a : \Ju>

» .

4

“ »

'•%

*

m7’:w

14

m

ifi

.

F o|

Lfl

j%ài

£-181

■ ---.

I'

€*jyy::P^

'fk

m

.

p§

■

%

%

11

Pp*⁵

É«?

1ÉN

ÿ-*

|k * W

-■'-

*»

I "

/■'■

7

§fj

f.

F%

:

••1

j ~<-‘

7.’

.3

I

»

|gs£

i

’i.

i»

■

Ï

. ■•.

llfc/

-V.'....^•:,...... J

-*J

*\

« 1

1

M

M

•-

r, * y

%

||p

®§ sR

r '

Pfe;

ay

k»M

'

if;

I

fc-j

Up

■ £^f

ri

m

$

Sk&SffiÊ

. '■;

|r

r -v' ji

».

Mi

vo-

¥/■

**. ⁵

f # m

j§

' ' ■;

*iw

r''

VJF

ip®

à* :.

■

i

• ,> i

W"'C- É

¹

■

• •'-’

*n$T '

>

V

i'/:-

k'4fc#l

f,- -c'r

OS

Mil

«€-;i

: » *

Pfr.i

P

I», 8$'

':tm.

iM

£■ i

jfw:

É||gl|

;M

!i.Æ

.

i*/r<

■ ; ?

.

|Sr*|

30

ft

H

i El

pg£

#

Tt-£-i

r j

’ I

- -

»

r ;

>:•*

S£

m.

f A- , a^B ■

à

W«Ü

1

4*

!:'tfm]\

fl

-

■ ' s,..

_

□

EE

*9

\

1

•4

T\!

■

■

/

■#?

V

J

i

✓

V

I

0

f

\

/

k

f

/

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA.

WYDAWNICTWO POLSKICH PODRĘCZNIKÓW TECHNICZNYCH, PODJĘTE STARANIEM GRONA PROFESORÓW SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

Dr. PLACID DZIWIŃSKI

PROFESOR SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

WYKŁADY MATEMATYKI.

Zasady geometryi analitycznej i analizy wyższej.

18. Zastosowania.

22

Postępując w ten sposób, musimy dojść w końcu do r

Wykład IV.

G,4x)_ = ffm_1 ^ + (») . y + A

(B^+B.y—c _ (B\Tc) + 2B0Biu+Bi 2u2

dx

Dalszy ciąg uwag dotyczących wyznaczania całek kształtu: §R(x, ^ax%^bx-\-c)dx.

9. Wyznaczanie całek zasadniczych trzeciego typu za pomocą podsta-

2. Przypadki, w których całka dwumienną da się sprowadzić do całki funkcyi wymiernej. Niech będzie daną całka dwumienną:

Całki funkcyj goniometrycznych kształtu:

128

- 143 -

ii"

r<T

f eax dx jx— a

Wykład XII.

£(arc sin x) dx—x arc sin x + Vl—x2 + C, Jare cos x dx=*x arc cos x—Vl—x2 + (7,

205 -

21. Całki funkcyj hiperbolometrycznych, kształtu: J'R(argsinhipa?)*fc»,

- 221 -

- 230 —

Całkowanie za pomocą szeregów.

l!(a + 2) 3! (a+4)"^ 5! (a-| 6)

(* 1 *) lxfix) dx + (“ 1 *) ir=ï !*"'1 w dx+

Dalszy ciąg uwag, dotyczących rozwijania całek.

Różniczkowanie i całkowanie funkcyj dwu zmiennych, niezależnych.

- 291 -

Rozwijanie funkcyj dwu zmiennych, niezależnych

PA = Vp 2Ą-(a—x)2, BQ=Vq*+(b—y)2, AB = V x2+ y2— 2a;ycos a.

= ^~(3a+ V/9a2-36i2), »min = - 2y266 a2-f »/16 a2

dz=Mxdxx Ą-M2dx2 + ...+Mndxn, odnośną całkę , ozna

. <£>.-•■ (&-■ (3).-"' (3),-

— 2 (a — x)y cos y.

+ «nn {hi y i + h 2 3/2 + - • + hnyn) 2 + 2«12 (?ll3/l + ^12 3/2 +•••+ hn 3/n)-(hl3/l + ^22 3/2 + ••• + hn 3/n) + + ... + 2 «,1—1,»(?»_!, 1 3/1 + ^n-1, 2 3/2+ ... + h»—1,n 3/w) • (hi 3/l + hj2 3/2 + •••+4n 3/n)

I H ix I == I l\x Ai 1 -f- l2x A/2 -|- ~k lnu Ain I = I ljx I . I A(x I , a że: | AIX | = | łufxl -f l2ifx2 +... + Lf*n | = | I • \f;* |, przeto, otrzymujemy!

y + \2 J «2 V + -+ \m—i) am~x *ym~x + amym,

4_ 3a1a?2«/4-3a2a:2/24- a3y\

SUmy: äV’ + V ‘

Z dalszego różniczkowania równań (16) wypływają ró

Przekształcanie pochodnych i różniczek funkcyj ilukolwiek zmiennych i wyznaczniki funkcyjne.

dyn <Pyn ^n' dx ’ rf*2

Rozwijanie funkcyj uwikłanych ilukolwiek zmiennych na szeregi potęgowe.

— 441

- 451 —

— 461 —

±p (!_) „ -<5 ł

(p(q2 z) = A0+ Ai{qh + q~20“1) +... -Mm (#2m Sra + i porównajmy spółczynniki przy potęgach zn

Ogólna teonya funkcyj dwuperyodycznych i funkcye elliptyczne.

Ilość ta podaje zarazem ilość miejsc, w których fu

©io * ©io(«±yj

a(au\a(oit a(o2) — a.a(u \ o)i, co2).

- 542 -

ft+ft

^ ~^~*2 • Qi JP^

\r'f'x)dx=,F[<p(tO\-FVP(h)]

Znaczenie geometryczne całki pojedynczej i przybliżone metody całkowania.

(y0, ?/2) =-g-foo + ^+ft)-

602

— 618 -

o=\ dx\ dy\ f{x,y, z)ds.

- 631 —

da cx -, , r1 r*a6+“) ® <źm dv

= 2f \/a2—s2 <fe,

Przykłady krzywych płaskich algebraicznych.

679

S=8a.

68) Wyznaczyć podstyczną biegunową spiralnej Archi

= ^ V/**+y*+«*«** *y-

Wykład XüV.

ds

Ogólne własności powierzchni drugiego rzędu.

f\—A4, /2—kB, A — A — AD,

(U)

- 771 -

siona do układu, którego początek wpada w wierzcho

8. Ogniska i kierownice danej powierzchni rzędu drugiego. Jeżeli po wierzchnia drugiego rzędu :

— 810 —

dp dx+dq dy=Jc2 [r (B + Cq)2 + 2s (B+ Cq) (A 4- Cp) +1 (A + Cp)2],

- 832

P1P2 — OM-ïM-i)2 ’

(23)

i;M

x2+y2+z2—r2 =0,

1. Równania zwyczajne a równania różniczkowe powierzchni. Równa

14. Linie asymptotyczne na powierzchniach obrotowych, określonych równaniami: x=uc08V, y—U8 in u, z—f(u)• Mamy tu:

Wstęp do teoryi równań różniczkowych.

- 917

*-rr)-». m

- 936 -

y/i-f r<2‘

- 954 -

16. Przekształcenie równania różniczkowego rzędu drugiego na równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zastąpmy w równaniu różniczkowem :

- 977 —

(as«+ys_<7)* = *ł.

»-‘ki+to»)

Wykład LiXlI.

oyi-xł

Zasadnicze pojęcia rachunku przemienności.

WYKŁADY MATEMATYKI.

KU US I.

ZASADY GEOMETRYI ANALITYCZNEJ

TEMATYKI {

I    I

II    K k i

I ANALIZY WYŻSZEJ.

BI

TOM II.

Zasady rachunku całkowego i analiza funkcyj ilukolwiek zmiennych, z teoryą Unij krzywych i powierzchni. Początki równań różniczkowych i rachunku przemienności.

■4*

W 63 wykładach, uzupełnionych ćwiczeniami, wiadomościami bibliograf!cznemi i tematami

do rozprawek naukowych.

270 figurami w teltśoie.

filed.

<sS

<&

Cena 30 koron.

S3

L W Ó W.

I. Związkowa drukarnia we Lwowie, ul. Lindego 1. 4.

3908.

i*

9

‘CT

- ■

■ V >

i

*

’■K*

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA.

WYDAWNICTWO POLSKICH PODRĘCZNIKÓW TECHNICZNYCH, PODJĘTE STARANIEM GRONA PROFESORÓW SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

Dr. PLICYD DZIWliSKI

PEOPESOE SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

IÀ1

WYKŁADY MATEMATYKI.

KUKS I.

ZASADY GEOMETRYI ANALITYCZNEJ

I ANALIZY WYŻSZEJ.

TOM II.

Zasady rachunku całkowego i analiza funkcyj ilukolwiek zmiennych, z teoryą linij krzywych i powierzchni. Początki równań różniczkowych i rachunku przemienności.

W 63 wykładach, uzupełnionych ćwiczeniami, wiadomościami bibliograficznemi i tematami

do rozprawek naukowych.

25 270 figurami w tekście.

/iŸlceJi '

35-

Cena 30 koron.

LWÓW.

I. Związkowa drukarnia we Lwowie, ul. Lindego 1. 4.

#-v0 ^

li(-3^6ory

BIBLIOTEKA

INSTYTUTU M . 3MATYK1 POLITECHNIKI kccaKOWSK1EJ

nr.-^L

Katedra

MATh

I ZAKŁAD

sv.?lfêïr

«⁵

Składali zecerzy Marcin Kazimierz Leszczyński i Stanisław Dąbrowski.

ł®

i    ja»

PEZEDMOWA.

Tom II. wykładów matematyki, który obecnie oddaję do użytku młodzieży, rozpocząłem wykładami zasad rachunku całkowego, rozwijając kolejno całki funkcyj algebraicznych, wymiernych i niewymiernych, całki dwu-mienne, całki funkcyj goniometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych, hiperbolicznych i hiperbolometrycznych, poczem przystąpiłem do analizy wyższej funkcyj ilukolwiek zmiennych.

Wyjaśniwszy pojęcia różniczek i pochodnych cząstkowych, tudzież różniczek zupełnych jakiegokolwiek rzędu, a zarazem wyznaczanie całek cząstkowych, pojedynczych i wielokrotnych, tudzież całkowanie różniczek zupełnych i rozwijanie funkcyj na szeregi z odnośnemi zastosowaniami, rozwinąłem zasady teoryi przekształceń funkcyj, tudzież przekształcania pochodnych, różniczek i całek funkcyj ilukolwiek zmiennych.

Z rozwijaniem funkcyj na szeregi potęgowe połączyłem rozwijanie funkcyj na iloczyny nieskończone, podając przy tej sposobności ogólną teoryę tworzenia funkcyj jedno- i dwu-peryodycznych ze szczególnem uwzględnieniem thetafunkcyj Jacobi’ego i funkcyj elliptycznych Weierstrassa.

Dołączywszy następnie wykłady o rozwijaniu funkcyj na ułamki ciągłe nieskończone, zająłem się teoryą całek określonych, rozwijając kolejno całki określone pojedyńcze, podwójne, potrójne i wielokrotne z ich przekształceniami.

rozważając zastosowania całek

Przy zastosowaniu całek określonych do krzywych płaskich, podałem przykłady ważniejszych krzywych płaskich algebraicznych i przestępnych z uwzględnieniem krzywych spiralnych, określonych do krzywych przestrzennych i powierzchni, wyłożyłem teoryę styczności i krzywizny krzywych przestrzennych, ogólne i szczególne własności powierzchni rzędu drugiego i zasady ogólnej teoryi powierzchni z teoryą krzywizny, tworzenia i przekształcania powierzchni, wyjaśniając przytem wybitniejsze linie na powierzchniach.

Koniec tomu II. tworzą wykłady teoryi równań różniczkowych, w których omówiłem ogólne metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, dołączając wykłady o przedstawianiu funkcyj za pomocą całek określonych i o zasadniczych pojęciach rachunku przemienności.

W całości obejmuje tom II. wykładów 63. Podobnie jak w tomie I. dodałem po każdym wykładzie liczne ćwiczenia z wynikami lub wskazówkami rozwiązań, oraz odnośne wiadomości bibliograficzne i tematy do rozprawek naukowych.

Tom ten wydałem również nakładem własnym, korzystając z subwencyi c. k. ministerstwa wyznań i oświaty i opierając się na prenumeratach kolegów i słuchaczy, przy stałem poparciu komisyi wydawniczej Grona Profesorów Szkoły Politechnicznej.

Korektę druku przeprowadzał długoletni asystent przy mojej katedrze matematyki, Dr. Łucyan Böttcher, któremu też zawdzięczam niejedną cenną uwagę w tekście wykładów i doborze ćwiczeń.

Klisze do rycin sporządzał zakład artystyczno-fotograficzny im. E. Trze-meskiego, bądź to na podstawie rysunków, wykonanych przez asystenta Dra Łucyana Böttchera, bądź też na podstawie zdjęć z modeli muzeum matematycznego, uskutecznionych przez p. Seweryna Bitnego, słuchacza Wydziału Inźynieryi. Za ten ich współudział w pracy wyrażam Im serdeczne podziękowanie, jak niemniej Zarządowi „Pierwszej drukarni związkowej“, który nie szczędził starań, aby dzieło to także pod względem typograficznym odpowiadało słusznym wymaganiom.

Oba tomy obejmują wykłady matematyki, którą nazwałem matematyką kursu I-go; tworzą one razem wstęp do nauki nowszej analizy i wyższej geometry i, którą obejmuję nazwą matematyki kursu Ii-go, a stanowią zarazem konieczną podstawę do samodzielnych studyów w zakresie matematyki czystej i stosowanej.

Oby wyszły na pożytek młodzieży i nauki polskiej.

Pisałem we Lwowie dnia 18. lipca 1908.

Dr. Placyd Dziwiński.

SPIS RZECZY

w tomie II. zawartych.

WyMad I. Wstęp do rachunku całkowego. Funkcya pochodna i różniczkowa danej funkcyi. Funkcye różniczkowalne. Przykłady funkcyj różniczkowalnych. Przykłady funkcyj nie różniczkowalnych. Funkcya pierwotna danej funkcyi. Wzory zasadnicze. Całka danej różniczki. Funkcya pierwotna danej funkcyi pochodnej i całka nieokreślona danej różniczki. Rachunek całkowy i rachunek różniczkowy. Całki zasadnicze. Prawidło całkowania sumy różniczek. Prawidło całkowania wielokrotności różniczek. Prawidło całkowania przez części. Prawidło całkowania różniczek przez wprowadzenie nowej zmiennej. Sposób całkowania za-pomocą podstawienia. Sposób całkowania zapomocj przekształcenia. Elementarne metody całkowania. Zastosowania. Całki funkcyj elementarnych. Ćwiczenia 1 — 17.

18-30.

Wyklad II. Całki funkcyj algebraicznych wymiernych. Całki funkcyj algebraicznych, wymiernych, całkowitych. Całki funkcyj algebraicznych wymiernych, ułamkowych. Całki funkcyj ułamkowych właściwych. Całki właściwych funkcyj ułamkowych, których mianowniki są funkcyami drugiego stopnia. Całki funkcyj ułamkowych, których mianowniki są potęgami funkcyi drugiego stopnia. Cał-kowalność funkcyj algebraicznych wymiernych. — ćwiczenia

Wykład III. Szczególne metody całkowania funkcyj wymiernych, ułamkowych. Ogólna metoda całkowania funkcyj wymiernych, ułamkowych. Całkowanie funkcyj ułamkowych, których mianowniki mają czynniki tylko stopnia pierwszego. Całkowanie funkcyj wymiernych, ułamkowych o mianowniku kształtu as”-4-1, Sprowadzanie funkcyi ułamkowej do najprostszej postaci. Największy wspólny podzielnik dwu funkcyj całkowitych, wymiernych. Największy wspólny podzielnik funkcyi całkowitej, wymiernej i jej funkcyi pochodnej. Warunek, pod jakim całka funkcyi ułamkowej jest wyłącznie funkcyą przestępną. Niektóre uwagi o rozwiązywaniu równań liczebnych, posiadających same tylko jednokrotne pierwiastki. Całkowanie funkcyj ułamkowych, których mianowniki mają czynniki wielokrotne. Warunki, pod jakimi całka funkcyi ułamkowej jest czysto algebraiczną. Rozwiązywanie równań liczebnych o pierwiastkach wielokrotnych. Wyznaczanie części algebraicznej w całce danej funkcyi ułamkowej , bez rozkładania tej funkcyi na ułamki proste. Całkowanie funkcyj wy-

, metodą pod-

miernych metodą podstawienia. Wyznaczanie całki stawienia. Całkowanie funkcyj ułamkowych zapomocą wzorów redukcyjnych.

(te²—a²)¹¹

Wzór redukcyjny dla całek typu Imr=§

xmdx

ćwiczenia

(«■*²4-óas-|-c)r

Wykład IV. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych. Zasadnicza metoda całkowania funkcyj algebraicznych niewymiernych. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających ułamkowe potęgi zmiennej. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających ułamkowe potęgi dwumianu: ax-\-b. Całki funk yj algebraicznych, niewymiernych, zawierających jako niewymierność ułam-

31-51.

ax-\-b ' a'x-\-b''

Ogólne wnioski. Całki funkcyj algebraicznych,

kowe potęgi funkcyi

niewymiernych, zawierających jako niewymierność kwadratowy pierwiastek funkcyi drugiego stopnia. Rozkładanie całek ksztalu ^R{x, y)dx. Ćwiczenia 62—67.

Stronica.

Wykład V. Uwagi dotyczące wyznaczania całek kształtu: §R(x, ^ax²-j-bx-j-c)dx. Ogólne formy podstawień algebraicznych. Znaczenie geometryczne podstawień algebraicznych, przekształcających całkę: §R(x, ^ax^bx-j-c) dx na całki funkcyj wymiernych. Przekształcenia funkcyi R(oc, \jax²-\-bx-j-c), wskazane przed jej całkowaniem. Sprowadzanie całek kształtu : J    ,j0 cajek normalnych

68-88.

Sprowadzanie całek normalnych do całek zasadniczych. Podstawienia algebraiczne w zastosowaniu do całek zasadniczych, ćwiczenia.........

Wykład VI. Dalszy ciąg uwag dotyczących wyznaczania całek kształtu: ^R(x, y)dx, gdzie y—Y ax'^bx^-c. Przekształcanie całki:    ^ax²-{-bx~\-c) dx przez upro

89-104.

szczenie funkcyi drugiego stopnia, występującej pod znakiem pierwiastkowym. Całki zasadnicze pierwszego typu z możliwie uproszczoną niewymiernością. Całki zasadnicze drugiego typu z możliwie uproszczoną niewymiernością. Szczególne przypadki. Całki zasadnicze trzeciego typu z możliwie uproszczoną niewymiernością. Przekształcenie całki zasadniczej trzeciego typu przez sprowadzenie trójmianów drugiego stopnia, w niej występujących, do form dwuwy-razowych. Wyznaczanie całek zasadniczych typu trzeciego zapomocą podstawień goniometrycznych. Wyznaczanie całki pierwszego rodzaju. Wyznaczanie całki drugiego rodzaju. Wyznaczanie całki trzeciego rodzaju. Podstawienia go-niometryczne w zastosowaniu do całek zasadniczych pierwszych dwu typów, ćwiczenia

105-116.

Wykład VII. Całki dwuinienne. Określenie całek dwumiennych. Przypadki, w których całka dwumienna da się sprowadzić do całki funkcyi wymiernej. Wzory redukcyjne całki dwumiennej. Przykłady wyznaczania całek dwumiennych zapomocą wzorów redukcyjnych. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, sprowadzalne do całek dwumiennych. Przekształcanie całki dwumiennej przez sprowadzenie funkcyi dwuwyrazowej do funkcyi stopnia pierwszego. Przekształcanie całki dwumiennej Ip, q, za pomocą podstawień goniometrycznych. ćwiczenia

tan Wyznaczanie całek L, k zapomocą podstawień.

Rozkładanie iloczynu sin« x cos* x na dodajniki. Prawidła Żmurki. Przykłady wyznaczania całek Is, * zapomocą prawideł Żmurki. Wzory rozkładające funkcye

Wykład VIII. Całki funkcyj goniometrycznych kształtu: Is, k = jsin« x cos* x àx. Wzory redukcyjne całki ls, h. Redukcya całek Ia, u przy całkowitych wykładnikach. Całki Is, 0 = ^810* x dx i I₀, u — jcos* x dx. Całki kształtu: Im — jtang'"»x dx. (* doc

Całki kształtu In— \

117—138.

139-154.

goniometryczne sin« x i cos* x na dodajniki. Całki Is, ₀=Jsin«x dx, I₀, k = ^cos^xdx, wyznaczone zapomocą rozkładania funkcyj sin« x i cos* x na dodajniki. Całki ls, le— ^sin« x coskxdx o wykładnikach ułamkowych. Ćwiczenia Wykład IX. Całkowanie niektórych funkcyj algebraicznych zapomocą całek typu: Is,k—^sinsxc,oskxdx. Wyznaczanie całek funkcyj algebraicznych. Wyznaczanie całki dwumiennej: Im, p—^x™ (axn-\-b)p dx zapomocą podstawień goniometrycznych. Całki kształtu: lm, p = §xm (ax²-f- b)vdx. Wyznaczanie całek trójmiennych, kształtu: I—^x™(ax'i-\-bx-\-ć)Plidx za pomocą podstawień goniometrycznych. Całki trójmienne kształtu I=^xm(ax⁷n-{-bxn-\-ć)Pdx. Rozmaite inne całki funkcyj algebraicznych, sprowadzalne do całek typu: Is,&=^sin« x cosk x dx. Korzyści podstawień goniometrycznych, przy wyznaczaniu całek niektórych funkcyj algę. braicznych. Zastosowanie rachunku całkowego do wyznaczania związków między funkcyami cyklometrycznemi i funkcyami logarytmicznemu Związek między funkcyami goniometrycznemi a funkcyami wykładniczemi. Związki między funkcyami hiperbolometrycznemi a funkcyami logarytmicznemi, tudzież związki między funkcyami hiperbolicznemi a funkcyami wykładniczemi. Całki Abelowe. Ćwiczenia

Stronica.

Wykład X. Całki złożonych funkcyj goniometrycznych. Całki kształtu : J-R(sinaj,cosaj)dx. Podstawienie sin x —u. Podstawienie tang x = u. Podstawienie tang ¹/₂a: = M. Całki kształtu: ^ćr(sin oj, cos x) dx. Całki kształtu : ^R(sin mx, cos nx)dx. Sprowadzanie całek funkcyj goniometrycznych kształtu: ^

łek kształtu:    ^ sin* x cos* aj <&c. Wzory redukcyjne całek kształtu : J

dx. Rozkładanie funkcyi sin nx na czynniki.

Rozkładanie funkcyi cos »cc na czynniki. Wyznaczanie całek kształtu : \ C?~—■— dx.

J    J    J    J sin mx

dx. Całki kształtu : ^ sin* mx cos* nx

WylUad XI. Całki funkcyj wykładniczych i logarytmicznych. Całki funkcyj, złożonych z funkcyj wykładniczych. Całki kształtu: ^R dcc. Całki funkcyj niewymiernych, złożonych z funkcyj wykładniczych. Całka kształtu: ^R(x)eaxdx. Całka kształtu: t\xneaxdx. Wzór ogólny całki kształtu: ^G(x) eax dx.

. Całki kształtu:

cos nx

cos™ x

dx, \

sin nx

sin™ x

~dx do ca-

cos nx

COS™ X

dx,

cos »oj sin™ x

sin™ cc

sin mx

dx - j

sin nx

sin™ oj

dx■ 3

sin nx

cos™ x

dx. Ćwiczenia

155-171.

Całki

\ —dx.

J 0J«

CGm Jtyeaxdx. Całki kształtu: f f_

J (aj—a)™    J x—a

Całkowanie funkcyj logarytmicznych. Całki kształtu : J(log x)n dx. Całki kształtu:

^P(x)log x dx. Całki kształtu; §R(x, log x)dx. Całki kształtu: §f(x) log 9>(x)dx.

Ćwiczenia

Wykład XII. Całki funkcyj goniometrycznych i cyklometrycznych. Całkowanie funkcyj goniometrycznych zapomocą podstawienia exi=z. Bezpośrednie zastosowanie podstawienia funkcyi wykładniczej: exi = z do funkcyj: ^Â(sinæ, cos x )dx. Całki kształtu: J R (aj) sin cc dx, lub Ji2(aj) cos cc dx. Całki kształtu: j G (aj) sin x dx lub jćr(cc) cos x dx. Całki kształtu: jx™ sin x dx, lub §xm cos x dx. Całki

¹ i x) cog x Całki kształtu : j*

kształtu :

172—185

x dx sin™ x

Gn—1 (aj)

mb 3

Całki kształtu : ^ x tang x dx i £ x cotg x dx. Całki funkcyj cyklometrycznych, kształtu: £ R (arc sin x)dx. Wzory redukcyjne ^"(arcsin x)n dx i ^ (arc cosec)« dx. Całki kształtu: £ R(x) arc sin xdx. Całki kształtu: §xn arc sin x dx. Całki kształtu: ^xn arc tang x dx.

sin <f(x)dx, §xn arc tang <p(x) dx. ćwiczenia......

Wyklad XIII. Całki funkcyj hiperbolicznych ł hiperbolometrycznyeli. Elementarne funkeye hiperboliczne. Znakowanie funkcyj hiperbolicznych. Związki między elementarnemi funkeyami hiperbolicznemi. Wzory hiperboliczne. Elementarne funkeye hiperbolometryczne. Znakowanie funkcyj hiperbolometrycznych. Związki między funkeyami hiperbolometrycznemi. Różniczki i pochodne funkcyj hiperbolicznych. Różniczki i pochodne funkcyj hiperbolometrycznych. Całki zasadnicze, dotyczące funkcyj hiperbolicznych i hiperbolometrycznych. Całki elementarnych funkcyj hiperbolicznych. Całki elementarnych funkcyj hiperbolometry-cznych. Całkowanie funkcyj złożonych wymiernie z funkcyj hiperbolicznych. Całki kształtu: JP(sin hip m x, cos hip nx) dx. Całki kształtu:

^sin hip* mx₎ cos hip* » x daj. Całkowanie funkcyj hiperbolicznych za pomocą podstawień wykładniczych, lub goniometrycznych. Całki kształtu • §R(x) sin hip x daj,

lub ^ R (x) cos hip x àx. Całki : j"

(|x tang hip xdx i jaj cotg hip x dx. Całki funkcyj hiperbolometrycznych kształtu : lj R (arg sin hip x) dx. Wzory redukcyjne całek : j(arg sin hip x)n dx i j(argcos hip x)ndx. Całki kształtu: §R(x)arg sinhip x dx. jaj» arg sin hip xdx i j x” arg ćwiczenia........

kształtu :

x dx

Gn{x)

sin x dx.

Gn(x)

cos™ x'

xn arc

x dx

x dx

całek kształtu :

Całki kształtu:

186—202.

sin hip™ x

cos hip™ x *

Całki kształtu:

Całki kształtu :

cos hip x dx. Całki kształtu : jaj» arg tang hip

x dx.

203-221.

Wykład XIV. Całki funkcyj złożonych z funkcyj wykładniczych, goniometrycznych, lub hiperbolicznych i ich odwróceń. Całkowanie funkcyj złożonych z funkcyj wykładniczych i goniometrycznych. Całki kształtu: Je«* cos bx dx i Je«* sin bx dx.

dx i Je«* cos»» x dx. Całki kształtu : j

dx. Całki kształtu: Je«» tang™ x dx i Je«* co tg mxdx. Uwagi o całkowaniu funkcyj złożonych, sprowadzaj ącem się do całkowania funkcyj wymiernych. Uwaga o uogólnionej metodzie całkowania przez części. Całki funkcyj1 złożonych z funkcyj wykładniczych i goniometrycznych i potęg zmiennej. Całki kształtu: Ja:»» e«* cos bxdx i Jcc»» eax sin bxdx. Całki kształtu: J(a:—d)m e«* cos bxdx, J(x—a)m e«* sin bx dx. Całki kształtu : J G(x) e«* cos bx dx

Całki kształtu: J.B(a;)e«* cos bxdx i Ji?(a;)e«* sin bx dx. Całka kształtu:

J R(x, e«i*,

nych z funkcyj logarytmicznych i cyklometrycznych. Uwagi o całkowaniu funkcyj mieszanych. Metoda różniczkowania pod znakiem całkowym. Zastosowania, ćwiczenia

Całki kształtu : J e«* sin

eax

—-dx

sm™ x

eax

COS»» X

J G(x) eax sin bx dx.

e««*, sin btx,..., sin bnx, cos bix,..., cos bnx) dx. Całki funkcyj złożo-

222-288.

Wykład XV. Całkowanie zapomocą szeregów. Przedstawianie całki nieokreślonej danej funkcyi w postaci szeregu potęgowego. Wyprowadzanie szeregów potęgowych danej całki

kiem całkowania. Całki szeregów potęgowych i ich zakresy zbieżności. Funkcye, określone szeregami funkcyj elementarnych. Pochodna szeregu funkcyj elementarnych. Całka szeregu funkcyj elementarnych. Szereg utworzony z potęg funkcyi elementarnej t(x). Całkowanie funkcyj, określonych szeregami potęgowymi. Zastosowanie prawidła całkowania szeregów potęgowych do rozwijania funkcyj

za

pomocą szeregów potęgowych funkcyi, stojącej pod zna-

szeregi. Całki funkcyj, nie dające się wyrazić przez funkcye elementarne. Całki dwumienne Eulera. Główniejsze całki funkcyj przestępnych, niedające się wyrazić przez funkcye elementarne. Całki niektórych funkcyj złożonych, niedające się wyrazić przez funkcye elementarne. Rozwinięcie całek: J R{x) eax cos bx dx, J R (x) e«* sin bx dx. ćwiczenia Wykład XVI. Szczególne uwagi, dotyczące rozwijania całek. Całki pierwszego i wyż. szych rzędów. Całki ogólne i całki szczególne dowolnego rzędu. Ogólny wzór, dotyczący wyznaczania całki n-go rzędu danej funkcyi f(x) całek pojedynczych. Metoda wyznaczania, całek pojedynczych przy pomocy regów z nieoznaczonymi spółczynnikami. Rozwijanie funkcyj na szeregi przy pomocy całkowania lub różniczkowania szeregów o nieoznaczonych spółczyn-nikach Rozwijanie danej funkcyj według potęg innej znanej funkcyi. Całki funkcyj uwikłanych. Ćwiczenia Uykład XVII. Dalszy ciąg uwag dotyczących rozwijania całek. Wzory redukcyjne danego typu całek. Metoda powtarzanego całkowania przez części i ogólne wzory, na niej oparte. Zastosowanie powyższych wzorów do wyznaczania całek w formie zamkniętej. Zastosowanie metody całkowania przez części do rozwijania całek na szeregi. Rozwinięcie całki kształtu: J f(x) <P (x) dx na szereg. Rozwinięcia, oparte na różniczkowaniu danej całki pod znakiem całkowym. Całkowanie pod znakiem całkowym. Rozwinięcia, oparte na całkowaniu pod znakiem całkowym. Ćwiczenia Wykład XVIII. Różniczkowanie i całkowanie funkcyj dwu zmiennych niezależnych. Pochodne cząstkowe funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Różniczki cząstkowe i różniczka zupełna funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów danej funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Różniczki cząstkowe wyższych rzędów. Różniczki zupełne wyższych rzędów danej funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Całki cząstkowe danej funkcyi dwu zmiennych. Całko-

na

289-255.

za pomocą n sze-

256—269.

270-282.

wanie różniczek zupełnych pierwszego rzędu. Warunki całkowalności różniczek drugiego lub wyższych rzędów. Ćwiczenia

283-299.

Wykład XIX. Rozwijanie funkcyj dwu zmiennych niezależnych na szeregi. Szereg Taylora dla funkcyj dwu zmiennych niezależnych. Maxima i minima funkcyj dwu zmiennych niezależnych. Przykłady wyznaczania maximôw lub minimów danej funkcyi. Zastosowanie teoryi maximôw i minimów dwu zmiennych niezależnych do rozwiązywania rozmaitych zagadnień arytmetycznych lub geometrycznych. Symbole nieoznaczone funkcyj dwu zmiennych, niezależnych. Całkowanie funkcyj dwu zmiennych niezależnych za pomocą szeregów, ćwiczenia 300—317.

Wyklad XX. Różniczkowanie i całkowanie funkcyj wyraźnych ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Pochodne cząstkowe i różniczka zupełna funkcyi n zmiennych niezależnych. Pochodne i różniczki cząstkowe wyższych rzędów danej funkcyi n zmiennych niezależnych. Różniczki zupełne wyższych rzędów danej funkcyi n zmiennych niezależnych. Własności pochodnych cząstkowych funkcyj jednorodnych o ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Jednorodne formy algebraiczne. Całki cząstkowe danej funkcyi n zmiennych niezależnych. Całki wielokrotne. Całkowanie różniczek zupełnych pierwszego rzędu o n zmiennych, niezależnych. Całkowanie różniczek zupełnych o trzech zmiennych , niezależnych. Warunki całkowal-ności różniczek wyższych rzędów o ilukolwiek zmiennych. Ćwiczenia .... 318—334.

335-349.

Wykład XXI. Rozwijanie funkcyj ilukolwiek zmiennych na szeregi i odnośne zastosowania. Wzór Taylora dla funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Szeregi Taylora i Maclaurina dla funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Maxima i minima funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Maxima i minima funkcyj ilukolwiek zmiennych, poddanych pewnym warunkom dodatkowym'. Zastosowanie teoryi maximôw i minimów funkcyi ilukolwiek zmiepnych, do rozwiązywania zagadnień z analizy i geometryi. Ćwiczenia ....

- . 350—367.

Wykład XXII. Zasady teoryi przekształceń funkcyj ilukolwiek zmiennych. Określenie pojęcia przekształcenia funkcyj. Przekształcenie liniowe form algebraicznych. Przekształcenie ortogonalne. Wyznacznik ortogonalny. Elementy wyznacznika ortogonalnego n-go rzędu. Zastosowanie przekształceń liniowych do danej formy liniowej ilukolwiek zmiennych. Kolejne zastosowanie kilku przekształceń liniowych do danej formy. Zastosowanie przekształceń liniowych do układu form liniowych. Zastosowanie przekształceń liniowych do form kwadratowych, ilukolwiek zmiennych. Zastosowanie przekształceń ortogonalnych do form kwadratowych ilukolwiek zmiennych. Sprowadzenie formy kwadratowej do postaci kanonicznej zapo-mocą przekształceń jednomodułowych. Formy kwadratowe stale dodatnie, lub stale ujemne. Prawo bezwładności form kwadratowych. Zastosowanie przekształceń liniowych do dowolnej funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Zastosowanie przekształceń liniowych do układu funkcyj ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Ćwiczenia

368-387.

Wykład XXIII. Niezmienniki i współzmienniki form algebraicznych ilukolwiek zmiennych. Określenie niezmienników danych form. Określfenie współzmienników danych form. Ilość niezmienników bezwzględnych danej formy. Formy niemające niezmienników bezwzględnych. Jedyny niezmiennik formy kwadratowej. Wspólne niezmienniki dwu form kwadratowych. Niezmienniki ortogonalne formy kwadratowej n zmiennych. Ogólne własności niezmienników danej formy m-go stopnia. Ogólne własności współzmienników danej formy m-go stopnia. Niezmienniki form dwójkowych m-go stopnia. Kównania różniczkowe niezmienników formy dwójkowej. Tworzenie niezmienników danego stopnia dla danych form dwójkowych. Współzmienniki danej formy dwójkowej n-go stopnia. Równanie różniczkowe współzmienników. Tworzenie współzmienników dla danych trójkowych, ćwiczenia

Wykład XXIV. Przekształcenie pochodnych i różniczek funkcyi jednej i dwu zmiennych. Zmiana zmiennej niezależnej w funkcyi jednej zmiennej. Różniczkowanie funkcyi określonej równaniem : F (x, y)=0 za pośrednictwem nowej zmiennej t. Zmiana zmiennej niezależnej na zależną i odwrotnie. Zmiana obu zmiennych zależnej i niezależnej w funkcyi jednej zmiennej. Zmiana zmiennych niezależnych w funkcyi dwu zmiennych. Różniczkowanie funkcyi, określonej równaniem :

388-406.

F(x, y, z) = 0. Zmiana wszystkich zmiennych w funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Przekształcanie całek podwójnych. Ćwiczenia

Wykład XXV. Przekształcanie pochodnych i różniczek funkcyj il ukoi wiek zmiennych i wyznaczniki funkcyjne. Różniczki zupełne i pochodne cząstkowe funkcyi uwikłanej n zmiennych. Zmiana zmiennych niezależnych w funkcyi n zmiennych Zasadnicze własności Jakobianu n funkcyj. Jakobian układu n funkcyj, złożonych z funkcyj n zmiennych niezależnych. Jakobian układu funkcyi n zmiennych niezależnych. Jakobian układu funkcyj odwrotnych. Hesyan funkcyi n zmiennych niezależnych. Różniczkowanie wyznaczników funkcyjnych. Wyznaczniki funkcyjne Wrońskiego. Zasadnicze własności Wrońskianu. Funkcye, określone układem równań. Zmiana wszystkich zmiennych w funkcyi n zmiennych niezależnych.

407-427.

Przekształcanie całek wielokrotnych. Ćwiczenia..............

428-444

Wykład XXVI. Rozwijanie funkcyj uwikłanych ilukolwiek zmiennych na szeregi potęgowe. Rozwijanie funkcyi uwikłanej, określonej jednem równaniem. Maxima i minima funkcyi uwikłanej, określonej równaniem: F(z{, xt) . . ,at») = 0. Rozwijanie funkcyj algebraicznych ilukolwiek zmiennych. Szeregi Lagrange’a Zastosowanie szeregów Lagrange’a do rozwiązywania równań. Odwracanie szeregów potęgowych. Rozwijanie układu funkcyj uwikłanych na szeregi potęgowe, ćwiczenia

445-461

Wylcład XXVII. Zasady teoryi iloczynów' nieskończonych i rozwijanie funkcyj na iloczyny. Zasadnicze pojęcia. Warunki zbieżności iloczynów nieskończonych. Warunek ogólny. Bezwarunkowa zbieżność iloczynu nieskończonego. Iloczyny nieskończone , warunkowo zbieżne. Zestawienie prawideł zbieżności iloczynów. Przekształcanie szeregów na iloczyny nieskończone. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na szeregi. Iloczyny nieskończone , których czynniki są funkcyami jednej zmiennej niezależnej. Przedstawianie funkcyj sin x i cos x w postaci iloczynów nieskończonych. Wzór Wallisa. Przedstawianie funkcyj goniometrycznych ilukolwiek zmiennych w postaci nieskończonych iloczynów. Rozwijanie funkcyj hiperbolicznych na iloczyny nieskończone. Ćwiczenia

462-476.

Wykład XXVIII. Funkcye peryodyczne i rozwijanie ich na szeregi i iloczyny nieskończone. Funkcye jednoperyodyczne. Elementarna funkcya jednoperyodyczna bez miejsc zerowych. Peryody i miejsca zerowe funkcyj goniometrycznych i hiperbolicznych. Peryodyczność iloczynu nieskończonego, przedstawiającego funkcyę sin x. Punkt istotnie osobliwy funkcyj peryodycznych. Ogólny sposób tworzenia funkcyj peryodycznych. Niektóre uwagi o funkcyach całkowitych przestępnych. Funkcye całkowite przestępne o nieskończonej ilości miejsc zerowych. Szeregi nieskończone, oparte na iloczymach nieskończonych danych funkcyj. Szeregi nieskończone, po obu stronach wyrazu środkowego. Szereg Jaco-biego. ćwiczenia

Wykład XXIX. Theta-funkcye Jacobiego i na nich oparte funkcye dwuperyodyczne.

71 = CO

Funkcya Q(x) określona szeregiem : ©(a;) =    ean'l+bn^. Funkcye Jacobiego,

n —oo

zwane Theta - funkcyami. Miejsca zerowe funkcyi Theta. Rozwijanie Theta-funkcyj na iloczyny nieskończone. Logarytmiczna pochodna funkcyi ötl(x). Druga pochodna logarytmu 0u(æ), jako przykład funkcyi dwuperyodycznej. Rozmaite inne funkcye dwuperyodyczne oparte na funkcyach Theta. Ćwiczenia . . . 477—494.

Wykład XXX. Ogólna teorya funkcyj dwuperyodycznych i funkcye eliptyczne. Określenie ogólnej peryodycznosci funkcyj. Funkcye dodajnikowo-peryodyczne. Funk-cyo mnożnikowo peryodyczne. Tworzenie funkcyj mnożnikowo-peryodycznych. Funkcye dwuperyodyczne pierwszego rodzaju, oparte na funkcyach mnożnikowo-peryodycznych. Funkcye dwuperyodyczne drugiego rodzaju. Funkcye dwuperyodyczne trzeciego rodzaju. Theta funkcye n-go rzędu. Theta funkcye pierwszego rzędu. Theta-funkcye drugiego rzędu. Tworzenie elementarnych funkcyj dwuperyodycznych przy pomocy Theta-funkcyi pierwszego rzędu. Rozwijanie elementarnych funkcyi dwuperyodycznych ^(.r),    x), 9°₃(a:) na szeregi potęgowe.

495-512.

Funkcye eliptyczne w ogólności. Ćwiczenia

Wyklad XXXI. Szczególne funkcye eliptyczne. Funkcye eliptyczne Jacobiego. Peryody funkcyj eliptycznych sn u, cn u, dn u. Punkta zerowe i punkta nieskończono-ściowe funkcyj sn«, cn u, dn u. Prawa dodawnicze Theta funkcyj. Prawa doda-wnicze funkcyj eliptycznych: V^x), 99P₃(a:). Prawa dodawnicze funkcyj eliptycznych: sn«, cn u, dn w i związki na nich oparte. Zastosowania funkcyj tn« i cotn u. Ćwiczenia

513-524.

525-534.

Wykład XXXII. Funkcye eliptyczne Weierstrassa. Funkcya Weierstrassa ®(«). Pochodna logarytmiczna funkcyi a(u). Funkcya eliptyczna Weierstrassa $(u). Wyprowadzenie wzoru a(u-\-a). Funkcye £(«#+«) i $?(%-]-«). Dwuperyodyczność funkcyi §?(w). Rodzaj dwuperyodyczności funkcyi £(«). Rodzaj dwu peryodycz-ności funkcyi a(u). Pierwsza pochodna funkcyi $(u). ćwiczenia

Wykład XXXIII. Rozwijanie funkcyj eliptycznych. Odwrotności Theta funkcyj i ich

rozwinięcia. Rozwinięcia funkcyj eliptycznych i ich odwrotności. Ćwiczenia 635—542.

543-561.

Wykład XXXIV. Rozwijanie funkcyj na ułamki ciągłe nieskończone. Ułamek ciągły nieskończony i jego wartości przybliżone. Ułamki ciągłe nieskończone, o samych wyrazach dodatnich. Zbieżność i rozbieżność nieskończonych ułamków ciągłych. Badanie zbieżności lub rozbieżności danego ułamka ciągłego za pomocą badania zbieżności lub rozbieżności równoważnego szeregu nieskończonego. Zasadnicze typy nieskończonych ułamków ciągłych. Ułamki ciągłe nieskończone, złożone z samych wyrazów dodatnich. Wystarczające, choć nie zawsze konieczne kry tery a zbieżności ułamków ciągłych nieskończonych, złożonych z samych wyrazów dodatnich. Ułamki ciągłe zwyczajne. Rozwijanie liczb wymiernych i liczb niewymiernych na ułamki ciągłe zwyczajne. Ułamki ciągłe nieskończone, których wyrazy począwszy od drugiego są ujemne. Ułamki ciągłe peryodyczne. Przykłady ułamków ciągłych peryodycznych. Ćwiczenia

ułamek ciągły, ćwiczenia

562-570.

na

Wykład XXXV. Przekształcanie szeregów- i iloczynów nieskończonych na ułamki ciągłe nieskończone. Przekształcanie szeregu nieskończonego na ułamek ciągły nieskończony. Przekształcanie szeregu potęgowego na ułamek ciągły. Przekształcanie ilorazu dwu szeregów potęgowTych na ułamek ciągły. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na ułamki ciągłe i nawzajem. Przekształcanie iloczynu nieskończonego na ułamek ciągły za pośrednictwem szeregu. Bezpo-'''s' średnie rozwijanie danej funkcyi

571—584.

Wykład XXXVI. Zasady teoryi całek określonych. Pojęcie całki określonej pojedyń-czej. Przykłady wyznaczania całek określonych pojedyńczych za pomocą całek nieokreślonych. Zasadnicze własności pojedyńczej całki określonej, oparte na własnościach całki nieokreślonej. Zmiana zmiennej niezależnej w danej całce określonej. Metoda całkowania przez części w zastosowaniu do całek określonych. Wzór Wallisa. Całki określone z nieskończonemi granicami. Ocenianie całki określonej na podstawie funkcyi, stojącej pod znakiem całkowania. Całkowanie szeregów. Ćwiczenia.......................

575—599._i

Wykład XXXVII. Znaczenie geometryczne całki pojedyńczej i przybliżone metody całkow-ania. Krzywe różniczkowe i krzywe całkowe. Całkowanie graficzne. Znaczenie geometryczne całki określonej. Metody bezpośredniego obliczania wartości całek określonych. Przykłady bezpośredniego obliczania całek określonych. Przybliżone metody obliczania powierzchni zastosowane do przybliżonych metod obliczania całek określonych. Wzór trapezowy przybliżonego obliczania całek określonych. Wzór Simpsona. Uogólnienie wzoru Simpsona. Średnia wartość funkcyi w danym odstępie. Reszta szeregu Taylora w postaci całki określonej. ćwiczenia

Wykład XXXVIII. Powierzchnie jako obrazy geometryczne funkcyj dwu zmiennych niezależnych. Obraz geometryczny funkcyi dwu zmiennych niezależnych. Kształt powierzchni określonej danem równaniem. Przykłady badania kształtu powierzchni określonej równaniem wyraźnem. Przykłady badania powierzchni określonych równaniami uwikłanemu a) Elipsoida. 6) Hiperboloida o jednej powłoce, y) Hiperboloida o dwóch powłokach, o) Paraboloida eliptyczna, e) Paraboloida hiperboliczna. Kształt powierzchni, określonej równaniem o dwu zmiennych,

Stronica.

uważanem za równanie o trzech zmiennych. Znaczenie geometryczne pochodnych cząstkowych w danym punkcie powierzchni Płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni. Powierzchnie różniczkowe danej powierzchni. Powierz-

r*2

chnie całkowe danej powierzchni. Całki określone cząstkowe: \ f(x, y)dx

\ J2 f(x, y)dy. Ćwiczenia ^ y \

600-614.

615—626.

Wyltiad XXXIX. Całki określone podwójne, potrójne i wielokrotne. Pojęcie całki określonej podwójnej. Porządek całkowania podwójnego przy stałych granicach całkowania. Znaczenie geometryczne całki określonej podwójnej. Całka określona podwójna jako granica sumy podwójnej. Całki określone podwójne o zmiennych granicach całkowania. Znaczenie geometryczne podwójnej całki określonej przy zmiennych granicach całkowania. Całki określone potrójne. Całka potrójna jako granica sumy. Pojęcie całki wielokrotnej. Całki »-krotne i ich szczególne przypadki. Całki liniowe, powierzchniowe i przestrzeniowe. Ćwiczenia

Wykład XL. Różniczkowanie, całkowanie i przekształcanie całek określonych. Różniczkowanie całki określonej względem zmiennych granic. Różniczkowanie całki określonej ze względu na zmienny parametr, znajdujący się pod znakiem całkowania. Różniczkowanie całek określonych o zmiennych granicach całkowania. Zastosowanie prawideł różniczkowania całek określonych. Całkowanie pojedynczej całki określonej ze względu na parametr zmienny, znajdujący się pod znakiem całkowania. Zastosowanie prawideł różniczkowania i całkowania całek określonych do wyznaczania niektórych całek. Wyznaczanie całek określonych pojedynczych za pomocą całek podwójnych. Przykłady mieszane. Przekształcanie całek określonych podwójnych. Znaczenie geometryczne przekształcania całek

r    r^/j

podwójnych. Przykład: Przekształcić całkę podwójną kształtu: \    \ f(x,y)dxdy

---——--—    J J V\

\l

za pomocą podstawienia: x = r cos <P, y = rsin<P. Przekształcanie całki określo-—*    nej potrójnej. Przekształcanie całki “określonej wielokrotnej. Ćwiczenia

Wykład XLI. Zastosowanie całek określonych do krzywych płaskich. Kwadratura krzywych płaskich. Zastosowanie całek określonych pojedynczych w kwadra-

x⁵ y²

cya hiperboli: — — J—=\. y) Rektyfikacya paraboli: yi = 2px. Kubatura powierzchni obrotowych. Przykłady : a) Kubatura ellipsoidy obrotowej, ß) Kubatura hiperboloidy obrotowej o jednej i dwu powłokach, y) Kubatura parabo-loidy obrotowej. Komplanacya powierzchni obrotowych. Przykłady: a) Koinpla-nacya ellipsoidy obrotowej, ß) Komplanacya hiperboloidy obrotowej o jednej i o dwu powłokach, y) Komplanacya paraboloidy obrotowej. Momenta statyczne łuków i pól płaskich. Moment statyczny łuku względem prostej. Moment statyczny powierzchni zamkniętej względem linii pi’ostej Środki ciężkości łuków i pól płaskich. Wzory Guldin’a. Moment bezwładności luków i pól płaskich. Moment bezwładności łuku. Moment bezwładności pola. Przykłady: «) Moment bezwładności powierzchni trójkąta względem jego podstawy, ß) Moment bezwładności powierzchni koła względem jego średnicy, y) Moment bezwładności koła względem jego środka. Potencyał łuku i pola płaskiego. Przyciąganie

punktu przez łuki lub pola płaskie. Ćwiczenia..............

Wykład XLII. Przykłady krzywych płaskich algebraicznych. Ogólne uwagi o równaniach krzywych. Krzywe algebraiczne i przestępne. Wyprowadzenie równania linii krzywej z danej własności jej punktów. Cissoida Dioklesa. Parabola Neila. Strofoida. Liść Descartesa. Koncboida Nikomedesa. Konchoida Pascala. Kar-

. 627-643.

1. fi) Kwa-

linii

644-665.

xnl.

(lioida. Krzywe Cassiniego. Lemniskata. Róża czterolistna. Àstroida. Skarabea, jako uogólnienie róży czterolistnej. Ćwiczenia

Stronica.

666-681.

na logarytmiczna. Styczne w punktach krzywej, określonej równaniem biegunowem. Zastosowania. Asymp-toty krzywych, określonych równaniami biegunowemi. Koła i punkta asymptotyczne krzywych spiralnych. Promień krzywizny w danym punkcie krzywej, określonej równaniem biegunowem. Ćwiczenia .

fi ykład AIj/II. Przykłady krzywych przestępnych. Krzywe logarytmiczne. Linia łańcuchowa. Krzywe goniometryczne, a w szczególności krzywa Dinostrata. Cykloida. Zastosowanie całek określonych do cykloidy zwyczajnej. Epicykloida i hipocykloida. Odwinięta linii kołowej. Krzywe spiralne. Spiralna Archimedesa. Spiralna hiperboliczna. Spiralna paraboliczna. Spiral

682 - 699.

700-716.

ff ylcład XLIV. Zastosowanie całek określonych do krzywych przestrzennych i powierzchni. Równanie krzywej przestrzennej. Linia śrubowa na walcu kołowym, jako przykład krzywej przestrzennej. Komplanacya walca, rzucającego krzywą przestrzenną. Kubatura powierzchni dowolnych. Zastosowanie całek określonych pojedyńczych w kubaturze powierzchni. Zastosowanie całek podwójnych w kubaturze powierzchni. Zastosowanie całek potrójnych w kubaturze powierzchni. Przykłady: a) Kubatura ellipsoidy. ß) Kubatura hiperboloidy o jednej powłoce, y) Kubatura hiperboloidy o dwóch powłokach, o) Kubatura paraboloidy eliptycznej. Komplanacya dowolnych powierzchni. Momenta statyczne i środki ciężkości powierzchni i brył. Potencyały powierzchni i objętości. Przyciąganie punktu przez powierzchnie i bryły. Ćwiczenia

Wyklad XLV. Teorya styczności i krzywizny krzywych przestrzennych. Styczna do krzywej przestrzennej. Asymptoty krzywej przestrzennej. Płaszczyzna normalna krzywej przestrzennej. Płaszczyzna ściśle styczna. Normalna główna i binormalna.

Koło ściśle styczne i krzywizna pierwsza. Kąt skręcenia i krzywizna druga.

Kula ściśle styczna. Związek między promieniem koła ściśle stycznego i promieniem kuli ściśle stycznej. Wzory Freneta. Przykłady: a) Linia śrubowa. S) Lemniskata sferyczna, y) Dana krzywa algebraiczna. 8) Wyznaczyć asymptoty krzywej przestrzennej. Styczna dwu krzywych przestrzennych. Ćwiczenia .... 717—736.

Wykład XLVI. Ogólne własności powierzchni drugiego rzędu. Dyskusya równania drugiego stopnia o trzech zmiennych. Środek powierzchni. Płaszczyzny środkowe. Średnice powierzchni 2-go rzędu. Średnice sprzężone. Układy średnic sprzężonych. Płaszczyzny główne i kierunki główne powierzchni. Układ kierunków głównych. Płaszczyzna styczna. Stożek styczny. Biegun i płaszczyzna biegunowa. Punkta nieskończenie dalekie na powierzchni. Stożek asymptotyczny. Ćwiczenia . . . 737—7B4.

755-766.

Wykład XLVII. Szczególne postacie powierzchni rzędu drugiego. Przekształcanie ogólnego równania powierzchni drugiego rzędu na podstawie zmiany początku układu. Zmiana kierunków osi układu. Zmiana początku i kierunków osi układu. Klasyfikacya powierzchni drugiego rzędu. Powierzchnie obrotowe rzędu drugiego. Ćwiczenia

767-784

Wykład XLVIII. Szczególne własności powierzchni środkowych rzędu drugiego. Elli-psoida. Przekroje płaskie ellipsoidy. Przekroje kołowe ellipsoidy. Średnice i płaszczyzny środkowe ellipsoidy. Układy średnic sprzężonych. Układ równych średnic sprzężonych. Hiperboloida o jednej powłoce. Przekroje płaskie hiperboloidy o jednej powłoce. Przekroje kołowe hiperboloidy o jednej powłoce. Stożek asymptotyczny hiperboloidy o jednej powłoce. Linie proste na hiperboloidzie o jednej powłoce. Hiperboloida o jednej powłoce, powstała przez ruch prostej. Średnice sprzężone hiperboloidy o jednej powłoce. Hiperboloida o dwóch powłokach. Przekroje płaskie hiperboloidy o dwóch powłokach. Przekroje kołowe hiperboloidy o dwóch powłokach. Stożek asymptotyczny hiperboloidy o dwóch powłokach. Płaszczyzny środkowe i średnice sprzężone hiperboloidy o dwu powłokach, ćwiczenia ..................................

Wykład XLIX. Szczególne własności powierzchni bezśrodkowych rzędu drugiego. Paraboloida elliptyczna. Przekroje płaskie paraboloidy elliptycznej. Przekroje

kołowe paraboloidy elliptycznej. Odmiany paraboloidy elliptycznej. Płaszczyzna styczna i prosta normalna. Płaszczyzny środkowe i średnice paraboloidy elliptycznej. Paraboloida hiperboliczna. Przekroje płaskie paraboloidy biperbolicznej. Linie proste na paraboloidzie hiperbolicznej. Płaszczyzny styczne i płaszczyzny środkowe paraboloidy hiperbolicznej. Ćwiczenia

785—796.

797—812-

Wykład L. Ogniska i kierownice powierzchni drugiego rzędu i powierzchnie spól-ogniskowe. Równanie kuli. Potęga punktu względem kuli. Ilość kul w przestrzeni. Układ dwóch kul. Układ trzech kul. Układ czterech kul. Równanie koła w przestrzeni. Ogniska i kierownice danej powierzchni rzędu drugiego. Ogniska w powierzchniach środkowych drugiego rzędu. Kierownice powierzchni środkowych. Ogniska w powierzchniach bezśrodkowych. Kierownice w powierzchniach bez-środkowych. Ogniska pępkowe i ogniska modułowe powierzchni. Uwaga o ogniskach pępkowych powierzchni drugiego rzędu. Uwaga o ogniskach modułowych powierzchni drugiego rzędu. Powierzchnie spółogniskowe. Powierzchnie spółogni-skowe z ellipsoidą, przechodzące przez dany punkt w przestrzeni. Normalne do trzech powierzchni spółogniskowych, przechodzących przez dany punkt w przestrzeni. Powierzchnie spółogniskowe z daną powierzchnią bezśrodkową. Ćwiczenia

813—828.

Wykład LI. Zasady ogólnej teoryi powierzchni. Ogólne równanie powierzchni. Linie styczne i płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni. Normalna i płaszczyzny normalne w danym punkcie powierzchni. Punkta osobliwe powierzchni. Szczególne postacie punktów nadzwyczajnych, Stożki styczne danej powierzchni. Kontury powierzchni. Promienie krzywizny przekrojów płaskich danej powierzchni. Promienie krzywizny przekrojów normalnych powierzchni. Główne promienie krzywizny. Wzajemne położenie głównych płaszczyzn krzywizny w danym punkcie powierzchni. Wzór Eulera, wyznaczający promień krzywizny w dowolnym przekroju normalnym. Wzór Meusniera, wyznaczający promień krzywizny w dowolnym przekroju skośnym. Ćwiczenia

Wykład LII. Teorya krzywizny powierzchni. Środki krzywizny powierzchni. Powierzchnia środków krzywizny. Kryterya krzywizny. Krzywa wskazująca (Indicatrix) Dupina. Krzywizna Gaussa. Krzywizna dodatnia, ujemna i zerowa. Punkta kuliste, czyli punkta pępkowe powierzchni. Rozwijalność powierzchni na innej powierzchni. Spółrzędne krzywolinijne na powierzchniach. Różniczka łuku na powierzchni, określonej trzema jównaniami, kształtu: x — f(u, v), y —    v),

829-844..

z — <\i(u, v). Kąt zawarty między dwoma łukami na powierzchni. Promień krzywizny przekroju normalnego powierzchni: x=f(u, v), y ~ <P(u, r), z = ty(u, v). Główne promienie krzywizny w punktach powierzchni : x = f(u, »), y = 9>(w, v), z —    v). Ćwiczenia

845-860

Wykład LIII. Teorya tworzenia powierzchni. Powierzchnie powstałe przez ruch linii prostej. Powierzchnie walcowe. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni walcowych. Powierzchnie stożkowe. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni stożkowych. Ogólne równanie powierzchni rozwijalnych na płaszczyźnie. Równanie różniczkowe powierzchni rozwijalnych. Krzywa zwrotu na powierzchni rozwijalnej. Równanie powierzchni rozwijalnej, mającej daną krzywą zwrotu. Płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni rozwijalnej. Powierzchnie wichrowate w ogólności. Przykłady konoidów. a) Paraboloida hiperboliczna. 0 Konoid kołowy. Płaszczyzny styczne do powierzchni wichrowatych. Krzywa zwężenia (strykcyjna) danej powierzchni wichrowatej. Powierzchnie powstałe przez ruch koła. Powierzchnie obrotowe. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni obrotowych. Powierzchnie kanałowe. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni kanałowych. Ćwiczenia................. . . .

Wykład LIV. Dalszy ciąg teoryi tworzenia powierzchni. Powierzchnia powstała przez ruch dowolnej krzywej. Przykłady powstawania powierzchni rzędu drugiego przez ruch krzywych rzędu drugiego. Powierzchnie śrubowe. Powierzchnie powstałe przez ruch powierzchni. Przykład : Powierzchnie powstałe przez ruch płaszczyzny. Powierzchnie graniczne. Przykład: Powierzchnia graniczna podwójnie nieskończonego układu płaszczyzn. Równania powierzchni w spółrzędnych pła-

sZćzyzny. Przykład: Równania ellipsoidy w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych. Powierzchnie spodkowe danej powierzchni. Przykład: Spodkowa dodatnia i ujemna ellipsoidy. Powierzchnie równoległe do danej powierzchni. Ćwiczenia . . 861—872.

873-884.

Wykład IF. Zasady teoryi przekształcania powierzchni. Powierzchnie algebraiczne. Układy liniowe powierzchni. Rząd i klasa powierzchni algebraicznych. Powierzchnie biegunowo wzajemne. Powierzchnie jednokreślne, czyli homograficzne. Powierzchnie jednokładne, czyli homologiczne. Przekształcanie powierzchni za pomocą promieni odwrotnych (inwersya). Równania powierzchni w spółrzędnych jednorodnych. Powierzchnie biegunowe punktu ze względu na daną powierzchnię n-go rzędu. Płaszczyzna styczna jako pierwsza powierzchnia biegunowa punktu na danej powierzchni. Druga powierzchnia biegunowa punktu parabolicznego na płaszczyźnie i powierzchnia Hessego. ćwiczenia

Wyklad LVI. Powierzchnie określone równaniami różniczkowemi i wybitniejsze linie na powierzchniach. Równania zwyczajne a równania różniczkowe powierzchni. Powierzchnie stokowe, czyli powierzchnie posiadające płaszczyzny styczne jednakowo nachylone do danej płaszczyzny. Powierzchnie Weingartena (zwane krótko powierzchnie W). Powierzchnie minimalne. Linie na powierzchniach. Linie krzywiznowe. Linie krzywiznowe poszczególnych powierzchni. Analityczne wyznaczanie linij krzywiznowych na danej powierzchni. Linie krzywiznowe na ellipsoi-dzie. Dwie powierzchnie przecinające się podług wspólnej linii krzywiznowej. Linie asymptotyczne na powierzchni. Linie asymptotyczne na powierzchniach obrotowych, określonych równaniami: z — u cos v, y—u sin r, z=f(u). Proste minimalne. Krzywe minimalne. Linie geodezyjne. Analityczne wyznaczanie linij geodezyjnych na powierzchni:7üT==f(x, y). Linie geodezyjne na powierzchniach obro-

towych. Znaczenie geometryczne równania: r²

d<P

ds

— C. Długość łuku linii geodezyjnej na powierzchni obrotowej: z=f{r). Warstwice i linie największego spadu.

Linie największego spadu na ellipsoidzie. Warstwice i linie największego spadu na powierzchni obrotowej: z — f(r). Isofoty na danej powierzchni. Ćwiczenia 885—906.

Wykład LVII. Wstęp do teoryi równań różniczkowych. Określenie i podział równań różniczkowych. Rząd i stopień równania różniczkowego. Całki równania różniczkowego. Tworzenie równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe linij krzywych. Przykłady równań różniczkowych poszczególnych linij krzywych.

907-928

Całka ogólna zwyczajnego równania różniczkowego rzędu pierwszego. Geometryczny obraz całek szczególnych i całki ogólnej danego równania różniczkowego pierwszego rzędu. Normalna postać równania różniczkowego pierwszego rzędu i pierwszego stopnia. Rozmaite postacie całki ogólnej danego równania różniczkowego rzędu i stopnia pierwszego. Ogólne uwagi o rodzajach całek eliptycznych. Zastosowania geometryczne równań różniczkowych pierwszego rzędu. Trajekto-rye układu krzywych. Całka ogólna równania zwyczajnego różniczkowego n-go rzędu. Geometryczny obraz całek danego równania różniczkowego n-go rzędu Równanie różniczkowe zwyczajne ilukolwiek zmiennych. Równania różniczkowe linij krzywych na powierzchni. Tworzenie równań różniczkowych cząstkowych. Równania różniczkowe cząstkowe o dwu zmiennych niezależnych. Równania różniczkowe powierzchni, ćwiczenia

yższych stopni. Równanie Clairaut’a. Równanie

Wykład LVIII. Szczególne metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego. Metoda oddzielania zmiennych. Metoda zamiany zmiennych. Zastosowania geometryczne, a) Trajektorye ukośnokątne układu prostych y = Cx. ß) Przykład trajektoryj ortogonalnych. Równania różniczkowe jednorodne. Równania różniczkowe niejednorodne. Równania liniowe pierwszego rzędu. Metoda całkowania równania różniczkowego liniowego rzędu pierwszego, za pomocą funkcyj dowolnych. Równania Bernouilli’ego. Równania Riccatiego. Zupełne równania różniczkowe rzędu pierwszego. Teorya czynników całkujących. Ogólne wyznaczanie czynników całkujących równania: Mdx-\-Ndy ■= 0. Równania różniczkowe pierwszego rzędu a wyższych stopni. Szczególne przypadki równań różniczkowych rzędu pierwszego a w

Eagrange’a. Równania różniczkowe ewolwent danej linii krzywej. Równania różniczkowe rulet. Równania jednorodne ze względu na x i y. Całki osobliwe równań różniczkowych pierwszego rzędu. Geometryczne objaśnienie całki ogólnej i osobliwej. Wyprowadzenie całki osobliwej z równania różniczkowego. Ćwicz. 929-952-Wyklad LIX. Równania różniczkowe zwyczajne drugiego i wyższych rzędów. Równania różniczkowe liniowe n-go rzędu. Równania różniczkowe liniowe ze stałymi spółczynnikami i wyrazem wolnym różnym od zera. Równania różniczkowe liniowe ze zmiennymi spółczynnikami. Równanie różniczkowe nieliniowe wyższego rzędu. Równania różniczkowe jednorodne wyższych rzędów. Zupełne równania różniczkowe rzędów wyższych. Niektóre równania całkowalne za pomocą metody zmiany zmiennych. Zastosowanie metody zmiany zmiennych do równania różniczkowego rzędu drugiego, sprowadzonego do zera. Przekształcenie równania różniczkowego rzędu drugiego na równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Przekształcenie równania różniczkowego rzędu drugiego na inne, w którem brak pierwszej pochodnej. Ogólna całka równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego z wyrazem wolnym różnym od zera. Całkowanie równań różniczkowych drugiego rzędu za pomocą szeregów. Równanie Legendre’a. Równanie Bessel’a. Równanie Gaussa. Zastosowania geometryczne równań różniczkowych rzędu drugiego. Ćwiczenia 953—974. Wykład LX. Zwyczajne równania różniczkowe o ilukolwiek zmiennych i układy równań różniczkowych. Zupełne równanie różniczkowe pierwszego rzędu o trzech zmiennych. Równanie niezupełne różniczkowe o trzech zmiennych. Zupełne równanie różniczkowe o n zmiennych. Zwyczajne równanie różniczkowe stopnia wyższego nad pierwszy. Układy równań różniczkowych. Równania jedno'özesne pierwszego rzędu i pierwszego stopnia o trzech zmiennych. Równania różniczkowe jednoczesne pierwszego rzędu o ilukolwiek zmiennych. Niektóre uproszczenia przy całkowaniu układu równań różniczkowych. Układy równań różniczkowych rzędu wyższego nad pierwszy. Ćwiczenia Wykład LXI. Równania różniczkowe cząstkowe. Całki równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego. Geometryczne znaczenie całek danego równania różniczkowego cząstkowego rzędu pierwszego. Równanie cząstkowe liniowe rzędu pierwszego.. Równania różniczkowe cząstkowe o ilukolwiek zmiennych. Równania cząstkowe pierwszego rzędu nieliniowe. Przykłady zastosowań geometrycznych. Bezpośrednie wyprowadzenie całki osobliwej z danego równania różniczkowego. Całkowanie równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego nieliniowych ilukolwiek zmiennych. Całkowanie układu równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego. Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Całkowanie równania: Rr-^-Ss^-l't =- V. Metoda Monge’a. Całkowanie równań różniczkowych cząstkowych za pomocą szeregów potęgowych, ćwiczenia

975-989.

990—1008.

Wykład LXII. Przedstawianie funkcyj i rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą całek określonych. Ogólny pogląd na wyznaczanie wartości całek określonych. Funkcye przedstawione całkami określonemi. Całki Eulera. Związek między obu gatunkami całek Eulera. Obliczanie wartości funkcyj Gamma. Wartość T^/a) i r(m+V₂). Przedstawianie funkcyi r(x) w postaci iloczynu nieskończonego. Przedstawianie funkcyi r(a?) w postaci szeregu potęgowego. Obraz funkcyi r(®). Sprowadzanie niektórych całek określonych do funkcyi Gamma. Całki elliptyczne. Przykłady całek określonych, sprowadzających się do całek ellip-tycznych pierwszego lub drugiego rodzaju. Szeregi i całki Fouriera. Przykłady. Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą całek określonych. Ćwicz. 1009—1029.

1030—1038.

Wylcład LXIII. Zasadnicze pojęcia rachunku przemienności. Pojęcie przemienności funkcyi. Przemienność całki określonej. Maximum lub minimum całki określonej. Zagadnienie o brachistochronie. Przemienność całek określonych o zmiennych granicach całkowania. Maximum lub minimum całki określonej zależnej od dwu lub więcej funkcyj. Maximum lub minimum całki określonej z warunkami dodatkowymi. Przemienność całki określonej zależnej od niewiadomej funkcyi dwu lub więcej zmiennych. Ćwiczenia

1039—1040.

Dostrzeżone omyłki drukarskie

WYKŁADY MATEMATYKI I.

Zasady geometryi analitycznej i analizy wyższej.

TOM II.

Wykład I.

Wstęp do rachunku całkowego.

1. Funkcya pochodna i różniczka danej fuukcyi. W rachunku różniczkowym rozważa się zmiany danej funkcyi f(x), wywołane zmianą zmiennej niezależnej x, i dochodzi się do dwu pojęć zasadniczych:

a) do pojęcia funkcyi pochodnej /“'(#), jako funkcyi, określającej granicę stosunku różnicowego danej funkcyi f(x) w każdem miejscu x, według wzoru :

f‘(x)=lim

Ax=0

f(x + Ax) —f(x)

Ax

(1)

b) do pojęcia różniczki df\x) danej funkcyi /'(æ), jako różnicy między dwiema sąsiedniemi wartościami funkcyi f(x), przedstawiającej się, jako iloczyn z pochodnej f'(x) danej funkcyi f(x) i różniczki dx zmiennej niezależnej x, według wzoru :

df(x) =f{x -f dx)—f(x)=/ \x) dx

(2)

Powyższe dwa wzory podają zarazem sposoby bezpośredniego wyznaczania funkcyi pochodnej /''(#), a więc i różniczki clf(x) danej funkcyi f(x), pierwszy metodą granic, drugi metodą różniczek.

2.    Funkcye różniezkowalne. Oba powyżej wskazane sposoby wyznaczania pochodnej /'(#), a więc i różniczki df(x) danej funkcyi f\x), wymagają, aby dana funkcya f(x) w całym, lub pewnym wiadomym zakresie zmienności zmiennej niezależnej x była: 1) funkcyą skończoną i j edno wartościową ;

2) funkcyą ciągłą; 3) funkcyą, posiadającą oznaczoną granicę stosunku różnicowego, czyli funkcyą różniczkowalną.

Funkcye f(x), posiadające swe funkcye pochodne /'(#), a więc także swe różniczki df {x), nazywamy też ogólnie funkcyami różniczkowalnemi.

3.    Przykłady funkcyj różniczkowaliiych. Do funkcyj różniczkowalnych należą przedewszystkiem wszystkie funkcye algebraiczne, a mianowicie: 1) funkcye wymierne całkowite, kształtu:

G (x)=a₀ xn+æw_1 +... -f an _i x + an ;

2) funkcye wymierne ułamkowe, kształtu:

B(x) =

a₀xn-\-aix

-1-... 4-    + d'n

bęXm + bixm~' Ą-...Ą-bn^Ą-bn

3) funkcye niewymierne y=f(x), określone w ten sposób, że, podstawione w równanie algebraiczne :

yn + a0ixmyn~i + ...^O

m— 1

@(x, y)=a₀₀xmyn+ai0x

czynią dany wielomian algebraiczny tożsamościowo równym zeru :

0(X, f(x))=0.

Wśród funkcyj przestępnych okazują się, jako różniczkowalne:

a)    wszystkie poznane w tomie I. elementarne funkcye przestępne, jako

to: 1) funkcye potęgowe: xm o jakimkolwiek niewymiernym wykładniku m,

2) funkcye wykładnicze: ax, e*,    3) funkcye logarytmiczne: log* x, logie,

4)    funkcye goniometryczne : sin r, cos#, tangic , cotgic, secie, cosecic, 5) funkcye cyklometryczne : aresinie, arccos ic, arc tang#, arccotgie, arcsecir, arccosecie,

5)    funkcye hyperboliczne : sinhipic, cos hip x , tanghipic, cotghipie, sechipie, cosec hip ic, 6) funkcye odwrotne względem funkcyi hyperbolicznych: argsinhipie, arg cos hip ie, arg tang hip x, arg cotghip x, arg sec hip ie, arg cosec hip ie, wreszcie

7) funkcye złożone z powyższych funkcyj w skończonej jednak liczbie, jak /’(:e) = tgie², sin²(xetgx), ...,

b)    funkcye analityczne, określone szeregami potęgowemi, kształtu :

$(ie) = a₀ +aix+a₂x²Ą- ...-\-anxrt-\-—a)=b₀ -\-bx(x— a)Ą-b₂(x— a)²-\- ...Ą- bn(x—«)n-4-...

4. Przykłady funkcyj nieróżniczko walnych. Wśród funkcyj, określonych za pomocą szeregów funkcyj :

f(x)=^(Po (x) + <jPi (x) -f- <p₂(x)    ... + (pn{x) + ...

spotykamy się po raz pierwszy z funkeyami nieróżniczkowalnemi. Takiemi są n. p. funkcye określone szeregami :

sin2²# sin3²# sin4²# sin5²# 2²

x . sin 2 ! x sin 3 ! x f (x) = $\n.xĄ--^2--k

/’(#) = sin #4

3²

3²

BT- + -.

sin 4 ! x sin 5 ! x

52- + -

4²

42

zbieżne w całym zakresie rzeczywistej, zmiennej niezależnej x. Funkcye te, mimo swej skończoności i ciągłości, nie posiadają w żadnem miejscu x oznaczonej granicy stosunku różnicowego, czyli nie posiadają funkcyj pochodnych, a więc nie są funkeyami różniczkowalnemi.

Pierwszy przykład funkcyi ciągłej , która w żadnem miejscu x nie posiada oznaczonego stosunku różniczkowego podał Weierstrass (1874) w postaci szeregu :

f(x) = cos (nx)-\-a<zos (bn#)-fa²cos (b²nx)4-a³cos(b*nx) +...

n^=co

czyli :

/'(#) = 2 an cos (bn 71 x),

n=rO

gdzie a jest liczbą stałą, mniejszą od 1, b liczbę nieparzystą, większą od 1, a zarazem ab^> 1 4- ³/₂?r.

Funkcya ta występuje, jako granica szeregu funkcyj, których wartości ostatecznie różnią się o liczby dowolnie małe, podczas, gdy wartości ich stosunków różniczkowych wahają się między dowolnie wielkiemi wartościami.

Samo przez się rozumie się, że ta funkcya w żadnem miejscu *=«, nie da się przedstawić w postaci szeregu potęgowego, uporządkowanego podług potęg (x—a).

5. Funkcya pierwotna danej funkcyi. Zagadnienie rachunku różniczkowego wyznaczania pochodnej F‘(x) danej funkcyi F(x) prowadzi do zagadnienia odwrotnego :

Znaleźć funhcy§ F(x), której pochodną F‘(x) byłaby dana funkcya f(x).

F(x)=Pr[f(x)],

Szukaną funkcyę F(x), której pochodną F\x) jest dana funkcya /*(*), nazywamy funkcyą pierwotną danej funkcyi /'(*). Na jej oznaczenie moglibyśmy użyć znakowania : czytając: Funkcya F{x) jest funkcyą pierwotną funkcyi f(x).

Znakowanie to nie wskazuje sposobu wyznaczania funkcyi pierwotnej, byłoby tylko analogicznem do znakowania odwrotnego :

[F(x)]‘=f(x), czyli F\x)=f(x),

które wypowiada , że funkcyą pochodną funkcyi F(x) jest funkcya /'(*).

Z wzorów, dotyczących funkcyj pochodnych danych funkcyj, otrzymamy na podstawie powyższego znakowania wprost odpowiednie wzory, dotyczące funkcyj pierwotnych, przyczem możemy do tak otrzymanej funkcyi pierwotnej dodać dowolną stałą C.

Skoro bowiem [F(x)]'=f(x), to także [F(x)-\- CJ'=/’(*), a zatejn:

(3)

P,[/(0?)]=P(ör)+O

6. Wzory zasadnicze, dotyczące funkcyj pochodnych i analogiczne , dotyczące funkcyj pierwotnych przedstawiałyby się według powyższego znakowania w sposób następujący:

1)    C'=0

2)    x‘ = l

3)    (ax)‘ = xn+i

4)

=xn

w+ 1 5) (log*)⁴—-i

a zatem Pr(0)=C. n    Pr(l)=*+0.

„    Pr(a) = ax+    C.

„    Pr(Xn) =

xn+¹

n-j-1

i-a

Pr

(4.)-i°g*+c.

«> (4-.

=ax

/>')=, —+ 6'.

log a

7) (ex)‘ = ex

8)    (—cos*)⁴ = sina;

9)    (sinæ)'=cosÆ

10)    (tang*)--^

Pr(e*) = ex+C.

Pr (sin x)= — cos x+C. Pr (cos x)—sin x-\-C.

Pr

11) (—cotanga?)'

sin²#

Pr

tó*)⁼-ootangx+G

12) (seca:)' =

sma: cos² a:

Pr

/ sina: \ \ cos^ay

sec x-\- G.

13) (—cosec a?)'

cos x

sin²*

P,

rf-^^W-cosecaJ+a \ sin²*/

14) (arc sin x)‘

Vl-%²

Pr (—) = arc sin x-\-C. W \—xV

Ten sposób znakowania zastępuje się innym, który poznamy w następnym artykule.

7. Całka danej różniczki. Z zagadnienia rachunku różniczkowego, które dotyczy wyznaczania różniczki dF{x) wypływa zagadnienie odwrotne:

Znaleźć funkcyę F(x), której różniczką jest dana zmienna różniczka f(x)dx.

ca-

Szukana funkcya pierwotna F(X) staje się, w tak postawionem zagadnieniu, określoną swą różniczką dF(x)—f(x)dx, a więc sama jest niejako łością swych zmian, czyli zmiennych różniczek kształtu: f(x)dx, nazywa się przeto całką danej różniczki /(x)dx.

W tern rozumieniu funkcya pierwotna F[x) danej funkcyi pochodnej /'(#), jako całka danej różniczki f{x)dx, jest niejako sumą swych zmian, czyli sumą różniczek zmiennych kształtu f[x)dx. Na jej oznaczenie używamy przeto za przykładem Leibnitza (1694), znaku sumowego w postaci wydłużonego S, kształtu /, zwanego znakiem całkowym.

F (x) =f f (x) dx, dF (x) = f(x) dx,

Piszemy zatem : skoro się przekonamy, że : i powiadamy: Funkcya F (x) jest całką różniczki f(x)dx, jeżeli różniczka dF(x), przedstawiająca, jak wiadomo, różnicę F(x+dx)—F{x), jest równa różniczce f(x)dx, stojącej pod znakiem całkowym. Znak całkowy J i znak różniczkowy d pozostają, w myśl powyższego określenia, w tym związku wzajemnym, że położone jeden po drugim wzajemnie się znoszą. Jest tedy:

fdx=x, a zarazem djdx^dx, ogólnie fdF(x)*=F(x) ; dj/(x) dx=f (x) dx.

8. Funkcya pierwotna danej funkcyi pochodnej i całka nieokreślona danej różniczki. Funkcya pierwotna F(x) danej pochodnej f(x) jest zarazem całką danej różniczki f\x)dx i nawzajem, całka danej różniczki f\x) dx jest funkcyą pierwotną danej funkcyi pochodnej f{x). Skoro bowiem F(x)=Pr(f(x)), dJF (co)

to F‘(x)=f(x), czyli —a więc dF{x)=f{x) dx, czyli F(x)=Jf(x)dx

i odwrotnie, skoro F(x)=ff(x)dx, to dF(x)=f\,x)dx, a zatem czyli F‘(x)=f(x), a więc F(x)=Pr(f(x)).

Znakowanie możliwe, ale nieużywane: F(x)=Prf(x) zastępuje się tedy

skoro F‘(x) = f(x), czyli

skoro :

15)    ( —arc cos x)‘ — , ^

v    Vl-x²

16)    (arc tang x)‘ =

17)    (—arccotgæ)'«-—₂

a zatem Pr

\V\—xV

— arc cos x -f C.

18) (arc sec x)‘

x\/x² — 1

r    tanS xJrC.

Pr (l^~₂) = - arC COtg X+C‘

(-: ^    ......\ = arc sec#4- C.

\ xVx²—V

Pr

19) (—arc cosec a;)'

x\/ X² — 1

P,

(-y — ^ = — arc cosec x + C.

V xVx¹— 1/

zawsze znakowaniem : F{x) =f f{x)dx , d F (Xs)

—*=/■(»), a więc skoro dF(x)=f(x).dx.

Jeżeli jednak dF(x) = f(x) dx, to ponieważ według prawideł rachunku różniczkowego jest : d[F(x)-\-C\=dF{x), przyczem C jest dowolną, liczbą stałą, jest więc także d[F(x)-{-C]=f (x)dx, a zatem nietylko funkcya F(x), lecz także funkcya F(x)-\-C, gdzie C jest stałą dowolną, jest funkcyą pierwotną danej funkcyi f(x), czyli innemi słowy nietylko funkcya F(x), lecz także funkcya F{x)-\-C z dowolną stałą C jest całką danej różniczki f(x) dx.

Dana funkcya pochodna f (x) ma zatem nieskończenie wiele funkcyj pierwotnych, czyli dana różniczka / (x) dx ma nieskończenie wiele całek, a wszystkie te funkcye pierwotne danej funkcyi pochodnej /(#), czyli wszystkie całki danej różniczki f(x)dx, różnią się między sobą tylko o liczby stałe.

Piszemy zatem ogólnie :

(4)

ff(x) dx = F{x)+C

skoro dF (x) = f (x) dx, a ogólną funkcyę pierwotną F(x)Ą-C danej funkcyi pochodnej f{x) nazywamy całką nieokreśloną danej różniczki f{x) dx, albo też niewłaściwie całką nieokreśloną danej funkcyi pochodnej f{x).

Całką nieokreśloną różniczki f(x)dx, przedstawioną w postaci ff(x)dx, jest więc najogólniejsza funkcya F(x), której różniczka dF(x) znajduje się pod znakiem całkowym, czyli ma kształt f(x)d>\ Funkcye, posiadające całki nieokreślone, czyli funkcye pierwotne, nazywamy funkcyami całkowalne m i.

9. Rachunek całkowy, a rachunek różniczkowy. Wyznaczanie funkcyj pierwotnych dla danych funkcyj pochodnych , czyli wyznaczanie całek nieokreślonych dla danych różniczek, jest głównym przedmiotem rachunku, zwanego rachunkiem całkowym, podobnie, jak wyznaczanie funkcyj pochodnych, czyli wyznaczanie różniczek danych funkcyj, jest głównym przedmiotem rachunku, zwanego rachunkiem różniczkowym.

Rachunek różniczkowy i rachunek całkowy stanowią dwa główne rachunki analizy wyższej, zajmującej się wielkościami zmiennemi. Przedmiotem tych rachunków są dwa działania odwrotne względem siebie, pierwsze działanie nazywamy różniczkowaniem danych funkcyj, drugie całkowaniem danych różniczek.

Różniczkowanie jest działaniem głównem, określonem bezpośrednio wzorem różniczkowym:

dF(x)=F\x-\- dx) — F(x)=f (x) dx,

z którego, jako odwrotność występuje odpowiedni wzór całkowy w postaci: f f (x)dx=F(x), albo ogólnie f f (x) dx=F(x) + G.

,...

Zmienna niezależna x może mieć oczywiście rozmaite znaczenie i może być też zastąpioną różnemi innemi literami, jak t, u, z

10. Całki zasadnicze. Z różniczek funkcyj elementarnych wypływają, jako odwrotności odpowiednie wzory całkowe, podające tak zwane całki zasadnicze.

Zestawiwszy je kolejno, otrzymujemy następującą tablicę całek zasadniczych :

4)    fexdx=ex+Ci

d(ex)=ex dx. d(sin #)=cos xdx. d{—cos#) = sin xdx.

1) j xmdx =

#m+1

m+1

2) C —=logx-\-C J x

!—

xm dx.

dx

d loga: =—.

OC

*>5

ax dx =

nV

— 4-C

log a

Kir»)-

ero

av dx

5)    fcosx ri#=sin#4- C,

6)    J” sin xdx= — cos x + C,

dx

cos² x

8, J-

tang x + C

d (tang x) =

dx

cos² a? "

⁹>

sin² x sin x dx

cotg #4- C,

d{—cotg x)

dx

sin²# ’

cos ²#

= sec #4- C

d (sec #)

sin x dx cos²# *

cos x dx

sin²#

cosec #4- C,

d (—cosec x)

cos x dx

sin²#

u>S

dx

V 1 ■— x2 12) ^ *

¹⁸>î

14) (

16) (

arc sin #4- (7,

d (arc sin #) =

dx

Vl—œ² ’

Vl - P

arc cos #4- C

d(— arc cos#) ==

dx

Vl-X*'

dx

1+#²

dx

14-#²

dx

#\/#²—1

J#

arc tang x-\-C,

arc cotg # 4- C

= arc sec #4- (7

#\/#²—1

d(arc tang#) —

dx

1+#² ’

„    d(—arc cotg #) =

„    d(arcsec#) =

———arc cosec #4- C, „

dx

14- #²'

dx

#\/#²—ï

d(—arc cosec #) =

dx

#\/#² —1

Podobnie wynikają z prawideł różniczkowania odpowiednie prawidła całkowania. Przejdźmy je po kolei.

11. Prawidło całkowania snmy różniczek. Z prawidła różniczkowania snmy funkcyj, określonego wzorem :

d(u+v)=du-\-dv, d (/'(#) 4- <p{x))*=\f ‘(x) 4- cp'(x)\ dx

czyli :

otrzymujemy, zastępując u przez Jdu, czyli /(#) przez Jf\x)dx, a v przez fdv, czyli <p(x) przez f(p\x)dx, wzór następujący:

(5)

/ (ełiz 4-    =fdu 4- /dv

/[/'(#) 4- ?'(#)] dx=ff '(#) d# 4-/(p\x) d#

czyli :

t. z. Całka sumy różniczek jest równa sumie całek poszczególnych różniczek.

(54

Na podstawie tego prawidła całkowania, rozwiążemy n. p. następujące całki :

1)    J(x+1 )dx=Jxdx+Jdx=^-kx-{-C)

/y» 2

+ C]

CO ^

2)    J(x²—xĄ-l)dx=Jx²dx— Jxdx+Jdx=-^

3)    f(cosx — sin x) dx=Jcos xdx—J sinxdx==sinx-i-cosx+C;

4)

dx= ^ex dx4-^ ^=er + logÆi- C.

12. Prawidło całkowania wielokrotności różniczek. Z prawidła różniczkowania wielokrotności danej funkcyi, określonego wzorem :

d{au) = adu, d[af(x)]=af‘(x) dx,

czyli :

otrzymujemy podobnie wzór:

czyli :

Jadu=ajdu,

Jaj ‘(x) dx= aj j‘\x) dx.

(6)

(6')

t. z. Całka wielokrotności danej różniczki jest równa wielokrotności całki tejże różniczki, albo innemi słowy: W danej całce możemy czynnik stały wyłączyć przed znak całkowania.

Na podstawie tego prawidła całkowania, otrzymujemy wprost, lub w połączeniu z poprzedzającem prawidłem, n. p. następujące całki:

axn+1

1) Jaxn dx — ajxndx =

n +1

+ <?;

ax²

2)    J(ax + b) dx =a Jxdx-\-'bJdx =    + bx + C;

CLCO ^ X ^

3)    Jiax^+bx-kc) dc =— Ą-bĄ-cx + C-,

4)    l)dx==~ \j}~Ą + C-

13. Prawidło całkowania przez części. Z prawidła różniczkowania iloczynu dwu funkcyj, określonego wzorem:

d(uv)=udv-\-vdu,

bC l—¹

wynika, jako odwrotność wzór:

J (udv + vdu)=uv

z którego, na mocy prawidła całkowania sumy, dostajemy:

J udv+J vdu=uv,

a stąd wzór :

(7)

Judv = uv—jvdu podający sposób całkowania danej różniczki, zwany całkowaniem przez części, albo też całkowaniem częściowem.

Według tego wzoru całkowanie różniczki udv sprowadza się do całkowania różniczki vd,u, które może doprowadzić do całki prostszej, ewentualnie do jednej z całek zasadniczych.

Przykłady:

1) Mając znaleźć całkę kształtu: J x cos xdx , połóżmy:

du=dx

a otrzymamy

J    v=sm x.

u=x

dv= cos x dv

Wobec tego

a że :

przeto będzie ostatecznie :

na mocy wzoru: f udv=uv—f vdu, otrzymujemy: /xcos xdx—x sin x—f sin xdx,

/ sin xdx=—cos x,

/x cos xdx=x sin 35 +cos x-\- C,

co łatwo sprawdzić różniczkowaniem otrzymanej funkcyi, jest bowiem:

d (x sin x + cos x) — x cos x dx.

2) / xex dx — ?

Kładąc :

a zatem

u=x

dv=exdx

du=dx

v=ex

otrzymujemy :

a więc ostatecznie : 3) /logxdx=~?

f xex dx= xe* —f ex dx, fxex dx=xex — ex -f C.

Kładąc

a zatem

w-=log 35

d.i

du——.

dv=dx

v=x

otrzymujemy :

a więc :

4) / a; log x dx=?

/ log xdx=x logo;— \x —- — x log x — «/ 00

$\ogxdx=x\ogx—x-\- C. Kładąc

a zatem

w=log X

dx

du=—

dv=xdx

35"

V=~2

otrzymamy :

a zatem :

X²    f

j* 35 log35^35==— log 35 — J

/ a; log xdx =

X² dx X² log 35 2 ' 35    2

35² log 35

\jxdx

/y* 2

4 + C-

14. Prawidło całkowania różniczek przez wprowadzenie nowej zmiennej.

Z prawidła różniczkowania funkcyi danej funkcyi, określonego wzorem:

d f[q> (35)] d(p{x) d(p (35) ’ dx

df[<p(x)]

.dx

czyli :

d/[95(35)] = f‘[(p (35)]. (p\x) dx

który, za podstawieniem q>(x) = u, sprowadza się do postaci:

df(u)=f‘(u). du

otrzymujemy wzór :

//' [<P(m)] • (p‘ (»)    = //' {u) du=f(u)=f[<p(x)],

(8)

który dozwala daną całkę, przez wprowadzenie nowej zmiennej, sprowadzić do całki prostszej, ewentualnie do jednej z całek zasadniczych.. Z tego wzoru możemy, przy całkowaniu danej różniczki, skorzystać w dwojaki sposób, albo

1) wprowadzając w istocie stosowną funkcyę zmiennej niezależnej o;, jako nową zmienną u, albo

2) przekształcając stosownie funkcyę stojącą pod znakiem całkowania. Pierwszy sposób nazywamy całkowaniem

pomocą podstawienia, drugi całkowaniem za pomocą przekształcenia.

15. Sposób całkowania za pomocą podstawienia. Mając wyznaczyć całkę kształtu fF(x)dx, staramy się stosownem podstawieniem cp{x) = z daną całkę sprowadzić do całki możliwie prostszej kształtu ff(z)dz. Wyznaczywszy tę całkę, wyrażamy na powrót, na mocy podstawienia q>(x)=z, nową zmienną z przez pierwotną x.

Postępowanie to wyjaśnimy na przykładach:

1) Mając wyznaczyć całkę: S\/a² x² xdx, połóżmy a²Ą-x²=z², a otrzymamy *2x dx—Sz dz, zatem xdx=zdz\ a że \/a2jrX²=z, przeto będzie:

\\/a¹-f x² .xdx=§ z²dz.

Otrzymaliśmy tą całkę zasadniczą Jz²dz = -K-, wobec tego będzie:

O

a²+x²xdx=J z²dz=^= (V/ci2+-r2)³

O

zatem :

a że

2) /\/sinÆcos:r dx=?

Połóżmy sin:r=£, zatem cos x dx=dz, to otrzymamy:

J V/sin x cos x d'x = f z dz = z

ó

__ 2 _

fV/sin^cos xdx = ^V sin³æ+C'.

ICO

(sin x)

³/₂

8)U£-,

J xŁĄ- aL

Połóżmy x — az, natenczas będzie dx—adz, zatem będzie:

₌ JLC äz a 3

dx

\x² -f- a

adz

a\z2jr 1)

z² + 1

z² + l

zatem :

= arc tang z₎ przeto, kładąc naodwrót z=- -

arc tg 0 = arctang , 00

- - arctang--\- C.

O)

otrzymamy :

dx

x² Ą-a f dx

3 x² + a²

4) $emxdx=?

będzie więc:

Kładąc ?nx=u₁ otrzymamy: mdx=du, dx— M

f emxdx

zatem :

ßftlX _

ßinx

+ c.

— 10 —

16. Sposób całkowania za pomocą przekształcenia. Podstawienie q>(x) = celu sprowadzenie danej całki ze zmienną niezależną x do całki zasadniczej ze zmienną niezależną u.

Całki tego rodzaju są uogólnieniami całek zasadniczych i prowadzą do następnych wzorów, jak:

ma na

1) /[0>O*O]m Ç>'(*) dx=$[(p(x)]md<p(x)= d cp (x)

f C, (m>— 1).

2)

cp\x) dx

cp(x)

cp{x)

log (p (x) + C.

3) f avW <p‘(x) dx = j* av<*) d (p{x) =

atrt*)

ł-C*.

log a

4) f evfà cp‘(x) dx = J d (p{x) =    + C.

5)    Jsin[gD(a?)]. cp\x) dx=l sincp{x)d(p{x) = — cos [(p(x)\-\-C.

6)    J cos [(p{x)]. cp\x) dx=§ cos cp(x) d(p(x) = sin [cp (æ)] -f- C. d(p{x)

7)

f 9d\x) dx J cos²[ęp(a:)]

8)

9)

P <p'(a?) dx ) sin²[cp(x)}

cp‘(x)dx

= tang [<p(x)]+C.

⁼ ] r - «otg[y(^]+c

= arc sin [ę?(a?)] + C.

cos² <p(a:)

10)

d(p{x)

V1—[(p{x)]²    i Vl—[(p{x)f

cp‘(x) dx ¹+!>(*)]

dcp(x)

1 +[<P 0*0]²

arc tang [<p(x)] + C.

W wielu przypadkach możemy daną całkę, przypominającą jedną z całek zasadniczych, przez stosowne przekształcenie, sprowadzić do jednego z powyższych wzorów. Ten sposób postępowania zastępuje całkowanie za pomocą podstawienia, a nazywamy go całkowaniem za pomocą przekształcenia.

Przykłady. Sposobem całkowania przez przekształcenie przeprowadzimy z łatwością rozwiązanie następujących całek:

a więc

1) J Vl + xdx =f(l+x)'l3dx = J(1 -f x)l3d{lĄ-x) =    (l + a:)ł/!,+ C.

J X/T+lcdx = ~ V(l + xY + C.

2)

P xdx    1 r*

jV/l + x² 2 j

2 xdx

d(l + x²)-=

a więc:

xdx

VÎ -f- x²

= V\ + x²+C.

3)

(i -j⁻ 2 bx

ax -h bx²

dx

-5

d(ax + bx²)

a.z-1-ÔÆ²

log(ax + &x²),

a więc :

ax -h bx²

dr=log (aa;-f-for²) + C.

4) Jtanga;dr = ^

sin x dx cos a:

dcosx

COSiC

log cos a:

— 11 —

a że :

przeto :

5) f cotg xdx —

a więc ;

— logCOSÆ = log---

COS X

f tang x dx=log sec x+C. cos xdx f dsina;

) sin x

j* cotg xdx=log sin x-\-G.

log seca;,

sma;

log sina;,

6) f cos mx dx — —f cos mxd{mx) =— sin ma;

a więc: podobnie :

f cos mx dx =■=

sm mx

¥C.

7) f sin mx dx = —

cos mx

±C.

17.    Elementarne metody całkowania, Na podstawie poznanych prawideł całkowania możemy wymienić następujące elementarne metody całkowania:

a) całkowanie bezpośrednie, oparte wprost na całkach zasadniczych ;

całkowanie za pomocą przekształcenia, sprowadzające daną całkę za pomocą stosownych przekształceń do całek zasadniczych ;

c)    całkowanie za pomocą podstawienia, sprowadzające daną całkę za pomocą stosownego podstawienia do jednej z całek zasadniczych;

d)    całkowanie przez rozkładanie na dodajniki, polegające na tern, że funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania, przedstawiamy w postaci sumy funkcyj ;

e)    całkowanie częściowe, oparte na wzorze:

J udv = uv — J vdu ;

f)    całkowanie za pomocą połączenia powyższych metod elementarnych.

18.    Zastosowania.

1)

dx = ?

3a;¹-ł-5a;—1

x—l

Funkcyę ułamkową, stojącą pod znakiem całkowania, możemy rozłożyć na dodajniki w postaci:

3x¹+5x—1

3jc4-8 Ą—

x—1

x—\

otrzymujemy zatem: 3x¹ + hx— 1

x—l

dx =

^(² x+8+_1i)

dx=

= 3^ + 8.r+71og {x — 1)

3§xdxĄ- 8 §dx + ^

dx

x—l

a więc:

3x³ + hx—1

x—l

3

dx— a;⁴ 5 4-8# + log (x—1)⁷+0.

- 12

zatem :

cos 2#

j dx =    f dx -4- -g ^ cos 2x dx=

r „ ,    a? , sin 2#

J cos lxax=-^-\- ■—j--1- 6.

2æ+_2

1 sin 2#

2 ’

3) jV/«²— x²dx=?

Połóżmy V/«²—#² = w

a zatem:

du =

Va²—x2 v—x

a na podstawie wzoru § udv=uv—§ vdu, otrzymamy:

dv=dx

r“²

—x²dx=xVa²—x² +

Va²— x¹

Otrzymaną nową całkę możemy wyznaczyć przez rozkładanie na do-dajniki. Kładąc x²=a²—(a²—#²), otrzymujemy:

x² dx

V a² — #²

zatem dostajemy:

'a²—(a²—z²)

\/a² — a:²

dx =

dx

“² \ V ,/:    ~

§Va²—x²dx=xV a²—#² + a“

dx

V/«²-

a stąd :

=>-5

Va2,—x² dx

dx

czyli

^ \ Va²—x² dx =xVa²—x² + a2 xVa²—x² a²f_

“2    ⁺ "2 1V a²—!tV

\V a²—x² dx

Va² — a;²

t&c

a, że

dx

x

d—

Va² — #²

Hi)'

x

= arc sin

wobec tego

więc otrzymujemy ostatecznie:

xVa²—x²

al arcsin — +G 2    a

\V a²—x²dx=

19. Uwaga. Do jednej i tej samej całki możemy często zastosować różne metody całkowania. Wyniki mogą być na pozór różne, muszą jednak przedstawiać funkcye, różniące się tylko o liczby stałe.

Tak n. p. otrzymujemy wprost:

J sin 2xdx — —cos 2# + C

U

a całkowanie przez przekształcenie daje :

f sin 2#d#==J'2sin#cos#c?# = 2 j* sin # <2 sin #=sin²#-}- C,

albo :

,/*sin 2# dx=J2 cos x sin xdx= —2 j cos x d cos x= — cos²#+ C.

Funkcye: — -q-cos2#, sin²#, o liczby stałe, jest bowiem:

— cos²# różnią się między sobą tylko

T-i CM

cos 2#= —

to I—¹

(cos²#—sin²#) =--sin²# =— cos²# +

L.

tH cm

Znalazłszy więc jedną z metod całkę nieokreśloną danej fnnkcyi, możemy pewną część stałej dowolnej dołączyć do wyniku, a tern samem, po stosownem przekształceniu całkę nieokreśloną przedstawić w odmiennej postaci.

20. Całki funkcyj elementarnych. Stosując odpowiednio powyższe metody całkowania do funkcyj elementarnych, otrzymujemy w zestawieniu następujące grupy

xn dx=-

wzorów :

1)

xn+¹

dx

— = loga? + C x

n +1

(całkowaniem bezpośredniem).

a* - C. log a ?

(całkowaniem bezpośredniem).

3)    J \ogxdx=x(log;x—1) + C

(całkowaniem częściowem).

4)    §sinxdx= — cosæ-f Gł; J cosætfse=sinæ-|-C

(całkowaniem bezpośredniem).

5)    J tangle dx=log sec x Ą-C ; J eotgædæ=logsin x -i- C

(całkowaniem za pomocą przekształcenia, lub metodą podstawienia, kładąc w pierwszej całce cos#=£, w drugiej sin#=£).

2)

axdx

ex dx=ev+ C

6) J sec xdx =logcotang g ^— x j + C,

gdyż metodą przekształcenia otrzymujemy :

f secxdx = [    = i

J    J cos# \

sin

dx

dx

dx

(ł-*)

2 sin

rH CM

(Î-)

i (î-'i

to I—

oos2l(f-*)

dtansi(f -*)

tang

to H-*

tang

H CM

7) cosec xdx = log tang    +

gdyż metodą przekształcenia otrzymujemy :

dx

cosec xdx—

dx

dx

COS

sin#

2 sin

cos —

² ₊

J tanS

ft CM

d tang

tang

tO «

X

log tang —.

8) Jare sin    arc sin x + V/l—æ² + C

gdyż, kładąc a zatem

M=arc sina;

dv=dx

du=

dx

\/1 —xl

v=x

na mocy wzoru ^udv=uv—^ vdu, otrzymujemy:

xdx

1 f d(l—x²)

- X aro sm * + - \

arc sin xdx — x arc sin x —

= x arc sin x+-^- ^(1—x²)~^d( 1 — a²) = tcarcsina; +

=x arcsina:+ Vi—x'\

h Cm

. 2. (i—x²y^=

9) \ arceosa?«7æ==scarceosæ— VY—sc²+ C

gdyż, kładąc:    a zatem

u— arccos x

du

dx

Vl — x'¹

dv=dx

v=*x

otrzymujemy :

arc cos xdx — x arc cos x +

xdx

1    Cd( 1-a:²)

a; arc cos a;— s \    Ä

2    U/l-i>

Vl - a;²

= x arc cos a: — Vl—xl,

co także otrzymamy metodą rozkładania na dodajniki na podstawie wzoru :

arcsin %.

arc cos x

10) J arc tang xdx=x arc tang x—log \/ï + æ²+ C gdyż, kładąc:

M=*=arctanga:

dv=dx

a zatem

du

dx

i + a:²’

v=x

otrzymujemy :

arc tangxdx=x arc tang a;—

xdx

1 + a;²

=aarc tang x —

x arc tang x—— -i-log (1 + a;²).

¹ \ <*(l+s²)

J 1+a;²

Temsamem otrzymujemy:

11)    J arc cotg xdx=x arc cotg x + log V⁷1 + x² + C.

12)    Jare sec xdx=x arc sec x — log (x + V/æ²—1) + C.

Kładąc bowiem

M=arc sec a; dv—dx

a zatem

du

dx

xV x¹— 1 ’

v=x

otrzymujemy :

arc sec xdx=x arc sec a;—

V x²—L

15

a zatem :

Podstawiając teraz V x¹— l=z—x, a więc z=x-\-V x²—l, dostajemy:

x²—1 = z²+x²—2x^, zl — 1

~20²~

2²4l

a stąd dx =

dz\ Vćc²— l=z--_

2 z

0²4l    #²—1

20

przeto :

dx

W—i

0²—1    0 j

₀ ■«■■ • o —7 dz — 20²    0 — 1

CM

=log 0=log (#4- Vx¹—1),

czyli :

dx

= = log (a:4 V/a:²— 1).

VV —

Tem samem otrzymujemy :

13) jarecoseca?(2æ=æarccosecæ4-log,(as4-l/sc²—1)4-C.

Całki funkeyj elementarnych dadzą się więc powyżej podanemi metodami wyznaczyć i są nowemi funkeyami, złożonemi funkcyj elementarnych.

Ćwiczenia I.

Wyznaczyć i sprawdzić następujące całki: 1) j dx = x -|- O. 2) j adx — ax-f- C.

3) i\2xdx—x²4rC. 4) ^ Sx²dx—x³C. 5) ^ 4x³dx e= x*-j-C. 6) ^mxm—J dx — xm-\- C.

7)    = loS x + C- ⁸) =loS ^²) + C’ ⁹)    = loS (xm) + C. 10)    =— ~+ C.

2 /—

--XV x -f- C.

¹²>5 *

14) ^xdx=~ x\^x + C. 15)

¹⁷⁾i^=>*,+c-¹⁸⁾S^r

19) ^x\/a: t2x=-?-x² \/;r<7. 20) (z ^ 21)

²⁸⁾ I yfe 26)

26) C-£=~

' •VÖ'*

*'"+1

mxm

x dx =

j-(7. 13) j\/x.dx —

xty^+C. 16) f-^==2V/^+a

J V cc

m-1- 1

-^-^^=T+C.

wz—1

x dx —

co c-

a: cZic

a: dx

if+T'^+o

V«»S-£.

(n 4- 1 )m 4- 1

22) f

^ a;

~1T*

£CM+1    4" (7.

a;²^ + C. VV ~~ V/* + a

S=- + a

1- G.

(n — 1) m + 1    ‘    a;«-¹ x

27) J (x — a) dx = -i- (a:—a)² -j- C. 28) J*(æ— a)w dx ■■

29) j" (a—a;) Ær= ^-(a-a;)²4- C. 30) ^{a— x)n dx

^)l~^og{x~a)+0.    32) j^ = log^+Cr.

88) j \/

35) ^(a-\-hx)dx = ~(a-\-bx)² + C. 36) j( a + bx)n dx

3,)Î7Æ=Î1o«'“+¹'⁾ + C “»i

x—a dx —

y (* - a) \A - a 4- C. 34) j

xn—1 dx

(x—a)w+!

n 4~ 1

¥0.

(a — a?;w+l

»+1

4- C.

-^—=2\/x-a 4- CL

\/x — a

a 4- bxn nb

(n 4-1) b log (a 4" bxn) 4- C-

(«4" bx)n+l 4~ c.

16

39) j‘\/x*-l.xdx=^ (x²- 1) y/x²- 1 + C. 40) jv^(L +xfdx = A(l+a;)V^(l+ x)² -f C. 41) j'x²y/x³-lcZx =    \Z~(x³ — l)³ + C. 42) j

+ a 44) j-

48) J

xdx

501 tO

xdx

y/1 4- cc²

x³ dx

V/i+*²+ a

logy/x⁴- 4 + <?•

arc sin — 4- C. a

- = — arc tang — 4- O'.

#    a

T "o « + « 60)    “ 4 arc tang Ï + C-

c    1

-)- O. 53) J sin axdx=--— cos ax C

cos ax dx = — sin ax -f- 0.

4- O. 57) Jsin (ax4&) dx =--— cos (ax —f- &) -f- O.

-|dog.)* + a

2(n -l)(x²4-l)n—1

(x² +1)«

4B) I icX^X³ dx==1°ë (x + x2) + C• ⁴⁶) J

y arc sin - C. 48) J

47) j-

dx

y/ a²— &²x²

48) [

dx

1 4- a²*²

x⁴— 4

dx

y/a²— x²

dx

a²+ x²

51) J ax log adx — a* -j- C. 52) j* eax dx= — ~ log cos ax + O. 55) J

54) j* tang

56) J cotg axdx = ~ log sin ax

58) I* cos (ax 4- b)dx — sin(ax-)- b) -(- O. 59)    dx

ax dx = —

62) j"cosw xsinx dx —

(»— l)(logx)w~ cosn+⁴ x

Î + C. 61) f *

x log x

log (log x) 4- O.

64) J

tang^x

COS²X

dx =

66) V

dx

sin«+l x

-j- O. 63) Jsinnxcosxdx -4- a 65) j

log arc tang xC. 67) J

n -j- 1

f c.

tang*+ix

(* +1)

cotg⁷» x

sin²x

dx — —

cotg*+ix

n 4* 1

f O.

dx

(14- x²) arctang x

y/2x (a— x)

a—«

— arc cos--h O.

a

r dx

)*V 2

70) j    = log (x4 y/o²4-®²) 4" G. 71) j

-^-x³ —^-x² 4^4“ log® 4" o.

xy^x —5 logx4-3e* + — 2    cc

68)

ax — a²

o    —-

— arc tang ^x a 4“ G. 69) J

x³ — x² 4~ x 4-1

72) j

£ 2x²V^x ~5x4-8x²eir—4

dx —

dx —

dx

ex _|_ e- x

x³4- 4x²4~5

arc tang ex 4- C.

—    x³ 4- 2x²4 5 log x 4- O.

x²

x—(14-x⁴)[sec²x — y/xl _

- -44—I---dx

14- xi

7B) J

(1—x²)²dx

77) J

dx

^ 2 _

= -g- arctgx²—tangx4~ -g-xy/x 4~ 0.

=log*-«> + -j-**+cr. 76) 4

14~ #

x3/l] 4- o.

- dx— 2 log(l 4- x)—x 4~ O.

y/x -j- «+ \A

„o, p dx    1    x—l    cdx 1 x — a

⁷⁸) f x2— i — 2    log    x 4- 1 ⁺    *    ⁷ ) lx²- a2 — 2a l0g x 4- a ⁺

80) £sin²xdx —---—    4-    G.    81) £ tang² xdx = tang x— x4~ G.

cos(a-{-b)x

cos (a—b)x

~yI

82)    J

83)    J sin ax sin bx dx—--- £

84)    ^ cos ax cos 6x dx —

sin a x cos b xdx —

a 4~ b

sin {a-\-b)x

a 4~ b

sin {a-\-b)x

a-\-b

] + G.

sin {a—b)x 1 (f a—b J ‘

] 4" G.

(a-b)

sin (a— b)x

17 -

-i- sin³x -f- C. 86) Jsin³ccdx—

r    i    i

tang x—cotg x C. 88) J sin² x cos² xdx — — x — — sin4cc -f- C. dx=2x—tangcc-j-C.    90) J-

85) ^ cos*xdx —

87) |-

⁸⁹>f

91) JCOS ^ — dx = 4cc—3 tang x -(- C. 92) j*

93) j cc y/l -f- x dx=~ x{l x) ^— ^(1 -|-cc) ^4~ V.

sin#—

cosec + -^-cos³a;-f- O.

dx

sin² x cos²as

cos2aj

cos² aj

94) J cc cos accÆc 96) j 98) J

x eaxdx =

xdx

cos¹ x

cos 2ec

sin²x

dx — — 2cc—cotg x-\- O.

sin 3aj cos aj

dx — 2 sin² aj -J- log cos x-\- C.

x sin ax

cos ax

100)    j¹ xm log xdx —

K)7) j ^

x arc sin xdx

Y/l—aj2 arc sin cc. dx

j- G. 95) j* xe~x dx= — (cc 4- l)e~* 4" O.

^-eax (x--—^    97) J cc tang²ccc£c= cc tangcc-f-log cos cc—— cc² 4~ <7-

= aj tang cc-]- log cos aj -f- C. 99) J

m-f-l) ¹

x — Y/l—cc² arc since -(- C.

(1 4- CC²)³/s

æm+l m -j-1

—x²dx=

\/aj(a—ce) .

xĄ-x*

a¹

xdx

sin²cc

—x cotg x -f- log sin cc + a

^log cc

C.

x arc sin x

y/i—.x²

4* log Y/l — ce² 4- C.

x]/l+x j_,^.i₀g(as4-Y/i4-»ł). -f- arc sin cc 4- C.

U

V4 + ® ¹⁰⁶⁾ 1

ccV/l —ce²

—2 arc sin

dx

f -aresinAF+C.

b Y «

dx

n°) j

a²cos²x-j-& sin² ce tang x dx

a cos²cc 4- b sin² x

y/x (« — èx)    y/ b

1,    ^ inQ^ c dx    1, y/l-fec⁴—1

2 l0^ ! ₊ *2 + ■    8) \xX/l^ xi - ₄ l°e

~ arc tang tang ec^ 4" C.

^log(a f 5tg²x)4- C.

f O.

Rozwiązania I. Wskazówki: 1) do 66) całkowanie bezpośrednie, lub za pomocą przekształcenia, względnie podstawienia 67 ) Podstawienie a — x — z. 68) 2ax — a¹ = z². 69) ex — z. 70) \/a²4-cc² = z—cc. 71)—92) za pomocą rozkładania na dodajniki. 93)—104) całkowanie przez części. 105) Podstawienie ce = a sin²». 106) x—~ sin²». 107) Podst. ec²= z i rozkładanie na dodajniki. 108. y/l4-cc⁴=—. 109. tang cc = z. 110) tangcc= \/z.

z

Literatura. L. Euler. Institutiones calculi integralis, Petropolis 1768—1770. w niem. tłumacz.: Vollständige Anleitung zur Integralrechnung, übersetzt von Salamon, Wien 1830. O. J. Gerhardt. Die Entdeckung der höheren Analysis. Halle 1855. W. Folkierski. Zasady rachunku całkowego. Paryż 1873. O. Schlömilch. Compendium der höheren Analysis. 2 Bde. 4. Aull. Braunschweig 1895.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Historya odkryć analizy wyższej.

2.    Warunki różniczkowalności funkcyi i przykłady funkcyj nieróźniczkowalnych. kowania różniczek.

3. Me

Dr. IJtefwiriski. Wykłuł

latem. I. Tom II.

Wykład IL

Całki funkcyj algebraicznych, wymiernych.

1. Całki funkcyj algebraicznych, wymiernych, całkowitych. Funkcya algebraiczna, wymierna, całkowita n-go stopnia :

6r (x)=a₀xn + ai xn~¹ + a₂xn~² +... 4 aB_i a;+a„,

ma całkę nieokreśloną , kształtu :

^ G{x)dx

a₍,

+ •••4"

(i)

n 4-1

która jest funkcyą algebraiczną, wymierną, całkowitą (n 4- l)-go stopnia, a zatem :

Funlicye algebraiczne, wymierne, całkowite są zawsze całkowalne, a ich funkcye pierwotne są również funkcyami wymiememi, całkoicitemi, stopnia o jeden wyższego. n. p. j^x³—2x²4~ 3x— l)dx=i/ixi—Vs*³ 4" ³A#²— * 4"

2. Całki funkcyj algebraicznych, wymiernych, ułamkowych. Funkcya algebraiczna, wymierna, ułamkowa przedstawia się w postaci ilorazu dwóch funkcyj wymiernych, całkowitych :

11 {x)~

b₀ xnĄ- bxxn~y 4-    + &«-i x+bn

Gm(x)

Gn{x)

i jest, albo niewłaściwą, gdy m^>w, albo właściwą, gdy m<^n. Funkcya ułamkowa niewłaściwa, w której licznik jest m-go, a mianownik n-go stopnia, przyczem (m!>w) da się, za pomocą zwykłego dzielenia, rozłożyć na funkcyę całkowitą, wymierną (m—n)-go stopnia i na funkcyę ułamkową właściwą, której licznik będzie najwyżej (« — l)-go stopnia, a więc da się przedstawić w postaci:

Gn—j(x)

Gn («0 *

Całka funkcyi ułamkowej, niewłaściwej składa się więc z całki funkcyi wymiernej, całkowitej, która jest znowu funkcyą wymierną, całkowitą i z całki funkcyi ułamkowej, właściwej, według wzoru:

^ R{x)dx = ^ G {x) dx 4- ^

₀ „    ... f x³-2x² — 7x 4- 17 _

3. Przykład. \-<C|.₊₆- dx

Mamy tu: (x³—2xa—7x17 :(x²— bx 4- 6)= x-\- 34* f *³—2x² — 7x -\-17    C( , Q .

zatem :

R(x) = G (x) 4

^n-l (X)

Gn(x)

2x —1

x²—6x 4-6 ’ 2x—1 x²—Bx-j-6

)rfx,

— 19 —

a więc :

2x—1

a;²—bx-\-G

dx-\- C.

4. Całki fimkcyj ułamkowych, właściwych. Funkcya ułamkowa, właściwa

Gn—i(x)

da się, jak wiemy z wykładu XLI. Tom I. str. 565., rozłożyć na ułamki proste, kształtu :

Gn(x)

Ax+B Ax-\-B x—a ’ (x—a)r’ x²Ą-px-\-q ’ (x²+ px+q)

względnie, kształtu :

AxĄ-B

Ax + B

ax-\-b ⁵ (ax+b)r’ ax²+bx-\-c’ (ax^+bx+cy '

Spółczynniki A, B, są tu pewnemi liczbami stałemi, które możemy zawsze wyznaczyć, skoro mianownik Gn(%) danej funkcyi ułamkowej, właściwej, jest rozłożony na czynniki stopnia pierwszego, lub drugiego, albo na potęgi czynników stopnia pierwszego, lub drugiego, w których spółczynniki a, b, c są wiadomemi liczbami stałemi.

Z tego wynika, że całka wszelkiej funkcyi ułamkowej, właściwej da się ostatecznie rozłożyć na całki ułamków prostych o spółczynnikach rzeczywistych, kształtu:

f Adx ę Jx—a’ J

Adx

Ax+B

U

J x^+px + q

dx

Ax\ B

_

J (æ²-f-pxĄ-q)r

dx

(x— a)r

względnie, na całki kształtu :

Adx

ax + ô ’ J (ax + b)r

Dopuszczając przy rozkładzie funkcyi ułamkowej na ułamki proste także spółczynniki urojone i opierając się na twierdzeniu, że wszelka funkcya całkowita n-go stopnia da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego, względnie ich potęgi, możemy wnosić, że wszelka funkcya ułamkowa da się rozłożyć na ułamki proste , których mianownikami są funkcye całkowite stopnia pierwszego, lub ich potęgi, a więc na dwa rodzaje ułamków prostych kształtu :

Adx

Ax-\~B

ax²-\-bx-\- c

dx

Ajx-\-B

(iax2jrbx + c)r

dx.

A.

Ar

- względnie :

Ar

ax+b ( ax -f b)r

x—a’ (x—a)

w których spółczynniki Ai, Ar, a, a, b, są wiadomemi stałemi liczbami, rzeczy-wistemi, lub urojonemi, względnie zespolonemi.

funkcyi

Na bezpośrednie wyznaczenie spółczynnika A wyrazu -rozwinięcia

CO-(X

, odpowiadającego czynnikowi (x—a) mianownika 6rn(x), mamy,

G(x)

Grn(x)

na mocy T. I. art. 10 str. 568, wzór:

=

n{x)l x—a

Gr(a)

G‘

G-‘n(a)

a na

wyznaczenie spółczynników X,(s=l, 2,... r), wyrazów

As

funkcyi

G(x)

(x—a}

rozwinięcia

odpowiadających czynnikowi [x—a)r mianownika :

Gn(x)=(x—a)rtp(x) mamy znowu, na mocy tegoż art., T. I. str. 569., wzory:

Gn(x)

!»*

/    ffùttAtOtX    W ,

IŻ^ótS^iL-UJu    Xr&~T } ?

- 20 -

-4- =

£(*)

^(a)

= 2^(0),

*~~/ /

mr-\a)

~V-W

Wyznaczając całki takicłi ułamków prostych, otrzymujemy, w pierwszym przypadku :

^(a)

-4-2

3T"(a)

2!

Ja;—a    Jx—a

ogólnie :

Adx A ?d(ax-\-b) A a J ax + b

ax-\-b

log (ax + b).

a więc :

¹“)» ogólnie: J

4ć&C 4

log(a# + è)

(3)

ax-\-b a

czyli całkę, w postaci funkcyi logarytmicznej , w drugim przypadku zaś :

d(x—a)

(x—a)r

Adx    A?d(ax-\-b)    A {ax-\-b)~rJri

(1ax-\-b)r    aj{ax-\-b)r    a — r+1

Adx

(x— a)r

5-

=    ^(x—a)~rd(x — a)

(r—1 ){x—a)r

ć*(r— !)(«#+ó)

a więc:

Adx

[x—a)r

(r—1) (x—ay-¹

ogólnie ^

Adx

(ax+by    a(r—1 ){ax-\-by~x    ^

czyli całkę w postaci funkcyi wymiernej, ułamkowej.

Mamy więc twierdzenie :

Ftmkcye algebraiczne, wymierne, ułamkowe są zawsze całkowalne, a ich całki składają się z funkcyj algebraicznych, wymiernych i z funkcyj logarytmicznych.

5. Mając więc wyznaczyć (art. 3.) całkę : J

na to, źe x² — 6x 4- 6 = (x—2)(x—8), daną funkcyę ułamkową rozłożyć na ułamki proste:

2x— 1

xl—Bx+6    (x—3) (a:—2)

przyczem, na wyznaczenie spółczynników 4 i 5, otrzymujemy tożsamość:

2x—1 — A(x—2)-J-B(x—3), z której wypływa; A= 5, B— — 3.

5    3

9—2' przet0:

Jest zatem:

2#—1

x-3

2x—1

2x—1

x²—Bx+6

c£x, możemy najpierw, ze względu

= jl-Ł.

x—3 ' x—2

czyli :

a więc :

x² — 6x + 6

I^-^+s ix~liAś

2x—1

x²— Bx + 6 x³—2x²—7x + 17 x²—6x + 6

—^ ćżx = Blog(x— 3)—3 log (*—2). x—2 J

.i

dx=

6. Przykłady:

^ dx

X²—1

Mamy tu:

x²-l

stąd tożsamość : z której wypływa:

(x-8)5 (x—2)³

x²+ 3x + log

dx = log

1-1 <N

+ 0,

(*—3)5 (*—2)³

+ c.

"(* + !)(*—1)

1 = A(x—1) + B(x + 1),

0 =*AĄ-B,    1= — A + B,

1’

- 21

a stąd : J. = —

U>| M-

, B - i, lub wprost :^=I/

=_i B=i/

2 ’    2a;/

a:i=:+l

~2'

Jest zatem:

r—-_

1    2 La; — 1

ÏTïl’

a więc :

a;²— 1

7^-[log 0—1)— log (* + !)] = y log ~

Ti

czyli :

f dx -, T lx — 1,

J x² - l⁼¹°g ]^+l ⁺ °'

²> j

8x² -f- x -|- 2

x³—x²—a: -{-1

3x² + x + 2

(*+!)(»-1)>

dx — ?

Mamy tu :

3a;² —J— a; —J— 2 A    B

(x4~l)(x—l)² a;-f-1 x — 1

zatem tożsamość : stąd : czyli :

{x— l)² ’

3a;² + x + 2 = A[x-1)² 4- B(x 4- l)(x-l) 4- C(x -f 1),

3 = ^ + B, 1 = - 2A 4- O, 2 = A—B 4- O,

lub wprost: A —

3x²—2x —

A^l, B = 2, G—3.

3x² 4- x 4- 2 ! x 4~ 1

(x 4-1) (6x 4“l)—(ś^² -f- x

/ 3=1

-W«,-'

æ.=l

(Ti)²

±2)/

= 2.

Jest zatem :

przeto :

a więc :

czyli :

3a;² 4-x4- 2 («4-1) (x—l)² x + l^x — l”*⁻ (x—l)² ’

TTi?*=- ^+!)+2 io8(*- D- T -

dx = log [{x 4- 1) (x—l)²]-    4- c,

Q

dx — log(x³—x²—x4-l)--- 4- C.

3x² -j- x —(— 2

0+1)0—i)²

3x²4-x4-2

x³—x²—x j 1

7. Uwaga. Dopuszczając spółczynniki urojone, możemy n. p. całkę zasadniczą:

1 *

x²4- i

przedstawić w postaci funkcyi logarytmicznej. Mamy tu :

— arc tang x 4- C

możemy zatem położyć :

x² 4-1 O + O O — *)

1 = A (x—t) 4~ B O + *),

2 *’ B 2t    2 *’

1    . r 1____!_-]

2    ł L x 4- *    x—i -I ’

2*

x²4- 1

skąd otrzymujemy :

Y/-1

x-\rV — 1

à“ log^7ïrï

W sprawie związku funkcyj logarytmicznych z cyklometrycznemi por. T. I. wykł. XLIY.

X² 4” 1

f C.

8. Całki właściwych funkcyj ułamkowych, których mianowniki są

f

funkcyami drugiego stopnia. Mając wyznaczyć całkę kształtu:

J x 4~ !pxś 4- q

w której mianownik æ²4-px-\-q nie da się rozłożyć na dwa czynniki stopnia

Ax+B

dx,

¹

J cos² x dx — ?

²

TTT •    1 cos

³

Wiedząc, że l4-cos2a;=2cos¹a;, mamy cos¹a;=^--)--~—,

⁴

2i    &

⁵

otrzymujemy :

22

pierwszego o rzeczywistych spółczynnikach, możemy ten mianownik przedstawić, jako sumę kwadratów. Otrzymujemy bowiem:

zatem:

x²ApxAq-[x²ApxA^~jA (2-^)= (x+y) ⁺ {q~l)

x²Apx -f q = (x— a)²+ß²,

gdzie :

05= —

i■ W*-ï-

Wobec tego możemy daną całkę sprowadzić do postaci:

2 dx.

Ax+B

x*+px-\-q

{x—05)² + ß

Rozkładając funkcyę, stojącą pod znakiem całkowym, na dwa dodajniki, według wzoru:

A(x—a)

^ł05 + R

(x—a)²Aß² (x—a)²Aß² {x—a)²Aß

rozłożymy daną całkę na dwie całki w postaci :

a że :

zaś :

AxĄ-B

(#— 05)² + /3

A(x—a)

{x—«) ² + /3

₂ dx

-Î

Aa+B

t ^4.« -h ^    ___,

y(x-a)²+ß tdx=—ß

A(x—a)    r

(*-«)*+Ćł*,+ 3

fJYa;—a)² + ß²] A

” T J-^öi+jT- T- log [{æ“ a) +/? ]

Aa A B

(æ—a)²-h/?

'[=?]

(?)'

Aa A B

+i T

,    oj—a

arc tang ——

przeto otrzymujemy:

(B)

^4o5-fR    , x—a

-—arc tang ~~ß~

‘ C'-

AxA B

x² A px Aq

d#=

zr log {x²A pxAq)~

Ap—2B

V/Ąq— p²

arctang

%xAp

V\q—p

(6)

w których mianownikami są

Całki funkcyj ułamkowych, właściwych funkcye drugiego stopnia, nie dające się rozłożyć na czynniki rzeczywiste, składają się więc z funkcyj logarytmicznych i z funkcyj cyklometrycznych.

9. Przykłady: xr -)- 2x—1

(*—1)(*²+ 1)

Mamy tu:

Di

dx?

a?² -f- 2 x—1

(®— 1) (*²+l) oj — 1 ” a?² —J— 1 ’

zatem :

x'²A^x~ 1

dx — log (a;—1) A 2 arctangaj.

₂) C-,__=?

; J (aJ²d-l)(aj²—2aj+10)

Mamy tu : (patrz T. I. str. 570).

1 9aj—2    1    94aj—20

85a:² 4-l ⁺ 85 aj²—2aj -f- 1ĆT’

aj³

(aj²+ l)(aj²—2aj + 10)

ąA

/ł, yr,

7 ^ f2^ł

(AT*

zatem :

x³dx

23

(*M-l)(*²-2aJ+10)

+ |^logV/**-2»+10 4 ⁷⁴

Jjlog V/*²4 1 + ~ arctang® + arctang 4 &

255

10. Mając ogólnie wyznaczyć całkę, kształtu:

(Ax -\- B) dx

ax² -\-bx Ą- c ’

możemy postąpić w sposób następujący:

Połóżmy : natenczas, mając na uwadze, że:

(Ax + B)dx = ~ [A(2ax -f b) + (2aB - Ab)} dx = =^ dXĄ

ax² 4 ft* 4 c =    a więc (2aa: -j-b)dx = dX,

2aB —Ab

dx,

otrzymamy :

(J.® + 5) dx

aa:² -j- bx -J- c

a więc:

( Ax -j- B) dx

ax² -\-bx 4 c

A

2»J I¹

2aB—

2a

2 aB—Ab

rdx 2a J X'

(V

Pozostaje nam zatem wyznaczyć jeszcze całkę, kształtu:

te-J-

dx

ax² -\-bx-\-c’

Uwzględniając, że:

aa:²4 ft* 4 c = -^—[(2ax 4 ft)² 4 (4ac—ó²)],

przyjmijmy, że trójmian aa:² 4 ft* 4c nie da się rozłożyć na dwa czynniki stopnia pierwszego o rzeczywistych spółczynnikach, i połóżmy: 4ac—ó²=A>0, natenczas otrzymamy:

M> + to + c=i[(2« + ł)»+A] = A[(?^+*),+ 1]

zatem :

St-S-

dx

ax² 4 ft* 4 c

la    dx

X3(W

41

Kładąc :

2aa: 4 ft

V/Ä-

ź, a więc x

t\/A-6

dx

v/r

2a

dt. X—

ïA⁺¹>'

otrzymujemy :

4a \/b A ‘ 2a

a więc:

r ^*_

3 x ~

■ Ç* dx___

3 a*² 4 ft* 4 c \/4ac — 6²

Wobec tego, na mocy wzoru (7), otrzymujemy:

*² + 1 V/Ä

arc tang t,

arc tang

2acc 4 ft

Y/4 ac — &²

(8)

.4*4#

2aB—Ab

2 ax 4 ft \/4ac—ó²

11. Jeżeli trójmian ax²-\- bx-{- c da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego o spółczynnikach rzeczywistych, wówczas mamy: albo 1) A = 4ac—b² <4, albo 2) A = 4ac—ft²=0. W przypadku A<0, mamy — A=&²—4ac>0,

ax² 4 ft * 4 c

dx = 2a l°g(ax* 4 ft* 4 e) 4

a\/\ac — b²

arc tang

x=

ax² 4 ft* 4 c —    [(2o® 4 ft)²—(ft²—4ac)]

&²- 4ac

4a

2ax 4 ft \²    J

dx

ax¹-{- bx-\- c

— 24 —

dx

dx

b¹—kac \ / 2ax -j- b 'V/b¹— 4ac

2 ax -j- b

V/-A

Kładąc :

2ax -\-b 2a x -f- 5

V/—A    \/6> — 4ac

= *,

a więc :

a;

- A—b _ -x--? dx—

2a

otrzymujemy :

dx

ax¹ -\-bx-\- c

2 C dt *¹

a że :

Vi

Vi

więc:

*¹—1

*-l “

¹⁰⁸

i+1 ’

zatem otrzymujemy :

czyli :

J-

dx

ax²-\-bx-\-c y/_^

log

t— 1

*+l V—i

log

2a* -\- b—\/—A 2a* -|- b-\-\/ — A ’

2a* -j- b—\/ b² — 4ac

f_"___ -    Inp    _

J ra²+i* + c \/ó²-4ac    2a* + ó+V/&² —4ac'

(9)

W przypadku A = 0, mamy è²=4ac, a*²+ è* + c=.-i-(2a*-f-ô)¹, zatem:

Çd(2ax -f- b)

¹⁼² J(2a*+6)¹

dx

—2

(2a* -f- b)

2a* -J- Z>

czyli :

cZ*

-2

, gdy b¹— 4ac.

(10)

12. Z wzoru (7) otrzymujemy zatem, na podstawie wzorów (8), (9), (10), następujące wzory całkowe , zawsze w postaci rzeczywistej :

1) gdy A = 4ac — b² > 0,

Ax -f- B

dx

ax²    bx c

■^-log(a*²+ bx + c)4

2 aB— Ab

a\/ 4 ac — b²

arc tang

2 ax -f- b

\7 4ac— b²

+ 0. (ii)

zt* + #

ax² -\-bx-\- c

dx=

A    2 aB Ab

a loge*+1..+ 0+5^

2a* -j- &—Vb¹— 4ac

— 4ac ^ 2aa5 +    V/&¹ — 4ac

+ <7. (12)

8) gdy A = 4ac — b¹ = 0 ,

108 ("’+ iX + 'C) - <<2«-fi) +

13. Przykłady. Według powyższych wzorów, otrzymujemy n. p. wprost:

2* + 1 Y/S ’

J %-^Ti ⁼ y loS(*²+æ +x) + V/ 3 arc tan&

2*—1 *¹—3*+2

dx = log (*¹ - 3* + 2) + 2 log S=? + O = log    + (7,

^F§xTi=il0^,+&+ ¹>+/ri+ o-uw(.+D + *|r+c.

25

14. Całki funkcyj ułamkowych, których mianowniki są potęgami funkcyj drugiego stopnia. Mając wyznaczyć całkę, kształtu:

Ç (.Ax-\-B)dx J {x²Ą-pxĄ-q)r

w której trój mian x²-\-px-\-q nie da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego o spółczynnikach rzeczywistych, a więc da się przedstawić, jako suma kwadratów, w postaci:

x² -\-px + q = (x — a)² -f-ß²,

gdzie :

a= —

otrzymujemy : Ax-\-B

(:x²-\-px-\-ą)r

dx

Ax-\-B

[(x— a)² -j- ß²]r

dx

-s

A(x—a)

[(x—a)²+/?²J!

j[(*

AaĄ-JB

dx.

Z otrzymanych dwu całek jest pierwsza:

A(x— a)

dx

[{x —a)2jrß²]r druga zaś da się przedstawić w postaci:

A P 2(x—a) dx

“ 2' J[(æ-a)²+/?²]r = “ ’ (7—/7p¹ ’

Aa + B

[{x — a)² + ß²]r

dx=

Aa+Br

dx

Acc -\~B

ß2r

2r—1

(ć² + l)r

gdzie

a.

Pozostaje nam zatem znaleźć jeszcze całkę, kształtu:

p *

(<²+ir '

Zastępując w liczniku czynnik 1 przez różnicę (7-J-l)—t², otrzymujemy:

" i²dt

I (Pif

metodę całkowania przez

iW.T-iW'-S

dt

części

Stosując do wyznaczenia całki ^

t²dt

ot² +■ ly

połóżmy

t=u

a zatem

du--=dt

tdt

(<²+ir

= dv

2(»—!)(<-+!)

a otrzymamy:

t²dt

{t²+iy '

Wobec tego będzie:

2(r—1) (7 + 1)

r—1

1 f dt 2r-2j(<²+ 1)

r— 1*

dt

dt

!_ (

2r—2J (7 + l)r~

zatem otrzymujemy wzór redukcyjny całki Jr w postaci:

(*²+l)r

(pl)r

2(r— l)(7+l)r-¹

2r—3 P dt

(7 + 1+⁻ 2^2 ' (7+~ïp ⁺ 2r-2 J (7+lp ’

(14)

— 26 —

czyli :

(/y

2r—3

«Tr-1.

2r-2’ (^²4l/-1 Na podstawie tego wzoru , otrzymujemy kolejno :

2r—2

Jr-1

2r—5

2r—4 C²4ly-2 + 2r^4

«Tr-2

1    J

2

Jl==I^Tï==arctang^

przeto, pomnożywszy powyższe równania, kolejno przez: 2r-3    (2r—3) {2r—5)

’ 2r—2 ’ (2r—2)(2r—4)

i dodawszy je następnie, otrzymujemy wzór bezpośredni:

2r—3

(ż² + l)r 2r—2 [ (ź²4 l)r—1 + 2^4 ‘    (t²+iy-² 4

(2r—3)(2r—5)... 3 (2r— 2) (2r— 4) ...2

a że :

a zatem:

2 *²4 1

(2r—3) (2r—5)... 3 (2r—2) (2r—4)...4

(2r—3) (2r—5)... 3    1    1

(2r—4) (2r — 6)... 2 ’ t²+ lj

aro tang t

Całki prostych funkcyj ułamkowych, w których mianowniki są potęgami funkcyj całkowitych stopnia drugiego, składają się z funkcyj wymiernych i funkcyj cyklometrycznych.

15. Przykład.

(4* -j- 1) dx (*² -J- x 4 l)2 Mamy tu :

.i

(2* 41) dx

(a;² -\-x +1)²

daJ

(*²4 æ-)-!)²

dx

dx

(«2 4- x 4-1)²

*²4 aj 4 1

(aj² -\- x l)²'

daj

8V/3' C dt 9 J

(i²4-l)² ’

gdzie

1 tV 3

2—) czyh *

2* 4~ 1

V/3 *

a że :

{ dt    t dt    f

J(f²+i)² J*²4i    J

<² dt

więc:

daj

a zatem :

-f *

t 1 r dt t*41 ¹ 2(<²-j- i) 2 J#² + i 1

2* arc tang t,

2*4-1    , 4\/3

(*²+l)²

2(^+1)

(*²4*4i)²    3(*²4* + i)'r 9

arctg

2*4-1

V/3 ’

(4* 4 1) dx

(*²4*4l)²    3(*²4a7+i)

4\/8

—g— arctang

2*41

\/3

16. Mając ogólnie wyznaczyć całkę, kształtu:

Ax 4 B

(a*² 4^* 4c)r

dx,

możemy postępować w sposób następujący:

Połóżmy: ax*-\-bx-\- c = X, a więc: (’2ax-\-b)dx=dX, natenczas, ze względu na to, że:

C4* 4 -B ) <ż* — 7^- [.4(2a* 4 ft)4 (2aB — Ab)\ dix = ^ rfX4

<i*, 2« ’

otrzymujemy :

27

AX^B dx

i-x.

dX . 2aB—Ab Cdx

3 Xr ’

czyli :

AxĄ- B

X.

dx =

2a B—Ab

2o(r— 1) ' Xr-l doc

Celem wyznaczenia całki : J — użyjmy metody całkowania przez części. W tym celu połóżmy :

(15)

a zatem :

du = dx

Xr

dt> = -r.X-r-ldX,

a otrzymamy :

-r-1 dX

a;

--1- T

Xr ^

a:dX

Xr+i ’

a że : a więc: przeto będzie:

dX — (2ax -\-b)dx,

ajdX=(2aa;² -f- bx)dx— [2aa:² -}- 2óaj-|- 2c—{bx-\- 2c)\dx = \2X—(bx -\-2c)]dx,

f^ = -Ï. + r e2X-g?+ic.)fc₌,^₊2r f£* _ r f

JX»- X^⁺ J    Xr+1    X^ JX J

ix+2ci*.

XH-*

a zatem:

1 a;

fet***

J X^+i

skąd, zastępując r-f 1 przez r, dostajemy wzór:

r X^

2r-l Cd x r J

Xr »

bx -f- 2c

dx =

r — 1 ' Xr~¹

2r— 3f* da: r—1 JX^-1‘

Na mocy wzoru (15), mamy jednakże:

bx -t- 2c , dx

Hf

2a(r—1) * Xr-l

4ac — b² Cdx

~~2a Jx ’

wobec tego otrzymujemy równość:

Z>

2r—8

4ac—b² <^dx

a;

r — 1 ’ Xr-i

Xr-1 ’

2a(r—1) ' Xr—i ¹

4ac—b² C d x

Xr

2»— 8

2ax -j- b JP ⁼ 2a(r—1)

•    •    (* dcc

z której, kładąc 4ac—b² = A, otrzymujemy wzór redukcyjny całki Jr—\

czyli :

X'—i ’

Xr

w postaci:

2aa; -\-b    2(2 r— 3) a

czyli :

X' (r-l)AX^lT (r—1)A

Xr—i ’

(16)

dx

2aaj-f- i

2(2r — 3)a

dx

{ax²-\-bx -\-c)r    (r—1)(4 ac — b²) " {ax² -\-bx-\- c)r—¹    (r—l)(4ac—b²) J (ax²-\- bx-\-c)r—

Ï (16')

Podstawiając we wzorze (16) za r kolejno wartości r, r— 1, r—2,... 3, 2, otrzymamy szereg wzorów :

t/r—1

*-r

-5*

i/r—2

2aaj -j- b , 2(2r—3)a f* dx (r—1) A JX^î

Xr    (r—1) AXr—¹

Xr—¹

Xr—²

2(2r—5)a r* da: (r—2)1 3x^2’ 2(2r—7) 6 da:

(r-3)AXr-3T (r-8)X 3 X^-3

2ax -f- &

(r—2)AXr—²

2ax -f⁻ &

=5

da? 2oaj -{- &    ₍ 2.3 . a (* daj

X³^ 2A. X² ' 2A 3

x²

J’ = 3

da:    2oa?-j-^ , 2.1. a Cdx

A 3

A.X

które całkę Jr sprowadzają ostatecznie do całki:

X’

, ₌ f dx __ r dx ¹ J X J a#² -p bx -p c’

wyznaczonej w art. 10. a przedstawiającej się w przypadku A = 4ac—i²>0, w postaci:

2a# -p b

r dx

J az³ -bx c

\/4ac— ż»²

arctang

V/ 4ac —6²

17. Całkowalność funkcyj algebraicznych wymiernych. Rozkładanie funkcyj algebraicznych, wymiernych, ułamkowych na dodajniki, t. j. na funkcye całkowite , wymierne i na ułamki częściowe , względnie ułamki proste, których całki nieokreślone , jak powyżej wykazaliśmy, dadzą się zawsze przedstawić za pomocą funkcyj wymiernych, całkowitych , lub ułamkowych i za pomocą funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych, prowadzi do ważnego wniosku, że wszelka funkcya algebraiczna, wymierna jest zawsze całkowalna, a jej całka składa się z funkcyj algebraicznych, wymiernych i logarytmicznych, względnie cyklometrycznych.

Celem wyznaczenia tych funkcyj , potrzeba przedewszystkiem daną funkcyę, jeżeli jest funkcyą ułamkową, niewłaściwą, zamienić na funkcyę całkowitą i na funkcyę ułamkową, właściwą kładania funkcyi ułamkowej, właściwej na ułamki proste.

W tym celu należy mianownik otrzymanej funkcyi ułamkowej, która

na czynniki

następnie przystąpić do

roz-

jest funkcyą całkowitą, wymierną pewnego stopnia, rozłożyć stopnia pierwszego, lub drugiego, względnie na ich potęgi.

Rozkładanie funkcyi całkowitej wymiernej n-go stepnia o liczebnych spółczynnikach na czynniki pierwszego, lub drugiego stopnia wymaga w ogólności rozwiązania liczebnego równania n-go stopnia, co jest teoretycznie możliwe, w wykonaniu jednak połączone jest niejednokrotnie z po-ważnemi trudnościami rachunkowemi. Ogólny sposób postępowania, jaki tu jest wskazany, polega na kolejnem wyszukaniu poszczególnych pierwiastków i zniżaniu stopnia równania w ten sposób, że się wielomian równania podzieli przez znaleziony czynnik pierwiastkowy. Wyznaczywszy poszczególne czynniki pierwiastkowe mianownika , możemy dopiero przystąpić do rozkładania danej funkcyi ułamkowej na ułamki częściowe, według metod pozna

nych w wykładzie XLI. Tomu I.

Całka danej funkcyi przedstawia się tedy, jako suma całek poszczególnych funkcyj częściowych, które w myśl art. poprzednich dadzą się wyrazić przez funkcye wymierne, logarytmiczne i cyklometryczne.

zawsze

ćwiczenia II.

Wyznaczyć i sprawdzić następujące całki:

1) J (a bx) dx — ax -p -i- bx² -J- C= ^ (a -f- bx)² -p C‘.

-p ^bx³-\- -^cx³+ O.

2)    J («-p bx -j- cxr)dx =

3)    £ (a -}- bx-\- cx² ~p dx³) dx= ax-\-    bx³-\-    cx³-\-    dxk-p C.

ax

4)    J(7x³ -p 5x²—3x -j-5)dx— ⁷/i x⁴-p °/₃ x³—³/₂ x² -p hx -p C.

5)    £ (a -P bx)³dx = a²a?-p abx³-\-i/₃b²x³Ą- C= g— (o~Pbx)³-[- C\

6)    J(2 -P 5x)'idx — Ax -P I0x³ -p ²⁵/₃ a:³ -p C= ‘/₁₆ (2 + bx)³ ~p C‘.

29

7)    J"(l—3a;-f 2x²)²dx = x— 3x²4- ¹³A*³—3x* -Ą- y^x⁵    C.

8)    J(1 + cc²) (14- x) xdx = y₂ a;² 4- f/₃ x³ 4- V₄ x⁴ 4~ V₅x⁵ 4- (7.

9)    j,(¹+^‘²)(¹~a;)

¹⁰⁾    = y - p l0«(a+te)+ G U) 5

dx = % æ² 4~ 15x—6 log (a;—1) 4-41 log (a?—2) 4- C.

i ~ 2x "4“ 1 "log2(*+l)

5x³ 4~ 1

13) f

dx =

(* 1) (*—2)

dx

—x logx² 4- 2a;² —x³ — 2

2x

dx

x (a 4- b x)

~~a l0g    a

(*4-i) (2*4-1)

r x⁴dx    1 /    1

} J(x-l)²(x4-l)² *    4^ + 1

— log -

(as—a) (a; — b) a — b x xdx

!6) f

dx

¹⁴>(

4-c.

(3—2a;) dx

(x 4-1) (x —2)

X 4- 1

= — log \/(x4- l)⁵(x—2) 4- C.

4- c.

x — b

ZTi log (as—a) 4- ^7^ log (x—b) 4~ O.

¹⁸) $(^-a)(»-i)(x-c) “ (a—b)(a—c) lo8(x~a) ^

log (x—c) 4- <7.

17) f

(x—a) (x—b)    a —

( b — a) (b — c)

log(x—è) +

(c — a) ( c — b)

19) f

xdx

(x—a)(x— J)(x—c) (a—b)(a — c)

log (x—a) 4-

(b — a)(b — c)

log (x—b) 4-

(c — a)(c— b)

log(x—c) 4- O.

20)

dx

(x—«i ) (x—a₂ ).. .(x—aTO)

log (x —dr)

N

^ml(ar — at) (ar — a₂)...(«i—«,_i)(«»—ar .    — a»)

r=l

4-o.

21)

xm dx

(x—aj)(x—a₂)...(x—a«)

r=zn

l(«r — at)(ar—a₂)...(ör—«re) r __ 1

arm log (x—Ur)

-4- c.

22) f

dx

28) f

26) f

28) f

¹    1    i r

(x—a)(x— fc)² (a- b)(x-b) ¹ (a—&)2 g x-6 ^

xdx    b    a T _ * — a \ n

(x-a) (x-b)³ — (a- ft) (x — J) t (a—bÿ l0g x— 6 +

*4-!,    *    , ~ OR, fx²4-i    1 3x²4-l

(x-1 ydx (x-i)2+c- 2b))(x-iydx— 6 (x—l)³

3    /* + 3\!

(x+2)(x4-3)² x + 3 ⁺¹°g t+2/ +<7,

^GtsV+G’

p) • Ppï-plos(a+to) + c-,    «4-^

+ G 81)Ia4b⁼₂Wjl0g

1    X

arctang—

xdx

x²dx

Bx + 12

(x 4- 2)² (x 4- 4)²    x² 4- 6x 4- 8

x²dx

(a 4“ bx)z 29) f *"

x\a-\-bxy

/ x²

\T

2a²

fA + ih . __L_

\ax a²/ a 4“ bx

a³

4- C.

4-a

30)

dx

a 4-&X² \/ab

__ arctang

x\/ b

\/a 4- x\/b

V/a — x\/b

4-c.

82) j d*

x2 - «    2 Va

33) j dX

*³ 4~ « \/a

4= i°g

arctang

Va-

Va 4“ x

%=+ c

\/a

2\/—a

log

y/—a

f &-

\/—a—

V/—a 4"*

5+O'.

- 30 -

2    2x -1- 1

— arc tang —+ O.

Vs

1    ,    35— B

= arc tang —^--}- (7.

⁸⁶⁾ i(^ + l)^»+T) = ł {2 arc tang T " ar0 ta“S *} + a

₃₇N f.............____₌ ¹    . l0ff V/x⁴+^³+^²

' Ja5(a5-{-l)²(3:2 + 3:4-l) x 4~ 1    ° (x 4~1)²

⁸⁸>.L

qon (*(2x³—x²-|-5x)dx

dy) J (œ²-j-l)²

34)    j dX

35)    j dX

Vs

— arc tang

2x 4~ 1

Y/3

f c.

dx

2—2x-\- 5a;2 3(a;1)² (a;—l)(/²4-l)    4x²(x-j-l)

2(a;²-f 1)

^ g\    a;⁸(a;² —J-1)

log (a:² -f- 1) — V2 arc tang x + C.

^arc tang x 4- C.

40)j

x⁵dx

4a;²-f 3 (a;² + l)³ “ 4(x² + 1):

41))

(a;²—3a:—2) dx (x-|-l)²(a:² -\-x -J- 1)

= log

4“ logY/x²4-l -j- C.

Vx* + xj-l _ lia;² -f 18a; + 13 3(x4-l)(x²-|-x4-l)

25    _

VS arc tang

2a; -f - 1

42)5

(a?³—2x 4- 1 )dx

5x³—3x² 4- 3x — 1

x\x — 2) (x² -J-1)

4x²(x²-f- 1)

“IT

1    x⁵⁵(x—2)

40l0e'(»»+'ï)» ~ /l0 arota”8:'+ C-

Vs

4-o.

iS))

8x²—2a; 4-1

(2x-t-l)(x4-l)²

dx— ¹

44)j

dx

46)5

46)5

47)5

‘/is log (2* + 1) +    ~ log(«+1) + O.

4    2a; 4-1

arc tang —— 4- (7.

2x 4~ 1

(x² -J⁻ x -)"■ ly²    3(x²4-x4-l) 3 y/3

(3x²— x4~2)dx (x—1) (x²4-x+lj2 7 xdx

x² + 3x— 18 24dx

V/3

3x 4- 4

48)5

x² -(- 3x — 18 7x4-24 x² 4- 3x — 18

2 .

9 log

= 5 log (re-3) + ^ log (x + 6) + C. dx == log [(x—3)⁶(x 4- 6)²] 4- 0.

3(.x² -j-x -f-1)

x²—2x 4-1 _    10

x²4-x4-l sy/3

arctang

2x4-1

Vs

4- G

49)5

dx

4a

BO))

2 ax 4- b

(ax²-j- bxĄ-cy (4ac— ô²)(ax²4~ ôx4-c) ¹ (4ac—b²) y/4ac_

2ax-\-b 6a(ax²-fèx 4-c) 4-(4ac—6²)

(ax²-j-ôx-f-c)³ 4ac—&²    2(4ac— &²)(ax² -J- èx 4- c)²

12a²

arctang

2ax 4- b

\/4ac—b²

dx

(4ac— b^yV 4 ac—b²

arc tang

2ax -j- &

V4ac—6²

Rozwiązania II. Wskazówki do rozwiązania całek zawarte są w wykładzie.

Literatura. S. F. Lacroix. Traité de calcul différentiel et de calcul integral. Paris Tom. II. 1814. F. Minding. Lehrbuch, der Differential und Integralrechnung. Berlin 1836. J. Hann Examples on the integral calculus. London 1850.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Całkowanie funkcyj wymiernych, ułamkowych.

2.    Całki funkcyj wymiernych, ułamkowych, których mianownikami są funkcye stopnia trzeciego.

3.    Całki funkcyj wymiernych, ułamkowych, których mianownikami są całkowite potęgi funkcyj stopnia trzeciego.

Wykład III.

Szczególne metody całkowania funkcyj wymiernych, ułamkowych.

1. Ogólna metoda całkowania funkcyj wymiernych, ułamkowych polega

Gm(x')

na rozkładaniu danej funkcyi ułamkowej, właściwej częściowe. Jeżeli

Gn(x)

(ni < n), na ułamki

Gn(x)=(x—a)a (x—bf... (x²-\-px + q)x (x²+rx+s)t*... natenczas dana funkcya ułamkowa, właściwa da się przedstawić w postaci:

Gm(x)_ Ag

Gn(x)~ (x—a)

Aa—1

CC—1

(x— a)

Bß-i

(x—by~r(x—by~~i 1 '* ¹ x—b

(1)

PjiX+Qa    Pj-iS + Qx

(,x² +px + ą)x (x² -f px f q)

Bfjc+Sp    Rp-iX+Sp-i

(x²+rx + s)^ (x^+rx+sy-i    x*+rx+s

a;² +jpa;d- q Rxx-\- S:

w której spółczynniki liczników są liczbami stałemi, jednoznacznie, określonemi.

Całka danej funkcyi ułamkowej składa się tedy z całek, które się sprowadzają ostatecznie do trzech typów:

r dx

; }(x—a)r    (r— l)(x—a)r

3) f—2“— -= -    ___ arctang

J x²Ąpx+ą \Z±q—p²

SiS;-“»**-“’

2x-\-p V 4t q—pl ’

przyczem :

2 x+p

(r— l)(4g—p²) ’    («²+pa:+2)r

2(2r—3)

(r—1) (4# —p²) J (a;² +jpos -j- ą)

2. Całkowanie funkcyj ułamkowych, których mianowniki mają czynniki tylko stopnia pierwszego. Jeżeli mianownik Gn(x) danej funkcyi ułamkowej da się sprowadzić do postaci: Gn(x)=(x—a^(x—a₂)...(x— ein), gdziea1? a₂,...a„, są pojedyńczemi pierwiastkami równania : Gn(x) =0, natenczas otrzymujemy rozwinięcie :

{xz\-px + q)r

r    dx

y (x²

-^2

Gm(x)_ A

Gn(x) X — Ct^

którego spółczynniki Ar{r=1, 2, ...ri) podaje wzór:

A,

x-a₂

X~Ctn

Ar =

Gm{x)

G n{x)f X~ &r

Gm(^Clr')

G-‘n(CCr) ’

Całka nieokreślona przedstawia się tedy w postaci :

* Gm (#)

Gn {x)

dx=Aß.og (x—ai) + A₂log (x— a₂) + ...+ Anlog (x — an),

(2)

i jest wyłącznie funkcyą przestępną.

W przypadku pierwiastków urojonych, możemy, dla uniknięcia wyrażeń ze spółczynnikami urojonemi, zebrać parami wyrazy sprzężone w jedno, na mocy, wzoru:

P+iQ    P—i Q _ 2P(x-d)-2ßQ_ Ax+B

x—a—ßix—a+ßi    (x-a)²-\-ß²    xl-\-px-\-q

i otrzymujemy, jako sumę całek dwu wyrażeń sprzężonych:

Ax-\-B x² -i-px+q

dx—

A

— log (x*+px+ q) —

Ap—2B V4 q—p²

— arc tang

2 x+p

V' éq—p²

(3)

Postępowanie to zastosujemy do wyznaczania całek funkcyj wymiernych, ułamkowych, których mianownikami są funkcye całkowite n-go stopnia kształtu : xn-hl.

3. Całkowanie funkcyj wymiernych, ułamkowych o mianownikach

xm dx XnzŁ: 1

w której wykładniki m i n są liczbami całkowitemi, przyczem m <w. Przy-jąwszy mianownik w postaci xn—1, załóżmy najpierw, że wykładnik n jest liczbą parzystą i połóżmy n = 2r, natenczas otrzymujemy pierwiastki równania: xlr—1—0, w postaci:

2 r    2 r

X = V/ -pi — V/1— 1 kn

kształtu: a5wdbl« Niech będzie do wyznaczenia całka kształtu:

len

len

=cos-

4- i sin —■, (Jc=0, ± 1, ± 2 ...Hz (r— 1), r),

przedstawiającej 2r różnych pierwiastków, między któremi są tylko dwa

pierwiastki rzeczywiste: +1 i —1, odpowiadające wartościom Æ=0 i Jc=r

wszystkie inne zaś są zespolone, parami sprzężone.

len . . len cos -— -p i sin — = cck

Kładąc :

len

len

cos -

)■

--i sin —=ßk

r    r

otrzymujemy rozwinięcie:

xm

xm

N<3

xïr—i    (x -p l) (« — 1) Oz—aß) {x—ft)... [x — ak) (x—ßk)... (x—ar-\) (x—ßr^)

Aa    B₀ A,    B,

=    —i--Ü—]--Î—i--L_

x-t~\    x—l x~ax x—ßx

w którem, na mocy T. I. str. 594., mamy:

f-.-ł

Ak

Bk

Ar—i

x—ak

X—ßk

x—ar-1

Br—1

X ßr—\

Ki

xm+¹

/_

-1

(— l)nł+1 -

2r

83

A* =

Bt =

xm

2 rx2r-'l x==a-k

xm

2 vx2r */ a: = .ßi 2r

1 Xm+X ,    1    , ,

śü ■    !—T'

to

1 xm+1 i

x^r ! ft=

h-Tr*’*'

Suma dwóch ułamków częściowych, odpowiadających dwu pierwiastkom sprzężonym, przedstawia się w postaci :

-A-k

Bk

If

2 r[

cos

i r gtm+i ₁ ßkm+i

(x—ak)' (x—ßk) 2ryx—ak x—ßk

(m + Y)kn

{m-\-V)Tcn

-f- i sin

(m-f-1) Jen

cos

i sin

(m+1) kn

X — ^cos

k 7i

hn\ r )

kn

.    ...... JC71\

x—I cos--1 sin — J

x cos

(m +1 ) kn

cos

mkn

x²— 2x cos

kn

"Wobec tego otrzymujemy:

xm

x2r— 1*

i r(-i)w+l

7 I 20*4-1) ¹ 2{x— 1) "r

X cos

{mĄ-l)n

cos

mji

X cos

(m4- i){r—V)n

cos

x²—2r cos —— + 1 m{r—1) jt

f...+

ł*

x¹— 2æ cos

(r —1) 7i

(4)

Podobnie otrzymamy, w przypadku, gdy w=2r-f-l, wzór:

2 mn

___!_r_

a-2rfi__i 2r+l[2(ic— 1)

xm

a: cos

2r-ł-1

cos

2r 4-1

a:²— 2# cos

2n

2r+l

X cos

2 r (m-\-1) n

2r4-l

cos

2 r m Ti

2r 4-1

a:²—2x cos

2ro

(5)

2r4-l

& r~ ~ lu

<    Y

*7 2 à

<    b >• _

<14*

Ûl-«

UI ^ N

< >-

Analogicznie wypadają rozwinięcia:

x2r+l

r X COS ^ X²

{m 4- 1)ti

2r

cos

17171

2r

— 2x cos “4-1

2r

x cos

(2r— 1) (w®4-1) n

2r

cos

(2r—1) 17171

2r

x²— 2.rcos

(2r—1) 7i

(6)

27    ⁺¹

Dr. Dziwióski. Wykł. matem I. Tom II.

as™

iC2r+1 -f 1

2 r(-i)m+¹

~ — 2r + l [ 2(æ+1)

x cos

2r-f 1

cos

mn

a? cos —

(2r—l)(w+l) jt 2r-h 1

x'²— 2a; cos

2 r-\-1

+1

2r+P

(2r— l)wm i 2r +1

a;²— 2#cos

—cos —

(2r—l)n

2r-f 1

■hi

f xm

Całki funkcyj ułamkowych kształtu: \ %nJ > składają się więc

z całek kształtu:

a; cos

(m-hlj/cTT'

cos

kn

x²—2x cos--hl

n j f AxĄ-B dx" )x²+px+g

dx

gdzie :

A= cos

mkn

; B= — COS

n

kn

p = — 2 cos

które, na mocy wzoru (3), przedstawiają się w postaci:

mkn

—— dx =

a; cos

(m-f 1)ätt

cos

aj2—2x cos

+-1

cos

(w-fi) kn

log ^a;²

—2a;cos--hl I

w /

kn

kn

X — cos

— sin (m-h 1)-----arc tang

. kn sin-

Otrzymujemy zatem całki szukane, w następujących postaciach: = -^logO —!) +    ^—log(*+l) +

r )

1)

f z™ cfo )x2r

-1

k=r—1

£2

cos

(m+l)kn

k= 1

log ^a;²

—2 a; cos

k=r— 1

2 -

(m-f l)£:rc

aretang

x — cos

kn

kn

£=1

sin —

xm dx

1 ł=r

A—y

2*-+

~L_7 log ta—1) +

£2r+l_l 2r+l

log (x²

cos

(m-hl)2żbr

2r+1

— 2a;cos

2&7Î

2r+l

+¹)-

k—r

2 •

^ —T >■ sm

2r+l

*=i

— 35 —

(m + 1) 2 kn

X — cos

2kn

2 r+1

arctang

2 r-\-1

sm

2r+l

3)

xm dx

x2r-\-1 ~ ~

₁

r, 2

cos

(m+l)(2&—1)jt

k— 1

log^² — 2a; cos (2k—l)n

(2 k—1 )ji

2r

fl)t

. (m+l)(27c—l)yr

a; — cos

sm

2r

arc tang

2r

.    (2k—l)n ’

sm

2r

4)

xm dx

(-!)”•

a;2r+1 + 1

2r+ 1

log (x + 1) —

k=r

2 r-\~ 1

k—i

cos

2r+1

— 2a; cos

{2k—l)n

2r+l

+ 1^ +

£=r

2    . (m-Ll)(2Ä—1 )n

ar+î 2 sm—2T+ï—arotailg

2(k— Y)n 2r + l

2r+l

a; — cos

4. Sprowadzanie funkcyi ułamkowej do najprostszej postaci. Mając daną funkcyę wymierną, ułamkową w postaci ilorazu dwu funkcyj całkowitych, wymiernych Gm(x): 6r«(œ), należy zawsze zbadać, czy ta funkcya jest sprowadzoną do najprostszej postaci, t. z. czy licznik i mianownik tej funkcyi nie posiadają żadnego wspólnego podzielnika, przez który moźnaby daną funkcyę uprościć. W tym celu należy wyznaczyć wspólny podzielnik funkcyj całkowitych, występujących w liczniku i mianowniku danej funkcyi ułamkowej, a w przypadku istnienia takiego podzielnika należy daną funkcyę przez niego uprościć, x²—1

n. p.

(cc -j-1) Q—1)

x² —b 2x²-{- x

x(x -j— t)²

X—1 X² -j- X

zatem

x²—1

dx

X³ -j- 2x² -f- X

5. Największy wspólny podzielnik dwu funkcyj całkowitych, wymiernych możemy wyznaczyć, bez rozkładania tych funkcyj na czynniki metodą Euklidesa, stosowaną przy wyszukiwaniu największego wspólnego podzielnika dwu liczb całkowitych.

Niech będą G(x) i Gx(x) danemi funkcyami całkowitemi, dla których wyszukać mamy ich największy wspólny podzielnik.

Przypuszczając, że funkcya G (cc) jest »-go, Gt(x) zaś m-g o stopnia, przyczem »<m, podzielmy funkcyę G(x) przez funkcyę ćr^cc), a otrzymamy na iloraz funkcyę qi(x), stopnia (n—m)-go, a na resztę funkcyę rx(x) stopnia najwyżej (m—l)-go.

Będzie zatem :

G(x)

czyli :

Gy(x)

G{x) = qx (x). Gt (x) -f r, (x).

Dzieląc teraz pierwotny dzielnik Gx(x) przez resztę rx(x), otrzymamy pewien iloraz fh{x), oraz resztę r₂(x), funkcya całkowitą, stopnia najwyżej (m—2 -go :

Gl(x) = r₁(x). jj(a?) -f r₂[x).

Powtarzając wskazane działania, otrzymamy kolejno:

^(a) = ri(x) ■ 03 0*0 + rs(x),

r₂(x) =r₃(x). ch(x) + r,(as),

ogólnie :

- 2 (a?) =^_i (*) • q^x) + r^x), gdzie rfi(x) będzie funkcya całkowitą , stopnia najwyżej (m—|r)-go.

¹

gdy A = 4ac — Z>² <( 0 ,

Postępując w ten sposób, musimy dojść w końcu do reszty r^cc), przez którą reszta poprzedzająca r^—i(x) będzie już podzielna, co w najgorszym razie nastąpi wtedy, gdy reszta »>(cc) będzie funkcyą stopnia zerowego, czyli liczbą stałą.

Przypuśćmy tedy, że w końcu tą resztą r^cc) jest funkcya (m—^)-go stopnia, i że

V i (*) = *>(*)-2^+1 0*0»

natenczas poznamy z łatwością, że funkcya r^x) jest tą funkcyą, przez którą dane funkcye G(x) i Gx(cc) są podzielne.

Z pierwszego równania powyższego układu równań wynika bowiem , że wszelki podzielnik funkcyj G(x) i Gt(x) jest także podzielnikiem funkcyi rx(cc), z następnego wynika znowu, że wszelki podzielnik funkcyj G{x) i Gx(x) jest także podzielnikiem funkcyi r₂(cc). a w końcu z ostatniego, że wszelki podzielnik funkcyj G(x) i Gx (cc) jest także podzielnikiem funkcyi r^cc). 7i czego wynika, że największy wspólny podzielnik funkcyj G{x) i Gx(x) jest także podzielnikiem funkcyi r^(x). Tym podzielnikiem jest sama funkcya /yt(cr).

Funkcya ta jest przedewszystkiem wspólnym podzielnikiem funkcyj G{x) i Gx(x\ gdyż będąc podzielnikiem funkcyj r^—i(cc) i r^(x) jest także podzielnikiem funkcyj r^_2(cc)...r₁(cc), a więc także funkcyj Gx(x) i ćr(cc).

Funkcya r^(cc) jest także funkcyą najwyższego możliwego stopnia, przez którąby były funkcye G(x) i Gx(x) podzielne, czyli największym wspólnym podzielnikiem funkcyj G(x) i Gx(x), gdyby bowiem istniała funkcya wyższego stopnia, przez którąby były funkcye G{x) i Gx(x) podzielne, to przez tą funkcyę musiałaby być także funkcya r^cc), a więc funkcya niższego stopnia podzielna, co jest niemożliwe.

Szukając tą drogą największego wspólnego podzielnika funkcyj cc²—1 i cc³-}- 2cc² -}- cc, otrzymujemy :

(cc³ -J— 2c»² -f- cc) : (cc²— 1) = x -f- 2, + cr³ + x

2x² -f- 2x + 2x² + 2

2cr-f- 2 = 2(cc-}-l)

a więc, pomijając czynnik stały 2, mamy rx(x) — x-1-1, a ponieważ (cc²—1) :(cc-}-1) = cc—1, przeto cc-}-1 jest szukanym największym wspólnym podzielnikiem funkcyj cc²—1 i cc³-}-2cc²-}-cc.

Funkcye całkowite, których, największym wspólnym podzielnikiem jest funkcya stopnia zerowego, nazywamy funkcyami względem siebie pierwszemi;w funkcyi ułamkowej, przedstawionej w najprostszej postaci, powinny być licznik i mianownik funkcyami całkowitemi, względem siebie pierwszemi.

6. Największy wspólny podzielnik funkcyi całkowitej, wymiernej i jej funkcyi pochodnej. Niech będzie dana funkcya całkowita, wymierna , n-go stopnia, w postaci :

G (cc) = (r—a)u(x—bf (x—c)y. ...(cc — fc)*(X—T)*,

gdzie

* + ? + ••• +*=*»» natenczas jej funkcya pochodna G'(x) przedstawi się w postaci:

G‘(x) = a (x— o)“⁻¹ (x— bf (cc — cf. ... (cc —k)x (x — lf Ą--{- ß(cc—a)“ (cc — bf~l (cc—cf. ... (cc—k)x (x— lf-\-

-}- A (cc— a)a (cc—b f (cc — cf .... (cc—k)x (cc — l)

A-l

czyli :

A-l

(cc - &/“¹ . ... (x-k)*-' (cc - l)

I a (x—b) ... (cc—k) (cc—l)-\- (i (cc—a) (cc—c) ... (cc—V) -}-... -j- A (cc—a) (cc—b) ...(cc— &)}.

G‘(x) — (cc — a)

cc—1

Łatwo wykazać, że największym wspólnym podzielnikiem danej funkcyi G(x) i jej pochodnej G‘{cc) jest funkcya :

O-if“¹-

X— 1

(cc —bf . ... (cc— k)

Funkcya D(x) jest bowiem przedewszystkiem wspólnym podzielnikiem danej funkcyi G(x) i jej pochodnej G‘(x), gdyż funkcya D[x) występuje, jako czynnik, tak w (?(cc), jak w G'{x). Funkcya D(x) jest jednak także największym wspólnym podzielnikiem funkcyj G(x) i G'(cc). Wspólny podzielnik wyższego stopnia musiałby bowiem, oprócz wielokrotnych czynników w D(x) się znajdujących, zawierać jeszcze inne czynniki, któreby były wspólne funkcyom

D(x) — (cc—a)

a-l

(8)

- 37 -

na

zera.

G{x) i 6?'(*), co jest niemożebne. Przyjąwszy dalej, że n. p. czynnik (*—a) zawiera się aj większym wspólnym podzielniku nie (a—1) razy, lecz a razy (więcej razy ze wględu kształt funkcyi G(x) niemożebna), to musiałby czynnik (a;—a) być wspólnym czynnikiem funkcyi , mieszczącej się w nawiasie funkcyi £'(*), a więc cała funkcya, w nawiasie j } ujęta, musiałaby dla * = a stać się zerem, co się jednak stać nie może, gdyż pierwszy wyraz będzie różny od

Funkcya D[x) — (*—a)«-¹ (a?—b)ß—i ... (*—l)*— 1 jest więc największym wspólnym podzielnikiem funkcyi G{x) i jej pochodnej £'(*).

A zatem : Największy wspólny podzielnik funkcyi całkowitej wymiernej G(x) i jej funkcyi pochodnej G'(x) zawiera wszystkie czynniki pierwiastkowe funkcyi G(x) w stopniu o jeden mniejszym.

Największy wspólny podzielnik funkcyi G{x) i jej pochodnej G\x) nie zawiera więc wcale pojedynczych czynników pierwiastkowych danej funkcyi G(x), a natomiast zawiera podwójne czynniki raz, potrójne 2 razy, ogólnie r-krotne (r—1) razy.

7.    Warunek, pod jakim całka funkcyi ułamkowej jest wyłącznie funkcya przestępną. Z ostatniego twierdzenia wynika, że funkcya całkowita wymierna, posiadająca tylko pojedyncze czynniki pierwiastkowe, nie ma z funkcya pochodną żadnego wspólnego podzielnika, czyli innemi słowy funkcya całkowita, wymierna, posiadająca same pojedyncze czynniki pierwiastkowe jest pierwszą względem swej funkcyi pochodnej.

Chcąc się zatem przekonać, czy dana funkcya posiada wyłącznie pojedyncze czynniki pierwiastkowe stopnia pierwszego , należy wyznaczyć jej pochodną i znaleźć największy wspólny podzielnik tej funkcyi i jej pochodnej. Jeżeli tym wspólnym podzielnikiem jest funkcya zerowego stopnia, czyli liczba stała, względnie 1, to znak, że dana funkcya ma wyłącznie czynniki pierwiastkowa stopnia pierwszego.

Jeżeli taka funkcya występuje, jako mianownik danej funkcyi ułamkowej właściwej, to całka takiej funkcyi ułamkowej składa się, jak wiemy z art. 2., wyłącznie z funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych, czyli jest wyłącznie funkcya przestępną.

Z tąd wniosek: Całka funkcyi ułamkowej właściwej

jest wyłącznie funkcya prze-

Gm(x)

Gn(xj

stepną, skoro mianoivnik Gn(x) tej funkcyi nie ma ze swą pochodną G‘n[x) tej funkcyi żadnego wspólnego podzielnika.

8.    Przykład. Mając ocenić rodzaj całki w postaci:

dx

*³ + 2*²— x— 2 ’ przeprowadzimy zatem następujący rachunek:

ćr(*) = *³ + 2*²—x—2,    ćr'(*) = 3*² + 4*—1.

Celem uniknięcia spółczynników ułamkowych przy wyszukiwaniu największego wspólnego podzielnika funkcyj G(x) i G\x) pomnóżmy G(x) przez 9, a otrzymamy:

(9*³ + 18*²— 9*-18) : (3*² + 4*— 1) = 3* + 2 9*³-}- 12*²— 3*

6*²—6* —18 6*²-J-8*— 2

—14*—16=-2 [7*+8]

Pomnóżmy 3*²-J-4*— 1 przez 7² = 49, a otrzymamy:

(147 *²—196 *-49) : (7* + 8) = 21*-52 147*²+168*

-364*- 49 —364*—416 + +

+367

G(x) i G‘(x) są więc funkcyami względem siebie pierwszemi. Funkcya G(x) ma więc wyłącznie pojedyncze czynniki pierwiastkowe.

W istocie jest (*³ + 2*²—*—2) = (*—1)(* + l)(x + 2).

Otrzymujemy zatem:

*³ + 2*² — x — 2

x—l "t~* + l* + 2

- 38 -

gdzie :

3xJ + 4æ—- l/x=l    6 ’ B 3æ² + 4a3— if x=—l~

—2 IT ’

^    3a;²-j-4æ— l/x~

a więc :

a³-|-2a;² — x — 2

6 ' a; — 1    2 ' cc + 1    3 * a -f 2 ’

przeto :

czyli :

2 ⁼ Tlog (œ 1) —

f_^_= log

Ja.3_|_2a!²-x-2 ë

cńe

a;³-j- 2cc² — a: —

S/x—1 .\?x + 2

\/ x -J-l

9. Niektóre uwagi o rozwiązywaniu równań liczebnych, posiadających same tylko jednokrotne pierwiastki. Równaniami liczebnemi nazywamy równania, których spółczynniki są liczbami szczególnemi, dla odróżnienia od równań algebraicznych, których spółczynniki są liczbami ogólnemi. W tomie I. poznaliśmy sposoby rozwiązywania równań algebraicznych , pierwszych czterech stopni. Równania algebraiczne stopni wyższych nad czwarty nie dadzą się, jak dowiódł Abel (1817), ogólnie rozwiązać przy pomocy działań algebraicznych, któreby miały być wykonane na ogólnych spółczynnikach tych równań. Z tego powodu, mówiąc o rozwiązywaniu równań wyższych stopni, mamy zawsze na myśli równania liczebne, ograniczając się do równań liczebnych o rzeczywistych współczynnikach.

Przekonawszy się sposobem, podanym w art. 6., że dane równanie liczebne :

G(x) = xn-\-ax xn~i -f-... -f- an—i x -f- an = 0,

nie posiada pierwiastków wielokrotnych, a tylko same pojedyńcze pierwiastki, że więc G(x) da się przedstawić w postaci: G(x) — (x—at)(x—a₂)...(æ—a„), możemy przystąpić do wyznaczania poszczególnych pierwiastków 04, a₂,.„, an.

Pierwiastki te mogą być liczbami rzeczywistemi, lub urojonemi, parami sprzężonemi. [Jeżeli spółczynniki równania są liczbami całkowitemi, to pierwiastkami rzeczy wistemi mogą być tylko liczby całkowite, lub liczby niewymierne, zwane liczbami algebraicznie niewymiernemi.]

Szukając pierwiastków rzeczywistych równania 6r(x)=0, musimy przedewszystkiem wskazać granice, między któremi leżą poszczególne pierwiastki rzeczywiste tego równania.

W tym celu, podstawiamy za x rozmaite liczby rzeczywiste a, b,... i wyznaczamy odpowiednie wartości G{a), G{b),..., wprost, lub za pomocą dzielenia Homera, jako reszty ilorazów G[x) : (x—a). Por. tom I. str. 414.

Odcinając przyjęte wartości a, b,... jako odcięte, a wartości G(a), G(b), ... jako rzędne punktów, otrzymujemy przybliżony obraz krzywej parabolicznej o równaniu: y = G{x).

Jeżeli przytem okaże się przypadkowo, że jedna z tych wartości, n. p. 6?(a), jest zerem, tedy krzywa przecina oś X-ów w punkcie A(a, 0), a liczba rzeczywista a jest pierwiastkiem równania 6r(x) = 0.

Jeżeli wartości G(a) i G(b) są różne od zera, to na podstawie tego, że funkcya całkowita wymierna jest funkcyą ciągłą, wysnuwamy wniosek, że krzywa y=G{x), między granicami x = a i x = b, przecina oś x-ów w parzystej, lub nieparzystej ilości punktów, czyli, że między granicami a i b znajduje się parzysta , lub nieparzysta ilość pierwiastków, stosownie do tego, czy wartości G(a) i G{b) mają znaki jednakie, czy też znaki przeciwne.

Stosownem ścieśnianiem granic ai b, możemy szukane pierwiastki rzeczywiste wyznaczyć z wszelką żądaną dokładnością.

Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków zespolonych danego równania możemy zawsze sprowadzić do wyznaczania pierwiastków rzeczywistych dwu równań o dwu niewiadomych.

Kładąc bowiem w danem równaniu G(x) = 0 za niewiadomą x liczbę zespoloną a-fßt,

G(x) = F(«, ß)+ i *(«, ß),

otrzymujemy:

F{«, ß) = 0, *(«, ß) = 0.

a zatem, na wyznaczenie a i ß, dwa równania o spółczynnikach rzeczywistych , o dwu niewiadomych a, ß, w postaci:

39

Bliższe szczegóły, dotyczące ściślejszego oddzielenia pierwiastków (stosownego ścieśniania granic pierwiastków) danego równania liczebnego, jakoteż rachunku liczebnego pierwiastków niewymiernych poznamy przy zastosowaniach wyższej analizy do algebry.

10. Przykład. Bównanie :

x⁵ -(- 3a;⁴—2x³—9x²—lia:—6 = 0, ma same pojedyncze pierwiastki, gdyż funkcya:

G(x)=x⁵-{- 3xi—2x³—9x²—lia:—6

jest pierwszą względem swej funkcyi pochodnej: ćr'(a;) =5a;⁴-p 12x³—6a:²—18a;—11. Podstawiając za x rozmaite liczby całkowite, otrzymamy:

<?(3) = 330, 67(2) =0, 0(11) = -24, 67(0) = — 6,

67(-l) = 0, G{—2) = 12, 67(—8)=0, 6r(—4) =—182, zatem trzy pierwiastki całkowite 2, —1, —3, a więc trzy czynniki pierwiastkowe x—2, a;-f3, których iloczyn daje funkcyę: x³-f 2a:² — Ba;—6. Podzieliwszy funkcyę G(x) przez funkcyę x³ -\-2x² — hx—6, otrzymujemy iloraz x² x -j- 1, a więc pozostałe dwa pier-

_i₊,kł 2 ⁺ 2 ’

wiastki zespolone:

1    *V3

Jest zatem:

*5 _p 3®⁴—2a;³—9x²— Ha? — 6 = (x—2) {x + l)(a: + 3) (a;² + a: -f 1). Całka funkcyi ułamkowej właściwej, której mianownikiem jest funkcya: x⁵ -j- 3.r⁴ — 2x³— 9a;²— lia: — 6

jest zatem wyłącznie funkcyą przestępną.

11. Całkowanie funkcyj ułamkowych, których mianowniki mają czynniki

Gm(x)

wielokrotne. Jeżeli mianownik funkcyi ułamkowej, właściwej ma czynniki wielokrotne, a więc przedstawia się w postaci :

Gn{x)={x—a)a{x—by..{x—l)x, gdzie a + /?-f...-fX=n, natenczas:

Gn(x)

(m < n)

Aa

Aa-l

Gm(x)

Gn(x) (x—a)a ' {x — a)

Bß—\

{x—b)ß ¹ (tf^pî⁴*”⁴

X—

~a ⁺

Bß

Lx    Lx-1    L₁

zatem :

(x - ly ^ {x—iy~*

Gm{x)

Gn {x)

dx= —

Aa

Aa—i

(a—l){x—a)a~x (a—2){x—a)

Bß—i

(iS—1) (x-by-'    (ß—2){x—b)ß-*    ”*

Bß

x—b

Lx

Lx-i

czyli :

ß—l){x-iy-'    {A-2 ){x-iy~*    "•

f i₁log(a;—1\

Gm {x)

- dx=R(x)-\-2Alog [x—a)

gdzie R{x) jest funkcyą algebraiczną, wymierną, 2 A\og(x—a) jest funkcyą przestępną.

Całka nieokreślona funkcyi ułamkowej, której mianownik posiada czynniki wielokrotne, składa się zatem z dwu części, części przestępnej, złożonej z logarytmów.

Gn (X)

(9)

z części algebraicznej

- 40

W przypadku pierwiastków urojonych mamy co dwa pierwiastki sprzężone o tej samej wielokrotności: a=a + ßi, b = a — ßi; odpowiednie ułamki częściowe mają postać:

P—i Q

(,x—a-\-ßi)r

P+iQ

(x—a—ßi)

są również wyrażeniami sprzężonemi, a ich całki :

P+iQ

r—1 (x—a—ßi)

dają sumę rzeczywistą w części algebraicznej szukanej całki. W części przestępnej zaś mamy :

P-iQ

r— 1 (x—a+ßi)r—¹

log (x—a—ßi)*=*

\ log [(x—a)2jrß²] -fi arc tang ~— Ł    ß

zatem sumę :

(.P+iQ) log (%—a — ßi) + (P— i (>)log (x— a+ßi) = =Plog[(x— a)² + /3²] — 2 (^arctg—^, złożoną z funkcyi logarytmicznej i funkcyi cybiometrycznej.

12. Warunki, pod jakimi całka funkcyi ułamkowej jest czysto algebraiczną. Z wzoru (9)

jest czysto algebraiczną, skoro spółczynniki

poznajemy, że całka funkcyi ułamkowej Bx

Lt są wszystkie zerami.

Kładąc :

Gn{x)

{x—a)a

= (*),

G{x)

4« (a;)

G(x)

Gn (x)

Gn{x)

(ix—b)ß

Gn{x)

(\x—Ï)À

= 4* (*)>

G{x)

+*»(*)

-=Wß(x),

G{x)

{x)

^ (*),

otrzymujemy, jak na str. B69. Tomu I., na wyznaczenie spółczynników At, B{

^(^-1 )(l)

(X—1)1 ‘

Lu wzory:

T«(«-i)(a) («-!)!.’

(ćJ-i)O) 0-1)! ’ ^

Spółczynniki A,B,.„, L, określone powyższemi wzorami, nazywają się, według Cauchy’ego resztami, albo residuami funkcyi wymiernej :

R(x)

G(x)

G(x)

Gn(x)    (x—a)a(x—b)ß...(x—l)A

odpowiadającemi różnym między sobą pierwiastkom mianownika Gn(x). Mamy zatem twierdzenie :

Całka funkcyi ułamkowej jest czysto algebraiczną, skoro icszystkie jej reszty (residua) są

zerami.

13. Rozwiązywanie równań liczebnych o pierwiastkach wielokrotnych. Przypuśćmy, że dane równanie liczebne n-go stopnia G(x)~ 0 posiada pierwiastki wielokrotne, że więc:

G(x) = (x—a)<* (x—b)ß .... (x—ky(x— If,

natenczas największy wspólny podzielnik Dfx) funkcyi G{x) i jej pochodnej G\x), ma, jak wiadomo z art. 6., kształt:

Dfx)= (x—a)a i(x —    ¹ .... (x — k)* ¹ (x—l)* ¹.

Oznaczmy największy wspólny podzielnik dwu funkcyj znakiem NWP, to napiszemy :

Ą(*) == NWP [G(x), G'(xj\.

Funkcya P>fx) ma znowu swoją pochodną D\(x), a ich największy wspólny podzielnik Dfx) przedstawi się w postaci :

D₂(x) = (x—a)

a—2

(x— bf-² ... (X -

41

Pomyślmy teraz sobie, żeśmy w danej funkcyi G(x) zebrali wszystkie pojedyncze czynniki pierwiastkowe w jedną funkcyę U₁, wszystkie podwójne czynniki pierwiastkowe w jedną funkcyę U% ... wszystkie r-krotne czynniki pierwiastkowe w jedną funkcyę Ur, gdzie r jest wykładnikiem największym, natenczas możemy funkcyę G{x) przedstawić w postaci :

(10)

G(x)=Ul.U\.U³₃ .... Lr~\ .Urr.

Otrzymujemy tedy powyżej wyprowadzone, największe wspólne podzielniki, w postaci:

Dr-l(a>)= Ur

Dr—2 (SB) = U\. Ur—1 Dr-Z (x)=U\. U\-i . Ur—2

Dj(x) = Urr~i . Grr__l. Urr_ 2 ... U\ . C/₂, przyczem : G(x) = Urr . TJr-\ .    - US •    ,

a stąd dostajemy poszczególne funkcyę U, wyrażone przez największe wspólne podzielniki P(cc), w postaci:

Ur = D r—1 (x )

Dr— 2 (cc)

Ur—1

Î7²r

Dr—2 (æ)

D²r—1 (x)

Ur—2 =

Dr—3 (cc)__Dr—3 (as) . DV-1 (as)

u³r U²r—i D³r—\(x) . D²r—2(x)

Dr—3 (as). 71/-—1 (a?)

D²r—2 (as)

Pr_3

Dr—i (as). z>r—2 (as)

DV—3 (as)

(11)

A(as).J>₃(x)

7)²₂(as)

a w końcu :

<7(as) . D₂(as)

D²i(x) •

Wyznaczywszy zatem metodą Euklidesa kolejno największe spólne podzielniki: Dt(cc), -Z)₂(as),... Dr (as), tak, że :

Ą (a?)=jVłTP[ <?(»), <?'(*)]

D₂(as)=JVrlTP[D₁(cc), D't(as)]

Dr(as) = ArłTP[Dr-l(as), D'r-l(as)]

Ur

możemy, na mocy wzorów (11), wyznaczyć wprost czynniki jedno-i wielokrotne Uu U% danej funkcyi G(x), przedstawionej w postaci: G(x)= Ut. U\. U³^ ... U'r.

Rozwiązanie lńwnania G(as) = 0 sprowadza się zatem do rozwiązywania r równań :

Ur = 0

0i = O, .ą=o,

z których każde ma tylko pojedyńcze pierwiastki, między sobą różne.

Równanie U±— 0 podaje tedy wszystkie pojedyńcze, Î7₂ — 0 wszystkie podwójne, Ur = 0 wszystkie r-krotne pierwiastki, występujące w równaniu G(x) — 0.

14. Przykład. Dane jest równanie :

G(x)=x*—5ass-|- 5as⁴ + 13as³-34as² + 28as-8 = 0.

Chcąc zbadać, czy to równanie

ma

pierwiastki wielokrotne, szukajmy największego wspólnego podzielnika funkcyi G(x) i jej pochodnej G\x) — 6cc⁵—25cc⁴-f- 20os³ + 39cc²—68cc+28.

Aby uniknąć społczynnikow ułamkowych przy dzieleniu G{x) przez G'(x), pomnóżmy funkcyę G[x) przez 6² — 36, a otrzymamy:

(36ase 180as⁵-f- 180ccł + 468as³—1224as²+ 1008as—288) : (6cc⁵— 25as⁴+ 20x³+ 39cc²—68cr+28) = 6cc —5 36as⁶—150as⁵-j- 120cci + 234x³ — 408 as² -f 168as

—    BOa;⁵ 4- 60 cc⁴ + 234cc³ - 816 as² 4- 840cc—288

—    30as⁵ 4- 125asł — lOOas³ —195 cc² 4- 840cc—140

"Z__+___

— 65cc⁴ 4“334as³ - 621as² 4-500as—148

Jest zatem :

- 42 —

36 G(x) = (6x—5) £'(x)— Bi(x),

^(a:) = 65x⁴—334x³ + 621x²-500x + 148.

Mając teraz podzielić G'(x) przez Rx(x), pomnóżmy, dla uniknięcia spółczynników ułamkowych, G\x) przez 65²=-422B, a otrzymamy:

gdzie :

(25350a:⁵— 105626a;⁴ + 84500a:³ -f 164775x²-287300x +118300) : (65x⁴-334x³4- 681x²-520x-f 148>= 25350x⁵—130260x⁴ -f 242190x³- 195000x²+ 57720a:

= 390x + 379

24635x⁴—157690x³-j- 359775x²-345020x +118300 24635x⁴-126586x³4-235359x²-189500x + 56892

—31104x³ + 124416x²—155520» + 62208

Jest zatem:

gdzie

65² G'(x) = (390x + 379)Rx(x)—Ri{x), i?j(x) = 31104x³—I24416x² + 155520x—62208 = 31104(x³-4x² +bx—2). Dzieląc teraz Rx(x) przez V31104 h?₂(x), otrzymujemy:

(65x⁴—334x³4-621x²—500x-f- 148) : (x³—4x²4- 5x—2) = 65x—74 65x*—260x³-f-325x²—130x

—    74x³ -f296x²—370x +148

—    74x³ +296x²—370x + 148

Jest zatem:

ffj(x)==(x³—4x² -\-bx—2) (65x —74),

a więc R%(x) — x³—4x²-f-5x — 2 jest największym wspólnym podzielnikiem funkcyj G(x) i G\x). Oznaczmy go przez Dx(x) i wyznaczmy teraz największy wspólny podzielnik funkcyi: Di(x) = x³-4x²-\~bx~2 i jej pochodnej D\(x)=3x²—8x-j-5.

W tym celu pomnożywszy Dx(x) przez 3² = 9, otrzymujemy:

(9x³—36x² -f-45x—18): (3x²-8x + 5)= 3x-4 9x³—24x² -|- 15x

—12x² + 3Öx—18 —12x²-f 82x—20

— 2x -\-2 = —2(x—l) = rt(x).

Jest zatem :

9D₁(x) = (3x — 4)Z)'₁(x)—2(x—1). Dzieląc teraz D\(x) przez (x—1) =—otrzymujemy:

(3x²—8x + 6):(x—l) = 3x—5 3x²—3x

—5x -f- 5 —5x 4- 6

a zatem:

D\ (x) = (3 x—5) (x— 1).

Jest zatem /)₂(x)—x—1 największym wspólnym podzielnikiem funkcyi Dx(x) i D\(x). Funkcya Z>.₂(x) nie zawiera, ani pojedynczych, ani podwójnych czynników pierwiastkowych funkcyi Cr(x), a zawiera tylko potrójne raz, jest zatem x = l potrójnym pierwiastkiem równania ćr(x)== 0.

Podzieliwszy Dx(x) przez />₂(x), otrzymamy:

- 43 —

(x³—Ax* + bx—2) : (x—1) = x*—3x + 2 x³—a?²

--\~

—Bx² +

—3a:²    3a:

2a:—2 2a:—2 - +

D\(x) =(x—l)(a:²—Bx + 2) = (*—1) (*-l) (*-2).

Funkcya Di{x)={x—l)²(a:—2) nie zawiera pojedynczych czynników pierwiastkowych funkcyi G(x), a zawiera podwójne raz, potrójne 2 razy. Funkcya G{x) ma zatem jako czynniki iloczyn (x—l)³(as—2)².

Podzieliwszy przezeń funkcyę G(x), otrzymamy iloraz (a;+2), jest zatem:

G{x) — (x—l)³.(cc - 2)². (x -j- 2).

zatem :

15. Wyznaczanie części algebraicznej w całce danej funkcyi ułamkowej bez rozkładania tej funkcyi na ułamki proste. Całka funkcyi ułamkowej :

AM

G(x)

gdzie G(x) = (x—a)“ (x—b)ß.... (x—l)A

jest funkcya całkowitą stopnia n-go, składa się, jak wiemy z art. 19., z dwu części, części algebraicznej i części przestępnej.

Część algebraiczna R(x) przedstawia się w postaci:

Au

R(x)

A.

(a—1) (x—a)⁰⁵⁻¹

Bl

(ß—1) (x-b)ß-'    "*

(12)

Lz,

(X—i )(x—iy-ï •"

jest więc funkcyą wymierną, ułamkową o mianowniku (x—a)“—¹ (x—b)P—¹. ...(x— Mianownik ten jest widocznie największym wspólnym podzielnikiem funkcyi G(x) i jej pochodnej G'(x), może być więc wyznaczonym bez rozkładania funkcyi G{x) na czynniki, czyli bez rozwiązywania równania G{x) — 0.

Kładąc (x — a)“—¹ (sc — b)ß—¹.... (x — l)^—^—-D{x\ możemy funkcyę R(x) przedstawić

AM

w postaci :

R(x)

D(x) ’

a więc w postaci ilorazu dwu funkcyj całkowitych AM i D(x), gdzie funkcya AM .ies^ widocznie stopnia niższego od stopnia funkcyi D{x\ najwyżej stopnia (n—l—l)-go, jeżeli n—l jest stopniem funkcyi D(x).

Część przestępna całki £JLlog(a;—o) jest całką funkcyi, przedstawiającej się w po-

staci:

x — l

Funkcya ta jest widocznie funkcyą ułamkową o mianowniku:

(x—a) (x—b).... (x—l)= TJ{x),

więc da się także przedstawić w postaci ilorazu dwu funkcyj całkowitych iZlM

U(x)

, w któ-

rym funkcya AM jest stopnia niższego od funkcyi U(x), najwyżej stopnia (l—l)-go, jeżeli l jest stopniem funkcyi U(x).

Możemy zatem całkę danej funkcyi przedstawić w postaci :

AM

m*

AM

a więc daną funkcyę ułamkową w postaci :

D{x)

U(x)

dx,

(13)

AM

A»

AM u M *

(14)

— 44 —

6rj(x)    D(x). D\(x)—Di(x) D'(x) ] Ux(x)

WY

G(*)

D\x)

(15)

Mając na uwadze, że G(x)=D(x). U(x), możemy powyższy wzór przedstawić w postaci:

D(x).D\(x)—Dx (x) D‘(x)    Ux(x)

Gx{x)

D{x) U{x)

D\x)

U(x)

z której otrzymujemy tożsamość :

D'{x). U(x)

(16)

+ TĄ{x)D{x).

Gi(x) = U{x).D\(x)-Dl{x)

Pochodna D‘(x) funkcyi D(x) ma z nią największy spoiny podzielnik:

(x—a)«—² (x—b)ß—².....(x—

a że U(x)=(x—a)(x—b)....(x—l), zatem iloczyn D\x).U(x) jest podzielny przez funkcyę:

D(x) ={x—a)«—¹ (x—(x—

Druga strona równości (16) jest zatem funkcyą całkowitą, składającą się z trzech części, z których pierwsze dwie są (n—2)-go stopnia, a trzecia jest stopnia (n—l)-go.

