! •

i

¹ vjj

up

г*-

#4Г 1

m-

**

.млЛ У

ИцмЛаьа

ük.

Ms

F

SP

in

ЙЬ

i*

yJfc

,#t

'■

»r

■ï-

i:

II:

Łf*

Ł,

Ä; 4

■!f*

#*T ^

1*тшШ

Æ- JЛг j % * %

!#€* #Vrff

PV ÆMA 'ïmy

>

O " •    ⁴

4*jfe.

’    %* Л*

•*

KTpf

%'Щ,,

«■s*

\ «*—

■■ * * „

*v ^jj

Шк i

4 i

s-

»■

j*

M,

■ J"

Щ|

Ęw?

шШ,

^ЖЙЙ

iT

IKfa

iß

üb

jM

f.4

4P

%г Щн Щ

Se

Jn*

!Ц

Hf -

fefiri :

|рр

-фуг’

#*%!

" >Щт„

pm füg *ü ■•Ш'¹*

V «**>■-

<*Я i

«у

!S

■I

Шщ

Щ2

«p

**

«Pi

4t'

Ящ?

#c,

#Ł. w

■ JP

*ÊÊT

Yïà

чГЧИ¹

&> •■ «

j»,

«t

JNMk

Ép

тШ|- jdjF

b jf üIPp*..

# ШЩ

âP

***ИГ

tef«*

-I

4-f

»■y

;;.;вУ

:;*'i

'•■PF Sè

«4P

%л..

«p

_v-sKvr'

W0

Ai

ïr-

jr, ^pfc

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

>■

‘4-

-% ЩкЛ

% Щ-à

tr- y

100000233976

мя

■'

>.->J

* ^Ajr

_, ife ^ -jJb' 1_

w

Ä: '

•Ä? ■

'

g, Jß

. " F

к ii

%s> 1

ч-i

IP

1

■П

<к; i

т

ê

■Щ

т

рел;:

'■*.■,£

*г\ *

-Шт ••

, £

‘

m

ł-

X

, ‘ .

r ^

Шш'‘ ’^IPP;

:

i %

4

feS>;

ià

i

7

■

i.

Hr

Bfc

: ■*

u

|j

'*•’ •; *

i ii

:^f-

'P

.

№

-*'

Ü

-

*

ДУЖ

p?

Ж- ■■'<

; Л ? 4.    " '

$

ЧА-

■

“'S

ife

*>.■

;

i

-a

Ж

É Ш

4_;

4

•'

Ki-

*

»

Н&уДО¹

A à •

m

*

i

i !

-

lit e»

; ■ Щ

m

•0

î

"■> i*

Wf,

.T

Pf #

fa-*

a* л ^

Г - 4 ..

Ш

Vg

M

fev

2*

%

frs. Ж

* ii ■•?

Ы'

%

■ ...    fin

j ^;v-; *r

fi

î

т

?■«: ■.

WA %

m

¥

tm

ш

i, J,

■‘11

* Ф.

i w

:■;

Г

U

I

f J

k4

.

i>

*4"-

■" 4,

.JW ,

%

»

»

ЦшЛ*Л

жя

#

g

\jd . Ż "'i

Wki

'

KSIĘGA PAMIĄTKOWA

9у,

KSIĘGA PAMIĄTKOWA

KU UCZCZENIU ZASŁUG DOKTORA HONORIS CAUSA

PROFESORA

MAKSYMiLJANA THULL1EGO

WYDANA STARANIEM WYDZIAŁU INŻYNIERJI LĄDOWEJ I WODNEJ POLITECHNIKI LWOWSKIEJ I POLSKIEGO TOWARZYSTWA POLITECHNICZNEGO

LWÓW

PIERWSZA ZWIĄZKOWĄ DRUKARNIA AVE LWOAVIE, UL. LINDEGO 4.

MCMXXXII

f~) fl

U.tt***£

g

Z4$c8

KOMITET REDAKCYJNY:

PRZEWODNICZĄCY : Prof. EMIL BRATRO

CZŁONKOWIE :

Prof. Dr. STEFAN BRYŁA

Prof. Dr. STANISŁAW BRZOZOWSKI

Inż. LEON GROCH

Prof. Dr. MAKSYMILJAN T. HUBER

Inż. GUSTAW JAGIEŁŁO

Prof. Dr. ADAM KURYŁŁO

Inż. Dr. ALEKSANDER PAREŃSKI

la wielkiego Męża nauki, jakim jest sędziwy Profesor Maksymiljan Thullie, niema godniejszej formy ucz-czenia nadzwyczajnych Jego zasług, położonych dla rozwoju nauki, — nad hołd Jego uczniów, kolegów, przyjaciół — mężów nauki, uwieczniony w Księdze Pamiątkowej ku czci Jego Imienia.

Godzi się zaznaczyć, iż realizacja szczytnej myśli takiego uczczenia Jego niespożytych zasług, przypada na ten okres życia, w którym Dostojny Profesor, w pełni jeszcze sił i zapału w pracy naukowej, rozpoczął już 80-ty rok życia, nie szczędząc nadal Swej zewszechmiar ofiarnej pracy w szlachetnem oddaniu się społeczeństwu.

Zarazem mija też 54? lat od Jego pierwszego występu na polu nauko wem, na którem w pełni triumfu dla Siebie, osiągnął tak wielkie rezultaty dla polskiej nauki technicznej.

Równocześnie upływa długi okres Jego pełnej zasług i poświęcenia działalności profesorskiej w Politechnice Lwowskiej, w tej najstarszej uczelni akademickiej polskiej tego rodzaju, w której przed 42 laty jako Profesor rozpoczął kształcenie inżynierów polskich, objąwszy Katedrę Budowy Mostów w Swoje mistrzowskie włodarzenie.

Przebiegając myślą Jego działalność naukową, jesteśmy pełni podziwu dla niezwykłej rozpiętości jej zasięgu. Wielce owocna twórczość Jego ducha, dominowała w nader licznych działach zagadnień technicznych i konstrukcyjnych ukochanych przez Niego przedmiotów: Wytrzymałości Materjałów i Budowy Mostów.

Poza niezrównaną Statyką Budowli obdarował naukę polską świetnemi dziełami z Teorji Mostów i ich konstrukcyjnej bu-

dowy — we wszystkich działach tego rodzaju ustrojów, nie wyłączając mostów żelazno-betonowych, dla których stworzył doskonałą teorję, opartą na oryginalnych poglądach.

Prawdziwie wielki podziw wzbudza u uczonych i fachowców Jego wszechstronność, ścisłość myślenia, daleko idąca zdolność przewidywania, lotność myśli i doskonała analiza.

Epokowe Swe myśli o linjach wpływowych wprowadził do nauki mostów, wyprzedzając pod tym względem najwybitniejsze powagi ówczesnego świata naukowego. Jak chlebem powszednim karmił młode pokolenia inżynierskie temi problemami, dając ze Swej skarbnicy myślowej najwłaściwszą metodę badania zespołów mostowych pod wpływem obciążeń ruchomych. Dzisiaj linje wpływowe zespoliły się tak z naturą inżyniera, iż wprost trudno się bez nich obejść.

Poza specjalnością mostową otaczał On wyjątkową opieką problemy należące do zagadnień ustrojów żelazno - betonowych, biorąc je pod Swoje mistrzowskie pióro, które tak wiele zdziałało w tej dziedzinie dla rozwoju dzisiejszej nauki technicznej.

Pracami Swemi zdobył On jedno z pierwszych miejsc w świecie naukowym, okrywając Siebie i naukę polską sławą światową, za co należy Mu się hołd imieniem Politechniki Lwowskiej i Polskiego Towarzystwa Politechnicznego.

Wielki Uczony znachodził też czas na pracę obywatelską, odgrywając również i w tej dziedzinie życia społecznego wybitną rolę, czego najlepszym wyrazem są rozliczne zaszczyty i uznania, jakie otrzymywał za Swoją niestrudzoną działalność. Długoletnie piastowanie mandatu Senatora Rzeczypospolitej stanowi dalszy przyczynek Jego zasług w tej dziedzinie.

Poza pracami naukowemi oddał On Politechnice Lwowskiej niespożyte zasługi przedewszystkiem przez wychowanie całego szeregu pokoleń inżynierskich, z pośród których wielki zastęp Jego uczniów pracuje naukowo, a wielu z nich zajmuje katedry w polskich uczelniach akademickich. Te rezultaty Jego pracy wychowawczej stanowią w historji Wydziału Inżynierji Lądowej i Wodnej Politechniki Lwowskiej najchlubniejszą kartę.

Ogrom zasług Czcigodnego Jubilata w odniesieniu do polskiej nauki technicznej musiał znaleźć oddźwięk u Jego uczniów, którzy rozprószeni nietylko na ziemiach polskich, ale również zagranicą, pośpieszyli na pierwszy odzew celem uczczenia swego duchowego Przewodnika i Nestora inżynierów polskich.

Jest rzeczą łatwo zrozumiałą, że myśl uczczenia Jubilata zakiełkować musiała tam, gdzie było główne pole naukowej pracy Jego całego życia, zatem we Lwowie, gdzie też zgromadzona jest największa liczba Jego uczniów. Prawie równocześnie w dwóch ośrodkach, jednoczących naukowy i zawodowy świat techniczny, a więc na Wydziale Inżynierji Lądowej i Wodnej Politechniki Lwowskiej, oraz w Polskiem Towarzystwie Poli-technicznem we Lwowie, powstała w r. 1929 myśl dania godnego wyrazu tej czci, jaką ku Niemu żywimy.

Wyłoniony przez obie te organizacje wspólny Komitet, w skład którego weszli: jako przewodniczący Prof. Emil Bratro, oraz członkowie : Prof. Dr. Stefan Bryła, Prof. Dr. Stanisław Brzozowski, Inż. Leon Groch, Prof. Dr. Maksymiljan Huber, Inż. Gustaw Jagiełło, Prof. Dr. Adam Kuryłło i Inż. Dr. Aleksander Pareński, uznał za najodpowiedniejszy sposób uczczenia wydanie Księgi Pamiątkowej, która to forma nietylko niewątpliwie najbardziej odpowie intencjom Jubilata, ale nadto przyniesie technice polskiej pożytek i pozostanie jako dokument polskiej pracy naukowej. Bedakcję niniejszego wydawnictwa objął Prof. Dr. Stanisław Brzozowski, który sprawował ją przez cały okres prac Komitetu, przy pomocy w okresach początkowych Inż. Dra Aleksandra Pareńskiego.

Trudności materjalne jakie Komitet miał do pokonania, szczególnie w okresie obecnej depresji gospodarczej, pokonane zostały dzięki subwencjom Ministerstwa Wyznań Beligijnych i Oświecenia Publicznego, Ministerstwa Robót Publicznych, oraz Ministerstwa Komunikacji, które pośpieszyły Komitetowi z pomocą, dając w ten sposób także wyraz uznania dla Jubilata. Za umożliwienie wydania niniejszego dzieła, składa Komitet Wysokim Władzom gorące podziękowanie.

Wypuszczając w świat niniejszą Księgę ku chwale Jubilata i pożytkowi ogółu technicznego, pragniemy wyrazić życzenie, by Nestor polskiej nauki technicznej widział w niej choć częściową spłatę tego długu, jaki w stosunku do Jego Osoby zaciągnęło kilka pokoleń inżynierów polskich.

We Lwowie, w kwietniu 1932 r.

ROFESOR INŻ. DR. MAKSYMILJAN THULLIE urodził się we Lwowie 16 stycznia 1853 r. Naukę rozpoczął w szkole ludowej w Monasterzyskach, we Lwowie zaś ukończył klasę czwartą. Uczęszczał potem do gimnazjum Franciszka Józefa we Lwowie, jedynego podówczas gimnazjum polskiego w b. Galicji i złożył egzamin dojrzałości z wyszczególnieniem w roku 1871. Następnie studjował jeden rok w Akademji Technicznej we Lwowie, a w następnych czterech latach uczęszczał na Politechnikę w Wiedniu, którą ukończył w 1876 r.

W r. 1876 wstąpił do służby kolei lwowsko - czerniowiecko-jasskiej jako techniczny dietarjusz. Przydzielony do sekcji konserwacji we Lwowie, a po jej rozwiązaniu do sekcji konserwacji w Stanisławowie, w rok później przeniesiony został do budowy mostu w Paskanach w Rumunji na rzece Serecie w charakterze inspicjenta budowy.

Dnia 8 czerwca 1878 złożył egzamin ścisły na Wydziale Inży-nierji Politechniki Wiedeńskiej i uzyskał godność inżyniera dyplomowanego, poczem zamianowany został inżynierem elewem 2 klasy i przydzielony do biura konserwacji kolei w Dyrekcji we Lwowie, otrzymując referat mostowy i wszelkich statycznych obliczeń.

Dnia 15 grudnia 1878 r. habilitował się jako docent prywatny teorji mostów w Szkole Politechnicznej we Lwowie. W następnym roku poślubił żonę swą ś. p. Józefę z Passakasów. W niedługim czasie, bo w jesieni 1880, zlecono Mu wykłady mechaniki budowniczej w tej szkole. Od tej chwili datuje się Jego ruchliwa, a tak wybitna i wszechstronna działalność naukowa, pedagogiczna i społeczna. W 1882 r. rozszerza swą habilitację na statykę wykreślną.

W roku 1889 został mianowany bezpłatnym profesorem statyki budowli i budowy mostów, a po wystąpieniu ze służby kolejowej w rok później profesorem nadzwyczajnym. W pięć lat później, dnia 1 stycznia 1894, został profesorem zwyczajnym i w tymże roku wybrano Go rektorem Szkoły Politechnicznej. W r. 1902 uzyskał godność doktora nauk technicznych na Politechnice w Pradze. Drugi raz był rektorem w roku naukowym 1910/11, a także z początkiem wojny w r. 1914

i podczas całej inwazji rosyjskiej, aż do wyboru rektora w jesieni 1915, prowadził rektorat szkoły jako zastępca. Wielokrotnie był dziekanem Wydziału Inżynierji i tak: przez trzy lata z rzędu począwszy od roku 1891/2 — 1893/4, następnie przez okres dwuletni w r. 1896/7—1897/8 i w r. 1903/4-1904/5, oraz przez cztery lata, począwszy od r. 1906/7— 1909/10, z tego w r. 1907/8 dziekanem Wydziału Inżynierji Wodnej.

Po odzyskaniu niepodległości naszego Państwa wziął czynny udział w organizowaniu Politechniki Warszawskiej, oraz Akademji Nauk Technicznych, której był jednym z założycieli i prezesem. Jest również członkiem czynnym Towarzystwa Naukowego we Lwowie. W roku 1925 przeszedł w stan spoczynku, został jednak przez Politechnikę Lwowską mianowany profesorem honorowym i jako taki ogłasza mimo sędziwego wieku wykłady i bierze czynny udział w życiu ukochanej przez siebie uczelni. W r. 1930 w uczczeniu Jego zasług Politechnika Warszawska obdarzyła Go honorowym doktoratem nauk technicznych.

Działalność naukową rozpoczął Prof. Thullie w roku 1878. Odrazu stanął w pierwszym szeregu inżynierów i uczonych, którzy ocenili znaczenie linij wpływowych w dziale nauk inżynierskich. Zaznaczył się tern samem Jego żywy i bystry umysł, chwytający w lot aktualne zagadnienia inżynierskie i starający się je rozwiązać na podstawie wielkiej wiedzy teoretycznej i żmudnych badań laboratoryjnych.

Już pierwsze Jego rozprawy „O krzywych influencyjnych“ (1878) i „Linje influencyjne dla mostów łukowych“ (1879) znalazły uznanie starego mistrza budowy mostów Winklera. Później ogłosił rozprawy o linjach wpływowych dla łuku parabolicznego dwu i bezprzegubo-wego (1883), o najniekorzystniejszem obciążeniu belki prostej przez układ ciężarów skupionych (1887), oraz o linjach wpływowych dla belki ciągłej dwuprzęsłowej (1891).

Od tego czasu nie było niemal zagadnienia w zakresie nauk konstrukcyjnych, któremby się nie zainteresował i w któremby nie dodał od siebie cennego dorobku i to tak w pismach polskich, jako też i zagranicznych, niemieckich i francuskich. Zwłaszcza zagadnienia wytrzymałości materjałów i statyki budowli, nauki, która podówczas jeszcze była w początkach swego rozwoju, znalazły w Nim znakomitego teoretyka.

Publikuje prace w sprawie wytrzymałości belek na zginanie po przekroczeniu granicy sprężystości (1887), w sprawie wytrzymałości na wyboczenie (1890 i 1892), ogłasza teorję drewnianych belek złożonych poprawiając teorję Melana (1891), zajmuje się teorją parcia ziemi na mury oporowe (1884 i 1885), bada naprężenia belek o kracie wielokrotnej (1895). Wreszcie w ostatniem dziesięcioleciu zajmuje się

obliczeniem naprężeń drugorzędnych w belkach kratowych, z którego to działu ogłasza ogromnie cenne prace.

Gdy zaś jako nowy materjał budowlany pojawiły się konstrukcje żelbetowe, które tak ogromną rolę odgrywają obecnie w budowlach inżynierskich, zwrócił się Jego umysł w tę stronę i tu rozpoczęła się główna część jego działalności naukowej. Powstający świeżo dział nauki inżynierskiej znalazł w Nim gorliwego orędownika i znakomitego teoretyka i badacza. Nazwisko Jego związało się jak najściślej z rozwojem żelbetnictwa.

Nie wymieniamy tu wszystkich prac, jakie na tern polu wydał tak w polskim, jako też w obcych językach; są one podane w osobnem zestawieniu.

W pracach tych podaje zasady, na jakich opierać należy obliczenie belek żelbetowych; pierwszy wprowadza pojęcie i rozgraniczenie faz i ustala, według której z nich należy wyznaczać naprężenia, wyprowadza pierwszy wzory i tablice na obliczenie belek żebrowanych Hennebique’a, oraz sklepień żelbetowych; opracowuje w roku 1903 zupełnie niejasną podówczas kwestję rozkładu naprężeń ścinających w belkach zginanych — a wszystkie te prace dają Mu w całym świecie inżynierskim uznanie i powagę jednego z najpierwszych uczonych w tej szczególnie przezeń umiłowanej dziedzinie techniki.

To też gdy przed wielką wojną uczeni, pracujący nad teorją kon-strukcyj żelbetowych, opracowywali poszczególne jej dziedziny, Thullie zajął się zbadaniem sprawy najmniej bodaj znanej, wymagającej największego nakładu pracy: wytrzymałości słupów żelbetowych — specjalnie słupów obciążonych mimośrodkowo.

Podjąwszy się tej pracy, wykonywa ją z tą samą sumiennością, z jaką pracował zawsze; wykonywa kilkaset doświadczeń w Stacji Doświadczalnej Politechniki Lwowskiej, których owocem są dzieła: „Neue Versuche mit betoneisernen Säulen in Lemberg“ (1906 7) i „Versuche mit excentrisch belasteten betoneisernen Säulen“ (1909 i 1912).

To też nic dziwnego, że w najważniejszych kwestjach, dotyczących ustrojów żelbetowych, uciekano się do Niego po fachową poradę i ocenę, powoływano na rzeczoznawcę do Krakowa, Warszawy, Wiednia i t. p.

Tą najbardziej umiłowaną przez siebie dziedziną pracy zajmuje się po dzień dzisiejszy, biorąc czynny udział w Polskiej Radzie Cementowej, której jest jednym z najgorliwszych pracowników. I te też zasługi Jego uczcił dobitnie Zjazd Żelbetników Polskich, czcząc w Nim Nestora żelbetnictwa polskiego.

Równolegle z działalnością naukową szła Jego działalność na polu polskiego słownictwa technicznego. Wszak w czasie gdy Thullie

zaczął pracować, nie było tego słownictwa prawie zupełnie. To też podnieść należy Jego zasługi położone w komisji słownikowej Polskiego Towarzystwa Politechnicznego, która pod przewodnictwem inż. Darowskiego opracowała pierwszy słownik kolejowy. W dziedzinie mostów i statyki budowli tworzył polskie piśmiennictwo techniczne dzięki benedyktyńskiej pracy i wytrwałości. Statyka budowli — dzieło, które ukazywało się od roku 1886 do roku 1925 w coraz to zmienianych i uzupełnianych wydaniach, Mosty drewniane, Mosty sklepione, Mosty blaszane, Mosty kratowe, Mosty żelbetowe i szereg innych podręczników, to owoc Jego niestrudzonego wysiłku. Czy to student jedynej podówczas Politechniki polskiej, czy to inżynier pracujący w kraju czy zagranicą, wszyscy posługiwali się Jego dziełami. Praca ta była tern trudniejsza, że podówczas nawet terminologji polskiej nie było ; musiał ją stwarzać — tern żmudniejsza, że skrupulatnie zbierać musiał w swych dziełach wszystkie dane, dotyczące dorobku techniki mostowej polskiej. On go inwentaryzował, On go odsłaniał zagranicy.

I tu dalsza Jego zasługa i rozsławienie inżyniera polskiego zagranicą, która o nim nie wiedziała, lub wiedziała bardzo niewiele. Prace Thulliego publikowane i cytowane były daleko — i w literaturze świata weszły jako chlubny polski dorobek.

Ogółem napisał Thullie 183 rozpraw, z tego 92 w języku polskim, 89 w niemieckim, 2 we francuskim, 22 podręczników w 33 wydaniach, oraz opracował pięć działów do Podręcznika Inżynierskiego.

Ale Thullie nietylko zajmował się teorją, sięgał i w dziedzinę konstrukcji. M. i. był rzeczoznawcą w sprawie żelbetowego wiaduktu im. Księcia Józefa Poniatowskiego w Warszawie. Poza tern od roku 1916 był inżynierem cywilnym i jako taki wykonał niejeden projekt i niejedną ekspertyzę inżynierską.

Przez tyle dziesiątków lat Swej działalności pedagogicznej wykształcił tysiące uczniów, którzy poszli w świat z dobrem ziarnem jakie zasiał w ich umysłach, których przygotował, wykształcił i ukształtował na wybitnych pracowników w dziale inżynierji. Rzec można — stworzył Swą szkołę.

Zdawaćby się mogło, że przy takiej ogromnej pracy zawodowej w kąt musiały pójść inne prace i zajęcia. A jednak tak nie jest! Przecież Thullie obok pracy naukowej, zawodowej i pedagogicznej, znalazł czas i siły na pracę społeczną, kulturalną, polityczną. Wierny i gorliwy katolik, brał udział od młodości w stowarzyszeniach katolickich, w Skale, Przyjaźni i innych towarzystwach. Gdy zaś do Polski dotarł ruch chrześcijańsko-społeczny, stanął we Lwowie w pierwszym szeregu pracowników na tern polu. Był jednym z założycieli i długoletnim prezesem stronnictwa Katolicko-Narodowego. Jako taki

wszedł w r. 1894 do Rady Miejskiej lwowskiej, w której, z przerwą od roku 1901 — 1907 do dnia dzisiejszego zasiada, biorąc w niej zawsze czynny i gorliwy udział. Gdy stronnictwo Katolicko-Narodowe weszło po zjednoczeniu ziem polskich w skład stronnictwa Chrześcijańskiej Demokracji, wziął w niem czynny udział — i w roku 1922 został wybrany senatorem Rzeczypospolitej Polskiej, którą to godność piastuje obecnie już w trzeciej zrzędu kadencji. Pracuje też czynnie w publicystyce, zabierając wielokrotnie głos w sprawach politycznych chwili bieżącej.

W pracy publicznej był i jest twardy i nieugięty w obronie Swoich przekonań. Dowiódł tego po inwazji rosyjskiej, gdy władze austrjackie, za Jego nieprzychylne w stosunku do mocarstw centralnych stanowisko, stawiły Go przed sąd wojenny i zażądały ustąpienia z Katedry. Dowiódł tego całem Swojern bezkompromisowem życiem.

Pracę Jego oceniło też społeczeństwo, darząc Go uznaniem i szacunkiem, jaki żywią dlań wszyscy bez różnicy przekonań. Jest honorowym profesorem Politechniki Lwowskiej, jest doktorem nauk technicznych honoris causa Politechniki Warszawskiej, — i to są najlepsze oznaki uznania ze strony obu Politechnik. W roku 1931 miasto Lwów obdarzyło Go nagrodą naukową. Młodzież — do której zawsze odnosił się z największą serdecznością — ofiarowała Mu godność członka honorowego Towarzystwa Wzajemnej Pomocy Studentów Politechniki i Związku Studentów Inżynierji.

W uznaniu zasług położonych dla Kościoła otrzymał krzyż „Pro Ecclesia et Pontifice“. Jest honorowym członkiem Polskiego Towarzystwa Politechnicznego, w którem w latach 1884—1889 był redaktorem „Czasopisma Technicznego“, oraz wielu innych towarzystw, jak Czytelni Katolickiej, Skały, Przyjaźni.

A dziś — pomimo sędziwego wieku, pomimo pięknie przepracowanego życia, nie ustaje w pracy — czy to na polu naukowem, w Politechnice, czy w Senacie, czy w Radzie miejskiej.

Niechaj żyje i pracuje w najdłuższe lata!

Spis prac Prof. Dr. M. Thulliego.

1.    Kilka słów o belce ciągłej, Dźwignia, Lwów, 1878.

2.    O krzywych influencyjnych i ich zastosowaniu do wyznaczania graficznego sił, działających w zwykłej belce kratowej, Dźwignia, Lwów, 1878.

3.    Linje influencyjne dla mostów łukowych o trzech zawiasach, Dźwignia, Lwów, 1879.

4.    W kwesty i ogólnej teoryi belek, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1880.

5.    Oznaczenie sił, działających w belce ciągłej przegubowej, zapomocą linij wpływowych, Dźwignia, Lwów, 1881.

6.    Nowsze poglądy w kwestji teoryi sklepień, Dźwignia, Lwów, 1881.

7.    Szkic teoryi mostów łukowych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1882.

8.    Mechanika budownicza, kurs II. Wykłady hektografowane, Lwów, 1882.

9.    Druckverteilung durch die Schotterschichte, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden, 1882.

To samo po polsku:

10.    Rozdzielenie się ciśnienia przez warstwę żwiru, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1883.

11.    Analityczne oznaczenie linij wpływowych dla łuku parabolicznego dwu i bezprzegubowego, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1883.

12.    Einige Bemerkungen über die ältere Erddrucktheorie, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden, 1884.

13.    Graphische Bestimmung der im continuirlichen Gitterträger mit 2 Feldern auf Grund der Durchbiegung wirkenden Kräfte, Wochenblatt f. Architekten u. Ingenieure, Berlin, 1884.

14.    Gobi n’s Erddruckversuche, Wochenblatt f. Baukunde, Berlin, 1885.

To samo po polsku:

15.    Doświadczenia Gobina w kwestji parcia ziemi, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1885.

16.    Teorya mostów, autografja, Lwów, 1885.

17.    Podręcznik statyki budowli, wyd. I., Lwów, 1886.

18.    Oznaczenie wykreślne sił, działających w belce ciągłej o dwóch otworach, na podstawie wygięcia belki, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1887.

19.    Doświadczenia Considère’a nad wytrzymałością żelaza i stali, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1887.

20.    Doświadczenia M. L. Leygue’a nad parciem ziemi, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1887.

21.    Berechnung der Spannungen der über die Elastizitätsgrenze gebogenen Stäbe, Wochenblattf. Baukunde, Berlin 1887.

22.    Anality c z n e wyznaczenie najniekorzystniejszego obciążenia belki prostej układem ciężarów skupionych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1887.

To samo po niemiecku:

23.    An a 1 y ti s c h e Bestimmung der ungünstigsten Belastung eines Balkenträgers durch ein System con-centrierter Lasten, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden, 1887.

24.    Najnowsze rozporządzenie minister j aine, dotyczące obliczania mostów, Czasopismo Techniczne i Przegląd Techniczny, Lwów, Warszawa, 1888.

25.    Obciążeniezespołów budowlanych i natężenie dopuszczalne materjałów, Czasopismo Techn., Lwów, 1889.

26.    Przyczynek do dawnej teoryi parcia ziemi, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1889.

27.    Współczynniki natężeń w zeskładach konstrukcyjnych żelaznych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1889.

28.    Wpływ obciążenia ruchomego na mosty sklepione, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1889.

29.    Obliczenie grubości ścian i dna zbiornika blaszanego, Przegląd Techniczny, Warszawa 1889.

30.    Wytrzymałość słupów na wyboczenie przy zwykłej i wysokiej ciepłocie, Przegląd Techn., Warszawa, 1889.

31.    Wytrzymałość cementów, Przegl. Techn., Warszawa, 1889.

32.    Wytrzymałość betonu na złamanie, Przegląd Techn., Warszawa, 1890.

33.    Obliczenie natężeń w zeskładach Monier’a, Przegląd Techniczny, Warszawa 1890.

34.    Obliczenie krzyżulców na wyboczenie, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1890.

To samo po niemiecku:

35.    Berechnung der Gitterstäbe auf Knickfestigkeit, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden 1890.

36.    Podręcznik teoryi mostów, Cz. I., tom I., wyd. I., Lwów, 1890.

37.    Doświadczenia z drewnianemi belkami złożone mi, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1891.

38.    Próby wytrzymałości belek żelaznych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1891.

39.    Beitrag zur Berechnung der Stäbe auf Knickfestigkeit, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1891.

40.    Zur Berechnung der Holzträger, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden, 1891.

41.    Bestimmung der Einflusslinien für die inneren Kräfte des continuirlichen Trägers mit drei Stützpunkten, Wochenschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wieden, 1891.

42.    Obliczenie krzyżulców i pasów żelaznych belek na wyboczenie, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1891.

43.    Przyczółki i filary kamienne mostów drewnianych i żelaznych, wykłady autogr., Lwów, 1891.

44.    Weiterer Beitrag zur Berechnung der Stäbe auf Knickfestigkeit, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1892.

45.    Wyznaczenie linij wpływowych sił wewnętrznych dwuprzęsłowej belki ciągłej, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1892.

46.    Podręcznik teoryi mostów, Cz. L, tom IL, wyd. I., Lwów, 1892.

47.    O obliczeniu prętów na wyboczenie, Przegląd Techn., Warszawa, 1893.

48.    Mosty blaszane, wykłady litogr., Lwów, 1893.

49.    Trägheitsmomente der Walz e i s e n q u e r s c h n i t te, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Vereines, Wiedeń, 1894.

To samo po polsku:

50.    Momenty bezwładności przekroi kształtówek, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1894.

51.    Zur Anwendung verzahnter und verdübelter Träger, Centralblatt d. Bauverwaltung, Berlin, 1895.

52.    Natężenia w belkach kratowych o kracie wielokrotnej, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1895.

53.    Mosty drewniane, Zeszyt I., Lwów, 1895.

54.    Messung der Spannungen und Durchbiegungen der eisernen Brücken, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1896.

55.    Über die Berechnung der Bi egun g s p an n u n g en in den Beton und Monier-Constructionen, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1896.

To samo po polsku:

56.    Obliczenie natężeń zginających w belkach betonowych i Monier’a, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1896.

57.    Obliczenie belek betonowych układu H e n neb i q u e’a, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1896.

58.    Galicyjskie drewniane mosty kratowe, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1897.

To samo po niemiecku:

59.    Hölzerne Gitterbrücken in Galizien, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1897.

60.    Niektóre wzory i tablice z dziedziny statyki budowli, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1897.

61.    Über die Berechnung der Monierplatten, Zeitschrift d. österr. Ing. n. Arch. Ver., Wieden, 1897.

To samo po polsku:

62.    Obliczenie płyt Monier’a, Odbitka z Pamiątnika Tow. Politechnicznego, Lwów, 1897.

63.    Obliczenie natężeń w sklepieniach Mo nier a, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1898.

To samo po niemiecku:

64.    Über die Berechnung der Spannungen in den Moniergewölben, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1898.

65.    Mosty drewniane, Zeszyt II., Lwów, 1898.

66.    Obliczenie belek Żelaznobetonowych z żebrami układu Hennebique’a, Przegląd Techn., Warszawa, 1899. To samo po niemiecku:

67.    Berechnung der gerippten B et o n ei s e ntr äger System Hennebique, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1899.

68.    O wpływie wkładek żelaznych na własności zaprawy i betonu, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1899.

69.    Mosty kratowe żelazne i filary kratowe, wykł. litogr., Lwów, 1899. Drukiem Lwów, 1906.

70.    Berechnung der Betoneisenträger mit oberen Rippen, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1900.

To samo po polsku:

71.    Obliczenie belek żelaznobetonowych z górne mi żebrami, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1900.

72.    Obliczenie dźwigarów drewnianych złożonych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1901.

To samo po niemiecku:

73.    Zur Berechnung der zusammengesetzten Holzträger, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden 1901.

74.    Obliczenie słupów drewnianych na wyboczenie, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1901.

To samo po niemiecku:

75.    Berechnung der hölzernen Säulen auf Knickfestigkeit, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1901.

76.    Mosty drewniane 1, wyd. IL, Lwów, 1901.

77.    Przyczynek do obliczenia płyt Monier a, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1902.

To samo po niemiecku:

78.    Beitrag zur Berechnung der Monierplatten, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1902.

79.    Mosty sklepione, Lwów, 1902.

80.    Podręcznik statyki budowli, wyd. IL, Lwów, 1902.

81.    Neue Versuche mit Betoneisenbalken, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1902.

82.    Neue Versuche mit Hennebiqueträgern in Lemberg, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1902.

To samo po polsku:

83.    Nowe doświadczenia z belkami Hennebique’a we Lwowie, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1903.

84.    Naprężenia ścinające w belkach żelazno-b e to n o-wych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1903.

To samo po niemiecku:

85.    Die Schubspannungen in Betoneisenträgern, Beton и. Eisen, Wieden, 1903.

86.    Obliczenia sklepień żelazno-betonowych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1903.

To samo po niemiecku:

87.    Die Berechnung von Gewölben aus Eisenbeton, Beton u. Eisen, Berlin, 1903.

88.    Przyczółki i filary kamienne mostów drewnianych i żelaznych, wyd. I., Lwów, 1903.

89.    Über die Berechnung von beiderseits armierten В e-tonb alken, Beton u. Eisen, Berlin, 1903.

90.    Schlussfolgerungen aus der Debatte über Schubspannungen, Beton u. Eisen, Berlin, 1903.

91.    Dimensionierung der T-förmigen Träger, Beton u. Eisen, Berlin, 1904.

92.    Podręcznik teoryi mostów, część I., tom I., wyd. IL, Lwów, 1904.

93.    Die zulässigen Spannungen in Balkenträgern aus Eisenbeton, Beton u. Eisen, Berlin, 1904.

94.    Die Bruchursachen der b e t o n e i s e r n e n geraden Träger, Beton u. Eisen, Berlin, 1905.

To samo po polsku:

95.    Przyczyny złamania belek Żelazno-betonowych prostych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1906.

96.    Zur Dimensionierung der rechteckigen und T-för-migen beton eisernen Träger, Betonu. Eisen, Berlin, 1905.

97.    Wyznaczenie wymiarów belek żelazno-betonowych z żebrami, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1905.

98.    Wykreślne wyznaczenie wysokości belek żelazno-betonowych, Przegl. Techn., Warszawa, 1905.

99.    Dimensionierung der beton eisernen Gewölbe, Beton u. Eisen, Berlin, 1905.

To samo po polsku:

100.    Wyznaczanie wymiarów sklepień żelazno-betonowych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1905.

101.    Mosty blaszane, wyd. L, Lwów, 1905.

102.    Przyczynek do obliczenia sił wewnętrznych w dźwigarach kratowych mostów kolejowych zapomocą ciężarów zastępczych, Przegląd Techn., Warszawa, 1905.

103.    Mosty kratowe żelazne, Lwów, 1905.

104.    Podręcznik teoryi mostów, część L, tom IL, wyd. IL, Lwów, 1906.

105.    Bruchursachen von beton eisernen Balken, Beton и. Eisen, Berlin, 1906.

To samo po polsku:

106.    Doświadczenia Goodrich’a, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1906.

107.    Neue Versuche mit beton eisern en Säulen in Lemberg, Beton u. Eisen, Berlin, 1906/7.

То samo po polsku:

108.    N o we doświadczenia ze słupami ż e 1 a z n o - b e to n o-wemi we Lwowie, Przegląd Techn., 1907.

109.    Filary żelazne, Lwów, 1907.

110.    Neuere Versuche mit Eisenbeton, Beton и. Eisen, Berlin, 1907.

To samo po polsku:

111.    Doświadczenia ze słupami żelazno-betonoweini w Urbanie, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1908.

112.    Neue französische Versuche mit umschnürten Beton, Beton u. Eisen, Berlin, 1907.

113.    Mosty drewniane 2, wyd. IL, Lwów, 1907.

114.    Mosty kamienne, wyd. IL, Lwów, 1908.

115.    Mosty żelazno-betonowe, litografja, Lwów, 1908.

116.    Empergers Versuche mit betoneisernen Säulen, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1908.

117.    Die österreichische Beton-Verordnung, Armierter Beton, Berlin, 1908.

118.    Hardings Versuche mit Ei s e nb e t о n b al ken, Beton und Eisen, Berlin, 1908.

119.    Die Druckfestigkeit des reinen, armierten und um-

Emperger, Handb. f. Eisenbetonbau,

schnürten Betons

Tom I, wyd. 1, Berlin, 1908.

120.    Doświadczenia Bacha co do ciągliwości betonu i betonu wzmocnionego, Przegl. Techn., Warszawa, 1908.

121.    Neuere Versuche mit Eisenbeton, Beton и. Eisen, Berlin, 1908.

122.    Versuche mit exzentrisch belasteten betoneisernen Säulen, Forscherarbeiten aus dem Gebiete des Eisenbetons, Berlin, 1909.

123.    Allgemeine Bestimmungen des deutschen Ausschusses für Eisenbeton für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Bauten aus Stampfbeton, Armierter Beton, Berlin, 1909.

To samo po polsku:

124.    Postanowienie niemieckiego komitetu żelazno-be-tonowego co do budowli z betonu ubijanego, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1909.

125.    Der Dauerversuch an einem Eisenbetonbalken, Armierter Beton, Berlin, 1909.

126.    Budownictwo żelazno-betonowe, litografja, Lwów, 1909.

127.    Versuche Schüles mit Eisenbetonbalken und Säulen, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1909.

To samo po polsku:

128.    Doświadczenia Schülego z belkami i słupami że-lazno-betonowemi, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1910.

129.    Berechnung der Betoneisenträger mit oberen Rippen, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1909.

130.    Der Entwurf einer Vorschrift über die Herstellung von Tragwerken aus Beton-Eisen bei Hochbauten, aufgestellt vom österreichischen Beton-Verein, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1909.

131.    Doświadczenia Empergera ze słupami żelazno-be-tonowemi, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1909.

132.    Nowe badania Probsta nad słupami żelazno-beto-nowemi, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1909.

133.    Mosty łukowe i wiszące, Lwów, 1909.

134.    Neue Versuche Talbots mit Eisenbetonsäulen, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1910.

135.    Die neuen Vorschriften für Eisenbetontragwerke in Österreich und in der Schweiz, Zementu. Beton, Berlin, 1910.

136.    Witheys Versuche mit Säulen aus Betoneisen, Österr. Wochenschr. f. d. öffentl. Baudienst, Wiedeń, 1910.

To samo po polsku:

137.    Doświadczenia Withe y’a ze słupami żelazno-beto-nowemi, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1910.

138.    Talbots Versuche mit Eisenbetonbalken bezüglich des Stegwiderstandes, Rundschau für Technik u. Wirtschaft, Praga, 1910.

139.    Die neuen österreichischen Vorschriften über Eisenbetonbauten, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1911.

140.    Versuche mit Betonsäulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1911.

141.    Versuche mit Eisenbetonbalken von Bach und Graf, Rundschau f. Technik u. Wirtschaft, Praga, 1911.

142.    Säulenversuche des deutschen Ausschusses für Eisenbeton, Österr. Wochenschrift f. d. öffentl. Bd., Wiedeń, 1911. To samo po polsku:

143.    Doświadczenia ze słupami niemieckiego Komitetu dla betonu wzmocnionego, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1911.

144.    Einige Bestimmungen der neuen österreichischen Vorschriften über Eisenbetonbauten, Rundschau für Technik u. Wirtschaft, Praga, 1911.

145.    Obliczenie natężeń przyczepnych wedle nowych austryackich przepisów ministerjalnych, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1911.

146.    Die Versuche Witheys mit exzentrisch belasteten Säulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1911.

To samo po polsku :

147.    Doświadczenia Withey’a ze słupami ż e 1 azn o-b e t o-nowemi obciążonemi mimośrodkowo, Przegląd Techn., Warszawa, 1912.

148.    Versuche Bachs mit Eisenbetonbalken, Tonindustrieztg, Berlin, 1912.

To samo po polsku:

149.    Do świadczenia Bacha z belkami żel azn o-beton o-wemi, Przegląd Techn., Warszawa, 1911.

150.    Versuche mit Betonsäulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1912.

151.    Weitere Versuche von Bach und Graf mit Eisenbetonbalken, Österr. Wochenschrift f. d. öffentl. Bd., Wieden, 1912.

152.    Witheys Versuche mit Eisenbetonsäulen, Beton und Eisen, Berlin, 1912.

153.    Versuche Bachs mit Kontrollbalken, Rundschau f. Technik u. Wirtschaft, Praga, 1912.

154.    Weitere Versuche mit excentrisch belasteten Eisenbetonsäulen, Wieden, 1912.

155.    Druckfestigkeit des reinen, bewehrten und umschnürten Betons, Emperger, Handb. f. Eisenb., Tom I, wyd. 2, Berlin 1912.

156.    Austryackie przepisy ministeryalne, dotyczące obliczenia i budowy mostów, Tłumaczenie, Lwów, 1913.

157.    Dimensionierung der längsbewehrten Eisenbetonsäulen, Zeitschrift für Betonbau, Wieden, 1913.

158.    Berechnung der umschnürten Säulen aus Eisenbeton, Österr. Wochenschrift f. d. öffentl. Bd., Wieden, 1913.

159.    Mosty drewniane 1, wyd. HL, Lwów, 1913.

160.    Die dritte Phase der gebogenen Eisenbetonträger, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1913.

To samo po polsku:

161.    Trzecia faza w zginanych belkach żelbetowych, Kwartalnik Techniczny, Lwów, 1913.

162.    Podręcznik teoryi mostów, Cz. II. Łuki i w i es z ary, Lwów, 1913.

163.    Säulen aus umschnürten Gusseisen, Österr. Wochenschrift f. d. öffentl. Bd., Wieden, 1914.

164.    Versuche mit Eisenbetonsäulen, Österr. Wochenschrift f. d. öffentl. Bd., Wieden, 1915.

165.    Bachs Knickungsversuche mit Eisenbetonsäulen, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1915.

166.    Teorya żelbetu, Lwów, 1915.

167.    Amerikanische Betonversuche, Zeitschrift d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wieden, 1915.

168.    Neue Versuche mit Eisenbetonsäulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1916.

169.    Wirkungsweise der Umschnürung bei Eisenbetonsäulen, Armierter Beton, Berlin, 1916.

170.    Berücksichtigung der Schale bei umschnürten Eisenbetonsäulen, Zeitschrift f. Betonbau, Wieden, 1916.

171.    Rama prostokątna dwuprzegubowa, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1916.

172.    Podręcznik statyki budowli, wyd. III., Lwów, 1917.

173.    Berechnung der Säulen aus umschnürten Gusseisen, Beton и. Eisen, Berlin, 1917.

174.    Zur Dimensionierung exzentrisch gedrückter T-Quer-schnitte, Österr. Wochenschr. f. d. öffentl. Bd., Wieden, 1918.

175.    Uzbrojenie belek żelbetowych z powodu sił poprzecznych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1918.

176.    Berechnung der um schnürten Eisenbetonsäulen (wspólnie z Dr. A. Kuryłłą), Beton u. Eisen, Berlin, 1918.

177.    Projekt przepisów żelbetowych (wspólnie z Prof. Dr. M. T. Huberem), Czasopismo Techniczne, Lwów, 1919.

178.    Projekt organizacji szkół politechnicznych, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1919.

179.    Pustaki betonowe, jako materjał do odbudowy miast polskich, Roboty Publiczne, Warszawa, 1920.

180.    O murach z pustaków betonowych M i N systemu Empergera, Roboty Publiczne, Warszawa, 1920.

181.    Erddruckbestimmung nach Färber (wspólnie z Dr. A. Kuryłłą), Zeitichr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver., Wiedeń, 1920.

To samo po polsku:

182.    O wyznaczeniu parcia ziemi sposobem Färbera (wspólnie z Dr. Kuryłłą), Czasopismo Techniczne, Lwów, 1920.

183.    La réglementation officielle des ponts routes en Pologne, Le Genie Civil, 1920.

184.    Polskie przepisy budowy i utrzymania mostów drogowych, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1920.

185.    Ciśnienie ciał sypkich, Czasopismo Techn., Lwów, 1920.

186.    Podręcznik teorji mostów, wyd. III., Lwów, 1920.

187.    Przyczółki i filary kamienne mostów drewnianych i żelaznych, wyd. II., Lwów, 1921.

188.    Druckfestigkeit des reinen, bewehrten und umschnürten Betons, rozdział III., tom L, Emperger, Hdbch. für Eisenbetonbau, wyd. III., Berlin, 1921.

189.    Mosty żelbetowe, Lwów, 1921.

190.    Die Grösse der Zahl n bei Stahl, Beton u. Eisen, Berlin, 1922.

191.    Rozkład ciężarów na belki mostów żelbetowych, Archiwum Towarzystwa Naukowego, Lwów, 1922.

To samo po niemiecku:

192.    Die Druckverteilung auf die einzelnen Träger der Betonbrücken, Beton u. Eisen, Berlin, 1922.

To samo po francusku:

193.    La répartition des charges entre les poutres dans les ponts en beton armé, Le Genie Civil, 1922.

194.    Teorja ram, Lwów, 1922.

195.    Podręcznik statyki budowli, wyd. IV., Lwów, 1923.

196.    Obciążenie stropu przy próbach obciążenia.

197.    Projektowanie słupów żelbetowych uzwojonych, opracowane wspólnie z Dr. Chmielowcem, wygłoszone na Komisji Lwowskiej Akademji Nauk Techn. i w Kole Żelbetników w Warszawie, Przegląd Techniczny, Warszawa, 1924.

198.    Przekroje trójkątne i pięciokątne belek żelbetowych, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1925.

199.    Doświadczenia Menscha ze słupami uzwojone mi z wkładką żeliwną (wspólnie z Dr. Chmielowcem), Archiwum Towarzystwa Naukowego, Lwów, 1925.

To samo po niemiecku:

200.    Die Versuche von Mensch mit Säulen aus umschnür-tem Eisenbeton mit der gusseisernen Einlage (wspólnie z Dr. Chmielowcem), Beton u. Eisen, Berlin, 1925.

201.    Mosty blaszane, wyd. IL, Lwów, 1925.

202.    Słupy żelazne obetonowane, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1926.

To samo po niemiecku:

203.    Einbetonierte Eisensäulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1927.

204.    Neue österreichische Versuche mit Eisenbetonsäulen, Beton u. Eisen, Berlin, 1927.

hi

То samo po polsku:

205.    Nowe austrjackie doświadczenia ze słupami żelbet o w e m i, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1927.

206.    Wyznaczenie wymiarów słupów żelbetowych na wyboczenie, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1927.

207.    Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych i sposób przybliżony ich wyznaczania (wspólnie z Dr. Chmie-lowcem), Czasopismo Techniczne, Lwów, 1928.

208.    Lin je wpływowe naprężeń drugorzędnych (wspólnie z Dr. Chmielowcem), Czasopismo Techniczne, Lwów, 1928.

209.    Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych (wspólnie z Dr. Chmielowcem), Lwów, 1928.

Podręcznik Inżynierski pod redakcją Prof. Bryły Tom II.

1927 - 1929.

210.    Mosty kamienne

211.    Przyczółki i filary kamienne

212.    Mosty żelbetowe

213.    Obliczenie sklepienia i murów przy pomocy linji ciśnienia

214.    Teorja żelbetu

215.    Wyznaczenie wymiarów słupów żelbetowych na wyboczenie, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1929.

216.    Wzmacnianie mostów żelaznych kratowych żelbetem i spawaniem według Empergera, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1930.

217.    U kolebki żelbetu, Cement, 1930/31.

218.    Uwagi do projektu przepisów dotyczących kon-strukcyj betonowych i żelbetowych, Cement, 1930/31.

219.    N aj n o w s z e doświadczenia wiedeńskie ze słupami żelbetowe mi, Czasopismo Techniczne, Lwów, 1932.

To samo po niemiecku:

220.    Die neuesten Wiener Versuche mit Eisen beton sä u len, Beton u. Eisen, Berlin, 1932.

Oprócz tego wspomnieć należy o znacznej ilości sprawozdań, recenzyj i krytyk z literatury technicznej, pomieszczanych przeważnie na łamach Czasopisma Technicznego, a także w Przeglądzie Technicznym i innych pismach polskich. Z prac w czasopismach zagranicznych wymienić należy liczne krytyki, opublikowane w Zeitschrift des österreichischen Ingenieur u. Architekten Ver. i w Beton u. Eisen.

INŻ. MIECZYSŁAW BESSAGA

Zastosowanie zasady Castigliana do wyznaczania reakcyj belek ciągłych.

Załomy spadków drogowych w sąsiedztwie

Ogólna metoda wyznaczania kształtu mostów łukowych z konstrukcją pachwinową.

«2 7 = [4у2 Уз + б y2 У4+6 y2 y5 +4 y2 y6 +3(2+^21) Уз У4+4(2 +

W ten sposób ujęliśmy dopiero wpływ siły skupionej

Jeszcze jeden sposób badania belki ciągłej.

Przy obliczaniu napięć od obciążenia ruchomego ora

<V-V. czylj ptr = F-°y

Tablica V.

• . (15)

Kryterja dla wyznaczenia prędkości wód płynących w łożyskach przyrodzonych.

0,20

2=fL

Wzór przybliżony dla projektowania nakładek

O zastosowaniu teorji kraty do wyprowadzenia równań energji sprężystej.

Zastosowanie zasady Castigliana do wyznaczania reakcyj belek ciągłych.

Jednem z najogólniejszych prawideł w teorji sprężystości, które dozwala w całym szeregu zagadnień z tej dziedziny wyznaczać t. z. wielkości statycznie niewyznaczalne, jest niewątpliwie zasada Castigliana. Przedmiotem niniejszej pracy jest zastosowanie tej właśnie zasady do pewnego szczegółowego wypadku, a mianowicie do obliczania reakcyj belek wieloprzęsłowych, o stałym przekroju, wolno podpartych na skrajnych podporach (bez momentów utwierdzenia).

AJ Belki ciągłe, na równo wysokich podporach, o przęsłach

równych.

Do wyznaczenia wielkości reakcyj podporowych służą przede-wszystkiem dwa ogólne równania równowagi:

1)    Suma sił = 0

<fi (A₀, Ax, A₂. •. An)=A₀-\-A₁ -ł-A₂ + ... -\-An—2(P, Q)=0    (1)

2)    Suma momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnego punktu, np. względem skrajnej prawej podpory, jest zerem

(pi(A₀,A₁,Ai...An)=A₀.nl+A₁ (n—l)l+ ... An-\.l-2(Pc,Qd)=0 (2)

W powyższych równaniach A₀, Alf A₂... oznaczają kolejno po sobie następujące reakcje, wyrażenie 2(P, Q) oznacza sumę sił zewnętrznych (skupionych i ciągłych) działających na belkę, zaś wyrażenie 2(Pc,Qd) sumę momentów statycznych tych sił względem prawej podpory.

Ilość niewiadomych reakcyj wynosi n+1; dla wyznaczenia ich potrzeba zatem jeszcze dalszych równań — do tego celu mogą posłużyć równania wynikające z prawa Castigliana. Na podstawie tego prawa pochodne cząstkowe pracy odkształcenia względem każdej poszczególnej reakcji są zerem, przyczem jednakże trzeba uwzględnić,

iż wspomniane reakcje muszą równocześnie czynić zadość ogólnym równaniom równowagi (1) i (2).

Dla wyznaczenia tych reakcyj w sposób możliwie prosty należy przedewszystkiem utworzyć funkcję pomocniczą

F=U-\-tl.(p₁ + t₂.(p₂¹)

2*

gdzie U oznacza pracę odkształcenia, tx t₂ dwa niewiadome współczynniki. Przyrównując do zera pochodne cząstkowe funkcji F wzglę-niewiadomych reakcyj otrzymamy n+1 równań, które w połączeniu z równaniami (1) i (2) utworzą układ (I) złożany z п+Ъ równań, określający w sposób jednoznaczny n+3 niewiadomych, a to n+1 reakcyj podporowych, oraz dwa wyżej wspomniane współczynniki tx i t

ТГ

"37

37

ЗГ

"3"

a₂

Ar>-i

Rys. 1.

dF dU

dA₀ dA0 dF dU

P tx . 1 -f-.711 = 0

dAx dAx

(O

dF dU

d An—i d An—i

dF dU

dAn dAn <p₁=A₀~l-A₁-l- •. • An—2(P, Q)=0 g)₂=A₀ ,nl-\-Ax (n—1)£+ . . . An-\.l—2(Pc, Q.d)=0

Praca odkształcenia belki U (o ile uwzględnimy samo tylko zginanie — pomijając wpływ sił ścinających) wyraża się wzorem

1    M¹

2    Ë7I

gdzie M oznacza zmienny moment zgięcia E stały współczynnik sprężystości /    „ moment bezwładności przekroju belki.

dx

.    .    (3)

b Dziwiński: Wykład matematyki. Tom II., str. 344.

E. Goursat: Kurs analizy matem. Tom I. (Tłómacz. Łazowski et cons.) str. 115.

Stąd :

dU

дЛ₀

dU

дЛ₁

-£

nl M d M 7 „ EI dA,dX

M_ Ш Ifl д T,

nl M dM , EIÖÄ₁dX

гъП I

if dM El дА~

dx

дМ

dAi

Г* IL

dii

nl М_ дМ EI дА,

dx

дМ

à An

dM

0, jeśli jako moment zgięcia w danym

przekroju belki uważamy moment statyczny sił leżących po lewej stronie tego przekroju.

дА;

(H)

Podstawiając za M wartości M=A₀x—f₀(P, Q)

M=A₀ x-\-Ay. (;x—l)—f₁ (P, Q)

dla 0<x<l

dla l<x<2l

M=A₀ x+A₁    Ai (x—li)—fi (P, Q) dla i. IKxK (*'+!)./

widzimy, iż:

dU

àA o

ętll

Л

J0

X². dx-\-A₁

x.{x—l) dx-\-A

rl J21

x.(x—21) dx

Г¹

•J (w—1) l

x. [x— (n -1) l\ dx

E.I

• % (p> Q)

dU

dA

r*7l l    r»7l l    r*7l l

A₀ \ x{x—l)dx-\-AA (x—Ij^dx + AA (x—l){x—2l)dx dl    dl    '    “dU

(,x— Ï) [x—{n— 1 )l\.dx

Гг

• • An—i \

" (n—1) l

Ei ■    (P, Q)

дМ

дА

ęnl    ęnl

A₀ \ x(x—i^dx+AA

dil    dil

(x—I) (x—il) dx-\-. ..

fill

+ Лг\ (x-il)² dx-\-..

d il

~nl

• An— i \

•) (n—1) l

(x-il)[x-(n— 1)/] dx—-^jipi{P,Q)

W powyższych równaniach (II) i (III) funkcje f₀ (P, Q) fx (P, Q) .. ip₀ (P, Q), V'i (P, Q). . • oznaczają pewne funkcje zależne od kształtu belki i rodzaju obciążenia, niezależne natomiast od niewiadomych reakcyj.

Po podstawieniu wartości za mamy układ równań (IV) :

• • • w równania (I) otrzy-

dU dU dA₀ dAx

(0)... Л

ęnl    ęnl

\ x²dx + Ax \

J₀    Ji

x{x—l) dx + . . .

(IV)

rł

•I (w— 1) l

x\x—(n—1)/] dx-\-t₁E ,I-\-t₂EInl=tp₀ (P, Q)

~nl    ęnl

J.₀j x(x—tydx+A^ (x—l)²dx + ...

A-An—i

-\-An—i

rnl

«1 (n—1) l

(x—l) [x—(n—\)l\ dx-\-tx .EI-\-t%EI(n—\)l=xf)x(PyQ)

(г)... A

r.nl

+ A i \

•J n

r*7ll    r*1ll

₀\ x(x — iljdx + AA (x—l)(x—il)dx-\--‘-J n    J n

+ t\ .E I-\-t₂ EI(n—i) l=ip; (P, Q)

(x—ii)² dx-\- ■ • •

(n)... Ап.0+1Х.Е1=0

(n-\-1)... А₀-^-Ах-{-... An — 2{P, Q)=0

(w+2). .. A₀ ,nl-\-Ax {n—1)/+ . . . An-\.l—2{Pc, Qd)=0

Uwzględniając, iż na podstawie równania (ń) współczynnik ^=0, otrzymamy — po opuszczeniu równania (n+1) — układ (V) złożony z n-\-1 równań o n-\-\ niewiadomych A₀, Ax, A₂... An_i, t (gdzie ł=EI.ł₂) w następującej formie:

a₀, „_i J³ Л n_i -j- P n l—tp0 altn-i.l³An-i + t (n— \)l=ęx

a00 ^ • -4 o “b ®01 • ^ A J + . . .

®io № *Aq +®n •    • • •

(V) aioPAQ+an.PAx-\-.. .

af, n_i.Zs-4„_i-ł-ż (л—i)l=ipi

przyczem :

(Ln—1, О 1Л ■ Aq + dn—1, \ lä А\-\- . . . n.l, A₀ -J- (n — 1 ). I . Aj "I⁻ • • ■

₁ pi

⁼ /Oo

1 r*

-FJ.

aoo

«Il

®Л—1,7»—1 • ^ -^7i— 1 “4“ ^ • I tyli—1

=2 (P с, Qd)

l.A

n''

X². d x= -=-

(?г-1)³

• со

ilfdx=—3—

aa

«71— 1, n—1

(lik—O'ki

(f'ik — Cf'ki

• (4)

r.nl

d U

Z powyższego wynika, że wyznacznik

«02 - • •

«12- •

«00

(X 01

«0, n—1

«10

«11

«1, n— 1

«i0

«a

ац...

«i, n—1

«И—i, 0    «71—1, 1

«71-1, 2 - • •

«71—1, П-1

który nazywać będziemy w dalszym ciągu „wyznacznikiem podstawowym“ układu równań (V), posiada następujące własności:

1) Wyrazy na głównej przekątni są określone wzorem:

(n—i)³

«t»

. . (6)

2) Wyrazy, różniące się tylko porządkiem wskaźników, są sobie równe aik=aki, czyli wyznacznik jest symetryczny względem głównej przekątni.

Prócz tych dwu cech posiada wyznacznik podstawowy jeszcze jedną charakterystyczną własność, która go pozwala w jednej chwili utworzyć dla belki o dowolnej ilości przęseł, a tern samem wyznaczyć dla tej belki lewe strony równań układu (V).

Wyrażenie :

ai к

1 Ç¹

⁼tAu

(,x—il)(x—kl)dx dla i<k

da się bowiem przekształcić na postać:

(n—k)²

«iifc—«** + (» — *) 2 '

a to daje nam właśnie trzecią charakterystyczną własność wyznacznika podstawowego:

3) Kolejno po sobie następujące (od strony prawej ku lewej) wyrazy jednego wiersza, począwszy od wyrazu na głównej przekątni akk

• • (7)

(a podobnie — wskutek symetrji — kolejno po sobie następujące od dołu ku górze wyrazy jednej kolumny, począwszy od wyrazu na

głównej przekątni akk) tworzą postęp arytmetyczny o różnicy -—

W ostatnim wierszu wynosi więc ta różnica Ax

[n—(n— 1 )]²    1

A 4 * .    ,,    [n—(n—2)]² 4

w przedostatnim 4₂=--—— = 2⁼^’

.. i t. d.

w trzecim od końca d₃=^, następnie-^, Щ .

Dla przykładu i lepszej ilustracji własności wyznacznika podstawowego podano w tekście (poniżej) wyznaczniki Z>₃, i Z>₅.

²⁷ 14 4

У У з

-w

co ! co

00 I СО Ю I co

Ю I co

to

05

to

-o

to

CM

to

-o

CM

CM!^ ^

to|

co

woo tO|£

05

Ю j co ''t I co

CO

CM I CO 08 co

tn

00

to

t- co

00

05

10

to

t'- CO

05

''t I co

^ i co 00 : со ю co

co I со ю ! co

co

Przy pomocy wyznacznika podstawowego lewe strony równań układu (V) dadzą się bez najmniejszej trudności zbudować — jak już zresztą o tern wspomniano — przystępujemy teraz zkolei do wyznaczenia prawych stron tych równań, t. j. funkcyj гр;, zależnych tylko od rodzaju obciążenia zewnętrznego belki. Ograniczymy się na razie do dwu typowych wypadków, a to obciążenia jednostajnego na całej długości belki, oraz obciążenia każdego przęsła symetrycznie i w równych odstępach rozłożonemi ciężarami skupionemi, o tej samej wielkości.

W wypadku obciążenia jednostajnego na całej długości belki funkcje rpi przyjmą postać:

Po

- q4xdx=q Jo 2

пЧ*

Pi

rbTll о

= j qĄ-{x-l)dx=ql4

3n⁴—An³-\-1

24

Pi

= [ ~-(x—il) dx=qll.

•Ju 2

3n^—Ain³-\-P

24

• • (8)

W wypadku obciążenia każdego przęsła równemi ciężarami skupionemi, działającemi w połowie każdego przęsła, otrzymamy:

.xdx-\-P

+ ^(l’ + 3s + 5s+...)j

(W⁴- \)l³ l³

rnl / ЗА

JïV 2")

.xdx+ .. .

пЧ³

Pi

48

(3³+5³+...)

1 Л³

(3²+5²+..

■>]

48

2 (2&+1)³'

7 3 n—1

2 (2k-\- 1)²J .    . (9)

Dla obciążenia każdego przęsła dwoma ciężarami skupionemi (w */з * ²/з rozpiętości), dostaniemy:

2 (л⁴—i⁴)

Pi = P

14

g^V(3*+l)4-(3i+2)*-

i.l³ «-¹

2.3³

^ (3/fc+l)²+(3/fc+2'i

Is

Ogólnie — dla obciążenia każdego przęsła zapomocą „s— 1“ ciężarów, skupionych (równych), rozmieszczonych w ¹JS, ²/ części rozpiętości:

(s— 1 ) (w⁴—г⁴)

^ + g^¥V(5Æ+¹)³ + (6-Â: + ²)³+"-^^ + ^-¹)]³-2 (s&+l)² + (s& + 2)²+ . . .0& + S— l)²    .    .    (10)

%=P

12

г Z³ 2.s²

Po wyznaczeniu wielkości %, tp l... гр;... można już przystąpić do obliczenia reakcyj podporowych. W tym celu należy przedewszyst-kiem obliczyć t. z. „minory“ (podwyznaczniki) „wyznacznika rozszerzonego“ Dn, utworzonego ze współczynników przy niewiadomych w równaniach układu (V), które to minory powstają z tego wyznacznika przez skreślenie jednego wiersza i jednej kolumny. Oznaczmy przez Dikn minor, który powstaje przez skreślenie tego wiersza i tej kolumny wyznacznika Dn, w którym znajduje się wyraz aik l³, a przez DnOn, Dn\n. • . minory, odpowiadające poszczególnym współczynnikom ostatniego równania z układu (V), wówczas niewiadome reakcje można wyrazić w postaci:

A₀— [-Doom^o jDiontpi-\-P)‘20n ip2 ■ • • Ai-Dn0n 2(I c, Q ti)\ ‘ Dn

i=2 к

Ai=\Doinipo—DunDainty?,- • • dbDuin 2(Pc, Qd)\: Dn

Aj — \—Dojn tyoĄ-D\jn    —P'ijn    • • • -\-Pnjn2(Pc, Q d)\ : Dn

j=2 m -f-1

gdzie

«00 P «10 P

«01 Z³ . . .

«H P . . .

ao>n-i P

®1, Tl — 1 P

nl

(■n—\)l

Dn =

an-1, o P

nl

«7.-1, 1 P- - •

(n—\)l. . .

«00 £3 «10 z³

«01 P.. . «11 Z³. . .

«0, k-1 P

«1, к-1

®0, k-\-\ P • • •

«1, fc+1 P . . •

nl

(n— 1) Z

Dikn =

«i_i, o P «t-i,i Z³. .. «.—i, it—i Z³ «.—i, >t—j—i Z³ • .. (w—i+\)l «г-ц, o P «.+1, i Z³... «г-i-i, i_i Z³ «/-i-i, ją-i Z³... (w—г— 1) Z

(n—1)Z

(w—г +1 ) Z (n—г— 1)Z...

Możnaby jeszcze zauważyć, iż układ (V) równań linjowych da się rozwiązać także sposobem graficznym (znanym z literatury).

W tym celu należy poprowadzić szereg prostych równoległych L₀ Zj Z₂... Ln i prostopadłą do nich oś F. Na prostych L odmierzamy w pewnej skali współczynniki przy niewiadomych A₀ At...

t, oraz wyrazy wolne гр, jako odcinki, odmierzane od osi Y. W ten sposób otrzymamy szeregi punktów:

A ( » i)

Poo Poi P02 • • • Po,n-i Pot Poy, na prostej L₀ (równ. 0) Pio Pil P12 • • • Pl, n — 1 P\t P\if> n

Chcąc wyrugować np. niewiadomą At z równań (0) i (k) łączymy punkty Po г Pu zapomocą prostej i przez punkt przecięcia tej prostej z osią Y prowadzimy prostą L', równoległą do prostych L₀ Lt... Punkty przecięcia odcinków, łączących odpowiednie punkty na prostych Lo Lk z prostą L' odpowiadają współczynnikom nowego równania linjowego, w którem niewiadoma A-, została wyeliminowana.

Postępująe dalej w sposób analogiczny dochodzimy do układu równań zawierającego o jedną niewiadomą mniej, niż układ (V) i t. d., aż wreszcie dojdziemy do równań o jednej niewiadomej.

Poniżej podano kilka przykładów na obliczenie reakcyj belki trój- i czteroprzęsłowej sposobem analitycznym, nie graficznym.

1) Belka trójprzęsłowa, obciążona równeini ciężarami skupionemi działającemi w połowie każdego przęsła

co

CO

Dz =

co

co

oj 00

co

О)! От

o**

05

CN

OS

Ю лО

co

*****

- co

12

co

'**««*

31    21 l

A)03

A)13—

J) ₌ 1/5

^023 —    1 6

A.03 —

3 «

p⁵

Ai3 = -4/⁵

A 23

Al3 —

D = 1/5

-^203    ¹¹

A23— 4P

Аоз — + P

u

%=Mtt⁺Ä(27+125)_

% — PP

81-0 1

48

Ai 13 — + g

If

-^323 — +

159

1+27 +125) 1 —-jg

PP

(9 + 25)l=^P.Z³

81-16

¹²⁵4²⁵]=!pp

*-«*[ 12

гръ = 2(Pe,Qd)=P^j + ™+ j = PI

48 ‘

to

N3 Ю

Ч®ННШНМ1)Н-

2) Belka trójprzęsłowa, obciążona w każdem przęśle dworna ciężarami skupionemi, w ¹j₉ i ²/₃ rozpiętości przęsła. D3i Diks jak poprzednio

*«=PP[ 12

=PP[ 12

I 12 ^

гр₃=2(Рс, Q d) = 9 PI

if>₂=PP

2(81-0) ₍ 1 f 162

2(81-1) 1

162

2(81-16) 1

(l³+2³+4³+5³+7³+8³)j = f4³+5³+7³+8³)—^(4²+5²+7² + 8²)] (7³+8³)-^(7²+8²)l=^P/³

20 PP

PP

162

11

A₀=A₃=j^P=0-1333P

34

^₁₌Л₂=^Р=2-2667Р

3) Belka trójprzęsłowa, obciążona w każdem przęśle trzema ciężarami skupionemi, działającemi w */₄, ²/₄ i ³/₄ rozpiętości przęsła.

(l³+2³+3³+5³+6³+7³-{-9³+10³+l 1³)1    ₃₂

=PP[ 12 =PĄ 12

3(81-0)    1

3(81 — 1 )

963

384

PP

384

ь.

tp₃ = 2(Pc, Qd) = ~Pl

%=PP

3(81-16)    1

384

(5³ + 6³+7³ + 9³+10³+ 11³) - ^2 (5² + 6² + ...)! =

-l35PP ~ 8 FL

2    I 171

(9³ +10³+ П³)-з2 (9²+10² +1 1²) = PP

P = 1*125 P 27

00 ю

A₀—A₃ —

A₂-~-P = 3‘375 P ² 8

4) Belka czteroprzęsłowa, obciążona ciężarami skupionemi, dzia-łającemi w połowie każdego przęsła

17

Ао4=-|8/8

Ao4=--y^8 A04 ⁼ g~ ^

Ао4⁼+ё4Р°

^₀=PZ³

ip^PP

гр₂=РР

to

-M

to

CM

00

Z³

co

co

02

o**

27

Z³

'S

^ 'CO •'t !co CO

o-*

02

co

20

Z³

'co 00 I со ю|ш N

20

02

02

11

^ ко ю ko

00

Z³ 4 Z

02

02

CO

co

to

17

Au— 18

A»4=—TT*®

Z⁸

23

Z⁸

Au-    ₉

—    22

Au = —9

Äl4=- 1 lS

22

Z⁸

Z⁸

A24    9

D    —^Z⁸

^224—    n b

Аз4 g

Â84=- H⁸

22

22

A24— n

23

A34 — g

Z⁸

Au “^зб^¹⁰

Г256-0    1

12

48

Г256-1

12

48

256-16

12

48

A24— "b g ^10 1    95

(l³+3³+5³+7³) =y PZ3 (3³+5³+7³)-i(3²+5²+7²)j (5³+7³)-

А34=+Т^¹⁰

339

16

CM 00

(5² + 7²)l

45

= ^PP

12

‘Фз—Р Z3 ^₄= 8 PI

Г 256-—81

12

48 '

(7³)-

(7²) I =

161

PZ³

48

A⁻A

17

A A—14^

25

A2 28 P

5) Belka czteroprzęsłowa, obciążona ciężarami skupionemi w х/з i ²/₃ rozpiętości każdego przęsła.

2(256-0)

*-PP[ ,2

162

( l³ + 2³ + 4³ + 5³ + 7³ + 8³+ 10³+ 1 l³)j

572

PI³

xpA = Pl³

2(256-1)    1

CN

(4³ + 5³ + 7³ + 8³+10³+11³)—

l(4W...)] = Tr

PI³

гр, = Р1³

2(256-16)

i7³ + 8³ + 10³+ll³)-?-(7² + 8²+..

162

18

1 203

J“ 9

tp,=Pl3 xfjA = \QPl

2(256-81)    1

12

162

(10³+11³) -

“P/³

1(10»+11*)]—^

PI³

Aq—A₄—-

Ю t'-

-P

50

^i    2i P

38

A₂ P

В) Belki ciągle na podporach leżących w równej wysokości o przęsłach nierównych.

Dla uzyskania równań i współczynników przy niewiadomych reakcjach w formie możliwie prostej, oznaczmy przez L — całkowitą długość belki ciągłej, a, L — odległość od skrajnej lewej podpory do punktu działania reakcji А,- (przyczem oczywiście an = 1).

Przy tych oznaczeniach układ (n+1) równań, służący do wyznaczenia reakcyj, przyjmie postać:

^³-^o + aoi IA. Â₀ -f- cla j

(0)

(1)

i⁵ i⁵

L³A₁. . . -\-t.L=xp0 U Ax... +<(1— a₁)L=tfJ₁

(VI)

(n— 1) an-i,o L³.A₀ + On—\,i L³A₁...-\-t(\—an-\)L=rpn-\

= 2(Pc,Qd)

(n)

L■ A₀ -\-L(1—а₁).Л₁...

przyczem :

aoo

1 CL    1

=Z5j/da:=3

(l-«i)³

an =

г <k

1 ÇL

=Тч\ (x—ctiL) (x—akL) dx

1

~ L³)«kL

(x—a}:L) (x— akL + akL—a, L) dx

, ,    N (1 — «a)²

aiic—a/ck^r ⁽ ak — a,)    ^    •

„Wyznacznik podstawowy“ układu równań (VI) jest więc wyznacznikiem symetrycznym, którego wyrazy na głównej przekątni są określone wzorem (11) zaś inne wyrazy wzorem (12).

Dla wyznaczenia funkcyj tp{ w najogólniejszym wypadku rozpatrzymy, jaki wpływ na wielkość tych funkcyj wywierają ciężary skupione, obciążenia jednostajnie rozłożone, wreszcie obciążenia ciągłe niejednostajnie rozłożone:

1) Ciężar skupiony Pk, położony w odstępie ßlcL od lewej podpory, przyczynia się do zwiększenia funkcji tpi o wielkość

o ile ßk < a, .    (13)

. . (12)

4 tp ;

= \    Pk(x—ctiL) (x—ßkL)dx,

względnie o wielkość

-r

J hL

• (14)

Pk(x—a, L) (x—ßkL)dx, o ile ßk > a,

2) Obciążenie jednostajnie rozłożone „q“ na długości od yx L do y g L (licząc od lewej podpory), przyczynia się do zwiększenia funkcji ipi o wielkość

4^=J

ęL

\    q(y*—Y\)l-(x

Jy₁L

względnie o wielkość

yi    L) (х—а/ L)dx dlay!<y₂<a; (15)

-72 L

VlL

q(x—Уд. ^-(x—aiL)dX+

^    ^²- L) (ж—a* i) dx .

• (16)

3) Obciążenie ciągłe p*, niejednostajnie rozłożone na belce na długości od 4 L do ô₂ L (licząc od lewej podpory) zwiększa funkcję гр; o wielkość

4 *Pi=\

cti L

Px.(x—x₀) (x—a:L)dx

dla 4<4<a; •    (17)

(\L

(przyczem Px oznacza wielkość powierzchni obciążeń = ^ x₀ — odległość środka ciężkości te] powierzchni od lewej podpory) względnie o wielkość

ótL

px dx

ö₂L

лХ'=1

а ; L)dx. \

•J x' = ó₁L

,dx' (ж—ж') +

Г

•z

0гь

(ж — a, L). Px .{x — x₀) d X .    .    .    .    (18)

Po wyznaczeniu funkcyj гр; dalszy tok postępowania przy obliczaniu reakcyj analogiczny, jak dla belek równoprzęsłowych.

C) Belki ciągle na podporach, leżących w różnej wysokości.

W tym wypadku należy uwzględnić, iż pochodne cząstkowe wzmiankowanej na początku funkcji F względem poszczególnych reakcyj nie są zerem, lecz równają się rzędnym odnośnych podpór. Przez „rzędne“ rozumiemy tu wysokości podpór ponad (a raczej popod) pewnym poziomem porównawczym, który — dla uproszczenia — najlepiej przyjąć na wysokości skrajnej prawej podpory.

Wówczas układ równań dla wyznaczania niewiadomych reakcyj przyjmie postać:

' a₀₀ ZA^₀ + a₀₁    .. .a₀,n-iLs.An-l + t.L=if)₀—EIy₀

al0 L³.A₀ + an L³.A₁ + . . .a\,n±-\L³ An_\+t L{\—a₁)=tpl—EIyx

(VII)

а<o L³.A₀+an L³AX + . . . a«>-1 L³ An_i-\-t L(\ ~ai)=tfji—El7yi

= 2(Pc, Qd)

dn-i, o L³Ао~\~&п-\, i L³A^-\~... &n-\,n-\ L³An.\ t L{\ dn.\ ) трп.\ —EIyn.\ L • A₀-\- L{\ — ai) -4 + • • • L( 1 — o«—i) 4—1

W powyższych równaniach rzędne yk oznaczają różnice wysokości między odnośną podporą (w miejscu reakcji A,) a prawą skrajną podporą. Wielkość tych rzędnych należy uważać za dodatnią o ile dotycząca к — ta podpora leży niżej, niż poziom porównawczy, przechodzący przez prawą skrajną podporę, w przeciwnym zaś razie za ujemną.

D) Belki ciągłe na sprężyście uginających się podporach.

Pod wyrażeniem „sprężyście uginające się“ podpory rozumiemy tu takie podpory, które uginają się proporcjonalnie do wielkości reakcyj. Tego rodzaju podpory spotykamy — przynajmniej w przybliżeniu — przy szynach kolejowych, przyczem oczywiście o sprężystem ugięciu

może być mowa tylko w razie reakcyj dodatnich. W tym wypadku pochodne cząstkowe funkcji F=U-\-t₁q)₁ + ł₂(p₂ względem poszczególnych reakcyj są do tych reakcyj proporcjonalne, wobec czego — dla belki równoprzęsłowej — otrzymamy następujący układ równań:

E Itx-\-E It₂.nl=ip₀—E .1 .c.A0 EItxĄ-EIt₂ (п—\)1=гр₁—Е1с.А₁

«00    • -^o + «01    ^ i + • • •

. A-o~\~    . . .

(VIII)

EItx + E It₂.l=xpn-\—EIc.An-\ = —EIc.An

=2{P, Q)

= 2 (Pc, Q d)

EItx

A₀ + A₁-\- • • • An—i

A₀ ,nl-\- Ax (n— 1) l-\- • • • An—i. I

Po wyznaczeniu współczynnika tx= — cA dzeniu oznaczeń

oraz po wprowa-

Ele =cp EIt₂ = t

otrzymamy ostatecznie układ równań

-cp.An-\-t.nl=ip₀

(«oo l³ + (p)‘A o + ««i    + • • •

«₁₀.^₀+(«п/³-|-<р)А+ • • • — <pAn + t(n— \)l=ipl

(IX)

(^n—i,oA₀-\-an—i,iA₁A- ■ • •

A₀+A₁+. ..

A₀. n l-\~ A i (n—V) l-j- ..

(«и—i,n—iФ) An—i (p An-\-1.1—ipn An—\-\-An = 2(P, Q)

1=2 (Pc, Qd)

„Wyznacznik rozszerzony“ utworzony ze współczynników przy niewiadomych w układzie równań przyjmie postać

n - i Pf

&l,n— 1 Pf

«00 P+<P «01 P a₁₀P

«02 P• • • anP+(p a₁₂P...

-cp

ni

—cp (n— 1) l

Dn=

ai0P

anP...

а,цР+(р... «i,„_ iZ³,

—(p (n—i)l

&n—i,oP    d'n—1,1 P’ • • «и—1 ,iP • • •    &n—1, n—iP~\~(pf    ф

n. 1

(:n— 1 )l. . . (п— г). I. . .

Obliczenie reakcyj podporowych, jako prostych funkcyj minorów utworzonych z wyznacznika Dn, oraz wielkości tp{ odbywa się

Di к

w dalszym ciągu w sposób analogiczny, jak w poprzednio rozpatrywanych wypadkach.

Reasumując powyższe uwagi widzimy, że obliczenie reakcyj podporowych belek ciągłych przy pomocy zasady Castigliana sprowadzić można w każdym razie przedewszystkiem do wyznaczenia pewnego

charakterystycznego „wyznacznika podstawowego“, bardzo prostej budowy, jednakowego dla wszystkich belek, posiadających tę samą ilość przęseł, a proporcjonalne do siebie rozpiętości poszczególnych przęseł. W dalszym ciągu należy utworzyć „wyznacznik rozszerzony“ (wynikający bezpośrednio z wyznacznika podstawowego), obliczyć jego wartość oraz wartość jego minorów. Ta ostatnia czynność jest dosyć mozolna — o ile jednak chodzi o belki równoprzęsłowe, to trzeba zauważyć, iż raz obliczone minory dla belki o pewnej ilości przęseł, stanowiące wielokrotność pewnej potęgi rozpiętości l jednego przęsła, mogą następnie służyć za podstawę do wyznaczania reakcyj dla dowolnego rodzaju obciążenia. Wreszcie musimy obliczyć wielkości ipi, zależne od obciążeń zewnętrznych (i ewentualnie wysokości podpór), a wkońcu wyznaczyć reakcje jako proste funkcje linjowe wielkości Щ.

Na zakończenie możnaby jeszcze zwrócić uwagę na fakt, iż równania, służące do wyznaczania reakcyj podporowych, wyprowadzone wedle wyżej określonego sposobu, odznaczają się nadzwyczaj symetryczną budową i stanowią niejako naturalne uzupełnienie dwóch ogólnych równań równowagi, służących do obliczenia reakcyj belek jednoprzęsłowych.

INŻ. EMIL BRATRO

Profesor Politechniki Lwowskiej

Załomy spadków drogowych w sąsiedztwie

mostów.

Niweleta drogowa doznaje prawie z reguły w sąsiedztwie większych objektów załomów, wynikających bądź to z naturalnego ukształtowania terenu, bądź też z konieczności takiego usytuowania mostu, by umożliwiony był przepływ wielkich wód, bez narażenia na niebezpieczeństwo konstrukcji mostowej. Z pierwszym wypadkiem będziemy mieli do czynienia w terenie pagórkowatym i górskim, drugi będzie regułą w terenie nizinnym.

Spowodowany, którymkolwiek z wymienionych powodów załom niwelety może być wypukły lub wklęsły. Z uwagi na zupełnie odmienny charakter oddziaływania tak na pojazd jakoteż na drogę załomów wypukłych a wklęsłych koniecznem będzie oddzielne omówienie obu typów.

Dopóki na drodze panował niepodzielnie powolny ruch zaprzęgowy, sprawa odpowiedniego wykształcenia załomów spadków była do pewnego stopnia rzeczą obojętną. Obowiązywała zasada, by o ile możności pozostawić przed i za mostem pewną partję, o długości bliżej nieokreślonej (10 —30 w) poziomą, załom spadku zaokrąglić pewną, znowu bliżej nieokreśloną pionową krzywą wyrównawczą i sprawa na tern się kończyła. Stanowisko to, będące wynikiem czystej empirji, było do pewnego stopnia nawet słuszne, albowiem pojazd zaprzęgowy nie przedstawiał właściwie w normalnych warunkach żadnego niebezpieczeństwa ani dla ruchu ani też dla drogi względnie objektu.

Sprawa zmieniła się jednakże diametralnie z chwilą ukazania się na drodze pojazdu mechanicznego, którego zasadniczą cechą, różniącą go od pojazdu zaprzęgowego jest chyżość. Zwiększenie chyżości przejazdu powoduje w rezultacie konieczność szczegółowego zajęcia się bezpieczeństwem ruchu oraz zbadania tych wszystkich momentów, które oddziaływują w sposób dodatni lub ujemny na pojazd i drogę. Ażeby bodaj pobieżnie zilustrować różnicę pomiędzy powolnym ruchem zaprzęgowym a szybkobieżnym motorowym, zwrócę uwagę, iż kiedy

przy pierwszym mamy do czynienia właściwie tylko z oddziaływaniem statycznym na drogę lub konstrukcję mostową, to przy drugim liczyć się już musimy z oddziaływaniami dynamicznemi, często, w zależności od stanu nawierzchni i chyżości, kilkakrotnie większemi niźli oddziaływanie statyczne. Ponieważ zaś wszelkie załomy spadków, nie ubezpieczone odpowiednio, są powodem do uderzeń wozu o drogę, a więc do zwiększania oddziaływań niszczących tak drogę jakoteż pojazd, przeto sprawa szczegółowego zbadania tego momentu jest szczególnie ważną w sąsiedztwie objektów, celem uniknięcia przykrych i niepożądanych następstw. Również, jak zobaczymy, wielką rolę odgrywać tu będzie sprawa bezpieczeństwa ruchu.

Uwzględniając ruch samochodowy nie będziemy mogli już polegać tylko na wystarczającej dotąd empirji, lecz wszystkie elementy, które tutaj będą miarodajne, a więc odległości załomów od początku lub końca konstrukcji mostowej, promienie krzywizn wyrównawczych i t. p. będą musiały być ściśle obliczone.

a) Załom wypukły.

Normalnym typem, który powinien być omówiony, test ten, iż konstrukcja mostowa wykonaną jest w poziomie, natomiast rampy

most 0%

Rys. 1.

dojazdowe wznoszą się ku mostowi z pewnym spadkiem «°/₀. W praktyce spotykamy, zresztą bardzo rzadko, również objekty o niwelecie ułożonej w pewnym spadku; o ile by z tym wypadkiem miało się do czynienia, nie zachodzi żadna trudność uwzględnienia w obliczeniach tego momentu.

Zastanowić się winniśmy w pierwszym rzędzie, na jakie niebezpieczeństwo narażony jest pojazd w chwili przejeżdżania przez załom spadku w ogólności. Otóż mogą się tu zdarzyć następujące ewentualności:

1)    spód wozu może uderzyć o drogę, wskutek czego uszkodzą się nisko położone części konstrukcyjne samochodu,

2)    przy szybkim ruchu, wskutek działania siły odśrodkowej nastąpić może podniesienie pojedynczych kół, względnie nawet całości wozu a w następstwie silne uderzenie samochodu o drogę lub konstrukcję mostową i

3)    zanik pola widzenia niebezpieczny z uwagi na możność zderzenia się dwóch naprzeciw siebie jadących samochodów, z których jeden, z jakichkolwiek powodów nie znajduje się po przepisanej stronie drogi.

Pierwsze dwa niebezpieczeństwa są stosunkowo mato prawdo

podobne.

0-30

0%

o..

Przy ostrem zaokrągleniu załomu spadków, niebezpieczeństwo uderzenia dolną częścią konstrukcji samochodowej o drogę będzie tern większe, im większym będzie rozstaw osi samochodu. Przyjąwszy rozstaw ten na 5 m (autobusy), zaś wysokość ponad drogą najniżej położonych części konstrukcyjnych wozu (karter) na 30 cm zobaczymy, iż dopiero przy spadku 51% i zaokrągleniu o promieniu 10'57m jest możliwem zetknięcie się samochodu z drogą, albowiem dopiero w tym wypadku wysokość łuku wyniesie 0-30 m. Ponieważ jednak dróg o spadku 51 °/₀ serjo traktować nie można, zaś promień krzywej wyrównawczej, jak zobaczymy, z innych powodów musi być większy, przeto nad tern niebezpieczeństwem dalej zastanawiać się nie potrzebujemy.

Poderwanie kół samo-

Rys. 2.

chodu, przy przejeździe przez zaokrąglony załom nastąpić może podówczas, gdy siła odśrodkowa, działająca w tym wypadku w kierunku wprost przeciwnym do ciężaru, będzie równą, względnie nieco większą od ciężaru samochodu, zatem:

„Mc2 Z~~BT

Z— oznaczymy wielkość siły odśrodkowej W — ciężar samochodu c — chyżość przejazdu R — promień krzywej wyrównawczej g — przyśpieszenie ziemskie.

Z powyższego wynika, że:

W c²

gR

jeżeli przez

R>

c~

9-81

Jeżeli przyjmiemy, iż samochód porusza się nawet z bardzo znaczną szybkością 100 km\g = 27*8 mjs, co z uwagi na sąsiedztwo

mostu będzie prawdopodobnie wykluczone, natenczas:

79 m wystarczy już, by ominąć

27-82 7>    9*81

niebezpieczeństwa uderzenia wozu o drogę. Zobaczymy jednakże zaraz, iż z trzeciego powodu, mianowicie możności zaniku pola widzenia, będziemy musieli zastosować pionowe krzywe wyrównawcze o promieniach znacznie większych, wobec czego wzgląd drugi zupełnie odpada.

Przechodząc do punktu trzeciego zaznaczyć należy, iż załom spadku powinien być tak zaokrąglony, by kierowcy dwóch, naprzeciw siebie jadących samochodów mogli się na czas spostrzec i umożliwić

sobie zahamowanie wozów, o ile nie jest możliwe z jakichkolwiek powodów, wzajemne wyminięcie się.

\Уг

:os»

Rys. 3.

W pierwszym rzędzie zbadamy wielkość pracy hamowania wozu jadącego na rampie ku mostowi, przy-czem przyjmiemy, iż hamowanie odbywa się tylko na oś tylną.

Zachowując znakowanie przyjęte poprzednio, a nadto oznaczając

przez :

cx — chyżość przejazdu

Wg — ciężar samochodu wypadający na oś tylną bt — długość drogi hamowania fi — współczynnik tarcia posuwistego a — kąt pochylenia rampy drogowej

natenczas, wielkość pracy hamowania na spadku będzie:

Wt fi cos ab^ + W s\na by

Wct²

lub też z uwagi, iż możemy przyjąć cosa=l Wc,²

2<7

bx (fiWt+Wsin a)

stąd zaś:

u    We,²

¹    2 g(fiWt+ W sin a)

Z uwagi na małość kąta a można przyjąć sina=tga a zatem:

Wct²

h~Tg(fiWt + WJga)'

Niechaj drugi samochód porusza się po poziomie w kierunku wprost przeciwnym z chyżością cr Również i tutaj przypuszczamy możność hamowania tylko na oś tylną. Jeżeli, analogicznie jak po-

przednio, nazwiemy przez b₂ długość drogi hamowania tego samochodu, natenczas:

wy

= fiWtb₂

albo też:

²    2 g g W,

Całkowita zatem droga hamowania obu wozów wyniesie :

B' = b, + b₂

W c₂²

2g{fiWt + Wigay 2 д [iWt

Zdać sobie jednak musimy sprawę z dwóch rzeczy, mianowicie, iż do odległości otrzymanej na podstawie powyższego wzoru należy dodać jeszcze: 1) tę odległość jaką każdy wóz przebędzie w czasie potrzebnym do zorjentowania się o grożącem niebezpieczeństwie, który to czas przyjmujemy na 1", oraz 2) iż w chwili zahamowania oba samochody nie będą się znajdowały tuż obok siebie, lecz w pewnej, niewielkiej zresztą odległości. Co do pierwszej długości, to wynosić ona będzie ćą -j- c₂, co do drugiej, przyjmiemy ją na 5 m.

We*

Rys. 4.

Wobec tego całkowita odległość orjentacyjna, warunkująca bezpieczeństwo ruchu wynosić będzie:

wy

wy

2g{gWt+Wigay 2 g gWt

Jak wiadomo ciężar samochodu nie jest rozdzielony równomiernie na obie osie; na oś tylną, pędną, przypada przy samochodach ciężarowych 64—75°/₀ całego ciężaru, przy osobowych 56—62°/₀. Przy-jąwszy zatem przeciętną wartość:

Wt=0‘6W

otrzymamy :

B-    I    ** I (e + c)+5

2g(0'6gW+Wtga)⁺ 2gO-6gW    г>

lub też z uwagi, iż chyżość przejazdu podajemy zwyczajnie w kilometrach na godzinę przyczem :

Ci

km I

С,ы1,

n ml —    >я i f, ml

Cl >s~ 3*6    ² '*    3-6

otrzymamy :

B=

wy

WC₂²

3-6².2^TP(0-6^+tga) ¹ 3’6².2 g.O’dfiW 3*6

(Ci + C₂) + 5

B~ 254'3 (0*6 pi+tga) ⁺ Ï5§6^ + 0'28 (C*+ Cs) + 5'

lub :

Jak widzimy z powyższego wzoru, długość orjentacyjna jest w wysokiej zależności od chyżości jazdy oraz szorstkości nawierzchni.

Przed dalszem rozpatrzeniem tej sprawy należy w pierwszym rzędzie zastanowić się nad oboma tymi czynnikami.

Na wolnej przestrzeni chyżość jazdy jest u nas ograniczoną dla tych pojazdów, których całkowita waga, złożona z ciężaru własnego i największego dopuszczalnego obciążenia, jest większą niż 3.500 kg. Jak widzimy rozchodzi się tu o samochody ciężarowe. Nadto na mostach, przed któremi umieszczono odpowiednie ostrzeżenie, szybkość ruchu pojazdów, których całkowita waga nie przekracza 3.500 kg, powinna być zmniejszona do granicy 20 km\g. Dla dalszych rozważań przyjmiemy zatem samochody osobowe, jadące tak przez most jakoteż przez rampę mostową z chyżością cx=c₂ = 40 km/g, która to chyżość w najbliższem sąsiedztwie mostu, gdzie ma być zredukowaną do 20 km\g, jest dostatecznie usprawiedliwioną. O ile by w pewnych szczególnych wypadkach należało przyjąć chyżość większą, lub też różną dla mostu i rampy, nie ma żadnej przeszkody przeciwko uwzględnieniu tego w obliczeniu.

Współczynnik tarcia posuwistego g zależny jest od bardzo wielu czynników a w szczególności od rodzaju nawierzchni, jej chwilowego stanu (sucha lub mokra), wreszcie od rodzaju obręczy kół samochodowych, które mogą być masywami lub też pneumatykami (te ostatnie znowu w wysokiem lub niskiem ciśnieniu, balony, gładkie, karbowane lub zaopatrzone w napinki). Badania nad tą sprawą do dzisiaj jeszcze ukończone nie są; naogół można powiedzieć, iż w normalnych warunkach waha się wartość tego współczynnika w granicach między 0’25 do 050 — 0⁻60, przyczem pierwsza data odnosić się będzie do mokrej, oślizłej nawierzchni tłuczniowej, która w naszych warunkach jest jeszcze na drogach dominującą, wobec czego i daty uzyskane z uwzględnienia tego współczynnika, będą miały charakter ogólniejszy. Niemniej jednak przeprowadzimy obliczenia również dla wartości ^=050, gdyż w sąsiedztwie szczególnie większych mostów zdarzają się już coraz częściej uporządkowane i zaopatrzone w nowsze nawierzchnie partje dróg. Spadki ramp dojazdowych do mostów wahają się w granicach od l°/₀ do 7°/₀, przyczem ta ostatnia data jest już zupełnie wyjątkową i wymaga specjalnego zezwolenia ze strony Ministerstwa Robót Publicznych.

