°

\ \N,°

mr*

jest wspólną pro-, stopadlą do pro-stMch (A> B) ¹ P>

a ponieważ przechodzi przez śro-hx dek M odcinka A B, więc prosta p jest równo oddaloną od

v,i\

p°

Rys. 258

punktów A B i rozwiązuje zadanie. Z tych samych powodów prosta p

czyni również zadość postawionemu warunkowi.

Jeżeli prosta k byłaby styczną do koła, to zadanie posia-

dałoby tylko jedno rozwiązanie; gdyby krawędź k nie przecięła koła, zakreślonego na średnicy PMlf to zadanie nie posiada żadnego rozwiązania rzeczywistego. Jeżeli odcinek AB jest równoległy do płaszczyzny n, to punkt M± pada na prostą k> a wówczas otrzymamy zawsze dwie proste rozwiązujące zadanie; jedna przejdzie przez punkt Mn a druga będzie do niej prostopadłą.

Rozwiązanie omawianego zadania w rzutach prostokątnych podaje rys. 258, gdzie punkt B (B' B") przyjęliśmy w czwartej części przestrzeni.

86. Ćwiczenia.

1. Obrócić punkt A około danej prostej m tak, aby po obrocie padł na daną płaszczyznę a. Prosta m i płaszczyzna a mają następujące położenia:

a)    m J_ *i, « J_ jr,;

b)    m J_ jr,, a J_

c)    m _L *i, a //

nj » cc // «i ;

g)    m±n j, a// x,

h)    m leży na nif a = 8/ ; i ) m leży na 8//, cc = 8// ; j) m leży na 8//, a//8/;

d)    m

e)    m _L jt₂₎ a dowolnie położona; k) m // 8/, a = bi; i) m J_ ff|, cc

1) m // 8/, a EE 8//;

padkach.

2. Wyznaczyć kąt nachylenia płaszczyzn a i ß w następujących przy

a) cc    ß JL «j;

’\b) cc dowolna, ß I jt₂ :

c)    a H x, ß dowolna ;

d)    « // x, ß _L ;

e)    a J_ «lf ß= 8/;

1) CC _!_«!, P = 8//;

g)    CC_Ljr,, ß =8//;

h)    a // *,, ß dowolna;

i)    cc = 8/; ß dowolna; k) a = 8//, ß dowolna.

3.    Dane są dwie płaszczyzny a, ß i prosta p; wyznaczyć na tej prostej punkty równo oddalone od tych płaszczyzn.

4.    Dane są dwie płaszczyzny a, ß i trzy punkty A, B, C; wyznaczyć punkty równo oddalone od obu płaszczyzn i od danych punktów. (W środku koła opisanego na trójkącie ABC poprowadzimy prostopadłą do płaszczyzny trójkąta i znajdziemy punkty przebicia się z płaszczyznami dwusiecznemi).

5.    Dane są dwie proste równoległe a, b i trzecia prosta c] skośna względem dwóch pierwszych; wyznaczyć prostą, która przecina wszystkie trzy dane, a jest równoległą do rzutni poziomej. (Przez punkt przebicia się P prostej c z płaszczyzną cc = (a, b) poprowadzimy płaszczyznę poziomą it; krawędź płaszczyzn cc i n rozwiązuje zadanie).

6.    Znaleźć prostą równo oddaloną od trzech danych prostych równo

ległych.

7. Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są równo oddalone od obu śladów danej płaszczyzny a ua), oraz od tej płaszczyzny i od rzutni poziomej. (Przez dwusieczne dt i dj kąta-^(ha Da), jaki tworzą ślady płaszczyzny a, poprowadzimy płaszczyzny ßt i ßj prostopadłe do płaszczyzny a. Płaszczyzny dwusieczne Yi i Yj kąta, jaki dana płaszczyzna a tworzy

z rzutnią poziomą, przecinają się z płaszczyznami ßj i ß, w żądanych

prostych.

8. Dana jest prosta a i trzy punkty A, B, C; obrócić punkt A około

prostej a tak, aż będzie równo oddalony od B i C. (Przez A poprowadzimy płaszczyznę a prostopadłą do a i wyznaczymy punkt przebicia się S = a . a. Promieniem SA zakreślimy na a koło i znajdziemy krawędź płaszczyzny a z płaszczyzną symetrji odcinka B C. Punkty przecięcia się tej krawędzi z kołem rozwiązują zadanie).

87. Rzuty wielościanów. Poznanie metody obrotów i kładów umożliwia nam zajęcie się pewną grupą utworów przestrzennych, jakimi są, znane nam z nauki stereometrji, wielościany. Wiadomo, że przestrzeń, ograniczona ze wszech stron płaszczyznami, stanowi wielościan. Prostą przecięcia się dwóch płaszczyzn ograniczających wielościan, nazywamy krawędzią tego wielościanu. Krawędzie te tworzą wielokąty, ograniczające wielościan i tworzące jego ściany. Do najprostszych wielościanów należą ostrosłupy i graniastósłupy.

Wielościan ograniczony dowolnym wielokątem i trójkątami, mającemi jeden wierzchołek wspólny, nazywamy ostrosłupem. Ów wielokąt nazywa się podstawą, a boki tego wielokąta krawędziami podstawy. Wspomniane wyżej trójkąty stanowią ściany boczne ostrosłupa, a ich boki, z wyjątkiem tych, które stanowią krawędzie podstawy, nazywamy krawędziami bocznemi. Wszystkie krawędzie boczne schodzą się w punkcie, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Odległość wierzchołka od podstawy nazywamy wysokością ostrosłupa. Ostrosłup, którego wszystkie krąwędzie boczne są równej długości, określać będziemy mianem prosty, w odróżnieniu od ukośnego, który warunku tego nie spełnia. Ilość ścian bocznych ostrosłupa nadaje mu miano; mówimy tedy o ostrosłupie trójściennym, czworościennym i t. d., zależnie od tego, czy trójkąt, czworokąt, czy też inny wielokąt stanowi jego podstawę. Podstawa i wierzchołek wyznaczają ostrosłup, stwarzają bowiem warunki, umożliwiające wyznaczenie brakujących krawędzi i ścian bocznych.

Wielościan ograniczony dwoma przystającemi wielokątami i równoległobokami, których ilość równa jest ilości boków wielokąta, nosi nazwę graniastosłupa. Owe dwa przystające wielokąty stanowią podstawy, a równoległoboki ściany boczne graniastosłupa. Boki wielokątów podstawowych nazywamy krawędziami podstawy, a boki równoległoboków, nie schodzące się z bokami podstaw, krawędziami bocznemi gra-niastosłupa. Odległość płaszczyzn podstawowych nazywamy wysokością graniastosłupa. Graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, określać będziemy jako prosty; inaczej graniastosłup jest ukośny. Ściany b iczne graniastosłupa prostego są prostokątami, graniastosłupa ukośnego równoległobokami. Zależnie od ilości ścian bocznych, mówimy o graniastosłupie trójściennym, czworościennym i t. d. Z określenia graniastosłupa wynika, że jedna podstawa i jedna krawędź boczna, wyznaczają go w zupełności. Graniastosłup, którego jedna tylko podstawa i ściany boczne są dane, nazywać będziemy nieograniczonym.

Weźmy pod uwagę dowolny wielościan, np. ostrosłup czworościenny, którego podstawa znajduje się na rzutni poziomej i wiązkę promieni prostopadłych do tej rzutni. Pewne promienie wiązki przebiją ostrosłup i te będziemy nazywali siecznemi, inne łeżeć będą zewnątrz ostrosłupa, a wreszcie będą i takie, które przecinać będą jedynie krawędzie ostrosłupa i te nazywać będziemy stycznemi. Każda styczna wyznacza z krawędzią, którą przecina, płaszczyznę styczną wielościanu. Wszystkie te płaszczyzny styczne utworzą graniastosłup, którego ściany przechodzą przez pewne krawędzie wielościanu. Krawędzie te stanowią zawsze zamkniętą linję łamaną w przestrzeni, czyli wielokąt przestrzenny, który nazywamy zarysem albo konturem uważanego wielościanu. Na zarys wielościanu składa:ą się więc takie jego krawędzie, których płaszczyzny rzucające nie przecinają wielościanu. W odniesieniu do rzutni pionowej otrzymamy drugi kontur wielościanu, podobnie jak w odniesieniu do rzutni bocznej. Wiadomo (ust 53), że rzut poziomy jest widokiem z góry z odległości nieograniczenie dalekiej, że rzut pionowy jest obrazem przedmiotu, na który patrzymy w kierunku prostopadłym do rzutni pionowej z odległości nieograniczenie dalekiej, czyli, jak mów my, z przodu. Wreszcie rzut boczny jest równoznaczny z widokiem z boku, w kierunku prostopadłym do rzutni bocznej, zawsze z odległości nieograniczenie dalekiej. Przy założeniu, że wielościan nie jest przeźroczysty, kontur jego oddziela, w odniesieniu do każdej rzutni, część widoczną od niewidocznej.

Rzut wielościanu na daną rzutnię otrzymamy, znajdując rzuty wszystkich jego krawędzi, a więc także i jego zarysu. Rzuty krawędzi widocznych, do których należą zawsze krawędzie konturowe, wykreślać będziemy linjami pełnemi, w odróżnieniu od rzutów krawędzi niewidocznych, rysowanych zawsze linjami kreskowanemi.

Zastosujmy te uwagi do przyjętego już wyżej ostrosłupa ukośnego, którego podstawa A B C D spoczywa na rzutni poziomej (rys. 259). Jeżeli W (W' W" W'") jest wierzchołkiem ostrosłupa, to konturem jego w odniesieniu do rzutni poziomej będzie wielokąt przestrzenny W B A D C W, odgraniczający część widoczną od niewidocznej. W szczególności ściany W B A, WAD i W D C są

w rzucie poziomym widoczne, zaś ściana W B C i podstawa ostrosłupa są niewidoczne. Krawędź B C, jako należąca do dwóch ścian niewidocznych, jest niewidoczną i dlatego wykreskowaną. Zarys dla rzutu pionowego jest linją łamaną W A D C W. Krawędź WB jest w tym rzucie niewidoczną. W rzucie bocznym, na który patrzymy w kierunku s₃, nie jest widoczną krawędź boczna W A.

Hr,,GmEw F'

F Hn F G*

W%

\s,

'/

Bm Av BV D",

C"\ x

S3

\s 2 o

Rys. 259

C"

6/

AZDZ B'Z C",

>....... D

y    f⁵²

Rys. 260

7'

H'

S3

G}

<o

Rys. 260 przedstawia rzuty czworościennego graniasto-

sł pa ukośnego, którego podstawa A B C D leży na rzutni poziomej.

88. Przykłady.

1. Wyznaczmy rzuty prostego ostrosłupa, którego podstawa, dowolny czworokąt, spoczywa na płaszczyźnie poziomo-rzucającej, a którego wysokość jest dana.

Wiadomo, że krawędzie boczne ostrosłupa prostego są równej długości, a ponieważ wszystkie przechodzą przez jeden punkt, wierzchołek, więc rzuty tych krawędzi na płaszczyznę podstawy będą odcinkami równej długości. Kby warunek ten mógł być spełniony, wielokąt podstawy musi być wpisany w koło, a rzut wierzchołka ostrosłupa schodzić się ze środkiem tego koła.

Jeżeli e (he vE) jest płaszczyzną podstawy (rys. 261), to czworokąt A'" B'" Cr,r D'" wpisany w koło wraz z bo-

kami S"' A"\ S⁷⁷^⁷⁷⁷, S"r~CF/ i S'" U" jest kładem rzutu ostrosłupa na płaszczyznę s, dokonanym na rzutnię poziomą. Kład ten uważać można za trzeci (boczny) rzut ostrosłupa. Podniesiemy podstawę wraz * ze środkiem «S koła na płaszczyznę e; w punkcie S (S' S") wyprowadzimy prostopadłą do e i odmierzymy na niej odcinek S W równy danej wysokości. Skonstruowany w ten sposób v wierzchołek W (W W") połączymy \ z wierzchołkami czworokąta podsta-I wy, otrzymując rzuty ostrosłupa. Z łatwością zauważymy, że w rzucie poziomym krawędź D W, a w rzucie pionowym krawędź C W *są niewidoczne.

W*

W"

hs

ja-

\\ \

8”

Ę-

<c

JKB’

A*¹

w*

(sm

Rys. 261

2. Wykreślić rzuty prostego ostrosłupa, którego wierzchołek znajduje się w środku układu, a podstawa, będąca umiarowym pięciokątem, leży na danej płaszczyźnie a (ha va ka) (rys. 262).,

Znajdziemy punkt przebicia się O (O' O" O") prostej P (p' P" P'")> wyprowadzonej ze środka układu prostopadle do płaszczyzny a. Po wykonaniu kładu płaszczyzny a wraz

z punktem O na rzutnię poziomą, wykreślimy pięciokąt A⁰.... E° i podniesiemy go na tę płaszczyznę, kreśląc jego rzut poziomy, pionowy i boczny. Rzuty wierzchołków pięciokąta podstawy

tZ

-y

Cnr

em

\o-

E’W.

, V₇ \ \

$£......

/i;\\ i \Cyr i- \k"

Ve

en

vi

O" /

isvi.

ko:/ fi'"<

/\bn'

C"

Va

Vc

-JT

HS

Hc

HS

â'

■El

/Mir

Mès,

Cb

o'

r\ ss¹

HL

-y

Co

e>y

'0

'eo

,<3°

/6>

vy -z

rZ?°

Rys. 262

łączymy ze środkiem układu, w którym leży wierzchołek ostrosłupa W i otrzymamy rzuty krawędzi bocznych, a więc i rzuty całego ostrosłupa.

3. Wykreślić rzuty prostego graniastosłupa o danej wysokości w, którego podstawa (prostokąt) leży na płaszczyźnie a (haVa)

(rys. 263).

Prostokąt A° B° C° D° przyjęty na rzutni poziomej podnieśliśmy około śladu ha na płaszczyznę ćc, otrzymując najpierw rzut poziomy A' B' C Da następnie rzut pionowy A" B" C" D". Na prostopadłych, wyprowadzonych w wierzchołkach podstawy do płaszczyzny a, należy odmierzyć długość krawędzi bocznych.

W tym celu obraliśmy na jednej z nich, a mianowicie na Pi (Pi Pi") punkt N (N' N") i wykonali jej kład -p^ na rzutnię pionową. Odmierzywszy Ax Ex = w, wróciliśmy z punktem E na prostą pi9 otrzymując jego rzuty E' i E". Ponieważ rzuty

Za

H"

G’

p£x

Va.

./te

Gm

[Hm

N/

C’_

|\C'

—VS.

Ht /    '    ;

A T/^a MS

Dm

a* /

0)

■W

0 ^X/Zâ

\y a'\

C'

v°

pjt

-4fl'

A. /\ ' J \b° /    \

//Y' \ /    A\ \

H”

PI/

G’j

c°.

Hc

Ya

E’

B°

Pa

fr

C°'

Rys. 263

prostych równoległych są równoległe, więc rzuty krawędzi podstawy górnej będą równoległe do rzutów odpowiednich krawędzi podstawy dolnej.

89. Rzuty wielościanów umiarowych. Wielokątem umiarowym nazywamy taki wielokąt płaski, w którym wszystkie boki i kąty są równe. Na wielokącie umiarowym opisać można koło, podobnie jak w wielokąt umiarowy da -się zawsze wpisać koło. Oba koła są współśrodkowe, a ich wspólny środek nazywamy środkiem wielokąta.

Wielości an nazywamy umiarowym, gdy wszystkie jego ściany boczne są przystającemi umiarowemi wielokątami, którego kąty dwuścienne są równe, a naroża są wierzchołkami wielościennych, umiarowych i przystających kątów bryłowych. W każdy wielościan i na każdym z nich da się wpisać i opisać kula. Obie kule są współśrodkowe, który to środek nazywamy środkiem wielościanu. W zakres naszych rozważań

wciągniemy w i e 1 o śc i a n y umiarowe rodzaju pierwszego, czyli t. zw. „ciała Platona“, których jest pięć, a mianowicie: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziesto-ścian.

D"

a) Czworościan ograniczony jest czterema przystającemi trójkątami równobo-cznemi i stanowi trójścienny ostrosłup prosty, którego krawędzie podstawy i krawędzie boczne są równej długości. Wysokość tego ostrosłupa równa jest przy prostokątnej    A

trójkąta prostokątnego, którego przeciw-prostokątna równa jest krawędzi czworościanu, a którego druga przyprostokątna równa jest promieniowi koła, opisanego na trójkącie równobocznym, stanowiącym ścianę tego czworościanu.

Przyjmijmy ścianę ABC czworościanu na rzutni poziomej (rys. 264), to rzut D' czwartego wierzchołka D leżeć będzie w środku trójkąta ABC, zaś wysokość z równa będzie przy-

„ / prostokątnej D' D°_trójkąja

A D' D°, przyczem A D° = A B.

b) Sześcian jest grania-stosłupem prostym, którego wszystkie ściany są kwadratami. W rys. 265 wykonaliśmy prócz rzutu poziomego i pionowego, rzut na płaszczyznę a (ha Va), w sposób omówiony w ust. 76.

B"\ \cr k

Iz

'B

E\

kD°

Rys. 264

Va

G"i

iiJr

EV FVh

Lh?

x/r/ßr ,\ir c Hiy\j'Xa

E'<A

Hu

Wykreślmy rzuty sześcianu, którego długość krawędzi jest dana, a którego przekątna główna, t. j. odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki sześcianu, ma położenie pionowe. Obrawszy punkt A na rzutni poziomej (rys. 266), wykreślmy trzy kwadraty : A B° C° D°, A D' E" T⁷⁰ i A F⁰ G" B°, a to w ten sposób, aby kąty, jakie tworzą dwie sąsiednie kra-

B    /ha

Rys. 265

wędzie kwadratów, przechodzące przez punkt A, wynosiły 30°. Kwadraty owe uważajmy za rozwinięcie prostokątnego naroża trójściennego o wierzchołku A na rzutnię poziomą. Wyobraźmy sobie, że kwadrat A B° C° D⁰ obracamy około osi, przechodzącej

Hm

c/Mi

E"

!/

8"-

fFm

D’

W,

G°

F°

GE

8°i

\f

30° FEE'A

przez A równolegle do przekątnej B D°, a zaś kwadrat A D[) E° F° około osi, przechodzącej również przez punkt A równolegle do przekątnej D° F*. W pewnym momencie obrotu wierzchołki oznaczone literą D" w obu kwadratach, zejdą _x się w punkcie D (D' D"), a odcinek U A będzie rzutem poziomym krawędzi sześcianu. Punkt Z)' będzie przecięciem się prostych, wykreślonych z obu punktów D° \    prostopadle do kierunków osi obro-

\E’

tów, a    więc    do B° D° i Z)° F°.

C%-~

/\    W ten    sam    sposób otrzymamy

a    punkty    F' i    B', a więc zarys

y D’ D‘

D°

c°

Rys. 266

x f B' C D' E' F' G' sześcianu na rzutni poziomej. A B\ A D' i A F' są rzutami niewidocznych krawędzi sześcianu, a A C', A Er i A Gr rzutami pozostałych trzech krawędzi widocznych. Długość przekątnej sześcianu wynosi a YJ, które to wyrażenie, algebraicznie niewymierne, otrzymamy jako przeciwprostokątną A P trójkąta prostokątnego o bokach A E° = a Yi, i E° P = a. Punkty B, D i F leżą w tej samej wysokości, a więc na płaszczyźnie poziomej, podobnie jak punkty C, E, G, których wysokość jest również wspólna. Nachylenie krawędzi C H, CD i A D do przekątnej głównej A H jest jednakowe, gdyż krawędź C D jest równoległa do H E.

Wskutek tego, gdy punkt A leży na rzutni poziomej, odległość tej rzutni od płaszczyzny B D F i tej ostatniej od płaszczyzny poziomej C E G, a tej znowu od punktu H, są równe. Podzieliwszy więc przekątną A" H" na trzy równe części i poprowadziwszy przez punkty podziału / i II poziome, otrzymamy na nich szukane rzuty wierzchołków.

Pamiętając o tem, że rzut poziomy sześcianu w omawia-nem położeniu jest umiarowym sześciokątem, i że odcinek, łączący dwa nieprzyległe wierzchołki tego sześciokąta, więc np. B' D' (rys. 266), jest przekątną kwadratu, stanowiącego ścianę boczną, wyznaczymy z łatwością rzut poziomy i bez podnoszenia kwadratów, jak to widzimy na rys. 267. Wykreśliwszy długość przekątnej głównej równą a Y J = A" H", podzielimy ją na trzy równe części, a na proste poziome, poprowadzone przez punkty podziału, odniesiemy odpowiednie punkty z rzutu poziomego.

H"

SG"

Es

E"

afö

D”

aVp

C"\

ci

D’ ,

■H’"'

F’

\i

E’

B’’

Rys. 267

fi*

AV /BT

c) Ośmiościan ograniczony jest ośmioma równobocznemi trójkątami. Rys. 268 przedstawia rzuty ośmiościanu, którego przekątna główna jest pionową. Rzut poziomy jest w tem położeniu kwadratem, a odcinek E" F" jego przekątną.

fE”

eXf

A'

'ty

Rys. 268

Rys. 269 podaje rzuty ośmiościanu, którego jedna ściana leży na rzutni poziomej. Przez boki trójkąta ABC przechodzą trzy dalsze trójkąty, których wierzchołki E, D, F w rzucie poziomym leżą na prostych, łączących środek 5 trójkąta Ą B C z jego wierzchołkami. Ponieważ płaszczyzny tych trzech trójkątów są jednakowo nachylone do poziomu, więc wierzchołki D, E, F są równo oddalone od 5 i od rzutni poziomej. Trójkąt D' E F' jest więc równoboczny, równoległy do poziomej i tworzy jeden bok ośmiościanu. Przez połączenie wierzchołków obu trójkątów równobocznych otrzymamy rzut poziomy dalszych krawędzi, a zarys ośmiościanu na rzutni poziomej będzie umia-

rowym sześciokątem. Odległość płaszczyzny trójkąta D E F od rzutni poziomej równa jest przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego drugą przy prostokątną jest wysokość jednego z trójkątów, stanowiących rzut ściany bocznej np. ,4 C D\

Va

Dy E"

\F*

-V

V'\Xa

B"

iß

SS

v°

/O

B/

VJ

l\

D’

E"’

/r

'ho.

a przeciwprosto-kątną prawdziwa jego wysokość, równa wysokości trójkąta ABC. Wykreśliwszy trójkąt D' G D°, otrzymamy szukaną wysokość w, równą odcinkowi D' D°. Na rys. 269 wykonaliśmy także kład rzutu ośmiościa-nu na płaszczyznę a (Tza Va).

D’"

Rys. 269

d) Dwunasto-ścian ograniczony jest umiaro-wemi pięciokątami, których w każdem narożu schodzi się trzy (rys. 270).

Pięciokąt Av A., A₃ Ai A₆, leżący na rzutni poziomej, niechaj stanowi podstawę dwunastościanu. Dwa dalsze pięciokąty Ay A₂ Bt° C₄°Z?₂° i A₂ A₃ B₃° Cb° B₂° niechaj wyobrażają kład dwóch ścian naszego wielościanu, dokonany przez obrót około krawędzi Ay A₂ i A₂ A₃. Podnieśmy równocześnie oba te pięciokąty w ich właściwe położenie, to boki ich A₂ B₂⁰ zejdą się i utworzą krawędź dwunastościanu. Prostopadłe, wykreślone z punktów B₂° do boków ^4, A₂ i A₂ As, stanowiących osi obrotu, przetną się w punkcie B₂', który połączony z A₂ daje rzut krawędzi bocznej dwunastościanu. Koło zakreślone ze środka S, przez punkt B₂ , jest miejscem geometrycznem rzutów poziomych dziesięciu wierzchołków naroży dwunastościanu, których wyznaczenie tłumaczy dostatecznie rys. 270. Pięciokąt D/ D./ D/ D/ Dh' jest rzu-

tem poziomym ściany, zamykającej dwunastościan. Znając rzut poziomy B%' i jego kład Z?₃°, znajdziemy jego wysokość w sposób następujący: z punktu B₃ wykreślimy prostopadłą do boku A₂ A₃. Z punktu / zakreślimy łuk koła promieniem / B3°, aż do przecięcia się z prostopadłą, wyprowadzoną do I B₃° w punkcie Æ/. Odcinek ÏB/ Z?₃X = a jest wysokością punktu B₃, a także punktów Z?₂, Z?₄ i B₆. Wy-    ^    ^

Di Di D" Û4 Ds

O r\

/a

■Q

ms m

Ai\A2 |ar Ml /Az

Ci

Â/

CL

Ci

sokość (a -f punktów oznaczonych literą C, równą odcinkowi C₅' CBX znajdziemy w sposób analogiczny.

k-

■r /

\

? ci

Di

Wykreślmy jeszcze rzuty dwunastościanu umiarowego, gdy jego przekątna główna, a więc przechodząca przez środek i łącząca dwa przeciw- c, ległe wierzchołki, jest prostopadłą do rzutni poziomej (rys.

Bi/

Qi.

Bi

Rys. 270

271). Płaszczyzny trzech pięciokątów, tworzących naroże o wierzchołku A, nachylone są do rzutni poziomej pod tym samym kątem. Wykreślmy kład tych trzech pięciokątów, przy zachowaniu wspólności wierzchołka A, a następnie podnieśmy je tak, ażeby pary sąsiednich krawędzi zeszły się. Osiami obrotów będą proste, przechodzące przez punkt A, a równoległe go boków C₄ ⁰ C₂°, C₃° C₄° i C₅° CV°. Prosta wykreślona z punktu B₃°, prostopadle do m II C₃° C₄°, a więc prosta B₃°I, przetnie prostą, wykreśloną z drugiego punktu B₃° prostopadle do ĆB° C₆°, w punkcie B₃', kłóry jest rzutem wierzchołka B₃. Na płaszczyźnie poziomej, przechodzącej przez B₃, leżą jeszcze punkty Bt i B₂, których rzut poziomy leży na kole, zakreślonym z punktu A, jako środka, promieniem A B₃. Wykreślmy ze środka obrotu / łuk koła, a z punktu B₃' poprowadźmy równoległą do m, to odcinek B₃ B₃X — a jest wysokością punktów Blt B₂ i B₃. Podnieśmy punkt C₄° około osi m o ten

sam kąt, o jaki podniesiony jest punkt B₃° (więc II C₄X // IF₃X ), to koło zakreślone z punktu A promieniem A C/ jest miejscem geometrycznem rzutów poziomych punktów, oznaczonych literą C, a mających tę samą wysokość, równą odcinkowi C₄' C₄X = (a 4- b). W ten sposób otrzymamy punkty Ci (Cy Cy"), C₂ (C₂ C₂"),... C₆ (C₆' C₆"). Naprzeciw wierzchołka A leży wierzchołek F naroża, przystającego do naroża o wierzchołku

«o

ET

ES

ES

py

Dl

O!

Sn

C/'

\c?

c?

A. Rzut poziomy jego krawędzi jest li-nją łamaną Dy' F/ D₂' D₃ E₂ Dy Db' wraz

E/ Z>₆' Z)

z pro stem i F' F/, F~F/ i F^£ÿ. Na boku C/

kreślony pięciokąt C/ C₂' D* EyoD₂» uważajmy za kład ściany C₄ C₂ D₁ F Z)₂ na płaszczyznę poziomą n, przechodzącą przez punkty Cy, C₂... C₆, a więc leżącą w wysokości (a + b) nad rzutnią poziomą. Uważając prostą (Cy C₂') za rzut poziomy osi obrotu i znając rzut poziomy D₂ punktu D₂ po obrocie, otrzymamy odległość c punktu D₂ od płaszczyzny jt, równą odcinkowi D₂ D₂X . Tym sposobem wyznaczone są wszystkie wielkości, potrzebne do wykreślenia obu rzutów dwunastościanu, którego długość krawędzi jest dana.

e) Dwudziestościan ograniczony jest równobocznemi trójkątami, z których pięć schodzi się w każdem narożu. Wykreślenie rzutu poziomego nie nastręcza żadnych trudności.

BV

17,

\/BS

\An

ÇS ! C2

C./ wy-

\Çi—

■—-Cj

(a+bj-

Di

Bij

//

!/

Ek

Ci

y Ba

>51

nr

Cł\ \

Df

\EL

Di

Di

Rys. 271

Cl)

Ci

•ci

Rys. 272 tłumaczy rzecz w sposób wystarczający. Długość boku pięciokąta B/ BR₅', czy też pięciokąta C/ C₂'.. C₅', równa jest krawędzi bocznej dwudziestościanu. Dla otrzymania rzutu pionowego poznać musimy wysokość a punktów Blt B₂,.. B₆, leżących na płaszczyźnie poziomej i wysokość b punktów Ct, C₂,.. C₅, leżących również na tej płaszczyźnie.

Pierwszą z nich otrzymamy jako przyprostokątną B₂ B₂° trójkąta B₂' A B₂\ którego drugą znaną przyprostokątną B₂ A jest rzut poziomy krawędzi dwudziestościanu, a którego przeciwprostokątną A B₂° jest długość tej krawędzi.

Z kolei wykreślimy trójkąt prostokątny C₆' C₅X /, w którym prze-ciwprostokątna Ć₅X / równa jest wysokości trójkąta równobocznego Bt' B₅' C₆°, stanowiącego jedną ścianę; przyprostokątną C₅X C₅' = b jest szukaną wysokością.

D’

* .......Sä

~r

ptr\ /

Di y

Bi

CJ

!/

fi

jj

Ci,

Rys. 272

f\

Bj

(te

Ci

§ 6. RZUTY UKOŚNE. POWINOWACTWO ŚRODKOWE

90. Rzut ukośny punktu. Niechaj dowolny punkt A wyznaczony jest, w odniesieniu do przyjętych rzutni i jr₂, rzutem poziomym A' i rzutem pionowym A" (rys. 273). Rzućmy punkty A i A', w przyjętym kierunku p, na rzutnię pionową jt₂. Otrzymany punkt Au jest rzutem ukośnym punktu A, a punkt A'u rzutem ukośnym rzutu poziomego tego punktu. Punkt A'u nazywać będziemy rzutem ukośnym poziomym. Położenie promienia p, rzucającego punkt A, jak i promienia /?! Il p, a rzucającego punkt A! na płaszczyznę pionową jt₂, wyznaczone jest kątem a, jaki promienie te zawierają z płaszczyzną rzutów ukośnych rc₂ i kątem cp, jaki rzut pionowy p", promienia p, zawiera z kierunkiem osi rzutów x. Znając oba te kąty wyznaczymy z łatwością rzut ukośny i rzut

ukośny poziomy dowolnego punktu, którego rzuty prostokątne na dwie płaszczyzny są dane. W istocie bowiem, wykreśliwszy

A"

’4

;...........y

*/

gry.

Rys. 273

przez punkt Ax (rys. 274 a) promień p", zawierający z osią rzutów x dany cp, a następnie odmierzywszy na prostopadłej poprowadzonej w punkcie Ax do Py" „głębokość“ y punktu A (A' A"), otrzymamy punkt A₀\ Wykreślmy z punktu A₀'t jako wierzchołka, kąt (90—a), to otrzymamy punkt Au', a następnie punkt Au, leżący na promieniu p" // py". Trójkąt AXA„' A₀' jest kładem trójkąta Ax Au' A' (patrz rys. 273) około prostej py" na rzutnię pionową, przyczem kierunek A₀' Au' opatrzony strzałką jest kładem kierunku rzutu ukośnego, a kierunek Ax Au\ podobnie jak A" Au, rzutem pionowym kierunku rzutu ukośnego.

Au

A"

B"

'pn

W rys. 274 b wyznaczyliśmy rzut ukośny poziomy punktu A (A' A") dla = 45°, a — 60°, przyczem kierunek rzutów jest przeciwny do poprzednio przyjętego. Po-    5^ _

[A'u

P"

au

łączmy w rys. 274 a lub    ^    x

/a-60\

'pl l

Bx

X Ax_

X.

ęu

py

y\ \b'

274 b punkt A' z A u ', ßua/* to trójkąt A' Au' Ax jest x i charakterystyczny dla określonego przez    : /

się rzutu ukośnego. W    sj-

\ pi

90-cc

Ai.

/A'

\\A'

Rys. 274 b

Rys. 274 a

istocie, znając ten trójkąt znajdziemy rzut ukośny i rzut ukośny poziomy dowolnego punktu B (B' B") (rys. 274 a), jeśli przez punkt Bx poprowadzimy równoległą do Ax Au', przez punkt B' równoległą do A! Au', a otrzymany punkt Bu' odniesiemy na prostą, wykreśloną przez punkt B" równolegle do Bx Bu'.

91. O stosunkach skróceń. Niechaj zadaniem naszem będzie wykreślenie rzutu ukośnego pięciokąta umiarowego B C D E F, leżącego na rzutni poziomej, przyczem trójkąt charakterystyczny Ax A' Au' jest dany (rys. 275). Z każ-dym z poszczególnych wierz- a2C chołków pięciokąta postąpimy \ tak, jak uczyniliśmy z punktem B' w rys. 274 a, szukając jego rzutu ukośnego poziomego. Z punktów więc B, C, D, E i F wykreślimy równoległe do boku A' Au' trójkąta charakterystycznego, a z punktów B", C", D", E" i F" równoległe do boku Ax A u ' tego trójkąta. Otrzymany pięciokąt Au Bu fCu Du Eu Fu jest rzutem ukośnym danego pięciokąta, (leżącego na rzutni poziomej) na rzutnię pionową.

i*

r g"___ę”

1BuA

(Du

\,

to

Rys. 2(5

Z rys. 273 widzimy wprost, że Au Au' = A A' czyli, że rzut ukośny odcinka A A\ stanowiącego „wysokość“ punktu, równy

ŁT

G"Hn

Fu

jest co do długości temu edein-u kowi i do niego równoległy, a więc prostopadły do osi rzutów x.

X_Px

Rys. 275 poucza nas, że rzut ukośny Bu Ću odcinka B C równy

___jest temu odcinkowi i do niego

' bC——^—EĄc    równoległy, a więc równoległy do

\ G    osi rzutów x. Z rys. 274 a i b i 275

Rys. 276

widoczne jest, że rzuty ukośne odcinków równoległych do osi rzutów y, więc np. rzut ukośny Ax Au' dh’ odcinka AxA'—y w rys. 274 a i b, zależne są od kąta a i mogą też być od danych odcinków większe, mniejsze lub im równe. I tak dla a < 45⁰ Ax Aur > AXA', dla . a = 45⁰ Ax Au' — Ax A', a dla a > 45° Ax Au' < Ax A'. Ä więc :' rzuty ukośne odcinków, prostopadłych do rzutni poziomej i równoległych do osi x, są równe tym odcinkom i do nich równoległe; rzuty ukośne odcinków prostopadłych do rzutni pionowej doznają wydłużenia, skrócenia lub są tym odcinkom równe, zależnie od

tego, czy kąt nachylenia a promieni rzutów do płaszczyzny rzutów jest mniejszy, większy lub równy 45°. Kierunki rzutów odcinków prostopadłych do rzutni pionowej są równoległe do przyjętego kierunku, tworzącego.z osią rzutów x kąt cp. Oznaczmy stosunek Ax Au' : Ax A/ = X (rys. 274 a), to zazwyczaj przyjmujemy X = 7, X = £ albo X = a stosunek ten nosi nazwę stosunku skrócenia. Kąt cp obieramy 30°, 45⁰ lub 60°.    %

92. Zadania. 1. Dane są rzuty prostokątne sześcianu, stojącego na rzutni poziomej; wykreślić jego rzut ukośny dla cp = 30⁰

/ X = * (rys. 276). Wyznaczymy rzut u-kośny Au Bu Cu Du podstawy sześcianu, a na prostopadłych wykreślonych w wierzchołkach otrzymanego romboidu odmierzymy długość krawędzi bocznej sześcianu. Ściany równoległe do rzutni pionowej pozostaną kwadratami nie zmienio-nemi co do długości boku, rzuty ukośne ścian równoległych do rzutni poziomej i bocznej będą romboidalni.

Du ,

N’

Nu.

/ a /A

Gu

STo-

.. \ \

H"

G"

B”

₂ ...

\\\

x/v'

2. Wykreślić rzut ukośny, dla cp = 30°, X =

przedmiotu, przedstawionego w rzutach poziomym i pionowym. Rys. 277 wykonaliśmy zupełnie w ten sam sposób, jak poprzedni. Z rzutów prostokątnych otrzymamy rzut ukośny także w inny sposób. Przyjmijmy mianowicie w punkcie A" (rys. 277) początek układu trzech

7f'

Rys. 277

wzajemnie do siebie prostopadłych osi x, y i z. Rzut ukośny tego układu przy y = 30⁰ będzie xu, yu, zu, (rys. 278). Dla stosunków skróceń Xu : yu : zu = 1:^:1, spółrzędne x i z nie ulegną zmianie, spółrzędne y skrócą się do połowy.

Nu

>r—

\.U

Zu

h.

A’

Cu

Du

yu

Rys. 278

Wykreślmy rzut ukośny rzutu poziomego naszego przed miotu. Tak więc A" Au w rys. 278 równe jest połowie odcinka A" A z rys. 277. Odcinek Au Du (rys. 278) równy jest połowie długości odcinka AD w rys. 277. Au (rysunek 278) równe jest AB w rys. 277. Na prostej, wykreślonej w punkcie Du równolegle do zu (rys. 278), odmierzymy odcinek z rys. 277, wykreślimy równoległe do Du Cu 1 Du Au, aż do przecięcia się z proste-mi, poprowadzonemi przez punkty Cu i Au równolegle do zu. Następnie uzupełnimy ten romboid, poprowadzimy w nim przekątne, wyznaczymy romboid wewnątrz niego, poczem wykreślimy dalsze krawędzie, jak to z rys. 278 z łatwością odczytamy.

93. Rzut ukośny układu płaskiego. Płaszczyznę, jako pojęcie nieograniczonego zbioru punktów i prostych, nazywamy układem płaskim (ust. 7); mianem tern określać też będziemy często ograczony zbiór, czyli grupę punktów, względnie prostych, na płaszczyźnie.

Przyjmijmy płaszczyzny i e₂ (rys. 279) przecinające się w prostej p i dowolny kierunek rzutów k. Punktowi Ai na płaszczyźnie odpowiada punkt A₂ w układzie e₂, jako rzut ukośny punktu Ax na płaszczyznę s₂. Prostej ax, należącej do układu eŁ, odpowie prosta w układzie b₂, którą otrzymamy jako przecięcie się płaszczyzny e₂ z płaszczyzną cp, przechodzącą przez prostą at równolegle do kierunku rzutów k.

Płaszczyzny e₁₅ e₂ i cp przecinają się w punkcie P prostej p, przez który przechodzi szukana prosta a₂. Każdemu punktowi prostej at odpowiada jeden punkt prostej a₂ i odwrotnie, każdemu punktowi prostej a2 odpowiada jeden jedyny punkt prostej alf przyczem para odpowiednich punktów leży zawsze na promieniu rzutów, równoległym do przyjętego kierunku k. Punktowi P, uważanemu za element prostej at, odpowiada tenże sam punkt P, jako równoczesny element prostej a₂. Prosta p jest więc miejscem geometrycznem punktów odpowiadających sobie równocześnie w obu układach płaskich i e₂. Punktowi niewłaściwemu prostej av odpowiada punkt niewłaściwy prostej a₂. Przez przyjęcie kierunku rzutów związaliśmy punkty i proste obu płaszczyzn, czyli elementy obu układów płaskich, w ten sposób, że:

1.    Każdemu elementowi jednego układu odpowiada jeden element tego samego rodzaju (więc punktowi punkt, prostej prosta) w układzie drugim. Prostej przecięcia się p obu płaszczyzn, uważanej za element płaszczyzny odpowiada taż sama prosta p na płaszczyźnie s₂.

2.    Pary odpowiadających sobie punktów leżą na promieniach, stanowiących wiązkę prostych równoległych, a pary odpowiadających sobie prostych, jak np. a₁ i a₂, przecinają się w punktach, których miejscem geometrycznem jest krawędź p płaszczyzn i e₂. Prostej równoległej do krawędzi p na płaszczyźnie odpowiada prosta również do p równoległa, a leżąca na płaszczyźnie e₂. Tę zależność między elementami dwóch płaszczyzn nazywamy powinowactwem w położeniu środko-wem, albo krótko : powinowactwem środkowe m. Prosta p nosi miano osi powinowactwa, a promienie, na których leżą pary odpowiednich punktów, promieniami powinowactwa.

s*

cp

a?

£2

Rys. 279

94. Powinowactwo dwóch układów płaskich złączonych na jednej płaszczyźnie. Przyjmijmy dwa układy płaskie i cp₂ środkowo-powinowate o kierunku k₂ (rys. 280). Pro-

<p i

stym a₁₉ bi9 Ci jakoteż punktom Av, Bit C/na płaszczyźnie cpt, odpowiadają na płaszczyźnie cp ₂ proste a₂, b₂, c₂ i punkty A₂, B₂, C₂, przyczem odpowiadające sobie proste przecinają się w punktach Pj, P₂, P., osi powinowactwa p. Rzućmy proste a₁₉bl9ci i punkty Al9B₁₉ Cl9 w przyjętym nowym kierunku Æ₃, na płaszczyznę cp ₂ i zbadajmy związki, zachodzące między otrzy-manemi prostemi a₃, bS9 c₃ i punktami Az, Bz, C₃, a prostemi a₂, b₂, c₂ i punktami A2i B.₂, C₂. Przedewszystkiem widzimy, że:

1)    każdemu punktowi A₂,

Bi

<p,

ka.

B₂... odpowiada jednoznacznie punkt A₃₉ B₃...\

Cr

<3;

2)    każdej prostej jak np.

Ai.

V>2

C,

Aa.

C3J

ba

.P

Ba

czyzny AiA₂A.i,BlB₂Bi,

3a

Ca

(ps

P,

Rys. 280

to na podstawie i

93»

9 i > 92

Ci C₂ C₃ są do siebie równoległe, że zatem : 3) punkty odpowiednie, jak A.ź i Aat B₂ iB₃, C₂ i C₃, leżą na prostych do siebie równoległych. Związki wymienione pod 1), 2) i 3) znamionują, jak wiemy z ustępu poprzedniego, powinowactwo środkowe, a zatem: między układem płaskim cp2 a rzutem układu cp₄ w kierunku k₃ na płaszczyznę cp₂, zachodzi powinowactwo środkowe. Oznaczmy rzut układu q>x w kierunku ks na płaszczyznę cp₂ symbolem powyższych wywodów stwierdzamy między układami istnienie następujących związków:

są powinowate, są powinowate,

92

a)    układ cpŁ i układ

b)    układ cPl i układ

c)    układ cp ₂ i układ cp₃ są powinowate.

leżących na jednej płaszczyźnie, mówimy,

Widzimy stąd, że: dwa układy płaskie, powinowate z trzecim, są między sobą powinowate. O układach takich jak cp₂ i

że są złączone na jednej płaszczyźnie, w odróżnieniu od dwóch układów płaskich, leżących na dwóch różnych płaszczyznach.

Weźmy pod uwagę (rys. 281) płaszczyzny 9 1 9,, które niech będą środkowo-powinowate ; kierunkiem powinowactwa niech będzie kierunek /f, a osią krawędź p obu płaszczyzn. Prostej a, na płaszczyźnie 9, odpowie prosta al na płaszczyźnie 9X. Niechaj płaszczyzna 9 obróci się około krawędzi p tak, aż padnie na płaszczyznę 9, ; każdy punkt prostej a opisze koło, którego płaszczyzna jest prostopadłą do osi powinowactwa p i przecina ją w punktach 0,0l... Po dokonanym kładzie płaszczyzny 9 na płaszczyznę cp1# punkt A zajmie położenie A₀,

<Pl

cC

Jé

C?7

Ai

<F<

Rys. 281

punkt B położenie B₀, zaś prosta a położenie a₀. Rozważmy pytanie, czy między układami cp i cpt, złą-czonemi zapomocą dokonanego obrotu na płaszczyźnie cp1} zachodzi związek powinowactwa środko-w.ego. Punkty A, At, A0 wyznaczają płaszczyznę, którą oznaczmy literą a, punkty B, Bt, B₀ leżą na płaszczyźnie ß. Proste A A₀ i B B₀ są równoległe, gdyż obie leżą na równoległych płaszczyznach A A₀ O i B B₀ Oj, które są prostopadłe do osi p, na których dokonywa się obrót punktów A i B; te dwie płaszczyzny przecięte płaszczyzną poprowadzoną przez prostą a i a₀, dają właśnie owe dwie proste równoległe A A₀ i B B₀. Płaszczyzny a i p, jako przechodzące przez A At // B B{ i A A₀ H~B B₀, są do siebie równoległe i przecinają płaszczyznę cpx w prostych A₀ A{ i B₀ Bn które są wzajemnie równoległe. Widoczne stąd, że między dwoma układami płaskimi, sprowadzonemi do jednej płaszczyzny zapomocą obrotu około ich krawędzi, zachodzą te same związki, które zauważyliśmy między elementami układów cp i cpt w położeniu przed dokonaniem obrotu. Istotnie bowiem punktom Bt... jednego układu odpowiadają jednoznacznie punkty j4₀, B₀... w układzie drugim, przyczem punkty odpowiednie, więc np. Al i A₀, Bl i B₀..., leżą na promieniach do siebie równoległych; każdej prostej np. alt będącej elementem jednego układu, odpowiada jedna prosta, więc a₀ w układzie drugim, przyczem obie przecinają się w punkcie, leżącym na

osi powinowactwa. Punktem niewłaściwym jednego układu odpowiadają punkty niewłaściwe w układzie drugim.

Z rozważań ustępu tego wynika, że skoro raz dane są dwa układy płaskie i kierunek rzutów (powinowactwa), to stworzona tym sposobem zależność między elementami obu układów pozostaje niezmieniona dla każdego położenia płaszczyzn, obracających się około wspólnej prostej p, a także i wówczas, gdy oba te układy złączą się skutkiem rzutu lub obrotu na jednej płaszczyźnie. Gdy dana jest płaszczyzna cp1} to płaszczyznę cp wyznacza prosta p i jeden dowolny jej punkt np. A. Punkt A połączony z dowolnym punktem P prostej p daje prostą na płaszczyźnie cp; odpowiadająca jej prosta na płaszczyźnie cpt wyznaczona jest punktami P\AX. Stąd też powinowactwo środkowe dwóch układów płaskich, złączonych na jednej płaszczyźnie, wyznaczone jest osią powinowactwa i jedną parą punktów odpowiednich.

Jeżeli promienie powinowactwa są prostopadłe do osi, to powinowactwo nazywamy prostokątnem, w odróżnieniu od ukośnego, gdzie promienie tworzą z osią kąt różny od prostego.

Niechaj dane będą dwa układy środkowo powinowate cp₁ i cp₂, złączone na płaszczyźnie rysunku, a wyznaczone osią p i parą punktów odpowiednich i M₂ (rys. 282). W układzie cpj dany jest czworokąt Al By Ct Dp, zadaniem na-szem jest wyznaczyć czworokąt, odpowiadający w ukła-dzie cp₂ czworokątowi danemu. Prostej tfj, łączącej punkty A y i Mlt odpowiada w układzie cp₂ prosta a₂ przechodząca przez punktyPiM₂.

Rzućmy punkt Ax w kierunku powinowactwa Mx M₂ na prostą a₂, to otrzymany punkt A₂ jest powinowaty z punktem At. Prosta At Dt przecina oś powinowactwa w punkcie Pti przez który przejdzie prosta A₂ D₂, odpowiadająca pierwszej. W ten sposób przy pomocy punktów P₂ i P₃, względnie P₄, otrzymamy dalsze wierzchołki szukanego czworokąta.

(A2

32.

D?.,

Ci

Bp

Pp

PiX /Pa-

B,

Ai

Rys. 282

Dokonajmy teraz wzajemnego przesunięcia, połączonego z obrotem, tych dwóch czworokątów środkowo powinowatych. Punktowi My odpowie wówczas, podobnie jak przed wzajem-nem przesunięciem, punkt M₂, punktom Ay, Bt, Cy... odpowiedzą punkty A₂, B₂, C₂... jednak odpowiednie punkty jakiemi są Al i i4₂, By i B₂, Ct i C₂... nie będą leżały na promieniach do siebie równoległych, a odpowiednie proste, więc ax i a₂, At Dy i A₂ D₂, Ay B, i A₂ B₂, By C. i B₂ C₂..., nie będą przecinały się w punktach, leżących na jednej prostej. Zapomocą wzajemnego dowolnego przesunięcia dwóch układów płaskich, złączonych na jednej płaszczyźnie, zniszczyliśmy położenie środkowe tych układów, pozostała jednak nadał odpowiedniość między elementami obu układów, polegająca na tern, że każdemu elementowi w jednym układzie odpowiada jeden jedyny element tego samego rodzaju w układzie drugim. O takich dwóch układach płaskich mówimy, że są powinowate w położeniu ogólnem albo dowolnem.

Cecha powinowactwa środkowego. Niechaj dana będzie oś powinowactwa p (rys. 283) i para punktów odpowiednich

,Bi

Ah

A y i A₂ w dwóch układach powinowatych, złączonych na płaszczyźnie rysunku. Prostej a,, przecinającej ,    oś p w punkcie P, odpowiada w dru-

/A

Cz

bp

z?.

Az

&z"

Rys. 283

V gim układzie prosta a₂, przechodząca również przez punkt P. Punktowi By, ⁹ przyjętemu na prostej ax, odpowie punkt B₂ na prostej a₂, który otrzymamy, kreśląc przez B { promień powinowactwa, równoległy do kierunku A y A₂. Podobnie prostej bL odpowie prosta b₂, przechodząca przez punkty Pl i B₂, a punktowi Cy punkt C₂. Z rys. 288 czytamy:

=- constans = A

A~A±_B~Bl C~Cy A A₂ B B₂ C Ć₂

co oznacza, że gdy dwa układy płaskie są środkowo-powinowate, to stosunek odcinków, ograniczony punktami odpowiedniemi i punktem leżącym na osi, dla każdej pary punktów, jest stały. Wynik A tego stosunku charakteryzuje powinowactwo środkowe i zwie się jego cechą.

Jeżeli jedna para odcinków np. A Av i A A₂ irys. 184 a) jest równa, to wówczas wszystkie pary są równe, a powinowactwo nosi nazwę s y m e t r j i osiowej. W szczegół- aj nym przypadku, gdy promienie po- Al winowactwa stanowiącego symetrję, są prostopadłe do osi (rys. 284 b), to symetrja osiowa nosi nazwę symetrji prostokątnej.

Bi

Ar,

Ci

Cl

P/tA

Ca

Ca

Ba

Ba

Rys. 284 b

Rys. 284 a

95. Rzuty prostokątne i ukośne a powinowactwo środkowe. Z dotychczasowych rozważań wynika bezpośrednio, że między dowolnym wielokątem płaskim a jego rzu'em poziomym, tak samo, jak między tym wielokątem a jego rzutem pionowym, zachodzi powinowactwo środkowe, którego kierunek jest kierunkiem rzutów, a osią ślad poziomy, względnie pionowy płaszczyzny tego wielokąta. Przez wykonanie kładu płaszczyzny wielokąta na rzutnię poziomą, otrzymamy na niej dwa układy środkowo-powinowate, któremi będą: ów kład i rzut poziomy wielokąta. Osią powinowactwa, a więc prostą, na której leżeć będą punkty przecięcia się odpowiednich boków, jest ślad poziomy płaszczyzny wielokąta; promienie powinowactwa są prostopadłe do osi powinowactwa, które tym sposobem jest prostokątne. Podobnie między kładem wielokąta na rzutnię pionową i jego rzutem pionowym zachodzi prostokątne powinowactwo środkowe (patrz rys. 232 b‘. Weźmy pod uwagę dowolny wielokąt płaski w przestrzeni, np. czu orokąt A B C D (rys. 285) i jego rzuty poziomy i pionowy. Każdemu punktowi, względnie każdej prostej wielokąta odpowiada jeden punkt, względnie jedna prosta na rzutni poziomej i jeden punkt względnie prosta na rzutni pionowej. Czworokąt A B C D jest więc powinowaty ze swoim rzutem poziomym A' B' C D' i rzutem pionowym A" B" C" D". Ale wykazaliśmy w ustępie poprzednim, że dwa układy powinowate z trzecim są między sobą powinowate, wobec czego rzut poziomy wielokąta i jego rzut pionowy są powinowate. Sprowadźmy obie rzutnie zapomocą obrotu około osi x do płaszczyzny rysunkowej i zbadajmy rodzaj powinowactwa, zachodzącego między obu rzutami wielokąta. W punkcie

przecięcia się Px prostych a' i a" schodzą się rzuty punktu przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyzną dwusieczną ó//; przechodzącą przez IIi IVczęść przestrzeni. Ponieważ jednak prosta ß>

'Va

.J

'X \ -Vd y

P!

H§)fHçZ(T\H3 ftg

//

'/

Ha*

Hc

;//

Hf

ha

Rys. 285

leży na płaszczyźnie a.(hu.Vo.) więc punkt Plt leżąc równocześnie na płaszczyźnie dwu-B" b" siecznej S7/ i na płaszczyźnie a, jest punktem krawędzi obu płaszczyzn. Miejscem geome-trycznem punktów przecięcia —— się rzutów prostych, leżących na płaszczyźnie a, jest więc prosta p przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyzną $ dwusieczną Ö//. Uważając więc rzut poziomy utworu płaskiego leżącego w prze-sfrzeni za elementy jednego układu, a rzut pionowy tegc utworu za odpowiadające im elementy układu drugiego, stwierdzam, po sprowadzeniu obu układów zapomocą obrotów około osi rzutów x na płaszczyznę rysunku, istnienie między nimi powinowactwa środkowego. Osią tego powinowactwa jest rzut krawędzi płaszczyzny danego utwori płaskiego z płaszczyzną dwusieczną ô//; a kierunkiem, kierunek prostopadły do osi x.

Osi powinowactwa, łączącego oba rzuty wielokątów, uży( można przy wykreślaniu tychże rzutów, a także jako linj sprawdzającej dokładność konstrukcji.

Z łatwością zauważymy, że między układem punk tów i prostych, leżących na rzutni poziomej a ich rzuten ukośnym na płaszczyznę pionową, zachodzi powinowactw« środkowe, którego kierunkiem jest kierunek rzutów, a osi< oś x. Po sprowadzeniu rzutni poziomej zapomocą obroti około osi x na rzutnię pionową, oś powinowactwa nie zmień swego położenia, a kierunek powinowactwa określony jest rzu tern poziomym np. A' punktu A i jego rzutem ukośnym po ziomym Au' (porównaj rys. 275).

§ 7. PRZEKROJE I PRZENIKANIA WIELOŚCIANÓW

96. Płaskie przekroje wielościanów. Wyznaczenie przekroju wiełościanu płaszczyzną, sprowadza się do wyznaczenia punktów przebicia się jego krawędzi z płaszczyzną sieczną. Z określenia tego wynika, że położenie płaszczyzny siecznej wpływa na przebieg konstrukcji, która w przypadku, gdy tłaszczyzna ta jest rzucającą, przedstawia się najprościej i ogra-cza się — jak to widzimy na ys. 286 — do odniesienia punk-w, leżących na śladzie płasz-yzny, na odpowiednie krawę-zie w drugim rzucie.

Przez wprowadzenie trzeciej iłaszczyzny rzutów, prostopadłej io płaszczyzny siecznej i do jednej z dwóch rzutni, sprowa- A \ dzić się da przypadek, w kto- \ rym płaszczyzna sieczna ma położenie dowolne, do powyższego.

W rys. 287 chodzi o wyznaczenie przekroju umiarowego ośmiościanu, leżącego jedną ścianą na rzutni poziomej, z płaszczyzną a (ha Va), nachyloną do obu rzutni. Przyjąwszy płaszczyznę poziomo-rzucającą, prostopadłą do cc, wyznaczyliśmy rzut ośmiościanu na tę płaszczyznę i ślad boczny ka płaszczyzny a.

Rzut boczny wielokąta przekroju schodzi się ze śladem bocznym ka, rzut poziomy i pionowy otrzymamy przez odniesienie punktów V", 2"', 3"', 4"' 5"' i 6’" na odpowiednie krawędzie w tych rzutach.

Podany sposób wyznaczenia przekroju wiełościanu polegający na wprowadzeniu trzeciej płaszczyzny rzutów, jakkolwiek ogólny i dający się zastosować do każdego wiełościanu, bez względu na jego położenie, nie jest wystarczający. Zauważmy bowiem, że odniesienie punktu z rzutu bocznego na poziomy odbywa się z tern mniejszą dokładnością, im bardziej odnośny rzut krawędzi, na którą punkt przenieść mamy, zbliża się do położenia prostopadłego do osi y,. a w przypadku, gdy krawędź ta jest prostopadłą do tej osi, możliwość przeniesienia

A"

yn

'Z’

C” D"

rj,

ha

Rys. 286

punktu na nią nawet zupełnie upada. W rys. 287 widzimy, że odnosząca punkt 6"' na prostą CD' przecina ją pod kątem

O"

F”

£"

\c

-z

f\

6"

/A"

zbyt ostrym, aby dokła-Kat dność położenia punk-tu 6' nie mogła być wątpliwą. Z tego powodu posiąść musimy drugi sposób wyznaczenia przekroju wielościanu EP_^ płaszczyzną, aby zasto

Ç" , A A, I \ \ J

■2‘

£•

i\

i \!

Wi/

6%Ll

T,

■ Ci

Co-

\\

A"‘ ■

\Cm

A*

4,n -,

hc.

\\/

Em

Fm

D‘"

sować go w przypadku, gdy pierwszy zawiedzie, względnie nie jest dość dokładny. Wprawdzie po-posiadamy zawsze możność wyznaczenia punktów przebicia poszczególnych krawędzi z płasz-\ y czyzną sieczną, ale i ten sposób — jak to zauważyć można przy punkcie z 6 (6' 6") — nie da wyniku dokładnego, a nastę-pnie chodziłoby o meto-*/w dę, która zgóry wskaże, krawędzie, przebijające płaszczyznę sieczną i zaoszczędzi ich szukania.

Rys. 287

Niechaj daną jest płaszczyzna a (ha Va) i prosta p (pr p") (rys. 288). Obierzmy na prostej p dowolny punkt B (Br B") i poprowadźmy przezeń prostą, równoległą do dowolnie na płaszczyźnie a przyjętej prostej. Aby sprawę możliwie uprościć, niechaj prosta 1(1' l"), przechodząca przez punkt B, będzie prostą czołową, a więc równoległą do Va. Proste p i / wyznaczają płaszczyznę e (he Ve), która przecina płaszczyznę a w prostej t (f t"). Ponieważ płaszczyzna e jest równoległą do śladu Va, więc i prosta t (f t") jest do śladu tego równoległą. Punkt P(Pr P"), przecięcia się prostych t (t' t") i p (p' p"), jest punktem przebicia się tej ostatniej z a. Otrzymaliśmy spo-

sób szukania punktu przebicia się prostej z płaszczyzną za pośrednictwem płaszczyzny równoległej do śladu pionowego danej płaszczyzny. Metodę tę zastosujemy do wyznaczenia przekrojów wielo-ścianów i wtedy też poznamy jej celowość i zalety.

B"

Va

P"

)\P"

'Hf

Ht"/

H'i> Vp /

ha

Rys. 288

W tern miejscu zauważmy tylko, że kreślenie śladu pionowego Ve jest zbędne, a prostej t" tylko wówczas potrzebne, gdyby odnosząca punkt P' przecinała p" pod zbyt ostrym kątem.

Wykreślmy rzuty umiarowego ośmiościanu (rys. 289) i wyznaczmy rzuty przekroju płaszczyzną a (ha Va), a to przez zastosowanie poznanej wyżej metody szukania punktów przebicia prostych z płaszczyznami. Przez krawędzie wielościanu poprowadzimy płaszczyzny równoległe do śladu Va. W tym celu poprowadźmy przez wierzchołki B, C, D, E, F naroży proste równoległe do Va i wyznaczmy ich ślady poziome Bh,... Eh, które połączmy, uwzględniając także punkt A, w tym samym porządku, w jakim połączone są odpowiadające im wierzchołki naroży ośmiościanu. Otrzymane w ten sposób odcinki, łączące po dwa ślady, są śladami poziomemi płaszczyzn, przechodzących przez odnośne krawędzie ośmiościanu równolegle do śladu Va płaszczyzny siecznej. Przedewszystkiem zauważymy bezpośrednio, które krawędzie ośmiościanu przebijają płaszczyznę a, a które leżą zewnątrz niej ; jeżeli bowiem odcinki, jak np. Dh Eh lub DhJFn nie przecinają śladu ha, to odnośne krawędzie, a więc DE i DF nie przebijają płaszczyzny a. Natomiast odcinki EhBh, FhCh, ChDh, Dh A, Eh Ä i EhBh przecinają ślad ha w punktach //,... //₆, które są śladami poziomemi prostych przecięcia się płaszczyzn, przechodzących przez krawędzie ośmiościanu równolegle do prostej Va, z płaszczyzną a. Proste

te są równoległe do Va, ich rzuty poziome są równoległe do osi x i wyznaczają na odnośnych krawędziach punkty 2\ y, 4', 5' i 6', których rzut pionowy otrzymamy zapomocą odno-

>î

CD

Co

St.

CC

<3

//

fi

//

y .

/\!

//

ce

s?—-

CD

fol

.--W

O.

//

//

Rys. 289

szących, albo, o ile dokładność rysunku tego się domaga, za-pomocą prostych równoległych do Va, jak to uczyniliśmy dla punktu 4".

97. Przekroje płaskie graniastosłupów.

a) Prócz poznanych dwóch metod wyznaczania przekrojów, zastosować się da do graniastosłupów metoda odmienna, oparta o pewne związki, zachodzące między jego dwoma przekrojami, względnie między podstawą a przekrojem.

Przyjmijmy graniastosłup, którego podstawa AB CD spoczywa na płaszczyźnie a (rys. 290), a nadto płaszczyznę ß, przecinającą ten graniastosłup. Przypuśćmy, że znany nam jest punkt 1, w którym krawędź AE przebija płaszczyznę p; znajdźmy punkty 2, 3 i 4, w których dalsze krawędzie boczne przebijają płaszczyznę sieczną ß. Wyznaczywszy krawędź p płaszczyzn a i ß, znajdźmy punkt przecięcia się płaszczyzn a, ß i ABEF. Punkt ten leżeć będzie na krawędzi p, na krawędzi płaszczyzn a\AB EF, a także na krawędzi tej ostatniej z płaszczyzną ß. Ale ponieważ krawędź AB płaszczyzny a i ściany bocznej ABEF jest znana, więc znany jest także punkt Pt, jako przecięcie się prostych p i AB.

i\

Ä2

i3

Ti

Rys. 290

Przez punkt Pt przechodzi oczywiście krawędź płaszczyzn ß i ABEF, a ponieważ punkt 1 tej krawędzi jest także znany, więc znany jest i punkt 2. Przy pomocy punktu P₂ otrzymamy punkt 3, który połączony z punktem P₃ przecina krawędź boczną DH w punkcie 4. Oczywiście, że punkt przecięcia się P4 prostych 1 4 i A D leży na prostej p. Czworokąt podstawy AB CD uważać można za przekrój graniastosłupa płaszczyzną a, a zatem między dwoma przekrojami graniastosłupa stwierdzamy, w skutku powyższego rozumowania, następujące związki:

1)    Punkty A i 1, B i 2, C i 3, D i 4 leżą na prostych do siebie równoległych (krawędziach bocznych graniastosłupa).

2)    Proste AB i / 2, BC i 23, CD i 3 4, AD i 14 przecinają się w punktach prostej p, która jest krawędzią obu płaszczyzn siecznych.

Jeżeli punkty A i 1, B i 2... i proste AB i 1 2, BC i 2 3... określimy jako pary punktów, względnie prostych odpowiednich, to w takim razie między dwoma przekrojami graniastosłupa stwierdzamy istnienie powinowactwa środkowego, którego osią jest prosta p, a kierunkiem, kierunek krawędzi bocznych gra-niastosłupa. Wiemy z ust. 94, że rzuty dwóch układów powinowatych za dowolną płaszczyznę tworzą dwa układy powinowate, złączone na tej płaszczyźnie — a więc rzuty poziome dwóch przekrojów graniastosłupa są wielokątami powinowatemi. Kierunek tego powinowactwa schodzi się z kierunkiem rzutów poziomych krawędzi bocznych graniosto-słupa, a osią powinowactwa jest rzut poziomy krawędzi płaszczyzn siecznych. Analogicznie przedstawia się sprawa z rzutami przekrojów graniastosłupa na płaszczyznę pionową lub jakąkolwiekbądź dowolną. Ponieważ powinowactwo dwóch układów płaskich wyznaczone jest osią i parą punktów odpowiednich, więc w ogólnym przypadku znajdziemy rzut przekroju graniastosłupa, wyznaczywszy krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną podstawy i punkt przebicia się jednej krawędzi bocznej graniastosłupa z płaszczyzną sieczną

Przykład przekroju graniastosłupa czworościennego, którego podstawa AB CD spoczywa na płaszczyźnie a (ha Va) równoległej do osi x, płaszczyzną p (7*ß VP,)* przedstawia rys. 291. Płaszczyzny a i p przecinają się w prostej p (p' p"), która jest osią powinowactwa między wielokątem podstawy AB CD i szukanym wielokątem przekroju; rzut poziomy p' prostej p jest osią powinowactwa środkowego, zachodzącego między rzutem poziomym A' B' C D' czworokąta podstawy, a rzutem poziomym wielokąta przekroju, podobnie jak prosta p" jest osią powinowactwa środkowego, łączącego rzut pionowy podstawy z rzutem pionowym przekroju.

Wyznaczymy punkt przebicia się 3 (3' 3") krawędzi bocznej, przechodzącej przez punkt C (C C") z p, to dalsze punkty wielokąta przekroju znajdziemy na zasadzie związku, łączącego wielokąty podstawy i przekroju, a polegającego na tern, że odpowiednie ich boki przedłużone przecinają się na osi powinowactwa. Otrzymawszy więc punkt P/, jako przecięcie się boku B' C z osią /?', łączymy go z punktem 3' i otrzymujemy punkt 2\ względnie bok 2' 3'. Przy pomocy punktów P₂' i P₃' otrzymamy punkty 4' i a więc rzut poziomy czworokąta przekroju.

W ten sam sposób przy pomocy punktów Pt", P₂", P₃" i P₄", wychodząc z punktu 3", otrzymamy punkty 2", 4" i l'\ Kontrolą dokładności konstrukcji będzie stwierdzenie, że odpowiednie punkty w obu rzutach leżą na prostych odnoszących.

Między obu rzutami czworokąta przekroju zachodzi powinowactwo środkowe (ust. 95), którego oś przechodzi przez punkt Xß i jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się /?!, 7?₂, 7?₃ i 7?₄ rzutów boków czworokąta przekroju. Znając więc np. bok 2, 4 (3' 4', 3" 4") a przez to i punkt /?₂, a więc

Pa

2L

/7'

//a h*

1",

-i—«

HZ

\ Hb \

7'

C"

C'-

J : / 3'

\!

1,

/

/v

Vß ! V/

\ /__•

k",

3"'

Vb

Ayi Mr' /77/S

/A

fi

/pm

Oj/⁵,;

/>?' : : /

P4 P4‘

!/

/!

*7,1

/¥/

Ti/

/JPż

K»///

'ÎHp

iPź

//>'

Rz

f:

Xßx

/?/

Rs

7/a

Rys. 291

i oś powinowactwa /?₁₅ możemy przy jej pomocy wyznaczyć dalsze dwa punkty czworokąta przekroju. Odpowiednie bowiem boki, jak V 2’ i 7" 2", 2' 2' i 2" 2", V 4' i 7" 4", przecinają się w punktach 7?₄, 7?t i 7?₃ na prostej /?₄, wyznaczonej punktami Xß i 7?₂. Na rys. 291 punkty P/ i P₄" nakryły się, wobec czego i punkt 7?₄ zeszedł się z poprzednimi gdyż w tym przypadku punkt P₄ = /?₄ jest punktem przecięcia się płaszczyzn a, ß, ô/7 i ściany bocznej AB 1 2 grania-stosłupa.

b) Płaszczyzna równoległa do krawędzi bocznych gra-niastosłupa przecina go w równoległoboku, jeżeli krawędź

płaszczyzny siecznej z płaszczyzną podstawy przecina wielokąt podstawowy.

Przykład takiego przekroju podaje rys. 292. Przez przyjętą, równolegle do krawędzi bocznych graniastosłupa, prostą

J7\7W

Va.

k"

i B" ;

Vk/A_

A/W

O" C"

Vl’

Ht\

7’j

3‘ .

A’

l (i l") poprowadziliśmy płaszczyznę a (ha Va), której krawędź k (k' k") z płaszczyzną podstawy e przecina czworokąt podstawy w punktach 1(1' 1") i 2(2' 2"). Przez jl. punkty te poprowadzone proste, równoległe do krawędzi bocznych, są linjami przecięcia się odnośnych ścian bocznych z płaszczyzną sieczną, a odcinek 3,4 (3r 4', 3" 4") stanowi czwarty bok szukanego równoległoboku.

Rys. 292

Zl°

-/Z;

Bi

Zl°

Ai

Aa

Bz

ml

wr

Wz

wn

Rys. 293

98. Rzut środkowy Uważaj my dowolnie w przestrzeni przyjętą płaszczyznę eŁ za płaszczyznę rzutów, tło, a punkt O za środek rzutów w znaczeniu rzutu środkowego (ust. 8) i postanówmy wyznaczyć rzut środkowy dowolnej prostej m₂. W tym celu obierzmy na prostej //z ₂ dwa punkty A2 i B₂, połączmy je ze środkiem rzutów O (rys. 293) i wyznaczmy punkty A przebicia się promieni rzutów z płaszczyzną sŁ. Punkt Al jest rzutem środkowym punktu A₂ na płaszczyznę ßj, punkt B rzutem środkowym

punktu B,. Prostą mx, wyznaczoną punktami Ax i B{, będącą zarazem prostą przecięcia się płaszczyzny, przechodzącej przez

prostą m., i punkt O, nazywamy rzutem środkowym prostej m₂ na płaszczyznę ei.

98. Rzut środkowy Zx punktu niewłaściwego Z^ prostej m₂ otrzymamy jako punkt przebicia się promienia z, przechodzącego przez środek rzutów równolegle do prostej m₂, z płaszczyzną rzutów Ej. Punkt Zt nazywać będziemy śladem zbiegu, albo punktem wzajemnym prostej m₂. Prosta w, poprowadzona przez środek rzutów równolegle do prostej mj, przetnie prostą m₂ w punkcie W₂, który nazywamy punktem wzajemnym prostej mx.

/O'w

B,

A,

Rozpatrzmy zkolei pytanie zasadnicze, czy rzuty środkowe A, i B] punktów A₂ i B₂ prostej m₂, wyznaczają położenie tej prostej w przestrzeni w sposób jednoznaczny, czyli innemi słowy, czy z rzutu środkowego ml prostej m₂ odtworzyć możemy położenie tej ostatniej w przestrzeni. Jest rzeczą natychmiast widoczną, że punkt Ax jest rzutem nietylko punktu A₂, ale także wszystkich punktów promienia a, przechodzącego przez ten punkt i środek rzutów O. Rzut środkowy Ax punktu A₂ nie wyznacza więc położenia tego punktu w przestrzeni, a to samo odnosi się do punktu Bx, jako rzutu środkowego punktu B₂, a więc i do wszystkich punktów prostej mx, czyli do samej prostej mx. Widoczne stąd, że prosta mx, jako rzut środkowy prostej m₂, nie wyznacza położenia tej prostej w przestrzeni w sposób jednoznaczny; prosta ml, jako krawędź płaszczyzny s, z płaszczyzną cp, przechodzącą przez prostą m₂ i środek O, jest równocześnie rzutem wszystkich prostych, leżących na płaszczyźnie cp. Między punktami prostej ml znajdują się jednak dwa takie, które wyznaczają położenie prostej m₂ w przestrzeni w sposób jednoznaczny. Punktami temi są: ślad P prostej m₂ na płaszczyźnie rzutów, zwany śladem tłowym i punkt wzajemny Zx. W istocie znając oba te punkty, znamy położenie prostej m₂, która przejdzie przez punkt P, równolegle do promienia OZt.