Z dwu funkcyj nieznanych Ux(x) i DY(x) jest pierwsza stopnia (l—l)-go , ma zatem l spółczynników, druga stopnia n — l—1, ma zatem n—l spółczynników, mamy więc w całości n nieznanych spółczynników, na których wyznaczenie, przez porównanie spółczynników przy równych potęgach zmiennej x obu funkcyj tożsamościowych , otrzymujemy n równań stopnia pierwszego o tyluż niewiadomych.

Tym sposobem, nie rozwiązując równań stopni wyższych nad jeden, otrzymujemy

A 0*0.

W

mujemy funkcyą całkowitą Ut(x\ a tern samem funkcyą ułamkową

D{x)

D₁(x), a tern samem część algebraiczną danej całki w postaci

równocześnie otrzy-

jj^i której całka jest

wyłącznie funkcyą przestępną. Do szczegółowego wyznaczenia tej funkcyi przestępnej potrzeba już koniecznie rozwiązać równanie U(x) = 0, mające tylko pierwiastki pojedyńcze. 16. Przykład. Wyznaczyć część algebraiczną całki :

J~y

dx

x⁶— bx⁵ -j- 5æ⁴ -j- 13a;³— 34cc² -f- 28x — 8

Mamy tu funkcyę: G(x) — x⁶ — 5x⁵ -f- 5 xi -J- 13a:³— 34 x² -f-28a;— 8, jej pochodną: G\x) = 6x⁵—25a:⁴-j-20«³-f-39a3²— 68a?-|-28, a ich najmniejszy wspólny podzielnik, jak w art. 12. wyznaczono : zatem :

D (x) — x³— 4a;² + 5x—2,

U(x) =cc³— o;²—4x + 4.

Częścią algebraiczną danej całki jest funkcyą ułamkowa :

a część przestępna stanowi całka :

ML 4,

Dx (x) ax² -j- bx -j- c D(x) x³— 4x² -f- 5x—2 ’

«a;²+ß* + Y ^

æ3_Æ;2_4a._j.4aa5’

gdzie spółczynniki », b, c, a, (3, y muszą na podstawie (16) sprawdzać tożsamość:

U{x)

1 = U (x). D'^-D^x).

D\x). U(x)

Uwzględniając to, że:

D(x)

+ Ui{x)D{x).

D'(x). U(x)    (3x²—8x-f- 5) (a;³ — »:²—4a?-|-4)

D{x)

x³—4x²+ bx—2

= 3x² x— 10 ,

otrzymujemy powyższą tożsamość w postaci :

1 = (æ³—x²—4x-\- 4)(2ax -|- b)—(ax² -J- bx -f- c)(3a?² -f- x—10) -f- (aa?² -f- ßas -ł-y)(cc³— 4sc²    bx — 2),

z której wypływają równania:

0 = «

0 = — o + ß —4a 0 = — 3»—2b -f- 5a—4 ß -j- y 0— 2»—2b—3c—2a-f- 5ß—4y 0 = 8» -f-6b— c ——2ß —J- By 1 = 46-(-10c—2y

podające następujące wartości niewiadomych spółczynników :

— 45 —

29

“36

, b — 2, c =

37

36’

29

59

« = 0, ß —— ge, T--gg. Częścią algebraiczną danej całki jest zatem funkcya :

A O) ____

/)(as)    36 a;³ — Axï -\-bx—2’

1 29a:²— 72a: -(- 87

wyznaczona, jak widzimy, bez rozkładania funkcyi danej na ułamki proste. Część przestępna danej całki wyraża się w postaci :

A O)

U(x)

dx =

_ JL f 29a; + 59 36 3 a:³— a:³ — 4x -{- 4

dx.

Wyznaczenie tej całki wymaga już koniecznie rozwiązania równania a:³—xl—4.r;+4—0. Równanie to ma pojedyncze pierwiastki 1, 2, —2, czyli:

a?³—a:²—4a: + 4 = (a:—1) (x—2) (a: --j- 2),

wobe tego otrzymujemy:

29a: + 59

gdzie :

______* i B i C

a:³—a:²—4a:-|-4    (a:—l)(cc— 2) (a;+2) a:— ł x— 2 .r + 2 ’

29x 4- 59

88

117

Jest zatem:

29x + 59

dx = — ⁸⁸/₃ log(.r-l)+ ¹¹⁷/₄log(a:-2) + % log(a: + 2).

x³ — x² — 4a: + 4 Szukana całka przedstawia się zatem w całości, w postaci:

_(»—1 )>

(a:—2),J/le (a:+2)1/,,3:!

17. Całkowanie funkcyj wymiernych metodą podstawienia. Stosownem

podstawieniem możemy częstokroć uprościć daną funkcyą ułamkową przystąpimy do jej rozkładania na ułamki częściowe.

Mając n. p. wyznaczyć całkę kształtu:

x⁵dx

dx

a;⁶ —5a:⁵ + 5a;⁴+ 18#³— 34a:²+ 28a; — 8

1 29a;²— 72cc + 37

36 a;³— 4x²+ hx — 2

flog

+ O.

zanim

03⁶ + iC⁴+ 0J² + 1>

połóżmy x²==z, a zatem 2xdx*=z, a otrzymamy:

xhdx

æg+æ⁴ + ;z²+1

z²dz

a że :

z²dz

___

2 J ^³ + 0² + ^+l

i- log0+1)+ -^-log O²"f 1) —arctang z

2³ + ,0² + £ + l

przeto, kładąc z=^x², otrzymujemy szukaną całkę:

xhdx

æg+æ⁴+;c²+ 1

Podstawienie jest szczególnie wówczas korzystne, gdy dana funkcy ułamkowa, wskutek zmiany zmiennej niezależnej, da się przekształcić na taką funkcyę ułamkową , której mianownikiem jest wprost całkowita potęga nowej zmiennej, w takim razie bowiem , rozkładanie funkcyi na ułamki częściowe wykonywa się za pomocą zwykłego dzielenia.

18. Wyznaczenie całki

log(#² +1)+-i- log (+⁴ +1)--i- arctang x²-\- C.

dx

— a²)n

metodą podstawienia. Połóżmy:

x—a=z(x+a)

zatem :

a zarazem

— 46 —

!'lads

a    skąd wypada: dx

„    4 a²0

~a

Wobec tego, dana całka przedstawi się w postaci: 2 ods

(1 — *Y * 22n. a²”. 0”    (2«)

x=

dx

i (a:²—«²)n

(1-0)

Z²

(1— 0)²”

L fŁzf)

\2n—1J

2n—2

dz

którą łatwo scałkowaó, rozwijając licznik (1—#)2n~~² według wzoru Newtona. Mianowicie otrzymujemy:

(1-0)²*-²

0”

1    /2n—2\    1

0” \ 1 / 0ra_1_*'

. .. /2n—2\    (2n — 2\    (2n—2\

+{-ir( n )+...+( ₉ )*"-*-( ! )

/2n—2\    1

V 2 j * 0M-

-2~~ —+ (~ 1)

(2n-2\    1

U-i; ‘^ ⁺

0n-³ + 0n~²!

czyli :

- ( i--)- rn ro

+ 0"~⁴j +

+."+(-!)■( ”_₂²) [-p+1]+(- 1)

/2n—2\    1

V n -1 / 0

a zatem :

i /

J 0”    w—1 l

_ JL1_

0«—3 I

rr    .    X

Zastępując teraz 0 przez -

i^M2Bi ²)-*-₂{^-f=*}⁺

" (1-2²) {*- fcv

otrzymamy wzór :

dx

j(ac²—a²)"    (2o)2n_1

T 1    <7#—en”"¹    /æ+cï\”⁻¹I    /2w—2\    1 //a:—a\”⁻²

Yn— 1    —a) /    \    1    )' n—2\\xĄ-a)

/x-\-a\n~²\    .    _ (2n—2\ fx—a x+a\\

1    (2 n—2\    x—a

(2a)2n_1 \ w— 1 / °^æ4-a^~

19. Całkowanie funkcyj ułamkowych za pomocą wzorów redukcyjnych.

Jakkolwiek w rozkładaniu funkcyj wymiernych, ułamkowych na ułamki częściowe, posiadamy ogólną metodę całkowania funkcyj wymiernych, to jednak metoda ta połączona jest często z mozolnemi rachunkami, zanim dojdzie się do wyniku Z tego powodu wyprowadza się za pomocą metod elementarnych, najczęściej za pomocą metody całkowania przez części, opartej na wzorze: Judv^=uv—fvdu, dla poszczególnych typów całek odpowiednie wzory redukcyjne, które wyznaczanie całego tego typu całek sprowadzają do wyznaczania całki możliwie najprostszej, względnie do całki zasadniczej.

xm dx

(ax² -p bx 4- c)r*

20. Wzór redukcyjny dla całek typu Jmr — j

Kładąc ax² 4- bx 4 c — X

i uwzględniając, że:

x™ = —xm-l\ax'l-\- bx 4- c—(bx 4-c)] == ~^xm~²—bx—c],

Çxm dx 1 (*

J Xr~ ⁼ « j

Xm~ 2

dec—

xm -1

dx—

xm~ ²

Sa,

Xr—1 r* ecTO—2

Celem wyznaczenia całki : J j^r—ï = fxm~2 1 +¹ dx połóżmy :

(Zee.

(17)

xm—2 dx — du

X-r+1 = v

a zatem : xm-i

« =---

m—1

dv=—(r—l)X-rdX

natenczas, otrzymujemy wzór:

xm—2 dx

xm~l

ec™-¹ dX

Xr—i

r-1 r

OT—1 3    X*⁻

(ot—l)Xr_1

który, ze względu na to , że (ZX = (2aec-j⁻ &)dx, sprowadza się do postaci:

xm- 1

xm—2 dx

xm—1

Xr-i

(ot—l)Xr—¹

2(r—l)a Cxmdx (r—1 )b f

ot—1 3 X' ^ w—1 3

X>'

dx.

Wobec tego, na podstawie wzoru (17), otrzymujemy :

xm—1 dc

ajw—i

xm dx Xr ~ («» — I) a Xr—¹

, 2(r-1) r r ot—1 J

ec™ dx

Xr

-1

ot—1 a

i X,

b Çxm—îdx    c Ç

a 3 Xr    a 3    X'

xm—2 dx

stąd :

(i

2r -2

1 ecm-i Xr ~~ (m— A) a X'-l

xmdx

xm—'¹ dx

('-A -lUf

V,B—]    /,J x

xm — 2 dx

i-f

O J X*

zatem wzór redukcyjny : xmdx

Sx-

x™. - i

(w—l)c (ot— 2 r + 1)«

(* ccdoc (* (lec

sprowadza ostatecznie do całek : J i j —^

(r—m)b

xm-\

(ot— 2r -j- 1)«

(w—2 r 4-1)« " Xr—1 który wyznaczenie całki : ^

dx , gdyż:.

(“eceZee 1    (*

3 Xr ⁼ 2a 3

». *—» .

Możemy więc, nie rozkładając funkcyi

całki

Xr

Xr

(Zec—

xm-2dx XÄ ’

(18)

ec™ (Zee

2aec4- ó

Xr

b C dx

ix~2a)lTr

Xr ’

, czyli do

(19)

2a(r-l)X'-i 2a

na ułamki proste, całkę ^ —^ o całko-f (Zec

witym wykładniku ot ^ 2r—1, za pomocą wzoru (18) sprowadzić do całki J o wykładniku

xm

Xr

Xm (Zec

m — 0, do której możemy znowu stosować wzory redukcyjne (16) i (16') wyprowadzone w art. 16. str. 27. Wrykład II.

W przypadku ot = 2r—lł„otrzymujemy, na podstawie wzoru (17), wzór redukcyjny

w postaci :

ec2r -1

-•M

a J

Xr-\

(Zec--— f

a J

x2r—2

Xr

dx—

et'2r— 3

Xr

dx.

21. Zastępując we wzorze (18) ot przez —ot, otrzymujemy :

(r 4~ m)b

xmXr    (—ot—2r 4- 1)« ’ ec^-t¹ Xr—1

(— m — 2r 4* 1)«

ecm-M X*⁻

( — OT —l)c

(Zec

( — ot—2r 4-1) o

ecm+² Xr

, więc

ecm+2 J£r

(ot 4- l)c erem+1 Xr—1

(r m)b

(ot 4“ 2r—1 )a

(ot 4- l)c

ecm + 1 Xr

(ot 4* l)⁰

i d°

ecm Xr

skąd, zastępując ot+ 2 przez ot, otrzymujemy wzór redukcyjny:

ec mXr

(r m — 2) b

(ot 4- 2r—3) a (ot—l)c

, (20)

(ot — 1) c ecm -1 Xr—¹

który wyznaczenie całki J—m^jęr ’ w PrzyPadku ot>1 sprowadza ostatecznie do całek:

(ot—l)c

Xm-1 Xr

xm-2Xr

C dx . r dx

J X.Xr ¹ 3

48

W przypadku m=l, określonym całką J~~^r

Kładąc w nim m— 1, otrzymujemy;

(* xdx _ 1 f dx

J Jr ~7 J

CAaL ₌ _L r_^__ a ca

J    c Jx!»--! c Jjf

możemy znowu zastosować wzór (17).

& dx

skąd wypływa :

a że ;

.i

i' xdx

Xr

ïlr-l

Xr

c_ r dx a J

xXr¹

xdx

Xr ’

(21)