Odnośne długości orjentacyjne przedstawiają się zatem następująco:

dla ^=0’50

dla fi=025

Spadek

rampy

Spadek

rampy

C\ C\ km/g km Ig

Długość orjentacyjna В m

Ct C₂

km/g km/g

Długość orjentacyjna В m

-O 02 СЛ 4^ OJ tO

40

40

Ю OD O O O O O to 4^ 02 OD

4^

4^

00 OD

ul OO 00 Ь N !D Ю O (O tO О Ю (O O

/>*

Przyjąwszy, iż krzywa wyrównująca załom spadku będzie łukiem kołowym, możemy obecnie na podstawie obliczonych długości orjen-tacyjnych znaleźć promień krzywizny. W tym wypadku będzie nam jednak potrzebne założenie odnoszące się do wysokości oka kierowcy siedzącego na samochodzie, które przyjmiemy z uwagi na obecną niską budowę nadwozi na l‘20m.

Uwzględniając uboczny szkic otrzymamy :

a stąd

В У Я² — {R — hf 7>_5² + 4/г²

Rys. 5.

Obliczone na podstawie tego wzoru promienie krzywizny znajdują się w poniżej podanem zestawieniu, przyczem wobec bardzo nieznacznych kątów środków, długość stycznych przyjąć można z dostateczną dokładnością za połowę wartości długości orjentacyjnej.

Spadek

Dług. orjent. В

Dług. stycz. S Promień krzyw. В

,m=0’25    ,m=0-50    ,«=0'25    .«=0-50 m = 0‘25    //=050

-O 05 Ot 4^ OO tO

02 OD CM O O O O O 02 02

CO OD

O) 00 00 N b OD OD OD OD OD OD OD OD OD

Ю О О О Ю VO o 4r ĆO CN 4- Ô 02 Ô2 Ю Ю Ю Ю Ю ''t rf

ЮООЮЮОО 4r 4r 4r óo ćn cb óo co co co co co co co

1238

1171

1127

1084

1063

1022

1000

OD CM CM 00 00 02 00 00 OD OD Ю Ю M¹

Z powyższego zestawienia widzimy, że:

1)    Promień krzywizny wyrównawczej, a co zatem idzie również długość stycznej jest w wysokiej zależności od współczynnika tarcia posuwistego. Im ten współczynnik jest większy, tern mniejszym promieniem może być zatoczona krzywa wyrównawcza, tern mniejszą też wypadnie długość stycznej.

2)    Przy zachowaniu przyjętych chyżości wypadają z uwagi na bezpieczeństwo ruchu promienie krzywych wyrównawczych stosunkowo znaczne. W związku z tern otrzymujemy również znaczne długości stycznych. Dla wartości /*=0-50 przyjmujemy przeciętną wartość R=500 m.

3) Ponieważ tak znacznych długości stycznych, nie zawsze uzyskać będziemy mogli, przeto w pewnych wypadkach okaże się ko-

—i mosf

3%

niecznem indywidualne ustalenie dopuszczalnej maksymalnej chyżości przejazdu przez rampę mostową.

Rys. 6.

Ostatni punkt będziemy się starali poprzeć przykładem. Przypuśćmy, iż w danym wypadku nie możemy zaprojektować stycznej dłuższej niźli 30-0 m, przyczem rampa mostowa musi posiadać spadek 3°/₀ zaś [i=0-25. Natenczas przyjąwszy z dostateczną dokładnością, iż В = 60 m otrzymamy przy założeniu tej samej chyżości dla obu samochodów :

60=

254.3(0-6x0-25 + 0-03)

152.6x025

+ 2x0-28 0+5

skąd

0=28-5 km\g

zaś promień krzywej wyrównawczej :

322 m.

60³ + 4.1-48 R~ 8x1-4

Nie od rzeczy będzie uwaga, iż przeprowadzone obliczenie posiada do pewnego stopnia charakter przybliżony z tego powodu, iż przy zaokrągleniu załomu, mamy w każdym punkcie z innym spadkiem do czynienia. Ścisłe uwzględnienie tego momentu doprowadziłoby w rezultacie do nieznacznego powiększenia długości orjentacyjnej ; sprawa ta jednak nie posiada głębszego znaczenia już choćby z tego powodu, iż musimy i tak poprzestać na przybliżeniu nietylko z uwagi na współczynnik tarcia posuwistego, lecz również na przyjętą wysokość h. Co do tej ostatniej daty zwrócę uwagę, iż w nowoczesnej budowie wozów panuje tendencja obniżania środka ciężkości samochodu, a co zatem idzie i siedzenia kierowcy. Im zaś h przyjmiemy mniejsze, tern bardziej pogarszamy sobie warunki przejrzystości drogi.

Z drugiej strony zwrócić musimy uwagę, iż obecnie coraz częściej ukazują się na drodze samochody hamowane na obie osie. O ile by ten typ wozu w przyszłości miał wyprzeć dotychczasowe konstrukcje, natenczas dla drogi sprawa przedstawiałaby się korzystniej, albowiem długość drogi hamowania wypadałaby w tym wypadku krótsza. W równaniu na pracę hamowania należałoby zatem przyjąć:

W₍=W wobec czego długość orjentacyjna

WC²

3-6².2 giiW

W CS

3‘6².2 g W(fi+ïga)

+ 0'28(C₁ + C₂) -\- 5

C²

-f- 0*28 (Cx + 0₂)~(-5

В 254.3 {fi + tg a) co stanowić będzie 25—30°/₀ zmniejszenia długości hamowania.

254.3/г

Co do kształtów krzywych wyrównawczych, to stosowane są przeważnie łuki kołowe. Parabole, których używa się tu i ówdzie w Ameryce nie mają właściwie tego uzasadnienia, jakie znajdujemy dla nich przy poziomych krzywych przejściowych.

Z praktycznego punktu widzenia, pionową krzywą wyrównawczą nie wykonuje się w sposób ciągły lecz jako linję łamaną, składającą się z szeregu fragmentów prostych o długościach wynikających z uwzględnienia tej zasady, by różnica spadków pomiędzy poszczegól-nemi odcinkami prostymi nie przekraczała 2°/₀ do 2*5°/₀.

b) Załom wklęsły.

Przy załomach wklęsłych, które w sąsiedztwie mostów wielkich trafiają się dość wyjątkowo i to przeważnie tylko w terenach górskich lub podgórskich, stosunki ukształtowują się znacznie korzystniej.

Nie może tu być już naturalnie mowy, ani o możliwości uszkodzenia spodniej części samochodu, ani też o jakimkolwiek ograniczeniu przejrzystości przejazdu.

Natomiast pozostaje do rozpatrzenia tylko oddziaływanie siły odśrodkowej, która w tym wypadku powiększa nacisk na resory i osie, a co zatem idzie i na drogę względnie objekt drogowy. Ten ostatni wypadek zwiększania obciążeń ruchomych na objekt drogowy zajdzie przeważnie tylko w odniesieniu do niewielkich przepustów usytuowanych często w najniższym punkcie lokalnego wgłębienia, albowiem większe mosty, w wypadku posiadania rampy spadającej ku mostowi, nigdy nie znajdują się usytuowane w obrębie poziomej krzywej przejściowej. Wielkość promienia krzywizny wyrównawczej będzie tu zależną od wymogów stawianych w odniesieniu do dopuszczalnej wielkości dodatkowych ciśnień. Im ciśnienie dodatkowe dopuścimy większe, tern promienie wypadną mniejsze.

Jeżeli przykładowo przyjmiemy, iż zwiększenie nacisku z powodu działania siły odśrodkowej nie powinno przekroczyć 30°/₀ normalnego nacisku statycznego, natenczas:

l/c²

Z = ——— =

We²

gR

= 0*3 W

a stąd

C-

-- 0-34 C²

R= n

о-з^

Wziąwszy pod uwagę nawet bardzo znaczną chyżość 120kmlg= = 33 m\g (wielkość ta będzie usprawiedliwioną z uwagi na ruch wozu ze spadkiem) otrzymujemy:

72=0*34.33²=370 m.

Widzimy z tego, że nawet w bardzo niekorzystnych warunkach ze względu na ruch, promienie krzywizn wyrównujących załomy spaków

nie przekroczą tutaj wartości 500 m, którą zwyczajnie przyjmujemy jako wartość zasadniczą. Z uwzględnienia tego promienia oraz spadków wypadną nam wartości pojedynczych stycznych, umieszczone w obok podanem zestawieniu, które będą miarodajne jako minimalne dla należytego usytuowania mostu.

Przepusty mogą zupełnie swobodnie znajdywać się w obrębie krzywej wyrównawczej, której konstrukcja będzie

Objekl dróg.

Rys. 7.

mosl

zupełnie analogiczną do krzywej wypukłej.

dla R = 500 m

cn T³

Kąt

środkowy

Długość

cięciwy

Długość

styczn.

-4 О) ОЛ ^ OJ to

0° 34'23" 1° 8' 45" 1°43' 6" 2° 17'26" 2°51'45" 3° 26' 7" 4° 0' 15"

00090199

ibóih64ói4

~ CM CM CM co

Ю О Ю О Ю О Ю CŃlbŃÓŃibh-

Powyżej podane rozważania odnosiły się do wypadku, gdy dojazd mostowy jest w sytuacji linją prostą będącą przedłużeniem osi mostu. W wypadku, gdy dojazd usytuowany jest w łuku, okaże się również koniecznem zbadanie dostatecznej przejrzystości z uwagi na rzut poziomy drogi. Sprawa ta, o której miałem możność pisać już gdzieindziej J), nie wchodzi jednak w zakres niniejszego tematu.

i) Czasopismo Techniczne 1930 Nr. 6 „Krzywizny drogowe a motoryzacja ruchu drogowego“.

INŻ. DR. STEFAN BRYŁA

Profesor Politechniki Lwowskiej

Wzmacnianie kratowych konstrukcyj nitowanych przy pomocy spawania.

Wzmocnienia konstrukcyj żelaznych kratowych dokonywano dotychczas przy pomocy donitowywania części wzmacniających lub też przy pomocy otulania konstrukcji żelaznej betonem. Spawanie wchodzące tak ogromnie szybko w ogólne zastosowanie w technice rozszerzyło i na tern polu, a do pewnego stopnia nawet przedewszystkiem na tern polu, możliwości, jakie posiadał inżynier-konstruktor.

Spawanie ma te ogromne walory, jakich oba inne, wyżej wspomniane sposoby wzmacniania nie posiadają. Otulanie betonem, wogóle korzystne, prowadzi jednak do znacznego zwiększenia ciężaru własnego, co nieraz nie jest dopuszczalne ze względu na podpory, a przytem w częściach rozciąganych zmusza do stosowania wielkiej ilości żelaza, która często bywa większa, niżby wymagała konstrukcja czysto żelazna. Donitowywanie poszczególnych części konstrukcyjnych zaś jest trudne i kłopotliwe, konieczne jest tu bowiem usunięcie istniejących nitów przy należytem podtrzymaniu konstrukcji i niezmiernie dokładnem dostosowaniu nowych części, tak, aby otwory w nich najzupełniej dostosowały się do istniejących, a dopiero następnie umieszczenie nitów nowych. Trudności te powodowały, że wzmacnianie mostów istniejących przy pomocy nitowania opłacać się mogło tylko w granicach do najwyżej 30°/₀ wagi istniejącej konstrukcji żelaznej ; przy niektórych zaś przekrojach pasów i innych prętów było nieomal niemożliwe; podobnie ilości nitów w połączeniach węzłowych nieraz zwiększyć poprostu nie było można, a wtedy tern samem wszelkie wzmocnienie konstrukcji wogóle musiało odpaść.

Przy zastosowaniu spawania prawie wszystkie te trudności odpadają. Wzmocnienie konstrukcji żelaznej mostów da się tu wykonać bez usuwania nitów, a zatem bez chwilowego choćby osłabienia konstrukcji istniejącej, bez trudnego dostosowywania się do nitów

istniejących. Da się ono wykonać nadto przy nieomal wszystkich kształtach prętów i belek. Wreszcie zaś należyte wzmocnienie połączeń węzłowych również przeprowadzić da się zazwyczaj łatwo i prosto.

Również pod względem stopnia zniszczenia zastosowanie tego sposobu zwiększa niezmiernie skalę możliwości wzmocnień. Jeżeli bowiem zniszczenia są tylko lokalne, choćby i bardzo znaczne, to wzmocnienie będzie można nieraz wykonać w wypadkach, gdy przy pomocy nitowania było ono albo niezmiernie trudne, albo wręcz niewykonalne.

W poniższych rozważaniach omówimy zasady jakiemi należy się posługiwać przy wzmacnianiu mostów i wszelakich konstrukcyj kratowych bezpośredniem, t. j. bez zmiany zasadniczego ustroju ¹). W takim razie dotyczy ono wogóle:

A)    wzmacniania poszczególnych prętów, zbyt słabych lub też zniszczonych lokalnie ;

B)    wzmacnianie połączeń węzłowych.

Oba zadania są równie ważne; niemożność wypełnienia jednego z nich redukowałaby wartość możliwości wzmocnień do minimalnej ilości wypadków. Rozpatrzymy kolejno, do jakiego stopnia rozwiązać je będzie można przy pomocy spawania.

A) Wzmacnianie prętów konstrukcyj kratowych.

Mogą tu wogóle zajść dwa wypadki. Najczęściej mamy do czynienia z mostem, którego przekroje przeliczone były dla znacznie mniejszych obciążeń niż obciążenia, jakie obecnie są stosowane w obliczeniach, a nawet niż obecnie zachodzą w rzeczywistości. Zdarza się jednak, że rekonstrukcja spowodowana jest zniszczeniem, a więc osłabieniem mostu z powodu rdzy lub z powodów innych.

1. Wzmocnienie z powodu wzrostu obciążeń.

Przy wzmocnieniu prętów, przy których chodzi jedynie o odpowiednie zwiększenie ilości materjału, należy dodać nowe profile o potrzebnym przekroju. Należy je dodać tak, aby o ile możności środek ciężkości przekroju nie przesunął się, a przynajmniej przesunął się możliwie nieznacznie.

Przy przekrojach symetrycznych należy zatem oczywiście profile wzmacniające umieścić symetrycznie, co zazwyczaj trudności nie nastręcza. Przy niesymetrycznych natomiast utrzymanie dotychczasowej ich osi ciężkości jest wogóle trudne, jeżeli nawet nie niemożliwe do

osiągnięcia. Przekroje takie posiadają w belkach kratowych najczęściej pasy, tak górny, jakoteż dolny. W pasach jednakowoż linje środków ciężkości przekrojów są i tak zazwyczaj częściowo przesunięte wobec zarysu osiowego kratownicy, tern samem zaś pewna niezgodność obu osi dana jest a priori i, znów tern samem, na zupełnie doskonałej zgodności ich po wzmocnieniu specjalnie zależeć nie będzie. Zredukowanie zaś przesunięcia do minimum prawie zawsze da się uzyskać.

Najkorzystniej jest, jeżeli części dodatkowe wzmacniające dadzą się umieścić bez przeszkody ze strony nitów. Główki tychże bowiem utrudniają zadanie w wysokim stopniu. Najłatwiej zatem wzmocnić przekroje na tych powierzchniach, na których nitów niema. Spełnić się to da jednak stosunkowo rzadko, tembardziej, że w grę wchodzi wogóle moment drugi, natury ekonomicznej : możliwe zmniejszenie ilości użytego szwu. Przy wzmacnianiu konstrukcyj nitowanych bowiem nie materjał, potrzebny do wzmocnienia, odgrywa pierwszą i główną rolę w kosztorysie ogólnym, ale raczej samo spawanie. Chodzi zatem o to, by zużytego materjału pałeczek i mniej więcej proporcjonalnie doń zużytego prądu było jak najmniej.

W przeważnej części wypadków musi się umieścić części wzmacniające na płaszczyznach, posiadających przeszkody w postaci główek nitów. Przy wzmacnianiu przy pomocy nitowania musiało ono bezwzględnie pociągnąć za sobą usunięcie starych nitów. Przy pomocy spawania nawet i tutaj trudności dadzą się ominąć stosunkowo łatwo.

Uzyskać to można w kilka sposobów:

a)    Można dać nakładkę z otworami w miejscach główek nitów i zalać je następnie elektrodą. Otwory te oczywiście muszą być odpowiednio większe od główek nitów, tak, aby materjał elektrody mógł chwycić nietylko główkę nitu, ale i sam właściwy materjał konstrukcyjny. Ważne jest to tembardziej, że główki nitów wskutek zetknięcia się z roztopionym materjałem pałeczki pękają stosunkowo łatwo. Zresztą sposób ten wymaga stosunkowo dużej ilości materjału nałożonego, tern samem zaś prądu elektrycznego.

b)    Można nałożyć podkładki o grubości równej lub nieco większej od wysokości główek nitów. Podkładki takie wykonane być mogą z płaskowników lub nawet odpadków blach (co zresztą jest znacznie gorsze). Na takich podkładkach umieszcza się dopiero właściwy element wzmacniający. Ten rodzaj wzmocnienia wymaga stosunkowo dużej ilości szwów; potrzebne są bowiem szwy podwójne: jedne, łączące podkładki z częścią wzmacnianą i drugie, łączące części wzmacniające z podkładkami.

c)    Wreszcie można dla wzmocnienia wybrać profile takie, któreby nie kolidowały z główkami nitów, ale stykały się powierzchnią prze-

kroju wzmocnionego pomiędzy nimi. Jako taki profil nadaje się prze-dewszystkiem ceówka (korytko) ; mogą być jednak zastosowane i inne profile. Profil ten należy tak dobrać, aby mieścił się przynajmniej w granicach pomiędzy odpowiedniemi szerokościami; lepiej jest, gdy jest o tyle mniejszy, iżby szwy można było swobodnie wzmocnić, nie zbliżając się zbytnio do główek nitów.

Ustrój ten posiada zalety znacznie większej prostoty, oraz mniejszej ilości szwów, tern samem większej taniości; natomiast tę niekorzyść, że odchyla więcej oś ciężkości niż ustrój b.

Słabą stroną ustrojów b i c jest to, że pozostaje przestrzeń wolna, trudno dostępna, narażająca powierzchnię przylegających profilów na rdzewienie i niszczenie. Należy ją wypełnić albo kitem, albo zaprawą cementową, względnie nawet betonem. Kit jest wygodniejszy przy zastosowaniu wzmocnienia drugiego (b), zaprawa cementowa trzeciego (c). Większe walory konserwacyjne przedstawia oczywiście zaprawa cementowa. Pewne trudności powstają też wskutek tego, że profile — zwłaszcza pasów — są zmienne, oraz wskutek tego, że do wzmocnienia potrzeba w poszczególnych prętach różnych profilów. Jeżeli zaś nawet w niektórych wypadkach ze względu na prostotę roboty zastosuje się ten sam profil wzmacniający, to nie jest to jednak regułą zasadniczą. Trudność pierwszą łatwo jest usunąć przy pomocy palnika tleno-acetylenowego, trudność drugą przez zastosowanie wstawek poprzecznych zamykających poszczególne części, złożone z tego samego profilu, jak to proponowałem dla wzmocnienia mostu w Równem (por. niżej).

2. Wzmocnienie z powodu uszkodzeń przez rdzę, uderzenie i t. d.

Inaczej przedstawia się sprawa, gdy poszczególne pręty belki kratowej zostały zniszczone przez rdzę lub z powodów innych. Stopień takiego zniszczenia może być bardzo różny, również i miejsce konstrukcji, w którem zniszczenie nastąpiło, może być bardzo różne.

Odpowiednio do obu tych czynników i sposób wzmocnienia może być w poszczególnych wypadkach zupełnie inny.

W razie, gdy uszkodzenia są stosunkowo niewielkie, zwłaszcza pod względem zniszczenia powierzchni, najprostszym sposobem naprawy jest poprostu zalanie uszkodzonych miejsc przy pomocy metalu elektrody po należytem ich oczyszczeniu i przygotowaniu. Jedno z pierwszych zastosowań spawania do rekonstrukcji budowli mostowej, mianowicie mostu w Pittsburgu, polegało właśnie na zastosowaniu tego sposobu; części mostu zostały tam wyżarte przez rdzę.

Może zajść jednak wypadek gorszy: uszkodzenie konstrukcji żelaznej są tak znaczne, że z pręta pozostała np. połowa przekroju lub

nawet mniej. W skrajnym wypadku może dojść nawet do zupełnego zniszczenia i zniknięcia przekroju w pewnem miejscu. Wtedy, oczywiście, sposób wyżej opisany do celu nie doprowadzi, tembardziej, że wogóle można przypuszczać, że materjał w ten sposób dobrany będzie mniej wartościowy od materjału konstrukcyjnego. Tak znaczne zniszczenie może być spowodowane tak przez rdzę, jakoteż przez jakiekolwiek zewnętrze powody, np. uderzenie, wybuch i t. p.

W takim wypadku można albo część zniszczoną zastąpić wstawioną częścią nową, albo też ująć ją w odpowiednie przykładki, które przenosić będą siły wewnętrzne.

Celem zastosowania wstawki należy materjał pręta usunąć na takiej przestrzeni, aby pozostał wyłącznie pełny zdrowy materjał; dla wszelkiej pewności kilka do kilkunastu cm poza obręb dostrzeżonego zniszczenia; następnie wstawić odpowiednio dobraną wstawkę, wreszcie spoić ją z materjałem konstrukcyjnym pręta. Aby uzyskać należyte połączenie, musi być miejsce spojenia odpowiednio zukosowane i wolne od wszelkich nieczystości. Wstawka musi być nieco mniejsza wymiarem, tak, aby przy zukosowaniu na V, jakie najchętniej stosowane będzie, materjał elektrody mógł się przedostać nawskróś przekroju. Oczywiście niezmiernie ważną rzeczą będzie należyte ustalenie wszystkich części w prostej przy pomocy uchwytów, które gwarantować będą niezmienność osi wobec czynności spawania. Po wykonaniu spoiny z nadlaniem zeszlifuje się ją do gładkiej powierzchni i powlecze farbą.

Można przypuszczać przy bardzo dobrej robocie na miejscu budowy, że miejsce spojenia będzie miało wytrzymałość około 80°/0 wytrzymałości materjału konstrukcyjnego. Jest to wystarczające o tyle, że przekrój użyteczny (netto) zazwyczaj nie dosięga nawet tej cyfry.

Przy wykonaniu należy baczną uwagę zwrócić na odkształcenia termiczne i dostosować do nich wykonanie spoin.

Zastosowanie przykładek jest bezporównania prostsze w wykonaniu, o tyle, że nie potrzeba tu żadnego dopasowywania i żadnej obróbki, poza oczyszczeniem odpowiednich części przekrojów spawanych. Szpary, które pozostają w częściach uszkodzonych pod przy-kładkami, można wypełnić kitem albo cementem j. w.

Rekonstrukcja przy pomocy nakładek jest pewniejsza od rekonstrukcji przy pomocy wstawek, jednakowoż, jeżeli chodzi o względy estetyczne, wskazane będą raczej wstawki, przykładki bowiem zdradzają odrazu swym wyglądem miejsca rekonstruowane, wyglądające wskutek tego jak łaty. Specjalnie wskazane są wstawki w przekrojach złożonych, bowiem główki nitów utrudniają zastosowanie przykładek, aczkolwiek w tym wypadku również wstawki są trudniejsze do wykonania.

B) Wzmacnianie połączeń węzłowych.

Wzmacnianie połączeń węzłowych polega na uzupełnieniu nitów przez spawki, zazwyczaj boczne lub czołowe, lub jedne i drugie, rzadziej szczelinowe.

Jednakowoż inny charakter pracy nitów, a inny spoin powoduje, że proste sumowanie wytrzymałości jednych i drugich nie da się przeprowadzić. Pierwsze doświadczenia, jakie zostały wykonane z połączeniami złożonemi z nitów i spawek (wykonane w Szwajcarji przez prof. Rosa) dały nadomiar rzeczywiście wyniki nie zupełnie zachęcające. Nie były one ujemne, jednakowoż wpływ wzmocnienia przez dodanie szwów dawał się odczuć dopiero od pewnej granicy. Rezultaty te określił Roś w sposób następujący:

„Stosując odpowiednią spawkę czołową i boczną (przy połączeniach nitowanych), doprowadzi się do odciążenia połączenia nitowanego, jeżeli całkowity przekrój spawek jest większy niż 70°/₀ powierzchni nitów. Tylko nadwyżka ponad tę wartość powoduje odciążenie połączenia nitowanego. Z wytrzymałości połączenia nitowanego wyzyskać można tylko 60°/₀, gdyż ponad tę wartość przy zwiększającem się obciążeniu wydłużenia nitów tak silnie wzrastają, że cała nadwyżka siły przenosi się na połączenie spawane. Przy założonej równowartości pomiędzy połączeniem nitowanem, a połączeniem kombinowanem, muszą spoiny przenieść resztę siły rozciągającej, t. j. 40°/₀. Prowadzi to do zależności :

(1-0-60). 4-00

- 70°/₀ Fnit

2-30

F9 p — Friit

t. j. przy równowartości pomiędzy samem połączeniem nitowanem, oraz połączeniem kombinowanem z nitów i spawania czołowego i bocznego, musi całkowita powierzchnia spawania wynosić 70°/₀ powierzchni nitowania. Połączenie nitowane wzmacnia się przez spawkę wówczas, gdy powierzchnia spawania równa się pracującej powierzchni nitów. Zastosowanie spoin, które nie pozwalają na przenoszenie siły przez nity, jak to się dzieje przy szwach na styk i przy silnie dymenzjonowanych szwach czołowych, wyklucza współpracę obu rodzajów połączeń“.

Przytaczając powyższą opinję, zauważyć można, że sąd ten wypada raczej na niekorzyść połączeń kombinowanych, t. j. zarazem nitowanych i spawanych. W rzeczywistości sprawa wzmocnienia konstrukcji nitowanych przy pomocy połączeń spawanych przedstawia bardzo duże trudności w umiejętności doboru rodzaju połączenia spawanego i wielkości jego powierzchni w stosunku do powierzchni nitów pracujących ze względu na różny charakter i zdolność pracy obu rodzajów połączeń.

Roś przyjął w swych wywodach dla szwów bocznych i czołowych niezależnie od grubości i długości szwu średnią wartość 23 kg\mm\ Wynik ten wydaje się już na pierwszy rzut oka za niski, a powtóre nie jest właściwe przyjęcie jednej wartości niezależnie od długości i grubości szwu, co stwierdzają dowodnie doświadczenia, przeprowadzone przezemnie dla Ministerstwa Robót Publicznych.

Ze względu na szczególne znaczenie tego zagadnienia dla wzmacniania mostów w serji doświadczeń nad konstrukcjami spawanemi, przeprowadziłem również badania połączeń kombinowanych : nitów i szwów spawanych. Doświadczenia te wykonane były również dla Ministerstwa Robót Publicznych, którego departament drogowy kierowany przez prof. Nestorowicza, ocenił przenikliwie znaczenie kon-strukcyj spawanych wobec rozwoju techniki.

W danej części przeprowadzono kilka seryj doświadczeń przy różnych średnicach nitów, oraz różnych długościach i grubościach szwów tak bocznych, jakoteż czołowych. Z doświadczeń tych wykonanych w Mechanicznej Stacji Doświadczalnej Politechniki Lwowskiej, które ogłoszone będą szczegółowo w „Czasopiśmie Technicznem“, podaję tutaj wyniki.

Wytrzymałość połączenia kombinowanego obliczono zapomocą następującego ułożonego wzoru :

Pc = Pn -\- к . Ps.

Przyczem oznaczenia są następujące:

1)    Pc... całkowita siła zrywająca dla połączenia kombinowanego, nitowanego i spawanego.

2)    Pn... siła zrywająca dla połączenia wyłącznie nitowanego.

3)    Ps... siła zrywająca dla samego połączenia spawanego.

Powyższe trzy wielkości dane są z oddzielnych pomiarów, a zatem

do obliczenia mamy jedną niewiadomą k.

Spółczynnik к obliczony był przy danej wartości Ps, którą to wartość brano dokładnie z wyników doświadczeń z próbką spawaną tego samego typu, a więc wykonaną przez tego samego spawacza o tej samej długości i przekroju poprzecznym szwów.

Obliczenie wykonano oczywiście przy założeniu, że dobroć i jakość wykonanej spawki są takie same przy próbce o połączeniu kombinowanem, jak przy próbce wyłącznie spawanej.

Ostateczne rezultaty badań są następujące:

a) Dla szwów czołowych:

F.

Do wartości -=f = 0*70 nie otrzymano wyraźnego wzmocnienia nitów Fn    p

przez spawkę; dla wartości ф =0-5 otrzymano dla nitów ф 14 Д~0*4, dla

•Г n

otrzymamy po odpowiednich przekształceniach przy przyjęciu prostolinijnej zmienności spółczynnika к wartość tegoż:

. . (1)

• • (2)

F.

Ф 17R~0‘\2. Natomiast dla wartości k = 0*5, dla 2ф 14 yfc=0-6, dla 2 ф 17 ^=0*5. Przyjmując :

Fn

= 07 otrzymano dla 2 ф 11

dla

Fs

Fn

=07 k=0-5

Fs

dla — = 2‘00    Æ=0-8

Fn

£=0-23-^-^ + 0-34 .    .

F^sp F n

Dla Rn = 40 kg\mm} otrzymujemy :

40 P

£=0-23.-^-. ^+0-34

Fl$p F n

Równanie to możemy napisać też w formie:

Fs

&=0-23^f + 0*34

Fn

• • (3)

gdzie Rn = wytrzymałość nitów na ścinanie, zwykle 40 kg\mm²

spawki na ścinanie

Rsp ⁼

Pn = siła, przenoszona przez nity Ps = siła, jaką może przenieść sama spawka.

b) Dla szwów bocznych:

Analogicznie otrzymamy:

&=0'64

• - (4)

czyli dla Rn = 40 kgjmm² k=A

V -i

• • (5)

sp

względnie

k=0-64

Fs

Fn

(6)

Fs

od —=0'5 do

=2*5.

z ważnością

W powyższych wzorach można przyjmować dla żelaza zlewnego, używanego na nity Rn = 40 kg\mm², zaś Rsp należy przyjmować zależnie od wykonania spawki; wynosi ona zwykle 20—40 kg\mm², średnio 30 kg\mm². Przy wzmacnianiu mostów używać się będzie zazwyczaj dobrych spawaczy i wyborowych materjałów, tak, że wartości te mogą być wysokie. Przed wykonaniem wzmocnienia należy oczywiście przeprowadzić próby z tymi samymi spawaczami i materjałami i w tych samych warunkach, jakie będą na budowie.

Przykłady obliczeń : a) Szwy czołowe:

1. Łączna powierzchnia nitów utwierdzenia pręta obliczonego na siłę Pn = 24⁻0 ton wynosi Fn = 30 cm² = 3000 mm². Należy połączenie to wzmocnić zapomocą szwów czołowych, tak, aby przenieść mogło siłę P, = 32*0 ton przy zachowaniu tego samego spółczynnika pewności.

Spawka ma przenieść 32-0 — 24*0 = 8*0 ton, czyli ponad 30°/0 (jedną trzecią) siły przenoszonej przez nity. Należy ją zatem obliczyć

na obciążenie Ps= *°n. Ponieważ dla szwu czołowego nie otrzymu-^    F

jemy wyraźnego wzmocnienia poniżej stosunku ^=0-7, przeto przyj-

■F n

=0-7,

mujemy

a tern samem przynależne czyli :

a stąd potrzebna powierzchnia spawki czołowej

16000

A=0-5

Ps

8 ton

0-5

16 ton,

F.

&sp

2. Pn = 24 ton, P, wynosić ma 48 ton, zatem połączenie należy wzmocnić o 100°/₀ Przy pomocy szwów czołowych.

k=0-57,

F

Fn

Z wzoru 3 otrzymujemy dla = 1

przyjmujemy okrągło к = 0-60. Wtedy :

Ps =

Pc — Pn 48-0 — 24*0    24-0

0-60

0-60

40 ton

40000

5000 mm¹ — 50 cm²

Kontrolujemy przy pomocy wzoru 3.

P66

Fs _ 5000 Fn ~ 3000

a stąd &'=0‘71, czyli obrano powierzchnię nieco za dużą. Przerachu-jemy ją zatem dla к = 0*65.

Ps =

24

0-65

= 37-0 ton

Fs

37000

4620 mm²

= 1-54.

Fs = 4620 Fn ~ 3000

Sprawdzając к wedle równania 2, otrzymamy:

к = 069,

co jest dostatecznie zgodne z przyjęciem. Oczywiście można przez dalszą próbę uzyskać zupełną dokładność.

b) Szwy boczne:

Dana siła Pn = 24*0 ton ; mamy uzyskać Pc = 500 ton. Spawka ma przenieść ponad 100% (dokładnie 108% siły Pn). Przyjmujemy к = 0-8, a stąd

Ps =

Pc — Pn 26Ю ton

0*8

= 32*5 ton.

Sprawdzamy wedle wzoru 3:

³24⁵'35 “ ' O'⁷² = O'⁸⁵-

Zgodność teraz można uważać za dostateczną; liczymy jednakowoż dalej; przyjmujemy mianowicie & = 0’83, czyli :

= 31*4 ton

Ps

26-0

0-83 i powtórnie wedle wzoru 3:

k = 0*835,

co już jest zgodnością najzupełniej wystarczającą.

Niech spawka ma wytrzymałość AOOkgjcmb, to sumaryczna długość szwów :

31400

400

=oo80 cm.

Może zajść potrzeba szwów kombinowanych, bocznych i czołowych. Wypadek ten nie ze wszystkiem jest wyjaśniony, a doświadczenia odpowiednie są w toku. Zachodzi on jednakowoż przy potrzebnych dużych wartościach wzmocnień, a wtedy spółczynnik к jest wogóle duży dla obu rodzajów szwów i wynosi conajmniej 0-8.

Powyższe wzory, wyprowadzone na podstawie bardzo znacznej ilości doświadczeń, najkompletniejszych, jakie dotychczas zostały wykonane, pozwalają na obliczenie potrzebnego wzmocnienia przy pomocy spawek, jakoteż dla różnej ich dobroci.

W praktyce inżynierskiej najczęściej trzeba będzie przedewszyst-kiem określić dobroć spawania wykonywanego przez spawaczy, którzy do roboty będą użyci, a następnie przy przyjęciu najkorzystniejszej grubości spawki określić к dla każdego węzła i każdego pręta z osobna. Względy konstrukcyjne będą bowiem niejednokrotnie nawet dyktowały inny rodzaj wzmocnienia w jednym, inny w drugim końcu tego samego pręta.

n bP20

zaprawa cement.

tP20_

10-10-75 wkładka m‘

лр^г

r~v hP 20 Iwzmocnienie)

zaprawa cement.

80’80‘10

L 70- 70 ‘9 (wzmocnienie

12 ł

~----v~

Shh

i?:

i jt'3-з "hn

W 80-80-10

•Y

4

CM>20

Rys. 1.

глЪР.20 dt 1745

350-W

■ST

TT

Eass

2V

Liii

°/o

/.zalanie elektrodą

44¥

Ч#Г

Przy stosowaniu spoin należy oczywiście uwzględnić te same reguły, jakie ważne są dla konstrukcyj spawanych, przedewszystkiem więc rozmieścić je odpowiednio do osi ciężkości poszczególnych prętów.

W poszczególnych wypadkach może zajść potrzeba zastosowania szwów środkowych (szczelinowych), a przytem czasem nawet konieczność usunięcia pewnych nitów.

Należy zaznaczyć, że w znacznej ilości wypadków wzmocnienie da się przeprowadzić bez podnoszenia konstrukcji istniejącej, tern samem bez wznoszenia specjalnych rusztowań.

Wzmacnianie przy pomocy spawania daje ogromną szybkość w robocie, tembardziej, że prawie zawsze pozwala na wykonanie na miejscu z minimalnem uprzedniem przygotowaniem warsztatowem. Niema przy niein nawet chwilowego osłabienia konstrukcji przy usuwaniu nitów, co jest nieuniknione przy wzmacnianiu zapomocą nitów. Te korzyści i szereg innych, dają gwarancję, że metoda ta wzmacniania znajdzie w przyszłości szerokie zastosowanie.

Niżej podaję przykład projektowanego przeze mnie wzmocnienia mostu kolejowego na rzece Ujściu w Równem. Wzmocnienie prawdopodobnie wykonane nie będzie, jednak projekt doskonale ilustruje zasady wyżej podane.

Most na Ujściu w Równem jest mostem kratowym o belkach równoległych o pomoście dołem. Rozpiętość belek wynosi 2P0m, wysokość 2*25 m. Pasy są dwuteowe, krzyżulce składają się głównie z kątówek. Wskutek braku należytej konserwacji wszystkie pręty ściany tak słupy, jak i przekątnie pordzewiały w wysokości pomostu, na długości około 15—20 cm. Rdza zniszczyła niektóre tylko powierzchownie, niektóre zaś przejadła nawskróś, tak, że most musiano podeprzeć na rusztowaniu. Prócz tego pas górny, zupełnie niezniszczony, był zbyt słaby ze względu na wyboczenie, zaś pas dolny pod wpływem ugięcia całości, spowodowanego przedewszystkiem wspomnianem zniszczeniem krzyżulców, oraz z powodu braku odpowiednich usztywnień wygiął się i poddał się również, a jego ścianki nachyliły się ku sobie. Wreszcie okazało się, że połączenia węzłowe krzyżulców były zbyt słabe, aczkolwiek most już był raz wzmacniany.

Projekt wzmocnienia został wykonany w sposób następujący :

Pas górny i pochyłe narożniki miały zostać wzmocnione wedle jednego warjantu przy pomocy płaskowników, wedle drugiego (rys. 1) przy pomocy ceówek. Ceówki te miały być umieszczone wedle zasady podanej powyżej pod c, a mianowicie miały mieścić się wraz ze szwami pomiędzy rzędami pionowych nitów. Ceówki te musiały być wzajemnie przeminięte pionowo względem siebie z powodu nakładek pasa górnego, których ilość jest zmienna. Odpowiednie umieszczenie

umożliwiają nadto ścięcia stopek na odpowiedniej długości, jakie należałoby wykonać przy pomocy palnika tleno - acetylenowego. Poszczególne części ceówek byłyby zamknięte przy pomocy poprzeczek z prostokątnych blach m. Ze względu na bezpieczeństwo przeciw rdzewieniu ceówki miałyby być wypełnione następnie zaprawą cementową.

Wzmocnienie ukośnych narożników w częściach przerdzewiałych miałoby być wykonane przy pomocy dospojenia blach, pokrywających części zżarte, przyczem próżnie byłyby wypełnione również zapra\vą cementową lub kitem.

Zrekonstruowanie kątówek krzyżulców projektowane było w paru wypadkach przez nadlanie elektrody. Ponieważ jednak przeważna część

ларганед cement

r^fPZO

s-3-3

Przekrój a-b

o.

=ы

о ГР22 J( 8950

100-10040

[••■•/i

1075 / O

ЛГР2Ч

1075

1075

1075

o 'o

Jk-i °

" Л J- ч-Ч

880

1075

1075

n 1P2Z <118550

1075

r^hP22

(wzmocnienie/

Rys. 2.

ich była tak przeżarta, że wyłącznie minimalna ilość materjału pozostała, przeto znów zaprojektowane były dwa warjanty: jeden z nakładkami, drugi z wycięciem zniszczonych części i wymianą ich pa odpowiednie nowe kątówki.

Wzmocnienie pasa dolnego projektowane było przez wstawienie odpowiednich usztywnień, któreby rozparły zniszczone ścianki, a nadto przez umieszczenie pochylni betonowej, pokrytej asfaltem, ze spadkiem około 2°/₀ dla uzyskania należytego odwodnienia, którego nie było.

Wzmocnienie poprzecznie, również zbyt słabych, projektowano przez dospojenie dołem ceówki, opartej na słupkach, a tern samem utworzenie t. zw. belki wzmocnionej (rys. 2).

Wzmocnienia są w rysunkach zakreskowane.

Przykład ten, aczkolwiek niewykonany, świadczy dobitnie o szerokiej gamie możliwości, jakie przedstawia spawanie w zakresie wzmacniania konstrukcyj nitowanych kratowych.

W pracy niniejszej omówiłem wyłącznie bezpośrednie wzmacnianie konstrukcyj kratowych, pomijając ustroje inne, a także pomijając wzmocnienia pośrednie, przez dodanie nowych prętów, zmianę ustroju belki, obetonowanie i t. d. W zakresie tym jest to właściwie pierwsza praca syntetyczna, oparta z jednej strony na doświadczeniach krajów innych (Ameryki, Australji) i drugiej na własnem doświadczeniu, jakoteż na badaniach przeze mnie przeprowadzonych.

INŻ. DR. STANISŁAW BRZOZOWSKI

Profesor Politechniki Lwowskiej

¹

) Zaznaczyć należy, że tembardziej wzmocnienie pośrednie da się również wykonać przy pomocy spawania.

Ogólna metoda wyznaczania kształtu mostów łukowych z konstrukcją pachwinową.

Mosty łukowe kształtu szczególniejszego, o osi odpowiadającej przebiegowi linji ciśnienia, wynikającej bądźto z obciążenia ciężarem własnym i połową ciężaru ruchomego zastępczego, stosownie do przyjęć niektórych autorów, jak Tolkmitta, Färbera, Melana i Thulliego, bądź też tylko z samego ciężaru własnego, zgodnie z przyjęciami Mörscha, Strassnera i innych — wymagają mniejszej ilości materjału aniżeli mosty o tych samych wymiarach zasadniczych urobione według znanych krzywych rzędu drugiego, chyba, że nadamy ustrojowi kształt skombinowany z kilku łuków kołowych, czyli t. zw. koszowy, o takim doborze promieni, że osiągnięcie najmniejszych wymiarów, przy uwzględnieniu wszelkich możliwych wpływów działania, da się urzeczywistnić.

Konstrukcje tego rodzaju tak ze względów statycznych jakoteż i ekonomicznych są najwłaściwsze, przytem nie tracą wcale na dobrym wyglądzie, lecz owszem zyskują przez to, że wzbudzają na widzu, swoim do pewnego stopnia osobliwym kształtem większy spokój, świadczący niewątpliwie o wyjątkowej harmonji sił występujących w takim ustroju.

W przypadkach powszechnie zachodzącej symetrji ustroju, a w szczególności dla obciążenia ciągłego symetrycznie rozłożonego, czyli dla mostów z nadsypką zwyczajną, kształty łuków odpowiadające linji ciśnienia są nam znane; natomiast dla mostów łukowych o konstrukcji pachwinowej, zapomocą której obciążenie z jezdni przenosi się na ustrój główny łukowy, przez słupy względnie filary, jako skupione, tylko w przybliżeniu.

Właśnie w takich przypadkach przywykliśmy do pomijania wpływu ciężarów skupionych, zastępując je częstokroć obciążeniem zastępczem ciągłem, tak jak gdyby jezdnia spoczywała wprost na nadsypce. Następnie dla takiego ustroju zastępczego zastosowujemy znane rozwiązanie matematyczne kształtu linji ciśnienia, w postaci

funkcji hiperbolicznej, podane przez Färbera. Jednak takie przyjęcie przybliżone może być stosowane tylko w mostach kamiennych o gęsto rozstawionych sklepieniach pachwinowych, natomiast w mostach łukowych tak betonowych jak i żelbetowych o konstrukcji pachwinowej żelbetowej, dla której odstępy słupów pomostowych są już z zasadniczych względów większe, powyższe przybliżenie może wykazywać niekiedy i większe odchyłki.

W niektórych zaś przypadkach, gdy słupy pachwinowe skrajne są bardziej odsunięte od przyległych wezgłowi, zachodzić może nawet i poważniejsza różnica w położeniu przebiegu linji ciśnienia, a to dlatego, że przyjmowane obciążenie zastępcze, rozłożone stosownie do wielkości poszczególnych pól pachwinowych między słupami, pojawi się jako nieciągłe, z uskokami, przez co krzywa wyrównawcza odbiegać też będzie od stanu rzeczywistego, stając się raczej niewłaściwą. W rezultacie, stosunek obciążeń jednostkowych wezgłowia i zwornika, mający jak wiadomo rozstrzygający wpływ na równania linji ciśnienia, stanie się tern samem wysoce niepewny.

Również większe odstępy słupów, pachwinowej konstrukcji żelbetowej, zwiększają zarazem obciążenia skupione przenoszące się przez te słupy, które w rzeczywistości spowodują spłaszczenie osi łuku pomiędzy słupami. Wobec tego ogólny wygląd łuku zmieni się, upodabniając się raczej do ustroju ramowego o wielokrotnie łamanym zarysie. Wspomnianego spłaszczenia osi łuku nie możemy oczywiście uzyskać przy oparciu się o znane równanie osi dla obciążenia ciągłego, a podjęcie ścisłego dostosowania się do warunku zmienności przekroju d=d₀:cosa jak tego wymaga Kögler¹), wtedy niewiele pomoże, gdyż i tak powstaną dodatkowe momenty zginające powodujące nierównomierny rozkład natężeń w przekrojach, a tern samem łuk nie otrzyma najmniejszych wymiarów.

Następnie sprawa formowania według linji ciśnienia łuków niesymetrycznych pojawiających się w mostach leżących w większych spadkach lub posiadających wezgłowia w wybitnie różnych wysokościach, jak np. wiadukt włoski przez dolinę Serra i drugi przez Valdassa²), wymaga również rozwiązania właściwego.

Z tych właśnie względów dla mostów łukowych z konstrukcją pomostową pachwinową opartą na łuku zapomocą szeregu słupów, wprowadzamy nową metodę matematycznego określania kształtu łuku przebiegającego według linji ciśnienia.

Oprócz uwzględniania wpływu dowolnych obciążeń skupionych na kształt łuku, oczywiście zastosujemy tę metodę do przypadków

’) Kögler: Gewölbetabellen.

²) Santarella e Miozzi. — Ponti Italiani in cemento armato.

obciążeń skupionych, zmieniających się według funkcyj linjowych lub parabolicznych, które często w praktyce przychodzą. Ponadto uzyskać będziemy mogli kształt łuku według linji ciśnienia przedewszystkiem dla ustroju niesymetrycznego.

Wkońcu zawiły przypadek równoczesnego traktowania obciążenia własnego samego łuku wraz z ciężarami skupionemi, dają się również rozwiązać, dopełniając tern samem całości zakreślonego zadania podjętego w ramach niniejszej pracy.

Łuki symetryczne.

Linja ciśnienia dla dowolnego obciążenia skupionego.

Ustrojem powszechnie używanym w konstrukcjach mostowych jest łuk symetryczny. Wykażmy zatem wpływ na linję ciśnienia, dowolnych ciężarów skupionych, symetrycznie rozmieszczonych względem osi pionowej. Składowa pozioma rozpierająca podpory czyli wezgłowia niechaj będzie H. Z powodu symetrji układu, linja ciśnienia w szczyto-wem położeniu t. j. zworniku (kluczu) staje się pozioma.

Niechaj zatem na łuk o rozpiętości l i strzałce f działają tylko ciężary skupione Glf G₂, G₃... Gn, i dla takiego obciążenia chciejmy wyznaczyć linję ciśnienia, jeżeli przyrosty odnośnych obciążeń skupionych wzrastają proporcjonalnie do rzędnych linji ciśnienia odniesionych do osi poziomej О — X, przechodzącej zarazem przez poziomy bok wieloboku sznurowego w zworniku. Po oznaczeniu rzędnych w miejscach działania sił przez: ^=0, г/₂, ys... yn — i współczynników proporcjonalności przez: , y₂, y₃.. . yn — otrzymamy odpowiednie przyrosty ciężarów: yt.ys, ys.y₃... y».y*.

Dla konstrukcji pachwinowej ze słupami przekroju stałego, o grubości glf gs... gn — a szerokości slf s₂... sn, określają się odpowiednie у w zależności od ciężaru właściwego konstrukcji yw — jako ciężar 1 mb wysokości słupa, np. yn=gn.*»-y«>-

Poszczególne yi,2...n są zatem przyrostami obciążeń \mb wysokości odpowiedniego słupa.

Obciążenie siłami Glf G₂... Gn, znaczyć będziemy obciążeniem zasadniczem. Pozostaje jeszcze do wyjaśnienia znaczenie obciążeń zasadniczych w przypadkach najczęściej zdarzających się w budowie mostów łukowych.

Oznaczmy poszczególne obciążenia konstrukcji pomostowej, składające się z ciężaru własnego (części wznoszącej się ponad osią 0—X, lub poniżej w zależności od umieszczenia pomostu), i ewentualnie połowy ciężaru ruchomego (według Tolkmitta), które przypadają na poszczególne słupy — przez Cx, (7₂, C₃... Cn\ to po uwzględnieniu

grubości pionowej samego łuku, pod odpowiedniemi siłami, o wartościach vlf v₂... vn, dostaniemy, stosownie do położenia konstrukcji pachwinowej względem poziomej osi 0 — X, następujące związki na określenie ciężaru zasadniczego dla typów według rys. 1 a,b,c:

a) G₃=C₃    2^3 'Уз

ь) G₃ = C₃ —

co

eP

4«?

Całkowity ciężar z uwzględnieniem przyrostów wynosi:

P% — G% РУ2 * У2 P₃ = G₃ + y₃.ya

Pn Gn 1/n • У11

Ponieważ w obciążeniach zasadniczych G\,i...n występują nieznane narazie grubości łuku, z wyjątkiem danych projektem w zworniku i na wezgłowiu, przeto z wystarczającem dla praktyki przybliżeniem przyjąć możemy, dla określenia tych pionowych grubości v, zmianę przekrojów według paraboli, o ile przekroje są w ogólności zmienne. To niezupełnie dokładne przyjęcie będzie miało przeważnie znikomy wpływ na końcowy wynik, gdyż różnice okazują się naogół niewielkie, w porównaniu do obciążeń zasadniczych.

Po tych uwagach praktycznych co do stosowania ciężarów zasadniczych w poszczególnych przypadkach konstrukcyj łukowych, przychodzimy do dalszych rozważań.

Wprowadzimy przedtem jeszcze, oznaczenia następujące :

yni = Gn : Gv

Ponieważ yx mierzone pod siłą Gx jest zerem, wobec tego PX = GX. Gdy następnie oznaczymy stosunek rzeczywistego obciążenia do Px,

przez m, to

У si G₃ . Gx . . .

Ш21~

P,

Pn

Pi

Pi

a otrzymamy:

1    У 2 1 "Р

У 2‘У 2

ш₃₁=у₃₁-\-

Уз-Уз

pi

I Уп-Уп

=Уп н—р

¹ 1

^ n/we/e/a

*?

■=>_ ¹ .____4. ■

■s.

Rys. 1 a.

£з

niwekfa

/7%

7v. i

T

io

-,

(А/ «

Rys. 1 b.

iJ

X.

njwe/efa

Сз

Rys. 1 c.

Na podstawie przyjętych oznaczeń, możemy wyznaczyć dowolną rzędną yn linji ciśnienia, skoro zastosujemy warunek równowagi momentów względem przekroju pokrywającego się z tą właśnie rzędną.

p

Np. dla znalezienia y₂ mamy równanie: H.y₂=Px e₁₂; stąd y₂=-=7ei2

11

(rys. 2). Wielkość e₁₂ oznacza odstęp siły pierwszej od drugiej; ogólnie przez ek,r rozumieć będziemy odległość siły &-tej od z* - tej.

Następnie współczynnik określający wielkość rzeczywistego obciążenia P₂ w tern miejscu równać się będzie:

Gs

Gn Gn-t

n-t

yn

yn-*

у 6 У‘

_ 4_ J

у'У* i

&*s

. J._!

&1Z I

I/

Rys. 2.

Analogicznie otrzymamy :

y₃=~(e₁₃+m₂ie₂a)'> jak również m₃₁=fi₃₁+^(e₁₃+m₂₁ e₂₃)

V

ша=Ул1+^(ex₄+m2x e2i+m3x e₃₄)

p

У4 "t⁻ ^2 1 e2 4"b^31    >

Pi

У5 — jj\e 15 4 m% 1 e2 5 +

+ Ш3 1 е35 + Ш41 ß4ö) i

Уь

тв1=уг>1+^(е₁₅ + т₂₁е₂₅ +

+m₃₁e₃₅ +w₄₁e₄₅)

Ogólnie :

. . (1)

к= 1

przyczem należy zwrócić uwagę, że współczynnik m₁₁ = 1,

zaś

Wln 1-1 H"

Уп • Уп .

~РГ’

Il—1

albo

■ 7« Vi =fln l +

fc=l

. . (2)

Jeżeli następnie w równaniu na yn, zastąpimy pokolei wszystkie współczynniki ш odnośnemi funkcjami zawierającemi parcie poziome H, to w rezultacie otrzymamy równanie, z którego na podstawie znanej rzędnej yn, równej przyjętej strzałce łuku f, obliczymy niewiadome parcie poziome H.

(x₂, G₃, o przyrostach jednostkowych różnych: yx,

Przypuśćmy więc, że na połówce łuku stoją trzy dowolne siły zasadnicze G

y₂, y₃ — a pod siłą czwartą Gx, znajdującą się już nad podporą, rzędna yx jest równa strzałce łuku ; otóż stosownie do równania wyprowadzonego dla czterech sił dostajemy:

p

yi = Jj(eH + m2ie2 4 + m3 1 e3i)>

w które podstawione wartości za m nadają postać:

У4⁼]|у |ß14 + (/*21+jy ei2) e24+^31 +    (ßl 3 + (^21 + jj е\ч) ß23 jjß3⁴| г

albo

Pi

2/4=^|ß14 + itt21 ß2 4 + ^3i ß3 4+^(72 ßl 2 С2 4 + Уз ßl 3 ß3 4+

+ Уз ^2 1 ß2 3 ß2 4) +

Po pomnożeniu jeszcze przez H³ dostaniemy:

H³yi = P₁ [Т7²(е₁₄ + /* g 1 ß24 + ^31 ß3 4) ~b H (y% &12 ß24 + 7s ßl 3 ß34 +

+ Уз И-2 1 ß2 3 ß3 4) "b У2 Уз ßl 2 ß2 3 ß3 4] >

(ßl 4) = ßi 4 “Ь У2 1 ß2 4 “b Уз 1 ß3 4

(У2 Уз ei 2 ß2 з ßs 4) I •

a po oznaczeniu:

(ßl 3) ßl 3 ~b И2 1 ß2 3

otrzymamy :

H³

У\ — 77² (ßj 4) ~b H [yt    2 ß2 4 “b Уз (ßi 3) ß3 4] b⁻ У 2 Уз ßi 2 ß2 3ß 3 4

(3)

Zastępując w dalszym ciągu współczynniki przy niewiadomej przez a₀₄, a₁₄, a₂4> gdzie stały wskaźnik drugi (4) oznacza położenie podpory znajdującej się pod 4-tą siłą, otrzymujemy równanie:

НК y 4

pi

ао 4 • H² + ах 4.    а₂ 4

.    . (За)

«0 4 = (е₁₄)

а1 4 ⁼ Уг • е1 2 е2 4 + Уз (в1 з) е3 4 й2 4 ⁼ У2 Уз • е1 2 б2 3 е3 4

.    .    (3 Ъ)

W ten sposób, przy obciążeniu (połowy łuku) trzema dowolnemi siłami skupionemi, rzeczywiście czynnemi, otrzymaliśmy na niewiadome parcie poziome H, równanie trzeciego stopnia, z którego wkońcu otrzymać będziemy mogli jego wielkość.

Na podstawie znanego H, możemy następnie obliczyć rzędne linji ciśnienia z równań:

pt

e₁₂, przyczem m₂₁=f*₂₁ + H

Уд — jij (ei 3 "b ШЧ 1 • e2 з)‘

Określenie linji ciśnienia odpowiadającej pewnemu dowolnemu obciążeniu zasadniczemu, o różnych przyrostach jednostkowych y, zostało tern samem jednoznacznie wyznaczone.

Nietrudno jednak przewidzieć już zgóry, że wraz z wzrostem ilości sił skupionych rość będzie też stopień równania z niewiadomą II, którego wielkość zgadza się z ilością występujących ciężarów czynnych, t. j. z wyłączeniem siły stojącej wprost nad podporą czyli wezgłowiem łuku.

Przyjmując w dalszym ciągu rozważań zamiast trzech — cztery siły czynne Gt, G₂, G₃, G₄, to z równania na rzędną y₃ w miejscu podpory, obliczymy niewiadomą II:

P ,

Уд    5 "Ь 1 e2 5 “b m₃ ! ß₃ 5 +    J e₄ 5).

Jednakże zamiast wstawiać pokolei wartości za m, prędzej osiągniemy ostateczny wynik, skoro zwrócimy uwagę na to, że trzy pierwsze wyrazy w nawiasie są podobne do pierwotnych wyrazów na y₄, tylko w miejsce drugiego wskaźnika 4 wejdzie wskaźnik 5. A więc zamiast e₁₄ wprowadzimy e₁₅ i t. d.

Czyli: yh =

a wreszcie:

У2-Ц

ei 2 >

pi

Pi

JJ (ei 5 ~b ^*2 1    5 "b Щ 1 ⁶³ 5) “b JJ ^*4 1 e4 5 >

przyczem pamiętać należy, że ostateczne równanie na y₄ pomnożyliśmy przez H\ a więc:

HK

~=а0 4. H* + al 4 H+a₂ 4 + #² ш4 г. e₄₅.

a zatem :

W tem równaniu mamy jeszcze określić ostatni wyraz H¹mil e₄₅

i7²m₄₁.e₄₅ = i7V₄₁ e₄₅ + Hy₄ e₄₅(e₁₄+m₂₁e₂₄+m₃₁ e₃₄)=

= Л²у₄₁.е₄₅ + Н{е ₁₄e₄₅ y₄ + y₄ y2 x e₂ 4 e₄₅+ y₄ y₃₁ e₃₄ e₄₅ +

Vo    у., у.

JJ У 4 ei 2 e2 4 ⁶4 5 4“    У 4 ei 3 e3 4 e4 5 4

+-^/4^12 g₂₃ e₃ 4 e4 5 } ;

У2

^2 1 e2 3 e3 4 e4 5 4~

Я²Ш₄₁е4₅ = Д'²^4₁е₄₅4-йГ[У4е45(е₁4 + ^2 1е24 + ^3 1е3 4)] + 4~ У₂ У₄ ⁶1 2 e2 4 ⁶4 5 ~4 Уз У4 63 ₄ e₄ 5 (в₁ 3+^21 ⁶2 3 ) 4~ У₂ Уз У4

ц ^12 *8 3 ß34 ^4 5 *

Po wprowadzeniu tego wyrażenia do równania zasadniczego otrzymamy wynik, skoro jeszcze całe równanie przez H pomnożymy : H*y₆

= ct₀₄Hs + a₁₄H²+cc2i Л+Л³ y4l е4Ь + Л² [y₄e₄₅(e₁₄ +

+ ^2 1 e2 4 4“ Уз 1 e3 4)] “4 H [y₂ У4 ß\ 2 ^2 4 e4 5 4“ Уз У4 (⁶1 3 4~

4-^2 1 ß2 3) e3 4 ei 5] 4“ У2 Уз У4 ei 2 e2 3 e3 4 ß4 5*

Skupiając wyrazy przy równych potęgach H, dostaniemy po uwzględnieniu wielkości na a₀₄, a₁₄ i a₂₄, ale z poprzednią uwagą co do zastępstwa wielkości e₁₄ na e₁₅ i t. d. i wprowadzeniu skrótów (e₁₃) i (eiJ według pierwotnego oznaczenia:

H±.yb

^³[ß15-4^21 e2₅4-^31 *35 + ^41 е4₅] + Я“[У2е12е2 5 4-4“ Уз (е1з) е3 5 4“ У4 (*14) e4ö] “4 Н [у₂Уз ß₄ 2 *2 3 *3 5 4“ У2 У4 *12 *2 4 *45 ~4 + Уз У4 («1 3 ) *3 4 *4 5] -4 У2 Уз У4 *1 2 *2 3 *3 4 *4 5-

(4)

Wkońcu oznaczając odpowiednie współczynniki przy II, przez a₀₅, a₁₅, a₂₆, a₃₅, otrzymamy postać równania:

H*.yb

«0 5-^³ + «i5-^²4-a₂5-^ila35

.    . {Aa)

gdzie

«0 5 — (*15) — *1 5 4~ ^2 1 *2 5 4~ /^3 1 e3 5 4” /*4 1 *4 5

(4ô)

«15 = 72 «12 *2 5 ”4 Уз Кз)е3 54-У₄(е₁₄)^45

«2 5 = У'2 Уз *1 2 *2 3 *3 5 4" У₂ У4 *1 2 *2 4 *4 5 4~ Уз У4 (*1 3 J *3 4 *4 5

«3 5 ⁼ Уг Уз У₄ • *1 2 *2 3 *3 4 е4 5

W ten sposób otrzymaliśmy równanie zasadnicze czwartego stopnia na niewiadomą H ; jak widać, również i w tym przypadku stopień równania jest zgodny z ilością ciężarów czynnych, znajdujących się po jednej stronie symetrycznego ustroju.

Po tych dwu przykładach, oszczędzając w dalszym ciągu czytelnikowi trudu śledzenia przebiegu rachunku prowadzącego do równania ostatecznego, przytoczę jeszcze wynik końcowy, w przypadku obciążenia czynnego pięcioma zasadniczemi siłami dowolnemi Gx, (7₂... 6r₅, z jednej strony symetrycznego ustroju.

Po rozwiązaniu równania:

Щл • 6/t o

Pi \

dojdziemy do ostatecznego równania piątego stopnia, w postaci:

Pi

a0GH* + a1GH*+a2GH*+a, GH+aiG . . (5 a)

o współczynnikach:

a0 C ⁼ (ei б) ⁼ ^1 G "P ^2 1 e2 G "P /*3 1 e3 G "P 1 ß4 С ~P А*б 1 б5 G G ~ У2    2 е2 G "Р Уз (е1 з) е 3 G "Р У\ (ßl 4)    ß4 6 "Р Уб (б1 б) б5 6

а2 G ⁼ Уг Уз    б1 2 б23 е3 G "Р У2 У4 е1 2 б24 б46    Уз У4 (б1 з) б3 4 ß4    G    "P

(5 Л)

"Ь У2    Уб е1 2 ⁶2 5 б5 6 "Р Уз Уб (б1з) еЗЬ е3 6 + У4 Уб (б1 4) С45    б5С

а3 G ⁼ Уг Уз    У4 2 е2 3 ез 4 е4 6 ~Р У2 Уз Уб    2 е2 3 е3 5 е5 G ”Ь

"Р У2 У4 Уб е1 2 е2 4 е4 5 е5 6 "Р Уз У4 Уб (ßl з) б3 4 б4 5 б5 G °Ч G ⁼ У2 Уз У4 Уб е1 2 е2 3 е3 4 е4 5 б5 G

Wpływ dowolnej ilości sił skupionych na linję ciśnienia.

Gdybyśmy po jednej stronie łuku symetrycznego i symetrycznie obciążonego, mieli n ciężarów zasadniczych: Gx, 6r₂... Gn, przybierających pewne dowolne przyrosty jednostkowe ylf y₂... y„ — to uważając rzędną yn, pod w-tą siłą G,,, za znaną, równą np. obranej strzałce ustroju otrzymamy w zależności od w—1 sił czynnych równanie na niewiadome parcie poziome H, n—1 stopnia, w postaci:

Jt

• 2/и

Pi

o<o n H -\-ci\nH ct2nH Ą-ciznH + . • • a („—3) nH-\-a (n_₂) „ . H°

71 — 1

albo :

11

• 2/n

n—04-2)

Pi

• • (o

k=0

Współczynniki tego równania dadzą się określić z zasadniczego równania na yn:

Уп~Н

Ши . вк

w którem т1г = 1.

Jednak ten sposób osiągania stałych współczynników przy do-wolnej liczbie ciężarów staje się wysoce niedogodnym, oczywiście z powodu piętrzących się przekształceń, a co więcej jeszcze, wcale niezabezpiecza wyników przed ewentualnemi pomyłkami rachunko-wemi, mogącemi mieć rozstrzygający wpływ na ostateczne równanie. Sposób bezpośredni, wyznaczania współczynników a dla jakiejkolwiek ilości sił, działających po jednej stronie ustroju, jest tern samem najwłaściwszy i bardzo wskazany.

Otóż, analogicznie do poprzednio przytoczonych przypadków, widzimy, że pierwszy współczynnik a0n jest równy zastępczemu ramieniu (ein) siły G₁=P₁, na którem ona sprawia moment, równy co do wielkości momentowi statycznemu względem podpory (pod n), wszystkich sił zasadniczych Gt... Gn ¹).

A więc:

tt() n — (fil n) —    ft 1 • @kn

к— 1

gdzie (ilt — 1 •    (7 a)

Następnie przy pomocy indukcji stwierdzić możemy ogólność prawa dyktującego następne współczynniki, w odniesieniu do podpory (wezgłowia) znajdującego się pod ostatnią siłą Gn.

I tak, współczynniki aln, a2n... a{n-î)n występują p o-kolei jako sumy iloczynów przyrostów jednostkowych y₂, y₃... уи_ i, wchodzących jako kombinacje bez powtórzeń, począwszy od klasy 1-szej do n—2-giej, stosownie do pierwszych wskaźników przy a —i poszczególnych odległości sił — występujących w pewnej klasie kombi-nacyj — od siebie, sił skrajnych od podpory, a siły pierwszej Px odsuniętej od sąsiedniej (najbliższej) na odległość ramienia zastępczego.

Towarzyszące czynnikom у czynniki e charakteryzujące wzajemne położenie sił, wystąpią zatem z podwój ne mi wskaźnikami, tworząc stosowne pary wraz z pierw-szemi wskaźnikami czynników przy y — skoro tylko

!) Siła Gn znajduje się nad samą podporą, wzgl. wezgłowiem, więc tern samem wskaźnik n określa położenie podpory, od której siła Gx stoi w odległości eu,, zaś ramię zastępcze siły Pl = G₁ wynosi (ein).

przydamy im na początku wskaźnik 1 (wskaźnik podporowy). Przytem każdy czynnik e ze wskaźnikiem 1, należy rozumieć w znaczeniu nawiasowem, t. zn. jako ramię zastępcze; np.

ana końcu n

/„•=4

(<*15)=2

lc= 1

fik 1 • &kb-

Przytem na uwagę zasługuje ramię zastępcze siły Px względem P₂, które wprost równa się odległości obu sił, czyli (ela) = eia.

Postać wzoru ogólnego na określenie tych współczynników:

n Ук к) ßk n

lc= 2

.    .    (7 Ь)

¹    У к Ук' (ß\ к) ßkk' &к'n

“3 n    У к У к' У к” (ß\ к) ßkk' ßk'k" вк" п

И)

бьв

@56

(e,j

Rys. 3.

Dla lepszego wyjaśnienia, podajemy schemat budowy pewnego wyrazu współczynnika al8, którego wskaźnik drugi 8 znamionuje podporę ustroju obciążonego po jednej stronie 7-ma siłami czynnemi, zaś wskaźnik 4 oznacza klasę kombinacyj bez powtórzeń, wszystkich elementów ya, y₃, y₄... y₇, z wyjątkiem pierwszej i ostatniej siły. Następnie weźmy pod uwagę jedną z kombinacyj np. y₃ y₄ y₅ y₆ — to budowa czynników e zawarta jest w schemacie:

уз_ył__y-,__y>]

ł (е1з) е3 4 e45 eb G eG8 8

Wobec tego odnośny wyraz szukany równa się:

Уз У i Уа Ув • (е1 3) e3 4 e4 5 G 8*

Wymiary poszczególnych współczynników są:

«On •

ain •

C*2n ■

CC3n ■

Opierając się na wskazanej zasadzie, potrafimy zatem określić współczynniki w przypadku obciążenia 7-ma dowolnemi siłami, po-jawiającemi się po obu stronach ustroju łukowego przy symetrycznem obciążeniu obustronnem ustroju, występującem w zupełnie dowolnych odstępach.

А,—6

I tak:

a0 7

filc 1 • ek 7

lc—\

czyli :    a₀₇ — ex ₇ +    ₄ e₂ ₇ !    ₄    ₇ + i e₄ ₇ -f-    ₄ e₅ ₇ !    ₄ e₆ 7.

Następny współczynnik a₁₇, składać się będzie z 5 wyrazów o czynnikach kierujących y, występujących jako kombinacje bez powtórzeń 1-szej klasy, z elementów y₂, y₃, y₄, y₅, y(! — a czynniki e wystąpią z wskaźnikami :

1 2, 27 - 1 3, 37,    14, 47 - 1 5, 57 - 1 6, 67; a zatem:

ai 7 — У<2 (ei 2) * e2 7 “Ь Уз (ei 3) e3 7 "Ь У4 (⁶1 4) e4 7 4“ У5 (^1 5) £5 7 + Ув (ei б) ⁶6 7 •

Zkolei współczynnik a2C, zawierać będzie 10 wyrazów, z czynnikami y, występującemu jako kombinacje 2-giej klasy z tych samych elementów (bez powtórzeń) ; zaś towarzyszące im czynniki e stanowić będą odległości poszczególnych par sił względem podpory i siły P₄ — oczywiście odsuniętej każdorazowo na odległość ramienia zastępczego:

a2 7 ⁼ У2 Уз ^ei 2) e2 3 e3 7 + У2 У4 (ei 2) e2 4 e4 7 ~b У₂ У5 (б₄ 2) ß2 5 б5 7 ~b "Ь у₂ Уб (б1 2) е2 G еб 7 “Ь Уз У4 (е1 з) е3 4 е4 7 ~Ь Уз Уб (е1 з) е3 5 е5 7 “Ь b“ Уз Уб (е1 з) е3 6 еб 7 “Ь У4 у₅ (ei 4) ei 5 е5 7 ~Ь У4 Уб (е1 4) е4 6    7    "Ь

+ Уб Уз (б1 б) е5 G eG 7 '

Podobnie postępując, stworzymy kombinacje (bez powtórzeń) 3-ciej klasy z elementów у%, y₃, y±, y-₀, yr, — i wprowadzimy stosowne odległości e — w ten sposób dostaniemy dalszy współczynnik or₃₇, posiadający również 10 wyrazów:

аз 7 ⁼ У2 Уз У4 (ei 2) e2 3 e3 4 e4 7 ~b У2 Уз Уб 2) e2 3 в3 5    7 ~b

“b Уг Уз Ув ( ei i) е2 з ез g еб 7 "Ь У2 У4 Уб 1 е\ г) 4 ei б еб 7 ”Ь

+ У2 У4 Ув (б1 2 ) е2 4 е4 в ев 7 "Ь У, Уд Ув 1 е1 2 ) е2 5 е5 в ев 7 “Ь

_1_

Уз У4 Уб (в1 з) еъ 4 е4 5 еЬ 7 “Ь Уз У4 Ув (б1 3) б3 4 С4 в бв 7 "Ь “Ь Уз Уб Ув (е1 з) б3 5 вЪ 6 еб 7 "Ь У₄ Уб Ув (е1 4) е\ 5 б5 6 б6 7 •

Celem obliczenia a₄₇, układamy kombinacje 4-tej klasy, których będzie 5, a następnie dostosowujemy do nich odpowiednie czynniki, charakteryzujące odległości sił.

®4 7~Уч Уз У А Уб • (е1 2) е2 3 в3 А еА 5 еЬ 7 '"1“ Уч Уз У А Уб ' (в1 ч) вЧ 3 в3 А вА 6 в6 7 4~

“к Уч Уз Уб Уз • (ei г) е2 з ез 5 еь 6 еб 7 4“ у₂ У4 Уб Ус (ei 2) еч а еА 5 еь с ес 7 "к Уз У4 Уб Ус (е1 з)’еЗАеА5е5беб7-

z tych samych y₂

Wreszcie ostatni współczynnik ай7, jako kombinacje 5-tej klasy — z przynależnemi odległościami e.

«5 7 ⁼ Уг Уз У4 Уб Ус • (е1 2) е2 3 е3 А вА 5 ß5 С в6 7 •

Najczęściej w praktyce, obciążenie pomostowe pojawia się jako szereg sił skupionych, występujących przeważnie w równych odstępach a. Dla takiego założenia, przy obciążeniu 7-ma siłami z których 6 w istocie wpływają na wielkość parcia poziomego H, powyższe wzory znacznie się uproszczą.

«o 7⁼(6 ~P 5 [I21 + 4 [A3 ₄ -f- 3 \i4^ + 2 Цг₀ j + fiß 1 ) o.

ai 7 ~[5 У₂+⁴ (2+^₂i) y₃ + 3 (3 + 2,а2 4 +^3 4) y₄+2 (4+3/r₂₁ +

“P 2 ^3i “P^41) У5 + (5+4 [1% j + 3 ₄ + 2    ₄ +/% ₄) y₆] ci~

«2 7 = [4у₂ Уз + б y₂ У4+6 y₂ y₅ +4 y₂ y₆ +3(2+^21) Уз У4+4(2 +

I ^2i)Уз Уб + З (2+^2i) Уз Ус + 2(3+2^2i + ^₃i) У4 У₅ +

+ 2(3 + 2^2i+^3i)y4 Уе + (4+3^21 + 2^₃₁+^₄₁) У5 ус] «³

«З7 = [3у₂ Уз У4 + ⁴ у₂ Уз Уб + з у₂ Уз Ус+⁴ Уч Уа Уб+⁴ Уг У4 Ус +

+ Зу₂УбУс + 2(2 + ^₂₁)у₃у₄у₅ + 2(2 + ^21)УзУ4Ус + ²(² +

+ ^si) Уз Уб Ус + (3 + 2^2 i+^з i) у₄ у₅ у₆] -а⁴

«4 7⁼⁼ [² у₂ Уз Уа Уб + ² у₂ Уз у₄ Уб + 2 у₂ у₃ у₅ ус + 2 у₂ у₄ у₅ у₆ +

+ (2+^2₁)УзУ₄Уб Ус]-а⁵

«5 7=У2 Уз У4У5 Ус-«⁶-

Wielkość parcia poziomego dla takiego obciążenia o dowolnych H \ y, a stałych odstępach a, obliczymy z równania, po wprowadzeniu y₇=f (strzałka łuku).

//«. f= P₁ (a0 7 №+a, ₇ H*+ a2 7 W + а3 7 H*+а4 7 H + a5 7).

Gdyby jednak wszystkie siły zasadnicze, z wyjątkiem pierwszej (öfi=A)j były równe, więc tern samem współczynnik у stały, a nadto także przyrosty jednostkowe obciążeń у niezmienne, natenczas otrzymamy jeszcze prostsze wyniki:

a₀ 7= (6 + 15 fi) a a4 7 = (35 + 35 fi) y a2 a2 7 = (56 + 28 fi) y'² a‘à or₃₇ = (36 + 9 fi) y³aA a₄₇ = (10+l fi) y⁴ a5 a-0l = \ y⁵ a⁶.

Przyjmując wreszcie wszystkie siły zasadnicze równe co do wielkości sile Plf więc zarazem fi= 1, to powyższe wzory otrzymają wreszcie najprostszą postać:

a₀₇ =21 a a₁₇=70 y a2 a₂₇=84y²a3 or₃₇=45 y³a4 a4 7 = 11 y⁴ a5 a₅₇ = 1 y⁵a⁶.

Na powyższym przykładzie wykazaliśmy przebieg budowy współczynników „a“ tak w przypadku zupełnie ogólnym, gdy ft, y i odstępy e są różne, jakoteż pod założeniami szczególniejszemi, raz dla równych odstępów sił a, a potem jeszcze gdy fi i y są stałe, i wreszcie gdy oprócz tego fi= 1.

W dalszym ciągu rozważań nad szczególniejszemi przypadkami, poznamy jeszcze ogólne wzory na wielkość współczynników „a“, które zestawiamy dla niektórych obciążeń najczęściej w praktyce mostowej zachodzących.

Wielkość niewiadomego parcia poziomego H.

Ogólne równanie na parcie poziome H, przy n siłach, odniesione do ostatniej z nich t. j. n-tej, czyli o n— 1 siłach rzeczywiście czynnych, znajdujących się po każdej stronie ustroju — opiewa:

Hn

-i

• Уп

Pi

=a$nH + û!in H + a-2n H + ... + £ü(n_3)n . H + 05(Я-2)п»

Rozwiązać go możemy, którymkolwlekbądź sposobem wziętym z literatury matematycznej. Jednak rozwiązywanie równań wyższych stopni o jednej niewiadomej zabiera projektującemu niemało czasu, tak, że niejednokrotnie mimo najlepszych zamiarów ścisłego rozwiązywania matematycznego, dogadzającemu nawet istotnemu zadowoleniu, przecież zwrócić się nam przychodzi do sposobów prostszych, jak to przeważnie się zdarza w zagadnieniach statycznych o ograniczonej dokładności wyników, z uwagi na ich przydatność techniczną.

W ogólności chcielibyśmy już zgóry wiedzieć, który z (n— 1) pierwiastków równania spełni nasze zadanie statyczne.

Przedewszystkiein rzeczywiste pierwiastki ujemne nie mogą oczywiście ze względów statycznych odpowiedzieć wymaganym warunkom. Wobec tego rozwiązania należy poszukiwać tylko wśród pierwiastków dodatnich. Pozostaje zatem do rozstrzygnięcia kwestja, czy w ogólności mogą występować inne pierwiastki, oprócz jednego.

Otóż, gdyby obok właściwego pierwiastka H₁, powodującego w ustroju łukowym określoną linję ciśnienia o rzędnych y,¹ — występować mogły inne pierwiastki dodatnie np. H' < lub H" > Ht, formujące linję ciśnienia według rzędnych y,' względnie y— natenczas ze względów statycznych wyniknąć muszą następujące nierówności y i' > y i¹, zaś dla drugiego założenia y;" <y;x — które pociągają znowu za sobą takie konsekwencje jak: H' > Hx względnie II" < Hlf stojące oczywiście w wyraźnej sprzeczności z pierwotnemi założeniami. Z tego wynika, że wielkość niewiadomego parcia poziomego H dla pewnego ustroju łukowego, zawarta jest w jednym jedynym pierwiastku dodatnim, równania zasadniczego n— 1 stopnia.

Wartość niewiadomej w każdym razie musi być większa od

p

dolnej granicy a0n —.

Po tych bezsprzecznie ważnych uwagach, znaczenia ogólnego i praktycznego, należy zkolei zająć się sposobem rozwiązania, któreby jak najprędzej prowadził do celu. Otóż, biorąc pod uwagę przedział funkcji w otoczeniu szukanego pierwiastka, a więc o rzędnych zasa-

dniczo większych od wartości a0?i

Уп

Hn~k osiągnąć równanie w postaci: HKyn

, możemy przez podzielenie przez

TT9 i    TT i    i n . ®4 и . n .

Wyrazy prawej strony równania, będące ilorazami o niewiadomej II, z potęgą stopniowo wzrastającą w poszczególnych mianownikach, maleją pokolei, o czein nie trudno przekonać się na przykładach, tak, że ze względów na wystarczalną dokładność wyników, zupełnie dobrze ograniczyć możemy ilość występujących ilorazów do kilku początkowych; a zależeć to będzie oczywiście od stopnia pożądanej dokładności rachunku. Zwyczajnie trzy, a najwyżej cztery wyrazy najzupełniej zapewniają dostateczną dokładność, wchodzącym w grę wielkościom statycznym ustroju łukowego.

Gdybyśmy się jednak zadowolili tylko trzema pierwszemi wyrazami prawej strony równania, to uzyskalibyśmy równanie trzeciego

stopnia, którego pierwiastek rzeczywisty określa już bardzo zbliżoną wielkość parcia poziomego H. Podstawiając następnie tę wartość niewiadomej w wyrazach opuszczonych, mamy możność poprawienia wolnego wyrazu a2n a w konsekwencji i szukanej wartości H.

Powyższy sposób praktycznej redukcji równania dowolnego stopnia do równania trzeciego stopnia, w znacznej mierze przyczynia się do ułatwienia postępowania matematycznego, nie umniejszając wcale dokładności wymaganej względami statycznemi.

Poprzestając zatem na równaniu trzeciego stopnia, dostaniemy po wprowadzeniu yn=f (strzałka ustroju), i po oznaczeniu jeszcze:

ao=a₀ ax=a\

— ®2 n • r,

W — a₀ W — ai H — a₂ = 0.

Celem rc podstawienia :

wprowadzamy znane

Wio«

+ “1. 3 ’

-ШМИ

lub też:

Ponieważ nadto zachodzić będzie nierówność g²>j9³, przeto rzeczywisty pierwiastek ma znane rozwiązanie zapomocą funkcyj hiper-bolicznych.

Cos ip, skąd znajdziemy ip i a następnie Cos^; p.]p    3    3

wreszcie niewiadomą: H=2^p . Cos^ +

Jednakże w przypadkach ustrojów mostów łukowych średnia

fh

wartość funkcji (hip.) Cos- waha około — 1*025, więc w przybliżeniu moglibyśmy obliczać H z równania:

ff=2-05Vp + v

1* /И ?

względnie :

to

СЛ

CO|j5

w|oa

if)

Niekiedy nawet wprowadzenie Cos y=l, może zupełnie wystarczyć za pierwsze przybliżenie wartości na H;

t. j.

«i

îf 'CO

Skoro następnie przybliżoną wartość parcia poziomego H podstawimy w wyrazach opuszczonych (str. 16), osiągniemy poprawkę dla wolnego wyrazu, t. j.

Pr

+    gdzie «3=«3n-y

⁼ n i)

aä ⁼ &bn' »

Aa = — + —⁴

¹ II IP

Wobec tego q zmieni się o Aq = \Aa₂. A więc Cos ty

q-\-±Aa₂

a wreszcie:

ty    ty

skąd znajdziemy ty, ~ i Cos-^-,

O    O

B-2V^.Cos-^ + ^-

p\p

W ten sposób wielkość szukanego parcia poziomego H została z wystarczającą dokładnością określona.

Następnie pozostaje nam jeszcze do określenia kształt przebiegu linji ciśnienia, na czem wreszcie całe zagadnienie zostanie całkowicie rozwiązane.

Wielkość rzędnych linji ciśnienia w punktach działania ciężarów skupionych zastrzeżona jest równaniem:

a za Я

gdzie za n należy wstawiać liczby 2, 3, 4... k... n— 1 wartość ostateczną, obliczoną poprzednio.

Dowolna rzędna yk linji ciśnienia, dla znanego parcia poziomego H, jest zależna od współczynników a₀*, «n, aih..które według znanej reguły ogólnej, dadzą się każdorazowo ściśle określić, tak dla zupełnie dowolnego obciążenia zasadniczego skupionego, przybierającego całkiem różne przyrosty jednostkowe y, jakoteż dla pewnego szczególniejszego przypadku, częściej trafiającego się w omawianych ustrojach łukowych. Wobec czego problem kształtu ustroju według linji ciśnienia jest rozwiązany ogólnie, oczywiście z pominięciem od-kształcalności osiowej samego łuku.

Wzory ogólne na współczynniki a0n, ain... dla niektórych obciążeń.

Gdy obciążenie skupione zasadnicze, pojawia się w równych odstępach a i przytem zachodzi jeszcze jednakowy przyrost obciążeń jednostkowych pionowych y, natenczas dadzą się wyrazić wszystkie współczynniki а0и, ain... w postaci zupełnie prostej.

Obciążenie prawie równomierne.

W obciążeniu łuków zachodzi często taki przypadek, że poza pierwszym ciężarem w pobliżu zwornika, inne mogą być równe

1    równomiernie rozłożone. Niechaj zatem na symetryczny ustrój łukowy działa również symetrycznie rozmieszczone obciążenie skupione, które po jednej stronie zawiera siły: Px i szereg sił /г Рг o wypadkowej

2/iP1} przyczem wszystkie odstępy są jednakowe i równe a, jakoteż

2

wszystkie у są stałe.

Chcąc zatem wyprowadzić wzory na a0n, cc\n... w odniesieniu do n - tej siły, zastosujemy poprzednio wprowadzone wzory ogólne (Ja). I tak pierwszy współczynnik:

n—1

aon

= 2a ponieważ ^X1 = l, więc

Tc= 1

w—1

«On

= e\,l+ß^,e/cr,\ podstawiając wartości za ein=(n—l)a

k=2

i вкп—Ы—к)a

=a [n — 1    (n—k)j.

k = 2

n—1

Zastępując sumę^    przez 2 k, dostaniemy po wprowa-

fc=2    k= 1

dzeniu i zesumowaniu w zakreślonych granicach szeregu arytmetycznego:

n— 2

«0 n

albo :

a₀„=a[w—    =    l)\*

4(V)4V)1

«On

Ł)

. . (8)

Zkolei przychodzi nam wyznaczyć współczynnik aiB; z równania ogólnego (7b) dostaniemy:

n —1

агп-у^Ы.еьп, a ponieważ (ei*)=«on; ek„

k= 2

*) W ogólności symbol =

= (n—k) a,

n.(n— l).(w—2)...(n—r+1)

1.2.3...r

«i »=    /с.а{₁(п-к).

A=1

Gdy następnie wprowadzimy jeszcze za а₀(»-*) wartość według otrzymanego równania na а0и czyli:

-1-

Ct 0 (n—k) —

to otrzymamy :

n—2

— 1-

/с\    /?г— 1— Ml

M 2 ]]> )+'* 2 )

— к . Ctç) (n—k)

A=1

więc :

u\n=    (n — k).ao*,

wstawiając 2 (n ~~

A = 2

-ro*2*. (*

a=i LV

Po przeprowadzeniu zakreślonego sumowania według ogólnego

wzoru :

m — /•

T (m—k\    (m-\-1 \

è*-l r J“(r + 2j

dostaniemy wkońcu wartość współczynnika aln w postaci:

• - (9)

Postępując analogicznie wyprowadzimy równanie na wielkość następnego współczynnika a2n.

ct2n=y2y(eik).eklc..ek>n, gdzie kk' przedstawiają kombinacje drugiej klasy z elementów 2, 3, 4... n— 1 ; (&'= 3, 4... ?г— 1). Ponieważ    = więc:

11—\

«2n

<*1A' • ^A'

A'=3 «—3

n=ya^n-k>)

• «IA',

A'=3

И2 n = 7«2 ^

A'=l

Po wprowadzeniu wartości za ai(„_*<) według równania poprzednio wyprowadzonego, dostaniemy:

albo :

• &1 (n—k') •

(» - A')

wreszcie

a następnie:

po wykonaniu :

«2»

“Г

'S:

Oi -f-

• • (10)

W ten sam sposób możemy otrzymać wzory na dalsze współczynniki. Poprzestając na samych tylko wynikach podajemy jeszcze dwa następne: _

• • (U)

• ■ (12)

a₃» = rsa¹[("^²)+^("g²)]    • •

«4„=/а»[(И + ³)+^(”+³)]    . .

Porównywując ze sobą wyniki końcowe, możemy łatwo wysnuć z nich prawidło pomocnicze, według którego da się zbudować każdy współczynnik. Przedewszystkiem daje się zauważyć pewne rytmiczne następstwo budowy czynników, skoro za podstawę przyjmiemy pierwszy współczynnik a0n, przedstawiający zarazem moment statyczny sił układu zasadniczego Pr razy zmniejszonego, względem ostatniej siły znajdującej się w punkcie n — t. j. dla obciążenia 1-ką i układem fi.

; przyczem odpowiednie

W ogólności każdy człon czynnika w [], omawianego współczynnika а0и, daje się przedstawić w postaci symbolu ogólnego

człony następnych współczynników ain, a2n. . posiadają, pokolei biorąc, ilość elementów w stale zwiększającą się o 1, a klasę kombinacyj rosnącą o 2 — pozostały czynnik a¹), stopniowo przybiera nowy czynnik у a, o potędze równej pierwszemu wskaźnikowi przy a.

Pisząc ogólnie, otrzymamy równanie każdego współczynnika odniesionego do n-tej siły, o wskaźnikach г=0, 1,2, 3 ... w postaci:

W- [{b, + 21) + ¹¹ (C+⁺2i) ]

gdzie m

m₂ są funkcjami n.

Dostosowując następnie, wartości dla przyjętego przypadku obciążenia uzyskujemy równanie:

din—a (y a)'

[(

n— 1 +i 1+2 i

мтлг)

•    • (13)

i=0, 1,2,3...

Mając jeszcze w dalszym ciągu na uwadze podporę ustroju odsuniętą od n-tej siły, o dowolną wielkość ô.a (ô niemianowane), natenczas rozważane współczynniki „a“ służące do znalezienia parcia poziomego H określimy przez:

ain+<5 = ain + <J.(a,„+i — ain), i = 0, 1, 2, 3...

') Równanie (8).

Różnica sąsiednich wielkości przedstawia spad na długości a, który oznaczać będziemy przez a'in; więc ctin+ô=ain+ô .a'in.

Wielkość spadu w pewnem miejscu n, odnośnych funkcyj osiągniemy zniżając o 1 klasę /r¹).

-1+2 i

\    ( m₂ + i

) + ll\K-\ + 2 i a w danym przypadku wielkość spadu równa się:

A zatem:

)•

a,in=a{ya)i.

(13 a)

Dla lepszego przeglądu, zestawiamy poniżej część wzorów na określenie wielkości współczynników, odnosząc je do położenia podpory znajdującej się w odstępie ó.a od ostatniej siły, a zarazem najbliższej podpory — skoro obciążenie zasadnicze, o równych odstępach sił a i równych przyrostach y, składa się z siły Px i szeregu sił fiPx.

&l,n4-ó —

Ch,n+ô

~a [C* 1 !) ⁺ {П2 + ^

УЛ{1) ⁺ {1)^+0уа\(П2) ⁺ {ПъУ\

[(*5 ¹ ) + C 6 ')"И fai(”4 ') + Cs '] "]

^h²H t:2)Ą+ó ^““[Ce:2)+crw

(14)

Zakładając następnie fi= 1, t. j. równomierność obciążenia zasadniczego o wypadkowej 2PX, powyższe równania znacznie się uproszczą:

tt\.n + ö

I tak:

ï,n-\-Ô

а.гп+d

<2Mr)

={nV)ra*⁺(nt')ó-yal

{П+₆Уа3+{П+5²)⁰-^

⁼ (W 8 ³) у3 + {П ~1³) 6 yS ^

óa

■    ■ (15)

W przypadku położenia podpory pod n- tą siłą, czyli dla d=0, wyrażenia na wielkość współczynników równają się:

«О n =

(п 1\

«1п = I

/w 2\

а2я = 1    1у²а³

+ ■'t

02 +

. . (16)

-г³)

00 +

у³ а⁴

Uproszczenia.

Gdy następnie dla rozważanego obciążenia n siłami, z których pierwsza jest Plf a reszta /гР1} wyrazimy współczynniki będące funkcją ilości sił n, przez Ain, względnie Ä.n, dostaniemy:

ain = Ain. у а}+¹

a. = A. .уг'аг’+¹,

in in *    ⁷

o spadach:

w których przez odpowiednie A.n, X.n należy rozumieć:

2    (n—\+i\    (n—\+i\

'n { 1+2 i )    **{ 2 + 2 г )

<--( 2< )+"(

dla г=0, 1,2, 3.. .(n—2).

n— 1 + i

1+2 г

Wobec tego współczynnik a.[u _ô)=(A.n+ôX.J у*а*+К Po oznaczeniu: Ain=Ain+óA'.n uzyskuje się а.(п+0—А"п.у*а?+*.

Dla г=0

t=l

i=2

'0 n

.a

W przypadku, gdy podpora ustroju łukowego znajduje się wprost pod w-tą siłą co często może zachodzić, natenczas współczynniki Ain=A.n. Korzyści powyższych uproszczeń poznamy w dalszym ciągu, podczas wyznaczania wielkości parcia poziomego H.

S.

ń.

сл

гг.

стз

15

14

91 .fi

ii’

ri-

.fi

.fi

.fi

14

13

78

13

12

Tabela I.

9    10    11    12

9    10    11

36    45    55    66

28

3    6    10    15    21

4 I 10 I 20 I 35 I 56    84 120    165 1 220    286    364    455

715    1 001    1 365

5    15    35    70 126 210    330    495

6    21    56.126 252 462    792 1 287    2 002    3 003    4 368

84 210 462    924 1 716    3 003    5 005    8 008

1    7    28

8    36 120 330 792 1 716 3 432    6 435 11 440 19 448

9    45 165 495 1 287 3 003    6 435 12 870 24 310

1    10    55 220 715 2 002 5 005 11 440 24 310 48 620

1    11    66 286 1 001    3 003    8 008 19 448 43 758

1 365 4 368 12 376 31 824 75 582

455    1 820    6 188 18 564 50 388

12    78 364

13 ¹ 91

n=

(A)

(V)

g со

+ <о

см

см

+ 00

го

+ 03

(n+3\

V 10 )

(Vi⁴)

( Zl )

\Ъ+и)

U'Y

"0 n

cq

СЧ

со

■'t

uqY j 9

.fi

ri-

.fi

fi ■

.fi

fi-

22

23

231

1 771

8 855

42 504

134 596

480 700

1 081 575

3 124 550

5 311 735

13 037 895

17 383 860

21

22

210

1 540

7 315

33 649

100 947

346 104

735 471

2 042 975

3 268 760

7 726 160

9 657 700

20

190

21

1 330

5 985

26 334

74 613

245 157

490 314

1 307 504

1 961 256

4 457 400

5 200 300

19

171

20

1 140

4 845-

20 349

54 264

170 544

319 770

817 190

Tabela I.

1 144 066

2 496 144

2 704 156

19

18

17

16

<М

18

153

969

3 876

15 504

38 760

116 280

203 490

497 420

646 646

1 352 078

1 352 078

17

16

15

136

120

105

816

3 060

11 628

27 132

77 520

125 970

293 930

352 716

705 432

646 646

680

2 380

8 568

18 564

50 388

75 582

167 960

184 756

352 716

293 930

560

1 820

6 188

12 376

31 824

43 758

92 378

92 378

167 960

125 970

en

со

-r

+ ю + i> +00    -Ь®    +2    +

1Л

СМ

со

Dla różnej ilości sił skupionych, n= 1,2,3..., pojawiających się jako obciążenie równomierne częściowe, o sile Px i szeregu sił o wartościach fiPx, występujących w równych odstępach a, ze stałemi przyrostami obciążeń pionowych y — zestawiliśmy tabelarycznie (tabela I), wszystkie wielkości potrzebne do określenia współczynników A.n, Ä.n; z których znajdziemy A.n, a wreszcie szukane współczynniki aąn+óy

Sposób używania tabeli I jest następujący:

Dla pewnej znanej ilości sił n, obciążających połowę ustroju, otrzymujemy z n-tej kolumny, wszystkie wielkości Ain, skoro dodamy liczby obu wierszy, z których każdy drugi wiersz odpowiedniej rubryki г=0,1, 2.. mnożymy przez fi.