1 os O

I ł t -

2    3    4/77

I ■ . I -I

Rys. 294

Jeżeli płaszczyzna rysunku będzie płaszczyzną rzutów, punkt O (O', 4) środkiem rzutów (rys. 294), punkt P śladem tłowym, a punkt Zv śladem zbiegu prostej /7z₂, to położenie tej prostej w przestrzeni wyznaczone jest A w sposób jednoznaczny. Wyprowadźmy bowiem w punkcie Or

prostopadłą i odmierzmy na niej, od płaszczyzny rysunku* cztery jednostki długości, a otrzymany środek rzutów O połączmy z punktem Zt, to prosta, przechodząca przez punkt P* równolegle do promienia OZy, jest prostą m₂.

99. Wyznaczenie położenia płaszczyzny metodą rzutu środkowego. Przyjmijmy płaszczyznę et (rys. 295) jako płaszczyznę rzutów, a punkt O jako środek rzutów. Dowolna

£z

Wz

W?.

Zi\

'm₂

Mi

mi

'P

wr

Zi

Si

/Mi

Rys. 295

Z/

Zi

. ° 0(3)

M,

rrn

płaszczyzna e₂ prze cina płaszczyznę e w prostej p, a płaszczyzna przechodząca przez O równolegle do 8₂, w prostej zx. Prosta p, zwana śladem tło wym i prosta zt zwana śladem zbiegu, wyznaczają położenie płaszczyzny e₂ w sposób-jednoznaczny. Płaszczyzna e₂ przechodzi bowiem przez ślad tłowy /?, równolegle do płaszczyzny, wyznaczonej prostą z y i środkiem rzutów O. Jeżeli płaszczyzna tej kartki jest płaszczyzną rzutów, a położenie środka rzutów względem niej wyznaczone jest rzutem cechowanym O' (3) (rys. 296), to znając ślad tłowy p i ślad zbiegu zt płaszczyzny e₂, odtworzymy położenie jej w przestrzeni w sposób następujący: przez środek rzutów O i przez prostą z± wyobraźmy sobie przechodzącą płaszczyznę płaszczyzna poprowadzona przez prostą p, równolegle do jest płaszczyzną e₂.

1 OS O t

Rys. 296

Jeżeli prosta m₂ (rys. 295) leży na płaszczyźnie s₂, to jej ślad tłowy P leży na śladzie tłowym /?, a ślad zbiegu Zx na śladzie zbiegu z y tej płaszczyzny. Jeżeli punkt M., leży na prostej m₂, to jego rzut środkowy My leży na rzucie tej prostej. (Porównaj rysunek 295 z rysunkiem 296).

Poprowadźmy przez środek rzutów O płaszczyznę o)//e1 (rys. 295) i oznaczmy prostą przecięcia się jej z płaszczyzną e„

literą w₂, to prosta, łącząca punkt O z punktem przecięcia się W₂ prostej m₂ z w₂ jest równoległą do mL.

100. Kolineacja środkowa. Rozważania powyższe naprowadzają nas na istnienie* pewnych związków między punktami i prostemi płaszczyzn e₁ i e₂, które to związki dadzą się ująć w następujące zdania:

a)    Każdemu punktowi jednej płaszczyzny odpowiada jeden jedyny punkt na płaszczyźnie drugiej, jako punkt przebicia się promienia, przechodzącego przez ten punkt i przez środek rzutów O, z płaszczyzną drugą.

b)    Każdej prostej jednej płaszczyzny odpowiada jedna jedyna prosta na płaszczyźnie drugiej, przyczem odpowiednie proste (np. m₁ i m₂ w rys. 295 przecinają się w punktach, leżących na krawędzi obu płaszczyzn. Punktowi niewłaściwemu jednej prostej odpowiada punkt właściwy na prostej drugiej i odwrotnie. W odniesieniu do rys. 295 punktowi Z₂°° prostej m₂ odpowiada punkt Zx na prostej m± ; punkt W₂ prostej m2 odpowiada punktowi niewłaściwemu W₁°° prostej m₁.

Jeżeli między układami punktów i prostych na dwóch płaszczyznach zachodzą wymienione pod a) i b) związki, to mówimy, że układy te są środko wo-kolineacyjne, a związki same nazywamy kol in eac ją środkową. Punkt O (środek rzutów), w którym przecinają się proste, łączące odpowiadające sobie punkty obu układów, nazywamy środkiem koli-neacji, a prostą p, na której leżą punkty przecięcia się odpowiednich prostych (krawędź płaszczyzn i e₂), zwiemy osią koli neacji. Proste zx i w₂, w których płaszczyzny £ i co, przechodzące przez środek kolineacji O równolegle do ex i e₂, te ostatnie przecinają, nazywać będziemy osiami wzajemne mi. Punkty, leżące na osiach wzajemnych, odpowiadają punktom niewłaściwym odnośnych płaszczyzn.

' Z rys. 295 czytamy : odległość środka kolineacji od osi wzajemnej zt równa jest odległości osi wzajemnej w₂ od osi kolineacji p, a odległość środka kolineacji od osi wzajemnej w₂. równa jest odległości osi wzajemnej zt od osi kolineacji.

Podkreślić wkońcu należy, że słowem „kolineacja“ wyrażamy jedynie pewną grupę związków, właściwą metodzie rzutów środkowych, że w równej mierze możemy, zaniechając wprowadzenia nazwy „kolineacja“, posługiwać się mianem „rzutu środkowego“.

101. Rzuty .układów środkowo-kolineacyjnych. Przyjmijmy płaszczyzny et i e₂ (rys. 297), przecinające się w pro stej p i punkt O, który uważajmy za środek kolineacji (rzutów). Prostej m₂, na płaszczyźnie e₂, odpowie na płaszczyźnie e prosta mn a punktowi A₂ prostej m₂ punkt Ai prostej mn przyczem oba punkty leżą na promieniu kolineacji (rzutu', przechodzącym przez środek O. Płaszczyzna £,, przechodząca przez środek O równolegle do e₂, przecina et w prostej z

(-£2 _A

a>

Zi

£1

0.

Z?

Zf,

wr

""A

mi

ar

Az

€1

0'

S'

A-«—nr

Ań wr

Wi

wi

«U-

Rys. 297

która jest jedną osią wzajemną kolineacji (śladem zbiegu płaszczyzny e₂); płaszczyzna co, równoległa do e₁₅ a przechodząca przez środek O, przecina płaszczyznę s₂ w prostej w₂, będącej drugą osią wzajemną kolineacji (śladem zbiegu płaszczyzny e₁'l. Prosta m₁ łączy swój ślad tłowy P ze śladem zbiegu Z₍ i jest równoległą do promienia OW₂.

Rzućmy w dowolnym kierunku środek kolineacji O i płaszczyznę e₂, wraz ze znajdującemi się na niej prostemi i punktami, na płaszczyznę st. Niechaj punkt O' jest rzutem punktu O na płaszczyznę 6U to prosta w₂' // p jest rzutem osi wzajemnej w₂, przyczem odległość n punktu O' od osi zl równa jest odległości prostej w₂ od osi kolineacji p. Prosta Or At jest rzutem promienia O Ati a punkt A/ przecięcia się promienia, poprowadzonego z punktu A₂ równolegle do 00', z prostą O' A, rzutem punktu A₂ na płaszczyznę el5 w przyjętym kierunku 00'. Prosta m₂ , łącząca ślad tłowy P prostej m₂ z punktem A₂',. jest rzutem prostej m₂ na et. Rzućmy jeszcze punkt W₂ prostej iv₂ na płaszczyznę et, to prosta s', łącząca otrzymany punkt W₂ z punktem O', jest równoległą do my, gdyż promień OW₂ = s jest również równo!egły do mt. Zauważmy wreszcie, że prosta m₂ będzie równoległą do promienia 0'Zt, gdyż prosta OZy jest równoległą do //z₂, a rzuty prostych równoległych są do siebie równoległe. Sytuację na płaszczyźnie elt gdy jest nią płaszczyzna tej kartki, przedstawia rys. 298, który porównać należy z rys. 297.

z,

z,

O’

m,.

zr

nr?

Zapomocą rzutu układu e₂ na płaszczyznę et otrzymaliśmy, jak widzimy, dwa układy środkowo - kolineacyjne, złączone na płaszczyźnie e₁. Rzut O' środka kolineacji O jest środkiem kolineacji tych dwóch złączonych układów płaskich, a prostej np. my

AR

w układzie odpowiada rzut m₂' -

Wż

Wś

3’i

w,yfA>

Rys. 298

prostej m₂ w układzie e., schodzą-cym się z układem et. Gdybyśmy / teraz owe dwa złączone na płasz- wr czyźnie e, układy, tak jak je przedstawia rys. 298, rzucili w kierunku dowolnym na przyjętą płaszczyznę e₃, to otrzymany układ będzie, jak wiemy, powinowaty z pierwszym. Punktom układu eA = e₂ odpowiedzą jednoznacznie punkty w układzie e₃, a każdej prostej, przechodzącej przez punkty układu eŁ = s₂, odpowie prosta w układzie b₃. Otrzymane na płaszczyźnie e₃ złączone dwa układy płaskie, jako rzut złączonych na płaszczyźnie dwóch układów, są środkowo-kolineacyjne. Ogólnie powiedzieć więc możemy: rzut dwóch środ-kowo-kolineacyjnych układów płaskich na dowolną płaszczyzną, daje dwa układy środkowo-kolineacyjne, złączone na tej płaszczyźnie.

Środek, oś kolineacji i jedna oś wzajemna wyznaczają koli-neacją środkową złączoną na jednej płaszczyźnie, w tern znaczeniu, że utworom płaskim w jednym układzie umożliwiają podporządkowanie odpowiednich utworów w układzie drugim. Na podstawie relacji, że odległość środka kolineacji od jednej osi wzajemnej równa jest odległości drugiej osi wzajemnej od

osi kolineacji, wyznaczyć możemy, znając środek, oś kolineacji i jedną oś wzajemną, drugą oś wzajemną.

Dli

p₃

Gdy znamy środek, oś kolineacji i jedną parą punktów odpowiednich, to kolineacja jest również wyznaczona, a znalezienie obu osi wzajemnych z łatwością możliwe. Wróćmy do rys. 297 i przypuśćmy, że punkt O', oś p i punkty Al i A₂' są dane. W celu wyznaczenia osi wzajemnych w./ i zlf wykreślmy przez At dowolną prostą mn to prosta m₂', odpowiadająca jej w układzie e₂, przejdzie przez punkty P i A./. Punktowi niewłaściwemu Wj⁰⁰ prostej mn odpowie na prostej m₂' punkt W₂', który otrzymamy, kreśląc przez O' promień równoległy do mt. Oś wzajemna p    w₂' przejdzie przez punkt W₂', rów

D,

nolegle do osi kolineacji p. Równo-à> legła, wykreślona z punktu O' do m₂' przetnie prostą m, w punkcie Z,, przez który przejdzie druga oś wzajemna zl. Oczywiście, że odległość O' od z i równa jest odległości osi w./ od osi p.

Rys. 299

102. Przykłady.

1. Dane są dwa układy środ-kowo-kolineacyjne i e₂, złączone na płaszczyźnie rysunku a wyznaczone środkiem O, osią kolineacji p i parą punktów odpowiednich Ay i A₂ (rys. 299). W układzie e₁ znajduje się kwadrat B, Cy D, Eznaleźć odpowiadający mu kolineacyjnie czworokąt w układzie e₂.

Prostej an łączącej punkty A i Blt odpowie w układzie £2 prosta a₂, przechodząca przez punkty A₂ i P. Promień kolineacji BL O przecina prostą a₂ w punkcie B₂. Punkt P w którym prosta By Ct przecina oś kolineacji, połączymy z B₂, a na przecięciu się otrzymanej prostej z promieniem kolineacji O Ct leży punkt C₂. Podobnie przy pomocy punktu P₂ otrzymamy punkt E₂, a punkt P₃ umożliwi wyznaczenie punktu D₂. Czworokąt B₂ C₂ D₂ E₂ odpowiada w układzie e₂ kwadratowi Bv Dy En przyjętemu w układzie .

2. Dane są dwa układy środkowo-kolineacyjne, złączone na płaszczyźnie rysunku, a wyznaczone środkiem, osią koline-

acji i osią wzajemną w₂. W układzie et leży kwadrat AlBl ClDl; znaleźć odpowiadający mu kolineacyjnie czworokąt w układzie e, (rys. 300).

Przez punkt P przecięcia się prostej /, z osią p przejdzie prosta l₂. Punktowi niewłaściwemu Z^⁰⁰ prostej /, odpowie punkt L₂ na osi w2i który otrzymamy, kreśląc przez środek O promień równoległy do /₂. Wyznaczywszy w ten sam sposób punkt M₂, odpowiadający kolineacyjnie punktowi Afj⁰⁰ prostej ml, połączymy go z punktem Pn otrzymując pro-stą m₂. Punkt I₂ odpowiada równo- ' cześnie punktowi niewłaściwemu prostej sn która jest równoległą do lt, podobnie jak punkt M₂ odpowiada punktowi niewłaściwemu prostej nx.

Sposób otrzymania wierzchołków A₂, B₂, C₂ i D₂ szukanego czworokąta tłumaczy zresztą rys. 300.

103. Płaskie przekroje ostrosłupów. Poznane w ust. 96 ogólne sposoby wyznaczania przekrojów wielościanów płaszczyznami odnoszą się także oczywiście i do ostrosłupów. Jest jednak

rzeczą natychmiast widoczną, że skoro A B C D jest podstawą ostrosłupa (rys. 301), leżącą na płaszczyźnie a, to czworokąt przekrój u tego ostrosłupa płaszczyzną ß, jest rzutem środko-

L-2

nz

\Ai

,n,

W2

M2

S2

Im?

'Pi

Li

,m,

C,

Mń

Rys. 300

./

fii

-i

'p

{p<

Pa

pPa

<pi

wym czworokąta podstawy na tę płasz-

czyznę sieczną. Innemi słowy: między podstawą a przekrojem ostrosłupa zachodzi kolineacja środkowa. Środkiem tej koli-neacji jest wierzchołek W ostrosłupa, osią kolineacji krawędź p płaszczyzny podstawy i płaszczyzny siecznej.

Punkty A i /, B i 2, C i 3, D i 4 są punktami odpowiednimi dwóch układów, a proste AB i 12, B C i 2 3 i t. d., przecinające się w punktach Pt, P₂,... na osi p, kolineacji prostemi odpowiadającemi sobie na obu płaszczyznach.

Rozwiązanie zadania przekroju ostrosłupa dowolną płaszczyzną oprzeć możemy na założeniu, że kolineacja środkowa, zachodząca między podstawą a przekrojem wyznaczoną jest środkiem, osią i parą punktów odpowiednich albo środkiem, osią kolineacji i jedną osią wzajemną.

Przykład wychodzący z pierwszego założenia przedstawia rys. 302, gdzie pięciościenny ostrosłup ukośny, którego podstawa leży na płaszczyźnie poziomej a, przecięty jest płaszczyzną ß. Najpierw wyznaczono rzuty punktu 3 (3' 3") przebicia się krawędzi CW z płaszczyzną sieczną ß, a to przy pomocy pionowo - rzucającej płaszczyzny x(hy vY>). Ponieważ rzut dwóch

y/3

yr

\v

■\Vh

' /5"

\\k"

r r\Vt

Va.

I\

Vp\/P"

YX/3

Vp A

A'l

t’

r.

P'/

P>\

sj

Dr

<Hk

hp

\h

"Pi środkowo-kolineacyj-nych układów płaskich na dowolną płaszczyznę stanowi — dwa układy środko-wo-kolineacyjne złączone na tej płaszczyźnie, więc rzut poziomy wielokąta podstawy i wielokąta przekroju ostrosłupa M da dwa wielokąty środkowo - kolinea-cyjne. Osią tej kolineacji jest rzut po-

ziomy p' krawędzi p płaszczyzn a i ß, środkiem rzut poziomy W' wierzchołka W ostrosłupa. Bok B' C przecina oś p' w punkcie P/, który łączymy z punktem 3' prostą, przecinającą W' B' w punkcie 2'. Dalej A' B' przetnie p' w P₂\ a prosta P₂' z' wyznaczy na W' A' punkt 1'. Podobnie przy pomocy punktu P./, w którym bok A' E' przecina oś p', otrzymamy punkt 5', a pośrednictwo punktu P/ umożliwi otrzymanie punktu 4'. Pozostaje do wyznaczenia rzut pionowy 1"... 5" pięciokąta przekroju. Oś powinowactwa środkowego, jakie zachodzi między pięciokątami V 2' 3' 4' 5' i 1" 2" 3" 4" 5", przechodzi przez punkt Xß i jest miejscem geometrycznem punktów /, //, ///... przecięcia się odpowiednich boków obu pięciokątów.

____Va,_______W”

W?

la.

7i"l

n.

Cz

Pz\

Bz

Dii

AL

sf

wr

Wź

S³

ST

ur

Us

ur

-y

Pi

Jako. przykład konstrukcji przekroju ostrosłupa płaszczyzną, przy pomocy ko-lineacji środkowej, zachodzącej między pod- V-stawą a przekrojem, a wyznaczonej śród-kiem, osią kolineacji i jedną osią wzajem- z, śr ną, służy rys. 303.

Zi”

Środkiem tej ko-

lineacji jest wierz-    z

i.

chołek W ostrosłupa,    ^

Rys. 303

osią kolineacji p ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej a, osią wzajemną zx ślad poziomy h^ płaszczyzny ' , poprowadzonej przez wierzchołek ostrosłupa równolegle do płaszczyzny a. Drugą osią wzajemną, więc w₂, jest krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną poziomą to, przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa. Ponieważ rzuty dwóch układów środkowo-ko-lineacyjnych są również środkowo-kolineacyjne, więc między rzutem poziomym podstawy a rzutem poziomym czworokąta przekroju zachodzi kolineacja środkowa. Punkt W jest środkiem, ślad ha osią kolineacji, ślad hz, =zx jedną, a rzut poziomy w2 krawędzi w₂ drugą osią wzajemną.

Bok A x By przecina oś kolineacji w punkcie Py', punktowi niewłaściwemu prostej Pt By odpowiada punkt W./ na osi w₂', który otrzymamy, kreśląc ze środka W' równoległą do Py By. Prosta PyW₂' odpowiada prostej PXBX, a punkty A/ i B2 punktom A y i By. Połączmy punkt Zlf przecięcia się prostej Py By z osią wzajemną zlt ze środkiem kolineacji W', to otrzymana prosta jest równoległą do prostej A./ B/, gdyż punktowi Z y odpowiada punkt niewłaściwy prostej A./ B₇'. W ten sam sposób, przy pomocy punktów P₂, P₃, P₄, U₂ i Slt znajdziemy dalsze boki, względnie wierzchołki czworokąta przekroju Oczywiście, że znając punkty i B₂ wyznaczyć możemy dalsze, jedynie przy pomocy punktów P₂,P₃ i P₄, użycie osi wzajemnych wskazane jest jednak względem na dokładność konstrukcji.

Va

Y» T” W”

R"

_____wź\___Vą>

pi

PSI J ihx

/æX\

\P’

ßS

Pi

\\Pj \ Pi Pi

Kpi

Jako ogólniejszy przykład zadania poprzedniego niech posłuży rys.

Ve

Xa

Z/z/

Di

Vz

DL

Pi

'Az

B* ypk

7 R¹

Ai\

304, gdzie przeprowadziliśmy kon- A strukcję przekroju czworościennego u-kośnego ostrosłupa dowolną płaszczyzną a (ha Va).

'Pi /ha

Rys. 304

Wyznaczmy krawędź p (p' p") płaszczyzn a i s, a także prostą przecięcia się w₂ (w₂' w₂") płaszczyzny cc i płaszczyzny poziomej co, przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa. Na rzutni poziomej otrzymamy złączoną kolineację dwóch układów płaskich, wyznaczoną: środkiem W', osią p' i osią wzajemną w₂. W zupełnie analogiczny sposób jak w zadaniu poprze-dniem — jednak bez pośrednictwa osi wzajemnej zx — wyznaczymy punkty A₂ , B₂, C₂ i D₂, odpowiadające koli-neacyjnie punktom Ay, By' C/ i Dy. I tak np. równoległa do Ay By y wykreślona przez punkt W', przecina oś wzajemną w2 w punkcie R', który połączony z punktem Px daje bok A₂ B₂

rzutu poziomego czworokąta przekroju. Rzut pionowy A₂ B₂ ' C₂" D₂" czworokąta przekroju otrzymać możemy — uwzględniając, że czworokąt leży na płaszczyźnie a (ha Va) — zapomocą tworzą-cych tej płaszczyzny. W rys. 304 otrzymaliśmy żądane punkty, przy pomocy rzutów pionowych prostych PY P,P₂T i P₃ S.

B7 A"r C" 2" D"

iïVTT-JTnr

Vß/

I / // I / //

w/

Vh

x_

*r~

AK\

/?>

Rys. 305

Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa przecina go w trójkącie, jeżeli krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną podstawy przecina podstawę. Jako przykład takiego przekroju niech posłuży rys. 305, który przedstawia przekrój czworo-sciennego, prostego ostrosłupa płaszczyzną p (7*ß Vß), przechodzącą przez wierzchołek W (W' W"). Płaszczyzna podstawy a przecina ß w prostej k (k' k"), a punkty 1 (1' 1") i 2(2' 2rr) połączone z wierzchołkiem rozwiązują zadanie.

W"

u"j

i"i

2"

A"

S"

Nn\³" \B"a

D%

C"

co

hcC-

/hß

k'

Rys. 306

104. Zadanie. Dany ostrosłup czworościenny przeciąć w równoległo-boku. Proste AC i B D (rys. 306) uważać można za ślady poziome płaszczyzn a i ß, przechodzących przez pary przeciwległych krawędzi bocznych ostrosłupa, a prostą N W za krawędź tych płaszczyzn. Płaszczyzna szukanego równoległoboku przetnie płaszczyzny a i ß wzdłuż prostych, które będą przekątnemi tegoż równoległoboku. Punkt przecięcia się tych przekątnych leżeć będzie na prostej N W. Niechaj płaszczyzna sieczna przechodzi przez dowolny punkt S (S' S") prostej N W, to rozwiązanie zadania sprowadza się do wykreślenia w jednym rzucie np. pionowym takich odcinków 1" 3" i 2" 4", dla których punkt S" byłby środkiem; wiadomo bowiem, że rzut równoległoboku jest równoległobokiem.

W" I" : I" 2" = 4" S" : S" 2", a ponieważ

Wykreślmy przez punkt S" równoległą do W" D" i odmierzmy na prostej W" B" odcinek 1" 2" — T" W". Punkt 2" połączmy z S'\ a otrzymamy przekątną równoległoboku, którego środkiem jest punkt S". W istocie bowiem, gdy weźmiemy pod uwagę trójkąt W" 2" 4" i prostą I" S" // W" 4", to otrzymamy proporcję:

W" I" = I" 2", więc 4" S" = S" 2".___

Wykreśliwszy z punktu S" równoległą do boku W" C", odmierzymy II" 1" = II" W" i połączymy otrzymany punkt I" z punktem S", otrzymując na prostej W" C" punkt 3". Odcinek 1" 3" jest drugą przekątną szukanego równoległoboku. Zwróćmy uwagę na^rójkąt W" 3" 1" i równoległy do jego boku W" 3" odcinek S"II". Z rysunku czytamy:

łW7F : Jr^l⁷⁷ = irs⁷⁷ : S⁷⁷!⁷⁷", a że W^II" = II" I⁷⁷, więc też: 3" Ś⁷⁷ = S⁷⁷!⁷⁷.

G”

ly

Z’.

PA V’

N.

BT\

Tym sposobem otrzymaliśmy rzut pionowy równoległoboku przekroju. Rzut poziomy znajdziemy przez odniesienie otrzymanych punktów na rzut poziomy krawędzi bocznych ostrosłupa, albo przez powtórzenie przeprowadzonych konstrukcyj dla rzutu poziomego.

\W

lc

K'

i Pu

\i

D'/

Rys. 307

105. Punkty przebicia się prostej z wielościanem znajdziemy w ten sposób, że przez daną prostą popro-r"”⁷' wadzimy płaszczyznę, wyznaczymy jej przekrój z wielościanem, a punkty przecięcia się wielokąta przekroju z prostą rozwiązują zadanie. Co do \ wyboru płaszczyzny, poprowadzonej przez prostą, to baczymy zawsze, aby wyznaczenie przekroju jej z wielościanem uskutecznić się dało możliwie najprościej, przy użyciu najmniejszej ilości linij. Stąd używamy najchętniej płaszczyzn rzucających, a odnośnie do grania-stosłupów i ostrosłupów także takich, które przecinają pierwsze w równoległobokach, a drugie w trójkątach.

Przykłady. 1. Punkty przebicia się (P/Pt") i P₂ (^V^2") prostej l (V l") ze sześcianem, którego przekątna główna jest pionowa (rys. 307), wyznaczyliśmy przy pomocy płaszczyzny poziomo-rzucającej a, przechodzącej przez prostą /, a przecinającej ten sześcian w pięciokącie 12453. Rzut poziomy tego pięciokąta schodzi się ze śladem poziomym ha płaszczyzny a, a rzut pionowy otrzymaliśmy, odnosząc poszczególne punkty na rzuty pionowe odpowiednich krawędzi.

Q"

źr

\f

C„;

ß”

/;

V.

IÓ77,

/i

Ny

//tt /fX:

sfr

! '    , y

■Hm ÏÏI/fVm

a"

\r

_/-l.

C/'

Z"

4/'

/TT

” X\ /

U'

k'

U,

rQ'

,U°

/a /a°

h fp'

■a’

W' /

/r>\

Rys. 308

2. Na płaszczyźnie przechodzącej przez oś* i punkt U(U'U"), przyjęliśmy k»adrat AB CD, jako podstawę graniastosłupa ukośnego, którego rzuty przedstawia rys. 308. Zadaniem jest wyznaczyć punkty przebicia się prostej p (p'p") z tym graniastosłupem.

Przez punkt T (T T'), obrany na prostej p (p' p"), poprowadziliśmy prostą m (m' m") równoległą do krawędzi bocznych. Płaszczyzna cp = (m, p), której ślady ,hy i Vep wykre-

śliliśmy, jest równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa i przecina płaszczyznę podstawy w prostej k (kr k"), która przejdzie przez punkt Xcp, a której jeszcze jeden punkt, a mianowicie K (K K") znaleźliśmy w sposób następujący: Na prostej A D przyjęliśmy punkt Z (Z' Z"), przez który poprowadziliśmy prostą z (z' z") // x; prosta ta przebija płaszczyznę q> w punkcie K (K' K"), który wraz z punktem Xp wyznacza prostą k (k' k"). Ta ostatnia przecina podstawę graniastosłupa w punktach M i N, a równoległobok M N PQ jest tym, w którym płaszczyzna cp przecina graniastosłup. Prosta p (pr p") przecina ten równoległobok w punktach R(R' R") i S(S' S"), które są szukanemi punktami przebicia się prostej p z graniastosłupem- -

Vk

/ NN

Vc

J^-TiT

hr-

Vk

Fo]H

\JeJVa_ei

E”

P" /k”

W"

C"

F7

0"/cĄ\\ \

V6

HX A"

CQ...

nr."

KPS

N"

W"

I"

C’

ß'

"'"Hk

NX

F°

c°

0°

c:

JT)'

e°

xT

D°

c°

C/o ™\ha /r'X

Rys. 309

3. Niechaj’ zadaniem naszem jest wyznaczenie punktu prze** bicia się prostej 1(1' l") (rys. 309) z ostrosłupem, o podstawie umiarowego sześciokąta, leżącym jedną ścianą boczną na rzulni poziomej-Rzuty ostrosłupa wykreślimy w sposób łatwy do odczytania z rysunku. Następnie, ponieważ osiągnięcie śladów prostej t

w obrębie płaszczyzny rysunkowej jest niemożliwe, przyjęliśmy na / punkty M (M' M"), N (N' N") i połączyli z wierzchołkiem ostrosłupa W prostemi m(m' m") i n (n' n"). Płaszczyzna cp (h<$ v^)s wyznaczona temi dwiema prostemi, przecina płaszczyznę podstawy a (ha Va,) w prostej k (kr k"), a ostrosłup w trójkącie 1 2 W. Punkty Px (Pxr P±") i P₂ (P₂/ P%") są punktami, w których prosta / przebija ostrosłup.

yr

i.

W°

106. Rozwinięcia wielościanów. Przez rozwinięcie wie-lościanu, albo t. zw. „siatkę“, rozumiemy wykreślenie na płaszczyźnie wszystkich ścian danego wielościanu w takim ich zestawieniu, że, po wycięciu tego wykresu np. z papieru, odtworzenie wielościanu jest możliwe.

1.    Rozwinięcie ostrosłupa. Ostrosłup czworościenny, ukośny stoi podstawą na rzutni poziomej (rys. 310); prawdziwe długości jego krawędzi bocznych otrzymamy przez wykonanie kładu ścian około krawędzi podstawowych na rzutnię poziomą, jak to uczyniliśmy ze ścianą B C W, albo przez sprowadzenie tych krawędzi zapomocą obrotu do położenia równoległego względem rzutni pionowej, jak to uczyniliśmy z krawędziami A W i D W. Zestawienie trójkątów, stanowiących ściany boczne, z podstawą A B C D, wobec znajomości wszystkich elementów nie nastręcza żadnych dalszych trudności.

2.    Rozwinięcie graniastosłupa. Rozwinięcie graniastosłupa prostego, którego podstawa znajduje się na rzutni poziomej, sprowadza się do wykreślenia prostokątów o znanych bokach, stanowiących ściany boczne, i do wykreślenia podstaw.

fzr \Bn

C"

D"

yWj

Rys. 310

{A

Przykład rozwinięcia ezworościennego graniastosłupa ukośnego widzimy na rys. 311. Jeżeli graniastosłup ten przetniemy płaszczyzną a (ha Va), prostopadłą do krawędzi bocznych, to boki czworokąta przekroju będą prostopadłe do tych krawędzi, a po rozwinięciu ścian bocznych, przejdą w linję prostą, do której krawędzie boczne pozostaną prostopadłe. Zadanie sprowadza się tym sposobem niejako do rozwinięcia dwóch graniasto-słupów prostych o wspólnej podstawie, powstałych z przecięcia graniastosłupa płaszczyzną a, a ograniczonych podstawami graniastosłupa ukośnego. Wykreśliwszy rzut boczny grania-słupa na płaszczyznę prostopadłą do śladu ha i rzuty czworo-

E" F" H" G" /va.

,3’

E,

ä'\ß" \ZT

F'

ha

\

;Yv    y

—₍ _ B'Ÿff / /

. '

v.

fi

H\

li

/>

fi

’3°

■VJ

h/i

% U

1°

Rys. 311

kąta przekroju 1 2 3 4, wykonajmy jego kład /° 2° 2’ 4Ü na rzutnię boczną i rozwińmy go na prostą p. Otrzymamy: 1 2 = 7°>7 2 2 = 2° 2°, 24 = 2° 4° i 41= 4° 7°. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach /, 2, 2, 4 i /, odmierzymy prawdziwe długości krawędzi obydwu graniastosłupów prostych, których wspólną podstawą jest czworokąt 1(1' 1")... 4(4' 4"). Będzie więc TA = V" A'⁷⁷, 2B = 2^~B"', 2 C = 2'" C" i 4D=4'"D'¹', a wreszcie AE=BF= ...=DH=A"'E"'=B'"F"...

107. Przenikania się wielościanów w ogólności. O dwóch wielościanach, które częściowo zajmują tę samą przestrzeń,

mówimy, że się przenikają, względnie wzajemnie przecinają. Przestrzeń, należąca równocześnie do obu wielościanów, ograniczona jest w ogólności wielokątem przestrzennym (skośnym). Jego wierzchołki są punktami przebicia się krawędzi jednego wielościanu ze ścianami wielościanu drugiego, a jego boki są prostemi przecięcia się ścian przenikających się wielościanów. Jeżeli wszystkie krawędzie jednego wielościanu przebijają ściany wielościanu drugiego, to wielokąt przenikania składa się z dwóch części, a przenikanie nazywa się zup einem. Jeżeli jedna lub więcej krawędzi zarówno jednego jak i drugiego wielościanu leży poza obrębem przenikania, to wielokąt przenikania jest jednolity, a przenikanie nazywa się nie-zupełnem lub częściowem.

Sprawa wyznaczenia wielokąta przenikania dwóch wielościanów polega w zasadzie na zastosowaniu zadania wyznaczenia punktu przebicia się prostej z płaszczyzną, względnie z wielościanem. Co do wierzchołków i boków tego wielokąta, względnie ich rzutów, to pamiętać musimy o następujących punktach, które rozumieją się same przez się:

a)    Punkt przebicia się krawędzi widocznej ze ścianą widoczną, jest widoczny,

b)    Prosta przecięcia się dwóch ścian widocznych jest

widoczną,

c)    Punkt przebicia się krawędzi widocznej ze ścianą niewidoczną jest punktem niewidocznym i

d)    Krawędź ściany widocznej ze ścianą niewidoczną, podobnie jak dwóch ścian niewidocznych, jest niewidoczną.

108. Przenikanie się ostrosłupów.

a) Niechaj dane będą, przedstawione w rzutach ukośnych (ryś. 312), dwa ostrosłupy o wierzchołkach W± i W₂, których podstawy AB C D i E F G H spoczywają na wspólnej płaszczyźnie cp. Celem wyznaczenia wielokąta przenikania, połączmy oba wierzchołki prostą w, która przebija cp w punkcie P. Äby wyznaczyć punkty przebicia się krawędzi jednego ostrosłupa ze ścianami ostrosłupa drugiego, poprowadźmy przez prostą w i tę krawędź płaszczyznę, która przetnie drugi graniastosłup w trójkącie. Punkty przecięcia się boków tego trójkąta z krawędzią są szukanemi punktami. Krawędź płaszczyzny, przechodzącej przez krawędź ostrosłupa, z płaszczyzną cp przejdzie przez punkt P i wierzchołek wielokąta podstawy, z którego

wychodzi krawędź boczna. Ten sposób szukania wierzchołków wielokąta przenikania wskazuje od razu, które krawędzie biorą udział w przenikaniu, a które leżą poza niem. I tak, jeżeli prosta PA jest prostą przecięcia się płaszczyzny poprowadzonej przez krawędź W₁ A z płaszczyzną cp, to ponieważ prosta ta nie przecina podstawy ostrosłupa W₂, więc i krawędź W₁ A nie przebija tego ostrosłupa. Inaczej jest z płaszczyzną przechodzącą przez krawędź W₂ H. Przecina ona bowiem ostrosłup W₁ w trójkącie W₁ III, co oznacza, że krawędź W₂ H przebija ten ostrosłup w dwóch punktach, oznaczonych liczbami 1 i 2. Podobnie krawędź W₂ E przebija ostrosłup Wt w punktach 3 i 4, krawędź W₂ G w punktach 5 i 6. Krawędź W± D ostrosłupa przebija ostrosłup W₂ w punktach 7 i 8, a wreszcie krawędź

ty,

i EH+HG+AB - EH+HGtAD s EH-EF+AB

4    EH-EF+AD /

5    HO+GF+AB s HG*GF+AD v AD*DC-EF

8    AD+DC+GF

9    -EF+FG+AB to -EF+FG+DC

.9-

'3-

\2.

\'JO

8}

zr

Af

+1 + 3-9+5+1 *2+4-7 -10+8+ 6+2

Rys. 312

W₂ F ostrosłupa W₂ przebija ostrosłup Wt w punktach 9 i /Ö. Krawędzie W₂ B i W₂ C nie biorą udziału w przenikaniu. Ponieważ wszystkie krawędzie graniastosłupa W₁ przebijają gra-niastosłup W₂, więc mamy przykład przenikania zupełnego, gdzie wielokąt składa się z dwóch oddzielnych części. Teraz należy połączyć otrzymane wierzchołki wielokąta przenikania. W przypadkach prostych, gdzie ilość punktów nie jest wielka, a więc i siatka linij konstrukcyjnych nie utrudnia orjentacji, ustalenie następstwa punktów, które połączyć należy, nie nastręcza zbytnich trudności; zazwyczaj jednak rzecz ma się odmiennie, a wówczas postępujemy w sposób następujący:

Bierzemy pod uwagę wierzchołki wielokąta przenikania i notujemy krawędź jednego wielościanu i ściany drugiego, na których punkly te leżą. I tak np. punkty 7 i 2 leżą na krawędzi powstałej z przecięcia się ścian W₂EH i W₂HG, a nadto punkt 7 leży na ścianie ABW1} a punkt 2 na ścianie A D Do oznaczenia ścian bocznych wystarczą krawędzie u podstawy, które te ściany dostatecznie określają. Jeżeli ściana jest widoczna, to jej krawędzi podstawowej damy znak dodatni ( + ), inaczej znak ujemny (—). Notatkę naszą, odnoszącą się do punktów 7 i 2, wyrazimy następującym symbolem:

1.

A EH, A HG, AAB,

2.

+ EH, +HG, + AD.

Przetłumaczone na słowa, symbole te brzmią: Punkt 7 leży na krawędzi, powstałej z przecięcia się widocznych ( + ) ścian EH i HG ostrosłupa W₂ i na ścianie widocznej AB ostrosłupa Wt ; punkt 2 leży na krawędzi ścian widocznych EH i HG ostrosłupa W₂ i na widocznej ścianie AD ostrosłupa Wt.

Dla punktów 3 i 4 otrzymamy:

3.

A EH, —EF, A AB,

4.

A EH, — EF, A AD, przyczem znak — przy ścianie EF oznacza, że ściana ta jest niewidoczna. Jeżeli to samo przeprowadzimy dla wszystkich

A AB

+ EH

+ HG

+ EH

+ AD

+ HG

dziesięciu punktów, to otrzymamy następującą tablicę, którą zestawiliśmy także na rys. 312.

- EF

A EH

— EF

A EH

A AD

A EG

A AB

+ HG

A HG

A AD

A CD

A AD

— EF

A CD

A AD

A FG

afg

— EF

A AB

afg

-EF

10

+ CD

Äby otrzymać porządek,, w jakim otrzymane punkty należy połączyć, postępujemy w sposób następujący: Wyszedłszy z punktu 7, niechaj czytelnik przekreśli w pierwszym szeregu naszej tablicy wiersz ostatni i np. pierwszy* a więc oba dodatnie i niechaj szuka w następnych szeregach tych samych liter, a więc + AB i A EH. Znalazłszy je w szeregu 2, niechaj zanotuje

obok liczby 4- 7 liczbę 4- 3. Przekreśliwszy w tymże samym szeregu 3 ponownie wyraz ostatni, t. j. 4-^47? i pozostały — EF, niechaj szuka tych wyrażeń z temi samemi znakami w dalszych szeregach. Znajdzie je w szeregu 9, co zanotuje obok poprzedniej 4- 3, jednak ze znakiem ujemnym, a to dlatego, że jeden z wyrazów (— EF) jest ujemny, z czego wynika, że punkt 9, jako leżący na ścianie — EF może być niewidoczny. Przekreśliwszy wyrazy +AB i + EG znajdziemy je powtórnie w szeregu 5, a pozostałą tam parę wyrazów 4- AB i H G w szeregu pierwszym. Tym sposobem łańcuch, którego pierwszem ogniwem był punkt 4-7, a który przedstawia się w ten sposób:

+ 7,    3, — 9, 4- 5, +7,

zamknął się. Otrzymany szereg liczb wskazuje nam bezpośrednio porządek łączenia punktów, stanowiących jeden z dwóch wielokątów przenikania, a ponadto poucza, które krawędzie tego wielokąta są niewidoczne. I tak, jeżeli dwie następujące po sobie liczby są dodatnie, to krawędź przenikania temi punktami określona jest widoczną (np. krawędź 7 4- 3). Jeżeli punkt dodatni połączyć mamy z ujemnym, to oznacza to, że odnośna krawędź przenikania jest niewidoczną (krawędź 3 — 9). Punkt — 9 połączony z 5 daje krawędź widoczną, a 5 połączony z 7 zamyka wielokąt przenikania również krawędzią widoczną.

Dla pozostałych szeregów naszej tabeli przeprowadzimy, wychodząc z punktu 2, to samo i otrzymamy szereg:

+ 2, 4- 4, - 7, - 70, + 8, 4- 6, + 2, a więc drugi wielokąt przenikania.

Otrzymanie z tablicy szeregu liczb wskazujących, z wykluczeniem pomyłek zarówno co do następstwa punktów, które należy połączyć, jak i co do „widoczności“ i „niewidoczności“ krawędzi wielokąta przenikania, polega na następującem rozumowaniu: Przekreślając w pierwszym szeregu tablicy wyrazy 4- A B i + E H, zaznaczamy tern, że punkt 7 leży na ścianach ABWl i EFIW₂; szukając wyrazów AB i EH w dalszych szeregach tabeli, szukamy punktu leżącego na tychże samych ścianach obu ostrosłupów, a więc punktu, który połączony z pierwszym, wyznacza krawędź obu tych ścian. Przekreślając poraź drugi w szeregu 3 wyraz ostatni AB i pozostały — EF> szukamy krawędzi ściany EFW₂ i ściany ABWt, która to krawędź wyjść musi z punktu 3, gdyż płaszczyzny ABW±i

EHW₂ i EFW₂ przecinają się właśnie w punkcie 3. Ścianą ostrosłupa, na której leży wierzchołek wielokąta przenikania, musi więc być dwukrotnie przekreślona w tablicy, gdyż uważany wierzchołek jest punktem wyjścia dla dwóch krawędzi wielokąta przenikania, leżących na jednej' ścianie. Ściana więc np. AB, na której leżą punkty 1, 3, 9 i 5 wystąpi w tabeli cztery razy, ale będzie ośm razy przekreślona; na ścianie F G leży tylko punkt 8, więc w tabeli naszej wystąpi tylko raz jeden wyraz FG, jednak dwukrotnie przekreślony.

Prosta AB przecina się z krawędzią EH w punkcie M, który jest punktem przecięcia się płaszczyzn ABWX, EHW2 i cp, prosta więc 1 + 3 przechodzić musi przez punkt M. Podobnie prosta 1 + 5 przechodzi przez punkt N, w którym przecinają się płaszczyzny ABWX, HGW₂ i cp. To samo odnosi się do wszystkich boków wielokąta przenikania.

Wv

F.

lir

/ilu

i-

'd

We,

Pt

(P,

fs

Pi,

b) Rys. 313 podaje przykład niezupełnego przenikania się dwóch ostrosłupów Wt i W₂, których podstawy ABC i DEF leżą na dwóch płaszczyznach, a mianowicie cpj i cp₂. Zasadniczo zadanie rozwiążemy w ten sam sposób, jak poprzednie: więc przez wierzchołki obu ostrosłupów i przez ich poszczególne krawędzie prowadzimy płaszczyzny, przy pomocy których znajdziemy punkty przebicia się krawędzi jednego ostrosłupa ze ścianami ostro-' słupa drugiego.

Rys. 313

Jeżeli punkty przebicia ęię prostej w, łączącej wierzchołki obu ostrosłupów, z płaszczyznami cpt i cp₂ oznaczymy przez P± i P₂, to prosta Px A jest krawędzią płaszczyzny cp₁ i płaszczyzny a, prze-

chodzącej przez prostą w i krawędź AWX. Krawędź ta przecina prostą przecięcia się p płaszczyzn cpt i cp₂ w punkcie P₃, który wraz z punktem P₂ wyznacza krawędź płaszczyzn a i cp₂. Krawędź ta pfZecina podstawę ostrosłupa W2 w punktach I i II, a proste IW₂ i IIW₂ są temi, w których

płaszczyzna a przecina ostrosłup W₂. Punkty przecięcia się I i 2 tych prostych z krawędzią A Wt są punktami, w których krawędź ta przebija ostrosłup W₂. W ten sposób znajdziemy punkty przebicia się 3 i 4 krawędzi C z ostrosłupem W₂, punkty przebicia się 5 i 6 krawędzi E W₂ z ostrosłupem Wx i punkty 7 i 8, w których krawędź F W₂ przebija ten sam ostrosłup Wx. Tablicę, na podstawie której otrzymamy następstwo wierzchołków wielokąta przenikania, zestawioną jak w przykładzie pierwszym, widzimy powyżej. Wielokąt przenikania niezupełnego jest:

+ AB

+ AB

+ AC

+ AC

+ DE

+ DE

+ DF

+ DF

+ AC

+ D£

+ AC

— BC

-BC

— EF

-EF

+ DF

+ DE

+ DF

+ AB

— BC

+ AB

+ I, ^5, — 7, -F 2, 4- 4, — 8, — 6, — 3, + /. c) Przykład przenikania dwóch trójściennych ostrosłupów, przeprowadzony w rzutach Monge’a, podaje rys. 314. Ostrosłup Wx stoi na rzutni poziomej, podstawa ostrosłupa W₂ znajduje się na płaszczyźnie poziomo-rzucającej e (he Ve ). Prosta w (w'w"), łącząca wierzchołki obu ostrosłupów, przebija s w punkcie P (Pr P"), a rzutnię poziomą w punkcie //«, (Hw' Hw"). Poprowadźmy przez prostą w i krawędź boczną A Wt ostrosłupa Wx płaszczyznę a, to jej ślad poziomy ha przejdzie przez punkty Hw i A; rzut pionowy a" krawędzi a płaszczyzn e i a łączy punkty P" i Hb" i przecina trójkąt D" E" F" w punktach /" i II", które odrzucone na ślad he dają punkty f i II". Punkty I (F I") i II (IF II") połączone z wierzchołkiem W₂ (W₂ W₂") dają proste, w których płaszczyzna a przecina ostrosłup W₂. Punkty / (V I") i 2(2' 2"), w których krawędź .41^ przecina proste IW₂ i IIW₂, są punktami przebicia się tej krawędzi z ostrosłupem W₂. W ten sam sposób znajdziemy punkty przebicia się 3 (3' 3") i 4 (4' 4") krawędzi BWX z ostrosłupem W₂, a to

przy pomocy płaszczyzny ß, przechodzącej przez tę krawędź i przez prostą w. Zkolei wyznaczymy przy pomocy płaszczyzny e punkty 5(5' 5") i 6 (6' 6"), w których krawędź EW₂

P'-'K

/A Y '

..

r.

i"

[M

r,

flfm

. 'i

jY"

/£>

(g

Il

f:

\ K Y'

F\

7"

'8"

W£ A'

Ks

\\\n

l r/7 »,

x JHf

\ A*

.⁵n\'

\ Al m Vïï" \çn

W"

**ßi

#1

///e

//%>

HF

Hà'

7\P'

im

ha \

il

'B

\v

hv

\_

.V

:7V

[y’

/

/ /

’ hs jhß

W YV^²'

VT

\W'

Y \\

//

Mi

~~ •    H w

Rys. 314

przebija ostrosłup Wt, a wkońcu punkty 7 (T 7") i 8(8' 8") przebicia się krawędzi FW₂ z ostrosłupem Wt.

Zestawmy otrzymane punkty i ściany, na których punkty te leżą, osobno dla każdego rzutu, w tablice.

Z tablic tych, w sposób omówiony szczegółowo przy zadaniu pierwszem, otrzymamy wzory połączeń wierzchołków wielokąta, identyczne oczywiście dla obu rzutów, a różniące

2'

3'

4'

5'

8'

+ AB

+ AC

+ D'F'

1"

—A" B”

+ A" C"

+ D"E"

+ AB

+ AC

- E'F'

2"

— A" B"

+ A" C"

+ E" F"

+ AB

+ BC

+ D'F'

3"

-A" B"

+ B" C"

+ D"F"

+ AB

+ BC

+ D'E'

4"

—A" B"

+ B" C"

+ D"E"

+ D' E'

- E' F’

+ BC

5"

+ D"E"

+ E" F"

+ B" C"

+ D’ E’

+ D' F'

+ D'F'

— E'F'

— E' F'

-E'F'

+ AB

+ AC

+ BC

6"

₇"

8"

+ D"E"

+ D"F"

+ D" F"

+ E" F"

— A" B"

+ A" C"

-F E" F"

4- B" C"

się tylko znakami, określającemi „widoczność“ i „niewidoczność“ poszczególnych krawędzi, a mianowicie:

Dla rzutu poziomego mamy:

+ V + 3' + & - 5' + 4' + 6r-2' — 7' 4-1'.

Rzut pionowy wielokątów wyrazi się:

+8"+5"+4" — 6" — 2" + 7" — 1

12%.

pgj

Zazwyczaj zestawiamy tylko tabelę dla jednego rzutu i z niego po wykreśleniu orjen-tujemy się, które krawędzie wielokąta przenikania w drugim rzucie są widoczne, a które zakryte.

d) Przenikania wie-lościanów spotykamy bardzo często w budownictwie; jedno z nich widzimy na rys. 315. Dachy, będące czwo-rościennemi ostrosłu

Rys. 315. Cerkiew św. Trójcy w Żółkwi

(Zdjęcie fotograficzne prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

pami, przenikają się tam z ośmiościennemi ostrosłupami, stanowią-

cemi trzon wieży. Rozwiązanie tego zadania w rzutach prostokątnych przeprowadziliśmy na rys. 316. Ze względu na to, że oba ostrosłupy mają wspólną oś pionową, wyznaczenie rzutów wielokąta przenikania jest bardzo proste. I tak, aby znaleźć punkt przebicia się krawędzi A W ostrosłupa czworościennego ze ścianą boczną EFPN ośmiościennego ostrosłupa ściętego, poprowadźmy przez tę krawędź płaszczyznę poziomo-rzucającą. Płaszczyzna ta przetnie tę ścianę

P”jt" R" s" r

Q"

N"

V" \un

W"

iy

3"

<g"l

yf⁶" ■    ~ü\

(<r

/O"

J" K

B" G" F E"

Çnx

M" L" D"

J’

8’t

GuC/\ \ ■■ /VOyi*

li,

o;-

=1

Rys. 316

w prostej I II, która wyznacza na krawędzi A W szukany punkt 1(1' 1"). Najpierw otrzymamy rzut pionowy 7", a potem, przez odniesienie go na prostą A W" rzut poziomy V. W podobny sposób otrzvmamy punkty 2 (2 2"), 3 (3' 3") i 4(4' 4"). Ściana FGPQ przecina ścianę AB W w krawędzi 5 6, która jest prostopadłą do rzutni pionowej. Krawędzie ścian HIRS i 5C1^, ścian KLTU i CD W, a wreszcie EMNV i AD W leżą na tej samej płaszczyźnie poziomej, wraz z krawędzią 5 6. Łącząc punkty 5 i 12 z punktem 1, punkty 6 i 7 z 2, 8 i 9 z 3, a 10 i 11 z 4, otizymamy szukany wielokąt przenikania.

e) Rys. 317 jest dalszym przykładem stosowanych w budownictwie przenikań wielościanów. Mamy tu również przeni-

Jj

y.

fS

Rys. 317. Zakończenie wieży kościoła w Bru-śniku, proj. prot. dr. Jana Sas Zubrzyckiego

kanie ostrosłupa czworościennego z ośmiościennym, którego konstrukcyjne rozwiązanie przeprowadziliśmy na rysunku 318.

109. Przenikania się graniastosłupów.

a) Weźmy pod uwagę dwa graniastosłupy I\i r₂, których podstawy znajdują się na płaszczyźnie cp (rys. 318). W celu wyznaczenia wielokąa przenikania, więc punktów przebicia się krawędzi jednego graniastosłupa z drugim, obierzmy dowolny punkt P w przestrzeni i poprowadźmy przezeń prostą px, równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa I\ i prostą p₂ równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa r₂. Prosta py łącząca punkty przebicia się Px i P₂ prostych px i p2 z płaszczyzną cp, jest śladem płaszczyzny równoległej do krawędzi bocznych obu graniastosłupów, zwanej płaszczyzną kierowniczą. Płaszczyzny, przechodzące przez krawędzie

N, *

»oczne jednego graniastosłu->a, równolegle do płaszczymy kierowniczej, przecinają irugi graniastosłup w rów-noległoboku. W szczególności płaszczyzna przechodząca przez krawędź boczną AAX * graniastosłupa F₂ przecina płaszczyznę cp w prostej, przechodzącej, przez punkt A równolegle do prostej p i przecinającej podstawę graniastosłupa w punktach / i II.

Równoległe, wykreślone do krawędzi bocznych graniastosłupa rA przez punkty / i //, przecinają krawędź /i^.w punktach 1 i 2, które są punk- A tami przebicia się tej krawędzi z F₁. W analogiczny sposób znajdziemy punkty przebicia się 3 i 4 krawędzi EEX graniastosłupa F₁ z F₂, dalej punkty 5 i 6, w których krawędź GGX przebija r₂, punkty 7 i 8 a wkońcu 9 i 10. Układamy tablicę, jak to uczyniliśmy

przy przenikaniu się ostrosłupów, oznaczając w niej ściany boczne graniastosłupów litera-mi odnośnych krawędzi podstawowych. Tak np. punkty 1 i 2 leżą na krawędzi widocznych ścian bocznych AB A₁B₁ i AC Ax CŁ, a ponadto punkt 1 leży na widocznej ścianie ED Ex D[, a punkt 2 na widocznej ścianie D G Dx Gx. Wyrazimy to więc symbolicznie w następujący sposób:

B,

ml

N"P" U"Q" R" S"

IV"

T"'

c,

Dr,

/ V

/*r

<P

1",

2"

8"

7"

F"

3"

B" E" M

L"

F:

i.

IS"

'4".

\tr_

K" J" D"

C" A

Q\f\\

\N±-

te'V-"

/Pi

'M

>J

F'

U'

3'

7T

Rys. 318

8/

\l

7-

-77

'P,

Ah

'zf-Osr

17

'p<

7r

_A_

13*

1.

2.

H- A B, ■ A C, -I⁻ D E, ■+■ A B, H~ A C, A-D G.

Zestawienie dla wszystkich punktów podaje tablica. Zu-*“' pełnie w ten sam sposób, jak to czyniliśmy przy przenikaniu się

ostrosłupów, wyznaczymy następstwo punktów stanowiących wierzchołki wielokąta przenikania, który składa się z dwóch pięciokątów skośnych, a mianowicie :

+ AB

+ AB

+ EF

+ DG

+ AC

+ AC

+ DE

+ DE

+ DE

+ DG

+ AB

+ AC

A-AB

+ 1, + 3, + 8, — 10, A- 4, + 1 i + 2, + 5, — 7, — 9, — 6, + 2.

b) Przenikanie się niezupełne dwóch graniastosłupów, __

stojących na rzutni poziomej, przedstawione w rzutach Mon-ge’a, widzimy na rysunku 320. Płaszczyzna kierownicza p- wyznaczona jest prostemi a (a' a")

+ DG

+ AB

+ AB

A-AC

- FG

+ AC

-BC

-BC

— BC

- FG

+ EF

— FG

10

+ AC

— BC

+ EF

Al

CL

Er

DL

Fr

BI

f10n

Z”

7n"

(p"

hë.

Hi

V" /A"

BU

's.

Hb\. I h/t y^Ha

■■A

G" D"

f" f

A'

J)'

m.

jr

hs

i£

-j3

.17

D’\\A

Gf

er

C A⁷'

X \ Jf'

\ yl / z

A\ \ i / y,

X \X

\ A I/a

A'

iĄI

•o;

c;

i rb (b' b"), poprowadzonemi przez dowolnie przyjęty punkt P (F P") w przestrzeni równolegle do krawędzi bocznych gra-

niastosłupów. Płaszczyzna ô //p.____

a przechodząca przez krawędź DDX przecina drugi grania-stosłup w równoległoboku, a ten krawędź DD₁ w punktach 1 (V 1") i 2 (2' 2"), które są punktami przebicia się tej krawędzi z graniastosłupem. Tą drogą otrzymamy wszystkie dziesięć punktów przenikania, których rozmieszczenie dla rzutu poziomego ujmiemy w tabelę. Wielokąt przenikania otrzymany z tej tabeli jest:

+ r, +3+10', -6', +4', +2', -5', -8', -9', -7', -V.

Bez trudności odróżnimy z rzutu poziomego krawędzie widoczne od niewidocznych w widoku z przodu, a więc w rzucie pionowym.

c) Jeżeli podstawy graniastosłupów znajdują się na dwóch płaszczyznach przecinających się w prostej p (rys. 321), to

1'

2'

3'

4'

6'

+ DE

-DG

+ AC

+ DE

+ DE

+ DE

+ AB

+ AB

-DG

+ EF

+ EF

— BC

— BC

T -DG -FG

8'

9'

10'

+ AB

+ AB

— DG

+ EF

+ AC

-DG

- FG

-BC

+ AC

+ AC

-BC

— FG

— BC

+ EF

Bi

Ci

Ai.

Ei

.i_

Di

P*

fi

Ps

!p²

ifi,

(p,

en

•<’-P v

Si

p\ Pl i

|5i

ç*

pr

Tl

Rys. 321

i wówczas zadanie rozwiążemy w sposób wyżej wskazany. Płaszczyzna kierownicza wyznaczona jest prostemi i s2> poprowadzonemi przez dowolnie w przestrzeni obrany punkt Przyjmijmy, że płaszczyzna kierownicza przecina płaszczyzny <pŁ i cp₂ w prostych px i /?₂, to proste te wyznaczają kierunki

krawędzi płaszczyzn, poprowadzonych przez krawędzie boczne graniastosłupów, z płaszczyznami cpt i cp₂. Krawędź AAX przebija drugi graniasto-słup w punktach 1 i 2, a krawędź CCj w punMach 3 i 4\ krawędzie boczne DDt i EEX przebijają graniastosłup o podstawie ABC w punktach 5, 6 i 7, 8. Zestawimy tablicę, a z niej następstwo wierzchołków wielokąta przenikania:

+1, +5, —7, -j-2, 4 4, —8, —6, —3, 4-7.

+ AB

+ AC

+ DF

4 AB

4 AC

-ED

-ED

4 EF

4 EF

7"

4 AC

4 EF

— BC

— BC

+ DF

4 DF

- ED

— ED

8"

:3"

6"

Ą-DF

4 EF

4 AB

— BC

4 AB

-BC

£"

Dfjw"

Lr

I:

X_

B" Ù"

r?

ii

’6'

'8'

Ł\io

ii

D'

\M°

D°

d) Przykład przenikania dwóch graniastosłupów prostych* których krawędzie boczne są prostopadłe, widzimy na rys. 322. Rzut poziomy wielokąta przenikania scho dzi się z rzutem po-

_ziomym graniastosłu-

pa, którego krawędzie boczne są pionowe. Celem dokładnego wyznaczenia rzutu pionowego punktów 1, 2, 3 i 4, w których te pionowe krawędzie przebijają drugi gra-c⁰ niastosłup, wykonaliśmy kład podstawy DEF na płaszczyznę poziomą, przechodzą-

cą przez punkt F, aby móc wyznaczyć wysokości punktów /, II, III i IV, a względnie punktów 1, 2, 3 i 4«

Rzuty pionowe punMów przenikania zestawimy w tablicę, a z niej otrzymamy rzut pionowy wielokąta przenikania, a mianowicie :

+ I, + 3, 4-6, — 8, -f- 4,

+ 7, -2, -5, -1.

110. Przenikanie się ostrosłupów z graniastosłupami.

a) Weźmy pod uwagę gra-niastosłup czworościenny, stojący na płaszczyźnie (rys. 323) i trójścienny osłrosłup W, którego podstawa znajduje się również na płaszczyźnie q>. Aby wyznaczyć wzajemne przenikanie się tych wielościanów, po-

+ AB

-AC

+ DF

+ AB

+ AB

+ AB

+ DF

+ DF

+ DE

+ DE

-AC

+ EF

+ BC

+ DF

+ BC

+ EF

— EF

— AC

-EF

-EF

+ AB

— EF

+ BC

fi

6»

Ei

6l>

10

i3.

Dr]

\\

[V

■8

/W

•M

7/

A/X

Rys. 323

prowadźmy przez wierzchołek ostrosłupa prostą w, równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa. Płaszczyzny, przechodzące przez prostą w i krawędzie boczne ostrosłupa, przecinają graniastosłup w równoległobokach, a płaszczyzny, przechodzące

przez prostą w i krawędzie boczne graniastosłupa, przecinają ostrosłup w trójkątach. Niechaj punkt P jest śladem prostej w

na płaszczyźnie 9, to proste, łączące ten punkt z wierzchołkami wielokątów podstawy ostrosłupa i graniastosłupa, są śladami płaszczyzn, przechodzących przez odpowiednie krawędzie boczne tych wielościanów, na płaszczyźnie cp. I tak płaszczyzna, poprowadzona przez prostą w i krawędź A W, przecina podstawę graniastosłupa w punktach / i //, a ściany boczne graniastosłupa w prostych równoległych do krawędzi bocznych, wychodzących z punktów / i II. Tym sposobem otrzymamy punkty przenikania I i 2, a następnie dalsze aż do 9 i 10, które zestawimy, jak w poprze-

+ AC

— AB

+ DE

+ AC

+ AC

+ AC

+ DE

+ DE

+ DG

+ DG

+ BC

-AB

+ DG

+ BC

+ BC

— EF

— EF

— FG

— FG

-AB

+ DE

+ DG

-AB

+ BC ■

-AB

+ BC

-EF

10

-AB

-FG

A»

=1

><

hp

•H»

ha.

hs

hy

\⁵'

\\

s/\

tF

'\

CF

S?''

El

7’

8’

ł/CSS

d;

v‘.

Fi

,-v

+ 3, -f- 6, — 9, — 5, — 1 i -f- 4, -4- 8, — 10, — 7, — 2.

dnich przykładach w tablicę, a z niej zestawimy wielokąty przenikania zupełnego:

b) Rys. 324 przedstawia, w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny, przenikanie zupełne trójściennego ukośnego ostrosłupa z takimże graniastosłupem. Zadanie rozwiązane jest w    >

sposób omówiony powyżej ; czytelnikowi po-    a

zostawiono ułożenie ta-    Jlrnh*,

blicy, a z niej wielokątów przenikania dla obu rzutów.

lISÊÈ

m'%

“W

c) Przykład przenikania ostrosłupa z graniastosłupem, wzięty z budownictwa, podaje rysunek 335. Dach, w kształcie czworo-ściennego ostrosłupa, przenika się z trzonem wieży, będącym prostym ośmiościennym graniastosłupem.

Rozwiązanie tego zadania w rzutach Mon-ge’a przeprowadziliśmy na rys. 326, który sam tłumaczy się dostatecznie jasno i nie wymaga słownych wyjaśnień.

d) leżeli podstawy hysi. 325. Dzwonnica przy cerkwi Uśpienia M. B. .....    w Czortkowie

ostrosłupa l przenika- (Zdjęcie fotograficzne prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

jącego się z nim gra-niastosłupa nie leżą na wspólnej płaszczyźnie, to metoda szukania poszczególnych wierzchołków przenikania nie ulega zmianie. Przykład takiego przenikania podaje rys. 327. Pod-

stawa ABC ostrosłupa leży na rzutni poziomej, podstawa DEF prostego graniastosłupa znajduje się na płaszczyźnie poziomo-

rzucającej a. Prosta w (wr w"), poprowadzona przez wierzchołek równolegle do krawędzi bocznych gra-niastoslupa, przebija płaszczyznę a w punkcie P (P P"). Wykonajmy kład płaszczyzny a, wraz z pod-x stawą graniastosłupa i punktem Pr na rzutnię poziomą. Płaszczyzna ó, poprowadzona przez w i krawędź DZ)t graniastosłupa, przecina płaszczyznę a w prostej d. Kład d⁰ prostej d, który uważany być może za jej rzut boczny, otrzymamy łącząc punkt P z Z)°. Ślad poziomy /za płaszczyzny ô przecina podstawę ostrosłupa w punktach / i //; proste / W' i II W' są rzutami po-ziomemi prostych, w których płaszczyzna ó, przechodząca przez krawędź DDX, przecina ostrosłup. Punkty 1 (ï 1") i 2 (2' 2") są punktami przebicia się

W"

ß"

B"

5"

/2>

7"

8"

12"

9"

11" '■ 10

C"

D"

7’

8'

6'

5'

2[

12'

W’

9'

4'

11'

Rys. 326

</®

10'

P"

W"

W"

d"\ c"

M" i

zr

E"

-H

rs"

6"

,3»

fi

1" 2" 1

8".

,4"

F,"

x_

Vct

Ifl"

C"

HS

4-

_/WL- ■

A Di

/Mi--

Z>4

\\

/»i '

■c°

Hc-_

v \ trJv-, ' •. J-

fcaÊte

p°

■r-Eo.

e°

F\

!&■-

F⁰'

f°

rW

hd

fl

krawędzi DDt z ostrosłupem. Przy pomocy płaszczyzny y, której ślad poziomy /zY przechodzi przez punkt C, a która poprowadzona jest przez krawędź boczną WC ostrosłupa, otrzymamy punkty przebicia się 3 (3' 3") i 4 (4' 4") tej krawędzi z graniastosłupem. Płaszczyzny e i cp, przechodzące przez krawędzie boczne EE± i FF± granias’oslupa, a przecinające płaszczyznę a w prostych e i f, umożliwiają wyznaczenie punktów przenikania 5, 6 i 7, 8. Zestawiwszy otrzymane punkty i ściany* na których one leżą, w tablicę, otrzymamy następnie wzór połączeń, wykazujący dwa wielokąty przenikania, który tym sposobem jest przenikaniem zupełnem.

.....

sv

vs \\

/'

ROZDZIÄL DRUGI

LIN JE KRZYWE I POWIERZCHNIE

§ 8. KRZYWE STOŻKOWE

111. Szeregi i pęki perspektywiczne. Zbiór punktów A,

B,    C, ... linji prostej p nazywamy szeregiem punktów; punkty A, B, C, ... są elementami, a prosta p podstawą szeregu. Symbolicznie oznaczać będziemy szereg punktów, pisząc: p(A, B, C, ...).

Zbiór promieni a, b, c, przechodzących przez właściwy lub niewłaściwy punkt W na płaszczyźnie, stanowi pąk promieni, którego punkt W jest wierzchołkiem, a którego promienie a, b, ... zwą się elementami. Symbol W (a, b, c, ...) odczytywać będziemy: pęk o wierzchołku W, a o elementach a, b, ....

Szeregi punktów i pęki promieni oznaczać będziemy wspólnem mianem utworów zasadniczych.

Dwa szeregi punktów p{(A{, Blt Cn ...) i p₂(A₂, B₂,

C. ₂,...), (rys. 328), powstałe z przecięcia pęku promieni W (a, b, c, ...) prostemi pt i p.,, nazywać będziemy szeregami perspekiywicznemi, oznaczając ten związek symbolem:

Pi (Av BC^, ...) a P> ( A₂) B ₂) C2i...).

Dwa pęki promieni Wl (aA, blt cn ...) i W₂ (a₂, b₂, c₂, ...) (rys. 329), powstałe z połączenia punktów i W₂ z elemen-

W2,

Wi

Cl

P>

mi.

'Ms

77)

c₂

/ms as/ at

bs\ bt

tami szeregu p( A, B, C, ...), czyli będące rzutem tego szeregu z punktów Wx i W₂, nazywać będziemy pąkami perspekty-wicznemi, pisząc:

Wi(al, bt, c

Proste a, b, c, ..., łączące dowolny punkt W z elementami szeregu p(A, B, C, ...J (rys. 330), tworzą pęk promieni perspektywiczny z tym szeregiem, co wyrazimy wzorem:

W (a, b, c, ...) a p( A, B, C, ...).

Przez punkt niewłaściwy N⁰⁰ prostej p przechodzi promień n pęku, równoległy do podstawy p.

n N-

/C-

O elementach takich jak punkt A i promień a w rys. 330* lub o punktach Ax i A₂, Bx i B₂ w rys. 328, lub wreszcie o promieniach ax i a₂, bx i b₂, ... w rys. 329 mówimy, że stanowią ele-menta odpowiednie dwóch zasadniczych utworów perspektywicznych.

Rys. 330

Punkt Mx = M₂ przecięcia się podstaw px i p₂ dwóch perspektywicznych szeregów punktów (rys. 328) jest elementem wspólnym obu szeregów. Prosta mx = m₂, łącząca wierzchołki Wx i W₂ dwóch perspektywicznych pęków promieni, jest wspólnym elementem obu pęków.

112. Stosunki pojedynczego podziału. 1. Dwa dowolne punkty prostej p oznaczają odcinek AB (rys. 331). Przyjęcie kierunku od punktu A ku punktowi B za dodatni, zaś od B ku A za ujemny,, wyrazimy równaniem:

Rys. 331

AB — —BA czyli AB + BA = 0.

Dla dowolnego trzeciego punktu prostej p, a mianowicie dla punktu M otrzymamy:

AB Ą- BM = AM.

AM

= a nazywamy stosunkiem pojedynczego*

podziału, lub krótko stosunkiem podziału odcinka AB punktem M.

Stosunek

BM

Każdemu punktowi M prostej p odpowiada jedna wartość a stosunku podziału w odniesieniu do dwóch punktów danych, ale też i każdej wartości a stosunku AM:BM odpowiada jeden jedyny element szeregu punktów na podstawie p.

2. Dwa promienie a i b, przechodzące przez punkt W wyznaczają kąt ab (rys. 332). Przyjąwszy kierunek przeciwny ruchowi wskazówki zegara za dodatni, określimy kierunek od b do a jako ujemny. Tak więc kąt ab wyraża wielkość kąta zawartego między ramionami a i b, a nadto kierumk obrotu od ramienia a do b. Bezwzględna wartość kątów ab i ba jest ta sama, ale suma ich równa jest zeru, t. zn.:

Rys. 332

■Źab-\-^ba = 0.

Przyjąwszy trzeci dowolny promień m otrzymamy:

a b]+ b m = a m.

Stosunek

= a nazywamy stosunkiem pojedyn-

sin (am) sin ibm)

•czego podziału, lub krócej stosunkiem podziału kąta ab promieniem m.

Każdemu promieniowi m pęku W (a, b, c, ...) odpowiada jedna wartość cc stosunku podziału w odniesieniu do dwóch promieni danych i wzajemnie każdej wartości cc stosunku sin (a b) : sin (b c) odpowiada jeden jedyny element pęku W (a, b, c, ...).

113. Stosunki podwójnego podziału. Oznaczmy wykładnik stosunku podziału odcinka AB punktem M literą a, a stosunek podziału tego samego odcinka punktem N przez p, to stosunek:

AM m AN BM ' BN ß

określamy mianem stosunku podwójnego podziału lub stosunku anharmonicznego czterech punktów A, B, M, N, pisząc symbolicznie :

(AB MN) = X.

Jeżeli stosunek podziału kąta ab promieniem m, t. j. sin (am) : sin (bm) = a, podzielimy przez stosunek podziału tego samego kąta ab promieniem n, t. j. przez stosunek sin (an) : sin (bn) = p, to otrzymamy stosunek:

sin (am) sin (an) _ a sin (bm) ‘ sin (bn)

zwany stosunkiem podwójnego podziału lub stosunkiem anhar-monicznym czterech promieni a, b, c, d, oznaczony symbolicznie:

(abmn) = X.