b r dx

~~~ 2a(r— 1) Xr-Ï ~ 2ä J ~Xr~ ’

przeto otrzymujemy wzór:

2(r—l)c ' X>'-\

r* dcc    r* dcc

który wyznaczenie całki J x-^ÿ sprowadza do całek )

gdyż na podstawie wzoru (21) mamy;

XXr

dx    b r dx

x Xr—1    ^cJX⁷’

(22)

i    czyli wprost do całki

X'

C dx 1 r dx b C    a Ç

t)x J « J X    c J    c J

xdx

>bx ’

skąd, ze względu na to, że;

xdx

otrzymujemy :

x~~ïirloeX~ŁH'

czyli :

2rlog

Jesteśmy więc zawsze w stanie całki kształtu ^

X 2c

f*

,x":......

X"l dx

(23)

przy dowolnych całkowitych wykładnikach m i r za pomocą wzorów redukcyjnych sprowadzić do całki typu:

Xr

x™ Xr

dx

ax² 4- bx -j- c '

ćwiczenia III.

3a;²— 5a;    2

Y/8

a;³— 2x²4~ Sx— 6

²>)

x^dx

a;⁴ 4~ x²— 2

{ dx    1 a + x

³) J a⁴— x⁴ ~ 4 a2 loga-x

⁴>i

2x² — 3a²

x⁴—a⁴

dx= V₇ log («—2) + ,7/₁₄ log (a;² + 3>

. x — 1 . Y/2    »_, r

l»¹⁰⁸i+ï ⁺ ~8~ arctMlg    + °-

arc tang ~ + C.

4-arctang <7.

--arctang x -J- G.

u

1 x — a 4a °⁸ * + a

log

Y/x + 1    + ï

y iog(*+i)—^i°g v/*²—*+1 -t

V/8

21

arctang + 0.

arctang

2*4-1

Y/8

4- o.

J-log y/ x² -j~ a? 1 — arctang

2x—1

Y/8

f C.

49

f dx    , x — 1

8)    lil°⁸x-{-l

r dx    It l-\-x\Z2-\rX-    1    ₀₁,„fQTl0.

8a! + 4=^T2 + l0s(*+1)+ft

arctang æ -j- Ç.

x\/ 2

I—x²

+ o.

(* x²<?x

io>Wr

U) i *

!2) C *

x⁶—1

₂\7flogV

4 i°g

x\/2

1—x²

+ C.

x⁶ 4 1    4V/3

Ç    x²dx

¹³⁾ J *3 + 5®*'+

u) j

!5) f

+ o.

x³ 4 4x² 4 6x

x⁴ + 2x³ + 3x² + 4« + 2

dx

(Zx

x⁵ 4 2x³ 4 8#²

3x ^ 90

log

(cc² + 2)²    4V/2

r + l ⁺

(x -J- l)¹⁸ (x² — æ 4 3)

4°g

X²⁰

13

s^aictan*vT + e-

45V/11

arctang

2x— 1

V/n

F~ + c-

2x³4 7x²4 6x42

16) j

11) i

18) j

«) ÎW⁴=

a;⁴ 43æ³4 2#²

dx = —

i+log

(a; 4 ])\/x*

x²4 1

x⁴— 3x³ 4 3x² — x

a;³—6x² 4 15x—2 a;⁴— 4x³ 4 16 x — 16

²°) 3

x³dx

22) f

+ 0

flog^ł + C.

4 log (»42)4 c.

\/ x 4 2

*"“^1    („-i).

dx =—

2(x—2

^2 + log C*“²^ + °’

x?i-\

(x² 4 l)²    2(a3² 4 1)

o3² dx

24) j.

x⁶ — 10 a3³ 4 9 15rfx

(x—2)²    x — _

4 log \/ x² 4 1    4 O. 21) J

„    (* 6x⁵ dx

+ a 23> )(6TtÏ>T>

2T log

x³-9

X³ —1

CC³— 03

dx = log

5(5 - 7a3?)²

X²-

a;

+ C.

26) j.

x⁴ (5 4 3x³)2 x² dx

6 ,

= 25log

5 4 3a;²

546a;³

x³

5r³(5 4 3x³)

f O.

1—x⁶

V₆log

x³4 1

X³ —

T+°-

26) j

12x⁵ dx

3x⁴(x⁸— 3x⁴ — 4) 4 6

(x* 41)²

27) J

8cZx

7x 4 3x⁵

12dx

x⁷ (x® - 2) bdx

⁸¹> î-ç?

!k²(5 — e*y

x³dx

f-log(x⁴ f 144 C.

x⁴    „ Ç dx

r+a 28)H

2(x⁴ 41)

2 ,

y log

7 4 3x

11,    a:⁶

^--Tlog L x ^ 5 J 5 — 6x

_ Li 3:6 (5x® 43) “ 18l0g 5 x⁶ 4 3

x⁶— 2

12/ ! ⁵ - 6X - ¹²/₂₅ log-—

- + <?.

x²—2    , V/3    ,    2x²— 1

g(««-»»+ir+-9- arotang-Tżr

— x² 4 l)²

Wyprowadzić następujące wzory redukcyjne:

f c.

82) j

dx

dx

x"» (a 4 &x)

a(m—1) xm—¹

przyczem

dx

x”*-¹ (a 4 bx) a bx

x (a 4 &*)

f c.

Dr> Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

3B) j

da?

as (a -|- èa?)w 34) J(«+to)»

a[n—1) (a 4~ bx)n~¹

<to=(.+fc»)»

4~ a

+-M

dx

a? (a -{- bx)n~

jig-.± h^n-~ -dx, 0 > 0),

V (n < !)•

przyczem

da? = a log a? -j- 6a? -j- C.

35) j

(a 4- bx)n

xm

dx——

(a -j⁻ bx)n+l

a(m —1) xm~¹

in — 1

b f (a -j- bx)n a J

x™~

7—    (»* < !)•

36)5

dx

m 4- n— 2 b

xm (a 4- ia?)»¹

a(w—l)a;m—¹(«4_ bx)n—i

"I

a J

dx

a;»« (a -j- ôas)w—¹

um f    _*__i 2w-b r

' J (a 4- &»*)»    2a(w—1) («4" bx²)n~¹    2a(n—1) J

py/^ . c ..___¹_____

V/ä"^    ’ J«—è«²    2\/ab

przyczem

7= arctang

dx

(a -j- bx²)n—¹ ’

log

v/a 4" * \/^

\/ a — x\/b

4-a

xm dx

38) i

®) i

*

41) f

xm— 1

xm—2 dx

a 4- bx² b(m — 1)

a 4“

przyczem

J'^*⁼-kloe(-a+bx'⁾⁺⁰-

xm dx

as™—² dx

xm—2 dx a P

(a 4~ bxr)n b J (a 4~ bx²)n~¹ b J («4” &*a)B '

(a +ias²)”

dx

a(m—l)as™—¹ (a-\-bx²)n

&(2» 4” w—3) P a(m—1) J

da?

as™—¹ (a 4- for²)” '

dx

przyczem

(a-\-bx³)n    8a(# — l)(a 4“ bx³)»—¹ ‘ 8a (w—1) J (a 4- foe³)”⁻¹ ’

2T=S +<7, gdzie X=^-y.

c jx * ri j

J«4-bx³ 3a L2    ”

(*+*)²

as²— lx 4- X²

■j- V/3 arctang

miernych :

Wyznaczyć NWP licznika i mianownika następujących funkcyj ułamkowych , wy

42)

as⁴—2a;³4- 3as²—2as-(-l

as⁶—1

• ⁴³)^II as¹¹

a;⁹ 4-1

46)

a:⁵—2as⁴—2as³-)-4a;²4-a?—2 as⁵ 4-2a:⁴—2a:³—8as²—7as—2'

- 4-

x³—as²— 8a? 4- 12    æ*_7a?³—22aj²-f 139a: 4-105

⁴⁴^ as³-t-4as²— Sas— 18' ⁴ ' x^~ Qx^-llx²+ 116a» 4- 70'

a?⁸ -f- 6as⁶—8a?⁴4- 1 x¹²— 7x¹⁰— 3a;⁸— 3x² — 2 '

48)

a?⁴4- 64a⁴

xn—nx 4~ (n—1)

(a;4"^a)⁴—16a⁴ ' nxn+l—(n4-l)as»-t-l’

Następujące funkcye wymierne, ułamkowe przedstawić w najprostszej postaci i wyznaczyć ich funkcye pierwotne:

50)

dy

(as²—8as4- IB)(x² + 8*-j-_15)

das

as²—25

B1) dx

m**

dy _ (x—l)(a?—2)(as—3) (as-4) (as-5) - 760(as-6) 4- 120 (as-7)

(as—6) (as —7)

• 53) *

(a?²—as 4~ 1) (’a?³—1)

dy as³4~2as²—as 4-6

das

as⁴4~ x²-\- 1

as³—as²4- 4as—4 *

54)

dy    9a?³-f-53a;²—9as—18

4as² 4-4c4as 4-120

dy

56)

A,

3as³—x²—x—1

das 3a;³ 4- 5x²-j- 3as -f-1

dy    as⁴4-2x³—2as—1

das as⁴-}-^³ — 3as² — 5as — 2

58) «fa

dy a:⁶—2a?³ -(- 1

as²— 2as 4- 1

6as³ -j- 13aas²—9a²as —10a3 9a?³-f-12aa?²—ïïa²as—10a³ ’

as³-|- 3as²-f- 5as 4“ 3

a?³ 4- as² 4- * — 3

as* 4_ a;³ — 3a:²— bas —2

as⁴ 4~ 2as³— 2as—1

as⁶ 4- 2æ³ 4- 1

as²4-2a?4- 1 *

Wyznaczyć część algebraiczną następujących całek: x²dx

(x² -p a²)³'

„ l* a?⁵ (Za?    f

⁵⁹)j₍^W ⁶⁰⁾J

x^dx

dx

68) j

(Za?

■ ⁶*>)

dx

(a?² -\-x    1)

(æ² + l)⁵

, 85) f

a?² (x² -p l)²

dx

a?² (a?² -f~ 1)

⁶⁶> L.-.-.+t- e7>i

r*    x³—6a?² -p 3a?—9

⁶⁹) 3 a:⁴ -f- 14~x³ + 73a?² -f 168a? +

1 1

~2 ‘ (x-V)²^ x - 2

1

(a?²—4a? -j- 5) (a?²— 6x -p 13)    20 ^ x²—6a; -j- 13

a;⁵ -p a?⁴ -j- 2a;³ 4~ 2a?² -p x -p 1

Wykazać, źe :

a?²—3a? -p l

(a?-—2)³ (æ-3):

dx =

(x 4- 1) dx

(a?² -j- 5a?    4)²

68)

3a?²—2a? -|- 7

a?³ -f 3a?² — 4

dx.

72) f

dx

114

dx. 70) j*

a;³ -(- 5a?²'

^8+G

cc²— 4a? + 5

4- arc tang(a? — 2)—

O

— 4 aro tang * 4 + C.

Rozwiązania III. 1—21) Metodą rozkładania na ułamki częściowe. 22)—25) Podstawienie x³ = z. 26)—27) xi = z. 28)—29) x⁶=z. 30) — nem przekształceniem i całkowaniem przez części. 42) x²—*-pl. 43) a?-pl. 44) x²x—6.

z. 31) a?² = z. 32)—4L) stosow-

45) x²—12x + 3h. 46) a;³-3a?-2. 47) a?²—1. 48) a:²-j- lax + 8a². 49) (x-l)². 50) y='/₃x*-dx-\-C. BI) 1/4£C4— 2/^3 ₊ i7/₂^2 + SOx _{_ c - 40 log (x — 7). 52) V₂a:² — x +C. 58) j

x -p 3

x² -J- x — 2

dx.

9a?²—x — 3

dx. 55) j

59)

f 2a? -J- 5a 3x -j- 5a

a?³—8a² cc

dx. 5

4 (a?    5)

4a?²4~ 3 r.Qs _

4 (a;²-pi)² ’    ' 64 a² (a?²-p a’²)²

⁶>fiib=rW 67>)'

2a? - 3

cr²—3a?42

61)

3cc⁷ -f- 1 la?⁵— 11 x² 4- 3a?

128 (cc² -p l)⁴

dx. 58)J (2a?⁴-p 6cc² -p 2) (Za?.

2 + 3a?2 2*(*²4-l) *

. 62) -

63) —

105a?⁶4- 280cc⁴ 4- 231 cc² 4- 64

64a? (cc²-pi)³

. 64)

2cc 4- 1

67)

lx 4-13

68)

23

CC 4* 1

. 66)

65)

2 (cc — 1) ’

. 70)--—. 71) Funkcya czysto algebra-

3(cc²-p cc 4- 1 ' 280* -p 939 x² p7a? 4-12

4(cc² 4 1)

69)

9(cc²~p5a? 4~ 4)’ iczna. 72) Funkcya czysto przestępna.

3 (*4-2) ‘

Literatura. J. Bertrand. Traité de calcul différentiel et de calcul integral. Paris 1870. Ch. Hermite. Cours d’analyse de l’école polytechnique. Paris 1873. Handbuch der Mathematik, herausgegeben von Geh. Schulrath Dr. Schlömilch, unter Mitwirkung von Prof. Dr. Reidt und Prof. Dr. Heger II. B, Breslau 1881. Integralrechnung, bearbeitet von Dr. Richard Heger a. o. Honorarprofessor am Kgl. Polytechnikum zu Dresden.

Tematy do rozpraivek naakoivych :

1.    Znaczenie i sposoby wj^znaczania residuów danej funkcyi ułamkowej.

2.    Sposoby bezpośredniego wyznaczania części algebraicznej w całce funkcyi algebraicznej, wymiernej.

3.    Całki funkcyj, wymiernych, typu: ^

dx

(x² -4- a²)

- i sposoby ich wyznaczania.

Wykład IV.

Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych.

1.    Zasadnicza metoda całkowania funkcyj algebraicznych, niewymiernych polega na sprowadzeniu danej całki, za pomocą stosownego podstawienia, do całki funkcyi wymiernej. Całki, w których takie przekształcenie jest moźliwem, jak obaczymy, nieliczne, dadzą się ostatecznie wyrazić przez funkcye algebraiczne, wymierne , lub niewymierne i przez funkcye logarytmiczne, względnie cyklometryczne i nie prowadzą do żadnych innych funkcyj przestępnych. W niniejszym wykładzie przejdziemy po kolei główne rodzaje funkcyj algebraicznych, niewymiernych, których całkowanie da się sprowadzić do całkowania funkcyj algebraicznych, wymiernych.

2.    Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających ułamkowe potęgi zmiennej. Całki tego rodzaju przedstawiają się ogólnie w postaci:

f aixce* + a₂xa* + ...-ł-arxcer J bx XP* -|- &2    + — + bmX$m

dx

(1)

więc dx=nzn~¹ dz, natenczas

w której wykładniki a i ß są wszystkie liczbami ułamkowemi, sprowadzo-nemi do najprostszej formy. Oznaczywszy przez n najmniejszy wspólny mianownik tych ułamków, połóżmy x=zn sprowadzimy daną całkę do postaci :

ai xa> + a₂xa* -f... + ar xar

a, zna^ + a₂ zna* +... + ar znar ^ bi 0nP* + b₂gnP* +... -f bmz”Pm Z    ( “ ’

w której wykładniki wa, nß, będą już liczbami całkowitemi. Funkcya, znajdująca się pod znakiem całkowania będzie już funkcyą wymierną, ułamkową, jej całka da się więc zawsze wyznaczyć i będzie się składać ogólnie z pewnej funkcyi algebraicznej B(z) i pewnej funkcyi przestępnej 0(0).

Wobec tego, szukana całka przedstawi się w postaci : J=B('ty'x)-\- 0(S/^c) będzie się więc składać z pewnej funkcyi algebraicznej, niewymiernej i z funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych.

bx oc?' -f b₂xP* +... + bmxßm

dx

3. Przykłady. Wyznaczyć całkę «7, kształtu:

1+

Połóżmy x = z⁶, a więc dx = Ç>zhdz , a otrzymamy :

a że :

'-•ß#

zx,dz

z⁸-\- z⁶

z² -j- 1

— ZG—2* -f- Z³ -j- Z²—Z—1 +

przeto :

ciz" z5 +

= 6IT"T ⁺

Zastępując z przez tyx, otrzymujemy więc:

⁺ TT — IT — 4 + log (*2 +    + 6 arctang *•

fł±k^<fo₌6^

J l+X/x

4~ log (\^ æ -j- l)³ +6 arc tang tyx -J- C.

2. Wyznaczyć całkę J, kształtu :

dx

r dx    f

^ (lĄ-tyx)tyx    ^ tyxtyx⁵

Podstawiając znowu x = z⁵, a więc dz = ßz⁵dz, otrzymujemy:

z² dz

a źe.

przeto : czyli :

dx

z-¹

z^-tyl = 1 “

J= 6 (2— arctgz) 4~ <4

= 6 {tyx — arctang tyx } -f C.

«²+l ’

(l+tyx)tyx

4. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających nłam-kowe potęgi dwumianu: ax + ł>. Całki tego rodzaju przedstawiają się w postaci: J=fB[x, (ax-\-b)a, (ax+by, (ax-\-by,...]dx

(2)

gdzie B przedstawia dowolną funkcyę wymierną argumentów: x, (ax + b)a,... a wykładniki a, ß, y,... są ułamkami wymiernemi, sprowadzonemi do najprostszej formy.

Oznaczmy przez n najmniejszy wspólny mianownik tych ułamków

i połóżmy :

zn—b

ax-\-b=zn, a więc x natenczas otrzymamy daną całkę w postaci :

dx =— #n_1 de

J=fB\x, (<ax-\-b)a, (ax-\-b)P,...]dx=~ [b\---, £

ci J    ci

na

z*?,.

w której nowa zmienna występuje już tylko z wykładnikami całkowitemi, a więc w postaci wymiernej.

5. Przykłady. Wyznaczyć następujące całki:

1) J= dX__

Jm+n\/ax+I>

Podstawiając ax -f b —

•>=M

a ć

zdz

,    .    z^—b _    2 z

« , a więc: cc=--, dx =

mhi)dzs=Ł [-=■!««(-+<-)].

— dz, otrzymujemy :

Cl

m nz

skąd, zastępując z przez ty ax\b, otrzymujemy wzór:

dx

w- 4“ ntyax 4- b x³ dx

tyx — 1

Kładąc x— l = s², a więc x — z¹ 4-1, dx — 2zdz , o;³ dr

— [tyax -(- b--- log (m Ą- n tyax4- i)J 4" &

2) J

-J

mamy :

./

r r³

²Î

(z²4-i)^s.

= 2 JO⁶ 4- 3z⁴ 4- 3z² 4- 1) dz =

= 2 [y₇ *⁷ 4- % Ä⁵ 4- a³ 4- «1,

zatem :

x °dx

V/æ — 1

—2 \/x — i {y₇ & -i)³ + % 0-1)²+ x} + a

6. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających, jako

Całki tego rodzaju przed-

niewymierność ułamkowe potęgi funkcyi:

stawiają, się w postaci:

a‘x+ b‘ *

(3)

gdzie Ii jest funkcyą wymierną całkowitą, lub ułamkową funkcyj:

ax-\-b a‘x-\- b‘

\a / ax-\-b \

/ ’ \a'æ+ b¹)

, ...

w których a, ß są ułamkami wymiernymi.

Oznaczając przez n najmniejszy wspólny mianownik tych ułamków

b'zn—b

a więc x=-:—,

^    a — a‘zn

0n—¹ dz [a—atzn)’¹ ’

natenczas, otrzymamy daną całkę w postaci :

połóżmy

ax + b

a'x + b‘

dx=n(ab‘—a‘b)

sn—¹ dz (a—a‘zn)v

gdzie wykładniki zmiennej z są już liczbami całkowitemi, zatem:

J=n(ab‘— a‘b)f Bi(z)dz,

gdzie liA(z) jest funkcyą wymierną zmiennej z=^

7. Przykład. Wyznaczyć całkę :

na

3nP, ...

ax-\-b

a'x + b*

)"•

J=

« ! 1-

1 -p x

Xdx.

1 • yc

Podstawiając j— ^ = z², a więc:

1— z²

sprowadzamy daną całkę do postaci wymiernej :

4 zds

(1 + s²)

Mamy tu :

Z²

Cz-\-D

(z²—1)(ä²+1) (z—l)(z-j-l)(z²-f-l)    «— 1 ■ «-f-ł

z² +1 ’

a więc tożsamość :

z² = A(z +1) (z² + 1 ) + B (z-1) (z² + 1) + (Gs 4- D) (z² - 1), która, dla z = 1, daje 1=4A, a więc A = i/i) dla z——1, daje 1=—4B, a więc J5 =—¹/₄, dla z —i, zaś —1 = —2(Ci-\-D) a więc (7 = 0, D = ¹/₂.

Jest zatem :

z²

przeto :

a więc ostatecznie:

(z²—l)(z²+l)~ z²dz

1L

4 \z

(z²-l)(z²+l)

— 1 z + 1

¹ i ⁰

7- log -4    ⁰ z

T-<

-1.1

' z²+i ’

I-—arctgz,

1 -j-

- dx — log

y/1 — x—y/1 4- x

v/i - H-V/1 +

* -J- 2 arctang ^

1 -j- *

?+ c.

— 55 —

8. Ogólne wnioski. Funkcye algebraiczne, niewymierne, w których nie-wymiernośó dotyczy samej zmiennej x, albo też jedynie pewnej fnnkcyi liniowej zmiennej, bądź to całkowitej, kształtu ax + ó., .bądź ułamkowej

są, jak powyżej poznaliśmy, zawsze całkowalne, bez względu

kształtu

ax + b

a‘xĄ- b‘

na stopień niewymierności, byle tylko wykładniki były ułamkami wymier-nemi. Całki takich funkcyj dadzą się zawsze przekształcić na całki funkcyj algebraicznych, wymiernych, a więc wyznaczyć, jako sumy pewnych funkcyj algebraicznych, wymiernych, lub niewymiernych i pewnych funkcyj przestępnych , złożonych z funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych.

Przejdźmy teraz do całek takich funkcyj niewymiernych, w których niewymierność dotyczy funkcyj całkowitej zmiennej x, stopnia drugiego.

9. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających, jako niewymierność kwadratowy pierwiastek z fuukcyi drugiego stopnia. Niech będzie daną całka, kształtu :

(4)

J=f M(x, Y/ax2jr bx + cj dx,

czyli J=JB(Xj y)dx, gdzie y= \/ ax²-\- bx-\-c, o spółczynnikach rzeczywistych a, b, c, a H(x, y) przedstawia funkcyą wymierną, całkowitą, lub ułamkową zmiennych x i y.

Aby całki tego rodzaju za pomocą stosownych podstawień sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych, wymiernych, z rzeczywistemi spółczynni-kami, odróżniamy przedewszystkiem następujące dwa przypadki: a) Spółczynnik a przy x² jest liczbą dodatnią, czyli 0.

W tym przypadku podstawmy:

y=-V ax²-\-bxArc=*u— xVa,

(5)

gdzie u jest nową zmienną.

Wskutek tego podstawienia, otrzymujemy:

ax² + bx + c= u¹ \ ax'¹ — 2 ux\/ a u²—c

X~ b + 2u\/a >

a stąd :

dx

(b-\-2u\/a) 2u—(u²—c). 2Va

(ó + 2«\/ a)²

du

•V

2[(w²d-c) \/a Ą- bu]

(ó-(- 2u\/ a)²

du

y—V'ax²-\-bx-\-c=u—xV'a=u —

(u²—c)V/ a

bĄ-2uV a

{u²-\- ć)\/ a Ą-bu b + 2uV" a

Dana całka kształtu fli(x,y)dx przybiera, wskutek tego podstawienia

kształt :

fJR(x, y) dx=

u²—c

(u²Ą-c)\/abu\ 2[(m² + c)\/a-\-bu]

&4-2mV/a ’    b-\-2uV'a    )

a więc zamienia się na całkę funkcyi wymiernej nowej zmiennej, kształtu: JBi(u)du, z rzeczywistemi spółczynnikami, gdy «^>0.

Wyznaczywszy tę całkę, należy w wyniku położyć:

u — xVa + \Zax²-\- bx-\- c.

b) Wyraz wolny funkcyi ax²Ą-bx-\-c jest liczbą dodatnią, czyli c > 0.

(ó + 2wVa)²

du=f (u) du

(5')

W tym przypadku podstawmy:

y=V ax² + bx -\-c=xu 4-V c

gdzie u jest nową zmienną. Na mocy tego podstawienia, otrzymujemy:

ax² \rbx-\-c=x¹u²-\-%uxVc + c,

(6)

a zatem :

a stąd :

ax² -f- bx—x ²u² + 2 ux\/ c 2uVc —b

a—u¹

dx=

(a—u²)2\/ c +(2 u\/ c—b)2u (a—u²)²

y= V/ax² \bx -f c=ÆW-j- V/c

2 [(a-\-u²)\/ c — bu]

{a—u²)²

2u²\/ c — hu ^    (a+w²)\/c —

a—w²    a—u²

du

du

Dana całka przybiera, wskutek tego podstawienia, kształt: 2 u\/c—b {a-\-u²)\/c —bu

f li(x, y)dx—\B

r—u

a — u²

\ 2[{a-\-u²)Vc -/    (a—w²)²

— bu]

du=J Ii₂ (u) du,

zamienia się więc na całkę funkcyi wymiernej nowej zmiennej u, kształtu : f H₂ (u) du, z rzeczywistemi spółczynnikami, gdy c >> 0. Wyznaczywszy tę całkę, należy w wyniku położyć :

u=

\/ ax² + bx -j- c— V c

(6-)

10. W obu powyższych przypadkach, w razie, gdy funkcya całkowita drugiego stopnia axL-\- bx-\-c da się rozłozyc na dwa czynniki rzeczywiste pierwszego stopnia, co ze względu na to, że:

ax² + bx+c = ~ [(2 ax + b)² + (4 ac—b²)],

zawsze nastąpi, gdy wyróżnik 4=4«c—b² <{0, możemy także użyć następującego podstawienia.

(7)

Przypuśćmy, że: ax²-\-bxĄ-c={pxĄ-q) (rx-\- ś), wówczas podstawimy: V{px+q) \rx + s) = (px + q) u

a otrzymamy :

(px Ą-q){rx-\- s) = (px+q)². u²,

zatem :

a więc :

a stąd:

rx -\-s={px + q) u², x{r—pu²) = qu²—s

r—pu

zatem :

dx=

2 {r—pu²) qu + 2{qu²—s) pu

{r—pu²)²

du=-

2 {rq—sp)u (r—pu²)

2 — du,

y={px + q)u^p

qu²— s

r—pu²

q^u =

{rq—sp)u

r—pu²

Dana całka przedstawia się tedy w postaci : JB(x, y)dx=^B^U S

— pu

(rq—sp) u r—pu²

2 (rq—sp)u

{r—pu²)²

du-=f Iiz (u) du

— 57 -

całkę funkcyi wymiernej nowej zmiennej w,

zamienia się więc także kształtu fBz(u)du, w której, po jej wyznaczeniu, należy podstawić:

na

u=

(7')

-\-q

Ostatniego podstawienia używamy szczególnie w przypadku, gdy oba pierwsze są niedopuszczalne, a więc, gdy zarówno a<0, jakoteż c-<0, a także przytem wyróżnik A=Aac—&²<0, a więc trój mian :

ax²Ą-bx-\-c = ^[(2a#-f &)²-f(4ac — 6²)],

da się rozłożyć na dwa czynniki rzeczywiste, stopnia pierwszego.

Gdyby jednak, przy a<0, c<C0, był wyróżnik 4=4ac—6²^>0, a więc 4«c >ó², wówczas funkcya ax²-\-bxĄ-c byłaby, dla każdej rzeczywistej wartości#, ujemną, a więc zmienna y = \Zax²-\-    + c posiadałaby, dla każdej rzeczy

wistej wartości x, wartości urojone.

W tym wypadku nie podobna w całce kształtu fJR, y)dx uniknąć spół-czynników urojonych.

Podstawiając tedy:

y=V ax²-\-bx\c=i\/—ax²—bx— c=i\/ ax²-\-ßx-\-y—iyi,

gdzie a=—a, ß=—b, y=—c, a więc yt = Vaxz-\-ßx-\-y, posiada pod pierwiastkiem kwadratowym spółczynniki dodatnie ai y, otrzymujemy daną całkę w postaci :

j* li (#, y) dx =/i? (#, iyx ) <ńr,

do której możemy już zastosować poprzednie podstawienia.

Przypadek A=Aac—b²=0, pomijamy, gdyż wtedy całka JB(x, y)dx jest wprost całką funkcyi wymiernej.

Za pomocą jednego z powyżej wyłożonych podstawień, możemy więc całkowanie wszelkiej funkcyi niewymiernej, zawierającej, jako niewymierność kwadratowy pierwiastek z dowolnej funkcyi całkowitej drugiego stopnia, sprowadzić do całkowania funkcyi wymiernej nowej zmiennej u.

11. Przykłady.

1) Wyznaczyć całkę J =

C___dx

jY/ xlĄ-px + q

Spółczynnnik przy #² jest tu dodatni, równy 1, użyjemy zatem podstawienia (5) w postaci :

skąd dostajemy:

V/#²-f px + q=u—#, czyli u=x-\- Vx’¹ Ą-pxĄ- q,

a więc :

x² -\-px -f- q=u²—2 w# -f x ², ui-q    2(u²+pu rq)

p + 2w’    (p+2u)²

u²—q u²Ą-pu-\-q p-\ 2 u

Vx²-\- px + q=a —

Otrzymujemy zatem:

a że :

du

p-\-2u •

f dx    Ç

}Vx² + px + q J

üp + 2«⁼¹°g (P + 2m) + 6"= log (t+M) + C’

2{u²-\-pu + q)    p-\-2u

(p-\-2u)²    ‘ ti²Ą-pu+q

du=

2du

p-\-2u'

— 58 —

przeto, kładąc: dostajemy wzór:

u=x-\- Va:²t px + q,

WSbf*-¹**!* +*+v/*!+^+«]

+ C.

(8)

W szczególności, otrzymujemy stąd wzory :

= log (x+ V x² + a² )-\-C

dx

\/ x'¹ + a²

\/x²—a²

= log(a;+ Va;²—a²)4-C,

^ V x²+2 px= log ^ ⁺ ^⁺ Vx²+2px]+C.

2) Wyznaczyć całkę J==

dx

Va \-bx—x²

Spółczynnik przy x² jest tu ujemny, równy —1 ; jeżeli wyraz wolny a jest dodatni, wówczas użyjemy podstawienia:

Va + bx — x²= Va Ą-xu,

czyli :

skąd dostajemy :

.. Va-\-bx — x²—Va

TA =_•

a więc :

a+bx—x ²~---a + 2uVax-\-x²u2 b—2uV a

x==

u²-\-1

Stąd wynika :

dx= —

2(Va 4-bu—u²Va)

du

Va+ bx — x²—

(m² + 1)²

Va -\-bu—u²Va

w² + l

zatem otrzymujemy :

dx

du

Va-\-bx — x²

u² + 1

2 arc tang (—w),

czyli wzór:

dx

Va-j-bx — x²

== 2 arc tang

Va — Va, + bx—

Ą+c.

(9)

b² ( b \2 a+ï-{x-Y)

Kładąc :

a + bx—x²= otrzymujemy daną całkę także w postaci:

dx

dx

V«4- bx — x²

czyli :

dx

Va+bx—x²

arc sin

L +c.

(10)

W szczególności, otrzymujemy stąd wzory:

— Va¹— X¹

dx

-z²

= 2 arc tang —

a?

x

arc sm—-+C,

dx

V1—iC²

— 2 arc tang

1 — Vl—X¹

— arc sin# + O.

dx

V bx — X¹

2 arctg

V bx— X¹

arcsin

2x—b

\-c.

3) Wyznaczyć całkę J —

dx

Kładąc :

x + a) {x + ß) V(x -f a) (x + ß) = (x+ß)u

zatem :

otrzymuj’emy :

a stąd :

(x-±-a)=u¹(x-i-ß) a — ßu¹

X =-o -, - }

u¹—1

następnie :

a zarazem:

przeto :

2 (/?-«)«

<te- (.*-1)*

V(x+ a) (x + (3)=—-^“

du

-1

dx

u+1

a więc :

V(x+a)(x+ß)

C    dx

M

x + a) (x + ß)

log

czyli :

Vx + a-\- Vx+ ß Vx+a—VxĄ- ß

(U)

dx

x+ a){x +ß)

W szczególności, otrzymamy stąd wzór:

==21og[Vx + a JrVx+ß]+C.

(110

r* ctoo    _ _

JVx(x+2a)^²    ^xJr^a} ⁼ ^°& [xJra+ Vx(x+2a)] + C.

4) Wyznaczyć całkę J = f ——    -

)V (x-\-a) (ß

Kładąc V(x-\-a)(ß—x) = u(ß—x),

-x)

a więc u=

x-\-a

ß—x

otrzymujemy :

ßuPj-a Ma±ß)d u*+i ’ d (u¹ + iydu

V(xĄ- a) (ß — x) =

u(a+ß)

(u²+l)

zatem :

dx

du

V{x -\-a) (ß— x)

u²+ 1

=2 arctang w,

czyli :

dx

2 arc tang

i-C.

(12)

W szczególności, otrzymujemy stąd wzór:

f______

j Vx (2 a—x)

(^12, Rozkładanie całek, kształtu: f Ił(oc, y)dx. Jakkolwiek całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, kształtu : f R(x, y)dx , gdzie y=\/ax² -\-bx-\- c stawień, poznanych w art. poprzednich, dadzą się zawsze sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych, wymiernych, a tern samem wyrazić za pomocą funkcyj algebraicznych i funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych, to jednak, dla uniknięcia mozolnego częstokroć rachunku, staramy się, przed użyciem stosownych podstawień, sprowadzić daną funkcyę do postaci możliwie najprostszych.

Mając na uwadze, że wszelkie parzyste potęgi zmiennej y — \/ ax¹ -|- bx -f- c są cał-kowitemi, wymiernemi funkcyami zmiennej x, a wszelka potęga nieparzysta zmiennej y da się przedstawić w postaci G(x).y, t. j. jako iloczyn z funkcyi całkowitej, wymiernej zmiennej x przez zmienną y, zauważymy z łatwością, że wszelka wymierna funkcya R(x,y), którą możemy zawsze przedstawić w postaci ilorazu dwu funkcyj całkowitych, wymiernych obu zmiennych x i y, da się ostatecznie sprowadzić do postaci :

Gfx) + Gfx).y Gfx)-\-Gfx).y ’

2arctangy^-

• x~a ,n = arc sin--C.

za pomocą pod-

R(x, y)

czyli :

Gx(x) -j- G₂(x) .\/ax'¹ bx c Gs(x) -f- Gfx) >V/ax¹ -\-bx -\- c

gdzie Gx(x), G₂(x), G₃(x), Gfx) są całkowitemi funkcyami zmiennej x rozmaitych stopni.

Uwolniwszy funkcyę R(x, y), przedstawioną w powyższej postaci, od niewymiernego mianownika i zastępując, dla skrócenia funkcye Gi(x) przez G i, otrzymujemy:

R (x, y/ax¹ -j- bx -f- c ).

(13)

Æ(x, y)

+ Gï'V_(^l + GWX^ — ö₄.y)

+ ^4 • 2/

G\-G\.y*

a stąd :

Æ(#, y) =

<?₁öj-öjö*y» , (G'₂ą-0₁ą)ya    1

G\-G\.y2    'y’

G\-G\.y²

czyli :

R(x, y) = Rfx) +

Ą(*)

'S

(14)

Ri(x) =

GtGj-GiGi.y*

(g,ą-ąg₄)y»

gdzie funkcyę :

są wymiernemi funkcyami wyłącznie zmiennej a:.

Wobec tego, dana całka i?(a;, y)<ńc da się zawsze rozłożyć na dwie całki następujące:

G\-G\.y«

, Ą(*)

G\-G\.y*    ’

J\R (a:, y) dx = j’Rl(x)dx -j- J—

cfce,

(15)

a więc da się przedstawić, jako suma dwu całek, z których jedna J Rx(x) dx jest całką funkcyi algebraicznej, wymiernej, a druga J R₂(x) jest całką funkcyi algebraicznej, niewymiernej, zawierającej niewymierność y=V/aa?²-{-foc-]-c tylko w mianowniku.

A zatem :

Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, zawierających, jako niewymierność, kwadratowy pierwiastek z funkcyi całkowitej, wymiernej drugiego stopnia, dadzą sie zawsze rozłożyć na całki funkcyj algebraicznych, ivymiernych i na całki takich funkcyj algebraicznych, niewymiernych, w których kwadratowy pierwiastek z funkcyi całkowitej drugiego stopnia występuję tylko w mianowniku.

V ax² -j- óa? -J- c

R(x) dx

jest wogóle funkcya ułamkową, niewłaściwą , składa się więc z funkcyi całkowitej i z funkcyi ułamkowej właściwej.

Połóżmy więc:

Gn—1 (x)

i ISj Sprowadzanie całki

ddc do całek zasadniczych. Funkcya wymierna Ii(x)

w całce niewymiernej, kształtu :

gdzie Gm (a?) jest funkcya całkowitą m-go stopnia, natenczas rozłożymy daną całkę na dwie całki, w postaci :

R(x) dx

Gm(x) dx

Gn—1 (a?) da?

2/

(x). y

(16)

Połóżmy w pierwszej z tych całek:

(U)

Gm (a?) d ,    .    ^

gdzie Gm—i(a?) jest niewiadomą funkcyą (w—l)-go stopnia, A zaś niewiadomą liczbą stałą.

Na wyznaczenie funkcyi Gm—i (x) i stałej A, otrzymujemy, na podstawie (17) tożsamość :

G,4x)_ ₌ ffm_₁ ^    ₊    (») . y + A

y    y

a zatem :

Gm (a?) — Gm—i (a?). ij‘y -f- ćr'm-1 (x) .y²A ,

skąd, ze względu na to, że y² = ax² -\-bx -j- c, zaś yy‘ = V₂ (2aa? -f- &) = aa? + i/₂ b, otrzymujemy funkcyę Gm (a?), w postaci:

Gm (x) —(ax -j- V2 6) Gm—1 (x) + (aa;² -f- bx c) G'm—1 (a?) -f- ^4.

Mamy tu po obu stronach funkcye całkowite m-go stopnia; porównywając spółczyn-niki przy równych potęgach zmiennej a?, otrzymujemy (m -f-1) równań o tyluż niewiadomych , do których zaliczamy m niewiadomych spółczynników funkcyi Gm—1 (a?) i niewiadomy spółczynnik A. Równania te są, ze względu na niewiadome, stopnia pierwszego, określają więc jednoznacznie funkcyę Gm—1 (a?) i stałą A.

. Jeżeli więc Gm(x) jest funkcyą całkowitą m-go stopnia a y = \/ax²-\-bxc, możemy zawsze wyznaczyć taką funkcyę (w—l)-go stopnia Gm—i(a?) i stałą A, że będzie tożsamościowo:

[Gm—1 (x) . y]'-f- —-

Gm (a?)

Wobec tego, otrzymujemy wzór:

f Gm(x)dx

J y

= Gm—1 (a?) ._

dx

(18)

sprowadza do całki zasadniczej typu :

który całkę, kształtu C Gm{x) dx

J y

dx

y 15. Druga całka, kształtu : J

Gin—i(a?)db

Gm(x) y

V/«a?² -j- ôx -j- c

, prowadzi w przypadku, gdy mianownik

fibn(x) ma czynnik m-krotny (a?—a), do całki kształtu:

£*rrl 0*0

(cc — oc)"» y

dx ,

gdzie Gm-l(x) jest funkcyą całkowitą (m-l)-go stopnia, jednoznacznie określoną.

Gm—i(x)—[G'm-2(x)yi-\- Gm-2(x)y'y](x—a.) — (m —1) Gm-2(x) .y"¹ A(x—ct)m—i ; skąd, ze względu na to, że y² = aas² + ft* -j- <s, zaś yyJ = ax Ą- llib₎ dostajemy tożsamość: <?m-1 (as) = [G'm—2(a?) (aa;² + &as + c) -f Gm—2(x) . (ax + 7-2 6)] (as — «) —

— (m — 1) Gm—2 (as) .(aa;² -f- fia; -f- c) + A . (as—a)"»—¹.

Mamy tu po pierwszej stronie funkcyę całkowitą (m—l)-go stopnia, po drugiej stronie, na pozór, funkcyę całkowitą m-go stopnia, która jednak przechodzi także na funkcyę całkowitą (m—l)-go stopnia, gdyż kładąc:

Gm—2 (as) = a₀ . a;w-2    ...

G'm—2 (as)—(m—2) a₀ as"i —3 _|_

Połóżmy:

Gm—1 (as)

Gm—2 (a?) . y

if

da: L

1+ —

i ' (»—»)ÿ

gdzie Gm-2(x) jest niewiadomą funkcyą (m—2)-go stopnia, A zaś niewiadomą liczbą stałą.

Na wyznaczenie spółczynników a₀, at...., am_₂ funkcyi Gm—2{x) i stałej ał otrzymujemy, na podstawie powyższego równania, tożsamość :

Gm—1 (a?) (r'm—2(æ) . y -f 6rm-2 (as). y‘

(as-«)™—¹

(as—a)™ y

(as—a)™—1

(19)

(as—a)m y

--

(m—l)Gm-2(x).y

'lu--'?’

(x—a)™

a zatem:

a więc:

otrzymujemy spółczynnik przy as™ równy (w—2) aa₀ -f- aa₀ — (m — 1) aa₀, zatem równy zeru. Porównywając spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej as, otrzymujemy w równań o tyluż niewiadomych, do których zaliczamy (m—1) niewiadomych spółczynników funkcyi Gm—'i(x) i niewiadomy spółczynnik A. Równania te są, ze względu na niewiadome stopnia pierwszego, określają więc jednoznacznie funkcyę Gm—2 (as) i stałą A.

Jeżeli więc Gm—l(as) jest funkcyą całkowitą, najwyżej (w — l)go stopnia, a

y = \/ ax² -(- bx -f- c ,

możemy zawsze wyznaczyć taką funkcyę (m-2)-go stopnia Gm-2(as) i stałą A, że będzie tożsamościowo :

Wobec tego , otrzymujemy wzór:

Gm—\ (as)

(as—a)™ y

który całkę kształtu : j

Gir,—1 (as) _ I Gm-2 (as) -y ~y ,

(às —a)™ y    L (as—a)™—1 J

+4

dx =

Gm-iJxJ

(as-a )»y

(as—a) y '

Gm—2 (as). y

(a; —a)w-l

das

(* — «)*/

(20)

dx sprowadza do całki zasadniczej, typu:

da:

f das J (as — a) y

'(^ 16^Całkę zasadniczą tego drugiego typu możemy przekształcić w sposób następujący: Rozwińmy funkcyę ax'¹ -\-bx-\-c według potęg dwumianu (as—a), a otrzymamy, (porównaj Tom I. Wykład XXXI. str. 430.): aa:² + fias + r — A    + 0'(.r-a)², gdzie:

A = aa² -J- fia -|- c, B = 2«a -f- fi, <7= a.

(as — a) Y/aas²-f-fias-hc

Wobec tego, otrzymujemy: f* das J (a: — a)y

1    .    dz

Połóżmy as—<x = —, zatem das =--—a, y =

całka przedstawia się w postaci :

-Î

da:

(as — a)V/ C(as — a)² + R(as —a) -j- A.

v/l«² + Rs + <7

natenczas otrzymana

das

dz . Z²

(as — a) y

z² \/ Mz² + Rz + c

-J

dz

Y/Üz²'+ Rs + C ’

czyli :

0    da;    __f*

J (as— a)V/aas²-{- fias-j- c J

dz

gdzie :

A = aa.'¹ -f fia -|- c , ß

A zatem :

Całka zasadnicza

typu drugiego : j*

(*—*)y

da się przekształcić na całkę zasadniczą

typu pierwszego :    .

17./Gdy mianownik G^x) funkcyi ułamkowej, właściwej

Gn — 1 (X)

Gn{x)

ma czynnik m-krotny

w postaci funkcyi całkowitej drugiego stopnia, kształtu: (a?²-f px -{-q), natenczas odpowiada

G2m—1 (x)

zatem całka częściowa :

G2m—\{x). dx

{x²-\-pxAq)m y'

gdzie Gim—1 (x) jest funkcyą całkowitą (2 m—l)-go stopnia, jednoznacznie oEre^löna : '

temu czynnikowi ułamek częściowy :

(x² -\-px-\-q)m

Połóżmy :

G2m—\ (x)

G%m—3 (x) . y

~\

(ix² -f- px-\-q)m y    dx L(æ² -j-px-\- q)m~

J+

Ax-\- B

(æ²4-p+î)ÿ ’

(22)

gdzie G2m-z{x) jest niewiadomą funkcyą całkowitą {2m—3)-go stopnia, A i B zaś niewiadomymi spółczynnikami. Na wyznaczenie spółczynników a₀, an ... a₂m—3, funkcyi G2m~3(x), tudzież spółczynników A i B, otrzymujemy, na podstawie powyższego założenia, tożsamość:

G2m— j (x)

G'2m~3(x) .y + G2m—3{x).y‘    {m—l){2x-\-p)G2m-3^e):y

Ax -f- B

O²+ Ą-q)my

a wi ęc :

(æ² -f- pcc -j- ÿ)m—1

0²-f- pa; + g)y’

Gïm-\ {x)= [ćr'2m-3 {x). y²-\- G2m—3(x). y'y] (x² -j- pxĄ- q)—{m— 1) (2x -f- p) G2m—3{x). y² +

(23)

-f- (Aas -j- B) (a;² -J- px + q)m~i-Mamy tu po prawej stronie funkcyę całkowitą (2m—l)-go stopnia, po drugiej, na pozór, funkcyę całkowitą 2m-go stopnia, która jednak przechodzi także na funkcyę całkowitą (2m—l)-go stopnia , gdyż kładąc :

G2m-z(x) =a₀ x^m~ ³ -j- ata:2m-⁴ -j- ...

a więc :

G‘2m—3(*)= (2m—3) a₀æ2m—⁴ -\-

otrzymujemy spółczynnik przy x2m równy (2m —3) a₀a a₀a—2(m—1) aa₀, zatem równy zeru.

Porównywając spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej x, w tożsamości (23), otrzymujemy 2m równań o tyluż niewiadomych, do których zaliczamy (2m—2) spół-czynników funkcyi G-im—3 (x) i 2 spółczynniki A i B. Bównania te są, ze względu na niewiadome, stopnia pierwszego, określają więc jednoznacznie funkcyę G2m—3(a?) i funkcyę Ax -f- B.

Jeżeli więc G2m—\{x) jest funkcyą całkowitą najwyżej (2m—l)-go stopnia, a

y—\/ax'¹ -j- bx -j- c,

możemy zawsze wyznaczyć taką funkcyę całkowitą (2w—3)-go stopnia G2m—3{x) i funkcyę pierwszego stopnia Ax -f- B, że będzie tożsamościowo:

ćr2m—1 (x)

(a?²-f- px-\-q)y

(o?²-)-px -f- q)m y

G2m~3 (X) .y

(cc² -j- px q)m—

Wobec tego, otrzymujemy wzór:

G2m-i (x). dx

G2m—3(x).y

Ax -f- B

(2c² -j~ px -j- q)m y (x^-^px

(æ² -f px -\-q)y

dx

(24)

G2vn—1 (x) dx

który całkę kształtu : j*

Ax -j- B) dx

0*²+px + q)^y ‘

18. Dopuszczając spółczynniki urojone, możemy całkę typu : J drugiego typu: J

zawsze na dwie całki

{x'¹ -f px -j- q)m y

sprowadza do całki zasadniczej trzeciego typu:

{Ax + B) dx {x^+px^- q)y

dx

dx

(*—W y

rozłożyć , gdzie ai ß są pierwiastkami

(x — «) y

równania: a?²-|- px -j- q=0. Całka zasadnicza trzeciego typu da się tern samem także za pomocą

podstawień x—a= —, x — ß= — przekształcić na dwie całki zasadnicze pierwszego typu.

z    z    ____

19. Wniosek. Z wywodów powyższych, dotyczących rozkładania całki funkcyj niewymiernych, algebraicznych , w których, jako niewymierność występuje kwadratowy pierwiastek z funkcyi całkowitej drugiego stopnia, dochodzimy do następującego wniosku ogólnego :

Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, kształtu: /i? (a;, y) dz, gdzie:

y — y/ax'² -(- hx -j- c ,

dadzą się sprowadzić do całek zasadniczych trzech typów następujących:

( Ax -f- B) dx

(*'■* + Vx + 2) y ’

-Î

, J"

-S

(25)

z których ostatnie dwa typy dadzą się ogólnie przekształcić na całki typu pierwszego.

Do tych też całek należałoby dopiero stosować podstawienia w art. 9. podane i one to składają się na część przestępną danej całki, złożoną z funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych.

W szczególności otrzymujemy, podstawiając: y — u—x\/a, całkę zasadniczą typu pierwszego, w postaci:

Cdx C 2[(w² -\-c)\/a -f? bu] b 4~ 2«y/#

J 2/    (j -j-2«V/a")²    ’(w² + c)\/a + ów

du

du

7 = log [ó + 2u \/a ]

a więc, skoro od stałej dowolnej C oddzielimy stałą : —

b -j- 2u\/a    \/

\ -log2 y/a , otrzymujemy:

\/ a

dx

y/ a

czyli :

dx

y/ ax'* -}- bx -j- c Podstawiając zaś :

77log {

+ C,

b + ^ + Vax'*-\- bx + c i + C.

2V a    '

2 V/a

(26)

y = xu -f y/c ,

otrzymujemy ją w postaci:

2 [(o -j- w²)y/c —óa]

(a — u*)*

(a —w²) du (a-{-u)* y/ c — bu

du

— w²

-arc tang

y/ — a

V/

czyli :

\v

dx

ax² -\- bx c a więc zawsze, jako funkcyę przestępną.

2    y/c — y/oA,24--h c

77= arc tang--/--—

y — a    xV —a

(27)

Ćwiczenia IV.

1)

yY x dx

y/x -i- y/x

12_ 12    12 _    12

= ⁴/₃ S/^ — ¹²/₇y/x⁷-f- ¹²/₆y/*⁵—4y/x+12y/x — arctang y/x 4- c.

²⁾S

dx

= 6 [\/x —arctang ^/x ] -j- C.

(1+y/x )y/x

3) \±±V^Ldx=-6 ^x{V₇x + V₅^+ Vi^+Va^+V^^+l}-

j 1 —y/x

— iog [ y/x —î]⁶ 4- c.

4)    C-—dx =—⁴/₃y/x³ -j-2y/x -j- 4y/x —-log (l-f-y/» )²— arc tangy/x 4- <?•

J14-y/x

5)    f- **

J x

y/x4- «    y/«

2 ₃

7=r log

y/x

y/x 4-« 4~ y/<*

6)

f* xldx    2

JV/(aJ+l)5 3

2 3(® + l)² + 6 (® + 1) — 1

V{x + l)³

4" 0.

7)

xzdx

\/® — 1

8)

<7®

X%\/ X — 1

2 v/* -1 {y₇(*—!)* + % o-i)² + + <?.

₌ (3® + 2) VaT^T j

arc cos

4®²

Vf+a

9)

«Î®

(1—aj) y/ 1 + ®

10) f

J «V/l+a;

f*    (2®

3(2 + ®) v/rf®

VA log 2

= l°g (

11)

12)

xdx

1 + \/i + ®

V/2 +Y/ 1+# i n

V/2-Y/ï+i ⁺ ‘

1+Y/1 +

Ł) + c-

®

2 arc tang \/l + ® + (7.

(1 + ®)

13)

®ć£®

2 (5® + 2)

V {bx + 3)⁵

25 (5® + 3)3/2

+ C.

14)    j7®²V/5 + 2xdx = (®²—2® +¹ °/₃ ) \/( 5 + 2®)³ + (7.

15)    /®V^3® + 7 cZ®= ('/₇ ® — V₄)(8® + 7) V^3® + 7 + (7.

+c-

16)

x²dx

17)

\/a -f-bx

h *

V/a + bx

7=- log

V/ a

\/a -\- bx — \/« \/a + &® + \/a

= + (7

-arctang

y/ — a

+ tt

18)

®£&C

Y/ (a + &®)r>

2 {y/a + &®— y₃a}

b² V/ (a + &®)³

^ j\/a®+ô — y log (p + q Vax + 6)^

= “    (a® + b ) + aq—bp j> \/ax + b + C.

21)    ^(p® + q)\/ a + bx dx=^ /-^-(a® + &) +    .(ax + b)\/ax-\-b + C.

22)    f-^

j(px+q)V

19)

20)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

d®

P 4" q\/ax + b

f + ? dx Vax + b

+ a.

ax

+ b    V p (aq —bp)

arc tang

p ( ax + b)

aq — bp

/    l°g

V p {bp— aq)

\/p{ax + b) — V bp — aq \/p{ax + b) + \/bp — aq

f \la+^dx=z2 V/a + ® + V/« • log V« + g-V/« . a

9 1 *    V/« + ®'+ v/o

= 2a arc tang "\ ja ~ł~ x _ V/ a² — ®² + C.

V a — ®

^ Y]- g d® = arc sin ® — y/l — ®² + C.

[-\lx + adx J æ V® — a

(Z®

— + log (® + y/*² — a²) + <7.

— arc sin “ “ (a 4* 7^) V/«² — ®² + <7. log (® + \/a + ®² ) + (7.

= arc sec

. d® =

\/a + ®²

Dr. Dziwióski. Wykł. matem. I. Tom II.

29)

dx

y/ bx -f- a:²

30)

dx

V/a-J- 6a;-[-a:²

31) «;

«Za;

V/a + ÔCC—a;²

log (y + * 4~ \/bx + X<1\ 4- O.

= log + X + v/« 4- bx + x'²1 4- C.

+ 0.*)

arc sin

Vîô

V/a+‘/₄6²

«Za;

y/ a²—a:²

a?    r

— arc sin--1- C. c,) \

a    3

«Zx

y/ 6a;—x²

arc sin

2a;— 6

+ <?.

³²⁾    \wr-

33)    ^^=r = yarcsinx-‘/a* V/l-*². ³⁴)

l_y/ïH^2

— x²

arc sin a: = arc cosy/1 — a;² — arctang

a;

y/l — x²

(?i±i)v/ï=Si + 0.

⁸⁶⁾ Si

\/T=x²

= log

+ C.

1—y/l—x² y/1—a;²

«Za:

2 loe

87) f <to._—lÆnf+q. 88)-f* - V»-¹ + c.

J (a; -y-1) y/ 1 — a;²    ] 1x    {x-\-1) V/a;² — 1    ) x1

r_*    . =i/ï-h

J (1 — a;) y/ 1 — a;² ]l—x dx

(l+a;²) y/l — a;²

42) (-^₌₌₌    1 log V/r+g±gV/2~ c,

J(l—a:²) \/l -f- a;²    V/2    y/l-*²

48)

JV/x’4-

3G)

39)

41)

44)

45)

*³ y/i — x²

+ (7. 40)

a; 4-1

2x²

dx

(* — i) y/ x²—i

i    y/i_ x²    i

— arctang v-    + <?= —

a;V/2

]/2

V:-/i

V/2

— arc cos

-y/¹-”⁸

yi+x²

+ c.

fc

dx

■=>log[2y/*² -f- a;-j- 1 4“2a;-f- 1] 4" C* 2V/Î+X + *²—(* 4-2)

y/l 4-a; 4- x²

= log

3a;

— 4- C'-

dx

y/i 4- x—x²

4G) 5(i4-*)v/r+¥

arc sin

2x —

V/6

-4-c.

47)

fc

48)

49)

3a; 4- 1

= arc tang

___= 4- c.

2\/l + x-x2 x—2

-    = arc sin -y=- 4- C.

x\/5

-    V<*² + *² 4- log (x-\-\/a² -\- x²) 4- C. x

*⁸ dx =— V/°ł 3:8 — arc sin — 4~ G -    a

— x²

dx

y/ a:² 4- x — 1

Va²+~x²

dx =

a;²

a;²

f «Za:

y/a² — a;²

a —y/a²— x²

51)

«Za;

y/ a; (2a -j- *)

= Tlog

— = log [x 4- a V/ a; (2a 4" *)] + 0

a:

52)

«Za;

V/ x(2a — x)

= arc sin --- 4“ G.

a

*) We tv zorze (10) na str. 58. należy opuścić mylnie pozostawiony czynnik przed arcsin

1    2

iak również czynnik — na str. 59. wiersz 2. i czynnik —

a    o

na str. 59. wiersz 4.

53)

C ——    — 2 log [V/x 4" 1 4" \/x    2] -\- C.

JV/(* + l)(* + 2)

54)

dx

Y/(tf + l)(2-*)

= 2 arc sin

lx+1 \2 —x

+ O.

Dowieść, że :

55)

dx

y/ ax²4~26x 4" c

= —\= log [aX~^- + y/ax²4-2&x4-c\-f C, V/« I V«    )

--ß^amtxnK^Vt'-oe V—a    ' \/b²— ac -\-{ax-\- b)

— (ax 4- b)

4-c =

y/ — a

arc cos

ax -j- b

Vb²—ac

4- o.

ax Aç-b

56) f Y/ax² 4- 2bx 4-c dx = —

\/ ax² 4“ 2 bx 4- c4-

ac

4- —

- è²

log

|ax^4~J>    y/oa;2 _j_ 2&x 4- c| 4“ =

ax 4" &

57)

58)

f*___dx____________________ 1

J (x—a)V/ax² 4- bx 4-c    Y/aa² 4- * a4~ c

r _____^________

J (ax 4- ß) V/a² — x²

2a\/ a

aa?2~^-- V/«x² 4- 2èx 4- c 4-

loff(*-a)V/a 4-Y/ax²4-ôx-f c—V/«a24"^>a4_ c (x—a)V/a 4-V/a®²4-èx4-c4-\/aa²-f-ôa4-c

— fc²

2a Y/—a

arc cos

\/ b² — ac

4- c.

Y/ß² — a² a²

arc tang

8 -{- a a a 4- a? ß — aa a —x

log

y/(aa 4-ß)(a4-x) 4-V/(«« — ß)(a — x)

59)

(ax 4~ $)dx

V/ a²a²— ß²

— V/a®² 4- &b4-c 4

\/(aa4- ß)(a 4-x) — V/(aa— ß) (a —x)

+ C.

aß— a& , fax 4- ^

aVV gL W

V/ax²-|- bx 4- cj 4- C.

60)

<£x

(ax 4- ß)Y/ax²4-2öx4-c    Y/2aßd—(a²c4~ß²<*j

. arc tang -

y/a²c 4" ß²ö — 2a86

log

(ax 4" ß)Y/a 4” «Y/«X² 4"2èx 4 c

V/2aS6—(a²c4-ß²ä)

(ax 4~ ß)V/« 4“ «V/ax²4-26x4“ c—\/*2c 4*3²a — 2aßö (ax 4- ß)Y/a 4“ «Y/ax²4- 26x 4~ c4 Y/*²<J 4“ ß²° ~ 2aß6

4-C-

Rozwiązania IV. 1) Podst. x— zu. 2)—3)x=s⁶. 4) x = z*. 5) x4-a = 2²- 6) x4-l=z². 7)—8) x—1 — z². 9) l + x = a². 13) 5x + 3 = z². 14) 5 42x = 2². 15) 3x4-7=«³. 16) a-\-bx—z-. 24) («4-x)/(a—x) = z². 28) Y/a4-x² = «—x. 29) Y/ 6x4-x²=x —w. 30) y/a 4- bx 4- x² = x 31) \/ a-\-bx—x² — ux—Y/a. 32) y/1—x² = xm—1. 44) Y/14-x-j-x²—«—x. 48)Y/a²4x²=

49) Va²—x² ==

xu—

a. 51) y/x(2a 4- x) =

ux.

—u.

« — X.

Literatura. Emanuel Czub er. Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung. Zweiter Band. Leipzig, 1898. L. A. Sohnke. Sammlung von Aufgaben aus der Integralrechnung. Fünfte verbesserte Auflage , herausgegeben von Prof. Dr. Herman Amstein. Halle, 1885.

Tematy do rozprawek naukowych:

1) Całki funkcyj algebraicznych , niewymiernych, dające się przekształcić na całki funkcyj algebraicznych , wymiernych.

a₀ xn 4- ajx"—1 4- ••• 4"

Y/ax² 4- ÄX 4- c

3) O spółczynnikach, występujących przy wyznaczaniu całki kształtu:

xn dx

2) Wyznaczanie całek kształtu : ^

dx i ich redukcya.

y/ax² 4- bx -j- c

Wykład V.

Uwagi, dotyczące wyznaczania całek kształtu: $ M (x, Vax³+bx+c) dx.

1. Ogólne formy podstawień algebraicznych. Podstawienia, przekształcające całkę, kształtu: fB(x, Vax² -\-bx Ą-c) dx na całkę funkcyi algebraicznej, wymiernej, podane w poprzednim wykładzie, zdążają do wprowadzenia takiej nowej zmiennej u, aby zarówno zmienna x, jakoteź jej funkcya y, przedstawiająca się w postaci pierwiastka kwadratowego z danej funkcyi całkowitej, drugiego stopnia: y = Vax²Ą-bxĄ-c, dały się wyrazić wymiernie za pomocą tejże nowej zmiennej u. Powyższe podstawienia przedstawiają się w ogólnej

postaci :

y=Mx+N,

gdzie M i N są pewnemi liniowemi funkcyami nowej zmiennej u.

Połóżmy ogólnie :

(1)

otrzymamy równanie :

y—(Aiu+)x+(Bxu+-®o ) i zbadajmy, pod jakimi warunkami da się, na podstawie tego podstawienia, zarówno zmienna x, jak y, wyrazić wymiernie przez u. W tym celu, podnieśmy obie strony równania (1) do kwadratu

ax²Ą- óx + c=(J.₁w + J-₀)².z³-f- 2(-4₁w-t--4₀) (ByuJrB₍₎)x-{-(Biu-\-B₍₎yi które wyraża zmienną x wymiernie przez zmienną u, przedewszystkiem pod następującemi warunkami:

1)    At= O, A₀²=a, zatem A₀ = Va,

2)    B₁ =0, B₀²=c, zatem B₀ = Vc-

(2)

y—x\/a +

W pierwszym przypadku, przedstawia się ogólne podstawienie (1), w postaci :

i prowadzi do równania :

bx+c=%(Biu+B₀)xVa + (Biu+B₀)²^

z którego otrzymujemy: zatem :

(B^+B.y—c    _ (B\Tc) + 2B₀Biu+Bi ²u²

zera.

czem

X~b-2 (Ąm+JBo) Va ⁼ (6-2 B, Va)—*B, Va . u’ gdzie spółczynniki B₀ i Bl mogą mieć ogólnie, dowolne wartości stałe, przy-współczynnik Bi musi być różny od

zatem :

^(CjMPCo)²- s

*“>-jHĄu+cj

spółczynnik Cr musi być różny od zera.

Dla Bx =—1, J5₀=O, otrzymujemy pierwsze podstawienie szczególne:

u²—c

b+2«v/a ’ 2/ = _'

używane, gdy a> 0, przyczem y/a może być uważany, jako dodatni, lub

y=x\Za — u, zatem æ

c\/ aAbuĄ-u²\/a

ó p- 2wy/ a

ujemny.

W drugim przypadku przedstawia się podstawienie ogólne (1) w postaci:

y=(Aiu+A₀)x+\/c

(3)

i prowadzi do równania :

czyli : z którego dostajemy:

ax²-\-bx={A^i-\-Ao)²x²-\-^\/c (A₁u+A₀)x, ax+b = ( A₁ u p Ac ) ²x -p 2 y/ë~( At u + A₀ ),

x[a—{AiuA Ao)²]=^V o {AiUĄ-Aę) — b,

zatem :

2 \/c (A] u p- Aq ) — b    (2j4₀ y/e —ô)-p2.4i y/c • w

* a—(J-jW-p/o)²    (a—/²₀)—2^40^!««—A\u

gdzie spółczynniki A₀, Ai mogą mieć wogóle dowolne wartości stałe, przyczem spółczynnik A₁ musi być różny od zera.

Dla At — 1, A₀= 0, otrzymujemy drugie podstawienie szczególne:

u² y/P —-ftw+ay/c"

y=ttK+y/c, zatem æ =

2«y/c — ó

a—u²~’ V=

a—w²

używane, gdy cP>0, przyczem znak w y/<T może być przyjęty, jako dodatni, lub ujemny.

W przypadku, gdy funkcya drugiego stopnia: ax²Ą-bx-\-c, rozpada się na dwa czynniki pierwszego stopnia, w postaci:

ax²-\-bx-\-c=(px + q) (nc-j-s),

podstawienie ogólne (1), które możemy także napisać w postaci:

y=(A{x + Bx)u-{ (AgX + Bg),

wyraża x wymiernie przez u, skoro spółczynniki A i B, tak obierzemy, że będzie :

(Ai ^P-B^wp (A₀ # -p B₀) — (px -p q) ( u -p C₀ )

a więc, skoro położymy:

Ai—pC\i —Q.t'u A₀—pC₀, B₀=qC₀.

or cr⁹'

W takim razie, przedstawia się ogólne podstawienie (1), w postaci:

y=(px+q)(Ciu+C₀) z którego otrzymujemy, wobec y²=ax²-\-bx-\-c=(px-\-q) (rx + s) i wzoru (4), wzór:

rx -P s={px+q) ( Gx u+C₀ )²,

x [r - p ( 6> p O o )² ]=q{ Ci u P C₀ )²—s,

czyli :

czyli :

A₀₌A

C₀ ą

TT=P,

(4)

gdzie spółczynniki C₀ i Ci mogą mieć w ogóle dowolne wartości stałe, przyczem

2. Znaczenie geometryczne podstawień algebraicznych, przekształcających całkę: fH(x, \/ax²+bx+c)dx na całki funkcyj wymiernych. Oznaczając przez x i y spółrzędne punktu , odniesione do pewnego układu prostokątnego na płaszczyźnie, mamy równaniem : y = V' ax² + bx + c , czyli : y²=ax²-\-bx \-c, określoną pewną krzywą drugiego rzędu, (krzywą stożkową, symetrycznie ułożoną względem osi a>ów). (Por. T. I. fig. 563.).

Krzywa ta, której równanie, sprowadzone do zera, przedstawia się w postaci :

(6)

y²—ax²—bx—c=0,

Por. T. I str. 707.

ma środek na osi x ów w punkcie C^=

i jest hiperbolą, gdy a^> 0, parabolą (środek w nieskończoności), gdy a=0, a elipsą, gdy a<;0.

3. Jej punkta przecięcia się z osią y-ów, określone są spółrzędnemi : x=0, y=-+- \/c i są rzeczywiste, gdy c > 0, wpadają w punkt początkowy, gdy c=0, a urojone, gdy c<0, natomiast punkta przecięcia się tej krzywej z osią cc-ów, określone są spółrzędnemi y = 0,

—è-4-V/b²— 4 ac    —b —ł— V/—A

x — —— -

i są rzeczywiste i różne, gdy wyróżnik A = 4ac—Z>²<0, wpadają w punkt: y — 0, x ——gdy

A=4ac—b² — 0, a są urojone, sprzężone, gdy A = 4ac—ó²>0.

W przypadku A =4ac—b² — 0, wobec tego, że:

ax² —bx -(- c = ~ [(2aa:-f- b)² -f- (4ac—Ô²)],

równanie drugiego stopnia przybiera postać :

y^=ax²-\-bx-]r^₎ czyli y² = ^(2ax + &)²,

a:-ów, w

zatem :

Dla Ci = 1, C₀ =0, otrzymujemy trzecie podstawienie szczególne:

y = (px+q)u,

(qr—ps)u

y⁼⁼    o ?

r—pw²

qu2 x=-—

r—pu² ’

używane, gdy funkcya eu;²-j-foe-l-c da się rozłożyć na dwa czynniki rzeczywiste stopnia pierwszego.

Podstawienia algebraiczne, podane w art. 6. wykładu IV., zawarte są więc w formie ogólnej :

y=(Alu-ł-A₀)x+(Biu-\-BQ),

y=(Aix+Bi)u+(A₀x+B₀),

(5)

względnie :

w której dwa spółczynniki są zupełnie dowolne, leży od spółczynników funkcyi : ax²-\-bx-\-c.

(5')

wybór drugich dwu, za-

i przedstawia, w przypadku a>0, dwie proste, rzeczywiste, przecinające się na osi punkcie: («/ = 0, x — -—^, jako szczególną odmianę hiperboli; w przypadku

a<0, dwie proste urojone, przecinające się na osi mww punkcie (y = 0, x=—, czyli

punkt rzeczywisty: (y=0, x = —^j, jako szczególną odmianę elipsy; w przypadku a=0,

będzie, wobec 6²=4ac, także b — 0, równanie otrzymuje zatem kształt y² = c i przedstawia dwie proste, równoległe do osi x-ów, rzeczywiste, gdy c^>0, a urojone, gdy e<^0, jako szczególną odmianę paraboli, (wierzchołek w nieskończoności na osi a;-ów).

W przypadku A = 4ac—&²^>0, krzywa stożkowa: y² = ^[(2aa;-f- &)² + (4ac—6*)], nie

przecina osi a:-ów w punktach rzeczywistych i jest, dla a)>0 hiperbolą, której gałęzie wznoszą się symetrycznie nad osią æ-ôw, dla a<0, elipsą urojoną, dla a — 0 parabolą.

Przypadek a ^ 0, A <0, podtrzymujący pod pierwiastkiem kwadratowym funkcyą drugiego stopnia, w postaci l-ównania y — \/ax² -)- bx c, obejmuje wszystkie krzywe środkowe: hiperbole i elipsy z ich odmianami, ułożone symetrycznie względem osi cc-ów. (Por. T. I. Fig. 505 — 508), z dowolnym środkiem na tejże osi.

4. Równanie podstawienia ogólnego: y = Mx + N, gdzie M=AiuĄ-B J\'=A₀u-{-B₀₎ przedstawia linię prostą, której położenie zależy od parametru u, więc wogóle, przy zmiennem u, układ linij prostych na płaszczyźnie.

Oba równania :

(7)

y²=ax²Ą-bx+c i y=Mx+N, przedstawiają punkta przecięcia się krzywej stożkowej z prostemi układu. Żądanie, aby podstawienie algebraiczne: y — Mx-\-N, było tak dobrane, żeby x i y dały się wyrazić wymiernie przez w, schodzi się z żądaniem geometry -cznem : obrać taki układ prostych na płaszczj^źnie, aby każda z nich przecięła daną krzywą tylko w jednym punkcie. Warunkowi temu odpowiada taki tylko pęk prostych , którego wierzchołek jest jednym z punktów krzywej stożkowej.

Niech będą a iß spółrzędne x i y dowolnego punktu (fig. 1.) krzywej

stożkowej: y= \/ax²-\-bx-\-c, natenczas: ß= Y/aa² -f ba -f c.

[Y

ii

Pęk prostych, przechodzących przez punkt P(a, ß), otrzymuje równanie:

-    y—ß=u[pc—a), czyli: y=u(x— «)+/?>

U—x gdzie parametr n = tg À cechuje nachylenie każdej poszczególnej prostej pęku względem osi x-ów.

Y’

Fig. 1.

Każda z tych prostych przecina krzywę stożkową jeszcze w jednym tylko punkcie Jf, którego spółrzędne są algebraicznemi, wymier-nemi funkcyami zmiennego parametru u.

Na wyznaczenie tych spółrzędnych mamy bowiem dwa równania:

(8)

y²=ax²-\-bx-\-c y—u{x—a)+ß

o dwu niewiadomych: x i y, z których, po wyrugowaniu y, otrzymujemy:

czyli :

stąd, zastępując ß² przez aa²-\- baĄ-c, dostajemy równanie:

ax²-\-bx-\-c=[u(x—a)-\-ß]², ax²Ą-bxĄ-c=u² (x—a)²+2ßu(x—a)+ß²,

czyli:

które

ax²-ir bx=u²(x—a)²-rZßu (x—a)-\-aa²-irba, a{x²—a²) + b(x—a)=u\x—a)² + 2ßu (x—a), po opuszczeniu wspólnego czynnika (x—a), sprowadza się do postaci : a(x-\-a) + b=n\x—a)+ 2 ßu.

Otrzymujemy zatem:

(aa+b) —2 ßu-\-au²

X=    z

u¹—a

wzory, wyrażające spółrzędne x i y, jako funkcye wymierne zmiennej w.

W tyck wzorach może mieć a wartość dowolną, przyczem musi być ß=\Zaa²-\-ba Ą-c. Podstawienia algebraiczne tego rodzaju są zatem nieskończenie liczne.

5. Mogąc wierzchołek (a, ß) pęku prostych wybrać dowolnie na krzywej stożkowej : y²=ax²Ą-bxĄ-c, możemy sobie rachunek uprościć, przyjmując go albo 1) w punktach nieskończenie dalekich krzywej stożkowej, . albo 2) w jej punktach przecięcia się z osią y-ów, albo 3) w jej punktach przecięcia się z osią x-ów.

Pierwszy przypadek jest możliwy tylko przy hiperboli, jako krzywej posiadającej dwa punkta rzeczywiste w nieskończoności, wymaga więc, aby było «>»0. Kierunki tych punktów na krzywej y²—ax²—bx—c =0, określone są równaniem: y²— ax² = 0, które wskazuje na dwie proste: y= + x\/a i y — — x\/a, przechodzące przez początek układu, równolegle do dwu asymptot hiperboli.

Przyjmując jeden z tych dwu kierunków, n. p. tg ż,== + v/«) (fig* 2.), jako kierunek promienia pęku o nieskończenie dalekim wierzchołku, otrzymujemy równanie pęku w postaci:

(9)

a więc :

y=u(x—a)+ß=

aß— (2aa-\-b) u-\-ßu²

a—u²

y = x y/ a + w

jako pierwsze szczególne podstawienie, w którem zmienny parametr u przedstawia odcinek, jaki dowolny promień pęku wyznacza na osi y-ó w.

H.

iX2

-X

A;

oc

Y’

■Ł

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Drugi przypadek, w którym wierzchołek pęku przyjmujemy w jednym

z osią y-ó w, a więc

z punktów przecięcia się krzywej : y²—ax²—bx—c=0 w punkcie a = 0, ß=\/c, wymaga, aby było c> 0, co pod tym warunkiem możliwe jest, zarówno przy elipsie (a < 0), jak przy hiperboli («>>0).

Przyjmując punkt (0, \/c ), jako wierzchołek pęku (fig. 3.), otrzymujemy równanie pęku w postaci :

y = ux Ą- y/c ,

która daje drugie szczególne podstawienie, gdzie zmienny parametr u=tg A, cechuje kierunek dowolnego promienia pęku.

Trzeci przypadek, w którym wierzchołek pęku przyjmujemy w jednym z punktów przecięcia się krzywej stożkowej z osią x-ów, wymaga, aby trój-mian ax²+bx + c dał się rozłożyć na dwa czynniki rzeczywiste stopnik pierwszego, co ze względu na to, że:

ax²-\-bx-\-c=-T^ [(2aaj + &)²4-(4ac—b²)\

jest możliwe tylko w elipsie rzeczywistej, (a<[0), i to pod warunkiem: A =Aac — b² <C 0 i w hiperboli, («>>0, 4<<0j, której oś rzeczywista wpada w oś x-ów.

Kładąc w tym przypadku :

ax²-\-bx-\- c=a(x—a) {x—ß),

i obierając punkt P(a, 0) za wierzchołek pęku (fig. 4. na str. poprz.), otrzymujemy równanie:

(U)

y = u(x — os),

które daje trzecie szczególne podstawienie, gdzie zmienny parametr u=temgA cechuje również kierunek dowolnego promienia pęku.

Całka kształtu :f JR (x, \/ax²-\-bx-\- c) dx okazuj

na podstawie powyższych rozumowań pewną funkcyę, jednoznacznie związaną z punktami (x, y) krzywej drugiego rzędu, o równaniu: y²—ax²—bx—c=0.

Podstawienia algebraiczne, przekształcające całkę: fH(x, V/ax²-\-bx+c)dx: powyżej poznane, mają więc swe uzasadnienie geometryczne i tracą przeto, na podstawie powyższych wywodów, pierwotny pozór podstawień sztucznych.

6.    Uwaga. Żadne z powyższych założeń nie może być przyjęte, gdy krzywa, określona równaniem: y²—ax²+bx-\-c, nie ma wogóle punktów rzeczywistych, czyli, gdy jest elipsą urojoną. W tym przypadku, określonym warunkami: a <C0, A—Aac — 5²^> 0, możemy wprawdzie stosować powyższe podstawienia , nie możemy jednak uniknąć spółczynników urojonych.

7.    Przekształcenia funkcyi H(x, V'ax²Ą-bx-\r c), wskazane przed jej

całkowaniem. Funkcya niewymierna, ułamkowa U{x, y) gdzie y—\/ ax²-\-bx-\-c da się przedewszystkiem, jak wiemy z art. 10. poprzedniego wykładu, przedstawić zawsze w postaci :

•^(^j y)—R\ (x)-\—~~ j

gdzie Bi(x) i R₂(x) są funkcyami wymiernemi ułamkowemi, niewłaściwemi. Wskutek tego rozkładu, funkcya niewymierna y = \/ax² + bx + c utrzymuje się tylko w jednej części danej funkcyi niewymiernej i to w mianowniku, w stopniu pierwszym.

Rozkładając każdą z funkcyj ułamkowych Ri(x) i R₂(x) całkowitą i na funkcyę ułamkową, właściwą, otrzymamy:

na

funkcyę

Ri(x) = Glx(x) + —t

(x)

Gv (x)

R₂(x)=Gm(x) +

Gn-i (X)

Gn (x)

zatem daną funkcyą niewymierną, w postaci:

Gv _ i (x) t Gm(x) ₍ Gn—i (x)

Gn{x).y

R(cc, y)—G/j,(x) 4

Gv[x)

gdzie wskazówki v, m, n oznaczają stopnie odnośnych funkcyi całkowitych.

Całka danej funkcyi niewymiernej , ułamkowej rozpada się zatem na następujące cztery całki :

Gv—\ (x )

Gv{x)

których dwie pierwsze są wprost całkami pewnych funkcyj wymier-ych, całkowitej i ułamkowej

S R (.x, y) dx =f Gf, (x). dx + Ç

Gm (x). dx

Gn-1 (x) dx G„{x). y

(12)

tylko dwie ostatnie są całkami funkcyj

algebraicznych, niewymiernych, zawierających niewymierność, w postaci: y=\/ax¹bx-\-c, wyłącznie w mianowniku. Potrzebaby zatem stosować poznane podstawienia tylko do dwn ostatnich całek, chcąc je przekształcić na całki funkcyj wymiernych nowej zmiennej u.

Jednakże stosowanie poznanych podstawień algebraicznych okazuje się i teraz jeszcze przedwczesne.

8. Pierwsza z

otrzymanych całek ^    ■ dx, wobec tego, że możemy

wyznaczyć taką funkcyę Gm—\(x) i taką stałą A, aby było tożsamościowo :

Gm (Æ)

przedstawia się w postaci :

C Gm (iX)

3 y

dx=G-m-i (x). y+A

(13)

składa się więc z pewnej, ściśle określonej funkcyi algebraicznej , niewy-

zwanej całką za-

miernej i z całki funkcyi niewymiernej, kształtu : sadniczą pierwszego typu.

f dx

3 y

Druga z otrzymanych całek ^

Gn—1 (x)

Gn ix)y

ułamkowej, na ułamki częściowe, kształtu:

dx, wskutek rozwinięcia funkcyi

Gr—\ (x)

{x— a)r ’

względnie

_G₂s-j {%) _

(æ²-f-px + q)s

składać się będzie z całek częściowych, kształtu:

f Gu-i(x)

J (x²+pxĄ-q)sy

G-r-i (x)

(x-a)ry

dx i

dx.

7i tych dwóch rodzajów całek, pierwsza, wobec tego, że możemy wyznaczyć taką funkcyę Gr.„₂(x) i taką stałą A, że będzie toż-

zawsze samościowo :

Gr~ i (x)

{x—a)r y

-(

Gr-2 (x). y V

(x—a)

r—1

(x—a)y

przedstawia się w postaci:

Gr—i (x)

(x—cc)ry

dx=

Gr-2 (X). y

{x—a)

r—1

dx

(x—ct)y

(14)

sprowadza się więc do pewnej, ściśle określonej funkcyi algebraicznej, nie-

wymiernej i do całki funkcyi algebraicznej, niewymiernej, kształtu: zwanej całką zasadniczą drugiego typu.

dx

(x—a)y'

(x) dx

w P°StaCi i&ï+px+qn ’

możemy zawsze wyznaczyć taką funkcyę (2s—3)-go stopnia: G2s—3(2) i taką funkcyę pierwszego stopnia: AxĄ-B, że będzie tożsamościowo:

9. Drugi rodzaj całek,

2s-l

z powodu tego, że

G2s—i (x)

G2s-3 (x). y

(x²-\-px+q)sy

V (x² + px+qy-

Ax + B (x ²+px+q)y

sprowadza się do postaci :

P (Ax-i-B)dx ){x²-\-px + g)sy ’

Gr-is-z (x). y

(x) dx

[—

J (æ²+pÆ + g)*y (x²+px-\-q)

2s—1

(15)

a więc do pewnej, ściśle określonej funkcyi ułamkowej , niewymiernej i do

całki funkcyi niewymiernej, kształtu:

J (a" Ą-px Ą-q) y

zwanej całką zasad-

niczą trzeciego typu.

10. Całka funkcyi algebraicznej, niewymiernej, kształtu:

JB{x, ii)dx=SHl(x)dx+\i?AX)dx

da się więc ostatecznie przedstawić w postaci sumy następującej :

$R(x, y) dx=f Gp (x) dx + J

Gv-1 (%)

Gv{x)

Gis—3 (x). y

+ > —

(x²-\-pxAq)

Gr-i{x).y

dx + G-m-1 (x) .y-\-A    -

(Ax-\-B) dx (%²+px + q)y'

{x—a)

r—1

Adx

(16)

2Î

2Î

(x—a)y

w której występują w ogólności, obok funkcyj algebraicznych, ściśle określonych, jeszcze całki funkcyj wymiernych, całkowitych i ułamkowych i trzy typy całek funkcyj niewymiernych, zwanych całkami zasadniczemi :

s-l

,C dx

(Ax + B) dx

(x² +J?x + q)y

(17)

(x—a)y

do których należałoby dopiero stosować podstawienia algebraiczne, przekształcające te całki na całki funkcyj wymiernych.

11. Przykład. Wyznaczyć całkę, kształtu:

x +\/cc² — Ba; + 10

— \/x²— 5a; + 10

dx*

Mamy tu :

xJr\G x² — bx + 10 (x +\/x² — 5a; + 10)² 2x²—5x + 10

" Sa^lO ““

1 2x²—hx + 10    2 a;³—6a;²+ 10a;

+ +■--

” I G~l+ ^2>+ 4 k-⁸" + ⁴ + a^-₂l ■

x — \/ x² — bx + 10

2x (x²—bx + 10)

bx—10

(bx—10)^ x2—5*+10

\/ x"¹ — Ba; +10

1__

V/ x² — Ba; + 10

zatem otrzymujemy:

x + \/x*-bx + 10 j 1 / ,    1,8,    ,    ,

-V x*-bx-\-10    51 J 5    ¹^

2C a;²— 3a; + 4    16 f__tfz__

^ J V X*— Ba; + 10dX ^(x—2) \/x² — bx + 10

= (Gt(x) . \/ x²— Ba; 10)' -|

5=

Kładąc :

x² — 3a; + 4 V/x² — Ba; + 10

\/ x² — Ba; + 10

gdzie Gi(x) — alx + a₀, otrzymujemy, na wyznaczenie spółczynników a₀, at, A, tożsamość:

x²—3x + 4 = (x — ⁵/i)(a{x + o₀)4"ai O®² — Ba; 4-10) + A, z której wypływają równania warunkowe:

1 = 2«!, —3 = —⁵/2«l + ao~5ai ! ⁴ = —⁵/2«o +10ai + A ,

czyli :

at —    » a° —

a więc :

zatem :

(* x²—3x 4 A

Jv/^-5xTio *

x-j-\/x² — 5a? -f-10 —\/ x2 — 5a? -j- 10 + -§-log(*-2)+^ J

- 5a; -f 10

dx —    [ja?²— a; -f- ^a?-{- -^Y/ *² —5a: -p 10 J-j-

+ ÏÎ

dx

dx

{x 2)y/x2—Ba;_j_i0

gdzie wyznaczyć mamy jedną całkę zasadniczą pierwszego i jedną drugiego typu. Celem wyznaczenia pierwszej całki , podstawmy :

Y/X²—5a; -f- 10=« -x , czyli u—x-\/x² — 5a? -j- IÖ,

u²—10 2«—6 ’

a otrzymamy :

zatem :

dx

V/ x²—5a;-|-10

x²—bx Ą-\0 — u² x²—2«a?, zatem x==

dx =

2 (u²—bu -f- 10)

(2«-5)²

du, \/x² — 5a; -J- 10 =

u²—bu    10

f 2(u²—bu -f- 10)

Y/ a;² — Ba: -j- 10

(2«—5)²

«² — 5« 4” 10

d«

2 du

2« —

- = log (2w—5\

czyli :

dl?

Y/a?!—Ba?4-10

= log{2a?—5 -\-2\/x² — Ba: -f- 10 j. -j" C.

Celem wyznaczenia drugiej całki zasadniczej, połóżmy: x— 2 = —

zatem dx =

dz

2z + l

a otrzymamy:

f    da?    f* dz .z .z

J(a:—2) Y/a?²—5a? -{- 10    Jz²Y/4z:

— z -f- 1

-J

dz

Y/ 4z² — » -j- 1

Podstawiając teraz:

Y/4 z²—z-\-l=u—2z , czyli u—2z-\-\/\s²—z-j-1,

otrzymujemy :

4s² — z 1 = u²—Auz -j-4z²,

zatem :

u² —

4« —

a więc :

dz

Y/4 z²—z + 1

1    2(2«²—u -j- 2)    \/T~2-nr

4«—1

2 du

4« —

skąd, ze względu na to, że: z

a?—2

+ 6+4Y/a:²— 5a:+10'

Otrzymujemy zatem ostatecznie : Cx +V x' — bx + lO J x

i x (*-l) + -1 (* +    )\/ z¹ - 5* + 10 +

/\T^ip+^“«iS*-B + 2'/‘W0)+C

jjR(x)dx    całek normalnych. Całka kształtu :

r R(x)dx_^    y _ \Za^2 ₊ bx -f c , po rozwinięciu funkcyi wymiernej, ułamkowej R{x)

funkcyę całkowitą i na ułamki proste, rozpada si ostatecznie na całki następujących fa^da;    f dx    T    (■AxĄ-B)dx

trzech typów :    Jr= J — , J* =    Jn~ (*>+ px + q)*dx

— Y/a:² — Ba; -j- 10

da? =

12. Sprowadzanie całek, kształtu :

na

(18)

Te trzy typy całek nazywają częstokroć całkami norm. alnemi dla całek funkcyj algebraicznych , niewymiernych, zawierających niewymierność w postaci funkcyi:

y = \/ax² -\-bx    c.

13. Sprowadzanie całek normalnych do całek zasadniczych. Wyznaczanie całek normalnych Jr, Jm, Jn możemy uskutecznić za pomocą podstawień, poznanych powyżej, sprowadzających te całki do całek funkcyj wymiernych, albo też za pomocą wzorów redukcyjnych , sprowadzających powyższe całki normalne do całek zasadniczych. a) Dla całki normalnej :

Jr

-î^r-î-

xr dx

xr dx

Vax² -f- bx -|-

(ax² -j- bx + c)'t ’

(19)

x mdx

(aæ² 4-bx -\- c)r '

otrzymujemy wzór redukcyjny na podstawie wzoru (18), art. 19. str. 47., przedstawiającego wzór redukcyjny dla całek funkcyj algebraicznych, wymiernych, typu : J

który się jednak utrzymuje i podobnie wyprowadza także przy wykładnikach ułamkowych r i m.

Zastąpmy mianowicie w tym wzorze m przez r, zaś r przez 7î> a otrzymamy wzór redukcyjny w postaci :

jr=S

xrdx

1    r_₁    (2?—l)ó ?xr~^ dx

ra    ‘Ira 9 y

(r—1) c ^ xr~2 dx

ra

(20)

który całkę Jr = \ XL^X 9 y

przy całkowitym wykładniku r, sprowadza ostatecznie do całek :

,    (* xdx .

J\ = \--i

J y

czyli wprost do całki zasadniczej Jg = C—, gdyż:

9 y

xdx

2 ax -j- b

__-JLf______

\/ ax² -)-bx -\- c    2a 9 y/ axi bx 4- c

dx

- f

2a J y/axï bx -f- c

a więc:

= — \/ax² -j- fo: 4- c

& Cdx 2a 9 y '

(21)

W rezultacie otrzymujemy, na podstawie uwag w art. 8. poczynionych, wprost: C x*dx

9 y

= (rr—1

(*)•»+-»

(22)

gdzie funkcya Gr-\{x) = agxr ^a^xr 24- ... 4" ar-2 35 ar-\ 1 stała ^4 określone są tożsamością :

xr == G‘r-\(x) (ax’* 4-    4- c) 4-    (7r—1 (a;). (2ax 4- 6) + -4.

b) Całka normalna drugiego typu :

Jm==5

dx

dx

(a:— a)my

wskutek podstawienia, x—o. = u

gdzie : a więc: przechodzi na całkę :

(x—a)m \/ ax’¹ 4- bx -j- c na podstawie którego wypada: dx=du, ax² 4- bx 4- c = a(u 4- a)² 4- b(u 4- «) 4~ c— Au"¹-^ Bu -f- C,

A = a, B = 2aa-\-b, G= aa² 9- &a4- c ,

y = V/aa:² 4- &a? -f- c = V/”-dw² 4- Bu 4- <7,

(23)

Jm

du

(24)

umVAu* 4- Bu 4- O

Na podstawie wzoru (20) str. 47. przedstawiającego wzór redukcj^jny dla całek typu

( X— a )»» y

f dx _ r 9 xm Xr j

dx

xm (aa:²-j- bx-\-c)r ’

ważnego także dla ujemnych wykładników m i r, otrzymujemy dla całek typu:

du

■S

du

um. y ¹

VAu*+Bu+C

gdzie y — \/Au¹ -j-Bu-\-C, wzór redukcyjny w postaci:

_ _ (2m—3) B Ç du (m—2) A Ç du

(ni— 1) C um—i 2im— 1) Ć 3 um—1 y (m—1) C J w"¹⁻² y

Jm

du

umy

który wyznaczanie całki : Jm — j" wyznaczania całek : Jx = ^ ^

du

um y ’

przy całkowitym wykładniku m, sprowadza do

Jo = j— » a więc ostatecznie, do wyznaczania całki zasadni-

1    , dz

—, a więc du—

czej: J₀—    gdyż całka Jt= wskutek podstawienia «=

+ C= — V/^ + 5»+Cfes,

z

sprowadza się do postaci:

dz

V/^+^ + Cfe²’

(26)

a więc do całki zasadniczej pierwszego typu.

W rezultacie otrzymamy, na podstawie art. 8., wprost:

(x—a)my

_ Gm—1 (x) . y

(x—a)”»—1

(x—u) y

(27)

gdzie spółczynniki funkcyi całkowitej:

TO—2

TO —3

4" ... -j~ flfm—3 X 4" (tm_2 ’

Gm—2 (x) = a₀ x i stała At określone są tożsamością:

1 = [G‘m-î (x) .y²-j- V2 Gm-2(x)(2ax-\-b)\ (x—a.)-(m—l)Gm-2(x).y² +^i(*—a)m_1,

+ «i*

a w końcu:

dz

VCz² + Bz + a’

gdzie x—a ——

c) Całka normalna trzeciego typu:

t/n

-J

(Ax -j- B) dx

(Ax 4- B) Ær

(x²+px+₂)»y/aa,2_|_óa;_j_ e »

(28)

sprowadza się, na podstawie art. 9., wprost do postaci:

(^łx i?)</x

(x²    2)B«/

_Gin- 3(x) . y

(x² -j- px 4-?)re"

-M

(Ax-\- B)dx

(29)

gdzie spółczynniki funkcyi całkowitej (2n—8)-go stopnia:

2n - 3

2n - 4

2n—5

+ - +°2n-3 »

i funkcyi całkowitej pierwszego stopnia: Ax-\-B, określone są tożsamością:

Gin—?, (x) = a₀ X

-f- öjX

+ a₂x

^4x4- Z?=[(ûkc² -\-bx-\-c) G'in—3(x) -f- (ax+ V2⁰) &2n-3(x)](x²    +?) —

— (:n—l)(2x + p)(?2n-3(x)(ax² + bx-\-c) -f- (Ax-\- B)(x² -\-px Ą-q)n

-1

a więc składa się z funkcyi algebraicznej trzeciego typu: Jx —J-

Gin 3 (x). \/ax² 4~ bx 4- c

(Ax-\-B)dx

(x²+px-fg)»-i

i z całki zasadniczej

(x²-}- px    q)y '

14. Przykład. Rozwiązać całkę :

(x²—3x 4- 4) dx

\/x² - 6x -f 10

przy pomocy całek normalnych.

Mamy tu : f (x²—3x -j- 4)dx

— 5x -j- 10

ji/*¹

x²dx

xdx

— 5x 4- 10

\/ x² — 5x -f 10

f_ dx

)Vx*

— 5x 4- 10

a więc całki normalne, typu:

Jm

i'

xm dx

“Î

x™ dx

\A²—5æ-[-10

Kładąc xm — xm—² . y² -f- (5x—10)xm~2, otrzymujemy:

Jm — J xm—Zy dx + 5 Jm—1 — 10 Jm—2. Za pomocą całkowania przez części, dostajemy jednak :

xm—1 y m—1

f xm—2 ydx ■■ będzie zatem :

1 rxm-i to—1    2m — 2 «J y

(2x—5) dx =

1    5

m — 1    2(to—1)

Jm—1

Jm

TO—1

i—1 — 10 J?«—2,

a więc :

TO

Jm^

5(2to—1)

TO—1

skąd dostajemy wzór redukcyjny:

to—1

2to—2

Jm—1 — 10 Jm—2 ,

a»*-l y , 5(2to—1) r

Jm =-----—- Jm—1

2 TO

10 (to—1)

Jm—2 ,

który wypływa wprost z wzoru (20), jeżeli położymy r — m, a —1,    — 5, o = 10.

Na podstawie tego wzoru otrzymujemy:

•4 = f + ^U-eJł,

TO

TO

zatem :

f*(æ'²—3# 4- 4) d#

JY/^

- bx 4-10

a że :

“f

dx

\/a;² — Ba: 4” 10

J₂— 3 J, + 4 J₀ =    + y +• ■g_Ł?o

log (2«—5+ 2\/æ²— 5x 10),

otrzymujemy ostatecznie: x ²—3# 4~ 4 \/x²—5x-j-10

da; = (-1 4.    y/æ2_53,4:104.-1 log(2*- 5 4-2 Va²—5a;4-10) + C.

15. Podstawienia algebraiczne w zastosowaniu do całek zasadniczych.

Stosując do całek zasadniczych:

e/=

dx

dx

V ax²-\-bx-\- c

(x—a)Vax’l-\-bx-\-c

kolejno trzy rodzaje podstawień, zależnych od kształtu funkcyi niewymiernej y— \^ax²-\-bx-\- c, dochodzimy do następujących wyników. a) Całka zasadnicza pierwszego typu:

dx

Vax¹-\-bx-\- c

1) przy podstawieniu I. : y~u — x\/a, otrzymuje kształt:

1 _

log (b-\-2u\/a) + C

du

na

b + 2uV a podstawie którego dostajemy :

V/a

dx

Vax² -\-bx-\-

1 _ ,_

^r^log [bĄ-2ax+2 v/a Vax² + bx 4-c} 4- C,

.......■■-»■■■m.........................

pod założeniem, że a > 0.

2)    przy podstawieniu II. : y=xu-f \/c , przedstawia się w postaci:

f du    2    ,    u , n

J^“-V^arotans^4C’

2    Y/c— V'ax²->rbx Ą-c

._==— —j=.—- arc tang-.=--

Vax²-\- bx    V—a    xV—a

rzeczywistej, pod założeniem, że c]>0, a«<0.

3)    przy podstawieniu III.\y= Va (x— xj ) (x—x₂) — Va {x —x^u, zamienia

2 (‘du 1 M+l n

Vd )ü^ï⁼ \/œl0g

skąd dostajemy trzecie rozwiązanie w formie:

1 J ^2aa?-ł-6-ł-    —4ac-h^2aa; + &—V/&²—

Va&²-ffo+c Va    V/20* +J+'^^ax+b-^Vb^^ac ’

zatem w postaci :

się na :

dx

J=2

dx

J.

rzeczywistej, pod założeniem, że &²>»4ac.

b) Całka zasadnicza drugiego typu:

ç dxF ~){x—ct)y~ )

dx

(x—a) \/ ax²-\-bx-\-c 1) przy podstawieniu I. :y—u—x\/d, a więc: x=-

kształt :

\u²

2du

— 2 anV a — ba— c

i u

=log-

\-C.

4ac

b + 2 u\/a

przybiera

— aVa -\/aa²-\-ba + c

u—aVa + V aa²-\-ba + c

wobec czego, otrzymujemy:

dx

{x—a)\/ax¹+bx + c

⁼ log

(x—a)\/a + \/ax²-{-bxJr c—\/aa² + ba-\-c (x—a)\/a -\-V/ax²-\-bx+ c + Vaa2jrba-\-c

2 uV c —b

f c.

2) przy podstawieniu II. :y=xu-\- y/c , a więc æ= się w postaci :

„72

przedstawia

2du

au²-\-2uV c—b —

aa

arc tang

au-\- V/c

aV/—aa²— ba—c

zatem :

(x— a)V a.x^-ybx -fc V/—aa²—ba — c

arc tang

a\/aa:²+&a;d-c+ {x—a)\/

axV—aa²—ba—c

3) przy podstawieniu III. : y = \/a{x— xx) {x — x₂)=V a{x—xx)u, a więc: x^u²—x2 u²—1

zamienia się na następującą całkę:

f    2du    1    .    uVxi -\-a-\-\/x₂ + a

ju\x\ — a) — (x₂ — a)    \/a{xi — a) {x₂ — à) ^ u\/xx-\-a—\/x%-\-a'

skąd, kładąc aa²-\- ba + c = D, otrzymujemy trzecie rozwiązanie tej całki w postaci :

J“

dx

Vl)

(x— a)\/ax7, Ą-bx-\-c 1    ^ \/(2ax + b—y/z))(2aa4-/>-f y/z>)-f V(2ax-{-b + \/D){2aa-\-b — y/z>)

"    g Vßax+b—\/z))(2aa + 6 +y/!))—V{%ax-\-b-\- y/z>) (2«a + J—V B)

Szczególny przypadek całki zasadniczej drugiego typu, odpowiadający wartości a = 0, tworzy całka:

-fc

dx

\/ax'¹ -j- bx-\- c ⁵

która, zapomocą podstawienia pierwszego: przypadek b) 1), przedstawia się w postaci:

1-log

dx

V/aæ²-j-ó -f-c y/c

x\/a -\-\/ax² -\-bx -j- c — Y/c x\/a -j-\/ax² bx -|- c Ą-\/c

ł-c.

Całka zasadnicza trzeciego typu:

(Ax + JB) dx

J⁷

-Î

zamienia się: 1) wskutek podstawienia I:y—w—æy/a

_w²y/q + &w + ey/a ^    b -f- 2wy/«

na całkę funkcyi wymiernej, kształtu:

2) wskutek podstawienia II : y=xu-\- y//, a więc #=

dx=

2(w²y/a +^w+cy/a)

(/> + 2wy/a)²

a więc a;

w²—c

ö+ 2w y/«

<ix

2ć/w

t!(w²—c)-f-B(Z>-f-2wy/aj___

—c)² -H p (w ²—c) (6 + 2wy/ ) + 0(6 +■' 2wy/a )

2wy/c — 6

a—w²

w²y/Y—&w-4-«\/c y    „    , (ix

a— w²

na całkę funkcyi wymiernej :

2(w²y/c — buĄ-a\/c )du

(a—w²)²

A (2wy/c -b)-\-B (a—w²) (2wy/V— b)²+p(2u\/c—b)(a—u²) + q(a—w²)

2\2    5

3) wskutek podstawienia UI:y=-\/a(x—x^) (x — x₂)=\/a (x—xt) w, a więc w² — a;,

# = —-—-Ł y

w²—1 ’

y/a . (x₂ —xi ) w ₇    2(æ₂ —.r, )w(Zw

”V-i)²

MJ—1

na całkę funkcyi wymiernej w postaci :

2 f    ^(^w²—ic₂)+_B(w²—1)

y/a3(a?₁w²—x₂)²    (ajw²—a:₂)(w²—1) -+ ę\w² - Ï)²

IG. Wszystkie trzy całki powyższe sprowadzają się do kształtu:

du.

J⁷'

=f B (u) du =

i

A fi + Bf\

+ P/1/2 + #/²2

— f/w

gdzie /i i/‘₂ są funkcyami pierwszego, lub drugiego stopnia, ze względu na zmienną w, a mianownik /j ²+pAA + 2/₂² funkcyą stopnia czwartego.

Funkcya P^Apf\f\ +g,/'²₂ w przypadku jp²^>4ę rozpada się na dwa czynniki rzeczywiste, stopnia pierwszego ze względu na funkcye /, i /₂,w postaci:

A²+Pfift + 2/2²⁼= (A - aA) (/i - ßh),

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

gdzie a —— \₂ (jp+ Vp²— 4#), ß —— il₂(P— Vp²—4q), w przypadku zaś p²<Z 4g, da się przedstawić w postaci:

fi²+Pfif2+qf22==ild@f\ +Pf2)² + sY\l gdzie f2==4ą—p².

W pierwszym przypadku jest jednak:

1 (AaA'B AßA-JBl

—ß\ x—a    x—ß i

Ax 4- B

x²Ą-px-\-q

(,x—a) (x—ß)

Całka zasadnicza trzeciego typu przedstawia się w tym razie w postaci: Aa + B C dx a—ß J(x—a)y

J“

Aß + BC ß—a )

dx

(x-ß)y'

składa się zatem z dwu całek typu drugiego, Ja‘ i pomnożonych przez rzeczywiste spółczynniki, w postaci :

Act -)- B

J“

a—ß

Ja‘-\

Aß A A

gdzie całki J‘a i J‘ß mają kształty, wyżej pod b) podane i są, albo funk-cyami logarytmicznemi, albo funkcyami cyklometrycznemi.

Przyjmując kształty b), 1), dostajemy:

J"

AaĄB

(a—ß) Vaa²AbaAc Aß A B

(ß—a) VapAbßA c

rH

(x — a)V a + V/axlAbx-\- c—l/aa'H^+c (x—ą)V a A Vax²A'oxA cA V aa²A^-\-G . (x—ß) Va aVax² Abx -f c—Vaß²Abß + c (x—ß) Va + Vax²Ał>%-\- cAVaß²Abß+c

log

Przyjmując pierwszą z tych całek w postaci 1), drugą w postaci 2), lub 3); albo pierwszą w postaci 2), drugą w postaci 1), 2), 3); albo pierwszą w postaci 3), drugą w postaci 1), 2), 3) otrzymamy ośm jeszcze postaci, których tu wypisywać nie będziemy.

W drugim przypadku, p² <Z. 4(2, gdy oba pierwiastki a i ß równania x²AP%Jrq—0 są liczbami zespolonemi, sprzężonemi, równania:

=0 i l\—ßf₂ = 0,

mają, każde z osobna po dwa pierwiastki zespolone, które układają się w ten sposób, że pierwiastki jednego równania są sprzężonemi z pierwiastkami drugiego równania.

Wobec tego, możemy napisać:

f^-af^k(u—y^—àÀ) (u—y₂ — ô₂i),

fi 0—ft + V) (u—y₂+<V:)>

gdzie X jest pewnym stałym czynnikiem, zależnym od rodzaju podstawienia. Połóżmy a=yAói, ß=y—äi₇ a otrzymamy powyższe równania w postaci: (fi—y/2)-ôf₂i=X(u—yi—ôii) (w—ft— ó₂i),

( fi - y fi) + à t\i=X (U-ft + âi i) (u-y₂A ó₂ i),

skąd wypływają równania:

A——ri)    r₂)—■

ôf₂—Xôi(u—y₂)AAô₂ (w—ft),

które dają :

{(w-y₁)(w-5’₂) + —<*₂/>

U=-* {y («-n)+ y («—r₂)}-

Otrzymujemy zatem:

^/•₁₊JB/a=^[J.(«*-yi)(«-ya) + Ay+B-{à₂ (u-yJ+â^u-y^—AôM a więc badaną całkę J“ w postaci:

r {Ąfj JrBf₂) du

~ 3(/i—«/₂)(/i-/3/₂)

J“

du.

{(w—7i)²+^²i} {(m—y₂)²+^²₂}

Funkcyę ułamkową, stojącą pod znakiem całkowym możemy rozłożyć na dwie proste funkcye ułamkowe w postaci:

Mx{u—yi) + -ZYi ,    — y2) + ^2

(w-yi)² + d

(u—y₂)²+^²₂ ’

gdzie, na wyznaczenie spółczynników Jf1? Nit M₂, JSl₂, otrzymujemy równanie tożsamościowe :

—{d₂(w — yi) + d±(t«—y₂)} —Aô^ô^M^u — yx){u — y₂)²+

+ Jf₂ (w—y₂ ) (w—y₁ )² + Nx (u—y₂ )²+^’₂ (w—yt )² + ^ó²₂ (w—yx )+M₂ó \ (u—y₂ ) +

-j-JV^ + ^d²

z którego, przez porównanie spółczynników przy równych potęgach, otrzymujemy cztery równania pierwszego stopnia

“^l> -^2) -^1J

Porównywając spółczynniki przy u?' i w², otrzymujemy pierwsze dwa

Mi+M₂=0,

—Mi (yi + 2y₂ ) ■— M₂ (y₂ -f 2yt ) + Ni + iV₂ = A,

równania w postaci:

ze

względu na niewiadome

kładąc zaś raz u=yi, drugi raz u=y₂, otrzymujemy drugie dwa równania w postaci :

^2^²i(ri-y₂)+{(yi-y₂)²+^²₂}^₁+^₁²iv₂=

Ô^Ay+B) (yt—y₂)

^<M₂,

^ ²₂ (y₂—7i )+<5 ²₂-^i + {(n — r₂)²+(5 ²i }-ZV₂ =

ó₂{Ay+B) (y₂-yj)

Z pierwszych dwu równań otrzymujemy:

ä-n,-n₂

A—Ni —N₂

z drugich dwu, po uwzględnieniu wartości Mi i M₂, otrzymujemy :

Mx =

ri—y₂

M₂ =

Ï2~Vi

[₍₃,i_y₂)2₊₍5²i+d2₂]iVi.p2d²₁iV₂ = -^-Py+J?) (yi-y₂)+^(^-^H

²«²i-»,+[(yt-ys),+^,,+i,₁F,--^[(^y+B)(y,-y,)+^<J«,-<,)],

a stąd wartości JVj i N₂ w postaci wzorów:

d^jAyĄ-B) (y, -y₂)4-^d(d,-d₂)]

à₁[(Ay-yB)(y₂— 7t)+ aô(ô₂— o,)] àliYi — 7₂)²+ (d₂ —d₂)²]

przyczem :

mx = —

Aàjyi — y 2)— (Ay+Bjjdj — d₂) ⁽⁵[(yi-y₂)²+((5₁-d₂)²]

Badana całka zasadnicza trzeciego typu przyjmuje wobec tego kształt:

J"

1—¹

MAu—yx) + N

(w-y₁)² + d₁

²    À J (u—y₂)² + ó²₂

czyli :

(«-y<)²+<?ai

(w-y₂)² + d²₂

H—s⁻

1 JV.

/    4. w—y,

I arc tang —~

arctang

u—y.₂

a więc:

J“ =

M,

ulog

(u-y^y + ô^ N yt-y₂y+ô\ ^ àô

arctg

à₂(u—yx)~d, (u—y₂) {u—yi)(u—y₂) + ôlô₂ ’

czyli ostatecznie :

(tt-y,)²-+d2 (w—y₂)²+d²₂ 'r

à₂(u—yi)— d, (m—y₂) (M-yi)(M-y₂) + did₂’

gdzie, przy podstawieniu: y=u—x y/«, mamy A²=l, przy podstawieniu: y=arw+\/c, A² = q, przy podstawieniu: y=\/a.(x—a:,) w, X²=x\ -\-pxx -\-q.

Aó(yx — y₂)—(Ay+By d, —d₂) 2^d [(y, — y₂ )²+(d, d₂ )²] '

(Ay+B)(y^— y₂) + 4d(d,—d₂)

M [(yi — y₂)²+(^1 —<5₂)²]

J“ =

arctg

log

17. Powyżej otrzymany wzór ulegnie zmianom pod szczególnemi założeniami.

1) Załóżmy, że : Ti — Ï2 = Y#*

Pod tym założeniem równanie tożsamościowe, wyznaczające spółczynniki 3/j, M₂, Ni, N₂, przyjmuje postać:

A(u—y')' +

&+m±v₍u-r)-A*A=

={MX + M₂)(u-y')³ + (Ni + N₂) («-y')² + (Mi*\ + M₂o\)(u-Y) +    + N₂ot »,

zkąd otrzymujemy:

Mi h\ + m₂z\ =

Mi -f- M₂ = 0, Ni -j- N₂ — A , (dy-p^K⁵! + 82)

, NxW₂ + N₂h\=-A\Zt,

a więc :

jf- Al + B ¹    8(81-8,)’

M₂ =

dy-j- B

8(8,—8₂)

, Ni

do,

8. -8,

, ^2 =

dS₂

8₂ —3,

Wobec tego , badana całka otrzymuje kształt :

—— arc tang

,____L Ai + B

2X8 S₂— 8,

1„₆ («-T0ł+8ł,    1

(«-Y')² + 8²s

X o,—8₂

czyli :

^ dy + i? 2X8 8,-8,

log

(u—Y/)ł + 8ai , _1 (m—Y')²+8²2 X 6,—

8, +T8^ arotaDg

u—y'

^-arctang

u—y'

u—y'

82 ’

u—y'

82

O—Y O²

8,8₂

2) Załóżmy, że jeden z pierwiastków równania:/,—o-fi=0, a tem samem i równania /j — ß/₂ = 0 jest rzeczywisty, będzie on oczywiście wspólnym pierwiastkiem równań /, = 0 i f₂ = 0. Oznaczmy go przez y₂, będzie wtedy ô₂=0, a dana całka otrzymuje kształt:

-J

(Ay -J- B) B i

X    Ï2)4

(/i —«■AXA-M)~ YJ 0 — r₂) {O — ïi)² +    }

(d-/i 4~ Bf₂ ) du

(ÜM.

Funkcya stojąca pod znakiem całkowym , daje się przedstawić w postaci :

(Ay+B)^

(•*— Ts) {(•»—■Ti)²+ s2i}

Mi («—Ti) + N\ («-Ti)²+5²i

M,

z której, na wyznaczenie trzech spółczynników M,, M₂, Nu otrzymujemy tożsamość:

(Aj Ą-B) 8,

Mi(«—Ti)(«—Ta) -f    (u—J\Y +Nx(u—j₂) -f M₂o\ = A(u—y,) -f

a zatem trzy równania :

Ml-\-M₂ — o,

-■Ml (Ti + Ta)- ^2 • 2Ti + Nl=A ,

^TiT2+^2T²i-^iT2+^₂3\

(Aj + B)^

^Tlr

skąd otrzymujemy. M₂ — —Mu a zarazem dwa równania:

^i(Ti-T2) + ^i=^,]

-Mi(TiT2 — T²i— 3²i)-^iT2 = -

MT + jg)8i

Aj,

wyznaczające M, i Nt w postaci:

M = ⁴⁸fri —Ta)—Ut +

⁸[(Ti-T₂)² 4- S²i]

Wobec tego dana całka zasadnicza trzeciego typu przyjmuje w tym przypadku

, N,=

S_iM± ^XTi-T»)+⁴»8₁] s[(Ti—Ta)²-ł-S2i]

postać:

loe(«-ri)!+sł,, 1 N‘

2 X

X 8,

arc tang

M—Ti

81 •

3) Załóżmy wreszcie, że pierwiastek rzeczywisty y₂ jest zarazem rzeczywistą częścią drugiego pierwiastka zespolonego, że więc y, = y₂, a przytem 3, = 0.

W tym przypadku, powyżej podane równanie tożsamościowe sprowadza się do

postaci :

(M,    ‘Ti)²+-^i (u—Ti) +iW2S2i=^(“—Ti) +

(Aj+B'A

z której otrzymujemy:

Mt -\-M₂=0, N,—A, M₂8», =

(,4y + i?)8,

a zatem :

m₂=

Aj+B

88,

, M,=

Aj+b

88,

, Ny=A.

Badana całka przyjmuje zatem, pod temi założeniami, postać: 1 Aj+ B

J"

2X 85,

log

(u~Ti )² -4- 3,² . A

o—Ti)²

r -TF arc tang

X5,

u—Ti Si '

ćwiczenia Y.

1) Wykreślić i zbadać krzywą o równaniu: y= V—x* + Żx-\-2 i wykazać, że:

2x —

dx

V x‘ + 3s+2

arc sin

V/Î7

r + CL

2) Wykreślić krzywą o równaniu: y = y x² -j- 6cc -f- 5 i wykazać, że:

log (cc -J- B -{- y/a:² -f- 6cc -j- 5 ) + G.

r_dx_

3 V/a;² -f- 6cr -J- 5

3) Wykreślić krzywą: y — \Zdx%i-\-2x-\-8 i wykazać, że:

~ log |9cr + 1 + 3 V/ 9z²'+'2x + 8} + O.

dx

\/ 9cc² -(- 2cc -j- 8

Uzasadnić geometrycznie podstawienia algebraiczne, wskazane przy wyznaczaniu następujących całek:

dx

y/cc² — 4cc + 3

⁶⁾i

dx

v/ — 5cc² 4~ 4 cc 4“ 1 V/ B

ćfcc

y/ — 3»² — 5x — 2

xdx

= log(cc — 2 + \/ x² — 4x 3 ) C.

+ c.

= —arc sin (6x + 6) + CC

V3

—\Zx²-\-x-\- 1 — log[2cc -\- 1 + 2 \/x² Ą- x    i\-\- C.

arc sin

\/ X² -|- x -f- Ï

8) f\/x²+ x-\-l dx = (V₂a;4- V₄)V/*M- * + Ï + % l°g [2,r 4- 1 4” ² V/+ * + ¹ ) + G-C dx

3 xi \Zx²-\-1

9)

(2cc² - l)V/x² 4- I

3cc³

dx

V/ 2 ax — a;²

= arc sin —-— 4“

u) jv/

2acc —

12) j

a;cZcc

toi»

. x—a

arc sin--\- C.

a

--- x—a

= — v 2ax— x² 4- a. arcsin--\- O.

a

V 2aa: — x² c

ax

cc 4-3 <*.,-=--T . 3 a² . a

1-— V 2ax — x¹ 4- r. arc sin--\- C.

2    2    a

x² dx= —o~ V/2acc — a:²

\/ 2acc — cc²

r*    dx

^ 3 ccV/ 2acc — cc²

x²dx

V 2,ax — x²

15) J

dx

cc² y/2 ax — x²

_____ (x 4- a)\/2ax— a;²

3a²x²

fc.

16)    j*\/a²-f- a)² dx — ~ x\/a² x² 4“ ^ log (x4~V'a² 4- x²)-\- C.

17)    § y/a²— x² dx = ~ x\/a² — cc² 4- ^ arc sin 4- C.

1    y/aa:²+ócc 4~ccy/a

'    y/ ax² 4~ bx — »Vo

Następujące całki, sprowadzić do całek zasadniczych i wykazać, źe:

cZcc

y/ acc² 4“ bx

y/a

2

-----arc tang

y/ — a

aV—a

y/aa:² -f- bx

19)

j,y/3cc²4- 10a: + 9fo=(y4-|)\/ 3a:² + 10a; 4- 9 4~

+ -£77=“ log (3a: 4- 5 4- y/3 y/3cc² + 10* 4- 9).

/ cc 3 \    31

20) Jy/_8cc² 4- 12cc 4- 11 dx=\2— "g ) \/—8x² 4- 12x4-11 +

arc sin —

4cc—3

y/31

») lv^^'dX=~ '/l+2,-^ + SaIosin^₇|+ <7.

r dx _2 2x -f-1

²²)    J (x² 4~x -j-1 )3/î    ^ y/x² -|- x 4- 1

23)    J(x²4-x +l)3/s *».= ^ (* + Tr) ^a;2+a;+¹)³ + 32 (*    Ji~X^ ¹

+ ^ log(2*+ 1 4-2\/x²4-x4-l) + (7.

24) j

(x² -f- x)dx

X³

X -j- 1

=-=lg (2x + 1 + 2\/æ*+ * +1) - I

1 3æ² 4- 7x -f 5 3 y/x²4-2; -b 1 y/x²4-x +1

2x+l

3 y/x²-j-x4-l

+ (7.

I log(2x + 1 4-2y/x² + cc + 1) + (7.

x² y/x² + x + l x -j- 1

²⁷) )x^VW-f

x + l)³

dx——

— dx —

TT lo6

fC.

1 37x³4-3x²—13x — 18

12    x²y/x²4-x4-i

9 !

— TT log

x 4- 2 — 2\/x²-\- x    l

•s

+■ o.

28) f

x²+ 5

(1 + x²)² Vl - x²

dx =

xy/ 1 — a;²

1 -\-x²

4

arctg

a;V/2

V/2

\/l-x²

ç    2xdx__ 3x-l — 2\/1-x — »²

²⁹^ J (1—x²)\/1 — x— x²    x4~3— 2\/l—x

»    (1 — 8a;²) dx

³⁰) J(ï+^*)*v/ l- *²

_x\/1 — x²

1 -{-a;²

-+ (7.

— x²

fft

r>    xdx    1    ,

³¹⁾ y(x²-i)\/^Ti~~ v? og

(1-x- V/2 y/x²+ l)VT-x

(x\/2 4~ V/ a;² + 1)\/14-*

4- c.

82) j-

(x¹⁰ 4- l)dx

x⁴y/x² -\-A

ç, dx    _2 (2 «a; 4~ V)__

³³) J(ax² + 5x4~    {Aac — b²)\/ax²bxc

xdx

³^ 3 (ax² -\-bx 4- c)/j f (ax 4* &) <&c ³³) J (ax² -f- bx 4~ c) ^

C hx²—2a; 4- 10 ,

³⁶> W ~*

2(Ax 4” 2 c)

— 5a; 4- 8

37) ^(2x—5)\/2 4" 3x

X³

y/ ax²    6

f x⁶ dx ³⁹⁾ j y/x²4-I

Oi t-¹

4- C.

(4ae — b²) V/aa;² 4- &a: 4“ c

2 [6(ax 4“ &)—2ac]

(4ac — b²)\/ ax² -|- èx4" c

-4- c.

⁴⁰>)

dx

= (4 * + §) V/3a;²- 5a; 4- 8 4-

4.    ⁵³ log (Sx - 4 +\/3 Y/ 3a;²-5a;4-8) + C.

8\/3 v ^

3a; 4-4)^2+^

a;⁵— 4 a;3+ ^xj\/x²4- 1— 48    (æ+ \/^ +1)+ C.

\/ ax² 4“ &

—x² dx

-(

x² —

— xl—

arc sin

2.x—3

Y/Ï7

fß

x² y/ax² 4- 5

&x

Wykazaó, że:

⁴¹) J\7

dx

ûkc² -{- bx -j- c

V/

r 1°« b+ ïï+x(“+i)'

b²— 4 ac

4a²

log(2ax -f- b + 2V/a y/ûkc² + Ac + c) + 0

\X a

y/—«

arc sin

■] + "

2ax + 6 \/ô² — 4ac

) J \/(px-\-q)(rx-\-s)

^k

dx

Van² 4-bx    c

r*    Æe

⁴⁴⁾ 3 (a; 4- l)y/^

x -J— 1

log

y/r (/kc + g) + y/ p (ræ + s)

y/r ( pa: + #) — y/ p (rx + s)

+ C'.

V pr

^ j₀g bx + 2c—2y/c- y/aa:² -j- bx -\- c_

Vc

- arc tang •—

y/—c

W ¹ ~ x ~ Sy/x² 4- x 4- \ a: 4-1

-4- C.

bx 4" 2c

2y/ — c y/aæ²4- 5a; + c

«) f

dx

(x 4-1) y/14~ *— *²

C    dx

⁴⁶) J (x 4-1) y/f^x

-a:²

47) f

dx

(a; -f- 1)V1 -\-x — x2 c    cńc

⁴⁸⁾ J(ar4-l)²y7^qp

a: 4-1

49)

60) f

³*+¹ + r7, 2y/l -|- a; — a;²

a: 4~ 3 — 2y/1 — a;—a;²

arc tang

=lo g

arc sin

x 4-1 3x 4* 1

4- c.

(*4-i)y/B

j- C.

_ \/x²-\-x-\- 1    1

a:

I- T log

»4-2 4-2y/x²4-a?4-i

2a;

f O.

1    2 y/ io®²—22* + 13+(1—a;) y/35

(6a;²— 18a:-f 17)y/l0æ²^22^4-~13 _4y/S5 °g2y/l0a;²—22a;'+l3-(l—*)y/85

1    y/fCte²—22* 4-38

.— arc tang--7=-

(* — 2) y/35

(1—x) dx

j- a

4- O'-

(5a;²- 18a: 4-17)\/lOa:² - 22a; +13    y/35

f_(2a;—3) dx_____1 w 2 y/lQg²-22g+Ï3+(l—g)V/35 _

B1) J(5a;²—18a;+17)y/ÏCte²"^22x+T3C==4y/35 °g 2y/ 10*²-22a:+T3-(l-a:)y/35

y/lOa:²—22a: + 13

y/35

arc tang

(a:—2) y/35

Rozwiązania V. Wskazówki do rozwiązań podane w wykładzie.

Literatura. Leitfaden und Aufgabensammlung zur höheren Mathematik. Für technische Lehranstalten und den Selbstunterricht, bearbeitet von Robert Geigenmüller. II. Band. Die höhere Analysis oder Differential- und Integralrechnung. 5. Auflage. Mittweida 1903. M. C. Jordan. Cours d’analyse de l’école polytechnique. Tome deuxième. Calcul intégral. Paris 1883.

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Całki normalne kształtu:

2. Całki normalne kształtu :

3. Całki normalne kształtu :

f    xn dx

\ % ,    i ich szczególne przypadki.

J y/ aa;² + bx + c

f    ■ dx_______

J (a;—«)ny/ax²-\-bxĄ-c

(*    (Ax + B) dx

)    ich szcze8°lne przypadki.

i ich rozwiązania.

Wykład VI.

Dalszy ciąg uwag dotyczących wyznaczania całek kształtu: §R(x, ^ax%^bx-\-c)dx.

1. Przekształcenie całki: fH(x, Vax2jrbx+c)dx przez uproszczenie funkeyi drugiego stopnia, występującej pod znakiem pierwiastkowym. Wprowadźmy do danej całki nową zmienną z, za pomocą podstawienia :

x = Iz + A ,

natenczas otrzymamy :

dx=ldz, \/ax²+bx + c=V Az² + Bz -f C

gdzie :

A=aP, B=2alA-\~bl, C=aA²-\-hA + c.

Dana całka przedstawi się tedy w postaci analogicznej :

(1)

§R(x, V' ax²-\-bxć) dx=[R(lz-f-ź, \/Az² + Bz + C) Idz w której, rozporządzając dwoma spółczynnikami I i 1, możemy funkcyę drugiego stopnia, występującą pod znakiem pierwiastkowym sprowadzić do formy prostszej.

Przedewszystkiem możemy w niej zawsze uwolnić się od spółczynnika przy pierwszej potędze nowej zmiennej z.

W tym celu należy położyć :

2alA-\-bl=0, czyli przyjąć: A=—

&Qj

Otrzymujemy tedy podstawienie:

4ac—b² A

x=lz — dla którego A=aP, B=0, C=

gdzie A—4ac—b² jest wyróżnikiem danej funkeyi drugiego stopnia:

ax² + bx -f- c.

Przy tern podstawieniu dany pierwiastek kwadratowy otrzymuje kształt: . Vax²-\-bx-\- c=VAz² + C, a zatem dana całka sprowadza się do postaci:

(2)

$R{x, \/ax² + bx-\- ć)dx—JR(z,\/Az² +• G)dz w której jeszcze spółczynnikowi A=ąP przez stosowny wybór dowolnego, rzeczywistego l możemy nadać dowolną wartość bezwzględną, nie mogąc jednak zmienić znaku, jaki miał pierwotnie spółczynnik przy x² w funkeyi ax² + bx-\-c.

- 90 -

Nie można także zmienić znaku w wyrazie wolnym: 0=-^, zależnym

wyłącznie od spółczynników danej funkcyi : ax²-\-bx + c, możemy więc odróżnić następujące trzy przypadki:

1) ^>0, G⁷>0, 2) ^>0, C<0, 3) ^<0.

Wskutek podstawienia x=lz—możemy, przez stosowny wybór spół-czynnika l, dany pierwiastek kwadratowy :

y=V'ax²-\-bx+c=V^ Az²+C—^ al² z²Ą-^ >

sprowadzić do jednej z następujących postaci:

1)    y=Vz²-\-\, gdy a>0, a d> 0,

2)    y=Vz²— Ï, gdy a>0, a d>0,

3)    y=Vl—z², gdy a < 0, a d> 0,

zastępując zmienną z przez x, możemy więc odróżnić następujące trzy postacie całki J=fR(x, V'ax²-\- bx-\- c) dx, jako to:

1)    V^+ï)dx, 2) J₂ =/R(x, Vx²-1 )dx, 3) J₃=fR(x, VI^x²)dx₁

którym odpowiadają całki zasadnicze, trzech typów: J, J‘, J", każda w trzech różnych postaciach, odpowiadających trzem różnym kształtom niewymier-ności.

2. Do tak przekształconych całek należałoby dopiero stosować podstawienia algebraiczne, zamieniające te całki na całki funkcyj wymiernych nowej zmiennej u.

Odnośne podstawienia przedstawiałyby się w jednej z następujących

postaci :

1)    \Zx²-\-l — u—x, albo Vx²\l=w# + l ,

2)    V/a:²—1=u—x₎ albo \Zx²—l = (l+a:)n,

3)    Vl-x²=ux+l, albo V1—a:²=(l + a:) u,

z których każda mogłaby być opatrzona znakiem +, lub —.

3. Całki zasadnicze pierwszego typu z możliwie uproszczoną niewymier-nościa, przedstawiające się w jednej z następujących trzech postaci:

jĄ *

-fcfrr M

dx

\/ x² — 1

V1—o:² ’

otrzymują, po zastosowaniu odnośnych podstawień algebraicznych, następujące kształty:

1) Kładąc Vx² fi=u—x, czyli u=x + Vx²+l, otrzymujemy æ=— w²-t 1

²- 1 2 u ’

dx =

m²+1

2 u²

du, y/x²i=

zatem :

dx

czyli :

V x² + 1

(3)

Używając natomiast podstawienia: Va;²-|-l=aw— 1, czyli u

2 (w² 4-1)

otrzymujemy : x——^

2«

-1

Va:²-f 1

m² + 1

w²— 1

14- Vr²4-1

a:

zatem :

j _[ dx    Ç 2rfw

jVa:²-f 1    J«<²

czyli :

cfcc

log

—    uĄ-1

^l“log^X

l-f Va;² + l-f a;

1 + V/#²+l—a:

+ C.

(3')

Va:²4- 1

Oba powyższe rozwiązania sprowadzają się do tożsamości, jest bowiem: l + Vx² + l+x^(\/cc² + ï+x + l)(\/^+ï+x-l) 2x² + 2xVx² + l 1 + Va:²4-1 — x (Va:²+i — x-\ l)(\/a:²+l + a:—1)

2) Kładąc Va²— \=u—x, czyli: u—x-|-Va;²—1, otrzymujemy:

7    U<1—1 j \/~i-7 U² — l

dx——~——du. V x²—1 =* —-—.

x=

w²+l

2 u²

2a:

xĄ-Vx² + 1.

zatem :

czyli :

dx

W—i

fc?w ,

k=logM’

log (a: + Vx²— 1 )+C.

Va:²—1

(4)

Używając natomiast podstawienia: Va;²—l = (a;+l)M, czyli: otrzymujemy: x

14 w²

1—M2>

dx

Audu

x 4- 1

dx

(1-w²)2 7 2du

V x²— 1 =

1—u² ’

zatem :

Va:²—

rf

1—w

C du

ta“log

"N

w 4-1 w—1 ’

. czyli:

Va:—1 4 Va+1 Va:—1—Va:4-Ï

Oba rozwiązania są tożsamościowe stałą, gdyż:

J₂ =log

= log

Va: + l4- V x—1 Va:+1 — Va:—1

f.G

(4')

względnie różnią się o liczbę

Va:+14-Va—1 2a+2Va²-ï . ✓—„—-77--77===-Ł.---=x+ V x²— 1.

Va: + 1— Va:—1    ^

i_vr=^

3) Kładąc Vl—a;²= 1 —

xu, a więc u=

otrzymujemy :

X w² + l

dx

4-2(1—w²)

(u²+l)

2—du, Vï—a:²= —W

²    u2jr 1

zatem :

czyli :

•H

dx

du

Vl=x²

m² + 1

— 4- 2 arc tg u,

dx

Vl— x²

= 2 arctg 1-Vl—^ ₊ c

(5)

Używając natomiast podstawienia:

V/l—33²=(1 - x)u, czyli U=V

Vl -x²^

!l+x

l—x

u²—1

otrzymujemy: x==s^rÿ£

dx =

4 udu

(1 + w²)²

1+M

zatem :

rJ

czyli :

_ r dx \ *

Vl— x²

2du

1-fw²

2 arctg w

2 arctang

(5')

Oba otrzymane rozwiązania różnią się tylko o stałą, jest bowiem :

i_y/w»

arctg

—arctg

a/1 + *

]l — x

= arctg

1-ł-

i—y/l- x³

1 —y/l—a?s y/l-*²

= arctg

1 —y/l—*² \/l — X¹

= arctg

(1—x) — (1—x)\/1 — X-— x\/\—x2 *(1—X) + V/1—— (1—*!)

2_Qß_\/

= arctg- >    — = arctg (—1)=--, a więc arctg

ar-1+y/l-x2    4

Kładąc 2 arctg

1-y/i-z²

33

<r

ainY

i—y/1—x‘i

=arctg

TZ

-4-;

<p

qp, mamy tang—=

1—y/1—x²

a?

, czyli:

C08-ir-

\/2(i—y/i—a²)

<p    1—V/l —a;²__x

C0S 2    y/2 v/ 1—Y/1—33² V2^1—VI

1 — V1—X²

1—y/i—a?²

a;

a więc: sin<p=2.sin

—X

= 33

zatem :

cp=2 arctg czyli, jak wiemy, bezpośrednio:

S *

33

= arc sin a3,

arc sin x + C.

(5")

Vl-x²

4. Całki zasadnicze drugiego typu z możliwie uproszczoną nie wy miernością, przedstawiają się w jednej z następujących trzech postaci:

-Sott

dx

>lx

(33—a)V I—33²

(33—a)V33 ²—1

Stosując do tych całek odnośne podstawienia algebraiczne, dochodzimy do następujących wyników.

1) Kładąc Vx²+\ =u—x, czyli u=x + Vx² + l, otrzymujemy:

u²—2 cm— 1

x—

u²—1

33 —a=-

zatem : t7

czyli :

— ct—Va2jr 1

du

dx

1_lo u

w² —2cm—1 Vct²+ 1 g u — a + Y/a²-J-l

_    33—a-f y/a3²4-l— V/a² + l

(33—ct)Va?² —1— 1 Va² + 1    x-a-\-Vx²-\- 1 + Va² + 1

-J

(a: - a; y/33² +1

+ O.

(6)

- 93 -

Używając zaś podstawienia:

Vx² + 1 —xu—1, czyli u=

l + VV+l

otrzymujemy :

x=—,—x—u

U²-1

2 u—au² + a

w²—1

zatem :

dx

2 du

(x—a)V x²-\-1

—2 u—a

y/a²+1

log

au —

au

1— VV+1 -1 + V a² + l

czyli :

P dx _    1

j(a:—a)VV²-|-l V/a²+l

log

a(l + V x² +1)—x(l + V a² + l) a(l + \/?+I)+a:(l + V/aHlj

+ C. (6')

2) Kładąc Vx²—l=u—x, czyli u=x+ Vx²—1, mamy:

u²—2ua -ł-1

x=

u²+1

x—a=

zatem :

J,

dx

{x—a)V x²—l

r du _    1

]u²—2ua-]-l Va²

lub:

i u

log-

2    u—a

(u— a)² + (1 — a²) Vi— a² ^ g Vl— i

2 du

-1

—a—Y/ a² — 1 u-a+Va²-l

czyli :

dx

(x—a)Vx²—l

vV-

;—a+ V x²— 1—V a²—1 x—a-\-Vx²—1 +- V/ a²—1

(7)

lub:

gdy a>l ,

r dx    2    x

){x—a)V x²—1 Vl — a²

— a-\-\/x²—1

Vl-a²

(8)

gdy a < 1.

Używając zaś podstawienia: Vx²—l = (x-{-l)u, czyli:

(1 — a)+(l+Gf)M²

a—---x--

1 — u²

—V

x+V

mamy x

1 Ą-u²

1 2 >

1 —U¹

zatem :

•M

dx

{x—a) V x² —

rS

2 du

(a + l>²-(a—1) Va²— 1

log

lub: </

dx

(a;—a) V x²—

rS

2du

u\/ a +1 — Va— 1 uV'a -b 1 + Y/a—1 ’ wy/l + a

y7f=â'

czyli wzór :

dx

log

y/(a+ 1) (ar— 1)—V(a —1)(® +1) V/(a+ 1) [x — l) + y/(a— l){x + 1) gdy «>1,

lub:

(a:—a) V x²—1    Va²—1

r dx _    2    -i /(I + a) (a;—1)

j (a:—a)y/a:²—1    y/1 — ot2 arc^anS y (1—a)(a;-|-l)

gdy a < 1.

+-Ç (7')

fC\

(8-)

- 94 -

3) Kładąc Vi — a:²=l—xu a więc u

1—V1—x²

mamy :

2m

T, x w² +1

— 05= —

au²—2u + a m² + 1    ’

zatem :

dx

du

au¹—2 u+a V1— a²^°^

-1 + Y/l—a2 cm—1—\/l— os²

au

lub :

(««—1)²+ (a² —1) Va²—1 aictan&

adu

au—1

Va² —i

czyli :

dx

j(æ—a)Vi—x²

. —-r lüg

\/1 —a²

lub :

dx

(x—a)V l—x² Va²— 1

a(l — V/l—x²)—x(l — Vl—a²)

a(l — Vl —x²)—x (1 + VI — a²)

gdy « < 1 ,

2    a{ 1—V\—x²)— x _

■-— arctang--    — + U.

xV a²— 1

+ C, (9)

(10)

gdya> 1.

Używając zaś podstawienia:

Vl—a;²=(l—x)u, czyli u =

\-\-x

l—x

mamy :

m²-1

X~u² +1’ *

(1 — a) u²—(1 -f* a)

a =-S5+Ï-’

zatem :

J¹

r dx __ f j(x—a)V 1—x² 3

2du

(1 — Ct)u²—(1 + 05)    V î—a

uV 1—a—V1 + a uV i—a -j- Vl -f a

lub :

dx

du

(x—a)V 1—x²

czyli :

r    2 du    2

— ‘ J(«:— (łi+iy^    Va²—1

r dx J(a:—a)Vl —

x²

uV a—1 Va-\-1

arctg

1    \/(l—a)(lĄ-x)-V(l + a)(l—x)

vpïiï    V{\ — a) (1 + #)■+ V/(l4-«) (1—*

gdy a<l,

(9')

lub:

da:

(x—a)V 1—a:²

arc tang

Va²—1

gdy a>l.

•W(g—l)(l+a?) Y(a + l)(l—a:)

fU, (10')

5. Szczególne przypadki uproszczonych całek zasadniczych drugiego typu stanowią całki, w których a=0. Na podstawie powyższych wzorów lub też wprost za pomocą stosownych podstawień, otrzymujemy następujące

wzory :

r dx .    x-\-Vx²Ą-1—1    .

3 xVx^+ï ~ °gz + Vx²+1 + 1 °s

—1 + Vx² + 1

dx

xV x²—1

f dx

«/

xVi— X²

log

— 95 —

2 arc tang y^ ₊1

= arc sec x

V'l + x— V'l—x

log

1 + V/1—x²

6. Całki zasadnicze trzeciego typu z możliwie uproszczoną niewymier-liOŚcią przedstawiają się w jednej z następujących trzech postaci:

Ax + B) dx

(x% -\-px-\-q) Vx²—I ’

■'H

(Ax "h .B) dx (x²+px + q) \/x*+l

“-Î

(vhc 4- B) dir

w której trójmian Æ²-fjp:r+<7 nie da się rozłożyć na czynniki rzeczywiste.

/- •    w²

1) Kładąc V x²+l=u — x, otrzymujemy    ^

A(u²—1)4-B. 2u

AxĄ-B

x²+px + q

(u²—1)² + 2m . (u²—1). pĄ-4u²q

4u²

zatem :

“-Î

(Ax -f- B) dx

(a;²4-pa; + g) Y/#²-|-i

² J (w²

„4(w² —l) + 2Bw — 1)² + 2pw (M² —1)+ 4 qu

-- du

gdzie    Y/a:²+l.

Używając zaś podstawienia:

/- .    2 u

Vx²-\-1 =xu — 1, otrzymujemy æ=—^

-I.

4w² + 2m(w²— 1) .p-\-q(u²— l)²

(ü²^T)²

^hr-fB=

2^m+5(w²—1)

u² — 1

x²Ą-pxAq

zatem także :

(Ax-\-B)dx

»4_    _

Ąx²+px + q)\Zx ² + l

2 Au+B(n²—1)

4w²d-2w(^²—l)p+ q{u²— 1)

Y~ du,

gdzie u—

i+vV+i

2) Kładąc V'x² + 1 =u—x, otrzymujemy x = 4(w²+l)-f B . 2u

u² 4-1

Ax+B=

2u

x2jrpx-\-q

(w²+l)² + 2p'M(M²-f 1)4- 4gw,²

4 u²

zatem :

ruf (Ax+B)dx _₌₂ f

)(x²-\-px+q)Vx²—1    «i

J.(w² + l) + 2Bw

(w²+l)²+ 2pti(u² + l)+4:qu²

du,

gdzie u=x-l-V'x²—1.

Używając zaś podstawienia: Vx²—1 = (æ+1)m, otrzymujemy:

1 + M²

J-ic + B

1—w²

x²-\-pxĄ-q

(1+w²)²-H?(1 + m²)(1—w²)+q (1—w²)²

(1—w²)²

zatem także:

— 96 —

(Ax+B) dx (x²+ px + q) \/x² —

r-S

A(l-\-u²)Ą-B(l—u²)

(l + u²)²+p (1 + u²) (1— u²)+q( 1 — u²)²

du,

gdzie m=

3) Kładąc \/l—x²=l—xu, otrzymujemy x=

2w

Ax-\-B

%Au+B(u² + l)

w²-fl

x² + px+q=

w² + l ’

Ą.u²+%pu(u²+l) +-g(w²H-l)2 (w² + l)²

zatem :

(Ax+ B) dx (x²+px+q)V l—x

i-i

2j<4w+-Z?(w²+1)

4w² + 2pw(M² + l)4-g(««²-ł-1)

y dU

gdzie w=

Używając zaś podstawienia: \/l—x²=(l+x)u, otrzymujemy:

A(l + u²)+B(l—w²)

1—w²

*ri=S-

zatem także:

■M

Az+B) dx

(x²+px+q)V l—x²

²i

A( 1 + u²)+B(l — u²)

(l + w²)²+_p(l-H*²)(l—w²)-}-?? (1— M²)²

gdzie w

_V—

Vl+*

Podstawiwszy każdą z funkcyj czwartego stopnia ze względu na w, występujących w mianowniku funkcyi ułamkowej, w postaci:

[(»-n^+ii *][(**—y»)s+«**»J.

otrzymamy każdą z całek, w ogólnej postaci :

-,    . u — y,    , u—

+ JS. arc tang    — JS. aretg

di    d₂

(U)

(u-r,)*+ó\

(«—yiY+à\

gdzie spółczynniki M, N, są pewnemi liczbami stałemi.

7. Przekształcenie całki zasadniczej trzeciego typu przez sprowadzenie trójinianów drugiego stopnia, wr niej występujących, do form dwuwyrazowych.

Wprowadźmy do całki zasadniczej trzeciego typu:

J'

(Ax + B) dx

(x²-\-px + q) Vax²+bx+ c nową zmienną t za pomocą podstawienia:

at -f ß

natenczas otrzymamy :

<r_

a‘ t-\- ß‘

dx—

•4#-f J?=

3+ + px-Vqj=

(aß' — a'ß) dt Xdt (a't + ß‘)²    (a't+ß')

(a7-f|d') 05—(ać-f/?) a'

(a't + ß')²

A(at + ß) + B(a‘t + ß‘)    (Aa + Ba')t+(Aß + Bß‘) A^t+ B^

a't+ß' ’

(at+ß)² +p(at+ ß) (a't+ß‘) + q(a't + ß')² A₂t²+B₂t + C₂

(a't+ß')²

057 + /?'

dt —

a't+ß'

(a't + ß')²

2’

zatem :

• (ia)

ax² + bx + c=

a(at+ß)² + b(at-\-ß) (a‘t+ß‘)-\-c(a't+ß‘)²__ Ast²+B₃t+Cs

(a‘t+ß‘)²

(a'tAß¹)²

(.Ax-\-B)dx    Ç

(,x²+px-\-q)\Zax² + bx+c ^ (A₂t²AB₂tA C₂)\/A₃t² -f B₃t4- C'3 Mając do rozporządzenia cztery stałe a, ß, a( ß‘ możemy je przêde-wszystkiem tak obrać, aby było zarówno B₂ =0, jak Z?₃ = 0.

W tym celu otrzymujemy dwa równania warunkowe w postaci:

2 aß +p(aß‘ + a‘ß)Jrl2qa,ßl ==0,

Maß+b{aß‘ -j- a‘ß) + 2c a'ß¹ =0,

z których wynika :

2 {aq —c) b — ap

pc—bq b—ap

a , ß_

a‘ ß‘

Stosunki a i ~ wyznaczone są w tych warunkach równaniem drues' ß‘

2(aq-c)

■’ b-ap

giego stopnia :

aß

\Æ

a¹ ß'

którego pierwiastki yx — —-

y 2=

pc—bq ’ — ap '

są liczbami rzeczy wistemi , skoro :

y+-b

(«)

ß‘

{aq—c)²— (pc—bq) (b—ap) >> 0.

Warunkowi temu stanie się zawsze zadość, skoro będzie 4:q^>p², t. j. skoro trójmian: x²Ą-px + q, nie da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego z rzeczywistemi spółczynnikami, co stanowi właśnie istotę całki zasadniczej trzeciego typu.

Przyjąwszy dalej «'=/?' = 1, a więc, sprowadzając przyjęte podstawienia do postaci :

at A ß

t+1    ’

gdzie spółczynniki a i ß są pierwiastkami równania (a), otrzymamy daną całkę zasadniczą, trzeciego typu, w postaci:

A = a—ß,    =Aa-\-B, Ai=AßAB,

J"

(13)

(AitA.Bi)dt

gdzie :

A₂ = a²+pa + q, C₂=ß²Apß + q,

A₂=aa²+ba + c, C₃=aß²AbßAc.

8. Otrzymaną całkę możemy rozłożyć na dwie całki w postaci :

tdt

=+/LB

dt

\A₂t²+C₂)VAA²+c;

(14)

{A^² A Azt²A

Pierwsza z tych całek sprowadza się wprost do całki funkcyi wymiernej, za pomocą podstawienia:

z ktorego dostajemy :

VAzt²Az, czyli: A₃t²AC₃=2², t²=

**-ct

Ą ’

Ao tdt—zd%, tdt=

ssds

Az

A₂t²A 0₂ =

A4,²'¹— Ç? ) + Aa ą

A₃

a₂0²— (A₂ c₃—a₃c₂)

As

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 98 —

zatem :

c    tdt

J(A₂p+c₂j\/Ęw+c₃ )

dz

A₂z² — (A₂ C₃ — A₃ C₂)

Druga całka, wobec tego, że spółczynniki A₂ i C₂ mają jednakowe znaki, zależnie od znaków, jakie mają spółczynniki A₃ i C₃, sprowadza się do jednej z następujących trzech postaci typowych:

dx

(x² + JA)Va² + x²

dx

(x² + Jc²)Vx² — a²

dx {x² + k²)\/ a² — x²

do których należałoby dopiero stosować poznane podstawienia algebraiczne, sprowadzające je do całek funkcyj wymiernych.

9. Wyznaczanie całek zasadniczych trzeciego typu za pomocą podsta-

w i (Mi gôiiionietrycznyeh. Sprowadziwszy daną, całkę zasadniczą, trzeciego typu cTcT Jednej z powyżej podanych postaci typowych, możemy, celem wyznaczenia otrzymanych całek, używać z korzyścią podstawień goniometrycz-nych, których rodzaj zależy od rodzaju dwumianu, występującego w danej całce pod pierwiastkiem kwadratowym.

10. Wyznaczanie całki pierwszego rodzaju:

'H

dx

(æ² + k²)Vx²-\- a²

Podstawmy: æ=atang<p, a otrzymamy:

\/x²-{-a²=asecq)==-

dx=a.

d(p

cos² cp

x²-\-k²=a² tang²cp-\-JA =

cos (p

a²sin²cp JA cos² cp

cos ²cp

zatem daną całkę otrzymamy w postaci :

czyli :

-Ja.

dep

cos ²<jp

cos cp

cos ²cp a²sin²<jp4-7c²cos²<5P    a

cos cpdcp

(a²—7c²)sin² cpĄ-k²

i'

cos cpdcp

a² sin²cp -{-Je²cos² cp

d (sin cp)

— k²)sm²q)-{-JA

w której znowu odróżnić możemy trzy przypadki :

1) a²)>Jc². W tym razie mamy:

ć7(sin cp)

c7sinęp

(a²—Jc²) sin²cp-\-k

Je²

j^sinqp Va²—

T—i

" leVa²-h²

a że, na mocy podstawienia :

X

tang çp=—

aretang

a więc

sin cp\/a² — Je²

sm cp cos cp

V x²Ą-a²'

zatem :

sin cp=

przeto dostajemy wzór :

dx

— 99 —

(x² -p k²)\/ x² + a2 2) a²<^k². W tym razie mamy: d(sin cp)

—(Id¹ —a²) sin ²cp

k\/ a²—Ä²

arctang

x\/ a¹—k²

k\/x²-\-a²

d (sin cp)

\-c.

(15)

a że:

[Æ-f- sin cp\/ k²— a²] [k—sin cp\/k²—a²]

[& + sincpV k²—a²][k—sin cpV'k²—a²]    ^k-\-sin cpV'k²—a² k—sin cp\/k²—a²’

przeto otrzymujemy:

J,=--1

2 kVk²

T=,l°e

kĄ-sin cpV'k²— k—sin cpV'k²—a

=₂+c,

skąd dostajemy wzór:

dx

2 kVk²-a.

(x²-\- k²)\/x² + a2 3) a²=k². W tym razie mamy:

=₂log

k\/x²-\- a²-\-xV'k²— k\/x2jr a²—x\/k²

(t ^

=L + C. (16)

c7sin cp

k²

prsm <p,

zatem dostajemy :

dx

(x² + a²)V x²Ą- a²

7

IX. Wyznaczanie całki drugiego rodzaju:

*_4_C

h2, \/x² + a²

(17)

dx

(x² +- k²)\/x²— a2 Podstawmy Æ=-asecç), a otrzymamy:

^    a sin (pdcp

cos ²cp

V'x²—a² = a V/sec²cp—l=a tang cp —

asm cp

cos cp

x²+ 7c²=a² sec² cp-\-k²=

a² + 7ć²cos² cp

cos²<jp

zatem daną całkę otrzymamy w postaci :

czyli :

T f sin cpdcp

J =\a.-

J cos lcp

cos ²cp

cos cp

a²-\-k² cos² cp ’ asinqp

Ç-

Ja

cos cpdcp ²-p&²cos²<p

•-H

cos cpdcp

d(sincp)

(a²Ą-k²) — k²s\n² cp

i (a²+k²)—k ²sin ²cp ’

skąd, ze względu na to, że :

_\_____    1 _ / i , i )

(«HiVi'imV 2V/a²+7;² 'vV+*²+/ssinę>    Va*+ i²—k sinp

,7    ¹

² 27;W + S*

otrzymujemy :

log

V/a²-p7;²d-7csin cp V'a²-\-k²—k sin cp’

a ze na mocy podstawienia mamy :

- 100 —

«    ,    •    \/x²—a²

cos cp = —, zatem sm<p=--_

przeto dostajemy wzór :

dx

log

{x² + lc²)V x²—a² 2 kVa²-\-k²

12. Wyznaczanie całki trzeciego rodzaju:

x\/a² Ą-h2jrTc\/x²—^

x\/ a² \-h²—h\/ x²—a²

(18)

dx

(x² + h²)Va²—x2 Podstawiwszy x=a sin cp, otrzymujemy:

dx=acos cp. dcp, Va²—x²=acoscp x²+Tc²=a² sin²cp + Tc²,

zatem daną całkę otrzymujemy w postaci:

czyli :

Ha

a. cos cp. dcp

. cos q)(a²sin²q)-\-Jc²)

dcp

cos² cp

a² tang² <p-f/c²sec² cp

-s

dcp

a²sin²(p + Jc2,

d tang <jp

(a²+Tc²) tang²cp-\- h²

lcVa²+lc²

a że na mocy podstawienia:

CC

sin cp=—, a

przeto dostajemy wzór:

arctang

cos cp =

tang cp . \/a²-\- k²

\/a²—x²

Tc

tang <p=

\/ a²—x²

dx

(x²+^²)V/a²—x²    JcVa² Arie²

arctang

xVa²+l2 7cVa²—x²

+ C.

(19)

13. Podstawienia goniometryczne w zastosowaniu do całek zasadniczych pierwszych

dwu typów. Podstawienia goniometryczne, powyżej wskazane, dadzą się z korzyścią użyć także przy wyznaczaniu uproszczonych całek zasadniczych pierwszych dwu typów.

Przedstawiwszy niewymierności, występujące w tych całkach, w jednej z następujących trzech postaci :

1) \A²+a²,    2) VA²-a²,    3) \/aa— x*,

i używając zatem odpowiednio jednego z trzech podstawień:

1) x = a tang©, względnie x=a cotg 9,    2) x — a sec 9, względnie a; = a cosec 9,

3) x=a sin 9, względnie a?=acos<P,

dochodzimy do następujących wyników:

ad9    cos 9

cos²9 ’ a

i)

_ f*    __ r

~3vJ

cos 9

cos

=log

ł(ł-t

1 -J- cos

=log

(ł-d

sind(T-d

a:    . sin cs

gdzie tang 9 =—, a więc -—

a    &

1 — cos

(ł-0

= logcotg^-(^-9)=

_ 1 ,__1 + sin 9

“~¥l0g 1 - sin 9 ’

cos 9

V/as² -j- a²

zatem :

[ / ix₌^Uogv'/xl±f,+x+ o.

3v/*² + «2 2    V/#² -pa²— x

“-^2

=5

a dsec 9

d<p

a tang 9

cos²o.tang 9

cos 9

f-log

1 -4- sin 9

1 — sin o ’

gdzie :

a;

sec cs = — a

zatem :

c&p

V/a?²— a²

8)J,-f dX

1    a;

= 9~log~ ^    a;

x4\/x² — a²

-\/x² - a²

4-C.

\/ a² — a:²

f-

a. d sin 9

a cos 9

jd<p = 9>i

gdzie:

sin 9 =

, a więc 0 = arc sin —

zatem :

V/«² — a:²

arc sin — Ö.

(22)

4) J/' I xVx^+ a² ~ I

= — log a ⁰

a. Ætang 9

a tang 9 . a sec 9

d?

sin 9

A log tang=

cos

— log a

y/i — cos 9

V/1 + cos 9

= 1 log ¹-cos.y 2a ® 1 -)- cos 9 ’

gdzie :

tang 9° = — a

cos 9°

zatem :

N/»² + a²’

5)

J'

dx _ 1    „\/ x²-i-a² —

V^~+ä*~ 2«    \/ x¹ 4 a2_-(- a

a . d sec <P

4- a

(23)

dr

x\/ x² — a²

-J-

a . sec 9°. tang 9»

1 Cd9P--= —9>,

a J    a

gdzie : zatem :

sec 9P = —

a więc 9° = arc sec —

\/x²— a²

arc sec

(24)-

6)

J'

_ç dx    (*

a . d sin 9»

a . sin 9°. a cos 9P

sin V

gdzie :

= i-log tang I = A log sin 9P = —

cos 90

1—cos 9P

1 + cos 9P \/ a²— x²

zatem :

fc

\/ a² — a;²

1 a

“t¹⁰⁸:

— \/a² — x2 a 4-V/ a² — x²

(25)

ćwiczenia VI.

!) «) jx\/i + x²

<0

dX = -gV(l + X²)² 4 C, b) j- ^

A xdx    --- /»

i\7rr^=v/l+a;2+c- *4

y/i-f x²-i

2l0®

= vA+^ + A log^¹ +    “¹

V/l + x²

^l±^dx

V/i4-x²+i

+ C1

1 4-x²4-1

+ c.

1 —y/l — x²

ï+v/r^’

1 - y/l — x2 l+y/l -*²'

■    « I%rx!

2)    a) jxy/l—

p xdx

^ jy/r^²

3)    a) j"xy/x²— 1 dx =-^-\/V²— 1, 6) J-

x²dx

»)

ç_ dx

J *

= 2 >°S

& §*

v/l -x2 = V/l — *² + i iog

y x²— i

arc sec x -f O',

dx =y/x²— 1— arc sin x -f- C.

4)

(/.(•

j xy/a + bx²

5) j xy/ a    bx²

a.'³dx

1    \/a-\-bx²—y/a

g y/a -j- bx- -f- y/ a

xV<*+ bx²    ₆₎ Ç    -----= —^ arc sec    + C.

JxV—a + bx²    y/a

P xdx

J V/(. + k*²)³

2Y/2-

dx —

y/ a

y/a 4- bx²

/x² _

\36 ~ 36²

₉₎ f **    ”

J y/(a 4" 6a;²)³ a y/ « 4" ^a;2

4 6a;²

+¥x²

ax

+ C. 10)

bV a-j- bx²

+ 0.

H)

x³dx

G+S)

i" V (« + ^*²)³

¹²^ S x‘V (a+ bxi)*~ { «£

13)    f :ry/(a 4“ ôæ²)³ dx

¹⁷⁾ J (x 4- «) y/r^æ² — y/«r=7ï

y/a + bx²

+ C.

15)

dx

2bx

y/a -f- 6a;2 (a -j- 6x²)²y/a + 6x²

+ C.

56

i iog « 4- Kx 4-y/i+«a)+y/*«²~+¹⁾²

y/ «² + 6²    a + 6(a; 4-y/r+æ²) — y/a² +T²

—T vi-^y

jxy/ax² -j- 6x -|- c

dx

+ C.

V/(a + 6)(1 + x) +\/(6-g) (1 - g)

y/(a4-6)(l +x) —y/(6—a)(l — x)

arc cos -

— arc sin

v7Tlog{

¹⁹^ j*(i 4- a²x²) y/i — x² y/i +

r-    dx    1 j

J (1-|- ax)²y/l—x2 a2 l\

21)

dx

](i-x)²y/i-x²

²²⁾I^b

—2 x²

1 -f- ax

x a.

+ C.

i+^t C.

x-j- a

y/c -f- y/ax² 4- 6x-f- c

_LL

2y/c *

arc sin

6x -f- 2c

xy/6² — 4ac

arc tang

a y/ i — x ²

«y/1 -f- a²

y/i-x²

y/a²-l

1 /a y/l—x²

1 — a² ' 1 4- ax

sa-*)Vr=! + c'

1 4-aæ

log

a -f X +y/(a²—1X1—x²)l

1 4- xx    /

y/i-«²

arc co s

a -f- x

14-ax

j 4- a

= 7 log

3-2x-y/3-2 x²

{ 2(x-l)²

f ^-ï}y/3-2x² f 0.

23)

Y/ï 4- x²

2x²

3

+ ylog

1 + V/i + a;²

24)

(3x—B) dx

2 y4 + æ²

17

25)

r 1 4-2a;²

)yr+&

dxc^x

*>)

(4a; -f- 17) dx

(a;²-f-*—6)\/5— 2a;²

a;—1

\ „

v/l +æT + C.

%=r arcsin

Y/3

Wh

log

* + 4 + V/4 + a;² . y5

+ C.

4a:—5

(x — 2) Y/10 y 13

arc sin

6a;-f B

(*4-3) yi o

4- G.

27)

dx

— arc sin a;

aß—Ôa

aa 4~ aßa:²

, jeżeli aß > 6a

Y/ èa² — a a ß

ŁJO

a y a 4- bx² 4- x y ben² — a a ß

y a 4- ß#²

jeżeli aß <6a

a;

ay/a 4~ fr*²

, jeżeli aß=&a.

28) Wykazać , że całka kształtu :

(Ja; 4- j5)rfa:

(a'a;² 4- b‘x 4~ c') y ax² 4- bx 4- c

, da się za-

pomocą podstawienia : x =

a £ 4~ ß

sprowadzić do postaci :

(J^ 4~ 7?t) dz

(Ą2² 4- <?₂) Y/^3«²+ C₃ ’

i podać warunki, pod jakimi spółczynniki, występujące w nowej całce będą liczbami rzeczywistemu

Wykazać, że :

29)

(Ja; B) dx

3A+B

(a;² 4- lOa; 4- 41) yxs—4x+13    40Y/Ï4

log

B-7A

10Y/14

(3—*) Y/7 4- 2>/2 V*a— 4a; 4-~13 (3-a;) y7 — 2Y/2 yx‘l — &x 4-43 + (* + 7)Y/7 Y/2 Y/a;²— 4*+l3

arc tang

f C.

30)

^ (a;²

dx

²)Y/r²— 1

a\/.l— a²

arc tang

ay x²— 1

*v 1 — a,z

log

xY/ a² — J — a\/ x² — 1

81)

(a:²-|- a²)Y/a;² — 1

«VT+Ï*¹⁰⁶

aY/ a²— 1

a; Y/a² 4“ 1 — a Y/a;²— 1 Y/a;²-}- a²

y x² — a²

4- c.

+ G.

32)

«fcc

(x²—a²)Y/a;²4- 1

2a\/a² -I- 1

33)

f__dx_

J(*²-f a²) Y/*²4-1

2a Y/ a² — 1

a;Y/a² 4~ 1 — a Y/a;² 4- 1

xya² 4- 14" °yz² 4“ 1

xy a² — 14- a Y/a:² 4" 1

g xy a² — 1— aY/ a:² 4- 1

log

= + c.

34)

(a:²—a²) Y/l — a;²

aY/l— a²

log

aY/1 — a²

a\/l — x² — a;Y/ 1 — a²

Y/aT²^/²

arc tang

a?Y/ 1 — a²

aY/a;² 4- 1

a\/ a² — 1

arc tang

xy a²— 1 aY/1 — x

4- O.

35)

i'

dx

(a:²4-a²)Y/l—x²    aY/ a² 4- 1

aretg

xy a² 4~ 1

aY/1 — a:²

f c.

36)

xdx

V x² — 1

V/l + a²

1    2V/1 + a;² + ^V/3

4\/8 °g 2\/l-fa:² — x\/S

^{x²-\-a²)\/x²—1 VA + «2 37) fc² + 4)V/*t+1

_    1    x\/5 -j-2\/x² — 1

J (x² + 4)V/a?² — 1 “ 4V/5 °g » \/5~—2V/»² —-T

r.    dx    1

i-—.....==—— arc tang

J (x²-\- 4)V/l — x² 2V/5

arc tg

+ C.

38)

fc.

39)

40)

(4a;-f-17) dx (x² x — 6) y/5 — 2a;²

V/3

a:V/ 5

2\/U^ÜT²

n= arc sin

4a;-5

(* - 2)V/10

41)

ç, 2a;²+3a;+2 J (a;³ 4- x²) V/4a;² 4-2* 4- 1

dx =

V/I3

2\/4»² + 2a; + 1

6a; + 5

arc sin-t=

(a; + 3) V/ 10

a!4-14-V/4a;²4-2.a;-fl

+ C.

f log

—    log 3x + V'³    + 2x + * 4. a

V/3    »4-1

42) Wykazać , że całki kształtu :

f R (x, \/ax 4- b , Y/ca; 4" <0 dx , dadzą się sprowadzić do całek kształtu: f R (z, \/ Az² 4- C)dz. 43) Wykazać, że:

f^¹ y«to-2 arcsin \/l — a;—2 ”\/——-    C.

J *\/»    V æ

44) Wykazać, że całki kształtu:

da się sprowadzić do całek kształtu :

SR (z, \/Az²-\- Bz-\- C)dz.

Rozwiązania VI. Wskazówki zawarte w wykładzie. Używać zarówno podstawień algebraicznych, jak goniometrycznych. 1) *=tang qp, 2) *=siny, 3)x = secÿ>. 42) \/ax-\-b —z.

43) V L—

x = z.

44) \/a xn 4-b = z.

Literatura. M. Frenet. Recueil d’exercices sur le calcul infinitésimal. Troisième édition. Paris 1873. Axel Harnack. Die Elemente der Differential und Integralrechnung. Leipzig 1881. O. Stolz. Grundzüge der Differential und Integralrechnung. Leipzig 1893.

Tematy do rozprawek naukowych :

1. Bezpośrednie wyznaczanie całek kształtu: flł(x, \/ax² -\-bx 4- c) dx.

Gm(x)_

Gn (x) \/ax² 4- bx 4- c

3. Sposoby wyznaczania całek zasadniczych trzech typów: gdzie y =\/ax²4- hx 4- c •

2. Wyznaczenie algebraicznej części całki:

(x—<x)y‘

,₌ Ç Ax + B

J[(»-a)²4ß%

dx,

dx.

Wykîad VII.

Całki dwumienne.

1. Określenie całek dwutniennych. Między całkami funkcyj algebraicznych niewymiernjmh, zasługują na szczególniejszą uwagę całki kształtu:

(1)

J=f xm (axn + b)p dx

w których wykładniki m, n, p są w ogólności jakiemikolwiek liczbami wy-miernemi, ułamkowemi. Całki te nazywamy zwykle całkami dwumiennemi. Nie zmniejszając ogólności, możemy jednak przypuścić, że wykładniki min są liczbami całkowitemi. Gdyby bowiem te mianowniki m i n nie były liczbami całkowitemi, lecz ułamkami, wówczas, sprowadziwszy je do najmniejszego

wspólnego mianownika q, a więc, kładąc: m==~, w==gdzie pi v są liczbami

całkowitemi, możemy, za pomocą podstawienia x=gq, uwolnić daną całkę dwumienną od obu tych wykładników ułamkowych. Mianowicie otrzymujemy wtedy:

dx=qzq-i dz, xm=zmq=gt*, xn=znq~zv

a zatem, daną całkę dwumienną w postaci :

f xm (axn + by dx =/'gt* (azv+b)p.q zq~x dx

czyli :

f xm (axn -f by dx=qfgq+fi~l (azv+by dz, w której wykładniki q-\-fi-l i v są liczbami całkowitemi.

Wreszcie możemy także przyjąć, że wykładnik n jest liczbą dodatnią. Gdyby bowiem wykładnik n był liczbą ujemną : —n możemy daną całkę przekształcić na całkę następującą:

fxm (ax~n -f b)p dx=f x

(2)

(3)

m- np

(a -\-bxn) dx,

gdzie wykładnik w dwumianie jest już liczbą dodatnią.

Wykładnik p musi być oczywiście ułamkiem, gdyż, w przeciwnym razie, mielibyśmy do czynienia z całką funkcyi wymiernej.

Istotną cechą całki dwumiennej kształtu: f xm(axn+b)p dx, jest postać ułamkowa wykładnika p, podczas gdy wykładniki min możemy uważać jako liczby całkowite, a wykładnik n nawet jaką liczbę całkowitą dodatnią.

2. Przypadki, w których całka dwumienną da się sprowadzić do całki funkcyi wymiernej. Niech będzie daną całka dwumienną:

Jm lP =fxm {axtl + by dx,

— 106 —

w której wykładniki m, n, p są, dowolnemi liczbami wymiernemi (całkowitemi, lub ułamkowemi).

Aby wyznaczyć przypadki, w których całka dwumienna tego kształtu da się przekształcić na całkę funkcyi wymiernej, połóżmy przedewszystkiem axnĄ-b—z, natenczas otrzymamy:

dz

, dx

-feT

zatem :

f xm (axn + by dx=

Lf/Ü#

w J\ a )

¹ zp.dz

(4)

skąd poznajemy, że otrzymana całka będzie całką funkcyi wymiernej, jeżeli

wykładniki m i n mają tę własność, że iloraz

m'Jr 1 iest liczbą całkowitą.

Tl

Warunek ten zasługuje tern na uwagę, że jest niezależny od wykładnika ułamkowego p.

Stosując ten warunek do całki danej dwumiennej, przedstawionej w następuj ącem przekształceniu:

(5)

fxm ((axn + b)p dx=Jxm+vp (a + bx~nY dx

dochodzimy do wniosku, że dana całka dwumienna da się także sprowadzić do całki funkcyi wymiernej, skoro iloraz:

czyli suma

(6)

m-\-np+1

będzie liczbą całkowitą.

Mamy zatem twierdzenie :

I    Całka dwumienna Jmp=fxm (axn + b)p dx , da się zamienić na całkę funkcyi

?• wymiernej, jeżeli wykładnik zewnętrzny m powiększony o 1, a podzielony przez wykładnik wewnętrzny n, daje liczbę całkowitą wprost, lub wtedy, gdy do otrzymanego ilorazu dodamy wykładnik ułamkowy p potęgi dwumianu : (axn-\-b).

3. Do powyższego wyniku możemy dojść także wprost, na podstawie podstawienia xn=z.

Mamy bowiem tedy :

zn 1 dz.

Daną całkę dwumienną otrzymujemy tedy w postaci:

lub też :

1 m+1

Jxm(axn Ą-b)pdx—— { z n

1 c

fxm(axnĄ-b)pdx= — j z

(az-\-by dz,

(7)

(8)

a więc w postaci całek, które, jak wiemy z wykładu IY. art. 4. i 6., dadzą się zawsze przekształcić na całki funkcyj wymiernych za pomocą podsta-

wień az+b=t, względnie °^-~— m +1

t, skoro wykładnik przy zmiennej z, a więc

fiyi J_ ^

— —1? względnie wykładnik —-—\-p—1, są liczbami całkowitemi.

Całka dwumienna fxm(axn-\-b)Pdx, da się zawsze przekształcić na całkę

lub m^¹ +P, jest liczbą

funkcyi wymiernej, skoro jeden z ilorazów całkowitą.

**p

Warunki te

l L

dwumiennej.

nazywają się też zwykle warunkami całkowalności całki

4. Przykłady. Wyznaczyć całkę:

Mamy tu iloraz : —    ^    ^

J= J x⁵ (1 — xT)^ dx.

‘/₂

3, połóżmy zatem 1—x² — z, a więc: x = (l—z) .

dz

dz

a otrzymamy:

dx —

fx⁵( 1 -    ^ -lr^o l2‘Z'⁷dz=~ z\l-zf dz =

2x 2(1—»)’/* ’

Ï8

^•/,₊ 7

SS -a

zatem :

/*= (!-*>)•/= *!=-%, (!-*»)’'■ + y₁₆ (l_*^V._7/lt (!_ *2)“/, ₊ ft

2) Wyznaczyć całkę J=Ja:³(l-j-*⁸) '*dx. m + 1    3 -f-1

Mamy tu:

= --, natomiast

Ci

2"“ ¥

= 0 , przeto :

/#³ (1 -j- x%)~ I* dx —fx~i (x—8 + l)⁻^² dx.

Kładąc x-%1 = z'\ a więc x=(z²—1)—Vs, dx=~- y₄ z(z²— l)-⁹/s, otrzymujemy:

1 C dz

jæ—1 (a?—⁸+1) ll*dx=

i . s 8 l0g Ï

2-1-1

-1

J log (æ⁴ -b V/l+«⁸),

zatem :

Jæ³(l+æ⁸)    ^ dx = log V/æ⁴ -j- V/l+a:⁸ + C.

5. Wzory redukcyjne całki dwumiennej. Bez względu na warunki całkowalności możemy dla całek dwumiennych wyprowadzić t, z. wzory redukcyjne, które wyznaczanie danej całki dwumiennej sprowadzają do wyznaczania całki możliwie najprostszej.

Niech będzie daną całka dwumienna kształtu :

Jm, p, =f (axn + b)p dx.

a zatem :

du=(m—n-\-l)xm~ndx (axn + &)p+1 na (p+1) ’

Połóżmy : u=xm~n+1

dv=(axn + b)P xn~xdx

(9)

natenczas, na podstawie całkowania przez części, otrzymujemy wzór I.:

xm—n-\r 1 (a#» _|_ J)2>+1 ni-H + 1

na(p +1)

który, zniżając wykładnik m o n₎ zwiększa wykładnik p o 1, a więc może być przydatny, gdy wykładnik p jest liczbą ujemną, a wykładnik m liczbą dodatnią, większą od n.

Kładąc zaś :

na{p-\-1)

Jm—rt, pĄ-1 j

(10)

du=xmdx

v=[axn-\-b)p

a więc:

xm+i

u==-Ti >

m + 1

dv=anp (axn +    . xn~ ⁴ dx,

otrzymujemy wzór II.:

J.

m, p —

£.m+i (axn+b)p    anp

m +1

JmĄ-n, p— 1

(U)

— 108 -który, zniżając wykładnik poi, zwiększa wykładnik mon, a więc może być z korzyścią użyty, gdy wykładnik m jest ujemny, a wykładnik p dodatni.

Całkę Jm-n,p+1, występującą we wzorze (10), możemy przedstawić

w postaci:

Jm-n, p-(-i =f xm~n {axn + b)p+x dx=fxm~n (axn + b)p. (axn -\-b)dx= = ajxm (axn + b)p dx + bjxm~n (ax¹¹ -j- b)p dx,

czyli :

—n,pi

Jm—n , p-f-i — aJ,nt p~\~b Jm

natomiast całkę Jm+n, P-\, występującą we wzorze (11), możemy przedstawić w postaci:

Jm+n, p—i

xm (axn 4- b)—bxm

z=r=$xm+n (axn-\- b)v~i dx— ^

= ~\^xm(axn+by dx—~ ^

(axn-\-b)p~x dx=

xm(axn-\-by~i dx

czyli :

Jm+n, p 1 —

a

m, p—1«

Ir    à

um, p    rJ

Cl

Wprowadzając powyższe przekształcenia kolejno we wzory (10) i (11) otrzymujemy najpierw ze wzoru (10):

xm-n+\ {axn-\-by+x m—nĄ-l na{pĄ-1)

Jm, p--

b(m—w + 1)

w(p+1)

m, p

na(p + l)

-n , pt

a stąd wzór III. :

m, p

xm-n+i (axn-^ by+i (mArl — ri)b (m 1 + np) a (m + l+«jp)a

J,

n—n, p j

(12)

a następnie ze wzoru (11) :

m, p

xm+i(axn Ą-b)p

anp I 1 T

rr i ^¹

m +1 la

±7 i

m, V    p-ift

czyli :

Jm, p

xm+\axn-\-b)p

np

m-j-1

m, p

bnp ,

-Ï d

m -1- 1

m, p—i y

a stąd wzór IY. :

__xm+\axnĄ-by

dm, p

bnp

m, p—1 )

(13)

a więc wzory, z których pierwszy (12) zmniejsza wykładnik m o n, nie naruszając wykładnika p, przydatny, gdy m jest za wielką liczbą dodatnią, drugi (13) zmniejsza wykładnik p o jedynkę, nie naruszając wykładnika m, przydatny, gdy wykładnik p jest ułamkiem większym od 1.

Zastąpmy we wzorze (12) wykładnik m przez mĄ-n, a we wzorze (13) wykładnik p przez p + 1, natenczas otrzymamy:

JmĄ-n, p

Jm, p-f-1 — a stąd wzory redukcyjne :

#m+1 (osæn + 7>)p+1    (m +1) b

(m + n -+-1 + np)a    {m -f n -f-1 + np) a

xm+yaxn + by⁺¹ , bn(p+1)    _

—    - Ç/ r-

m+l-f npĄ-n

m, pt

m-\-lĄ-np-\-n

m, pt

- 109 -

xm+i(axn-]-by+i {mĄ-lJrnĄ-np)a j (w+1) b xm+i (axn + b)P+i bn(p+l)

z których pierwszy (14), zwiększa wykładnik m, nie zmieniając wykładnika p, przydatny, gdy wykładnik m jest liczbą ujemną, drugi (15) zwiększa wykładnik p, nie zmieniając wykładnika m, przydatny, gdy wykładnik p jest liczbą ujemną.

0. Za pomocą powyższych sześciu wzorów redukcyjnych możemy wykonać wszelką zamierzoną redukcyą danej całki dwumiennej. Zauważyć tylko należy, że wzory (11) i (14) są nieprzydatne, gdy m+l=0, a więc

, m 4-1 gdy —

4- 1

gdy - -p^=0, wtedy atoli mamy te oba poznane już powyżej przypadki,

%

w których całka dwumienna za pomocą znanych podstawień, daje się sprowadzić do całki funkcyi wymiernej.

Wykluczając tedy oba te przypadki całkowalności, możemy zapomocą wzorów (12) i (14) daną całkę dwumienną sprowadzić do takiej całki, w której wykładnik m byłby zawarty między liczbami 0 i n, albo między liczbami

Yl    Yl

--g- i + -g- przy niezmienionym wykładniku p ;

cyjnych (13) i (15), możemy znowu daną całkę sprowadzić do takiej, w której wykładnik p byłby zawarty między liczbami 0 i 1, albo między liczbami

--i i + —.

2^2

Y.

VI.

J m, p —

(mĄ-l)b

m+n, p ?

(14)

m-\-l+p + np

m,p

bn(p +1)

Jm, p-\-1

(15)

0, wzory (12) i (13) są nieprzydatne, gdy mĄ-l-\-mp=0, czyli,

za

pomocą wzorów reduk-

7. Przykłady wyznaczania całek dwumiennych zapomocą wzorów redukcyjnych. Niech będzie daną całka dwumienna :

xm dx

(1    ³⁵²) /ł dx = jm> _t/ł.

Mamy tu a=—1, b — 1, p= —

A

771 I I

także całkowitym, albo iloraz:—=

n — 2; przy całkowitym wykładniku m będzie

m-p1    1 m

~2    2 ⁼ 2' ‘

albo suma

m + 1

— + p=

Funkcya xm (1 — x²)~~jest więc przy całkowitem m zawsze całkowalną.

Jeżeli m jest liczbą całkowitą, dodatnią, użyjemy wzoru redukcyjnego (12), z którego otrzymujemy :

»m-2+¹(₁_*2)-’/.+l

(W + 1 — 1) . — 1    ‘

a więc wzór redukcyjny danej całki w postaci :

Jm, _*/₂ =

(jn-P 1—2)

“ -_-j—Jm-Z, -*/,»

Jm, —‘/i

x\/1—x²

m—1

YÏI — 2, - */«•

m

Na podstawie tego wzoru dojdziemy, przy parzystem m, w końcu do całki.

Jo, -

dx

Vî \/1— X²

= arc sin x.

Wobec tego otrzymujemy następujące wzory bezpośrednie: xlm dx

Vl-x²

Vl - X²

x2m-l

2 m —

+2^2

1 2m—3_p (2l»-l)(2»l-3)    h

‘ (2m — 2) (2m—4) ’ *    ^

(2 m—1) ...8 (2m—2) ...2*

(2m—l)(2m—4),..3.1 2m (2m—2) ...4.2

— arc sin <e + C,

(16)

— 110 -

x2m+1 dx

y/1 — x²

Y/1—a;2 2 m -j- 1

x2m+

2m

2m —1

X2w -2_|_

2m (2m—2)

(2m—1) (2m—8)

m—4

2m (2m—2)...2

(2m —l)(2m— 3) ... 1

(17)

Jeżeli wykładnik m jest liczbą całkowitą ujemną, użyjemy wzoru redukcyjnego (14), na mocy którego otrzymujemy :

Jm, —*/₂

xm+\l-g»)¹/» , (m + 1 + 2-1)

(m + 1)

m -f- 1

Jżn-j-2, — */₂ »

a więc odpowiedni wzór redukcyjny danej całki w postaci wzoru :

JmĄ- 2, — ¹4ł

a5m^iy/l—x² ₍ m-j-2 m ■+•!

za pomocą którego, przy parzystym wykładniku m, dochodzimy w końcu do całki :

“Î

y/i-«²

a?² y/i—x²

a przy nieparzystym wykładniku m, do całki :

-J-

y/i—«²

=log

y/l—x²—i

Otrzymujemy tedy nowe dwa wzory:

y/i^x²

(* _dx

)x2mVT=

2m—1

x²”*”¹

2m—3

x2m-³

(2m — 2) ... 2

(2m - 3)... 1

4} + c’

(18)

(Zx

y/i-x²

x2m+1 y/rr^j

2m

Br

2m — 1    1

2m — 2 a:²”*—²

+ ..•4

(2m—1) (2m—3)... 3

(2m—2) (2m—4) ...2

(2m—1) (2m—3)... 1 2m(2m—2)... 2

- log

y/i-x²-i

4-o.

(19)

8. Całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, sprowadzalne do całek dwumiennych. Do całek dwumiennych dadzą się sprowadzić niektóre całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych.

Zaliczyć tu możemy przedewszystkiem całki następujących kształtów:

1 ) fxm (axn + bxp)q dx,

‘2) f(ax-\-b)P (ax-\-ß)rls dx

3)    ■ f(ax+ß)m \a(ax-\-ß)n-\- b]p dx,

4)    $xm(axn + b)p (ax2n-\-2bxn Ą-c)q dx,

5)    fxm(bxn + c)p (ax2n -f 2bxn -f c)q dx ,

6)    fxm(axn-\-b)p(axn-\-ß)rls dx.

Całka kształtu 1) sprowadza się wprost do całki dwumiennej, jest

bowiem :

fxm (axn + bxPy dx=$xm +pq (axn~ p + b)q dx da się wyznaczyć, skoro , albo iloraz : mĄ-pąĄ-l n—p

jest liczbą całkowitą.

Całka kształtu 2), wskutek podstawienia (ax-\- ß)=zs rego otrzymujemy:

albo suma

m-\-pq+1

ł-2

m-\-nq+1

n—p

na

podstawie któ-

zs— ß

X —--

a

sprowadza się do postaci:

ax+b =

azs-\-ab—aß

dx—

03 I 8

2s-1 dz

f (ax 4- b)p(ax + ß)s dx= —i-y- J zr+s~x [azs+(ab - aß)]p dz

daje się więc wyznaczyć , skoro , albo iloraz :

^•+s

albo suma

\-p

jest liczbą całkowitą.

Całka kształtu 3) wskutek podstawienia: ax-\-ß—z, sprowadza się do

postaci :

f(ax + ß)m [a(ax -\- ß)n +- b]p dx——^zm (azn+by dz,

daje się więc wyznaczyć, skoro, albo iloraz ——

*yi

liczbą całkowitą.

Całka kształtu 4) wskutek podstawienia: axn-\-b—z, a więc:

albo suma

m + 1

—- + P Jest

-(^r

dx

sprowadza się do postaci :

f xm{axn -f by ax¹"4-2bxn + c)qdx= *»+i _ l

m+t

__r₊₉

zp[z² -\-{ac—b²)]q dz

daje się więc w przypadku, gdy różnica:--1 jest liczbą całkowitą,

dodatnią rozłożyć na mJr^~ całek dwumiennych.

Całka kształtu 5) da się przedstawić w postaci :

Jxm(bxn + c)p [ax2n + 2bxn + c]q dx=Sxm+np+Uq (cx~n + by (cx~2n + '2bx~n + a)q dx. Wskutek podstawienia :

c

cx~n-\-b=z, a więc xn=—— ^

dz

dx= —

-i-c¹/«

(z-b)

sprowadza się zatem do postaci :

łW + i

1

n

— c

fxm (bxn -p c)p [ax2n + 2 bxn+c\q dx=~-

m+i o 1

——p—2 <7—1

r X 2.    "i

da się więc, gdy wykładnik —I--j-p-p2ę'-l-l I jest liczbą całkowitą

. ZP [z2jr(ac—b²)]q dz,

do-

dodatnią, rozłożyć na skończoną ilość całek dwumiennych.

Całki kształtu 4) i 5) dają w przypadku, gdy p—0, całkę kształtu:

f xm (ax2n -j- 2bxn4- c)q dx

która, wskutek podstawienia: axn-\-b—z, sprowadza się do postaci:

— 112 -

jxm (ax2n -f- 2bxn -j- c)9 dx =

ttj + 1

(*-&) "

W»+l t

[z²-\-(ac-b²)]i dz,

wa

a wskutek podstawienia cx~n + & = £, do postaci:

Jx™ (aa?2n+26xn ~p c)'? dx = «4-1 O 1

-— 2ÿ — 1

771+ 1

$(*-») ”

. [z²-\-[ac—b²)]¹¹ dz

— 1 jest liczbą cał-

z których wynika , że dana całka da się rozłożyć na skończoną ilość całek dwumiennych, zarówno w przypadku, gdy różnica —~~

r ^^    ”1

kowitą dodatnią, jakoteż w przypadku, gdy wyraz—I—-—h2<2~ł“ 1 I przedstawia liczbę całkowitą dodatnią.

Całka kształtu 6j wskutek podstawienia :

a więc :

axn -f ß = zs,

I    dx s zs— ^

axn+b=-(az>+ab-aß), ~-=—.—-de,

sprowadza się do postaci:

771-J-l

fxm (axnĄ-b)p (axn-\-ß)s dx

771 + 1 -- +P

(zs — ß)n

(azs Ą-ab — aß)p . dz

na

da się więc w przypadku, gdy różnica: —~~~ datnią, rozłożyć na skończoną ilość całek dwumiennych. Przedstawiwszy całkę kształtu 6) w postaci:

— 1, jest liczbą całkowitą, do-

podstawmy :

— —

f xm(axn + b)p (axn + ß)s dx $xm+nP+nrls+'¹ (bx~n + a)p (ß%~n + a) *. —,

X

ßx~n + a=zs,

a więc :

xn

dx

zs — a x

n zs — a

dz

natenczas otrzymamy wzór :

gr+s-i ftgß + ßa _ aJĄp

dz,

+P+7-/.S + 1

71

fxm (axn + b)p (axn -\-ß)s dx=

(.zs— a)

z którege wypływa, że dana całka 6) da się także w tym przypadku roz-

m-fl    r

--h^ + 7 + 1

n    s

łożyć na skończoną ilość całek dwumiennych, gdy wykładnik

jest liczbą całkowitą, ujemną.

9. Przekształcenie całki dwumiennej przez sprowadzenie funkcyi dwu-wyrazowej do funkcyi stopnia pierwszego. W całce dwumiennej :

Jm, P=f xm (axn + b)P dx możemy wykładnik całkowity n sprowadzić zawsze do jedynki. Kładąc bowiem :

, dx— —— tn n

=f xn\axn + by dx= — \ t

xn = t, a więc x = tn

dt, otrzymujemy:

(at + b)p dt

a więc :

( xm (axn + by dx — — ft'i (at -f by dt,

yyi-j-

gdzie wykładnik q= —1, będzie wogóle ułamkiem.

%

Stosując do tak przekształconej całki dwumiennej :

J,j, p = ftq (at+by dt,

wzorjr redukcyjne, zmieniające wykładnik g, możemy ten wykładnik spro-

wadzić między granice: Oil, albo:--i -f

A

10. Kładąc wreszcie :

otrzymujemy :

b    7J b

— z, a więc: di—— a ’    ^    a

=ftq (atĄ-by dt=(-^ j ,bp ^zq (1 z)

b ,

— dz,

v dz

Jp+v+i

«Ï+¹

f z* ( 1 + e)p dz,

a więc daną całkę dwumienną, w postaci:

J,

— fzm (axn + by dx = —

1 bP+9+1

a’⁺¹

\^zq (1+zydz

w której oba wykładniki p i q zawarte są między liczbami: 0 i +1, albo między liczbami: — 1 i -f^.

Dochodzimy zatem do wniosku :

= fxm (axnjr by dx , o jakich-sprowadzić do

Całkę dwumienną ogólnego kształtu : J kolwiek wymiernych wykładnikach m, n, p, możemy zawsze całki dwumiennej kształtu :

Jg,p=f Zq(l+Zydz,

w której wykładniki p i q są liczbami zawartemi między — g i

zależnie od znaków, z jakimi występują spółczynniki liczebne

przyczem

a i b dwumianu axn-\-b, dwumian 1 Ą-z przedstawić możemy ostatecznie także w postaci 1—z, lub z—1.

da się wyrazić przez

P, 9

11. Całka dwumienną kształtu : Jp, ę=f zp (l-\-z)qdz sprowadza się do całki funkcyi wymiernej tylko w przypadku, gdy albo p, albo suma pĄ-q jest liczbą całkowitą. W tych też przypadkach całka J₁

znane funkcye przestępne.

"W przypadkach, w których powyższe warunki całkowalności nie są

nie da się wyrazić przez znane funkcye

na-

spełnione, całka JPi q —§zp(l-{-z)q dz przestępne i prowadzi do nowego rodzaju funkcyj przestępnych, które zywamy całkami Eulera.

12. Przekształcenie całki dwumiennej J niometrycznycli. Stosując do całki dwumiennej:

p> a

za pomocą podstawień go-

— 114 —

Jp,q=S xvQ.Jrxydx,

podstawienie goniometryczne #=tang²gp, otrzymujemy: 1-P#=sec²<p

dx=2 tang cp .

dcp

cos² (p

przez co sprowadzimy całkę JPjq do postaci:

sin²^ cp

cos2p cp ’ cos2gcp

cos ²<p

p,i

= fxP (1 + x)q dx= ^

=2 ^sin2;P⁺¹ cp . cos~2p~2q~z cp dcp

2 sin cpdcp cos ³<p

czyli :

Jp,q—%f sin⁵<p cos*cpdcp ,

a więc ostatecznie do całki funkcyi goniometrycznej kształtu:

J, k= J sin⁵ cp cos*<p dcp.

Do całek tego rodzaju sprowadzimy także całkę J₁

p> 'i

kształtu :

Jp,q^S xP(l —x)qdx,

za pomocą podstawienia æ=sin²gp, a całkę:

jp,q— $xP{x— l)qdx,

za pomocą podstawienia æ=sec²<jp.

W następnym wykładzie zajmiemy się też przedewszystkiem całkami funkcyj goniometrycznycli kształtu: Js, * = Jsin*#coskxdx.

Ćwiczenia VII.

i*

1)    Wyznaczyć przypadki, w których całka j* xm (axn -p b)v dx da się przekształcić na całkę funkcyi wymiernej.

Wykazać, że następujące całki dwumienne dadzą się przekształcić na całki funkcyj wymiernych :

2)    f(ax² -Ą-b)^¹ dx, 3) a) f(ax³ -j- bf^dx, b) fx(ax³ -f- dx.

5) à) f(axi -f- b)³^ dx, b) fx²(axi-\~ b)'^'‘dx. 6) a) J(oa:⁵ -p b)'^dx, b) fx(ax⁵bf^ dx,

c) f x² (ax⁵ -p b)^ dx , d) jfx\axr°-j- V)^ dx. w—i

-4* ß    -

7) a) Sxnce(axn+b) n dx, b) fxr+nce(axn+b) n

n—r—1

dx.

i*,

8) Wykazać, że całka kształtu: j'\xm^~an(axnĄ-b)vdx, gdzie a jest dowolną liczbą

całkowitą, da się sprowadzić do całek kształtu: fxm(axn-\- b)v dx.

V

9)    Podobnie całka kształtu: fxm(axn-\- b) dodatnią , lub ujemną.

10)    Wykazać, że w ogólności całki kształtu: fxm ^an(axn -p b) wolnemi liczbami całkowitemi , dadzą się sprowadzić do całki dwumiennej :

dx, gdzie 8 jest dowolną liczbą całkowitą,

dx, gdzie a i ß są do-

fxm(axn -f b)v dx.

- 115 -

Wyprowadzić następujące całki : x?Jdx

ii)

I-2 v/i — «*'+ c.

(1 -a>²)3/’    Y/l-a:²

12) ^ icV^+l dx= ^ aj³Y/C*s+ I)³“ 4^V/(^+i? + O.

V/aJ²+l

13)

Y/æ²+ 1

14)

15)

log(a:+Y/^²+ lj + C.

^ x²Y/x²-|-1 dx = ^j-x³Y/x²~k 1+— xY/*M"1—g-log {x-\-\/x²-\-l) C.

Vl—x²

dx= —

dx

Y/l — x²

— arc sin# -J- C.

16)

dx

f <?•

(Y/i — x²)³ Y/i—*2 Wyprowadzić następujące wzory redukcyjne:

17) fla²-\-x²y dx

x(a² + #²)

»a²

n -f- 1

Sc,+

18)

xM (Za:

ccn-1

xn 2 dx

19)

(a²-kx²)

f dx

J a:

2(p-l)(a² + a,y-¹

n—1 r__    ____

2(p—1) )(a²Ą-x²Y~x’

(ax ~k 5)^ł

”(ax -J-    (n — 1 )bxn

(2w—3 )a (* (ax -k b)^² dx 2 (w — l)ó

a:"“¹

20)

xw da:

- x2)*/*

.-i,, f

w    n    J

xn 2 dx

(a² — x²)'^

21)

xw dx

x”-:1(2ax —

(2ax — x²)’^

Ą. *=i.j

xw 1 dx

(2ax — x²)¹^

f dx

22)

23)

(a² + x²)w x” dx

2« — 2 a²(a² -f- *²) x"-¹

2m —2 * (a²-kx²)

2» - 3 If + 2»~2 • It )

2m —

dx

( a² x² )

xn_2 dx (a² + x²)

n—î*

m—1’

24) ^ (a² — x²) ² dx —

x(a² — x²)

»a²

j(a²-x²) dx.

25)

dx

dx

(» — 2) a² ’

ÜL _ i (n—²) «* ’ J

(a² -k x²)

20) J(ax -k Z»)«. (a'x -k Z»')« dx —

(a² + x²)

(ax -k i)»« . (a'x -k Zł')”^¹    _

(m -k » -k 1)«'

jw (aZd — a'Zł)

(jw -k » + 1) «'Z»)

(a²+x²)²

27)    JxTO-¹(axra-k Z»f

28)    jx

29)    jxm(ax -k Zjx²)

dx =

TJ? — 1

(axw -k Zł) dx =-

xm~~n (ax¹ ~k Zj)?; +1 (jw -k pn)a

xm (axn _k b)P

----|-

jw + pn

(jw—w) Zł

(jw -k p w) a

^ (ax + Z/)”*-¹ (a'x -k Zł')” dx. ^ xm 1 (axn -k Z»)Pdx.

dx =

xm~¹ (ax + Zjx²)

ft ( /w -k w -k 1)

pw?j

jw -k p»

“2⁺¹

xm_1(ax»+ Zł)

a(jw + V2 ”)

6(jw-k w -k 1)

/» m

y

-1

dx.

(ax +Z?x²) dx.

X*)

,2

dr = —

(ax -1- óa:²)

n

TT + 1

axm (m — V₂ w — 1 )

l>(2—m -|- n) a(m— y₂ w —1)

f(ax + fta;²) J x™—1

dla:.

Następujące całki wyznaczyć wprost i za pomocą wzorów redukcyjnych :

x?,dx

BI) -

(a² — x²) I*

Xe dx

₃    (a:²+2a²) + a

82)    j

83)    f *

(a² — a?²)'²

(a² — a;²)

v++

5a² x³ . 5.3a⁴a:

6.3

6.4

6.4.2

6.4.2

al! arc sin — 4- C. a

(«* + *>)*

6 ’    a²(a² -j- x²)

6.4    ’ a\a²-\-x²)²

5,3

6.4.2" a⁶ (a² + #²)

6.3.1

6.4.2    "

x²dx

(a² + *²)³

a:

a’

./•

4 (o² 4- x²)    '

f *'dx    x³

’ J (₀2 _|_ *2)2    2 (a² + a;²) ^ 2

36) ^(a²— x²)l’dx

a: (a²—a:²) ^²

4.2a²(a² + a?²)

3    .r

— —a. arctg—.

6 */,

₆^aM«²-^) -f

4.2

5.3

6.4.2

. —; arc tang —. a³    a

axx(a² — a:²) '+

aG. arc sin

5.3

6.4.2

da;

(a:²- 1)’/»

aj³(æ² - 1)V,

38)

dr

~ arc sec xĄ- C. £

(*2_1),/J    2 (x²-l)V*

2a;²

39)

a:* (a:²- 1)^* J as«(l + a:²)^²

3a;³

a;

f c.

1(1+ x²)'l>    4 (1 + a:²)t/ł    4.2 (1+ a:²)^²

5 x⁵    ‘ i_ .8    a:³    6.3

ic

+ (7.

40)

da:

(a² + ,t²)'/2

_{ 1 la² + x²

o² * ‘ 3 a² (a² + a:²)1/2

—r (•

41)

dx

a:

(a² + a:²)'k

( a² + x²)² ' 3a² (a² + x²) ^3 a⁴/ " Ba² (a² + a:²),/ł

+ C.

Rozwiązania VII. Wskazówki podane w wykładzie.

Literatura. A. Cauchy. Vorlesungen über die Integralrechnung, bearbeitet von Moigno, deutsch von Schnuse. Braunschweig 1846. J. Hoüel. Cours de calcul infinitesimal. Tom. premier. Paris 1878. George Peacock. Collection of examples of the differential and integral calculus. Cambridge 1820

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Związki, zachodzące między całkami, kształtu :

J, = f R(x) \/l ± a:² dr,

_ C B(x)

j V/ l + a:²

dx.

2.    Wzory redukcyjne całek trójmiennych kształtu:

Jm, P = Ja:”¹ (aa:²” + bxn + c)P dx.

3.    Rozwijanie całek Eulera: fxp(lĄ-x)qdx na szeregi potęgowe kształtu:

Wykład VIII.

Całki funkcyj goniometrycznych kształtu:

Js, k=Ssln*x cos * xdx.

1. Wzory redukcyjne całki Js> Dla całek kształtu :

(1)

L.

JSi k =f sin*# cos*# dx

możemy wyprowadzić wzory redukcyjne, analogiczne do wzorów redukcyjnych, jakie wyprowadziliśmy w poprzednim wykładzie dla całek dwu-miennych.

Opierając się mianowicie na wzorze całkowania przez części:

f udv=uv—f vdu ,

połóżmy :

dtt=sin*# cos xdx "ife=

a zatem: sin*⁺¹#

s+1

cos*⁻¹ xdx

—(k—1) cos*⁻²# sin xdx,

a otrzymamy wzór redukcyjny I. w postaci:

sin⁴⁺¹#cos*⁻¹#

I... Jsk =

Iz-1

s+1

Js+ 2, k-2,

s+1

z którego, zastępując s przez s—2, a Ic przez 7c +2, dostajemy:

sin⁵⁻¹#cos*⁺¹# , Æ + 1 s—1

Js-2, * + 2 —

s—1

Js,

a stąd nowy wzór redukcyjny w postaci:

sin* ' ix cos*⁺¹#

II...

Js.k= —

Ä+1

s—2, *+2-

(3)

Otrzymane dwa wzory dozwalają nam jeden z obu wykładników s i k powiększyć o dwie jednostki, a równocześnie drugi o dwie jednostki pomniejszyć.

Z wzoru I. otrzymujemy dalej, mając na uwadze, że:

następujące równanie:

Js, k

Js + 2, k-2 — Js, k—2 Js, k ,

sins+1# cos*'¹#

s+ 1

Js,k—2

k-1

z którego wypada trzeci wzór redukcyjny:

sin,+1#cos*⁻¹# k -1 s+ 7c

III...

Js, k-2-

(4)

- 118 —

Podobnie otrzymamy z drugiego wzoru redukcyjnego, mając znowu na uwadze, że:

Js-2, k+ï — Js-î, k-Js,

równanie :

«J, i

sin^Æcos^+kr s— k+1    ⁺ k + 1

^Js-2,k    *>

z którego wypływa czwarty wzór redukcyjny w postaci:

sin*⁻¹# cos^¹# s—1 7 s Ą-k

IV...

4-2, k‘

(5)

Zastępując w trzecim wzorze redukcyjnym k-\-2 przez k, a więc k przez k—2, a w czwartym wzorze redukcyjnym s + 2 przez s, a więc s przez s—2, dostajemy dwa równania:

sins+1Æ cosfc+1 x

k+1

J$, ifc+2 =

sins+1# cos*+kc 5+1 s+7c+2    s + & -j- 2

z których wypadają nowe dwa wzory redukcyjne:

sin^¹# cosi+1a; , s + 7c + 2 ~ife+ï

sin*⁺¹æcos*+¹a; s + Æ + 2

"4 + 2, *

Js , k ■)

v...

Js,k— —

&+1

<^4, *+2 J

(6)

VI...

Js,k —

5+1

Js₊2, k-

(7)

Ostatnie cztery wzory redukcyjne dozwalają nam powiększać, lub pomniejszać jeden wykładnik o dwie jednostki, nie zmieniając wcale drugiego wykładnika.

2.    Wzory redukcyjne: I. i VI. są nieprzydatne, gdy s= — 1, wzory II. i V. są nieprzydatne, gdy k= — 1, a wzory III. i IV. są znowu nieprzydatne, gdy s — ~k, możemy jednak w takim razie, w pierwszym przypadku (s= — 1) i drugim ([k= — 1), nie zmieniając wykładnika 5, lub k, wedle potrzeby zwiększać lub zmniejszać drugi wykładnik, używając wzorów redukcyjnych III. i Y-go względnie IV-go i Yl-go; w trzecim przypadku (s= — k) możemy, powiększając ujemny wykładnik, zmniejszać drugi wykładnik dodatni, używając wzorów redukcyjnych I-go, lub Ii-go.

3.    ßedukcya całek Jc przy całkowitych wykładnikach. Jeżeli wykładniki s i k całki Jsk = J sin'# coskxdx są liczbami całkowitemi (dodatniemi, lub ujemnemi), natenczas, korzystając z powyższych sześciu wzorów redukcyjnych, dojdziemy, w każdym razie, w końcu do jednej z następujących, wprost, lub metodami elementarnemi wyznaczalnych, całek, jako to:

Jo o,= f dx=x-{- C}

Jo, i = / cosæd:r=sinÆ+ C.

Ji, o =/sin £(?&•= — cosæ+ C.

Jj i = / sin x cos x dx

sĄ-+c.

J-1, -i

dx

-U

J sin x cos x

-i, o

= log tang x + C.

⁼⁼^⁼¹°gtangł+a

(8)

sin x dx

■log cos a; +C.

cosx

Całki funkcyj goniometrycznych kształtu: JSjk = Jsinsxcoskxdx dadzą się więc przy całkowitych wykładnikach s i 7c, dodatnich, lub ujemnych, zawsze wyznaczyć i składają się z funkcyj goniometrycznych i z logaryt-mów tych funkcyj.

4. Przykłady. 1) Wyznaczyć za pomocą wzorów redukcyjnych całkę : J— 3, 5<=> f⁰.⁰-^—^«.

sm oc

Użyjemy tu wzoru redukcyjnego I., zwiększającego o 2 wykładnik przy sin«, przy równo-czesnem zmniejszaniu wykładnika przy cos« również o 2, t. j. wzoru:

J$, k =

sin*+i « cos⁴-¹ x

k_i

f* UpTJ Js+i 1 k—2 , otrzymujemy tedy :

J— 3, 5 = —

Jo, -1 = \

dx

cos x

log tang -g- ^-----xj + C.

£ cm

J.

-i, i

-f

cos a; dx

sin x

log sin x + C.

sin—² a; cos⁴ a;

-2

czyli :

cos⁵ a? sin³«

dx =—

COS⁴«

2 sin² x

²i

cos³«

sina;

dx.

Stosując teraz do otrzymanej nowej całki wzór redukcyjny III., zmniejszający wykładnik przy cosa;, bez zmiany wykładnika przy sina;, t. j. wzór:

T Js, k—2 ,

Js, k —

sin⁴'!*¹ x cos⁴—:!«

Tc—

s -f- Tc

otrzymujemy wzór :

J -1, 3

czyli :

COS³« ^ cos²« , (* sin« dx^~2    ' J

cos²« , 2 T 2~+-2

cos «da; cos²« . .

2--1- log sm « ,

sin«

zatem :

2) Wyznaczyć za

cos⁵« ,

cos⁴«

— cos² «—2 log sin xĄ- C. pomocą wzorów redukcyjnych całkę: J3j_₈= ^

2 sin²«

sin³ « cos⁸«

dx.

Użyjemy tu wzoru redukcyjnego II., który zmniejsza s, a równocześnie zwiększa Tc o 2, czyli wzoru :

sin⁴—¹ « cos⁴+! x fc + l

Tc+1

Js, k = —

z którego otrzymujemy :

czyli :

^3, —8 ——

sin²« cos—⁷«

-7

—7 !» -U

fsin³« ₇

\--=- dx

Jcos⁸«

sin²«    2 P

7 cos⁷ « 7 3

sin « d«

cos⁶« ’

a że mamy bezpośrednio :

sin « dx

dcos« cos—⁵«

cos⁶«

cos⁶«

5cos⁵« ’

zatem :

sin³ « cos⁸«

dx =

sin²«

7 cos⁷«

35cos⁵ «

+■ o.

— 120 -

3) Wyznaczyć zapomocą wzorów redukcyjnych całkę J0 5= JTcos⁵x dx.

Użyjemy tu wzoru redukcyjnego III., zmniejszającego k o 2, bez zmiany s, tj. wzoru:

sin®⁺¹ x cos*⁻¹ x . k—

Js,k

s -p k

s -J-

f Js, k—2

z którego otrzymujemy :

Jo, 5

sina: cos⁴ a;

a zarazem :

JO, 3

sina; cos²a;

+ f JÓ,3,

+ TJ°

,1»

a więc :

Jo, 5

sina; cos⁴a:

4 sina; cos²a;

15

15

gdzie : czyli :

Jo, i = Jcosx dx = sina;,

jcos⁵a; dx =

sina;

5

jcos⁴a;-j--|-cos²a;-|--f- C.

4) Wyznaczyć za pomocą wzorów redukcyjnych całkę: J4 3 = j’sin⁴a; cos³xdx. Zastosujmy najpierw wzór redukcyjny IV.:

sin®⁻¹a; cos^^a;

Js, k

Js- 2, k ,

z którego otrzymujemy :

Ji, 3

sin³a; cos⁴x

a zarazem :

Ji. 3 = —

sina: cos⁴ a;

J ^2, 3 ,

łJo’³’

zatem :

Jł, 3 =

sin³ascos⁴a; 3sina:cos⁴a:

35

, S _

+ 3BJo-³'

Na podstawie wzoru redukcyjnego III. mamy znowu:

sina; cos² x

Jo, 3 =

sin x cos² a;

Y sin xt

otrzymujemy zatem :

sina; cos² x

+ ^sina;+ C.

5. Całki Js,o =f s\nsxdx i Jo. k=Jcos7{xdoc. Na podstawie IV. i III. wzoru redukcyjnego całki: Jsk=f smsxcoskxdx, otrzymujemy wzory redukcyjne całek o i Jo,* w postaci:

Jsin⁴a; cos³azdx=

sin³a; cos⁴a:    3 sin a; cos⁴aj

35

35

Js, 0 — —

sin^-kccos#

s-1

- VS -2,0?

s

Jo,k =

sin x cos*⁻¹ x

Jc

Jc- 1 r

k-2 ?

czyli wzory :

^sin⁴# dx=-

sin⁴⁻¹# cos x

sin⁴⁻²# dx

(9)

cos* xdx =

sin x cos*⁻¹# , Jc—1 f

T 3

Jc

cos k~²xdx.

(10)

a) Korzystając z tych wzorów, otrzymujemy najpierw z wzoru (9): 1) dla parzystego s=2m, kolejno:

— 121 -

sin2ma: dx= —

sin²“⁻ix cos a;

2m—1

2m

2m

^|Sin2m_2a:^a:

sin 2m-2xdx= —

sin2m-3a: cos a:

2m— 1

2m—2

siftZrn-ixdx

sin ²xdx= —

sin x cos x

» CM

a stąd wzór bezpośredni : cos x

^sin2ma:^a:=

sin²"*-¹

1    Si^-% +... + g"⁻*? 'i .siu x) +

2    (2m—2) (2m—4)... 2

(2m— 1) (2m—3)... 1 a:

(2m—2) (2mî—4)... 2 2m

2m—1    .

+ C;

(U)

2) dla nieparzystego s=*2m+l, zaś kolejno:

sin2ma: cos x

sin2m-t¹ a? ćfa:= —

2m

2w + l

sin

«/

2to—1

a:da:,

sin2m 1 xdx= —

sin²“⁻²

cos a:

2m — 1

2m-\-1

2w—2(*    . „ o ,

\ sin2m_3a:aa:,

2m—1

sin zxdx =

sin²a: cos a:

CM CO

sin x dx

f sinxdx= — cos x a stąd wzór bezpośredni :

jsin²“⁺¹a: dx — —

cosa;

jsin2ma; +

2m

2m (2m—2)

(2m&—1) (2 m — 3)

sin²"¹⁻⁴

+ .» +

- sin2m-2a; +

2m(2m—2) ...2 (2m —1) (2m—3)...l

)+c.

(12)

b) Podobnie, otrzymamy z wzorn (10): a) dla parzystego Æ=2m, kolejno:

sina: cos2n—1 x

jcos 2nxdx= Jcos²"⁻² xdx

2m—1

2n

sin x cos2n-3a:

2m—2

( cos2n-2a;da;,

2m j

Jcos2ra—'kxdx,

2m—3

2m—2

jcos ²xdx = a stąd wzór bezpośredni: jcos2na:£fa: =S^:g joos²”⁻¹# +

smamosas

tc I-¹

x,

2 m—1 2m—2 (2w—1) (2w—3)... 3 (2m—2) (2m—4)... 2 ’ 2m

cos2w-3æ 4-... -p

(2m-1) (2m-3)...3

(2m—2) (2m—4)... 2

cos a: j +

h) dla nieparzystego &=2mH-1, zaś kolejno:

sina: cos2w x 2m+ 1

sin x cos2w—2a:

jcos2n+1a:da: = jcos2n ~'x dx =

2m—1

⁺ âlïô[lcos2""’a:*’

2m 2 jcos2n-3;r ^

2m—1

jcos ³xdx

sina? cos ²x

f ~ jcos xdx

f cosxdx=smx-\-C

zatem wzór bezpośredni:

sina;

2n-f 1

I 9

<COSz”iC +

2 n (2 n—2)... 2 (2w—l)(2w—B)... 1

} + C. (14)

jcos 2n+ixdx —

6. Zastosowania. Na podstawie powyżej wyprowadzonych wzorów bezpośrednich otrzymujemy kolejno następujące całki:

—Zi COS²”⁻²iC+...+

j*sin²# dx

since cos#

j*sin⁶# dx =

j*sin⁴» dx = —    jsin³# -j-

cos x I . K B ; ,    . 3 .    \

-g—-|Sin⁵cc+-j-sm^aj-f- —^ sin xj-\-

sin x

2.4 ’

Crt

CO CM

j sin³#Æ# =

^-?{sin²#+2} + O,

I sin⁴# + -|-sin²#-f |^-} + Ci j sin⁷# <?# =— S2Ł? jsin⁶# + — sin⁴# -f" sin²#-f- ~[) + <?•

*T + a

} + T ‘ T+ C’

^cos⁶#«?# = Sd|*jcos⁶# ₊ — cos³#-f-    cos#j+

Jcos³# «?# = I cos²# Ą- 2^ -f- (7,

Jcos⁵# «?# = —jcos⁴# cos²#

jcos⁷# cZ# = ^^³|cOS⁶# -jr-COS⁴# + COS²# +    0 ^

Jsin⁵# dx = —

cos#

j cos²# dx

sin# cos#

Jcos⁴# <?# = ^j* |cos³# +

CO |!M

cos #

5.3

4.2 ' 6

— co

; }+ c,

6.4.2

) + C,

7. Całki kształtu Jm = J“tang™xdx. Całki te należą również do całek kształtu: Js, k—J’sin*# cos* #«?#. Mianowicie otrzymujemy:

sin"* # cos - "* #«?# = Jm,

—m ,

a zatem na mocy II. wzoru redukcyjnego :

sin*—¹ # cosH-¹ #

Js, k

dostajemy wzór :

k+ 1

1 r

zfJs—2, m+2 ,

•Tm,

sin”*—i# cos—"*+!#

—m-\-1

— m-j-1

czyli wzór redukcyjny całki: Jm =J’tang"*# <?# , w postaci:

sin"*-¹ #

(tn—1) cos*"⁻¹ #

Jm—2, —m-(-2,

Jtang"* # dx

czyli :

J tang

j tang"*#«?# = —tang"*—¹ # — J tang*"—² # <?#.

”*—² #«?#

128

Z tego wzoru redukcyjnego otrzymujemy : a) dla parzystego m—2r kolejno:

J tang²⁷- xdx = ftan g2r

—² xdx —

tang²⁷⁻—³#

2 r— 3

— Jtang2r—² xdx, j*tang2r •⁴# rf#,

J tang²# dx — tang x—x -f- <7,

zatem wzór bezpośredni : J tang²’

xdx —

tang²⁷⁻—¹#    tang²⁷⁻—²#

2r—1

2r—2

-f-... -\- (—l)r+! tang x —lYx -f- C.

(15)

b) dla nieparzystego m — 2r 1 , zaś kolejno : Jtang^H-¹

Jtang²''—¹

x dx

x dx =

Jtang³# dx

tang²»" x

--Jtang²' ⁻¹ x dx,

X— j tang2r— 3# dx,

tan g2r—2

2r—2

a że :

J tang x dx =— log cos #4-C, przeto otrzymujemy wzór bezpośredni w postaci:

Jtang^+l# dx

tan g2r#    tang²⁷⁻-²#

2r

2r—2

■f- (—l)r log cos x-\- C. (16)

8. Zastosowania. Na podstawie wzorów, powyżej wyprowadzonych, otrzymujemy następujące całki:

j* tang⁴# dx

J tang²# dx — tang #—# C, tang³ x

tang# -j- # -f C,

j* tang6 (tang =

tang⁵#

tan^— + tang #—# + O,

tang⁵#

tang³#

— tang xĄ- xĄ- C

j" tang³#cż# j tang⁵# dx = j tang⁷ # t£#

tang²#

log cos #-j-O,

tang⁶#

tagg^__taDg^₊iog,oiił+c,

A

tang⁴# tang²#

4    ‘    2

log cos # -f- C.

9.

jest bowiem:

Całki kształtu: ./n=j

dx

tang” a?

należą również do całek kształtu : «7«, k=J'sin'lx cos^xdx,

-f

cosw # rf#

sin⁷» x

sin-⁷*# cos⁷» #d#=J-n, «.

tang»#

Dla całek tego kształtu otrzymujemy wprost, lub na mocy I. wzoru redukcyjnego odnośny wzór redukcyjny, w postaci :

tang⁷»# n — 1 tang⁷»-¹ #

tang⁷»—² #’

Z wzoru tego otrzymujemy :

a) dla parzystego n—2r, wzór redukcyjny:

tang²⁷⁻ #

2r—1 ’ tang²⁷⁻—¹#

tang2r~²# ’

124 —

a stąd wzór bezpośredni :

cotg2r -¹ x    cotg2r—³

f dx ^ tang2r x

b) dla nieparzystego n=2r-\-l, wzór redukcyjny:

2r—1

2r—8

(17)

f das 1 tang2r—¹ic

f_____dx_    __

^tang2r4¹a:    2r ' tang2r x

a stąd wzór bezpośredni :

cotg2ræ

cotg2r~²a3

f dx •Uaiig2r+l x

10. Wyznaczanie całek JS)1i za pomocą podstawień. Całki kształtu:

«7*,*=/ sin*a? cos*a: dx,

dadzą się za pomocą podstawień sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych. Uwzględniając wyniki, do których dochodzimy zapomocą wzorów redukcyjnych, możemy odróżnić następujące podstawienia: 1) sin x — u,

2r

2r—2

co tg² X

-.-+(-1) ₂

(—l)rlog sin x -j- O. (18)

2) cosx=u, 3) tangx=u, 4) tang~x=u, 5) tang-^-^~—a;j

= w, znane u nas

pod nazwą „podstawień Źmurkowskich“. 1) Kładąc Simamy :

cosa;=l/l—u². dx —

du

Vï-ü"

otrzymujemy zatem :

k-1

Js, k—f sinsa: coskxdx=fus (1 —w²) ² du

a więc wprost całkę funkcyi algebraicznej, całkowitej (wymiernej, lub niewymiernej), gdy wynik Jc jest liczbą nieparzystą dodatnią.

2) Kładąc cos x=u, otrzymujemy:

Vl — u², dx —

sinæ=

(19)

du

Vi -

2*

zatem :

8-—1

(20)

Ja, k~J sinsx coskx dx= —Juk ( 1 — u²)² du

a więc wprost całkę funkcyi algebraicznej , całkowitej (wymiernej, lub niewymiernej), gdy wykładnik s jest liczbą nieparzystą dodatnią.

3) Kładąc tangx—u, mamy:

sina: cos a:

1 Vl + u² ’

a więc :

sina:

Vi +«²

cos x —

Vl + w² ’

wreszcie :

d tanga:

dx

cos²a:

du, przeto dx=

du

1 -yn² '

Otrzymujemy zatem :

sin'a: cos*# dx=

us du

(1 + *²)

'-T +* ’

(21)

a więc wprost całkę funkcyi całkowitej, gdy suma s-\-h jest liczbą parzystą ujemną.

— 125 —

4) Kładąc tangua:—

u, mamy :

sin

cos — X

a więc :

sm — #=■ Z

skąd, mając na uwadze, że:

Vl 4- w²

V \ + u

1

cos x= -__=,

2 Vl + «*’

sin z = 2 sin — a: cos — x <Ł    &

cosa; = cos

—sin

otrzymujemy :

sm a*

1 -f W

cos a:

1 —w²

1 + M²'

Gdy nadto ćZtang ^ a:

Z

COS

-— — (?w, a więc dx—

<i a?

2c/«<

1 -j⁻ W

przeto otrzy-

mujemy :

«’(l—-w²)*

(i -f m²)*+*-H

a więc wprost całkę funkcyi wymiernej, całkowitej, gdy wykładnik Ic jest liczbą całkowitą, dodatnią, a suma s + Jc liczbą całkowitą, ujemną.

Js, k =fsmsx cosi’a:c?i:=2*+¹ ^

du

(22)

B) Kładąc tang-^-^— x^j =

u, mamy:

⁰⁰⁸ 4 ( —*)

Vl + M²’

zatem :

⁰⁰⁹ 4 (f^)“

Y/l + uŁ ’

stąd, ze względu na to, że:

sin x = cos

(H-

cos a:=sin

cos4(f-*Hn24(- “4

2 sin

tO I—¹

K <N

dostajemy :

1-w²

sin x

1+ u

-₂, cos ai=

1+M²’

Gdy nadto tZtang ~ a:j

dx

cos

²v( -*)

tO i-¹

K (M

du

a wi ęc :

przeto otrzymujemy:

*2 du 1+ W²

Js,k= \sinsa: cos,va; dx=

—2*+!

r    (i—u²y

J(l+W²)s + A ' ¹

c?w,

(28)

a więc całkę funkcyi wymiernej, całkowitej, gdy wykładnik s jest liczbą całkowitą, dodatnią, a suma s-\-k liczbą całkowitą, ujemną.

to 1) gdy oba wykładniki s i k są

11. Ograniczając się na wykładnikach całkowitych s i &, musimy jeszcze rozważyć trzy przypadki, w których żadne z powyższych pięciu podstawień nie prowadzi do pożądanego celu ujemne, a ich suma jest liczbą ujemną, nieparzystą, 2) gdy jeden wykładnik jest dodatni i parzysty, a drugi ujemny, ale suma ich dodatnią, 3) gdy oba wykładniki s i k są dodatnie , a ich suma liczbą dodatnią, parzystą.

1) W pierwszym przypadku mamy całkę kształtu :

•M

dx

sin™# cos2r+1—™ x gdzie liczby m i r są całkowite dodatnie.

Mnożąc w tym przypadku licznik przez 1 = (cos²# + sin²#)'r, otrzymujemy daną całkę w postaci:

(cos²# -fsin²#)”

n ~r

cos2r~2w#sin2w#

dx= \2

J n= 0

a więc w postaci sumy (r+1) całek, z których każda , wobec tego, że suma wykładników przy cos# i sin# będzie równa

stawień: tang    lub tang#j=w, da się sprowadzić do całki

sinw# cos²”+1_rn#

sin”'# cos2r+1—

dx

(24)

— 1, za pomocą jednego z pod-

funkcyi wymiernej, całkowitej.

2) Jeżeli z obu wykładników s i k jest jeden dodatni, a drugi ujemny, ale tak, że suma ich jest dodatnią, przyczem wykładnik dodatni, jest za-parzysty, wówczas możemy, korzystając z relacyi : sin²# + cos²# = l, uwolnić się od jednej z tych funkcyj.

Otrzymamy mianowicie :

razem

sin²”# dx P

# J

(1— cos²#/ dx

COS

2r—m

COS

2r—iriQß

f cos²”# dx r 3sin2r_w# J

(1— sin²#)rćńc

sin2r_m#

(25)

więc całki, do których możemy zastosować podstawienia powyżej wskazane. 3) W trzecim pozostałym przypadku mamy całkę kształtu:

Ja k=x jsin"# cos*# dx,

gdzie wykładniki s i k są liczbami dodatniemi i parzystemi.

W tym przypadku możemy iloczyn P= sin*# cos*#, rozłożyć na dodajniki.

12. Rozkładanie iloczynu sin*as cos*«; na dodajniki. Połóżmy w tym celu : cos x-\-i sin #=exi=lx=u cos#-H' sin# = e_a;i=l_.r=w

iù —u ¹

a zatem :

cos#

w¹-f w

sin#=

a sprowadzimy iloczyn P= sin''#cos*# do postaci:

P=sin*# cos*#=

(w¹— W⁻¹)'⁵ (w¹ + W“*)*

2*+*r

Wykonawszy wskazane mnożenia, otrzymujemy iloczyn:

p    + A₂ua>-{-    + ...

2'+*ix

(«)

- 127 -

Jeżeli w iloczynie P zastąpimy ux przez u ■- i est zatem :

(_1), J

AiU~ai + A₂w~aj-f ...Ą-B^u^Ą-B^- + ....

natenczas otrzymamy

jako wartość iloczynu:

P=(-l>

(&)

Aby wyrażenia (a) i (5) były tożsamościowe, musi być:

A.^ua' = (—1)*    ,

A₁=(—lyPi, zaś ai=ßi.

Wobec tego, otrzymamy dany iloczyn w postaci:

[tt«r 4- (.— 1 y U-*r]

F~    2*+* i*    ¹

a więc w przypadku, gdy wykładnik s jest liczbą parzystą, w postaci:

2*+i(_l)2

a w przypadku, gdy wykładnik s jest liczbą nieparzystą w postaci:

2*+* (—1)T

przeto :

(«)

(0)

Mając na uwadze, że wobec:

cos a# + &sin ax=eaxi—lax=utt, cos ax—i sin ax=e~axi = l-ax=u~a ? w“+w_a=2 cos aa?, zaś ua—u~a=2i sin a#, otrzymujemy zatem iloczyn P, w przypadku parzystego s w postaci:

^2Arcos arx

mamy :

JP=sin*# cos*#=

(26)

2*+*(- l)²

w przypadku nieparzystego s w postaci:

22 Ar sin arx

S — 1

2*+* (—1)2

Iloczyn P= sin*# cos*# da się więc w przypadku, gdy wykładniki s i h są liczbami całkowitemi, przedstawić, jako suma cos, lub sin wielokrotności, zmiennej #, stosownie do tego, czy s liczbą parzystą, czy też nieparzystą. Całka kształtu Jg)k rozpada się w tym przypadku na całki kształtu:

sin mx

P= sin*# cos*# =

(27)

^cos mxdx

¥C

^sin mxdx=

cos mx

■m

\-c.

13. Prawidła Żrnurki. Z powyższych wywodów wypływają następujące prawidła praktyczne , dotyczące wyznaczania całek kształtu :

Js k = j¹ sin* x coskxdx, powszechnie prawidłami Żmurki.

Pierwsze prawidło: Jeżeli wykładnik przy cos# jest liczbą nieparzystą, a więc Je = 2r-blj podstawiamy sin#=w.

Drugie prawidło: Jeżeli wykładnik x przy sin# jest liczbą nieparzystą, a więc s=2r-pl, podstawiamy cos #=w._

zwane u nas

128

Trzecie prawidło: Jeżeli suma wykładników przy sin.« i cos« jest liczbą parzystą, ujemną, a więc sĄ-h— — 2r, podstawiamy tang«=w.

Czwarte prawidło: Jeżeli wykładniki przy sin« i cos« są liczbami całkowitemi, ale znaków przeciwnych, przyczem suma tych wykładników jest liczbą ujemną, a więc, gdy s-\-7c=—r, natenczas używamy podstawienia

tang ^«=w, gdy wykładnik Jc przy cos« jest liczbą dodatnią, a podstawienia tang -g-    —x^j=u, gdy wykładnik s przy sin« jest liczbą dodatnią.

Piąte prawidło. Jeżeli oba wykładniki przy sin« i cos« są ujemne, a ich suma jest liczbą nieparzystą, a więc (s+fc)= — (2r+l), natenczas mnożymy licznik przez l = (cos²« + sin²«)r i rozkładamy całkę na szereg całek, Jo których możemy zastosować czwarte prawidło.

Szóste prawidło. Jeżeli z obu wykładników przy sin« i cos« jeden jest dodatni, a drugi ujemny, jednakże tak, że suma obu wykładników jest dodatnią, a przytem wykładnik dodatni jest liczbą parzystą, natenczas, za-pomocą relacyi cos²«+sin²«=l, uwalniamy się od jednej z tych funkcyi, mianowicie tej, która występuje w liczniku, a otrzymujemy tym sposobem szereg całek , do których dadzą się zastosować poprzednie prawidła.

Siódme prawidło. Jeżeli wykładniki przy sin« i cos« są liczbami całkowitemi, dodatniemi, natenczas rozkładamy wpierw iloczyn sin*« cos*« za pomocą podstawienia cos x-\-i sin x=u na sumę złożoną z sinusów, lub cosi-nusów wielokrotności zmiennej «.

Na mocy tych prawideł możemy całkę e7j,*=/sins« cos*«c7« przy wykładnikach całkowitych, dodatnich, lub ujemnych zawsze wyznaczyć, a przy wykładnikach ułamkowych tylko w tych przypadkach, w których stanie się zadość jednemu z wymaganych warunków całkowalności.

14. Przykłady wyznaczania całek Js,k za pomocą prawideł Żmurki.

1) Wyznaczyć całkę J=J cos⁵# sin²# dx. Mamy tu k = 5, użyjemy więc podstawienia sin x = u , a otrzymamy :

j* cos⁵« sin²«(£r == J (1—u²)h^du — ^ — ~4- ^ -J- (7,

zatem:

f r . „ , sin³« 2 sin⁵« , sin⁷« , . j cosJ «sin² dx =— -------1 — C.

2) Wyznaczyć całkę J — Jcos⁴« sin⁵« dx. Mamy tu s—5, podstawimy zatem cosx=ut a otrzymamy :

= — J«⁴(l — ul)’Łdu = — £

zatem :

Jcos⁴« sin⁵« dx — C

cos⁵« t 2 cos⁷« cos⁹« 5    ⁺    7    l

(* cLoc

3) Wyznaczyć całkę    —• Mamy tu: s k= — 6, podstawimy zatem tang« — u,

— ---------- dx-

Vl +

a więc cos«=

du

1 + «²’

a otrzymamy:

zatem :

f*    Q    U**

J= J (1 -f - w²)² du —u -j- — u7, -j- — -{- C,

Ç dx    2    1

J -^6^ = tans* + -3 tanS³'r + -5 tang⁵« + C.

Z* /YfJJ

4) Wyznaczyć całkę J=J według czwartego prawidła:

sin⁵ a:

. Mamy tu s-\-k —— 5, k = 0, podstawiamy zatem

tang-^-=M, a więc: sin*

Wskutek tego otrzymujemy :

(1 + u*)* du

c dx i r Jsin⁵* 2⁴ «)

M⁵

1 J «-4

"16 1“

— 2«-*

1 + m²

, dx

2du

1 + u»*

zatem :

r*

sin⁵* 16

{-

4 tang⁴—

^^(m—⁵ -J- 4m-³-1-6m—¹-|-4m -f-«³) du —

rt/4 v

+ 61ogw4-2w² + -J+ <7,

- + 6 log tang ~ -j- 2 tang² -J + -^tang⁴-|-|.

tang²-^

5) Wyznaczyć całkę J = j —Mamy tu s + fc = —3, s— 0, podstawiamy zatem

według czwartego prawidła :

tang -i-    --x^=u, a więc : cos *

Otrzymujemy tedy:

[ dx _    ¹ Ç

J cos³* 4 J

czyli :

2du

dx — —

1+U²’

=--i- j*|m—³    2m—¹ -}- u\ du =

1 /m-2    M² \

“ - 4 ( -2 +21ogM + —}+ <?>

(1 -j- M ²) ² (?M

M³

COS³* 4:\

+ 2 log tang -i-    —+

1 -j- M²

2tang!4-(ł_ *) tang,ł(ł_*)

przyczem możemy wynik przekształcić na podstawie relacyi:

tan*y(|—*)“

sec* — tang*, —;

tang

sec * tang *,

chcąc otrzymać w rozwiązaniu funkcye goniometryczne samej zmiennej *. 6) Wyznaczyć całkę «7=^

dx

. Mamy tu s Ą-k——5, przyczem s=—2, k=—3,

sin²* cos³*

pomnożymy zatem, w myśl piątego prawidła Źmurki, licznik danej różniczki przez:

1 = (sin²*    cos²*)²,

a otrzymamy:

dx

sin²* cos³*

cos²*)² dx

6 (sin²* -J-J sin²* cos³*

-J-

sin²* dx

cos * dx sin²*

cos³*

Z otrzymanych trzech całek, wyznaczamy pierwsze dwie za pomocą podstawienia tang ~    — *^ = M , otrzymujemy tedy najpierw :

₌_1 f(i_

4 j M³

sin²* dx

cos³*

-M²)

du —

1 IM“³

"4U2

cos *

— 2 log M -|-

}•

zatem :

sin²*d*

cos³*

8tang>-i(|--*)

i log tang \    tan«! T (I - *)

następnie :

*0'

cos *

trzecią całkę wyznaczamy za pomocą podstawienia sin* = M, w postaci:

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. ïom II.

cos x dx

sin²a?

rdu i

3 u²    u

sina;

cosec x,

przeto, otrzymujemy ostatecznie:

dx

sin²# cos³ a;

g2\i-x)

~ log tang — {Ą- — a;) - cosec x+C.

tan

7) Wyznaczyć całkę J= j*

cos ⁴ a;

sin x

cZa\ Mamy tus-j-fc = 3, s= —1, k = 4. Kładąc zatem:

cos⁴a? =(1—sin²a?)², otrzymujemy: cos ⁴ a;

sina;

dx

(1— sin²a?)²

sina:

- dx

a że :

J'

sin x

sinxdx — — cos a:,

przeto , otrzymujemy ostatecznie:

cos *xdx

sina?

2 Jsin a; dx -f- Jsin ³a?c?a?,

=[ *

= log tang —

^sin³a?<ża: = — cos a; -f- °°g-— ,

sina:

ai    flAQJ/ïi

log tang y + cos a; + —g

+ O.

8) Wyznaczyć całkę J = j* sin²a;cos^xdx. Kładąc sina; = otrzymujemy: sin²a?cos⁴a: =

(w¹—w—l)² (w¹ -j- w-¹)⁴_

u¹— w—1

—--, cos a;

2i

^ (w²—2+ w~²) (w⁴ + 4m² + 6 + 4w~² + w~⁴) ==

= — ~ Iu⁶ + 2wł—w²—12—u—'2-}- 2«-⁴ -f m-6|= — ~ |2 cos 6a? 4-4 cos 4a? — 2cos2a? — 12} =

==■ —    |cos6a; 4-2cos4a?—cos2a;—6}.

“64

przeto:

a więc :

j sin²a:cos⁴a:«Za?=— ^ ^(cos 6a? -\-2 cos 4a?—cos 2x—6) dx,

6a:| + C.

Jsin²a;cos⁴a:da; —

_ 32

1 łsinóa;, sin4a? sin2a?

I 6

15. Wzory, rozkładające funkcje goniometryczne sin*# i cosfeæ na do-

dajniki. Kładąc cos#4-«sin#=«j

u{ + u~i

COS X

cos x—i sin x=u u

sin #= —

-i

a więc:

, gdzie u=exi,

(porównaj Tom I. str. 594.), otrzymujemy: (w¹—w⁻¹)'

sin*#

2* i*

u*

-4

COS*# =

{uxĄ-u~x)k

2*

M#+

czyli :

sin*#

rz=s

us ~2r ; cos* x

Dla parzystego s=2w będzie zatem :

sin²” #

(-1)*

r=zk

- 13~

CM

2ra —2r

{[w²" 4- w~2w]—j[w2 4-m (²”-2r)]4_ ...4- (—l)n

22w

n-2

4-n-(2»-2)]4-... +

4" W

czyli :

r—n

sin²" x

- 131 -

2«—2r

dla nieparzystego s = 2w-f-l, będzie zaś;

(-1)’

j[W2* ₊ l_ w-(2n+l)] _^ + l

+ (—l)r    [w2wfl-2r—M-(2n+¹-2r)]4- ... -f (- 1)« ^2W + ¹j[M¹-W~¹]}

T — 71

2(-w-(2w+¹-²'-)].

b) sin²”+¹# =

czyli :

2²”+i i

2n-l

—M (2w b] —j—... —j—

sin2n+¹x =

(-D¹

22n+¹ i

Podobnie otrzymamy dla parzystego k=2n : cos²”#=

C)

2«-2 + w-(2w_2)j₊ _ ₊

(>

2n — 2r

-f U -(2*-2r)

czyli :

(.>

+ W“²

]}⁺ W" («)

r=n—1

cos2n#=

i 2 (>

2« -2r

-\~U (2n—2r)] _j_

¹ (?)•

2²"

dla nieparzystego Æ=2w-j-l, zaś: d) cos²"⁺¹æ=

(²”r+ X) [m²*+,-!’-+m-<²”+¹-²’')]+... +    + M [«<+«-<],

2n—1

czyli :

r=rw

cos2n+1 x—

—(2n-(-l —2r)j,

Na mocy wzoru Moivre’a [Tom I. str. 139.] mamy:

wn=(cos# + isin #)n=cos nx-\-isinnx ,

zatem :

un + u~n=2 cos nx, un - u~n=2i sin n x.

Wobec tego otrzymujemy następujące wzory, rozkładające funkcye : sinsæ i cos*#, na dodajniki :

cc)

sin2w#=

(-1)”

22n_1

jcos2w#—    cos(2w—2) #+...+

czyli :

-f (—l)r ^Wjcos (2n—2r)x-\-...(—I)”⁻¹

ß)

rz=.n—1

2 (—■l)r^W^cos (2n—2r) x+

O    \r /

jsin (2w +1) x¹ j 4-(—\.)r{^n^ ^ sin(2w + l — 2r) # + •••+ (— 1)” ^WJ~^sina: j

sin²”#=

(~l)n

22»-l

22n

sin2w+¹#=

(-1)”

22re

sin (2n—!)# + ...+•

czyli : następnie:

sin²”⁺¹a: =

(-1)*

2²«

rz=n

2(—l)r P‘nJr^ \ sin (2» + l—2r)#;

r-n    \ Y /

(29)

y)

COS

2w /y»__

x—2²"-¹

jcos2n#+    (2w—2)# + ...+

+ ( r”)⁰⁰³ @n~*r) * + («—l) 003 2*} ⁺ 2^ fr)

czyli :

COS2n# = -

S=T 2 (²”)°os(2«-2x)*+    (²”),

(30)

à)

COS²”⁺¹#

= |cos(2w +1)05+    ¹ j cos (2n

cos(2w+l—2 r)x+ ... +

/2w + l\ \

i « )“•*/

czyli :

COS²”⁻*⁻¹ #

= 25,-2 (²”r⁺¹)oos (2«+l-2r)x.

FzzzO '    '

(31)

Stąd wniosek:

Parzyste potęgi funkcyi sin# dadzą się rozłożyć na sumę cosinusów parzystych wielokrotności, zaś nieparzyste potęgi funkcyi sin# na sumę sinusów nieparzystych wielokrotności zmiennej #, opatrzonych pewnymi spół-czynnikami, mającymi znaki, naprzemian dodatnie i ujemne, natomiast parzyste potęgi funkcyi cos# dadzą się rozłożyć na sumę cosinusów parzystych, a nieparzyste potęgi na sumę cosinusów nieparzystych wielokrotności zmiennej #, opatrzonych pewnymi spółczynnikami, stale dodatnimi.

16. Wzory szczególne. Z powyższych wzorów ogólnych, otrzymujemy następujące wzory

szczególne :

sin⁴» =

sin⁶» =

sin⁸»=

^-cos 2x ~

“"2

cos 4x--^ cos 2» +

2“’

¹ o ¹    „ , 7    1    „ . 35

_ cos te -- COS te +82'>oste - ^ cos2* + ^

^-sin3» + -|-sin»,

sin 3» + -^- sin x , sin² » =- ^ sin 7» + ^ sin 5x—    sin 3» + || si

-^-cos2» +

113 cos⁴» =— cos4» + — cos 2» + -g-,

sin³»—

~T

sinf,»= —r sin 5» —

16

n »,

cos²»=

32 cos to + 1 cos 4* + cos a« +1, jigeosto + i cos 6* + Icos te + ^ cos 2^ +

i

cos³« —cos 3x -(-^ cos 5x -f- ^ cos Sx -\- ~ ^cos7x₊lcos5x + |COs8x + g

cos⁶x=

cos⁵« =

cos⁷x=

cos«,

cos x ,

cos « ,

17. Całki Js, o=/sin*05 dx, «7o,*=/cos*as das, wyznaczone zapomocą rozkładania funkcyj sin* as i cos* as na dodajniki. Na podstawie wzorów rozkładających funkcye goniometryczne sin»# i cos*# na dodajniki, otrzymujemy wprost następujące wzory całkowe :

1)

sin²”# dx—

(-!)•

r—n—1

2)

sin²”⁻*⁻¹# dx

f 1 ^r(%n\sin(2w—2r) x tŚ! ~ }\r)    2n-2r