Wielkości charakteryzujące spady Äin (pod rc-tą siłą), uzyskujemy jako sumę liczb — z kolumny тг+1-szej, wiersza bezpośrednio położonego nad rubryką i = 1, 2, 3.. z wyjątkiem A'0no wartości 1 — izkolumnyw-tej, wiersza pierwszego mnożonego przez fi, każdej rubryki «=0,1,2...

Zastosowanie.

Dla lepszego wyjaśnienia sposobu używania tabeli I, podajemy przykład obejmujący obciążenie zasadnicze 8-ma siłami (rc=8), z których pierwsza jest Px a siedem pozostałych /iPx — o równych odstępach a i stałych y.

Z kolumny n=8, dostaniemy wielkości Ain:

K s —    7 + 21 ^

A₁₈ = 56 + 70 fi A₂ 8 = 126 + 84 fi A₃ g = 120 + 45^

Aą $ — 55 -\- W fi

^5 8 ⁼    12+    1 (l

^6 8 —

1 + 0

zaś z kolumny n-\-1=9 i n=8 odpowiednie spady A.n:

^08 ⁼ 1 +

A[ ₈ = 28 + 56 fi A'₂₈ = 126 + 126 fi

2'₈ = 210 + \20ц A[₈= 165+ 55(i

^58~    66+    12 fl

Àq g — 13+    0

Następnie odpowiednie współczynniki Л'.'₈ = Л.₈ + d Л'.₈, gdy uważać będziemy podporę ustroju umieszczoną względem 8-mej siły w odstępie ó.a:

Л₀₈—    7+21 /4+d(l +7 /u)

4 - 56 + 70/4 + d(28 + 56/4) 4 = 126 + 84/4+d(126+126/4) 4 -120 + 45/4+ d(210+120/4) 4= 55 +11 /4 + d ( 165 + 55 /4)

Wobec tego ostatecznie współczynniki a wynoszą:

— 2"

«0 (8—|—d) ^0 8 * «

«1(8+6)= Я18-У«'

«2(8+6)= 4 • У" «³

Gdybyśmy założyli /4—1, t. j. równomierność obciążenia:

4= 28+    8 d

4 = 126+ 84 d 4 = 210 +252 d 4 =165 + 330 d

A wreszcie gdyby podpora znajdowała się pod 8-mą siłą, czyli d=0:

2" Л0 8

4 = 28 4=126 4 = 210

4=4= i⁶⁵

W przypadku równomiernego obciążenia zupełnego, /4—1, możemy wyznaczyć współczynniki Л.п i Л.п wprost z kolumny n+1, biorąc wartości — dla pierwszych, z drugiego wiersza, dla drugich zaś, z pierwszego wiersza, odnośnych rubryk — i = 0, 1, 2...

Ten bezpośredni sposób wyznaczania współczynników pomocniczych Л i spadów 4 z tabeli I, umożliwia szybkie znalezienie wielkości współczynników a,<„+)), zabezpieczając ostateczne wyniki pod-

stawowe przed ewentualnemi pomyłkami, których nietrudno popełnić podczas każdorazowego wyliczania odpowiednich funkcyj zmiennej n.

W przypadku rozpatrywanego obciążenia symetrycznego, występującego po obu stronach ustroju łukowego, wyszliśmy nawet poza zwyczajnie pojawiającą się ilość sił skupionych w ustrojach łukowych konstrukcyj mostowych, zwiększając ich liczbę do 23 (?г=23), by mieć zarazem możność uwzględniania obciążeń ciągłych, jak np. ciężaru własnego samego łuku, który praktycznie biorąc, możemy również zastąpić większą ilością sił skupionych, jak to się często w praktyce stosuje.

Wielkość parcia poziomego H przy zastosowaniu uproszczeń.

Stosując poprzednio wyprowadzone równanie ogólne na fifi:

'-р~Уп — а0п H²~\~ ßl    Й2и+ —jj + -jj^ + • • •

do przypadku, gdy podpora znajduje się w odległości â a od ostatniej siły Pn, otrzymamy:

H³

Уп+ö = «О (n-J-d) . H² + ai (и-fâ) . fifi+«2 (n-f-ô) +    JJ

U?,(nĄ-0)    «4(и+а>

gdzie za współczynnik г-ty podstawić należy:

ai(n+ô)=À"n .Г а!+', zaś za Я"л = Zin+ óZ'in.

Gdybyśmy nadto wprowadzili y=y

, względnie y=ęp—

po-

Уп+д

nieważ yn+d równa się strzałce ustroju f, to uzyskamy w dalszym ciągu znaczniejsze ułatwienie w rozwiązywaniu równania, gdyż wszystkie wielkości pomocnicze stają się niemianowanemi.

Przyrosty jednostkowe у wyrażają się zatem jako zredukowane współczynnikiem (p obciążenie jednostkowe strzałki:

A więc:

«г (n+d)

=Я .OH-¹.

•    . (17)

Pomocnicze wielkości służące do rozwiązania równania trzeciego stopnia, dadzą się przedstawić jako niemianowane w postaci:

albo :

-(%)■

я:

bo

+**-2-*

я» г

»"-d

z" i

lnl

6 J

Я.

i o 2 n

+*V

a wkońcu parcie poziome: H=ç . Px~

. . (20)

Na podstawie tych wartości obliczymy z funkcyj hiperbolicznych

wielkość ty z wzoru:    Costy=—%=,

P-W

a następnie współczynnik charakteryzujący wielkość parcia poziomego H, z równania:

gdyż q² > p³ ;

ty Л"

?=2Vp.Cos3+-|=,

• • (18)

poczem niewiadome parcie H=^Q.Px^r-

Otrzymaną w ten sposób przybliżoną wartość na H należy jeszcze uzupełnić, przez poprawienie wielkości q, zależnej od wyrazu wolnego Л2п, który możemy poprawić dalszemi kilkoma wyrazami zawierającemi H w mianownikach, według równania:

0-3 (n-)-6) ,    i ®5(n-(-d)

H²

H³

w którem dalsze człony mają w ogólności mały wpływ.

2"    5 2"

Z4 n ~~H g n “l⁻ - • •

„    . .rt G)³ nrr

w². АЛ₀ — —Л₀ +

'    2 n    q 3 n '

następnie Aq = \ (p² .АЛ”

A więc:

czyli :

ti

Cn

N.

N>

8*1

fco

N->

'O 1*5

CO

•    • (19)

Z równania Cos ty

wioną wartość:

q+Aq P-ip q=2 Vp . Cos-у +

znajdziemy ty i Cos

CO

-, poczem popra-

Po obliczeniu wielkości parcia poziomego H, możemy już wyznaczyć linję ciśnienia, określając rzędne w punktach działania sił. Dowolną rzędną dostaniemy z równania:

Ур

N.

Ti

N>

8*|

•V.

8*1 O,

c-1

co

.V.

::

Ti

(—d — f•

gdzie v=\y 2, 3... w, rc + d zaś dla r=l; yx =0;    <5;

Wielkość oddziaływania pionowego na podporze, otrzymamy:

V=H

У n-f-d    Уп

â.a

a po podstawieniu wartości:

wtedy

Gdyby podpora ustroju znajdowała się wprost pod n- tą siłą,

Уп—i

V=Ą i

h’

a współczynnik q zależny będzie od n— 1 sił.

Całkowite oddziaływanie pionowe na wezgłowiu zwiększy się ponadto o siłę n-tą, t. j. o yP₁;

r-Ąi+p-^Pt.

Następnie wyprowadzimy ogólne wzory dla obciążenia dwoma i trzema ciężarami skupionemi.

Dla dwu sił: Px\ yP₁ odległych o a, przy podporze odsuniętej od drugiej siły [iPx o dowolną odległość óa, dostaniemy z tabeli I:

^02 = 1+^ (U⁻/*)

4=^

po uwzględnieniu:

Px

y=<p-f-

otrzymamy w tym przypadku z równania drugiego stopnia:

e=i+<»о+р)₊у[;

i+«d+rt?₊,„

zaś :

H=qpĄ.

Gdyby ô= 1

to £

r⁺VPr)’⁺"

1 +2d

zaś dla d=l i^=l; (>= 1*5 + ^2’25 + (p.

Dla obciążenia trzema siłami, dostaniemy z tabeli I: Я0 3 = 2 + [i + d(l 2 fi)

Я₁3 — 1 + d (3 + у)

to -co

Я = ô.

Następnie:

2-\-[i-]-ô(\ 4'2/^)"|²i 1 + (5(3-r

3    ⁹⁵

1+<J(3+aO 1 dęp2 -6-'-T¹ 5-

2+[i+ó(\ +2(i) \ q=— 3—    -p>+

poczem z równania Cos tp=—^-= wyniknie гр, a stąd Cos^--

p\p    3

"Ф , 2+/M+d ( 1 Ą-2fi)

Wobec tego:

Q=2 Yp Cos^ 3

h=qpĄ‘

W poszczególnych przypadkach otrzymamy:

P=(l+/*)²+^*<jp 2=( 1 + jt). |p+J₊Y ; ę=2}]p . Cos -y+(l

i3=(l + ^)²+—ÇP g=(l+d).|^

ę=2^p .CoSy+(l+d)

,    5

q=2.

q = 2^p Cos^ + 2.

Mając wielkość współczynnika q, a tern samem parcie poziome H, możemy następnie wyznaczyć rzędne linji ciśnienia, jak również wielkości oddziaływań.

wkoricu :

dla d = l

dla 1

dla

{*='

4>

<jp²

Cos ip=—^~

p\p

l+4d 1 d<p²

6~V\ ⁺ ~Y''

Cos <P=—~

pIp

[y>+-|^]+y-⁸ + 5^+^

Cos ip=—~= PW

Przykład.

Dla ustroju łukowego, symetrycznego, będącego pod działaniem równomiernie i symetrycznie rozłożonego obciążenia zasadniczego składającego się z 10-ciu jednakowo wielkich sił skupionych, po każdej stronie osi pionowej łuku, mamy wyznaczyć kształt pokrywający się z linją ciśnienia. Położenie wezgłowi i zwornika niechaj wynosi

połowę stałej odległości a poszczególnych sił. Stosunek ciężarów zasadniczych względem siły pierwszej jest oczywiście przy tem założeniu stały, fi=\.

lub też wprost jako średnie

Podstawowe współczynniki Я otrzymać możemy bezpośrednio z tabeli I-szej, biorąc średnie wartości dla ?г=10 i n=\\, przy uwzględnianiu każdorazowo p = 1 wartości poszczególnych rubryk, г = 0, 1, 2. . . branych z drugich wierszy — dla ?г=11 i n= 12, stosownie do reguły wypowiedzianej poprzednio na stronie 26 i następnej.

Na UL

-a -

/O

I/

Rys. 4.

A zatem:

1287 + 3003

-50

—412*5

1320

2145

2002.

3    1001+3003

K- 2

Pomocnicze wartości :

of |fO

=277-778;

^ = 16-667;

wobec tego j9 =277‘778+137-5.cp;

p =690-278, VF=26-273, p^p = \8135-67,

—    50/    412-5\

zaś przybliżone    (277-778 + (p—J

r=¹³⁷'⁵’

prżyjąwszy ęp=3 ;

1320

S"*

czyli:

<7=20882-13.

429-7524

Aq

= 0-0237.

Następnie:    Cos гр

20882-13

18135-67

М514, stąd гр=0-5435,

a Cos^=Cos 0-1812 =

Współczynnik określający wielkość parcia poziomego równa się : Q=2^p .Cosy +

q=2.26-273.1-0164+16-667=70Ю74.

Następnie wprowadzamy tę przybliżoną wartość do równania (19) celem uzyskania poprawki A q.

₌ 3²/2145 q~ 2 170*074

1*0164.

OJ

2002

70-074²

3²

429-7524,

p^p- 18135-67 W konsekwencji dokładniejszy wynik:

Cos ^=1*1514+0-0237= 1-1751 ;

stąd ^=0*5833,

^ =0-1944

V’

zaś Cos -y =1*01855.

ę = 2.26*273.1*01855 + 16-667 = 70*188.

Wobec tego

A zatem wzór na parcie poziome dla przyjętego <p=3 równa się :

77=70*188 P, у *

Znając wielkość parcia poziomego łuku, możemy już wyznaczyć jego kształt, odpowiadający przebiegowi linji ciśnienia. W tym też celu dla obliczenia rzędnych tej linji zastosujemy wzór ogólny (21):

Uv

-iK+t

który z uwagi na rzędne znajdujące się wprost pod siłami przekształci się po równoczesnem wprowadzeniu # = — na:

yv — j Яо V

Q L

+ V & + Я-> v + Яз v + ..

gdzie v=\, 2... 10.

Wartość:

#=7t4-8=°-°⁴²⁷⁴-

Wobec tego współrzędne linji ciśnienia po uwzględnieniu wartości na Я wziętych z tabeli I-szej, równają się:

^ (45 + 330 &+924 W +1287 Я³ +1001 tf⁴) = 60-8960 --=0-8676 7

2/io

y₈=— (28-ł-126#+210#²+165#³-t-66#⁴) = y₆=— (15-f 35#+28г>²+ 9$-³ + iH) = 2/5==-^(10+15^+7^² + ^³)= 10-6540-^ у (6 + 5 #+#²)=6-2155 у=0-0885 7 - (3 + £) = 3-0427 — = 0-0433 7 -=0-014257

33-7823—=0-4813/-

16-5479—=0-23577 —=0-15187

2/d =

2/₃=—

2/₂=—

y₉ =0-6534 7 y₇ =0*3441 7.

Kształt linji ciśnienia dla obranego układu sił skupionych występujących w równych odstępach a, przy stałem /л i у — przedstawiony jest na rys. 4.

Oddziaływanie pionowe obliczymy z wzoru :

г-И'-тК

gdzie d=0*5, n= 10, zaś ую=0-86767.

(1 - 0-8676) Px = 18-586 Px.

Kształt osi ustroju dla obciążenia skupionego pomostem słupowym i ciężarem własnym samego łuku.

Przebiegając myślą dotychczasowe rozważania nad kształtowaniem się linji ciśnienia według pewnego obciążenia zasadniczego skupionego, występującego w ogólności o dowolnych przyrostach jednostkowych у — stwierdzić możemy, że stanowią one jeszcze dość luźny związek z rzeczywistym stanem ustroju łukowego o pomoście słupowym, dając dopiero podstawę do właściwego rozwiązania. W rzeczywistości oprócz ciężarów skupionych zasadniczych, wejść musi w rachubę przedewszystkiem obciążenie zasadnicze samego ciężaru własnego. Dostosowywanie kształtu osi ustroju łukowego tak, by uzyskać można zgodność z linją ciśnienia, dla obu rodzajów obciążeń, napotyka jednak na większe trudności. Tern samem problem staje się dosyć skomplikowany, ale pomimo to dający się rozwiązać całkiem ogólnie, co do konstrukcyj łukowych, żelbetowych, myśląc

o ustrojach masywnych lub szkieletowych, może mieć praktyczne znaczenie wcale niepoślednie, z uwagi na kształt upodobniający ustrój do lekko załamanej ramy.

W tym więc rozdziale zastanowimy się nad właściwem zagadnieniem kształtu osi ustroju łukowego według linji ciśnienia, gdy oprócz obciążenia skupionego z pomostu, spoczywającego na łuku za pośrednictwem słupów lub filarów pachwinowych, uwzględnimy równocześnie wpływ ciężaru własnego samego ustroju łukowego, który przyjmować będziemy jako obciążenie skupione o praktycznie wystarczającej ilości ciężarów.

Oprócz zasadniczych sił skupionych pomostu Plf Pn ... wejdą zatem jeszcze siły z obciążenia własnego, a te w zależności od odstę-

Pr

PE

<\l

© s,

cd

ci,

cd

аз

Rys. 5.

pów słupów pachwinowych mogą być po obu stronach ciężarów pomostowych w ogólności różne¹).

i to jako stałe dla każdej siły.

Ażeby powyższe zagadnienie rozwiązać, wystarczy rozważyć na-razie wpływ jednej siły pomostowej PY, o dowolnym przyroście obciążenia yT, gdy po obu stronach tej siły występuje obciążenie zasadnicze, różne z każdej strony, a z wyjątkiem pierwszych sił (Px i Px) rys. 5 w ogólności równomiernie rozłożone, tak co do położenia, jak i wielkości. Odpowiednie przyrosty obciążeń oznaczymy, dla prawego obciążenia względem siły Pr działającej w osi słupa pomostowego, przez y; zaś dla lewego przez yx Odstęp obu obciążeń z ciężaru własnego łuku oznaczyliśmy na rysunku przez <5. a, zaś położenie siły Pi względem pierwszej siły Px drugiego układu, przez ô₁. a.

Wszystkie siły oznaczone przez P należy uważać jako zasadnicze, poprzednio określane przez O.

Otóż, gdybyśmy dla całego układu sił znali wielkość parcia poziomego H łuku, to tern samem potrafimy już określić linję ciśnienia zapomocą rzędnych odnoszących się do miejsca działania sił, gdy tylko znajdziemy odpowiednie wielkości a^v, aiv, a2v... dla v=\, 2...n; a te dla pierwszej grupy obciążenia dadzą się w znany sposób ściśle określić. Natomiast pod dowolną siłą drugiej grupy obciążenia własnego, np. pod siłą i^-tą, narazie nie możemy uzyskać odpowiednich współczynników, gdyż nie poznaliśmy jeszcze w dotychczasowej metodzie, właściwego sposobu, według którego można sumować poszczególne wpływy obciążeń występujących na łuku.

Ażeby zatem dojść do wyników matematycznych, oznaczmy przez a()Vi, a1Vl, a2Vi... wielkości odnoszące się do siły położonej w miejscu vlf gdy uwzględnimy wpływ wszystkich obciążeń, zaś przez a0Vl, ai».,, a₂„,... wpływ tylko pojedynczego obciążenia należącego wyłącznie do drugiej grupy, t. z. gdyby inne siły nie istniały wcale.

Zastanowimy się najpierw nad pierwszą wielkością a0V|, która jak wiemy przedstawia moment statyczny wszystkich sił po prawej stronie vi występujących, zmniejszony Pt razy. Przyczem Px oznacza wielkość pierwszej siły obciążenia zasadniczego w pobliżu zwornika. Wprowadzając w układzie drugim za odległość \—vlf równą — 1 ) ax

wartość ôVt. a — otrzymamy óVl=(yt — \)-^.

Moment wszystkich sił, zredukowanych wielkością Px, względem położenia siły stojącej w v1} przedstawi się zatem wzorem :

J>l

s li⁵

да

gdzie cton-j-ô oznacza wielkość momentu statycznego n sił względem siły Px, a0n różnicę momentów, w tern miejscu i następnem, czyli spad — ctoVl moment spowodowany wyłącznie obciążeniem drugiej grupy, o odstępach sił ax i przyrostach stałych yx, pod założeniem, że inne obciążenia znikają zupełnie.

Powyższy wzór w postaci całkowicie przystosowanej do określania następnych wielkości aiv . . . przedstawia się:

Щ pt

-(Vb-Wv )?-' [(WfT'lîM-

«0«+

ДО

• • (22)

Otrzymywanie następnych wielkości napotyka jednak na pewne trudności, wymagające obszerniejszego omówienia, na które potrzebaby poświęcić więcej miejsca. Wobec tego poprzestaniemy na sposobie

bezpośrednim, prowadzącym szybko do właściwego rozwiązania, który daje się streścić w następującej definicji:

Podstawowa funkcja a0Vl pozwala całkowicie na otrzymanie następnych wyższych, jak a iVt, aÏVi..., jeśli zastosujemy kolejną zmianę każdych pierwszych czynników poszczególnych wyrazów, przy zachowaniu ró-wnoczesnem niezmienności drugich (czynników) — i naodwrót, przy pozostawieniu pierwszych zmienimy drugie.

Wobec tego dla następnej funkcji aiVi, symbole

(^0 !)>    przechodząc

na wyższe, zmieniają się stosownie do zasadniczej reguły przytoczonej na stroni e 21-szej — na

szące im czynniki drugie pozostaną niezmienione -i odwrotnie, zachowując powyższe symbole, wielkości aon+a, a0n, a0p,, przejdą na następne, o wskaźnikach 1 w miejsce 0.

Stosując powyższą definicję otrzymamy w rezultacie:

Ух«!, w z

ględnie

ytalf zaś to warz y-

aiVt

=[('*) «.»+,>+( y    «.+( V)

У 1 Ja

«L +

Ух «i +

[(Vb+fr'm

УI O'•    — <h “Ь

Ct 1V, •

• (23)

Jednakże w tem równaniu wyraz przedostatni zasługuje jeszcze na bliższe omówienie, gdyż zawiera on w sobie wpływ obu obciążeń, z grupy pierwszej i obciążenia słupowego zasadniczego Plt a dotychczas nie został jeszcze objaśniony.

Otóż, żeby takie wyrażenie matematyczne otrzymać należy tylko zwrócić uwagę na pierwszy wyraz prawej strony równania powyższego na aiVt, który w szczególnym przypadku — gdy vx=2, t. zn., że po prawej stronie położenia oznaczonego przez vv znajduje się z drugiej grupy obciążenia własnego ustroju łukowego tylko sama jedna siła Plt oraz wszystkie siły grupy pierwszej — otrzyma postać:

^ 2 j “оп-нф-У! , zaś drugi składnik w tym przypadku staje się zerem.

Dla odróżnienia od pierwotnego ax wzięto tak powstającą odległość \—v, w nawias (aj, jak również i (ó). Zastosowując powyższe roz-

wiązanie do układu podobnego z tą tylko zmianą, że zamiast siły Pi wprowadzimy Pr, uzyskamy po uwzględnieniu:

(a₁)=dIa+(v₁ — l)ax;

ccon+ô-ôt • Уг[^а + (П —

czyli wkońcu:

[(V)'.+(V)î]

(Z y Y • O5o«-|-ó—•

Jak widzimy wynik zupełnie zgodny z odpowiednim wyrazem na a\Vx. Wobec tego postać wzoru na wielkość aiVi jest w zupełności dostosowana do poprzednio przytoczonej definicji, dając właściwe rozwiązanie w drodze bezpośredniej, a więc tern samem najkrótszej; co dla celów technicznych, przy tak skomplikowanem obciążeniu ma znaczenie niepoślednie.

Analogicznie postępując według powyższej reguły oczywiście zastosowanej już do wyprowadzonego równania na aiVi otrzymamy następujące rozwiązanie:

n-f-ó “b

Ух «i +

(\+I)^bx+[ß)

(’'o ')“*«+*+ (V¹)

a i n-\-ö +

[(\+,)4\+,)î)

[(îb+cmi

[(V)WV)?]

Pl 2    2.

а '. у а. -Ь

рх

Ух а аои-fô-d! • 7i % +

у y a cCin+ô-ôL+

CC2vt •

.    .    (24)

Taksamo uzyskamy z równania a2Vt dalszy zkolei współczynnik:

■ [("«²)

«On+d +

(\⁺²)K]«+[(’'₄⁺¹)

C‘₅⁺')K]>î«:+[(5)

Ух +

(V)

n-\-ó ~b

Г'Г'Ж+

[("₆⁺>,+(%«)?].

P\ 3    3

—Уха 1 +

Px

[(\+ib*my

[(5)ł- Ш [(\')WV)ïl

У\ Я —(?£ • У i CLX “b

•    • (25)

Stosując w dalszym ciągu powyższą zasadę, możemy zbudować równania następnych wielkości, mających charakter współczynników równania przy niewiadomej H, lecz te jednakże ze względów praktycznych przecież nie będą potrzebne, a to z powodu niewielkiego wpływu wyrazów równania zawierającego te wielkości — co najwyraźniej się uwidocznia w równaniach na rzędne linji ciśnienia.

W ten sposób ujęliśmy dopiero wpływ siły skupionej pomostu działającej w osi słupa wraz z dwiema grupami obciążenia własnego samej konstrukcji łukowej. Gdybyśmy w dalszym ciągu chcieli uwzględnić następną siłę skupioną pomostu Pu wraz z trzecią grupą obciążenia własnego, rozłożonego pomiędzy następnemi słupami od Pn na lewo, natenczas należałoby określić dla ostatniej siły drugiej grupy, wszystkie współczynniki a (najwyżej cztery) — i te następnie uważać jako wielkości mające podobne znaczenie, jak na początku przyjęte wartości współczynników a0n, ain... — odnoszące się do ostatniej n-tej siły pierwszej grupy obciążenia własnego.

Gdybyśmy jeszcze dla ostatniej siły drugiej grupy wyznaczyli w tern miejscu spady odpowiednich wielkości dla a — to te oczywiście będą spełniały zupełnie identyczną rolę co współczynniki ain ... z pierwszej grupy.

Celem znalezienia spadów, wyznaczymy jeszcze dla miejsca ^ + 1 odnośne aoivfi,    • poczem one równać się będą różnicy:

Te ïs

0jvM

0 vt

lv.+i

1».

które przy przejściu do następnej grupy obciążeń uważać będziemy za takie same jak a{)n, aln...

Następnie dadzą się już określić dla dowolnej siły należącej do grupy trzeciej wszystkie a0Vł, .., w których zawarty będzie wpływ obciążenia znajdującego się po prawej stronie v₂.

Tak postępując poszczególnemi trójkami obciążeń, z których dla grupy pierwszej określone będą wielkości współczynników a zawierających wpływ wszystkich ciężarów znajdujących na prawo od ciężaru poprzedzającego nowy ciężar zasadniczy skupiony pochodzący z pomostu — dojdziemy wreszcie do ostatniego ciężaru znajdującego się tuż przy wezgłowiu, dla którego znalezione wartości na poszczególne a stanowić będą właściwe współczynniki dla niewiadomej H, równania podstawowego ; skąd wreszcie H znajdziemy.

Zagadnienie kształtu ustroju łukowego według linji ciśnienia, wynikającej z obciążenia skupionego ciężarami przenoszącemi się przez

Bardziej przydatne w praktyce uproszczenia równań podstawowych uzyskać możemy, zakładając następnie podział obciążenia zasadniczego własnego, na równe siły w odstępach a, i o wielkościach stałych na całym łuku, z wyjątkiem ciężarów w pobliżu zwornika tak, jak to przyjmowaliśmy w poprzednich rozważaniach — oraz o niezmiennych przyrostach obciążeń jednostkowych pionowych y.

pomost słupowy, jakoteż z ciężaru własnego konstrukcji łukowej — ujęliśmy wystarczająco ściśle, dając rozwiązanie w postaci całkiem ogólnej.

Obciążenie skupione pomostu i ciężar własny łuku, prawie równomiernie rozłożony, o równych przyrostach y i stałych odstępach a.

Przyjmując powyższe założenia składające się z obciążenia zasadniczego o wartości pierwszej siły Px i szeregu równych sił fiPlf

P,

Prf>-P

<- ■>

Г,

Rys. 6.

uzyskujemy (5=1, P₁:P₁=fi. Gdy następnie wprowadzimy znane podstawienia :

i (+1

y a ;

a. =X.

гп in

oraz wyrazimy ai{njri_^ wprowadzając spad, czyli:

ai{n-]-à—ôl) = a‘n "P (ń öj)ain,

otrzymamy równania na:

Ö0 Pt ■ Ло vi • &

V, — Л] Vi . y a2 «2 V, = Лч Vt . y² a³

w którym współczynniki Л przybierają postać ostateczną po uwzględnieniu równania:

Яо Vl — Âq n 4-

(VK+b+C'i ’)]

or, •

• • (26)

'”(2,)Ло*⁺Г¹з"¹)

Г^¹+(¹ j ) • [л»+(1—

20и + hn+

(7)M(;ms)

4-

>5 2?

.    .    (27)

Яг

⁹~{Р14¹)**Я+{РХ5 )Я°п+{^)Я1п+\3 )Xi"

Й4₊1С'Г)«Г'Г’)1

[ОгН+Ш]/ •[^•■+⁽¹-<’i)ió.]

|^i 4- ( ¹ j jjy. [^i«4- (1— ^ï) 2₁m]+^.^2v, •

4-^2n4-

4-

■ (28)

Я3

v^{Vl6²)Àon+{Vl7³)Xon+{ll4l)Àin+{Vl5 )

(2¹)/i2n + C¹3~ ¹)^²«+ Язп + { /)*з»+

[(■'e⁺²)'. ⁺ ("7⁺²)l

[(г)'⁵'⁺(з)]^'[ д,”⁺⁽¹~'!,)'г"¹“]⁺

[^ + ( jj“7 J ^2n + (l—^3v, .

ft," ft,"

4-

4-

• (29)

Odpowiednie spady przedstawiają się wzorami:

0 i»,

(о)Л»*⁺(¹0 )

ft,"ftT

4“ [I я.

.    .    (26 a)

MVM"' 'Mî)4+[(7Mî)]

( 0 )    • [ Л°« + (1—^iMûnj + Ml„, •    •    •

+ CM

ft," a.

-1-

.    (27 a)

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

2r,

4-

4-

(3 ')Ло"⁺ С'T²)" ⁺ (?)■Zt" ⁺ C‘2 ')д‘■ ⁺ (o‘)¹‘• [Гз⁺>' ⁺ Г-4⁺')]

[(?)^ ⁺ (2)]t [/î',“+(1_‘îl)'l(1”] ⁺

Pl

Pl

n + (l —^i)

1 4-

2«\

.    .    (28 a)

3*»,

C’¹5 ²)l' *■+ 6 ³) » ⁺ C¹3h 1 ) h ”⁺ Г" 4 ²) я' ■ ■⁺

(Ï)*-⁺('¹2I)4.+(o)

A., 4~

3 и

Kv>+(T)i

[Г'з ¹)<,‘⁺(”¹4 ¹)]f['io”+(1_Ą)'i“’] ⁺

4-

з vi

.    .    (29 а)

Potrzebny dla zilustrowania postępowania przykład, jakoteż wzory dla obciążeń zasadniczych zmieniających się linjowo lub parabolicznie, oraz zastosowanie tej metody do ustrojów niesymetrycznych — nie zamieszcza się, z uwagi na nieprzeciążanie zbiorowego wydawnictwa.

Z teorji luku bezprzegubowego.

Streszczenie.

1.    Stosowane w praktyce wzory (16) dla składowych hipersta-tycznych symetrycznego łuku bezprzegubowego łącznie z współrzędną (13) posiadają większą dokładność, aniżeli im się dotychczas przyznawało; uwzględniają one bowiem — wbrew panującym zapatrywaniom — nietylko wpływ siły podłużnej na skrócenie sprężyste osi łuku, lecz także wpływ krzywizny osi t. j. wyraźniej wpływ momentu zginającego na wielkość owego skrócenia. Oba wpływy znoszą się nie przedstawiając godnego uwagi śladu swej obecności ; wyjątek stanowi składowa pozioma 77, w której oba wpływy wyrażają się drobnym spółczynnikiem ty. Poprawki tej nie można utartym zwyczajem liczyć według wzoru (15), gdy wykładnik stosunku charakterystycznego f : L jest większy od 0*25, albowiem otrzymujemy wówczas wartości przesadzone; wielkość poprawną ty wyznaczyć można dla łuków stromszych z wzoru (14). Przejście z grupy (16) za pośrednictwem (8) do formuły stanu napięcia w formie stale stosowanej (5) jest dopuszczalne.

2.    Równanie różniczkowe (17) prowadzi do najpoprawniejszego kształtu osi łuku bezprzegubowego — oczywiście przy racjonalnem oznaczeniu obciążenia zasadniczego. Nie istnieje absolutnie taki łuk rzeczywisty, dla którego linja ciśnienia z obciążenia nawet stałego pokrywa się z jego osią we wszystkich punktach. Poprawa osi łuku, zaprojektowanej według (17), prowadzi zawsze do pogorszenia warunków jego wytrzymałości odnośnie do obciążenia q. Równie nie-możliwem jest doprowadzenie osi łuku do pokrycia się z linją ciśnienia wynikającą z wpływów równoczesnych obciążenia stałego, średniej temperatury, średniej wartości skurczu i t. p.

3.    Wielkości hiperstatyczne M₀, F i 77 są w wypadku obciążenia zasadniczego praktycznie niezależne od prawidła zmiany przekrojów

poprzecznych osi, zaprojektowane] według (17). Przypuszczalnie wpływ ten jest mały i dla obciążenia dowolnego, a w każdym razie mniejszy od wpływu, jaki wywierają zmiany kształtu osi.

Na temat łuku bezprzegubowego pisało się u nas i zagranicą dużo. Z reguły dyskusja toczy się nad trzema pytaniami:

1.    Czy stosowane powszechnie wzory, zapożyczone z teorji prętów prostych, gwarantują dostateczną dokładność?

2.    Jaki kształt należy nadać osi łuku?

3.    Jak obrać prawo zmienności przekroju?

Odpowiedzi mamy w literaturze mostowej dość dużo; nie zawadzi jednakże od czasu do czasu oświetlić krytycznie kilka ciekawych szczegółów. Oczywiście niesposób jest w krótkiej notatce temat tego rodzaju wyczerpać. Z tego powodu ograniczymy się do omówienia tych kwestyj, co do których zapatrywania są albo nieustalone, albo rozbieżne, albo wręcz błędne.

1. Nawiązując do powyższej uwagi pominiemy w rozważaniach wpływ siły poprzecznej, wpływ zmienności przekroju i wreszcie ten wpływ zakrzywienia osi pręta, który objawia się wzajemnem działaniem na siebie sąsiadujących warstw łuku; przyjmijmy, że faktycznie czynniki te nie wyrażają się żadnemi godnemi uwagi datami. Rozpatrzenie działania reszty wpływów t. j. siły podłużnej S, momentu

zginającego M i zakrzywienia * osi, narzucającego momentowi M podwójną rolę, prowadzi — między innemi — do wzorów, określających wartość naprężenia podłużnego o tudzież energji sprężystości Ф, w formie:

S+

Mz

r-\-z

. . (1)

(Ю¹

J EA

. . (2)

i г m²

wynika ze skrócenia:

przyczem E jest stałą sprężystości podłużnej, A oznacza pole przekroju, Z — o wymiarze momentu bezwładności

• • (3)

„    Ç z² d A

Z —r A- .

J r+z

wreszcie s jest długością łuku, a 2 spółrzędną mierzoną w płaszczyźnie przekroju prostopadle do linji obojętnej i to dodatnio od środka krzywizny.

Wzory (1) i (2) można uprościć przez zastąpienie wielkości Z

V

momentem bezwładności I przekroju tudzież przyjęcie ^—= ⁰⁰ 1* Tak

np. dla przekroju prostokątnego o wysokości d jest:

Z=I.

K-<SH(S4‘

со ю

przyjmując tedy Z=c^I popełniamy nawet przy — == (faktycznie przy rozpiętościach, dla których wypada stosować ustroje łukowe jest często £ < jgg)

wynosi w tym wypadku oo 4°/₀, zatem leży w granicy dla praktyki konstrukcyjnej jeszcze dopuszczalnej.

Uproszczenie to zmusza nas do pominięcia w formule (1) do-

błąd raptem co 1

/00 >

; błąd przyjęcia —

co 1

dajnika —; w przeciwnym bowiem wypadku nie spełniłyby się warunki równowagi :

^ ozdA =

\ o dA = S,

Dla łuków mostowych możemy przeto napisać

• • (4)

(5)

Mz

⁺ ~7

Wypada jednak dodać, że pominięcie ostatnie było konsekwentną koniecznością. Można wykazać, że istnieją takie wypadki, w których

— jest liczebnie znacznie większe od S, jak np. w przypadku uwzględniania wpływu temperatury u stromych łuków i t. p. W zagadnieniach tego rodzaju jednak cały pierwszy dodajnik wzoru (1) jest wogóle mały w porównaniu do drugiego,

Inaczej nieco przedstawia się sprawa z uproszczeniem formuły (2). Oczywiście i tu założymy Z=<^>I; jednak czynnik - nie pozostawił

tu po sobie żadnego charakterystycznego śladu tak, że nie jesteśmy

M

zmuszeni skreślać wyrazu —. Przeciwnie okaże się, że odrzucając

cały pierwszy wyraz będziemy znacznie bliżsi prawdy teoretycznej, aniżeli zatrzymując tylko jego część z wpływem S.

Z tego powodu zatrzymamy — przynajmniej narazie — odnośny dodajnik — we wzorze (2) i w tej formie zastosujemy go do łuku

utwierdzonego jak na rys. 1. Założywszy dla uproszczenia symetrję geometryczną względem osi ij względnie y mamy widocznie spełnione warunki:

COS cp —

'S «SÎ

IN

'S

ds = 0

Ум

___X_____

%-F

■f

9>--у*

Wj

''к:

гт

i [(^ + 7)

U(sin^+")(

-Г— 4- -|rj ds = 0

cos cp--

г)л Z

ds = 0

Uczyńmy nadto :

ся

lui

'S

co

• (6)

Ar’ ⁺ i)ds

to będzie dodatkowo:

Rys. 1.

Przyjmijmy w dalszym ciągu za niewiadomą zbędną reakcję R lewego wezgłowia, zredukowaną do przed chwilą zdefinjowanego punktu 0, w postaci składowych M₀, V i H (M₀ jest liczebnie równe momentowi siły R względem punktu 0). Składowe owe najprościej znajdziemy stosując zasadę najmniejszości energji odkształcenia w formie warunków :

= 0,

dj/₀ ⁰

Podstawiając w tym celu w wzór (2) wyrażenia na S i M w dowolnym punkcie (X, y) łuku t. j. :

dV

dH

.    .    (7)

S = Vsin cp + Hcos cp — M = M₀ -| Vx — Hy —

i wykonując (7) znajdujemy:

4]*

“Кв*+^)7-Т

V.j[(sin9P+^) J+ I]ds = j(ä* +    (sin<p++ \M*X<£

A r²

+ \m,

(9)

H.

COS cp-

przyczem S* oznacza rzut obciążeń na kierunek stycznej, а Ж* moment obciążeń względem punktu (:x,y); dla zupełności dodaje się, że dla ж < 0 są (p > 0 i naodwrót dla ж>0 przyjęto (p < 0; pozatem S i M przyjęto jako dodatnie, gdy ich strzałki odpowiadają rys. 1.

Przechodząc do uproszczenia wzorów (6) i (9) musimy wpierw założyć jakiś kształt ij = y(x) i prawidło zmian wymiarów A = A (x) względnie Z = Z(x) — wreszcie i obciążenie. Otóż — jak wiadomo — ogół współcześnie projektowanych osi (17) zbliża się silnie do paraboli:

Д-'i-

C1

(тЬ(т)‘.

przyczem zależne od rozpiętości L = 2l i obciążenia podstawowego parametry niemianowane cx i c₂ zawarte są w granicach £ Cj ^ 1, i^c₂>0. Łuk kołowy zajmuje między temi krzywemi położenie średnie ; przyjmiemy go tedy za podstawę dalszych wniosków. Sposób zmiany wymiarów poprzecznych zawarty jest w praktyce między

= h

dwiema granicami: Iw = I=Ik tudzież /cos rp. |l — (1 — n) J

(propozycja M. Ritter’a znacznie lepsza od stosowanej często H. Neu-mann’a), gdzie dobór spółczynnika n pozostawia się konstruktorowi. Sprawa ta jednakże ma charakter drugorzędny ; jak bowiem gdzieindziej okażemy, wielkości M₀, V, H reagują na zmiany w przyjęciu omawianego prawidła znacznie słabiej aniżeli na zmiany kształtu osi. Z korzyścią rachunkową przeto przyjmiemy A = stałej i Z = stałej. Odnośnie do kwestji obciążenia najpoprawniej będzie umieścić na łuku jeden ciężar skupiony P; dla łuku kołowego określi najprościej jego położenie kąt g>₀ ; wielkości S* i M* wyrażą się wobec tego wzorami :

M* = Pr (sin <jp₀ — sin ф) .    .    (10)

S* = Psin cp,

pozatem będzie:

x = — r. sin (p

T] = r. (cos cp — COS (pu) .    .    (11)

Uwzględniając uwagi powyższe tudzież relację (11) we wzorze (6) otrzymamy:

Vo =

r.L . \1 + *

1    sin (ptl,

(pic

COS (p

Ar²

. . (12)

Odrzucając we wzorze (6) wpływ siły podłużnej i zakrzywienia otrzymalibyśmy uproszczenie :

(* rjds

J T

•    - (13)

Odpowiedni rezultat dla rozważanego przez nas przykładu różnić się będzie obecnie od (12) nieobecnością małego ułamka s; stąd błąd wzoru (13) wynosi:

= OJ

tg <Pw

Faktycznie przeto środek redukcji 0 leży nieco niżej, aniżeli to podaje stosowany w praktyce wzór (13). Uproszczenie (13) jest jednak zupełnie słuszne, albowiem dopiero przy bardzo płaskich łukach

(poniżei i - Ä) >

wybitnie grubych    może wy-

a przy tern

kazany błąd urosnąć do wartości niepożądanej.

Dyskusję wzorów (9) przeprowadzimy rozpatrując dla każdej ze składowych zosobna lewą i prawą stronę; po lewej całkowanie należy wykonać w granicach od — <pw do +q>w, po prawej zaś od — 9>a do щ, albowiem wielkości (10) dla (pt„^>(p^>(p₀ znikają.

Po lewej stronie relacji na M₀ znika pierwszy dodajnik podcałkowy w porównaniu do drugiego, ponieważ iloraz ich

Ar²

— OJ

Ar²

_1(d\²

⁼ 3 \2r)

raptem |°/₀₀. Stosunek obu całek prawej

wynosi nawet przy — = 25 strony wynosi:

cos (p₀ — cos cpv,

(<Po + <p„) sin (p₀

Osiąga on wartość największą dodatnią dla (p₀ = (pw a mianowicie s; w dalszym ciągu z ubytkiem cp₀ stosunek ten maleje tak, że dla ^₀ = 0 wynosi on 0, poczem wykładnik badany rośnie ujemnie i dla <p₀ bliskich — fpw obliczyć go można z wyrażenia:

OJ -

s(

/ ’)

OJ OJ

CO

•tg <p,

jący rezultat niema jednakże żadnego znaczenia, albowiem w okolicy

które przy ustawieniu ciężaru nad prawem wezgłowiem, t. j. dla ô = <p₀-r <p,r = 0, osiąga wartość ujemnie nieskończoną. Ten zatrważa

d—>»0 zarówno pierwsza jak i druga całka zdąża do zera (poprostu tylko pierwsza słabiej, druga silniej) ; rzędne np. odnośnej linji wpływowej są tu tak małe, że praktycznie nie można z nich korzystać. Pozatem ten widoczny wpływ dodajnika pierwszego ogranicza się do bardzo małej części całkowitej rozpiętości łuku L\ i tak dla łuków 1 1

~L ~ °° 5 ’ 7*5

nego stosunku lub — co na jedno wychodzi — błąd odnośnego pominięcia w wielkości — l°/₀, musielibyśmy przyjąć d= cv> 005, 003, co odpowiada w obu wypadkach raptem długości całego łuku. Z powyższych powodów można w wyrażeniu na M₀ zupełnie słusznie pominąć omawiany mały wyraz. Wypada dodać, że gdybyśmy w od-

wobec S*, to ogólnie stosunki

, .    n

t. j. (pw ⁰⁴⁰ ą »

chcąc otrzymać wykładnik bada-

nośnym wyrazie pominęli zgóry —

zmieniłyby się na niekorzyść prawdy teoretycznej.

Najprościej w rozważanym przykładzie przedstawia się sprawa uproszczenia V w grupie (9). Z tytułu równości (11) zarówno po lewej jak i po prawej stronie odpadają wyrazy opatrzone mianownikiem A — niezależnie zresztą od tego czy jest on stałym — jak założono — czy też zmiennym. Najwidoczniej i w wypadku innej krzywej jako osi łuku omawiane wyrazy będą bardzo drobne. Wypada podkreślić, że przy pominięciu wpływu krzywizny przy ustalaniu grupy (9) stosunki gruntownieby się zmieniły; mianowicie sile podłużnej musielibyśmy przyznać pewien wpływ i może nawet się to u niektórych autorów zdarza — zatrzymalibyśmy po lewej stronie

pod znakiem całki wyraz Sil^—. W rzeczywistości zatem uwzględnienie krzywizny pręta nietylko sprawy nie komplikuje, ale ją wyjaśnia i upraszcza.

Równie ciekawie przedstawia się sprawa z ostatnią składową t. j. H. Stosunek obu scałkowanych wyrazów lewej strony wynosi tutaj:

jak

tp~2s* + (\-{-syV

= OJ

przyczem :

Ш = (Jbl_Y²

\sin (pj

(pw

tg (pw

-2.

Przeprowadzone wyżej uproszczenie dla ip daje przybliżenie od-

1 we wzorze (11) t. j. przejściu albowiem

powiadające akurat przyjęciu

= OJ

1 + s

z (6) na (13); błąd tak popełniony nie przekracza 2°/ nawet w najgorszym wypadku jest pierwszy dodajnik mianownika

00 >

przecież 500 razy mniejszy od dodajnika drugiego. Wynika to najlepiej z niżej podanej tabeli:

£=-te—= L 2 ® 2

1 :7-5

1 :10

1:12-5

1 :15

«// =

0-46 74

0-11 31

0-03 90

001 67

0-00 34 57

0-00 11 12

0-00 04 60

0Ю0 02 23

f

Poza tem widzimy, że z wzrostem — spółczynnik W rośnie. Po-

J %

nieważ w tych samych warunkach równocześnie s==j^ ~ Jak z praktyki wiadomo — maleje, przeto wydawałoby się, że wpływ гр można u łuków stromych w zupełności pominąć; jednakże tak nie jest. Albowiem w obliczeniu naprężeń a w grę z reguły wchodzi nie wielkość гр, lecz гр.

a,

— przyczem d oznacza odpowiadającą rzędnej У grubość łuku. Otóż w opisanych warunkach, gdy гр maleje, równocześnie j rośnie i w konsekwencji wpływ całki z mianownikiem A

da się zawsze zauważyć i pominąć go nie można. Z opisanych wyżej powodów zmiany naprężeń a, wywołane dodatkiem гр, wahają wogóle w znacznie ciaśniejszych granicach, aniżeli sam spółczynnik гр. Ogólnie zatem wypada zanotować:

COS Ц) —

\² ds

)

\y‘

f 1

• • •T>4

■    • (14)

W ostatniej równości zastąpiono z wyłuszczonych już powodów wielkość Z momentem bezwładności /; poza tem wzoru (14) należy

2f. Jak wiadomo tymczasem po-

f

w każdym razie używać, gdy —

L

daje się stale w najrozmaitszych podręcznikach wzór:

.    .    (15)

/'

niezależnie od stosunku Otóż uproszczenie to, równające się pominięciu wpływu krzywizny może mieć miejsce dla łuków płaskich, względnie tych jakie przy (15) określono dodatkową nierównością. Istotnie, gdybyśmy dla omawianego przykładu zastosowali formułę (15), uzyskalibyśmy rezultat

wprawdzie podobny do ścisłego, z identycznem znaczeniem s i W, którego jednak forma końcowa uproszczona — w wywodzie poprzednim ścisła — tutaj możliwa jest tylko przy łukach płaskich. Ogólnie ty obliczone z (15) przesadza wpływ wyrazu opatrzonego wielkością A; uwzględnienie wpływu momentu na skrócenie osi łuku okazuje się przeto i tutaj korzystnem. Użycie wzoru (15) zamiast (14) powoduje w oznaczeniu naprężeń dodatkowych dla pierwszech czterech wartości

stosunku

-, podanych przed chwilą w tabeli, błąd ujemny o bez-

względnej wartości kolejno: 23°/₀, 6°/₀, 2°/₀, l°/₀. Stąd ograniczenie ważności relacji (15) do granic błędu wzoru (5).

rzecz jasna — być powinno. Owa suma przedstawia

ty — 2s

(w ⁺ y)

= CV> OJ

Przy dotychczasowej dyskusji prawych stron grupy (9) badaliśmy stosunek odnośnych dwóch całek. Ten sposób postępowania w zastosowaniu do wielkości H zawodzi, albowiem rachunek wykazuje, że przy ścisłem obliczeniu każda z obu całek daje wyrażenie względem <p0 niesymetryczne, a dopiero suma obu jest funkcją względem ty₀ symetryczną, jak

się dla rozważanego przykładu następująco :

P/³ Г .    .    (

—' sm <jP₀ sin tyw (

ty o

sin ęp₀

ty w

singp*

sin cp

<Pw

-• (cos ty₀ — COS (p,„) — Y (cos¹ 29?o — COS² cp„) J.

przez nas dyskusja potwjerdza w zupełności to zapatrywanie — notabene poza szczegółem гр.

Resumując dotychczasowe, napiszemy wobec tego wzory (9) w formie następującej :

M₀

xds

’ x² ds

• • (16)

yds

II = —

2. Kształt osi łuku wyznacza się — jak wiadomo — z równania różniczkowego :

■    ■ (17)

H* '    '

d²rj d²y

dx² d X²

w którem q oznacza t. zw. obciążenie zasadnicze lub podstawowe. Według Tolkmitt’a stanowi q ciężar własny łuku łącznie z dodatkami konstrukcyjnemi tudzież połowa obciążenia ruchomego, rozłożonego w sposób ciągły wzdłuż całej długości L\ Mörsch dla łuków żelazno-betonowych radzi pod q rozumieć tylko ciężar własny. Nawiązując do uwagi wstępnej notatki skrócimy rozważania nie rozpatrując bliżej kwestji doboru obciążenia podstawowego; poprostu przyjmiemy, że obciążenie takie istnieje i wynosi q = q(x). Natomiast szerzej rozpatrzymy sprawę ważniejszą, bo bardzo często kwestjonowaną nawet przez wybitne powagi, a mianowicie kwestję samowystarczalności równania (17). Równanie to — jak wiadomo — uzyskuje się z prostych rozważań geometryczno - statycznych, w których w pierwszem przybliżeniu zakłada się sztywność łuku. Z warunków brzegowych ustalić można w bardzo prosty sposób stałe całkowania równania (17), a nadto wartość składowej poziomej H* łuku sztywnego; przy pomocy tej ostatniej lub też warunków równowagi łatwo znachodzi się składową pionową V* ; wreszcie redukując układ do punktu 0, znajdujemy M*m Przy pomocy tych wielkości znajdujemy relacje podobne do (8) t. j.

S* = V* sin cp + H* cos y — S*

M* = M* + V*x - H* y — M* = 0

Szczególna forma tego rozwiązania (prawie niewidoczny wpływ Л) nasuwa następujące uproszczenie: Pomińmy w zupełności pierwszą całkę prawej strony i obliczmy tylko drugą; zadziwiającym zbiegiem okoliczności otrzymamy wyrażenie, które od podanego wyżej różnić

figurować obecnie będzie

się będzie tylko tern, że w miejscu

Drugie z równań (18) wyraża właśnie charakterystyczną własność osi łuku sztywnego, t. j. brak momentów w dowolnym przekroju ; różniczkując je dwukrotnie względem x otrzymamy oczywiście (17). Zachodzi następujące pytanie: Ile wynoszą faktyczne wartości M₀, V i H łuku (17) względnie (18) — t. j. wartości obliczone z uwzględnieniem odkształcalności materjału. Odpowiedź jest prosta. Podstawmy w grupie (16) równość (18) t. j.

Ж* = M* + V*x — H*y

Uwzględniwszy, że z powodu założonej symetrji łuku i odpowiedniego przyjęcia y₀ jest :

j yds = 0

= 0,

C xds J I

otrzymamy :

M₀ = M*,    V=V*, H =

H*

•    .    (19)

1 + Ф

W związku z powyższem przejdzie układ (18) na podobny: S* — Vsin 99 + 77(1 -f яр) cos (p — S%

M* = M₀ + Vx—H(1 Ą-гр) у — M* = 0

. . (20)

Porównując wielkości (20) łuku sztywnego, z odnośnemi rzeczy-wistemi (8) widzimy, że dla łuku o osi (17) w dowolnym punkcie tej osi istnieje siła podłużna i moment zginający o wartościach:

. . (21)

S = S* — Нгр cos (p M — Hip .y

Zatem łuk, którego oś zaprojektowano według (17) nie wyklucza — jak to zresztą wiadomo — obecności momentów zginających w wszystkich przekrojach pod obciążeniem zasadniczem ; innemi słowy linja ciśnienia łuku nie jest krzywą identyczną z linją sznurową obciążenia.

Powyższy rezultat wywołał u pokaźnej liczby autorów szereg zarzutów krytycznych w odniesieniu do roli równania różniczkowego (17). Istnieją zapatrywania, że tak uzyskaną oś należy poprawić w ten sposób, by momenty (21) znikły lub chociażby zmalały. Wykażemy, że jedno jest wogóle niemożliwe, a drugie może tylko zaszkodzić, albowiem poprawiając sytuację np. w dwóch miejscach, w całym szeregu innych ją się pogarsza.

Wyobraźmy sobie, żeśmy rzędne rj osi łuku — narazie niekoniecznie (17) — poprawili zmianami A rj; te ostatnie uważajmy przy-tem za tak małe, że ich kwadraty i wyższe potęgi, poza tern pochodne

bez obawy pominiemy. Rezultatem tych poprawek będą pewne

zmiany. Pierwsza dotyczy położenia środka redukcji 0; wychodząc z definicji (13) znajdziemy zmianę wysokości yQ w postaci:

. . (22)

i ' A yds J /

Nowy punkt 0 pozostanie poza tern na osi symetrji, jeśli poprawki zastosowano symetryczne. Odnośnie do składowych hiperstatycznych informują nas wzory (16), że tylko ostatnia ulegnie zmianie co do wielkości; dwie pierwsze nie zmienią się, jakkolwiek pierwsza w myśl (22) zmieniła położenie. Poszukiwaną zmianę znajdziemy uwzględniwszy, że rzędne dawne y przybrały obecnie wartość y+Ay — Ay₀. Rezultaty przedstawiają się następująco:

Ayds

A M₀ = 0, AV= 0, AH=

' y² ds

•    • (23)

Podane wzory mają charakter ogólny. Przechodząc zkolei do łuku (17) uwzględnijmy w (23) drugi z wniosków (20); zważywszy

Z X A yds

0, otrzymamy:

dodatkowo, że z tytułu założonej symetrji jest ^

* yArjds

AM₀=0,

AV= 0, A H— —H.

\ \ ip'

i‘ y²ds

• (24)

Wyrazem nowych stosunków będzie zmiana S i M w dowolnym przekroju. Znajdziemy je z wzorów (8), zastępując figurujące tam wielkości S, M, M₀, V, H, у przez S+AS, MĄ-AM, M₀ + AMq, V+AV, H \ Ali, y-\-Ay — Arj₀. Otrzymane relacje miałyby znów charakter ogólny; odnośne wzory dla łuku (17) znajdziemy przyjmując dodatkowo obecność (20). Mianowicie uzyskamy:

.    (25)

SĄ-AS=S*-(Hip-AH) cos <p M+ A 31= {Игр-A H) y—(H+ A H) (A y—A Vo) =

= 2R =c^(Htp — AH)y-H(Av~Ay₀)

w ra-

Takie są zmiany, które wywołamy poprawkami Ay łuku (17); Ay₀ i АН określają równania (22) i (24). Wypada dodać, że chunku powyższym milcząco przyjęto, że obciążenie q, a zatem i wielkości «s* i M* nie uległy jednak żadnym zmianom; przy łukach z nadbudową ażurową faktycznie tak będzie — przy nadbudowie litej zajdą pewne zmiany A q. Uwzględnienie ich nie nastręcza trudności w przypadku konkretnym ; rozwiązanie w formie ogólnej jest prawie

niemożliwe; pozatem wykładnik stosunku A t]

Aq

— będzie wogóle znacznie

mniejszy od ilorazu — — można go zatem z korzyścią rachunkową pominąć.    ^

Wracając do kwestji zasadniczej możemy na podstawie równania (25) w tej chwili stwierdzić, że uniknięcie na całej długości łuku momentów zginających Ш^=М+АМ jest rzeczą absolutnie niemożliwą. Zauważmy, że Arj=Arj(x) nie może być funkcją zupełnie dowolną; między innemi musimy od niej przedewszystkiem zażądać, by w kluczu i we wezgłowiu znikała, albowiem — rzecz jasna — te dwa miejsca są względami konstrukcyjnemi względnie podstawowemi wymogami zgóry ustalone. Tymczasem warunek    prowadzi najwidoczniej

do równania linjowego między zmiennemi Ar\ i y, innemi słowy wyklucza on możliwość Ai]=0 dla dwóch różnych m\e\sc y=yk \ y=yw. Zatem jak widać nie istnieje oś łuku rzeczywistego, któraby dla obciążenia stałego mogła się pokryć z odnośną linją ciśnienia.

Pozostała wobec tego kwestja druga do omówienia, a mianowicie zbadanie, o ile poprawką osi (17) można sytuację polepszyć. Sprawie nadamy tok następujący: Przez założenie pewnej funkcji At]=Ar](x) wprowadzamy dwie istotne dla rachunku stałe At]₀ i АН; poprawa sytuacji zależeć będzie przedewszystkiem od ich doboru liczebnego. Z tego powodu należy zbadać związek między niemi a momentami w dwóch przekrojach ; przyjmijmy za nie klucz i wezgłowie. Niech odnośne momenty wynoszą tam ЭДТ i ШС; wtedy z równania (25) znajdujemy:

. . (26)

А Н=Нгр

Przyjmując dla badanych miejsc 90?/, i 9JL ustalamy tern samem Arj₀ i АН i w konsekwencji krępujemy swobodę funkcji Ay. Oczywiście jest rzeczą niemożliwą zbadać wszelkie dowolnie się nasuwające założenia co do obioru liczebnego i ; w dalszym ciągu przeto przyjmiemy założenie możliwie proste. Zauważmy, że przed przyjęciem

poprawek Arj było według (21) — = —. Poprawiając tedy stosunki

■"J-w    У w

starajmy się zrobić | 3JÎA. | < | Mk\ tudzież 2ft„, | < | Mw J, zachowując równocześnie podany stosunek. Z układu (26) uzyskamy wtedy:

Ay₀ = О

üflfc Ук

ти.

А Н= Нгр

SR*

SR.

У*

Нгр — — У

— V Нгр

przyczem dla skrócenia wprowadzono parametr v, jako wielkość, którą można obliczyć z pozostałego nam jeszcze do dyspozycji drugiego przyjęcia odnośnie do % względnie Oczywiście powyższe można odwrócić; istotnie zakładając zgóry Ai]₀=0 otrzymujemy z (26) resztę jak w (27). Środek redukcji 0 ma duże znaczenie; obliczywszy raz jego położenie niechętnie widzimy jakąkolwiekbądź zmianę Arj₀) ma to swoje częściowe usprawiedliwienie w rozpowszechnieniu się prostych metod wykreślnych przy wyznaczaniu linij wpływowych i t. p., gdzie zmiana położenia punktu 0 powodowałaby niepotrzebne komplikacje rysunkowe. Z tego to powodu bardzo często przy stosowaniu dość dowolnych poprawek Arj przyjmuje się albo milcząco albo też z dobrą wiarą, że Arj₀= 0, jakkolwiek prowadzi to czasem do rażących błędów. Przykładem takiej poprawki jest rysunek 2, w którym podano stosowaną w Italji metodę pomocniczego stałego kąta a, dobieranego

-VJ---^

•/ ‘oN

indywidualnie przez konstruktora. Często się twierdzi (np. w „Bericht über die II Internationale Tagung für Brückenbau und Hochbau), że tego rodzaju zmianie osi łuku towarzyszy 0; tymczasem prosty rachunek wykazuje:

fl

Rys. 2.

f*+l*

W naszym wypadku dobierzemy Arj = Avj(x) tak, by faktycznie było At]₀ = 0; zrobimy to dla wygody rachunkowej; spółczynnik v pozostawia nam jeszcze całą skalę rozmaitych możliwości rachunkowych. Nastręczająca się dalsza dyskusja jest o tyle interesująca, że da się częściowo śledzić rysunkowo.

x=

то-

Na rysunku 3 przedstawia pełna krzywa KCW oś łuku (17); linja ciśnienia (21) przedstawiona tu jest krzywą K' CW. Na nakreśloną połówkę łuku działają: wypadkowa obciążenia Q=V, reakcja 7Ü wzdłuż W В i zastępująca działanie odrzuconej połówki siła H wzdłuż prostej K'A'; składowe reakcji dla punktów wzdłuż prostej W В są Ci H — jej moment względem 0 wynosi M₀. Położenie Q określa a; położenie reakcji R określają jej składowe V i H tudzież ment T7₀. Umieszczając owe składowe w punkcie B, widzimy w tej

chwili, żeb=~; pozioma H musi przejść przez A'. Po dokonaniu

zmian Ay, Q nie ulega zmianie tak co do położenia jak i co do

wielkości; podobnież nie zmieniają się ilościowo M₀ i V. Zatem b nie ulega żadnej zmianie; ponieważ nadto założono wypadek Ay₀ = 0, przeto punkt В pozostanie w miejscu. Wykazaliśmy przeto, że w czasie dokonywania zmian А у reakcja R obraca się dokoła stałego punktu B. W zależności od wielkości tych zmian będzie punkt A' wędrować ku A, a wtedy automatycznie K' będzie się zbliżać do K, punkt W' do W; oczywiście położenia te mogą być przekroczone. Dla założonego kierunku wędrówki punktów A', K', W' musi najwidoczniej składowa pozioma wzrastać czyli musi być AH> 0; aby zaś tak było

być według (24) ^ według (22) stanie się to wtedy, gdy część poprawek Ay będzie do-

<0; skoro zaś ma być Ay₀ = 0, to

musi

’ y Ay ds

A..

W 'I

A\

Hi

O'

Vf

±х

i r.

Rys. 3.

datnia a część ujemna. Łącząc oba wnioski widzimy, że uzyskamy A H > 0, gdy na dłuższej partji y> 0 zastosujemy A у < 0 i naodwrót w znacznym interwale y< 0 przyjmiemy Ay> 0; owym zmianom bowiem nie mają towarzyszyć żadne osobliwości matematyczne. W rys. 3 wkreślono nową oś stosując się do uwag wyżej podanych ; odpowiada ona tej chwili, w której K' pokryło się z К i W z W. Że to ostatnie

wy-

stanie się równocześnie jest rzeczą jasną z stosunku =

kreślnie też się to potwierdza; wystarczy w tym celu rozpatrzyć podobieństwo paru figur, utworzonych raz z sił, a drugi raz z wymiarów geometrycznych; pomijamy ten prosty rachunek. Zauważmy tylko, że ostatniemu wypadkowi t. j. $W*=9R«,=0 odpowiada v=\ t. j. AH=Hy>,

Ks. Fam. ku czci Prof. Dr. 51. Thulliego.

H + A H= 7/(1+г/>) = H³ czyli akurat ta wartość składowej, z którą spotkaliśmy się w (19) przy omawianiu łuku sztywnego; równanie (25) daje w tym wypadku = — (H + A H) A rj, to znaczy, że nowa linja ciśnienia pokryła się dokładnie ze starą osią (17).

At] będą

W ostatnim ustępie przedstawiliśmy całokształt stosunków jakie panują w czasie poprawiania osi (17). Mianowicie linja ciśnienia nie może nadążyć w pogoni za zmienianą osią. W chwili gdy ta pierwsza przeszła z położenia К' C W' do КС W, równocześnie ta druga usunęła się z położenia KCW do nowego, oznaczonego linją przerywaną. Jednakże mogłoby się zdawać, że nowe mimośrody znacznie mniejsze od poprzednich гру, skoro w К i W uzyskaliśmy nawet brak momentów; wreszcie może kto zażądać dalszych zmian osi i to takich, by linja ciśnienia przecięła się z nią w miejscach przesuniętych od К i W ku C. Wykażemy na przykładzie, że do faktycznej poprawy stosunków nigdy nie dojdziemy.

Jako przykład niech posłuży łuk paraboliczny =    1—

z prawidłem zmian wymiarów /cosçp = 4; w tych warunkach jest

2    f /    x²\

a zatem у = у (1 — 3^-J. Przyjmijmy za Arj następującą

funkcję:

» Pt,

At] = Cf.

Funkcja ta czyni zadość następującym warunkom: Jest symetryczną względem ж t. j. Atj(+ x) = A f?(— x) ; znika w kluczu i wezgłowiu t. j. At]{0) = 0, dł?(+/)=(); przylega w tych miejscach do

stycznych osi y(x) t. j.

(dAV\ = n (dAV\

V dx /³=0

= 0; dodatkowo za-

=+z

chowuje jeszcze jeden punkt pierwotnej osi t. j. punkt С (х = +с =

⁼ ±У ⁼    Л?7 = 0); wreszcie czyni zadość warunkowi 4^ = 0,

jak łatwo sprawdzić wykonując (22). Oczywiście zamiast równania (28) można było przyjąć inne, byleby warunki powyższe — względnie większość z nich — zostały zachowane. Wspomniana metoda stałego kąta musi tu być wykluczona, albowiem w kluczu otrzymuje się tam styczną nachyloną, przyczem bezwzględna wartość tangensu kąta

na-

chylenia

(t)³«

N ~-S

+ ~r Ж a + 1

może przybrać nawet kilkanaście procent,

a pozatem jak wspomniano — jest Л^фО. Różnice między rzęd-nemi (28), a innemi będą oczywiście zawsze bardzo małe; wartości

Rys. 4.

(30)

H ftp

Wielkość m, proporcjonalna do nadaje się bardzo dobrze do scharakteryzowania nowej sytuacji. Na rysunku 4 podano zestawienie

Poza punktem C

konkretne reguluje parametr niemianowany C. Wstawiając (28) w relację (24) i przyrównując do (27) otrzymujemy:

W ten sposób ustaliliśmy momenty zginające dla nowej osi. Rezultat podstawienia (27), (28) i (29) w równanie (25) daje po drobnych pominięciach:

OJ -

-a

V ip .

•    •    (29)

100

m...

,__v077..

0 67

.Aff»

\4-Wz

0 50

..079 . _ 0-32/_

v.Iä/ 2 U/ 0,

i 033

0 25

>0

033

on

030

030

•TOO

±ł

ООО

058

С 050

019

010

OJ о VO sa

0.69

TOO

046

-047

- 046

-033

Л/j-/Hr

-0 33

-0 50

'E

-0-50

-00 7

_ = <гэ_1Д :

V-2 1 V3

-1 oo

-m

_ -Q 99 _

_ -J Ji

krzywych m—m dla sześciu różnych wartością.

u ₌ _j_ 0-577 l), w którym moment w rozpatrywanym przykładzie stale ' *

jest równy zeru, widoczne są na łuku jeszcze dwa inne miejsca D (x = ± 0’ 193/) i E (x = ±0889 Z), w których niezależnie od wielkości przyjętych poprawek osi Ar\ moment zginający (+0296 Н/'гр względnie — 0-457Hftp) nie ulega zupełnie zmianie; już ten fakt daje dużo do myślenia. Bliższe rozpatrzenie wykresów podaje w mocną wątpli

rozważania tracić ważność, bo rosną ponad dopuszczoną przez nas miarę. Poza tern może dojść do widocznej zmiany znaku

d? (t] + A rj)

wość celowość stosowania zmian osi (17). Krzywa v = Q charakteryzuje stan pierwotny niekorygowany ; extrema momentów oddają spół-czynniki + 033 w kluczu i —0-67 w wezgłowiu. Zastosowanie zmian małych v = 0-25 nie przedstawia żadnych korzyści istotnych, albowiem wymienione spółczynniki nieznacznie się tylko zmieniają (+ 025, — 0-50) ; ponieważ siła podłużna nieco wzrosła, przeto w konsekwencji wymiary badanych przekroi zapewne prawie się nie zmienią. Nieco lepiej przedstawia się sprawa w kluczu i wezgłowiu w wypadku v = 0’5; momenty pierwotne zmalały bowiem do połowy (+017 i — 033) ; niestety już w D i E trzeba będzie zachować wymiary dawne, względnie nieco je zwiększyć z uwagi na zmienioną siłę podłużną; bardzo tedy możliwe, że wobec tego, z uwagi na ciągłość zmian przekroi, nie da się w kluczu i wezgłowiu korzystniejszej sytuacji wogóle wyzyskać; poza tern między D i E sytuacja się znacznie pogorszyła. Założenie v = 1 jest dla klucza i wezgłowia bardzo korzystne, albowiem momenty wogóle tam znikają; zamiast jednakże pierwotnych extremôw +0-33 i —0-67, otrzymujemy obecnie między D a C względnie С a E skrajne wartości +0-58 i —0-74; jest to zatem znaczne pogorszenie warunków. Wreszcie przez przyjęcie ^=1-5 i 2 odwracamy niedawną sytuację w kluczu i wezgłowiu; jak jednak niekorzystny przebieg mają momenty zginające? Nie należy przytem zapominać i o innej sprawie ; mianowicie z wzrostem v zaczynają nasze

krzywizny osi łuku t. j. do niepożądanej nierówności

>0

dx'²

(w okolicy wezgłowia), tuszowane

co ze względów estetycznych musiałoby być — oczywiście znów kosztem wymiarów. Jednem słowem poprawienie osi ze względu na obciążenie zasadnicze nie daje wybitnych korzyści. Jeśli przeto — jak się to zdarza — czytamy, że dzięki zmianie osi (17) uzyskano np. we wezgłowiu zarobek na naprężeniach w wysokości 25° ₀, to oświadczenia takiego nie możemy wprawdzie traktować za bezpodstawne — możemy jednak gwarantować, że ten zarobek zniweczyły w dwójnasób straty w innych przekrojach. Zachowanie odnośnych zmniejszonych wymiarów w kluczu i wezgłowiu prowadzi w takich warunkach do silnych wzmocnień w całym szeregu

innych przekroi ; będzie to możliwem tylko w konstrukcji żelazno-betonowej, nigdy w kamiennej lub betonowej.

Rozkład dodatkowych nieuniknionych momentów zginających jest z pośród wszystkich możliwych najlepszy dla osi (17). Bijący w oczy z rys. 4 fakt, że przy wzrastających v, rosną bezwzględne wartości

pól, zawartych między krzywemi m a osią jest dowodem tego, że

i ogół wartości owych momentów jest dla łuku (17) najmniejszy. Niezależnie od tego możnaby jednak szukać takiej osi, dla której ogół mimośrodów jest najmniejszy. Niestety nasuwające się w ten sposób zagadnienie rachunku warjacyjnego w postaci:

M+AMŸ ds

S+ AS ' W

— = Minimum

.    .    (31)

jak łatwo się przekonać.

żądającej najmniejszości dla sumy kwadratów mimośrodów (wielkości W mają charakter wag), nie prowadzi do celu, albowiem pierwsza warjacja podanej całki identycznie znika Jest to matematyczne ostrzeżenie dla zwolenników poprawiania osi (17).

Przy tej sposobności wypada parę słów dodać o sprawie analogicznej. Mianowicie istnieje sporo autorów, którzy utrzymują, że tak jak łatwo jest złagodzić wpływ skrócenia sprężystego osi, równie prosto można oś dostosować do średniej wartości skurczu betonu, średniej temperatury rocznej i t. p. Prowadzi to w konsekwencji do utrzymywania, że bezwzględnie największe wartości momentów zginających muszą być sobie w takim łuku równe, że łuk, którego wzmocnienie wkładkami jest inne w górnej aniżeli w dolnej strefie tego samego przekroju, jest zaprojektowany fałszywie i t. p. Otóż wypada z naciskiem podkreślić, że tego rodzaju stanowisko nie da się w stosunku do łuków bezprzegubowych absolutnie utrzymać. Gdyby faktycznie kształt osi łuku dał się dostosować do wspomnianych wpływów, to możnaby świetnie uprościć przepisy budowlane względnie sposoby obliczenia zastępując np. zmianę temperatury fikcyjnem obciążeniem i t. p. Że jednak tak nie jest łatwo wykazać. Zauważmy, że tego rodzaju dostosowanie musiałoby się dać przeprowadzić w każdym konkretnym wypadku niezależnie od tego, czy np. obciążenie stałe q jest większe czy też mniejsze, a zatem i w wypadku pomyślanym Jeśli jednak q=0 to linja ciśnienia — jak wynika z (17) — jest linją prostą; faktycznie wiemy, że zmiana temperatury wywołuje jako jedyne siły równowartą zeru dwójkę sił H, działającą wzdłuż prostej poziomej przez 0. Jeśli tedy linja ciśnienia jest prostą, to na jakiej podstawie można twierdzić, że przejdzie ona równocześnie np. przez klucz i oba wezgłowia? Ten krótki dowód powinien wystarczyć.

3. Już w pierwszym ustępie przyjęliśmy, że prawidło zmian momentu bezwładności przekroju nie odgrywa zbyt wielkiej roli w dymen-sjonowaniu wielkości M₀, V, H. Podobnież w ustępie drugim zastanawiając się nad ewentualnemi korzyściami ze zmiany osi łuku nie uwzględnialiśmy, że do odnośnych zmian momentu M i siły S należałoby dostosować wymiary łuku, w konsekwencji uwzględnić nowe zmiany w M₀, V \ H \ dopiero w tern stadjum zagadnienie przedyskutować. Wykażemy, że było to rzeczą zbędną.

Udzielmy w tym celu wymiarom wszystkich przekroi drobnych zmian tak, że I zmieni się na IĄ-AI — i oznaczmy dla skrócenia

Al

— Ai. Zmiany drobnej wielkości гр wogóle pominiemy; nie uwzględnimy nadto małych zmian ciężaru samego łuku. Uwzględniając poprawki Al w wzorach (13) i (16) znajdziemy grupę następującą:

■ (32)

i У Ai

■~ïï

Л M„=

A V=

\ (Vx-M,)\i~

x² ds

•    .    (33)

yds

AH=

podstawie (20) otrzymamy:

na

Wzory powyższe mają charakter ogólny. Gdy w szczególności przejdziemy do łuku (17), to z wzorów (33)

A M₀ = — H ( 1 + гр) A Vo = oo - HA y₀

AV = 0

AH=-H

ipAi

C ₂ ds

7

1 + tp

— CV> 0

•    •    (34)

przyczem w ostatniem równaniu Ai oznacza przeciętną wartość Ai w badanym interwale (po myśli twierdzenia o wartości średniej).

(35)

Zmiany wielkości S i M w dowolnym przekroju znajdziemy za pośrednictwem grupy (8), zastępując figurujące tam wielkości odnośnemi zmienionemi. Nowe wzory będą miały charakter ogólny przy użyciu (32) i (33) lub szczególny, gdy uwzględnimy (32) i (34). W tym ostatnim wypadku otrzymujemy analogicznie do (25) grupę:

S-\-AS=S*—(Нгр—AH) cos    <^>S*—H\p cos cp=S

M+AМ=АМ₀ + (Нгр—АН) y-\-+ (H+AH)ArJo=Hip(y-AVo)(\ 4

Ai

СО

Нгру — М

1 + Ip

W wzorach (35) z powodu małych wartości tp, 4% i Ai wartości S+AS i M+AM praktycznie nie różnią się od wielkości podanych w (21). Innemi słowy jest 4$=0 i AM=^0. Zatem nieznaczna zmiana wymiarów prowadzi wprawdzie do widocznej zmiany położenia środka redukcji tudzież do zmiany momentu M₀, oba wpływy jednak wzajemnie się znoszą tak, że siła podłużna S i moment zginający M w dowolnym przekroju nie ulegają zmianie. Z powyższego wynika, że wprowadzenie zmian Al w treść ustępu drugiego było niepotrzebne. Ponieważ dla tego samego łuku zmiana osi wywoływała skończone AS i AM, przeto należy przypuszczać, że i w wypadku obciążenia dowolnego będzie decydującym czynnikiem kształt osi, a drugorzędnym prawidło zmian przekroju. Szczegółowe rozstrząsanie tej sprawy przez dyskusję wzorów (33) przedłużyłoby znacznie rozmiary artykułu.

Na zakończenie wreszcie wypada dodać, że wzory (22) i (23) tudzież (32) i (33) łącznie z warunkiem warjacyjnym (31) lub innym podobnym (np. dla odchyłek naprężeń) mogą prowadzić do najpo-prawniejszej osi łuku i najpoprawniejszych wymiarów z uwagi na całokształt wszystkich stałych i zmiennych wpływów, działających na łuk. Punktem wyjścia może być oś dość dowolna i równie dowolne prawo zmiany przekrojów. Jedynie w ten sposób można uzyskać ścisłą podstawę do ustalenia pojęcia obciążenia zasadniczego. Rozwiązanie tego ciekawego problemu nie mieści się w ramach niniejszej notatki.

¹

+ s

²

równo 1. Zauważmy, że przy wyznaczaniu liczebnej wartości wypisanego wyrażenia faktycznie ułamek wspomniany zostałby zastąpiony jednością z błędem dla całości prawie zerowym. Zatem całkę pierwszą należy pominąć lub raczej ściśle ona sama odpada z rachunku. Znów się tedy okazało, że uwzględnienie zakrzywiania obok działania siły podłużnej nietylko zadania nie komplikuje, ale je znakomicie upraszcza i to w sposób ścisły. Nawiasem mówiąc K. Wieghardt w „Sprawozdaniach Akademji Wiedeńskiej“ z r. 1915 wykazał przy sposobności omawiania zresztą zagadnienia innego, że stosowane w rachunkach technicznych uwzględnianie wpływu siły podłużnej prowadzi do większych błędów, aniżeli zupełne pominięcie tego wpływu. Przeprowadzona

³

• (28)

Jeszcze jeden sposób badania belki ciągłej.

Jedną z najnowszych prac dostojnego Jubilata jest wygłoszona przez Niego na posiedzeniach Akademji Nauk Technicznych i ogłoszona jej nakładem rozprawa p. t. : „Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych“ (Lwów 1928), której mam wysoki zaszczyt być współautorem. W rozdziale II. podano tam przybliżony sposób obliczania naprężeń drugorzędnych. Polega on na tern, że najpierw wyznaczamy przesunięcia węzłów; następnie, przyjmując, że krzyżulce i słupy połączone są z obwodem kratownicy przy pomocy przegubów beztar-ciowych (idealnych), obliczamy momenty w obwodzie, wywołane przesunięciami węzłów ; wreszcie uwzględniamy w sposób przybliżony wpływ sztywnego połączenia kraty z obwodem.

Nas będą tu interesować momenty w obwodzie kratownicy. Badanie momentów węzłowych sprowadzić można do szukania momentów podporowych belki ciągłej prostej, wywołanych danem przesunięciem podpór. W wymienionej rozprawie podano dwa sposoby wyznaczenia tych momentów: sposób analityczny przy pomocy równań trzech momentów i sposób wykreślny przy pomocy związków między linją momentów, a linją ugięcia. Poniżej skorzystamy z tego ostatniego sposobu, aby wyznaczyć momenty podporowe w belce ciągłej, spowodowane dowolnem obciążeniem. Wykażemy bowiem, że momenty podporowe w belce ciągłej się nie zmienią, jeżeli dane obciążenie zastąpimy odpowiedniemi przesunięciami podpór.

Zachodzi pytanie, czy jest rzeczą wskazaną i pożyteczną szukać nowych sposobów badania belki ciągłej. Wszak pisano o niej już bardzo wiele. Znamy sposoby analityczne wyznaczania momentów podporowych belki ciągłej przy pomocy równań trzech momentów, a także przy pomocy równań dwóch momentów. Znamy wykreślną

metodę punktów stałych i linij krzyżowych. Znamy też sposoby wy-kreślne niezależne od linij krzyżowychr), wreszcie metodę przęseł skrajnych zastępczych²). W krótkich odstępach czasu pojawiają się po sobie jeden po drugim nowe sposoby wykreślania i obliczania, nowe przyczynki do teorji belki ciągłej, starające się czyto uprościć nieco rachunek przez zastosowanie tablic, czy też oszczędzić paru kresek w metodzie graficznej. Mimo to nie waham się podać jeszcze jednego sposobu. Jest on niepodobny do innych. Wszystkie one bowiem są niewygodne o tyle, że musimy je przejść do samego końca, aby znaleźć szukane momenty podporowe, które ostatecznie mogą nam się okazać zupełną niespodzianką. Przed ukończeniem obliczenia zaś nie znamy ani wartości dokładnych, ani przybliżonych. Natomiast sposób poniżej podany jest elastyczny w tern znaczeniu, że bardzo prędko prowadzi do wartości przybliżonych, a potem, zależnie od nakładu pracy, pozwala dokładność dowolnie zwiększać. Zależnie od żądanej dokładności można prędzej lub później pracę szukania niewiadomych przerwać, otrzymując w każdym razie pewien produkt, który może nam wystarczyć. Niezawsze bowiem warto silić się na wielką dokładność. W żelbecie np. iluzją byłoby mniemanie, że wyznaczając z dokładnością stuprocentową momenty podporowe poznamy naprężenia rzeczywiste. Przecież błąd przyjęcia stosunku n=Ez : Eh może wynosić kilkadziesiąt procent! Sposób poniżej podany jest ekonomiczny jeżeli belka ma dużo podpór. Nakład pracy jest tu wprost proporcjonalny do ilości przęseł, czyli do ilości niewiadomych hiperstatycznych. Tymczasem

przy wszystkich innych sposobach nakład pracy, potrzebny do wyznaczenia niewiadomych hiperstatycznych rośnie nieporównanie prędzej od ich liczby. Wprawdzie przepisy budowlane pozwalają liczyć belkę ciągłą wieloprzęsłową, jako trzyprzęsłową, to jednak uwzględnienie wszystkich przęseł belki, więcej niż trzyprzęsłowej, prowadzi do oszczędności w materjale. Ze względów naukowo dydaktycznych sposób poniższy może mieć swoją wartość, jako sposób poglądowy, wyrabiający czucie inżynierskie. Wreszcie może on być pożądany przez to, że zastępuje żmudne rachowanie, zajmującą zabawką.

Weźmy pod uwagę dwa sąsiednie przęsła belki ciągłej, dzielone podporą

prze-

-tą (rys. 1). Rozpiętość lewego przęsła niech będzie l, prawego zaś p. Odpowiednio do tego znakowania 1г i Ip będą to momenty bezwładności przekrojów lewego i prawego przęsła. Wskutek

) P°r. Brzozowski: „Belka obustronnie sprężyście utwierdzona o dowolnej sztywności „n“ i jej zastosowanie do obliczania ram i belek ciągłych“, Czasopismo 1 echn. 1923; Bartoszewicz: „Nowy sposób wykreślny rozwiązywania ustrojów statycznie niewyznaczalnych“, Czas. Techn. 1929.

-) Por. Kluż: „Ustroje hiperstatyczne o elementach prostych“, Czasopismo Techn. 1927.

obciążenia belka się ugnie. Styczna linji ugięcia (ugiętej) nad podporą m niech tworzy z linją (w—1) m kąt т1у zaś z linją m (m+1) kąt tp (dodatni, jeżeli odpowiada odchyleniu ugiętej ku dołowi). Ponieważ styczna ta jest wspólna obu przęsłom, przeto

• (O

Tl + Tp = 0

Jeżeli zaniedbamy wpływ sił poprzecznych ną odkształcenia, to kąt Ti równa się oddziaływaniu podpory m w belce wolno podpartej (m— 1) m obciążonej skurczoną powierzchnią momentów M, t. j. taką, której rzędne podzielono przez sztywność przekroju E It (zasada Mohra). Przez M ^ rozumiemy moment w danym przekroju przęsła l belki ciągłej, zaś przez M0 moment w tymże przekroju belki l, jako wolno podpartej pod danem obciążeniem. Nazwijmy oddziaływanie fikcyjne podpory m w belce lewej jako wolno

Jp_fry /

ap

Ol-

Im

Пт. i I

podpartej, obciążonej powierzchnią momentów M0 zaś % takież oddziaływanie podpory m w belce prawej, to zasada Mohra wyrazi się równaniami:

Rys. 1.

E Ii — Mm—i

CN

. . (2)

Г) 1

E Ip Tp - I„t+)    “2“ + Д» 2 3

Wprowadźmy pewną wygodną okrągłą wartość momentu bezwładności I₀ i nazwijmy

r-li’

t-

P =P

•    • (3)

.    .    (4)

JS JSB

+ +

Z porównania (7) i (8) wynika, że jeżeli daną belkę o różnych przekrojach, zastąpimy belką o jednym stałym przekroju we wszystkich przęsłach, to momenty podporowe nie ulegną zmianie, o ile zastąpimy rozpiętości Z, p, przez Z', p , zaś Dm przez D’n.

Dm jest to niejako fikcyjna reakcja podpory m, np. filara, o który opierają się końce sąsiednich przęseł Z i p niby belek wolnopod-partych, obciążonych fikcyjnie powierzchniami momentów M₀. Jeżeli belki te wraz z powierzchniami momentów M doznają kontrakcji w kierunku poziomym w stosunku odpowiednio Z : Z' i p:p, to reakcja Dm przejdzie w D’m.

Dla różnych rodzajów obciążeń można wartości 93, i % znaleźć w tablicach¹). Dla belki o rozpiętości Z obciążonej ciężarem jednostajnym zupełnym q

• • (9)

to z uwagi na (1) i (2) będzie

l'Mt

1 2 (Z + p )Mm -f-p Mm-|-i = — 6Dm

Jest to znane równanie trzech momentów. Jeżeli przekrój belki jest stały we wszystkich przęsłach, to :

Ii⁼⁼ Ip ⁼ 11

i z uwagi na (3), (4), (5) i (6) będzie zamiast (7)

I Mm — 1 + 2 (Z + p) Mm + p MmĄ-1 = - б Д

• • (7)

• • (8)

%, = % = qlb : 24

Dla ciężaru skupionego P, działającego w odległości a od lewej, zaś b od prawej podpory

ab

% = P—(l + b),

% = P^(l+a) .

■ ■ (10)

Dla a = b = 1:2

= 93/ = PZ² : 16    .    .    .

Dla obciążenia momentem Ma na lewej podporze

■ • (П)

23,=

(lia)

M‘ 6 •

przy po-

Dla każdej podpory prócz podpór skrajnych, wolnych, możemy równanie (1) a tern samem (7) wzgl. (8) ustawić. Jeżeli jeden z końców belki, np. lewy, jest utwierdzony, to dla pierwszej podpory możemy przyjąć Z = 0, zastępując utwierdzenie przez przęsło skrajne nieskończenie małe, względnie nieskończenie sztywne (/, = oo). Będziemy więc mieli tyle równań (7) wzgl. (8), ile niewiadomych momentów podporowych. Rozwiązanie analityczne układu równań o znacznej ilości niewiadomych jest bardzo żmudne. Rozwiążemy go wykreślnie mocy interpretacji geometrycznej.

Jeżeli podpory belki proste] ciągłej, nieobciążonej, przesuniemy tak, iż linja, łącząca je, przestanie być prostą, a stanie się linją łamaną, to belka się ugnie, przyjmując kształt linji ciągłej, przechodzącej przez podpory. Wskutek tego powstaną na podporach pewne reakcje, a w samej belce powstaną momenty zgięcia. Linja momentów w obrębie każdego przęsła będzie linją prostą, ograniczającą w ogólności trapez momentów i

łamaną na podporach.

Jeżeli kąt zawarty między przedłużeniem prostej (m—1) m a prostą m(m+l), czyli odchylenie prawej cięciwy od kierunku lewej (por. rys. 2) wynosi &m, to

. . (12)

%l -j- Tp —

Zważywszy, że tu 33z = %p = 0, otrzymamy z równania (2) i (12) a także z uwagi na (3), zamiast (7) równanie

V Mm-1 + 2 (Z + p' ) Mm + p Mn+i = б 7?/₀ &m •    •    (13)

Równanie to jest identyczne z równaniem 25, str.

34 wymienionej na wstępie rozprawy Akademji. Dzięki wprowadzonemu tu znakowaniu logicznemu, ma ono kształt symetryczny i przejrzysty, podobnie jak i równania (7) i (8). Autorowie, piszący o belce ciągłej, nazywają z reguły lm przęsło lewe, zaś lm+1 przęsło prawe, t. j. określają podpory liczbami bieżącemi od 0 do n, zaś przęsła liczbami bieżącemi od 1 do n, wskutek tego otrzymują dla równania trzech momentów postać zawiłą, trudną do spamiętania, w której symetryczność się zatraca. A przecież, logicznie rzecz biorąc, zarówno lewe jak i prawe przęsło mają jednakie prawo do znaczka m. Skoro zdecydowaliśmy się podporom dać znak liczby bieżącej, to każde przęsło jest już automatycznie określone znaczkami podpór, ograniczających je. Zatem dla przęsła pomiędzy podporami r—\ i r odpowiednie nazwy byłyby albo (r-l)r. Takie znakowanie jednak byłoby uciążliwe. Lepiej więc, używając liter l i p dla określenia „lewy" i „prawy“, nazwiemy lub pr-1 przęsło (r—1) r, zaś pr lub lr+\ przęsło r (r-f-1). W ten sposób unikniemy nieporozumień i uzgodnimy się ze znakowaniem powszechnie używanem w praktyce. Znakowanie wprawdzie nie jest

m-i

Mrn-1

\f

je—X -**—7C—*>j

Vi

L m P

Rys. 2.

rtrn+Ą

m+1

w nauce rzeczą istotną, to jednak niefortunny dobór symbolów może w wysokim stopniu utrudnić zrozumienie istoty rzeczy i przesłonić jasność obrazu prawdy.

Jeżeli przekrój jest stały i ten sam we wszystkich przęsłach, to l' = lу p = p. Z równania (13) wynika zatem, że celem wyznaczenia momentów podporowych można belkę, o przekroju innym w każdem przęśle, sprowadzić do belki o przekroju stałym, zamieniając rozpiętości l i p na Г, p . Będziemy zatem mówić już tylko o belce ciągłej o przekroju stałym.

Dm

.    (14)

Z porównania (7) i (13) wynika, że momenty podporowe wskutek obciążenia są takie same, jak wskutek przesunięcia podpór, którego wynikiem są załamania na podporach o kąty

EI₀

Zagadnienie znalezienia momentów podporowych wskutek dowolnego obciążenia da się zatem, jak to powiedzieliśmy na wstępie, sprowadzić do szukania momentów podporowych w tej samej belce wskutek przesunięcia podpór.

Niech będą (rys. 2) m—1, m, ra-j-1 trzy sąsiednie podpory belki ciągłej o przekroju stałym, leżące przed odkształceniem na jednej prostej. Po odkształceniu kąt pomiędzy cięciwami (m—\)m i    1)

jest #OT. Styczna w m do linji ugięcia tworzy z cięciwami kąty тг i xp. W punkcie L linja ugięcia jest równoległa do cięciwy lewej. W punkcie P do prawej.

Z równania ugiętej

.    • (14 a)

EI₀ у’— M .

otrzymamy przez całkowanie w granicach od w do i

= \ Mdx = Xyi

EI₀ Ti

jeżeli y, jest średnią wartością momentu zgięcia na długości Lm, czyli momentem w odległości

•    • (15)

na lewo od m. Podobnie

E IqTp = лур

Zatem linja momentów posiada w połowie długości Я rzędną

• • (16)

yi= Е1₀тг:Я .    .

•    • O?)

zaś w połowie długości л rzędną

• - (18)

yp= EI₀ Tp : л .    .

Można tedy linję momentów wykreślić, jeżeli dana jest linja ugięcia; wystarczy bowiem wyszukać na niej punkty L i P, czyli

wyznaczyć długości Я, л i odczytać wartości kątów г i i tp, aby następnie według (17) i (18) obliczyć wartości y, i yp t. j. momenty w miejscach, oddalonych

od podpory o względnie W ten sposób

w każdem przęśle mamy po dwa punkty, przez które określona jest prosta, ograniczająca trapez    /

momentów. Oczywiście    ^

każde dwie sąsiednie proste przecinają się

nad podporami, wyznaczając momenty podporowe.

Z równań (12), (15) i (16) wynika

Я yi Ą- л yp — EI₀ &m

'2

ST"

Rys. 3.

.    .    (19)

Zatem powierzchnia momentów pomiędzy punktami L i P czyli powierzchnia obu trapezów, zakreskowanych na rys. 2 b przy węźle m, o podstawach l i n, i średnich wysokościach odpowiednio y, i yp jest równa EI₀d-m.

Jeżeli na skrajnej podporze, np. na pierwszej, belka jest utwierdzona, to pierwsze z równań (13) przyjmie postać:

2px Mt +рхМъ = 6EI₀ rPl

zaś pierwsze z równań (7) :

2p₁M₁+p₁Mi = -6'&pi -21' .

P

Jeżeli zaś skrajna podpora n, jest wolna, to pole momentów w przęśle skrajnem ln jest trójkątem. Zatem według (11 a)

zatem

Т'р n — i 2Xln

zaś odległość punktu L od wolnej podpory, jak to można udowodnić wynosi:

X, = l, : V 3 . . . (20)

2,

l5

Stąd wynika łatwa kon-strukcja. Na rys. 5 a n = 5.

Prosta poprowadzona pod kątem 30° do prostej 4—5 odcina na skrajnej pionowej podporowej długość

Rys. 4.

5-s = 4-5 :\'3 = X₆.