Każdemu punktowi N szeregu p (A, B, ...) odpowiada, w odniesieniu do trzech stałych elementów A, B, M tego szeregu, jedna wartość X stosunku anharmonicznego i odwrotnie: każdej wartości stosunku podwójnego podziału X odpowiada jeden jedyny, określony, punkt N w szeregu p (A, B,...), w odniesieniu do trzech jego stałych punktów.

Każdemu promieniowi n pęku W (a, b, ...) odpowiada, w odniesieniu do trzech stałych promieni a, b, m tego pęku, jedna wartość X stosunku anharmonicznego i odwrotnie: każdej wartości stosunku podwójnego podziału X odpowiada jeden jedyny określony promień n w pęku W (a, b, ...), w odniesieniu do trzech jego stałych promieni.

114. Związki miarowe między dwoma perspektywi-cznemi utworami zasadniczymi. Weźmy pod uwagę pęk promieni W (a, b, c, d), perspektywiczny z szeregiem punktów p (A, B, C, D); z wierzcho'ka W poprowadzimy prostopadłą do p (rys. 333) i odcinek WP oznaczmy literą w.

Podwójne powierzchnie a₂, a₃ i a₄ trójkątów W AC, WBC, WAD i W BD wynoszą:

< <1 < <1

1    = WA . WCsin (ac) = A C. w .... I

₂    = WB. WC sin (bc)-^BC.w .... II

₃    = WÄ.WD sin (ad) = ~ÄD. w .... III

₄    = WB.WDsm(bd) = BD.w .... IV

Dzieląc równanie I przez II i III przez IV — otrzymamy:

W A . sin (ac) _ AC WB . sm (bc) ~W

UM . sin (ad) ₌ AD WB .s\n(bd)~ BD’

a dzieląc pierwsze z tych dwóch równań przez drugie, dochodzimy do równości:

sin (be) < sin (ad) _ A C % AD sin(bc) ' sin(bd) ~ ßC ’ BD

co wyrazi się w przyjętych symbolach:

(abcd) = (ABCD) . .

a słowami: wartość stosunku anharmonicznego czterech dowolnych promieni pęku W (a, b, c, d) równa jest wartości stosunku anharmonicznego czterech odpowiednich punktów

W.

szeregu p (A, B, C, D), perspektywicznego z tym pękiem.

'LAr,

Ci

Di

Przetnijmy pęk W (a, b, c, d) drugą prostą, a mianowicie pu to, ponieważ według ust. 111

£ W (a, b, c, d) 7v

f\/ P \JB

3.1 \bt Ch

a Pi (Au Blf Cif D±),

di

Rys. 333

więc na podstawie wypowiedzianego wyżej twierdzenia będzie też:

(ab cd) = (A₁B₁ C₁D₁) co w zestawieniu z równaniem V daje w wyniku relację:

VI

(AB CD) = (AXBX C₁ Dt)

Równanie VI mówi, że stosunki anharmoniczne czterech odpowiednich elementów w dwóch perspektywicznych szeregach punktów są sobie równe.

Rzućmy punkty A, B, C, D prostej p, (rys. 333), z dowolnego punktu Wx,io otrzymany pęk promieni Wt (at> bx, c±, d₁) jest perspektywiczny z pękiem W (a, b, c, d), ale także:

Wi(av, b±, c±, dJKp(A, B, C, D), a stąd, według słownej interpretacji równania V :

(albtc₁dJ = (ABCD)

a ponieważ według równania V :

VII

(abcd) — (A BCD), więc (abcd) = (a₁ bx ct clt)

co oznacza, że stosunki anharmoniczne czterech odpowiednich elementów w dwóch pękach perspektywicznych są sobie równe.

Związki miarowe, określone równaniami V, VI i VII, a odnoszące się do zasadniczych utworów perspektywicznych wypowiedzieć się dadzą łącznie w następującem twierdzeniu:

Stosunki anharmoniczne czterech odpowiednich elementów w dwóch perspektywicznych utworach zasadniczych są sobie równe.

115. Szeregi i pęki jednokreślne. 1. Między elementami dwóch perspektywicznych utworów zasadniczych zachodzi od-powiedniość jedno-jednoznaczna, polegająca na tern, że każdemu elementowi jednego utworu odpowiada jeden element utworu drugiego, a to albo bezpośrednio, przechodząc lub leżąc na tym elemencie (szereg punktów i pęk promieni w rys. 330), albo za pośrednictwem utworu trzeciego, jak to ma miejsce przy dwóch perspektywicznych szeregach (rys. 328), lub dwóch perspektywicznych pękach (rys. 329).

Stosunki anharmoniczne czterech odpowiednich elementów w dwóch perspektywicznych utworach zasadniczych są — jak to wykazaliśmy w ustępie poprzednim — równe.

Zachowując wzajemne położenie elementów każdego z utworów zasadniczych, związanych ze sobą perspektywicznie, rozdzielmy je np. przez przesunięcie na płaszczyźnie — to i wówczas każdemu elementowi jednego utworu odpowie jeden jedyny i ściśle określony element w utworze drugim. Zmieniliśmy wzajemne położenie obu utworów, nie znosząc jednak odpowiedniości jedno-jednoznacznej między ich elementami, i nie niszcząc równości stosunków podwójnego podziału czwórek odpowiadających sobie elementów w tych utworach. Takie utwory zasadnicze określać będziemy mianem jednokreślnych i oznaczać symbolem 7\.

Z określenia tego wynika, że dwa zasadnicze utwory perspektywiczne są tern samem i jednokreślne, że określenie „perspektywiczny“ mieści w sobie i odpowie-dniość jedno-jednoznaczną elementów dwóch utworów zasadniczych i równość wartości stosunków podwójnego podziału każ-

dej czwórki odpowiadających sobie elementów, ale ponadto wyraża szczególne, wzajemne położenie tych utworów.

W dwóch jednokreślnych utworach zasadniczych stosunki podwójnego podziału są zawsze równe. Warunkiem więc koniecznym, aby dwa utwory zasadnicze były jednokreślne, jest, by stosunki anharmoniczne odpowiednich elementów były równe.

Ponieważ przy trzech danych punktach A±, Bx, CŁ, szeregu px(Ax, Bx, Ct, ...), punktowi Mt tego szeregu odpowiada, w odniesieniu do trzech punktów A₂, B₂, C₂ szeregu p₂(A₂, B₂, C₂, ...), jednokreślnego z pierwszym, jeden jedyny punkt M₂> którego położenie na podstawie p₂ określone jest równaniem :

(AxBiC₁M₁) = (A₂B₂ C₂M₂),

więc trzy pary odpowiednich elementów dwóch jednokreślnych utworów zasadniczych pozwolą na wyznaczenie dalszych par elementów tych utworów. Wynika stąd, że, warunek równości stosunku podwójnego podziału czterech odpowiednich elementów w dwóch utworach zasadniczych jest także i warunkiem wystarczającym, aby utwory te były jednokreślne.

2. Dwa szeregi pt(Au Bx, C₁₅ ...)⁼Kp₂(A₂, B₂, C₂, ...), jako perspektywiczne, są przecięciami pęku promieni W(a, b, c,...) prostemi, px i p₂ (rys. 328), więc rzut każdego punktu jednego szeregu z punktu W na szereg drugi jest elementem odpowiadającym pierwszemu. Punkt M₂, odpowiadający punktowi M, schodzi się z nim jako punkt wspólny podstaw px i p₂ obu szeregów. Warunkiem więc koniecznym, aby dwa jednokreślne szeregi punktów były perspektywiczne jest, by punkt przecięcia się ich podstaw był elementem wspólnym obu szeregów, t. zn., by punkt ten, uważany za element jednego szeregu, należał równocześnie jako odpowiadający temu elementowi do szeregu drugiego.

Przyjmijmy trzy pary punktów A± i A2i Bl i B₂, Mx i M2 dwóch szeregów jednokreślnych na podstawach px\ p₂ z tern, że elementy Mt i M₂ nakrywają się (rys. 328). Prosta a, łącząca punkty Ax i A₂, przecina prostą b, łączącą punkty Bi i B₂ w punkcie W. Połączmy czwarty punkt Cx szeregu pl(A₁, Bt, ...) z punktem W promieniem c, to promień ten przetnie prostąp₂ w punkcie C₂, odpowiadającym punktowi Cx. Ponieważ, zgodnie z założeniem, szeregi px \ p₂ są jedno-kreślne, więc:

(AiBlM₁ Ct) — (A₂B₂ M₂ CJ.

Ale szeregi pi(A₁, B±, M±, CJ i p₂(A₂, B2J M₂, CJ są ponadto przekrojami pęku promieni W (a, b, m, c) prostemi Pi i P2 ~~ a wl(èc s§ w mysi określenia ustępu 111 perspektywiczne. Jeżeli więc punkt przecięcia się podstaw dwóch jedno-kreślnych szeregów jest ich elementem wspólnym, to szeregi te są perspektywiczne. Wynika stąd wprost, że warunek określony jako konieczny, aby dwa jednokreślne szeregi punktów były perspektywiczne, polegający na tern, że punkt przecięcia się podstaw tych szeregów musi być elementem wspólnym obu szeregów — jest równocześnie i warunkiem wystarczającym.

W analogiczny sposób możemy wykazać, że koniecznym i wystarczającym warunkiem tego, aby dwa jednokreślne pęki promieni były perspektywiczne, jest, by promień, łączący oba wierzchołki tych pęków, był ich elementem wspólnym.

3. W rys. 334 mamy, poczynając od pęku W (a, b, c, ...), łańcuch utworów zasadniczych, powstały z ogniw perspektywicznych, a mianowicie:

W(a, b, c, ...) /^p(A, B, C, ...) A a i, bc±, ...) a Pi(A±, Bi, Ci, ...) a    . . I

a W₂(a₂, b₂, c₂, ...) a p₂(A₂, B₂, C₂, ...)

Na dwa bezpośrednio po sobie następujące ogniwa tego łańcucha składają się utwory zasadnicze dwóch różnych rodzajów, więc gdy pierwszym jest pęk promieni, drugim szereg punktów. Dwa ogniwa tego samego łańcucha przedzielone trzecim są tego samego rodzaju i, jak widzimy, perspektywiczne.

Weźmy pod uwagę dwa dowolne ogniwa naszego łańcucha, np. pęk W (a, b, c,'...) i szereg pt (At, Blf C±, ...). Dwa te utwory złączone są ze sobą, za pośrednictwem szeregu p(A, B, C, ...) i pęku W₂(a₂, b₂, c₂, ...), w ten sposób, że każdemu elementowi a, b, c, ... pęku W (a, b, c, ...) odpowiada jeden jedyny element Alf Bu Clt ... szeregu pl(Ai, Bt, Ct, ...). Ale z równania I tego ustępu, w związku z twierdzeniem, które mówi, że stosunki podwójnego podziału czterech odpowiednich elementów w dwóch utworach perspektywicznych są równe, (ust. 114), wynika, że:

a stąd:

(abed) = (ABCD) = (ax bx cx dx) — (Ąx Bx Cx Dx) (abed) = (AXBX CXDX).

A ponieważ równość stosunków podwójnego podziału czterech odpowiednich elementów w dwóch utworach zasadniczych jest wystarczającym warunkiem, by utwory te były jednokreślne, więc:

W (a, b, c, d ...) ~Ä pt( Ax, Bx, Cx, Dx, ...).

tp

âi

ds

'B

bi

Wl

Cl

V/2y

bz

C2

Ba

Cl

'Bi

C₂

di

'a?

Da

Pi

Rys. 334

Cd /

pa

Dowiedliśmy tym sposobem, że w łańcuchu, którega następujące po sobie ogniwa są perspektyw i~ cznemi utworami zasadniczemi

dwa ogniwa

dowolne są jednokreślne. Wynika stąd bezpośrednio, że: dwa utwory zasadnicze jednokreślne z trzecim są jednokreślne.

Weźmy pod uwagę łańcuch utworów zasadniczych, złożonych z ogniw perspektywicznych i jednomyślnych, np.:

W(a, b, ...)ppp(A, B, ...)j:pJAu Bx, ...)~KWx(ax, bx, ...) a

A P?,(A<£} B2> ...) A W2(^2*    •••)•

Ponieważ stosunki anharmoniczne w dwóch perspektywicznych, czy też jednokreślnych, utworach zasadniczych są równe, więc:

(abed) =(ABCD) = (Ax Bx Cx Dx) = (ax bx cxdx) =

— (A₂ B₂ C₂ D₂) = (a₂ b2 c₂ d₂)>

a że równość stosunku podwójnego podziału jest wystarczającym warunkiem, aby utwory były jednokreślne, więc w łańcuchu, którego następujące po sobie ogniwa są bądź perspektywiczne, bądź też jednokreślne, dwa dowolne ogniwa są zawsze jednokreślne.

VV2

ck

116.    Pęki jednokreślne w kole. Rzuciwszy z dwóch dowolnych punktów Wl i W₂ koła k dalsze jego punkty A, B, C, ... {rys. 335), otrzymamy dwa pęki Wt(a₁₉ bt, Cj,...) i W₂(a₂i b2i c₂, '”)•

et

ez

Wi

CZs

Ci ty

Rys. 335

Ponieważ — jak wiadomo — kąty wspierające się na tym samym łuku w kole są równe, więc pęki nasze są przystające, a nadto dV l o zgodnych kierunkach; w na- ' c szym przypadku ten zgodny dla obu pęków kierunek jest przeciwny ruchowi wskazówki zegara. Z przystawania obu pęków wynika, że:

sin (alej . sin (at dj _ sin ftz₂c2>) . sin (a₂d₂) sin (blc₁) ’ sin(bld₁) ~~ sin(b₂c₂) * sm(b₂d₂)

czyli symbolicznie: (albi cidl) = (a₂b₂c₂d₂). Wykazana równość stosunków podwójnego podziału dowodzi, że:

Wt(al9 b₁₉ c₁₉ di9 ...)ÄW₂(a₂, b₂₉ c₂, d₂₉ ...),

t. zn., że promienie łączące dowolne punkty koła z dwoma jego punktami przyjętemi za wierzchołki tworzą pęki jednokreślne.

Promieniowi łączącemu wierzchołki Wt i W₂ obu pęków, a uważanemu za element pęku Wi(a₁₉ by, ...) odpowiada w pęku W₂(a₂, b₂, ...) promieni e₂₉ styczny w punkcie W2 do koła k. Promieniowi Wt W₂, uważanemu za element d2 pęku W₂(a₂, b₂, ...) odpowiada w pęku Wl(ai, bx, ...) promień di9 styczny w punkcie Wt do koła k.

117.    Twierdzenie Pascala. Sześć punktów ABCDEF, dowolnie przyjętych na kole, tworzy sześciokąt wpisany w tę krzywą. Bez względu na wzajemne rozmieszczenie tych punktów nazywać będziemy boki AB i DE, BC i EF, CD i A F bokami przeciwległemi sześciokąta.

Uważajmy punkty A i C w sześciokącie ABCDEF wpisanym w koło k (rys. 336), za wierzchołki dwóch pęków, których promienie przechodzą przez dalsze cztery punkty. Z poprzedniego ustępu wiemy, że otrzymane pęki A(blt dx, elf fx) i C(b₂, d₂, e₂, f₂) są jednokreślne. Proste ED=px i EF=p2 przecinają oba te pęki w dwóch szeregach jednokreślnych, a ponieważ punkt E przecięcia się tych prostych jest elementem wspólnym obu szeregów, więc szeregi px(Bx, Dt, Et, Fx) i p₂(B₂, D₂, E₂, F₂) są perspektywiczne. Äle wiadomo, że dwa

/p2    \P’

Di

Fi

-f w—>

-Br

Di

fi

szeregi perspektywiczne punktów powstają z przecięcia jednego pęku promieni, czyli, że proste, łączące odpowiednie punkty dwóch szeregów perspektywicznych przechodzą przez P jeden punkt. Punktem tym będzie punkt przecięcia się O promieni BxB₂, DxD₂ i FxF₂.

ę/z

B,

eh

\fe    /bi \bz

Rys. 336

Weźmy raz jeszcze pod uwagę sześciokąt ABCDEF i wyznaczmy punkty przecięcia się jego boków przeciwległych. Boki AB i DE przecinają się w punkcie Blt boki BC i EF w punkcie B₂, a wreszcie para boków CD i A F w punkcie O. Ale z poprzedniego wiemy, że punkty Blt B₃ i O leżą na jednej prostej, a tym sposobem dowiedliśmy następującego twierdzenia, znanego pod nazwą twierdzenia Pascala: Punkty przecięcia sie trzech par boków orzeciw ległych sześciokąt a wpisanego w koto leżą na linji prostej.

S,

Jeżeli dwa z punktów stanowiących sześciokąt wpisany w koło schodzi się, np. punkty A i B w rys. 337, to prosta łącząca je jest styczną do koła w tym punkcie. Punkty przecięcia się    r/^

Rys. 337

I, II i III boków przeciwległych tego sześciokąta leżą i w tym przypadku na prostej p.

Wzór połączeń boków przeciwległych sześciokąta ABCDEF, przecinających się w trzech punktach 1, II i III prostej p przedstawić można w sposób następujący:

-A

ABC DEF

O Co ä*-

b o to

ca.

118. Kolineacja środkowa układów płaskich. 1. Według określenia w ust. 100 istotą kolineacji środkowej dwóch układów płaskich jest perspektywiczna odDOwiedniość jedno-jedno-znaczna, zachodząca między punktami i prostemi, jako elementami tych układów. W ust. 101 wykazaliśmy, że rzut dwóch płaskich układów środkowo-kolineacyjnych na dowolną płaszczyznę daje dwa układy środkowo-kolineacyjne, złączone na tej płaszczyźnie.

Ponieważ odpowiadające sobie w dwóch układach środkowo-kolineacyjnych proste przecinają się na osi kolineacji, a odpowiednie punkty obu układów leżą na promieniach, przechodzących przez jeden punkt, którym jest środek kolineacji, więc szeregowi punktów px(Â%₉ Bly CX9...)₉ należącemu do płaszczyzny et, odpowiada perspektywiczny szereg punktów p₂(A₂, B₂, C₂, ...) na płaszczyźnie e₂. Punkt przecięcia się podstaw p± i p₂ jest elementem wspólnym obu szeregów i leży na osi kolineacji.

Elementy pęku Wx(a₁₉ bly c₁₉ ...), przyjętego na płaszczyźnie elf przecinają oś kolineacji w szeregu p(A, B, C, ...), który jest perspektywiczny z tym pękiem. Pęk W₂(a₂, b₂, c₂, ...), odpowiadający kolineacyjnie pękowi Wt(aly bt, c₁₉ ...), a leżący na płaszczyźnie e₂, jest perspektywiczny z szeregiem p(A, B, C, ...). Pęki Wt(a₁₉ b₁₉ cu ...) i W₂(a₂₉ b₂₉ c₂, ...j, leżące na dwóch płaszczyznach, a których odpowiednie promienie przecinają się w punktach osi kolineacji są perspektywiczne. Jeżeli pęk W₂(a₂, b₂, c₂, ...) rzucimy w dowolnym kierunku na płaszczyznę e₁₉ to otrzymany pęk W₂(a₂₉ b₂ , c₂, ...) jest perspektywiczny z pękiem W± (a₁₉ bly c₁₉ ...). Rzut pęków Wt(ai9 b₁₉ c₁₉ ...) i W₂ (a2i b₂\ c₂, ...) na dowolną płaszczyznę i w dowolnym kierunku nie zmieni związku perspek-tywiczności, jaki między nimi zachodzi. Dochodzimy zatem do następującego twierdzenia: szeregom punktów i pąkom promieni jednego układu odpowiadają, w układzie środkowo-kolinea-cyjnym, szeregi i pąki perspektywiczne z pierwszemi.

2. Przyjmijmy na płaszczyźnie et dwa pęki W±(a±1 blt ...)~Ä 7\W₂(a₂, b₂, ...) i znajdźmy odpowiadające im środkowo-kolineacyjne pęki W±'(a^, bt', ...) i W₂'(a₂\ b₂, ...) na płaszczyźnie e₂.

Na podstawie wyżej podanego twierdzenia, w związku z założeniem, mamy :

UV(V, V, ...) 7Î W±(alf blt ...)ÄW₂(a₂, b₂, ...JTT Ä W₂'(a₂', b₂\ ...),

a stąd:

W,'(a±', bt\ ...)ÄW₂/,a₂\ b₂\ ...),

co oznacza, że pęki odpowiadające kolineacyjnie na płaszczyźnie e₂ jednokreślnym pękom W₁ i W₂ są jednokreślne. Äna-logiczne rozumowanie przeprowadzić można dla dwóch jedno-kreślnych szeregów, względnie pęku i jednokreślnego z nim szeregu, a wtedy ważnem jest twierdzenie : w dwóch układach środkowo - kolineacyjnych zasadniczym utworom jednokreślnym jednego układu odpowiadają utwory jednokreślne w układzie drugim.

3. Uczyńmy założenie, żo środek kolineacji jest punktem niewłaściwym. Przez założenie takie istota kolineacji dwóch układów płaskich nie dozna zmiany. Odpowie-dniość jedno-jednoznaczna elementów w obu układach pozostanie w mocy z tern, że punktom właściwym jednego układu odpowiedzą punkty właściwe w układzie drugim, a punkty niewłaściwe odpowiadają sobie wzajemnie w obu układach. Promienie takiej kolineacji są do siebie równoległe. Osie wzajemne schodzą się na prostej w nieskończoności. Prostym równoległym jednego układu odpowiedzą proste równoległe w układzie drugim i wzajemnie.

Rozpoznawana kolineacja stanowi omawiane w § 6 powinowactwo środkowe, które tym sposobem stanowi tylko szczególny przypadek miarowy kolineacji środkowej. Własności rzutowe kolineacji środkowej wspólne są wszystkim możliwym jej odmianom, więc także i powinowactwu środkowemu.

W szczególności szeregom i pękom jednego układu odpowiadają, w układzie powinowatym, szeregi i pęki perspektywiczne z nimi, a utworom jednokreślnym jednego układu odpowiadają utwory jednokreślne w układzie powinowatym z pierwszym.

4.    Jeżeli oś kolineacji jest prostą niewłaściwą, t. zn. jeżeli płaszczyzny i e₂ są równoległe, a nadto jeśli środek kolineacji jest punktem właściwym, to mamy przypadek kolineacji zwany podobieństwem. Jako przykład wskazać należy na dwa przekroje ostrosłupa płaszczyznami równoległemi.

5.    Jeżeli oś kolineacji jest prostą niewłaściwą, a środek punktem niewłaściwym, to kolineacja zwie się przystawaniem. Przykład takiej kolineacji stanowią przekroje graniastosłupa płaszczyznami równoległemi.

119. Krzywe kolineacyjne z kołem. 1. Weźmy pod uwagę dwa układy środkowo-kolineacyjne eŁ i e₂, a w pierwszym z nich koło kt. Wobec odpowiedniości jedno-jednoznacznej zachodzącej między elementami obu układów, każdemu punktowi koła k± odpowie jeden punkt na płaszczyźnie e₂, a miejscem geometrycznem tych punktów będzie linja krzywa k₂, posiadająca z kołem następujące własności wspólne:

a)    Jeśli przyjmiemy za udowodnione, że dowolna prosta przecina koło w dwóch punktach, a z dowolnego punktu poprowadzić można do koła dwie styczne, to te same własności posiada krzywa k₂, kolineacyjna z kołem;

b)    Ponieważ dwa dowolne punkty koła są wierzchołkami dwóch jednokreślnych pęków promieni, których odpowiednie elementy przecinają się w punktach tego koła, więc na podstawie twierdzenia ustępu 118 punkt 2 dwa dowolne punkty krzywej k₂, kolineacyjnej z kołem, są wierzchołkami dwóch jednokreślnych pąków promieni, których odpowiednie elementy przecinają się w punktach tej krzywej.

2. Aby dowieść twierdzenia odwrotnego, a mianowicie, że miejscem geometrycznem punktów przecięcia się odpowiednich promieni dwóch pąków jednokreślnych jest krzywa kolineacyjna z kołem, weźmy pod uwagę dwa pęki (rys. 338):

Wifai, bt, Ci, ...)Ä W₂(a₂, b₂, c₂, ...),    . . . I

przyczem przyjmijmy, że promień a₂ łączy oba wierzchołki pęków.

pęki W (by C, ...)

i W± (b±, c±, ...) są jednokreślne. Ale dwa utwory jednokreślne z trzecim są jednokreślne (ust. 115, punkt 3), więc przy uwzględnieniu równania I mamy:

. . II

Miejscem geometrycznem punktów Wx, B, C, ... przecięcia się odpowiednich promieni obu pęków jest pewna linja krzywa k₂. Wykreślmy koło kx, styczne w punkcie Wx do

promienia ax, które przetnie promienie a2y b₁ i cx w punktach W, Bx i Cx. Pary odpowiednich promieni bx, b₂ i c±, c₂ obu pęków przetną się w punktach Bt i Cx, które połączymy promieniami b i c z punktem W. Na podstawie twierdzenia ust. 116

Wi

a.z

bt

W2

ai

Ci

h.

i:

Cl

'Ci

''C

Cr

Rys. 338

W(b, c, ...;X W₂(b₂, c2i ...) . .

Promieniowi by pęku W, odpowiada w pęku Wx promień blt a w pęku W₂ promień b₂.

Jeżeli punkt Bx zbliżać się będzie do punktu to promień b zbliża się do a₂. Jeżeli punkt Bx zejdzie się z punktem WXy to promień bt padnie na a₁₉ promień b nakryje się z a₂y który znowu odpowiada promieniowi ax = bp, promień wreszcie b₂ zejdzie się z promieniem a₂, gdyż skoro ax = bx, to a₂ = b₂. Tak więc promień b pęku W nakryje się z promieniem b₂ pęku W₂, co dowodzi, że pęki te są perspektywiczne, i że w następstwie tego pary ich odpowiednich promieni b i b₂y c i c₂ przetną się w punktach I, II, ... leżących na linji prostej p. Równocześnie punkty B, Bx, C, Cx, ... linji krzywej k₂ i koła kx leżą na promieniach, przechodzących przez punkt Wt.

Ponieważ pękom jednego układu odpowiadają w układzie środkowo-kolineacyjnym pęki z nimi perspektywiczne, a w naszym przykładzie pękowi W₂ odpowiada perspektywiczny pęk W; ponieważ w dwóch układach środkowo-kolineacyjnych odpowiednie punkty leżą na promieniach przechodzących przez jeden punkt (środek kolineacji), a w naszym przykładzie punkty odpowiednie B i BXi C i Cx, ... krzywej k₂ i koła kx leżą na promieniach, przechodzących przez punkt W, przeto koło kx i krzywa k₂ są środkowo-kolineacyjne. Punkt Wx jest środkiem, a prosta p osią tej kolineacji.

3. Weźmy pod uwagę dwa układy płaskie ex i e₂ środ-kowo-kolineacyjne, złączone na płaszczyźnie rysunku, a wyznaczone środkiem O, osią kolineacji p i osią wzajemną zx. W układzie ex przyjmijmy koło kx, nieprzecięte osią wzajemną zx (rys. 339) i znajdźmy linję krzywą k₂, odpowiadającą, w układzie e₂, kołu kx.

Dwa dowolne punkty Wx i Wx koła kx uważajmy za wierzchołki pęków promieni, których elementy, parami odpowiednie, przecinają się w punktach tego koła, jest bowiem:

Wx(ax, bXi cx, ...)ÂWx'<ax't bx\ cx', ...).

Prostej ax, w pęku Wx, odpowie w układzie e₂ prosta a2r która przejdzie przez punkt / przecięcia się prostej ax z osią p kolineacji, równolegle do promienia, łączącego środek O kolineacji z punktem Ix, w którym promień ax przecina oś wzajemną zx (porównaj ust. 99, rys. 295). Punktowi Ix osi zx odpowiada punkt niewłaściwy /SjP w układzie ex. W podobny sposób znajdziemy prostą b₂, która odpowiada w układzie e2 prostej bx. Ponieważ punktowi IIx, w którym prosta bx przecina oś wzajemną zx odpowiada punkt niewłaściwy Hf* o kierunku określonym punktami O i IIx, więc prosta b₂ przejdzie przez punkt 3, równolegle do promienia OIIx. Punkt W₂ przecięcia się prostych a₂ i b₂ odpowiada w układzie e₂ punktowi Wx układu ex — przyczem oba te punkty leżą na promieniu kolineacji.

Promień c₂, odpowiadający kolineacyjnie promieniowi cxr łączy punkt W₂ z punktem 5.

Widzimy, że:

Wx(ax, bXf cx, ...) a W2 2>    ^2» • > ')•

Zupełnie w analogiczny sposób znaleźliśmy pęk W₂'(a₂\ b₂ , c₂\ ...), odpowiadający kolineacyjnie pękowi W '(a b ', c ', ...) i z nim perspektywiczny.

Na podstawie twierdzenia z ust. 118 punkt 2 mamy:

W₂(a₂, b₂, c₂, ...)Ä W₂'(a₂\ b₂\ c₂, ...).

Punktom Alt By, Clt ... koła klt w których przecinają się pary odpowiednich promieni pęków Wx i Wy', odpowiadają punkty A₂, B₂, C.₂, ... przecięcia się odpowiednich promieni w pękach W₂ i W₂', kolineacyjnych z pierwszemi. Punkty Wt i W₂, Wy i W₂, Ay i A₂, By i B₂, ... leżą na promieniach przechodzących przez środek O kolineacji. Miejscem

Iz

/;

Zi

'Ni

Ih

El

; Et

Wt)

Ci

bi

Et

I?

âj

Et

bz

3.2.

(Wt bi

C2

k?

Wg.

WL

'ci

ai

ai

Az

B2,

C2

C2

4\ /3

Bi

'Ci

dr

bi

Xt

bi

'ci

ai

ki

VZr

Rys. 339

geometrycznem punktów A₂, B₂, C₂, ... W₂, W₂', ... jest linja krzywa k2i która wobec tego, że koło nie jest przecięte osią wzajemną zlf nie posiada punktów niewłaściwych i zwie się elipsą. Z kołem posiada elipsa jeszcze te własności wspólne, że dowolna prosta przecina ją w dwóch punktach, a z dowolnego punktu poprowadzić do niej można dwie styczne.

Jeżeliby oś wzajemna zt przecięła koło k± w dwóch punktach, to punktom tym odpowiedzą dwa punkty niewłaściwe krzywej k₂ kolineacyjnej z kołem, która zwie się wówczas hiperbolą.

Jeżeli wreszcie koło kt jest styczne do osi wzajemnej zly to linja krzywa k₂, odpowiadająca kolineacyjnie kołu, będzie styczną do prostej, która odpowiada w układzie s₂ osi wzajemnej zlf t. j. do prostej niewłaściwej. Taką krzywą kolinea-, cyjną z kołem nazywamy parabolą.

Koło, elipsa, hiperbola i parabola posiadają następujące własności wspólne: a) prosta przecina każdą z nich w dwóch punktach, b) z dowolnego punktu poprowadzić można do każdej z nich dwie styczne i c) dwa dowolne punkty każdej z nich są wierzchołkami dwóch jednokreślnych pęków promieni, których odpowiednie elementy przecinają się w punktach tej krzywej. Na zasadzie tych wspólnych własności zaliczamy koło, elipsę, hiperbolę i parabolę do krzywych stopnia drugiego, nazywając je przekrojami stożkowemi lub krótko stożkowemi.

120. Krzywa powinowata z kołem. I. W ust. 118, punkt 3, określiliśmy kolineację środkową dwóch układów płaskich, gdy jej środek jest punktem niewłaściwym, mianem powinowactwa środkowego tych układów. Zasadniczym utworom jednokreślnym układu odpowiadają zasadnicze utwory jednokreślne w układzie e₂, powinowatym z pierwszym, a ponieważ — jak to udowodniliśmy w ust. 119, punkt 2 — miejsca geometryczne punktów przecięcia się odpowiednich promieni dwóch jednokreślnych pęków promieni jest linja krzywa koli-neacyjna z kołem, więc linja krzywa powinowata z kołem jest krzywą kolineacyjną z kołem. Ponieważ dalej w dwóch układach powinowatych punktom właściwym odpowiadają punkty właściwe, więc kołu ku należącemu do układu ba, odpowie w układzie środkowo-powinowatym e₂ linja krzywa nie posiadająca punktów niewłaściwych, t. j. elipsa.

2. Przyjmijmy dwa układy środkowo-powinowate złączone na płaszczyźnie rysunku, a w jednym z nich, a mianowicie e1} koło kx (rys. 340). Wiadomo z ust. 94, że dwa układy środkowo-powinowate wyznaczone są osią powinowactwa i jedną parą punktów odpowiednich — niechaj tedy prosta p będzie osią, a punkt Wx koła i punkt W₂ parą odpowiednich punktów w przyjętych układach środkowo-powinowatych. Prosta WXW2 jest kierunkiem tego powinowactwa. Niechaj punkt Wx koła kx będzie wierzchołkiem pęku Wx(au bx, ...), a drugi d wolny punkt W/ tego koła wierzchołkiem pęku W±' (ax, bx, .. jednokreślnego z pierwszym.

Odpowiednie promienie obu pęków przecinają się w punktach A±, Bx, Clt ... koła kx. Ponieważ pary odpowiednich prostych w dwóch układach środkowo-powinowatych przecinają

WŹ .

Wz

kz

'S2

As.

âs

Ds

Bi

ds

Cs

ds

P_

1\ 5

b! f

6\/3 8

ldi

di

Cr

' !c>

'Dr

ßr

br

Ar

ßr

Wr

Wr

kr

Rys. 340

się w punktach, leżących na osi powinowactwa, więc proste a b₂, c₂,...,łączące punkt W₂ z punktami 1, 2, 3, ... osi powinowactwa odpowiadają w układzie e₂ prostym cx, ... Punktom Bx i Wx prostej bt odpowiedzą na prostej b₂ punkty B₂ i W₂, leżące na odnośnych promieniach powinowactwa. Proste

~a₂\ b₂', c₂', ... odpowiadają w układzie e₂ elementom ax\ b±', ... pęku o wierzchołku Wx, należącemu do układu eŁ. Pęki W₂(d₂, b₂, c₂, ...) i W₂'(a₂', b₂\ c₂\ ...) są j edn określ ne, a miejscem geometrycznem punktów A₂, B₂, ... przecięcia się par odpowiednich promieni jest, jak wiemy, elipsa k₂.

20. KRZYW! POWINOWATA. Z KOŁEM

223

Stycznej si;w punkcie Dt do koła kx odpowie w układzie s₂ styczna a:₂ w punkcie Z)₂ do elipsy k₂, przyczern obie przetną się na o§i p w punkcie 8.

3. Przypnijmy ponownie dwa układy środkowo-powinowate, wyznaczone jsią p i parą punktów odpowiednich Sx i S2 (rys. 341), a nadto w układzie et koło kt, którego środkiem jest punkt Sx. Opiszmy na kole kx kwadrat I± IIt IIIt IVt styczny do niego w punktach Alt Bx, Ct i Dx, wy-r kreślmy średnice Ax Bx,

Ć₁D₁₁ przekątne It 777,, lTx IVx, kwadrat Ex Ft Gx Hx — poczem przenieśmy koło wraz z zespołem wykreślonych li-nij w układ e₂. Kołu kt / odpowie, jak wiadomo, elipsa k₂, kwadratowi Ix //₁7//₁IVx, równoległo-bok I₂II₂III₂IV₂, opisany na tej elipsie i styczny doń w punktach A2i B₂, C₂, D₂.

Średnicom AxBt,

CXDX, EXFU G₁H₁, koła kx odpowiadają w eli-psiecięciwyA₂B₂, C₂D₂,

E₂F₂, G₂H₂, które — podobnie jak u koła, połowią się i to w punkcie S₂, odpowiadającym w układzie e₂ środkowi koła kx. Punkt S₂ nazywamy środkiem, a cięciwy A₂B₂, C₂D₂,... średnicami elipsy. Parę prostopadłych do siebie średnic w kole nazy wamy średnicami sprzężonemi; posiadają one tę własność, że jedna połowi cięciwy równoległe do drugiej, czyli każda z dwóch średnic sprzężonych łączy środki cięciw, równoległych do drugiej średnicy. Parę średnic elipsy np. A₂B₂ i C₂D₂, która odpowiada parze średnic prostopadłych (sprzężonych) w. kole nazywamy parą średnic sprzężonych elipsy. Jak z rysunku 341 widzimy, jedna średnica połowi cięciwy równoległe do drugiej; każda ze średnic jest więc osią symetrji ukośnej

G£\

f\zf— Ÿ~ ■

Dz

IRz

kśL_+

,'Fz

--A'¹—

Bz

Iz

Ei,

Ez

Gz7

Ez i

Aft i

Hi I

i;

Ar—f------

!n

7-

Wi

ki

Gi/

■f

\Ffj

im

Rys. 341

o'

dla punktów, leżących na cięciwach równoległych do drugiej średnicy. Boki równoległuboku /₂ //₂ ///₂IV₂ opisanego na elipsie są równoległe do średnic sprzężonych A₂B i C₂/ .. e,: 3sy, a zatem i do cięciw, równoległych do tych cięci’?.

Na podstawie wykazanej własności średnic sprzężonych elipsy, a mianowicie tej, że jedna połowi cięciwy równoległe do drugiej, potrafimy rozwiązać następujące zadania:

a)    Dana jest elipsa, wyznaczyć średnicą i środek.

b)    Dana jest elipsa, wyznaczyć parą średnic sprzążonych.

c)    Do danej elipsy wykreślić styczne, równoległe do danego■

kierunku.

Ad a) Kreślimy dwie sieczne m // n {rys. 342 a), prosta, łącząca środki / i II cięciw, jest średnicą, a środek S, odcinka

A B, środkiem elipsy.

Ad b) Wyznaczymy średnicę A B, a przez środek «S elipsy poprowadzona równoległa CD do siecznej my jest średnicą, sprzężoną z AB (rys. 342 a).

Ad c) Kreślimy sieczne m i n (rys. 342 b), równoległe do danego kierunku q, łączymy środki / i II cięciw i otrzymamy średnicę A B. Proste a i b wykreślone przez punkty A i B, równolegle do kierunku q, rozwiązują zadanie. O średnicy A B mówimy, że jest sprzężoną z kierunkiem q. Średnica sprzężona ze średnicą AB przejdzie

a.)

b.)

777

777

{B

Rys. 342a i b

'j'"'

fb

przez środek S, równolegle do q.

Ponieważ koło posiada dowolną, nieograniczoną ilość par średnic sprzężonych, więc to samo odnosi się do elipsy, jako linji powinowatej z kołem.

4. Przyjmjmy koło A:,, oś powinowactwa p (rys. 343) i punkt S₂, odpowiadający w układzie elipsy środkowi Sx koła. Parze średnic sprzężonych At Bl i C, Dx w kole, odpowiada para średnic sprzężonych A,B., i C₂ D₂ w elipsie k₂. Przez punkty Sl

i S₂ poprowadzimy takie koło k, którego środek O leży na osi p, a punkty M i N, w których koło k przecina prostą /?, połączmy z punktem St.

Średnicom sprzężonym E₁F₁ i G l Hl w kole odpowiedzą średnice sprzężone E ₂ F₂\ G₂ //₂ w elipsie Ara. Ponieważ jednak kąty MS,N i MS₂N wspierają się na średni- // cy, więc otrzymane średnice sprzężone elipsy są do siebie prostopadle. Dowiedliśmy tym sposobem istnienia, między średnicami sprzę-żonemi elipsy, jednej pary średnic sprzężonych wzajemnie prostopadłych, którą określamy mianem osi elipsy. Punkty końcowe osi nazywamy wierzchołkami elipsy. Własności, które posiadają średnice sprzężone, są oczywiście także własnościami osi, a zatem : każda oś połowi cięciwy prostopadłe do niej, a więc równoległe do drugiej osi. Wskutek tego osi elipsy są osiami symetrji prostokątnej tej krzywej.

Jeżeli elipsa jest narysowana i jej środek «S dany, to osi elipsy znajdziemy zapomocą koła, zakreślonego ze środka i przecinającego krzywą w czterech punktach. Prosta, łącząca środki cięciw III i III IV, jest jedną, a prosta poprowadzona przez środek S, równolegle do tych cięciw, drugą osią elipsy (rys. 344).

121. Konstrukcje elips z danych średnic sprzężonych, względnie osi.

-—Vi

* A2

F2I

/łrf--

\ki

Gi

62

Fl

'SI-----~/Bz

Û2 /

Di

Ci

/ \

■ / Hg}

-L

/Hi

Rys. 343

: \N p

Bi

Ti

-c

jr

4-⁵—

J7

Rys. 344

a) Przyjmijmy koło kx w układzie i załóżmy, że w układzie e₂ odpowiada jego środkowi Sx punkt S₂ (rysunek 345), przy-

czem oś p powinowactwa obu układów jest dana. Kwadratowi Mx N± P± Qx opisanemu na kole i stycznemu doń w punktach AXBX C₁D₁ odpowie w powinowatym układzie e₂ równoległobok M₂N₂Pz Q₂, opisany na elipsie k₂ i styczny do niej w punktach

Eh

Cl h 2i /V;

O------ o---

Ei

ki

Fi

Fi

|Ó7

! Ai

\J7i

Gi

Hi.

\Di

Pi

3i ki

5i 6i

P_

3 2 A pj/

52    62

P₂;

HE

kk

G?

sEL₂

i’

rBz

E2 /

F?

A₂ B₂ C₂ D₂. Parze średnic sprzężonych AXBX i C₁D₁ koła kx odpowie para średnic sprzężonych A₂B₂ i C₂ D₂ elipsy, spowino-B* waconej z tym kołem. Dowolny punkt Ex koła kx połączmy z punktami Ax, Bx je-\ę>' go średnicy. Promień EXAX przecina średnicę Cj Dt w punkcie/ a promień E Bx wyj znacza na bekuMXN opisanego na kole kwadratu, punkt 1Ł.

EP

m₂

C2 12 2.2 N2

Rys. 345

W prostokątnych trójkątach A₁S₁I₁ i ß₁iVL/₁ boki 17^7 i Bx Nt są równe, a ponieważ Ax Sx -EBX N± zaś AXI₁A-B₁ lt więc: ^IXAXSX = ^ lxB\Nlt a zatem trójkąty te są przystające, czyli S±I± =N₁li.

Jeżeli więc dowolny punkt koła np. punkt Ft rzucimy z punktu A₁ na jego średnicę ClDli to otrzymany tam punkt //,, dzieli w tym samym stosunku promień Ct Sy koła, co rzut 2y

tego punktu z punktu Blf bok Ny Ćt.__

Wynika stąd, że jeżeli promień SyDy koła podzielimy na pewną ilość części — np. w rys. 345 na trzy równe części — i na tę samą ilość części podzielimy odcinek Di Pl, jeżeli dalej punkty IIIy i IVy rzucimy z punktu By, a punkty 3y 4y z punktu At — to punkty Gy i Hx przecięcia się tych rzucających promieni są punktami koła. Podzielenie odcinka Dy Q{ punktami 5t i 6y umożliwi otrzymanie dalszych dwóch punktów koła.

Ponieważ stosunki zachodzące między odcinkami prostych, po przeniesieniu ich w układ powinowaty, nie ulegają zmianie,

więc poszczególne punkty elipsy k₂ otrzymamy na podstawie powyższych wywodów w sposób następujący: Odcinki S₂ C₂, S₂D2i C₂N₂, C₂M₂,D₂P₂, D₂Q₂ podzielimy, każdy na tę samą ilość równych części. Punkty podziału I₂, //₂, rzucimy z punktu A₂, a punkty 1₂\ 2₂ z punktu B₂ ; promienie rzucające przetną się w punktach E₂, F₂ elipsy k₂. W analogiczny sposób znajdziemy dalsze punkty elipsy.

■.Ni

Bi

A?

Si.

Tp

Di

Pi

r-

Di

/Ti

B>

Ni

/?.

ku

b) Jeżeli powinowactwo środkowe dwóch układów płaskich, ą złączonych na płaszczyźnie rysunku, jest prostokątne, t. zn. jeśli promienie powinowactwa są prostopadłe do osi, to oczywiście kołu kx w jednym układzie odpowie elipsa k₂ w układzie drugim (rys. 346). Każdej parze średnic sprzężonych w kole kx, np.

Ci

Rys. 346

M₁ Nx, PL Tl odpowiada para średnic sprzężonych M₂N₂, P₂T2 w elipsie k₂ ; parze średnic sprzężonych A₁Bl i CXDV w kole odpowie para średnic sprzężonych A₂B₂ i C₂D₂ wzajemnie prostopadłych, a więc para osi. Znając osi elipsy otrzymamy poszczególne jej punkty przez

N'

P’

zastosowanie poznanej pod a) konstrukcji, o czem zresztą poucza nas dostatecznie wyraźnie rysunek.

Ci

£Ł

£—Pr

c) Zakreślmy na danych osiach

to to

O Ci

''.-jßp.h.JX

i C, Dx =

\a

Yr

aT elipsy (rys. 347), jako na średnicach, koła ky i k₂. Każde z nich uważać można za powinowate z elipsą k, wyznaczoną parą osi

Al Bt i C₁D₁. Przy powinowactwie między kołem k₂ a elipsą k> osią powinowactwa jest At Bt, a punkty Clf C₂ i Dt,D₂ stanowią pary punktów odpowiednich; jeśli bierzemy pod uwagę powinowactwo, zachodzące między k₂ i k, to osią jego jest prosta wyznaczona punktami C\ i D , a kierunkiem, kierunek do tej osi prostopadły. Punkty By i B₂ stanowią więc w tym wypadku parę punktów odpowiednich.

Wykreślmy przez środek 5 dowolną prostą a przez otrzymane na kołach kt i k₂ punkty Pi i P₂ proste pjl Ć{Dt i p₂HAlBi. Uzupełniając rys. 347 oznaczmy punkt przecięcia się prostej pl z osią AiBx literą Z, a prostej p₂ z osią ClDl literą T. Punkt przecięcia się P, prostych pv i p₂, jest punktem elipsy k, co wynika z następującego rozważania.

Z rys. 347 czytamy:

P₂ Z : PZ = P₂S : P^S=C^S: C. S = a : b = A Ponieważ promień at jest dowolny, więc związek ten odnosi się do wszystkich punktów, otrzymanych w ten sam sposób, jak punkt P. Stosunek a : b = A jest cechą powinowactwa, łączącego wszystkie punkty koła kt i otrzymane powyższym sposobem punkty krzywej k, która, jako powinowata z kołem, jest elipsą. Że i koło k₂ jest powinowate z eiipsą k, wynika z następującej relacji:

A PPt P₂ ~ A TSPlf a zatem:

ppt p;p₂

PtT Pl S

a ponieważ, jak wiadomo, w każdej proporcji suma lub różnica wyrazów pierwszego stosunku ma się tak do wyrazu pierwszego (lub drugiego), jak się ma suma lub różnica wyrazów drugiego stosunku do wyrazu trzeciego lub czwartego) więc: PP] 4- F\T P~P~₂ + /ÿS B~Ś P[ T

Ten sam związek wyprowadzić można dla każdego punktu elipsy k, która jest więc powinowatą także i z kołem k₂.

d) Wykreślmy (rys. 347) stą PPIl P^Śio:

PQ = Pt S = b, i PR = P^S= a, na czem oprzemy szczególnie

p, S

B₂S

Ci

ir

p.

Ar

----

Di

Bi

dogodną konstrukcję punktów elipsy przy danych osiach. Na ostrym, nożem odciętym skrawku papieru, odmierzmy połowę X. osi dużej PR — a i pół osi małej PQ = b (rys. 348); następnie przykładajmy ów skrawek papieru tak, aby punkt R leżał zawsze na osi małej, zaś punkt Q na osi dużej, to punkt P, który zaznaczymy ołówkiem, jest przy każdorazowem położeniu skrawka papieru punktem elipsy.

Pi

a.)

04

\/F

CL'

Ot

Pi

b.)

""7\T

■Tm &

’S

e) Na danych osiach 2a i 2b (rys. 349 a), jako na średnicach, zakreślmy koła kx i k₂, a następnie obrawszy parę prostopadłych średnic PlPi/ i Qi Qi' w kole większem, znajdźmy odpowiadającą im w układzie elipsy parę średnic sprzężonych PP' i QQ'.

P'

fs\b p

(D

Rys. 349 a i b

Przez punkty Ql i Q₂ wykreślmy równoległe do osi elipsy i otrzymany punkt R połączmy z Q. Oznaczmy punkty przecięcia się prostej RQ z osiami elipsy, literami T i U, a środek prostokąta

RQi i Q Q₂ literą M i połączmy punkty R i S prostą.

Z rysunku czytamy:

ARQtQ₂-APP₁P₂ a dalej SQ₂ = QT = b; UR = SQ₂ — b; UQ = SQt = a, Üf = QT+ UQ=a+b.....

I)

a więc:

przyczem punkt M jest środkiem odcinka UT.

Ponieważ ramiona kątów RQlS i PPyS są zgodnie prostopadłe, _więc kąty te są sobie równe, a że RQy = PPt i SQt = SPy, więc :

A SRQt ^ A SPPy, a stąd wynika, że

a dalej, że

II)

SR = SP i <£ RSQt = PSPt SR ±SP . . . .

bj !

Relacje I) i II) dają nam możność wyznaczenia osi elipsy z danej pary średnic sprzężonych. I tak niechaj PP' i QQ'

(rys. 349 b) są parą średnic sprzężonych elipsy. W środku 5 wykreślmy prostopadłą do średnicy PP' i odmierzmy SR = SP; R łączymy z Q, a ze środka M odcinka R Q zakreślmy koło, przechodzące przez środek «S. Łączymy punkty T i U ze środkiem 5 i odmierzamy

!S

AV

Rys. 350

UQ = a = AS = SB i QT = b = CS = SD.

f)    Ponieważ punkt Q (patrz rys. 349 a) jest dowolnym punktem elipsy, więc na podstawie równości I) otrzymamy dowolną ilość punktów elipsy z danych osi w sposób następujący:

Rys. 351

Na skrawku papieru (rys. 350) odmierzymy odcinek a+b, a następnie poruszać będziemy tym skrawkiem papieru tak, aby punkty końcowe U i T pozostawały przy każdorazowem położeniu na osiach, względnie ich przedłużeniach; punkty Q będą punktami elipsy.

g)    Zanotujmy tu jeszcze, jednak bez podania uzasadnienia, bardzo praktyczną konstrukcję punktów elipsy przy pomocy skrawka papieru, z danej pary średnic sprzężonych AB i CD (rys. 351). Z punktu C kreślimy CF A. AB, odmierzymy CE = AS i łączymy E z S. Na skrawku papieru odmierzymy odcinek ECF, a następnie ustawiać będziemy skrawek papieru tak, aby punkt E leżał zawsze na prostej ES, a punkt F na AB. Punkty C będą punktami elipsy.

122. Zadania.

a) Wyznaczyć punkty przecięcia się prostej m z elipsą k wyznaczoną parą średnic sprzężonych AB i CD (rys. 352). Koło k^ wykreślone na średnicy A B uważajmy za powinowate z elipsą k. Prostopadła wykreślona w punkcie S do AB przecina koło w punkcie Cu który odpowiada punktowi C elipsy;

kierunek CCX jest kierunkiem powinowactwa dwóch układów środ-kowo-powinowatych złączonych na / płaszczyźnie rysunku. Osią tego / powinowactwa jest prosta A B. L Prostej q, równoległej do osi po- “T⁻winowactwa odpowiada w ukła- \ dzie koła prosta qt // q. Punktowi \

Ci

h; ty

ki

mii

S Ap

NJ

ty

/Ni

Rys. 352

/ prostej q, odpowiada na prostej qx punkt /j, przyczem I Ix jest m/ równoległe do C Cx. Prosta mt, łącząca punkt Ix z punktem P, w którym dana prosta m przecina oś powinowactwa odpowiada jej w układzie elipsy. Punkty M₁ i Nx rzucone na prostą m,

Ci

Mi

ki

w kierunku powinowactwa, rozwiązują dane zadania.

Rys. 353

b) W danym punkcie M elipsy k wykreślić styczną. Jeżeli osi elipsy k są dane (rys. p 353), to koło kn zakreślone na osi A B ze środka S, jest powinowate z elipsą. Kierunek tego powinowactwa jest prostopadły do A B. Danemu punktowi M elipsy odpowiada na kole kx punkt Mx; styczna sx w punkcie Mx do k± przecina oś powinowactwa p w punkcie P. Prosta PM = s jest szukaną styczną w punkcie M do elipsy k.

Ci

Mr

Sl

-a—p-

J-

ki

Jeżeli znane są średnice elipsy k (rys. 354), to koło klt zakreślone na średnicy A B, jest w powinowactwie ukośnem z tą elipsą. Prostopadła wykreślona w środku S do A B przecina kx p w punkcie Ct, który odpowiada punktowi C elipsy k. C Cx jest kierunkiem powinowactwa. Przez dany punkt M elipsy k poprowadzimy równoległą do C Cu

a w punkcie M₁ wykreślimy styczną s±. Prosta PM = s rozwiązuje zadanie.

Pr

mi

rr

Mi

'■Cr

fn

kr

<M2

B\/e

!n

n2

W;

Rys. 355

c)    Z danego punktu P wykreślić styczne do elipsy, której para osi jest dana (rys. 355). Na obu osiach, jako na średnicach, zakreślimy koła, powinowate, jak wiadomo, z elipsą. Prostej PCI, w układzie elipsy odpowiada prosta P± CŁ / w układzie koła, przyczem punkt Px leży na promieniu prostopadłym do osi powinowactwa p. Z punktu Pi kreślimy styczne ml i nt do koła kx, a punkty II

i III, leżące na osi p, łączymy z punktem P. Proste m i n rozwiązują zadanie; punkty M i N są ich punktami styczności z elipsą.

Ci

TTh

C\

ki.

Ml

\A

JL

?y

- i IB

Ni

d)    Równolegle do danego kierunku „a“ wykreślić styczne do elipsy, której para osi jest dana (rys. 356). Przez wierzchołek C elipsy kreślimy równoległą do prostej a i punkt / łączymy z punktem C±. Styczne mx i nx do koła kt, rów-noległe do prostej Cx /, przecinają oś powinowactwa p w punktach II i III.

ni

Rys. 356

Proste m i n, równoległe do a, wykreślone przez punkty II i III rozwiązują zadanie, są bowiem prostemi powinowatemi z mx i nx. Prostopadłe, poprowadzone z punktów styczności Mx i Nt do osi p, wyznaczają na

prostych m i n punkty M i N, w których proste te dotykają elipsy.

e) Z danego punktu P wykreślić styczną do danej elipsy

ic

K,

(rys. 357). Z punktu P wykreślimy sieczne a, b, c i połączymy punkty A z Bu Ax*z B,

b'

c/

B,

Cl

/'

l\ ■

B’ I

/T

ß<

M'

B z Cx i C z Bt. Prosta III przecina elipsę w punktach M i N, które połączone z punktem P rozwiązują zadanie. Uzasadnienie tej niezwykle dogodnej konstrukcji wymaga wiadomości, które nie leżą w zakreślonym przez nas obszarze i dlatego podane tu być nie może.

'P

Rys. 357

123. Rzuty prostokątne koła. Ponieważ między danym układem płaskim w przestrzeni, a jego rzutem prostokątnym zachodzi powinowactwo środkowe (ust. 95), więc rzuty prostokątne koła są elipsami.

a) Gdy dana jest płaszczyzna cc (ha Va) a na niej punkt O (O' O") jako środek koła (rys. 358), to rzuty koła

V«,,

D" r

kn

Vc

’B" a"

Va Aj _ _ 01

Æk ' ‘ /T

:    \C" jdn

b"

C"

Va; \V6

Xccy

H6' x

ĄHc

/d'

a:

Ćr'

Iß’

Va

ar

A'

k°

y:o-

/d°

ha

o danym promieniu r, wyznaczymy w sposób następujący: Po wykonaniu kładu płaszczyzny cc na rzutnię poziomą, zakreślimy z punktu O⁰, jako środka, koło o promieniu r. Parze średnic sprzężonych A° Ba i CJ Z)° w kole, odpowie para osi A' B' i C D', względnie średnic sprzężonych Ä" B" i D" C" w elipsach, stanowiących rzuty koła. Podniesienie z kładu punktów A°, B°, C\ Z)° nie nastręcza X żadnych trudności. Rys. 358 tłumaczy rzecz dostatecznie.

Rys. 358

b) Niech dany będzie punkt O (Oj 2) jako środek koła, leżącego na płaszczyźnie cc (rys. 359), wyznaczonej zestopnio-waną linją największego spadu la' ; wykreślmy rzut cechowany

koła o danym promieniu r. Zadanie rozwiązaćby można podobnie jak poprzednie, przez wykonanie kładu płaszczyzny a na

rzutnię poziomą, względnie na jedną z płaszczyzn warstwowych.

W rys. 359 zastosowaliśmy jednak inną metodę, dającą się także użyć w przypadku rzutów na dwie płaszczyzny, o mianowicie użyliśmy płaszczyzny cp prostopadłej do warstwie. Prosta kQ jest kładem krawędzi płaszczyzny a i płaszczyzny cp na rzutnię poziomą, a odcinek C° Z)° kładem rzutu koła na płaszczyznę cp. Oś A' B' równa jest średnicy koła, drugą osią jest odcinek C D'.

c) Rzuty koła, leżącego na płaszczyźnie poziomo-rzuca-jącej, podają rys. 360 a i b. W pierwszym, podnieśliśmy koło z rzutni poziomej, w drugim, z rzutni pionowej.

A!,

D'

n.w.

Va

(4

13

«2

li

/«

c°

rb

12    3

Rys. 359

C"

A"l_____

cn

Va

c°

k",

* A" 0’\ B”

B°____l0°_ A°\

JL

D" \X

xl

Rys. 360 a

Rys. 360 b

d) Rys. 361 podaje konstrukcję rzutów koła, leżącego na płaszczyźnie cp, przechodzącej przez oś rzutów x i punkt O (O' O"). Najpierw wykonano kład O⁰ punktu O, a następnie podniesiono średnice sprzężone A° B° i C° D° około osi x na

płaszczyznę cp. Oś x jest osią powinowactwa między kładem k⁹ i rzutem k' koła; a także między rzutami k' i k". Stąd przez punkt /, w którym prosta i4° D° przecin a oś x, przejdą proste A! D' i A" D".

C"

k”

\Qrr

B"

e) Rzuty prostokątne koła k, przyję-tego na płaszczyźnie a // x przedstawia    f

<7

i B' O*

’b°

i cr

k°'

rys. 362. Na płaszczyźnie a (ha Va) przyjęliśmy prostą a (a' a") a na niej punkt 5 (S' S"), jako środek koła k. Wykonaw- -szy kład S° punktu S na rzutnię pionową, zakreślimy koło k°, a następnie podnie- A%yź siemy średnice A° B° i C° D° około śladu V«, jako osi obrotu na płaszczyznę a, otrzy- a\~ mując osi A'B\ C~D' i A/7~B", C'D'⁷ V elips k' i k", będących rzutami koła k.

Rys. 361

124. Elipsa jako krzywa powinowata z elipsą. Z faktu, że w dwóch układach środkowo - powinowatych każdemu punktowi w jednym

C"

S”

S» ' A"!

B"

b"/\

O"

ha

układzie odpowiada jeden punkt w układzie drugim, że każdej prostej przechodzącej przez ten punkt w pierwszym układzie, odpowiada prosta przechodząca Ha__ przez odpowiedni punkt w ukła-

te

Vb

Va

j dzie drugim, a dalej, że punktom

/a’ \

B°

Zr

■\b-

û’

CO

k°

właściwym w jednym układzie odpowiadają punkty właściwe w układzie drugim — wynika, że elipsie przyjętej w jednym układzie, odpowie w układzie drugim także elipsa. Innemi słowy, elipsa może być spowinowaconą albo z kołem (ust. 120) albo z elipsą.

\C°

k‘

Rys. 362

Elipsie więc kt (rys 363), przy danej osi powinowactwa p i parze punktów odpowiednich Ot i 0₂, odpowie elipsa Xr₂„ w układzie powinowatym. Parze osi Ax B± i Ct Dl odpowie para średnic sprzężonych A₂ B₂ i C₂ Z)₂ elipsy k₂. Środkowi Ol} elipsy ku odpowiada środek 0₂, w elipsie k₂.

125. Konstrukcja krzywych koli neacyjnych z kołem.

a) Elipsa. Koło kx, leżące na płaszczyźnie ex nie przecina osi wza-Y~~jemnej zx (rys. 364).

Celem wyznaczenia pary średnic sprzężonych elipsy k₂ opiszemy na kole kx taki czworobok, którego rzut środkowy na płaszczyznę e₂ będzie równoległobokiem, opisanym na elipsie kz. Punkty styczności opisanego na kole kx czworoboku, rzucone z punktu O, jako środka kolineacji, na płaszczyznę e2 dadzą punkty styczności opisanego na elipsie k₂ równoległo-boku, które połączone stanowią parę średnic sprzężonych elipsy

a₂

kz

p2

Ai

i Di

Bs

Di

Bi

ł*

.Oi

Cl

Rys. 363

co

ovzè

VA

\>

0/

Zz e₂

ni

uzi

---6

\P

A2sWi

// /CK

/!

ds / ! / j

/ii A.

i? y

âr

k3,

Si

7P\

r\

Cr

P\

S,\

ID,

PA?

i,

ki

e,

4,

Rys. 364

(ust. 120). Czworobok (trapez) opisany na kole klt którego rzut środkowy na płaszczyznę f₂ jest równoległobokiem, znajdziemy w sposób następujący: Przez środek 5 koła kx poprowadzimy

prostopadłą do osi wzajemnej zlt a z punktu Zt styczne at i bx do koła. W punktach CŁ- i Z) i wykreślone styczne będą równoległe do z± II p i utworzą wraz ze stycznemi a,, bx trapez równoramienny li2₁ 3t 4±, opisany na kole i styczny do niego w punktach Alt B±, Clt D±. Rzuty środkowe a₂ i b₂ stycznych a± i b± przejdą przez punkty Px i P₂ równolegle do prostej OZlt a rzuty 1,2, i 3₂ 4₂ prostych 1± 2₁[ 3± 4t będą do siebie równoległe i rów-    z,

!\

z,

Zi

z?

/z?

noległe do osi kolinea-cji p. Tym sposobem o-trzymamy równoległobok 1₂ 2₂ 3₂ 42 opisany na elipsie, jako rzut środkowy trapezu 1± 2± 3t 4±.

az.

32,

rDz

Sz

kz

hÈ-

Pz

Punktom styczności Alt Bt, Clt Dlt czworoboku opisanego na kole k±, odpowiedzą punkty styczności A₂, B₂, C₂, D\ '—p boków równoległoboku opisanego na elipsie k₂.

C,

Di

~Ś>

Odcinki A₂ B₂ i C₂ D2 stanowią parę średnic sprzężonych elipsy k₂, punkt S₂ jej środek.

.di

Cl.

.A»

_0Q

Rys. 365

Zapomocą rzutu w dowolnym kierunku i na dowolną płaszczyznę płaszczyzn i e₂, albo L zapomocą kładu jednej z nich na drugą około osi p, złączymy oba układy na jednej płaszczyźnie, przyczem związki kolineacji środkowej, zachodzące między temi układami, pozostają nienaruszone.

Niechaj dane są: środek O, oś p i oś wzajemna z± (rys. 365) dwóch układów środkowo-kolineacyjnych, złączonych na płaszczyźnie rysunku. Wyznaczmy parę średnic sprzężonych elipsy, odpowiadającej kolineacyjnie kołu klt należącemu do układu e1#

Idąc śladem przeprowadzonego wyżej rozumowania, wykreślmy przez środek koła kx prostą at _L z± i wyznaczmy trapez równoramienny 1 ± 2± 3± 4U opisany na kole i styczny do niego w punktach Aly Bt, Clf D±. Prostym ax, dt i odpowiedzą w układzie elipsy proste a₂, d₂ i c₂ równoległe do promienia O Zlt a przechodzące przez punkty P, P₂ i Pt. Punktom Au B₁ i S±, prostej au odpowiedzą punkty A₂, B₂ i S2 prostej a₂, leżące parami z poprzednimi na promieniach koli neacji, które przechodzą przez środek O. Punkt S₂ jest środkiem elipsy k₂, a odcinek C₂ D₂ // Ct D± średnicą, sprzężoną ze średnicą A₂ B₂.

A?l

&/■

co

€/

\ I /\

\ !/

&

/ /    \ \N

X I \

i,

\/

/ r >

'Ar-A

z,

At

kz

Si

e,

Rys. 366

b) Hiperbola. Koło kx, znajdujące się na płaszczyźnie e1 przecina oś wzajemną z₁ w dwóch punktach A± i B₁ (rys. 366).

Podobnie jak w przypadku poprzednim, rzut koła k₁ na płaszczyznę e₂ jest miejscem geometrycznem punktów przebicia się promieni rzutów z płaszczyzną e₂. Promienie O At i O B± leżą na płaszczyźnie przechodzącej przez środek O kolineacji, równolegle do płaszczyzny e₂, są do tej ostatniej równoległe i przebiją ją w punktach niewłaściwych A₂°° i B2°°. Są to punkty niewłaściwe hiperboli. Stycznym at i b± do koła k± w punktach A^i By odpowiedzą styczne a₂ i b₂ w punktach niewłaściwych hiperboli, zwane jej asymptotami. Punkt S2 przecięcia się asymptot, odpowiadający punktowi S± przecięcia się stycznych at i bx, nazywamy środkiem hiperboli.

bĄ

kz

!cz

Ci

12

b>

âr.

■Wi

5,Y Ba

Niech daną jest kolineacja środkowa dwóch układów płaskich e₁ i e₂, złączonych na płaszczyźnie rysunku, wyznaczona środkiem O, osią p i osią wzajemną z₁ (rys. 367).

Az

Ü,

a₂

Sz\ ' \. (j2

wj

Aif/Rh

Zi

Kołu kt, przyjętemu w układzie e1? a przecinającemu oś zt w punktach At\ B±, odpowie w układzie e₂ hiperbola. Sty- _

ClWz

P4V

Pz

N,

m/¹¹!

ki

Wt kz

Rys. 367 KifipEąe.01Ą

jCiŁesrĄyŁi*.

perboli, która przejdzie przez punkty M i N, w których oś kolineacji p przecina koło. Poszczególne punkty hiperboli znaleźć możemy przy pomocy prostych, przecinających koło w dwóch punktach. I tak np. prostej ml odpowiada prosta m₂, równoległa doORy i przechodząca przez punkt P3i a punktom 7X i IIy koła, punkty /₂ i II₂ hiperboli. Dwusieczne c₂ i d₂ kątów, jakie tworzą asymptoty, są osiami symetrji prostokątnej hiperboli i zwą się jej osiami. Punkty przecięcia się dwusiecznej c₂ z hiperbolą tworzą jej wierzchołki.

Bz

¹mi

cznym a± i bŁ w punk- AP tach Ax i Bt odpowie- / dzą asymptoty a₂ i b₂, równoległe do promienia O Al i OBa przechodzące przęz punkty Pt i P₂. Punktowi Sy odpowie środek S₂ hi-

c) Parabola. Koło kx przyjęte na płaszczyźnie et jest styczne do osi wzajemnej zl (rys. 368) w punkcie ZŁ. Punktowi Zx odpowiada punkt Z₂co paraboli, który jest jej punktem styczności z prostą niewłaściwą z₂°° płaszczyzny e₂. Pękowi promieni Zj (a,, bodpowie na płaszczyźnie e₂ pęk równoległych promieni a₂, b₂ ..., a punktom Au Blf... koła kt — punkty A₂, B₂,... paraboli k₂. Jeżeli układy £t i e₂ złączone są na płaszczyźnie rysunku (rys. 369), to parabola k₂ przejdzie

co

Cs

ZĄ

TO

\bs

<?/

P₂

'jAs

4t'"2cE

^ ¹ I

! z*'

k,

e,

Rys. 368

przez punkty P₆ i P₆, w których koło kx przetnie oś p koline-acji. Prostej m{ odpowiada prosta m₂> równoległa do promienia OZj, punktowi koła kv punkt M₂ paraboli, a stycznej st do koła w punkcie Af, styczna s₂ do paraboli w punkcie M₂. Styczna s₂ będzie równoległa do promienia r, łączącego środek kolineacji O z punkiem przecięcia się S{ stycznej s± z osią wzajemną zl. Z rys. 369 widzimy, że:

< s₂ m₂ = * r n = a.

Prostą m₂ i wszystkie do niej równoległe proste w układzie e₂, odpowiadające pękowi promieni o wierzchołku Zt nazywamy średnicami paraboli.

Wykreślmy w punkcie O prostą O Ti J_ n, a z punktu T1 styczną tx do koła. Prostej Zx Ax = ax odpowie średnica a₂ paraboli, a stycznej tx styczna t₂ do paraboli w punkcie A₂, prostopadła do średnicy a₂.

Taką średnicę, przecinającą parabolę w — punkcie, w kto-rym poprowa- ^ dzona styczna jest do owej średnicy prostopadłą, nazywamy osią paraboli, a ów punkt wierzchołkiem. Prosta a₂ jest więc osią, a punkt A₂ wierzchołkiem paraboli k₂, odpowiadającej kolineacyjnie kołu klt leżącemu w układzie i stycznemu do osi wzajemnej zx w punkcie Zx. Dogodną konstrukcję, umożliwiającą wyznaczenie dowolnej ilości punktów paraboli z danej osi, wierzchołka i jednego punktu, poznamy w ust. 127 î.

126. Zadania. 1. Wyznaczyć punkty przeciącia się prostej mv z hiperbolą kx> której asymptoty alf i wierzchołek W są dane (rys. 370). Prostym przechodzącym przez środek kolinea-acji, a uważanym za należące do układu elt odpowiadają w układzie e₂ te same proste. Jeżeli środek O hiperboli, t. j. punkt przecięcia się asymptot, uważać będziemy za środek kolineacji, to asymptoty te odpowiadają sobie wzajemnie w obu układach złączonych na płaszczyźnie rysunku. Koło Xr₂, którego środek S₂ znajduje się na osi Ct

Mit

wr

<P

Ci _ Jw

md p

¥Ni

⁽Br

Si

Zł

■dO

Zr \p

Sr

kh

Pe

Ti~

mi.

Pi

rrn

Mi

w?

M2,

kz.

fi.'

Ps

■<Ai

Rys. 369

/ CM

//

rr)2

Bz

Ar

Di

w₂

Rys. 370

[2

tl

4\

t2

ar

Tz°

hiperboli, które jest styczne do jej asymptot w punktach A₂\B2 i przechodzi przez wierzchołek hiperboli jest z nią środkowo-kolineacyjne. Prosta w₂ = A₂ B₂ jest osią wzajemną tej ko-lineacji i leży w układzie e₂ koła k₂, zaś prosta p // w₂, przechodząca przez punkt W i styczna w nim do hiperboli jest osią kolineacji. Prostej mx, należącej do układu hiperboli, odpowiada w układzie s₂ koła prosta m₂, która przechodzi przez punkt P osi kobneacji i punkt W₂ osi wzajemnej w₂, odpowiadający w układzie koła punktowi W^⁰⁰ prostej mx. Prosta m₂ przecina koło k₂ w punktach M₂ i N₂, których rzuty Mt i N, ze środka O kolineacji na prostą m₁ rozwiązują zadanie.

2. Wyznaczyć punkty przecięcia się prostej mv z parabolą, której oś a₁, wierzchołek W i styczna sx są dane (rys. 371).

wr

Wz.