(_l)n+i^n    /2w-f 1 \ cos (2w + l

] { r )    2n+l—2r

22n -1

22n

r=n—1

wÇn)X + a

—2r)x

+ O.

3)

COS²”# d#

4)

COS²”+¹#ć?# =

1    ^ /2sin (2«—2r)x

n-¹ 'r )

. r=n

1 ^ /2w + l\ sin (2w+l—2r)# 2²” ~ V r )    2n+l—2r

2n—2r

1 /2w\

w Uf+c-

f c.

18. W szczególności, otrzymujemy stąd :

Jsin²x<żx =—~ . —

C ■ a y 1 /sin4«

J⁸“ x<to=2>-\—4

J sin⁶xrfx

ar - U —+ W “a ⁻}+ ar W* +

« -j- C.

h-¹ 05

isin⁶ajda: =

cosx)+c 1 Icosöx /5\cos3x /5\cos«l

^“b“ -UJ—+w^-f+a

f . , ,    1 /cos7x

Jsmit,te=2rW

/7\ cos 5«    /1\ cos 3«

W “B“+W-8

(3) cos x\ -f- C.

Ç „ ,    1 sin2x ,    1

JCOS’«ix = - —

{”4-+(0 8J¥-1+ i (2) *+ «

f „ ,    1 fsinßx

Jcos%*,= ar!—6

rH

CD rH

l*+

sin 4x

sin 2« i 1 2 J⁺ 2®

co co

)x+C

f    ,    ,    1    /sinon;

Jcos x<te=Y>    (—8

f , ,    1 / sin 5x

jc08‘»te=-2T(—F

(*    ,    ,    1    |sin7x    /7\ sin 5a;

2Ï    { —+ (.J—5

CO H

h-* Ol

sin x

}+ C.

sin Sx

} + a

ł- (2) ⁸¹ÿ^ + (s)sin æ) + c'-

LC ZU

sina:

19. Całki tT3>k=f»insxcoskxdx o wykładnikach ułamkowych dadzą się wyrazić przez funkcye znane, tylko pod warunkiem, że, albo :

1    ,i    ~    .

-3-, albo -5

jest liczbą całkowitą (dodatnią, lub ujemną).

Warunki te stanowią t. z. warunki całkowalności całek dwumiennycb. (Por. art. 2. str. 106.).

Jeżeli jeden z tych warunków jest spełniony, możemy wyznaczyć odnośną całkę za pomocą jednego z pierwszych trzech prawideł Żmurki.

sin¹/*# cos⁵/*#

«+ 1

albo —g

S -j-1    Ä-pl S-J-Æ

s+/c=-i

Mając n. p. wyznaczyć całkę e/=j

ó/#, zauważymy, że mamy tu

iG Ol

— —2, że więc suma wykładników jest liczbę ujemną, parzystą użyjemy zatem, na podstawie trzeciego prawidła Żmurki, podstawienia : tang x=u, a więc sin# =

cosx

VV +1

dx

du

w² +1

Otrzymujemy tedy:

sin ll*xdx cos⁵/*#

-5

zatem :

m,/*(w²+1)*/». du (u²+1)^(m2+T)

^u'l’du =

co

WV»

sin'/» æcfo cos⁵/* #

-s- tang*/* a; + C. o

więc nie da się wyrazić przez

Jeżeli zaś nie spełnia się żaden z powyższych warunków, wówczas całka: e7,,*=/sins#cos*#ć/# nie da się żadnem z powyższych podstawień przekształcić na całkę funkcyi wymiernej funkcye znane. Całki tego rodzaju dadzą się, za pomocą wzorów redukcyj-nych, sprowadzić do całek, w których wykładniki s i h będą leżały między granicami —1 i -ł-1, a dalsze ich wyznaczanie mogłoby się odbyć za pomocą szeregów.

Za pomocą podstawienia sin#=w te całki sprowadzają się do całki dwumiennej :

*-1

Jt,k=f sin*a: cos*# dx =f u*(1 — u²) ² du, która ostatecznie, wskutek podstawienia u²=z, otrzyma postać:

»-i    t—1

5/0 ² (1—z) ² d8—$aP{X—e)*de,

a więc prowadzi do nowych funkcyi przestępnych, zwanych całkami Eulera (patrz T. II. str. 113. art. 11.).

- 135 -

Ćwiczenia VIII.

Wyprowadzić następujące wzory redukcyjne :

1) C sin” xdx =--sin»—¹ x cos« 4

«J    n

sin»—² cc dx.

2)    Jcos»«cZ« — cos”—¹ x sinx --Jcos»—²xdx.

3)    j*sin⁷” x cos» xdx

— sin”¹—¹« cos»+¹« 4- m .Çsin⁷” to-f- n    m -j- n J

—2xcos» xdx.

sin⁷” x cos» xdx =

sin”^¹ «cos» - ¹ «4

n—1

sin⁷» x cos»—²« <Z«.

*>

sin⁷”«

cos»«

dx =•

1 sin⁷” -¹ «

m — n cos»⁻¹ «

+ »LrJf

to — n J

sin⁷”—² «

cos» «

dx.

sin⁷”«

cos»«

dx —

1    sin”^¹«    n—to —2

n — 1 cos»—¹« "H n—1

sin⁷”«

cos»⁻²«

dx.

⁷> i

cos»«

sin⁷”«

dx——

1 008»+!« m—n—2 to—1 sin⁷”⁻¹ x ‘ m— 1

cos»«

sin⁷”—²«

dx.

8)    j

9) j *

10)    j

U) J-

12) f

sin⁷»«

cos» «

dx

cos «

to —1 sin'”—¹ «

1 sin« n — Ï cos»—¹

sin⁷” « cos»«

dx

to—2 r    d«

m—i «3 sin⁷”—² x

n—2 Ç dx x »—1 J

cos»—²« ’

w—1 ’ sin⁷»-¹ «cos»-¹ z

m    n—2    (*

“1 m—1 J

to 4- »—2

sin⁷»« cos»« « — 1    sin⁷”-¹ « cos»—¹ «

cZ«

sin”¹« cos” «

(to— l)sin²« — («—l)cos²« (to—1) (n—1) sin⁷”—¹ « cos» -¹ «

<Z«

sin⁷"—²« cos»«

dx

sin”⁷ « cos»—² « *

(to -(- n — 2) (w -j- n — 4)

<Z«

(to—1) (n—1)

sin⁷»—² « cos»—² «

tang»—¹«

Jtang»—2« dx.

13)    Jtang”

14)    f—*!

4 tang» «

Wyprowadzić następujące wzory całkowe :

15)    Jsin²« <Z« = —sin « cos « 4*    4" C-

16)    ^sin³«<Z« — — -i- sin²« cos « -j- cos « 4-

17)    Jsin⁴«(Z«=—sin³«cos«—

18)    sin ⁵«cZ« =—^-sin⁴«cos« —

19)    jsin⁶xdx =--sin⁵« cos « —

20)    J cos²«d«= sin * cos «    -g- * -f- C.

f    1    2

21)    J cos³«fZ« = -g-sin x cos²«-j—g- sin « -j- C.

x dx

n — 1 ’ tang»—¹ «

tang»—² «’

02: tO

1.3

2.4

1.4

8.6

sin« cos « 4

sin²« cos«—

1.3

2.4

2.4

8.6

x C.

cos «4- C.

.    . ,    1.3.5 .    . 1.3.5

sin³ « cos «—    j—g sin « cos « 4- ^ 4 g x 4"

10 co

f    1    1 . '

22) J cos⁴x<żx = — sinxcos?x-J-

1.8

2.4

since

sin³x

sin⁴ a;

sin⁵.»

30) j *

coscc

2.4

3.5

03] H*

1.5

4.6

sinxcos³x -{

1.3.5

2.4.6

since cos x

1.3.5

2.4.6

x -f- C.

oc 1

= log tang — = ~ log y

— cosx

1 cosec

2 sin²x

-)- cosx

1    3î

2    logtan& ~2 +

1 cos a; 2 cos ce 3 sin³ ce

1 COS x

4 sin⁴ce

+ C. 26) j- ■**

sin²x

cos®

since

3 sina;

1.3 cos a; ,1.3.    , ce , _

27i si£^⁺2T4l08tan« -2 +K

1+tang^-tang ~

log tang    -f *) = l°g (secx tang*) + C.

— ~ log tang (y — x) + a

= - log tang ~    - ce) = log cotg ~    - a?) = log -

¹ i ¹

= 2-l°gï sin x

1 + sin x

— sin x

+ a 82) ) dx

81) j *

88) ) ix

“äJ-SOT

86) j dx

37)    j

38)    j 8») )

40)    )

41) )

42)    j 48))

44))

46))

46)    j*sin³xö!x =

(* 2 1

47)    \ sin⁵ xdx = — cos ce -f- -g-cos³x—^-cos⁵ce-f- C.

cos² a;

coscc

cos³ a:

1    sina;

2    cos²ec

1 since

2 sina;

cos*x 3 cos³x ' 3 coscc

f o.

1 since 1.8 sin x 4 cos⁴ce '2.4 cos²x

^logtimg -i(|—*)+C-

1 sin ce ,1.4 sin cc ,2.4 sin x

cos⁶cc 5 cos⁵cc 3.5 cos³cc sin cc dx

cosx sin² xdx

cosx

sin³x<Zx

cos x sin⁴ xdx

cosx

sin⁵x<Zx

cosx sin⁶ xdx

COS X

dx

3.5

coscc

+ 0.

— logcosce 4* C— log sec a; 4~ C.

—since

- log tang (y - *) 4- O'.

=--^ sin² cc — log cos cc 4- C.

—--^ sin³cc—since — log tang --x) 4- C.

=—sin*x— * sin²x—logcosx4-C¹'-

sin³x—sinx—log tang —x) -\- C.

031 I-¹ K) I

sin x cos ² x

dx

sin² x cosx

dx

sinx cos⁴x

dx

4-sin⁵x—

5

.+ log tang-f + C.

sinx

3 ’ cos³x

sin⁴xcosx    3 ’ sin³x

4- ^ cos³x4- C.

— cos x

log tang y    —x) 4- o.

⁺ Wï + logta”®T+a

log tang — (-g—x) 4- C.

sinx

48)    Jcos³®<Z® =

49)    ^ cos⁵ x dx —

50)    Jsin⁴® cos³®«Z® = -i-

⁶¹> 1 ⁵³)J

64) j *

66) f *

<z®

cos⁴®

sin³®

cos⁵®

cos⁶®

i sin³® 4~ C.

2 1

—g- sin³ ® + -g- sin⁵® -f Ć7.

sin⁷® + C.

- = tang® 4- -|-tang³® + <?• 52) J

<Z® = tang⁴® 4~ (7.

2 1

*= tang® -j- — tang³® + -g- tang⁵® -J- C.

sin® —

sin®

sin⁵ ® —

<z®

sin²® cos²®

tang x — cotg® 4* Q

sin⁵®

x ^-+ 6 loS tans|- + 2 tan£s - J + 4tang* y} + Ci

4 tang⁴-g- tang²-2*

dx

sin²® cos³®

4- 6 log tang-^- — ®) 4-

tang²-^-(|--®) Ą-C.

57) [

sin²®

cos³®

<z®

1 sin®

58)

sin⁴®

cos³®

dx

cos²®

f ~ log tang ~ (|- - ®) 4- C.

4sin *}+4 ios tang 4 (4 ~ *)+c-

1

— log tang-2-4- 6’.

ÏS l⁰⁰⁸’* - 4 oos4_ Tlo«tans T + a

2 cos²®

coW

sin³®—

1    cos®

2    sin²®

69) j

60)    f

61)    J

62) 5 68) 5

64)f 66)5

69)    J sin⁵® <Z®=— ^ cos 5® -{- ^ cos 3 ®

sin³®

cos⁴®

sin³®

dx

sin® cos³®

2 cos²®

dx

sin® cos⁴®

3 cos³®

dx

sin²® cos®

sin®

4* log tang® -f- C.

+ ^ + *°e tan* f

log tang 4(4“®) 4" °‘

dx

3 cos x

sin³® cos²® sin²® cos ®

2 sin²®

dx

sin⁴® cos x

3 sin³®

sin 4 ® —

sin®

-+4 io& tans f-+C.

log tang 4(|—)+a

sin 2 ® 4~ -E- « 4" C.

⁵ , ---g- cos x -j- C.

70) ^cos²xdx = sin 2® 4~ 4 x "ł" Ci 71) J cos³® <Z® =

f    113

72) j cos⁴® dx = ^2 sin4 ® 4- -j- sin 2 ® 4~ -g- * 4- C.

toi

3

sin 3® 4 T sin® 4- C.

4

15    B

73)    coshxdx—^ sin5a;-|- — sin Sx + sina; -f C.

74)    j'sin²ajcos²£<;da; =--"32^ "H ^

75)    J sin² x cos³ a■ dx = — ^ j-1. gin 5 x -(- --

r    1 11

76)    J sin⁵» cos⁵a;cfcc ——— j--

77)    J sin⁴a; cos² xdx = ^

78)    j*sin²x cosixdx — — ~ sin 6a; -j—sin4a; —

79)    J sin⁴a;cos⁴a;dx=|~g Wykazać, że:

80)    2²«—¹ sin2w x=(— l)n |cos2na;—cos(2»—2)x-\-.. -p- (—l)”-¹(w^^cos2x|-(- Tj~(^T)-

81)    2²” sin 2²"+¹ x = (—l)w {sin (2n ll)x-[2nf l) sin(2rc -1) a; +... +(-lf (2n + ¹)sina;}.

82)    22n—1 cos²” x — cos 2»a; -f-    cos(2»—2)a;-j-.,.-(-    cos2a;-|-    (^f)-

a; = cos (2» -j- 1) x 4-    cos (2n— 1) x +•••+    *)

V/sin⁷x-f- C.

V/cos³x -)- C.

cos 10 x —

sin 6x—

} + C. -jj- cos 6cc 4- 5 cos 2x j -j- C.

sin Sa: — 2 sin x

~ sin 2x j + O.

sin 8x — sin 4x

83)    2²”

84)    j>y/sina:cos³a:da; = -^y/',sin³a;—

85)    Jsin³xY/

cos

2n + l

CN C~

sin2xj4~ — x -f- C.

}+iŁ*+ft

cos x.

cos x.dx —

\Zcos⁷x —

<N CO

86)

r___dx_

J V sin²xcosx

. COS a:

3 yy tang x    C.

-2\/cotgx—g- tangx\/tangx -f- C.

Rozwiązania YIII. Za pomocą metody całkowania przez części, lub za pomocą

)i t. d. 15)-43)

sina:

różniczek kształtu: cź(sinr£ccosx), d(cosrxsinx), d( mocą wzorów redukcyjnych, 44)—87) za pomocą prawideł Żmurki.

cos a:

sinr x

). <*(

cosr x

za po-

Literatura. Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung. Aus dem Lateinischen ins deutsche übersetzt von Joseph Salomon. Erster Band. Wien, 1828. Matematyka, kurs I. podług wykładów Dra Płacy da Dziwińskiego w c. k. szkole politechnicznej we Lwowie z roku naukowego 1885—86. Część IV. Zasady analizy wyższej, we Lwowie, Autografia nakładem słuchaczy matematyki kursu I. 1886.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Funkcye goniometryczne bezpośrednio całkowalne.

2.    Sposoby rozkładania iloczynów : sin* mx cos* nx na sumy.

3.    Rozwijanie całek kształtu: J"sinp x cosqxdx na szeregi potęgowe.

Wykład IX.

Całkowanie niektórych funkcyj algebraicznych za pomocą całek typu: Js>k=$8ln⁸xcos1exdx.

1.    Wyznaczanie całek funkcyj algebraicznych staje się często bardzo ułatwionem, jeżeli można daną całkę, za pomocą stosownych podstawień goniometrycznych, przekształcić na całkę funkcyj goniometrycznych.

Liczne przekształcenia, jakie na funkcyach goniometrycznych przedsięwziąć można, dozwalają w wielu razach otrzymaną całkę funkcyi gonio-metrycznej przerobić na całki typu: Js^k=fsmsxcoskxdx₁ które, w myśl wywodów, podanych w poprzednim wykładzie, dadzą się, przy całkowitych wykładnikach s i lc zawsze, a przy ułamkowych wykładnikach pod pewnymi warunkami za pomocą znanych funkcyi wyrazić.

Zajmiemy się tu przedewszystkiem całkami dwumiennemi i szczegól-nemi całkami trójmiennemi.

2.    Wyznaczanie całki dwumiennej J™, p=fxm(axn+b)p dx za pomocą podstawień goniometrycznych. Uwzględniając znaki spółczynników a i b dwumianu n-go stopnia: axnĄ-b, możemy wogóle odróżnić trzy przypadki:

1)    spółczynniki a i b mają jednakowe znaki:

2)    spółczynnik a ma znak +, b zaś znak —.

3)    spółczynnik a ma znak —, b zaś znak + .

ad 1). W pierwszym przypadku całka dwumienna ma kształt :

Jm, p =f (cixn + b)p dx.

Połóżmy :

a#w = ótang²<jp

a otrzymamy :

x=\j

. tangM<jp, dx

n\b

"Vt-

CM i

l-i

tangn

<P-

dcp

COS ²(p

2 "Ib n Y a

cos ²(p ’

axnĄ-b=b(l-\- tang²ęp) = ó sec²cp

zatem :

czyli :

Jm, p —

bn sin n cp .bP .2 .bn

sin”

--1

<P

a * cos ” (p. cos2pq) .n .a ” cos ”

l+i

d(p

^xm{axnĄ-b)p dx=^ ^

m-f-1

+p c

m+T ) a » J

sin n

<P

cos

2(TO+I> +2p-M

H

d<P,

(1)

<P

dochodzimy zatem do całki kształtu: Jrłjfc=ysins q> cosk cpd(p , gdzie: 2(m+l)

2(m+^w+l) + M

, przyczem qp = arctang

Jeżeliby spółczynniki a i 6 były ujemne, natenczas jednostka ujemna wystąpiłaby przed znakiem całkowania z wykładnikiem p.    •

ad 2) Jeżeli spółczynnik a jest dodatni, b zaś ujemny, natenczas dana całka dwumienna ma kształt:

Jm,p=S %m(axn—by dx.

Połóżmy w tym przypadku :

axn=bsec²cp,

a otrzymamy :

dx—-rr

ó‘/n 2

ailn ' n

ó¹/»

f/ó

æ=\T-seo”'|P=?r» •

— sec” gosinęi.

dcp

cos ²(p

cos²/” g> ’

2    ó¹/"

w * a¹/”

sin cp

cos

n+*

d<p,

⁽p

b sin² (p ócos²ęp ’

axn—ó=ó(sec²<p — l) = ó tang²qp

zatem :

czyli :

Jm, p

bmln . bp sin2p(p. 2 . ó1/n. sin (p

amln. cos w . cos2p w. a¹/", cos

—+1 »

d(p

*»+i,

r    2    &n +p f

ł)y<j*=— . -gr \

sin2p+1 (p

2m-j-2

cos

~-+2p+i

71

(2)

dochodzimy więc znowu do całki «7*,*=/sin* (pcosk(pdcp, gdzie:

2(w+l+wp)+w

s=2p+l, k= —

, przyczem (p = arc sec

-ilaxn

)l~r

ad 3). Jeżeli spółczynnik a jest ujemny, b zaś dodatni, natenczas całka dwumienna ma kształt :

Jm, p=J%m (b—axny dx.

Podstawmy w tym przypadku :

axn=b sin²cp

a otrzymamy :

x=

dx=— .

— . sinnęp, l-i

sinn (pcos (pdcp, b—axn=b(l — sin²(p)=bcos²(p,

zatem :

2m

1-1

an .n.alln

czyli :

C ,, x 7    2 b

\xm(b—axn)pdx^=— . -

TŁ

m-f-1

2(m+l)

sm

-1

<p cos 2p+i(p dcp,

dochodzimy więc znowu do całki Js, k=f sin* q) cos* q)dq>, gdzie:

s_2(m+l)

1, jfc=2p + l, przyczem qp = arcsin

-i laxn

VT*

3.

Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę «7=J

xdx

xi— 1

nych. Podstawiwszy tu æ² = seccp, a zatem: xdx— otrzymujemy:

za pomocą podstawień goniometrycz-

1    sin <p

2    cos²y

d<c>, xk— 1 = tang²?

sin²®

cos² ® ’

J=i

1    sin<p cos²®

2    cos²® ' sin²®

a źe :

tang y = y

1—cos ®

x²— 1

l-|-cos ®

æM-1

przeto jest ostatecznie :

xdx

x²—l

-ł-c.

*² +1

2) Wyznaczyć za pomocą podstawień goniometrycznych całkę J=$\/a²— x'¹. dx, Podstawimy tu x = a sin®, a więc dx = a cos ® d® , V/«²— #² = «cos ® > otrzymujemy zatem:

2ip)d<p = ^(® 4--g-sin 2?) +

æ⁴ — 1

a że :

a² (*

J—Ja² cos²® rf®= a² j* cos² ®<ż® = — \ (1 -f* cos

= arc sin -1, sin 2? = sin ® cos ® =    °ł.~ —

a²

przeto mamy ostatecznie :

Î**

— x² a!»

x\/a²—x²

■j- 1- arc sin — + C. 2    a

3) J

a

Kładąc: — = tang³?, zatem x = acotg³ y dx——3o

¹ + (-5-) ,,= 1 + tan*’? - 8eo,«, = coĄ

dx = ?

cot g²(o.do    cos²®

- = Od r • V

sin*®

sin²®

dfj

otrzymujemy :

—80cos²®

cos ® .sin⁴®

dtp =

J smł®

ü^ + c’

a że :

tang®

« »I

a więc :

sin (p —

VŁ+(v)

, sin ²(p==

przeto otrzymujemy

- 142 —

4. Całki kształtn: jrm,p=Jxm(ax ²-rb)pdx stanowią szczególny przypadek całek dwumiennych , dadzą się też zawsze sprowadzić do całek: Js k = J sinA'<p o,oskcpd(p za pomocą podstawień, których rodzaj zależy od znaków, jakie mają spółczynniki a i b dwumianu ax²-\-b.

W szczególności, otrzymujemy w przypadku, gdy spółczynniki a i b mają jednakowe znaki za pomocą podstawienia:

ax²=b tang²qp, czyli x\Za= \/b . tangęp,

JTł-fl

—TT- +P

wzór :

J %m («æ²+h)Pdx = —a+r §

sin⁷” 9)

COSm+2+2p(p

dq),

(4)

w przypadku, gdy spółczynnik a jest dodatni podstawienia :

wzór :

b zaś ujemny, za pomocą

ax²=bsec²cp, czyli: x\/a = Vbsec cp,

m+1 —bP

^’«(axZ-hydxJ-^

a ²

(5)

wreszcie w przypadku, gdy spółczynnik a jest ujemny, a & dodatni, za pomocą podstawienia :

wzór :

ax²=b sin²<p, czyli: x\/a = \/b -sinęp,

TO-ł-l

^xm(b—ax²)p dx—

^rj- Csinm<p cos2i,+1<jpcńjp. 2

(6)

5. Dla 05=±&=± 1 otrzymujemy stąd następujące wzory:

cńp, gdzie tang cp=x;

f sin⁷” cp

1)    ^(,.+1)»*-^—

2)    /*.(»*_sin!?+1 *

3) £*”(1 —x^dx— fsinmç)oos^’⁺¹ÇKZp₎ gdzie sinęp=*.

COS?n+2+2p

, gdzie sec(p=x;

nowicie :

Wzory te sprowadzają się niekiedy do całki kształtu JcZgp = 9) + C, a mia

w pierwszym przypadku, gdy m=0, m + 2 + 2jp»0, a więc p = — 1, otrzy

mujemy :

s

w drugim przypadku, gdy 2p+l=0, w-j-2-f2p=0, a więc, gdyp= — m= — 1, otrzymujemy:

æ²-f 1

<p-f- C=arc tang a;-f (7 ;

dx

—=q)+ (7= arc sec æ-b (7; w trzecim przypadku, gdy m=0, 2jp + l=0, a więc p=— i, otrzymu

je \/a:²—

jemy:

= gp + (7= arc sin C.

Są to trzy wzory zasadnicze, według których całki funkcyj algebraicznych przedstawiają się, jako funkeye cyklometryczne.

Vl— x²

- 143 -

6. Wyznaczanie całek trójmiennych, kształtu: */=/ xm(ax²+bx+c)² dx za pomocą podstawień goniometrycznych. Sprowadzając funkcyę drugiego stopnia: ax²-\-bx-\-c do formy dwuwyrazowej , na podstawie przekształcenia:

ax2jrbx-\-c— otrzymujemy całkę trójmienną w postaci:

(2 ax + ó)²+(4 ac—ó²)

J== ^xm (ax²+ bx-j- c)² dx

do której możemy również zastosować podstawienia goniometryczne. Zastosujmy w przypadku, gdy 4ac—b²^>0 podstawienie:

(2ax + b)² == (4ac—ó²) tang²qp,

natenczas, otrzymamy :

V 4ac —ó².tang cp—b X    2 a

{2ax-\-b)²-\-(4ac—b²) 4ac—b²

dx =

V4 ac — b²    d<P

' cos²<p

.    . sec² cp.

4 a

zatem, daną całkę w postaci :

r    -

— \xm{ax²-\-bx-\-ć)²

² dx =

(4 ac—b²)

Ł+ł ~

■)² Ç

+4+* J

[V/4ac—b². tang cp — ó]m

cosp+² cp

d(p. (7)

Otrzymana całka rozkłada się w przypadku, gdy wykładnik m jest liczbą całkowitą na (m-fl) całek typu:    k=f smscp GOSkcp dq), gdzie:

tang cp

2 ax+b

V/4 ac—b²

Mianowicie, otrzymujemy tedy:

ac—b². tang cp—b]m cosp+² cp

dcp =

ac—b ²)m ~r. br. tang

cp

cos P⁺²cp

dcp

zatem wzór:

p

J=^xm(ax²4-bx+c)² dx=

p+i

(4ac — b²)²

2m+p+l aW + ”2⁺¹

(* r=m    y v

m—r

(4ac—b²) ² br. sinw“r cp cos~,n+r~*>_2 cp acp.

W przypadku, gdy 4 ac—ó²<; O, mamy:

(2 ax+b)²— (b²— 4 ac)

ax²-\-bx-{-c =

4a

podstawiając tedy (2ax+b)²=(b²—4ac)sec²cp, otrzymujemy: V/ó²—4acsec<p—ó

2a

dx =

y/ó²—4ac sin<jp6Óp

2a

cos²cp ’

(ó² — 4ac) tang²

a#²-róa: + c =

zatem daną całkę w postaci:

- 144 —

J=$

xm(ax²Ą-bx -f c)² dx=

__________ p    _

[Vb²— 4ac sec cp—b]m (b²—4ac)² tangp cp\/b²

— 4ac

sin cpdcp

2m am 2p a² 2a. cos²cp

p+i

(b² — 4ac) ²

[² — 4ac sec cp— b]m tangp cp sin cp

2m+p+tam+^⁺'

COS ²Cp

dcp,    (8)

roz-

która w przypadku, gdy wykładnik m jest liczbą całkowitą, dodatnią pada się również na (m+1) całek typu:

2 axĄ-b Vb²—4ac

J,t k=f sin* (p cosk q)d(p, gdzie sec cp = Mianowicie otrzymujemy:

Vb²

— 4ac sec cp— b]m tangp cp sin cp

cos ²cp

dcp=

— 4ac)m~rbr .

sec”1-r (p tangp cp sin cp

cos ²cp

dcp,

zatem :

p+i

(b²—4ac) ²

2»+r+ia”⁺f⁺¹

J=fxm(ax²+bxĄ-c)² dx =

V r=0

m—r

(b²—4ac) ² br. sinp+¹ cp cos—,n+r ~²cp dcp.

Jeżeli obok 4ac—5²<0 jest także a<CO, wówczas możemy położyć:

ax²Ą-bx-\-c —

(b²—4 ać)—(2 ax+b)²

—4a

Podstawiając :

(2ax-\-b)²—{b²—4ac) sin²cp,

otrzymuj emy :

_\/b²—4ac sin cp—b

CC — ---z:----

dx =

V/b²—4ac    -,

-2a-cos V ty i

ax²Ą-bxĄ-c

b² — 4ac

-4a

cos ²cp,

zatem daną całkę w postaci :

p+1

(ax²+bx + c)² dx=(—l)"^¹

(b²—4ać) ²

2m+p+i(—a)

— \[V/fc²

W+y+l J

—4ac sin cp—b]m cosp+1 cpdcp,

(9)

skąd otrzymujemy :

p_

J=f xm (ox²-\-bxĄ-c)² dx=

p+i

= (_l^+i

(b²—4ac) ²

m+p+1

( a)

(• r=m    .    .

m—r

— 4ac) ² br. sin”1- rqp cosp+¹ (p dcp,

więc znowu (#«+!) całek typu JSj *•

Powyżej wskazane przekształcenia wymagają, aby wykładnik m był liczbą całkowitą, dodatnią.

7. W przypadku, gdy wykładnik m jest liczbą całkowitą, ujemną, a więc potęga x,n znajduje się w mianowniku, możemy odróżnić dwa przypadki:

a)    wykładnik całkowity p jest także ujemny,

b)    wykładnik całkowity p jest dodatni.

W pierwszym z tych przypadków mamy całkę kształtu :

dx

p_

xm (ax²-\-bx +6‘)²

Kładąc x==

zatem dx= —

dz

*²’

otrzymujemy daną całkę w postaci :

; ax²-\-bx + c

a-\-bz-\-cz²

z²

dx

zm+p-²dz

(10)

(a+ bz-\-cz²)²

która należy do postaci, poprzednio rozważanych, skoro m-\-p> 2, co zawsze nastąpi, gdy wykładniki m i p w całce są liczbami całkowitemi, dodat-niemi, gdyż wtedy każdy z nich musi być co najmniej równy 1.

W drugim przypadku mamy całkę kształtu :

p

(ax² \-bx-\- c)²

xm (ax²-\-bx-{- c)²

xm

dx,

natenczas podstawmy :

x=—

zatem dx= —

dz

z²

ax2jrbx -j-c =

a-\-bz-\-cz²

z²

a otrzymamy daną całkę w postaci :

{ax² + bx + c)

xm

dx= —\zm-v-² (a-\- bz-\- cz²)²dz,

(U)

która należy do postaci poprzednio rozważanych, skoro liczba m—p — 2 jest liczbą całkowitą, dodatnią, a więc, skoro m^p + 2.

Gdyby się okazało, że ««<<^ + 2, wówczas możemy danej całce nadać

kształt :

p +1

(ax² + bx-f- c) ² dx x m(ax²-\-bxĄ-c)'l*

a otrzymamy, przy nieparzystym wykładniku p — 2n-{-l, daną całkę w postaci:

(ax2jrbx-\-c)ndx xm {ax²-\-bx-\-c)ll* ’

(ax²-\-bx + c)²

xm

dx—

(12)

która, wobec dodatniego wykładnika w, po rozwinięciu potęgi : (ąx²-\-bx-\-c)n, przedstawi się w postaci:

(%x2n Ą-a^x

2n—1

Ą-a₂x

2n—2

+ ••• + a2 n- 1    Ct2n)dx

xm ( ax² + bx+cyi*

a więc rozpada się na dwa rodzaje całek, z których jedne są kształtu:

gdzie r>0,

j f xr dx ){ax²-\-bxĄ-c)x

— 146 —

a więc dadzą się wyznaczyć za pomocą metod, w art. 6. poznanych, drugie zaś są kształtu :

dx

xs (ax²-\-bx-\-ć)'I* a więc, należą do całek powyżej rozważanych.

gdzie znów s^> O,

8.

Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę

x²dx

za pomocą podstawień goniome-

(a:²—2x—1 )*/a

trycznych. Mając tu a:²—2x—1 =(x—lj²—2, podstawmy (x—l)² = 2sec²QD, a więc:

x = 1    y/2 . sec 9 ; dx=\/2.

sin V d<P

COS²y>

, (a?²—2x—l)'k=y/2 .tang cp ,

a otrzymamy :

x²dx

(x*-2x-l )’/*

(l+Y/2 sec ^)²y/2 sin 9®^ \/2 cos² <p . tang <p

„f(¹+v/2

J COS

sec 9®)²^

a źe :

-J

, 2\/2 P+-+2 f *

COS 9°    J cos²^,    J cos²9p

+ 2V/2 tang9° + sec9P.tg9°+ logcotg *    —y) = log JL-hs*n9D

f (1+1/2 s

J COS <p

sec y)

d<p

= log co tg 2 (y - <p) +

P (2y/2 + sec f) tang ^,

— sin 9°

przeto, ze względu na to, źe:

sec <p =

V/2

cos <P —

V/2

sin

<P =

y/fo—i)²—2 _ y/a;²—2a?—1 x— 1

x—l

, tang v

Vx%—2x—l

]/2

otrzymujemy ostatecznie :

x⁷dx

(a;²—2a;— 1)*/*

2) Wyznaczyć całkę: J₂ = j* 1—2«—0²

= log

a;—1 + \/a;²—2a?—1 ^ (a: + 3) y/a;²— 2x—1 a;—1—V/*²—2a;—1

f C.

dx

a;² (a;² — 2a: — 1 )*/*

. Kładac x = — v «

zatem : dx = —

dz

a;²—2a:— 1 —

0²

, otrzymujemy :

j,=-

zdz

(1—2z - z*yi,

Otrzymany trójmian: 1—2z—0², sprowadza się do postaci:

1—2z—z² = 2-(z + l)²,

podstawmy przeto :

(z + 1)² = 2 sin²®, a więc z + 1 = V/2 . sin©, dz— y/2 . cos 9 . dv, 1—2z—0²=2cos² o,

natenczas otrzymamy :

J₂₌=_

(V2 sin 9 — 1)\/2 . cos 9 dz>

V/2 cos o

a że :

sin o

cos o =

=/( 1—Y/2 sin 9)^9 = o +\/2 cos o + (7,

y/2—(s+l)² y/i—20—02 -—. -> »

V2

V/2

— arc sin

++J

V/2 ’

przeto :

J-2 = arc sin Z—[~ + \/1—20— 0² + C,

y/2

gdzie 0 = Otrzymujemy zatem ostatecznie:

■h=y

x

dx

²(a;²— 2a;— 1 )V»

— arc sin

a; + 1 , y/a;²—2a;—1

a;y/2

a

8) Wyznaczyć całkę .Tj = \

(æ² — 2a? — l)¹/*

a:²

tfa\ Ponieważ w tej całce m=2<p + 2,

przedstawimy ją w postaci:

a otrzymamy:

dx

(,-r²—2x— l)'¹*

do postaci :

- 147 -

x²— 2x —

x²(x² — 2x—

—i- dx 1)1*

(cc²—2x—1)’^

•\x²—2x— I )*/*

Pierwsza z otrzymanych całek sprowadza się, za pomocą podstawienia: (x—l)²==2sec²o,

dx

dtp

(:X²-2x - 1) I*

zatem, ze względu na to, że:

cos <p

=—log tg y (■\ — <?) = log (sec ? + tg o),

sec <o =

VT ’

tang <p —

Y/as²—2x— 1

V2

otrzymujemy :

dx

, x

— log -

— 1-f- y/sc²—2x—1

V/2

+ c.

(a?²—2x— 1) h-

Do drugich dwu całek zastosujemy najpierw podstawienie: x —    , następnie:

(z 4-1)² = 2 sin² o, a otrzymamy:

i*    dx

j x (x'l—2x— l)'/s

dz

(1—2« — z²)

Jdo = - arc sin

cc y/2

ł-c,

i'

dx

- arc sin —

a;² (cc² — X — 1)'^

Wobec tego , otrzymujemy ostatecznie :

x -j- 1    \/x'¹—2x—1

x\/2 ⁺    ®

4- C, (patrz przykład (2)).

= p”2 2^₂ ^ /; log [cc -1 + y/cc²—2cc— 1] +

arc sin

x 4~ 1

x y/2

y/a;² — 2cc—1

4- O.

9. Całki trój mienne, kształtu: J~--=§xm(ax2n-\-bxn-\-cy dx, można również sprowadzić do całek typu: Js, k=f sins x cosk xdx. Przedstawiwszy trój-mian: ax2n-\-bxn-\-c, w postaci:

ax¹¹¹ + bxn + o —

(2 axn + b)² + (4ac — b²)

i kładąc :

(2aæn + 6)²=(4ac—6²)tang²<jp, jeżeli: 4ac-ó²;>0,

(2aÆM + &)² = (ft²—4ac) sec²(jp,

(2aÆn + &)²=(ô²—4ac) sin²qp, jeżeli: 4ac— ó²>>0,

^ |- ^

otrzymamy w przypadku , gdy : -

71/

i~ Jr-..... całek typu e7₄*.

n

10. Rozmaite inne całki funkcyj algebraicznych, sprowadzalne do całek typu: J,;*=/sinsæ M$kxdx. Do całek tego rodzaju należą oczywiście wszystkie całki, które dadzą się sprowadzić do całek dwumiennych, kształtu:

Jm,p=$xm{axn-\-b)pdx, (patrz Wykład VII. art. 8. str. 110.)

Sprowadzanie tych całek do typu: J‘Si=fsiu*x coskxdx, można których przypadkach wykonać bezpośrednio, bez uprzedniego sprowadzania całek do kształtu: Jm, p =fxm (axn + b)p dx.

W szczególności, przy całkach kształtu:

Ji =f xm (axn 4- bxp)q dx,

uskutecznić to można za pomocą podstawienia :

albo :

lub:

— 1 jest liczbą całkowitą , dodatnią :

w nie-

— 148 —

przy całkach kształtu:

ax¹¹ = bxp tang² <jp,

J y —f xm (axn — bxp)q dx

za

pomocą podstawienia :

axn — bxp sec² cp

lub za pomocą podstawienia:

bxp = axn sin²qp.

Całki kształtu :

J2 =f(ax -f b)p (ax-fß)rls dx ,

sprowadzają się do całek Jtk wprost za pomocą podstawienia :

a(ax+ß) = (ab—a/?) tang²<p, jeżeli: a >> O, ab^> aß, a(axJrß) = (aß — ab)sec²q)y jeżeli: a<0, aß^>ab, a{ax-\-ß)=(ab—aß)sin²(p, jeżeli: a<Z O, ab^> aß.

W całkach kształtu :

(14)

lub

lub

należy podstawić:

J3 =f(ax-\-ß)m[a(ax + ß)n + b]pdx

(15)

lub:

lub:

a(ax+ß)n = b tang²<jp, jeżeli a >> O i &> O, a{axĄ- ß)n = b sec² (p, jeżeli a)> O, b<i O, —a (ax-\- ß)n= bsin²p , jeżeli a<;0, i>0.

miennych.

Podobne uwagi dotyczą także całek, sprowadzających się do całek trój-

11. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę: J

dx

V ax — x²

, za pomocą podstawień go-

niometrycznych.

Kładąc cc² = ax sin²® , czyli: æ = asin²ep, a więc: dx= 2asincs cos adv, otrzymujemy:

dx

a więc :

\/ ax — cc²

„ f sin© cos vd<¥ 2a\-

a sin o cos es

dx

2) Wyznaczyć całkę J

V/ ax — x2 xdx

2 arc sin

Vt + c-

“S

za pomocą podstawień goniometrycznych.

(a:⁴—2x²—l)^*¹

Mamy tu x⁴—2x²—l=(a;²—l)²—2, podstawiamy: (x²—l)² = 2sec²cs, czyli x² —l = y/2 sec?, dostajemy *

zatem :

£c = (y/2 sec ?— l)t/ł ; dx=— (y/2 sec?—1)    •

a:⁴—2a:²—1 =2 tang²? , (x* — 2x²—l)'k=y/2 . tang o

\/2 sin es , —--‘ d<f.

COS ² ?

cos ?

skąd, ze względu na to, że: sec? = otrzymujemy :

cc²— 1

TT log (sec cp + tang es) + C, V/ac⁴—2a?²—1

; tang cs=

Y/2

xdx

log \^x²—1 -j- y/a;⁴—2a:²—1.

(a:⁴— 2a;²— 1)^*

12. Korzyści podstawień goniometrycznych, przy wyznaczaniu całek niektórych funkcyj algebraicznych są widoczne, o ile te całki potrafimy sprowadzić do całek typu: Js, k = Jsin* es cos^o d ?, co jest zawsze moźliwem przy tych całkach, które dadzą się sprowadzić do całek dwumiennych jakiegokolwiek stopnia.

Odnośne podstawienia goniometryczne mogą być trojakiego rodzaju, w postaci: x = a tangm^), albo x=bsecncp, albo x=csinrę>,

względnie, w postaci:

x = acotgm(p, lub * = ô cosec” y , lub x=ccosr <p, gdzie wykładniki m, n, r są liczbami wymiernemi (całkowitemi, lub ułamkowemi), a spół-czynniki a, b, c są liczbami rzeczywistemi.

Dopuszczając także spółczynniki urojone, możemy daną całkę funkcyi algebraicznej, za pomocą któregokolwiek z powyższych trzech rodzajów podstawień sprowadzić do całek typu J$,k — JsinVcos^yrfy.

Tym sposobem otrzymujemy rozwiązanie danej całki w rozmaitych postaciach, z których jedno rozwiązanie przedstawiać będzie funkcyę zmiennej x o spółczynnikach rzeczywistych, pozostałe zaś rozwiązania będą przedstawione funkcyami zmiennej x o spółczynnikach urojonych.

Otrzymane funkcye, jako rozwiązania danej całki, mogą się tylko różnić o pewną liczbę stałą. Wyznaczywszy zatem tę liczbę stałą, dochodzimy tą drogą do związków między otrzymanemi funkcyami.

13. Zastosowania rachunku całkowego do wyznaczania związków między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi. Związki między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi, wyptywają bezpośrednio z następujących całek:

*

sprowadza się, przy podstawieniu x = tgę, do postaci:

(* dx

3    î ~S d<P — <P~\~ ° — arctang x + C,

przy podstawieniu x = i sec V, lub x —i sin <P do postaci :

w    1    X OC I - %

= — log tang -j- C = -x- log (cos ec cp — cotang cp) + C— — log + <?, log co tg    — ®) ■4    log ( sec r 4- tang v) + (7=<^ log ^

®²+ 1

dtp

i sin

__ J j dx

cos <p i Wobec tego, otrzymujemy:

arc tang x -\- C=

1+ xi — xi

4 c.

tc

i x “1“ * , n 1    ,    1

los^ + c"-2rIogi

1 -1- xi

— xi

+ C,

a stąd :

X    1 %    J

arc tang x = — log ——. + Ct = ^ log

Kładąc x = 0 i mając na uwadze główną wartość: arc tang 0 = 0, otrzymujemy na wyznaczenie stałych i C% relacyę :

1 - xi

1 — xi

4"

° = ^-l°g(—!)+ Ci = C%, zatem: Cj =—^-log(—1), C₂ =0,

a więc, związek między funkcyami arc tang x, a funkcyami logarytmicznemi w postaci:

i % “4“ oc 1    1

“rc ‘äug * =    l°g log J

■'-î.-vfe'

r    — -J- l°g (cosec <p — cotg (p) C= -j- log

1 -f- xi

— xi

(16)

2) Całka f dx

)xV n"¹ — 1

Otrzymujemy zatem :

fc*

\/x²— 1

sprowadza się, przy podstawieniu x=sec cp do postaci:

\/ x²—1— i

= arc sec x Ą- O* =

\/x²—1— i

f C,

a stąd:

arc sec®

j-Ct.

— 150 —

Kładąc a? — 1, arcsecl=0, otrzymujemy, na wyznaczenie stałej C, relacyę:

0 = -4-log(—*)+ Cit zatem: C\ =--^-log(—i), '

a więc, związek między funkcyą arcsecas, a funkcyami logarytmicznemi w postaci:

1 _]_ i v/^î

arc seca?

“Tlog

(17)

3) Całka J₃ = j dx

sprowadza się, przy podstawieniu as — sin do postaci:

przy podstawieniu ix = tang cp do postaci :

J"d<p — <p -f C — arc sin x -j- O,

dx

\/1 — a?2 otrzymujemy zatem :

7 (cos^, = ilo&(seo?’+taI1gy)+ ⁰ log (**+ \Zl-x‘*)+ cx.

dx

arc sin a? -j- C = — log (as i -f- Y/1— a?²) -j-    ,

-^-log(asi-f V/l-as²)+

Dla a? = 0, mamy arcsin0 = 0, logl=0, zatem Ct= 0, otrzymujemy zatem związek między funkcyą arc sina?, a funkcyami logarytmicznemi w postaci:

a stąd :

i'

\/ 1 — as²

arc sin x =

arc sin a?

= -^-(a?i-f V/1 —a?²).

(18)

14.    Związki między funkcyami goniometrycznemi, a funkcyami wykładniczemi. Otrzy-związki między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi prowadzą

do związku między funkcyami goniometrycznemi, a funkcyami wykładniczemi, określonego

cos a? -j-i sin a? == ea\ cos x — i sin x — e~~x', z których powszechnie wszystkie inne związki się wyprowadzają.

15.    Związki między funkcyami hiperbolometryczneini, a funkcyami logarytmicznemi, tudzież związki między funkcyami hfperbolicznemi i funkcyami wykładniczemi. Wyprowadziwszy pojęcie funkcyj hiperbolicznych według wzorów :

sin xi

manę

wzorami :

= sin hip a?, cos xi — cos hip x ,

tang xi

tang hip a?, i cotang xi = cotg hip x, i cosec xi = cosec hip x, sec as i — sec hip x ,

a na tej podstawie także pojęcie funkcyj odwrotnych względem funkcyj hiperbolicznych, które nazywamy funkcyami hiperbolometrycznemi :

arg sin hip x — 4- arc sin xi , ai-g cos hip x=-r- arc cos a?,

1    1    CC

arg tang hip x = — arc tang xi, arg cotang hip as    -j- arc cotg -t-,

arg cosec hip as =

as    1

arc cosec -t-, arg sec hip as=-7-arg sec as,

otrzymamy analogiczne związki między funkcyami hiperbolometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi.

W szczególności, otrzymujemy, zapomocą stosownych podstawień goniometrycznych, lub wprost z wzorów (16), (17) i (18), następujące całki :

1    1 _J~ x    1

g- log —^ -j-    arc tang xi -f- C = arg tang hip as -f- (7",

^-log X - j -j- C—--^-arccotg    arg cotg hipas-f- <7",

4    3? "J* \    %

-xl

ii"

f dx Jas² — 1

151 -

1 -j- V/1—æ²

r ^

3 xX/i—x'¹

r dx

3 x\/x²-\- 1

f ^    == log (x -f- \/ x²-\-1) + <?— 4- arc sin xi-f (7⁷ = arg sin hip cc -f <7",

JV/a:²+l    ⁴

log(*+\/*²—l)-j- C=-^-arccos x -f- C'= arg coshipcc-J-C"',

log

log

a:

l—yA²+i

-f C=--arc sec x-\- C— — arg sec hip x-|- C",

-j- + C"=—arg cosec hip x -f- C“,

+ (7_- T

arc cosec

f dx

Vis

a stąd związki:

arg tang hip x = — log -

l+V/i-*²

¹⁺^> arg cotg hip a; = i-log

arg sec hip x = log

, arg cosec hip a; = log

ic -f- 1 1 +V/^²+l

(16)'

(17)'

arg sin hip x — log (cc —f- V/x² -f- 1), arg cos hip x — log (as -f- \/x² — 1), które prowadzą do wzorów odwrotnych :

sin hip x

ex-e~x

— , cos hip x

, tang hipx=■

ex-e x

ex+e~x ’

(18)'

cotang hip x =

ex- e~x

sec hip x =

cosec hip x

ex- e~x ’

określających związki między funkcyami hiperholicznemi , a funkcyami wykładniczemi.

ex + e~x

16. Całki Albelowe. Całki funkcyj algebraicznych wymiernych, tudzież całki funkcyj algebraicznych, niewymiernych, z powyżej wykazanemi niewy-miernościami, sprowadzające się do całek funkcyj wymiernych, a więc wy-' rażające się ostatecznie przez nowe funkcye algebraiczne i funkcye logarytmiczne, względnie cyklometryczne, lub hiperbolometryczne, stanowią szczególny przypadek całek kształtu: fR(%, y)dx, w których zmienne x i y związane są równaniem algebraicznem n-go rzędu, ze względu na zmienną y w postaci:

fo 0*0 yn+fi 0*0 y*_1+•••+/«-1 0*0 y\U 0*0=o,

zwanych całkami Ablowemi.

Dalszemi szczególnymi przypadkami całek Abelowych są :

1) t. z. całki eliptyczne, t. j. całki kształtu: fR(x, y) dx, w których zmienna y jest pierwiastkiem kwadratowym, z wielomianu trzeciego, lub czwartego stopnia, czyli :

y=V'a₀+aix-ira₂x²-\-a:ix³, lub y = \/a₀-{-aix-{-a₂x² + asxz+aixl1)

2) t. z. całki hypereliptyczne, t. j. całki kształtu: fR(x, y)dx, w których zmienna y jest pierwiastkiem kwadratowym z wielomianu w-go stopnia, czyli :

y=Va₀+ aix-ł-a₂x²+...+anxn (»> 4).

Całki tego rodzaju nie dadzą się w ogólności żadnemi podstawieniami sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych, wymiernych, nie dadzą się też wyrazić przez funkcye znane algebraiczne, lub przestępne i prowadzą do nowego rodzaju funkcyj przestępnych , których badanie , wymagające oddzielnych metod, pozostawiamy późniejszym wykładom. W następnych wykładach zajmiemy się przedewszystkiem całkowaniem funkcyj złożonych z funkcyj przestępnych elementarnych, zaczynając od funkcyj goniome-trycznych.

- 152 -

f

Ćwiczenia IX.

Wyznaczyć za pomocą, podstawień goniometrycznych następujące całki: 8a;³ dx

(4a;⁴ + 9)3 =_ T '    (4a;⁴ + 9)²

3x³\/x dx    2    x^\/x    2    a:⁷y/a;

(l+®3)7,    "B" (1 + *³)'/*    ⁵ (1 + a:³)⁵^

Y/Zr da:

+ 0.

2)

+ c.

3)

(4 + V^aj²)3,J

^3V/4 +

12

f C.

4)

x⁵dx

a?²V/1 — a;⁴

V/l — a?⁴

5)

a;¹¹ da:

\/ x⁶ — 4

xdx

6) f-

Ç___dx_________

J x³\/9 — 4a:²

9) xul* (1— 4a:³) dx=

-1

- — arc sin (a?²)

= y V/*⁶ —4 -1- y V/(a;⁶ - 4)³ + C. a: + log (a:—1) + C. 7)

+ C.

(a:¹⁷—3a:¹¹) daj

(»6 — 9)³/*

8)

1 >/9 — 4a;²

18

a;²

ad²+ 27 O⁶ — 18)

1 .    3—\/ 9— 4a;²

^27 l0g 3+V/9

9\/ x⁶ — 9

— 4a:²

+ 0.

+ 0.

“I

x5/2 {y —4a;³ j + C.

x (x'¹ — 3)

xi dx

— arc sin x + C.

A

}\/ï+^+<7.

12)    a²— a:²) ^ dx— x (a² — aj²)^³+ ~ o² x ( a² — x²f^ + ~ aix(a² — a:²) ^ +

“r a⁶ arc sin — + C.

10)

U)

(1 - a;²)³'³

2 (l-a:²)^

dx

a:⁴ (1 + a:²)¹/*

_/2_    1    11

13    x    3 r³

+ Ï6

■» lu?

4 log 1 — V/æ~— 2 (1—V/a: )+G 14) ^ a:⁷ (1 + a:⁴)1/3 dx = i [⁽—^ ^

-l

+ Ć7.

15)

xzdx

+2Z> + 3a a:²

(Ô + aa:²)⁵^

3a² (i + aa:²)³'*

+ C.

16)

dx

V/a:²-l

a3⁴\/a:²— 1

3a;³

(2a:² + 1) + O.

17)

da:

18)

19)

20)

\/a;² + 1 / 8 ,    4

13

5a;

x⁶ V/l + x²

aj2ra dx    1.3... (2»—1)

\/i-*²

a:2n+1 dx

2.4... 2m

V/l-a:²

f dx

Ja>

a:²

4) + a

arc sin a:—

\/1— a:2 ~2m+T

V/l— a:2 2»—1

V/l— a:² f

—— L*

r 2n ,    2»

r +2»^*

2« - 2

2n —1

+ ..H

+ź^*>n-³+- +

] +c.

2m (2»—2)... 2

(2n— 1) (2n — 3)... 1

r_J_

2m—2    1

2m—3 æ2n-3

f ...4

(2m—2) (2m—4) ... 2 1 (2m—3) (2m—5) ... 1 V

a-

21)

2w -f-1

dx

V/i — *²

₌ (2w—l)(2w—8)... 3.1 2n (‘2n— 2)... 4. 2

2n — 1 _

2n — 2 ’ *2n—2

log

Vl—X²-1    Vl— *²/ 1

1*2» +

2»

(2n—1) (2»—3)... 3

(2n—2) (2»—4)... 2 '

/] + a

22)

(1 + *^    4

x<‘

23)

It

V/ * (y/ » —i)1|,J

³ V/l+œ^

= 2(y/*-l )’/

4    8/ 1

~ 3 arctang y — + G

1 + 2^*

y/*

+- a

24)

xdx

2 y/l-*³

25)

(1 — *²) V2

*²<7*    2* 4- 1

*²-|-a;-f-l ~    6

³    *y/ *

+ c.

— -^-log(*² + *+ 1)

arc tang

26)

27)

.*³y/ 1 + x²

~VT=V~ix

*²4- 1    dx

¹ f l/1 = -2 arctang U -

14- *²

— *²

31/3

-^(*²+2)\/r-*⁴ + g

V/8

+ C.

3:2 - ¹ Y/1 — ax²-\-xi

- arc sec

*²—1

28)

fc

dx

y/*²4~2*—1

y/a — 2

cc -• X

= arc sin-— + G. 29)

*V/2

—7=+ C'

x\/ a — 2

-,

dx

\/x²-\- x—1

arc sin -—-1 4- G. *V/5

30)

dx

\/x²-\- x -|-1

l0gX

8I)f

+ ² + ²V/*²4-* + 1 (3*4-1)

(I4- 2x 4- 8®²)*/*    2(1 4-2*4~ 3*²)l/*

f o.

<2*

32) f    xdx_    . (X +«0    . <7

J.14-2*4-3*²)3/j    2(14-2*4-3*²)’/i

1    1 4-7*4-\/33V/l 4-2*4-3^²

+ 3*²    V/33" °g    4-f5*

+ C.

C____dx_

J (4 4- 5*) V/14-2*

³^)    x—1 4" V/*²—2*— 1 dx — -jj- [*— 1 -\-\/x² — 2x — l]^³ 4-

33)

ł- c.

4- -E- [*—1 -f- V/*²- 2*— 1]

-s/3

+ c.

35)

C___dx

>y/i4-*⁴

36)

y/14- xi—1 y/i 4- **4-i

(*² + 2)y/^rrr==2y7ë= log

T los

4-G

dx

y/2 y/*²—i4-*y/3 y/2 y/*—1 — *y/3

4~ G

37)

(2 — *²)y/1 — a?²    y/6

• y/«» — :»²

(2*

arctang

[Vïï7=,] + »

40)

*² y/a²—cc2 x²dx

a²x

4- c. 39)

y/*²— a²

x²V x²— a²

ShT~ +

41)

y/ a²—*2 x³dx

¥ (arcsin^-- J y/a²-*²} 4-G

y/a² 4- *2    3

~ y/a² 4- *² (*²-- 2a²) 4- G.

42)

cfcc

y/a² 4- *²

*V a² 4- *²

3a⁴*³

(2*² — a²) 4- G

43)

dx

y/*²— a²

44)

*V*² — a2 x⁶dx

3 a⁴*³

(2*² 4- a²) 4- G

y/a² — *²

y/a² - *² {

5a²*³

6.4

5.3a⁴*

6.4.2

5.3.1a⁶

6.4.2

arc sin - { C.

45)

Î^-V^FV,{

5a² x³ , 5. 3a⁴xl 67472/

6.4

5.3.1

6.4.2

a⁶ log (a; 7\/ «² 7 x²).

46)

x¹ dx

\7 a²— x²

—— Va¹ — x² I

6a²x⁴

6 . 4a⁴ x²

6.4.2a⁶

o-

.5

7.5.3

7.5.3.1

47)

x⁶ 6a² x⁴ 6.4a⁴x² 6.4.2a6 7    7.B ⁺ 7.5.3    7.5.3.1

) + C.

I + &

48)

dx

(æ²7 b²)\/a²— x²    b\/a²-{-b²

arc tang

æV/«²7^²

5\/ a²— x²

7 G.

49)

£ŻX

(x² 7 «²)y/x² — a²

2a²Y/2

log

y/x²— a² 7 # V/ 2

y/x²— a²— xy/ 2

fC.

50)

J'

(ÜX

{x²-\-b²) V/x²7 a²

bVa?—b²

arc tang

xV °² — &²

6y/a² 7 3:2

7 O.

Wykazać, że :

jy/x^pT = arg sin hip x + ⁰⁼⁼ log ^ +    1 ^ + <7'-

r*    _

52) \ —= arg cos hip x 7 C= log (x 7 y/x² — 1 ) 7 C.

= arg tang hip x 7 (7= — log ^

1    lï

==— arg co tg hip x 7 C— — log —

arg sin hip — 7 (7= log (x 7 \Zx²-\-al) 7 O'. arg cos hip 7 C = log (x -\-\/x²— a²) 7 C'.

= arg cos hip(l 7 ^) 7 C — log(l -}-x-\-\Z‘2x-\-x²) 7 C*.

51)

53) JT*

"»Î *

M) \Vx^+^

56)$    *

— X²

y/x²-i

y/x² — a²

7l

57)

(?X

y/2x7 x²

⁶⁸⁾h *

59)7 Ä

y/1 — x²

= — arg sec hip x7C = log

17y/i - x²

7 c\

y/i 7 x²

= — arg cosec hip x 7 <7=log

17y/17 x²

7 c*.

Rozwiązania IX. Wskazówka Należy używać odpowiednich podstawień gonio-metrycznych.

Literatura. D. Gregory. Examples of the processes of the Differential and Inte-gralcalculus. Cambridge 1841. Houël. Cours de calcul infinitesimal. Paris 1878 —1881. L. Kiepert. Grundriss der Differential-und Integralrechnung. II. Theil Integralrechnung. Hannover. 1900.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Całkowanie funkcyj algebraicznych, niewymiernych za pomocą podstawień gonio. metrycznych.

2.    O całkach kształtu:

xm dx

y/1-x²

3. O wyprowadzaniu funkcyj goniometrycznych i hyperbolicznych na zasadzie rachunku całkowego.

Wykład X.

Całki złożonych funkcyj goniometrycznych.

1.    Całki kształtu: JJB (sina5, COS x)dx. Wszelką funkcyę wymierną całkowitą, lub ułamkową, złożoną z funkcyj goniometrycznych tej samej zmiennej x} kształtu: B (sin x, cos a:, tang x,...) możemy ostatecznie sprowadzić do funkcyi wymiernej dwu tylko funkcyj goniometrycznych sina? i cos a;, a więc jej całkę do postaci: JB( sina:, cos a')dx.

2.    Podstawienia sin 02=1^ względnie cosx=u sprowadzają tę całkę do całki funkcyi algebraicznej.

W szczególności :

a) kładąc sin&=w, a więc cosaJ=\/l—w², dx=—

du

Y/l - u¹ ’

otrzymujemy:

§B(sina;, cos x) dx=$B(u, Vi—u²)

du

Vl -u²

(1)

b) a kładąc cos=w, sina;=-f\/l—u², dx= —

du

Vl —u²

dostajemy :

fB (sina:, cosx) dx=—fB(u, Vl—u²)

du

VI — U²

(2)

Z powyższych przekształceń dochodzimy do wniosku, że podstawienie sina:=w jest szczególnie wówczas przydatne, gdy funkeya B(sinx, cos a:) jest ze względu na cos a: stopnia nieparzystego, czyli, gdy jest kształtu: B(sinx, cos²x)cosx, otrzymujemy bowiem wówczas:

JjR(sina;, cos²a:)cos xdx=$B(u, 1—u²)du, a więc całkę funkcyi wymiernej, podobnie przydatne jest podstawienie cos x=u, w przypadku, gdy funkeya iü(sina;, cos a:) jest stopnia nieparzystego, ze względu na sina:, a więc ma kształt: jR(sin²a;, cos a:) sin a;.

cos x dx sin²æ -4- g²

Przykłady : 1) Wyznaczyć całkę: j*

Kładąc sin»-=w, otrzymujemy: cos xdx

du

sin²»-)- a2 a następnie:

u²-\- a²

— arc tang — , zatem :

d    CL

cos xdx

sin²» + a²

1    , sin»

— arc tang — a    a

+ C.

cos xdx

sin²» — a²

u¹— a²

àlos

a zatem :

u -j- a ’

cos xdx

sin²» —a²

^l0g

sin »—a

sin»-j- a

f C.

sin xdx cosa.g-f- a²

2) Wyznaczyć całkę: J Kładąc cos x — u , otrzymujemy :

sin x dx

cos²x4* a²

—5 du

u¹ -4- a²

arc tang —,

zatem :

sin xdx

a następnie :

zatem :

1    , cos x

-— — arc tang-

et    a

C du    1 . U + a

Jm² — a² 2a u — a

cos²ja² 2a^°g

008*854-a²

sin xdx

COS²85— a²

f sin xtfx

cos x — a

+ 6.

3. Podstawienie tang x=u, a więc: sina;=

dx =

Y/l + w²

U Y sprowadza całkę: Ji?(sina:, cosx)dx do postaci:

COS X —

Y/i + w²

1 -\-u

J jR(sina;, cosa:)c7a: — Ciü ^

___*_\

Y/l 4- w² Y/l 4- M² /

du

1 4-u

(3)

skoro funkeya :

a więc zawsze do całki funkcyi wymiernej zmiennej u li (sina:, cos a;) jest stopnia parzystego ze względu na sina: i cos a:, czyli skoro jest kształtu: Ii(sin²x, cos²x).

To samo dotyczy podstawienia: cotga:=M.

Przykład. Wyznaczyć całkę : 2 j

dx

sin²x— 6 sinx cos.r 4" 18cos²x’

Kładąc tangx = w, otrzymujemy:

dx

du

sin²x — 6 sin x cos x 4- 13 cos²x

=1

du

zatem :

dx

sin²x — 6 sinx cos x 4-13 cos² x

4. Podstawienie tang -i- x=

w²— 6« 4" 13

= — arc tang

u

u, a więc : sin x =

(m — 3)²4- 4

1    .    w-3

— arc tang -g-,

sinx—3 cos x

2 cos x

4- o.

2w

COS X =

1 - U²

1 4 M² ’

1 4- w²’

sprowadza całkę: J’jR(sina:, cosx)dx do postaci:

1—m²\ du I4-W² ’ lt-VvI+w²’

a więc zawsze do funkcyi wymiernej zmiennej w, skoro tylko funkeya: JR(sin x} cosx) jest wymierną ze względu na sina; i cos x. To samo dotyczy

na podstawie którego:

dx =

2 du

14-u

J* 11 ( sina;

(4)

podstawienia : tang    —a;j

sinx =

1 — u²

1 4- M

cos x =

14- u

dx= —

2 du

14-u

a więc:

f li (sin x, cos x)dx=— 2^iü^

1—u²    2u \ du

14-U2J 14-MV l i-Mr

Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę: -Kładąc tang — = u. otrzymujemy:

dx

a cos x b '

dx

U COS X 4-Ö

²i

du

a( 1—u¹) -(- b (1 Ą-ul)

=²i

du

(b—a) u² -f- (ft -f- a)

a stąd :

aj w przypadku a < ft :

Vbl—al

arc tang

rja+é a? I

[VÆ,tan«2j

+ ft

b) w przypadku a ;> ft :

log

- 4- <7.

a;

P dx J a cos a: 4~ 6    y/₀2 _ ja

Va + b 4- Va—b tang ~ \/a 4~ b — \/a—ft tang ~

Z

cj av przypadku a = b:

i tang 4 + C.

2) W podobny sposób możemy wyznaczyć całkę kształtu : f

otrzymać możemy wprost z poprzedniego przykładu, zastępując w niem x przez —--x.

Otrzymujemy tedy : a) w przypadku a <. ft :

dx

a (cos a: 4" 1)

dx

a sin x Ą- b

, którą także

dx

a sin *4-ó

V b²— a²

arc tang

(ł-*)]

4“

b) w przypadku a > b :

P

J asina: 4- h

Y/a²-

\/a 4- A 4- Y/a-i tang y (y — *)

\/a 4- ó — Y/a—ft tang

+■ O'.

r) w przypadku a — ft :

=-itangi(|-4

a (sin »4-1)

5.    Całki kształtu: /6r(sinæ, cossc)<ła% Jeżeli funkcya 72(sina;, cosa;) jest ze względu na funkcye sina; i cosa: funkcyą całkowitą, wymierną G(sina:, cosa:), wówczas da się przedstawić, jako suma wyrazów, kształtu: Ah * sin* a; cos* a;.

Mamy tedy :

j¹ G{ sina:, cosa) dx = J .2^4,* sin* x cosk xdx=2 $ As,ks\n* .r cos*a; dx,    (5)

a więc sumę całek typu: Jsk~ J sin* a: coskxdx , które możemy wyznaczyć na podstawie wskazówek w wykładzie VIII. podanych, bądżto za pomocą wzorów redukcyjnych, bądź za pomocą t. z. prawideł Żmurki.

6.    Całki kształtu: fR(shimx. cosnx)dx. Wszelką funkcyę wymierną ze względu na funkcye goniometryczne sin ma;, cos wa, w których spółczyn-niki m i n są liczbami całkowitemi, możemy przekształcić na funkcyę wymierną ze względu na funkcye goniometryczne sina; i cos a;. W tym celu, otrzymamy z wzoru Moivre’a (patrz T. I. str. 592.) :

cos n x + i sin n x=(cos « Ą-i sina;)”

cos n x -p i sin nx=

pod założeniem, że wykładnik n jest liczbą całkowitą, podług dwumianu Newtona relacyę :

cos” a; —

cos”⁻² x sin²« +

cos”⁻⁴ «sin⁴« —

cos”⁻¹ «sin x—

g co

cos”⁻³« sin³«+

g ta

cos”⁻⁵a; sin⁵a: —

•*n

z której, porownywując części rzeczywiste i urojone obu stron i zastępując przy sin w« spółczynnik n przez m, otrzymujemy wzory:

cos”⁻¹² x sin² a; +

cos nx=cos” a; —

to g

cos”⁻⁴ a; sin⁴ a;—...

sin mx=

r—ł

cos”¹⁻¹ «sin«—

cos

«sin³«-j-

g iO

cosm—5 a:sin ⁵a;—...

Przy pomocy tych wzorów sprowadza się funkcya wymierna

R (sin mx, cos nx)

do innej funkcyi wymiernej J?(sin«, cos a:), a zatem całka kształtu:

fR (sin mx, cos nx)dx do całki kształtu: JR (sin «, cos x)dx,

którą możemy wyznaczyć według wskazówek w poprzednich artykułach podanych.

’cos nx

7. Sprowadzanie całek fmikcyj goniometrycznycli kształtu: \

dx, do całek kształtu;    fs\n*x cos^asdx. Na podstawie wzoru

cosw X

— dx,

sin nx sinm x

Moivre’a: cosw«-H'sinn«=(cos«-j-isin«)” otrzymujemy, dla całkowitego, dodatniego w, następujące wzory:

cosw«= cos”« —

to g

cos”~²«sin²« + ... + (—

cos”-2r« sin2r« + ...

sin nx=

h-¹ g

|cos”_1«sin«—

g co

cos”⁻³« sin³«-]-... + (—

^(ar + l)

cos” -2r-l«sin2r+¹« +...

czyli :

= n

r<T

cos nx

= 2 (-i)r

cos”-2r x sin2r«

(6)

sin nx

cos”-2r—1 x sin2r+1 x

(7)

rozkładające funkcye goniometryczne cos w« i sin w« na iloczyny, kształtu : sin*«cos*«, gdzie s-\-lc=n.

Podzieliwszy obie strony powyższych równań tożsamościowych kolejno przez cosm«, i sin⁷"«, otrzymujemy następujące wzory całkowe: które wyznaczanie danych całek sprowadzają do wyznaczania całek typu: 'Tk,s=f cosk x sin*#c?#, w których: s-\-lc=n—m.

Ilość tych całek jest widocznie, przy cosnx, równa ilości liczb parzystych, a przy sinw#, ilości liczb nieparzystych, zawartych w granicach 0 i w,

ïnO s

te s

+ 1, względnie

dla nieparzystego n,

== n

1B9

< "2    v -

cos nx ,    « .    „ N / n \ (

(—l)r ( _ I \

COS™#    ' \2r) J

r=U

r =0

r= 0

r=0    x    '

sin nx

sin™ x

cos nx

sin"¹ x

dx=

cos™-2r_m# sin2ł# tlx

cosn~2r ~¹ x sin²*"*¹⁻™ x tlx ,

cos”⁻²'⁻ x sin2r—™ x dx

(8)

(9)

(10)

P sinn# J cos™#

cosn_2r_1~™ x sin2r+1 x dx ,

(11)

a więc, dla parzystego n równa

zaś stale równa -.

A

8. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę: J=

Mamy tu: cos3x=cos³æ — 3 cos »sin²», a zatem:

j--~X dx= [dx — 3 C Sin -cZx = a:-3 i*— --1- 3 [dx.

a COS'*»    J    J COS²»    «/ COS³»    J

a więc :

iC°^ dx = 4» - 3 tang x Ą- C.

a więc :

₂₎

•j sin²»

Mamy tu: sin3» = 3cos*»sin» — sin³»; -

sin Sx ^ _ s    fsinxix = 3

sin²»    J sin» J    J sin

jd» = 3 log tang -f- 4 cos » -j- C.

sin 3»

sin²»

g cos²» sin »

sin», zatem:

4 j sin»d»,

cos na?

9. Wzory redukcyjne całek kształtu : sin nx

fsin nx ^ Dla całek powyższego J cos™ a?    r

cos nx sin™ a?

kształtu, możemy, przy całkowitym spółczynniku w, wyprowadzić także odpowiednie wzory redukcyjne, sprowadzające wyznaczanie tych całek do wyznaczania całek typu: Js,k=!S sin* x cos* X dx.

W tym celu wyjdźmy z dwu tożsamości:

sin a = sin (a —/?+/?) = sin (a—ß) cos/?4-cos (a—ß)sinß, cos a=cos (a—ß+ß)=cos (a—ß) cosß — sin (a—ß) sin/3.

cos™ a?

dx,

sinma?

dx,

dx,

cos 05 = 2 cos (a—ß) cos ß—cos (a—2/?), cos 05= —2 sin (a—ß) sin /? + cos (a — 2ß),

czyli :

Połóżmy w tych tożsamościach : a = mx, ß — x, a otrzymamy następujące cztery wzory goniometryczne :

(12)

lub :

czyli :

lub:

lub :

Pierwszą z nich możemy przedstawić także w postaci :

sin a—2 sin (a—ß) cos ß—[sin (a—ß) cos ß—cos (a—ß) sin ß], sin a = 2 cos (a—ß) sin/?-f-[sin (a—ß) cos ß—cos (a—ß) sin /?], sin a — 2 sin (a —ß) cosß—sin (a—2ß), sin a=2 cos (a — ß) sin /? + sin (a — 2ß).

Podobnie możemy przedstawić drugą tożsamość w postaci:

cos 05=2 cos (a—ß) cos ß—[cos (05—/?)cos /? + sin (05—ß) sin/?], cos 05= — 2 sin (05—ß) sin ß-\- [cos (a — ß) cosß—sin (a—ß) sin /?],

sin nx=2 sin (n — l)x cosx—sin (n—2) x, sinwx=2 cos (n—1) x sin x+sin (n— 2)x, cos nx=2 cos (n—l)xcosx—cos (n—2)x, coswx=—2 sin (w—1) xsinx + cos (n—2)x ,

z których wypływają następujące cztery wzory redukcyjne:

sin (n — 2) x , cosmx

sin n x

cosw x

dx=2

sin (n—1) x

cosm—1 x

dx —

f sinwx

3 sinm

dx=2

cos (n—1) x

sinm_1 x

dx +

sin (n—2) x

sinw x

dx

(13)

r cos hx

3 cos”¹

dx=2

cos (n— 1) x

dx—

cos (n — 2)x

cos

COSm X

dx

cos nx

dt

sin (n— l)x J sin

cos (n—2) x

dx.

dx +-

sin⁷"x

sinn'x

Na podstawie otrzymanych wzorów redukcyjnych, możemy, w przypadku, gdy spółczjmnik n jest liczbą całkowitą, sprowadzić dane całki do całek typu: ^fc^/sin^cos*#dx.

10. Inaczej należałoby postąpić przy całkowaniu funkcyj goniometrycz-nych, w których funkcye sin nx, lub cosnx występują w mianowniku, a więc przy całkowaniu funkcyj, kształtu:

m~]x

względnie

cosmx sinmx

sin nx cos nx

sinm x cosm x sin nx ’ cos nx

Funkcye tego rodzaju można rozłożyć na dodajniki. Aby tego dokonać, zastanowimy się najpierw nad rozkładaniem funkcyj sinwx i cosnx na czynniki.

11. Rozkładanie fankcyi sinnx na czynniki. Wychodząc z wzoru:

sm nx =

cos⁷*⁻¹ x sinx —

cosn -3xsin³x-f-...

otrzymujemy :

a) dla parzystego spółczynnika n = 2m + ¹, wzór :

b) dla nieparzystego spółczynnika w = 2m+l, zaś wzór:

~²# sin ²# +

• /o i -i \    • j/2jw-ł-l\ «    /2«î+l\    9

sm (2m +1) æ—sm x j I ^ lcos2m#— I    I cos2m

(15)

sin 2m#=sin a: cos #

((7)

cos2m~²#—

COs2m“⁴a;sin²x +

's to

ri m \

U +l)

COS

2m—2 r—2

x sin2r#+ ... , .

(14)

+ ... + (—l)r ^2    ^Jcos2m_2''# sin²''#-f-...j.

Zastępując w tych wzorach sin²# przez 1—cos²#, otrzymujemjr:

r=m

sin (2w + l)#=sin#2 (—1 )r(^!^Jj

sin 2m #= sin x cos #

cos

2m—2r—2

#(1—cos²#)r,

(16)

r=m

cos

2 m -2 r

X (1-COS²#)r

(17)

Rozwinąwszy odnośne potęgi (1—cos²#)'⁻, otrzymamy sumę 2 w pierwszym wzorze, jako wielomian (2m—2)-go, a w drugim, jako wielomian 2m-go stopnia, ze względu na cos#.

Kładąc te wielomiany równemi zeru, otrzymujemy, w pierwszym przypadku, równanie (2m—2)-go, a w drugim, równanie 2m-go stopnia ze względu na cos#. Pierwiastki tych równań możemy wyznaczyć bezpośrednio, bez faktycznego rozwiązywania odnośnych równań (2m—2)-go, względnie 2m-go

stopnia.

Zważywszy bowiem, że równanie sin2m#=0, ma pierwiastki:

(m—1) n

71

2n 3n

x=

• •>

czyli kształtu:

rn

, (r = l, ..., m—1) równanie zaś sin (2m-|-l)#=0, ma pierwiastki:

71

2 71

mn

2m + l

2 m+1

2 m +1

czyli kształtu :

(r= 1

m)

rn

2m+1

przekonamy się, na podstawie wzorów (16) i (17), że funkcya sin2m# zawierać

musi czynniki kształtu :

rn

cos #—cos

2m

gdzie r= 1, 2,..., m—1, zaś funkcya

nr

sin(2m-j-l)#, czynniki kształtu : ^cos #—cos

Ponieważ jednak odnośne równania są, ze względu na cos#, stopnia parzystego, i zawierają tylko parzyste potęgi funkcyi cos#, zatem pierwiastkami tych równań będą nie tylko wyrazy cos

także wyrazy — cos

2w+l

rn

gdzie r— 1, 2, 3,...

względnie cos

rn

2 m -f- 1

rn

względnie —cos funkcya sin w# musi mieć czynniki kształtu:

rn

2 m -f1

m.

lecz

z czego wnosimy, że

ll

rn

COS X— cos -—

cos x-\- cos

162

rn \    /

, 2 vn) “ V

9    2 rTl

COS²#— C0S²^r

r=l, 2,m—1

funkcya zaś sin (2?w-l-1)# musi mieć czynniki kształtu:

rn

COS X— cos

j ^COS#-f COS

rn

2 m 4- 1

COS²#— COS²

rn

r= 1. 2

m.

Możemy zatem położyć:

sin 2m#=Asin# cos x ^cos²#— cos2'2^"J '

cos²#—cos²-^

!2m

.....

cos²#— cos²

(m — 1) n

czyli :

r—m — 1

sin2w#=A sin#cos#

II ^cos²#

— cos

2 rn \

2 m)

(18)

a natomiast:

sin (2m+1) #= I^sin cos ²#

— cos²

» V

2m-fl /

^ cos²# — cos²

2 TT

2m-f-1

).....(

cos²# — cos² —

czyli :

sin (2/w + l) x

cos²# — cos²

r?r

(19)

2 m + 1

gdzie spółczynniki A i B przedstawiają pewne liczby stałe.

Ażeby je wyznaczyć, porównajmy oba wzory na sin2m#, (16) i (18) i na sin(2mĄ- 1)#, (17) i (19), a więc obie strony tożsamości:

r=m

r=rw—1

COS

r=m

2-«-( :

r=o    x    '

COS

a u

r—i l

#(1 — COS²#)r = 5 TI COS²#

r —-1 L

²#(1-COS²#)r =

COS²#—COS²

—cos²

rn

rn

(«)

2 m + 1 I*

Porównywając w pierwszej tożsamości spółczynniki przy cos²'" ²#, otrzymamy wzór:

r=m

Si,“,]-

[2wl f2ml

^=1    +    3

+ ••• +

2m 1 [ 2m—lj’

czyli :

porównywaj ąc zaś w drugiej tożsamości spółczynniki przy cos²"¹#, otrzymamy: wzór :

czyli :

O) CM

Na podstawie dwumianu Newtona, wiemy, że :

/ 2 m \    (2 m\

V 2 m—l/~^ \2 m)

.    (2m\ /2m\    f 2m \ (2tn\

⁼¹-V 1 )+\2)----—\2 m—l)+ \2mJ-

2!»=(1 + 1)²”=1 +ff)+(ï)

O²»=(1-1)

+ ... +

2 »»

Odejmując od siebie te równania, otrzymujemy:

22m = 2

lT2ml [2ml

U i r U

2m 11

[2m—1J /

czyli : zatem :

22m = 2 A

A = 22m_1.

Podobnie otrzymamy z równań:

22m+1 =(1 +l)2nł+i -1 +    ¹J

02^+1 = (l_l)2m₊l₌₌₁_ pm+l j

+... +

+ ... +

r2m-fll r2 m 11 [ 2m [2m lj

r2m +11_I 2m 11

2m J [2m lj

4- + + +

po odjęciu :

22m+¹==2

|pm+ll

+ ... +

to to

+ 4-

22m+1 = 2 B,

B = 22m.

Wobec tego wzory, (18) i (19), rozkładające funkcye: sin 2mx i sin (2»w + l)a:, na czynniki, przedstawiają się w postaciach:

czyli : zatem :

sin 2 m a:=22w-¹sina; cos x

-m—1 r

n

r-.z 1 L

cos²#—cos²

rn

2m

(20)

sin (2m+ 1)    — 22m sin a;

r=m p

Il I cos²a: — cos²

r—1 L

2m + 1

(21)

a że :

cos²#— cos ² —=

r.7

2m

=1 — sin²a: — 1 -f sin² «=sin²

2m

>vr

2m

--sin²a;

przeto, możemy powyższe wzory przedstawić także w postaci:

sin 2wa:=22m-1 sina: cos a:

r=m—1 r

¹¹

r — \    *-

sin²

rn

in²#j

(22)

sin (2m -j- 1) #=22m sin x

r=mr

n

i» —i L

sin²

rn

— sin²# I-

(23)

2 m +1

12. Rozkładanie funkcyi cos w as na czynniki jest o tyle prostsze, że

we wzorze :

coswa:= coswa; —

to §

cos"⁻² a: sin²# 4-...-{-(— l)r|^ J

casn_2r x sin2r x +...

występują tylko parzyste potęgi funkcyi sina:, które dadzą się również wprost przez funkcyę cos a: wyrazić tak, że otrzymujemy:

cos«#=cosn#—

[2] C0S”_2 X t1—cos2*) + - + (—

cos"—2ra:(1 —cos²#)r4- ...

więc wielomian w-go stopnia ze względu na cos x. Dla parzystego w = 2m, mamy tedy:

cos 2w a;=cos2m x —

[T]

cos

Im— 2

a;(l — cos²a:)4-...4-

—2r a: (1—cos²a:)r4-... + (—l)m(l—cos²a:)m,

czyli :

r=m

— 164 -

-!<-<*)

dla nieparzystego m=2m + 1 zaś:

cos 2m x

cos

Im—Ir

X{1-COS²#)*'

(24)

cos(2m + l)# = cos2w+¹a:— ^ ^2^)

+ (—!)’■    X) cos2m+¹-2ræ(l — cos²æ)r+    cos#(1— cos²#)”¹

COS

2m — 1

x (1—cosV) +... +

czyli :

r=m

cos (2m+l)»=cos2

2(-vm

cos

2m—1r

x (1—cos²»)r.

(25)

Mając na uwadze, że równanie cos2m»=0, ma pierwiastki:

X 4 m x_@r+l)7i

Sti

i • * •»

(2m—1) u

czyli î

równanie cos(2m +1)2=0 , zaś pierwiastki:

, (r=0, 1

m— 1)

71

Sti

czyli :

X 4m + 2 ’ 4m+2 Xs= i^r Ą-l)7i 4w + 2

(2 m—1) Ti 4w« + 2    ’

(r=0, 1,..., m—1),

i uwzględniając wzory (24) i (25), przekonamy się, że funkcya cos 2 mx ma czynniki kształtu :

^cos²» — cos²

(2r+l) 7i

(r==0, 1

5 *•*)

m— 1 ),

funkcya cos (2m+l)a; zaś, obok czynnika cos a?, czynniki kształtu:

cos²# — cos²

(2r 4-1)71

4 m -f-2

)■

Możemy zatem położyć : cos 2m»=+^cos²»—cos

4 m) \

cos²»—cos²

Sti

COS ²X— cos

₂ (2m—1) Ti

4 ni

czyli :

cos 2mx=A

r—m—i

J COS ²X

r=0

— cos

₂ (2r + l)Jg

r—m — \

zaś :

cos (2m + 1)2=1? cos »

COS²»—cos²

(2r+l)jT

r= 0

4m + 2

gdzie, na podstawie tożsamości :

r—m— 1

r=m    .

—l)r fg^)⁰⁰⁸²™⁻^2ra5(^ ~ C0S²»)r = ^ł JJ (cos²»

r— 0    '    '    f,—a '

—cos²

Ç2r-\-l)Ti

otrzymujemy, jako spółczynnik przy

cos2m x :

A=1 +

podobnie, dostajemy B=22,n.

O O--*©-

165 -

Otrzymujemy zatem:

cos 2m# = 22w~¹

r—m—i

[cos ²#

— cos

₂ (2r+1) n

Am

(26)

r—0

cos (2 m 4-1) x=22m cos x

r—m—i

n (

cos²#—cos²

(2r+l)^;

r=0

4m + 2

)■

(27)

Wprowadzając w miejsce cos²#: funkcyę sin²#, otrzymujemy także:

r=. m—1

cos 2 mx— = 22m~¹

[I ^sin²

(2r+l)yi:

— sin²#

(28)

r=0

cos (2 m 4-1) = 22m cos #

n (sin

₂ (2r-fl)n

r=0

4m + 2

sin²#j

(29)

wzory analogiczne do wzorów 20) —23).

13. Uwaga. Wzory, rozkładające funkcye sin»a; i cos »a; na czynniki, prowadzą do uwagi godny cli relacyj.

Przedstawmy wzory (20) i (21) w postaci :

r—m—1

sin 2mx _^m sina:

COS X

U j^cos²#

— COS^^r—

2 m

]-

r= 1

sin (2 sina:

r—m -1

IX £cos²a;— cos²

r=l

™_"I

2to+ 1 J’

i połóżmy w nich a; = 0, a otrzymamy, z uwagi, że:

sin nx

sina:

/    = », następujące relacye :

/ æ=0

r—m—1

r—m — 1

2to =2

¹ no

— cos

j =2

2mJ

2m - 1

rz= i

n sin!S’

r=l

r—m—1

r—m—1

2m+l= 22m

II (i

—cos²

r=1

)=2

2w + 1/

/•=!

a stąd :

r=nt—1

II sin!£

r=l

zatem , dwa uwagi godne wzory :

r=m— 1

r—to—1

to

22to—2

2 m -f-1

II Sin22m+1 22m ’

r=l

.— r—m— 1    /

V m ri    rr*    v 2to -j-1

’    “ Sm 2^+î “    2« '

2TO-1

r=l

czyli :

«    .    2r.

sin -=— . sin

3-

2to

2 TO

. sin-^ ••••

(to — l)7t

2to

2m—1

(30)

sin

TC

V/2to -j-1

3tc

W 71

(31)

. sin

. sin

. sin

2to 4* 1

2 to -J⁻ 1

2to 4' 1

Biorąc dalej pod uwagę wzory, rozkładające funkcyę cos »a:

2to 4- 1

na

2«

czynniki, w postaci:

rem

COS 2TO X = 2

2m— 1

II £sin²

(2r—1)tc

4 TO

sin²a:J,

r=m

cos (2m -j- l) x = 22m cos x

H [^sin²

(2r—l)r.

r—l

4 m -f- 2

sin²afj,

i kładąc w nich ® = 0, otrzymujemy:

r=zm

r—m

2m—1

a stąd :

r=m

zatem :

czyli wzory :

r= 1

¹    ■ ff cin²(2r~1)7t- ---

22m—1 »    ¹¹ 4m + 2    22w ’

'f² ; Hsin

2m ⁷

r=l

4m

=1

r=.m

Usin

(2r—1)tt:

r—1

—m

r=l

4m

r= 1

(2r—l)x    1

4 m -j- 2

~2m    ’

77    377    . 5r

sin !— . sin -— . sin -— 4 m

...sin

(2m—l)7i

V/2

4m

2m ’

577

.    (2m— 1) 7i

Sm 4m + 2-

77    377

Sin--—pr . sm-j r~ö • sm AI O *

4 m —J— 2    4m —|— 2    4m -j- 2

z których drugi wynika z pierwszego, jeżeli w nim m zastąpimy przez m -j- -g-.

14. Wyznaczanie całek kształtu: ^ sinn x

cos” a?

sinma?

dx.

sin” a?

sin ma?

2m

doc,

cos” a?

doc,

cos ma?

dx. Zastępu) ąc mianowniki sinm#, lub cos ma:, otrzymane, według

. cos ma?

wzorów powyższych artykułów, przez iloczyny czynników, złożonych z tych samych funkcyj sina:, lub cos#, jakie występują w licznikach ułamków, znajdujących się pod znakami całkowymi, przekształcimy dane funkcye ułamkowe na funkcye wymierne, złożone z samych funkcyj sina:, lub cosa;. Rozkładając, tak otrzymane wymierne funkcye ułamkowe dochodzimy do szeregu całek, kształtu :

na

ułamki proste,

dr

dx

a cosx+b ’ asina: + & których rozwiązanie poznaliśmy w art. 4.

sin²a; ₇

15. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę: j* Mamy tu:

sin 3®

= 2².sina: (sin²-*- — sin²®)

zatem :

sin²® 1 sin 3®

^ sin² — sin²®

3 — 4 sin² x ’

a więc :

sin²®

dx

sin 3®

3— 4 sin²®

Kładąc tang x = u , mamy :

r dx ₌ r J 3—4 sin²® J

du »

(1 + «²) [3

¹ i V* + 3-«²    2V/3°⁸V/3-«

du

4 u1 l+td

1    .    Y/3 -f- tang ®

=-7=l0g “7=-

2\/3 Vo — tang®

zatem :

sin²«

sin 3«

2) Wyznaczyć całkę : j

Mamy tu :

zatem :

a więc :

a że :

— 167 —

dx — -

' cos³«

cos 3#

1    \/3 + tang «

g \/3 — tang x

2V/B

h O.

dx.

cos Sx = 2² .cos«

^cos²«

— cos²*-^

67'

cos³«

cos²«

cos²«

cos 3«

COS²« — COS² -77

4 cos²« — 3 ’

"6

cos³«

cos 3«

dx

cos²«

4 cos²« —3

dx.

Kładąc tu znowu tang« — «, mamy:

cos²«<?«

4 cos²« — 3

du

przeto, otrzymujemy :

(1 -J- «²) [1— 3«²] ’

i _ i i , 3 r i

(1+«²)(l-3«²;    4 • l + «2_r8[i_M

— arc tang u -f- -g— log

u\/ 3    1 Ą-u\/ 3 ’

du

1 -|- «Y/ 3

i-«Y/b ’

a zatem :

«    \/3

T + _8

1-|- y/3 tang: «

1—y/3 tang «

16. Całki kształtu: /sin*ma?cos*fiæeïfiC, możemy w przypadkach, gdy wykładniki s i k są liczbami całkowitemi, dodatniemi, podobnie, jak całki kształtu: Jsin*# coskxdx, wyznaczyć za smsmxcosknx na dodajniki.

Kładąc mianowicie :

cos³«

cos 3«

dx =

log

+ C.

pomocą rozkładania iloczynu :

cos nx + i sin nx—enxi=un cos nx—i sin nx=e~nxi=u~n

a zatem :

cos nx

un + u~n

sin mx=

um—u~m

otrzymujemy iloczyn:

(um —a~m)s (un + u~n)k

sin* mx cos* nx=

Po wykonaniu wskazanych działań, uwzględniając uwagi str. 127. podane, otrzymujemy stąd:

sin* mx cos* nx=

a więc w przypadku, gdy s jest liczbą parzystą, wzór:

.    J2Ar (tt“r + M_ar)

sm!rnxcos*nx = —₂,+fe(_1)</2 ~

natomiast w przypadku, gdy s jest liczbą nieparzystą, wzór:

2Ar(uar—U'ar)

—2*+*(—lj*^

skąd, mając na uwadze, że: w“4-m*“=2 cos ax, ua—u~a=2i sin ax, dostajemy, w przypadku parzystego s, rozwinięcie :

2*+* is

w art. 12.

2Ar (Uar + (—!)* U ar)

sin* wz# cos* nx

2*+* is

2%Ar cos arx ‘ 2»+*(—1)*/₂ ’

a natomiast, w przypadku nieparzystego s, rozwinięcie :

S^iAr sin arx

S—1

sin*    cos* w#=

sin* mæcos* nx

2*+*(-l)²

Iloczyn sin* m# cos* w# da się więc, przy całkowitych, dodatnich wykładnikach s i Ü; przedstawić, jako suma sinusów, lub cosinusów ar- krotności zmiennej x z pewnemi, ściśle określonemi spółczynnikami Ar.

To samo dotyczy wogóle iloczynów, kształtu :

P= sin** mix .sin** m₂x... cosh nix. cosk*n₂x ... a zatem całki kształtu f Pdx sprowadzają się ostatecznie do całek:

f cos 05^ dx=

cos ax „ -+ C.

a

sm« „    .

—à--p G, J sm ax ax =

17. Przykład. Wyznaczyć całkę: J=f sin³2ec. cos²3cc. dcc. Mamy tu:

(u²—U—2)³ (m³-)-w-³)

2°.i³

sin³2cc.cos²3ec:=

(u⁶-3u² + 3u - 2—U-6) (u⁸ + 2 + u ®) =

82

= ~ [(w¹²—w⁻¹²)—3(u⁸—u—⁸) -p 2 (u⁶—u—⁶) -p 3(ui—u—⁴)—6 (u²— u—²)] =

= — jg [sin I2cc—3 sin 8* ~p 2 sin 6cc -p 3 sin 4ee - 6 sin 2x]

zatem :

j"sin³ 2cc . cos² 3x.dx

cos 12 cc 3 cos 8cc 12 8

cos 6cc

3 cos 4cc

3 cos 2cc|-P O.

ćwiczenia X.

cosec dx

log

2 sin x -p 1

²>I

⁸>i

2sin²cc -p 3 since -P 1 cos x ~p sin 2cc sin³cc —3 sin²cc -p3sin 3—1 cos² cc sin cc

2 (sin cc -p 1)

dx =

f C.

2 -Pcos²cc — cos*cc

4) Ç_*L — log

J cosec

sin² cc cos²cc dx

⁶>i

⁸>i

⁹)J

10) f

dx = y₆ log

sin cc

sin²ec—2 since -P 1 cos cc —1 cos x -P 1

+ o.

V/2

1 -p sin cc

cos cc

+ 0.

cos⁶cc — sin⁶ cc

a cos cc -p b since

cos² cc sin cc

dx

a² cos² cc -P b² sin² cc

dx

pi°g

sin cc tang³ce -p 1 tang³ cc —1

log

cosec

₃ - aro tang ^

sin cc 1 -p cos cc

dx — a log tang cc ~p b tang cc -p O.

=    arc tang (^~ tang cc) + C.

b² — a²

2a² b² a² cos²cc -f- b² sin² cc cos x sin x

cosec since

6²—p a²

(a²cos²cc -p 6²sin²cc)2 cos² xdx

(a² cos²ec^p b'Łsin²cc)² 2a² (a²cos²cc -p b² sin² cc)

arc tang    tang cc) -p O.

~r aro tang (A tang x) + O.

2 a³b³

. (*    sin²ctdx    cos cc sin cc    1    /&    \ „

n) J (a²cos²cc-P ô²sin²cc)² 2ft²(a²cos²cc + ó²sin²i) ⁺ 2 ab3 &rG tang ta“g V + C'

12) [

dx

asin²cc ~p b cos² cc

V ab

— arc tang

(y* tanga,)

⁼ 2 V-ab

, b Ary —ab . tangee log-—

b — V—a b . tang cc

4-a

— 169 -

iS) J

cosec— 2

14)

dx

-^=- arc tang £y/3 tang -+ C. l-HV^ . tang 2" a;

1—2 cos x

Y/3

log

1 — Y/3 . tang

to i H*

+ o.

¹⁶> I

dx

a cos x +- b

Vb²-a²

arc tang

»,

tang

to, «

\/ a ²— b²

log

+ G—

\/a -j- b -+y/» — b . tang

\/a + b — \/a — b . tang ^

£

+ 0.

¹⁸)J

dx

a sin x Ą- b

\/Ä2=rarctang

V bi— al

ht

-tang

to

17) [

dx

V/« + b +V/« — 6 tangly—

V/a + ö- \/a — 6 tang -^-(y — *)

arc tang (g₌fQt«ing ł »

V/ c²— a² — ô²

(c—a) tang ec + &+ y/a²-+&²—c²

IC

y/a² — ô²

log

a cos ce +- b sin ec -j c y/c2_a²—b²

fC =

Y/a² +-ô²—c²

log

tO h-i

(c—a)tang-i-ec -+ ô —y/a²-{-b²—c²

dx

¹⁸⁾    J

19)    j

‘20) j

21)    Jsin?m+¹ erri!:c=

22)    Jcos²”*+¹ecefcc=

23)    j tang2m+¹

24)    Jsin’eedee = 26) )

27) j 29) j 31))

33))

36) )

37)    )

sin x +- cos ec

dx

a sin ec -+ b cos ec

(1 +- sin x) dx

sinec(l -+ cos x)

^=logtangi-(* + |-) + C.

1    X +- a

~ ⁼ \7^logtang^-

»Z5    1    CC

= ~j^ng²g- +- tang ₂ + -^ log tang + C.

+ O, gdzie tanga= —.

cosec im\ cos³ec im\ cos⁵ec / \ cos⁷ec

r+u;—g—*2)    g i⁻1 l —

sin ec (m\ sin³ ec ,m\ sin⁵ec

I '1 / 8    ^ *2 / 5

x dx

tang2m x

tan g2m—2 x

g CO

... + O.

(m\ sin⁷ec \3 / y

-+ ... 4- &

+ ... + C.

dx=2 sinec +- C. 28) ^

sik+a 30>)

4- C. 32) j ² b O. 34) j

+ log tang -J- + C. 36) j

s- !°g tang Y + c-

cos⁴ec

sin2ec

sin ec

sin 2ec

sin³ec

sin 2ec

cosec

sin2ec

2m

2m—2

— cos x + cos³ ec —

dx a=s—

dx — — 2 cos ec

—»— efo cos³ec

cos x

sin2ec

sin²ec

sin⁴ec

cotgec — ~ cotg³ x-\- C.

dx — —2 log sinec -|- C.

sin 2ec

sinwec

dx

sin 2ec

cos²ec

sin 2ec

coswec

dec

(n — 2) sinw - ² ec

dx— — 2log cos ec -+ C.

co s 2ec sinec cos 2ec sin³ec

dx — 2 cos ec

(n—2) cosn—²ec cos 2ec

sin² ec

dx ——

cos ec

2 sin² x

+ C.

dx — — 2ec—cotgec -+ C.

- 170 —

38) f

cos 2x

sin⁴x

dx

39) f

cos 2a?

GOSX

di) f

co s 2x

42) \

4

j- — cotang x + C.

+ logtangy ( g — x) + G- ⁴°) j

\\ogtĄ(^-x) + C. 4

---g- tang x -f- C.

COS X

3 sin³ x

dx — 2 sin x

co s 2x

cos² x

dx — 2x — tang x -f- C.

cos³x

rcos 2x

cos⁴x

ê¹ &

sin a:

2 cos² x

sin x

3cos³ x

Wykazać, że:

43)    cos 2x — 2 (cos²x — cos² = 2 (sin² ~ — sin²x).

44)    sin 3a; =4 sinx (cos²x — cos² -    = 4 sinx (sin²-g--sin²xj

45)    cos 3x= 4cosx (cos²x—cos²    — 4 cos x

46)    sin4x —8 sin x cos x (cos² a: — cos

47)    cos 4x = 8 (cos²x — cos²

ce m

71

(sin²-^- — sin?x).

) = 8 sin x cos x (sin²-^—sin²x^.

I) (oosJ*

— cos²

37:

)-

= 8 (sin²-^- — sin²x^) (sin²^ — sin²x^.

48) sin 5a; = 16 sin x

(cos²x— cos² (cos²x — cos² ^ =

= 16 sin x

(sin² --sin²x^ (sin²

07 t?

sin²x^.

49) cos 5x — 16 cos x (cos²x — cos² (cos²x — cos² ^

= 16 cosx

(sin²^ — sin²x^ (sin² ^

10

sin²x^.

50) sin2mx = 2

2 m—1

2m -1

sinx cosx

sin x cos x(cos²x—cos²^—) (cos²x—cos

(aiu’L -sin,a:)(

2 7Î

S. 3

27:

2m

2m

j ... (cos²x—cos²

(m—1)::

2m

)•

— sin²x^... (sin²

(m—l)rc

2m

— sin²x^.

51) cos 2m x = 2

2m—1

(cos²x— cos²^^(cos²x—cos2^) ••• (cos²x—cos

sin²x) ... (sin²

2m—1

(sin² ^ — sin² x) (sin²

4m

(2m—1) 7:\ 4m / (2m — 1)7:

2.

4m

sin²xj.

52) sin (2m -|- 1) x = 22msin x (cos ²x—

cos

z£+ï) (“S’x-cos’

27:

2 m-j-l

...(cos²x—cos²

mr.

2m-|-l

53) cos (2m-f-l)x = 2

)*=2!”Sin₁*(Bin*^pî-sin>x)(sin>^i-smV)...(smL^-₁-Sin’x).

dip)'^

2m

cos x

... (cos²x—cos²

(2m—1)t:

4m-|-2

(cos²x —cos2 )=2²”'oos*(Sin’^₎_₂

— COS²

3tt

4m-(-2

...

sin²x^ (sin²

4 m 4-2

sin²x^

... ( sin²

(2m—1)t:

4m -f- 2

sin²x^.

Wyprowadzić następujące całki:

⁶⁴⁾ i'üSï⁼4 logt“g,:+c’- ⁶⁶0 ix

56) j

sin x d x

sin2x

cos 2x

^ log tang + y) + O.

= ~ log tang (-J- + *) + <?•

57)    j

58)    j

CO) I *

sin x dx

cos 2a;

7f Iog [tanS (t + I) tang (i - f )] +

cos x dx

sin 2x

sin 3 a;

2V/2

=y iostan^ -f-+a B9) S

^-logtang    61) jj dx

cos x dx

cos 2 a;

cos 3a:

—-7= ł°g

2\/2

log tang — (~ + 3æ).

tang(|-+|)

tang(-| + f-)

cos x dx sin 3a?    6

zr log

sin³ x

sin x dx

sin

sin 3a;

sin 3a:

—K= log

²\/⁸ sin

(i+x)

(t-*)

+ C.

64) J

cos xdx cos 3a:

cos

(I⁻¹)

, «6) j

cossa: dx

sin 3a;

cos² a:

cos 8a;

sin ² a: da:

sin 3 x

69) f

sin %x dx cos 3a:

COS³ a:

—7= log

2V/3

■g" log tang a:—log [cos—

dx=~ log [tang y Ur+œ) cotg4 (y ~ *) J + °‘

~ log [ cotg (y + -J) . cotang ( *

“ - jlog tang IT + v] - T log [tang (Ś + t) cotang (S'" f)l + C-

sin” a: cos na:

cos

(i+x)

\- a 65) j

sin a: dx

cos 3a:

Ht+-)

. cos

⁼~6 log

T (‘g’⁻*)] + °-

cos 3a:

i- a

TO) Jsin”

71)    Jsin”⁻¹ x sin (n -j- 1)

72)    ^cos” ¹ a: cos (n + 1) a:. da:

73)    j'cos” ¹ x sin (n -j- 1) x . dx

-1

a: cos (n -j- 1) x . dx

x. dx

sinn x sin nx

+ C.

+ C.

cos’* x sin nx

cos’* x cos nx

+ C.

Rozwiązania X. 1)—2) sina:=n. 3) cosa; = «. 4)—5) sina;=«. 6)—12) tanga; = w. 13—20) tang y₂a:==n. 27)—42) wyrazić sin na: i cos nx przez sina: i cosa⁻. 43)—53) patrz art. 10. 54)—69) przez rozkładanie funkcyj na ułamki częściowe. 70) — 73) przez rozkładanie funkcyj na dodajniki.

Literatura. A. Cauchy. Résumé des leçons données à l’ecole polytechnique sur le calcul infinitesimal. (Oeuvres complètes d’Augustin Cauchy). Paris 1899. H. A. Lorentz. Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung unter Mitwirkung des Verfassers übersetzt von Dr. Gr. C. Schmidt. Leipzig, 1900.

Tematy do rozprawek naukowych.

1. O rozkładaniu funkcyj sin na; i cos nx na czynniki.

cos™ a: . sin™ a;    sin™ a; . sin™ a:

- i __--—-- 1 -

cos na:    sin nx sin nx cos nx

cos™ x

2. O rozkładaniu funkcyj :

na ułamki częściowe.

8. Ogólne wzory całek kształtu : jj

cos nx

dx,

cos™ X

sin na:

dx,

sin™ a:

sin nx

da:,

sin™ x

cos na:

dx.

Wykład XL

Całki funkcyj wykładniczych i logarytmicznych.

1. Całki funkcyj, złożonych z funkcyj wykładniczych dadzą się tylko w szczególnych przypadkach wyrazić przez funkcye znane i podać w formie skończonej. Zależy to głównie od tej okoliczności, czy dana całka funkcyi, złożonej z funkcyj wykładniczych, da się sprowadzić do całki funkcyi algebraicznej, wymiernej, nowej zmiennej, czy też da się, za pomocą stosowania metody całkowania przez części, sprowadzić ostatecznie do znanych całek.

Zajmiemy się najpierw ważniejszymi typami całek złożonych z funkcyj wykładniczych, mając na uwadze całki zasadnicze:

eax dx =

za

pomocą stosownych podstawień,

f ex dx=ex + C, ^

(aT dx=Y~--fCj

J    log a

amx dx =

pClX

•mx

+ C.

(1)

rn log a

2. Całki kształtu: J'JR(eax)dx dadzą się za pomocą podstawienia: eax=z,

•    7    1 dz

dx=dz, a więc dx=--

u z

podstawie którego otrzymujemy: ae

dzić do całek funkcyj wymiernych. Otrzymujemy bowiem:

na

IX

sprowa-

^R (eax) efo=-i-    dz

(2)

Do tego rodzaju należą w ogólności całki kształtu:

j'R(attx, aPx, ..., a*x) dx,

w których funkcya R jest funkcyą wymierną ze względu na funkcye wy-

au, a spółczynniki a, A są liczbami wymiernemi,

kładnicze : nax

a?x

całkowitemi, lub ułamkowemi.

Jeżeli przez n oznaczymy wspólny mianownik ułamków; a,/?,...,

, n

tenczas, podstawiając ax=zn, a więc dx=j—

A, na-

ds

otrzymujemy :

log a z

Yb C*

akx) dx =    — ^R(z

a , x dz z?n, —

⁷ z

a więc daną całkę, wobec całkowitych wykładników: an, ßn,..., An, sprowadzoną do całki funkcyi wymiernej ze względu na nową zmienną z. Mając na uwadze, że a=elos«, a więc ax=exlo«a, gdzie e jest zasadą logarytmów naturalnych, możemy też całki powyższego typu przedstawić w postaci.

jR(aax

, aßx,..

an

(3)

e*»*) dx,

fR(eaix, eP'x

w której spółczynniki : analog«, ßi =ßloga,..., Ai=Âloga, pozostają do siebie w stosunku wymiernym. Kładąc log«=?w, otrzymujemy daną funkcyę w postaci :

R(e^x, eP*x ,..., e**x) = R(e

(r);] =F(emx),

, emßx j..., e”a*) = R [(emx)a,

a więc, przedstawioną w postaci funkcyi algebraicznej, wymiernej, lub niewymiernej, zawierającej jednak, jako niewymierność , wyłącznie ułamkowe potęgi funkcyi wykładniczej e

max

m:r

której całkę zawsze wyznaczyć możemy.

dx =

3. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę kształtu : j 1 dz

j-—- . —, otrzymamy:

dx

pax + q

dz

. Podstawiając ax — z, zatem:

a że :

a więc :

dz

= —f

pax + q log a J z(jpzĄ- q) ’

1    _1_ _ p_    1

q ' pz -P q ’ ilog*-ilogO,-- + ₃)=! log

z{pz + q) q

z{pz 4- q) przeto otrzymujemy, ostatecznie :

dx =

r dx J p ax -p q

2) Wyznaczyć całkę: .7 =

1 dz

— — , otrzymujemy :

2 log a

log

ax

pa* + q

dx

enx e—ax

. Kładąc ea* = z, a zatem aca*dx = dz, a więc

dx

ea< _p e-ax

¹ [dz

a J z

•••+4

_ ¹ Ç dz

a J

s² -j-1

= — arc tangs 4~ G. a

zatem .

dx

eax e—ax

- arc tang (eax) C.

3) Wyznaczyć całkę: J” = j

e¹** d

ex 4- 1‘

—. Kładąc e«: = s², a więc e'kx — z

dx —

dz 2 —

-, otrzy-

mujemy :

e^xdx

e* Ą- 1

s²4- 1

2 arc tang z 4* C,

zatem :

x dz ex 4“ 1

4. Całki 1‘iuikcyj niewymiernych, złożonych z funkcyj wykładniczych dadzą się także w tych przypadkach wyznaczyć, w których one, za pomocą stosownych podstawień, dadzą się sprowadzić do całek funkcyi wymiernej nowej zmiennej.

Mając n. p. wyznaczyć całkę, kształtu’

= 2 arc tang (\/e*) 4- G.

J=\

dx

V/pax 4“ 2 ’

podstawmy : pax 4- q — s², a więc p . a* log adx = 2 zdz , zatem :

2    zdz

dx — ,    .    .    ,

log a    z¹— q

a otrzymamy :

dx

V/pax 4- 2

2 C dz log« J s² — q‘

W przypadku, gdy O, mamy:

_____./ .....¹

zl-⁽i 2V<i \*—Vq

z + Vq

)■

- Vq

2    2V/q

zĄ- V q

+ O,

zatem :

dx

log

\/ pax -f- q — \/ q

j\/pa*-\-q \/q\oga W przypadku , gdy $ <C 0, otrzymujemy zaś :

V pa* + q 4 v'q

fC, (q> 0).

2 “\/-ÿ

arc tang

7/==+ ^ V —q

zatem :

(*___

JV/pa* + 2 V — 2- log «

arc tang

\/pax + g

v/=T

+ <?, (2<0).

5. Całka kształtu: f Ił (x). eax. dx, w której R{x) jest wymierną funkcyą ułamkową, niewłaściwą, rozpada się, skoro: R(x) — G(x)4

Gn~ i (x)

Gn (x)

na dwie

całki: JG(x)eaxdx i

i C ” * eax dx, gdzie 6r(æ) przedstawia funkcyę wy-

J (jTn\X)

Gn—i (a?)

funkcyę ułamkową , właściwą.

Pierwsza całka, kształtu : JG(x) eax dx , sprowadza się do całek, kształtu

mierną, całkowitą, a iloraz

Gn (a?)

J xn enx dx, druga, kształtu :

!-3— eaxdx rozpada się, po rozłożeniu funkcyi

ułamkowej na ułamki proste, ostatecznie, na całki kształtu :

lub

f eax dx jx— a

6ax dx (x —a)n

których wyznaczaniem się zajmiemy.

a zatem : du=nxn-] dx

eax

6. Całka kształtu: fx'e^dx, da się, przy całkowitym wykładniku n, zawsze wyznaczyć. W tym celu, zastosujemy metodę całkowania przez części. Kładąc : xn=u eax dx=dv

dochodzimy, mianowicie, do wzoru:

xn eax dx =

a.

xn~¹ eax dx ,

(4)

na

podstawie którego, możemy widocznie wykładnik n zmniejszyć do źera.

kolejno :

Powtarzając działania, powyższym wzorem wskazane, otrzymujemy

/jq71—1 ßClX    __

r^n — 1 ga.r

w-1 f

a J

gęTL —2 opx ß^X

x 2 f>/ax dix —

rjß ł ßClX

cm e

xeax dx,

1 enx

a a,

c    nr p*

\ xcax dx — —-J    a

stąd, wzór bezpośredni :

xn c"x dx =

ax

Xn —

xn~¹ +

n (n — 1)

——„—— x

a²

-... +

Na podstawie tego wzoru otrzymujemy n. p. :

£xex dx=ev {x—1} -j- C, fx² ex dx=er [x²—2#+ 2} + G’, dx=ex {æ³—?>x² + 6#—6} + G

= ea' —moj”⁻¹-}-2!    aj”“²— ... + (—l)rr!

'S

!)•»!}+a

Jx” ex dx

7. Wzór ogólny całki kształtu: JG(x)eaxdx, Jeżeli 6r(æ) jest funkcyą całkowitą, wymierną n-go stopnia, której pochodne oznaczamy kolejno przez G\x), G"(x),..., natenczas, stosując wprost do całki kształtu: f G(x) eax dx, metodę całkowania przez części, otrzymujemy następujące wzory redukcyjne:

. eaxdx =

aj”“r + ... + (—

^ G\x)

. eax dx=

a;. eaxdx=

— G(x)e

a

— ćr'(a?) eax— a

— Œ*-¹Hx)e a

ax

— ^G‘(x)eaxdx,

M⁰*“¹

«—i J©(")(*)

eaxdx,

eax dx

(6)

z których, ze względu na to, że ćr⁽”)(#), jako M-ta pochodna funkcyi wymiernej, całkowitej M-go stopnia, jest liczbą stałą, otrzymujemy wzór ogólny w postaci:

je (x)

. eax dx

ßaa: (    1    1

— a(x)- — Gt (*) + 4 G"{x) -a (    a    a²

.» +

więc w przypadku a= 1, w postaci:

/ G(x) .exdx=ex{ G(x) - £'(z) +... + (—1)” GW (*)} + C. Na tej podstawie otrzymujemy n. p. :

j*(x²—Baj+2) exdx=ex\xl—3aj + 2—2#-1-3 + 2} + C, J(x²—3a; + 2) exdx=ex [x²—5æ + 7} + G.

Gm—i («®)

czyli :

8. Gałki kształtu :

(8)

dx» Pierwiastek m-krotny mianownika

(x — a)

Gn(x) funkcyi ułamkowej, wymiernej i?(#), prowadzi, przy rozkładzie tejże funkcyi ułamkowej JR [x)

(x—a)²,;.., (pc—a)'”, które, sprowadzone do wspólnego mianownika (x — a)m,

G

dają ułamek właściwy, kształtu:—^

J ’    (x—a)m

na

ułamki proste o mianownikach: (x — a),

-i

(x)

w którym Gm^\(x) jest funkcyą całkowitą (m— l)-go stopnia. Tym sposobem dochodzimy do całki kształtu :

CG

J (cl

m—1

O)

(x—a)m

eax dx.

ax₌ d /    ² 0e) eaĄ-\__—— eax

dx 1 (x—a)”¹“¹    / x—a

Gm—j (x) ^

(æ—a)m

gdzie Gm__2(x) jest funkcyą całkowitą (m—2) go stopnia o niewiadomych spółczynnikach A₀, Au..., A

Kładąc :

m — 2>

otrzymujemy, na jej wyznaczenie :

Gm-\ (?) eax==

(x—a)m

(x—a)m-'{G‘m-i(x)e™ + a Gm-2 (®) eax)—{m—l)(g—a)”¹"² Gm-2 (aQea*

(a:—a)

2m—2

(9)

»aa:

czyli równanie tożsamościowe :

Gm_\(x)=(x—a) {G‘m-2 (x) + a Grm—2 (x)) — (m—1) Gm-î(x)-\-A(x—a) w którem, po obu stronach występują funkcye całkowite (m —l)-go stopnia.

Porównywaj ąc spółczynniki obu tych funkcyj, otrzymujemy m równań warunkowych pierwszego stopnia, koniecznych i wystarczających, do wyznaczenia m niewiadomych: A₀, A₁,..., Am_2, A.

Wobec tego, otrzymujemy ogólny wzór redukcyjny:

Oto—2 (#)

(x— a)m~x

Gm—1 (x)

(x—a)m

eax dx

ax

. f eax dx

+ A \-

J x—a

który całkę kształtu: ( —1m.....¹ ^ e

J v    J (x — a)m

całkę kształtu :

J x—a

Ç gctx floß

9. Całka kształtu: \-—•. Kładąc w tej całce x—a

J 00—Ct

dx—dz, eax=ea^+cc^ = eaa . eaz = h . eaz, gdzie ic=ena, a więc:

ax

TO—1

(10)

dx, wyraża przez funkcye znane i przez

—z, otrzymujemy:

f eax

)x— a

dx= Jc

Î-T

dz.

Otrzymana całka kształtu :

ç eaz

\—-—dz nie da się wyrazić przez funkcye

znane. Możemy ją przedstawić w postaciach prostszych.

.....    u    1

Podstawiając mianowicie: az=u, a zatem z——, dz=—du, przedstawimy

(X    Q>

naszą całkę w postaci :

eaz dz

eu. du

mujemy :

Podstawiając zaś: eaz=t, zatem: az=\ogt, z=

fcazdz (* dt

)~=a\

1 dt

otrzy-

Całki kształtu :

f eax dx f eax dx J x — a ’ J x

log t '

f ex dx J x

sprowadzają się ostatecznie

ę dx

Jlo—x * *)Worz^ nowe funkcye przestępne, z których funkcya przestępna, przedstawiona całką : ^

do całki kształtu :

nazwaną została logarytmem cał-

logaf

kowym zmiennej x i oznacza się zwykle znakiem Li (x) -f- C.

Piszemy tedy:

dx

j logo:

f ex dx t • /    . n [eaxdx _..    .    „ (V

a w następstwie tego :

a ostatecznie :

Grm-1

(x) eax dx

(x—a)m

Li (x) + C

Gm—i (x)

(x—a)

eaxdx    _..

-= ena Ia (enx) -f C,

— a    v ’    ’

eax t Aena Li (enx) -f C.

(10')

10. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę J— jj x³ — a?² -f- 3x — 1

x³— a;²-!- 3a?—1

ex dx. Mamy tu:

zatem :

a:³ — a?² -}- 3a? —1

a?—1

a że :

= *² + ³ + ’

X — 1

ex dx — J^a?²    B --—ex dx =Jx²ex dx    3 Jex dx -f- 2 J—

fx²ex dx = ex {a;²—2a? Ą- 2| , f ex dx — ex ,    ^ = eLi(exC,

ex

—

zatem :

j*-*"-e% ^x— er{#²—2a? -j- 5|-f 2e.Li(ex~¹) -\- C.

2) Wyznaczyć całkę

a?² — 3a? -{- 1

a?²— 3a? 4- 1

a?⁴

ex dx. Kładąc tożsamościowo :

a?⁴

ex

d I Ax² -\-Bx -f- O J , D „

-si—Vt-‘,l+7'’'

otrzymujemy, na wyznaczenie spółczynników A, B, C, D równanie tożsamościowe:

a?²—3a? + 1 = x (Ax² + Bx + C+ 2Ax + B)-3(Ax² + Bx + C) + Dx³, a stąd, równania warunkowe :

AĄ-D = 0, B-A = l, C—2B = —3, -3(7=1,

które dają:

14    1

A = ~, #= g , O—— -g-, Z)=

a?² 4- 4a? — 1    1 f e*

3Ï3 e

— dx, jako szczególne przypadki całek kształtu:

J 00

C 6ax

dx, sprowadzają się do całki: \-dx=Li(eax)-\-C, za pomocą wzo-

«y X

rów redukcyjnych, poznanych w art. 6. dla całek kształtu: fxneardx.

Z wzoru :

Jest zatem:

a?² — 3a? -pi

x*

ex dx =

dx 4~ O.

11. Całki kształtu:

r G(x) c

3 (x—a)n e

".r

xn eaxdx =

— [x»-' a J

ea vdx,

otrzymujemy, bowiem:

Xn-i eax dx *

~^xn eaxdx,

a stąd, zastępując «—1 przez «, więc n przez «4 1, wzór:

eaxxn+i    a C

« 4* 1    « 4” 1 3

xn eax dx =

xn+1 eax dx

który, dla ujemnego wykładnika «, przedstawia się w postaci:

eax

Ceax

3 xn

dx = —

(«—1) X

W— 1

a C e™

n — 1 3 a:"⁻¹

(U)

którą także otrzymamy na podstawie wzoru dla całkowania częściowego wprost

kładąc :

eax=u

a zatem: du=aeax dx

ds

— = dv

X¹'

v= —

(«—l)xn~ h

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

12

. ç et

Stosując powyższy wzór redukcyjny do całki: \ —

ęj X

C eax

dziemy w końcu do całki: \-dx—Li (enx) -f- C.

ęj 00

Dotyczący wzór bezpośredni przedstawi się w postaci :

e»x I ^__i__?_

'(»— 1) xn~x (w—1) (n—2)xn~²

+ ••• +

dx

it. d., doj-

Ceax J xn

dx= —

an~²

(n — 1) (n—2)... 1 . x

(n— 1 )(n—2)(n—3)xn~ an~i

(n-ljl

3+- +

- dx.

a że :

12. Stosując powyższe postępowanie do przykładu 2) art. 10. otrzymujemy:

Ç e*dx ex . (* ex ₇

ir + Jir **'

I ¹    ,    1 \    1 r e* ,

er 12a;2 1 2.1» / 2~3 *

-Hs^ ⁺

a:²— 3» -f-1

a:⁴

ev dx

exdx

.i

erdx

a:⁴

1    1    1 Cecdx

3.2.r2 T 3.2.1 .xl    6 3 x

zatem otrzymamy :

a:²— 3» -f- 1

§S-dx$c.

x²-\- 4» — 1 ex- „ .-

ex dx =

__3

IB. Całkowanie funkcyj logarytmicznych. Jeżeli funkcye dane zawierają wyłącznie logarytmy zmiennej niezależnej x, a więc przedstawiają się w postaci y= .F(log:r), natenczas całkowanie takich funkcyj możemy zawsze sprowadzić do całkowania funkcyj wykładniczych, za pomocą podstawienia

logx=z, a więc x=el, dx — eldz.

xi

3»³

Otrzymujemy bowiem wówczas:

J F (log x) dx=f F (z). ez dz

(12)

a więc całki, które w przypadku, gdy Fix') jest funkcyą wymierną, algebraiczną , dadzą się

f dx

alnie sprowadzić do logarytmu całkowego : j-dz=\^^^==Li{x).

na

mocy poprzednich uwag, zawsze wyznaczyć, ewentu-

14. Przykłady. 1) J [(log»)²+ 3 log»—7)\dx = ? Kładąc log » = 2, mamy:

f [(log »)² + 3 log »—7] dx = f [z² + 3»—7] e* dz = eZ{z² + 3z-7—2z- 3 f 2}=e* (z² + z-8) a więc :

J[(log »)² -f- 3 log x— l]dx= x {(log »)²-|- log»— 8} -f- C.

2) fflog»)¹^-Błoga»—¹1 dx ' J    log X

Całka ta sprowadza się, zapomocą podstawienia log» =2, do całki: z² + 3z — 7

Mamy zatem:

«=» j(z +3) e*dz-l^-- dz={zĄ- 2)e* — l jjdz.

^ + dx^logx+2)_^+ a

el dz

15. Całki kształtu: J‘(logx)ndx. Kładąc:

otrzymujemy :

\ogx=z, a więc: x=ez, dx=ezdz

(13)

/ (log x)n dx — fzn ez dz.

Dla całkowitego, dodatniego wykładnika w, mamy, na podstawie wzoru (8) str. 175. wzór bezpośredni :

fzn ez dz=ez [zn—nzn~' -f- n {n—1) zn~² + ...+(—l)n7i\} + C, przeto, otrzymujemy, w tym przypadku, wzór ogólny:

-2

/ (log x)n dx=x {(log x)n—n (log ic)”-¹+n (w -1) (logic)” a więc n. p. wzory szczególne:

flogxdx=x {log#—1} + C, f (logx)*dx=ic{(log x)²-2 log ic + 2 !} + C,

/(log xy dx=x {(log#)³—3 (log ic)²-f6 loga:-3 !} + G.

Dla całkowitego, ujemnego wykładnika n, mamy, na podstawie art. 11. str. 177., wzór bezpośredni :

2 + ...+

(w —l)#”-¹    (n—l)(n — 2)zn~

ii

{n—1) (n—2) ...2.1. Wobec tego, otrzymujemy wzór ogólny:

L_f

(»-!)! J

dz.

(logic)

, '__i

l (w—1) (logie)

{71—1) {Ti-2) (log X)

dx

{n—1)! llogæ

ważny dla całkowitego dodatniego w, większego od 1. W szczególności, otrzymujemy:

(14)

(«—!)(»—2) ...2.1 logie

dx

(log x)²

x r dx logie Jlogic

iC(l+logiC)

(logie)³

2 (log x)²

(log a:)⁴

^ {2 + (log x) + (log ²|

6 (log a:)³

1    r dr

2    ) logie ’

1 C dx 6 3 log ic

i t. d.

dx

gdzie ^

funkcye znane, a nazwaną powyżej (art. 9.) logarytmem całkowym.

logie

=Li{x) jest funkcyą przestępną, nie dającą się wyrazić przez

16. Całki kształtu: fR(x). logos dx, gdzie R{x) jest funkcyą algebraiczną, wymierną zmiennej ic, rozpadają się, za pomocą rozkładu funkcyi R (ic), na dwa rodzaje całek, jeden kształtu:

/ćr(ic) . log ic. dx, drugi kształtu :

(xn-i (ic)

Gn{x)

log ic. dx.

Pierwszy rodzaj całek da się, za pomocą metody całkowania przez części, sprowadzić wprost do całek funkcyj algebraicznych , wymiernych.

a zatem :

Kładąc, bowiem : 6r(ic) . dx-=du

u—J G (ic) dx= G {%)

log X=V

dx

otrzymujemy :

dv = —

f G (x) .logicdx=G(x). logic —

*) 00

dx.

W szczególności, będzie:

\^xn logxdx

icn+¹

logic

a”+¹

Gn—i (x)

i+C.

tv -j-1

Drugi rodzaj całek, gdy rozłożymy funkcyę ułamkową, właściwą:

(n + 1)

na

G„ (x)

częściowe, kształtu :

ułamki częściowe , kształtu : —i ——— x    ’    x—a    (x—a)m

rozpada się na całki

log iC

ÇJüsî-a i f

J x—a J

(* log ic ,    ,

)~x a <*'£ sProwac‘za S13

x—a = az, ic = a(l-fz),dx=adz do postaci:

P logie .) x—a

Całka kształtu:

prowadzi więc do całki : ^

(x—a)m

dx.

za

pomocą podstawienia:

dx= ^°g«±log(l+,)&=loga^₊ ^ = loga.logi5+\

log(l+^)

l0g(1+g) dM.

log(l + $)

dz=

dz, która nie da się wyrazić za pomocą

znanych funkcyj elementarnych.

logie (ic—a)

mocą metody całkowania przez części, sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych, wymiernych.

Całki kształtu :

- dx dadzą się, w przypadku, gdy m> 1, za po-

Kładąc bowiem : logic=w, dx

= dv,

(x—a)m

a zatem :

du =

v=

dx

(m—l)(ic—a)m

otrzymujemy wzór redukcyjny: log x {x—a)m

przydatny, gdy m ;> 1.

W szczególności, otrzymujemy stąd, dla m^> 1:

dx= —

logie

dx

(m—1) (ic— a)

m- 1

_j_ę_

m—1 Jic(ic— a)m_1 ’

(15)

Clogs

J xm

dx=

logie

(m—1) icm_1

(ni—l)²icm—1

\-c

(16)

podczas, gdy, dla m— 1, mamy:

f }ogx

J iC

dx=

-i-(log x)²+C.

17. Przykłady. 1) J*(3a:²—5x-f- 7) logxdx — ? Kładąc :

a zatem:

log x = u ,

(3x²— 5x -j- 7) dx = dv,

dx

du — —

v=x³— ⁵/₂ x² -j- 7»,

otrzymujemy :

²> S-ær-

Kładąc :

log X —u dv,

dx

a zatem :

, dx du = — .

{x-iy

otrzymujemy :

x—1,

logxdx

log X

dx

{x-iy

a że :

zatem :

C dx J x(x— 1)

= \(—

J \x— 1

— x(x—1) ’

—)<*.r = log —¹

X )    ⁶ X

{x—i y    x — i ° x

18. Całki kształtu: /H(x, logx)dx, gdzie R(x,\ogx) jest algebraiczną, wymierną funkcyą zmiennej x i jej funkcyi logo;, nie dadzą się, w całej ogólności, wyrazić przez funkcy

Podstawienie \ogx = z, a więc x=e\ dx=eldz, sprowadza je zresztą do

e znane.

postaci :

(18)

$ R {x} log x) dx=f R{z, ez) dz

które, tylko w niektórych przypadkach, dadzą się wyrazić przez funkcye znane.

W przypadku, gdy funkcya log a:) jest funkcyą całkowitą mierną ze względu na a: i log a;, dochodzimy do całek kształtu : jV"(logic)nc?iC, w których wykładniki min są liczbami całkowitemi, dodatniemi. Dla całek tego rodzaju możemy wyprowadzić wzory redukcyjne, stosując metodę całkowania przez części.

wy-

Kładąc mianowicie :

a zatem:

(loga;)w=M, xm dx=dv ,

du=n

(log a:)”⁻¹ dx

otrzymujemy wzór redukcyjny:

xm+¹

V —--

w+1

^xm (logie)” dx =

icm+1 (logie)”

J*+i\xrn(lo&x)n~'dx

który dozwala, przy jakimkolwiek zresztą wykładniku m, różnym od —1, zniżać wykładnik n i sprowadza daną całkę ostatecznie do całki kształtu :

xm+\

(19)

xm dx =

ł-G

całki :

m-t-1

W szczególności, otrzymujemy, na podstawie tego wzoru, następujące

^xm\ogxdx

ic”,+1 Jog a;

m-f 1

(W2-fl)

ic”¹*¹ (log ic)² 2iCm+¹ log# i

w + 1

Dla m— — 1 powyżej wyprowadzony wzór redukcyjny staje się nieprzy-datnjr. W tym przypadku mamy jednak całkę zasadniczą:

(logic)”*¹

^xm (log«)² dx

2xm+i

(w + 1)² (mTl)

T + C-

r (logg)*

J X

dx= ^(log ic)”fü (logic)

n 4-1

Jeżeli wykładnik n jest ujemny, a więc dana całka ma kształt : natenczas :

xmdx

(log x)n

kładąc :

xm+x=uy

a zatem : du=(m-f 1 )xmdx

dx

x (logie)”

otrzymujemy wzór redukcyjny: xm dx

dv

(n—1) (log«)”⁻¹,

xm+¹

xm dx

(log ic)”

n—1

(20)

(w—1) (logie)”

który dozwala znowu, przy niezmienionym wykładniku m, wykładnik n sprowadzić do jednostki, a więc daną całkę do postaci: ^

(log x)

x mdx

log x

padku —1, da się wyrazić już tylko przez logarytm całkowy. Podstawiając mianowicie w tej całce:

która, w przy-

xm+i=s, a więc logie

log#

xmdx

dat

otrzymujemy :

xmdx

log X

i"

logs

f 0=Li(s)+C

zatem :

xm dx

logie

Li (iew+¹) + C.

Jeżeli m——1, natenczas dana całka ma kształt: do całki zasadniczej, jest bowiem:

ic logie

i sprowadza się

d logie logic

19. Całki kształtu: ff{x).\og<p(x). dx₉ dadzą się, pod pewnymi warunkami, sprowadzić do całek funkcyj, wyłącznie algebraicznych. Przyjmijmy bowiem, że funkeye f(x) i cp(x) są funkeyami algebraicznemi zmiennej x, i połóżmy :

log cp(x) = u f(x)dx=dv

dx

iC logie

log (log ic) d⁻ C.

a zatem :

du=

(p‘ (ic) dx

<P(x)

v—f f(x) dx=F(x)

(21)

natenczas , otrzymamy wzór :

$ f(x) log cp{x) dx ==• log tp(x). f f{x) dx — ^

F(x).<p‘(x)

(p{x)

dx

(22)

z którego wypływa, że dana całka sprowadza się do całek funkcyj algebraicznych, skoro tylko całka kształtu f f\x) dx=F(x) jest funkcyą algebraiczną

20. Przykład. Wyznaczyć całkę kształtu: Jlog [x-\-\/l -j- a:²) dx.

Kładąc :

a zatem :

log (a; +\/Ï-(-x²) = m,

du =

dx

\/l + a:² ’

dx = dv,

V —X ,

otrzymujemy:

flog (x -f- \/1 -{- x*)dx =x log(a?-f-V^l+ *²)—^

xdx

— 183 -

a że :

xdx

V/ 1+ x²

= Y/i+x²,

przeto mamy :

Jlog(x + V/1 + x²) dx — x log (x \/l +£c2)— \/l + x²-[- C. Ogólnie, znajdziemy tą drogą:

Çrw log(x + V/l +

x²) dx

xw+1 log (x -j- \/l -f x²) » + 1

1 f xn+i dx

n +l) Vî+x*

ćwiczenia XI.

dx

²>1

en« -}- e—öa:

gaa; — g — at

⁸Ć

g».r _J_ g—a# gn-a:    g—aa;

gaa: — 0—ax

4)

d.r

1 Y/i +

5)    j* \ć1 +

6) f    *

(>ctx

a -J- bev

7) j ix

V/ae^+i

⁸) J«*/

ma* -f n

— arc tang e™ + O-

log (eaa: -f e~«*) -}- C.

— log(e^ _ g-era:) -(- c.

V1 + e«« - 1 r7 V/l 4- eax -f 1

= ™{v/era + ¹ — log = \ (log a:—log (a + be«) } -f C.

= log

dx =

dx =

dx =

« log

ae

+ ft—v/&

V/aeaæ -|- Z>+\A

V/ 6ax -j-1 + i I

V/Ssr+T-1 f

-T <? =

arc tang

v/ae“* -f ft

\/-6

+ <?■

8) j xax dx — ¹⁰) \xW dx =

xax

ax

logo

(log a)

+ o.

2xar

2.1 . ax

log a

xn

11) ^xnaxdx = aTi

log a

(log a)² (log a)³

nxn~1 (log a)²

logo

-I-c.

(log a)r+¹

(log «)n—2

(n—l)x”_1

(n—1) (n—2) xn

(»—!)(»—2)... 2.1.x

(log a)”“¹

§*

(»—!)!

13)    ^xeax dx

14)    j*x⁴ eax dx = eax I X

15)    Jx⁵ e~* dx = (7— e~* (x⁵ + 5x⁴ T 20 x³ -f 60x²+ 120x + 120).

C.

4x³ 12x²    24 x

a² ' a³    a⁴

- -f

24 \

aæ

r =n

16)

xneax dx

•tShmC)

X™

ar

17) §xmex dx — xm ex— m fx

to —1

ex dx.

(m—1) x

TO—1

1 r ex dx m—1 J xm-i •

19) fxmexdx = ex'^(-l)rrl(™)xm

r.=U

r=m—\

₂₀₎

21)    f()(x)

22)    /<7 (a?) e* (to = f(G(x)—&(x) + G"(x) - ...) + C.

ïTî + a 24>I

2 -“ r

r= 1

23) j

eax dx

xex

(* + !)

q-«o²

¹ ce s

^i! J x

(m — 1) !

^{o₍x)-io-W4-ie"W-...} + c.

!(VK“

æ²+l

(* + l)²

eæ dx =

« — 1 , ,, c'ï+t + l’

26) j

26)    /(logx—2)³dx ==x{(logx)³—9(logx)²4- 30log a;—38} -j- C.

27)    /(logx)⁴cżx=x{(log x)⁴—4(logx)³ + 12(logx)²—24logx-\- 24} + C.

(1 + x²)²

eæ dx

ex

I + * + a

28) J(logx)ndx= x {(logx)”—n(logx)”    —l)(logx)

— ... +

+ (~ ïfr\ (”)(log^)n-r+...+ (-1)" n!} + O.

29) J x log x dx == ~ (logx---j- C. 30) J- dx = ~ (logx)² 4- C.

31) J~2qX" g = log (log 4" ^ 32) J æ² log a; dx = y a?³ log x--x³ 4* O.

38) J x³ logxdx = y a;⁴ loga? — x⁴ 4- O. 34) J -°^x dx—-

³⁶)    P^‘te = -'ajr-“fi? + a 36)jx»logxix =

37)    j

88) J*w,(logx)²dx=x,n+¹{

(log a?)» dx

(log x)*»+l

n-1~ 1

4- c.

(loga:)²

«4-1

log x

xn + l

- 4- c.

X

logx —

X*+l

(«4-1)²

4- C.

-²A°SX ₊_2_1 , c

(m 4- l)² ^ (w 4- l)³ 1 ^

39) Ja:”'(loga;)¹

dx =

r—n

(logx)” r

r= 0

(«4-i)r+1

4~C.

40) J(ax² 4- 2 bx-\- c) log xdx—    4- &x² + ex) log x —    4-    -\-cx-\- c).

-l0«rr^+ a

3x² 4- 1

log x

41) 5

fx²4-1

42)    J-^— log x dx ——

⁴³>P^

46)5

(T-x)> ix

dx = —

log x dx

(ax 4" &)

x log x

9x²4- 1

9x³

3x³

log»4- c.

log x 4- 1

4- a

logx

(w—l)a(ax-f&)”'

(w-3)&(ax4-0)w~3 46) J xw log (a 4- &æw) dx

44)5

log x dx

2\/x³

2(logx -4) tyx 4- C.

(n 1) ab —2){ax-\-b)

n-2

1. &”⁻³ (°* 4“ ^)

^ J-y xn+1 log (a 4~ &xm) — ■

(n — 1) a&n

log

—Xt4- a

ax 4~ &

bm

a:m+n

a 4- èx™

dx.

185

47)

J(«*+ ß)niog ["^4

\/ax² -f- 2bx-\- cj

dx - -

(«* + ß)”⁺¹

ax b

[n -f- l)ot

-f V/ «æ² + 2bx +

0 * + ß)

n+i dx

(n 4" 1) a J V/a«² -+- 2&x c

Wykazać, że:

⁴⁸>I

49) fxmeax

51)    fR(x, log as) dx — f R (ev , y) ev dy, gdzie logx = y.

52)    j Ä ( a*) dx = ^ g j* Ä (ey) dy, gdy x =

53)    j R (x)logx. dx — ]og x J R(x) dx — ^

xm eaxdx

„m+rK^’ g«y*=f.

dx=f (log y)mya~¹ dy, gdy x = log y. dy, gdy logx=y.

log a '

j" R (x) dx -dx.

r—0,... a

54) JG(x, eax)dx= 2 O“¹)’

a=0,..., to

(«ß)

r+1

a,ßxa-re^ + C,

(3=0

(3 = 0, ...n

jeżeli G(*,eaa:) =    ^

œ= 0,... to

r=0, ... (3

55) § G (x , log x) dx =    (— I)»⁻

r!

a=0,... to (3=0,... n

(*+i)r+l

a, ß '

x“⁺¹ (logx/ ' -f- C,

(3=0,... w

jeżeli G{x, logx) =    ^ ß *“ (log xf-

Rozwiązania XI. Wskazówki 1)—5) ex=^z. 7) eax = z. 8) ax — z. 9) — 22) całkowanie przez części 23)—25) Rozkładanie funkcyi wymiernej, ułamkowej na ułamki proste. 26)—40) podstawienie logx = z i całkowanie przez części. 41)—42) rozkładanie na dodajniki 43)—47) całkowanie przez części. 54) Patrz ów. 16. 55) Patrz Ów. 39.

Literatura. H. Laurent. Traite d’analyse. Tome III. Calcul integral. Paris 1888. M. Schaar. Elemente du calcul différentiel et du calcul intégral. Bruxelles 1862.

Tematy do rozprawek naukowych :

1)    O całkach kształtu: fR(x).eaxdx.

2)    O całkach kształtu: f R(x, logx)dx.

3)    O logarytmie całkowym: Li(x)== J

dx

log x

+ C.

Wykład XII.

Całki funkcyj goniometrycznych i cyklometrycznych.

1. Całkowanie fankcyj goniometrycznych za pomocą podstawienia exi=z. Całkowanie funkcyj goniometrycznych kształtu: fi? (sin a:, cos x)dx₁ gdzie i? (sin a:, cos a:) jest funkcyą algebraiczną, wymierną funkcyj sina; i cos a;, którem zajmowaliśmy się w wykładzie X., da się także sprowadzić do całkowania funkcyj wykładniczych.

W tym celu możemy oprzeć się na związku funkcyj goniometrycznych z funkcyami wykładniczemi, określonym wzorami :

exi _p e-xi

sma;=-

exi — e~xi

cos x=

Otrzymujemy tedy:

pxi 1 _ p ~ xx \    /%—

-\dx=    (1)

— e~xi

ji?(sina:, cos a;)    ^

całkę funkcyi algebraicznej, wymiernej ze względu na funkcyę wykładniczą

1 dz

exi, która to całka, wskutek podstawienia: exl=z, a więc dx='~--sprowadza

2f Z

się do całki funkcyi algebraicznej, wymiernej zmiennej z.

2. Mając n. p. tą drogą wyznaczyć całki :

C dx . C dx J sina; «1 cos a;

otrzymujemy :

sin x

-kU-ü

Je—e

—xi

= 2 if—

J e

ex' dx

f dx ^ f dx J COS X J exi _|_ e~xi

-h

exi dx

2xi ₊

1 dz

stąd , kładąc ext= z , zatem : dx = —--, dostajemy :

[ *x    r s

J sin x    J z¹

C dx 1 f 2 dz J cos a:    i J#²4- i

2 dz

exi —

— + c = log tang + o

— logtangy^— *) + c-

=logM=los

— i - z i

3. Bezpośrednie zastosowanie podstawienia funkcyi wykładniczej: exi — z do funkcyi: 2£(sinx‘, cosx) sprowadza ją, na mocy wzorów:

Z

—log -

=~log

exi 1

exi —

eci + i

sina;

z²— 1

cos x —

z²+ 1

2z

do postaci :

Gm (z)

Gn(z) ’

gdzie Gm(z) i Gn(z) są funkcyami całkowitemi , wymiernemi ze względu na z.

i? (sin a;, cosa:) = .ß(

z² — 1    z'¹ -J- 1

2 iz    ’    2«

(2)

Rozkładowi funkcyi

Gm (z)

na ułamki proste, kształtu: —

Ar

Gn (z)

analogiczny rozkład funkcyi jR(sinæ, cos») na ułamki, kształtu:

— a ’    (x—a)r

odpowiada

Ar

’ {exi— a)r'

exi

które dadzą odpowiednie typy elementarne funkcyj algebraicznych, wymiernych, złożonych z funkcyj goniometrycznych.

Zastępując, mianowicie, a przez e«*', otrzymujemy funkcyę

- w postaci:

exi — a

e-cti

e-ai

exi — a

exi _ eoci

e{x—a)i— 1    cos (a;—a) — 1 -f- i sin (a;—a) ’

której możemy nadać także kształt :

e-ai

e-ai

exi — a

2 sin2 X „ —2 i sin . cos

.    x—a.\ .    X—0.

2 sin ₂--|smx

X

— I cos —

czyli :

exi — a

e~ai l . x—a , .    x—al

-^^(sm-jp+.cos [ =

e~<*i I    x

-g-|l + *cotg-

a więc, ostatecznie, kształt :

exi— a

zatem:

|l + i cotg    .

( — e~ ai)r

(exi — d)r

Ł Tym ułamkom prostym odpowiadają całki częściowe w postaci:

2r

^ j'jl+.cotgx-)

j( 1 "ł⁻ * cotg —2~) *>>

j cotg ~2~ ix = ² j⁰⁰tg X~2~    =2 log sin ~ -,

e**' — o

(— e-«*y

(e** — a)r

z których pierwsza, ze względu na to , że :

wyraża się wzorem:

f dx

J gort — a

.(3)

(4)

ie~ai    . a:—a

y— log sin    + a

Dla drugiej całki da się wyprowadzić wzór redukcyjny. W tym celu, wyjdźmy z wzoru różniczkowego :

e-ai

d(l +*cotg -)

V (1 + tcotg V)

r-2

który, ze względu na to , że możemy położyć :

x—a

sin

da się przedstawić w postaci :

x — a

sinter

1 + cotg² —-= 2 (l+ i cotg    — ( 1 + i cotg    ,

- 188 —

i(l +icotg “)

dx

0* — l)t(l + » cotg

r—1

Z wzoru tego otrzymujemy :

(l + i cotg    =2 (l + i cotg

r—i

2i

f(^ł>(₁₊,-cotg—y.

/    x—aV

(l + * cotg —ÿ-)

zatem wzór redukcyjny w postaci :

dx,    (B)

j(l + i cotg    dx =— (l -f i cotg    4* 2 j*(l + * cotg

który dozwala wykładnik r zmniejszyć o 1, a więc całkę drugiego typu sprowadzić do całki pierwszej.

5. Całki kształtu: fM(x).sinxdx, luk / It {x). cos x dx. Jeżeli R{x) jest funkcyą algebraiczną, wymierną ze względu na zmienną x, natenczas, w przypadku ogólnym, gdy ta funkcya jest zarazem funkcyą ułamkową, niewłaściwą, możemy ją przedstawić, jako sumę funkcyi całkowitej G(x)

postaci :

i funkcyi ułamkowej, właściwej :    w

6r„_i (X)

Gn(x)

R(x) = G(x)-\

Całki kształtu J R (x) sin xdx, lub JR(x) cos xdx rozpadają się tym sposobem każda na dwie całki w postaci :

f (r

J R (x) sin x dx=f G (x) sin xdx 4 J — f R (x) cos x dx—f G (x) cos xdx 4- ^

n—1 (X)

Gn(X)

sin x dx,

(6)

Gn—1 (a?)

Gn(x)

cos x dx.

(7)

6. Całki kształtu: f G (x) sin xdx, lub fG (x) cos x dx, gdzie G(ac) jest funkcyą całkowitą, wymierną ze względu na zmienną x, dadzą się, za pomocą metody całkowania przez części, sprowadzić ostatecznie do całek zasadniczych :

f sin xdx = cos #4- G ; f cos xdx= — sin x-\- G.

Kładąc, bowiem w pierwszej całce:

G(x)=u sina; dx=dv

a w drugiej :

G(x)=n, cos xdx=dv,

a więc:

du=G'(x) dx v=—COSiC

a zatem : du=G\x) dx v=sina:

otrzymujemy następujące wzory:

/ G(x) sin xdx= — G(x)cosx+f G‘(x) cosx dx, f G (x) cos xdx = G (x) sin x — f G‘(x) sin x dx, w których funkcya G‘(x) będzie również funkcyą całkowitą, wymierną względem x, jednak stopnia o 1 niższego od funkcyi G(x).

Stosując, powyżej otrzymane wzory, ponownie do uzyskanych nowych całek, otrzymujemy dalej:

^G'(x) cos xdx= G‘{x) sina;—£ G“{x) sin xdx ,

JG‘(x) sin xdx= — G‘(x) cosa;+ ^G‘‘(x) cos xdx , skąd wynikają wzory redukcyjne:

co GO

^G(x) smxdx=--—G(x) cos x + G‘(x) sinx—^G"{x)s\nxdx,    ( )

§G(x) cosxdx=G(x)sinx+G‘(x)cosx—^G“(x) cos xdx,    ( )

które dozwalają w każdej z danych całek zniżyć o dwie jednostki stopień odnośnej funkcyi całkowitej G(x).

Na podstawie tych wzorów otrzymujemy ostatecznie wzory bezpośrednie :

§G (X) sin xdx=— G{x) cos x 4- G\x) sińxJrG“(x)cosx—G“‘(x) sina:—...

§G(x) ćos xdx = G (x) sin xĄ- G'(x) cos x—G"(x) sin x—G“¹ (a:)cosa; + ...

O. W myśl tych wzorów otrzymujemy n. p. :

1)    J (cc²—2cc + 3) sin xdx=—(x²—2x + 3) cos x + (2x—2) sin a?+2 cos a; =

= 2 (cc—1) sin x — (cc²—2ce 1) cos cc + C.

2)    J" (cc²—2cc + 3) cos x dx = (cc²—2cc + 3) since -}- (2cc — 2) cosæ —2 sin cc =

= (cc²—2cc + 1) sin cc+ 2 (cc—1) cos cc + C.

7.    Wyznaczając całki powyższe, kształtu: J G(x) sin cc dx, lub j⁻ 6r(cc)cos x dx, na podstawie prawideł o całkowaniu sumy, dochodzimy do całek typu : jV" sin cc d x , względnie: Jcc^cos xdx, w których wykładnik m jest liczbą całkowitą, dodatnią.

8.    Całki kształtu: Ja^sin xdx, lub Jxm cos xdx przy dodatnim, całkowitym wykładniku m, dadzą się wyznaczyć wprost, za pomocą wzorów, otrzymanych powyżej dla całek, kształtu: J 6r(a;)sinxdx, lub f G (x) cos xdx.

Bezpośrednio otrzymujemy odnośne wzory redukcyjne, kładąc w pierwszym przypadku :

u — xm dv=sui x dx

w drugim przypadku, zaś:

u = xm dv = cos x dx

a zatem :

a zatem :

du = mxm~x dx, V — —cos x

du=mxm~idx tf = sin x,

w postaci :

^xm sin xdx=—xm cos x-\-m^xm~‘i cos xdx ^xmcosxdx=x sina;—wĄxm—isinxdx

Z tych wzorów redukcyjnych możemy także korzystać, jeżeli wykładnik m jest liczbą całkowitą, ujemną.

Otrzymujemy bowiem stąd:

(10)

Xm COS X

_1 cos xdx

xm sin x dx

xm-\ sjn xdx=

a:msina:

xm cos x dx

a zastępując m—1 przez m, dostajemy wzory redukcyjne, w postaci:

xm+1 cos a:

m + 1 a:m+1 sina:

xm cos xdx =

i'

x^ sin xdx =

--— Ça:,n+¹ sin x dx

m + 1 J

m~~\ ^xm+icosx^ri

— 190 —

dozwalające, w przypadku m > —-1 wykładnik m powiększyć o 1, a więc przydatne przy wykładniku ujemnym m, różnym od —1.

Wzory te sprowadzają całki kształtu: J xm sin xdx do całek kształtu: §xmcosxdx i nawzajem. Stosując je dwukrotnie, otrzymujemy wzory:

,7m+1 cos x

i'

xmcos xdx

xm+² sin x

a:™ sin x dx

m -f 1 A5m+¹ sin x

(m -fi) (m 4-2) (m +1 ) (m + 2)

Xm+2 cos x

(m + l)(m + 2)    (m-f 1) (m + 2)

jjxm+2cos xdx,

^a:OT+2 sinawa:, (11)

m + l

które, w przypadkach m ^ —1 i m ^ —2 dozwalają powiększyć wykładnik m o dwie jednostki i zatrzymać ten sam rodzaj całki.

Korzystając z wzorów (10) i (11), możemy zatem całki, kształtu:

(■ cos x ) xm

dx , lub :

f sino:

3 xm

dx,

gdzie m jest liczbą całkowitą, sprowadzić ostatecznie do jednej z całek:

f sina?

J x

dx, lub

r cosic

J X

dx.

Całki te nie dadzą się wyrazić w formie złożonej ze skończonej ilości znanych funkcyj i tworzą nowe funkcye przestępne, z których pierwszą nazywamy sinusem całkowym zmiennej x i oznaczamy przez Si(x), drugą zaś cosinusem całkowym zmiennej x i oznaczamy przez Ci(x). Piszemy też :

f sin x J x

dx

9. Całki kształtn:

Î-

= Si{x) + C; \™JLd*=Ci{x)+a

•J 00

sin xdx, lub

(jTn—i («^)

On-1 (ag)

Gn-\ (%)

On (fiC)

O n{x)

COS xdx, w których

jest funkcyą wymierną, ułamkową zmiennej x, dającą się rozłożyć

ułamki proste, kształtu : -— , względnie

00 — cc

Gn (X)

na

A

—~—— prowadzą, przy każdym

\00— CC j

pojedynczym czynniku pierwiastkowym x — a mianownika Gn(x), do całek kształtu :

f sinic Ja: — a

dx, lub

f COS X

)x — a

dx

a przy r-krotnym czynniku pierwiastkowym funkcyi Gn(x) do całek kształtu:

sina:

{x — a)r

dx, lub

COS X

(x—a)r

dx.

Do całek drugiego kształtu możemy zastosować metodę całkowania przez części.

Kładąc mianowicie w pierwszym przypadku: sin x—u

du=cos xdx

dx

{x — a)n

dv

a zatem

(n—1 ){x—a)

a w drugim :

cos x=u

du — — sin xdx

dx

(x — a)n

—dv

a zatem

v= —

(n—l)(a;—a)”⁻¹,

otrzymujemy wzory:

- 191 —

sin#

(x—a)n cos x

dx =

sin x

{n—1) (x — a)n~

i r cosx —1 J [x — a)"⁻¹

sin x

dx,

cos a?

dx =

dx,

(n — 1) (x— a)n~l

które, po ponownem zastosowaniu, prowadzą do wzorów redukcyjnych :

{x — ay

(x—a)

(12)

smæ

(x—a)'

dx =

sin x

COS X

(n— 1) (x—a)

n—1

(n — 1) (n—2) (x—a)

sina:

(n—1 )(n — 2) \ (x—a)

n—2

dx,

COS X

(x—a)n

dx —

COS X

sin x

(n—1) (x—a)

(w—1) (n—2) (a:— a)

n—2

cosx

{n—1) (w—2) Wa? — a)⁷¹

dx

(13)

które dozwalają wykładnik n zmniejszyć o dwie jednostki, zatrzymując ten sam rodzaj całek.

Korzystając z równań (12) i (13) możemy więc całki kształtu:

sina?

(x—a)n

, lub

COS X

{x—a)n

dx

sprowadzić ostatecznie do całek kształtu :

P sina:

dx, lub

p cos x

dx.

Podstawiając w tych całkach x—a=z, zatem x=z-\-a, dx=dz, otrzymujemy :

sin (z+a)

dz= cos a

sin^

dz -f sin a

P cos z

j”⁷

ds,

cos(£-f a)

dz=cos a

P cos z

dz — sin a

P sin 2 ,

V-— dz,

J *

gdzie :

P sin z

J *

dz = Si (z) + C

P cos#

dz=Ci (z) + C,

zatem :

i sin oo

\-dx=cos a . Si (x—a) + sin a . Ci {x — a) + C.

•/ 00-CC

\ oos 00

j ——cc dK=cos a • CH(x — 05)—sin os. Si (ar— 05) + C.

Całki kształtu: fJR (x) sin x dx, lub f Ił (x) cos xdx dadzą się zatem wyrazić przez funkcye znane i nowe funkcye przestępne, zwane sinusem, względnie cosinusem całkowym.

10. Całki kształtn :

xdx

sinwa?

przestępnych. Przedewszystkiem mamy :

x (sin² x 4- cos² a:) dx

P xdx J cosma

prowadzą do nowych funkcyj

P xdx P jsinwa:    ^

sin® x

P xdx    P

j sinm~² x j

xcos² x dx

sin® x

— 192 —

Stosując do drugiej całki metodę całkowania przez części, połóżmy:

du— (cos x—x sin x) dx

x cos x=u cos xdx

sinwÆ

— dv

a zatem

(m—1) sinm—1 x

a otrzymamy :

x cos 'lxdx

x cos a:

sin™ x

(m— 1) sin”¹⁻¹ x

cos a: — a:sma: ,

-dx,

x

sm

m—1

a, że :

fcosa:—«sina; J sin”¹⁻¹ x

dx

-J

cos x dx

sin”¹⁻¹

xdx

xdx

sin”¹⁻² x

(m—2) sin'"-:²x

i sin”'⁻² a:

przeto :

a: cos ²xdx sin”¹ x

a: cos a:

(m—l)sin”'⁻¹a; (m—1) (m—2) sin”1_2a: Wobec tego, otrzymujemy:

1 f xdx ~1 J sTn”'

_²a;

xdx

xdx

sin”¹ x

(m—2) x cos x + sin x    m— 2f

(m—l)(m—2) sin”'⁻¹ xm— 1 3 sinm“²a;,

(14)

a podobnie :

xdx

(»»—2)a;sinai—cos x (tn — 1) (w — 2) cos”*⁻¹ x a więc wzory redukcyjne, które w danych całkach dozwalają zniżyć wykładnik m o dwie jednostki.

Jeżeli wykładnik m jest liczbą parzystą , natenczas dojdziemy, na pod-

f xdx . C

stawie powyższych wzorow, ostatecznie do całek: j    ¹ j

rych powyższe wzory redukcyjne nie dadzą się już zastosować.

Kładąc raz :

f xdx J cos”¹:

cos

xdx

cos² a:

(15)

do któ-

x=u

du=dx

dx

sin²a:

= dv

a zatem:

V— — cotg X

to znowu :

x=u

du=dx

dx

cos²a:

dv,

a zatem :

v == tanga:

otrzymujemy :

f xdx sin² a:

■x cotg x+J cotg xdx = —x cotg a* + log sin xĄ-C.

xdx

COS^ X

=a;tang x—J tanga:c?a:=a:tanga;-f log cos x-\- C,

co dowodzi. że całki :

przy Parzystym wykładniku »»=2n,

dadzą się zawsze wyznaczyć i wyrazić za pomocą funkcyj znanych

Jeżeli wykładnik m jest liczbą nieparzystą m=2w-ł-l, to można go za pomocą powyższych wzorów redukcyjnych zniżyć do 1, dochodzi się więc osta-

xdx

tecznie do całek :

C xdx . r .) sin x J

do których powyższe wzory nie dadzą

COS X

się zastosować. Otrzymane całki nie dadzą się jednakże żadnemi metodami

193 —

wyrazić w skończonej formie przez funkcye znane i stanowią osobny rodzaj fnnkcyj przestępnych.

11. Całki kształtu: /cc tan %xdx i f x cotg x doc prowadzą także do nowych funkcyj przestępnych. Kładąc, bowiem

x = u

tang xdx^dv

a zatem :

, raz :

du=?dx

v=—log COS X,

drugi raz :

X = u

cotg x dx = dv

a zatem :

du=dx v=logsin x

otrzymujemy :

dochodzimy więc do całek:

£ a: tang adx=— aUogcosa^pogcoszrZa; j x cotg x dx — x log sin x — Ç log sin x dx

\/

' -. •*« • *

(16)

£ log sin x dx i £ log cos x dr,

które nie dadzą się również wyrazić przez funkcye znane, tworząc nowy rodzaj funkcyj przestępnych.

12. Całki funkcyj cyklomctrycznych, kształtu: J H (arc sin x) dx, lub podobne, w których R przedstawia funkcyę algebraiczną, wymierną którejkolwiek elementarnej funkcyi cyklometrycznej : arc sina:, arctga:,..., dadzą się zawsze sprowadzić do całek funkcyj, powyżej rozważanych.

Używając, bowiem n. p. w całce: j" R (arc sin x) dx , podstawienia: arcsinæ=0, a: = sin£, dx=cosz dz

otrzymujemy :

f R (arc sin x) dx=JR{z) cos zdz podobnie, otrzymamy, za pomocą podstawienia: arccosa:=£, wzór:

f R (arc cos x) dx= —J R (z) sin zdz.

Za pomocą podstawienia: arc tang x—z, dostajemy:

j R (arc tang x) dx — j* R {z)

cos² z

za pomocą podstawienia: arc cotg x=z, zaś:

jj R (arc cotg a:) dx= — ^R{z) -4^

Podobnie, otrzymamy :

^ R (arc sec x) dx= ^ R (z)

sin zdz

cos²# ’

j jR(arc cosec x) dx= — j* R (z)

cos zdz

sin²#

13. Wzory redukcyjne całek, kształtu: /(arcsinx)ndx i /(arccosa^fto.

a zatem :

Kładąc :

(arc sin x)n = u

du=n (arc sina:)"⁻¹

dx

Y/l — x²'

dx=dv

v=x

otrzymujemy :

• .i

J(arc sin x)n dr=x{arc sin x)n—n ^ (arc sin x)

xdx

Y/l-a:²’

(17)

podobnie, dostajemy:

Dr. Dziwiüski. Wykł. matem. I. Tom II.

18

— 194 -

j (arc cos x)n dx=x (arc cos x)n + n j (arc cos x)

xdx

(18)

Przyjąwszy, dalej, w pierwszej całce: u=(arc sin x)

a zatem :

du—{n—1) (arc sin x)n~²

dx

dv =

xdx

Vl-X²

—V1 — x²,

otrzymujemy :

xdx

-p (n—1 ) ^(arc sin x)n~² dx,

^(arcsin a:)w_1

— V/l — x¹ (arc sin x)

V/l-*»“

zatem, wzór redukcyjny :

J (arc sin x)n dx = a:(arcsin x)n + n V/l—x² (arc sin a?)"-¹—n(n— 1) J (arc sin a;)»-² dx. a podobnie :    _

J(arc cos x)n dx = x (arc cos x)n— n V1—a?²(arc cos a;)”“¹—n(n— 1) J (arc cos x)n~² dx.

Otrzymane wzory redukcyjne dozwalają, przy całkowitym, dodatnim wykładniku n, sprowadzić dane całki, ostatecznie, do jednej z postaci:

£(arc sin x) dx—x arc sin x + Vl—x² + C, Jare cos x dx=*x arc cos x—Vl—x² + (7,

lub : £ć&c=a:+ C.

Jeżeli wykładnik w jest liczbą całkowitą, ujemną: n=—m, a więc dana całka ma kształt :

dx

(arc sin x)

=->lub Î

dx

natenczas : kładąc :

u—\/\ — x²

(arc cos x)m ’ a zatem :

xdx

du

Vl-x²

dv =

dx

(arc sin a?)"' \/\_%²’

(m — 1) (arc sin x)

otrzymujemy :

dx

Vl-x²

xdx

(arc sin x)m a podobnie :

(m— 1) (arc sina:)

m — IJ (arc sin a:)"¹

-i

■ Vl — X²'

(19)

dx

Vl-x²

xdx

(arccos a:)⁷”

r+

¹ f___

— 1 «) (arccosx)m~¹ V/1 — xŁ

(m — 1) (arc cos x)m~

Stosując, do otrzymanych całek, metodę całkowania przez części łóżmy, w pierwszej całce:

x=u,

du=dx

• (20)

po-

dx

(arc sina:)”1-1 a otrzymamy :

.    .    -    =dv

V'l-x²

a zatem

(m — 2) (arc sina:)”¹

—2 »

(arc sin x)m~1 zatem :

xdx

V/1 — x²

dx

, L_ f

(ni — 2) (arc sin x)m~² (m — 2) J (arc sin x)

dx

Vl— x²

(arc sin a;)”¹

(w- — 1) (arc sin x)m

(m—1) (m — 2) (arc sin x)m~²

__1 ___ r dx

(m — l)(ni—2) «) (arc sin a:)TO-2 ‘

— 195 —

Podobnie, znajdziemy :

dx

Y/1—#²

(arc cos#)m

(m—l)(arc cos a;)”¹⁻¹

(m — 1 ) (m — 2) (arc cos x)m~²

dx

(m—1) (m — 2) ^ (arc cos #)m—2 ’

Z otrzymanych wzorów, przydatnych, w przypadkach , gdy wykładnik m różny jest od 1 i 2, poznajemy, że dane całki dadzą się ostatecznie sprowadzić do jednej z następujących całek:

f dx r dx

J arc sin o; ’ J

xdx

xdx

i»’ $

arcsin# Viktore przedstawiają nowe funkcye przestępne, nazwane powyżej sinusem i cosinusem całkowym.

Podstawiając bowiem:

arccos x

arc cos x

arcsin#=£, #«=sin#, dx=cos z dz

względnie :

arc cos x=z

x—cos z, dx=—sin zdz

otrzymujemy :

arc sin#

r cos z J z

dz = Ci (z) Ą-C= Ci (arc sin x) + C.

xdx

sin z

arcsin# y/l—

dz=5« (^) + C= (arc sin #) -f- C,

względnie :

arccos#

f sin#

J 0

dz=—Si (z) Ą-C=— Si( arc cos #) + 6ł.

#d#

cos z

arccos#

Y/l—#²

dz=Ci (#) + C= Ci (arc cos #) -h C.

14. Całki kształtu: J'R (x) arcsin xdx, lub podobne, w których funkcya, stojąca pod znakiem całkowania występuje, jako iloczyn z funkcyi algebraicznej wymiernej i jednej z funkcyj cyklometrycznych, przedstawiają się, wskutek rozwinięcia funkcyi JR (#), ostatecznie, jako zbiór całek, kształtu:

arc sin#

xm arc sin # dx

xm

dx

arcsm #

(#—a)m

dx,

lub podobnych, w których występuje odpowiednio którakolwiek inna funkcya cyklometryczna.

Otrzymane całki sprowadzają się, wskutek podstawienia:

arc sin x—z, a więc #=sin#, dx=coszdz, i t. p.

do całek , kształtu :

z. sinm# cos zdz

z cos z dz

#cos zdz

-it. p.,

m    1/ ⁷

(sin z— a)

które należą do całek, rozważanych w artykułach poprzedzających.

Stosując do danych całek, kształtu: fil (#) arc sin # dx, i t. p. metodę całkowania przez części, a to, kładąc :

sinm z

arc sinaj = w

du =

dx

otrzymujemy :

R(x) dx=dv

a więc :

Vl-x2 v= J R (x) dr ,

^R(x) arc sin x dx — arc sin x j* R (x) dx — j [§R (x) dx].

dx

Vl-X¹

(21)

podobnie :

cloc

jjR(x) arc tangxdx = arc tang x ^R(x)dx — j [ fR(aj) dx].

1 +0J²

(22)

a więc wzory, które wyznaczanie danych całek sprowadzają, do wyznaczania całek algebraicznych, skoro całka kształtu: JR(x)dx daje w wyniku funkcyę algebraiczną.

15. Całki kształtu: f ocn arc sin x dx. Podstawiając we wzorze (21)

ajM+1

w+1

xn+i. arc sin aj

R{x)=xn, zatem f R(x) dx=f xn dx =

otrzymujemy wzór szczególny:

i'

xn arc sin xdx=

aj"⁺¹ dx

(23)

a zarazem :

xn+1 dx

¹ f

w + 1 J y/1— aj2?

ajn+1. arc cos oj

1

co dowodzi, że całki tego rodzaju, przy całkowitym, dodatnim wykładniku w, dadzą się zawsze wyznaczyć.

W szczególności, dla n=0, otrzymujemy:

xn arc cos xdx =

^ arc sin xdx =

aj arc sin a;

f Vl - x²+6\

arc cos xdx =

aj arc cos aj

\/l-r+C.

Dla całkowitego, ujemnego wykładnika : n=—m₁ otrzymujemy powyższe wzory, w postaci :

arc sin aj

--1--

(m-l)xm~l m

arc cos aj

{m—\)x -¹

która przestaje być przydatną, gdy m= — 1.

W tym przypadku, otrzymujemy całki, kształtu:

dx i

arc sin aj

xm

daj=

dx

arc cos x

xm

dx =

arc smaj

które, na mocy podstawień :

arc sin x=z arc cosaj=0

względnie : przedstawiają się w postaciach :

arc sin aj

arc cos aj

dx

hrh

1 f___ dx

— 1 J xm

V1—.X'²

-¹ Vl-x²'

arc cos aj

dx

aj=siń^f, da: = cos z dz X—COSZ, dx= — sin zdz

*“5

z cos z

sin z

f z sin z J cos z

dz = jVcotgr. dz, dz = — ^z tg z.dz,

prowadzących do nowych funkcyj przestępnych.

Jest bowiem:

f z cotg z . dz=z log sin z—J log sin z dz , f z tang z . dz= — z log cos z -r/log cos z dz, gdzie f log sin zdz i f log cos zdz nie dadzą się wyrazić przez funkcye znane, tworząc nowy rodzaj funkcyj przestępnych.

16. Całki kształtu: J‘xn arc tang x. dx, Podstawiając we wzorze (22):

R(x) = xn, zatem:

^R(x)dx =

n-\-1 ’

otrzymujemy wzór:

^xn arc tang xdx

Xn + 1

arc tanga: —

Xn+i

_J_C__

W+ 1 JX² + 1

dx,

(24)

na podstawie którego, możemy wyznaczyć daną całkę, przy jakimkolwiek całkowitym, dodatnim wykładniku n. Jeżeli wykładnik n jest liczbą parzystą, n—2ni, wówczas, otrzymujemy, pod znakiem całkowym, funkcyę ułamkową :

2m—1

/^»2772-j-l

x²+l

w przypadku, zaś, gdy wykładnik n jest liczbą nieparzystą: w=2m-f 1, otrzymujemy :

/^2m + 2

__/V-2 m

x*+l

2m—2

zatem dana całka przedstawia się, w pierwszym przypadku, w postaci :

2m

arc tang x dx —

2w+l

+ (-l)

TO — 1

w drugim, zaś, w postaci : ^^to+i arc tanga: dx=

/g2ł»—2

1 (X

2m + l (2 m 2m—2

(_^"log(^+l)}+C,

arc tanga: —

x-+

2 ^

arc tanga: —

/jq2iT71—1

2 m-f2

_1_(—l)ma:-f (—l)m+1 arc tang a:|j- C.

L/

2m + 2l2w-fl 2m—1

W szczególności, otrzymujemy:

^ arc tang xdx = x arc tang x--log (x² +1) + C,

fil

\a:arc tanga: dx=-^x² arc tanga:--{x ~ arc tang a:} +(7,

{X²—log (X² +1)} + G.

^a:² arc tang xdx =

OS

xz arc tanga: —

Jeżeli wykładnik n jest liczbą całkowitą, ujemną: n=—m, natenczas, na podstawie wzoru (24), otrzymujemy wzór: arc tang a:

arc tang x

dx= —

przydatny, jak długo m^> 1.

= 1, otrzymujemy całkę kształtu: \

dz

podstawienia: arc tangx=z, a:=tangz, dx=

Dla m

dx

xm

(m—l)a:

TO —1

— 1 Ü xm~i (x² + 1) ’

arc tang x

cos'³#

dx, która, wskutek sprowadza się do postaci :

arc tang#

zdz

2 z dz

sin^cos#

sin 2z

a więc do nowej funkcyi przestępnej kształtu:

dt.

sin t

17. Całki kształtu: /asre. arc sin (æ). dx, fxn arc tang cp(x)dx i tym podobne, w których (p{x) jest funkcyą algebraiczną zmiennej æ, stanowią uogólnienie całek powyżej rozważanych. Za pomocą metody całkowania przez części, otrzymujemy n. p. wzory następujące:

fl5n+¹

n +1

ßW-fl

n-\-1

i tym podobne, z których poznajemy, że całki tego rodzaju można zawsze, już za pomocą metody całkowania przez części, sprowadzić do całek funkcyj algebraicznych , a więc , pod pewnymi warunkami, zawsze wyznaczyć.

W szczególności, zauważamy, że , na mocy wzoru (26), całki kształtu : fxn . arctang cp(x). dx możemy, przy całkowitym wykładniku w, różnym od —1, zawsze wyznaczyć, skoro tylko funkcya ęv(x) jest funkcyą wymierną zmiennej x.

Uogólnieniem kształtu powyższych całek są całki kształtu:

J f (x) arc sin (p (x). dx , ff (x) arc tang (p {x) . dx i tym podobne , w których f\x) i cp{x) są funkcyami algebraicznemi zmiennej x. Te całki dadzą się, w szczególnych przypadkach, także wyznaczyć, za pomocą stosownego połączenia metod całkowania przez części z metodami podstawienia, zależnie od danych przykładów.

. arc sin cp(x). dx

arc sin <p(x) —

^xn . arc tang cp(x). dx

arc tang q> (x) —

1 f xn+1. cp‘ (X)

nĄ-1 3 y/l— [<3p(æ)]²

1 Cxn+i.y>‘(x)

n-\-ï 3 1 -\-\<p(x)Y

dx

(25)

dx, (26)

Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę kształtu : Kładąc :

x arc tang x ^

-y____i-zrT CLX.

y/i-*²

arc tangx—u, xdx

- — dv,

y/i — æ²

a zatem:

dx

iM = T+ *>

- \Zl-X²

otrzymamy :

x arctang x ^

Y/T — x²

\/1—x²dx 1 -j-æ²

Połóżmy w otrzymanej całce: cc = sin 9, zatem: dx = c,osy dv , natenczas, otrzymamy : dx

1+ a;²

C COS² <pd<0 _ (*/

3l + sin²cp

cZcp

cos² 9 + 2 sin² 9 ’

gdzie, na mocy art. 3. str. 156., za pomocą podstawienia: tang9= w, znajdziemy:

y— arc tang (\/2 tang 9) + C.

(Z9

cos²9 + 2sin²9 y/2

Wobec tego, będzie:

x\/2 \/l—x²

a zatem:

dx = — arc since+\/2 arctang

J 1 + æ²

[ X arC tanff —dx — C — [/l—x² arc tang a; —arc since+\/2 arc tang

J V/l-*²

+ C,

x\/2

v/r^²'

— 199 -

2) Wyznaczyć całkę kształtu:

iarooos (Ysr)

. <2».

Stosując metodę całkowania przez części , otrzymujemy, najpierw :

arc cos

(V a»²-f b )

dx = » arc cos

( V «»² d- b ) ^ i

ax'¹ dx

(a»² -j- ó)y/a»²    ô — c ’

a»² <2»

dx

(a»² + &)V/ax² &—c    Y/a»² 6— c

przeto, w przypadku a > 0, otrzymujemy:

a ze :

dx

(a»² -J- è)V/a»²+ 6—c *

arc cos

(i^+ùdx=

» arc cos

V<*»³+*

« <•

y/ô.y/a»²-{-& —c —x\/ac

a w przypadku a<0, zaś :

» y/—a

v:

iarocos Ü^+i⁾ldx=

» arc co s

a»²-]- ô

V    --— arc cos

V    «

y/è— c

+ c-

ćwiczenia XII.

exi — e~xi

-gj-, cos* =-₂

1) sin²» -j- cos²» = 1. 2) tang² » = sec² »—1. 3) cotg²» = cosec² »—1.

4) sin (x+y) — sin »cos y +; cos »sin«/.    5) cos (» + «/)= cos »cos y + sin» siny.

6) sin 2» — 2 sin »cos». 7) cos 2» = cos²»—sin² ».

Na podstawie określenia : sin»

ßxi -j- ß — xi

, wykazać, że:

9) cos²» = 1 <^os2a:i 10) sin» cos y —    [sin (»-fy)-j-sin (»—y)].

₀.    . ,    1 — cos 2»

8) sm a: =■=-—

11) cos» siny = ~[sin (» -\-y) — sin (»—y)]. 12) cos »cosy =-^- [cos (»-J- y) -j-cos (»—-y)].

13) sin» sin y = —

CC h-¹

[cos (» + y) — cos — y)\

r—n—1

cos2n 2r 1 » sin²' +¹ » =

ł-=0

r—n—1

2»—i

sin » cos »

II (cos²» — COS²-^⁷^.

r—n

IB) sin(2» + l)» = 2(—¹)r(2r Î)

++

cos

2n+1 ~ 2r_1 » sin2 r+1 » =

r=0

r=»

r= n

16) cos 2 nx =2 i—¹)r (|r)

cos

2w — 2r • 2r

a; sin

= 22n sin » U (

r=l

r=n— 1

x=22n~¹ U (cos²»—

cos²» — cos²

r::    \

2»+ 1A

cos²

(2r-j-l)ji

4»

r=zn

17) cos (2n +1)—^ (— l)r (2n₂~^ X)

r=0

r=n—1

18) sin2na = — 2

(-1)«

2w—1

200

COS

2re+l—2r æ sin2r x—

r=n—1

= 22w cos a;

n (cos³*-cos’

r—0

2 (“ ¹)r (²r ) ⁰⁰⁸ (2w-²0 * + ^rn Cn) '

r=u

19) sin2M+1 a

(—i)w

r—n

22w

(—l)n    sin (2» + 1—2r) a.

r= 0

rz=n—1

20) cos²”a

r>2w—1

2 00⁰⁰⁸    + !¥»)'

r=0

21) cos2w+1 a =    (2W^~ cos (2» + 1 — 2r) a.

r— 0

Wyprowadzić następujące całki : (2 cos a: 4- 3 sin a)

3 cos »4-2 sin x

22)    j

23)    Jsin 5a cos 3a; dx = C

24)    j*cos 2a; cos 4a- dx

2B)j

26) f

dx

sin 2a;— sina

dx

112 = -g- log(l Ą- cos a;) 4- ~2 log(l—cos a;)--g- log (1—2 cos x) 4- C.

12

sin x

1 4- cos x 14- cos x

4-c.

27) j **

²«) It *

5 4-4 sin a

s- arc tang o

^4 4- 5 tang -® ^

+ 0.

29)

— sin⁴a sin 4) tang

tanga 4--arc tang (V¥ tang a) 4- C.

*    2V/2

V/2 sin-^- 4- 1

X

1 — sin —

cos a

rfa=log

~2

1 4- sin ^

2V?f ¹⁰⁸

V/2 sin — 1

f C.

30)

f y/sin

J cos^a

cos a dx

32) J(cos2a)¥ cos a da

83iS

sin a da

84))

y/ sin²a — sin²a sin³ a

da =    (tang a)^¹ 4- O'. 31) J

(3 4- 2 cos 2a) \/cos 2a 4 log { V/sin²a— sin²a 4- cos a} 4" G.

(1—a²cos²a)³/₂

sina

2    s

da = -g- cos⁵^ a—2 cos*^ a 4- C.

. dx = 2y/l-

sin a

(1—a²)y/i — a² cos² a

4- a

3

-— arc sin ( \/2 sin a) 4* G.

8y/2

\/cos x

86) jvr+

37) jtang**(2x = tang³*—tang * -f- x G. 88) C

39) f-*L-— ,    ¹ ,

' J tang⁵a 4 tang* a

cos a

cos a

4- O’. 36) Jy/l—cosa. da=—2y/l4~cosa 4~ G.

CO h-³

tang³a

2tg²a

2 tang²a

■f- log (sin a) 4- G.

40) j

tang x dx __ a b tang² x 2(6 — a)

41) jx cos x dx = cos x 43) j'x³cosx dx = (3a;² — 6) cos x -j- (a;³ — 6a;) sina: C.

r=m

log (a cos² X -f b sin² x) + C.

-{- x sina: C. 42) j*a;²cos xdx = 2x cos x -f- (x²—2) sina; -f- C.

44) e

xm cos xdx

-2 7)

r! xm~r sin

r—0

45) Jx sin xdx= sinx—x cos x -f- C. 46) jx² sin x dx — 2a: sin x—(a;²—2) cos xC. 47) jx³ sin x dx= (3a:²—6) sin x — (a;³— 6a;) cos x + 6.

rz=m

48) j

xm sin xdx

-20

r\ x

m—r

cos (r- + ri) + <*.

r—0

xdx

49) j

60) J

(* xdx

51)    J - ,- ₂-— — — x cotgx log sin x - C.

52)    j

53)    jx tangxdx =— x log cosx -j- j log cos x dx.

54)    jx cotg x dx = x log sin x — j log sin x dx.

55)    Ja; tang²

cos² a;

xdx

cos⁴x

xd x

sin⁴x

x tang x -f- log cos xĄ- C.

2a; sin a: — cosa;

6 cos³x

2

+ -g- (* tang x log cos x) 4- C.

sin x 4* 2a: cos v

6 sin³ a;

2

-Q- [* cotg a:—log sin x\ -j- C.

O

x dx

a;²

= x tang x -f- log (cos x)---—(- C.

56)    f arc sin xdx = x arc sin x V/i — a;² C.

57)    f arc cos x dx = x arc cos x

-V/l —a:²+ C.

58) f arc tang xdx = x . arc tangx — log \/1 -\- x¹    G.

cotg x -f- logY/ 1 -f- a:² -J- C. — log {x -\-\/x³ — 1) + C.

59)    j arc cotg xdx = x. arc

60)    j arc sec xdx =x arc sec x

61)    f arc cosec a; dx = x arc cosec x-\- log (a; -|-Y/x² — 1) + C.

⁶²⁾j

arc sin x dx

arc cos x dx

\Zl-x³

64) j

arc tang xdx ~ 1 + x²

f arc sec x dx

66) \ —

J x

V/*²-l

68) f

arc sin x .

= (arc sin a;)² -j- C. 63) J = -i- (arc tang a;)² -f- C. 65) J

= x — \/1 — x² arc sin x    C.

V/l-*²

arc cotg x dx

1+x²

- — (arc cos a;) ² C.

J

==--(arc cotg a;)² + G.

Ja

(arc cosec a:)² -f- C.

xdx

69) j

arc sin x .

v/l— *²

x²dx

10)1

arc sin x.

Y/l-x²“

x³dx

V/l-*²

x² —^-a;\/1— x². arc sin x -f-    ( arc sin x)² C.

~x³ +    x—~(x² 4" 2)V/1—x² arc sinx-|- (7.

11) V

arc sin x .

x⁴dr

V/l — *²

I    Q    -I    _

— x⁴ -f-    *² —g- (2x³ +3x) V/1—x² . arc sinx -f-

72) f

arc sin x .

dx

x . arc sin x

v/ (1—X²)³

V/l-x²

+ y log (I—**).

73) ^arcsinx .

xdx

arc sin x

V/(l—x')³ Vl-x'

1 — x

2 ^ Î+Ï + C'

74)    j* arc tang x .

75) )--

x²dx

log (1 + x²) — — (arc tang x)² -j- C.

&rcta,ngxdx —--x²-\- ~ log(l -f-x²)+    ~x) arc tanS x + -^-(arctangx)².

76) J(1    3x²) arc tang x = (x x³) arc tangx—    C.

V Î — *²

1 + X²

= x arc tang x —

77) ^(arcsinx)n dx — (arc sin x)n jæ -(—— = (* + a) arc sin

arc sin x

8 OJ

(arc sin x)²

)+C.

78))

arc sin

79))

arc sin

u.

, /2 a—

. dx

— y/ a -f- x -f- C.

4a

x    x

— ax = —— arc sin

2~

2a — x

4a~ ⁺

tc

x

arc sin

cc »

80) j cc² arc tang ^ — dx

x³ -f- a³

arc tang

-\fx    \/ax / x²

V ä 3 \

ax

V/4 a² — a²' + (7. + a²) + (7.

81)

j æ2n arc tg A/— dx

x2n+1 + a2n + 1

arctgy^

V/ xa

rc=2n

2n+l

a;2n— r ar

4» — 2r 1

82) jjx

2n+l

arctg

2n + 2

arctg y

V/

r=2n+l

8S))

ex sin xdx —

ec(sinx cos a;)

x2n + l rar

2 (-¹)"

r=0

f 0. 84) je’cos x dx = ⁶,(8iaa’-e0SX)

a.»'

2w -f- 2

4n— 2r    3

+ C.

f C.

85) J"ec (cos a; -j- sin a;) dx — ex sin x -j- C.

86))

e~x cos³xdx =

e~x I

IQ ^(sin x—cosx) -f- cos²a; (3 sin x

—cos

*)} + C.

Rozwiązania XII. 1)—82). Wskazówki zawarte w tym wykładzie i poprzedzających. 83)—86). Metodą całkowania przez części.

Literatura. J. Boussinesq. Cours d’analyse infinitesimal. Paris 1887—1892. A. G. Greenhil Differential and integral calculus with applications. London 1886. J. A. Serret. Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Mit Genehmigung des Verfassers deutsch bearbeitet von Axel Harnack. Leipzig 1884—1885.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    O rozkładaniu funkcyi wymiernej: R(sinx, cos a;) na ułamki częściowe.

2.    O sinusie

całkowym : ^ slna? __ ^ q. (* cos x

całkowym : 1-

J x

Wykład XIII.

Całki funkcyj hiperbolicznych i hiperbolometrycznych.

1. Elementarne funkcye hiperboliczne, analogiczne do sześciu elementarnych funkcyj goniometrycznych , określone zostały w wykładzie XLIII. Tomu I. str. 595. i nast. wzorami :

sina?* e*—e~x

sin hip a;

(T-ł-e-*

ô—; cos hip a;=cos a?Z

A

cotg hip a?=/cotg as/ =~—

2 , . . . 2

- : cosec mp x=i cosec xi =-

exĄ-e~x'    r    ex—e~x

Są one, podobnie, jak funkcye wykładnicze, funkcyami peryodycznemi. W szczególności, funkcye sin hip a; i cos hip a?, jakoteż cosec hip a? i sec hip a?, mają peryod urojony: 2ni, funkcye tangliipa: i cotghipa? mają zaś peryod urojony : ni.

2.    Znakowanie funkcyj hiperbolicznych nie jest ustalone. Autorowie niemieccy uży

wają najczęściej znakowania, przyjętego dla funkcyj goniometrycznych, a pisanego tylko literami gotyckiemi, jak:    düsina;, dang a:, dtdanga:, ^rra:, doSEta;, autorowie fran

cuscy piszą, natomiast: Sha:, Cha:, Tha:, Cthx, Sca;, Csca;, angielscy zaś, pisząc literę h na początku, używają znakowania hs x, hca;, ht a;, het a:, hsca:, hcsc x.

3.    Związki między elementarnemi funkcyami hiperbolicznemi. Z określenia funkcyj hiperbolicznych wypływają bezpośrednio następujące związki :

cos hip²a? — sin hip²a?=sechip²a?+tanghip²a?=cotang hip²a?— cosechip²a?=l sin łupa?, cosec hip a?=cos hip a?. sechip a? = tanghip x. cotang hip a? = l

tang hip a? =

tanga?/ ex—e~x

sec hip x= sec xi =

ex + e~x

exĄ-e~

—e-x

. (1)

(2)

cos hip x cosec hip a? sin hip a; sec hip a?

sin hip a? sec hip a? cos hip x

przy pomocy których , znając jedną z sześciu elementarnych funkcyj hiperbolicznych , możemy wszystkie inne wyznaczyć.

4. W szczególności, otrzymujemy :

1) sin hip x = u, cos hip a: —\/l -j- w², tang hip a: = “^7===

cosec hip x — — , w

tang hip a; =

cosec hip x

cotang hip x

, cotg hip x

V/l +«²,

sec hip a:

y/T+17*

2) coshipa? = M, sin hip x— y/w²—1, tang hip a:

v/^²-1

, cotg hip x —

sec hip a: =    , cosec hip a:

vv -T ’

\/w² - 1 ’

8) tang hip cc = u , sin hip x =

\/ \ —u¹

, cos hip x

Y/l — u* ’

cotg hip x — —

sec hipx=\/l—w², cosec hip cc

Y/l - u*

4) cotg hip x = u, sin hip cc

Vu*— 1

sec hip x

Vu²— 1

cos hip x

Vu*- 1

tang hip cc — —

cosec hip x— Vu¹—1 ;

5) sechipæ= w , sin hip x

y/i — u*

, cos hip æ = — , tang hip x — y/1—w²,

cotg hip x —

cosec hip x =

V1 — w²

6) cosec hip cc = u, sin hip a; = — cos hip x

u

cotg hip x = V1 + w², sec hip cc ==

Vl-u* ’

Y/l-fu*

tang hip cc =

Y/ I -f- M²

5. Wzory hiperboliczne. Analogicznie do wzorów goniometrycznych, możemy wyprowadzić wzory hiperboliczne, bądź, wprost z określenia tych funkcyj, bądź, wskutek przekształcenia odnośnych wzorów goniometrycznych.

Tak otrzymamy n. p. z wzorów goniometrycznych:

sin (cc + y) = sin x cosy + cos cc siny,

cos {x + y) = cos cc cos y + sin cc siny,

odpowiednie wzory hiperboliczne :

a stąd :

sin hip (x + y) = sin hip a? cos bip y + cos hip cc sin hip y, cos hip (cc + y) = cos hip cc cos hip y + sin hip cc sin hip y,

(3)

sin hip 2cc = 2 sin hip x cos hip cc , cos hip 2cc= cos hip² x -}- sin hip² cc 2 tang hip cc

(4)

tang hip cc =

1tang hip² cc

W połączeniu relacyi : cos hip 2cc=cos hip²cc-fsin hip²cc, z relacyą : coship²cc—sinhip²»—1 otrzymujemy wzory:

2 cos hip² cc == cos hip 2 cc 4-1    ...

2 sin hip² cc = cos hip 2 cc — 1’ an^ XP ³⁵ ~

które dozwalają wyznaczyć funkcyę hiperboliczną argumentu x, gdy znaną jest wartość funkcyi : cos hip 2cc.

cos hip 2cc — 1

cos hip 2cc 4-1 ’

(5)

wzorami :

5. Elementarne funkcye hiperholometryczne, jako odwrotności elementarnych funkcyj hiperbolicznych, analogiczne do sześciu funkcyj cyklome-trycznych, (wykład XLIV. Tomu I. str. 609. i nast.) określają się

arg sin hip a?= — arc sinca'=log (x4- Y/æ²4-1), arg cos hip x~~j- arc cosÆ = log(Æ 4~ V/æ² — 1), arg tang hip    arctang^=-^- log \—X,

-1

205 -

przyczem

Są one podobnie, jak funkcye logarytmiczne, funkcyami nieskończenie wielowartościowemi w ten sposób mianowicie , że możemy do głównych wartości czterech funkcyj : argsinhipæ, arg cos hip Æ, arg cosec hip x i argsechipæ, dodać 2leni, a do funkcyj: arg tg hip# i arg cotg hip æ dodać hni 1; może być jakąkolwiek liczbą całkowitą.

6. Znakowanie funkcyj liiperbolemetrycznych nie jest u wszystkich autorów jednakowe. Niemieccy autorowie używają znakowania przyjętego dla funkcyj cyklometrycznych, a pisanego tylko literami gotyckiemi, jak: 2trcSince, SlrcŒofx, 2lrc£gx, SlreSotgx, 2lrc©ecx, 2lrc ©ofec a?, francuscy autorowie piszą natomiast najczęściej: ArgShx, Arg Cha:, Argthx, ArgCthx, Arg Sex, ArgCscx, angielscy zaś używają znakowania: hs⁻¹x, hc⁻¹x, ht⁻¹ a:, hct⁻¹x, hsc⁻¹x, hcsc⁻¹x, oznaczając analogicznie funkcye cyklometryczne symbolami: sin⁻¹x, cos⁻¹ a;, tang⁻¹ x , cotg⁻¹x, sec⁻¹ a:, cosec⁻¹ a:.

7. Związki między funkcyami hiperbolometrycznemi. Ze związków między funkcyami hiperbolicznemi wynikają wprost odpowiednie związki między funkcyami hiperbolometrycznemi, dozwalające jedną funkcyę wyrazić przez wszystkie pozostałe.

W szczególności, otrzymujemy, na mocy art 4. związki następujące:

arg sin hip x = arg cos hip y/1    a;¹ = arg tang hip

= arg sec hip

y/l+x³

arc cosec hip — ,

X

arg cot hip

y/l -fx¹

V/1 -j- x¹

_    y/a.2_i

arg cos hip x — arg sin hip y x¹— 1 = arg tang hip---

= arg co tg hip

y/x¹-l

= arg sec hip ~ — arg cosec hip

arg tang hip x — arg sin hip

arg cos hip

Y/ 1 — a:³

= arg sec hip y/1 — x¹ — arg cosec hip

y/i—x¹ y/i — x¹

arg cot hip — =

X

arg cotg hip x — arg sin hip

= arg sec hip

y/x¹-i y/x¹ — i

arg cos hip

y/x¹— i = arg cosec hip y/x¹—I,

= arg tang hip — =

arg sec hip x — arg sin hip

^— — '- = arg cos hip    — arg tang hip y/l—x¹ =

— arg cotg hip

arg cosec hip x = arg sin hip — = arg cos hip

x

—. ^    = arg cosec hip —, X    ,

y/i-x¹    y/i—**

y/i + x¹

— arc tang

y/i -r x¹

— arg cotg hip \/\ -\- x¹ — arg sec hip

y/i -)- x¹

8. Różniczki i pochodne funkcyj hiperbolicznych. Z określenia funkcyj hiperbolicznych, otrzymujemy, na podstawie prawideł rachunku różniczkowego, bezpośrednie wzory, podające różniczki i pochodne tych funkcyj.

W szczególności, otrzymamy, z określenia funkcyi :

e? — e~x

jej różniczkę: a więc wzór:

rfy = dsinhipa?

ex+e~*

--- 6te = COShipÆ.ôfe

cź sin hip Æ=coshipæ. dx , czyli: (sin hipa;)' = cos hip x.

(7)

— 206 —

Podobnie, otrzymamy wzór:

t?coship# = sinhip#.Ær, czyli: (cos hip #)'=sin hip #, a stąd, jak przy funkcyach goniometrycznych (Tom I. str. 471.) wzory:

czyli: (tang hip #) =

d tang hip # =

dx

cos hip²#

cos hip²#

GÊcotghip x

dx

ćZsec hip x= —

sin hip²# sinhip#.^# cos hip² o;

n (cotghip#)' = -

„ (sechip#)' =—

sin hip² x

sin hip x

cos hip²#

coship#.^#

cos hip x

„ (cosec hip#)'

9. Różniczki i pochodne funkcyi hiperbolometrycznych, wynikają, jako bezpośrednie następstwo wzorów dotyczących różniczek i pochodnych funkcyj hiperbolicznych.

Mając bowiem wyznaczyć różniczki, lub pochodną funkcyi : y—arg sin hip #, piszemy ten związek w postaci: sin hip y = #, a stąd, dostajemy:

d cosec hip#

sin hip²#

sin hip²#

dx

a że :

a więc : przeto, otrzymujemy:

cos hip y. dy—dx, zatem : dy — -cos hip²?/—sin h i p²«/ = 1 coshipy=V/ l + sinhip²«/=V/l + ^²,

cos hip y

dy =

dx

a zatem :

d(arg sin hip #)

dx

V i -p #²

czyli (arg sin hi p #)'

V i -f#²’

Podobnie, dostajemy : d( arg coship#):

dx

y/#²—i

czyli (arg coship#)

d (arg tang hip #)

dx

1—#²

^(argcotghip#) =

dx

1— #²

V/#²—1 ⁵

» (arg tang hip#)'

„ (arg cothip #')' = -

r?(argsec hip #)

dx

#\/1—#²

„ (arg sec hip#)'

#V/1—#²’

d(arg cosec hipx— —

dx

„ (arg cosec hip#)'

#y/i+#²’

wzory, które wynikają także wprost z wzorów (3), określających funkcye hyperbolometryczne, na podstawie prawideł o różniczkowaniu funkcyj cyklo-metrycznych, względnie logarytmicznych.

10. Całki zasadnicze, dotyczące funkcyj hiperbolicznych i hiperholo-metrycznych. Z wzorów, dotyczących różniczek funkcyj hiperbolicznych i funkcyj hiperbolometrycznych, wypływają, jako odwrócenia następujące całki zasadnicze :

xV l + #²

/ cos hip #. d#=sin hip#-P 6Y, /sinhip#. dx=cos hip x-\- C,

•cotg hip#+ C,

dx

dx

tanghip# + C, ^ hip#+C, ^

z = arg sin hip x-\- C, ^ f dx

= — arg sec hip # + C\

coship²#

sin hip x

cos hip²#

dx=—sec

sin hip²# coship x sin hip² x

dx——cosec hip x 4- C,

(9)

Y/ 1-I-#

f dx

xV 1 — #²

dx

V xl— 1

arg cos hip # -f C,

arg tang hip #+ (7= arg cotg hip #-f C

dx

(10)

x\/1 -p #²

arg cosec hip # + C.

11. Całki elementarnych fimkcyj hiperholicznych otrzymujemy w sposób podobny, jak całki elementarnych funkcyj goniometrycznych.

Metodą bezpośredniego całkowania, otrzymujemy, najpierw :

1)    / sin hip x dx = cos hip #-p G,

2)    /cos hip xdx = sin hip #+ C.

Celem wyznaczania całki kształtu: j* tang hip xdx, użyjemy metody przekształcenia. "W tym celu, otrzymamy :

^tanghip x dx — ^

sin hip # ,dx

coship #

a zatem:

Pc?(coship J cos hip #

#)

log cos hip #,

3) /tanghip #. ć?#=logcos hip #+C.

Podobnie znajdziemy :

4) /cotghip# . dx=\og sinhip#-p6'.

Na wyznaczenie całki, kształtu: j*sec hip#dc, otrzymujemy, metodą przekształcenia :

/sec hip # dc

dx

cos hip #

cos hip²

--P sin hip²

dx

cos hip²

X

dtang hip —

Z

a zatem :

1 + tang hip² ~ 5) i|*sechip

1+tang hip²-^

— =2 arc tang ^tang hip

x. dx

= 2 arc tang ^tanghip~j -p C.

Podobnie otrzymujemy:

^cosec hip# ć?# = ^

dx

sin hip #

X

2 sin hip —. cos hip Z

to

dx

coship²-^- i d tang hip ~ tanghip-|- J tang hip ^

= log tang hip

to &

6) ^cosec hip# .dx — log tang hip ~ -f C.

12. Całki elementarnych funkcyj hiperholometrycznych znajdziemy podobnie, jak wyznaczaliśmy całki elementarnych funkcyj cyklometrycznych, za pomocą metody całkowania przez części.

Celem wyznaczenia całki, kształtu: /arg sin hip x. dx, połóżmy:

arg sin hip x = u

a zatem :

dx—dv

a zatem :

du

dx

V l+x²

v=x

a otrzymamy :

arg sin hip x. dx=x arg sin hip#—

Ç xdx

yvTT+p“

Æargsinhip#— \Z\-\-x¹,

a zatem :

1)    / arg sin hip x dx—x arg sin hip x—\/l-f x²-\-C. Podobnie znajdziemy:

2)    / arg cos hip £ . dx=x arg cos hip x—V/x²—1 + C.

Celem wyznaczenia całki, kształtu: / arg tang hip x. dx połóżmy:

arg tang hip x=u

a zatem

du

dx

1— x²

dx=dv

v=x

a otrzymamy : ^arg tang hip a zatem :

x. dx

=x arg tang hip x —

xdx

1—x²

= x arg tang hip x + — log (1 —x²)

Li

3)    / arg tang hip x. dx=x arg tang hip x -flog V/1— x²+ C. Podobnie znajdziemy:

4)    / argcotghip# . dx=x argcotghip Æ+log \Zl —x²-\- C. Celem wyznaczenia całki, kształtu: /arg sec hip x. dx, połóżmy:

arg sec hip #=w

a zatem

du

dx

xV1—x²

dx=dv

v=x,

a otrzymamy :

^argsechipÆ<£z=a?argsechipz:— ^

dx

Vl-x²

=x arg sec hip x—arc sin x

a zatem :

5) / arg sec hip x . dx=x. arg sec hip x—arc sin^+C'. Podobnie, znajdziemy:

j* arg cosec hip x . dx=x arg cosec hip x— ^

zatem :

dx

Vl + x²

=:rarg cosec hip a:—arg sin hip x,

6) /arg cosec hip xdx=x. arg cosec hip x— arg sin hip x + C. Otrzymane wzory całkowe wynikają także, jako bezpośrednie następstwo odnośnych wzorów dla całek funkcyj cyklometrycznych.

13. Całkowanie funkcyj złożonych wymiernie z funkcyj hiperbolicznych.

Wszelką funkcyę wymiernie złożoną z funkcyj hiperbolicznych tej samej zmiennej #, kształtu: .R (sin hip#, coship#, tang hip #,...) możemy ostatecznie sprowadzić do funkcyi wymiernej dwu tylko funkcyj hiperbolicznych : sin hip # i cos hip#, a więc jej całkę do postaci: fB (sin hip # , coship#).d#.

Stosując do tej całki jedno z następujących podstawień, analogicznych do podstawień przy wyznaczaniu całki, kształtu: f B (sin #, cos #) dx, a więc:

albo 1) sinhip#=w, a zatem: cos hip#=Y/l-pw², dx

du

Vl -\-u%

albo 2) coship#=w, a zatem: sin hip #=Y/w²—1, dx

du

Vu*-1

zc

albo 3) tang hip #=w, a zatem: sinhip#= . .......—

V1—u*

cos hip #=

Y/l — u*

dx =

du

1-u²

to

albo 4) tang hip w, a zatem: sin hip #=^- —cos hip #=^ otrzymujemy następujące przekształcenia: albo 1) j-R(sinhip#

1 + w²

2 du

hip x)dx= jjB (u , Vi-\-u²) 2) fB(sinhip#, coship#)d#= ^BiVu²—1, u) albo 3) fB (sin hip#, cos hip x)dx= albo 4) f(B (sin hip #, cos hip#) <2# =

albo

cos

du

VI + u² ’

du

Y/w² —1 ’

(U)

1    \ du

Z^Jl^u

2u    l+w²\ 2du

1—w²’ 1 — u²) 1—u

z których dochodzimy do wniosków : 1) podstawienie: sin hip #=w jest szczególniej wówczas przydatne , gdy funkcya B jest ze względu na cos hip# stopnia nieparzystego, 2) że podstawienie: coship#=w jest przydatne, gdy funkcya B jest stopnia nieparzystego ze względu na sin hip#, 3) że podstawienie: tang hip#=w jest przydatne, gdy funkcya B jest stopnia parzystego, tak ze względu na sin hip#, jak ze względu na coship.r, 4) że pod-00

stawienie : tang hip    = u jest zawsze przydatne, skoro tylko funkcya B jest

A

wymierną ze względu na sin hip# i cos hip#.

14. Całki kształtu: j* JB(sinhip m cc, cos hip w#) dx sprowadzają się do całek, kształtu : JjR(sinhip #, coship#)&r za pomocą rozwinięć funkcyj sin hip mx i cos hip nx, które, analogicznie do wzorów goniometrycznych :

cos nx = cos” x

— ^2)cosW—2a;sin2a:+(4)

cos” ⁴ x sin⁴ x -p...

sin mx

=(r)

cos”»—¹ x sin x

— \q \ cos”¹ —3 x sin³# -}- ...

przedstawiają się w postaci :

coshipw#= cos hip” x -j-    cos hip”—² x sin hip² x -j- ...

sin hip mx =    cos hip*”—1 x sin hip x-\- ^^coship"»—³#sin hip³

x —p...

(12)

(IB)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

14

15. Całki kształtu: Jsiiihipsm£CCoshipfcM,£e<fcc możemy, w przypadku, gdy wykładniki s i Tc są liczbami całkowitemi, dodatniemi, wyznaczyć za pomocą rozkładania iloczynu: sinhip’ mx . coship*»# na dodajniki.

Otrzymujemy, bowiem :

sin bip» mx _ cos hjp*nx =

(gwx — g—mxy (gnx _p g—nx'ÿk

2s+k

Biorąc pod uwagę iloczyn P, połóżmy :

P= h,e«i* + h₂e«₂* 4-... 4- B,e-ßxx -f B₂e~ß*x -f- ... natenczas, podstawiając —x zamiast #, przekonamy się, że będzie:

(—1/ p=Ale~ctlX + A%e~a'** + ... 4. 2?,gA* -f    e?'* +...

skąd wnosimy, że musi być ogólnie:

Ar = (—!)* Br, « =• ßr ,

że więc otrzymamy :

P=ZAr [ettrx 4- ( — 1)' e~arx].

Mając na uwadze, że:

eax -f- e ax — 2 cos hip « x, zaś e

— 2 sin bip eux,

otrzymujemy: a) w przypadku, gdy wykładnik s jest liczbą parzystą, wzór:

—e

— ax

sin hips m x cos hip* nx =

2 2 Ar coship a rx

(14)

b) w przypadku, gdy wykładnik s jest liczbą nieparzystą, wzór:

22 hr sin hip <xrx

sin hips mcc cos hip knx

2*+*

(15)

Całka, kształtu :J sin bips mx cos hip* nx dx, rozpada się więc, w przypadku, gd\ wykładniki s i h są liczbami całkowitemi, dodatniemi, na całki, kształtu:

sinhip ax

j cos bip a x dx

-J- C, j sin bip

<xx dx

cos bip a x

-f C.

(16)

10. Całkowanie funkcyj hiperbolłeznych za pomocą podstawień wykładniczych, lnh goniometrycznych. Całkowanie fnnkcyj hiperbolicznych kształtu: H (sin hip x, cos hip a:) ććr , gdzie Ii jest funkcyą algebraiczną, wymierną , ze względu na elementarne funkcye hiperboliczne, możemy przeprowadzić, także za pośrednictwem podstawień wykładniczych, lub goniome-trycznych.

Podstawiając, mianowicie:

otrzymujemy :

. , . ex — e~x sm hipa:= -——

Li

f    Ç / ßX_ß—x

\ .R (sin hip a;, cos hip x)dx = \R I——^

cos hip x

ex + e~x

er+e~x \ -

2—)dx

a więc całkę funkcyi algebraicznej , wymiernej ze względu na

funkcyę wy-dz

, sprowadza

kładniczą: e®, która, wskutek podstawienia : ex=z, a więc dx~ się do całki funkcyi wymiernej, ze względu na zmienną z.

Podstawiając zaś : sinhip x    sina: i, cos hip a:=cos a:«, otrzymamy:

^iü(sin hipa:, cos hip x)dx=^H^r- sinawi, cosaijcńc, a więc całkę funkcyi algebraicznej, wymiernej ze względu na funkcye sin 3:4

cos a:?, która wskutek podstawienia: xi--=z, a więc: dx=^-dz, sprowadza się

do całki, kształtu: JR (sin#, cos z) dz, czyli, do całki wymiernej ze względu na funkcye goniometryczne : sin # i cos s.

17. Całki kształtu: J'JR (x). sin hip x dx, luk f JR (x). eos hip x . dx,

w których R(#) jest funkcyą ułamkową, niewłaściwą, rozpadają się, każda dwie całki, w postaci:

J R (#). sin hip x. dx—f G(x) sin hip #.(?#+ ^ fR (x) cos hip#. dx=J G(x) cos hip x . dx + ^

na

Gn—i {%)

Gn (#) Gn—i (#)

sin hip x dx ,

Gn (x)

coship# dx.

Stosując do całek, kształtu: J G(x) sin hip x. dx, lub J 6r(#)coship#. dx metodę całkowania przez części, otrzymujemy następujące wzory:

f G (#) sin hip x. dx= G (#) cos hip x—fG'(x) cos hip #.<?#, f G (#) cos hip x. dx= G (#) sin hip x—J G'(x) sin hip x.dx, które, ponownie stosowane, dają wzory redukcyjne:

J 6r(#) sinhip x. dx = G[x) cos hip #— G\x) sin hip#-f/ G“{x) sin hip x . dx J6r(#) cos hip x. dx— G{x) sinhip#— 6r'(#) cos hip# -f- J Gu{x) cos hip #. dx prowadzące z poprzedniemi ostatecznie do całek:

f sin hip # . dx=cos hip#-f- C, f cos hip # . ćź# = sin hip#+ C.

G n—1 (#)

Gn (#)

dochodzimy do całek kształtu:

(17)

(18)

Rozkładając, następnie, funkcyę ułamkową, właściwą:

proste, kształtu: —

00

f sinhip*^ lub:

J #— a

na ułamki

—, względnie :

Pcos hip#

.) #

Ar

(#— a)r ględnie ^

sinhip #

(#—a)r

dx, lub :

cos hip #

(#— a)r

di.

Stosując do całek drugiego kształtu metodę całkowania przez części, otrzymujemy wzory:

i'

sin hip x

(# — a)r

dx =

sin hip #

(r— 1) (#—a)r_1

cos hip#

JLf

r—lj (#— a)

r—1

dx,

cos hip #

(#—a)r

dx

cos hip #

(r—1) (#— a)r~¹

sin hip #

(#—a)

r—1

dx,

które, ponownie stosowane, dają wzory redukcyjne:

Siêÿ-*-

sin hip #

cos hip #

[r— 1) (#—a)

r—1

(r —1) (r—2) (# — a)

sinhip#

(r — l)(r— 2) J (#—a)

(?#,

cos hip# (#—a)r

dx =

cos hip#

sin hip#

(r—1) (#—a)'⁻"¹

(r—1) (r—2) (#—a)

ł⁻—2

cos hip #

(r—1) (r—2)

(# — a)

6?#,

sprowadzające dane całki, ostatecznie, do całek, kształtu:

sin hip #

dx, lub :

(-COshiP* dx.

J #—a

mujemy :

Podstawiając w tych całkach #—«=#, zatem: x—2+a, dx=dz, otrzy

sin hip (z-\-a)

cos hip (2 +a)

dz= cos hip a ^S^~~~ ■ dz+sin hip a ^ os hip a    dz+ sin hip a ^

dz=c

cos hip z

sin hip z

dz,

dz,

a więc, dochodzimy do całek, kształtu :

— dx , lub :

które nie dadzą się wyrazić w formie, złożonej ze skończonej ilości znanych funkcyj elementarnych i tworzą nowe funkcye przestępne, z których pierwszą nazywamy hi pe r bo 1 i c z ny m sinusem całkowym z m i e n n ej x, i oznaczamy przez HSi (x), drugą zaś nazywamy h i p e r b o 1 i c z nym cosinusem całkowym zmiennej x i oznaczamy przez HCi(x). Piszemy tedy: f sin hip#

J x

f sin hip J x

fcos hip x

J x

dx,

dx=HSi(x)+C; CcoshlP Xdx=HCi(x) + C.

J X

(19)

18. Uwaga. Wprowadzając pojęcia funkcyj przestępnych: Si (x) i Ci(x), nazwanych sinusem i cosinusem całkowym zmiennej cc, (art. 8., str. 190.), a określonych wzorami :

i uwzględniając relacye: sinhipcc = — sin xi , cos xi — coshipcci, otrzymujemy : f sin hip x

dx -f- C

Ci (cc) =    C,

•J x

dx

1 f sin x i

i J x

dx = —Si (xi) -f- C

f COS up* ix

J    X

_ fcos x i J x

dx — Ci (xi) -j- O.

Wprowadzając zaś pojęcie funkcyi przestępnej : Li(x), nazwanej logarytmem całkowym zmiennej x, (art. 9. str. 176.), a określonej wzorem :

dx C,

i uwzględniając relacye :

otrzymujemy :

sin hip x = (ex — e—'c), cos hip a? = {ex -j- e-*),

dx = ~ [Li (e*) — Li (e~*)\ + C, = ~[Li(ex) + Li (*-»)] -f C.

rsmhip^fe J X

1 f ex — e—x J x

f cos hip J x

19. Całki, kształtu

— dx

to , ł—¹ l>Oj

(20)

xdx

sin liipm x

stępnych. Przedewszystkiem , mamy :

x dx

cos hip"» x

prowadzą do nowych funkcyj prze-

^»cr{coship²a;—sin hip² cc j dx J    sin hip”¹ x    J

x cos hip²a;. dx

xdx

sin hip”» cc

Stosując do pierwszej całki metodę całkowania przez części, połóżmy: x cos hip x = u cos hip cc sin hip”* x

— dx = dv,

a zatem :

sin hip”¹ cc

xdx

sin hip”¹—² x

du — (cos hip cc —(— cc sin hip cc) dx,

(m —1) sin hip”¹—¹ x ’

a otrzymamy :

x cos hip²x .dx sin hip”» cc

x cos hip cc (w—1) sin hip”»—¹ x

1 fcos hip cc -f- x sin hip m —1 J    sin hip”»—¹ cc

— dx,

a że :

cos łiip x-\-x sin hip x

doc

sin hip"*-¹ x

-J

cos hip x dx

xdx

sin hip"»-¹ x

sin hip"¹—² x

1    /• xdx

(m—2) sin hip"*—² x    J sin hip

przeto :

x cos hip²a;. dx

x cos hip x

x dx

sin hip"* a:

(m— 1) sin hip"*-¹ x

(m —1) (m—2) sin hip”*-

+ _.

² a; m—1 J sin hip"*—² a;

Wobec tego, otrzymujemy : xdx

xdx

sin hip"* x

a podobnie :

(m—2) x cos hip x -j- sin hip x m—2 f*

—    —2) sin hip"*-¹ a; m—lJ sinhip”*—²x

(21)

xdx

xdx

m— 2 C_____

m— 1 J cos hip”*—² x ’ więc wzory redukcyjne, które pozwalają zniźyń wykładnik m o dwie jednostki. Przy parzystym wykładniku : m = 2n , dochodzimy tą drogą do całek :

{m—2) x sin hip x -I- cos hip x

cos hip"* x

(:m—l)(w—2)cos hip”*-¹ a;

(22)

x dx

x dx

sin hip² x

cos hip²# ’

do których powyższe wzory redukcyjne nie dadzą się już zastosować.

Kładąc, raz: #=

dx

=• dv , a zatem: du—dx, v =— cotghip#; drugi raz:

dx

U’ sin hip² x

= dv, a zatem: du—dx, v = tang hip x , otrzymujemy:

cos hip²x x dx

sin hip² a: xdx

cos hip² a:

Przy nieparzystym wykładniku: m^=

xdx

- x cotg hip x -J- j* co tg hip x dx = — x cotg hip x log sin hip x -f- C,

x tang hip a: — Jtanghipa: dx = x tang hip x—log cos hip a: -f- C.

2n d- 1, dochodzimy, na podstawie powyższych , które stanowią nowy rodzaj

xdx

. wzorów redukcyjnych, do całek : J funkcyj przestępnych.

20. Całki, kształtu :fx lang hip x dx i f ac cotg hip xd x, prowadzą również do nowych funkcyj przestępnych. Kładąc, bowiem, raz: x = u , tang hip r dx= dv , a zatem du = dx, v — log cos hip x, drugi raz : j x = u, cotg hip xdx — dv , a zatem : du — dx , v= log sin hip x: otrzymujemy :

sin hip x

COS hip a;

(28)

x tang hip x . dx = x log cos hip x — Jlog cos hip x ,dx,

J x cotg hip x . dx—x log sin hip x — Jlog sin hip x . dx,

dochodzimy więc do całek: J log sin hip x. dx i J’log cos hip æ.cZa:, które nie dadzą się również wyrazić przez funkcye znane, tworząc nowy rodzaj funkcyj przestępnych.

¹

=sinhipa?

21. Całki funkcyj hiperbolometrycznych, kształtu: J'R(argsinhipa?)*fc»,

lub podobne, w których R przedstawia funkcyę algebraiczną, wymierną którejkolwiek funkcyi hiperbolometrycznej : argsinhip#, arg tang hip#,..., dadzą się zawsze sprowadzić do całek funkcyj hiperbolicznych, rozważanych w poprzednich artykułach.

Używając, bowiem, w całce: JjR(argsin hip x)dx, podstawienia: arg sin hip x=z , x = sin hip £fcc=coship£. de,

otrzymujemy :

f R (arg sin hip x) dx=J R (0). cos hip z dz

(24)

podobnie, otrzymamy, za pomocą podstawienia: arg cos hip x—z, #=coship£, ^=sin hip^ .dz, wzór:

f R (arg cos hip x) dx= f R (z). sin hip z. dz.

Za pomocą podstawienia: arg tang hip# = # dostajemy wzór:

x=tang hip 0, dx

dz

coship²#

^ B (arg tang hip x). dx— ^

B (z) . dz

cos hip² z

za

pomocą podstawienia: arg cotg hip x — s

:z = cotg hip#, dx

dz

sin hip² z

zaś :

^ 12 (arg cotg hip a;) dx= — j

’ B (z). dz

sin hip²z

Podobnie, otrzymamy :

B(z). sin hip g cos hip²#

B(g) cos hip# sin hip²#

Szczególny przypadek całek tego rodzaju stanowią całki, kształtu: /(arg sin hip x)n dx i tym podobne, dla których możemy także wyprowadzić stosowne wzory redukcyjne.

^72(arg sec hip x)dx=—^

72 (arg cosec hip#) dx=— ^

dz.

22. Wzory redukcyjne całek: /(arg sinhipa?)" .dx i / (arg cos hip x)n dx»

a zatem :

Kładąc, raz:

(arg sin hip x)n — u ,

dx — dv, to znowu:

(arg cos hip x)n = u , dx = dr,

du — n (arg sin hip x)n—¹

a zatem : du = n (arg cos hip x)n—i *

dx

VI + *²’

dx

otrzymujemy wzory :

j*(argsinhip£c)» dx= a; (arg sin hip x)n — n J(argsinhipa;)n—1 j (arg cos hip x)n dx =x (arg cos hip x)n —n j (arg cos hip x)n-

xdx

\/l -p®²

xdx

v/*²-i’

Przyjąwszy teraz , w pierwszej całce :

(arg sin hip a:)«-¹ = u xdx

Vl + x²

dv

a zatem :

du — (n— 1) (arg sin hip as)»—2 v = Vl + x²

dx

V/l+«²

w drugiej zaś :

(arg cos hip x)n -¹ —u, xdx

du—(n—1) (arg sin hip a:)»-²

dx

a zatem :

v/*² -1 ’

V*²— 1

ç.    xdx

J (arg sin hip x)*-'

(arg cos hip x )«

otrzymujemy :

xdx

dv,

v — V x'L — 1

-1

Y/l -j- x² (arg sin hip x)»—-1 — (»—1)J (arg sin hip a?)«—² dx,

— Vx² — 1 (arg cos hip x)n—1 — (n—1) j*(arg cos hipa:)»—^dx, (25)

V/a?² —

zatem, wzory redukcyjne, w postaci :

J(arg sin hip x)n dx = x(arg sin hip x)n—n\/l/- a?²(arg sin hip x)n—i-f- n(n— l)J(arg sin hip x)n~² dx, /(arg cos hip x)n dx = a:(arg cos hip x)n —nVa:²—i (argcos hip a?)»—¹ \-n [n—l)/(arg cos hipa;)”—² dxi

które, przy całkowitym, dodatnim wykładniku n, sprowadzają dane całki do jednej z następujących postaci :

f arg sin hip xdx — x arg sin hip x— V/1 -j- cc² -f- C ,

/arg cos hip xdx — x arg cos hip x — \/xr — 1 + C.

Jeżeli wykładnik n jest liczbą całkowitą, ujemną: n——m, natenczas, otrzymamy powyższe wzory redukcyjne w postaci :

dx

dx

(arg sin hip x)™ (arg sin hip x)m

(arg sin hip x)m+l

(argsin hip aj))W+² ’

dx

m\/ x*¹— 1

(arg cos hip x)m (arg cos hip x)m (arg cos hip skąd dostajemy :

-J- m

dx

(arg cos hip x)m+ ²

dx

y/l -M²

(arg sin hip aj)m+²

m{m-j- 1) (arg sin hip x)™    (m + 1) (arg sin hip a:)»»+l

dx

m(m -f- 1)

(arg sin hip x)m ’

dx

(arg cos hip aj)”*+²

m (m -\-l) (arg cos hip x)m

\/ x²— 1

( m -j- 1) (arg cos hip x)m+i

dx

m (m -j- 1) J (arg cos hip x)™ ’ a, zastępując m-\- 2 przez m, następujące wzory redukcyjne:

dx

\/1 -b x²

(arg sin hip x)m

(m— 1) (m— 2) (arg sin hip a:)”*—²

(m—1) (arg sin hip a:)”*-¹

dx

(26)

(m— l)(m—2)

(arg sin hip a:)™—² ’

a:

(argcos hip x)m    (m—1) (m—2) (arg cos hip x)m—'²

yV — 1____

(m—1) (arg cos hip x)m

dx

(27)

(w—l)(m—2) J (arg cos hip x)m—²’

przydatne, gdy wykładnik w jest różny od 1 i 2. Na podstawie tych wzorów, dochodzimy, ostatecznie, do całek kształtu:

dx

dx

dx

dx

, lub

arg cos hip x

Stosując do pierwszych dwu typów metodę całkowania przez części, kładąc raz:

(arg sin hip a:)²

(arg cos hip a:)²

arg sin hip x ’

dx

a zatem :

du

drugi zaś raz :

VV - 1 =

a zatem :

(arg sin hip a:)² ' y/l + x2 x dx

V1 -j-aj² ’ * — arg sin hip * ’ 1    dx

’ (argcos hip a;)² y/a:²— 1 xdx

arg cos hipx ’

dv,

otrzymujemy :

\/l + a;²

xdx

(arg sin hip aj)²

arg sin hip a:

y/cr²— 1

(arg cos hip a;)²

arg sinhip x y/l -j- x² ’ xdx

arg cos hip x y/æ2_i

arg cos hip x

i dochodzimy do całek, które, również, jak całki dwu drugich postaci, prowadzą do wych funkcyj przestępnych, (patrz art. 17 i 18).

no-

— 216 -

względnie :

Podstawiając w tych całkach:

arg sin hip x = z , x — sin hip z, dx — cos hip z.dz ,

arg cos hip x = z, aj = cos hip z, dx = sin hip z.dz ,

otrzymujemy :

daj

arg sin hip x

cos hip z

dz = HCi (z) -{- C — HCi (arg sin hip aj) -j- O.

xdx

sin hip z

względnie :

arg sin hip aj \/ i Ą. xï

dz — HSi (z) -f- O = HSi (arg sin hip aj) -j- <7,

dx

sin hip z

arg cos hip aj

dz — HSi(z) -f- C = HSi(a,rg cos hip oj) -j- Cl JC0S^P g dz — j[Qi (2) -j- C=HCi (arg cos hip 2) -j- C.

xdx

arg cos hip aj ’ ^/a:²_1

23. Całki kształtu:    arg sin hip æ. cła;, lub podobne, w których

funkcya , stojąca pod znakiem całkowania, występuje, jako iloczyn funkcyi algebraicznej, wymiernej R(x) i jednej z funkcyj hiperbolometrycznych: arg sin hip x, lub t. p., przedstawiają się, po rozwinięciu funkcyi B(x), jako zbiór całek, kształtu:

arg sin hip x . dx, ^

arg sin hip x (x—a)m

lub podobnych, w których występuje odpowiednio którakolwiek inna funkcya hiperbolometryczna.

Otrzymane całki sprowadzają się, wskutek podstawienia:

arg sin hip x=z, a więc æ=sin hip 0, c£c=coship£.cfo,

arg sin hip x

GjX

xm

dx,

do całek, kształtu:

Î'

z cos hip zdz

f z. cos hip z ,

\-;-t-j-— dz,

J sinhip™#

które należą do całek , poprzednio już rozważanych.

Stosując do całek, kształtu: j* Ii (x) arg sin hip x dx, metodę całkowania przez części, a to, kładąc:

. sin hip'” z cos hip z. dz,

(sin hip z — a)m

arg sin hip x=u

a zatem

du =

dx

B{x). dx=dv

Vl-\-x² ’

v= j E (X) dx=R{x)

otrzymuj emy :

^B (x). arg sin hip

x .dx = R (x). arg si

nhipæ—

podobnie :

' Vl+x²’

(28)

(x). arg cos hip x. dx=R(x). arg cos hip x—^r{x) ^ B (x). arg tang hip

x . dx

dx

' Vx²—1 ’

—    Ç    dx

=R{x). arg tang hip x dx — j R {x). —

(29)

(30)

—x²

a więc wzory, które wyznaczanie danych całek sprowadzają do wyznaczania całek algebraicznych, skoro całka, kształtu : fB(x)dx daje w wyniku funkcyę algebraiczną R(x).

— 217 —

24. Całki kształtu: Jxn. arg s»n hip jc.dx i Jxn. arg coshipas. przedstawiają szczególne przykłady całek , w poprzednim art. rozważanych. Mamy tu mianowicie :

xn~hl n 1’

Wobec tego, otrzymujemy, na mocy wzorów (28) i (29), wzory szczególne:

dx,

R(x) = xn, jest zatem: R\x) = JR(x). dx =

xn+¹ .arg sin hips?

j xn. arg sin hip x. dx

Ç    , .    *»+1 .argcos hip x

\ xn . arg cos łup x.dx=---—

J    n Ą- 1

n-\r 1

1 ę 33n+l 4" Ï J \/l    x'¹

(31)

x»+t

» + ¹ i \/35*—1

które dowodzą, że całki tego rodzaju, przy całkowitym, dodatnim wykładniku n, dają się zawsze wyznaczyć.

W szczególności, dla n— 0, otrzymujemy:

f arg sin hip xdx = a; arg sin bip x — V/l -j- x'¹ -f- C,

Jarg cos bip x.dx — x arg cos hip x — \/ x²— 1 C.

dx,

(32)

w postaci :

Dla całkowitego, ujemnego wykładnika: n— — m, otrzymujemy powyższe wzory

dx

C arg sin bip x ^ _ arg sin hip x    1 r

«1 xm    (m—1) xm ^    m—1 J £

rargcoshipg

J    33»*

która przestaje być przydatną, gdy m == — 1.

W tym przypadku, otrzymujemy całki, które, na mocy podstawień : arg sin hip x = z sin hips, dx= cos bip z . dz , względnie:

arg cos bip x = z, x — cos hip z, rfx = sin hip z . dz, przedstawiają się w postaciach :

jargsighip* ₌ j Jargcoship* dx=j

prowadzących do nowych funkcyj przestępnych.

Jest bowiem :

arg cos hip x (m—1) s;»'—i

s cos bip s ^

;    ClZ

sin hip z

z sin hip z

dz

cos hip z

m— 1

i r_dx

m— 1 J xm—¹

\/a3²—1

= J s cotg hip z. dz , z tang hip

z. dz:

cotg hip z .dz — z . log sin hip z — jlog sin hip z .dz, §z tang hip z. dz = z . log cos hip z — ^ log cos hip z .dz , J log sin hip z .dz i ^ log cos hip z. dz,

gdzie :

tworzą nowy rodzaj funkcyj przestępnych.

25. Całki, kształtu : Jocn. arg tang hip x. dx , przedstawiają się, na mocy wzoru (30;’ w którym R(x) — xn, w postaci:

^ o;» arg tang hip x. dx

xn+^ . arg tang hip a;

xn+i

n -f- 1 J1 — x²

na podstawie której, możemy wyznaczyć daną całkę, przy jakimkolwiek całkowitym , dodatnim wykładniku n.

Jeżeli wykładnik «jest liczbą parzystą: n=2m, otrzymujemy, pod znakiem całkowym funkcyę ułamkową :

n-j- 1

dx,

(33)

33²—1

w przypadku zaś, gdy wykładnik n jest liczbą nieparzystą: n — 2m-{-l, otrzymujemy:

x2m+2

x²— i

zatem dana całka przedstawia się, w pierwszym przypadku, w postaci :

2m—1 i    2m—3 i i , x

X    -j-33    +    33-f    ,

= 33

2W + 33

2m—2

+ " + ¹ + ïèî’

arg tang hip x. dx —

x2,rt+¹. arg tang hip x

»2m

^m-2

»²

2 m -j- 1

+ ylog(«²—1) I +

2m 4~1 (2 m 2 m—2

1-... + y +

w drugim, zaś, w postaci :

2m-f 1

arg tang hip x dx