Przystępując do obliczenia momentów podporowych, znamy długości boków według (3) i kąty (wg. 14), możemy więc nakreślić wielobok łamany cięciw (rys. 3). Jeżeli podpory skrajne są utwierdzone, to znamy także styczne linji ugięcia na podporach skrajnych. Oczywiście musimy tu użyć przesadzonej skali dla kątów, które są bardzo małe. Przyjmując np. EI₀ = 1 otrzymamy według (14)

=-D

Znak minus oznacza skierowanie linji ugięcia wypukłością ku górze. Na wieloboku tym opisujemy od ręki krzywą ugięcia (rys. 4), przy-czem kierujemy się czuciem, starając się naśladować kształt, jakiby przyjęła giętka a sprężysta stalka, gdybyśmy jej kazali przejść przez wszystkie podpory. Linja ta, jakieśmy to wyżej widzieli, posłuży nam do wyznaczenia linji momentów. Jednakże, z powodu przesadzonej skali przesunięć podpór, proste linji momentów nie przetną się nad podporami (por. rys. 5 a). Będziemy musieli linję tę poprawić (rys. 5 b)

»)

£ r W-

г*Н к

ST

rwH §

<ч*

*\$о* - 2.*S

6.6 7

7.00

Ü.00

CoT

-г.ч*— 3.55- ~

W.*

п₂‘0.935

__

л-мй

/1^2т

Rys. 5 а, Ъ.

nasza

tak, aby czyniła zadość następującym warunkom: żeby 1) proste linje momentów przecięły się na pionowych podporowych i 2) żeby powierzchnie pomiędzy punktami L i P dla każdej podpory pozostały niezmienione (równ. 19). Błędy pochodzą stąd, że równanie (14a) odnosi się do ugiętej o bardzo małej krzywiźnie, gdy tymczasem przesadzona ugięta posiada krzywiznę bardzo znaczną. Błąd ten jednak nie powinien być wielki. Na podobnej zasadzie opiera się przecież wyznaczenie punktów przegięcia w ustrojach hiperstatycznych przy pomocy przyrządu zwanego „Nupubest“ (Nullpunkt Bestimmung), który podobno daje błąd nie większy, jak 5°/₀.

Jako pierwsze przybliżone wartości momentów moglibyśmy przyjąć średnie z dwóch, jakie otrzymujemy z wykresu. Zwykle różnią się one mało od wartości dokładnych i można na nich poprzestać, jak się o tern przekonamy na poniższym przykładzie.

Znając momenty podporowe, możemy obliczyć reakcje tudzież siły poprzeczne i momenty w dowolnym przekroju belki, każde bowiem przęsło AB = l belki ciągłej możemy uważać za belkę wolno podpartą, na której końce działają momenty podporowe Ma i Mh. W dowolnym przekroju tego przęsła siła poprzeczna wynosi

T=T₀ +

Mb — Ma

jeżeli T₀ jest siłą poprzeczną w belce l jako wolno podpartej. Jeśli n-ta podpora jest wolną, to jej reakcja

R = R + (M I )

n    n ¹    \ n—1 n '

Jeśli pierwsza podpora jest utwierdzoną, to

Ri = Bi-\- (M₂ — Mi):pi

R\ i R'n są to reakcje odpowiednie belek p\ i ln jako wolno podpartych. Dla podpory środkowej m jest

. . (21)

Rn г

=r:„+^

)• •

Lm = i¥ra_i — Mm

⁼⁼ A[m Mm-J-l

Znając reakcje możemy łatwo wykreślić linje sił poprzecznych (rys. 6c). Moment w dowolnym przekroju przęsła l = A B, oddalonym odpowiednio o a i b od A i В wynosi

przyczem

zaś

. . (22)

M — Mq -j- (ó Ma -j- cl Mb) ‘ /•

Wykres momentów składa się więc z figury momentów M₀ dla belki wolnopodpartej i z trapezu momentów podporowych, który należy odjąć od pierwszej. Czynimy to zwykle w ten sposób, że odcinamy na pionowych podporowych wartości momentów podporowych z tej samej strony osi poziomej, z której kreślimy figurę momentów M₀ (zwykle od dołu). Łącząc końce odcinków podporowych prostemi, otrzymujemy nasz wykres, przyczem pola, zawarte poniżej trapezu, dają momenty dodatnie, zaś pola ograniczone figurą 3I₀ i trapezami w pobliżu pionowych podporowych, wyznaczają nam momenty ujemne. Jeżeli obciążenie belki ciągłej składa się z ciężarów skupionych i ciężarów, rozłożonych w sposób ciągły na belce, to wykres figury M0 jest trudny. Otrzymujemy go zwykle dodając wykres, odpowiadający siłom skupionym, do wykresu, odpowiadającego ciężarom rozłożonym w sposób ciągły. Ten ostatni jest linją krzywą. Pierwszy zaś jest linją łamaną. (Dla obciążenia zupełnego, jednostajnego otrzymujemy parabolę, dla jednej siły skupionej — trójkąt). Suma obu wykresów daje nam wykres, który będzie ciągiem łamanym linij krzywych. Aby

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

uniknąć mozolnego kreślenia go, postąpimy inaczej. Od pewnej poziomej podstawy wychodząc, wykreślamy parabole (wogóle krzywe, odpowiadające obciążeniu ciągłemu) wypukłością ku dołowi (rys. 6 b). Następnie kreślimy trapezy momentów ujemnych (wywołanych momentami podporowemi). Na nich, jako na podstawach (zamykających) kreślimy ku górze wieloboki sznurowe, odpowiadające ciężarom skupionym. Pole, zawarte pomiędzy nimi a parabolami, jest szukanym wykresem momentów. Po stronie wklęsłej parabol są momenty dodatnie, po stronie wypukłej zaś — ujemne.

kef

- -    3.0 л

__. 0.28 t/n >-

0.33 t/m

0.38 t/m

2,6t

b’7,o

c= 3.0

- 1.9 т 5■ ■ /5-_~Q. 301/rr

W % ¹

--—»«—d 3,o-*

*)

° bj

3 tm

ТЙГГГПТттггтт^

fîîfirrw

«ПНЩД

Rys. 6 a, b, c.

Przykład:

Belka ciągła, czteroprzęsłowa (rys. 6a) o przęsłach a = 5m, b = 7m, c = 8m, d = 3m, utwierdzona na 1-szej podporze. Momenty bezwładności zmieniają się według równania:

4 : Ib : Ic :Id= 3:4:5 : 2.

Obciążenie ciągłe, jednostajne, zupełne poszczególnych przęseł qa = 0,28

wynosi

дь = 0,33

qc = 0,38

Oddziaływania fikcyjne według wzoru (9) ql³:24 dla poszczególnych przęseł wynoszą (w tjm²)

q₍i = 0,30 tjm.

1,459,

4,7,

8,1,

0,338 tjm².

Oddziaływanie fikcyjne z powodu ciężarów skupionych

2,0.3,0

Według (10) 5tj = l,6

6.5,0

(5,0 + 3,0) = 2,56 tm²

2,0.3,0 6 5,0

Я« = ®4=ł - Ы • 1,9 (8,0-1,9) = 6,37 „

Według (11) 51₄ = 2,6.3,0²: 16 =

Całkowite oddziaływania fikcyjne będą

2^ = 1,46+ 2,56 =

33₂ = 1,46 + 2,24 =

% = ą =

2Г₃ = 23₄ = 8,1 +6,37 = 14,47 „

5I₄ = 0,34 + 1,46 =

Przyjmując b = b', czyli 4 = /₀, otrzymamy rozpiętości sprowadzone wg. (3):

ą = i,6

(5,0 + 2,0) =    2,24 tm}

1,46 „

4,02 tm²

3.70    „

4.70    „

1,80 „

^.5,0 = 6,67 m

c = 4 • 8,0 = 6,40 „ o

Według (4)

₄,02.з    =

аз; = 3,70. i = < = < = 4,70

h' = -^.7,0 = 7,0 m сГ = |.3,0 = 6,0 „ 5,36 tm2,

4,94 „

= 4,70 „

<    = < = 14,47 .1=11.57 „

<=1,80.1 =

<    = < =

< = 4,94 + 4,70 = 9,64 „

D. = 4,70+ 11,57 = 16,27 „

<= 11,57+ 3,60 = 15,17 „

I. Rozwiązanie przy pomocy równań 3 momentów. Spółczynniki równań (7) zestawiono w tabeli 1.

Tabela 1.

Według (6)

CN ГО

tqo't O to + to

3,60 „

5,36 tm}

2 (Г+р) V

674

to to to

44*. 07 -O OJ 00 CO OJ OJ 4^- 4^

07 -O 07 + O 07

-1

to Ю Ü1 w O O) 00 "

tO Ю .U 07

Równania trzech momentów brzmią:

. =—32,16 . =-57,84

13,34 M₁ + 6,67 M₂......

6,67 Mx + 27,34 M₂ + 7,0 M₃ . .

7,00 Ж,+26,8 M₃ + 6,4 Jf₄= -97,62

6,4 M₃ + 24,8 ilf₄=—91,02.

Mnożąc pierwsze z tych równań przez (6,67: 13,34) i odejmując od drugiego rugujemy Mx, mnożąc zaś ostatnie przez (6,4:24,8) i odejmując od przedostatniego rugujemy MA. W ten sposób otrzymujemy układ 2 równań.

24,00 M₂ + 7,00 M₃ = —41,76 7,00 M₂ + 25,15 M₃ =—74,04.

Teraz już łatwo znajdziemy:

47₃ = —2,68,    M₂ = —0,935, 7^ = —1,94 ilf₄=—2,98 tm.

II. Rozwiązanie wykreślne.

Przyjmując dla kątów (równ. 14)

E Io    = — D m

skalę 1 tm² = 3°, t. j. odmierzając w stopniach kątowych zamiast &m wartość 3 Dm, wykreślamy zwyczajnym kątomierzem i linijką wielobok łamany rys. 3 z oznaczeniem stycznej podporowej 1. Na nim opisujemy od ręki krzywą (rys. 4). Z niej odczytujemy dla każdej podpory długość Л i л i kąty rt i гр, zestawione w tabeli 2.

Tabela 2.

CN

E Io Ti EI₀ г«

Mir

tm

3,2

16,1°

1,675

1,9

1,94

3,47

3,70

12,5°

17,5°

1,2

1,575

1,0

0,935

CO CN СО CO

26,7°

21,6°

2,696

2,25

2,6

2,68

tO to

00 CN Ю OO CN CN

3,1

2,98

3,55

Ур — ~ö 21⁰ 6 : 3,2 m = 2,25 tm.

Wg. (17) i (18) obliczamy уг i yp (kolumna 4) np. dla węzła 3. yi =    26° 7 : 3,3 m = 2,696 tm,

Na podstawie tych wartości, wykreślono rys. 5 a. Z niego czytamy średnie wartości momentów podporowych. (kolumna 5). Rys. 5 a daje linję momentów przerywaną, gdyż proste nie przecinają się nad podporami. Trzeba ją przeto poprawić. Rys. 5 b daje już rozwiązanie dokładne (kolumna 6). Z porównania obu kolumn ostatnich widać, że błąd wartości średnich z kolumny 5 jest bardzo mały. Zatem często można na nich poprzestać.

Dla wykreślenia linji sił poprzecznych (rys. 6c) obliczamy reakcje Rm = Rm + Rm według równ. (21).

Dla belek wolno podpartych jest

1,75 * = 225

A₄ = Я₅ = | (2,6 + 3,0.0,30) = 3,5 : 2 =

1,15 *

A₃ = BA = 1,1 +(8,0.0,38:2) = 1,1 + 1,52 = 2,62 t A₂ = B₃ = 7,0.0,33 : 2 =

1,66 t = R\

Я₂ = 5,0.0,28: 2 + 1,6.2:5 = 0,7 + 0,64= 1,34 t At = 0,7 + 1,6.3 : 5 = 0,7 + 0,96 =

Stąd obliczymy

Я₄=+₄ + Ba = 1,75 + 2,62 = 4,371 22'= 2,62+ 1,15 =

Я'= 1,15 + 1.34 =

'> Lm A»+i

zarówno jak i Я = Rm + Rw obliczono tabelarycznie, por. tabela 3.

Reakcje

2)71

3,771 2,49 t.

Tabela 3.

1,94

Mm—\

Lm

2m

Lm-f-i

СЛ 4^ OJ tO

0,94 -1,94 -1 2,68 -0,94 +1,74 2,98 -2,68 +0,30 -2,98 -2,98

OO 00    Ol

o o o o

-0,2    +0,2

—0,2    +0.25    -0,45

+ 0,25    +0,038    +0,212

+ 0,038    -0,993    +1,031

-0,993

1,86

2,04

3,98

5,40

—0,993

0,76

qa a* ₌ 0,28.5²: 8 = 0,875 tm 0,33.7²:8 = 2,020 „ 0,38.8²: 8 = 3,040 „ 0,30.3²: 8 -0,338 „ tudzież rzędne wieloboków sznurowych:

Dla wykreślenia linji momentów (rys. 6 b) obliczamy największe rzędne parabol

pod ciężarem 1,6 t ilfi,6=l,6 2.3 : 5 = 1,92 tm

1,1 t Жк,1= 1,1.1,9 = 2,6 t M%ę, = 2,6.3 : 4 =

2,09 „ 1,95 „

Wykreśliwszy parabole (rys. 6£), odcinamy na pionowych podporowych momenty podporowe. Końce odcinków łączymy prostemi. Od tych prostych w górę odcinamy na kierunkach działania sił skupionych, znalezione powyżej, odpowiednie rzędne wieloboków sznurowych. Pole, zawarte pomiędzy terni wielobokami a parabolami (na rys. 6 h zakreskowane), jest wykresem momentów.

INŻ. AURELJUSZ CHRÓŚC1ELEWSKI

Jedenaście przęseł mostowych dla Jugosławji.

W roku 1928 w firmie K. Rudzki i Ska wykonano dla Jugosławji według własnego projektu jedenaście stalowych przęseł mostów kolejowych, montując je na miejscu we własnym zarządzie. Zatwierdzenie projektów należało oczywiście do jugosłowiańskich władz kolejowych. Przęsła stalowe co do rozpiętości dzielą się na małe i średnie, z tego jedno o największej rozpiętości 68,30 m.

Oryginalność w stosunku do naszych mostów polegała na innych przepisach technicznych, oraz na nadzwyczajnej różnorodności warunków terenowych, które w naszych stosunkach rzadko się tak razem kojarzą. Drugą partję mostów wykonywała dla Jugosławji jednocześnie druga polska wytwórnia. Poniżej będę mówił tylko o jedenastu przęsłach, wykonywanych przez naszą wytwórnię.

Mosty o których mowa, leżą na różnych kilometrach trzech szlaków jugosłowiańskiej sieci kolejowej, mianowicie na szlakach Split-Knin, Perkovic-Sibenik i Sombor-Bogojevo.

W tabeli 1 pomieszczono wszystkie dane, otrzymane przez nas do projektowania przęseł. Z tabeli tej przekonywamy się o różnorodności warunków terenowych : są mosty w prostej i w łuku, w poziomie i na pochyłości, prostokątne w planie i ukośne, małe i duże, na szlaku i w pobliżu stacyj. Ciężary podane w tabeli 1 były przysłane tylko jako orjentacyjne i przeważnie są większe od otrzymanych przez nas po zestawieniu szczegółowego obliczenia ciężaru na zasadzie rysunku. Ciężary te podaję w tej samej rubryce tabeli 1 w nawiasach.

W następującym referacie opisuję wykonanie projektów mostów jugosłowiańskich oraz same mosty, przeprowadzając od czasu do czasu porównanie pomiędzy warunkami jugosłowiańskiemi a polskiemi albo innemi.

Uwagi

*) Na łożysku stałem.

*) Na łożysku ruchomem.

Most znajduje się na przystanku Ka*tel-biksić, musi więc mieć 5m szerok. Wsporniki potrzebne.

Most znajduje się w bezpośredniej bliskości stacji Sivetié więc musi mieć szerokości 5 m.

Most znajduje się na początku łuku i?=400 m.

Most znajduje się pomiędzy sygnałem wejściowym a stacja Knin.

zaq Äzo iiu -вэрироцз z

iuibj[sXzoj z OlUZOfefW Bjsèzjd jBzèio jCuoziiqÆzjj

mojbSim^p

uidjsAs

112000 .

trapezowa I (Ю4678) DeZ

z chod-

6800

(7821) nikami

bez

bez

bez

bez

bez

bez

bez

z chod-

Kratownica

Blachow-

nica

112000

trapezowa I (104678)

4800

(4671)

40800 (47483)

4000

(2609)

Kratownica

Blachow.

bliźniacza

Kratownica

trapezowa

1щвавЗ|мгр izpèimod g dèjszoîj

4,80

2,60

4,80

1,52

4,80

i pro Blachown. bliźniacza

263000

półparabol. J (266391)

40800

(52656)

112000 trapezowa I (105327)

Kratownica

4,80

10000

(9130) I nikami

Kratownica

trapezowa

4,80

Kratownica

4,80

Blachow-

nica

2,70

trapezowa I (100547) ^eZ

Kratownica

4,90

Tabela 1.

iupzaf

3IU3?0^0<j

BMOfCUJSn

o$o>iosXav

D?o^idzoH

0{;bims

iuo; nîfnf

иэтшол^

Jezdnia

dołem

1,00*)

1,21*)

72=3001 6,00 I 6,501 0,60

1,00*)

1,21*)

38,06 39,70

38,10 39,70

4,50    5,00 0,40

oo

oo

oo

72=400 20,67 21,70 0,75

0,24

0,294

1,47

1,02

(f lZ‘l

(lOO'l

0,65

1,43s¹)

1,495*)

2,75

2,26

72=500

68,30

25,10

39,70

8,30

38,70

64,85

23,20

38,00

7,60

37,50

oo

oo

oo

OO

oo

°% пло;

эшэ^цзвм °

11,11

2,0

17

15

10

•рвш pod njoq qnj iqaz.i biso в

Bjsôzjd btso о Xzpàimod }bjr

75°

67° 54'

o06

tO

5-

л;эшор>| CO

ï?~-

Ч¹

00

82%

84%

Viooi

101%

102 V₃

Vo6

13%

283,985

mjBjzs

BAVZBjq

u!uM_ł!lds

jpuaqjs оаэГоЯоя

-OIAOłJjaj -Joqraog

CN

00

■ч<

СО

f«-

00

Ol

§ I. Wyjątki z przepisów technicznych kolei jugosłowiańskich.

A) Obciążenie.

1. Obciążenie ruchome dla mostów normalnotorowych

(1435 mm).

Przedstawiony na rys. 1 pociąg ustawia się najniekorzystniej dla danego pręta, t. j. albo jeden albo dwa parowozy z tendrami skierowane kominami do siebie lub w jedną stronę. Wagony ustawia się z obu stron pociągu¹).

1,5 1,5 i,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1.5 1,5 1,5 1,5 1,5 t,5    3,0

/,5 1,5    3,0    1,5 1,5 3,0    1,5

©eesb-o o i o o i o -e

18 18 i8 18 18 18 Parowóz — Ю81

15 15 15 15    15    15    15    15    15    15

(—Tender -^crWögon    Wagon    Wagon

- 601

30 £

301

30t

Rys. 1.

Mosty o małych rozpiętościach oraz podłużnice i poprzecznice, na których nie pomieści się więcej niż cztery osie parowozu, sprawdza się jeszcze na dodatkowe obciążenie:

1,5

1.5 1,5

2. Parcie wiatru na przęsło obciążone pociągiem wynosi 150^/ш², a na przęsło nie obciążone pociągiem 250 kg\m².

■©-©e-w©

211

20t20t

191 191 191

Rys. 2.

W wypadku przęsła nie obciążonego przyjmować należy następujące płaszczyzny oporu:

aj płaszczyznę netto pierwszego dźwigara, określoną podług następującego wzoru : Fn = Fbr— F₀, gdzie Fbr — płaszczyzna dźwigara brutto po obwiedni, ^ — płaszczyzna otworów pomiędzy prętami;

b)    płaszczyznę jezdni nie zakrytą dźwigarem pierwszym ;

c)    płaszczyznę drugiego dźwigara nie zakrytą jezdnią i stanowiącą część powierzchni dźwigara pierwszego, pomnożoną przez

, mianowicie:

spółczynnik ?7²), zależny od stosunku

J) Pg. przepisów polskich, wagony ustawia się z jednej strony parowozów. Pg. przepisów niemieckich (25/11 1925) wagony ustawia się z jednej albo

Fbr

z obu stron.

Pg. przepisów łotewskich — z jednej strony.

Pg. przepisów bułgarskich — z jednej strony.

²) Pg. przepisów bułgarskich działanie wiatru na drugi dźwigar przyjmuje się równe połowie działania na bezpośrednio wystawiony na wiatr dźwigar.

jeżeli

Fbr

= 0,4;

0,6; 0,8

0,4;    1,0.

Dla wielkości pośrednich cyfry te należy interpolować.

W wypadku przęsła obciążonego, jako płaszczyznę pociągu należy przyjąć prostokąt o wysokości 3m¹) umieszczony na odległości pionowej 0,5 m od główki szyny.

W tym wypadku punkty a) i b) pozostają bez zmiany. W punkcie c) należy wziąć płaszczyznę drugiego dźwigara, pozostałą od zakrycia jezdnią oraz prostokątem, zastępującym obciążenie ruchome.

Dochodzi jeszcze punkt d) w którym należy pomieścić płaszczyznę prostokąta, zastępującego obciążenie ruchome.

Najmniejsza pewność na przewrócenie obliczona w obu opisanych wyżej wypadkach wynosi ^ 1,5 przyczem wagony należy uważać za puste, przyjmując ich ciężar 1,5 tjm.

3. Siła odśrodkowa.

Dla mostów leżących w łukach, wielkość siły odśrodkowej określamy według następującego wzoru

C =

to

V = 0,2 ;

P. V²

127. В

gdzie V— szybkość pociągu w km/godz; R — promień łuku w m ;

P — ciśnienie osi w t.

Punkt zaczepienia siły odśrodkowej przyjmuje się w środku ciężkości taboru, na wysokości 2 m nad górną krawędzią szyny.

Przy obliczeniu siły odśrodkowej należy przyjąć szybkość podług następującego wzoru

V km\godz = 4,0^R —

Na mostach o spadku 15°/₀₀ i większym jak również i na stacjach nie powinno się przyjmować szybkości większej niż 60 kmjgodz.

4. Wpływ uderzeń bocznych oraz bocznych ciśnień taboru rozpatrujemy czy to na prostej czy

na łuku jako siłę poziomą równą 61, skierowaną prostopadle do osi toru i zaczepioną na wysokości górnej krawędzi szyny w miejscu dla podłużnicy najniekorzystniejszem.

5. Siłę hamowania, równą */₇ wszystkich znajdujących się na przęśle ciśnień osi²), należy uwzględnić przy przęsłach o otworze

') Wysokość prostokąta, zastępującego płaszczyznę pociągu, pg. przepisów technicznych polskich, niemieckich

łotewskich wynosi nad główką szyny 3,5 m. g. przepisów bułgarskich wynosi ona 3 m nad główką szyny.

-) Siłę tarcia kół o szyny przy hamowaniu, warunki niemieckie, łotewskie i bułgarskie określają również jako '/7 ciśnień osi, warunki zaś polskie — jako V₁₀.

oraz

większym niż 40 m. Przy otworze mniejszym niż 40 m uwzględnia się ją przy spadku większym niż 5°/₀₀ lub w mostach leżących w pobliżu stacyj, gdzie pociągi są hamowane.

6.    Chodniki, przeznaczone tylko dla służby kolejowej, oblicza się na 340 kg\m², przyczem obciążenia tego nie przyjmuje się do obliczenia dźwigarów lecz tylko belek i wsporników chodnikowych.

7.    Wahania temperatury przyjmuje się w granicach od -20° C do +60° C¹).

B) Natężenia dopuszczalne.

1. Natężenia dopuszczalne dla dźwigarów z żelaza zlewnego zgodne są z takiemiż wielkościami podług warunków pruskich z 1903 r., mają tylko dodaną dokładną wykładnię kiedy należy stosować natężenia mniejsze, a kiedy większe. Pomieszczono je w tabeli 2.

Tabela 2.

Rozpiętość

* 10

lub

mniej

20

40

80

120

160

200

a) Przy uwzględnieniu obciążenia stałego, ruchomego, siły odśrodkowej oraz zmian temperatury . . .

800

850

900

950

1000

1050

1100

Odop.

kg/cm'¹

ß) Przy uwzględnieniu oprócz powyższych jeszcze parcia wiatru, siły hamowania, uderzeń bocznych oraz tarcia w łożyskach . . .

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

0"dop.

kg/cm-

Pręty rozciągane oblicza się podług

S ₌

^j-T < °dop. •

■F n

Pręty wybaczane oblicza się podług wzoru

(Tdop. •

(O

O’otrz. —

Ootrz. Т7Г

Л br

wzoru

(I)

• • (И)

gdzie S — napięcie w kg

Fbr i Fn — powierzchnia przekroju brutto lub netto

co — spółczynnik wyboczenia, zależny od wysmukłości pręta, pomieszczony jest w tabeli 3.

—25л C, + 55° C.

i) Pg. przepisów niemieckich i polskich wahania temperatury przyjmuje sic od — 25°C do +45°C. Największa różnica nagrzania dwóch różnych części przęsła może wynosić 15°C. Średnia temperatura +10ÜC.

Pg. warunków bułgarskich różnice temperatur wynoszą Temperatura średnia +15°C.

Tabela 3.

со

со

СО

СО

СО

1,000

1,005

1,012

1,022

1,034

1,050

1,069

1,093

1,120

1,152

1,167

1,182

1,199

1,217

1,235

1,255

1,277

8Sgggg8§8S28gâs!ï;S3gg

q. Е я ą ąs ąą

CN CN CM CM CM Ol CN 04 of of СМ of of of of of of of

»—Ь I—. 00 00 СЛ

Pręty wybaczono - rozciągane sprawdzamy na rozciąganie podług (I) z tern, że natężenie dopuszczalne zmniejsza się według następującego wzoru

wzoru

O^dop. O^dop. na rozciąg. •

('

3 s,

UUX

• • (HI)

oraz

na wybaczanie podług wzoru (II) i tabeli 3.

2.    Natężenie dopuszczalne dla podłużnie i poprzecznie, jeżeli jezdnia pokryta jest żwirówką, jest to samo, co i dla dźwigarów do 10 m rozpiętości, czyli ffdop. = 800 kg\cm².

Jeżeli szyny leżą na podłużnicach za pośrednictwem mostownic drewnianych — <7dop. = 750 kg/ cm².

za po-

Jeżeli zaś szyny na podłużnicach leżą bezpośrednio lub średnictwem podkładek, to adop. = 700 kg/cm\

3.    Natężenie dopuszczalne dla tężników wiatrowych to samo co dla dźwigarów w tabeli 2 pod ß.

Dla tężników nie stosuje się profilów mniejszych niż 70X70X3¹).

4.    Natężenie dopuszczalne dla nitów, służących do połączenia części dźwigarów lub tężników, na ścinanie wynosi 0,8 a lub 0,8 ß, a na zgniot ścianek równa się trzykrotnemu natężeniu dopuszczalnemu na ścinanie.

') Pg. warunków bułgarskich należy w tych wypadkach unikać zastosowania kątowników mniejszych niż 80x80x10.

Najmniejsza ilość nitów, służących do umocowania pręta, sta

nowi trzy.

Natężenie dopuszczalne dla nitów, służących do przymocowania podłużnie do poprzecznie i poprzecznie do dźwigarów, należy przyjmować na ścinanie — 600 kg jem², a na zgniot ścianek — 1800 kg\cm‘z.

Ç) Skrajnia.

Skrajnia dla torów normalnotorowych odpowiada w zupełności niemieckiej.

§ III. Obliczenia statyczne.

Obliczenia statyczne, aczkolwiek zasadniczo bardzo proste, wykonywane były z uwzględnieniem wszystkich rodzajów obciążeń, jakie ze względu na warunki terenowe dla danego objektu były przepisane warunkami technicznemi.

Wszystkie one miały zastosowanie przy obliczaniu przęsła o rozpiętości l = 2\,lm w km84r,l₈ szlaku Split-Knin, gdyż most ten wypadł jednocześnie na znacznem pochyleniu, w łuku w ukosie, o dźwigarach kratowych otwartych górą.

Chcąc dać obraz najbardziej charakterystyczny w dalszym ciągu przy opisie obliczeń statycznych, właśnie ten most brać będziemy pod uwagę.

Podłużnice. Podłużnica zewnętrzna ze względu na łuk, jest wyższa od wewnętrznej o wielkość przechyłki. Pasy górne obu podłużnie wykonano silniejsze niż dolne.

W płaszczyźnie pionowej obliczono podłużnice na sumę momentów od obciążenia stałego (Mp), od obciążenia ruchomego (Mk), od wiatru pionowego (Mw) i od siły odśrodkowej (M,), t. j. na moment

M — Mp -p Mk -P Mw -p Mc.

Moment od obciążenia ruchomego ulegnie pewnej modyfikacji:

W moście, na którym tor ułożono w łuku o promieniu R zastosowano również przechyłkę, określoną podług wzoru

_V_X)

U 2R '

gdzie V — największa szybkość pociągu w lcm\godz R — promień łuku w m.

Wskutek przesunięcia toru ku podłużnicy zewnętrznej, oś toru przesunęła się w prawo (patrz rys. 3) od osi przęsła na T a, ale zato

0 Bleich: Theorie und Berechnung der Eisernen Brücken —

str. 382.

wskutek przechyłki u środek ciężkości S przesunął się na lewo i ostatecznie przesunięcie środka ciężkości na lewo od osi przęsła będzie

±-r.

S

tak, że odległość, na której działa obciążenie ruchome K, nie jest dla obu podłużnie jednakowa i równa y, lecz będzie

^—У i ^2 ⁼^+V'

V — u.

Z powyższego widzimy, że moment od obciążenia ruchomego

dla podłużnicy zewnętrznej należy pomnożyć przez spółczynnik — ^

i określać go dla tego pola dla którego jest on największy.

Dla podłużnicy wewnętrznej moment od obciążenia ruchomego mnożymy przez

spółczynnik ~ i określamy go dla tego

pola dla którego jest on największy.

Moment od siły odśrodkowej jest dla podłużnicy wewnętrznej ujemny, gdyż siła działa z dołu do góry i z tego powodu przy obliczeniu podłużnicy wewnętrznej siły odśrodkowej się nie uwzględnia, t. j. zakłada się, że pociąg znajduje się w spoczynku, czyli że oblicza ją się na M=MP+Mk+Mw.

Pasy górne są mocniejsze od pasów dolnych, ponieważ dodatkowo są jeszcze obliczane jako pasy kratownicy poziomej, t. j. tężników międzypodłużnicowych, na zginanie miejscowe od obciążenia wiatru poziomego oraz siły odśrodkowej, działających na długości swobodnej pasa górnego.

Tężniki międzypodłużnicowe.

Podług Bleich’a²) tężniki podłużnicowe należy dawać gdy piętość podłużnie przewyższa 2,5 m, a to z tego powodu, że pasy górne podłużnie o takiej długości swobodnej przeważnie byłyby w płaszczyźnie poziomej za słabe do przeniesienia sił bocznych od nacisku

¹) Spółczynnik ten odnosi się do momentu od ciśnienia osi. Jeżeliby był moment od ciśnienia kół, to spółczynnik byłby .

->j <-

e—;'U— e—>

<—:—- m₂—>

<0

Q>

<0

Os toru

Rys. 3.

roz-

J) Bleich: Theorie und Berechnung der Eisernen Brücken — str. 372.

wiatru oraz drgania parowozów i ewentualnie siły odśrodkowej. Tężniki poziome międzypodłużnicowe obliczają się również na te obciążenia¹).

Zatrzymamy się na chwilę na wpływie bocznych wahań i uderzeń taboru na tężniki międzypodłużnicowe.

Podług warunków polskich jako obciążenie przyjmujemy 0,05 wszystkich nacisków osi, mieszczących się na podłużnicy.

Podług warunków jugosłowiańskich należy obciążyć kratownicę poziomą dla niej najniedogodniej jedną siłą skupioną = 6 t.

Co to jest za siła te 6 t — w warunkach jugosłowiańskich nie powiedziano. Prawdopodobnie jest to siła równa 0,05 ciężaru parowozu z sześciu osi po 201, którą się zaczepia w miejscu pierwszej osi parowozu. Tak bowiem bywa w innych przepisach technicznych-).

W następującym przykładzie, wziętym z obliczenia mostu na Wiśle pod Sandomierzem³), porównywamy oba przepisy:

2125 —>k-2000-

-2125

Podłużnice są podzielone na 3

przedziały.

Siła pozioma, działająca na tężniki § poziome równa się 125.0,05 = 6,25 t, ? co stanowi jako ciężar równomiernie rozłożony

i!

6,25

= 1,00 t/m.

6,25

Rzędna linji wpływu dla krzy-żulca pierwszego będzie:

1021

Rys. 4.

4125 2785 6250 ‘ 1800

1,021.6,25

1,021 jednostek siły.

3,19 jednostko - metrów.

Pole linji wpływu

S = 3,19.1,00 = 3,19 t.

Siła w krzyżulcu

Podług warunków jugosłowiańskich napięcie w krzyżulcu byłoby: S = 6,0.1,021 =6,126 t.

Okazuje się, co zresztą można było przewidzieć, że warunki jugosłowiańskie co do wpływu wahań i uderzeń taboru są niedo-godniejsze.

1)    Podług warunków polskich wahania boczne uwzględnia się tylko przy obliczaniu poziomych tężników międzypodłużnicowych, przyczem można nie uwzględniać działania wahań na pasy podłużnie.

²)    M. Thullie: Podręcznik teorji mostów — str. 20.

³)    Projekt wykonali Profesor A. Pszenicki i Inż. Pac-Pamarnacki.

Tężniki podłużne międzydźwigarowe.

Tężniki podłużne obliczają się na działanie wiatru, na wpływ wahań i uderzeń bocznych taboru, ewentualnie na działanie siły od

środkowej.

Aby obliczyć działanie na kratę tężników podłużnych wpływu wahań i uderzeń taboru rysujemy linję wpływu napięcia naprzykład w krzyżulcu danego pola, ustawiamy najniedogodniej dla krzyżulca siłę 6 t i obliczamy napięcie.

Aby obliczyć napięcie w krzyżulcu od siły odśrodkowej na tychże linjach wpływu ustawiamy najniedogodniej dla krzyżulców pociągi, licząc jako ciśnienie osi tyle ile na nią wypada siły odśrodkowej.

W razie jednostronnego umocowania krzyżulców wiatrownic u węzłówek sprawdza się jeszcze krzyżulce na zginanie od momentu, którego ramieniem jest odległość pomiędzy osią węzłówki a środkiem ciężkości krzyżulca.

Oryginalność obliczeń mostów jugosłowiańskich w stosunku do warunków technicznych niemieckich (25/II 1925) stanowi to, że podług warunków niemieckich w wypadku mostu w łuku należy zastosować do obliczenia albo siłę wahań i uderzeń bocznych taboru lub siłę odśrodkową, zależnie od tego która z nich wywiera większe natężenia. W obliczeniach zaś przęseł jugosłowiańskich sumowaliśmy rezultaty obu wpływów.

na

Ha mównice, które służą do przeniesienia tarcia kół o szyny pasy dźwigarów i zapobiegają wobec tego wyginaniu się bocznemu poprzecznie, mają w warunkach technicznych jugosłowiańskich wyraźnie określony zakres zastosowania. Warunki polskie ani niemieckie nie określają rozpiętości przęseł, przy których zastosowanie hamownic staje się już potrzebne.

Z autorów Schaper w „Eiserne Brücken", powiada, że hamowanie trzeba stosować w mostach jednotorowych powyżej l = 25m, a przy dwutorowych powyżej l=\5m.

Bleich w „Theorie und Berechnung der Eisernen Brücken", że hamownicę środkową lub końcową należy w przęsłach jednotorowych dawać powyżej l = 30 m, dla dwutorowych powyżej l =20 m.

Prof. A. Pszenicki w podręczniku inżynierskim S. Bryły wspomina ogólnie, że hamownicę stosuje się tylko w mostach kolejowych większych rozpiętości, oraz w mostach na spadku lub w pobliżu stacyj.

Warunki jugosłowiańskie określają tę rozpiętość jako większą niż 40 m, pochylenie zaś ponad 5°/₀₀.

nacisku osi, warunki niemieckie, jugosłowiań-

, 10

Wielkość siły tarcia kół o szyny przy hamowaniu warunki polskie określają jako 1 skie i łotewskie jako г/₇.

Siła tarcia za pomocą hamownicy umieszczonej w środku przęsła przenosi się na pas a za jego pośrednictwem na łożysko stałe. Wielkość siły przenoszącej się na hamownicę: F = f2P. Wielkość jej przenosząca się na łożysko stałe i działająca w pasie :

— (p.A,

p

T'=f^~

gdzie f — spółczynnik tarcia kół o szyny

2P — ciśnienie osi, mieszczących się na przęśle

cp — spółczynnik tarcia wałków łożyska ruchomego na płycie

dolnej. Spółczynnik ten uwzględniający zanieczyszczenie

0,175    . , v

—-—, gdzie r — promień wał-

płyty drobnym piaskiem ków wyrażony w cm¹)

A — odpór równy połowie obciążenia stałego i ruchomego, działającego na jeden dźwigar.

p

W powyższym wzorze wyraz f 2-^- — oznacza siłę tarcia kół o jedną

szynę przy hamowaniu, a wyraz <p.A — wielkość odporu jaką tej sile, przenoszonej zapomocą pasa dolnego na łożysko stałe — daje łożysko ruchome.

Hamownicę leżą zwykle w płaszczyźnie tężników wiatrowych dolnych i pasami ich kratownicy są zazwyczaj części krzyżulców wiatrowych, których natężenia, wobec tej podwójnej roli, będą się sumować.

Dźwigary.

Napięcia w prętach dźwigarów obliczano od wszystkich rodzajów obciążeń, pomieszczonych w tabeli 2, z wyjątkiem wpływu wahań i uderzeń bocznych, oraz naturalnie, temperatury. Wyprowadzono dla każdego pręta dwa wypadkowe napięcia, jedno z napięć odpowiadających rubryce a i drugie odpowiadające rubryce ß i sprawdzano czy natężenia otrzymane nie przekroczą odpowiednich natężeń dopusz

¹

) Por. np. Podręcznik Inżynierski prof. Bryły, tom 11, str. 1292.

czalnych.

Przy obliczaniu napięć od obciążenia ruchomego oraz siły odśrodkowej uwzględniono łukowe położenie toru na jezdni, a więc różną odległość obciążenia ruchomego od różnych prętów kraty. Wskutek uwzględnienia tej okoliczności napięcia otrzymane, jak to ma miejsce normalnie, mnoży się przez pewne spółczynniki, wyprowadzone z czysto geometrycznych przesłanek.

*) O. E. Paton: „Żeleznyje mosty“ — tom II, str. 110.

Spółczynnik przy ślizganiu łożysk przesuwowych pg. warunków polskich i niemieckich przyjmuje się f = 0,2.

Spółczynnik tarcia przy toczeniu się wałków w łożyskach pg. warunków polskich i niemieckich przyjmuje się--—

Przy tej sposobności zauważam, iż zwykle obciążenie pionowe wiatrem przyjmujemy pod uwagę dopiero, gdy ono jest większe niż 10°/o obciążenia stałego t. j. obciążenia ciężarem własnym ¹).

Podług warunków technicznych bułgarskich obciążenie pionowe wiatrem przyjmuje się dopiero wtedy pod uwagę, gdy obciążenie to przenosi 10% obciążenia stałego i ruchomego.

W mostach jugosłowiańskich przyjmowaliśmy te obciążenia pod uwagę bez żadnych zastrzeżeń co do ich wielkości w stosunku do wielkości napięć od obciążenia stałego lub ruchomego.

Wobec tego, że przęsło jest otwarte, to należałoby pręty pasa górnego sprawdzić: a) w płaszczyźnie dźwigara na wyboczenie, przy

długości swobodnej równej jednemu polu — oraz b) w płaszczyźnie poziomej na wyboczenie, określając długość swobodną podług złożonego wzoru Jasińskiego²) lub znacznie prostszego wzoru Haeseler’a:

v -V

To s)

Rys. 5.

У12

I. 0³

V*³

w cm

gdzie a — długość pola..........

w cm⁴

h — odległość pasa od środka porzecznicy . .w cm I₀ — moment bezwładności pasa względem osi pion. w cm-I — moment bezwł. słupa względem osi równoległej do osi podłużnej przęsła O — długość pasa górnego w jednem polu .    . w cm.

Sztywność poprzeczna.

Sztywność poprzeczną przęsła sprawdzaliśmy podług wzoru Engesser’a⁴), według którego określa się moment bezwładności słupa półramownicy względem osi równoległej do płaszczyzny dźwigara.

Zamiast jednakże tego, polecono nam zastosować do sprawdzenia sztywności półramownicy przepis podług warunków technicznych niemieckich (25/II 1925), który każe w środkach ciężkości pasa górnego zaczepić dwie siły poziome Q, równe ¹/₁₀₀ największego napięcia w pasie górnym.

’) Patrz obliczenie statyczne przęsła £ = 75 ж mostu na Wiśle pod Sandomierzem, str. 55.

²)    O. E. Paton : „Żeleznyje mosty“, tom I, str. 483.

³)    M. Thullie: Teorja mostów, część I, str. 35.

⁴)    O. E. Paton: „Żeleznyje mosty“, tom 1, str. 486.

Otrzymane tą drogą natężenia sumuje się z natężeniem zasadni-czem słupa i sprawdza się czy suma ta nie będzie większa niż natężenie dopuszczalne podług rubryki a, tabela 2.

Na moment zginający Q.e należy sprawdzić słup ramownicy w miejscu gdzie się zaczyna wspornik, oraz na moment Q.h — po-przecznicę. Suma natężeń w poprzecznicy, t. j. zasadniczego od zgięcia obciążeniem pionowem i dodatkowego od siły Q nie powinna być większa niż (7аор.

Łożyska.

Łożyska ze stali lanej obliczano, sprawdzając — jak zwykle — na zginanie wahacz górny, kadłub łożyska ruchomego i stałego, oraz płyty podłożyskowe. Natężenie dopuszczalne na zginanie dla stali lanej przyjęto 1100 кд\ст*.

Największe natężenie, otrzymane przy ciśnieniu wałków na płytę podłożyskową, wklęsłej powierzchni cylindrycznej wahacza górnego na wypukłą powierzchnię cylindryczną kadłuba lub naodwrót, wypukłej powierzchni cylindrycznej wahacza na wklęsłą powierzchnię cylindryczną kadłuba, lub przy ciśnieniu wahacza i kadłuba na wałek przegubowy ściśle do nich przylegający, określono podług wzorów Hertz’a.

Największe natężenie przy dotykaniu po linji stycznej powierzchni cylindrycznej i płaskiej podług wzoru:

68000 кд\ст?

<7 = 0,418

w cm

w cm.

gdzie A — odpór podpory od ciężaru stałego i ruchomego w kg E—spółczynnik sprężystości dla stali lanej 2200000 kg\em'1 l — długość walca . r — promień walca .

Przy dotykaniu powierzchni cylindrycznej wklęsłej i cylindrycznej wypukłej po linji stycznej podług wzoru :

тн)

6500 *) kg\em²

(7 = 0,418.

gdzie rx — promień walca (mniejszy).....

r₂ — promień krzywizny wklęsłej (większy) .

Jeżeli wahacz górny i kadłub obejmują ściśle wałek przegubu, to :

= 0,778—1400 kg\cm\ r.L

(7dop. = 1400кд\стг dla stali lanej; r — promień wałka przegubowego w cm; l — jego długość w cm.

0 Schaper: Eiserne Brücken — str. 665.

Foerster: Eisen-Konstruktionen — str. 316.

w cm

w cm.

U’otrz.

gdzie A — odpór w kg;

Stateczność.

Sprawdzenie stateczności przęseł uskuteczniono przy dwóch założeniach: 1) przęsło obciążone pociągiem, przyczem ciężar wagonów pustych = \,bt\m\ 2) przęsło nieobciążone. W obu wypadkach otrzymane spółczynniki pewności nie powinny być mniejsze niż 1,5.

Ugięcie i podniesienie wykonawcze.

Ugięcie obliczono od obciążenia stałego i ruchomego. Podniesienie wykonawcze, dane podług paraboli, miało strzałkę w środku rozpiętości równą połowie ugięcia od obciążenia ruchomego + ugięcie od ciężaru własnego + ugięcie pozostające po usunięciu próbnego obciążenia statycznego.

Podniesienie wykonawcze w ostatnio wykonywanych dla Ministerstwa Komunikacji mostach polskich, zgodnie z warunkami techni-cznemi M. K. z 14/VI 1929 r. określa się podług wroru

/■^/i + 4 + V),

gdzie /—rzędna paraboli w środku rozpiętości przęsła

Л — ugięcie środka przęsła od obciążenia stałego, określone teoretycznie

/₂ — ugięcie środka przęsła od obciążenia ruchomego, ustawionego tak, aby dla środka przęsła otrzymać największy moment zginający, określone teoretycznie

4 — pozostające ugięcie (pozostałe po usunięciu próbnego obciążenia statycznego), określone empirycznie podług wzoru

5000

Podług przepisów niemieckich dla mostów o rozpiętości ponad 20 m podniesienie wykonawcze w środku rozpiętości daje się

^ — 4 + ~2 4*

Podług warunków bułgarskich podniesienie wykonawcze

f = fi + ^4

lecz to podniesienie nie może być osiągnięte zapomocą wypychania go na montażu, lecz powinno być osiągnięte przez zastosowanie odpowiednich wydłużeń i skróceń prętów przy trasowaniu przęsła.

W ostatnich czasach zastosowano u nas w przęsłach o kracie systemu Warren’a dla pasów dolnych lub górnych, zależnie od położenia jezdni, metodę Inż. Baticle’a i Inż. Freyssinefa¹), polegającą tern, że dodatkowe napięcia w pasach, powstałe wskutek zginania

') Przęsła l = 92 m mostu przez Wisłę na linji średnicowej w Warszawie. Przęsła Z = 42m; l = 32m; l = \2m mostu na Warcie.

Przęsła ^ = 65,4 m mostu na Wieprzu pod Trawnikami.

4 =

na

miejscowego, neutralizuje się, wywołując przy montażu sztucznie w pasach natężenia tej samej wielkości co dodatkowe, lecz odwrotnego znaku.

Do tego czasu, naprzykład, w przęśle z jezdnią dolną, ponieważ, wskutek wyciągnięcia się wieszadła (rys. 6) pod wpływem miejscowego obciążenia dwóch pól sąsiednich, pas dolny uginał się ku dołowi i otrzymywał dodatkowe rozciąganie w warstwach dolnych przekroju C, obliczano te natężenia dodatkowe i sumowano z zasadniczem natężeniem rozciągającym pasa dolnego, bacząc aby suma tych natężeń nie przekraczała zasadniczego natężenia dopuszczalnego więcej niż na 30%²).

-L

Ażeby znaleźć jaka część siły P, obciążającej węzeł C, idzie na wyciąganie wieszadła a jaka na zginanie pasa, nazywamy tę pierwszą Px a tę drugą P2 oraz moment bezwładności pasa oznaczamy przez I a przekrój wieszadła przez F i piszemy dwa równania

P₁.h

Rys. 6.

Px + P₂ = P oraz

P₂.P

192EI~ F.F’ w którem wyraz pierwszy stanowi ugięcie pasa, a drugi wyciągnięcie się wieszadła.

Z powyższych dwóch równań znajdowaliśmy

P» =

192.h.I

FP+ 192 hI'F PX = P-P₂-

Znalazłszy tym sposobem siłę P₂, zginającą pas dolny, określamy w nim natężenie dodatkowe.

Obecnie natężenia dodatkowe od obciążenia miejscowego neutralizujemy, sumując je ze sztucznie wywołanemi natężeniami równemi lecz odwrotnego znaku. Wykonywa się tę operację tym sposobem, że jeżeli naprzykład, mamy do czynienia z przęsłem z jezdnią dolną,

a otwory dla nitów

to skracamy wieszadła już w wytwórni o

dolnych dajemy mniejszej średnicy. Na montażu po opuszczeniu przęsła z klinów wypychamy węzły środkowe pasów dolnych ku górze o wielkość wydłużenia wieszadeł, przewiercamy otwory w pasach i wieszadłach do potrzebnej wielkości i nitujemy je.

i) Inż. Dr. F. Szelągowski: „O stosowaniu w konstrukcjach korzystnych naprężeń i odkształceń“. Przegląd Techniczny, str. 847, 1929.

-) O. E. Paton: „Żeleznyje Mosty“, tom I, str. 241.

Tę zasadę „korzystnych natężeń i odkształceń“ wskutek polecenia władz kolejowych, stosujemy przy budowie mostu o rozpiętości

/    \l/ _b \,

Rys. 7.

l = 65,4 m na Wieprzu pod Trawnikami. Na rys. 7 pokazano podniesienie wykonawcze tego przęsła nadawane przy trasowaniu przęsła w wytwórni, oraz pod każdem wieszadłem pokazano jeszcze specjalne podniesienie węzła drugorzędnego, które należy wykonać na montażu po wyjęciu klinów z pod węzłów.

Wielkości wypchnięcia każdego dolnego węzła drugorzędnego oznaczono na rys. 7 w mm.

Tą samą zasadę stosujemy w mostach na Niemnie pod Mostami, na Kamiennej pod Skarżyskiem, na Wiśle pod Modlinem i innych.

§ IV. Konstrukcja.

Zasadniczą cechą charakterystyczną naszych przęseł mostowych w stosunku do współczesnych konstrukcyj mostowych zachodnioeuropejskich jest konstruowanie belek i prętów przęseł prawie wyłącznie z kątowników i wstęg, podczas gdy w przęsłach mostów państw zachodnich ma zastosowanie bardzo dużo w-owników i г-owników.

Stosując naszą zasadę osiągamy mniejszy ciężar gdyż możemy lepiej dociągnąć przekroje do natężeń dopuszczalnych, a zato mamy trochę więcej roboty i nitowania w wytwórni. Zyskujemy jeszcze przy naszym systemie na dobroci tworzywa, gdyż ono szczególniej w profilach kształtowników większych jest gorsze i dlatego to Haeseler proponuje przy zastosowaniu kształtowników u-owych i i-owych, poczynając od Nr. 30 wzwyż, zmniejszać natężenie dopuszczalne, mnożąc zasadniczą jego wielkość przez spółczynniki coraz dla następnego większego numeru — mniejsze*). Również przepisy techniczne łotewskie polecają zmniejszenie natężeń dopuszczalnych, poczynając od Nr. 40 wzwyż o coraz to większy procent.

Na tabl. I, rye. 1 przedstawiono zmontowane już i wynitowane przęsło o rozpiętości l = 39,7 m na rzece Jadro przy ujściu jej do morza Adryatyckiego na szlaku Split -Knin.

nasze nowe

Na tabl. I, ryc. 2 pokazano przęsło o rozpiętości l = 68,3 m w km 101¹ ₂ szlaku Split-Knin po zmontowaniu go i wynitowaniu w czasie próby. Na pierwszym planie widoczne jest przęsło, a na dalszym, odsunięte stare przęsło.

‘) °* E- Paton: „Żeleznyje mosty“, tom I, str. 50.

TABLICA I.

*'w

“-a

A.

-■

:Xé

Ryc. 1. Most na rzece Jadro o rozpiętości 39,7 m.

‘-V

It;

г!л

-d

(i

Cl

PI”

'îf^'Sâp-ïy

Ryc. 2. Most w km 101 V*2 szlaku Split-Knin o rozpiętości 68,3»».

Inż. Aureljusz ChróścielewskL

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. Ы. Thulliego.

■

.

INŻ. LEON GROCH

O drewnianych ustrojach kratowych.

Ustroje niosące kratowe, mają zastosowanie przy budowie przęseł mostowych o większych rozpiętościach.

Jak wiadomo, ze wzrostem rozpiętości przęseł wzrasta również koszt metra bieżącego ustroju niosącego. Powiększenie rozpiętości przęseł opłaca się jednak nieraz przy trudnem fundowaniu filarów, gdy wskutek tego możemy zmniejszyć ich liczbę.

Niejednokrotnie zmuszają nas do powiększenia rozpiętości przęseł potrzeby żeglugi lub spławu.

Wreszcie może nas skłonić do powiększenia rozpiętości, obawa zerwania komunikacji na rzekach, które wzbierając gwałtownie, toczą zwały rumowiska, lub unoszą całe drzewa, albo też podczas pochodu lodów rozbijają niemi gęsto postawione jarzma mostowe.

Dzieje się to bądź przez bezpośrednie uderzenia zwłaszcza z boku, bądź też przez tworzenie zatorów z lodu lub łomu drewna, przyczem spiętrzona woda podmywa jarzma i unosi je razem z zatorem. Aby temu zapobiec budujemy odpowiednio fundowane filary murowane lub betonowe, w odstępach od 20 do 50 m, a na nich stawiamy kratowe ustroje niosące żelazne, lub o połowę tańsze drewniane.

Budowa mostów kratowych drewnianych rozwinęła się w pierwszej połowie ubiegłego stulecia w Ameryce. Belka Hove’a powstała w roku 1840.

W Małopolsce posiadającej liczne rzeki i poddostatkiem drewna, gdzie natomiast fundusze publiczne nie mogły nadążyć potrzebom komunikacji, poczęto budować drewniane ustroje kratowe systemu inż. Ibjańskiego około 1880 roku.

Budowa drewnianych kratownic na murowanych filarach umożliwiała bezpieczną komunikację i była gospodarczo uzasadnioną, gdyż osiągano zamierzony cel przy niskim kapitale zakładowym.

Dziś w Polsce wobec wysokiego oprocentowania kapitału sprawa ta jest tembardziej aktualna — gdyż w ostatnich latach związki ko-

munalne korzystały niejednokrotnie z zagranicznych pożyczek na budowę mostów stałych, płatnych w złocie lub dolarach. Gdyby pożyczkę zaciągnięto na 6°/₀, to samo oprocentowanie jej, osiągnęłoby po 12 latach wartość równą wysokości pożyczki — zwykle jednak oprocentowanie jest wyższe.

Zobaczymy jak się kalkulują koszta budowy najtańszych mostów stałych — a więc żelaznych z drewnianą kratą.

Według ostatnich obliczeń Biura mostowego Min. Robót Publ. w ustroju niosącym żelaznym kratowym 45 m św., z drewnianym pomostem, samo żelazo waży 117*5 Z dla I kl. obciążenia.

Przyjmijmy że dla II kl. ciężar żelaza wyniesie tylko 100 t, to po 1.350 zł za tonnę wraz z rusztowaniem i montowaniem na

135.000 zł 3.500 „ 3.100,, 2.400 „

miejscu...............

Pomost drewniany: 35 ms brusów po 100 zł/m³ .

15-5m³ ścieli dębowej po 200 zł/m3 Przybicie dylin z zakupnem gwoździ i opłat, społecz.

144.000 zł 71.500 zł

Zatem koszta budowy żelaznego przęsła wyniosą razem Takiej samej rozpiętości przęsło syst. inż. Grocha kosztuje a więc okrągło połowę tego co żelazne z drewnianym pomostem.

na

Jako konkretny przykład może nam posłużyć budowa mostu Dniestrze pod Żurawnem o rozpiętości 4x45 m św., która jest obecnie w toku.

Według zestawień koszta budowy mostu żelaznego z drewnianym pomostem wyniosłyby jak wyżej 4x144.000 zł .    .    .    576.000 zł

Na podstawie publicznego przetargu z dnia 27 maja 1930 oddano Firmie T. R. T. budowę ustroju niosącego 4x45 m św. systemu inż. Grocha za kwotę ....    283.000,,

Wydano zatem mniej o kwotę .    .    293.000 zł

293.000 zł 293.000 „

Gdyby zamiast tego ustroju postawiono żelazny z drewnianym pomostem i zaciągnięto w tym celu pożyczkę 6°/₀ na 24 lat, to odsetki od zwiększonego wydatku w kwocie .... wyniosłyby po upływie 12 lat na procent składany .

586.000 zł

razem .

a po następnych 12 latach oprocentowanie wzrośnie do 586.000 „ tak, że zwiększony wydatek z odsetkami wyniesie razem 1,172.000 zł zamiast 283.000 zł, czyli aby pokryć same odsetki, nie licząc zwrotu kapitału pożyczonego na 6% trzeba zapłacić w ciągu 24 lat sumę trzy razy większą od pożyczonego kapitału.

Rachunek powyższy wskazuje, że na tak wysoki procent nie wolno zaciągać pożyczek komunalnych — w przeciwnym razie doprowadza się gospodarkę do ruiny.

TABLICA I.

jj ,

ff

ri

щ!

jf

•ft

йч

*«§

§Tte

*г

V.

• ’^3

.‘■КЖ

ЙГ

HÜ

'PI

■■

.,4»-

Rye. 1. Most kratowy systemu Ibjańskiego 2x35'0mśw. na Dunajcu pod Krościenkiem.

-jęfe*

là

r:

ЩГШШЁЬ

кг

К?Ж*

Li

BPfT :# ; V Ai- 4

Rye. 2. Most na Sanie pod Zarzeczem 5x40=200 m św. systemu Inż. L. Grocha.

Ini. Leon Groch.

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

Dalej podnieść należy, że budując most stały w ciągu drogi państwowej, musimy go budować na największe obciążenia, a więc I kl., czyli że koszta budowy byłyby wyższe około 18°/₀ od przyjętych w przykładzie.

Zastosowany przy budowie mostu na Dniestrze pod Żurawnem ustrój kratowy mieszany posiada pasy dolne i ścięgna pionowe żelazne, a także poprzecznice mają pasy żelazne — przeto trwałość ich jest równa trwałości mostu żelaznego. Pasy górne i krzyżulce drewniane są okryte blachą, więc nawet przy niekorzystnych warunkach potrwają conajmniej 30 lat.

Koszta konserwacji pomostu będą, z powodu drewnianej dyliny w żelaznym moście, takie same jak w ustroju mieszanym, a wymiana wiatrownic nie będzie kosztowała więcej jak malowanie żelaza w pasach górnych i wiatrownicach.

Korzyść zatem z zastosowania tego ustroju zamiast żelaznego jest udowodniona.

Ustrój ten zapewnia-komunikację bez ograniczeń — umożliwia redukcję wydatków o połowę, a tern samem zezwala na użycie gotówki na inne potrzebne objekty, lub w braku tejże redukuje budżet, względnie opodatkowanie na ten cel o połowę, czego wobec trudności gospodarczych nie można lekceważyć.

Jeżeli mówimy o trwałości mostów kratowych drewnianych, to mamy w tym kierunku liczne doświadczenia za sobą.

Do dzisiaj stoją dwa mosty kratowe systemu inż. Ibjańskiego postawione w r. 1880, a więc przed 50 laty, w ciągu drogi krajowej Nowy Sącz - Krościenko - Szczawnica.

Jeden z nich na Ochotnicy, lewym dopływie Dunajca — tuż przy ujściu, a drugi na Dunajcu pod Krościenkiem t. zw. most szczawnicki, na murowanych filarach o rozpiętości 2x36=72 m św. tabl. I, rye. 1.

Jest on nakryty pełnym dachem, a prócz tego pasy dolne kratownic kryte są osobnemi daszkami.

Ustrój niosący jest bardzo dobrze zakryty przed opadami atmo-sferycznemi — w zimie jednak musi się nawozić śnieg na pomost, inaczej saniami byłoby trudno przejechać.

Inne mosty kratowe systemu Ibjańskiego i Pintowskiego zbudowane w czasie 1880 do 1900 r. zostały zniszczone podczas wojny światowej w r. 1914, a więc istniały przeciętnie po 20 lat, w szczególności:

Most    na    Dunajcu pod Kurowem

„    „    Sanie pod Jarosławiem

„    „    Bystrzycy pod Jezupolem 6x30 „    „

„    „    Rybnicy pod Kosowem

„    „    „ „ Sokołówką

„    „    Strypie pod Czortkowem

5x35 m św.

4X48 „    „

36 „    „

Wreszcie mosty na Prucie pod Śniatynem 7x30 m oraz pod Za-błotowem przebudowane jeszcze przed wojną światową na żelazne, zostały również podczas wojny światowej zdemolowane.

Ten ostatni fakt wskazuje, że budowanie stałych mostów blisko granicy Państwa (jeżeli rozpiętość poszczególnych przęseł nie przenosi 50 m) jest conajinniej zbytkiem.

W r. 1900 postawił inż. Juljusz Orzelski pierwszy most systemu Rychtera 20 m w św. na Rybnicy pod Jaworowem w km 10*7 drogi Kosów-Tatarów, zaś sześć lat później zbudował inż. Józef Rams następne cztery przęsła po 25 m systemu Rychtera mostu na Bugu pod Krystynopolem — mosty te uległy zniszczeniu podczas wojny światowej.

Tej samej doli uległy mosty drogowe systemu Hove’a na Sanie pod Przemyślem i pod Zarzeczem, stawiane na drewnianych jarzmach, tak że śladu po nich nie zostało.

Po roku 1900 nikt już nie stawiał mostów systemu Ibjańskiego — budowano je zatem w Małopolsce tylko przez 20-letni okres.

Wojna światowa stanowi następny okres w postępie budowy mostów drewnianych kratowych — gdyż spowodowała zagładę prawie wszystkich większych mostów bez względu na to czy były żelbetowe, żelazne lub kratowe drewniane. Pozostało kilka zaledwie nietkniętych i liche leżajowe prowizorja wojenne.

Właściwą jednak epokę w budowie większych mostów stanowią polski przepisy „O budowie i utrzymaniu mostów drogowych“, za-twierd one rozp. M. R. P. z dnia 9 listopada 1925 r. L. XIII-1386, które wprowadzają obciążenia znacznie wyższe od obowiązujących pod zaborem austrjackim (3 kl. : szereg wozów 3 tonowych i 340 kg\m²). Na drogach powiatowych i wojewódzkich buduje się obecnie mosty a obciążenie II kl., t. j. walce drogowe o wadze 16tonn i tłum ludzi o 400 kg 'w².

Obciążenie tak znaczne jest konieczne ze względu na ruch automobilowy, rozwijający się w przyśpieszonem tempie, który wymaga walcowania pokładu drogowego.

Od roku 1924 postawiono cały szereg mostów systemu Rychtera na nowe obciążenie II kl.

Kratownica mostowa otrzymała wymiary odpowiednie do obciążenia, przyczem zaszła potrzeba zbrojenia drewnianych klinów, że-laznemi kątówkami, celem przeniesienia ciśnienia prostopadłego do włókien drewna, na większe powierzchnie. Poprzecznice rozporowe zastąpiono belkami klockowemi lub wieszarami zbrojonemi żelazem. Między innemi zbudowano według systemu Rychtera:

1. Most na Sanie pod Postołowem 4 przęsła po 24 m św. ²‘    »    »    »    „ Jarosławiem 4    „    „42 „ „

3.    Most na Sanie pod Krzeszowem 8 przęseł po 35 m św.

26 „ „

4.    „    „ Mleczce p. Przeworskiem 1 przęsło

Oprócz tego postawiono jednotorowe prowizorja na Prucie pod

Mikuliczynem i na Dniestrze pod Niżniowem.

Obok systemu Rychtera budowano mosty systemu Hove’a.

I tak postawiono jedno przęsło 30 m św. mostu na Strymbie pod Nadworną, oraz 5 przęseł mostu na Dunajcu pod Kurowem po 35 m św. Doświadczenia ostatnich lat wykazują gwałtowne osiadanie tych krat i duże trudności przy konserwacji, tak że mimo rozpowszechnionej sławy belki Hove’a nie można polecać jej budowy na dłuższy okres czasu. Bliższych objaśnień w tym kierunku mógłby udzielić Kierownik biura mostowego Krakowskiej Dyrekcji Robót Publicznych inż. Tadeusz Żebrowski, radca budownictwa.

Powstały również nowe systemy ustrojów niosących kratowych a mianowicie:

1.    inż. J. Francoza,

2.    „ St. Rechniewskiego,

3.    „ L. Grocha.

Ustrój niosący systemu inż. J. Francoza jest kratą równoramienną zbudowaną z brusów łączonych w węzłach kolistych śrubogwoździami.

Autor opisał ją w „Czasopiśmie Technicznem“ z r. 1928 nr. 19. Most tego systemu postawiono na Wielopolu pod Kopczycami 20 ж św. II kl. i na Wiśle w Krakowie, jako most objazdowy przy budowie mostu

żelaznego.

Ustrój niosący systemu inż. Rechniewskiego jest kratą równoramienną posiadającą nitowane sztywne węzły żelazne zabetonowane, z których wystające blachy z zanitowanemi kątówkami, służą do przytwierdzania drewnianych prętów rozciąganych, złożonych zwykle z połówek krąglaków. Pręty ściskane okrągłe opierają się o klocki betonowe.

Poprzecznice rozporowe zawieszone w węzłach lub podparte jako belki złożone z 5 belek zazębionych. Parcie wiatru przenosi się z poziomej kraty górnej zapomocą sztywnych ram na podporach lub za-pomocą tężników pionowych przy mostach otwartych. Bliższy opis ustroju znajduje się w Czasopiśmie Technicznem z r. 1926 nr. 5.

Mostów systemu inż. Rechniewskiego postawiono w ciągu ostatnich 5-ciu lat przeszło Акт łącznej długości, z tego w Małopolsce

postawiono :

1.    Most na Wiśle pod Szczucinem

2.    „    „ Sanie pod Liskiem

3.    „    „ Strwiążu pod Terlem

4.    „    „ Barze pod Lisznią

5.    „    „ Białej pod Tuchowem

6.    Most na Stryju w Stryju

5x26 ж = 130 ж św.

7.    „    „ Bystrzycy pod Stanisławowem 3X26 „ = 78 „    „

8.    „    „ Strypie pod Buczaczem

1X30 „ = 30 „    „

9.    „    „ Serecie pod Lisowcami

ten ostatni z żelaznym pomostem.

Trzecia z wyżej wymienionych kratownic systemu autora powstała w 1925 r. na podstawie dwudziestokilkoletnich obserwacyj mostów kratowych. Wykonanie jej jest zastrzeżone patentem polskim Nr. 9622. Jest to kratownica prostokątna pojedyncza, zbudowana na zasadzie: „żelazo na pręty rozciągane, drewno na ściskanie“. Pasy dolne i ścięgna pionowe wykonane są z żelaza. Pasy górne i krzyżulce, zbudowane są z drewna kantowego obrzynanego. Kratownica spoczywa na łożyskach, które umożliwiają dylatację w żelaznym moście.

Zastosowanie żelaza na pręty rozciągane daje zupełną gwarancję bezpieczeństwa publicznego — jako materjał jednorodny, a ponieważ posiada dziesięciokrotną wytrzymałość drewna, powoduje zmniejszenie wagi ustroju niosącego oraz redukcję kosztów konserwacji w stosunku do innych krat o pasach dolnych drewnianych, co najmniej o połowę.

Założenie, że drewna używa się tylko na pręty ściskane, powoduje uproszczenie ustroju kratowego gdyż drewno musi być obrobione tylko od czoła i zetknięte bez zamków pełnemi płaszczyznami. Zastosowanie śrub na ścięgna pionowe umożliwia regulację strzałki ustroju bez budowy osobnych rusztowań, co przy żadnym innym systemie nie jest możliwe, gdyż nawet u Hove’a z powodu kraty złożonej strzałka da się regulować tylko do pewnej granicy.

Podkładki z blach odwijanych pod ścięgna pionowe, powodują równomierny rozkład nacisku na przyległe pręty kraty.

Pod podwójnemi nakrętkami ścięgien pionowych, ułożone są klinowe podkładki wyrównujące strzałkę pasa górnego, tak że nakrętki obracają się na poziomych podstawach.

Pasy dolne zbudowane są z dźwigarów żelaznych Q złączonych w każdym węźle przeponami z żelaza C z przynitowaną od spodu blachą klinową wyrównującą strzałkę dolnego pasa. Na pasach dolnych opierają się krzyżulce na poprzecznych kątówkach, zapartych o blachę i krótkie kątówki, przytwierdzone wzdłuż pasów taką ilością nitów jaka odpowiada parciu poziomemu krzyżulca.

O pas górny opierają się krzyżulce przy pomocy piętek dębowych, których rozmiary dostosowane do nacisku, a oś jest równoległą do dłuższych płaszczyzn zaciosów w pasach górnych.

Zależnie od rozpiętości i klasy ruchomego obciążenia pasy górne składają się z jednej, dwóch lub czterech belek obrzynanych dokładnie piłami.

Pasy i krzyżulce kratownicy mostowej nakrywa się blachą po-cynkowaną w ten sposób, aby bez rozginania dała się zdjąć dla celów rewizji mostu.

Poprzecznice kratowe zbudowane są analogicznie jak belki główne, z tą różnicą, że także pas górny daje się z żelaza, a przedłużenie jego wykorzystuje się do podparcia tężników pionowych. Dębowe krzyżulce poprzecznicy opierają się o kątówki przynitowane do pasów poprzecznicy.

Jakkolwiek przepisy o budowie mostów przewidują jednostajne rozłożenie ciężaru ruchomego — przyczem we wszystkich krzyżulcach wystąpi ściskanie, to jednak przy jednostronnem obciążeniu mogą zajść w środkowych krzyżulcach, a nawet i pierwszem ścięgnie, siły z obciążenia ruchomego, o znakach odwrotnych — dlatego krzyżulce środkowe dajemy z żelaza, a pierwsze ścięgno pionowe dajemy grubsze między pasami, aniżeli otwory w pasach, aby mogło znieść nieznaczne ściskanie. Zamiast pogrubiania pierwszego ścięgna można go przewlec przez rurkę rozpinającą pasy poprzecznicy. Oczywiście, że wymiary muszą odpowiadać działającej sile (około 1 tonny).

Wiatrownice przytwierdzone są do pasów dolnych poprzecznie. Podłużnice sięgają przez dwa pola, a spadek pomostu l°/₀ uzyskuje się przez zacięcie podłużnie. Dyliny przybija się poprzecznie do podłużnie.

O ustroju tym wygłosiłem odczyt na kongresie drogowym we Lwowie w 1926 r.

W ożywionej dyskusji jaka się po tym odczycie rozwinęła, Prof. Dr. Maksymiljan Thullie wyraził się o tym ustroju bardzo przychylnie, a podnosząc odwieczny związek drewna i żelaza, wskazał jako zalety tegoż: prostotę ustroju, możność szybkiego wykonania niezależnie od pory roku. Na prośbę Tymcz. Wydz. Samorządowego z 10 listopada 1927 Lw. 51558/27 porównał Profesor Thullie ustroje niosące systemu inż. Grocha i inż. Rechniewskiego i uznał za lepszy pod względem konstrukcyjnym ustrój inż. Grocha, a przy porównaniu kosztów obu ustrojów, zwracał uwagę na potrzebę uwzględnienia, prócz jednorazowego wydatku, również kosztów utrzymania i na trwałość ustroju. Wreszcie przestrzegał przed powstać mogącemi stratami dla Skarbu Państwa w razie przyznania monopolu ustrojowi inż. Rechniewskiego. Doświadczenia z 1930 r. opinję powyższą potwierdziły w całości.

Mosty systemu inż. Grocha zbudowano wyłącznie w Małopolsce,

w szczególności:

5X40 m = 200 m św.

1.    Most    na    Sanie pod Zarzeczem

2.    „    „    Bystrzycy pod Jezupolem 30 + 5x29 „

3.    „    „    Dubie pod Rożniatowem

4.    „    „    Rybnicy pod Sokołówką

5.    „    „    Dunajcu pod Niedzicą

6.    Most na Taborze w Rymanowie Zdroju lx31m = 31 m św.

1X30 „ = 30 „    „

7.    „    „ Jasiołce pod Stasianą

8.    W toku budowy znajduje się most na

4X45 „ = 180 „    „

Dniestrze pod Martynowem o którym wspomniałem na wstępie.

Na tabl. I, ryc. 2 przedstawiono most na Sanie pod Zarzeczem.

Na dołączonych tabl. II, ryc. 3, 4 i tabl. III, ryc. 5 widoczny jest postęp budowy przy moście na Dubie pod Rożniatowem.

Na tabl. III, ryc. 6 przedstawiono przęsło mostu na Dunajcu pod Niedzicą (40 ш św.) w budowie.

Przeprowadzone w 1930 r. rewizje większych mostów kratowych wykazały, że w systemach Rychtera i Rechniewskiego :

1.    Pasy dolne drewniane zamakają mimo zakrycia daszkami.

2.    Pręty narażone na rozciąganie, a pracujące zapomocą zębów lub zaciosów w drewnie — w bardzo wielu wypadkach mają te zęby nadpęknięte lub nawet zupełnie ścięte, tak że ustrój kratowy trzyma się tylko na śrubach wiążących styki.

3.    Używanie do budowy mostów kratowych świeżego drewna powoduje jego zsychanie, tak że zachodzi potrzeba dokręcania śrub łączących podwójne belki o 5 mm i więcej, zwłaszcza dopóki drewno nie wyschnie.

Przeprowadzone niwelacje pasów dolnych mostów kratowych wykazują osiadanie ustrojów kratowych od 8—12 cm, przyczem więcej osiadają te kraty które mają oba pasy t. j. górny i dolny z drewna.

Kształt kraty może inżynier w ustroju mego systemu doprowadzić w ciągu 8 do 10 godzin, przy pomocy instrumentu i czterech zdolnych ludzi, do kształtu pierwotnego. Robót tych jednak nie można poruczać ludziom bez dozoru inżyniera lub specjalisty, umiejącego przy pomocy instrumentu strzałkę regulować.

wniosków :

Reasumując powyższe wywody dochodzimy do następujących

1.    Ustroje kratowe należy stawiać tylko na murowanych lub betonowych podporach.

2.    Dobrze zabezpieczone przed wpływami atmosferycznemi ustroje kratowe drewniane stoją po 50 lat.

3.    W porównaniu ze stałemi mostami, koszta wykonania ustrojów drewnianych są o połowę niższe, chociaż oddają te same usługi gospodarcze.

4.    Budowa drewnianych ustrojów kratowych będzie się opłacała zwłaszcza na drogach wojewódzkich i powiatowych, oraz na kresach do czasu obniżenia stopy procentowej conajmniej o połowę obecnej wysokości t. j. do 4°/₀.

TABLICA II

Bi

|g|⁴

-L

-, I

mb

P,r

•Д i/i,

te

SU?

р!Й11Р

вшзР*

..

щщ*

^SjPpe*

Ibfc

ggjjg

№

Ł*?s=d

—JfĘSfft

щшщ/тр

7ШГ ik. _........ ->■!. ■ -b r.JSł»v---*»*—,iidfeł.**:*- .......

“4

, r*

Ryc. 3. Most na Dubie pod Rożniatowem 30 м św. system inż. L. Grocha.

%<śL

<#

ii

i!?.\

к i

li¹

“•Iw IL

?-d;%

-â-:^ -jŁc

’ -'VÂV.'.' *&

Ryc. 4. Most na Dubie pod Rożniatowem 30 m św. system inż. L. Grocha.

Inż. Leon Groch.

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

TABLICA IV.

'V

\ ,

V

к    :

Инк    *

P

W'

y

'

т

ш

ft ri

и

г ff i

> ■

ifc

д T

г

(8b>

il»¹ N N

i

*

i

i

L

•*. &ą&>

/

ж *-

-«и

к*- >

•* :•

ии®|

■

*

Ж

fcc; А- .

?'•

I

ш

"’i

Rye. 7. Most na Dniestrze pod Żurawnem 4x45 m św.* systemu L. Grocha, zbudowany w r. 1931.

M. Т. HUBER

O wyboczeniu niesprężystem.

§ 1. Pręt pryzmatyczny o końcach osi prowadzonych po prostej XX', ściskany osiowo siłami P,P przyjmuje jak wiadomo postać równowagi stałej prostą lub wygiętą zależnie od tego, czy P jest mniej sze lub większe od pewnej wartości zwanej krytyczną.

Przy założeniu, że izotropowy materjał pręta podlega prawu Hooke’a, określa wartość siły krytycznej znany wzór Eulera:

Pe=

. . (1)

.El

⁷¹ P

Tutaj oznacza E moduł Young’a, I najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta, a l jego długość. Do ścisłej ważności tego wzoru musiałyby nadto spełniać się warunki następujące :

a)    Zmiana wymiarów pręta spowodowana odkształceniem jest tak mała, że można ją pominąć;

b)    Wpływ sił poprzecznych na zakrzywienie osi pręta, jakie zajdzie, gdy P > Pkr (wartość krytyczna) jest również bardzo mały i może być zaniedbany;

c)    Siły P,P obciążające końce pręta są rozmieszczone równomiernie w przekrojach końcowych ;

d)    Przekrój pręta bądźto pełny, bądź wydrążony, nie posiada części tak smukłych, ażeby zachodziła możliwość wyboczenia miejscowego odpowiednich części pręta przy obciążeniu P < Pkr.

Z powyższych warunków wynika przedewszystkiem ograniczenie ważności wzoru Eulera lub nawet wzoru teoretycznego uwzględniającego wpływy w tym wzorze pominięte, do prętów o smukłości dość znacznej, nie mniejszej od pewnej wartości granicznej. Przez smukłość rozumiemy tutaj stosunek długości pręta l do promienia bezwładności r odpowiadającego momentowi bezwładności przekroju I,

a zatem smukłość Л=—.

r

Oznaczywszy iloraz PE : F, t. j. przez pole przekroju symbolem aK napiszemy wzór Eulera w postaci:

Warunek ograniczający ое^оп (t. j. naprężeniu na granicy ważności prawa Hooke’a) daje zatem :

.    .    (3)

Я ЯуГ

~v= • •

Warunek ten potwierdzono niejednokrotnie badaniami doswiad-czalnemi nad prętami ze stali, przyczem smukłość graniczna leżała między 80 a 110 zależnie od materjału.

Przy tak znacznych wartościach smukłości musiały być spełnione i inne warunki ograniczające, co łatwo sprawdzić rachunkiem odnośnie do warunków b) i c). Warunek d) był w tych doświadczeniach niewątpliwie spełniony. Co się tyczy warunku a), to zbadamy go w sposób następujący:

= Ее.

to

be

to

§ 2. Przypuśćmy, że siła ściskająca pręt zbliżyła się do wartości krytycznej wywołując dostrzegalne skończone odkształcenie sprężyste pręta, t. j. zmniejszenie długości początkowej Z₀ do wartości l oraz zwiększenie pola przekroju F₀ i momentu bezwładności 7₀ do wartości F i I. Zważywszy że teorja prowadząca do wzoru (1) zakłada nieskończenie słabe wygięcie osi pręta odpowiadające nowej możliwej postaci jego równowagi przy krytycznej wartości siły, widzimy, że to wygięcie wywołać może tylko nieskończenie małe odkształcenia we wszystkich częściach pręta. Ścisłość wzoru Eulerowskiego na wartość krytyczną będzie przeto zapewniona, jeżeli w nim za / i l wstawimy wartości zmienione przez odkształcenie pręta. Co więcej, wzór zachowuje widocznie ważność także w wypadku, gdy materjał pręta nie podlega prawu Hooke’a, byleby odkształcenia były doskonale sprężyste. Trzeba tylko we wzorze wstawić za E wartość miejscową pochodnej naprężenia ściskającego o względem skrócenia jednostkowego t- i-    / „4

Naprężenia należy przytem, biorąc ściśle, odnosić również do zmienionej już wartości przekroju, a wydłużenie jednostkowe do zmienionej długości. Krótko mówiąc stan rzeczywistych wartości F, I, l przy prostem ściskaniu pręta siłami PE jest stanem początkowym dla nieskończenie słabego wygięcia, jakie jest możliwe przy tej samej wartości obciążenia. Stan ten da się ująć ściśle dzięki ogólnej teorji odkształceń doskonale sprężystych, którą dał H. Hencky¹), ale do naszego celu wystarczy rachunek przybliżony.

’) „Ueber die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen“. Zeitschr. f. technische Physik. 1928, Nr. 6.

Niechaj skr oznacza bezwzględną wartość jednostkowego skrócenia pręta przy obciążeniu krytycznem, która w przypadku pręta metalowego nie przewyższa paru tysiącznych. Wówczas l=l₀ (1— eb ), a linjowy wymiar poprzeczny b = b₀(\ + (i£kr), przyczem ii oznacza stosunek Poisson’a. A zatem z dokładnością wystarczającą będzie :

/=/₀(l -\- 4/гekr) ;

czyli

Pkr

P=l0¹(\-2Ekr)

+2(1 + 2|tt)e₄,.].

lo

Uwzględniając tutaj związek Ekr, otrzymujemy

Pkr

EFo

= Ekr i rozwiązując względem

&kr

я²

Л₀² — 2 я² (1 +2 fi) podczas, gdy zwykła postać wzoru Eulera dałaby oczywiście:

Я² ¹)

з 2 A₀

• • (4)

.    .(la)

Uwzględnienie odkształceń sprężystych w chwili osiągnięcia wartości krytycznej przez obciążenie prowadzi zatem do większych nieco wartości Ekr, a zarazem do większych wartości akr. Atoli pamiętać trzeba, że wzór (4) przestałby być dokładnym, gdyby obliczone zeń Ekr przewyższało kilka tysiącznych lub, co gorzej, parę setnych (nawet przy zachowaniu koniecznego warunku

Zagadnienie wyboczenia sprężystego posiada zatem rozwiązanie teoretyczne zupełnie zadawalniające w postaci wzoru na obciążenie krytyczne. Jakkolwiek Pkr nie ma w istocie swej nic wspólnego z tą wartością obciążenia, którą inżynierowie nazywają wytrzymałością pręta na wyboczenie, a którą oznaczymy przez Pw to jednak przy smukłościach niezbyt wielkich Pw przewyższa tak nieznacznie Pkr, że uważa się je praktycznie za równe. Bardzo nieznaczna nadwyżka obciążenia ponad Pkr prowadzi bowiem z reguły do trwałego pozbawienia pręta zdolności stawiania oporu siłom ściskającym.

§ 3. Inaczej ma się rzecz z zagadnieniem wyboczenia niesprę-żystego, zachodzącego przy smukłościach pręta mniejszych od

Ядг. Wtedy oczywiście tracą ważność wzory oparte na teorji sprężystości i nasuwa się pytanie, czy przez uwzględnienie znalezionej empirycznie zależności odkształceń od naprężeń przy prostem rozciąganiu nie da się wyprowadzić wzór ogólniejszy, któryby określał teoretycznie wartość siły krytycznej w zależności od smukłości À w obszarze wyboczenia niesprężystego. Na to pytanie usiłowano niejednokrotnie znaleźć odpowiedź. Przez szereg lat panowało nawet w literaturze techniczno-naukowej przekonanie, że sprawa jest zupełnie załatwiona (w przypadku prętów metalowych) wzorem jaki się wyłonił z dyskusji między F. Jasińskim a F. Engesser’em na łamach „Schweizerische Bauzeitung“ w r. 1895, który to wzór ustawił także później niezależnie Th. v. Karman w cieszącej się zasłużonem rozgłosem pracy doktorskiej p. t. „Untersuchungen über Knickfestigkeit“ (Forschungsheft 81 V. D. I. Berlin 1910).

Tymczasem M. Broszko, po ogłoszeniu pracy powyżej przytoczonej zaatakował podstawy teoretyczne wzoru Kärmäna w dyskusji nad kwestją wyboczenia, jaka się toczyła we wrześniu r. 1928 na II. Międzynarodowym Kongresie Inżynierji Budowlanej w Wiedniu¹). Zarazem usiłował wykazać, że jego wzór teoretyczny lepiej się zgadza z pomiarami doświadczalnemi od wzoru Kärmäna. Zaoponował temu w sprawozdaniu kongresowem P. F. F il lunger kwestjonując słuszność krytyki wzoru Engessera-Kärmäna (E.-K.) i krytykując uzasadnienie matematyczne wzoru Broszki. Z podobną krytyką wystąpił niezależnie Dr. Wł. Burzyński w pracy p. t. „O wyboczeniu po-sprężystem“ (Czasopismo Techn. Lwów 1930). W przytoczonej powyżej nowej publikacji W. Rein’a znajdujemy również krytykę wywodów wzoru E.-K. ze wzmianką że, także Th. F. Hell an za-kwestjonował poprawność tych wywodów w publikacji norweskiej p. t. „Publikationer over statiske undersökelser (zesz. 1 i 3 Drontheim : F. Brun 1922 i 1928).

Nie mamy zamiaru wyliczać tutaj szczegółowych zarzutów i krytyk w powyższej interesującej dyskusji, jakkolwiek celem niniejszej pracy jest wyjaśnienie ważnej sprawy wyboczenia niesprężystego. Do tego celu dojdziemy jednakże prędzej drogą pośrednią, a mianowicie przez rozważenie podstawowych różnic zagadnień wyboczenia niesprężystego i sprężystego prętów metalowych. Na te różnice nie zwrócono dotychczas należytej uwagi w żadnej z przytoczonych prac i traktowano obydwa zagadnienia według tego samego schematu wzorowanego oczywiście na klasycznem zagadnieniu Eulera.

Ob. Compte-Rendu du 2-me Congrès Intern, de Construction des Ponts et Charpentes, Wien 24-28 IX. 1928 (str. 303 -346).

§ 4. W dziedzinie wyboczenia sprężystego (v < s < °°) można traktować pręt ze stanowiska mechaniki teoretycznej jako układ zachowawczy pozostający pod działaniem sił zewnętrznych (P, P) i wewnętrznych (molekularnych) sił sprężystości. O tern czy równowaga takiego układu jest stała (stateczna) lub niestała (niestateczna) przekonywamy się zapomocą jednej z dwu metod. W pierwszej bada się zmianę całkowitej energji układu przy jego odchyleniu od położenia równowagi. Jeżeli ta zmiana jest przyrostem dla każdego odchylenia przygotowanego układu, to rozpatrywane położenie jest położeniem równowagi stałej, według energetycznego kryterjum Min-ding’a i Dirichlefa¹).

W drugiej metodzie bada się ruch układu, jaki powstaje wskutek udzielenia mu w położeniu równowagi bardzo małej energji kinetycznej. Gdy ruch ten ma charakter okresowy i przedstawia się jako drobne wahania układu około położenia równowagi, to rozpatrywane położenie równowagi jest położeniem równowagi stałej; \v razie przeciwnym, t. j. gdy powstający ruch zniewala układ do trwałego opuszczenia tego położenia równowagi, mamy do czynienia z położeniem równowagi niestałej. Obie metody prowadzą w naszym przypadku do wniosku sformułowanego na wstępie, czyli do następującego schematu teoretycznego: Wartości obciążenia P< Pkr odpowiadają prostej osi pręta jako jedynej postaci równowagi, która jest równowagą stałą. Wartości P > Pkr odpowiadają prostej osi jako postaci równowagi niestałej i osi wygiętej jako postaci równowagi stałej. (Dla pręta nieograniczenie sprężystego istnieje jak wiadomo nieskończone mnóstwo wygiętych postaci równowagi odpowiadających ciągowi wartości krytycznych Plcr<Pkr< P" <... Atoli wszystkie inne, prócz pierwszej, są niestałe).

W warunkach rzeczywistych doświadczenia nawet najbardziej precyzyjnego muszą zajść odchylenia od schematu teoretycznego. Nieuniknione tarcie w przegubach podporowych pręta sprawia, że przy obciążeniu siłą P = Pkr jest równowaga pręta prostego jeszcze stałą, chociaż o stałości bardzo małej. Niestałą staje się dopiero przy wartości nieco większej od teoretycznej. Ale to zaburzenie schematu teoretycznego bywa kompensowane niemal zupełnie wpływem wstrzą-śnień, pochodzących np. z ruchu ulicznego w pobliżu laboratorjum. Zaobserwowano to już niejednokrotnie, że niepodobna było osiągnąć równowagi przy prostej postaci pręta obciążonego siłą P przewyższającą bardzo nieznacznie teoretyczne Pkr, jeżeli maszyna do badań podlegała drobnym wstrząśnieniom. Skoro zaś powiodło się przy wy-

-) Ob. np. pracę autora: „Kryterja stałości równowag i“ (Akad. Nauk Techn. w Warszawie 1926, zesz. 3).

jątkowym spokoju utrzymać pręt prosty pod obciążeniem przewyższa-jącem nieco Pkr, to pierwsze wstrząśnienie wywoływało niechybnie nagły przeskok do wygiętej postaci równowagi.

Nieco gorzej przedstawia się sprawa z innemi odchyleniami od schematu teoretycznego w doświadczeniu rzeczywistem. Te odchylenia pochodzą od nieuniknionej chociażby bardzo małej mimośrodkowości obciążenia przekrojów końcowych, od początkowej nieprostolinjowości osi, niejednolitości materjału i t. p. Wtedy wartość Pkr traci, biorąc ściśle, powyższe znaczenie mechaniczne, gdyż oś pręta musi się zakrzywić przy każdej skończonej wartości P. Doniosłość praktyczna wartości teoretycznej Pkr nie doznaje jednak uszczerbku, albowiem znaczenie jej polega teraz na stwierdzeniu prawidła następującego :

Wygięcie (wyboczenie) pręta rzeczywistego pod wpływem sił podłużnie ściskających staje się bardzo znacznem i niebezpiecznem, gdy wielkość obciążenia zbliża się do wartości krytycznej.

Do ścisłego ilościowego ujęcia zagadnienia przy założeniu smu-kłości dowolnie wielkich należałoby wyjść z „dokładnego“ równania różniczkowego płaskiej linji ugięcia pręta

1 _ ¹ -M.

g q₀ ~ El

Tutaj oznacza lewa strona przyrost krzywizny, a prawa moment zgińający M podzielony przez sztywność zginania El. W wielu wypadkach da się całka tego równania wyrazić zapomocą funkcyj eliptycznych, co jednakże prowadzi z reguły do rachunków bardzo uciążliwych, jak stwierdzają liczne prace temu zadaniu poświęcone.

Atoli w obszarze smukłości niezbyt wielkich jakie są stosowane z reguły jako elementy konstrukcyjne wystarcza zupełnie bez porównania prostsze całkowanie równania różniczkowego przybliżonego

d?y <Руъ M dx² dx‘i El

ażeby otrzymać liczne wyniki ilościowo zgodne z doświadczeniem¹).

‘) Tą drogą poszedł H. Zimmermann w pracach ogłoszonych w „Sitzungsberichte d. Preuss. Akad. d. Wissenschaften“ z roku 1923, a zużytkowanych przy wykonywaniu wspomnianych powyżej doświadczeń niemieckich. Interesujące wyniki tych badań teoretycznych nie przeszkodziły jednakże autorowi wygłosić ryzykowne zdanie „dass es einen sicheren Gleichgewichtszustand nach der Ueber-schreitung der Eulergrenze nicht gibt“ (Zimmermann, Lehre von Knicken auf neuer Grundlage. Berlin 1930. N. Ernst & Sohn na str. 6 wiersz 13 zgóry). То zdanie jest oczywiście słuszne tylko dla niewielkiego obszaru smukłości większych od Spr uwzględnianego jedynie w badaniach doświadczalnych wytrzymałościowych. Zimmermann byłby zapewne uniknął powyższego błędnego wniosku, gdyby wyszedł z równania dokładnego jak np. w pracach Obrębowicza, Bełzeckiego, Czo-powskiego, Szelągowskiego, Bodaszewskiego i Vetulaniego.

§ 5. Przechodząc teraz do dziedziny wyboczenia niesprężystego wykażemy z łatwością głębokie i istotne różnice odnośnego zagadnienia w porównaniu do wyboczenia sprężystego. Przedewszystkiem pręt nie jest już układem zachowawczym, a więc traci dlań ważność kry-terjum energetyczne stałości równowagi. Metoda drobnych drgań również niema zastosowania. Ponadto komplikuje się napozór zadanie rożnem zachowaniem się metali odkształcanych poza granicą sprężystości. Jakże więc określić Pfo.? Ażeby odpowiedzieć na to pytanie rozpatrzymy dokładnie wykres rozciągania i ściskania dla wszelkich materjałów konstrukcyjnych.

Przy badaniu doświadczalnem rozciągania lub ściskania prętów pryzmatycznych zwiększa się stopniowo napięcie P działające wzdłuż osi pręta, a więc zarazem i naprężenie odniesione do pola przekroju F₀ w stanie nieobciążonym. Każdy przyrost wartości a w doświadczeniu rzeczywistem odbywa się oczy-

wiście z pewną prędkością

da i wywołuje odpowiedni przyrost od-

tu |4«a

. Przedstawiając każdą parę jedno-

kształcenia e o prędkości

czesnych wartości e i o punktem na płaszczyźnie spółrzędąych prostokątnych otrzymujemy doświadczalny wykres (e, o) charakterystyczny dla badanego materjału. Rzecz jasna, że wykres taki ipusi być zależny od prędkości, z jaką wzrasta e i o. Wynika to już z tego, co wiadomo o t. zw. „opóźnieniu sprężystem“. Ale jeszcze silniej wychodzi na jaw zależność od prędkości doświadczenia poza obszarem odkształceń sprężystych, gdy mamy do czynienia ze znacznie większemi od nich odkształceniami niesprężystemi czyli plastycznemi (albo „trwałemi“). Taki przypadek zachodzi u licznych metali, jak np. stal konstrukcyjna*), miedź walcowana lub kuta i t. p.

i) Nazwa stal obejmuje obecnie wszystkie materjały żelazne z wyjątkiem żeliwa, czyli żelaza lanego. Podział dawniejszy na żelazo (spawalne lub zlewne) i stal (spawalną lub zlewną) opierano na rozróżnianiu ilościowem bądź to co do zawartości węgla (żelazo do 0,25°/oC, stal powyżej 0,25/₀ C), bądź też co do wytrzymałości doraźnej (żelazo mniej jak 50 kg/mm-, stal 50 kg/mm'¹ i więcej). Taki podział panował w Europie środkowej i wschodniej pod wpływem słownictwa technicznego niemieckiego i odpowiadał nazwom niemieckim „Eisen i „Stahl . Natomiast w języku francuskim jest oddawna w użyciu jedna wspólna nazwa „a ci er“ i podobnież w angielskim „steel“.    ш .