W2

■O

mz

Iz

kSz

Wi°°

<4-

\w

Ni

s',/;

an

.Si

mi

\ar

MiL

aH

Rys. 371

Prosta Sj przetnie oś paraboli w punkcie O. Ponieważ oś paraboli jest jej o-sią symetrji prostokątnej, więc symetrycznie względem s± wykreślona prosta s/ jest również styczną do paraboli.' Koło k₂, styczne w punktach /₂ i //₂ do prostych sx i s/, -a przechodzące przez wierzchołek paraboli, jest z nią środkowo-kolineacyjne. Środkiem tej kolineacji jest punkt O, osią kolineacji styczna p do paraboli w wierzchołku, a osią wzajemną w₂ styczna do koła w punkcie A₂. Prostej mt odpowiada w układzie e₂, koła k₂, prosta m₂, a punktom M₂ i N2 przecięcia się prostej m₂ z kołem odpowiadają w układzie paraboli punkty M₁ i N± przecięcia się jej z prostą mx.

127. Twierdzenie Pascala w zastosowaniu do elipsy, hiperboli i paraboli. Z pojęcia kolineacji środkowej i z jej podstawowych własności wynika, że sześciokątowi wpisanemu w koło, leżącemu na płaszczyźnie elf odpowie w układzie drugim sześciokąt, wpisany w tę krzywą stożkową c², która odpowiada kolineacyjnie kołu. W ten sposób własności sześciokąta wpisanego w koło przechodzą na własności sześciokąta wpisanego w każdą krzywą stożkową, a twierdzenie Pascala przyjmuje formę ogólną i brzmi: Sześć punktów krzywej stopnia drugiego wyznacza sześciokąt wpisany w tę krzywą, którego przeciwległe boki przecinają się w trzech punktach, leżących na linji prostej. Prostą tę nazywać będziemy prostą Pascala.

Z twierdzenia powyższego wynika bezpośrednio następujące: krzywa stożkowa wyznaczona jest pięciu punktami. W istocie bowiem przyjąwszy punkty A, B, C, D, E (rys. 372) znajdziemy punkt szósty F i każdy następny przy pomocy twierdzenia Pascala, przez zastosowanie wzoru połączeń, podanego w ust. 117, a mianowicie:

\U

ABC

P-

DE... I E F ... II A F ... III

Rys. 372

-t

Boki A B i D E sześciokąta, którego pięć punktów jest znanych, przecinają się w punkcie /. Z drugiej pary boków wyznaczony jest bok B C, co zaś do boku E E, to zauważmy, że jeżeli przez punkt E krzywej c² poprowadzimy dowolną prostą, to prosta ta przecina tę krzywą jeszcze w jednym punkcie. Punkt ten, na razie nie wyznaczony, niechaj będzie właśnie szukanym punktem F. Bok EF będzie więc dowolną prostą m, wykreśloną przez punkt E, a przecinającą bok B C w punkcie II. Punkty / i II wyznaczają prostą Pascala p, którą bok CD. przecina w punkcie III, i przez który to punkt przejść musi, zgodnie z twierdzeniem Pascala, bok A F. Punkt przecięcia się więc prostej m z prostą A III jest szukanym punktem F. Widzimy więc, że znając pięć punktów krzywej c₂, znaleźć możemy każdą dowolną ilość dalszych jej punktów, czyli innemi słowy, że pięć punktów wyznacza krzywą stopnia drugiego.

Twierdzenie Pascala pozostaje w mocy, gdy jeden albo i dwa wierzchołki sześciokąta są punktami niewłaściwemi, stosuje się więc zarówno do paraboli jak i hiperboli. To samo odnosi się do przypadku, gdy dwa wierzchołki sześciokąta wpisanego w c² schodzą się, t. j. gdy jeden lub więcej boków przejdzie w położenie graniczne i stanie się stycznemi stożkowej. Kilka zadań sprawę najlepiej wyjaśni.

a) Danych jest piąć punktów krzywej c²; wykreślić w punkcie 5 styczną (rys. 373). Ponieważ styczną określamy jako prostą, łączącą dwa bezpośrednio po sobie następujące punkty krzywej,

'3

5\6

■r

więc styczna w punkcie 5 zawiera także i punkt 6. Wyznaczymy punkty/i II prostej Pascala p, a punkt przecięcia się III tej prostej z bokiem 2 3 połączymy z punktem 5. Prosta 5 rozwiązuje zadanie.

4, 5, 6

1, 2, 3

4,    ...II

5,    ... III > p.

6,    ... I

b) Stożkowa c² wyznaczona jest dwiema stycznemi sx i s2 wraz z punktami styczności 1 i 3 i punktem 5; wyznaczyć dalszy punkt tej krzywej (rys. 374). Z punktem 1 schodzi się punkt 2, a z punktem 3 punkt 4. Styczna Sj stanowi bok 1 2, styczna s₂ bok 3 4.

Stosując wzór połączeń niżej przedstawiony, otrzymamy punkt 6 na prostej m, wykreślonej dowolnie — przez punkt 5.

I, 2, 3    4, 5, 6

\ / \i

Rys. 373

2,

3,

^ Oj Oi

"-Jl

P\

im

772

Co Jo > ^ Oj to

^ ^ O) Oi

ci.

Rys. 374

c) Stożkowa c² wyznaczona jest punktami właściwemi 1, 2, 3 i punktami niewłaściwemi 4œ i 5“; znaleźć dalszy punkt tej krzywej (rys. 375). Punkty 4™ i 5°° wyznaczone są kierunkami; bok 4™ 5°° jest prostą niewłaściwą płaszczyzny rysunkowej, punkt / prostej Pascala jest więc punktem niewłaściwym prostej 1, 2.

Dowolna prosta, wykreślona równolegle do kierunku 5 , uważana za prostą 5°° 6 przecina bok 23 w punkcie II. Prosta Pascala p jest więc równoległą do prostej 1, 2. Prosta 3, 4™ przecina prostą p w punkcie III, który połączony z punktem I daje prostą m. Ta i_

ostatnia przetnie prostą, przechodzącą \ przez punkty II i 5⁰⁰, w szukanym punk- V-cie 6 hiperboli.

d) Dane są asymptoty at, a₂ i punkt 5 hiperboli; wyznaczyć dalsze jej punkty (rys. 376 a). Asymptotą nazwaliśmy styczną do hiperboli w jej punkcie niewłaściwym.

1" 2^ di/

Łr

P-

EL'

5“

Rys. 375

32

.v32

ar.

C\

\}A

[CO

' 4°°

Di

4°°

Rys. 376

Każda z asymptot wyznacza więc dwa punkty hiperboli. Ułóżmy znany nam wzór połączeń. Punkt / prostej Pascala leży na alf punkt //* na prostej m, wykreślonej dowolnie przez punkt 5.

4*, 5, 6

4™, 5... I ]

5, 6... ir\p. r,6... iiij

Asymptotą a₂ przecina prostą Pascala p // m w punkcie III. Równoległa, wykreślona do at przez III, przecina prostą m w szukanym punkcie 6 hiperboli.

Oznaczmy punkty przecięcia się prostej m z asymptotami literami A i B, to ponieważ m // p, a± // III 6 i a₂ // / 5, więc 7 III = B 6 i I III — A 5, a zatem A 5 = B 6. Wykazaliśmy tym sposobem, że odcinki prostej, zawarte między hiperbolą a jej asymptotami, są sobie równe.

r, 2™, 3™

Oj bo ^

00

00

Rys. 376 b

00

00

00

00

Twierdzenie to zastosujemy zawsze w tych wypadkach, gdzie chodzić będzie o wyznaczenie punktów hiperboli, której asymptoty a±, a₂ i jeden punkt, np. A, są dane (rys. 367 b). Z punktu A wykreślimy prostą, a odmierzywszy odcinek Al — 2B otrzymamy punkt B. Promień poprowadzony przez B przecina asymptoty w dwóch punktach i pozwoli na wyznaczenie dalszego punktu hiperboli.

e) Dany jest kierunek osi i trzy punkty paraboli; wyznaczyć dalszy jej punkt (rys. 377). Kierunkiem osi paraboli wyznaczone są dwa, bezpośrednio po sobie następujące, punkty 7 ⁰⁰ i 2°° paraboli. Prócz nich dane są punkty 3, 4 i 5. Zastosowanie wzoru połączeń umożliwi wyznaczenie dalszego dowolnego punktu ~r~ paraboli.

\i

\P

r \r

f) Dana jest oś a, wierzchołek A i punkt 3 paraboli; wyznaczyć dalsze punkty tej krzywej (rys. 378). Oś i wierzchołek paraboli wyznaczają cztery jej

Rys. 377

punkty, ponieważ określają równocześnie styczną w wierzchołku i styczną niewłaściwą do paraboli w jej M punkcie niewłaściwym. Oznaczmy N dwa punkty paraboli, określone jej wierzchołkiem A i styczną w tym wierzchołku, prostopadłą do osi a, —si2 liczbami 7 i 2, a punkty niewłaściwe na osi liczbami 4œ i 5⁰⁰. Stosując wzór połączeń, otrzymamy punkt 6 na prostej m, równoległej do osi paraboli. Oznaczmy punkty przecięcia się stycznej w wierzchołku ’ z prostemi m i 3 III literami M i 7V, to z rys. 378 czytamy :

Aj⁰⁰

'3

TK

4"?"

Rys. 378

nui

to ito

, czyli

M 6 . N A = M A . N III \ II III . M 6 = II6 . M A, a dzieląc ostatnie równanie przez poprzednie otrzymamy:

JTlfl 116 N A ~ N III *

C.

Uwzględniając, że M N = II III \ MII = N III, mamy

M~N ₌ TT~6

w~a ” wir

Na tym ostatnim związku opiera się następująca konstrukcja punktów paraboli, której oś a, wierzchołek A i jeden punkt P są dane (rys. 379). W wierzchołku A paraboli kreślimy styczną m, a następnie prostokąt P Q P± Q±.

Boki A Q i P Q dzielimy na tę samą ilość równych części. Przez punkty V, 2', 3'... kreślimy równoległe do osi a, a punkty podziału ,na boku P Q łączymy z wierzchołkiem paraboli. Punkty przecięcia się I, II, ///... prostych, poprowadzonych przez równoimienne punkty, są punktami paraboli.

g) Dana jest średnica m, styczna s w punkcie przeciącia się A tej średnicy z parabolą i punkt 3; wyznaczyć dalsze punkty paraboli. Mamy pięć punktów paraboli (rys. 380) a stosując

n    12    3

Q>i

Rys. 379

P,

i=»

Oj

OiT

'Co

fi-

A'«'

^41 e

’K)

'"■Q

l3

8 I 8 '»A.¹"

Rys. 380

Rys. 381

wzór połączeń Pascala, znajdziemy w ten sam sposób, co powyżej, dalszy punkt np. 6, a to na prostej n // m. Otrzymamy proporcje jak w rys. 378, a w rezultacie :

Wn _ JF6

N~A~ MII '

Na tej podstawie otrzymamy punkty paraboli, gdy dana jest średnica m, styczna 5 w punkcie A i punkt np. P, przeprowadzając konstrukcję podaną na rys. 381. Czytelnika uderzy oczywiście powinowactwo między rys. 379 a rys. 381.

128. Konstrukcja stycznych do elipsy. Na kole k (rys. 382) opiszmy kwadrat, styczny w punktach A, B, C, D i weźmy pod uwagę dowolny punkt M tego koła. Oznaczmy punkt M liczbą 7; punktem D, w którym dana jest styczna do koła, określone są punkty 2 i 3, punkt A nazwijmy 4, a punkt B niechaj skupia w sobie punkty 5 i 6. Punkty 5 i 6 połączone

dają bok kwadratu styczny do koła w punkcie B. Stosując twierdzenie Pascala do sześciokąta 7, 2, 3, 4, 5, 6, otrzymamy prostą Pascala p z następującego zestawienia:

1, 2, 3

X.

A\

1.

12

\!

4, 5, 6

I,

Rys. 382

3,

^ Co To

... I ... 77 ... III

P-

Wykreślmy w punkcie M styczną m do koła, a oznaczywszy punkty A,B,D\M liczbami tak, jak to wskazuje rys. 383 znajdźmy prostą Pascala p dla sześciokąta 7, 2, 8, 4, 5, 7.

U 2, 8

4, 5,. 7

r,r

m.

n/_ c

III p.

. .. IV

jr

7\

j_10

5,

Widocznem jest, że otrzymana prosta p jest identyczną z poprzednią, i że punkt przecięcia się IV, stycznej m ze styczną do koła w punkcie A, leży na tej prostej.

Jeżeli koło k, wraz z opisanym na niej kwadratem i styczną m, rzucimy w dowolnym kierunku na dowolną płaszczyznę, to otrzymamy rysunek powinowaty z pierwszym. Kołu k od-—7 powie elipsa kx, średnicom AB i CD y    średnice sprzężone AlB₁ i C₁Dl tej

Bl    elipsy. Styczna m w punkcie M do

koła będzie, po dokonanym rzucie, styczną mx w punkcie Mv elipsy. Prosta MXDX przetnie średnicę AiBi

Au

Ni

Di

mu

Ci

hi

Al

8.

JL

Rys. 383

w punkcie Ix, który, połączony z punktem II x, daje prostą p. Prosta ta przejdzie przez punkt IVt, w którym styczna mx przecina styczną do elipsy w punkcie Ax.

Przeprowadzone rozumowanie stanowi podstawę do bardzo dogodnego wykreślenia stycznych do elipsy w jej punktach. Dany punkt Mx łączymy z punktem Dx; otrzymana prosta przecina średnicę AXBX w punkcie I±.

Prosta /, //, wyznacza punkt IV x, a ten wraz z danym punktem Mx żądaną styczną m x. Poprowadźmy przez punkt M koła k (rys. 385) prostą r, równoległą do średnicy CD i oznaczmy drugi punkt przecięcia się jej z kołem przez P=10. Punkt styczności M, prostej m z kołem, oznaczmy jako punkty 1 i 7, punkt C jako punkty 8 i 9, a punkt D jako punkt 2, to ułożywszy sześciokąt:

pi i /rn

N.

MY;f !

—i

piro

Rys. 385

I, 7, 2    8, 9, 10

K CNI Oo

"~r nt c\j

> <C> Oo

•«** co o o

otrzymamy prostą Pascala p x, równoległą do średnicy CD, a więc i do prostej r.

W odniesieniu do elipsy znaczy to, że prosta lx Nx (rys. 384) jest równoległą do średnicy CD, co w łączności

z podanym poprzednio sposobem kreślenia stycznej w danym punkcie elipsy daje bardzo praktyczny sposób wyznaczenia dowolnej ilości stycznych i ich punktów styczności, gdy dana jest para średnic sprzężonych, względnie osi elipsy, jak to widzimy na rys. 386.

129. O kolineacji i powinowactwie krzywych stożkowych. Przypuśćmy, że w miejscu koła (rys. 364) znajduje się na płaszczyźnie et elipsa, hiperbola lub parabola i starajmy się dać odpowiedź na pytanie, jakie krzywe odpowiedzą tym

Ni

IT,

'0^

yB

Rys. 386

linjom na płaszczyźnie e₂. Podobnie, jak przy kole, zachodzić tu będą trzy przypadki:

a)    Elipsa, hiperbola względnie parabola nie są przęcięte osią wzajemną z±. W tym przypadku krzywe, będące rzutem elipsy, hiperboli czy paraboli na płaszczyznę s₂ z punktu O, nie posiadają żadnych punktów niewłaściwych, są więc elipsami. Punktom niewłaściwym hiperboli odpowiedzą dwa punkty na osi wzajemnej w₂, która wobec tego przetnie otrzymaną elipsę w dwóch punktach. Punktowi niewłaściwemu paraboli, leżącej na płaszczyźnie 8j, odpowie punkt na osi w₂ ; elipsa jako krzywa, kolineacyjnie związana z parabolą, będzie styczną do osi wzajemnej w₂.

b)    Elipsa, hiperbola i parabola przecięte są osią wzajemną zt. Punktom, leżącym na osi zlf odpowiedzą punkty niewłaściwe na płaszyźnie e , a krzywym, leżącym na Sj, hiperbole.

c)    Jeżeli elipsa, hiperbola lub parabola są styczne do osi zlf to krzywe, odpowiadające im kolineacyjnie na płaszczyźnie e₂, posiadają jeden punkt niewłaściwy, albo, ściślej się wyrażając, są styczne do prostej niewłaściwej płaszczyzny e₂, a więc są parabolami. Parabola, odpowiadająca hiperboli, przetnie oś w₂ w dwóch punktach, parabola, odpowiadająca paraboli leżącej na e₁, będzie styczną do osi wzajemnej w₂.

W dwóch układach powinowatych punktom właściwym odpowiadają punkty właściwe, a punktom niewłaściwym punkty niewłaściwe. Krzywej stożkowej, nie mającej punktów niewłaściwych (elipsie), odpowie takaż krzywa w układzie powinowatym; stożkowej, posiadającej dwa punkty niewłaściwe (hiperboli), odpowie hiperbola, a paraboli, parabola.

§ 9. O KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH W OGÓLNOŚCI

130. Określenie i podział linij krzywych. Jeżeli punkt porusza się na płaszczyźnie, według określonego prawa, to miejscem, geometrycznem jego położeń jest w ogólnym przypadku lin ja krzywa płaska, czyli jak się krótko wyrażamy, krzywa płaska. Jeżeli prawo ruchu punktu jest nieokreślone, to krzywa nosi nazwę krzywej graficznej, w odróżnieniu od krzywej, powstałej według pewnego prawa»

a;

zwanej krzywą matematyczną. Prawo powstawania krzywych matematycznych, a więc i same krzywe, wyrazić się zawsze dadzą równaniami matematycznemi, krzywe graficzne wyrażają się wyłącznie rysunkiem. Krzywe stożkowe, więc koło, elipsa, hiperbola i parabola, są przykładami krzywych matematycznych, linja wyrażając kształt, np. liścia kasztanu, jest linją graficzną.

Jeżeli punkt porusza się w przestrzeni według określonego prawa, to miejscem geometrycznem położeń tego punktu jest linja krzywa przestrzenna, zwana także krzywą skośną. Podobnie, jak krzywe płaskie, rozróżniamy krzywe skośne matematyczne od graficznych.

'ag

a?

'Ba

Rys. 387

Prosta łącząca dwa dowolne punkty krzywej płaskiej lub skośnej zwie się jej sieczną. Jeżeli sieczna a, przecinająca krzywą w punktach A i B (rys. 387), obraca się około jednego z nich np. punktu A, to wówczas punkt B posuwa się po krzywej, zbliżając się do stałego punktu A. W pewnej chwili sieczna a zajmie położenie graniczne ag, po przekroczeniu którego, posuwający się punkt B znajdzie się po drugiej stronie punktu A. Owo graniczne położenie siecznej określamy mianem stycznej krzywej płaskiej lub skośnej w punkcie A.

131. Określenie i podział powierzchni. Niechaj krzywa płaska lub skośna, nie zmieniając swego kształtu, albo zmieniając go w określony sposób, porusza się według pewnego prawa w przestrzeni, to miejsce geometryczne położeń tej krzywej określamy mianem powierzchni. Poruszającą się krzywą nazywamy tworzącą powierzchni. Jeżeli powierzchnia powstała w wyżej określony sposób, utworzyć się da także ruchem linji prostej, to nazywamy ją powierzchnią pro sto li-njową albo prostokreślną, w odróżnieniu od powierzchni krzy wolinjowej czyli krzy wokreślnej, która nie da się utworzyć ruchem linji prostej. Przykładem pierwszego rodzaju powierzchni jest np. stożek, który powstaje, gdy koło, zmieniając swój promień, porusza się równolegle do swego położenia, a jego środek opisuje linję prostą. Ale stożek powstać może î w ten sposób, że prosta obróci się około drugiej prostej, która ją przecina. W pierwszym przypadku, poruszające się i zmieniające swój promień koło, w drugim poruszająca się prosta, są łworzącemi stożka. Przykładem powierzchni krzywolinjo-wej jest np. kula.

W zakres naszych elementarnych rozważań włączymy tylko bardzo ograniczoną grupę powierzchni, a środki badania, któremi rozporządzamy, nie pozwalają nawet na bardziej szczegółową ich systematykę.

Powierzchnie prostoliniowe, dające się rozwinąć na płaszczyźnie, a także i odwrotnie, mogące powstać ze zwinięcia płaszczyzny, bez jej rozdarcia, zagięcia lub załamania, określamy mianem powierzchni rozwijalnych. Powierzchnie, nie dające się rozwinąć na płaszczyźnie, nazywamy powierzchniami nierozwijalnemi, albo skośnemi.

132. O płaszczyznach stycznych do powierzchni. Styczną w punkcie krzywej, leżącej na powierzchni, określamy jako styczną do powierzchni w tym punkcie. Weźmy pod uwagę dowolną powierzchnię (rys. 388), a przez jeden z jej punktów np. A, nakreślmy na niej dwie linje krzywe kl i k₂. Obierzmy następnie na powierzchni trzecią krzywą k₃, przecinającą pierwsze w punktach B i C. Uważajmy krzywe ky i k2 za kierownice, a krzywą k₃ za tworzącą, która, poruszając się po kt i k₂ i zmieniając odpowiednio swój kształt, opisuje naszą powierzchnię. Proste ct, c₂ i c₃, łączące punkty A, B i C, są

\C2

r/

U"

[/

S3

Ki /Si

O?/

ka.

siecznemi krzywych kit k₂ \ k₃, a więc / i siecznemi powierzchni i leżą na jednej W/o,/ płaszczyźnie o. Podczas ruchu krzy-wej k₃, punkt B porusza się po krzy-\ wej klt zbliżając się do punktu A, gdy równocześnie punkt C posuwa się po krzywej k₂, zbliżając się również do ^iLs* punktu A, przyczem sieczne ct, c₂ i c3 pozostają stale na jednej płaszczyźnie 0. W położeniu granicznem krzywa k3 zajmie położenie ku sieczna cy przejdzie w styczną 5 , sieczna c₂ w styczną So, a sieczna c₃ w styczną s₃.

Płaszczyzna a zajmie również położenie graniczne <r₁ i zawierać będzie styczne st, s₂ i s₃. Płaszczyznę o, w owem położeniu granicznem, nazywamy płaszczyzną styczną powierzchni w punkcie A. Obrawszy w miejsce krzywej k3 inną krzywą jako tworzącą, wykażemy w ten sam sposób jak poprzednio, że styczna, poprowadzona do tej krzywej w punkcie A, nie identyczna zresztą ze styczną s₃, leży również na płaszczyźnie stycznej o,. Widoczne stąd, że styczne, poprowadzone do powierzchni w jednym jej punkcie, leżą na jednej płaszczyźnie, która jest płaszczyzną styczną do powierzchni w tym punkcie. I wzajemnie: płaszczyzna styczna do powierzchni w jej punkcie jest miejscem geometrycznem stycznych, poprowadzonych w tym punkcie do krzywych, przechodzących przez ten punkt, a leżących na powierzchni.

Z określenia powyższego wynika bezpośrednio, że 1) dla wyznaczenia płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym jej punkcie, wystarczy wyznaczyć styczne do dwóch linij krzywych, poprowadzonych przez ten punkt na tej powierzchni; 2) jeżeli powierzchnia jest prostolinjową, to płaszczyzna styczna w danym punkcie zawiera prostą tworzącą, przechodzącą przez ten punkt, gdyż styczna w tym punkcie do uważanej tworzącej jest właśnie nią samą.

Prosta prostopadła do płaszczyzny stycznej powierzchni w punkcie styczności, nazywa się prostą normalną powierzchni w danym punkcie. Płaszczyzny, przechodzące przez prostą normalną, zwiemy płaszczyznami normalnemi danego punktu powierzchni.

§ 10. POWIERZCHNIE STOŻKOWE I WÄLCOWE

133. Tworzenie i podział powierzchni stożkowych i walcowych. Jeżeli prosta, przechodząca przez punkt, porusza się w ten sposób w przestrzeni, że przecina stale daną linję krzywą płaską lub skośną, to powstała w ten sposób powierzchnia nazywa się powierzchnią stożkową. Poruszającą się prostą, w każdem jej położeniu, nazywamy tworzącą powierzchni stożkowej ; punkt, przez który przechodzi tworząca, jest wierzchołkiem a krzywa, którą przecina tworząca, kierownicą powierzchni stożkowej. Jako kierownicę przyjąć można na danej powierzchni stożkowej każdą dowolną linję krzywą, byle

przecinającą wszystkie tworzące tej powierzchni. W szczególności przyjąć można jako kierownicę stożka dowolny przekrój powierzchni stożkowej płaszczyzną, t. zw. przekrój płaski, «— a wtedy kierownica nosi nazwę podstawy. Przekroje stożka płaszczyznami rzutów, nazywamy jego śladami. Mówimy tedy o śladzie poziomym, pionowym lub bocznym powierzchni stożkowej. Ślady stożka są zatem jego podstawami, leżącemi na rzutniach.

Powierzchnia stożkowa rozciąga się nieogranięzenie po obu stronach wierzchołka; zazwyczaj ograniczamy się do rozważania części powierzchni, zawartej między wierzchołkiem a przekrojem płaskim (podstawą) i taką ograniczoną część powierzchni nazywamy stożkiem. Odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy, nazywamy wysokością stożka.

* Jeżeli wierzchołek powierzchni stożkowej jest punktem niewłaściwym przestrzeni, czyli leży nieograniczenie daleko w danym kierunku, to powierzchnia nazywa się walcową. Tworzące powierzchni walcowej są do siebie równoległe i równoległe do danego kierunku. Część powierzchni walcowej, leżącej między dwoma równoległemi przekrojami płaskimi, nazywamy walcem, a krzywe przekroju jego podstawami.

W tern samem znaczeniu, co przy stożkach, mówimy i tu o śladach walca, rozumiejąc przez nie przekroje powierzchni walcowej płaszczyznami rzutów. Odległość obu podstaw nazywamy wysokością walca.

7/t

//

Przedmiotem naszych rozważań uczynimy te powierzchnie stożkowe i walcowe, których kierownicami, a więc także podstawami, są krzywe stożkowe, zatem koło, elipsa, hiperbola i parabola. Powierzchnie te określamy wspólnem mia-powierzchni stożkowych walcowych rządu ' drugiego.

134. Płaszczyzny styczne do stożków i walców. Na tworzącej t powierzchni stożkowej obierzmy punkt A (rys. 389), przez który poprowadźmy krzywą k, leżącą na tej powierzchni. W myśl określania płaszczyzny stycznej, podanem w ust. 132, tworząca t i styczna s w punkcie A do krzywej k wy-

'u

ki

znaczają płaszczyznę styczną a do stożka w punkcie A. Obierzmy na krzywej k punkt B i połączmy go z punktem A, to sieczna a = (A,B) wraz z tworzącą t wyznaczają płaszczyznę a, która przecina powierzchnię stożkową wzdłuż tworzących t i t±. Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna a obraca się około tworzącej t, to punkt B zbliża się do punktu A, a w położeniu granicznem, gdy punkt B zejdzie się z punktem A, sieczna a przejdżie w styczną s do krzywej k w punkcie A, a płaszczyzna a, w płaszczyznę styczną a. W ten sposób określić można płaszczyznę styczną do powierzchni stożkowej, względnie walcowej, jako graniczne położenie płaszczyzny siecznej, przyczem, jak widzimy, płaszczyzna zawiera jedną tworzącą powierzchni i jest styczną do powierzchni w każdym punkcie tej tworzącej.

W danym punkcie powierzchni stożkowej lub walcowej wyznaczymy więc płaszczyznę styczną w sposób następujący: Powierzchnię przetniemy płaszczyzną, przechodzącą przez dany punkt i poprowadzimy w tym punkcie styczną do linji przekroju. Styczna ta, wraz z tworzącą stożka, przechodzącą przez dany punkt, wyznaczają płaszczyznę styczną do powierzchni w każdym punkcie tworzącej, a więc i w punkcie danym.

135. Podział i rzuty powierzchni walcowych rzędu drugiego. Biorąc pod uwagę takie położenia powierzchni walcowych rzędu drugiego, przy których tworzące ich są pionowe, otrzymamy jako ślady poziome tych powierzchni koło, elipsę, hiperbolę i parabolę. Rodzaj krzywej stożkowej, występującej jako ślad poziomy powierzchni wa’cowej, której tworzące są pionowe, charakteryzuje tę powierzchnię. W przypadku, gdy śladem tym jest koło, walec nazywać będziemy walcem obrotowym (rys. 390 a), gdy śladem jest elipsa, hiperbola lub parabola, mówimy o walcu eliptycznym (rys. 390 b), hiperbo-licznym (rys. 390 c) i parabolicznym (rys. 390 d). Walec paraboliczny — ponieważ parabola posiada jeden punkt niewłaściwy — ma jedną tworzącą niewłaściwą. W praktycznem przedstawianiu rysunkiem walca parabolicznego, bierzemy pod uwagę ograniczoną część paraboli jako śladu walca, który wskutek tego ograniczony jest dwiema twoyzącemi. Walec hiperboliczny składa się z dwóch gałęzi i posiada dwie tworzące niewłaściwe. Podobnie, jak przy walcu parabolicznym, bierzemy pod uwagę tylko część każdej gałęzi walca hiper-bolicznego, ograniczoną jego tworzącemi. Prosta a (a' a"), poprowadzona przez środek podstawy (śladu) walca, równolegle do jego tworzących, nazywa się osią walca. Płaszczyzny pozio-mo-rzucające, poprowadzone przez asymptoty hiperboli, jako podstawy walca, noszą nazwę płaszczyzn asymptotycznych.

Płaszczyzny styczne do walca i prostopadłe do rzutni pionowej, dzielą każdą powierzchnię walcową na dwie części, których granicami są tworzące styczności walca z temi płaszczyznami. Tworzące te, oznaczone literami tx i t₂ na rys. 390a-d, stanowią zarys walca, a ich rzut pionowy, identyczny ze śladami pionowemi płaszczyzn stycznych, jest zarysem, czyli rzutem walca na rzutnię pionową.

a.)

b.)

c.)

d.)

îR

t§ a

te

te ts

t!

tk

j.

\\x

•IMfe

ni

ts

}a'

fté

tk S

.t;

ts

ts

Rys. 390 a—d

Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś walca obrotowego, jest jego płaszczyzną symetrji prostokątnej. Walec eliptyczny i hiperboliczny posiadają po dwie takie płaszczyzny symetrji, któremi są płaszczyzny, przechodzące przez oś walca i osi elipsy, względnie hiperboli, stanowiących podstawy. Walec paraboliczny ma tylko jedną płaszczyznę symetrji. Ilość płaszczyzn symetrji znamionuje i wyróżnia walce rzędu drugiego między sobą. W szczególności ważną jest ta charakterystyka przy odróżnianiu walca obrotowego od eliptycznego.

.-V

Jeżeli tworzące walce są prostopadłe do jego płaszczyzny podstawy, to walec nazywamy prosty, inaczej ukośny.

136. O przekrojach walców rzędu drugiego w ogólności. Linja przekroju walca z płaszczyzną jest miejscem geometry-

cznem punktów przebicia się tworzących walca z płaszczyzną sieczną. Z określenia powierzchni walcowej wynika, że między jej śladem i przekrojem dowolną płaszczyzną, a więc także między dwoma przekrojami, zachodzi ten sam związek, który wykazaliśmy między dwoma przekrojami graniastosłupa (ust. 97), t. j. powinowactwo środkowe. W istocie bowiem każdemu punktowi An Blt Ct, ... linji przekroju ki9 leżącej na płaszczyźnie (rys. 391), odpowiada jeden jedyny punkt A₂, B₂, C₂, ... drugiej linji przekroju k , leżącej na płaszczyźnie e₂, przyczem odpowiadające sobie punkty leżą na tworzących walca, stanowiących promienie powinowactwa. Każdej

es

Cr

As.

MsiL x

iV

KI

Mr

'Ar

Kr

Cr

Cr

ks

Ds

Ss

P4

'Pi

Sr

Rys. 391

prostej, np. clt leżącej na płaszczyźnie i przecinającej krzywą kl w punktach CŁ i Mit odpowiada na płaszczyźnie e2 prosta c₂, przecinająca krzywą k₂ w punktach C₂ i M₂. Każdej stycznej do#!, np. w punkCie Mlt odpowiada na płaszczyźnie e₂ prosta s₂, styczna do krzywej /r₂ w punkcie M2y leżącym wraz z punktem Af₂ na jednej tworzącej. Miejscem geometrycznem punktów przecięcia się, odpowiadających sobie prostych na obu płaszczyznach, jest krawędź p tych płaszczyzn, stanowiąca oś powinowactwa.

Jeżeli płaszczyzny sA i e₂ są równoległe, to oś powinowactwa leży nieograniczenie daleko, a między obu układami

17

Bartel. Geometria wykreślna

płaskimi zachodzi przystawanie. Płaszczyzny równolegle przecinają więc walec w krzywych przystających.

Wiadomo, że kołu, leżącemu na płaszczyźnie et, odpowiada w układzie powinowatym s₂ elipsa, dalej, że elipsa spowinowacona jest z elipsą, parabola z parabolą, a hiperbola z hiperbolą (ust. 129). Stąd wynika wprost, że walec obrotowy przeciąć można zawsze wzdłuż elipsy, walec eliptyczny wzdłuż elipsy, a jak tojpóźniej zauważymy, także i wzdłuż koła (ust. 137, rys. 394), że przekrój walca parabolicznego może być tylko parabolą, a walca hiperbolicznego hiperbolą. Rzecz oczywista, że płaszczyzny, równoległe do tworzących walca, przecinają go w dwóch tworzących. Parze średnic sprzężonych krzywej przekroju, należącej do jednego układu, odpowiada w układzie drugim para średnic sprzężonych krzywej, spowinowaconej z pierwszą. Osi paraboli w jednym układzie odpowiada średnica w układzie drugim. Środkowi kola, elipsy lub hiperboli, jako podstawy walca, odpowiada środek krzywej stożkowej, bętącej przekrojem odnośnego walca płaszczyzną.

Wiemy z ustępu 94, że rzut dwóch powinowatych utworów (układów) płaskich w dowolnym kierunku i na dowolną płaszczyznę daje dwa utwory (układy) złączone na tej płaszczyźnie i ze sobą powinowate. Wobec tego między rzutami poziomemi dwóch przekrojów walca zachodzi powinowactwo, którego osią jest rzut poziomy krawędzi obu płaszczyzn siecznych, a kierunkiem, kierunek rzutu poziomego tworzących walca. Podobnie między rzutami pionowemi dwóch przekrojów walca zachodzi powinowactwo o kierunku równoległym do rzutu pionowego jego tworzących, a osi, którą jest rzut pionowy krawędzi płaszczyzn siecznych. Gdy jednym z dwóch uważanych przekrojów walca jest jego ślad, to osią powinowactwa jest odpowiedni ślad pozostałej płaszczyzny siecznej. Gdy oba przekroje walca są jego śladami, a więc leżą na rzutniach, to osią powinowactwa jest oś rzutów x.

Zadanie: „Wyznaczyć przekrój walca płaszczyzną a“, polegać będzie na wykreśleniu rzutów krzywej przekroju, względnie na wyznaczeniu średnic sprzężonych, lub osi tej krzywej.

137. Przykłady przekrojów walców.

a) Wyznaczyć przekrój walca obrotowego płaszczyzną cc(7?aVa) (rys. 3‘>2). Krzywą przekroju jest elipsa k₂, której rzut poziomy k./ schodzi się z podstawą kt walca. Rzut pio-

*.

nowy k/' krzywej przekroju będzie elipsą, a ponieważ między rzutem poziomym i pionowym zachodzi powinowactwo środkowe (ust. 95), więc parze średnic sprzężonych A/ B./, C₂' D/ koła k/ x/H’à odpowiada para średnic sprzę-żonych A₂" B₂" i C₂"D₂" elipsy k₂".

b) Wyznaczyć rzuty przekroju prostego walca eliptycznego płaszczyzną a (ha Va)

(rys. 393). Celem wykreślenia rzutu pionowego walca, czyli rzutu pionowego tworzących, wzdłuż których płaszczyzny styczne prostopadłe do rzutni pionowej stykają się z walcem, a więc celem wyznaczenia tworzących konturowych, wykre-N* ślimy styczne do prostopadłe do osi x. W tym Ci lu społowi-my cięciwę elipsy ku prostopadłą do osi x i połączymy jej środek ze środkiem S elipsy. Otrzymana średnica elipsy przecina ją w punktach Mt i N±, które są rzutami poziomemi tworzący ch konturowych.

Krzywa przekroju jest elipsą, której Nt rzut poziomy k2 schodzi się z podstawą k,. Osi A./B₂' i Ć/D₂' elipsy k/ schodzą się z osiami

Ml

Dl

Dl

Bl

Pr

Pa

Mt

he

\ Mi

Hs

Va

//-

(Cl

7 ! /kl l

A"/

Va.

H"a

H>

Nt" x

a".

f. Î

a¹ M

tld'

Dl

'ci

Hc C"\Dî

ocïcÇ

Rys. 392

e&

BÎ

ki

Di

bl-

Bk

Br

ya,\

Ak

Ar

.ha

kk

C'J y Cr

AlBl i ClDl podstawy k{. Przy pomocy prostej s(s's") znajdziemy punkt S₂"y t. j. rzut pionowy środka elipsy k₂"y a przy pomocy dalszych prostych przyjętych na płaszczyźnie a, średnice sprzężone A₂" ÉJ' i    tejże elipsy.

c)    Wyznaczyć kierunek płaszczyzn, tnących walec eliptyczny wzdłuż kół. Nadajmy walcowi takie położenie, aby jego oś a (a' a") była pionowa (rys. 394), a płaszczyzna przechodząca przez tę oś i przez małą oś elipsy była płaszczyzną czołową (równoległą do rzutni pionowej). Z dowolnego punktu S₂"y prostej a"y

ia»

D'à

A'éXBz

Se-

ci

Fi

Ai\ß?

PL

si

C,J_ SàSé \d, fópr~'ta— fAoé

ha

B'zBi

Rys. 394

zakreślmy koło promieniem równym / dużej półosi elipsy kyy a otrzymane Va punkty C₂", D₂" i E₂"y F₂" połączmy ze sobą. Niechaj (C₂", D₂") = va będzie śladem pionowym pionowo-rzucającej płaszczyzny siecznej a, to odcinek A₂B₂, przechodzący przez punkt S₂ i prostopadły do rzutni pionowej, jest jedną, a odcinek C₂D2 dt\x prostopadły do Ä₂ B.iy drugą osią linji przekroju, powinowatej z elipsą ky. Osi te są równej długości, a więc krzywa, niemi wyznaczona, jest kołem. Z tych samych względów płaszczyzna pionowo-rzucająca ß(7*ßVß^ przecina walec eliptyczny również wzdłuż koła. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzn a i ß przecinają nasz walec wzdłuż kół, a stąd wynika, że na powierzchni walcowej eliptycznej istnieją dwa układy kół.

d)    Wyznaczyć przekrój walca eliptycznego, którego ślad poziomy jest kołem, pionowo-rzucającą płaszczyzną a (haVa). Przekrój walca będzie elipsą k2y której rzut pionowy schodzi się ze śladem Va (rys. 395). Parze średnic sprzężonych AxBy i CXD± w kole kx odpowiada para średnic sprzężonych A₂B2 i C₁D₂ w elipsie k2y powinowatej z kołem k±. Osią powinowactwa jest ślad ha płaszczyzny siecznej, kierunkiem, kierunek tworzących walca. Punkty A₂', B./y C₂ i D₂ otrzymamy, odnosząc punkty A₂"y B₂"y C₂" i D₂" na rzuty poziome od

powiednich tworzących. Proste AiBl i A/B₂' przecinają się w punkcie P{ osi powinowactwa ha, podobnie jak i inne proste łączące pary odpowiadających sobie punk- JLg tów koła kx i spowinowaconej z nim elipsy k₂. Punktom Mt i N₁ odpowiedzą punkty styczności M./ i N./ elipsy k./ z rzutami tworzących konturowych walca.    /

Ce

ay

BÏ

G\D1

Pz

Bk

e) Wyznaczyć przekrój p,-----

Jo

Pa

walca eliptycznego, którego ślad poziomy jest kołem, płaszczyzną a(/zaVa) (rys. 396).

Rys. 395

Wyznaczymy punkt przebicia się B₂ (B₂' B₂") tworzącej konturowej b (b' b") z płaszczyzną a. Punkt ten wraz z osią ha wyznaczają powinowactwo, jakie zachodzi między kołem kt a szukaną elipsą k₂. Znajdziemy parę średnic sprzężonych

n"

AŁ

v7

Vk/b"

sss

Vce

-a"

B7

§L

A"

erg;

'Mg I

'Aźj

y /«

Ai

xii/t

'p

A./ B₂ i C₂'D./ elipsy k./, podobnie jak w zadaniu poprzedniem. Rzut pionowy k₂" elipsy k jest elipsą, której śre-- dnice sprzężone otrzymamy, znajdując punkty A", B₂", C₂" i D₂" na rzutach pionowych odpowiednich tworzących walca.

-----X

'Pi

Di

7Vi\

lk’y

ki

'Mi

Di '

h7 Wp₃

'Hk

f) Wyznaczyć przekrój walca eliptycznego dowolną płaszczyzną. Oś a (a' a") walca (rys. 397) przebija płaszczyznę sieczną a(/zaVa) w punkcie S₂(S₂'S₂"), który wyznacza, wraz z punk-

tem Sx i osią ha, powinowactwo środkowe, zachodzące między śladem kx walca a jego przekrojem k₂(k₂ k₂"). Średnice sprzężone A₂' B₂' i C₂ D₂ elipsy k₂ znajdziemy, podobnie jak w rys. 395 względnie w 396. Średnicy Px Qx, sprzężonej z kierunkiem prostopadłym do osi x, odpowiada na płaszczyźnie a średnica P₂ Q₂, przyczem punkty P₂" i Q₂" są punktami styczności elipsy k₂" z rzutem pionowym tworzących konturowych. Średnicy Mx Nx, sprzężonej z kierunkiem równoległym

:vs

»,■

AS

ki

Pi

CS

'as

Va

Bk

■ys"

X A)" A" SïyPpBÎ CÏ//P" Ni \ QÏ,

/ Ci\

rzutem

V/ P" vj

do rzutu poziomego tworzących walca, odpowie w elipsie k₂ średnica, której punkty końcowe M₂', N₂ są punktami styczności elipsy k₂ z

pf

Hs

<ś'

Li

Ai,

'CS

a,

hec

AS

■P:

//

poziomym tworzących konturowych.

7ri

!/ /

m.

3'

Pr

P*

YBS

Di

' Di

Mi

MS-

P}

'Ul

hy

Ps

Rys. 397

g) Wykreślić ślad pionowy walca eliptycznego, którego ślad poziomy kxi rzuty tworzących konturowych są dane (rys. 398). Między obu śladami walca zachodzi

powinowactwo środkowe, którego osią jest oś rzutów x, jako krawędź płaszczyzn siecznych. Prosta, łącząca ślad pionowy S2 osi a (a'a") walca ze środkiem Sx elipsy kx, jest kierunkiem powinowactwa. Punkty / i II, w których osi elipsy kx przecinają oś powinowactwa x, łączymy z punktem S₂, a na otrzymane proste rzucimy w kierunku powinowactwa wierzchołki Ax, Bx, Cx i Dx. Tym sposobem otrzymamy parę średnic sprzężonych A₂ B₂ i C₂ D₂ szukanego śladu pionowego k2 - walca.

///

///

a/

Va.

/.

X /BI

er

/a'

M,v~-'

\ h: AK

'AT/

NT

.______cć '

Ba

/Ri

7an/

[Ca

Az

Mu

h) Dane są rzuty walca eliptycznego, którego ślad poziomy jest kołem kt (rys. 399).

Wyznaczyć rzuty przekroju tego walca wzdłuż koła, należącego do drugiego układu kół. Przyjmijmy trzecią płaszczyznę rzutów, prostopadłą do rzutni poziomej i równoległą do tworzących walca. Ślad poziomy tej nowej rzutni oznaczyliśmy literą y. Przyjąwszy na osi walca punkt S₂ (S₂ <S₂"), wyznaczmy jego rzut boczny S₂". Prosta S₁

//

ki

nr

■Mi7

Punktom Mt i Nt, w których średnica elipsyklf sprzężona z kierunkiem prostopadłym do osi x, elipsę tę przecina, odpowiedzą na rzutni pionowej punkty styczności M₂ i iV₂ elipsy k₂ z rzutem x pionowym tworzących kontu-rowych.

^2

Iy b" Bi

M’/T

•• /' u;

!/ /!

H? Ifmgf

iki /

\4'b±

Cii

-An,

\ i >

DjV /

/ S"/DT' P"¹

:    /er _

B7>

ka

Da

Ma,

I* n;v\Sz \

7/z

ä’

P’p:

MĄ

'Èrsi

N,}

BprRi

Rys. 398

jest rzutem bocznym osi walca; rzuty boczne tworzących konturowych przejdą przez punkty.4/" i równolegle do a'". Zakreślmy z punktu S koło o promieniu rów-n    nym promieniowi koła k₁

^ i oznaczmy punkty przeje cięcia się tego koła z zarysem walca na rzutni bocznej literami A₂" i B₂". Uważajmy prostą ka=(A₂", B₂") za ślad boczny płaszczyzny siecznej a, prostopadłej do rzutni bocznej, 'ćt to przekrój walca tą płaszczyzną będzie żądanym przekrojem

wzdłuż koła k₂, (porównaj zadanie c w tym ustępie). Każda płaszczyzna równoległa do płaszczyzny a przecina walec wzdłuż koła.

Wyznaczenie osi A₂'B₂' i C₂ D₂ elipsy k₂, jąko rzutu poziomego koła k₂, podobnie jak i średnic sprężonych A₂" B," i C₂"D₂" elipsy k₂", nie nastręcza żadnych trudności i sprowadza się do odniesienia odpowiednich punktów z rzutu bocznego na poziomy i pionowy. Punkty styczności M₂" i N₂" znajdziemy również przy pomocy rzutu bocznego, który podaje ich wysokości, jak nas o tern poucza rysunek.

i) Prosty graniasto słup, którego podstawą jest równoległo-bok, przeciąć taką płaszczyzną, aby przekrój był kwadratem (rys. 400). Rzut poziomy A' B' C D' kwadratu schodzi się

z podstawą gra-niastosłupa, której przekątne są przekątnemi kwadratu. Elipsa, wyznaczona średnicami

fi"

W”

Va

Vp

i«:

:\

I"

m"

Vm

d"

Vm

Va

Vâ:

\bp.

tri

■'yr

nr

d’

sprzężonemi

A! C i B' D',

ĆC°

07

jest rzutem poziomym koła, opisanego na kwadracie.

ha.

’s°

Wyznaczmy w znany sposób (ust. 121 e) osi

tej elipsy, to oś wielka rlF jest poziomą, a więc równoległą do śladu poziomego szukanej płaszczyzny i równą średnicy koła. Oś mała III' IV' wyznacza kierunek linji największego spadu (ust. 25) płaszczyzny siecznej, tnącej graniastosłup w kwadracie.

/iö

Rys. 400

Weźmy pod uwagę płaszczyznę a, której ślad poziomy ha przechodzi przez punkt IV, oczywiście równolegle do osi I' II'. W celu wyznaczenia śladu pionowego

tej płaszczyzny, wyznaczmy rzut pionowy linji spadu, a raczej rzut pionowy S" środka koła, którego rzut poziomy S' jest znany. Ponieważ odcinek S' IV jest rzutem połowy średnicy koła, której długość równa jest odcinkowi /' //', więc wykreślmy trójkąt prostokątny S' S*IV, którego przeciwprostokątna niechaj równą jest połowie dużej osi elipsy, a otrzymamy przyprosto-kątną S'SX, równą wysokości punktu S. W ten sposób otrzymamy punkt S", a także i rzut pionowy S" IV" linji spadu szukanej płaszczyzny a. Ślad pionowy Va przejdzie przez ślad pionowy Vm, prostej poziomo-tworzącej m (m' m"),

dzonej przez punkt S.

Przy pomocy pro-stych

poprowa-

tworzących otrzymamy rzut pionowy A!’ B" C" D" kwadratu. Rzecz zro-

*Vt

va/

DV IV

Di IÎ

A'7/i”

Ah? kl Bi

/y

/y

/y

/y

/y

fB"

Ai

zumiała, że każda płaszczyzna równoległa do a spełnia również żądany warunek, t. j. przecina graniastosłup w kwadracie.

'ii

Bi

het

Rys. 401

Weźmy teraz pod uwagę płaszczyznę ß, przechodzącą przez «S (S' S"), ale tak położoną, że jej ślad poziomy /*ß przechodzi przez punkt III' równolegle do ha, a lin ja spadu ma kierunek przeciwny linji spadu płaszczyzny a. Płaszczyzna ß (7zß Vß) i wszystkie płaszczyzny do niej równoległe przecinają graniastosłup również w kwadracie. Tym sposobem istnieją dwa układy płaszczyzn, rozwiązujących zadanie.

Każdy z tych dwóch układów płaszczyzn przecina walec eliptyczny opisany na danym graniastosłupie wzdłuż kół.

k) Wyznaczyć przekrój walca parabolicznego wzdłuż dwóch tworzących (rys. 401). Równolegle do tworzących walca, prowadzimy prostą 1(1' l"), a przez nią płaszczyzną a(haVa), której

ślad poziomy przecina podstawę walca w punktach / (I I") i II(IIII"). Proste I It i IIII^ rozwiązują zadanie.

138. O punktach przebicia się prostej z walcem. Aby wyznaczyć punkty, w których prosta przebija powierzchnię walcową, poprowadzimy przez tę prostą płaszczyznę, wyznaczymy przekrój walca tą płaszczyzną, a punkty przecięcia się prostej z otrzymaną linją przekroju rozwiązują zadanie. Rysunkowo przedstawi się rozwiązanie zadania najprościej wówczas, gdy płaszczyzna, poprowadzona przez prostą, będzie równoległą do tworzących walca, a więc, gdy przetnie go wzdłuż dwóch tworzących. Tak też z reguły postępujemy.

mr

M" ;

b" I

a«

ha

Na danej prostej m, której punktów przebicia się z walcem szukamy, obierzemy punkt, przez który prowadzimy prostą py równoległą do tworzących walca. Płasz-czyzna y = (m, p), jako równoległa do tworzących walca, przetnie go wzdłuż ~ dwóch tworzących, względnie w równole-głoboku, jeżeli bierzemy pod uwagę także krawędzie płaszczyzn ograniczających walec z płaszczyzną q>. Punkty przecięcia się otrzymanego przekroju walca z prostą m k wią rozwiązanie zadania.

My

Przykłady:

mi

Rys. 402

a) Rys. 402 przedstawia walec obrotowy, o osi pionowej, przebity prostą m(m'm") w punktach M(M'M") i N(N'N").    ?

Ze względu na położenie walca, rzuty poziome punktów przebicia są znane; zadanie ograniczyło się do wyznaczenia rzutów pionowych tych punktów.

b) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m(m' m") z walcem obrotowym, którego oś jest równoległa do rzutni bocznej (rys. 403). Wykreślenie rzutów walca, przy użyciu płaszczyzny bocznej, nie wymaga bliższych wyjaśnień. Prosta p(p'p"), poprowadzona przez punkt P(P' P") prostej m(m'm"), równolegle do tworzących walca, wyznacza wraz z prostą m płaszczyznę cp (7z:p vcpj, która przecina płaszczyznę podstawy a w prostej k(k'k"). Przez punkty 1(1' 1") i 2(22"), w których prosta k przecina podstawę walca, kreślimy tworzące, które przecinają drugą podstawę walca w punktach 1(1' I") i II(II' II").

Prosta m(m'm") przecina prostokąt 7 2/// w punktach M(M' M") i N(N' N"), które są szukanemi punktami przebicia się jej z walcem.

’m”

Lj"

■m

—i—

Cs

y%

p"

Va

|aff

n~z

sVo

A"

C"

/:

1    /'2"f\

S" A"/ N

— V---y —

B"

i«

hI

/ \D" L

X'p \Vk X

iS

R

t...

Q.

RM

I4r;

'C

Ä.....Aj

' r

Rys. 403

139. Rzuty i podział powierzchni stożkowych rzędu

drugiego.

a) W środku 5 koła k (rys. 404), przyjętego na rzutni poziomej i uważanego za ślad powierzchni stożkowej, poprowadźmy prostą pionową a (a' a") i obierzmy na niej dowolny ptmkt W (W' W"). Prosta ł(t'ł"), przechodząca przez punkt W i poruszająca się w ten sposób, że stale przecina kolo k, opisze powierzchnię stożkową, zwaną powierzchnią stożkową obrotową. Prosta a jest osią, prosta t w każdem ze swych położeń tworzącą a punkt W wierzchołkiem tej powierzchni. Każdy punkt tworzącej opisuje podczas jej obrotu koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a każda płaszczyzna* przechodząca przez oś, jest płaszczyzną symetrji tej powierzchni

? stożkowej. W dwóch położeniach, a mianowicie t₁(t₁'tl") i t₂(t₂t₂") poruszająca się tworząca jest równoległą do rzutni pionowej, a płaszczyzna e = (tlf t₂) dzieli powierzchnię stożkową na dwie części. Część powierzchni, leżąca przed płaszczyzną e, jest widoczna, część pozostała, niewidoczna; proste ł± i t2 4L* stanowią więc zarys stożka dla widza, patrzącego z punktu niewłaściwego na rzutnię pionową. Proste t±" i t₂" są zarysem stożka na rzutni pionowej, czyli jego rzutem pionowym.

W”

tu r ja" y?

x Ai/ /fi” lS"

Wu

Zu

Rzut ukośny stożka okrotowego dla y = 45°, a stosunków skróceń 7:¹/a : 1, przedstawia rysunek 405.

Rys. 404

au

Au

__rOu,

45°

Cu

—ßr

Aut

Bu

ku

Du

Rys. 405

\Vf

tol "t

Przyj ąw-szy punkt Su jako rzut ukośny środka koła, poprowadzimy przezeń prostą równoległą do xu i drugą równoległą do y u. Odmierzymy następnie Au Su = Bu Su = r, jeśli r równe jest promieniowi yu koła, jako podstawy stożka. Odmierzywszy Cu Su = Du Su —    , otrzymamy

■a"

ß" x

C"\D"

średnicę elipsy, sprzężoną ze średnicą AUBU, Z punktu Su wykreślimy równoległą do osi zu i odmierzymy Su Wu równe wysokości stożka. Styczne, wykreślone z punktu Wu do elipsy ku, stanowią rzut ukośny tworzących konturowych stożka.    #

\B

AI tl \W> té \b

r «y-śf—hp

7r

b) W środku 5 elipsy k (rys. 406), uważanej za kierownicę powierzchni stożkowej, poprowadzimy prostą pionową a (a' a") i obierzemy na niej dowolny punkt W (W'W"). Proste, łączące punkt W z wszystkimi punktami elipsy, utworzą powierzchnię stożkową, która posiada trzy płaszczyzny symetrji prostokątnej, a mian.: płaszczyznę przechodzącą

przez prostą a i małą oś elipsy, płaszczyznę przechodzącą przez prostą a i dużą oś elipsy, i wreszcie płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez wierzchołek W. Prosta a jest jedną z trzech osi stożka; dwie dalsze przechodzą przez W, równolegle do osi AB i CD elipsy k. Tworzące tt i t₂, leżące na płaszczyźnie czołowej, są tworzącemi konturowemi powierzchni stożkowej, proste tt" i t₂" stanowią zarys powierzchni na rzutni pionowej.

c) Tak więc rozróżniać będziemy dwie powierzchnie stożkowe rzędu drugiego: 1) powierzchnię stożkową obrotową, zwaną krótko stożkiem obrotowym i 2) powierzchnię stożkową rzędu drugiego nieobrotową, którą nazywać będziemy zawsze w skróceniu stożkiem. Słowo „stożek“ odnosić się więc będzie zawsze do powierzchni rzędu drugiego, posiadającej trzy płaszczyzny symetrji prostokątnej (rys. 406); „stożek obrotowy“ wywoła zawsze wyobrażenie powierzchni stożkowej rzędu drugiego, posiadającej nieograniczoną ilość płaszczyzn symetrji prostokątnej, a powstałej przez obrót prostej około osi, którą przecina. Podobnie, jak dla powierzchni walcowych rzędu drugiego, jest ta różnica w ilości płaszczyzn symetrji charakterystyczną także i dla powierzchni stożkowych rzędu drugiego.

140. Przekroje stożków płaszczyznami. Między śladem poziomym (podstawą) stożka, czy też stożka obrotowego, a jego przekrojem dowolną płaszczyzną zachodzi kolineacja, której środkiem jest wierzchołek stożka, osią ślad poziomy płaszczyzny siecznej, a promieniami kolineacji tworzące stożka. Każdemu punktowi śladu poziomego stożka odpowiada jeden punkt krzywej przekroju, leżący z nim na jednej tworzącej. Ponieważ linjami, odpowiadającemi kolineacyjnie kołu lub elipsie są: elipsa, hiperbola lub parabola, więc zarówno stożek obrotowy jak i stożek przeciąć można wzdłuż elipsy, hiperboli lub paraboli. W szczególności gdy płaszczyzna sieczna przecina wszystkie tworzące stożka w punktach właściwych, czyli, gdy nie jest równoległą do żadnej z nich, to otrzymana linja przekroju jest elipsą (rys. 364); gdy płaszczyzna sieczna jest równoległą do dwóch tworzących stożka, to krzywa przekroju posiada dwa punkty niewłaściwe, a więc jest hiperbolą (rys. 366); gdy wreszcie płaszczyzna sieczna jest równoległą do jednej tworzącej stożka, to linja przekroju posiada jeden punkt niewłaściwy i jest parabolą (rys. 368).

Jeżeli prosta, łącząca środek elipsy lub hiperboli, które stanowią podstawę stożka, z wierzchołkiem tego stożka, jest prostopadłą do płaszczyzny podstawy, to stożek nosi nazwę prostego, w odróżnieniu od ukośnego.

Z powyższego wynika też wprost, że zależnie od położenia stożka obrotowego, czy też stożka, względem płaszczyzn rzutów, ślady ich mogą być elipsami, hiperbolami lub parabolami, że zatem krzywa, będąca śladem, podstawą, względnie kierownicą stożka, powierzchni tej bynajmniej nie określa i nie charakteryzuje. Elipsa może być śladem poziomym zarówno stożka jak i stożka obrotowego, podobnie jak koło, elipsa i parabola. O tern, czy mamy przed sobą stożek obrotowy, czy też stożek, stanowi nie rodzaj krzywej, będącej podstawą stożka, ale jedynie i wyłącznie ilość występujących tam płaszczyzn symetrji prostokątnej. Jeże’i ilość ta jest nieograniczona, to stożek jest obrotowy, a płaszczyzny prostopadłe do osi przecinają go wzdłuż kół. Jeżeli badana powierzchnia stożkowa posiada tych płaszczyzn symetrji tylko trzy, to jest stożkiem w znaczeniu odrębnem od stożka obrotowego. Sposób umożliwiający rozpoznanie stożka obrutowego, którego rzuty są dane, poznamy przy sposobności omawiania powierzchni obrotowych.

Z tego, cośmy dotąd powiedzieli o powierzchni stożkowej rzędu drugiego, wynika, że stożek ten może być prosty, mając za podstawę zarówno elipsę jak i hiperbolę. Stożek prosty, którego podstawą jest koło, jest stożkiem obrotowym.

Płaszczyzny, przechodzące przez wierzchołek stożka, podzielić się dadzą na trzy grupy. Do jednej raie ą te, które, prócz wierzchołka, nie posiadają ze stożkiem żadnych punktów ani linij wspólnych; drugą grupę stanowią płaszczyzny przecinające stożek wzdłuż dwóch tworzących, względnie — o ile bierzemy pod uwagę część powierzchni stożkowej, zawartej między wierzchołkiem a podstawą — w trójkącie. Trzecią grupę stanowią płaszczyzny, leżące na granicy obu wymienionych grup i posiadające po jednej tworzącej wspólnej ze stużkiem, czyli płaszczyzny styczne (ust. 134).

Ponieważ rzut dwóch utworów (układów) płaskich środkowo kolineacyjnych, na dowolną płaszczyznę i w dowolnym kierunku, daje dwa utwory (układy) środkowo kolineacyjne, złączone na tej płaszczyźnie rzutów (ust. 101), więc między rzutami

poziomemi dwóch przekrojów stożka zachodzi koüneacja, której środkiem jest rzut poziomy wierzchołka stożka, a osią rzut poziomy krawędzi obu płaszczyzn siecznych. Tq samo odnosi się do rzutu pionowego tych dwóch przekrojów stożka; osią kolineacji jest rzut pionowy krawędzi obu płaszczyzn siecznych, a środkiem rzut pionowy wierzchołka stożka. Między śladem poziomym i pionowym stożka zachodzi koüneacja, k'orej osią jest oś rzutów x, a środkiem wierzchołek stożka.

Podobnie jak przy walcu, polega wyznaczenie przekroju stożka daną płaszczyzną na wykreśleniu rzutów krzywej przekroju i na wynalezieniu punktów styczności otrzymanych krzywych z zarysami stożka na obu rzutniach.

141. Przekroje powierzchni stożkowych wzdłuż dwóch tworzących. Wiadomo z poprzedniego ustępu, że pewna grupa płaszczyzn, przechodzących przez wierzchołek stożka, przecina go wzdłuż dwóch tworzących. Każda z tych płaszczyzn przetnie ślad, względnie podstawę stożka, w dwóch punktach, które połączone z wierzchołkiem dają owe dwie tworzące przekroju.

Tok rozwiązania zadania jest więc następujący: przez wierzchołek stożka prowadzimy prostą, a przez nią płaszczyznę, taką jednak, której krawędź z płaszczyzną podstawy przecina podstawę (ślad) w dwóch punktach. Proste, łączące te punkty z wierzchołkiem stożka, rozwiązują zadanie.

Va

W P” /

rt

ryP

Przykłady.

B,

a)    Stożek, którego ślad poziomy jest elipsą (rys. 407), przecięliśmy płaszczyzną a(7zaVa), przechodzącą przez prostą p(p'p"), którą to prostą * mZ /a" ßni ka W i poprowadziliśmy przez wierzchołek W (W'W"). Proste A W i BW są tworzącemi,- wzdłuż których płasz-^ czyzna a przecina stożek.

'ha

P'/

b)    Weźmy pod uwagę stożek obrotowy, którego wierzchołek leży na rzutni poziomej (rys. 408). Płasz- , czyzna a(haVa), przechodząca przez / wierzchołek, przecina płaszczyznę

podstawy stożka w prostej m (m' m"), a koło k (kr k") w punktach A (A' A") i B (B' B"). Proste A W i B W rozwiązuje zadanie.

V M"B" A" i A" N" vA\ m"

Ve

■Vm

Xa W

A'

Oj W

M’\

142. Punkty przebicia się prostej z powierzchnią stożkową znajdziemy, podobnie jak punkty przebi-- cia się prostej z walcem (ust. 138), więc za pośrednictwem płaszczyzny, przechod?ącej przez prostą i przecina-\ jącej powierzchnię stożkową — o ile

aj\

--T możności — wzdłuż tworzących. Po-

/rr~7

\nv

Rys. 408

j stąpimy więc w sposób następujący: / Przez daną prostą i wierzchołek po-wierzchni poprowadzimy płaszczyznę, wyznaczymy tworzące, wzdłuż których płaszczyzna ta przecina powierzchnię stożkową, a punkty przecięcia się tych tworzących z prostą są szukanymi punktami.

Przykłady.

Va

Py

Yp

P"

rN"

a)    Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (m' m") ze stożkiem obrotowym (rys. 409). Pozioma prosta p (p' p"), przechodząca przez wierzchołek stożka i przecinająca daną prostą m (m! m") w punkcie P (P P'), wyznacza z tą ostatnią płaszczyznę a (ha Va), która przecina stożek wzdłuż tworzących A W i BW.

W»

Vm Xa Hm/HA”

sPf

; ! /A\ :    \

Punkty ĄI (M' M") i N (Nr N") rozwiązują zadanie.

aK"’

w¹

Oä-

V/V'

m<

A/,« X

b)    Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (m' m)" ze stożkiem, który styka się wzdłuż je- yvm Hm dnej tworzącej z rzutnią poziomą (rys. 410). Podstawa stożka, elipsa k (k' k"), przyjęta jest na płaszczyźnie (haVa) i styka się ze śladem ha w punkcie C. Przez wierzchołek stożka poprowadziliśmy prostą n(n' n") równoległą

do prostej m(m'm") i wyznaczyliśmy ślady płaszczyzny y=(m,n). Krawędź e(e' e") płaszczyzn cc i cp przecina elipsę M k (k! k") w punk-^ tach P (F F') i

Q (Q' Q"),

wraz z wierzchołkiem W wyznaczają przekrój stożka płaszczyzną cp. Boki PW i PQ, trójkąta PQW, przecinają się z prostą m w punktach M(M' M") i N(N'N"), stanowiących rozwiązanie zadania.

143. Przykłady płaszczyzn stycznych do powierzchni stożkowych i walcowych. Z określenia płaszczyzny styczne

* M"

s.

Me

D"

Q"

Va .

Vb

C ---.......pi’'

WÎ He

[\ M'

Hm '

Va,

e« \\

:\

Ve C"

b/

B'

które

iQ’

ha

D'A<1N' '

\ k'

iV

/ e>

ki'

h‘f

A’ jpr

He

Rys. 410

/ kl

Va

Vp,

FL

w-

/tr\

U    VpW/M’ y! m- \B

,m

AV MVS‘

] "vit

/VV

' /|/a” ?/' F

// /

'syjXa. B"

mn Vp_x

Xs.

<A

b\

fs

5:

'7N!

M'

[/

‘A’ /

hcc

/ k!

Rys. 411

Rys. 412

do stożka, podanego w ust. 134, wynika, że płaszczyzna styczna w punkcie P (F P") do stożka obrotowego (rys. 411)

jest styczną w każdym punkcie tworzącej t (f t"), na której leży punkt P. Styczna m (m m") w punkcie M śladu poziomego k stożka obrotowego, wyznacza wraz z tworzącą t żądaną płaszczyznę styczną a. Ślad poziomy tej płaszczyzny schodzi się z prostą m; w celu wyznaczenia śladu pionowego, użyliśmy pośrednictwa prostej poziomej p (pr p"), przechodzącej przez

m" D"

kn

punkt P(P' P"), równolegle do prostej m.

f-

A'! \

\M"

;a"

Mm Sm Am kayLB"'

c" r

l5'

v_.

-~B'-

Rys. 412 przedstawia rzuty walca eliptycznego B" i zupełnie z poprzednią analogiczną konstrukcję _a śladów płaszczyzny sty-ha cznej do walca w punkcie ;f- P(P P"), przyjętym na tworzącej / (i' t").

Dm

,am

\

/rrr W""

,hcp

Rys. 413

Przy pomocy rzutni bocznej, obróconej około osi y na rzutnię poziomą (rys. 413), wykreśliliśmy rzuty stożka obrotowego, stykającego się z rzutnią poziomą wzdłuż tworzącej prostopadłej do osi x. Na stożku tym obraliśmy tworzącą t (t t") i przez nią poprowadzili płaszczyznę styczną cp (7zcp Vy) do stożka. Płaszczyzna cp wyznaczona jest tworzącą t i styczną m (m' m") do podstawy stożka k (k' k") w punkcie M (M M").

144. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż elips.

a) Stożek obrotowy, o osi pionowej, przeciąty jest płaszczyzną pionowo-rzucającą a(haVa); wykreślić rzuty linji przekroju (rys. 414). Miedzy śladem kv stożka a rzutem poziomym elipsy przekroju k₂ zachodzi — jak wiemy — kolineacja, której środkiem jest rzut poziomy wierzchołka stożka, a osią ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej a. Ślad poziomy he płaszczyzny e, poprowadzonej przez wierzchołek równolegle do płaszczyzny siecznej, jest osią wzajemną zt. Osi Ä₂ B ./ i Ć₂' D,' elipsy k₂ znajdziemy w sposób, omówiony szczegółowo w ust. 125 pkt. a), rys. 364. Więc: z punktu W' kreślimy prostopadłą

dwa dalsze wierzchołki elipsy, znajdziemy w sposób następujący: Przez prostą p i wierzchołek W stożka poprowadzimy płaszczyznę y (/zy Vy), która przetnie stożek wzdłuż dwóch tworzących, a mianowicie C\ W i D₁W. Tworzące te przetną prostą p w szukanych punktach C₂ (C₂ C₂") i D₂ (D./ D₂"). Do tego samego wyniku dojdziemy, prowadząc przez prostą p płaszczyznę poziomą p, która przetnie stożek wzdłuż koła o promieniu r. Punkty przecięcia się tego koła z prostą p są punktami C₂ (C'₂ C₂") i D₂ (D₂r D₂").

b) Stożek obrotowy o osi pionowej przeciąć dowolną płaszczyzną a. Przez przyjęcie trzeciej płaszczyzny rzutów, prosto-

W"

Va.

Vc.

V.

C”___Cljć /

m/\n

m*.

Al a„|

la.

\H7n

vć

vNr-

kt

B,

Al

nr MĄ

Hm'

\ ; /__: : )

ClX^kï^S Bl

/ \ : ay- \

/ \L-W\

yy

iNi

■bZ

Al

Dl

Hb-

A?

'At

\am

V«

r.

1.

ha A;

Bi

kg

lo zlf a z punktu Zv styczne do kx. Trapezowi równoramien-îemu li2i3l4l, opisanemu na kole kL, odpowiada w układzie :lipsy k₂ prostokąt 1₂ 2% 3./ 4/, który otrzymamy, prowadząc >rzez punkty Py i P₂ proste równoległe do Z y B± i rzucając îa nie z punktu W' wierzchołki trapezu. Punktom Au BCy i Dy

z»

he

Pe,

P,

Ah

A"

c.

Va

Dl

Cl/Se

'kl

/f

Vit

W"

[Bi

/vr|

/am 1

P'/Sz

'va

Be

3i

'kl

Ah

J.-1-4

bT

X—

A",

CÎDÎ

X_

²JS/ I \ ! i / ' P 2Z M Ci 14

r

Ai AziSA Sér<^k'\Bé \ ^

ki I

Di

Bi

a,\Æ

Ci

kz

Ci

si

B'e

[Br

or

ki

Di

De

\P'

'kt

ha,

hy

ha

4i

Rys. 414

Rys. 415

odpowiedzą wierzchołki A₂\ B₂, C₂D₂', elipsy k₂. Rzut pionowy k₂" elipsy przekroju leży na śladzie pionowym płaszczyzny siecznej.

Inne rozwiązanie tego samego zadania podaje rys. 415. Dużą oś A₂ B₂ elipsy k₂ otrzymamy wprost z rzutu pionowego. Aby wyznaczyć oś małą tej elipsy, poprowadźmy przez środek S₂ (S₂ S₂") odcinka A₂B₂, a więc przez środek S2 elipsy k₂, prostopadłą p (p' p") do rzutni pionowej i wyznaczmy punkty przebicia się jej ze stożkiem. Punkty te, stanowiące padłej do płaszczyzny siecznej (rys. 416) i wyznaczenie trzeciego rzutu stożka, sprowadzimy zadanie do poprzedniego. Rzut pionowy elipsy przekroju k₂ jest elipsą k₂'\ której para średnic sprzężonych A₂" B₂" i C₂" D₂" odpowiada osiom A₂' B₂' i C₂ D₂ elipsy k₂. Przechodząca przez oś stożka czołowa płaszczyzna y przecina płaszczyznę a w prostej m (m' m"). Punkty przecięcia się M₂" i N₂" prostej m" z rzutem pionowym stożka, są punktami styczności elipsy k₂" z tworzącemi konturowemi na rzutni pionowej.