»2,n + 2 . arg tang hip x

2m—1 x

2 m 4- 2

x^m+\

2m 2    \ 2m -j-1 2m — 1

+ .» +

+...    a;—arg tg hip a? \ -f- <7.

Jeżeli wykładnik n jest liczbą ujemną : n — — m, natenczas, otrzymujemy wzór:

arg tang hip x (rn—l)xm

arg tang hip x

xm

dx —

P dx

-¹ (l-»²)

przydatny, skoro : m > 1.

Dlam = l, otrzymujemy całkę, kształtu: j

? arg tang hip x

dx, która, wskutek pod-

stawienia : arg tang hip x — z, x — tang hip z , dx j arg tang hip *

a więc, do funkcyi przestępnej, kształtu: j

cos hip² z ’

zdz

sin hip g cos hijł 0

sin hip t

. dt.

sprowadza się do postaci :

f* 2 zdz

3 sin hip 2z ’

Ćwiczenia XIII.

Na podstawie określenia funkcyj hiperbolicznych, wyprowadzić następujące wzory analogiczne do wzorów goniometrycznych :

I)    cos hip² a?—sin hip²» = 1. 2) sec hip²» -(- tang hip² x = 1.

8) cotghip²»—cosec hip²» =* 1.

4)    sin hip (» + y) — sin hip x. cos hip y cos hip x. sin hip y.

6) tang hip (»    y)

5)    cos hip (x + y) = cos hip x. cos hip y Ht sin hip x • sin hip y. tang hip x ± tang hip y

1 Hh tang hip x. tang hip y

7) sin hip 2» = 2 sin hip x. cos hip x. 8) cos hip 2x = coship²»sin hip² x.

9) tang hip 2» ==

2 tang hip x 1 + tang hip² x '

cos hip 2» 4- 1

, b) cos h’p²» =

15) sinhip2n»

èr'SVv (?) cosŁip(2M-2,)«₊-Ar(²;).

r=0

r=n

16) sin hip2« + l » = ,-2-    (2W + *) sin hip (2« 4- l-2r)».

^ r= 0

rz=n— 1

17) cos hip2nx —

r—0

r=n

18) coship2*+ix = ^2(2W^ ])

cos hip (2n 4- 1—2r) x.

r—n — 1

19)    sin hip 2» x—    jJ coship

rz= 0

V—Ul

20)    sin hip (2n + 1) æ = ^ (

rs=0

r—n

21)    cos hip 2 nx = ^►i    cos

r:=0

r= n

22)    cos hip (2w -j- l)x —    ^ cos hip²”⁺¹~²' x sin hip“' x.

Wykazać , ze :

23)    sin hip x — y/cos hip²x—

%n—2r—1

x sin hip2r+¹ x.

+4-

^ COS hip

In—2 r

r= 0

2n—2r

x sin hipir^’¹ x.

x sin hip2, x.

tang hip x Y/1 — tang hip“'⁴ x

\/cotg hip² x — 1

\/l — sec hip²x

sec hip x

cosec hipx

24) cos hip x = y/1 -{- sin liip²x —

y/1 — tang hip² x

sec

cotg hip x y/cotghip²x — 1

y/1 4" cosec hip² x cosec hip x

hip x

26) tang hip x

sin hip x y/ 1 -|- sin hip² x

y/cos hip²x —1

cos hip x

cotg hip x

— y/1 — sec hip² x

y/1 -j- cosec hip² x

26) cotg hip x

y/l + sin hip²x

cos hip x

sin hip x

y/cos hip²x — 1

y/l — sec liip²x

tang hip x

= y/1 + cosec hip²x.

27) sec hip x

y/ï + sin hip² x

cos hip x

y/l — tang hip² x —

y/cotg hip²x— 1

cosec hip x

cotg hip x

y/l -f* co sec hip²x

28) cosec hip x —

sin hip x y/cos hip²x — 1

y/l — tang hip² x

tang hip x

— y/cotghip²x—1 =

sec hip x

y/l — sec hip² x

29)    Wyprowadzić analogiczne związki między sześcioma elementarnemi funkcyami liiperbolomotrycznemi, jak :

arg sinhip x — arg cos hip y/1 4 cc² = arg tang hip

Wyprowadzić i sprawdzić następujące wzory całkowe:

30)    J sin hip xdx = cos hip x 4- C,    31) J"cos hip xdx — sin hip x 4- O.

y/14- x²

i t. d.

r* dx 32) j

cos hip² x

tang hip x C. S3) J

sin hip² x

— cotg hip x C.

„ . f* sin hip x. dx

3 cos hip² x

cos hip x

C = — sec hip x-\- C.

(*cos hip x. d.

3 sin hip²x

sin hip a;

\- 0= — cosec hip x -f- C.

36) j⁻ tang hip x .dx — log cos hip x -j- G. 37) Jcotg hip x.dx = log sin hip x -f- C. 38) J sec hip

x dx — 2 arc tang ^ tang hip    4

39) j cosec hip x .dx — log tang hip + C.

arg sin hip x -f- C= log (a; \/x² -|-1) -j- C. arg cos hip x C— log (x    x²— 1) -{- C.

40)

dx

\/x² + 1

dx

⁴¹> j

42)

44) f-d^—

JxVT-^²

4B) f- d*

J x

\/x² — 1

C.

1    1 _l_ x

arg tang hip x + 0= log j—+ C, gdy a;<l. 1    oc

— arg cotg hip x -)- C — -^ log -

u    X

- = — arg sec hip a; C == log

\Zl-\-X²

x -f- 1

1 +V/i — *²

+ C.

arg cosec hip a; -f O' = log

a;

K.

46)    Jarg sin hip x .dx — x arg sin hip x — \/1 x² -j- C.

47)    Jarg cos hip a:.<?a: = a:arg coship a; — \/x² — 1+ G.

48)    Jarg tang hip a;.    arg tang hip a;log \/l — x² C.

49)    j arg cotg hip x.dx = x arg cotg hip x -j- log \/l — x² C 60) Jarg sec hip x . dx ■== x arg sec hip a;—arc sin x -f- C.

51) Jarg cosec hipa; .dx — x argcoseca;—arg sin hip x C. coś hip x. dx sin hip² a; — 1

52, j'

2 l0*

^ Çsin hip³ a:— sin hip²a;+ sin hipx-f 1 J    tg hip x

BB)J

66) )

1—sin hipa: sec hip x -[- tang hip x '

sin hip x

sin hip x — 1 sin hip x -J- 1

.dx

= -^- sin hip³ x— sin hip² x -f-

-j- sin hip x log sin hip x -f- C.

dx — 2 log (1 + sin hip x) — sin hip x C.

sin hip x —J— sin hip²a;

dx = log tang hip x-\- C.

[* (sin hip 2a: — cos hip x) dx sin hip*a: — 5 sin hip x -f- 6

log

(sin hip x — 3)⁵

(sin hipa: — 2)³

+ 0.

57) ^(2-j- 5 cos hip a:)² sin hip x.dx — i/lb (2 -f- coship a:)³ -f- C.

68)    f [‘/»sto Lipgg + Binyp»] ^ —

' J    (cos hip x— l)³

69)    [

cos hip x

(cos hip x — l)²

sin hip ² a?, dx

4- C.

sinhip³a;-|- 5 sin hip²a;cos hip a;+ 8 sin hip a: cos hip²a; -|- 4 cos hip³x

sin hip x -j- cos hip x

4 cos hip x    , ,

•j^r - — -    ■--- —J— iOg

sin hip x -f 2 cos hip x

cos hip x

+ C.

60))

dx

sin hip x cos hip x (5 tang hip⁶ æ + 3)

klog

tang hip ⁶ a;

5 tang hip⁶ a:-{- 3

¹

0) a)    =

U

II)    sin hip x . cos hipy = ~ [s^n hip (* + V) 4" sin hip (*—y)\

12)    coship». sin hip y = ~ [sin hip(æ -\-y) — sin hip (»—y)\

13)    cos hip ». cos hip y = — [cos (* 4“ 2/) “ł~ cos hip (x V)\

14)    sin hip » sin hip y = [cos hip (x-\-y) — cos hip (»—y)\

- 221 -

dx

64)    j sin hip³

2sin hip²» -[-3 sin hip x cos hip x -}- coship²» log tang hip ~ -f- cos hip x -}-

u

= log

2 tang hip x 4-1

2 (tang hip x -j- 1)

cos hipkx.dx

sin hip x

coship³» ( r 8 + C-

1    2

x . dx — -g- sin hip²» cos hip » -f- -g- cos hip x -j- C.

65) Jcos hip²». dx — sinhip a; cos hip x -f-    -f- (7.

1    2

-g- sinhip »coship²» -(- -g-sin hip a? -f- O.

log tang hip + 0.

tang hip x--tang hip³ x C.

3

+ loS tanS MP ~2 +C-

66)    Jcos hip

67)    J dx

68)    f dx

; J cos hip⁴ x

69)

J smhip^»

70)    ^ x cos hip x . dx = x sin hip x — cos hip x-\- C.

71)    /» sin hip x ,dx = x cos hip x — sin hip x -\- C.

x cotg hip x -f- log sin hip x -\- C.

³ x. dx =

sin hip³ x

-.dx=

1 cos hip x

2 sinhip²»

cos hip x

2 sin hip² x

xdx

72) j 78) 5

74) ^» tang hip²x .dx —

sinhip²» x dx

cos hip²»

x tang hip » — log cos hip » -f- C.

»²

75)

arg sin hip » dx

v/l + »²

76)

^ arg sin hip »

» dx

V/l 4- »²

— »tang hip » + log cos hip » -j- —-    C.

a

(arg sinhip »)² C.

» + V/1+ *² • arg sin hip x -J- C.

Rozwiązania XIII. 1) —29) wzory wynikają z określenia : cos hip » -f- sin hip »= e*, cos hip» — sin hip x= e—x. 30) — 39) całkowanie bezpośrednie, lub za pomocą stosownego przekształcenia funkcyi, stojącej pod znakiem całkowym. 40)—45). Zastosować podstawienia hiperboliczne, tudzież podstawienia algebraiczne. 49)—51). Całkowanie przez części. 52)—56)

Podstawienie: sin hip x—u. 57)—58) coship»=w. 59)—61) tang hip» == u. 62) tang hip ^—u. 63)—69). Podstawienie analogiczne do podstawień Żmurkowskich, wskazanych przy wyznaczaniu całek kształtu: /cos*» sin’»«?». 70)—76) Całkowanie przez części, lub przez sprowadzenie danych funkcyi hiperbolometrycznych do funkcyj cyklometrycznych.

Literatura. J. H o ü e 1. Cours de Calcul infinitesimal. Paris 1878. Kiepert-Stegemann. Differential und Integralrechnung. 9. Auflage. Hannover 1901. W. Ligowski. Taschenbuch der Mathematik. Berlin 1893. William Benjamin Smith. Infinitesimal Analysis. London, 1898.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Rozkładanie iloczynów: sinhips /»»cos hip* nx na dodajniki.

2.    Rozkładanie funkcyj: sin hip w» i cos hip nx na czynniki.

3.    Całkowanie funkcyj algebraicznych za pomocą podstawień hiperbolicznych.

Wykład XIV.

Całki funkcyj, złożonych z funkcyj wykładniczych gonio-metrycznych lub hiperbolicznych, i ich odwróceń.

1.    Całkowanie funkcyj złożonych z funkcyj wykładniczych i gonio-mctrycznych. Całki funkcyj, złożonych z funkcyj wykładniczych i gonio-metrycznych, względnie hiperbolicznych, kształtu: f f\ex , sin x) dx, dadzą się, na podstawie związków, zachodzących między temi funkcyami, opartych na wzorze: exi— cos x-\- i sin % , względnie: e^^cos hip x-\- sin hip# , sprowadzić ostatecznie do całek funkcyj, złożonych z funkcyj jednego z tych rodzajów, a więc złożonych, albo z samych funkcyj wykładniczych, kształtu: JF(e*)dx, albo z samych funkcyj, goniometryczn3'ch, kształtu: J F (sinx) dx, albo z samych funkcyj hiperbolicznych kształtu: J.F(sinhip x). dx.

Do tak otrzymanych całek możemy tedy, stosownie do kształtu funkcyi F, stojącej pod znakiem całkowania, zastosować, albo metodę przekształcenia tej funkcyj, przez jej rozkładanie na funkcye prostsze, albo metodę podstawienia, polegającą na wprowadzeniu nowej zmiennej 0, tak, aby dana całka dała się, jeżeli można w całości, lub choćby w części tylko sprowadzić do całki funkcyi wymiernej ze względu na nową zmienną.

Przy tern postępowaniu używamy, obok rzeczywistych spółczynników i urojonych, a odnośne przekształcenia funkcyj urojonych na rzeczywiste wykonywamy dopiero w otrzymanych wynikach.

Obok tego sposobu postępowania , w niektórych przypadkach , metoda całkowania przez części, bezpośrednio stosowana, prowadzi wprost do wyniku, a jest szczególnie wtedy przydatną, jeżeli chodzi o sprowadzenie danej całki do możliwie najprostszych całek, cechujących nowe funkcye przestępne. Wskazane tu postępowanie wyjaśnimy na kilku przykładach typowych.

2.    Całki, kształtu: J"eax cos bx ,dx i Jeaxsin b x. dx. Przekształcając tu funkcye, stojące pod znakiem całkowania , na podstawie wzorów :

= ^{ebxi -f- e~bx'), sin bx — ^(ebxi— e~bxi),

cos bx

otrzymujemy :

a że :

Jef cos bx dx =Y* S*™ («***' + e~bxi) dx=-'/J    e^~bi^]dx ,

)<fa=ü[e

dx =

eax sin bx dx —

bxi _ e—bx!

(a -f- bi) x

dx,

e{a+bi)xdx =

e{(t+bi)x

5-

e{a—bi)x

a—bi

przeto, dostajemy:

cos bx .dx — —-

e(a—bi)xI

a—bi J

eax g j_n f)x (JX

1    je(a+bi)x

2    ( a -}- bi

1 je(a+bi)x

2i ( a-1-bi    a— bi

+ c.

(1)

e(a—bi)x

} + o.

(2)

Przeprowadzając wskazane w wynikach działania, otrzymujemy:

e(a+ bi) x

e{a-bi)x — (a_hi)e{*+bi)x ₊ (a + e(a-bi)x _ eax^a + M) gbxi ₊

a²-f6²

e{a+bi)x e{a~,i)x _ (a-W)«(fl+*⁰*- (a + bi)é-a~bi)x eax [(a- bi) e a -f- bi

aĄ-bi    a—bi

a—bi

a źe :

zatem, dostajemy:

a² + &²

ebxt = cos bx -j- i sin bx , e~

bxi

bxi

— (a-\-bi) e

a² + b²

= cos bx — i sin bx,

e(a-\-bi)x

a 4~ bi

e{a+bi)x

a -\- bi

a zatem szukane całki otrzymujemy także w postaci :

eax [2a cos bx -\- 2b sin bx]

a²Ą-b²

eax(2ai sin bx—2 bi cos bx) a*+W~

— bxi

cos bx.dx=

enx (a cos bx~\~b sin bx)

a² -f b²

+ C,

(!')

sin bxdx —

c"x (a sin bx — b cos bx) a² + W~

+ C,

(2')

mającej spółczynniki rzeczywiste.

ÎÎ. Obie całki powyższe wynikają, jak łatwo się przekonać, wprost z całki:

e(a+bi)x

a 4- bi

(a,Ą-bt)x

dx =

4- c.

Przedstawmy ją bowiem w postaci :

s-

(cos b x 4- i sin bx) dx =

enx (cos bx 4- i sin bx)

a 4- bi

4-0=

eax (a—bi) (cos bx 4- i sin bx) «241/72

a otrzymamy:

^ e"x cos bx dx -j- i ^ enx

sin bx. dx

eax (a cos bx-\-b sin bx)

a² 4- b²

1    • e

4- * -

ax

(« sin bx — b cos bx) «2 + b²

skąd, porównywając z osobna części rzeczywiste i urojone, dostajemy:

cos x . dx =

eax (a cos bx -\- b sin bx) _

a² 4~ b²

eax gin bx dx — -

enx (a sin bx—b cos bx)

a² 4- b²

4. Całki powyższe możemy zresztą wyznaczyć także wprost za pomocą metody całkowania przez części. Kładąc, mianowicie, w pierwszej całce :

cos bx = u , enx dx = dv , a zatem : du — — b sin bx . dx , v =

— eax,

w drugiej zaś :

•»

(IX

dx = dv, a zatem: du— bcos bx. dx, v —

eax,

otrzymujemy :

cos b x.dx = — eax cos bx Ą--f e

a    a J

1    J I*

— eax sin bx ---\ eax cos bx. dx,

a    a J

"X

sin bx. dr ,

sin bx . dx =

a stąd wzory powyżej otrzymane.

W podobny sposób, lub wprost z otrzymanych wzorów znajdziemy analogiczne wzory dla całek złożonych z funkcyj wykładniczych i hiperbolicznych , w postaci:

)CIX

J eax cos hip bx Ç eax sin hip bx

. dx =

eax (a cos hip bx — b sin hip bx)

(3)

. dx

eax (a sin hip bx — b cos hip bx) - a² -//²

(4)

5. Całki kształtu : f eax sin”¹«. dx i feax cosmx.dx , w których wykładnik m jest liczbą całkowitą, dodatnią, dają się sprowadzić do całek poprzedzających, skoro, na mocy

podstawień: sina: sin”⁴a; i cos”⁴ a?, według wzorów:

'“**), cos x =-^(exi-{• e~xt), rozłożymy ria dodajniki funkcye :

=n—i

sin²» x

2ln~

r=0

sin²« + i x

(-1)

n r=n

2²»

2    ^ (2 n t¹ ) sia(2»+l—2r) *

r=0

r—n—1

cos²» a:

IM

r=0

r=n

cos²»+! a:

= ₂2„ 2 0 C0S (2n+¹“2r) *•

Całki tego rodzaju dadzą się więc, przy całkowitym, dodatnim wykładniku m, zawsze wyznaczyć i wyrazić przez znane funkcye.

6. Stosując do powyższych całek metodę całkowania przez części, otrzymujemy dla pierwszej całki wzór :

ea*sinm x.dx =

— eax sin”' « —

■— f eax sinw -1aj cos x . dx, a J

a że, na podstawie tejże samej metody całkowania:

Ç eax sinm—1 a: cos a:. = — eaxsin”i—1 a; cos a:--— C eax[(m—ljsin"*⁻'²arcos²x — sinTO x\ dx,

J    o,    a J

przeto, podstawiając tę wartość w popi’zednim wzorze i zastępując cos²a: przez 1 — sin²a;, otrzymujemy :

^ eax sin"¹ x.

dx =

a : b-L

eax ginm x —

eax sin"⁴—¹ x cos x -\-

m (m—

W² f*

eaT sin”*—² x. dx — —₂ j

eax sin”* x. dx,

a stąd wzór redukcyjny:

^eax sin"¹ a;.

dx=

eax{a sina:—m cos a;sinm—¹ x)

m{m—1)

a¹-f- m

j* eax sinm—² x. dx.    (6)

Podobnie, otrzymamy wzór redukcyjny dla drugiej całki w postaci :

eax{a cos x -f- m sin a; cos"*—¹ x) a² -f- m²

jeax cosmx,dx

m(tn 1)

eax cos”⁴—² x. dx.

(6)

Otrzymane wzory prowadzą, przy parzystym wykładniku m, ostatecznie do całki: §eax dx = — eax, a przy nieparzystym wykładniku m, do całek 1) i 2) w postaci:

\-c, j

eaxcos x ,dx=

o² + 1

eax cos x . dx =

a sina: — cos a:

+ C.

- 226 —

Całki, kształtu: J

(>ax

eax

dx. Na podstawie wzorów: 5) i 6) otrzymamy także wzory redukcyjne dla całek tego kształtu. Przedewszystkiem, otrzymujemy z odwrócenia powyższych wzorów :

7.

sin™ x

dx i

COSm X

Je“* sin™

eax (a sin x—m cos x)sin™—¹ x

m (m—1)

m (m—1)

J e“* sin™ x . dx:

Je“* cos™—² x. dx

eax (a cos x -f- m sin x) cos™—¹ x

a² -j- m

m(m—1)

m(m—1)

e“*cos™x. dx,

a stąd, zastępując m—2 przez

otrzymujemy dotyczące wzory redukcyjne w postaci :

J.

sin™ x

e?x =—•

eax (a sin x -f- (m—2) cos x) a² -f- (m—2)²

(w—1) [m—2)sinm—¹ x

sin™—² x

dx ,

(7)

2)² Ç

(m—1) (m—2) J

eax (a cos x —(m—2) sin x)    a² -j- (w —

(m—l)(m—2) cos™—¹ x

przydatnej, gdy wykładnik m jest różny od 1 i 2.

p e“*

W przypadku m— 1, mamy całki, kształtu:    --dx i

nowe funkcye przestępne.

Dla m = 2, otrzymujemy całki, kształtu: J metody całkowania przez części, sprowadzają się do postaci:

enx

COS™ X

dx =—

eax

COS™—²

e“*

cos x

eax

sin² x

dx i

eax

cos²:»

- dx > (8)

dx , przedstawiające

dx, które, na podstawie

eax

sin² a:

J.

cos² x

dx = — e“* co tg x -J- a J eax co tg dx = eax tang x—aj eax tang x . dx ,

x. dx,

(9)

(10)

w których całki, kształtu : ^e“* tang x . dx i jeax cotang x . dx , tworzą znowu nowy rodzaj funkcyj przestęnych.

8. Całki, kształtu: Je“* tang™ x . dx i Je“*cot gmx.dx, w których wykładnik m jest liczbą całkowitą, dodatnią, dadzą się sprowadzić do całek, kształtu:

Je“* tang x. dx i Je“* cotg x . dx ,

w sposób następujący :

Połóżmy: tang™ x = tang™—² x(l -f~ tang² x)—tang™—²x, natenczas, otrzymujemy:

—--tang™—² x ,

cos²x    °

tang™ x = tang™ -² x .

czyli :

tang™ x =

1 d tang™—¹ x m— 1

dx

— tang™—² x ,

zatem :

J e“* tang™ x. dx

■    ^ Je“*, ^(tang™—ïx)— Je“* tang

a że, na podstawie metody całkowania przez części:

Je“* . d(tang™—¹ x) = e“* tang™—¹ x—aje“* tang™—¹ x ,dx, przeto, otrzymujemy ostatecznie wzór:

J e“* tang

podobnie, drugi wzór w postaci :

^e“* cotg

oba wzory przydatne, gdy 1.

™ x. dx

——e“*. tang™—¹ x--J e“* tang

™—¹ x. dx —

J e“* tang™—² x. dx f (11)

——- e“*.cotg™—¹ x -f-    a Je“* cotg™—¹ x .dx—

Je“* cotg™—²x. dx, (12)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

15

— 226 —

9. Uwagi o całkowaniu funkeyj złożonych, sprowadzającem się do całkowania funkcyj wymiernych. Jeżeli całka funkcyi, złożonej z funkcyi przestępnej f\x), da się za pomocą podstawienia f\x)=z, sprowadzić do całki funkcyi, wymiernej ze względu na nową zmienną z, w postaci: fR(z).dz, natenczas, rozkładając funkcyę wymierną R(z) na funkcyę całkowitą: G(z) i ułamki

A

częściowe, kształtu:-, względnie

5'M,4."s *

kształtu :

(z —a)

otrzymujemy całki częściowe

(z— a)r

-, którym odpowiadają całki funkcyj prze-

stępnych kształtu :

^f{x)n f' (x) dx

[fW\n+i

f' ( x ) dx

n -fi

f\x)—a

f‘ (x) dx

(13)

[f\x)—a\r

10. Jeżeli podstawienie: f(x)=z, zastosujemy w całce kształtu : Ji?[ f(x)]. dx, wprost do funkcyi R[f(x)\, stojącej pod znakiem całkowania, a wymiernej ze względu na funkcyę przestępną f{x), a tak otrzymaną funkcyę R(z), wymierną ze względu na nową zmienną z, rozłożymy na funkcyę całkowitą i ułamki częściowe, a więc na funkcyę kształtu :

zn

Ar

z — a ’ {z — a)r ’

natenczas otrzymamy analogiczne funkcyę częściowe, odpowiadające funkcyi przestępnej f(x), w postaci :

[A*)]"

Ar

f(x) — a¹ f f{x) — a]r ’

Dana całka, kształtu: fR[f(x)].dx przedstawia się tedy, jako suma całek częściowych kształtu:

J [f(x)]ndx, j

dx

/» —

-A

dx

[f(x)—a]r *

Te całki częściowe mają w przypadkach: f{x) = e?, sina:, sin hip a;,

kształt :

evx dx

r dx    r    dx

J eF— a ’ .)

(ex — a)r

sinwa;. dx

f., f

J sina;—a ’ .)

dx

(sina;—a)r

(14)

ijsin hip" a;. dx,

dx

aA

dx

sin hip x —

i dadzą się wyznaczyć bezpośrednio w poprzednich wykładach.

11. Uwaga o uogólnionej metodzie całkowania przez części. Metodę całkowania przez części, polegającą na wzorze: j*udv—uv—fvdu, możemy odpowiednio uogólnić.

Utwórzmy, w tym celu, dla dwu funkcyj u i v jednej zmiennej a;, wyrażenie Qn w postaci :

(sin hip a;—a)r na podstawie sposobów poznanych

dnv

du dn~X V dv ' dxn

czyli, w formie symbolicznej :

Qn=uv^ — u'v^-V +... + (—l)r «w v<-n~rî 4- ... + (—l)n W<*> V

dru dn~rv

dnu

•«I

o*

natenczas, po różniczkowaniu tego wzoru, przekonamy się, że:

dn+x v ,    . dn+r u

dx

dxn+1 v ' dxn+i

Wobec tego, otrzymujemy:

„ f dn+x v

a stąd , wzór :

d»+xu

dxn+i

dx+( — l)w ^

—(—iy J v

dx,

dn+i u d:c"+¹

dn+X v U -....... ,,

dxn+x

jako uogólniony wzór całkowania przez części.

Wzór ten sprowadza wyznaczanie całek, kształtu: fu.v(n^.dx do wyznaczania całek, kształtu:    . w⁽”+¹). dx , jest więc szczególnie wówczas przy

datny, gdy w iloczynie / (x). cp(x) dwu funkcyj , występującym pod znakiem całkowym, jedna z tych funkcyj jest pochodną wyższego rzędu pewnej znanej funkcyj.

Jako taką funkcyę możemy zawsze uważać funkcyę wykładniczą , a więc

dx=Qn

dx

(16)

eax

czynnik, kształtu: eax, jest on bowiem w-tą pochodną funkcyi v —

. Mając

enx

tedy wyznaczyć całkę, kształtu: feaxf(x).dx, połóżmy: f\x) = u a zatem :

dn+x u dxn+¹

= (*),

dv

eax

dnv

eax

dn+x v

dx

an ’ dxn

dxn+x

eax

natenczas, na podstawie uogólnionego wzoru całkowania przez części, otrzymuj emy :

[eaxf(x)dx=f(x) .

eax

pdx    pdx

- r (*)    +■ -+(-W>c*) -;TI -

(-1)”

an+l

j’eax f(n+i) (x). dx

czyli, wzór ogólny :

r    eax (

j eax f(x) dx=— y(x)

f‘{x)

+ ...4

(—1 )w/*(’•) (x)

(-l)n

on

an+¹

^eax f(n+i\x). dx, (17)

który wyznaczanie całki kształtu: feax f(x) .dx sprowadza do wyznaczania całki, kształtu: J eaxf^n+^x . dx. Jeżeli funkcya f\x) jest funkcyą całkowitą: G-(x) stopnia n-go, natenczas /("+¹)(#)=0, wzór (17) otrzymuje tedy kształt:

c    Pax I

jjeax G(x). dx=-- |ćr(o5)

G\x)

(_1)« Qln)(X)

an

j+ G.

Jeżeli f(x) = sinbx, natenczas: f\x)=b cos bx, f"(x)=—b²sm.bx. Kładąc tedy we wzorze (17) n— 1, otrzymujemy:

jeax sin bx .dx—^—^

sin bx —

— cos for)— a    )

b²

a²

Heax sin bx.dx

a stąd :

(a² + ó²) f eax sin bx. dx = enx (a sin bx—b cos bx)-\- C,

a podobnie :

(a²-t-ó²)/e”x cos bx. dx=eax\a cos bx-\-b sin bx\ 4- C.

12. Całki funkcyj, złożonych z fnnkcyj wykładniczych, goniometry-cznych i potęg zmiennej, kształtu: JF(x, cr, sinx,...).dx dadzą się, na podstawie przekształceń funkcyi, stojącej pod znakiem całkowania, sprowadzić ostatecznie do całek, kształtu: fF(x, ex)dx, względnie: JF(x, sinx)dx, lub tym podobnych.

Wyznaczanie tych całek zależy od rodzaju funkcyj F i da się tylko w nielicznych przypadkach przeprowadzić w formie skończonej, przy pomocy znanych funkcyj , nawet w tym razie , gdy funkcya F jest funkcyą wymierną ze względu na zmienną x i elementarną funkcyę przestępną ex, względnie sina:, lub t. p. Jako przykłady rozważymy takie całki, do których wyznaczania da się z korzyścią stosować metoda całkowania przez części.

13. falki kształtu:    e,,x cos bx. dx i Jxm eax sin b x. dx , stanowią szczególny

przypadek całek funkcyj , złożonych z funkcyj wykładniczych, goniometrycznych i potęg zmiennej. Dla całek powyższego kształtu możemy wyprowadzić odpowiednie wzory redukcyjne.

W tym celu, połóżmy w pierwszej calce: u = xm, dv — eax cos b x . dx, zatem:

eax (a cos bx -j- b sin bx)

du = m a;’"—¹ dx, v — Jeax cos bx . dx

w drugiej zaś :

u — xm , dv = eax sin bx ,dx, zatem : du — mxn—1 dx

v = j" enx sin bx

. dx—

eax (a sin bx — b cos bx)

a¹ Ó²

a otrzymamy odnośne wzory redukcyjne w postaciach:

^ xm earcos bx.dx

xm eax (a cos bx-\-b sin bx)

a²-l-ó²

x™ eax sin x, dx —

xm eax gin })X — b cos bx)

a² + b²

Jajm—1 e x cos bx Ą-b sin bx)dx, 133,71—1 e°x (a s^n bx— b cosbx) dx.

a² + ź»²

(18)

(19)

Na podstawie tych wzorów możemy te całki, przy dodatnim całkowitym wykładniku m, ostatecznie sprowadzić do całek kształtu: J er,xcos bx.dx i J e«* sin bx.dx, a tern samem zawsze wyznaczyć.

Przy ujemnym wykładniku m prowadzą te całki do nowych funkcyj przestępnych.

W tym celu pomnóżmy pierwszy z wzorów redukcyjnych przez a, drugi przez &, i odejmijmy je od siebie, a następnie pierwszy pomnóżmy przez ft, drugi przez a i dodajmy, a otrzymamy wzory :

m nx

m _ax

(a cos bx—b sin bx) dx = xm eax— m fxm 1 eax cos bx dx , (b cos bx + a sin bx) dx = xm eax— m fxm~¹ eax sin bx dx ,

fx

z których wynika, że :

m~i eax cos bx dx =

xmeax

— \xmé m J

(a cos bx—b sin bx) dx,

eax sin bx dx =

m Mx

x e

171

u.

m J

m .ax

(b cos bx -f- a sin bx) dx,

Podstawmy teraz —w, zamiast ?re, a otrzymamy:

eax m xm

(IX

e

mxm

cos bx dx

x">+1

sin bx dx

eax(a cos bx — b sin bx) dx

xm

1 f eax + m) —

(b cos bx -f- a sin bx) dx

a stąd :

ax

cos bx dx

eax

xm

sin bx dx

1

(m — 1) sc"*—i m— 1 J

eax

{a cos bx — b sin bx)dx

CCTO — 1

(20)

xm

(m—1) xm

hi

ax

(b cos b x -f- a sin bx) dx

xm 1

(21)

m —

Wzory (20) i (21) prowadzą nas w końcu do nowych, przestępnych funkcyj, określonych całkami, typu :

^ eax sin bx dx

<>

cos bx dx

Otrzymane całki możemy sprowadzić zresztą do logarytmu całkowego. Mamy bowiem :

eux (cos bx i i sin bx) dx

“Î

e(a±bi)xdx Li{e^a±bi)x)

skąd ostatecznie otrzymujemy :

^ eax cos bxdx

_ 1 ( Li (e(a+bi)x) 2 i a -f bi

_l( Li(e(a+bi)x) 2 i \ a bi

Li{e{a~bi)x) \ a—bi    j

Li(e(a-bi)*) a—bi

14.    Całki, kształtu: f(x—o)m eax cos bxdx, J(ar—o)m eax sin bxdx dadzą się do poprzed niego rodzaju sprowadzić za pomocą podstawienia: x—o = z, x=zAr o.

Otrzymujemy bowiem :

§(x—o)meax cos bx dx — eaa cos bo. f zm ea* cos bz dz — eaa s f(x — a)wear sin bx dx = eaa sin bo f zmeazcos bz dz + e

15.    Całki, kształtu : j G (x) eax cos bx. dx i § G (x) eax sin bx. dx, gdzie Gr{x) jest funkcyą całkowitą, wymierną, są ogólniejszą postacią całek powyższych z dodatnim wykładnikiem m. Odnośne wzory redukcyjne otrzymamy, na podstawie metody całkowania przez części, kładąc w pierwszej całce: u=G(x)e

^ eax sin bx dx

aa

in ba f zm eaz sin bz dz,    (22)

cos bo f zm eaz sin bz dz.

(28)

dv=cosx. dx, zatem:

w drugiej :

du=aG (x) eax dx + eax G‘(x) . dx

u=G(x) eax, dv=smbx dx

a więc:

du = a G(x) eax dx + G\x) eax dx, v=

~ sin bx, o

--V-COS bx. o

Otrzymamy tedy równania :

jew

eaxcos bx ,dx =

\G(x) eax

sin bx. dx= —

G (x) eax sin bx---( G{x)

^ G (x) eax cos bx+t^ G(x) eax cos bx.dx-\- ^ G'(x)eax cos bx.dx,

o' a

eax sin bx. dx--=

—^ G‘(x)eaxsin bx.dx,

z których wynikają wzory redukcyjne dla dwu szukanych całek w postaci:

acosbx 4-b sin bx

je W

eax cos bx .dx

a¹ -f- b²

G(x) enx

eax cos bx .dx —

eax sin bx. dx

(24)

J G {x) eax

sin bx. dx=

a sin bx—b cos bx

a² + b²

G (x) e“x +

a² 4- b²

je-w

eax cos bx.dx—

a²-\-b²\

eax sin bx . dx

(25)

- 230 —

sprowadzające dane całki ostatecznie do całek kształtu :

£ eax cos bx.dx i Je

16. Całki, kształtu: J'R(x)eaxcosl)x.dx i J‘R{x) eax sin bx. dx, gdzie JR(x) jest funkcyą ułamkową, wymierną, rozkładają się na sumę całek, typów:

eax sin bx dx (x—a)m ’

f xm eax cos bx dx , f xm eax sin bx dx

ax

. sin bx. dx.

ax cos bx dx

(x—a)m

i przedstawiają się w ten sposób w postaci sumy pewnej funkcyi algebraicznej , wymiernej , ze względu na zmienne : x, e

Çeaxcos bxdx eaxs\nbxdx J    x—a

a.v

cos bx, sinfoc, oraz

określających

skończonej ilości całek, kształtu :

nowe funkcye przestępne. Do tego wyniku dojdziemy, rozkładając funkcyę

Aa Ar

R(x) na część całkowitą : G{x) i na sumę ułamków prostych, typu: -—-,    _~ayi

stosując do pierwszej części całek wzory redukcyjne, podane w art. 15. str. 229., a w drugiej wzory redukcyjne, podane w art. 13. str. 228.

17.    Całki, kształtu: JIt(x, e®**,...ev, siliła?..., sinônæ, cosü^as

cosb„x)dx, względnie całki, kształtu:    sinhip ax x, ..., sinhip««#,

cos hip aix,..., coship«næ, sin    sin&„Æ, cos b^x,..., cos bnx)dx, w przy

padku, gdy i? jest funkcyą całkowitą, wymierną, ze względu na funkcye przestępne, w nawiasie podane, a ułamkową, co najwyżej, ze względu na zmienną x, dadzą się rozłożyć na sumę całek, typu:

J Ri (x) eax cos x dx , JR₂ (x) eax sin bx dx,

co możemy uskutecznić drogą odpowiedniego przekształcenia funkcyi złożonej , występującej pod znakiem całkowym.

18.    Całki funkcyj złożonych z funkcyj logarytmicznych i cyklometry-cznych, względnie hiperbolometrycznych, dadzą się niekiedy sprowadzić do całek złożonych w sposób poprzednio rozważany, jeżeli użyjemy podstawień, wprowadzających funkcye wykładnicze w miejsce funkcyj logarytmicznych, funkcye goniometryczne w miejsce funkcyj cyklometrycznych, a funkcye hiperboliczne w miejsce funkcyj hiperbolometrycznych.

Mając n. p. wyznaczyć całkę kształtu: feaT08inx dx, podstawmy:

arcsin x=8, zatem £=sin#, dx=cos8d8

a otrzymamy :

f e&Toainx dx = f ez cos 8 de

a że na podstawie wzoru (2') mamy :

ez (sin 8 + cos 8)

^e* cos 8 de

przeto otrzymujemy szukaną całkę w postaci :

e&TCBinx(x+\/ l—x*)

gare sin x

(26)

19. Uwagi o całkowaniu funkcyj mieszanych. Przypadki, w których całki funkcyj złożonych z funkcyj wykładniczych, względnie goniometry-cznych i hiperbolicznych i funkcyj logarytmicznych, względnie cyklometrycznych i hiperbolometrycznych w połączeniu, lub bez połączenia z funkcyami

- 231 -

algebraicznemi dadzą się wyznaczyć za nieliczne.

pomocą znanych funkcyj, są bardzo

Chcąc zbadać pod tym względem całkę, daną do wyznaczenia, należy przedewszystkiem rozważyć, czy funkcya złożona, stojąca pod znakiem całkowym, nie da się przekształcić na fnnkcye prostsze, a w szczególności rozłożyć na części, do którychby należało zastosować, bądź to metodę podstawienia, któraby całkowanie sprowadziła do całek zasadniczych, względnie do całkowania funkcyj wymiernych , bądź to metodę całkowania przez części, któraby daną całkę sprowadziła do całek możliwie najprostszego typu, przedstawiających ewentualnie nowy rodzaj funkcyj przestępnych.

20. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę, kształtu :

= J.

f cos (log x) ~p x cos x . log x J    x

Rozkładając funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania na dodajniki, otrzymujemy:

cos (log x)

J=l

dx    Jcos x. log x . dx.

dx

Pierwsza z tych całek sprowadza się. wskutek podstawienia: loga; = 2, — — dz, do

postaci :

cos (log a?) dx

cos z .dz — sin 2= sin (log x) ,

do drugiej możemy tylko zastosować metodę całkowania przez części. Kładąc, mianowicie:

lir

log x — u , cos x. dx = dv, a zatem : du — — , v — sin x ,

x

otrzymujemy :

. fsinæ gdzie:

j"cos x . log cc. dx — sin x. log x — dx = Si(x) jest nową funkcyą przestępną (sinusem całkowym).

dx,

Otrzymujemy zatem :

dx = sin (log x) sina?. log x — Si(x) + C.

cos (log x) + x cos x log x

2) Wyznaczyć całkę , kształtu :

J cos(a₁a; -f 4t) cos (a₂ x + 4₂) dx-

Przekształcając funkcyę, stojącą pod znakiem całkowym w sposób następujący:

cos^ai-p 4,) cos (o, aj -f 4.) cos^Oj + a%)a; + (4, -f 4,)] + ^ cos [(«j — a,) x -f (4t — 4₂)].

otrzymujemy daną całkę, w postaci :

j cos(ata;-p 4,) cos (a₂x-J- 4₂) dx = J cos[(aj Ą- a₂)x-\- (bl -f-4₂)] dx +

+ -2 )o°s[(a,—o,)x4 (», — 6₂)]<fe,

zatem dostajemy wzór:

(008(0,* + &,)eos («,*+ bt) dx = s™ K«.+ °0 * + («.+M , 8m[(o,-o,)«+Ą-jJ) ^    -J- a2)    2\al—#2)

W podobny sposób możemy wyprowadzić analogiczne wzory przy ilukolwiek czynnikach tego kształtu, występujących pod znakiem całkowym.

3) Wyznaczyć całkę: J= j

x² dx

(,x sin x -p cos a?)²

— 282 —

Celem wyznaczenia tej całki, użyjmy podstawienia :

a otrzymamy daną całkę w postaci:

x sin x -f- cos x — t, skąd dostajemy: x cos x. dx — dt

J cos a;

dt

Stosując do tak otrzymanej całki metodę całkowania przez części, połóżmy:

t dx

cos²as ’

cos x

du

cos x -4- x sin x _ dx

dt

a zatem:

cos² aj

= dv ,

a otrzymamy :

cos x

•-W*

cos‘a:

czyli :

cos x(as sin x -|- cos x) sin x — x cos x

+ tang x ,

x'ldx

(as sina: cos a:)² x sin x -j- cos x Do tego wyniku możemy dojść wprost, używając podstawienia: x—arc tang x — z,

a;² dx 1 -f- aj²

as sin x-\- cos x

z którego otrzymujemy: dx —

dx

1 -j- x²

= dz , czyli :

+ o.

= dz , następnie :

tang z =

tang x — x

sin as — as cos as

1 + as tang as

a stąd :

sina:—a:cos a?

zatem :

as sin as -f- cos as ’

(as sin as -\- cosas)² = (1 -f- as²) cos² z.

cos z

sin 2

= V/l+#²)

Dana całka przedstawia się, wskutek tego podstawienia, w postaci:

as² dx

(1 + as²) dz

(as sin as -f- cos as)²

(1 -j- as²)cos²z

tang z,

zatem, jak powyżej , otrzymujemy:

as² dx

sin as — x cos as

(as sin as-{-cos æ)² as sin as -j- cos as

-f c.

21. Metoda różniczkowania pod znakiem całkowym. Niech będzie daną całka w postaci: / <p{x, a)dx, gdzie a jest dowolną stałą, od zmiennej x niezależną. Funkcyą, tej całce odpowiadająca, będzie zarówno funkcyą zmiennej x, jakoteż funkcyą stałej dowolnej a. Połóżmy więc:

§cp(x, a)dx=F(x, a),

tedy będzie widocznie :

dF(x, a)

dx

(p{x, a).

Uważając stałą dowolną 05, jako zmienną, od x niezależną, zróżniczkujmy ostatnie równanie

ze

względu na a, a otrzymamy równanie:

d²F(x, a) dadx

które możemy napisać także w postaci :

d ( dF{x, a)

dx l da

dcp (#, a)

)=

da

dcp(x, 05)

do5

z której wypływa , że :

dF(x , a)

dcp (x, a)

da

da

. dx

a że :

przeto, otrzymujemy równanie:

F(x, o:) == g? (a?, 05 )dx

d <p(x, a)

da

Ær,

(27)

t. z. Mając zróżniczkować daną całkę, ze względu na pewną zmienną, znajdującą się pod znakiem całkowania , a od zmiennej całkowania niezależną, możemy wprost różniczkować funkcyę , stojącą pod znakiem całkowania.

Na tej podstawie, otrzymamy z wzoru:

F (æ, a) = § cp (x, a) dx,

wskutek w-krotnego różniczkowania tej funkcyi, ze względu na zmienną a, wzór ogólny :

dn F , a)

dn cp (x, a)

dan

dan

dx.

(28)

na mocy którego, możemy z danej całki, zawierającej pod znakiem całkowania dowolną, stałą , wyprowadzić dowolną ilość nowych całek.

22. Zastosowania:

1) Z całki zasadniczej : ^xn dx

xn+l

w której uważamy wykładnik n

podstawie prawidła różniczkowania tej całki

jako stałą dowolną względu na parametr n, otrzymamy całkę , kształtu :

na

ze

f .    ₇ d xn+1

\ xn log X . dx = -T- \-:——

J &    dn'n + 1

(n-\- l)xn+i logx—xn+s

xn+\

(w + 1)²

y|(M + l)loga;—1 J + 6¹

(*® + l)

ogólnie, dla całkowitego, dodatniego wykładnika m, całkę :

dm fxn+¹ )

dnm\n + il^

—, otrzymujemy tą drogą całkę:

Ci

6ax

-^{ax—l) + C,

^xn (log x)m dx=

2) Z całki zasadniczej : ^

₇ d I e xeaxdx=-=-{

i'

da

eax dx =

(IX

uxeax— eax

(29)

ogólnie, dla całkowitego, dodatniego wykładnika n, całkę

xn eax dx =

dn

K*}₊a

dan * a I

(30)

3) Z całek, kształtu:

eax cos bx. dx

eax sin bx. dx

eax (a cos bc-\- b sin bx)

a² + b²

eax (a sin bx— b cos bx)

«²4-Ô²

różniczkowanych w-krotnie podług parametru a dostajemy całki, kształtu :

[xn eax cos bx. dx= f / J    dan l

eax (a cos bx + b sin bx)

a² + b²

xn earsin bx . dx

dn

dan

eax (a sin bx—b cos bx) aY+b²

}+G.

(31)

4) Z całki, kształtu :

dr

a stąd, dla n—0, względnie, dla n=r

dnm całki :

{F(x, n)},

(32)

Jlog[f(x)]m .xf)(x)dx= \F(X, n)}j

j [/MT • l°g [/■(«)]" ■ V'faO -dx = J

n—rO

/ X,/

5T I F&>

dn

*)}] • ⁷ J;i=r

Oznaczmy ogólnie przez G{x) funkcyę całkowitą, wymierną, m-go stopnia G(x)=a₀ Ą-a^x-\-a^x²Ą-    ,

a przez : G f — (y)^ wyrażenie , kształtu :

a(iïn^)==a°y + ai dy

natenczas , na podstawie wzoru (32), otrzymujemy wzór ogólny :

dn

+ «2

d²y

dn²

dmy m dnm

\[f(x)]n & [log f(x)] tp (x) dx= G {F(x, »)}j

z którego wypływają wzory szczególne :

\ & [log f\x)}. -ip 0x) dx= J G(Jj^ [F(x, n)} j j ^[/‘(*)]r & [log/ (x)].tp(x)dx^G^~ {F{x,n)} j j

»=o

Ćwiczenia XIY.

»ł

²>J

_ eax a sin (m -f- n) x—(m + n) cos {m -f- n) x 2    a²-J- (w-j-n)²

^ 2

1    3

e~x (3 sin Sx—cos Sx) -f- — e~ x (sin x — cos x) C.

1 2 = jg e3x (3 sin x—2 cos x) sin * + gg e³* + O.

x . dx = ^ eix (sin x'-\- 2 cos x) cos x -f- ^ eix -j- C.

1 6

x . dx = — e2x (2 sin x— 3 cos x) sin² x -f- gg e2x (2 sin cc—cos x) -f- 6.

sjn maj cos . dx

e—cos³ x . dx =

3)    j e3x sin² x . dx = —

4)    ^e4a:cos²

5)    Je²* sin³

6)    Je⁶* cos³ a;. dx

7)    J/W-

⁸)    J/W-

eax. (Za;

y J/w

eax a sin (m—n) æ—(m—w) cos (m — n)x

a² +(m — »)

1 2 = jge⁶*(sina:-}-2cosa;)cos² x -f- e⁶*(sin a: -f 6 cos *)+ C.

/"W i /<fr>W

cos ax ,dx —

sin ax f

— L/w

a²

a⁴

-] +

. sin aa;. (Za;

sin ax Yf‘ {x) a L a

cos ax I" f'(x) a l a

/"'(*) , /(n(*)

a3 ' d" a5

cos aa; f

— L/w

///y (*) ,/(n(a;)

a³

a¹

a²

a⁴

— 235 —

9) a) j* /(x) cos hip

ax dx

sin hip ax

[/(*) 4

/"(«),

a²

cos hip ax

L-Ï⁻ + -W ⁺ ~IT ⁺ ••• 1

») )/(X) sin hip ax ix = - sinLjP-y 4.

/< >'>(*)

a³

cos hip ax 1

Ixo») +■

a²

a⁴

10) ("a; arc since .dx —

es

.a

GQ

4-

l4^| I-¹

V.

11) jx²

arc sin x. dx —

x³ arc sinx4~    (-g-#²4~-g-) V^ï—^

12) jx³ arc sin

x . dx =

-i- ce⁴ arc sin x -}- ~    x³4~    \/1—x²

to

£>■ H*

- arc since C. u . 4:

13) J(arc sin x)² dv— x(arc sin x)²-\-2\/1—x²arc sin x — 2.1 .x 4- G.

14) J (arc sin x)'sdx =x(arc sin ce)³ -f- 3\/1—cc²(arc sin cc)²—3.2 . xarc sin x —

-3.2.1 V/l-^²+ 0.

x carc tunS * dx x — 1 earc tan8 x

15)    )

16) )

H)P^-

log x . dx

(1 + x²)S/»

arc cotg x. dx

2    ' (1-f x²)¹/’

+ c.

(arc cotg x)² arc cotg x

log X -t~ 1

f <?•

18))

— log

log X . dx

2\/x³

V 1 + x²

2 (log x — 4) \/x + C.

19)

= 3 ( log x — c6)\/x    C.

2°))

dx

2!))

x log x . log (log x)

kg*

(1—3x)s

log (log *)

log X

8(1 —8x)

log [log (log x)] + C.

¹    i__    ³⁵

g log i_g x

+ C.

22))

23)    j*sin²wx .dx — ~—

24)    Jsin

2B) Jsin (oj x&i) • sin (a₂x-j-^2)    =

dx == logx . log (log x) — logx -f- C.

mx sin nx. dx

sin 2 m x

+ C.

sin(»i — n) x —    2 (m—n)

sin (»1+»)*

2 (m n)

sin [ (at — «2)x + M

2 (at — a,)

sin [ fa 4~ g2 ) x 4~    4~ ^2]

2 fa + «2)

oc\    r i r\ /    , , N ,    . ,w sin[fa +a₂ + a₃)x4-fa4fa4-&₃)] ,

26) j cos fax + b) cos(a₂x 4- 6,) cos fax 4* &₃) tfx =---4    4- a₂ 4~ o₃)~---h

sin [fa 4- «2 — «3)æ + fa + h — 63)]

4 fa +a₂ — «3)

sin [fa j—_a₂ + g₃)x 4- fa — &₂ 4~ M

4 fa— a₂ 4- «3)

sin [fa — a — g₃) x -f fa — &₂ — &₃)]

4 fa — «2—03)

4-6'

— 236 -

27) f

a -\-b tang x « -j- ß tang x

_ (g«-f b$)x

a²+ ß²

log ( a cos x 4- ß sin x) 4* C.

28)

x² dx

sm x — x cos x

(a; sin x -f- cos x)²

x sin x -4- cos x

+ C.

x²dx

(sin a; — x cos x)²

r- = C -

x sin x 4- cos x

sin x — x cos x

80) $■

bx²dx

[a (x sin x -f- cos x) -f- b ( sin x — x cos x)]²

x sin x -f- cos x

a{x sin x -j- cos x) -\- b (sin x — x cos x)

adx

SD j

Dowieść, że:

32)    ^ a;«-! (log x)n dx =

33)    ^ xn e—<*x dx = (—])»+!

[a [ax -(- b) tang x]

tang x

a-{-{ax -(- b) tangx

+ C.

dn

d a»

{*“} + «

dn

d an

4- C.

34)

dx

(a;² -j⁻ a)”+¹

(—l)w    dn

35) Jccw e«x sin mx

. dx =

dn

|eaa:(a sin

{yrarotang v7) + a

—} + o.

mx— m cos m

a² Ą- m'¹

86) j

xn e«xcos mx. dx —

dn leax (a cosmcc-t- m sin m x) 1 l    a² -j- m²    \

x

— cos a.x -{- C.

a

dan —= sin a x—

37) j

f    1    æ

88) J cc cos ax.dx= — cos a cc -J--sin ax 0.

x sin acc . dx =

a²

d I sin hip ax da \

A{

da l

} + C.

) + 0.

{ log [x — a)I +

leax[ a sin (a 4- ßa;)

V    a² -j- ß²

f eax [ß sin (a 4- ßas) 4"

\    a² 4“ ß²

39)    Ja? sin hip ax .dx =

40)    Ja? cos hip

⁴¹>j

42)    jxeax sin (a -f- ßa;) dx

43)    jxeax cos{* -j- ßx)dx —

44)    j sin x. sin {x -{■ a) cos (cc 4- a) dx =    ^

45)    J sin ax sin {ax 4- b) cos {ax 4- b) dx = ^ | ( ---

46)    J aj2m—1 sin {a -\-b x™) . cos («4^ xm) dx = —    ^ |C°S ^    4"

47)    j xm t sin {a 4~ bxm). cos (a 4" &*m) dx = —    |cos (a^-|-6a; ) j _j_ ^

1 d log \/ a² 4- x²

ax. dx —

cos hip a

dx

dn—1

(a; — tx)n

{n — 1) !

d a n—1

C.

— ß COS (a4-ß*)]

da

da

a cos

sin 2aa;

) + C.

(*±Jf)]_| + a

cos a--cos 2a; sin a| 4~ &

cos b — ~ cos2ax. sin èj- -J- C.

48) j

xdx

{a² 4- x²)² ' x dx

da

4- o.

1 d\/ a² 4- x²

(V a² + X²)²

da

60) j

sin² a; dx

(a -f- b cos xfl*

4 d j \/a -f- b cos x b db

61) J

dx

[₍*-a)² + ß²]²

62) j

68) j

(a;—a) dx

[(a;— a)² 4- ß²]²

d VI x x - a\ , „ j tj arc tang— J + C.

1 d arc tang ——-

2j-

2ß

doc

xdx

(a 4~ bxf'¹

. d [\/abxI , _

4 . — j ———I 4- C 54)

' db

r* xdx _ 9    d ( y/(a 4~ bx)⁴ 1

5<4 Ja?«cos ^aa;    — J dx —

55^

da*

dan

dx

(a -f- bx)²l'-'

da

+ c.

{^L)+a

58)

cosr xdx

dm~¹ F

(a 4" b cos a:)«*

(m—1) !    da'«-''—¹ d br

+ C, gdzie : F— J ^X

a-\- b cos a;’

69) J

da;

(—!)«-! d*-l <I> (»—!)!    da«-¹

+ c.

(a -}" óa; ca;²)« a;r dx

(a bx -1- ca;²)«

Podać zarówno szczególne, jak i ogólne całki , jakie , za pomocą metody różniczkowania pod znakiem, całkowym dadzą się wyprowadzić z następujących całek;

ax

--+ 0.

log a

cos (bx -f- ć) -\- C.

d«—1

dan~r 1 br

+ C.

61) Jóe"* da:=* — eax 4- C. 62) jaædx

63)    j a sin (bx -f- c)

64)    j a cos (bx -f- c). dx = sin (óa; -j— c) -f- O.

+ (7.    66) Jcos² aa;, da:

f* d OC    1

— tang ax -f- O. 68) \ -7—5— =— — cotg--f- (7.

a    ' J sin² ax    a    a

. dx — —

f . ,    , x sin2aa:

65) \ sin¹ ax . dx — —---

J    2 4a

67) J

cos²aa;

da;

69) j

71)    Jsinaa;

72)    j 78) j

74) j * 76) f *

cos hip²ax

= — tang hip ax -f- C. 70) \ a    v

. cos bx ,dx——

cos (a 4~ b) x

2 (a -j- ó)

a:

sin 2aa;

4Ö- +ß

sin ax. sin bx.dx=

cos ax .cos bx.dx

V/a² 4- a;²

V/a;²— a²

76)    j *

p da;

77)    \

a² — a:²

y/2 aa; — x²

sin (a—b) x

2 (a—b)

sin (a 4* b) x

2 (a 4~ b)

dx

sin hip ²ax

cos (a—b)x

2 (a—6)

+ C.

cotang hip aa; -|- t7.

sin (a -j- 6) a;

2 (a 4-i)

sin (a—b)x

2 (a—b)

4- C.

f C.

= log (x 4- V/a;² 4" a'¹) 4* C = arg sin hip — Ą- C.

— log (x -f Y/a:² — a²) 4~ C — arg cos hip — 4~ C.

~ log a JrX 4- C — — arg tang hip —4~ C.

«    Ja;V/2aa; —a²

= — arc sin --- 4“ C-

a    x

Y/a²— x'¹ -f-    arc sin — -f- C.

2    2    a

79)    jy/a²

80)    \/a² + a;²    \/«² +    log (cc -{- \/a² -f *²) + &

— x¹ dx =

V/ a:² — a²

1 . « — arc sin —

- + 0. x

y/ a² -\- x2 y/a² + a;²

łl0«

a-\- \/a² + a:²

f C,

a;

y/a:²-«²

y/x» — a²

= y/«2 4- *2 -« log

dx = y/a:² — a² —

=-arc sec

an

a +y/a² -+- a;²

a;

-f C.

•“ + C.

X

V5 + C.86) f- iX

a    ” x

a arc cos

y/a:re-f-a²

__ J_ io» y/«” +«²—«

°”    y/a:»-j-«²-«

Rozwiązania XIV. Wskazówki: 1) — 9). Przekształcenie i całkowanie przez części. 10) — 14). Podstawienie: arcsina;=2. 15) arc t gx = z. 16) arccot gx=z. 17) — 22) log x = z. 23) —26) przekształcenie funkcyi. 27) Podstawienie: a cos x + ßsinx = z 28)—31) x—arc tangx — z. Patrz : Nouvelles Annales de Mathématiques. T. 7. 1888 str. 191. 32)—40)

Metodą różniczkowania pod znakiem całkowym całek: Ja;«-! dx, fe~ax dx, J

/ eax sin mx .dx, / eax cos m x

/eaa;sin(a -j- ßac). 41)^^^. 42) jV*sin(a Ą-$x)dx. 43) Je'*3, cos (a + $x)dx. 44) Jsin a; sin(a;+

45) ^ sin ax. sin (ax -j- 5) dx. 46)—47) ^ æ"»—1 gin (a 4- bxm) dx. 48) ^

. 51)—52) J

Jcos ax dx. 69)—60) ⁽I> — j*

63)—64) Podług a, b i c. 65) —70) Podług a. 71) —73) Podług a i b. 74) —84) Podług a. 85)—86) Podług a, podług n, tudzież podług « i ».

60)j

sin x dx

y/«4-ô

sin a xdx,

co s a:

dx

x²4-a ’

,dx, / cos a dx, /sin eux dx, /cos hip aa: dx, /sin hip a x dx,

a)dx.

xdx

xdx

dx

(x — a)² 4- ß²

. 53)

dx

dx

y/a 4- bx

2-

49) j

. 54)—55) J y/ a 4- bx dx. 56)—57)

a² 4- x²

y/a² 4-a:²

61) Różn. podług a i J. 62) Podług a.

Literatura. H. Laurent. Traité d’analyse. Tome III. Calcul integral. Paris 1888. Serret-Harnack. Lehrhuch der Integralrechnung mit Unterstützung von H. Liebmann und E. Zermelo , herausgegehen von Dr. G. Bohlmann. Leipzig 1899. Benjamin Williamson. An elementary treatise on the integral calculus. London. 1875.

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Rozwinięcie całek . typu :

JB (x) eax cos bx dx , Jr (x) enx sin bx dx.

2. Rozwinięcie całek , typu :

/R (x) eax cos* bx sin* bx . dx.

3. Rozwinięcie całek , typu :

/R (x) sin hip“ ax cos hip^ ax sin* bx cos* bx dx.

Wykład XV.

¹

[ f ix)]n tp (x) dx=F(x , n)

otrzymujemy, na podstawie m-krotnego różniczkowania, wzór:

Całkowanie za pomocą szeregów.

1. Przedstawianie całki nieokreślonej danej funkcyi w postaci szeregu potęgowego. Główne zadanie rachunku całkowego polega na wyznaczaniu niewiadomej funkcyi F(x), której pochodną F‘(x) jest dana funkeya f(x).

Znając pochodną: F' (x)~ f‘(x), niewiadomej funkcyi F(x), możemy, za pomocą prawideł różniczkowania , wyznaczyć wszystkie pochodne wyższych rzędów: F"(x), F“‘(x),..., FW(x), tejże niewiadomej funkcyi F(x). Mianowicie, otrzymamy z danej pierwszej pochodnej: F \x)~ y'=f (x), kolejno następne pochodne w postaci :

F“(x)=y" =f‘(x), F‘“(x)=y“‘=/’"(r),..., FW (a:) = yW=/‘(n-¹) (x).

Przyjąwszy tedy pewne miejsce: x—a, możemy wyznaczyć nie tylko wartość danej pierwszej pochodnej F‘(x), lecz także wartość wszystkich następnych pochodnych tejże niewiadomej funkcyi F(x), w przyjętem miejscu x=a, w postaci :

Fl(x)=y‘a=f (ci), F"(x)=*ya'‘=f‘(a),FM(a)=yW=/'(»-¹)(a).

Znając wartości wszystkich pochodnych niewiadomej funkcyi F(x) w miejscu x, potrafilibyśmy już przedstawić wartość niewiadomej funkcyi F(x) w postaci szeregu, uporządkowanego podług potęg dwumianu (x—a), gdybyśmy znali jeszcze wartość F (a) tej funkcyi F(x) w miejscu x=a.

Niemając na wyznaczenie F (a) żadnych danych, połóżmy F(a) — C, gdzie C wyobraża stałą dowolną, natenczas otrzymamy, według szeregu Taylora (Tom I, str. 514) :

F‘(a)

F(x)=F(a)-\

1!

, sF"(x) (x—a)Ą gl⁻

(x—ay+... 4

F{n\a)

niewiadomą funkcyę F(x) w postaci :

że: F(x)—$f(x)dx, zatem, otrzymujemy:

ff(x).dx=C-(-

/»

(x-a)Ą

{x—a)² + ...+

Szeregowi temu odpowiada koło zbieżności o promieniu: r—lim.

n=oo|r ;w!

wzór, podający całkę nieokreśloną danej funkcyi f(x) w postaci szeregu potęgowego    (x—a), z jedną stałą dowolną ‘ C.

w którem z danej pierwszej pochodnej wyzûaczymy

Jeżeli miejscem tern wartości wszystkich następnych pochodnych, jest x—0, natenczas, otrzymamy według szeregu Maclaurina (Tom I. str. 515.) szukaną całkę w postaci :

^f\x).dx= C -f

m x+f'(o)

(2)

æ²+...4

xw + ...

t. j. w postaci szeregu potęgowego , uporządkowanego według potęg zmiennej

]w/>-²>(o)|

niezależnej x, bezwarunkowo zbieżnego w kole o promieniu: r = lim ,.(n_₁r, ₍ r

Każdy z tych szeregów jest elementem szukanej funkcyi analitycznej, (Tom I., str. 556), przedstawiającej całkę nieokreśloną ff(x).dx danej funkcyi f(x).

Danej funkcyi f (x) odpowiada zatem zawsze pewna funkcya F(x)f jako jej całka nieokreślona , którą możemy przedstawić w postaci szeregu potęgowego, skoro tylko istnieje pewne miejsce x=a, w którem dana funkcya f [x) i wszystkie jej pochodne otrzymują wartości skończone, t. z. dana funkcya sama jest funkcyą analityczną.

Każdej funkcyi analitycznej odpowiada zatem nowa funkcya analityczna z pewną stałą dowolną C₁ jako jej całka nieokreślona, a dla tej nowej funkcyi możemy zawsze znaleźć szereg potęgowy, jako jej element.

2. Mając w ten sposób przedstawić całkę funkcyi: /(«)=( 1 -f- x)n, otrzymujemy: f(o)=1, /'(0) = n, /"(o) = »(»-l), /W(o)=«(»-l)...(n-r-}-l), zatem szukaną całkę w postaci :

1!

2!

skoro

j(l -t- x)n dx = C+x+ (”) |² + (”) ** + ... + (r Z i) Xy + gdzie I * I < lł

a więc , w szczególności :

+    +    ^ + -+(-Dr 17T+..., gdzie: 1*1 <*»

, 1    1    3 z⁴ .

⁺ T • T ’ T ' T"- ⁺

1.1.3... (2r— 5) xr    , . i i ₁

+⁽- ly 2.4.6...(2r-i>; V + g4zle: I X I <¹

Dla funkcyi f(x) = x» , mamy :

f(l)=-1, f (1) — » , /" (1) = » (*-1),

/(r)(i) = n(n—1) ... (»—r + 1),

zatem :

j o» dx = (7 + ( » - 1)4- (*)

©^+-+0-1)^

gdzie I*—11 <C 1.

Podobnie, znajdziemy:

^ , x , x² , x³ .    . X» .

“⁰⁺ri⁺2i+ri⁺-“ ⁺ ii⁺~

_ X¹ Xi X⁶    ,    .    .. £C2r .

2l + 4l “ 67 + - ⁺    "(27ÔT + -

<j*3    a*5

= C+ X “3! ⁺ 51 “ -

3. Wyprowadzanie szcresów potęgowych danej całki za pomocą szeregów potęgowych funkcyi, stojącej pod znakiem całkowania. Szeregi potęgowe, odpowiadające całce danej funkcyi: ff(x)dx, otrzymać możemy wprost, całkując wyrazy szeregów' potęgowych, odpowiadających danej funkcyi f{x).

e r . dx

sin x . dx —

cos x. dx

a,2r-ł-l

(2r -f- 1) !

— 241 —

Skoro bowiem :

f(x)=f(a)+

/■'(«)

i,

f^{a)

(n—1)!

(x—a)w_1 + ...

względnie :

f(x)=f\o) +

1!

2!

(w—1) !

natenczas, całkując wyraz za wyrazem, otrzymujemy:

f\a) (x—a)² , /‘"(a) (%—a)³ ,    , /’(n~l) (a) (a:—a)”

"TT 2

j/X») dx = C+f(a)

^f(x).dx=*=C+f(o). a;d

względnie :

czyli, wzory :

^f(x). dx=C-{

f(«)

• #4

2!

"(•»-!)!

f‘(o) x²    /'" (o) a:³

1!    2 ^    2!    3

/'(n_1) (o)

(w— 1) ! w

n«)

{x—a) + —g ,

(x—a)²    (a:-«)³ + .. +

(a?—a)n-j- •••

/'(o)

/‘"(O) „.3

/•C—(o)

3!

zgodne z wzorami 1) i 2), powyżej otrzymanemi.

4. Całki szeregów potęgowych i ich zakresy zbieżności. Szereg potęgowy: <$(x)=a₀-\-aix-\-a₂x²-\-...+an xnĄ-... jest, jak wiemy, (patrz T. I. str. 553), wewnątrz swego koła zbieżności, funkcyą ciągłą zmiennej x. Promień r tego koła, otrzymujemy z warunku bezwarunkowej zbieżności tego szeregu:

(3)

lim

\anxn\

71—oo

«n-i a;”“¹!

< 1, czyli : | x j O lim

I dn—1

w postaci : r— lim

dn—1

71 =

n=<.

Stosując do danego szeregu prawidło całkowania sumy, otrzymujemy nowy szereg potęgowy :

^i(x)=$%{x).dx==C-\-aQx-\-a±x'i + ^³ + -+^1 x* 4

-”Ta:n+¹ + ... (4)

który jest szeregiem bezwarunkowo i jednostajnie zbieżnym dla wartości zmiennej x, czyniących zadość nierówności :

•* <x> czyli:

n-\-1

lim

n=cc

n £=oo

a więc:

q»-i|

r=oc

Otrzymany szereg: f^S(a:).dx—^^t

ar-\

r\

xr ma więc koło zbieżności o pro-

mieniu :

(ln—1

czyli: Q=r.

A zatem: Szereg $y${x)dx, otrzymany przez całkowanie danego szeregu potęgowego, jest także szeregiem bezwarunkowo i jednostajnie zbieżnym i ma ten sam zakres zbieżności, co dany szereg 9$ (x).

q= lim

71 =

oo I dn I

Dr. Dziwiński. Wyki. matem. I. ïom II.

16

5. Funkcye, określone szeregami funkcyj elementarnych. Szereg funkcyj elementarnych:

nazywamy szeregiem bezwarunkowo zbieżnym dla pewnej wartości zmiennej cc, jeżeli, dla tej wartości zmiennej a;, da się wyznaczyć taka wskazówka », że, od niej począwszy, reszta : Rn=fn(x)-\-fn+i(x)-\-..., bezwzględnie wzięta, jest mniejszą od dowolnie przyjętej, dostatecznie małej liczby s. Jeżeli ten warunek zachodzi w pewnym zakresie zbieżności od a do i, a reszta Rn (i wszystkie następne Rn-\-\,...) jest, dla każdej wartości x w tym zakresie, przy tern samem », mniejsza od e, natenczas, powiadamy, że dany szereg funkcyj jest w tym zakresie szeregiem jednostajnie zbieżnym. Warunkiem jednostajnej zbieżności szeregu :

/iO) + fi 0*0 + ••• +/» (») +

f\ (x) + fi 0*0 + ••• + /» (x) + •••

jest, w danym zakresie, zbieżność szeregu, utworzonego z liczebnie największych wartości, jakie poszczególne wyrazy tego szeregu w tym zakresie otrzymują. Tak n. p. szereg:

cosec cos2cc    cos3cc    cos 4cc

2] 8l 4T

-b ... jest, dla wszelkiej rzeczywistej wartości x, szeregiem

jednostajnie zbieżnym , gdyż szereg, utworzony z bezwzględnie wziętych , liczebnie największych wartości poszczególnych wyrazów tego szeregu, przedstawiający się w postaci:

1111

— + g ; + §1'    4I "ł~ ••• Jest szeregiem bezwarunkowo zbieżnym.

Szereg jednostajnie zbieżny, w pewnym zakresie od a do b, przedstawia w tym zakresie funkcyą ciągłą : f(x)=f (x) -j-/₂ (*) + ... -f fn 0x) + ...

Kładąc, bowiem f(x)= Sn-1 0*0 + Rn(x), gdzie in-i(aj) przedstawia sumę pierwszych (n—1) wyrazów tego szeregu, a Rn{x) jego resztę, otrzymujemy:

\f{xĄ- a)—f(x) I = I Sn—1 (x -f- a) — Sn— 1 (a:) | + | Rn (x -j- a) — Rn{x) |.

Z powodu jednostajnej zbieżności danego szeregu w zakresie od a do b, możemy n zawsze tak obrać, że będzie:

| Rn {x + «) — Rn (X) I <d -g- )

gdzie e jest dowolnie małą liczbą ; z powodu ciągłości poszczególnych funkcyj : f\(x), /₂(x),..., fn(x),..., tego szeregu możemy, dalej, a tak dobrać, że będzie:

I Sn—1 {x + a)—Sn—i (x)\ <-i- E ,

da się więc, dla każdego e, takie a wyznaczyć, że będzie: \f(x-\-a)—f(x)\<^t, co właśnie jest cechą ciągłości funkcyi /(*), określonej sumą nieskończenie wielu funkcyj elementarnych , w postaci :

/(®) =/i (*) 4* fi 0*0 + ••• +/»0*0 + ••

(5)

6. Pocliodna szeregu funkcyj elementarnych. Utwórzmy teraz z danego szeregu: /1 (*)    (*) + .••+/* (*) +." szereg funkcyj pochodnych poszczególnych funkcyj tego sze

regu, t. j. szereg pochodnych :

/' 1 0*0 -\-f'i (x) + ••• +/'* 0*0 + •••

to szereg ten może być w ogóle szeregiem zbieżnym tylko wówczas , gdy będzie :

lim f‘n 0*0 = 0.

n = co

Jeżeli ten szereg jest zarazem, w pewnym zakresie zbieżności od a do b, szeregiem jednostajnie zbieżnym, natenczas przedstawia on w tym zakresie nową funkcyę «(*), która jest pochodną funkcyi f(x).

Funkcya pochodna /' (x) funkcyi : f(x) == /j (x) -J- /₂ (x) -f- ... -f- fn (x) -f-wiem, jako granica stosunku różnicowego:

wyraża się bo-

f{x + Aa?) —f(x) _ ffx-j- \x) — fi(x)    fn-1 (x -b Aa?)—/w—1 (a?)    Rn(x ~b Aa:) — i^Qs)

\cc    ¹ "    A    "    Acc    ^

jeżeli zatem szereg pochodny: f\(x) 4- f\ 0*0 + — +//»0*0 + — jest jednostajnie zbieżny,

Rn{x-b Ax)—Rn (x)

natenczas można takie n wyznaczyć, że reszta: -

Ace

, będzie mniejszą od

dowolnie małej liczby s, otrzymujemy zatem, wówczas dla: Ace = 0, równość:

/' 0*0=/i \x) -b/'₂ 0*0 -b — + /'» 0*0 + ...

(6)

stajnie zbieżnym, natenczas przedstawia on w tym zakresie pochodną funkcyi, danym szeregiem określonej.

7. Całka szeregu funkcyj elementarnych. Utwórzmy z szeregu :

/(*)=/l (*) + fi (*) + ••• + fn O) + ...

jednostajnie zbieżnego w pewnym zakresie zbieżności , szereg funkcyj całkowych :

J/i(*)dx + //>(*) dx + - + ff” (x) dx + -

to zauważymy najpierw, że pochodną tego szeregu jest funkcya:

/(*) =/i (*) +Â (x) + - +/* (*) + -

określona szeregiem jednostajnie zbieżnym w swym zakresie zbieżności, z czego wynika wprost, że, powyżej utworzony szereg funkcyj całkowych jest całką danej funkcyi. Możemy zatem w danych warunkach napisać:

f f(x)dx=C-{-ffl(x)dx -}- J/2O) dx + ... 4Sfn (x)dx-f...

(7)

A zatem : Szereg całek funkcyj elementarnych , utworzony z danego szeregu funkcyj elementarnych, jednostajnie zbieżnego w pewnym zakresie zbieżności , przedstawia w tym zakresie całkę funkcyi, danym szeregiem określonej.

8. Szereg utworzony z potęg funkcyi elementarnej /(x) w postaci :

«0 + «i/0*0 + «2 [/O»)]² + - + «»[/(*) ]n + -

jest szczególnym przypadkiem szeregu, utworzonego z nieskończenie wielu różnych funkcyj elementarnych i sprowadza się, wskutek podstawienia : f(x)— z, do zwykłego szeregu

potęgowego :

$ß (*) = a₀ -}- a, z + o₂ 2:2    ...4-0» zn-\-...

Do niego stosują się zatem następujące twierdzenia:

1)    Szereg: «0 + «i/(*) + «2 [/0*0]² +    + «» [/(*)]* + ••• przedstawia w swym zakresie

zbieżności pewną funkcyą ciągłą.

2)    Szereg pochodny : o,/' (x) + 2a₂f(x).f' (*)+    [/(»)]*/'(*) + ••■ +^«n /(*)]" _1//(«)f-

który możemy także napisać w postaci :

/'(*) {«1 + ²«2 f(X) + 3«3 [ /0*0]² +••• +

nan

przedstawia, w swym zakresie zbieżności, również funkcyę ciągłą, która jest pochodną funkcyi, pierwotnym szeregiem określonej.

3) Szereg całkowy: C Ą- aQx -J- a, f f(x)dx -f- a₂ J[ f(x)]² dx -f ... -j- an /[/(#)]” dx -f-przedstawia, w swym zakresie zbieżności, całkę funkcyi, danym szeregiem określonej.

9. Całkowanie funkcyj, określonych szeregami potęgowymi. Na podstawie powyższych wywodów, możemy do danych szeregów potęgowych, wewnątrz ich zakresu zbieżności, stosować zawsze prawidło całkowania, a otrzymamy nowy szereg, który jest całką danego szeregu.'

Tym sposobem możemy wyznaczać także całki takich funkcyj analitycznych, które są określone wyłącznie zapomocą swych szeregów potęgowych.

Jeżeli, mianowicie, dana funkcya jest określona szeregiem: f(x)=a₀ -\-a{x-\-a₂æ²-f ... + a„Æn +.

(In—1

(8)

bezwarunkowo zbieżnym dla | x \ ■<

względnie, szeregiem :

«» r

f {x)=\ + bi (x—d) 4-b₂(x—a)² +... + bn (x—a)n+...

I bn—1

(9)

bezwarunkowo zbieżnym dla | x—a j <; się , w postaci szeregu :

natenczas jej całka przedstawia

+ + —¹

o    n

^f{%) dx=*C+b₀ (x—a) + ~ (x — a)² + ^-(x—a,y+... J

względnie, w postaci szeregu :

xn+...

(80

bn—

244

które są szeregami bezwarunkowo i jednostajnie zbieżnymi w tym samym zakresie , co ich. szeregi pochodne.

10. Zastosowanie prawidła całkowania szeregów potęgowych do rozwijania fnnkcyj na szeregi. Prawidło całkowania szeregów potęgowych, możemy przedewszystkiem zastosować do tego, aby wyprowadzić rozwinięcia funkcyj, występujących, jako całki danych funkcyj.

Poznamy to na przykładach.

1) Wiemy, że: ^

Z szeregu potęgowego :

--= 1—x+x²—x³-\~.

1 + X

bezwarunkowo zbieżnego, dla |a?|<Cl, otrzymujemy, po scałkowaniu szereg:

~ Xth xz xx ,

C+x-2⁺ä~ 4⁺-

Przeniósłszy stałe dowolne na jedną stronę, otrzymujemy zatem:

x² x3 2 ⁺ 3

log (1 + x) =C+x—

— ^ -f...

Ponieważ log 1=0, a z powyższej równości, dla £ = 0, otrzymujemy ]ogl = C, zatem jest (7=0, a więc, otrzymujemy znany szereg logarytmiczny:

/v2    (Y*3    /y» 4

.    .    .    %A'    JU    Us

log (1 + X) =x — -g -h o — -J +...

arcsin x-\-C.

Na podstawie dwumianu Newtona :

1 , 1 ,

——==1+— x²+

Vl—x² 2

otrzymujemy szereg całkowy :

5 *

— ^⁴+ 2*4"!ra?6+”,l gdzie

2.4

2.4.6

• ₇+-

zatem :

n 1 x³ 1 . arcsin*-C₊*+T¥+^₇

co

1.3.5

2.4.6

•<]

stąd, gdy arcsinz=0, wypada, dla æ=0, zarazem (7=0, a więc, znany szereg:

1    x³ 1. x⁵

2    3⁺2.4 5

arc sin x—x+

co

nr +

1.3.5    x¹

2.4.6    7

ważny, dla ( x | < 1.

*>!" "

Z szeregu potęgowego :

1 -\-x²

= arc tang x+C.

l + x²

wypływa szereg całkowy :

1—æ²4-æ⁴—z⁶+..., ważnego, gdy |a? | <; 1

5*

1+*²

/Y» 3

Xb    X⁷

3 ⁺ 5 “ 7 ⁺ *"

a stąd :

3    SJQ 5

arc tang æ=6'+æ— — -J- — —

gdzie (7=0, skoro arc tang #=0, zatem szereg:

/jj3 /jj5

arc tang æ=æ--^

O O

log(z + Y/l + æ²)-f 6ł,

= arg sin hip x -j- C.

it "T***

y + ..., ważny, dla |æ|<;1

4)

r ____

j\/l + a:²

Z szeregu :

1-

V/l + a:a otrzymujemy nowy szereg:

¹ 2 , !.3

T* ⁺äT4*'

1.8.5

2.4.6

a:⁶+..., gdzie | a; | <11,

r *5_

j\/l+ æ²

C\x —

1-H

. 3 a;⁵    1.8.5 ï⁷

3"⁺ 74 5 — 2.4.6 7

to i-*

T 4* •••

a stąd, rozwinięcie :

i    n    • n •    1 a;³ , 1.8®« 1.3.5 a:⁷

log (x I⁻ V/1+æ² ) = arg sm hip x=x — -3 + 27ib~~lTÂ76 7

ważne dla x <C 1.

5) 5*

Z szeregu :

1—a;²

7°g

l+x

1 —a:

1—

otrzymujemy nowy szereg:

5“

{- (7= arc tang hip x +C.

—s=1 + a:²+a:⁴+ ...

-x²

/y» 3 /y 5

(7 -f a;+ -g + -g+ —

, a:³ x⁵

⁼*⁺3⁺ 5⁺’

7t l~ * •*

a stąd rozwinięcie :

arg tang hip x=— log

11.    Całki funkcyj, nie dające się wyrazić przez funkeye elementarne,

Całkowanie zapomocą szeregów potęgowych, ma dla szeregów ważne zastosowanie przy całkowaniu tych funkcyj, których całki nie dadzą się wyrazić przez znane funkeye elementarne. W tym celu, należy funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania, lub przynajmniej jeden z jej czynników rozwinąć na szereg bezwarunkowo i jednostajnie zbieżny, w szczególności, na szereg potęgowy, a następne wyrazy otrzymanego szeregu poddać całkowaniu.

Przejdźmy po kolei główniejsze całki, poznane w poprzednich wykładach, nie dające się wyrazić przez znane funkeye elementarne.

12.    Całki dwumienne Eulera. Między całkami funkcyj algebraicznych wymiernych, nie natrafiliśmy na takie całki, gdyż całki wszelkich funkcyj wymiernych dadzą się zawsze wyrazić przez inne funkeye wymierne i przez funkeye logarytmiczne, względnie cyklometryczne.

Między całkami funkcyj niewymiernych, napotkaliśmy, przedewszyst-kiem, całki dwumienne: fxm (axn-j-l/)pdx, które, ostatecznie, sprowadzają się do

postaci: Jp> v =*fxP (1 -f x)** dx, gdzie p i ą są liczbami, między —^ ¹ + 2"

zawartemi, dającej się wyrazić przez znane funkeye tylko w przypadku, gdy suma wykładników: p-\-q, jest liczbą całkowitą nych przypadkach do nowego rodzaju funkcyj przestępnych , zwanych całkami Eulera.

ważne , gdy | x | <C 1.

prowadzącej w in-

Całki dwumienne Eulera dadzą się przedstawić w postaci szeregów. W tym celu, piszemy :

(!)

a więc :

{i+(î)*⁺6)æî+-⁺

Xp {l-\-x)* = Xp

skąd, dostajemy szukaną całkę Eulera, w postaci:

(1 -j-#)⁹ <ftc =

xp+\

f...+

xn

pĄ-n-{-l

która, wobec tego, że szereg, zawarty w nawiasie jest dla jas|<Cl bezwarunkowo i jednostajnie zbieżny, nadaje się do wyznaczenia wartości niewiadomej funkcyi dla wszelkich wartości zmiennej niezależnej x w granicach: 0<C|#|<Cl, t. z. dla wszelkiej wartości zmiennej x, których wartości bezwzględne znajdują się między 0 a 1.

13. Celem rozwinięcia całki dwumiennej Eulera, w postaci szeregu, który byłby zbieżny w zakresie: 1< | x | < oo, rozwińmy funkcyę (l-\-x)i, występującą pod znakiem całkowym, na szereg potęgowy, postępujący według ujemnych potęg zmiennej x. W tym celu, napiszemy:

(1 +    = xi (l + (?)*-<+ (1)    + (1) *-³ + •••},

skąd, otrzymujemy :

xp( 1 + *)?=^+?+    (|)*p+î-²-f (§)*P+9-³-f ...

zatem, rozwinięcie całki dwumiennej Eulera w postaci szeregu :

x~ i

o?—²

zbieżnego w granicach : 1 < | x | co .

Aby rozstrzygnąć sprawę obliczania wartości danej całki dwumiennej Eulera w przypadku |*|=1, zauważymy, przedewszystkiem , że oba wzory powyższe (10) i (10') będą także w przypadku | * | = 1 przydatne , gdy szeregi :

ł-(i)

P + g—1

b - + (n)

05—«

P+g+1—

P+ 1

V/ p+ 2

bO«

pT3 + + Ö)

+ - + («)

p-\-q — l

będą zbieżne.

Dla pierwszego z tych szeregów mamy stosunek:

Mn-I-I

Mn

C4-i)(p+”~l~¹⁾

(»)(p+»+²)

p-P» + l

P + g-w+1

(g — ») (p -P n -P 1) (* + l)(p+n + 2) ’

a dla drugiego :

Mn-fl

C+i)(y+ł~M+1)

(g- ?0(P + g — n+ 1)

un

(w) (p + q-n)

(m + 1) (p+2 —»)

zatem, w obydwu razach, lim I -1

n=oo I

== 1, a więc są to przypadki wątpliwe.

Aby go rostrzygnąć, zastosujmy kryteryum Raabe’go (T. I. str. 637.), według którego szereg: m, + m₂ -j- ... + un -p ... jest zbieżny, skoro, od pewnego n począwszy, jest stale:

^/'l_Mn+i\    ^ a r^>i₎ czyli, gdy lim mTi —    ^ 1.

V tlfl /    OO '    /

Un

247

Un+1 Un '

czynnik n—q, zamiast q — n, otrzymujemy, w pierwszym szeregu:

Ponieważ chodzi tu o bezwzględną wartość stosunku

przeto, biorąc w ilorazach

J₁ Un+'\-nU (*-a)(p+**+i)i_

V Un '    \    (n -J- 1) (p -f- » + 2) 1

a więc : lim nil — —= lim n\ 1

n=<x>    '    Un J n—<x

1-f

P — 2 + 1 (P + 1) 2

w²

• = 2 + 2,

14

a tak samo w drugim :

w(l —

Un+\

)-„h - - (n~g) (”- p-g ■-~X)U w

/    \    (n + 1) (»—p—q) I

, 6-1)

1--:-—-:-:-:- >

a więc, także: lim w ll

71=00    '

n+l y__ Un / '

1 _ P + n _ 2(P + 2 + l)v ₁    n    n²

“T4

=2+ 2.

lim »

77 — GO

Oba rozwinięcia: (10) i (10') nadają się więc do obliczenia całki dwumiennej Eulera, także dla |x| =1, skoro spełnia się warunek q 4~2>1, t. j. skoro q-\- 1>0, co zawsze nastąpi, gdy całka dwumienna Eulera sprowadzoną została do takiej postaci, że w niej wykładniki p iq zawarte są w granicach : —^ i 4-b Oba rozwinięcia: (10) i (10') są zatem także dla | x | = 1 przydatne.

14. Główniejsze całki funkcyj przestępnych, nie dające się wyrazić przez funkcye elementarne. Między całkami funkcyj przestępnych, nie dających się wyrazić przez funkcye elementarne, napotkaliśmy przedewszystkiem całki, kształtu: Js> k= f sins x cosk x dx , w których wykładniki s i Tc leżą między granicami — 1 i 4-1. Całki te sprowadzają się, ostatecznie, zapomocą metody podstawienia, do całek Eulera: fxP(l—-x^dx, o których mówiliśmy już powyżej. Z pośród całek innych funkcyj przestępnych, nie dających się wyrazić przez funkcye elementarne, napotkaliśmy między innemi następujące:

c g*

1) \-—dx = Li (e*)+ C. [Logarytm całkowy funkcyi ex. Patrz str. 176.

J 00

art. 9.]. Z szeregu potęgowego :

ri¹

H , X , X¹ X³ '    , xn

eI=1+n⁺ 2!+8T⁺-⁺^

bezwarunkowo i bezustannie zbieżnego , otrzymujemy, dla wszelkich skończonych wartości zmiennej x, rozwinięcie :

ex 1    x x²

^ ⁼ ¥ + 1+2l⁺8!

+ ..■4

+ •••

• I •••

n\

przedstawiające funkcyę, znajdującą się pod znakiem całkowym, która, dla wszelkich wartości x skończonych, a różnych od zera, otrzymuje wartość skończoną. Z wyłączeniem miejsca æ=0, otrzymujemy tedy, dla wszelkiego skończonego x, na podstawie prawidła całkowania szeregów, rozwinięcie :

¹ , ¹ *³ , .

21    2    * ßi 0 T••• i*

f ex

\ — dx=CĄ-logx +# + «/ 00

1 Xn

n ! n

(11)

a więc: x=\og z, dx=

* I S'

i zastępując na-

Podstawiając w niem : ex=z

stępnie z przez x, otrzymujemy rozwinięcie logarytmu całkowego zmiennej x₎

w postaci : r '

logo;

— 248 —

C + log(loga;) + loga;+ gt-g

1 (logx)² l 1 (logo:)³

3l 3

1 (log x)n

f... (12)

log (1 +#)

dx. [Patrz str. 180. art. 16.] Mamy tu, dla j a:| <; 1, szereg:

log (l-f x)—x —

wskutek tego, szereg potęgowy :

x²    x''

2"^" 3

rf> 3

|+-+(-D

^l°⁶⁽l⁺»)_ dx=C+ x - p+ f] - p+...+(-l) zbieżnego, jeżeli | x | < 1.

log (1 -f-x)    ₁    X f X²

X    ¹    2 ⁺ 3

który prowadzi do rozwinięcia :

Jeżeli |a?|>l, połóżmy:

zatem :

»-i

xn~i

...,

xn

9~r •••

nL

log (1 +x)=log [z (X +^r) ] = loS *+loS

log (1 +#)=log#+ —

i JL+

4 * x^"’¹

a otrzymamy :

log (1 X) _loga:    1    1111

x    x²    2 «C³    3 a;⁴

—JT • —r + •••

4 X⁶

-|-(loga:)²+C', dostajemy:

...+(—1)» -i-

w²a;B

i’

J a:

flog(l+a:)    1    ₂    11    11

^-dx~C +2"(loga?)    + 2V “W3 + 4¥

szereg zbieżny, skoro |a:|>l.

3) \£î^-a?c7a;=$2(a;)+O. [Sinus całkowy zmiennej a:, patrz str. 190. art. 8.]. «J &

skąd , ze względu na to , że :

ćńc=

¥~ (13)

Mamy tu szereg bezwarunkowo i bezustannie zbieżny :

a:²”*¹

smÆ=

rf> •»    /y» 5    rtf' 7

(2w+l)!    ”

zatem, dla wszelkiego skończonego x, otrzymujemy: sina:    a;²    a:⁴

~x~=1_"3T⁺6l”7!

x2n

a stąd :

(2»+l)! _r‘”

i_ Jl ?!_ ¹ — _{_ _p (—i)n -—i---------

3! 3^5! 5    7! 7^    } (2»+l)! 2« + l

CCOS 00

4) \-dx=Ci{x)-\- C, [cosinus całkowy zmiennej a?].

J 00

Psin

x

= C-f-a:—

/p2n+l

f... (14)

Mamy tu, dla wszelkiego skończonego x, szereg :

/y* 2 /y» 4    /y» 6

cos*-l-2, + Jj - gj +... + (—1)”

x2n

(2n) •

z którego dostajemy :

COS X 1

X²

nt* 5    /y»

* ” 2l ⁺ 4!“ 6! ⁺"‘ +    1)W ~

ln—1

(2n) !

+ ».

zatem rozwinięcie : fcos x J x

(2 r*) ! 2n

K—h •••

5)^——^^-^<Zaj==jH/S'?‘(aî)+ C. Hiperboliczny sinus

(Patrz str. 212. art. 17.).

Mamy szereg bezwarunkowo i bezustannie zbieżny (patrz Tom I. str. 596.), w postaci:

całkowy zmiennej x.

X⁵

+ E-. + ...+

ß2n+l

5!

(2n + l)r‘”

z którego dostajemy szereg:

sin hip x

%2    /g4    j>2n

¹⁺Bi‘ł‘6!+,“⁺(2«+l)!

b...

zatem rozwinięcie :

fsmhip*    1 *3

J *    <tó“⁽'+*+8!

/^2ra*f 1

(2w-f 1) ! 2n + l "

ważne dla wszelkiego skończonego x. fcos hip#

' J x

dx=HCi{x)-\-C. Hiperboliczny cosinus całkowy zmiennej x.

(Patrz str. 212. art. 17.].

Mamy tu również szereg bezwarunkowo i bezustannie zbieżny :

/£ 4

cos bip x=l+^+ £j + ...4

x2n

(2w)

z którego dostajemy szereg:

coship#    x x³ xu~¹

~i-⁼: ■⁺2T⁺4!⁺-⁺(M!⁺-

zatem rozwinięcie :

fcoship# _    _    .

\-±—dx= C+\ogx+

«/ 00

1 X² 1 xi 2! 2

" ⁺ 4! 4⁺-"ł

1 x2n

(2n)\ 2w^"’

ważne dla wszelkich skończonych wartości zmiennej x.

15. Całki niektórych fimkcyj złożonych, nie dające się wyrazić przez funkcye elementarne. Z pośród całek funkcyj, złożonych z funkcyj algebraicznych i przestępnych , które nie dadzą się wyznaczyć za pomocą znanych funkcyj elementarnych, zasługują na uwagę jeszcze następujące, dla których wyprowadzimy różne rozwinięcia na szeregi potęgowe :

1) Całka fxa sin hxdx, przy dowolnym wykładniku a.

Z szeregu bezwarunkowo i bezustannie zbieżnego:

b²xz

sin bx =

bx

bhxh

1!

3!

5!

wynika :

xasin bx

T)Xa~i~ i    &³Æa+³ bbxa+h

1!

3!

5!

a stąd, rozwinięcie :

— 260 —

\^xa smbxdx=C-\

(17)

l!(a + 2)    3! (a+4)"^ 5! (a-| 6)

2) Całka: fxa cosbx dx, przy dowolnym wykładniku a. Z szeregu bezwarunkowo i bezustannie zbieżnego :

,    „ b²x* b“xk bGx⁶

00,fa-¹"2T+T!---6T+-

wynika :

xa cos bx—xa-

6² #a+² b*xaJri bGxa+G

2!

4!

6!

a więc, rozwinięcie:

^a:“cosbx dx—C-{-

niku c.

xa+1    &²a3a+³ b*xa+G bGxa~t~'¹

a + 1 ~ 2!(a + 3)⁺ 4!(a + 5)~ 6!(a+7) ⁺ ‘"

3) Całki: J(x—a)°sinbxdx i f(x—a)° cos bx dx, przy dowolnym wykład-

(18)

Na podstawie wzorów:

sin foc=sin [b (x— a)-\-ba]= sin b a . cos b {x—a) + cos b a . sin b{x—a), cos bx=cos\b (x—a) + óaJ = cos ba. cos b (x—a)—sin ba. sin b(x—a), otrzymujemy tu następujące rozwinięcia:

sin &a:=sin ba^ (—1/ - —^+ cos ba 2(—:1)

fti    (2r) !

r=oo    r=oo

cos bx — cos ba 'S (—l)r—--sin&a^C“ !)

rTo    (2r) !    fri

r=.roo

r bir+i(x—a)2r+i

(2r + l)!

62r+⁴(aj—a)²^¹

(2r+l) !

a stąd, dane całki, w postaci:

i'

«-»•■i-*-—

r=0

&2r+¹ (a?—a)2r+c+²

+co8ta^ (-!)■• (2r+1), (2r+^’

(19)

r—0

f*    rz= oo

\ (a:—a)c cosb x dx=cos ba^ (—1)

«/    T— 0

r 62r(a?—a)2r+°+1 (2r) ! (2r-f c-fl)

r=oo

— sin ba ^ (—l)r

&2r+1 (a;— a)2r+c+2

r=0

(2r+1) ! (2r+c-j-2)

(20)

W analogiczny sposób, otrzymamy rozwinięcia :

r    ™

\ (a:—a)csinhip 6a;dfa;=sinhip ba S’,

J    r—0

b2r {x—a)2r+⁰⁺¹

(2r) ! (2r+c+l)

r= oo

&2r+¹ (a:— a)2r+c+²

r—0

(2r-j-l) ! (2r-j-c + 2)

(21)

(x-ayoos hip tx <fc=co₃ hip ta2 ^₍₂ “j^⁺1} + sin hip

r=°°

&2r+¹ (a:—«)2r+c+²

r=0

(2r+l) ! (2r+c+2)

(22)

- 251 —

16. Rozwinięcie całek: f H(x)eaxcosbx. dx, J*H(x)eaxsinbx.dx.

Kładąc :

= fR (x) eax cos bxdx

J2 =f R (x) eax sin bx dx

i rozkładając funkcyę ułamkową, wymierną R(x) na funkcyę całkowitą i na sumę ułamków prostych, w postaci:

r=n    r=— m,    r=—ma

R(x)= 2 arxr+ 2 Air(x—ai)r-{-...+ 2 Aar(x—ga)r,

r——m    r=—1    r=—1

otrzymamy, ze względu na relacyę :

e—b,x=coslxdz i sinbx

z wzoru :

Ji +iJ₂ = fR (x). e{a±bi)x. dx

wzór następujący:

r=+n    r=-m₁    r=—ma

2 ^lr(x—ai)r +•••+ 2 Aar(x—aa)r\dx

r——m    r— —1    r~s—1

zatem :

r=+n

r=z—ml

J\ db i J₂ — ^örj/e

{a+bi)x

dxĄ- 2 A\re

(a-\-bi) «i

f(x—aiYe(a±bi)(xai)

dx +

r~— m

r=-1

r=-ma

+ ...+ 2 A°r e‘“±w>“a/(*—

r=—1

czyli :

r=-j-n

(> = 00

JxA=.iJ₂— 2 °r \2

(q-ł- bi) xr+Q

r——m

Q— 0

q\

dx+

dx -f-... -j-

r=—»nt    /»£>=«

r=—1    */ p=o

(a ±    — ai )r+4>

Q\

r~-rng

r=z—i

(*Q=<x

te

J Q=0

(a ± bi)o (x—a„)r+P

Q'-

dx.

Wykonawszy wskazane całkowanie, otrzymujemy powyższy wzór w postaci :

J,±iĄ= 2

(a ± biy aQ asM-ed-¹

r=z—m...n ()=0 ... 00

(r+(> + !).(>!    r=

(a± bi)i>Air(x-o₁)'-+?+¹    ,

,±L    (*•+(- + !)•(>!    ⁺- ⁺

p=0 . . 00

+ 2

r=— 1... —nt

Q=h Ar (g~ Ogq)r+P+¹ (a+60 aff (/•+£ + !).(>!

(23)

p = 0 ... 00

Połóżmy: (a-\-bi)=RQ=R.e®i, a więc : (a—bi)=R_Q—R. e—'6», natenczas, mamy: (a+&fc)e=.ReeP9*, (a — bi)?=R? e—p®i,    a* (a+ b i)v=eaa* RQ e±(6t*i+p0>',

zatem, otrzymujemy:

e(a+6t)a, (a-J-5î)e^-g(a—W)ai (rt—= 2caa< i?? COS (Ó«j +(> ®).

c(a+it)a,    _e{a~bi)al —})iy=2ieaa' R? sin (bai

- 252

Wobec tego, otrzymujemy z wzoru (23) następujące dwa rozwinięcia:

xr+ę + l_j_

Jx =J.B (x) eax cos bx dx =    2

ar Be cos q ©

r=—m... + n 0=0. .00

r!(r+ę + l)

2 A\reaa' Be cos (&at + p@)

r=—1... - mt 0=0 ... 00

r ! (r4-(> +1)

— (+ —a₁)r+(>k¹ 4-... 4-

0=0 ...00

Aareaao Be cos (Z/ae4-()©) r ! (r+ (>4-1)

(x — aa)Ao+'

(24)

B {x) eax sin bx dx =    2

»•.=— m ..+» 0=0 ... 00

«r ii^sin^© r!(r 4-Ç + 1)

Xr+0i-i 4-

+ireoai jR^sin (bax + (> ©)

r !(r + p+l)

(.x - a₁)r+*+¹ + . • +

0=0... 00

Aal eaao Be sin (.baa+ę ©) rl (r + £ + l)

(x- aa)r+e+1.

(25)

0=0... 00

Ćwiczenia XV.

⁴⁾ ir+^3==c+¥

₌ C4-lx³-

= <7+4

;r + -

²> J

X⁵

x⁷

x²4-o²

+...

⁵>I

⁶)i

x³dx 1 4- x3 x³dx

1 4- x⁶

X²—

x³ —

¹ Xs +    X⁸— ~ Xu ...

lO tH I CD tH |c^

s '" T '

“=’++,l-21

■9

X⁹ —

¹ xt24- ...

12

4- x²¹4"

1 . ï{ 1.8.5 r

^ 2.4 ~6 ^ 2TÏT6 T ⁺

7) U=S=

W\- x¹

r dx

J\/x

<J) Üi/ÎT^

(* dx 1®) j (1 — x)n

*'>Pîgr-°+-+T ¹²+⁽-+F^=c+* + i M-$ÆSS--*+-+Ï-¥+t+t-x+7

8)

to I-*

ta

1.3.5 x³ \

77 + -1 v/* •

= C + 2{l+|- y+ 574 -₅ 4

1 ®³    1.8 a»*___

= C + *“2 3⁺U5    2.4.6 7

x² . n(n -f-1) .r³    »

"g⁻ “f

¹ x⁵— y *⁷+ y x⁹ + ^ x¹¹

C + x-\-n - 4-

1.2

2.4.6

1.3.5 x⁷

(w 4- 1) n -f- 2) x4 1.2.8    4

4-...

X³—

X⁵—

łO ,h |c-

“13

X¹³-

ï5*,S + ~

X⁷ —

X¹⁷-..

Voo

2x⁹

M)£

âx

cc²

X³

= C-\-xĄ- 2 COS a. — + (2 COS 2 a-l- 1) — + (2 COS Ba + 2 COS a) — +

1—2 £C cos p -f- iC²

cc ^    cc ^

(2 cos 4a 4~ 2 cos 2 a + 1) - g- 4" (2 cos 5a 4- 2 cos 3 a -}- 2 cos a) — +...

“) ił

16) j ¹⁷>iï

(1 — x cos a) dx

— 2x cos a + x²

(1—a?²) dx

a; sin a Ær

— 2xcos a 4-a:²

x'¹

x³

æ⁴

x/'

Cx 4-cos a . — 4* cos 2a. — 4- cos3 a.— + cos 4 a

x2    /|j3    jj»4

C 4-2 cos a — + 2 cos 2a. — + 2 cos 3 a. — -f- •••

x³

xi

(7 4- sin a — 4- sin 2a . — -f- sin3a . -£- + ,..

Wyprowadzić następujące rozwinięcia:

= c+t⁺y^⁺1:S xii

-C+T

f dx

¹⁸⁾ 3

1.3.5 a:¹⁶

19)

\/1 — a:⁵

^ dx

\/r+*r

= C—

4 11 ¹ 2.4.6 16~*“’“

2T4 9*® ⁺ 2.4.6 13***

1.3 x3 274 9

L₊ii

' 2 5 a:⁵

20) J(1 + *tt)⁹ dx=C + x + ^    +

X—(B — 1)

q ’ pra—q (n—1)

xm+'

(«+1)7+7'»

4-..., gdy a:<l =

gdy a:> 1.

p(p—3)    a;²*+¹

1.2 . g* 27+1

p(p—ę) _* '(2n_1)______,

2! j* pn—q{2n—1)

pb x'«+?i+l ,p(p—q) b² xmf2n+l q.2q.a² m+2w+l p(p—ÿ)(p—2q)b³

q.2q.3q . a³ m + 3n + 1

(m + 1) + q)n

+ ..., gdy I* I <1.

4-

Ä,' o

22) +(&*”-») <«*-» [g-₍C₊i)₈+^,-^Ti. •(m + l)ł+(y-ł)»

(m +1)7 + (p —²7)n

28) jxp(l +*^d*= C + 24) j>xp(a:-l)?Æ.r= (7+

«P+¹ ap+²

p+l+îp + 2

V {V~O) ®²    2 • *    ___

q.2q.b²    (w+l)g+(p— 23)»

₃(S-1) *”+³ s(î_1)(5_2)^

1.2 p + 3 ^    1.2.3 p + 4‘r'"

a;p+g+¹ _ xp+g , g(g-l) XP+³-1 P+3+¹    1p + 3

1.2 p + 3 — 1

5(}-l) (₈-2)    ^+«-²

1.2.3

p + 3-2 ¹ -

= C+2V/itaï“{l + 4!^⁵ + 0-

f dx

2B>)

2G)^ix

27)    J

28)    j + dx

29)    $ ^

8°) f io^4t- *=c+f, - ÿ+S - fł+-+(-¹)”“¹ • ”*

y/ sin x

eaxdx

= c+ iog. + 4 + lj + T+ri T+-

a² (& + x)

log X

■ = C+ e~nh jlog (b + *) +

1    a x , a² x² a³ x³ \

= 0 + ¥¹°g(*s)+T.T + 2j-g -t-gj-g-+•••}

1 (log x)²    1 (loga:)³ 1 (logs)⁴

~2 2l    3    3 !    '4    4 !

C 4“ l°g (l°g *) ”ł" —y—

2! 2

•>

a³ (6 +a?)³ . Ï 3!    3

+ ...

—i 4- -1 gdy ! * ; < !•

ril

Q1\ Cl (    1    \ dx    ®    ®²    ®³ xi    ®»

³¹) Jl0^(iTT^j-^-C+ p ⁺ 2^ + 32 + 4₂+... + -₂ +

1 æ³ 1.3 æ5 C + x + -2 3^ + 274 52 +

•*•>

gdy I *| <1.

82) I

arc sin x

1.3.5*’

dx —

riog (® +V/1 +

J    X

/y» o /y» Ö    /V» 7

-04- + 8» + 6» ⁺ f» ⁺ ~

(log [« + log®] 4- a + l0g3J

2.4.6

33)

a;²)

,    - .    ®³ , 1 .    ®⁵    1.3.6

dx-C+x- 32 + 27452-2-0

to H-³

ce

-O; «

NS -1

35)

WVï

i y * dx

— xx

86)5

Xm—1

a 4~ log x

dx — e—am

m² (a -J- log ®)

3 to

+ 8ï

³    (« + log»)³

H-

xdx sin x

=^'+²{7 tang — - i tang³ -J + ~ tang» ~ — i tang’ | +

37) J

SS))

89) 5sin*.cos hip x,dx= C+ s-Hla,₊ iH±! Üi£fl

r*    sin ^

40)    J sin x. sin hip x . dx = C + —g

41)    j* sin hipr a;. cos xdx — C-\-

|*|<4*•

xdx tang x

sin® 1 sin³® 1.3 sin⁵® ==CT fi ‘ 2    3²    ■+

2.4    5²

1.3.5    sin⁷®

2.4.6    V

(l² + l²)(l² + 3²) sinf>® 1.2.3.4

P + 2² sin⁵® , (l² + 2²)(l²+4²) sin⁷®

3!

5!

(sin hip®)r+¹

l² -J- l² (sinhipæ)r+³

r -j-1

2!

r-\- 3

(l²+l²)(l² + 3²) ( sin hip ®)r+⁵

4!

r4-5

42) j sin hipr ® . sin xdx — C-\-

(sin hip ®)r+²

1² -j- 2² (sin hip ®)r+⁴

r 4~ 2

r -j- 4

(1² 4- 2²) (l² 4“ 4²) (sin hip ®)r+⁶

5!

2*4-6

£âsin 2®+^2sin Sx — -}î sdy

44) j*log(l + sina * cosx)dx= C2® logcos 4~ 2 |tang sin ® — tang²-^- .

4-tang³ y .

«) î(-+v^+i*>— c+4+4 £+■& ï+ô 1+^4+

“ i

6 4“-

43) Jlog(l 4- 2acos ®+ a²), dx — C 4* 2 j

a sin ® —

sin 3®

3²

a<l.

sin 2®

2²

IX([X²-1²)({1.2_3²) jj6

1.2.3.4.5

46) §x* (x 4- \/l 4~ ®² y* dx — C 4

æ^+1

47) ^ arc sin * dx

= <7+T + tÏ⁴

®^+²    |J.² ®^+3 t [i.(jji²—l²) ®^+4

X4- 1 ¹ 1 X4-2 ⁺ 2l r+3 ^2(^2—2²) x^+5 ₍ [r([x²—l.²)([j.²—3²) ®^+6

X + 6

x²®³ , x(x²4-i²) ®⁴ x²(x²4-2²) ®⁵

4!    5 '

X(X² y 1²)(X² -j- 2²) ®⁶

X4-5

5!

2! 3

3!

5!

3!

X4-4

6~

4-...

- 265 -

48) j xa e* arc sin * dx = C-f-

*<*+1 X cc“+2 oT+1 + T T+2 + 2]

X² æ«+3    X(X²-j- l²) ^«+4

a -f- 3    3 ! a 4

X²(X²-j-2²) cc«+5 ₍ X(X² + l²)(X² + 3²) *«4-6

a + 6

4!

5!

+ •-

49) J xa cos

£C«+1

a + 1 ~ 2l a+~3

|x² a?«+3 i jx²(|x² -|- 2²) .r“+'''

4 ! a 5

_ Hl2(h-² + 2²)(k-² + 4²) x«+7 « -j— 7

6!

50) J sin [ [x log ( x -f- y/ï 4- æ²)]= CĄ-

xa+2

1 «4- 2

[Jl(|j.²-{-l²) ica+4 3l oT+4 ⁺

fl+² + l²)+² + 3²) x0!+6    [r(>² + l²)(>² + 3²)0²4-5²) x«+8

«4-6

5!

7!

‘ « 4-8

Przy pomocy rachunku całkowego wykazać, że:

2.4

51) log

i—y/i — *s

2.4.6

52) arc sin — =>\/x² — 1 ^ ^ +

53) sin nv — n sin ®

- V/1 - X²+ 3 |r +34

2    2.4    2.4.6

3»ł    3.5*⁶ ^ 8.5.7x⁸ "h”‘

rc(#²—1) (»²—9)

6xe ~ 3.5.7 x⁸

f ...

}•

«(n² — 1)

g-j-sin:>4-

5!

sin⁵® —

n(n²— 1) (w² — 9) (w²— 25)

7!

- sin⁷® 4- ...

54) cos n <p = 1— 2 , sin²

n² (w²— 4)

4!

sin* ®

w²(»²—4) (w²—16)

6!

sinG® 4- ...

CC

Rozwiązania XV. 1) \og(a-\-x)-\- C. 2) arctang--\-C. 3) — log

a    3

v)=»rctang|^ł+c. 4)1 -f #³) 4-O. 6) Podst. x³ = s, ~ l°gC³³ + V/1+ #*) + <7. 10) C-

12) -i- arc tang

O

15) O— cos alog y/1—2a;cos«4- cc²-|- sin a. arc tang y^ w ogólności, wyrazić przez znane funkcye elementarne w formie skończonej.

8# (1—cc²)

1 — 4a;²4-

log

y/1—% -■}- x‘i

i -f- x

y/s

1 4- x

y/l— x 4- x²

/j*\/ 0    1

arc tang    + CL 5) -y log(l +

arc tang a:³-f- C. 7) arc sin æ-}- C. 8) 2 arc sin \/x Ą- C. 9)

*y/2

• ii) -4=

y/2

(n — 1)(1 — *)"-!

4- c. 13) log (i 4- x 4- x³) 4- o. 14)

arc tang

arc tang y

1 — er2 x sin a

— x cos a

o: sin a

a; cos a

+ O.

• 18)—60) Funkcye, nie dające się,

Literatura. Leonard Euler. Anleitung zur Integralrechnung aus dem Lateinischen ins Deutsche übersetzt von Joseph Salamon. I. Band. Wien 1828. Axel Harnack. Die Elemente der Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1881. Oskar Schlömilch. Üebungsbuch zum Studium der höheren Analysis. Zweiter Theil: Aufgaben aus der Integralrechnung. Vierte Auflage, bearbeitet von Henke. Leipzig 1900.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Zasady jednostajnej zbieżności szeregów nieskończonych.

2.    Zasady różniczkowania i całkowania funkcyj, określonych szeregami nieskończonymi.

3.    Rozwijanie funkcyj na szeregi przy pomocy rachunku całkowego.

Wykład XVI.

Szczególne uwagi, dotyczące rozwijania całek.

1. Całki pierwszego i wyższych rzędów. Danej funkcyi f{x) odpowiada, jak wiemy, jako fnnkcya pierwotna, pewna nowa funkcya F(x) ze stałą dowolną C, zwana całką nieokreśloną funkcyi f(x), przedstawiona symbolicznie w postaci :

przyczem funkcya F{x) da się albo wyznaczyć przez znane funkcye elementarne w liczbie skończonej, lub też przedstawia nową funkcyę przestępną, dla której możemy zawsze wyznaczyć pewien szereg nieskończony, jako jej element.

Ponieważ otrzymana całka, kształtu: f f (x) dx = F(x)-\-C, jest znowu pewną funkcyą zmiennej x, więc możemy do niej zastosować ponownie prawidła całkowania, a otrzymamy nową funkcyę, którą oznaczamy w postaci:

f[f f(x) dx) , lub : JJ f(x). dx², lub : J₂ f(x) dx², i nazywamy całką drugiego rzędu danej funkcyi f(x).

Powtarzając to postępowanie, otrzymujemy ogólnie całkę n-go rzędu danej funkcyi f\x), którą przedstawiamy symbolicznie w postaci :

Jf... ff(x) dxn , lub krótko w postaci: $nf{x)dxn.

Całka n-go rzędu danej funkcyi, jest, wobec tego określenia, pewną, nową funkcyą, która ma tę własność, że jej n-ta pochodna jest równa danej funkcyi f{x).

Oznaczając tą niewiadomą funkcyę przez y, otrzymujemy, na jej określenie, równanie różniczkowe n-go rzędu (Por. Tom. I. str. 673.), w postaci:

dny

f f{x) dx=F(x) -j- C

za

pomocą rozmaitych metod całkowania,

dxn

/O)

z którego otrzymujemy kolejno: dn~¹ y dxn~x dn~²y dxn~²

ff(x)dx+C

fff(x) cfo²+ Ci æ +C₂,

dn~³y

dxn~³

ffff(x) C\x²+C₂x-\-C₃₁

dy

dx

a ostatecznie :

=S$-Sf(.x) dxn~i-\-Cixn~²+C₂x

y=ff-Sf(x)dxn-\-C\x

+ ••■+ C„_ 2# + Cw_ i 4- C₂xn~²-\-... +    \ x-\- Cn.

n -3

(1)

2. Całki ogólne i całki szczególne dowolnego rzędu. Całka n-go rzędu danej funkcyi f(x) składa się, według wzoru (1), w ogólnej postaci, z pewnej, oznaczyć się dającej, funkcyi F(x) i z funkcyi całkowitej (»—l)-go rzędu ze względu na zmienną x, o n stałych, dowolnych, spółczynnikacli : Cu C W tej postaci, nazywamy tę całkę w*go rzędu danej funkcyi f(x), całką ogólną n-go rzędu

Cn.

wszystkie funkcye, jakie z niej otrzymujemy, na-

nie wy-

dając stałym dowolnym: C\, C₂₁..., Cn, pewne szczególne wartości kluczając zera, nazywamy całkami szczególnemi n-go rzędu danej funkcyi f\x). Najprostszą z nich jest ta całka szczególna F(x), jaką otrzymuje się z całki ogólnej, nadając wszystkim stałym dowolnym: Ci, C₂,..., Cn, wartości równe zeru.

3. Przykłady, o) Całki ogólne, wyższych rzędów funkcyi: xm, dla wiają się kolejno w postaci :

xm dx =

rn

< —1, przedsta-

xm+i

m -(-I

+ c\i

^xmdx¹-

(m + 1) (w -H 2)

-c,

I I S*md*³=

jj...jx>*dxn=

(m 4- l)(m -f- 2) (m 4* 3)

f ąx* + c₂x+c₃

xm+n

4- Ci a;«-¹ 4- c₂x»~² 4- •• • 4“ cw—i x 4- Cn,

(w 4-1 ) (m 4- 2) ...(w -(- w) b) Całki ogólne, wyższych rzędów funkcyi: ex, mają kształt:

Sf’"feX dxn = e*+ C₁xtl~i 4- C₂xn~² 4- ... 4- Cn—i er 4- Cn ;

c) Całki ogólne wyższych rzędów, przynależne funkcyi: sina;, otrzymujemy kolejno w postaciach :

sin x dx

ogólnie :

••

= — cos x 4" Cj= sin (a;— —) 4" C,

(-Ï)+«

(er-^)4-C₁a:»+C'₂a:4-C3, (a:—    4- Cja;»»—1 4“ C₂a;"-² 4-

J j* sin x dxi = sin

sin x dx* — sin

sina;. dxn — sin

... 4“ Cn — 1 X 4“ Cn.

Podobnie, otrzymamy całkę ogólną n-go rzędu, dla funkcyi: cosa;, w postaci:

4" Cja;**⁻² 4“ ... 4" Cn—1 X 4- On.

JM

COS X . dxn = COS

d) Całki wyższych rzędów funkcyi/ a?), określonej szeregiem potęgowym: f(x) = a₀ 4- «i x 4- o₂a;²4-    + am xm 4~ • •

o pewnym zakresie zbieżności, przedstawiają się w postaci szeregów potęgowych, o tym samym zakresie zbieżności, w postaci :

j/(*) dx = Cj 4“ aox 4“ ^2—^    —f ••• +

jj‘/(a;)rfa;²=Cî4-C₁x4-jjjjjf(x)dxî = C3 4"C₂a;4- Ctx² 4-

am a;»*+l

w 4- 1

4-

o₀a;² ot a;³ o₂ a;4 1.2 ' 2.3 ' 3.4 o₀ x³    ₍ ot a:⁴    , o₂ a;⁵

17273    2.3.4 ⁺ 3.4 .B

4" ••• -f

Om a;m+²

(m 4- 1) (m 4- 2)

4- ...

Om Xm + 3

(m 4~ 1 ){m 4- 2) (tn 4- 3)

ogólnie :

U — §f(x)dx»— Cn 4~ Cn—1 a; -p ... -f C₂ x*—'² 4- Cja:«—¹ 4~

aQxn

1.2.3...

o, a^+i w ⁺ 2. 3.4...(w 4-1)

aź x*+2

3.4.5 ... (»4-2)

+■ — d⁻

Om X”+™

(m-\- l)(m4-2)... (tnĄ-n) '

17

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

4. Ogólny wzór, dotyczący wyznaczania całki n go rzędu danej fnnkcyi f(x) za pomocą n całek pojedyńczyclł. Niech będzie daną funkcya f(x), której najprostszą całką szczególną pierwszego rzędu jest funkcya:

F(x) = ff(x)dx

Mając wyznaczyć całkę drugiego rzędu: fjf(x) dx²~ Jf §f(x) dx] dx , zastosujmy metodę całkowania przez części,

a zatem: du=f(x) dx

V = X ,

kładąc : w—f f(x) dx dv = dx,

natenczas, otrzymamy najprostszą całkę szczególną drugiego rzędu, wyrażoną w postaci :

ff f(%)dx²=x f f(x)dx — $(x f{x) dx

(2)

zawierającej dwie całki rzędu pierwszego.

kształtu :

Stosując metodę całkowania przez części do całki trzeciego rzędu

ISff(x) dx* = S[$$ f\x) dx²\ dx połóżmy : u=fff(x)dx2 dv = dx,

zatem :

du = dx. f f(x) dx

v = x ,

a otrzymamy wzór :

îîî f (*)    =x f J f 0*) dx²— J f\x) d%] dx.

(«)

Pierwsza całka w tym wzorze wyznacza się wzorem (2). Celem wyznaczenia drugiej całki, kształtu: j* [# f /’(•') dx\ dx , połóżmy:

du—f(x) dx,

f\x)dx

dv=xdx

a zatem :

a otrzymamy :

^ [x^f(x)dx]dx=-^ Jf{x)dx—^-^x²f(x)dx.

Wobec tego, wzór (o) przedstawi się w postaci:

czyli :

[[[f\x)dx²=x² £/'(x) dx—xÇ x f(x) dx— ~ § f(x) dx+^- ^x²/(x)dx, x² £ f{x) dx— x Ç x f(x) dx + ~ £ x²f{x) dx ,

^f(x)dx² =

rH

(3)

wyrażającej całkę trzeciego rzędu , przez trzy całki rzędu pierwszego. Przedstawiwszy wzór (3) w postaci:

2\^^f\x)dx²==x²^f{x) dx - x^xf(x)dx-\-^x²f(x)dx

domyślamy się wzoru ogólnego w postaci:

1) ! J J ... J f(x) dxn=xn-^f(x) eto — |n ^ ^xn~²^xf{x) dx + + (W 2    ³ ^oc² f(x)dx— ^ g ^æn_4 ^x²f(x)dx-f ...+

+ (—l)r    ^ ^ j Æ"~r~¹ ^xr f(x) dx +

(w—

«—2

... + (— 1)

+ (— Y)n~x^xn~* f (x) dx.

(«JM*

f{x) eto +

(4)

Przypuśćmy, że wzór ten jest dla pewnego n prawdziwy, (a prawdziwość jego dowiedliśmy bezpośrednio dla n—2 i dla n = 3), natenczas, wskutek powtórzonego całkowania i uwzględniając, że: f[xn r f xr~i f(x) dx]dx, na podstawie całkowania przez części, pod założeniem: u=f xr~¹f(x) dx

du=xr~i f(x) dx

xn-r+\

v=n-r+1'

a zatem :

dv=xn~rdx,

przedstawia się w postaci :

xn~rf xr~x f(x) dx] dx

xn~r+¹

n— r-f 1

^ xr-‘l f(x) dx

n~hi

otrzymamy z wzoru (4) wzór następujący:

’ (n—1) ! JJ*-*    (x)dxn+i==~~~ ^f'(x)dx— ~^xnf(x)dx

(* 1 *) lxfix) dx + (“ 1 *) ir=ï !*"'¹ w dx+

(" 2¹ ) S    *- ( V) ï=ï fc"    *-

( V)    hXx)dx + (n3¹)n~3 S**' (x)dx +

xn fix) dx

+ <-¹Y(nr¹)n:^ fc/(X)dX-⁽-¹⁾'-(nr ^

4-

+ ........

₊ (_l)n-2    ²/(x)ax—(- 1)w-2Q_2)-Y §xnf(x)dx,

+ (-l)B_1    y £zw-if(x)dx— (—l)"-¹    • y \xnfix)dx-

Zważywszy jednak , że :

/w—1\    1

V r / w— r

0-0-0-fi)

a przytem :

(w—-1) (w—2).. (n—r)

1.2 ..r. (n—r)

(» i)⁺⁽

— l)w=0,

otrzymamy z powyższego wzoru, jeżeli go obustronnie przez n pomnożymy, wzór następujący :

§ Oi

5S--î/w-

^/(æ) dx— \^xn~^xf(x)dx-\-

l)r    xn-r^xTi (x)dx+

{n-l)X    i / (^) + (—1)w \x" f 0*0 dx »

dxn+i=xn

xn~² ^x²f(x)dx—{^xnZ ^xzf(x)dx-!-..• + (—

+ (-D

n—1

(5)

który powstaje widocznie z przyjętego wzoru (4), jeżeli w nim zastąpimy n przez w + 1. Jeżeli więc wzór przyjęty jest, dla pewnego n, prawdziwy, to i dla n-\-1 musi być prawdziwy, a że jego prawdziwość została dla w=2, 3, bezpośrednio dowiedzioną, przeto wzór ten jest ogólnie prawdziwy.

— 260 —

Mamy zatem dowiedziony wzór ogólny :

\jf{x)dxn =

(W i    \jxf(x)dx +

+ (—l)"⁻¹ J#"⁻¹ f(x) dæj,

czyli :

^ ...^f(x)dx* =

r~n-\

2 (—^    \^xr f (x) dx

(6)

(w — 1 ) !

który wyznaczanie w-krotnej całki danej funkcyi /(a?) sprowadza do wyznaczania n całek pojedyńczych, kształtu: f xr f (x) dx₎ dla r=0, 1,(w—1).

Do tak wyznaczonej całki należy oczywiście dodać funkcyę całkowitą (w—1) stopnia o dowolnych spółczynnikach w postaci:

r=n

Xn~^ + C₂ X»' 2+ ... + 0b = 2 Cr xn~r ,

r—\

chcąc otrzymać ogólną całkę w-krotną danej funkcyi /(«).

5. Uwaga. Wzór powyższy, jest szczególniej wówczas przydatny, gdy jesteśmy wstanie całkę, kształtu: j'xrf(x)dx bezpośrednio wyznaczyć.

Tak n. p. otrzymamy, na podstawie powyższego wzoru, dla f(x) = — najprostszą całkę «-krotną w postaci:

xdx—

(«iï)i 5 ? - C i ') ²S *+(% ’)1

—    xn~••• -f- (—1)”—² ^ ^x Ja;»—³ dx -j-(—1)M_1 J s^—^dxj

z której otrzymujemy :

₍ Jui {- ‘ - er¹) — * (V) -rm

_ ₊£Z1},

+(-«•² ci)._

a więc, ogólną całkę «-krotną, w postaci :

SS-St ix"=ôr^ÿ. (,oex - (" 1*) + Y (” 2 *)“ i (” 8 *) + -+⁽-I)"_1 •

-}- Cj Xn ^ -j- C% Xn 2 -j- ... -J- On—1 * d* Cn•

W przypadkach, w których poszczególne całki pojedyncze nie dadzą się przedstawić za pomocą znanj’ch funkcyj w formie skończonej, wypadnie wyznaczyć je przy pomocy odnośnych szeregów potęgowych.

6. Metoda wyznaczania całek pojedyńczych przy pomocy szeregów z nieoznaczonymi spółczynnikami. Mając wyznaczyć całkę, kształtu: $f(x)dx=F(x), gdzie f(x) jest pewną znaną funkcyą, złożoną w pewien sposób ze znanych funkcyj elementarnych, możemy uczynić pewne założenia co do niewiadomej funkcyi F(x), a to, możemy ją, albo określić wprost za pomocą szeregów potęgowych , w postaci :

F(x)=AÇ)+AiX+A₂xï+Azx* + ...+Anx¹'+...

dF(x)

z których wynika:

=Ai+2A₂xĄ-3A₃x²-\-*:+nAnx*-¹+...

gdzie spółczynniki : A₀, A1} A₂,..., An,... są na razie nieoznaczone, lub możemy ją przedstawić, jako iloczyn z pewnej, stosownie dobranej znanej funkcyi f(x) i dowolnego szeregu potęgowego : a₀ -\-U\XĄ-a₂x‘ź,-\-...-\-an xnĄ-..., z nieoznaczonymi spółczynnikami: a₀, an a₂,... a„ ,kładziemy tedy:

skąd, otrzymujemy :

F{x) Cp(x) jffy -p G5jÆ-p    ... -p Ctn Xn -p ...},

/'(^)=-^ = ^){«i+2a₂a: + 3a3a:²+... + «a„a:”-¹ + ...} +

+ Oo f “i^ + a₂^² + -.- + 0!n Xn + ...)

d<p{x)

dx

Na podstawie znanej funkcyi /'(#), względnie znanych funkcyj : f\x) i cp{x), możemy tedy otrzymać dwa tożsamościowe rozwinięcia, ważne w pewnym zakresie zbieżności, a porównując spółczynniki obu tych rozwinięć, możemy wyznaczyć niewiadome spółczynniki przyjętego szeregu.

Szczególne ułatwienia zależą oczywiście od kształtu i rodzaju danej funkcyi f{x).

r* ciec

czynników.

7. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę: J j—j—- za pomocą metody nieoznaczonych spół-

dec

Rozwiązanie. Kładąc: \

F(pc)} połóżmy :

1 -p x

F(cc)—A₀ -j- A, cc -j- A₂x²-f- A₃x³-\- ... -j- An xn -(- ...

natenczas, otrzymamy:

1 -p x

a stąd, równanie tożsamościowe :

Ax -f- 2A₂x -p 3A₃cc² -p... -p nAn x»—i ...

czyli :

1 = (1 -p cc) (Aj-p 2A₂x -P 3A₃cc²-p ... -pn AnXn—l -j- ...),

1 = At -p2A₂cr-p 3A₃x² -p ... -p nAnxn—i -p... -p Ajcc-p 2A₂x²-\- ... -p(»—1) An—l cc»-¹ ~p... skąd, porównując spółczynniki przy równych potęgach, dostajemy na wyznaczenie niewiadomych spółczynników : A,, A₂

An,... równania warunkowe :

Aj = 1, 2A₂ ~p Aj =0, 3A₃ -p 2Aj =0,...n An -p (n—l)An—l = 0,

a stąd :

Aj = 1 , Aj---g" , A₃ - -g-

An

zatem :

f dx J 1 -P cc

c* dx

2) Wyznaczyć tą drogą całkę: \

x² X3 cc*    xn

C+*-2+8-T +-+(-¹)”-'-^+...

Rozwiązanie. Kładąc:

dx

\/l -p cc*

= F (cc), połóżmy :

\/1 -p x*

F (cc) = \/ 1 -p CC* (aj x -p «jCC² -P ... -p an xn ...),

natenczas, otrzymamy :

l/l + cc*

Y/l -P cc* (aj-p2a₂cr +3a₃cc²-p...-P mnxn—1 -p...)-p(atcc-pajcc²+ ... + ancc^-p...).

2x³

V/ 1-pcc*

a stąd, równanie tożsamościowe:

1 = (1 -p cc*)(at -P2a₂a;-P 3a₃x²-p ... -p nan xn—¹ -P ...) -p 2cc³(aj:c-p a₂x² ~p ..),

czyli :

= 1, 2a₂ = 0, 3a₃ == 0, 4a₄ == 0, 5«₆ +3«! =0, Qa& -f- 4*2 —0

n — 2

ogólnie: na.n-\-(n—2)a„_4=0,

z których wynika :

<*n = —

*tt—4 ,

przyczem : jest zatem :

«1 = 1, «2=0, «S^O, «4=0,

11

«5 =--jj- «1 , *9 ---cf a5 t «13 = — Jg ß9 , -

8.7.11 579’ “13—    5.9.13

«1=1, «i = — -g, «9

3.7

Wobec tego, otrzymujemy szukaną całkę, w postaci:

3.7.11

f dx

v

Cjsc —j|-sc⁵4-

3.7

ta

Tl“⁹

5.9.13

*¹³ -f⁻ —

\/i -f-

ważnej dla |*|<1.

8. Rozwijanie funkcyj na szeregi przy pomocy całkowania, lub różniczkowania szeregów o nieoznaczonych spółczynnikach. Metodę, powyżej wskazaną, możemy zastosować do rozwijania znanych funkcyj na szeregi potęgowe. Niech będzie daną funkcya F(x), połóżmy:

F(x) = A₀ -f- Atx -f A₂x² 4- ... 4~ An x» 4-

...»

natenczas, otrzymamy :

dF{x)

dx

Ax 4- 2 A₂ x 4- 3 A₃x² -f ... -f n -An xn—14~ —

d²F(x)

dx²

— 2A₂ 4* 2.3 . A₃x -f-3.4 .^4 æ² 4- ••• 4" (w—1)» -4» xn~² 4“ •••

a zarazem :

J dx — C\ 4" Ax 4" A ~2 "ł"

A₂x³

+ ••• +

Anxn+i

» 4-1

An Xn+²

2.3 ^ 3.4

(n 4-1) (»4-2) _r"'

Znając, tedy, bądźto którąkolwiek pochodną , bądź funkcyę pierwotną danej funkcyi F(x), względnie ich związki z tą daną funkcyą , możemy zawsze otrzymać przynajmniej dwa rozwinięcia tożsamościowe, na podstawie których możemy wyznaczyć niewiadome spółczynniki.

Mając n. p. tą drogą rozwinąć na szereg funkcyę: ax, przy dowolnem skończonem a, rożnem od zera, to wiedząc, że, dla x=0, mamy: ax = a^ = 1, możemy położyć:

ax = 1 Ą-Axx 4- .A₂sc²4- ^fjaj³4--.. 4* Ax* 4" •••

Wobec tego, otrzymujemy:

jaxdx= C xĄ

At x²

A₂ x³

xn

f ... 4- An-1 — 4- •»

f    Ctx

Opierając się tedy na całce: j ax dx = —    , otrzymujemy drugie rozwinięcie:

/p 2    /jrj 3    gß 71

ax — Clog a 4- x log a 4- A^ log a . — Ą- A₂ log a .    ... -f- An—l log a . — 4~ •••

które , porównane z pierwszem, podaje związki między niewiadomymi spółczynnikami :

A₂ log a

Ai = log a , ^42 a stąd, ich wartości:

A{ log a

.An =An—1.

(logu)

log a

_(log a)²    _(l°g a)³

, yl2--2l ’ ^3 —    3 J

An =

(log a)«

»! ’

zatem, szukane rozwinięcie:

sc log «

sc² (log a)² sc³(log o)³

2!

3!

sc» ( log a)n

- 263 —

9. Uwaga. W szczególnych przypadkach wskazanem jest, rozwijanie danej funkcyi, względnie jej całki, za pomocą metody nieoznaczonych spółczynników, oprzeć na równaniu rożniczkowem tej funkcyi.

{y dx    ea '

aro sin x

Mając n. p. rozwinąć na szereg funkcyę: y — ea • arc sin x ₁ względnie jej całkę: dx, wyprowadzimy najpierw jej równanie różniczkowe.

y‘

W tym celu , otrzymujemy : a. ea •arcsin*

ay

Vl-x²

y/i — x² ’

y” =

ay' (1—x²)-\-ayx (1-æ²)³'¹    “

ay'

ax

\/l-x²

l — x² y/ï —a:² ’

a stąd, równanie różniczkowe drugiego rzędu, odpowiadające tej funkcyi, w postaci:

(1 — x²) y" — xy‘ = a²y.

Połóżmy teraz:

y = a₀ -j- a, x -f- a₂ ³⁵ * 4" — + «n xn -j-..., a więc : y‘ —    -j- 2a₂aj 4- 3a₃ x² -|- ... + nan xn~¹ 4" •••

y" = 2a₂ -f- 2.3. a₃ a? -j- ••• + (n— 1)w an a?”—² +•...

natenczas, otrzymamy z równania różniczkowego, dwa rozwinięcia tożsamościowe:

(1—cc²)[2a₂ -|- 2.3 a₃ cc -j- ... -f- («—1) na xn—2 -j- ...] — ajjaj -|- 2a₂cc-f ... + nanx*—¹ + •••] =

== a² [o₀ -f- aj x -j- a₂a?²    anxn ...]

z których, porównawszy obustronnie spółczynniki przy (w—2)-giej potędze zmiennej a?, dostajemy^ związek między szukanymi spółczynnikami, w postaci:

(»—1) nan—(n—S) (n—2) an-2 — (n—2) an—2 = a¹ an-2,

czyli :

a zatem, wzór ogólny :

(w—l)n «n =[a²-f- (»—2)²] an—2,

an—2

«« + (»-2)²

”    (n—1) n

gdy znane

który dozwala wyznaczyć bezpośrednio, wszystkie spółczynniki: a₂, a3 są dwa pierwsze a₀ i at.

Skoro, atoli: a₀ = y₀ = e°= 1, ai=y'₀ = a, zatem, otrzymujemy:

a² (a² + 2²)

a²

4!

ogólnie :

a zarazem :

«3

a²(a² + 2²)... [a² + (2n-2)²]

~ (2 »)! ’

a (a² + Is) _ a(a² + l²) (a²+3²) 3!    ’    5!

«2n

,...

ogólnie :

a więc, rozwinięcie :

a2n+l

a (a² + l²) (a² + 3²) ... [a² + (2rc-l)²]

(2n + l)!

ga . arc sin x = 1    _j_

a²

a(a² +1²)

2!

a²(a² + 2²)

4!— *‘ +

q(a² + l²) (a² + 3²)

5!

a zarazem :

a. a?²

i e» ■ arc sin x da; = C -f a:-f «/ ^ !

a².xz a(a² Ą- l²)ajł a²(a² -|- 2²)æs B t '

4!

5!

10. Rozwijanie danej funkcyi według potęg innej znanej funkcyi. Metody, umożebnia-jące rozwinięcie danej funkcyi zmiennej x, według potęg tejże zmiennej , umożebniają takie rozwinięcie tej funkcyi według potęg innej funkcyi, dowolnie obranej.

Mając n. p. rozwinąć daną funkcyę: F(x) według potęg innej, znanej tunkcyi:/(a;), uważamy funkcyą f(x), jako nową zmienną z, kładąc z—f(x); zmienna x będzie tedy funkcyą odwrotną zmiennej z, w postaci: x=<o(z). Dana funkcya: F (u?) przedstawi się w postaci :

F(x)=F[<f(z)].

Bozwinąwszy więc funkcyę F[<p(s)] według potęg zmiennej z, otrzymamy tern rozwinięcie funkcyi : F{x) według potęg funkcyi : f(x).

Mając n. p. rozwinąć funkcyę y=sinwx, według potęg funkcyi: sina;, połóżmy: sina; = z, zatem: x = arc sin z, a więc: sin mx= sin (m arc sin z), a otrzymamy daną funkcyę , w postaci :

samem

y = sin (m arc sin z).

(«)

Oznaczając pochodne tej funkcyi względem zmiennej z kolejno przez : y\ yil otrzymamy, najpierw:

y(n)

y‘=

m . cos {m arc sin z)

Y/T-z²

czyli :

v/l—z²

. y‘ = cos (m arc sin z),

Dodając do siebie kwadraty obu stron równań (a) i (ó), otrzymujemy:

1—z²

czyli równanie różniczkowe pierwszego rzędu, w postaci: (1 —z²)y'²-\-m²y²— m².

Ponowne różniczkowanie sprowadza to równanie do postaci :

(1 — z²) y‘ y“ — zyn -)- m² y y‘ = 0,

z której dostajemy równanie różniczkowe drugiego rzędu, odpowiadające danej tunkcyi, w postaci :

(1 — z²)y" — zyf -f miy = 0.

Na podstawie tego równania, dostajemy równanie różniczkowe n-go rzędu, odpowiadające danej funkcyi, kształtu:

a stąd, dla z = 0, związek:

(1—z²)y(») — (2n—B)zt/(n—!) — {(»—2)² — m²j y(n—²) = 0,

2/o(n) = [(w — 2)² — m²] y₀(» ~²).

(o)

Ponieważ, dla z= 0, mamy: y₀ = 0, y'₀ = m, przeto otrzymujemy, na podstawie wzoru c): y"₀=O, y“\ =—w(m²—l²), ogólnie: y₀(2w>=0, y₀(²»+t) = ( -1)» m (m²—l²)... [m²—(2»—l)²], a zatem, na podstawie wzoru Maclaurina , szereg :

m{m*-1²)

sin (m arc sin z) — mz

w (wt²—l²)(wł — 3²)    _

B!

z którego wypływa wprost rozwinięcie:

m(m²—l²) .

--- sin³z-f

sin mx = m sin x —

m (w²—l²) (w²—3²)

6!

sin⁵ a; — ...

Podobnie, znajdziemy:

1— sin% +    sin*

Oba rozwinięcia są ważne dla wszelkiej, skończonej wartości spółczynnika m.

11. Całki funkcyj uwikłanych. Wartości funkcyi uwikłanej, określonej równaniem, bądź to algebraicznem , bądź przestępnem, kształtu ogólnego : F(x, y)=0, dadzą się także, podobnie, jak wartości funkcyj wyraźnych, rozwinąć na szeregi potęgowe, na mocy wzorów Taylora, lub Maclaurina, w postaci :

cos mx —

fi 1

sin⁶ a; -f- ...

V¹¹    «/(**)

y=ya+y‘a(x—a)+ ~ (x-a)²-\-... +^r (x~~a)n+->

względnie :

y“ o

.v=y₀+y ox+2i

o ile miejsce: x=a, względnie x*=0, nie należy do miejsc nieskończonościo-wych, krytycznych, lub istotnie osobliwszych funkcyi y. (Por. T. I. str. 556.)

W tym celu, należy, na podstawie danego równania: F{x, y)=0, wyznaczyć wartość funkcyi y w miejscu: x—a, względnie æ=0, tudzież wartości wszystkich pochodnych w przyjętem miejscu, (patrz Tom I. str. 675.). Jeżeli funkcya uwikłana, określona danem równaniem, jest wielo wartościowa, na

ft !

— 265 —

tenczas odpowiada danemu miejscu %=a, tyle różnych szeregów potęgowych, ile wartości ya, dana funkcya y w tern miejscu posiada, z wyłączeniem wspomnianych miejsc osobliwych funkcyi y.

Całka funkcyi uwikłanej, kształtu: §ydx, gdzie F(x, y)= 0, da się zatem także przedstawić szeregami potęgowemi, kształtu:

(*—¹»)* i    o*-«)³

2!    +y “    3!

względnie :

\ ydx =C+ya(x—a)+y‘a

9)

f    x²

\jydx= C+y₀x+y'₀

(x—a)n

*h...

« ICO

3

1+-+

których ilość odpowiada ilości szeregów potęgowych, przynależnych, jako elementa funkcyi uwikłanej w przyjętem miejscu.

12. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę, kształtu : j¹ y dx, jeżeli funkcya y jest określona równaniem : y³ — y xy—x³ = 0.

Mamy tu, dla x = 0, równanie: y³—y = 0, skąd, otrzymujemy trzy wartości danej funkcyi, w miejscu x = 0, a to : t/t = 0 y«=-j-1, y₃=— 1; dla każdej z nich musimy tedy wyznaczyć odpowiednie wartości funkcyj pochodnych w miejscu cc —0.

3yV — y‘ + y = 0,

W tym celu, otrzymamy z równania różniczkowego pierwszego rzędu, przynależnego funkcyi y, w postaci : trzy wartości na «/', a mianowicie :

y\ = 0, y\= —2 1 y‘* — ~2

z równania różniczkowego drugiego rzędu:

3yV' + 6yy'²-y"+2y' = o

trzy wartości drugiej pochodnej y", a mianowicie :

*'<"=»"*--T’

Z równania różniczkowego trzeciego rzędu:

3i/² 2/" -ł- 18 yyly“ + 6y'²—y“‘ + 3«/"— 6 = 0, otrzymujemy trzy wartości na y'", a mianowicie :

9

¥’ 2/8"~

2/1'"=-6, ya"'-

O'

, i t. d.

Otrzymujemy zatem trzy rozwinięcia danej funkcyi trójwartościowej y, w postaci trzech szeregów potęgowych :

yt — — x³ — cc* — cc⁵ — ...

V2 =

1    1    1 2 , ³ 3 ,

1—n" x —g"x2 "* 1()    ■"

-1 + Y * +

a stąd, trzy szeregi :

^yxdx—C— X

x⁸ X⁶

4    5    6

C    1 X² 1 X³ 8 X*

jy₂tfx=<7-f-x-- y~¥¥ ⁺ ï6T ⁺ -

x⁴

4 +**•

jy₃rfx=(7-x-fY Y + ¥ ¥ + jako elementy całki, kształtu : J*y dx , jeżeli funkcya y określona jest równaniem :

y³ — y -j- xy — x³ = 0.

2) Wyznaczyć całkę, kształtu: fydx, jeżeli funkcya y określona jest równaniem przestępnem : xy — log y = 0.

- 266 -

Dla x — O, otrzymujemy tu logy=0, a więc: «/ = 1 -f- 2leni, zatem jeden pierwiastek rzeczywisty y₀ = 1, na podstawie którego, stosując rachunek, wyłożony w T. I. str. 677., otrzymamy wartości poszczególnych pochodnych w miejscu x = 0, a mianowicie:

y'0 — i , y"o = 3, y₀"'= 4², y₀(*) = o³

zatem, rozwinięcie :

2°

3¹

5³

6*

2/= ¹ + F! ^ + 2! ^ ⁺ 3!3,3 + 47 ^ ⁺ 5! ^ ⁺-

Całka tej funkcyi, oparta na jej rzeczywistym pierwiastku, w miejscu x = 0, przedstawi się zatem w postaci szeregu:

c    90    Ul    42    K3    «4

^ydx= C+x + 27a;2+3la;3 + 4ia;4 + 5!a:5 + 6-ja!6 + -Uwzględniając także urojone pierwiastki równania : logy = 0, a więc, kładąc: y₀ = 1 4- 2kni , (& = +l, +2...), otrzymujemy:

y\ =(1 4 2hr.i)\ y‘\ = 3¹ (1 + 2fciu)³, y"'₀ = 4² (1 + 2fc™)⁴, y₀(*) = 5³(1 + 2fa»)B zatem, rozwinięcie:

y-=(l + 2fcw) +

1 •••

20(1 + 2&rci)² ^    3*(1 -f-2hi)³

2 !

a;² 4

4²(1 +2fełtt)*

3!

cc³ 4“ •••

-a więc, dla całki, kształtu : §ydx, szereg:

14-2 kr.i 20(l-j-2 hń)

xf

2!

x² 4*

3ł(l 4~ 2fc>ił)³

3!

x³ 4

4²(1 4-2few»)⁴

a:⁴ 4" —

którego promień zbieżności p, znajdziemy z warunku :

(» 4" l)n—2 I 1 4" 2 k rd j«+l . n ! | xn+¹ |

< 1 , czyli :

("44

11 4- 2tot* I. I x I < 1,

a więc : | x | <

w postaci : p = lim

n=ao

__(¹⁺4)

(i₊iV i/r+is^r-

(M)!

(i ₊ l)Vi+«v’

czyli: | x | <d

*\/14- 4fc²Jt²

a więc ostatecznie:

¹    eV/1 4~ 4 fc² rc²

ćwiczenia XYI.

Wyprowadzić i sprawdzić następujące ogólne całki wyższych rzędów :

4M

dxn =

xn

2) J ... Jx"i efce*

— 4- Cj X«-l 4- Cj X*-2 4- ... 4- On-1 X 4- Cm.

xw»+n

(m -|-1) (w -|- 2)... (m 4~ »)

4~ (7jXn —1 4” ••• 4“ Cm—1 X 4“ Cm.

45 4M

Xn—¹ log X

(n—1)!

4~ Cjxw 1 4- ... 4“ Cm—1 X 4- Cm.

⁴> 554M““

(—1)«-1

eax dxn =

a* dxn =

logx 4" C\xn~¹ 4“ ••• 4“ Cm—1 x4" C?

-¹- eax 4- CXX»—¹ 4- • • 4“ Cm—1 X 4- Cm.

Ti—~T 4" C.XW —1 4-... 4" Cm—1 * 4" Cm.

(log a)n ~

(n—1) !

7) j* j*... j amx dxn =

#m.r

(mloga)»

sin ax dxn = sin (ax an \

4- Cjx«—¹ 4- ••• + Cm—1 x 4- Cm.

--2~) 4* Ci"Pw 14- •••4“ Cm—IX 4" Cm.

267

9) J J ... Jcos ax dxn —

cos (ax —

~2") 4" CiXn~    Cn — \X-\- Cn.

Wykazać, źe :

“) jjjj

dxi

a-®)⁵

^xHogx-\- Cix²-\- C₃xĄ- C₃.

^    + C1X3 + <?₂®²+ Ç,® 4- Ck.

dxn —

(_l)»-i 2«

1.3. 5... (2w—1)

[/x-l-C, x«-l + Ci xn—% -f- ... 4- Cn-l X + Cn.

i8> H

dx²

“>JJ--J

x'I* (x—a)³/* dxn

4 -.f^“

^-V^+<7,"+ą-

(a — ôa;)”+l

» ! è»#    + °tX” ¹ +- + <7"-¹* + <7n-

iB> jj

1 4" 3® 4 a:²

1 — ce 4- je²

dx¹

4 ^4 0,.

■f- C^a;² -4 C₃x -j- C₃.

Y log sin x 4 C^æ² 4 C₃x 4 C₃.

18)    J J[tang#4 tang³a?] dx²= tanga;4 01*4 0₂.

19)    jjJJe-coscBdxK= —    e—*coscb4 Ci*³ 402*²4 0₃a; 4" 0₄.

(1 4 £C²)5/j

V/ 1 4 cb²

¹⁶> JW-

¹⁷> JJ J

x(a² — ce²)

(a² 4 *²)⁴

24’ a²4*²

COS CB

sin³cB

dx* =

*» JW

ex 4 11 e²* 4 11 e³* 4- ß⁴*

(eæ — l)⁵

C&B⁴

Dowieść że:

21)    ^f(x)dxi = x ^ f{x)dx—Ja;/ (x) dx

22)    Ii] ^*) rf*³ =    ®² j/(®)dx — x§xf(x)dx4 -i- Jcb²/(cc) dx.

r—n—1

²³⁾    fîî ••• f•rfajw=a] 2(_1)r Cv¹)a;n_r"¹¹ lxr/(æ) rfa:-

r=0

Wyprowadzić następujące rozwinięcia całek:

24) 5(1 + *)»** _ <7+ . + (r) -* + (”) I* +... + („ - j) r + ...

- c+«- !*+...+(-i)—1 ^+...

= c 4 x — x² 4 ••• 4" (—i)"—¹ xn 4...

26)5

26)5 d*

27)    f_—

' J (1 4 cb)³

28)    j‘v/14-

29)    J \/l — xdx= C 4 *—

14®

(! + *)’

x dx —

_ ,    .    1 £C²    1 CB³    i /

C + ®⁺ 2*~2 “ 8" 3-+ - + ⁽~¹⁾

1.3... (2n — 5) xn

2.4... (2n — 2) n

1.3.. . (2n—5) xn

2.4.. . (2w—2) “n

1 cb² la;³

71=00

30)    J(1 4 ®)² <2® = O 4 ® 4 2

³¹)    §    — m = C + x 4 2| (-¹)

(1 4 ®)²

n—1

OT (w — 2) ... (ot — 2/4 4 2) *w+i

«41

2.4... 2n

ot (ot 4 2) ... (ot 4 2/4 — 2) a;M+¹

w 4' 1*

2.4... 2»

nz=z oo

■62) [

(2—x) (1—a:)²

83)

dx

Y/a -f- 6x -4“ c x²

34)

1 -j- a x2 — bx²

— 268 -

^ _ <7+2 (2n +¹ + 2^+r)

71=0

= 0'+-,

n -f-1’

V/ a

{*

b x²    36²— 4ac x³

2a 2 !

X³

X⁵

dx = C x (a -j- 6) g-y + 8 (36² + 2aè — “²) gl "T

+ 5.3.3(56³+ 36²a - ba² + a³) ^ -f ...

4 x³ 4.9 x⁴ 4.9.14 x5 TT⁵“ Si ⁺ 5* a¹⁰ 4 !

1 x2 ¥ 2!

35)    j'(a⁵ -j- a⁴x—x⁵)*^ dx = C -\- ax -\-

r /- /— / lx² 3 x³ 7 x⁴ 9 x⁵ ,    1 x⁶ l

36)    j V/ 1 + e* dx=C+ V2 (*+Tg] + I² IT! ⁺ 4"³ 4! ⁺ 4* 5l ⁺ 4~⁵ 6~t ^ “ I

37)    +

38)    jlog(l-f x)rfx = C-f ^‘²

a² 2x³    5x⁴

4!

2! ⁺ 3!

x³

. 15 x⁵ 52 x⁶ \ ⁺ “5l_ + ~6T ⁺ - /•

X⁴

X⁵

2    2.3 ⁺ 3.4

«oWr^-c+Mni+^+

f*    /j*2    a*3    Qt* ^

40) j log (1-* + x»)    = C- ^ + 27s + 374 H

x⁶

5.6

+... + (-1)"

+ ••• +

x'²»

(2»—l)2n

x⁵

x⁶

5⁴ a¹⁶

5!

xn

(»—!)»

f ...

>•

+ ...

4.5    6.6

41)    jlog(* + V'i+^ix=<7 + |i--i- ₃X‘₄-+2'.4 6I#6 “03 7? 8 + -

42)    j[log(x+V/r+^M]’<fa=C+ J^g-I 8*5 ⁺ it56T7⁻èi^ 7*. 9 48) jlog(x -fV/a² -f- x²) dx = (7+ x log a + ~

___¹    ** i

1.2    2a³ 8.4'

1.8 x⁶ 1.8.5 x«

T ¥74 aF 5.6    2.4.6a⁷ 7.8 ⁺

x²

Wyprowadzić następujące rozwinięcia funkcyj : sin mx

= (j^tangx— (J*) tang³x -f (j”) tang⁵x — tang⁷x -|-... = 1 — (™) tang² x + (J*) tang⁴ x— (™) tang⁶x-)-...

^sin³x-f- ^sin⁴x + ...

tang³x 7 tang⁴x 3 !    4!

48)    e x=^-(l + logx-i(logx)³+^j(logx)⁴—— (logx)⁸+...j

49)    e*=e{l

44)

45)

cosmx

cos mx

COS”¹ X

46) e* = 1 +

sin x sin² x

"TT +_2r

47) e* = 1 + tangx +

(arc cos x)²

4(arc cos x)⁴    31 (arc cos x)⁶

ł5

2!

4!

6!

+ .. }■

. 1 sin² x ,1.8 sin⁵ x

50)    x = sin x + — —^y

51)    x = log (1 + x) -f [log (1 + x)]² + ^ [log (1 + x)]³ + ...

52)    Wykazać, że całce, kształtu: fydx, gdzie y jest funkcyą zmiennej x, określoną równaniem: y¹ — xy—1 = 0, odpowiadają dwie funkcye, w postaci:

(*    1 x²    1 x³    1².8 x⁵    l².3².5x⁷

J2/1 dx = ' ⁺ 'r + ¥ 2~!    2* 3 !    2⁴ 5l ”*    2®

l* , n    1 x² 1 x³ l².3x⁵    1².3².5

J y2 rfx = ü - X + -2 2l - ¥> 8l ⁺    5! "

2.4    5!

7!⁺-

x⁷

2⁶    * 7 !

+ ••

B8) Wykazać, że całka funkcyi uwikłanej, określonej równaniem: «/³ —6xy— 8 = 0, da się przedstawić w postaci szeregu :

54) Wykazać, że całka, kształtu: J y dx, gdzie y jest trójwartościową funkcyą uwikłaną, określoną równaniem: y³-y~\-x = 0, da się przedstawić trzema całkami, kształtu:

f*    7» 2    /y» 4    /y» 6

jy₁^ = C4-T + T+-4

dx= C-fx

jy₃dx =

3x⁸

a:² x³ x4 4 - g — ₈ — -X² X³ X⁴

4 ⁺ 8~_ ~8⁺‘"

55)    Wykazać, że całka, kształtu: Jyc2x, gdzie y jest funkcyą zmiennej x, określoną równaniem: 1—y -f xyn = 0 , da się w otoczeniu miejsca y = 0, przedstawić szeregiem:

dx= C + x    3»(3»—1) ^ + ...

56)    Wykazać , że całka funkcyi y, określonej równaniem: y—x ev — 1=0, da się przedstawić w postaci :

j* y dx = O + x + e ~ + 2 e² ~J 4- 8²e³ ^ + 4³ eK ~ + ...

57)    Wykazać, że Jydx, gdzie l—y—x av = 0, da się przedstawić w postaci:

§y dx = C+ x a ~    2 aHog a . ^    3²a³(loga)² ^-f 4³a⁴(loga)³^| -f ...

58)    Wykazać, że całka funkcyi uwikłanej, określonej równaniem przestępnem: y”\ogy — x=0, da się przedstawić w postaci szeregu:

dx = O + x    g] ~ (2 n—1) g-j -j- (3»—l)² ^

x⁵

(4w_1)3- + ...

wieść, że:

59) Jeżeli funkcyą y określona jest równaniem: yn log y — ax = 0, natenczas do

f    X²

\y dx= C x a

1- (8.-1)»    - (4»-l)* “‘y + ...

60) Wykazać, że dla funkcyi x, określonej równaniem przestępnem: y— a—xsiny = 0, otrzymujemy całkę w postaci :

[*    x²    x³ 3    x⁴    . x⁸

j y dx= C-\- ax -f-sin a ^ -f- sin2a g-j -f- -^-(8 sin 3a — sino)^ -f- (8 sin 4a—4 sin 2a) g-j +

Roz wiązania XVI. Wskazówki i wyjaśnienia podane są w wykładzie obecnym i dwu poprzedzających.

Literatura. J. Dienger. Die Differential- und Integralrechnung umfassend und mit steter Berücksichtigung der Anwendung dargestellt von... Stuttgart, 1868. Dr. Oskar Schlömilch. Vorlesungen über einzelne Theile der höheren Analysis, gehalten am k. s. Polytechnikum zu Dresden. Vierte Auflage. Braunschweig 189 .

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Rozwinięcia całki kształtu :

P _dx

JV/ï+2

— i ich zależność od spółczynnika e.

£X-(-X

2. Teorya rozwijania całek za pomocą metody nieoznaczonych spółczynników i jej

zastosowania.

3. Rozwijanie całek funkcyj uwikłanych według potęg zmiennej niezależnej.

Wykład XVII.

¹

= a, -p2 a₂cc -p 3.a₃cc²-p4.a₄cc³-p 5a₅cr* + 6 . »₆cr&-P ... -p n*n a:"—¹ + ...

-p at cc* ~p 2 . <x₂x⁵ -p ... -p (n—4) otn—i X”—¹ -j- ... -p2aja:*-p2. a₂cc⁵ ~p ...-p 2 a»_4 cc»—¹ -p ...

które prowadzi do równań warunkowych :

Dalszy ciąg uwag, dotyczących rozwijania całek.

1. Wzory redukcyjne danego typu całek. Metoda całkowania przez części, oparta na wzorze :

(1)

£ udv=uv—^v du,

stanowi, jak wiadomo , jedną z głównych metod ogólnych całkowania.

sowne

Na jej podstawie możemy, dla danego typu całek, wyprowadzić sto-wzory redukcyjne, które całkowanie danych funkcyj sprowadzają do całek możliwie najprostszych, a w szczególności rozstrzygają o tern, czy dana całka da się wyrazić przez znane funkcye w formie zamkniętej, skończonej.

Wzory takie wyprowadzaliśmy niejednokrotnie także w tych przypadkach , w których z góry było rzeczą wiadomą, że dana całka da się wyrazić przez znane funkcye , jak n. p. przy całkowaniu funkcyj wymiernych, całkowitych, lub ułamkowych, w wykładzie II., art. 20. i 21. str. 47. i 48.

W takich przypadkach chodziło przeważnie o ewentualne uproszczenie rachunku i uzyskanie możliwie najprostszego sposobu dojścia do żądanego

wyniku.

bądź dla wykazania niemożliwości jej

Szczególnie korzystnem okazało się wyprowadzanie wzorów redukcyjnych dla całek dwumiennych w wykładzie VII. art. 5. i nast.) i całek kształtu: J,j/fc = J sinł£ cos* xdx (Wykład VIII. art. 1. i nast.), gdzie z otrzymanych wzorów można było wyprowadzić t. z. warunki całkowalności odnośnych funkcyj. Przy całkowaniu funkcyj przestępnych, okazała się metoda całkowania przez części, jako jedynie możliwa i wskazana , a wyprowadzanie odpowiednich wzorów redukcyjnych stawało się wprost koniecznem, bądź to dla wyznaczenia odnośnej całki wyznaczenia przy pomocy znanych funkcyi i konieczności wprowadzenia nowego rodzaju funkcyj przestępnych, które już tylko przy pomocy, szeregów utworzonych ze znanych funkcyj, przedstawić się dały.

W szczególności, poznaliśmy takie wzory przy wyznaczaniu całek kształtów: §xneaxdx, (str. 174.), J(logx)ndx, (str. 179.), Jæm(log#)w$r,(str. 181.) Jarsin xdx i ^xm cos xdx, (str. 189.), J (arc sin x)n dx i J (arc cos x)n dx, (str. 193.) Ja;”¹ arc sinxdx, (str. 196.) i Ja;”¹ arc tang xdx, (str. 197.), J xm eax sin bx i £ xm eax cos b x dx, (str. 228.) i t. p.

Mając w pamięci podane tamże sposoby postępowania i ich wyniki, zajmijmy się ogólnie metodą powtarzanego całkowania przez części i rozważmy wzory ogólne, na niej oparte.

2, Metoda powtarzanego całkowania przez części i ogólne wzory, na niej oparte. Niecli będą u i v dwie dane funkcye zmiennej x, których pochodne oznaczmy kolejno przez : u\ v‘, u", v" kształtu: fuv^dx, całkowaniu przez części, powtórzonemu m-razy, otrzymamy kolejno równania :

mw, Poddając całkę

fu vW dx=uv^n - b— JwVn_b dx , /mV"⁻¹) dx=wVw~:b—fu"v(n—y dx

f    ^(n—wi+i) dx=t&m~*)    — J u^ v^n *") dx,

z których wynika ostatecznie wzór ogólny:

fuv{-nHx=uv'n~^—u,v{~n-²) + ... + (—l)(m-i) um~X) v{n~m^{—V)m JiiC«) v^-^dx. (2) Dla m—?i, otrzymujemy stąd wzór:

(3)

fuv(n) dx = tw(n_1) — mV*⁻²) -j-... -j- (— l)n—1 u'n-^v-f (— 1)” §uWvdx

który poznaliśmy już w art. 11. Wykładu XIV. na str. 227., jako uogólniony wzór metody całkowania przez części.

Wzór (2) możemy wyprowadzić także w odmiennej postaci.

Stosując, mianowicie, metodę całkowania przez części m-razy do całki, kształtu: fuvdx, zamiast do całki, kształtu: fuv^dx, oznaczmy wyniki powtarzanego całkowania, wykonanego na funkcyi v i jej całkach przez: j ^2> •••>    > gdzie :

vx=^vdx, vï=^vidx=^vdx², v₃*=Çv₂dx=§^vdx³, vm=K.-i dx=N... $v dxm,

ogólnie :

otrzymujemy kolejno następujące równania:

f uv dx = uvi — jV vi dx, f uvi dx—u‘v₂ — Jw" v₂ cfa;, fu"v₂dx=u“v₃—fu,llv₃dx

f vm_\ dx=u{m~l) vm — f w(m) vm dx

z których wynika ostatecznie wzór:

(4)

fuv dx=uvi —u‘v₂ + ... + (—l)”*⁻¹    vm 4- (— l)m fuW vm dx

który jest tylko odmienną postacią wzoru (3).

3. Zastosowania powyższych wzorów do wyznaczania całek w formie zamkniętej. Z otrzymanych powyżej wzorów możemy przedewszystkiem skorzystać przy wyznaczaniu całek szczególnych typów w formie zamkniętej.

Sprowadźmy, mianowicie, na jedną stronę znaku równości, występujące tamże całki, a otrzymamy z wzoru (2) całkę, kształtu:

J[wv(n)-(-1 )™ uW v(n~m'>] dx=uv'n~v _ n‘v(n-V

czyli :

r*    r==m—1

-r-l)

\ V{n) _ (-u(m) v(n-m)]    ^ ( ~ W

t)    r=o podobnie, z wzoru (3) całkę, kształtu:

f[u v(n) _ (—l)n M(») v] dx=uv(*-V-u'rt*-V + ... + (—I;"-¹ u(n~Vv

czyli :

— 272 -

^ [uvW

r=n—1

—(—1 )"u'n^v]dx=    (—l)rM(r)V⁽’¹

-r-l)

(6)

r=0

a wreszcie z wzoru (4) całkę, kształtu:

f [uv—(—1 )m uW vm] dx—uvx — u‘v₂ + • • • + (— 1 ) w(ł" -1 ⁾ v

czyli :

r—to—1

[uv—(—1 )mum)vm]dx= 2 (—l)rw'r>vr+i

(7)

r=u

ko-

W szczególności, otrzymujemy z wzoru (5), kładąc m=1, 2, 3,..., lejno całki, kształtu :

+    dx=uv^n~i),

J [w-yM— w"v(n_2)]    — M'v(n_2),

(8)

(9)

u“¹ v{n~Z)] dx = uv^n~^—wVw_2)-t-    ,

które, dla »=1, 2, 3,..., przedstawiają się w postaciach:

/ (wv' + w'fl) dx=-uv,

/(uv‘‘—u" v) dx=uv‘—, u'“v)dx-=uv“ —u‘v‘-\-u‘‘v, i t. d.,

wypływających także z wzoru (6), względnie w postaciach:

J[uv+u¹ vx ) dx=wv,,

J (uv—u"v₂) dx=uvx -u‘v₂, f (uv+u,/,v₂)dx=uvx — u‘v₂ +u"v₂, i t. d.

wypływających z wzoru (7).

4. Wzory powyższe wykazują, że całki, dające się sprowadzić do postaci ogólnej : J[«i’(w) — (—l)m u^    dx, lub do postaci: J[uv'n'>—(—\)nu^v]dx

względnie do postaci: J[mv—(—1 )m u^v^dx, dadzą się zawsze wyznaczyć w formie zamkniętej.

Ażeby wyprowadzić poszczególne całki tego rodzaju, należy przyjąć dowolnie dwie funkcye elementarne u i v i wyznaczyć ich pochodne, względnie całki pierwszego i wyższych rzędów.

Przyjmując u=ex, v=f(x), otrzymujemy, na podstawie wzoru (9), następujące całki:

./> [f\x) +f(x)] dx=e*f(x) + C, sex[f“{x)—f\x)] dx=ex [ f (x) -f\x)]+C,

$ ex[ f“>{x)+fXx)]dx=ev[f“ {x)—f‘(x) + f{x)]Ą-C,

ogólnie :

jV [/*<"> (æ)-(—l)*f{x)]dx=e[f(n-'){x)—f(n-²)(x) + ... + (-l)»-'f(x)] + C. (10)

5. Przykłady, c) Wyznaczyć całkę kształtu:    dx.

Przedstawiwszy daną całkę w postaci:

możemy podstawić:

u — ex

v = logcc, a więc: u‘= e*, »'= —

- 27B -

tym sposobem sprowadzimy daną całkę do wzoru: J (uv‘ 4- w* v) dx — uv , otrzymujemy zatem :

e* (1 + x log x) J    x

2) Wyznaczyć całkę, kształtu: j Mamy tu :

dx = e¹ log x -f- C.

sin x (a;² log x—1)

a:²

sin x {x² log a: — 1) ^

xl

= j*sin a: {log a:- dx

a więc: w'^^osa;, u“

Kładąc: M=sincc, v = logaj

sprowadzamy daną całkę do całki, kształtu :

otrzymujemy, zatem :

J"(uv" — u¹¹ v) dx— uv‘ — u‘v ,

sina:

--cos x log* C.

X

3) Wyznaczyć całkę, kształtu :

x log x + \/l — a;² arc sin x x\/1 — x²

Daną całkę możemy przedstawić w postaci :

Kładąc : loga; = M

-I

log a;

\/1—a?²

* y/w*’

arc sin x

dx.

i r

a zatem : u‘ = — , vx = \

dx

V/1 —a;²

arc sin x, spro-

wadzamy daną całkę do wzoru :

otrzymujemy, zatem : czyli :

J = log x . arc sin x ,

dx — arc sin x. log x -f- C.

4) Wyznaczyć całkę, kształtu:

J — fx³cos x . (20 -f- a:²) dx.

Przedstawiwszy daną całkę w postaci:

J — J (20a:³ cos x 4* a:⁵cos x)dx, zauważymy, że, kładąc: u — cos a:, t' = 20*³, dostajemy:

u‘— — sin*, «" = — cosa;, vl = 20Jx³dx— 5a:⁴, vt =J’vidx-=x⁵,

a tern samem , sprowadzimy daną całkę do postaci :

J~(uv — u" i>₂) dx=uvi — u‘vj.

Otrzymujemy, zatem :

J*³ cos a;(20 4~a;²)<2a: = 5a:⁴cos x 4- a:⁵ sin a: 4- O.

6. Zastosowanie metody całkowania przez części do rozwijania całek na szeregi. Wzór ogólny:

«(»—D® 4-(—1 )nfuWv dx

(U)

fuvW cłx=uv⁽-n~¹'⁾ — M^(n-²)4-.. 4-(— 1)

prowadzi do kilku , uwagi godnych szeregów.

1) Połóżmy u=f\x), v

{x—a)n

a więc :

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

(x—a)

n—2

v‘ =

(x — a)

(n — 1) !

(n—2) !

w(") = /(”) (a:), v(n)=l

a otrzymamy, z powyższego wzoru, następujące rozwinięcie :

(X— a)³

§f(x)dx=C+f(x)

+ (-l)«“V⁽*-¹>(aO

. (x—a)—f‘(Ą. - ₂ ^

(-1)”

(a;—a)w

+ /*"(*)

^ f W (a?). (a;—a)n dx

które, w przypadku, gdy, dla w = oo wadzi do szeregu :

całka końcowa staje się zerem, pro-

(a;—a)

-jf—+-+/*"-’> W

Kładąc: j' f(x) dx=F(x)₁ zatem:

f(x)=F\x), f ¹ (x)=F,l(x),..., f<-')(x)-Fto(x),

otrzymujemy, stąd :

{x— a)n

F (x) =C+ F\x) .(x—a)—F“ (x)    + ...+ (-1 )n-¹ J*W (^)

2 !

Połóżmy w tym szeregu, raz: a: = 0, a drugi raz: x=a, otrzymamy

równania :

[f'(o)a+^"(o)|' + ...+ F<«)(o) ~ F(a) = C,

F(a)-F(o) = jP'(o) o + J?" (o)    ... + J'” (o) -,

-F(a) = F(o)+ ^,/(o)a+-F*(o)-^j + ...+ -F(n) (o)

*»... &>„.+.,+

F{o)=C-

które, odjęte od siebie, dają:

czyli :

4-...

a zatem , szereg Maclaurina :

F(x)=F(o) +

1!

xJr

Fi*) (o)

(13)

2) Połóżmy :

a zatem :

u=1(x), V

xm+n

(w-f l)(m+2)... (m + w)

(m +1) (w+2)... (m+w — 2) ’ , ?;(”)=a:TO

(«W + 1)(m+2)...(m 4- w— 1)

V(n-1)

xm+\

m-j-1

natenczas, otrzymamy, z wzoru ogólnego (11), następujące rozwinięcie:

(m + l)(m + 2)...(ïw+M — 1)

f⁹ 2)(*) +

x"¹ / (x) dx=C-\

^Wl + l

/’(*)

(m+l)(m + 2)

/■'(*)+

xm+3

(m + 1) (m + 2)(m + 3)

(—1)*+'

(m+1) (m + 2)... (m + w—1)

prowadzące do szeregu:

xm+\

m+1

/'(*)

Xm+2

(m + l)(m+2) (m + 3)

/•"(*)

(m +1) (m+2)

/jjm+i

/"(*) +

+ ••• + (—1)”

(m + 1) (m + 2) (m+3) (m+4)

^”i+n+i

(m+l)(m + 2) ...(m+w + 1)'

(14)

Z tego szeregu, otrzymujemy : a) dla m=0, szereg:

f*    2    3

(15)

y o*) <&«=c+xf{x)—^f‘ (â;)+^|/'/< (*)—

zwany szeregiem Bernouille’go : 5^) dla m=l, szereg:

^xf\x)dx=C+^f(x)—

« 'co

(16)

zwany zwykle szeregiem Holland’a.

3) Kładąc :

u=f (x), v=

eax

an ’

a więc :

V¹

e'lx

v“=

ea.r

a"-²

an_1

otrzymujemy rozwinięcie, w postaci wzoru:

v (n) = eax,

^e™f(z)dx = C+e"”    6 ^

a²

a³

- ... + (— I)"“¹

f"-'(*)

an

(- 1)B

a”

(#) ofa;

który, w przypadku, gdy, dla w = co, całka końcowa staje się zerem, prowadzi do szeregu :

/(•-*)(«)

tf²

o³

+...+

+ (-!)"'

an

H-l)

/■W (a;)

a"-¹¹

Dla o=l, otrzymujemy stąd szereg: /«•A») <**- c+ «* { A*) -/■'(*) +/■" (*) - f “'(*) + .. +(-1)”/ "(*) + •

4) Kładąc:

u=f(x), v(w)=sina;

a zatem:

t>(*-ń

= sin y—

v(n—2) _ g jn

(-T)

.    / m7r\

=sm(^--₂J

,...

otrzymujemy rozwinięcie:

y (x) sinxdx = — f{x) sin — x^j f‘(x) sin ^    —

+ (—1)” /'(«"^ (x) sin {^—+ (—1)"⁺¹ J/(w)(o5) sin (^~x^ dx,

skąd, w tym wypadku, gdy, dla n=oo , całka końcowa staje się zerem, otrzymujemy szereg:

f f(x)$in xdx=[f' (x)—fn‘ (x)+f^ (x) —...] sin x — [ f(x) — fu (x) + /W (x) — ...]cos x, a podobnie :

f f{x) cos xdx—[ f(x)— fu (ic) + fW (x)—...] sinas-j-l/'O») — f“,{x)-\-f^⁾ (a:)—...] cos a:.

to a

LC

(18)

7. Rozwinięcie całki, kształtu: Jf{x)cp(x)dx na szereg, upraszcza się niekiedy, jeżeli znane jest rozwinięcie jednego z czynników, występujących pod znakiem całkowym.

Jeżeli, mianowicie :

<p(x)=<p{a) +

(p\a)

(a:—a) +

cp“ (a)

<p("> (a)

w!

(05—a)"-ł-...

względnie :

9>0*0 = 9>(°)4

9>'(o) __ , <p"(o)

1!

«4

2!

æ²4- — 4

<jpW (o)

05n + ...

wówczas , otrzymujemy :

/ (*) <3p(^) = 9P(«)/(^)4

<P‘ («)

1!

(o;—a)/■(«)+ ₂,

(x—a)²/(x) 4--4-

4-    4-...

względnie :

t\x) cp{x)=cp(o)fXx) +

cp\o)

~y~X²f(x)+... +

»! xnM + -

a stąd, rozwinięcie danej całki, w postaci:

^f\x)cp{x)dx = C-\-cp[a) ^f(x)dx +

cp\a)

J(o5—a) f(x) dx + ^ (x—a)n f(x) dx +...

cp“ (a)

2!

^ (x—a)² f\x)dx +.. +

względnie, w postaci:

J/ (x) cp (x) dx= C + <p(o)    (o;) dx+^jY Ja: f\x) dx+ ^ J

cpW (o)

x²f (x) dx-\- ...+

4"

Jo5n/(05) dx+.

(19)

8. Mając n. p. rozwinąć na szereg całkę, kształtu:

^~7xdxi uwzg^d-

nijmy, że:

a—a:    a

=--h —«-r

a²

w I to

+-Ï + ...4

xn-\

a⁴

an

4- —

a otrzymamy szereg:

log a; log a:    a: log a:    a:² log a:

a — 05

a²

4-4

Xn log X

an+¹

zatem rozwinięcie :

flog 00    If    If    If

J    dx = C+ — ) log zdx+ ~₂ j X log xdx + ~y² log X dx +

...+ -^j^xn-'\ogxdx + ...

Ponieważ, atoli :

k"1 log xdx=xil°s •-$- ('»g * - l)

przeto, powyższe rozwinięcie sprowadza się do postaci:

1 x3 az 3

dx= C+—x (log*— l)+-t xl Ja— x    a &    a² 2

(log*-i)

1 xn an n

(log*- i)

+ -+■

czyli :

(log*- i)

flog* dx=C+ \Ł Ja— x    y a

xz

Xn

2a² ' Ba³

_*3

^ 3²a³

nan

+...

]¹⁰g*- [1+

X²

2²«²

xn

n² an

9. Rozwinięcia, oparte na różniczkowaniu danej całki pod znakiem całkowym. Z rozwinięcia danej całki, zawierającej pod znakiem całkowania pewien parametr zmienny a, od zmiennej x niezależny, w postaci :

f    2    3

j/(xta)dx~    <Pi(a)% 4- %(a) 2]^3(°0    4- • • • j

(21)

otrzymujemy, na podstawie prawidła różniczkowania całki, ze względu na ten parametr (patrz str. 232., art. 21.), następujące rozwinięcie:

Y ^da    dx = C+ P''x⁺V'²    h + <P‘^'T\

2    g

dx=-CĄ-<p^*> (a). a;+0>₂M (a)^ + <p₃(n\a)~+...

ogólnie :

dnf(x, a)

Tak n. p. z rozwinięcia :

e!5S?&_₀₊[.?.₊* +

Ja—x    [ a    2a²

3a³

]l0s*-[4+

xz

2²«²~ 3²a³

4-...

(22)

(23)

wyprowadzonego w poprzednim artykule, otrzymamy, jeżeli je według a zróżniczkujemy, następujące rozwinięcia:

x² x³

^3+^4 + "*

(* log a; ₇    „    1 [2aj 3ic² 4ar’

)^feC+ïb⁺,i ⁺ ï⁺"'

.i

logo;

(a—x)

-dx=CĄ- f₂+

x²

iC³

]■

2a3 1 3a3 1 "*

3x² 4ic3 + 2«*⁺ 3«‘⁺-

w ogólności :

dx - C-|-

log x

jtł=00

2 (ix+¹) (f*4-2) - (H-n—2)xf4,

a!*+n-l

\ 1 ⁰⁰

r~^Ł

<»—i)i( „=,

10. Całkowanie pod znakiem całkowym. Niech będzie daną całka w postaci: J<jp(iC, a)dx} gdzie a jest dowolną stałą, od zmiennej x niezależną.

{a—x)n

Funkcya, tej całce odpowiadająca, będzie zarówno funkcyą zmiennej x, jakoteż funkcyą stałej dowolnej a.

Połóżmy, zatem : i przypuśćmy, że: f(x, a) jest cp(ic, a), t. j. że:

J f(x, a)dx=F(x, a),

ze względu na a, pochodną innej funkcyi :

, czyli, że: cp (ac, «)=%/'/(#, à) da,

d cp (x, a)

f(x, «)- —d-

natenczas, na podstawie prawidła różniczkowania pod znakiem całkowym, podanego w art. 21. wykładu XIV. str. 232., zastosowanego do całki kształtu: fip(x, a)dx, ze względu na stałą dowolną a, otrzymujemy, wzór:

d(p (x, a)

da

dx

a)

a stąd:

/ ç) (x, a) dx=JF(x, a) rfa

a zatem :

czyli :

/[ f Hxi cc)da]dx=fF(xt a) da

J jP (a?, u) da =J [ f f(x, a) da] dx

(24)

to znaczy :

Mając całkować daną całkę, ze względu na pewną zmienną, znajdującą się pod znakiem całkowania, a od zmiennej całkowania niezależną, możemy wprost całkować ze względu na tę zmienną samą funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania.

Na tej podstawie, otrzymamy z wzoru:

F{x , a)=Sf(x, a) dx,

na podstawie pojedynczego całkowania, ze względu na zmienną a, wzór:

JF(x, a)da=f[ff(x, a)da]dx,

na

a stąd, na podstawie w-krotnego całkowania tej funkcyi, ze względu zmienną a, wzór ogólny:

(25)

na podstawie którego, możemy, z danej całki, zawierającej pod znakiem całkowania dowolną stałą, wyprowadzić dowolną ilość nowych całek.

xa+¹

11. Przykłady. 1) Z całki zasadniczej : Jæ« dx =

w której wykładnik « jest stałą

a 1

dowolną, na podstawie prawidła całkowania tej całki, ze względu na parametr a, otrzymamy całkę, kształtu :

ogólnie :

czyli:

_ff ...f—

J J J a -}- 1

xa+i

d a,

_X«

J (log x)n

- dx

da.n.

2) Z całki zasadniczej : j

g---

— , otrzymujemy tą drogą całkę: a

Çeax , Çeax ,

\ — dx= \ — d a J x    J a

ogólnie :

t.

c ₀ax    ce (• cex

Ci

do.n.

3) Z całki zasadniczej : J

_ sin olx

cos a.xdx=-, otrzymujemy :

f sin a x ₇

= 3 -t-*-

f sin a x , l-dx

J X

czyli :

cos

, fsm«æ dx<=\——

J a

da.,

ogólnie :

cos

Vx- 2)

x«

Mi-PT

dan }

podobnie, dostajemy z całki : j*

sin axdx ——

cosax

-, wzór ogolny :

Csin(“-

J xn

UT.

da«.

12. Rozwinięcia, oparte na całkowaniu pod znakiem całkowym. Z rozwinięcia danej całki, zawierającej, pod znakiem całkowym, pewien parametr zmienny a, niezależny od zmiennej całkowania x, w postaci:

y(*ł a)dx=C+(pi(a)x +<p₂(a) ^7+ 9>₃(«) 3-, + -:

otrzymujemy, na podstawie, powyżej wyłożonego prawidła całkowania, ze względu na ten parametr, następujące rozwinięcia :

ogólnie :

gę 2 p    gę 3 7*

da] ax=C-\-xfg)i(a)da + ^ W₂ i°)da 4- ^-f \(p₃(a) da+.. f[ff-•//■(*» «) da*}dx=C+xff    dan +

•j

(26)

+S 55 - 5%(a) *r+S 55 - 5*(a) dan+-

(27)

Tak n. p. z rozwinięcia:

C¹^*₌G>+[* +

Ja—a:    y a

a;²

a:³

a?²

ar

2²a2-r 3²a³ '    ]

2a² ^ 3a³

jeżeli je według a scałkujemy, otrzymujemy następujące nowe rozwinięcie:

^log (a—a?). loga;c?a:=C-l-|^a:loga

to

a:³

2.3 a² •*

.Jloga

[    gę 2

[æl°ga-2%

2.3²a²

ćwiczenia XYII.

Wyprowadzić następujące wzoi^y redukcyjne : xm—1

æ¹“ dx

⁸n

xm—2 dx a -(- 6x²

2w—3

(a -j- ôx²)«    2(»—l)a(a-H>x²)*—¹    2(n—l)a J(a-j-6x²)«—¹

05"»—1

(a 6 æ2)n (2n—m — 1) b (a -f- 6x²)«—¹

i—

(m—1)«

xm~²dx

(2n — to — 1)6

(a + 6x²)«

⁴Ć

dx

xm (a -\-bx -f- cx²)«

(m -j- n— 2) 6 P (to—1) a J

(to— 1) ax'”—¹ (a + 6x + ex²)«-¹

(w + 2w—3) c

dx

xw~¹ (a 4 6x -)- cx²)«

(to— l)a

r__rfx_

J x'» -² (a -j- 6x + cx²)«’

5)

_2xm \/a -\- bx

Va + bx (2to + 1)6

xm <Zx

2TOa f a;rw~1 dx (2to + 1) 6 J V/a + 6x

V a -Y bx

*w Y/ö+fcjr “    (n—1)0®»-!

®m

r_*■

j y/(a + &aj2)w 9) J®'n sin axdx

... f    , ®m sin a® . to®⁴”—¹ cos ax

10) j xm cos ax ax = —-

6)

7)

8)

dx

(2n—3) & (2n—2) a

r dx J®”-¹ \/a

&®

\/ abx ²

(»—2) « y/( « -j- 6® ² )”—²

to®”*—¹ sin a®

®m cos a®

b f_dx

m —1 >"—²Y/a + 6*² ' »—3 r

⁺ (»-2)«J

TO (TO— 1)

dx

y/ (o-j-6®²)»—²

a²

a²

TO (TO — 1)

a²

a²

j* 2 sin ax dx. j xto—2 cos ax dx.

11) ^®” arc sin xdx=

®”+i arc sin®

n -}- 1

®»+l

13) ^ xn arc tang x dx =

®«+i arc cos x

n-Y 1

ł-i^r-®²

i r ®*+i

®”-M arc tang®

nY 1

xn+¹ arc cotg ®

dx.

®«+l dx 1+®² ' ®”+l dx

14)    J ®” arc cotg ® dx ■■

r    xn p.nx

15)    \®»e>”*d® = ——

J    TO

16)    j ®m (log ®)n <2® = -

17)    j"®” log (a ~Y bxm) dx =

18)    J(arc sin ®)”« dx = ® (arc sin®)m -}- m\/1—3:2 (arc sin®)”¹—¹—to (to — l)J(arc sin®)"⁴⁻² dx.

19)    f( arc cos x)mdx=x (arccos®)”¹ — toV/ 1—®² (arc cos®)'”—¹—to(to—l)j* (ax*c cos ® )”*—²<2®.

n -J- 1 § 1 + x

.V*

®”—¹ emxdx.

®»”+¹

to -f 1

(log®)”

———r \ ®w (log »)”-* d®.

TO 1 J

r *m+n ,

3«-}- bxm

®»+l log (a -}- bx"¹) hm n -f 1

n-Y 1

cosw~!®(acos®-}-»sin®)    w(»—1) P

⁶    a²-}-»²    a²-}-»² J

²°) J

21)    J e“* sin” xdx = eax

22)    §f(x) Yn‘ (x) dx —/(®). o(” -i)(®)—J/¹ ' (®) cp(”—0(®) dx.

eax cos” x dx =

eax cos”—² ® d®.

sin”—¹ ®(a sin®—n cos ®)

w (n — 1)

a²    n²

a² -}- w²

J sin”

—² ® dx.

23) £/(®)<p(”)(®)eZ® =    (—l)r/(r) (®) .»(*->■—l) (*) -}- (—l^jyW (®) ©(”—»*) (®) dx.

r=0

r=n—1

24)    £/(®) cp(”)(®)(2® =    (—l)r/(r) (®) «(»-r—1) (®) -}-(—(®) © (®) (2®.

r=0

25)    j/(®) cp(®) dx =/(®)/cp(®) dx — J[ / ' (®)/ cp (®) (2®] <2®.

r=n—1

26) $/(*) ? (®) rf® = 2 /(r) (*)-S5™    • d;rr+1 + (—¹)wf[/(n) (*) î -Î J?(«)dxn) dx.

r= 0

Dowieść, że :

28) /[/(®)cp"(®)— /"(*) • ®0»)] dx =/(®). »'(*)—/' (®) cp (®).

r=n— 1

29)    J[/(®) . ©(”) (®) — (—1)*/W (*). ® (®)]<2® = 2 (—¹)r/(r) 0*0    r-’> (*)•

r=0

r=m—1

30)    [[/■(*). ?(*)(®) - (—i)m/v”5 (®).    (®)] <z® =    (—i)r/(r)(®) ©(”-»•-!) (®).

t—m— 1

r=0

Wyprowadzić następujące wzory całkowe: ex (1 4 x log a:)

a?

dx = e* log æ 4 C.

88) ^U+»,lo8») dx

_ ex (x\ogx—l)

X²

+ C.

34) JeB(acosaa; 4 sin a a;) <&e = e* sin ax 4 C. 35) C⁶* ~ł~ ^*0 ^ _ oCr \ZX | C.

se) feiL+Ą_

9    cos²a;

x cos a;) ,

--- ax

= ex tang x C. 37) j"

x 4 sina; cos x

cos²a;

dx— x tanga; -j- C.

38)

V/1— a;²

dx = x arc sin x 4 C.

39)

arc sin x arc tang x

\/l—x²

H|

I dx — arc sin x . arc tang x 4 C.

x log x-\- (1 4 a;²) arc tang x

x-\-x³

-dx = log x . arc tang x C.

sin x — x log x . cos x

+ C.

42) J(a;cos x 4 3sin x)x²dx = a;³sin x C. 43) f(a;²4 6) x sin x dx = x\3 sin x—x cos x) -\-C.

sin x

sin x -J- x log x cos x

dx = log x

45) f(x³ sina; 4 6 cos x)dx = — x³ cos x 4 3x² sin x 4 6æcos x-\- O.

+ C.

Wyznaczyć następujące całki w formie zamkniętej: 46) j*(a;cos x -\-m sina;)»»«—1 dx. 47) J-

48) ^(m cos a: — a; sin x) xm~l dx. 49) ^

sina;da:. 51)

52)    58)

(14 a;²)² arc tang x— 2a;

(1+a;²)

sin xdx.

sin x + cos x . arc sina;\/1— a;²

V/1—X³

dx.

50)

r-

—arc

sina; \/(l—x²)³

cos x — x sin x log x , ---— dx.

x—2a;³log x

dx.

54) Na podstawie metody całkowania przez części, wyprowadzić szeregi Taylora i Maclaurina.

Wykazać, że :

log (x 4 \/ 1 4 x%)

55)

dx —

56)

$i°g

1—V/1 — 4a;

2x

dx =

x² 2 x* 2.4 x⁶ 2.4.6 a:8 Ł+2~ 3 4 ⁺375Ï “3.5.7 8’⁺

a:²    3 x³

C+2+2 S-+

4.5 a;⁴

273 T

5.6.7 x5 2.3.4 5 ⁺"‘

57) J cos (z 4 a) dx —

61)    j arc sin xdx=C 4^4

62)    j(arc sin z)¹ dx = C + ^ + g?-j *-

sina:

dx =

C 4 cos a.a;— sin a — — cos a

_ . x² x³ dx⁵    8a;⁶

C+æ+2l + B! “

4-

X³

*⁵

.B1 + Sin«T+cos«^-...

5!    6!

4a;⁴    12 a:⁵    35 a;⁶

xi

x⁶

1.2    8.4 ' 5 .

tH cm

5!

-1

a;²”

“7T8⁺- + (_1)”

1.3... (2n—3)    a;2»

2.4 576 +    + 2.4... (2n—2) (2n - 1) 2n

4 ••• 4

x⁴ .1.8 x⁶

371

2²4²

x⁷

3.4.6.67

(2 n—1) 2 n

2².4²... (2n—2)² x2w+i 3.4.5 ... 2» 2» 4l”^ "'

- 282 -

j n \ 3,2 . 2 x⁴ 2.4 x⁶ 2.4.6 x8 ⁽⁷⁺"2 ⁺ 8"T"¹“ BTô fi” 3.5.7 "8 ⁺

64)    $logsec*«te=C + || + 2|j + 16^+16.17.||+...

65)    Wyprowadzić t. z. szereg Bernouille’go :

j/(x) dx = C + x/(x)— |j/'(*) +    (*) + •••

Na podstawie metody całkowania przez części, wyprowadzić następujące rozwinięcia :

72)    j x log xdx — C-\- — log x

Wyprowadzić następujące rozwinięcia :

₇₄N C_dx___C+---1 + ^-- —-

⁴' J (a + x)>    a² o3 + a⁴ a⁵

75)    J log (a -f-x) dx= C + xloga -f —

⁷⁶⁾    I (x² + a²)²

77)    j log (x² + a²) tfx = C+ 2x log « H

63)

* arc sin x

VT-^

X²

X³

X⁴

sinxrfx= C-j-³-’ sinx cos x— — sinx — cos x -{- ...

= CĄ-ex |x

x²—a²

2!

X³

2isina;-ri

X² X³ X⁴

2l ⁺ 3"! ” 4l

COSX —

+ ••• }•

sin x—

dx = C —

x⁴

— sinx+ •••

)■

X³

in

cos x—

x⁴

X⁵

4iSin*⁺5!

cos x -f-

X⁴

Si““ *-4!

— x²

X    X³

-•> I w4

a²

x⁵

cos x — — sin x -j-... 5 !

I—ł--1___--1------[-... ).

11.2.3^2.3.4^3.4.5^    /

2.3a²

X⁴

X⁵

3.4o³    4.5o⁴

X⁵

x⁷

a⁶

X³

X⁵

x⁷

Rozwiązania XVII. 1)—31). Na podstawie metody całkowania przez części. 32)—45) Przy pomocy stosownych przekształceń, prowadzących do wzorów art. sin x — (1 + *²) cos x arc tang x

10.

46) xm sin x. 47 )

1 + x²

.    48) xmcosx. 49) sin x . arc sin x.

sin x—\/i— x². cosxarc sin x

cos x-j-x sin x log x

. xlogx—(l+x²)arctgx

⁶⁸⁾-«(1+55)--

55)—73) Wskazówki zawarte w art. 4. 74)—75) Różniczkowanie i całkowanie szeregu

f adx

P»aiu8 »•

50)

V/l-*²

51) cos xlogx. 52)

na

a -f- x

podług a. 76) —77) Różniczkowanie i całkowanie szeregu na

Literatura. M. E d. Brahy. Exercices méthodiques de calcul différentiel. Paris 1898. Exercices méthodiques de calcul intégral. Paris 1903. W. B. Smith. Infinitesimal Analysis. Vol. I. London 1898.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Rozwijanie całek na szeregi za pomocą metody całkowania przez części.

2.    Szeregi Bernouille’go i szeregi pokrewne.

3.    Różniczkowanie i całkowanie pod znakiem całkowym i ich zastosowania przy rozwijaniu całek na szeregi.

Wykład XVIII.

¹

log x -f- V/l — x'¹ arc sin x

x\/1— a:²

Różniczkowanie i całkowanie funkcyj dwu zmiennych, niezależnych.

1. Pochodne cząstkowe funkcyi dwu zmiennych niezależnych. W danej funkcyi z dwn zmiennych niezależnych x i y, kształtu : z—fix, y) możemy : 1) zmienić zmienną niezależną x o Ax, niezmieniając zmiennej y, albo 2) możemy zmienić zmienną y o Ay, niezmieniając zmiennej x. W pierwszym

dz

przypadku, dochodzimy do stosunku różniczkowego —, sunku różnicowego, w postaci :

jako granicy sto-

== lim

à % Acc == 0

f(x+Ax, y)—f(x, y)

Ax

y),

(1)

dz

w drugim, do stosunku różniczkowego—, jako granicy drugiego stosunku

różnicowego, w postaci:

dz ..

— = lim ày \y = o

dy

f(x,y + Ay)—f(x, y)

dy

=f‘y(x, y)•

(2)

dz

dz

Otrzymane stosunki różniczkowe — i — nazywamy cząstkowymi stosunkami różniczkowymi, a funkcye :    y) i f‘y (#, y), pochodnemi cząstko-

wemi danej funkcyi f(x, y), podług a; i podług y.

Pochodne cząstkowe danej funkcyi dwu zmiennej, otrzymujemy, widocznie , na podstawie prawideł różniczkowania danej funkcyi f(x, y), podług jednej zmiennej, uważając drugą, jako stałą.

Tak n. p. otrzymujemy dla funkcyi #=y²sinæ, dwie pochodne cząstkowe:

^=2y sina:.

dz

-^y’cosz,

dy

2. Różniczki cząstkowe i różniczka zupełna funkcyi dwu zmiennych, niezależnych. Zmiana zmiennej niezależnej x o Ax, wywołuje w funkcyi : z—f{x, y) cząstkowy przyrost Axz funkcyi z, ze względu na x, w postaci:

(3)

Axz=rf(x+Ax, y) — f(x, y), zmiana y o Ay wywołuje podobnie cząstkowy przyrost Ayz funkcyi z, ze względu na y, w postaci :

- 284 -

Zmniejszając nieograniczenie przyrosty: Ax i Ay i zastępując je w końcu przez różniczki dx i dy, zmiennych niezależnych % i y, dochodzimy do różniczek cząstkowych funkcyi z ze względu na x, względnie na y, które oznaczamy przez dxz, względnie dyz i otrzymujemy w postaci:

f(x+Ax, y) — f(x, y)

dxz = lim A cc =. 0

Ax

dz

Ax= — dx=f'x (x, y) dx,

OX

(5)

dyz= lim Ay = 0

f(x, y+Ay) — f(x, y)

Ay

dz

%=    y)dy.

ày

(6)

Każda różniczka cząstkowa przedstawia się więc, jako iloczyn z odnośnej pochodnej cząstkowej przez różniczkę tej zmiennej niezależnej, która ją wywołała.

3. Równoczesna zmiana obu zmiennych , niezależnych x i y o przyrosty skończone Ax i Ay wywołuje odpowiedni przyrost funkcyi z, zwany przyrostem zupełnym tej funkcyi, który oznaczamy przez Az i otrzymujemy w postaci różnicy :

Az=f(x + Ax, y + Ay) — f(x, y).

(7)

Otrzymaną różnicę możemy także przedstawić w postaci : Az=f{x+Ax, y-\-Ay)—f{x, y + Ay)+f(x, y+Ay)—f(x₎ y), a więc, w postaci sumy dwu różnic cząstkowych.

Zastępując w pierwszej różnicy yĄ-Ay przez yi, otrzymujemy: Az=f(x±Ax, yf)—f{x, yf)-\f(x, y+Ay) — f(x, y),

czyli :

Az =

f(x+Ax, yj-fjx, yx)

Ax

Ax+

f\x, y+Ay)—f(x, y)

Ay

Ay.

Zmniejszając równocześnie oba przyrosty Ax i Ay i zastępując je w końcu przez odnośne różniczki dx i dy, dochodzimy do t. z. zupełnej różniczki funkcyi z=f(x, y), którą oznaczamy przez dz, w postaci:

f{xA-dx, y^)—f{x, yx)

dz=

dx

dxĄ-

fix, y+dy)—f(x, y)

dy

dy,

a że :

f(x + dx, yf) — fix, yx)

dx

= lim

Aa?=0

fjx-\-Ax, yx)—f{x, yf) _ dfjx, yf)

Ax

dx

fix, y + dy)—f(x, y)

dy

= lim ty=o

f(x, y+Ay)—fjx, y) _df (x, y)

Ay

dy

a przy tern lim yi=y, przeto otrzymujemy, ostatecznie, zupełną różniczkę dz, Ai/=0

w postaci:

dz =

à fix, y)

dx

dx-f-

à fix, y)

dy

dy,

(8)

czyli:

dz

dz=— dx-1-

dz

dx

dy

dy.

(80

A zatem : Zupełna różniczłca funkcyi dim zmiennych niezależnych jest równa sumie różniczek cząstkowych tej funkcyi.

Dla funkcyi: z=y²sin«, otrzymujemy, zatem: <fo=y²cosa;.dxĄ-2ysinx.dy.

4. Wyznaczywszy, najpierw, obie pochodne cząstkowe: ..

y) 1 Ty=r’{X' 'A

danej funkcyi z—f{x₁ y), mamy, tern samem, wyznaczone już różniczki cząstkowe : dxz—f‘x{%, y)dx. i d,Jz—f>y{x₁ y)dy i zarazem jej różniczkę zupełną: dz=f‘x{x, y)dx+f‘y(x, y)dy.

Na odwrót, wyznaczywszy wprost, na podstawie prawideł różniczkowania, różniczkę zupełną dz funkcyi z=f(x, y), w postaci: dz=fJC‘(x₁y)dxĄ-/y‘{x,y)dy w poszczególnych dodajnikach : /*'(#, y)dx i fy,(x,y)dy, otrzymujemy odpowiednie różniczki cząstkowe, a w spółczynnikach przy dx i dy, odnośne pochodne cząstkowe danej funkcyi /(a?, y), względem x i y, w postaci:

*= ty O*, */)•

d£

« ! îsï

Tak otrzymamy n. p. dla funkcyi: £ = arcsin

xdy

yV/y²— Æ²

w postaci:

V/y² — x²

jej różniczkę zupełną , z której wynikają wprost pochodne

d£

d£

cząstkowe danej funkcyi, w postaci : —=    .-- , .

dx Vy²—x2 ÓV

y\/ y² — a?²

5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów danej funkcyi dwu zmiennych

niezależnych. Pochodne cząstkowe: ^ i danej funkcyi: z = f{x, y) dwu

zmiennych niezależnych æ i y, są, w ogólności, znowu funkcyami zmiennych sc i y, mają więc swe własne pochodne cząstkowe, które, ze względu na daną funkcyę, nazywamy pochodnemi cząstkowemi drugiego rzędu.

dwie pochodne cząstkowe :

Jeżeli, mianowicie, funkcya z=f\x, y), ma dz df(x,y)

à? ₌ àf(x, y)

=f* (x, y), dy

to otrzymamy, dla każdej z tych pochodnych cząstkowych, po dwie nowe pochodne cząstkowe, które możemy przedstawić w postaci :

dx

dx

dy

dz

àfJ (x, y)

dx

dx

fx, x (x, y)

dx

dfx {x₁ y)

dy

dy

=f*,y“\x,y)    (9)

'(g)

d fy (x, y)

*(s) „

àfy (x, y)

fy,y“(x,y).    (10)

f y, x (#} y)l dy

Otrzymujemy, zatem, w całości, dla funkcyi dwu zmiennych niezależnych z=f(x, y), cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu, które oznaczamy symbolami :

dx

dx

dy

d²z

d² z

d²z

d²z

■fyy"(x,y)-

fyx [X) y)

—fxx {Xi y)i

fxy"(x, y),

Z tych czterech pochodnych, są jednak dwie jednakowe. Mianowicie, okazuje się, że, f(x: y) dla funkcyi ciągłej i różniczkowalnej, ze względu na obie zmienne niezależne x, y, jest zawsze : d²z d²z dx dy dy dx

do?²

dxdy

dydx

dy²

czyli: fXy"(x, y)=fyx"(x, y).

‘286

Cl-

przedstawiają się, jako granice stosunków

(>. Skoro funkeya z—f(x, y) jest funkcyą ciągłą i różniczkowalną, natenczas jej pochodne cząstkowe: ^ i różnicowych :

f(x+Ax, y)—f{x, y) . f{x, y+Ay)—f(x, y)

Ax

Ay

czyli, stosunków :

t(x+h, y)-f(x,y) . f(x, y + k)— f(x, y)

le

w których przyrosty: h=Ax₁ l=^Ay, maleją, nieograniczenie zdążając do zera. Uważajmy w pierwszym stosunku różnicowym zmienną x za stałą, a nadajmy zmiennej y przyrost Ay=l, natenczas , otrzymamy stosunek różnicz-

kowy

d² z

dy dx dy

jako granicę stosunku różnicowego:

f(x+Ax, y+Ay)—f(x, y+Ay)—f(x+Ax, y)+f(x, y)

Ax.Ay

(«)

czyli, stosunku :

f(% + h, y + l)—f(x, y+Jc)—f(x+h, y)+f(x, y)

hl

(«')

w którym przyrosty h=Ax i l=Ay maleją nieograniczenie, dążąc do zera. Podobnie, otrzymamy z drugiego stosunku różnicowego, uważając y za stałą, a nadając zmiennej x przyrost Ax = h, stosunek różniczkowy:

jako granicę stosunku różnicowego:

CL *

dx    dy dx

f(x+Ax, y + Ay)—f(x+Ax, y)—f(x, y+Ay)+f(x, y)

czyli, stosunku :

Ax Ay

(&)

/(fl+fr, V+l)—f{x + h, y) —f (x, y +1) +f(x, y)

hl

(?/)

w którym h=Ax, l=Ay, maleją nieograniczenie, dążąc do zera.

Porównywając stosunki różnicowe (a) i (6), względnie (a‘) i (b‘) widzimy, że, dla wszelkich skończonych przyrostów h=Ax i l=Ay, są one jednakowe, pozostaną więc w przypadku , gdy funkeya z=f(x, y) jest ciągłą i różniczko-walną , ze względu na obie zmienne x i y, także jednakowe, gdy oba przyrosty h=Ax i 7c=\x maleją nieograniczenie , dążąc do zera.

Będzie więc :

O C)

dy

dx

a zatem :

d² z

dx dy dy dx

Jeżeli więc funkcyę z--=f(x, y) dwu zmiennych niezależnych x, y, ciągłą i rożniczkowalną, ze względu na obie zmienne, zróżniczkujemy cząstkowo, najpierw, podług x, a następnie, podług y, to otrzymamy ten sam wynik,

d²z

czyli : /"

x,y

(æ? y) f y,x(%i y)-

(11)

— 287 —

jaki byśmy otrzymali, gdybyśmy tą funkcyę zróżniczkowali cząstkowo, najpierw podług zmiennej y, a potem podług zmiennej x.

Innemi słowy : Porządek różniczkowania cząstkowego danej funkcyi dwu zmiennych niezależnych, ze względu na te zmienne, jest zupełnie obojętny.

7. Twierdzenie to możemy uogólnić także do pochodnych rzędu wyższego nad drugi. d² z dy dx ’

Skoro, bowiem :

ù²z

d ( d² z \ d ( d'lz \

natenczas, będzte taize:    awtęc:

ć r ö _ à r () /ćz\i_ö r (i /dsxi

ùxYdx^dy'* dx\-dy^dx'\ dyV-dx^dx'l'

()x à y

czyli :

d²z

d²z

ô²z

Oznaczmy ogólnie przez :

()x² dy

dm+nz

dx dy dx

dy dx² ’

(12)

, pochodną cząstkową (ta + n)-go rzędu funkcyi :

dxm dyn

z = f(x, y), jaką otrzymany, jeżeli funkcyę f(x, y), zróżniczkujemy cząstkowo, najpierw m-razy podług ®, a następnie otrzymany wynik n-razy podług y, tedy, stosując prawidło

d²z

d² z

do funkcyi z—j(x, y), a następnie kolejno do pochodnych wyższych rzędów,

dx dy dy dx otrzymamy, ostatecznie, wzór ogólny:

dm-\-nz

dm+nz

(18)

dyn dxm *

który wypowiada twierdzenie, że także przy wielokrotnem i’óżniczkowaniu cząstkowem funkcyj dwu zmiennych niezależnych, jest porządek różniczkowania obojętny.

Możemy zatem z danej funkcyi dwu zmiennych niezależnych utworzyć dwie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, trzy drugiego, cztery trzeciego, w ogólności (r-pl)-pochod-nych cząstkowych r-go rzędu.

dxm dyn

8. Różniczki cząstkowe wyższych rzędów. Z otrzymanej pochodnej cząst-dm+nz

- danej funkcyi : z=f(x, y): dwu zmiennych

kowej (m-\-n)-go rzędu:

niezależnych x i y, otrzymamy odnośną różniczkę cząstkową (m-f-tt)-go rzędu tej funkcyi, jeżeli, otrzymaną pochodną cząstkową (m+n)-go rzędu, pomnożymy przez odpowiednią różniczkę (M-f-w)-go rzędu, kształtu: dxm ,dyn. Otrzy-

dm+nz

dxmdy

mamy tedy odpowiednią różniczkę cząstkową, w postaci:

- . dxm dyn. dxmdyn

i). Różniczki zupełne wyższej rzędów danej funkcyi dwu zmiennych, niezależnych. Z różniczki zupełnej pierwszego rzędu danej funkcyi z=f (x, y)

dz

Ö ß

dwu zmiennych niezależnych x i y, kształtu:    dx-\- — dy, otrzymujemy,

podstawie prawideł różniczkowania, różniczkę zupełną diugiego rzędu, a następnie, kolejno, różniczki zupełne wyższych rzędów, jeżeli różniczki dx i dy zmiennych niezależnych x i y, jako nieskończenie małe, od siebie i od zmiennych x i y niezależne, uważać będziemy, jako wielkości stałe, a więc

położymy: d(dx)=0, jakoteż: d(dy)=0.

Tym sposobem, otrzymamy, najpierw, różniczkę zupełną drugiego rzędu, czyli, t. z. drugą różniczkę zupełną, w postaci:

na

d²z=d(dz)=d

&dx+dWy)d9’

a że :

d'²z dx²

dx-\-

d² z

dxdy

dy' d(Ë)⁼

d²z

dx dy

dx-j-

d²z

„2

dy,

przeto, otrzymujemy:

d²z—y

d² z dx²

dx-\

d²z

dx dy

dy J dxĄ-(

d² z

dx dy

dx +

d²z

ńy²

dy\dy,

czyli, wzór :

d²z=

d²z

dx¹

dx² + 2

d²z

dx dy +

d²z

dx dy

który przedstawiamy symbolicznie w postaci :

ày²

dy²,

(14)

d²z

(140

Różniczka zupełna drugiej różniczki zupełnej d²z danej funkcyi z daje trzecią różniczkę zupełną d³z, w postaci:

a że :

d^+id^^dxdy + di^ dy\

d,J’ iSy) =

-(3)-

d³ z dx³

dx 4

d² z

d³ z

dx²dy

d³z

da: dy²

dx²dy

dx-\-~ ' dy,

dy²

d³z

przeto , otrzymujemy wzór :

d³ z dx³

który przedstawiamy symbolicznie w postaci:

d³z=

dx³-\- 3

d³ z

dx²dy

dx² dy + 3

d³ z

dx dy

dx-\

d³ z

dx dy

-, m

d³#

5 dxdi/*+—>dp³,

(15)

(150

Na podstawie otrzymanych wzorów na drugą i trzecią różniczkę zupełną , znajdziemy ogólny wzór na w-tą różniczkę zupełną, w postaci:

o "

’-—idxdyn~i +

dn z

dn z— — dxn-\-dxn

ss T—i

dn z

dxn_1 dy

dxłl'~i dyĄ-...-\-

UJ

dn z

dx dyn~

dxn~r dy d" z dy"

rdxn~r dyr +

dyn,

(16)

dn z

r—n / \

-2 0

r= 0 v '

czyli :

albo, w postaci symbolicznej :

dn z

dns

dxn~r dyr

dxn~r dyr

-(k**⁺h**T-

(160

10. Rzetelność tego wzoru dla dowolnego całkowitego rzędu n możemy dowieść na podstawie wnioskowania z»na»{l, Przyjmując , mianowicie, ten wzór za prawdziwy dla pewnego n, n. p. dla n = m, mamy:

r=m

dmz

_    / Wl\ _⁰

~    dxm

r=0

dmz

~rày

- dxm—r dyr,

skąd, otrzymujemy następną różniczkę zupełną , w postaci :

r~m

«= d (<*«*)-» 2 (?)*(

dmz

dxm - r dy

. dx™ -r dj!r ,

a że :

<*(■

d™ Z

()m+l z

àxm—r àyr

a*»n+l— r dyr

dx -f-

()m + l

dxm-r dyr+ï

dy,

przeto , dostajemy :

289

r—ra

dro+l2= .2

r^O

dxm+l_r(iÿ

r=m+l

-dxm+'~rdyr + -r    J dx

czyli :

dm+¹ 2 =

2 (“+¹)

r=0    '    '

dxm+x-ràif

f)/⁺¹

^rn+¹-r <*/.

dxm

to — r

Prawidło tworzenia (m + l)-szej różniczki zupełnej jest więc zgodne z prawidłem

a że jego rzetelność została dla m

— 1, 2, 3, bezpo-

tworzenia w-tej różniczki zupełnej, średnio wykazaną , przeto, jest ono ogólnie prawdziwe.

Na podstawie powyższego prawidła, możemy tedy, wyznaczywszy pochodne cząstkowe «-go rzędu danej funkcyi : z=f{x, y), podać zarazem «-tą różniczkę zupełną tej funkcyi. 11. Przykład. Wyznaczyć pochodne cząstkowe i różniczki zupełne funkcyi :

z = x³ — 3 xy 4 y³.

Otrzymujemy tu pochodne pierwszego rzędu :

^ = Sx²— Sy = 3 (a;²—y); ^ =—SxĄ-Sy² = 3 (y²—x), ox    o y    ^

zatem, pierwszą różniczkę zupełną, na podstawie wzoru : dz=— dx— dy, w postaci:

dz — 3 (x² — y)dxĄ- 3 (y² — x)dy, następnie, pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

d²z dx dy

d^z 4    z

zatem, drugą różniczkę zupełną , na podstawie wzoru : d²z=—~₂ dx²Ą- 2 w postaci:

wreszcie, pochodne cząstkowe trzeciego rzędu :

d³ z

ć²2

= 6x,

ć²2

dy dx

_ ć² z

“-8,

dx dy-\-

d² * ć?/²

dy²,

d²z= Gxdx²— 6 dx dy + Sy dy², czyli : d²2 = 6(x dx²—dx dy + ydy²),

d³ z

d³z

d³z

0,

O’ dxdy²

zatem, trzecią różniczkę zupełną, na podstawie wzoru :

dx³

dx²dy

dy³

d³z =

d³z

d x³

dx³-f 3

d³ z

— dx² dy +3

0³z

0³z

dx dy²

dxdy²-\- -r-j-dy³,

dx² dy

d³z = 6 dx³ 4- Sdy³, czyli: d³z — 6(dx³Ą-dy³).

Do tych wyników dojdziemy także wprost, różniczkując daną funkcyą i jej kolejne różniczki zupełne, podług x i y, uważając dx i dy, jako dowolne wielkości stałe. Tak otrzymujemy, najpierw, z funkcyi: z = x³—Sxy-\-y³, wprost jej pierwszą różniczkę zupełną : dz=S(xŁ—y)dx -\-S(y²—x)dy, a stąd, jej drugą różniczkę zupełną : d²z=Sxdx²-Sdxdy-\-Sdy², niej trzecią różniczkę zupełną: d³z = 6 dx³ Ą-6 dy³.

12. Całki cząstkowe danej fankcyi dwu zmiennych. Danej funkcyi z=f{x, y) dwu zmiennych niezależnych x i y, odpowiadają, jak widzimy, dwie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu :

dz df(x, y)

w postaci :

następnie, trzy pochodne cząstkowe drugiego rzędu : d^z^ d² f{x, y) dx² dx²

ogólnie, (w4-l) pochodnych cząstkowych n-go rzędu:

dx

dx

=fxx“ (x, y)

d² z

dx dy

f*y“ (*, y)>

dy

f'y y)i

d² z    d²f{x, y)

dy²

dy

= fyy“{x, y)

dn z

dn z

dn z

dn z

dnz

dn z

dx²dy

dxdy

dyn

dxn 1 dxn-idy ’ dxn~²dy Każda z tych funkcyj jest nową funkcyą obu zmiennych niezależnych x i y, wyznaczalną na podstawie prawideł różniczkowania.

Zadaniem rachunku całkowego w odniesieniu do danej funkcyi f{x, y) dwu zmiennych niezależnych , byłoby tedy wyznaczenie takiej funkcyi pierwotnej, dla której dana funkcyą byłaby pewnego rodzaju pochodną cząstkową.

Skoro, mianowicie, wyznaczyć mamy taką funkcyę z, aby jej pochodna cząstkowa pierwszego rzędu była równa danej funkcyi f(x,y), tedy otrzymujemy:

Dr. Dziwińaki. Wyki. matem. I. Tom II.

19

w przypadku: -

dz

O/

—f{x, y)i odpowiednią całkę, w postaci: # = £/(#, y) dx.

zaś w przypadku:

—-=f(x,y)i odpowiednią całkę, w postaci : z=l / (x, y) dy.

dy

W pierwszym przypadku mamy tedy całkować daną funkcyę : f (x, y), według zmiennej x, uważając zmienną y, jako stałą, w drugim zaś mamy całkować daną funkcyę według zmiennej y, uważając zmienną x za stałą. Stała całkowania ma być tedy, w pierwszym przypadku, niezależną od x, może być jednak dowolną funkcyą zmiennej y, w drugim przypadku, musi być stała całkowania niezależną od zmiennej y, może być jednak dowolną funkcyą x. Możemy zatem do wyniku całkowania F(x, y) dołączyć, w pierwszym przypadku, dowolną funkcyą: <jp(y), w drugim, dowolną funkcyą ty (x) i otrzymamy:

(17)

skoro :

a natomiast : skoro: »WbJÛ.

J f (x, y) dx=F(x, y) + <p (y),

:    -=/(«, y), gdyż tedy także:    y),

J7(Z, y) dy=F(x, y) + ty(x),

d[F(x, y)+V»(®)]

(18)

/(«, */)•

=/(æ, y), gdyż tedy także: dy

Ogólnie, jeżeli dana funkcyą: / (as, y), jest pochodną cząstkową w-go rzędu pewnej niewiadomej funkcyi względem jednej tylko zmiennej, tedy, wykonawszy w-krotne całkowanie tejże funkcyi: f(x, y), według dotyczącej zmiennej, należy dodać do wyniku funkcyę całkowitą (w—l)-go rzędu tejże zmiennej ze spółczynnikami C1} 6T₂, ..., Cni które mogą być dowolnemi funk-cyami drugiej zmiennej y.

Jeżeli tedy:

dnF{x, y)

dxn

tedy otrzymujemy całkę ogólną, w postaci :

dy

ff ...f/(aj, y). dxn=F(x, y)Ą-(pi{y).xn~i-\-(p₂(y).xn-²-\-... + (pn-i(y).x+(pn(y),    (19)

d"F(s, 2/)

/(*> 2/),

a podobnie, skoro :

tedy odnośna całka ogólna przedstawia się w postaci :

JJ - J y) dyn=F{x, y) + tyi(x) .yn-' +ty₂(x).yn~²+ ... + tyn-i(x).y+tyn(x). (20)

Pozostaje nam zastanowić się teraz nad przypadkiem, gdy dana funkcyą f{x, y) jest pochodną drugiego rzędu pewnej funkcyi: F{x, y), ze względu na obie zmienne x i y.

13. Całki podwójne. Niech będzie daną funkcyą f(x, y) dwóch zmiennych niezależnych x i y, oznaczmy przez F(x, y) funkcyą pierwotną, która miałaby tę własność, że jej druga pochodna cząstkowa względem x i y byłaby równa danej funkcyi /(os, y), natenczas, domej funkcyi F (aj, y), otrzymujemy równanie różniczkowe:

d²F(gs, y) dxdy

Powyższe równanie, możemy także przedstawić w jednej z następujących postaci :

dyn

na

wyznaczenie tej niewia-

- 291 -

alb0 1}    a^}=/(æ’ *>• alb0 2> Li^îy^hf^ *>•

u₎ natenczas, otrzymujemy rów

Połóżmy w pierwszej postaci : -—

nanie :

'O i

=/(«, y), a stąd :

«=$/(«> y)dy+Cu

gdzie stała Ci ma być tylko od y niezależną, może być jednak dowolną funkcyą (p{x) zmiennej x. Otrzymujemy, zatem ogólnie:

czyli :

dî y)dy+<pw>

F (x, y)=J [ J / («, y) dy]    (a?) <*»+ C₂,

gdzie stała C₂ może być dowolną funkcyą zmiennej y; kładąc, tedy: J ç>(as) dx=cpi{x), a C₂=V,₁(ÿ), otrzymujemy szukaną funkcyą F(x,y), w postaci:

-F(*, y)={[{/(«» y)fl^]<te+?>i(*)+^,(y).

d F(x y)

Połóżmy zaś w drugiej postaci : —^ z niej równanie:

a stąd :

natenczas, otrzymujemy

czyli :

= f(x, y), a stąd: v = [f{x, y)dx+y>(y), dF(x, y)

dy

a stąd :

■F(a, y)=J[J/(«, y)dx]dy+$if)(y)dy+C

gdzie stała całkowania C może być dowolną funkcyą zmiennej x. Kładąc tedy: j>(y)dy = y>₂ (y), a C=(p₂(x), otrzymujemy szukaną funkcyę F(x, y), w postaci :

F(x, y) = J[J/(*, y)dx]dy + it>₂(y) + <p₂(x).

Mamy więc dwa sposoby wyznaczania funkcyi : F(x, y), z danej funkcyi f(x, y), pierwszy, określony wzorem:    y)dy]dx, według którego mamy

daną funkcyę /(#, y) scałkować, najpierw według y, a otrzymany wynik według x, drugi, określony wzorem:- ^ Ç / (a5, y)dx]dy, według którego mamy daną funkcyę /(#, y) scałkować, najpierw podług x, a dopiero otrzymany wynik scałkować według y.

W obu przypadkach, możemy do otrzymanych wyników dodać dwie dowolne funkcyę, z których jedna byłaby funkcyą wyłącznie jednej zmiennej, druga funkcyą wyłącznie drugiej zmiennej.

Całkowanie kolejne funkcyi / (x, y), dwu zmiennych niezależnych dług obu zmiennych x i y, nazywamy całkowaniem podwojnem, a całki, kształtu: £[£/(#, y) dy\ dx, względnie: £[£/(#? y) dx\ dy, nazywamy całkami podwójnemi.

Należy teraz zbadać, czy też oba sposoby, określone powyższymi dwoma wzorami, prowadzą do tego samego wyniku.

we-

14. Przyjmijmy, że istnieją dwie funkcye: F^{x,y) i F₂(x, y), któreby czy-

da?dy

niły zadość danemu równaniu :

=/(a?, y),' a więc takie, żebyśmy mieli

równania tożsamościowe :

d².Fi (a?, y)

dxdy

d²F₂(x, y) dx dy

natenczas, otrzymamy, na podstawie odejmowania, równanie:

d² F, (æ, y) _ d² -F₂ (2-, y) =0 da? dy    da? dy

czyli :

d² [F.i Oz, y) — ff₂(a?, y)]

=o.

dxdy

Połóżmy    y) — F₂(x, y)=$, natenczas, przedstawimy powyższe rów

nanie , w postaci :

d²^

da? dy

0.

Z równania tego otrzymujemy :

d / ds \ _ da? V dy /

0, zatem:    CL

dy

gdzie Cj jest stałą , od a? niezależną, może być jednakże dowolną funkcyą drugiej zmiennej, niezależnej y. Możemy zatem położyć =ipi(y), zatem

dy

= y^i(y), skąd otrzymujemy, znowu:

z =    (y)+o₂,

gdzie stała dowolna 6₂, nie może zawierać zmiennej y, ale może być dowolną funkcyą drugiej zmiennej a?.

Połóżmy C₂=cp(x)₎ a otrzymamy ostatecznie:

2=<jp(a?) + ?y(y),

Fy{x, y) — F₂(x, y)=<p{x) + *P{y)-

A zatem: Dwie funkcye: Fi (a?, y) i JP₂(a?, y), które sprawdzają warunek : /(a?, y), mogą się różnić między sobą tylko sumą dwóch dowolnych

czyli :

d²F(x, y)

dxdy

zawsze

funkcyj, z których jedna jest wyłącznie funkcyą zmiennej x, druga wyłącznie funkcyą zmiennej y. W jakimkolwiek tedy porządku wykonamy całkowanie kolejne funkcyj /(a?, y), ze względu na jedną i drugą zmienną, otrzymamy dla całki podwójnej nieokreślonej, ten sam wynik. Chcąc otrzymać najogólniejszą postać całki podwójnej, należy do otrzymanego wyniku dołączyć jeszcze sumę dwóch dowolnych funkcyj, z których jedna zawiera tylko zmienną a?, druga tylko zmienną y.

Porządek całkowania, jakkolwiek dla wyniku obojętny, zatrzymujemy ten, który w łatwiejszy sposób prowadzi do wyniku, używając sposobów pisania :

fff(x, y)dydx=f[ff(x, y)dy\dx=fdxff(x, y)dy, y)dxdy=Y[$f(x, y)dx\dy=fdySf(x} y)dx, z których pierwszy sposób oznacza , że zaczynamy od całkowania podług y, a następnie całkujemy wynik podług a?, a drugi sposób wskazuje całkowanie podług a?, jako pierwsze, a potem całkowanie podług y, jako drugie.

15. Przykład. Niech, będzie daną funkcya pochodna drugiego rzędu niewiadomej funkcyi: z—F(x, y), w postaci równania:

= ax-\- by -|--y

d*z

x+y

dxdy

Celem wyznaczenia funkcyi pierwotnej :

zacznijmy całkowanie od zmiennej y, a otrzymamy :

j J (ax + by +    dy dx = J dx j(ax + by + —dy = j dx\axy + ~ y 2 -f c log(* + y)] =

= Y x*y + -^V*+c Jlog(* + y)Æ»,

skąd, ze względu na to, że, według metody całkowania przez części :

otrzymujemy :

^log(x-\-y)dx= x log (x Ą-y)— J(l — “p—Jdx—xlog(x-{- y)—x-\-ylog(x-\-y), li S (ax + hy + ~ ą_    dydx = ^ (ax -f btj) xy -f c (x -f y)log (x + y)—cx.

Gdybyśmy wykonali tu najpierw całkowanie podług x, a potem podług y, otrzymali

byśmy : j j* (ax + byĄ

a; ^Ty) dX dy = j dy j (aX -ł- hV

₌ ^ +    + C$los{x+y)dy,

-J-y) dx — ^ dy -f bxy + clog(x + y)] =

czyli :

I §(ax +by + jpp) dxdy=\ (ax + bv) xy + c(x + y) io g (*+y)— cy-

Oba wyniki różnią się tylko funkcyami cx i cy, które mogą jednak być uważane, jako zawarte w dowolnych funkcjach: <p (x) i py), jakie do całki podwójnej dołączyć należj^, aby otrzymać całkę ogólną. Wyrazy, które są jednocześnie funkcyami obu zmiennych x i y, są w obu wynikach tesame. Szukana funkcya: z = F(x, y), ma, tedy, ogólny kształt:

ii\axby +    dxdy = ~ (ax + by) xy -f c {x -f- y) log (* + y ) + <? (x) -j- Ą (y)

gdzie ©(*) i Py) są zupełnie dowolnemi funkcyami.

16. Całkowanie różniczek zupełnych pierwszego rzędu. Niech będą dane dwie funkcye: M(x,y) i N (x, y) dwu zmiennych niezależnych x i y. Utwórzmy z nich wyrażenie różniczkowe pierwszego rzędu, kształtu : M(x, y) dx-\-N(x, y) dy, które napiszemy, dla skrócenia, w postaci: Mdx-\-Ndy. Zachodzi pytanie, czy i pod jakimi warunkami utworzone wyrażenie różniczkowe: Mdx+Ndy, może być zupełną różniczką pewnej niewiadomej funkcyi : z=f(x, y), dwu zmiennych niezależnych x i y, tak, żeby było :

(21)

dz = Mdx -f Ndy.

Zupełna różniczka funkcyi : z=f{x, y) dwu zmiennych niezależnych a; i y przedstawia się, jak wiadomo, w postaci:

dz=— dx-\-

dx

dz

dy

dy,

(22)

która sprowadza się do wyrażenia różniczkowego: Mdx + Ndy, skoro się spełnią dwa warunki następujące:

dz

dz

dx

dy'

(23)

— 294 —

Z warunków tych otrzymujemy, za pomocą, różniczkowania cząstkowego: dM d²z dN ddz d y dxdy' dx dxày’

a stąd warunek:

(24)

dM_ dN dy dx

A zatem: Wyrażenie różniczkowe: Mdx-f-Ndy, może być więc tylko wówczas

zupełną różniczką pewnej niewiadomej funkcyi: z=f{x, y\ dwu zmiennych niezależnych

j j .    , dM dN

x i y, skoro spełnia się warunek : — = —.

dy dx

17. Warunek ten jest nie tylko koniecznym, lecz także wystarczającym. Pod tym warunkiem będzie bowiem Mdx różniczką cząstkową dxz pewnej niewiadomej funkcyi: z=f(x,ÿ), względem a?, a Ndy różniczką cząstkową dyz tej samej funkcyi względem y.

Możemy zatem położyć :

z=JMdx-\-(p(y), lub: z=JNdy-\-tp{x)