Sztuczność dawnego podziału na „żelazo“ i „stal“ oraz nieporozumienia w stosunkach międzynarodowych skłoniły Komitety Normalizacyjne kilku państw, a między niemi i nasz do uzgodnienia nazwy „stal“ z wymienionemi nazwami:

Najbardziej pożądanem byłoby zbadanie wykresu, odpowiadającego stanom trwałej równowagi wewnętrznej (międzycząsteczkowej) przy każdej parze odpowiadających sobie wartości e i o. Atoli to jest praktycznie niewykonalne, gdyż wymagałoby nieskończenie powolnej zmiany wielkości e lub o. Zadowalniamy się przeto wykonaniem badania w ten sposób, że np. po udzieleniu wartości a pewnego przyrostu, obserwujemy rosnące odkształcenie tak długo, aż prędkość tego przyrostu stanie się znikomo małą, poczem dopiero zwiększamy znowu o. Należy o tern dobrze pamiętać przy teoretycznej interpretacji wykresu (o, e), szczególnie u metali posiadających wybitną granicę plastyczno ś ci (ang. Y i e 1 d point, fr. limite d’élasticité, niem. Fliessgrenze, ros. Kriticzeskaja toczka albo predieł tieku-czesti). Tak nazywamy, jak wiadomo, pewną charakterystyczną dla materjału wartość naprężenia — oznaczmy ją przez apt — przy osiągnięciu której pojawiają się szybko zrazu rosnące odkształcenia plastyczne bez jednoczesnego wzrostu naprężenia. Obciążenie wartością o pi wywołuje zatem zaburzenie równowagi wewnętrznej, a nowy stan równowagi wytwarza się dopiero po pewnym czasie. Doświadczenie poucza bowiem, że prędkość odkształceń plastycznych szybko maleje, stając się równą zeru, gdy np. u pewnych rodzajów stali zmiana długości osiągnie około 2°/₀.

Odpowiednia część wykresu ma mniej więcej postać odcinka prostego równoległego do osi e i odległego od niej o wielkość apl.

Od chwili odpowiadającej końcowi tego odcinka potrzeba znowu dalszego wzrostu naprężenia, ażeby zwiększyć odkształcenie (ob. rys. 1).

Jeżeli od pewnego punktu wykresu zmniejszymy naprężenie o aż do zera, to odkształcenia maleją według prawa odkształceń sprężystych, czyli otrzymujemy linję prawie prostą nachyloną do osi pod tym samym kątem, co początkowa linja od zera do granicy proporcjonalności.

§ 6. W takim wykresie można odróżnić trzy obszary. Obszary te, częściowo zachodzące na siebie nawzajem, odpowiadają trzem własnościom materjału, a mianowicie: sprężystości, plastyczności i hartowności mechanicznej, czyli zdolności do twardnienia (wskutek odkształceń plastycznych).

Obszar sprężystości zajmuje głównie pierwsza część wykresu prawie prosta i stroma aż do а=арг. Jest to obszar stałej równowagi wewnętrznej. Równowaga ta staje się niestałą przy zbliżeniu

angielską i francuską. Stosownie do tego rozumiemy teraz przez „żelazo“ niemal tylko pierwiastek chemiczny Fe; materjały techniczne zaś, zawierające głównie żelazo, noszą nazwę: „stal“, jeżeli są wytworem walcownictwa i żeliwo, jeżeli są wytworem odlewnictwa.

się do opiу jak o tem świadczy „ząb“ wykresu¹) w miejscu przejścia w prostą poziomą obszaru plastyczności. Z tego powodu odróżniają wyższą granicę plastyczności op/ odpowiadającą szczytowi „zęba“ od niższej granicy plastyczności a¹ odpowiadającej jego podstawie, a więc praktycznie równej apł. Zważywszy, że wysokość, a nawet kształt tego zęba zmieniają się u jednego i tego samego materjału zależnie od sposobu i szybkości wzrostu obciążenia, a tylko wartość o pi jest ze znacznem przybliżeniem od tego niezależna, możemy tylko tej wielkości przypisywać charakter stałej materjału.

3000

5f^-

2000

tooo

WyBnssy 6, £ рту ścsBoniu C'fnzy diac 5 по о/ ыy Tinie t> ь/. /Bon anyi Æ ol m/ecBiG^o Zb.'iQzŁ u QuotoL/mciь/о Sfofcwq<£c

£s£Q_^Ä&’mnogo"/ u fa facf. /9tyQ di. 19i/2=—

rnar, e u uroń ’’em j

sfu-

Y/r-

(pri

Rys. 1.

Obszar^plastyczności, przedstawiony częścią wykresu równoległą do osi e, jest obszarem nierównowagi; materjał „płynie“ niejako z prędkością wyraźnie malejącą aż do początku trzeciego obszaru, w którym linja wykresu znowu się podnosi.

Ten trzeci obszar jest znowu obszarem równowagi wewnętrznej dzięki tajemniczemu zjawisku twardnienia (fr. écrouissage,

i) Niektóre systemy maszyn wytrzymałościowych dają zamiast tego dwa lub więcej zębów, co się wyjaśnia różnorodną reakcją części maszyny wywierającej obciążenie na części mierzące odkształcenie, oraz wpływem bezwładności części mechanizmu samopiszącego wykres (o, f).

niem. Verf estigung, ang. cold work effects). Opór wewnętrzny materjału przeciw rosnącym odkształceniom plastycznym, który w drugim obszarze był stałym, zaczyna teraz znowu wzrastać wraz z wielkością odkształcenia. Materjał „krzepnie“ niejako i zmienia swoje własności wytrzymałościowe, stając się przedewszystkiem twardszym i kruchszym, t. j. mniej zdolnym do nowych odkształceń plastycznych. Stąd nazwa zjawiska twardnienia znanego w technologji metali pod nazwą „skutków zimnej obróbki“ albo także „zgniotu“.

Zjawisko twardnienia występuje również u metali nie posiadających wyraźnej granicy plastyczności, a więc pozbawionych obszaru plastyczności, jako obszaru nierównowagi wewnętrznej. Za punkt wykresu (e, o) równoważny granicy plastyczności (jako granicy wyraźnych odkształceń plastycznych) przyjmuje się wówczas na podstawie praktyki laboratoryjnej punkt odpowiadający pewnej określonej wielkości odkształcenia jednostkowego. Przy próbach stali np. przyjęto ją równą 0,2°/₀. Ze stanowiska naukowego jest to oczywiście dowolność, usprawiedliwiona tylko praktyczną potrzebą uczynienia zadość literze przepisów odbiorczych.

Materjały nie ujawniające przy próbach rozrywania lub zgniatania odkształceń plastycznych nazywamy kr u che mi. Do nich należą gorsze gatunki żeliwa, kamienie naturalne i sztuczne, szkło, porcelana, beton i t. p. Jednakże materjały takie są z reguły zdolne do wielkich odkształceń plastycznych, ale tylko pod wpływem sił zewnętrznych wytwarzających stosowny trójwymiarowy stan napięcia.

znowu

mum

Wykres (г, o) dla metali plastycznie odkształcalnych w postaci otrzymywanej zwykle z „prób“ odznacza się jeszcze jedną ważną cechą. Skoro mianowicie w obszarze trzecim napięcie rozciągające P osiągnie maximum to nie zachodzi zaraz pęknięcie, lecz dopiero po dalszem wydłużeniu plastycznem przy malejącej (w sposób zależny od właściwości maszyny) wartości P. Ta część wykresu odpowiada stanom nierównowagi, a nadto ustaje w niej dotychczasowa równomierność wydłużania, gdyż w chwili osiągnięcia maxi-P pojawia się miejscowe zwężenie przekroju („szyjka“) pociągające za sobą koncentrację dalszych wydłużeń w pobliżu tego miejsca.

Z tego powodu odnośna część wykresu winna być wyłączona, jako niedopuszczająca jasnej i prostej interpretacji teoretycznej. Ostatni teoretycznie doniosły punkt podany przez wymienioną największość napięcia P, a więc i największość naprężenia (odniesionego do pierwotnego pola przekroju) na granicy równowagi wewnętrznej. Wartość ta określa doraźną wytrzymałość na rozciąganie (albo „na rozrywanie“).

Doświadczenia ze ściskaniem tychże metali nie prowadzą do analogicznego punktu wykresu, gdyż ściskanie podłużne wywołuje roz-

szerzenie poprzeczne zmniejszające oczywiście wartość naprężenia w odniesieniu do przekroju rzeczywistego. Powstaje teraz miejscowe zgrubienie poprawiające zwykle warunki równowagi wewnętrznej. Za to występuje inny czynnik zakłócający, a mianowicie niebezpieczeństwo „wyboczenia“, zależne jak wiadomo od „s mu kłoś ci“ ściskanego pręta.

Z tego powodu nie wyznacza się doraźnej wytrzymałości na ściskanie takich metali, przyjmując zgóry w praktycznych obliczeniach wytrzymałościowych, że ona jest przynajmniej równa doraźnej wytrzymałości na rozciąganie.

§ 7. W wykresach (e, o) rozciągania lub ściskania możemy przeto ustalić wogóle następujące ważne punkty:

1)    Granica proporcjonalności, t. j. punkt do którego linja wykresu jest odcinkiem prostej przechodzącej przez początek spółrzędnych. Obydwa odcinki odpowiadające rozciąganiu i ściskaniu należą przytem do jednej prostej a zatem moduły odkształcenia sprężystego przy rozciąganiu i ściskaniu naprężeniami nie prze-wyższającemi granicy proporcjonalności mają wspólną wartość E.

2)    Granica sprężystości, t. j. punkt do którego linja wykresu przy obciążeniu rosnącem zlewa się z linją odpowiadającą obciążeniu malejącemu aż do zera. Z licznych badań doświadczalnych dawniejszych wysnuwano wniosek przeczący wogóle istnieniu ścisłej granicy sprężystości. Nawet bowiem przy bardzo małych naprężeniach materjału obciążonego poraź pierwszy stwierdzono jakoby po zniesieniu obciążenia, że drobna część odkształcenia całkowitego pozostawała trwale. Atoli kiedy nowsi badacze wykonali metodami udoskonalonemi pomiary wielokrotne przy cyklach obciążeń rosnących powoli i malejących następnie aż do zera, to stwierdzili, że już po paru cyklach przedstawia się odkształcenie jako zjawisko odwracalne w dość obszernych granicach. Bardzo małe odkształcenia plastyczne dające się dostrzec po pierwszym cyklu tłumaczą się nieuniknionemi niejednolitościami i naprężeniami wewnętrznemi materjałów technicznych o budowie z reguły bardzo złożonej. A zatem granica sprężystości ma byt realny i daje się wyznaczyć chociaż nie w tak łatwy sposób, jaki jest pożądany przy wykonywaniu „prób“ materjału.

3)    Granica plastyczności bliżej określona już powyżej.

4)    Granica wytrzymałości t. j. najwyższy punkt linji wykresu, którego rzędna przedstawia wytrzymałość doraźną.

Sporządzany zwykle w laboratorjach technicznych wykres (e, o) na podstawie „próby rozciągania“ pozwala z reguły wyznaczyć tylko granicę proporcjonalności i granicę wytrzymałości, a często także i granicę plastyczności. Wyznaczenie granicy

sprężystości wymaga osobnego badania przyczem do celów technicznych poprzestajemy na pomiarze praktycznej granicy sprężystości, określonej dla metali wielkością naprężenia, które powoduje wydłużenie trwałe o wartości 0,001 do 0,003°/₀. Podobne badanie jest potrzebne także do wyznaczenia punktu określonego powyżej, który się uważa za równoważny granicy plastyczności w przypadku gdy materjał wyraźnej takiej granicy nie posiada.

Wykresy (e, o) dla materjałów kruchych są znacznie prostsze i składają się z odcinka prostego wychodzącego z początku układu i przechodzącego łagodnie w łuk zwrócony wypukłością ku osi o-.

§ 8. Teraz dopiero możemy przystąpić do odpowiedzi na pytanie postawione na początku § 5. Szukanie krytycznej wartości siły P ściskającej pręt osiowo w obszarze małych smukłości, gdy wzór Eulera traci ważność, musi się odbywać inaczej w przypadku, kiedy materjał pręta objawia wyraźną granicę plastyczności, a inaczej kiedy ten materjał granicy takiej nie posiada. W pierwszym bowiem przypadku jest osiągnięcie granicy plastyczności (oczywiście niższej) równoznaczne ze zwichnięciem równowagi wewnętrznej, co prowadzić musi do wyboczenia bez względu na wartość smukłości, o ile tylko ta wartość jest zawarta między granicami, które oznaczymy przez :

A’'' = wyższa smukłość graniczna,

A”. = niższa smukłość graniczna.

Wyższą smukłość graniczną znajdziemy z wzoru o tej samej postaci, co wzór (3) na smukłość graniczną zamykającą ważność zwykłego wzoru Eulera, a mianowicie:

(5)

Г =н\

дг у

przyczem E' oznacza wartość pochodnej o =

a(n)

lewostronnej w punkcie

pi

Niższa smukłość graniczna da się ustalić tylko doświadczalnie, albowiem przy bardzo małej smukłości staje się prędkość twardnienia większa od prędkości wyboczenia, którego dzięki temu nie można zrealizować. W przytoczonych powyżej badaniach doświadczalnych Niem. Związku Budownictwa Stalowego (D. St. V.) znaleziono (dla stali) wartość A”. leżącą między 20 a 30, zaś A , od 70 do 80 zależnie od rodzaju stali. Pomiędzy temi granicami smukłości okazało się ze znaczną dokładnością zgodnie z naszym powyższym wnioskiem teoretycznym :

¹

M. Broszko („Sur le flambage des barres prismatiques“ C. R. rok 1928, t. 186, p. 1041) zwróciwszy, jak się zdaje, pierwszy uwagę na tę postać wzoru Eulera, spróbował uogólnić jej ważność do przypadku wyboczenia niespręźystego prętów metalowych. Jakkolwiek wywody teoretyczne tej pracy spotkały się z krytyką poczęści słuszną, to jednak zaproponowana postać odpowiada w obszernych granicach smukłości wcale dobrze wynikom najnowszych bardzo licznych badań doświadczalnych wykonanych w Niemczech staraniem Związku Budownictwa Stalowego („Deutscher Stahlbau-Verband“) i zreferowanych w pracy: W. Rein, „Versuche zur Ermittlung der Knickspannungen“. (Berlin, Springer 1930).

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

<V-V. czylj ptr = F-°y

Nic tedy dziwnego, że wzór teoretyczny wspomniany w § 3, czy to w postaci znanej z pracy Kârmân’a z r. 1910, czy też w udoskonalonej postaci W. Burzyńskiego z r. 1930 nie nadaje się do wyznaczenia Pkr w przypadku materjałów o wyraźnej granicy plastyczności. Wzór ten nie może mieć przeto pretensji do ważności ogólnej, jaką mu przypisywano powszechnie, dopóki M. Broszko nie wykrył sprzeczności, do których wzór prowadzi w niektórych przypadkach. Wprawdzie nowy wzór, ustawiony przez Broszkę w miejsce wzoru Kärmän’a nie może być również traktowany jako ścisłe rozwiązanie teoretyczne naszego zagadnienia, jak tego dowiódł Burzyński w przytoczonej pracy z r. 1930 p. t. „O wyboczeniu posprężystem“ (Czas. Techn.), jednakże niewątpliwą zasługą odnośnej pracy Broszki jest znalezienie słabej strony wzoru cenionego przez ogromną większość inżynierów-badaczy wskutek zaufania do wielkiego i zasłużonego autorytetu Kârmân’a.

Atoli ta słaba strona Wzoru niema charakteru ogólnego, lecz tkwi głównie w braku zastrzeżenia wynikającego z naszych rozważań, że wzór ten można stosować tylko w przypadkach, gdy funkcja a-=f{é) materjału pręta jest, jak się wyrażają matematycy — monotonicznie rosnącą. To ważne zastrzeżenie wyklucza oczywiście stosowalność wzoru Engesser’a- Kârmân’a (jak go nazywają Niemcy) do prętów stalowych o wyraźnej granicy plastyczności, naco widocznie nie zważa W. Rein w przytoczonej powyżej pracy z r. 1930, gdyż próbuje uwzględnić nawet „ząb“, z wykresu (e, o), a sprzeczności stara się usunąć sztucznem, a niezrozumiałem „dokładnem“ obliczeniem „modułu wyboczenia“.

Ale i w tych przypadkach, gdy w wykresie (e, o) materjału pręta a ciągle rośnie wraz z e, nie może być mowy o ważności wzoru E.-K. dla prętów o dowolnej zwartej postaci przekroju. Burzyński zwraca słusznie uwagę na to, że wyrażenie we wzorze, określające sztywność zginania powyżej granicy proporcjonalności odpowiada tylko przypadkowi przekrojów podwójnie symetrycznych, a w innych przypadkach należałoby szukać nietylko nowych wyrażeń na sztywność zginania (lub „moduł wyboczenia“), lecz także zależności kierunku wyboczenia od postaci przekroju. Z tego zdawał sobie sprawę już Engesser, jak dowodzi jego praca, którą czytałem może 25 lat temu w jednym z roczników V. D. I.

Co się tyczy wzoru Broszki w postaci (la), to jak już zaznaczono w odsyłaczu w § 2, jego zgodność z doświadczeniem potwierdza się właśnie w przypadku materjału o wyraźnej granicy plastyczności, kiedy, jak dowiedliśmy, nie można stosować wzoru teoretycznego E.-K. Wzór Broszki należy przytem traktować jako empiryczny.

Wzór teoretyczny Engesser’a-Kärmän’a (zwłaszcza z poprawką Burzyńskiego) jest niewątpliwie stosowalny w przypadkach materjałów bez wyraźnej granicy plastyczności i przekrojów zwartych o symetrji podwójnej. Wyraz „stosowalny“ odnosi się przytem do warunków laboratoryjnych zbliżonych możliwie do uproszczonego schematu teoretycznego przedstawionego w § 1. Nie może być zatem wogóle mowy o bezpośredniej stosowalności omawianych tutaj wzorów do praktyki konstrukcyjnej z powodu znanego ogromnego wpływu drobnych zboczeń prętów praktyki od teoretycznego schematu na wartość obciążenia niebezpiecznego, zwłaszcza przy wartościach smukłości leżących w okolicy smukłości granicznej. Ale jak już zaznaczyłem w § 3 niniejszej pracy, chodziło mi w niej o wyjaśnienie naukowej strony zagadnienia w sposób zapobiegający być może nowym sporom i nieporozumieniom na temat teorji wybo-czenia niesprężystego.

1NŻ. DR. TOMASZ KLUŻ

Rama prostokątna dwuprzegubowa.

Pod wpływem obciążenia rama dwuprzegubowa (rys. 1 a) przybierze po odkształceniu kształt wskazany w rysunku 1 b. W ogólnym wypadku obciążenia niesymetrycznego, naroża A i В rozpatrywanej ramy ulegną przesunięciu o wielkość d. Równocześnie końcowe przekroje rozpory o rozpiętości l doznają obrotu o wartości ß i y, końcowe zaś górne przekroje słupów o wysokości h — obrotu o kąty a i ń. Ustrój ramowy po przesunięciu naroży A i В i obrocie najbliższych

___2

Г+

'Al

;L\ I

\i

iff

Rys. 1 a, b.

tym punktom przekrojów nie zmienia zasadniczo kątów prostych, które tworzą ze sobą słupy i rozpora.

Między kątami w punkcie A₁ zachodzi więc następujący związek

• 0)

<Pa + a = ip

Ponieważ styczne do linij ugięcia rozpory i słupa w punkcie Ax tworzą ze sobą kąt prosty, więc

<Pa =ß ■    .

(2)

Równanie (1) otrzyma więc postać

ß + a = tf>

.    . (la)

Podobny związek zachodzi i dla kątów w Bx

У + à = гр .    .

Z równań (1 а) i (3) możemy wyeliminować kąt tp, który charakteryzuje przesunięcie naroży ramy, otrzymamy

ß + a = y + ô

(3)

lub w wartościach bezwzględnych

.    .    (4)

(a + ß) + (y + ô) = 0 .    .

Równanie (4) podaje zasadniczy związek między kątami podpo-rowemi (t. j. kątami, jakie tworzą styczne do linij ugięcia prętów schodzących się w narożu Ax\ Bx, z prostemi łączącemi naroża ramy) naroży A i B. Związek ten przedstawia warunek ciągłości dwusłupo-wej ramy dwuprzegubowej o kształcie prostokątnym.

W równanie (4) nie wchodzi przesunięcie d ani kąt гр zależny bezpośrednio od tego przesunięcia. Podobnie jak warunek ciągłości belki ciągłej kształtu

« + /? = 0

— warunek wyrażony równaniem (4) podaje, że „suma kątów podporowych dwu naroży A i В ramy równa jest zeru“.

Wprowadzając zamiast kątów podporowych fikcyjne oddziaływania według metody autora podanej w pracy „Ustroje hiperstatyczne o elementach prostych“ (Lwów 1928, str. 6, równ. 4) — dostaniemy równanie

(W\ + W") + (W + W2) = 0 .

W\ oznacza sumę fikcyjnych oddziaływań powierzchni momentów zginających, zredukowanych w stosunku 1 : EI, a występujących na podporze A słupa hx ; W” oznacza podobną sumę oddziaływań fikcyjnych na lewej podporze rozpory l; W — sumę oddziaływań fikcyjnych na prawej podporze tejże rozpory z pomyślanego obciążenia rozpory momentami zginającemi ; W2 — sumę fikcyjnych oddziaływań na podporze В słupa l₂.

W rozpatrywanym wypadku fikcyjne oddziaływania W mają następujące wartości (por. rys. 2)

.    .    (5)

Wi

W”

Wi

-%(Ti +7*^)

= Т{Г'+\М>1+ g Мг¹)

⁼т(Г + 1 M*l+ F м'¹)

= 7г(ПЧ3-’/Л')

przyczem T\ przedstawia pomyślane oddziaływanie powierzchni zwykłych momentów ADE (t. j. momentów występujących w belce AD, uważanej za swobodnie podpartą na obydwu podporach) w punkcie A na prawej podporze; T" — oddziaływanie powierzchni A GB na podporze A (lewej); T' — oddziaływanie tej samej powierzchni na podporze В (prawej); T’{ — oddziaływanie fikcyjne powierzchni BFC na podporze В (lewej) słupa ht. Dalsze wyrazy objęte nawiasami wyrażają fikcyjne oddziaływania powierzchni trójkątnych momentów o wysokościach Mx i Mt (rys. 2) będących nieznanemi a szukanemi momentami węzłowemi w punktach A i B.

Wstawiając powyższe wartości na W w równanie (5) otrzymamy

Ix 3

• -5- Mx hx + у • 2

Mxl + J--~M₂IA-

Mxl = 0.

^2 К + у • g

/Y

S,

Оу = О/у^Оду

Z2

Z,

7Г

Z,

K/erxmeA c/odolni (■+ )

-Г

/4=4

4/4

Ä3-

fàerunek ujemny C— )

H,

Нг

^ Oc/-Ôf</*CW

Rys. 2 a, &.

Po pomnożeniu całego równania przez I i oznaczeniu stosunków momentów bezwładności

mx

M**<| Kl

к K⁵

. . (6)

mamy

(wx. T\ A T 4- T + т%. T2 ) + w*! • -q⁻ 7MX h\ 7MX l +

“ł~    d/₂ I —2" d/₂ ^ d⁻ ^2 • 2 it/g ^2 ~b ^ d/i Z

Jeżeli wyrazy objęte nawiasem oznaczymy literą T₀

.    .    (7)

2o ⁼    • T\ + T T -j- m₂. T2

(T' i T” wyrażone w wartościach bezwzględnych) i zgrupujemy wyrazy z Mx i Ma, otrzymamy

bo OJ

/ j M₂ • h-2 4- 2“ ^ — 0 •

• (8)

7T₀ + -g- Mx . hx +

Równanie fikcyjnych oddziaływań w postaci wyrażonej równaniem (8) oraz znane warunki równowagi, posłużą nam do rozwiązania rozpatrywanej ramy. Ponieważ mamy do czynienia z dwiema wielkościami nie-wiadomemi Mx i M₂, potrzebne nam jest jeszcze jedno równanie, które otrzymamy z warunku rzutów sił poziomych (rys. 2) w postaci

lub w naszym przypadku

(9)

(9 a)

2Z+HX + H₂ = 0 gdy przez Hx i H₂ oznaczymy parcie poziome słupa hx i słupa h2 wyrażone w wartościach bezwzględnych.

Zewnętrzne siły poziome Z działające na słupy ramy hx i \ przenoszą się na węzły ramy w częściach O„ (naroże górne) i Od (węzeł dolny), więc (rys. 2 b)

2Z=20g + 20d .    .

. . (10)

Wyrażając Hx i H₂ w równaniu (9 a) przy pomocy momentów Mx i oraz wprowadzając O,, i Od, otrzymamy¹)

20,-^ + ^ = 0

h h

lub też po oznaczeniu

R--S Од - 0\ g + Oïg

. . (И)

dostaniemy

Ж, Ж h ⁺ h

po uwzględnieniu, że hx = h₂ = h, jako drugie szukane równanie dla wyznaczenia niewiadomych Mx i M₂.

Wyznaczoną z równania (9 b) wartość na M₂ wstawiamy w równanie (8). Uwzględniając, że hx = h₂ = h, otrzymamy po wykonaniu działań równanie

.    . (9 b)

T₀ + 2 Mx (mx. h f 3 / -(- m₂. h) —

skąd

Mx

R h (m₂ .h+ 1,51) — 3 T₀

(wix -f- ?W₂)    ~\~ 3 l

• • (12)

') Por. W. Gehler: „Der Rahmen“, 111 wyd. str. 120 i poprzednie.

Równanie (12) podaje wartość na moment Mx w narożu lewem (^L) ramy dwusłupowej, o dwu przegubach, dowolnie obciążonej i o różnych momentach bezwładności Ix, /, /₂. W równaniu tern R i T₀, jako wartości bezwzględne, przybierają znaki plus lub minus zależnie od kierunku działania sił oraz przyjętych oznaczeń momentów dodatnich i ujemnych.

Jeżeli znakiem dodatnim oznaczymy te momenty zginające, które wywołują ciągnienia we włóknach skrajnych prętów ramy od strony wewnętrznej według oznaczenia linjami kreskowanemi w rysunku 1 a, to wchodzące w T₀ fikcyjne oddziaływania powierzchni zwykłych momentów T i T" będą miały wartość dodatnią w wypadku, gdy siły zewnętrzne (obciążenia) będą skierowane do wewnątrz omawianego ustroju ramowego. W przeciwnym wypadku, gdy dane obciążenie działać będzie od strony wewnętrznej ramy (np. siła Z₂ w rys. 2), to odpowiednie oddziaływanie T i T" w równaniu (7) oznaczyć należy znakiem ujemnym.

Wartość na R obliczymy z równania (11) w postaci

R — 0\g + O2 g .

Przez 0\g oznaczono tę część wartości sumy sił poziomych (składowych poziomych) działających na słup ht, która przenosi się na górne naroże {A) słupa \, przyczem słup \ uważany jest za belkę swobodnie podpartą w punktach A i D (rys. 2 a i b). Wielkość 0Xg ma więc znaczenie reakcji sił poziomych działających w hx na podporze górnej słupa hx uważanego za belkę wolnopodpartą. Wyznaczenie wartości 0\g nie przedstawia więc żadnej trudności.

Podobnie przez 02g oznaczono reakcję sił poziomych działających na słup ä₂ na podporze górnej (R).

Wielkości 0Xg i 02g podane są w wartościach bezwzględnych. Zależnie od kierunku działania poziomych sił Z otrzymujemy na OXg i Огд znak dodatni lub ujemny. Za kierunek dodatni — według poprzedniego przyjęcia — uważać należy kierunek si\ Z od strony lewej ku prawej. Dla danej siły Z działającej od lewej ku prawej stronie występująca wielkość Oig (lub 02g) posiada również znak dodatni, jako posiadająca ten sam kierunek, co siła Z.

W wypadku, gdy siły zewnętrzne działają tylko na rozporze (słupy nieobciążone) lub gdy Oig = 02g (równe oddziaływania na podporze górnej słupów o kierunku przeciwnym) wtedy R=0, a równanie (12) przybiera prostszą postać

.    .    (12 a)

Mx

3 T₀

(mx + m₂) h + 31

Dla obciążeń rozpory działających od strony górnej tejże rozpory moment Mx będzie zawsze ujemnym.

W ostatnim wypadku według równania (7)

T₀ =T" + T' = F

jeżeli przez F oznaczymy powierzchnie zwykłych momentów. Wtedy równanie (12 a) możemy napisać w innej jeszcze postaci

.    .    (12 b)

M,= -

(mx + m₂).h + 3l Gdy momenty bezwładności słupów będą sobie równe IX=Lä, równanie ogólne na Mx przybierze postać

Mx

R. h (m h -j- 1,51) — 3 T₀

m.2h + 31

•    • (13)

przyczem

4    4 m'

Dla Ix = 1 = I₂ (równy przekrój słupów i rozpory)

Mx

Rh(h+\,5l) — 3T₀

.    .    (13 a)

Analogicznie do wartości na M₁ moment M₂ otrzyma ogólną postać

2Л + 31

M₂

Rh(m₁.h+l,5l) — 3 T₀

(mx + m₂) .h+3l

•    • (14)

W równaniu (14) podającem wartość na M₂ dodatni znak otrzymają te siły (składowe) poziome, które posiadają kierunek od prawej strony do lewej, a więc odwrotnie niż w równaniu na Mx (por. rys. 3). Natomiast wartość T₀ jest identyczną tak w równaniu na Mx jak i na M₂.

W wypadku obciążenia samej tylko rozpory moment

3 T₀

= MX .    (14 a)

(mx 4- m₂) .h-\-3l

M₂ równy jest momentowi Mx tak co do znaku jak i wielkości, co zresztą wynika z ogólnego równania (12).

Identyczną również postać z równaniem na Mx przybiera równanie na M₂ w wypadku, gdy IX=I₂, wtedy

M₂ = -

M₂

Rh(mh + 1,5/) — 3 T₀

m.2h + 31

.    .    (15)

Mimo identycznej postaci równań (13) (wartość na Mx) i (15) (wartość na J/₂) równania te różnią się między sobą. W równ. (13) — jak to powyżej zaznaczono — dodatnim kierunkiem sił poziomych jest kierunek od strony lewej ku prawej, w równaniu zaś na M₂ (równ. 15) tenże kierunek jest kierunkiem ujemnym.

1. Przykład.

Daną mamy ramę dwuprzegubową (rys. 3) obciążoną na rozporze ciężarem jednostajnie rozłożonym q oraz poziomą siłą skupioną Z działającą w narożu A ramy. Przekroje słupów są sobie równe,

Л =h-

Momenty Ml i M% obliczymy z równania 13 (15) w postaci

Rh(mh+\,bl) — 3 T0 ¹ ~ m.2h + 3l

w czem

Wartość na R otrzymamy z równania (11) (02ff= 0)

R = 0\g = Z.

-z

Oa - - Z

c//a Ai,

■J, h

---o

<4~

Rys. 3.

Dla M₁ kierunek siły Z jest kierunkiem dodatnim

R =+ Z.

Dla M₂ kierunek ten jest kierunkiem ujemnym

R = — Z.

Wartość T₀ obliczymy z równania (7)

f₀ = m T\ + T" + Г + m. T%.

Ponieważ siła Z działa na podporze A słupa A D uważanego za belkę wolnopodpartą, nie wywołuje więc (zwykłych) momentów, tern samem T = 0; podobnie T'i=0. Więc (obciążenie q działa w kierunku do wewnątrz ustroju ramowego, T i T” posiada więc znak dodatni)

Po wstawieniu powyższych wartości w równanie (13) otrzymamy wartość na Mx

Mx

+ Z.h(m.h+\,5£) — \qV

Z.h

ql³

m.2h + 3 /

Wartość momentu M% dostaniemy po wstawieniu E = —Z

— Z.h(mh+\,5l) — ^ql³

Z.h

ql³

m.2h + 31

2    4(2жЛ + 3/)

Przykład liczbowy.

Daną jest rama dwuprzegubowa o rozpiętości rozpory /=8,0 m, słupów A₁=A₂=A=5,0ra, obciążona, jak w rysunku 4 siłami: q = 1,00 t\mb na rozporze / qx = 1,20 t\mb q₂ = 3,00 t\mb g = 0,60 t\mb

oraz Z = 2,00 / w odległości

a =2,0 m od rozpory, na rozp. h₂.

—A

Z-

Elz.

-z

77

— H-

>_L

c\

оУо

ГУН

o'/о/У,

Rys. 4.

Moment bezwładności rozpory jest dwa razy większy od momentu bezwładności słupów (Ix =/₂), więc

/- = 2.

Obliczamy i? z równania (11). Obciążenie qx daje oddziaływanie na podporze górnej : Olh =    ₌ 1,2^ • 5,0 = 3,00 t

Obciążenie (?,-?,) : O,, = i (?, - ?1) A    = 1.1,80.5,00 = 1,50 t

h—a ' h

Obciążenie Z:

O- =

5,00-2,00

Obciążenie g:

= 2,00.

O, = ~ gh = ^. 0,60.5,00 = 0,50 /.

5,00

= 1,20/

co| to

• 16

A więc dla Mx mamy dla R wartość

R = + o9l + Оаг + Oz-Og = 3,00+ 1,50+ 1,20 — 0,50 = + 5,201.

R = — 5,20 t.

Z równania (7) obliczamy T₀. Obciążenia q, qx, q% i g wywołują w prętach ramy, uważanych za belki wolnopodparte, momenty dodatnie, obciążenie zaś skupione Z — momenty ujemne.

Pod obciążeniem qx występują zwykłe momenty ograniczone parabolą. Powierzchnia tych momentów

2

3'8

Dla M,

qi h*h = j2

<h №

M₂

i М/ - 8, <Sâ fm.

TT г

M,

a=2ooi,

-ł

L+fc

A 8.00'n

WC

Rys. 5.

uważana za obciążenie wywołuje na górnej podporze A oddziaływanie fikcyjne

T' =

.1,20.5,0³ = 6,25 t\m\

Ql.h*=

24 9l Д3 24

Obciążenie (q₂ — qx) = 1,80 tjmb wywołuje momenty o powierzchni

2'12

(?2 - qi)h3 = 2Ą(q2—Ql)h*

która to powierzchnia daje fikcyjne oddziaływanie na górnej podporze (odległość środka ciężkości tej powierzchni od poziomej przechodzącej przez podporę dolną ma wartość T⁷5 h).

JL h

n, = 24-fe-?₁)*³-¹|- =

Podobnie obciążenie q daje fikcyjne oddziaływania

qh³

Xts-1,8.5³ == 4,375 tim².

360

T" + T = F= —

1PJ= 12

ql³ =

-.1,0.8,0³ = 42‘667 tjm².

1 /j

Pod obciążeniem g występuje fikcyjne oddziaływanie

т’⁼шд1>3=ш0,60-⁵³⁼',458 łlmK

Wreszcie, pod działaniem siły skupionej Z powstaje fikcyjne oddziaływanie

r:

Z.a(h-a)

1    2,00.2,0.3,0

■(s-m

'5,0

=3,20 tjm²

Obecnie obliczyć możemy T₀

T₀ = m.(rit+ Т\г + T"g- T") + T” + Г = 2.(6,25 + 4,375 +

+ 1,458 - 3,20) + 42,667 = 60,433 tjm².

Powyżej obliczone wartości R i T₀ wstawiamy w równanie (13) dla otrzymania M₁

Rh^mh + lźĄ-ZTy_ + 5,20.5,0 (2,5,0 +1,5.8,0)-3.60,433_

m.2 h 4- 3Z

2.2.5,04-3.8,0

= +8,88 tm.

4-572,00- 181,299

44

Dla otrzymania wartości na moment M₂ wstawiamy w równanie (13) wartość R=—5,20t, więc

= —17,12 tm.

M₂ =

572,00-181,299

44

Na podstawie powyżej obliczonych wartości wykreślono w rysunku 5 rozkład momentów powstałych pod wpływem obciążeń zaznaczonych w rys. 4 wzdłuż prętów rozpatrywanej ramy.

Podana powyżej metoda analityczna zastosowana do dwusłu-powej ramy dwuprzegubowej posiada między innemi tę zaletę, że umożliwia obliczenie momentów w narożach ramy odrazu pod suma-rycznem i dowolnem obciążeniem słupów i rozpory. Całe postępowanie można jeszcze uprościć znacznie przez zestawienie wartości fikcyjnych oddziaływań powierzchni momentów występujących pod obciążeniami, z któremi mamy w praktyce zwykle do czynienia. Równie dobre wyniki praktyczne daje metoda „fikcyjnych oddziaływań“ i przy rozwiązywaniu innych ustroji ramowych, spotykanych w technice.

INZ. DR. CZESŁAW KŁOS

Zamocowane łuki paraboliczne o zmiennym przekroju pod wpływem działania zmiany temperatury.

Jeżeli zamocowany łuk rozgrzewa się lub ochładza o t stopni w stosunku do temperatury, w jakiej został wykonany, to ta zmiana temperatury wywołuje parcie poziome oraz moment gnący w kluczu łuku, które według Melana¹) przy symetryczności łuku w stosunku do osi pionowej wyrazić można w sposób następujący:

±    3 Eetl

* ~2 ~ÄT'ßy-a*

Жо7 = —

We wzorach tych oznaczają:

E = współczynnik sprężystości materjału,

E = współczynnik rozszerzalności materjału,

± t = powstałe różnice temperatury, l = rozpiętość łuku,

As — ^, gdzie n oznacza ilość części, na które podzieliliśmy łuk,

zamieniając całki w równaniach pracy sprężystej na sumy.

(W naszej pracy n = 20).

a, ß i у są to współczynniki, zależne jedynie od kształtu osi łuku, jego przekrojów oraz momentów bezwładności. Współczynniki te są poprostu skrótem następujących wyrażeń :

<s—*

ßy — a² *

.    . (la)

Ht = -ct

•    •    (1 b)

a=-

⁴2/i

2y₂

⁴ Уъ

Уи>

Ix COS (px    I₂ COS <jP₂    I₃ COS (p₃

⁴ У\ ₊    2 У г    ₊ ⁴ Уз²

7X cos <jpx /₂ cos <jp₂ /3 cos 9)3

4cos<jpx t 2 cos <jp₂ ^ 4 cos <jp₃

fi-

Lw₀

b)x

O),

Ло cos <JPX0

] (2 a)

+.....+

0)₃

r    1+ (2Ô)

/10 cos 9>X0J

COS^ol

"10 J

?/io

4-.....+

j) Melan: Handbuch für Eisenbetonbau (Emperger), tom 1, wydanie II.

У I₀ cos (p₀ f Ix cos (px ⁺ /₂ COS ÇP₂ ⁺ /3 cos Щ ’    I₁₀ cos fpXQ

(2d)

We wzorach tych oznaczają według rys. 1 : yn = pionowe rzędne osi łuku,

Ын

= przekrój łuku w punkie n w kierunku promienia krzywizny, In = moment bezwładności tegoż przekroju,

kąt pochylenia przekroju n od linji pionowej.

Widzimy tu najpierw, że wzory z pod (2) mają bardzo podobną do siebie formę i jedne z drugich w łatwy sposób zapomocą suwaka wyliczone być mogą.

Wzory (2) nabierają jednak specjalnie prostej formy, jeżeli zastosować je do łuków parabolicznych; wtedy trygonometryczne funkcje można zamienić na algebraiczne, nadające się tembardziej do liczenia suwakowego.

ho

f--0,20

Ob

i®

А.

Кэ

5\

Rys. 1.

Ponieważ łuk paraboliczny w największej ilości praktycznych wypadków można podstawić pod łuk o innej osi łukowej, przeto podaję dla użytku codziennego cały szereg wyliczeń, które uporządkowane w tablice x), pozwalają zapomocą interpolacji w prosty sposób określić dla każdego innego, bezpośrednio nie obliczanego łuku, odpowiednie wartości.

Chcąc wartości we wzorach (2) w łatwy sposób zesumować, należy nam jeszcze zrobić dla zmienności łuku pewne założenia, któreby oczywiście w dużym stopniu zbliżały się do konkretnych

’) Dla uproszczenia liczenia różni autorzy poszli przy doborze matematycznego wyrazu na zgrubienie łuku różnemi drogami, wybierając najczęściej hiper-boliczne prawo dla zmiany przekroju. Porównaj w tym względzie:

Melan, Handbuch für Eisenbeton (Emperger) 1921, tom 1. str. 239.

Müller — Breslau. Graficzeskaja Statika, tom II, część II, str. 543.

Strassner, Neuere Methoden, Band II, str. 53.

Kurt Beyer, Statik im Eisenbetonbau 1927, str. 285.

Jeśli bowiem porównamy większość wykonanych łuków zauważymy że w całym szeregu łuków secmcp waha się dla przekroju w wezgłowiu między 1 a 2, rzadko tylko przy ciężkich łukach mostowych tę wartość przekraczając.

Jeżeli więc wprowadzimy do obliczenia jako oś łuku linję paraboliczną, z równaniem

■ У=-рх>

czyli

zgrubień łuków w naturze, poczynając od klucza a kończąc w wezgłowiu. Prawo, według którego nasz łuk będzie swój przekrój powiększał, przyjmiemy

.    .    (3)

К = h{) sec™ (pn .

gdzie A₀ = wysokość przekroju w kluczu łuku,

hn — wysokość przekroju łuku w punkcie n, m = liczba dodatnia, stosownie dobrana, w zależności od potrzeb statycznych oraz stosunku \ obliczanego łuku.

/'

dy 8 f

tg,p=di=px-

nl

20’

Po podstawieniu:

10/.

V = — — 1 X = ~r

otrzymamy:

tgcp =

1 20nl _

~v ~20T~V’

zatem

sec² (p — tg²<jp+1 =

П² + V²

czyli

ГП² -f- V²1 ™

r^H²

(4)

sec™ęp =

przyczem dla pionowych rzędnych punktów n otrzymamy, przyjmując podział osi poziomej na 20 części:

4 f. 4 f(nl\² fn\²

PX ~ l² \2oj ~ (łój’

Tabela A.

.f.

z=l:f

Jeżeli secmcp ma być 2 to

[n² + v²]A _

I——h =2 czyli dla n

10

log 4

log

n² + V²

.    .    (4 a)

V²

tOOCOOMO

tooo^noi

OO O 00 О СО СЧ O CN co to oT co

Dla praktycznego liczenia jednak wzór (4 a) nie jest dogodny jak pokazuje tabela A, raczej należy dobrać sobie m tak, aby można było wzory (2) liczyć na suwaku, w najgorszym razie w prosty sposób na arytmometrze.

stępującą tabelę В dla m, przyczem podajemy równocześnie w ten sposób otrzymane

hA = h₀ sec™ (pA,

gdzie hA jest przekrojem tuku w wezgłowiu.

Tabela B.

12

W wyniku tego rozważania dobieramy sobie dla różnych

"SI N,

na

10

и?

liA = 1,308 \ 7m=1,71O7*0 liA—2,236/г₀

7m= 1,122 7г0 hA = 1,260 h0 hA—1,414 7г0 7м=1,587 7г0 h а — 2,000 7г₀

7г^4 = 1,063 h₀

h a—1,202 h₀

7гл = 1,444 7г0 hA= 1,736 7г0 7m=2,086 7г₀

hA = 1,038 7г₀ hA—1,085 h₀ hA = 1,018 7г₀

h a = 1,118 7г₀ h a = 1,077 /г₀ h a — 1,054 h₀

7гл= 1,250 7г₀

7гл = 1,565 7?₀ 7м = 1,346 7г₀    —

7м= 1,953 + 7м = 1,561 7г₀ /м= 1,370 7г₀

—    7м = 1,950 7г₀ 7г j = 1,607 7г₀

—    — 7м = 1,984 7г₀

Wszystkie wartości, jakie z naszej tabeli В otrzymamy, tak tutaj podane k.h₀, jak później dla a, ß, y, H i M₀, pozwalają na interpolację, tak w poziomym jak i pionowym kierunku, czyli że otrzymujemy pole wartości, na którem wszystkie w praktyce zachodzące wypadki odnaleźć możemy. W wyjątkowych wypadkach przyjdzie nam wartości ekstrapolować, zwłaszcza przy hA>2h₀. W tym wypadku ekstrapolacja jest szczególnie prosta, ponieważ funkcje szukanych wartości mają w tych rejonach bardzo łagodny przebieg i nawet podstawienie prostej zamiast krzywej nie doprowadzi do błędów poważniejszych.

Jeżeli zgodnie z równaniem (3) napiszemy:

(On = bh₀.secm(pn

(pn i uwzględnimy równ. (4)

In =

sec

bK³

12

wtedy wartości dla a, ß, у nabierają następującej formy: \2lv7,m~¹

n₀

\0²z bh₀³

4 щ²

+ 2...4-

Що

i (5«)

ß — ß\ + Ai •

_[*>²+w₀²] ²

[у² + ?г₁²] ²

[v² + n₁₀²] ²

ß\

12Z²«,³”*⁻¹

1O⁴0² bb₀³

3 m—1

4 nß

+ 2...4-

™io⁴

(5 b)

_Jj>²+w₀²] ²

[v²-\-nß²] ²

ßll

4[^+w,²] m

-i

f 2...

К + n₁₀²]m

-i

_[^²+^₀²] ²    \v*-\-nx²\ ²

im—1

[^² + W₁₀²]    ² _

(5 o)

12 v3m~¹

im — 1

Зто—1

3»г—1

(5d)

_[*² + V] ²

[^² + ^x²] ²

t^+^lo²] ²

Wzory (5) dopuszczają bardzo prosty rachunek liczbowy. Należy najpierw wyliczyć nawias dla wartości y, wtedy wartości dla a i ßlf wyprowadzają się przez mnożenie składników yn przez w² względnie /г⁴. Jedynie ßu wymaga dodatkowego mozolniejszego przemnożenia przez    Mnożnik dla ßn, stojący przed nawiasem, jest je

dnak w porównaniu z mnożnikiem dla ßl bardzo mały, wskutek czego niedokładność w liczeniu ßu, np. na suwaku, nie może się w żaden poważniejszy sposób odbić na ß. W podobny sposób i mnożniki przed nawiasami wyprowadzają się w łatwy sposób jedne z drugich.

Ze wzorów (1) widać, że zmienny mnożnik przy Ct ma w mianowniku, tak dla H jak i M₀, tę samą wartość. Mianownik ten zatrzymuje, jak to pokażemy na innem miejscu, także dla wszystkich innych obciążeń zewnętrznych tę samą wartość, co dla praktycznego obliczenia łuków ma duże znaczenie.

Jeżeli więc przeprowadzimy właściwe liczenie to otrzymamy dla użytku codziennego następujące tablice I—V dla Ht, Mot, MAty oo'Jß

Dla przykładu obliczymy zapomocą naszych tablic parcie poziome oraz momenty gnące, powstałe od zmiany temperatury, w moście Melana, obliczonym przez tegoż autora w Handbuch für Eisenbetonbau, tom I, г. 1908, str. 440.

Rozpiętość łuku: / = 21,0 m.

Strzałka łuku : f = 2,3 m.

Wysokość przekroju w kluczu : h₀ = 0,45 m.

Wysokość przekroju u stóp: hA = 0,73 m.

Szerokość pasa łuku: ô = l,00mô.

Zmiana temperatury: /° = ±20°.

W tablicach naszych przyjęto współczynnik sprężystości betonu :

E = 210 000 kg\cm².

£ = 0,000 0125.

Charakterystyka łuku, potrzebna do obliczenia łuku według naszych tablic :

/ _ 21 f ~~ 2,3

hA = 0,79 = 1,75.0,45 = 1,75 h₀.

= 9,15;

h₀

Tablica I.

Ht

к = Eebft

z — l:f

Уз

7m=1,317î0 0,937 к

1 +0,616 z²

hA—1,13 7j0 0,937 к

1 + 0,794

Tm =1,06 \ 0,937 к

У?

1 + 0,860

²/з

h а— 1,71 7г0 1,525 к

1 + 0,916 f

7м=1,26 7i0 1,1387с

1 + 0,928 X¹

³/з

7м=2,23 \ 2,5307с

1 +1,401 у}

h А—1,41 Л'о 1,386 Тс

ii

1 + 1,089 X²

7м=1,20 7г0 1,153 к

Z³

1 + 1,018 i¹

⁴/з

7м =1,58 7гп 1,696/с

ii

1 + 1,283 у-

К1=2,00 7гр 2,538/с

ii

1 + 1,669 X¹

7гл=1,45 h0 1,556 к

ii

1 + 1,295 z²

7гл=2,08 7г0 2,891 к

1 +2,152 Z²

Tablica I.

Hf

к = Ее b ft

z=l:f

10

12

7m.=1,04 7г0 0,937 к

1 + 0,891 у;

7гл=1,03 7г0 0,937 к

Z³

Vs

1 + 0,906 у;

Vs

7гл=1,12 7г0 1,057 к

xi

1 + 0,984 z²

7гм=1,08 7г0 1,0147с

1 + 0,985 /;

7м =1,05 7г0 0,991 к

х³

7з

1 + 0,957 X¹

7м=1,16 7г0 1,123 к

xi

1 + 1,028 z²

7м = 1,08 7г0 1,0197с

Х_³_

Vs

1 + 0,982 z²

7г,1=1,56 7г0 1,832 к

Z³

1 + 1,53 z²

7м= 1,35 7г0 1,455 7c

X³

1 + 1,289 z²

7г.i= 1,95 7г0 2,6507с

X³

1 +2,073 z²

7г. i=l,56 7г0 1,8577с

X³

1 + 1,821 z²

7г.i=l,38 7г0 1,4787с

X³

1 + 1,347 z²

7г.1=1,95 7г0 2,6817с

zi

1 +2,125 z²

7м=1,617г0 1,9657с

z!

1 + 1,675 z²

7г.1=1,99 7г₀

2,7677с

Z³

X = ~F

/u = 1,31 h₀

Уз

0,3126 A’'    **

1 +0,616 у;

Tablica II.

Mot

z-l:f

hA—1,13 7г0 0,312 к’

Z³

1 + 0,794

k' = EebP t

hA= 1,06 h0 0,312 7c'

li

1 +0,860 я*

²/з

Л. 1=1,71 h0 0,400/с'

li

1 + 0,916 i¹

h а=1,26 7i0 0,3447с'

1 + 0,928 z²

³/з

7г. i=2,23 /г0 0,5107с'

1 + 1,401 ■£-

Ты =1,41 7г0 0,378/с'

1 + 1,089 z²

hA= 1,20/г₀

0,3472/с'

Z³

1 + 1,018 z²

7з

/г.1= 1,58 7г0 0,4177с'

ii

1 + 1,283 z²

/гл=2,00 \ 0,5087с'

ii

1 + 1,669 z²

7гл=1,45 7г0 0,4007с'

1 + 1,295 z²

Tu=2,08 7г0 0,5417c'

ii

Ï + 2,152 z²

Tablica II.

Mot

к' = E £ Ъ P t

z = l:f

10

12

7m=1,04 7i0 0,312 k!

il

1 + 0,891 X²

7m =1,03 7i0 0,312 7c'

z³

Уз

1 + 0,906 X

7з

7гл=1,12 7г0 0,331 /с'

il

1 + 0,984 X²

7м=1,08 7i0 0,325 к'

1 + 0,985 z²

h л=1,05 7i0 0,321 7c'

£_

1 + 0,957 /²

³/з

Tu =1,08 h0 0,326 те

z³

1 + 0,982 i¹

⁴/з

7м =1,56 7ги 0,433 к’

±_

1 + 1,531²

hл = 1,35 7г0 0,387 к'

il

1 + 1,289 **

Ti л=1,95 7i0 0,5207с'

il

1 + 2,073 X¹

7м =1,56 7г0 0,4367с'

il

1 + 1,821 i¹

7м=1,38 7i0 0,3957с'

Z³

1 + 1,3471²

7м=1,95 7г0 0,5227с'

il

1 + 2,125 z²

7м=1,61 й0 0,4467с'

il

1 + 1,675 z²

7м = 1,99 7г₀

0,5307с'

il

X=~F

Tablica III.

MAt

k'—EebPt

z = l:f

Va

Tu = 1,31 h0 -0,625 k'

li

1 +0,616 X¹

hA—\,\3h₀

-0,625 k!

z³

1 + 0,794 X¹

/(.4=1,06 \ - 0,625 k'

£_

1 + 0,860 X*

Va

/гл = 1,71 К - 1,125/г'

il

1 + 0,916 у}

/u=1,26 \ - 0,794 к'

il

1 + 0,928 х²

Va

/(1=2,23 h₀

-2,020 к'

il

1 + 1,401 X²

/м = 1,41 h0 -1,008 к'

il

1 + 1,089 X²

h л =1,20 \ — 0,806 к'

Z³

1 + 1,018

Va

Ьа=1,58 hQ -1,279 к'

il

1 + 1,283 X²

h a=2,00 /г₀

- 2,030 те

il

1 + 1,669 X²

/г^1= 1,45 h0 -1,156 k'

z³

1 + 1,295 X²

h a—2,08 h0 - 2,495 k'

il

1 +2,152 X²

ho

/u =1,04 \ - 0,625 k'

£_

1 + 0,891 z²

Tablica III.

MAt

z = l:f

10

/u= 1,03 \ - 0,625 k’

z³

1 + 0,906 z²

k'—Eebf* t

12

V.

7з

/i.i= 1,12/j₀

— 0,726 /o'

z³

1 +0,985 z²

Л л=1,08 h0 - 0,689 k’

1 + 0,985 z²

/u=l,05/i0 - 0,670 k'

£_

³/з

1 + 0,957 z²

/u =1,08 /(„ - 0,690 k'

Z³

⁴/з

1 + 0,982 z²

/u=l,56/i0 - 1,399 Ä/

Z³

1 + 1,53 z²

/(.i = 1,35 h0 - 1,068 k'

Z³

1 + 1,289 z²

h А—1,95 Л0 -2,130 к!

Z³

1 + 2,073 z²

h л =1,56 /г0 -1,421 к'

z³

1 + 1,821 z²

/г.1=1,38Л0 — 1,123 к'

£_

1 + 1,347 z²

/г.1 = 1,95 Л₀

-2,159/с'-

1 + 2,125 z²

h a=1,61 \ -1,519 к'

Z³

1 + 1,675 z²

/u=l,99/(₀

- 2,236 kJ-£

13

1 + 2,205 z²

Уз

hA=\,3\ h0 0,937 k"

/² +1,998/

1 + 0,616/²

/ы= 1,71 Л₀

Уз

1,525 /с"

Z²± 1,574/

1+0,916 z²

Уз

h л—2,23 /г0 2,530 к"

Z² + 1,210/

1 + 1,401 /²

⁴/з

Tablica IV.

<C (w kluczu)

к" — Est

z = l:f

hA= 1,13 Д₀

Л.1=1,0б /г₀

0,937 к"

Z²+1,998/

1 + 0,794 /2

0,937 /с"

Z² + 1,998/

1 + 0,860 /²

//.(=1,26 /г₀

1,138 к"

Z²± 1,814/

1 + 0,928 /2

h л=1,41 Л₀

7м =1,20 /г₀

1,386 /с"

/2+1,637/

1 + 1,089/2

1,115 к"

Z²+ 1,872/

1 + 1,018/2

/ы=1,58/г₀

1,696 к”

Z²± 1,475 z

1 + 1,283/2

/гл=2,00 /г₀

2,538 к”

Z²+ 1,201 z

1 + 1,669/2

/м= 1,45 Лу 1,556 к”

/2+1,543/

1 + 1,295/2

/и=2,08 Л0 2,891 к"

Z²+ 1,123/

1 + 2,152/2

X = ~r

Tablica IV.

(w kluczu)

k"= Eet

z = l:f

10

12

/».i= 1,04 /»₀

0,937 к"

y-± 1,998/

1 + 0,891 у²

/(,1=1,03 h0 0,937 к"

/²+ 1,998 у

1 + 0,906 у¹

Уз

7з

/».1=1,12/»о

1,057 к"

/i.i=-l,08 /»„

/и = 1,05 Ли

/²+1,879/

1 + 0,984 у¹

1,014 к"

*² +1,923/ 1 -i- 0,985 у}

0,991 к"

у¹ +1,950 у 1 + 0,957 /*

³/з

h а = 1,16 /г0 1,123 /с"

/».1= 1,08 /гп

у² ±1,832 у

1 + 1,028 /²

1,019/с"

^ + 1.914 X

⁴/з

1 + 0,982 у¹

/».1=1,56 /г₀

/».1=1,35 /г₀

1,832 /с"

/- + 1,418/

1 + 1,53/*

1,455 к"

/²± 1,596/

1 + 1,289 /*

/».1=1,95 Л₀

/».1=1,56 /»о

/».1=1,38 /г₀

2,65 /с"

Х²±1>177/

1 + 2,073 /²

1,857 к"

Z²± 1,409/

1 + 1,821 /*

1,518 к"

/² +1,561 /

1 + 1,347 /²

/г.1=1,95 /гп

/».1=1,61 Л₀

2,681 к"

/'±1,168/

1 +2,125 /²

1,992 к"

/*+1,353/

1 + 1,675/²

Л.i=l, 99 /г₀

2,767 кГ

/² +1,149/ 1 + 2,205 /²

Tablica V.

At

a.

à, g

k"= Ее ł

h a = 1,31 h₀

Vs

Ä"

0,320 a⁸+ 2,193 s

1 + 0,616 X²

hA= 1,13/ł₀

?.>/ 0,590 %² + 2,980 X 1 +0,794 *²

Tu=1,06 h₀

0,734 x²± 3,320 X 1 + 0,860 x²

Vs

к"

1ia=1,71 Л₀

0,400 х²± 2,309 X 1 + 0,916 я²

h л = 1,26 Л₀

0,639^+ 3,000 X 1 + 0,928 X²

1ia=2,23 1ц

/и =1,41 Л₀

Ты=1,20Л₀

Vs

к"

0,506 Xг ± 2,424 X 1 + 1,401 X²

к"

0,693 X² ± 3,024 X

1 + 1,089 X²

к"

0,799 X² + 3,350 X

1 + 1,018 X²

liA= 1,58 7г₀

Vs

0,755^+3,046^ 1 + 1,283 X²

/м=2,00 7г₀

ту/ 0,897 %² + 3,045 X 1 + 1,669 X²

7м=1,45Л₀

ту/ 0,897 X² ± 3,325 х 1 + 1,295 X²

7м=2,081ц

ту/1,000 **±3,239 я 1 +2,152 X²

Tablica V.

h₀

x = -f

At

<J г

k" = Eet

z = l:f

12

10

k"

k a — 1,04 ho

0,807 x² + 3,481 X 1+0,891 x²

/u=1,03 h₀

0,849 x² +3,570 X 1 +0,906 X²

V»

²/з

k"

hA=\,\2h₀

0,846 x² +3,486 X 1 + 0,985 X²

/u=i,08 h₀

0,874 x²+3,570 X 1 + 0,985 X²

h,A—1,05 h₀

0,892 x²+3,620 X 1 + 0,957 X²

7з

h a=1,08 h₀

7з

0,900 x²+3,619 X 1 + 0,982 X²

/u =1,56 h₀

1,050 x²+3,439 X 1 + 1,53 X²

/u=1,35 h₀

1,004 x²+3,540 X 1 + 1,289 X²

/i,i = l,95 7г₀

k"

1,213 x² +3,350 X

1 + 2,073 X²

Лл=1,56 7г₀

1,105 x²+3,500 X

1 + 1,821 X²

/u =1,38 Л₀

k"

1,050 x²± 3,577 X

1 + 1,347 X²

/u=l,95/(₀ к a=1,61 li₀

k"

1 +2,125X²

1,277 x² + 3,407 X

1,160 X² ± 3,523 X 1 + 1,675 X²

li a =1,99 lt₀

1,345 x²± 3,480 X 1 +2,205 X²

Ponieważ ani z ani hA w tej wielkości nie znajdujemy w naszych tablicach, przeto wyliczenie to nastąpić musi za pomocą interpolacji x) :

A. Parcie poziome.

Współczynnik к w tablicy I. dla 77, jest:

kEebft = 2\ 0000.0,0000125.100.20. f = ± 5250 f.

Interpolację przeprowadzamy pomiędzy hA—\ sec⁴a a /^=sec⁶a (dla 2=8) i hA=h₀sec⁶ a a Ä,i=Ä₀sec⁹« (dla 2=10).

h₀ __ 0,45

T ⁼ 2762 ⁼

a) dla Л t=^o sec⁴ a, czyli hA=\,56h₀:

I. Dla 2=8; f=

21

=2,62; z

0,172.

77,= 1,832 к

1,832.5250.262

0,172³

1 + 1,53/

b) dla hA=h₀ sec⁶a, czyli bA=l,95b₀ :

0,172³

1 +1,53.0,172й

=±12,28*.

Ht = 2,65.5250.262

1 + 2,073.0,172²

II. Dla 2=10; 7=^ = 2,1; ^

= ±17,50 *.

0,45

2,1

= 0,214

a)    dla hA = 1,56 h₀, czyli hA = h₀ sec⁶ a :

0,214³

1 + 9,821.0,214й

b)    dla hA = h₀ sec⁹ a, czyli hA = 1,95 h₀ :

0,214³

1 + 2,125.0,214²~

Ht = 1,857.5250.210

Ht = 2,68.5250.210

± 18,60 *.

± 26,40 *.

Interpolując prostolinijnie pomiędzy I a i I b dla hA = 1,75 Л otrzymamy:

77,₈ = 12,28 + zaś między II a i lift:

0,19

0,39

(17,50 - 12,28) =±14,82*,

Htl = 18,60 +

0,19

0,39

(26,40—18,60) =± 22,40 *.

Interpolując wreszcie pomiędzy 77,s a H,io dla 2=9,15 otrzymamy: 1,15

77,,, = 14,82 +

2,0

(22,40— 14,82) =± 19,20*.

B. Moment gnący w kluczu łuku. Podobnie jak dla 77,:

I. dla 2=8: aj M₀ ,=0,433.5250.262²

0,172³

b) 47₀,=0,520.5250 262²

1 + 1,53 0,1722 0,172³

± 7,60 tm

1 + 2,073.0,172²

= ± 9,0 tm

9 Przy posiadaniu wykresów, interpolacja ta jest znacznie prostsza.

II. dla 2=10: a) Afo<=0,436.5250.210²

0,214³

b) Mot=0,522.5250.210²

1 + 1,821.0,2142 0,214³

= -H 9,20 tm

Interpolując pomiędzy \a \ \b otrzymamy: 0,19

1 + 2,125.0,214²

= -ł- 10,8 tm

(9,0 — 7,6) = -+- 8,28 tm. Interpolując pomiędzy lia i IIb otrzymamy:

( 10,80 — 9,20) = =F 9,98 tm.

0,39

Motlo= 9,20 + Dla z = 9,15 zatem :

= 8,28 +

0,19

0,39

1,15

2,0

(9,98 — 8,28) = =f9,26 tm.

C. Momenty gnące w wezgłowiu.

Podobnie jak dla Ht: .

I.    dla ^=8: a) MAt= —1,399.5250.2,62²

b) Mju=±36,80 tm

II.    dla 2=10: a) MAt = -±₁30,0 tm

b) MAt=zb44,70 tm.

Przez interpolację jak wyżej otrzymamy:

MAt> = ± 30,55 tm MÄt₁₀= ±37,15 tm,

Жн,₁₅= ± 34,35 tm.

W zupełnie analogiczny sposób wyliczyliśmy sobie wartości dla o w kluczu oraz wezgłowiu łuku. Aby porównać nasze wyniki z wynikami Melana, musimy, biorąc pod uwagę, że Melan przyjął ^=100 000,

zredukować nasze wyniki w stosunku pującą porównawczą tabelę C.

zatem :

1,0

0,172³

1 +1,53.0,172²

=±24,60 tm

2,1’

a wtedy otrzymamy nastę-

Wartość

Podług naszych tablic

Podług Melana

Parcie poziome H, (tony) (zmiana ± t₀) Moment gnący w kluczu Mot (tm) „

„    „ w wezgłowiu Мм (tm) „

Naprężenie w kluczu górą o°ł (at) „

„    „ dołem o⁰/ (at)

„ w wezgłowiu górą of* (at) „

„    „    dołem of¹ (at) „

Siła poosiowa w fudze u wezgłowia (ton)

± 9,15

± 4,40 ± 16,35 =F 11,00 ± 15,00 db 16,78 =F 14,65 ± 8,37

± 10,70 ± 5,09 ± 18,66 =F 9,83 ± 13,91 d= 16,03 =F 13,81 ± 9,57

Uwaga: + naprężenie na ściskanie; — naprężenie na rozciąganie.

Nasze wyniki różnią się nieco od wyników Melana. Pochodzi to stąd, że:

1.    Melan skraca swoje równanie dla a, ß, y przez /ls, a w naszych wzorach jest przeprowadzenie skrócenia przez Ax, z pozostawieniem cos<p„ w mianowniku, co czyni łuk sztywniejszym.

2.    Łuk Melana jest bardzo sztywno zbrojony żelazem, co także przyczynia się do tego, że właśnie te wartości, które razem ze sztywnością łuku wzrastają, jak H i M, u Melana powiększyły się.

Zresztą różnice te nie są znowu tak wielkie, aby liczenia nasze robiły praktycznie iluzorycznemi. Przeciwnie, dużo metod, opartych na innych założeniach, daje wyniki daleko więcej odbiegające od wyżej podanych i od prawdziwych *). Wydaje nam się zatem, że nasze tablice mogą dla praktycznego liczenia, gdzie więcej chodzi o to, aby nie robić błędów grubych niż liczyć, „dokładnie“, być zupełnie użyteczne.

Tablice takie dla reszty obciążeń łuku, oraz wykresy z nich wynikające, podam z braku tutaj miejsca, przy najbliższej sposobności.

Ь Por. np. Mertens: Statik der Baukonstruktionen, tom II. str. 241 (г. 1904), gdzie Ht jest podane 2,26t, wynik bezwzględnie błędny.

INŻ. DR. STANISŁAW KUNICKI

Profesor Politechniki Warszawskiej

Zwodzone mosty Astrachański i Buzański przez odnogi delty rzeki Wołgi.

Motto: „On reason build resolve

Burns.

That column of true majesty in man“.

W 1909 roku latem, zostały oddane do eksploatacji wybudowane na Astrachańskiej kolei żelaznej przez Towarzystwo Riazańsko - Ural-skiej drogi żel. dwa duże mosty żelazne, a mianowicie mosty: Astrachański przez odnogę delty rzeki Wołgi pod samem miastem Astra-chaniem i Buzański przez przetok Buzan tejże delty.

W obu tych mostach były urządzone zwodzone części, przyczem w moście Astrachańskim dwie takie zwodzone części: na każdym z przetoków, rozdzielonych wyspą, — po jednej, a w moście Buzań-skim — jedna zwodzona część.

Zwodzone części były projektowane jako obrotowe, równoramienne (t. j. symetryczne), ze światłem po 32 m, z jazdą dołem pod jeden tor kolei żelaznej, ale z jezdnią przysposobioną do ruchu zwykłych wozów w czasie wolnym od pociągów kolejowych. Ponieważ projekt tych zwodzonych mostów zawiera pewne oryginalne myśli, więc uważam, że podanie o nim krótkiej wzmianki może zainteresować techników.

Schemat dźwigaru zwodzonego jest jasny z rys. 1.

Zasadnicza zaś idea projektu w sposób poglądowy może być przedstawiona przez szkic charakterystyczny (rys. 2).

Osobliwość projektu polega na tern, że dźwigar zwodzonej części, choć spoczywa na trzech podporach, jest statycznie wyznacz alny. Osiągnięto to w ten sposób, że most zwodzony w stanie zamkniętym, t. j. gotowym dla ruchu po moście przedstawia dwa dźwigary proste, spoczywające każdy tylko na dwóch podporach G i A, względnie G' i A', gdyż pręty BC i B' C nie są wówczas na-

«Vj

o>

ГМ

сйпй:]

Schemat dźwigara zwodzoneó

ьс

u,Ç-0/=çt

°Q

et]

Ûi4

E*

LU

32

1- §

Rzut poziomy

■à£k

►Я

Rys. 1.

Ш Ot

-j..

си 7 7 г-

____t

-. 4---

ЧНЮ

Г T'

ciągnięte (nie mają w sobie osiowej reakcji), a spoczywają swobodnie, opierając się w punktach В i C, względnie B' i C, na które przenosi się tylko ciężar własny tych prętów.

B'

a'

Rys. 2.

W tym celu otwory, czyli oczy w prętach (eye-bars) ВС i В' С w punkcie C mają średnicę większą od średnicy sworznia palca К C (rys. За i 3b).

Różnica tych średnic została tak obliczona, aby przy moście zamkniętym tylna powierzchnia oczka nie przylegała do sworznia palca.

<3.

Przy otwieraniu mostu dla przepuszczania statków po rzece — przedewszystkiem odchyla się (za-pomocą mechanizmów odpowiednich) stopniowo na wewnątrz o pewien kąt kolanko wahacza w punktach G i G', t. j. w skrajnych podporach dźwigara, jak pokazano schematycznie na rys. 4.

b.

Rys. 3 a. Most zamknięty (pręt nie-naciągnięty).

Rys. 3 Ъ. Most otwarty (pręt naciągnięty).

NI

Wskutek tego oba dźwigary obracają się około swoich rzeczywistych przegubów w punktach A i A', przyczem i punkty В i B' obracają się około punktów A i A' dopóki nie naciągną się pręty В C i В' C. Wtedy dźwigary nie opierają się w punktach G i G', ale ato opierają się w punktach A

i względnie A' i C i przedstawiają jakby belki zamocowane jednym końcem A C, względnie A' C — w ścianę, t. j. znów belki statycznie wyznaczalne (rys. 5). Określenie w tym wypadku reakcji podpór w punktach A' i B' pokazane jest na tym samym rysunku.

W ten sposób w obu wypadkach, t. j. jak przy moście zamkniętym, tak i przy moście otwartym, mamy system statycznie wy-znaczalny, co daje możność łatwego i ścisłego obliczenia i upraszcza znacznie konstrukcję.

Drugą osobliwością opisanych dźwigarów jest znaczny stosunek ich wysokości do rozpiętości. Wysokość skrajnych słupków dźwigarów była przyjęta po 8 metrów, //////////////////// a środkowych po 105 metrów; średnio stosunek

j stanowił około x/₄. Przez to osiągnięto znaczną

ekonomję w wadze dźwigarów i małe ich ugięcie.

Trzecią osobliwością jest nadanie wszystkim bez wyjątku częściom dźwigarów (oprócz belek jezdni) przekrojów skrzynkowych, przez co osiągnięto znaczną sztywność prętów; tak potrzebną w mostach zwodzonych, t. j. w mostach-maszynach.

Ramy ukośne na końcach dźwigarów zostały mocno usztywnione. Tężniki wiatrowe między pasami dźwigarów, w celu zmniejszenia wagi, zostały wykonane w formie litery K.

--F

Rys. 5.

Czwartą osobliwością opisywanych zwodzonych mostów jest scentralizowanie całego ruchu w dziale maszynowym, pomieszczonym nad środkowym filarem w trójkątnej nadbudówce wieży. Dostęp do tego działu urządzony jest przez schody, wykonane po linji skosa środkowej wieży z boku tejże. Naokoło pomieszczenia maszynowego urządzona jest dla celów służbowych galeryjka. Zwodzony most obraca się na tarczy obrotowej (turntable). Oś środkowa nie

przyjmuje na siebie obciążenia, (kierownicze).

a ma znaczenie tylko konstrukcyjne

W punktach A, A', B, B' i C — pomieszczone są rzeczywiste przeguby co przedstawia piątą osobliwość opisywanych zwodzonych mostów.

Podwójne zaciągi oczkowe (eye-bars) В C i В' C — zostały wykonane z niklowej stali z powodu znacznych reakcyj w nich panujących przy moście otwartym i wielkiego ich znaczenia, gdyż wówczas cały most na nich wisi.

Strop maszynowego działu wykonano z betonu na blasze falistej, opartej na żelaznych belkach, wzmocnionych małemi dźwigarkami zastrzałowemi.

Pokrycie maszynowego działu wykonano z blachy falistej.

Jak widać z powyższego do zalet opisanego projektu należą:

1)    prostota konstrukcji;

2)    łatwość obliczania;

3)    mała stosunkowo waga dźwigarów, wskutek znacznego stosunku ich wysokości do rozpiętości;

4)    znaczna sztywność dźwigarów ;

5)    scentralizowanie wszystkich mechanizmów w jednym punkcie, a mianowicie w górnej trójkątnej części środkowej wieży na średnim okrągłym filarze.

W maszynowym dziale były postawione dwa silniki spalinowe po 15 HP (z których jeden był zapasowym) polskiej fabryki „Ursus“ w Warszawie (na mocy rekomendacji autora projektu). Oprócz tego były ustawione ręczne przyrządy dla poruszania mostu na wypadek zepsucia motorów spalinowych.

W tymże pomieszczeniu działu maszynowego, mającem w planie figurę prostokątną, były postawione na przekątniach w różnych poziomach dwa główne wały (na krzyż), z których jeden dla ruchu obrotowego, a drugi dla opuszczania i podnoszenia końców dźwigarów przy otwieraniu i zamykaniu zwodzonego mostu.

Projekt zwodzonych części mostów Astrachańskiego i Buzari-skiego był wykonany przez autora niniejszego artykułu. Projekt stałych części mostu Astrachańskiego, ogólnej długości 469 sąż., był wykonany także przez autora niniejszego artykułu. Projekt zaś stałych części mostu Buzańskiego był wykonany przez ś. p. Prof. M. Belelubskiego.

Przy projektowaniu mechanizmów wielką pomoc znalazł autor w pomysłach naszego znakomitego rodaka Dr. Inż. Ralfa Modrzejewskiego (R. Modjeski), opisanych w dziele Wright’a „The Designing of Draw-Spans“ szczególniej w opisie „Rock-island Bridge“, zaco uważam za swój przyjemny obowiązek złożyć mu na tern miejscu serdeczne podziękowanie, gdyż niniejszy artykuł jest pierwszym w języku polskim opisem mostów zwodzonych Astrachańskiego i Buzańskiego.

Detaliczny projekt z obliczeniami pozostał, wraz z główną częścią technicznej bibljoteki autora, w Rosji z powodu przewrotu bolszewickiego. Zatem wyżej przytoczone dane autor powtarza tylko z pamięci, to znaczy w przybliżeniu i bez bliższych szczegółów.

Zwodzone części mostu Astrachańskiego były wykonane przez fabrykę Kołomieńską budowy maszyn i konstrukcyj żelaznych (miasto Kołomna pod Moskwą), zaś zwodzone części mostu Buzańskiego wykonane zostały przez Mikołajewską Fabrykę Budowy Okrętów (Mikołajewsk, miasto na brzegu Czarnego Morza).

W tym przykładzie widzimy jak myśl techniczna polska łączy się z ideami amerykańskiemi, aby wyrazić się w nowych konstrukcjach, wykonanych w dalekich stepach południowej Rosji na brzegach morza Kaspijskiego, i dać zastosowanie polskiemu przemysłowi w postaci silników spalinowych Warszawskiej Fabryki „Ursus".

PROF. A. KURYŁŁO

Konstrukcje żelbetowe podziemia prezbiterjum Katedry Śląskiej w Katowicach.

Ustrojami żelbetowemi części katedry, stanowiącej prezbiterjum, są: 1) fundamenty murów zewnętrznych i części środkowej, 2) schody podziemia, umożliwiające dostęp z zewnątrz do krypty, 3) konstrukcje stropowe podziemia, 4) sklepienia i stropy, oparte na filarach oo 14 m wysokości.

Wymiary fundamentów ustalono dla przyjęcia dopuszczalnego ciśnienia na grunt w wysokości 3 kg\cm². Obciążenia próbne gruntu budowlanego (iłołupki) wykazywały osiadanie do 5 mm, przy wielkości ciężaru, odpowiadającego jednostkowemu ciśnieniu 9 кд\ст*.

Fundamenty murów zewnętrznych, oddzielone w zupełności od innych konstrukcyj, wytworzono w postaci obustronnych wsporników z wkładkami niosącemi ф\Ътт co 10 cm u spodu (tabl. I, rye. 1); wysokość fundamentów wspornikowych wynosi pod wszystkiemi rnu-rami 1,00 m. Tam, gdzie przychodzą w murach otwory, przewidziano ukryte w fundamentach belki żelbetowe, przenoszące przypadające obciążenie od spodu.

Fundamenty części środkowej prezbiterjum stanowią trzy żelbetowe belki poprzeczne o przekroju 1,50/2,00 m, stężone belką obwodową o takim samym przekroju (rys. 1 i tabl. II, ryc. 3, 4). Wzmocnienie belek w przekrojach niebezpiecznych wynosi : w strefie ciągnionej 20 ф 40 mm, w strefie ciśnionej 14$ 40 mm.

Na belkach fundamentowych części środkowej mają spocząć: a) ramy dwuprzegubowe, o rozpiętości 7,30 m w odstępach 1,40 m i 3,90 w, b) słupy, podtrzymujące belkowanie schodów podziemia, c) podstawy betonowe o przekroju 1,80/1,80 m pod filary sklepień. Filary nad posadzką katedry, przewidziane pierwotnie jako dolomitowe, wykonane będą jako filary żelbetowe, przenoszące ciśnienie osiowe sklepień i stropów górnych prezbiterjum.

SS4

Ч.

■26Ll-

if)

<N

к

tN.'

<*>

S9\

$fe

-00 ъ-4>-

5,00

Ч. a,

Sc-

X.2

-123

2.15

ag

2,00

-г

8491-

■+*~06t-P

S4Z-

г—h

-500

ШМ

Ос£-

■OOt—*-j

125-0.8-

oo г

—1,65

N«■>-4i

08 t

«?■

OOO-i

4.85

FF

¹ § ! v»

■+<-

-çre-

■гес'4-^

5, JO

[ i    i    ¹

! §    !    1

0*T

'S

5J0

84ĆT4—►

Rys. I. Ustrój stropów podziemia.

|[|~3

■=Ł

-€6Ю

:з

S6 Т-

Of У-

06 Г-

.ос otx

5,JO

Old

,sk

--081- -

Z+Of-iOOy/

Słup wiszący 1%    Г

T    i³'*⁷.—"

ТтаПпгт

•oo b f

' ^ %

t-

Г“

K-

ï[§

LLX

Lu »

Г «о

■Н

=£=

-Lh‘£-

70

Ramy dwuprzegubowe podtrzymują dźwigającą konstrukcję stropową, założoną stosownie do zaprojektowanego przez Arch. Z. Gawlika z Krakowa wnętrza podziemia, które wykazywać ma widoczne od spodu łuki w części środkowej i belki w częściach bocznych. Ramy podtrzymują przedstawione w rys. 1 belkowanie i zawieszoną

41.80-

-3.50-

*-1,80-4

2.60

■4,80--*,

5v.

-w*

1,167'

f\

ж...?

ç>

öS

»l**

§ 60

JJ

OS У

—J,«?

■i

-5,30

6.85

ТлУ.

'*-2.00-*I

2J0-4

'*-200 4

'*-200-4

'*-3,00-

•/- •/

2*20 ł

,>

fi8-

'*254

I*ю-

Nr 5, 2*20

1*

-5,30

-3.50

.1

JO <2*20

к N ,л

^ ^ JU

ea

to

'*4,00.

r 5Pf-Ä^н

,J<r    T

/Ул-г «/.?p

ты

^ тг; - ■ — i,

rJ} ' I Stnzemiona]*8 со 25 cm |

г й--:-3,20

Nr. 5 6*22

Nr. 3. 1fi20 Э -J-Nr 2, 1*20 <4-Nr 1, 2*22

cf

**0,7t

^-1.00-,

—-Nr 8, 1fi20

z> Nr. 9, 1*20

Nr 15. 2*20

2*20 <

if

6*22 ]/

Nr 11. 2*22 Nr 12, 2*22

sm

Nrl6,2*2T4g4^ -Г1Э

422

1.50

5.30/2

I Nr 10. 2*20,^ \.Ыг.7.6*22

Nr 13, 1*22

~5

Nr 1¹*, 1Ф22

Rys. 2. Ustrój schodów podziemia.

zapomocą słupków płytę łukową, o charakterze dekoracyjnym. Dźwigającą konstrukcję stropową obliczono na ciężar użytkowy i stały p₀ = 800 kg\m². Widoczne w częściach bocznych beleczki o przekroju 35/20 cm wykształcono jako wsporniki, utwierdzone w podciągu, opartym na słupach ram.

Schody podziemia (rys. 2) o zarysie, dostosowanym do założenia architektonicznego, mają ustrój nośny żebrowany, złożony z podciągów w odstępach 5,30 m i belek drugorzędnych w odstępach 2,24 ж ; na belkach drugorzędnych opiera się płyta o grubości Wem. Charakterystyczne szczegóły ustroju belki drugorzędnej podaje dolna część rys. 2. Podciągi tworzą belkę ciągłą dwuprzęsłową, opartą na trzech słupach o przekrojach 40/40 cm. Odstępy słupów w kierunku rozpiętości podciągów wynoszą 4,48 m. Podstawą obliczenia wymiarów konstrukcji schodów było obciążenie użytkowe i stałe p₀=700 kg\m². Słupy konstrukcji schodów umieszczone są na belkach fundamentowych między słupami ram konstrukcji stropowej podziemia. Słupy ram przechodzą przez odpowiednie wycięcia w płycie schodów.

Dla wykonania scharakteryzowanych konstrukcyj ustalono mieszaninę betonu o stosunku 400 kg cementu na 1 m³ kruszywa.

Budowę katedry, której opisane schematycznie konstrukcje są tylko drobną częścią, wyjętą z całości ustrojów żelbetowych, zainicjowała Kurja Biskupia w Katowicach. Zasługa przezwyciężenia trudności, piętrzących się przy rozpoczęciu olbrzymiej budowy, przypada przedwcześnie zmarłemu Biskupowi Śląskiemu Dr. A. Lisieckiemu. Z ramienia właściciela t. j. z ramienia Kurji Biskupiej ogólny nadzór nad budową sprawuje jako magister fabricae Kanonik Ks. Dr. E. Szramek.

Kurja utworzyła własne kierownictwo techniczne, a kierownikiem w latach 1928 do 1930 był Inż.-arch. W. Wolański, jego zastępcą Inż. J. Margold. Wykonanie robót żelbetowych do poziomu posadzki katedry powierzono, na podstawie przetargu, firmie K. Krompiec w Katowicach. Z ramienia przedsiębiorcy kierował robotami w latach 1929 i 1930 Inż. A. Makowicz.

Obliczenia statyczne i plany wykonawcze całości konstrukcyj żelbetowych katedry opracował autor.

'-.il

¹ min i iiiUlti

si

■f

*■:

д2

|Ü*v

f li

■ ■ «.* ■ :,,

lSS^T^r^': i. ⁵

Ą:', ■<*£*■

19»*"' "fêr' Л'гл

^BîP

ЛёГ

ш;..л

tVvTE

ЯШ

Шжт

ii

Дч

к»

V,

Ryc. 1. Układ wkładek żelaznych fundamentów murów zewnętrznych.

■■■■I

Г? ii

■ВГЖ »ЛИС

* •*-

ftÜJâ

-Л

\ "Иг;

Ryc. 2. Część gotowych fundamentów pod murami zewnętrznemu

TABLICA II

2r

*V>

■4

i'

gpl

“JUI

Et

en

i;

I*    - -

0i'

ШЩ 'J

m à

«1 ft 12

1«

I 11/

if;

fil

Wkù

^. 'i3î* *л»шзМЯр*&

Rye. 3. Szkielet żelazny środkowej części fundamentów prezbiterjum.

«a

? km

Ьч

ftlli

•r

ff

Ryc. 4. Widok ogólny wybetonowanych fundamentów prezbiterjum.

INŻ. EMIL ŁAZORYK

Uzbrojenie na ciągnienia główne w belkach

żelbetowych.

Jakkolwiek konstrukcje żelbetowe nie są dziś żadną nowością, a teorja żelbetu jest ustaloną od dłuższego czasu, mimo to spotykamy w tym zakresie sporo zagadnień wątpliwych lub nierozwiązanych.

Do takich zagadnień mało wyjaśnionych, należy też działanie strzemion równocześnie z wkładkami ukośneini. Już przy najprostrzem założeniu belki o stałej wysokości, prętów odgiętych pod 45° i przy pionowych strzemionach, stosowany sposób obliczenia uzbrojenia na ciągnienia główne, budzić musi poważne zastrzeżenia, z powodu przypisywania strzemionom naprężeń dopuszczalnych, o stałej wartości bez względu na ilość, średnicę i rozkład wkładek ukośnych. W przypadkach bardziej ogólnych np. przy prętach odgiętych pod kątem różnym od 45° lub przy strzemionach wychylonych z pionu, literatura techniczna nie daje odpowiedzi jak je należy rozważać, ze szkodą oczywiście nietylko dla życia praktycznego, ale i dla stanowiska naukowego.

Autor podał swego czasu¹) jakie jest współdziałanie strzemion i prętów odgiętych w wymienionym najprostszym wypadku; celem niniejszego artykułu jest przystosowanie ówczesnych wywodów do przypadków ogólniejszych, spotykanych częstokroć w praktyce, a tern samem zapełnienie odnośnej luki w teorji żelbetu.

Dla belki żelbetowej o zmiennej wysokości naprężenia ścinające obliczamy przy przyjęciu przekrojów pionowych, wprawdzie pod względem teoretycznym nie jest to ściśle uzasadnionem, jest jednak wystarczająco dokładne dla praktyki. Odnośny wzór brzmi

. . (1)

_ T \ Z

*) Inż. E. Łazoryk: Uwagi dotyczące projektowania strzemion i prętów odgiętych w belkach żelbetowych. Czasopismo Techniczne 1923, Nr. 24.

M. hXga К z

gdzie oznaczają:

% — naprężenie ścinające,

Q — siła poprzeczna w przekroju pionowym,

M — moment zginający w przekroju pionowym, kąt nachylenia krawędzi ciśnionej, szerokość belki w części ciągnionej, h — wysokość użyteczna belki w danym przekroju,

^ — ramię momentu wewnętrznego w danym przekroju.

Między dwoma przekrojami pionowemi (rys. 1) naprężenia ścinające sumują się w siłę ścinającą T o wielkości

. . (2)

Z>₀ \ г dx = 1>qFt

xx

przyczem Ft jest powierzchnią wykresu naprężeń ścinających między przekrojami xx i x₂.

Ponieważ ze względu na zmienność wysokości belki naprężenia ścinające nie działają w ogólności prostopadle do przekroju pionowego, przeto i ich wypadkowa nie może leżeć poziomo; wobec tego jednak, że naprężenia ścinające obliczaliśmy w przybliżeniu dla przekrojów pionowych, choć to nie jest teoretycznie ścisłe, więc nie ma też celu wysilać się na dokładne wyznaczanie kierunku siły Ti bez wielkiego błędu można ją przyjąć jako poziomo działającą, względnie jako działającą prostopadle do przekroju. Przyjęcie to potwierdzają też obrazy rys ukośnych w belkach o zmiennej wysokości, które powstają pod kątem 45° do krawędzi ciągnionej. Tymczasem z mechaniki technicznej jest znanem, że naprężenia główne równe są co do wielkości naprężeniom ścinającym, działają jednak w kierunku linji największych ciągnień głównych, dla części ciągnionej belki żelbetowej zginanej działają zatem pod kątem 45°, t. j. prostopadle do tworzących się rys. Wypadkowa naprężeń głównych między dwoma przekrojami ma zatem wartość

.    .    (3)

p dx T li — Ъп \ % —— = -=r

Л. V 2 Y2

czyli jest składową siły ścinającej T. Ponieważ rysy tworzą się prostopadle do siły Ii, skierowanej pod 45° do krawędzi ciągnionej, przeto przyjęcie poziomego kierunku działania siły T można uważać za słuszne.

Dawniej wzorując się na materjałach jednorodnych przyjmowano jako miarodajną co do położenia siły ścinającej oś obojętną przekroju, ponieważ tam dla przekrojów jednolitych panują największe naprężenia ścinające. Tymczasem dla żelbetu naprężenia te są równie wielkie w całej części ciągnionej, wyróżnienie więc osi obojętnej nie jest uzasadnione. Z rozkładu naprężeń ścinających (rys. 1) w przekroju pionowym można zauważyć, iż wypadkowa ich leży w połowie ramienia momentu wewnętrznego, zatem i wypadkowa naprężeń głównych leżeć będzie na tej wysokości. Wynika stąd, że dla ciągnień głównych należy przyjmować jako oś linję łączącą połowy ramion momentu wewnętrznego, czyli leżącą w przybliżeniu w ⁴/₉ wysokości użytecznej belki. Przyjęcie to sprawdza się dość dobrze z przyjęciem Mórscha

<x

Nb

Dl

i.

->!

dx

45

45°/

7"

Rys. 1.

osi w połowie żebra belki, ma jednak tę wyższość, że jest teoretycznie uzasadnione i daje się stosować do każdego przekroju, a nie tylko do przekroju żebrowego.

Z chwilą powstania rys ukośnych w belce, ciągnienia główne przenoszą się w całości na pręty odgięte pod kątem 45°, prostopadle

zaś do nich działa w betonie ciśnienie P. Jednolita belka żelbetowa zostaje wtedy niejako zastąpiona belką kratową, gdzie rolę pasa ciśnio-nego spełnia beton w części ciśnionej przekroju, pas ciągniony tworzą wkładki żelazne poziome, krzyżulcami ciągnionemi są pręty ukośne, zaś zastrzały ciśnione zastąpione są przez beton między rysami uko-śnemi. Wprawdzie niema w tym przypadku wykształconych węzłów

jak w betce kratowej, prawdziwy obraz sił nie będzie przeto tak jasny jak go sobie wyobrażamy, zasadnicze jednak działanie sił nie ulegnie zbyt wielkim zmianom.

Zdarzyć się może, że ze względów konstrukcyjnych uważamy za wskazane u-mieścić pręty odgięte w położeniu rożnem od połowy kąta prostego. Ma to miejsce np. w belce niskiej i przy małej ilości stojących do dyspozycji wkładek, nie wystarczającej przy odgięciach pod 45° do zabezpieczenia wszystkich przekrojów od rys ukośnych; wówczas stosujemy wkładki odgięte pod kątem

71

'Ką

co było zasadą dla systemu Hennebique’a. W tym wypadku, jak zauważyć można z wieloboku sił (rys. 2) na pręty ukośne działa siła

k-

Ur

en

'90

Ts-

Co 1

W'v, f'i

"W

-H

Rys. 2.

COS

Й-)

(Ad)

a więc większa jak siła R. Przeciwnie w belkach wysokich w stosunku do swej rozpiętości zachodzi konieczność przeprowadzenia wkładek pod kątem większym od 45°, a to celem umożliwienia zakotwienia wszystkich prętów odgiętych w części ciśnionej belki i wówczas będzie:

*> 4

zaś siła ciągnąca w prętach ukośnych wynosi

(-a

W=

cos

a więc znów więcej jak siła R. Widzimy stąd, że pręty odgięte pod 45° są przy tem nachyleniu mniej obciążone jak przy każdem innem nachyleniu, a zatem wymagają mniej materjału, względnie dają nam największą pewność konstrukcji.

Ogólnie obliczać będziemy siłę ciągnącą w prętach ukośnych z wzoru

.    .    (4)

W=

sin cp -f- cos (p

który otrzymujemy z rozważania geometrycznego wieloboku sił (rys. 2) lub też siłę W znajdziemy graficznie z tego wieloboku.

Równocześnie nadmienić należy, że ze zmianą kąta (p, zmniejsza lub zwiększa się ciśnienie ukośne w betonie; ponieważ jednak przekrój betonu między rysami ukośnemi jest zawsze wystarczający ze względu na naprężenia dopuszczalne cisnące, a doświadczenia z belkami żelbetowemi wykazały, że siły cisnące ukośne nie przedstawiają żadnego niebezpieczeństwa, przeto zwykle pomijamy je milczeniem.

Przedstawiwszy w ogólnym zarysie działanie sił, gdy w belce znajdują się tylko pręty ukośne, zastanowimy się nad wpływem strzemion na rozkład sił.

Jest rzeczą naturalną, że przez wzmocnienie belki strzemionami zmniejszy się naprężenie w wkładkach ukośnych, zachodzi tylko pytanie w jakiej mierze to ma miejsce i w jaki sposób zależy od przekroju strzemion, ich rozmieszczenia i położenia względem wkładek ciągnionych.

Niech w pewnej belce nierównoległej (rys. 2) leży pręt odgięty ab o długości s pod kątem (p, zaś strzemię pod kątem гр względem wkładek ciągniońych, poziomych. Wskutek działania pewnej siły U w pręcie ukośnym wydłuży się on o ds, a wydłużeniu jednostkowemu

As    —

— odpowiada pewne naprężenie żelaza o-;. Jeżeli jednak pręt ab wydłuży się o A s, to równocześnie musi wydłużyć się też strzemię, gdyż w przeciwnym razie nastąpiłoby przesunięcie się go wzdłuż wkładek, a tem samem nastąpiłoby rozluźnienie ustroju przez przezwyciężenie natężeń przyczepnych między żelazem a betonem. Jak z rysunku można odczytać wydłużenie strzemienia wynosi

sin (p sin гр

Długość strzemienia bc wynosi natomiast

s [cos (гр — ф) — sin (гр — (p) ctg (a -j- (p)] stąd zaś wydłużenie jednostkowe strzemienia będzie

ds bd

s [cos (ip—cp) — sin (гр — cp) ctg (a + cp)\ ~ s bc

s\mp

As

Ponieważ wydłużeniu jednostkowemu odpowiada naprężenie żelaza oj, zatem można napisać, że naprężenie w strzemionach

Gis = Oj

bd

o i fi

• • (5)

gdzie

fi =

bc

. (6)

Znajdujemy więc wynik, że naprężenie w strzemionach równa się naprężeniu prętów ukośnych, pomniejszonemu w stosunku rzutu ukośnego pręta odgiętego na kierunek strzemienia do długości strzemienia. Ponieważ dla belek równoległych długości te są równe, więc w tym szczególnym przypadku naprężenia strzemion i wkładek odgiętych będą sobie równe.

(7)

Na podstawie powyższego wniosku możemy napisać, że w pręcie ukośnym działa siła

gdzie Au jest całkowitym przekrojem prętów ukośnych; natomiast w strzemionach działa siła ciągnąca

. . (8)

Asait = AsOifi .    .

przyczem A„ jest przekrojem strzemion na odnośnej długości belki.