Drugi sposób rozwiązania zadania polegać będzie na zastosowaniu związków kolineacji środkowej, jaka zachodzi mię-

ii

>S

St:=

i?

W\ Ml

A'

ht

h,

e'

n<

Ci

Bi

Tir \ Ti

Td~

Ci

Bk

Ci

Hrrh

\Mi T \ 'A

m’

Ni

Pi

Zi

\Ai

Dk

'ki

D,

Rys. 417

dzy podstawą (śladem poziomym) a przekrojem stożka (rys. 417). Ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej jest osią kolineacji, a ślad poziomy he płaszczyzny, poprowadzonej przez wierzchołek W, równolegle do płaszczyzny siecznej, osią wzajemną zlf koli-

neacji środkowej dwóch układów płaskich, złączonych zapomocą rzutu prostokątnego na płaszczyźnie poziomej rzutów. Punkt W jest środkiem tej kolineacji. Rozwiązanie zadania nie nastręczy zresztą żadnych nowych trudności. Z punktu W wykreślimy prostopadłą do zl} a z punktu Zx styczne do koła kt. Cięciwie styczności C₁Di w kole odpowie oś C₂ D₂ elipsy k./ a średnicy AtB± oś A₂'B₂' tej elipsy. Prostej clt łączącej punkty Bx i Cx koła klt odpowiada w układzie elipsy k₂ prosta c2> przechodząca przez punkt Pj,równolegle do prostej W' 7\. Punkty Bx i Cj, rzucone na c₂ z punktu W', wyznaczają wierzchołki B₂ i C₂ elipsy k₂ . Ponieważ cięciwa Cx Dx jest równoległą do osi kolineacji ha=p, więc oś C₂ D₂ elipsy k₂ będzie równoległą do cięciwy Ct Dt. Znając środek S₂' elipsy, odpowia-wiadający punktowi Sx i wierzchołki B₂ C/, otrzymamy dwa dalsze wierzchołki elipsy k₂\ a mianowicie A₂ i D₂ , odmierzając A₂ S₂ = B₂ S₂ i D₂ S₂ = C₂ S₂. Rzut pionowy punktów A₂, B₂, C₂, D₂ i S₂ znajdziemy za pośrednictwem prostych tworzących płaszczyzny siecznej, otrzymując parę średnic sprzężonych, wyznaczających elipsę k₂". Krawędź m(m' m")y płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny czołowej, przechodzącej przez wierzchołek stożka, przecina tworzące konturowe w punktach M₂ i N₂, których rzuty pionowe M₂" i N₂" są punktami styczności elipsy k₂" z zarysem stożka na rzutni pionowej.

c) Wyznaczyć rzuty elipsy, wzdłuż której płaszczyzna a (ha Va) przecina stożek (rys. 418). Koło, jako ślad poziomy stożka i rzuty wierzchołka są dane. Podobnie jak w zadaniu poprzedniem, posłużymy się i tu związkiem kolineacji środkowej, łączącej ślad i przekrój stożka. Ślad poziomy he, płaszczyzny e, poprowadzonej przez wierzchołek stożka równolegle do płaszczyzny siecznej a, jest osią wzajemną zx. Ze środka Ox koła k± wykreślimy prostopadłą do osi zx, a z punktu Zx styczne do kx. Równoramiennemu trapezowi lx 2± 3X 4±. opisanemu na kole k± i stykającemu się z nim w punktach Alt Bx, CX i Dx, odpowie w układzie elipsy przekroju k₂ równoległobok, opisany na tej elipsie i styczny do niej w punktach A./, B₂, C₂\D₂. Odcinki A₂'B₂ i Ć₂D₂, odpowiadające średnicy AXBX i cięciwie styczności CxDlf stanowią parę średnic sprzężonych elipsy k₂.

Punkty M₂" i    w których elipsa k₂" styka się z rzu

Rzut pionowy elipsy k₂ jest elipsą k₂", której średnice A₂" B₂" i C₂" D₂" są rzutami pionowemi średnic sprzężonych elipsy k₂".

tem pionowym tworzących konturowych, znajdziemy w sposób następujący: Wykreśliwszy proste MtW' i Nt W', t. j. rzuty poziome tworzących konturowych, znajdziemy punkty M₂ i N₂, odpowiadające kolineacyjnie punktom Mt i Nit a będące punktami elipsy k/. W rys. 418 postąpiliśmy w ten sposób, że

W"

Vt>.

Va,

bl

Bk'

Vc

3t

Al

At

Aą,

PÎ// Vń

Mi

N{_

A.

P4

he'

hi

Ci.

ßi.

i;

Ps

Ca.

Mi

Zi

■ Si . -, W

K w IM \ap.    'j

W    /

4Ś Iki

Al

'Wz

Za”

Pi

fa

4i

Si

Di

Rys. 418

połączywszy punkt Nl z CŁ, znaleźliśmy tę prostą w układzie elipsy, jako prostą P₄C₂ a na niej szukany punkt N./. Prostej MlNl odpowiada w układzie elipsy prosta PtN₂', przecinająca promień W' w drugim szukanym punkcie, t. j. M₂. Proste odnoszące wyznaczą na rzucie pionowym stożka żądane punkty M₂" i N₂".

d) Wykreślić rzuty elipsy, wzdłuż której płaszczyzna ß (7zß Vß) przecina stożek, którego podstawa (koło) leży na płaszczyźnie poziomej a (rys. 419), a wierzchołek na rzutni poziomej. Krawędź p (p' p") płaszczyzn a i ß jest osią, a krawędź zL (z/ zy") płaszczyzny a i płaszczyzny s, przechodzącej przez wierzchołek W równolegle do płaszczyzny ß, osią wzajemną kolineacji, jaka

Ni

Vs

pn Mp/ \ \Qf>

iÔÎ R”/ j kJ

Zî

Ma

Ä8

Xß VàWpiVc

\zi

z\r

Mi

\v\\'

'    307'

Bi

Z}

N’Ai

A'2

KOI

p\\

Ti

Âi'J?

Sz't

Aß

P?

rr \he

Rys. 419

zachodzi między kołem ky (ky kx") jako podstawą, a elipsą k₂ (k₂ k₂") jako przekrojem stożka. Średnice sprzężone A₂B2 i C₂ D₂ elipsy k₂ i średnice sprzężone A₂"B₂"' i C₂"D2 elipsy k₂", a także i punkt M₂" znajdziemy w ten sam sposób, jak w rys. 418.

145. Kołowe przekroje stożka. Koło kt o środku Ox (rys. 420) uważajmy za ślad poziomy, a punkt W (W' W") za wierzchołek stożka, przyczem niechaj prosta W jest równoległą do rzutni pionowej. Czołowa płaszczyzna e, przechodząca • ~

W”

przez prostą 0± W, dzieli stożek na dwie części, symetryczne względem tej płaszczyzny i przecina go wzdłuż tworzących konturowych WAt i WBl. Wykreślmy dwusieczną a (a' a") tych tworzących, poprowadźmy przez nią pionowo-rzucającą płaszczyznę cp (7zcp Vq>) i wyznaczmy tworzące CŁ W i D± W, wzdłuż których płaszczyzna ta przecina stożek.

Płaszczyzna cp jest drugą płaszczyzną symetrji naszego stożka.

Vcc

W/

'ar

Ay

Bz

Bi

QÙM

mmi

Di

\Oz

Ci

A”z

Pionowo - rzucająca płaszczyzna a (ha Va), prostopadła do prostej a (a' a"), przetnie stożek wzdłuż eli- -M* psy, której środkiem jest punkt przebicia się S(S' S") prostej a z płaszczyzną a.

TY'

<3!_M.sj B’\NW he

Osi AB i CD tej elipsy leżą na prostych przecięcia się płaszczyzn e i cp z płaszczyzną sieczną a.

57

Oi

ha

Mi

Ar

\Di

Część powierzchni stożko- ^¹\ wej, zawarta między przekrojem płaszczyzną a a wierzchołkiem, jest stożkiem prostym (ust. 140).

h?

hvf

Rys. 420

Wykreślmy z punktów A” i Bt" prostopadłe do prostej a" i oznaczmy punkty przecięcia się ich z prostemi W" Bt", względnie W" At" literami A₂" i B₂". Połączmy punkty A₂"iB₂" prostą, a przez nią poprowadźmy pionowo rzucającą płaszczyznę ty (hy v<\r). Przekrój stożka tą płaszczyzną będzie linją przystającą do śladu poziomego stożka, gdyż między obu temi przekrojami zachodzi symetrja prostokątna ze względu na płaszczyznę cp, jako płaszczyznę symetrji. Przekrój więc stożka płaszczyzną ty jest kołem. Każda płaszczyzna równoległa do ty przecina stożek wzdłuż koła, podobnie jak płaszczyzny poziome. W ten sposób wykazaliśmy, że powierzchnią stożkową przeciąć można dwoma układami płaszczyzn równoległych wzdłuż kół.

Fakt istnienia dwóch układów kół na powierzchni stożkowej rzędu drugiego, wyróżnia ją od stożka obrotowego, na którym znajduje się tylko jeden układ kół, a to mianowicie na płaszczyznach prostopadłych do osi tego stożka.

146. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż hiperbol.

\\tl

a) Stożek obrotowy o osi pionowej (rys. 421) przeciąć płaszczyzną poziomo-rzucającą a (ha va). Płaszczyzna e (h& ve ), przechodząca przez oś stożka równolegle do płaszczyzny siecznej, przecina go wzdłuż tworzących

A\ an\

V<p

'cl

Ve Va

(V tn i t₂ (u t₂").

; il/

kl

— W"j

/    //, qh \

2"

a"/ / Id Hv\

DiMBi

2L

fiel

jór

pr/

D'z

ki

Pu

h/Hd

y \di

hs

/a’Kć/B'z t'Z s&

Bi

Ai\

"yRi

lęk

Cr

dr

hip

he/ hcc/Hc

Rys. 421

jest więc wierzchołkiem hiper-

//

Stąd więc, płaszczyzna sieczna a, jako równoległa do tych dwóch tworzących stożka, przecina go wzdłuż krzywej rzędu drugiego, posiadającej dwa punkty niewła-Xa ściwe, a więc wzdłuż hiperboli. Płaszczyzna cpla przecina tę ostatnią w prostej c (ć c"), a stożek wzdłuż tworzących PlW\R₁ W. Punkty prże-x cięcia się P₂ (P₂' P₂") i P₂ (R₂' R₂") tych tworzących z prostą c są punktami przebicia się tej prostej ze stożkiem, a zarazem wierzchołkami hiperboli k₂(k₂ k₂"). Środek S₂ odcinka P₂R₂ jest środkiem hiperboli k₂, środek S₂" odcinka P₂"R2 boli k₂". Płaszczyzny y i ó, styczne do stożka wzdłuż tworzących t₁ i t₂, przecinają płaszczyznę a w prostych c₂ (c₂ c₂") i d₂ (d₂ d₂")y które są równoległe do tworzących t₂ i t2> przechodzą przez punkt S₂ i są asymptotami hiperboli k₂.

Punkty przecięcia się 1 i 2 śladu ha z kołem kl są punktami hiperboli k₂, których dalsze punkty znajdziemy w sposób poznany w ust. 127 pkt. d. Płaszczyzna a przecina płaszczyznę czołową, przechodzącą przez oś stożka, w prostej pionowej, która wyznacza na tworzących konturowych punkty A₂ (A₂ A₂") i B₂ (B₂ B₂"). W punktach tych styka się hiperbola z tworzącemu konturowemi stożka.

b) Stożek obrotowy o osi pionowej przeciąć wzdłuż hiperboli płaszczyzną nachyloną do obu rzutni (rys. 422). Przez

JL

Vm

3?J_

T"

a" rrr

<7 \

| kl^'

/A tr

s?

Vos

Ve,

ca

/S

S"

Vw

I'

W”

W"

GO

X.

n”.

Vi

Vm

r/WlHc

y£\bl \a\tz \

Bl R"

#•

₂"

Ni'

/?

s\ hè\mi

W'

ki

A\^K\

Air\

\ts

Ri

L\\

hir

Ha,

J\

n>

Ni

“7

/Cr.

Pi

h<p

\jfj1

ßi“W> flś“' V;

4'

Rys. 422

wierzchołek stożka poprowadzona płaszczyzna e (he Ve), przecina go wzdłuż tworzących ti(t₁'t₁") i t₂(t₂ t₂')\ płaszczyzna a, równoległa do płaszczyzny e, przetnie stożek wzdłuż hiperboli k₂ (k₂ ' k₂ "). Płaszczyzna cp, przechodząca przez oś stożka

i prostopadła do płaszczyzny a, przecina stożek wzdłuż tworzących Pt W i /?! W, a płaszczyznę a w prostej c (c' c"), która jest, podobnie jak w rys. 421, osią symetrji krzywej przekroju. W szczególności rzut poziomy ć jest osią symetrji prostokątnej, a więc osią hiperboli k₂\ prosta zaś c" osią symetrji ukośnej hiperboli k₂". Kierunek tej symetrji ukośnej jest równoległy do osi rzutów x. Punkty przecięcia się P2 (P₂ P2,") ¹ R2    R2") prostej c (cf c") z tworzącemi

WP± i WRtJ są punktami hiperboli k2y przyczem punkty P₂ i P₂ są wierzchołkami hiperboli k./. Asymptoty hiperboli k₂ (U₂ k₂") znajdziemy przy pomocy związków kolineacji, zachodzących między śladem poziomym kl stożka, a jego przekrojem płaszczyzną a. Ślad ha jest osią kolineacji, ślad he osią wzajemną z± (porównaj rys. 366), a punkt W środkiem kolineacji dwóch układów płaskich (płaszczyzny a i rzutni poziomej), złączonych zapomocą rzutu prostokątnego na rzutni poziomej.

Stycznym at i b± w punktach Al i koła kt odpowiedzą asymptoty a₂ i b₂ hiperboli k₂\ przechodzące przez punkty Ha i Hb, równolegle do promieni txr i t₂. Punkt S₂', w którym przecinają się asymptoty a₂ i b₂, jest środkiem hiperboli k₂\ a punkt S₂ \ leżący na prostej c" i będący środkiem odcinka P₂" P₂", środkiem hiperboli k₂". Asymptoty a₂" i b₂" tej ostatniej przechodzą przez punkty Ha" i Hb'\ równolegle do /₁" i t₂". Wykreślmy jeszcze krawędź m (m' m") płaszczyzn a i y, to punkty 3 (3' 3") i 4 (4' 4") — podobnie jak 1 (1 1") i 2(2 2") — są punktami hiperboli k₂ (k₂ k₂"). Wykreśliwszy rzuty hiperboli k₂, wyznaczymy jeszcze punkty styczności hiperboli k₂" z tworzącemi konturowemi stożka tak, jak to uczyniliśmy w rys. 417. Szukane punkty są punktami przecięcia się rzutu pionowego n'\ krawędzi n płaszczyzn a i jr, z tworzącemi konturowemi stożka na rzutni pionowej. W fia-szym przykładzie płaszczyzna Jt przechodzi przez punkt 1, przez który to punkt przejdzie też i krawędź n. Wobec tego punkt 1" jest jednym, a punkt N₂" drugim punktem styczności hiperboli k₂" z zarysem stożka na rzutni pionowej.

Inne rozwiązanie powyższego zadania polegałoby na wprowadzeniu trzeciej rzutni, pros'opadłej do płaszczyzny siecznej. Tym sposobem — podobnie jak w przypadku przekroju stożka wzdłuż elipsy (rys. 416) — sprowadzilibyśmy zadanie do poprzedniego.

c) Naśrubek. Jako przykład przekrojów stożka wzdłuż hiperbol posłużyć może znany powszechnie element maszynowy,. naśrubek (rys. 423), który spotykamy wykonany z żelaza, mosiądzu lub niklu. Geometrycznie wyobrazić sobie możemy powstanie naśrubka w ten sposób, że dwa stożki obrotowe o wspólnej kierownicy i o kątach wierzchołkowych, równych

S”

/i'

✓'S

Sm

's]

'S

V?

A"

Am

i™

Bm

O” \

\/

ki

n/

\/

■f

II >

«■

Rys. 423

120u, przecięte są sześcioma płaszczyznami równoległemi do osi stożka, a tworzącemi umiarowy grania.stosłup sześciościenny. Następnie stożki te ograniczono dwiema płaszczyznami prosto-padlemi do osi. Na rys. 423, którego odczytanie i odtworzenie przebiegu konstrukcji pozostawiamy czytelnikowi, narysowaliśmy też rzut ukośny naśrubka, a to dla cp = 30", a dla stosunków skróceń x : y : z = 1: ¹lz : 1.

d) Stożek, którego ślad poziomy kt jest elipsą, a który ograniczony jest ponadto przekrojem poziomą płaszczyzną \, przeciąć wzdłuż hiperboli (rys. 4241. Zadanie rozwiązaliśmy przy pomocy związków kolineacji środkowej tak, jak rys. 422. Stycznym ax i bx do elipsy kx w punktach Ax i Bn w której oś wzajemna zx = /ze elipsę tę przecięła, odpowiadają asymptoty tf₂ (ß₂/ a2,") i b₂ (b* b₂'j hiperboli przekroju k₂ (k₂ k₂"). Wyznaczmy średnicę MXNX elipsy klt sprzężoną z kierunkiem prostopadłym do osi x i średnicę M'N' elipsy klf sprzężoną

z tym samym kierunkiem, to prosta TTv=n jest krawędzią płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny, przechodzącej przez

N" Mm 3" T"0" 4" m" M"

n" L

va

ve

ys

X yw/ 7/u/

/yy/;J \

/,

//

//

7Æ

A"

— ytlWW: *"\ V*\B"

,ha \he : \S'

\ \

Mm \N"

M'

ki

?'/

aT

\M'

z;

a>

Mi\h

/    O'

«Y;

4'

kU

hv

bi

mr

Bi

ÆKHb à\

B’ÿf \p as\z,

Hys. 424

//

i N₂", w których prosta n"

średnice MN i Mj Ń±. Punkty M2 przecina proste Mt"M" i N±"N", są punktami styczności hiperboli k₂" z zarysem stożka na rzutni pionowej.

147. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż parabol.

a) Stożek obrotowy przeciąć wzdłuż paraboli płaszczyzną rzucającą. Płaszczyzna sieczna musi być równoległą do jednej. tworzącej stożka, a mianowicie do jednej z dwóch tworzących konturowych. W przypadku, przedstawionym na rys. 425, poprowadziliśmy płaszczyznę sieczną a (ha Va) równolegle do tworzącej t (f i"). Punkt A₂ (A₂ A₂") jest wierzchołkiem, a punkty B₁(Bl'Êl")i C₁ (C/ C±") punktami paraboli k₂ (k₂k₂"). Oś s' paraboli k₂ schodzi się z prostą t', a dalsze punkty znajdziemy przy pomocy konstrukcji, poznanej w ust. 127. pkt. f.

łuku koła równa jest długości obwodu koła k, które stanowi podstawę stożka. Podzieliwszy więc ćwiartkę AB koła k np. na cztery równe części, przeniesiemy je na koło zakreślone promieniem t, a otrzymany tam łuk AB przeniesiemy jeszcze trzykrotnie. Tak tedy będzie w przybliżeniu:

Xß + /Tc 4- CD tD~A = Ta = 2tx.

b) Walec obrotowy. Rozwinięcie tego walca (rys. 429 będzie prostokątem, którego podstawa Ć C równa jest obwodowi koła. Ponieważ jednak ludolfiny jt, jako liczby przestępnie nie-

Ci

Ar

Ar ' Ci Si’

Ci

Ct

D;

:an

Tr

oT~

5r-

r SS;

■ a>

'30°

3r—~—-

Rys. 429

wymiernej, rysunkowo, przy pomocy linji i cyrkla, otrzymać nie możemy, więc długość odcinka CC może być tylko w przybliżeniu równą obwodowi koła k. Jednym z najbardziej znanych i powszechnie, w obcej literaturze, cytowanych sposobów przybliżonego rozwinięcia koła (t. zw. kwadratury koła), jest konstrukcja podana w r. 1685 przez polskiego jezuitę Kochańskiego. W punkcie D kreślimy styczną do koła, a ze środka «S prostą SA, zawierającą z promieniem SD kąt 30°. Od punktu A odmierzymy odcinek AB — 3r, to odcinek BC równy jest w przybliżeniu połowie obwodu koła. W istocie bowiem:

CD — 2r, więc:

CBi = CD* + (3r — r /^•30⁰)*, a ponieważ tg 30' =    a

CB²

= 4ń+i3r.Ilj)' ₌ ^-^)

a zatem:

CB

V40-6V3

3

r .3-1415333.... =

Liczba jt = 3'1415916 ; błąd więc dla pół obwodu wynosi 0'000583r; (dla średnicy 2r = l metr otrzymamy błąd, wynoszący 0'06 milimetra).

777

c) Walec eliptyczny. Przyjmijmy walec eliptyczny, którego ślad poziomy jest kołem (rys. 430) i rozwińmy go na płaszczyźnie. W tym celu obierzemy nową płaszczyznę rzutów, prostopadłą do poziomej, a równoległą do tworzących walca i wykreślimy trzeci rzut walca. Następnie przyjmiemy płaszczyznę a (ha Va ka), prostopadłą do tworzących walca i wyznaczymy przekrój k± (ktf kt" kt'"). Zkolei wykonamy kład płaszczyzny a wraz z elipsą k± na rzutnię poziomą, a podzieliwszy koło podstawy walca na pewną ilość równych części, wykreślimy rzut poziomy i boczny tworzących walca, przechodzących przez punkty podziału. Najpierw rozwiniemy elipsę kx°. W tym celu obierzemy na prostej m punkt Blf który odpowiada punktowi B±° elipsy k(\ a następnie uważając trzy części łuku D₁°D₁° elipsy kk* za odcinki linji prostej, przeniesiemy je na prostą m. Tym sposobem otrzymamy punkt Du a przez dalsze odnoszenie łuków elipsy punkty Alt Cl i Bu odpowiadające wierzchołkom elipsy kt°. Odcinek B± B± prostej m równy jest w przybliżeniu obwodowi elipsy k^. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach podziału odcinka BtBu odmierzymy długości tworzących walca, zawartych między rzutnią poziomą a płaszczyzną a. Prawdziwe długości tych tworzących występują w rzucie bocznym i w tym jedynie celu rzut ten wykreśliliśmy. Odmierzymy więc B'" Bt"'=B Bu .. U" D± = =DD~U..A"'A/"=ÄJ^t Ï⁷⁷⁷1'" = Ï7, 2"'II'"=2Ę C^C"'^ — CC1}.. i B'" B/" = BB±. Otrzymane tym sposobem punkty

połączymy linją ciągłą, która jest przekształconą koła, stanowiącego podstawę walca, a której długość równa jest

0,

e.

A.

/A

.3

la»

-"Ar\

yk.

6'

W V!

Jci

\s»//

4^ K/ßm

ATr'”

////

ki

Sl

'f

o'

D’i

(Bi

ha/

XP>

fir

jo yfhi

x°

y"<i

Rys. 430

w przybliżeniu obwodowi tego koła. Część płaszczyzny, ograniczonej odcinkami BBx, B±Blf BBl i linją krzywą BDACB, stanowi rozwinięcie walca, ograniczonego przekrojem normalnym płaszczyzną a i jego śladem na rzutni poziomej.

149. O linji śrubowej. Przyjmijmy walec obrotowy o osi pionowej (rys. 431), a na nim dowolną tworzącą. Wyobraźmy sobie, że tworząca ta obraca się około osi walca ruchem jednostajnym, a równocześnie przyjęty na tej tworzącej punkt porusza się po niej również ruchem jednostajnym. Äby wykreślić drogę wypadkową poruszającego się punktu, podzielmy podstawę walca na dwanaście równych części. Punkty podziału oznaczać będą rzuty poziome poszczególnych położeń poru-

szającej się tworzącej, która w jednostce czasu obróciła się o V12 część kąta pełnego. Równocześnie poruszający się na tworzącej punkt odbył w jednostce czasu drogę i zajął położenie 1(1'1"). W następnych jednostkach czasu punkt poruszający się ruchem jednostajnym na tworzącej, obracającej się

około osi a, zajmie położenie

2(2'2"), 3(3'3")......12(12' 12").

Tworząca wróciła w położenie, z którego wyszła, punkt wzniósł się o odległość k od rzutni poziomej i zakreślił na walcu linję, którą nazywamy litiją śrubową. Wysokość k nazywamy krokiem ł linji śrubowej.

4    Kąt, jaki zawiera styczna

w pewnym punkcie linji śrubowej z płaszczyzną poziomą, nazywamy nachyleniem tej linji. Z określenia linji śrubowej wynika, żc nachylenie jej jest stałe, t. zn., że styczne we wszystkich jej punktach zawierają ż płaśzczyzną poziomą ten sam kąt. Jest rzeczą zrozumiałą, że im «większy jest krok linji śrubowej, przy stałej średnicy walca, tern większe jest jej nachylenie.

iS

t==»»-

10"

;a"

~p:~~7p

-12” -

9"

8’

O'

■6» —

b <o

7’i

5'

,4<

JV_

3’

11’

12’

Rys. 431

2'

§ 11. POWIERZCHNIE OBROTOWE

150. Tworzenie i podział powierzchni obrotowych. Jeżeli linja płaska lub skośna obraca się około stałej prostej a, to powstała w ten sposób powierzchnia nazywa się powierzchnią obrotową. Linja, przez obrót której powstała powierzchnia, jest tworzącą tej powierzchni, zaś prosta a jej osią (rys. 432). Każdy punkt tworzącej opisuje podczas obrotu koło, którego środek leży na osi a, a którego płaszczyzna jest do tej osi prostopadłą. Koło takie nazywamy równoleżnikiem powierzchni obrotowej. Największy równoleżnik nazywa się równikiem, najmniejszy kołem szyj nem. Jeżeli w miej-

sce danej tworzącej powierzchni obrotowej, przyjmiemy inną krzywą, przecinającą wszystkie równoleżniki powierzchni, to przez obrót tej nowej tworzącej powstanie ta sama powierzchnia obrotowa. W szczególności przyjąć można, jako tworzącą, krzywą, wzdłuż której płaszczyzna przechodząca przez oś, przecina powierzchnię. Taką tworzącą nazywamy południkiem powierzchni, a płaszczyznę, na której leży południk, płaszczyzną południ- S kową. Wszystkie południki są linjami przy- y stającemi, dla których oś a jest osią syme- ^ trji prostokątnej.

-V5

la"

Rys. 432

Jeżeli południk powierzchni obrotowej jest linją prostą, to powierzchnia jest prostoliniową (prostokreślną) ; gdy południk jest linją krzywą, to otrzymana powierzchnia jest krzywoliniową, albo, jak ją też nazywamy, krzywokreślną.

Prostolinjowe powierzchnie obrotowe dadzą się podzielić na trzy grupy:

a) Jeżeli prosta t, jako tworząca powierzchnię, przecina oś, to otrzymujemy poznany już w ust. 139 stożek obrotowy. * (rys. 433 a). Punkt W, w którym tworząca przecina oś a, na-nazywamy wierzchołkiem stożka. Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś stożka (płaszczyzna południkowa), przecina go wzdłuż dwóch prostych, stanowiących południk stożka. Kąt, jaki tworzą ze sobą te dwie proste, nazywamy kątem wierzchołkowym stożka.

",

-TT- -

Rys. 433 a—b

b) Jeżeli linją prosta t, będąca tworzącą powierzchni obrotowej, jest równoległą do osi a (rys. 433 b), to otrzymujemy walec obrotowy. Podobnie jak przy stożku obrotowym, każdy punkt tworzącej walca obrotowego opisuje koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a walec rozciąga się — tak jak stożek — nieograni-czenie daleko,

c) Jeżeli prosta tworząca i oś powierzchni obrotowej mają położenie skośne, to otrzymana powierzchnia nosi nazwę skośnej hiperbolojdy obrotowej (rys. 434). Każdy punkt

poruszającej się tworzącej opisuje koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi. Koło, opisane przez punkt tworzącej, którego odległość od osi jest najmniejszą, czyli koło zakreślone promieniem równym odległości osi i prostej tworzącej, nazywa się kołem szyj nem hiper-bolojdy. Hiperbolojda obrotowa jest powierzchnią symetryczną względem każdej płaszczyzny, przechodzącej przez jej oś, a nadto względem płaszczyzny koła szyjnego, którego promień jest najmniejszy ze wszystkich promieni kół, leżących na tej powierzchni.

Rys. 434

Powstanie hiperbolojdy obrotowej przedstawić sobie można zapomocą modelu, który czytelnik z łatwością wykona. Weźmy pod uwagę dwa pierścienie jednakowej wielkości, a wywierciwszy w każdym z nich jednakową ilość otworów, połączmy je nitkami tak, abyśmy otrzymali pęk tworzących walca obrotowego (rys. 435 a). Wziąwszy tak wykonany model w ręce, skręćmy oba pierścienie w odwrotnych kierunkach, zachowując równoległość ich położeń (rys.

435 b). Tworzące walca przejdą    ⁽

Rys. 435a—b

w tworzące hiperbolojdy, a im bardziej skręcać będziemy pierścienie, tern mniejszem będzie koło szyjne, aż w przypadku granicznym, gdy odległość tworzących do osi a stanie się równą zeru, koło szyjne zredukuje się do punktu, a hiperbolojda przejdzie w stożek obrotowy.

Powierzchnie obrotowe, które nie dadzą się utworzyć przez obrót linji prostej około osi, należą do grupy powierzchni krzywolinjowych (krzywokreślnych). Przykłady takich powierzchni widzimy na rys. 436. W szczególności przez obrót koła około średnicy, jako osi, powstaje kula (rys. 436a); elipsa, obracająca się około osi większej, zakreśla elipsojdą obrotową wydłużoną (rys. 436 b), obrót elipsy około osi malej daje elipsojdą obrotową spłaszczoną, zwaną też sferojdą (rys. 436 c). Parabola, obracająca się około    osi, zakreśla parabolojdą

obrotową (rys. 436 d); hiperbola, obracająca się około osi, która ją przecina (t. zw. osi „rzeczywistej“), stwarza hiperbo-lojdą dwupowłokową (rys. 436 e). Jeżeli hiperbola obraca się około swej drugiej osi, t. zw. osi „urojonej“, to otrzymujemy hiperbolojdę obrotową jednopowłokową (rys. 436 î), identyczną z tą, którą otrzymaliśmy przez obrót prostej skośnej względem osi.

*•

a.)

b.)

li

c)

v*

"A

e)

\a

f.)

'71

im

Rys. 436 a — f

151, Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowych. Obierzmy na powierzchni obrotowej (rys. 437) południk p, a na nim punkt A Płaszczyzna, przechodząca przez punkt A, prostopadle do osi powierzchni, przetnie ją wzdłuż równoleżnika r. Płaszczyzna południka i płaszczyzna równika są do siebie prostopadłe, gdyż ta ostatnia jest prostopadłą do osi a powierzchni, leżącej na płaszczyźnie pierwszej. Styczna s w punkcie A do równoleżnika r, jako prostopadła do dwóch prostych, leżących na płaszczyźnie południka, a mianowicie do prostej O A i a, jest prostopadłą do płaszczyzny tego południka. W następstwie tego każda płaszczyzna, przechodząca przez prostą st, jest prostopadłą do płaszczyzny południka p. Poprowadźmy w punkcie A styczną s₂ do południka p, to płaszczyznę wyznaczoną prostemi i s₂ określamy mianem płaszczyzny stycznej do powierzchni obrotowej w punkcie A,

(porównaj ust. 132). Ponieważ każda płaszczyzna, przechodząca przez prostą st, jest prostopadłą do płaszczyzny południka, więc także i płaszczyzna styczna a = (st s₂) jest prostopadłą do tego południka.

-fH-

+■

Poprowadźmy w punkcie A normalną do powierzchni (ust. 132), to ponieważ, według określenia, normalna w pewnym punkcie powierzchni jest prostopadłą do płaszczyzny stycznej w jej punkcie styczności, a płaszczyzna styczna jest prostopadłą do płaszczyzny południka, więc normalna do powierzchni obrotowej leży na płaszczyźnie południka i przecina oś powierzchni. Oczywiście, że styczna s₂, leżąca na płaszczyźnie południka, przecina oś powierzchni w punkcie, a punkt ten oznaczyliśmy literą B. Gdy punkt A opisuje koło równoleżnikowe, to styczna s₂ tworzy stożek obrotowy, o wierzchołku B, czyli : styczne, poprowadzone do południków w punktach tego samego równoleżnika, przecinają oś w jednym punkcie. Stąd wynika bezpośrednio, że płaszczyzny styczne, poprowadzone w punktach, które leżą na jednym rów* nołeżniku, przecinają oś powierzchni obrotowej w jednym punkcie, jeśli równoleżnik jest równikiem albo ko-

ISz

Rys. 437

łem szyjnem, to styczne, a więc także i płaszczyzny styczne, poprowadzone w ich punktach do południków, są równoległe do osi.

Każda z płaszczyzn stycznych do powierzchni, w punktach tego samego południka, zawiera styczną do równoleżnika, przechodzącego przez każdy z tych punktów, podobnie jak płaszczyzna styczna w punkcie A (rys. 437) zawiera styczną st. Każda z tych stycznych jest prostopadłą do płaszczyzny południka, podobnie jak płaszczyzny styczne do powierzchni, przechodzące przez owe styczne. Wszystkie te proste styczne (prosta s₁ w rys. 437) są tworzącemi walca opisanego na powierzchni obrotowej wzdłuż południka. A zatem: płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej wpunk-tach tego samego południka, powłóczą walec opi-

sany na tej powierzchni. Tworzące tego walca są prostopadłe do płaszczyzny południka. I odwrotnie: walec, którego tworzące są prostopadłe w punktach południka do płaszczyzny tego południka, styka się z powierzchnią obrotową wzdłuż tego południka.

7r

rft-

<P

k'

152. O zarysach powierzchni obrotowych. Przyjmijmy dowolną powierzchnię obrotową O i zewnątrz niej punkt O (rys. 438), który uważajmy za środek rzutów (ust. 8). Miejscem geometrycznem punktów styczności płaszczyzn, względnie prostych stycznych, poprowadzonych do danej powierzchni przez punkt O, jest linja k, stanowiąca granicę części widocznej i niewidocznej naszej powierzchni, jeśli w środku rzutów wyobrazimy sobie umieszczone oko obserwatora.

Linja k stanowi t. z w. zarys albo kontur istotny powierzchni obrotowej, w odniesieniu do punktu O. Wszystkie płaszczyzny, względnie proste styczne do powierzchni, przechodzące przez punkt O, powłóczą, względnie utworzą stożek opisany na powierzchni, a stąd zarys jej określić można jako linję styczności k stożka opisanego na powierzchni z danego punktu który jest środkiem rzutu, a zarazem wierzchołkiem stożka.

Zarys powierzchni zmienia się ze stanowiskiem obserwatora. Jeżeli oko jego znajduje się nieograniczenie daleko, to promienie widzenia są do siebie równoległe, a stożek opisany na powierzchni przejdzie w walec (rys. 439), którego tworzące są równoległe do danego kierunku i

Przekrój stożka, względnie walca, opisanego na powierzchni i stykającego się z nią wzdłuż zarysu istotnego — dowolną płaszczyzną, nazywamy zarysem tej powierzchni na owej

H.

B'

Rys. 438

V)

A'

k!_

B'

Rys. 439

płaszczyźnie. Tak więc krzywa k' w rys. 438 i 439 jest zarysem powierzchni O na płaszczyźnie e. Jeżeliby płaszczyzna e była prostopadłą do tworzących walca, opisanego na powierzchni O i równocześnie rzutnią poziomą, to linja k' stanowiłaby zarys tej powierzchni na rzutni poziomej, czyli, wyrażając się krótko, jej rzut poziomy. Podobnie zarysem powierzchni na rzutni pionowej, względnie jej rzutem pionowym, nazywać będziemy przecięcie walca opisanego na powierzchni, gdy kierunek tworzących walca jest prostopadły do rzutni pionowej, z tą rzutnią.

153. Przedstawianie powierzchni obrotowych w rzutach prostokątnych. Dla uzyskania przejrzystości i plastyki rysunku, nadajemy powierzchniom, podobnie jak i wielościanom, podkład materjalny i przyjmujemy, że kształt badanych powierzchni nadaliśmy materji nieprzeźroczystej. Przy takiem założeniu mówić możemy o częściach widocznych i niewidocznych powierzchni, na które patrzymy z punktu nieograni-czenie dalekiego. W szczególności na rzut poziomy patrzymy z góry, na rzut pionowy z przodu, a na rzut boczny w kierunku równoległym do osi rzutów x. Część powierzchni widziana z przodu nie pokrywa się bynajmniej z częścią widzianą z góry lub z boku, a granica między częścią widoczną a niewidoczną powierzchni — przy rozmaitych kierunkach patrzenia — nosi nazwę zarysu istotnego powierzchni. Linja zarysu powierzchni zależna jest od kierunku rzutów (kierunku patrzenia, stanowiska obserwatora), względnie od położenia powierzchni.

Rzut cechowany, względnie rzuty prostokątne na dwie płaszczyzny, osi i tworzącej powierzchni obrotowej, wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie tej powierzchni i ją samą. Z reguły wyznaczamy jednak powierzchnie obrotowe zapomocą jej zarysów na każdej z płaszczyzn rzutów, a taki sposób przedstawiania powierzchni pozwala określić na pierwszy rzut oka jej rodzaj i ułatwia działania konstrukcyjne. Zarys powierzchni obrotowej o osi pionowej na rzutni pionowej jest rzutem pionowym jej południka, którego płaszczyzna jest równoległą do rzutni pionowej. Południk ten nazywamy południkiem głównym.'Zarys powierzchni obrotowej o osi pionowej na rzutni poziomej jest kołem, względnie pękiem kół współśrodkowych. Największe z tych kół jest rzutem po-

ziomym równika, najmniejsze rzutem poziomym koła szyjnego, a pozostałe rzutami charakterystycznych równoleżników. Rys. 440 a—î podaje rzuty prostokątne a) kuli, b) ełipsojdy wydłużonej, c) spłaszczonej, d) hiperboloj-dy jednopowłokowej (skośnej), e) hiperbo-iojdy dwupowłokowej i f) parabołojdy obrotowej. Dla całości powtarzamy w tern miejscu rzuty stożka d i walca obrotowego o osiach pionowych (rys. 441 a—b). Two-'i (V tx")

a.)

b.)

c.)

rn

-o,—

la”

k.

!a-

e.)

\V

rn

i a»

P’. a'

r>

f)

ja

rzące

i t₂(t₂'t./') stanowią * południk główny tych powierzchni.

154. O kulach

ja'

a'

wpisanych w stożek i walec obrotowy.

Weźmy pod uwagę stożek obrotowy o osi

pionowej a (a'a") i wierzchołku W (W'W") (rys. 442) i poprowadźmy w dowolnie przyjętym punkcie A (A' A") tworzącej tx(txtx"), prostą prostopadłą do niej, a przecinającą oś stożka w punkcie Wl (Wt' Wx"). Obierzmy na prostej a" dowolny punkt -    W±" i zakreślmy koło k

styczne do prostych tx" i t₂'\ Wyobraźmy sobie, że prosta P(p'P") i koło k(k' k") obrócą się około osi stożka. Prosta p zakreśli stożek obrotowy o wierzchołku WX(WX W\")>

Rys. 440 a—l

yr

8.----

tl

fi

X /A\

JS1

B" A"

_fil

IjLpUL

\B

aYl

S[a' tź'

a koło k kulę o środku W₁(W₁' W^'). Punkt A (A' A") opisze podczas tego obrotu koło, będące równoleżnikiem obu stożków

W"

A"i

>r*r'

Æ([ tî ä\W' h’

r> wi &

Rys. 442

WZ

lAl

t3

fh

ßc?

rn

{ti

tn4

i kuli. Stożek o wierzchołku Wu którego każda tworząca jest prostopadłą do odpowiedniej tworzącej stożka o wierzchołku W, nazywać będziemy stożkiem normalnym. W ten sposób każdy stożek obrotowy ma dowolną ilość stożków normalnych i dowolną ilość kul wpisanych w siebie. Wynika stąd dalej, że z dowolnego punktu opisać można na danej kuli jeden stożek obro-- towy, który posiada z kulą jedno koło wspólne Środek kuli, połączony z wierzchołkiem stożka, jest osią tego stożka. Z punktu niewłaściwego przestrzeni, a więc równolegle do danego kierunku, opisać można na danej kuli walec, mający z kulą jedno koło wspólne. Walec ten jest walcem obrotowym, o osi przechodzącej przez środek kuli. Rozumowanie powyższe umożliwi wykreślenie rzutów stożka obrotowego i walca obrotowego, których osi mają dowolne położenie w przestrzeni. Jeżeli oś a (a' a") stożka i jego wierzchołek W (W' W") są dane (rys. 443), to na osi przyjmiemy dowolny punkt S ('S'S"), który uważać będziemy za środek kuli.

/.

Wykreśliwszy rzuty tej kuli, poprowadzimy styczne //, // do koła r' i styczne t₃'\ t₄" do koła p". Styczne te stanowią rzuty stożka obrotowego, opi- x sanego na przyjętej kuli z punktu W. ~

ti

77'

ya//

fAJL

Styczne do rzutów kuli, równoległe do danego kierunku (rys. 444), wyznaczają zarysy walca obrotowego na płaszczyznach rzutów.

r ti/

Jak każda powierzchnia obrotowa, ** posiada i stożek obrotowy dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn sy-

metrji prostokątnej, przechodzących przez oś tej powierzchnią w odróżnieniu od powierzchni stożkowej rzędu drugiego, która posiada tych płaszczyzn symetrji tylko trzy (ust. 139). Możność wpisania w stożek obrotowy dowolnej ilości kul, których środki leżą na osi tego stożka, stanowi dalszą właściwość stożka obrotowego, wyróżniającą go od ogólnej powierzchni stożkowej rzędu drugiego. Możemy więc przyjąć następujące określenie: powierzchnia stożkowa rzędu drugiego, w którą wpisać można kulę, jest stożkiem obrotowym.

Walec obrotowy posiada również nieograniczoną ilość płaszczyzn symetrji prostokątnej, przechodzących przez jego oś, a to właśnie wyróżnia go od walca eliptycznego, hiperbo-licznego i parabolicznego. Walce bowiem eliptyczne i hiperboliczne posiadają po dwie płaszczyzny symetrji prostokątnej, a walec paraboliczny t)lko jedną. Zresztą, podobnie jak dla stożka obroto-powierzchnia walcowa rzędu drugiego,

c”

E"

-CM /

P'Ćf

E'

CK

err

a"

.A

a<:

Rys. 444

F”

d"

k”

k'

C'\

wego

wktórąwpisać można kulę, j est walcem obrotowym. 155. Zadania.

a) Wykreślić rzuty walca obrotowego, ograniczonego dwoma przekrojami prostopadłemi do osi. Położenie osi m(m' m"), promień r i wysokość walca, który opiera się jednym punktem o rzutnią poziomą, są dane (rys. 445). Przyjąwszy trzecią płaszczyznę rzutów, pionową i równoległą do danej osi m (m' m"), wyznaczmy rzut boczny m'" tej osi. Rzuty poziome, pionowe i boczne tworzących konturowych walca tworzą pary prostych równoległych do m', m" i m"r i oddalonych od nich o dany promień r walca. Prosta f" przecina oś y — y w punkcie Aj'\ Odcinek Aj" Bj" = 2r i prostopadły do m"' jest rzutem bocznym koła ku leżącego na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a ograniczającego walec.

Wyznaczenie rzutu poziomego kj i pionowego kj' koła kx nie wymaga żadnych szczególnych wyjaśnień, podobnie jak

wyznaczenie rzutów drugiego koła przekroju k₂ (k₂r k₂" k^"'), znajdującego się w danej odległości od przekroju k±.

b”₂

CÎ

S’a\D's

y'mn

/f\\ \

jyn

Ci

Hmy

\ /’

VivV?

U\J\

\

Podobnie jak w rzucie poziomym, odcinek C/D/l/n' jest osią elipsy k/, a jego punkty końcowe są punktami styczności rzutów poziomych tworzących konturowych walca — tak odcinek FIF' i m

-m-

Di

% : / :\

Dz

k’s :

m¹'

//

CJT^C

fAT

'Ca

CT\

B?

YaT

,/77w

kl

Aa

O "'A /

Cs

Bs

Rys. 445

rzut boczny W" A'" B'" stożka, przyczem — A- cp, a W"' S"r = w. Koło, którego środek O

jest osią elipsy k±", a punkty I" i II" punktami styczności rzutów pionowych tworzących konturowych.

b) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, ograniczonego płaszczyzną prostopadłą do osi, którego położenie osi a (a' a"), wierzchołka W (W' W"), kąt wierzchołkowy cp i wysokość w są dane (rys. 446\ Podobnie jak w zadaniu poprzedniem, przyjmiemy trzecią rzutnię, równoległą do osi stożka, a wyznaczywszy rzut a'" tej osi, wykreślimy ^ A" W'" B"' = przyjęliśmy

dowolnie na a'”, styczne w punktach V'" i VI'" do prostych //" i f₆"', jest rzutem bocznym kuli wpisanej w stożek obrotowy o wierzchołku W. Wykreśliwszy rzut poziomy i pionowy tej kuli, a następnie z punktów W' i W" styczne

Va

A”

j\__\Sn,\i

......\ Dn

r”    : \

wm

t£

w,

a?/

-9-

tn / Uli"

V ■

j/.n

//V'\P"

\ JA"

A-

4>

ii

\W

\\a-

A

t£

\VTW,

tz

i.

2' • rśO'

!A'

Aw. r

” \ t\~7ß' :

UF

3'

'4'

'B'

ha

O"'

Aa

M.

Rys. 446

i > ^3'r i f*" do tych rzutów, otrzymamy rzuty tworzących konturowych naszego stożka. Zkolei wykreślimy rzuty k' i k", a wreszcie wyznaczymy punkty styczności 2' i 3"y 4" prostych /Ł', /₂' i t₃", ł₄" z otrzymanemi

elipsami. Punkty te otrzymamy w sposób podany w ust. 122, albo — jak na rys. 446 — w sposób następujący: Wykreślmy rzut boczny r'" równika kuli i rzuty boczne I'" = 11' punktów styczności / i II. Prosta W" T" = Wr" II'" jest rzutem bocznym tworzących i t, stożka, Tr-    a Punkt l'" = 2"' przecięcia się jej z prostą

//

a.)

///

A'" B

a»!

a’°s'

P'

jest rzutem bocznym punktów I i 2, których rzuty poziome V i 2’ szukamy. W ana-jt logiczny sposób znajdziemy punkty 3" i 4". Na rzucie poziomym p', południka p kuli, znajdziemy punkty III' i IV', łączymy je z W', a punkty 3' i 4', w których otrzymane proste t/ i t/ przecinają' elipsę k', odniesiemy na elipsę k", jako punkty 3" i 4".

b.)

Vp

\P"

156. Punkt na powierzchni obrotowej. EL Aby obrać punkt na powierzchni obrotowej, \ obieramy na niej jakąś linję, a punkt na tej \ ostatniej przyjęty leży na powierzchni. Kilka 1 przykładów sprawę wyjaśni.

I    a) Punkt P(P'P") na kuli (rys. 447 a)

' obraliśmy, przyjąwszy poprzednio równoleżnik

_x r (r' r"), leżący na płaszczyźnie poziomej p.

P'¹

W*

Rys. 447 a—b

'rj

Ip"\

b) Na elipsojdzie obrotowej (rys. 447 b) obraliśmy P za pośrednictwem południka p. a’\ j j Wykreśliwszy rzut poziomy p' tego południka, / przyjęliśmy na nim punkt P', jako rzut po-hs ziomy szukanego punktu. Aby uniknąć kreślenia rzutu pionowego południka, obróćmy go wraz z punktem P około osi powierzchni, aż zejdzie się z południkiem głównym.

Ą'

W'

y a'

Punkt P zajmie po tym obrocie położenie Pi Pi')* Wróćmy następnie z południ- ^ kiem na płaszczyznę e (h& Ve), to punkt Px obróci się około osi a elipsojdy na płaszczyźnie równoleżnikowej p. Punkt P", w którym prosta odnosząca punkt P' przetnie ślad Vp, jest rzutem pionowym punktu P.

c) Punkt na stożku obrotowym (rys. 448) obrać można bądź to za pośrednictwem

przyjętej na nim tworzącej t(tr t"), bądź też zapomocą obranego na nim równoleżnika r (rf r").

157. Płaszczyzna styczna do powierzchni obrotowej w danym punkcie. Wiemy z ust. 151, że płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni obrotowej jest wyznaczoną sty-cznemi do południka i równoleżnika, które przechodzą przez punkt styczności. Sprawa zatem przeprowadzenia płaszczyzny stycznej w pewnym punkcie powierzchni obrotowej sprowadza się do wyznaczenia owych dwóch stycznych.

B"

I?

si

r*

Äby w punkcie A (A' A") powierzchni obrotowej, przedstawionej na rys. 449, poprowadzić płaszczyznę styczną, wykreślimy w tym punkcie styczną sx (sx s{") do równoleżnika r (f r"), a następnie styczną s₂ (s₂ s₂") do południka p, przechodzącego przez ten punkt.

a"

.sSNsS

~m~wÄ

Rzut poziomy s₂ stycznej s₂ schodzi się z rzutem poziomym tego południka; rzut pionowy s₂" znajdzie- JL my w sposób następujący:

'si

aa H3

Ś’

A’jë

sk

Punkt A obrócimy około osi a (a' a") na południk główny i w otrzymanym tam punkcie Ax (Ax At") poprowadzimy do niego styczną 5, (s₃ s₃").

Hz

Rys. 449

Punkt B (B' B"), w którym styczna s₃ przecina oś a, połączmy z punktem A (A' A"), lo prosta s₂ (s₂ s₂") jest styczną do południka p w punkcie A. Gdyby punkt B" nie leżał w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to obrotu wstecznego prostej s₃ dokonamy w ten sposób, że jej ślad poziomy H3 obrócimy do położenia H₂ (H₁ H₂"), zakreślając łuk promieniem a' H₃ i otrzymany tym sposobem punkt H₂" połączymy z punktem A". Proste sx (sx sx") i s₂(s₂'s₂") wyznaczają płaszczyznę styczną do powierzchni obrotowej w punkcie A (A' A").

Hważając punkt B (Br B") za wierzchołek, a równoleżnik r (r' r") za kierownicę stożka obrotowego, widzimy, że płasz-

n %

C*l

czyzna styczna w punkcie A do powierzchni obrotowej jest równocześnie płaszczyzną styczną do stożka obrotowego, opisanego na tej powierzchni wzdłuż jej równoleżnika, przechodzącego przez ten punkt.

158. Zadania.

a) Na danym czworościanie AB CD opisać kulą (rys. 450).

Sześć płaszczyzn prostopadłych w punktach środkowych sześciu krawędzi czworościanu przecina się w jednym punkcie,

- '    / v<*>

lc/A"

C”\

C"'

*-

D"-

B",

\z

JL

X'P/

oy

y*/

D'

)jr

piv

Ot

c\ S'k

P*

\Zi

xy

fin

If

••

\Oi

ar

04

ff/

\MI?

w: oMrLy

sx

A,X I,

A7

7/.

hy

C"

D°

Rys. 450

który jest równo oddalony od czterech wierzchołków tego czworościanu, a więc jest środkiem kuli opisanej na nim. Celem wyznaczenia tego środka wystarczy poprowadzić płaszczyzny

prostopadłe do trzech krawędzi, schodzących się w jednym wierzchołku i wyznaczyć ich punkt przecięcia się. Promień kuli równy jest odcinkowi, łączącemu otrzymany środek z wierzchołkiem czworościanu.

Przy rozwiązaniu zadania odstąpiliśmy od bezpośredniego wyznaczenia owych płaszczyzn prostopadłych do krawędzi naroża, a zastosowaliśmy metodę obrotów, względnie wprowadzenia nowej rzutni.

Obróćmy mianowicie dany czworościan około śladu poziomego /zcp płaszczyzny cp — (ABC) tak, aby trójkąt ABC padł na rzutnię poziomą. Następnie dokonajmy obrotu wierzchołka D około /zcp o kąt a, jaki płaszczyzna cp zawiera z rzutnią poziomą. Otrzymane w ten sposób punkty A'", B"\ C" i D'" uważajmy za nowy rzut poziomy czworościanu, a przy-jąwszy nową rzutnię pionową, równoległą do krawędzi np. BD, wyznaczmy rzut Alv BIV Clv D,v tego czworościanu. Z kolei wyznaczmy środek M'", koła opisanego na trójkącie A'" B'" C", środku PIV cdcinka B,v D1V wykreślmy prostopadłą. Punkt SIV, w którym prosta ta przetnie prostopadłą do rzutni poziomej, wykreśloną w punkcie M'", jest rzutem pionowym (na wprowadzonej rzutni) szukanego środka kuli. Rzut poziomy S"r schodzi się z punktem M'". Obróćmy odcinek S A (posługując się ciągle jedynie rzutami, które oznaczamy wskaźnikami i IV) do położenia równoległego względem rzutni pionowej, to odcinek SIV^A tIV równy jest promieniowi kuli, opisanej na czworościanie. Obróćmy wreszcie punkt 5 (S'" Slv) około hy o kąt a, a otrzymamy punkty S' i S", które są szukanemi rzutami środka kuli, opisanej na czworościanie. Koła, zakreślone z punktów S' i S", jako środków, promieniem ŚIVA±IV, są rzutami szukanej kuli.

b) W dany czworościan AB CD wpisać kulą (rys. 451).

Środek kuli, wpisanej w czworościan, jest punktem przecięcia się sześciu dwusiecznych płaszczyzn, poprowadzonych przez krawędzie czworościanu. Aby zadanie możliwie uprościć pod względem konstrukcyjnym, postąpimy podobnie jak w za-danin poprzedniem, t. zn. obrócimy czworościan około śladu poziomego hy płaszczyzny cp, przechodzącej przez jedną ze ścian tak, by ściana ta padła na rzutnię poziomą. Otrzymamy tym sposobem trzeci rzut A'" B'" C" D"' czworościanu, przy-czem obrót punktu D wykonać musimy o kąt, jaki płaszczy-

zna cp = (ABC) zawiera z poziomem. Przyjąwszy nową oś rzutów y — y, prostopadle do jednej krawędzi podstawy, np. B'" C", wyznaczymy drugi rzut czworościanu w jego nowem położeniu, przyczem wysokość punktu D równa jest odcinkowi D⁷⁷⁷^ = z

W celu wyznaczenia kątów, jakie ściany boczne tworzą z podstawą ABC, poprowadźmy przez punkt D (D"r DIV) płasz-

l*

Vl<F£

ML

fc Ib¹’

D"

S"

r*

\ \ \/ e7\⁹\f\S’Vr_

-y

B",

o*

\W

D!

,z

IV \

xjyjV/

Wlp’"

i /    )

/    5"'

f >/1

By L^S’i I

XH"

ß\

//

væq

V)

w.

yt

e"H

F"

a'

L"

••w

cpfc'

%>Y\

Z/

Lhp

\r

/?ÿ”

D°

Rys. 451

czyzny cc, p i y, prostopadłe do krawędzi podstawowych i wyznaczmy punkty przebicia się E, F, G tych krawędzi z płaszczyznami a, p i y, a także krawędzie e, f i g, jakie płaszczyzny te utworzą ze ścianami bocznemi czworościanu. Kąt, jaki ściana BCD zawiera z podstawą, wyraża się w czwartym rzucie w naturalnej wielkości i równy jest kątowi AIV BIV DIX. Płaszczyzna dwusieczna ścian ABC i BCD jest pionowo-rzucającą, a jej ślad pionowy jest dwusieczną kąta ĄIV BIV DIV.

Celem wyznaczenia dwusiecznych kątów, jakie proste e i g zawierają ze ścianą ABC czworościanu, obróćmy te proste do położenia równoległego względem czwartej rzutni. Punkt E"' zajmie położenie Ex"'; trzeci rzut krawędzi e zejdzie się ze śladem hę, a rzut czwarty oznaczyliśmy przez exIv. Podobnie otrzymamy rzut pionowy gxIV krawędzi g po obrocie. Wykreśliwszy dwusieczne kątów BIV EXIV Dlv i B1V GX1V DIV, przyjmijmy płaszczyznę P-, równoległą do rzutni poziomej, której ślad z czwartą płaszczyzną rzutów oznaczmy literą yx i wykreślmy rzut poziomy (trzeci) ostrosłupa, którego ścianami bocznemi są płaszczyzny dwusieczne kątów, jakie ściany boczne czworościanu zawierają ze ścianą ABC. Wierzchołek tego ostrosłupa jest środkiem szukanej kuli. Ślad pionowy (czwarty) jednej z tych trzech płaszczyzn dwusiecznych schodzi się z dwusieczną kąta A1VBIVDIV, a ślad poziomy (trzeci) przechodzi przez punkt Jlv, prostopadle do yx; płaszczyzna ta jest zatem pionowo-rzucającą.

Oznaczmy ślady dwusiecznych kątów DIV EXIV BIV i DIV GXIV Clv na płaszczyźnie p. przez Hx (Hx" HXIV) i Kx (Kx" Kxlv) i wróćmy z pierwszym na płaszczyznę a, a z drugim na płaszczyznę y. Przez otrzymane, na śladach ha i hx, punkty H'" i K'" wykreślone prostopadłe do śladów tych, są dwoma dalszemi śladami płaszczyzn dwusiecznych, przechodzących przez krawędzie A B i AĆ z płaszczyzną p. Otrzymany tym sposobem trójkąt L" M'" N'" stanowi rzut podstawy wspomnianego wyżej ostrosłupa, którego krawędzie boczne przejdą przez punkty A, B, C i przetną się w wierzchołku S. Przez połączenie punktów A'" i Z/", B"' i M'", C" i N'" otrzymaliśmy punkt S"', a przecięcie się prostej AIVLIV z prostą BlvJlv jest punktem S1V. Obróciwszy punkt S (S'" SIV) około śladu hep w przestrzeń o kąt, jaki płaszczyzna <p zawiera z poziomem, otrzymamy rzuty S' i S" środka kuli wpisanej w dany czworościan, a koła zakreślone z punktów Slv, S"', S" i S', promieniem równym odcinkowi Slv P™ A. CIV DIV, są rzutami tej kuli.

W ogólności istnieje osiem kul stycznych do czterech danych płaszczyzn. I tak: jedna kula t. zw. wpisana, jest styczną do ścian czworościanu, utworzonego przez owe cztery płaszczyzny; cztery kule są t. zw. za w pisane, t. j. styczne do jednej ściany czworościanu i do przedłużeń trzech ścian pozostałych, a wreszcie trzy kule styczne, znajdujące się

w szczytach. Szczytem nazywamy przestrzeń, ograniczony przedłużeniami czterech ścian nad jedną krawędzią, którą zwiemy grzbietem szczytu. Szczytów takich jest sześć, t. j. tyle, ile krawędzi posiada czworościan; jednak istnieje tylko jedna kula styczna do szczytów dwóch przeciwległych krawędzi (grzbietów). 159. Przekroje powierzchni obrotowych płaszczyznami 1. Linję przekroju powierzchni obrotowej płaszczyzną określić można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się linij, przyjętych na powierzchni, z płaszczyzną sieczną. Z reguły bierzemy pod uwagę linje charakterystyczne na powierzchni, więc równoleżniki, południki, a gdy powierzchnia jest prostokreślną jej proste tworzące. Jeżeli powierzchnia jest geometryczną, to linja przekroju jest krzywą geometryczną, a wówczas wyszukujemy elementy, linję tę wyznaczające. I tak np. każda płaszczyzna przecina kulę w kole, którego rzuty — o ile płaszczyzna sieczna ma położenie dowolne — są elipsami; wyznaczenie przekroju kuli sprowadza się więc do wyszukania osi, względnie średnic sprzężonych elips, będących rzutami kola przekroju. Oczywiście, że do wyznaczenia przekroju kuli zastosować można metodę ogólną, t. zn. szukać punktów przebicia np. równoleżników z płaszczyzną sieczną; jednak użycie tej metody byłoby w tym przypadku pod względem

va

'I'

rysunkowym nieekonomiczne, a z punklu widzenia geometrycznego niewłaściwe i nie dość ścisłe.

3"/r"

Ti

6"

jaff

5’

T’

ha

2. Rysunkowo najprościej przedstawia się wyznaczenie przekroju powierzchni obrotowej płaszczyzną rzucającą. Niechaj zadaniem na-szem jest wyznaczenie przekroju ~ powierzchni obrotowej (rys. 452) płaszczyzną pionowo - rzucającą a (ha Va). Rzut pionowy linji przekroju schodzi się ze śladem pionowym Va płaszczyzny siecznej. Południk główny przebija płaszczyznę a w puntach 1(1' 1") 2(2r2"). Krawędź "płaszczyzny a z płaszczyzną równoleżnika r(r'r") przecina ten ostatni w punktach

3 (3' 3") i 4 (4' 4"), które są punktami szukanej linji przekroju. W podobny sposób, przez przyjęcie dalszych równoleżników, wyznaczymy żądaną ilość punktów liniji przekroju. Na rys. 452 oznaczyliśmy jeszcze punkty 5 (5' 5") i 6 (& 6"), w których równik przebija płaszczyznę a.

Punkty linji przekroju są symetrycznie położone względem płaszczyzny e, przechodzącej przez oś prostopadle do płaszczyzny siecznej, czyli w naszym przypadku do płaszczyzny południka głównego. Ślad poziomy hs tej płaszczyzny jest osią symetrji prostokątnej rzutu poziomego krzywej przekroju.

Va

?" In

2",

yr_

*r-

Vß

a"!

6"

3'

Ws

ri

2’Sy °a’

3. Rys. 453 przedstawia przekrój tej samej powierzchni obrotowej płaszczyzną poziomo-rzucającą. Wyznaczenie linji przekroju rozpoczęliśmy od wynalezienia jej punktu „naj-« wyższego“ 1(1' 1"), który leży na równoleżniku r (rr r"), stycznym do płaszczyzny siecznej a (ha Va). Z kolei wyznaczyliśmy punkt 2 (2' 2)", leżący na południku głównym, którego rzut poziomy 2' jest znany. Następną parę punktów linji przekroju znaleźliśmy na równiku, a dalsze na równoleżnikach.

aR⁰'

4,\hcc

Rys. 453

4. Powierzchnia obrotowa, której rzuty Monge’a podane są na rys. 454, nosi nazwę powierzchi pierścieniowej. Powstanie ona w ten sposób, że koło, którego płaszczyzna przechodzi przez pionową prostą a (a' a"), obróci się około tej prostej. Południk główny powierzchni pierścieniowej składa się z kół kY (kY kx") i k₂ (k₂ k₂"), a równik z kół współ-środkowych r (r' r") i 5 (s' s"). Poziomo-rzucającą płaszczyznę sieczną e przyjęliśmy tak, że w punkcie 1 (V 1") jest ona styczną do powierzchni. Wyznaczenie poszczególnych punktów linji przekroju widoczne jest bezpośrednio z rysunku. Punkty 2 (2' 2") i 3 (3' 3") leżą na równiku; punkty 4 (4' 4"), 5 (5'5"), 6 (6'6") i 7 (7'7") na równoleżniku rx (r±f rx")

względnie r₂ (r₂ r₂"). Płaszczyzna pozioma ß przecina powierzchnię wzdłuż kół równoleżnikowych r₃(r₃r₃") i ri(ri'r₄"), na których leżą punkty 8, 9, 10 i 11 linji przenikania. Na równoleżnikach rB i r₆ wyznaczyliśmy punkty 12, 13, 14 i 15. Rzuty pionowe otrzymanych punktów, połączone linją ciągłą, dają rzut pionowy krzywej, wzdłuż której płaszczyzna e, styczna

ri

7"

~9”

i°2f

12”/ 13"^ r&

w punkcie 1 do powierzaj    chni pierścieniowej, po-

k%

ré fp«

—    wierzchnię tę przecina.

rs

J-

5. Przykład przekroju powierzchni obrotowej, —J    płaszczyzną dowolnie

nachyloną do obu rzu-/    tni, podaje rys. 455.

----Cl

i5'Xir

3’

1 (V 1") i

7'XS'

Przedewszystkiem znaleźliśmy punkt „najwyższy“

\iĄAo’

V , .    „najniższy“ 2(2' 2")

IQ2 j J—“    linji przekroju. Miano

'12'

r₂,

'S'

Rys. 454

punktu najwyższego nadajemy temu punktowi krzywej przekroju, którego wysokość jest największa; punktem najniższym nazywamy punkt linji przekroju, którego wysokość jest najmniejsza. Oba te punkty leżą na krawędzi k(k'k") płaszczyzny siecznej a (haVa) i płaszczyzny e(7zeVeJ, przechodzącej przez oś a powierzchni prostopadle do pierwszej. Krawędź ta jest osią symetrji prostokątnej dla linji przekroju. Jej rzut poziomy k' = he jest osią symetrji prostokątnej rzutu poziomego linji przekroju, a rzut pionowy k" osią symetrji ukośnej, o kierunku równoległym do osi x, rzutu pionowego krzywej przekroju. Celem wyznaczenia punktów 1 i 2, obróćmy krawędź k(k'k"), przecinającą oś a w punkcie A (A' A"), około tej osi na płaszczyźnę cp południka głównego. Ślad poziomy Hk prostej k zajmie położenie H₀ (7/₀ H₀"), a prosta położenie kQ(hyk^"), przyczem k₀" przejdzie przez punkt A". Prosta A:0 przecina południk główny w punktach 1₀ i 2₀, które obrotem

wstecznym przeniesiemy na krawędź k, otrzymując punkty 1 (V 1") i 2(2' 2"). Ponieważ osią tego obrotu jest oś a powierzchni, więc punkty 1₀" i 1", a także 2₀" i 2" leżeć muszą na prostopadłej do tej osi.

Vh

AS

/a

Ve

f"

i"'

iß"

vi

\Jc/ C"

6"

7" //

9”/

Vó

Vcf\ Vb yi Hf

f    W

d’\6^\C’    :

|aff

Ho

S'/C7o

ha'

/ w x —>J,A

v\ \ Aiyw \y

\Ho\ P

h<p

B’

10’

6'

he.

Rys. 455

Zkolei wyznaczyliśmy punkty 3(3' 3") i 4(4'4") linji przekroju, leżące na południku głównym, a więc także na krawędzi f (f f") płaszczyzn a i cp. Punkty 3" i 4" są punktami styczności rzutu pionowego linji przekroju z zarysem powierzchni na rzutni pionowej i stanowią zarazem grąnicę części widocznej i niewidocznej tego zarysu. Dalsze punkty linji przekroju znajdziemy jak w dwóch pierwszych przykładach, jako punkty przebicia się przyjętych na powierzchni równoleżników z płaszczyzną sieczną. Płaszczyzna p równika przecina płaszczyznę a w prostej b (b' b"), która wyznacza na równiku powierzchni punkty 5 (5'5") i 6(6' 6") krzywej przekroju. Punkty, te leżą na granicy części widocznej i niewidocznej rzutu poziomego krzywej przekroju.

Przy wyznaczaniu przekrojów wielościanów płaszczyznami dowolnie położonemi zauważyliśmy, że przez przyjęcie trzeciej rzutni dało się zadanie sprowadzić zawsze do przypadku, gdzie płaszczyzna sieczna jest rzucającą, a więc znacznie uprościć. Tę samą metodę zastosować można i do powierzchni obrotowych, a przykładem tego jest rys. 456.

Przyjąwszy trzecią płaszczyznę rzutów, poziomo-rzucającą i prostopadłą do płaszczyzny siecznej a, wykreśliliśmy trzeci rzut powierzchni i ślad ka płaszczyzny siecznej. Przeniesienia punktów krzywej przekroju na rzut pionowy dokonać można

zapomocą równoleżników, zapomocą tworzących płaszczyzny a, albo też, uwzględniając wprost wysokości poszczególnych punktów, znane w trzecim rzucie.

''

<:

Co

ha

W

Tl,

P'

S...

AJ

Oj

'-r

3'

6'

><

"S

\â"’

--X-S_9m,S

2’\r

?" k

6"’ s'"

\V"

V"

Rys. 456

160. Przekroje kuli. a) Każdy przekrój kuli jest kołem. Jeżeli, jak w rys. 457, płaszczyzna sieczna jest pionowo-rzucającą, to rzut pionowy koła przekroju leży na śladzie pionowym płaszczyzny siecznej, a rzut poziomy jest elipsą. Osiami tej elipsy są odcinki A' B' i CD', przyczem ta ostatnia, jako prostopadła do rzutni pionowej, równa jest średnicy koła przekroju, czyli CD' = A" B". Punkty styczności I' i II' elipsy z kołem r' leżą na rzucie poziomym krawędzi płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny równika p i odgraniczają część widoczną elipsy od niewidocznej.

b) Rys. 458 przedstawia konstrukcję przekroju kuli płaszczyzną cc (ha. Va), mającą położenie dowolne. Przez przyjęcie trzeciej płaszczyzny rzutów, prostopadłej do płaszczyzny siecznej, sprowadzilibyśmy zadanie dp poprzedniego. W naszym

przykładzie wyznaczyliśmy jednak bezpośrednio osi, względnie średnice elips, będących rzutami koła przekroju.

Byva

Dl

C'SS"

I".

I"

0"' r»

V2_

Płaszczyzna y(hyVy), po-ziomo-rzucająca i prostopadła do płaszczyzny siecznej a, przecina ją w prostej k(k' k"), której rzut £ poziomy k' jest osią symelrji prostokątnej elipsy, a więc jej osią.

Rzut pionowy k" jest średnicą elipsy, będącej rzutem pionowym koła przekroju. Punkty A (A' A") i B(B' B"), ograniczające oś w rzucie poziomym (wierzchołki), a śre- ha dnicę elipsy w rzucie pionowym, znajdziemy jako punkty przebicia się prostej k (kr k") z kulą, w sposób następujący: Obróćmy prostą k około osi a kuli do położenia równoległego względem rzutni pio-z nowej. Siad poziomy n" Hk zajmie położenie a prosta k położenie kt. Pro---pr sta k± przecina południk główny kuli w punktach A±(A±' A^') i B^B/B,"), które, Hi M * sprowadzone obrotem

W-

5'T

k!

Pn

la"

P”

r>

|P'_.

D’

Rys. 457

Bi,

£Ł

Vjl

Hn

/C"

A"

Va

mn

Hk/yj 1 Mm \

cl

7r'

r// I

hit

Hn

Bi W .

\hi_

P & bA'i\ jlj n

71'

__fyD'

ha

wstecznym na prostą k, dają punkty A (A'A") i B(B' B"). Środek 5 odcinka AB, jest środkiem koła przekroju, a jego rzuty S' i S" środkami elipsy. Płaszczyzna r\, przechodząca przez punkt S,'

przecina kulę w równoleżniku, a płaszczyznę a w prostej p(p'p"). Punkty C i D, w których prosta ta przecina ów równoleżnik, są punktami przebicia się prostej p z kulą. Odcinek CD' stanowi wielką oś elipsy na rzutni poziomej, a odcinek C"D" średnicę sprzężoną ze średnicą A"B". W ten sposób obie elipsy są wyznaczone. Punkty styczności 1' i 2\ rzutu poziomego koła przekroju z rzutem równika leżą na rzucie poziomym krawędzi m (m' m") płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny równika p. Punkty styczności 3" i 4", rzutu pionowego koła przekroju z zarysem kuli na rzutni pionowej, leżą na rzucie pionowym krawędzi n (n' n") płaszczyzny a i płaszczyzny południka jc.