gdzie cp(y), względnie ip(x), są niewiadomemi funkcyami , każda tylko jednej ze zmiennych, niezależnych. Muszą one być tego rodzaju, żeby było:

dz

—=N

a l =M. dx

Na wyznaczenie funkcyj : cp(y) i ifj{x)} otrzymujemy zatem równania :

dy

r[xdx 4    .

dy J    dy

z których dostajemy :

d(p{y)

względnie :    Ndy +

dx

a więc :

dy

-*-|î

dip{x)

Mdx; —=-dx

; #(*)—

d f    C dM^

Funkcya: N——\^Mdx=N—j --dx, stojąca pod znakiem całkowym w pierwszej całce, musiałaby być zatem wyłącznie funkcyą zmiennej niezależnej y, a funkcya: M—^^Ndy=M—, stojąca pod znakiem całkowym w drugiej całce, musiałaby być wyłącznie funkcyą zmiennej niezależnej x.

Musiałoby być zatem :

0, względnie : |{M-\d-£dy}=0

czyli :

dN dM

dx

dy

względnie

dM dN dy dx

dM dN

— , jest zarazem warunkiem, wystarczającym, aby occ

a więc, warunek :

wyrażenie różniczkowe: Mdx+Ndy było zupełną różniczką pewnej niewiadomej funkcyi: z==f[x, y) dwu zmiennj^ch niezależnych x i y.

18. Warunek ^«= ^ dy dx

nazywamy też warunkiem całkowalności

wyrażenia różniczkowego: Mdx + Ndy, a funkcyę z=f(x, y), dla której dane wyrażenie różniczkowe jest zupełną różniczką, nazywamy całką danej różniczki zupełnej i oznaczamy ją częstokroć w postaci: J(Mdx-\-Ndy).

Jeżeli tedy spełniony jest powyższy warunek całkowalności, a więc, jeżeli możemy położyć: dz=MdxĄ-Ndy, natenczas całka danej różniczki zupełnej, przedstawia się w postaci:

albo :

j Mdx + J    ^MdxJ dy,

-S^+î^-âîH*

z—

(25)

(25')

Mając więc wyznaczyć całkę danej różniczki: Mdx + Ndy, czyniącej zadość warunkowi :    ,

ày

na odnośną zmienną, uważając drugą, jako stałą i dołączamy do otrzymanego wyniku dowolną funkcyę tej drugiej zmiennej ; tak dołączoną funkcyę wyznaczamy następnie, na podstawie warunku, że pochodna cząstkowa otrzymanego wyniku, obliczona ze względu na tę drugą zmienną, ma być równą spółczynnikowi, występującemu w danej różniczce zupełnej przy różniczce tejże zmiennej.

dM dN

, całkujemy jedną różniczkę cząstkową, ze względu ooc

19. Przykład. Wykazać, że różniczka: (3xy²—x²)dx—(l-f-6y²—3x²y)dy jest różniczką zupełną i wyznaczyć jej całkę.

Rozwiązanie: Mamy tu:

M= Sxy² — x\ N = — (1 -j- 6y²—3x²y), dM „ dN -jj-⁶*»—*'

a więc dana różniczka jest różniczką zupełną.

Możemy zatem położyć: dz — {‘dxy²— x²)dx— (l-j-6«/²—3xhj)dy. Całkując różniczkę cząstkowo podług x, otrzymujemy:

Sx²y²

a że :

|- + ?(y)-

Różniczkując otrzymany wynik podług y, dostajemy :

S-^+Hr ’

a więc , na wyznaczenie funkcyi <a («/), warunek :

<*?(y)

3x²y 4

dy

(1 -ł- 6«/²— 3 x²y\

z którego wynika :

1 —6y²,

<?(*/)•= - J(¹ + %²)^= — y — ² y³+ o.

Wobec tego, otrzymujemy szukaną całkę w postaci :

^-y-2y» + <7.

20. Warunki całkowalności różniczek drugiego, lub wyższych rzędów.

Niech będzie daną różniczka drugiego rzędu w postaci: Pdx² + Q dx dyBdy², gdzie P, Q, B są wiadomemi funkcyami dwu zmiennych, niezależnych x i y.

a więc :

dy

— 296 —

Warunki, pod którymi dana różniczka będzie zupełną drugą różniczką pewnej niewiadomej funkcyi: z=f{x₎y), wypływają z porównania danej różniczki z drugą różniczką zupełną :

d² z

d²z=*^dx ²+2

d²z

dxdy 4

d² z

dy

\dy\

dx dy

Porównywając odnośne spółczynniki, otrzymujemy warunki;

d²z

d² z

d²z

dxdy

dy¹’

d²P_ d^z d²Q dy² dx²dy² ’ dxdy zatem , szukane warunki, w postaci :

d²P. d²Q ' d²R dy² dxdy dx²

a stąd ;

dkz

dx²dy

d²R

d⁴s

da;² dx²dy

1:2:1.

(26)

W analogiczny sposób możnaby wyprowadzić warunki całkowalności różniczek w-go rzędu, kształtu:

P₀ dxn 4- Pt eto”-¹ dy 4-... 4- Pr dx?-rdyr 4 ... 4- Pn dyn,

gdzie P₀, Pj,..., Pw są danemi funkeyami, zmiennych, niezależnych æ i y,

dn P₀ d” P! d”P2 d«/n " dyn~xdx ' dyn~²dx²'

w postaci:

dnPn

d«/w

.. : 1.

(27)

Ćwiczenia XVIII.

Wyznaczyć obok podane pochodne cząstkowe następujących funkcyj dwu zmiennych niezależnych :

1)    z=x³y² ; ^ = 3x²y³, ^=2x³y.

óz

2)    z= y³ -p 4x²«/ + 2x³ ; — = 8xy 6x²,

(te

dy

r= 3y² + 4 x².

f)2

(te

3) z—x‘ó — 3aa;y-|-y³; — — 3(x²—ay), — = 3(y²—ox).

v CC

4) 2 = 27x³ — 18 a;² —|- 12 xy²— 8y³ ; — = 3(27x²—I2xy+iy²),

*" =»™'+’>r, dy

(te «-1 <te «,

— yx ; —— = » log x.

5) z= ax³-\-b xy — cy⁵ ; ^

— bx— 6c(/⁴.

w ; Si

= — 6 (3x²— 4x\j -f 4y²).

6)    z = xJ •

'    dx

7)    z= e^arcsinx ;

dx

8)    « (=3 log tang — : 4^-

y dx

9)    z = arc sin — ; ^ß =

'    y dx

10)    z= arc cos

dy

ey

y/l-aJ²’

— = eJ . arc sin a;.

(te

2x

y sin —

y

2aj ’ dy

Vy² — x²' dy

dz

2 aj ’

y² sin —

yV y²—^

:r

1 — xy    _

V/r+a;M-y²-MV’ aæ 1 + æ2’ ^ 1 + y

...    ,    2aj4-w—x²y d z    2 d 3    1

11)s=arctang , — 2^—xi; „s⁼r+^’ ry=i+?;

x²— y² ' dz ^

x²y² dx (x²y²)\/x²— y² ^ y

12) 2; = arc sin

xy\/ 2

2*

aj²\/2

(x²+«/²) \/x²-y²

Wyprowadzić obok podane pierwsze różniczki następujących funkcjj dwu zmiennych, niezależnych :

13)    2 = ³/₃ x² y ² x³-\- 2y ³—y ; dz = (3xy²—x²) dx—(1 -j- 6y²—3x²y) dy.

14)    2

{x²-\-y²)²

; dz = —

4cc

0² + «/²)³

dx-

dy.

15) 2

(aj -j- a)n

16) 2

— ; dz m ⁷

V/aj²

(aj -f- «)w—1

(y + *)

; dz

(*²+ y²)³

[n(y -J- b) dx—m (x -f- a) dy].

\xdy — y dx\

17) 2

-y

aj²— y²

^+V²'

; dz

x²\/ x² -j-y²

77—₂r«/777 —âÆ ly    ^1-

(aj²—y²) h (x² -(- y²)

18) * -log    ; & - a,‘fr-y *

aj²— y²

19) z = xy ex+²y ; =s exJtr²v \y (1 -\- x)dx-\-x(l -f- 2y) dy].

20)    z — log sin —

y

21)    z= arc sin — ; dz

• dz —

y²

co tg X . (y dx — x dy).

23) 2=log

x—\/x²— y²

y dx — xdy

yVy'l — x²

; dz =

22) 2 — arc tang

; dz =

y dx—x dy

x²-\-y²

2(y dx — x dy) yVx²— y²

y dx — x dy

24)    2 = arc tang ^ ; dz =

x + y’

25)    2 = sin (x² y³) \ dz — x y²cos (aj²y³) (2y da: -j- 3aj dy).

x² y²

Wyznaczyć pochodne cząstkowe i różniczki zupełne następujących funkcyj dwu zmiennych, niezależnych:

26) z — xmyn. 27) z = x²y³—3xiy-\-xyi. 28) z —

exy

29) 2 =

a²

y²

*» ⁺ P*

30) 2 =

\/x + V/y

a: + y

Vx²\y²

, 31) 2 = V/*² + y² . 32) z=Va²-x²-y².

33) 2=eaa:+*y. 34) 2 = log (aa: -j- by). 35) z — since cosy. 36) 2 = sin mx. sin ny. 37) 2 = sin x log y + log aj. Wykazać, że :

38) Skoro : 2 =

y³ -f- x³

dz . dz 2(y³x²) , natenczas: oj-—Vy — —-

O X

dy

y—x

y—x

V/x +Vy

1 \/x-\-\/y

d z d z .

natenczas: x-—by-— = ^

das dy    2

Wyprowadzić obok podane pochodne cząstkowe wyższych rzędów następujących

39) Skoro : 2

x Ary

źunkcyj :

40) 2

2æy .

aj³— y³ ’

d² z    a:⁶-j-7aj³ y³-j-y³

(x³—y³)³

dx dy

41) 2= V/2ajy + y² ;

d² 2

d²z

y² (y—x)

(2 xyĄ-y²)li

42) z—yx;

dx dy

dx² dy

= y*-¹(¹+ *logy).

43) 2 = aj tangy.+ y tang a;;

d² z

2(cosx -j- 3 sin² a:)

44) 2 = sin aj Jog y eJ log x ;

dx³dy d² z

COS X

cos⁴aj

ey

dx dy

45) 2 = arc sin y ^    ^ ’

d² z

2/

’ da: dy

⁴ (*y — P)3/î

- 298 -

46) z — arc tang

()²Z

2x³y

O⁴ — y⁴)3/l

dx (hy

47) Wykazać, że dla funkcyi : z = sin {ax -{- by), otrzymujemy:

x² -j- y²

r)xTO

= am sin [ax -\-by-\-m

()m+n z

dyn

= bn sin

(«*+ %4 n

a™ bn sin jax -j- by -j- (m -f- n)

xm óyn

Wyprowadzić obok podane różniczki zupełne wyższ3mh rzędów, następujących funkcyj dwu zmiennych, niezależnych:

48) z = xm y» • d² z — x™—² yn -2 {m{m—1) y²dx² -f* 2mnxy dxdy -\-n(n—l)x²ob/²}.

49) z — \/x²-\-y‘l-, d²z

[y² dx'¹— 2xy dxdy -j- x¹ dy²],

50) z = log (ax -f- by) : d² z

dn z

(ax + by)

\a²dx² -j- 2 ab dxdy b² dy²],

adx -j- b dy

4 by ) '

ax

51) z=eax+by; d³z=e,x+by[a³dx³ + 3a²bdx²dy + 3ab²dxdy²-\-b³dy³],

dn z = eax+by (<adx + b dy)n.

£x dx² — 2y dxdy -j-

52) z — arc sin — ; d²z =

O² - *²)’/ł

53) Wykazać, że, dla funkcyi: z— x \/2xy Ą- y², otrzymujemy:

//

x²

ć²«

r)x²

4-2x2/

()²Z

4*/²

d²2

(2y²— x²) x

d'Ą.

= 2xV/ 2xy -j~ y² .

ćx dy

Wyprowadzić obok podane całki funkcyj dwu zmiennych , niezależnych : 54) J"yex^’ly (1    x)dx — xye'T4"2y -f- V (y).

y dy

(x²4-V)³"    4 * (*²-ł-y²)²

BB) j

4 ? 04

y dx

B7) j

arc tang —4 » (y).

xdy _    1

a²x²—&²y²    2oi

x²4- y²

ox -j- by

ax — 5y

4 ? O).

58)

îf

y²dx²

(x²4-y²)3/*

= V/^ + y*4«i(y).* 4?s(y)-

(2y² — x²) x y ² (y² — x²)s/ł Wyprowadzić następujące całki podwójne:

59)

dy² — arc sin--h ®i (*)•*/ 4 ®2 04

y

fi1N f f (x² -f y²) xy ' JJ (x²—y²)³

⁶²>n

x² — y²

(x²4y²)²

dx dy

xy

2 x³— y³

1    x²-j-y²

8 x² — y²

4 ®i0*04 ®a(4

f ©i (as) 4 ©₂(y).

dx dy == arc tang — 4 ®i 0*0 4 ®2 O)-

63)

y dx dy

V/(»²4 y²)³

log (x -t- \/x² + y²) 4 ?! (x) -f c₂ (y).

64)

ss

y dx dy

— 4 arc sin

4 ?i(ar) + ©, (y)

65) Jj (cos y -f c,oax)dxdy=x sin// -j-y sin x -f ®t(*) -f- ®₃ (y).

66)

2y\/x²-{■ y² -{-x³(x²-\-2 y)²

x³\/x² -j- y²

67)

6 6 dxdy ))(l+x²+y²)³l*

dxdy — ~ log xy -f-

+1 log [ W+V-»] -+ * (.)+„(,). + ?i(*) + ®s (y)-

arc tang

xy

V/l+«²-f y²

Wykazać, że następujące różniczki są różniczkami zupełnemi i wypx*owadzić ich Całki , obok podane :

xi

68) dz = (a²y -\-x³)dx    (&²-f a²x) dy; z== — -f- a²xy Ą-b³y + C.

69) dz — (siny — y sinx)dx -f- (cos x-\-x cos y) dy ; z = x sin y -j- yaosx + C.

(x² 4- y²)'¹-

xydy — y dx x²(x² -f- y²)^² ⁷

x² dy — y² dx

{*-y?    ⁵ * ⁼

; *=log(*+✓*> + »>) + C.

78)    = (s*² +    + 2æÿ²— -^)daj+ (3*/²-{- - , -f 2a;!y + ^) % ;

* + y

70) dz —

72) Æz

dx

(a;² -f y²)1/z

⁺ {‘

+ C. 71) ^

^-+ a

x—y

2 =;r³ -j— y³ —

*y

f y²{x² + 1) a- G\

74) dz = [l

4 y²

0* + </)²

x—y

4 x²

]dx- [l

]<%; *=

)i,₊ (cotg,+ cof,y ,    v/__

2 = ce tang y -|- y cotg x arc sin — -\- C.

x

76) Wykazać, że różniczka drugiego rzędu : y³dx²-\- 6xy² dxdy -\-3x²ydy², jest różniczką zupełną i wyznaczyć jej całkę.

75) dz

(x—yj²

(*— y²)

x\/x — y²

+ O.

) dy;

Rozwiązania XVIII. Wskazówki: 1)—12) Różniczkowanie cząstkowe. 13)—25) Bezpośredniem różniczkowaniem według obu zmiennych, jakoteż za pomocą pochodnych, cząstkowych. 26)—39) Z pochodnych, cząstkowych, różniczki zupełne i na odwrót. 40—46) Sprawdzić wyniki, przy zmianie porządku różniczkowania. 48)—52) Zarówno bezpośrednio, jak przy pomocy pochodnych, cząstkowych. 54)—59) Całkowanie cząstkowe podług jednej zmiennej. 60)—67) Sprawdzić wyniki, przez zmianę porządku całkowania. 68) —75) Por. art. 19. 76) z=i/ix²y³.

Literatura. D. E. Gregory. Examples of the processes of the differential and integral calculus. Cambridge 1841. S. F. Lacroix. Traité du calcul différentiel et du calcul integral. 9-me edition revue par Hermite et Serret. 1881. po polsku wyszedł: Traktat początkowy rachunku różniczkowego i całkowego przez S. F. Lacroix, przełożony podług trzeciego wydania przez Michała Pełkę Polińskiego. Wilno, 1824.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Różniczkowanie wyraźnych i uwikłanych funkcyj o dwu zmiennych, niezależnych.

2.    Całkowanie różniczek cząstkowych, z teoryą całek podwójnych.

3. Całkowanie zupełnych różniczek dowolnego rzędu, zawierających dwie zmienne

niezależne.

Wykład XIX.

Rozwijanie funkcyj dwu zmiennych, niezależnych

na szeregi.

więc, uważając przyjęte wartości na x i y

1. Szereg Taylora dla fnnkcyi dwu zmiennych, niezależnych. Niech będzie daną funkcya : z—fix, y), dwn zmiennych, niezależnych x i y. Przyjmując pewne miejsce x, y, a chwilowo, jako stałe wiadome, nadajmy im przyrosty zmienne w postaci lit i lit, gdzie t jest dowolną zmienną, niezależną. Pod temi założeniami, weźmy pod uwagę funkcyę:

f(x + ht, y + kt) = (pit),

która, wobec przyjętych wartości na æ i y, przy pewnych stałych wartościach h i k, będzie funkcyą wyłącznie jednej zmiennej, niezależnej t.

Na podstawie szeregu Maclaurina, otrzymamy tedy :

(1)

n !

są wartościami funkcyi (pit) i jej pochodnych, względem

gdzie (p(0), (p\0)

t, dla ^=0, a En resztą, przedstawiającą się, na podstawie wzoru Lagrange’a,

t*+1

(p{n+i) gdzie © leży między

(patrz T. I. str. 519.) w postaci: Rn =

0, a 1, a na podstawie wzoru Cauchy’ego (T. I. str. 520), w postaci:

pi+i

(1 —©₁)nęp(©₁ t), gdzie 0*< ©!<<!.

x4.by obliczyć, kolejno po sobie następujące, pochodne funkcyi:

(pit)=fix+ht, y + kt),

jednej zmiennej niezależnej t, połóżmy: u=x+ht, v—y+kt, tedy, uważając

X, y, h, li, jako stałe, otrzymamy: ~=h, ^=k, wobec tego, funkcya (p{t)

CL V    CL l

i jej pochodne, przedstawią się w następujących postaciach:

(pit) = f{u, v),

«w- dt

dfiu, v) df du df dv d/'^

du dt^~ dv di ' du

(p\t)

d²fiu, v)

dt²

^(d²fdu d²f dv\ f d² f du d²fdv) <dw² dt^ dudv dv C \dudv dt^ dv² dt) d², 7.2 d²f__ (j à ^ d\® dudv v dv² ( du " dv) ’

d³ f(u, v)

dt*

/₇ a _ av

V ⁺ àv)

dnf(u, v)

a**

h à ₇ à Vn\. Vdu^àc)

/'•

(2)

Z drugiej strony, mamy, dla dowolnego t, pochodne:

du

dv

dx

dx 1 ’ dy ' df(u, v) du df(u, v) df(w, v) du ' dx

zatem :

dv df{u, v)

du

dy

’4/

dv

a wskutek tego :

d²f(u, v)    a²/‘(w, v)    d²f (u, v)    a²/‘(w, v)_ d'f(u, v) dv a²/~(M, v)

* tfa; aw-²

d²f(u,v)    d²f(u,v) dv_d²f(u,v)

dv² ’ dy dv²

dx²

du²

aæ dy

a^ a^ ’ dy

awdfl ’

podobnie :

a«/²

dzf(u,v) d²f(u,v) d²f(u,v) d:’f(u, v) d?,f(u, v) d?,f\u, a) dv²

dx*

’ du²dv dx² dy d²f(u,v) d²f(u,v)

dudv²

dxdy²

a^³

a//³

i t. d.

Wobec tego, otrzymujemy :

ogólnie :

?"«= (*l+**) '>

/a a \w

-(łs+ł*)

a \w.

(3)

skąd, dla /=0, dostajemy:

<p(p)--=f(x, y), cp‘ (o) = h ^ d \(²>

a/y

+*

/a a \<³> ,

ogólnie :

(4)

Podstawiwszy te wartości w równanie (i), otrzymujemy wzór:

?(*) =/ 0»+H y+=/ («, y) +

f (3, //) +

/³

3!

/a a v³)

(*âï⁺*âÿ) /(*’ y) +

** /, a , , a \<n> w ! ( ^a#"^ ' d///

f{x, y) + B

(5)

gdzie, według wzoru Lagrange’a, reszta :

Bn=

(» +1)!

a według wzoru Cauchy’ego:

/a a \<"+¹)

K-*+y f{x+eh

, y-f (97c), @<1,

■B.

i /aa vb+1)

==^(i-ą)B Äf-+Äf-w !    ¹ \ a# dy)

/(£+©,Ä,    ®i<l-

Połóżmy w otrzymanym wzorze 7=1 , a dostaniemy wzór :

f (*+ä, y+*)==/•(«, y)-+(/*^+Ä^)/'(aj» y)⁺sn(ÄÄ⁺*^)(>^’^⁺ ”f

d \W

dy

/’(*. */) + #„•

(6)

Powyżej otrzymany wzór (6), przedstawia wzór Taylora, w zastosowaniu do funkcyi (x, y), dwu zmiennych, niezależnych x i y.

2. Wzór (6) prowadzi, dla n — go , do szeregu Taylora dla funkcyi z=f(x,y) dwu zmiennych , niezależnych x i «/, przedstawiającego się w postaci symbolicznej :

f(x + h, y+k)=f(x, y)+(h±+h^f+±](h~+k±}

)

f + •••

(7)

czyli w postaci rozwiniętej :

ffr+h, y+k)=f(x,    +    +

+-3 h²Jc

d?’f

d³/‘

d²f

dx²

+ 2M

d²f

dxdy

+ /c²

d²f

dy

dx³

dx²dy

+ 3 A/c²

a³/¹

dx dy

>+,c3w)

dnf

d'f

dn f

G)

ft”-¹7c

/&*~r 7cr

dx1l~^ dy

dxn~r yr

Wzór ten przedstawia wartość funkcyi: f{x₎ y) w miejscu: x+h, y+k1 gdy znane są wartości funkcyi f(x, y) i wszystkich jej pochodnych cząstkowych w miejscu x, y.

Zastępując w tym wzorze x-\- łi przez x, y+k przez y, a przy tern x przez «, y przez b, a więc h przez x—a, k przez y—b , otrzymujemy szereg Taylora, w postaci :

dxn

₃ 0„#+ ©i, (y~i)2]⁺in[ÇSr)

⁺³(äÄL,(a:-a)2 (ÿ-⁶⁾⁺³(âS)«,.(x_a) ©L ⁺

(a;— a)² +

a, ft

a, 6

(®—ćft)³ +

... (8)

przedstawiającej funkcyę / {x, y) w postaci szeregu, uporządkowanego według rosnących potęg różnic: (x—a) i (y—b).

3. Dla a=0, b=0, otrzymujemy stąd szereg Maclaurin’a dla funkcyi: f(x, y) dwu zmiennych, niezależnych x i y, w postaci:

/*(*, y)

©Ld+fflÄ.MÄL-HSW ©L ÿ³l⁺-⁺^[(^Læ”⁺(î) (ÄL*

xy+

n—1

o, o

o, o

xy2jr

0(

r)n /

dxn~rdy

;) *

10,0

w -r

r+...+

+ •••

(9)

— 303 —

przedstawiający daną funkcyę f(x, y), w postaci szeregu, uporządkowanego według rosnących potęg zmiennych niezależnych x i y.

4. Maxima i minima funkcyj dwu zmiennych niezależnych. Szeregu Taylora dla funkcyj dwu zmiennych, niezależnych, możemy użyć do wyznaczenia warunków, pod którymi, i do wyznaczenia miejsc, w których dana funkcya, dwu zmiennych, niezależnych, posiada wartości największe, lub najmniejsze, czyli t. z. maxima, lub minima.

Dana funkcya f(x, y) dwu zmiennych, niezależnych x} y, w pewnem szczególnem miejscu: x, y, będzie posiadała wartość największą (maximum), względnie najmniejszą (minimum), jeżeli wartości tej funkcyi w miejscach sąsiednich: x + h, y\k, przy dostatecznie małych przyrostach h i k, będą stale mniejsze, względnie stale większe od jej wartości: f(x,y), w przyjętem miejscu x} y, bez względu na znaki tych przyrostów. Musi więc być stale: f(x + h, y+Jc)    y) przy maximum,

zaś :

a więc musi być stale różnica :

f'(x+h, y+ic)— /’(cc, y)<0, czyli ujemną, przy maximum, f(x+h, y-\-k)—/(oj, y)^> 0, czyli dodatnią, przy minimum. Według wzoru Taylora, otrzymujemy tę różnicę w postaci:

f{x+h, y + k)>f{x, y) przy minimum,

/(«+Ä, y+7c)—f(x, y)=h

+k

-f iź2J

(10)

dx dy

gdzie reszta H₂ będzie, przy nieskończenie małych przyrostach h i Æ, wielkością nieskończenie małą rzędu drugiego.

Znak różnicy:    y-\-k) — f(%, y) będzie, w ogólności, zależał od

àf

znaków przyrostów hi k, różnica ta będzie n. p. dla h = 0, równą: Tc— » więc co do znaku zależną od znaku przyrostu,^’, dla £=0, będzie równą Ä —

, a więc co do znaku zależną od znaku przyrostu h. Ażeby znak tej

O X

różnicy nie był zależny od znaków przyrostów h i k muszą się spełniać warunki :

£-»■ £-»■

Chcąc więc wyznaczyć te układy wartości na % i y, które mogą wywołać maxima, albo minima funkcyi : f{pc, y), musimy, przedewszystkiem, roz-

—=0 i — =0. ày

5. Przyjmijmy teraz, że przyjęte wartości na æ i y, czynią zadość obu tym warunkom, natenczas , otrzymamy szukaną różnicę, w postaci :

à²/ dxdy

w której reszta jB₃, przy nieskończenie małych przyrostach h i &, będzie nieskończenie małą , rzędu trzeciego.

Znak różnicy : f(x-\-h, y + k)— f(x, y), będzie więc zależny od znaku wyrażenia :

wiązać ze względu na x i y, dwa równania:

ÖX

(U)

+ł,S*}+Ą' ⁽¹²⁾

d²f dxày

które możemy, dla uproszczenia, napisać w postaci:

(11) A²+2 (12) A7c-(- (22) 7c², lub: rh²-\-2shk-\-tk², d² f dx dy

i rozumiejąc przez te symbole wartości pochodnych, cząstkowych, drugiego rzędu danej funkcyi /'(#, y), w badanem miejscu x, y, dla którego:

0, i

dxL

hk+-^Ąjc²

dy

kładąc :

₂=(ll) = r,

= (12)=s,

{ = (22) = 7,

àf

=0.

6. Chcąc ocenić znak wyrażenia: (11) h² -j- 2 (12) hk-\-(22) Je², przyjmijmy najpierw, że:

a) (11) >0, wówczas, możemy to wyrażenie przedstawić w postaci:

(11) A²+2(12) Ä A+(22) Tc² — -i- {(11)² A²+2 (11) (12) AA-j-(11) (22) A²},    (13)

czyli :

(ll)A²+2(12)AA+(22)A² = r^{[(ll)A+(12)A]²+[(ll)(22)—(12)²]A²}, (14)

tH

z której dochodzimy do następujących wniosków:

1) Jeżeli (11)(22)—(12)²«<0, wówczas wyrażenie, ujęte w nawias { }, będzie miało znak dodatni, skoro Jc = 0, ujemny, skoro: (11) A+ (22) A = 0, trójmian: (11) A² + 2 (12) AA-f(22) A², nie będzie więc, ani stale dodatni, ani stale ujemny, funkeya f(x, y) w miejscu x: y, pomimo spełnienia warunków

koniecznych:    0,

O 00

ani minimum.

nie posiada więc w tym przypadku, ani maximum,

2) Jeżeli (11)(22)—(12)²>»0, wówczas, wyrażenie, ujęte w nawias { }, będzie miało stale znak dodatni, trójmian: (11)A²-J-2(12)AA-f(22)Jc², będzie miał w tym przypadku znak wartości (11); funkeya f{x, y) będzie więc w miejscu (x, y) posiadała maximum, skoro obok: (11) (22)—(12)²>>0 będzie (11) *<0, a minimum, skoro, obok (11) (22)— (12)²> 0, będzie także (11)>0.

3) Jeżeli (11) (22)—(12)²=0, wówczas wyrażenie, ujęte w nawias {}, będzie wprawdzie stale dodatnie, skoro przyrosty A i A będą tak dobrane, że będzie: (11)A+(12) A ^ 0, stanie się jednak zerem, skoro przyrosty A i A będą tak dobrane, że będzie: (11) A + (12) Jc =0. Trójmian: (11)A² + 2(12)AA+(22)A², będzie więc w ostatnim przypadku zerem, a znak różnicy: f(x-\-h, y-\-A)— f'(%, y), będzie zależał od znaku reszty JR₃. Zachodzi tu zatem przypadek wątpliwy, który może być rozstrzygnięty na podstawie roztrząsania warunków, pod którymi wyrażenie trzeciego stopnia, kształtu:

d² f

%h3+3

d²f

A²A+3

dx²dy

będzie miało znak stały, niezależny od znaku przyrostów A i Jc.

b) Przyjąwszy w końcu, że w rozważanem miejscu (#, y) obok:

dx dy

àf

àf

——0 i 77.=0, jest także Ô 00

dy

d²f

dx²

=0, lub : ^=0,

dy

czyli: (11)= O, lub (22)=0, otrzymamy trójmian (11)h² + 2(12) h Jc + (22) Jc², 2 (12) h Jc + (22) Jc²=Jc {2 (12) Ji + (22) Je},

(ll)/i² + 2 (12) M=A{(11) h + 2 (12) Je}.

w postaci : lub w postaci :

Wartość jego będzie więc tego samego, lub przeciwnego znaku, co znak przyrostu Jc, stosownie do tego, czy przyjmiemy przyrost Ji większy, czy

(22 )Jc

2(12)’

mniejszy od wartości: — nego znaku, co znak przyrostu li

albo też będzie tego samego, lub przeciw-

stosownie do tego, czy przyjmiemy

(ID*

2(12)’

Funkcya f(x. y) nie będzie tedy posiadała w tym przypadku, ani maximum , ani minimum, jak w przypadku: (11)(22)—(12)²«<0.

Jeżeliby wreszcie, obok (11)=0, było także (12)=0, wówczas, byłby trójmian rozważany, dla 7j=0, także zerem, zachodziłby tedy przypadek wątpliwy, którego rozstrzygnięcie wymagałoby badania reszty Ił₃, jak w przypadku: (11) (22)—(12)²=0.

7. Znak reszty R₃ zależy od znaku wyrażenia :

d*f

przyrost Jc większy, czy mniejszy od wartości :

*⁸v4+3 h²Jc. dx³

d*f

dx²dy

+ 3 JiJc²

dxdy

a³/'

- -j- &3 2 ày

f, (15)

które , w przypadku :

dx ’ dy ’ dx² dy² \dxdy)

dla wszystkich wartości Ji i Jc, spełniających warunek:

⁺¹‘ir!r⁼⁰

dxdy

r d d F³)

(11) Ä+(12) Jc=0, czyli Ji

d*/

dx²

otrzymuje kształt:

Ji²Az = /»³.

(12)³

f,

a więc, znak zależny od Ji.

Jeżeli więc J₃ ^ 0, funkcya f(x, y) nie posiada w rozważanem miejscu ani maximum , ani minimum.

W przypadku 4₃=0, należy przystąpić do badania wielomianu czwartego stopnia :

k‘p'

dx⁴

+ 4 h²Jc

a⁴/*

Vf

dx²dy

-₂ + 4 JiJc²

a⁴/¹

i+Jc⁴

a⁴/

dy

o*

dxdy

Jc, czyniących zadość warunkowi:

dxz dy

Dla wszystkich wartości Ji i (11) A + (12)&=0, będzie znak powyższego wyrażenia, zgodny ze znakiem

wyrażenia :

znak dodatni wskazuje na minimum,

a znak ujemny na maximum funkcyi f (x, y).

przypadku, gdy ^(12)^—(11)^^ f= 0, zachodzi znowu przypadek

wątpliwy, którego rozstrzygnięcie wymaga kolejnego badania wyrażeń, kształtu :

id    d \(">

gdzie n^>4; pierwszem wyrażeniem tego rodzaju, mającem wartość różną od musi być wyrażenie parzystego stopnia, którego znak dodatni wska-

zera,

żuje na minimum, a znak ujemny na maximum funkcyi / (x, y), w rozważanem miejscu.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 306 —

8. Na podstawie powyższych rozstrząsań , dochodzimy do następujących wniosków :

Ażeby wyznaczyć maxima, lub minima danej funkcyi f(x, y) kładziemy :

dJ₌ o i »J-0

dx ’ dy

i rozwiązujemy te równania ze względu na x i y, obliczamy następnie, dla każdej pary (#, y) wartość f(x, y) danej funkcyi i wartość t. z. wyróżnika funkcyjnego : natenczas, w przypadku:

1)    gdy (11) (22)—(12)²<0, nie będzie ani maximum, ani minimum;

2)    gdy (11) (22)—(12)²> 0, (11) >0, f(x, y) będzie minimum;

3)    gdy (11) (22) — (12)²>0, (11) <0, f(x, y) będzie maximum;

roz-

4)    gdy (11) (22)—(12)²=0, zachodzi przypadek wątpliwy, którego

/, dla

( d    d \W

strzygnięcie wymaga badania wyrażeń, kształtu: ^(12) — —(11)—j

n^> 2.

Jeżeli przytem badaniu okaże się, że pierwszem wyrażeniem tego rodzaju, rozważanem miejscu (a?, y), wartość rożną od zera, jest wyrażenie

mająccm w

nieparzystego stopnia! Wm+ii natenczas otrzymana wartość f(x, y), nie będzie ani maximum, ani minimum. Jeżeli zaś pierwszem wyrażeniem tego rodzaju, mającem wartość różną od zera, jest wyrażenie parzystego stopnia: W>

wartość f(x,y) będzie maximum, gdy TT2n<0, a minimum, gdy TF2n>0. 9. Przykłady wyznaczania maximôw, lub minimów danej funkcyi. 1) Wyznaczyć xima i minima funkcyi: /(æ, y) — x³—3 axy -f- y³.

Rozwiązanie. Mamy tu: ^=3(x²— ay), ^ = 3(y²-ajJ, a więc, na wyznaczenie wartości na x i y, dwa równania: xl — ay = 0, y²—ax=0, które mają wspólne pierwiastki:

®) *=0, y = 0,    $)x = a,y

czas

= a.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu danej funkcyi mają kształt:

ó²/ ß

^ = 6a:’

d²f

d²/

2n i

naten-

ma-

dx dy

. dli dll-

dx¹' dy'¹

dy³

9a².

będzie więc wyróżnik funkcyjny :

Dla x=y = 0, mamy: (11) (22) — (12)²= — 9 a²< 0 , a więc,/ = 0, nie jest ani maximum , ani minimum.

Dla x = y=a, mamy: (11) (22)—(12)² = 27a² > 0, (ll) = 6a, zatem f= — a³, jest minimum, gdy a>0, a maximum, gdy «<0.

Dana funkcya : z = x³— 3 axy-\- y³, ma zatem, przy dodatniem a minimum, a przy ujemnem a maximum, w miejscu x—y—a, równe —a³.

2) Wyznaczyć maxima i minima funkcyi : /(#, y) —xk    ?/⁴—x² -j- xy—y².

Rozwiązanie. Mamy tu:

a/ = 4a;³-2as-ł-y, ^=4y³—2 y + as, dx    dy

a więc, na wyznaczenie wartości x i y, dwa równania :

4a;³— 2x-\-y = 0, 4y³— 2y-f-x=0.

Celem rozwiązania tych równań, ze względu mijmy od siebie, a zastąpimy je dwoma równaniami następującemi :

4(x³ + y³) — (x •+ y) = 0, 4 (x³ — y³) — 3 (aj—y) = 0,

(x + y) [4 (x² — xy -f y²) — 1]=0, (x—y)[4 (x² -f- xy -f j/²)— 3] = 0 ,

na x

i y, dodajmy je najpierw i odej-

czyli :

z których otrzymamy następujące przypadki :

a) x + y — O ) x~y — O , a więc : x = O, y = O ,

ß) 4(x²—xy-t- y¹)— 1 =0, x — y=0, a więc: x = y=-f- — ,

V/3

y) 4 (a?² -f-    «/²) — B = 0, x-by=0, a więc: x——y = -4-

= (22) = 12y²— 2,

będzie zatem wyróżnik funkcyjny : d²/ dV dx²' dy²

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu danej fun key i , przedstawiają się w postaci : 0=(U)=12*>-2,^-=(12) = l

Wobec tego :

a) dla x = y = 0, mamy: (11) (22) — (12)² = 3, (11) =—2, zatem maximum: /=0, ß) dla a: = v    , mamy (11)(22) — (12)²=0, zatem przypadek wątpliwy,

3    10    9

2~ » mamy: (11)(22)—(12)² = 48, (11)== — , zatem minimum : / =--g

Chcąc usunąć wątpliwość przypadku ß), w którym x = y =-ł-    musimy zbadać w tern

miejscu znak wyrażenia trzeciego stopnia:

W tym celu, otrzymujemy, dla danej funkcyi, pochodne cząstkowe trzeciego rzędu.

0 a3/ =0 dx²dy ’ dxdy² ’ dy³

d³/

Ö³/

ö³/

<>y³

d³/

fc³.

dx³~²⁴*’

a zatem powyższe wyrażenie, dla x=y = :4₌ !/₂) w postaci:

24 x A³+ 24 y k³ = ± 12 (A³ + fc³).

Wyrażenie to staje się zerem dla A =— fc, musimy więc zbadać dalsze wyrażenie czwartego stopnia :

= 24 y,

Ö⁴/

d x⁴

Otrzymujemy tu :

A⁴ -f 4

dx³ dy

h³kĄ- 6

d⁴/

dx² dy

A²fc² + 4

ö⁴/

dx dy

à±f

dx⁴

= 24

dx³dy dx²dy² dxdy³ ’ dy⁴

zatem, powyższe wyrażenie w postaci: 24A⁴-f-24fc⁴, o stałym znaku dodatnim, niezależnie od znaku przyrostów h i fc, a więc, w miejscach x = y=₌ł₌3, mamy minimum : f=—

Dana funkeya: f(pe, y)=x⁴-{-y⁴—x²-)-xy—y², ma więc trzy minima w miejscach:

(0,0), (-i-, -^), (— y, — y) i dwa maxima w miejscach:    ,

Y/3- Y/3 \ 2 /

10. Zastosowanie teoryi maximôw i minimów funkcyi dwu zmiennych niezależnych do rozwiązywania rozmaitych zagadnień arytmetycznych, lub geometrycznych.

Zagadnienie 1. Daną liczbę a podzielić tak na trzy składniki, aby suma ich kwadratów była minimum.

Oznaczając szukane składniki liczby «, przez x, y, a—x—y, otrzymujemy sumę ich kwadratów :

S=x²Ą-y²+(a—x—y)³.

Na wyznaczenie minimum tej sumy dostajemy równania warunkowe:

dS

a stąd :

dx ⁼ 2^—2(«—x —y)=0,

2æ-j-y=«, <2>y-\-x=a

=2y—2(a—-æ—ÿ)=0,

zatem :

x=

a ₀    1 o

, y=iri «—a>-y=—, S=-g-az.

Ponieważ , dla tych wartości :

d²S_ d²S d x² ’ dy²

-^-a² jest minimum.

zatem, suma S=

trzy równe części, aby suma

Należy więc daną liczbę ü podzielić na kwadratów była minimum.

ma

Geometrycznie znaczy to , że pośród trójkątów o jednakowym obwodzie trójkąt równoboczny najmniejszą sumę kwadratów swych boków, albo inaczej, wśród równoległościanów o jednakowej sumie krawędzi, ma sześcian najmniejszą przekątnię.

Zagadnienie 2. Daną liczbę a podzielić na takie trzy składniki, aby ich iloczyn był maximum.

Oznaczając szukane składniki przez x, y, a—x—y, otrzymujemy ich

iloczyn :

P=xy (a—x—y).

Na wyznaczenie maximum, lub minimum tego iloczynu , otrzymujemy

warunki :

dP

—y (a—x— y)—xy=0

dP

x(a—x—y)—xy=0,

czyli :

’ dy

x(x + 2y—a)=0, y(y-\-2x—a)=0.

Warunkom tym stanie się zadość w następujących czterech przypadkach: 1) #=0, y=0, 2) x=0, y=a, 8) x=a, y=0, 4) x+2y=a, y-\-2x=a,

a

4) x=y= ₃~.

Pomijając pierwsze trzy przypadki, otrzymujemy dla czwartego przypadku :

d²P ₀

<y‘p d*p dx² dy

czyli :

(M CO

d²P

= — 2x = —

cc ł-¹

-a*

2 d^P 8 a' dxdy

= ^a²>>0, zatem: 9

a—2x—2y=--₅

P max

TT ’

-w-

Należy więc daną liczbę podzielić na trzy równe części, aby iloczyn tych części był maximum.

ma

Zagadnienie 3. Na polu kąta ^XOY^a dane są dwa punkta P i Q.

ramionach OX i OY danego kąta takie dwa punkta. A i B,

Geometrycznie znaczy to, że, pośród trójkątów o jednakowym obwodzie, trójkąt równoboczny największy iloczyn swych boków, albo inaczej, że pośród równoległościanów o danej sumie krawędzi, ma sześcian największą objętość.

Wyznaczyć na

suma :

OB=y i wykreślmy z danego a z punktu Q prostopadłą

aby suma ich odległości od siebie i od danych punktów, t. j. PA-\-AB + BQ, była minimum.

Oznaczmy niewiadome odcinki: OA=x punktu P (fig- 5.) prostopadłą PP‘ na ramię OX,

QQ¹ na ramię OY i połóżmy OP‘=a, P‘P=p, OQ‘ = b, Q‘Q=q, natenczas, będzie:

PA = Vp ²Ą-(a—x)², BQ=Vq*+(b—y)², AB = V x²+ y²— 2a;ycos a.

Żądana suma przedstawi się zatem w postaci:

*=Vp²-\-(a—x)²A Vx²-\-y²— 2xyc,o$ a + Vq²Ą-(b—y)².

=0, j^=0, otrzymujemy równania:

Kładąc:

JOL

b;

*\

x—y cos a

O,

a—x

Vp²Ą-(a—x)²    \/x²-\-y² — 2#ycosa

b-y

0.

y—x cos a

\/q²-\-(b—y)2_r V/x²+y² — 2 xy cos a z których moglibyśmy xi y wyznaczyć.

Powyższe równania prowadzą wprost do konstrukcyi punktów : A i B.

punktu A, prostą AD 1 OY,

-X

A\ iP’

Wykreśliwszy mianowicie z punktu B prostą BC | 0X, poznamy, że powyższe równania sprowadzają się do stosunków :

AID AC BQ‘ _BD AJP~AB’ WQ~ BA

Fig. B.

z których wynika, że: cos PAP'=cos BAO, cos QBQ¹—cos ABO,

a więc:

X.PAP‘= X_BA0, -X_QBQ‘=X.AB0.

Należy zatem przedłużyć PP¹ i odciąć P‘R=PP ‘, podobnie, przedłużyć QQ¹ i odciąć Q'S=QQ\ czyli, inaczej, wykreślić obraz B punktu P w zwierciadle OX, a obraz S punktu Q w zwierciadle OY. Prosta SR przetnie tedy ramiona kąta X0Y w szukanych punktach A i B.

Że linia łamana PABQ jest w istocie najkrótszą, widoczna wprost z figury, jest ona bowiem równą prostej RS, a każda inna linia łamana PA'B'Q byłaby dłuższa, jak SR.

Ponieważ punkta P i § mogą mieć dowolne położenie na polu kąta XOY, przeto rozwiązanie obejmuje także przypadek, w którym punkta P i Q nakrywają się w punkcie C.

Fig. 6.

jeden jego wierzchołek wpadał w punkt C} a dwa inne leżałyby na ramionach danego kąta“; innemi słowy: „w dany trójkąt OMN wpisać trójkąt ABC o najmniejszym obwodzie tak, aby jeden z jego wierzchołków wpadał w dany punkt C boku MNU. Konstrukcyę uwidocznia fig. 6.

11. Symbole nieoznaczone funkcyj dwu zmiennych, niezależnych. Podobnie, jak przy funkcyi jednej zmiennej niezależnej, (Patrz T. I. "Wykład XXXVI.), możemy wszystkie symbole nieoznaczone , w których funkcye dwu zmiennych niezależnych, mogą występować, sprowadzić do symbolu nieoznaczonego, w postaci ilorazu :    .

Dotyczące zagadnienie opiewałoby: „wykreślić trójkąt o najmniejszym obwodzie tak, aby

as

/'O, y)

F(x, yY

dwu funkcyj f{x, y) i F(x, y) :

Niech będzie więc dany iloraz: z=

dwu zmiennych niezależnych x i y, o którym przypuszczamy, że w pewnem miejscu (x, y) przedstawia się w postaci nieoznaczonej:

Ąg. y) __ °

* F(x,y) 0’

gdy w tern miejscu przyjętem (x, y), zarówno f(x, y)=0, jak też: F(x, y)=0.

Weźmy pod uwagę miejsce sąsiednie x + h, y-\-/c, natenczas, otrzymamy dany iloraz, na podstawie szeregu Taylora, w postaci:

«*> ÿ)+h%+kfy + Bl

₌ f(x+h, yĄ-h) ³ F(x+h, y + Jc)

skąd, ze względu na to, że w miejscu (x, y) zarówno f(x,y)—0, oraz F(x}y) —0, otrzymujemy, dla nieskończenie małych przyrostów h i Iz, stosunek:

7    , v    h ~z—h k -T—

/(# + &, y+«)_ d# d?/

'*~iF(a; + /&, y+&)~

da: * dy

Połóżmy:    a wartości pochodnych w danem miejscu (a:, y), niech

/i

d-f=p ^L=q —=p ^- = Q tedy otrzymamy w granicy, gdy h i 7.: dx dy dx

stają się zerami, żądany stosunek w postaci:

d^df

będą:

dy

F(x, y)

da; dy

dy pĄ-ah dF⁼ P+QÀ ’

(17)

zawierającej dowolny spółczynnik

Dany stosunek jest więc wogóle nieoznaczony, a tylko w szczególnych przypadkach , prowadzi do wartości oznaczonej, gdy dowolny czynnik X da się usunąć z licznika i mianownika.

Stanie się to w przypadkach, gdy:

, df dF dfdF

a więc, gdy a--^=dyd-

t. z. gdy wartości pochodnych cząstkowych funkcyj : /(a;, y) i -F(a;, y) w danem miejscu będą do siebie proporcyonalne.

W tym przypadku, otrzymujemy bowiem:

wtedy

wtedy «- 4-

dy dy ' J P

dF df dF df

da; da; dy dy

czyli : p Q=qP,

albo 2) gdy

albo 3) gdy

albo 4) gdy

àf

àf

£=

<©i«

12. Gdyby w przyj ętem miejscu (x, y) były nietylko funkcye f(x, y) i F(x, y), lecz także wszystkie cztery pocbodne cząstkowe pierwszego rzędu :

df df dF d F dx ’ dy ’ dx ’ dy ’

równocześnie zerami, wówczas, otrzymamy, dla nieskończenie małych przyrostów Ji i Jc, stosunek:

y₌ f(x + hi y + Æ) ₌

F(x + h,y+Jc)

h¹i% + 2hk-f{-+ W

dxdy

dxŁ

d².F

b 2/&Æ

d²F

d²f

dy¹

d²F ’

+ 7c²

dx²

Jc

a stąd, gdy znowu położymy    otrzymamy wartość graniczną:

dxdy

dy²

d²f

„ A+ y) o _

F(a?,y) O d²F d a;²

+ 2/1

d²f

d²f

dxdy

d²F

-M²

dy²

d²J*

(18)

dy²

da? dy

która jest z powodu dowolności czynnika X, wogóle nieoznaczoną, a staje się tylko wyjątkowo oznaczoną, gdy się czynnik dowolny X da usunąć

z licznika i mianownika.

Ażeby ocenić , kiedy to nastąpi, połóżmy : d²f

dx²

= r,

d²f

ö² f

•V = s, — dxdy dy

d²F_    ?!f *

dx² ’ dxdy ’ dy² ’ i wyprowadźmy warunek, pod którym trójmiany:

r+2sX+tX² i R + 2SX + TX²,

będą miały wspólny czynnik, czyli, pod którym równania: r+2s^+7A²=0 i R + 2SX+TX²=0, mają, przynajmniej, jeden wspólny pierwiastek.

W tym celu, wyrugujmy X² z obu powyższych równań, a otrzymamy :

1 Rt — Tr

(u

2 sT- tS *

Wstawiwszy tę wartość w którekolwiek z danych równań, otrzymamy szukany warunek w postaci :

(7i7-rT)²=4(s T—tS) (rS-sR).

(19)

Jeżeli ten warunek spełniają dane funkcye f(x, y) i F(x, y), wówczas, otrzymamy :

r+2si+7J² t

„ f(xi y)₌_₌ _

* F(x,y) R+2SX + TX² T

(v+²tx+-t)

tCX-X^CX— X₂) _ t(X-X₂) (x²-Y2~XĄ-J-Y    W-^'2) ~T{X- x\)

a więc otrzymamy wartość oznaczoną :

f{x, y)    O    t

F{x, y)    0    T'

czyli: e —

d²/

dy²

d²Fr

gdy zarazem będzie: X‘₂=X₂.

dy²

Warunek ten spełnia się jedynie w przypadku, gdy:

co CO

t. z. gdy wartości równoimiennych pochodnych cząstkowych drugiego rzędu obu danych funkcyj f(x, y) i F(x, y) są w danem miejscu {x, y) do siebie proporcyonalne, otrzymujemy wtedy:

te «s

s=f(xi y)_ 0

F(x, y) 0

a więc wartość oznaczoną

13. Gdyby wreszcie w przyjętem miejscu {x, y) sprowadzały się do zera, nie tylko funkcye /(a?, y), F(x, y), lecz także wszystkie ich pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu, natenczas, należałoby przejść do różniczek trzeciego rzędu , a szukana wartość staje się tylko wówczas oznaczoną, skoro czynnik X da się z licznika i mianownika usunąć.

Jeżeli czynnik X, mogący przybierać rozmaite wartości nie da się usunąć z licznika i mianownika, wówczas, wartość stosunku, przedstawiającego się

jest w istocie nieoznaczoną.

w postaci nieoznaczonej : z

F(x, y)

Czy ta nieoznaczoność sięga granic: -fco i —co, czy też dowolnych, innych granic : a i b, można w każdym poszczególnym przypadku ocenić, uważając wartość z, jako funkcyę jednej zmiennej niezależnej X i szukając wartości największych i najmniejszych tej funkcyi, która otrzymuje, jak powyżej podano, jedną z następujących postaci:

i t. d.

p-ęX    r-{-2 sX-btX^

⁰⁼⁼ R+QX ’ *⁼R+2SX+TX²' w których spółczynniki przedstawiają wartości pochodnych cząstkowych funkcyj f{x, y) i F(x, y) w danem miejscu (x, y).

14. Przykłady. 1) Wyznaczyć wartość funkcyi : z

2x² -\- xy — 3y²

4x² — xy — 3y

dla x = 1, y— 1.

Rozwiązanie. Mamy tu:

f=2x²-\-xy— 3 y², F—4x²—xy — 3 ty²,

zatem :

2x² xy — 3y²

4æ² — xy — 3 y²

a więc :

! x=i    0    (8x—y)— (x-\-6y)\/

2x¹ -4- xy — 3y 4x² —xy — 3y

y=i

■i

— = — x— 6y,

dy

X=

y—i

5—BX_B(1—X)    B

Ï^Tk~ 7(1—X) ~~ 7 ’

/.=i~ T'

' y=1

2) Wyznaczyć wartość funkcyi :

Otrzymujemy tu :

2a:² — 3 xy + 1

x² — bxy -j- 4 / æ=l ' y=1

1—3).

(4x — 3 y) — 3x1 .

'r—1    — 3 — B 1

(2x — by) — bx 1 j

zatem wartość zupełnie nieoznaczoną w granicach od —co do -j- co.

3) Wyznaczyć wartość funkcyi :

x² -f* y²

a—y/æ* + y² + a²

dla

Mamy tu :

/=x²4-y², F=a-\/x*+y* + a\

àf

— — 2x, dx    d x

àf

= ²y,

dF

dy

\/x² +y² + a² ’ ^U zatem, dla x = 0, y=0, nietylko/=0 i F—0, lecz także:

\/x² y² Ą- a¹

àf

dF

dx —°’ dx~ °’

Ty-^Ty-⁰'

Mamy zatem wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Otrzymujemy tu:

ày d*F

dx²    ’ d x²

_ JV.,0

(a:² + y² + a²)3/’ ’ àxdy

y² + «²

d²F

dx dy

æy

(x² -j- y² + ô²)³^ ?

d²/

ày²

= 2,

d²F

zatem :

r — 2, s = 0, i = 2, R=—

x² -o²

dy²    (x²-fy² + o²)^ ’

— , 6' — 0, 2'=*--—

a    a

a więc :

2 -j— 2 X²

2(l + k²)

a I    h*•

— — X²

czyli :

a

a—\Ae² 4~ y² 4" «²

x² -j- y²

— 2a.

2a,

4) Wyznaczyć wartość funkcyi :

(x + y)²

Mamy tu :

x²4-y²

dla x — 0 , y = 0.

/= (x -j- y)², zatem : /„ = 0 ;    F—x²-\-y², zatem: F₀ = O,

— = 2(x4-y),    „ p = 0;

P=0,

àf

r:. = 2(x + y),    „

dF

<2=o.

aï“²*-

Musimy więc przystąpić do wyznaczania pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, otrzymujemy tu :

dy

d²f

dx²

2, zatem: r

àf

dx dy

2,

o diF œ2’ dx²

2; dïdt^⁰’ ”

2, zatem : Ii = 2,

d²F

S= 0,

d²/

ày²

2,

dP

a więc

2; dy² ~²’    »

24-4X4-2X²    1 4-2X 4-X²

2 4-2X²    —    14-X² ’

czyli, z powodu dowolności X, wartość nieoznaczoną. Uważając wartość z, jako funkcyą X, otrzymamy :

dz    2(1—X²)    d²z 4 X (X² — 8)

Tk~~ (14-X²)² ’ dX2_ (14-X²)³ ’

zatem dla X=l, zmax = 2, dla X =—1, 2min = 0. Szukana wartość jest nieoznaczoną w granicach od 0 do 2.

15. Całkowanie funkcyj dwu zmiennych niezależnych za pomocą szeregów. Kozwijanie funkcyj dwu zmiennych niezależnych, na szeregi potęgowe umożliwia także bezpośrednio rozwinięcie odnośnej całki, względnie, jej przedstawienie w postaci szeregu, gdy inne przedstawienie, za pomocą znanych funkcyj, okazuje się niemożliwe.

Jeżeli, mianowicie, dana funkcya /(x, y) da się rozwinąć na szereg potęgowy w postaci:

/(*» y)=fA «„*4-«iy + Kx2 + bixv+ ⁶2y²4-cbaf34-«i*²y4-e2*ys-ł-<?3y³4-»-4-

4“ ... + l₀xn    li&>—¹ y + l% a?«—² y² 4“ — 4"    1 #yn_1 + łwy» 4" —

natenczas, otrzymujemy całki cząstkowe :

j/(x, y)dx=ę(y)4-/₀.x4-a₀.-|- 4-°w4-V y +ôi-^ + è₂«/‘²æ + c₀.^-+c₁^ + c*%f

4" ••• "l⁻ «o

J/(®, y) dv = ? (*) +/o • y 4-«o*y4-«r+&₀*a y 4- ^    4- &24- <*„*V + ci *2 + cj 4-^4-

4- ...4- l,xny-\-h

x»+i

n 4-1

x«—¹ y 2

O ,    ,    7    . ^²«/n“¹

j— 4“ ••• 4~ *»-i —2—

+■ In xyn 4- -

xn-\y'l    Xn-2y3    Xy»    y”+l

~2-- + 4—3— +... + ^-i —+/«^pi + ..-

a całkę podwójną :

j" j/O, «/) d* dy = *(x) + \ly) 4- f₀ xy+    + a*Ą--\- b₀ 4- bt *-£

4-... 4- h

a:n+ly

03» y²

yx²

4~ ••• 4"

n 4-1

2»

4~ h

Xn—\y3

B(n-l)

j- ... 4" ln~ 1

4" •••

15. Przykład. Mając n. p. daną funkcya: e

sinyp&

J x

e* sin y

f

J xy Ce* siny ' J xy

czyli : f 2^5?

J xy

a całkę podwójną:

czyli :

e* sin y

x.y

, otrzymujemy jej całki cząstkowe:

03 n—1

sin y

44⁺¹⁺l\ ⁺ h⁺ - ⁺

/.    ,    1 X² 1 X    1    03»

^log®+*+2jy+gj■§■ + •••+ ^i „

iy“V$T~dyA ■ K1_8l + lî_fî ⁺ - + (_1)”(2»+l)!

*⁼¥ (y~ ri T + ri T — n7"⁺-+(_1)*(2 »+i) ! äbn ⁺ -

<7x —

+ •••

dx,

e* sin y

dx =

sin y

} 4-?(y),

y2ra

•••} dy,

} 4- ?(*)»

⁺ - ⁺ ^!

i ?/³

BÎT

+ ...4

(—1)»    f/2n+l

(2 n -j- 1) ! 2n 4- 1

ćwiczenia XIX.

Wykazać, że niżej podane różniczki, są różniczkami zupełnemi i wyznaczyć ich całki :

x dx 4- y dy (x²4-y²)³

1) dz

x dy — y dx

a²x² — b² y² '

3) d² z t=i

(y²—x²)'^

2) dz = ■

dx*--²^r

(y"¹ — x²) k

dx dy 4

(2y² — x²) x

y²{y²— x²)³/²

4) d²z =

2/²

(x² 4- y²)^J

dx²-

2xy

(x² + y²)*U

dx dy 4-

X²

(x² 4- yrfl*

dy².

5) d²z

dx² 4- 2 dx dy 4- dy²

(x 4- y)²

. 6) d³z-= (dx² 4~ 3 dx² dy 4~ Sdxdy² 4- dyi)e*+V.

7) dK z= sin x sin y . dx⁴— 4 cosx cos ydx²dy -|- 6 sin x sin y dx² dy² — k cosxcos y dx dy³ 4-

4- sinx sin y dy⁴,

Wyprowadzić następujące rozwinięcia :

8) (x 4- h)²(a 4-y 4- fc)³ = x² (a 4~ vY +    (®+ y)³^ 4“ 3x²(a 4- y)²k 4~ (a 4“y)³^² 4*

4- 6x (a 4- y)² hk 4- 3x² (a 4~ y) fc²4” 3 (a 4" y)²h²k 4~6x(a 4" y)hk² 4-x² k² 4~ 3(o 4~ y) ^² 4*

4- 2x (a 4“ y) ^ ^³ 4- ^²

9) e*+y= 14~³⁵ 4~ y 4~ -|-*²4-a;y4-Y2/²+4“æ³4-^-*²y4-^-®y²+ y y³4---

10) sin (x + y) = x + y — -i- x³ — ~ x²y— a?y² — y³ +...

/v2    7i2    >n#4    /jr3 /j    /v2 ^2

11) cos (aa:+ &«/)=! — y*!-abxy— — y² + — a;⁴ -f -gy x³y -f —a:² y² +

ai³

6⁴

+ T!^ +4!»    -

12)    log (1 + x—y)=x — y— -i-    !/’ + -g rcs—+*y’— y³ +-j- ** + ...

13)    arc tang {x—y) = cc— y —    a?³ -|- a?² «/ — #y² -f y³ + ...

14) &vcsvo.{x y) = x -\- y Ą- x³+ ^x²y — xy² + ^-y³ + ...

,    1 4- x 4- y

15) log -2-    —

2 (a; + ?/ + -^(æ + t/)³ + -^(x-|-2/)⁵-f ...}.

16)

log[* + y + V⁻1 + 0 ±jOj] ₌ * ₊    2 ,* + ₄

Vi+(*+»)»    s'

2.4

3.5

(* + 2/)⁵'

2.4.6

(*+«/)⁷+-

17) Wykazać, że funkcya : z=x²—xy + y²—ax—6y, ma najmniejszą wartość w miejscu

b -\- 2a

0 + 26

X 2= -—-

3

18)    Wykazać, że funkcya: s = x³— 3axy + y³, ma w przypadku, gdy o>0, najmniejszą wartość, równą —o³; wartość ta jest największą, gdy o<0.

19)    Wykazać, że funkcya: 2 = a;⁴-j-y⁴-j- 2aj²y²—8æ-j-8y, ma minimum =—12 w miejscu : x = 1, y — — 1.

20)    Wykazać, że funkcya: z—yiĄ- x³— 8y³— 3x² + 18y²—3x — 8y, ma:

1) smax=3 + 4V/2 w miejscu: x = l—\/2, y = 2,

2) « min = —6—4\/2 w miejscach : x = 1 4- V/2 . v = 2-h V/3 . a w miejscach: (a;=l—V/2 , y = 2 -4- \/3 ). (x =1 + \/2 . y = 2), nie posiada ani max. ani min.

21) Wykazać, że funkcya : z

X

a minimum, gdy —---₇-

’ & -⁷ a    b

i+^²+y²

1—o»—6y’

y 1—y/r+ö²+ 6 ²

ma maximum , gdy — =-f-’ ⁰ ^ o 6

l+y/1+o²+6²

o² + 6²

a² + b²

22) Wykazać, że funkcya z =

a -\-bx + cy V/l + x² + y²

ma największą wartość w miejscu:

y = ~ä'

ximum

23) Wykazać , że funkcya : z = sin x + sin y + sin (x -f- y), ma dla x = y = 60° ma-3\/3

24)    Wykazać, że funkcya: z = cos a cos x -f- sin a sin x cos (y — (3), ma wartość największą dla x = a, y = ß.

25)    Wykazać, że funkcya: z=a cos a; + 6 sin et cos y + esin x siny ma nieskończenie wiele max i min = -ł- \/o² + 6² + c² .

26)    Wykazać, że funkcya s = xey+xsmv nie posiada ani maximum, ani minimum. Wyznaczyć maxima i minima następujących funkcyj dwu zmiennych niezależnych:

27)    z— x² + y²—xy—3y. 28) z = x²-\-y² Ą-xy—bx—4y + 10.

29)» = £cy(o—x—y). 30) z=x³y²(6—x—y). 31) z = æ⁴-f y⁴ -^-2æ² -f- 4æy—2y².

x³y³

32) «=a:⁴ + y⁴ — x² + xy—y². 33) z

35) z — x² y (a:⁴ -f- 2y³—a)². 36) z = \/(o—x) (a—y) (x -f- y— a). 37) z =æ* + y⁴ — ax²y—axy²-\-b² x²-\-b² y².

(x—à) (y-b)

84) z — xy Y/o²ô²—a²x²—6²y².

38) z = æ² 4~ xy -|- y² -f- — 4“ —. 39) z — {ax² -f- by²)e x y

—(**+»*)

40)    Liczbę a podzielić na takie trzy dodajniki, aby iloczyn z a-tej potęgi pierwszego, ß-tej potęgi drugiego i y-tej potęgi trzeciego dodajnika był maximum.

41)    Kąt a podzielić na takie trzy kąty, aby iloczyn sinusów tych kątów był ma

ximum.

42)    Liczbę a podzielić na takie trzy części a?, y, z, aby wyrażenie ~ -J- ™ -j- było maximum , lub minimum.

43)    Dowieść, że pośród trójkątów o danym obwodzie, trójkąt równoboczny ma największą powierzchnię.

44)    Dowieść, że pośród równoległościanów prostokątnych, w których suma długości

krawędzi jest jednakową, równą a, sześcian o boku:    ma największą objętość.

45)    Wykazać, że między równoległościanami o danej objętości V, sześcian o boku równym V, ma najmniejszą powierzchnię.

46)    Wykazać, że między ostrosłupami trójściennymi o danej objętości, czworościan umiarowy, ma najmniejszą powierzchnię.

47) Wykazać, że między ostrosłupami trójściennymi, o danej podstawie i danej wysokości , ma największą powierzchnię taki ostrosłup, którego ściany są do podstawy jednakowo nachylone.

48)    Na polu trójkąta wyznaczyć punkt s tak, aby suma kwadratów jego odległości od wierzchołków trójkąta była najmniejszą.

49)    W ostrosłupie trójściennym wyznaczyć taki punkt, aby suma kwadratów jego odległości od wierzchołków ostrosłupa była najmniejszą.

50)    Na polu trójkąta (a, b, c) wyznaczyć taki punkt P, aby suma kwadratów jego odległości od boków trójkąta była najmniejszą.

51)    Na polu trójkąta ABC wyznaczyć taki punkt P, aby suma jego odległości od wierzchołków trójkąta była najmniejszą.

52)    Na polu czworokąta ABCD, wyznaczyć tak punkt P, aby suma jego odległości od wierzchołków czworokąta była najmniejszą.

53)    W kulę o średnicy d wpisać równoległościan prostokątny o największej objętości.

54)    Na polu trójkąta ABC wyznaczyć taki punkt P, aby równoległościan prostokątny, utworzony z odległości tego punktu od boków trójkąta, posiadał największą powierzchnię.

65) Na polu trójkąta ABC wyznaczyć taki punkt P, aby równoległościan utworzony z odległości tego punktu od boków trójkąta, posiadał największą objętość.

Wyznaczyć wartości następujących funkcyj dwu zmiennych, niezależnych, przedstawiające się w postaci symbolów nieoznaczonych :

5a?² — Gxy -j- y²

cc²— 3xy    2y²

dla

= 1.

= 1.

log (* + 1) -f log (y + 1)

58) * =

log bx — log ay

b³ x³ — a³y³

, dla x “. 59) z

y= b

xĄ-y arc tang^l —

-, dla

*² + !/²

, dla

r-⁴ h-¹

4 x² — xy — Sy²

2 x² -j- xy — y²

dla

r—¹ hl

61) z= (2 x² -|- xy — 3y²)

4r²—xy -3yJ

dla *

r-¹ }-*

dla

(b x—a y)(e° — e y )

(log bx— log ay)²

x = a. dla    .

y = ß

(x a)² + (y— ß)2 p~ V P² 4- (a? — <x)²4-(«/— ß)²’

64) z

65) «

(« — y) — x³(l — y)-f y³( 1 — x) (x—y) (1—y)(l— x)

*n(x-y)-xn (« — y) 4- Vn ( « — «Q ; dla (*-y)(a — y) (*—x)

, à\&æ==®. 67)z =

«/ = 0

, dla

= 1'

xy

x² -h y²

(x + yf

xy{x — y)'

x = 0 dia ■ y = 0

1    ax Ą-by    _ 1

Rozwiązania XIX. 1) »

4) z — \/x² -f y‘K 5) z = log—7—.

° x + y

3) »= arcsin-—.

2 ab    ax—by '    4 " (a;²-{-«/²)²"

6) z=ex+y. 7) z = sinx siny. 8) f{x-\-h, y-\-k). 9)—16) z szeregu Maclaurina. 17)—26) Patrz art. 9. 27) »min = — 8 dla x = l, y = 2. 28) Minimum

dla x—2, y — l. 29) Max. dla x = y = —. 30) Max. dla x = 3, y = 2. 31) »min ——8 dla

x — ;d~ V2 , y —-f- V/2 ,

z max

0, dla x = y = 0. 82) z max = 0, dla x =0, y — 0, » min =

I-I CO

dla x — ii — -4- —

« min = —

CC CD

dla x = -f-

Vs

_V/3

w miej scu : a? = % a, i/ = ¹/₂ i. 34) » max

a² ft²

dla a?

⁴/3a    3/a

⁻\ï7’ y—\ri

—. 33) z min *= (²⁴/₇ ai)2 \--%=■• 35) »max

dla x — Az—y

V/3

. 36) max. dla x — y = ²/₃ a. 37) 1) x = 0, y= 0, »min = 0; 2) x = y =

3\/3

¹

Wartości graniczne symbolów nieoznaczonych, utworzonych z funkcyj dwu zmiennych, niezależnych.

= ^~(3a+ V/9a²-36i²), »min = - ²y₂₆₆ a²-f »/₁₆ a² i²- »/, &ł + V256 a(9a²-32i²)¹/*, 3) * = y =

__ a

= V8(3«—\/9a²—32i²) ani max. ani min. 38) »min. dla x—y— . 39) l)æ=2/=0,»min.

2) æ == 0, </ = +!, » max, gdy a < i, 3) «= + 1, y =0, » max , gdy a > b. 40) x

aa

a + ß+Y?

a~x~*~*+l+ï 41) Każda cz?ść r6wna i■⁴²⁾ Â⁼ê⁼T- 49) środek

V/26² 4- 2c²— a², PB =■

V/2a² + 2i²-c². 51) X.APB='2LBPC=-2^CPA= 120°. 52) Punkt przecięcia

się przekątni AC i BD. 53) Sześcian o boku    54) Oznaczając przez x, y, », odległości

o

ciężkości ostrosłupa. 50) PA —

PC' =

ai

a² -j- i² -f- c²

bc

ac

a² -f- i² -j- c²

a²_|_ c2

V/2a²4-2c²—i²,

tego punktu od boków a, i, c, trójkąta o powierzchni A, otrzymujemy :

2A

V₂(i+c—a)    ‘/₂(c+a—i)

2A

55) æ — —, y=—,z = — Z punktu tego wy-

2A

2A

V2(a+i— c) 2(ai -j-ic -f- ca)—(a²+ i²4-^²)' chodzą do wierzchołków promienie , dzielące powierzchnię trójkąta na 3 równe części.

56) -4. 57) 1. 58) - i 59)    60)    . 61) 1. 62) -a²e“. 63) ~2p. 64) 3. 65) ( g) «w~². 66)

Wartość nieoznaczona w granicach od — do    67) wartość nieoznaczona w grani

cach od — 00 do 4- co .

Literatura. Dr. Oskar Schlömilch. Übungsbuch zum -Studium der höheren Analysis. Erstes Theil. Aufgaben aus der Differentialrechnung. Leipzig 1888. J. Todhunter. A treatise on the Differential calculus with numerous examples. London 1885.

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Teorya największości i najmniej szóści funkcyj dwu zmiennych niezależnych.

2. Zastosowanie szeregu Taylora do badania obrazu funkcyj dwu zmiennych nie

zależnych.

Wykład XX.

Różniczkowanie i całkowanie funkcyj wyraźnych ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

1. Pochodne cząstkowe i różniczka zupełna funkcyi n zmiennych, niezależnych. W danej funkcyi n zmiennych, niezależnych: z=f(xy, x₂₎ xn), możemy zmienić jedną zmienną niezależną xi o Axy, niezmieniając reszty zmiennych : x₂,    •••, ®». Tym sposobem, dochodzimy do stosunku różniczko-

jako granicy stosunku różnicowego, w postaci:

w ego :

dxi

dxy

Axy

Xn)‘

(1)

Otrzymany stosunek różniczkowy nazywamy cząstkowym stosun-

a nową funkcyą fy(xy, x₂,xn), ten stosunek

kiem różniczkowym określającą, nazywamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcyi z podług zmiennej xi.

Funkcya z=f(xy,    w zmiennych niezależnych,^,^,..., x

według tego, n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, w postaci:

ma,

dz

dz

dz

dxy ’ dx₂

dxn

Tym pochodnym cząstkowym odpowiada analogicznie, jak przy funkcyi dwu zmiennych niezależnych, n różniczek cząstkowych pierwszego rzędu w postaci :

dXlz=

dz

dxy

dxy, dXiz—

dz

dz

dx₂, •••, dXnZ = Yxdxn

których suma podaje zupełną różniczkę danej funkcyi: z—f(X]^x₂,..^xn) w postaci :

dz

dz ,    dz

i— dx 2 •+...+

(2)

T—dXn.

Różniczkę zupełną danej funkcyi: z—f{xy) x₂,..., £*), w zmiennych niezależnych: tfj, #₂,..., możemy otrzymać bezpośrednio, różniczkując daną funkcyę równocześnie podług wszystkich n zmiennych niezależnych i porządkując otrzymane wyniki podług różniczek dxy, dx₂, dxn, poszczególnych zmiennych, niezależnych. Spółczynniki przy tych różniczkach przedstawiają tedy pochodne cząstkowe danej funkcyi, ze względu na odnośne zmienne.

dz—-— dx. -I

dxy

dx 2

2. Przykład. Dla danej funkcyi : u = y .æ²    2/²+ z2 trzech zmiennych niezależnych:

x, y, z, otrzymamy różniczkę zupełną , w postaci :

du —

1 2x dx 2y dy Ą-2z dz xdx -f- y dy + z dz

²    Y/*²+y² + «²

V/x²-|-y2jf- z²

a stąd, trzy pochodne cząstkowe :

du

du

du

\/x‘l Ą- y² £² à y    y/x² -j- y² -f- zl

3. Pochodne i różniczki cząstkowe wyższych rzędów danej funkcyi n zmiennych niezależnych. Pochodne cząstkowe :

<)z

y/ce² y² -j- s² '

d# d£

d£

danej

d iCj ’ d.r₂ ’ ’ " ’ dxn xn), w zmiennych, niezależnych: x1} x₂,xn są, w ogól-

funkcyi: z—f(xi, æ₂,. ności, znowu funkcyami n zmiennych, niezależnych: xi, x₂,..., xn, mają więc swoje własne pochodne cząstkowe, które nazywamy pochodnemi cząst-kowemi drugiego rzędu danej funkcyi n zmiennych niezależnych.

Jeżeli, mianowicie, daną jest funkcya : z=f(xx,x2 cząstkowe pierwszego rzędu oznaczymy kolejno przez :

, M.y

#„), której pochodne

dz

dz

dz

— fnipCU ^2) •*’> ®»)>

’’ da;«

natenczas, różniczkując te funkcye cząstkowo podług poszczególnych zmiennych niezależnych: x1} x₂, ..., a;n, otrzymamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu :

dxi

dx₂

d² z

”•? X”)j

d²z

—/l2 0^1 ’ ^2» ,M)    **•

d²z

d^j doCfi

*®2ł

dxidx₂

d² z dx₂dxn

Podobnie, jak przy funkcyach dwu zmiennych niezależnych, (art. 5—7. str. 285—287.), można także tu dowieść, że : d²z

dxi dx₂ dx₂dxi

t. j., że porządek różniczkowania danej funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych, ze względu na te zmienne, jest zupełnie obojętny.

Twierdzenie to, uogólnione do pochodnych, rzędu wyższego nad drugi, możemy przedstawić ogólnie w postaci:

d²z

dx₂dxi

Xn)j •••

dn z

dX²n

fnn ł dC₂

Xn)•

d²z

czyli, że:    ^2

x„)—/21 (*^1 » ^2> •••! ^m)?

(3)

d«₁ + «J+... + an z

+ ••• + “« 0

d#₂“² dajj“*... dx„an ~~dxnan dxy a>dx₂ %..

(4)

dxiaidx₂a*... dxnan

Dana funkcya : z=f(xi, x₂,..., xn) o w zmiennych niezależnych : xi,x2 ma, wskutek tego, tylko tyle pochodnych cząstkowych r-go rzędu, ile da się utworzyć połączeń r-tej klasy z powtórzeniem z n elementów, a ilosc ta (patrz. T. I. str. 326.), jest określona wzorem :

xn

Cnrw

=rr)

(w-fr—1) !

r ! (n—1) ! *

(5)

Istnieje zatem dla danej funkcyi n zmiennych, niezależnych:^,^,..., xn:

=n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu: fu fv ..., fi

/w+1\ (w + l)w

V 2 j⁼ 2

drugiego rzędu: fn, fn,

m-

(w-f 2)(w-fl) n

1.2.3

trzeciego rzędu: /m,    fn

m-

(»+3) (m+2) (w+1) w

czwartego rzędu: f\nu /‘ill2,..., fn

nnn*

Z otrzymanej pochodnej cząstkowej: (o^ + a₂ + ... + aw)-go rzędu:

^osj+osj-f ...+«„ 0

dxxtt'dx₂a* ... drn“n

— fa

11 «21

«n 0*1 >    *2

^n),

danej funkcyi: z=f{xx, x₂₁..., xn) otrzymamy odnośną różniczkę cząstkową: («!'h«2 + ...rzędu tej funkcyi, jeżeli otrzymaną pochodnę cząstkową : ( ax + a₂ + •.. + cc„) -go rzędu, pomnożymy przez odpowiednią różniczkę: (ax -j-a₂-f-.. + a«)-go rzędu, w postaci:

^a₁+«I+...+«n g

da^“² ••• dxnÄ»

dxx    . . . dxnttn =

, æ₂> -oas»), dxt“i dx^*"¹ ...

(6)

4. Przykład. Funkcya: « = zz-{-3xyz—bxy²—as³, trzech zmiennych niezależnych æ, ?/, 2, ma 8 pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

^ = 3yz— B«/²—Ba;², ^ = Ba;«—10 *y, ^ = 3«² + 3a;y,

"2" ^) == (2)1 czyli 6 pochodnych cząstkowych, drugiego rzędu :

d² u

d² u dx2 ó² w

=— Ga;,

10 as,

()² w

d«²

62

d²u

d²u dz dx

32 — 10 y,

3^) ⁼ (3)’ czyH 1® pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu:

a d*u    d*u a d*u n

b’ ~W~ '    ⁼ °’

_____0 o

dydz²    ’dy²dz ’

dxdy

dy dz

= Ba:,

()%

dxdy²

d²u

d³u

dx²

()as² ()«

= 0,

= -10,

dcc Ö2²

0,

d³w

3, i t. d.,

dx dy dz

którym odpowiada tyleż różniczek cząstkowych odnośnego rzędu.

5. Różniczki zupełne wyższych rzędów danej funkcyi n zmiennych niezależnych. Z różniczki zupełnej pierwszego rzędu danej funkcyi : £=/(#i, x2J ..., xn), kształtu:

dz =

dz

dz

dz

dxx -f-

(7)

dx₂-j- ... +~~ dx

OdCfl

otrzymamy, na podstawie prawideł różniczkowania, jak przy funkcyi dwu zmiennych, niezależnych (art. 9. str. 287. i 288.), różniczkę zupełną drugiego rzędu, a następnie, kolejne różniczki zupełne wyższych rzędów, uważając, przytem różniczki dxx, dx₂, ..., dxn, zmiennych, niezależnych: xu x₂,..., xn, jako wielkości stałe, a więc, kładąc:

d(dxi)—d²xi=0J d²x₂=0, ..., d²xn—0 ogólnie: drxx=drx₂ = ...= drxn-= 0, dla r^> 1.

Tym sposobem, otrzymamy, najpierw t. z. drugą różniczkę zupełną, w postaci:

dxx

dx 2

d²z=d

(a*,) 'dx'Jrd{^)'<Uï+-+d{tex)

■ dxn

œ-.

skąd , ze względu na to , że :

d²z

dx\

*(£)-

d²z ■_ dxl dx₂

dx 2 -I⁻... -|“

d² z

dxt dx„

dxn

d²z

dxi dx₂

dxi 4

d² z

d² z

dx\

dx₂ dxn

dxn

a(±\-

\ÓXn)

d²z

dxx dxn

dxx 4

d²z

d²z

otrzymujemy ją w postaci rozwiniętej :

dx₂ dxn

dx2 4" "■ dxn ,

d²z

d “⁼dx* dx ' +

d²z

dx²n

dx²₂ 4*    4-

à² z

dxn

2 tfo²„4-2

d²z

d² z

doCfi—i dxn

dxi dx2 dxn^ i dxn,

dx]dx₂ + ... 4-2

d²z

dxi dxn

dxidxn 4-...

(9)

czyli, w postaci symbolicznej :

d²z

Różniczka zupełna drugiej różniczki zupełnej d²z danej funkcyi z daje trzecią różniczką zupełną d²z, w postaci symbolicznej:

⁼~{Ł,dx'⁺Ł,dx*⁺-⁺A.

dxn

\(2)

) ’■

(10)

d²Z

/ d    d    d \W

⁼{dźdx'⁺dĘdx* ⁺ ~⁺te„dx’)

(11)

na podstawie której otrzymamy ogólnie r-tą różniczkę zupełną w postaci symbolicznej :

drz

(12)

Z tej postaci otrzymamy, na podstawie prawidła o potęgach wielomianu (Patrz T. I. art. 9., str. 329.), odnośny wzór, w postaci rozwiniętej :

ficc+ß+...+v %

a\ß\...v\ dx^adx₂P...dxn

dr z =

- dxt “ dx?₂... dxnv,

(13)

a+j34...+»»=r

gdzie znak sumo wy rozciąga się na wszystkie przypadki, w których wykładniki a,    v, przedstawiające rzędy pochodnych cząstkowych, wzglę

dnie potęgi różniczek zmiennych, niezależnych, wybrane są z pośród liczb : 0, 1, 2,..., n tak, że suma: a-\-ß-\-...+v=r.

r ^ wyrazów, t.j. tyle, ile

pochodnych cząstkowych r-go rzędu posiada funkcya n zmiennych, niezależnych.

Powyższa suma zawiera w rozwinięciu :

6. Że wzór powyższy jest ogólnie prawdziwy dla każdego r, możemy dowieść na podstawie indukcyjnego wnioskowania z r na r-j-1.

Przyjąwszy, bowiem, prawdziwość tego wzoru dla pewnego r, której, dla r—2 wprost dowiedliśmy, otrzymujemy z (13) wzór na (r-ł-l)-szą różniczkę zupełną w postaci:

d'+' z =    2

a + ß+...-\-v=r

r\

dr+iz

dr+'z

dxiadx₂P+i...dxn

a\ß\..v\ ldxice+idx₂P...dxnv dr+lz

dxxa dx₂P...dxnv+x

— dxi a dx₂^i...d.vnv+... d

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

dxia+1dx₂P...dxnv 4-

.dx,tt dx₂&... dxnv+x .

322 -

Zastępując teraz dr+*z przez d#r+1, możemy powyższy wzór przedstawić symbolicznie w postaci:

dr+'z =

r\

dzr

a+/?4*»*+*’:=r

{dz dz

■{dzdX^

a\ß\...v\ dxict dx₂& ...dx„v

dą² dx₂$... dxnv.

dz

dx₂

dx₂ + ...Ą

czyli :

dr+'z

_ / dz

dz

dz

dz

dz

<fosa+...d da;

dx< 4- 4^ dx₀ 4... 4 dx« dx₂ ² dxn

skąd otrzymuje się ostatecznie wzór:

₌ (dz

zgodny z wzorem przyjętym dla drz, co dowodzi, że przyjęty wzór, prawdziwy dla r=2, jest też ogólnie prawdziwy.

dxi

dxy

dxx 4

dx 2

dxi

dx%

7. Wyznaczywszy dla danej funkcyi n zmiennych, niezależnych, wszystkie pochodne cząstkowe r-go rzędu, otrzymujemy, na podstawie wzoru (13), różniczkę zupełną r-go rzędu tejże funkcyi.

Znalazłszy natomiast bezpośrednio, za pomocą prawideł różniczkowania, r-tą różniczkę zupełną danej funkcyi: z—f(xx,x₂,...₁xn), w postaci:

(14)

drz —    AUf ßt "t> v dxxa dx₂^... dxnv,

a+ß+...+v=r

otrzymujemy w funkcyach Aay,„v wszystkie pochodne cząstkowe w-go rzędu, opatrzone odpowiednimi spółczynnikami. Mianowicie, będzie :

(15)

A a ß ... v —

dr z

a ! ß !... v ! dxx ⁰¹ dx₂P... dxnv skąd otrzymujemy poszczególne pochodne cząstkowe r-go rzędu danej funkcyi, w postaci :

drz

dxxadx₂P... dxnv

(a+ß + ...-\-v) !

« ß ... V •

(16)

i’

drugą różniczkę zupełną w postaci:

d²u =

6a;. dx²—10 x . dy² 4- 6z . dz² 4 2(8z—10 y) dxdy 4 6a; ,dy dz 4 Gydxdz, wreszcie trzecią różniczkę zupełną w postaci :

d³u — — 6dx³ 4 Gdz³ — 30dxdy² 4 18 dx dy dz, tą różniczkę zupełną: dKu— 0.

Nawzajem, otrzymujemy z pierwszej różniczki zupełnej funkcyi:

u = z³ -\~3xyz— 5xy²— x³,

otrzymanej wprost, za pomocą metody różniczkowania danej funkcyi podług wszystkich zmiennych, w postaci :

a w końcu : c z w a r

!• ; ;

du (3 yZ — By² — 3 x⁷) dx 4 (3 xz — 10xy)dy 4 (3«²4 3xy)dz, pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

^ j 11    ßu

-j— =s= 3 yz — 5y² — 3a:²,    = Sxz — 10xy,    = 3 z²-\-3xy.

i_ii ___g ^ = 6    =    d'“

ósc³    ’ d z³ ’ dx dy'¹    ’ dxdydz

8 i t. d.

d'¹ u — — 6 dx³ -}- 6 dz³ — 80 Æ» dt«/¹ -j- 18 dx dy dz , otrzymujemy znowu pochodne cząstkowe trzeciego rzędu : d³u

9. Własności pochodnych cząstkowych funkcyj jednorodnych o ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Funkcyę n zmiennych, niezależnych: cp (xu x₂,x„) nazywamy funkcyą jednorodną m-go stopnia, jeżeli składa się z wyrazów, z których każdy jest stopnia m-go, jak n. p. funkcya jednorodna, całkowita, kształtu :

■Aaß..,V Xyß ... Xnv.

(17)

Dla tej funkcyi jednorodnej utrzymuje się widocznie tożsamość: (p (txi,tx₂,te„) =    , a?₂,a:«),

która służy ogólnie do określenia funkcyj jednorodnych.

Połóżmy :

un=tx

Z drugiej różniczki zupełnej, otrzymanej w postaci:

d²u = — 6 x dx² — 10 x dy²6 z dz²(6 z — 20 y) dx dy + 6 x dy dz -f- G y dx dz,

otrzymujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

d²u_    d²u _

dx²    ’ dy²

d²u

d²u dx dy

Z trzeciej różniczki zupełnej w postaci :

— 10 x,

d²u dy dz

d²u dz dx

= 3 y.

«1—^1, U₂=tX ₂, natenczas, możemy powyższą tożsamość napisać w postaci:

(p (Wj, w₂, •••, w„)    ^    (^, x₂, •••,

Uważajmy w tym wzorze zmienne xi,x₂, xn chwilowo za stałe, a tylko t, jako jedyną zmienną, niezależną, i wyznaczmy obustronnie r-tą różniczkę

zupełną, natenczas otrzymujemy:

(dMj

= m (m—1) (m—2)...(m—r-f 1) im~rę)(xi,x₂, ...,#„) dtr, a że, wobec założeń powyższych, du₁ = xidt, du₂ — x₂dt, ..., dun=xndł, przeto, opuszczając w otrzymanym powyżej wzorze wspólny czynnik dtr, otrzymujemy wzór:

d(p

du\ +

dcp

d(p

du₂

du.) -j-... -j-

²    dU,

\(d

t?«<„ 1    =

d(p

d(p

dm \ h)

-i-) =m(m—l)...(m—r-\-l)im~rcp{xu x₂,..., æn).

OUn/

x,dul+x,~du₁⁺"'+x,~

Połóżmy teraz w tym wzorze: tf=l, natenczas zmienne w₂, ..., un sprowadzają się do zmiennych: xi: x₂,    a pochodne:

dcp dcp dui ’ du₂

dcp

du,

do pochodnych :    ^

dcp

dxn

Wzór powyższy sprowadza się, wobec

tego, do postaci:

dcp dcp

dcp \ W

n~r ) =m(m—l);.(m—r+l).(p(xi,x₂,.

(18)

Xn)

-f- ...Ą-x

X'dx{

z której, dla r= 1, otrzymujemy wzór szczególny (wzór Eulera):

xij~+x2^r+-+xnj^=m • cp {X\, x₂,..., xn).

Wzory (18) i (19) wypowiadają własności, dotyczące pochodnych cząstkowych wszelkich funkcyj jednorodnych o ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

dx 2

(19)

- 324 —

Dadzą się one wysłowić, jak następuje:

Jeżeli w pierwszej zupełnej różniczce jakiejkolwiek funkcyi jednorodnej zastąpimy różniczki: dxi, dx₂, dxn przez zmienne: xi, x₂, ..., xn, to otrzymamy funkcyę samą, pomnożoną przez jej stopień m, jeżeli zaś uczynimy to samo w r-tej różniczce zupełnej, natenczas otrzymamy w wyniku daną funkcyę, pomnożoną przez iloczyn : m{m—1 )...(m—r + 1)

OCli

10. Przykłady. 1) Dla funkcyi: u=—f— , która jest funkcyą ułamkowa jednorodną,

x z

stopnia pierwszego trzech zmiennych x, y, z, otrzymamy różniczkę zupełną :

du

yz , ,

xy ,

(x + *)» iZ ’

zastępując w niej różniczki: dx, dy, dz przez zmienne: x, y, z, otrzymujemy, według wzoru

Eulera : x

<)u du . du

mu, z powodu m — 1, tożsamość:

yz    x²Ą-xz    xy ~ __ xy

{x 4* z)2 X (x -(- z)2 y (x -j- z)² x -f- z’

2) Dla funkcyi: u = x\/2xy -f- y², która jest funkcyą algebraiczną, niewymierną, a zarazem jednorodną stopnia drugiego, dwu zmiennych, otrzymujemy drugą różniczkę zupełną:

d²u

3xy² -j- 2 y3 (2 xy + y ²)³/₂

dx²Ą

2(3x²y -f- B xy² -j- y³)

(2 xy -\- y²)³/«

dx dy 4

— x³

(2xy-ł- y²)³h

dy\

a zastępując w niej różniczki dx, dy przez zmienne x, y otrzymujemy według wzoru:

h «/²^-y = m(m—l)u,

dx²

+ 2 xy

d² u

dx dy

dy

z powodu m = 2 tożsamość:

3xy² 4- 2 z/³    2{3x²y 4- 3xy² + y³)

* ⁺    '    (2 xy + y²)³/, Xy (2xy + y²)%

(2xy + y⁷)³/i

y² = 2 x \/ 2 xy -j- y¹ •

ON TM    !    •    !    X+\/x²— y²

3) Dla funkcyi : u = log-. __— ,

x y x²—y²

x i y, a przy tern funkcyą jednorodną zerowego stopnia, otrzymujemy z ró.

2 y dx — 2 xdy

która jest funkcyą przestępną dwu zmiennych

wnania różniczki zupełnej : du =

du ,

x -y- 4- y x

dx    dy

4\/x²—y²

du

2x

, z powodu m— 0, tożsamość:

2x

= 0.

\/x²—y²    x²—y²

11. Jednorodne formy algebraiczne. Szczególny przypadek funkcyj jednorodnych zmiennych, niezależnych:    x₂₁ ..., xn stanowią fnnkcye jedno

rodne, algebraiczne, wymierne, całkowite. Fuhkcye takie przedstawiają się

u=2Aai ...₍v x^n x₂^.... xn , gdzie a-\-ß ^ ...-\-v=m, i nazywają się zwykle formami a 1 g e br ai c z n e m i n zmiennych m- go stopnia.

W szczególności, nazywają się formy algebraiczne, w których m= 1, a więc, formy, kształtu: u*=axxx-\-a₂x₂ + ...+anxn, formami liniowemi; formy algebraiczne, w których m--= 2, a więc formy, kształtu:

u=ajia₂₂x₂^ Ą-an n4"2a^₂x^x₂ 4*2 a^ ₂x^x₂ 4~ 4*2an—if n dcn—i xn formami kwadratowemi. Z form algebraicznych wyższych stopni nazywają się zwykle formy algebraiczne trzeciego stopnia (m=3) formami eściennemi (kubicznemi), a formy czwartego stopnia (m—4), formami dwukwadratowemi (bikwadratowemi).

Z formy liniowej: u = alxi+a₂x₂ + ...-\-anxn otrzymamy ogólną formę algebraiczną w-go stopnia, jeżeli w najprostszej formie algebraicznej m-go

w postaci:

stopnia, przedstawiającej się w postaci rozwiniętej m tej potęgi dowolnej formy liniowej, t.j. w postaci: um=(a₁x₁-\-a₂x₂-jr    poszczególne wy

razy rozwinięcia opatrzymy dowolnymi spółczynnikami. Ogólna forma algebraiczna m-go stopnia ma

m-tej potędze wielomianu w-wyrazowego t. j. ^

W szczególności, ogólna forma liniowa n zmiennych ma n wyrazów,

kwadratowa ma

zatem tyle wyrazów, ile ich jest w rozwiniętej

m\n —1

j wyrazów.

(T)

sześcienna

en

dwukwadratowa

/w-j-3\    ,

l 4 J wyrazow-

Formy algebraiczne dowolnego stopnia otrzymują wreszcie osobne nazwy, stosownie do ilości zmiennych. W szczególności, formy algebraiczne o dwu zmiennych (w=2), jak u=axĄ-by, urn=(axĄ-by)m, nazywają się formami dwójko we mi, formy algebraiczne o trzech zmiennych (w=--3), jak u=ax-\-byĄ-cz, um — {ax-\-by-\cz)mi formami trójkowemi, formy algebraiczne o czterech zmiennych, jak: u^=a^x^ -\-a₂x₂ +a₃x₃ + a₄Æ₄, um = (aixi -\-a₂x₂ +a₃æ₃ -f «₄^₄)m, formami czwórkowemi

formy algebraiczne o n zmiennych, jak:

u=aixi +«2^2 +•■. + «»&», um=(aixi + a₂x₂ + ... + anx„)m formami w-jednostkowemi.

Badanie własności form algebraicznych stanowi osobną gałęź algebry wyższej, zwaną teoryą form.

Na oznaczanie form różnego rodzaju używa się niekiedy, za przykładem Cayley’a, znakowania skróconego, które polega na tern, że ujmuje się w nawias najpierw wszystkie spółczynniki formy, kolejno po sobie następujące, a podzielone przez odnośne liczebne spółczynniki dwumianowe, względnie wielomianowe, a następnie, dołącza się w nowy nawias ujęte wielkości zmienne tej formy, pisząc u góry tego nawiasu stopień tej formy i sprowadzając kreski sąsiednie nawiasu do krzyżowania. Według tego znakowania pisze się więc n. p. formę dwójkową, sześcienną: ax³ + S bx² y+Scxy^+dy* w postaci: («, ó, c, djx, y)³.

W przypadkach, gdy bliższe określenie spółczynników jest zbyteczne, ogranicza się to znakowanie tylko do zestawienia zmiennych formy, oznaczając n. p. formę dwójkową n-go stopnia symbolem: (x,y)n. Przy badaniu form o pewnej ilości zmiennych, używa się niekiedy znakowania skróconego? wprowadzonego przez Aronholda, w postaci symboli : axm, gdzie a przypomina spółczynniki, x zmienne, a m stopień formy.

Bardziej odpowiedniem i coraz bardziej używanem jest jednak znakowanie form, oparte na układzie wskaźników, według którego, dla oznaczania zmiennych używa się wyłącznie litery x, a na oznaczanie spółczynników litery a, dołączając do tych liter odpowiednie wskaźniki.

12. Uwaga. Różniczki zupełne funkcyi: z =f(xi, #₂,...,a;w) są algebraicznemi formami ze względu na różniczki dxu dx₂, ..., dxn) a mianowicie pierwsza różniczka zupełna dz jest ze względu na różniczki formą liniową o spółczynnikach, które są pierw szemi pochodnemi cząstkowemi danej funkcyi, druga różniczka d²z jest formą kwadratową ze względu na te różniczki o spółczynnikach, które są drugiemi pochodnemi cząstkowemi, pomnożo-nemi przez odpowiednie spółczynniki wielomianowe, trzecia różniczka zupełna jest formą sześcienną; ogólnie m- ta różniczka zupełna jest formą algebraiczną w-go stopnia ze względu na różniczki d:rt, dx₂, dxn o spółczynnikach które są pochodnemi cząstkowemi m-go rzędu danej funkcyi, pomnożonemi przez odpowiednie spółczynniki wielomianowe, i przedstawia się ogólnie w postaci:

dm u =

dmf

a ! S !... v ! dxladx₂ß... dxnv

dx^a. dx₂ß.....dxnv.

13. Całki cząstkowe danej funkcyi n zmiennych, niezależnych. Uważając daną funkcyę: f(x1} x₂, ..., xn), jako pochodną cząstkową innej niewiadomej funkcyi g, ze względu na jedną z tych zmiennych, a więc, kładąc n. p.

/ (% > ®2ł * *> a'»)j

znajdziemy funkcyę pierwotną:

? *®2ł •••» xn)dXi",

jeżeli daną funkcyę: /‘(a^, #₂,.., æ„) kolejno r-razy ze względu na zmienną scałkujemy; otrzymujemy tedy szukaną funkcyę, analogicznie do wzoru (20) str. 290., w ogólnej postaci:

*₂,.., Xn)dXir=F{xv X₂, ...₁Xn)+1piXir-i + y₂.Xir-² + ... + Vr-i X + V>r, (20) gdzie i#',(a;₁, a?₂,..., »„) jest najprostszą funkcyą w zmiennych, niezależnych, otrzymaną z funkcyi /(a^, æ2 cząstkowego, ze względu na zmienną x{

dowolnemi funkcyami pozostałych zmiennych: xx, x₂,sc;_i, ak+i

14. Całki wielokrotne. Uważając daną funkcyę: f(xux₂,...,xn), jako pochodną cząstkową niewiadomej funkcyi g ze względu na wszystkie zmienne xi, x₂,..., xn , a więc, kładąc:

#w\ na podstawie r-krotnego całkowania spółczynniki ^>₂,...,    » są

xn.

dng

f\(a;i» a:₂,a:n),

d#₂ •.. 0Xn

znajdziemy funkcyę pierwotną :

0=//...//'(a^, æ₂,..., xn)dxidx₂...dx„=$dx^dx₂...$f{xu #₂,..., xn)dxn,

jeżeli daną funkcyę : f(xi, x₂,...,xn) scałkujemy kolejno podług każdej ze zmiennych xu x₂,xn.

Całkowanie kolejne funkcyi: /*(ar₁, xv ...,xn), wielu zmiennych, niezależnych według każdej z tych zmiennych, nazywamy całkowaniem wielokrot-całki, kształtu: Jf...Jf(xi,x₂,...,xn)dxi...dx„, nazywamy całkami

nem wielokrotne mi.

Porządek całkowania, obojętny przy funkcyach dwu zmiennych, niezależnych (por. art. 13. str. 290. i nast.), jest tern samem obojętny także przy ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

Chcąc otrzymać najogólniejszą postać całki w-krotnej, kształtu:

xn) dxidx₂... dxn, należy do otrzymanego wyniku: F(xi, x₂,..., x„), dołączyć jeszcze sumę n dowolnych funkcyj : (Du 0₂,..., @n, gdzie @i zawiera wszystkie zmienne , prócz zmiennej xt.

Jest tedy najogólniej :

//.../ f (Æj, ..., Xn) dxidX₂...dXn=F(Xi, X2,..., Xn)Ą-0i(X₂₁ X₃... Xn) +

*4" ^2 (*®1 ? *^3 J    “H ••• "f”    (®i j *^2 > •••} —l)

(21)

skoro :

dnF(xi, x₂

xn)

da?₂...

f OU > ^2) •••> *»)•

15. Przykład. Wyznaczyć całkę potrójną, kształtu :

dx dy dz.

CCC 3 xyz

J')(**+

Całkując daną funkcyę, najpierw podług x, i uważając pozostałe zmienne za stałe, otrzymujemy :

3 xyz

xdx

yz

dx — Syz

(x²    y²-\- 2²)⁵k

(*,+yî+»î),/* ‘

Całkując dalej otrzymaną nową funkcję podług zmiennej y, otrzymujemy:

(x²-\-y²z²)^²

3 xyz

~f

yz

dy=4

dx dy

{x²-\-y²-\- z²)³!* a całkując ostatni wynik podług z, otrzymujemy :

(æ²-f y² -f- z²)^*

{x² -f- y ² -j- z²)^¹

Hf

3xyz

zdz

Y/as² -j- y² -f- z¹.

cfcr dy dz

{x² -j- y²

Szukana całka potrójna przedstawia się zatem w najogólniejszej postaci :

(x²-\-y²-\- z²)^²

Hf

3 xyz

(x²-j- y² 4" 2²)^³

dxdydz= Vx² + y² -f z² + <J>t(y, z) + $a(*ł *) + $3 (*> y).

16. Całkowanie różniczek zupełnych pierwszego rzędu o n zmiennych, niezależnych. Różniczka zupełna danej funkcyi : z==f(xi, x₂,..., #„) przedstawia się, jak wiadomo, w postaci:

dz

dz

dxi

dxi +

dz

dz

dx₂

dx₂ +...    —- dxn

OXn

kształtu :

Dowolnie z n zmiennych xif x₂

xn, utworzone wyrażenie różniczkowe,

Mx dxx + M₂dx₂ +...+Mn dx będzie zatem tylko wówczas zupełną różniczką, jeżeli istnieje taka funkcya zon zmiennych: x1} x₂,..., xn, że będzie:

dz

dz

dz

Mn

M,=

dx 2 ’

W takim razie, musiałyby się spełniać relacye: dMx_ d²z dM₂ dMx_ d² z __dMn    d² z dMn

dxn dxxdxn dxx ’ dxn dxn-\dxH dxn-1

warunków, kształtu :

dxx

dxn *

dx₂ dxx dx₂ dxx z których otrzymujemy:

<M

<S>.

(22)

—1 j j..., n

pod którymi wyrażenie różniczkowe będzie zupełną różniczką pewnej niewiadomej funkcyi n zmiennych, niezależnych: xx, x₂,..., xn.

Warunki powyższe nazywamy też warunkami całkowalności, a odnośną funkcyę z nazywamy całką danej różniczki zupełnej.

dxk dXi

¹

Wartości graniczne symbolów nieoznaczonych, utworzonych z funkcyj dwu zmiennych, niezależnych.

²

Przykład. Dla funkcyi: u — z³Ą-3xyz—5xyl—a;³, trzech zmiennych, niezależnych: xi V' z) otrzymujemy, na podstawie wzoru (13), z uwzględnieniem pochodnych cząstkowych, w art. 4. wyznaczonych, pierwszą różniczkę zupełną w postaci:

du — (3yz—by²— Sa;²) dx 4- (ßxz—10 xy) dy 4 (3s² 4 3a;y) dz,

Pod tymi warunkami, piszemy:

dz=Mxdxx Ą-M₂dx₂ + ...+Mndxn, odnośną całkę , oznaczamy w postaci :

(23)

z=*f (Midxi Ą-M₂dx₂Ą-...-\-Mndxn).

17. Mając ją wyznaczyć, weźmy pod uwagę, że różniczka Mxdxx jest jej cząstkową różniczką, ze względu na xi} możemy, zatem, położyć:

z=J'Mx dxx-f Cu

gdzie stała całkowania Cx ma być niezależną tylko od xu może być jednak funkcyą pozostałych (w—1) zmiennych, niezależnych: x₂,...,xn.

Połóżmy: 0, =(pi{x₂, xn), a więc:

z-fM₁dxl + (Pi(x₂,.

OZ

natenczas, na wyznaczenie funkcyi (px, otrzymujemy z warunku:    ■ = M₂₁

r    .    dX₂

równanie :

z którego dostajemy:

d<P\

dx₂

= M₂-

a więc:

gdzie C₂ może być funkcyą pozostałych (n—2) zmiennych: x₃,..., xn. Połóżmy C₂=(p₂(x₃,..., xn), a więc:

<Pl 0&₂» •••}•*'«)

natenczas, otrzymujemy szukaną całkę, w postaci:

^ (ż®! ćfa₂ + 9>₂ (a?₃1 ■ > *»)J

• u, Xn)

dx₂

dz

=M₃.

w której (p₂(x₃,...,xn) wyznaczymy znowu z warunku:

Postępując dalej w ten sposób, dojdziemy w końcu do funkcyi (jpn_i (ar„),

dx₃

do wyznaczenia której posłuży warunek:

dz

àxn

Mn.

18. Całkowanie różniczek zupełnych ilukolwiek zmiennych, możemy więc wykonać w sposób następujący :

Całkujemy jedną z różniczek cząstkowych, n. p.: Midxi) cząstkowo ze względu na odnośną zmienną xu a zamiast stałej dołączamy do wyniku funkcyę zmiennej x₂, uważając pozostałe zmienne, jako stałe. Funkcyę tą wyznaczamy następnie na tej zasadzie , że pochodna cząstkowa otrzymanego wyniku względem x₂ winna być spółczynnikiem M₂, przyczem dołączamy zamiast stałej, funkcyę zmiennej x₃, i postępujemy tak dalej, aż doj-

być równy pochodnej cząstkowfej

znowu,

dziemy do spółczynnika Mn, który ma ostatecznie otrzymanego wyniku względem xn.

Z odnośnego porównania znajdziemy ostatnią dołączoną funkcyę, jako funkcyę wyłącznie zmiennej #n, poczem dołączamy do wyniku dowolną stałą C i otrzymujemy ostatecznie całkę ogólną danej różniczki zupełnej.

Z postępowania tego wynika wprost następująca, skrócona, metoda całkowania różniczek zupełnych.

Całkujemy różniczkę: Midxi1 podług xi, a do wyniku dołączamy najpierw całkę tych wyrazów z różniczki M₂dx₂, które nie zawierają zmiennej xu następnie całkę z tych wyrazów różniczki M₃dx₃, które nie zawierają zmiennych xi i x₂, ogólnie całkę tych wyrazów różniczki Mrdxr, które nie zawierają zmiennych xi2 x₂₎ ..., ær-i, a w końcu, dołączamy całkę tych wyrazów różniczki Mndxn, które nie zawierają zmiennych: xi, x₂, ..., xn-i, czyli zawierają wyłącznie zmienną xnj i dodajemy stałą dowolną C. Otrzymana w ten sposób suma niezależnych :    , x₂₁ ..., xn.

będzie całką ogólną danej różniczki zupełnej o n zmiennych,

19. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę różniczki zupełnej o czterech zmiennych, kształtu: dz = (2 x, 4- x% ² -f 2 xi xK — x₃ ) dxl + 2 art æ₂ dx₂ — x, dx₃ + xi ² dxk.

Ażeby się przekonać, czy dana różniczka jest różniczką zupełną, mamy tu: ił/j=2xl —p x₂ ² —p 2 x, x4    x₃ , M₂—2 xJ x₂ , ił/j    , ił/4—X\²,

skąd otrzymujemy :

dM,

dM

dx₂

f)aj₃

= -l, ~ = 2x,,

dx₄

ö-^3 __ ^    f^3 __ q ^M₃ _ q

dx,    ’ dx₂ ’ dx₄

dM₂

dx.

dM₄

dx,

= 2 x₂

= 2.r, ,

"O

d M,

dr₃

()X₂

o, ^=o

dx₄

= 0, ^=0 ()x₃

zatem :

dM, _ dM₂

dx₂

dx,

2*2, 4-¹

dx₃

ôm₃__i dM,

d»4

dx₄

dM₄

dajj

2 x.

dM₃

dM₂ _ dM₄ _ n ’ dx₄ dx₂

Mamy więc tu spełnionych > czyli 6 warunków całkowalności, które dowodzą, że

dana różniczka jest w istocie różniczką zupełną pewnej funkcyi czterech zmiennych, niezależnych.

dM.

■i

()M₃

dx₃ dx₂

dx₄

dx₃

Mając wyznaczyć tą funkcyę, połóżmy:

« =J(2x,-f- x₂² -f 2x,x₄ — x₃) dx,-f ?i(x₂),

a otrzymamy:

* = *1 ² 4 *1V + *1 ² *4 — *l*3 + ?l(*2) ,

gdzie, na wyznaczenie ©,, otrzymamy z warunku : -^-=M2l równanie: 2x,x₂•-}-    = 2x,x₂

OXn    OX2

°?i =0, a więc: ®i = C'₂=o₂(x₃)

« = *1 ² + *1*2 ² + *1 ² *4 — *1*3 + ?2(x3)-

z którego dostajemy:

dx₂

a zatem :

Z warunku:

dz

dx₃

= M₃ dostajemy dalej równanie: —x,-f

d?2

dxs

x,, z którego wy-

ptywa : — — = 0 , ©₂=(7₈=<?₃(x₄), zatem: 2 = x, ² 4* x,x₂² + x, ² x₄ — x,x₃-f- o₃(xK). ox₃

Na wyznaczenie ®3(*₄) otrzymujemy wreszcie z warunku:

x*+hi=Xl^

dz

()xi

M₄, równanie:

dx₄

z którego otrzymujemy :

. 0®3

dx₄

0, a więc: ©₃(x₄) = C.

Szukaną całką ogólną będzie więc funkcya:

Z — X, ² X,Xj² -f- Xi ² x₄ — x,x₃-f O.

Do tego wyniku dochodzimy wprost metodą skróconą , na podstawie wzoru :

2==j,(2x₁-j-x₂²-f- 2x,x₄ — x₃) dx^C,

gdyż w x'óżniczce : M₂«?x₂=2x,x₂dx₂ nie ma wyrazów bez x,, w różniczce M₃dx₃— xldx₃, nie ma wyrazów bez x, i x₂, a w różniczce M₄<£x₄ = x, ² dxi, nie ma wyrazów bez x,, x₂, x₃.

Jest tedy wprost : z = x, ² -f- x,x₂² + x, ² x₄ — x,x₃ -f- C.

2) Wyznaczyć całkę ogólną różniczki:

dz = (x₂-{- x₃ -f- x₄) dxx -f- (x₃x₄-j- Xj) dx% -J- (x₄ -j- xt -f- x₂) rfx₃-f-(xj 4- x₂-f- x₃)rfx₄. Mamy tu spełnione warunki całkowalności, ponieważ :

ÓM₃ _ dx₄ dx₃

dM, _ dM,

dx₂

d.r,

1,

dM, _ dM₃ j dx₃ dx,

dM₄

Możemy zatem położyć:

z =J(x₂-f- *3+ *4) dxx -f- <pj, czyli: s = x,x₂-J-*1*3 + *ix44-?i,

a na

wyznaczenie ©, otrzymujemy warunek: x,-f

⁽⁾?i

dx₂

*3+ *44**1, z którego dostajemy:

^?i = x₃-{-x₄, zatem: ®i —*2*3 4" x2a:44'?2, a więc: z — x,x₂4-x₁x₃-j-x,x₄4-2:₂x₃-|-x₂x₄-j-©₂.

dx₂

Kładąc:

dz

— *4+ *1*4"*2 i otrzymujemy równanie: ast -f ox₃

dx₃

*4 + ^1 + x₃, z któ-

rego dostajemy:

+2

= cc₄, zatem ?2=*3*4 + œ₃ , a więc:

Z warunku:

dxi

Z = aî₁:»2+*i*3+*l*4+*2aJ3 + *2*4 + *3*4+ <t>3-

— aij-j- x₂-\- x₃, otrzymujemy, w końcu:

do₃

— *i + *2 + *3 ) czyli :    = 0

^?3

*. + ** + *3+^-

a więc: z>₃= C, gdzie ć? jest już stałą dowolną. Ostatecznie, otrzymujemy, zatem, szukaną całkę ogólną danej różniczki zupełnej, w postaci :

Z = xtx₂ -f- xlx₃ -f- X{X± -j- a?2*3 + *2*4 + *3*4 + G.

Postępując metodą skróconą, otrzymujemy wprost:

2 = J (*2 + *3 + *4) dx\ + J (*3 + *4) dx2 + J *4 dx₃ + C,

zatem , jak powyżej :

z = xtx ₂ -f- *1*3 + *1*4 + *2*3 + *1*4+ *3*4 + 0.

20. Całkowanie różniczek zupełnych o trzech zmiennych, niezależnych.

Warunki całkowalności wyrażeń różniczkowych pierwszego rzędu o trzech zmiennych x, y, z, kształtu: PdxĄ- Qdy + Bdz, wynikają z rozważań art. 16., względnie z warunków :

du

P dx ’

(H

du

dy

B=

du

dz

w postaci :

dP

dli dB dP dy dx ¹ dz dy ’ dx dz

Pod tymi warunkami, możemy położyć:

du=PdxĄ-Qdy-\-Bdz,

(24)

(25)

a otrzymamy :

u—^Pdx-\-(p(y) więc : <p(y) =

d(p(y)

CdP

J ày ‘ dy przeto, otrzymujemy :

a że :

dxĄ

dy + tf)(z)

u — ^ Pdx + ^ J Q —tńcj dy+ip(z).

Zt warunku

du

dz

*=B

mamy :

C dP

dx +

difj(z)

iy+ à.

czyli:

= B-

dip(z)

dz

C dP )dz

dx —

zatem :

y(z) =

SM?

dx —

(26)

Otrzymany wzór wykazuje bezpośrednio, że do całki: £ Pdx, należy dołączyć całkę podług y, z tycb wyrazów spółczynnika Q, które nie zawierają zmiennej x, a następnie całkę podług z, z tych wyrazów spółczynnika li, które zawierają wyłącznie zmienną z bez zmiennych x i y.

21. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę, kształtu:

xy dx

dx —

ś5f*H

dz+C.

w postaci wzoru:

a więc, otrzymujemy ostatecznie całkę ogólną:

= j [Pdx + Q dy -f B, dz]

f T ydX 4- xd]j j |^a — z ‘ a — z ' (a — z)* |*

Mamy tu: P

dP

dQ dQ

xy

(a - z)* ’

dR_ dli ___

dy ’ dx (a — z)’ dz ’

zatem :

dP

dy a-z dx ' dz {a-z)* a więc, pod znakiem całkowania, różniczkę zupełną.

Ponieważ w spółczynniku : Q —-, nie ma wyrazów bez zmiennej x, a w spół-

o— z

nie ma wyrazów bez x i y, a przytem :

czynniku: E

{a —z)* ’

\Pdx=îlÊL ₌ JL^ + c,

J    Ja — z a — z

przeto, otrzymujemy podaną całkę wprost w postaci: u — -f C.

2) Zbadać całkowalność różniczki: du — {y -p z) dx -f- (x -J- z) dy -p {x -}- y) dz i wyznaczyć jej całkę ogólną.

Mamy tu:

dP

dQ dQ

dR dR

P = y + z, Q = x + z, R = x -j-y, — = 1

dana różniczka jest więc różąiczką zupełną.

Jej całka przedstawia się w postaci :

u = ^ {y -f- z) dx + j" zdy = xy -\-zx -}- yz -J- C , czyli : u = xy Ą-yz-\- zx—C.

dx ’

dz ^ dy ’

dP

22. Warunki całkowalności różniczek wyższych rzędów o ilukolwiek zmiennych. Chcąc zbadać, czy dana różniczka r-go rzędu zmiennych, niezależnych: xu x₂, ..., xn, przedstawiająca się w postaci:

t,M v dx^a dx^ß... dxnv

a+ß+... + v=r

jest różniczką zupełną, należałoby ją porównać z wzorem na różniczkę zupełną r-go rzędu dowolnej funkcyi n zmiennych, niezależnych, przedstawiającym się w postaci:

dr z =

r\

a\ß\...v\ dx^ dx₂&...dxn

— dxx a dx₂P ... dxnv.

a+/3-|-...+i>=r

Porównywając odnośne spółczynniki, otrzymujemy relacye, kształtu:

a,ß, —, v —

a\ßl...vl dxlcedx₂^ ... dxnv ’

- 332 -

które musiałyby się spełnić, przy pewnej niewiadomej funkcyi z₁ dla wszelkich wartości    v, czyniących zadość warunkowi: a-\-ß-{-v= r.

Przyjmijmy dwie grupy liczb tego rodzaju: a, ß, ..., v i ait /?1} vl tak, że a+/?4-... + v=r, jakoteż oą -\-ß^ +. . + vx =r, natenczas, otrzymamy dwie relacye następujące:

drz

a\ß\...v\ dxxa dx./ ... dxn

rl

dr z

ai ! ßi !... vx ! öx^t dx₂^... dxnv*

z których wynikają dwie następujące relacye:

drM

d2rz

dxf+^dxj+h...dxnv+v« d2r z

dxiatdx₂^ ...dxnv* alßl...vl drM,

dx₁adx₂^... dxnv ai! ßi!... vx! dxxa+a' dx₂P⁺&... dxnv+Vi 7 a stąd, szukane warunki całkowalności danej różniczki w postaci:

_cc,ß, ...,v    .    ft.    __. _

dx₁a> dx₂& ...dxnv* dxicedx₂^... dxnv alßl...vl ‘ ai\ßi\...vl\ które musiałyby się spełnić dla wszelkich połączeń liczb 0, 1, 2, ..., n o sumie równej r, których ilość określa się, jak wiadomo, symbolem:

drM,

rl

rl

(27)

{nĄ-r—1 ) (nĄ-r—2)...n

1.2 ...r

ćwiczenia XX.

1) Wykazać, że między różniczkami trzech boków a, b, c i kąta y dowolnego trójkąta płaskiego zachodzi związek: dc — cos ß da -j- cos adb -f- a sin ß<?y i objaśnić go geometrycznie.

2) Wykazać, że między różniczkami,trzech boków a, b, c i kąta C dowolnego trójkąta sfeiycznego zachodzi związek : dc — cos B da Ą- cos Adb -j- sin a sin B dO i objaśnić go geometrycznie.

3) Wykazać, że między różniczkami dwu boków a, b i dwu kątów przeciwległych a, ß dowolnego trójkąta płaskiego zachodzi związek :

da

dß

db

da.

tang ß b tang oć

4) Wykazać, że między różniczkami dwu boków a, b i dwu kątów A, B, dowolnego trójkąta sferycznego zachodzi związek :

da

dB

db

dA

tanga tang# tang b tang A

Dane są trzy wielkości, wyznaczające trójkąt płaski o bokach a, b, c i kątach a, ß, y; obrachować trzy pozostałe i wyznaczyć wpływ, jaki nieskończenie mała zmiana jednej, dwu, lub wszystkich trzech wielkości danych, wywiera na wielkości obrachowane. W szczególności, rozwiązać dotyczące zagadnienia w przypadkach, gdy dane są:

5) a, a,    ß, 6) a, b, y, 7)    a,    b,    a,    8) a, b, c.

Analogiczne zagadnienia rozwiązać dla trójkąta sferycznego o bokach a, b, c i kątach A, B, O w przypadkach, gdy dane są :

9) a, &, c, 10) a, b, (7,    11)    a,    b,    A,    12) A, B,    c,

13) A, B, a, 14) A, B, C.

Z danych trzech wielkości, odpowiadających różnym przypadkom rozwiązania A trójkąta płaskiego, obrachować różniczkę zupełną d\ powierzchni trójkąta w poszczególnych przypadkach, tudzież wyznaczyć pochodne cząstkowe :

Wyznaczyć zupełne różniczki pierwszego rzędu i pochodne cząstkowe następujących

17)

18);

⁽⁾T ’

funkcyj :

aa; — by

21) u = (a; -f y)²(y -f ar),,

23) « == Y/x²-j- y² -{-z¹ + arc tang-^- ~,

V

25) u — sin ax -j- sin by -f- arc tang —. Wyznaczyć obok podane różniczki zupełne wyższych rzędów dla funkcyj :

20) u

22) u = xy -f- yz -f- xz,

24) « = sin (a; -f- ?/) sin s -j- cos (x -f- y) cos z,

26)    u — axy — y'¹, d'lu — [ax — 2y) d⁷y — 2 dy⁷ -\~2 a dy dx-\- aydx:

27)    u = \/x²    y'¹ z² j (Z²m =

(cc dy — ycZ x)² -f- (zdx — x dz)² -f- (y dz — z dy)²

(x‘i -f y² -f zlYk

28) u = eax+hy-\-cz , dnu = pßx+by+c: (adx -f- bdy -f- cdz)n ,

29) u — log (ax -f- by -j- cz) , d"u

(ax -\-by T cz)n

(adx -j- bdy cdz)n

30) u = log (yr. 2-". x*)

dhi

=Ą-hd*’ +

rfy³-f— 3 <forfx²-f dxdy'1Jr “^2 dydz'*}.

31) Jeżeli w = a:³^⁴ -j- exy'lz⁷' -f- x²y²s², wykazać, że:

dKu

dx² dy dz

Gexyz²-\- 8 yz.

32) Jeżeli m = log(x³ -f- y³ -f- z³ — Sxyz), wykazać, że:

du

du . du

<)⁷u

d⁷u

<)²m

dx²

r)y²

dz²

(* + y +s)² '

Jx dy dz x + y + z 33) Jeżeli z = Axaya‘ -f Bxßyß'..., gdzie a -j- a' = ß -f- ß' = ... = », a więc 2 jest funk-cyą, jednorodną ze względu na zmienne xi y, wykazać, że:

dz

dz

a.

nz, x²

d²z

dx²

d²z

dx dy

fy²

d²z

dy²

n(n—\)z.

Sprawdzić wzory, w ćw. 33. podane, dla następujących funkcyj :

y⁴+xł

34)

35) 2:

x + y

36)

38) Wykazać, że funkcya jednorodna n-go stopnia, kształtu:

z-=xną

prowadzi, przy jakichkolwiek funkcyach © i ty, do równania różniczkowego, cząstkowego.

37) z = arc sin y

(f)+*”4f).

!x —

y.

dz

dz

X~faJrV dy

Wyprowadzić obok podane równania różniczkowe, cząstkowe następujących funkcj j.

dz n.

40) s=xv (4) +1 (f ) ;    +2x,J

39) ar«

dz

®(® + ay) ¹ ày

— =nz.

dx dy

+ ?/²

d²z

dy²

0.

- 334 -

♦

A 2#    /)2a;

41)    z = xv(x-\-y)-\-y\{x + y)\    _2—

d ^

42)    2 = x <o(xy)-J- ?/4(®y) I X'¹

dy²

0.

t)x²

f y²

d²z

(»2

-‘2xy-^îy + X^+y

= 0.

43) M = «pi(æ²—y²).©₂(y²—a²). ®₃(«J—a:²) ; Wykazać, że :

o#/

()m

y z —--h za; —--1- xy

J dx ' du 1 J dz

0.

⁴⁴> W

dx dy

(i-ł-*⁸ 4- 2/²)³A

— arc tang

xy

«>

(Za; dy dz —

V/l + x² + y²

1    a;²«/

4 a² —z²

f ®i(y»*) +■ ?a(*i *) + ®s(®, //)

46) Jj* j*(l + 3 xyz + x²y²z²)ext/z dx .dydz = ew -f <Pi(y»*) + ?»(*» *) + ®3(*»2/) dx.dx₂dx₃dxi —

«> mi

#1^2 *3 *4

(V + V)²

² a;₂ ²

y + ?1(a;₂,a;3,a;₄)+ <?*(*!,*„ *₄)+

+ ?3(*n *2; **) + ?4(*ll *J>*s)-Wykazać, że niżej podane różniczki są różniczkami zupehiemi i wyznaczyć ich całki ogólne.

32 x,² -f- a:₄

xdy xydz — z’' (a — z)² ' by — ax

dz.

49)    du — —

z

50)    du — 2(x y) (y z) da; -f- (a; -f- y) (x -\- 3 y    2 z) d y    (pc y)² dz.

51) du — (y-f- z) da; -j- (« -j- x) dy -j- (x 4- !/) dz.

z dx — xdz

52) dw —

xdx Ą-ydy Ą- zdz (a;² + y² 4- z²) V,

a;² -|- z²

53)    d« = sin (x Ą- y — z) [dz — dx — dy\

54)    du — a cos ax .dx cos by -f

-j- zdz.

—, dz. y² + z²

Rozwiązania XX. 1) Wypływa z wzoru: c²=a²-\-b² — 2a&cosy, z uwzględnieniem znanych relacyj z trygonometryi płaskiej. 2) z wzoru: cos c = cos a cos b -j- sin a sin b cos C, z uwzględnieniem znanych relacyj z trygonometryi sferycznej. 3) Wynika z wzoru: a sin ß= b sin a. 4) Wynika z wzoru: sin a sin B = sin b sin A. 5)—8) Cztery przypadki rozwiązania trójkątów płaskich. 9—14) Sześć przypadków rozwiązania trójkątów sferycznych Patrz T. I. str. 13. 15)—18) Patrz T. I. str. 23. 19)—30) Na dwa sposoby. Patrz art. 7. str. 322. 31)—88) Funkcye jednorodne, Patrz art. 9., 10. 39)—43) Za pomocą różniczkowania cząstkowego i rugowania funkcyj dowolnych. 48—54) Patrz Ów. 19—25.

Literatura. J. Bertrand Traite de calcul différentiel et de calcul intégral. Paris 1864, Edouard Goursat. Cours d’analyse mathématique Tom I. Paris 1902. Adolf S ą-gajło. Wykład zupełny algebry. Część druga: Algebra wyższa. Paryż 1874.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya zupełnych różniczek funkcyj ilukolwiek zmiennych, niezależnych i metody ich całkowania.

2.    Teorya funkcyj jednorodnych ilukolwiek zmiennych.

3.    Całki wielokrotne funkcyj ilukolwiek zmiennych.

Wykład XXI.

Rozwijanie funkcyj ilukolwiek zmiennych na szeregi i odnośne zastosowania.

1. Wzór Taylora dla funkcyj ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

Wzór Taylora da się, podobnie, jak dla funkcyj dwu zmiennych, niezależnych rozszerzyć do ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

Niech będzie daną funkcya : f(xi,x₂₇...,xn), n zmiennych, niezależnych: xi, x2l .xn- Przyjmijmy pewne miejsce (xi, x2i ..., xn), w którem funkcya ma wartość: z=f{xx, x2J..., xn), a w jego otoczeniu drugie miejsce (xi    x₂-\-h₂t,

..., xn +hnt), uważając /, jako jedyną zmienną, niezależną, natenczas możemy odpowiednią wartość funkcyi w tern miejscu sąsiedniem uważać, jako funkcyę wyłącznie jednej zmiennej niezależnej t₎ pisząc:

i -t-hxt ,x₂+h₂t,xn + hnt) = (p(t).

Na podstawie wzoru Maclaurina, mamy:

• cp(t)=(p(0)-\-t(p,(0)-\-~j <p‘\0) + ...+^ <p(*\0)+Bn,

ęp(»+i)(®^)₇ przyczem 0<C@<Cl-

t*+¹

(1)

gdzie, między innemi: Rn

Celem obliczenia wartości: cp\0), (p"(0), ..., <jd(”)(0), ..., otrzymujemy z określenia: (p[t)=f{xi +hit₎ x₂ +h₂t,..., xn+hnt), kładąc:

Wj ⁼⁼3/j T" ^ > w₂⁼⁼ 3/2 ”b ^2 ^ ? •• • * Wn — ~p lint ^ a wlęc.

*p(ß) =/(«!>    **») >

najpierw pierwszą pochodną funkcyi gp(ź), w postaci:

(»+!)!

(p‘(t)=hi

a/¹

+ •••

drugą pochodną, w postaci:

d²f

(p"(ß)—h\²

a²/"

aw,

a²/¹

du^du^

-p... -p 2 hn—i ^

a²/

a²/

aw}aw₂

aM«_l dtln

czyli, w postaci symbolicznej :

' ¹    ■    »>"<<)=(&'d^+Ä2ä«₂

ogólnie, w tą pochodną w postaci symbolicznej :

-

* aw„ ;

skąd otrzymujemy wartości funkcyi (p{t) i jej pochodnych w miejscu 7=0 w postaci :

df

df

4“ "ł"^w

df

dxn

ogólnie :

{h'Ł+Ł'Ł+-"+h'Łyf-

9>W(0) =

Wstawiwszy te wartości we wzór (1) i kładąc 7 = 1, otrzymujemy wzór: f(xi+hi,x₂+Ji

xn-\~hif)—f\x^ , 3/2 j •••

d

— + ... + ^n

dÆn

i|,+

(2)

który jest właśnie wzorem Taylora dla funkcyj ilukolwiek zmiennych, nie

zależnych.

2. Wzór ten przedstawia wartość funkcyi »«-zmiennych, niezależnych w pe-wnem miejscu: xi-\-hi} x₂-\-h₂, . w pewnem miejscu :

cząstkowych w tern miejscu, aż do w,-go rzędu włącznie, przyczem reszta:

xnĄ-h„, gdy znaną jest wartość tej funkcyi i wartość wszystkich jej pochodnych

Rn=, ¹-(h.-£- + h 2

(»+!)! V da;* ²

d-+:.+h

dx₂

n ^ j fiX\ +    , X₂ + Sh.₂

...Xn "h (dhri)

gdzie 0<C^<!1, zależna od wartości pochodnych cząstkowych (w-fl)-go rzędu w pewnem miejscu pośredniem: xi + 6hi, x₂A-®h₂, xn-\-@hni może, w przypadku, gdy te wartości są skończone, stać się ze wzrostem n mniejszą od wszelkiej liczby, dowolnie małej.

Kładąc: /'(3?₁ -f hx, x₂ +h₂, ..., xnĄ-hn)=Z, zaś: f(xi)x2 dniając nieskończenie małe przyrosty: 7^, h₂,

{h'~L,+h'rL,⁺-+K 4Jf{x'

{hiik+h

•—h “kńn

d Vw)

Ja*,.

xn)=z, i uwzglę-ńn, możemy położyć:

x₂,..., Xn)=dz,

²

a prowadzimy tym sposobem wzór (2) do postaci:

2=,+lr+2T+3T

d#

a:₂, ..., xn)=dnz

Ul

+ ...4

w!

4-24-

(3)

Kładąc: Z—z—L\z, otrzymamy stąd wzór:

d²z . d*z

dn z

(4)

1-...+—r+2t

wykazujący zależność przyrostu Az funkcyi z ilukolwiek zmiennych, niezależnych od jej różniczek zupełnych.

3. Szeregi Taylora i Maclaurina dla funkcyj ilukolwiek zmiennych, niezależnych. Zastępując we wzorze (2) wartości: xiĄ-hl, x₂Ą-h₂, ..., xn-\-}i przez xx, x₂,..., xn, przy tern xi7 x₂,..., xn przez at, a₂,..., an , a zatem hA,h przez xx—ait x₂—a₂, ..., xn—an , dalej, oznaczając wartości pochodnych cząstkowych funkcyi: f(xi,x₂,...,xn) w miejscu: aA, a2: ..., an, dla krótkości, przez:

ńn

— 337 -

i przyjmując za limi?n=0, otrzymujemy szereg Taylora dla funkcyj ilukol-

tt=cc    J

wiek zmiennych, w postaci:

f 1 X2

^n) — f(ß\ »_#2?

^⁺⁽*-*>(l9.⁺<**-“>> (10.

d* ••• d⁻ (•£» 0Sn)

+ ».+

+<*.-*) (3+à {(*. - «.)* (|4)o

+2 (*,-«,)(*,-«,)    +-+2(*.-t-«»Ti) (*.-«») (*£y j

a więc, w postaci szeregu, uporządkowanego według potęg różnic: xi — a1?

>(*¥)

V àxn²)a

d⁻

d~ — (5)

■^2    ®2? •••> ß)t, kształtu:

f(X 1, *®2ł •••» Æw) =-4Q    (#i    ) "k^-2 (^2—%) 4" ••• d~ An (xn—«in) -j-

Ą-A^ ! (xi ai)²-\-A₂₂(x₂ —«₂)²+ ••• ~\~Ann(xn—a„)² -j-2 A₁₂(x₁ —ai )(x₂—a₂) -f...+ d⁻ ••• d⁻ 2 An—i ( n (xn—i cin—j) {xn‘—~0„) -j- •.., gdzie spółczynniki A} przedstawiają kolejne wartości funkcyi i jej pochodnych cząstkowych w przyjętem miejscu: (a1?    ..., an).

Kładąc we wzorze (B): ai =a₂==...=an—0, otrzymujemy szereg Maclau-rina w postaci :

°⁾⁺*(Ä).⁺*»(£).

X*) — /(O, 0, ...

d~...+ xn

m

V àxn) ₀

d-...+ 2x„_ix„

( J!L_) \

\dxn—i àxn)q J

d⁻ •••

t. j. w postaci szeregu, uporządkowanego według potęg zmiennych, niezależnych xl7 x₂, ..., xn , kształtu:

/ (X1 J ®2 J •••) Xn) = a o d⁻^!^! d~^2 X2 d" "h^n^nd⁻#!    ²Aa‘i2.X2 ²-f- .. -J" n Xn ² -f-

+ 2 aj jaj æ₂ +...+2 a,_i ,nxn-\XnĄ-...,

gdzie spółczynniki a przedstawiają wartości funkcyi i jej pochodnych cząstkowych w miejscu: (0,0,...,0).

4. Przykłady. 1) Funkcyę: u = x² — y²-\- z², rozwinąć, według potęg: (æ— 1), (y—2), (s—3). Mamy tu :

du

-= 2x

dx

du

"XT“ 2y

ou

-t—= 2 z, dz

d²u

_zŒo dx²    ’ dy²

d²u

=-²’ ^=²

d²u d²u d²u o dx dy dy dz dx dz ’

a w miejscu: x = l, y=2, z = 3, dostajemy:

, • ......

a zatem, na podstawie szeregu Taylora, otrzymujemy rozwinięcie:

u = 8 + 2{x-l)-4{y-2) + 8{z-3) + ±-[{2{x-\)²-2{y-2?Ą-2{z-3)Vi,-    '

czyli :

.    -    .    •. r . •    ,    •    ' T,

6 + 2(x-l)-4(y-2) + 6(z-8) + (x-l)²-(y-2)²+{z-3)², które nazywamy rozwinięciem danej funkcyi: u = x²—y² -j- s², w otoczeniu miejsca:

x = 1, y =*= 2, 2=f B.

2) Funkcyę: /(a:, y, s) = e* sin y -j- cosrozwinąć na szereg potęgowy. Mamy tu:

df '    df ■ * ' '    i ‘ fit-    •

f(a:, y, z) — e* sin y -f- ev cos z ,    ^ —eX sm V ) ty~eX cos 2/ d- cy cos 2    ~~ cV s*n z T V7

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

22

à²/

à²f

dx²

exsiny,    eTsin</ + ev cos z,

d²f

— ev cos z , ^    = ex cos y,

ô²/

d*/

()3/

dx dz

à³/

dx² ôy

°’ ^⁼~eysin"’ a*»

ex cos y

ex siny

ô³/

()3/

jjjp- = — e* cos y 4- ey cos a ,    = ev sin s ,

à³f

dx dy²

— ex sin y,

d³/

d³f

à³/

dy (te²

— ey cos z,

d³/

dx dy dz

O    _îl_ S3S 0    _—

' dxdz²    ’ dy² dz

= 0 , i t. d., a stąd :

= — ev sin z,

-1,

. <£>.-•■ (&-■    (3).-"'    (3),-

(5).-. (S).-"' <£>.-'• ©.-»■ ©).-”• (3).-”- (&).-

0, i t. d.

f-îiU-o    l-îll__,

Vdx ()y²/₀    ’ Vdx² (te/₀    ’ Vj# <te²/₀    ’ \dy²dz/₀ ' \dydz²/₀ ’ \dxdydz/₀

Na podstawie wzoru Maclaurina, otrzymujemy zatem rozwinięcie;

s² 4_ W i **?

2 ! 1 ! 1 ! ‘ 1 ! 2 !

y³ _ ?A² _ Sy⁵ ,

1 !3!    2 !21    5!

które nazywamy rozwinięciem danej funkcyi: ex sin y + ev cos z, w otoczeniu miejsca:

x — 0, y = 0,    « = 0.

e* sin y -j-e2/ cos z = 1 + 2y -f

*/²

» to

1 ! 2!

5. Maxima i minima funkcyj ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

x%)

h„, wartości tej funkcyi, w postaci:

Funkcya z=f{xux₂,...₎xv) posiada w pewnem przyjętem miejscu: (xi1x2 maximum, względnie minimum, jeżeli w otoczeniu miejsca przyjętego, więc w miejscach sąsiednich: xi-\-hi, x₂Ą-Ji₂, ..., xnĄ-hn, przy dostatecznie małych przyrostach : hi, In

f (*®1 d" ^1» *^2 d” ^2 > ■“!    d" ^w) 7

są stale mniejsze, względnie, stale większe od wartości: f(xux₂,..., #„), w przy-jętem miejscu: a^, x₂₎ ..., asn, bez względu na znaki przyrostów: (hi} h₂,..., hn). Musi być, zatem :

f(xiĄ-hi,x₂-\-h₂,...₁Xn-\-KXf(xi)x₂,...,xn)₁ przy maximum, f(xi + hl1x₂+h2t„.₁xH + hn)'>f(xiJx₂,...ixn), przy minimum,

czyli, różnica:

f(x₁ + x₂ + h₂, ..., xn + hn)—f(xi,xv...₁xn), musi być stałego znaku,

a to, stale ujemną przy maximum, a stale dodatnią przy minimum.

Według wzoru Taylor’a, otrzymujemy tu różnicę, dla nieskończenie małyoh przyrostów: A1} h₂,..., Jin , w postaci:

f{xx + \, x₂ +h₂,..., xn + hn) — f{xux₂,...,rn)= Ä,

v+hdl

dxi ²dx₂

df

(7)

ndXn

a więc, w postaci formy liniowej, ze względu na przyrosty: ä1} ä₂, ..., Ä

dU„.

kształtu : un ¹=—— ^ d

Znak ten będzie więc tylko wów-

skoro

dx₂ ²

czas niezależny od znaków, jakie otrzymują przyrosty: huh2l...,h się spełnią warunki :

()X\

dxn

àf

K=₀ *Ł-o

dxi ’ dx₂ ¹    ’ da:n

Chcąc zatem wyznaczyć te układy wartości na xu x₂, ..., xn, które mogą wywołać maxima, albo minima funkcyi: f(xux₂,...,xn), musimy, przedewszyst-

=0.

(8)

4~ (/ni 4“ /«2 f^₂ 4~ • • • 4" fnn hn) h

czyli :

Un¹

— 2(fi\ h\ -\-fi2 h/2 4" ••• 4* fin h>n) h{,

1=1

z której wynika, że dana forma może, dla wartości: h{, h2} h„, różnych od zera, stać się równą zeru, skoro się spełni równocześnie następujący układ równań :

(13)

kiem rozwiązać układ n równań, o n niewiadomych, kształtu :

àf

àf

df

-fn = 0.

*’ d#n

Dla tak wyznaczonych wartości„ przedstawia się szukana różnica, dla nieskończenie małych przyrostów: hu h₂, ..., hn, w postaci:

•    / (^1 + > ^2 d" h

"h ff«) f ("^1 ) *^2 J ”•) *^n) —

to (-*

d²f

d²/*

d²/¹

(9)

2+h

₂ -j- 2 ńj

dxi dx₂

jest więc nieskończenie małą, drugiego rzędu, a znak jej będzie taki sam, jak znak formy kwadratowej :

dx^

dxn

dz„_i dx

u„²

d²/

d-Zj

2"^1 ²d

dV

dz₂

^Ä₂² + ...-i

d²/

d²/’

àV

dx„²

—i    (10)

dZj dx₂

Należałoby więc, przedewszystkiem, zbadać, czy i pod jakimi warunkami, powyższa forma kwadratowa, może być stale dodatnią, względnie, stale ujemną, niezależnie od przyrostów: huh₂₁ ..., hn.

W tym celu, przedstawmy ją, dla skrócenia, w postaci:

W/i ² = fil ^i² + /22 ^2²+ -f/«w^n² + 2/l2 ^1 M 4“ ••• + 2 f n—\ nhn—1 Jln rozumiejąc przez fix, wartości drugich pochodnych cząstkowych danej funk-cyi, w rozważanem miejscu: x₁, x₂₁ ..., x„, spełniającem warunki:

fi =0, /₂=0, ..., /w=0.

ÖOCfi

(11)

Zgodnie z wzorem Eulera, możemy tą formę przedstawić w postaci •

Un²

_¹ ( M

2 VdÄj

/&1 +

du

du

d/*₂Ä2+'" ⁺

Un² = (fii1li fi ₂Jl₂-\- finhn)^ +

4" (A 1^1 4* A 2^2 4" •” 4-/2n ^n)    4~

dń

a więc :

4-

(12)

fil hi 4-/12 ^2 4" •••4- fin h/n — 0 /*21 h\ -\rf22 7*2 4"— 4“ A» hn = 0

fni hl + fn2 7*2 + ••• Jl~fnnhn = 0 j

a więc, układ równań liniowych i jednorodnych, ze względu na niewiadome : hu h₂, hn, co staje się jednak niemożebnem, skoro wyznacznik Z)n, tego układu równań:

to to

(14)

fn

fni 1 fn2

jest różnym od zera.

Wyznacznik ten jest, z powodu, że /fX=/*f, wyznacznikiem symetrycznym, a nazywamy go wyróżnikiem formy kwadratowej w„², przed-

stawionej w postaci (11), a taką formę kwadratową, której wyróżnik jest różny od zera, nazywamy formą kwadratową, właściwą.

Przypuśćmy więc, że wyróżnik: Dn=\fiX\, i, x = 1,2, ...,n, danej formy kwadratowej : un²=2 fixhih, jest różny od zera, i oznaczmy przez cpix minory elementów w wyznaczniku j /,* |, natenczas, otrzymujemy znane relacje.

__ Dn, gdy i = x,

fii <P*\ + fi2 9>x2 + ••• + **•«    “ Q g(Jy ^ > X.

Połóżmy :

y«i

y*in

— Jl¹ J,    Ä₂

(Pnn

hn—h\, •••> hn—1

y» w—i

(pnn

lin — h n—1 i

(15)

czyli :

y«2

A»-,    h.

<Pnn

^=^4 —Ä«, ^2=^2 +

(pnn

natenczas, spółczynnik przy hi, we wzorze (12), przedstawi się w postaci. fu hi fil hi +... Ą-fin K=fii h'i +/»2 /i⁽2+ •••+/, » i h‘n 1 +

(fnn

hn

(Pnn

{/ii (pn\ 4"/i2 y«2 4- • • • +/•« y»« 1

a więc, ze względu na to, że : /,i <jp„i +/i2 y«2+ •••4-/i«y«» — 0 > gdy    w P°"

staci :

fil h\ +/i2 Ä₂-h ... +/>» hn=fxl h‘ 1 +/*2 h‘<2. + ••• +/i»-i ^«-1 ł otrzymuje kształt: fnl hl + fnï h% -J- ... +/«n hn=fn 1 h\ +fn2 h‘2 4 ... 4“ /«, n-1    1 +

4--— (/nl y»l4“/«2 y«24--4-/nw (pnn) j

(pnn

więc, ze względu na to, że:/ni<pni4-/n2y»2 4-.-4-/n»ynn,==-^

(i, x=l, 2,..., w—1), przedstawi się w postaci:

fnl Âi4"/«2 hî~\- ... 4~fnn hn—fnl h‘\ 4"/n2 ^2 4" ••• 4",fn, n—\h «—1 4“

natomiast spółczynnik, przy h

(16)

ä (pnn — Dn—1 — |fin j ?

Dn hn

Dn-\

(17)

Dana forma kwadratowa wn² sprowadza się, więc, wskutek podstawienia

(15), do następującej postaci:

M„² = (/ll h\ 4" /i2 h*2 4“ ••• 4" /l, n—1 Ä'w-l) Äl4“(/21 h'l 4-/22 ^24-•••4-/2, n-lh'n—l) Ä2 +

Dnhn*

4“ ••• 4*(/«l Ä'i 4-fnïh'î 4- ... 4~/«, n—1 h‘n—1) hn—1 4

D*_i ’

którą, ze względu na to, że /,• *=/«•, możemy także napisać w postaci :

Wn²=(/ll ^l4“/l2^2+-.4"/lw hn) Ä'i 4" (/2I ^l4"/22 ^4" ••• “HA» hn) h* 2 4“

Dnhn²

4- ••• 4“ (/w—1,1 ^14-/»-l,2 M 4“... 4~/n—1, n ^n) 7/«—1 4

Dn—l ’

a więc, ze względu na wzory (16) i (17), w postaci:

m„²=(/n h\ 4-/12 h‘ 2 4*... 4"/i, »-1 Ta'n-i) ä'i 4- ( Ai ^14-/22 Ä'2 4- ••• 4-/2, «—1 h'n—i) h¹2 4*

Dnhn²

4**«4* (/«—1,1 ^i4-/*-i,2^24-..*4-/*~i,»-i h‘n-1) Â'n_i4

2)w_i

ozy li: W„² = Mn-l²4-

Dnhn²

Dn-1 ’

gdzie m„_i² jest formą kwadratową, (w—1) zmiennych : h\, h‘₂, ...,    , kształtu : 2fix hlih‘x, (/ x = 1, 2, ..., w—1), która pow

». *

staje z formy un², gdy w niej położymy: Ä„=0 zastąpimy przez: Z&'j, h\, ...,

a zmienne: \,h

K-l,

Przekształcając, analogicznie, formę: wn_i², której wyznacznikiem jest wyznacznik : Dn-i = | fix |, i, x = 1,2

Mn-i² = W„_2M

w—1, otrzymujemy:

A-1

(A-l)²,

A-2

gdzie w„_₂², będzie formą kwadratową (w—2) zmiennych : h\, h\, ..., h" kształtu :

n—2 j

n—2

U'\_2 =    .

Postępując tak dalej, otrzymamy: w²M-2=w²„-3 + ^

A-3

i t. d.

w końcu: w₂²=mj²4

(ä₂(«-2))², gdzie: % ²=A(ńi(n-1))² =/iA(^(—«)².

Dana forma kwadratowa, n zmiennych: \, h₂, ..., hn, sprowadza się, tym sposobem, do postaci:

[ń₂(«-²)]²-ł-... 4

A—1

czyli :

A-2

[A-i]²4

Dn

A-i

^n²,

wn²=A«iM ^

A H" • +    ® ²n—i 4

JJn—2

(18)

gdzie: s, ==Ä₁(w_1), s₂=hfn~²), ..., sn^i=h‘n_i, sn=hn, przedstawiają pewne wartości, zależne od przyrostów zmiennych: hi, h₂, ..., hn.

Z powyższej postaci, zwanej postacią kanoniczną formy kwadratowej, możemy wprost poznać, czy, i pod jakimi warunkami, dana forma, może być stale dodatnią, względnie stale ujemną, niezależnie od przyrostów : hit h₂, ..., h a tern samem, niezależnie od wartości: sl} s₂, ..., sH.

Przedewszystkiem, poznamy z (18), że forma un², będzie stale dodatnią, gdy będzie równocześnie: Dx^>0, D₂^>0

runki nietylko wystarczające, ale zarazem konieczne; w przeciwnym razie, moglibyśmy łatwo wywołać znak ujemny, nadając przyrostom hi takie wartości, aby odpowiednie st-, opatrzone dodatnimi znakami, były zerami. Forma (18) będzie natomiast stale ujemną, skoro : Dx <f), D₂^>0, D₃<$),..., (—1)”A!>0-I to są warunki nietylko wystarczające, ale zarazem konieczne, gdyż w przeciwnym razie moglibyśmy zawsze, sprowadzając pewne s* do zera, wywołać znak dodatni formy. Dochodzimy zatem do następującego wniosku:

Funkcya: z = f{xx, x₂, ..., xn) staje się, w pewnem miejscu minimum, skoro w tern miejscu wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: f\, f rami, i skoro równocześnie ivszystkie wyznaczniki Bi, 3=1,2 chodnych cząstkowych drugiego rzędu, mają w tem miejscu wartości dodatnie, t.j. skoro :

/ll,/l2} j fin f12 , /22 j j hn

A—i > 0, Dn > 0. Są to wa-

fn, są ze-n, uticorzone z po~

/n>0,

fil >/l2 /i2 ? fn

>0,

, f12 , /l3

,/22 ,/23 >0, ..., 5 /23 , /33

>0,

hn, h

stoję się zaś maximum, skoro pierwsze pochodne cząstkowe są wszystkie zerami, a natomiast ivy znaczniki Di, utworzone z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, są, przy parzystym stopniu i, dodatnie, a przy nieparzystym stopniu i, ujemne, t. j. skoro :

fili f12) •• ifln /l2 , /22> •••? hn

/u <0,

fu i fn fn i fn

>0

fil i f\2 i /l3

/i2 ? fn i fn <0, •••, (—l)n /l3 i /23 i fn

>0.

fin , h

fnn

Jeżeli warunki powyższe nie spełniają się, a forma kwadratowa un~ posiada wyróżnik = I/,-* |, różny od zera, natenczas funkcya nie posiada w tem miejscu, na pewno, ani maximum, ani minimum. Gdy wyróżnik Dn = \fix I = 0, zachodzi przypadek wątpliwy, który wymaga badania formy sześciennej, n zmiennych przyrostów, kształtu:

dlhn)

""SÄ

h₂ + ...-f

ewentualnie form wyższego rzędu.

W ogólności, można zauważyć, że maxima i minima funkcyj wielu zmiennych, niezależnych, tem rzadziej występować usiłują, czem większą jest ilość zmiennych.

6. Mając na uwadze, że wartości zmiennych, niezależnych, sprowadzające pierwsze pochodne cząstkowe do zera, muszą, na wypadek maximum, lub minimum, przy dwu zmiennych, niezależnych, spełniać warunki:

/u <0, /n/22    /12² ^

przy trzech zmiennych, niezależnych, nadto warunek:

/llł /l2> /l3 /l2> fili fli < 0 /l3J /ż3 > fzZ

i t. d.

dochodzimy do spostrzeżenia, że przy maximach, lub minimach, funkcyj ilukolwiek zmiennych, wysuwa się, na czoło, warunek:

a²/ a²/

dx₁ ² dx₂ ²

/n/22—/i2²>°> czyli:

a²/

dx^dx₂

>0,

zwany zwykle warunkiem Lagrange’a.

7. Przykłady. 1) Wyznaczyć maxima i minima funkcyi w, trzech zmiennych, niezależnych: x, y, z, kształtu:

xyz

U {a-\-x)(x-\-y)(y-\-z)(z+ b)

że, skoroby funkcya miała w pe-

Rozwiązanie. Zauważmy przedewszystkiem wnem miejscu x, y, z, maximum, lub minimum, to miałaby je także, w tem miejscu, funkcya: v = logu. Wobec tego szukajmy maxima, lub minima funkcyi:

v = log u = log x -f log y -f- log z — log (a -\-x) — log (x -j- y) — log (y z) — log (z b). W tym celu, otrzymamy pierwsze warunki konieczne :

vi

dv

S' «

v% =

—4r" = 0,

x-\-y

I__i___L_₌₀

x + y y+ *

¹

z których wynikają równania:

(a -f- x) (x + y) — x (x + y) — x (a + aj) = 0 ,

(* + y) (y + z) — y (y -h z) — y [x Ą- y) = 0,

G + z) (z + b) — z (s -h b) — » (y -f z) = 0 , czyli: ay — x² — 0, xz — y² = 0, by—z² = 0, wyznaczające trzy niewiadome: x, y, z.

Na podstawie twierdzenia, o równych stosunkach, otrzymujemy stąd:

x y z 4\axyz il a 1

=-=¥=T=y^=yy=₇>zatem: *

a{0Ï’

czyli: x=aq, y = o2ł, z = aq³.

A = »u = -

«²2(1 + î)

»u, »12 »12) »22

«⁴2²(l + 2)⁴

“2, -

«⁴2⁶0- 4* ?)⁴

»11) »12) »23 »12) »22) »23

»13)

»33

a⁶2³(l + q)⁶

ï-° _ 2 1

q ’    ÿ²’ ÿ³

«⁶2y(l + î)⁶

°’ TTâ ’ “ ~4

więc: A<°» -D2>°5 A<0, gdy 2>0, zaś: A>0, A>0, A>°> gdy 2<°-

Dana funkcya ma zatem, w miejscu: x

*/T

““V«’

wartość największą : u

a w miejscu:

il b

ay«’

wartość najmniejszą: «min =

2) Znaleźć maxima i minima funkcyi n zmiennych, niezależnych, kształtu i—n

u = 2(aa xt + ai2 x₂ +...+ a/n xn— «/)².

t=l

Kładąc, dla skrócenia: <?,• = otl + of2 #2 +—+®;n æ»“aii zatem:

w — ®i² + V2 ²⁻ł"—+ ?»²,

otrzymujemy, na wyznaczenie wartości: xn x₂, ..., xnj które mogą wywołać minimum funkcyi, równania warunkowe, w postaci:

1    d«

2    ćxj

IjT — «21 ?1 + «22 ?2 +—+ ®2n ?» =:

«11 ®1 + «12 ?2 +•••+ «1 n ?« —0,

1 du

“nl <Pl + «»2<?2+- + ®n»?n—⁰

2 ćx„

Równania te są liniowe, ze względu na niewiadome: Xj, x₂, się w postaci: cu xt + c2i x₂ +...+ cni xn = 04 aH -j- a₂a2t. 4-...+    , (* = 1,    »), gdzie c,-x

są elementami wyznacznika: | cfX| = j afX |²? wyznaczają więc, jednoznacznie, te niewiadome. Otrzymujemy tu, dalej:

xn przedstawiając

1 d²u

2 ĆX,-²

°«² + ®i2²+-+«f»²,    \

d²u

2 dx{dxx

«il «*i + aa ax2 +•••+ ainaxn ,    ² < *

»11

d²v

x² (a-|-a:)²    (x 4- y)²    «²2(l-ł~2)²

*²²“^

»33

()²V

dz²

d²v

dxd// (x4-y)²

«²2³(1 4~ 2)? ’

-¹. + __?_

(y + z)² ^{z +b)²    «²2⁵(14" 2)² ’

y² (* + y)²    (y+z)²

Z²

d²v

d²v

<)x dz

àyàz    (y-T z)²    «²2*(¹4-2)²

Dla tych wartości otrzymujemy:

zatem :

d²K

jest, zatem: A = -—= >0.

Wyznaczniki: Z>₂, Z>₃,

,, Dr j kształtu :

i, x = 1, 2, r,

dxi K

r-go rzędu, powstałych z połą-

przedstawiają sumę kwadratów, wyznaczników: 2, 3, czenia pierwszych r kolumn i takich samych r wierszy wyznacznika : | aiK | f są zatem wszystkie dodatnie. Otrzymane wartości wywołują więc minimum danej funkcyi.

8. Maxima i minima funkcyj ilukolwiek zmiennych, poddanych pewnym warunkom dodatkowym. Niech będzie daną funkcya: f{xx, x₂, ..., xn), której zmienne: xv x₂, ..., xn, poddane są m warunkom dodatkowym:

x₂,..., %n)=0 ,

æ*)=0

— 344 -

^2(^1 > ^2

%2> Xn)—

gdzie m<C.n. Na podstawie tych m równań warunkowych, dałoby się m zmiennych wyrazić przez pozostałe (n—m) zmienne; dana funkcya przedstawia się, wobec tego, jako funkcya {n—m) zmienych, niezależnych.

Mając wyznaczyć maxima i minima tej funkcyi, weźmy pod uwagę funkcyę następującą, podaną w postaci:

F{xv x₂, ...,xn)=f(xux₂, ...,®«) + ^₁;ę>₁(a!₁,a?₂, ...,*.) +

"ł“ ^2* tfhOi ) *^2 5 ••*} Xn) ~b •••    • (pmfai > *^2 J •••? Xn) >

w której spółczynniki : ^1? yl₂, ..., /lm są, na razie, zupełnie dowolne, to poznamy z łatwością, że funkcya: F(xi, x₂, ..., xn), wobec warunków: <jpt = 0, (p₂ = 0, ..., qpm=0, może zastąpić daną funkcyę: f(xi,x₂,...,xn).

Wartości: xi) x₂, ...,    , które są w stanie wywołać maxima, lub minima

funkcyi: F(xt, x₂,..., xn), muszą, na podstawie szeregu Taylora:

dF

F (xi + \, x₂ + h₂,..., xn + K) = F (xi, x₂,..., xn) + czynić zadość następującym równaniom :

(19)

da^

\ -f

dF

dF

dx₂

dxn

hn-\-It₂,

dF

dxx

dF

dx ₂

few

dx±

dx ₂

dxi

J* f If

= 0,

(20)

dl?⁷

df

dæ„ da;» ^

d(Pi

dr„

ty2

da:»

d(fm    p.

m ~z    O

dxn

a nadto, z powodu, że to mają być miejsca funkcyi: f{xu x₂,..., xn), muszą jeszcze sprawdzać m równań dodatkowych :

çpj(âJj, a?2) .««j a:»)—0, ...,    a^,a:»)=0.

Mamy, zatem, w całości (mĄ-ri) równań, które mogą posłużyć do wyznaczenia (m-\-n) niewiadomych:    A₂, ..., ^

Tym sposobem, otrzymujemy wszystkie układy wartości n zmiennych: xu x₂₎ ..., xn , które mogą wywołać maxima, lub minima funkcyi : f(xi, x₂,..., a:»), gdy jej n zmienne poddane są nadto m warunkom dodatkowym.

9. Przykłady. 1) Wyznaczyć maximum funkcyi: f—xyz, jeżeli zmienne: x. y, z, spełniać mają warunek dodatkowy: <p — a²x²-\- b²y² Ą-c²z² — d² = 0.

Utworzymy funkcyę: F=f-\- X<p =xyz -f- 'k{a²x² -f- b²y² c²z²—(Z²), której maxima i minima, pod ' założeniem :    0, wyznaczyć mamy ; otrzymujemy tu równania warunkowe:

dF

dF

=»+2»V=0, -jj

— = yz 4- 2).#²x = 0, dx

— xy-\- 2 \c²z = 0 ,

które prowadzą do stosunków:

-2X=^

xz

a²x b²y

xy

c²z

Sxyz

3 xyz

a²x²    b²y² + c²z²

d² ’

z których dostajemy: x²

d²

d²

d²

» îji = 3P’ Z% ~ 3c⁷² ’ a Stąd:

d\/3    _ d\/3

~36~’ *    3c~ ‘

3a2 T

3 a ’

Wartości, na x, y₎ z otrzymane, wywołują maximum funkcyi, co poznamy po drugich pochodnych cząstkowych funkcyi: F—fOtrzymujemy tu: d²F

Fn

dx²

2 a²X, F₂₂

à² F

dy²

d²F

2 b'l, F₃₃=w = 2c²l,

à'f

d²F

d²F

zatem, ze względu na to, że: \ = —    —

adV%

dxdy *’    1<n àxdz V'    dy dz * ’

dV 3

Gäbe ’

otrzymujemy :

D₁ = jp₁₁ = 2a²X

Otrzymane wartości wywołują zatem, w przypadku, gdy są dodatnie, maximum:

dV3

9 abc

2) Wyznaczyć minimum funkcyi :/=(£);!—aj)*+ (a;₂—a₂)²-J-...-|-(a:rt—aM)², której zmienne a;,, x₂, æw spełniają warunek dodatkowy: v =    anxn 4* ao = 0.

W tym celu, utworzymy funkcyę:

F=f + * ? = [(^1— «i)² +•••+ (*B—'“„)*] + ^[«1*1+-+ «„ xn + «0] » a na wyznaczenie niewiadomych: £ct, æ₂, ..., xn, które, przy warunku <p = 0, mogą wywołać maxima, lub minima tej funkcyi, otrzymujemy równania:

^ — <C. 0 , następnie : D₂ > 0, D₃ < 0, ...

/max

dF

dF

— =2(aą —04) + o^X^O, — = 2(x₂—a₂) + a₂x = 0,

dF

dx ₂

» ^=²K-an)+«„^ = 0

prowadzące do stosunków:

X xt — aj a:₂ — a₂

«i

«2

«l(*l — al ) + «2O2 — «2) +•••+ «n (*« — *»)

«1 «i + «2*2 +•••+    + «0

«i ² 4 «2² 4--4- «ra*

»1²+«2²+-+«w²

z których otrzymujemy :

xi — au——X%— ** —

n ®2^ł

przyczem :

«1 «1 + «2 «2 +•••+ an “» 4* «0

»1 ² + «2 S+•••+«»

Aby wykazać, że powyższe wartości wywołują minimum funkcyi, wyznaczamy, pod warunkiem ? = 0, drugie pochodne cząstkowe funkcyi: FĄ-ly. Otrzymujemy tu:

d²F

d²F

Fn

F"⁼“ii?“²’ Fk 0) Fn=-

d²F

<to₂

d²F

2,

zatem:

dx± dx%

d²F

Fn n=T—T = 2, nn dXn2 ’

d²F

dxn-1 dxn

"•» A-l, n—

= 0,

2, 0

Au *12

^i2) F2i    0,2

= 4>0, dalej: A>0, A>0

Dn>0.

Wartości te wywołują więc w istocie minimum funkcyi, a jej odpowiednia wartość przedstawia się w postaci:

X²

/min⁼y(ai² + «2²4-+«„²), ezyli: /min =

4

(«1*1 4" °2a2    4 ®nJ» 4" ao)²

«1*+«2*+•••+«„*

10. Zastosowanie tcoryi maximow i minimów funkcyj ilukolwiek zmiennych, do rozwiązywania zagadnień z analizy i geometryi. W zastosowaniach teoryi maximum i minimum funkcyj do rozwiązywania zagadnień z analizy, lub geometryi, wskazuje niejednokrotnie już sama natura zagadnienia, czy otrzymane wartości prowadzą do maximum, czy też do minimum.

Zagadnienie 1. Liczbę a podzielić na n części:    x₂₎ ..., xn, aby

iloczyn wskazanych ich potęg był możliwie największy.

Mamy tu: u=xia^x₂a\.. xnan , przyczem: xi-\-x₂-\- ...-\-xn=a.

Kładąc: U =u -f- A(p=xia'X₂a*...xnan-\-A(xi 4 x₂-\-...Ą-xn— a), otrzymujemy równania warunkowe : dU •

dxi

= ce₁x₁a'-¹x₂a*...x„an 4-^=0,

dû

dxn

z których dostajemy:

CC₁Xja'X₂a* ... xnan — / =-— ...

anx^x ₂a*...xnan

x\

Xn

xi "» x₂ce’... xnan (a, + a₂ -f... + an) _ a, + a₂ + ...+ «»

#1 4- #2 + ••• + #»

...a:»“” ,

a stąd :

aa,

«a»

a\ 4“ a2 4" ••• 4" ß»

ai 4" a2 4" ••• 4" an

zatem :

a,“» a₂“>... an“«

(a, + a₂+ ...+ a„)“*⁺«*+•••+«»

Zagadnienie 2. Dane są n punktów : P,, P Wyznaczyć taki punkt 5, aby suma pomnożonych przez liczby: p,, p₂, ..., p„ , była możliwie najmniejszą.

Oznaczmy przez a,-, ót-, c₍-, spółrzędne danego punktu Pt, a przez a;, y, z, spółrzędne szukanego punktu S, natenczas, otrzymamy funkcyę :

w=lh[0»-ai)²+(y—&i)²+(0—q)²]4-..4-^»[(«-««)²4-(y—ó«)²4-(s— c„)²],

której najmniejszą wartość mamy wyznaczyć. W tym celu, otrzymujemy równanie warunkowe:

1 du ~2 dx 1 du

^max

Pn, w przestrzeni, kwadratów ich oddaleń, od tego punktu,

2)

=Pi(x - ai) +pz(x—a₂)4- • • • 4-p« (x—o*)=0

H* to

=Pi(y—h)+P2(y—h)-\--JrPn (y—ł>n)=0,

dw

2 d#

z którjmh otrzymujemy wartości: d\ Pl +Ö2 P₂4⁻"*4'flnP»

=Pl (* •- Cl) +p* (* ■— C₂)4- • • • 4-!>« (* ■— Cn)= 0 ,

ói pi 4-ó₂p₂4- •••4⁻d„pn

CiPl + C2P2-\- — + CnP,

Pi4-P24- — 4-p«

Pl 4-P2+ — 4“Pn

Pl 4-p₂4"*”4“Pn wywołujące minimum danej funkcyi.

Jeżeli: p₁=p₂=...=pre=l, natenczas, spółrzędne szukanego punktu przedstawiają się w postaci:

Cli 4” CI2 4~ • •• 4” cin

y=

4-^2 4-•••4-ó*

---» 2

Ci 4~c₂ 4" ••• 4* cn

ćwiczenia XXI.

1) Wykazać, że:

f(x + h,y + k,z+l) =/(x, y, z) + (h + k

+h(h'^+k2

dy

dy

J I 72

dy² '    ()z²

f 2 kh

d*f

-f 2hl

d) +

f 2kl

àf

d²f

dx dy

+•••+ (A Tx + k Ę +¹IY)f+

dx dz

Rozwinąć następujące funkcye:

2)    u = x -j-y²—x²y—cc³, w miejscu: x=y= 1.

3)    u = (x -f 1)(y -j- 1)(z -f-1), w miejscu: x = y = z = 0.

w miejscu : x— a , y — ft.

4) u

xy

ax-\-by ’

x*y

«²-Z²

6)    w = (œ³ -|- y³ + z³) — x^yz — a:y²z — xyz², w miejscu : x = y — z— 1.

7)    « = sin(ma:-j- wy), w miejscu: x = y = 0.

o) « =

, w miejscu: as = 1, y = l, z — 0.

8) u =

w miejscu: x = 0, y = £ = l.

VV+«²’

9) Wyznaczyć spółczynniki .4 rozwinięcia :

X2 +    Œ ^ ₊ Ą(x-1) + 4₂(y—2) + 4₃(z-3) + ^(aj-1)² + An(y-2)* + A3i(z-3)² +

-i- 2-4lł(«-l)(y-2) + 2Al3(x-l) {z-3) + 2.4₂₃(y-2) (z-3).

10) Wyprowadzić i*ozwinięcie :

y d(x*—1)

14

y² eZ²(a;²—l)²

n=

2!

dx

2 ! 2² da;²

Y/l —2a;y-|-y2 Wyznaczyć maxima i minima następujących funkcyj :

11)    « = (* + //-«)(* + * — y)(y -f z — *).

12)    u = (aj + y4"z)² — 3(* -j-y -\-z) — 24a;yz-j-a³.

ł-~ = X

⁰⁰ yn dn[(x²—l)n]

n=0

»! 2«

dxn

xyz

13) u =

(x + 1) (* + y) {y + z) (z +1) '

14)    u = x² + y² + z² 4“ («— æ)² 4“ (ft — y)² 4* (c — SY ~ 2(ft — y)z cos a— 2(c — z)x cos ß —

— 2 (a — x)y cos y.

15)    u = \/{a — a;)² + y² — 2 (a — x) y cosy -f- \/(b —- y)² -j- z² — 2(6 — y) z cos a -f-

4- \/(c — z)² -j- a:² — 2(c —z) a: cos ß.

16)    u = 2xy-\-2xz2yz, skoro: xyz = az.

a;² y² z²

17) w = xyz, przyczem: —s4-y₂4-^ = l.

«* . 6* . c⁴    x² y² z² .

¹⁸> ” =    przyczemt -, + ^, + ^=1.

19)    u = axby Ą-cz , jeżeli: x²+y² + s² = 1.

20)    u = (x 4- l)(y41)(2l41)t skoro : ax bv cz — A.

21)    z = x + 2y, skoro: (»4ycos a)ysin« = c.

22)    z = (x—a)²4-(y—ft)², skoro: an{x—a)²-f an(y—ft)² + 2a₁₂(x—a)(y—6)4-^4=^0.

23)    r = y/a;² -f- y² -f- 2xy cos y > skoro: ax'¹ -f- fty² -j- 2cxy = k.

24)    u = cos a cos ß cos y, jeżeli: a-J-ß + y = ^.

25)    W dany trójkąt ABC wpisać trójkąt MNP, o najmniejszym obwodzie.

₀ 26) Z danego stożka kołowego wyciąć walec o największej objętości.

27) Zbudować naczynie walcowe, o danej objętości, a możliwie najmniejszej po

wierzchni.

28) »Z pośród stożków, o danej objętości V, wyznaczyć stożek, któryby miał możliwie najmniejszą powierzchnię P.

29) Na elipsie:

na

«2 . r ,

4" ^2 = 1) dane są dwa punkta: Pi(xl^yl) i Pj(xi,yi)t znaleźć

niej punkt trzeci P₃, tak, aby powierzchnia trójkąta PjP^ była możliwie największą.

30)    W daną elipsę (a, b) wpisać trójkąt, o możliwie największej powierzchni A.

31)    Wykazać, że stożek największy, w kulę wpisany, ma ⁸/₂₇ objętości kuli.

32)    Jaką powierzchnię ma walec największy, wpisany w kulę, o promieniu a.

33)    Wyznaczyć punkt P(a?, y, 2), tak, aby suma kwadratów jego odległości od n danych punktów: Pi (x{, y.} z.), » = 1,2, ...,», była możliwie najmniejszą.

34)    Wyznaczyć punkt P(a;, y, 2), tak, aby suma kwadratów jego odległości od n płaszczyzn: Ei. = x cos or -J- y cos ßf -j- 2 cos yf — p, = 0, (» = 1,2,...,»), była możliwie najmniejszą.

35) Wyznaczyć najkrótszą odległość punktu: P(£,7),Ç), 0<^ płaszczyzny:

Ax -f- Bij -f- Cz -f- D = 0.

36) Wyznaczyć najkrótszą odległość dwu prostych :

y—h

*1

2! - Cj

«1

X— «2 _ y —bl

z — C₂

»2

37)    Przez punkt dany: P(Ç, rj, Ç), przesunąć płaszczyznę: ~ -f-    = i , tak,

aby, z płaszczyznami spółrzędnych, utworzyła najmniejszy czworościan.

38)    Wykazać, że między stożkami prostemi, o jednakowej objętości, ma najmniejszą pobocznicę ten stożek , którego bok — r\/3? gdzie r jest promieniem podstawy.

39)    Wykazać, że między stożkami, o jednakowej objętości, ma ten najmniejszą powierzchnię, której bok jest równ}' potrójnemu promieniowi podstawy.

40)    Wykazać, że funkcya trzech zmiennych, niezależnych : x, y, 2, kształtu :

u — xy³z³{a — x — y— 2),

ma największą wartość, równą: 108    ,

dla : x = y₇ a , y = */₇ a, z-³'-, a.

Wma,x

a V 5

41) Wykazać, że funkcya: u — xyz(a² — x¹ — y² — z²), ma, dla x — y — z——^—\

— a y/5

2 a⁵ y/5

125

, zaś, dla x*=y = z

: Mmiii = -

— 2as Y/5 125

42)    Wykazać, że funkcya: u = ax'i — bxy -f- xz -f- yz, w miejscu: x = y=-z = 0, nie posiada ani maximum, ani minimum.

43)    Wykazać, że funkcya: u = x³ -\-y² 4-z², której zmienne: *, y, 2, poddane są

warunkom dodatkowym: x -f- y    2 = k , ax -j- by cz = 0, posiada maximum, o wartości:

k*

44) Wykazać, że funkcya: u = xi.xi.....xn) której zmienne poddane są warunkowi:

[(s₂ — a«i)²4-(s₂—6si)² + (»₂—cą)*], gdzie: s₂ —a-j-ft-j-c, s₂ = a¹-j-&* + c².

xi + x2 + •••+ xn — a » posiada maximum w miejscu: xl — xi=...-=xn — —.

Tl

a³

2~W

45) Wykazać, że funkcya: u==xy²z³, której zmienne x,y,z związane są równaniem : x my¹ -f- nz³ = a, posiada największą wartość, równą:

46) Wykazać, że funkcya: u = (ax — l)(&y — l)(c*— 1), której zmienne związane są warunkiem : axbv c* = A , ma minimum, równe : (y/ A — l)³.

1 — 1 bv+i — 1 cî_H — c — 1

(y^^j-i)³

47) Wykazać, że funkcya: u —

— , której zmienne x, «/, 2,

łączy równanie : ax bv cz = A , osiąga maximum , równe :

(«—!)(&—!) (c—1)

ï + Zi⁼^'    -“i™, w miejscu:    V'h«P, * =    riwn. :

48) Wykazać, że funkcya : « = 4yz(a—x), której zmienne związane są równaniem:

u — a¹ V/p>T

49) Wyznaczyć wartości funkcyi: «

sin x -j- tang y log z

, dla cc = 0, y=0, «= 1.

50) Wykazać , że funkcya : « =

cos² (x -f- y) — cos²«

się, do postaci: « =

sin 4x

(* + y)² - z²

, dla x — y, z = 2x, sprowadza

4x

Rozwiązania XXI. 11) Max. dla æ = t/ =

z = —r=z. 12) Max. w miejscu : (1, 1, 1),

V 3

minimum w miejscu: (—1,—1,—1). 13) «max =    16) «min = 6a².    17) «max

abc

18) «min = {a 4" b -j- c)². 19) «max = V/«²4"    20)

«max

{log abc a}³

8 y/3 ’

log a log b log c

. 21) «min =

= 2 J(²~cos g) c

V sin a

(«1,022—ai2²)Z²-j-(ai₁ + «22)^ + ^²—0. 23) Wartości największe i najmniejsze na r, podaje równanie: («& — c²)r⁴ —(a + è —2 cos y) & r²fc² sin² y = 0. 26) Wierzchołki M, N, P, są rzutami wierzchołków A, B, (7, na przeciwległe boki. 26) Największy walec ma */₉ część stożka. 27) Promień podstawy musi być równy wysokości walca. 28) Omiń = 2 V^9tcF²

29) Punkt P₃ leży na końcach średnicy z cięciwą PtPj sprzężonej. 30) A = ab\Z‘ó•

05 = ?^, y =    z—    . 34) Minimum funkcyi: « = K,²4-

-j-P₂² +>••+ Kn². 37) Najmniejszy czworościan ma krawędzie: a = 3 Ç, 6 = 3»), c = 3Ç

3X+ jjL 1 + * + H- ’

. 22) Największą wartość «1? i najmniejszą «₂? wyznacza równanie:

32) a²*(Y/5 + l). 33)

i objętość: V = ⁹/a Ç’iÇ* 49) «

gdzie X i [i dowolne.

Literatura. M. C. Jordan. Cours d’analyse de l’école polytechnique. Tome premier. Calcul différentiel. Paris 1882. Dr. Ludwig Kiepert. Grundriss der Differential- und Integralrechnung. Hannover 1901.

Tematy do rozprawek naukowych.

trycznych.

1. O największej powierzchni figur równego obwodu, czyli t. z. figur izoperyme-

2.    O wielościanach, które, przy danej objętości, zajmują najmniejszą powierzchnię.

3.    Wartości graniczne symbolów nieoznaczonych, utworzonych z funkcyi ilukolwiek zmiennych, niezależnych.

Wykład XXII.

Zasady teoryi przekształceń funkcyj ilukolwiek

zmiennych.

1. Określenie pojęcia przekształcenia funkcyj. Szereg Taylora dozwala funkcyę n zmiennych, niezależnych: xi, x2} ..., xn, kształtu: z=f(xi,x₂i..,xn), przekształcić na funkcyę innych n zmiennych, niezależnych: yi) y₂₎ ..., yn, w postaci: g = F(yi y₂,    jeżeli położymy: yx = ^ — at

Vn~ %n Un.

Jeżeli, w ogóle, w danej funkcyi n zmiennych: a?t, a?₂î •••» xn, zastąpimy te zmienne, przez inne zmienne: yl5y₂, •••> 2/n , za pomocą relacyj :

— tyn{y\ j y₂ł • *> 2/”)

⁼    (2/1 j y 2? •••> y«) » ^2⁼ WiiVx 1 Vi 1 •••? ?/«)

natenczas, powiadamy, że daną funkcyę: f(xux₂,...,xn), przekształcamy na funkcyę: F(yiJ y₂,..., yn), za pomocą powyższych podstawień, zwanych także wzorami odnośnego przekształcenia.

Szczególniej interesującemi są przekształcenia funkcyj algebraicznych, wymiernych, zwanych formami algebraicznemi m-go stopnia, o w zmiennych, a w szczególności przekształcenia form kwadratowych ilukolwiek zmiennych, za pomocą podstawień liniowych , któremi się zajmiemy w niniejszym wykładzie.

2. Przekształcenie liniowe form algebraicznych. Jeżeli w danej formie algebraicznej: f{xu x₂, ...,xn) zastąpimy zmienne xl: x2l..., x„ przez inne zmienne: f/t, y₂, ..., y„, na podstawie związków liniowych:

x₁=a₁₁y₁ -j- «12^2 + •■• + ai »>2/»

(1)

^2 ⁼⁼ ^212h ^22^2 "f* •••”t"^2»^n

2/1 d~ ^«2^2 d⁻ ••• d” w yn j

natenczas, dana forma algebraiczna f(xi)æ2i..-tXn) o zmiennych ^, æ₂, ..., xn, zamieni się na nową formę algebraiczną: F(yi, y₂, ..., yn), o zmiennych

yi > y2' •••» y»»*

Przejście od pierwszej formy: /(a?1}a:₂,..., a?n) do drugiej: F(yl,y₂₁...₁yn)J określone równaniami liniowemi (1) nazywamy: liniowem przekształceniem danej formy, a wyznacznik, utworzony ze spółczynników danych równań liniowych, w postaci:

a\\l tt12ł •"> ttln ®21 ) ^22> ®2*

nazywamy modułem danego przekształcenia liniowego. Moduł ten musi być różnym od zera (patrz T. I., art. 3., str. 352. i nast.).

Chcąc, na odwrót, z drugiej formy: F(yi,y₂, ...,yn) przejść do formy pierwotnej : f(xi, x₂,..., x„) > musimy użyć nowego przekształcenia liniowego, które nazywamy przekształceniem odwrotne m. Równania, określające przekształcenie liniowe, odwrotne, otrzymujemy z równań pierwotnego przekształcenia liniowego, rozwiązując je według zmiennych y.

Oznaczając przez aik minor elementu aik w wyznaczniku B (patrz T. I., art. 10., str. 343.), otrzymamy, na podstawie prawidła rozwiązywania układu równań, pierwszego stopnia, o n niewiadomych (patrz T. I., wykład XXVII.), następujące równania:

Byi= Ojj®! + anx₂ + ... + anixn

By2 — «12 ^2 + ^2 2 ^2 + ’ • • + «n 2 %n

(2)

Byn = dj n Xj + CL% n X₂ + ••• + ^nn^n ,

które są wzorami odnośnego przekształcenia odwrotnego. Moduł przekształcenia przedstawia się w postaci:

Bn

«u, a2t «12» «22

On 2

I «,* 1

«1» j «2» ) •••)    «»»»

że wyznacznik dołączony:

(3)

aik\=Bn-i (patrz T. I, str. 343.), więc: Bn-i _

~BF~B' a zatem : Moduł przekształcenia odwrotnego jest odwrotnością modułu przekształcenia pierwotnego.

W szczególnym przypadku, gdy D=±l, jest także A=dbl, a takie przekształcenia liniowe, których moduł =±1, nazywamy przekształće-ceniami jednomodułowemi (unimodularnemi).

3. Przekształcenia ortogonalne. Pomiędzy przekształceniami liniowemi, zasługują na szczególniejszą uwagę przekształcenia ortogonalne. Są to przekształcenia liniowe, które nie zmieniają sumy kwadratów wielkości zmiennych, w których więc :

(4)

®i²+ z₂ ² + ». +æ„²=2/i ²+y₂ ²+.. + «/n²-

Ażeby przekształcenia liniowe, określone równaniami (1), były ortogonalne, musiałaby się sprawdzić tożsamość:

(«1 ! yx + «12 y2 + .. • + «1B y n)² + («₂1V 1 + «2 2 Vï + • '• •• + «2n 2/n) '²+

+ ••• + («»! 2/l + «»i2 2/2 + "' + «n»2/n)²⁼⁼2/l ² + 2/2 ²+    + 2/”²?

czyli :

2 (°* 1 2/1 + «*22/2 + • • • + «in2/»)² =2 ^‘²-

(5)

<=1

Wymaga to spełnienia następujących warunków:

«11² + «21² + ”* + «»1²"1 j «11 «12+ «21 «22 + **' + «nl «»2 = 0

«12² + «22²+ ••• + «»2²= 1 J «1₂ «i» + «22 «2» + ••• + ««2 «nn = 0

«1 n ² + «2» ² + • • • + ««» ² ł 5

«I,*— 1 «1» + «2, »—1 «2» + «»,»—1 «»» —0 ,

Naodwrót, jeżeli: dix — — , tedy wyrażenie:

«1» “lx + «2» a2x +"•+ ani “nx

które możemy napisać w postaci:

du (X\H -f Ü2i tt2x+ + ani ®nx —

1, gdy i = x.

O, gdy i < *•

zarazem wystarczające, jeżeli się bowiem one spełniają, natenczas spełnia się także relacya (4), określająca przekształcenie ortogonalne.

Warunki te są nie tylko konieczne, ale

(6)

4. Wyznacznik ortogonalny. Jeżeli dany wyznacznik: D = | dix | (i, x = l} 2,n) możemy użyć, jako moduł przekształcenia ortogonalnego, tedy nazywamy go wpi’ost wyznacz nicieni ortogon alnym. Ażeby dany wyznacznik był wyznacznikiem ortogonalnym, jest warunkiem koniecznym, a zarazem wystarczającym, aby między jego elementami chodziły związki, określone równaniami (6) :

aix za-

«1 i «1x4“«2» «2x +    Unx

_1, dla i = f-,

0, dla i ^ x.

Pod tymi warunkami przedstawi się kwadrat takiego wyznacznika, na podstawie wzoru (19), T. I., str. 347. w postaci :

D² = I dix I²— I Cix I ,

gdzie : Cix = cxi = 0 , gdy t > x , zaś ca = 1, będzie, więc :

1, 0, ..., 0

1)2= °> 1» •••> ⁰ , czyli: D² = l, a więc: I) =+1, a zatem:

0, 0, .... 1

Wszelki wyzndcznik ortogondlny md wortość równą +1, lub —1.

Przekształcenie ortogonalne jest więc, zarazem, przekształceniem jodnomodułowem (art. 2., sti\ 351.), a nazywamy je przekształceniem ortogonalnem, dodatniem w prawo zwrotnem, gdy D — -1~ 1, a- ujemnem, lub w lewo zwrotnem, gdy Z> == — 1.

5. Połóżmy w warunku (6), cechującym wyznacznik ortogonalny, kolejno: *=1,2,...,n, a otrzymamy n równań, w postaci :

lub

«n«ix + ana2x +•••+ «»i a„x — 0 analx + «22«2x ■+■•••+ an2 anx ~ ®

«lx «lx + alx «2x +-+ anx anx = ¹

(7)

«1» «ix + «2n «2x +•••+ «nn «nx = ⁰ »

które możemy rozwiązać, ze względu na : oJx, a2 Otrzymujemy, tedy :

jako układ równań liniowych.

“lx =

“lx

“li«!! + «12«12 +••• + a\x alx +"•+ «ln *1»

podobnie :

a2x

“tx

„    anx

n% D ’

a że: 71=±1, zatem, otrzymujemy, ogólnie:    (*, x= 1, 2,..., n).

To znaczy : Kdzdy element wyzndcznika ortogondlnego, jest równy swemu minorowi, wziętemu z tym sdmym, lub z przeciwnym zndkiem, stosownie do tego, czy ten wyzndcznik jest dodutnim, czy tez ujemnym.

«2x = —

(8)

«1» «lx + «2» «2x +*••+ «nt «nx =

staje się więc, równem 1, gdy *' = x, a równe zeru, gdy    a zatem wyznacznik D jest

w tym przypadku wyznacznikiem ortogonalnym.

— 353 —

6. Wyznaczywszy dla danego przekształcenia ortogonalnego, określonego wzorami:

xi = «fl Vi + ai2 Vi +•••+ «in Vn, (» = !» ²> -i n)» gdzie Z>² = I «ix 1² = 1, odpowiednie przekształcenie odwrotne, otrzymamy:

ali Xi + a2t x2 +•••+ “ni *n

y' =-5-’

skąd, ze względu na to, że: «ix

a/jc

, otrzymujemy wzory:

(9)

yi=ali + «2i *2 +•..+ «ni xn , (* = b 2) - » n\ dowodzące, że przekształcenie odwrotne, względem przekształcenia ortogonalnego, jest również przekształceniem ortogonalnem.

Z modułu przekształcenia ortogonalnego otrzymujemy, mianowicie, moduł przekształcenia odwrotnego, jeżeli z kolumn pierwszego porobimy wiersze, a wskutek takiej przemiany, wyznacznik nie zmienia swej wartości, zatem:

Moduł -przekształcenia ortogonalnego jest identyczny z modułem swego przekształcenia od-

wrotnego.

Stąd wypływa, naodwrót, twierdzenie następujące:

Jeżeli dwa przekształcenia, odwrotne względem siebie, mają jednakowe moduły, w ten sposób utworzone, ze z wierszy jednego, powstają kolumny drugiego, natenczas oba przekształcenia są ortogonalne.

7. Elementy wyznacznika ortogonalnego, n-go rzędu muszą, na podstawie równań (6)

n^n wyrażeń do zera, muszą więc uczynić zadość:

warunkom, ale ilość wszystkich elementów wyznacznika n-g o rzędu jest równa n², zatem, chcąc utworzyć dowolny wyznacznik ortogo-

n (n-j— 1) n[n — 1)    ( n\

2 ⁼ 2 \2/

(n o równań liniowych wyznaczyć. A zatem:

Wyznacznik ortogonalny jest określony ( 2 ) ¹ dowolnie obranymi elementami.

sprowadzać n wyrażeń do 1, a =

nalny, możemy przyjąć: n²

Ct¹)

elementów z

n(n-J- 1)

elementów, dowolnie, a pozostałe

8. Zastosowanie przekształceń liniowych do (lanej formy liniowej ilu-kolwiek zmiennych. Niech będzie daną forma liniowa n zmiennych, niezależnych: xi1 x₂, ..., xn, w postaci:

(10)

=CtiX^ #2*^2 4" •••4“ an-^n-

Zastosujmy do niej przekształcenie liniowe, określone wzorami: #i —U \ V\ ~ł“ U2^2 d⁻ ••• ”b Un y»

~ Ul d⁻ ^22^2 d" •*’ d⁻ Un Vn

%n—    InlVî 4"*«+ KnVn j

o module: | li% \ =L, różnym od zera, natenczas, otrzymamy:

w«¹=«i (?n y\ 4- In y% 4" ••• 4" Un yn) 4- «2 {h\ yi 4-122 y2 4-... 4- Un y») 4-

4“ •••4" tin (Jnl yi4"?n2 ^d⁻ ••• -\~Uv yn)-

Uporządkowawszy wynik, podług nowych zmiennych, niezależnych: y\ > ^2> •••> yn, otrzymamy formę przekształconą, w postaci:

un ¹ =    4- \y₂ 4- ••• d- K yn ,

^x ⁼ ^l 4" ^2 ?2x 4" ••• 4" bx ,    ⁼ łj 2, •••> ^)*

9. Mając do rozporządzenia n² spółczynników kx, możemy je, na nieskończenie wielo sposobów, tak obrać, aby spółczynniki óx, formy przekształconej , miały pewne, z góry podaje, wartości. Wystarczy, w tym celu, wybrać n² — « spółczynników liniowego przekształcenia, dowolnie, jednakże tak, aby moduł przekształcenia L nie był równy zeru, a resztę n spółczynników możemy już wyznaczyć z n

Dr. Dziwiriski. Wykł. matem. I. Tom II.

gdzie :

(U)

(12)

równań liniowych, kształtu (12).

23

— 354 -

Możemy n. p. przyjąć spółczynniki lin — 0, gdy i $ x, a otrzymamy:

in — Q>n Inn ,

^2==ö52^22) ii

zatem: èi = «i la, a więc : la = — , (»=1,2,    «).

ai

Forma liniowa: wn¹ = a₁a?₁ + <*2^2 H⁻—⁻!⁻ «»^n > przejdzie, wskutek takiego przekształcenia, o module: Z/= ?nł₂₂... Z„n, na formę: unx = ?i 1 «12/i + hiail/2 + ••+ lnnanyn, czyli:

Wni==i\V\ + ^2^2 ■{■•••"ł⁻    2/” »

której spółczynniki będą miały pewne, a priori podane, wartości.

10. Kolejne zastosowanie kilku przekształceń liniowych do danej formy.

Stosując do danej formy n zmiennych: x₁, x₂, ..., %n , przekształcenie liniowe, określone wzorami: Xi = li\y\-\-li₂yt-\- ...-\-livyn^ o module: |/,X|=L^0, a następnie, do otrzymanej nowej formy n zmiennych: yi, y₁    , nowe prze

kształcenie liniowe, określone wzorami: y,—li\‘ Z\Ą-la z%-\-...-\-lin zn, o module:

I ViK I = L* < 0 , natenczas, wyrażając zmienne Xi przez zmienne otrzymujemy wzory bezpośredniego przekształcenia liniowego formy o zmiennych: x1} x₂, ..., xn, na formę o zmiennych:    z₂, zn , w postaci:

Xi = lii (l\\    8ï~\~ Zn) “ł" Z{2 (jid #1 + Z22< ^2 + ••• +^2n< #n) +

+ ■..+ Zfn (Z«l/ #1 +    #2 + ••• 4" l‘nnZn) >

czyli: a:l=i9łi^i4-jPt-2^2+...+i?₍n^n, gdzie: pix = ln lu i-lahd+.y + lin Ind-

Moduł tego przekształcenia bezpośredniego przedstawia się, w postaci: P=\Pix\ = \lnhx+h2hx+- + linln*\, (ix = l,2,    a że, na podstawie prawidła mnożenia wyznaczników: | la    -f Z»2 h* + ••• + Un Ind | = | Z;* | ■ 1Z,x' |, przeto:

I Pix I — I ^ix I • I Zix

czyli: P=LL‘. To znaczy:

Dane dwa kolejne przekształcenia liniowe dadzą się zastąpić jedncm przekształceniem Mniowem, którego moduł jest równy iloczynowi modułów obu danych przekształceń.

11. Zastosowanie przekształceń liniowych do układu form liniowych.

Układ form liniowych, kształtu :

(13)

fi=cii\X\-\-ai2X2-\-...-\-ainxn (i— 1, 2, ..., n),

zamienia się, wskutek przekształcenia liniowego, określonego wzorami:

Xi=hi y\ + Zt-₂ y₂ +... + lin yn, {i = 1, 2, ..., n), na układ form liniowych, kształtu:

fi=biiyi-\-bay₂+ ... + binyn, {i = 1, 2, ..., w).

Spółczynniki &ix, form przekształconych, pozostają ze spółczynnikami form pierwotnych, w prostej zależności. Aby je wyznaczyć, zastosujmy przekształcenie (14) do i-tej formy układu, a otrzymamy :

/i=«ii (Zn y\ Ą-ln yi 4- ••• + lu yn)+«i2 (Z21 y\ *1“ Z22 yi "t* ••• ~t" lin yn) +

+ ••• +ciin (jni y i + Z„2 y% +... -f lnn yn),

(14)

(15)

czyli :

x=.n

fi = («il lin + «Î2 hn + - • + «in Inn) y%

x=l

zatem :

(16)

bin — «il Zl n + «i2 hx + • • • + «in l Spółczynniki układu n form liniowych (13) tworzą wyznacznik w-go rzędu : «11 ? «12 > •••> «ln

«21 ) «22 j «••} «2n

mc*

= J «ix |ł (Z, x — 1, 2, ..., n),

«ni j «n2 j •••} «nn

który nazywamy wyznacznikiem danego układu form liniowych.

Odnośny wyznacznik dla układu form przekształconych, przedstawia się, na podstawie wzoru (16), w postaci:

B = I bin I = I l\x «il + l2x «i2 + ... + hx ain I , (j, X = 1,2, ..., w), a że, według prawideł mnożenia wyznaczników:

I lin «il + ?2x 05(2 + ••• + 4x «in I = I hx I • I «/x I 7

lii i li2 i •••) hn hi , ?22 , •», hn

«11 j «12 ,    «ln

«21 , «22 , • ••, «2n

zatem, otrzymujemy: \bix\ = \lix\.\aix \, czyli: ba j ^12 j •••> b\n

&21 , &22 , bin

^»1 } ^w2 ? •••> b

ni j

■i ■i

OnU Mn21 • ••) ^nn

a więc :

B=L.A.

To znaczy : Wy mącznik przekształconego układu form liniowych jest równy wyznacznikowi układu pierwotnego, pomnożonemu przez moduł przekształcenia.

12. Zastosowanie przekształceń liniowych do form kwadratowych, ilu-kolwiek zmiennych. Niech będzie daną forma kwadratowa n zmiennych, niezależnych, w postaci :

uni=aiixi ¹ + a₂₂x₂ ¹ + ... + annxn¹ + 2al2xix₂ +... + 2an-i,nxn_ixnj

czyli :

un —    aix X{ xx.

», X

Przypuśćmy, że jej wyróżnik, przedstawiający się w postaci wyznacznika symetrycznego :

«11 , «12 ,

«12 , «22 , •••, «ln ) «2n j Onn

czyli: J. = |«,x|, i, x = 1, 2, ..., n, z warunkiem: aix=axi, jest różny od zera, że, więc, dana forma kwadratowa jest formą kwadratową, właściwą, i zastosujmy do niej przekształcenie liniowe, określone wzorami:

%i = l\i 3/1 + ^123/2+ ... + ?inyn %2=hi 3/1 + ^22 3/2+••• + ^2» 3/n

%n = lni 3/l + ^«23/2 + *** + 4n3/ o module: \lix\=L, różnym od zera, natenczas, dana forma kwadratowa przekształci się na następującą:

un ¹ = «11 (hi y 1 + In 3/2 + • • • + lin 3/n) ¹ + «22 (I21 3/1 + ^22 3/2 + • •• + hn 3/n) ¹ + • •• +

¹

=2 &<x3/.'3/*-

+ «nn {hi y i + h 2 3/2 + - • + hnyn) ¹ + 2«12 (?ll3/l + ^12 3/2 +•••+ hn 3/n)-(hl3/l + ^22 3/2 + ••• + hn 3/n) + + ... + 2 «,1—1,»(?»_!, 1 3/1 + ^n-1, 2 3/2+ ... + h»—1,n 3/w) • (hi 3/l + hj2 3/2 + •••+4n 3/n)

czyli :

Mn¹ —«ix (hl 3/1 + h'2 3/2 + ••• + hn 3/n) (hel 3/l VhïVï + "- + he»3/»)

t, x

kształtu :

a więc, na nową formę kwadratową, w zmiennych : yu y₂, ..., 3/«

w„¹== Z»ll yi¹ + &22 3/2¹ + ••• + *nn 3/«¹ + 2 &12 3/l 3/2 + - + 2 fcn-l,n 3/n-l Vn

n

m

czyli :

Na wyznaczenie spółczynników bix, formy przekształconej, otrzymujemy

wzór ogólny:

bix=lil (lu Ctli^rhx «12 + • •• +4x«1m) + la {lu «21 + hx «22 + ••• + hx «2n) +

■f* ... "k lin ( l\x «nl + hx «n2 ~k ••• "k ^nx«nn)*

Połóżmy: Ai^lucmAhxaaA-Ahxain, natenczas, otrzymujemy powyższy wzór, w postaci: bin=laAix+laA2x    hnA*. Wobec tego, wyróżnik formy

przekształconej przedstawia się, w postaci:

J5 = I &ÎX I = i lii AuA la Au + ... + lin «rax

podstawie prawidła mnożenia wyznaczników, w postaci:

i, x = 1, 2, .... n

a więc, na

a że, na podstawie tego samego prawidła:

j -4/'x I — I ^lx «il "k hx «/2 + ••• "k lnx Min | = j lix | • | «ix j >

czyli: B=L².A.

(18)

przeto, otrzymujemy: B = | biX \ = 11^ \². | «,* \

To znaczy : Wyróżnik formy kwadratowej, liniowo przekształconej, jest równy wyróżnikowi pierwotnej formy kwadratowej, pomnożonemu przez kwadrat odnośnego

modułu przekształcenia.

W szczególności, gdy przekształcenie liniowe jest ortogonalne, mamy:

I Z/,e 1² — 1, zatem: B=A.

To znaczy: Wyróżnik formy kwadratowej nie zmienia, wskutek ortogonalnego przekształcenia, ani swej wartości, ani jej znaku.

13. Zastosowanie przekształceń ortogonalnych do form kwadratowych, ilukolwiek zmiennych. Niech będzie daną forma kwadratowa n zmiennych, niezależnych: xi, x₂, ..., xn, w postaci:

u—«u X\² + «22 #2² -b • • • 4- ann xn ² + 2 a\2 X\ x₂ +... + 2 «*_i n xn—\ xn. Zastosujmy do niej przekształcenie ortogonalne, określone równaniami: Xi = la y i + lu y 2 + ••• + ^in yn X2=h\ yi + hi y2-\r “-A-hn yn

(19)

(20)

%n = h\ y\ + ln2 yiA "‘+h*y

któremu odpowiada przekształcenie odwrotne, ortogonalne:

y\ — li\ #1 + ^21 #2~k — + ^>1 %n

y2—l\2 #1 + ^22 X,% ...Ahl xn

(21)

yn— lin X\ "k hn %2 *k •• • "k hn %n

mające ten sam moduł: L = \l,-X\, i, x = 1, 2,..., n.

Między n² spółczynnikami lix , przekształcenia ortogonalnego, musi, z powodu warunku ortogonalności: xA ²+x₂ ² + ...-k^n²=yi ²+y₂ ²+    + zachodzić

yłi(«-k 1) relacyj , kształtu:

= , dla i = x = , dla i^x.

możemy zatem dobrać jeszcze dowolnie: w²—\-n{nA1), czyli: ^-n(n—1) relacyj, aby mieć pewne szczególne przekształcenie ortogonalne.

Wskutek przekształcenia, określonego wzorami (20), dana forma (19) zamieni się na formę kwadratową n zmiennych: yv y₂, ...,y„, kształtu:

hi lu A hi hxA •••A hi hx

T—f O

(22)

u=bnyi²A^22 y2²+-. + ^ny«²+2&i₂yi y₂A-A%K-\„yn-\y której spółczynniki bix mamy wyznaczyć za pomocą spółczynników lix.

zatem, przedstawia się ten wzór w postaci: sx lu—da luĄ- da 4* ••• 4* din l

(«il — Sx)Zix + ai2 ?2x4'*>< -\-din lnx — Q d2i lix-\~(a22-Sx) hx-{- d2n lnx~ 0

- 35? -

14. Mając w przekształceniu ortogonalnem dobrać jeszcze Q) warunków t. j. tyle, ile jest spółczynników bix przy iloczynach yiyx, gdy łączmy (2) warunków następujących: ó₁₂ = 0, ó₁₃=0, ó„_lw = 0, ogólnie bix=0, gdy    i połóżmy:    —    b₂₂ = s₂, ..., b

Dana forma sprowadzi się, przy tak dobranem przekształceniu ortogonalnem, do postaci:

do-

nn

(23)

u=siyi²+s₂y₂²+...-\-snyn², którą nazywamy postacią kanoniczną form kwadratowych. Z postaci tej musielibyśmy, za pomocą przekształcenia odwrotnego, określonego wzorami (21), dojść napowrót do formy pierwotnej. Wskutek tego przekształcenia, sprowadza się jednak forma (23) do następującej :

u —    -p l2ix₂Ą- ...-i-ïniXn)² + s₂(ll2xi -p li2x₂ + ...-p^i2#»)²4'

-p ... •\-Sn(l\nX\-)r hnX2-\- — + lnn %n)²j

czyli :

r=n

U — 2 Sr {lir Xy -p ?2/-Ä’2 + '»* + ^nr^n)²) r— 1

która, porównana z formą pierwotną (19), prowadzi do relacyj :

r=n

Cl ix — ^ Sr t{r t r=1

xr 5

czyli, dla x = l, 2, ..., n, do równań:

dii —Si ta Zll-p $2 la liï-\- ’"Ą-Snlin l\n

da—Si lii ?21 + ^2 li2 ?22 4 •••+ Snlinhn

din = Si la l'nl "P &2 la Ini "P • • • “P lin l

n n*

Uważajmy w tych n równaniach iloczyny: Si ln , S2 la > •••, snlin, jako niewiadome, to, oznaczając minor elementu lix, wyznacznika L=\lix\, przez Xix, î, = 1, 2,..., w, otrzymamy, na wyznaczenie niewiadomych, kształtu: sx?łx, wzór ogólny :

a że, w przekształceniu ortogonalnem, którego moduł: Z>—|Z,-lacye :

IX 1

zachodzą re-

Au j L=li

,

~L=h

Anx

-i.

Kładąc w nim kolejno: i=l, 2, 3, ..., n, otrzymujemy układ n równań liniowych :

(24)

dni llx^~dn2 ^2x4“ ... -p (dnn — Sx) lnK — 0 ,

jednorodnych, o n niewiadomych: lu, 12 tości na niewiadome: lu, I2

l„x. Ażeby istniały takie war-któreby były różne od zera, a tym równaniom jednorodnym uczyniły zadość, musiałby wyznacznik tego układu równań być równym zeru. Oznaczając niewiadomą sx przez s, otrzymujemy więc, na jej wyznaczenie, równanie:

m-

du S, di2 , •••, du d2i , 0,22 —S j •••, d2n

=0

(25)

— 358 —

a więc, ze względu na ( — s), równanie n-go stopnia, kształtu:

(_s)»₊D₁(_s)»-i₊D₂(_s)«-2+iłi + 2)n_₂(_s)2₊2)n_₁(_s)+i>B=o, (26)

w którem wyraz wolny Dn jest wyznacznikiem symetrycznym n-go rzędu: D= J Ufa I (i, jc = 1, 2, ..., n), spółczynnik Dr (r=l, 2, ..., n—1), przedstawia sumę wszystkich minorów r-go rzędu, odpowiadających elementom a,-,-, głównej przekątni wyznacznika D.

Spółczynniki su s₂, ..., sn: formy kwadratowej: s₁y₁²-fs₂y₂² + ...-fs„yn², są, zatem, pierwiastkami równania: D(s) =0, które powstaje z wyznacznika: D=\aiK\, danej formy kwadratowej:

U = ax J Xx ²+ «22^2 ² + - + a'nn #»² + 2 dnXx X₂ + ... + 2    „ Xn-\ X„ ,

jeżeli w nim elementy przekątni głównej a«, zastąpimy przez aa—s.

15. Możemy wykazać, że pierwiastki równania: D(s) = 0 są rzeczywiste. Utwórzmy, bowiem, równanie : D( — s) =0, natenczas, otrzymamy, ze względu na to, że wyznacznik Z) jest, z powodu a-ix=ax, wyznacznikiem symetrycznym, równanie: D(s).D(—s) = 0, w postaci:

Cn—s², Ci2 j •••>

C21 , C22 — S² ,    C2„

Cni ) Cn2

...j cn n s

gdzie :

c,*=«,i ax 1 + «,• 2 0x2 +... + (Of/—s) aKi +... +«,x(Oxx+s) +... Ą-dim axn,

czyli :

C/x = 0,1 0X1 + 0,2 0X2 + • • + 0« Oxi + ... + 0,x Oxx +... + 0,w Oxn ,

zaś : zatem :

Cu — s ² <= Oil² + ... + (dii-—■S) (0« + s) -f- ... + Oin 2 Cii *= Oil² + O,'2 ² +... + du ² +... + a in ².

Otrzymane równanie, możemy przedstawić w postaci:

₍_S2₎n+(7i(_s2₎n-l₊ą₍_s2₎n-2+i>> + On_l(_s2)+(7n = 0j

w której spółczynniki: Clt C₂, ..., Cn , są wszystkie dodatnie.

Równanie to, nie może dawać na s² pierwiastków ujemnych, gdyż suma liczb dodatnich, nie może być równą zeru.

Pierwiastki równania: D (s)=O, nie mogą więc być kształtu: ß\/—1, a że, jak łatwo dowieść, nie mogą być także kształtu: a + ßi, są zatem wszystkie rzeczywiste.

Wszelka forma kwadratowa, kształtu:

w=«n #1² + 022 X2² + ... + o„„a:n² + 2 «12^1 a:2 + ...+2an_)Ma:fl_₁a;„, której wyznacznik: Z)=jo,x|, jest różny od zera, da się, za pomocą przekształcenia ortogonalnego, sprowadzić do postaci kanonicznej :

M=sly₁² + s₂y₂²+... + s„y„²,

o spółczynnikach rzeczywistych: s1? s₂, ..., sn, które są pierwiastkami równania: D(s) = O. Dotyczące przekształcenie ortogonalne, jest określone wzorami

(20), w których spółczynniki li%, za pomocą równań (23) się wyznaczają.

16. Uwaga. Że pierwiastki równania: D(s) = O nie mogą być kształtu: s=a + Si, możemy, między innemi, dowieść w sposób następujący:

Przypuśćmy, że równanie: Z)(s) = 0 ma jeden pierwiastek kształtu: sx = a-{-ßi, tedy musiałoby ono mieć, także, drugi pierwiastek, kształtu:    = a — ßi.

Z równań (24), wyznaczających odpowiednie spółczynniki lix, przekształcenia (20), jako liniowych, ze względu na te spółczynniki, otrzymalibyśmy tedy wartości tych spół-czynników, odpowiadające pierwiastkom:    i także, w postaci liczb zespolonych, sprzę-

źonycb. Jeżeli, mianowicie, spółczynniki: lix, odpowiadające pierwiastkowi: sK, miałyby kształt: lyx = o, -j- (3,2 , Z2jc ⁼ *2 4" ßä* wiadające pierwiastkowi: , przedstawiałyby się w postaci: ly% — <*i — ßi*’,    = “2 —

= aw + ßni , natenczas, spółczynniki ^ , odpo-

? ^ — an — ßni, a że, na mocy wzoru (22) :

*lx ZU + *2x lU 4" - + lnx *«* = ⁰» dla ^ < X>

przeto, otrzymujemy stąd warunek: «i² + ßi² 4- a2² 4" ß2² 4~ ••■+ *„² 4~ ß„² = 0, który jest niedopuszczalny. Musiałoby, bowiem, wówczas być: a₁'=³ßi= ••■= «n = ßn — 0 ; byłyby więc także spółczynniki: l]x = l2x =lnx = 0, co jest niemożliwem, gdyż, na mocy wzoru (22), ma być: llx² -j- l2x² -f lnx² == 1. Pierwiastki równania: D{s) = 0 nie mogą być, więe, zespolone.

17. Sprowadzenie formy kwadratowej do postaci kanonicznej za pomocą przekształceń jednomodułowych. Mając formę kwadratową:

u=ay 1 xx ²-f a2ix₂ ² +... + ann xn² + 2 ay %xyx% +... + 2    i» xn_\ xn ,

sprowadzić do postaci kanonicznej: u=syyt²-\-s₂y₂²-\- ...-\-snyn², za pomocą pewnego przekształcenia liniowego, określonego wzorami :

x\ — ^11 y i 4“ ^12^2 d" ••• + h»yn

X2~h\V\ 4^22^2 "t •*•4“ ^2n yn

Xn = ^nl £/l 4" ^i2 y2 4- ••• 4“ InnVn ,

możemy to uskutecznić na nieskończenie wiele sposobów, gdyż, między n²

i tylko (“)

spółczynnikami lix, niewiadomego przekształcenia, zachodzić musi

:    warunków, przyjąć dowolnie.

warunków. Możemy więc : n²— (”), t. j.

Przyjmijmy, w tym celu, spółczynniki, kształtu: lu= 1, a nadto, spółczynniki: Zli=Zf2=...=Ztjt_i=0, t=l,2,...,w, i zastosujmy do danej formy kwadratowej przekształcenie, kształtu :

^1 = 2/1 4-^12 2/2 4“ ^13 2/3 4“ ••• 4~ hn yn yi 4- Z23 y% 4“ • • • 4" hn y»

Xi==

(27)

yn

Xn =

w którem mamy właśnie (”) niewiadomych spółczynników. Moduł L, tego przekształcenia, jest równy 1, przekształcenie samo, jest więc przekształceniem jednomodułowem, a jego przekształcenie odwrotne określa się wzorami:

y\= #l4_^12#2 4⁻^13&3 4"-"4_^in %n

y 2=

X2 4“ ^23 XzĄ-... 4" ^2n Xn

(28)

Xn.

y n

gdyż, dla

Jeżeli to przekształcenie, sprowadza formę kwadratową, n zmiennych, do postaci kanonicznej: u=syyy ²+ s₂y₂²-\-snyn², to sprowadza ją także przy r zmiennych, gdzie r<in, do postaci: u=siyi² + s₂y₂2jr ...-\-sryr2 xr+y=xr+2=...=#n=0, jest także: yr+i==yr+2==...==yw=0.

Wyróżnik formy pierwotnej, kształtu:

Un²=*tty yXy ²4“ U>₂₂X₂ ²"I“ ••• 4_ftrr^r²4“2 dy2XyX₂ 4“ ••• 4"2 öfr—1 r Xr—\ Xr ,

w postaci:

aiU ^12) •••» Mlr Ö21 ł ö22J **•> ^2r

Oir\ , CÏ/-2

sprowadza się dla odnośnej formy kanonicznej: u^=sixx‘ź,JrS₂x₂‘i‘-\-...-\-srXr₎ na podstawie art. 12, do postaci: Ar=sis₂...sr.

Otrzymujemy, zatem, równanie: sxs₂—Sr=D _D

Si    S2 —

a stąd :

g __jA g __

Ą’ ³ D’ r“i)

A_i‘

Dana forma kwadratowa: w = 2aixXiXx, daje się, więc, za pomocą prze-

t, X=1

kształceń jednomodułowych, określonych wzorami (27), sprowadzić do postaci kanonicznej :

r—1

2/3² 4-... +-

«/n².

w„²=A2/i² + - ² Vï ² "h

i

gdzie : Dr = | «,* |, i, k = 1, 2, ..., r.

18. Formy kwadratowe, stale dodatnie, lub stale ujemne. Przekształcenia formy kwadratowej, poznane w poprzednich artykułach, dozwalają ocenić, czy, i pod jakimi warunkami, dana forma kwadratowa ilukolwiek zmiennych, może zachować ten sam znak, niezależnie od wartości, jakie nadamy tym zmiennym, niezależnym, przyczem wartości te nie wszystkie są równocześnie zerami.

Przedewszystkiem, poznamy z łatwością, że forma kanoniczna:

' yn² J

A-i

(29)

ry₃a+-^ JJ

uJ=Diyi*+₁^y^+

będzie stale znaku dodatniego, niezależnie od wartości: yx, y₂, ..., yn, skoro wszystkie wyznaczniki A (r = 1, 2, ..., w), będą dodatnie. Warunek ten jest nie tylko wystarczający, ale zarazem konieczny, gdyż, inaczej, moglibyśmy tym zmiennym, które mają spółczynniki dodatnie, dać wartość równą zeru, a forma powyższa otrzymałaby wartość ujemną.

Jeżeli, natomiast, forma powyższa, miała by być stale znaku ujemnego, niezależnie od wartości: yA, y₂, ..., y„, musiałby mieć przedewszystkiem spół-czynnik : Dx wartość ujemną, a następne: D₂₎ Aj •••> A» musiałyby kolejno zmieniać swe znaki, a więc, musiałoby być:

n—1

A<o, A>°j A<°

..., (—1)*A>0.

Warunki te są wystarczające, gdyż wtedy wszystkie spółczynniki formy kanonicznej, będą ujemne, są one zarazem konieczne, gdyż w przeciwnym razie można, przez nadanie niektórym zmiennym yit wartości równych zeru, wywołać dodatnią wartość formy. Mamy, zatem, twierdzenie :

Forma kwadratowa n zmiennych, kształtu:

u—ax xxx ²-t-$₂₂:r₂ ²~f ... -f «n» *®n²d- 2 ax2xxx₂ d⁻... -j-2 an—i n —i % otrzymuje wartości, stale dodatnie, niezależnie od icartości, nadanych zmiennym: xu x₂, ..., xn, jeżeli spółczynniki: aix, tej formy, sprawdzają relacye:

a\ii al2J •••» ain ^12? tt22J •••» ^²»

«11>0

«H, «₁₂

tt12J tt22

>0

®11, tt12J W13

tt12J ®22J ^23    ^ A ”

tt13J ®23J tt33

>0,

«1

$2» i ...j

a natomiast, wartości, s£«?e ujemne, sÆoro zachodzą relacye

an<0

«11, «₁₂

ß12J ö22

«u, «₁₂, «₁₃

0 ,    «1 2 J tt2 2 J tt2 3

ai3> tt23J tt33

<0, .... (-1)”

®11J ®12J •••) %2J ®22J ,,#J

>0.

19. Prawo bezwładności form kwadratowych. Forma kwadratowa, o n zmiennych, da się sprowadzić do postaci kanonicznych nieskończenie wielu sposobami; nieskończoność ta jest rzędu: j₂n (w-f l)-go, możemy, bowiem, w odnośnych wzorach przekształceń, przyjąć dowolnie il₂n(n^-l) spółczynników. Danej formie kwadratowej, n zmiennych, odpowiada, zatem: go */*»(»+!) postaci kanonicznych. Postacie te mają ważną własność wspólną.

Weźmy pod uwagę dowolne dwie postacie kanoniczne jednej i tej samej formy kwadratowej, i oznaczmy przez s₁₇ s₂, ..., s„, spółczynniki jednej, a przez a1: o₂, ..., a„, spółczynniki drugiej postaci kanonicznej, tejże formy, natenczas, oznaczając odnośne zmienne, w pierwszej postaci przez: yv y₂,..., yn, w drugiej przez:    rj₂, ..., rjn, otrzymujemy, dla tej samej formy kwadratowej:

SaiKXiXK, tożsamość :

(30)

si3/i² + s2?/2² +•••+ snyn²=ait]i² + a₂rj₂² + .*..+ onrjn², gdzie zmienne r\ wyznaczają się, liniowo, przez zmienne y, w postaci"

Vi ~ ^1 i ?/l + ^2i y2 + ••• +    Sn

obie postacie kanoniczne, tej samej formy kwadratowej, muszą mieć jednakową ilość spółczynników siu tego samego znaku.

Przypuśćmy, bowiem, że, po lewej stronie tożsamości (30), istnieje a spółczynników s dodatnich, a po prawej ß spółczynników o dodatnich, przy-czem a </?, natenczas, moglibyśmy a zmiennym y, posiadającym spółczynniki s dodatnie, nadać wartości równe zeru, a pozostałoby jeszcze n—a zmiennych y, mających spółczynniki ujemne, którym to zmiennym moglibyśmy nadać takie wartości, aby, po prawej stronie, znikły wszystkie n—ß, zmiennej, które mają spółczynniki <r ujemne. Wobec n—ß <w—a, dałoby się to, widocznie, uskutecznić nieskończenie wielu sposobami. Wskutek tego otrzymalibyśmy, po lewej stronie tożsamości (30), wyrazy wyłącznie ujemne, a po prawej stronie tożsamości, wyrazy wyłącznie dodatnie ; założona tożsamość nie mogłaby więc, w przypadku: a<Cß, być spełnioną, tak samo, nie mogłaby być spełnioną w przypadku: a^>ß. Musi być więc a=ß. A zatem: We ivszystkich postaciach kanonicznych, kształtu: slyi ² + s₂y₂² -j-... + sny„², jednej i tej samej formy kwadratowej, ilość kwadratów, opatrzonych tym samym znakiem, jest stale jednakową.

nazywamy prawem bezwła-

Prawo to, podane przez Sylwestr dności form kwadratowych.

Chcąc, więc, poznać znaki w postaciach kanonicznych danej formy kwadratowej, dość jest poznać je w jednej postaci kanonicznej. Z postaci: (29) widoczna, że spółczynnik sr będzie miał znak +, lub —1, stosownie do tego, czy wyznaczniki Dr—\ i Dr mają te same, czy też przeciwne, znaki.

A zatem: Ilość wyrazów ujemnych, w każdej postaci kanonicznej, danej formy kwadratowej: 2ai%Xixx, jest równą ilości zmiany znaków w szeregu wartości:

- CM

i Dv -A» -Aj •••> -A—i? D

gdzie : Dr = | aix

20. Zastosowanie przekształceń liniowych do dowolnej funkcyi ilukol-wiek zmiennych, niezależnych. Niech będzie daną dowolna funkcya n zmien-

nych, niezależnych: xu x₂, ..., xn do niej przekształcenie liniowe, określone wzorami :

Xi= lu y i -p la y2 -p ••• + hn yn j i = 1, 2, ..., n,

w postaci: u—f (aą, #₂, .

x„). Zastosujmy

(31)

związanych ze zmiennymi: xu x₂, xni równaniami (31), zachodzi równość: F(yx, y₂, ..., yf)=f(xx, #₂, —> xn).

o module: \lix\—L, różnym od zera, a otrzymamy, jako funkcyę zmiennych: V\i , Vn, funkcyę przekształconą, w postaci: u=F(yxiy₂, ...,yn), przyczem, dla wartości :

7i równości tej otrzymujemy:

a że, na mocy (31):

df dxi    df d#₂

dxx dyx    <):r₂ dy

dtf.    ₇ d.r₉ _

•    =    ~~-=h

dyx dyx

=F =

-^ X —

+ ...4

df dxn

dxn dyx

—=lnxi przeto, dostajemy:

dF

df

dyx

hx -x

dxi

df

dx₂

"nx

df

dxn

Kładąc :

df

df

dxi

'dx₂

—fi)

df

dxn

fn, otrzymujemy wzór:

(32)

Fx=hxfi -\-lîxfl-\- "Ælvxfn wyrażający liniowo pochodne cząstkowe funkcyi przekształconej, przez pochodne cząstkowe funkcyi pierwotnej i przez spółczynniki liniowego przekształcenia.

Wyznaczmy teraz drugie pochodne funkcyi przekształconej. W tym celu, otrzymamy z (32):

d*F df,

hx T— dyi

dytdyx

fh%

df₂

dfn

dyi

diji

Kładąc :

d²F

dyidyx

FiX,

a zarazem :

d²f

' dyi dyx

dfx dfx dx₁ dfx dx2 4"w

fix, i uwzględniając, że:

dy{ dxx dy{ dx₂ dyi

dfx dxn dxn dyi

otrzymujemy wzór ogólny:

Fix^hx (hi fu 4" hi fil 4" ••• 4"hi fin) 4“ hx ( hi fii 4“ hi fii 4- ••• 4* hi fin) 4-4 •••4" hx (fii fn\ 4“ hi fni 4“ ••• 4” hi fnn) , wyrażający drugie pochodne cząstkowe funkcyi przekształconej przez drugie pochodne funkcyi pierwotnej i przez spółczynniki przekształcenia.

(33)

21. Drugie pochodne cząstkowe danej funkcyi n zmiennych, niezależnych: f(xx, x₂, ...,#„), dadzą się ustawić w wyznacznik n-go rzędu:

.fil } /l2 ) •••> f\n fii j fli j •••> fin

= \fi*\, (h *=1) ²) -, »)

fni i fni) —, fnn

który jest, z powodu, że fix=fxi, wyznacznikiem symetrycznym wyróżnikiem formy kwadratowej, przedstawiającej drugą różniczkę zupełną funkcyi: f(xux₂,...,xn), kształtu:

d²f= la dx\²4-hi dx₂²4-... 4-lnn dxn²-f 2 hi dx\ dx₂ -p... + 2 h-i,ndxn-\ dx„. Wyznacznik ten nazywa się zwykle wyznacznikiem Hesse’go, albo, krócej, Hessyanem funkcyi: f(xx, x₂,..., x„), i oznacza się symbolem: H(f).

Mając wyznaczony hessyan danej funkcyi: f(xi,x₂,...,xn), w postaci:

= I//..I, (b lj 2,..., ri),

wyznaczmy hessyan H(F) funkcyi przekształconej: F(yx, y₂,..., y„).

a zarazem

H(f) =

df

dX{dxx

W tym celu, połóżmy: lafxi + W*2 + ...+ hnf*n = -4.-*, a otrzymamy z wzoru (32): Fix=lixAn+l2XAi2+.. + lnxAin, a stąd wyznacznik:

¹

=2 &<x3/.'3/*-

I H ix I ⁼⁼ I l\x Ai 1 -f- l2x A/2 -|- ~k lnu Ain I = I ljx I . I A(x I , a że: | AIX | = | łufxl -f l2ifx2 +... + Lf*n | = | I • \f;* |, przeto, otrzymujemy!