Z wieloboku sił widzimy, że siła ciągnąca W rozkłada się na siły U, S i Ps, przyczem Ps jest to ciśnienie, o które powiększa się ciśnienie działające ukośnie w betonie.

Z warunku równowagi składowych sił wynika

T= Ta + T„= J7(sing>+cos<jp) + £(sin</> + cos^) .    .    (9)

czyli

U A-S

siny;+ cosî^ sinçp + cosqp

. . (10)

sin (p + cos cp

Po wstawieniu wartości za U i S z równ. (7) i (8) otrzymujemy

A — Au + As fi

sin гр + cos гр sin cp + cos cp

. . (11)

ТГ

• (12)

gdzie

oznacza idealny przekrój żelaza, potrzebny do przeniesienia siły W.

Oi

W wypadku strzemion pionowych i prętów odgiętych pod 45°, dla belki o zmiennej wysokości wzór (11) upraszcza się do formy

A=AU + AS-^ .

.    (11 a)

zaś dla belki równoległej

V2

.    . (iw,)

Obliczanie wartości funkcyj trygonometrycznych we wzorach (9), (10) i (11) może być uciążliwem, przeto zauważa się, że można je odczytać z wieloboku sił, a mianowicie

sin (p + cos (p

ef

fg

(13 a)

sin гр -j- cos ip =

eh

gh

.    .    (13 ft)

sin (p + cos (p

fg

sin ip + cos гр

fi

.    .    (13c)

przyczem prosta gh i fi są równoległe do kierunku strzemion.

Wkońcu rozważanie nasze zastosujemy do przypadku, gdy w belce pominiemy pręty ukośne, a używamy jedynie strzemion na uzbrojenie przeciw ciągnieniom ukośnym. Przy pionowem położeniu strzemion siła w nich działająca równa się sile ścinającej T. Ponieważ dla belki równoległej siła ścinająca wynosi tyle co siła poprzeczna Q, więc dochodzimy do tego samego wyniku jak Mörsch, a mianowicie że w tym wypadku strzemiona działają jak słupy belki kratowej wielokrotnej, prostokątnej. Jakkolwiek dla przedstawienia całości nadmieniono tu o możliwości określenia sił i przy uzbrojeniu tylko strzemionami, to jednak konstrukcji takiej nie należy uważać za prawidłową i polecenia godną, a to nietylko z powodu nieekonomicznego rozkładu materjału, ale też z uwagi na mniejszą pewność, jaką belki posiadają, a co wykazały doświadczenia.

W praktyce tok obliczenia i projektowania uzbrojenia na ciągnienia główne będzie następujący :

Po obliczeniu wzorem (1) naprężeń ścinających w kilku przekrojach charakterystycznych, badanej części belki o długości d, nakreślimy diagram tych naprężeń na osi prostopadłej do sił pionowych. Powierzchnia tego diagramu posłuży do wyznaczenia siły ścinającej T, a to wedle formuły (2), a w dalszym ciągu do znalezienia z wieloboku sił lub z równania (4) siły ciągnącej W, przyczem należy dążyć do stosowania odgięć pod 45°. W tym wypadku będzie

T

W = R = —=

Biorąc pod uwagę naprężenie dopuszczalne żelaza na ciągnienie, wzór (12) określa potrzebny idealny przekrój żelaza A; natomiast przekrój Au oznacza się z ilości wkładek odgiętych o średnicy danej z reszty konstrukcji. W każdym bądź razie ilość odgięć n nie powinna być mniejszą na długości d jak

Ali

• . (15)

,ra₈

e = d——

A,

■    ■ (i6)

gdzie h jest średnią wysokością użyteczną belki. Warunek ten ma na celu dostateczne zabezpieczenie wszystkich przekrojów na ciągnienia główne przy pomocy prętów ukośnych. W dalszym ciągu równ. (6) na podstawie długości zmierzonych z rysunku da wartość //, az wielo-boku sił i równ. (13 c) wyznaczy się współczynnik trygonometryczny. Znając te wartości oblicza się z formuły (11) potrzebny przekrój strzemion Aa. Przekrój ten odnosi się do długości d, przyjąwszy więc na strzemiona żelazo o przekroju as i stosując r ramion, przy jednostajnym równym rozkładzie strzemion, obliczamy ich wzajemny odstęp e z wzoru

Ustaliwszy przekroje wkładek ukośnych i strzemion, uwzględniając konieczne różnice między obliczeniem a projektem, należy wyznaczyć z równ. (11) i (12) naprężenie działające w uzbrojeniu; naprężenie to winno okazać się mniejszem od dopuszczalnego.

Wkońcu przystępuje się do wyznaczenia rozkładu wkładek odgiętych. Wykonuje się to przy pomocy wspomnianego diagramu naprężeń ścinających; z diagramu tego najpierw odcinamy część odpowiadającą działaniu strzemion. Jest to prostokąt o długości d, a o wysokości

•    ■ (17)

(sin tp + cos ty) .

V*

А* I* Qj b₀ d

zaś resztę powierzchni dzielimy na tyle pasków o równych polach, wiele zamierzamy odgiąć prętów ukośnych; środkom ciężkości tych pasków odpowiadać będą przecięcia wkładek odgiętych z odnośną osią, leżącą w połowie wysokości ramion momentów wewnętrznych. Oczywiście przez odgięcie wkładek nie można dopuścić w poszczególnych przekrojach do naprężeń większych od dopuszczalnych ze względu na momenty zginające ; przy pewnej wprawie konstrukcyjnej trudności te dadzą się uniknąć, szczególnie jeśli zastosuje się kąt odgięć różny od 45°.

M. MATAKIEWICZ

Przepływ przez obszary zalewowe rzek.

(Szkic hydrologiczny).

Przy obliczaniu objętości przepływu największej wielkiej wody rzek i potoków, na podstawie przekroju poprzecznego i spadku, stosujemy wzory empiryczne na średnią prędkość, które, jak wiadomo, dzielą się na dwa rodzaje, a mianowicie dawniejsze z nich posiadają t. zw. współczynnik szorstkości, obierany dowolnie, na podstawie doświadczenia i nowsze, bez takiego współczynnika. Nie będę się tu zastanawiał nad tern, który typ formuł jest odpowiedniejszy, chcę natomiast zaznaczyć, że tak jedne, jak i drugie, opierają się na pomiarach hydrometrycznych, przeprowadzonych prawie wyłącznie we właściwem łożysku rzeki, którego największe wypełnienie stanowi t. zw. woda brzegowa, zwana także zwykłą wielką wodą. O ile przyjąć można, że wszystkie stany znajdujące się jeszcze wewnątrz brzegów mają wpływ na ukształtowanie łożyska i rzeczywiście je kształtują, to natomiast nie można tego powiedzieć o działaniu wielkich wód, występujących ponad brzegi, w odniesieniu do obszarów zalewowych. Na obszarach tych przepływ wody jest rzadkim gościem, nie może ich zatem wykształcić w sposób korzystny dla przepływu. Są one tylko łożyskiem przygodnem, pofałdowanem, a przytem, z powodu istnienia wegetacji, szorstkiem, które to właściwości wpływać muszą niekorzystnie na efekt przepływu. To zapatrywanie nie wymaga bliższego uzasadnienia o ile chodzi o wpływ wegetacji na zwiększenie szorstkości, jest ono bowiem zupełnie zrozumiałe, że jednak obszary zalewowe, z powodu swego ukształtowania, są mniej gładkie jak właściwe łożysko, wymaga pewnych dowodów. Otóż dowody cyfrowe podane będą w dalszym ciągu, tu tylko narazie powołam skonstatowany wielokrotnie fakt, że jakkolwiek dobrze utrzymane łożyska kanałów sztucznych ziemnych są znacznie gładsze od łożysk naturalnych, czyli rzecznych, o tym samym spadku, to natomiast źle utrzymane

kanały ziemne, lub z osadami piasku i namułu, okazują nieraz dużo większą szorstkość jak łożyska rzeczne.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę ogólną formułę na średnią prędkość: v = 35,4 R*-¹ Im,

to 1) dla kanałów ziemnych regularnych i czystych .    .....

2)    dla rzek m = 0,493 + 10/, a więc naprzykład przy 1= 0,0002

3)    natomiast dla kanałów ziemnych

zaniedbanych.......

m — 0,483

m = 0,495 m — 0,505 — 0,515, co wpływa wydatnie na zmiejszenie funkcji spadku, a zatem i prędkości przepływu.

Podobnie jak źle utrzymane kanały sztuczne, są także i tereny zalewowe rzek takiemi źle utrzymanemi łożyskami.

Dotknęliśmy tu narazie jednego tylko zadania, a mianowicie obliczania objętości przepływu, podobnie zachodzi potrzeba uwzględnienia odrębnych warunków przepływu przez obszary zalewowe w porównaniu z przepływem we właściwem łożysku przy obliczaniu świateł mostów, oraz odstępu wałów ochronnych.

W pierwszym wypadku oznaczać należy wysokość ciśnienia

Jc=~- osobno dla terenów zalewowych, a osobno dla właściwego

łożyska, w drugim, obliczamy osobno przepływ przez właściwe, głębokie łożysko, a osobno przez tereny zalewowe; w obu wypadkach znajomość warunków przepływu przez obszary zalewowe okazuje się konieczną.

Co się tyczy wpływu wegetacji na przepływ, to nie chcę tutaj iść tak daleko, jak to uczynił inżynier Wellner¹), który badał przepływ przez bardzo zarośnięte rowy i potoki i otrzymał współczynnik szorstkości n do wzoru Ganguillet- Kutter’a aż 0,264, względnie współczynnik c wzoru Chćzy w pewnym wypadku zaledwie 1,8, — tu badać będziemy odrębność przepływu przez tereny zalewowe tylko w takich profilach, jakie się obiera przy pomiarach, to znaczy profile otwarte, niezarośnięte wikliną, co najwyżej z niską wegetacją.

Nie można zaprzeczyć, że np. przy oznaczaniu odstępu wałów mamy nieraz do czynienia z obszarami o wysokiej wegetacji, zmniejszającej naturalny profil przepływu, oraz zmniejszającej prędkości wody, jednak w takim wypadku trudno przeprowadzić jakieś ścisłe obliczenia

i nie pozostaje nic innego, jak wyłączyć część naturalnego profilu przepływu jako martwą.

Jak już powyżej powiedziano, zbadanie warunków przepływu przez obszary zalewowe posiada wybitną praktyczną wartość, dlatego w dalszym ciągu przeprowadzone będzie badanie, czy iw jakim stopniu stan w jakim przeciętnie znajdują się obszary zalewowe wpływa na zmniejszenie prędkości przepływającej przez nie wody.

Celem wyjaśnienia powyższego problemu musimy się oprzeć na pomiarach hydrometrycznych, należycie wykonanych, dających rękojmię ścisłości. Metoda badania polegać będzie na tern, że dla obszarów zalewowych, w których przeprowadzono bezpośrednie pomiary prędkości, rachować będziemy prędkość również z formuły empirycznej i porównywać obydwa wyniki. Ponieważ, jak to już powyżej powiedziano, formuły empiryczne opierają się na pomiarach we właściwem łożysku, przeto porównanie takie powinno rzeczywiście wykazać różnicę w warunkach przepływu w łożysku i w obszarach zalewowych i to na niekorzyść tych ostatnich.

Przy przeprowadzeniu badania zastosowano ogólną formułę na prędkość dla łożysk naturalnych:

V = f(T).F(I) = (1,04 r>,7).(34/0,493+107) = 35;4 /0,7/0,493+10^

.    . od / = 0,000 do /=0,016

która w granicach średnich głębokości od T= 0,000 do T = 4,5m i w granicach spadków . daje wyniki o zupełnie wystarczającej dokładności. Te granice stosowalności formuły wystarczają nawet dla bardzo dużych rzek i bardzo wysokich stanów, jak to w dalszym ciągu zresztą zobaczymy, gdyż trzeba mieć na uwadze, że T oznacza średnią głębokość przekroju przepływu *).

’) a) Dla średnich głębokości ponad 4,5 m, zbadanie licznych pomiarów przy wielkich średnich głębokościach, oraz poszczególnych pionowych pomiaru (ponad 12 m głębokości), wykazało, że dla T od 4,5 m — 12 m wykładnik w funkcji Tn powinien maleć od 0,7 do 0,53, a kształt funkcji głębokości można przyjąć jako prostą. Z tego powodu określono tę funkcję dla T>4,5m następująco:

/(/) =3 + 0,125(T⁷— 4,5) = 2,44 + 0,125 T, zatem kształt formuły na prędkość dla T>4,5 będzie:

V = (2,44 + 0,125 T) . F(I) = (83 + 4,25 T) /0,493+107 Szczegóły w pracy z r. 1925, oraz w pracy z r. 1931, zamieszczonej w „Czasopiśmie Technicznem“.

b) Dla potoków o bardzo znacznych spadkach, od /=0,016 do / = 0,100, oznaczono formułę na średnią prędkość w następującym kształcie:

V = 2,38 T o,v.

(Patrz autora: „Formuła na średnią prędkość dla łożysk naturalnych i wielkich spadków“; Akademja Nauk Technicznych, Warszawa 1931).

1. Pomiar Harlachera na Dunaju w profilu pod Klosterneuburgiemx).

Rozpoczynamy od tego pomiaru nie z tej przyczyny, jakoby istniała tu możność zbadania przepływu przez obszar zalewowy w szerokich granicach, gdyż stan pomiaru nie był jeszcze zbyt wysoki i chyba tylko pionowe pomiaru I, II i XV możnaby uważać jako leżące w terenie zalewowym, lecz raczej aby nabrać zaufania do formuły, która tu jest podstawą metody badania.

Wyniki pomiaru były tu następujące:

(3=3632,2 m?\sek, F= 1801,7 В=АЪ\т, /=4,12 w, v=2,016 m,

/=0,000486.

Z formuły otrzymuje się na podstawie powyższych wartości średnią prędkość ^ = 2,130 m, a zatem w porównaniu z pomierzoną o 0,114 m, czyli o 5°/₀ większą. Wynik ten uważać należy jako dobry, gdyż różnica leży w granicach błędów pomiarów.

Szczegółowe wyniki pomiaru (w poszczególnych pionowych) przedstawiają się następująco ²) :

Pionowa

Głębokość t

Średnia prędkość vn (z formuły)

/(0

F^=m

1,18

II

2,47

III

1,97

0,768

1,159

1,275

1,17

1,96

1,67

IV

1,69

1,73

1,309

1,318

1,50

1,53

VI

2,27

VII

3,15

to Ю

1,845

2,325

VIII

3,09

IX

3,84

3,43

XI

XII

XIII

XIV

6,53³) 6,92³) 7,88³) 7,27³)

XV

1,68

2,112

1,592

1,545

2,113

2,441

2,440

2,219

1,016

2,29

2,67

2,465

3,26

3,305

3,435

3,35

1,495

0,657

0,592

0,760

0,873

0,861

0,850

0,753

0,923

0,596

0,627

0,648

0,738

0,710

0,663

0,680

*) Harlacher: „Die Messungen in der Elbe und Donau“, Lipsk 1881. Pomiar z 25 kwietnia 1878 r.

s) Literą T oznaczono średnią głębokość całego profilu, literą t głębokości w poszczególnych pionowych.

³) Dla tych pionowych, o głębokości większej jak 4,5 m, zastosowano formułę na f(t) powyżej podaną.

Obliczyliśmy tu (w ostatniej kolumnie) wartości funkcji spadku dla poszczególnych pionowych ; widać, że jakkolwiek przyjmuje się spadek jednolity dla całego profilu, nie jest on w poszczególnych strugach taki sam, gdyż poszczególne wartości funkcji spadku wahają od 0,592 do 0,923, podczas gdy spadkowi podłużnemu, oznaczonemu przy pomiarze, odpowiada według formuły funkcja:

F (I) = F (0,000486) - 0,763.

Że spadek w poszczególnych strugach nie jest taki sam, jest rzeczą zupełnie zrozumiałą, przytem, jak widać z powyższego zestawienia średnich prędkości, przy pionowej VIII i między pionowemi XII i XIII wytworzyły się dwa centra największych prędkości, znamionujące położenie strug o najlepszem wyzyskaniu spadku.

Pomimo tego jest to pomiar dla nas bardzo ważny, gdyż jest pomiarem zupełnym, przy którym mierzono prędkości w różnych punktach całego profilu i do tego wykonanym nie przy moście, lecz w profilu na wolnej przestrzeni.

Przyjmując pionowe I i II jako leżące w obszarze zalewowym, otrzy-

0,624,

muje się dla nich średnią wartość funkcji spadku

która w porównaniu z funkcją spadku z formuły, F{I) =0,763, wykazuje zmniejszenie o 0,139, czyli o 18°/₀, a takie same zmniejszenie odnosi się naturalnie także i do prędkości. Pionowa XV, po drugiej stronie profilu, daje zmniejszenie 11 °/₀.

0,657 + 0,592

2. Pomiar na Dunaju pod Wiedniem, przy moście w km 2,682, wykonany 14—16 września 1897 *).

I ten pomiar nie obejmuje jeszcze właściwej wielkiej wody, pokrywającej tereny zalewowe, jednak podaje się tu jego wyniki w tym samym celu jak wyniki pomiaru poprzedniego. Przytem jest to również pomiar zupełny, przeto dla sprawdzenia formuły przedstawia specjalną wartość²).

Wyniki tego pomiaru są następujące:

Q=3233,9niosek, 5=1321,83 m², 5=284,Зж, Г=4,65ж, v=2,U6m,

7=0,00056.

Z formuły otrzymuje się na podstawie powyższych wartości średnią prędkość гу=2,446, a zatem zupełnie zgodną z pomierzoną.

Szczegółowe wyniki pomiaru (w poszczególnych pionowych) przedstawiają się następująco:

9 „Beiträge zur Hydrographie Österreichs“, III Th. 1897.

²) W opisie na str. 31 stwierdzono przytem, że przepływ odbywał się regu larnie i zupełnie prostopadle do mostu.

Pionowa

Głębokość t

1,68

II

3,33

Średnia prędkość vn

0,77

1,76

АО

(z formuły)

1,495

F(I) = ^₄

АО

2,41

III

3,54

1,99

2,525

IV

3,64

2,07

2,57

IV a

3,70

2,16

2,60

IV c

3,90

2,13

2,695

3,30

2,00

2,40

VI

3,32

2,16

2,41

VIII

3,12

2,28

3,33

2,35

2,305

2,415

XI

4,08

XI a

4,39

XI c

4,06

XII

4,46

XIII

5,00

XV

5,85

XVII

6,94

XVIII XVIII a XVIII c

7,68

7,42

7,30

XIX

8,15

XX

7,55

XXI

7,50

XXII

8,00

XXIII

XXIV XXIV a

8,50

3,75

1,25

- r* J° J° J° J° J° JO JO N3 JO JO JO JO JO JO JO O U Ol —

'-‘OU|-‘^(»IOWi^>^4(OMOOOOOb

2,78

2,93

2,775

2,965

3,065

3,17

3,31

3,40

3,37

3,35

3,46

3,385

3,38

3,44

3,50

0,516

0,729

0,789

0,804

0,831

0,790

0,833

0,896

0,991

0,973

0,840

0,846

0,843

0,793

0,790

0,817

0,776

0,777

0,813

0,785

0,786

0,821

0,849

0,788

0,757

0,518

0,830

2,625

1,215    _

Średnio oo 0,800

Obrachowane tu wartości funkcji spadku dla poszczególnych pionowych nasuwają takie same wnioski jak przy poprzednim pomiarze; wahają one w granicach od 0,516 do 0,991, podczas gdy spadkowi pomierzonemu odpowiada według formuły wartość funkcji F (I) = F (0,00056) = 0,810.

Niema tu właściwego terenu zalewowego, dlatego pomiar ten nie daje możności do wysnucia dalszych wniosków.

3. Pomiar na Wiśle pod Warszawą, wykonany przy moście Kierbedzia 7 maja 1919 r.

I ten pomiar podajemy tu w tym samym celu jak obydwa pomiary poprzednie, gdyż jakkolwiek wykonany on był przy stanie

bardzo wysokim (476), tylko małą część profilu, po prawej stronie, można uważać jako należącą do obszaru zalewowego.

Wyniki tego pomiaru są następujące:

Q=4830 m³!se/c, F =2234 m\ B=455m, T= 4,91 m, v=2,16 m,

/=0,000355.

Z formuły otrzymuje się na podstawie powyższych wartości średnią prędkość vf=2,00 m, a zatem w porównaniu z pomierzoną o 0,16, czyli o 7,8°/₀ mniejszą.

Wyniki pomiaru w poszczególnych pionowych są następujące:

Średnia

prędkość Vn (z formuły)

1,015 1,695 2,220 2,158 2,244 2,143 2,243 1,861 2,387 2,383 2,338 2,134

2.372 2,331 2,214

2.373 2,522 2,522 2,565 2,730 2,204 1,622 1,412

Pionowa

Głębokość t

3,99

Д0

2,740

F (I) =

II

III

IV

VI

VII

VIII

IX

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

XXI

XXII

XXIII

XXIV

XXV

XXVI

XXVII

5,70

4,25

4,25

5,48

4,37

4,49

5,05

3,97

3,85

3,87

3,97

4,12

OO

6,15

7,65

6,80

9,95

10,95

12,25

4,25

3,27

2,90

2,25

1,48

0,88

Г _T <3 o'

211

CT>

3,152

2,865

2,865

3,125

2,890

2,976

3,071

2,730

2,675

2.683 2,730 2,800 3,043 3,153 3,209 3,396 3,290

3.684 3,809

3,971

2,865

2,385

2,190

1,835

1,370

0,951

0,370

0,538

0,827

0,753

0,718

0,741

0,754

0,606

0,875

0,891

0,871

0,782

0,848

0,766

0,739

0,740

0,743

0,767

0,696

0,717

0,555

0,569

0,593

0,616

0,650

0,641

0,388

Średnio ^0,717

Różnicy między wynikiem pomiaru a wynikiem formuły, podanej powyżej na 7,8°/₀, nie należy również uważać, za zbyt wielką; jak zawsze, tak i tu pomiar spadku, zwłaszcza przy wielkiej wodzie, jest

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

14

trudny, nadto spadek mierzymy tylko przy brzegach, a jak wykazuje powyższe obliczenie, spadki w poszczególnych strugach muszą być różne, kiedy funkcje spadku są różne. Jednak obliczone wartości funkcji spadku dla 12 pionowych (4, 5, 6, 7, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) bardzo mało się od siebie różnią; średnia ich wartość wynosi 0,743, a odpowiada jej spadek 7=0,000463, podczas gdy średniej wartości funkcji spadku dla wszystkich pionowych F(I) = 0,717 odpowiada spadek 7=0,00042.

Jako leżącą w terenie zalewowym można jedynie uważać tu pionową XXVII; ponieważ spadkowi pomierzonemu 7=0,000355 odpowiada 7^(7)=0,655, zaś dla pionowej XXVII otrzymano F{I)=0,388,

= 0,59, zmniejszenie prędkości

stosunek obu wartości wynosi zatem 41 °/₀.

4. Pomiary na Dunaju pod Wiedniem, wykonane przy moście w km 2,682, 2—7 sierpnia 1897 r.

0^88 0,655

Jest to pięć pomiarów, wprawdzie powierzchniowych, ale bardzo starannie wykonanych i obliczonych¹). Wykonane one zostały przy stanach bardzo wysokich, przy których przepływ odbywał się i przez rozległe obszary zalewowe. Całkowita szerokość zwierciadła wynosiła od 467,8 do 788,9 m, powierzchnia przekroju od 1669,4 do 3666,9 w², objętość przepływu od 3936,5 do 8896,7 m³\sek. Wyniki tych pomiarów, w odniesieniu do całego profilu, przedstawiają się następująco:

V z pomiaru

Q V z formuły= =F —J\T) • F(I) 2,481 2,435 2,349 2,145 2,109

Pomiar Data

Ol + OJ to ;

Jak widać, prędkości obliczone z formuły zgadzają się zupełnie dobrze z prędkościami pomierzonemi ; odchyłki wynoszą: +0,055 (tj. + 2,3°/₀), +0,029 (tj. +1,2°/₀), -0,049 (tj. -2%), -0,072 (tj. -4,4°/₀) i —0,243 (tj. —11,5°/₀), są zatem bardzo nieznaczne, z wyjątkiem ostatniego pomiaru. Przy tym pomiarze odchyłka jest wprawdzie znaczniejsza, jednak przypisać to należy błędowi pomiaru, przy którym średnia prędkość jest zbyt wielka w porównaniu ze średnią prędkością przy pomiarze poprzednim, o prawie identycznych wartościach spadku i głębokości.

Przejdźmy teraz do terenów zalewowych, z których lewy oznaczymy literą l, a prawy literą p. W cytowanej publikacji znajdujemy

9 ..Beiträge zur Hydrographie Österreichs“, j. w.

pewne udogodnienie, a mianowicie są tam już podane wyniki pomiarów dla całego terenu zalewowego lewego i dla całego prawego. Wyniki te są:

V (z pomiaru)

V (z formuły)

Pomiar

1,32

0,37

1,786 0,841 1,716 0,718 1,527 0,589 0,917 0,432

Stosunek prędkości średnich pomierzonych, do otrzymanych z formuły, a zatem odpowiadających właściwemu łożysku rzeki jest:

Pomiar

V z pomiaru

V z formuły

Średnio

0,83 0,785

Pomijając chwiejne wyniki, otrzymane przy płytkiem pokryciu

terenu zalewowego wodą, otrzymaliśmy dla terenu lewego (o przeciętnej średniej głębokości 2,5 m) zmniejszenie przepływu o 17°/₀, dla terenu prawego (o przeciętnej średniej głębokości 0,90 m) zmniejszenie przepływu o 21,5°/₀.

5. Pomiary na Dunaju pod Wiedniem, wykonane przy moście w hm 2,682, w roku 1899x).

Jest to 14 bardzo cennych pomiarów, przy stanach bardzo wysokich, z których najwyższy dał objętość jeszcze o 108 m³ wyższą, jak najwyższy pomiar z r. 1897. Przy pomiarach tych jednak nie pomierzono spadku, dlatego nie nadają się one już do sprawdzenia formuły, natomiast pragnąc obliczyć przepływ przez obszary zalewowe, musimy zastosować postępowanie odwrotne, a mianowicie z formuły obliczyć spadki, oraz wartości funkcji spadku. Metodę taką stosować będziemy w dalszym ciągu nietylko w odniesieniu do tych pomiarów, przy których nie pomierzono spadków, ale i do tych, gdzie oznaczenie spadku nie wzbudza zaufania, z powodu nieregularnego profilu podłużnego w miejscu pomiaru.

Wyniki tych pomiarów przedstawiają się następująco:

’) „Beiträge zur Hydrographie Österreichs“ 1899.

Pomiar

V (z pomiaru)

a,

P cały profil

1.

2.

to to

1,01

3.

3,19

1,07

4.

2,75

(z formuły) 0,00051 0,00052 0,00051 0,00055

V (z formuły)

5.

2,66

0,52

2,39

6.

2,62

1,51

0,44

2,38

7.

2,49

1,44

0,41

2,36

0,000565

0,00056

8.

2,38

1,38

0,33

2,33

9.

2,22

1,29

0,25

2,31

0,00058

10.

2,11

1,26

0,37

2,29

11. 2,08

1,25 0,36

2,29

1,85 0,86 1,85 0,82 1,836 0,85 1,70 0,63 1,66 0,61 1,66 0,59 1,60 0,55 1,55 0,53 1,50 0,46 1,44 0,36 1,43 0,34

12.

1,54

1,00

2,23

0,00062    1,30

13.

1,45

2,19

1,16

14.

1,34

2,18    0,00064    1,10

Stosunek prędkości średnich pomierzonych, do otrzymanych z for

muły, jest:

V z pomiaru Pomiar v z formuły

V z pomiaru

Pomiar

V z formuły

0,94 0,72 0,94 0,72 0,95 0,67 0,91    0,87

0,91    0,87

0,91    0,75

0,90 0,75

Jak widać, zmniejszenie przepływu wynosi dla terenu zalewowego lewego 12°/₀, dla prawego 22°/₀. Przy terenie lewym zwraca uwagę wzrost zmniejszenia prędkości z maleniem głębokości, a mianowicie przy głębokości 3,23 m zmniejszenie wynosiło tylko 6°₀, zaś przy głębokościach 1,54, 1,45 i 1,34 m aż 2O°/₀, W zgodzie z tern jest teren zalewowy prawy, wykazujący przy głębokości 0,6 m zmniejszenie prędkości o 22°/₀.

Średnio

V    z pomiaru (

V    z formuły j

dla obszaru

4^ OJ tO p p OO

„ 0,60)

6. Pomiary na Sanie pod Jarosławiem ’).

Wykonano tu w r. 1906 przy wysokich stanach dwa pomiary zupełne (przy stanach 3,60 i 3,98) i jeden powierzchniowy (przy stanie

’) Wyniki pomiarów 6 i 7 zawdzięczam p. Naczelnikowi Oddziału Hydrograficznego we Lwowie, inż. Tadeuszowi Łowczyńskiemu.

4,02). Z uwagi na małą różnicę stanów dwóch ostatnich pomiarów, pomijamy ostatni, jako mniej pewny.

Wyniki obydwu pomiarów zupełnych są następujące:

Spadek Г,

V Z po- V Z ГОГ- sprostowany miaru muły ца podstawie formuły

1.    12/VII 1906    758,17    173,1    853,8    4,367    0,000337    1,126    1,876    0,000115

2.    11/VI 1906    658,32    173,1    697,4    3,803    0,000294    1,059    1,602    0,000122

Pomiar Data

Jak widać, obrachowane z formuły prędkości zupełnie się nie zgadzają z prędkością pomierzoną, a różnica jest tak znaczna, że żadna formuła nie dałaby wyników zgodnych. Wynika z tego, że nie uchwycono tu spadku odpowiadającego średniej prędkości profilu, prawdopodobnie z powodu zbyt wielkich odstępów niwelowanych punktów zwierciadła. Do tego dodać należy, że, zwłaszcza przy pomiarze pierwszym, zwierciadło wody w miejscu pomiaru nie wykazuje wybitnego nagromadzenia spadku, tj. spiętrzenia przy moście, które zresztą musiało być zupełnie nieznaczne, gdyż stany przy których obydwa pomiary wykonano, leżą jeszcze znacznie niżej od stanu absolutnie najwyższego. Z tego powodu, na podstawie formuły obliczono spadki obu pomiarów i według tych sprostowanych spadków Г przeliczono prędkości w terenie zalewowym. Dla wyjaśnienia dodaje się, że istnieje w miejscu pomiaru tylko jeden, tj. prawobrzeżny obszar zalewowy. Most przy którym wykonano pomiary posiada 3 przęsła główne, każde o świetle 42 m i 4 przęsła zalewowe, z tych 3 o świetle po 13 m, a jedno 10 m.

Wyniki pomiarów w poszczególnych pionowych obszaru zalewowego przedstawiają się następująco:

Pomiar 2.

Pomiar 1.

Pionowa

V'

(z pomiaru) (z formuły) -a/

Pionowa

. V v' V

" (z pomiaru) (z formuły)

XQXX^ X

5" [IrX = <<ÉXX =

•a

O)

ярррррррро

(OWM(OtO-N-W4i^.

¹ .{s. —4 O

O O) tD ^ Ш СЛ 00 Ji *1. O)

сГосГсГсГсГсГсГсГсГ

о о o' o' сГ с о" сГ o~ o'I cT

Tt* СО    ^ CN CN *—•

сГ сГ o' o' o' сГ сГ o' o'

СОЮЮСО'^'^ЮЮЮ

o' о о о" о о~ о~ сГ о'

О С? O O O' O' O O Cl O

Jak widzimy, prędkości rzeczywiste spadły tu aż do 50°/₀, w porównaniu z prędkościami, jakie w normalnych warunkach przy tym samym spadku i tych samych głębokościach powstają. Powodem tego są tu z pewnością nietylko odrębne i niekorzystne warunki przepływu

w obszarze zalewowym, ale i ciasnota przęseł zalewowych. Spostrzeżenia powyższe potwierdzają wyniki następnego pomiaru.

7. Pomiar na Bugu pod Sokalem.

Pomiar ten wykonano 25 lipca 1913 r., w profilu mostu o 12 przęsłach po 15 w światła, z których 5 po stronie prawej przekracza obszar zalewowy; ostatnie z tych przęseł ma wodę stojącą. Stan pomiaru nie był zbyt wysoki; pomierzona objętość, wynosząca okrągło 100 m³\sek, wskazuje, że było to małe wezbranie.

Ponieważ przy moście nie pomierzono spadku podłużnego, przeto zastosujemy znowu trochę odrębny sposób postępowania; dla porównania efektu przepływu we właściwem łożysku i w terenie zalewowym, na podstawie pionowych prędkości w łożysku i w terenie zalewowym, a więc na podstawie pomierzonych w poszczególnych pionowych głębokości i średnich prędkości, obliczymy funkcję spadku osobno dla właściwego łożyska, a osobno dla terenu zalewowego, a stosunek tych wartości da nam miarę zmniejszenia przepływu w terenie zalewowym, gdyż stosunek wartości funkcji spadku przy tych samych głębokościach jest zarazem stosunkiem prędkości.

Wyniki są następujące:

aj Łożysko właściwe.

Pionowa

(zmierzone)

ДГ) = 1,04 247

1,63

II

2,18

III

1,86

IV

2,27

2,03

VI

1,84

VII

2,38

VIII

2,27

IX

2,25

2,34

XI

2,44

XII

2,06

XIII

2,55

XIV

2,28

XV

2,14

XVI

2,15

XVII

1,97

XVIII

1,88

XIX

1,76

0,178

0,279

0,250

0,425

0,569

0,484

0,628

0,573

0,578

0,580

0,616

0,544

0,497

0,565

0,418

0,414

0,497

0,462

0,322

1,46

1,79

1,60

1,84

1,70

1,59

1,91

1,84

1,83

1,88

1,94

1,72

2,00

1,85

1,77

1,775

1,67

1,62

1,54

0,122

0,156

0,156

0,231

0,335

0,305

0,328

0,311

0,316

0,309

0,318

0,316

0,248

0,305

0,236

0,233

0,298

0,285

0,209

Średnio 2,12

0,264

b) Obszar zalewowy.

Pionowa

(zmierzone)

J\T)= 1,04 TW

XX

F^=m

0,49

XXIII

0,63

XXV

0,70

XXVI

XXVIII

XXIX

XXXI

XXXII

XXXIII

0,78

0,73

0,68

0,72

0,73

0,88

0,086

0,040

0,054

0,090

0,125

0,120

0,235

0,075

0,086

ooooooooo

<0 OO 00 '-J O) oo oo ''-J CT> CnWU)COOJ-<Ji—‘OlOJ

0,137

0,054

0,067

0,104

0,151

0,152

0,283

0,090

0,091

Średnio 0,70

0,126

0,126 : 0,264 = 0,48 oo 0,50,

Z obliczenia tego wynika, że stosunek wartości funkcji spadku w terenie zalewowym, do wartości tej funkcji we właściwem łożysku wynosił tu :

a więc zupełnie zgodnie z wynikami poprzedniego pomiaru.

Wyniki te stwierdzają bardzo niekorzystne warunki przepływu w obszarach zalewowych, przegrodzonych ciasnemi przęsłami, przy niskiem pokryciu wodą.

8. Pomiar na Dunajcu pod Nowym Sączem J).

Pomiar ten wykonano w dniu 1 lipca 1925 r. przy moście; wyniki przedstawiają się następująco :

T=\,56m г>= 1,63 m I nie mierzono F(7) =^,^ = 1,148

7obliczone= =0,00125.

Ponieważ spadku przy pomiarze nie oznaczono, obliczono go tu z formuły. Profil pomiarowy, jak na rzekę tej wielkości co Dunajec pod Nowym Sączem, miał stosunkowo znaczną rozległość (B=275 m), skutkiem czego mamy tu ośm pionowych w terenie zalewowym (2 w lewym, a 6 w prawym), z których jednak ostatnią wykluczono, z powodu nieprawidłowo wielkiej prędkości (v=2,43 m) przy zbyt małej głębokości (7=1,10 z/г) i przy danych warunkach spadku.

9 Wyniki pomiarów 3, oraz 8—10 zawdzięczam p. Naczelnikowi Centralnego Biura Hydrograficznego w Warszawie, inż. Tadeuszowi Zubrzyckiemu. Pomiarów wielkich wód otrzymałem znacznie większą liczbę, jednak wiele z nich, jak na Wiśle pod Annopolem 28/X 1926, Zawadami 5/XI 1930, Warszawą 4/VII i 7/VII 1925 Płockiem 9/VIII 1926, na Dunajcu pod Czorsztynem 1 /VII 1925 i Krościenkiem 2/V1I 1925, na Warcie pod Roninem 28/111 1929, na Dniestrze pod Zaleszczykami 14/VII i 23/V1I 1913, pod Czajkowicami 13/V1I 1929 i Radłowicami 13/VII 1929 i i., nie były dla danego celu przydatne, gdyż nie mają przepływu przez właściwe obszary zalewowe.

9. Pomiar na Stryju w Międzybrodach.

Pomiar ten wykonano 1 września 1927 r. na wolnej przestrzeni; dwie pionowe po lewym brzegu leżą w terenie zalewowym,

/obliczone=

=0,00088.

Wyniki pomiarów w poszczególnych pionowych obszaru zalewowego przedstawiają się następująco:

Pionowa

(z pomiaru)

v'

0,75

II

1,76

XX

XXI

XXII

1,14

XXIII

XXIV

to co

0,350

1,285

0,520

0,480

0,570

0,657

0,807

(z formuły)

0,976

1,773

1,120

0,538

1,311

1,443

1,418

V’

0,36

0,73

0,47

0,89

0,44

0,46

0,57

Średnio 1,05

Widać tu zmniejszenie przepływu w terenie zalewowym o 44°/₀, który to wynik jest bardzo zbliżony do wyniku otrzymanego w poprzednich dwu przypadkach.

0,56

Wyniki pomiaru są następujące:

T=2,\2m v=\,75m /nie mierzono F(1)=^. ^ = 0,994

Pionowa

xf

0,50

II

0,64

(z pomiaru) (z obliczenia) 0,512 0,515

0,637

0,756

0,805

0,680

Średnio 0,57

0,742

Otrzymaliśmy tu zatem zmniejszenie przepływu w obszarze zalewowym średnio o 25,8°/₀.

10. Pomiary na Warcie pod Poznaniem, wykonane 2 i 4 kwietnia 1929 r.

Są to dwa pomiary zupełne, wykonane przy moście; wyniki ich są następujące:

Pomiar 2/IV 1929 /=1,594m /=0,000270 v=0,90 m v z formuły=0,835 „ 4/IV 1929 T= 1,695m /=0,000173 v=l,06m v „    =0,712

Oznaczenie spadku nie wzbudza tu zaufania, gdyż porównując obydwa pomiary widzimy, że przy pomiarze drugim, przy dużo mniejszym spadku, a głębokości mało co większej, otrzymano prędkość większą. Dlatego musi się tu spadki sprostować, przez obliczenie ich z formuły. Obliczenie to daje następujące wartości:

Pomiar 1.

F(I)

0,625    /obliczonego,000315

=0,000410

Jak widzimy, spadek pierwszy doznał zmiany niewielkiej, drugi stosunkowo znacznej.

Ponieważ przy obu pomiarach przepływ przez obszary zalewowe stanowi znaczną część całego przepływu, postąpimy najwłaściwiej, jeżeli porównywać będziemy przepływ w obszarach zalewowych nie z przepływem w całem łożysku, lecz z przepływem we właściwem łożysku, bez obszarów zalewowych. Wyniki pomiarów w poszczególnych pionowych przedstawiają się następująco :

f(T)

2.

„ =0,705

Pomiar 1.

Pomiar 2.

a) Obszar zalewowy.

aj Obszar zalewowy.

Pionowa t

F\I)=

до - *

/( o

Pionowa t

/'(/)=

№ = ~

CD

o.

“ = 3 > > -S

p p p p p p 4^ То сл Ъ lo lo

to сл 4^ CO 4^

O)

~ч -a

0,255

p P p о р о

-Ч Ьо 00 О V 4д Сд

со сл 4*. о сл о о

о о о о о о о — о to 4- to 4- о Ю 4^ О) Ч 00 w о

It ^ О M⁴ CM О CO

00 to о о со со о" о" 1-4 о" О о"

•£-

to

to

(О О 00 О) Ч Ol оо to to OJ

b) Właściwe łożysko.

Średnio 0,67

b) Właściwe łożysko.

0,233

*ч>

^<^ХХХХх.. _ < ^

pop...........

ш V ч b b 4 о) 4 Ь Ъ Ъ ч u 4i

СО to W - (DtO^OülOi^W^OO

p O p 00 44 03

ОИЛОСЛ^СОСОООЮФСЛЮ

4^ Сл 4^- 4^ to

^^ОГ'-Ю'ФСОСОЮСО

" о" о" о" о" о о" о

4-

кз р р р JO J

4* 4j to о О О КЗ 4-WOlWütOtOMtOUOl^tOMOt со ч 4». О СЛ СЛ    СЛ ся сл сл ю

1 О 00 ю ю

" о о" о"

СМ 00 О 00

ООКСОЮООЮЮОО)

(ОЮ^СОСО(ОСОЮ^^Ю^О)Ю

о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о о'' о"

OO^tOCOOCMOCM

см со о со

Średnio 2,16

0,513

ОООЮОЮЮЮЮЮОЮООО'^¹

bCOOCN^-ОЮЬЮЮМ^-

со    ^    ^    со    со    p    р    см    см    »—    о>    г-    ю

о    i-4    см"    со    со"    со"    см"    —4    4    «    о    о"    о"

О^ООЮОЮСМСТэГ^СОООСО Ю t^ О i— >—'СМОООСОЮСОЮЮСО ООО 1-4 1-4 i— ,-Г o' q" o' q" o' (o' o'

CM

СОО^О-’^'^'^Г'^^ГОСОЮЮГ'- о ц?    N    w    сч    tą    со    ©    со    со    -    оо    to    ^    со

о"    1-4    см"    rf"    ю"    in'    гф⁴    Р'    _г    _Г    1-4    о    о"    О    см"

СО Ю О Ю t" ~ mcOOCO^CDOt'-(Ою^1Ппсот^1Л^Ю1Пюю|1Г)

o' о о" о" о о" о о" o'⁻ о" о" o'⁴ о" o' о"

Stosunek średniej wartości funkcji spadku w obszarze zalewowym i we właściwem łożysku, jest tu następujący:

Pomiar 1 :

0,255

0,513

= 0,50

Pomiar 2:

0,233

0,500

= 0,47

Otrzymaliśmy tu zatem w pierwszym wypadku obniżenie przepływu w terenie zalewowym o 50°/₀, w drugim wypadku o 53°/ podobnie jak przy przykładach 5, 6 i 7.

Pozatem pomiary te, a szczególnie pomiar drugi, nasuwają ciekawe refleksje, a mianowicie: Rachując według pomierzonych przy obu pomiarach wartości T, oraz v, funkcję spadku i spadek dla całego profilu z formuły, otrzymaliśmy znacznie wyższe wartości jak otrzymane z pomiaru, rachując natomiast wartości te dla poszczególnych pionowych i biorąc średnią, otrzymujemy wartości znacznie niższe, bardzo zbliżone do wartości otrzymanych z pomiaru. I tak:

1) z pomiaru otrzymano:

pomiar 1    /=0,000270, odpowiada mu F(I)=0,580

2 /=0,000173,

„ F(I)=0,473

2) dla właściwego łożyska otrzymano jako średnią z wyników dla poszczególnych pionowych:

pomiar 1    /⁷(/)=0,513 /=0,00028

„    2 F(I)=0,500 /=0,00020

3) dla całego profilu otrzymano jako średnią z wyników dla poszczególnych pionowych :

pomiar 1 F (I)=0,445 /=0,000156 „    2 F(I) =0,420 /=0,000135

Miarodajne są tu spadki obrachowane dla właściwego łożyska, gdyż, jak to już powyżej zaznaczono, formuły nie są dostosowane do terenów zalewowych. Jak widać, przy rozczłonkowaniu obliczenia na poszczególne pionowe otrzymaliśmy spadki dla obu pomiarów prawie równe i bliskie średniej z obu pomierzonych spadków

0,00022.

Is

0,000270 + 0,000173

To zbliżenie wyników pomiaru i obliczenia uzyskaliśmy dzięki staranniejszemu uwzględnieniu funkcji głębokości, przez oznaczenie jej dla każdej pionowej i uwzględnienie tych wyników w dalszym rachunku.

Wynika stąd wniosek, że jeżeli ma się obliczać objętość przepływu na podstawie zdjęcia profilu poprzecznego i spadku lokalnego,

to należy obliczenie średnich prędkości przeprowadzić dla każdej średniej głębokości charakterystycznych pasków profilu, a nie ograniczyć się tylko do obliczenia średniej prędkości dla całego profilu na podstawie jego średniej głębokości i spadku, gdyż takie postępowanie prowadzi do błędów.

we

Reasumując otrzymane wyniki stwierdzić należy, że przepływ w obszarach zalewowych rzek odbywa się niekorzystniej jak właściwem łożysku, obejmującem małą, średnią i zwykłą wielką wodę,

Zmniejszenie prędkości w obszarze zalewowym.

Zmniejszenie prędkości.

^    £ c$

1 H I И !

■s

Si

-41

tli

Ii II

i!

ii

и II u u

» U !/

U# bh

ilJit-L'-

ILU

IL _______i

u il I    X

ГГТ

-44Ö

u-

tu

U⁻

Łt

it

L_

rn

О    1т    2т    Зт

Przykrycie wodą obszaru zalewowego.

Ąm.

Rys. 1.

co się objawia zmniejszeniem prędkości w tych obszarach, w porównaniu z prędkościami w łożysku właściwem, przy tym samym spadku i tej samej głębokości. Zmniejszenie to jest różne, zależnie od stopnia nieregularności tych obszarów, maleje jednak ze wzrostem głębokości przykrycia wodą. Jak widać z rysunku, praktycznie, w zwykłych warunkach, można przyjąć dla przykrycia o głębokości t = 0 zmniejszenie 30°/₀, dla przykrycia t = Am zmniejszenie 0, a dla przypadków pośrednich należy interpolować według prostej.

W wypadkach wyjątkowych, gdy obszar zalewowy jest bardziej pofałdowany, posiada wybitniejszą wegetację, wreszcie przy przepływie przez mosty zalewowe o ciasnych przęsłach, zmniejszenie prędkości dochodzi do 50°/₀, jak świadczy szereg przerachowanych tu przykładów, których wyniki uwidoczniono również na rysunkux).

’) Poza głównym celem tej pracy, określonym na wstępie, celem ubocznym było również wykazanie, że formuła empiryczna, podająca związek między v, T, oraz 7, może służyć za podstawę do sprawdzania i porównywania pomiarów.

¹

) „Über Rauhigkeitsziffern“, Warszawa 1930. III. Konferencja hydrologiczna państw bałtyckich.

Kryterja dla wyznaczenia prędkości wód płynących w łożyskach przyrodzonych.

Praktyka inżynierska, w miarę jej postępu i rozrostu, domaga się od nauki rozwiązania wielu technicznie ważnych zagadnień. Pomiędzy innemi rozrost budowli i urządzeń wodnych w ostatnim okresie, domagał się od nauki ścisłej opisania praw ruchu cieczy rzeczywistych — a wskutek niemożności dania takiego opisu — spowodował rozwój nowej gałęzi nauki, czysto empirycznej, mianowicie hydrauliki.

Dotychczas bowiem, zjawiska ruchu cieczy rzeczywistych, nie udało się ująć analizą matematyczną, z wyjątkiem najprostszych przypadków tego ruchu, wobec czego zastąpiono je ruchem cieczy doskonałej t. j. zupełnie fikcyjnej, której zjawiska występują w warunkach idealnych odbiegających od rzeczywistości. Zjawiskami takiemi zajmuje się hydromechanika cieczy doskonałej, która przyjmując nieściśliwość oraz zupełny brak lepkości cieczy — co jest równo-znacznem z doskonałą ruchliwością — umożliwia wyciąganie wniosków określających własności wszelkich istniejących (nawet doświadczalnie nie zbadanych) zjawisk wchodzących w jej zakres.

O wiele trudniejsze zadanie ma hydromechanika cieczy rzeczywistych, która bada wiernie zjawiska ruchu cieczy rzeczywistych. Obszar jej przedmiotu aczkolwiek znaczny, pozostał dotychczas w szczupłych ramach, ponieważ udało się jedynie najprostsze przypadki ruchu zapomocą jej metod rozwiązać.

Nowożytny konstruktor urządzeń i budowli wodnych wymaga jednak od nauki szybkiego dostarczenia przynajmniej takich kryterjów ruchu cieczy, któreby mogły tworzyć podstawę do oznaczenia wymiarów jego konstrukcji bez naruszenia ciągłości rozwoju tak teoretycznych podstaw, jakoteż samego budownictwa wodnego, względnie jego urządzeń.

Ta konieczna potrzeba stała się główną przyczyną rozwoju hydrauliki, nauki, która jest zbiorem formuł empirycznych i wysnutych, na ich podstawie, teorji hydraulicznych.

Formuły empiryczne umożliwiają opisywanie tylko takich zjawisk dynamicznych cieczy rzeczywistych, które ustalono szeregiem doświadczeń; są one zatem formułami interpolacyjnemi, których ekstrapolacja nie da się przeprowadzić drogą matematyczną a jakakolwiek inna droga ekstrapolacji np. doświadczalna w zmniejszonej lub zwiększonej skali, wymaga ogromnej ostrożności.

O te formuły empiryczne opierają się teorje hydrauliczne, których sprawność zależną jest od wartości czy to podstawowej czy też wtrąconej w toku rozważań formuły empirycznej.

Nauka to stosunkowo młoda a jej rozkwit idzie niemal równolegle z rozwojem budownictwa wodnego i jego urządzeń. W tej dziedzinie techniki teorja nie wyprzedziła praktyki natomiast praktyka zmusza — w pewnych granicach — teorję do dotrzymywania jej kroku.

W zakres hydrauliki wchodzi opisywanie: 1) ruchu w przewodach zamkniętych, 2) ruchu równomiernego w korytach otwartych, 3) ruchu nierównomiernego w korytach otwartych, 4) ruchu spowodowanego budowlami piętrzącemi, 5) uderzenia wodnego i oddziaływania hydrodynamicznego, 6) oporu ośrodka, wreszcie 7) ruchu wód wgłębnych.

Z powyższych zagadnień ważnemi dla budowy mostów są: ruch wody równomierny w korytach otwartych przyrodzonych i sztucznych, na podstawie którego oznaczamy sekundową objętość przepływu i ruch nierównomierny w korytach otwartych, w którym powierzchnia swobodna ulega spiętrzeniu wskutek zwężenia swobodnego przepływu przez filary i przyczółki mostowe (budowle zmniejszające swobodny przekrój przepływu). W tym przypadku rozkład prędkości jaki panuje przy ruchu równomiernym zostaje rozburzony wstrzymaniem płynącej masy wody (zmniejszeniem jej prędkości i spiętrzeniem), która po przebyciu przeszkody, względnie podczas jej przebywania, zwiększa swą prędkość. Te objawy charakteryzują ruch wody nierównomierny. Ruch ten pojawia się także w łożyskach przyrodzonych (bez budowli zwężających swobodny przepływ) na odcinkach rzek o znacznych i zmiennych spadach prowadzących rumowisko. Ruch wody jest tu przyśpieszony na szypotach a opóźniony na głębinach.

Poza tern ważnym dla budowy mostów a szczególnie dla fundamentów jest ruch wód wgłębnych.

Ponieważ szczupłe ramy tej notatki nie pozwalają omówić całokształtu tych zagadnień, ograniczono się tylko do omówienia ruchu równomiernego oraz częściowo nierównomiernego, o ile ten ostatni występuje w łożyskach przyrodzonych.

Zagadnienie zwężenia swobodnego przepływu wody przez budowle mostowe zostało ostatnio omówione w Polsce przez prof. Rybczyńskiego ¹) i inż. Żbikowskiego ²).

Przed tern zagadnieniem musimy jednak — w budowie mostów — rozwiązać inne zagadnienie, mianowicie oznaczyć maksymalny przepływ sekundowy wody w miejscu projektowanego mostu.

Do tego celu służą rozmaite metody: a) bezpośredni pomiar, b) użycie wzorów empirycznych dla wyznaczenia przepływu objętości wielkiej wody, wreszcie c) wyznaczenie tej objętości spadem i przekrojem.

Bezpośrednim pomiarem nie rozporządzamy prawie nigdy, ponieważ — pomijając trudności pomierzenia kulminacyjnych wodosta-nów — ani stan wody ani objętość przepływu nie są wartościami stałemi. Są one zależnemi od rozmaitych zmiennych czynników naturalnych i sztucznych, jak np. od zmian kształtu przekroju łożyska spadu, kultury dorzecza, klimatu, zmienności jezior, budowli regula-lacyjnych i t. p. Ta metoda, zatem jest najtrudniejszą w zastosowaniu.

Drugą metodą są formuły empiryczne dla przepływu wielkiej wody, ułożone przeważnie na podstawie najniekorzystniejszych warunków, jakie się wogóle zdarzyć mogą w danem dorzeczu i istniejących stosunkach hydrologicznych. Otrzymujemy tu zwykle objętość nieco większą od rzeczywistej, asekurując się tern samem od błędów ujemnych.

W formułach tych dla większych dorzeczy wprowadzone są czynniki mające wpływ na objętość przepływu wielkiej wody np. jak powierzchnia dorzecza (w potędze pierwszej lub wykładnikiem różnym od jedności), długość dorzecza, współczynniki charakteryzujące topo-grafję, wysokość opadu i t. p.

Do rozpowszechnionych w praktyce należą formuły: Adams’a, Brix’a, Bürkli-Ziegler’a, Craig’a, Dicken s’a, Dredge’a, Fanning’a, Fuller’a, Iszkowski ego, Köstlin’a, Klunzin-ger’a (metoda wykreślna), Kreśnika, Lauterburg’a, Mairich’a, Pascher’a, Pfeifer’a, Specht’a, Van Kooten’a i formuła autora.

Metody używane dla małych dorzeczy, wydane przeważnie przez władze (Min. robót publicznych, Min. komunikacji czy kolei i t. p. w różnych państwach) ograniczają się do podania spływu wielkiej wody z 1 km² na podstawie danych topograficznych, opadowych i roślinności. (Metody te używa się dla bardzo małych mostów i przepustów).

Ostatnio, podjął próbę, zbudowania formuły dla małych dorzeczy prof. Różański³) uwzględniając przytem natężenie, zasięg i czas trwania opadów nawalnych.

Trzeci wreszcie sposób wyznaczenia objętości przepływu wody wogóle (nietylko największej), polega na pomierzeniu powierzchni przekroju łożyska rzeki w przekroju badanym lub w pobliżu przekroju badanego oraz jemu i napełnieniu odpowiadającego spadu, wreszcie obliczenia objętości przepływu wzorami empirycznemi określającemi średnią sekundową prędkość wody, wyrażoną dwoma zmien-nemi t. j. spadem I oraz głębokością średnią T względnie promieniem hydraulicznym R danego przekroju.

Średnia sekundowa prędkość wody v w przekroju A jest wartością matematyczną a nie rzeczywistą, otrzymujemy ją bowiem

z relacji

• . 0)

(2)

z czego

Q = A. vm³/s Q ,

v——ms.

A

przyczem ogólny kształt formuły na prędkość jest funkcją uwikłaną, składającą się zwykle z iloczynu lub ilorazu funkcji zmiennych niezależnych występujących w potęgach różnych od jedności

.    .    (3)

v = F[₍p(I),rp(T)}.    .    .

Jeżeli przyjmiemy jeszcze osobny czynnik niezależny, występującą tu funkcję szorstkości łożyska q (S), to wzór (3) przybiera kształt

v = Fo[<PoV),Vo(T),ę(S)] .    .    .    . (За)

przyczem jednak musimy mieć na uwadze, że funkcja ę spół-czynnika szorstkości łożyska S jest wprost zależną od czynników głównych / i T (względnie R), czyli :

a wówczas wedle (За) będzie:

о = РЛ%(Г),МП <PiV), MWi ■    ■    • (3e)

Jeżeli jednak zrobimy

<P = (<Po> 4>i) a ^ = (#o» ^i) ....    (3d)

co pod względem matematycznym nie przedstawia większych trudności i podstawimy (3d) we wzorze (3c), otrzymamy z powrotem dotychczas używaną formę (3).

Szczegółowy kształt tej formuły występuje w hydraulice w rozmaitych postaciach np.

.    .    (4)

v = a. Im. ß. Tn = у- . Iм. T"

:i) A. Różański: „Oznaczenie przepływu wielkiej wody w potokach“. Pamiętnik I. Zjazdu Hydr. 1929.

a może być także

a I"¹

Jm

.    .    (5)

V xp(T)    ßT»    X Tn ' '

lub wreszcie jak u Prof. Matakiewicza, druga formuła⁴)

a. IV W

v = —'--, T

ß + T*w

V = G .Tn    ....

w czem a, /?, и i c są wartościami stałemi.

Zauważyć tu należy, że forma (5) z ujemnym wykładnikiem jednego z czynników głównych aczkolwiek matematycznie poprawna nie jest chętnie przez hydrologów używaną, natomiast forma (4) v = (p(/),гр{Т) nawet z rozwinięciem obydwóch głównych funkcji znalazła w hydraulice obszerne zastosowanie.

Nim przystąpimy do pobieżnego chronologicznego omówienia poszczególnych wzorów hydraulicznych na prędkość średnią używanych w Polsce, musimy w krótkości uzasadnić przyczynę, z powodu której hydromechanika cieczy rzeczywistych nie miała dotychczas możności (jako nauka ścisła) rozwiązania zagadnienia ruchu wody w łożyskach przyrodzonych.

Podstawa hydromechaniki cieczy rzeczywistych sięga drugiej połowy XVII wieku i związaną jest z nazwiskiem Newtona, który w „Principiach“ ustalił poglądy na istotę cieczy rzeczywistych i ustawił hipotezę oporów występujących przy ruchu cieczy lepkich.

Następnie G. G. Stokes opierając się o wyniki teoretyczne L. Navier’a i S. D. Poisson’a oraz B. de Saint Venant’a, określił matematycznie ruchy ślizgowe, odbywające się w przestrzeni euklidesowej.

Równania Stokes’a niedomagają jednak teoretycznie ponieważ występuje w nich wielkość naprężenia normalnego p w trzech składowych, które na podstawie elementarnego prawa Newtona określamy równaniem o charakterze empirycznym.

Stokes określił analitycznie cechy ruchu ślizgowego (ruch taki prawie nie występuje w przyrodzie), którego równania pozostają w zgodności z doświadczeniem tylko wówczas, gdy ściany łożyska są bardzo gładkie a średnia prędkość jest niewielką.

Przepływ cieczy rzeczywistych w rzekach i kanałach oraz w przewodach zamkniętych, przy charakterze burzliwym usuwa się z pod rygoru prawa Newtona.

oraz trzecia formuła⁴)⁵)

. . (6 a)

. . (6 ft)

⁴)    M. Matakiewicz: „Pomiary wodne“. Podr. Bryły.

⁵)    M. Matakiewicz: „Ogólna formuła na średnią chyżość przepływu w łożyskach rzecznych i kanałowych“. 1925, Zesz. Nr. 2. Wydawn. Akad. Nauk Techn.

Ks. Pam. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

15

Ten dział zjawisk bowiem, w którym bezwładność i lepkość cieczy występują jako wielkości równorzędne, jest narazie dostępny tylko dla metod doświadczalnych. Graniczne (skrajne) obszary badań przepływu cieczy rzeczywistych t. zn. obszary, w których albo zupełnie zanika wpływ lepkości cieczy wobec wielkości sił bezwładności, albo odwrotnie, w których wpływ lepkości — wobec wielkości sił bezwładności — przeważa, są dostępne dla opisania nauką ścisłą, natomiast obszar środkowy, w którym oba te czynniki są wielkościami równorzędnemi starano się udostępnić teoretycznym badaniom zapomocą doświadczeń.

r.v.l

.    .    (7)

Wyniki tych doświadczeń streścił Reynolds miarą stosunku wielkości sił bezwładności do sił tarcia w postaci wzoru empirycznego

w którym r oznacza gęstość cieczy, v prędkość w badanem miejscu, fi spółczynnik lepkości cieczy a l charakterystyczny wymiar linjowy. Liczbę R nazwano prędkością zredukowaną a jej wartość liczbową, według autora, liczbą Reynolds’a. Liczba ta wskazuje jakim prawom wolno nam badany przypadek hydrodynamiczny podporządkować, należy ona zatem do kryterjów mechanicznego podobieństwa przebiegów hydrodynamicznych.

Na podstawie wyników badań Stokes’a i Reynolds’a zajął się H. A. Lorentz ujęciem matematycznem ruchu burzliwego, wychodząc z podstawowej myśli ruchu złożonego z ruchów głównego i pobocznego. Najprostszą formą matematyczną tej myśli są równania:

vx = vx + v'x

(8)

Vy = Vy + v'y

V, = vz + v\

p = P +P

w których vx, vy, v, i p oznaczają składowe prędkości względnie ciśnienia ruchu głównego a vx, v'y, v'z i p takież składowe ruchu pobocznego.

Jednakowoż, na tej podstawie zbudowane równania różniczkowe, pozostały tylko formą matematyczną, której się nie udało scałkować nawet w najprostszych przypadkach a tern samem nie można sprawdzić ich zgodności z doświadczeniami.

W Polsce zajął się, matematycznem opisaniem ruchu burzliwego M. BroszkoG)¹⁶), rozpoczynając pracę od najprostszych przypadków, przyczem wyniki jego badań pokrywają się naogół z dotychczasowemi

') A. T. Troskolański: „Hydromechanika“, Lwów 1925.

1C) A. T. Troskolański: „Najnowsze prądy w hydromechanice“, Lwów 1923.

wynikami badań nad rozkładem prędkości w rzekach, prowadząc do rozkładu prędkości według paraboli trzeciego stopnia. Pewna rozbieżność zachodzi tylko w najbliższem sąsiedztwie powierzchni swobodnej.

Z powyższego wynika, że dorobek hydromechaniki cieczy rzeczywistych jest nieznaczny, bo obok kryterjum Reynolds’a mamy równania Stokes’a, które tylko w nielicznych przypadkach są zgodne z doświadczeniami, następnie Lorentz’a, o których wyżej mowa i badania Broszki.

Poza tern dorobek ten nie może mieć pretensji do ścisłej i wolnej od niedomagari dyscypliny naukowej ponieważ u podstaw swoich oparty jest o elementarne prawo Newton’a, które jest prawem empi-rycznem z zasadniczemi uproszczeniami.

Również niewystarcza, nowoczesnemu hydrotechnikowi obecny obszar i wynik badań hydromechaniki, a szczególnie w dziedzinie ruchu wody w łożyskach przyrodzonych, na podstawie którego określamy objętość przepływu.

Ruch ten opisuje hydraulika zapomocą całego szeregu wzorów empirycznych na prędkość średnią, opartych o wzór klasyczny (3).

.    (9)

V — c \R.I

H    A

= spad zwierciadła wody, R = — — promień hydrauliczny (A = przekrój, U = obwód zwilżony), wreszcie c = stała. Wzór ten został przekształcony na następujący:

Praktyczną formę, temu wzorowi nadał pierwszy de Chezy, co niektórzy przypisują także T a d i n i’e m u i E y t e 1 w e i n’o w i⁷). Według tego wzoru średnia prędkość przepływu w korytach otwartych wyraża się równaniem

w czem I= —

. . (10)

v = K.Ra.I? .    .

w czem a, ß i К są stałemi wyznaczalnemi na podstawie doświadczeń. Ostatnio dla łożysk przyrodzonych wielkość promienia hydrau-

sze-

licznego R, zastąpiono głębokością średnią T=—, w czem B = rokość zwierciadła wody, wówczas:

(11)

v = K. Ta.P

Ponieważ ogólny wzór (3), względnie z niego wypływające wzory (9), (10) i (11) należą do typu funkcyj uwikłanych, matematycznie nierozwiązanych, usiłowało szereg autorów, posługując się dotychczaso-wemi wynikami hydromechaniki cieczy rzeczywistych (liczbą Reynolds’a) oraz wynikami doświadczeń, ustalić związek funkcjonalny czy to między funkcjami zasadniczemi czy też między temi z jednej, a szorstkością łożyska z drugiej strony.

:) M. T. Huber: ,.Refleksje na temat hydrauliki“. Czas. Techn. 1926.

Obrazowo można tę zależność funkcjonalną dla pierwszego przypadku przedstawić geometrycznie w przestrzeni euklidesowej, w układzie prostokątnym (v, I, T) zapomocą powierzchni powstałej z dwóch krzywych v — cp(I) oraz v = ip(T) ślizgających się jedna po drugiej, pod kątem prostym. Wówczas dla danego v musiałoby być cp (I) = ip(T), gdzie jednak sam kształt tych krzywych jest nie znany i matematycznie nie wyznaczalny.

I tak: W. Soldan⁸) podaje przekształcenie i związek matematyczny dla przewodów zamkniętych, zapomocą liczby Reynolds’a, między wykładnikami potęgowemi równań (9) i (10) przyczem spółczynnik stały e został również przekształcony na wartość

-'Ctr

. . (12)

Ta wartość podstawiona w równaniu (9) daje szczegółowy kształt

0,5 -j-те

0,5

v = K ¹~m. R ¹~m . Z¹-™    .

'    • (14)

równania (10), przyczem między wykładnikami poszczególnych członów istnieje związek matematyczny. Wyrugowawszy z równań

(14)

0,5 + m

a = —-—

1 — w,

0,5

• (15)

wartość m otrzymujemy związek między wykładnikami członów głównych równania (10), mianowicie:

1 + a

• • (16)

oraz a = 3/3 — 1,

z którego wynika wzajemna zależność funkcjonalna wykładników obydwóch głównych czynników R i I tak wzoru klasycznego (9) jak i pochodnego (10), o rozbudowie którego będzie później mowa.

Również Welikanow⁹) z wyników doświadczeń pulsacji wód płynących dochodzi do wniosku, że wartość spółczynnika burzliwości Navier-Stokes’a jest wprost proporcjonalną do liczby Reynolds’a. Jeżeli bowiem szorstkość łożyska wpływa na burzliwość prądu, to liczba wyrażająca tę szorstkość musi stać w stosunku funkcjonalnym do liczby Reynolds’a.

Z myślami przewodnimi Soldan’a i Welikanowa zbiegają się poniekąd także wyniki badań Augusta We 11 nera¹⁰), który wyjaśnia

⁸)    W. Soldan: ₄Über Geschwindigkeitsformeln“. Ill-cia Hydr. Konferencja Państw Bałtyckich 1930.

⁹)    Journal of the Scientific Institute of Amelioration Nr. XIX, 1929. Bulletin de Г Institut Hydrologique Nr. 23, Leningrad.

¹⁰)    A. Wellner: „Über Rauhigkeitsziffern“. Ill-cia Hydr. Konferencja Państw Bałtyckich 1930.

stosunek wartości charakteryzujących szorstkość łożysk c wzoru de Chez y’ eg о, п wzoru Ganguillet-Kutter’a oraz к wzoru Strick-lera — do liczby Reynolds’a.

Oprócz wymienionych zajmowali się tern zagadnieniem także Eidoux, Flamant, von Mieses, Pöschl i Parry, których prace oparte są o teoretyczną spółzależnosć kryterjum Reynolds’a od szorstkości łożyska.

Z tego powodu nasuwa się tu pewna doniosła uwaga mianowicie: Wyniki badań Reynolds’a, ujęte w kryterjum przedstawiające geometryczne podobieństwo przebiegów linji prądów czyli pól hydrodynamicznych uwarunkowanych mechanicznem podobieństwem układów sił¹¹) — należą nietylko do ważnych momentów rozwoju hydrodynamiki cieczy rzeczywistych lecz także do takich momentów rozwoju hydrauliki tembardziej, że prace i poglądy Reynolds’a na istotę przebiegów burzliwych zapoczątkowały cały szęreg badań doświadczalnych mających podstawowe znaczenie dla hydrauliki.

Z postępem rozwoju instrumentów mierniczych a szczególnie hydrometrów rozwijała się także hydraulika, otrzymując coraz obfitszy i dokładniejszy materjał pomiarowy. Szczególnie znaczny postęp należy zaznaczyć w rozbudowie formuł empirycznych opisujących średnią prędkość przepływu.

Dla łożysk przyrodzonych, można tu zanotować trzy grupy badaczy. Pierwszą, która uwzględnia spółczynnik szorstkości, dobierany w obliczeniach doświadczalnie, drugą w której nowsi autorowie usiłują zbudować wzory niezawierające dowolnie dobieralnych spółczynników. Formułom tym jednak brak ciągłości. Wreszcie trzecią grupę najnowszych autorów, która zasadniczo przyjmuje ciągłość formuły.

W ostatnich czasach występuje wśród hydrologów tendencja porzucenia ciągłości formuły i szukania nowej drogi rozwiązania szczególnie dla większych spadów, a to z powodów następujących.

Wyniki pomiarów hydrometrycznych wykazały, że dla większych spadów, od 10⁰/oo w górę, punkty funkcji spadu w zależności od samego spadu (podobnie jak na rys. 2d) są bardzo rozrzucone i leżą na powierzchni płaskiej, której średnia wartość linearna nie da się wyznaczyć. Z tego jednak powodu nie wynika, że prawa ruchu wody przy spadzie wyżej 10°/₀₀ miałyby ulec zmianom nie dającym się przewidzieć lecz dzieje się to z tej prostej przyczyny, że w łożyskach przyrodzonych przy znaczniejszych spadach, prowadzących rumowisko jest wyjątkowo rzadkim odcinek z ruchem jednostajnym. Z reguły jest to ruch zmienny, na szypotach przyśpieszony a na głębinach opóźniony,

n) Z. Fuchs: „Kilka uwag do dynamiki cieczy“. Czas. Techn. 1927.

Zmierzony zatem spad zwierciadła wody nie ma nic wspólnego ze zmierzoną średnią prędkością wody. Gdyby można było zmierzyć spad linji energji, okazałoby się niewątpliwie ścisłem prawo zależności spadu od kwadratu prędkości. Wobec nierównomiernego rozłożenia prędkości w przekroju, zmierzenie spadu linji energji także jest niemożliwe ¹²).

ponadto istnieją tu przejścia odskokiem z ruchu podkrytycznego w nad-krytyczny.

Przejście bowiem z wielkiej prędkości na małą, z niskiego poziomu na wysoki, a zatem z małej głębokości na wielką jest zarazem przejściem z jednej formy ruchu w drugą a mianowicie z ruchu podkrytycznego w nadkrytyczny. Podstawą tego rozumowania są: a) prawo zachowania energji t. j. prawo Berno uilli’e go, oraz b) prawo zachowania linearnej ilości ruchu, które ustala, iż w systemie cząsteczek uważanych jako jedną całość, ilość ruchu nie może się zmienić wskutek samego tylko przeniesienia się jednych cząsteczek ponad drugie, lecz że zmiana w ilości ruchu może nastąpić jedynie wskutek działania siły zewnętrznej. Prawo to zatem wymaga odwrotnie, aby w jednostce czasu siła była równą zmianie w ilości ruchu w tym czasie, czyli, aby się równała masie mnożonej przez przyśpieszenie. Główna charakterystyka obydwóch ruchów występuje w prędkości, mianowicie : prędkości przy stanach niższych jak krytyczne są większe niż prędkości przenoszenia się fali, zaś powyżej głębokości krytycznej są od niej mniejsze¹³).

00 5

Rozumowanie to o ruchu nierównomiernym, jest ważnem do pewnej granicy głębokości średniej T, którą możnaby określić stosunkiem powierzchni pasa obwodu zwilżonego, wywołującego ruch burzliwy, do całej powierzchni przekroju. Jeżeli ten stosunek jest równy lub mniejszy od takiego stosunku dla spadów mniejszych jak 10°/ to w takim razie warunki ogólnego przepływu i zależności funkcji spadu od samego spadu pozostają niezmienione, to jest takie same jak dla małych spadów. Warunki takie mogą zaistnieć przy nabrzmiałych rzekach górskich.

Rozwój formuł empirycznych na średnią prędkość wody (których jest około 450 a omówione będą tylko z nich, używane w Polsce) — w pierwszej grupie badaczy zaznaczył się tern, że wielkość c z klasycznego wzoru (9) początkowo uważana przez Eytelwein’a i D u-puifa za stałą o wartości 50,93, okazała się zmienną i zależną od zasadniczych czynników I, T względnie E (wzór 3 b).

**) K. Pomianowski: „O ruchu burzliwym podkrytycznynr*. Przegląd Tech

niczny 1922.

¹³) K. Pomianowski: „O ruchu podkrytycznym i zniszczeniu energji na od-skoku Bidone’a“. Pamiętnik I-go Zjazdu Hydrotechnicznego.

a^R

to

Tym sposobem powstał mały wzór К utter’a, dla którego

.    .    (19)

шоу#

c =--==

Ponieważ wpływ spadu I ponad 0,2°/₀₀ jest mniejszy jak prawdopodobne błędy wzoru, uprościł Frank wzór (17) do kształtu

• • (20)

Ganguillet i Kutter znaleźli na podstawie doświadczeń:

1    0,00155

23 +

i+ (23 +

Jeżeli wielkość stałą we wzorze (17) nazwiemy

0,00155

P = ²³ H--j—

0,00155

\ n

) ]R

•    • (17)

to wówczas

. . (18)

a jeżeli oznaczymy

a — 23 Ą---1—

1    0,00155

b =F [23 +

0,00155\

—)n

(23+1)УД (23я+УД)”

Do tych klasycznych kształtów formuł można zaliczyć jeszcze formuły Bazin’a, starą (Darcy-Bazin)

i nową

"m

87

• - (21)

• • (22)

1 ^—p³

V R

a przez porównanie z formułą К utter’a otrzymano:

.    .    (23)

у = 0,87 m — 0,13 ^R .    .    .

Krytykę tych formuł ogłosili Biegeleisen i Bukowski (Gesundheitsing 1914), Rümlein (Wie bewegt sich fliessendes Wasser?, Drezno 1913), Lueger i Brinkhaus (Hnbch der Ingwiss.), Möller

(Grundriss des Wasserbaues), Gr ave li us (Z. f. Gewässerkunde Bd. I) i wielu innych jak Schoklitsch, Rühlmann, Bindemann it. d.

c = v:^R.I

Krytyka ta głównie tanguje dowolnie dobieralne (zależnie od intuicji i czucia hydraulicznego rachującego temi formułami inżyniera) spółczynniki szorstkości koryta, którą to dobieralność nie ujęto dotychczas żadnem odpowiedniem wyrażeniem matematycznem. Na obliczenie tych spółczynników (zależnych od spadu I) wpływa w wysokim stopniu błąd popełniony przy pomiarze tego spadu. Jeżeli ten na długości np. lOOra wynosi a m to zamiast prawdziwej wielkości spół-czynnika

otrzymujemy błędną wartość

•    • (24)

nie licząc błędów z powodu nieumiejętnego dobrania wartości n, y i t. d.

Wartość błędu z formuły (24) jest odwrotnie proporcjonalną do wartości prędkości średniej v. Jeżeli bowiem pomierzono za wielki spad to otrzymana prędkość średnia będzie mniejszą od rzeczywistej i odwrotnie.

Również przeciw użyciu, we formułach dla łożysk przyrodzonych, promienia hydraulicznego R = A : U podniesiono zarzuty, ponieważ wartość tego promienia w dwóch różniących się wymiarami, przekrojach matematycznie niewyrażalnych może być jednaka, przeto wartość promienia hydraulicznego nie charakteryzuje dostatecznie przekroju¹⁴).

Powierzchnię pola dowolności doboru spółczynnika szorstkości dla stałej wartości promienia hydraulicznego przedstawiono graficznie (rys. 1), z którego wynika, że do każdej wartości spadu I można dobrać w pewnych granicach (np. prof. Matakiewicz określa wartość tę wzorem empirycznym n = 0,0235 + 0,0019 /°/₀₀)⁴) dowolną wartość spółczynnika n a tern samem średnia prędkość w przekroju dla stałego spadu nie będzie jednoznacznie określoną. Występują tu znaczne różnice zależne od wielkości spadu. To samo tyczy drugiej niezależnej t. j. promienia hydraulicznego.

Druga grupa badaczy nowszych usiłuje opisać średnią prędkość przekroju w łożyskach przyrodzonych jednoznacznie t. j. unikając wyżej podanych nieścisłości.

W tym celu promień hydrauliczny R zastępują inną wielkością bardziej charakteryzującą przekrój łożyska przyrodzonego, mianowicie głębokością średnią T a niektórzy także szerokością zwierciadła wody В wreszcie eliminują zupełnie nieokreślony spółczynnik szorstkości.

u) R. Weyrauch: „Hydraulisches Rechnen“. Stuttgart 1921.

Do tych badaczy należą głównie Siedek, Hermanek, Prof. Matakiewicz (pierwszy wzór), Christen, Lindboe i Gröger.

Formuły Sie deka nie są wprawdzie wygodnemi w użyciu lecz ważnemi ze względu na to, że zapoczątkowały cały szereg nowszych badań i spowodowały zmianę zapatrywań w kierunku dążności opisania średniej prędkości w sposób jednoznaczny, eliminując dobie-ralność spółczynnika szorstkości,

Wzory te ze względu na ich kształt są w praktyce rzadko używane. Christen określa średnią prędkość w łożyskach rzecznych wzorem

•    • (25)

V = m^Y17Щ .    .

a dla potoków prowadzących żwiry i rumowisko

6,31

⁶/t\7

. . (26)

czyli

V 4= 6,31³{fY 7Ö51? .    .

Q08.

0,07.

0,06_

mm

0,05.

0.04.

0,05.

Q02.

0,01.4

Щ-

~5

20 %o

-hj

Rys. I.

Według Herm ап к a średnią prędkość obliczyć należy wzorem :

(27)

v = Kfri

К = 30,7 ]T K = 34)Y .

К = 50,2 + 0,5 T

.    . (27«)

w czem dla łożysk przyrodzonych dla T < l,5m -

1,5 < T < 6,0 m -T> 0,0 m -

lest to pierwszy wzór eliminujący szerokość zwierciadła wody B.

Prof. Matakiewicz w pierwszym swoim wzorze⁴) przyjmuje zasadniczą formę

Gröger na podstawie pomiarów wykonanych w dorzeczu Dunaju ustawił następujące formuły, ważne jednak w szczupłych granicach, mianowicie:

Bmin =10 m, T = F : B, Imax = 0,005 to wówczas dla 0,2 < T 2,0 m — v — 23,781 T⁰’⁷⁷⁶ . Z⁰»458 T > 2,0 m — v - 22,11 7⁷⁰-⁵⁸.7°>⁴³

i określa z doświadczeń wykładniki dla I < 2°/00 I = do 2,5°

/ = do 3,5°/₀₀ — m = 0,52 / = do 4,5°/₀₀ — m = 0,53

dla T < \ m — n = 1 —

T> 1 w — n = 0,75

wreszcie

00

m = 0,50 ж = 0,51

. . (28)

.    . (28 a)

Jeżeli

•    • (29)

Podobnymi do formuł Gröger’a są formuły Lindboe’go, których jest 12 dla różnych głębokości średnich i spadów.

W swojej rozprawie przytacza Lindboe ciekawe porównanie między wynikami swoich formuł a wynikami formuł Bazin’a, Sie-dek’a i Christen’a, przy użyciu prac Blomquist’a dochodzi on do następujących porównań u).

Jeżeli nazwiemy, różnicę między pomierzoną średnią prędkością v a obliczoną wzorem v₁ przez Л, to

A = vx — v

a średni błąd przy n obliczeniach, tą samą drogą, będzie wówczas równy

czyli dla jednego obliczenia w procentach (100Л:г>) procentowy błąd dla n obliczeń

/o>

otrzymamy

m.

/0*

Stosując to rozumowanie obliczył Lindboe sumy dodatnich i ujemnych błędów formuł Bazin’a, Siedek’a, Christen’a i swoich, dochodząc do wniosku, że wartość у =1,30 używana przy obliczeniach formułą Bazin’a jest za małą, ponieważ różnica między sumą błędów dodatnich a sumą błędów ujemnych jest znaczną, wynosi bowiem 25,33 przy

^(+4) = 28,05 i 2 (—A) = 2,72.

Podobnie wykazuje formuła Christen’a dla łożysk rzecznych -S(+d) = 45,82 i 2{-A) = 36,81.

Najkorzystniejsze wyniki otrzymał L i n d b o e przy swoich i S i e-dek’a formułach. Odnośnie zatem do najmniejszego błędu średniego w stosunku do wyników pomiarów hydrometrycznych dochodzi on do następującego uszeregowania formuł pod względem najmniejszości błędu: 1. Lindboe, 2. Siedek, 3. Bazin a 4. Christen.

Kryterjum użyte przez Lindboe’go do oceny dobroci wyników formuł, nie uwzględnia jednak wagi spostrzeżeń, przyczem należy tu zauważyć, że ze zbioru dowolnej ilości wyników pomiarów hydrometrycznych (choćby ze wszystkich dotychczas wykonanych), można zawsze wybrać taki szereg, który dla danej formuły empirycznej, w porównaniu z wynikami pomiarowemi tego szeregu da — w pewnych granicach — najmniejszość błędu. Nie trzeba przytem także zapominać, że pomiary hydrometryczne odbywają się często w warunkach niekorzystnych, oraz przy pomocy przyrządów mierniczych, których wskazania nie zawsze budzą zaufanie.

Wszystkim dotychczas omówionym formułom brak ciągłości.

Pierwszą ciągłą formułę na średnią prędkość w łożyskach przyrodzonych zbudował Prof. Matakiewicz w r. 1910⁴).

Formuła ta

116./°’4Ö3+¹⁰⁷

2,2+ T

co

0,15

.T

.    .    (30)

nazwana przez jej autora „drugą“, jest wprawdzie niewygodną w praktycznem użyciu, jednak liczenie nią ułatwiają tabele.

Dla bardzo małych głębokości średnich np. żłobów górskich wystarczy według prof. Matakiewicza zamiast formuły (30) użyć wyrażenia skróconego

V = 52,7 y. 70.493+10/.....(30 a)

kształtu

.    .    (31)

Wzór ten został w r. 1925 zmodyfikowany na „trzeci wzór“ v = 35,4 7°>⁴⁹³+¹⁰⁷ T⁷⁰-⁷ .    .

używany w praktyce przez hydrotektów polskich⁵).

Praktyczny ciągły wzór — do podręcznego użycia bez pomocy logarytmów i tablic — ogłosił w roku 1926 autor¹⁵).

Wzór ten o prostym kształcie

v = (4T— 12 +V144+1667 t)\1 ....    (32)

pomimo, że oparto go o wielką ilość zbiorów dotychczasowych doświadczeń, nie ma pretensji do ścisłości. Wyniki tego wzoru są jednak w szerokich granicach zgodne z wynikami pomiarów hydrometrycznych.

¹⁵) A. Pareński: „Zur Berechnung der mittleren Quergeschwindigkeit in natürlichen Flussbetten“. Der Bauing 1926.

Wzory (30), (31) i (32) aczkolwiek uwzględniają ciągłość funkcji spadu i głębokości średniej nie są jeszcze doskonałemi. Zbudowano je na założeniu ruchu równomiernego, gdy tymczasem w rzeczywistości ruch taki w łożyskach przyrodzonych nie istnieje a to wskutek ciągłych zmian przekroju i spadu, zmian po sobie następujących. Oprócz tego szorstkość dna i ścian łożysk, nawet o tym samym spadzie, jest rozmaitą zależnie od charakteru rzeki. Na prędkość sekundową wody wpływa także strata części siły żywej, płynącej wody, zużytej na poruszanie żwiru i rumowiska. Stratę tę także trudno pomierzyć a następnie opisać analizą matematyczną. Następna trudność opisania prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych polega na tern, że opory ruchu wody wywołane szorstkością łożyska, przy bardzo niskich stanach — nawet przy ruchach klasycznie równomiernych — są zu-

N**

if-

.4§

U)Ą

-hJ

4- T

Rys. 2 Ъ.

Rys. 2 a.

pełnie różne od takich oporów przy wyższych wodostanach a wartość stosunku wielkości powierzchni pasa przyściennego wywołującego swą szorstkością ruch burzliwy, do wielkości powierzchni całego przekroju jest dla różnych wodostanów, różną (odwrotnie proporcjonalną do wysokości stanu wody).

Te i tern podobne trudności są przyczyną dlaczego nietylko hydromechanika ale i nauka czysto empiryczna, jaką jest hydraulika nie dała dotychczas zadowalniającej odpowiedzi na postawione jej przez praktykę inżynierską pytanie : Jak opisać ruch wody w łożyskach przyrodzonych uwzględniając prawa jakim ruch ten podlega?

Ostatnie formuły (30) do (32) zbudowane na wartościach średnich (rys. 2 a i 2 b) szeregu wybranych spostrzeżeń hydrometrycznych, prędkości średniej a więc wielkości czysto matematycznej, są wzorami

interpolacyjnemu Dają one w wyniku wartości jednoznaczne zależne od dwóch głównych czynników t. j. spadu I i głębokości średniej T.

Z powyższego przedstawienia sprawy wynika, że ujęcie i odtworzenie przepływów w łożyskach przyrodzonych, których kontur jest matematycznie niewyrażalnym, możliwem jest dotychczas tylko w gru-bem przybliżeniu, metodami tylko empirycznemi. W praktyce używanie tych empirycznych wzorów a szczególnie wzorów ze stałym spółczyn-nikiem prowadzi do wyników nie zawsze ścisłych i jest dopuszczalne tylko przy wstępnych przybliżonych obliczeniach.

Na zakończenie nasuwa się pytanie: Czy kiedykolwiek będzie możliwe opisywanie drogą teoretyczną przepływów o charakterze burzliwym w szorstkich łożyskach przyrodzonych o matematycznie niewyrażalnym przekroju poprzecznym?

Na to pytanie szereg badaczy hydrotektów odpowiedziało przecząco, zaś hydromechanicy nie tracą w tym kierunku nadzieji czego przykładem jest odpowiedź Troskolańskiego ,!),¹⁶).

„Jasnem jest, że dokładne odtworzenie przepływów w łożyskach o nieprawidłowych a więc matematycznie niewyrażalnych, geometrycznych kształtach jest nieosiągalne, albowiem nie można nawet myśleć o ścisłem analitycznein ujęciu takich zjawisk, w których obok niezmiennych praw przyrodniczych grają rolę czynniki, wyłamujące się z pod wszelkiej prawidłowości. Możemy jednak z dokładnością dość znaczną opisać te zjawiska, zastępując nieprawidłowy kontur przekroju poprzecznego, zbliżonym do niego konturem o matematycznie wyrażalnym kształcie; ponieważ błędy stąd płynące są zawsze jednokierunkowe, bo spowodowane niedocenieniem strat energetycznych, przeto wprowadzając odpowiednie poprawki, możemy opisać powyższe zjawiska z dokładnością bez porównania większą, niż ta, jaką dają nam formuły empiryczne“.

PROF. WACŁAW PASZKOWSKI

Wyznaczanie odstępów przerw skurczowych w sztywnych ustrojach żelbetowych.

Skurcz jako zjawisko molekularne, któremu podlega beton w pierwszym okresie swego istnienia, powoduje w ciągłej konstrukcji sztywnej powstawanie naprężeń dodatkowych.

oraz

Rozpatrzmy ustrój, składający się z szeregu słupów połączonych belką poziomą prostą (rys. 1), przyczem słupy są sztywno osadzone w swoich podstawach oraz sztywno połączone z belką; wysokości poszczególnych słupów oraz ich momenty bezwładności mogą być różne lecz zakładamy, że są rozłożone symetrycznie w stosunku do środka d ustroju. To samo dotyczy poszczególnych rozpiętości przekrojów belki.

Skrócenie się belki pod wpływem skurczu wywoła odkształcenie całości uwidocznione na rys. 1 b. Dzięki założonej wyżej symetrji punkt środkowy d pozostanie na swojem miejscu pierwotnem, słupy zaś ugną się ku środkowi. Wywoła to rozciąganie w belce i gięcie w słupach, przyczem największej sile rozciągającej będą podlegały przęsła środkowe belki, największemu zaś momentowi gnącemu — krańcowe słupy. Pozatem sztywność połączenia belki ze słupami spowoduje powstanie dodatkowych momentów gnących zarówno w belce jak i w słupach. Jeżeli narazie dla uproszczenia te ostatnie pozostawimy na uboczu, to zjawisko sprowadzi się w swoich głównych zarysach do powstających wskutek skurczu rozciągań w belce i gięć w dolnych przekrojach słupów.

Jest oczywistem, że im ustrój jest dłuższy oraz im jest sztywniejszy tern większe będą te dodatkowe siły i wynikające stąd naprężenia. To też w celu uniknięcia nadłamania słupów lub naderwania belek dzielimy ustroje tego rodzaju, gdy są zbyt długie, na oddzielne krótsze elementy zapomocą przerw skurczowych¹).

*) Zwanych może niezupełnie słusznie „dylatacyjnemi“ gdyż nie o dylatację czyli rozszerzanie się tu chodzi, a właśnie o zjawisko odwrotne: skurcz.

Przepisy omawiające to zagadnienie rozprawiają się z niem w ten sposób, że wyznaczają poprostu największy dopuszczalny odstęp pomiędzy przerwami; w szczególności przepisy Min. Rob. Publ. granicę tę określają na 50 m. Jest to jednak załatwienie zbyt sumaryczne, gdyż jest oczywistem, że wielkość naprężeń powstających wskutek skurczu w tym wypadku zależy od sztywności i od przekrojów słupów i belek, wszelki więc przepisany zgóry stały odstęp może być albo za duży albo za mały.

Poniżej podana przybliżona metoda obliczania pozwala wejrzeć bliżej w istotę zjawiska i zorjentować się w wielkościach naprężeń, a przeto umożliwia znalezienie uzasadnienia dla właściwego odstępu

V,

V,

m.

z/

///.

Rys. 1 а, Ъ.

podziałów skurczowych w każdym konkretnym przypadku. Należy zaznaczyć, że wydłużenie belki pod wpływem rozciągania jest tu wartością tego samego rzędu co sam skurcz i dlatego musi być wzięte w rachubę. Istotnie wydłużenie betonu rozciąganego, naprzykład naprężeniem 24 kg\cm} wynosi 24: 140000 = 0,00017, zaś skurcz przyjmujemy zwykle równoznaczny z ochłodzeniem na 15° C czyli = 0,000012 X 15 = 0,00018.

Przyjmujemy pozatem następujące założenia: że skurcz nie wpływa na słupy, co niema znaczenia gdy ich wysokości są jednakowe, jednak powoduje zmianę poziomu podpór w wypadkach wskazanych, naprzykład na rys. 1 i rys. 2, oraz, że skurcz w przekrojach żelbeto-

wych odbywa się jak w tworzywie jednorodnem, co odbiega od prawdy szczególnie w przekrojach zbrojonych niesymetrycznie, w tym wypadku bowiem powstaje dodatkowe zginanie.

Wyodrębnijmy w omawianym ustroju przy pomocy przegubów umieszczonych w środkach rozpiętości belek, element składający się

Rys. 2.

ze słupa utwierdzonego w podstawie, oraz ze sztywno z nim połączonych dwóch odcinków sąsiednich belek (rys. 3).

Przyjmijmy, że przeguby mogą się przesuwać jedynie poziomo, zaś siła P, powodująca ugięcie słupa, jest przyczepiona w punkcie połączenia słupa z belką. Zależność pomiędzy tą siłą, ugięciem f oraz wartościami wyraźającemi sztywność poszczególnych części układu, można wyprowadzić przy pomocy zasady wzajemności przesunięć¹). Będziemy mieli poniżej wskazany układ sił i odpowiadających im przesunięć:

Stan 0 Stan I Stan II Stan III

СУ

Siła.....

Przesunięcie

o² o ftf cf

г (If;

1, 0, o

o, 1, o

О, О, 1

ai ’ ^1 > C1 a4 > ^2 > C2

p_

л----'

5.³

*-а?;

ИХ"—

_____H

to

..У

Rys. 3.

oraz następujące równania:

— P -j- R b^ -f- Q Cj = — f . Раг — R b₂ — Q c₂ = 0 Pa₃ —Rb₃ — Qc₃ = 0

. . (1)

oj to

16

z których otrzymamy

C3 % ^2 ^2 C3    C2

«2 ^3 — «3 ^2 ^2 C3 *3 C2

Zaznaczając, że dla układów wskazanych na rys. 4 mamy:

Q=-P

dla układu rys. 4 a

• • (4)

• • (5)

î>M

Ph²

2 El

a)

b.i

b)

(y)x—h

Ph‘d

ЗР/

dla układu rys. 4 A

Mh

x=h El

Rys. 4 a i 4 6.

(y)x=h

Mh²

2EI

otrzymamy następujące wyrazy przesunięć:

ax

A⁸

3 £/„

h²r

a₂

h²t

2 El,

htr

2 EI₀

Ely)

h²r

а’~2Щ

hr²    r³

щ;⁺ 3 E ir

A² £

Cl 2 El,

c₂ =

Aż²

htr

Elo

3 E It

⁰>~EI₀

Gdy powyższe wyrazy wstawimy do równań (4) i (5), a następnie do równania (1) otrzymamy wyraz dla ugięcia:

PA³ / 1

P/₀ 3

t Ir

*4 rlt 3h It

. (6)

aH

b)

Jeżeli, jak to bywa w większości spotykanych w praktyce wypadków, t = r oraz It ⁼⁼⁼ Ir } to

PA³ / 1

PA³

El, 3

4+Iri

‘ 3 A Ir

Eh

(7)

Gdy belka jest jednostronna, jak to ma miejsce w słupach krańcowych, to przy-jąwszy w równaniu (6), że wiotkość jednej z belek jest bardzo duża, a więc naprzykład t jest bardzo duże i It jest bardzo małe (t. zn., że

wyraz trzeci w nawiasie oraz wyraz 4 —•

Rys. 5 a i 5 6.

r It

t I.

zamieniają się w zero)

otrzymamy :

f_Ph4\ Eh 3

• • (8)

EI₀ ' '

4+

łrh

3 h Ir

Jest oczywistem, że krańcowe znaczenia spółczynników W i V wahają się od х/з > gdy belki są bardzo wiotkie (rys. 5 a) do */₁₂, gdy belki są bardzo sztywne (rys. 5 b).