161. Zadania.

Wyznaczyć rzuty punktu leżącego a) na walcu obrotowym, b) na stożku obrotowym.

a) W sposób poznany w ust. 154 wykreślimy rzuty walca (rys. 459), a następnie równolegle do kierunku jego tworzących poprowadzimy poziomo-rzucającą płaszczyznę cp, która przetnie

walec w dwóch tworzących t± i t₂, a kulę wpisaną w walec w kole k. Celem wyznaczenia rzutu pionowego tych tworzących, wykonajmy kład płaszczyzny cp wraz z kołem k i tworzącemi t₁ i t₂ na rzutnię poziomą. Na prostopadłej t° L' wykreślonej w punkcie O' do hep odmierzymy odcinek S'S°, równy wysokości punktu S, która równa jest wysokości środka 0(0'O") kuli. Z punktu S₀, jako środka, wykreślimy koło k\ promieniem równym odcinkowi S' I'. Äby otrzymać kład it±° i t₂° tworzących t± i t₂, przyj-

Ti"\

Tl

P"

Hi

A”

tf

<2"

B",

Łi

M\

x_

Hi"

[r

V'

r<

M°

Tl A, "

S[

a.'

T°j

Ti

A'

n<k

B'

S°

mierny prostą 1(1 i ) równoległą do tworzących walca i wykonamy jej kład /° na rzutnię poziomą. Styczne do koła A:⁰, równoległe do /°, są szukanemi prostemi i t₂°. Zkolei wyznaczymy rzuty poziome Tx i T₂' i rzuty pionowe Tt" i T₂,r punktów Tx i T₂, w których tworzące t± i t₂ walca dotykają wpisanej w niego kulę, t a kreśląc przez punkty T" i T₂" równoległe do /", otrzymamy rzuty pionowe tx" i t2 tych tworzących.

tr

ti O",

T£

>P"

x_

r>

tHi

Punkt A (A! A") przyjęty na prostej łl(łl/tt") j_ leży na walcu, podobnie jak dowolny punkt B(B'B") tworzącej t₂ (t₂r ł₂")..

'nWtP*A'

i 5'

Tk'

-B\

Jr°

Tł

tl

T°

't?

w°\p

Rys. 460

b) Zarysy stożka wykreślimy przy pomocy wpisanej w niego kuli (rys. 460). Nastę- ^ pnie poprowadzimy przez wierzchołek stożka płaszczyznę poziomo - rzucającą cp, która przetnie kulę w kole k, a stożek w tworzących tl i t₂, stycznych do koła k w punktach Tt i T₂. Kład płaszczyzny cp na rzutnię poziomą wyrazi się kładem koła A:, wierzchołka W i tworzących t± i t₂. Te ostatnie będą stycznemi ti ⁰ i t₂° do koła k® w punktach Tt° i T₂°. Podniesione z kładu na płaszczyznę cp-punkty Tx i T₂ wyrażą się rzutami TXTX" i T₂'T₂". Dochodzimy do prostych tx" i t₂", a więc i do punktów A (A' A") i B(Br B"), rozwiązujących zadanie.

162. Przykłady przekrojów walców i stożków obrotowych płaszczyznami.

W uzupełnieniu rozważań, przeprowadzonych w ustępach 137, 144, 146 i 147 podamy kilka dalszych przykładów przekrojów walców i stożków obrotowych, przyczem rzuty tych powierzchni rysować będziemy przy pomocy wpisanych w nie kul.

a) Wykreślić ślad poziomy i przekrój płaszczyzną pionowo-rzucającą a walca obrotowego, zajmującego dowolne położenie w przestrzeni irys. 461).

Aby wykreślić rzuty walca, przyjęliśmy na rzutni poziomej punkt 0(0 0"), który uważamy za środek kuli wpisanej

Pi

3°

\cc

Xa

P₂

ha

P3

v<5

7F2,

„By.

Ayy

Ijypth

*xkl

Pt

P"

I”

rri"

i".

Pj/yf //1³'"

iryA\L

n4

V/

-—5

,WL

A°

Djy

P°5

:---50J

(w

l:

D’t

mo

P°e

60

0°

2"

Q"

Ąm

N"

hy

k?

\\

f'

\iV

PŹ

t”'\ B'

Sm

Rys. 461

w walec. Wykreślone w żądanych kierunkach, styczne p' i q' p" i p₂" do kół kt i k₂", stanowiących rzuty tej kuli, tworzą rzuty walca.

Rzut pionowy elipsy Ar₄, wzdłuż której płaszczyzna cc przecina walec, schodzi się ze śladem pionowym V« tej płasz-

czyzny, a punkt 5 (S' S") przebicia się osi m (m' m") walca z płaszczyzną a jest środkiem elipsy (k/ k^"). Uważajmy poziomo-rzucającą płaszczyznę y, przechodzącą przez oś walca za nową rzutnię i wyznaczmy rzut boczny S'" punktu 5. Prosta m'", łącząca punkt O z S"\ jest rzutem bocznym osi walca na płaszczyznę y, a styczne tx"' i t₂" do koła kx i równoległe do m'" stanowią trzeci rzut walca. Punkty M i N, w których proste t±'" i t₂" przecinają prostą m' — hy, ograniczają oś elipsy k₃, będącej śladem poziomym walca. Punkt O jest środkiem tej elipsy, a odcinek PQ1MN jej drugą osią. Ponieważ między dwoma przekrojami walca zachodzi powinowactwo środkowe, którego osią jest krawędź obu płaszczyzn siecznych, więc łącząc punkt P±, w którym przedłużenie osi PQ przecina oś powinowactwa ha, z punktem S' — otrzymamy średnicę PIP, elipsy k/. Prostej NPP₂ odpowiada w układzie elipsy k/ prosta P₂PIV, prostej zaś QMP₃, prosta P₃IPIIP. Odcinek IÏPIV stanowi średnicę elipsy k/, sprzężoną ze średnicą PIP. W ten sposób zadanie jest rozwiązane. Jeżeli oś powinowactwa ha nie leży w obrębie rysunku, to wówczas, nie opierając się na związkach powinowactwa, otrzymamy punkty P, IP, IIP i IV' wprost z rzutu pionowego, przenosząc je na rzuty poziome odpowiednich tworzących.

Äby wyznaczyć rzut poziomy k/ przekroju walca płaszczyzną a JL jt₂, nie posługując się jego śladem poziomym k₃, postąpimy w sposób następujący: Prosta b(b'b"), przechodząca przez punkt S(S'S"), prostopadle do rzutni pionowej, przebija walec w dwóch punktach, które ograniczają średnicę elipsy kt. W celu wyznaczenia tych punktów, poprowadźmy przez oś walca płaszczyznę pionowo-rzucającą ô i wykonajmy około śladu vs kład, przekroju walca wzdłuż dwóch tworzących, na rzutnię pionową. Prosta #₀±V5 jest kładem krawędzi płaszczyzn a i ô, a odcinek A°B° długością średnicy elipsy kŁ. Odmierzmy S' A' — Ś' B' = S ' A" — S ' B{) i przystąpmy do wyznaczenia średnicy sprzężonej z otrzymaną. Jej rzut pionowy C"D" jest znany. Znalazłszy rzuty poziome P i 2! punktów 1 i 2, których rzutami pionowymi są punkty 1" i 2", wykreślimy proste p±r i p₂\ równolegle do m\ na których leżą szukane punkty C i D'. Punkty styczności P i IP prostych p' i qr z elipsą k± znajdziemy, wykreśliwszy poprzednio proste p" i q"

b) Wykreślić ślad poziomy i rzuty przekroju walca obrotowego płaszczyzną a(haVa) (rys. 462).

i odniósłszy otrzymane na nich punkty I" i II" na rzutnię poziomą.

Va

VmL

I Vm

V . ' i •\ >

?//!■

Ve,

\Ve

e"\

Vn/ O” qi</

m"

iKAl

Vn P”

D'

nr

Ve

t?

\e'

Ci

Ii

PAL

Bl

ïï

fi

2”

\a"

Asa

ht/'IX

/A”

(30

S’-

Sf¹

■Aa.'

/a⁰

■y

'ïï

A \ xx '

1ï

4°i

Vf

A-H"/

ti

hc£

k’

hs ni

*>

He

Rys. 462

Ślad poziomy k walca wyznaczymy, podobnie jak w zadaniu poprzedniem, przy pomocy trzeciego rzutu. Średnice sprzężone A±B± i C₁D₁, elipsy przekroju klf otrzymamy przez pośrednictwo osi powinowactwa ha, jakie zachodzi między śladem poziomym walca, a jego przekrojem k₁ płaszczyzną a. Przedtem jednak wyznaczymy środek S± (S±' St") elipsy ki(k₁'ki"), jako punkt przebicia się osi walca z płaszczyzną a.

c) Walec obrotowy, ograniczony z jednej strony przekrojem kołowym, leży jedną tworzącą na rzutni poziomej; wyznaczyć jego przekrój płaszczyzną cp (hv Vą>) (rys. 463).

Wykreślenie rzutów walca nie wymaga objaśnień. Żądany przekrój wyznaczymy natomiast w sposób następujący: Wy-

konajmy kład płaszczyzny poziomo-rzucającej a(haVa) wraz z krawędzią, jaką tworzy z płaszczyzną cp, i kołem k na rzutnię poziomą. Uważając ślad ha za nową oś rzutów, sprowadziliśmy zadanie do rozpatrzonego w ust. 137 a).

\yrv

/fl9>

Va

Wb

e\j

{B" X' a»

łP"

Kład ky krawędzi płaszczyzn a i cp jest nowym (trzecim) śladem płaszczyzny siecznej.

Dl,

su

I FrStd" D"

! i \

V!

Hb"

żonę A"'B'"

G’i

/V

{/

bmi

likf

B’

\<3'

k’y

Jlf

km

A">

Trzeci rzut krzywej przekroju kt schodzi się z kołem k"', a średnice sprzę-i C⁷⁷⁷^⁷⁷ są równocześnie trzecim rzutem pary średnic sprzężonych elipsy k±, Przy pomocy prostych równoległych do płaszczyzny a, których rzuty boczne przechodzą przez punkty A'", B'" i C"\ równolegle do Arcp, otrzymamy punkty E',

Rys. 463

F' i G'. Punkt H, t. j. czwarty / szukany punkt, leżący na rzutni poziomej, jest punktem przecięcia się śladu hep z a'.

Wyznaczenie średnic sprężonych E" F" i G" H" polega na odniesieniu punktów E', F\ G' i H na rzuty pionowe odpowiednich tworzących.

d) Wykreślić rzuty walca obrotowego, którego oś m(m'm") jest daną; wyznaczyć jego przekrój wzdłuż koła, ślad poziomy i przekrój wzdłuż dwóch tworzących (rys. 464).

Przyjąwszy nową płaszczyznę rzutów równolegle do osi m, wykreślimy trzeci rzut walca, a także ślady ka, ha, Va płaszczyzny cc, prostopadłej do osi i tnącej walec wzdłuż koła k₂. Przy pomocy trzeciego rzutu wyznaczymy osi A₁B₁ i ClD1 elipsy kx, jako śladu poziomego walca, a także osi A₂ B2 i Ca' D₂' elipsy k₂\ będącej rzutem poziomym koła k₂. Średnice sprzężone A₂"B₂" i C₂"D₂" elipsy k₂" otrzymamy przy pomocy prostych poziomo-tworzących płaszczyzny siecznej a. Prostopadła, wykreślona z punktu S₂" do m'\ przecina rzuty pionowe tworzących konturowych walca w punktach M₂" i N₂", które są punktami styczności tych prostych z elipsą k₂".

Aby wyznaczyć przekrój walca w dwóch tworzących, a raczej uwzględniając część walca, zawartego między rzutnią poziomą a płaszczyzną a, w trapezie, obraliśmy prostą 1(1' l") równolegle do tworzących walca i poprowadzili przez nią

Ht /

-y

Vt

//

‘S I

2:

//

7TV

/v<

/ MS*«.

Az 4” a»

/a /m"

/ D’ź

Si/ /Z”

’<o

Co

Ca c"\Vc

,3"

Hf

Ni

ûj

Va

b"

Vb

Aa

5-!

\/

Wy-......\

(/

•fc.

Cr

i?

Rys. 464

płaszczyznę e(hsVe). Płaszczyzna ta jest równoległą do tworzących walca i przecina jego ślad poziomy w punktach 1 i 2, a walec w tworzących, przechodzących przez te punkty. Odcinek, łączący punkty 3 (3r 3") i 4 (4' 4"), tworzy czwarty bok szukanego trapezu.

e) Wyznaczyć siad poziomy i pionowy walca obrotowego, którego oś a (a' a") jest dowolnie nachylona do obu rzutni (rys. 465).

Rzuty walca wyznaczyliśmy przy pomocy kuli o środku O, przyjętym na rzutni poziomej. Wyznaczywszy ślad pionowy S osi walca, przyjęliśmy poziomo-rzucającą płaszczyznę y, przechodzącą przez tę oś, za nową (trzecią) rzutnię i wyznaczyli trzeci rzut walca. W tym celu wykonaliśmy kład osi a i rów-

ki?

nolegle do niego wykreślili styczne V" i t, koła r. Punkty A i B, w których styczne te prze- A. cięły prostą a', są wierzchołkami elipsy kt. Drugą parę wierzchołków stanowią punkty C i Z), przyczem CDI AB. Między śladem poziomym kx walca, a szukanym śladem pionowym zachodzi powinowactwo o osi x, a kierunku 5 O. Średnicę GH znajdziemy, odnosząc punkty G' i H' na rzuty pionowe odpowiednich tworzących. Średnica EF, sprzężona z pierwszą, jest prostopadłą do x, przyczem ES — E"r S'" = FS. Prostopadła, wykreślona przez punkt S do a", wyznacza na prostych tx" i t₂" punkty / i 11, które są punktami styczności tych prostych z elipsą k₂.

nr

do

1"r

ti

yC”

oy

ß'

\r

D",

E'\/y /Ćz

F’ E'\\    ; H'

P”

/a'

2;' ts

\ th.

ki

<37

/t)y

Ąm

2' l

Rys. 465

am

tl

J?

f) Wyznaczyć przekrój stożka obrotowego wzdłuż dwóch tworzących. Oś stożka, równoległa do rzutni pionowej, jego wierzchołek i kąt wierzchołkowy cp są dane (rys. 466).

Ponieważ oś stożka jest prostą czołową, więc kąt, jaki utworzą rzuty pionowe tworzących konturowych, równy jest danemu kątowi wierzchołkowemu cp. Uważajmy ślad poziomy O osi a stożka za środek kuli wpisanej w stożek, to koło r, zakreślone ze środka O promieniem O" I", jest rzutem poziomym tej kuli, a styczne, wykreślone z punktu W' do r, stanowią zarys stożka na rzutni poziomej.

Następnie przez wierzchołek stożka poprowadziliśmy prostą poziomą m (mr m"),

Va

ve

Vm

KVb

W"

mn

B°

po

A°

By

\a" v t? \

p"

'■W'Wm ;X

a przez nią va\ płaszczyznę a (ha Va). Zkolei przecięliśmy stożek płaszczyzną e(7zeVe), x    prostopadłą    do jego osi

F7^ L    i wykonali    kład tej płasz-

X"'

he

fl/ć J czyzny na rzutnię pio-ha/    nową wraz    z uzyskanym

nr.

B’

Ir

ha

Hb,

przekrojem kołowym i krawędzią b(b' b") płaszczyzn a i e. Prosta b° przecięła koło k° w punktach A° i ß°, które rzucone prostopadle na prostą b", dają punkty A" i B".    Odnieśmy te

Rys. 466

punkty na prostą b', a otrzymane tam punkty A' i B' połączmy z W\ to proste // i t₂' są rzutami pozio-memi tworzących, wzdłuż których płaszczyzna cc przecina stożek, Proste W" A" = tt" i W"B" = t₂" są rzutami piono-wemi tworzących przekroju.

Gdyby oś stożka miała położenie dowolne w przestrzeni, to przez wprowadzenie trzeciej rzutni, równoległej do osi stożka sprowadzimy zadanie do poprzedniego.

g) Wyznaczyć przekrój stożka obrotowego, o osi pionowej, dowolną płaszczyzną a(haVa) (rys. 467).

Przy pomocy związków kolineacji środkowej, zachodzących między podstawą a przekrojem stożka, rozwiązaliśmy powyższe zadanie w ust. 144. W tern miejscu rozwiążemy powyższe zadanie, stosując ogólną metodę wyznaczania przekroju powierzchni obrotowej, poznaną w ust. 159.

W"

/CCy

\\

k"

/m"

Vt

a",

\\

| B"

MA

iNn

1/

M"

f:\

7/

W,

g” r» \

il

/x<* iyr

/»/W

///' /

>4" i

/A \Q"

Xe

hic

~7w'    \/V'

<2

rrr

Tri

-f' /A,

.......

-7»

he.

ha,

Rys. 467

Przy pomocy płaszczyzny e, przechodzącej przez oś a stożka i prostopadłej do płaszczyzny siecznej a, znajdziemy oś NB' elipsy k₂r i średnicę A"B" elipsy k₂". Ślad poziomy Hk, krawędzi płaszczyzn a i e, jest znany; wynajdźmy, przy pomocy czołowej płaszczyzny Jt, przechodzącej przez oś stożka, punkt przebicia się M(M' M") tej osi z płaszczyzną a, to prosta Hk" M" jest rzutem pionowym krawędzi k. Wykreśliwszy rzuty pionowe tworzących, wzdłuż których płaszczyzna e przecina stożek, otrzymamy jako przecięcie się ich z prostą k" punkty A" i B", ograniczające średnicę. Oś C'D\ względnie średnicę C" D" znajdziemy przy pomocy przekroju stożka płaszczyzną poziomą p, przechodzącą przez środek S(S' S").

Ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej przecina podstawę stożka w punktach 1 i 2; elipsa k₂ leży częściowo pod rzutnią poziomą, a taki przekrój stożka nazywamy niezupełnym.

h) Wyznaczyć ślad poziomy stożka obrotowego, którego oś jest równoległą do rzutni pionowej, a którego wierzchołek i kąt wierzchołkowy a są dane (rys. 468).

Ślad poziomy 0(0'O"), osi a (a'a") stożka, uważajmy za środek kuli wpisanej w stożek, to wyznaczywszy promień tej kuli O" I" = 0" II" i wykreśliwszy jej rzuty p" i r, otrzymamy rzut poziomy tworzących konturowych, jako styczne do koła r, wykreślone z punktu W'. Ślad poziomy stożka jest elipsą k o osi dużej AB i o środku 5. Płaszczyzna &(he vE),

W”

Cz

/ MIR

Ve

JF

tï\ /y/K c°

\ O" c" D"

ki

li"

M"

jc y°°

E’

wSTT t] '    ' T Pj tz

he I Jp

hj\B

IV'

Rys. 468

przechodząca przez środek elipsy prostopadle do osi stożka, przecina stożek wzdłuż koła o promieniu M" 1" — M"2"r a punkty przecięcia się śladu poziomego h& z tern kołem ogra-niczają małą oś elipsy. Celem otrzymania długości tej osi, wykonajmy kład płaszczyzny e na płaszczyznę czołową y, przechodzącą przoz oś stożka. Koło k^y zakreślone z punktu M" jako środka promieniem M" 1", jest kładem przekroju stożka płaszczyzną e. Cięciwa C°D° koła kj\ równoległa do a", jest kładem małej osi elipsy k. Odmierzywszy CS - DS = C° C", otrzymamy drugą oś elipsy, będącej śladem poziomym stożka. Punkty styczności III' i IV rzutu poziomego tworzących konturowych z kołem r, są punktami styczności śladu poziomego stożka (elipsy k) z temi prostemi.

i) Wyznaczyć ślad poziomy stożka obrotowego, którego dana oś a (a' a") jest nachylona do obu rzutni, a którego wierzchołek W (W' W") i kąt wierzchołkowy a są również dane (rys. 469).

ts

V”

/’&

tl

: t'4

D,

.''a.'

té

y.

'k

Co'

rlR’

im

t?

'Ç

D°

^'tßirT

C°J

am

y.

2,rr

JT"'

ta

Wm

Rys. 469

Przez przyjęcie trzeciej rzutni, równoległej do osi stożka, a prostopadłej do rzutni poziomej i wyznaczenie trzeciego rzutu stożka, sprowadzimy zadanie do poprzedniego.

j) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, leżącego dowolnie w przestrzeni i wyznaczyć jego przekrój pionowo-rzucającą płaszczyzną a (ha Va) (rys. 470).

Ponieważ stożek nie jest bliżej określony, więc przyjmiemy dowolnie w przestrzeni jego wierzchołek W (W' W") i kulę o środku O (O' O"), a promieniu dowolnym. Styczne // i t./ do rzutu poziomego r' kuli z punktu W', stanowią rzut poziomy tworzących konturowych, a styczne t₃" i 1₄" do rzutu pionowego p" kuli, wykreślone z punktu W", są rzutem pionowym tworzących konturowych stożka. — Chodzi o wyznaczenie rzutów poziomych punktów A i B, których rzuty pionowe A" i B" są znane. W tym celu znajdźmy rzuty poziome

TY i 77 punktów 7₃ i Tt, leżących na południku głównym kuli wpisanej w stożek. Rzuty pionowe T₃" i T/' tych punktów są punktami styczności prostych ts" i tA" z kołem p".

'D°

tr kl

ts

T4 \sl

m°

Pj x

r"

er

w°

sł

CD"

tS

Ta”

72

tś

U’

w.

r’/

P' M'C'Ta'^.y /tej

ÄI

Ti

D'

Ti

nr\

Rys. 470

Szukane punkty leżeć więc będą na prostej p'. Punkty 7"₃ ' i T/, połączone z W', dają proste i //, na których leżą punkty >4' i Æ', ograją niczające średnicę elipsy k'. Wyznaczmy środek «S (S' S") elipsy k (kr k"), to średnicę CD, sprzężoną z AB, znajdziemy jako odcinek ograni-_a czony punktami przebicia się prostej m(m' m"), przechodzącej przez środek elipsy k ’w prostopadle do rzutni pionowej, ze stożkiem. Punkty te znajdziemy przy pomocy przekroju stożka płaszczyzną e, przechodzącą przez wierzchołek W i prostą m. Płaszczyzna ta przecina kulę w kole kx o środku M (M! M"), a stożek wzdłuż tworzących sx i s₂. Wykonajmy kład płaszczyzny s wraz z kołem kt, tworzącemi s₁₉ s₂ i prostą m, to odcinek C°D° jest kładem szukanej średnicy CD. Wyznaczywszy rzuty pionowe punktów Tx i T2 i prostych tx, t₂, otrzymamy na śladzie V« punkty I" i II", które odniesione na rzut poziomy są punktami styczności prostych tx i t₂ z elipsą k'.

k) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, którego oś a (a' a"), równoległa do rzutni pionowej, wierzchołek i kąt wierzchołkowy a są dane, a następnie wyznaczyć przekrój tego stożka płaszczyzną s (he Ve), (rys. 471).

Wykreśliwszy rzuty stożka, przy pomocy kuli o środku O, (jak w przykładzie h, rys. 468) poprowadźmy przez punkty styczności Tt i T₂ płaszczyznę y (h<ę v<p) prostopadłą do osi stożka, a uważając ją za nową rzutnię, wykonajmy jej kład około śladu Vcp, jako nowej osi rzutów y na rzutnię pionową.

CO

OJ

O-'

Jeżeli oś stożka przebija płaszczyznę cp w punkcie M (M' M"), to znalazłszy kład M" tego punktu i zakreśliwszy z niego, jako środka, koło k₃ o promieniu Tt"M" — otrzymamy trzeci rzut stożka. Kład krawędzi płaszczyzn e i cp na rzutnię pionową

vs,

Vfe

Cl

fA

ts

A!l

HT A

Kl7)

tï

r/

y.

AS

J.

rn/yM"

2>'V

■v

Km

0"

Ve.

\D"'

C"

777"

A;

KfTl, \

777'"

- \5'"Y^c

Vc

JF’

W"

:/

0',

As

/'(K/

,Aé

W’

a:

Vy

0 \ K1

\'

'V5'

ki

o""

Ai

H"')

7a

<%

/?£

h<p

Rys. 471

jest śladem bocznym ke płaszczyzny e. Biorąc pod uwagę nowy rzut stożka i jego rzut pionowy, wyznaczymy osi ~A"' B"\ C"Dr" i odpowiadające im na rzutni pionowej średnicy sprzężone elipsy k/', podobnie jak w zadaniu g) rys. 467. Przy pomocy płaszczyzny ß, przechodzącej przez oś stożka równolegle do rzutni pionowej, wyznaczymy punkt przebicia się osi stożka z płaszczyzną e. Płaszczyzna y (vy ky), przechodząca przez oś stożka i prostopadła do płaszczyzny s, przeciną tę ostatnią w prostej c (c" ć"). Aby znaleźć punkty przebicia się prostej c ze stożkiem, obróćmy ją około osi stożka do położenia równoległego względem rzutni pionowej. W tym celu przeniesiemy łukiem koła o środku M'" punkt Kc do położenia Kx (Kl Kx") i Ky" połączymy z P" prostą c”. Punkty, w których prosta ct" przecina proste /t" i /₂", rzućmy równolegle do osi y na prostą c", to otrzymamy średnicę A" B" elipsy Rzutem bocznym tej średnicy jest odcinek A'" B"f. Środek (S" S'") odcinka AB jest środkiem elipsy przekroju. Płaszczyzna Ô, poprowadzona przez punkt 5 prostopadle do osi stożka, przecina płaszczyznę e w prostej d (d" d'"), a stożek w kole r. Oznaczmy punkty przecięcia się prostej d z kołem r literami C i D, to odcinek C"D" stanowi średnicę elipsy k{", sprzężoną ze średnicą A" B". Odmierzywszy głębokości punktów A, B, C i D, jak to wskazaliśmy dla punktu Dy otrzymamy ich rzuty poziome, a więc parę średnic sprzężonych A! Br i 'CD! elipsy k/.

A”

3”.

k"

V>v V c\

Va

N"

V' ¹ \

' O” : \    ‘

W*A

_Ą_

JP g'

-ż\N’

W/

lk'

I) Dane są oś i wysokość stożka obrotowego, który styka sie wzdłuż tworzą ■ cej z rzutnią poziomą; wyznaczyć przekrój tego stożka poziomą płaszczyzną a. (rys. 472).

5'/

'3

Wm

<3'    //

W"’

V,

M°

CyM' /hp

rw i

B'"

Wir

ka.

Przyjmijmy trzecią rzutnię, równoległą do osi stożka a przecinającą rzutnię poziomą w prostej y i wykreślmy najpierw rzut boczny żądanego stożka. Następnie, przy pomocy kuli o środku O (O' O" 0’")t wpisanej w stożek, wykre ślimy rzuty tworzących konturowych i ich punkty styczności V, 2 i 3" z eli-

psami k' i k". Linja przekroju stożka płaszczyzną a jest parabolą, gdyż płaszczyzna sieczna jest równoległą do jednej tworzącej stożka. Rzut boczny P chołka stożka, jak również i punkty M i N"\ odniesiemy na rzut poziomy, otrzymując wierzchołek P’ i dwa punkty paraboli, będącej rzutem poziomym krzywej przekroju. Osią tej paraboli jest prosta a'.

wierz-

///

Voc

F0(Bi

Si

Ar

•ki

JF

F₂

C"

rn

D"

'S

Fi

Ba

fĄ

163. Ogniska przekrojów stożka.

Mi

kî \ir

Oi

Ss

1. Przetnijmy stożek obrotowy (rys.

vß.

FF

Aat

pi p *3

[Fi

S₂

Ff

A₂

473) płaszczyzną cp wzdłuż elipsy k, a następnie wpiszmy weń dwie kule styczne do stożka wzdłuż kół kv i k₂, a do płaszczyzny cp w punktach Ft i F₂. Środki 0Ł i 02 tych kul leżą na osi stożka, przez którą przechodzi w naszym przypadku pionowa płaszczyzna rzutów.

s'! iiV' i B'

—<S- O — ■ -Ó-7 - —O

3' Fl

A’

*~rr

D’

Osią większą elipsy k jest odcinek AB, na którym leżą punkty Ft i F₂, osią małą odcinek CD.

Dowolna tworząca t stożka (rys. 474) przecina koło kt w punkcie A, koło k₂

w punkcie B, a elipsę k w punkcie P. Połączmy punkt P z punktami F± i F₂, to ponieważ punkty te leżą na kulach, a promienie PF± i PF₂ na płaszczyźnie cp stycznej w punktach Ft i F₂ do kuli, więc:

PFX = PA i PF₂ = PB czyli:

_ PJj +PF₂=PA + PB = AB .

Odcinek AB wyraża długość tworzącej stożka, ograniczonej

kołami kti k₂, która jest stałą dla wszystkich punktów elipsy k. Równanie I, odnoszące się do każdego punktu elipsy k mówi, że suma odległości każdego punktu elipsy od dwóch stałych punktów Ft i F₂, leżących na jej osi większej Jest ilością stałą. Punkty Ft i F₂ nazywamy ogniskami, a odcinki PFt i PF₂ promieniami wodzącemi elipsy.

Jeżeli w miejsce dowolnego punktu P elipsy weźmiemy pod uwagę jej wierzchołki A i B (rys. 473), to równanie I przyj-

//

<P

'/

fk

I,

j-

\A

ki

~r

\ mie formę:

afx + af₂ = ab... ii

co oznacza, że owa stała

Rys. 474

ilość, równa sumie odległości każdego punktu elipsy od jej ognisk, równa jest *równocześnie dużej osi elipsy. Z rys. 473 czytamy, że:

A F₂ = AF± +FtF₂.

Równanie to wstawione w równanie II da:

i analogicznie

2BF₂ + FxF₂ — AB

2AF₁+FlF₂ =AB

Przez odjęcie ostatniego równania od poprzedzającego go otrzymamy :

2~ÄYX —2~B~F₂ = 0, czyli: ÄF. = WV₂ .... III.

Z ostatniej równości wynika, że ogniska elipsy oddalone są w równej odległości od jej wierzchołków, czyli są symetrycznie położone względem jej środka.

Poznawszy własności ognisk elipsy, ująć możemy punkt wyjścia naszego rozumowania w formę następującego twierdzenia: Punkty styczności kul, wpisanych w stożek obrotowy, z płaszczyzną sieczną są ogniskami elipsy, podług której płaszczyzna ta przecina stożek.

■"te

S Fs B

■ Ol

Rys. 475

2.    Z danej osi dużej i ognisk wyznaczyć możemy oś małą i dowolną ilość punktów elipsy. Łuk koła, zakreślony z jednego z ognisk (rys. 475) jako środka, promieniem równym pół osi dużej, przetnie prostopadłą poprowadzoną do osi A B w środku S, w punk- ^ tach C i D ograniczających małą oś °“ elipsy. Punkty C i D spełniają bowiem warunek określony równaniem I, a odnoszący się do wszystkich punktów elipsy.

Obierzmy na osi A B dowolny

punkt /, z ogniska F± zakreślimy koło promieniem A /, a z punktu F₂ koło promieniem B /. Oba koła przetną się w punktach 1 i 2 elipsy, gdyż:

TFx + TF₂ = IF± + 2F₂ — ~A~I -f- ZT7 = ÂTË co znowu zgodne jest z zasadniczem równaniem I.

3.    Poprowadźmy płaszczyznę a równoległą do płaszczyzny cp (rys. 473) i styczną do kuli o środku 0₂ w punkcie F±\ a nadto płaszczyznę ß równoległą do cp i styczną do kuli o środku 0± w punkcie F₂². Obie płaszczyzny przetną stożek wzdłuż elips, których osie większe są odcinkami AtBt i A₂B₂. Ponieważ punkt W jest środkiem podobieństwa kół py i p₂, więc średnice F± ¹F₂ i FXF₂² są równoległe, a punkty Fx i F^1 podobnie jak punkty F₂ i F₂², leżą na promieniach/! i f₂ przechodzących przez punkt IŁ. Stąd: miejscem geometrycznem ognisk elips, które otrzymamy jako przekroje stożka obrotowego płaszczyznami równoległemi, są dwie proste, przechodzące przez wierzchołek stożka.

Jeżeli vcp jest śladem pionowym czwartej płaszczyzny z pęku płaszczyzn równoległych, tnących stożek wzdłuż elipsy, to punkty Ft³ i F₂* przecięcia się promieni F± W i F₂ W w prostą A₃Bâ są ogniskami tej elipsy.

4. Uważajmy oś AB elipsy k, podług której płaszczyzna <p przecina stożek (rys. 473) za rzut odcinka I II z punktu W na prostą vcp. Środkowi odcinka AB, którym jest środek elipsy k, odpowie jakiś punkt odcinka I II. Uważajmy teraz odcinek F\ F₂ za rzut odcinka F± F₂² z punktu W na vcp, to środkowi pierwszego odcinka odpowie jakiś punkt odcinka drugiego. Wobec tego, że środek odcinka Ft F₂ jest równocześnie środkiem odcinka A B, a odpowiedzieć mu AB ma jakiś punkt odcinka III, należący // zarazem i do odcinka Fx F₂ ², więc punktem tym może być tylko punkt przecięcia się obu tych odcinków t.j. punkt Mx. Rzut punktu Mx z wierz-

'M

s m

Rys. 476

0 j chołka Wna vcp jest więc środkiem 5 >/ q elipsy. Środki S, Sx, S₂, Sx wszystkich elips, powstałych z przekroju stożka obrotowego płaszczyznami równole-głemi,leżą wraz z punktami MX,M₂,... na jednym promieniu 5 przechodzącym przez wierzchołek stożka.

Własność należenia do jednej linji prostej punktów W, S i Mx ująć można w następujące twierdzenie planimetryczne:

''____Ö2

*v

7T.

.Co

kA

Fi

ki

„Cięciwa styczności dwóch boków trójkąta, opisanego na kole, przecina się ze średnicą tego koła, przechodzącą przez punkt styczności trzeciego boku z tym kołem w punkcie, którego rzut z wierzchołka przeciwległego temu trzeciemu bokowi na ten bok jest jego środkiem“. Jeżeli ABC jest trójkątem opisanym na kole k (rys. 476) i stycznym don w punktach I, Ui III, to cięciwa / II przecina średnicę O III w punkcie M. Rzut 5 punktu M z wierzchołka B na bok A C jest jego środkiem.

■P-.-

Kr

Ó.Wyprowadzone własności elipsy jako przekroju stożka odnoszą się także i do przekroju walca (rys. 477), a wyrazić się

\*

dadzą w sposób następujący: W walec, przecięty dowolną płaszczyzną q>, wpisać można dwie kule styczne do walca i do płaszczyzny 9. Punkty Ft i F₂ styczności tych kul z płaszczyzną sieczną cp są ogniskami elipsy przekroju, t. j. takimi punktami większej osi elipsy, leżącemi symetrycznie względem jej środka, że suma odległości każdego punktu elipsy od tych punktów jest ilością stałą i równą dużej osi elipsy. Miejscem geometry-cznem ognisk elips, powstałych z przecięcia walca pękiem płaszczyzn równoległych, są dwie proste równoległe do tworzących walca.

6. Stożek obrotowy (rys. 478) przetnijmy wzdłuż hiperboli, a następnie wpiszmy weń dwie kule, styczne także i do płaszczyzny siecznej 9, a to w punktach F± i F₂. Jeżeli punkt P jest dowolnym punktem hiperboli, to ponieważ

y\

67/;

\kz

x&u '

\\l

C5ł

<\

''U II5^»

ÏW

.i

£* ■

PF±=P A i PF₂ = PB, więc:

PF~-PF~ =PB—PA = AB... I.

Punkty F± i F₂ mają tę własność, że różnica odległości każdego punktu hiperboli od nich jest ilością stałą. Są to ogniska hiperboli. Podobnie jak przy elipsie wykazać możemy z łatwością, że ogniska hiperboli leżą na jej osi i są symetrycznie położone względem jej środka.

Jeżeli stożek obrotowy przetniemy pękiem płaszczyzn równoległych wzdłuż hiperbol, to ich ogniska leżeć będą na dwóch prostych, przechodzących przez wierzchołek stożka. Podobnie środki tych hiperbol leżą na jednej prostej, przechodzącej również przez wierzchołek stożka.

r\ /

T~V-~

OM

77

fi

r/

i\

ki.

/KÏP

-I--

Rys. 478

■ J:

7. Przetnijmy stożek obrotowy (rys. 479) płaszczyzną <p, równoległą do tworzącej t. Krzywą przekroju będzie parabola p. Wpiszmy w stożek kulę, styczną do płaszczyzny cp w punkcie F. Płaszczyznę ty koła k, wzdłuż którego stożek styka się z kulą, przecina płaszczyznę cp w prostej m. Poprowadźmy z punktu P paraboli równoległą do tworzącej t, a więc prostopadłą do m, (porównaj ust. 147. pkt a), która przetnie tę ostatnią w punkcie C. Promień P F leży na płaszczyźnie cp, a ponieważ punkt F jest punktem kuli, przeto:

PF = ~PA = MN = PC czyli PF = PC, t. zn.,

iN

/y

że odległość dowolnego punktu paraboli od punktu F i od prostej m jest ta sama. Punkt F jest ogniskiem, a prosta m kierownicą paraboli. Oś paraboli przechodzi przez ognisko i jest prostopadłą do kierownicy.

IM

' Ti

//

V(

7y

/i

8. Jako jeden z przykładów licznego zastosowania wyprowadzonych wyżej własności przekrojów stożka obrotowego, w łączności z wpi-sanemi weń kulami, wyznaczmy ślad poziomy i pionowy stożka obrotowego, opisanego z wierzchołka W (W' W") na danej kuli O o środku O (O' O") (rys. 480).

Rys. 479

Prosta łącząca wierzchołek W stożka ze środkiem kuli jest osią tego stożka; wykreślone z punktu W" styczne do koła, stanowiącego rzut pionowy kuli, tworzą zarys pozorny stożka na rzutni pionowej. Ponieważ położenie punktu W nie pozwala na wykreślenie stycznych rzeczywistych do rzutu poziomego kuli, przeto rzut poziomy naszego stożka ograniczy się do jego śladu poziomego.

Przyjąwszy trzecią rzutnię,prostopadłą do poziomej, a równoległą do osi stożka, rzućmy na nią wierzchołek stożka i kulę. Styczne wykreślone z punktu W'" do koła, będącego rzutem bocznym kułi, przedstawiają rzut boczny stożka, którego ślad poziomy jest elipsą ^.Osią większą tej elipsy jest odcinek AB, równy odcinkowi A'" B"'.

3.2

âr

\ kz

C,'" 0"

\.

\-

V

.V*

\ i'

Fz

ir

X.

Wß"'

rl

Fi

SŹ

Fi"

p'

s/

y Si

Fi

Fi/

C"'y

S!

D"’

FF

he

ki

Vi=tz

W')

F/fF

S"'

D₄

9'

M"

/A'"

Fi'

O"’

l"\

\pm

y,

ka

Nm

////

Vf

Fßy

Rys. 480

Z punktu 3 tego ustępu wynika, że ogniska wszystkich elips, podług których płaszczyzny poziome przetną stożek, leżeć będą na prostych, przechodzących przez wierzchołek stożka. Proste te ft i f₂ łączą wierzchołek stożka z punktami styczności M i N poziomych płaszczyzn a i p z kulą O; ich rzuty boczne fx

///

///

łączą punkt W" z punktami M'" i N"'.

Ślady poziome Ft i F₂ prostych ft i f₂ są ogniskami elipsy kt, której środkiem jest punkt Slf a osią małą odcinek C D, przyczem :

Ft C = F± D = F₂ C = F₂ D = A S, = B S±.

Środki elips, powstałych z przecięcia stożka płaszczyznami poziomemi, leżą na prostej s, która przechodzi przez wierzchołek W stożka i punkt / przecięcia się prostej M N i 1 2. Środek S± elipsy kx jest śladem poziomym prostej s.

Tym sposobem ślad poziomy stożka jest wyznaczony; chodzi jeszcze o jego ślad pionowy.

Płaszczyzna e, przechodząca przez wierzchołek równolegle do rzutni pionowej, przecina stożek — w naszym przykładzie — wzdłuż dwóch tworzących, w następstwie czego ślad pionowy stożka jest hiperbolą k₂. Tworzącemi temi są styczne t Ł iit₂, wykreślone z punktu W do koła, podług którego płaszczyzna c przecina kulę.

a ponie-

przeto F₃ S₂ = S₂ Fit czyli punkt

Jeżeli punkty P i Q są punktami styczności płaszczyzn równoległych do rzutni pionowej z kulą O, to proste W P = f3 i W Q = fA są miejscami geometrycznemi ognisk hiperbol, powstałych z przecięcia stożka płaszczyznami równoległemi do rzutni pionowej. Rzut pionowy punktów P i Q schodzi się z punktem O". Rzut punktu P, z punktu W jako środka rzutów, na rzutnię pionową jest ogniskiem Fs hiperboli k₂. Ślad pionowy promienia fi jest drugiem ogniskiem hiperboli. W obrębie rysunku leży tylko rzut poziomy F/ tego śladu. Środek odcinka F₃ FA jest środkiem S₂ hiperboli. Znajdziemy go, odnosząc w kierunku pionowym środek S₂' odcinka F/ F/ na prost_ą_W" O". F\S₂ : S~ F] = FyS~' : S₂'F~ waż ~F₃' S₂' = S₂' Ft'

S₂ jest środkiem hiperboli.

Proste at // /₁" i a₂ //1₂" są asymptotami hiperboli k₂, której dwa punkty, a mianowicie te, w których elipsa kx przecina oś rzutów x są znane. Dalsze jej punkty wyznaczymy >> w sposób poznany w ust 127 pkt. d.

Gdyby punkt W' nie leżał „wewnątrz“ koła stanowiącego rzut poziomy kuli O, to ślad pionowy stożka byłby także elipsą.

Gdyby punkt W leżał na płaszczyźnie stycznej do kuli O, „ a równoległej do rzutni pionowej, to ślad pionowy kuli byłby parabolą.

Gdyby wierzchołek] W stożka leżał na płaszczyźnie] stycznej do

fpn

r"

i”

Ht")

ri 3"

la"

k”\

rS y I

8"-

f(

X.

/H

*    kuli O, która równocześnie jest poziomą, to ślad poziomy stożka byłby parabolą.

' Gdyby rzut pionowy W" wierzchołka stożka leżał „wewnątrz“ koła będącego rzutem pionowym kuli O, czyli ściślej się wyrażając, gdyby z punktu W" nie można było poprowadzić do owego koła stycznych rzeczywistych, to ślad poziomy stożka byłby hiperbolą.

164. O punktach przebicia się

rh

*    prostych z powierzchniami obro-towemi.

s.____

-ĆN<

,hs

Rys. 481

Punkt przebicia się prostej z powierzchnią obrotową znajdziemy za pośrednictwem przekroju tej powierzchni płaszczyzną, poprowadzoną przez tę prostą, z reguły prostopadle do jednej z rzutni. Punkty przecięcia się danej prostej z linją przekroju rozwiązują zadanie.

777"

Am”.

O" / ; ■

A”js

z\

-X

H/h

Przykłady, a) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej p (p' p")sz powierzchnią obrotową (rys. 481).' Przez prostą p poprowadziliśmy poziomo rzucającą płaszczyznę a i wyznaczyliśmy jej przekrój z daną powierzchnią. * Punkty M (M M”) i N (N*N"), przecięcia się krzywej przekroju z prostą p, rozwiązują zadanie.

P'

TT)'

B'

(ACM',

t~kx.

•Hm

moAO\

A1°

po

b) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m(m' m") z kulą (rys. 482). Po-ziomo-rzucająca płaszczyzna a przecina kulę wzdłuż koła o środku S(S'S"). Wykonajmy kład płaszczyzny a wraz z kołem przekroju i prostą m, około śladu ha, na rzutnię poziomą, to punkty A° i B\ rzucone prostopadle na m\ a stąd na m" rozwiązują zadanie.

165.    Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, przechodzące przez dany punkt. Płaszczyzna styczna do stożka,* przechodząca przez dany punkt P, przechodzi przez wierzchołek W, a więc zawiera prostą, łączącą punkt P z wierzchołkiem stożka.

WA

S2

0 ⁶ \ti

Si

Si

Rys. 483

W"

Ja.

Aby więc przez dany punkt P poprowadzić płaszczyznę styczną do stożka (rys. 483), połączymy ten punkt z wierzchołkiem, wyznaczymy ślad P prostej p na płaszczyźnie kierownicy (podstawy, śladu) i z otrzymanego punktu wykreślimy styczne sx i s2 do kierownicy k stożka. Styczne te wraz z prostą p wyznaczają żądane płaszczyzny i o₂. Tworzące tx i t₂, przechodzące przez punkty styczności Sx i S2 prostych i s₂, są temi, wzdłuż których płaszczyzny cr₁ i g₂ stykają się ze stożkiem. Jeżeli z punktu P poprowadzić można dwie styczne do podstawy k stożka, to istnieją dwie płaszczyzny, rozwiązujące zadanie. Jeżeli punkt P jest punktem krzywej k, to punkt P leży na stożku, a wówczas istnieje jedna płaszczyzna, rozwiązująca zadanie, styczna do stożka wzdłuż tworzącej WPP.

P",

JÈ-

fpn

Vfl

(b

Hp

nß \ Vp

Jeżeli wreszcie z punktu P nie można wykreślić żadnej stycznej do kierownicy k, to zadanie nie posiada żadnego rzeczywistego rozwiązania.

S2

166.    Zadania.

S2

P’

a) Przez punkt P(P' P")

hp

ha'

tz

P'

Si

a>

T,

Si

7r

poprowadzić płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, o osi pionowej (rys. 484). Łączymy W z P, szukamy śladów Hp i Vp prostej p (pr p"), a przez punkt Hp kreślimy styczne st i s₂ do koła k. Styczne te są śladami

poziomemi szukanych płaszczyzn a i ß, których ślady pionowe przejdą przez punkt Vp. Wykreślenie tworzą-

P‘

tl

*    cych styczności t^ (i/ tx") i t₂(t₂ t₂')> dopełnia rozwiązania zadania.

W’

C t"

a"

Va

'B

x\e i &

—\-r?—

\60° \

A'

Vp_

ti

«f

t2

fHp

7" /ha

b) Przez daną prostą P (P' p") poprowadzić płaszczy-znę nachyloną pod kątem 600 do rzutni pionowej (rys. 485). /fi Na prostej p obieramy dowolny punkt W (W' W"), który uważamy za wierzchołek stożka obrotowego, o tworzących nachylonych do rzutni pionowej

Rys. 485

*    pod 60°. Płaszczyzny a i ß, przechodzące przez prostą p, a styczne do tego stożka, rozwiązują zadanie.

167. Płaszczyzny styczne do walca obrotowego, przechodzące przez dany punkt. Uważając walec obrotowy za stożek obrotowy, którego wierzchołek leży nieograniczenie daleko w kierunku tworzących walca, otrzymamy rozwiązanie

ia

\t£

r— —

ÎV—-+-- -

r*

Ss

«Sr

«Sr

Rys. 486

zadania takie same, jak dla stożka. Przez dany punkt A (rys. 486) prowadzimy prostą p, równoległą do tworzących walca. Z punktu P, w którym prosta p przebija płaszczyznę podstawy walca, kreślimy styczne st i s2 do podstawy, a płaszczyzny a=(p,sj i ^ = (p,s₂) rozwiązują zadanie. Tworzące tt i 12 walca, przechodzące przez punkty i S₂, są temi, wzdłuż których płaszczyzny styczne cc i ß

*    stykają się z walcem.

Jeżeli podstawa walca leży na rzutni poziomej (rys. 487), to płaszczyzny styczne, przechodzące przez punkt A (A' A"),

są poziomo - rzucające. Ilość rozwiązań, podobnie jak przy stożku, zależy od położenia punktu A i może wynosić dwa, jeden lub zero.

Vß

Va

P"

t'i

t!

A"

a" ;

Hp

x_

Xa¹

Hp

Sa

\Sz

ta

S;

° a.'

fk

•s-

168. Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równo-~ ległe do danej prostej. Przez wierzchołek stożka poprowadzimy prostą c (rys. 488), rów-noległą do danej prostej my a przez nią płaszczyzny styczne do stożka. Zadanie sprowadza się tym sposobem do rozważonego w ust. 165.

Rys. 487

yv

Uważajmy podstawę k stożka za kierownicę stożka normalnego (ust. 154) i wyznaczmy jego wierzchołek Wx. Jeżeli tx i t₂ są tworzącemi, wzdłuż których płaszczyzny styczne, przechodzące przez prostą ej Im, dotykają stożka, a proste i s₂ są śladami tych płaszczyzn na płaszczyźnie ur, to prosta sx jest prostopadła do płaszczyzny WT₁Wt, gdyż WW₁ jest prostopadła do płaszczyzny jt. Z tego samego powodu prosta s₂ jest prostopadła do płaszczyzny WT₂ Wlt a co zatem idzie, px jest prostopadłe do s₁, a p₂ls₂. Ale prosta plt jako tworząca stożka normalnego, jest prostopadła do tx, a więc jest prostopadłą do płaszczyzny stycznej <5t = (tu st). Analogicznie prosta p₂ jest prostopadłą do płasz" czyzny stycznej a₂ = (t₂, s.j.

ôl'

i à V’

JT

Stąd wynika dalej, że płaszczyzna Ąr = (pu p₂), jako prostopadła do płaszczyzn stycznych 0! i a₂, jest prostopadłą do ich krawędzi c.

O*

P ! ip₂

<S;

W,

Znając więc wierzchołek stożka normalnego, wyznaczymy tworzące, wzdłuż których płaszczyzny styczne, równoległe do danego kierunku, stykają się ze stoż-

kiem, jeśli przez wierzchołek stożka normalnego poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do danego kierunku i wyznaczymy prostą q, wzdłuż której płaszczyzna ta przecina płaszczyznę podstawy stożka. Prosta q przecina koło k w punktach T± i T2J które połączone z wierzchołkiem W stożka, są szukanemi two-rzącemi. Styczne i s₂, wykreślone do koła k w punktach T₁ i T₂, wyznaczają wraz z tworzącemi tx i t₂ płaszczyzny styczne i c₂, równoległe do danego kierunku.

Przykłady.

a) Równolegle do prostej czołowej m (m' m") poprowadzić do stożka obrotowego (rys. 489) płaszczyzny styczne. Prostopa-

[A

a"\

: V"

ta

77/"

\ V«z

Bi

Ti"\Ta" \Bn A

T\ir

m<

pi

Ti",

Ta

B*.....■

1VL

ta.

Sa

sa.

t’a

W'\a< \H \B

Wî

tv Wî

>/' Hn B

tr

ti

Ti

Si

thy

Ti

Si

Rys. 490

Rys. 489

dła, wykreślona w punkcie A" do prostej A" W", przecina a" w punkcie W±", który jest rzutem pionowym wierzchołka stożka normalnego. Płaszczyzna >]/, przechodząca przez prostopadle do m, jest w tym przypadku pioncwo-rzucającą, a jej ślad poziomy hy przecina koło w punktach 7\ i T₂. Punkty te, połączone z wierzchołkiem stożka, dają tworzące tt i t₂, wzdłuż których płaszczyzny styczne cr₁ = (tu s±, i a₂ = (t₂, s₂), równoległe do kierunku m, dotykają stożka.

b) Wyznaczyć płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równoległe do prostej m(m' m")\ (rys. 490). Przez wierzchołek W± stożka normalnego poprowadziliśmy n (n' n") prostopadłą do m, a przez jej ślad poziomy Hn wykreśliliśmy prostą qLm'. Prosta q jest śladem poziomym płaszczyzny >]/, przechodzącej przez wierzchołek Wu prostopadle do kierunku m.

rw

Proste ti=T₁W i t₂=T₂W wyznaczają wraz ze stycznemi st i s2 płaszczyzny styczne do stożka, równoległe do prostej m.

tS I

ii

JUe

Se

te

rrr

Til

Cl A'i W'\ H‘ \B' \D

\ t wi <v7 n' i

<Ś1

/TT

ti

Ui

A»

Rys. 491

c) Jeżeli wierzchołek stożka nie leży w obrębie płaszczyzny rysunkowej (rys. 491), to przyjąwszy dowolny równoleżnik stożka (w naszym przykładzie ograniczający sto-^ żek), uważamy jego płaszczyznę za rzutnię poziomą i przeprowadzimy konstrukcję jak w rysunku 490, znajdując punkty 7\ (T±' T±") i T₂(T₂'T₂"). Proste t±' = (W', T±') i t₂ ~ (W', T./) przecinają podstawę k± stożka w punktach UŁ i U₂, a proste t±" = (T±", Ut") i t₂" = (T₂", U₂") są rzutami pio-nowemi tworzących, wzdłuż których płaszczyzny c\ = (tt> sj i g₂ee(?₂, sj stykają się ze stożkiem.

■er

169. Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, a równoległe do danej płaszczyzny a. Jako przykład powierzchni obrotowej przyjmijmy kulę (rys. 492). Gdyby płaszczyzna cc była pionowo-rzucającą, to ślady pionowe płaszczyzn stycznych do kuli byłyby styczne do koła jako rzutu pionowego kuli, a żądane płaszczyzny dałyby się bezpośrednio wyznaczyć. Jeżeli jednak, jąk w naszym przypadku, płaszczyzna a(haVa) ma położenie dowolne, to najpierw sprowadzić ją musimy, zapomocą obrotu około osi a (a' a") kuli, do położenia prostopadłego względem rzutni pionowej. Następnie poprowadzimy płaszczyzny styczne do kuli, a równoległe do płaszczyzny a w jej nowem położeniu, a tak otrzymane płaszczyzny obrócimy, aby były równoległe do płaszczyzny cc w jej położeniu pierwotnem.

Obrotu płaszczyzny a (haVa) dokonaliśmy, obracając jej ślad poziomy ha w położenie ha⁰. Przyjęta na płaszczyźnie a tworząca b (b' b") zajmie, po dokonanym obrocie płaszczyzny, położenie prostopadłe do rzutni pionowej. Prostopadła /?', wykreślona z punktu O' do ha, a więc i b\ przecina

je w punktach A i B'. Odcinki O' A i O' B' są rzutami pozio-memi promieni obrotów. Po dokonanym obrocie punkty A i B zajmą położenie A₀ (A₀ A₀") i B₀ (B₀' B₀"), a płaszczyzna a

Me

N"

•-/I

Vn

y/#

y<p

i a"

~rß:

Fi'

\yâ Va

\ .Bo B'\Vb

b" K T \

0"¹

y\

\\

ES

EL

Xo,

Xl

Xe

Vn

G"

Vm

B>

I Mh

m"

"-Q

g»

51

--O?

C)

4.

Cn

O UJ

Rys. 492

położenie <x° (ha° Va⁰). Płaszczyzny e⁰(he°vE⁰) i cp° (Tzcp°Vcp®), równoległe do płaszczyzny a⁰ i styczne do kuli, pierwsza w punkcie E₀ (E^ E₀"), druga w punkcie F(i (F₀' E₀"), musimy obrócić około osi kuli do położenia równoległego względem płaszczyzny a(haVa). W tym celu przeniesiemy lukami kół, zakreślonemi z punktu O' jako środka, punkty C₀ i D₀ na prostą p' i wykreślimy przez punkty C i D równoległe do ha, otrzymując ślady poziome hs i /zcp szukanych płaszczyzn. Równolegle do Va, wykreślone z punktów X& i Xp, stanowią

ślady pionowe tych płaszczyzn. Podobnie zapomocą obrotów wstecznych punktów E₀ i E₀ otrzymamy punkty styczności E(E' E") i F(F' F") płaszczyzn e i cp z kulą.

Płaszczyzny 8° i cp° przecinają oś a kuli, pierwsza w punkcie M (M M"), druga w N (N' N"). Przez punkty te przejść muszą płaszczyzny f i cp, co służyć może do sprawdzenia dokładności rysunku. Ślad pionowy Ve przejdzie przez ślad Vm poziomo - tworzącej prostej m (m' m"), a ślad pionowy Vn prostej nlIm leżeć będzie na śladzie pionowym Vcp płaszczyzny cp.

170. Wyznaczenie linji styczności walca, o tworzących równoległych do danego kierunku, opisanego na powierzchni obrotowej. Ogólne rozwiązanie tego zadania poprzedzimy rozważeniem następujących tematów:

a) Dana jest powierzchnia obrotowa i rzut poziomy p' jej południka; wyznaczyć na tym południku punkty styczności płaszczyzn stycznych, równoległych do danej prostej k.

FÏ

V<p

! d." /

\\

A"

E"

Vs

E>*2

k H"S?\

//

i s₂

F’L

71'

E^E.'E,") i Ft (7Y F±").

É1

fi

Przyjmijmy najpierw (rys. 493), że prosta k jest równoległą do płaszczyzny południka. Wiadomo z ust. 151, że płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni obrotowej jest prostopadłą do płaszczyzny południka, który przechodzi przez ten punkt, i że krawędź płaszczyzny tego południka z płaszczyzną styczną jest styczną do południka w uważanym punkcie i przecina oś powierzchni. Aby uniknąć si kreślenia rzutu pionowego połu-\ dnika p, obróćmy go około osi powierzchni tak, aby zeszedł się z południkiem głównym. Równocześnie obróćmy prostą k (kr k") tak, aby zajęła położenie klf równoległe do rzutni pionowej. Styczne s* do zarysu powierzchni obrotowej na rzutni pionowej, równoległe do k±" stykają się z tym zarysem w punktach

ar

Wróćmy z temi punktami na południk p — a zadanie będzie rozwiązane. Łuki kół, zakreślone z punktu a' promieniami a'Et' i a' F/, przeci-

nają prosta p' w punktach E i E, których rzuty pionowe leżeć będą na śladach pionowych v& i Vcp płaszczyzn obrotów, przechodzących przez punkty EŁ i Flt prostopadle do osi a powierzchni.

EL

E"

vs

-f

O”

'sf

<śi>'

V<jp

Fi"

A" *

Va

1'kHfę

Jeżeli prosta k (k' k") nie jest równoległą do płaszczyzny południka (rys.

cp \

'k' \ki

A?

O¹ pi \Fi

El

a'

Rys. 494

494), to południk dany obrócimy około osi a (a' a") powierzchni aż padnie na A’> południk główny, a prostą / k(k' k") obrócimy około prostej IIja o kąt cp, równy kątowi, jaki płaszczyzna południka p zawiera z płaszczyzną południka głównego. Wykreślimy styczne sx" i s₂", równoległe do kt", a punkty Ei(E₁' E±") i Et (Ftr F\") sprowadzimy zapomocą obrotu około osi a na płaszczyznę południka p, otrzymując punkty E (E E") i F (F F"), rozwiązujące zadanie.

b) Na danym równoleżniku r(r' r") powierzchni obrotowej (rys. 495) wyznaczyć punkty styczności płaszczyzn stycznych, równoległych do danego x kierunku k (k' k").

/ Szukane płaszczyzny są styczne K do stożka opisanego na powierzchni wzdłuż danego równoleżnika, a wyznaczenie owych płaszczyzn stycznych do stożka, równoległych do ~n> danego kierunku, uskutecznimy przy pomocy stożka normalnego (ust. 168).

W punkcie A" wykreślmy styczną s" do krzywej, będącej rzutem pionowym powierzchni obrotowej,

n”

<A"

r/

a;i ;H\,ß

wfw’

an

a następnie normalną A" Wt". Prostopadła n", poprowadzona z Wx" do k", przecina r" w punkcie H", który rzucimy na prostą n', otrzymując punkt HPrzez ten punkt wykreślona prosta q' -Lk' przecina kolor' w punktach 7/ i 7a', które są rzutami poziomemi szukanych punktów Tt (T/ Tx") i Tt (T₂ T₂").

B”

Ody

k”"

fi

Os

g"

Ve

f:6"

Wi\

n„ i WUJ I \

0\s?

1/*0z

~F~>

Teraz przystąpić możemy do wyznaczenia linji styczności 4 (ls' ls') walca opisanego na powierzchni obrotowej, przy założeniu jednak, że tworzące walca są równoległe do rzutni pionowej (rys. 496). Oś powierzchni jest pionowa, a jej zarys pozorny na rzutni pionowej składa się z łuków kół, nakreślonych z punktów 0±, 0₂, 0₃, On 0₅, 0₆, 0₇ i 0₈, jako środków.

6'

er \

//

\A’

1_hn

B[

ar

Wi\

ii

\i&

nr

s4

Rys. 496

Najpierw wyznaczymy punkty A (A' A") i B (B' B"), w których walec opisany styka się z południkiem głównym. W tym celu wykreślimy styczne st" i s₂" do rzutu pionowego południka głównego (rzutu pionowego powierzchni), równolegle do danego kierunku k (k' k"),a otrzymane punkty styczności A" i B" odniesiemy na ślad poziomy h«, płaszczyzny południka głównego, jako punkty A! i B'. Dalszych punktów linji styczności 4 walca z powierzchnią obrotową szukać będziemy na równoleżnikach, a to przy pomocy stożków normalnych. Tak np. weźmy pod uwagę równoleżnik e (e' e"), leżący na płaszczyźnie e. Punkt W± (Wt' Wt") jest wierzchołkiem stożka

normalnego, którego kierownicą jest przyjęty równoleżnik. Prostopadła wykreślona z punktu Wy" dok" przecina ve w punkcie, który oznaczyliśmy przez 5", 6", albowiem w nim łączą się rzuty pionowe punktów 5 i 6 szukanej linji 4. Punkty 5' i 6' leżą na kole e' (porównaj ust. 168, rys. 489). W analogiczny sposób znajdziemy dowolną dalszą ilość punktów linji 4 (U ls"). Z łatwością zauważymy, że rzuty pionowe punktów linji 4, leżących na równiku lub na kole szyjnem, leżą na rzucie pionowym a" osi powierzchni obrotowej (punkty R" i Ry w rys. 496).

Wkońcu wykreślmy linję styczności ls (U W) walca opisanego na tej samej co poprzednio powierzchni obrotowej, gdy kierunek k (k' k") tworzących jest zupełnie dowolny (rys. 497).

Przedewszystkiem wyznaczymy punkty A (A' A")\B (B' B") linji 4, leżące na południku, którego płaszczyzna n jest równoległą do kierunku k, tj. na t. zw. południku świetlnym. Pierwszy z nich będzie punktem najniższym, drugi najwyższym linji 4. Äby je otrzymać obróćmy prostą k do położenia ky (kxr ky"), równoległego do rzutni pionowej i wykreślmy styczne s±" i s2 do rzutu pionowego powierzchni. Otrzymane punkty styczności Ax (A₁/ A±") i By (Bx By") obrócimy około osi a (a' a") powierzchni na płaszczyznę n, otrzymując szukane punkty A (A' A") i B (B' B"), (porównaj z rys. 493). Jeżeli punkt przecięcia się prostej sj' z prostą a" oznaczymy literą O/", to przez punkt ten przejdzie rzut pionowy s" promienia, stykającego się z powierzchnią w punkcie A i równoległego do danego kierunku k. Punkt A" leżeć więc będzie na promieniu s", który jest równoległy do prostej k“.

Styczne c" i d" do rzutu pionowego południka głównego w punktach C i Z)", a równoległe do k", są śladami piono-wemi pionowo-rzucających płaszczyzn y i stycznych do walca, którego kierownicą jest południk główny powierzchni obrotowej, a którego tworzące są równoległe do danego kierunku k. Punkty C (C C") i D (U D") są punktami szukanej linji 4, leżącemi na południku głównym. W punktach C' i D styka się ta linja z rzutem pionowym powierzchni. Ponieważ prosta s' = hn jest osią symetrji prostokątnej rzutu poziomego 4' krzywej 4, więc znajomość punktów C i D pozwala na otrzymanie punktów Cx (C/ Cy") i    (D/ Dy"), leżących

z poprzedniemi na tych samych równoleżnikach.

Zkolci wyznaczymy punkty E (E E") i F (F' F"), leżące na płaszczyźnie p, prostopadłej do osi X. W tym celu obrócimy tę płaszczyznę około osi a powierzchni tak, aby padła na płaszczyznę a, a równocześnie o ten sam kąt t. j. 90°, obrócimy prostą k, która zajmie położenie k₂ (k₂ k₂"), przyczem k₂ Ek'. Równolegle do k₂ wykreślimy styczne e₂" i f₂" do rzutu pionowego powierzchni, a punkty styczno-, ści E₂ (E./ E₂") i F₂ (F₂ F₂") przeniesiemy zapomo-cą obrotu wstecznego około osi a (a' a") na płasz-czyznę p, gdzie j Vp otrzymamy punk-—J ty E (E E") x F (F' F"), krzywej h (E U"). Symetrycznie względem płaszczyzny Jt znajdziemy punkty E{ (E/ E^) i F i (F' F/').

Fr

Ot,

■SZ

>

OF \ un l 6*i j \ Q3 S"\

V] \e^ vs Qs y⁴⁵

Gn

k”

Is

Fi

i\Pn PZ

8".

AMQMS

Fm-

7"

V<P

PÀ Hk\

hß

\id

'OF-

ki

F’

- Pi

Hh

iDi.

P'

Ai

Si

ha

\ hehMfa

v\

'Alk

<5',

&cy\\

EE\f

Rys. 497

Następnie przyjmować będziemy na powierzchni równoleżniki, na których znajdziemy, przy pomocy stożków normalnych, po dwa punkty, podobnie jak w rys. 495. Punkty R (R'R") i Rt (R/R±") na równiku znajdziemy, kreśląc średnice R' /?/ _L s', i odnosząc otrzymane punkty R' i /?/ na rzut pionowy równika, jako punkty R" i Rt". *

171. Ćwiczenie.

Wykreślić linje styczności walca opisanego na powierzchni obrotowej równolegle do danego kierunku k (k' k") (rys. 498).

Zadanie rozwiązane jest w sposób najzupełniej analogiczny z omówionym na przykładzie poprzednim.

\s"

\C" \

i a"

eK

UL

Oi o%

Ö3 04

x_

Pif-

Pl\P"

k1

pjiki

Hk

L-

5":

DP

Fi

Vó

Di

P'

■j

\V,

Fi

\k'i

wl,

6'

hec

si

i ^a'

*hïU

wTjH⁷

D' Fl

2'

Ei

■AU

Vf Z'

Li

hx.

'S¹

hß

Rys. 498

172. O rzutach powierzchni obrotowych, których osi nie są prostopadłe do płaszczyzn rzutów. Zarys powierzchni obrotowej na rzutni pionowej jest rzutem prostokątnym zarysu istotnego powierzchni, albo innemi słowy, jest przekrojem walca opisanego na powierzchni, którego tworzące są prostopadłe do rzutni pionowej, z tą rzutnią. Podobnie rzut poziomy

powierzchni jest przekrojem walca o tworzących pionowych, opisanego na tej powierzchni, z rzutnią poziomą.

Gdy oś powierzchni jest pionowa, to linja styczności walca opisanego na powierzchni, prostopadle do rzutni pionowej, jest południkiem głównym. Rzut pionowy tego południka, albo innemi słowy przekrój walca opisanego na powierzchni, jest lin ją przystającą do południka głównego.

Jeżeli oś powierzchni obrotowej ma położenie dowolne względem rzutni, to wykreślenie np. rzutu pionowego tej powierzchni wymaga wyznaczenia linji styczności walca, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, opisanego na powierzchni i wynalezienia rzutu pionowego tej linji. To samo odnosi się do rzutu poziomego powierzchni. Najpierw wyznaczyć musimy linję styczności walca, o tworzących pionowych, opisanego na powierzchni, a następnie rzut poziomy tej linji, czyli przekrój tego walca rzutnią poziomą.

Kilka przykładów sprawę najlepiej wyjaśni. a) Wyznaczyć rzut pionowy stożka obrotowego, którego oś a (a' a") równoległa do rzutni bocznej i rzut boczny są dane. (rys. 499).

Opisany na stożku walec, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, sprowadza się do dwóch pionowo-rzucających

płaszczyzn, stycznych do stożka wzdłuż two-

W"

W¹"

kvr

\ \t?

Vp'î'V'

I \

kr

Am

k?

rżących ty i t₂. Tworzące te znajdziemy przy pomocy stożka Nn normalnego, kre-

_k’l

tl

W la"

B”i

M",

C"t

tjow

___

_i <r

—------\si-----JD" śląc z jego wierz

kf

A"

chołka Wy płaszczyznę Prostopadłą do kierunku rzutów,

a więc równoległą do rzutni

pionowej. Płaszczyzna T przetnie płaszczyznę podstawy stożka w prostej q (q" q"j, a koło kt (k^ k”r) w punktach M(M" M"') i N(N"N'"). Wykonajmy kład k.° koła A:., około jego średnicy

AB na płaszczyznę, przechodzącą przez oś stożka, a równoległą do rzutni bocznej, to podwójna długość odcinka ~Ń° Ń'" równa jest cięciwie M"N" elipsy kt . Punkty M" i N" są punktami styczności prostych tj' i t₂ z elipsą kj'.

b) Wykreślić rzut pionowy i boczny kuli wraz z jej równikiem, dwoma równoleżnikami i dwoma południkami. Rzuty osi a (a" a'") i środka O (O" 0"j kuli, a także i jej promień, są dane.

Walec, o tworzących prostopadłych do dowolnej płaszczyzny, opisany na kuli, jest walcem obrotowym. Rzut prostokątny kuli, będący przekrojem tego walca płaszczyzną rzutów, prostopadłą do jego tworzących, jest więc zawsze kołem o promieniu, równym promieniowi kuli. Koła, zakreślone z punktów O" i O"' (rys. 500) danym promieniem kuli, są rzutami tej kuli na płaszczyznę pionową i boczną.

Punkty A, (A A A/") i A₂ fAj' Aj") są puktami, w których oś a (a" a'") przebija kulę. Średnica A" B" A Aj' A₂

am

liï'"

-r'

V³

/vr

G")

AU'

CH"

AA/ph i

Pp\i

AA*

ri"

■Ta

ïc"' ~yT^

ÿïfi^r

■ F"]

\y

\ pw

/'

i?,

pw

t:

¥\

Qc

Mf

", /

/    rF

Ns

R"’

TP"'

zrm

ro=y

—w

Rys. 500

rx

nr

jest rzutem pionowym równika r, a równoległe do niej cięciwy E" F" i J" K" są rzutami pionowemi równoleżników rx i r,. Wyznaczenie rzutu bocznego r"' równika i rzutów bocznych i rj" równoleżników nie nastręcza żadnych trudności. Mała oś elipsy r'" jest rzutem prostokątnym średnicy A" B" na prostą a'", oś duża równa jest średnicy C" D'" koła. Mała oś elipsy rj", będącej rzutem bocznym równoleżnika rl, jest

rzutem prostokątnym E'" F" cięciwy E" F" na a'" ; długość osi wielkiej G'" H'" tej elipsy jest równą długości cięciwy E" F".

///

rr

Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś kuli, przecina ją wzdłuż koła wielkiego (południka), a płaszczyznę równika wzdłuż prostej, która przechodzi przez środek kuli. Każda średnica koła równikowego i oś At Bt kuli, stanowią parę wzajemnie prostopadłych średnic jednego południka. Rzut tej pary średnic koła południkowego na płaszczyznę boczną stanowi parę średnic sprzężonych elipsy, będącej rzutem bocznym południka. Elipsa Py'\ wyznaczona parą średnic sprzężonych A/" A2 i F" Q"', przyczem ta ostatnia jest dowolnie przyjętą średnicą elipsy r'", jest rzutem bocznym południka p±. Rzut pionowy tego południka jest elipsą p±", wyznaczoną osiami A"A2 i WW⁷.

Płaszczyzna poprowadzona przez środek kuli, równolegle do rzutni bocznej, przecina ją wzdłuż koła wielkiego, którego rzut boczny stanowi zarys kuli na bocznej płaszczyźnie rzutów. Płaszczyzna ty przecina równoleżnik r± {rx" r "') w punktach Mx    i W, (Nx" Nx"r). Punkty Mx" i N"'

są punktami styczności elipsy r/" z kołem, będącem rzutem bocznym kuli. Podobnie otrzymamy punkty M₂ (M₂" M₂") i N₂ (N₂" N₂"') na równoleżniku r₂ r.'").