I^HkN/y, czyli: H(F) = L².H(f).

To znaczy : Hessyan funkcyi, liniowo przekształconej, równy hessyanowi ( uniccy i pierwotnej, pomnożonemu przez kwadrat modułu odnośnego przekształcenia liniowego.

Jeżeli zastosowane przekształcenie jest przekształceniem ortogonalnem, natenczas: |4<|²=Z²=1, a zatem: HÇF) =H(f).

To znaczy : Hessyan danej funkcyi ilukólwiek zmiennych nie zmienia swej postaci, wskutek przekształcenia ortogonalnego tejże funkcyi.

22. Wnioski. Jeżeli dana funkeya jest funkcyą jednorodną n zmiennych, m-go stopnia, natenczas, jej pochodne cząstkowe drugiego rzędu, są funk-cyami jednorodnemi (m—2)-go stopnia; hessyan formy m- go stopnia, o n zmiennych, jest zatem funkcyą jednorodną n(m — 2)-go stopnia tychże zmiennych, hessyan formy kwadratowej jest funkcyą zerowego stopnia, i zarazem wyróżnikiem tej formy.

23. Zastosowanie przekształceń liniowych do układu funkcyj ilukólwiek zmiennych, niezależnych. Niech będzie dany układ n funkcyj n zmiennych, niezależnych, kształtu: wf=/*f (a^, x₂,..., xn), (i=l, 2,..., n). Zastosujmy do tego układu przekształcenie liniowe, określone wzorami :

%i=li\y\-\-liîyî-\--Ælinyn, (i—1> 2,..., n), o module |ltx\=L, 'różnym od zera, a otrzymamy układ przekształcony, w postaci : ui=Fi(yi, y₂,yn), (j=l, 2, ..., n), przyczem, dla wszystkich wartości zmiennych y;, związanych ze zmiennemi Xi równaniami przekształceń jest:

Fi(yi, y₂,yn)=fi(x\, x₂,*»)•

Z równości tej, otrzymujemy, pierwsze pochodne cząstkowe poszczególnych funkcyj układu przekształconego, w postaci :

dfi dx„

dFj ₌ dfi àxA dfi Jza dyx dxx ‘ dyx ^ dx₂ dyx

+ -.+

dxn dyx

a że: “l

óy*

_,    <»i    ,

—    , r-== h

dy*

dxn

óy*

zatem, otrzymujemy:

dFi

dfi

dfi

*dxn'

Pierwsze pochodne cząstkowe poszczególnych funkcyj, układu przekształconego, są, więc, liniowemi funkeyami pochodnych cząstkowych odnośnych funkcyj układu pierwotnego.

Pochodne cząstkowe układu n funkcyj, o n zmiennych, kształtu: fi (ajj, £Z₂, •••) Xn)} (j ⁼ 1) 2, ..., n),

dadzą się zestawić w wyznacznik funkcyjny n-go rzędu, w postaci:

dyx

dxx

dx a

df dA

dx! ’ dx₂

df\

dXn

dfi dA &A dxx ’ dx₂ ’ ” ’ dxn

dfi

dxK

dfn

àfn    df u

dxi ’ dÆ₂ ’

który nazywamy wyznacznikiem Jakobi’ego, albo krócej, Jakobia-nem układu funkcyj, i oznaczmy symbolem:

J(fu A. •••>/«) I albo: ?£>''.....f.

-LS 7 łX/2 ?

Utwórzmy Jakobian układu przekształconego, a otrzymamy:

dJR

O', a = 1, 2, ..., n)

P(J'i, F,,-. F.)    __

y2, •••? y«)    Jy»

a że:

ày*

h*

d/?;

zatem, otrzymujemy:

àFA dF\ àyx ’ ày₂ ’ dF₂ dF\ àyi ’ dy₂ ’ '

dxi

+ hu

àfi

dx₂

4" ••• + In

àf

K dx„

-|k|.

àfi

dxx

dF,

t &    t

⁸    (S5-*    S

l\\ , l\2 ) •••, l\n h\ , I22, •••, hn

àf

àfi

àf

dxx ’ dx₂ ’ dtn d/₂ df2 dx, ’ dx₂

df<i

àXn

dFn

Inl , ln2 1 ••• j Inn

àFn dFn dyi ’ ày₂ ’ dyn

czyli : JCF,, iP₂, ..., Fn) =L.J(Ą, f₂

To znaczy : Jakobian układu liniowo przekształconego, n funkcyj, o n zmiennych, niezależnych, jest równy Jakobianowi układu pierwotnego, pomnożonemu przez moduł odnośnego przekształcenia.

24. Uwaga. Jakobian układu form m-go stopnia o n zmiennych, niezależnych, jest funkcyą n(m— l)*go stopnia tychże n zmiennych i jest, więc, funkcyą zerowego stopnia, czyli, liczbą stałą tylko dla układu form liniowych, tworząc, w tym razie, wyznacznik, utworzony ze spółczynników tychże form, czyli, t. z. wyznacznik układu form liniowych.

dfn dfn

dxx dx₂

/»)•

dfr

dxn

Ćwiczenia XXII.

Wyznaczyć moduły następujących przekształceń liniowych i wyprowadzić odnośne przekształcenia odwrotne:

2) a? = aa,' 4-y = «'a;' 4~ b‘y‘.

3) x = a\ -p br\

y — b\-\. ai\.

5) x = ax‘ -p by‘ -p cz‘ y = a'a;' -P b‘y' -p c'z' z = a"x* + b"y' -p c"z‘.

7) x, = 5y, + %2 4- 2y₃ 4" %4 *2 = %i 4- 4y₂ 4- 2y₃ f 8yk = ly, 4- By.₃ 4- 3y₃ 4- 8y4 *4 = 4î/i 4- S//2 4- 2y₃ 4- 5y₄.

1) x, = 2yt + ly2 = + %2-

4) xx = Ay, + %₂ + 2yz x₂ = by, -f- 5 y₂ -p 7 y3 *3 — %i + Vi + 6y₃.

G) = 2yx -f y% + y₃ -(- y₄

xi = V\ + 2y₂ + y 3 + y i xz — ?/i 4" 2/a 4~ 2y₃ y i

xi = Vi + «/2 + ^3 + 2y₄-8) *1 == 2/1 sin a -f- yt sin 2a    yn sin mx

xi = sin Ba -p Vi sin Ga -p...-p yn sin 3»a

xn = «/, sin(2n—l)a 4- y₂sin2 (2n—l)a 4-—4"2/nsin»(2»—l)a.

Wyprowadzić warunki, pod którymi, niżej podane przekształcenia, będą przekształceniami ortogonalnemi :

10) x <== axx⁴ 4~ aiy‘ y = bxx‘ 4~ *2y‘-

9) x — x‘ cos \ -p y' cos X2 y = x‘ sin 4- y‘ sin X₂.

12) x = otx⁴ -f- a₂y⁴ a₃z4 y = bix‘ -f- b₂y⁴ + b₃z4 z = ctx⁴ + c₂y⁴ + c₃ z⁴.

11) x = x⁴ cos \ -J- y⁴ cos X₂ -f- z⁴ cos X₃

y = X⁴ COS flj y⁴ COS {J-2 + z‘ cos ^3 Z—X⁴ COS Vj -|- y⁴ COS v₂ -J- Z⁴ COS v₃.

13)    Wykazać, że przekształcenie, określone wzorami :

x = x⁴ cos a — z⁴ sin a, y = y⁴, z = x⁴ sin a -j- z⁴ cos a jest przekształceniem ortogonalnem i wyprowadzić odnośne przekształcenie odwrotne.

14)    Wykazać, że wyznacznik n² elementów, od siebie niezależnych: D = |a/*|

możemy przedstawić, w postaci:

dD    dD

1) = aa ---h ai ₂

dan

dD

albo :

n dD    dD    dD

D—a\xi--r «2xt--— »

lxda ix    da2x    danx

Jeżeli : D — | a/x |, (i, x = 1, 2, ..., n), wykazać, że, przy Jc:

da, 2

n),

(x — 1, 2, u., w)

15)

Oil

ćZ)

dD

dax 1

f- 0t(2 —--j—j— Oin

dax 2

ćZ)

daxn

0, au

dD

ćZ)

r)Z)

donc

dD

16)    —— = axi

dan

d²D

dan daxi

■f 0x2

d²D

dan dax2

f...+ 0»n

danx

d²D

dan daxn

az>

“T- =0x1

dain

a²z)

aa,»» a«xi

j- 0x2

a²z>

17) D =

a²z>

0/1 , 0/2 Oxl, 0x2 I dan dax2

dain dax2

a²Z)

■f...+ axn

a²z>

dain daxn

0*2, 0/3 0x2, 0x3 ao/2 aox3

a²D

Oi, »—1, ain Ox, w— 1, Oxn aoi, n—1 aoxn

18) Wykazać, że w wyznaczniku symetrycznym: D — | o/x|, przyczem: o/x=Ox/,

mamy:

az>

2 a/x, gdy : i 5 *, zaś :

az>

dan

~a.u, gdzie a/x jest minorem elementu o/x.

daix

19)    Wykazać, że kwadrat jakiegokolwiek wyznacznika, jest zawsze wyznacznikiem symetrycznym.

20)    Wykazać, że kwadrat wyznacznika ortogonalnego jest zawsze równy 1. Wyznaczyć przekształcenia liniowe, któreby sprowadziły następujące formy liniowe

do, obok podanych, postaci:

21)    u₂⁴ = ax -f- by, do postaci: X-F;

22)    u₃⁴ = ax -f % + cz} do postaci: X-|- F-f Z;

23)    m₄' = Ojaą -{- a₂x₂ -f- a₃x₃ aixi, do postaci: Xv + X₂ -f- X₃ -j- X₄ ;

24)    Un⁴ — Ojaą + a₂x₂    anxn, do postaci: Xl ^2 +•••+ -55»*

25)    Układ form liniowych, dwójkowych, kształtu: fx=2x Ay, f₂ = x lly, przekształcić, za pomocą podstawienia: x = hx⁴ — 7y⁴} y = 4x' -f- Sy⁴, i obrachować wyznacznik układu przekształconego.

26)    Układ form liniowych, trójkowych:

fi=x -{- 4y -{- 5z, f₂=Ax-\-2y-\-Gz, f₃ = bx -j- 6y 3z, przekształcić, za pomocą wzorów: x = x', y — 2x⁴ -j- y⁴, z = 3x⁴ y⁴ z⁴, i obrachować wyznacznik układu form tak przekształconych.

27)    Układ form liniowych, czwórkowych:

/t = 4ay + 9x₂ -f- 13 x₃ -f-17 x₄, f₂ = 8a?j -j- 18 x₂ -f- 23 x₃ -f- 33 x₄, f₃ = 13*j -f- 30 x₂ -J- 40 x₃ -(- 54 x₄ y<j = Hx\ 4“ 24x₂ -|- 37*3 4" 46 x₄, przekształcić, za pomocą podstawienia :

*1 = Vi + 2/2 +    + y4,

x3 = yi — yz + ys — yn

1    obrachować wyznacznik układu form przekształconych.

28)    Formę kwadratową, dwójkową a₂² = ax²-\- 2bxy-j-cy² przekształcić, za pomocą

wzorów: a; =    -{-ßrj,    na formę: u₂² = ^4;² -j- 2B^r\ Cri², i wykazać, ze:

« ß|2 AB

y S I * BO'

29)    Zastosować przekształcenie liniowe: * = a₄Ç ßtr) -f- yjÇ, y — a₂ij -f- ß₂^ 4" Ï2^>

2    = a,^ + ß,ri 4- Tî£ 1 do formy kwadratowej, trójkowej:

«a² = ax² +• bij² + ^² + 2 dyz + 2 e» + 2 fxy

*2 = 2/i — 2/2 — 2/3 + ^4, *4 = 2/1 +2/2 —2/3 —2/4

o O"

i znaleść wyróżnik formy przekształconej.

przekształcić, na podstawie wzorów:

30) Formę kwadratową, czwórkową :

«4 ² = »11*1 ² 4- «22*2 ² 4“ «33*3² 4“ «44*4 ² + ² «12*1*2+ ² «13*1*3 4“ ² «14*1*4 4“ ² «23*2*3 4“

4“ 2 «24*2*4 4" ² «34*3*4 )

*i = 12/i 4“ hil/i 4“ 32^3 4* »2/4> *2 ⁼⁼ hiV\ 4“ hîî/2 4" hsl/3 4“ hitVii *3 = h\x\ 4" hïVï 4~ hüh 4" hiVii *4 ⁼ ^41 2/i 4- ^422/2 4“ ^432/3 4" ^442/4)

i obrachować wyróżnik formy przekształconej.

81) Dowieść, że, przekształciwszy formę: un² = J£aiX xi xx, gdzie «ix= «xi, za pomocą

i,x

i=n    »

wzorów: xi = bi y i, (» = 1, 2,...,»), na formę: w»² = ^&/x xixx , otrzymujemy wyróżnik

t=l

formy przekształconej, w postaci : | bin \ = \ hx]²• | «ix |.

i, x

32) Wyznaczyć przekształcenia liniowe, sprowadzające formę kwadratową, dwój

kową : m₂²⁼⁼ «*² 4~ 20*2/4“ c#²> do postaci kanonicznej : un² = stX² -f- s₂F².

' a—s, b

33) Dowieść, że równanie drugiego stopnia, kształtu:

= 0, ma zawsze

b, c—s

rzeczywiste pierwiastki, i zbadać, kiedy te pierwiastki będą tego samego znaku, a kiedy przeciwnego.

34) Podać warunki, pod którymi forma kwadratowa, dwójkowa: ui²=ax²-\-2bxycy2 da się przekształcić na jedną z następujących postaci kanonicznych:

a) X²+F², ß) X²-F², y) -r + n o) — X²—Y².

35) Wykazać, że forma dwójkowa: w₂2 ⁼⁼ 15*² 4“ 5y²4“ 16*y da się założyć na sumę kwadratów, kształtu: {ax -)- by)² -j- («' x -f- b‘y)².

86) Wykazać, że forma dwójkowa: u₃² = hx²-\-3y²&xy da się rozłożyć na różnicę kwadratów, kształtu : (l x 4- my)² — (Vx -j- m'y)².

37) Wyznaczyć przekształcenia liniowe, które sprowadzają formę kwadratową, trójkową: u₃² — aux² -{- «22 2/² 4“ «33 2:2 4" ² «12*2/ 4“ ² «13*2 4“ ² «23 Vs ł do postaci kanonicznej :

7*4- s₃z\

38) Wykazać, że kwadratowa forma, trójkowa:

«3² = «11*²4- «222/² 4“ a33z* 4“ ² «12*2/ 4" ²«13*² 4“ ² «23^»

da się sprowadzić do postaci:

«3² = «ii(* 4“ ^2/4“ ~zY-\-\ an an /

«11 «22 — «12 ²

«11

(2/

«11 «23    «13 «12

«11 «2 2— «12

«11 «22«33 4" 2 CTj₂«i 3 «23 — «11 «23 ²    «22«! 3 ²    «33«! 2 ²

2².

•r+

«11 «22 — «12 ²

Następujące kwadratowe formy trójkowe sprowadzić do postaci kanonicznych:

39)    x² —j—2/² — 3 z²xy-\-2xz-\-3yz \

40)    x² -\- z² — 2 xy 2 xz -f- 2 yz ;

41)    5 a:² -j- IB y² 4- ² z² 4- 16 xy -f- 4x2 -j- 6 yz ;

42)    3cc²-|-5y² — 2 z² -J- 8xy -|- 6 xz -f- Syz ;

43)    Ba:² -j- 13y² -f- z² -j- \3xy -f I0xz -j- 16t/z.

Wykazać możliwość następujących przekształceń form trójkowych:

44)    3x²-\-12y² +21 z²+ 4xy + Gxz-12 yz =X²+ F²+Z²;

45)    hx²-\-y² — bz²-3xy — 3xz+2yz = X²+ Y² — Z²]

46)    ±x² — y² + 3z² + 2xy + Sxz-\-2yz = X²- Y²- Z².

47)    Sprowadzić kwadratową formę trójkową , kształtu: w₃² == xy -J- xz -j- yz, do postaci:

= y (* 4“ 2/ 4- «)² -    2/)²-^(* 4-2/-2z)²-

Sprowadzić do postaci kanonicznych następujące formy czwórkowe:

48)    xt² -f- x₂² 4“ *3² 4“ *4² 4“ *1*2 4“ *1*3 — 7 *1*4 4“ 6x₂a:3 — 14a:₂a;₄ — 25x₃xi ,

49)    —a:!²—aj₂²4- 3x₃²—x₄²+ 43:^2 ;

50)    *1² 4“ *2 ² 4“ *3 2 — *4 ² 4" ² *1*2 4" d *1*3 4“ ² *2*3 i

51)    xx ² — xta:₂ — 0:23:3 — a:₂a;₄.

Wyznaczyć hessyany następujących form dwójkowych:

52)    u₂ ² = acx² 4“ ² axxy + a₃y²\

63) u₃'i = a₀x³ -f- 3 atx²y -f- 3 a₂xy² a₃y³ :

54) «₂⁴ = a₀a;⁴ + 4 d^x³y + 6 œ₂x²y² -Y 4a₃xy³4- a^¹ ;

B5) m₂m = a₀x« + a, *» -1 y + (*)

C₂XW

—2

ya+-+(n “J + <y/w.

Znaleść hessyany następujących form trójkowych:

B6) m₃² = a₀x² 4~ «i*/² 4-    4~ 2 a₃xy + 2 aKxz fi- 2a₅yz;

57)    u₃³ = a₀x³ -f- «i2/³ 4* «2²'³ 4~ 3«3æ²ÿ 4- 3a₄xy² + 3a₈x²z + 3a₆x2² -j- 3 a₇y²2 +

+ 3a₈yz² + 6 d^xyz.

Znaleść hessyany następujących form czwórkowych:

58)    m₄² = Og^²-J-«i*2² + a2£C3² + a3xi² 4" 2a₄a5ta:₂ 4" 2a₈x₁x₃ -J- 2o₆a;₁æi 2a^x.^-\-—h 2 d%x₃x^ —|— 2&gx₃x₄ J

59)    w₄³= «₀*i ³+ «i^2³+ a2xs³ 4~ «3a54³-i’ 3a₄a:i²»2+ Sag^j^²-!- Sa^x^Xÿ -f- Sa₁xlx₃'i +

-f- 3ôgX,²x₄ -{- 3a₉a:^4² 4~S «10*22£C3 4" 3 «n »2 *3 ² 4" 3o₄2*®₂²^"4 "4*3 oą ₃ x₂ x₄ ²4" 3a₁₄x₃²x₄4-4“ 3 ffj₈x₃x₄² 4~ 3d/\§x^x₂x₃ 4“ 3 ci^rjX^x^x^ 4- 6 a^8x^x₃x₄ 4“ 3d^x₃x₃x^•

80) Znaleść hessyan formy m-go stopnia o n zmiennych, kształtu:

Unm = (flfj xi 4- «2^2 + ••• + an%n)m-

Jak się przedstawiają hessyany następujących funkcyj dwu zmiennych, niezależnych: 61) x³ — 3xy4-y³;    82) y³ — x²(2a — x) ;    63) xy² 4- yx²; 64) (y — x)²(x² — a²) ;

x²Ą-y² % x² — y²'

X    X

71) arcsin—; 72) arc tang —;

65) \/x²-\-y²;    66)

67) log (a? 4-y);    68) e*+v ;    69) (x² 4- y²)e~(*²+y²)-,

70) sin — ;

y

73) arc sin

t+.

Wyznaczyć hessyany następujących funkcyj trzech zmiennych, niezależnych: 74) d²x² 4~ 2%³ 4- z⁴ ; 75) y(x²-\-z²)—os³ ; 76) cc⁴ — 3 x²yz — xy²z-\-y²z² ;

79)

x

78) a;⁴ 4- y⁴ — xy²z ;

77) **_2y³z-3y²z²-2x²z²-|-z⁴;

81) x² cos y — z² sin xy ;

Wyznaczyć Jakobiany następujących układów funkcyj:

4-z:

82) x² cos y — z² sin³y.

;    80) xy — z²log—;

83)

m = —-===. , v

V/1—x²—y²

;    84) u = cos x, v = sin'x cos y ;

V/l-xS-y’

85) M = æ-|-y, v = x — z, w = xy Ą-xz—yz — z².

Rozwiązania XXII. 1) Moduł =3. 4) 460. 6) 1. 7) 1. 12) eą² 4" a2² 4" a3² — 1?

² 4- &2² 4“ ^3² — 1 5 c\ ² 4~ c2² 4“ c3² = 1 J «1«! + ^1^2 "ł" clc2 ⁼ 6 5 Vî+Ms'f c2c3-0)

«3«, 4-ó₃&₁4-c₃c₁=0. 25) 18. 43. 26) 1. 112. 27) 15. 16. 41) 4-+-- 42) 4---. 43)---.

»

47) 4- 4- + -■ 48) 4- 4---. 49) 4- 4---. 50)--4- 4-- 54)----. 83)

84) sin² x siny. 85) 0.

(1 —x²—y²)²’

LiterdUird. Ernesto Cesàro. Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung mit zahlreichen Übungsbeispielen, deutsch herausgegeben von Dr. Gerhard Kowalewski. Leipzig 1904. George Salmon. Vorlesungen zur Einführung in die Algebra der linearen Transformationen, deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler.

Temdty do rozprawek ndukowych.

1.    Teorya wyznaczników ortogonalnych.

2.    Liniowe przekształcenia form kwadratowych.

3.    Liniowe przekształcenia form dwójkowych.

Wykład XXIII.

Niezmienniki i współzmienniki form algebraicznych

ilukolwiek zmiennych.

1. Określenie niezmienników danych form. Jeżeli dana forma m-go

n-\-m—1

stopnia, n zmiennych : xit x₂, ..., xn, kształtu: f\xi, x₂,..., #„), mająca

spółczynników : a, &, c, wskutek przekształcenia liniowego :

ÿi"M*2ÿ2+• •• + £/« y» > &'== 1> 2, w, o module : L^= | lix |, i, x= 1, 2, w, przejdzie na nową formę m- go stopnia, w zmiennych: y1} y₂, yn, kształtu: F(yi y₂,.yn), mającą analogicznie

n + m— 1

j spółczynników

: .4, O, ..., a przytem, między pewnem wyraże-

niem: rp(a, &, c, ...), utworzonem ze spółczynników: a, &, c, ..., pierwotnej formy a wyrażeniem: (p (A, B, C,...), utworzonem, w taki sam sposób, z odpowiednich spółczynników: A, B, C, .... formy przekształcone], zachodzi związek:

(1)

natenczas, nazywamy wyrażenie <p niezmiennikiem (in w ary ant em) danej formy /*, ze względu na przyjęte przekształcenie o module X, a wykładnik ź nazywa się wskaźnikiem odnośnego niezmiennika.

Jeżeli ^=0, natenczas, zachodzi między spółczynnikami nowej, a odpowiednimi spółczynnikami pierwotnej formy, związek, niezależny od przyjętego przekształcenia, w postaci:

(2)

ę>(J, B, C, ...) = ę>(a, b, c, ...)

a wyrażenie gp(a, £, c, ...), nazywamy wtedy : niezmiennikiem bezwzględnym danej formy.

Jeżeli funkcya cp (a, &, c,...), utworzona ze spółczynników kilku form, czyni zadość równaniu (1), natenczas nazywamy funkcyę <jp(a, &, c), wspólnym niezmiennikiem danych form.

Według powyższego określenia, jest n. p. wyróżnik D=\aix\ danej formy kwadratowej: un²=J2aixXiXx niezmiennikiem tej formy ze wskaźnikiem A=2, a wyznacznik układu form liniowych, niezmiennikiem tego układu ze wskaźnikiem À—1.

2. Określenie współzmienników danych form. Jeżeli funkcya: cp(a,b, c,...), prócz spółczynników: a, b, c, ... danej formy: f(xi,x₂,...,xn), zawiera jeszcze zmienne; xu x₂,..., xn tej formy, a więc, jest kształtu : (p(a, b, c,..., xi} x₂, ..., xn), a wskutek liniowego przekształcenia danej formy na formę: F(yi: y₂,..., yn), na podstawie wzorów: Xi—ln y\ +^2 «/2-f ... + Z,-n yn, o module \lix\=L, dostajemy związek:

(3)

y y i) •••) y*)

xif x₂₁..., x„), nazywamy współzmienni-

(p {a, b, cy.., xi, x₂, ..., xn) =LÀ.(p(A, B, C natenczas funkcyę : cp(a,b,c kiem (kowaryantem) danej formy: f(xx,x₂,...,x„), a wykładnik A nazywamy wskaźnikiem współzmiennika.

Według tego określenia, będzie hessyan danej formy m- go stopnia, w przypadku, gdy m>»2, współzmiennikiem tej formy, o wskaźniku A=2, a Jakobian układu form, ich wspólnym współzmiennikiem, o wskaźniku A = 1.

3. Ilość niezmienników bezwzględnych danej formy. Zastanówmy się najpierw nad tern, czy istnieją formy, któreby nie miały niezmienników bezwzględnych , a względnie, ile niezmienników bezwzględnych posiada dana forma.

Za pomocą przekształcenia liniowego: x, = luy\ +hiV2+hiy3 +-■•+ lmyn: mającego n² spółczynników : lix (i, n = 1, 2, ..., n), moglibyśmy daną formę m-go stopnia, o n zmiennych, mającą spółczynniki: a, b, c, ..., przekształcić na inną formę m-go stopnia, któraby miała spółczynniki : A, B, C, ..., o pewnej, z góry podanej, wartości, skoroby ilość tych spółczynników formy była mniejszą, a najwyżej, równą ilości spółczynników przekształcenia, t. j., n-\-m —

skoroby było : ^

Musiałoby, więc, wtedy być:

<n²,

(w + m—1) (n + m—2)... (w + l).w

...(m—l).m —

czyli :

(*+!).(»+2)...(n+m—2) (w-fw-1)

<! n.

(4)

2.3... (m—1)    .

Uwzględniając, że ilość zmiennych n jest liczbą całkowitą, znajdziemy, że iloczyn pierwszych dwóch czynników, po lewej stronie nierówności (4): (w-f 1) (w + 2)    w²-f3w + 2    6w + w²- 3w-f2

2.3

(i

= n + !)(»—2)

jest większy od w, a co najmniej równy n, co nastąpi dla n — 1, 2.

Ponieważ następne czynniki, jak:

liczbami większemi od 1, skoro »C>3, przeto widzimy, że nierówność (4) mogłaby się utrzymać tylko przy m—2. a dowolnem n, albo, przy m = 3, dla w=2.

w-J-w—1

n-\-m—1

są, wobec w> 1,

W innych przypadkach jest stale: ^ j spółczynników formy,

n-\-m—1

>w²; moglibyśmy, więc, pośród

najwyżej tyłków² spółczynnikom A,B,C,...

formy przekształconej nadać pewne, z góry oznaczone, wartości, pozostałoby

—w² związków możliwych, niezależnych od prze-

więc, jeszcze

n-\m— 1

kształcenia, które mogłyby się okazać niezmiennikami. A stąd, wnioski:

1) Formy kwadratowe ilukolwiek zmiennych i formy sześcienne dwójkowe, nie

posiadają niezmienników bezwzględnych.

2) Forma algebraiczna m-go stopnia, o n zmiennych, może posiadać najwyżej

w-f fn—1

^ — w² niezależnych od siebie niezmienników bezwzględnych.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 370 —

4. Uwaga. Na podstawie powyższych twierdzeń, możemy sobie wyrobić przegląd ilości niezależnych od siebie niezmienników bezwzględnych w poszczególnych formach*. Z form dwójkowych formy liniowe: — a xb ij, kwadratowe: u^²= a x²2 bx y-\-cy², lub sześcienne : m₂³— ax% + 3bxhj -f- 3 cxy²-\- dy³, nie mogą mieć wcale żadnych niezmienników bezwzględnych ; formy dwukwadratowe :

w₂⁴ = ax⁴ -j- Abx³y -j- Qcx²y² -j- 4 dxy³ -f- ey⁴,

mogą mieć tylko jeden niezmiennik bezwzględny, a w ogólności formy dwójkowe m-go stopnia :

/ m\

Uim=a₀xm +\₁)

a, cc«*—1

/    / fyi \

y + \2 J «₂ V + -+ \m—i) am~x *ym~x + amym,

gdzie m > 3, mogą mieć najwyżej w—3 niezależnych niezmienników bezwzględnych. Z form trójkowych : liniowe: u₃'= ax-\-bycz i kwadratowe:

w₃ ² = ax¹ -f- by²-\- cz² -\- 2dxy -j- 2 exz -{- 2fyz , nie mają wcale niezmienników bezwględnych, formy trójkowe, sześcienne:

u₃³ — ax³ -j- bij³Ą-cz³ 3dx²y -j- 3exy²-\- Sfx² z-\- Sgxz²    3hy² z + 8 kyz² -f 6ż*yz ,

w ogólności, formy trójkowe m-g o

mogą mieć tylko jeden niezmiennik bezwzględny, stopnia, (m > 2), mogą mieć :    2"    9 niezmienników bezwzględnych.

Z form czwórkowych formy liniowe:    = axxia₃x₃-\-a^x^ i kwadratowe:

«11²= «Il V -f «22 *2 ² “i” «33 *3²+ «44 V +2012*1*2 + 2«₁₃ *j*₃ +2«₁₄ X, *₄ + 2«₂₃ «2*3 +

4- 2ó₂4 ®2*4 + 2a₃₄ *₃*₄,

nie mają wcale żadnych niezmienników bezwzględnych; formy czwórkowe, sześcienne:

ui³ = («1*1 + «2^2 + «3 xi + aixi)³1

mogą mieć cztery niezmienniki bezwzględne, w ogólności formy czwórkowe m-g o stopnia

/yyi _L 3\

mogą mieć ( g 1 — 16 niezmienników bezwzględnych.

Wogóle, z form o n zmiennych, formy liniowe: Wn,=a₁*₁ + «₂*₂ 4- ••• -f- «» Xn i kwa

dratowe :

Uv} = au xx² -\-a.n *₂² + - + «*» xn‘J+ 2«₁₂*i*2 + ••• + 2ön_1;M*n_₁ xn, nie mogą mieć wcale niezmienników bezwzględnych, formy sześcienne mają ich (n~3    formy dwukwadratowe: (**4"^)—w², a formy m-g o stopnia (m 2), mają

H m —n'Ł niezmieiiników bezwzględnych, od siebie niezależnych.

najwyżej (

względu na

niezmienniki cp i ip o tej własności, żeby było:

5. Formy, nie mające niezmienników bezwzględnych, do których, jak poznaliśmy, należą formy liniowe i kwadratowe ilukolwiek zmiennych, tudzież formy sześcienne, dwójkowe, mogą mieó tylko jeden niezmiennik, ze przekształcenia liniowe. Gdyby bowiem forma taka u miała dwa

a zarazem :

<jp(a', b\ c' ...)=Lr .cp{a, b, c,...), b‘, c\...)—Lp.    b, c,...),

gdzie L jest modułem przekształcenia liniowego, natenczas, byłoby:

zatem :

[cp(a\ b‘, c‘,...)y.[V(a\ b\ ej ...)]~r=\Lr. cp (a, b, c, ...)]?. [Z>. tp (a, b, c, ...)]~r, [(p{a\ bj c',    &'» c‘,...)]~r=[(p(a, b, c,[^(a, 5, d,...)]“r,

a więc dana forma miałaby wtedy jeden niezmiennik bezwzględny, kształtu:

[ęo(a, ó, c,...)Y .[ip{a,    c’- )]_r»

co się sprzeciwia założeniu.

A więc : Formy, które nie posiadają żadnego niezmiennika bezwzględnego mogą mieć tylko jeden zwykły niezmiennik ivzględny, a nie więcej.

— 371 —

6. Jedyny niezmiennik formy kwadratowej. Forma kwadratowa :

n

», k

un²=2 aikXiXk,

o wyróżniku: \aik\=A, sprowadza się wskutek przekształcenia liniowego:

+^t2 Vi -\-hnVn , (i = 1, 2,..., n),

do formy kwadratowej :

2 hik y i yk ,

i,k

której wyróżnik, jak wiemy z art. 12. str. 356. przedstawia się w postaci:

l>ik i = I hk 1² • i aik I.

Wyróżnik danej formy kwadratowej jest więc niezmiennikiem tej formy, ze względu na przyjęte przekształcenie. Formy kwadratowe należą, jak wiemy z art. 3. do form, które nie mają żadnych niezmienników bezwzględnych, a jako takie, na mocy art. 5., nie mogą mieć więcej, jak jeden niezmiennik względny. Z tego wynika twierdzenie :

Wyróżnik formy kwadratowej, jest jedynym jej niezmiennikiem, ze względu na

przekształcenia liniowe.

7. Wspólne niezmienniki dwu form kwadratowych. Weźmy pod uwagę dwie formy kwadratowe :

Un² — 2 aix X{ xx, TJn ²—2 Jf* Xi xx,

i zastosujmy do nich przekształcenie liniowe, określone wzorami:

r=n

Xi= 2 liryr o module lix\=L>.0,

r—i

natenczas, otrzymamy formy przekształcone w postaci:

un²—2a‘ix y i yx, Un²=2A,ixyiyx.

Łatwo poznać, że to samo przekształcenie zamieni formę:

2{aix—sAix)XiXx na formę: 2(a‘ix~ s A,ix)yiyx , dla wszelkiej wartości spółczynika s. Między wyróżnikami tych form zachodzić musi, jak wiadomo z art. 12., str. 355. i 356., związek:

(6)

! a‘iK s A/{x\=L²\a,x sA;x , (i, x = l, 2,..., w).

Każdy z tych wyróżników da się, jednak, przedstawić w postaci wielomianu n-go stopnia ze względu na spółczynnik s.

Niech będzie tedy :

I aix-sAix\ = D₀-DiS+T)₂s²—Dis*+    l)nDn sn,

I a'ix—sA‘ix\=D\ — D'jS-|-D'₂s²—2>'₃s³ +... + (—l)wD‘n sn, natenczas, otrzymujemy wzór (6), w postaci:

D\— D\s+D\s²—... + (—l)n7)'„ sn=L²(D₀ — D^sĄ-D^²—... + (— l)wZ>„sn).

Skoro równość ta musi się utrzymać dla wszelkiego s, musi być, zatem :

(7)

D'r=L².Dr, (r=0, 1, 2,... n).

Spółczynniki : D₀, Du D₂,...,Dn, są więc wspólnymi niezmiennikami danego układu form kwadratowych: un²=2 aixXiXx i Un²=2Aix x{ xx.

Z tych (n 4-1) spółczynników pierwszy D₀ i ostatni Dn są wyróżnikami danych form, mianowicie: D₀ — \aix\, Dn=\Aix\, pozostałe spółczynniki: Du i>₂,...,    są właściwymi wspólnymi niezmiennikami form: un² i Un²,

utworzonymi ze spółczynników: aix i Aix tych form. Przedstawiają się one

jako sumy wyznaczników w-go rzędu, utworzonych z wyznacznika: | aix gdy w nim jedną, dwie, ..., względnie (n—1) kolumn zastąpimy przez odpowiednie kolumny wyznacznika: \AiK\.

I tak :

Di =

^11 , «12 A.21 , «22 , ••», «2n

«11 , -4l2 , «13, —, «1n dli , A22 , «23, •••, d2n

-J- ... +

dii , «12 , —, «21 , «22 , •

tu +U

lw

An 1 j «w2 i

(Inn

öf'nl j Ani i «n3, •••) «nn

((ni ) «ni

-4nn

Ą-.

to    »-»■

t-u    ł-k

to    *-*-

to    to

«13

«ln

«23, — , «2n

«11 , «12 «21 i «22 , •••) -^-2 n—1) -^2»

. >4

nl ,

An2 , ««3 , ••

•ł

«nn

Dn—1 —

A\\, -4₁₂, •

^21 J A

.., -4-1 n—i , «i„ • *•, A^n-i , «2n

«ni , «n2 , •••) -4n »—I; -4

«n, A

«21, -4

12 J

tu tu

1»

22 ) **•? 2n

-4ni , -4n2 , ..., Ann—d'un

«ni j -4n2, •

•*>

A»

8. Przykłady. 1) Dwie formy kwadratowe, dwójkowe:

jaæ² fcy² + 2ca:i/ i -Ao;²-{--ß?/M 2 Cxy,

mają, oprócz swych wyróżników:

— ab — c² i

= AB— C\

jeszcze wspólny niezmiennik:

— Ab-\- a B — 2 Cc.

2) Dwie formy kwadratowe, trójkowe:

ax² -j- by² -J- cz² + 2 c? yz 2ea;«Ą-2fxy i .Acc² -{- i?y²-f- Cz²-\-2Dy z -f- 2 Exz -{- 2Fxy,

mają, oprócz swych wyróżników:

I « / e !

f b d ! = abc -j- 2 de/ — ad² — &e² — c/², ! e d c !

A F E

F B D — ABC-\- 2DEF—AD*—BE*— CF², E D C

jeszcze niezmienniki wspólne :

1)

= Abc -f- jBoc -j- Cab— (Ad*-\- Be* -f- Cf²) -j-2(Z>e/-}- EdfĄ-Fde) — 2 (Z) ad -j- E be -p jFV/),

A i?⁷ e F B d E D c

— aBC -\-b AC cAB — (aD² + b E* -f cF²) + 2 (dJ0F+ eDF -f fDE)—2 (d ^4Z) -f e£i?+ / Ci?⁷).

9. Niezmienniki ortogonalne formy kwadratowej n zmiennych. Jeżeli funkcya spółczynników danej formy, kształtu : (jp(«, b, c, ...) nie zmienia swej postaci, przy przekształceniach ortogonalnych, a nie jest przytem niezmiennikiem , przy wszelkich możliwych przekształceniach liniowych , natenczas, nazywamy taką funkcyę spółczynników danej formy niezmiennikiem ortogonalnym. Zastanówmy się nad tern

czy forma kwadratowa n

zmiennych :

un² = a₁₁a:₁² + a₂₂a:₂²4-... + tt„na;²n + 2a₁₂a:₁a;₂ + ... + 2a„_inaj„_i xn

posiada, oprócz swego wyróżnika: D= aiK |, jako niezmiennika przy wszelkich przekształceniach liniowych, jeszcze także pewne niezmienniki ortogonalne.

Niezmiennik ortogonalny formy un², musiałby widocznie być także niezmiennikiem formy: xi ² + x₂²-\-... + x„².

Z wyróżnika formy kwadratowej :

(«! t ² +... -j- ann xn ² 4- 2al 2x₁ x₂ +... + 2 an_x n æn-i xn)—s (xx ² + x₂ ² +... i- xn²), przedstawiającego się w postaci:

gdzie s może mieć jakąkolwiek wartość, otrzymamy, tedy, wszystkie niezmienniki ortogonalne formy un², jako spółczynniki w rozwinięciu wyróżnika D(s)f podług potęg spółczynnika s, w postaci :

(8)

D(s)=D₀—D^s+D^s²-2>₃s³-f... + (— l)n Dnsn.

Di=au+an + ... + a„

Jest tu : Dq = j    Dn=1, -Db_i=æ₁₁ -j-öf₂₂ -j- ,..-\-an

w ogóle Dr jest sumą wszystkich głównych minorów (n—r)-go rzędu, (patr

n y)

T. I. str. 370.) wyznacznika :

Mamy, zatem, twierdzenie:

Forma kwadratowa n zmiennych posiada, oprócz swego wyróżnika, jeszcze (n — 1 ) niezmienników ortogonalnych, a mianowicie : suma ivszelkich minorów głównych jednakowego rzędu w wyróżniku formy kwadratowej jest niezmiennikiem ortogonalnym tej formy.

10. Przykłady. 1) Forma kwadratowa, dwójkowa:    -j- a₂₂ y2jr 2 a₁₂ xy ma nie

zmiennik ogólny :

— «11 «22 °²12;

«u «u «12 «22

a nadto niezmiennik ortogonalny: an +«22* 2) Forma kwadratowa , trójkowa :

o, ja:² + «2₂y² + «33z² + 2«i2*y + 2«13 xz -f 2 «23 yz,

ma niezmiennik ogólny :

«u «12    «13

D= «12 «22 «23    — «11«22 «33 4"^ «12 «13«23—«11«23²    «22«13?    «33«12²>

«13 «23 «33

a nadto dwa niezmienniki ortogonalne :

«11 "ł" «22 "ł" «33 i ®11 "ł* a22 d” a33 — «11 «22 “f «22«33 "ł” «11 «33    «23 ²    «13 ²    «12*1

11. Ogólne własności niezmienników danej formy m-go stopnia. Niech będzie daną forma algebraiczna m-go stopnia o n zmiennych: xl, x₂, xn) w postaci:

(9)

unm — ^aa> ...v xiax₂^ ••• %nv j

gdzie a+ß-\-... + v=m.

Zastosujmy do tej formy przekształcenie liniowe, określone wzorami : ₉    x\ > a'₂=Zy₂,..., xn — ly

o module L=ln, to dostaniemy formę przekształconą w postaci:

unm=2Aaiß>." p y\ ytß.„ ynv

(10)

o spółczynnikach : A„)ß> ...v=ln    ft...

Przypuśćmy, że dana forma posiada niezmiennik w postaci funkcyi całkowitej, ze względu na spółczynniki aa,ß,...v formy pierwotnej, które oznaczmy kolejno przez a₀,    ar > a więc niezmiennik kształtu:

œ(a) — C,

(U)

. a₀a° ... arar

natenczas, funkcya ta spółczynników przedstawi się, dla formy przekształconej, w postaci:

«„Oj,...

9P(^-)    ar> Aq**⁰ A i“¹ ... Arar

a że: Ar=lmari zatem, będzie kształtu:

(12)

a ?m(«₀f“₁ + -+«r)    ... ar“r.

Jeżeli tedy <p(a) ma być niezmiennikiem formy w„m, ze względu na przyjęte przekształcenie, to musi być:

(p{A)=L^. cp{a) = ln;i. g)(a),

q>(A)=Ct

...

(13)

zatem : a więc :

czyli :

m(a₀ -ł-OSj Ą-...Ą-ar)=nA, ^od⁻⁰⁵! + ••• + Û5r=

(14)

Suma wykładników w każdym wyrazie niezmiennika cp(a) musi być zatem ilością stałą, a więc:

Niezmiennik, danej formy algebraicznej jest zawsze funkcyą jednorodną spółczynników tej formy.

Stałą sumę wykładników: a₀-{-al-\-ar= a ^ nazywamy stopniem niezmiennika.

Wzór: ma=nA, przedstawia więc związek między stopniem m danej formy, ilością n zmiennych tej formy, stopniem a niezmiennika i jego wskaźnikiem A.

12. Ogólne własności współzmienników danej formy m-go stopnia.

Niech będzie daną forma algebraiczna m-go stopnia w postaci :

unm = 2arxxa x^ ... xnv,

gdzie: a-fv= m. Przypuśćmy, że forma ta posiada współzmiennik w postaci funkcyi całkowitej, wymiernej, tak, ze względu na spółczynniki a, jak ze względu na zmienne x tej formy, a więc, w postaci:

(15)

(p (a, x)=N Ca> .t>) v . Oq Gf.j ... xjVi x^v*.,. Xffn o wskaźniku A, tak, że dla każdego przekształcenia liniowego, otrzymujemy:

<P(A, y)=L*.(p(a, x).

wzorami :

Zastosujmy do danej formy przekształcenie liniowe, określone

o module L=ln₁ natenczas, spółczynniki A formy przekształconej, będą miały kształt •

A=lma.

Funkcya (p(A, y), sprowadza się tedy do postaci:

<P(^> y) — ^    Zm(a»⁺“i⁺-)a₀“oa₁«. ... yf i y₂»z ... yn»n

a że :

przeto, otrzymujemy :

yr=l-i xr,

<jp (A, y)=2 Ca,„.v lm(«o+«₁+-)->₁+*'»+...).„    ... x/* x₂V*...

Jeżeli atoli cp(a, æ) ma być współzmiennikiem danej formy, to musi być:

<P(A y)=L*.cp(a,x),

a przy danem przekształceniu:

(p(A, y)=ln*.(p(a, x),

przeto, musi być :

zatem, we wszystkich wyrazach współzmiennika q)(a, x), musi być:

(16)

m (a₀ + ai + ...)—(vi + v₂ + ...)=nA,

a więc, mamy twierdzenie:

Każdy współ zmiennik <jo(a, x) danej formy algebraicznej jest funkcyą jednorodną, tak ze względu na spółczynniki, jak ze względu na zmienne tej formy.

13. Niezmienniki form dwójkowych m-go stopnia. Niech będzie daną forma dwójkowa m-go stopnia w postaci:

u.₂m=a₀ xm +

aixm^i y-\-

(■)

a₂ x

m—2

(17)

Oznaczmy jej niezmiennik o wskaźniku À przez <p(a) i połóżmy: q>{a) = 2 Ca a₀a° ai ai ... amam.

Stosując do danej formy przekształcenie liniowe, określone wzorami: x=ë, , y=li], o module: L=l,

otrzymujemy :

u™=A₀    +

Ai

m—1

m—2

î/² + ...+^4m rjm

gdzie: Mr=?rar, r=0, 1, 2,... m.

Wobec tego, przyjęty niezmiennik <jp(a), przedstawia się, dla formy przekształconej, w postaci :

Ç) (M)=2 Ca l°-a»+¹ • «.+-+™.««. a₀ «o ««... am «m,

a że ma być :

(p {A) = lx .cp (a)

zatem, otrzymujemy warunek :

(18)

0. a₀ +1.dj +2.a₂ + ...+m . am=À Sumę: 0. a₀ +1. a, +    am, nazywamy wagą wyrazu : a₀“° a^ ... amttm.

Wszystkie wyrazy niezmiennika cp(a) danej formy dwójkowej m-go stopnia muszą więc mieć jednakową wagę, równą wskaźnikowi tego niezmiennika.

Funkcyę spółczynników ar, mającą tę własność, że jej wszystkie wyrazy są jednakowej wagi, nazywamy funkcyą izobaryczną ze względu na te spółczyniki. Mamy zatem twierdzenie:

Wszelki niezmiennik formy dwójkowej) fest jednorodną i izobaryczną funkcyą jej spółczynników, a jej waga jest równa wskaźnikowi tegoż niezmiennika.

14. Równania różniczkowe niezmienników formy dwójkowej. Zastosujmy do formy dwójkowej :

(19)

u₂m=a₀xm +

9

przekształcenie liniowe, określone wzorami:

x=Ç+br], y— y , o module L= 1, a otrzymamy formę przekształconą w postaci :

gdzie :

ar_₂ft²+...-ł ambm.

(r— 1

CM

w).

Oznaczmy niezmiennik danej formy dwójkowej przez cp(a), natenczas otrzymamy, przy zastosowaniu przekształcenia, z powodu, że moduł L — 1 równość :

a że, na mocy wzoru (20) :

(p(A) = <p(a)

(21)

<P(A) = çp(a) + Cx b -f C₂ ft²+... muszą się zatem, wobec dowolnego ft, spełniać warunki: Ci=C₂ = ...=0.

Spółczynniki G,, 6₂,... są zależne wyłącznie od spółczynników : a₀, a1?..., danej formy.

Chcąc wyznaczyć spółczynnik 0₁₇ musimy w funkcyi:

<p(A) = (p(A₀, A

Am)

zastąpić Ar przez ar +

gp(a₀,    «2+2«! ft

spółczynnik przy ft‘, a będzie nim właśnie C). Tym sposobem otrzymamy:

^1 =«o

d(p

d«!

ar-\b i wyznaczyć w rozwinięciu funkcyi :

am-\-mam-1 ft),

+ 2«,

dcp

a «₂

f 3a₂

dcp

dcp

d «3

d«™

Mamy zatem twierdzenie :

niezmiennik cp{a) formy dwójkowej m-go stopnia, kształtu:

axxm

-1

y + ... + am

czynić zadość równaniu różniczkowemu, cząstkowemu, kształtu :

, o

+ 3«₂ ~- + ... + «iom_₁

«o

dęp

d«!

f 2«!

dgp

da₂

d«m

=0.

. 15. Rozwinięcie funkcyi :

Om -f- mam—i ft),

podług potęg 6, na szereg Maclaurina, przedstawia się w postaci:

<p(a₀, «! +«₀ft, «2 + 2ttj b

Am)

.ft² + ...

Porównawszy to rozwinięcie z wzorem (21), otrzymujemy:

2» •••

Użyjmy symbolu:

""do.

à , ₀ d — + 2«! —

d«₂

f...+ rnam-1 -r—=D,

dam

a więc połóżmy : to otrzymamy : C₂

₌ Wd>\

“ 2 ldF²j₀-

analogicznie :

Ci ~Dcp,

C,-±D»<p.

Jeżeli 6^ = 0, to w następstwie tego musi być także C₂=0, C₃= 0, ...

a zatem :

Niezmiennik formy dwójkowej m-go stopnia, czyniąc zadość równaniu różniczko

wemu :

Dq)=a₀

dcp

d(p

dœ

...4-rnam_i ~-=0,

OClm

f 2a,

da₂

spełnia tern samem równania różniczkowe : JD²qp=0, D³cp=0,.. ._Dm<p=0.

16. Tworzenie niezmienników danego stopnia dla danych form dwójkowych. Na pod

stawie twierdzeń powyżej poznanych, możemy przystąpić do wyszukiwania niezmienników danej formy dwójkowej. W tym celu, przyjmujemy najpierw stopień a funkcyi jednorodnej, mającej wyobrażać niezmiennik danej formy, i wyznaczamy wskaźnik X tegoż niezmiennika, na podstawie wzoru (14) str. 374., który dla formy dwójkowej m-go stopnia daje :

dat

m a.

Wskaźnik ten będzie zarazem , według art. 18. wzór (18), wagą poszczególnych wyrazów szukanego niezmiennika. Należy, zatem, łączyć wskazówki 0, 1, 2, ników a danej formy, tak, aby poszczególne wyrazy niezmiennika były a-tego stopnia, a zarazem miały wagę równą wskaźnikowi X. Wyrazom tym nadajemy spółczynniki, których wartości liczebne wyznaczamy następnie zapomocą równań różniczkowych, jakim każdy niezmiennik musi uczynić zadość.

17. Przykłady. 1. Wyznaczyć niezmiennik dwójkowej formy kwadratowej :

u₂ ² = a₀a;² + 2avxy -f- a₂ y².

Forma kwadratowa ma tylko jeden niezmiennik. Jest on wyróżnikiem tej formy, a więc, ze względu na spółczynniki a₀, a,, a₂, funkcyą jednorodną drugiego stopnia. Przyjmijmy, zatem: « = 2, a otrzymamy, wobec: m =2, wskaźnik: X = '/₂ ma = 2. Kładąc więc:

<p (o) = 2 Ca a₀«o a\ “• aiUl i

otrzymujemy, na wyznaczenie wykładników: a₀, a,, a₂, warunki:

“o 4* *i 4" a2 = ²>

0 • «o+1 • ai “I⁻ 2. aj = 2.

Pierwszemu warunkowi czyni zadość następujących sześć układów:

2    3    4 B

*•*>

spółczyn-

o«

O o JO ( Hi

0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 1,

) O T—I ł“"¹

ao+ai 4“ *2 — ²?    2,    2,    2,    2,    2

Z tych czynią zadość drugiemu warunkowi :    0. a₀ 4- 1. a, -j- 2 . a₂ = 2, tylko drugi

i piąty układ wartości, t. j.:

<Xq = 0, a, =2, a₂ =0 i aQ — 1, a, =0, a₂ = 1.

Szukany niezmiennik formy dwójkowej: «₂² = aya:²4- 2 a,a;y -|- a₂y² przedstawia się, zatem, w postaci :

f (a)= Cja,² + C7₂ «oa2>

której spółczynniki Oj i 0₂ mają pewne wartości liczebne.

Aby je wyznaczyć, weźmy do pomocy równanie różniczkowe, któremu każdy niezmiennik musi uczynić zadość, kształtu:

"o

d©

da.

da₂

a otrzymamy :

d<p

da, 2Ci(tl1 di,-⁰*“⁰' zatem , równanie warunkowe:    a₀.2 0,a,    2a,. C₂a₀ =0,

(O, -j- <7₂) ®oai =0, a stąd warunek: O, -j- C₂ =0. t Jednemu z tych spółczynników możemy nadać dowolną wartość, bo niezmiennik można zawsze pomnożyć przez jakąkolwiek liczbę szczególną.

czyli :

Połóżmy: C₂ = 1, a otrzymamy: Ct — — 1, zatem, szukany niezmiennik dwójkowej formy kwadratowej: w₂² = a^x'¹-\-2a^xij -f-    w postaci:

cp (a)==a₀«₂—ai ².

2. Wyznaczyć niezmiennik dwójkowej formy sześciennej :

u₂³ = a₀x* 4-3ota:V +3a₂a;y²+ ff₃*/³.

Niezmiennik ten może być tylko stopnia czwartego, mamy, zatem : n = 2, m = 8, a =4, a stąd: X=y₂wa=6. Mamy więc utworzyć funkcyę jednorodną czwartego stopnia, której wszystkie wyrazy miałyby wagę równą 6.

Połóżmy więc :

<p(a) = S Ca • ao • oj . «2 c*ł •    >

a otrzymamy na wyznaczenie wykładników: a₀, 04, a₂, a₃, następujące warunki:

a0 + «1 + «2 + «3 = ⁴

0. ofq 4" 1 . 04 -j— 2 . oc₂ 4- 3. a₃ =* 6.

Tym warunkom czyni zadość pięć układów wartości, a mianowicie :

1 2

= 2,

1,

= 0, 0, = 0,    8,

= 2,    0,

CO ) r-T t-T tH 1—1

z czego wynika, że szukany wyróżnik będzie kształtu:

?(«)= Cxa^ a₃² + C^a^-^r C₃a₂axa₂a₃ + C₄ai²a₂² + w którym wyznaczyć mamy pięć spółczynników liczebnych: Clx (7₂, C₃, Ci} Cb. W tym celu, zastosujemy równanie różniczkowe :

a‘iL+‘2a'

dtp

dtp

da₂

h8“iix-0>

z którego, ze względu na to, że :

dtp

da.

= C₃a₀a₂a₃ -f- 2 C₄o₂²-(- 8 C₅a₄²a₃,

dtp

-^- = 3 C₂aQa\ C₃ a₀axa₃ +2 C₄at ²a₂ ,

dtp

da₃

2 Cta₀² Oj-f <?₃ a₀ai a₂ + C₆ ax ³,

otrzymujemy równanie warunkowe:

®o (^J®o®î®3 4~ 2(7₄a₁a₂²-j⁻ SCja^aj) -j- 2a₁(3C₂a₀a₂² 4~ ć?₃a₍₎a₄a₃ 4" 2 C\aj²a₂) 4~ + 3a₂(2C'₁a₀²a₃ + C₃a₀aia₂ + C₅a₁³)=0,

czyli :

a0 ²<*2®3 (^3 ~h ) -J“ <*0°! **2 ²(2O4 4“ 6C₂ 4" 3O3) 4" aoai ²°3 (8C5 4" 2 C3) 4* #1 ³®2 (4^4 “I“    ⁼0.

Wobec tego otrzymujemy, na wyznaczenie spółczynników:    <7₂, O3, C₄, (7₅, cztery

równania :

6(7i4-ć7₃=0, 6Cj -f 3C3 4 2 C4 =0, 2<?₃4-3<7₆ = 0, 4 (7₄ 4- 3C₅=0, z których, kładąc C, = 1, dostajemy: C₃ = — 6, C₅= 4, C, = — 3, (7₂ = 4.

Wyróżnik dwójkowej formy sześciennej :

4_ 3a₁a?²«/4-3a₂a:2/²4- a₃y\

ma zatem postać:

(p (a)=a₀ ² a₃ ² 4- 4 a₀ a₂ ³— 6 a₀ a₂ a₃—8«! ²a₂ ² 4- 4a₄ ³a₃.

3. Wyznaczyć niezmienniki dwójkowej formy dwu-kwadratowej :

w₂⁴=a₀a;ł4-4a₁a;³y4- 6a₂ a;²«/² 4-4a₃ a-*/³4-a₄ y*.

Mamy tu: n — 2, w = 4.

1) Przyjmując a=2, otrzymamy: X=y₂ m a = 4. Niezmiennik drugiego stopnia miałby, zatem, wskaźnik równy 4. Wykładniki wyrazów funkcyi :

co (a) = 2 (7aa₀«o a,“i a₂«₂a₃«3 a₄a*,

musiałyby zatem spełniać relacye :

a0 + ®1 + a2 + “3 + a4 -2,

0. a, 4- 1. 04 4- 2 .«₂ 4- 3 . «3 4- 4 . a₄ = 4,

którym czynią zadość następujące trzy układy wartości:

a₀ • G₂ ®3 “H 2a^ ■ 2(7ja₂ j* SûSj .    -j-4ü?3 . Cj a^ —0,

czyli :

a stąd relacye :

a₀a₃ (C₂ -f- 4(7!)-f- aiaz (4(7₃ 4“ 3 0₂) = 0,

4(7j 4~ ^2 — 0, 3(?₂ 4" 4(?₃ — 0,

z których, przyjmując (7t =1, otrzymujemy: G'₂= — 4, C₃ = 3.

Niezmiennik drugiego stopnia formy dwukwadratowej ma, zatem, postać :

cp (a)=a₀ai—4^ a₃ 4- 3a₂ ².

2) Przyjmując a = 3, otrzymujemy : X= ł/₂ ma = 6, niezmiennik trzeciego stopnia miałby zatem wskaźnik równy 6. Wykładniki wyrazów funkcyi :

® (<z) = £ (7« ÖQ^O öjai ö₂a2 ö₃ «3 ö₄a» ,

musiałyby zatem, spełniać relacye:

a0 4“ al ~t" a2 4" a3 4" a4 -3,

O.a₀-(-l.ai4'2.«24'3. «3 4" 4 • «4=6,

którym czyni zadość pięć układów wartości:

«0» al> «2,    *3i a4

45

5 rH* o~ cT

>r Ö" i-T cf

cT o of

O rH O

Szukany wyróżnik drugiego stopnia, ze względu na spółczynniki danej formy, przedstawiłby się zatem w postaci :

Z równania różniczkowego :

<P(o) = Cl«0«4 + <?2«1«3 + C3«2²’

dp

d®

dp

0«

da

w którem :

da₃

da₄

d®

dtp

’ ^«2

otrzymujemy równanie warunkowe:

2 Cf3«2?

dtp

d<p

d«3

d o₄

Ci*o,

Szukany niezmiennik trzeciego stopnia przedstawiłby się, zatem, dla formy dwukwadratowej, w postaci:

?(«)= Ci«oa2«4 + <?2«0«3²+ ^3«1²«4 + ^4«!«2«3 4" Cha\.

Równanie różniczkowe :

dp

a°d^

dp

d®

dp

f- 2at —:—\- 3a₂ -— 4" 4a₃ -— == 0,

àa₂

da₃

da₄

w którem :

dp

dp

r~ —2 63 a^a₄ 4“    a₃, —— == G\ a₀ a₄ 4* (7₄a₃ + 3 C₅a₂² ,

dotj

d«₂

dp

d®

doj

— 2 C₂a^a₃ 4" G₄ala₂, -— — Cjœ₀a₂ 4* ^3®i ²î Ôd^

prowadzi do tożsamości:

a₀. (2C₃(i\a₄ 4" (7₄0^2ô3) 4~ 2«j. (C\ci^a^ 4~ C₄a₃ -j- 3 C₅ a₂²)4~ 3a₂ . (2C₂a₀03 4" (7₄Wj0₂) -f-

4- 4 a₃ . (Oja₀a₂ 4- ą«!²) = 0,

czyli :

®oaia4 (2C3 -J-2 Cj) 4“ ®o®2®3(^4 4" ®^2 "H 40j) -f- ôj ²a₃(2(7₄ 4~ 4(7₃)-|- a₄a₂²^6C₆ -f- 3 (7₄) — 0, z której dostajemy warunki :

2ą + 2(7₃ = 0, 4Ct 4-6 C₂ 4- (7₄ =0, 4ą 4- 2 Ć7₄ = 0, 3(7₄ 4- 6C5 =0.

Przyjmując Cj = 1, otrzymujemy stąd:

@3 =— 1,    2,    C₅=—1,    <7₂ = — 1.

t Szukany niezmiennik trzeciego stopnia, ma, zatem, postać:

<p(a) = a₀a₂ai—a₀a₃i—ai,a^ 4- 2a,a₂a₃—<*₂³.

Z otrzymanych dwu niezmienników formy dwukwadratowej, z których jeden ma X — 4, drugi X = 9, otrzymamy jedyny niezmiennik bezwzględny tej formy w postaci:

<I> (a) =

_(«₀a₄ — 4«)% +3 a₂²)³_

(a^a4—a₀a₃²—^i²^₄ 4" 2a₁a₂% — o^³)² '

18. Współzmienniki danej formy dwójkowej m-go stopnia. Niech bidzie daną forma dwójkowa m-go stopnia dwu zmiennych xx i x₂, w postaci:

r=m

v-2

ft rp Tfl—V rp Y \AJy' iA/4    JUcy    J

r=zO

W-

która, wskutek przekształcenia liniowego, określonego wzorami :

x\ ⁼ ^\\V\ + hîVïi xï ~h\H\ 4*^22^2j o module L ^ 0, przejdzie na formę:

r=.m

-so*-

Oznaczmy przez qp(a, x) współzmiennik tej formy, który, w myśl art. 12. str. 374. jest funkcyą jednorodną, tak ze względu na spółczynniki :

am) jak ze względu na zmienne: Xx, x₂, tej formy. Niech będzie X

a0> J • * •7

wskaźnikiem tego współzmiennika, to z określenia:

q?(A, y)=*Lx.(p(a, *),

(22)

znajdziemy, że spółczynnik przy    w funkcyi <jp(A, «/) musi być równy

spółczynnikowi przy x\xk₂ w funkcyi <p(a, x), pomnożonemu przez LA

Załóżmy, że a jest stopniem przyjętego współzmiennika q>(a, x), ze względu na spółczynniki: an (r—0, 1    a v jest stopniem tegoż współ

zmiennika, ze względu na zmienne xx i x₂, to zauważymy najpierw, że, zastępując w danej formie xx przez lcxx, a równocześnie ar przez kr ar, wywołamy w każdym wyrazie formy spoiny czynnik 7cm, a natomiast, w każdym wyrazie: cir as. . . xx'x₂k, współzmiennika, czynnik: #*■+«+•••+*.

Suma r-ps-p... +i, t. j. suma wskazówek r, s,... w poszczególnych spół-czynnikach każdego wyrazu współzmiennika (p (a, #), powiększona o wykładnik i zmiennej xx musi być zatem stałą.

Ażeby wyznaczyć tę stałą sumę, zastosujmy do danej formy:

r=zm

u₂

-ID

n rp m —r rp r

\A)p \AJ A    »A/O

przekształcenie , określone wzorami :

xi — y2?    x2

o module L=—1, wówczas spółczynniki ar (r=0, 1 ,...m) przejdą na a a potęga przejdzie na

musi być zatem :

a że stopień współzmiennika , ze względu na spółczynniki a, ma być równy a, przeto otrzymamy stąd warunek :

2 (r-\-sĄ- i)=ma-\-v,

czyli :

t -p s-p... -pż

ma -v

A zatem:

Suma wskazówek w spółczynnikach każdego wyrazu współzmiennika, powiększona o wykładnik zmiennej xX) jest stale równa \{ma-\-v).

Z wzoru tego otrzymujemy:

(23)

r+s-\-...=\{maĄ-v)—i, skąd, uwzględniając to, że suma:    przedstawia wagę spółczynnika

przy potędze xii₁ otrzymujemy twierdzenie:

Waga spółczynnilca przy w każdym współzmienniku a-go stopnia, ze względu na spółczynniki : ar, zaś v-go stopnia, ze względu na zmienne danej formy dwójkowej, m-go stopnia , jest równa \ (ma-\-v)—i.

Na podstawie tego twierdzenia, możemy z łatwością zestawić wyrazy współzmiennika danej formy dwójkowej m-go stopnia, gdy dany jest stopień a tegoż współzmiennika ze względu na spółczynniki, tudzież jego stopień v ze względu na zmienne danej formy, a pozostaną tylko do wyznaczenia spółczynniki liczebne w poszczególnych wyrazach przyjętego współzmiennika.

19. Równania różniczkowe wspólzmienników. Niech będzie:

cp (a₀, ßj, • • • am , xx, xf),

współzmiennikiem formy dwójkowej :

r=m

-2D

r=0 '    '

Przyjąwszy v, jako stopień tegoż współzmiennika zmienne xt1 x₂, możemy położyć:

<P = CoXiVJr(V₁^Cixxv ^2 + Q

u₂m

ar xx

x₂r.

ze względu na

(24)

x²₂ + ... + Cvx₂v

gdzie C₀, CV...CVJ będą wyrażeniami a-go stopnia ze względu na spółczynniki ar danej formy, przyczem wagę spółczynnika Cr wyznacza liczba :

\(ma-\-r) — {v r)=%(ina v) + r.

Według określenia współzmiennika, przy każdem przekształceniu linio-

r=m

v-2

wem formy :

S(D

r—m

ar xxm~r x₂r

na

formę: ^

Aryxm-ry₂r,

r=0

ma zachodzić tożsamość:

xï)i

ty (A o, Ax,..., Am, yx, y₂)~L*.cp(a₀, ax,.. gdzie L jest modułem przekształcenia, a X wskaźnikiem przyjętego współzmiennika. Stosując do danej formy przekształcenie :

x\=-y\+ ly-n x2=l/2i

.a

którego moduł =1, otrzymamy stąd:

<p(Ą, A1}... Am, yx, y₂)⁼⁼9,(ao> a\xv ^2)»

czyli, tożsamość:

<P(A₀, Au... A

xx—lx2, x₂) — cp(ao, ax,...,

(25)

przyczem:

A₀=a₀, Ai=ax+la₀₁ A₂=a₂ + <2ail + a₀l²,    A₃=a₃+3a₂l + Saxl²Ą-a₀P,...

Z powyższej tożsamości wynika, że, rozwijając jej pierwszą stronę podług potęg czynnika l, musimy otrzymać spółczynniki, przy różnych potęgach czynnika l, równe zeru.

Spółczynnik przy pierwszej potędze czynnika l w tern rozwinięciu prowadzi więc do równania :

dcp

dcp

czyli do równania różniczkowego:

dcp

da₂

+ ...Ą-mOm-t

2-0,

dam

dcp dcp _ dcp xi = ao    "i“ • • • + mam-1

d(p

dxi

da₂

dam

(26)

któremu każdy współzmiennik musi zadość uczynić.

Z tego równania, wskutek przemiany zmiennych xi)x2J nie wywołującej oczywiście zmiany w postaci współzmiennika , a zmieniającej tylko spółczyn-niki ar na am

—r ;

otrzymamy nowe równanie różniczkowe :

dcp    dcp

xi ^    ⁼ (Cm "C

OX2    0 CSm_l

któremu także każdy współzmiennik musi uczynić zadość.

Przyjmując współzmiennik w postaci (24), otrzymujemy:

h 2 Ct>m -1

dcp

d CXjji —2

■p... "4- iw ci i

dcp

da₀

(27)

dcp

dxx

zatem :

= ^(7₀a:₁t'-¹ + (v-l)^(7₁a:₁

«*(7₀a;₁,'-¹a;₂-|-(v—1) Q

v-2

x₂ + {v— 2)

(2)

v-3

&₂² + ... + V'vv-\Xïv~l,

dcp

v-2

X2 ² + ••• + X2V’

Zastosujmy teraz do tego współzmiennika działanie:

dcp _

«o +

dęp

d<p

h...+ ^«m-l V ,

I

wskazane po drugiej stronie równania (26), to uwzględniając, że spółczynniki C₀,    (7,, są funkcyami spółczynników: a₀, aą,..., am, i porównywając,

na podstawie równania (24), spółczynniki przy równych potęgach zmiennych xt i x₂, otrzymujemy (v+l) równań kształtu:

dal

da₂

°0

Cu Cu

dc:

— + 2^    ma

da₂

dC₀

m—\ 7

dam

(28)

dCv dCv

Analogicznie otrzymamy, na podstawie tożsamości (27), (v+l) równań warunkowych :

Cu Cu

>m

= v Cv_x.

■dC,.,

ma\ “i—f-(m—J )a₂

dCv

da₀

dax

^=0 m dam_! »

max + (m—1) a₂

ocio

d Cq

(29)

dC₀

= vC..

m -v

ddm—1

Oznaczając znakiem A działanie, określone symbolem:

d    d

— + (m—l)a₂ —

dc^

ma₁

da₀

dai

K- + «

à

m 3:    —^

o dm—\

przedstawimy powyższe równania w postaci:

-1, ••

. da

ACV=0, ACV_X=CV, ACv-2=2Cv

ACX= (v — l)C₂, AC₀ = vCx,

skąd dostajemy wzory:

ą=—40

-ir4C„

1 ¹⁷

podstawie których, znając C₀, możemy wyznaczyć wszystkie inne spółczynniki współzmiennika cp.

iic„

-2,

Cv=ACv_i

(30)

na

20. Tworzenie współzmienników dla danych form dwójkowych. Na podstawie twierdzeń, powyżej podanych, możemy przystąpić do wyszukiwania współzmienników formy dwójkowej m-go stopnia. W tym celu, przyjmujemy, najpierw stopień v współzmiennika ze względu na zmienne i stopień a ze względu na spółczynniki tej formy.

Przedstawiając szukany współzmiennik w postaci:

<P («> *) = Cqx\v + (l) Clxiv -1 X1 +

+ (r) Cr XyV-r    QvXf,

znajdujemy wagę p poszczególnych spółczynników :    (7₀, Oj,..., CV, podług wzoru:

ma -j- v

(y—r). Wyznaczywszy, następnie, postacie spółczynników: Cr,{r = 0, 1

jako funkcye a-go stopnia ze względu na spółczynniki danej formy, wyznaczamy ich spółczynniki liczebne przy pomocy równań różniczkowych, jakie każdy współzmiennik spełnia.

Pr

v),

21. Przykłady. 1. Wyznaczyć współzmiennik dwójkowej formy sześciennej :

«2 ³= «0*1 * + 3«1 x\ ²*2 + 3«2x1:b2 ² + «3*2 ³j

któryby był stopnia drugiego, tak ze względu na spółczynniki, jak ze względu na zmienne tej formy.

Mamy tu m = 3, a = 2, v = 2, zatem: i/i {ma -f- v) = 4.

Przedstawiając szukany współzmiennik <p(a, x) w postaci:

? («, x) = C₀x, ²+ 2(7₁a:₁a:₂ -f (72052 ² ,

otrzymujemy, jako wagi spółczynników: C₀, (Ti, (?₂, liczby 2, 3, 4.

Możemy, zatem, położyć:

Cq = Aa^a^ -j- Bay ², Cj = Ca^a₃ -J- Z)ö(jö₂, (7₂ = Eaya₃ -j- Fa2²

Warunek:

Ó«2

ćo₃

przedstawia się tu w postaci:

a₀.2 JBopj -f 2öj.    = 0, czyli : 2a₀a₁( + 2?) = 0,

skąd, przyjmując A = 1, otrzymujemy: 15 = —1, zatem:

C₀ = «o«2— «i²-

Z drugiego równania układu (28) otrzymujemy warunek:

«o Î?¹ +²«i    + ³«² ^ = «o«2“«²i ,

który, ze względu na to, że :

Cj = Ca₀a₃ + Daya₂,

« IP

= Daa,

= Dau

sprowadza się do postaci :

czyli :

a więc, dla:

. 77cf2 —J- 2cą . Da^ -J- 3æ₂ • (Tâîo —Uq a₃ ■ ćz j², a₀«₂ (P> 4- 3 (7-1) + ali(2D +1) = 0. Warunkowi temu stanie się zadość, gdy będzie:

DĄ- 3 (7-1 = 0, 2D-fl=0,

¹    (7- ¹

2    ’ "2’

(7i = -g- («0 «3    «1 «2 )•

zatem będzie :

Na wyznaczenie C₂ otrzymujemy dalszy warunek :

dC₉    d (7,    „    d(7,

0^2 + 3 _ a°°³ ®ia2’

daj

który, wobec tego , że :

dO%

= Eaz,Öß =2Fa, o a<L

a₀ . Ea₃ -f- 2«j. 2Fa₂ -j- 3<z₂ .Eaj =a₀a₃    «i«2»

a₀a₃ (ÜJ— 1) -j- oąa₂ (4F3 E -f-1) — 0,

JS7—1 = 0, 4F-f 3Æ + 1=0, a więc: E= 1, F= — 1,

(7j = «1 «3    «2 ²⁻

<Znając C0f możemy zi'eszta korzystać ze wzorów (30), aby otrzymać wprost dalsze spółczynniki. Mianowicie, wiedząc, że (7₀ =«o«2—ai² i używając znakowania.

G\=Eaya₃ -j- Faz*,

sprowadza się do postaci :

czyli :

a zatem , wymaga, aby było :

zatem :

da₃

Eax,

- 884 -

otrzymujemy :

4s=8a‘    ⁺²“! ä^ ⁺ °³^’

11 1

6’i — — A Cg = -g- [3«!a₂—2o₂.2at -f- a₃. «o]“ _2~(aoa3 ®ia2)j

C₂ = A Cx = -i- (3«! a₃ — 2a₂ ² — «gOj ) — at a₃ —a₂ ², j ak powyżej.

Współzmiennik dwójkowej formy sześciennej w₂³, któryby był stopnia drugiego, tak, ze względu na spółczynniki, jak ze względu na zmienne tej formy, przedstawia się więc w postaci :

7>=(aQa₂—ali)Xiz (a₀a₃—axa₂)xxx₂ + (a^a₃ —a\)x₂².

2) Wyznaczyć dla dwójkowej formy sześciennej:

u₂ ³ = a₀ x{ ³ -f- 3at x₁² x₂ -f- 3a₂cc₁ x₂ ² -j- a₃ x₂ ³,

współzmiennik stopnia trzeciego, ze względu na spółczynniki i ze względu na zmienne tej formy.

Mamy tu: m — 3, a = 3, v=3, zatem:    (ma-J-v) = 6.

Przyjmując zatem współzmiennik ©(a, x) w postaci:

<p = C₀ a?j³ -f- SOja?!² .z₂ + 3 C₂xlxi ² -f C₃x₂ ³,

zauważymy, że spółczynnik C₀, który ma być funkcyą jednorodną 3:go stopnia ze względu na spółczynniki danej formy, będzie miał wyrazy o wadze 6—3 = 3. Możemy, zatem, po-

łożyć :

C₀ = Aa₀ ² a₃ -j- B a₀al a₂ -J- Ca₁³.

Z warunku : otrzymujemy :

«hP+2«. P + 8«, ^° = 0,

deą

do₂

da₃

a₀ {j3a₀ a₂ -j- 3 Caj²} -j- 2at . Ba₀at -j- 3a₂. A a₀² = 0 , a₀² a₂    +    (7+25)=0,

^ 4- 3 M = 0 , 3(7 + 2£=0.

Przyjmując .4 = 1, dostajemy: B-— 3, C — 2, zatem:

(7₀ = a₀² a₃ — 3 a₀ a{ a₂ -f 2    ³,

r~“ + 2 0₂ r—- + «₃    — ,

d o₀ '    ^ dcą J d a₂

Ci = -5- A C₀ = -g- [3«! . (2a₀a₃—3a₁a₂)-j-2a₂.(—3a₀a₂ +6at²) -f a₃.(—3»₀a,)],

czyli :

a stąd, warunki:

skąd, używając znakowania: A = 3at otrzymujemy :

a zatem :

Ci t= a₀ a₃ a,² a₂ — 2 a₀a₂ ².

Dalej znajdujemy :

zatem : wreszcie :

C₂ = ACi = -g- [3a, (oą a₃ — 2a₂ ²) -f- 2a₂ («oa₃ -j- 2«j a₂) -f- °3 (ai² — 4a₀ a₂)J C₂ = 2ax ² a₃ — »! a₂ ² — a₀ o₂o₃,

C₃ = A (7, = 3«i (— a₂ o₃) + 2a₂ (4a, a₃ — a₂ ²) -f «₃ (4-2at a₂ — a₀ o₃),

zatem :

C₃ = 3at o₂ a₃ — 2 a₂ ³ — a₀ a₃ ².

Współzmiennik szukany ma, zatem, kształt:

© = (a₀²a₃ — 3a₀ ai<i₂ -f ³) xi³ + ³ («0 «i«3 + ax ² a₂ — 2a₀ a₂²)    ² a?₂ +

-j- 3 (2«!² «3 — aiO^²— «o u₂q,₃) XiX₂² +(3a₁a₂a₃—2 Oj³ — a₀ 03²)x₃².

ćwiczenia XXIII.

1)    Wyznaczyć ilość niezmienników bezwzględnych , jakie posiadać może forma algebraiczna m-go stopnia o n zmiennych.

2)    Wykazać, że forma kwadratowa o n zmiennych, nie ma żadnego niezmiennika bezwzględnego.

3)    Wykazać , że forma kwadratowa ilukolwiek zmiennych ma tylko jeden niezmiennik względny, a tym jest jej wyróżnik.

— 385 —

4) Wykazać, że wyróżnik formy kwadratowej , otrzymanej wskutek liniowego przekształcenia danej formy kwadratowej, jest równy wyróżnikowi formy pierwotnej, pomnożonemu przez kwadrat modułu odnośnego przekształcenia.

B) Wykazać, że dwie formy kwadratowe n zmiennych mają, oprócz swych wyróżników, jeszcze [n—1) wspólnych niezmienników względnych.

6)    Wyznaczyć wspólne niezmienniki dwu form kwadratowych, dwójkowych:

«₂²= a₀x² + 2axxy + a.₂y² ,    Ï7₂²= A₀x² + 2A₁xy + A₃y².

7)    Wyznaczyć wspólne niezmienniki dwu form kwadratowych, trójkowych:

«3² — anx² + a₂₂y²d- a₃₃2² +2 avlxy -\r2anxz -\-2anyz,

U₃ ² = At t X¹ + Any'2+ .4₃₃z² + 2Ą ₂xy -f 2A₁₃xz -f- 2 Antjz.

8)    Wykazać , że forma kwadratowa n zmiennych posiada , oprócz swego wyróżnika, jako jedynego niezmiennika względnego , jeszcze (n—1) niezmienników ortogonalnych.

9)    Wyprowadzić niezmienniki ortogonalne formy kwadratowej, dwójkowej :

a x² -f- b y² -j- 2 c x y.

10)    Wyprowadzić niezmienniki ortogonalne formy kwadratowej, trójkowej:

ax'¹ -f- by² -j- cz²-{- 2 dyz -f- 2exz -\-2 fxy.

11)    Jeżeli w formie kwadratowej n zmiennych:    Sa/*2i xx, (aiX—aXi), zastąpimy

spółczynniki aiX przez ich minory at-x w wyznaczniku j ai% |, natenczas otrzymamy formę: w»² = 2a,-*xixx, («ix = *x()> zwaną formą dołączoną do danej formy kwadratowej. Dowieść, że wyróżnik formy dołączonej jest równy (n-l)-szej potędze wyróżnika danej formy.

12) Podać formę dołączoną (ćw. 11.) do formy kwadratowej, trójkowej :

w₃² ==«=    !ajj ²-j- «22^2² 4“ «33^3² + 2«₁₂a3i^2    -\-2atix₃x₃

i wyznaczyć jej wyróżnik.

Ib) Wykazać, że forma kwadratowa n zmiennych, da się przedstawić, jako suma kwadratów n form liniowych , od siebie niezależnych.

14)    Wykazać, że warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby dana forma kwadratowa n zmiennych, dała się przedstawić, jako suma n kwadratów, jest ten, aby jej wyróżnik był różny od zera. Skoro wyróżnik ten jest równy zeru, ilość kwadratów będzie mniejszą od ilości zmiennych.

15)    Wykazać, że w przypadku, gdy wyróżnik danej formy kwadratowej jest zerem, forma dołączona do tej formy (ćw. 11.) jest zupełnym kwadratem formy liniowej.

16)    Wykazać, że w przypadku, gdy wyznacznik układu n form liniowych o n zmiennych jest równy zeru, a nie wszystkie minory elementów tego wyznacznika są zerami, natenczas istnieje między temi formami jeden i to tylko jeden związek liniowy, tożsamościowy.

17)    Dowieść, że w przypadku, gdy wyznacznik układu n form liniowych, o n zmiennych, jest równy zeru , a nadto wszystkie jego podwyznaczniki, aż do (n—r— l)-go rzędu włącznie, są zerami , podczas gdy przynajmniej jeden z jego podwyznaczników (n—r)-go rzędu, jest różny od zera, natenczas istnieje między temi formami liniowemi r oddzielnych związków liniowych, tożsamościowych.

18)    Wykazać, że wyznacznik układu n form liniowych o »zmiennych jest wspólnym niezmiennikiem tych form.

19)    Wykazać, że niezmiennik względny danej formy algebraicznej jest zawsze jednorodną funkcyą spółczynników tej formy.

20)    Wykazać, że każdy współzmiennik danej formy algebraicznej jest funkcyą jednorodną , tak ze względu na spółczynniki, jak ze względu na zmienne tej formy.

21)    Wykazać, że forma dwójkowa m-go stopnia posiada najwyżej m— 3 niezmienników bezwzględnych.

22)    Wykazać, że formy dwójkowe sześcienne nie mają żadnego niezmiennika bez

względnego.

23) Wykazać, że wszelki niezmiennik formy dwójkowej m-go stopnia jest funkcyą jednorodną i izobaryczną jej spółczynników.

24) Wykazać, że niezmiennik formy dwójkowej m-go stopnia:

m = a xm + (i*) alXrn - Xy + (£) a₃x™~² y² + ... -j-    am-1 xy™~l -\-amym ,

zachoruje tę samą postać , jeżeli przemienimy spółczynniki ar i am—r, równoodległe od końców tej formy.

25

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

jest wspólnym niezmiennikiem tych form.

29)    Wykazać, że forma dwójkowa:    = a₀x² -j- 2alxy-\-aiy^ ma jedyny niezmiennik

drugiego stopnia : p (a) = a₀a₂—ax ².

30)    Wykazać, że forma dwójkowa, sześcienna: m₂³ = a₀x³ -f- Sa,*²*/-}- 3a₂ xy*Ą- a₃y³, ma jedyny niezmiennik czwartego stopnia: ©(a) = a₀²a₃²-f-4a₀a₂³—6a₀aja₂a₃+4^³ a₃—3aj²a₂².

31)    Wykazać, że forma dwójkowa czwartego stopnia :

M₂⁴ = a₀a:⁴ + 4a₁a5³yj-f 6a₂a:łi/²-f 4a₃a;y³-|- a₄ył, ma 1) niezmiennik drugiego stopnia ©t(a) = a₀a₄—4aja₃-I-3a₂², o wskaźniku X = 4,

2) niezmiennik trzeciego stopnia: ©₂(a) = a₀a₂a₄—a₀a₃²—ax ²a₄ -j- 2aja₂a₃—a₂³, o wskaźniku X—6.

32) Wykazać, że forma czwartego stopnia:

«₂*= a₀x* -f Aaxx³y -j- 6a₂a;²y² -f 4a₃a:y³-|- a₄ył

ma niezmiennik bezwzględny w postaci :

? («) =

_(a₀a₄ —4ata₃ 4-3a₂²)³_

(a₀a₂ a₄ -j- 2at a₂ a₃ — a₂³— a₀a₃ ² — at ²a₄)²’

33)    Wykazać, źe forma: x⁴ -j-y⁴+ 6Xx²y², ma dwa niezmienniki: = 1    3X², <p₂=X—X³

i niezmiennik bezwzględny : p =

(l + 3>²)³

(X—X³)² '

34)    Wykazać, że suma spółczynników w niezmienniku formy dwójkowej, kształtu:

«2m

25)    Wykazać, źe waga niezmiennika a-go stopnia danej formy dwójkowej m-go stopnia jest równa i/i ma.

26)    Wykazać, źe forma dwójkowa nieparzystego stopnia, może posiadać niezmienniki tylko stopnia parzystego.

27)    Wykazać, że wszelki niezmiennik ©(a₀, ax

r=m

'Uim=    arxrym~ri czyni zadość równaniu różniczkowemu, cząstkowemu:

„ *9 o „

am) danej formy dwój kowej :

r=0

da₂

-p 3 a₂

dp

dp

da₃

Odm

= 0.

28) Jeżeli u₂™ i są dwie formy dwójkowe m-go stopnia, pierwsza o spółczynni-

«0) «1, —,

zmiennikiem pierwszej formy, wykazać, źe wyrażenie :

kach :

am, druga o spółczynnikach : A₀, Ax

Am ,

a © (a₀, a,

am) jest nie-

dp

d©

d©

d©

Aq —■ -f- Ax -— -j- -<4₂    *4" ••• “j“ Am rr-,

da₀    dat    da₂    dam

=    ("') ar xm~r yr , jest zawsze równą zeru.

35)    Wykazać, że wszelki współzmiennik © formy dwójkowej :

r=ra

«a«*=2 (r) arxim~r *2r >

r=0

sprawdza równania różniczkowe :

d©    d©

T — = «o ~ ¹ "1“ 2 at dxj    oa₄

dp

Öd

dp

-j“ 3 a₂ r— -j⁻ ...    m cim—1

da₃

dp

d dm,

dp

x. —— = dm dx ₂

dp

—I" 2 Clm—1 1

dp

ddm—

36) Wykazać, że wszelki współzmiennik :

dam—2

r=1

drXlm—r x₂r ,

^ CV ccj v—rxf formy dwójkowej : u₂m

r== 0

v) jednorodne a-go stopnia ze względu na spółczynniki

ma spółczynniki Cr{r — 0, 1, formy, o wadze równej : 1/₂ (ma—v)    r.

37)    Wyznaczyć współzmiennik drugiego stopnia, ze względu na spółczynniki i zmienne formy dwójkowej: uz³ = a₀x³3dxx²y -f- Sa^xy² + a₃y³.

38)    Wyznaczyć dla formy dwójkowej, sześciennej, współzmiennik trzeciego stopnia w spółczynnikach i zmiennych tej formy.

39)    Wykazać, że współzmiennik formy :

u₂t=a₀x₁* -f- 4a₁x₁³x₂ 4    4a₃xtx₂³-j- aix₂i,

stopnia drugiego, ze względu na spółczynniki, a czwartego, ze względu na zmienne, przedstawia się w postaci :

(a₀«₂— ai²)x₁i-{-2 (a₀ a₃ — a,a₂) xx³ x₂ -j- (2axa₃ 4 a₀ a₄ — 3 a₂²) cq²x₂² 4-+ 2 (a^i— a₂a₃) XyX₂ ³ -j- (a₂a₄—a₃²):r₂⁴.

40)    Wykazać, że współzmiennik <P formy u₂⁶, kształtu:

u = C₀xl⁶+ Q Clxl⁵x₂ + C₂W + (3) C₃xx³ x₂³ +

+ (4) °i xi2 ł + (5) Chxvx₂⁵ 4 C₆x₂ 6,

ma spółczynniki :

(7U = a₀² a₄ —3a₀Oia₂ + 2at ³, Ot = ’/₆    4 6at ²a₂—9 a₀ ®2² + «0² «4))

C₂ = */₃    3«₀o₂ag 4" 2cą ²öö)j C3 = V₂ (®i² «4— ®o ²)j ó₄ = y₃( a₀o₃«₄ 4 3a,a₂a₄ 2a₄a₃²),

C5 *= Ve (—2aja₃a₄ — 6a₃²a₂ -f 9 ata₂² — a₄²a₀), (7₆ = 3a₂a₃a₄—ata₄² — 2a₃³.

41)    Jeżeli funkcya spółczynników (a₀,    am) danej formy czyni zadość wszyst"

kim warunkom niezmiennika, a tylko nie spełnia warunku jednego co do swej wagi: >. = y₂ ma , natenczas nazywamy taką funkcyę spółczynników p ó ł z mi enn i k ie m (semi-invaryantem) tej formy. Wykazać, że spółczynnik Cj (str. 382), z którego wszystkie inne spółczynniki współzmiennika T danej formy u₂m wyprowadzić możemy, zwany także źródłem współzmiennika, jest sam półzmiennikiem tej formy.

42)    Wykazać, że dwójkowa forma sześcienna, nie ma współzmiennika liniowego.

43)    Wykazać, że forma 5-go stopnia :

n₂ ⁶ = a₀ xt ⁵ -}- 5at xy ⁴ x₂ 4 10a₂Xy ³x₂ ² 410a₃Xy² x₂ ³ 4 ha%xx x₂ ⁴ -j- «4^2⁵ >

ma współzmiennik drugiego stopnia , kształtu:

(a₀a₄— 4ajö₃ 4 3àî*)a?₁î4- (a^ab—3 ata₄ + 2 a₂a₃) XyX₂ 4-(ai®s —4a₂a₄ 4' 3«₃²):r₂².

44)    Wykazać , że każda forma dwójkowa, rzędu nieparzystego, posiada współzmiennik stopnia drugiego, tak ze względu na spółczynniki, jak ze względu na zmienne tej formy.

45)    Wykazać, że forma dwójkowa, kwadratowa: u₂² = ÜQXy² -}-2a₁x₁x₂    a₂x₂², nie

posiada żadnego współzmiennika.

46) Wykazać, że hessyan formy dwójkowej sześciennej :

u₂³ = a₀ xt ³ 43«i xx²x₂-\-%a₂XiX₂²Ą-a₃x₂³,

jest jej współzmiennikiem.

47) Wykazać, że dla dowolnej funkcyi : F(x, y, z), suma:

zmienia się wskutek przekształcenia ortogonalnego tej funkcyi.

48) Wykazać, że przekształcenie ortogonalne funkcyi F(x, y, z), nie zmienia takie d²F . d²F . Ó²F ■

SUmy: äV’ + V ‘

Rozwiązania XXIII. Wskazówki zawarte są w wykładzie.

Literatura. Josef Carnoy. Cours d’algèbre supérieure. Louvain et Paris 1900. Dr. Józef Kniaź Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Tom I. Rozdział XI. Z teoryi form. Lwów, 1898.

Tematy do rozprawek naukowych.

*

1.    Określenie i własności niezmienników, ich sposoby wyznaczania.

2.    Określenie i własności współzmienników, ich sposoby wyznaczania i zastosowania.

3.    Niezmienniki i współzmienniki form dwójkowych.

Wykład XXIV.

Przekształcanie pochodnych i różniczek funkcyj jednej i dwu zmiennych.

1. Zamiana zmiennej niezależnej w funkcyi jednej zmiennej. Zamiana zmiennej niezależnej x w funkcyi: y—f(x) na zmienną niezależną na mocy przekształcenia: x=cp(t), wywołuje potrzebę przekształcenia pochodnych

. di d2y

dx ' dx²

funkcyi y—f{x) względem x, jako to

na

pochodne tej funkcyi

względem t, t. j.:

d²y

dt²

,...

Związek między nową pierwszą pochodną:^ a pierwotną: ^ określi się równością :

dy dy dx dt dx' dt

(1)

z której otrzymujemy wzór:

dy

dy

dt

y‘

dx dx

czyli: y—

(2)

dt

wyrażający pierwotną pochodną

dy

dx

=yx‘ przez nową:    i przez pochodną

dx

—=x\ a więc przez pierwsze pochodne zmiennych x i y względem nowej Cl t

zmiennej niezależnej t.

Stosując do powyższego wzoru prawidła różniczkowania, otrzymujemy

dalej :

dy

d²y d dx² dt

dt    Id jy‘\    1 x‘y"—y'xu

dx    x‘ dt \x'l    x‘

xt2

a więc wzór :

dx d²y dy d² x d²y dt ’ dt² dt ’ dt²

dx²

(dx\³

\dt

, czyli yx“ =

x‘y“— y'vc"

(3)

d²y dx²

y"x przez pochodne zmiennych æ i y

wyrażający drugą pochodną:

względem t, t. j. przez:

czyli : wzór :

Podobnie, otrzymamy, na mocy równości :

d³y d jx'yn—y‘xn\ dt 1 d jx'y"—y'x" dx?‘ dt l xri I dx x' dt

d³y    x'ix'y’“—y'x“‘)—(x‘y"—y‘x"). Sx"

dx³

Xth

xiZ

yxn

x/2. y¹“— Sx'x". y" -f [Sx

— x'xtn] y‘

x‘⁵

(4)

czyli :

dhy

/dx\² d³y dxd²x d²y T / ²x\2 \dt) '    dt2 + |/\ dt²)

dx d³x 1 dy dt dt³ dt

dxz

(dx\⁵

U;

(P)

y

wyrażający trzecią pochodną: ^-^=yxUi przez pochodne zmiennych x i y

(X Cu

względem zmiennej t.

Postępując w ten sposób dalej, otrzymamy analogiczne wzory dla pochodnych wyższych rzędów.

d y d² y

ci ^cc

— cos t,    — — ®in t, przeto :

2. Przykład. Wyznaczyć pochodnej i t jeżeli x=sin#. Mamy tu :

dhj

dy _    1 dy <Py

dx cos t ’ dt ’ dx¹

c°8(s7! + Sin< j-

dy . d²y .    „

⁰⁰³ * ~It' + 31n *di

dy

cos t

cos²1

cos³1

a więc :

sin t dy cos³1 ’ dt

₌ diy

cost ’ dt' dx² cos²£ dt2 3. Wzory w art. 1. podane, możemy otrzymać także na mocy prawideł

różniczkowania ilorazu :    uważając obie różniczki dy i dx, jako różniczki

CLX

dy 1 dy d²y 1

dx

zmienne. W ten sposób, otrzymamy wzory:

yx“' =

dy

yx“=

dx d²y — dy d²x

y'*⁼ dx

dx (dx d³y — dy d?,x) — 3 d²x(dx d²y— dy d²x)

dx³

dxb

, i t. d.

z których wynikają wzory w art. 1. podane, jeżeli liczniki i mianowniki otrzymanych wyrażeń różniczkowych podzielimy przez odpowiednie potęgi różniczki dt nowej zmiennej, niezależnej t.

zmienne

Zazwyczaj używa się wzorów, podanych w postaci (5), jeżeli obie x i y podane są, jako funkcye pewnej zmiennej niezależnej t,

a chodzi o wyznaczenie pochodnych :

dy <Py ' dx' dx

— 390 —

4. Przykład. Wyznaczyć pochodne:^ i , skoro: x = a(t—sinż)» y = «(l—cos t) gdzie t jest nową zmienną niezależną.

Otrzymujemy tu :

dx = a (1 — cos t) dt, dy = asintdt, d²x = a sin t .dt², d²y — a cos tdt²,

d²y __

dx² a(l — cos t)² ’

zatem :

dy

sin t

cos t

dx 1— cos t

5. Różniczkowanie funkcyi określonej równaniem : F(x, y)=0, za pośrednictwem nowej zmiennej t. Wprowadzenie nowej zmiennej niezależnej t, za pomocą podstawienia x — cp(t), sprawia, że funkcya y zmiennej niezależnej x, określona, bądź to w formie wyraźnej w postaci: y=f{x), bądź to w formie uwikłanej w postaci równania między zmiennemi x i y kształtu: F(x,y)=0, zostaje przedstawioną za pomocą dwu równań między zmiennemi x, y i nową zmienną t w postaci wyraźnej :

lub w postaci uwikłanej :

x=(p{t), y=ip(t),

&(x, t) = 0,    &(y, t)=0.

Ten sposób przedstawiania zależności między dwiema zmiennemi x i y za pośrednictwem trzeciej zmiennej t, upraszcza niekiedy rachunek, mający

dy d²y dx’ dx²’

na

celu wyznaczanie pochodnych

••• >

dn y

, przedstawiając je także

Cl OC

jako funkcye nowej zmiennej t.

Dla funkcyi wyraźnej: y=f(x), kładąc x=<p(t) i otrzymując wskutek tego y = ty(t), dostajemy, w miejsce wzorów:

/"(*), Jx^f,>> (*>»•••>

dy

i-™

d²y

następujące :

dx²

dyd²y^ cp‘(t)ip"{t)—ip\t)(p“{t) dx    <p\t) ’ dx²

m)r

d?,y ₌ [<p'(*)]²    y"(Q V(t) + {3[<p"(t)]²—(p\t) (p‘"(t)} ip\t).

W (*)]⁵

dx³

Mając wyznaczyć pochodne funkcyi y, określonej równaniem : F(x, y)=0 korzystamy, w myśl wskazówek, podanych w wykładzie XLVIII. Tom I. str. 370. i nast. z równań :

d²F

6 x²

dF ^ dF

dx

dx +

dy

dy=0

dx²+2

d²F

dx dy

z których , na podstawie prawideł różniczkowania, po przyjęciu x za zmienną niezależną, wyrazy d²x, d³x,... wypadają.

Z równań tych otrzymujemy wzory: dF

dy    dx d²y

dx    dF’ d x²

d²F/dF\²_₂dlŁ dF d²F/dF\2 dx²\dy) dx dy dx dy dy² \dx)

dy

(ÔÂŸ

\ày)

Kładąc natomiast x= (p{t), a otrzymując, na podstawie równania: F(x, y) = 0, odpowiednio y = yj(t), otrzymujemy pochodne funkcyi y względem x wyrażone przez zmienną t, według takich samych wzorów, jakie z zastąpienia funkcyi wyraźnej y=f(x) przez dwa równania: x=q>(t), y=ip{t) wypływają.

6. Uważając w równaniu F(x, y) = 0, zmienne x i y, jako funkcye

podstawie prawideł różniczkowania

zmiennej niezależnej t, otrzymujemy, na równania: F(x, y) =0, kolejno następujące wzory:

dF

-- dX-\-

dF

dx

dy

dy=0

d²F

dx²

dx²+ 2

d²F

dx dy

dxdy -f

d²I<

dy

a-dy*+

dF

dx

d²x -{

dF

dy

d²y=0,

d³F

dx³

dxzĄ- 3

d³F

dr² dy

dx²dy+ 8

d³F

da: dy

₂dx dy²-\-

d³F dy³

dy²-\- 3

d²F dx²

dx d²x +

dF

dF

d²F dxdy

Z wzorów tych możemy wyznaczyć pochodne funkcyi y względem x pod różnemi moźliwemi założeniami. W przypadku, gdy x jest zmienną niezależną, należy przyjąć d²x = 0 x rzędów wyższych nad pierwszy będą równe zeru,

W przypadku, gdy zmienna x, a tern samem zmienna y, zostały przyjęte, jako funkcye innej zmiennej t, należy powyższe równania podzielić przez odpowiednie potęgi różniczki dt zmiennych x i y względem zmiennej niezależnej t, a na tej podstawie pochodne zmiennej y względem x.

7. Przykłady. 1. Mając n. p. wyznaczyć pochodne funkcyi y względem x z równania : x -(- \Zilay—y² — a . arc cos -—- = 0,

(dx d²y + dy d²x)~f- 3

d²F

Wdydy+ dx

d³x-ł-

dy

d³y=0.

wtedy wszystkie różniczki zmiennej

otrzymuje się kolejno pochodne

'i

otrzymujemy za pomocą różniczkowania :

__U dy

\Ż2ay—y²

Następne różniczkowanie daje drugą pochodną w postaci:

y ■ Va (2ay—y²)~'/ł (2a- 2y) — y/2ay—y² dy

dx '

dx

d³y _

dx²

-°, a wiço ix

dy V 2 ay—y²

czyli :

^² y _ « (g — y)

cZa;²    y³.

Używając podstawienia:    = cos t, czyli: y =œ(l—cos ż), otrzymujemy z danego

« (« — y)

równania: x = a (f— sin #), a więc :

sin t

dy

\/2 ay—y² d²y

cos t

Æz²

a (1 — cos t)³

x² y²

2) Wyznaczyć pochodne funkcyi, określonej równaniem: -₂ -j- p —1—0, za pomocą

dx 1 — cos t

podstawienia x — a cos 9°, gdzie 9° jest nową zmienną, niezależną. Kładąc x= «cos 9% otrzymujemy z równania: y — &sin9P,

a więc : dx — — a sin 9° dT,

dy

dy —bcos TdT , zatem:

—— cotg <P ,

d9»

dx a² sin³ 9° ’

cZ³y    3& cos 90    (Z 9°_    3 b    cos 9°

a!#²    o²    ' sin*T    dx    a³    sin⁵?’’

dx²

a sin²9>

Różniczkując zaś wprost dane równanie, otrzymujemy: xdx

dy    b² x

w-⁰'zatem:

y dy _

dx²

b² , b² x dy a² y² dx

a²y

6*

a² y³

zatem :

dy

<2³iy 3&⁴ dy dx³ a²yi dx

36⁴    b^x    3&⁶x

a² a⁴ ’    aly    a⁴i/⁵ ’

3b cos <P a³ sin⁵ <P "

3Z>⁶

d³y

d²y__Z>⁴ _    _ ____

dx²    a²«/³    a²sin3|P ’ da?³ a⁴«/⁵

8. Zamiana zmiennej niezależnej na zależną i odwrotnie. Jeżeli we

dy , d² y ^

y, to otrzymamy: —=l,—₂ = 0,..., zatem

wzory, wyrażające pochodne zmiennej y względem x, przez pochodne zmiennej a: względem y, przedstawiają się w postaci:

d²x

dy²    d³y

dx³

Ö ! O-

to w

wzorach art. 1. położymy =

₌ 1

dx dx ’ dx²

dy

?(d^Y-

³ W)

dx dzx

dy

/da;\⁵

VW

dy dyz

(6)

d²x

dx

„ dzx dy² ^ ’ dy³

1 d³y Sx'¹²—a;'#'" a:'³ ' ^

Powyższe wzory możemy otrzymać także bezpośrednio z wzoru:

czyli, gdy położymy:

dy

=x‘

dy 1 d²y dx xdx²

dy

da; dx

dy

xu< w postaci :

dxz

x'b

(6')

stosując prawidła różniczkowania ; otrzymujemy tedy :

d²x

d²y _    dy²    dy    dy²    1 _

dx² /dx\² ’ dx    /dx\²    dx /dx\

\dy)    \dy)    dy \dy)

/d²x\² dx dzx dy Idy²/ dy dy³

d²a;

d²#

dy

d³y d da;³ dx

d²x

di?

d²x dy²

id?]³) dy[ /dx\3 ldy)    \dy)

dx

(dx\b

\dy)

Z wzorów tych wypadnie korzystać, gdy mamy wyrażenie, podane w pochodnych zmiennej y, przekształcić na wyrażenie w pochodnych zmiennej x.

h + GD?

9. Przykład. Przekształcić wzór: p==

d*y

, uważając y za zmienną nie-

dx²

zależną.

Jlamy tu: g = g

dy

1    <T²a:

/dx\³ ' dy¹’

W

, zatem :

[>+(in

<Ź²a;

¥²

10. Zamiana obu zmiennych zależnej i niezależnej w funkcyi Jednej zmiennej. Jeżeli do funkcyi y—f(x), zastosujemy podstawienia:

x=(p (w, u), y=ip(u, V),

natenczas otrzymamy :

dx

d(p

dg)

du

⁰*du₊f-dv, du dv ’

przeto :

dy

du-\-

dtp

dv

dv

dx

8*1 «

du-j- ^ dv

dv

Uważając u jako zmienną niezależną mamy pierwszą pochodną ^

v jako zmienną zależną, otrzy-

dx

, w postaci:

dtp dtp dv dy du' dv ’ du

dx dtp

du

su

(70

skąd otrzymujemy drugą pochodną na podstawie wzoru:

d²y d

dx² du

dtp • dtp dv ' dv ' du

du

I—*■

dtp dv dv ’ du

dg)

dv

a,

dg)

du

du

du

i 'S

dv

(8)

du

a podobnież postępując i dalsze pochodne.

za pomocą podstawienia: a: = rcos©₎

dxi d

11. Przykład. Przekształcić pochodne ^ i y = rsin?, uważając © jako nową zmienną, niezależną:

Otrzymujemy tu :

dx'= — rsin <p do -f- coso dr, dy=rcos © do + sin<p<Zr,

a stąd :

dy sin © dr -f- rcos © do dx cos © di— r sin <p do

sin <P .

cos <P

%+

r cos <P

dr

. — — r sm 9 d<P

d y .= d ) dx² do j

\ sin 9 ~ -j- r cos ? \

do

dv*

dr    .    [ ' dx (

l 003 y^ — ''sm ^ )    \

dr .    \³

cos © ---r sm <f I

T d<P    )

12. Zamiana zmiennych niezależnych w funkcyi dwu zmiennych. Niech będzie daną funkcya z dwu zmiennych niezależnych x i y, w postaci: z=f(x, y). Zastąpmy zmienne x i y przez nowe zmienne « i » za pomocą podstawień: x=g>(u, v), y — tp(u, v), natenczas należy także wyrazić pochodne

₂, i t. p., przez zmienne u i v i przez

,, dz dz d² z d² z    d² z

cząstkowe : — , -, -₂, —, -

pochodne cząstkowe:

d² z d²z d²z . du² ’ du dv ’ dv²

Według założenia jest zmienna z funkcyą dwu zmiennych x i y, które są funkcyami nowych zmiennych niezależnych u i v, zmienna z staje się wobec tego funkcyą złożoną tych dwu nowjmh zmiennych « i ».

Uważając zmienną z jako funkcyę dwu zmiennych x i y, otrzymujemy różniczkę jej zupełną :

dz

dz=— .dx+

dz

dx

dy'

dy,

a że zmienne a: i y są funkcyami zmiennych u i v, przeto będą one miały także swoje różniczki zupełne kształtu:

d z dx , dx ₇ \ d z (dy ₇ . dy , \ =— — du + — dv\+ — (-^ du + dv\ dx \du dv ) dy \du dv )

dz

czyli :

dx

dx

dy

dy dv.

dx=— du + — dv, dy=~ du + _ du dv ’ du dv

Wobec tego przedstawi się różniczka zupełna zmiennej z w postaci:

d z dx dz dy dx dvn dy dv

Uważając jednak zmienną z wprost, jako funkcyę zmiennych u i v, dostajemy odnośną różniczkę zupełną w postaci :

dz

de dx₊ dz dy dx du ‘ dy du

(9)

dz

dz=~ du + — dv.

du

dv

(10)

Z porównania tego wzoru z poprzedzającym wypływają przeto wzory:

(H)

du

dz dJ dz dl dz₌₌dz dx₊dz dl

dx du' dy du’ dv dx dv dy dv'

określające prawidła tworzenia pochodnych cząstkowych funkcyi złożonej, które możemy w ten sposób wysłowić :

Pochodną cząstkową funkcyi : z=f(x, y), zc względu na pewną zmienną , niezależną u, otrzymujemy, dodając iloczyny pochodnych cząstkowych tej funkcyi względem zmiennych x i y, przez pochodne cząstkowe tychże zmiennych względem zmiennej niezależnej u.

Na tej podstawie otrzymamy drugie pochodne cząstkowe zmiennej z, ze względu na zmienne u i v, w postaci :

d²z    td²z dx d²z dy\ dx dz d²x / d²z dx d²z

u²    Ida;² du dxdy du) du'dx du²~^ \ dxdy dudy²

d²z /d²z dx^ d²z \ dx dz d²x dudv \dx² dv ' dxdy

du^ dx

a.

d²z

dv²

/d² z dx d²z dy\ dx dz d²x \dx² du^ dxdy du) dv~^~ dx dv²

(.

d²z dx d²z dxdy dv~ dy2 d²z dx d

— T⁻ "T T

SI*

czyli :

d² z d²z/dx\2 du² dx²\du)

dy d z d²y du dy du dy₊ dz d²y du~ dy dudv

d²y

„.2 >

dy

dv) d v

d²z dx dy d²z tdy\² dz d²x , dz d²y dxdy du du' dy² \du)

dx du² dy du²¹

(12)

d²z __d²z dx dx    d²z /dx dy    dx dy\    d²zdydy    dz d²x    dz d²y

dudv dx² du dv    dxdy\du dv    dv du)    dy²dudvdxdudv^~    dy dudv’

d²z dx dy d²z (dy\² dzd²x dz d²y dxdy dv dv dy² \d*J dx dv² dy dv²'

d²z d²\z /dx\2 dv² dx² \dv/

zmien

W podobny sposób możemy obrachowaó wszystkie pochodne cząstkowe trzeciego i wyższych rzędów danej funkcyi z, odniesione do nowych nych u i v.

Za pośrednictwem równań (11), które są stopnia pierwszego ze względu

na

dz . dz    j dz . dz    dz

pochodne — i — możemy wyrazie pochodne — i — przez pochodne — dx dy    dx ôy    d u

i znając pochodne cząstkowe zmiennych x i y, jako funkeye nowych

zmiennych u i v.

B95

dz . dz

- i — otrzymane, w równania oje oy

(12), możemy, za pośrednictwem tych równam, wyrazić drugie pochodne

d²z d²z d²z dz dz du²’ âudv’ dv²’ du' dv

Wprowadziwszy następnie wartości na

cząstkowe:

d²z d²z d²z

przez pochodne :

rzędu.

dx²¹ dxdy ’ dy²

Podobnie postąpić wypadnie przy pochodnych cząstkowych wyższego

IB. Przykład. Przekształcić pochodne cząstkowe funkcyi z=f(x, y), za pomocą podstawienia: x — r cos 9°, y = rsin<P, uważając r i r, jako zmienne niezależne.

Mamy tu:

a że :

dx

dz ₌ dz djc dz dy dz _d_z d_x dz dr dx dr dy dr' d<P dx dr' d y dx

— ==—r sin r , „ dr    ¹ dr

dy

— == cos r, ~ = sin r ; dr    dr

dy

= r cos r ,

zatem otrzymujemy :

dz

— = COS <P

-f- sin r —

dz

dy’ d<P

= — r sin r -—\- r cos r — dx

dy’

(o)

skąd, ze względu na to , że :

cos r , sin r —r sin 9°, r cos r

— r , dostajemy : ~ = —

sin <P

cos r, — or

— , rcos 9° dr

—r sin r,

dz

dr

czyli :

d z sin r d z d z

— = COS V

dx

dr

dr' d y

dz

— = sm r -—b

dr

cos r d z r dr

Z równań (o) otrzymujemy drugie pochodne cząstkowe w postaci: d² z dr²

d^z

dr dr

/ d*z . d*z

⁼ lC0S9,^+ Sln9>

d² z

i^+sinv

dx dy

)rr (

cos 9°

dx dy

d²z

dx dy/ d r

(    diz    d*z

= ( — r sin 9° —j -b r cos 9°

COS V

dx dy

-b sin 9°

d V\ dy

dy'¹/ d 9°

-A — sin r -—|- cos r— = dx    dy

)- + (

dxdy / dr \

dz

— sin r -—b cos V j

d² z

—r sin r ----- 4- r cos r dx dy

d² z \ dy ) dr

dy

„i

d²«

dr²

-(

d² z

— r sin r —j ~b r cos r

d*z

)-+(-

dx dy/ dy \

r sin r

d² z dx dy

-b rcos r

d²2\ dy

dy'¹) dr

— rcos 9° ---rsin9(> — ,

dx    dy

czyli wzory :

d² z

d² z

— = cos² 9» -b 2 sin rcos r

d²z

dx dy

d² z

d²z

d² z

dr dr

r sin r cos <p    -b r

(cOS²9° —

sin²

dx dy

-b r sin 9° cos r

d²z dy²

— sin

-b cos r —

dy’

d² z

r² sin² 9» —₂ — 2 r² sin r cos 9»

d²z

.    •>    9    àz . dz

■br²cos²9f> —,2 — rcos9® — — r sm r — ,

dx dy

wyrażające pochodne cząstkowe funkcyi z względem zmiennych r i r przez pochodne względem zmiennych x i y.

d9p2

Korzystając z wzorów (b), dostajemy:

d²z

= cos ² 9° j ~b 2 sin T⁵ cos 9p

d²«

dr²

d² «

dx dy

b sinV

dy² ’

d²z

dr d<P

= — r sin <P cos V

d²z

dx²

+ r(cos²9p— sin² 9»)

d²z

d² z d<P²

ft* z

= r² sin² V —■=—2r² sin f cos 9°

d²z

dx²

dx dy

.    d²z 1 dz

-j- r sm 9° cos 9f> —, -I--— ,

n    dy²^ r d 9P ’

■f- r²cos²9® ? — r dy²

dx dy

skąd , ze względu na to , że :

cos² V,

2 sin 9° cos 9», sin² 9°

—rsin 9° cos 9°, r(cos²9°— sin²^), r sin 9° cos 9? =r3 —2r² sin 9° cos 9°, r² cos² 9°

cos² 9»,

r²sin² 9°,

2 sin 9° cos —sin <P cos <f , cos²9s—sin²^ , 0 = rł, sin² 9°,

—2 sin 9° cos 9», 1

otrzymujemy :

d²z_ 1 dx² r³

d²z dr2 à²z    1 dz

dr d<P    r d<P ’

d²z , dz d<p²' dr’

2 sin V cos 9°,

sin²9P

r(cos²9»—sin²9°), r sin 9° cos 9°

— 2r² sin?> cos V , r²cos2cP

d² z    1

dx dy r³

d²z dr² ’

d²z    1 dz

—r sm 9° cos 9°, -— ---—

dr d<P    r d <P

cos² 9s,

sin²9°

rsin 9» cos 9°

r² sin² 9°,

d²z

d<P²

+ rTr'

r² cos² V

d²z 1 dy² r³

d² z dr2 d² z

— rsin 9°cos 9°, r(cos²9» — sin²9®),    —

d²z .

d<P² ~ dr

cos²9» ,

r²sin² 9°,

2 sin 9P cos V ,

—2r² sin f cos T ,

1 dz

r dcp

dz

czyli :

d² z

-—₇. —COS² <P d x²

d²z

dx dy

d²z

dy²

= sin²9P

2sin9°cos 9° dz d 9P ’

d²z 2sin9Pcos9P d² z    sin² 9° d² z    sin² 9f>d z

dr d9P r² d9»2_^” r dr

cos² 9° —sin²9» d²z sin 9° cos 9» dr d9°

cos² 9P — sin²9P d z d> ’

cos² 9° d² z . cos² 9° d z r² d9°²

dr²

r²

sin 9° cos 9⁰

d²z

d7*

sin 9° cos 9» d z

r²

d² z

d r²

2sin9pcos9P d²z dr d9°

r²

d² z d 9P²

2 sin 9s cos <P dz

r dr

r²

d 9P’

a więc wzory, które wyrażają drugie pochodne cząstkowe funkoyi z względem zmiennych x i y przez pochodne tej funkcyi względem r i <P.

Do otrzymanych wyników, możemy dojść wprost z równań 6). Otrzymujemy wtedy :

d²z dr d²z d 9E>\ sin <P ( à'¹ z dr . d² z d 9° d r² dx dr d<P dx) r V

d² z

^ = c°s*

drd<Pdx d<f²dx

)~

sin V

d9° d z dx dr

-M

r cos V

d²z

dxdy

= COS <P

/d²2 dr d²z d9p\ \d r² dy' dr d<P d y'

~V² (

r cos 9°

d 9P . d r\

ïi-amVôx)

sin9° / d² z dr d²z d<P dr d<P dy'd<P² d y dr\ d z

sm9«i> ■

d<p’

ai a

d<P ’

d<P dz — sm y — — d y dr

dy²

^ ₍ cos 9° ( d²z d r ! d² z d 9^ t ) r 'drdf dy d<p² d y) ' , 1 /    . d <P    dr\ d z

^ r² V    d y    dy/ dT¹

d² z d r . d²z d <P

dr² dy dr dtp d y

d <P d z , cos 9° -— -—r d y dr

skąd, ze względu na to, że: r =\Zxi-\-y²₁ 7’= arc tg —

x

dv

=sin V,

sin f d<p

dy

d* z ó² z d^z drugie pochodne cząstkowe: —a, — , —

. ô r    x    dr

a więc: — =— = cosrP, — dx    r    à y

= ^-=

°, otrzymujemy wzory powyżej wyprowadzone, wyrażające r

, i d⁷z d^z d^z . dz przez pochodne :    , a—, ^-,1-,

() 2

14. Różniczkowani© funkcyi, określonej równaniem: F(x, y, z) — 0.

Różniczkując dane równanie podług wszystkich trzech zmiennych x, y, z, otrzymujemy różniczkę zupełną:

dF dF dF —— ax-\-    m/ + -r— az=0.

da; ^ dy J d2

Dwie zmienne możemy tu obrać, jako zmienne niezależne, a trzecią, jako

zmienną zależną, będącą ich funkcyą. Uważając z, jako funkcyę zmiennych

x i y, mieć będziemy :

(13)

dz=

Ol! Cl-

dz

dx-\- — dy.

dy

7i równania (13) wypływa atoli:

dF

dF

dx

dz= — dx

dy

dF

dFdy'

dz

dz

d z . d z

stąd wynikają pochodne cząstkowe: — i —

dx d z

dx~ dF' dy dF'

w postaci :

dF

dF

dy

(14)

dz

dz

Do tych wzorów dochodzimy z równania danego także w ten sposób, że różniczkujemy równanie cząstkowo raz podług x, drugi raz podług y, otrzymujemy tedy dwa równania następujące:

dF dFdz dxdz dx

„o d-l+dJ-d—=0

’ dy⁺ de dy ’

Ô Z Ô z

z których otrzymujemy pochodne cząstkowe: — i— w formie (14).

Różniczkując równania (15) cząstkowo podług x, lub y, otrzymujemy trzy równania w postaci :

d^F d²F d z dx² dx dz dx d²F d²F dz dxdydy dz dx d²F d²F dz

•-—4— ——— -4-

dy² dydz dy

z których możemy wyznaczyć trzy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

^-4,    ^-4 zmiennej z, uważanej za funkcyę zmiennych niezależnych

dx²' dxdy' dyz

x i y, określoną równaniem : F(æ, y, z) =0.

T d²F d²F dzA dz dF d²z__^ [d.rd;?^ dz² dx J dx^~ d z dx² ’

(15)

ł-

d²F . d²Fdz'\ dz dF d²z dz dxdy

h de dy² ’

dxdz ' d0²dæ] dy d²F d²Fd z~\ dz dz² dy\

dydz

dy

(16)

Z dalszego różniczkowania równań (16) wypływają równania na wyznaczenie pochodnych cząstkowych trzeciego , a następnie wyższych rzędów.

15. Zastępując w równaniu: F(x, y, z)—0, zmienne niezależne x i y przez nowe zmienne u i v za pomocą podstawień: x=f(u, v), y=y(u: v), otrzymujemy, z danego równania: z=y(u, v), a więc trzy równania:

*=/(«, *0, y=<p(u, v), 0=y{u, v)

zastępujące równanie : F'(x, y, z) — 0.

Na podstawie tych równań otrzymujemy pochodne cząstkowe funkcyi z względem x i y, jak następuje.

Przede wszy stkiem otrzymujemy:

df

dx= duĄ- ^    , dy= du + ^ dv , dz=^ dw-f- ~ dv,

dw dv    du dv    du dv

df

a że :

dz= —

d#-h — dy

dy

zatem spełniać się musi równanie :

dy

-du-j-

dy

dv

₇ de (df . , df ₇\ (d(p , dy , \ dt>= —- Ur ^ dv + - ( —- dw-f dv ) dx\du dv ) \du dv )

czyli :

dy dz df d z d œl _

x--x x--3- I du +

du dx du dy d u\

dv=0

dy d z df dz d y dv dx dv dy dv

z którego, wobec tego, że zmienne u i v są niezależne, zatem du i dv dowolne, wypływają dwa równania w postaci:

dz+dy dz dy df dz dy dz

dx dudy du’ dvdx^ dvdy~

• ' «

Z równań tych otrzymujemy pochodne cząstkowe

dy dy I du ’ du'

dy    dy    dy dy    dydy

df d_y dv’ dv

(17)

dx

df dy du ’ du

df d y dv’ dv df dy du ’ du df djv dv ’ d v

O,

w postaci:

df dy df dy

du dv dv du df dy dfdy' du dv dv du

Różniczkując równania (17) cząstkowo podług u i v możemy podobnie otrzymać dalsze pochodne funkcyi z względem x i y, wyrażone przez u i v.

16. Przykład. Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcyi z, określonej równaniem:

*!₊t’₊i²₌₁

a²^ Z>²^ c²

Mamy tu :

zatem pierwsze pochodne cząstkowe zmiennej z względem x i y w postaci :

c² x

ô z c² y a² z’ dy ' b² z'

Stąd znajdujemy drugie pochodne cząstkowe w postaci :

d² z

’ dy² . b²z

d² z dx²

c² ii i c2*²\ l a² z²/

dx

c²

{*+*£}

<)²Z

c²xy a²b²z³

i t. d.

. V-

Dane równenie możemy w najrozmaitszy sposob zastąpić trzema równaniami kształtu: a; =/(?«, v), y = y> (u, v), z —ty (u, v).

Kładąc n. p. x—ac,osu, y — 6 cos«;, otrzymujemy z danego równania:

z — c \/l — cos ²« —

cos*«;

więc trzy równania :

x = acosu, y—bcosv

z — c\/l — cos²« — cos²v ,

o dwu zmiennych niezależnych u i v, zastępujące dane równanie o dwu zmiennych niezależnych x i y. Możemy teraz wyznaczyć pochodne cząstkowe : ^ przez zmienne « i v.

W tym celu otrzymujemy przedewszystkiem :

dx

= — a sin u

du

c . cos « sin «

Y/l—cos²«—cos²«; ' ^ v

^⁼⁰’ Z=⁰’ sf“-⁴⁸“”’

c . cos v sin v \/l—cos ²«—cos²«;

zatem :

dx

mujemy :

dz

C .COS V

a\/1—cos²«—cos²«/    b\/1—cos²«—cos²«;

C. COS M

Różniczkując otrzymane pochodne pierwszego rzędu cząstkowo podług « i v, otrzy

d² z dx dx² d u

d² z d x dx² d v

d² z dx dx dy à v

d² z dy __ c sinw(l—cos²«;) dx dy du    —cos⁸« — cos⁸«;^²

d²z dy dx dy dv

d² z dy dy² dv

c cos « cos«; sin v

a (1 — cos⁸ « — cos² v)³l* c sin«;(1—cos²«) 6(1 — cos²« — cos²«;)³^

a stąd pochodne cząstkowe drugiego rzędu zmiennej z względem x i y, wyrażą się przez zmienne « i v w postaci wzorów : d² z

1—cos²«;

d²z

c cos « cos«;

dx*

a'² (1—cos²«—cos²v)³l^, àxdy d² z

ab (1—cos²«— cos²«;)^²¹

1 — cos²« dy² b² ^—cos²«—cos²’

które przez wprowadzenie zmiennych x, y i z w miejsce zmiennych « i v przybierają postacie powyżej podane.

17. Zamiana wszystkich zmiennych w fnnkcyi dwu zmiennych niezależnych. Niech będzie daną funkcya z zmiennych x i y, podana w formie wyraźnej, lub określona równaniem kształtu: F(x, y, z) = 0.

Połóżmy x=f(u, v, w), y = cp(u, v, w), z=tf){u, v, w), uważając dwie zmienne u, v, jako nowe zmienne niezależne, a cztery pozostałe zmienne x, y, z, w, jako ich funkcye , natenczas pierwsze pochodne cząstkowe zmiennej z₁ będącej funkcyą zmiennych x i y, odniesione do nowych zmiennych niezależnych u i v, będą określone wzorami :

dl₌ dJ d*₊ dldË. dA= dA dA+ dA

du dx du dy du⁷ dv dx dv dy dv Na podstawie tych wzorów, otrzymamy drugie pochodne cząstkowe funkcyi z względem zmiennych u i v w postaci:

d²z dx dy d²z/dy\² dz d²x dz d²y dxdy du du* dy²\du)    dx du² dy du

(18)

cr

d²z d²z du² dx²

d²z    d²z dx dx d²z /dx dy dx

du dv 'dx² du dv ^ dx dy l du dv dv

a» Cl;

2’

et -

dz d²x

du dv dx du dv

« I s'

d²y

CU

to

Ił

CU

<s

to

Cut Cu 5^ ) w

to Ił

â'IS'

bO

to

ił

ns Ins

« i »

ns Ins

-h

Cu Cu

CsJ to to Ił

to

cu

<s

Cu| Cu H I ił

Cu) Cu 'S I .to

IO

Cut Cu

Cs£ I Ił

Cu

cu

CD

W równania te należy wstawić wartości pochodnych cząstkowych zmiennych x, y, odniesione do nowych zmiennych w, v, jako to:

a) pierwsze pochodne cząstkowe:

Si8 ^1» ^ I ns ns

8 ! 8 n> ns

^ ^1 § ^ I ns ns I ns

§ I » n> I n>

■«'I« SIS

CU I Cu

S 'S

Cu| Cu

<S l*Q

'S I * ^

8 I ^    §15»

^ Ins

S'! § at a

ns ns ^ ns Ins

Cul Cu

Cu) Cu 'S

S I ^ ns ln>

%|/| 3*18

ns I ns,

§ I »

ns ns

tc

b) drugie pochodne cząstkowe:

d²x d²/^^ d²/ dw ^ d² f du² dw² dw dw d u dw2 d²y d²(p d u² d w2 d² z__ d²ip du²    dw²

d²#    d²/’    d²/'    dw

dw dy du dv~ dv dw du dudw dv d²y    d²cp    d²<jp    dw    d²<p    dw ^    d² (pdw dw    d <jp d²w

dw dv    du dv    dvdiv    du '    dudw    dv    dw²dudv

d²z    d²ip    d²ip    dw    d²ip    dw    d²ipdivdw    dip d²w

du dv du dv dv div du du dw dv dw² du dv dw du dv

d²x d² f d²f dw d²f /dw\² df d²w dv² dv²^~ dvdw dv dw²\dyJ dw dv2 d²y d²cp d² y dw d²cp /dw\² d (p d²w dv² dv²~^~ dvdw d v^ div²\dv) ^ dw dv2 d²z d²ip d²ip w d²ip /dw\² dip d²w dv² dv²^~ dvdw dv^ dw²\dv) dw dv²

I Cu

² df d²w dw du² ’

d²(p dw d²(p (dw\² t dq> dhv dudw du dw² \du) d²ip div t d²ip dudw du

dw du² ’

dw²

CU I CU

² dip d²w ⁺ diV d!?’

d²f dw d²f dw dw .df d²w

² du d v^dw du dv

Cu

d iv du dv

(21)

na

a otrzymamy równania, z których możemy wyznaczyć pochodne cząstkowe

, j    .    ,    . dz dz d²z d²z d²z

zmiennej z względem zmiennych * i y t. j. -,    ^ ,    ,

za pomocą pochodnych nowej zmiennej w względem zmiennych u i v, t. j. za po-

cu

mocą :

dw dw d²w dw’ dy’ dw²

d²w d²w dy²‘

du dv

W szczególności, wstawiając wartości (20) w równania (18), otrzymujemy następujące dwa równania:

CU| a,

s §?

Cu] Cu CU I § 1"*»

Cu) CU 'S I §

Cut Cu H I is»

cut Cu

«I H

ns ln>

Cut Cu

es I'«

+

Cu I Cu CU I ^

S s l'Q

cut CU

SS I S

Cut CU

ISŁ

CU I ^ §S

Cu; Cu ; la

CU Cu

cut CU

cu

Cu CU o « §

cc

71

z których dostajemy:

dz

dtp dcp dtp dcp du dv dv du

dtp dtp dtp dcp d w dv dv dw

dtp d(p dtp dq>\ dw du dw div d u) dv

dx

ai

d f dcp du dv df dtp du dv

df dcp dv du df dtp dv du

)⁺(

df dtp dw dv df dtp dw dv

0*1 §

IrO

g

'"O ^5

d f dtp d v dw

4-

d/ dtp du dw

df dtp dw du df dtp div du

dw ’ dû (23)

dw

df dtp dfdcp du dv dv du

df dtp _ df djp dw dv dv div

)s +

dw

d/ dcp_df dcp\

du dw div du) dv

wzory, wyrażające pochodne cząstkowe: — i

przez nowe :

. dw dv

Podobnie , podsta wiając wartości (21) w równania (19), dostajemy trzy równania, z których otrzymujemy wzory, wyrażające pochodne cząstkowe

d²tc d²iv

d²z    d² z    d²z

drugiego rzędu : —t,

₂, przez nowe :

du²

du dv

d²w

dvr

dz dz

18. Przykład. Wyrazić pochodne cząstkowe: ^ i funkcyi : 0 = /(x, y), na mocy podstawienia ;

x — r cosy, y = rsinysiny, z = r sin y cosy, dr d r

pomocą pochodnych cząstkowych: — i — , uważając r, jako funkcyę zmiennych niezależnych y i y.

Mamy tu :

za

— = cos y ---r sin y,

dy    ’

dx

dy

d w / . dr - — ( sin y — d V dy

= (sin y

— = cos y

dy

4- r cos y ) sin y , ^ = (sin y *

s 4- »* cos y ) cos y, - = ( dy ¹    /    ’ d \

dy ’

dy

4- r cos y) sin y,

cosy — —

dy

r sin y ^ sin y.

Na wyznaczenie związku między pochodnemi cząstkowemi :    i ^ 5 a nowemi po-

d r dr

) , —, otrzymujemy zatem, na podstawie równań;

chodnemi cząstkowemi : —

d2 d« di da: dy dy

s.

d z d z dy ’ da;

d 2 d y dz ^dy dÿ ~ dÿ ’

dwa równania następujące;

cos y —

dy

— r sin y)

d a;

sin y —

1    \ . , oz

.    4- r cos y I sin y .

dy ¹    /

dy

= (sin y ^ -j- r cos y)

cosy

d z    (    Or    \

cos y — .T—f- I sin y — + r cos V’ I dy dx    V    dy ¹    /

siny.

d r    \

cos y ---r sin y I sin y ,

dy    /    ’

z których dostajemy:

sin² y — r sin y cos y

sin y cos y cos y ---sin y — — r sin² y cos y

dy

dy

— sin y cos y sin y ---cos y — + r sin² y sin y

dy    dy ¹

() w

dr

sin y cos y cos y ---sin y

dy

-€•1 ^

— r sin² y cos y

czyli :

siny

d (r sin y)

dr

sin y sin y

d (r cos <P)

dy

}- cos V» —

■ dy

da;

sin y cos y

d (r cos y)

dy

siny —

dy

() y

sin y cos y

d (r cos y)

dy

sin y

dr'

dy

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

2G

19. Przekształcanie całek podwójnych. Jeżeli w całce podwójnej, kształtu: Jff(x, y)dxdy, chcemy wprowadzić nowe zmienne u, v, na mocy podsta-

wierna :

x=<p(u, v), y=ty(u, v), wówczas nie możemy różniczek dc i dy pierwotnych zmiennych, niezależnych x i y, zastąpić wprost przez różniczki nowych zmiennych, niezależnych u, v, na podstawie wzorów:

dx=—    dy=^~ du dv.

du dv    du dv

Skoro bowiem zmienne x i y są niezależne, to wartość różniczki jednej zmiennej, n. p. dx, nie może być zależną od wartości różniczki drugiej zmiennej, t. j. dy, coby nastąpiło, gdyby się wprost korzystało z powyższych dwu równań.

Zmienna niezależna x zmienia się także, gdy druga zmienna niezależna pozostaje stałą. Musimy zatem, chcąc dx wyrazić przez du, przyjąć dy — 0, a nawzajem , chcąc wyrazić dy przez dv, musimy przyjąć dx=0. Otrzymujemy zatem, na wyznaczenie dx dwa równania następujące:

, dx , dx ₇    ^ dy ₇ dy ,

dv

dx=— duĄ- — dv, 0=~ du+--dv, du dv    du

a stąd dostajemy:

dy

dv — — — du

du

zatem :

dy

dv

dx

dx dy dx dy du dv dv du

du.

Z wzoru tego wynika, że, gdy dx = 0, wówczas jest także: du=0, dydv.

zatem dy— ^

• dv

Wobec tego iloczyn dxdy przedstawia się w postaci:

dx dy dx dy du dv dv du

zatem dana całka podwójna otrzymuje kształt:

dx dy=^

dudv

czyli :

J Jy) dxdy~^f (tp, i/i) f

d#

dv

w\*

dudv

d<p di/i dgp di/i

dw du dii dw

du dv.

(24)

20. Przykłady. 1) Przekształcić całkę podwójną, kształtu: ffxm yn dx dy, za pomocą podstawienia:    x—u( 1—v),y = uv.

Otrzymujemy tu :

zatem , na wyznaczenie dx, równania :

dx c= (1—v) du—udv , dy=v du -f- ndv,

=(1—v) du—udv, 0 = v du -f- u dv,

z których otrzymujemy :

dx = (1— v) du -J- vdu — du,

czyli: dx — du, a więc: dy = udv, zatem: dxdy—ududr, Dana całka podwójna sprowadza się zatem do postaci :

ffxm yn dx dy —Jfum ( 1 — v)m un vn . u du dr,

czyli ;

ffxm yndx dy —JJum + n+1 (1 -v)mrn du dr.

— 403 —

2) Jaką postać otrzymuje całka podwójna: JT/(aJ, y)dxdy, gdy w niej podstawimy: a; = rcos9⁵, y = rsin9P, uważając r i 9P, jako nowe zmienne niezależne.

Mamy tu: dx — cos <¥ dr—rsinyrfy, dy = sin <p dr -\- r cos V d<P, zatem, gdy zmienne a: i y występują w danej całce podwójnej, jako zmienne niezależne, otrzymujemy, na wyznaczenie dx, równania :

a stąd :

dx= cos <P dr — r sin <Pd<P ,    0 = sin <P dr Ą-r cos <PdV r

sin <P

dy>

r cos cp

dr,

a więc :

zatem : wobec czego :

sin² 9» cos 9°

dxdy — r dr d<P, fff y) dx dy = Cff (r cos 9°, r sin 9°) r eZr df.

dx — cos y (Zr -j-

dr —

cos 9P

dr , dy — r sos <P d<P ,

Ćwiczenia XXIV.

1) Jeżeli związek między zmiennemi x i y, określony jest za pomocą równań aj = cp (/), y='\(t), gdzie ł jest zmienną niezależną, wykazać, że wówczas:

dy __ 'Y (t). d² y _ <p‘(t), «!>"(<) — y" (t). <[>'(*) dx (f) ł cüaj²

[?'(0]³

dli _ [?'(0]²-ł'''(*)-3 ?'(*)•?'' (0ł" (0+

<iaj³

[?'(*)?

Wykazać, że : 2) gdy * = y,

3)    „ x — el

4)    ,, a; = sin t,

natenczas : x*X+2*t-ttÿ»

”    x’ B+ “ B” lf> + (a ~l) % ' (a d0W0l"e)-

d²y dy d²y dx² * (Z Z²‘

5)    „ a: = cos Z,

(I-*²)

\diy

\-dx²

a; cZy“| 1—x²    1 <Z²y

-a;² cZaJ y    y    dt²’

6)    „ x— */₂ a(e⁽ — e—t), natenczas : (a² -f- æ²) -f ³⁵ ^ ⁼ ^dt²’

d'y , ~

dx²

7)    „ a-f æ = e<, natenczas : (a + *)³

8)    „ x-\-\/ï-]-x² = e<, natenczas:

d'y dx³

-f8 (a+aj)²

+ («+*) 3- =

eZæ

aj

9) „

Vï+x²

x = a sin Z , natenczas : (a²— a:²) %Ą. — x ~ = %-*

dx² dx dt²

Przekształcić następujące równania różniczkowe : ô/ xi    du

10)    as²    Ax    By = 0 , za pomocą podstawienia⁻ x = eł.

✓72 u    //i /

11)    (1—a5ł)^j —a: -^--j-w²y = 0, za pomocą podstawienia x — cost.

¹²⁾ *’S + 2a;<l⁺B = 0’ z-p- P-*-T

d³y dx³

d²y

+ 3*² ^2 + (a + !)^ ^-2/⁼⁼°J Zl P- P-

¹⁴)    «î/=°; *-«'• ¹⁶) ²*B + 2=⁰ >*=’/> c

¹⁶>B-42+^ *’=*'•

13) a;³

dy

¹⁷>    Z+ï^»-* —

dy

elt— 1

e²‘ + ï

18) Wykazać, że wzór: p =

Ml)’]

dh)

dx²

, wskutek podstawienia x — ę(t) sprowadza

się do postaci : p

[©+(£)’]

dx d²y dy d²x dt dt² dt dt²

y    / ^i/\ ^ dy

19) Wykazać, że równanie różniczkowe:    J —^ = 0, wskutek przemiany

zmiennej zależnej y na zmienną niezależną, sprowadza się do postaci :

= 0.

d²x *(dx\l .

“’ïy+ldyl -¹

Wyprowadzić postacie, jakie, wskutek zmiany zmiennej zależnej y na zmienną niezależną, otrzymują następujące równania różniczkowe:

*(ï) + ’(ïî=°-22) Przekształcić równanie różniczkowe :

(x + y—6) ~ -\-(x +y -f 6) = 0, kładąc * = # + <, y = u

20)

d²y dx²

28) Jaką postać otrzymuje wzór: p =

dx~~y

, gdy położymy:

x = cos tp, y—rsina.

dh

, wskutek wprowadzenia zmiennej nieza-

24) Wykazać, że wzór: fc =

dx²

MDT-

leżnej s, określonej wzorem:

dx

-V¹⁺(D!

sprowadza się do postaci

d²x dy ds² e?s

__d² y dx

d s² ds

qJ3 y

25) Wyznaczyć:    , skoro: £c = sin<, y = e~t.

26) Wyznaczyć :

. di • d2y

dx ¹ dx²

, gdy ;r == cotg t, y = sin³1.

27) Wykazać, że, gdy x = a(u>—sin w), y = a (1—cos w):

4 a sin⁴

u

dy , to (i² y ^-cotg—, rfa.₂

^“leiétgig.giy:

28)

a «

to to

?y²

+ |a⁼⁼^’ a podstawimy: x

2«/

a(<² + l)

30)

Ö i «

to to

b*

= 1, a: = a cos<P. 31)

1 + t²

x² y2 ä*~b²

= 1, x — asec2<P.

32) (—)    (~) >3 — 1, # =acos3<P. 33) x —a (cos t -j- żsin*)? y =o(sin t — t cost).

34) Wykazać, że wzór: u

dy

Xdx~y

dy

, wskutek podstawienia x—r cos <p, y=r sino

x + »dx

sprowadza się do postaci : u —r

35) Wykazać, że przy podstawieniu: x=r cos o, y = rsincp, zachodzi tożsamość:

M2)T'

[r’+GfOT

dx²

36) Wykazać, że, kładąc: x = uv, y = (l—w)r, otrzymujemy:

dy {1~u)du~V

rf² «

Udu'L~

•GO

dx

dv

Ud~u + v

’ rix²

(ur« + v)

3‘

37) Wykazać, że pierwsze pochodne cząstkowe funkcyi z dwu zmiennych x i y, wskutek podstawienia x — œ (r, a), y = ^ (r; a), przedstawiają się w postaci:

d 2 dx d z dx d cl d r d z dr d a d a d r

dx

d z dy dr da

dx dy da: dy’ dy da; dy dy da;

dr da

dr d a

dr d a da dr

38) Jaki kształt otrzymują pochodne cząstkowe funkcyi z dwu zmiennych æ i y, gdy podstawimy: r = ©(x, y), a = ^(cc, y).

Wykazać^, że, kładąc: x = rcosa, y = rsina i uważając r i a za nowe zmienne, otrzymujemy następujące tożsamości: d z d z d z dy    y dx da'

39) a:

34) Xdx^~y

⁴⁰>^

d²z

d²«

dy² dr²

— r —. Jr

1    d²2 , 1 d#

r² d a²

r dr

^ 2 £ ^ 2 £ ^ 41) Jaką postać otrzymuje wyrażenie :    i gdy położymy: x²-\-y² = r¹

i uważać będziemy r za zmienną niezależną.

Wyznaczyć pierwszą i drugą różniczkę zupełną, tudzież pierwsze i drugie pochodne cząstkowe funkcyj z dwu zmiennych niezależnych x i y, określonych następującemi równaniami :

43) ^ + p + ^-l=0. 44) a;²+yM-z²-l=0. x = 0. 46) x — y tang az —- 0. 47) z³—Sxyz -f- 3 a log (x² -j- y²) = 0.

42) z²— xe^-f 0.

y² 2²

2p 2y

48) Wykazać, że wyrażenie różniczkowe: (l—x)

45)

d²z d%z dz

dx²    d y² dx ’

zmiennych x, y, », na zmienne w, r, na mocy podstawienia :

u = \/l + x + V2 2/ł » = y/ż — x — Vj y, 1C = z\/l —x , d'łw

wskutek zamiany

otrzymuje kształt :

d# dz;

49) Jeżeli m =/(x, y), r=p (x, y), a uważamy «i», jako zmienne niezależne, zaś x i y, jako ich funkcye, wykazać, że:

dp

dx

dy

dx

du df d<P df dp ’ dr dx dy dy dx

H l'-S

dy

df dP ’ dy dx

d?>

df

dx

dy

d_y₌___________ _

du df d<p df dP ’ d v dx d y dy dx

dx

df dp d/ d P ' dx dy dy dx

— 406 —

50) W równaniu: z=f(x,y), chcemy uważać x, jako funkcyę zmiennych niezależnych y i z, wykazać, że, kładąc:

d²z

d² z

d² z

dx==p’ Yy^^    YYY,

otrzymujemy pochodne cząstkowe, w postaci:

dz

d²x

d²x _2 pqs — p²t — q²r d*x p ’ dy²

51)    Dowieść, że całka podwójna: JJzdxdy, gdzie z—f(x, y), wskutek podstawienia:

dx dy du dv

52)    Przekształcić całkę podwójną: ffxmyndxdy, za pomocą podstawienia : x=u(l-o), y = uv, gdzie « i o, są nowe zmienne niezależne.

53)    Przekształcić całkę podwójną: JJe d-y ) dxdy, za pomocą podstawienia:

x = rcosrP, y=r sin<P.

54)    Wykazać, że całka podwójna: ff zdx dy, wskutek podstawienia: x = rcos9’, y = rsin<P, gdzie r i <P są nowe zmienne niezależne, sprowadza się do postaci: J’J’zrdrdf.

dx    q dx    1

dy    p ’ dz

dydz

qr— ps

p³ ’ dz²    p

x=^<P(u, v), y—V>(u, v), sprowadza się do postaci: j j z ^

dx

dvdu)

du dv.

Rozwiązania XXIV. 1)—9) wskazówki zawarte w wykładzie. 10) ₊ (A-i)ÿi + m=o. 11)^| + »I<=°. 12)^+<»V = 0. 13) d'jt-

+ «(e2< + 1)2/= 0. 20)

d²y

<2*²

ft-ay = 0. 15)

dhj

d²y

dt²

°- 16) tddt*~ + ddt + y==0' ¹⁷⁾ dt²

0. 22) u~t+ 3 = 0. 23) p

c2² x

dy

•j

<2 ² x dy²

r²

K(£)T '

e—t

²⁶> ä

2bt

(3 sin t cosż—sin²1—2). 26) y‘ = — 3sin⁴żcos t, y“ = 3 sin³t (4—5 sin²*). 28)-

81) ± a

88) — = — —-b — —

' d* dr dx ' d a dx’

c²x

— dy. 43) dz =--dx —

ev    alz

i (ł+iiy. s9)⁴ * ±i

a² \ 1 — ź² /    ' a t* — 1 ’

— “Cotg³⁽P. 32) —~tang<P, g—j sec⁴V cosec V. 33) tangż,

dz dzdr , dz da. d² z 1 dz ,

⁺ ^    ⁴¹⁾ir>⁺7 dr' ⁴²⁾

du 44) dz=— dii — dx. 45) dz

b²z J '    pz J    z    '

c²y

a² sin*?’

o(l-(!)’ cosec <P,

atcos'H

xev

ev i i

-dx 4-

y — e*

co^(^-f4 ->ir^

2z —

r dr d<P.

Literatura. Dr. F. Gregory. Examples of the processes of the differential and integral calculus. Cambridge. 1841. Dr. Oskar S c h 1 ö m i 1 c h. Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis. Erster Theil. Aufgaben aus der Differentialrechnung, V-to Auflage, Leipzig 1888. William Benjamin Smith. Infinitesimal Analysis. London 1898.

Tematy do rozprawek naukowych:

1.    Wpływ zmiany zmiennej niezależnej na różniczki rzędów wyższych.

2.    Różniczki i pochodne funkcyj, określonych równaniami.

3.    Przekształcanie całek podwójnych za pomocą zmiany obu zmiennych, niezależnych.

. Wykład XXV.

Przekształcanie pochodnych i różniczek funkcyj ilukolwiek zmiennych i wyznaczniki funkcyjne.

1. Różniczki zupełne i pochodne cząstkowe funkcyi uwikłanej n zmiennych. Funkcya n zmiennych niezależnych: xt, x₂,..., xn może być podaną w formie wyraźnej :

(1)

8 f {%u ^2 > •••» ^»)

lub w formie uwikłanej, t. j. określoną równaniem nierozwiązanem, kształtu:

(2)

W pierwszym przypadku, otrzymujemy różniczkę zupełną funkcyi #

w postaci:

dz

dz = -— ^ -\

dz

dxi

dx₂

dxn

dxn

(3)

która podaje zarazem n pochodnych cząstkowych : Mianowicie jest:

dz dz dz , . „    .

dV <tes’ -> Si ^ funk°yi-

_dl-K dl- df

dxt dxi ’ dx₂ dx₂

W drugim przypadku, związek między różniczką zupełną dz funkcyi z, a różniczkami: dxu dx₂,..., dxn zmiennych, niezależnych: xu x₂,..., xn , na podstawie równania 2), jest określony równaniem :

, ...,

dz df

- -

dxn dxn

dF

—— dz -j⁻

dz

dF

dx^

dxt -f

dF

dx ₂

dx₂ -f- ••• +

dF

dxn

dxn =0.

(4)

z którego otrzymujemy różniczkę zupełną dz w postaci:

dF dF

dF

dz = —

dFdXi

dx₂

dx2    ...

dXn

₁ dXnj

(5)

dz

dz

dz

skąd, z porównania z wzorem (3), wypływają pochodne cząstkowe funkcyi z w postaci :

dF

dz

dx^

dxi dz d F ’ d x₂

,...,

dz

dtn

d Xn

dz

- 403 -

Pochodne te wynikają także z równania (2) wprost, jeżeli to równanie zróżniczkujemy kolejno podług jednej tylko zmiennej niezależnej, uważając inne, jako stałe. Otrzymujemy tedy n równań, kształtu:

q dF dz dF Q    dF dz

’ dz dx₂ ^ dx₂    ’    dz dxn dxn :

(7)

dz dx^ dxi

z których wypływają wzory, pod (6) podane.

Pomnóżmy równania (7) kolejno przez dxt, dx₂,..., dxn i dodajmy wyniki , a otrzymamy :

? (S dx< +5+"⁺ S *■ )+^ *"■⁴

Wyrażenie, objęte nawiasem, wyobraża zupełną różniczkę dz funkcyi z. Otrzymujemy zatem stąd naodwrót równanie (4), z którego wyznaczamy różniczkę zupełną dz, jak w (5).

dF

dF

dxi

dx₂

dxn

dxn=0.

Z wzoru (4), względnie (B), wyznaczającego pierwszą różniczkę zupełną dz funkcyi z, określonej równaniem: F(z, xx, x₂,..., #w)=0, za pomocą różniczkowania podług wszystkich zmiennych, pod założeniem, że różniczki: dxi, dx₂,..., cńrB, są stałe, a więc =0,..., d²æn=0, otrzymamy drugą różniczkę zupełną d²z, a następnie z niej różniczki zupełne wyższych rzędów drz, przyczem musimy mieć na uwadze , że każda pochodna cząstkowa funkcyi : F (z, Xi, x₂, ..., xn), jest wogóle nową funkcyą (n +1) zmiennych : z, xi, x₂,..., xn, ma więc swoją różniczkę zupełną, jako sumę (w-fl) różniczek cząstkowych, a więc, że:

dF_d²F dz dz²

M-

dXi dXi dz

dz +

d²F

dzdx,

dxi +

d²F

d²F

dz-f-

d²F

dxidxi

dxi +

dzdx₂

d²F

dx 2 -p...+

dXi dx 2 (» = 1, 2, .. n).

d²F dz dxn d²F_

dXidXn

— dxn,

dxn

xn.

Podobnie otrzymamy z wzorów (6), względnie (7), ^wyznaczających pierwsze pochodne cząstkowe zmiennej z, na podstawie różniczkowania cząstkowego, drugie pochodne cząstkowe, a stąd pochodne cząstkowe wyższych rzędów, mając na uwadze, że wszelka pochodna cząstkowa funkcyi: F(z, xi, æ₂,..., xn), jest funkcyą nietylko n zmiennych niezależnych: xu x₂, xn, ale także funkcyą zmiennej z, zależnej od zmiennych : xi, x₂

2. Zamiana zmiennych niezależnych w funkcyi n zmiennych. Przyjmijmy, że dla funkcyi zon zmiennych niezależnych xit x₂,..., xn, wyznaczone zostały jej różniczki zupełne i pochodne cząstkowe.

Zastąpmy teraz zmienne xv x₂,..., xn przez inne: yi, y₂, •••» tfn, na mocy podstawienia :

(8)

xn~fn{y\i y2i •••> 2/*)>

natenczas dana funkcyą 0, przekształci się na funkcyę nowych zmiennych : yiy y2i •••) 2/n, należy teraz różniczki zupełne tej funkcyi i jej pochodne cząstkowe względem zmiennych: xu æ₂,..., æB, wyrazić przez nowe zmiennemu y2i “‘i Vn i przez jej pochodne cząstkowe, odniesione do tych zmiennych.

W tym celu otrzymujemy pierwsze różniczki zupełne pierwotnych zmiennych w postaci :

àt\

df\

à fi

dx₁^dyi+~dyi+...+ ^dy

dx2 = dy, -j- .f¹ dy., + ... -J- —dyn

àVi

àVî

àyn

àfn

dxn = ~ dyx -1

àfn

ày i

ày₂

ày% + ... +~dyn

àyn

ogólnie r te różniczki zupełne tych zmiennych w postaci symbolicznej :

dy₂ + ••• +

(i=l, 2,... n).

Wartości te należy wstawić we wzory na różniczki zupełne funkcyi z, przyczem należy mieć na uwadze, że pierwsza różniczka zupełna:

d'' Xi=(J— dVi +~

\dyi ⁹¹ dy₂

<5,

\(d

- dyn J fi,

n /

(9)

dz =

dz

dxi

dxi +

dz

dz

dx₂

dXy + ... + —— dxn ¹    dXn

ma jednakowy kształt, bez względu na to, czy zmienne: xv x₂,.. , xn, są niezależne , czy też są funkcyami innych zmiennych niezależnych : yif y₂,.-,yn a natomiast różniczki zupełne wyższych rzędów zmieniają swe kształty, gdyż różniczki zmiennych: xi, x2 dr xi, drx₂,..., dr xn , r>»2, jako zależne od nowych zmiennych: yu y₂,..., yn) nie są zerami.

Mianowicie otrzymujemy w tym przypadku wzór na drugą różniczkę zupełną , w postaci symbolicznej :

d²z

xn, rzędu wyższego nad pierwszy :

⁼(Łdx'⁺Łdx>⁺••+ idxy

dz

d²xi -f

dz

dz

dXn

d²xn, (10)

dx ₂

z której, na podstawie różniczkowania, ze względu na wszystkie zmienne, wypływają analogiczne wzory dla różniczek wyższych rzędów.

Z zupełnych różniczek, możemy już otrzymać pochodne cząstkowe. Mając wprost wyrazić pochodne cząstkowe funkcyi z, odniesione do nowych zmiennych xi, x2 niesione do nowych zmiennych yi, y₂, ...,

Xi⁼⁼fi (y^, y₂i .•>, ?/«)?    1? 2

æn , przez pochodne cząstkowe tej funkcyi, od-na podstawie wzorów prze-

kształcenia :

w)

możemy korzystać z równań:

dxn dyi

dz dz dx± dz dx2 dyi dxx dyt ⁺ dx₂ dy{

(i—1, 2,..., u)₎

z których, jako liniowych, ze względu na pochodne cząstkowe:

+ ... +

(U)

dz

dz

dz

dxi ’ óx₂ ’ dxn ’

*

wyznaczymy te pochodne, jeżeli Jakobian układu funkcyj : xi: x₂, ..., względem zmiennych : yi1 y₂,..., yni przedstawiający się w postaci wyznacznika :

dXn

dxx d x2 dyx ’ dyt ’ "M dyt

J (X\ j ^2

dxi

? ••

da^    dx ₂

da:„

dyk

(*,jfc=l,2

n),

dyn’"’’ dyw

będzie różny od zera.

3. Zasadnicze własności Jakobianu n funkcyj. Niech będzie dany układ n funkcyj: yx, y₂, yni on zmiennych niezależnych: xx, x₂₇..., xn, w postaci:

V\⁼⁼ (fi (^1 > *2>-> ««)

2^2 ⁼⁼⁼ 9^*2(^i > ^2? •••> ®*)

(12)

Załóżmy, że między terni n funkcyami : yu y₂, ..., yn) istnieje pewien związek w postaci :

F(yx, 2/2» — » yn)=o,

(13)

wówczas, różniczkując to równanie, cząstkowo ze względu na każdą zmienną niezależną #*, otrzymujemy n równań :

dF dyi dF dy dyx dxi ⁺ dy₂ dxx dF dyx ^ dF dy2 dyx dx₂ ⁺ dy₂ dx₂

Ponieważ pochodne :

dF dyn==0

dyn dxi

+ ...+ *?«*-<>

dyn dx2

djA ₊ dF dy₂ + dF dy„^Q dyx dxn dy₂ dxn dyn dxn

dF dF

'² + ...+

(13')

nie mogą być równocześnie

’’’ dyn

wszystkie zerami, gdyż w tym razie założone równanie: F(yt) y₂

byłoby tożsamością , przeto równaniom powyższym, może się tylko wówczas

stać zadość, gdy wyznacznik utworzony ze spółczynników przy tychże po-

' dyx

yn)= 0,

chodnych:

dF dF

będzie zerem. Wyznacznikiem tym jest Jako-

' dyx ’ dy₂ ’ dyn bian układu funkcyj yv y₂,..., yn oznaczany symbolami:

_F(yxx y₂; •••, ynl

d{y\ i Vï ? •••» ?/«)

dyi

^(.Vi> yyn)

Mamy zatem twierdzenie :

Jeżeli między n funkcyami : yn y₂₎ ...,yn, n zmiennych niezależnych: xv x₂, ...,x„, istnieje jakikolwiek związek, nie zawierający zmiennych niezależnych, kształtu: F{yxi y₂,.., y„) = 0, wówczas Jakobian układu tych funkcyj względem zmiennych niezależnych jest tożsamościowo równy zeru.

du •

Gdyby Jakobian danego układu funkcyj: ~ (‘i,k=l, 2,..., n), nie był

OJCjc

F {X\, x₂₇..,₇ xn)    d(^, &₂

«»)

da:*

(i, /j=1, 2,..., n).

a mimo to istniał warunek: F(yi7 y₂

podstawie danego układu równań:

y i ⁼⁼ (pi (*^1 )    *^2) •••> ®»)j    '"I ^) 1

otrzymujemy w różniczek zupełnych, kształtu:

tożsamościowo równy zeru wówczas, ze względu na to, że na

yf) 0,

- 411 -

dy{=

àyi

dxi

dxi 4

àyt

dx₂

dx2+ ...+ ~ dxn, (t=l, 2, ..., n),

niemoglibyśmy otrzymać między różniczkami zupełnemi: dyt (i—1, 2,..., n) żadnego związku, kształtu :

^^+^2^2 + -+^» 0,

jak tego wymaga równanie: F(yi, y₂₎ yn)=0, chyba, gdyby było równocześnie : Âi=À₂=...=Àn=0, co byłoby niemożebnem , gdyby Jakobian: J(yu y₂, yn), był różnym od zera.

Otrzymany warunek jest zatem nie tylko konieczny, ale zarazem wystarczający.

4. Przypuśćmy teraz, że Jakobian danego układu funkcyj :

yi~(pi{X\ , a?j, ..., ^n)» i lj 2,..., W,

jest tożsamościowo równy zeru, że zatem:

dl± dh

dx₁ ¹ dxi ’ dxi

dyn

= 0.

(14)

dy-,

d^i dy2 d;cw’ dxn’‘ dxn

Wyobraźmy sobie, żeśmy, na podstawie pierwszych (n — 1) rownan układu (12), wyrazili wartości zmiennych: xi, x₂, ...,    , jako funkcye

zmiennych: yu y₂, yn-1, i zmiennej xv, i podstawili te wyrażenia w w-te równanie :

wówczas otrzymalibyśmy zmienną yn, jako funkcye zmiennych: yi: y2 i zmiennej xn, w postaci:

yn—\

yn — ^>(2/1 > y₂₎ ..., yn—1>

Możemy obecnie wykazać, że pod założeniem: J{yi1 y₂. • •, 2/n)=0,

funkcya ta nie może zawierać zmiennej xn , czyli , że :

o.

-=0.

dxn

Przedewszystkiem mamy, na podstawie danego układu (12):

à (pi

dyi=-

à (pi

dXi

dxi 4

dx₂

(i-1, 2

Weźmy pod uwagę wyznacznik:

à(Pi àcpy da^ ’ dx2 àq>j d(p2 D = dxi ’ dx₂

n).

à<Pi

d(pi

dxn

dxn

(15)

? ••

ÖXn—1

d(p₂

dxn—i

d(pn

dyx

dy₂

(16)

d(pn d(pn dx₁ ’ x₂

zastąpmy w tym wyznaczniku różniczki: dyx, dy₂₎dyn przez wyrażenia, określone wzorami (15), i rozwińmy go podług różniczek: dxi, dx₂,..., dxn) natenczas źauważymy, że spółczynniki przy tych różniczkach będą wszystki zerami, spółczynniki przy pierwszych (n—1) różniczkach: dx1} dx₂

*’ dx„-i

dyn

dxn—i,

— 412 —

będą bowiem wyznacznikami, które mają po dwie kolumny jednakowe, spółczynnik przy dxn będzie zaś Jakobianem układu funkcyj , mającym według założenia wartość zera. Wyznacznik D ma więc wartość zera.

Rozwinąwszy go podług elementów ostatniej kolumny, otrzymujemy : D=Pidyl -\-P₂dy₂ + ... + Pndyn=0. d(pi J

(160

Załóżmy, że spółczynnik: Pn= elementu:    w Jakobianie J(q>i,(p₂

O Xyi

dxk

(i, k=1, 2,..., n— 1), jako minor

cpn), t. j. w wyznaczniku funkcyjnym

d(pi

dxk

(i, k= 1, 2,..., n), równym zeru, jest różny od zera, wówczas otrzymamy :

dyn=Ai dy! + A₂ dy₂ +... + An._! dyn_ x.

W wyrażeniu tern , uporządkowanem na podstawie równań (15), podług różniczek : dxi} dx₂,..., dxn , przedstawia spółczynnik przy dxn, pochodną cząst-

• dy> = -dXti dXfi

d O

funkcyj jest zerem, będzie według (160 także zerem, jest więc:'-—=0,

•    O i

a więc funkcya yn= 0 (yi) y₂, ..., yn_\, xn), nie zawiera w sobie zmiennej xn, czyli :

Vv -, y»-1).

kową

d&

ale spółczynnik ten, wobec założenia, że Jakobian układu

(17)

Mamy więc nowe twierdzenie :

Jeżeli Jalcobian: J(yi, y₂,..., yn)= —

(b k=l, 2,..., w), układu n funkcyj

y i, y₂, —, Vn, zmiennych: xu x2 funkcyami związek niezależny od zmiennych xn x₂,..., a;».

xn jest zerem, wówczas zachodzi między łemi

yn)—0, otrzymamy na podstawie układu równań:

Xn)j (&⁼⁼lj 2, ..., W),

y i—(pi (#i, a;₂

którego Jakobian jest zerem , za pomocą rugowania zmiennych a^, a?₂, a w takim razie wyrugowanie (w—1) z tych ze zmiennych, wywołuje już także wyrugowanie w-tej zmiennej, prowadząc do relacyi : yn=(D(yi, y₂,yn—\) względnie do równania: F(yif y₂

Związek taki jest tylko jeden, gdyby bowiem obok związku:

yn=0{yu y₂,..., yn—1);

istniał także drugi, od niego różny, kształtu: yn=łP(yi} y2 byśmy nową relacyę już między (n—1) funkcyami: yi, y₂,..., yn-\, w postaci :

-^i(yi » y%i'”i 2/n—i)⁼n.

Wówczas musiałby także Jakobian układu dowolnie wybranych (n—1) funkcyj, z pośród danych n funkcyj, sprowadzać się tożsamościowe do zera, czyli innemi słowy, wszystkie minory pierwszego rzędu w wyznaczniku \dVi\

\dxk\

yn)=o.

yn-1), mieli-

(i, k=l, 2,..., n), musiałyby być zerami, co się sprzeciwia założeniu.

6. Przypuśćmy teraz, że nietylko Jakobian danego układu n funkcyj: J{y\i 2/25--) 2/»)} jest tożsamościowo równy zeru, ale także wszystkie jego minory pierwszego rzędu , które są kształtu :

dyi

J{y\, 2/₂> -i 2/n—l) =

[i, k— 1, 2,..., w—1)

są tożsamościowo równe zeru i załóżmy, że co najmniej jeden minor drugiego rzędu , n. p. :

àxk

(h Ä=l,2,n— 2),

jest różny od zera.

W tym przypadku możemy, na

y i —    j ^2> •••* ®»)i

—2

podstawie pierwszych (w-2) równań: 2/n-2=ęr«—2(^1, x₂, ..., :r„), wyrazić (w—2) zmienne : xv x₂,..., jako funkcye zmiennych:    y₂,.„

nego układu, prowadzą tedy do równań:

yn-\⁼$\{y\i y2

yn—2; dwa ostatnie równania da-

yn-2 ) Xn — \ j #ra), 2/«— ^(^lJ 2^2 » ” > 2/n—2 j    1, #n)*

Biorąc najpierw pod uwagę wyznacznik:

’ dx₂: '

d(p i

•>

da:« _2

— , dVi

/h =

d<pn_i d(pn-\

à(p„-i

d a:n—2

i zastępując w nim: dyi, . ., dyn^\, przez dxi,..., dxn_ i, zauważymy, jak powyżej, przy wyznaczniku Z), że on jest także tożsamościowo równy rozwijając go zatem podług elementów ostatniej kolumny, dochodzimy do relacyi, kształtu :

dxx

dx₂

dyn—i

zeru

dyn-\ —Pidyi -\-P₂dy₂ -f-.. + Pn—2 dyn

z której wynika, że zarówno

d^

d xn—x

0, jakoteż ~~ =0. Podobnie wykażemy,

że także :    i

da;n_i

o.

dxn

-²=0.

przy powyższych założeniach, dwa różne od siebie , w postaci :

Istnieją zatem

związki między n funkcyami: yx, y₂

(18)

yn—1 —    (2/1 ) y<2> •••> 2/n—2)} 2/n⁼⁼^2^2/l) 2/2)* '5 2/»—2)»

a oprócz nich, nie ma innych od nich niezależnych , gdyż w takim przypadku, musiałby już Jakobian (n—2) funkcyj być tożsamościowo równy zeru, co się sprzeciwia założeniu.

Podobnie rozumująo, dochodzimy do twierdzenia:

yn, o n zmiennych niezależnych xx,x₂xn jest tożsamościowo zerem, a zarazem wszystkie minory jego, aż do minorów (r—l)-go

Jeżeli Jakobian n funkcyj yx, y₂

rzędu, t. j. do podwyznaczników (n—r+1) rzędu , włącznie, są tożsamościowo zerami , a przynajmniej jeden z minorów' r-go rzędu, czyli z podwy znaczników (n-r)-go rzędu, jest różny od zera, wówczas istnieje r oddzielnych związków między terni n funkcyami, a więc r z tych funkcyj da się wyrazić za pomocą (n—r) pozostałych funkcyj, które są od siebie niezależne.

niami :

7. Przykład. Wykazać i wyznaczyć zależność funkcyj: u, v, w, określonych równa-

p = æ² -j- y% -J- 0², w = xy -}- yz -p xz.

= 1,

Mamy tu :

=i -=i » dz ’

du

u=x Ą-yĄ-S,

<ur

l'IC

= 2x , —■ = 2 y, -~ — 2z,

’ dy    d0 ’

Jakobian układu tych trzech funkcyj, przedstawia się w postaci:

1, 0,

dy

D(u, v, w^

D(x, y, 0)

= 2®,

1, 1, 1

2y,

2x,

y+0, x—y,

ÙW

-=«+2,    — — z Ą-x, — x Ar y.

àx y — ’ dy    ’ dz ' J

%-*), 2(z—y)

y—z

₂ y—».

x—y, y~z

= 0.

jest więc tożsamosciowo równy zeru. Dane trzy funkcye : u, v, w, są zatem od siebie zależne, a że minory elementów ich Jakobianu nie są zerami, przeto zależność ta jest jedyną. Celem jej wyznaczenia, mamy: u¹ = £c²-f-y²+ s²-f- 2xy -\-2xz -f- 2yz, zatem otrzymujemy szukaną relacyę w postaci : u¹ = v -j- 2w , czyli : u²—v—2w — 0.

8. Jakobian układu n funkcyj, złożonych z funkcyj n zmiennych niezależnych. Niech będzie dany układ n funkcyi: zit z₂,..., zmiennych y/i, y/₂, ..., yn, a te zmienne niech będą same funkcyami n zmiennych niezależnych: x₁,    xn, tak, że:

2/2 7 •* * > y™)l    Vf)"") Vn)i •••) &n—fn(.y\i Vît'“) Vil)}

a zarazem :

V\ <P\ 0*1 ? *^2> •**» *®»)j ?^2    ^2(^1» *^2> *•*}    î)n — <jPn j

wówczas otrzymamy Jakobian układu w funkcyj : £1? #₂, ..., jako funkcyj zmiennych: «/1? y₂,..., yn, w postaci:

dZi

à fi

àyk

(«', 7c = ], 2, w).

zmien-

a natomiast Jakobian układu n funkcyj: yi, y/₂,, jako funkcyj nych : #1} æ₂, ..., a?w , w postaci:

#(yi> y₂> •••> y*) ₌ dy,: |₌ dcp;

xn) j d#* | I dj;*

Iloczyn obu tych Jakobianów, przedstawia się w postaci :

dfi dfi    dzA    dyA dyx    dyx

dyx ’ dy₂ ’    dyn    d^ ’ d.r₂ ’    da?w

^2 =

D(xx, #₂,

(*>    w).

^1^2 =

d#„    d#„

dy/i ’ dy₂

dyn dyn dxx ’ d;c₂

Stosując do tego iloczynu prawidła mnożenia wyznaczników, otrzymujemy nowy wyznacznik w postaci:

dy

dz*

J'2 —

d^| d^ d^ dy,

dyt d*t ^ dy₂ dxx

dzx dyn dyn dxx

dh dh ₊ dzl %l

dyx 0Xn dy₂ dxn

dyn dxn

dzn dyx t d zn dy2 dyx àxx ~ dy₂ dxi

àZn dyn

à Zn dyx dzn dy2 dyn dxi ’ " ’ dyi dxn dy₂ dxn

dZn dyn dyn dxn

a że :

ogólnie :

dfl dl± _|_ dJ± dy2 dyx dxx dy₂ dxi

+ ₊ dfl dlJn d0i

dyn dxx dx

d Zi dyn _ dZi dyn dxk dxk

d0l dj\ ₊ dz,, dy2 dyx dxk dy₂ dxk

(*> h= 1, 2,..., n)

przeto otrzymujemy:

dzx dzx Idxx ’ dx

JXJ₂= .

dZi

dzn dzn dxx ’ dx₂ ’

dxk ' ’

(h ^=1, 2,..., n),

- 415 -

d zi dzi dxi ’ dx₂ ’

—,

d^

da;*

d^ d£,

d^i ’ dy₂ ’ dyn

dzx

zatem :

djh ày^    dyA

dx₂’    dxn

da^

d^n dzn I da;t ’ da;₂ ’

à&n

d#* d^n ’ dy₂

d£„

dyn dyn dxi ’ dx₂

-P (ff^ , #2 > •*• ? ^w)_ -P (^j ?    — , ^«) -P (?/l , 2^2> ***» 2/»)

■P(a^i) #₂,.... a:«) -P(yj, ?/₂,..., ?/*) D(xj, a;₂,a;*)

To znaczy : Jakobian układu n funkcyj funkcyj n zmiennych niezależnych, obliczony ze tezględu na te zmienne niezależne, Jeść równy Jakobianowi układu n funkcyj nowych n funkcyj, obliczonemu ze względu na te funkcye, ‘pomnożonemu przez Jakobian tychże nowych funkcyj, obliczony ze względu na zmienne niezależne.

Twierdzenie to jest uogólnieniem twierdzenia o pochodnej funkcyi funkcyi jednej zmiennej niezależnej, przedstawiającego się w postaci wzoru:

czyli :

dz*

1 —,

dyn

d?/n

da;*

(19)

d/ [ę> («)] äf[cp(xj\ dcp(x) dcp (x)    ' dx

dz d z dy dx dy ’ dx

9. Jakobian układu funkcyj odwrotnych. Danemu układowi n funkcyj V\i y2? —, y*, o n zmiennych: xi, x₂, ..., xn, kształtu:

y i—(pi (xi, x₂,..., a;*), (ß—1, 2

CZyli:

(19')

n)

(20)

którego Jakobian: J (cpu <p₂₁ ..., <pn)

nie jest tożsamościowo

-P( xj, a;₂,.., xn)

równy zeru, odpowiada układ n funkcyi: xit x2 zmiennych: yu y₂,..., y*, w postaci: Xi=ipi(yu y2 Funkcye ip₂,..., tft dem funkcyj : <p1} cp2 niem, czyli inwersyą funkcyj.

Ażeby wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcyj odwrotnych, otrzymujemy z równań (20) n relacyj :

xn, jako funkcyj n

y»), (»«i» ², -, w).

nazywamy funkcyami odwrotnemi wzglę-

(pn, a ich istotne wyznaczanie nazywamy odwraca-

dcpi

dcp i

dcpi

dxn , (i—1,2,..., ri)j

z których dostajemy różniczki zupełne funkcyj odwrotnych , w postaci :

dyt=

dxt

dxi 4

dx₂

dx 2 +... +

dx„

dcp\

d(Pi

dxi ’ dXi-\

dyi

d(p\

d(p 1

dxi

dxn

(21)

i* ?

d<JP*

dyn

d<JP*

dgp*

dti= --

a stąd pochodne cząstkowe :

da;*

(»“1, 2,..., ri)

_^L foi da?<_i’ da^+i’ '

'i

dæ„

d(pk-1

dæt-

(-1 )<+*

d.24

dy*    9>n)

dxi

dcpk-1

dcpk—i    dcpk—i

dçp*+i à(pk+\

■’    da?i+i ’ '

dæ*

dxn

<?ÇPyfc+l

(t, k= 1, 2

w).

, ••

dxn

dcpn

dx.'"”¹    dXf-1’ da^+i’*

dg>*

dqp„

da;*

Jakobian funkcyj odwrotnych , przedstawi się wobec tego (patrz T. I. str. B48. art. 17.) w postaci :

71 — 1

{ty\ > ty%, tyj)

dtyi

dyk

[J{cpu ęp₂,..., <pn)]n

I à(pi ‘

I dxk

Jest zatem :

J{tyU ^2»-*» ^n) =

I tir,__

dy* ~~ dyt- j

j d#* I

To znaczy: Jakobian układu funkcyj odwrotnych jest roimy odwrotności Ja-kobianu funkcyj pierwotnych.

Twierdzenie to jest uogólnieniem twierdzenia o pochodnej funkcyi odwrotnej x=ip(y), względem funkcyi y=(p(x), określonego wzorem:

czyli :

D{tyi i tyii •••} tyj)

'D{yu y₂, ..., yn)~ D{q>u <jP₂, cpn)

D(xv xv ..

xn)

czyli :

(23)

dx

7 = j- i czyli : dy dy¹ J

dty{y\^ , 1

dy d(p{x)

(23-)

t/a:

10. Hessyan funkcyi n zmiennycli niezależnych. Funkcya « n zmiennych niezależnych :

a;,, x₂,xn, ma w pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu: --- , (i= 1, 2,..., w), które

Ó£C£

tworzą układ » funkcyj n zmiennych niezależnych: aą, a?₂,xn. Utworzywszy Jakobian tego układu funkcyj :

/ ÓS ós    ós \

Vô»! ’ Ó£F₂ ’ "y ÙXnS

T)( ~

\()x, ’ àx₂ ’ dxn)

*2 ) ••• » ■*•**)

zauważymy, że przedstawia on wyznacznik symetryczny, «-go rzędu, którego elementa są pochodnemi cząstkowemi drugiego rzędu danej funkcyi n zmiennych. Wyznacznik taki, (por. art. 21., str. 862.), nazywamy Hessyanem tej funkcyi i oznaczamy wzorem :

_    ó²s

óajjóa:₂ }    ’ dxi()xn

D(xlt

ó²s

ó²s

Ó²S

óx,²

r)Xi ()xx

(i, tc = l, 2,..., «) =

(24)

ó²s

ÓXjÓXn ’ Ôx₂ÔXn

Hessyan danej funkcyi n zmiennych niezależnych, możemy zatem uważać, jako Jakobian układu n pierwszych pochodnych cząstkowych tej funkcyi. Własności Jakobianu układu n funkcyj, dają się zatem przenieść na Hessyan funkcyi « zmiennych niezależnych.

Jakobian układu n funkcyj n zmiennych niezależnych posiada własności, które tworzą niejako uogólnienie własności, jakie posiada pochodna pierwszego rzędu funkcyi jednej zmiennej niezależnej.

Hessyan odgrywa znowu w funkcyi n zmiennych niezależnych podobną x*olę, jaką ma w funkcyi jednej zmiennej niezależnej pochodna rzędu drugiego.

11. Różniczkowanie wyznaczników funkcyjnych. Wyznaczniki, których elementa są funkeyami jednej, lnb kilku zmiennych, nazywamy w ogólności wyznacznikami fnnkcyjnemi.

Ó²S

Ó²S

,    ...j

()Xn²

— 417 -

Weźmy pod uwagę wyznacznik:

Al , fii ) • ••, fin fil , fii , •••, An

/nl , /n2 » •••) fnn

którego elementa /,* są wogóle zmienne.

Rozwijając go podług elementów i-go wiersza, dostajemy:

U =/t'l    4"fii (pii + ••• 4“fik (pik + ••• 4"fin (pi

gdzie q)ik jest minorem elementu : /■* tegoż wyznacznika

Ponieważ element fik znajduje się tylko w jednym wyrazie tego rozwinięcia, t. j. w wyrazie fik(pik, przeto pochodna cząstkowa funkcyi u, względem jednego z elementów wyznacznika, jest równą minorowi tego elementu, a zatem :

(25)

du

(pik, (i, &=* 1, 2,.., ń).

(26)

à U

Jeżeli elementa wyznacznika są funkcyami n zmiennych niezależnych : xi, &2, •••, xn, natenczas wyznacznik przedstawia pewną funkcyę u tychże zmiennych. Pochodne cząstkowe tej funkcyi, względem pewnej zmiennej niezależnej przedstawiają się tedy, na podstawie rozwinięcia (25), w postaci :

dxrfn + - +fln

której, ze względu na równania (26), możemy nadać kształt:

dAi dX r ’

du

à(pi

dXr

n . àfii

+ (pn

àXr

4“ •••4* (pin

à fin

ÔXr

A2 , fi

fil

àfa

du

dXr

/il j fli , •••

à fin

àXr

àXr

4”

4- ••• 4-

(27)

àfnn

àXr

àfn2

àfni r    r J

, J ni , •••, Jnn

z którego wynika prawidło:

Pochodna cząstkoica danej funkcyi, określonej ivy znacznikiem,, którego elementa są funkcyami n zmiennych niezależnych, odniesiona do pewnej zmiennej niezależnej, jest równa sumie n wyznaczników, powstałych z danego wyznacznika w ten sposób, ie poszczególne jego kolumny zastąpimy kolejno przez pochodne cząstkowe elementów tej kolumny, odniesione do tejże zmiennej niezależnej.

Jeżeli poszczególne elementa danego wyznacznika są funkcyami jednej zmiennej niezależnej x, natenczas odnośne pochodne cząstkowe sprowadzają

się do zwyczajnych pochodnych, a używając znakowania:

/nl

dXr’

•j fnn

/nl , jni > ••

df

•>

dx~f'' otrzymn-

jemy odnośny wzór w postaci:

fill A2,—, fin

fil , A2', •••> fin

fil , fli, • •, An'

dx

4-

fni , fni,-; fnn

fnn

fnl , tni 1    fnn

(28)

fni , fni

12. Wyznaczniki funkcyjne Wrońskiego. Szczególny rodzaj wyznaczników funkcyjnych tworzy wyznacznik «-go rzędu, w którym elementami pierwszej kolumny są dane funkcye, a elementami następnych kolumn są kolejne pochodne tych funkcyj rzędów drugiego, trzeciego, aż do («—l)-go rzędu włącznie. Wyznacznik taki nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego, albo krótko Wron sk i a nem danego układu « funkcyj: yt, ÿj>

yn

i określamy go wzorem :

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

*y\

d*—1 y,

dx ’

) •••

’ dxn—t

dVi

d» -l y₂

^(yn ?/2>

2/«) =

2/i 5 2/i \ 2/i " r,

2/2) y%, Vi“ )•••)

yfn-v 2/2 (n—1)

(29)

yn, yn',yn",..., yn(n-V

dxn—t

dyn <Pyn ^n' dx ’ rf*²

Na podstawie wzoru (28), możemy z łatwością obliczyć pierwszą pochodną Wroń-skianu. Otrzymujemy tu {n—1) wyznaczników równych zeru, bo mają po dwie jednakowe kolumny, przeto :

dW{yuyj, ..., yn)

dx

2/1) 2/i'...» 2/j    ²), ytW

2/2) 2/2/ •••) Vi(n~²⁾, ftW

(30)

a zatem :

Pochodna Wrońskianu jest nowym wyznacznikiem n-go rzędu, który powstaje z wyznacznika pierwotnego y jeżeli to nim zastąpimy (n—1 )-sze pochodne poszczególnych funkcyj przez n-te pochodne tych funkcyj.

13. Zasadnicze własności Wrońskianu. Zastąpmy w danym Wrońskianie: W{y,, yt,yn) funkcye : y,, y₂,..., yn, przez iloczyny ty,, tyJf..., tyn, gdzie t jest nową funkcyą, wówczas otrzymamy nowy Wrońskian, w postaci wyznacznika :

0+yi)(n_1)

ty u ty\,Jr t'Vi

tyn) =

w {tyu ty₂

tyn, tyn + t‘yn

1 •••)

(t 4" 2/«)⁽*_1

Rozkładając ten wyznacznik na dodajniki, zauważymy, że wyrazy, zawierające pochodne t‘y lub pochodne wyższego rzędu funkcyi ty możemy opuścić , gdyż będą one propor-cyonalne do elementów pierwszej kolumny, lub następnych. Otrzymujemy zatem :

yt (*—¹)

y u y\

W {tyi y ty i y

tyn) = tn .

yn(n~ !)

tyn) = tn W(yty t/„ ..., yn), który stanowi analogię do własności charakterystycznej funkcyj jednorodnych (str. 323.)

14. Przyjmijmy, że funkcye: y„ 3/2,..., yn, pozostają między sobą w zależności liniowej:

a\ 2/1 + °2?/2 ■+■ ••• 4* °» yn — 0,

czyli wzór :

W {ty, y ty₂

) "•}

yn, yn,

(31)

(32)

an są liczbami stałemi, wówczas otrzymujemy, na pod-

w której spółczynniki a„ a₂,. stawie powyższego równania tożsamościowego, także następujące tożsamości:

(33;

«i yi'4- «22/2' 4-.» 4- «» yn = o «i 2/1" 4- «22/2" 4- ••• 4- «nyn"= o

«i2/i(n~¹⁾4-«22/2(n_1) 4-... 4-a»2/»(n_1) =0»

które mogą się z tożsamością (32) tylko wówczas ostać, gdy wyznacznik , utworzony ze spółczynników przy niewiadomych stałych: a,, a₂,..., an, będzie równy zeru, a że wyznacznik ten jest Wrońskianem funkcyj : y,, y₂,..., yn, zatem pod tym warunkiem, będzie:

(34)

JF(2/i, 2/25    2/»)=0.

Mamy zatem twierdzenie :

Jeżeli miedzy n funkcyami jednej zmiennej niezależnej zachodzi związek liniowy, to Wrońskian tych funkcyj jest tozsamościowo równy zeru.

15. Naodwrót możemy wykazać, że skoro Wrońskian danych n funkcyj: y„ y₂,..., yn, jest tożsamościowo równy zeru, funkcye te są od siebie liniowo zależne, według relacyi :

a\ + °2 2/2 4“ ••• 4* an yn — 0.

Twierdzenie to jest wprost widoczne dla n = 1. Mamy bowiem wówczas z warunku: W{y) = 0, daną funkcyę w postaci: y = 0, zatem spełnia się relacya: a,y=0.

Przypuśćmy, że to twierdzenie prawdziwe jest dla (»—1) funkcyj, że zatem w przypadku: W(yj, y₂,yn-1) = 0, zachodzi relacya : avyy -f a₂ y₂ + ... + an-\ yn-\ =0.

Załóżmy teraz, że Wrońskian n funkcyj: W(yu 1/2,..., yn) = 0, a przytem dane funkcye: yu yt, ..., î/n, a przynajmniej jedna z nich n. p. yu nie są toźsamościowo równe zeru, wówczas możemy tożsamość: W{yx, y₂,•••> ÿn) = 0, na podstawie wzoru (31) przedstawić w postaci :

w(yi. yn-»    ^

*)-o.

a że :

H'(l,

SIS

)-[©'■ ©'.....©1

zatem otrzymujemy :

"'1(f)'-" (*)']=°-

^    i będzie więc tedy także toźsamościowo

Wrońskian (w—1) funkcyj : równy zeru, zatem między temi funkcyami zachodzi, według założenia, relacya kształtu:

°>(t) +°*^) +-

-j- <Xn

(**)'=o, W

gdzie a₂, a₃,..., an są pewnemi liczbami stałemi. Z relacyi tej wypływa związek :

•    a2 “ł* °3 ■“ + •••+ an77 = C,

V\    Hi    V\

ai V\ 4* a2 lh d⁻ ••• + °n yn =0.

gdzie C jest stałą dowolną. Oznaczmy ją przez —an to otrzymujemy stąd szukaną re-lacyę, kształtu :

Skoro więc założone twierdzenie prawdziwe jest dla Wrońskianu (»—1) funkcyj, to już musi być prawdziwe dla Wrońskianu n funkcyj, a że okazało się prawdziwe dla Wrońskianu jednej funkcyi, zatem jest ogólnie prawdziwe. A zatem:

Funkcye, których Wrońskian jest toźsamościowo równy zeru, są od siebie liniowo zalezne.

16. Funkcye, określone układem rów nad. Niech będzie dany układ m równań o m+w zmiennych, w postaci:

%l(gU g2> •••> Zml    %₂,    Xn)=0

(35)

F*î(gi > g2 » •••> g

Załóżmy, że Jakobian tego układu m równań:

D(F*i, F₂,Fn)

F (#j , Z₂ , ..., Zm)

J(Fi, F₂,..., Fm)

àzk

, (i, *«=1, 2

m),

że więc równania nie są od siebie zalezne. Pod tern

Zm

jest różny od zera

zmienne

założeniem możemy, na podstawie tych równań, ni zmiennych. zi, z₂,..., uważać, jako funkcye pozostałych n zmiennych: , x₂,..-, xnj przyjętych za niezależne. Układ m równań, od siebie niezależnych o (m+n) zmiennych, określa w ogólności ni funkcyj od siebie niezależnych

zmiennych. Jeżeli n=1 zmiennej niezależnej (w przypadku szczególnemi wartościami m

jedną tylko funkcyę uwikłaną n zmiennych niezależnych

Mając wyznaczyć pierwsze pochodne cząstkowe m funkcyj, określonych m danemi równaniami, różniczkujemy te równania cząstkowo kolejno ze względu na każdą zmienną, przyjętą za zmienną niezależną.

to funkcye te są wszystkie funkcyami jednej 0, mamy do czynienia tylko z po-niewiadomych) ; jeżeli m=1, wówczas mamy

Różniczkując fce równania cząstkowo podług dostajemy m równań:

dFl dzl₊dFJ dzX dzx dXi dz% dXi

dF.

dxi

...+ — — *=0

’ dZm ÖXi

dFru dzm q dZm dx'i ‘

dFm dFm dzx dFy/i à%2 dXi dzx dXi dz₂ dxt

które są liniowe, ze względu na m pochodnych cząstkowych :

dzx dz₂ àzm dX{ ’ dXi''"¹ dxi F (Fx ,    Fm)_

D{ZX) #2> •“> &m)

Kładąc: J(FX, F₂,F$ =

1 D(F.,    de

+ ••• +

</, otrzymujemy :

î'.l

1 I)<F" F»    Fm)

J F (Zx i X{ ,    } ••• , 0m)

dzm__ _ 1 F {F x, -Z^, ..., Fm-J\ , F ni)

J F(zx, z2 ,    0m_i, a?i)

(36)

wzory, podające pierwsze pochodne cząstkowe wszystkich w funkcyj, ze względu na zmienną niezależną: Xi.(i— 1, 2,..., w).

17. Pochodne cząstkowe jakiegokolwiek rzędu, możemy dla funkcyj, określonych równaniami, wyznaczyć także na podstawie różniczek zupełnych odnośnego rzędu.

W tym celu otrzymujemy za pomocą różniczkowania danego układu równań, podług wszystkich zmiennych, na wyznaczenie m różniczek zupełnych pierwszego rzędu: dzx, dz₂,..., dzm, m równań:

dF

dFx

-~dzxĄ d zx dz₂

dF

d Zm

r)~F

- dzm+ . ¹ dxx-{-

dxx

dFx

dXn

dxn=0,

(37)

dFm

dFm

dFm

dFm

,    > dF

dx*    -f- —— dX/i=0.

dxn

Na wyznaczenie różniczek zupełnych drugiego rżędu : d²zxx d²z otrzymujemy stąd równania symboliczne:

d    d

Ï» dem+te.

dzx

dzx -f-

dz₂

d zm

dxx

2i ••

d Zmi

d    V²)

dx< + ...-f — dxn I dxn    )

dFx

dzx

dF,

<l\ + ..+ aF dHm= 0

O óm

(Aa^₊- +A *„+_!

• (38)

()

dx.i    *4- -—— dxn

dXn

f.

Fm +

dFm

dzx

d²zx + ... +    d²zm=0,

à%m

a następnie odpowiednio m równań na wyznaczenie różniczek zupełnych w-go rzędu.

, Zauważymy przytem, że w równaniach, wyznaczających różniczki zupełne: dnzxdnzm, wyznacznikiem spółczynników przy tych różniczkach

będzie zawsze jakobian

który według założenia jest różny

od zera.

d < 18. Zmiana wszystkich zmiennych w funkcyi n zmiennych niezależnych.

Na podstawie powyżej wyprowadzonych sposobów wyznaczania różniczek i pochodnych funkcyi, określonych równaniami, możemy postępowanie,

wskazane w art. 17. str. 399. dla funkcyi dwu zmiennych niezależnych, rozszerzyć do funkcyj ilukolwiek zmiennych.

Jeżeli mianowicie daną jest funkcya z zmiennych: x₁, x₂,..., x„, określona równaniem:

F(z, xif    ..., xn)=0,

a zmieniamy wszystkie zmienne pierwotne z, xi, x2 u„, na podstawie (w + 1) równań:

(39)

Xfi,

W, Mj, w₂, ..

Z—fąiW, Wj, ..., Ww)

un u2względnie Ft(*, a?lf *₂

•j

F₀{z, Xj, a?2ł iTn , 20,    ,

j 20,

na nowe zmienne

J'

.., Un) ⁼⁼0,

;..., m»)=o, (40)

■T

,...,    Wj, w₂,..., %)=0,

uważając zmienne %, w₂,..., un , jako niezależne, a zmienną w jako ich funkcyę wówczas, otrzymujemy niejako w miejsce danego równania między zmien-nemi : z, x1}...,    , nowe równanie między zmiennemi : w, uun. Należy

tedy pochodne cząstkowe pierwotnej funkcyi : przez nowe zmienne 20, ui, u₂

..., wyrazić

dz dz d²z dxi,""’dxn’ dxi²

un i przez nowe pochodne cząstkowe : d w dw d²w

dut ’    dun J du{

W tym celu otrzymamy z równania (39) pochodne cząstkowe funkcyi z, odniesione do pierwotnych zmiennych: ælr.., x„, a na podstawie równań (40) wyznaczymy pochodne cząstkowe pierwotnych zmiennych: z,    a:»,

22w

w odniesieniu do nowych zmiennych: 20, uu ..., m», a że na podstawie danych (w-j-1) równań, możemy zarówno zmienną w, jak zmienną 0, uważać jako funkcyę nowych zmiennych niezależnych: w,, tt₂,..., w„, należy przeto otrzymane powyżej wyrażenia wstawić we wzory, określające pochodne cząstkowe funkcyi z względem nowych zmiennych: w1? u₂, ..., un, a otrzymamy równania, podające związki między pierwotnemi pochodnemi cząst-kowemi zmiennej 0 względem zmiennych xi, a?₂,..., xv, a pochodnemi cząstr kowemi zmiennej w względem zmiennych: Wj, w₂,...,

19. Przekształcanie catek wielokrotnych. Mając w całce wielokrotnej:

(41)

zdxidx₂...dxn, gdzie z—f{xx, x₂,..., a;«)

w miejsce zmiennych niezależnych: xi} æ₂,..., wprowadzić nowe zmienne niezależne: w1? m₂

w*, na podstawie wzorów przekształcenia:

U₂, ..., Wn), 3^2 —/₂ (^i, M₂,..., 2£n),    '/n(^ 1, W₂, ..., ^m) i (^^)

musimy uwzględnić, że rozpoczynając wyznaczanie danej całki wielokrotnej od całkowania podług zmiennej    uważamy wszystkie inne zmienne:

jako stałe, a więc ich różniczki równe zeru. Wobec, tego

,    &₂ ..., &n_i

otrzymujemy, na podstawie wzorów (42), równania:

dul -j-7^ ^m₂ +... +“    ,

dWj    dw₂

-,

(43)

dw, 4

àfn-1

d/n, . = . dus 4-dux

du₂

-¹ du₂ 4-... + d/n— du i    • d««

¹ 7    ,    1 d/n

aw₂ + ... 4

dUyi

■ ; w.f.. 74CW»? -..-i

z których, kładąc :

Jn =

d( /i> fi > •••> /»)

d (Wj , U₂^...^Un)

Jn—i —

d(Wj j1)

otrzymujemy związek między różniczkami dxn i du Jn-.\dxn = Jndun, skąd dostajemy:

określony równaniem

dxn — -,

d

=—— dlln,'

(44)

Podstawiwszy tę wartość w daną całkę wielokrotną, otrzymujemy:

J=$$..fzdxidx₂...âxn=ff...f Z -y-l—

n—1

dxi..... dxn-\dun.

Całkując dalej według zmiennej xn zmienne : xi

Æ»—2> Un

-i >

jako stałe, otrzymujemy z równań:

a więc uważając pozostałe

0⁼⁼"r~    -p-r—^-p ••• "p

du{

du₂

dUn-1

o W» -1

Q__d/n—2

dfn-

dfn-2

dw,

du₂

<ńrn-i=

d /n—1

du. da'Ą

dfn-1

dw₂

du 2 *p ••• +

dM„_i

d/n—1

dun-1

dMn-1

du„—\

związek między różniczką dxn—i, a różniczką    w postaci równania:

Jn—ldxn—1= e/n—1    —1 j

cńc„_i =

skąd wypływa :

*/«—2

dun-1,

zatem :

e/»— 1    '

Jn—2 e/n_l

Postępując w ten sposób dalej i doszedłszy do całkowania podług zmiennej #₂, otrzymujemy, zastępując tę zmienną przez u₂, daną całkę wielokrotną w postaci :

dXi ... ^n-l dUn*=ff..f Z .

• •    2 dttn— 1 äV/fi»

— .    — • doc^ dt4?2 • • • dii/yi—i dztw

—2    d n—1

. , ...

^2

W końcu, całkując podług musimy przyjąć t/w₂=0 otrzymamy :

^»=0,..., zatem

d/i

rfw,, czyli dxi=Jidui,

więc, po dokonaniu skróceń, daną całkę wielokrotną, ostatecznie w postaci:

J—Jf. ,f Z. Jn dux du₂... dun,

Z = f{x 1, X₂₁..., Xn)= f ( /j , /₂> •••> fn) — <f{W 1> M2, •••»

Mamy zatem, na przekształcenie całki wielokrotnej, wzór:

x»)dx\dx₂.... dxn=ff..f(p(ui czyli twierdzenie :

Mając całkę wielokrotną o n zmiennych : xi, rr₂, ••*, przekształcić na inną całkę wielokrotną o n zmiennych :    w„, połączonych z pierwotnemi zmiennemi

pomocą danych n równań, należy funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania pomnożyć przez Jakobian pierwotnych zmiennych ze względu na nowe zmienne.

gdzie :

za

dxi

du{

Uh)

à(ut

-, fn)

Un)

duidui...dun, (45)

— 423 —

Twierdzenie to wypowiada uogólnienie sposobu przekształcania całek pojedynczych, wywołanego pewnem podstawieniem, a określonego wzorem:

ff(x). dx= [f[(p{u)\. rp‘ (u) du

według którego przekształcamy całkę pojedynczą, mnożąc funkcyę, stojącą pod znakiem całkowania przez pochodną pierwotnej zmiennej ze względu na nową zmienną.

Ćwiczenia XXY.

Wyznaczyć różniczki zupełne i pochodne cząstkowe funkcyi uwikłanej, określonej jednem z następujących równań:

1)    a²x² b²y² -J- c²z²—a²b² — 0, (z funkcyą æ, y).

2)    u²—x²—y²—z² — 0, (u funkcyą x, y, z).

y — »+1 _ y+x —1

4") Wykazać, że pochodne cząstkowe czwartego rzędu funkcyi u, określonej równaniem : u²—x²—y²— z² = 0, spełniają tożsamościowo relacyę: diu    diu dk u

der*    dy*    dz*

q\ 4. u + z — 1

3) arc tang-----

'    u — z

Ti

— arc cotg

diu

c (w funkcyą er, y, z).

diu

diu

dy²dz²

dz²dce²

= 0,

dx²dy

6) Wykazać, że na podstawie równania: f(x, y) = 0, otrzymujemy:

0 V dJ

’ der ’ dy

i dJ AL AY

der’ dx² ’ derdy ć/ d²/    d²/

dy’ dyàx' dy²

6) Wykazać, że na podstawie równania: /(x, y, z)=0, dostajemy:

0 */ V

’ dy ’ d z 1 d/ d²/    d²/

dy’ dy² ’ dydz

dJ AAL AL

d z ’ dy dz ’ d z²

0 ^ V

’ dx’ dz

d²z

d²x

GO¹

d/ d²/    d²/

dx’ der² ’ der dz d/ _dy o²f dz’ dxdz’ dz²

d²z

àf Of

d²z

dx dy

d/ d²/ dy ’ dy der ’ dy dz Of dV d²/ dz’ dxdz’ dz²

/(*» *11 *2

7) Wykazać, że pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcyi z, określonej równaniem :

• Dik i gdzie Z)/* jest mino-

\dz/

Xn) = 0, przedstawiają się w postaci:

d²z

dxi der*

rem elementu:

d²/

dxi dx*

w wyznaczniku :

0, v- V

y "M

àf

àf

d»n

’ dz

a«! ’ dx₂

Êt AY AIL _ _

dx. ’ ax₂ ² ’ axtaæ₂ ’    a*! dxw ’ d»tdz

ay ay

z>

^ ur C¹5?

I '•o    | 'O

^11 ^

à²f

o²/

0x₂0Xn

0xn² '

ay

ay

der- dz

dxn dz ’

^ W « w' ^ 'O 'O

8) Wykazać, że różniczki zupełne : dz, d'lz, d³z, funkcyi: z =/(x», æ₂, xn), pod założeniem, że zmienne: xu a*₂,..., xn, są funkcyami innych zmiennych niezależnych, określają się następującemi wzorami symbolicznemi :

—    dxx-\-... 4- — dx-,

\dxx    dxn

/ d    d \(3)

Ä = t‘to‘ ⁺ - + te.*'V /+s

dz = dxi 4- ~ dxo +    4- —-

Wj    dx% ²¹    (te» /

)"/+*

àf

d² a?! 4~ ••• 4-    ^²35m,

ó²/

dxxd² cct 4“ 3

f)²/

4--4* 3

i²/

dx-n²

da?! (te₂

dte» d²a;» -f d³xx 4" ••• 4" ^4 dten.

09*|

(rfaîj d²a5₂4- dx<ld'lxl )4- ...4-

9) Jeżeli funkcye : y1} y₂,..., 2/") zmiennych niezależnych: xl7 x₂, równaniem: F{yXl y2 czarny symbolami z

x», są związane y„) = 0, wykazać, że wówczas Jakobian tych funkcyj, który ozna-

J(V\ ) Vu —> 2/n)

P (du l/u •••> 2/n) _ à(yXi y₂,..., y»)

⁽)y»

D (xu x₂,

a:n)

^ (*^1 )    *2, "»Î

(te*

, (i, fc — 1, 2,

n),

jest tożsamościowo równy zeru.

10)    Dowieść, nawzajem, że między funkcyami yi zmiennych xi (*=1, 2,..., n) zachodzi związek : F(yn y₂,..., y»)=0, jeżeli Jakobian : J(yt, y₂, •••> 2/»)» jest tożsamościowo równy zeru.

11)    Jeżeli funkcye yi zmiennych niezależnych: xi (t=l, 2,..., n) są funkcyami ułam-

Hi

kowemi o wspólnym mianowniku: w, tak, że: yi— —, wykazać, że wówczas ich Jakobian da się sprowadzić do postaci:

u,

H y i > Uii *••) i/n )_ i

d(a?i, a;₂,..., xn)    un+1

“l,

) *• )

rił r 1 r

dun

ÓUn

l’ dxi

12) Jeżeli funkcye: yl5 y₂,..., yn, zmiennych: ccj, a^,..., xn, są określone za pomocą n równań:    ..., yn, «j,..., aj») = 0,...,/»(yj,..., yn , art,..., ar») = 0, wykazać, że wówczas:

-^(/l ; ,/â) — ) Jn)    ^ (l/i i 2/2) •••) 2/”)

0/1, 2/2)-) yń ) ' £(»!, x₂,..., *»)■

(ten

/«)

= (—!)”

D(xj, x₂,..., Xn)

13) Jeżeli zmienne: 2t, 2₂,..., zn, są funkcyami zmiennych: y1} y₂,..., y», a zmienne: yl7 2/2)—) 2/«) są nadto funkcyami zmiennych: srj, æ₂,..., a:», wykazać, że wówczas:

D(z\ ) g2' •••) g») D(^i ) g2) ••■) Zn) -P (j/l ) 2/₂)—» 2/n)

D(x\ 1 x2) • M **'w)    D(yx, 2/2) —) 2/*)    D(®i, x₂,..., x»)

14) Jeżeli zmienne: yt, y₂,..., yn, są funkcyami zmiennych: x!,x₂,..., x», a uważamy naodwrót zmienne: x₂, x₂,..., x», jako funkcye zmiennych: yn y₂,..., yn, wykazać, że wówczas :

-P(,2/d ?/2>-) //») -P(a?n «2)

D(x,, x₂,..., x„) ' D(yj, y₂,

15) Jeżeli yi są funkcyami zmiennych xt- , a nadamy zmiennym xt- w różnych przyrostów: A*®,:, wywołujących odpowiednie przyrosty funkcyj: A ty;, wykazać, ze Jakobian funkcyj yi, względem zmiennych x», tworzy granicę stosunku między wyznacznikiem : | Aty,j, a wyznacznikiem : | A* xi |, czyli, że :

*»)

2/n)

= 1.

D(Vl) 2/2) •••) 2/n)

D(xi) »j)

/_    !• I A*y< I _I <2* y* (

*») Atxi=0l ^kXi\' \dk Xi\

, (i, k — 1, 2,

n).

16) Jeżeli : y== «iyi 4- «22/2 4~ ••• + °« 2/« a;==0₁x₁ 4" «2*2 4--4- ön

wykazać, że wówczas:

/ dy\n__ D(yi,ył,-) yn) \c2x/ D(xu x2, •••) *»)'

17) Wyznaczyć pochodne zmiennych y i z, jako funkcyj jednej zmiennej niezależnej x , określonych następującemi dwoma równaniami :

x³ + y'¹ + «² = *"² ) ax-\-bycz — d.

Podobnie dla następujących układów dwu równań:

19) x³    y³ 4"2:3—3xyz = 0,

x-\- y + Z = a.

21) cosa;-}- cos y -f- cosz = a, x³ + y³ + z³ = b.

23) axl -j- bym czn = d , aa;A    ß yM -j- y zv = 8.

18) x³ Ą-y³—'óz-\-a = 0, z³ — 2y² —x -J- b = 0.

20) ex -\- ev e* = a,

sina; -j- log y -j- arctg z = b.

22) sin (x -j- y) -j-    «,

sin (x — y) -f- z — b ,

du

24) Wyznaczyć pochodną -=- z trzech równań między czterema zmiennemi: x, y, s,

kształtu :

x³-\-y³ Ą-z³u³ ■-= a², log(a;y)-}-= &², log -}■-»*=c².

25)    Podobnie z układu równań :

a; —j- y -j— 2 + u = a , x³y³Ą-z³-\-u³— b ,    x³-\- y³-\-z³ Ą-u³ = c.

26)    Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcyj z i u, względem zmiennych niezależnych x i y, na podstawie układu dwu równań między czterema zmiennemi a;, y, z, «, kształtu :

ax -f- by -f- cz -f- du = l, a³x³ b²y³-\- c³z³-\-d³u³ = m.

Podobnie, na podstawie układów:

28) xy -f- zu = a,

* + = +«)•

27)    x -j- y -j- z -}- u = u,

log (xyzu) — b.

29) Jeżeli :

Ul

a przytem : wykazać, że:

«n—1

₌ *1 Xn ’

² + a-₂ ² + ... + l² + #n² = 1,

u₂

₌ x2

Xn

««-i

Xn ⁷

av*-H

D(xi, x2la?n—i)

30) Jeżeli :    w₂, m₃, są trzema funkcyami zmiennych a; i y, a dla każdej pary funkcyj

utworzymy Jakobiany :

-P(m₂, %) ¹    7)(a;, y)

a stąd znowu trzy Jakobiany :

P(u₃, Ui)    _ D(uu u₂)

¹’² D(x, y) ’    ³ D (x, y) ’

Z)(y₂, »3)

¹    -*>(*» y) ’

W₂

7>Q₃; «0

Z>(a;, y) ’

D(x, y) ’

u\ _ w₂ _ Wz ui~ ui ~~

Wykazać i wyznaczyć zależność dwu funkcyj u i v dwu zmiennych * i y, określonych następuj ącemi dwoma równaniami :

31) u =x — y

v <=> x³ -j- y²—2xy—2a? -j- 2y—1.

83) «=î+ü

1— xy

v = arc tg x -f- arc tg y

wykazać, że :

32) « —a;\/l—y² + yV/l—*2 » = arc sin x -j- arc sin y.

34) u = arctg (a; + y) + arctg (a;—y)

y²—a;² -j- 1

V — --=-.

2x

x³—y²

35) u³— 2ux-\-y³ — 0

i> = log(a;-j- V/*²—y²)-

36)m = V/1 + *²+V/1+.V²

y/₁₊a;2_ \Z i-t-y²

Wykazać i wyznaczyć zależność trzech funkcyj : u, v} w, określonych następuj ącemi trzema równaniami :

37) u=x -\-2y-\- z v=x— 2y-\- 3 z w— 2xy — xz -f- 4yz—2z².

89) u = ^- —

' z

(y + g)a

38) «*= 5x²-j- 2«/² — 4«2 « = x² -j- yl — z2 = 7 a;² 4* y² — 5z².

40)    u

41)    Jeżeli cztery funkcye: %, «₂, w₃, w₄ związane są ze zmiennemi niezależnemi: x₂, xii xii za pomocą następujących czterech równań:

a-j = w₂x₂ -f- w₃x₃ + m₄x₄, x₂ =uixi + «3X3 -f W4X4,

X3 —- Wj£Tj “I“ U₂X₂ W4X4 j X4--if 1U₂ X₂ I ■ Wq X3 ,

dowieść, że między temi funkcyami zachodzi związek:

y»

2X

.///

xn

«1

«3

«4

1 “ł"    1 4- ^2    1 “t" «3

l+«4

42) Jeżeli x = rcos<p, y = r sin z = r sin œcos^, gdzie r, ?, ^ są zmienne niezależne, wykazać, że:

43) Jeżeli : wykazać, że :

cos u

a cos?

dx dy d? ’ dt^ sin u cos v

— r² —

sin u sin v

b sin to cos ^

csin? sin^ ’

D(u, v)

abc sin ?

i)(?, ł)

sin «(a² cos²? -f- ó²sin² ? cos²»}' -j-c² sin²? sin²^^

44) Wykazać, że hessyan funkcyi: u=x²yiy⁷z* -{- 3²x², da się przedstawić w postaci : i7(«) = 24 [9 x²y²2² — (x² -j-y²-f- z²) «].

46) Wykazać, że stosując do funkcyi: f(x, y) podstawienia: x = rcosoc, y=rsina, gdzie r i a są nowemi zmiennem niezależnemi otrzymujemy hessyan :

à*f d*f

H(f) =

dx² ’ dx dy d²/    d²/

d²/ dr² ’

±(LdJ)

dr \ r da./

KI⁰!) dl + Ldlf'

dr \ r da / ’ dr r² d a²

dxdy’ dy²

46) Wykazać , że t. z. parametr różniczkowy pierwszego rzędu funk-cyi: f(xt, x₂,..., x»), kształtu:

nie zmienia swej postaci wskutek przekształcenia ortogonalnego, określonego wzorami : xi = la yi -f luy₂ +... + knyn.{i— 1, 2,..., n), yn, są nowemi zmiennemi niezależnemi.

gdzie yt, y₂,

47)    Wykazać, że t. z. parametr różniczkowy drugiego rzędu funkcyi: /(xt, x₂,..., xw)

^ dxj² dx₂² ' dx«² ’ nie zmienia swego kształtu wskutek przekształcenia ortogonalnego.

48)    Wykazać, że, gdy we funkcyi f(r) jednej zmiennej niezależnej r podstawimy: r=V/a;i² + ^2²4' — + a;»²) pochodne cząstkowe tej funkcyi względem zmiennych niezale-

X« , przedstawiają się w postaci: ~ czkowy pierwszego rzędu A funkcyi f (patrz ćw. 46.).

49)    Wykazać, że w warunkach zag. (48) będzie:

kształtu :

żnych: xt

i wyznaczyć parametr różni-

d'f ₌ 1 df xS d /I iA dxi² r dr ' r dr \r dr/’

a zatem parametr różniczkowy drugiego rzędu funkcyi /(r) = /(Y/xj² -f- ... -f- x«²) (patrz str. 47.), przedstawia się w postaci :

ndf d (1 d/\

i/,=y rr+r * (y ïi)-

50) Jeżeli «=/(xt, x₂,..., x„), a przytem: *1 * +    ² +... + xn *= wykazać, że wów-

czas: x₁

dz

oz

dz

dxt

+a!>to:+-⁺*"sr„==r

d«

dr’

51) Wykazad, że :

du dv

dx

du dv dx ’ dx    dx ’ dx

d²u dh    d*u dh

54) Dowieść, że funkcye u i v jednej zmiennej niezależnej, których Wrońskian

u, v

Vv'

W (u, v) =

=• o,

są od siebie liniowo zależne.

Znaleźć Wrońskiany następujących funkcyj : 56) u = 1 — cos 2x ,

57) « = tg²»,

1 — cos 2»

tg²»+l’

b8)u = ex, v=sinx, w = cos x.

60) Wyznaczyć pochodną wyznacznika funkcyjnego:

1 -j- cos 2»

59) M=logx, r=arcsinx, w=arccosx.

y‘%,

yn

</«(«—!)

którego elementa są funkcyami jednej zmiennej niezależnej x, przyczem yjr) przedstawia r-tą pochodną funkcyi yi ze względu na zmienną niezależną ».

61) Znaleźć pochodną wyznacznika funkcyjnego :

I y^-v, y%("-¹)

yx(H-O,..., y»(r+l)

yn(r+n)

yi<r+”),

w którym element yt(r+*), (fc=l, 2,..., n), przedstawia (r^-fc)-tą pochodną funkcyi: y»(t=l, 2,..., n) jednej zmiennej niezależnej ».

a²»

dw

Rozwiązania XXV. 1)—=—^ d»

z równai: dddx+dS*l'⁼⁰'

,    , dfdfdz n

z rownan : ^    — =0,

ox o z ax

y m²-J-(«— l)2 «—1 y ² -f- (x — l)²*

5) Wypływa

d-r£dxi + 2-?^r- dxdy+^Ądy²-\-^d²y = 0.    6) Wypływa

dy

d» dy

-_j_ , g jy ^    fdf\², d/d²«

d»² ' d»d» d»    d2² Vd»

d²/

dy

dz d»²

=°- Ś -

C»

₁₈) dy _ ⁸ (1—2 x*z)

dx

iqsdy_z—x ₀i\ dy iy; dx ~ y-x Zl) dx

x²sin«— «² sin»

dy

' 4y («—3) * l avyxi—¹ «r—¹ — XatncxA—1 zn~¹

«²siny— y² sin«

cy — bz

. 22) ^ = tang x tang y. 28)

ri!»

. 24) *-i [Æ^4-4 ' dx « L æ (» -f- y)

«²(x2 — 1)

mdvyym—¹ z**—1 — (iß»c»/*—1 «w~¹

d« a(ax — du) du __ a(cz—ax) dx c (du — cz) ’ d » d (dw— c«)

(«—») (y—»)

. 26)

1 du

4²⁶⁾ Sï =

. 31) v — «² = 2u — 1.    82) w = sint>.

x (xz — 1)

(*—**) (y—«)

33) w=tgfl. 34) r = cotgu. 85) r=logw. 36) v=—. ⁸7)    — u²-\-v* =0. 38)

39) rł -j- M’⁴—2(w*r²-j-v²«?²-}-m>²w²)—m²v²w>²=0. 40) (w -|- v "h WY—uvw—0. 48)    *

w = 2 « — 3®.

Literatura. Edouard Goursat. Cours d’analyse mathématique. Tome I. Paris 1902. Ernesto Pascal. Die Determinanten. Deutsche Ausgabe von Dr. Hermann Leitz-Leipzig 1900. S. Dickstein. Własności i niektóre zastosowania Tfórońskianów.

mann.

Prace matematyczno-fizyczne. Warszawa 1888.

Tematy do rozprawek naukowych:

1.    Różniczkowanie wyznaczników funkcyjnych.

2.    Teorya i zastosowanie Jakobianów.

8. Teorya i własności Wrońskianów.

Wykïad XXVI.

Rozwijanie funkcyj uwikłanych ilukolwiek zmiennych na szeregi potęgowe.

1. Rozwijanie funkcyi uwikłanej, określonej jednem równaniem. Niech

będzie daną funkcya z zmiennych niezależnych: xu    x

równaniem :

określona

(1)

F (z, xif x₂,..., x„)=0, gdzie: F (z, xx, x₂, . . .,■#„) jest funkcyą (w+1) zmiennych : z, xlf ..., xn, o której przypuszczamy, że da się rozwinąć w szereg potęgowy tychże zmiennych. Na podstawie wzoru Maclaurina (str. 337.), otrzymujemy tedy:

(2)

F (z, xu x₂,.

gdzie F₀ przedstawia wartość funkcyi: F (z, xif x₂, ..., xn) w miejscu:

*~0, xx =0, #₂=0, ..., xn=0, a DF₀, D²F{ są jednorodnemi funkcyami 1-go, 2-go,..., r-go stopnia, ze względu na zmienne : z, #j, x₂,.xn, w postaci:

xn)=F₀ -\-DF₀-\-    D*F₀+...+^ I)r F₀ + •••

BrF,

im

\ dxn /q

d*F

dXn—i dxn/ q

ogólnie Dr.F₀ przedstawia się w postaci symbolicznej :

dxx

d \<r)

) ^(0, o,.

dxn

0).

Uporządkowawszy powyższe wyrażenia podług potęg zmiennej zależnej z, otrzymamy :

DF₀ = (px ⁽¹⁾(#t-) + <jp₀ ⁽¹⁾ («<) • «,

D*F₀ = (p₂M (#;)+2<jP₁ (2) (a;t.)    +    . £²,

ogólnie :

(3)

DrF₀=(PrW(xi) +

(Pr-1(r) («<)+ ę>₀ (r) (#,) • Zr,

gdzie (pr^(x{) są jednorodnemi funkcyami r-go stopnia, ze względu na zmienne niezależne :    (i= 1, 2

w).

Równanie (1) określa zmienną z, jako funkcyę jednowartościową, lub jako funkcyę wielowartościową zmiennych niezależnych: x^, x₂,xn. Niech będzie: z=f (xi} x₂, ..., x„), jedną z tych funkcyj, która, rozwinięta według szeregu Maclaurina, przedstawia się w postaci:

x„)—z₀ -\-{dz)o +2~j A²0o + •••+ ^77 (dr#)o +••• »

gdzie z₀ przedstawia wartość tej funkcyi w miejscu ^=0, x₂—0,..., xn=0, a (dz₀), (d²z\, ..., (drz)₀ są jednorodnemi funkcyami 1-go , 2-go, ..., r-go stopnia ze względu na zmienne niezależne: xi, x₂, xn, kształtu:

m~*'fete (51⁺-+x’(^l’ ■

■(«w (&).

z=f(xv x₂

d²z

(4)

ÔXn—i ÖXyi

)o’

ogólnie (drz)₀ przedstawia się w postaci symbolicznej:

■J.+* A

dxi ² dx₂

(dr z)₀ = ^

d Vr)

+ -+Xndxn)

*o-

(5)

<

Funkcya przyjęta: z=/(xi, x₂,..

xn), określona szeregiem potęgowym (4) musi oczywiście posiadać tę własność , że podstawiona w równanie (2) sprowadza je tożsamościowo do zera.

•> »

Uporządkowawszy wyrażenie: F\_f(psu ..., £„),    ,..., #n], podług potęg

zmiennych: xi, x₂,...,    , musimy zatem otrzymać spółczynniki przy wszyst

kich potęgach: æ₁r,..., Ænr, równe zeru , skąd otrzymamy relacye na wyznaczenie funkcyj całkowitych 1-go, 2-go,..., r-go stopnia ze względu na zmienne xA, ..., xn, oznaczonych symbolami dz, d²z dane rozwinięcie.

2. Przyjąwszy z góry rozwinięcie funkcyi z, określonej równaniem: F(z, xi,..., xn)=0, bądźto w postaci szeregu Taylora w otoczeniu miejsca (®i, «2? •••» «»)? kształtu:

j, •••) 3/n)=f(u..

■u vj

(ür#, a tern samem żą-

A51

, «-)+(*.-«.)(51+{%-m51

+ - +i[

4-

bądź to w postaci szeregu Maclaurin’a kształtu :

w otoczeniu miejsca (0, 0, . . ., 0),

&    %n)—y(0) o

m

\dxnf o

°'⁺051⁺M41

(50,⁺-⁺²*”-¹ ** {*ÜxX }

4 •••

V. ■

d l(r)

0) + -'- '

musimy przedewszystkiem, na podstawie równania (1) wyznaczyć jakąkolwiek wartgść funkcyi z w przyjętem miejscu: (a{, a₂,..., an), względnie: 0), t. j. /(«., a₂,..., «„), względnie /(0, 0,..., 0).

, i r à

⁺H[x'tel+x*

-a

(0, o

Wyznaczywszy następnie

na podstawie wykładu XXV. art. 1., str.

należy obra-

dz

dz

d²z

407—408, pochodne cząstkowe tej funkcyi: -—,    ₂,.

OXa    ÓXn ox^

chować wartości tych pochodnych w przyjętem miejscu: (a1? a₂,..., an), względnie (0, 0,.., 0), z uwzględnieniem wyznaczonej wartości: f{a^, a₂₎... an) względnie /(O, 0,0), danej funkcyi.

Otrzymujemy tedy dla danej funkcyi, określonej równaniem:

F (z, xi, &₂,..., xn) =0,

formalnie tyle szeregów potęgowych, ile wartości, na podstawie danego równania, przynależy funkcyi z w przyjętem miejscu: (a1? a2 dnie : (0, 0, ..., 0).

3. Maxima i minima funkcyi uwikłanej, określonej równaniem:

F (*, x„ x

wyraźnych ilukolwiek zmiennych, wyprowadzone z szeregów Taylora, str. 338—348, stosują się analogicznie do funkcyj uwikłanych, prowadząc do następującej reguły :

Aby wyznaczyć maxima i minima funkcyi z, określonej równaniem : F(z, xX) x₂,..., #„)=0, należy wyznkczyć wartości: xi, x₂,..., x„ z równań:

On), WZglę-

2J *•*?

x„)=0. Metody wyznaczania maximôw i minimów funkcyj

dz

dz

dxx dx₂ "

które sprowadzają się tu do postaci :

dF

dz

, j=-=o

dxn

(8)

dF

^=0

dF

dz

dz

dz

dF

a więc w przypadku : — ^ 0, do równań :

Ö X

—=0 —=0 dxi ’ dx₂ ’

Równania te wyznaczają te układy wartości, które wywołać mogą maxima lub minima, funkcyi z, określonej danem równaniem:

F (z, xi} x₂,..., x„)=0.

Wszelka wartość#, przynależna, na podstawie danego równania, układowi wartości xif x₂, ..., xn, wyznaczona z równań (9), staje się w tern miejscu minimum, skoro wszystkie wyznaczniki, utworzone z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu , kształtu :

dXn

(9)

dH

d²z

d²z

dxi

dxi dx ₂

dx^dXi

Di=

gdzie i= 1, 2

n,

d²z

d²z d²z dxidxi ’ dXidx₂

mają w tern miejscu wartości dodatnie, staje się zaś maximum, gdy te wyznaczniki są, przy parzystem i, dodatnie, a przy nieparzystem i, ujemne, a nie jest wreszcie, ani wartością maximalną, ani minimalną, gdy powyższe

warunki nie spełniają się, a przy tern wyznacznik : Z)n =

od zera.

dx ²

d²z

dXidxk

jest różny

4. Przykład. Wyznaczyć maxima i minima funkcyi uwikłanej z dwu zmiennych niezależnych x i y, określonej równaniem:

z²-\- xyz— xy² — x³ = 0.

Kładąc F=z²-\-xyz—xy² — x³, mamy tu równania:

dF

Txz=yz~'y2~'3x2 ^

dF

dy

— xz— 2xy — 0,

z których, w połączeniu z danem równaniem, otrzymujemy trzy układy wartości zmiennych niezależnych :

1) x = 0 y =0 ’

wywołujące trzy wartości funkcyi :

2) = -6 _ — 6\/3 ’

3)

'S »

= —6 = - 0V/3 ’

1) z=0,    2) z = 12V/3 ,    3) z— —12\/3 ,

które mogą być maxima lub minima.

Celem rozstrzygnięnia tej sprawy, wyznaczmy drugie pochodne cząstkowe danej funkcyi. W tym celu otrzymamy z wzoru na pierwsze pochodne cząstkowe:

dx

dF

dx

dF

dF

yz—y²—3a:² dz dy 2z -f- xy ! dy dF

x z — 2 xy

dz

od powiędnie wzory na pochodne cząstkowe drugiego rzędu, kształtu :

d²z

d²F_ ₂ dFdF d²F    d*F

\dz) dx²    d x dz dx dz v)x/ dz²

dx²

O³

d²z

dx dy

² d² F _d F (dF~ d²F dF d²F dxdy dz Vax dy dz    dy dxdz

1S'^

a F d Fd² F dx dy dz²

(dF\² d²F ' \dy/ dz²

/dFY¹ d²F dF d F d²F^ Va z/ dy² dy dz dydz

dF

dF

które W warunkach: ^==0, — =0, sprowadzają się do postaci:

dy

a² F

d² F

d²F

(-)=-

\teV

dx²

dF

dz

\dx dyl

a że mamy tu:

a/*'

d²F

dy²

dF ’ \dy²) dF

dxdy

d² F

a² F

dx dy

przeto otrzymamy, dla miejsc powyżej wyznaczonych:

z— 2w, —- =—2x , dy²

(ax*)

6x

(*!•)

Vax dy/

z— 2 y

2z -f- xy '

\dy²)

2x

2 z Ą- xy‘

2 z xy ’

Wartość *= 0, odpowiadająca wartościom x=0,    nie jest widocznie ani

ximum, ani minimum funkcyi.

Dla układu drugiego: x=—6, y = 6V/3, z— 12 \/3, otrzymujemy:

ma-

a² z

d²z

d²z

«P

°’ dv² v/3 ’

d²z d²z

zatem : ^ > ° , a zarazem : ^ ^