Zmienność spółczynników W i V jest wskazana na rys. 6, gdzie

na odciętych znajdują się wartości — • j- W ten sposób dla każdego

r Л

słupa naszego układu przedstawionego na rys. 1 możemy wyznaczyć wartość spółczynnika W względnie V.

0,3 3 3

s:

Nh

|ю

»-IX

¹

M. Rybczyński: ,.Kryterjum dla obliczania światła mostów“. Czasopismo Techniczne 1926.

²) St. Żbikowski: „Le problème du remous produit par un pont“. 111-cia Konfer. Hydr. Państw Bałtyckich 1930.

²

Por. Timoszenko-Huber: Kurs Wytrzymałości Materjałów, str. 205 i n.

Ks. Раш. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

0,20

o*

³ WiV

-V

/ I 2 T Io ⁴⁺ 3hL

•V

--=0 Q5 1

T Ц

10

Rys. 6.

Przechodzimy teraz do ułożenia właściwych równań celem wyznaczenia sił Plt P₂... (rys. 7), które powstaną wskutek skurczu s zachodzącego w belce. Siły te spowodują ugięcia flf f₂... słupów oraz, rozpatrywane w kierunku odwrotnym do narysowanego, będą rozciągały poszczególne przęsła belki. Niech Aly A₂... będą pola przekrojów belki w kolejnych przęsłach. Rozpatrując punkt 1, znajdujący się w odległości lx od osi dd symetrji ustroju, możemy wyrazić jego przesunięcie fx ze względu na słup oraz ze względu na skurcz i wydłużenie belki jak następuje:

AV

f, = wx

P\ Pą Ej

Ehr

AXE

k-

Dla punktu 2 w podobny sposób otrzymamy:

= s (4 + 4) ~

4 = ^2

^4)2

AXE

Dla punktu 3 w podobny sposób będzie:

ĄV

;

A₂E ²

Jest oczywistem, że zawsze ustawimy tyle równań ile jest sit niewiadomych P a przeto będziemy mogli je wyznaczyć. Szczególnie prostą postać przyjmują te wzory gdy

4=4 = 4... oraz Ax = A% = A₃...

4 = *4

s (4+4+4)

P\ + A + -P3

Л-ff

4.

■CL

Л' "У

j*-f -f

:    ^3    2    ■    ^2    1

*    ^    ¹ i w t\

A,

r-i

A2.

A.

h3 7 ^05

M¹*»*

h.

lot

V. __

mianowicie :

Rys. 7.

Wx

ĄV

= ls

(Рх+Р₂ + Ря)

*- = 2ls

(РХ+2Р, + 2Р₃)

^3 V

А’/оз

= 3/5

(Л+2Р.+ЗР,).

Znalezienie wartości sił P pozwoli na wyznaczenie naprężeń powstających od skurczu, a w szczególności dodatkowych naprężeń rozciągających w belkach oraz naprężeń od gięcia u podstawy słupów.

PROF. DR. K. POMIANOWSKI

Krzywe czasów trwania jako krzywa prawdopodobieństwa w odniesieniu do zjawisk hydrologicznych.¹)

Uporządkowawszy daty hydrograficzne (sumy opadów, stany wody, ilości przepływu i t. d.) podług wielkości oraz liczby ich powtarzania się w zamkniętym okresie czasu obserwacji, otrzymamy krzywą częstości. Biorąc kolejno sumy wypadków powtarzania się poszczególnych wartości z krzywej częstości, otrzymamy krzywą czasów trwania. Obie te krzywe pozwalają określić liczbę wypadków powtarzania się pewnej wartości, lub sumę wypądków pojawiania się wszystkich wyższych wartości aż do pewnej danej, lecz tylko w okresie czasu obserwacji. Ekstrapolacja na okres dłuższy niż obserwacyj rzeczywistych, byłaby możliwa tylko w tym wypadku, gdyby było znane prawo określające równaniem matematycznem krzywą częstości, względnie po jej scałkowaniu, krzywę czasów trwania. Gdy nasze obserwacje hydrologiczne ograniczają się do krótkiego naogół czasu obserwacji, zaś ważność, koszt i czas trwania objektów, które na zasadzie owych danych hydrologicznych budujemy, wymagają znajomości prawdopodobnych wartości na owe zjawiska w znacznie dłuższym okresie czasu, wynika z tego, że dla rozwiązania praktycznych zadań techniki jest rzeczą niezmiernie ważną określić ze stosunkowo krótkiego czasu obserwacji, prawdopodobieństwo pojawiania się pewnych wartości hydrologicznych w znacznie dłuższym okresie.

Krzywa częstości musi mieć równanie spełniające dwa warunki a mianowicie: dla pewnej skończonej wartości rzędnej musi odcięta osiągnąć wartość maksymalną (która określa wypadki najczęściej się powta-

*) Alden Foster: Theoretical Frequency Curves. Transactions Am. S. С. E. 1924. Goodrich: Straight Line Plotting of Skew Frequency Data. Proceed. Am. S. С. E. 1926 August.

Allen Hazen: Probability Paper Transact. 1914,

Allen Hazen: Flood Flows.

Prof. Dr. K. Pomianowski

[246]

dx

rzające), a zatem : — = 0 dla у > 0, oraz w górnym końcu krzywa

ay    dx

musi być styczną do osi y a zatem: —=0 dla x=0. Tym warunkom

odpowie krzywa o równaniu różniczkowem:

0)

d X    X (y + a)

dV ~ f(y)

Rozwijając w szereg funkcję: f(y) otrzymamy:

y-\-a

1 dx

X dy Ъ₀ + Ъху + Ъ2У* + ...

Po scałkowaniu, równanie to przedstawi szereg krzywych symetrycznych, asymetrycznych (w odniesieniu do x max.), ograniczonych na jednem lub obu ramionach, lub też nieograniczonych, a zatem asymptotycznych obustronnie do osi y.

Rozpatrując zjawiska hydrologiczne dojdziemy do przekonania, że prawie wszystkie one dają krzywe częstości, asymetryczne, t. j. że istnieje większa liczba wypadków stanów lub opadów wysokich, niż liczba wypadków stanów czy opadów niskich. Gdy w teorji błędów przyjmuje się że liczba wypadków za niskich czy za wysokich w stosunku do przeciętnej jest ta sama, czyli że przeciętna i maksymalna leżą na tej samej rzędnej, wykres częstości prawo to przedstawia zatem symetryczną krzywą, dla zjawisk hydrologicznych prawo to jest odmienne i wyraża się krzywą asymetryczną. Krzywa częstości dla zjawisk hydrologicznych jest zawsze w dolnem swem ramieniu ograniczona t. j. dla pewnego y> 0. jest ж = 0; gdyż np. stany wód nie mogą spaść poniżej poziomu dna rzeki, suma opadów poniżej zera i t. d., natomiast górne ramię może być przyjęte jako asymptotyczne do osi Y, t. j. możnaby przypuścić, że w nieskończenie krótkim czasie mógłby się pojawić nieskończenie duży opad, stan i t. d., lub też, co jest może bardziej prawdopodobnem, założyć że nawet w nieskończenie krótkim okresie czasu stan czy opad nie może przekroczyć pewnej maksymalnej wartości, a zatem że dla x = 0 będzie у = C gdzie C<oo. W równaniach Pearsona krzywa ze skończonem górnem i dolnem ramieniem jest nazwana krzywą Typu I., ze skończonem dolnem, asymptotycznem górnem, krzywą Typu III.

Równania krzywej Typu III.

1 d x x dy b₀Ą-bly

Elderton dowodzi, że dla krzywej tego typu, stałe równania różniczkowego: B₂, B₃... są równe zeru, wobec czego równanie upraszcza się do:

Po scałkowaniu i wstawieniu granic otrzymamy równanie krzywej częstości

■w[*+ï\

• • (3)

X — x₀. e

gdzie y i a są stałemi, zaś a ma inną wartość niż w równaniu (1).

Jeśli założymy, że krzywa jest symetryczna i oba ramiona asymptotyczne do rzędnej Y, otrzymamy równanie normalne z teorji błędów:

_Ь'I

(4)

/»• - rp    C

U/ -' it'll С/

Równanie ogólne (3) da się przedstawić w prostszym kształcie podstawiając następujące wartości: p = ya\ г = у(а-\-у); z = p + yy, N = polu pod krzywą, czyli liczbie wypadków względnie spostrzeżeń. Równanie (3) przechodzi na:

Хц.ер

X — —-

pp

.zp .e~z

X

otrzymamy ostatecznie:

p

X = c.zp .e~z.......

Nazywając następnie przez y, p₃ następujące wyrazy:

r⁰⁰

\ У-x-dy

V —a

zaś nazywając: c

(5)

Ух —

i X. dy

J —a

(moment statyczny dzielony przez pole)

• (6)

Уч

\ y*.x.dy

V —a

\ x.dy

J —a

(moment bezwładności przez pole) ....    (7)

Уз =

г⁰⁰

У³.x.dy

* —a

(trzeci moment przez pole) .

. . (8)

г⁰⁰

x.dy

V —а

możemy uważać y,₂ jako kwadrat współczynnika zmienności (coeff. of variation)

i obliczyć współczynnik asymetrji, (cs), (coff. of skew), z równania:

Уч = (c^)²

Stałe równania (5) możemy wyrazić teraz współczynnikami (cv) i (cs), przyczem d jest odległością pionową odciętej max. x od środka ciężkości pola pod krzywą:

2__#

' (cs) (cv) ’

1 (cs) (cv) у    2    ’ P

N.y

Г(Р+1)

(cs)2 2 (c v)

(cs)

Funkcja Gamma charakteryzuje się tern, że:

Г{p + \) = p Г{p) =p(p — \) Г(p — \) i t. d. i da się wyliczyć z tablic zawartych w podręcznikach matematycznych.

Obliczywszy dla szeregu spostrzeżeń współczynniki zmienności (cv) i asymetrji (cs), i wstawiwszy w równanie stałych powyżej podanych, wyznaczymy w ten sposób równanie krzywej częstości (5) odpowiadające danemu szeregowi spostrzeżeń (rys. 1).

Dla różnych obliczeń technicznych ważną jest znajomość nie tyle krzywej częstości, co czasów trwania. Rzędne równania tej ostatniej

Q-Qjr

C*QDl>    Ф    IO ^    D    ^    К    ©    <0

^ w ^    ^    ^    ^    ^    ^ Ó O Ó    Ъ    O

О'З

0-2

0-1

О'OL

юо

200

częstotliwość

Rys. 1.

otrzymamy całkując pole pod krzywą częstości t. j. wyraz x.dy w granicach od у = oo do у = — a. Da się to jednak wykonać tylko dla stałej p będącej liczbą całkowitą. Dla ułamkowych p mogą być uzyskane tylko wartości rzędnych przybliżone, najprościej w drodze interpolacji (rys. 2).

Dalsza analiza równania dowodzi że dla pewnego (cs) rzędne krzywej czasów trwania są wprost proporcjonalne do {ev) tak, że mając obliczone tabele rzędnych dla (cv) = \, oraz pewnych (cs), można obliczyć rzędne teoretyczne krzywej, mnożąc wartości z tabeli, przez (pv) znalezione dla danego szeregu spostrzeżeń.

Krzywa Typu I. asymetryczna i obustronnie ograniczona.

Kształt równania tej krzywej jest następujący:

'--Ю'НГ

przyczem stosunek mx do m₂ jest równy stosunkowi ax do a₂, oraz podobnie jak dla Typu III:

И)² = /<₂;

(GV)³

20

19

va

Ï7 -

15

Ui

13

1-2

1-1

10

01

Ob

05

Ob

03

02

01

20    30 ЬО 50    6 0    70 вО 90 WO

s czas trwania w %

Rys. 2.

Po pewnem uproszczeniu można wyrazić współczynniki m i а następującemi wzorami :

6 (cs)

У 4 (cs)² + 7 ’

™ ₌9__⁶(g»>    •

¹    щлу+т

Rzędna dla max. x jest równa rzędnej przeciętnego (średniego) x pomniejszonej o iloczyn (cv).(cs). Stała ax jest odległością x max. od

m₂ = 2 -f

a₂ = (c v) [V 4 (cs)² + 7 — 3 (cs)]

ax = (c v) [V 4 (c s)² + 7 +3 (cs)J

początku układu współrzędnych, odległość średniej (przeciętnej) od początku będzie równa sumie:

at + d = (cv) [V4 (esy + 7 - 2 (cs)].

Po obliczeniu stałych równania, ze znalezionych (cv) i (cs) dla danego szeregu spostrzeżeń, można określić równanie teoretycznej krzywej częstości typu I. odpowiadającej owym spostrzeżeniom.

Dla celów praktycznych kształt krzywej częstości ma małe znaczenie, właściwie dla nas jedynie ważną rzeczą jest poznanie kształtu krzywej czasów trwania. Kształt ten odbiega od kształtu krzywej typu III tylko na obu końcach, w części środkowej krzywej jest prawie z tamtą identyczny.

Całkowanie pola pod krzywą częstości typu I czy III w celu otrzymania rzędnej krzywej czasów trwania byłoby dla każdego wypadku bardzo utrudnionem i wymagałoby długich oraz żmudnych rachunków. Unikamy tego korzystając z właściwości krzywych, wspomnianej poprzednio, że dla pewnego (cs) rzędne krzywej czasów trwania są wprost proporcjonalne do (cv). Obliczywszy zatem dla (cs) od 0-0 do 3'0 względnie do 6*0 i dla (cv) = PO, tabelę odchyłek od absolutnej .średniej (przeciętnej) którą założymy równą jednostce, odchyłek w kierunku dodatnim i ujemnym, obliczamy rzędną krzywej teoretycznej, mnożąc przez znalezione (cv) sumę: 1 plus, względnie 1 minus, odchyłka od jedności podana w tabeli dla krzywej typu I lub III. Niezależnie od tych teoretycznie obliczonych wartości, Allen-Hazen na podstawie zbadania bardzo wielkiej liczby serji spostrzeżeń podał swoją tabelę, praktycznych wartości, bardzo mało odbiegających od obliczonych dla typu III krzywej czasu trwania.

Wykreślona krzywa teoretyczna powinna dobrze zgodzić się z krzywą wrysowaną na podstawie naniesienia bezpośrednich spostrzeżeń. Drogą prób można ustalić który z typów I czy III czy też typ Hazena, odpowiada najlepiej danym warunkom. Prawo określone krzywą da się jednak znacznie jaśniej przedstawić, jeśli zamiast za pomocą krzywej, wyznaczymy je prostą naniesioną w odpowiednio zmienionej podziałce. Dla każdej wartości na (cs) możemy wyznaczyć taką podziałkę na osi Х—Х, aby rzędne krzywej leżały na linji prostej. Wprowadzamy pozatem dalsze uproszczenie, a mianowicie kładziemy liczbę wypadków, względnie pole pod krzywą częstości, równe 100°/o i wyrażamy położenie każdej rzędnej w procentach owej sumy. Zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa, jeśli mamy N spostrzeżeń, Ж-ty

punkt obserwacyjny kładziemy w odległości

. Np. dla 10-ciu

spostrzeżeń położenie pierwszego punktu będzie: (2 — 1) : 20 = 5°/e, drugiego: 15°/₀ i t. d.

2Ж—1

Przedstawienie krzywych czasów trwania linjami prostemi wymagałoby w praktyce przygotowania tylu podziałek, wiele różnych (cs) znaleziono dla pewnych serji spostrzeżeń. Praktyka dowodzi jednak, że nawet dla wysokich współczynników (cs) można przedstawić krzywą czasów trwania w podziałce dla (cs) = 0, t. j. w podziałce normalnego prawa błędów, przyczem oczywiście nie otrzymamy prostej lecz krzywą, o krzywiznach jednak bardzo łagodnych i dających się z łatwością wyrównać. W praktyce stosujemy zatem naogół jedną tylko podziałkę na osi odciętych, odpowiadającą (cs) = 0, na osi rzędnych podziałkę arytmetyczną lub logarytmiczną, która to ostatnia często lepiej odpowiada przebiegowi krzywych dla (cs)>0. Wkońcu trzeba zaznaczyć, że dla wyrównania pomyłki w obliczeniu (cs) wynikającej ze wzięcia w rachubę tylko ograniczonej i często nawet zbyt małej liczby spostrzeżeń, należy w obliczenie wartości (cs) wprowadzić poprawkę,

/    8"5 \

mnożąc znalezione (cs) przez wyraz: ( 1 + -^-j gdzie N jest liczbą spo

strzeżeń, o ile krzywa należy do typu III a (cs) jest większe od 2 (cv),

o ile krzywa należy do typu I, i 2(cv) jest

(¹⁺Й’

zaś wyrazem : mniejsze od (cs).

Obliczenie wartości (cv) i (cs) nie przedstawia żadnych trudności i da się wykonać niedużym nakładem pracy. Naniesienie punktów obserwacyjnych oraz teoretycznych w podziałkę prawdopodobieństwa i porównanie zgodności obu krzywych, rzeczywistej i teoretycznej, wymaga również bardzo małego czasu. Po obliczeniu wartości (cv) i (cs) dla pewnego np. typu rzek, Karpackich, Podkarpackich, Pomorza i t. d. dla kilku dobrze znanych wypadków, możnaby z dużem prawdopodobieństwem określić kształt krzywych czasów trwania dla tych wypadków gdzie liczba spostrzeżeń jest za mała. Następnie można przewidzieć z dużem prawdopodobieństwem granice które osiągną pewne zjawiska w okresie czasu znacznie dłuższym niż okres obserwacyjny, wkońcu można się zorjentować czy wyjątkowy jakiś wypadek z pewnej serji obserwacji należy do danego okresu czasu, czy do okresu dłuższego. Tak np. w przykładzie niżej podanym, stan na Sanie w Postołowie z roku 1867, najwyższy znany i nigdy dotychczas nie przekroczony, naniesiony na odciętej 0-83o/o czasu, należy do dłuższej serji, gdyż jego właściwe położenie byłoby na około 0'55°/₀. Dowodzi to, że stan, który był tak wysokim że był nawet podawany w wątpliwość, może istotnie się zdarzyć i to w przeciętnym okresie czasu około raz na 180 lat.

Poniżej podaję jako przykład obliczenie krzywej czasów trwania dla najwyższych każdorocznych stanów wody na Sanie w Postołowie,

za okres czasu 1867 do 1927, z opuszczeniem tylko jednego roku wojennego. Tok obliczenia jest następujący:

Porządkujemy daty podług wielkości, sumujemy stany i podzieliwszy przez liczbę lat 60, otrzymamy stan średni : 13.499:60=224-15. Obliczamy stosunek obserwowanych stanów do średniego, t. j. przy-równywujemy stan średni do jedności i obliczamy wielokrotność stanu obserwowanego w stosunku do średniego. Odejmując od obliczonych stosunków jednostkę, otrzymujemy odchyłkę od średniej przyrównanej do jedności, następnie obliczamy drugie i trzecie potęgi tych odchyłek. Wkońcu obliczamy położenie poszczególnych punktów krzywej w pro-

H:Hsr .

isiig § m§ 81

CV^O-39 CS = 11?

popr '

050

M5

MO

035

ЗЯ-5

С*

S §> §    § S ¹⁰

НбГ~22Р?5

Rys. 3.

centach czasu: P = metrji obliczamy z wzorów:

2м_J

120 ' Współczynniki zmienności (cv) i asy-

<->-уй-У

-^=0*39; (cs)

2v³

5-060-1-478

= 1-023

(Ar-l)(cv)s 59Х0-393 obliczony wsp. (cs) poprawiamy ze względu na liczbę lat obserwacji :

(cs)

popr.

Л 8-5 \

(1 + ж)

= 1-023 X 1-142 = 1-17.

Z tabeli podanej przez Allen-Hazena w dziele: Flood Flows, wyszukujemy dla różnych procentów czasu i (cs) = 1*17 odpowiednie

wartości odchyłek dla (cv)=l, mnożymy przez znalezione (cv) = 0⁻39, dodajemy jednostkę i nanosimy wartości znalezione oraz teoretyczne na wykres (rys. 3), w którym podziałka długości jest podziałką prawdo-bieństwa dla normalnego rozkładu błędów t. j. (cs) = 0, podziałka wysokości jest arytmetyczną. Jak z wykresu widać, połączone punkty teoretyczne leżą prawie na prostej i bardzo dobrze zgadzają się z wykresem rzeczywistych obserwacji.

I. Tabela obliczenia stanów, odchyłek i współczynników (cv) i (cs).

L. p.

Rok

Stan

max.

max. max. śred. śred.

—l=v

v'¹

czasu

CO00-4O>UC*».WtO*-

1867

1897

1869

1872

1884

1893

1882

1913

553

400

O O O CD CO

2-467

1-785

1-691

1-691

1-561

1-561

ocooo^jc£uc4^oJto^ocooo£4a}Ui!tfojfo^ocooo^JoîoT4iwîo«— o

1927

1889

1925

1894

1874

1895

1887

1922

1926

1891

1906

1871

1890

1900

1910

1921

1877

1880

1896

1870

1886

1892

1907

1883

1888

1899

1924

1909

1912

1885

1881

1903

311

311

290

290

290

284

280

280

270

263

260

258

253

250

250

250

245

240

230

230

221

220

220

203

200

200

200

193

192

191

190

180

180

1-517

1-387

1-387

1-294

1-294

1-294

1-267

1-249

1-249

1-205

1-173

1-160

1-151

1-129

1-115

1115

1-115

1-093

1-071

1-026

1-026

0-986

0-981

0-981

0-906

0-892

0-892

0-892

0-861

0-857

0-852

0-848

0-803

0-803

+ 1-467 + 0-785 + 0-691 + 0-691 + 0-561 +0-561 +0-517 + 0-387 +0-387 + 0-294 + 0-294 +0-294 + 0-267 + 0-249 + 0-249 + 0-205 + 0-173 + 0163 +0-151 + 0-129 +0-115 + 0-115 +0-115 + 0-093 + 0-071 + 0-026 + 0-026 -0-014 -0-019 -0-019 -0-094 -0-108 -0-108 -0-108 -0-139 -0-143 -0-148 -0-152 -0-197 -0-197

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooto

ii§i§iśgg||li§iilśiiśiliśilśi§igigśśśśiś

oooooooooooooooooooooooooow

ooo8ooo5oooo222SSmSSu44wuŚS

0-83

2-50

4-17

5-83

7-50

9-17

10-83

12-50

14-17

15-83

17-50

19-17

20-83

22-50

24- 17

25- 83 27-50

29- 17

30- 83 32-50 3417 35-83 37-50

39- 17

40- 83 42-50 44-17

0-000 45-83 0-000 47-50 0-000 49-17 0-001 50-83 0-001 52-50 0-001 54-17 0-001 55-83 0-003 57-50 0-003 59-17 0-003 60-83 0-003 62-50 0-008 64-17 0-008 65-83

L. p.

Rok

Stan

max. max.

max.

śred. śred.

— 1 —v

y²

y³

czasu

II

*3.s xoiQo5o)jixxxoia)ooo5x5So!S5

O a    T—«    W*    1—4 ł—I 1—>    *—« »—« 1—1 i

10.676

174

173

170

165

158

135

132

129

126

115

115

98

96

81

2= 13.449

Procent czasu

0-776

0-772

0-758

0-736

0-727

0-723

0-705

0-669

0-669

0-629

0-625

0-602

0-589

0-576

0-562

0-513

0-513

0-437

0-428

0-361

^=+7-630 2=5*772 2=+5*060

0050 0-052 0-059 0-070 0-075 0-077 0-087 0-110 0-110 0-138 0-141 0-158 0-169 0180 0-192 0-237 0-237 0-317 0-327 0-408

2= —0-032

—0-224 -0-228 -0-242 -0-264 -0-273 -0-277 -0-295 -0-331 -0-331 -0-371 -0-375 -0-398 -0-411 -0-424 -0-438 -0-487 -0-487 -0-563 -0-572 -0-639

0-011 67-50 0-012 69-17 0-014 70-83 0-018 72-50 0 020 74-17 0-021 75-83 0-026 77-50 0 036 79-17 0-036 80-83 0-051 82-50 0-053 84-17 0-063 85-83 0-069 87-50 0-076 89-17 0-084 90-83 0-115 92-50 0-115 94-17 0-178 95-83 0-187 97-50 0-261 99-17

2= ±0*000 2=8-966 2=+ 5-060 2=-1*478

II. Tabela obliczenia rzędnych krzywej.

99

95

80

50

20

01

o-oi

Odchyłki dla (cs) = 1*17, (c u)=l'0

Wartość odchyłki dla (cu)=0"39 .

Stan wody w stosunku do średn.

-1-58

-1-29

-0-83

-0-18

+0-74

+ 1-93

+ 3-29

+ 5-33

+ 7-53

-0-62

-0-50

-0-32

-0-07

+ 0-29

+ 0-75

+ 1-28

+ 2-08

+ 2-94

0-38

0-50

0-68

0-93

1-29

1 75

2-28

3-08

3-94

INŻ. WALDEMAR RADŁÓW

Obliczenie belek ciągłych podtrzymujących płyty krzyżowo zbrojone.

Jedną z zasadniczych kwestyj, przy obliczaniu konstrukcyj żelazno-betonowych żebrowych, jest sposób przenoszenia obciążenia z płyt na belki i podciągi.

Jak wykazały prace wykonane w ciągu ostatnich lat, przez Prof. Hubera, Dr. Marcus’a i innych — obciążenie z płyt, przenosząc się na belki, rozkłada się według schematu podanego na rys. 1, — mianowicie: a) krótsze boki płyty i dwusieczne przylegających kątów tworzą trójkąty, obciążenie których przenosi się na belki jednego kierunku i b) dłuższe boki płyty wraz z dwusiecznemi i linją środkową — tworzą trapezy, przenoszące pozostałą część obciążenia na belki drugiego kierunku.

Rys. 1.

Przy ścisłem liczeniu należy w obydwóch wypadkach uwzględnić poprawkę, zależną od momentów skręcających, powstałych w płycie, na wartość których wpływa stosunek boków płyty, oraz sposób oparcia, względnie utwierdzenia na krawędziach.

Wyżej podany podział obciążenia wyraża się przez następujące wzory (rys. 2):

Ax

= 2.(a6-|')

+ Qix

a²

Ay — 2. 2 -f" Qty

gdzie Q — całkowite obciążenie pola

Qi — wyżej wspomniana poprawka

Ax względnie Ay — część obciążenia przenosząca się na krawędź płyty.

Obliczenie płyt na powyższych zasadach może być przeprowadzone przy użyciu tablic Löser’a (Bemessungsverfahren), dla obliczania zaś belek ciągłych — podaję tablice opracowane na podstawie wyżej wymienionych prac Prof. Hubera i Dr. Marcus’a.

Jak wynika z powyższego, obciążenie z płyt przenoszące się na belki, ma kształt trójkątów i trapezów, wobec czego belki ciągłe należałoby obliczać na tego rodzaju obciążenie. Niżej podane tablice I i II zawierają gotowe wzory momentów zginających i reakcyj podporowych przy obciążeniu w postaci trójkątów i trapezów i odpowiadają zwykle używanym przy obciążeniu równomiernem tablicom Winkler’a. Wzory są wyprowadzone dla belek 2, 3 i 4-przęsłowych o równych przęsłach i jednakowych momentach bezwładności, przy jednakowem, względnie najniekorzystniejszem dla momentów oraz reakcyj obciążeniu.

Ponieważ rachunkowa robota przy wyprowadzeniu wzorów podanych w tablicach I i II, jest dość żmudna, przeto została opuszczona. F-7, Nakońcu podaję przykład liczbowy uwidocz

niający sposób korzystania z tablic. Przykład ten wykazuje pozatem, że podany sposób liczenia daje możność osiągnięcia oszczędności około 20°/₀ w porównaniu ze zwykłym sposobem liczenia.

Tablice III i IV dają możność natychmiastowego określenia części obciążenia przy-; padającego na krawędź płyty, przyczem tablica III odpowiada krawędzi krótszej, t. j. obciążeniu w postaci trójkąta, zaś tablica IV odpowiada krawędzi dłuższej t. j. obciążeniu w postaci trapezu. Tablice III i IV uwzględniają także poprawkę zależną od stosunku boków płyty oraz sposobu parcia, względnie utwierdzenia jej krawędzi.

Część całkowitego obciążenia przypadająca na krawędź płyty może być wyrażona przez wzory:

(dłuższy bok)

Ay

da

/1

JC

Rys. 2.

Ax— Vx -f- Q;

Q h_

2 ‘ 21,

gdzie Q — obciążenie całkowite pola,

Vr — obciążenie płaszczyzny trapezu, Vy — obciążenie płaszczyzny trójkąta, 4 — krótszy bok płyty, dłuższy bok płyty,

Q; — poprawka wymieniona wyżej.

(krótszy bok)

A u — Vy + Qi =

.a!t

Qi — może być zastąpione dodatkowem obciążeniem i wprowadzone do obciążenia zasadniczego jako spółczynnik «, który może być przedstawiony w postaci¹):

4²-42 *4¹+4¹

16 4

⁺ 15’24-4'm + r

16 4 m 4²-42 +T5'Tx'^+\'v'if+iy¹ gdzie 4 i 4 — długości boków płyty, m — spółczynnik Poisson’a,

V — spółczynnik zależny od sposobu oparcia względnie utwierdzenia krawędzi.

\/

<0

/\

i/

E -i—

'T\ /T\

\/

6.00

lyj/-

__N

„i

too

boo

ьоо

->■

Rys. 3.

Spółczynnik a jest względnie nie mały i Qt waha się naprzy-kład dla płyty o stosunkach boków — 4:4=1 i 4:4=2 — dla płyty wolnoopartej — od 0,0598. Q do 0,0388. Q.

Podane w tablicach III i IV wartości i są obliczone przy

V 45

zastosowaniu wyżej wymienionych wzorów dla płyt o stosunku boków od 1:1 do 1:2, dla 6-ciu możliwych wypadków oparcia względnie zamocowania; robotę rachunkową także pomijamy.

Niżej podaję w skrócie przykład liczbowy i porównanie rezultatów obliczenia sposobem wyżej podanym ze zwykłym sposobem liczenia.

Schematy obciążenia do tablicy I.

Schemat

Ir

C-/

//

P.

<X *

C.

I.

C.

I4

ь.

г ää

3es

ł*

ta

i»

'ta

$a

aa,

+-X-J

p,

p,

I9

1,0

p,

l,x

>-t----------I

Schemat

«i

II,

Из

н₄

H,

Нс

3.

H,

И.

Ию

И»

Schematy obciążenia do tablicy II.

СУ

О»

ft»

R)

Р>

У.

СУ

i О*

:о»

io»

(Ъ

a__Ш

ß.

■>4-

P₂ \c

-Ж-

P,

jo

-x>j

>k--1

\P

Ш a

tt\L

>4-

ÉB

■»4-

-УУ-

>4-

*/U.

P,

4-

А.

а <ху

-У

>4-

x à ,, а

й \/    \р/

а з.

а а_

>■

Р.

/?

а.

а

■>Ч-

Tablica I.

Zestawienie momentów i reakcyj podpór dla

Schemat

obciążenia

Momenty na podporach

Ii

ЫрР

I,

5

j2s(Pi+Pz)¹²

la

pi²

p l²

16

16

(Pi +PÙ¹*

(.Pi +Ps)¹²

I₅

32

32

I«

(7 Pi — P2) l²

(Pi + 2p₂)l²

96

48

I₇

15

224

p l²

mpp

15

224

pi²

15

I«

— 443(^1 +P*)¹*

5

224(^1+^) l²

15

448

(Pi +P2)¹²

I,o

15

1792

(9Pi —P₂) l²

~4Ï8(Pl + 3A)**

y^2(13^ + llp₂)/-

In

Pi + 2p₂)l²

2^4 (Pi + ² Pi) /2

Momenty w przęśle I.

Schemat L>

M = Ax—

Pi 31 ’

14-

Tablica I.

belek ciągłych przy obciążeniu w postaci

Reakcje podpór

O)

4^

w to

to

43

CC

4^

43

(27/>! — 5/)g)Z

128

СТУ w

43

СГ-

co

CD

(J Pi—Pi)¹

32

(17j>! + j7₂)Z

96

A*

16

41

224

pi

СО |Ю СО Ю

to

4з

(97Л - 15pt)l

33

448

₁₁₂    +P*)¹

(313/»! + 15/>₂)Z

1792

224

112

(~~ 5/*! + 46/>₂) /

(51 pl + 81 p₂)l

224

3(22 />! — 5 p₂)l

Schemat I₅

Momenty w przęśle II. (- 3/?, -f 5y;₂) /-

96

2 3/,.

ш0-*)[ЗР-4(/-*)*] +

27 ’ V-^f+p,

H₇

3 pN 28" l

pN

14/

3 pN 28* /

П.

3 Oi + p₂) N

Oi + Pi) N

3 p! + p₂) N

Ho

56/

28/

56/

Hio

(27^-3 Pi)N

Ol + 3Pi) N

224/

56/

(\3Pl+Up₃)N

224/

Hu

Oi + 2p₂)M

(3 px —P^N

Oi + 2 p₂) N

28/

28/

28/

60/

Tablica II.

Zestawienie momentów i reakcyj podpór dla belek ciągłych

Schemat

obciążenia

Momenty na podporach

«i

8/

H,

Pi+ffg) N

16 /

H₃

pN

pN

10/

10/

Pi + Pi) N

20/

20/

(7 Pt —p₂) N

Oi + 2p₂) N

30/

Momenty w przęśle I.

Schemat IL M

Mhx

_ ¹ i M*

X 2 ⁺ Pll

Tablica II.

przy obciążeniu w postaci /    \    [a³ — 2a²l + P)

Reakcje podpór

(/ — a)p , Mb

(l d)p

2 Mb

¹

Marcus: „Die Vereinfachte Berechnung biegsamer Platten“.

Ks. Pam. ku «zei Prof. Dr. M. ThuUiego.

2=fL

2 Л + Z

M,,

Mb

(l — a) p--—

(Z-a) Mb 2 Pl ' Z

{l—a),    . ч

—2'

Ж₆

Mc —2 Mb

(Z-a) Ж 2 Pl ' l

Z— а Ж*

(Z —

2Ж,

M,

(Z — a) p + -r-¹

Mb

2 Mc

Жс — 2 Mb

(Z —a)

Mb

(Z-a)

2^(Pi+^₂) +

Mr-2Mb

(Z—«)/>! + 2

Mb - Mc

Momenty w przęśle II.

Schemat IL

tote

I to

w; s

I t>0

+ Mb

C/3

rs

•-F

e|co

Ń £

CN

/Ну

<*vf

1,3462 0,3365 1,3792 0,3135 1,4008 0,2918 1,4123 0,2716 1,4158 0,2529 1,4134 0,2356 1,4070 0,2198 1,3980 0,2056 1,3875 0,1927 1,3760 0,1814 1,3642 0,1705

я Ну

a,je

1,3141    0,3285

1,3412 0,3049 1,3600 0,2833 1,3714 0,2637 1,3767    0,2459

1,3772    0,2296

1,3742 0,2147 1,3686 0,2013 1,3612 0,1891 1,3527 0,1783 1,3435 0,1679

yd

Tablica III.

” fx Ł,x “»

«yd

Aye

1,3533 0,3383 1,3895 0,3158 1,4126 0,2942 1,4244 0,2739 1,4274 0,2549 1,4242 0,2374 1,4168 0,2213 1,4067 0,2069 1,3952 0,1938 1,3828 0,1823 1,3702 0,1713

А у = Vu + Qi

<*yc

1,3126 0,3282 1,3473 0,3062 1,3718 0,2857 1,3866 0,2666 1,3934 0,2489 1,3940 0,2324 1,3903 0,2172 1,3836 0,2035 1,3749 0,1910 1,3651    0,1799

1,3547 0,1693

0,3383

0,3143

0,2919

0,2713

0,2523

0,2350

0,2191

0,2051

0,1922

0,1809

0,1701

1,3533

1,3827

1,4013

1,4106

1,4127

1,4096

1,4030

1,3940

1,3836

1,3724

1,3608

Л«

zwycz. oparcie utwierdzenie

ce;/a

■*?*

1,2393 0,3098 1,2618 0,2868 1,2812 0,2669 1,2968 0,2494 1,3082 0,2336 1,3155 0,2193 1,3193 0,2061 1,3200 0,1942 1,3185 0,1831 1,3151    0,1733

1,3104 0,1638

0^<NCr)Ttin(0^000)0

^ CN

Sposób

oparcia

płyty

fxy

axf

1,3343 0,3336 1,3062 0,3562 1,2783 0,3729 1,2513 0,3850 1,2259 0,3940 1,2028 0,4009 1,1818 0,4063 1,1633 0,4105 1,1470 0,4142 1,1327 0,4171 1,1200 0,4200

ЭХу

0,3285

0,3503

0,3667

0,3791

0,3887

0,3962

0,4023

0,4071

0,4113

0,4146

0,4179

1,3141

1,2844

1,2571

1,2322

1,2093

1,1887

1,1701

1,1536

1,1390

1,1260

1,1145

■.■■■.■..i...:

xo X

Â-xd

0,3288

0,3531

0,3709

0,3838

0,3932

0,4004

0,4060

0,4103

0,4140

0,4169

0,4200

Ê

E

Ê.

Tablica IV.

A-r.+ Ь- #x(l-£)

ttxd

■Ax c

CCxc

qx

dxb

VXy

1,3153

1,2948

1,2716

1,2473

1,2235

1,2013

1,1809

1,1627

1,1466

1,1324

1,1199

1,2730 0,3183 1,2570 0,3428 1,2396 0,3616 1,2211    0,3757

1,2024 0,3865 1,1843 0,3947 1,1673 0,4013 1,1518 0,4065 1,1378 0,4109 1,1252 0,4143 1,1140 0,4178

1,3533 0,3383 1,3190 0,3597 1,2866 0,3753 1,2566 0,3867 1,2293 0,3951 1,2049 0,4016 1,1832 0,4068 1,1642 0,4108 1,1476    0,4144

1,1331    0,4172

1,1203 0,4201

• 111........

zwycz. oparcie utwierdzenie

fixa

1,2393 0,3098 1,2182 0,3322 1,2009 , 0,3503 1,1855 0,3648 1,1712 0,3764 1,1578 0,3859 1,1451    0,3937

1,1334 0,4000 1,1225    0,4053

1,1126 0,4097 1,1035 0,4138

— — CN

•4*

О <Э О о о о <о © о ©^ о

Sposób

oparcia

płyty

Pr zy kła d.

Obliczenie płyt (rys. 3).

62

Obciążenie stałe: ciężar własny płyty 0,12X2400 = 288kg m-podłoga, tynk .

Razem .    .    .    350 kq\m*

.....    400    „

Obciążenie zmienne .

(według Lösera: Bemessungsverfahren, tablica 26).

co o

4 0    400

q = 350 H---= 550 kgjm² ; q" =    = 200 kg m².

Momenty: Pole narożne:

max I min I

Mx

\ф ix ф\х/    V

550    200

20,62 — 13,87

( + 657 kgm/т I + 196    „

<pix = 20,62 ;

(p lx = 13,87

max

min

4“0-

<p,J    U 04,38

200

^7022

= 1,5; (jpiy = 104,38; <piy = 70,22

+ 292 kgm rn 4- 87    „

Dla kierunku ж — max 37=4-657 kgmjm jest miarodajny; a — 1200,38; Л=10,5ст; grubość płyty — 12cm; fe=5,4cm²; $58со9cm=5,5cm².

Przy zwykłym sposobie liczenia: dla 4-4=1 A obciążenie się rozkłada w stosunku 0,834 i 0,166.

Dla krótszego kierunku

g = 0,834 X 350 = 292 kgjm* p = 0,834 X 400 = 334    „

(nie uwzględniając pogrubienia płyty).

Moment w przęśle skrajnem :

M = 4- (0,080 X 292 4- 0,101 X 334) X 4²= 4-914kgmjm; a = 1200 38; h = 13 cm ; grubość płyły 15 cm ; 4 = 6,7 cm² ; $5 8 co 7 cm = 6,8 cm². W porównaniu z poprzedniem:

o 24°

/ o-

betonu — więcej o 25°)0 żelaza —    „

Obliczenie belki I — I.

Całkowite obciążenie pola płyty:

max 0 = 4 X 6 X 750 = 18000 kg min Q = 4 X 6 X 350 = 8400 „

Obciążenie jednego przęsła belki ciągłej 2-przęsłowej o 1=6,00 ж (nie uwzględniając dla uproszczenia ciężaru własnego belki)

od pola skrajnego :

I 0,3962 X 18000 - 7132 - max.

10,3962 X 8400 = 3328 - min.

„    „ środkowego :

0,4009 X 18000 = 7216 — max.

0,4009 X 8400 = 3368 — min.

Spółczynniki 0,3962 i 0,4009 otrzymujemy z tabl. IV dla ly : 4 = 1,5 i wypadków e i f. Obciążenie w postaci trapezów otrzymujemy uwzglę-

4 m; skąd

6 + 2

dniając długość podstawy trapezu 6 m, środkowej linji —

= 3587 kg\mb — maximum

7132 + 7216

Pi

P%

3328 + 3368

= 1674 kg\mb — minimum.

Zgodnie z tablicą II — spółczynnik

N= [a³ - 2a²1 + Щ = [2³ - 2 X 2* X 6 + 6³] - 176. Momenty :

na podporze — max. Mb

pN

3587 X 176

13152 kgm.

8X6

Moment w przęśle obliczamy, określając poprzednio moment podporowy przy maksymalnem obciążeniu jednego z przęsła

(^1. g - - ⁽³⁵⁸⁷i + lgZj) X ™ - - ⁹⁶⁴⁵ kgm

Mb =

X = -TT +

max. moment w polu:

^4 = +

81

Mb 6

9645

Pi¹

2    3587 X 6

2,55 m

Mbx

3587

to

Г    2²1

6 X 2,55 — 2,55²—у -

9645X2,55

= + 9298 kgm.

Przy zwykłym sposobie liczenia: Obciążenie na 1 mi stropu: stałe : płyta .

podłoga, tynk.

.    0,15 X 2400 = 360 kg\m²

62 „

zmienne

Reakcja na belkę I — I : max

min R= 1,10X422 X 4= .

422 kg m2 400    „

R = (1,10 X 422 + 1,20 X 400) X 4 - 3777 kg\mb

.    .    1857    „

1920 kglmb

Momenty:

na podporze: M=— 0,125 X 3777 X 6² =— 16997 kgm

w przęśle: M= + (0,070 X 1857 + 0,096 X 1920) X 6²= + 11315 kgm. Zwiększenie w porównaniu z poprzedniem :

momentu na podporze — o 29°/0 „    w przęśle — o 22 °/₀

Obliczenie belki II — II.

Obciążenie przęsła belki ciągłej 3 - przęsłowej od obydwóch sąsiednich pól:

skrajnego :    max    18000    X 0,2296 X 2    ==    8266 kg

„    min    8400    X 0,2296 X2    =    3857 „

(spółczynnik 0,2296 — z Tabl. III dla ly : lx = 1,5 wypadek e) środkowego :    max    18000    X 0,2356 X 2    =    8482 kg

„    min    8400    X 0,2356 X 2    =    3958 „

(spółczynnik 0,2356 — z Tabl. III dla ly:lx = 1,5, wypadek /').

Przy obciążeniu w postaci trójkąta o podstawie 4,00 m, otrzymujemy wysokość obciążenia trójkątnego p dzieląc podane wyżej całkowite obciążenia przez f = 2, t. j. :

dla przęsła skrajnego:

„    „ środkowego :

Momenty obliczamy zgodnie z tablicą I: na podporze max    . I² =

(4133+4241) X4a

32

4187 kgm.

Dla określenia max M w przęśle skrajnem, obliczamy poprzednio na podstawie tablicy I — reakcję A :

₄    (7 px-p%)l ₌ (7X4133-4241)

32

32

X 4 = 3086 kg

-fPi

3086X4

4133

= 1,73 m

maksymalny moment w przęśle skrajnem :

М=А.Х~Г±Х

3/ = 3086 X 1,73

4187 X 1,73;J

3X4

= + 3532 kgm.

Przy zwykłym sposobie liczenia belka II — II byłaby niewyzyskana.

INŻ. KAROL STADTMÜLLER

Słowiańskie słownictwo techniczne a prace naszych uczonych, w szczególności Prof. Thulliego.

Oprócz dotrzymania kroku w nauce, uczeni nasi mieli do pokonania trudności terminologiczne, zdaje mi się dotychczas przez ogół naszych techników mało uwzględniane.

Szczególnie na tern polu zasłużył się Prof. Th ul lie. Termino-logja techniczna wprowadzona przez niego jest tak ogólnie znaną, że przypuszczam, nie potrzebuje przytaczania jej na tern miejscu. Prace techniczne i terminologiczne Prof. Thulliego zaczęły się rozwijać równocześnie z ogłaszaniem prac podstawowych tak przez uczonych zagranicznych jak i naszych. Oczywiście, że prace uczonych zagranicznych objęte są pracami Prof. Thulliego. Wobec rozwoju nauk, musieli obcy uczeni wprowadzać do swych prac nowe terminy techniczne, które wymagały u nas urobienia polskich odpowiedników. Równocześnie z ogłaszaniem prac obcych, rozpoczął się i u nas okres prac naukowych, który wpłynął również i na rozwinięcie się naszej terminologji technicznej. Prace Prof. Thulliego ogłaszane były nie-tylko w różnych językach obcych, ale co dla nas ciekawsze, omawiały także dorobek naukowy ogłaszany i w innych językach słowiańskich np. czeskim, rosyjskim i t. d. Zatem już dla tych prac musiał Prof. Thullie trudzić się przekładem ich na nasz język. Te prace techniczne pisane w językach słowiańskich, nie zostały jednak tak utrwalone, jakby to sobie najprawdopodobniej i sam Autor życzył, oraz jakbyśmy to sami sobie życzyli. Terminologje techniczne języków słowiańskich, stosowane w pracach Prof. Thulliego nie weszły jednak w skład jakiegoś słowiańskiego słownika technicznego, bo takiego wydawnictwa dotychczas nie było, a znając ówczesne stosunki polityczne, natrafić by mogło podobne wydawnictwo techniczne, przy przeprowadzeniu tej pracy, na różne trudności. Obecnie po oswobodzeniu się Słowian, konieczne jest zestawienie takiego słownika technicznego języków słowiańskich.

Sprawa słowiańskiego słownika technicznego sprowadza się w głównej mierze do ustalenia programu polskiego słownictwa technicznego (P. S. T.), gdyż z chwilą, gdybyśmy zdołali ustalić jakąkolwiek większą czy mniejszą, część naszego słownictwa technicznego, możemy niem służyć dalej naszym braciom Słowianom. W sprawie tego programu pracy, między dotychczasową uchwałą Kom. słownictwa techn. Akad. Nauk Techn. w Warszawie (A. N. T.) a moim poglądem na program tej pracy zachodzi różnica, którą obecnie pragnę przedstawić.

Najpierw przedstawię stan obecny kwestji ustalania słownictwa technicznego.

Według uchwał narad wstępnych w tej sprawie, oraz „odezwy“, ogłoszonej w „Wiadomościach“ nr. 19, 1930 r., mają być utworzone dwie komisje główne a mianowicie: Pierwsza komisja, złożona z przedstawicieli Akad. Nauk Techn., Związku P. Z. T. z moim udziałem, ma za zadanie kierowanie pracami pod względem rzeczowym, t. zn. co do schematu i układu słownika, instrukcji, wzorów formularzy, wszelkich kwestyj językowych (równoznaczników i t. d.), kolejności wydawnictwa poszczególnych części słownika i t. d. Druga komisja, wyłoniona ze Związku P. Z. T. z moim udziałem, ma kierować wydawnictwem pod względem finansowym i technicznym (finansowanie, zbieranie materjałów, drukowanie, sprzedaż i t. d.) i pozostawać w stałym kontakcie ze Związkami Narodowemi Inżynierów Słowiańskich, należących do Federacji, a to celem równoległego wydawnictwa słowników w innych językach słowiańskich. Dalej mają być utworzone t. zw. Komisje słownikowe lokalne, przy wszystkich Stow. Techn. (zatem około 26 komisyj), których zadaniem ma być zbieranie materjałów do poi. S. T., przekazywanych na moje ręce, zaś po ich rozpatrzeniu, materjał ma być przesłany Kom. A. N. T., która podała również swój program pracy jak i instrukcje dla współpracowników.

Następnie, czego żądać należy od programu pracy przy wydaniu słowiańskiego słownictwa technicznego (S. S. T.)?

Ze względu na przeciąganie się terminu wydania S. S. T. uważam, że owocność tej pracy zależy od 2 warunków: 1) przedewszystkiem powinien być wydany słownik ogólnych terminów technicznych, oraz 2) wydanie tego słownika powinno nastąpić w czasie możliwie najkrótszym np. w ciągu najbliższych 2 lat.

Czy program Kom. A. N. T. odpowiada naszemu zadaniu?

Program Kom. A. N. T., dla którego wszyscy jesteśmy z naj-wyższem uznaniem, jako dla pracy pomyślanej oryginalnie i systematycznie, lecz zakreślonej na największą skalę (brak tylko rysunków, natomiast wprowadzono definicje) nie odpowiada programowi S. S. T. z tej prostej przyczyny, że praca ujęta w sposób programu A. N. T.

musi trwać przynajmniej jedno pokolenie t. j. około 30 lat. Okres ten nie jest bynajmniej za długi, gdyż obecne XVI tomowe wydawnictwo firmy Oldenbourg w Monachjum, 6-językowych słowników technicznych (niem. - franc. - ang. - włosk. - hiszp. - ros.) zaczęło wychodzić w r. 1906, praca zaś nad przygotowaniem materjałów musiała być przecież rozpoczęta przynajmniej kilka lat wcześniej. Nadto, program tego wydawnictwa nie jest dotychczas wyczerpany, pozostają bowiem jeszcze do opracowania działy: lotnictwa, żeglarstwa i górnictwa, jakoteż dalsze działy „przędzalnictwa i tkactwa“, które mają obejmować: poriczo-sznictwo, hafciarstwo, maszyny do szycia, jakoteż wykończenie tkanin t. j. bielnictwo (blicharstwo), farbiarstwo, drukarstwo i apreturę. Uwzględniając nawet nadzwyczajną pomoc dla nas z tego wydawnictwa, należałoby przyjąć okres 30-letni dla ustalenia polsk. słown. techn., według programu A. N. T. za minimalny.

Jakie trudności zachodzić muszą przy przeprowadzeniu pracy według programu Kom. słown. A. N. T. ?

I.    Rozdział referatów między poszczególne Komisje, a to szczególnie ze względu na powtarzanie się wielkiej ilości słów w różnych działach techniki np. dział hutnictwa, obejmujący między innemi sprawami także wyrób rur, może mieć zastosowanie nietylko w samem hutnictwie a więc: walcownictwie i odlewnictwie, ale także: w gazownictwie, przy wodociągach, górnictwie, nafciarstwie (szczególnie przy przesyłaniu ropy na dalekie odległości), ogrzewnictwie, kolejnictwie (przy wyposażeniu wagonów i lokomotyw), przemyśle fermentacyjnym (gorzelnictwie i piwowarstwie) i t. d. Takich przykładów możnaby przytoczyć kilkanaście (np. powtarzanie się elementów maszyn, jak śrub, klinów, dalej łożysk, przeróżnych narzędzi i t. d.). Podobnie rzecz się ma z rzemiosłami, które wchodzą poniekąd jako części różnych działów techniki np. w kolejnictwie : ślusarstwo, kowalstwo, blachar-stwo, stolarstwo, tapicerstwo, szklarstwo, malarstwo i t. d., nie mówiąc oczywiście o wprowadzeniu w ostatnich czasach radja a nawet telefonów do pociągów.

II.    Wybór terminów, t. zn. rozstrzygnięcie, które terminy techniczne zaliczyć należy do danej pracy, a w szczególności do danego działu. Jest to sprawa w danem zadaniu najtrudniejsza, o czem można się przekonać przy układaniu podobnego słownika. Jako charakterystyczny przykład, jak podobne prace nie zgadzają się ze sobą, podaję porównanie 2 najnowszych słowników z tej samej dziedziny a mianowicie radjotechniki: Hörig, Radio-Lexikon, Berlin 1924 i Günther, Fünfsprachenwörterbuch für Radioamateure, Stuttgart 1924. Pierwszy słownik posiada około 600 terminów (z objaśnieniami), do którego przybyło około 100 terminów podanych mi łaskawie przez Centr. Kom.

Słown. Elektr. przy Stow. Elektr. w Warszawie przy sposobności przeglądania mojego niem.-pol. słownika radjowego (pozostał on w rękopisie, ponieważ nie znalazłem nakładcy), razem zatem około 700 terminów, zaś drugi słownik posiada około 1.100 słów. Z porównania tych dwu słowników okazało się, że ilość terminów powtarzających się w obu słownikach wynosi 128 słów, co stanowi około ll°/₀. Dziwnie mały ten °/₀ ma poczęści swoje usprawiedliwienie w tern, że zarówno w tej nowej gałęzi techniki, jak zresztą i w innych działach niema tego „ustalenia“ terminów, do którego my dążymy! Być może nawet, że ten °/₀ powtarzających się słów w tych 2 słownikach jest większy, lecz w takim razie nie użyto tych samych słów, lecz synonimów. Jest to zatem już dla nas wskazówką do następnego punktu.

III.    Wybór synonimów. Podzieliłbym je na 5 grup: 1 grupa, słowa pochodzące z języków klasycznych (wzgl. ze świata starożytnego i t. d.) np. spirytus (łac.) i alkohol (arab.), oprócz tego jest jeszcze polski: wyskok; 2 grupa, słowa pochodzące z języków klasycznych i polskiego np. wentyl (łac.) i zawór, termometr (grec.) i ciepłomierz ; 3 grupa, oba słowa polskie np. natężenie i naprężenie, czułek i czujnik (P. N.) (niem. Tastenzirkel); 4 grupa, słowa polskie i gwarowe (używane przeważnie w rzemiośle) np. imadło i śrubsztak, tarnik i raszpla, pilnik i fajla; 5 grupa, słowa polskie przedstawiające kwestje czysto językowe np. kwas mleczny czy mlekowy (P. N.), wydłużenie linijne, czy linearne, czy linjowe (niem. lineare Ausdehnung), moment skręcający czy skręcenia (niem. Drehmoment) i t. d. Otóż z powyższych 5 grup słów, o 3 pierwszych grupach mogłaby decydować Kom. A. N. T., w czwartej grupie słów wybór padnie oczywiście na termin polski, zaś piąta grupa słów mogłaby być zadecydowaną wspólnie z Kom. A. N. T. przy udziale delegata Kom. językowej Akad. Umiej, w Krakowie.

IV.    Ekonom ja pracy. Materjał słownikowy, zbierany przez Kom. lokalne, ma stanowić materjał podstawowy dla prac Kom. A. N. T. Jednakże, o ile Kom. A. N. T. będą również zbierały ten sam materjał, wówczas praca ta będzie przeprowadzana zupełnie niepotrzebnie dwa razy! Z drugiej jednak strony, Kom. A. N. T. nie może w zupełności polegać i poprzestać na dostarczaniu jej tych materjałów terminologicznych przez Kom. lokalne, gdyż bardzo możliwy jest wypadek, że materjały te n i e zostaną jej dostarczone !

V.    Efekt pracy. Po dostarczeniu tych materjałów przez Kom. lokalne do moich rąk, przeglądnięciu ich, oraz przesłaniu następnie Kom. A. N. T., będą te Kom. lokalne — z czasem — żądały ogłoszenia dostarczonych materjałów, ażeby ich prace nie okazały się daremne! W razie zebrania się jednak większej ilości tych materjałów może prze-

glądanie ich i ostateczne ustalenie przez Kom. A. N. T. natrafić na poważne przeszkody (brak czasu, trudności finansowe i t. d.), co znowu może wpłynąć na „ostudzenie zapału“ tych Kom. lokalnych do dalszych prac.

Gdzie zatem szukać należy rozwiązania programu S. S. T. ?

Mimo niezaprzeczonych zalet programu A. N. T., nie widzę sposobu uniknięcia trudności, o których wspomniałem. To też po długich rozważaniach, przyszedłem jednak do przekonania, że wszystkie wyżej wspomniane trudności, a szczególnie wybór terminów (p. III) zostałyby zupełnie usunięte, gdybyśmy się przyłączyli do obecnie rozpoczętego wydawnictwa międzynarodowych słowników technicznych firmy Oldenbourg w Monachjum, którego pierwsza część obejmuje „Zasadnicze pojęcia techniki“ a więc właśnie te słowa, na których nam w danej pracy najwięcej zależeć powinno ! Program tego wydawnictwa jest bardzo prosty. Każdy język posiada dla siebie osobny tom, bez żadnego ograniczenia co do ilości przyjąć się mających języków, co w innych wydawnictwach jest nie do pomyślenia. Narazie wydano pierwszą część w 3 językach, oczywiście każdy język w osobnym tomie a mianowicie w niem., franc, i ang. Każdy tom opracowany jest według tego samego programu (typu) a mianowicie składa się z 2 części: 1) alfabetycznej z numerami i 2) numerowej, ułożonej częściowo systemem rzeczowym. W ten sposób terminy we wszystkich językach, w części numerowej, wzajemnie sobie odpowiadają t. zn. jeżeli w części np. niem. (oczywiście alfabetycznej) szukam odpowiednika w obcym języku, na niem. słowo „Keil“ i znajdę obok numer 3622, wówczas pod tym samym numerem 3622 znajdę w danym obcym słowniku odpowiednik na słowo „Keil“, zatem dla franc, coin, cale, clavette.

Jakie są zatem zalety tego wydawnictwa?

1) Odpada rozdzielanie referatów; 2) odpada wybór terminów i 3) cała praca może być przeprowadzona przez jedną osobę, zatem osiąga się maximum ekonomji pracy (p. IV) a tern samem efekt pracy (p. V) może być najlepszy; natomiast pozostaje do zrobienia: 1) podanie odpowiedników polskich, oraz 2) ustalenie najodpowiedniejszego z pośród nich terminu technicznego (referat Kom. A. N. T.).

Konieczność wydania S. S. T. zadecydował już II. Kongres F. I. S’a w Zagrzebiu w r. 1927, a do tej pory nie zrobiono jeszcze nic konkretnego. Wobec uchwalenia mojego wniosku na XI Zjeździe Del. P. Z. T. dołożę starań oczywiście pod pewnemi warunkami, by opracowanie odpowiedników polskich do wspomnianego słownika Olden-bourga, możliwie najprędzej doprowadzić do skutku. 26 lat nieprzerwanej pracy nad słownictwem technicznem, daje bądź co bądź pewną rękojmię przeprowadzenia tej trudnej pracy! Po wydaniu pierwszej

Ks. Pam. kn czci Prof. Dr. M. Thulliejjo.

części ogólnej, o ileby się nie ukazały dalsze części tego wydawnictwa Oldenbourga, zawsze możnaby jeszcze przystąpić do wykonania programu A. N. T., który wobec ustalenia zasadniczych terminów technicznych, byłby już łatwiejszy do przeprowadzenia.

Reasumując zatem powyższe wywody, uważam ze względu na znaczne korzyści i wielkie ułatwienie w pracy przy ustaleniu poi. słown. techn. za najprostsze jej rozwiązanie przyłączenie się do powyższego wydawnictwa, przez uzupełnienie go językiem polskim. Z przeprowadzonej korespondencji z tą firmą wynika, że niema ona nic przeciwko użyciu tych materjałów w dany sposób.

Na podstawie opinji autorytetu w sprawie prawa autorskiego Prof. Zoll’a, uważam dla nas za niedopuszczalne korzystanie z 6-cio językowego słownika Scelomanna w sposób wskazany w instrukcji A. N. T., natomiast przypuszczam, że firma Oldenbourg, wydająca te słowniki, zgodziłaby się na korzystanie z tych prac, gdybyśmy przystąpili do uzupełnienia międzynarodowych słowników tej firmy językiem polskim. Celem wyjścia z tej sytuacji, możnaby stworzyć „junctim“ między naszem przystąpieniem do tego międzynarodowego słownika technicznego Oldenbourga a korzystaniem z jego б-cio językowego słownika technicznego.

Zanim przystąpię do postawienia wniosku w sprawie S. S. T. pozwalam sobie zwrócić uwagę na fakt, że firma Oldenbourg drukuje dwa wydawnictwa słowników technicznych a mianowicie: 1) 6-cio językowy ilustrowany słownik techniczny (dotychczas wyszło XVI tomów) oraz 2) rozpoczęła wydawnictwo międzynarodowych słowników technicznych, którego pierwszy tom obejmuje: „Zasadnicze pojęcia techniki“.

Wobec powyższego postawiłem wówczas następujący wniosek:

„Celem przyśpieszenia prac około ustalenia polskiego słownictwa technicznego, a tern samem dostarczenia podstaw do ustalenia słownictwa technicznego innych narodów słowiańskich, XI Zjazd Delegatów Zrzeszeń Techn. w Warszawie uznaje za najodpowiedniejsze przystąpienie nasze do (nowego) wydawnictwa międzynarodowych słowników technicznych firmy Oldenbourg w Monachjum, a celem uzyskania autorytetu prac, zwraca się do Kom. A. N. T. z prośbą o podjęcie się decyzji wyboru polskich terminów technicznych.

Dla przeprowadzenia tych prac konieczne jest uzyskanie odpowiednich kredytów“.

Uwzględniając zatem nadzwyczajne zasługi Prof. Thulliego, tak na polu nauki jak i na polu polskiego i słowiańskiego słownictwa technicznego przypuszczam, że winien on wziąć w pierwszym rzędzie udział w programie ustalenia słowiańskiego słownictwa technicznego.

INŻ. DR. JÓZEF TAUB

O łączeniu wkładek w budownictwie żelbetowem ze szczególnem uwzględnieniem spawania elektrycznego.

Stosowanie coraz większych rozpiętości przy budowie hal oraz przy budowie mostów, powoduje konieczność łączenia wkładek żelaznych w budownictwie żelbetowem. Huty nasze dostarczają bowiem wkładek żelaznych do betonu w długościach normalnych do 12 m i tylko na specjalne zamówienie można otrzymać pręty o większych długościach za dopłatą, wynoszącą 0*5% za każdy rozpoczęty metr ponad długość normalną; największe długości w jakich nasze huty wyrabiają żelazo na wkładki wynoszą przy prętach cieńszych o średnicy 5—29 mm najwyżej 40 m, zaś przy prętach grubszych o średnicy 30—50 mm najwyżej 18 m; dostawa prętów o tych długościach wymaga jednak dłuższego czasu, a także i przewóz ich przedstawia pewne trudności. Stąd powstaje konieczność łączenia wkładek żelaznych w konstrukcjach żelbetowych.

Pozatem jest jeszcze drugi powód łączenia wkładek żelaznych, a mianowicie: przedsiębiorstwa budowlane sprowadzają z reguły na skład żelazo w długościach normalnych, przyczem w miarę wyrabiania tego żelaza pozostają odpadki o mniejszych lub większych długościach. Wprawdzie podają przepisy ministerjalne, że wkładki żelazne winny być o ile możności z jednego kawałka, jednak przedsiębiorstwa budowlane stosują niejednokrotnie z powyższych powodów łączenie tych wkładek.

Przepisy ministerjalne podają dozwolone sposoby łączenia wkładek żelaznych, a mianowicie postanawiają, że jeżeli łączenie wkładek z dwóch lub więcej części jest nieuniknione z powodu wielkiej długości, wtedy należy zetknięte części przedłużyć poza teoretyczny punkt zetknięcia o tyle, ażeby siły wewnętrzne nie mogły wkładek przesunąć, a na całej długości zetknięcia łączone wkładki związać drutem. Punkty łączenia wkładek nie powinny przytem znajdować się w miejscu naj-

większego naprężenia żelaza, ani też być skupione w jednym przekroju belki.

Powyższy sposób łączenia wkładek żelaznych przez przedłużenie ich poza teoretyczny punkt zetknięcia nie jest jednak odpowiedni w pewnych wypadkach i np. przepisy niemieckie dopuszczają go tylko dla wkładek o największej średnicy 20 mm i tylko dla konstrukcyj, pracujących na zginanie, a nie na czyste ciągnienie (ścięgien, słupów wiszących) ; w tych wypadkach przepisują one łączenie wkładek przy pomocy zamków z mufami o przeciwnych gwintach. Pozatem pozwalają one również na spawanie wkładek żelaznych, jednak z tern, że jeżeli naprężenie żelaza w miejscu łączenia wkładek wynosi więcej aniżeli 50°/₀ największego naprężenia, należy ułożyć obok miejsca spawania dodatkową wkładkę, zaopatrzoną obustronnemi hakami. Także i nasze rozporządzenie ministerjalne pozwala na łączenie wkładek przy pomocy spawania z zastrzeżeniem przeprowadzenia odpowiednich prób podczas budowy.

50 10

220

10 50

\rW

h-340%-H

Rys. 1.

Chcąc porównać dobroć wyżej wspomnianych sposobów łączenia wkładek, przeprowadzono w ubiegłym roku na skutek inicjatywy Okręgowej Dyrekcji Robót Publicznych w Krakowie szereg doświadczeń, a mianowicie badano wytrzymałość na rozerwanie prętów z żelaza okrągłego, łączonych w rozmaity sposób.

Próby rozerwania przeprowadzono pod kierunkiem Prof. Łoskie-wicza w Laboratorjum Metalurgicznem Akademji Górniczej w Krakowie, a program doświadczeń został ułożony przez autora niniejszej rozprawy.

Pręty miały kształt wyżej podany (rys. 1), a mianowicie głowice prętów posiadały średnicę 30 mm, przekrój zaś w miejscu badania posiadał średnicę 20 mm i powstał przez otoczenie części środkowej prętów do tej grubości. Ten kształt został wybrany przez Prof. Łoskie-wicza celem lepszego utwierdzenia prętów w maszynie.

Doświadczenia obejmowały próby rozerwania prętów zwykłych t. j. przechodzących bez łączenia w jednym kawałku, następnie prętów łączonych ze sobą przy pomocy zamków z mufami i prętów spawanych, a to zarówno gazowo jak i elektrycznie. W poniższej tabeli A zestawione są różne stosowane sposoby łączenia prętów, które następnie poddano badaniom.

Do poniższej tabeli A dodajemy następujące bliższe objaśnienia:

Pręty Nr. 1 przechodziły bez łączenia w jednym kawałku. Gatunek tych prętów, jak również i następnych prętów aż do Nr. 8 włącznie, odpowiadał naszemu zwyczajnemu żelazu handlowemu.

Pręty Nr. 2 łączone były przy pomocy zamków z mufami o przeciwnych gwintach. Średnica zewnętrzna gwintowania prętów wynosiła 20 mm; zamki zrobione były z żelaza okrągłego o średnicy 36 mm, przyczem przekrój zamków był większy aniżeli przekrój prętów łączonych, aby rozerwanie nie nastąpiło w obrębie zamków. Połączenie to miało tę wadę, że przekrój prętów był osłabiony w miejscu nacięcia na nich gwintu i dlatego zastosowano przy następnej grupie doświadczeń odpowiednie wzmocnienie przekroju prętów w miejscu gwintowania.

Tabela A. Stosowane sposoby łączenia prętów.

Nn 1

936

936 ^ <

9 20

■e

340

920

*~70

80 -

-i

... A

9 205'    92Ö

Н6СИ

Oj

O.

'O-

TVJ

<\l

'O-

ф 20

ot

O r

mm.

ii

PrętytNr/;3'łączone były również przy pomocy zamków^z mufami o przeciwnych gwintach; pręty te posiadały średnicę 20 mm, a końce ich zgrubiono w ogniu na długości nagwintowania do 25 mm; średnica zewnętrzna gwintowania prętów wynosiła więc 25 mm, zaś średnica wewnętrzna gwintów równą była grubości prętów poza miejscem łączenia. Również i głowice prętów zostały wyrobione na długości 60 mm przez odpowiednie zgrubienie ich w ogniu do 30mm; grubość samych prętów powiększyła się przez zgrubienie do 20¹

Pręty Nr. 4 łączone były przy pomocy spawania gazowego (acetylenem). Końce prętów, obrobione konicznie, ułożono czołowo naprzeciw siebie i wypełniono przestrzeń wolną między niemi materjałem żelaza, pochodzącym ze stopienia specjalnego drutu t. zw. drutu szwedzkiego.

Pręty Nr. 5—7 łączone były przez spawanie elektryczne łukiem świetlnym. Spawanie przeprowadzono przy pomocy maszyny fabrykatu

firmy „Elin“, wytwarzającej prąd stały o odpowiedniem napięciu i natężeniu. Przy spawaniu łukiem świetlnym układa się pręty, mające być połączone, obok siebie i wypełnia się przestrzeń wolną między niemi materjałem żelaza, pochodzącym ze stopienia specjalnego drutu t. zw. elektrody. Do spawania prętów użyto elektrod amerykańskich i szwedzkich, powleczonych specjalną masą, oraz zwyczajnego niepowleczonego drutu szwedzkiego, jakiego używa się przy spawaniu gazowem.

Ponieważ pręty były spawane czołowo, przeto końce ich odpowiednio przygotowano, a mianowicie obrobiono je, podobnie jak się to robi przy spawaniu blach, według litery V (pręty Nr. 5), według litery X (pręty Nr. 6), względnie otoczono je konicznie, jak przy spawaniu gazowem (pręty Nr. 7).

Przy łączeniu prętów zapomocą spawania elektrycznego łukiem świetlnym przekrój prętów w miejscu spawania jest nieco zgrubiony w porównaniu z przekrojem normalnym i jest z tego powodu nieco mocniejszy. Chcąc zbadać wpływ tego zgrubienia na wytrzymałość połączenia, przeprowadzono też próby z prętami, przy których usunięto to zgrubienie po spawaniu przez spiłowanie. Końce tych prętów były przygotowane według litery X (Nr. 6) i pręty te były również spawane temi samemi elektrodami jak poprzednio.

Pręty Nr. 8 łączone były przy pomocy spawania elektrycznego łukiem świetlnym, jednak nie wprost czołowo, jak to poprzednio miało miejsce, lecz końce prętów włożono do rurki żelaznej i rurkę tę połączono obustronnie przy pomocy spawania czołowego z przekrojem prętów. W podobny sposób przeprowadza się łączenie blach żelaznych, a mianowicie przez zastosowanie obustronnych przykładek, spawanych na krawędziach z przekrojem blach. Ten sposób łączenia był podobny zresztą do połączenia prętów przy pomocy zamka z mufami, tylko że zamiast gwintowania zastosowano spawanie elektryczne. Połączenie to miało jeszcze tę zaletę, że pręty były ułożone zupełnie osiowo. Średnica zewnętrzna rurki wynosiła 36 mm, a jej przekrój użyteczny był większy aniżeli przekrój prętów, aby rozerwanie nie nastąpiło w obrębie rurki. Przekrój części środkowej prętów wynosił 21 mm.

Pręty Nr. 9 łączone były przy pomocy spawania elektrycznego na styk systemem oporowym z nadpalaniem. Żelazo tych prętów było pochodzenia niemieckiego i gatunek jego odpowiadał warunkom przepisów niemieckich dla „St. 37“.

Spawanie przeprowadzono na maszynie fabrykatu Powszechnego Towarzystwa Elektrycznego. Przy spawaniu na styk systemem oporowym przepływa prąd elektryczny wprost przez pręty, mające być połączone, przyczem natężenie prądu przyjmuje się tak wielkie, że końce prętów rozgrzewają się w bardzo krótkim czasie aż do temperatury

TABLICA I.

~r

er

а.

Ъ. ■

Кус. 1 а, Ъ.

Rye. 2 а, Ъ.

Sùà*____ШС

Rye. 3.

spawania. Przez kilkakrotne zbliżanie i oddalanie końców prętów, powierzchnie stykowe stapiają się i gdy są równomiernie rozgrzane, wtedy ściska się je silnie ku sobie; płynne i spalone części metalu zostają przytem wyciśnięte, tworząc rodzaj pierścienia wokoło miejsca spawanego.

Chcąc zbadać wpływ tego pierścienia na wytrzymałość połączenia, przeprowadzono też próby z prętami średnicy 30 mm, przy których otoczono część środkową po przeprowadzeniu spawania do 20 mm, tak że miały one potem ten sam kształt jak pręty badane poprzednio. Przy jednym z tych prętów zauważono po otoczeniu z jednej strony drobną skazę w miejscu spawania.

Wyżej opisane pręty zostały poddane próbom rozerwania w maszynie systemu Amsler- Laffon, przyczem przeprowadzono dla wszystkich stosowanych sposobów łączenia prętów po dwie próby, zaś dla prętów, łączonych przy pomocy spawania łukiem świetlnym, po trzy próby (każda inną elektrodą, jak wyżej podano). Przy próbach badano siłę przy granicy ciastowatości oraz wytrzymałość na rozerwanie.

Wyniki tych doświadczeń, jako średnie z kilku prób, zostały zestawione w tabeli B.

W poniższej tabeli В obliczono też naprężenia prętów przy granicy ciastowatości oraz wytrzymałość na rozerwanie. W uwadze zaznaczono, w którem miejscu nastąpiło rozerwanie.

Z doświadczeń tych wynika przedewszystkiem, że wytrzymałość na rozerwanie naszego zwyczajnego żelaza handlowego była naogół mniejszą od wymaganej w myśl naszych przepisów.

Przy prętach łączonych na zamek z mufami o przeciwnych gwintach (pręty Nr. 2, kolumna 3) nastąpiło rozerwanie w pierwszym gwincie, co było do oczekiwania (tabl. I, rye. 1 a). Jeżeli zgrubiono przekrój prętów w miejscu gwintowania tak, że średnica wewnętrzna gwintu równą była średnicy pręta poza miejscem łączenia (pręty Nr. 3, kolumna 4), wówczas rozerwanie nastąpiło poza obrębem połączenia (tabl. I, rye. 1 b).

Przy prętach spawanych gazowo (pręty Nr. 4, kolumna 5 i 6) nastąpiło w jednym wypadku rozerwanie w miejscu spawania (tabl. I, ryc. 2 a), w drugim zaś wypadku, w którym przekuto miejsce spawania na gorąco młotkiem, nastąpiło rozerwanie poza miejscem spawania (tabl. I, ryc. 2 b). Okazuje się z tego, że jakość połączenia została ulepszona przez przekucie miejsca spawania. Objawy rozerwania pierwszego pręta były też odmienne od objawów normalnych, a mianowicie rozerwanie nastąpiło nagle, według linji ukośnej, bez poprzedniego wydłużenia pręta i zwężenia jego przekroju.

O'.

Inż. Dr. Józef Taub

to

00

Nr. 9.

Pręty spawane elektrycznie systemem oporowym

Pręt

otoczony po spawaniu

kg

kg jem¹

kg

kg jem¹

I Nr. 7. I Nr. 8.

8840    8775    9300

2815    2800    2960

11910    14150    12100

3790    4500    3860

Rozerwanie nastąpiło w miejscu spawania

Tabela B. Wyniki prób rozerwania prętów.

Nr. 6.

Nr. 5. I

Nr. 4.

Nr. 3.

1 Nr. 1, 1 Nr. 2.

L. porz.

Pręty spawane elektrycznie lukiem świetlnym

Pręty

spawane

gazowo

Usunięto zgrubienie wokoło miejsca spawania

Miejsce

spawania

przekuto

młotkiem

i

о Й0.2 о ~ N я i Ъ£ N Л > - и g

Końce nagwintowane i łączone

Pręt

zwykły

nie

7300    8400

9010    7650

2320    2670

11000    10730

3500    3410

Rozerwa-

Rozerwanie nastąpiło poza miejscem spawania

nie

nastąpiło nagle w miejscu spawania

2865    2440

11620    11025

3700    3510

na

zamek

łączony

Sposób

łączenia

prętów

7400    7875    8300    8200    7900    8290

2360    2510¹)    2520    2610    2515    2640

(3920)¹)

10950    9800    12935    10600    11000    11450

3490    3120¹)    3920    3370    3510    3510

(4870)‘J

Rozerwanie nastąpiło poza miejscem spawania

Rozerwa-

nie

ukośne w miejscu spawania

Rozerwa- I Rozerwa-

nie

nie

nastąpiło nastąpiło w pierw- poza szym miejscem gwincie łączenia

Normalne

objawy

rozer

wania

ł=

Granica

ciasto-

watości

P=

t=

Wytrzy

małość

na

rozer

wanie

UWAGI

') Przekrój liczony według zewnętrznej średnicy gwintu, zaś w nawiasie według wewnętrznej średnicy gwintu.

1 rQ

Rye. 4 а, b.

a.

b.

о

TABLICA II.

iv

!

i

!

I.

T

i

•i I-_

CÖ

О

Rye. 5 a, Ъ, с.

i

f\

' -

\

Rye. 6 a, b, c.

Pręty spawane elektrycznie łukiem świetlnym (pręty Nr. 5—7, kolumna 7—11) okazały pełną wytrzymałość, gdyż we wszystkich wypadkach nastąpiło rozerwanie poza miejscem spawania (tabl. I, ryc. 3).

Przy prętach, przy których usunięto zgrubienie w miejscu spawania przez opiłowanie (pręty Nr. 6, kolumna 9, 10), rozerwanie nastąpiło w dwóch wypadkach, a mianowicie w wypadku spawania elektrodami amerykańskiemi i szwedzkiemi, poza miejscem spawania (tabl. II, ryc. 4 a), zaś przy pręcie spawanym zwykłym niepowleczo-nym drutem szwedzkim (którego nie używa się zresztą do spawania elektrycznego) nastąpiło rozerwanie w miejscu spawania (tabl. II, ryc. Ab). Objawy rozerwania tego pręta były też inne aniżeli normalnie, a mianowicie rozerwanie nastąpiło nagle z hukiem bez wydłużenia pręta i bez zwężenia przekroju; wytrzymałość tego pręta nie była jednak mniejszą od wytrzymałości innych prętów.

Przy prętach, łączonych zapomocą rurki spawanej elektrycznie obustronnie z przekrojem prętów (pręt Nr. 8, kolumna 12) nastąpiło rozerwanie poza miejscem spawania (tabl. I, ryc. 3).

Pręty spawane na styk systemem oporowym (pręty Nr. 9, kolumna 13) okazały pełną wytrzymałość i rozerwanie nastąpiło poza miejscem spawania (tabl. II, ryc. 5 a). Wytrzymałość tych prętów była ze względu na wyższą jakość żelaza znacznie większą aniżeli prętów poprzednio badanych. Przy prętach, które po przeprowadzeniu spawania otoczono w części środkowej do średnicy 20 mm, nastąpiło w jednym wypadku rozerwanie poza miejscem spawania (tabl. II, ryc. 5 b), zaś w drugim wypadku (pręt Nr. 9, kolumna 14), w którym poprzednio zauważono skazę, jak wyżej już zaznaczyliśmy, nastąpiło rozerwanie w miejscu spawania; nie było przytem zwężenia przekroju, lecz pręt wydłużył się ze strony, z której była wyżej wspomniana skaza więcej aniżeli z przeciwnej strony i wyglądał jakgdyby był zgięty (tabl. II, ryc. 5 c).

Oprócz wyżej opisanych prób wytrzymałości połączeń na rozerwanie przeprowadzono też z szeregiem prętów, łączonych przy pomocy spawania elektrycznego, próby wytrzymałości żelaza na zginanie, jakich żądają nasze przepisy ministerjalne. Próby te powinne być przeprowadzone przez nawinięcie na walcu o średnicy równej dwukrotnej grubości prętów. W naszym wypadku przeprowadzono gięcie w pojedynczy sposób na imadle, wskutek czego nie można było ściśle dotrzymać powyższego warunku.

Przy prętach, spawanych łukiem świetlnym, miejsce spawania było sztywniejsze od przekrojów sąsiednich pręta z powodu zgrubienia przekroju w tern miejscu i zgięcie nastąpiło przeważnie w prze-

krojach sąsiednich. Wyniki prób gięcia na zimno prętów spawanych tukiem świetlnym były częściowo dodatnie (tabl. II, ryc. 6 a), częściowo zaś ujemne (tabl. II, ryc. 6 b).

Pręty, spawane na styk oporowo, nie okazywały żadnych objawów pęknięć przy gięciu na zimno, jakkolwiek średnica gięcia była niniejszą od przepisanej podwójnej grubości pręta (tabl. II, ryc. 6e).

W związku z powyżej omawianemi doświadczeniami, przeprowa-dzonemi w laboratorjum Akademji Górniczej w Krakowie, opiszemy też krótko doświadczenia, które przeprowadził Prof. Saliger z polecenia firmy „Elin“ we Wiedniu z prętami spawanemi przy pomocy łuku świetlnego.

Do doświadczeń tych użyto stali miękkiej o wytrzymałości 3700 — 4400 kg/cm², częściowo zaś stali wysokowartościowej o wytrzymałości 4800 — 5600 kg/cm*. Wytrzymałość więc tych prętów była znacznie wyższą aniżeli prętów, użytych do naszych doświadczeń.

Prof. Saliger przeprowadził próby rozerwania prętów z żelaza okrągłego, średnicy 7—40 mm, z których okazało się, że pręty spawane czołowo nie osiągnęły naogół pełnej wytrzymałości; im większą była średnica prętów, tern większem było zmniejszenie ich wytrzymałości.

Pręty średnicy 7 mm osiągnęły 94°

Rys. 2.

3 średnicy 10—15 mm osiągnęły 82°/₀, średnicy 20 mm osiągnęły 85°/₀, zaś pręty 28—40 mm osiągnęły 79°/₀ pełnej wytrzymałości. Przy prętach ze stali wysokowartościowej zmniejszenie wytrzymałości z rosnącą średnicą prętów było jeszcze większe. Przez spiłowanie zgrubienia w miejscu spawania zmniejszenie wytrzymałości było tylko nieznaczne.

Prof. Bryła zastosował przy budowie Domu Akademickiego w Warszawie łączenie wkładek ścięgna podciągu rozporowego o długości 12'50 m, dźwigającego siedm pięter przy pomocy spawania elektrycznego, przez co uzyskał oszczędność prawie 50°/₀ w stosunku do poprzednio projektowanego ścięgna z wstęg nitowanych. Przy próbach, wykonanych poprzednio przez niego, okazało się, że na siedm próbek tylko jedna przerwała się w miejscu spojenia, wszystkie inne poza tern miejscem.

Prof. Saliger przeprowadził również szereg doświadczeń z prętami z żelaza okrągłego, które były łączone w ten sposób, że zetknięte części przedłużono odpowiednio poza punkt zetknięcia, a na długości zetknięcia przeprowadzono spawanie łukiem świetlnym (rys. 2); końce prętów nie wymagają w tym wypadku żadnej obróbki.

Z doświadczeń tych okazało się, że w ten sposób da się uzyskać pełną wytrzymałość prętów, przyczem długość zetknięcia zależną jest

od grubości prętów. Stosunek długości zetknięcia do średnicy prętów rośnie z grubością prętów i wynosi 4—7, aby uzyskać pełną wytrzymałość prętów. Zważywszy, że przy zwykłem łączeniu prętów w konstrukcjach żelbetowych długość zetknięcia, potrzebna dla przeniesienia sił wewnętrznych, łącznie z hakami, równą jest 40- do 50-ciokrotnej średnicy pręta, widzimy, jakie oszczędności można uzyskać przez stosowanie spawania elektrycznego.

Odmienny sposób łączenia prętów z żelaza okrągłego przez zetknięcie i spawanie łukiem świetlnym na pewnej długości poddano próbom w Stacji Doświadczalnej Politechniki w Stuttgarcie. Chodziło o zbadanie wytrzymałości łączenia prętów, ułożonych na deskowaniu, przy których spawanie możliwem było tylko od górnej strony, z powodu braku dostępu do dolnej strony prętów.

Pręty średnicy 40 mm spawane były z jednej strony łukiem świetlnym, przyczem długość zetknięcia równą była 10-ciokrotnej grubości żelaza t. j. 40 cm. Przy przeprowadzonych dwóch próbach rozerwanie nastąpiło w obu wypadkach poza miejscem spawania.

Wszelkie wyżej omówione doświadczenia odnosiły się do czystych prób wytrzymałości na rozerwanie. Dla wytrzymałości konstrukcyj żelbetowych miarodajnem jest jednak naprężenie żelaza przy granicy ciastowatości i dlatego należałoby osobno przeprowadzić doświadczenia z belkami żelbetowemi, aby zbadać wpływ łączenia wkładek na wytrzymałość tych belek.

Tego rodzaju doświadczenia przeprowadził Prof. Saliger, a mianowicie badał on belki żelbetowe, przy których wkładki żelazne łączone były przy pomocy spawania elektrycznego łukiem świetlnym (p. „Beton und Eisen“, rok 1930, zeszyt 17). Uzbrojenie belek wynosiło 0'9° 0 i składało się z dwóch prętów średnicy 25 mm lub z trzech prętów średnicy 20 mm lub wreszcie z sześciu prętów średnicy \Amm. Oprócz tego przeprowadzono kilka doświadczeń z belkami żelbetowemi, których uzbrojenie wynosiło 0⁻4°/₀ i składało się z sześciu prętów średnicy 10 mm. Belki były narażone na zginanie dwiema siłami skupionemi, działającemi w jednej trzeciej rozpiętości.

Wytrzymałość belek przy czołowem spawaniu wkładek w środku rozpiętości była w wypadku uzbrojenia dwiema wkładkami średnicy 25 mm taka sama jak przy prętach przechodzących bez łączenia, zaś w wypadku uzbrojenia dwiema wkładkami średnicy 20 mm o 12% mniejszą; przy prętach spawanych czołowo nie w środku rozpiętości, lecz w miejscu odgięcia wkładek, nastąpiło złamanie belek przy naprężeniu żelaza o 7-2° ₀ wyższem od granicy ciastowatości żelaza, przyczem spawanie nie uległo żadnemu uszkodzeniu. Przy prętach średnicy 25 mm, spawanych przez boczne zetknięcie, była wytrzymałość

belek o 7’6°/₀ mniejszą, aniżeli przy prętach przechodzących bez łączenia. Belki uzbrojone prętami okrągłemi średnicy 14 mm i 10 mm okazały pełną wytrzymałość.

Na zakończenie zreasumujemy wyniki naszych wywodów, a mianowicie:

Badaliśmy powyżej różne sposoby łączenia wkładek w budownictwie żelbetowem. Łączenie wkładek przy pomocy zamka z mufami o przeciwnych gwintach okazało pełną wytrzymałość tego sposobu łączenia; rozumie się, że gięcie wkładek, łączonych na zamek, w miejscu łączenia nie jest możliwem.

Pręty łączone przy pomocy spawania elektrycznego łukiem świetlnym okazały przy zastosowaniu naszego żelaza handlowego pełną wytrzymałość, przy zastosowaniu zaś stali o większej wytrzymałości wyzyskanie wytrzymałości wkładek było mniejsze, a to w zależności od grubości prętów. Natomiast pręty spawane łukiem świetlnym okazały mniejszą wytrzymałość przy próbach zginania żelaza na zimno.

Pręty spawane na styk systemem oporowym okazały pełną wytrzymałość tego sposobu połączenia. Pręty te zachowywały się również korzystnie przy próbach zginania żelaza na zimno.

Okazuje się z tego, że łączenie wkładek żelaznych przy pomocy spawania elektrycznego daje bardzo dobre wyniki. Spawanie systemem oporowym posiada tę zaletę, że materjał jest zupełnie jednorodny, podczas gdy przy spawaniu łukiem świetlnym wchodzi w miejscu łączenia materjał obcy elektrod, który posiada nieco inne właściwości aniżeli materjał prętów łączonych ; dlatego też wytrzymałość prętów spawanych na styk oporowo jest większą aniżeli prętów spawanych łukiem świetlnym, zarówno na rozerwanie, jakoteż na zginanie. Przy spawaniu systemem oporowym nie jest się tak zależnym od spawacza i ten sposób spawania jest tańszy przy masowych spawaniach.

Natomiast spawanie łukiem świetlnym posiada tę zaletę, że instalacja spawania jest tańszą, że można je przeprowadzić wprost na miejscu użycia żelaza, np. na deskowaniu.

Oba systemy spawania elektrycznego posiadają wielką przyszłość w budownictwie żelbetowem.

K. F. VETULANI

Wzór przybliżony dla projektowania nakładek

belki blaszanej.

Prof. Dr. M. Thullie podaje wzór¹) na obliczenie grubości d nakładki dla belki blaszanej:

. . (1)

b' hx г b' hx (hx + 2d)    '

gdzie M oznacza moment sił zewnętrznych, г natężenie dopuszczalne na zginanie, hx wysokość ścianki, Ix moment bezwładności ścianki i kątówek po odciągnięciu dziur na nity pionowe, a wreszcie b' projektowaną szerokość nakładki po odciągnięciu dziur na nity.

Z wzoru (1) oblicza się d metodą iteracji nazywaną tu także sposobem kolejnych przybliżeń, a mianowicie przyjąwszy po prawej stronie równości (1) d = 0, oznacza się wartość lewej strony dla tego przyjęcia przez dx i uważa się ją za pierwszą wartość przybliżoną; wstawiając teraz po prawej stronie (1) za d tę wartość dx oblicza się odpowiednią wartość lewej strony wyrażenia (1) oznaczając ją przez d2 i uważając za drugą wartość przybliżoną i t. d.

Jako słuchacz politechniki przy obliczeniu belki blaszanej (1909) spostrzegłem, że drugie przybliżenie prowadzi do wzoru przejrzystego i wygodnego w praktyce, który obecnie podaję (6). Wzór taki, przy niewielkiej wprawie w projektowaniu daje wyniki dostatecznie dokładne, jak to z łatwością sprawdzić się dało.

Oznaczmy przez Wp potrzebny moment oporu belki to mamy:

(2)

W = —

p T

podobnie oznaczmy przez Wsk moment oporu wybranego zestawienia ścianki i kątówek z uwzględnieniem wskazanych potrąceń; wielkość

’) Mosty blaszane, Lwów 1905, str. 4, wzór (5).

Także M. Thullie: Statyka budowli. 11 wyd. str. 174.

tą otrzymuje się zwykle z tablic podawanych przez związki hutnicze; mamy tu przy oznaczeniach jak we wzorze (1):

Wsk =

(3)

W

Uwzględniając (2) i (3) otrzymamy w pierwszem przybliżeniu b'h₁d₁ = Wp-Wsk; wstawiając zaś wartość dx z (4) w (1) i uwzględniając przyjęte oznaczenia otrzymuje się drogą wskazaną przez Prof. Thulliego :

z wzoru (1)

• • (4)

d( 2)

Wp

Wsk

b’ hx

W,-Wab

.    .    (5)

b’ hx + 2

Do więcej skupionego i jeszcze wygodniejszego dla projektowania wzoru przybliżonego na grubość nakładki dochodzi się zwyczajną metodą matematyczną rozwijając na szereg wyrażenie:

to

1+2

's

.. . i t. d...

i zatrzymując tylko dwa wyrazy tego rozwinięcia.

Z wzoru początkowego (1) otrzymuje się tym sposobem na odpowiednią wartość przybliżoną d równanie linjowe:

W,u

T/\

W,

b’ h,

z którego wypada :

d =    —Пяк

V hi—2

Wan

(6)

hi

Podkreślić wypada, że // i d, a także Wsk dobiera się przy projektowaniu odpowiednio, co przy użyciu wzoru (6) daje się z łatwością osiągnąć.

Nietrudno się przekonać, że wartość d₍₁₎ ze wzoru (5) wypada zawsze nieco mniejsza, a wartość d ze wzoru (6) nieco większa od wartości dokładnej, którą można otrzymać rozwiązując równanie (1) jako równanie drugiego stopnia ze względu na niewiadomą d.

K. F. VETULANI

Przykład ustroju kratowego dopuszczającego układ nieokreślonych sił wewnętrznych.

Już A. F. Moebius w swojej statyce (1837) poświęca cały rozdział¹) ustrojom chwiejnym i daje piękne analityczne rozwiązania dla wielu przypadków ustrojów prętowych mające znaczenie dla badania ustrojów płaskich, a w szczególności także dla pierścieni podstawowych kopuł kratowych.

Szczególną uwagę zwrócono na ustroje chwiejne, gdy Crofton w Proceedings of Royal Society 1872²) pokazał, że znany od czasów starożytnych „sześciobok tajemniczy“³) nazywany później sześciobo-kiem Pascal’a może podlegać napięciom wewnętrznym bez działania sił zewnętrznych. Sześciobok taki ma 6 węzłów (przegubów) oraz

2.6 — 3 = 9 prętów, które stanowią jego boki i przekątnie; węzły jego leżą na krzywej rzędu drugiego, a każde trzy pary prętów nieschodzą-cych się w jednym węźle („przeciwległych“) przecinają się w punktach leżących na odpowiedniej prostej Pascal’a.

Osobliwość przykładu Crofton’a polega na tern, że — jak wiadomo — sześciobok podobnie zbudowany (izomorficzny), o ile tylko węzły jego nie leżą na krzywej rzędu drugiego (normalnej czy też zdegenerowanej) stanowi ustrój kratowy izostatyczny sztywny, który przez usunięcie jednego dowolnie wybranego pręta przechodzi w połączenie ruchome o jednym stopniu swobody przekształcenia⁴).

b Werke, t. 3. wyd. przez F. Klein’a 1886. Lehrbuch der Statik (1837) II. Teil. V. Kap. Von der unendlich kleinen Beweglichkeit.

b Według M. Lévy, Statique graphique, IV. P. 1926. Paris, Appendice à la Note I. (1888) pag. 331 sq.

Późniejsze prace Crofton’a patrz także E. I. Routh: Statyka teoretyczna, przekł. Z. Straszewicza. Warszawa, Wende 1916, str. 199— 201.