///

i F" Q"\ przez zastosowanie konstrukcji poznanej

nr

Płaszczyzna ty przecina południk p w punktach / i //, których rzuty pionowe I" i II" są bezpośrednio znane, a których rzuty boczne I'" i II'" są punktami styczności elipsy p z kołem konturowem kuli. Prosta / II jest krawędzią płaszczyzny ty i płaszczyzny południka pt, jest średnicą w kole pt i ma położenie równoległe do rzutni bocznej. Ale rzut średnicy koła, równoległej do płaszczyzny rzutów, jest osią elipsy, będącej j*zutem tego koła (patrz przykłady w ust. 123). Średnica T" II'" jest więc osią elipsy p , którą też otrzymać można, bez pośrednictwa rzutu pionowego, ze średnic sprzężonych A7TrA2 w ust. 121 rys. 349 b.

c) Wykreślić rzut pionowy powierzchni obrotowej, której oś — równoległa do rzutni bocznej—i rzut boczny są dane (rys. 501).

Rzut pionowy naszej powierzchni jest śladem pionowym walca, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, opisanego na tej powierzchni, albo innemi słowy jest to rzut pionowy linji styczności walca, którego tworzące, styczne do powierzchni, są prostopadłe do rzutni pionowej.

Biorąc pod uwagę rzut boczny i poziomy, wyznaczymy — podobnie jak w rys. 496 — linję styczności walca, opisanego na powierzchni obrotowej, uwzględniając kierunek jego tworzących, równoległy do osi y. Więc styczne, równoległe do kr", dotykają zarysu powierzchni w rzucie bocznym

S'"kè\

E"j

rt

C°

Tl

W\

oS

w.’r

\\

Qin

D"

°w

O'ï

K" Sï

B'"

03^

M°

M'F

G"’

'S'I

pnr

P"\

"T"

U"

. Rm-

An

6"

Fi"

E"

1b"~:

■y\

—£E

:S'3

L"

\R"

KÎ

Rys. 501

/ rr

///

szukanej linji. Zkolei szukać będziemy

w punktach A

punktów tej linji na równoleżnikach powierzchni, aby zaś uniknąć kreślenia rzutu poziomego, wykonywać będziemy kłady tych równoleżników na płaszczyznę, przechodzącą przez oś powierzchni, równolegle do rzutni bocznej. I tak np. rzut boczny równoleżnika rx jest odcinkiem r/", a kład jego na wspomnianą wyżej płaszczyznę kołem r/. Z punktu W/", który jest rzutem bocznym wierzchołka stożka normalnego, wykreślimy prostopadłą do kierunku k"\ otrzymując na r/" punkt C".

Z punktu tego wykreślimy prostopadłą do rzutu pionowego a" osi powierzchni i odmierzymy po obu stronach prostej a" odcinek x — C" C°. Otrzymamy punkty C" i C/' szukanego zarysu powierzchni na rzutni pionowej. W podobny sposób znajdziemy dowolną ilość dalszych punktów tego zarysu; konstrukcję dla punktów D" i D±", E" i EL", F" i F " podaliśmy na rysunku.

nr

Druga część naszej powierzchni obrotowej złączona jest z pierwszą walcem obrotowym i takimże walcem zakończona. Z rzutu pionowego pierwszego widoczna jest część elipsy o osi dużej K" K/' i małej półosi, równej rzutowi prostokątnemu odcinka J'" fC" na prostą a". Rzut boczny, a także i pionowy linji styczności walca, opisanego na owej drugiej (dolnej) części powierzchni obrotowej, wyznaczymy zupełnie w ten sam sposób, jak dla części pierwszej. Styczne równoległe do k stykają się z krzywą, stanowiącą rzut boczny powierzchni w punktach G'" i FI"'. Rzut pionowy G" punktu G leży na prostej a".

//

są punktami zwrotu linji zarysu i że krzywa

Poprowadźmy styczną do linji G'" M'" H'", równoległą do. k'", względnie prostopadłą do a" i oznaczmy punkt styczności literą M". W znany sposób, przy pomocy kładu równoleżnika, znajdziemy rzut pionowy M" punktu M, a także punktu Mlt przyczem odcinek M" Mx" równy jest podwójnej długości odcinka M'" M’. Z konstrucji wynika wprost, że punkty M" i My

M" G" Mx" jest niewidoczną. Idąc od punktu M ku punktowi H, rzut pionowy linji styczności, walca opisanego na powierzchni, jest widoczny.

173. O stożkach opisanych na powierzchniach obre-towych.

1. Niechaj zadaniem naszem będzie wyznaczenie na południku głównym danej powierzchni obrotowej, np. kułi, punktów styczności płaszczyzn stycznych do tej powierzchni, a przechodzących przez dany punkt S (S' S").

Poprowadźmy w tym celu z punktu S prostopadłą s (rys. 502) do płaszczyzny południka głównego a i oznaczmy punkt przebicia się tej prostej z płaszczyzną a literą A. Poprowadźmy następnie z punktu A (A! A") styczne e (e' e")    *

i f {f f") do południka głównego p (p' p"), to płaszczyzny e = (s,e) i cp = (s,f) stykają się z powierzchnią obrotową

w szukanych punktach E(E' E") i F (Fr F '), leżących na południku p (p' p").

Gdybyśmy w miejsce południka głównego przyjęli południk dowolny, leżący na płaszczyźnie a (rys. 503), to zadanie powyższe rozwiążemy w sposób następujący : Z danego punktu S (S' S") poprowadzimy prostopadłą 5 (sr s") do płaszczyzny a (ha Va), a następnie obrócimy tę płaszczyznę wraz z punktem A (A' A"), około ost powierzchni, do położenia płaszczyzny

Ai A" S"

A" S"

S"

e”

En

ff

| Prr.

Va

•a"

;aff

Fn%

Fi’

F"

P”/

Pi

Ai

ha

S'

Ai

i Fi pj ą'

Fe’

F,

e> i F' p'

A'

F'

...

3'

E' ha

Fi

P'

Ei ei

Hß

S’

A'

S'

S'

Rys. 502

Rys. 503

południka głównego ß. Styczne e₁ (e/ e ") i ft (f j f/'), wykreślone z punktu Av (Atr A") do południka głównego, stykają się z nim w punktach EL (E/ E/') i Fv (F/ F/'). Zapomocą obrotu wstecznego około osi a (a' a"), wrócimy z temi punktami na płaszczyznę a, otrzymując na danym południku p(p'p") punkty E (E' E") i F (F' F"), w których płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, przechodzące przez punkt S, dotykają tych powierzchni.

2. Przyjmijmy powierzchnią obrotową (rys. 504), a na niej równoleżnik r (rr r"), zaś zewnątrz powierzchni dowolny punkt

S (S' S"). Wyznaczmy na tym równoleżniku punkty styczności płaszczyzn stycznych do powierzchni, a przechodzących przez punkt S.

S"

m"

IV"

ß-

slft

Sl

Vp

SŹ

Sźh

'Si

777'

fSÎ

Rys. 504

a) W tym celu uważajmy równoleżnik r za równoleżnik stożka obrotowego, opisanego na powierzchni obrotowej. Styczne w punktach A" i B" do rzutu pionowego powierzchni przecinają prostą a" w punkcie W'\ kióry jest rzutem pionowym \ i * wierzchołka stożka. Płaszczyzny styczne do tego stożka, przechodzące przez punkt S, wyznaczają na równoleżniku r szukane punkty S± i S₂. Prosta m, łącząca punkt S z wierzchołkiem W, przebija płaszczyznę p równoleżnika r w punkcie H. Styczne (s±'s±") i s₂ (s₂ s₂")y wykreślone z punktu H(H' H") do równoleżnika r, wyznaczają wraz z prostą m (m' m") płaszczyzny styczne do stożka wzdłuż tworzących WSX i W\S₂, a do powierzchni obrotowej w punktach St (SL' S ") i S₂ (S₂' S₂").

b) To samo zadanie rozwiązać możemy także i przy pomocy stożka normalnego do stożka, opisanego na powierzchni obrotowej, wzdłuż równoleżnika r.

W rys. 505 przyjęliśmy punkt na płaszczyźnie południka głównego. Wierzchołkiem stożka normalnego jest punkt W± (Wi W/'), przez który przeprowadzimy płaszczyznę ^ prostopadłą do promienia m, łączącego punkt 5 z wierzchołkiem W stożka stycznego do powierzchni obrotowej wzdłuż równoleżnika r. Płaszczyzna która przechodzi przez prostą n, poprowadzoną z punktu W₁ prostopadle do promienia m, jest pionowo-rzucającą, a jej ślad pionowy schodzi się z prostą n". Płaszczyzna p równoleżnika r przecina płaszczyznę wzdłuż pro* stej q, która znowu równoleżnik przetnie w punktach Sx (S/ Sx") i S₂ (S₂ S₂"), rozwiązujących zadanie. Styczne sx (s/ s”)    *

i s₂j (s₂ s₂") do koła r w otrzymanych punktach i prosta m (m' m") wyznaczają dwie płaszczyzny, przechodzące przez

Jeżeli «S ma dowolne położenie w przestrzeni, to konstrukcja zadania przedstawi się tak, jak to widzimy na rys. 506. Różnica między zadaniem rozpatrywanem, a rozwiązanem w ust. 170, pkt. b, rys. 495 polega na tern, że tam z wierzchołka W±

punkt S, a styczne do powierzchni obrotowej w punktach St i Sa.

S"

rri"

W"

n"

Ś"

m"

i W"

'n"

a"

vp

r"

SUSz-

B" si'

HU

S2

Ył

r" S2

Hn Si'

B" si'

S-s

Wi"

x_

w:

SŚ

r'

rSÎ

Si

"SB

[Sr I \Ar m' W'\/a'

<L

B'

: /P’

n' Wj

H,7

[A' n>    'ń B'

sf.

■ Sk

S2

PD’

S'

StA

Rys. 506

Rys. 505

stożka normalnego poprowadziliśmy płaszczyznę Ąr prostopadłą do danego kierunku k, a tu płaszczyznę Ąr prostopadłą do promienia m (m' m"), łączącego punkt 5 z wierzchołkiem W stożka, opisanego na powierzchni obrotowej wzdłuż danego równoleżnika. Zatem z punktu W± (W/ Wt") prowadzimy prostą n (nr n") prostopadłą do m (m' m"), która przebija płaszczyznę p równoleżnika w punkcie Hn (Hnf Hn"). Prosta q, prostopadła do m' jest rzutem poziomym krawędzi płaszczyzn p i Ąr. Punkty St (Sx Sx") i S₂ (S./ S₂"), w których prosta q przecina równoleżnik r, rozwiązują zadanie.

3. Przystąpmy wreszcie do wyznaczenia linji styczności stożka opisanego na danej powierzchni obrotowej z dowolnego punktu S (rys. 507).

Przedewszystkiem wyznaczymy punkty charakterystyczne szukanej linji, któremi są:

V.

a) Punkty A (Ar A") i B (Br B"), leżące na południku, którego płaszczyzna Jt przechodzi przez punkt S, a które znaj-

Hi°°

«B.

Si S”FF

Wj

Ti"

T"

a?

C"

W"

gï i'i'

d"

bl

A'î

G?

G"

C"

H"

rï , 'h''

UJ",

Vs

V<p

Mij

7V"

rn

-h"-

V:

J?

Vv

an

D"‘.

Bi.\\ B"

H'r

X.

a>

G'

Li

E'

■VU

H’C

Si \/?'

ha

\bjf\

W' W

WLWh\Ąc. Y/2 A' W

wUji'

rrv,

B<

K)

ni

hß

(JŁ

hz

n’

N'

S’

Rys. 507

dziemy jak w rys. 503. Punkt A (A' A") jest punktem najwyższym, a punkt B (Br B") najniższym szukanej linji.

b) Punkty C (C Cr) i D (Dr D"), leżące na południku głównym, a będące punktami styczności płaszczyzn pionowo-

rzucających z powierzchnią i przechodzących przez punkt Rzuty pionowe tych punktów są punktami styczności s'ycznych c" i d", wykreślonych z punktu S" = R'" do rzutu pionowego powierzchni. Na południku, zawierającym z płaszczyzną n ten sam kąt, jaki ta ostatnia tworzy z południkiem głównym, leżą punkty E (Er E ') i F (F' F '), przyczem ich rzuty poziome są symetrycznie położone względem prostej hn.

c)    Punkty G (G' G") i J(f J") leżące na południku, kto-rego płaszczyzna ß jest prostopadła do osi x. Punkty te znajdziemy tak, jak punkty E \ F w rys. 503. Więc z punktu 5 prowadzimy prostopadłą do płaszczyzny ß, a punkt przebicia się T (T T") obrócimy około osi a na płaszczyznę a, oznaczając jego nowe położenie przez Tl (T/ Ty"). Z punktu T±" kreślimy styczne g±" i it" do rzutu pionowego powierzchni. Punkty styczności G± (G/ G±") ij, (Jt' J") prostych gx i i1 z powierzchnią obrócimy około osi a na płaszczyznę ß, otrzymując tam punkty G(G'G") i J (f J"). Symetrycznie do nich leżą punkty K i L.

d)    Punkty M (M M") i N (1V' N"), leżące na równiku r (względnie na kole szyjnem), są określone poziomo-rzucającemi płaszczyznami, stycznemi do powierzchni. Śladami poziomemi tych płaszczyzn są proste m' i n', styczne do koła r' wr punktach M i N'.

Wyznaczywszy owe punkty charakterystyczne szukanej linji, przystąpimy do konstrukcji punktów pośrednich, leżących na równoleżnikach powierzchni. Punkty te znajdziemy sposobem podanym w rys. 504. Jako przykład niechaj posłużą punkty / (V I") i II (W II"). Bierzemy pod uwagę równoleżnik ri (r±' rt"), leżący na płaszczyzźnie s i znajdziemy wierzchołek W ( W' W") stożka opisanego na powierzchni obrotowej wzdłuż tego równoleżnika. Prosta S W przebija płaszczyznę e w punkcie H (H' H"). Punkty styczności I' i II", stycznych do rv' z punktu H', wyznaczają rzuty poziome szukanych punktów. Punkty I" II" leżą na prostej rt"~Ve.

W miarę, jak przyjmowane równoleżniki zbliżają się do równika, wierzchołki stożków, opisanych na powierzchni wzdłuż tych równoleżników, oddalają się od rzutni poziomej. W pew-nem położeniu prosta, łącząca punkt S z wierzchołkiem takiego stożka, jest prostą poziomą, a jej ślad z płaszczyzną równoleżnika leży nieograniczenie daleko. Wyznaczmy punkty szu-

kanej linji styczności, leżące na takim równoleżniku. Z punktu S" poprowadzimy prostą równoległą do osi rzutów x, a punkt przecięcia się Wx" tej prostej z prostą a" jest właśnie rzutem pionowym wierzchołka stożka, o który chodzi. Z punktu Wt" wykreślimy styczne do rzutu pionowego powierzchni, a cięciwa styczności jest śladem pionowym Vcp płaszczyzny równoleżnika, -wzdłuż którego stożek styka się z powierzchnią. Wykreśliwszy rzut poziomy tego równoleżnika, poprowadzimy przez punkt W/ prostopadłą do prostej /z? i otrzymamy, jako przecięcie się jej z rzutem poziomym równoleżnika, punkty IIP i IV'.

Uwagą. Gdy powierzchnią obrotową będzie kula, to linją styczności stożka opisanego na niej jest koło, którego rzuty przez wprowadzenie trzeciej rzutni, dadzą się z łalwością wyznaczyć.

ę.

174. Zadania.

1.    Przez daną prostą p poprowadzić płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej.

'!■

'b

Każda płaszczyzna styczna do stożka albo do walca opisanego na danej powierzchni obrotowej, jest styczną do tej powierzchni w jednym punkcie krzywej styczności. Obrawszy więc dwa dowolne punkty A i B prostej p (rys. 508) za wierzchołki stożków, opisanych na powierzchni <1>, wyznaczymy ich linje styczności a i b, które przecinają się w punktach E i F. Płaszczyzny e = (p,E) i cp =(ptF) rozwiązują zadanie.

Rys. 508

Jeślibyśmy punkt B przyjęli jako punkt niewłaściwy prostej p, to otrzymamy walec opisany na powierzchni obrotowej O, a rozwiązanie zadania nie dozna zresztą zmiany.

2.    Przez daną prostą a (a' a") poprowadzić płaszczyzny styczne do kuli.

Pierwszy sposób. Na kuli opiszemy walec, którego tworzące są równoległe do prostej a; płaszczyzny styczne do walca, a przechodzące przez prostą a, rozwiązują zadanie. Aby móc poprowadzić płaszczyzny styczne do walca, bez poprzedniego wyznaczenia jego śladu, poprowadzimy przez środek

kuli płaszczyznę a prostopadłą do prostej a (rys.

S2,

g0

Są,

Rys. 509

509), a przez punkt przebicia się A tej prostej z płaszczyzną a styczne sl i s₂ do koła k. Płaszczyzny, przechodzące przez prostą a i styczne st i s2 rozwiązują zadanie, które, jak widzimy, posiada dwa rozwiązania.

Niechaj punkt O (O' O") jest środkiem kuli, a prosta a (a' a") daną prostą (rys. 510). Przez środek kuli poprowadzi-

Ha

Hä

v<p

v₇

Va

/ vs

z,

\\

yce

'a.”

VÀ

■z

A’

'r>

P”

k"

" &0"

r" F"

ol X-

Vb__b"_Vg

Hk. /VÙ

F' '

d"

d’

HdXa

h<?

Hd

A*l

a.’

D°

O'

ha

\d°

coi

CO\/7¹/

k'

He]

Rys. 510

liśmy prostą poziomą b (bf b") prostopadłą do a (a' a"), a przez nią płaszczyznę a (ha Va) również] do a prostopadłą. Punkt przebicia się prostej a z płaszczyzną a oznaczyliśmy literą A (A' A"). Wykonajmy kład płaszczyzny a na płaszczyznę f> równika r kuli, a to około krawędzi b (b' b") tych obu płaszczyzn. Prostą a' uważajmy za ślad poziomy płaszczyzny obrotu, to kład punktu A na płaszczyznę równika będzie w punkcie Ax, przyczem A' Ax ~ z jest odległością punktu A od prostej b", równą odległości punktu A od płaszczyzny p. Po dokonanym obrocie punkt A zajmie położenie .4°. Styczne c° i ć/°, wykreślone z punktu A° do koła r', przecinają prostą b(br b") w punktach E(E' E") i F (F' F"), które połączone

ff

a"

Vô

B⁰’

Br

Sn;

d”

k"/

i\\

'A'

yàj

Vc

vr

. Jia X Hc\ ÂT _

!\:Nx    y ! y\

và\ Iwkxô M / \.ivc\ ■ n^Xm\

\Vd

/\\

Hd

h?

C'

CO

B”

d', d°

v\

k°

hß

hè

Rys. 511

z punktem A (A' A") dają proste c (c' c") i d (d'd"). Płaszczyzna e (hE Ve), wyznaczona prostemi a (a' a") i c (c' c") i płaszczyzna cp (7zcp Vy), przechodząca przez proste a (a' a") i d (d'd"), rozwiązują zadanie.

Drugi sposób. Z dowolnego punktu prostej a, jako z wierzchołka, opiszemy na kuli stożek. Płaszczyzny styczne

do tego stożka, a poprowadzone przez prostą a, są styczne do kuli i rozwiązują zadanie.

Najdogodniej jest obrać punkt na prostej a tak, aby oś stożka była równoległą do jednej z rzutni, gdyż wówczas rzut koła styczności stożka z kulą na płaszczyznę równoległą do osi jest linją prostą.

Niechaj punkt O (O'O") jest środkiem kuli, a prosta a (a' a") tą prostą, przez którą poprowadzić mamy płaszczyzny styczne do kuli (rys. 511). Poprowadźmy przez środek kuli czołową płaszczyznę a i wyznaczmy punkt A (A' A"), w którym cc przecina prostą a (a' a"). Uważajmy punkt A za wierzchołek, a prostą czołową A O za oś stożka opisanego na kuli. Zarys tego stożka na rzutni pionowej stanowią styczne, wykreślone z punktu A" do rzutu pionowego kuli. Cięciwa styczności M" N" jest rzutem pionowym koła styczności k stożka i kuli. Pionowo - rzucająca płaszczyzna ß (hp v$)t tego koła, przecina prostą a (a' a") w punkcie B (Br B"). Styczne c i (/, poprowadzone z punktu B do koła k, oraz dana prosta a wyznaczają żądane płaszczyzny. W celu otrzymania rzutu poziomego stycznych c i d, wykonaliśmy kład płaszczyzny ßr wraz z kołem styczności i punktem B, na rzutnię poziomą. Styczne c° i d°, wykreślone z punktu B° do koła k°, przecinają ślad /zß w punktach Hc i Hd, które połączone z punktem Br dają proste c' i d'. Rzuty pionowe stycznych c i d schodzą się ze śladem pionowym płaszczyzny p. Płaszczyzny y = (a, c) (a, d) stanowią rozwiązanie zadania.

§ 12. POWIERZCHNIE TOPOGRAFICZNE

175. Plan warstwicowy. Powierzchnia obszaru ziemi wraz z jej wzniesieniami i zagłębieniami, a więc powierzchnia nie dająca się określić geometrycznie, nosi nazwę powierzchni topograficznej. Do przedstawienia takiej powierzchni używamy z reguły metody rzutów cechowanych; zarówno metoda Monge’a, jakj rzut ukośny nie byłyby tu celowe i stąd nie wchodzą w rachubę.

Celem otrzymania geometrycznego obszaru powierzchni topograficznej, weźmy pod uwagę obszar ziemi, znajdujący się nad morzem. Przybrzeżną część spokojnego zwierciadła morza uważajmy za płaszczyznę, którą przyjmijmy za płaszczyznę porównawczą (rzutów). Płaszczyzny warstwowe, przyjęte w pewnych równych odstępach od płaszczyzny porównawczej, przetną uważany obszar ziemi wzdłuż linij ciągłych, które nazywamy warstwicami powierzchni topograficznej. Oznaczmy każdą z warstwie liczbą, wyrażającą odległość płaszczyzny, na której leży, od płaszczyzny porównawczej w metrach i rzućmy je wszystkie prostopadle na płaszczyznę porównawczą, to otrzymane tam linje krzywe, zaopatrzone w cechy, tworzą t. z w. plan warstwicowy, charakteryzujący dany obszar powierzchni topograficznej. Każda z warstwie, którem to mianem określamy nietylko przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną poziomą, ale także i rzut tego przekroju na płaszczyznę porównawczą, jest miejscem geometrycznem punktów o jednakowej wysokości. Oczywiście, że im mniejszą jest różnica wysokości poszczególnych warstwie, tern charakterystyka terenu, wyrażona planem warstwicowy m, jest bardziej szczegółowa i dokładna.

'238

238

237

237

235

236

l3\

237

ii

236

239y

A'j5j234

237

237

²³⁵/236/237

238

238

239

239

Ml

240

J- 1 m

Podz tatka 1:20.000.

Rys. 512

Rys. 512 przedstawia plan warstwicowy obszaru powierzchni topograficznej w podziałce 1: 20.000. Rzut oka 24o na cechy i przebieg warstwie pozwala natychmiast na zorjento-wanie się w terenie. I tak widzimy, że w okolicy punktu A teren jest najniższy i tworzy t. zw. kotlinę, następnie wznosi się, o czem pouczają nas warstwice o cechach 234, 235, 236, 237... W kierunku wschodnim teren wznosi się dalej i tworzy szczyt o wysokości 2405 m; podobnie podnosi się teren ku południowi, a zaś ku północy spada.

Wysokość warstw, t. j. odległość dwóch uważanych płaszczyzn warstwowych, przyjmujemy zależnie od podziałki rysunku i celu, jakiemu rysunek ma służyć.

Kształt obszaru powierzchni topograficznej, zawarty między dwiema warstwicami nie jest bliżej określony. Przyjmujemy t jednak, że w tym obszarze powierzchnia nie zawiera żadnych szczególności i że stanowi taką powierzchnię prostolinjową, której tworzące są w przybliżeniu prostopadłe równocześnie do obu warstwie.

.    176. Przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną

)9 100 101 102

153

101    \100 \99    98

102

hą_W__

CI I)> E'F G //'

P'

101

100

101

.97 \08    ' 09

100

'99

108

101

G^

J>

r.

m\

rzucającą. Weźmy pod uwagę powierzchnię topograficzną (rys. 513) i przetnijmy ją poziomo - rzucającą płaszczyzną a. Ponieważ rzut poziomy linji przekroju schodzi się ze śladem poziomym ha p!aszczyzny siecznej, więc « wykonać musimy kład tej płaszczyzny, wraz z linją przekroju, na jedną z płaszczyzn warstwowych i (aby przejrzystości rysunku nie zaciemniać), przenosimy ten    ¹

A' B'

V B' P'E' F’ G' IF

10m

Rys. 513

kład w inne miejsce na płasz- j*i czyźnie rysunkowej. Przyjętą prostą p uważajmy za krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną warstwową o wysokości 95m i przenieśmy na nią szereg punktów A\ B', C,... z prostej h a. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach A\    ... do prostejp, odmie

rzymy różnice wysokości poszczególnych punktów od płaszczyzny porównawczej i płaszczyzny warstwowej o wysokości 95 m. Otrzymane punkty A, B, C,... łączymy, o ile możności prostemi, otrzymując w rezultacie linję ciągłą, stanowiącą w przybliżeniu żądany przekrój, czyli, jak go w odniesieniu do powierzchni topograficznej nazywamy, profil poprzeczny.

Jest rzeczą oczywistą, że im gęściej występują warstwice i im mniejszą jest ich różnica wysokości, tern dokładniejszą i bardziej do prawdy zbliżoną będzie otrzymana linja przekroju (profilu). Między punktami D i E kształt powierzchni nie jest znany, to jednak pewne, że między obu temi punktami

znajduje się punkt najniższy linji przekroju, od którego począwszy linja ta, a więc i teren, poczyna się wznosie ku punktowi E. Punkt P' przyjmiemy w środku odcinka C D\ a wysokość punktu P, a więc i jego cechę, znajdziemy również tylko w przybliżeniu z proîilu poprzecznego, przy założeniu, że od punktu C ku punktowi P teren spada w tym samym stosunku, w jakim następnie podnosi się ku punktowi D.

177.    Uzupełnienie planu warstwicowego. Wrysowanie warstwie pośrednich w dany plan warstwicoyzy nazywamy uzupełnieniem tego planu. Zadanie polega na wyznaczeniu

■ISO

200

-180

■160

"128

•120

rzutów punktów o równych, żądanych cechach, leżących na powierzchni topografi-.y™ cznej, między dwiema płaszczyznami warstwowemu

'■-uo

-100

.80

Rys. 514

Uwzględniając końcową uwagę w ust. 175,nakreślimy w pewnych odstępach rzuty tworzących powierzchni topograficznej, ograniczonej dwiema warstwami, podzielimy je w żądanym stosunku, a otrzymane punkty, o równych cechach, połączymy linją ciągłą. W ten sposób włączyliśmy warstwicę 110 między 100 i 120 i warstwicę 128 i 136 w plan warstwicowy, podany na rys. 514.

178.    Przekrój powierzchni topograficznej dowolną płaszczyzną. Linja przekroju powierzchni topograficznej płaszczyzną jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się warstwie tej powierzchni z warstwicami płaszczyzny siecznej o tych samych cechach. Tym sposobem otrzymaliśmy punkty A',B',C w rys. 515. Chcąc otrzymać punkty pośrednie, określające dokładniej przebieg linji przekroju powierzchni płaszczyzną cc, obieramy na powierzchni proste, prostopadłe w przybliżeniu do dwóch sąsiednich warstwie i szukamy punktów, w których proste te przebijają płaszczyznę sieczną. Tak np. prosta M N przebija płaszczyznę a w punkcie P, prosta P S w punkcie T.

Punkt przebicia się prostej z powierzchnią topograficzną znajdziemy przy pomocy przekroju powierzchni dowolną płaszczyzną, przechodzącą przez daną prostą.

16

71S

li

13

18

KV

19

C'

\«T

15

19

1S

17

Sm

Rys. 515

179. Linje największych spadów powierzchni topograficznej. W dowolnym punkcie P powierzchni topograficznej poprowadzić można nieograniczoną ilość prostych stycznych, których miejscem geometrycznem jest płaszczyzna jt, styczna w punkcie P do powierzchni (patrz ust. 132). Nachyleniem płaszczyzny jt, a więc nachyleniem jej linji największego spadu /*, określamy nachylenie powierzchni topograficznej w punkcie P. Linja In posiada największe nachylenie ze wszystkich stycznych, poprowadzonych do powierzchni w punkcie P.

Linje skośne, leżące na powierzchni topograficznej, których nachylenie w każdym punkcie jest większe, aniżeli nachylenie każdej innej linji, przechodzącej przez ten punkt, nazywamy linją największego spadu, lub krócej lin ją spadu tej powierzchni. Dodajmy, że nachyleniem linji krzywej w pewnym punkcie nazywamy nachylenie stycznej, poprowadzonej w tym punkcie do tej krzywej. Idąc więc od pewnego punktu powierzchni topograficznej w kierunku najbardziej stromej stycznej do punktu sąsiedniego, z tego punktu znowu w kierunku najbardziej stromej stycznej do punktu następnego i t. d., przebiegniemy linję największego spadu powierzchni. Linja ta jest prostopadłą do warstwie, przechodzących przez jej punkty Na rys. 512 podaliśmy rzuty trzech linij największego spadu, a mianowicie //, l₂' i l₃', które określają także kierunek ścieku wody po terenie.

180. Zadanie.

Dany jest plan warstwicowy terenu, przez który przebiegać ma poziomo droga w wysokości 234 m. Oś drogi i jej szerokość są dane; wyznaczyć przecięcie się skarp bocznych drogi z terenem i jeden profil poprzeczny.

Z rys. 516 widzimy, że oś drogi do punktu Al jest linją prostą, następnie tukiem koła o środku aż do punktu

230

\231

.232    \231

\a

\230

\230

1231

'232

' 23

- laapf

\BL- -

232\W-

xx

233

231

23

Qr

/Hh

lip

y.

231    231

K’

',9

229/

_234

2232

'229

229

230    231    232

233

warstwice stożków skarpowych i łączących się z nimi dalszych warstwie płaszczyzn skarpowych. Warstwice stożków utworzą pęk łuków kół o wspólnym środku 5. Warstwice terenu przecinają się z równowartościowemi warstwicami płaszczyzn, względnie stożków skarpowych, w punktach, których miejscem geometrycznem są szukane linje przekroju skarp z terenem. Potrzebne punkty pośrednie tych linij przekroju znajdziemy, podobnie jak w rys. 515, przyjmując na powierzchni topograficznej proste i znajdując ich punkty przebicia się z płaszczyznami skarp.

Przekrój terenu wraz z drogą płaszczyzną pionową a, prostopadłą do osi drogi (profil poprzeczny), wyznaczyliśmy w sposób omówiony przy rys. 513.

§ 13. PRZENIKANIE SIĘ POWIERZCHNI

181. O przenikaniu się wielościanów z powierzchniami. Ściany danego wielościanu przecinają powierzchnię w linjàch krzywych, a krawędzie przebijają ją w punktach. L i n j a przenikania składa się więc z tylu krzywych płaskich, przecinających się na krawędziach wielościanu, ile ścian przecina powierzchnię. Jeżeli więc powierzchnia jest rzędu drugiego, to na przenikanie się jej, z jakimkolwiekbądź wielościa-nem, składa się szereg krzywych rzędu drugiego. Będą to zazwyczaj tylko łuki, części tych krzywych.

Przykład przenikania się walca obrotowego z prostym trójściennym graniasto słupem podaje rys. 517. Rzut poziomy linij przenikania schodzi się ze śladem poziomym walca. Ściana boczna B C D E F, podobnie jak ściana A C D F, przecina walec w części elipsy. W celu wyznaczenia rzutu pionowego tych części elips, znajdziemy przedewszystkiem punkty 1" i 2", odnosząc punkty V i 2' na prostą C F". Następnie weźmy pod uwagę poziomą płaszczyznę a, która przetnie graniasto-słup w prostokącie / II III IV. Punkty 3', 4', 5' i 6' odniesiemy na Va, otrzymując rzuty pionowe 3r', 4", 5" i 6" czterech punktów linji przenikania. Jeżeli kąt, jaki prosta A B zawiera z osią rzutów, zbliża się do kąta prostego, to dokładne otrzymanie punktów I' i II', nie jest możliwe. W tym wypadku wykonamy kład ABC⁰ ściany ABC na rzutnię poziomą, odmierzymy wysokość z płaszczyzny a i przez punkt G°

poprowadzimy prostą PIP równoległą do AB. Prostopadłe, wykreślone przez punkty 7° i 77° do AB, przecinają ją w punktach I' i 77'. Najniżej położonemi punktami linij przenikania są punkty 7 i 8, których rzuty poziome są punktami styczności stycznych do koła k, a równoległych do C'F. Styczne te przecinają boki A C° i B C° w punktach IIP i IV⁰, przyczem III⁰'IV⁰ jest równoległe do AB. W odległości zt od osi x wykreślimy równoległą i odniesiemy na nią punkty 7' i 8', otrzymując rzuty pionowe 7" i 8" punktów 7 i 8.

D"

-8-

[W

7"

8"

jririz

Vcc

/A"

_Z2

B" Z1 \ X

£"

aX-S°_ r° V°

C°

7’r

C'\

G’

V10

TL°

S'

(iw

10'\

a'-

r₄,

a’

F'

nrr

Rys. 517

Dalszą parę punktów charakterystycznych szukanych linij stanowią ich punkty styczności z tworzącemi konturowemi walca. Jeżeli przez a' poprowadzimy równoległą do osi x, to punkty 9' i 10', w których prosta ta przecina koło k, są rzutami poziomemi szukanych punktów. Ich wysokość z₂, a więc i rzuty pionowe, znajdziemy przy pomocy rzutu bocznego,, względnie kładu ściany A B C°.

Przenikanie się prostego, czwór ościennego graniasto słup a ze stożkiem obrotowym przedstawia rys. 518. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe do osi x, a jego ściany, których

płaszczyzny oznaczyliśmy literami cc, ß, y i ô są tak dobrane, że pierwsza (a) jest równoległa do osi x i przecina wszystkie - tworzące stożka, druga (ß) jest płaszczyzną czołową, a więc równoległą do dwóch tworzących stożka, płaszczyzna y jest równoległą do tworzącej t (f t" f") stożka, a wreszcie płaszczyzna Ô jest poziomą i prostopadłą do osi stożka. Linja przenikania graniastosłupa ze stożkiem składać się więc będzie z czterech krzywych stożkowych, a mianowicie : z elipsy, która powstanie z przekroju stożka płaszczyzną a, z hiperboli,

W”

H”'i

kß

&m\ V

ke    y

pm/

P\Q!

Bm

A")

Mm

la"'

tm

B”

cAĄ:''\'TPn

■%WT

i • i i \\ A

■W’

LW”

PJL

iir"

Va

ks

Fm\Gm

\kv

7f—-

an-

J"\U

Uj

t”

y_

W \ vs

//

Kr)

Yd,

x\

-H-if.P’---a'%-

I |    / \ mw , \

» ir

VA/' 'B' NV (

II

eu

hß

A'

Rys. 518

wzdłuż klórej płaszczyzna ß przecina stożek, z paraboli, która leżeć będzie na płaszczyźnie y i z koła, wzdłuż którego płaszczyzna ô przecina stożek. Linje te przecinają się w punktach, leżących na krawędziach bocznych graniastosłupa.

Przez bezpośrednie odniesienie punktów A” i B'" na rzutnię poziomą i pionową otrzymamy oś AB' i oś A'B" elips, będących rzutami elipsy, wzdłuż której płaszczyzna cc przecina stożek. Drugie osi tych elips otrzymamy, jeśli przez środek odcinka AB poprowadzimy płaszczyznę poziomą e i wyznaczymy koło przekroju stożka tą płaszczyzną. W rzucie

10    15    20 2Srn

ł - - t- .....-1----<

1230

A B’ C’ D'E’ F' G' H' K

poziomym otrzymamy punkty C i D', ograniczające drugą oś w rzucie poziomym. Punkty C" i D" są wierzchołkami elipsy w rzucie pionowym. Płaszczyzna ß, jako równoległa do dwóch t tworzących stożka, przecina go wzdłuż hiperboli o wierzchołku E(E' E" E'"). Rzut pionowy tej hiperboli przedstawi ją w prawdziwym kształcie i wielkości, a rzut pionowy tworzących konturowych stanowi jej asymptoty. Płaszczyzna y, równoległa do    tworzącej    t    stożka,    przecina    go wzdłuż    paraboli o wierzchołku    H(H' Hr' H"),    a    wreszcie płaszczyzna    ô przetnie stożek

w kole o promieniu r. Punkty F i G, w których koło to przecina krawędź boczną graniastosłupa, są punktami hiperboli; punkty / i K należą do paraboli. Punkty, w których elipsa, leżąca na płaszczyźnie a, przecina pozostałe dwie krawędzie boczne graniastosłupa, są punktami hiperboli (punkty M i N)y względnie paraboli (punkty P i Q). Płaszczyzna czołowa, prze- r

chodząca przez oś stożka, przecina    płaszczyznę y

w prostej    p, a parabolę

w punktach III (III" III'") i IV (IV" IV"'). Punkty III"

Vß i IV" są punktami styczno-ści rzutu pionowego paraboli f T z rzutem pionowym tworzących konturowych stożka.

Przenikanie się czworo-ściennego, prostego ostrosłupa z walcem obrotowym, o osi pionowej (rys. 519), składać się będzie z czterech łuków c elips, przecinających się w punktach 1(1' 1" ), 2(2' 2"), 3(3' 3") i 4(4'4"), leżących na krawędziach bocznych ostrosłupa. Nie wyznaczyliśmy osi, ani też średnic sprzężonych tych elips, lecz poszczególne ich punkty. W tym celu obieraliśmy na ścianach ostrosłupa proste, przechodzące przez wierzchołek W (W', W"), i szukali ich punktów przebicia się z walcem. Ponieważ walec jest obrotowy i rzuca w swój ślad poziomy wszystkie znajdu-

f ///

y

? xùyv"t

x y a ° /

Ą" IX" V" 7.1"D"

16',

IV

S'-

W”

4" |

\³\

12" , ^ s J4" I3rt

i" va

110"

1S'Ą

6'

2<

yjm

1v\.J4'

kB

14'

7'y

10’\

3'Pgl<

____

~8'

Rys. 519

jące się na nim punkty, więc zadanie przedstawia się rysunkowo bardzo prosto.

Przenikanie się czwór ościennego, prostego graniastosłupa z kulą widzimy na rys. 520. Linja przenikania składa się z czterech przystających części kół, leżących na płaszczyznach poziomo-rzucających i przecinających się na krawędziach bocznych graniastosłupa. Sposób wyznaczenia rzutu pionowego poszczególnych punktów tych kół tłómaczy dostatecznie wyraźnie rysunek.

t.

6”

7n 8”

P”

S".

•a”

iw"

P”

Va

AVB"

X A"

B"\Dn

Cn X

IV

■/z’

j.hi_j

v\

A\ Po a'[0’

\\

ni

Ao

]/

\\

a<

4>

Jsr

Wri

ff

'V

7L

'jfiJ Jr

Rys. 521

Rys. 520

Prosty czwór ościenny ostrosłup przenika sie z kulą (rys. 521), przyczem wierzchołek ostrosłupa leży w środku kuli. Jest rzeczą zrozumiałą, że linja przenikania składać się będzie z łuków kół, które przecinają się w punktach, leżących na krawądziach bocznych ostrosłupa. Najpierw wyznaczymy punkty 1, 2, 3 i 4, w których krawędzie boczne ostrosłupa przebijają kulę. W tym celu obrócimy krawędź À W około osi pionowej, przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa, do położenia równoległego względem rzutni pionowej. Prosta ]4₀ W przebija kulę w punkcie 1 o (7o' 1 o"), z którym wrócimy na krawędź A W, otrzymując szukany punkt 1 (VI"). Punkty 2, 3 i 4 mają tę samą wysokość, co punkt 1. Zkolei otrzymamy punkty 5, 6,7 i 8. Punkty pośrednie linji przenikania wyznaczymy przy pomocy przekro-

2"

jów kuli i ostrosłupa płaszczyznami poziomemi.

Rys. 522 podaje przeni-- kanie się prostego graniasto-stupa trójściennego z półkulą, leżącą wzdłuż równika na rzutni poziomej. Lin ja przenikania składa się z łuków dwóch kół przecinających się w punktach 1 (Ï1") i 2(2' 2"). Do wyznaczenia punktów linji przenikania użyto rzutu bocznego.

182. O przenikaniu się powierzchni. Linja przenikania się dwóch powierzchni, t. j. miejsce geometryczne punktów, leżących równocześnie na obu powierzchniach, jest w ogólności krzywą skośną. Celem wyznaczenia poszczególnych punktów tej linji, przecinamy obie powierzchnie płaszczyznami i znajdujemy linje przekroju powierzchni temi płaszczyznami. Każda

Trff

A"B” ę"

A 8i.

ö'-

Cn'a

-w

B ⁷'

r[_

on

Rys. 522

S”\ 6"

*'

S'-

■6i)

hi

Rys. 523. Refektarz w klasztorze Benedyktynek w Sandomierzu

(Ze zbiorów prol. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

para otrzymanych krzywych, leżących na jednej płaszczyźnie siecznej, przecina się w pewnej ilości punktów, które są punktami linji przenikania. Wybór płaszczyzn siecznych zależy od rodzaju i położenia przenikających się powierzchni i winien być taki, aby linje przekroju były rysunkowo najprostsze i najdogodniej położone. Niekiedy okaże się korzystniej użycie w miejsce płaszczyzn powierzchni i wyznaczenie linji przenikania za ich pośrednictwem.

W tern samem znaczeniu, co przy przenikaniu wielościa-nów (ust. 107), mówimy i tu o przenikaniu częściowem i zu-pełnem. W pierwszym przypadku linja przenikania jest krzywą ciągłą, w drugim składa się z części (gałęzi).

183. Przykłady przenikania się powierzchni.

rn A” 1” I 2"

o-L ___r b- j.. j ...

i W :e\ i i I

:    4”. I

3"

2L

hy

7’

Dl

Irian

ar

a) Przenikanie się dwóch walców obrotowych przedstawia rys. 524. Rzut poziomy linji przenikania schodzi się z kołem kt. Poziomo-rzucająca płaszczyzna a, przechodząca przez osi obu walców, przecina każdy z nich wzdłuż dwóch tworzących, względnie w prostokącie. Punkty 1 (V i"), 2(2' 2"), 3(3' 3") • i 4(4' 4"), w których tworzące te przecinają się, są punktami linji przenikania. Płaszczyzna ß//a przecina walec o osi poziomej b (b' b") wzdłuż dwóch tworzących, których rzut pionowy oddalony jest o odcinek e od prostej b". Tworzące te przecinają jedną z dwóch prostych, .wzdłuż których płaszczyzna ß przecina walec, w punktach 5(5'5") 'i 6(6'6") linji przenikania. Przy pomocy płaszczyzny y//a, a stycznej do walca o osi a, otrzymaliśmy punkty 7 (7'7") i 8(8' 8"). Wyznaczywszy    g

symetrycznie względem po-    f

E°

Rys. 524

przednich położone punkty g°\ A 9(9' 9") i 10(10'W"), zna- \ leźliśmy jeszcze punkty 11(11'11") i 12(12'12"), a także punkty 13(13' 13")

i 14 (14' 14"). Połączywszy rzuty pionowe wyznaczonych punktów, otrzymamy rzut pionowy linji przenikania, złożonej z dwóch części.

b)    Dalszy przykład przenikania się walców podaje rys. 525, gdzie walec obrotowy o osi pionowej przenika się z jednej

C"

7>l

⁷⁰ Aa-

EUX*

I" 3"\

— 4---

~ 2”\ Ul" ! 16"

k”

ko

x_

7<

-I²'

'jn&jG’

6,

a'

10’

,,r³v

k'

ki

Rys. 525

strony z walcem obrotowym, a z drugiej z walcem eliptycznym. Linje Bo przenikania wyznaczono przy pomocy przekrojów walców płaszczyznami poziomemi, o czem dostatecznie jasno poucza nas rysunek. Przykłady przenikań walców w budownictwie stanowią sklepienia. Zdjęcie fotograficzne jednego z nich podaje rys. 523.

c)    Przenikanie się powierzchni pierścieniowej z walcami obrotowemi widzimy na rys. 526. Oś powierzchni pierścieniowej leży na rzutni poziomej i jest prostopadłą do rzutni pionowej. Płaszczyzna równikowa a jest płaszczyzną czołową i zawiera oś a (a' a") jednego z walców. Poszczególne punkty linji przenikania wyznaczyliśmy przy pomocy przekrojów przenikających się powierzchni płaszczyznami czołowemi a, P, T, ô i e.

W szczególności płaszczyzna równikowa a przecina walec wzdłuż tworzących konturowych, a te prze inają równik w punktach 1 (Ï1") i 2(2'2") szukanej linji przenikania. Płaszczyzna czołowa p, styczna do walca, przecina pierścień wzdłuż koła r (r' r"). Punkt 3(3'3") jest dalszym punktem linji przenikania. Płaszczyzna y, przecinająca pierścień wzdłuż koła    umożliwia wyznaczenie punktów 4(4'4")

i 5(5' 5"). Linja przenikania jest krzywą symetrycznie poło-

żoną względem płaszczyzny czołowej a; punkty 1, 2, 3, 4 i 5 odnoszą się do części, znajdującej się przed tą płaszczyzną. Rzut pionowy części krzywej przenikania, leżącej za płaszczyzną a, schodzi się z linią, wyznaczoną punktami 1”, 2", 3",

4" i 5".

ia"

k"

I Z"

5'

rT

r"

G"

-O

1",

3"

4",

i''

/I

C"j

F”\

Rzut pionowy linji przenikania walca, którego oś jest prostopadłą do rzutni pionowej, z pierścieniem, jest kołem kt". Poszczególne punkty A', BC... rzutu poziomego krzywej przenikania znaleźliśmy za pośrednictwem równoleżników pierścienia, leżących na płaszczyznach y? ß, ô...

cl) Przenikania się kuli z walcem i ze stożkiem przedstawiliśmy na rys. 527 a —b. Oś a walca obrotowego przechodzi przez środek kuli, linja przenikania składa się z kół k^(k^ k±")

i k₂ (k₂ k.Ł"). Podobnie ma się sprawa z przenikaniem się stożka obrotowego z kulą, przyczem oś stożka przechodzi przez środek kuli. Na linję przenikania składają się dwa koła, a mianowicie koła A"₁ i k₂.

e) Przykład przenikania się walca obrotowego ze stożkiem obrotowym, przyczem osi obu powierzchni przecinają się w punkcie

kr.

A.

1^/

kz i

ki

k!z

la"

a'

-I-

\ a"

Rys. 527 a i b

JL

U'

W"

a»

O"

«t-

i”.

/f

\\i

bą\

&ÊL_U.2'

ri /lJ51 hi\ L'

he I

r'z

hs ;

fi

B'\

C    i u D'

L_tl 1

Rys. 526

El

0(0' O"), widzimy na rys. 528. Do wyznaczenia poszczególnych punktów linji przenikania użyto pośrednictwa kul. Punkt O uważajmy za środek kul, a rzut pionowy jednej z nich oznaczmy przez rKula ta przeniknie się z walcem w kole ks. Rzuty pionowe obu tych kół są odcinkami k₂" i k₃" = 1" II". Koła k₂ i k₃ przetną się w punktach 7 i 8, które są dwoma punktami linji przenikania. Rzuty pionowe 7" i 8" tych punktów schodzą się w punkcie przecięcia się odcinków k₂" i k₃". Tym sposobem, przy użyciu dalszych kul, otrzymamy żądaną ilość punktów linji przenikania obu powierzchni. Na uwagę zasługują jeszcze punkty 11 i /2, leżące na tworzących VW i VIW stożka.

= III" IV"

W"

ro e°

Bn

5»

JL

ki

cy)

Al

„ AP” kî/cr*

la»

7",

.5”/

ki

A”

I XAlZ»\ XI»

I /1

\J,5»

10"j y

\!

1"

SL

5’-

_.k_

,g' Ç'

'10'

O'

I#

a;

3'

G’

fi'

Js^iv

Rys. 528

Na rys. 528 podaliśmy ponadto przenikanie się walca obrotowego, o osi jj, pionowej a, z walcem obrotowym o osi b, która przecina oś a i jest równoległą do rzutni pionowej. Linję przenikania wyznaczyliśmy, jak nas o tern poucza rysunek, przy pomocy płaszczyzn pionowo-rzucających, a równoległych do osi b.

f) Wyznaczenie linji przenikania dwóch powierzchni stożkowych rządu drugiego przeprowadziliśmy na rys. 529. Ślad poziomy stożka o wierzchołku Mt jest kołem kt; ślad poziomy stożka o wierzchołku W₂, znajdującym się w czwartej części przestrzeni, jest kołem k₂. Aby wyznaczyć poszczególne punkty linji przenikania obu stożków, łączymy ich wierzchołki prostą w (w' w") i przez nią prowadzimy płaszczyzny, takie jednak, które przecinają obie powierzchnie. Przekroje te będą tworzącemi powierzchni, a punkty przecięcia się tych tworzących punktami szukanej linji przenikania.

Płaszczyzna cc, której ślad poziomy ha, przechodząc przez ślad poziomy H prostej w, jest styczny do koła klf styka się ze stożkiem Wt wzdłuż tworzącej A W±, a stożek W₂ przecina wzdłuż prostych IW₂ i IIW₂. Punkty 1(1' 1") i 2(2' 2"), w których tworząca AW₁ przecina tworzące IW₂ i IIW₂, stanowią parę punktów linji przenikania. Płaszczyzna p przecina

To-

§•

hr

~Ą2,

..5.

i«

|ś*

Co A,

;\

5/

//'

fal

§13

iw

15'

■V

y///s

//x

Wi

Nj

hx

G .........-.....Oz

Iks

YJŹ

mr.

ïHtr

9'/

’D

he

h<p

hó.

Rys. 529

stożek Wt wzdłuż tworzących IIIW₁ i IVW± i styka się ze stożkiem W₂ wzdłuż tworzącej B W₂. Tworzące te przecinają się w punktach 3(3' 3") i 4(4' 4") szukanej linji przenikania. Zkolei weźmy pod uwagę płaszczyznę y, której ślad poziomy hy przechodzi przez punkt C, w którym wspólna styczna do kół k₂ i k₃ styka się z kołem k₂. Na tworzącej C W₂ otrzy-

mamy punkty 5 i 6 linji przenikania. Płaszczyzna 6 przecina każdą powierzchnię stożkową wzdłuż dwóch tworzących, a te przecinają się w punktach 7, 8, 9 i 10, które należą do linji przenikania. W ten sposób, postępując dalej, otrzymamy żądaną ilość punktów, które połączone na obu rzutniach, dają rzuty linji przenikania.

g) Przenikanie się powierzchni stożkowej rzędu drugiego z walcem eliptycznym, którego ślad poziomy jest kołem ku przedstawia rys. 530. Przez wierzchołek W (W' W") stożka pfowadzimy prostą w (w' w"), równoległą do tworzących walca,

Af o?

2" \12"

<27T"

o!

JZ

Iffi Hw

7/

k}

X‘

IV

\:

Oi

iXÉ

,Hiv

7"d

75",

ST

ß^wf-

äi/*W£\

ixL

\ 7m

.76"

9°

i rr

CQ-

o........3

.....ib

'40

he_

MV" XP" £"

ZW

hz.

iZF

hji

'XVI

ha

Kys. 530

a przez nią płaszczyzny tnące równocześnie obie powierzchnie. Linjami przekroju będą tworzące powierzchni, a punkty przecięcia się tworzących, które leżą na poszczególnych płaszczyznach siecznych, są punktami linji przenikania.

Płaszczyzna cc, której ślad poziomy ha jest styczny do śladu poziomego k stożka, dotyka się stożka wzdłuż tworzącej A W, a walec przecina wzdłuż tworzących, przechodzących przez punkty / i //, koła k±. Tworzące te przecinają się w punktach 1 (Ï 1") i 2(2' 2") linji przenikania. Podobnie płaszczy-

04

GÎ

03

-4 Hi

15"X

i Rl

VW

ri

\P"y

a*/

12’

?X\b’ /

'14"    \    /t*

JS—

L⁷ G"

I" O

yK\F” Htn/\Q’i \ x

ÏÏV Rr H„ Mn Dn z*    ___g" _g_"_ _ _

H”u

hjç_

N.

ki

k UK

/?9>

OX

zzr

r-

*\

M j. wxjzv

P'

_/u

\.

wMł)4>

SA

-Ÿ

M.

he

Sx

ha

V-

< 720

73

3'

'75'

>4

: AÇ

: i\

's

S-

a:

Rys. 531

zna ß styka się ze stożkiem wzdłuż tworzącej BW, a walec przecina wzdłuż prostych, wychodzących z punktów III i /V" koła Tworząca styczności i tworzące przekroju przecinają się w punktach 3(3' 3") i 4(4' 4") linji przenikania. Przy po-

mocy płaszczyzn y, ó, e, cp, ji, przechodzących przez prostą w, otrzymamy dalsze punkty linji przenikania, która w naszym przypadku składa się z dwóch części. Przenikanie jest więc zupełne.

h) Wyznaczyć linję przenikania dwóch walców eliptycznych, których ślady poziome są kotami (rys. 53!). Przez dowolny punkt P(F P") w przestrzeni prowadzimy proste t \ u, równoległe do tworzących walca. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzny % = (t,u) będą równoległe do tworzących obu walców i przecinać je będą wzdłuż tworzących. Więc np. płaszczyzna <x//jr, której ślad poziomy styka się z kołem k w punkcie A, jest styczną do walca o osi b, a przecina drugi walec wzdłuż dwóch tworzących, których śladami poziomemi są punkty / i II. Tworząca styczności przecina owe dwie tworzące w punktach 1(1' 1") i 2(2' 2") linji przenikania. Płaszczyzna p, styczna do walca o osi b, przecina drugi walec wzdłuż dwóch tworzących, które przecinają tworzącą styczności w punktach 3(3' 3") i 4(4' 4"). Każda z płaszczyzn \ s i cp, równoległych do płaszczyzny jt, przecina walce w dwóch tworzących, a te wyznaczają po cztery punkty linji przenikania. Tym sposobem otrzymaliśmy potrzebną ilość punktów linji przenikania, które, jak widzimy, jest przenikaniem zupełnem.

(Rzut pionowy linji przekroju walca o podstawie kx płaszczyzną p jest widoczny, winien więc być wykreślony linją pełną, a nie kreskowaną, jak to przez pomyłkę zrobiono na rys. 531).

Nr

V/X

m

si a

T \

<?'\i

«’S»

*?

' //

ROZDZIRŁ TRZECI

O WYZNACZANIU CIENI

§ 14. CIENIE PUNKTÓW, PROSTYCH, WIELOKĄTÓW

I KOŁA

184. Uwagi wstępne. Nauka o geometrycznem wyznaczaniu cieni rozróżnia zasadniczo dwa przypadki: 1) źródło światła pojęte jest jako punkt geometryczny, leżący w odległości skończonej (oświetlenie środkowe) i 2) źródło światła leży w odległości tak dalekiej, że promienie, które wysyła, uważać można za równoległe (oświetlenie równoległe).

Przedmiotem naszych rozważań będą wyłącznie konstrukcje cieni przy oświetleniu równoległem, przyczem kierunek promieni przyjmujemy zazwyczaj w ten sposób, że promienie światła są równoległe do przekątnej p sześcianu (rys. 532), którego krawędzie są równoległe do osi układu A,, prostokątnego. W dalszej kon-sekwencji tego założenia rzut poziomy promieni zawierać będzie z osią x — jako równoległy do rzutu poziomego p' przekątnej p sześcianu — kąt 45°; to samo odnosi się do rzutu pionowego' promieni światła.

A")

-----

Rys. 532

«•Pi

Jeżeli długość krawędzi sześcianu wynosi tf, to przekątna A! B = a V2 = A" B, zaś tangens kąta cp jaki promień p zawiera z rzutniami:

tg<p aV~2~T2

a stąd kąt cp = 35" 15' 53".

185.    Cień punktu określamy jako ślad promienia, przechodzącego przez ten punkt, z rzutnią albo z płaszczyzną, na którą cień punktu pada. Dla danego kierunku p(p'p") promieni (rys. 533), punkt A (A'A") rzuca cień na płaszczyznę poziomą,

a jest nim mianowicie punkt Ah. Cień punktu B(B'B") znajduje się na płaszczyźnie pionowej, jako punkt Bv. Punkt A0> będący śladem pionowym — promienia a (a' a"), nazywać będziemy cieniem nieistotnym punktu A, podobnie jak punkt Bh, który jest śladem poziomym promienia b(b'b"), przechodzącego przez punkt B(B'B").

186.    Cień odcinka. Promienie, przechodzące przez punkty danego odcinka, leżą na jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną światła, której przecięcie się z rzutniami stanowi cień odcinka. W przypadku, podanym na rys. 534 a, odcinek rzuca

A"

Bn

,P”

a»

Bv Bh

P>

\ aXAh

/b'

B’

A’

Rys. 533

B”

A”,

AZ,

Av \Ah

B”

Ca

Ah,

»-

P'/

A'k

Bh

a,

Af

Ô'

B>

cień tylko na rzutnię poziomą, ślady bowiem obu promieni, przechodzących przez punkty A i B, ograniczające odcinek, są śladami poziomemi. Rys. 534b przedstawia cień odcinka AB, który pada częściowo na obie rzutnie. Punkt A rzuca cień na rzutnię pionową, punkt B na poziomą. Wyznaczywszy cień nieistotny Ah, punktu A i połączywszy go ze śladem Bh, otrzymamy cień odcinka AB na rzutnię poziomą. Część tego cienia, a mianowicie Ah Cx, leży na rzutni poziomej, rozciągającej się za rzutnią pionową, stanowi więc cień nieistotny. Druga jego część Cx Bh jest częścią istotną cienia, jaki odcinek rzuca na rzutnię poziomą. Odcinek A„ O* jest cieniem istotny m odcinka, leżącym na rzutni piono- /*\ ^ wej, a odcinek Ćx B₀, częścią nie- A istotną tego cienia.

4.

ßru

C"D"

Cr

Dh

Ah

D>

Rys. 535 a i b

Punkt Cx jest punktem przecięcia się trzech płaszczyzn, a mianowicie: dwóch rzutni i płaszczyzny światła, przechodzącej przez odcinek AB. Rzuty C i C" punktu C, którego cień Cx leży na osi rzutów, otrzymamy jako punkty przecięcia się rzutów odcinka z rzutami promienia, przechodzącego przez punkt Cx.

Rys. 535 a przedstawia cień odcinka À B prostopadłego do rzutni poziomej, rys. 535 b podaje cień odcinka CD, który jest prostopadły do rzutni pionowej.

Z przyjęcia kierunku promieni światła, którego rzuty są nachylone do osi x pod 45°, wynikają korzyści konstrukcyjne, skoro się zważy, że dla każdego punktu np. A(A'A")

Bv

A”

Av Ah

\<3k.

an \/

\/

/\

Ay A/J

C"

Mh

Au

P’

Ch

rys. 536 a, punkty AV,AV', Ah i Ah' two-fh rzą kwadrat. Punkt Ah otrzymamy więc, kreśląc przez Av równoległą do osi x i odmierzając na niej A„ Ah = Av Av'. Przykłed zastoso-A wania tej konstrukcji podaje rys. 536 b, gdzie wyznaczono cień odcinka BC, prostopadłego do osi x, przyczem punkt B leży na rzutni pionowej, a punkt C na poziomej.

Cień wielokąta sprowadza się do wyznaczenia cieni jego boków, jak to bezpośrednio widzimy na rys. 537. Bok AC

ß"

trójkąta ABC rzuca cień na płaszczyznę poziomą, dwa pozostałe także częściowo i na rzutnię pionową.

C"

A”i

Bv Ë:

P'’

Ah)

P>

Ch

B’

A'

Rys. 537

187. Cień koła. a) Oświetlenie środkowe. Promienie, łączące dany punkt świetlny «S z punktami koła, x tworzą powierzchnię stożkową rzędu drugiego, która w przypadku, gdy promień, łączący punkt S ze środkiem koła, jest prostopadły do płaszczyzny koła, jest stożkiem obrotowym. Miejsce geometryczne punktów przebicia się tworzących tego stożka promieni z rzutniami, czyli ślady tego stożka, stanowią cień linji koła na płaszczyzny rzutów. Ponieważ stożek rzędu drugiego przeciąć można wzdłuż koła, elipsy, hiperboli i paraboli (ust. 140), więc takiemi linjami mogą być cienie koła przy oświetleniu środkowem. Zadanie sprowadza się więc do wyznaczenia przekrojów stożka płaszczyznami rzutów.

a.)

O-

0” kn

Bn

An

b) Oświetlenie równoległe. Promienie, przechodzące przez poszczególne punkty koła, równolegle do danego kierunku światła, tworzą walec eliptyczny, względnie obrotowy, jeśli promień, przechodzący przez środek koła, jest prostopadły do jego płaszczyzny. Ślad otrzymanego walca promieni stanowi cień koła. Tak tedy wyznaczenie cienia koła sprowadza —

się do wykreślenia śladu, względnie p, / śladów walca, którego kierownicą jest /

kh

B'

or

'k'

to koło, a kierunkiem tworzących, kierunek promieni światła. Między kierownicą tego walca (kołem) a jego śladem (cieniem) zachodzi powino- A’ wactwo środkowe lub przystawanie; cień więc koła na płaszczyzny rzutów może być elipsą lub kołem.

Kilka przykładów sprawę dostatecznie wyjaśni.

Koło k(k'k") (rys. 538) rzuca cień tylko na rzutnię poziomą. Cień ten jest kołem fa o środku Oh, który to punkt jest śladem poziomym promienia, przechodzącego przez śro-

b.)

A" CD" k" B”

O”.

A"

G" D" /T B"

Dv

0"

kv

kv

Av\

Bv

p"\

JL

P”

Bv

Çr

U

P'y

Dl.

⁷kh\

B<

Dv

D'

Rys. 539

Rys. 540

dek 0(0'O") koła k. Promień koła fa równy jest promieniowi koła k. W istocie bowiem, ponieważ płaszczyzna koła jest równoległą do rzutni poziomej, więc przekrój walca o kierownicy k, a o tworzących równoległych do danego kierunku P (p' P")i płaszczyzną po-* ziomą rzutów jest lin ją przystającą do tej kierownicy.

Koło k (k' k") (rys. 539) rzuca cień tylko na rzutnię > pionową i to w kształcie elipsy, której parą średnic sprzężonych A₀ Bv i Cv D„ — jest cień średnic sprzężonych AB i CD koła k. Wiadomo bowiem z ust. 120, że parze średnic sprzężonych w kole odpowiada para średnic sprzężonych w elipsie, spowinowaconej z tym kołem.

a'U-jF-

1 lAv \

Gv/

*pf>

■J

La

A'<

.ha

Df?

C'XO'

kh

Bh Bv

D>

k'

B'

Koło k(k' k") (rys. 540) rzuca cień w części na rzutnię poziomą, a w części na pionową. Cień na rzutnię poziomą jest kołem o środku Oh, jak w rys. 538, a cień na rzutnię pionową jest elipsą o środku Ov. Średnice sprzężone tej elipsy znajdziemy, jak w rys. 539.

Cień koła k (k! k"), leżącego na płaszczyźnie poziomo-rzucającej a (rys. 541), na każdą z rzutni jest elipsą. Średnice sprzężone tych elips są cieniami średnic sprzężonych AB i CD koła k na obie rzutnie.

§ 15. CIENIE WIELOŚCIflNÓW I POWIERZCHNI

188. Uwagi ogólne. Weźmy pod uwagę dowolny czworościan AB CD, płaszczyznę jt (rys. 542) i rozważmy sprawę oświetlenia i ocienienia tego czworościanu, przy oświetleniu

równoległem, o danym kierunku p.

Wszystkie promienie, równoległe do kierunku p, tworzą t. zw. wiązkę promieni równoległych, wśród których wyróżnić możemy trzy

Ib

A,tl* Uf

\p

grupy:

Ah{

a)    promienie przebijające jedynie płaszczyznę jt,

Ch

b)    promienie odbijające się od ścian czworościanu i nie dochodzące do płaszczyzny n,

Rys. 542

c)    promienie przechodzące przez krawędzie wielościanu

i tworzące t. zw. płaszczyzny świetlne, które przecinają płasz-

czyznę jr.

Wyłączmy z wiązki promieni równoległych grupę a) i weźmy pod uwagę dwie pozostałe. Promienie pu p₂, .. należące do grupy b), oświetlają ścianę ABC, a promienie grupy c) odgraniczają część wielościanu, znajdującą się w świetle, od tej, do której promienie nie dochodzą i która jest w cieniu własnym. Z rys. 542 widzimy, że płaszczyzny światła, przechodzące przez boki trójkąta ABC, tworzą graniastosłup

trójścienny i odgraniczają ściany ACD, ABD i BCD, znajdujące się w cieniu własnym.

Jeżeli punkty przebicia się promieni a, b i c, przechodzących przez punkty A, B, C, oznaczymy literami Ah, Bh i Ch, to trójkąt Ah Bh Ch jest przekrojem graniastosłupa, którego ściany przechodzą przez boki trójkąta ABC, równolegle do danego kierunku p, z płaszczyzną n. Obszar płaszczyzny jt, ograniczony trójkątem Ah Bh Ch, jest obszarem nieoświetlonym przez grupę b) promieni i nosi nazwę cienia rzuconego czworościanu. W granicach cienia rzuconego mieszczą się cienie wszystkich punktów i prostych, dających się pomyśleć na wielościanie.

Krawędzie AB, BC i CA wielościanu, odgraniczające jego część oświetloną od leżącej w cieniu, stanowią granicę cienia własnego tego wielościanu. Widocznem jest, że cień Ah Bh Ch, granicy cienia własnego wielościanu, jest granicą jego cienia rzuconego. I na odwrót, z granic cienia rzuconego wielościanu odtworzyć możemy wprost granice cienia własnego.

Z rozważań powyższych widocznem też jest bezpośrednio, że cień rzucony wielościanu uważać można za rzut ukośny tego wielościanu na daną płaszczyznę i w danym kierunku.

189. Cienie ostrosłupów i stożków. Wyznaczyć cień jakie-gokolwiekbądź utworu przestrzennego znaczy wykreślić granice jego cienia własnego i granice cienia rzuconego.

Wy

tri

x Ą’J

Wi

Jeżeli dany jest ostro- V* słup, którego podstawa spo- ^ czywa na rzutni poziomej (Rys. 543.), to wyznaczenie jego cieni rozpoczniemy od wykreślenia cienia jego wierzchołka i to zarówno istotnego p/ D,

Wv, jak i nieistotnego Wh. /    /

Następnie wykreślimy z punk- / tu Wh dwie takie proste Wh B a i Wh D, przechodzące przez wierzchołki podstawy, w obrębie których mieszczą się pozo-

stałe wierzchołki. Proste Wh B i Wh D są cieniami krawędzi bocznych W B i WD ostrosłupa, a więc śladami poziomemi płaszczyzn świetlnych, przechodzących przez te krawędzie, które stanowią więc granicę cienia własnego ostrosłupa. Obszar rzutni poziomej, ograniczony wielokątem B C D Wh B, jest cieniem rzuconym ostrosłupa na rzutnię poziomą. Część tego cienia, leżąca nad osią rzutów, leży w drugim obszarze przestrzeni i jest cieniem nieistotnym. Wierzchołek ostrosłupa rzuca cień istotny WD na rzutnię pionową; odcinki, łączące punkt Wv z punktami przecięcia się odcinków Wh B i Wh D z osią rzutów, ograniczają obszar cienia rzuconego ostrosłupa na płaszczyznę pionową rzutów i są śladami pionowemi płaszczyzn świetlnych.

Rys. 544 jest przeprowadzeniem poprzedniego zadania w rzutach ukośnych. Poprowadziwszy płaszczyznę boczną przez punkt A, przyjmiemy układ osi xu, yu i zu, a następnie

ZulaWu

,Wv

Wh

AU

nu

PS

Au P

Bu

■ Rys. 544

spólrzędne poszczególnych punktów, przyczem stosunki skróceń x:y : z = 1:1:1.

Wyznaczenie cienia własnego i rzuconego powierzchni stożkowej sprowadzić się da do wyszukania płaszczyzn stycznych do tej powierzchni, a równoległych do danego kierunku światła (porównaj ust. 168). Przez wierzchołek stożka (Rys. 545) poprowadzimy promień, równoległy do danego kierunku p (p' p") i wyznaczymy jego ślady Wh i W₀. Styczne, wykreślone z punktu Wh do podstawy k stożka, są śladami poziomemi płaszczyzn stycznych do stożka i równoległych do kierunku p, a więc płaszczyzn świetlnych. Proste tt (t[f tt") i t₂ (t₂ t₂"),

łączące wierzchołek stożka z punktami 7\ i T₂, są tworzącemi, wzdłuż których płaszczyzny świetlne dotykają stożka. Tworzące te stanowią więc granicę cienia własnego. Ponieważ, jak to z rozważań ustępu poprzedniego widoczne jest, cień rzucony granicy cienia własnego stanowi granicę cienia rzuconego, więc cień rzucony tworzących i t₂ zakreśli granice cienia rzuconego stożka. W naszym przypadku, ponieważ punkt Wn jest cieniem nieistotnym wierzchołka stożka na rzutni poziomej, więc stożek rzuci częściowo cień na rzutnię pionową.

Przy podanym toku konstrukcji dochodzimy do granicy cienia własnego stożka, wyznaczywszy poprzednio granicę cienia rzuconego. Zastanówmy się z kolei nad bezpośrednim sposobem wyznaczenia granic cienia własnego stożka obrotowego, który zastosować moglibyśmy w przypadku, gdy rzut

w"

\/3"

\ tl

:a" tl

Wv W/7

tz I la" tl

77"

A'j Tz”,

T,"

AV Tz"i    I Hn

BI_X

W’_

B_rv

Ti

ti

Tf

<P'

Rys. 546

Rys. 545

pionowy wierzchołka stożka, albo cień rzucony tego wierzchołka, leżą poza obrębem płaszczyzny rysunkowej. Weźmy pod uwagę (Rys. 546) stożek normalny (ust. 168) do danego, posiadający z nim wspólną podstawę k. Przypuśćmy, że przy pomocy cienia rzuconego wyznaczyliśmy granice cienia własnego stożka, t. j. tworzące W 7\ i W T₂. Jeżeli punkt W₁ ( W/ Wx") jest wierzchołkiem stożka normalnego, to tworząca Wx 1\ jest prostopadłą do płaszczyzny światła, która styka się z danym

stożkiem wzdłuż tworzące] W 7\. Podobnie tworząca \VX Tż jest prostopadłą do płaszczyzny światła, stykające] się z danym stożkiem, wzdłuż tworzącej W T₂. Płaszczyzna 7\    T₂, któ

rej ślad poziomy oznaczyliśmy literą q, jako prostopadła równocześnie do obu płaszczyzn światła, stykających się z danym stożkiem, jest prostopadłą do krawędzi tych płaszczyzn, a więc do danego kierunku światła p (p' p").

Na podstawie tego rozumowania wyznaczymy granicę cienia własnego stożka obrotowego w sposób następujący: Znalazłszy wierzchołek stożka normalnego, poprowadzimy przezeń płaszczyznę prostopadłą do danego kierunku światła, wyznaczymy jej ślad na płaszczyźnie podstawy stożka, a punkty przecięcia się tego śladu z podstawą, połączone z jego wierzchołkiem, stanowią szukaną granicę cienia własnego. Aby zaś przez punkt W₁ poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do prostej p (ust. 59. i 60.), poprowadziliśmy przez ten punkt prostą czołową n (n' n'r), prostopadłą do kierunku światła p (p' p") i znaleźli jej ślad poziomy Hn. Prosta q\~p' jest śladem poziomym szukanej płaszczyzny a punkty 7\ i A₂, w których ślad ten przecina podstawę k stożka, połączone z wierzchołkiem W, dają tworzące tt (ł/ tx") i t₂ (t₂ t₂ograniczające cień własny.

Przyjmijmy (rys.548), że rzutnia pionowa przechodzi przez oś a (a' a") stożka, przyczem rzut poziomy uważajmy jako po-

W"

'i?' !a* 72/1

P"

£:

tï

w’

T2 \wl

Wi"

Jt

jy/iW ^7Wi bk/

ri

Rys. 547

Rys. 548

mocniczy, zgodnie z wymaganiami praktycznych zadań z cieni, gdzie chodzi z reguły tylko o rzut pionowy. Dla dowolnego kierunku p (p' p") konstrukcję podaje rys. 547. Pokrywa się

ona zupełnie z konstrukcją rys. 548. Jeżeli promienie światła nachylone są do obu rzutni pod tg cp = to zadanie ulega

uproszczeniu, jak to widzimy przy porównaniu rys. 548 i 549.

Stosując konstrukcję ogólną znajdziemy punkt (rys. 548), t. j. rzut pionowy wierzchołka stożka normalnego, skąd wykreślimy prostą n"-Lp", która przetnie oś x w punkcie Hn. Przez punkt Hn kreślimy q^-p\ która przetnie koło k w punktach Tt i T₂ Rzuty pionowe 7\" i T₂" tych ostatnich punktów łączymy z W", otrzymując rzuty pionowe ty" i t₂" tworzących granicznych cienia własnego stożka.

Oznaczmy punkty przecięcia się pro-stej n" z kołem k przez 7\x T₂X, to /    ¹?

z łatwością stwierdzimy, że proste Ty 7\x i T₂ T₂x są prostopadłe do osi x, przyczem pierwsza z nich przechodzi przez punkt Ty"y a druga przez punkt T₂". Własność ta pozwoli na wyznaczenie punktów 7\" i T₂" jedynie przy pomocy prostej n" (rys. 549), poprowadzonej z punktu W±" pod 45* do osi rzutów x. Punkty 7\x i T₂x, w których prosta n” przecina koło k rzucimy na ośx, otrzymując tam punkty Ty" i T₂", a więc i proste ty" i t₂".

Cień własny stożka obrotowego, którego tworzące nachylone są do rzutni poziomej pod 45", wyznaczyliśmy przy pomocy stożka normalnego na rys. 550 a. Rzut poziomy tego cienia — przy założeniu, że rzuty promieni światła nachylone są

P"

'i

/ 'a"

¹ i

fi

t!

n",

Tf

X MJ Ta! W\ Hn

W fis/

7Y]~nr

W . k.

Rys. 549

y/”

r/l

Tf

Hn

Py

Ti

77"

Hf,

vfiV

Hn x

77"

w;

n>

W WtilHn

Ti

wfa* /?<

Hn

Hn

do osi x pod 45° — obejmuje wycinek koła k, równy czwartej części jego powierzchni. Jeżelikąt, jaki zawierajątworzące stożka z rzutnią

w«

_kr

Tiv

Va

\\

x_

Té,

--a/

poziomą maleje, to maleje też część stożka, znajdująca się w cieniu własnym (rys. 550 b). W przypadku, gdy prosta ql~p' jest styczną do koła k (rys. 550 c), istnieje tylko jedna pł. światła, styczna do stożka wzdłuż tworzącej t (f t"). Od tego stożka począwszy, następne, których tworzące zawierają z rzutnią poziomą kąt mniejszy, znajdują się całe w świetle i nie rzucają cieni na pł. rzutów.

\ti.

Té

Rys. 551

Konstrukcję cienia stożka obrotowego o osi pionowej, którego wierzchołek leży na rzutni poziomej, podają rys. 551 i 552. Podobnie, jak w rys. 545, poprowadzimy przez wierzchołek promień, równoległy do danego kierunku p (p' p") i znajdziemy jego ślad Wa (Wa! Wa") z płaszczyzną podstawy a. Styczne wykreślone z punktu Wa do koła

>wf

yyTzHn 1 Ti” k?

Va ;

\\

\tz a" | ti

P”

'w

u*

Hn\ â^Wj

n'

\ti

k¹

Tf

k (k' k") stykają się z nim w punktach Tt (Tt' T") i T₂(T₂'T₂"), które połączone z wierzchołkiem stożka dają tworzące tl (t/t") i ł₂ (t₂ t₂"), ograniczające cień własny. To samo zadanie, rozwiązane nn jednak przy pomocy stożka normalnego, widzimy na rys. 552 (porównaj * rys. 546.).

Cień własny stożka, którego tworzące zawierają z rzutnią poziomą kąt 45°, wyznaczyliśmy przy pomocy stożka normalnego na rys. 553 a. Im bardziej maleje kąt, jaki tworzące stożka zawierają z rzutnią poziomą, tem większa część stożka znajduje się w cieniu własnym (rys. 553 b).

Ti

•wf

|a»

r-yHn

n".

■w"

F\

ń tl [

HR/Ctz" Ti" I k"

ra

7v!

:W"

W"

W

a«

Tdith W\a! ty \

‘W1

Hh

1/

W ia' rv

ii ⁷

: '*/

“ig

"A..~

r/

r/

77

Rys. 553 a — c

?r

-    c/j    o    »n

er    o    £-au#    g,

u    co    _.    ^    S    -5

^    wio    c    "o    3    ~

■S -g & ” 8

•g Jq a >> >» 5 §

—s    U    N    w    VI    ^    N

Q>

ś* tl 3- 3- 3 Ä O-

>°5^nS⁰'{1IOsn

i-t S N ,0) N* < N*

N 3-0    *-<5

N we ^    ^ CL ^

Ę 2. N < O W 3

■> | i g I. & s ? § ^

V> 3 S N’ W 3- —*

, i II«|fl?a

oj- ST g o “.-o g ^ ^ 3- J2. 3: w o 5 «§ n *5 3 Pfc/Jc/îx

cO) 1—. /JV, 3* **■*. O l-f- 3- ___

tOl _ O *3

VQ* C/3    O

S- 3 ' 1 7 S-J

i ie-g-^g i - i

| S I i g-S.

^ c ^ S S a

^ 3 ffe g- aÆ-

c* * £ ^ 5T N v2. a *g É * 5 -    £-3    >7 ^

5. 3- ^ H - (S T3 3 X

g. N. 3 5 - o, o ^ S

?œ ' s I a. S i s.

g S- s. g g. ®

g s sr ^ sr a

_ CTQ

O i-t

CL

'S

fe

«I

fi

7y

Wft

r,

T* \    //

’G'

£'

H’

graniczają część oświetloną od części znajdujące] się w cieniu własnym, czyli stanowią granicę tego cienia (rys. 554). Przez które krawędzie boczne i które krawędzie podstawy przejdą płaszczyzny światła, przekonamy się, wyznaczywszy poprzednio

A” F” C” D"

E" Bn

kv

! an en

Bv\

Fh

Dv

eh

F'Xr

k'

eyE,

Dr

Rys. 555

cień rzucony gra-niastosłupa na rzutnię poziomą. Najpierw wyszukamy cień Eh Fh Gh Hh podstawy górnej na rzutnię poziomą, kh a następnie połączymy ze sobą x punkty B i Fh, D i Hh. Proste BHh i DHh są śladami poziomemi płaszczyzn światła, przechodzących przez krawędzie B F, względnie D H. Dalsze płaszczyzny światła przechodzą przez krawędzie F~G i GIT. Ściany więc B CFG i CDGH grania-stosłupa są w cieniu własnym. Cień istotny krawędzi F G leży na rzutni pionowej, krawędź GH rzuca częściowo cień na obie rzutnie, podobnie jak krawędź BF.

Cienie walca obrotowego, o osi pionowej, podaje rys. 555. Poziomo-rzucające płaszczyzny światła stykają się z walcem wzdłuż tworzących e (é e") i f (f f"),. które stanowią granicę cienia własnego. Na cień rzucony walca składać się będzie cień koła k (k' k") i cień tworzących e i f. Koło k rzuca cień częściowo na obie rzutnie (porównaj rys. 540), podobnie jak tworząca f (patrz rys. 535 a).

Jeżeli chodzi tylko o cień własny walca obrotowego, to proste e" i f" przechodzą przez punkty E i F, w których prosta, wykreślona przez środek S, koła k, pod 1 45" do osi rzu-

tów X, koło to przecina (rys. 556 a). Wykreślmy w punkcie E styczną do koła k, a punkt B połączmy z D, to z rysunku

czytamy :__

S~Ety = Ety E — SE co oznacza, że punkty Et i Et* leżą na kole, zakreślonem z punktu S jako środka.

Dalej mamy: r% = S Ety + D Ety, a że SE± = DE, więc:

= 2 SE\² = 2x2 ~ 0,707 r

p\

x A"

F"

Co

ty

” Ety B" x A"

P/ Ftyf

Ą (450\[s Eu \b g

4'

<450

mt

Fn S" Ety Bnx

Eu

er

Rys. 556 a i b

czyli w przybliżeniu:

SE, SE F = S'⁷E⁷ = 07Y, zaś E'W = 0*3 r.

Tak więc gdy chodzi tylko o cień własny walca obrotowego, przy oświetleniu równoległem pod -£45° (rys. 556 b), to z punktów S" i B" wykreślimy proste, nachylone do osi rzutów x pod 45°, które przetną się w punkcie E,. Z punktu S", jako środka zakreślimy promieniem S" E± półkole, otrzymując na osi x punkty E" i F".

191. Cienie punktów i linij na wielościany i powierzchnie. Cień punktu na dowolny utwór przestrzenny uważać możemy za punkt przebicia się promienia, przechodzącego przez dany punkt, z tym utworem. Cień prostej na wielościan lub powierzchnię jest przekrojem płaszczyzny światła, przechodzącej przez tę prostą, z danym wielościanem, względnie powierzchnią. Oczywiście, że cień ten jest miejscem geome-trycznem cieni punktów prostej na dany utwór przestrzenny i da się sprowadzić pod względem konstrukcyjnym zawsze do tego zasadniczego zadania. Cień dowolnej linji płaskiej lub skośnej na powierzchnię, względnie wielościan, jest linją przenikania się walca światła z daną powierzchnią, względnie wielościanem. Tworzące tego walca są równoległe do danego kierunku światła i przechodzą przez punkty linji rzucającej cień. O ile chodzi o oświetlenie środkowe, to w miejsce walca światła występuje stożek, którego wierzchołkiem jest punkt świetlny, a którego tworzące przechodzą przez daną linję.

Kilka niżej podanych przykładów sprawę dostatecznie

wyjaśni.

a)    Wyznaczyć cień odcinka AB na graniastosłup (Rys. 557.). Promień światła, przechodzący przez punkt A (A' A"), przebije graniastosłup w punkcie Ac (AJ Ac"), promień poprowadzony przez punkt B (B' B") w punkcie Bc (BĆ Bc"). Punkty Ac i Bc są cieniami punktów A i B na graniastosłup. Płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek AB, przecina krawędzie

DnB*

DĆ

Bc

\\

ki

kï

kl

boczne kx (kx k ") i k₂ (k₂ k₂") w punktach Cc i Dc, których rzuty poziome C/ i Dć są znane. Aby znaleźć rzuty pionowe tych punktów, poprowadźmy przez krawędzie kx i k₂ płaszczyzny y i ô równoległe do kierunku światła    -t

*’

P'/

V\c

h?/

.cim

A'<l/h7

Dc

15

D'

he

Rys. 557

i wyznaczmy punkty C(C'C") i D lD' D"), w których płaszczyzny te przecinają prostą A B. Płaszczyzny y i ô, są poziomo-rzucające; ich ślady poziome, równoległe do /?', oznaczyliśmy literami hy i hb. Na płaszczyznach tych leżą promienie światła, które, przechodząc przez punkty C i Z), przecinają krawędzie kx i k₂ w szukanych punktach Cc i Dc. Proste wykreślone z punktów C" i D", równolegle do p", przecinają proste kŁ" i k₂" w punktach Cćwzględnie Dć'. Linja łamana Ac" Cc" Dc" Bc" jest rzutem pionowym cienia odcinka 4 5 na graniastosłup. Część tego cienia, a mianowicie Ac Cc, jest w rzucie pionowym niewidoczna.

Poziomo-rzucające płaszczyny światła e i cp, przechodzące przez krawędzie k₃ i kx, odgraniczają część oświetloną graniastosłupa od części, znajdującej się w cieniu własnym.

b)    Wyznaczyć cień rzucony odcinka A B na walec obrotowy

(Rys. 558.). Tworzące tx (tx tx") i t₂ (t₂ t₂"), wzdłuż których płaszczyzny y i d, równoległe do kierunku światła (p p' p"),    ,

stykają się z walcem, stanowią granice jego cienia własnego. Punkty C (C C") i D (U D"), w których prosta AB przebija

płaszczyzny y i ó, ograniczają odcinek, którego cień pada na walec. Cienie Cc(CJ Cc") i Dc (DJ DJ') punktów C i D leżą na tworzących tt (tj tj') i t.₂ (t₂' ti"), a znajdziemy je w ten sam sposób, jak cienie punktów CiDw Rys. 557. Płaszczy-światła, przechodząca przez odcinek AB, przecina walec wzdłuż elipsy, której część, zawarta między punktami Cc i Dc, jest cieniem odcinka CD na walec. Cień dowolnego punktu F (F' F") odcinka CD na walec znajdziemy jako punkt przebicia się promienia światła, przechodzącego przez ,ten punkt, z walcem. i\by wyznaczyć punkt odcinka C D, który rzuca cień na tworzącą konturową, zauważmy, że rzut poziomy tego cienia, a mianowicie punkt Ec', jest znany. Punkt ten rzucimy w kierunku p' na A' B', a otrzymany tam punkt E odniesiemy na A!' B". Tym sposobem otrzymaliśmy rzuty punktu E (E' E"), którego rzut poziomy cienia jest punktem EJ. Promień, wykreślony przez punkt E" równolegle do p", przecina rzut pionowy tworzącej konturowej w punkcie EJ'.

zna

.a

/PW Ec

E’

i Fc.

Ge

F\

ló

Rys. 558

_ c) Wyznaczyć cień odcinków

AB i CD na stożek obrotowy (Rys. 559.). Pionowy odcinek A B obraliśmy tak, że przechodząca przez niego płaszczyzna światła cc przechodzi przez oś stożka, a więc przecina go wzdłuż tworzących. Promień, poprowadzony przez punkt A (A' A"), przebija stożek w punkcie Ac (AJ AJ'), który jest cieniem punktu A na stożek. Część tworzącej t (f t") stożka, ograniczonej punktami Ac i /, jest cieniem części odcinka AB na stożek. Odcinek IB jest cieniem pozostałej części odcinka AB na rzutnię poziomą.

Płaszczyzna światła ß, przechodząca przez odcinek CD, przecina stożek wzdłuż hiperboli, taką więc krzywą jest cień rzucony odcinka A B na stożek. Wyznaczmy cień Wh wierz-

chołka stożka na rzutnię poziomą i cień Ch punktu C. Prosta Wh Ch, która jest śladem poziomym płaszczyzny cp, przechodzącej przez punkty W i C równolegle do kierunku światła, przecina koło k w punkcie IV. Prosta WIV jest tworzącą, wzdłuż której płaszczyzna cp przecina stożek, a punkt Cc (C/ Cc") punktem przebicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt C(C C"), ze stożkiem, a więc cieniem tego ostatniego na stożek. Ponieważ rzut poziomy cienia odcinka CD T na stożek jest odcinkiem, więc wyznaczenie rzutu pionowego tego cienia (hiperboli) sprowadza się do wynalezienia rzutu pionowego punktów, leżących na stożku, których rzut poziomy jest znany. Punkt Ec" wyznaczyliśmy przy pomocy tworzącej W III stożka, a punkt F" przy pomocy koła (równoleżnika) kv, którego rzut poziomy kt' przechodzi przez punkt Fcr.

W"

fk

Wt

x B"

D" / vln”l lur" i

JA

i//

Ch

p’

Ac,

A’*B

hp

C’*D

E’F’

Rys 559.

d) Wyznaczyć cień odcinka AB na stożek (Rys. 560.). Płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek A B, przecina stożek wzdłuż elipsy; szukany cień będzie więc częścią tej krzywej. Wykreśliwszy cień rzucony stożka na rzutnię poziomą, otrzymamy granice jego cienia własnego, któremi są tworzące WI i WII. Ślady poziome Wh I i Wh II płaszczyzn światła y i ó, stycznych do stożka wzdłuż tworzących WI i WII, przecinają cień Ah Bh, odcinka AB na rzutnię poziomą, w punktach Ch i Dh. Punkt Ch jest cieniem punktu C(C C"), a punkt A cieniem punktu na D (Dr D") na rzutnię poziomą. Ponieważ tworząca WI, promień C Ch i prosta Wh I leżą na płaszczyźnie światła y, więc punkt C (C C") jest punktem przebicia się odcinka A B z tą płaszczyzną, a piinkt

Cc (Cc Cc ) punktem styczności promienia C Ch ze stożkiem, a więc cieniem punktu C (C C") na stożek. Z tych samych powodów punkt Dc (DJ Dc") jest cieniem punktu D (Dr D") na stożek. Punkty odcinków A C i B D nie rzucą cienia na stożek, gdyż promienie, przez nie przechodzące, nie przebiją go. Jako punkty graniczne, przez które przechodzące promienienie przebijają ale stykają się ze stożkiem, występują punkty C i D. Dalsze punkty cienia odcinka CD

D„A?

rJK i\ a w"

E”,

CO

(fii n

Wt

P”

my

EL

T-:

w.

ii

Oh

Ah

P’

Cc

Eb\~Vf

'Dc

E’

V' \

f \

I i—

te.

F'\

D'

B'

Rys. 560

na stożek znajdziemy podobnie, jak punktów C i D. I tak obrawszy punkt Eh na odcinku Ah Bh, znajdziemy jego rzuty E' i E", po-czem łączymy punkt Wh z Eh prostą aż do przecięcia się z kołem k w punkcie III. Odcinek W' III przecina promień E' Eh w szukanym punkcie EJ. Punkt EJ' leży na rzucie pionowym tworzącej W III, która w tym przypadku jest tworzącą konturową. Punkt Ec (EJ EJ') jest punktem przebicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt E (E' E"), ze stożkiem. Prosta Wh III jest śladem poziomym płaszczyzny, przechodzącej przez ten promień i przez wierzchołek stożka, a odcinek W III tworzącą, wzdłuż której

płaszczyzna ta przecina stożek.

192. O cieniach zespołów geometrycznych. Złączenie przynajmniej dwóch utworów geometrycznych nazywać będziemy krótko zespołem. Tak więc dwa wielościany, dwie powierzchnie, wielościan i powierzchnia stanowią zespół geometryczny. Każdy poszczególny utwór geometryczny, wchodzący w skład zespołu, stanowi element. Elementy zespołu mogą się wzajemnie przenikać lub też nie.

Zadaniem naszem jest poznanie na kilku przykładach sposobów wyznaczania cieni, jakie jeden element zespołu rzuca na drugi. W zadaniach naszych uwzględnimy jedynie widoczne

części cieni, a pominiemy zu-i” wy M"    pełnie — ochraniając przejrzy-

l§i\iBVï stość rysunków — cienie rzu-wàcc [Tv«T cone na płaszczyzny rzutów.

B”

C”

D"

a)    Wyznaczyć cienie zespołu

Dl

Bi

ĄIc

Cl

P"-

P'/

E’

^    lila ,

Dć/l.

Bc

A'

JFÂ

Cc

Ep

dwóch graniasto słup ów (rys. 561). Najpierw wyznaczymy cień podstawy górnej graniastosłupa, stojącego na rzutni poziomej, na górną podstawę drugiego graniastosłupa. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia punktów przebicia się la, IIa, Ilia i IVa, promieni światła, które przechodzą przez punkty /, //, III, i IV, z płaszczyzną poziomą a. Następnie wyznaczymy w sposób omówiony w ust. 191. pkt. a) cień odcinków A Ć i A D na grania-stosłup, otrzymując linję łamaną Dc Ac Bc Cc.    r

h₇

Rys, 561

b)    Wyznaczyć cienie zespołu graniastosłupa i walca (rys. 562). Wykreślenie cienia górnej podstawy graniastosłupa na walec nie wymaga bliższych wyjaśnień. Cień walca na graniastosłup jest linią przenikania walca światła, przechodzącego przez koło k {Jć k"), z bocznemi ścianami graniastosłupa. Część tej linji, widocznej w rzucie pionowym, składa się z dwóch łuków elips, leżących na płaszczyznach po-ziomo-rzucających. Rzut poziomy cienia koła k na graniasto-słup jest więc lin ją łamaną Ać Cć EPoziomo-rzucająca płaszczyzna a, przechodząca przez konturową krawędź boczną graniastosłupa, przecina koło k (k k") w punkcie A (A' A"); pro-

mień, wykreślony przez punkt A” równolegle do kierunku p , przecina rzut pionowy krawędzi konturowej w szukanym punkcie Ac". W analogiczny sposób wyznaczyliśmy punkty Cc" i E", a także punkty pośrednie Bc (Bć Bc"), Dc (Dć Dc")... szukanych elips.

k" Sn

jyn

MW Ę"

Va

Va

' A"\

B"

|"ß» cn Dn

D'[

C"

ÄS

■AÎ

Bc

P"-

k.2 \

fb

ürà

Mit

TT

i"

P'/

_____

b'

TT'

zr

Ma

I: AC

ß'

E'\

kle,

'Sa

Bc

\<S'

arp

0'

B'

\Cc \Dc    li

Ec

C}

ki

k'

he

A'

Rys. 562

Rys. 563

c) Wyznaczyć wzajemne cienie rzucone walca obrotowego, złączonego z kwadratową płytą (rys. 563). Cień koła k (kr k") na płytę jest kołem ka, którego środek Sa jest cieniem środka S, a którego promień równy jest promieniowi koła k. Cień punktu A (A! A") na walec jest punktem przebicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt A, z walcem. Płaszczyzna Ô, przechodząca przez krawędź A D, jest pionowo-rzuca-jącą; jej przekrój z walcem jest elipsą k₂, której rzut pionowy kęj' schodzi się ze śladem vs. Płaszczyzna światła, przechodząca przez krawędź A B, jest równoległą do osi rzutów x i przecina walec wzdłuż elipsy k₃, której środkiem jest punkt O (O' O"). Ponieważ rzuty promieni światła nachylone są do osi x pod 45°, więc pł. ó, a temsamem i pł. światła, przecho-

dząca przez krawędź A B, zawiera vv> z rzutniami kąt 45°, a co zatem idzie* Ve rzut pionowy elipsy k₃ jest kołem k₃"> zakreślonem z punktu O" stycznie do rzutu pionowego tworzących konturowych walca.

k" S*

1" 2" 4"\

1c

p"

ki

p/

k\

1c S'\/Sc

d) Wyznaczyć cienie zespołu dwóch walców obrotowych, współosiowych (rys. 564). Cień rzucony kc koła k na górną płaszczyznę cp pierścienia walcowego jest kołem, o środku Sc (SĆSc").

3c,

‘kc

2'

4'

Rys. 564

W”fi

Tł

Cień rzucony pierścienia na walec, jest linją przenikania walca promieni, które przechodzą przez dolne koło k± pierścienia z owym walcem, stanowiącym trzon zespołu. Rzut poziomy tej linji schodzi się z kołem k' ; cztery charakterystyczne punkty jej rzutu pionowego podaliśmy na rysunku. Wychodząc z punktu U' znajdziemy punkty V i l"y a następnie lć'. Z konstrukcji wynika, że pozioma przeprowadzona przez punkt lć' przecina a" w punkcie 3Ć'. Promień poprowadzony przez S' wyznacza punkty 2Ć\2'\ punkt 2" jest najwyższym punktem rzutu pionowego szukanej linji.

II

AU" Oc 1" ;

rć

Wyznaczenie punktu 4C" dopełnia rozwiązania zadania.

Ti

ŻŁ

Ukt

e) Wykreślić cienie dwóch współosiowych stożków obrotowych (rys. 565). Cienie własne obu stożków wyznaczyliśmy, stosując konstrukcję poznaną w ust.

rh

189 rys. 549.

r'c

Rys. 565

Koło k±f stanowiące podstawę stożka o wierzchołku W, a leżące na płaszczyźnie poziomej a, rzuci cień na pozostały stożek. Cień ten jest linją prze-

nikania walca, którego tworzące, równoległe do promieni światła, przechodzą przez punkty koła klt ze stożkiem dolnym. Najwyższym punktem tej linji jest punkt Ac, tj. cień rzucony tego punktu A (A' A") koła kt, który leży na płaszczyźnie, przechodzącej przez oś stożka, równolegle do kierunku światła. Dalsze punkty tej linji znaleźliśmy w sposób następujący: Przecięliśmy dolny stożek płaszczyzną poziomą p i otrzymane koło r rzucili w kierunku światła na płaszczyznę a. Rzutem tym jest koło rc (rć rć') zakreślone z punktu Oc (Oc Oc"), tj. śladu promienia światła, poprowadzonego ze środka O koła r, na płasz-    r

czyźnie a. Koła rc i kx v J\ przecinają się w punk-tach 1 i 2, które rzucone w kierunku    !

y/n

Wa

S”

6”

va

Wh

światła na płaszczyznę p, są    punktami

lc(lc' lc")\2c(2c'2c")

szukanej linji.

f) Wyznaczyć wzajemne ocienienie zespołu, przedstawionego rys. 566. Ostrosłup rzuca cień na płaszczyznę a    podstawy    i*

górnej graniastosłupa, A ]_ke a krawędź    77/ tego    /

ostatniego    na ostro-    nß

słup. Aby wykreślić    Rys. 566

cień tej krawędzi,    \    y    >

znajdziemy cień rzucony ostrosłupa na rzutnię poziomą i cień rzucony Ih IIh odcinka III naj-zutnię poziomą. Punkt VIh jest cieniem punktu VI odcinka / II na rzutnię poziomą. Prosta, wykreślona przez punkt VIh równolegle do p', przecina odcinek ï II" w punkcie VI', który odniesiemy na prostą I" II" jako punkt VI".

Promień, poprowadzony przez rzut punktu VIh na oś x, równolegle do p", przecina odcinek I" II" w punkcie VI".

x Aj Ign

B"

P'

UJ

Th

5'

Wic

Wh_i 6/7

^~5h /fwh

Wh

0*

fi

Ir-*»

“-••i/

Promień światła, przechodzący przez punkt VI (VF VI"), leży wraz z krawędzią IV C ostrosłupa na jednej płaszczyźnie, *

której śladem poziomym jest prosta Wh C. Punkt 6(6' 6") jest punktem przecięcia się promienia światła VI VIh z krawędzią IV Ć, a więc cieniem punktu VI na p ostrosłup. Płasz-światła,

W\

yp

ve

B”

czyzna przechodząca przez punkty I (F I") i W (W W"), jest

w naszym przypadku poziomo -Fc j,Ws rzucającą i przecina ścianę AB W ostrosłupa wzdłuż prostej GW. Punkt 1" jest rzutem pionowym punktu, w którym promień światła, przechodzący przez punkt /, przebija ostrosłup, czyli jest cieniem rzuconym punktu / na ostrosłup. Cień, jaki odcinek I VI rzuca na ostrosłup, załamie się na krawędzi B IV, a punkt odcinka I VI, którego cień pada właśnie na krawędź B IV, znajdziemy w sposób następujący: Śladem poziomym płaszczyzny ? światła 8, przechodzącej przez krawędź B W, jest prosta B Wh, która przecina prostą 4 74 w punkcie 14. Punkt ten jest cieniem punktu V odcinka III na rzutnię poziomą i takimże cieniem

M"

im

B'

"N

CO «O

W-

M'j

Od¹

F'

Rys. 567

punktu 5 krawędzi B W. Promień światła poprowadzony przez punkt Vh, leży na płaszczyźnie si przecina krawędź BW w punkcie 5 (5' 5"), a krawędź 777 w punkcie V (V V"). Część krawędzi / IV rzuci cień na ścianę A B W ostrosłupa; ponieważ płaszczyzna światła, przechodząca przez tę krawędź, jest pionowo-rzucająca, więc rzut pionowy cienia tej krawędzi na ostrosłup schodzi ze śladem pionowym tej płaszczyzny.

g)    Wyznaczyć wzajemne ocienienie zespołu, podanego na rys. 567. Wykreślenie cieni własnych, podobnie jak i cienia rzuconego ostrosłupa na płaszczyznę s, nie wymaga wyjaśnień.

Poziomo-rzucająca płaszczyzna cc, przechodząca przez wierzchołek W równolegle do kierunku światła, przecina krawędź D G w punkcie A (A' A"), a ostrosłup wzdłuż prostej 7 W. Punkt Ac" jest rzutem pionowym cienia punktu A na ostro-słu. Równoległa do D" G", wykreślona przez A", jest rzutem pionowym cienia, jaki część odcinka D G rzuca na ścianę 1 W2. Ślad pionowy Vß, pionowo-rzucającej płaszczyzny ß, przechodzącej przez punkt B (B' B"), przecina bok 1" W" w punkcie Bc". Prosta, wykreślona z tego punktu, równolegle do v&, jest rzutem pionowym krawędzi, jaką tworzy płaszczyzna światła <5, przechodząca przez bok D F z płaszczyzną ściany 2 W 3. Wyznaczywszy punkt D", otrzymamy załamanie się cienia, jaki krawędź D G rzuca na ostrosłup. Płaszczyzna światła ô przecina ścianę 3 W 4 ostrosłupa wzdłuż prostej, którą musimy wykreślić, a która dopełni granicę cienia rzuconego przez płytę na ostrosłup. Płaszczyzna światła y, która przechodzi przez krawędź F N, jest poziomo-rzucająca i przecina płaszczyznę ściany bocznej 3 W 4 w prostej k (kr k"). Promień światła przechodzący przez F (F' F'"), leżący na płaszczyźnie y, przecina krawędź k w punkcie Fc, którego tylko rzut pionowy F" oznaczyliśmy na rysunku. Prosta E" F" jest rzutem pionowym krawędzi, jaką płaszczyzna światła ô tworzy ze ścianą 3 W 4 ostrosłupa. Fc jest bowiem punktem przecięcia się płaszczyzn y, ô i płaszczyzny 3 W 4.

h)    Wykreślić cienie zespołu, przedstawionego na rys. 568. Promień światła, poprowadzony przez pkt. P (Pr P"), przebija stożek w punkcie Pc, którego rzut pionowy Pćr naznaczyliśmy na rysunku. Pionowo-rzucająca płaszczyzna światła 8, przechodząca przez krawędź PR, przecina stożek wzdłuż elipsy, której rzut pionowy jest odcinkiem A" B", a której środkiem jest punkt 5 (S' S"). Płaszczyzna światła, przechodząca przez krawędź P Q, przecina stożek wzdłuż elipsy, przystającej do poprzedniej. Osiami rzutu pionowego tej elipsy są odcinki Ax" By" i Cy" Dy", środkiem punkt S±". Elipsa ta zetknie się z tworzącą konturową stożka w punkcie My. Nie posługując się osiami, wyznaczyć można poszczególne punkty tej elipsy przy pomocy przekrojów płaszczyznami poziomemi. I tak płaszczyzna ß przecina stożek wzdłuż koła kt (ky ky"), a krawędź płaszczyzn p i s przecina to koło w punktach 1(1" V) i 2(2' 2"). Uważając punkty te za rzut boczny punktów ly\2y szukanej elipsy, otrzymamy ich rzut pionowy, odmierza-

W”

Qfr

wâ va

ye

Rn

,QP

y§_

I ki

jąC1fW=YW = ly" Ny" =

Ml

\M*

'I"

v<p

= 2y" Ny". Wyznaczenie cienia własnego stożka i jego cienia rzuconego na płaszczyznę górną płyty nie wymagają wyjaśnień.

N<

Bi

2’

k’

P}

h₇

D'

Rys. 568

i) Wykreślić cienie zespołu, podanego na rys. 569. Koło k (kr k") pierścienia Bn rzuca cień na stożek. Wykreśliwszy cień rzucony stożka na rzutnię poziomą i takiż cień kh koła k, wyznaczymy cienie Ac, Bc, Cc,... poszczególnych punktów koła k na stożek, podobnie jak cienie punktów prostej À B na stożek w rys. 560.

k) Wykreślić cienie zespołu, przedstawionego rys. 570. Cień rzucony koła k (kr k") na walec, znajdziemy jako miejsce geo metryczne punktów przebicia się promieni światła, poprowa dzonych przez poszczególne punkty B(BrB"), C(C'C")... tego koła, z walcem. Płaszczyzna światła 6, styczna do tego walca wzdłuż tworzącej t (ty ty"), przecina koło k w punkcie D (Dr D"), którego cień Dc (Dć Dc") pada na tę tworzącą. Stożek

obrotowy o wierzchołku W₂ rzuci cień na walec, stanowiący trzon naszego zespołu. Cień ten wyjdzie z punktu A₂. Promień światła, poprowadzony przez punkt 1 (V 1") odcinka Ax A2>

wn

P”

■n A” ■ 3 jB”Jł

X Jjïï" P

PI

Qh,

Wić

YŁ

Wh

'kh

j.

i,

a>\i

a»

i.*.;/

/’

6’

gą

öjV

•N

Rys. 569

przebija walec w punkcie lc (U h")._Płaszczyzna światła,.

styczna do walca, przecina odcinek A± A₂ w punkcie 2 (2' 2"), którego cień 2C pada na tworzącą t₂ (t₂ t₂").

I) Wykreślić cienie zespołu podanego na rys. 571. Zespół składa się z ośmiościennego, prostego graniastosłupa, na którym wspiera się płyta, złożona z walca i stożka o wierzchołku W (W' W"). Na płycie spoczywa trzon walcowy. Wykreśliwszy cienie własne, przystąpimy do wyznaczenia wzajemnych cieni rzuconych.

Walec świetlny, przechodzący przez koło k± (k/ k±"), przenika się ze ścianami bocznemi graniastosłupa, a linje przenikania się (elipsy) stanowią granicę cienia rzuconego przez ta

koło na graniastosłup. Poszczególne punkty tych elips znajdziemy przy- pomocy płaszczyzn świetlnych ß, y... które poprowadzimy przez krawędzie graniastosłupa, względnie do tych hrawędzi równolegle (np. płaszczyzna cp).

SL

...S

ii

'S

21

ą:

...j»

Rys. 571

Rys. 570

Tworząca ł (tr t"), stanowiąca granicę cienia własnego górnego walca, rzuci cień na stożek. Cień ten będzie tukiem hiperboli, gdyż płaszczyzna światła, przechodząca przez tworzącą t, jest poziomo-rzucająca, a więc równoległa do dwóch tworzących stożka. Punkt A (A' A") tej hiperboli wyznaczyliśmy przy pomocy koła równoleżnikowego k (k'k") stożka.

193. Ćwiczenia.

Wykreślić cienie zespołów, przedstawionych na rysunkach

S72 i 573.

194. Cienie kuli. Walec świetlny, opisany na kuli, styka się z nią wzdłuż koła wielkiego, które stanowi granicę cienia własnego kuli. Przekroje tego walca z rzutniami stanowią cień rzucony kuli.

t”

lw3 B”

\En'k1 Dn s

kl ! Al H” -

S.'

I Ec Wita’/ Ii

4 f4f#

P'c kii

D'

Na rys. 574 rozwiązaliśmy zadanie przy pomocy rzutu bocznego na płaszczyznę poziomo-rzucającą, równoległą do kierunku światła. Wykreśliwszy rzut boczny kuli i rzut boczny Sh° śladu poziomego promienia, przechodzącego przez środek kuli, otrzymamy przez połączenie punktów 5° i ShQ rzut boczny p° kierunku światła. Rzut boczny granicy cienia własnego kuli jest średnicą A° B° _L /?°, rzut poziomy elipsą o osiach A' B' i C D\ a wreszcie rzut pionowy elipsą, wyznaczoną średnicami sprzężonemi A" B" i CrW. Wierzchołkami E" i F" tej ostatniej elipsy są punkty końcowe p, średnicy koła, prostopadłej do p" ;    /

Ai

het

Rys. 572

druga para wierzchołków, ograniczająca małą oś elipsy, leży na p", przy-czem S" G = S' B'. Ponieważ promienie światła

nachylone są do obu rzutni pod tym samym kątem (ust. 184), więc oba rzuty koła, jako granice cienia własnego, są przy-stającemi elipsami.

Ponieważ osi elipsy są jej osiami symetrji prostokątnej, więc punktowi F' odpowie symetrycznie punkt f, a punktowi E' punkt K'. Podobnie punktom C" i D" odpowiedzą punkty symetryczne J" i K". Ponieważ proste, łączące punkty J z F i E z K są poziome, więc proste J" F" i £" K" są równoległe do osi rzutów x.

Cień kuli na rzutnię poziomą jest elipsą o środku’ Sh> cień na rzutnię pionową elipsą o środku So. Osi wielkie tych elips schodzą się z kierunkami p' i p" i równe są odcinkowi Ah* Bh°. Osi małe obu elips równe są średnicy kuli.

Jeżeli chodzi o wyznaczenie jedynie cienia własnego kuli, to na podstawie konstrukcji rys. 574, postąpimy w sposób następujący: kreślimy C D' A. pr (rys. 575) i wpiszemy w koło kwadrat, którego boki wyznaczą na poziomej średnicy koła

i a"

S"

W«,

yp-

1 O*

E”\

El

Dl

Mc

tle

'ra

Sa,

! M

S' la'/ ,

Doi

w/

jpr]

2L

[X>

Wf

a/

k'

M'

Rys. 573

punkty E\ F\ a na pionowej punkty f i K'. Szukana elipsa jest prostokątnie powinowata z kołem, przyczem osią tego powinowactwa jest prosta C D'. Kreślimy E' E₂ // C D' i łączymy E₂ z S', a przez punkt E' prowadzimy równoległą do p', otrzymując punkt £\. Odcinek E± S' — A' S' = B' S' = a równy jest małej osi szukanej elipsy (por. ust. 121, rys. 347). Wyznaczenie rzutu pionowego granicy cienia własnego kuli nie wymaga wyjaśnień.

Na rys. 576 wyznaczyliśmy cień własny kuli, stosując metodę poznaną w ust. 170. Promień światła p (pr p"), poprowadzony przez środek 0(0' O") kuli, obrócimy do położenia pl9 równoległego względem rzutni pionowej, a to około prostej pionowej m (in' m"), która przechodzi przez ślad poziomy Hp

W//

4V'

Gn

C'V----S”j$----D",

Bh

Fv\

min *

Bfyy

c’Xg'

Dh

P'

S⁰C°D° v>°

Rys. 574

promienia p. Tworzące walca, równoległe do kierunku p±, stykają się z południkiem głównym kuli w punktach (Avr A/') i A₂ (A₂r A₂"). Z punktami tymi wróciliśmy na płaszczyznę światła, przechodzącą przez środek kuli, oznaczając je jako A (A' A") i B (B' B"). Odcinki A' B' i C D' stanowią parę osi elipsy, będącej rzutem poziomym granicy cienia własnego kuli ; odcinki A" B" i C" D" są parą średnic sprzężonych elipsy, stanowiącej rzut pionowy koła, odgraniczającego część oświetloną kuli od części leżącej w cieniu. Osią wielką tej elipsy jest odcinek E" F" _L p" i równy odcinkowi C D'; oś mała G" H" równa się osi A' B'.

195. Cień prostej na kulę jest kołem, miejscem geome-trycznem bowiem promieni światła, przechodzących przez prostą, jest płaszczyzna. Wyznaczenie cienia prostej na kulę spro-

Pi sy Pn

El

sLb?

G”y

!-3f

Fn

T*

hi

Gy

7% a

sk

ÇÜ.C

a^

mn

E"

IZ

R"

El

pT

mii

fp

c /i Ezi\

£f\ Ę/&

JP

/K r

. \

\K<    \

y>< )&'m /W*

'D<

mh

i!

\i

ScAć^^^S⁰’

Rys. 575

P’

py\ /hfr

R i/S*

Rys. 576

wadza się więc do wykreślenia przekroju kuli płaszczyzną światła, przechodzącą przez tę prostą.

Na rys. 576 wyznaczyliśmy cień odcinka R S na kulę. Płaszczyzna światła e jest poziomo-rzucająca, a rzut pionowy jej przekroju z kulą elipsą, styczną do zarysu kuli w punktach V" i VI". Część tej elipsy, ograniczonej punktami Sc" i Tc"> jest rzutem pionowym cienia, jaki odcinek «S T rzuca na kulę. 196. Przykłady.

a) Wyznaczyć cień zespołu, przedstawionego na Rys. 577. Linja przenikania kuli z ostrosłupem składa się z łuków czte-

rech kół, których rzuty są elipsami. Wyznaczywszy cień własny k (k' k") kuli, przystąpimy do wykreślenia cienia, jaki kula rzuca na ścianę AB O ostrosłupa. Linja tego cienia rzuconego jest lukiem elipsy, jaka powstanie z przecięcia walca świetlnego, przechodzącego przez koło k, z płaszczyzną AB O.

HnJ”

pn

0<p h<?

C” Dl

A”

D”

Ęn

Aby wyznaczyć cień np. punktu L (L! L") koła k na ścianę AB O, poprowadziliśmy przez ten punkt promień światła i wyznaczyli, przy pomocy płaszczyzny poziomo-rzucają- Ą S’ * cej e, jego punkt przebicia Lc z tą ścianą.

0<p

JG=

D’

b) Wyznaczyć cień ze-społu, podanego na rys. 578.    ~~

G'

hß

F'

£'

N.

ii

H'

A'

h₇

hę,

Rys. 577

Kilka słów wyjaśnień wymaga jedynie konstrukcja cienia kuli na stożek. Wykreśliwszy cień rzucony A, k'a kuli na płaszczyznę poziomą a i cień rzucony r* równoleżnego r na tę płaszczyznę, wrócimy z punktem przecięcia się M'a elipsy k'a i koła r'a na równoleżnik r, otrzymując punkt Mc". Przy pomocy

cienia rzuconego UV K', tworzącej WK stożka, który przecina elipsę k'a w punkcie Ra, otrzymamy punkt Rc (Rć Re”) cienia, który leży na tworzącej konturowej stożka.

197. Cienie powierzchni obrotowych.

1. Cień własny powierzchni obrotowej jest to linja styczności walca promieni opisanego na tej powierzchni; konstrukcje tych linij poznaliśmy w ustępie 170.

Jako pierwszy przykład wyznaczmy cień własny /, (7/ l±") powierzchni pierścieniowej, a jej cień rzucony na walec (Rys. 579). Idąc tokiem nakreślonym w ust. 170 wyznaczymy najpierw punkt najniższy A (A' A"), leżący na południku świetlnym. W tym celu obróciliśmy promień p (p' p") światła tak, aby padł na płaszczyznę południka głównego, która w naszym przykładzie jest równocześnie rzutnią pionową. Przy tej sposobności zauważmy, że konstrukcja tego obrotu da się znacznie uprościć, a to na tej podstawie, że punkty P" i Px leżą na łuku koła o środku Hp"\ punkt Px" prostej px" otrzymamy więc jako przecięcie się prostopadłej, wykreślonej w punkcie

,    .    / k”\

r /N \ y

G”I (    \\0?

■En

Rc

nin kS si’ — | p:    nyiuiiiJumitliHill!i|]

Ol

3P

U*

\W, 'na

°Oa

i-

ar

\2(

\ UJ-?

hs

E'

ki-

hj

ka

he

Rys. 578

Px do osi x i równoległej do tejże osi, poprowadzonej przez punkt P". Następnie wyznaczymy punkty C" i D", leżące na rzucie pionowym południka głównego, a to jako punkty styczności stycznych, równoległych do p".

Prosta pozioma, poprowadzona przez punkt C", przetnie rzut pionowy a" osi powierzchni obrotowej w punkcie Cx" linji ls". Oczywiście, że ma to miejsce wówczas tylko, gdy rzuty promieni światła nachylone są do osi x pod kątem 45°, inaczej sprawa przedstawia się, jak na rys. 497.

Przy pomocy walca, opisanego na powierzchni obrotowej, równolegle do jej osi, wyznaczymy na jej równiku — stosując konstrukcję podaną na rys. 556b — punkt E" krzywej ls".

W tym celu wykreślimy przez punkty S" i N" proste pod 45° do M" N", a otrzymany punkt E{ przeniesiemy łu-

Gi

F?

Co

I*

co

Co

Jf

-•-^1

Pi

Pl

‘Hp

(Ac

iźh

«'c

P’

3k

12’ !

-5'

Rys. 579

kiem koła z punktu S" na prostą M" N" jako punkt E". Zko-lei znajdziemy przy pomocy stożków, opisanych na powierzchni obrotowej wzdłuż równoleżników, a raczej przy pomocy ich stożków normalnych, dowolną ilość dalszych punktów granicy cienia własnego. Zastosowaliśmy uproszczoną konstrukcję, poznaną w ust. 189. Rys. 549. Tak więc, jeśli punkt Wjest

rzutem pionowym wierzchołka stożka normalnego dla równoleżnika f, to prostopadła wykreślona z tego punktu do p" prze cina koło f w punkcie Ftx, którego rzut prostopadły na f" daje punkt F". W ten sam sposób znaleźliśmy i punkt G".

Cień rzucony powierzchni pierścieniowej na walec jest linją przenikania się walca promieni świetlnych, opisanej na tej powierzchni z walcem. Wyznaczenie tej linji nie nastręcza trudności, skoro rzut poziomy ls' cienia własnego powierzchni pierścieniowej jest narysowany. Zadanie nasze odpowiada rozpatrzonemu w rys. 564.

2. Drugi przykład cienia własnego powierzchni obrotowej

przedstawia rys. 580. Konstrukcję przeprowadziliśmy tak, jak na rys. 497, względnie 579.

Więc styczne Sa" i Sc" do rzutu pionowego powierzchni, równoległe do p". wyznaczają punkty A" i C" szukanej linji

r?

pi

fi

.a?

fi

rf

1”

0}

Oz

.04

2Ï

Gs.

WV,

Br

°Wzl

2i

ri

pi P” Sc

i /    \

'»Di

Px

Hß

Oi

Rys. 580

ls". Punkt B", leżący na rzucie pionowym równika znaleźliśmy jak punkt E" w rys. 579. \ Pozioma, poprowadzona przez punkt C", przecina prostą a" w punkcie Cx" (porównaj rys. 579) linji U". Styczna w pun-kcieD/'dozarysupiono-wego powierzchni, równoległa do pj\ przecina rzut pionowy a" osi w punkcie O/', przez który prowadzimy promień równoległy do p". Prosta pozioma wykreślona przez punkt Dj' przecina ten promień w punkcie D'\ który jest rzutem pionowym punktu najniższego linji /s, będącej granicą cienia własnego naszej powierzchni.

Punkty pośrednie tej linji, jak np. 1", 2" znaleźliśmy przy pomocy stożków normalnych, stosując — jak w rys. 579 — konstrukcję z ust. 189 rys. 549.

Najpierw wyznaczyliśmy cień własny walca i cień własny ls (Id ls") powierzchni @₂, poczem cień rzucony tej ostatniej na walec. Cień ten określić można jako linje lc (Id id') przenikania się walca promieni światła, stykającego się z powierzchnią 0₁ wzdłuż linji ls, z walcem 0₂, albo* też jako cień rzucony linji ls na walec.

3. Przykład cieni zespołu geometrycznego, złożonego z gra-niastosłupa, powierzchni obrotowej i walcowej daje rys. 581.

b"

Rn

■: ;//

mmmm

lifŚ

2"

ydd

3°

I"

al

mn

pfsP”

Rc

<p₂

45°/

Va

Px

x_

iś

ûWr'c

nc

a>

ić

Ni

E”

R'

b'

Rys. 581

Ponieważ walec <D₂ jest walcem rzucającym, więc rzut poziomy Id linji lc schodzi się z jego rzutem poziomym, a wyznaczenie poszczególnych punktów krzywej Id' jest wobec tego bardzo ułatwione. Cienie rzucone Ac (Ad Ad') i Nc (Nd Nd') ■ punktów As (Ad Ad') i Ns (Nd Nd') krzywej 4 (Id (d') na walec 0₂ uwidoczniliśmy na rysunku.

Wreszcie płyta graniastosłupowa, a raczej jej krawędzie a (a' a") i b (b' b"), rzuca cień na powierzchnie i &₂. Punkt R (R' R"), przecięcia się obu tych krawędzi, rzuci cień na walec w punkcie Rc (Rc Rc"). Płaszczyzna światła cc, przechodząca przez krawędź a, jest pionowo-rzucającą, nachyloną do rzutni poziomej pod 45° i przecinającą powierzchnię wzdłuż krzywej, której rzut pionowy jest odcinkiem 1" 2", a walec @₂ wzdłuż elipsy, której rzut p onowy schodzi się z odcinkiem I" II". Część tego ostatniego, a mianowicie odcinek I" Rc", stanowi rzut pionowy a" cienia krawędzi a na walec.

Pozostaje do wyznaczenia cień rzucony krawędzi b (b' b") na powierzchnie i &₂. Płaszczyzna światła ß, przechodząca przez tę krawędź jest równoległą do osi rzutów x, nachyloną do rzutni poziomej, podobnie jak płaszczyzna a, pod <£ 45° i przecinającą powierzchnię Qy w krzywej przystającej do tej, wzdłiiż której płaszczyzna cc przecięła tę powierzchnię. Przekrój walca 0₂ płaszczyzną ß jest elipsą bc, przystającą do tej, podług której płaszczyzna cc przecięła tę powierzchnię. Rzut pionowy elipsy bc jest kołem o środku S" i promieniem równym promieniowi walca &₂. Łuk tego koła, ograniczony punktem przecięcia się z nim krzywej lc" i punktem R", stanowi cień rzucony krawędzi b na walec; pierwszy z tych punktów jest cieniem na walec punktu przecięcia się krzywych U" i b", leżących na powierzchni 0₂.

4. Rys. 582 przedstawia powierzchnią obrotową, która, prócz cienia własnego, posiada także i cień rzucony. Pierwszy, wyznaczony w znany sposób, jest linją zamkniętą, oznaczoną na obu rzutniach punktami A, B, C, D, E, F, G, I, K i L. (Porównaj z rys. 498).

Cień, jaki koło równoleżnikowe k (k' k") rzuci na powierzchnię, jest granicą jej cienia rzuconego. Najpierw wyznaczymy punkt najwyższy tej linji cienia, a jest nim punkt Nc (Nc Nc"), jako cień punktu N (N' N") koła k (kr k"), leżący na południku świetlnym. Obróćmy płaszczyznę a tego południka, wraz z promieniem światła n (n' n") i punktem N (N' N"), około osi l (lr l") powierzchni obrotowej, do położenia płaszczyzny południka głównego ß. Punkt N zajmie położenie punktu Nj (Ny Nt"), promień n położenie prostej n± (ntf nt"), równoległej do py (p\Pi"). Cień NIC punktu Nt, leżący na południku głównym, sprowadzimy zapomocą obrotu około osi / na płaszczyznę cc, otrzymując tam punkt Nc (N/ Nc"), jako cień punktu N koła k na powierzchnię. Dalsze punkty cienia rzuconego tego koła na powierzchnię znajdziemy podobnie, jak cień linij na stożek w rysunkach 560, 569 i 573, przy pomocy

af

pn x pn

fi

1* »i

Ol 02

cnm

wM

04

fH \

mn

Rn

,rr

D"

--4

nsł

v<r

Oh

p<

R'

nr

2!

lNX'

P'

Fjl

Th

P<

k'

B[

1h

kh

O'

hß

ni [Ni

2’

A'

i.

N'

n>

x G'\

rE'

ha.

k'

ki

Rys. 582

cienia rzuconego/:/, koła/: na rzutnię poziomą. Koło rh o środkuSh. a o promieniu równym promieniowi równoleżnika r(rf r"), jest jego cieniem rzuconym na rzutnię poziomą i przecina koło kh w punktach h i 2h, które są cieniami punktów 1(1' 1") i 2 (2' 2") koła k (k' k") na rzutnię poziomą. Punkty lc (U lc") i 2C (2Ć 2c")t w których promienie światła, przechodzące przez punkty 1(1' 1") i 2(2' 2"), przecinają równoleżnik r(r' r"), są cieniami tych ostatnich na powierzchnię. Obieranie dalszych równoleżników na powierzchni pozwoli na wyznaczenie potrzebnej ilości punktów krzywej, będącej cieniem kola k(k'k") na powierzchnię i stanowiącej granicę jej cienia rzuconego.

5. Jako dalszy przykład cienia zespołu geometrycznego przeprowadziliśmy na rys. 583 konstrukcją cieni podstawy słupa toskańskiego.

Poczynając od dołu, zespół nasz składa się z prostego, czworościennego graniastosłupa o podstawie kwadratu, na którym leży powierzchnia pierścieniowa, na niej płyta walcowa, a wreszcie na tej ostatniej trzon słupa, zakończony u dołu powierzchnią obrotową, odpowiadającą dolnej części powierzchni na rysunku 582 (jest to część powierzchni pierścieniowej).

W,

mi

U

Va I

ki

k!

~8c

k”

IL

1”

2c

V//7//A

5nc

ÏL

j"

P! J>’

/0;V\

iSc

R"\

Pm

S’

Vc

5c

~6c

f3ć// li

mk

Kkzc

Cc

k'₂

k'

ks

Rys. 583

Konstrukcja cieni własnych zespołu nie wymaga wyjaśnień. Co się tyczy cieni rzuconych, to zauważmy, że prosta ms (msr ms"), będąca granicą cienia własnego walca, rzuci cień na resztę zespołu. Cień ten jest linją przekroju tego zespołu pionowo-rzucającą płaszczyzną światła, przechodzącą przez prostą ms. Rzut poziomy tego cienia jest linją prostą, wychodzącą z punktu 1' pod 45° do osi rzutów Punkt 2C (22 22') jest punktem omawianej linji cienia, leżącym na kole k₂ (k₂ k₂"). Przy pomocy koła równoleżnikowego kt (k\ kv") znaleźliśmy punkt 3C (32 3C") i tym sposobem otrzymali krzywą 1" 32' 22'.

W dalszym ciągu prosta m rzuca cień na powierzchnię pierścieniową, którego rzut pionowy znajdziemy przy pomocy równoleżników. Punkty 4C (42 42'), 5C (52 52') i 6C (62 62') są punktami tego cienia, którego rzut pionowy tylko nieznacznie oddala się od zarysu pionowego powierzchni pierścieniowej.

Wyznaczmy cień Sc (S2 S2') środka 5 (S' S") koła k₂ (k₂ k₂") na płaszczyznę poziomą a, to koło k₂ c, zakreślone z punktu S2, jako środka, promieniem równym promieniowi koła k2, jest cieniem rzuconym tego koła na płaszczyznę a. Ponieważ koło k₂'c nie przecina koła k%', które jest rzutem poziomym równoleżnika k₃ powierzchni pierścieniowej, leżą cego na płaszczyźnie a, więc koło k₂ nie rzuca cienia na powierzchnię pierścieniową.

Na rys. 583 wyznaczyliśmy jeszcze cień rzucony powierzchni pierścieniowej na płaszczyznę ß płyty, ograniczony linją 12, tj. cieniem rzuconym linji ls (12 U") na tę płaszczyznę.

i>

6. Rys. 584 przedstawia konstrukcją cieni głowicy toskańskiej. Linją ls (12 U"), t. j. granica cienia własnego powierzchni O rzuca cień na oba pod nią leżące walce obrotowe. Koło k (k' k") rzuca cień na walec O₂, a rzut pionowy tego cienia jest krzywą k2', przecinająca linję 12' w punkcie 22', który jest rzutem pionowym cienia punktu 2S linji krzywej ls i równocześnie jednego punktu koła k.

Krawędź b (b' b") rzuca najpierw cień na powierzchnię Oj a to jako linję bc, której rzutem pionowym jest krzywa b2', następnie na niżej położony pierścień walcowy, a w końcu na walec 0₂. Wiadomo z przykładu 3 tego ustępu (rys. 581), że cień krawędzi b na walec jest elipsą, której rzut pionowy jest kołem; łuk koła, zakreślonego z punktu S", jako środka, pro-

mieniem równym promieniowi koła k, jest właśnie rzutem pionowym cienia, jaki krawędź b rzuca na płytę walcową, leżącą pod powierzchnią Łuk koła, ograniczony punktami R" i W, zakreślony z punktu S", promieniem równym promieniowi podstawy walca <Z>₂, jest rzutem pionowym bc" cienia krawędzi b

ar

R"

b"

bc2s .

3JLÄ

UH    mmmm*

k"

R"c

g 1c kc

2TJ.

/7?"

mg \

r"

Jc"

Ky-

aV"

/7?£

x A-j

/77i

X.

IJ mc

3'

Ac

-,

IZ

/7?J

pi

b’

32

Rys. 584

na ten walec. Punkt lc", przecięcia się koła bc" z krzywąk"y jest rzutem pionowym cienia punktu ls koła k.

Z dalszych konstrukcyj kilka słów wyjaśnień wymaga jeszcze sposób otrzymania cienia rzuconego powierzchni na powierzchnię pierścieniową, leżącą pod walcem tj. sposób otrzymania linji krzywej I" lic". Niechaj granicą cienia własnego tej powierzchni pierścieniowej jest krzywa ms(ms' ms")y a jej cieniem rzuconym na płaszczyznę poziomą cp krzywa /tic'p.

Niechaj dalej cień rzucony na płaszczyznę cp linji ls (U ls"), ograniczającej cień własny powierzchni &lt jest krzywą lcvr to ponieważ krzywe mc^\lc^ przecinają się, więc linja /s, czyli innemi słowy powierzchnia rzuci cień na powierzchnię* leżącą pod walcem Rzut wsteczny punktu IIcv, przecięcia się krzywych mc<p i /c'P, w kierunku światła wyznaczy nam punkt Ile". Jest nim punkt przecięcia się promienia, poprowadzonego przez rzut prostokątny punktu Ucv na prostą v«p, równolegle do kierunkup", z krzywą ms". Äby otrzymać punkt I" rzuciliśmy równoleżnik r, równolegle do kierunku światła, na na płaszczyznę cp i przenieśli — podobnie jak punkt IIcv — punkt /c'P, przecięcia się tego rzutu z krzywą /c<p, rzutem wstecznym na prostą r".

Tworząca walca ®₂, stanowiąca granicę jego cienia własnego, rzuci również cień na leżącą niżej niego powierzchnię pierścieniową; cień ten jednak leży w obszarze cienia rzuconego powierzchni 0₁ na uważaną powierzchnię pierścieniową i dlatego nie może być brany pod uwagę.

4/

"f

# «** r esa ! ssą

llc/ł

v\

*r\.

c.'

,

r "

♦

*

»

SPIS RZECZY

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Str*

vooo^Jia'CnjtsoCuCOj—

Przedmiot geometrji wykreślnej...........

Uwagi o rysunku geometrycznym..........

Elementy przestrzeni. Oznaczenia..........

Proste przecinające się i równolegle na płaszczyźnie

Proste skośne ...................

Prosta i płaszczyzna................

Płaszczyzny przecinające się i równoległe.......

Pojęcie rzutu środkowego i równoległego.......

O konstrukcjach geometrycznych...........

10

11

ROZDZIAŁ PIERWSZY

GEOMETRJÄ WYKREŚLNA ELEMENTÓW PRZESTRZENI, UTWORÓW PŁASKICH I WIELOŚCIHNÓW § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH

10.    Określenie położenia punktu w przestrzeni............

11.    Rzut cechowany prostej....................

12.    Podziałka rysunku..................... . .

13.    Kład prostej..........................

14.    Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny rzutów. Ślad i nachylenie prostej

15.    Podział odcinka . .......................

16.    Płaszczyzny równoległe i kład prostych na nie .........

17.    Stopniowanie i moduł prostej................• .

18.    Dwie proste przecinające się...................

19.    Dwie proste skośne......................

20.    Dwie proste równoległe ....................

cO cO CM CM

21.    Zadanie............................

22.    Wyznaczenie płaszczyzny...................•

h—i

Str.

Prosta prostopadła do płaszczyzny . . .

Rzut kąta prostego...........

Linja spadu płaszczyzny........

Zadania .... •...........

Przenikanie się dwóch płaszczyzn . . . . Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną

Zadania................

Płaszczyzny równoległe ........

Zadania................

Prosta prostopadła do płaszczyzny . . ,

25

26

26

27

29

31

31

32

33

34

§ 2. ZASADY RZUTÓW PROSTOKĄTNYCH NA DWIE PŁASZCZYZNY

^ tri !"■ od O' o

fO (O «3 (O fl CO I¹

Rzuty punktów............

Rozmaite położenia punktu w przestrzeni Rzuty i ślady prostej na dwie płaszczyzny

Dwie proste..............

O płaszczyźnie i jej śladach......

Kład odcinka i jego podział......

Zadanie ...............

36

39

42

46

47

50

51

§ 3. ZADANIA ODNOSZĄCE SIĘ DO WZAJEMNYCH POŁOŻEŃ PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

Proste i punkty na płaszczyźnie Płaszczyzny dwusieczne . . .

Proste i punkty na płaszczyznach, wyznaczonych śladami ....    54

Zadania......................

Ćwiczenia.....................

O płaszczyznach, przechodzących przez proste i punkty

Zadania.......................

Ćwiczenie...... ..............

O płaszczyznach przecinających się i równoległych . . ,

Wyznaczenie punktu przebicia się prostej z płaszczyzną Dalsze przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn ....    70

Zadania......................

O punktach „widocznych“ i „niewidocznych“ ....

Zadania......................

Ćwiczenia.....................

Proste równoległe do płaszczyzny..........

Zadania......................

Ćwiczenia.....................

Proste prostopadłe. Prosta prostopadła do płaszczyzny

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny.......

Zadania .

Ćwiczenia

52

53

56

58

60

62

63

63

68

73

73

75

77

78

79

80

80

83

83

§ 4. WPROWADZENIE TRZECIEJ PŁASZCZYZNY RZUTÓW

63.    Rzutnia boczna. Rzuty boczne punktów............

64.    Rzuty i ślady boczne prostej.................

65.    Ślady boczne płaszczyzn..................

66.    Przykłady użycia rzutni bocznej do rozwiązania zadań . . . .

67.    Ćwiczenia.........................

Srt.

88

93

96

98

101

§ 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOWANIA

O metodzie obrotu ............... . .

Obroty punktu.....................

Obroty prostej.....................

Obrót płaszczyzny...................

Kład płaszczyzny rzucającej...............

Kąty nachylenia prostej z płaszczyznami rzutów.....

Kąty nachylenia płaszczyzny z rzutniami.........

Kłady płaszczyzn dowolnie położonych w przestrzeni . . .

Rzut na dowolną płaszczyznę..............

Podnoszenie płaszczyzn .' ............ . . .

Zadania...................., . • .

Kąt nachylenia dwóch prostych.............

Ćwiczenia.......................

Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną...........

Zadania........................

Ćwiczenia.......................

Kąt nachylenia dwóch płaszczyzn............

Zadania........................

Ćwiczenia.......................

Rzuty wielościanów...................

Przykłady......................

Rzuty wielościanów umiarowych.............

§ 6. RZUTY UKOŚNE. POWINOWACTWO ŚRODKOWE

Rzut ukośny punktu.....................

O stosunkach skróceń.....................

Zadania...........................

Rzut ukośny układu płaskiego.................

Powinowactwo dwóch układów płaskich, złączonych na jednej

tr

płaszczyźnie..................

Rzuty prostokątne i ukośne, a powinowactwo Środkowe

§ 7. PRZEKROJE I PRZENIKANIA WIELOŚCIANÓW

96.    Płaskie przekroje wielościanów.................

97.    Przekroje płaskie graniastosłupów.............. .

98.    Rzut środkowy «..................• . . . .

99.    Wyznaczenie położenia płaszczyzny metodą rzutu środkowego . .

161

164

168

>

t—H

Ö—«CMco-^irivdh-'coCT'ö

OOOOOOOOOO^H

.....

Str.

Kolineacja środkowa............

Rzuty układów środkowo-kolineacyjnych . . .

Przykłady...... .........

Płaskie przekroje ostrosłupów....... .

Zadanie.................

Punkty przebicia się prostej z wielościanem .

Rozwinięcia wielościanów..........

Przenikanie się wielościanów w ogólności . .

Przenikanie się ostrosłupów.........

Przenikanie się graniastosłupów .......

Przenikanie się ostrosłupów z graniastcsłupami

171

172

174

175

179

180

183

184

185

194

199

ROZDZIAŁ DRUGI

LINJE KRZYWE I POWIERZCHNIE

§ 8 KRZYWE STOŻKOWE

111.    Szeregi i pęki perspektywiczne................

112.    Stosunki pojedynczego podziału................

113.    Stosunki podwójnego podziału................

114.    Związki miarowe między dwoma perspektywicznemi utworami za-

sadniczemi.......................

115.    Szeregi i pęki jednokreślne.................

116.    Pęki jednokreślne w kole...................

117.    Twierdzenie Pascala..... ...............

118.    Kolineacja środkowa układów płaskich.............

119.    Krzywe kolineacyjne z kołem.................

120.    Krzywa powinowata z kołem.................

121.    Konstrukcje elips z danych średnic sprzężonych, względnie osi .

122.    Zadania...........................

123.    Rzuty prostokątne koła....................

124.    Elipsa jako krzywa powinowata z elipsą............

125.    Konstrukcja krzywych kolineaCyjnych z kołem.........

126.    Zadania......................... .

127.    Twierdzenie Pascala w zastosowaniu do elipsy, hiperboli i paraboli

128.    Konstrukcja stycznych do elipsy...............

129.    O kolineacji i powinowactwie krzywych stożkowych......

204

in

o o

CM CM

I*- On

O o

CM CM

« m in n

CM CM CM CM

.—' U") CM CM CM CM

230

233

235

■>»

236

241

243

248

249

§ 9. O KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH W OGÓLNOŚCI

O ~ CM co CO CO

t-H rH t-H

Określenie i podział linij krzywych . . . , Określenie i podział powierzchni . . . . , O płaszczyznach stycznych do powierzchni

250

251

252

§ 10. POWIERZCHNIE STOŻKOWE I WALCOWE

133.    Tworzenie i podział powierzchni stożkowych i walcowych . . . .

134.    Płaszczyzny styczne do stożków i walców...........

CO

m u-> CM CM

vi5.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

448;

149.

Podział i rzuty powierzchni walcowych rzędu drugiego.....

O przekrojach walców rzędu drugiego w ogólności.......

Przekroje powierzchni stożkowych wzdłuż dwóch tworzących . .

Punkty przebicia się prostej z powierzchnią stożkową......

Przykłady płaszczyzn stycznych do powierzchni stożkowych i walcowych ..........................

Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych    wzdłuż    elips    .    .    .

Kołowe przekroje stożka............... .    .    .    .

Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż hiperbol . Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż parabol O rozwijaniu powierzchni stożkowych i walcowych na płaszczyźnie ..........................

O linji śrubowej .......................

£ £ g £

(MOOfMwOJMNOO ' CM CM OJ CM

286

288

291

§11. POWIERZNIE OBROTOWE

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

16-7.

168.

169.

170.

171.

Tworzenie i podział powierzchni obrotowych..........

Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowych........

O zarysach powierzchni obrotowych..............

Przedstawianie powierzchni obrotowych w rzutach prostokątnych

O kulach wpisanych w stożek i walec obrotowy.......

Zadania . /...................... . . .

Punkt na powierzchni obrotowej ...............

Płaszczyzna styczna do powierzchni obrotowej w danym punkcie

Zadania...........................

Przekroje powierzchni obrotowych płaszczyznami........

Przekroje kuli...................• . . . .

Zadania...........................

Przykłady przekrojów, walców i stożków obrotowych płaszczyznami

Ogniska przekrojów stożka..................

O punktach przebicia się pn stych z powierzchniami obrotowemi . Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, przechodzące przez

dany punkt ........................

Zadania...........................

Płaszczyzny styczne do walca obrotowego, przechodzące przez

dany punkt ........................

Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równoległe do danej

prostej..........................

Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, a równolegle do

danej płaszczyzny a....................

Wyznaczenie linji styczności walca, o tworzących równoległych

do danego kierunku, z powierzchnią obrotową........

Ćwiczenie..........................

292

IO N OO

299

301

304

305

306

Co Co

331

339

340

340

341

342

344

346

351

172.    O rzutach powierzchni obrotowych, których osi nie są prostopadłe

do płaszczyzny rzutów...................

173.    O stożkach opisanych na powierzchniach obrotowych......

174.    Zadania ...........................

û    h    \C    N

35    «    m    o

1/3    to    fO    «5

§ 12. POWIERZCHNIE TOPOGRAFICZNE

175.

180.

Plan warstwicówy......................

Przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną rzucającą . . .

Uzupełnienie planu warstwicowcgo..............

Przekrój powierzchni topograficznej dowolną płaszczyzną ....    368

Linje największych spadów powierzchni topograficznej Zadanie.....................

365

367

368

369

370

* CM CO

00 00 oc

—H T-H •*—-1

§ 13. PRZENIKANIE SIĘ POWIERZCHNI

O przenikaniu się wielościanów z powierzchniami . .

O przenikaniu się powierzchni...........

Przykłady przenikania się powierzchni........

371

376

377

ROZDZIAŁ TRZECI

O WYZNACZANIU CIENI

§ 14. CIENIE PUNRTÓW, PROSTYCH, WIELOKĄTÓW I KOŁA

184.    Uwagi wstępne .

185.    Cień punktu . . .

186.    Cień odcinka .

187.    Cień koła ....

385

.    386

386

388

§ 15. CIENIE WIELOŚCIANÓW I POWIERZCHNI

cc O' O — r\! OO OO O' O' O'

193.

Uwagi ogólne..................

Cienie ostrosłupów i stóżków..........

Cienie graniastosłupów i walców.........

Cienie punktów i linij na wielościany i powierzchnie

O cieniach zespołów geometrycznych.......

Ćwiczenia...................•

390

391

397

399

403

412

194.    Cienie kuli.........

195.    Cień prostej na kulę.....

196.    Przykłady..........

197.    Cienie powierzchni obrotowych

413

416

416

417

DOSTRZEŻONE OMYŁKI W RYSUNKACH

„    294 zamiast m ma być wl.

„    347 elipsę oznaczyć literą k.

„    414 zamiast Î₂ ma być 1/.

„    421 zamiast /' i 2' ma być 1 i 2.

„    493 prostą HA/ oznaczyć przez kt'.

Str. 109. Na rys. 218 kąt H"p Vp H*p należy oznaczyć literą ß.

„ 160. „

» ' 227. ,

» 275. „

» 282. „

» 346. „

DOSTRZEŻONE OMYŁKI W TEKŚCIE

Str. 169. 3 wiersz od góry, zamiast: 98. Rzut środkowy. Gzyłaj: Rzut środkowy.

Przy numerach rysunków 176, 218 i 225 należy odrzucić gwiazdki (*).

• «

*

f

1

!

;

*

O

Politechnika Krakowska Biblioteka Głowna

\

Ł

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000059521

11-6210