³) G. Veronese: Nuovi teoremi sull’ Hexagrammum Mysticum, Atti d. R. Accad. dei Lincei (Memorie). Ser. III. vol. I. 1877.

ł) To znaczy, że położenie wszystkich innych prętów względem jednego z pośród nich jako układu odniesienia może być opisane za pomocą jednej zmiennej niezależnej (parametru).

Jak wiadomo Maurice Lévy¹) podał bardzo prosty sposób tworzenia także ustrojów kratowych ruchomych, czyli posiadających pewną ilość stopni swobody, przekształcenia, a pomimo tego dopuszczających układ nieokreślonych sił wewnętrznych. Wystarczy obrać n prostych (przekątni) i na każdej z nicli — zresztą dowolnie — dwie siły równe i przeciwne, a następnie dla takiego układu sił (równoważnego z założenia zeru) nakreślić wielobok sznurowy tak aby jego kolejne wierzchołki leżały na różnych prostych ; na podstawie znanego twierdzenia statyki wielobok taki zamknąć się musi. Zastępując teraz obrane przekątnie oraz kolejne boki wieloboku sznurowego prętami i uważając wierzchołki tego wieloboku za węzły (przeguby), otrzymamy ustrój kratowy dopuszczający układ sił wewnętrznych proporcjonalnych do obranych na początku i do promieni wieloboku sił odpowiadających bokom wieloboku sznurowego. Ponieważ współczynnik proporcjonalności jest nieokreślony więc i wielkość absolutna sił wewnętrznych w tak otrzymanym ustroju kratowym jest nieokreślona. Natomiast określony jest stosunek wzajemny wielkości tych sił dodatkowych. Przypadki tym sposobem otrzymane można uważać na ogół za trywialne, gdyż z reguły otrzymujemy tak ustroje hipostatyczne czyli posiadające mniej prętów niż potrzeba do usztywnienia wzajemnego położenia węzłów, z wyjątkiem osobliwym np. przypadku Crofton’a.

A. Föppl²) i Müller-Breslau³) rozważali znany bardzo prosty ustrój wyjątkowy, który można uważać za szczególny przypadek łuku trójprzegubowego, którego trzy przeguby leżą na jednej prostej. W ich schemacie obie części łuku zastąpiono równemi i jednakowemi prętami. Zwrócili oni uwagę, że skoro się obciąży taki ustrój siłą zaczepiającą w środkowym przegubie i prostopadłą do prostej łączącej przeguby, to uwzględniając odkształcenie elastyczne prętów (wydłużenie) otrzymuje się na siły wewnętrzne w nich działające wartości zupełnie określone⁴).

*) Według M. Lévy, Statique graphique, IV. P. 1926. Paris, Appendice à la Note I. (1888) pag. 331 sq.

²)    Otto Mohr z. 80. Geburtstag. Berlin, Ernst, 1916, artykuł A. Föppla: Beitrag zur Berechnung des Ausnahme-Fachwerks. S. 63—87.

Podam tu jeszcze dotyczącą cokolwiek odmiennego zagadnienia pracę:

F. Jasiński: Graphische Methode zur Berechnung des Fussrings räumlicher Fach werke. Schweiz. Bauztg. 1900, Bd. 35, S. 189.

³)    Die Neueren Methoden. 3 wyd. Lipsk 1904, rozdz. 1, str. 17—20.

⁴)    Porówn. L. Karasiński. C. R. Accad. d. Sc. Paris 1921, t. 173, Nr. 3 z 18, VI. Przegl. Techn. str. 294 z r. 1921. Z poprzedniem porówn.: R. v. Mises u. Ratzers-dorfer, Knicksicherheit der Fachwerke. Ztschr. f. ang. Math. u. Mech. 1925, Bd. 5, H. 3, str. 221-222, równ. (9') i (10), a także str. 223 i 224 ryc. 3.

Odnośnie do tego ostatniego rezultatu nasuwa się pewna uwaga. Ustrój taki przybierze pod wpływem przyjętej siły P₀ pewną postać równowagi; przegub środkowy obniży się o y₀, a pręty wydłużą się skutkiem elastyczności o wielkości ó, odpowiednie do wartości siły P₀, którą możemy obrać dowolnie małą, ale od zera większą. Utwórzmy teraz ustrój znajdujący się w „elastycznem sąsiedztwie“ poprzedniego, chwiejnego — to znaczy taki, którego pręty mają w stanie nieobcią-żonym siłą P₀ długości większe niż poprzednio właśnie o wielkość ô (może się to także zdarzyć mimo naszej wiedzy i woli, czy to przez odpowiedni wzrost temperatury, czy też skutkiem niedokładności montażu); nie zmieniając odległości przegubów skrajnych możemy ten ustrój (sąsiedni) zmontować podwyższając przegub środkowy o — y0 ponad prostą łączącą przeguby skrajne. Jeżeli ten elastycznie sąsiedni ustrój obciążymy siłą niemniejszą niż P₀, to mamy pewność, że równowaga nie nastąpi dla żadnego położenia przegubu średniego dla którego wychylenie y byłoby zawarte w przedziale:

— Уо < У<Уо,

a dopiero dla jakiegoś położenia yx takiego że:

Ух > 2/o •

Nastąpi więc ruch, który można rozłożyć na fazy : I, —y₀<y<0, w której działać będzie dana siła P₀ i mniejsza od niej wypadkowa sił elastycznych w prętach zwrócona w stronę przeciwną; II, у = 0, w którym to punkcie wypadkowa sił elastycznych będzie równa zeru ; III, 0 <y <y₀, kiedy wypadkowa sił elastycznych będzie działać w tym samym kierunku (przyśpieszająco) co dane obciążenie P₀, wywołując przez to dodatkowo gwałtowne przejście ustroju na przeciwną stronę prostej łączącej przeguby skrajne oraz — IV, szereg drgań około ¹) położenia yx, w którem nakoniec — skutkiem sił rozpraszających (tarcie i t. p.) — równowaga się ustali; — mówiąc po prostu: pod wpływem obciążenia >P₀ przegub środkowy ustroju elastycznie sąsiedniego ustrojowi chwiejnemu przeskoczy na stronę przeciwną (można obliczyć dokładną granicę P’₀ < P₀ — nieco — dla której to nastąpi). Wielkość tego niebezpiecznego y₀ przy którem zjawisko powyższe zajść może zależy oczywiście od wielkości siły zewnętrznej P, jakiej można się spodziewać.

Tak więc pojęcie chwiejności i nieokreśloności nie traci swojego ogólnego znaczenia nawet przy uwzględnieniu elastyczności prętów. W miejsce określonego położenia chwiejnego, pod założeniem prętów sztywnych, mamy tu do czynienia z całem otoczeniem elastycznem tego

położenia, a wielkość tego otoczenia jest zależna od wielkości siły jakiej można się spodziewać.

Także do więcej skomplikowanego przykładu rozważanego przez A. Föppl’a¹), jak również do przykładu Crofton’a i innych można zasadę powyższego rozumowania zastosować.

Tern bardziej wydaje mi się rzeczą wartą trudu znaleźć przykłady ustrojów chwiejnych wyróżniające się postacią — że rozważanie takich nasunąć może myśli przydatne dla tłumaczenia zjawisk — nietylko techniki lecz także przyrody organicznej, — pozornie zupełnie odrębnych.

Kierując się podanemi względami różnego rodzaju podaję przykład 13-boku stężonego prętami przekątnemi izostatycznie, to jest posiadającego 13 przegubów (węzłów):

oraz 23 prętów

tak, że spełnia się warunek

a — 13 t = 23,

t — 2 a — 3.

Ustrój ten płaski posiada jedną oś symetrji, a przeguby jego leżą na intuicyjnie wyrysowanej krzywej wypukłej mającej kształt przekroju podłużnego kurzego jaja²).

Proste i odrębne postępowanie wykreślne, oparte tylko na zasadzie statycznej wieloboku sił, daje taką szczególną postać opisanego ustroju, która jest chwiejna i dopuszcza układ sił wewnętrznych, nieokreślony co do absolutnej wielkości. Załączony rysunek (rys. 1) przedstawia tą właśnie szczególną postać oraz plan sił wewnętrznych w prętach, jakie mogą działać bez jakiegokolwiek wpływu sił zewnętrznych ; (plan ten jest narysowany prawie do połowy — należy go sobie w myśli uzupełnić od dołu częścią symetryczną względem prostej Ol). Różnoimienne napięcia w prętach (t. j. ciągnienia względnie ciśnienia) rozróżnione są w tym planie sił przez charakter odpowiednich linji kropkowanych czy też pełnych.

Sposób postępowania jest następujący. Obieramy oś symetrji przechodzącą pionowo przez węzeł 1 oraz przyjmujemy położenie symetrycznych par wierzchołków : 13,2; 12,3; 11,4; 10,5; 9,6; kreślimy pręty przekątne parami symetryczne 1 — 11, 1—4; 2—12, 13—3; 2—5, 13—10; 3—6, 12—9 oraz przyjmujemy parę prostych symetrycznych (4...7), (11...8) dla prętów przekątnych na których mają leżeć węzły 7, 8.

13,1) oraz wymienionych prętów

Zakładamy, że układ sił wewnętrznych w ustroju kratowym złożonym z prętów obwodu (1,2 przekątnych ma być także symetryczny to jest, że odpowiednie siły

0 jak wyżej str. 2 [288] pod *).

²) Zwrócić tu można uwagę jak czasem na pierwsze wejrzenie poczucie statyczne może w błąd wprowadzić.

w prętach symetrycznych mają być symetryczne. Skutkiem tego założenia węzły 7, 8 muszą wypaść symetrycznie, a bok zamykający 7—8 prostopadły do osi symetrji, która przejdzie środkiem między węzłami 7 i 8; także więc boki 6—7, 9—8 — których kierunków jeszcze nie znamy — muszą wypaść symetrycznie względem tej osi.

«ШМ

Okazuje się, że przy powyższych założeniach możemy jeszcze wyznaczyć położenie węzła 7 na danej prostej (4... 7) (a tern samem i punktu 8) tak aby otrzymany ustrój dopuszczał układ nieokreślonych sił wewnętrznych w prętach, albo, jak się to inaczej mówi, mógł pozostawać w stanie samonaprężenia; przy założonej izostatyczności jest to równoznaczne naogół¹) z powiedzeniem, że ustrój, który mamy otrzymać będzie chwiejny.

Zgodnie z założeniami przyjmujemy w przekątniach węzła 1 siły wewnętrzne

symetryczne, a więc o wartościach

Rys. 1.

bezwzględnych równych (zresztą dowolnie obranej wielkości) i kreślimy dla węzła 1 wielobok sił 1. Skutkiem przyjętych warunków symetrji prosta przez punkty b i O będzie osią symetrji wieloboku 1., w którym (bc) jest siłą wewnętrzną w pręcie 1—4 przy węźle 1 i podobnie (ab) w 1 — 11, (cO) w 1—2 oraz (Oa) w 1 — 13. Z punktu Określimy pęk promieni równoległych do danych boków obwodu naszego ustroju tak, że promień (г. < + l.) oddzielający pole i. od pola г-fl. jest równoległy do pręta łączącego węzeł i z węzłem г’-fi; położenie jedynego promienia (6. 7.) // 6—7 (względnie jemu symetrycznego) pozostanie narazie nieokreślone.

W szczególnie wyjątkowych przypadkach można otrzymać nawet ustroje izostatyczne ruchome np. szczególny przypadek sześcioboku Pascal’a, gdy odpowiednie wierzchołki przystających i odpowiednio równoległych trójkątów są połączone zapomocą trzech prętów równej długości i równoległych.

Z warunku równowagi węzła 2 wynika w tych okolicznościach, że skoro tylko przyjmiemy wielkość odcinka {cd) oznaczającego siłę w pręcie 2—12 to już przez to pozostałe boki odpowiedniego wielo-boku sił 2. zostaną określone; przyjmujemy tedy na wielkość odcinka {cd) kolejno różne wartości {cdj), {c dj).... {c dm) ; przyjąwszy jednak {cdm) otrzymujemy {dm em), a ze względu na symetrję także dalej dla węzła 3 odcinek {em fm), którego wielkość bezwzględna \emfm \ = | cd, a kierunek symetryczny ; w następstwie tego otrzymamy {fm g„) a więc wielobok 3. dla węzła 3; przystępując teraz do węzła 4 mamy już {gm h„) — — {bc)\ kreśląc {hmim) // 4—7 aż do przecięcia z {Oim) // 5—6 otrzymujemy {hmim) oraz (Oim) to jest wielobok 4. ; dla węzła 5 mamy {im jm) = — {dm en), a więc położenie punktu jm, które nie wypadnie jednak naogół na promieniu (5. 6.) równoległym do boku 5—6 przez O.

Dla różnych m otrzymamy zbiór punktów [jm]'

j\ f Ji • • • • Jm

zależny od jednego parametru, którym jest obierana dowolnie długość odcinka (c4); zbiór ten {jm} będzie więc naogół leżał na pewnej linji, której punkt przecięcia z promieniem (5. 6.) będzie właśnie szukanym punktem y —. Tym sposobem za pomocą podanego tu procesu granicznego znajdujemy wielobok sił 5. dla węzła 5 —.

Kreśląc następnie {jk) = — {fg) otrzymujemy promień (6. 7.), a tern samem wyznaczamy kierunek boku 6—7 // (6. 7.) to jest do {Ok), otrzymując równocześnie położenie węzła 7 na danej prostej (4...7); kreśląc nakoniec {kl) — — {hi) dostajemy wielobok sił 7. dla węzła 7 ; nietrudno wykazać, że ze względu na przyjęte warunki symetrji odcinek {Ol) równoległy do 8—7 będzie należał do prostej {bO), to jest będzie prostopadły do osi symetrji ustroju kratowego czyli poziomy.

Oznaczmy mianowicie przez [ab], [bc\, [cd] i t. d. odpowiednio składowe pionowe (czyli równoległe do osi symetrji ustroju) sił {ab), {bc), {cd) i t. d., to na podstawie przyjętych założeń symetrji i warunków równowagi (t. j. planu sił) mamy:

[kl\ = — [h i],    [jk] = — [fg], [ij] = — [de]

= — [ft c], [ef] = — [cd],

a skutkiem tego :

[M + [c d] + [de] + [cf] + [f g] + [g h] + [hi] + [ij] + [jk] + [£/] =

= [Ы] = 0,

a więc punkty b, O, l leżą na jednej prostej prostopadłej do osi symetrji ustroju; ze względu na przyjętą symetrję układu sił wewnętrznych prosta pozioma przez punkty b, O, l, jest znowu osią symetrji planu sił.

Przesuwając miejsce węzła 6 (obrane poprzednio zgóry) na prostej stałej (3...6), a więc zmieniając jeszcze kierunek 5—6 // (5. 6.) (oraz czyniąc to samo z węzłem symetrycznym 9) i powtarzając podaną konstrukcję, otrzymamy cały pęk odpowiednich ustrojów chwiejnych, którego szczególnym przypadkiem jest właśnie ustrój przedstawiony na rysunku.

Ustrój otrzymamy oprócz tej osobliwości, że — chociaż izostatyczny — dopuszcza układ nieokreślonych sił wewnętrznych, posiada jeszcze inną — wprawdzie nieosobliwą ale — skądinąd interesującą cechę, a mianowicie nie trudno zauważyć, że stosunek wielkości bezwzględnej siły wewnętrznej (Ol) w pręcie 8—7 do wielkości bezwzględnej siły wewnętrznej (Oi) w pręcie 4—5 względnie (Og) w 3—4 jest liczbą stosunkowo niewielką. Wywołując tedy niewielkie napięcie w pręcie 8—7 możemy już przekroczyć ewentualnie granicę wytrzymałości prętów 4—5 względnie 3—4, jeżeli ich wymiary nie są odpowiednio silniejsze.

Przypuśćmy, że wykonaliśmy rzeczywiście taki ustrój w ten sposób, że pręt 8—7 sporządzony został z materjału pęczniejącego, to jest zwiększającego znacznie swoją długość gdy się znajdzie w środowisku wilgotnem, a oczka przegubów tego pręta zrobiliśmy wydłużone, aby kurcząc się nie wywoływał pociągnięcia przegubów 7 i 8 ku sobie, zaś inne pręty niech będą sporządzone z materjału nie posiadającego właściwości pęcznienia — to tak wykonany ustrój pozostawiony wpływom pogody, jak długo będzie sucho pozostanie cały niejako zamknięty. Gdy jednak nastąpi czas wilgotny, pręt 7—8 pęczniejąc wywoła stan wewnętrznego napięcia, które w odpowiedniej chwili pociągnie za sobą pęknięcie prętów wielokrotnie więcej wytężonych jak np. 4—5, 11 — 10 względnie 3—4, 12—11, jeżeli ich rozmiary poprzeczne (moc) odpowiednio w tym celu były dobrane.

Nasuwa się tu obraz z dziedziny przyrody organicznej. Wiele osłon nasion, rzuconych ręką siewcy w ziemię, osłania mocno tkwiące wewnątrz nasienie; jednak gdy deszcz i wilgoć stworzą odpowiednie dla rozwoju warunki osłona pęka pozwalając nasieniu, w odpowiedniej chwili, szybko rozwinąć korzenie i pędy. —

Już staroegipska opowieść o kwiecie lotosu zawiera myśl po

dobną!

‘

,

K. F. VETULANI

Przedstawienie zmiany naprężeń skrajnych podczas powstawania wyboczenia.

ow oznaczają naprężenia normalne we włóknach

Niechaj o,

skrajnych pręta, a P niech oznacza (dodatnią) wartość siły ściskającej osiowo ten pręt z tem ograniczeniem, że nie może ona zbytnio przewyższać oznaczonej wartości min P, przy której może dopiero rozpocząć się wyboczenie t. j. boczne wygięcie pręta.

Om Ог

Załóżmy że

przyczetn nierówność zachodzić będzie, gdy już nastąpiło wyboczenie ; gdyby jednak pręt pozostawał prosty (t. j. strzałka f — 0) zachodzić ma równość:

Om O W ) (f 0).

Gdy wartość siły P zmieniać się będzie, będą się zmieniać odpowiednio także wartości naprężeń powyższych, tak, że możemy je uważać za funkcje wartości tej siły to jest:

Om Om (P) ,

ow = ow (P).

Gdybyśmy chcieli badać zmiany któregokolwiek z powyższych naprężeń zanim wyboczenie nastąpiło, to powinnibyśmy porównywać wartości tych naprężeń odpowiadające różnym Pi, P\ wartościom siły P spełniającym relację:

Pi < P\ < minP.

Gdybyśmy przeciwnie chcieli badać te zmiany w obszarze, w którym wyboczenie może się objawić, to musielibyśmy porównywać wartości naprężeń odpowiadające różnym wartościom Pi', P'i spełnia-

jącym relację :

min P < Pi' < Pi'.

Skoro nam jednak chodzi o zbadanie jakim zmianom ulegają naprężenia podczas powstawania wyboczenia, to wówczas interwał zmienności siły P musi zawierać wartość minP; inaczej mówiąc wartości Px, P₂, którym odpowiadające naprężenia mamy

teraz porównywać, muszą spełniać relację:

(O

Px < min P < P₂

ze względu na to że interwał

dP= P₂ -Px

musi wobec (1) obejmować wartość minP, nazywamy odpowiadającą mu zmianę naprężeń don: zmianą ostateczną.

(w)

Przedstawienie, o które tu chodzi odnosi się właśnie do tego ostatniego przypadku.

Oznaczając

dxP = min P— Pt> 0, d₂P — P₂ — min P > 0    .    .    (2)

zresztą — narazie — dowolnie małe, mamy

• • (3)

dP — d₁P+d₂P> 0 .

gdzie kreska pozioma nad znakiem dP zaznacza, że nie mamy tu do czynienia ze symbolem różniczkowym w zwyczajnym sensie t. j. z (dowolnie małym) interwałem w dowolnem miejscu obszaru zmienności P, lecz przeciwnie z symbolem różniczkowym lokalnym, a w szczególności z interwałem, który zresztą dowolnie zmniejszać możemy, pod warunkiem (1), (2), (3), aby obejmował (wewnątrz) zupełnie określoną wartość siły P, a mianowicie minP¹).

(«0

Odpowiadającą dP ostateczną zmianę naprężeń dom charakteryzujemy wartością stosunku

d o,

(w) dP

d am — om {min P -j- d₂ P) — am {min P — d₁ P).

(w)    (w)

zachowującego sens, dla dowolnie małego dP, przyczem według poprzedniego:

(w)

W przypadku, w którym — po przekroczeniu wartości minP — dopuszczamy wyboczenie, wyżej określona zmiana naprężeń (obliczona po Navier’owsku) charakteryzuje się zapomocą znanego wzoru²):

dom

(94 w.)

J=ź(+)²^fV¥’

gdzie i

U„p dP '

') Oczywiście także dtP, d₂P posiadają charakter lokalny.

*) K. F. Vetulani: W sprawie wyboczenia. Czas. Techn. 1930, 10 i 25 lipca, str. 233—256, Lwów. Wzory stamtąd przytoczone oznaczone są literą (ic).

Jeżeli chcemy obliczyć dalszy przebieg naprężeń przy małej strzałce wyboczenia /, to możemy wziąć wartość / ze wzoru (54) (tamże) przy danem P nie wiele większem od min P, rachując jak przy ekscentrycznem ściskaniu.

kowe dla tego o.

Niech będzie z określenia (wielkość dodatnia)

(95 w.)

1 2, _

2 em'^2ËJ

tą wartością szczególną g przy której prawa strona wyrażenia (94 w.) staje się równą zeru to wówczas

dom

dP

(96 w.) przy 0<£<£₀ mamy J^>0.

(4-1)

Załóżmy dla prostoty

wówczas wzór (94 w.) napisany w postaci równowartej:

dom = ±(d₁P+d₂P)( + )2i

(w) A    Î

przy oznaczeniach:

A — pole przekroju normalnego w chwili minP. i — ramię bezwładności tegoż przekroju. em — odpowiednie odstępy włókien skrajnych od środka pola przekroju A.

E = ^ w miejscu o =

(w)

minP

, gdzie £ oznacza skrócenie jednost-

—.    .    (4-2)

dopuszcza dla tej ostatniej postaci (4*2) w układzie prostokątnym (P, o) przedstawienie wykreślne za pomocą prostej QR i paraboli pi?jo, jak to pokazano na załączonym rys. 1. Elementarne uzasadnienie słuszności tego przedstawienia można pominąć.

W szczególności część QP prostej ss, której równaniem jest :

to

przedstawia naprężenia przed wyboczeniem; część RS-> przedstawia naprężenia skrajne w przypadku meta — równowagi to jest, gdy — pomimo wzrostu siły ponad wartość minP pręt pozostał nadal prosty, co nie stoi w sprzeczności z podstawowem równaniem różniczkowem

gdzie I = Ai'²,

(3 w.)

py

q ЕГ

posiadającem całkę y = 0 dla wszelkich wartości P. Pozatem — obierając za początek układu (dP, do) punkt L o współrzędnych: (minP — d^P), o(minP — d^P) — osiągamy to, że prosta ss przedstawia nam w tym układzie (dP, do) człon pierwszy prawej strony wyrażenia (4-2); człon drugi przedstawiają rzędne (półśrednice) SM względnie SW paraboli pPp mierzone od prostej ss w kierunku osi o,

a mianowicie ujemnemu znakowi odpowiada gałąź dolna RMp przedstawiająca om względnie dam, dodatniemu zaś część górna RWp przedstawiająca (pod założeniem 4-1) aw względnie dow — gdy wy-boczenie dopuszczamy.

Przypuśćmy teraz, że porzucamy założenie upraszczające (4-1) oraz, że dolna część paraboli pRp (pod prostą ss) wykreślona była

'к

Р/ /Р

щ/.

W"

k-

TT

Li

5".

/? U"

i/Ы

-----4-

or-i. Г"

d'P -i -- ;

d"p_d\p !

W"'P

L"

сгггя

s.

cr;p Ad:P r

k\

chP-^dfi

/?' !

—p—

mm P

Rys. 1.

j. w. dla e = ert(; wtedy gałąź dolna RMp nie przestanie nadal przedstawiać am; chcąc teraz jednak przedstawić przebieg naprężenia <r gdy ew=fcem = e musimy rzędne SW paraboli p Rp względem prostej ss zmienić w stałym stosunku:

otrzymamy w ten sposób zamiast RWp nową gałąź RWxpx paraboli (innej), której punkty Wt będą określone zapomocą związku

.    .    (5)

SWX*= — SW, gdzie 18 W | = | SM |

Nie trudno wykazać, że gałąź RWxpx i parabola pRp mają w punkcie R wspólną styczną, a mianowicie prostą kk // o.

Różnica rzędnych punktów M', M”, Mm i punktu L przedstawia ostateczną zmianę naprężenia am odpowiednio gdy f < |₀, albo i = £0 względnie f > |₀ przy dowolnie zgóry obranem dx P to jest

d\P == d'iP = d'ï P.

Z położenia wzajemnego prostej ss i gałęzi parabolicznej RMp [zgodnie z (4-2) względnie (94 w.)] otrzymuje się wniosek, że podobne punkty Ml, M”y Mr dla których £ spełnia zadane związki można wyznaczyć dla każdej dowolnie małej wartości dxP, której będzie

odpowiadał jakiś punkt Lr o rzędnej L'rLr<R'R —

A.

minP

Gdy chcemy doświadczalnie badać powstawanie wyboczenia, to musimy zwiększyć siłę od jakiejś wcześniejszej wartości Px<minP, odpowiadającej jakiemuś punktowi L ryciny aż do późniejszej wartości P₂>minP, odpowiadającej jakiemuś punktowi M.

Przy każdym jednak eksperymencie tego rodzaju — jakkolwiek małą obralibyśmy odległość punktów LR (a. więc i dxP> 0) zanim dojdziemy do punktu w rodzaju Mm, — któremu odpowiada | > £₀ — musimy przedtem przejść przez punkt w rodzaju M' — któremu odpowiada £<£₀; w granicy otrzymamy jakiś punkt M'gr dostatecznie bliski punktowi R.

Atoli punkty M odpowiadają fizycznemu stanowi pręta, który to stan jest następstwem (w czasie) i skutkiem tego, że wybo-czenie już się rozpoczęło było; nie można przeto ewentualnych odmiennych właściwości fizycznych materjału jakieby mogły się objawić jako charakterystyczne dla tego późniejszego stanu — a więc np. zmiany modułu E przez odciążenie włókien skrajnych em — brać za warunek powstania (który to moment wyprzedza ów stan) wyboczenia, zaczynającego się już w punkcie R, któremu odpowiada wartość siły mniejsza i wcześniejsza niż jakiemukolwiek z punktów M.

Postępując przeciwnie¹) — to jest zaliczając pojawienie się różnych wartości modułu włókien em od modułu włókien e,,, które może charakteryzować stan fizyczny pręta wyboczonego po przekro-

*) Porównaj K. F. Vetulani: W sprawie wyboczenia II. Czasopismo Techn., Lwów 1931, str. 65—67.

kroczeniu granicy sprężystości przez o =

czeniu granicy sprężystości, między przyczyny warunkujące moment powstania wyboczenia (obliczenie wartości minP), który poprzedza następujący stan wyboczenia — postępujemy wbrew zasadzie przyczynowości orzekającej, że przyczyna poprzedza skutek — i otrzymujemy sprzeczność zasadniczą.

Bez popadnięcia w sprzeczność z poprzedniem rozumowaniem można na podstawie dotychczasowych danych o zachowaniu się ciał przy czystem ściskaniu w otoczeniu punktu kulminacyjnego siły ściskającej (t. j. w którym siłę ściskającą poprzednio wzrastającą zaczynamy bez przerwy w dalszym ciągu zmniejszać) przewidywać, że po prze-

minP

dalszy przebieg na-

prężeń skrajnych w stanie wyboczenia już w najbliższej (dodatniej) okolicy poza punktem R t. j. przy d₂P> 0 choćby bardzo małem może odbiegać od obrazu przedstawionego na rysunku¹). Tego bowiem zjawiska, które nastąpiło już po powstaniu wyboczenia nie mamy podstawy wiązać z przyczynami z których mamy wyprowadzić warunek do oznaczenia momentu powstania wyboczenia.

padających pod ostrym

Wydaje mi się, że badania roentgenograficzno - strukturalne będą w stanie tą sprawę w niedługim czasie przedstawić w bardziej określonej niż dotychczas postaci. Można przypuszczać, że naświetlanie wiązką bardzo silną²) promieni Roentgena kątem na płaszczyzny włókien skrajnych pręta tylko ściskanego raz przed kulminacją siły, drugi raz po kulminacji (t. j. podczas zmniejszania siły), a w obu wypadkach przy tych samych wartościach skrócenia jednostkowego e — pozwoli przez oznaczenie struktury w każdym z tych wypadków oznaczyć odpowiednie wartości naprężenia o oraz modułu E i wyznaczyć tern samem dokładny przebieg obu zależności między a a e w okolicy punktu kulminacyjnego siły t. j. zależności C(a, e) = 0 dla rosnących wartości siły (obciążenie) oraz zależności D(o,e) dla malejących wartości siły (odciążenie).

Rozumowanie tutaj przeprowadzone na początku tego ustępu nakazuje przewidywać pewną określoną cechę, jaką rezultat wskazanych ostatnio badań roentgenograficzno - strukturalnych posiadać powinien; cechą tą jest: styczna wspólna dla obu krzywych: C(a, s) = 0

‘) Porównaj str. 2 [296] pod -).

²) Aby przez krótkotrwałość zdjęcia uchylić wpływ relaxacji, który w przeciwnym wypadku wywołałby zatarcie się obrazu Laue’go. Ewentualnie wypadnie wykonywać zdjęcia momentalne z obrazu na ekranie fluoryzującym. Porównaj ostatni ustęp pracy cytowanej na str. 2 [296] pod -), a także str. 7 [149] w pracy Prof. M. T. Hubera w tej księdze.

Literatura dotycząca patrz: Z. f. Kristallogr. 61, str. 389 — 424, r. 1925. Porównaj także Z. f. Metalik, ost. roczn. prace Czochralskiego, Schiebold’a i innych.

i D(a,e) = 0 w punkcie ok, ek odpowiadającym punktowi kulminacyjnemu siły ściskającej. Mając rezultaty takich eksperymentów będziemy — przypuszczalnie — mogli metodą porównawczą oznaczyć doświadczalnie przebieg naprężeń skrajnych w dalszem stadjum właściwego wyboczenia także wtedy, gdy ono następuje po przekroczeniu granicy sprężystości.

Zupełnie inaczej przedstawia się sprawa, gdy chcemy zbadać możliwość zniknięcia wyboczenia już wywołanego ; tutaj możemy zgóry zgodnie z uznanemi właściwościami materjałów przewidzieć wynik: jak długo nie przekroczyliśmy granicy sprężystości pręt powróci do pierwotnej prostej postaci gdy P₂>minP zmniejszymy do wartości niewiększej niż minP; skoro jednak raz granica sprężystości została przekroczona i wygięcie posiada część plastyczną to, pomimo zupełnego odciążenia, pręt pozostanie wyboczony t. j. krzywy i do postaci prostej nie wróci; zjawiska wygięcia bowiem po przekroczeniu granicy sprężystości stają się nieodwracalne pomimo zupełnego odciążenia. Badając optycznie (w świetle spolaryzowanem) pręt który pozostał wyboczony — po odciążeniu — możemy wykryć granicę między obszarem który uległ zmianom plastycznym, a obszarem który ewentualnie takim zmianom nie uległ, co może zajść gdy materjał posiada wybitną (ostrą) granicę sprężystości i wyboczenie rozpoczęło się właśnie przy wartości siły odpowiadającej tej granicy. Przy prętach nieprzeźroczystych użycie zwykłego światła jest tu wykluczone. Rezultat, który mi się udało znaleźć już podczas druku tej księgi, a mianowicie¹) że

. . (6)

gdy P = min P + d₂P> min P, to Nt — min P — 7 d₂ P —. .. < min P

(gdzie Nx wyraża wartość siły podłużnej: Pcos a na końcach pręta, albo w punktach przegięcia przy wyboczeniu wielokrotnem, a P jest oczywiście równe sile podłużnej w środku, względnie w miejscach największego wygięcia pręta), pozwala przewidzieć ogólną postać obszaru, który ulegnie zmianom plastycznym w ostatnim przypadku. Jeżeli po wykonaniu odnośnego eksperymentu przekroimy pręt wzdłuż w płaszczyźnie w której przebiegało wyboczenie (wygięcie) i przekrój ten odpowiednio potraktujemy (np. wytrawimy) to powinniśmy ujrzeć wewnątrz takiego przekroju wijącą się wstęgę obszaru zmienionego, która dotykać będzie brzegów podłużnych przekroju tam gdzie były przy zgięciu miejsca największej wklęsłości i w ich sąsiedztwie.

K. F. Vetulani: Wartość siły podłużnej podczas powstawania wyboczenia. Warszawa 1931, Przegląd Techniczny, str. 257, (4).

INZ. DR. K. WEIGEL

Profesor Politechniki Lwowskiej

Przyczynek do tyczenia łuków kołowych metodą obwodową.

Przy tyczeniu łuków kołowych metodą obwodową (biegunową) w terenie górskim lub podgórskim należy do rzadkości, aby można było wytyczyć cały łuk z jednego punktu jego obwodu ; natomiast znacznie łatwiej można to uczynić z punktów, leżących wewnątrz lub zewnątrz pola koła. Okoliczność ta nasuwa myśl tyczenia łuków powyżej zaznaczoną metodą z punktów nieleżących na obwodzie koła.

Dla zrealizowania tego zadania podaję dwa sposoby w zależności od tego, czy stanowisko, z którego tyczymy, znajduje się aj bliżej obwodu, czy też b) bliżej środka koła.

Zarazem zaznaczam, że wszystkie wzory, podane przeze mnie są z wyjątkiem pierwszego (1) i ósmego (8) tak ułożone, aby je można było obliczać w polu przy pomocy tablic do tyczenia łuków i tablic, zawierających naturalne wartości funkcyj trygonometrycznych kątów (sec. cosec. tg. ctg.), kwadraty liczb i t. p.

a)

Pierwszą czynnością w obu przypadkach a) i b) jest ustalenie położenia obranego jako stanowisko przyrządu O’ względem jednego z głównych punktów łuku P i stycznej w nim poprowadzonej.

Ustalenie położenia punktu O’ następuje najprościej przy użyciu odległownic nowych typów np. Bosshardta lub Wilda, przez zmierzenie optyczne odległości P O' = r₀ i kąta cp, zawartego między styczną w punkcie P, a kierunkiem PO', jak to uwidoczniono na rys. 1.

Z trójkąta P Ö O oblicza się e = O’ P’, najkrótszą odległość punktu O' od obwodu (p. P') wzorem:

to

sin

e =r₀

(*- )

C0S-7T

przyczem гр jest dany związkiem

T

ctg ty — — sec (p — tg (p .

• • (2)

Aby wzór (2) był w praktyce do użytku, należy obrać taką odległość r₀, by stosunek — wypadł jako liczba cała, przez którą w polu

ro

łatwo pomnożyć bez straty czasu. Po zmierzeniu zatem początkowo obranej odległości PO' należy punkt O' odpowiednio przesunąć na prostej O' P.

Ponieważ jednak użycie następnych wzorów będzie wymagało,

aby promień był wielokrotnością długości e przeto, gdy to niema miejsca, należy O' przesunąć po raz drugi w kierunku O' O, który u-zyskujemy, odcinając od kie-*- i runku O' P kąt 90°—(р-\-гр i wytyczając kierunek o 180° różny t. j. O’ M. Na tym / kierunku musi nastąpić takie \ przesunięcie punktu O' i jego definitywne ustalenie, aby

T

stosunek - był okrągłą licz-&

bą całą.

ÎM

p    Ч¹ I p'

4P

f»-\

r0

/I

0'

a - ot '

Ol

Tyczenie punktów pośrednich nastąpi obecnie nie z punktu P, ale z punktu P',

odległego od P о г ^ гр₀,

Rys. 1.

względnie z punktu N, w któ-

rym prostopadła wystawio

na w O’ do O’ P', przecina obwód koła. Odległość

0'N= Ve(2r-e),    .    .

.    .    (3)

a długość łuku P’ N = r -r^r-

! 80°

a₀, przyczem

O’ N

(4)

Biorąc tedy jakąkolwiek długość np. P’ A, wyznaczamy dla niej z tablic (jak normalnie) kąt środkowy a, względnie obwodowy ,

a następnie obliczamy przy pomocy rachunkowo łatwego wzoru różnicę

/ a a'\ V2 “ 2j:

(a d\ r a

Cts{2~2) = 2e^2

to a

■ ■ (5)

a'

przyczem należy, uwzględniając znak, odciąć od kierunku O' N prostopadłego do O’ P' (jak to uwidoczniono na rys. 1).

Stacjonowanie łuku przebiega zatem od punktu P' zaś tyczenie od kierunku O' N (dla którego ^ = 0).

względnie jej odwrotność

Dla zbadania dokładności powyższej metody w porównaniu z normalną, należy urobić pochodną ° a

pochodna ta pouczy nas, jaki wpływ będzie miał błąd, popełniony

CL    CL

przy odcięciu kąta — na kąt (którybyśmy wytyczyli wprost metodą normalną).

Różniczkując wzór (5) otrzymujemy: da — da

2 r — e da

sin²

(=#Г

• - (6)

sin²

cos²

to a

a ponieważ 1 : sin²    j = 1 + ctg² (~~2~) ⁼

to a

przeto ostatecznie:

d a'

• • (7)

Poniżej zestawiono wartości i ДД dla kilku specjalnych wartości j. (Tabela 1).

Okazuje się tedy, że — o ile popełnimy przy wytyczaniu kąta -y błąd da — powstanie przez to w kącie obwodowym (którybyśmy wytyczali metodą normalną) błąd da, wynoszący dla bliskiemu ..~da', dla ^    ^.. .¹/₂ da, zaś dla bliskiemu 90°, błąd

zeru .

da

(‘    2r)

Tabela 1.

Ö jCN)

to| a.

UWAGA

O öl™ §

270° = -90°

0°

Mi⁵ o

(«o jest kąt środkowy dla łuku P'N)

90°

2r

Metoda ta jest zatem korzystniejszą od metody normalnej, o ile tylko kierunek P' N, wytyczono dokładnie, co wymaga, aby długość ?-₀ była przynajmniej około 20 do 30 m. W praktyce da się to osiągnąć i wówczas, gdy punkt P nie jest dostatecznie oddalony od punktu O' przez nawiązanie się kierunkowe na punkcie O' nie do kierunku O' P, ale do kierunku, łączącego O' z dość odległym punktem kierunkowym na stycznej w P. (Naturalnie, że wymaga to pewnych dodatkowych obliczeń jednak stosunkowo bardzo prostych).

Nakoniec zaznaczam, że kąty należy liczyć w kierunku posuwania się wskazówek zegarów, aby podawane wzory były zawsze ważne.

b)

Omówmy teraz przypadek drugi, t. j. gdy stanowisko przyrządu O' znajduje się bliżej środka niż obwodu koła.

Nasamprzód obliczamy ip z wzoru (2) i wytyczamy kierunek O' P'. Następnie należy wyrachować odległość

COS (p

sin ^ cos {ip — (p)’ którą, o ile nie wypadnie w równych metrach, zmienia się tak (przez przesunięcie punktu O' w kierunku O'P'), aby stosunek się liczbą całą.

O O’ = m = r₀

cos cp

■ • (8)

wyrażał

Długość łuku PP' otrzymujemy jak poprzednio z tablic dla argu

mentu гр.

Przy wytyczaniu poszczególnych punktów należy użyć najlepiej wzoru, określającego różnicę kątów a i a :

ctg (o — a) = -

— m cos a

m sin a

r    i

= — cosec a — ctg a

///

• (9)

O ile (а — a) i a wynoszą zaledwie kilka stopni należy obliczać

ctg (ia — a) z wzoru -z wzoru:

— m cos a

m sin a

, zaś gdy są bardzo małe (około 1°)

V

a, względnie a =-

r — m

■ • (9*)

Aby się przekonać jaki wpływ ma błąd odcinanego przy tyczeniu kąta a na błąd kąta a, należy urobić pochodną

я'->

r.

90° (p *

a-a

O ty

>/

Rys.⁴ 2.

Różniczkując wzór (9) otrzymujemy:

da — da sin²(a'— a)

a ponieważ sin² (a' — a) —

_ w² sin² a — (r — m cos a) m cos a m²sm²a

da, .    (10)

przeto — da+da

da

__m²sin²a

1 4- ctg² (a — a) m² -f (r — 2m cos a)’

_ m² sin² a — (?• — m cos a) m cos a m² -f r {r — 2 ж cos a)

r² — rm cos a m² + r (r — 2 ж cos a)

ж² + r² — 2 r ж cos a r² — rm cos a

da’ =

d a,

rfa, zaś

ж (ж — r cos a) r(r — ж cos a) ’

• (П)

Poniżej uwidoczniona tabela 2, uwzględniająca pewne charakterystyczne przypadki, poucza nas w tej sprawie następująco :

Tabela 2.

UWAGA

0°

0°

0°

Kąty małe (a‘—a) dla małych a należy liczyć wedle wzoru

ctg (a'—a)--

r—m cos a

m sin a

lub bardzo małe z wzoru a'—

r

-cc.

r—m

a₀

900    90°—a₀ 1

(por. uwagi na str. 5 oraz przykład na str. 8).

90°

«0

a[- 90°

(”)J

aa jest kątem środkowym dla łuku P’N.

180° 180° 0°

r-\-m

in

tg «0 = --

Widzimy, że i w przypadku b) tyczenie łuku na części łuku P' N jest korzystniejsze, niż gdyby to miało miejsce ze środka koła (teoretycznie punktu najkorzystniejszego przy wytyczaniu łuków o małych promieniach, w praktyce jednak nadającego się do powyższego celu tylko w bardzo wyjątkowych warunkach).

Tyczenie z punktu mimośrodkowego O' części łuku poza punktem N jest wprawdzie nieco mniej korzystne niż tyczenie tego samego łuku ze środka koła, różnice dokładności są tu jednak minimalne dla praktyki. W każdym razie widać, że tyczenie łuku z punktu znajdującego się wewnątrz pola koła jest zawsze korzystniejsze, niż tyczenie tego samego łuku z obwodu.

Na zakończenie podaję dwa przykłady dla lepszego zaznajomienia się z praktyczną stroną podanej tu metody. Przykład a) odnosi się do sposobu podanego pod a), przykład h) do sposobu opisanego pod b).

a), r = 100'O m, r₀ = 40'0 m, (p — 60°.

Z wzoru (2) obliczamy

ctg гр = 2.2-5 — 1 -7320 - 32680, ^ = 17° 0' 49", następnie z wzoru (1)

e =

to

= 8° 30' 24-"5.

sin 51° 29' 35*"5

cos 8°30'24*"5

40 = 31*75 m.

Dla ustalenia kierunku O O' wytyczamy punkt M (poza obwodem koła) odmierzając od kierunku O’ P kąt 90° -f- гр — <p = 47°0'49". Od

punktu O' odmierzamy w kierunku do M \-75m, skracając długość

e do e = 30 m.

W ten sposób otrzymujemy właściwe stanowisko przyrządu (O'), z którego nastąpi tyczenie łuku.

jak zazwyczaj — z tablic dla argumentu гр: PP' = 100 0-29695 - 29-70 m.

Załóżmy, że punkt P leży 322048 m od początku trasy, natenczas punkt P' będzie leżał dalej o długość łukuPP', którą otrzymujemy

Zatem P' leży 3249-88 m od początku trasy.

Następnie należy jeszcze wyznaczyć położenie punktu N, odcinając na kierunku wytyczonym w (O') pod kątem prostym długość [wedle (3)] :

(0')N= Д 30.170 = 71-414 ш.

71-414

Ze wzoru (4) otrzymujemy dalej tga₀

-0-7935, a₀-38°26'

oraz łuk PN= PP' + P' Ж — 100 0-96773 — 96⁻77 m. Zatem punkt N leży 3316-95 m od początku trasy.

Teraz następuje tyczenie pośrednich punktów łuku. Załóżmy, że mamy wytyczyć punkty łuku: 3-2 km +60*0m, +70-0m, +80-0m i t. d.

Nasamprzód należy obliczyć kąty środkowe względnie obwodowe i cięciwy, odpowiadające długościom łuku 10-12 m i 10-0 m (z tablic).

Dla 10*12 m wynosi ~ = 2° 53'56", a —5°47'52", d= ЮПбш¹), a—a

c‘g-2

zatem

90

0-05064 - 0-05064 - 0-28696

a — a’

- 73° 56'

2 =-71« 02' (zaokr.).

Zwracamy zatem lunetę o 71° 02' od kierunku do N w sensie przeciwnym posuwania się wskazówek zegarów, lub dodajemy do kierunku (O') M kąt 18° 58' otrzymując kierunek do punktu 1. Tyczenie punktów następnych odbywa się następująco. Długości łuku 100 odpowiada kąt obwodowy 2°5Г53", środkowy 5°43'46", d—9-996Ш¹),

natomiast | = 2° 53' 56" + 2° 51'53" = 5° 45' 49",

zatem

a, — a 20

ctg—j- - у 0-10075 - 0-10075 = 0-57085,

₂ -6047',

2= — 54° 3Г (w zaokr.).

9 Zamiast obliczać d przy pomocy tablic, przyczem trzeba nieraz dokonać interpolacji, która dokonywana w polu może się stać powodem błędu, można długość d obliczyć bardzo dokładnie z różnicy:

*—(D*.

Patrz: Podręcznik Inżynierski, Lwów-Warszawa 1926, zeszyt 8, str. 445, „Wytyczenie punktów pośrednich łuków kołowych“ przez autora.

Tyczenie punktów dalszych jest analogiczne do tyczenia punktu

ostatniego.

Kontrola, obliczonych wzorem (5) kątów

, polega na spełnie

niu warunku:

cos

toi a

COS^r

który dla ostatniego punktu opiewa 0-7 = oo 0-6995, jest zatem dostatecznie dokładnie spełniony.

b) r = 100"0 m, r₀ = 60"0 m,

— .4 6

ctg^ =

-3-8729 = 2-7937;

cp = 75° 31'20".

tp= 19° 41'40",

m = 60

COS(p

COS cp

44 "54 m.

= 100

COS (if)— cp)

Następuje wytyczenie kierunku Ö P' przez dodanie do kierunku O' P kąta 90° — (p + гр i odmierzenie na nim długości r — m = 55⁻46 m t. j. ustalenie położenia punktu P'. Teraz należy m zmienić na dogodniejsze do rachunku m = 40'0m przez przesunięcie punktu O' o 4-54 m w kierunku do O, t. j. do punktu (O'), z którego nastąpi

wytyczenie punktów pośrednich łuku. Długość łuku

= 34-37₃ m. Postępowanie dalsze jak w przypadku a). Załóżmy, że pierwszy punkt łuku ma być 10 m odległy od P'. Łukowi o długości 10ш odpowiada dla r=100m kąt środkowy a=5°43'46", rf=9*996w, ctg (a — a) obliczamy ze względu na mały kąt a z wzoru

sin tp

r — m cos a

= 15-05, a — a — 3°48', a' = 9°31'46".

m sin a

Dla wytyczenia drugiego punktu odległego od P' o 20 m, obliczamy a — 11° 27' 32",

(a'-a) = 7° 27',

Kontrola dla ostatnio wytyczonego punktu ÿ =

0-3996, zatem zgodność zadawalniająca.

0-4 =

CV>

10

ctg (a - a) = ^ 5-0337 - 4-9260 = 7-660, a = 18° 53'32" i t. d.

sin (a — a)

sin a

daje:

Reasumując raz jeszcze zalety i ujemne strony obu tu przyto-czonych metod, należy zaznaczyć, że metoda aj nadaje się lepiej dla praktyki, tak ze względu na mniejszą odległość między inżynierem i figurantem (łatwiejsze porozumienie), jak i fakt, że nie potrzeba tu zwracać uwagi na bardzo małe kąty a, co ma miejsce przy metodzie b) i może okazać się czasem kłopotliwem,

INŻ. DR. WITOLD WIERZBICKI

Profesor Szkoły Głównej Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

¹

T. Levi-Civita: O wysiłku dynamicznym. Przegląd Techn. 1930. Najw. dynam. y¹>yx\ — § 6 i 7.

O zastosowaniu teorji kraty do wyprowadzenia równań energji sprężystej.

Teorja kraty, poza jej bezpośredniem wyzyskaniem do obliczenia mostów kratowych, może być z pożytkiem zastosowana i do uzasadnienia równań, dotyczących energji sprężystej, nagromadzonej przy odkształcaniu się konstrukcyj budowlanych.

Mówiąc o równaniach energji sprężystej, mamy na widoku wszystkie równania, wyrażające w sposób wyraźny zależność między następującemi trzema kategorjami wielkości, lub przynajmniej między dwiema z pośród nich:

1.    między uogólnionemi siłami P, wzrastającemi w sposób ciągły i nieskończenie powolny i zaczepionemi do konstrukcji, wykonanej z materjału, uważanego za sprężysty,

2.    między odpowiedniemi uogólnionemi przesunięciami (współ-rzędnemi) punktów zaczepienia sił (c lub v),

3.    między energją sprężystą V, nagromadzoną w danej konstrukcji w ciągu wzrastania sił P od zera do ich wartości ostatecznej.

Równania, dotyczące energji sprężystej, są użytecznym środkiem przy rozwiązywaniu szeregu zagadnień statyki budowlanej, a teorji mostów w szczególności i stanowią ulubioną metodę pracy wielu uczonych, przedewszystkiem zaś statyków niemieckich.

Według celów, do jakich powyższe równania prowadzą, można podzielić je w sposób następujący:

Do obliczenia energji sprężystej, nagromadzonej w danym ciele, korzystamy z równania Clapeyron’a, któremu nadajemy zwykle postać:

O)

V = \2P.c

Równanie to doprowadza nas, jak wiadomo, w sposób prosty do przedstawienia energji potencjalnej ciała sprężystego w postaci

jednorodnej funkcji sił drugiego stopnia:

. . (2)

V = 2k.P* + 2kx.PiPj. .

gdzie współczynniki к i kx nie są zależne od sił.

Z drugiej strony, ilość energji sprężystej nagromadzonej w danej konstrukcji, wyrazić możemy zapomocą wzoru:

.    .    (3)

V = J Vx dx dy dz

gdzie Vx wyraża ilość energji nagromadzonej w sześcianie o krawędzi równej 1, wyjętym z odkształconego ciała, a wielkości dx, dy, dz wyrażają długości krawędzi nieskończenie małego prostopadłościanu.

Równanie (3) wypływa bezpośrednio z określenia energji sprężystej jednostkowej i z przyjętego naogół w statyce, a omówionego wyżej, sposobu wzrastania sił P i wobec tego właściwie nie należy do grupy omawianych tu równań. Łącznie jednak z równaniem Cla-peyron’a, przez zestawienie dwóch różnych wyrażeń dla energji sprężystej, daje ono możność łatwego obliczenia odkształceń w razie, gdy te ostatnie odpowiadają siłom zaczepionym w danych punktach konstrukcji, t. zn. gdy np. mamy do wyznaczenia przesunięcie w punkcie zaczepienia i w kierunku działania siły skupionej, lub gdy mamy do wyznaczenia obrót w punkcie zaczepienia momentu. Zestawienie dwóch wspomnianych wyrażeń dla energji sprężystej przedstawia właściwie tylko odmienną formę równania Clapeyron’ax).

dV

Do wyznaczenia odkształceń służy nam najczęściej twierdzenie Castigliano’a:

.    .    (4)

dP

Do wyznaczenia wielkości statycznie niewyznaczalnych korzystamy z twierdzenia Menabréa’i

dP

.    .    (5)

lub też z twierdzenia Betti’ego, zwanego twierdzeniem o wzajemności

przesunięć:

. . (6)

2P’c„ = 2P" c,

gdzie wielkości P’ i c, odpowiadają jednemu, zaś P” i e„ drugiemu układowi sił, zaczepionych do tej samej konstrukcji²).

Szczególny wypadek twierdzenia Betti’ego, odpowiadający jednej sile, nazywamy, jak wiadomo, twierdzeniem Maxwell’a.

') M. G. Lamé: Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, 1852, str. 80.

²) Ustawiając wzory statyczne dla ramownicy czteroprzęsłowej, miałem możność przekonać się, że przy obliczaniu układów złożonych stosowanie twierdzenia Betti’ego jest mniej kłopotliwe, niż stosowanie twierdzenia Menabréa’i (vide Przegląd Techniczny, 1930, Nr. 46).

W razie sprężystego utwierdzenia podpór może być, przy wyznaczeniu wielkości statycznie nadliczbowych, również użyteczne i twierdzenie Castigliano’a.

Równania (1) —(6) dotyczą w równej mierze układów pełnych, jak i kratowych.

Nie wdając się w historję powstawania omawianych tu równań, zauważyć jednak należy, iż niektóre z nich zostały pierwotnie ustawione dla układów kratowych, następnie zaś rozpowszechnione i na układy pełne (np. twierdzenie Menabréa’i) *) inne zaś naodwrót, udowadniane były z początku dla układów pełnych, później zaś dopiero były zastosowane i do układów kratowych (np. twierdzenie Clapeyron’a).

Uzasadnienie twierdzeń, dotyczących energji sprężystej dla ciał pełnych, opiera się przedewszystkiem na równaniach ogólnych teorji sprężystości, wyprowadzenie zaś tych równań dla kratownic odbywa się na podstawie tak zw. metody Maxwell’a i Mohr’a, opartej na zasadzie prac wirtualnych, która w danym razie może być zresztą wyprowadzona i bezpośrednio z teorji kratownicy²).

Z dydaktycznego punktu widzenia wyprowadzenie równań energji sprężystej dla ciał pełnych jest znacznie bardziej złożone, niż uzasadnienie tych samych równań w zastosowaniu do układów kratowych, tak iż w starszych podręcznikach mechaniki, gdzie te twierdzenia były traktowane, ze względu na ich znaczenie teoretyczne w nauce o sprężystości ciał stałych, z wielką precyzją, zajmowały one wiele miejsca. W nowszych podręcznikach natomiast, ze względu na konieczność zapoznania współczesnego inżyniera z bardzo licznemi nowemi zagadnieniami współczesnej statyki budowlanej, wyprowadzenie tych równań jest traktowane raczej schematycznie, przyczem główny nacisk kładzie się na sposoby ich stosowania.

Zmierzając do uproszczenia wykładu równań energji sprężystej dla ciał pełnych, autorowie współczesnych podręczników statyki idą w dwóch kierunkach : jedni, mianowicie, upraszczają bezpośrednio uzasadnienia pierwotne, odrzucając pewne subtelności w rozumowaniu i dbając raczej o algebraiczną poprawność dowodzenia, drudzy korzystają i w danym wypadku z wywodów, przeznaczonych dla układów kratowych.

Pierwsi nie odbiegają, wprawdzie, lub przynajmniej nie odbiegają pozornie od schematu statycznego ciała pełnego, zmuszeni jednak ze

’) Por. M. Levy: La Statique Graphique, 1888, str. 220, również B. de Font-violant: Les méthodes modernes de Résistance de Materieaux, 1920.

²) Por. W. Wierzbicki: Geometryczne uzasadnienie wzoru na przesunięcia węzłów kratownicy. Przegląd Techniczny, 1930.

To ostatnie twierdzenie oparte jest na przedstawieniu ciała sprężystego, jako zbioru punktów materjalnych, między któremi działają siły, proporcjonalne do zbliżania się wzajemnego tych punktów i skierowane wzdłuż łączących je prostych. W ten sposób pomyślany schemat ciała sprężystego nie przeczy wprawdzie prawu Hoock’a, nie spełnia jednak charakterystycznego dla pracy sprężystego ciała pełnego warunku, mianowicie nie odpowiada mu, co do liczby stałych sprężystości.

względu na brak miejsca do niedomówień, decydują się nieraz na pewne niejasności wykładu.

Drudzy, idąc za przykładem Mohr’a¹) i wyrzekając się niejako przy wyprowadzaniu równań energji sprężystej schematu ciała pełnego na korzyść kratownicy, uogólniają następnie swe wywody drogą twierdzenia, iż każde ciało pełne może być uważane za kratownicę przestrzenną o nieskończenie wielkiej liczbie prętów nadliczbowych i że wobec tego równania energji sprężystej, wyprowadzone dla kratownicy, mogą być bez dalszych dowodów rozpowszechnione i na konstrukcje pełne.

Chodzi o to, że w razie przyjęcia dla ciała sprężystego schematu kratownicy, mamy do czynienia z jedną tylko stałą sprężystą, z liczbąE, współczynnikiem sprężystości przy wyciąganiu (lub ściskaniu), w danym razie charakteryzującym zależność między rozsuwaniem się węzłów kratownicy a siłami, działającemi między niemi. W przeciwieństwie do tego, w ciele sprężystem pełnem, a więc uważanem za pewne sprężyste continuum mamy do czynienia z dwiema wielkościami stałemi, a więc, poza współczynnikiem E, jeszcze z liczbą Poisson’a /г.

Pogląd na ciało sprężyste, jako na zbiór punktów materjalnych, a więc pogląd, doprowadzający do schematu kratownicy, czyli do tak niekiedy zwanego modelu Navier’a²), jest obecnie poglądem przestarzałym, gdyż wszystkie nowoczesne badania naukowe w zakresie teorji sprężystości oparte są już na założeniu sprężystego continuum czyli modelu Cauchy’ego.

Stąd wypływa nie dający się, w zasadzie, odeprzeć zarzut nie-współczesności, jaki możnaby postawić sposobom wyprowadzenia równań energji sprężystej, opartym na teorji kraty.

Nie wydawałoby się też tu narazie słusznem odpieranie tego zarzutu przez powoływanie się na najnowsze badania w zakresie

') O. Mohr: Abhandlungen aus dem Gebiete der Technischen Mechanik, 1914, str. 431.

-) Por. Prof. Inż. Dr. M. T. Huber: Kryterja stałości równowagi, 1926, str. 24 oraz M. Navier: Résumé des leçons sur l’application de la Mécanique, 1833, str. 1 i 102.

budowy materji, gdyż badania te stoją jeszcze dość daleko od potrzeb praktycznej teorji sprężystości.

Z drugiej strony, proste a jednak ścisłe i pozbawione niedomówień uzasadnienie wzorów (1) — (6), tak nieraz użytecznych w pracy inżyniera, jest koniecznością dydaktyczną.

Z tego powodu należy się zastanowić nad tem, czy nie możnaby było w ten sposób praktycznie ograniczyć obszaru stosowalności równań, dotyczących energji sprężystej, aby w tym obszarze, wyprowadzenie ich na podstawie teorji kratownicy było zgodne z ogólnie przyjętemi założeniami mechaniki budowli.

Ograniczenia, o których mowa, dotyczą po pierwsze, typu odkształceń, po wtóre, rodzaju naprężeń i po trzecie, sposobu zaczepienia sił zewnętrznych.

Zestawiając wyszczególnione na początku niniejszej pracy przypadki, gdy równania energji sprężystej znajdują zastosowanie, z rodzajami konstrukcyj pełnych, dla których to zastosowanie jest korzystne, łatwo spostrzegamy, że wchodzą tu w grę przedewszystkiem przypadki zginania, zarówno elementów konstrukcyjnych prostolinjowych, jak i krzywolinjowych. Mamy tu więc przedewszystkiem na widoku belki proste, na które żadne siły podłużne nie działają, następnie ramy, w których obliczeniu rzadko tylko siły podłużne brane są pod uwagę, wreszcie łuki, w których, wprawdzie siły podłużne zwykle uwzględniamy, w których jednak wpływ decydujący na naprężenia mają zwykle momenty zginające.

Co do naprężeń, należy stwierdzić, iż w wyjątkowych tylko wypadkach przy wyznaczeniu odkształceń konstrukcyj budowlanych, lub też wielkości statycznie niewyznaczalnych, uwzględniamy wpływ na obliczane wielkości naprężeń stycznych, czyli liczymy się z przesuwaniem wewnątrz ciał odkształcanych.

Wreszcie, ogromną większość konstrukcyj budowlanych i wszystkie nieomal konstrukcje mostowe rozkładamy zwykle w obliczeniu statycznem na elementy płaskie. W obliczeniach zaś, dotyczących konstrukcyj przestrzennych, zwykle wymagania, co do ścisłości obliczeń statycznych, bywają niezbyt surowe (np. w obliczeniu kopuł).

Twierdzić można z całą śmiałością, iż poza ograniczonym w ten sposób zakresem zagadnień pozostaje już tylko bardzo niewiele praktycznych zadań statyki pełnych konstrukcyj zginanych, zaś zagadnienia o charakterze badawczym nie bywają prawie zapomocą równań energji sprężystej rozwiązywane, zresztą, nie te zagadnienia ma się na widoku, dążąc do uproszczeń w wyprowadzeniu omawianych równań.

Ponieważ ograniczyliśmy nasze rozważania do układów płaskich, nie mamy potrzeby trwać tu przy opisanym wyżej modelu ciała sprężystego, jako kratownicy przestrzennej, lecz możemy przejść do prostszego schematu kratownicy płaskiej, co znacznie ułatwi dalsze rozważania.

Dla uproszczenia przeróbek matematycznych, nie wzbudzających w danym zadaniu większego zainteresowania naukowego, obszerniej omawiamy tu tylko najprostszy, lecz zarazem i najważniejszy schemat kratownicy o pasach równoległych, przedstawiający niejako model pełnej belki pryzmatycznej w dwóch punktach swobodnie podpartej, względnie belki utwierdzonej w jednym końcu i swobodnej na drugim.

Kratownicę tę będziemy uważali w dalszym ciągu za statycznie wyznaczalną, posiadającą np. kratę w rodzaju przedstawionej na rys. 1, choć bardzo gęstą. Przez podobne przyjęcie oddalamy się jeszcze bardziej od modelu Navier’a, w którym każdy węzeł powinien być

-Ч-

r-df-

Rys. 1.

połączony ze wszystkiemi innemi węzłami; powstający w ten sposób nowy model lub schemat statyczny, aczkolwiek bardziej znacznie ograniczony, co do swej ogólności, nadaje się jednak z powodzeniem do obliczenia ugięć belki pełnej.

Stosując dalsze rozważania do belki w dwóch punktach swobodnie podpartej lub belki utwierdzonej w jednym końcu i swobodnej w drugim, zauważamy przedewszystkiem, iż wszystkie równania energji sprężystej, wyszczególnione na początku tej pracy, można ująć w jedno równanie symboliczne:

.    .    (7)

F(P,c,V) = 0 .    .

w którem zresztą wielkość V nie zawsze występuje w sposób wyraźny.

Aby uzasadnić stosowanie kratownicy, jako modelu statycznego belki pełnej, ustalimy przedewszystkiem warunki, którym odpowiadać powinna kratownica, przedstawiona na rys. 1, aby te same wartości P, c i V czyniły zadość równaniu (7), zarówno w razie, gdyby zostało ono ustawione dla tej właśnie kratownicy, jak i wówczas gdyby dotyczyło belki pełnej o tej samej rozpiętości i o tym samym sposobie

podparcia (rys. 2). Zakładamy tu, oczywiście, że funkcja F zachowuje ten sam kształt w obydwóch wypadkach.

Kratownicę przedstawioną na rys. 1 uważamy za przegubową oraz odpowiadającą wszystkim założeniom teorji krat i zaczepiamy do niej, np. do jej górnych węzłów szereg sił P, działających prostopadle do osi pasów i oddalonych od lewej podpory belki o odległości d. Z drugiej strony, na górnej powierzchni belki pełnej, przedstawionej na rys. 2 i wykonanej z tego samego materjału, ustawiamy siły równe omówionym siłom P i ustawione od lewej podpory belki w tych samych odległościach d, co i tamte. Dwa tego rodzaju obciążenia obydwóch belek możemy uważać za identyczne, gdyż zarówno wykresy momentów zginających, jak i wykresy sił poprzecznych w obydwóch wypadkach są tu te same. Ma to miejsce w danym razie niezależnie od kształtu i wymiarów poprzecznych obydwóch belek.

Przyjmujemy, że belka pełna wykonana jest z materjału jednorodnego i ma np. przekrój poprzeczny prostokątny o szerokości a

d-—

Г ⁷

1-d

z—*

Pz

—of--

w.

Rys. 2.

i wysokości h (rys. 1). W belce kratowej przyjmujemy szerokość pasów i krzyżulców oraz długość przegubów cylindrycznych za równą«, zaś odległość osi podłużnych obydwóch pasów, o wymiarach poprzecznych tych samych, przyjmujemy za równą h (rys. 2).

Należy zauważyć, iż wobec odrzucenia wpływu na zginanie naprężeń stycznych, kształt przekroju poprzecznego belki pełnej, o której mowa, pozostaje właściwie bez znaczenia dla dalszych rozważań.

Siły P, wywołując zginanie omawianej belki kratowej oraz belki pełnej, powodują zniekształcenie ich przekrojów poprzecznych, względnie przekrojów ukośnych. W belce kratowej, mianowicie, wyciągane krzyżulce i pasy doznają zwężeń poprzecznych, zaś ściskane krzyżulce i pasy poprzecznych rozszerzeń. Z drugiej strony, belka o przekroju pełnym doznaje odkształcenia poprzecznego, przedstawionego na rys. 3. Oba te rodzaje odkształcenia mogą oczywiście wystąpić tylko w tym wypadku, gdy współczynnik Poisson’a fi różny jest od zera.

W myśl jednak zasady zesztywnienia ani w obliczeniu statycznem kratownic, ani też w obliczeniu belek pełnych nigdy nie bierzemy pod uwagę wpływu odkształceń poprzecznych na naprężenia normalne, nie mamy więc powodu uwzględniać go też i przy obliczaniu energji sprężystej, nagromadzonej w tych konstrukcjach.

Pomijając zaś powyższe odkształcenia, przyjmujemy tern samem, że liczba Poisson’a, jedna z dwóch stałych sprężystości, równa się tu 0 w obydwóch wypadkach. Możemy to zrobić tylko w belkach o małej szerokości i nie powinniśmy tego stosować w szerszych płytach, gdzie wielkość współczynnika [i wywiera wpływ wyraźny na naprężenia.

Obliczenie ugięcia belki pełnej w pewnym punkcie D (rys. 2), czyli prostopadłego do osi belki przesunięcia punktu D (przesunięcia c = vji), leżącego na osi belki, odbywa się naogół (poza omawianemi tu metodami, opartemi na równaniach energji sprężystej) zapomocą

__L

równania osi odkształconej, lub też sposobem momentów wtórnych, opartym na ana-logji, istniejącej między formą osi odkształconej belki zginanej a krzywą sznurową, a więc pośrednio również opartym na równaniu osi odkształconej.

Wyprowadzenie ogólnego równania osi odkształconej :

EIdy

Rys. 3.

. . (8)

dx²

opiera się między innemi na dwóch założeniach następujących:

1.    na założeniu, że równoległe do siebie warstwy belki pełnej nie wywierają wzajemnie na siebie nacisku w kierunku prostopadłym do osi belki, nie odkształcają się więc w tym kierunku,

2.    na założeniu, że wspomniane warstwy nie przesuwają się względem siebie, co odpowiada tak zwanemu założeniu płaskich przekrojów ; wobec tego, że między naprężeniami stycznemi a przesunięciami jednostkowemi istnieje zależność:

(9)

x = G.ß

(gdzie G oznacza współczynnik sprężystości przy przesuwaniu, a ß przesunięcie jednostkowe), założenie to odpowiada przyjęciu, iż stała sprężystości G równa się tu nieskończoności (G = oo).

W konsekwencji powyższych założeń uważamy, iż punkt D' na górnej i punt D" na dolnej powierzchni belki, leżąc na prostej prostopadłej do osi (normalnej) i przechodzącej przez punkt D, nie zmienią,

po odkształceniu, odległości swej od tego punktu, ani w kierunku stycznym do osi, ani w kierunku prostej D’, D". Mamy więc, że

(10)

Vir — V[)" — V[)

W belce kratowej rolę punktów D', D" i D odgrywają punkt N, położony w środku wysokości kratownicy, oraz węzły N' i N", których odległości od lewej podpory belki odpowiadają odległościom tamtych punktów. Powstaje tu pytanie, jakim warunkom odpowiadać powinna belka kratowa, aby wzajemna nieprzesuwalność węzłów N' i N", odpowiadająca nieprzesuwalności punktów D' i D" belki pełnej, była zabezpieczoną.

Otóż założenie nieprzesuwalności punktów D' i D" w kierunku normalnej do osi odkształconej może tu być zastąpione w sposób dostateczny przez warunek nieodkształcalności słupów kratownicy, który nie pozwoli węzłom N' i N" przesunąć się względem siebie.

Przyjęcie, iż stała sprężystości G równa się nieskończoności, jest równoznaczne z odrzuceniem wpływu sił poprzecznych na wyginanie się belek pełnych, natomiast w przypadku kratownicy pominięcie wpływu sił poprzecznych na przesuwanie się węzłów może być wyrażone przez przyjęcie nieodkształcalności podłużnej prętów kraty, w szczególności zaś krzyżulców. Tłumaczy się to w ten sposób, iż w kratownicy o pasach równoległych siły w prętach kraty są wprost proporcjonalne do sił poprzecznych, tak, iż przyjmując, że pręty te nie ulegają ani wydłużeniu, ani skrótowi, czyli, że ich współczynnik sprężystości równa się Ekr = cx>, odrzucamy tern samem wpływ sił poprzecznych na wyginanie się belek kratowych.

Innemi słowy, założenie nieodkształcalności prętów kraty, przy jednoczesnem założeniu, że oba pasy kratownicy mają te same wymiary i są wykonane z tego samego materjału, całkowicie zabezpiecza nieprzesuwalność węzłów N' i N" w kierunku normalnej oraz stycznej do osi belki i odgrywa tu rolę założenia, że G = oo przy obliczeniu ugięć belki pełnej.

Przy obliczeniu odkształceń porównywanych ze sobą belek, pełnej i kratowej, przyjmujemy więc, w myśl powiedzianego wyżej po pierwsze, że siły zewnętrzne P są w obydwóch wypadkach zaczepione jednakowo, po wtóre, że fi = 0 i po trzecie, że siły poprzeczne w obydwóch wypadkach nie mają wpływu na odkształcenia, czyli że G = oo, względnie Ekr =

Stosując do wyznaczenia ugięcia belki pełnej w punkcie D sposób momentów wtórnych otrzymujemy:

• • (io

W związku z tern wzór (12) przybiera postać następującą:

.    .    (15)

Vy

gdzie wyraża moment wtórny w przekroju D belki, t. j. moment zginający od obciążenia ciągłego, zmieniającego się według wykresu momentów zginających od rzeczywistego obciążenia belki, a El oznacza iloczyn współczynnika sprężystości przy wyciąganiu i zginaniu przez moment bezwładności przekroju poprzecznego belki.

Z drugiej strony, obliczając dla belki kratowej przesunięcie punktu I) w kierunku prostopadłym do osi belki, równe przesunięciu punktów N' i N”, otrzymujemy na podstawie wzoru opartego na zasadzie prac wirtualnych, czyli według t. zw. metody MaxwelPa i Mohr’a, iż

ZSÀ

VN

=2

EA

(12)

gdzie S oznacza siły w poszczególnych prętach kratownicy, Z siły, które działałyby w tych prętach, gdyby w węźle N' była zaczepiona siła 1, mająca kierunek przesunięcia vNt wreszcie EA — iloczyn współczynnika sprężystości przez pole przekroju poprzecznego pasa i Я — długość jednego przedziału pasa. Wobec tego, że słupy i krzyżulce kratownicy uważamy za nieskończenie sztywne, czyli za nieodkształ-cające się, sumowanie dotyczy tu tylko obydwóch pasów, obejmując wszystkie przedziały belki kratowej.

Oznaczamy przez Mx momenty zginające, wywołane przez rzeczywiste obciążenie zewnętrzne w poszczególnych węzłach kratownicy k", oddalonych od lewej podpory o odległości x, i przedstawiamy na rys. 4c wykres tych momentów. Wówczas siły podłużne, powstające w położonych naprzeciwko węzłów k” poszczególnych przedziałach mk’ pasów belki kratowej, wyrażą się zapomocą wzoru:

h

Ciężar równy 1 ł, zaczepiony nad punktem N (w odległości a od podpory), którego przesunięcie wyznaczamy, wywołuje zarówno w rozpatrywanej belce kratowej, jak i w odpowiedniej belce pełnej, momenty zginające, zmieniające się według wykresu momentów, przedstawionego na rys. Ab.

Oznaczając przez M'x rzędne wykresu 4& w punktach oddalonych о г od lewej podpory belki kratowej, otrzymujemy dla siły wywołanej w przedziale mk’ pasa przez siłę 1, zaczepioną w węźle Лт, wielkość:

Mx

(13)

Zm

M'x

(14)

Mx M’x Я

⁼ ^J'IT'ËÂ ’

Sumowanie dotyczy tu, jak wyżej, dwóch pasów kratownicy, każdy o długości l.

Przyjmujemy dalej, że przedziały belki kratowej maleją w sposób nieograniczony, czyli że zakładamy Я = dx. W związku z tern suma (15) przekształca się w całkę następującą:

Vn

_ Л¹М» M'x dx

3₀ h

. . (16)

■ h ' EA

Wracając do wykresu Ab, obliczamy rzędną jego dla punktu N.

a

-, więc

Ponieważ ciężar 1 wywołuje reakcje belki równe 1 — у oraz у

k-

N'

к----X---»*■

>KH

N"

a)

M'x

b)

c)

Rys. 4 а, Ъ, c.

moment zginający, wywołany przez ten ciężar w punkcie N, wynosi :

⁼¹H)“ •

•    •    (17)

Wyrażenie dla rjN, jak widać, przedstawia pomnożoną przez 1 rzędną linji wpływowej momentu zginającego w punkcie N dla belki w dwóch punktach swobodnie podpartej.

Wobec tego, że wykres Ab jest linją wpływową momentu zginającego w punkcie D (o rzędnych rj = M'x) i wobec tego, że wykres Ac dla momentów Mx uważać możemy za wykres obciążenia wtórnego qx = Mx, powinniśmy dla wyznaczenia momentu wtórnego sDł w punkcie N wykonać całkowanie:

9Hz, = ЗП

M'x d X

Tx Mx dx .    .    .    (18)

Ze wzorów (16) i (18) otrzymujemy więc:

₀

h²EA '

/h\²

I 2    wyraża moment bezwładności belki, której

cały materjał został skupiony na osiach dwóch jej równoległych do siebie pasów.

Iloraz 2

vN =

зил-

« iCN

EA

.    .    (19)

Z zestawienia wzorów (11) i (19) wynika więc, iż na to, aby belka kratowa o tej samej rozpiętości, obciążeniu i sposobie podparcia, co pewna belka pełna, dawała, przy wszystkich poczynionych wyżej zastrzeżeniach, w odpowiednich punktach te same normalne do osi przesunięcia, co tamta, potrzeba, aby belka kratowa czyniła zadość warunkom następującym :

1.    Odległość między osiami pasów belki kratowej musi być równa wysokości belki pełnej.

2.    Cały materjał belki skupiony być musi na osiach pasów, przy-czem momenty bezwładności belek mają być sobie równe, t. j.

to

fcO

ba

3.    Przedziały belki kratowej powinny być nieskończenie małe.

4.    Pręty kraty nie mogą ulegać odkształceniu podłużnemu.

Jeżeli więc zachodzi potrzeba wyznaczenia przesunięcia belki

pełnej w pewnym punkcie D, leżącym na osi, to, wyznaczając odpowiednie przesunięcie dla węzła należącego do kratownicy, odpowiadającej tylko co wymienionym warunkom, a położonego w tej samej odległości od początku belki, co punkt D, otrzymamy wynik identyczny z poszukiwanym.

Założenia upraszczające, poczynione wyżej jak to zostało udowodnione, mają ten sam sens fizyczny dla belki kratowej, co i dla pełnej, w jednakowym więc a naogół w dopuszczalnym tylko stopniu wpływają one na dokładność obliczeń statycznych.

Ponieważ przedziały omawianej wyżej belki kratowej uważamy za nieskończenie małe, możemy, więc siły zewnętrzne zaczepiać do tej belki we wszystkich punktach jej długości, nie będąc przez to w sprzeczności z teorją kraty i mogąc dzięki temu rozpowszechnić wszystko powyższe i na obciążenia ciągłe. Nie mamy tu potrzeby robić żadnych zastrzeżeń co do obciążenia momentowego, gdyż co do kształtu wykresu rys. 4 c nie robiliśmy żadnych ograniczeń.

Przechodząc do wyznaczenia obrotów sprężystych poszczególnych przekrojów belki pełnej, ustawiamy dla obrotu jej pewnego przekroju D wzór następujący:

fpn

El

(20)

gdzie %D oznacza siłę poprzeczną w przekroju D belki, wywołaną przez obciążenie wtórne qx —Mx (rys. 2).

Wyznaczenie obrotu przekroju D belki kratowej wyznaczamy z omówionego wyżej wzoru :

’X

Z.SA

o EA

N’ 1

i N"

a)

. . (21)

Tl

bl

C)

Rys. 5 a, b, c.

w którym S, Я i EA ma to samo znaczenie, co wyżej we wzorze (12), zaś Z oznacza siły, powstające w poszczególnych prętach pasów kratownicy pod działaniem momentu równego 1 i zaczepionego w przekroju D, którego obrót obliczamy (rys. 5).

Moment, równy 1, zaczepiony w przekroju N belki, wywołuje momenty zginające M", których wykres przedstawiony jest na rys. 5 b. W związku z tern siły Z, powstające w poszczególnych przedziałach pasa kratownicy, wyrażają się wzorem:

• . (22)

analogicznym do wzoru (14), zaś siły S zapomocą wzoru (13).

Wykres, przedstawiony na rys. 5 b przedstawia, jak widać, z drugiej strony, linję wpływową dla siły poprzecznej w przekroju N dla belki swobodnie podpartej. Wobec tego możemy tu dokonać przekształcenia wzoru (21), analogicznego do wyżej omówionego przekształcenia wzoru (12). Siła poprzeczna = od obciążenia wtórnego w punkcie N będzie się tu równała, mianowicie :

Mx . M" d X ....    (23)

f q. M" d X

wobec czego dla kąta obrotu cpD otrzymamy:

■    - (24)

<PN

%N

’6)"

Zestawiając ze sobą wzory (20) i (24), z jednej strony, oraz wzory (11) i (19), z drugiej, możemy twierdzić, że w tych samych przypadkach, kiedy wyznaczenie ugięć belek pełnych może być zastąpione przez obliczenie przesunięć odpowiednich węzłów belek kra-

\P

In

11Л

JL

Rys. 7.

Rys. 6.

towych, odpowiadających warunkom wyżej omówionym, również i obroty poszczególnych przekrojów belek mogą być według tej samej reguły obliczone.

Dalej można również twierdzić, że reguła ta znajdzie zastosowanie i dla belek prostych statycznie niewyznaczalnych, gdyż obliczenie tych ostatnich sprowadza się, w rezultacie, do wyznaczenia pewnych ugięć i obrotów.

Poza belką w dwóch punktach swobodnie podpartą, w obliczeniach statycznych ; konstrukcyj, złożonych z elementów zginanych, spotykamy się stale z odkształceniem belki w jednym końcu utwierdzonej, a w drugim swobodnej. Łatwo jest uzasadnić, że i w tym wypadku omówiona reguła obliczenia odkształceń znajduje zastosowanie. Wyznaczenie odkształceń belki utwierdzonej sprowadza się właściwie do wyznaczenia przesunięcia i obrotu swobodnego Jcońca belki pod działaniem siły skupionej i momentu, zaczepionych w tym końcu. Inne rodzaje odkształceń są już tylko geometrycznem dodawaniem tamtych.

Dla belki pełnej mamy dla obciążenia przedstawionego na rys. 6:

PP

PP

2 El '    '

.    .    (25)

3 El

oraz dla obciążenia przedstawionego na rys. 7 mamy odpowiednio :

MP

Ml

. . (26)

2 El

Do obliczenia odkształceń kratownicy stosujemy tu, jak wyżej, wzory (12) i (21), mając na uwadze, że momenty Mx od obciążenia rzeczywistego wyrażają się w przypadku, przedstawionym na rys. 8, wzorem :

oraz w przypadku, przedstawionym na rys. 9, wzorem:

MX=M.

Przy obliczaniu przesunięć v zaczepiamy do końca belki siłę równą 1 t oraz przy obliczaniu obrotu zaczepiamy tu moment równy

Mx = P.x

Rys. 8.

Rys. 9.

1 tm. W ten sposób otrzymujemy w przypadku przedstawionym na rys. 8:

— 22

SZX

Px 1X

PI³

EA

hEA h

³ 2 ( \eA

to

• (27)

*-²2

sz Я

EA

=²S

Px

hEA h

• — dx =

PP

² 2( \eA

■ (28)

W przypadku, przedstawionym na rys. 9, mamy odpowiednio:

h

LSZX

EA

hEA

MP 1 2' EA

• (29)

•"o

<p=²2

EA

hEA h

• — dx =

Ml

.    .    (30)

.EA

Zestawienie wzorów (27) — (30) ze wzorami (25) i (26) dowodzi tego, co miało być wykazane.

W sposób równie prosty, jak poprzednio, można wykazać, że energja sprężysta, nagromadzona przy zginaniu belki pełnej, wyraża się zapomocą tego samego wzoru, co energja sprężysta nagromadzona w kratownicy, odpowiadającej warunkom, omówionym wyżej.

Dla belek pełnych o dowolnym sposobie podparcia energja sprężysta wyraża się, jak wiadomo, równaniem:

„i

v=)

J o

M²dx

2 El

• • (31)

Dla odpowiedniej belki kratowej, mamy równanie następujące:

r = ²\

Jo

.    .    (32)

S² dx

YÊJ * * *    •

gdzie À = dx oznacza długość przedziału pasa kratownicy.

Wobec tego, że siły S w poszczególnych prętach pasa wyrażają się, w zależności od momentu zginającego, wzorem :

Mx

wzór (32) przybiera postać następującą:

Г⁷ (M\² dx _ f*⁷ M² dx

v-²\U)ea-\j~Y

EA

_ r M²dx

\ 2ЩГ '

■ (33)

to znaczy postać równania (31).

Wszystko, co było powiedziane o odkształceniu belek w dwóch punktach podpartych i belek w jednym końcu utwierdzonych, a na drugim swobodnych, może być zastosowane bez żadnych zastrzeżeń i do innych układów, złożonych z prostych elementów zginanych, a więc do konstrukcyj ramowych przedewszystkiem.

Ponieważ zostało tu dowiedzione, że dla belek pełnych odkształcenia i nagromadzająca się w czasie tych odkształceń energja sprężysta mają te same wyrażenia, co dla belek kratowych o równych momentach bezwładności, możemy twierdzić, że o ile równania (1) — (6) zostaną wyprowadzone dla pewnej konstrukcji złożonej z szeregu zginanych elementów kratowych, to pozostaną one słusznemi w tym samym stopniu, co do dokładności, i dla konstrukcji, w której elementy kratowe będą zastąpione przez elementy pełne o równych momentach bezwładności.

Stosowanie schematu kratownicy płaskiej do wyprowadzenia równań (1) —(6) dla układów płaskich nie może być uważane za nawrót do dawnych poglądów na budowę ciał sprężystych przedewszystkiem dlatego, że przy tym wyprowadzeniu brane są pod uwagę

w sposób pośredni lub bezpośredni obie stałe sprężystości w tej formie, w jakiej wchodzą w zadania płaskie wogóle.

Omawiana w tej pracy kratownica płaska odgrywa w danym razie mniej może rolę modelu płaskiego ciała sprężystego, niż przybliżonego schematu, służącego do obliczenia tak złożonego układu statycznie niewyznaczalnego, jakim jest pod względem rozkładu naprężeń belka pełna, a którego innym uproszczeniem, ogólnie przyjętym, jest belka, odpowiadająca założeniu płaskich przekrojów. Wyżej już było wykazane, że wymienione tu oba schematy upraszczające zapewniają ten sam stopień dokładności ostatecznych obliczeń.

Uzasadnienie słuszności stosowania schematu belki kratowej przy wyprowadzeniu równań energji sprężystej i wzajemności przesunięć dla płaskich belek pełnych mogłoby być z łatwością rozpowszechnione i na układy złożone z elementów zginanych o przekroju zmiennym w sposób ciągły¹). Nie wydaje się to jednak potrzebnem w granicach panowania utartych wzorów mechaniki budowlanej dlatego, iż przy obliczaniu konstrukcyj złożonych z prętów o przekroju zmiennym

Rys. 10.

w sposób ciągły, albo zgoła zmienność ta nie bywa brana pod uwagę, albo też bywa uwzględniona tylko w ten sposób, że we wzorach wyprowadzonych dla belek o przekroju stałym wielkość stała I bywa zastępowana przez wielkość zmienną I=f(x), co może być zastosowane z tą samą słusznością i w przypadkach omawianych w tej pracy.

Przy stosowaniu belek o przekroju zmiennym w sposób nieciągły (rys. 10) wyobrażamy sobie niejako, że odcinki belki o różnych momentach bezwładności stykają się ze sobą podług pewnych nie-odkształcalnych płaszczyzn normalnych do osi belki. Nic nie stoi nam w danym razie na przeszkodzie zastąpić tu odcinki pełne o zmiennym przekroju przez odpowiednie odcinki kratowe (rys. 10), odpowiadające omówionym wyżej warunkom i na ten więc wypadek możemy bez zastrzeżeń rozpowszechnić wypowiedziane tu twierdzenia.

Zakrzywione pręty zginane o stałym przekroju poprzecznym mogą być rozpatrywane, jako złożone z nieskończenie małych elementów prostych, podpadają więc one pod rozważania powyższe. Prętów zaś o przekroju zmiennym dotyczy uwaga, uczyniona nieco wyżej.

l) Por. M. Levy, op. cit.

Pozostaje jeszcze podkreślić, iż w myśl zasady superpozycji odkształcenia, wywołane przez działanie na pręty sił podłużnych mogą być dodawane do odkształceń, wywołanych przez momenty zginające, i że energja sprężysta nagromadzona w elementach konstrukcyjnych zginano-ściskanych, obliczanych na podstawie równań energji sprężystej, nieomal zawsze bywa wyznaczana ze wzoru:

M²

N²

dx .

■    • (34)

2 El ' 2 EÄ

gdzie część jej, wywołana przez zginanie, może być obliczona niezależnie od części wywołanej przez ściskanie.

Możemy więc ostatecznie przyjąć, iż zastosowanie do wyprowadzenia równań energji sprężystej (1) —(6), dotyczących belki pełnej, schematu kratownicy płaskiej o tym samym momencie bezwładności, należy uważać, przy zachowaniu zwykłej dokładności obliczeń statycznych, za słuszne dla wszystkich układów sprężystych, mogących uchodzić za płaskie *).

‘) Samo wyprowadzenie równań energji sprężystej na podstawie teorji kraty znaleźć można np. w pracy: W. Wierzbicki: Mechanika budowli, 1929, str. 432 i następne, lub w cytowanem wyżej dziele O. Mohr’a.

SPIS RZECZY.

Str.

Komitet redakcyjny.........................

Przedmowa ............................

Biografja .............................

Spis prac Prof. M. Thulliego....................

1.    Bessaga Mieczysław: Zastosowanie zasady Castigliana do wyznaczania reakcyj belek ciągłych................ ...

2.    Bratro Emil: Załomy spadków drogowych w sąsiedztwie mostów . .

3.    Bryła Stefan: Wzmacnianie kratowych konstrukcyj nitowanych przy

pomocy spawania .........................

4.    Brzozowski Stanisław: Ogólna metoda wyznaczania kształtu

mostów łukowych z konstrukcją pachwinową .... •.......

5.    Burzyński Włodzimierz: Z teorji łuku bezprzegubowego ....

6.    Chmielowiec Alfons: Jeszcze jeden sposób badania belki ciągłej .

7.    Chróścielewski Aureljusz: Jedenaście przęseł mostowych dla

Jugosławji.............................

8.    Groch Leon: O drewnianych ustrojach kratowych.........

9.    Huber M. T.: O wyboczeniu niesprężystem ............

10.    Kluż Tomasz: Rama prostokątna dwuprzegubowa.........

11.    Kłoś Czesław: Zamocowane łuki paraboliczne o zmiennym przekroju

pod wpływem działania zmiany temperatury.............

12.    Kunicki Stanisław: Zwodzone mosty Astrachański i Buzariski przez

odnogi delty rzeki Wołgi......................

13.    Kury łł o A.: Konstrukcje żelbetowe podziemia prezbiterjum Katedry

Śląskiej w Katowicach.......................

14.    Łazoryk Emil: Uzbrojenie na ciągnienia główne w belkach żelbetowych ..............................

15.    Matakiewicz M.: Przepływ przez obszary zalewowe rzek.....

16.    Pareński Aleksander: Kryterja dla wyznaczenia prędkości wód

płynących w łożyskach przyrodzonych ................

17.    Paszkowski Wacław: Wyznaczanie odstępów przerw skurczowych

w sztywnych ustrojach żelbetowych ................

18.    Pomianowski K.: Krzywe czasów trwania jako krzywa prawdopodobieństwa w odniesieniu do zjawisk hydrologicznych.........

19.    Radiów Waldemar: Obliczenie belek ciągłych podtrzymujących płyty

krzyżowo zbrojone......

Ks. Para. ku czci Prof. Dr. M. Thulliego.

22

IV

IX

XV

17

27

41

83

105

119

135

143

157

167

185

191

195

203

221

239

245

20.    Stadtmüller Karol: Słowiańskie słownictwo techniczne a prace

naszych uczonych, w szczególności Prof. Thulliego..........

21.    Taub Józef: O łączeniu wkładek w budownictwie żelbetowem

ze szczególnem uwzględnieniem spawania elektrycznego.......

22.    Vet ul an i K. F. : Wzór przybliżony dla projektowania nakładek belki

blaszanej .............................

— Przykład ustroju kratowego dopuszczającego układ nieokreślonych

sił wewnętrznych........................

Przedstawienie zmiany naprężeń skrajnych podczas powstawania wyboczenia..........................

23.    Weigel К.: Przyczynek do tyczenia łuków kołowych metodą obwodową ...............................

24.    Wierzbicki Witold: O zastosowaniu teorji kraty do wyprowadzenia równań energji sprężystej..................

Spis rzeczy............................

Omyłki druku i uzupełnienia....................

Str.

269

275

285

287

295

303

311

329

331

/V

Vе

Ui

Omyłki druku i uzupełnienia.

дМ

Str. 3 wiersz 2 od dołu, zamiast:

współczynniki A₀, u 2 ... w układzie równań (III) mają być podzielone przez El. Str. 9 wiersz 12 od góry, zamiast: Postępująe, ma być: Postępując

dają, ma być: daje w którym, ma być: w których nie zamieszcza, ma być: opuszcza

z drewnianą kratą, ma być: z drewnianym pomostem

4 przęsła, ma być: 5 przęseł pod Martynowem, ma być: pod Żurawnem konstrukcy, ma być: konstrukcyj Pracę Inż. L. Groch a uzupełniono tabl. IV.

d Ai

, ma być: ^

OJ 00 oc ^ O) to o OJ

„ 138 » 142 „ 194

2    „ dołu,

7    „ góry,

2 „ dołu, 4 „ góry, 2    „    dołu,

■''У.}'-.'"'''---,’    ‘

$.86

Ж 78

т-

\

I

-J

säg

w

Ж ■J V»

А

f4':

9

0

Ц0£

;'A.

t, :

X

■ щ

1

- z

**

A

W

ш

Шй

аж

Ш

.- ' ;-йЯ

'■•; f    Щ

.

æ fm

ł.

sr

i "

rd

;

i

L

Ł

i

■

■

'

.

|до

№

Щ

ą ■■*

,

ш w*

Ł Ł %

i

Щ'

гфЩ

ÏPÉ

i ’m

.

:

-f!

ate"

.V

fify/ M

ii/ii

u, i¹

IÉI

■

rr.

I

m

Ш

Щ

*5 T

. -

-

Щ-

tfeJÉM

4

• ;

■

% 1

■*Ü

Г

I

w i

.-•I *

Ф**

АЗ

■*?

«*

,

Ej. 'Zfe

";

lfv? 'f

•.> .i

¥ wé

к \л -Jm

%i

w i ./

jpsa

l’,: ’

^ ' r,

■;

■

»

PS

AM

ы

. Щ

r”

V.

i

«

% f

* V

Ш

r0'l

1 -

t

■

b

% . I

f.

*Ę

. Ш.

b .

#

(Mi

Г-Ш’-

Li

i

'• jv

■

-

*

i

И*

ь

Pi

i

Щ. À

i ■

г %

t

щ

i*⁻

С|

I Î

Ll . * У*

;•

i

.к •

Ж

II

«L - V !vi%' N

% * '¹

,'ЧЛ;

f

’i

*%

..; Üp* «ЧЕ

?Г %#|

-, ?

Л1

‘L

ш

* ł * Ar

Ï

Ja

Г,-.. ' Vf-'

-Ж®:

i

•/

'

*

i

%

\

-

Jm

AKTWECZłtO - SALANTERTJNA * ' ^ ÎNTROL'EATOANIA & O LWÓW. Ul P30WALE 73

if

I

Pi»

m

I

■Гч. Л

1111

I

il

■и

Ifi

i

■ • ;■

Ш

m

I

wgm

&

'

BIBLIOTEKA GŁÓWNA Politechniki Krakowskiej

gg

II

340U8

■шш

m

b

SH

№Ш

§

на

m

ÿgé

m

mi

ШшЯЁ

ШШШЯЁЯШШшяг

3 ; ■

ft

«

1

it

И

Шт

ж

щ

ШШ

ж

ж

тШ

ш

|ТОТ

Biblioteka Politechi

fl

s.

¹

•••.

ШШЯИш

»1

я

-i

%

18

щ

я

Ж

mm

ш\

К®

ж

Ш

шт

ШшЯ