dxdy

d²z

jest jednorodną funkcyą w-go stopnia, ze względu na różnice:

y fj, Xx

Równanie (12) kończy się na tych wyrazach, które, ze względu na różnice: y — y, x^— $itxn—£» , są tego samego stopnia, co funkcya: F(y,    x„), ze względu na zmienne «/, iCj,..., x„.

Jeżeli wartości pochodnych cząstkowych, pierwszego rzędu :

dF dF dF

dy ’ dV"'’ dxn’

£„) nie wszystkie równocześnie stają się zerami, wówczas

- 432 —

a więc wartość funkcyi : z=12\/B, odpowiadająca wartościom zmiennych niezależnych: —6, y=6\/3, jest minimum danej funkcyi.

Dla układu trzeciego: x = — 6, y=—6V/S, z=—12\/3, otrzymujemy: d²«

dx2 ==    ^³’

f)²«    ó²z <)²Z

zatem : —s < 0, a zarazem : —₂ —₂

Ó²Z

o    __Ł_

’ V vT"*

a więc wartość funkcyi: z = —12Y/3 , odpowiadająca wartościom zmiennych niezależnych: — 6, y— — 6 Y/3, jest maximum danej funkcyi.

5. Rozwijanie funkcyj algebraicznych ilukolwiek zmiennych. Jeżeli funkcya : F(y, x{, x₂,...t xn) jest funkcyą całkowitą wymierną zmiennych: y, xiy x2lxn, natenczas zmienną«/, uważaną, jako funkcyę zmiennych niezależnych : xi1 x₂, ..., xn, określoną równaniem:

&ii *^2» •••»

algebraiczną zmiennych niezależnych:

(10)

nazywamy funkcyą xi} x₂,..., x„. Niech będą: y=rj, xi=£i, x₂ = Ç₂,..., xn=£n, wartościami sprawdzaj ącemi równanie: F(y, £1? £

Rozwijając funkcyę: F(y, xit x₂,..., æn), według szeregu Taylor’a , podług potęg różnic: (y—y), (xx—£x), ..., (a5„—£„), otrzymujemy:

F(«/, ar₁,...,æn)=F(î?,i zatem równanie :

dF

gdzie : dnF(rj, £

dF

dx₁

£n)~hdF(y, ^,..., £n)-f ••• j    F (rj, £

(#n—£*) + ••• + d„F(y, £,...,    +    0, (12)

W !

dx„

-, S.Ï

w miejscu (y, |

takie miejsce («y, £t,..., £„), nazywamy miejscem z w yc z a j n em , albo także miejscem pojedyńczem danej funkcyi algebraicznej w zmiennych. Jeżeli zaś miejsce (y, fj,..., |„) jest tego rodzaju, że w niem stają się zerami nie tylko wszystkie pierwsze pochodne cząstkowe funkcyi F(«/, xi,..., xn), ze względu na zmienne: y, xi,, xn, lecz także wszystkie jej pochodne cząstkowe drugiego, trzeciego,... aż do (p—l)-go rzędu włącznie, podczas gdy pochodne cząstkowe p-go rzędu, nie są w tern miejcu wszystkie zerami, natenczas nazywamy miejsce: (y, |1?..., £n) miejscem osobliwe m, wielokrotne m, (p-k r o t n e m) danej funkcyi algebraicznej; rozwinięcie (12) zaczyna się w takim przypadku od wyrazów p-go wymiaru, ze względu na różnice : (y—y), (xi—^i), •••, (xn— £„), przyczem najniższe stopnie poszczególnych różnic: y—y, xi—^i,..., xn—£n> mogą być każdy dla siebie mniejsze od p.

Załóżmy, że rozwinięcie funkcyi y w miejscu (|1} ..., f„), przedstawia się w postaci :

y — fj = Oj («j —    ) + «₂ (^2 — h ) ⁺ ■■ + O* (Xn—f «) + % ! (Sj — |t ):2+ ... + dnn (Xn— £n) ²+

-f⁻ 2tli 2 (U ^1 ) (*^2    ^2 ) "ł” ••• “ł" 2tln_lt n (Xn—1    £n—l) (j^n £n) "ł" •••

to rozwinięcie to musiałoby sprawdzać tożsamościowo równanie (12). Uporządkowawszy to równanie podług potęg różnic: xi — fj xn—£n i kładąc spółczynniki przy poszczególnych potęgach różnic: Xi — £>il równemi zeru, otrzymujemy równania warunkowe na wyznaczenie spółczynników : ai, n₂,... ...,an, «u,..., ann, przyjętego rozwinięcia, dochodzimy przytem do następujących wyników:

jest w miejscu: (77, |1? ..., f„) różną od

Jeżeli pochodna cząstkowa:

(Jtf

wówczas istnieje tylko jeden szereg potęgowy, uporządkowany według

zera

potęg różnic xt—, który, wstawiony w równanie (12), spełnia je tożsamościowo. Szereg ten zaczyna się od potęgi: {Xi—£i)p<, jeżeli p{ jest najmniejszym wykładnikiem, w którym różnica : (x{—£,-) występuje w równaniu (12).

Jeżeli miejsce: (rj, £t,..., £„), jest miejscem ^-krotnem, wówczas równanie (12) sprowadza się do postaci:

......^⁺(^ïÿ.d,+'F^ t

•f(C

(13)

wówczas istnieje p takich szeregów potęgowych, kształtu:

y — i7 = ai(«i—£i ) + ■•• +a» 0»»—+    £i)²+ •

które, wstawione, w równanie (13) sprowadzają to równanie do tożsamości. Szczegółowe wyznaczanie tych szeregów stanowi przedmiot osobnego działu analizy wyższej, mianowicie teoryi funkcyj algebraicznych.

Zajmiemy się tu tylko jeszcze niektóremi ciekawemi rozwinięciami funkcyj ze względu na jedną z jej zmiennych niezależnych.

6. Szeregi Lagrange’a. Niech będzie zmienna z funkcyą zmiennych y i x, określoną równaniem :

z = y + x <p(g)t

gdzie (p{z) jest jakąkolwiek funkcyą zmiennej z. Załóżmy, że nowa zmienna u jest pewną funkcyą zmiennej z, kształtu :

u = f(z),

i postawmy sobie za zadanie rozwinąć funkcyę cp(z) podług potęg zmiennej x. Na podstawie szeregu Maclaurina, otrzymujemy tu:

x² /d²u\    xn /dnu\

^ 2! Xdx²)^'"^ n\\dxn)₀

(du\

“-“»+* y,

/dn\ /d²u\    /dnu\

U/o’ U²/o’’"’ \dX"/₀

+...

(14)

jakie otrzymują

przedstawiają wartości

pochodne zmiennej u względem zmiennej x, gdy w nich położymy x=0. Celem wyznaczenia tych pochodnych, otrzymujemy przedewszystkiem :

gdzie :

(15)

du du dz du du d z dx~~ dz dx¹ dy dz dy

Z równania: z=y-\-xcp(z), dostajemy jednak:

dz

dz

Cii Ci/

= 1 +xq>‘(z)

Çs, Ci

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

a stąd :

dz

cp {z)

dz

dx    1 —x(p‘(z)' dy l—xq)‘(z)

dz

dz

a więc :

wobec tego otrzymujemy z (15) :

du du . . dz    du

dx⁼~di V(^dv’ 0ZylU

dy’

du dz

dz dy '

du

a więc pierwszą pochodną: — , w postaci:

ox

du

du

dy'

(16)

Na tej podstawie, otrzymujemy dalsze pochodne; w szczególności otrzymujemy:

d_ /dtt\ d T du\ dx²~~ dx \dx)~ dx L V * dy\

d²u

(17)

a że :

§rl^

.. .du dz dz

* äi+,pW

d²u

dxdy

dz

Ôti    kj &    •

a wobec u=f(z), jest: — = f‘(z) — , przeto równanie (17) sprowadza się do

OX    ÖX

postaci :

d²w

O/l O/

«i h

du

d#

skąd , ze względu na to, że : — = f* (e) ^

d²u dx²

otrzymujemy drugą pochodną :

o/

(18)

Załóżmy, że (w—l)-sza pochodna przedstawia się w postaci wzoru:

dw-²

dn_1 u

dxn~x

dyn~²

to otrzymujemj7, stąd w-tą pochodną w postaci :

d«-¹

dnu

d xn dyn~² dx

d»-2

a że :

d [m*)}-’£]- (»- D i«⁵W}-¹ <p‘ w£ I ÿ + {vW>

dy [ {<3P(^)}W-¹ ^1 -(» — !) {<5P(*0}W~² ?>' W

[ w*)}- J]=I [(^i”¹ £]-1    ^

du dz dz

dz dy dx

+ {?>(«)}

d²u

d:c dy , d\ dx dy

du

a więc : przeto otrzymujemy :

dy

czyli wzór:

-Sflwl-gl

dnu

dxn

(19)

zgodny z przyjętym , a więc, wobec prawdziwości wzoru (18), ogólnie prawdziwy dla wszelkiego całkowitego n.

du

Dla x=0, mamy z=y,

dz

roo-sr.» wi?c:

dy

dp

= 1, a że: u=f(z), zatem': u₀ =/(y); ponieważ :

=f'(y) Wobec tego otrzymujemy z wzoru (19):

\dy/o

/dnu\ \dxn)₀

d*-'

dyn

Szereg (14) sprowadza się zatem do szeregu:

n\ dyn

który nazywamy ogólnym szeregiem Lagrange’a.

Jeżeli funkcya f(z) sprowadza się do z, wówczas mamy: f{y)=y, f\y)=l. Na podstawie powyższego wzoru, otrzymujemy, na rozwinięcie samej funkcyi #, określonej równaniem: s=y-}-X(p(z), szczególny szereg Lagrange’a w postaci : . . x² d[(p(yp] x³ d²[ę>(y)³]    , -

*=y+*<PW+Wl -^+8!    dp⁺-⁺-'

xn d¹¹^¹ [(p(y)n]

n ! dyn

(21)

7. Przykład. Rozwinąć funkcyę z, określoną równaniem: z =y -{-    (z²—1), tudzież

jej potęgę zr podług potęg zmiennej x.

Mamy tu : <p (z) = ł/₂ (z²—1). Na podstawie wzoru (21) otrzymujemy tedy rozwinięcie : 1    d(y*-1)2

* 2!2? ‘ dy

z = y-x.

y² — 1

~2~

-j- a;²

-f- a;³.

1    rf²(y²—l)³

3! 2³ dy*

■ł-...+a:n.

1    dH—¹ (y²—l)n

n ! 2» dyn~l

Funkcyę z możemy w tym przypadku przedstawić w postaci wyraźnej. Otrzymamy bowiem, na podstawie danego równania:

2²—

1 -4-\/1— 2y x -f- aj²

Dla a; = 0, otrzymujemy na z jedną wartość nieskończenie wielką, odpowiadającą znakowi -j- pierwiastka, drugą równą y} odpowiadającą znakowi — pierwiastka.

1 — V 1 — 2 yx -|- a;²

Powyższe rozwinięcie odpowiada przeto funkcyi wyraźnej : z i prowadzi do szeregu :

1—VA—2yx-\-x%

y+    -(y*—!)-+

+ ...4

a;² d (y²— l)²

2\~2* * Ty

xn    dn—1 (y²— l)w

» ! 2»

dyn—1

f ...

x³    d³(y²—l)³

3! 2³ ' dp

Zróżniczkowawszy ten szereg podług y, otrzymujemy szereg:

a: <%*— 1) ,    a;²    d²(y²-l)² ,    a;³    d³(y³-1)³

3! 2³ ’ dy³    •’

= (1 — 2yx-\-x²)

-7.

= ¹⁺2

dy

2 ! 2² * dn(y²—l)w

%²

xn

+ - + ST2Ü •

jako ciekawe rozwinięcie funkcyi (1—2yx -)- x³)—V* podług potęg zmiennej Spółczynniki tego rozwinięcia., przedstawiające się w postaci:

* 1 n ! 2*

tworzą funkcyę zmiennej y, zwane funkcyami Legendre’a.

SB

Mając rozwinąć r-tą potęgę funkcyi z, określonej równaniem : 0 = y -f- — (z²— 1),

według potęg x, zastosujemy ogólny szereg Lagrange’a wz. (20). W tym celu podstawiamy : f{z) — zr , zatem: f(y)=yr,f'{y) = ryr w postaci :

dyn

r*

dn <y ² — 1 w

dyn

-l

żądany szereg przedstawi się więc

Zr = yr +    (y*— 1).

^    ^ w ! 2»

. r d[(y³—i)²yr~¹]

dy

*3 d*[(y*_iyyr-i]

3 ! 2s* ’ dy²

f ...+

dn~ 1 [(y²—!)” yr~¹J i

2) Rozwinąć funkcyę « zmiennych x i y, określoną równaniem: z = y-\-x&\nz , tudzież funkcyę sin z, podług potęg zmiennej x.

Dla æ—0, mamy tu 2 = */, a że: 9 (2)= sin 2, więc <f(y) = siny.

Szereg (21) Lagrange’a prowadzi więc do rozwinięcia :

, x . x² <ż[sin²i/] . x³ d²[sin³*/]

*=y + pIsmy + 2-! .

a natomiast szereg (20) do rozwinięcia :

dy

8!

dy

⁺ ~+;n

xn dn~¹ [sinw y]

dyn~¹

sin z

, x .    , x² d ( sin²y cost/)

== sin y -j- — sin?/cosj/ + 2|

+ ..<d

dy

x³ d² (sin³ y cosy)

3!

dy²

xn dn—i (sin” y cosy')

dyn -¹

8. Zastosowanie szeregów Lagrange’a do rozwiązywania równań. Szeregów Lagrange’a możemy użyć z korzyścią do rozwijania pierwiastków danych równań według potęg zależnych od ich spółczynników.

a) Niech będzie dane równanie drugiego stopnia kształtu:

ax² — bx + c = 0,

to, pisząc je w postaci:

c ax²

¥ ⁺ T'

wobec tego, na podstawie szeregu

dochodzimy do równania typu: z=y+xcp(z), w którem wyrazy z, y, x zastąpione zostały przez wyrazy x, ~

(21) Lagrange’a, do rozwinięcia według potęg spółczynnika a, w postaci:

c²

aĄ-

2! b⁵

a² +

5.6c⁴

3! &⁷

której użyć możemy do wyznaczenia przybliżonej wartości pierwiastka: b—\Zb% — 4 ac

2«

pod warunkiem : 4 ac

Stosując n. p. to rozwinięcie do równania: x²—4o5 + 2=0, mamy: a=l b = 4, c=2, zatem:

1    1 i ¹ i ⁵⁻⁶ I

2    ⁺ 24 + 26 + 3!210 + ,'‘

jako szereg wyobrażający wartość: 05=2—y/2 =0-5858...

ß) Weźmy pod uwagę równanie trój wyrazowe m-go stopnia kształtu:

05m + ax — b = 0.

Przedstawiwszy je w postaci :

b ¹ m x=---xm

możemy doń zastosować szereg (21) Lagrange’a. Podstawiając we wzorze (21)

—    —, zamiast: z, y, x, otrzymujemy tu rozwinięcie zmiennej

a a

w postaci :

wyrazy : x

05 podług potęg wyrazu —

ci

1    1 d(y2m) 1    1    d²(y3m)

dy²

^m+2! a² dy 3! a³

11 dn~x (ynm)

⁺~4(-lr »Tl V"

y) Weźmy pod uwagę ogólne równanie n-go stopnia, kształtu: an xnĄ-an-1    a₂a:²-f «/a:—a₀=O,

tedy, kładąc:

cp(x)

Wykonawszy wskazane działania i zastępując y przez —

Oj

otrzymu

jemy powyższe rozwinięcie w postaci:

b bm    2m ć2m_1    (3m—l).3m b³

a am+1~^ 2! a2m+¹    3!

m—1

q&YÏI -f- 1

f...

zbieżne , dopóki mm j b |m—1 <((m—1)

Korzystając z szeregu (20) Lagrange’a, otrzymujemy rozwinięcie jakiejkolwiek funkcyi tego pierwiastka.

Tak n. p. otrzymamy :

log#=logy— -

a \m.

-~y

a

to-i, 1    1

'"z ! a² dy

r—

1 d² (y2m~l)

3 ! a³    dy²

czyli :

log æ = log —

Jm-l

a"¹

2m— 1 ó²™⁻² (dni— 1) (3m—2) ć3m~³

2!

a2m

3!

a3m

ax -\-a₁x + ... + an xn~l=-przedstawimy to równanie w postaci :

=0,

(p (z) a° x = a₀ (p(x).

Stosując do niej szereg Lagrange’a, możemy x rozwinąć według potęg spółczynnika a₀. Otrzymamy tedy rozwinięcie w postaci:

² \d[cp (a)]²l    a₀³r^²[qp(^)1³

L dx lo⁺ 3 ! [

czyli :

x=a₀(p(x) +

fcO

dxl

a₀n f dn-i[cp(x)]n

dxn~x

gdzie spółczynnik przy

, przedstawiony

wartość (n—l)-szej pochodnej funkcyi: (p(x) = scu : x=0.

w postaci:

1

dxn~

OJ J

wyobraża

-\-atxĄ-... + anxn~i

w miej-

ô) Weźmy ogólne równanie przestępne, kształtu:

a₀ =alx-\-a₂x²-{-... + anxn +...

w którem szereg: a^x-\-a.₂x²-\-... jest szeregiem zbieżnym w kole o promieniu p, przyczem spółczynnik oą jest różny od zera.

zera

Możemy tedy pierwiastek x, który wraz z a₀ dąży równocześnie do t. j. najmniejszy pierwiastek tego równania, na podstawie szeregu Lagrange’a, rozwinąć według potęg liczby a₀.

W tym celu połóżmy:

ai -f a₂x + a₃x² + ...Ą-anxn ^ Ą-...=/ip(x)1 a otrzymamy dane równanie w postaci :

a₀=x.tp(x), czyli x=a₀.~^—, skąd, na podstawie szeregu Lagrange’a, otrzymamy rozwinięcie:

x=a₀

«o²

ip(0) ⁺ 2!

” r dn~x / i \ni

! [ dxn~x \ p(x) ) Jo

+ .» +

+... -P

+ ».

gdzie znak 0 ma wskazywać, że wyznaczywszy wskazane pochodne funkcyi

(    względem x, mamy podstawić 0 za x.

9. Odwracanie szeregów potęgowych. Rozwijanie zmiennej a; według potęg zmiennej y, określonej szeregiem potęgowym :

y=aix-\-a₂x²Ą-... + an xn-\-... zbieżnym w zakresie |æ|<C(>, na szereg potęgowy:

x=biy + b₂y²+...-\-bnyn+...

nazywamy odwracaniem, albo inwersyą danego szeregu.

Na podstawie szeregu Lagrange’a , otrzymujemy, według poprzedzającego ustępu, spółczynniki b„, żądanego rozwinięcia w postaci:

bn

rH

gdzie : zatem :

tp{x)=ax -\-a₂x-\-azx² + xn~

#(*) ) Jo

1 y²

X=y'~ę(0)JrVT\

Żądane odwrócenie możemy wyznaczyć stopniowo także w ten sposób że, przyjmując szukane rozwinięcie w postaci:

x=biy+b₂y² + b₂y² + ... + bn y* + ...,

zastąpimy w danym szeregu :

y=aix-\-a₂x² + a₂x?‘+...-{-an æ”-f...,

zmienną x przez przyjęty szereg potęgowy. Otrzymujemy tedy tożsamość: x=bA (ax x + a₂x² + ... + «„ xnĄ- ...)-\-b₂(aix-\-a₂x²+...Ą-an xn...)²+b₂(aix+a₂æ²-p...-P + ... + ««%n + ...)³+ ... + &» (a₁a5+cs₂a:²+...-f a„flcn+...)n+... z których wypływają kolejne wartości spółczynników w postaci:

7 2a₂    a j

10. Metoda wskazana , znana pod nazwą metody porównania współczynników, pozwala wyznaczyć także odwrócenie szeregu potęgowego, kształtu :

y = an xn + «71+1 a?*+l -j-...

Rozchodzi się jedynie o postać szeregu potęgowego, przedstawiającego tę wartość zmiennej æ, która wraz z y maleje do zera.

W tym celu, piszemy :

Ł = —, b₂ = -«1

«i

0+^ *+—-’+•••)

\    iln    (In    ’

y = ClnX*

i wyciągamy obustronnie pierwiastek »-go stopnia. Stosując wzór:

(! + «/*= 1 + i «H

1.2

W³ -p ...

otrzymamy, w danym wypadku, wzór :

I » /«»+ t¹+Tv“*r

X -p

^ æ2 ₊ . .)

On    /

I(A-i)

n \ n /

On+2

1.2

On

X² -f- •••

- 439 -

Rozwijając według potęg x, otrzymamy:

yn =^₁x + ^₂x² + 4₃x³-1- ...

przyczem :

A^S/cin , A₂ = i sprowadzamy rzecz do odwrócenia szeregu :

«»+¹ %V-T

“V V/«»”-¹, ...

y ” = ^ix +    + a3x3 + -

w poprzednim art. wskazanego, z tą tylko różnicą, że miejsce zmiennej y, zajęła zmienna

, otrzymujemy więc :

x = \yn -\-hyn +*>₃yn + ...

Odwrócenie szeregu :

y = an X» -j- an-j-l x«+! +...

ma zatem postaó :

x=\yn + &2yn -\~hyn + •••

Współczynniki bu l>₂, fe₃,... wyznaczamy, podstawiając rozwinięcie:

x = biyn-{-biyn +b₃yn + ...

we wzór :

y = anxn -j- an+l x«+* -Ą-...

otrzymujemy tedy :

y = an(bly n -\-b₂y n -\-b₃ y n Ą- ...)n ®n+l (Piÿ* + ^2 y n ~\~^3 ÿ * + ...)n+¹ +••• skąd wynikają równania:

an bxn = 1, wan fcj»—¹ bt -j- an+l    =0 ,...

h 1 ^1    .»/-5

V/ «n

bt ² an+l nan

Rozwinięcie powyższe możemy przedstawić w postaci szeregu Lagrange’a, rozwiniętego jednak według potęg zmiennej y¹/». Pisząc, bowiem :

y = x* (an -f an+l x    an+2 x² -j-...)

dając :

&2

,...

a więc : i podstawiając:

y n ₌x(anĄ- an+1 x -j- an+2 X² + ...) » Ą(x)=an-\-an+l x + an+2x²4- ...

otrzymamy :

n =r

x. [<Kx)] n » czyli : x =

yn    j

a stąd :

y ' H(0)/    2! *-dx\«!»(*)/ Jo'r 8! LÆr²V<Kx)/ J°

+ «■

(23)

11. Rozwijanie układu funkcyj uwikłanych, na szeregi potęgowe.

o n zmiennych niezależnych :

ł Vm j #1,    •••?

Niech będzie danych m funkcyj: yX) y₂,ym xi,    zapomocą m równań o m+n zmiennych: yt1 y₂,..

w postaci:

(24)

y i

Rozwińmy prawą stronę każdego z tych m równań, uważaną, jako funkcyę podstawie szeregu Maclaurin’a, na szereg potęgowy,

j •••j ym )

m.

m-\-n zmiennych, na a otrzymamy rozwinięcia kształtu :

Fi(yi,..., ym, xi,x₂,..., x„)=Fi(0) + dFi(0)+^d²Fi(0) + ...+ + •■•+ —y dn F{(0)•{-... (*=1, 2, .

m),

(25)

Æ'w)

gdzie Fi (o) jest wartością funkcyi : JP,- .....

V\ =0

funkcyami zmiennych: yl5 ..., ym,    æ₂,...,    , pierwszego, drugiego,..., r-go

stopnia, kształtu:

w miejscu:

ym=0, X\ =0,..., æw=0, a dF{ (o), d²Fi(o),..., dr Ft(o), są jednorodnemi

*n •

aF,

ogólnie :

^⁽⁰⁾ = la^⁺-+ ^'(<>)“(^:^⁺-⁺al

/aJ’A /afa

W.Jo ■!/”⁺ h*, A

Oo*

y m 4- —

\k)

j

..., O, O,.. i o).

Przyjmując rozwinięcia m funkcyj : y1? y2J ..., ym) według potęg zmiennych niezależnych: x₁, a?₂, ...,

Dr-friMi, ^2’ **•

aajj

*■ + -+S’*’

w postaci :

®»)=/r(o) + d/r(0)+ 2]^²/r(o)-f . . +    <?*/,. (o) + ..

(r=l, 2,..., m)

gdzie fr (o) jest wartością funkcyi uwikłanej zmiennych niezależnych: a?i, x₂,...,    ,

wionę w

w miejscu: ^=0, ..., xn = 0, to rozwinięcia tak przyjęte, wsta-równanie (24) muszą je sprawdzać tożsamościowo, ta'k że będzie:

xi} x₂,..., a?„)-=0, (« = 1, 2,..., w).

Uporządkowawszy tę tożsamość, na mocy równań (25), według potęg zmiennych niezależnych: xi} a?₂, ..., xn, musimy otrzymać spółczynniki, przy wszelkich potęgach i ich iloczynach równe zeru. Tjnm sposobem otrzymujemy kolejne warunki na wyznaczenie spółczynników, przyjętych m rozwinięć funkcyj : yu y₂,..., ym.

Ćwiczenia XXVI.

1) Jeżeli: (Ç, 7]), oznaczają układ wartości, sprawdzających równanie: F{pc, y) — 0, dla dF

którego pochodna cząstkowa

dy

nie staje się równą zeru, wykazać, że istnieje wówczas

jeden szereg potęgowy y, rozwinięty według potęg x—Ç z wolnym wyrazem *), który, wstawiony w równanie: F(x, y) = 0, sprawdza je tożsamościowo.

2) Jeżeli: (Sj, rj) oznaczają parę wartości, sprawdzających równanie: F(x, y') = 0, dla dF d*F

którego;

dn—1 F

dF

0, ale: —-, dx

oraz

dn F    «

nie stają się zerami, wykazać, że

dyn—1

istnieje wówczas n szeregów potęgowych, rozwiniętych według całkowitych, dodatnych potęg wyrazu (a:—i-)¹/* , przyjmujących przy x — % , wartość *).

3) Dowieść, że jeżeli jedno z n rozwinięć (w Ćw. 2.) ma postać:

Vo = 1 + A(x-ïŸln + Ą (x - S)²/* + ... to pozostałe (n—1) rozwinięć, możemy znaleźć w postaci :

yv = rl + A₁ sv(x-^n + A₂e2v(x-^n+. .

2x

2r.

przyczem e = l27r = cos--\- i sin —.

4) Dowieść następującego twierdzenia: Jeżeli F(y, a?,, a?₂,..., xn) jest całkowitą funkcyą zmiennych «/, xx przy y równy jest —1, wówczas istnieje jeden tylko szereg potęgowy na «/, uporządkowany

xn bez wyrazu wolnego od zmiennych , w której spółczynnik

— 441

według potęg zmiennych: xi: xi1..., xn, bez wyrazu wolnego od zmiennych, posiadający tę własność, że wstawiony w równanie: F(y, xt,..., xm)— 0, sprawdza je toźsamościowo.

5)    Znaleźć maxima i minima funkcyi z, określonej równaniem:

ax'¹ -[- cy²—z² -|-2óa:y — dx — ey — 0

6)    Wykazać , że funkcyą z, określona równaniem :

a²b²x²y²— a²x⁵y—b²xy⁵—z² = 0, a² b²

posiada maximum równe :

8V/8 *

7) Wykazać, że funkcya z, określona równaniem:

x³ y³ — (a?—a) (y — b) z = 0

ma minimum równe: (²⁷/₄ ab)².

8)    Wyznaczyć maxima i minima funkcyi z, określonej równaniem :

x²yz 4 y^xz -f- z²xy — a (:x³ -\-y³ 42³) — 0-

9)    Znaleźć na płaszczyźnie punkt, który miałby tę własność, że suma jego odległości od dwu danych prostych i od danego punktu byłaby minimum.

10)    Wykazać, że ze wszystkich w-kątów, jakie możemy utworzyć z danych n boków, ma ten największą powierzchnię, który da się wpisać w koło.

11)    Znaleźć osie krzywej drugiego rzędu: an^²-\-aï%y²-\-2auxyazz—Q ^ uważając ich wierzchołki, jako punkta , których odległość od środka krzywej jest maximum, albo minimum.

Wyznaczyć szeregi potęgowe , określające zmienną y, na podstawie jednego z następujących równań :    •

12) ev — cc—1=0.    13) cos y—a: sin y = 0. 14) siny—a: = 0.

15) Dowieść, że opierając się na wzorze:

(«log a:)²

Xn + a= xn

|l -j- a log x -j-

(a log x)n

2!

otrzymamy wzór :

Sn

1 dn[(x log a;)"] _ dx»

gdzie Sj jest sumą iloczynów po r liczb z zakresu liczb od 1 do n.

1 4 St log X + g-j (log X)² + ... +

n[(logx)n,

16) Wyprowadzić następujące rozwinięcie, zwane szeregiem Bordy:

log (x + 2) = 2 log (* + 1)— 2 log (x — 1) 4 log (* — 2) -f

¹ ( 2 y 1 / 2 y I

3 \x³—3x) ^ 5 \x³—3x) 'r‘‘‘ J"

+ ² lx^~öx

17) Wyprowadzić następujące rozwinięcie, zwane szeregiem Stirlinga:

x{x-\-l)    (o; -j- 1) (aj -j— 2)    (x -f- n)(x    1)

18) Wyprowadzić szereg B er no u i 11 e’go, kształtu:

a;²

xn

/(*) =/0) + xf‘(x) — ^ f" (X) + ... 4- (—!)»+! ^y/W 0*0 + -

19)    Rozwinąć potęgę (a-\-x)n za pomocą szeregu Bernouillego (ćw. 18.) i porównać to rozwinięcie z rozwinięciem Newtona.

20)    Na podstawie szeregu Bernouille’go (ćw. 18.), wyprowadzić szereg:

(“+*)“*=i [i

x³

x²

(”)

22)    V24 = 3 (l — -0-24 + 3.6.24²    3.6.9 * 24³

nx

(«+ *)³

23) Jeżeli z = y -f- x » (z), wyprowadzić wzór:

f{z)=/(y)+* • ® (y) -f\y) + ^

dy

24) Jeżeli z = ,F[y + æ ® («)], wykazać, że:

<*/[•* (y)]

/0)= f[F(y)] + X . ?[JF(y)].

a:²

xn dn~i [[® (*/)]”/' (y)\

dyn—i

dy

2! ’

<§■*! Ai

[{?(■» y))}².

if[ĘM

dy

Na podstawie równania: yx²—bx-\- a — 0, wyprowadzić następujące rozwinięcia:

²⁵> —T + P y + S'^+ot^¹ + -

²⁶> ? = £ + pV+ I p»* +OP'' + -

27)    tog—log -f+f, y+^+^L.y> + ...

28)    Na podstawie równania : a;"»+l-j-ax—y— 0, wyprowadzić rozwinięcie:

(3 m + 2) (3ra + 3) y3m+l «3m+4

+ •••

_ y    ym+i 2łW + 2 y2m+l

1.2.3

a    a?w+²    1.2    a2w+ 3

29)    Wykazać, że najmniejszy pierwiastek równania piątego stopnia, kształtu; x⁵ -j- 4a; -{-2 = 0 , da się przedstawić w postaci:

. 36-...

2 ' 46    411    ~

30)    Wykazać, że najmniejszy pierwiastek równania drugiego stopnia: x²—ax-\-b=0, da się przedstawić w postaci :

b L , b    b* 5.6 b³ ,    \

*⁼^\¹⁺? ⁺ T.2“ • P + TXS • P + -1

31) Wykazać, że najmniejszy pierwiastek równania trzeciego stopnia: x³-ax-\-b=0, da się przedstawić w postaci:

b i.    b²

* — — j i +

a l

a²

ź>⁴

a*

+ 12

«»

è⁸ 1

+ B5-Sn + - }•

32)    Wyprowadzić rozwinięcie najmniejszego pierwiastka równania n-go stopnia kształtu: acc* — a:+&r=0, według potęg spółczynnika a, w postaci:

* = è|l + 6»-l.a + 2n&2"-2.    + 8w(3n —1)*3»-3 . |! +... }.

33)    Wykazać, że oba pierwiastki równania drugiego stopnia, kształtu : ax² - bx-\- c=0, 'Wyrażają się szeregiem:

a? =

1    è² 1.1.3 ô⁴

2    ! 2a ac ÏT * 2⁴a²c²

1.1.3.3.5

6!

2⁶a³c³

odpowiednio do dwu wartości pierwiastka"\/--—, jednej dodatniej, a drugiej ujemnej.

V «

34) Wykazać, że wszystkie trzy pierwiastki równania trzeciego stopnia, kształtu: x³—acc+ó = 0, podaje szereg:

x = \y-b( 1+ *

2.1

a²

2.1

a³

8 • (\y—ł)²    8*2! • (\y—by 8*. 8! ’

2.1.4

⁺ 3T4! • (y^—6)

a⁴

odpowiednio do trzech wartości pierwiastka:    —b, które przedstawiają się w postaci:

l + iy/3

-tfb, tfb---

Vb.

1 — ;y/b

35) Wykazać, że wszystkie n pierwiastki równania n-go stopnia kształtu:

aa5» — bx + c = 0 ,

dadzą się przedstawić w postaci szeregu:

otrzymujemy następujące równanie: ~ +/j(«)= 0, i t. d.

wykazać, że na wyznaczenie spółczynników: a, 04, a₂,

/w=°, », <s

gdzie :

—[i-iï+SFS^

(4—») (4—2») 6³ a³    T

c® i⁻ - - J »

3! w³

n I a    ,

a = v/--— ma n wartości kształtu:

~ + * si»    (* = 0, 2,n—1).

36) Z równania przestępnego: a log x -f- b — x— 0, wyprowadzić szereg:

n.    \

cos

a 2 a² 3 a³ 4 a⁴

*-& + T+y . 2î + p 8T + P4Ï + -

37)    Na podstawie równania: y²—2y-|-l=0, wyprowadzić szereg: log y = log y

38)    Wykazać, że równanie różniczkowe Legendre’a, w postaci :

}+»(« + l)f-0,

wskutek podstawienia: cc=cos0, sprowadza się do postaci:

ÏÏQ (sinÖäö) +n(n+ X) sin0--F, = O.

2^ ⁺ W+^¹|« + -

Wyprowadzić następujące szeregi:

®i*    “ł⁻    04X*gdzie: ®n = l-|—2—I—g—j⁻ ... -j--•

41)    (1 + x)* = 1 4-x² — -i. x³ -f- y xł — y £C⁵ + ...

42)    Wykazać, że maxima i minima funkcyi :

/g 2    2    2|2

r²=a:²-|- y²-f«², gdy ^ + p + ^2—1 = 0» a zarazem: <xx + fiy + yz=0, wyznacza równanie :

1 -f- x

a² a2 r² — a²

è?0²

c²y²

r² — i²

0.

r² — c²

43) Jeżeli równanie m-go stopnia o dwu zmiennych x i y przedstawimy w postaci:

i położymy :

F(x, y) = *m/ (^)    (|-) +

⁺5⁺*«⁺~

a;m—

+ /i(«)=0, o,^+fi^+»iöo

46) Jeżeli trzy zmienne x, y, 0, związane są dwoma równaniami, kształtu:

a położymy :

T—+5 + 3 + JP + - T-* + T+Ś + P + —^

wykazać, że na wyznaczenie spólczynników a, a,, a₂,... i 6, &j,ó₂,... otrzymujemy równania:

/(«» i) = 0, <p(a, ft)*=0, a,^ +    +/iO, &) = 0,    + ?i(«, *) = 0, ...

46) Jak przekształci się równanie różniczkowe :

du

d^

Ą-y²

d²u

d²u

d²u

d²u

d²U

0,

f*y

-f- zx

dx dy

dz dx

dy dz

jeżeli zmienne niezależne: x, y, z, zastąpimy przez nowe zmienne: £, rj, Ç, na podstawie wzorów przekształcenia: x=r\%, «/ = ÇÇ, z— fy.

oy

47) Przekształcić całkę podwójną kształtu: J= ^

dx dy, gdzie :

z— arc sin []/\(ex + e~x) {ev -f- e~v)], skoro wprowadzimy nowe zmienne ę, *], na podstawie wzorów : %= l/₂ (ex + e~x), *) — V2 {ev -j- e~v).

Jeżeli u — f(z), a z—y-\-xv(z), dowieść, że:

«9 £[»«£]-

dy

[?w £0- 4a> L    [{»«}* ïîl-

50) Wyprowadzić rozwinięcie funkcyi F(x) podług potęg funkcyi <p(s), gdzie f(a)—0, w postaci szeregu , zwanego szeregiem Bürmanna :

F(x) = F(a) +

F'(a) f(x) «' (a)    1 !

pl(y )'«*>)]

L dx    J «

[ty (x)]²

2!

H (|w) W)| )

V    dx²    /a

[*(*)]⁸

3!

51) Wykazać, że:

F(x)=F(0)-\-F'{0) .

sin x

sin² x

2!

Rozwiązania XXVI. 1)—28) Wskazówki zawarte w wykładzie. 29) x = 0,4928. 33) Położyć x² = y i wyprowadzić rozwinięcie \/y według potęg ilorazu 34) Położyć

x³ = y i rozwinąć \/y podług potęg spółczynnika a. 39) Położyć xn — y i rozwinąć y

x² x\x²—x) x²(x²—x)(x²— 2x)    x²(x²—x)(x²—2x)(x²—3a:)

według potęg ilorazu —. 41) 1-J ^ ^

+ ÏIÿT>⁼⁰' ⁴⁷⁾

d²u

d²u

<v

2!

3!

4!

SÎ

d% dr\

V/1+fV*

Literatura. J. Bertrand. Traité de calcul différentiel et de calcul intégral. Paris 1864. M. Ed. B r a h y. Exercices méthodiques de calcul différentiel. Paris 1898. Dr. Józef Kniaź Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Tom II. Lwów, 1900. Dr. Otto Stolz. Grundzüge der Differential und Integralrechnung. Leipzig 1893.

Tematy do rozprawek naukowych.

1. Szeregi Lagrange’a i ich zastosowania.

2. Własności funkcyj Legendre’a, określonych wzorem :

dn (x² — 1)»

Xn =

n ! 2»

3. Rozwiązywanie równań algebraicznych i przestępnych za pomocą szeregów.

dx*

Wykład XXVII.

Zasady teoryi iloczynów nieskończonych i rozwijanie funkcyj na iloczyny.

1. Zasadnicze pojęcia. Iloczyn, złożony ze skończonej ilości liczb, jest zawsze pewną liczbą skończoną, różną od zera, jeżeli żaden z jego czynników nie jest liczbą nieskończenie wielką, lub zerem.

Weźmy teraz pod uwagę iloczyn, złożony z nieskończenie wielu liczb, zwany iloczynem nieskończonym. Chcąc zbadać wartość danego iloczynu nieskończonego, przyjmijmy, że jego czynniki postępują po sobie podług pewnego prawa. Utworzywszy tedy iloczyn z n czynników początkowych tego iloczynu, t. j.:

0>n j

-Pn — <. $2 • •

możemy dochodzić granicy, do jakiej Pn dąży, gdy n rośnie do nieskończoności. Jeżeli dla n=co , lim Pn—P jest liczbą skończoną, oznaczoną i różną od

n=oo

zera, tedy nazywamy iloczyn nieskończony alaa₂.a₃.... zbieżnym, a granicę Pnażywamy jego wartością. Jeżeli zaś lim P„ = go , lub lim P„=O, tedy

71=oo

nazywamy iloczyn rozbieżnym, w pierwszym przypadku rozbieżnym do nieskończoności, w drugim rozbieżnym do zera; jeżeli iloczyn Pn nie dąży do żadnej granicy oznaczonej, lecz w miarę, jak n wzrasta, przeskakuje między liczbami od siebie odmiennemi , iloczyn nieskończony nazywamy w tym razie nieoznaczonym, albo oscylującym.

2. Warunki zbieżności iloczynów nieskończonych. Teoryę iloczynów nieskończonych możemy sprowadzić do teoryi szeregów nieskończonych. W tym celu, połóżmy ogólnie: an=    iloczyn nieskończony wówczas

przedstawi się w postaci:

P=(l+M₁) (1-ł-%) (l+Wg) ... (1-f    ...

Stosując prawidło tworzenia iloczynu do skończonej liczby takich czynników, otrzymamy :

X=n

Pw=(l + W₁)(l+«₂)...(H-W„) = l+2M'¹+ 2 u*uv+ 2    (!)

X—\

X, (xz=\ X< ix

X, fx, v=\ X<jx <v

a stąd, dla w=oo, szereg:

P=l + -^^+ 2

JL    [A

(2)

tylko wtedy pewną skończoną wartość, jeżeli wszystkie

Otrzymany szereg ma szeregi, znajdujące się po prawej stronie rownosci będą miały pewne war-

3. Warunek ogólny. Nieskończenie wiele warunków, którymby należało zadość uczynić, aby dany iloczyn nieskończony był zbieżny, sprowadza się do jednego warunku, na podstawie następującego twierdzenia: „Iloczyn nie

tości skończone i skoro szereg tych wartości będzie szeregiem bezwarunkowo zbieżnym.

skończony II ( 1 u a) ma pewną oznaczoną icartość, jeżeli szereg : 2 ux=ui+u₂ + u₂ +... Z=1    Z—i

jest bezwarunkowo zbieżny

Ażeby to udowodnić, oznaczmy bezwzględną wartość liczby ux przez ęx, tedy będzie każdy wyraz szeregu: 1 +    2uxuil +... mniejszy, aniżeli

/L y (A>

odpowiedni wyraz szeregu: 1 + 2 qx + 2 qx Q/x + ...

/l    A, [A

Niech będzie teraz: 2ęx=ę, tedy będzie widocznie:

Z, fi

Z (A, V

Z<u

Z<fA, <V

przeto będzie każdy wyraz danego szeregu mniejszy, aniżeli odpowiedni wyraz postępu geometrycznego: 14 ^ + (>² + (>³ + (>⁴+--

Jeżeli przypuścimy, że: 2qz=Q *< 1, tedy otrzymamy, jako sumę po-

!-, przeto ma w tym razie dany

stępu geometrycznego wartość skończoną :

szereg, a więc także dany iloczyn nieskończony wartość skończoną.

Jeżeli zaś warunek: 2\ux\ = 2ęx<Zl, nie spełnia się, możemy przecież, skoro, według założenia szereg 2ux jest bezwarunkowo zbieżny, oddzielić zawsze skończoną liczbę jego wyrazów tak, aby suma bezwzględnych wartości wyrazów pozostałych była mniejszą od 1, t. j., żeby było:

30    Z=p    Z= <X

2 2 u*⁺ 2

Z = 00

uz+p J

gdzie 2 I uz+p I < I-

Z—i    Z—l    Z—i    Z—i

W tym razie, zgodnie z poprzednią uwagą, iloczyn:

II (1 + Uą+p) =14-2 UZ+P +^UX+pUß+p+...

I*— 1    À*    A) [A

ma

pewną wartość skończoną, przeto musi mieć także iloczyn:

Z = 00

II (l4^) = (l4*w₁)(14m₂) ... (1 -f up) n (14^+^,),

z=1

Z= 1

wartość skończoną.

Tym sposobem udowodnionem zostało ogólne znamię zbieżności iloczynów nieskończonych, złożonych z liczb rzeczywistych, lub zespolonych.

4. Bezwarunkowa zbieżność iloczynu nieskończonego. Iloczyn nieskończony, pod powyższym warunkiem zbieżny, musi być także bezwarunkowo zbieżnym, to znaczy, że wartość jego jest niezależną od porządku czynników. Ułożywszy bowiem czynniki takiego iloczynu nieskończonego (14-Wj) (14^₂)... (l4w„)... w jakikolwiek sposób w pewne grupy, otrzymamy po wykonaniu iloczynów, wskazanych w poszczególnych grupach, w miejsce danego iloczynu, następujący:

(14~ ^i)(l4- ü₂) (1+ ^3) -“IK^i 4 ^2 + •••) + (U\    + üiU₃ +4

— 447 -

Prawa strona tej równości zawiera wszystkie wyrazy szeregu

1 2uxĄ- 2u^ulx + •••

w pewnem następstwie, powstałem ze sposobu, w jaki wyrazy Z7,, Z7₂,... z wyrazów ui) w₂,... są utworzone, a że wszystkie szeregi: 2u^, 2u^utl,... są bezwarunkowo zbieżne, przeto wartość ich nie zależy od porządku dodaj-ników, a tem samem jest:

(l+Üi) (l-\-ZJ₂)(l-)r1J₃) ..^lĄ-JSuA-ł-^u^UpĄ-..., (1+ t^i) (1+ ü₂)(l-\- C/₃)”* = JJ(l + ^)>

czyli :

to znaczy:

z=i

00

oc

Wartość iloczynu nieskończonego II (1 -fu*), którego szereg 2 jest bezwa-

Z—l

Zeai

runkowo zbieżny, nie zmienia się za zmianą porządku czynników.

5. Przykład. Iloczyn nieskończony:

£b+S)-0+f:)0+a)-b+a)-

jest bezwarunkowo zbieżny, skoro szereg:

2 !*=«■ + * + .„+*! + ...

Z=i 1« la ' 2a '    ‘    '

jest bezwarunkowo zbieżny.

nie przekraczają, bezwzględnie biorąc

Przypuśćmy, że współczynniki a,, a₂, .., an pewnej skończonej wartości p, tedy będzie :

^=1

otrzymany szereg będzie więc bezwarunkowo zbieżny dla a>l.

Dany iloczyn będzie więc bezwarunkowo zbieżny, skoro a ;> 1, a współczynniki a,, a₂,..., a»,... nie przekraczają pewnej skończonej granicy p.

Bezwarunkowo zbieżnymi są tedy n. p. iloczyny nieskończone :

a) (x + i) i¹+I») (x + I») ••• b) (x - I*) i¹ ~ F’) (ł “ 4«)

dla wszelkiej skończonej, wartości liczby o.

6. Iloczyny nieskończone, warunkowo zbieżne. Jeżeli w iloczynie:

II(1+ w^) = (l-tMj) (l + w₂)... (l+n„)...

X—\

szereg: 2 u^=u{ +m₂ +w₃ + ... nie jest bezwarunkowo zbieżnym

Z—00

być także iloczyn nieskończony: II (l-j-w*), z powodu równości:

Z—i

Z-1

nie może

II (1 -b***)³! -Y^Uz + ^uz    •••

z—1

bezwarunkowo zbieżnym. Iloczyn taki, jeżeli nie jest rozbieżnym, lub oscylacyjnym, może być warunkowo zbieżnym, o wartości zależnej od porządku czynników, albo zerem. Ażeby pod tym względem mieć pewną wskazówkę, przyjmijmy, że szereg ul+u₂+n₃-\-.. jest bezwzględnie biorąc, malejącym, tak, że limwn=0 i że wyrazy n1? u2l u₃,... od samego początku są już, bez-

n=00

względnie' biorąc, mniejsze od jedności.

(4)

to b-L

to I-¹

Biorąc z danego iloczynu EL logarytm naturalny, otrzymamy l°g n — log (1 + %) + log (l + W₂) + log (1 +m₃) + ...

Zastępując tedy logarytmy naturalne przez odpowiadające im potęgowe szeregi, dostaniemy :

(3)

iogn= (wj- ^ = (*h +U₂+...)-u'\ . ^

4-

to I-i

W³!

CO

Zważywszy, że :

-)<¥+

T—I CO

otrzymamy, skoro założymy w^|<; od pewnego miejsca począwszy:

co, zawsze przyjąć można, przynajmniej

logn = (M₁ +w₂+...) — («jM²! +tt₂W²₂4 a₃w²₃ + ...) gdzie współczynniki at, a₂, a₃... bezwzględnie biorąc, są mniejsze od 1, zmierzając do liczby j-, jako do granicy. Wartość logii zawisła tedy od wartości dwóch szeregów, mianowicie szeregu: u{-{-u₂+u₂ +..., jakoteż szeregu: aiu²i +«2w2 ²+ •••

Ostatni szereg jest jednakże jednocześnie z szeregiem w², -f ul₂ +m²₃ + ... zbieżnym, lub rozbieżnym, przeto zależy wartość logii, a więc także wartość iloczynu II = elogIl) 0d wartości szeregów:

Wj -J- u₂ -j- w₃ -j-... i u²^ -}-w²₂ 4*m²₃ 4*...

7. Zestawienie prawideł zbieżności iloczynów. Na podstawie powyższych wywodów, dochodzimy w zakresie rzeczywistjmh wartości u₂, ..., do następujących wniosków :

1.    Jeżeli szereg u₁ +u₂ 4- jest bezwarunkowo zbieżny, tedy musi być także szereg u²i 4-u²₂ -\-u²z -j-... bezwarunkowo zbieżny, w tym razie ma logii, a więc także iloczyn 11(14-%), pewną wartość skończoną.

2.    Jeżeli szereg ux -|-w₂4-”* jest zbieżny, ale warunkowo zbieżny, a szereg u²] 4"^²₂ 4"••• jest bezwarunkowo zbieżny, wówczas będzie logii, a więc, także iloczyn II(l4-%) warunkowo zbieżnym, dostarczając przy odmiennem uporządkowaniu odmiennych wartości.

3.    Jeżeli szereg ui-\-u₂-f... jest warunkowo zbieżny, szereg w²t 4-w²₂ 4-... zaś rozbieżny, wówczas będzie: log 11=—oo , przeto iloczyn 11(14-%) będzie miał wartość równą zeru, czyli będzie rozbieżnym do zera.

4.    Jeżeli szereg: ux-\-u₂-\-... jest rozbieżnym, szereg: u²i-\-u²₂-\-... zaś zbieżnym, wówczas będzie iloczyn nieskończony rozbieżnym do nieskończoności.

5. Jeżeli wreszcie oba szeregi: -\-u₂ 4-... i u²i -\-u²₂ +... są rozbieżne, wówczas przedstawi się logii pod postacią co — oo, iloczyn nieskończony: 11(1+^) może być tedy warunkowo zbieżnym, albo będzie na pewno rozbieżnym, skoro liczby uu u₂,... są dodatnie.

8. Uwaga. W zakresie zespolonych wartości wyrazów wt, w₂,... utrzymują się wnioski 1), 2), 5). W przypadku 3), gdy szereg: uY-\-    ... jest warunkowo zbieżnym, szereg

uY ² ty w₂² ty ... rozbieżnym, oraz 4), gdy szereg uY ty u% -{- ... jest rozbieżnym, szereg ui¹ "ł"M2² + ••• bezwarunkowo, lub warunkowo zbieżnym, iloczyn II (ltyw^) będzie rozbieżnym do zera, lub do nieskończoności, stosownie do tego, czy w przypadku 3) suma rzeczywistych składników wyrazów : uY -j-u.₂ -j- ... jest równą —co, czy -f co, a w przypadku 4) suma rzeczywistych składników w}rrazów uY ² -j- w₂ ² ty .. jest równą ty co , lub —oo. Iloczyn będzie oscylującym, gdy suma rzeczywistych składników wyrazów uY, «₂,..., lub wyrazów «i²4-«₂²+-., będzie skończoną, a jedynie urojone składniki wyrazów ui}u2l.., lub uY\«2²>•••» będą czyniły szeregi rozbieżne.

Gdy zarówno szereg: uY ty ui ty •• + ty—, jak i szereg: «i²ty w₂²ty ... ty««² ty... są warunkowo zbieżne, wówczas iloczyn II ( 1 tyu^) z pewnością będzie warunkowo zbieżnym, jeżeli można będzie znaleźć taką całkowitą, dodatnią liczbę r, że szeregi:

ui ² + ui² + —

będą warunkowo, a szereg uYrty w₂'⁻ty... bezwarunkowo zbieżnym, a przynajmniej, że szereg:

% ty W₂ ty

> •**?

uir~¹ +“2r_1 +

(». - £ + - - -+<- *    +(»» - ï+Ï--+rty)+

Oli-

będzie warunkowo zbieżnym, szereg zaś : M,rty t«₂r ty m₃''ty... będzie bezwarunkowo zbieżnym. Wystarczy bowiem napisać :

log II = («, ty «2 ty ...)— -i- (UJ ² ty M₂²+ ... )+-+    («I»⁻-¹ ty «2, _1 + •••) +

+ (—i)r wir (w ~    ¹)r«2r(— “^rąn“² +••- ) +

i zastosować rozumowanie, w art. 6. wyłożone.

9. Przykłady. 1) Iloczyn nieskończony: ^1 ty ^ (l ty (l ty ^ )... jest bezwarunkowo zbieżny i ma wartość różną od zera, gdyż szereg ty-^- ty ••• jest bezwarunkowo zbieżny.

przy⁷ tem upo-

2) Iloczyn nieskończony:    +    ^1—^ ^1+-^-)    --Jest

__L+l

2    3 ' 4

rządkowaniu zbieżny, gdyż szereg :

U

zbieżny, a szereg:    ty y₂ + ^ ty ••• jest bezwarunkowo zbieżny.

jest przy tem uporządkowaniu

V/B

) (x+Jï)    ~ Vf)⁺ " 5est równy

gdyż szereg :

k=+...

---------:

Y/2    V/8    Y/4    Y/5

2 +4- + T + T + - jest rozbieżny.

4) Iloczyn nieskończony : (l +y) (i + (i + y) - jest rozbieżny, gdyż Y + \ + Y + - jest rozbieżny, a szereg: y₂+<p + ^+- jest zbieżny.

zeru ,

T—I

jest warunkowo zbieżny, a szereg :

szereg :

szeregi: —^

5) Iloczyn nieskończony: ^1 ty (l ty (l +    •" -ies^ rozbieżny, gdyż

-i- ty ty ~ ty ... są rozbieżne, a są złożone z wyrazów

oba

Y/l Y/2' Y/B

dodatnich.

10. Przekształcanie szeregów na iloczyny nieskończone. Szereg nieskończony: uY ty ty.. ty Mraty..., da się przekształcić na iloczyn nieskończony, skoro jesteśmy w stanie wyznaczyć poszczególne sumy ilukolwiek wyrazów

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

danego szeregu, jak: Wj=Sj, Wj-fw₂=s₂, w, +m₂+w₃=s₃, ..., ux 4-W₂ + — -4-**«=$*. Mamy bowiem tożsamość:

Wj Wj 4"W₂    M₁4-M2“bM3 Wj 4* W₂-f~ ••• 4~ W,₄

W. -f~ W₉ + ... -f- Un = ~z- . ——;- . - ... — ;-——-——

1    Wj    Wj    Wj -j" W₂ 4“ •• • 4“ W„ —1

która utrzymuje się dla dowolnie wielkiej liczby n.

(5)

11. Przykład. Niech będzie dany szereg:

a² a²(l² — a²)    a²(l²—a²) (2²— a²)

l².2 ².8²

r*

a²(l²—a²)(2²—a²) ...(«²—a²)

1². 2²

i². 2²...n².(n+ 1)

Mamy tu :

% = 1, Mj -4- «2

I2_a2

-P-, Wj -p m2 T M3 —

(l²— a²) (2² — a²)

l².2²

•' r-t

Mj -j- W₂ 4~... -f" Un =

(l² — a²) (2²— a²)... [(n—l)²— a²]

I².2²... (w—l)²

, ...

zatem :

u\ 4" m2

l² — a²

u²

I²

F²’

«1 + «2 4~ %

2²— a²

M, + «₂

to »

rc to

M, -J- W₂ "I⁻ ••• “H Mn-j-l

tfj -j- U% -j- ... -j- Un

n² — a²    a ²

⁼ w²    w²*

Otrzymamy więc dany szereg w postaci iloczynu : 1² — a ²    2*— à² 3² — a²

1*

3²

n²— a²

^2_"

a²

...

li. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na szeregi. Tożsamości

w, Wj 4* w₂ Wj 4- w₂ -f- w₃

1    ’ Wj

wj 4"w₂ 4~Wg 4-... =

Wj +w₂

(ó)

możemy także użyć do przekształcenia iloczynu nieskończonego : WjWgWg... w„... na szereg: uvĄ-uiĄ- ...Ą-nn Kładąc bowiem :

w, 4-w₂

u\ 4~ w₂ 4~ -ł w„

Wj +w₂ + ...4«^_i

Wj 4~ w₂ 4~ Wg Wj 4-w₂

otrzymujemy poszczególne wyrazy szeregu w postaci:

w.

T a\

Wj

= W„ , ...

Wj Wj j W₂ — Wj (w₂    1), Wg—WjW₂(w.g 1),..., un — WjW₂... w„_j (w„—!■)»...»

dany iloczyn sprowadza się więc do szeregu w postaci :

®₂®3 w„... = Wj 4"Wj(w₂ — ll4"WjW₂(Wg—1)4"••• 4~Wjw₂.. i (w#—(6)

13. Przykład. Przekształcić iloczyn nieskończony:

p=0+4) 0+4)0+ 4)-0+4)-0+4) 0+4) 0+4)- 0+4)-=

na szereg.

Mamy tu :

czyli :

zatem dostajemy :

» “2

M, =

CO Ol

::

!»

«1 = TT

(In —

CO ] CM Cd

2"

) •••

Oj co

2» + 1

2n

-40-4= •

CO ;Cd

«3 =

CO Cd

•(-4=

00 co

b 1 ‘ ,4 ' 8

ogólnie :

? -,

3    5    1 /2»+l    \    3    5    2»-l + l 1    3.5 ...(2»-t+1)

2 ‘ 4    2»—i \ 2* V “ 2 * 4    2"-i—' ’ 2" ”* 2.4...... 2"    ’

Dany iloczyn nieskończony sprowadza się więc dó szeregu w postaci :

3    1.8    1.3.5    1.8 5...(2«-i +1.)

2 ⁺ 2.4 ⁺ 2.4.8 ⁺ ■” ⁺ 274.8......2»

Un =

0+4) 0+4)-0+4.)-

¹

) Iloczyn nieskończony: (l+    \^) (

V 2

- 451 —

14. Iloczyny nieskończone, których czynniki są fnnkcyami jednej zmiennej niezależnej. Niech będzie dany iloczyn nieskończony funkcyj : /i0»),    fn»(«),—, kształtu:

72=00

II fn (*) =/i (*) . /'₂+') . • . fn (*) ...

(8)

72 — 1

to, pomijając czynnik stały, możemy ten iloczyn sprowadzić zawsze do postaci :

n = oo

II (1 + 0«O*O) = ( 1    0»)) (1 + 020*0)- (1 +ffn(x))-.-

n—\

o której przypuszczamy, że funkeye : gi (x), g₂(x),..., gn (x),..., przedstawiają się w postaci szeregów potęgowych bez wyrazu wolnego, kształtu :

gn(x) = anix + an2x²+... + anrxr-\-... (n= 1, 2,...), zbieżnych w pewnym wspólnym zakresie: | a:<(?.

Połóżmy: |æ|=£, j anr =^4

nr ?

ön (§) '= 4.1 £ ’+ 4₂ £² + ... + Anrir ' f -

i załóżmy, że szereg nieskończony:

ćri(!)+ 0r₂(^)+ ••• +    (!) + •••

ii,;

jest dla £    £ także zbieżny, wówczas będzie iloczyn nieskończony:

72 — 00

n (i+^» (*»,

n=l

dla wszelkich wartości a?, których bezwzględna wartość jest mniejszą od także zbieżny i to bezwarunkowo zbieżny.

Ponieważ bowiem dla wszelkiego n jest: j gn (x) j <ćr„ (£), więc, wobec

71 = 00

zbieżności szeregu: ^^6rn(f), dla £*<(>, będzie także zbieżnym szereg:

71=1

I .01 (*) I + I 0₂C*O I + ! 0₃(*) I + - + I 9n (*) j + ».

Wobec tego szereg:

01 («) + 02 0*0 +030*0 + - + 0« 0*0 + -•

a tern samem także iloczyn :

(1+01 0*0) (1+02 O»)) ••• (1+0* («)) -

będzie w zakresie x <ię bezwarunkowo zbieżnym.

72=00

Iloczyn II (1 -f gn (x)) przedstawia tedy w zakresie

x<.Q pewną

funkcyą f\x), która da się także rozwinąć podług potęg x. Jakoż możemy położyć:

Z=oo

n—oo

1...®

n (i+0»o*o) =1+^0* (*)+29z {x) 9fi ^ ⁺ 2!U ^9ii ^9v (x'⁾⁺‘ •

(10)

ft

n— 1

a więc przedstawić iloczyn w postaci szeregu potęgowego, każda bowiem z powyższych sum zawiera czynniki , złożone z szeregów bezwarunkowo zbieżnych w zakresie \x <ię potęgowego, bezwarunkowo zbieżnego w tym zakresie.

Powyższy szereg nieskończony, równoważny z danym iloczynem nieskończonym, da się więc sprowadzić do szeregu potęgowego, bezwarunkowo

więc da się przedstawić w postaci szeregu

- 45 2 -

zbieżnego w zakresie ja:J<C(>, który będzie w tym zakresie przedstawiał pewną funkcyę f(x).

Mamy zatem twierdzenie :

n—oo

Iloczyn nieskończony: TT (1 -\-yn (x)) jest dla wszelkich wartości x, których bez-

n—\

względna wartość |a:j = f jest mniejszą od p, bezwarunkowo zbieżnym i przedstawia pewną funkcyę /'(#), dającą się rozwinąć na szereg potęgowy, skoro tylko szereg nieskończony : g₁(x)Jrg₂(x) + ...+gn (aj-f... jest clla x <żq, bezwarunhoivo zbieżnym.

15. Uwaga. Iloczyn nieskończony, bezwarunkowo zbieżny :

ft—00

n fn (*) = n (1 + 9n (x)) =/(«),

71=1

71 = 1

w pewnym zakresie

jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby a, da się wyznaczyć taka liczba v, żeby dla wszelkich wartości n > v było :

x | < p, nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zakresie,

l/n+1 (») • /»+2 (*) ...fn+r (a?) — 1 j < £ , (r = 1, 2, ...), niezależnie od szczególnych wartości zmiennej x, w zakresie | x | <[ p.

Do jednostajnej zbieżności iloczynu nieskończonego: Il (1 -f- g„ (a?)) w pewnym zakresie jest koniecznem i wystarcza, aby szereg nieskończony Zgn(x) był w tym zakresie jednostajnie zbieżnym.

i t. d.

16. Przedstawianie funkcyj sini» i cosæ wr postaci iloczynów nieskończonych. Iloczyny nieskończone nadają się szczególnie do przedstawiania jednowartościowych funkcyj o nieskończenie wielu miejscach zerowych , do których należą naprzykład funkcyę goniometryczne : sina:, cos a?

Funkcya sina: staje się zerem w miejscach:

a=0, + n , ± 2tt, i %n , .... -ł- nn, . . możemy zatem funkcyę sina:, przedstawić w postaci iloczynu, który ma, obok czynnika a¹, czynniki, kształtu :

a więc w postaci iloczynu nieskończonego :

sin x

-• (■-£)(>

\ ( i——)... ( 4wVV 9 tt²/ \

a:² \ &² ?r²/

czyli :

łl—co

1-

sina:=a: II

ft—1

bezwarunkowo zbieżnego dla wszelkiego a:. Funkcya cos a: staje się zerem , dla :

w²ar²

(13)

TC

hn

(2n—1)

— 2 ’ — 2

ma zatem czynniki, kształtu:

2a:

(2 n—1 )n

możemy ją zatem przedstawić w postaci iloczynu nieskończonego :

cos x

4x²

2bjz²

Wl__

/ v    (2n—1 )² Ti²)

czyli :

4a:²

(2 n— l)² u²)

również bezwarunkowo zbieżnego dla każdego x.

cos x— TT ( 1 —

n=z 1 V

n==

17. Powyższe rozwinięcia funkcyj sino; i cos# na iloczyny nieskończone otrzymamy pośrednio z wzorów na rozkładanie funkcyj sin nx i cos nx na czynniki, wyprowadzonych w art. 11. i 12. Wykładu X. str. 160 — 166., w postaci:

r=zm—1

sin 2m x=22wi_1 sin x cos x II

sin²

r—\

2 tn

sin²#

r=im /

sin(2m +1)« = 22msin# II (sin²

r=l V

rn

cos 2 mx = 22w~¹

r—m—1

COS²#— cos²

2in -f-1 {2rĄ-Y)Ti

— sin²#^,

r=0

4m

)■

r—m>—1 /

cos (2w + 1)#=2²'” cos x II (cos ² a;—cos²

r—0 V

(2r-fl) n 4m + 2

opartych na wzorach :

sin nx

-o

cosn—1 x sina;— ... + (—1)

' (ar+l)

cos”-2, +1 x sin2r—1 # + ...    (13)

§ CM

■ö

cosn_2/#sin2r#-|-... (14)

cos w#=cosn x— ( j cosn_2 #sin²# +... + (— 1)

Zastępując mianowicie we wzorze (13) cos²# przez 1—sin²#, a we wzorze (14) sin²# przez 1—cos²#, wyrazimy sin w#, przy nieparzystem n jako funkcyę całkowitą, wymierną n-go stopnia, ze względu na sin#, a przy parzystem n, jako funkcyę całkowitą, wymierną (n — l)-go stopnia, ze względu na sin#, pomnożoną przez cos#, podczas gdy funkcya cos#, wyrazi się dla wszelkiego całkowitego, dodatniego n, jako funkcya całkowita, wymierna n-go stopnia, ze względu na cos #.

Przyjąwszy liczbę w, jako nieparzystą, możemy funkcyę sin w#, która jest w tym przypadku funkcyą n-go stopnia, ze względu na sin#, przedstawić pod postacią iloczynu wprost w następujący sposób. Funkcya sinw#, staje się zerem dla n oddzielnych wartości zmiennej #, jako to:

n—1 n 2 n ’

którym odpowiada tyleż wartości na sin#, w postaci:

0, db sin — , d= sin

ll

2 ji    . n—1 n

—isin-x— n    2 'ti

Możemy zatem położyć : sin n #= C. sin# 1--

sin²#

sin²#

sin²#

sin²

sm² —

sin²

n—17i 2 n

(15)

gdzie C jest liczbą od x niezależną.

Dla nieskończenie małego #, możemy pierwszą stronę równania stopić przez w#, drugą przez C#, dostajemy zatem C—n, wzór powyższy otrzymuje więc postać :

sin nx—n sin# 1

sin² #

.    71

sin² —

1-

sin² #

sin²

2.71

1-

sin² #

sin²

n—1 Ti ’

2 n

za-

(150

x

Zastępując w niej nx przez#, a więc # przez —, otrzymujemy wzór:

sinÆ=M sm

1-

.    ₉ X

sm²—

sm

sin²

71

1---

sm²

71

sin²

...n-

• (16)

72

sin²

-, *

CO

Gdy n rośnie nieograniczenie , —- staje się nieskończenie małem może być tedy zastąpione przez —

sin —

kolwiek z następnych czynników kształtu : 1 —

x

więc czynnik n sin — przez x. Który-sin²^-

—, może być z tego sa-

. ₉ ric sin²

xl

mego powodu zastąpiony przez 1---₂ .

Yl

wiek liczbą skończoną.

Iloczyn pierwszych r czynników,

n²

V ² 71 ²

= 1-

wzoru

x²

¹    3² 71²

00•

—n—^ • gdzie r jest jakąkol-

Y “ TC " ' °

(16) dąży przeto do granicy:

)-{¹~

x² \ (r— 1 )² ti² / "

* I.

Wyznaczmy teraz granicę, do której dąży iloczyn następnych czynie

sin² —

n= <x>

ników, kształtu: |J 'l —

n—r

sin² —

przy

dostatecznie wielkiem r.

Jeżeli m rośnie nieograniczenie , wówczas możemy zastąpić :

. O x sin² —

■ J X

sin —

x²

mi

Przez m¹’

sin²

n² n²

przez c    m¹

zatem :

ICI

przez

ni²

sin² -

n²n² ’

00 ^

czyli przez ₂

71 71

W —CO

. ₉ iC

sin-

Iloczyn fl 11~

;/.y

n=zr

sin²

daje się tedy zastąpić przez

M=r

więc, dla dostatecznie wielkiego r, do granicy równej 1.

Otrzymujemy zatem, dla wszelkiej wartości zmiennej niezależnej Æ, wzór:

sin*

*% Ul    x2 \

2²ji²) V    3²Jt²) ** y n²7i²)

(17)

czyli :

sina:=ic 11

(17')

W podobny sposób otrzymamy, na podstawie wzoru (14), który możemy przedstawić w postaci :

cos mx= 11—

sin²x

sin²

71

1~

2 nii

sin²j?

•    2^71

sin² —

sin²#

sin²

(2 m—1) 7i

cos X

= Ü-

sin²

sin²

. ₉ x sm²—

3 TT

... 11-

(2m — 1) n

z którego, dla nieskończenie wielkiego m funkcyę cos x, w postaci iloczynu nieskończonego, kształtu:

sin² —

2m

sin²

dostajemy wzór, przedstawiający

COS X

4a;² '

25 Tr²

czyli :

L.ń__4x \,

i \    (2r+l)*»V

.. (18)

W = 00

cos a: = 7/    1— —

4x²

?i=0

(2m+ l)² TT²/*

(is-)

18. Wzór na cos #, możemy otrzymać wprost z wzoru: sina:. Na podstawie relacyi :

cosa:=₌

sin 2a: 2 sina:"

otrzymujemy bowiem :

2x

cos x=

‘-"H

4 a:²

4 a:2 4 nl

(*-a

1-

1—

w²yr²)"’

a stąd, po opuszczeniu wspólnych czynników, dostajemy wzór:

4a:²

cosa;=

1-

(2 r-j-1)² ril)

11). Wzór Wal lisa. Jeżeli

we wzorze :

« fi

przedstawiającym funkcyą sina:, w postaci iloczynu nieskończonego, poło-żymy: a:=-^, otrzymamy równanie:

1—zr h-—

2 ,i,r w) 2T 2v r

2².4

) {l 2².9)*"(¹ 2?.»²)

j .    -i*;

Zastępując w każdym czynniku różnicę kwadratów dwu liczb przez iloczyn sumy i różnicy tych liczb, a więc, kładąc :

Vr (*    2w) (1 + 2n)

2 n—1 2nĄ-l

2w ’

otrzymamy powyższą równość w postaci:

” /2w—1 2w + l 2n 2w

\    ^    1    3    n— 1 2w-f-l

2 ’ 2 ’    ’ 4    *" 2MF * 2w

LC 00

lO

io

a stąd wzór, przedstawiający wartość: nego, kształtu:

to fi

w postaci iloczynu nieskończo-

TT

<M CO

2 1 *

znany pod nazwą wzoru Wallis a.

Ol A.

2w—1 * 2n + r"

- 456 -

20. Przedstawianie funkcyj goniometrycznych ilukolwiek zmiennych w postaci nieskończonych iloczynów'. Za pośrednictwem wzorów, przedstawiających funkeye: sinx i cos x w postaci nieskończonych iloczynów, możemy rozmaite funkeye goniometryczne ilukolwiek zmiennych, dające się sprowadzić do iloczynów, lub ilorazów funkcyj sinus i cosinus, wyrazić pod postacią nieskończonych iloczynów.

Weźmy n. p. funkcyę :

cos x — cos y 1 — cos y

cos y = 2 sin² możemy więc

Ponieważ tu: cos*—cos y =2 sin daną funkcyę przedstawić w postaci :

sin

x4-y

’ sin y~X 2    'Sln 2

sin²|-

Wobec tego otrzymujemy jej rozwinięcie na iloczyn nieskończony kształtu:

(» 4- y)²

4r.²

_(y-_xY\

4n'lr.² /'”

___t_ Y(l__*!_y    __vl_\

4.4«V \    9.4nV "'V¹ nUnV

gdzie zachowany jest naturalny porządek czynników. Pierwsze dwa czynniki dają iloczyn:

x + y y^x

2 * 2

«i =

yl

y²—x²    a:²

-7x = 1 -

Si

następne zaś możemy co

_(* + */)2 »².47:²

dwa sprowadzić do postaci:

)(>

(y —

____x)\

2/²

n².4n²

)(

yl

4ri'-r.²—a;²—iß—2xy    4nlrJ—ß—x- -f- 2xy

4ri¹-'¹— y²

4 w ² n²—y²

n².4r:²

czyli :

x² -f- 2a:y 4»²;r²— ß

)(>

ctn — (l —

x² — 2xy

4n²n² — y²/’

a że :

£-'j ("l_i--Î)

2»tc—y) V 2nK-\-yJ ’

x² — 2xy

(2nr.—y)(2m-\-y)

przeto otrzymujemy :

2nś-y) + 2nn+t) (X + 2nr: - y) i¹ ~ 2nr. +ÿ) ~ (X ~ (2»r-y)²) 0 “ (2^+y)²)’

zatem, ostatecznie, szukane rozwinięcie w postaci iloczynu nieskończonego:

cos x — cos y

1 —cos y

-»)*

)b

X²

(2^+y)²

- 0-

X²

(2ns — y)²

) (i__?!_V..

/ V (2n- -j- y)²/

21. Rozwijanie funkcyj hiperbolicznych na iloczyny nieskończone.

prowadzą więc

przy urojonych wartościach zmiennej niezależnej x, do iloczynów nieskończonych, przedstawiających funkeye hiperboliczne tej zmiennej.

Iloczyny nieskończone, przedstawiające funkeye goniometryczne sin x i cos x, są bezwarunkowo zbieżne dla wszelkiego skończonego x

- 457 -

W szczególności, na podstawie określenia : sin x i    eT — e~x

sin hip #

ex + e~x

cos hip x — cos xi—

zastępując we wzorach na sina; i cos# zmienną x przez xi, otrzymamy wzory :

X)OC ___ /) X

sin hip a;—-—

ex + e~x

x² \ n² ^r²/ ’’’

4æ²    \

(2W— I)² TT² / *"

przedstawiające funkcye hiperboliczne sin hip a; i cos hip a: w postaci iloczynów nieskończonych , bezwarunkowo zbieżnych dla wszelkiego skończonego x.

Na podstawie tych wzorów, możemy wszelkie funkcye hiperboliczne jednej lub kilku zmiennych, przedstawić w postaci iloczynów nieskończonych, skoro tylko dane funkcye dadzą się przedstawić w postaci iloczynów, lub ilorazów funkcyj : sin hip , względnie cos hip.

cos hip x

14

(20)

(21)

ćwiczenia XXVII.

71—00

1) Dowieść, że iloczyn nieskończony: II («») = a^av.. ctn... może mieć tylko wówczas

«=1

wartość skończoną, różną od zera, gdy lim an — 1, (aczkolwiek warunek ten dostatecznym

71 = 00

nie jest).

2)    Dowieść, że iloczyn nieskończony: ala₂... an... jest wraz z szeregiem: logoą-j--j-l°ga₂ -f-log«« -f- ..., albo zbieżnym, albo oscylacyjnym, a w szczególności rozbieżnym do nieskończoności, gdy suma rzeczywistych składników szeregu = + oo, a rozbieżnym do zera, gdy suma ta jest równa —co.

3)    Dowieść, że iloczyn lia» = aia₂... an... dąży do granicy skończonej, gdy iloczyn: Vn+p — an-\-\, an+2... anĄ-p, ma wartość graniczną: lim Pn+p — l, dla wszelkiej wartości p.

71=00

w którym żaden czynnik nie jest równym zeru, polega na tern,

4)    Dowieść, że konieczny i wystarczający warunek zbieżności iloczynu nieskończonego : a,. a₂ ... an

że dla wszelkiej dowolnie małej liczby e, da się wyznaczyć taka wskazówka », że:

I #«-(-1 . ttnĄ-2..... dn-ł-r — 1 | <^ E ,

dla wszelkiej całkowitej dodatnej liczby r.

5) Dowieść, że gdy dwa iloczyny nieskończone:

71=00

II an i II bn są zbieżne i mają

7?=1

71=00

«=oo

wartości A i B, to zbieżnym jest także iloczyn nieskończony : II (an bn) i ma wartość AB.

71 = 1

«=00

72= GO

6)    Dowieść, że gdy dwa iloczyny nieskończone : II a« i Ił bn są zbieżne do granic

n=l    «=1

1=00 / „ \ ' =i U»/

A i B, a przy tern B jest rożnem od zera, natenczas zbieżnym jest także iloraz do granicy A

7)    Wykazać, że gdy szereg utworzony z głównych wartości logarytmów poszczę-

72 = 00

72 = 1

gólnych czynników an iloczynu nieskończonego Ił (an) jest zbieżny i ma wartość skoń-

71=00

czoną s, natenczas jest zbieżnym także iloczyn nieskończony Ił a* i ma wartość e* — A.

■r    «=1

8)    Dowieść, że iloczyn nieskończony :

Udu = Oj Ofg••• ®»'-> ⁼⁼ (1 “H Wj ) (1 ~|~* ^2) •** (^- —1~ Un) posiada skończoną wartość graniczną, czyli jest zbieżny, gdy dla każdej dowolnie małej wartości ł) da się wyznaczyć takie n, że dla każdego p będzie :

I Pn-fp — 1 I <7] , gdzie Pn+p —

U n-\-p 1In ’

w przeciwnym przypadku iloczyn nieskończony IIan , albo dąży do zera, albo do nieskończoności, czyli jest rozbieżnym do zera, lub do nieskończoności, albo nie posiada żadnej granicy oznaczonej, czyli jest iloczynem oscylacyjnym.

9)    Dowieść, że koniecznym i dostatecznym warunkiem zbieżności iloczynu:

(1 + «j)(l -|- «2)... (1 + «»)... jest lim n^-h«un = 0. <x>0

«=00

10)    Dowieść, że iloczyn: (1 -J- ut)(l -f-«₂)    (1 + un) • • jest dla wszelkich liczb rzeczy

... rozbieżny do zera, gdy szereg: u^-\- u₂ -)- ...    un-\- ... jest

Un

wistych: «J, «2,

zbieżny, zaś szereg «₁²j-«<2² + ••• -f- un‘l... rozbieżny (co oczywiście tylko możliwe, gdy liczby: «t, w₂₎..., un nie mają tych samych znaków).

11)    Dowieść, że iloczyn nieskończony: (1 -|- i*\) (1 + u₂) ... (1 -j- un) ... jest rozbieżny do zera, jeżeli szereg: uxĄ-u^ + ... + «« + ...==—00 , lub gdy szereg: «ą-f-«2 + ••• + Un + ... jest oscylacyjny, a przytem szereg: ²+«2² + ... -f un'² +... jest rozbieżny.

12)    Dowieść, że iloczyn nieskończony: (1 -j-«i) (1 4-Wj) ... (1 -j- un) ... jest rozbieżny,

do nieskończoności, gdy szereg:    w₂-f- ... -j-w«+ ... = -|-co , a przytem szereg: wt ² + «23_t'

... -j-Un'² -j-... jest zbieżny.

18) Dowieść, że iloczyn nieskończony: (l-)-Wi)(l -f- w₂)...(l + Un)... jest oscylacyjnym, gdy szereg: u, -|- u-₂ -\-...-\-Uu -f-... jest oscylacyjnym, a przytem szereg : ui'²-\-u^-\-..,-\-u,^’\-... jest szeregiem zbieżnym.

14)    Dowieść, że iloczyn: (1 Mt) (1    m₂) ••• (1 + «») ... w którym un —an-\-bni dąży do

granicy skończonej, gdy szereg: | ux | + | «2 ! + ••• + u" ! 4* ••• jest zbieżny.

15)    Dowieść, że iloczyn nieskończony: 11(1—««) = ( 1—«i)(l—w₂) ••• (1—«w) ..., w którym liczby Un (przynajmniej od pewnego n począwszy) są wszystkie dodatnie, przyczem lim un— 0, ma w przypadku, gdy szereg malejący,: u{ -|- w₂ -f- ...Ą-UnĄ-... jest rozbieżnym,

n~oc

wartość graniczną, równą zeru, czyli jest iloczynem rozbieżnym do zera, podczas gdy iloczyn : n (l-{-w„) = (1 -j-«t) (1 -f- w₂)    (1 + «») — ma w tych warunkach wartość gra

niczną , równą nieskończoności, czyli jest iloczynem rozbieżnym do nieskończoności.

16)    Jeżeli szereg | «i \ + | w₂ I 4"    + j u» I + •• jest zbieżny, dowieść, że wówczas

także iloczyny : P = (1 + | |) . (1 4. | |)... (1 + | un |)Q = (1-| «, |). (1 - | w₂1) ...(1 - | un |) zbliżają się do pewnej dodatniej granicy, pierwszy rosnąc, drugi malejąc.

17)    Jeżeli szereg: \ul\-\-\ui | -j-... -j-1 un I -f ... jest rozbieżny, wykazać, że wówczas iloczyny Pi Ç (ćw. 16.) są rozbieżne, przyczem: lim Pn — x, lim Çn=0.

n =00

n=00

18)    Jeżeli iloczyn: PQ= (1 -j-«!) (1—Mj)...(l -f- Un) (1—un)... jest zbieżny, pomimo tego że iloczyny P\Q (ćw. 16.) są rozbieżne, wykazać, że wówczas zbieżność iloczynu PQ jest tylko warunkowa, a wartość iloczynu zależy od porządku czynników. Iloczyn (1 — Wj ²)(1— będzie już bezwarunkowo zbieżnym.

Zbadać pod względem zbieżności i rozbieżności następujące iloczyny nieskończone:

¹⁹⁾ (¹⁺i) (1_-g')-(¹⁺a) (1_^Tr)- 2°) (¹~t)

2l) 0 -1) (l+4) - 0 ■- ^rr) (h- srfî) •••

22)

(¹+t) V¹⁺- •\,1+

T—i CQ

! rH CO

ni

- \ 1 + -

i-*    §

23) (l

y i¹

y/2

459 —

-) (i

’ Q / V

Î-)

v~« ’ -

¹    ) (l-    ¹    ).

a -j- nb / V a — nb '

*»)-

^2 » + 1

27) (l+Y log2 ) (¹ + 1T l0g 4)-(¹ + 4l

\/ 3

log

»> [i+(0(0] ■ Mi)(i)3-M£) (»)3

è)-

) (l + sin -g-) - (l + (—!)

(1 sin 1) (l

HO) (1—cos l)(l-fcosy) (l 31) (1 -f tang 1) (l — tang ..: (l + (—l)"+i

»2) (1 +1) (l - i) ( 1 + 2) (l- 2) - (1 + ») (l -I )

83) (1 + 1) (l - i) (1 + 1) (l - I ) ... (1 + 1) (l

29)

— sin

■ i .

re+¹ sin

CC ł-“

cos

cos

ł>

tang ¹ ) ... n /

...

n + V

Wyprowadzić następujące przekształcenia iloczynów nieskończonych, na szeregi:

34) (1 + xy) (1 + x²y) (1 -f xhj)... = 1 + ~ - y +

ylJr

X⁶

^    (1 -x)(l-X²)(l -X³)

35) (1 + xy) (1 4" xiy){i -J- x⁶y) ••• ⁼.i 4" r^-i

X⁹

n(n + 1)

x- ²

»+-+ (1-»)(1-*»)...( 1-» * +-

y-f

x*

(i -x²)(i -x⁴)

y²+

?/³4--4

x«²

⁺ (1 — x²)(l-x*)(l — x⁶)

36) (l+*)(l + x²)(l+x*)(l+x8)(l + x ⁶)(l+x³²) ... = l+x+x² + x³ + ...

(1 —-X²) (1 -— X⁴) ... (1 x2n)

3n²— n

3n- -f- n

37)    (1—oj) (1 —X²)(l—X³)... —1 — X— x²-j- x⁵+x⁷-|-    l)»x ²    +(-l)»x    ²    +...

n=cc

38)    Wykazać, że iloczyn nieskończony 11 [ 1 -f- gn (x)], w którym:

• «=1

gi (*) = o.i x -f o.₂ x² 4-... 4- aim xm 4-...

jest dla wszystkich wartości x, o bezwzględnej wartości xj<p bezwarunkowo zbieżny, jeżeli szereg : j g{Çx) |4- \g₂(x) | 4-... + \ gn (x) | + ... jest dla x | <[ p zbieżny.

39)    Wykazać, że gdy szereg: 2 \gn{x)\ jest w zakresie | x |<p jednostajnie zbieżny,

71 = 00

n~\

natenczas także iloczyn 11 (1 + I gn (x) |) jest w tym zakresie jednostajnie zbieżny, t. z.,

że wówczas da się zawsze liczbę n tak wyznaczyć, że będzie:

I Fn-f 1 (*) . Fn+2 (*) ... Fn + r(x) | — 1 < S £ przedstawia dowolnie małą liczbę niezależną od x.

gdzie Fn (x) = 1 + J gn (x) |.

40) Dowieść, że gdy dla wszelkich wartości x w zakresie x < p, jest | gn (*) j <C An a szereg nieskończony    Anjest zbieżny, natenczas iloczyn nieskończony

n=oo

n (1 -\-gn(x)) jest w tym zakresie jednostajnie zbieżny.

»=1

460 —

41) Wyprowadzić wzór Wallisa :

T.

CM r—i

CM CC

O’ cs

"2n—1 ' 2n+ 1 "

42) Wykazać, że wzór Wallisa, przedstawiony w postaci:

32    52    (2n — iy.2n + l

(2»y

da się sprowadzić do szeregu :

-I-i

l². 3

l². 3².5² ...(2»—S)². (2»—1)

2²    2².4²

2².4².6²...2»²

Wyprowadzić następujące rozwinięcia danych funkcyj

na

iloczyny nieskończone:

43) sin s * = vx (l - y) (l - 2‘/) - (X n²)“’

-(■-¥)(-S)(‘-S)-(

44) cos t.x

, 4x²

(2 »- l)²

...

45) cos i *= (l — ■*,) (l -

X²

x²

(2»—l)²n²

46)

COS X — COS a

1 — COS a

0-5)0-

X²

(2k — a)²

■)(>-

X²

(2- + a)²

)(l

X²

(4n — a)²

)•

■0

x²

(4k -f- <*)²

...

47)

48)

49)

cos x 4- cos a

1 + COS a

sinx 4- sin a sin «

ecĄ- e~x

-0

X²

X²

(k —

)0

X²

(3k — a)²

) 0-

x²

(3k 4~ a)² 4 '

-0+r)0+iTŹrJ0-

,^)0--5=rJO + 5qrJ~

e-*

:(¹⁺1?) (¹+9^)-(1_t

-0+£

4x²

(2n—l)² K²

) (1 + 9V²)-(1 +Jr:²) -

60) JL^

51) Dowieść, że iloczyn (1 4- *,) (!. 4-%)... (14- «»)... jest bezwarunkowo zbieżnym, gdy istnieje dodatna, choćby bardzo mała, lecz skończona liczba a, że :

w razie Hm un— O, będzie zarazem : lim »*+« un =-0 ,

n—

lim n. (Ig»)*+“. un — 0,

71=OO

lim ». Ig ». (lg lg «)l+a. iin = 0,

n=oo

lim ».lg» lg lg»(lglglg»)H«tt„=0

n=00

71=00

lim».Mn = 0,

71=00

lim».lg».«rt = 0 „

n=oo

lim »lg».lg lg». Mn =0,    „

71 = 00

52) Dowieść, że iloczyn (1 4~m₁)(1 4“ »3)... (1 4“ «») — jest bezwarunkowo zbieżnym, gdy ! un j

lim

71=00 j Un-f 1 i

> 1, a w razie lim I -Un j = 1, gdy

n=;oo j Un-f-1 I

lim » ( I Un —l) 1,

71=00    \ ¹ Mti-J-1    ’

lim»lg»( Un —l\>l,

71=00    V UnĄ-i    '

a w razie lim» t Un —1| — 1 , gdy:

71=00    ' 1M71+I I /

a razie lim » lg »

{I “«    l}_l, gdy :

i IUn+\ I I

lim » lg n lg lg » I I

)l— 00    ' I till-J-l

53)    Wykazać, że szereg : Slog H (14-«,,)= Z u^— \ S m²^4" ••• jest zbieżny lub rozbieżny wraz z iloczynem: 11(14- “»)•

54)    Dowieść, że iloczyn

kich wartości zmiennej x z wj-jątkiem wartości całkowitych, ujemnych.

1.2... (»—1) nx

x(x4- !)(# Ą-n— 1)    .

, jest bezwarunkowo zbieżny dla wszel-

— 461 —

jest bezwarunkowo zbieżny

*=°°/ x\ -

55) Wykazać, że iloczyn nieskończony 11 (l— )en

n—l \    n /

dla wszelkiej skończonej wartości zmiennej x. Dowieść, że :

1 — o ² 1 — o⁴    1—a2n

571 1 — 91    1-92    Ł—g³ _

¹ + 2 ’ ¹ + 3* ' ¹ + ?³    1 H- Sn

1—g»

= 1— 2g + 2gł — 2g⁹ + 2g¹⁶ ... 58) (1—x) (1—gx)(l — g²x) ...(1—g» a;)... = 1 — ---- x -f

(i g)(i—g*)

x² —

g³

~(l-g)(l-g²)(l-g³)

x³+ ...

59) -i-

1 — X

1—qx ” 1 — g* x

-¹ + rbx+~(i-,)a-₄«j

X ² -j-

g³

1 —ax 1 — agx 1—ag²x 1—aqnx 1—bx 1 — ftgx ' 1—6g²x’ ’l — bqnx’"

(b—a)(b— ag)

(l—g)(l-g²)

(6 — a) (b — a g) (è — ag²)

(i — g) (i — g²) (i — g³)

x³ -j— ...

x²-f

Wyprowadzić następujące rozwinięcia :

77—00

61) e* — \=xe

'/a *

n (1+

a:²

4»² t:²

62) 4-

sm y

11 = 1

7:² — x²    4x:² — x²    «²r²— x²

y ’ z:² '■—y²    4r.² — y²    w²~²-j- x²

71 — 00

63) cos y -f cotg x sin y =■ ^1 -j- U (l —

2 a?y+y²

tt²JC² — x²

)•

Rozwiązania XXVII. l)-8) n (<*») = eS log a". 19) Iloczyn zbieżny doi. 20) rozbieżny do zera. 21) zbieżny. 22) zbieżny. 23) 0. 24) 0. 25) zbieżny dla wszelkich a i 5, pod warunkiem , że iloraz a/b nie jest liczbą całkowitą. 26) 0. 27) zbieżny. 28) zbieżny. 29) 0. 30) zbieżny. 81) rozbieżny. 32) 0. 33) rozbieżny.

Literatura. Dr. Otto Biermann. Elemente der höheren Mathematik. Vorlesungen Vorbereitung des Studiums der Differentialrechnung, Algebra und Functionentheoi’ie

zur

Leipzig 1895.. Johann Lieb lein. Sammlug von Aufgaben aus der algebraischen Analysis. Prag. 1867. Dr. Otto Stolz und Dr. J. Anton Gmeiner. Einleitung in die Functionentheorie. In 2 Abtheilungen. Lepzig 1905.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    O zbieżności i rozbieżności iloczynów nieskończonych.

2.    O iloczynach nieskończonych, których czynniki zależą od jednej zmiennej.

3.    O rozkładaniu funkcyj przestępnych ułamkowych na ułamki częściowe.

W'

Wyklad XXVIII.

• «<•

Funkcye peryodyczne i rozwyanie ich na szeregi i iloczyny nieskończone.

1. Funkcye jednoperyodyczne. Funkcyą jednej zmiennej niezależnej, posiadająca tę własność, że nie zmienia swej wartości, gdy do wartości zmiennej niezależnej dodamy pewną stałą liczbę a nazywa się funkcyą peryodyczną.

Liczbę stałą a, nazywamy per y od em tej funkcyi. Jeżeli liczba a jest peryodem pewnej funkcyi, to jest nią także liczba k . a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią, lub ujemną.

Skoro bowiem: F{xĄ-a)=F\X)₁ wówczas: F(xĄ-2a)—F (x + a), a więc

także: F (x+2«)=F(x), ogólnie:

F {x -f- k. a)-F (x)} Iz = Jr 1, rt 2,. . .

Jeżeli więc liczba a jest peryodem pewnej funkcyi, to jest nim także wszelka całkowita wielokrotność tej liczby.

Między liczbami , które dodane do wartości zmiennej niezależnej nie zmieniają wartości funkcyi, jest więc jedna bezwzględnie biorąc najmniejsza i tę uważamy zwykle za właściwy peryod funkcyi, a funkcyę, której odpowiada jedna taka bezwzględnie najmniejsza liczba a, nazywamy funkcyą jednoperyodyczną.

Niech będzie F(x) funkcyą jednoperyodyczną o peryodzie a, natenczas F(x + Jzct) = F(x)₁ (k=± 1, ±2,...)

Przypuśćmy, że ta funkcyą F(x), staje się zerem dla x=x₀, że więc F(xo)=0, natenczas stanie się ona zerem także dla x=x₀ Ą-ka, (#=.±1, d. 2...).

Funkcye jednoperyodyczne, mające jedno miejsce zerowe x₀, mają ich więc nieskończenie wiele, w postaci: x₀Ą-k-.a, (k—± 1, ±2,...).

Peryod a może być liczbą rzeczywistą , urojoną, lub zespoloną. Miejsca zerowe funkcyi jednoperyodycznej, wyobrażają na płaszczyźnie liczbowej zmiennej urojonej szereg punktów, położonych w równych odstępach, na jednej linii prostej.

2. Elementarna funkcyą jednoperyodyczną, bez miejsc zerowych. Typową funkcyę jednoperyodyczną bez miejsc zerowych, przedstawia funkcyą wykładnicza ex, określona szeregiem potęgowym, bezwarunkowo i bezustannie zbieżnym, w postaci:

„ X X² X³    xn

«*=i+rj+21+37+ -+^+-

której peryodem jest liczba urojona 2ni. (T. I. str. 595. art. 7.).

Funkcya wykładnicza ex nie staje się zerem dla żadnej skończonej wartości zmiennej x₁ jest dla wszelkich wartości rzeczywistych x dodatnią i rzeczywistą, a tylko dla æ=0 ma wartość =1, czyli ex przybiera wszelkie wartości dodatnie od 0 (dla x= — co) do +oo (dla £=-j-co). Dla urojonych wartości a-\-ßi zmiennej niezależnej x, funkcya ex ma wartość bezwzględną:

j e«+0»'I = j ea I. I J a że j    j = |cos/?-fâsin/?| = .l, więc | e“+^‘ | = | ea \—eK,

zależną jedynie od części rzeczywistej a. W nieskończoności posiada funkcya ex miejsce istotnie osobliwe , w którem otrzymuje wszelkie możliwe wartości. Oznaczając to miejsce przez a-\-ßi: z warunkiem: \ a+ßi |= oo, i mając na uwadze, że e+°° = +GO, e~oc=0, \e^\ = l, przy skończonem lub nieskończonem a rzeczywistem ß, otrzymujemy w tern miejscu następujące wartości :

1.    Jeżeli a= -foo , ß dowolnie skończone, natenczas jest ex=eco^^=e<x‘ .$'= oo a więc ex=co .

2.    Jeżeli a = —oo , ß dowolnie skończone lub nieskończone, natenczas jest: ex — e~:c+^i=c~c° .eß'=0, a więc ex=0.

3.    Jeżeli a dowolnie skończone, /?=±go, natenczas jest:

ex= ea+c0•'== ett. e ±°°i—ect . (cos oo ± «sin oo ).

uwa-

o zu-

Ponieważ jednak cos oo i sin oo są nieoznaczone, bo oo może być żaną jako nieskończenie wielka wielokrotność liczby 2?t, powiększona pełnie nieoznaczoną liczbę , obraną w granicach od 0 do 2jt, przeto ev otrzymuje wszelką wartość zespoloną o bezwzględnej wartości ex, leżącej między zerem (dla a——oo ), a nieskończonością (dla a=+oo).

4. Jeżeli a=-poo, ß~+:oo , natenczas:

e*=e⁹⁰±°0i

co ~ł“00 *    -4-00 i

,e~    = oo .e- =oo

= e

a więc ev otrzymuje wartość nieskończenie wielką.

5. Jeżeli a——oo , /?=±oo , natenczas:

e = e⁻⁰°—a>i=e~⁰⁰. e-⁰⁰¹=0. e -⁰⁰ *'= , a więc ex otrzymuje wartość równą zeru.

Przy pomocy funkcyi wykładniczej tx, mającej peryod 2m, możemy z łatwością utworzyć funkcyę jednoperyodyczną F(x), mającą dany peryod

o>. Funkcya env ma peryod    połóżmy więc:    = (o, a więc a = ——\

a otrzymamy najprostszą szukaną funkcyę jednoperyodyczną o peryodzie o), w postaci :

1nix

F{x)=e “

= cos

2 nx

-4- sin

2 nx

(O ’

. , „    ,    . %nx

jak tunkcya sin-.

jest mą więc zarówno funkcya cos—^

Związek funkcyi wykładniczej ex z funkcyami goniometrycznemi, określony wzorem: eri= cos x+ i sina: i analogiczny związek z funkcyami hiper-bolicznemi, określony wzorem: er = cos hip æ-f-sin hip æ, dozwala, na podstawie peryodyczności funkcyi wykładniczej ex, wyprowadzić peryodyczność, zarówno funkcyj goniometrycznych, jak funkcyj hiperbolicznych oraz wszelkich funkcyj, wymiernie z nich utworzonych a zarazem wyznaczyć ich miejsca zerowe na płaszczyźnie zmiennej urojonej.

peryod 2n, a funkcye hiperboliczne sinhipa? i cos hip a?, mają znowu podstawie określeń :

na

. .    ev+e~x

, cos hip x =    2

__e-X

peryod 2ni.

Według powyższych określeń, miejsca zerowe funkcyi sina? wyznaczają się równaniem exi—e~xi=0, czyli e2xi=l: a więc przedstawiają się w postaci: x--^lcn , Æ=0, dt 1, ±2,... tworząc szereg punktów: 0, ±tf, =t2:rc,... w odstępie n na osi liczb rzeczywistych; miejsca zerowe funkcyi cos a? określają się równaniem exiĄ-e~xi—0} czyli e2xi=—1, a więc przedstawiają się w po-

(2Ä.+ 1)

staci : x

3. Peryody i miejsca zerowe funkcyj gonionietryczuyeh i hiperboli-czuych. Funkcye goniometryczne sina? i cos a; mają, na podstawie określeń:

exi + e~xi

sina;

exi—e~xi

cos x —

7i, Jc=0, ± 1, dz2,..., tworząc na osi liczb rzeczywistych

szereg punktów : ±

bo a

3 71

.. w odstępie ti.

Miejsca zerowe funkcyi sin hip a? określone są równaniem ex — e_ T=0, czyli e2x=l, a więc przedstawiają się w postaci: x=JcTii₁ Jc=0, ±1, ±2,..., tworząc na osi liczb urojonych szereg punktów: 0, dt ra, w odstępie tf ; miejsca zerowe funkcyi cos hip a?, określone są natomiast równaniem: e* -j- e⁻* = 0, czyli e2v= — 1 i przedstawiają się w postaci:

(2*+l)

*--2

punktów : ±

Na podstawie wyznaczonych miejsc zerowych, odpowiadających tym funkcyom, możemy oprzeć rozwinięcia tych funkcyi na iloczyny nieskończone, wyprowadzone w poprzednim wykładzie, a z odpowiednich iloczynów nieskończonych wyprowadzić naodwrót peryodyczność odnośnych funkcyj.

4. Peryodyczność iloczynu nieskończonego, przedstawiającego fankcyę

sin x. Dla funkcyi sin x, otrzymaliśmy iloczyn nieskończony :

Tlij 1c=0, -4-1, —f- 2

to a

CO CM

Jb 27ii,. . .

tworząc także na osi liczb urojonych szereg

Tli,... również w odstępie tv.

r~ co

sin x=x II

r= 1

( i___

V r²7i²)

(2)

Weźmy pod uwagę funkcyę :

(3)

mającą tę własność, że:

sin a?.

r=M /    «.2 \

lim F.(*)-lim* n (1—-=-,] =

n=oo    m=oo r=l \ TL7lL)

Funkcya ta przedstawia się w postaci :

czyli :

-F* (a:)

-gl \ f 1

2%V”* V

a:²

n²7i²

Fn(x) =

(-1)”

(n !)

Y~x{x²—ti²)(x²—2²tf²). . .(a?²—n²n²).

— 465 -

Kładąc: x²—r²n²={x\ rri) {x—rń), otrzymujemy:

Fn{x)

(- IV

(n\)²n2n

x.{xĄ-n){x—n) (x+2n) (x—2n) .. .{x-\-nn){x—nn),

a więc także :

Fn(x) =

(-1)"

(n !)² n

^x.(x — n)(x—2n) ,..(x—nn)Jx+nn).. .{x-\-2n) (x+n).

Zastąpmy tu x przez x + n, a otrzymamy:

Fn (x + n) =

(-1V

(n\)²n2n

(x + n).x(x—Ti).. .{x—(n—l)n).(x-\-{n-\-l)7i).. .(x + 3n)(x-{-2n).

czyli :

Fn(x + n) = -~

(-1)"

(n\)²n2ri

x(x-n). . .(x—(n—l)n) (x—nn)\x + nn)...(x4- tt).

x-\-(n+l)n

x—nn

a więc:

a że :

00

— nn

(4)

Przechodząc do granicy n—co, otrzymujemy stąd wzór:

sin (x + n) = sin x lim

n=oo x

x-\-(n+ 1 )n

— nn

lim

nrrroo*

x —nn

1,

sin (x-\-n) = —sin x, sin (x-\- 2n) = —sin (x-\-ri), sin (x    2n) = sin x,

zatem otrzymujemy : a stąd : czyli :

co wskazuje, że iloczyn nieskończony, przedstawiający funkcyę sina: ma peryod 2n.

5. Punkt istotnie osobliwy fankcyj peryodycznych. Jeżeli funkeya pe-ryodyczna przyjmuje w pewnem miejscu x w skończoności pewną wartość, to musi ona ze względu na warunek F(x+n (o) = F (x) tę samą wartość otrzymać także w miejscu nieskończenie dalekiem. Z tego wynika , źe wartość funkcyi peryodycznej w punkcie nieskończenie dalekim płaszczyzny liczbowej jest nieoznaczoną, funkeya peryodyczna otrzymuje więc w punkcie nieskończenie dalekim rozmaite wartości, czyli innemi słowy :

Wszelka funkeya peryodyczna ma w punkcie nieskończenie dalekim płaszczyzny liczboivcj punkt istotnie osobliwy.

Jeżeli funkeya peryodyczna ma, oprócz koniecznego punktu istotnie osobliwego w nieskończoności, jeszcze inny punkt istotnie osobliwy w pewnem miejscu x = a, to z powodu peryodyczności ma tych miejsc nieskończenie wiele.

6. Ogólny sposób tworzenia funkcyj jednoperyodycznych. Niech będzie f\x) dowolną funkcyą jednowartościową, całkowitą lub ułamkową, wymierną, lub przestępną.

2 nix

Połóżmy #=-—.log^, a zatem: y—e <0, natenczas otrzymamy z danej

^5 TV l

funkcyi jednowartościowej zmiennej y:

, f\y)=f

t 2n\X\

(« “)=F(x\

(5)

BO

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

- 466 —

jednowartościową funkcyę zmiennej x, kształtu: F(x)—f(e w), która, wobec

tego, że e ¹⁰ jest peryodyczną funkcyą zmiennej x o peryodzie równym w, będzie również peryodyczną funkcyą zmiennej x o tymże peryodzie <n, z czego wynika, że z jakiejkolwiek funkcyi jednowartościowej zmiennej niezależnej x, otrzymujemy funkcyę peryodyczną o peryodzie (o , jeżeli -

lnic

w danej funkcyi jednowartościowej, zastąpimy zmienną x przez e ⁽⁰ .

7. Niektóre uwagi o funkcjach całkowitych przestępnych. Szeregi bezustannie i bezwarunkowo zbieżne określają, jak wiemy, (patrz T. I. str. 556 ) funkcye, zwane f u n boyami całkowitemi przestępnemu

Funkcye takie mają tylko jeden punkt istotnie osobliwy i to leżący w nieskończoności, jak funkcye: ex, sin^, cos#³, i t. d.

Funkcye peryodyczne z jednym punktem istotnie osobliwym , leżącym w nieskończoności, należą zatem do funkcyj całkowitych przestępnych.

Niech będzie /(#)— a₀ -\-a,x + a₂ #²+ ... funkcyą całkowitą przestępną. Wobec bezwarunkowej i bezustannej zbieżności przedstawiającego ją szeregu potęgowego, możemy ją przedstawić w postaci innych szeregów, bezwarunkowo i bezustannie zbieżnych, uporządkowanych według potęg (#—«), jak: /(#)= a₀ -ł-oąC#— «) + a₂(x — a)²-f..., gdzie, przy skończonem w, an jest liczbą skończoną.

Funkcyą taka może, jak funkcyą eæ, nie mieć wcale miejsc zerowych. Gdyby a było miejscem zerowem tej funkęyi, wówczas byłoby a₀ = 0?

a funkcyą—_ ^ byłaby znowu funkcyą całkowitą przestępną.

Między wartościami zmiennej niezależnej x, bezwzględnie mniejszemi od- pewnej skończonej liczby £, będzie zawsze tylko skończona ilość takich miejsc, w których funkcyą całkowita przestępna f(x) staje się zerem.

Miejsca takie nazywamy miejscami zerowemi funkcyi.

Dadzą się one zestawić w pewnym porządku: a,, a₂, a₃₎... tak, że: i a„ + 1 I > | a„|, przyczem : lim an = co .

71 = 00

Niech będzie # —a₁ punktem zerowym funkcyi całkowitej przestępnej /'(#), to otrzymujemy wówczas :

/(#)=-(#- cO/iOr)

gdzie f\ (#) jest znowu funkcyą całkowitą przestępną. Gdyby funkcyą f\x) miała skończoną ilość miejsc zerowych: oą, a₂ ?•••? a” ? wówczas moglibyśmy w analogiczny sposób przedstawić ją w postaci:

f{x) = (#— a,) (#—a₂)... (x—an)fn(x),

gdzie funkcyą fn(x) wyobraża znowu pewną funkcyę całkowitą przestępną.

8. Fnnkcye całkowite przestępne o nieskończonej ilości miejsc zerowych.

Niech będzie danych nieskończenie wiele miejsc: ai: a₂, ..., an, w których szukana funkcyą całkowita przestępna miałaby swe miejsca zerowe. Oznaczmy przez cpn (x) (n = 1, 2,...) pewne funkcye całkowite przestępne, nie mające wcale punktów zerowych w skończoności, jak np. efiW, gdzie g(x) jest dowolną funkcyą całkowitą, wymierną lub przestępną i utwórzmy iloczyn nieskończony kształtu :

a okażemy, że przy odpowiednim wyborze funkcyj (pi(x), ç>₂(æ), ..., q>n(x),... możemy zawsze uczynię ten iloczyn bezwarunkowo i bezustannie zbieżnym. Iloczyn ten będzie bezwarunkowo i bezustannie zbieżny, jeżeli szereg

1

bezwzględnych wartości wyrazów — jest zbieżny, gdy położymy q)„(x) = l,

ton

wówczas otrzymamy żądaną funkcyę, w postaci:

Przypuśćmy jednak, że szereg: — + — + .nie jest bezwarun- w

•    to^    ton

kowo zbieżny, a natomiast istnieje pewna liczba m, taka, że szereg:

(—r+ (—r

\aj \a₂J

+ ••• +

1 \m

ton.

jest bezwarunkowo zbieżny. Połóżmy tedy :

00

9n {X)*=—Ar

ccn

1    x²

m — 1 an

2    a„

zaś: <pn(x)=e?n^\ wówczas zauważymy, że iloczyn nieskończony:

wobec rozwinięcia :

(*-•(i—i) log(I-ï)“-î;⁺ \b⁺-Ą

(pn (X)...

1 xm m—1 «w-1_r m anm

a temsamem wobec wzoru:

( x t t 1 xm~¹

(i-    <p„ (*)=C V“"

m+...) +(—+...+

m anm )    \ an

i a”¹-¹ \ in —1 anm — i /

czyli :

(-ś)

(Pn (»)= C

1 ■TWi + ¹

m anm m—î anm +1

1 xm

1 xm

m anm

(He)

1 ₇m

= 1-— — (l+e) + ...

m anm v '

będzie miał n-ty czynnik kształtu :

h-.)

(pn (æ) = l--

m anm

rftn

^r( l+ó)

która z rosnącem n, bezwględnie

gdzie ô przedstawia liczbę skończoną wzięta, dąży do zera. Iloczyn nieskończony takich czynników, jest, wobec

założenia, że szereg: kowo zbieżnym.

Przypuśćmy teraz , że szereg : wszelkiego skończonego m rozbieżnym.

/ 1 \m ( 1 \m

^—j -p ^—j + ... J©st zbieżnym, widocznie bezwarun-

aMip

(.-r

-f-. . . jest dla

468 —

Połóżmy tedy :

<Jn    —

a iloczyn nieskończony :

1    a;²

2    a„²

+ .» +

1 #n_1 n—1 a/⁻¹’

9n(x)

<JP* (jj) ...

będzie miał tedy «-ty czynnik, w postaci:

(*-a

<pn (X)

n—1 ann —1

której możemy także nadać kształt :

a więc otrzymujemy :

(i~) w.«-(i—y. «

— log

KH

1 æn

n an

gdzie ó„ przy rosnącem n zdąża do zera.

CC CC^¹

Ponieważ szereg:--1--₂ +

a\

xn+¹

1 x*_    J_ xw+¹ _

ctnn    n-1-1 an«-f 1

ccn

--\-... jest dla każdej skończonej

Mn¹

wartości x bezwarunkowo zbieżnym, zatem iloczyn takich czynników będzie też bezwarunkowo zbieżny, a stąd wynika twierdzenie :

«:î₃

Jeżeli liczby ai, a₂, ..., a„, tworzą taki szereg, że : | an+1 | >| ctn !, a przytem lima,t-=GO, wówczas da się zawsze utworzyć iloczyn nieskończony, kształtu:

71—CC

(i—

Vn {X)...

(6)

nie mające miejsc zerowych, który będzie

gdzie cpn(x) są pewne funkcye bezwarunkowo zbieżnym dla wszelkich skończonych wartości zmiennej x, różnych od liczb: a,, a₂, ..., a„,... Iloczyny takie przedstawiają tedy funkcye całkowite przestępne o danych nieskończenie wielu miejscach zerowych.

Na podstawie powyższych wywodów, jesteśmy zawsze w stanie wyznaczyć funkcye całkowite przestępne, któreby miały nieskończenie wiele miejsc zerowych: ct^ , a₂,..., a„, ..., jeżeli tylko:    j ]> an |, a przytem:

lim an=go .

n—oo

Ilość takich funkcyj jest widocznie nieskończenie wielka. Jeżeli bowiem G(x) jest taką funkcyą , tedy jest nią także funkcya: e⁹'W.G(x), gdzie g(x) przedstawia jakąkolwiek funkcyę całkowitą, wymierną lub przestępną.

9. Szeregi nieskończone, oparte na iloczynach nieskończonych danych funkcyj. Z iloczynów nieskończonych, przedstawiających rozwinięcia danych funkcyj, możemy otrzymać szeregi dla różnych innych funkcyi.

Weźmy pod uwagę iloczyn nieskończony:

sin x

n² TT²

Logarytm jego prowadzi do wzoru: log sina:

Wyznaczywszy obustronnie pierwsze pochodne, otrzymujemy rozwi-

=loga?-f log^l — ^j + log (l

\ /

VV⁺-⁺l°g(l

a;²

męcie :

cosx    1

—-=cotg x=- —

sin x

które , ze względu na to , że :

2x

2x

2x

n² -x²    2²jz²—x²

n² n²—x²

iß)

2x

n²n²—a:²

nn + x nn — x

prowadzi do szeregu :

1

cotg X—--[-

(9)

nn -f x

Zastępując w niem x przez nx i mnożąc obustronnie przez n, otrzy-

nn — x

mujemy szereg :

czyli :

1

n cotg n x =--\-

x

+ ••• d-

nĄ-x n—x

(10)

••• d~

TT COtg TT# --1-

Zmieniając porządek wyrazów tego szeregu, otrzymujemy szereg:

x+l x—1

x-\-n x—n

«—+oo

y, -

x -j- n

n= - oo

... +

a; — 1 x    ‘    xĄ-n

H — — 00

1 ^ 1

+ -—f- >, -

?*=—i

x ** x+n »=1

składający się z dwu szeregów nieskończonych, po obu stronach wyrazu środkowego —.

Temi rodzajami szeregów, zajmijmy się obecnie.

10. Szeregi nieskończone po obu stronach wyrazu środkowego. Niech będzie w₀ wyrazem środkowym szeregu , który rozciąga się po obu stronach tego wyrazu w nieskończoność, w postaci :

»= + 00

(U)

W„=...-ł-W_n + ...-i-W-2 + W— l + w0 +Wi ßu2    +

71——00

Ażeby szereg taki był zbieżnym, musiałyby byó widocznie oba szeregi częściowe, a więc zarówno szereg: jakoteż szereg : szeregami zbieżnymi.

Jeżeli sumą jednego szeregu jest S¹, drugiego S, natenczas sumą danego szeregu jest:

71=00

n=l

2 = S ¹ d" Wg -j- $,

a suma ta niezależy od porządku wyrazów, jeżeli oba szeregi częściowe są bezwarunkowo zbieżne.

Zastanówmy się teraz nad przypadkiem, gdy oba szeregi częściowe są rozbieżne.

11. W tym celu weźmy, jako przykład, pod uwagę szereg:

M= + CO

11—— CG

(,xĄ-n)

(12)

w którym wykładnik a jest liczbą dodatnią.

razu środkowego uó =

Szereg ten, rozdzielony na dwa szeregi częściowe, ułożone obok wymożemy przedstawić w postaci :

n=—oo

czyli :

1    ⁰⁰ i

¹ + ^

xa ^ (x -f ri)

-J (x+n)

72=00    1    1    71=30    ₁

a    ¹ i ¹    .'S?_t

“    (x—n)a    xa    -^ (# +w)“'

n—

n=l

(13)

Oba szeregi częściowe:

IM! IM 8

(x—ri)a (x—1)“    (a:—2)

(x—nja

4 •••

(x -fw)“ (x -4-1)“    (a;+ 2)

(xĄ-n)a

będą widocznie zbieżne; skoro szereg:

71 = 00    ^    ^

2 na ~ 1«

n=. 1

2“

+ ••• 4

na

będzie szeregiem zbieżnym , co w myśl wywodów, podanych w Tomie I. art. 13 str. 535. nastąpi zawsze, gdy a^> 1.

-jest więc pod warunkiem a> 1, zawsze zbieżny ima

Sżereg ^

dla wszelkich wartości niecałkowitych a: sumę skończoną Sa(x).

Jeżeli wykładnik a—i, wówczas są oba szeregi:

üMi IM8

(a:—ri) x— 1

(x -f n)    x+1

4-

æ—2

a;-p2

x—n

⁺ "'⁺z + » ⁺ •••

— 471 —

rozbieżne, przyczem pierwszy dąży do granicy—co, drugi do granicy + go, suma Sa przedstawia się tedy w postaci nieoznaczonej. Ażeby zbadać, czy i pod jakimi warunkami mogłaby być ta suma oznaczoną, weźmy w obu szeregach jednakową ilość p wyrazów, utwórzmy więc sumę:

n=p    n=p

s(*)-2—+ - + 2-i ,

' '    X — fl    X    x -f- u ’

(14)

U =r 1

n z=z\

Łącząc co dwa wyrazy, odpowiadające tej samej bezwzględnej wartości wskazówki n w jeden dodajnik, otrzymamy:

x—n    x-\-n

a więc powyższą sumę, w postaci :

xl— n² ’

H— 1

i    i U-V 9

—

x    -n x    x¹

— ril '

n=. 1

n=l

Tak otrzymana suma dąży, przy nieograniczenie rosnącem p, do pewnej granicy, dokładnie oznaczonej.

Połóżmy :

l+y.~

r ^ X¹-

n=1

~=Fi(x) nL

to możemy łatwo dowieść, że :

Fi(x + 1) = Fx(x).

Weźmy bowiem pod uwagę sumę:

n—Ą-p

S (X)= 2 -7 ^JpxĄ-n

n——

n=:p

n=l    -

'S ¹ 4.1 +’S

% fi x    x T fl

(15)

71—p

to zauważymy, że zastępując x przez æ-f-l, zamienimy każdy wyraz tej

nowa suma $„(;£+1) po-

r    i

a odjęcie wy-

sumy S(x) na wyraz następujący, a otrzymana

wstanie więc z sumy Sp(x), przez dodanie wyrazu

razu

X Ą-p-\r 1

-. W granicy, gdy p staje się nieskończenie wielkiem

x—p

wyrazy :

i—, staną się zerami

, będzie więc :

F\{xĄ- 1) — i i (#)•

n — 4-⁰⁰

-— jest peryo-

To znaczy: Funhcya Fi(x), określona wzorem: Fi(x) — A

dyczną i ma peryod równy 1.

Tę samą własność mają widocznie funkcye: F₂(x), Fz(x) ..., określone

n— —

oo X\n

wzorami :

«= + 00

Fa{x)= 2

n=

^00 (* + n)a '

co

12. Zastępując we wzorze Fi (x) zmienną x przez

otrzymamy :

F,

y «v    w = 4-00

K-)- 2

n——oo

x-\-nn

a wtedy powstaje funkcya :

i    /    \    Tl—*4“ co    -i

±p (!_) „ -<5_ł

TT ¹ \ Jr /    x Ar n n

n=—«

której peryodem jest liczba a która w miejscach x — nn (w=0, dz 1, i2,...) otrzymuje wartości nieskończenie wielkie. Funkcya ta jest funkcyą gonio-metryczną cotgir.

Z iloczynu nieskończonego :

sina;

1-

n² 7r²/

wypływa bowiem szereg :

logsin3:= + logx + log(l- *₂j + l°g (l — ^ ń +■••+ log (

— i

² TT²/

+ ».

który, zróżniczkowany, prowadzi do wzoru:

1 2x cotg x=-A-

2x

X¹— Tl²

X¹— 4tt²

Jest więc:

F,

V 71 ) Jml X -f U71

= COtg£'.

(17)

n=z— oo

13. Szereg Jacobiego. Ze szeregów, rozciągających się w nieskończoność po obu stronach wyrazu środkowego zasługuje na szczególniejszą uwagę t. z. szereg Jacob i’ego, określony wzorem:

n=+oo

©(*)«= 2 ean2+bnx

(18)

n——oo

w którym spółczynniki a i b, przedstawiają dowolne liczby stałe.

Środkowym wyrazem tego szeregu, podwójnie nieskończonego, odpowiadającym wskazówce n = O, jest 1, oba szeregi otaczające, mają wyraz ogólny un=ean,+6n x, którego n-ty pierwiastek:    un= eanżbx, bezwzględnie

wzięty, zdąża, przy nieograniczenie rosnącem n, do zera, gdy spółczynnik a jest liczbą ujemną, są więc, gdy a <C. O, bezwarunkowo zbieżne. Szereg Jakobiego :

(&(X) =    2 e'm²fbnx

nz=i— oo

jest więc, przy ujemnym spółczynniku a, dla wszelkiego x bezwarunkowo zbieżny. (Jeżeli współczynnik a jest liczbą zespoloną kształtu: aA-ßi, wówczas musi być a<;0).

Funkcyami, określonemi tym szeregiem zajmiemy się w następnym wykładzie.

- 473 -

Ćwiczenia XXVIII.

1) Wykazać, że wszystkie funkcye jedno wartościowe zmiennej », które mają jeden tylko punkt istotnie osobliwy w nieskończoności, czyli t. z. funkcye całkowite przestępne dadzą się przedstawić w postaci szeregów potęgowych zmiennej x, bezwarunkowo i bezustannie zbieżnych.

2) Wykazać, że skoro funkcya całkowita przestępna G (x) (ćw. 1.) ma jeden punkt zerowy w miejscu » = a, wówczas iloraz

G(x)

a jest również funkcya całkowitą przestępną.

3) Wykazać, że wszystkie jednowartościowe funkcye zmiennej x, mające jeden tylko punkt osobliwy i to istotnie osobliwy w miejscu x~a, przedstawiają się w po-

(a;    a)’    ^(*) Prze(lstawia szereg bezwarunkowo i bezustannie zbieżny.

staci G

4) Wykazać, że jeżeli funkcya /(»), da się przedstawić szeregiem bezustannie

zbieżnym : / (x) — a₀ -j- a{ x 4- a₂»² -j-

wówczas da się iloraz :

pod założeniem, że

I «o >0, rozwinąć na szereg potęgowy, którego zakres zbieżności sięga do tego punktu zerowego funkcyi /(»), który leży najbliżej punktu » —0.

/(*)

5) Wykazać, że wszelka funkcya jednowartościowa f{x) ma te same miejsca istotnie osobliwe , co funkcya ułamkowa    .

* /(*)

zmiennej x, /(»)

da się rozwinąć na szereg potęgowy c₀4-⁶'ia:d~c2a',24_•••

6) Wykazać, że funkcya /(»), przedstawiona ilorazem dwu szeregów potęgowych, o₀ +ai» + a₂x² -(-•••

b₀ Ą-b^Ą-b^Ą-...

jeżeli wyraz stały b₀ w mianowniku jest różny od zera.

7) Wykazać, że zakres zbieżności szeregu:    cxx -f- c₂»² -j-

(określonego w ćw. 0.)

sięga do najbliższego miejsca zerowego funkcyi określonej mianownikiem: &₀-)-&₁»-{-è₂»²-|-...

8) Wykazać, że wszelka funkcya jednowartościowa zmiennej », nie posiadająca miejsca istotnie osobliwego w skończoności, może mieć w skończonym zakresie zmiennej» tylko skończoną ilość takich miejsc, w których jej wartość staje się zerem lub nieskończonością.

9)    Dowieść istnienia funbcyj całkowitych przestępnych, które nie mają w skończoności ani jednego miejsca zerowego i podać ich szczególne kształty.

10)    Wykazać, że wszelkie funkcye jednowartościowe, które mają tylko jeden punkt istotnie osobliwy i to w nieskończoności, a nadto dowolną ilość miejsc nieistotnie osobliwych, czyli nieskończonościowych, przedstawiają się w postaci ilorazu dwu funkcyj z których przynajmniej jedna będzie całkowitą przestępną.

11)    Dowieść, że wszelka funkcya peryodyczna o własności: /(» -f- w)=/(*), ma w nieskończoności punkt istotnie osobliwy.

» »J

12)    Na podstawie szeregu e:c =1-|- —-|-

a) j exi | — 1, b) \ex+vi\ = ex y c) e*+*"W.

2 nix

13)    Wykazać , że funkcya : e a — sin o peryodzie a.

2!

-f-... wykazać, że:

2r.x

-4- i cos a    a

2 nx

jest funkcyą peryodyczna,

X3    X®

14) Na podstawie szeregu: sin»=»—3d 5 ; — " wykazać, że sin(» -f-2ń) = sin».

15) Na podstawie iloczynu nieskończonego :

— no-:-;).

n=l

wykazać, że:

sin k(x -f- 1) = — sin n », sin n (» -j- 2) = sin rc ».

IG) Na podstawie szeregu :

I    71 =a

n—1

T. CO tg ~X —--j- 2

wykazać, źe :

- 474 -

r. cotg r (x 4~ 1) — ⁷¹ co tg r. x.

17) Wykazać , że :

tang x=

) 0 - dr¹) ■

(-£)(-’MOO-SK¹-«)

•4 x:a

Wyprowadzić następujące rozwinięcia:

n~oo

18) sin m x =■ 2”*—¹ sin x

77. = 00

19) cos m x— 2”»-¹

7:— x^ . sin ^

4 •    (“+*)•

n—1

II sin (

2rc—1

2«—1

n=l

20) tang mx = tang x

21) cosec * =

2w—l

71=CO

2w

*+*)•

71=00

li tang (

n—1

nr.

77= 00

. cosec x JJ cosec

77=1

/nr

' m

x)

.cosec

(— + *)•

\m    /

2n — m 4~ 1

22)    sec mx — fj sec ^

n—\

23)    cotg mx — cotgx cotg

n=oo

71=1

2n—m + 1

ré — x) . sec (

- X ) ootg (“ + x ).

wszelkiej

®77 ) • • • j

«„ j, że gdy ilość

24)    Dowieść twierdzenia Weierstrassa , że miejsca zerowe: an a₂> funkcyi całkowitej przestępnej, dają się zawsze tak zestawić, że: ; an+i tych miejsc jest nieskończenie wielka, wówczas lim a„=co.

n=oo

25)    Jeżeli <?(x) jest pewną funkcyą całkowitą przestępną, która nie ma miejsc zerowych w skończoności, wykazać, źe funkcya :

f(x)=^(x—xl)(x—a₂) ... (x—a») ę (as),

jest funkcyą całkowitą przestępną, mającą tylko n miejsc zerowych na płaszczyźnie liczbowej.

26) Jeżeli daną jest nieskończona ilość miejsc: at, a₂,..., a„, tak, że: a«+l | > | <*« i, a przytem lim | «„ | = co , a ?t(x), »2(37),..., ?«(*),••• są pewnemi funkcyami całkowitemi prze-

77=00

stępnemi, nie mającemi miejsc zerowych w skończoności, dowieść, że da się zawrsze utworzyć iloczyn nieskończony w postaci :

••*7

(i - *) »,(*). (1 - 4) ?,(*).... (1 - 4J ?» W

który będzie bezwarunkowo zbieżny dla wszelkich wartości x różnych od aj, a₂

27) Jeżeli daną jest nieskończona ilość miejsc a,, a₂, an a przytem: lim |an|=co, dowieść, że da się zawsze utworzyć iloczyn nieskończony:

71 = 00

a 71 ...

r*'}

tak, że : I aw_|_i | > <xw,

l--..., który będzie bezwarunkowo zbieżny dla wszelkich wartości

x, różnych od a1; a₂,..., xn

skoro szereg —I -j- I— 4->" + ~ +••• jest zbieżny.

«11 I “₂    «»

28) Dowieść, że iloczyny nieskończone, określone w ćw. 26. i 2Y., dadzą się przekształcić na szeregi potęgowe zbieżne dla wszelkiego x, przedstawiają więc pewne funkcye całkowite przestępne.

29) Wykazać, że skoro funkcya G(x) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, to

, gdzie gr (x) jest jakąkolwiek funkcyą całkowitą

funkcye /(x) kształtu : fr(x) = G(x). e przestępną, mają te same miejsca zei’owe i są także funkcyami całkowitemi, przestępnemi.

30) Z iloczynu nieskończonego, przedstawiającego sinrcx, wyprowadzić szereg:

T. CO tg T. X —----(

X

1 + *    1 — X 2 i-X 2 — x ' 3 4-*    3 — X

31) Z iloczynu nieskończonego, przedstawiającego cosx, wyprowadzić szereg:

1___L ¹

^ 5 71

tang x

r.    Btï

--X    — +x

Wyjxrowadzić następujące szeregi :

32) cosec 2: — -x

IZ

3 7U

“5,

2 * ¹2+X

2x

2x

47C² - - X²

+ - + (-l)n

-1

2x

nJ~² — x²

33) sec x =

1.4 r.

*² — 4a:²

3.4t:    5.4*

~3²*² - 4x2 + 5²*²-4x2_ - + C 1}

(2n— l).4o

(2n—l)² *² — 4x²'

34) tanga:

2a:²

2a:²

2a:²

2 a:²

Mr

- a:²

(2n—1 \

V 2    /

— x²

2a:²

QK\    .    ,    2x2    2x2

dB)

la:³ 4 !    a:⁵

2~ 3 ⁺ 2*(2!)² T

= Y/1—a:² jx -f-    a:³-f

36) arc sin x — x -J-

9 t:²—a:²

051 tO

2a:²

tt²*²—X²

(2 n) !

X²«+l

22« (w!)²    ' 2» -j- 1

2*.(2 !)²

B!—X"+ - +

22« (n!)²

(2 n + 1)!

a;2«+i -f-.

37) arc tang a: = x — y -f ~ — ... +(—1)« ^ ^ + ... =    (| a: | < 1)

¹ , 1 1

y + y y»

1 X³

7C

1 ]

y ■ y»

(-1)«

+ — (Ix I > !)•

38) arc cos x =

4!

x²«+i

__x______ _ _ (2 n) •__

2    2 3    4*(2 !)²    5    22«(»!)² ' 2n +1    *"

= \ - \/ï=V> {* +-    +... +

22« (n!)2 (2 n + 1) !

- a;2«-f-l -J- ...

I-

Q_. ,    .    .,    ,    2 a;*    2.4 a:⁶    2.4.6 Xs

d9) (arc-g 2 + O S’ + 87677 T + -

x /il2 x2 .2.4/    a;²

1 + ** I ⁺ ¥ T+ x2 + 375 V

40) arc tang x

1 + x²

a:²

1 + x²

8 i»

X⁵

x²«+l

41)    arc cotang x == — — x +    — y +    — (—l)w 2n

x 3 x» ^ 5 x⁸ ^2»-flx2«+i^ u ■ ^ ]

42)    Wykazać, że funkcya /(x) przedstawiona szeregiem rozciągającym się po obu stronach wyrazu środkowego, w postaci:

f(x) = a «jX -f- «2 x2 + — + an xn Ą- bv — Ą- .. -j- bn — -f- ..

gdzie zarówno szereg: aQ -f- atx Ą-an xn -j- ..., jak i szereg : 6₀-{-••• + *«*”+••• są szeregami bezustannie zbieżnemi, ma dwa miejsca istotnie osobliwe, jeden w miejscu xt=0, drugi w miejscu x=oo.

43) Wykazać, że skoro funkcya f(x), określona szeregiem:

...-f a- nx~n    a—2 x— ²-f- a_ i a?—¹ -(- a₀ -f «i³⁷ 4*    an xn -f- •••

ma

tylko dwa punkta istotnie osobliwe, jeden w miejscu x — 0, drugi w miejscu x = co,

a staje się zerem dla x = a, wówczas także funkcya, okx*eślona ilorazem:

. /(*)

1-Ü-

lub ilo-

razem :

/(*)

posiada te same dwa miejsca istotnie osobliwe.

44)    Wykazać, że wszystkie funkcye jednowartościowe, mające tylko dwa miejsca

istotnie osobliwe a i 6, dadzą się przedstawić się w postaci: G ^ ^    ^    gdzie

ćr(as) i ćrj (cc) są szeregami bezustannie zbieżnemi.

45)    Wykazać, że funkcya całkowita, przestępna/(#), stająca się zerem w miejscach 1, a, a², a³, a⁴,... w razie: |a| )> 1, da się przedstawić w postaci:

przyczem #(a;) jest dowolną funkcyą całkowitą , algebraiczną, lub przestępną.

46) Wykazać, że funkcya całkowita przestępna/(æ), stająca się zerem w miejscach: 2 mr.

an ^cos

-f- i sin

da się przedstawić w postaci :

przyczem n — 1, 2, 3,... oo, m =0, 1, 2,

n—1, a zarazem:

a I >1>

/(*) = «

£/(*)

0-5 0-5)0-50

£C⁴ \

a¹⁶/

przyczem y (.*) jest dowolną funkcyą całkowitą wymierną lub przestępną.

1, da się przedstawić w postaci:

47) Wykazać, że funkcya całkowita przestępna f(x), stająca się zerem w miejscu a jednokrotnie, w miejscu a² dwukrotnie, w miejscu a³ trzykrotnie i t. d., w miejscu an w-krotnie, w razie :

f(x) = e

oG)

0-5 0-50-5-

<C 1, da się przedstawić w postaci :

48) Wykazać, że funkcya całkowita przestępna /(*), stająca się zerem w miejscach 1, a, a², a³, a⁴,... w razie:

«^0-50-5 0-50-5-

*'(*) =

Eoz wiązania XXVIII. Wskazówki podane w tym wykładzie i poprzedzającym.

Literatura. Dr. Otto Bi ermann. Theorie der analytischen Functionen. Leipzig 1887. A. E. Forsyth Theory of fonctions of a complexe variable. Cambridge. 1895. Dr. Józef Kniaź Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Tom II. Lwów 1900. O. Eausenberger. Lehrbuch der Theorie der periodischen Functionen einer Variablen. Leipzig 1884.

Tematy do rozprawek naukowych..

1.    Teorya funkcyj całkowitych przestępnych.

2.    Funkcye całkowite przestępne o nieskończenie wielu miejscach zerowych.

3.    Badanie szeregów potęgowych, postępujących podług dodatnich i ujemnych potęg zmiennej niezależnej.

Wykład XXIX.

Thetafunkcye Jacobiego i na nich oparte funkcye dwuperyodyczne.

n —oo

1. Funkcya 0(x), określona szeregiem: 0(x) = 2e>lTil+',nx. Zastąpmy

n=-i

a otrzymamy:

2 ni

w tym szeregu x przez x-{--^-

(9

/    2 ni\    XV

1&-|-----— 1 =    g«n² + &wir-ł-2«7i/_    g«n²-f ina: . ^

2nm

(1)

w=—oo

n—~ oo

a że: e2nni= l^n —cos 2»wr-f«sin2wtf=1, zatem:

ga»*+6ii*!S0^(aj)ł

•Kx)-2

ft— — 00

Funkcya © (z), określona szeregiem Jacobi’ego, jest więc peryodyczna i ma peryod równy

Funkcyę ©(as), możemy także przedstawić w następującej postaci:

W= + oo

®(«)= 2

» =-50

z której, kładąc: otrzymujemy :

/ fia;\ 2    6²

V+teJ-iä*

e

2 /⁽”+s

WE3 + 00

= <P(a),

» = + 00

•2

n=—oo

/(”⁺s)

(2)

©(a:) = e

a:²

. q)(x).

(3)

n=-foo

Funkcya (p{x) —

jest widocznie funkcyą peryodyczną, której

71 — — 00

otrzymujemy :

peryodem jest ^ . Zastępując bowiem w niej x przez xJr~^

t)=2

n= - oo

( f>x , \ 2

"(” ⁺ 2a⁺¹)

C

» + !=+«>

"(n+1 + £) e

= 9>0*0-

W+l=— 00

Funkcya e

stanowiąca drugi czynnik funkcyi &(x) , otrzymuje

wskutek zamiany zmiennej na æ + wartość:

b² (    , 2a\ 2

ta (*+7 )    ~ ta

e    = e

b* , ,

— x²—bx—a

=e

—bx—a

- ta

4²    ,

:— a:²

x+j

Wobec tego funkcya S(x) otrzymuje, wskutek zamiany zmiennej x na

2 a    ,

wartość :

- — **

. e !in ę(x)=e Funkcya 0(x), określona szeregiem Jacobi’ego:

e{x-\-^^^e-ha~a

—bx—a

6(x).

(4)

71—-f“ QO

0{x)= 2 ean'+hnx

n——»

nie zmienia ivięc swej wartości, gdy x zmienimy o

,    . .    2 a

gdy x zmienimy o

Połóżmy :

mamy powyższą funkcyę, w postaci szeregu:

czynnik e

— bx — a

2 ni

a staje się pomnożoną przez

a    ,    2 ni

w, r = w', a więc: 6 = —, a

O    (O

ni oj¹

OJ

natenczas otrzy-

«=+oo ni(o' , , 2nni

--«M--*

©(*) = > e w

(5)

fl= — oo

który jest dla wszelkiego æ bezwarunkowo zbieżnym, gdy spółczynnik przy n² będzie liczbą ujemną, a więc, gdy stosunek

3ti(ó‘

Pod tern założeniem będzie e ⁰³ liczbą dodatnią, mniejszą od 1. Połóżmy

niw'

e " a otrzymamy funkcyę ®(x). w postaci szeregu:

n = + oo    2 nni

OJ¹

— będzie liczbą urojoną.

(6)

7? = - 00

Łącząc w tym szeregu wyrazy, zawierające te same potęgi liczby q

.    w    w    2nnx

i uwzględniając, że : c -j-e =2 cos-, otrzymujemy:

@(x)<= 1 + 2 cos + 2g⁴cos

‘Inni -x

Inni

. - Gnx i o n¹    2nnx

+ 2(7°cos--\-...-\-2qn cos

OJ    OJ    OJ

Ąnx

t-...

czyli :

00

e(*)=i+2>5”-

cos

2nnx

(6‘)

3. Funkcyę JacoM’ego, zwane Tlietafunkcyanii. Funkcya ft(x)f określona

wzorem :

M=+00

ïnnix

W = 00

8(x)— 2 <ï'1 e ° » lub ® (#) = 1 + 2    g"*

cos

2nnx

n~—oo

»=1

OJ

(7)

t    ni<o'

gdzie stosunek jest liczbą urojoną, a więc q — e ,0 <Cl, posiada, jak poznaliśmy, następujące własności: 1) że wskutek zamiany x na x-\-oj, nie zmienia swej wartości ; 2) że wskutek zamiany x na æ-j-co', otrzymuje wartość:

2 nix

®(xĄ-co,) = q~'¹ . e w

2nix

t. j. tę samą, wartość, pomnożoną przez czynnik q ¹ e w .

Z fnnkcyi tej dadzą się wyprowadzić inne funkcye, kształtu: ePr.@(x + a), - które posiadają podobne własności.

Aby wyznaczyć te funkcye, a więc spółczynniki a i /?, zauważamy najpierw, że zmiana x na x + co, zmienia funkcyę : e$x ©(x-\-a) na funkcyę :

eß(x+<o) t    -p o) + a) = c$«>eßx. © [x -f a),

/ •

musi być zatem: e^ = ±l, a więc: ßco = x‘m, czyli 3 ₌it^l

CO

dowolną liczbą całkowitą.

Zmiana x na x-\-co‘j zamienia znowu funkcyę: e^xO(x-\-a) na funkcyę: gPOH-w') S(x-\-q)‘ -\-a)=e^w' eß* © (æ + of + a),

2ni(x+a)

. ©(æ + a),

gdzie jest

a że :

zatem otrzymujemy :

© (x -f a + co') = q_1. e

cß(x-j-u') @    + q)‘-t-a)e

ß(x)⁴--

<o

2nix

.q-'e w ©(æ+a)

(Im

2 nia

musi być zatem : a więc: ßco¹— o K‘ni

P~~cyi zafem otrzymujemy stąd:

x'ni.co' 2 nia    .    _

— =x7ii, a stąd: a= co    ’    ^

Funkcye, posiadające powyżej przytoczone własności, mają więc kształt:

x'n i x

2nia

— =xni, gdzie znowu x jest dowolną liczbą całkowitą, a że :

CO    ,    '

*T + *    •

(8)

gdzie 2 i z¹ mogą być dowolnemi liczbami całkowitemi.

4. Nadając liczbom x i x‘ wartość 0 i 1, otrzymamy cztery oddzielne funkcye, a to:

1) Dla x=0, x'=0, mamy: ß=0, a=0, dostajemy więc funkcyę:

2nni x

W —00

o, o

(x) = 6(x)=    2 e “ =1+2^ g"s

cos

2 nnx

71 = 1

co

(9)

2) Dla x = 1, x‘ = 0, mamy: a = —, /?=0, dostajemy więc

2nnix    n=oo

(-1)" o*V " =1 + 2^ (—1)” Î“’ cos(10)

,    ćt>

ti=1

©i, o(A) = ©

*= + oc

hi- 2

x 7 n = — oo

8) Dla x—0, x' = l, mamy ß = — czynnika q'!•> :

nix

©o, i (x)= q^e<0 ©

to e

, dostajemy więc, po dołączeniu

w = +oo

Kï)-2.

⁷ W = — 00

{2n-\-])ni x

77 — 00

'cos

(2w-f 1)

n=0

co

.(11)

ni

4) Dla x=l, x' = l, mamy ß = —

a=

—    dostajemy po dołączeniu

2 2

czynnika — q'¹* :

nix

©i, i(s) =

g’/.«“ ©

»=+00

K+ -H ²

(2n+l) nix

tel £

(—1)" q(n+ll^e    w =

(n+'i₂)² gin

(2w+1)?M5

(O

(12)

Przyjmując za x i x' inne układy wartości, otrzymujemy te cztery funkcye, pomnożone tylko przez pewne stałe czynniki. Otrzymane cztery funkcye Jakobi’ego , nazywają się zwykle Thetafunkcyami.

5. Miejsca zerowe funkcyi Theta. Zastępując

OJ

określających powyższe cztery Thetafunkcye, x kolejno przez: x-\- ^

x-\-o), x-\-(xj‘ otrzymujemy związki między temi funkcyami rami :

same

we

wzorach 9) — 12)

oj'

*+lT’

określone wzo-

{x+ w) “ e'⁰ ^:’    ⁰1 o + y) = 0o O 0*0

00    0oi^)’ o—2^^~^ ⁰nO*O

0O1 (®+‘l’)=s*⁰oo(aO> ©n^ + y)“**©¹⁰^

e₀₀(*+w) = 000(*)> Qu(x+oj)=ei[}(x) e₀1 0»+w)=—©₀i 0*0, 0! t (*+w)=—©i 10*0

©ooO* + (o')=iiQ oo (*)ł ©i o (x + «') = —^©i o O)

eoi(x+(o‘)=fieoi(*), ©!!(£+&>')=— f*©n(*)

MII

(13)

(14)

(15)

(16)

nix

2 nix

² e f,> przedstawiają czynniki skończone i dla

w których X—q e ⁰¹ , (i=q wszelkiego x, różne od zera.

Z wzorów tych wypływają następujące własności dotyczące poszczegól

nych funkcyj i ich miejsc zerowych:

Jeżeli funkcya 0n(a;) staje się zerem dla pewnej wartości x₀ zmiennej x, to staje się zerem dla wartości: r₀-fw, æ₀4-û>', a więc, w ogólności, dla wszelkich wartości, kształtu: x₀ -\-moj-\- no)\ gdzie spółczynniki liczebne i n są dowolnemi liczbami całkowitemi dodatniemi, lub ujemnemi. Funkcya

0ol(æ) staje się tedy zerem w miejscu: xQ -J — , a więc ogólnie w miejscu:

Ii

x^-\-^-Ą-moj-\-noj\ funkcya 0lo(æ)

I

scu : x^ -f ~ + m co + n oj' , funkcya 0oo(æ) w miejscu: x₀ +

I    Ii

.    . .    OJ

ogolnie w miejscu: x₀+-^-{-bami całkowitemi.

w miejscu : x₀ +

3 CM

a więc ogólnie w miej •

bO £

a więc

-\-mco Ą-na¹, gdzie m i n są dowolnemi licz-

— 481 —

Funkcya 0₁ i(x) staje się widocznie zerem dla æ₀=0, wobec tego mają poszczególne Thetafunkcye następujące miejsca zerowe:

Funkcya 0₁₁(a?)=O, dla %= mcoĄ-no)¹, (fig. 5. punkty Pm,n)-

? (fig. 7. punkty P

(«+y)< (fig- 6- punkty PS’,°«).

Funkcya 0oo(a:)=O, dla x=(ni+-^J (o+    (fig- ⁸- punkty P2;°2).

Funkcya 0o₁(æ) = O, dla æ =

Funkcya 0₁o(æ)=O, dla x —mco +

(o, i)

?72, n

)•

gdzie w i n przedstawiają dowolne liczby całkowite dodatnie, lub ujemne. Uwzględniając to, że stosunek:

wniosku, że każda z czterech Tńeta-funkcyj ma w zakresie liczb zespolonych, czyli na płaszczyźnie liczbowej, podwójnie nieskończoną ilość miejsc zerowych.

Miejsca te przedstawiają się na płaszczyźnie liczbowej jako wierzchołki prostokątów, których boki są równoległe do osi układu i mają długości, określone bezwzględnemi wartościami liczb co i co¹, jak to przedstawiają załączone figury.

W jest liczbą urojoną, dochodzimy do co

— ' oi—>fii---

r~T“T"

1011

Ip*Q7?

"fili rin

(10)

(10)

(0/1

«.....

00-

« u .-i

-4

4......

.1

Fig. 8.

Fig. 7.

Fig. 6.

6. Rozwijanie Theta - funkcyj na iloczyny nieskończone. Funkcya: 0«o(*)== ©(#), określona wzorem:

Fig. 5.

n=+ oo

“ln nix

n=—oo

czyli podwójnym szeregiem nieskończonym:

2nix

©oo(#) — •••+ <?n*6    w +... + g,e w +    “ + ... + g” e +...

ma, jak poznaliśmy w poprzedzającym artykule, podwójną nieskończoność miejsc zerowych, w postaci:

2nnix

2nix

‘Innix

a>‘

ni —

Uwzględniając, że g=e w, mamy funkcye wykładnicze:

(2« + l)7R(0'

²—    . —[(2n+l)«a'+2*]

6) __^6)

2mx

gîn+le M 2nix

a = e

z których pierwsza otrzymuje wartość równą —1, skoro :

g,2n+l g

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

co

('ïn-\-\)ni(ù'

6)

2nix

— [(2»+l)a'—2x] 6)

ni

— [(2w-f1) (o‘ -f 2x]=(2 m -fl )m a więc dla wszystkich wartości x, określonych wzorem :

x = ^m -f yj co — (n -f y)™'

druga zaś otrzymuje wartość równą —1, skoro:

— [(2w-f 1) (o‘—2x] = (2m-f l)ni,

(O

a więc dla wszelkich wartości x, określonych wzorem :

u',

gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, lub ujemną.

ÏTttX

Z tego wynika, że funkcya 1-f g2n+i e w staje się zerem w miejscach, określonych wzorem :

2nix

funkcya zaś lf- q2n+ie

W , staje się zerem w miejscach :

gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, lub ujemną.

Wobec tego iloczyn nieskończony:

2nix

n (1-f q2n+ie " ) (1-f g²"⁺¹ e~ " ),

n=0

przedstawia funkcyę, która staje się zerem dla wszelkich wartości x kształtu :

71=00

2 nix

Û)'

gdzie min wyobrażają dowolne liczby całkowite w tych samych miejscach, w których funkcya 0OO(&) staje się zerem. Możemy zatem położyć :

więc staje się zerem

77= 00

2nix

2nix

QooO®)—-P* n (1 4- ąu^ e " ) (1 -f g2n+1 e

71—0

*),

(17)

gdzie P jest czynnikiem, który należy bliżej wyznaczyć. 7. W tym celu połóżmy:

/    2nix\ /    2nix\    / 2nix\

\l-f g2n+1 C “ / \l-f g2n+¹ e w / = ÇP \6 w / =

n=m—1

71=0 2 nix

<p(*)

(18)

kładąc z — e w sumy :

a zauważymy, że funkcya (p{z), przedstawi się w postaci

(p(z)=A-mz-m + ...+A„i r‘x+Aii+Axz+...Ą-Atn zm, w której, ze względu na to, że na podstawie wzoru (18) jest: cp(z) — (p(z~i), jest. A-m—A-m , •••, A-1 — A], zatem :

(19)

<P(*)=4> +Ai (*+z-')+A₂(z²+z-²) +...-fA. (zm -f *-m).

n=0

— 483 -

Celem wyznaczenia spółczynników A₀, Ai,...₁ A (p(q²ß), a otrzymamy z relacyi :

n=m—1

<p{z)*= n (l+g,2w+1 0) (l+g2B+¹^_1),

utwórzmy funkcyę

następującą :

n=0

it—m—1

zatem :

a stąd związek :

(l + g'2łn+¹ e) (1 +g'_1 #_1)    90(2)    l + ^2m+¹^

(l + ąz) (T+g²^ ¹ ^_1T

a więc:

($#+22m) • 9>(2Z*0 = (1 + g2m+1 0).q>(e). Podstawmy w tym wzorze rozwinięcie (19) :

cp{z)=A,+Ai(z+0-') + ...+Am(z'»+!S-”'\

otrzymamy równanie :

(p(q² z) = A₀+ Ai{qh + q~²0“¹) +... -Mm (#2m Sra + i porównajmy spółczynniki przy potęgach zn

z którego wypływa :

#²”⁻¹ X-i + g2m+2M„=J-„ + g2w+¹ A-i,

An_i=An

_q2m-j-2n

a przytem :

g2n—i ^_ g2m—2«+2j *

Wobec tego będzie :

Am_i=qm*.

1—qkm

1 — oim = Mm-i)\±-«_

ą 1—q² ’

. (1 — qim) (1 — <7⁴”*-²). . .(1—ö2m+²”+²)

wzór, określający spółczynniki funkcyi qp(a), przedstawionej w postaci (19).

8. Gdy m rośnie do nieskończoności, otrzymamy przedewszystkiem w mianowniku spółczynnika An iloczyn nieskończony :

^=(1—S'²) (1—?⁴)-(l—2⁶)» • •

nia'

ogólnie :

An=

2m—1

(i-q²)

(20)

który, wobec tego, że J q j *= e w «< 1, a więc, że szereg: g,2+g'⁴ + g'⁶+... jest bezwarunkowo zbieżny, jest także bezwarunkowo zbieżnym.

Oznaczmy jego wartość przez P, a więc połóżmy:

p=( i-?*) (i-?⁴)(i-s⁶)....="ff° (i-î²*),

71 — 1

natenczas, mając na względzie, że licznik (1—g4m) (1—g,4m-2)...( 1—g,2m'f'²”+²^ dla nieskończenie rosnącego w, dąży do granicy równej 1, otrzymamy z wzoru (20) :

An =

(f. -L.

? p-

a wobec tego :

ÏI (1 + 22w+1 z) (l + g2n+1 M)    {l + 9,(^+^⁻¹) + -+2w*(^w+Ä,-w)+—} >

w=0    -i

zatem rozwinięcie funkcyi 0oo(æ) na iloczyn, przedstawia się w postaci:

«rroo

⁰oo(^) = P-n

/    j>7viœ\ /    2 ni jo K

U + ff^eV.ll + g2n+1 e “ ),

(21)

n—0 nia'

gdzie P= Et (1 —g²"), q=e w .

n=i

Zebrawszy we wzorze (21), co dwa odpowiednie czynniki, otrzymam}7 rozwinięcie fnnkcyi 0oo(æ) na iloczyn nieskończony w postaci :

e₀₀(x)=p. ”n (i+2?²«+'

»=o \

cos

(22)

9. Na podstawie tych wzorów, w myśl relacyj 9) —12) otrzymamy rozwinięcie następnych trzech funkcyj Theta, w postaci :

2 nix

ff—co

e₁₀(x) = p. n

Ü-,

2» + l

e" )u-g

»=o

Inix >.

zatem :

f 1 —2 g2re+1 cos    +g⁴”+²^

»=o \    w    )

⁰⁰ / \ ! fl-f-2q2n+2cos    + g4n-t⁴j

Tl— O®

co

fr y n— ¹

0ol(a;)=* 2g^P. cos —. n

CO n=0

Qii(x)=2q'l*P. sin —. II (l—2g2n+2cos

W »=o \    W

'i v.’

4n-f 4

Cv]

(25)

10. Inną, nie mniej ważną postać rozwinięcia funkcyj: ©o0(æ), ©₀₁(&)

na

iloczyny zbieżne, otrzymamy, pisząc iloczyny :

w postaci :

/    Mzixk /    zjvixk

(l-f-g2n+1e ® ) U + g²"*¹ e tó )

_ /2n+l\ Tr/* ^(2»+i) V ² y e « _p ą

/2»>pi\    /2n+l\ Tri

+ g

/2« + l\ nix

T}.

nia>

co wobec g=e “ daje ten iloczyn w postaci:

g2»+i[e~ ^ [(2n+1)    +e⁺^ [f2n+1)    _ [e_ ^ [(2b+1) ^_a!]₊/« [⁽²”⁺¹⁾ ^    _

(2w-f 1) u¹

=4g2n+1 cos ~ ^4

i    n r

. cos— X

J    w L

(2w+ 1) co¹

Czynnik 4g2n+¹ wraz z czynnikiem 1—g2ra spółczynnika P daje: 4(1—g2n) (1 + g2n+¹)²

4g2n+1 (1—g2n) =

4(1 — q2n) (1 + q2n+l)²

<!

2» + K 2 +« ² )

(1— g2n) (1 4- g2n+¹)2 (2w + 1)ttcł)/

2n+l

2~

(e

2<a

(2n+i)nia' \ 2

2 w    J

cos

2o>

stąd wynika ostatecznie :

ff=

-⁰⁰v[*+("+t)

, ⁷¹

w .cos —

n=0

COS

a tern samem :

n=: oo

6i0(x)=R. n

sm ± [,+(* +1) Asm £\x- (* + |) A

n=0

COS

■(*4)4

przyczem:

n—oo

i2 = (l + qr)2n (1—g²”)(l + 32n+1)².

Rozkładając cosinusy na iloczyny nieskończone w postaci:

4 ja;-dr

rrroo

K) -1

1-

CO

(2w-)-l)²

otrzymamy rozwinięcia powyższe w postaci :

("+tM

— 00...+ 00

&₀₀(x)=b. n

o;

(26)

m, w

+ -j w'

w, n

(m + T)û>+(W+4’)û><

tOi

3 pq

bO i—^

OJ

©io(ic)=ii. n

7n, n

to I—

jj.n

*+ 2

(27)

m, n

bD ; H-*

W analogiczny sposób otrzymamy rozwinięcia :

ni (    , to' \

e»Vi+t)

£.11

cos    + (w + 1 ) (o¹ j

⁷¹    /    A

cos— (x — no))

<x>

(28)

«=o

cos

względnie :

x + no)‘

O)'

@Ol0*0 =

ni / w'\

i?, n

rw, t?

, (w+i)

w'

ni.

Û)

H«

£.n

W, w

*⁺ "2"

(m + i)0, + (n+¥)<0‘

Wreszcie :

— 486 —

@ii©0 =

ni /    , e»'\

i    ©Jtn*

*    n=0

sin — [*+(»+1)û>*] sin — (as —W)

Ce)    CO

cos

„ (    1 \ rcce)'

T⁺ir)^r

Î»

(30)

względnie :

x+

o) ,

Y + nco

@11 (as)

im

(>»+y)w

₌l|('+

m, n

(”+y) a‘

(m+è)<B

ru

m₁ n

^ + -^)<o + ^ + ^ce)'

(31)

przyczem :

,    ni(ù\ 2    /    2nma>\ /

b-(₁₊.~). n"(i—)(

w=l

11. Logarytmiczna pochodna funkcyi O^a?). Weźmy pod uwagę funkcyę 0^(0?) określoną iloczynem nieskończonym:

oo /    977:31    \

Qil(x)=2qil* P.sin ^. H f l-2g²"+²cos —+ ₂**+4j.

Logarytm naturalny tej funkcyi, przedstawia się w postaci funkcyi :

n—co

log Gi i (as) =log (2#’k P ) + log sin —+ 2 l°g (l—2g²"+²cos —^- + #4?l+4J

w »=o V    œ    /

której pierwsza pochodna daje logarytmiczną pochodną funkcyi 0n(as), w postaci :

cżlog 0i 1(as) _ e^oo ©n (as)

da;

JT TCX 4 TT

= — cotg--(---

CO    CO co

. %7TX n=°° U) w=0

sm

g2n+2

1—2 q2n+² cos    + g,4w+⁴

Ce)

przedstawiającej nową funkcyę zmiennej x. Oznaczmy tę nową funkcyę przez Z(x), a więc połóżmy:

2(*)

à log ©u (aQ ©i/Ça?)

dx

©n (as)¹

a otrzymamy na jej określenie szereg:

xn , ra 4» .    2?ra;

Z(as)=— cotg--1--

v Ce)    Ce) Ce)

n=oo

sm

g,2n+²

Ce)

n=0

1—2#2n+² cos +24tc+⁴}

(32)

który, wobec | g | <C 1, jest bezwarunkowo i jednostajnie zbieżny. Nadajmy zmiennej niezależnej as raz przyrost co, drugi raz przyrost co¹, a otrzymamy równania :

Z(x+co) = Z (as).

O 77*9

Zte+w') = Z (as)--•.

Ce)

które wypływają także z relacyj 15) i 16) art. 5., przedstawiających się w postaci:

01 i 0® + w) = — 0i ! (a?), et i (a+Û>')=—00,1 (a),

lnix

gdzie fi=q~ie w

Otrzymamy bowiem z nich równości :

log 0!i(a? •+ co) = log (-0t! (a;)), log Qn(x + co') = log (—0 0,₄(a;)), które zróżniczkowane, prowadzą do równań:

Ou'Cag+ft))    ei!\x) Qxx\x+œ')_ Qu'{x) [i‘

Ou^ + w)    ©ii(®) ’ Qn(x+a)‘) On(x) % ’

$ TTĄ

gdzie: — =--—, a więc, na mocy określenia 32) do równań:

9 <TT J*

^(a;+û>)=^(a:), Z(x+co')=Z(x)-—,

Ci)

powyżej podanych.

Na podstawie tych równań otrzymujemy:

9 9 Tri

Z(x+2(o)=Z(x), Z(x+2co‘)=Z(x)-^tZ

O)

Z{x-\-moi)=Z{x), Z (x + aw') = Z (x)

2 mni

O)

(33)

gdzie m=±l, ±2, ±3,...

Logarytmiczna pochodna funkcyi 0^0»), czyli funkcya Z(x), posiada zatem tę własność , że nie zmienia swej wartości, gdy do wartości zmiennej niezależnej x, dodamy dowolną całkowitą wielokrotność Jiczby (o, posiada

gdy do wartości

Qîutci

więc peryod (o, a zmieni się o stałą wielkość--

zmiennej niezależnej x dodamy m-krotnośó liczby o

12. Druga pochodna logarytmu funkcyi O^a?), jako przykład funkcyi dwuperyodycznej. Z własności funkcyi Z(x), określonych równaniami :

Z(x+co)=Z(x), Z(x+a)/)=Z(x)--,

O)

otrzymujemy za pomocą różniczkowania dwa równania :

Z\xĄ-oi)—Z\x), Z,(x+û)‘)=Z'(x), a stąd, dla wszelkiego całkowitego min, równania :

Z‘ (x + moi)=Z\x), Z‘(x+no)/)=Z‘ (x),

(34)

więc ogólne równanie :

Z‘ (x+mo) + noi‘)—Z‘(x),

(35)

które dowodzi, że funkcya Z‘(x) nie zmienia swej wartości, gdy do wartości zmiennej niezależnej x dodamy dowolną wielokrotność liczb o) i (o

Funkcya Z'(x) posiada więc dwa oddzielne peryody o> i &>', których

— jest liczbą urojoną.

O)

Jakąkolwiek funkcyę F(x), posiadającą dwa oddzielne peryody a i b, których stosunek jest urojony, nazywamy funkcyą d w u p e r y o d y c z n ą.

W funkcyi Z‘(x), określonej wzorami:

stosunek :

zu \=izl(xi=a rËnM 1₌a dio3^

' dx dx [ i (x) J dx dx

czyli : Z‘(x)

d²log ®n(*)

dx²

- 488 —

więc występującej jako druga pochodna logarytmu funkcyi 0ii(x), względem zmiennej niezależnej x, mamy więc przykład funkcyi dwuperyodycznej, po-

siadającej dwa oddzielne peryody co i

i o¹, których stosunek jest liczbą

urojoną.

Rozwinięcie tej funkcyi na podstawie wzoru 32), w postaci :

szereg nieskończony, przedstawia się na

Z\x) =

8^²r O)² l

cos

2nx

(o n—0

ąln -f* 2

1—2q2n+² cos    qin+⁴

CO

—sin²

2 nx w=°°

(O n-

⁰ (1—2q2n+² cos -f- g'⁴”"¹"⁴)

.]

Jl%

co

cosec

nx

CO

(36)

.

ni —

gdzie q = e a.

Uzmysławiając jej peryody, przedstawiające się w ogólnej postaci: mco + nco‘, gdzie: m=n = 0, ±1, ±2,..., punktami płaszczyzny zmiennej zespolonej, otrzymujemy podwójnie nieskończony szereg punktów: P,„t „ (m^n = 0, ± 1, ±2,...), występujących jako punkta przecięcia dwu szeregów prostych, do siebie równoległych, jeden w kierunku: OP₁₀, określonym przez peryod co =r (cos AĄ-i sin A), drugi w kierunku OP₀₁, określonym przez peryod : co‘=r‘ (cos A‘ Ą-i sin A¹).

Punkta 0, P₁₀, P₀₁, P11? odpowiadające liczbom: 0, co, co¹, co + co', tworzą równoległobok o bokach: r=\co\ i P = |m'|, zwany równoległobokiem peryodyczności.

Wartości, jakie funkcya Z‘(x) przybiera w obrębie swego równoległo-boku peryodyczności, odtwarzają się na mocy wzoru:

Z‘ (x-\-mco-\-mco‘) = Z' (x),

w każdym innym równoległoboku.

13. Rozmaite inne funkcye dwuperyodyczne, oparte na funkcyach Theta.

Za pośrednictwem czterech funkcyj Theta: ©₀₀(æ), @₀₁(x), ©₁₀(æ), &ii(x), możemy otrzymać rozmaite inne funkcye dwuperyodyczne.

W szczególności, utwórzmy ilorazy trzech funkcyj : ©₄₁(x), Ooi(x) i &[)0(x) przez pozostałą: @₁₀(æ), czyli trzy funkcye:

@oi 0*0 @o 1

@1 o 0*0    @1 o

a zauważymy, że wszystkie trzy tak powstałe funkcye są funkcyami dwu-peryodycznemi.

Zastępując bowiem w każdej z tych trzech funkcyj raz x przez x-{-co, to znowu x przez x-\-co‘ i uwzględniając własności funkcyi Theta, podane we wzorach 15) i 16) art. 5., otrzymujemy następujące relacye :

@n0*0 ₌ @11

@1 o (x)    @1 o

(X)

(X)

@0 0 0*0_ @00

@10 0*0 @10

0*0,

@ii

(x+ co) = —    (x), a stąd :

10

@io

@11

@10

(x+2 co) — —

@11

10

{x + co) =

@11

6*0,

@10

V,¹- (x -f CO') = 7,.¹¹ (#).

10

ma

ona także peryody :

2o> i co-\-co‘, gdyż 2<y' = 2 (coĄ-co')—2<n, a więc ma ogólnie peryody kształtu: 2m<w-f M(û>4-a)'),

więc ogólnie pe-

2) ^(x+co)

©io

e„i

©10

0*0,

a więc :

⁰O1

10

(,x+2co) =

©01

Il (aî + û)¹) = —

10

©10 ©01 ©10

(x + CO) =

©01

©io

0*0:

(as), a więc :

⁰¹ (as-j-2o>') = —

©oi

10

©10

(x-\-(o‘) = ^f(as), ale zarazem jest także: ©10

— (a: + 0) -f- co') = —

©10

01

10

(» + «)

©01

©10

0*0-

3)

©00

10

0» + w) =

©oo

©10

0*0,

(a:+w') = -^ (as), a więc :

©10

©00

©10

©10

(as+ 2 co') = —

00

©10

(* + «') =

©00

©10

0*0-

Z relacyj tych wypływa, że : 1) funkcya

©u

©io

ogólnie peryod kształtu: 2mco + nco‘

(x) posiada dwa peryody oddzielne 2co i co‘, a więc

©oi

2) funkcya    (x) posiada dwa peryody 2co i 2<n', ponieważ jednak

©io

3) funkcya (as) posiada dwa peryody co i 2(0*,

©io

ryody, kształtu: mco + 2wco/.

Utworzone trzy funkcye są więc w istocie funkcyami dwuperyody-cznemi i mają peryody: 1) 2co i co', 2) 2co i co + co¹, 3) co i 2o>', gdzie stosunek

— jest liczbą urojoną.

Równoległobok, utworzony przez dwa peryody danej funkcyi dwu-peryodycznej, nazywamy równoległobokiem peryodów tej funkcyi.

W obrębie swego równoległoboku peryodów, otrzymuje funkcya dwu-peryodyczna wszelkie wartości, jakie jest wogóle zdolna przyjąć.

Otrzymane trzy funkcye dwuperyodyczne, otrzymują wartości nieskończenie wielkie w tych miejscach, w których funkcya 0lo(r) ma miejsca zerowe, a więc w miejscach, określonych wzorem:

x = mco-j-

dodatnie , lub ujemne.

Miejsca zerowe funkcyi: określone wzorem:

©n

©io

(n+{) <

, są te same co i w funkcyi G^as), ą wfęc

x—mco -\-n oj‘

co funkcyi 0ol(æ), a więc okre-

^(#) są te same

” a;==(m+¹/₂) û> + »û>',

•    • •    ^ i • . eoo0O

a wreszcie miejsce zerowe tunkcyi : ^——

₀ (x)

a więc określone wzorem:

x={m + 7/₂) w + (» + V2)w'*

Na fig. 9., 10., 11. przedstawiono podział płaszczyzny liczbowej równoległoboki przystające, których boki są peryodami funkcyj:

miejsca zerowe funkcyi : ślone wzorem:

®io

są

te same w funkcyi 0oo(æ)

na

011

®10

(®)ł

001

010

0*0

0QO

®10

0*0

zaznaczając tamże, za miejsca nieskończonościowe tych funkcyj

pomocą gwiazdek miejsca nieistotnie osobliwe, czyli a za pomocą kółek ich miejsca

zerowe.

# *7-- j""*7

fr^H-r-ł 1

$... 4—.$~

■r- *

#-

^Yi

r~

-t-

hH

. I i I T | -H

H I : I T-- 4 ! I i I

lOf-•■(=)----ÿ--•<$).    ^    . ^

4

S'*"

2 co •

H++ . : t

l^-U-S-UUUk 'fk

0    2 co    a 0

Fig. 9.

Przyjmując liczby <u i o'jako liczby zespolone, kształtu: a-\-bi i a'+b'i, możemy powyższe peryody uzmysłowić punktami płaszczyzny liczbowej zmiennej urojonej x, które utworzą wierzchołki równoległoboków.

Na fig. 12., 13., 14. przedstawiono i dla tego ogólnego przypadku podział płaszczyzny liczbowej na równoległoboki przystające, których bokami są peryody wspomnianych już funkcyj dwuperyodycznych, zaznaczając miejsca nieskończonościowe ich gwiazdkami, miejsca zerowe zaś kółkami.

Z oj

co

Fig. 10.

Fig. 11.

i-1—

yi-nrm

~"?l :    /    JL——&

’■ 'r" : J L.-* -

.J--*

i*-

*7

★.....f

fco* L

■•-/.....?

r. *■-—*—

*--/•

TH

■ "3

f: ho,

-i— *

*>T*

2<->

V:

Fig. 12.

Fig. 13.

Fig. 14.

14. Tworzenie funkcyj dwuperyodycznych z danemi miejscami zero-wemi i nieskończonościowemi. Zapomocą funkcyi 0ü(a;), określonej wzorem:

6)'

n=roo

— 491 _

0h(.)-22 (—1 )"g(»+‘/I)*sin

(2 n +1) nx

n=0

û>

gdzie q=e “, zmieniającej tylko swój znak, gdy % zastąpimy przez x + co,

2itix

“ , gdy o; zastąpimy przez æ-fa)', możemy

a otrzymującej czynnik — g_1 e utworzyć funkcyę dwuperyodyczną, o peryodach co i co', któraby w równo-ległoboku peryodów miała w miejsc zerowych: alf a2 skończonościowych : ait a₂, ..., an. Szukaną funkcyę dwuperyodyczną F{x), możemy przedstawić w postaci :

an i tyleż miejsc nie-

2mnxi

©u (z    ^2)* • • ®ll(^

(37)

gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą.

Funkcya ta posiada peryod co, gdyż: 0n (a:+w)== — Qu(x), a że:

2 mn(<c-\-(ù)i

2 mnxi

“ , zatem: ,F(:r+û))=.F(a:).

Zastępując w funkcyi -F(a;) zmienną x przez x-\-co‘ i uwzględniając, że:

2vm(x+a)')i

(O

2mx

Qii(x+co‘) = —q-¹ e w QiX(x), e

2nmi(ù‘

2rrmxi

(O

otrzymujemy :

F(xĄ-co‘)=e

— (—mw/+at+a,-f...+aw— at—a₂—an)

O)

F(x).

Jeżeli więc:

—mco¹ -\-ax-\-a₂Ą-... + an—ax — a₂—...—an=nco ,

czyli :

% d” d" ••• d" "ł" d⁻ • • • d- an ~ł~ WÛ) -p gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, natenczas:

2 ni

a więc :

F(x+co')=F(x).

Funkcya F(x), określona wzorem (37), posiada więc także peryod o>',

jak suma względnie powiększoną

jeżeli suma miejsc zerowych: ax -\-a₂ + ...-\-an jest taką sumą tyluż miejsc nieskończonościowych : ax Ą-ct₂ -f-« o dowolną wielokrotność peryodów co i co'.

Ćwiczenia XXIX.

nz=. -f- oo

1) Wykazać, że funkcya: 0(cc)=

an*-f bnx

2xi

, ma peryod

W = —00

n=+ ⁰⁰

2) Wykazać, że funkcya: 0(x) = wskutek zamiany x na x-\- otrzymuje wartość: 0

—bx—a

0(*)-

3) Wykazać, że funkcye, kształtu:

oo 2nnix

0 (a: -f- *), ‘gdzie : 0 (a?) =    g"² e f,)

Hitó'

, przyczem: q — e “ ,

71 =-CO

wskutek zamiany x na x -f- w zmieniają swą wartość, tylko o czynnik (-—1)*', gdy = *—■— przy całkowitem x'.

4)    Wykazać, że, funkcye kształtu, podanego w Ćw. 3., wskutek zamiany x na x-\- w' stają się, pomnożone przez czynnik:

2nix

jeżeli :

5)    Wykazać, że funkcye kształtu; e^xQ {x -j- a), (patrz ćw. 3.), pod warunkiem:

W    O)'

TT "ł~ x

(—1)* q—1 e

2 ni

x'7c i

, dla całkowitych x i x' nie zmieniają swej wartości, chyba tylko

znak, gdy x zmieni się na x -j- w , a zarazem stają się pomnożone bez względu na znak, 2 nix

a i gdy x zmieni się na

tO

przez czynnik q—¹ e

Z funkcyi 0OO {x) określonej szeregiem : 0OO (x) = qn* e M wyprowadzić następujące funkcye;

n=-(-oo

6) 8«. (*+!-)■= 2 (_1)

2njiix

n ąn* e w =0lo(aj).

71=-)-00

71=—00

2nmx

nicy

gdzie : q — e “

n—— oo

__nix    oo    (2n-j-l) nix

D («+£)=« T*“ y,"»-.—

nix

e ° ®oi(x)-

7l=— CO

___ nix n=+oo

8) 000^+y +    = ? ^ ⁶ °    (—¹)ng

(”+V₂)J e w

(2n-\-l)nix    _ 1 Jtix

e w. i 0U (aj).

n — — oo

Tli —•

9) Wykazać, że, gdy q—e w, | ^ | <C 1 , szereg:

w=+ co *•    2 vniæ

n=oo

2 nnx

0oo(*) == ^ 2w’e =1 + ² >, q»'cos —

77=1

71=-OO

jest bezwarunkowo zbieżny dla wszelkiego x.

To samo wykazać o szeregach ;

n—-f-oo

10) 0lo(a7)= 2    “ = 1 + ²    (—1)" qn~cos

2nnix

w = oo

77=+ 00

(2«-f-lprfcr

11)    »„(«)- 2    e    5—1=²2ä

»=0

(2n-f l)7iia;

12) 0tl(.r)= 2 (—1)* ï(B + ,/ï)* e w =2^ (—l>g(w+</ł)ł sin

Tl—Ü

13)    Wykazać, że funkcya 0#o(aj), określona szeregiem w ćw. 9. podanym , staje się zerem dla x = (ot -f- 4)w 4 (w'-j- i) w', m

14)    Wykazać, że funkcya 01O(*), określona w ćw. 10. podanym, staje się zerem, dla + (™' + ł)w'> m = ot' — 0, ±1, ±2,...

IB) Wykazać, że funkcya 0ol(x), określona szeregiem w ćw. 11. podanym, staje się zerem dla x = (w -j- -|) w -f-ot' to', ot = ot' ^=0, +1, +2,...

X = OTto

n — — oo

71=+ 00

77=-00

77= oo

cos

77=00

(2n-\-l)nix

to

O)

= m' — 0, + 1, ±2,...

16) Wykazać, że funkcya ©u(a;), określona szeregiem, w ćw. 12. podanym, staje się zerem , dla x= m<s> -j- m'eo', m =ot' = 0, +1, j+2,...

2 nix

17) Kładąc <p

/ 2nix\ v—m— 1 /

(^)= n (

1 + q^\\ e “.) (l-f ä2V+l e

n/aA

® A 2“

ni(ù'

ft)

e

7>=0

wykazać, że :

/ 2jiix\    / 2nix\

a) y\e w / = cAć w /,

2/cc®    I

b) «p(ja«~“~)

2^:«x

)(

1 -j- q—¹ e

7ri.r\

6) J

C*** “ )<jfó ■ : ~ •(■») . - (s ")m?

i 2nix^    ;; ïi,y

50 •{

1 -f- ę2m—i e

18) Wykazać, że funkcya 9(2), określona iloczynem :

w'    . •— .    ...    _____ •    \    - - v

l+'fl«

(*..o ‘Cl:    “j~ ï;v ..y: - (ii

v—m—\

c(a) =0 (1 + 2,2v+¹ z) (1 -j- g2v+i l), gdzie :

— ; —i> oV:<    v;h,.; ;

=0

⁴ •; -■

2nix

z — e w , q — e

-J- om

ni —

(■:

da się rozwinąć w postaci :

' -Ao -f    (« -j- 2—!) + uf.₂(*² + «•-?) + ... +    (2m -f 2-m),

gdzie :

C .■

(1 —g*»»)(l—g4"»-2) .„(l-g2m + 2n + 2)    ;

(1 — J²) (1 — gł) ... (1— g2m—2)

1:

19)    Wykazać, że iloczyn nieskończony:

7l=oo

n (X—9*8) = (l-ää) (1-?*) (1 -î‘)...

n=i

jest dla |ę|<Cl, bezwarunkowo zbieżny.

TTIft)' «=00

Kładąc: q=e w , H (1 — 22w)-= P, wyprowadzić następujące rozwinięcia funkcyj: «=1

0OO(*), ©îoC³⁵)) 0oi(*)» ©n(*)f na iloczyny nieskończone:

2nnix

20) 0oo(*)=2    n^+Zs^H-¹

n=0

ti=00

7? = OO

ł;;

W=-00

« = + 00

=+*••+»). cos *ł* ÿ4w+²^.

(2n-f-l) nix    n=°°

®    = 2 g P. cos —. [I (l-2g²*+a

CD    \

2nnix

«=00

cos

21) e₁₀(*)= 2 (-l)n!ZnSe w =p. n (l-22-₊₁

n—— 00

nz=i-f-00

71=-OO

n=0

71=0

cos ~~ "ł⁻ 24n+⁴^*

= 2q ; P.sin ^. II (l-2ÿ²»+²cos^+24n+4)-• “ «=0 V W .

(2n-f 1) nix

28) 0„(x) = i- 2 (-l)-3!"⁺'W%    ““

71 = — OO

Na podstawie rozwinięć funkcyj : ©ooO®)' Giofa)» 0Oi(^)) ®n(*)> podanych, w ćw. 20)    28)

wyprowadzić następujące własności tych funkcyi :

n — 4-⁰⁰

24) O₀o (a⁵+_2") ⁼ ®io(*)- 25) 01O (^ + '2) — ®ùo(*)*

26) Oyj (a; + ^) = — ©11C³⁵)* ²⁷)    + -g⁻) — GoiO*)-

w 0ui(a:). 29) 0io (*+ “2 ) = ¹ 2    e

31) ©u 2”) =iq    e    ©ioC*)-

nix

nix

(    Cl)'\    — V»

28) ©ou    + Tj-j = 9. e

30) 0O1 (* -f —) = 2 /ł ß    “ ©ooC®)-

nix

nix

82) 0oo(as + to) = 0OO(*). 33) e₁₀(* + «»>)=* 01O(®).

34) ©oi (as -j- to) = — 6oi(4 36) 0tl(as -j-to) = — ©n(*).

36) e₀₀ (as + w') = ?⁻¹ e

w0oo(*)- 37) 0io(*+wO=-2-le

2ntx

W 0Ol(*)*    ³⁹) ⁰ll(æ + w') = —2_1 ⁶

27tiX

^e₁₀(,).

2 nix

w etl(as).

38) Qoi(x-\-<*') = q-U 40) 0OO(-x) = 0oo(as). 41) 01O(- as)= ©io (»)• 42) 0O1 (- as) = 0O1(*).

43) ©u (-*)=-0U(4

2 m'nix

44) 0qo (æ 4*mo) 4" m‘ w0 ⁼⁼ 000 (x 4“ m' w<) = ? mn e

w 0oo(*)-

2m'nix

46) 0,o(*4- ircw4~ m/w,)=0lo(as -f- m'to') = (—l)m'<?

46) 0ol(as + into + m'to') = (—1)"* 0O1 (as 4- m* to') = (— 1)« q

“ 010 (æ)-2m'nix

—jm'¹

“    0o»(*)-

2m'nix

47)    0ii(* 4-«« +m'to') = (—l)w 0ji(as 4-»»'to') = (— iy»-H»')g-«»'* e

48)    Na podstawie wzorów, określających funkcyę 0u(as), w ćw. 23.), wyprowadzić

rozwinięcie :

n—oo

^logOli0*0 ^ii'O) ^ " cotg™ . éü sin

rfas    ©n(as) to    to to    to J-U

^2n+2

»=0 1—2o²»-h²COS—- 4- 2⁴» + 4

O)

49) Kładąc: Z(x) =

©u'(as)

0,i (as)

(patrz ćw. 48.), wjdkazać, że :

2r.i

a) Z(x to) = Z(x), 3) Z{x 4- to') = Z (as)--— ,

ogólnie, że :

y) Z(x-\-mta) = Z(x), Z) Z(x-\-m‘u>‘)= Z(x)

2 m‘ni

to

gdzie m=m' = ± 1, ±2, +3, ...

50) Na podstawie wzorów, określających funkcyę 0n(as) w 23. wyprowadzić rozwi-d² log ©n (as)

nięcie funkcyi: Z'(x)

dx²

51) Wykazać, że funkcya Z'(as), określona w ćw. 50. jest funkcyą dwuperyodyczną, o peryodach to i to', czyli , że ma tę własność, że :

a) Z‘(x -{- to) = Z'(x),    3) Z'(as-}-to') = Z'(as),

ogólnie, że:

gdy: m

AIIV

y) Z' (x Ą-mm) — Z' (x\ 8) Z'(as -f- m'to') = Z'(as), e) Z‘ (x    -\-m'o)') = Z ’(x),

»»' = 0, ±1, ±2, ±3,...

Rozwiązania XXIX. Wskazówki podane w wykładzie.

Literatura. M. C. Jordan. Cours d’analyse de l’école polytechnique. Paris 1882. Dr. J. Thomae. Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunctionen einer Veränderlichen Halle a/S. 1873.

lematy do rozprawek naukowych :

1.    O Thetafunkcyach Jacobiego.

2.    O logarytmach thetafunkcyj Jacobiego.

3.    O funkcyach dwuperyodycznych, opartych na Thetafunkcyach.

Wykład XXX.

Ogólna teonya funkcyj dwuperyodycznych i funkcye elliptyczne.

1. Określenie ogólnej peryodyczności funkcyj. Niech będzie daną dowolna funkcya: y = &(x); jeżeli pewna funkcya f\x) posiada tę własność, że niezmienia swej wartości, gdy x zmienimy na $(#), że więc:

(1)

tedy powiadamy, że funkcya f{x) jest funkcyą peryodyczną na zasadzie równania: y = d,(x), a odnośne równanie nazywamy równaniem peryodyczności danej funkcyi.

Szczególniejszą wagę posiadają funkcye, posiadające równanie peryodyczności, kształtu:

II. y=px, \p\%l.

I. y = x + w,

Pierwsze, czyniące zadość warunkowi: / ( x + o) = / (#), nazywamy funkcyami dodajnikowo-peryodycznemi, drugie, czyniące zadość warunkowi: f(px)=f(x)₁ nazywamy funkcyami mnożnikowo-peryo-dycznemi.

2. Funkcye dodajnikowo-peryodyczne. Funkcye, czyniące zadość wa

runkowi :

(2)

f(x + 0)) = f(x),

któremi zajmowaliśmy się w poprzednich wykładach, mają, jak zauważyliśmy, miejsce w nieskończoności jako miejsce istotnie osobliwe, w którem przyjmować mogą wszelkie możliwe wartości. Z wszelkiej funkcyi jednowar-tościowej możemy utworzyć funkcyę dodajnikowo-peryodyczną o peryodzie

2mx

co, jeżeli w niej zastąpimy zmienną x przez e" .

3. Funkcye mnożnikowo-peryodyczne. Niech będzie daną funkcya /(#), mnożnikowo - peryodyczną o równaniu peryodyczności: y= px, gdzie |p|< 1, a więc posiadająca tę własność, że:

(3)

f(px) = f{x),

Niech będzie x=a miejscem, w którem ta funkcya przybierze wartość / (a) = A, to wartość tę samą otrzyma ona także zarówno w miejscach:

pa, p²a,..., pna, jak w miejscach: —, —

P P

dwa szeregi miejsc, w których funkcya mnożnikowo - peryodyczną otrzy-

pn

—. Otrzymujemy zatem

muje tę samą wartość; granicą jednego szeregu miejsc jest, gdy jp<Cl,

Ci

limp*« —0, czyli zero, granicą drugiego: lim —==oo , czyli nieskończoność.

n=z oo    n— oo P

W tych miejscach może więc funkcya mnożnikowo-peryodyczna otrzymać wszelkie możliwe wartości, a zatem :

Wszelka funkcya mnoènikoivo -peryodyczna f(x) ma punkt zerowy x=0 i punkt nieskończonościoicy x=cc , jako chcą miejsca istotnie osobliwe.

4. Tworzenie fimkcyj mnożnikowo-peryodycznycli. Ponieważ funkcye mnożnikowo - peryodyczne mają punkt zerowy i punkt nieskończonościowy, jako punkta istotnie osobliwe, przeto musiałyby one należeć do funkcyj kształtu :

f(x)=art    + — + XnĄ-x~¹ + «—2    a-nx~nĄ-...

spełniających warunek: f(px)=f{x).

Temu warunkowi mogłoby się stać zadość tylko wówczas, gdyby spół-czynniki a.{r— -ł- 1, 4- 2,...) spełniały relacyę :

ar = pr.ar,

a więc były wszystkie zerami, prócz spółczynnika a₀. Z tego wnioskujemy, że funkcya mnożnikowo-peryodyczna, oprócz punktu zerowego i nieskoń-czonościowego, jako punktów istotnie osobliwych, musi posiadać jeszcze inne miejsca nieistotnie osobliwe, do których zaliczamy też miejsca zerowe i miejsca nieskończonościowe funkcyi.

Niech będą: a,, a₂,...f an miejscami zerowemi, a b₂, ..., bm miejscami nieskończonościowemi pewnej funkcyi mnożnikowo - peryodycznej, nie związane warunkiem peryodyczności, w ilości skończonej n i ni.

Utwórzmy funkcyę, posiadającą miejsce zerowe x=l, a nadto warunkiem peryodyczności związane miejsca zerowe:

P, P²,--

Pn•

th a,

2’ ' * • ’

pn

i oznaczmy ją przez F(p, x).

Funkcya taka najprostsza przedstawi się w postaci iloczynu nieskoń

czonego :

F(p, x) = (l—x)(l—px)...(l—pnx)..

(4)

5. Na podstawie tej funkcyi, możemy wszelką funkcyę mnożnikowo-peryodyczną , posiadającą m miejsc zerowych: alf a₂,.., am, i n miejsc nieskończoności wych : bu ó₂,..., bn przedstawić w postaci:

f{x) = Cxr

gdzie C jest stałą dowolną.

Jeżeli funkcya ta dla wszelkiego x spełnia warunek:

to uwzględniając, że:

f(px) = f(x)

F(p, px)=---F(p, x),

CC

że więc na podstawie wzoru (5):

— 497 —

f(p x) = pr

ax a₂. . . b< b₂. .. bn

~ {—x)n~

• f(x),

dostajemy warunki:

i

bx b₂... bn

(6)

Pierwszy warunek wypowiada, że wszelka funkcya mnożnikowo-peryo-

ma miejsc nieskończonościowych.

dyczna musi mieć tyle miejsc zerowych, ile Ilość ta jednak musi być większą od 1.

Gdyby bowiem było n = 1, wówczas otrzymalibyśmy z drugiego warunku wzoru (6) relacyę :

Pr-y-=¹> czyli: bx =

po

byłoby więc :

funkcya f(x) byłaby w takim razie ilością stałą , równą (—l)r C.

Funkcya mnożnikowo-peryodyczna musi więc mieć najmniej dwa miejsca zerowe i dwa miejsca nieskończonościowe, niezwiązane warunkiem peryo-dyczności.

Jeżeli funkcya mnożnikowo-peryodyczna f(x) staje się

na płaszczyźnie

liczbowej n razy równą zeru i w-razy nieskończenie wielką, to musi także każdą wartość A przyjmować n-razy. Funkcya f(x)—A będzie bowiem także funkcyą mnożnikowo-peryodyczną, która staje się n razy nieskończonością, a więc także n-razy zerem, a te miejsca zerowe będą właśnie temi miejscami , w których funkcya f {x) otrzymuje wartość A.

Funkcya F(p, x), za pomocą której możemy utworzyć funkcyę mnożnikowo-peryodyczną f(x) z warunkiem: /(px)=f(x), posiadającą dane miejsca zerowe i jednakową ilość miejsc nieskończonościowych, nazywa się zwykle funkcyą pierwotną funkcyj mnożnikowo peryodycznych.

6. Funkcyę dwupcryotlyczne pierwszego rodzaju, oparte na funkcyach mnożnikowo-peryodycznych. Zastąpmy w funkcyi mnożnikowo-peryodycznej f(x), czyniącej zadość warunkowi f(px)=f(x), zmienną x przez funkcyę wy-

nlw‘

kładniczą e “ i połóżmy q = e ⁰³ , p = g², tedy funkcya f{x) przekształci się

2nix

lnic

na funkcyę (p(x)=f(e w ), posiadającą tę własność, że:

cp(x + (o) =■ (p{x),

(p (X-\-ù)‘) = cp (x).

a zarazem :

(7)

Tak utworzona z funkcyi mnożnikowo-peryodycznej f(x) funkcya <p(x)t jest więc funkcyą dwuperyodyczną o peryodach a> i co¹ i spełnia ogólnie relacyę :

(w=0, ±1, ±2,...).

Między peryodami a) i o)¹ nie może oczywiście zachodzić żaden związek liniowy, kształtu : aco-{-ba)'=0, gdzie a i b są pewnymi rzeczywistymi spółczyn-nikami, gdyż w tym przypadku oba peryody œ i to¹ dałyby się sprowadzić do jednego peryodu.

(79

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

32

- 498 —

~ liczbą urojoną.

Ż tego wynika także, że przy dwu peryodach od siebie niezależnych : (o i co' musi być stosunek :

Ze względu na to, że jak poznaliśmy, teorya funkcyj dwuperyody-cznych może być opartą na teoryi funkcyj mnożnikowo - peryodycznych, możemy z twierdzeń, dotyczących funkcyj mnożnikowo-peryodycznych, wyprowadzić wprost twierdzenia, dotyczące funkcyj dwu-peryodycznych cp(x) czyniących zadość relacyi :

(8)

zwanych funkcyami dwuperyodycznemi pierwszego rodzaju, albo też zwykłemi funkcyami dwuperyodycznemi.

W szczególności dochodzimy do następujących wniosków:

1°. Funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju posiada tylko jeden punkt istotnie osobliwy, mianowicie: #=oo .

2°. Niema funkcyi dwuperyodycznej pierwszego rodzaju, któraby nigdzie nie była zerem , ani nieskończonością.

3°. Wszelka funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju ma jednakową ilość miejsc zerowych i miejsc nieskończonościowych, a zarazem co najmniej dwa takie miejsca.

4°. Jeżeli funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju ma n, nie związanych warunkiem peryodyczności, miejsc zerowych: a1? a₂,...., an i w, nie związanych warunkiem peryodyczności, ani z niemi, ani między sobą, miejsc nieskończonościowych: bi, b₂,..., bn, natenczas:

rtj -j- u₂ -j-... -p (in:=b^ -J- b₂ H⁻... J- bn -f- mco -f- m'ü)¹) (w?/~îw/=0, -I-I, —1~2, ...),

5°. Wszelka funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju przyjmuje wszelką wartość jednakową ilość razy, a co najmniej dwa razy.

6°. Wszelka funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju da się utworzyć na podstawie t. z. funkcyi pierwotnej:

2nix

ni(ù‘

gdzie ą—e

funkcyi pierwotnej p(#²e M ) tylko czynnikiem znanej jako Thetafunkcya :

Qu(x)=—q-e

z=e “ , względnie, na podstawie funkcyi ©^(a:), różniącej się od

1    % w

T? «

2 nix

nix

2nix

—    71=00

2nix

nix

n=oo

.P, gdzie P=II(l-2²«),

2nix

w—1

n—1

" )•

7°. Wszelka funkcya dwuperyodyczna pierwszego rodzaju <p(x), da się sprowadzić do postaci:

_2m^reil(a;-o₎).eil(a!-fl₂). . .Qn(x-an) bi).Qii(x—b₂). . .Qu(x—bn)' gdzie Oj+öj-f ... -\-an^bx +&₂ + ... + &« + m(o + m'a)\    0, ±1, ±2,...).

7. Fun key e dwuperyodyczne drugiego rodzaju. Jeżeli funkcya cp{x) posiada tę własność, że wskutek przejścia wartości zmiennej niezależnej X + 0), lub na x-\-co\ gdzie co i of są pewne liczby stałe, otrzyma tę samą wartość y{x), pomnożoną tylko raz stałą liczbę a\ a więc spełnia relacye :

cp(x)=e

x na

przez liczbę stałą a, a drugi raz przez

— 499 —

cp(x + ù))*=a<p(x\ q>{x + co,)=a'cp(x),

(9)

wówczas nazywamy funkcyę cp{x) funke y ą dwuperyodyczną drugiego rodzaju, a stałe co i co' nazywamy również peryodami funkcyi cp(x). Jedną z tych stałych a i a‘, możemy zawsze przyjąć równą 1.

Skoro bowiem położymy: F (x) = eax cp(x), gdzie a jest pewną stałą, wówczas otrzymamy :

F (x + co) — e«(-e+“). (p(x Ą- co) = ea(à. a. F(x),

F{xĄ- w') = e«t*+w'). cp(x + co') = eab)'. a*. F (æ),

przyjmując a tak, aby było eaw.a=1 i kładąc ea(ù.a>=èù, otrzymujemy

funkcyę -F(æ), spełniającą relacye : F (x+ co)=F (x), F(x +co,) = e°> .F(x).

Funkcye dwuperyodyczne drugiego rodzaju cp(x), możemy z łatwością utworzyć za pośrednictwem funkcyi 0n(;t). Kładąc bowiem:

0j    CCj ) . 0, j (# Cf₂ )• ‘ • 1^ ®n)

<P(X)~

Qii{x—bi).Qii(x—b₂).. .6u(x—bn)'

otrzymujemy na mocy wzorów 16. str. 480: q>(xĄ-oj)=cp(x) :

2 ni

.gp(a;)=ewę>(a;),

J = 2?r«(a₁ +a₂+... + fl„—— b₂ — ...—&„), funkeya ęp(:r) jest zatem funkcyą dwuperyodyczną drugiego rodzaju.

Utworzywszy jedną taką funkcyę (p{x), możemy utworzyć już jakąkolwiek inną, pomnożywszy tak utworzoną funkcyę przez dowolną funkcyę dwuperyodyczną pierwszego rodzaju.

W szczególności, możemy wszelką funkcyę dwuperyodyczną drugiego rodzaju f(x), sprowadzić do postaci :

cp(x -f w') = e

gdzie

f\x) =

z warunkiem :

_ inmix Qil^x—ai)Qu(x—ai). . .0t₁(x—an) eu{x—bi)On(x—b₂). . .Qn(x—bn)

À

(«i + a₂ + •• + «*)— (&i +6₂ + ...-f ów) + wci)-f w'«' = 2^-.,

gdzie J jest liczbą dowolną, a m=»w'=0, ±1, -ł-2, ...

8. Funkcye dwuperyodyczne trzeciego rodzaju. Jeżeli funkeya f(x) czyni zadość warunkom:

f(x+ co) = eax+b .f{x) f{x-\-co‘) = ea'x+b' .f{x) natenczas nazywamy taką funkcyę funkcyą dwuperyodyczną trzeciego rodzaju, a stałe w i w' od siebie niezależne jej peryodami.

Ze względu na to, że na podstawie powyższych określeń ma być:

(10)

nazywamy znowu

f (x+co + w') = c«'(*+«)+*'/ [x -f- co)—ea'(x+a'+⁶'. eax+b. f(x), f {x + w' -f co) — ea(*-f-w')+⁶ f(x -f- co‘) = ga(*+w')+*. ea'*+6/ _ f (^ przeto otrzymujemy relacyę :

a'co=aco‘-\-2kni, (k=0, -f-1, +2,...)

która dowodzi, że stałe a i a¹ nie mogą być zupełnie dowolne; danej stałej a odpowiada stała a¹, określona równaniem :

i. (£=0, -± 1, ±2,...).

co

co'

«'= — rt+

co

Utwórzmy w miejscu funkcyi f{x) dwuperyodycznej trzeciego rodzaju funkcyę F(x), określoną wzorem:

F (x) =

.f(x)

to funkcya F(x) uczyni zadość warunkom:

F{x -+■ o)) = F(x),

'ST 3

-F(æ + <y'.) = e

gdzie fi jest liczbą całkowitą, a J =    &ćt>' + --- (<y — w'), funkcya    należy

zatem także do funkcyj dwuperyodycznych trzeciego rodzaju.

W przypadku 0, staje się funkcya F(x) funkcyą dwuperyodyczną drugiego rodzaju , a w przypadku    =0, funkcyą dwuperyodyczną pierw

szego rodzaju, czyli zwykłą funkcyą dwuperyodyczną.

Chcąc utworzyć szczególną funkcyę <p(x), czyniącą zadość powyższym warunkom , połóżmy :

(mix Q₁₁(ą;——a₂). .    an)

b±) Q^ix b₂). •    bn+(i)

<P(x) =

Otrzymujemy tu :

(p(% -r (o) = (p(x),

cp (x + (o‘) = e w . <jp(æ), A=2m(ai+ą₂-\-...-\-an—bi—b₂~-..,—bn+fl-\- V₂^),

gdzie :

mamy więc w funkcyi (p{x) funkcyę, spełniającą właśnie powyższe warunki.

Znalazłszy jedną taką funkcyę, możemy otrzymać funkcyę dwuperyodyczną trzeciego rodzaju w postaci iloczynu tej funkcyi szczególnej i dowolnej funkcyi dwuperyodycznej pierwszego rodzaju.

Wszelka funkcya dwuperyodyczną trzeciego rodzaju, posiadająca n miejsc zerowych, at, a₂, ..., an i    miejsc nieskończonościowych : biJ b₂, ...

..., bn+p, da się więc przedstawić w postaci:

__ _(2m+i*)nu Qil(x—ai) .Qn(x—a₂). . . Oii(x—a„)

OuC.r — ó^.Oji(a: b₂). . .Qlx(x b„Ą./j) gdzie fi jest liczbą całkowitą, przedstawiającą różnicę między ilością miejsc zerowych funkcyi a ilością jej miejsc nieskończonościowych, przyczem musi być :

X

ax 4-a₂ +    an—bi—b₂—...—¹j₂fi=mœ+ w'co'-f ^..

9. Thetafunkcye n-go rzędu. Szczególny rodzaj funkcyj dwuperyodycznych trzeciego rodzaju stanowią funkcyę /(æ), czyniące zadość warunkom :

(U)

“ •/(*),

gdzie w jest liczbą całkowitą. Funkcyą tego rodzaju jest funkcya €fii(x) i wszelkie jej całkowite, dodatne potęgi.

Jest bowiem :

©₁₁w(a:+û))=(-l)’¹ €>nn{x),

©₁₁’ł(^ + w') = (-l)ne

*■(«)»

(12)

— 501 —

z tego powodu nazywamy też funkcye, czyniące zadość warunkom (11), Thetafunkcyami n-go rzędu. Parę liczb x i x‘ nazywamy cechą lub charakterystyką Thetafunkcyi, rozróżniając cztery istotnie różne cechy: (0, 0), (0, 1), (1, 0) i (1, 1).

10. Ilość Theta-funkcyj n-go rzędu o wspólnych cechach a‘, pomiędzy sobą niezależnych jest ograniczoną, na podstawie twierdzenia Hermite’a :

Pomiędzy [n-f 1) Thetafunkcyami n-go rzędu o wspólnej charakterystyce (z, %') zachodzi przynajmniej jeden związek liniowy o stałych spółczynnikach.

Dowód. Wszelka funkcya /(#), całkowita przestępna o peryodzie o), daje się przedstawić w postaci :

r=+oo

2 rnix

(13)

r=z—oo

lub co na jedno wychodzi, w postaci:

r:=-ł- 0°

r²ma‘ 2rnix

no

Ct)

(130

r=—oo

przyczem spółczynniki Ar, względnie Cr, związane relacyą :

r²ni(ù‘

nio

Ar = Cr. e

są liczbami stałemi. Stałe te możemy tak dobrać, aby się stało zadość drugiemu warunkowi :

njii( 2xĄ-(x>‘)

f(x + o)‘) = e “    . f(x).

(14)

Otrzymujemy tu, bowiem:

r=-(-oo

r²ni(ù‘

2rm{xĄ-tó‘)

r=-|-oo

f[x+(o ') *= Cr.

wco

— [r²w'+2»r(.r+ft)')]

no

r=—oo

r— — oo

r=-(-oo

= y, Cr.e

Tc i

— [0'+n)²«'-J-2(V-j-n)x]

nco

— oo

a zatem :

rmi(2x+ u') r =-{-<*>

f(x-\-o)‘) = e

6)

JTf

— [(r+w)Jtó' + 2(r + n)x]

(15)

rz=. — oo

W arunek:

nm(2x+u>‘)

ficcĄ-oi')—e    •

wymaga, aby było: Cr+n = Cr

a więc :

C₀ — Cn = C%n = Cu = —

Cj = C„-j-l = C2n + 1= C/3ra + l = ...

Cn—1= C2n—1 — C3n—1— 0^—1—

Oznaczmy przez fm(%) Thetafunkcyę n-go rzędu , otrzymaną z założenia : Cm=1, C₀ = C₁ = ...=-Crn_i = Cm+i = ...-Cn=O, a więc połóżmy:

r=—oo

a każdą inną Thetafunkcyę n-go rzędu;

r=-f-oo ni(nrJrmytO)‘ 2{nrĄ-m)nix

7? Ci)

(16)

®xx' (* + m© + fllV)--(-l)fflx'+m^c-m^.⁽²x+m^⁾< ^ (a).

0«, *' + 2 (*) = 0*. x' («) ; ®x +2, *' (*) — ( ■- 1)*' ®xx' (x),

1, x' (*)

r= -ł-oo

nir³(ù'    Ir nix

(17)

przedstawimy w postaci :

(18)

/(ic)=cû/o(^) + c₁ /j (#) + ••• -f cn_i/n-i (»),

której spółczynniki : c₀, c1}..., c„—i, możemy wyznaczyć, kładąc wiednio dobrany układ n szczególnych wartości.

11. Thetafunkcye pierwszego rzędu. Szczególny przypadek Theta-funkcyj w-go rzędu stanowią Thetafunkcye pierwszego rzędu str. 479.), wzorami :

za

x odpo-

określone (w art. 3.

n~-\-ao

2nnix

n c=-j-oo

2nnix

«= — 00

«=— 00

(19)

(%n-\-\)nix

i”+v'e " ■

»=—30

które możemy zastąpić wzorem ogólnym:

«= + 00

«= + 00

(2n+l)/i/x

i(*)“—* 2 (—l)w(?(n+Vj)Je "    ,

«=-00

XX'

(a;)=>(—1)*' 2 (—i)”’'⁶

2(« + ‘/,X')«lX + (n+

(20)

» = — oo

o własnościach charakterystycznych :

i* c

- (*+ )

£ s.

0X, x' + 1 (x).

Funkcyę 0X/ (x) oznacza się w przypadkach, gdy chodzi o zaznaczenie peryodów o i w', w postaci: Sxx‘(x, co, co'), nazywając zmienną x argumentem, stałe parametry co i co' peryodami, a stosunek parametrów

(O*

—, modułem Thetafunkcyi.

Z tych czterech Thetafunkcyj pierwszego rzędu, funkcye 0oo(x), @i0(x) i ®₀₁(æ) nie zmieniają swej wartości wskutek zmiany x na — X, są więc t. z. funkcyami p a r z y s t e m i, . funkcya €^u(x) zmienia zaś przy zamianie x na —x, swój znak na przeciwny, jest więc t. z. funkcyą nieparzystą.

Wszystkie inne Thetafunkcye pierwszego rzędu, mogą się od powyższych czterech Thetafunkcyj różnić o pewien stały czynnik, który zależy

w ogólności od peryodów co i co', względnie od modułu —.

co

12. W poprzedzającym wykładzie poznaliśmy szczególne związki, jakie zachodzą między czterema funkcyami Theta, wykazujące, że poszczególne te funkcye przemieniają się jedna w drugą, opatrzoną pewnym czynnikiem wykładniczym, jeżeli zmienną niezależną powiększymy o połowę peryodów co i co'. W tym kierunku otrzymujemy następującą tablicę:

- 503 -

zmienia

Powiększenie x o

OooC*)

eio(*)

0Oi (x)

en(*)

Czynnik

wykładniczy

öooOO

(_l)n e₁₀(a?)

(-l)m e₀i(x)

(i)

(m — V2) w + n w'

(-l)n 0lo(as)

0oo(*)

•njii(2x+n(o')

6)

Y2)

001 (*)

(—l)«i.0n(ar)

(—l)m0Oo(*)

(n+‘y^4(nn)aj

lO)

(-l>».0oo(ar)

G)

z której wynikają miejsca zerowe:

funkcyi ®₀₀(x) dla x

2m +1    2n -f 1 y

2“®»

0)Ą

2w+l ,

-2“®»

Ł

x=mo)+na)‘.

Z określenia czterech Thetafunkcyj pierwszego rzędu wypływają wreszcie ich rozwinięcia według szeregów sinusowych, względnie cosinusowych w postaci :

010 0*0 »

001(*) T.

77

0110*0 »

n=oc

®₀₀(z) = l+2 > g*‘.

cos

2nnx

00

®₁₀(*)=l+2> (-1)*«*’

.COS

2nnx

w =00

(2«+1)TM3

77= Do

@₀₁(x) = 2 2 2⁽*+'y'. cos »=0

następnie rozwinięcia w postaci iloczynów :

O)

«„(*) = 2 2 (- !)* 3<n+w

. sm

w (21)

. (2n 4- l)nx

77=0

Ù)

ln ix

77= 00

łi=4-oo

2 nix

0ooO*O = n (l-î2n). n (1 + 2

2n— 1

e    w)

n=l

77 = 1

n=oo

WD= + <»

2nix

2ltix

01O(*)— n (i—g²-), n (I—2

2n — 1

e “)(l-22n-te    “),

77=1

77 = 1

(22)

2mx

2izix

«„,(*) = 2gV. cos — /II "(l-g²”).’’n "(1+g²* « “ ) (1 +2²’ «

Ct)    71=1    77=1

JIX 77=4»

«„(*) = 2gV. sin —. n (1-g²”). II (l-g²’e    MW²’«

W 17=1    77 = 1

z których wypływają rozwinięcia następujące:

77=4»

2 nix

2nix

*2jix

®₀₀(æ) = n (1—22n). n ( 1 + 2q2n~i cos —— + 2

»„(*) - 2gV.sin^.n (1—g²-).(1-2g²"cos —-N⁴”)-

77= OO

n=°°

77 = 400

4 77 —2

n (W). n (i 2g

277-1

COS

477—2

77=1

77=1

(23)

Gdy :r=0, otrzymają pierwsze trzy thetafunkcye następujące wartości: @oo(0) = ¹+^ + 22⁴ + 2g⁹4-... + 2ri2+-ąo(0) = l-2^4-2?⁴-2?⁹+... + (-l)n2?«² + ...

(24)

1    _9    25    /2»+iy

©₀₁(O)=22⁴ + 2g⁴ + 2^ ⁴ +... + 2// ² ' +

Uwzględniając miejsca zerowe

poszczególnych theta-źunkcyj pierwszego rzędu, otrzymujemy ich rozwinięcia w postaci podwójnych iloczynów nieskończonych :

[>

©₀₀ou = ©₀₀ (0). n

m, n

(w+¹/₂)w + (w+¹/2)w'

rn, w

l-

l-

a?

(25)

(m+ xl₂)(o-{-na)‘ y

[>

00...-f- 00

m, n

WCł) +ww'

przyczem we wzorze na ©^(a?) należy pominąć parę w = 0, n = 0, a przy obliczaniu wartości Thetafunkcyj należy zachować porządek wskazany w tych iloczynach.

13. Thetafunkcye drugiego rzędu. Kwadrat każdej ze czterech Thetafunkcyj pierwszego rzędu: ©₀₀(æ), @.J0(:c), ©₀₁(r), ©H(#) określonych wspólnym

wzorem :

«=-f-CO

©**'(») = (—l)xx/ 2(-l)**e

2jvix(n + llIx')

CO

(26)

spełnia relacye :

®xx'²(x + aj) = ®KX'²(x),

‘i ■.

2m(x+o')

®x*‘\x-\-w‘)=e

czyli jest thetafunkcyą rzędu drugiego i to jak bezpośrednio widoczna z tą samą charakterystyką (0, 0).

(26')

Wnosimy z tego, że między któremikolwiek trzema thetafunkcyami drugiego rzędu , muszą zachodzić związki liniowe , które należałoby wyznaczyć. W tym celu weźmy pod uwagę pierwsze trzy thetafunkcye drugiego rzędu: ©₀₀ ²(a;), ©₁₀²(æ) i ©₀₁²(a;) i połóżmy:

ci • ©:2o o (*) = ■c₂ - ©o i \x) + c₃ . ®i 0 \x), a otrzymamy niewiadome spółczynniki : cv c₂, c₃, podstawiając za x roz-maite wartości.

(27)

Kładąc x=

otrzymamy, na podstawie tablicy:

=e..(0), @o,(l

=0,

zatem, na podstawie przyjętej relacyi będzie:

c₁-©₁₀²(O)=c₃-@₀₀ ²(O)-°

co

(«)

ÙJ‘

Kładąc x=^, Z

otrzymamy :

⁰⁰ (⁰⁺Tj=e

niw'

d=°, ®oi(o+y)-c

niw

4w ©oo(O),

na podstawie przyjętej relacyi będzie więc:

q- @oi²(0) = c₂. @oo²(0),

Na wyznaczenie niewiadomych spółczynników c1? c₂, c₃ związku liniowego (27;, otrzymujemy więc z ostatnich dwu relacyj, (a) i (&), stosunki:

Cl

C2

C3

©oo²(0)

©10 ²(0)

(28)

®oi²(0)

wobec czego szukany związek liniowy między trzema thetafunkcyami drugiego rzędu: ©₀₀ ²(æ), ®₀₁²(æ) i ®₁₀²(æ), przedstawia się w postaci:

». ₀ ²(0). e„₀ ²(rc)=»,, !(0). @₀ J ²(z)+e, ₀ ²(0).    ₀ ²(x).

„    ,    ,    .    ćt)    ft)'    Ct> ,    (O¹

Zastępując w tym związku x przez x    xJr~n > xJr~ïT “o > otrzymu-

Ł    z    Z Z

jemy z niego trzy inne związki liniowe między trzema innemi trójkami czterech thetafunkcyj drugiego rzędu w postaci wzorów :

»„oHO). ®₁,!(zj=»,l’(0). éV(x)+<V(0)- @oo²(*),

0„S(O). ®₀₁ V)=@₀₁²(O). e₀,²W-«,0²(O)

o ²(0) • i ⁸(*) = i ²(0) • ą₀²(^)-©₁₀²(O).@ol²(a:),

(29)

(290

które dadzą się także wprost wyprowadzić metodą podaną przy wyprowadzaniu wzoru (29).

Z tych wzorów wynika, że kwadrat każdej z czterech Thetafunkcyi pierwszego rzędu możemy wyrazić przez kwadraty dwu tylko z tych funkcyj, dowolnie zresztą wybranych.

Wybierając w tym celu jako takie dwie funkcye, funkcye 0oi\x) i@₁₁²(ic), otrzymamy dwie inne Thetafunkcye drugiego rzędu: ©₀₀ ²(x) i ®₁₀ ²(cc), wyrażone przez dwie poprzednie wzorami , wynikającymi bezpośrednio z wzorów poprzednich , w postaci :

®»,!(0).®„„²W = @oo²(0).®oi²(*) + ®,o²(0).eu²(*).    ( °)

®oi²(0).@io²W“@i»²(°) ®«²(*) + ®oo²W-@ii²(*),    ( 1)

14. Z wzorów (29) i (290 wypływa ciekawy związek, zachodzący między wartościami trzech Thetafunkcyj drugiego rzędu, nieznikających w miejscu x=0, t. j. między wartościami ®₀₀(O), ®₀₁(O) i ®io(0)> które są różne od zera, bo tylko ®₁₁(0)=0. Kładąc mianowicie we wzorze (29), #=0, otrzymamy wzór :

@oo\0)=®oiW+®₁₀⁴(0;-    .

Czwarta potęga wartości funkcyi ®₀₀(%) w miejscu æ = 0, jest więc równa sumie czwartych potęg funkcyj @0l(æ) i ®₁₀(t) w temże miejscu #=0.

Uwzględniając wartości ®₀₀(O), ©₁₅(0) i ®₀i(O)> we wzorach (24) podane, otrzymamy powyższy wzór w postaci :

[l+2g + 2g⁴+... + 2^ + ...]⁴= [1-2 a + 2?⁴-... + (— l)w2g*² + ...]⁴ +

,-1    9    2J>

i [ T    T    T

⁺ L2 q +2 q +2g

(2n + l)s

+ •.. + 2 q

Li*

co co

(32)

(320

15. Tworzenie elementarnych funkcyj dwuperyodycznych przy pomocy Thctafmikcyj pierwszego rzędu. Zapomocą Thetafunkcyj pierwszego rzędu, możemy tworzyć funkcye dwuperyodyczne pierwszego rodzaju. W najprostszy sposób otrzymamy takie funkcye w postaci ilorazu ktorychkolwiek dwu Thetafunkcyj pierwszego rzędu.

Gdy bowiem położymy :

@« 0*0

eß(x)

gdzie wskazówki a, ß, przedstawiają jedną z cech: (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1,1), wówczas otrzymamy :

F{x) =

(33)

F(x + 2(o)=F (x), a zarazem F(x+2(o‘)=F(x).

Funkcya F(x) posiada więc dwa peryody 2co i 2co¹.

Weźmy pod uwagę tylko te stosunki, których dzielnikiem jest funkcya @₁₀(x), a więc trzy stosunki:

@oo0*0    @oi0*0    @n0*0

@io0*0’    @io0*0’    @io(*)

i ich kwadraty :

@₀₀ ² 0*0    @01² 0*0 @n²fo)

@10 ² 0*0’ @₁₀²(*V @10² (^’

to na podstawie związków 29), 30) i 31), w art. poprzednim wyprowadzonych, otrzymujemy relacye:

a stąd :

@„²(0). 0„, V)=®»,!(0) ■ @„²(*)-@oo²(0) ■ @ii²(*),

@io²(0). @,o²(*)-@„²(0). @„²(*)-@o,²(0). »„’(*),

@„²(0) ea,Hx)    @₀,²(O) @ti²(*)

@„²(0 )'®,o²(*)    ®o,²(0)'®„²W’

@₁₀²(O) @00 ² W .    @o,²(0) ®„²(*)

»«.’(O) •«,„*(*)    ®„²(0)'®,„²W’

Między wartościami trzech funkcyj: @₀₀(#), @io(“c) i @oi0*0 w miejscu: «=0, zachodzi wiadomy związek (32) :

@oo⁴(0)= @io⁴(0)+@₀₁⁴(0),

(34)

(35)

który możemy napisać w postaci :

@io ⁴ (0)

@00 ⁴ (0)

@01⁴ (0)

@00 ⁴ (0)

(36)

czyli :

jeżeli położymy :

x² -f x'² == 1

(36')

czyli :

, @01² (0)

@oo² (0)    *' @oo² (0)    *

@io² (0)

(37)

@01 (O)

0,0 (0) '

Wprowadzając stosunki x i x‘ we wzory (34) i (35), sprowadzimy je do postaci:

Vx‘ =

@io (0)

@oo(0)

(37')

@01 (g) _ X ■ &i0(x)

\/7Tï @QQ @0

‘ @10 W

@i i² (^) ‘ @! o ² (X)

(38)

=^l—x

@n² (a?)

' @io² 0*0

(39)

Kładąc :

Tt-W,

1    ©u 0*0

» * ©lo0*0

otrzymamy wzory (38) i (39) w postaci :

9>₂0*0, W

©o o 0*0

' ei0(x)

9>3 0*0?    (⁴⁰)

9>₂0*0 = V/l—[^(a;)]2 9^3 (^) = \/¹ — ^² [9Pi W ]²

(41)

(42)

16. Otrzymane wzory przedstawiają związek między trzema funkcyami: (p₂{x) * 9?₃(a?), które na podstawie określeń (40), z uwzględnieniem rozwinięć funkcyj :    Sit)(x) i ®₀₁(aO, podanych w art. 10. przedstawiają

się w postaci:

9>i0*0 =

rr 2Vq sin nX-2Vą» sin —+2\JV*sin ⁵~ +... 1    (O    O)    O)

X l — 2q cos

2nx

— + 2g⁴cos⁴— - 2g⁹cos —+ ...

W    CO    CO

2V/^'coS“ + 2V/ #⁹

Ci)

cos

³-- +2l/ä«

Cl)

cos

5:7ra;

Cl)

„    2^    _ ,    47ra;

1—2(7 cos —- -f 2o-⁴ cos ---

Ci)    Ci)

„ ₀ bjra;

2(7J cos-4- ...

Ci)

(43)

,    _ 2yra: „ , Ąjix „ „ 67tæ

cp₃(x)=\/x'.

przyczem :

@₀₁(O) _ 2\Z(T-i-2\/^ + 2\/<F“+...

©ou(0)

ąo(0)    1—2g + 2g⁴—2g° + ...

®₀₀(O)    l + 2g t-2g⁴4-2g⁹+...

Funkcye cp^x), g>₂(x), cpz{x), nazywamy zwykle e 1 e me n t a r ne m i funkcyami dwuperyodycznemi stopnia drugiego, albo też funkcyami elliptycznemi drugiego stopnia.

17. Rozwijanie elementarnych funkcyj dwuperyodycznych cpx{x), cp₂(x), <Pz(x), na szeregi potęgowe. Trzy funkcye <px(x), cp₂(x)₁ q>₃(x), występujące jako stosunki trzech Thetafunkcyj Sii(x')^ ®₀₁(:r), ®₀₀(oO do Thetafunkcyi @lo0*0, pomnożone przez pewne stałe spółczynniki, czyli określone wzorami:

©o o 0*0

*    ©iO0*0    ’

l-f2(/ + 22⁴f 2g⁹ + ...

(44)

Vi 0*0=

v/V =

VÏ

©11 0*0 , * ©io0*0 ’

cp₂(x) =

x‘ Sox(x)

©1 o (X)

; 0>₃O*O“V*'

010 (0) ©00 (0)‘

;c @oi(°) X(

©oo(0) ’

gdzie :

dadzą się rozwinąć na szeregi potęgowe w otoczeniu miejsca x—0. Liczniki bowiem, @u(x), @ox(x) i ®₀₀(x) i mianownik ©₁₀(æ) tych trzech funkcyj dadzą się, jak wiemy z poprzedzających artykułów, przedstawić jako bezustannie zbieżne szeregi potęgowe zmiennej niezależnej x, przyczem funkcya ®₁₀(æ), występująca w mianowniku, otrzymuje w miejscu x—0 wartość skończoną,

- 508 —

różną od zera. Odnośne szeregi potęgowe mają więc kołowe zakresy zbieżności, o środku w punkcie 0, sięgające obwodem do najbliższego punktu zerowego funkcyi Si0(x).

Ażeby wyprowadzić szeregi potęgowe, przedstawiające funkcye dwu-peryodyczne <px{x), cp₂(z), cp₃(x), należałoby wyznaczyć pochodne tych funkcyj i wyznaczyć wartości tych pochodnych w miejscu x=0.

Celem wyznaczenia pierwszej pochodnej funkcyi :

vi(*)=V0

1 ©u(aQ

' @o i (^)

. d(pi (x)

t. j. funkcyi: —^

@io 0*0

^ yt dx

-O,

,7 @n 0*0

@iO0*0

weźmy pod uwagę, że funkcya: ©₁₀²(æ). rzędu o charakterystyce (0,1), ponieważ wartość x, powiększona o co, względnie

dx

jest Thetafunkcyą drugiego

Ini

--(2*+w')

(O

. Ponieważ jednak

o co\ zmienia ją o czynnik + 1, względnie o czynnik e funkcye ©₀₁(&). ®₀₀(x), oraz ®il(x).@₁₀(x) posiadają tę samą własność, przeto, na zasadzie twierdzenia Hermit e’ a (art. 10.), możemy przyjąć:

,₇@ii0*0

@n>0*0

Ci ©₀! (a;) ©₀₀ (x) + c₂ ©₁₁ (x) ©₁₀ (x)

dx

czyli :

@io W

@io²0*0-

@io0*0

da?

Cl ©o ! (as) ©o o (*) + c₂ @11 0*0 @1 o 0*0-

Na podstawie tego założenia, możemy wyznaczyć niewiadome spół-czynniki c, i c₂, podstawiając za x pewne szczególne wartości.

Podstawiając x=^0, i uwzględniając, że ©₁₁(0)==0, otrzymujemy stąd

równość :

czyli :

eio²(⁰⁾-(ą^) o =c,®₀₁(0)-@oo(0)

6>,o!(0).

«1. (0).    , '(0)—©! i (0).    „ '(0)

<V(0)

a stąd:

@₁₀(O). @lt'(0)=c,. @₀₁(O). @₀₀(O),

_ ą₀(O).e,t-(O)

¹    «„.(O)-».,«» •

W analogiczny sposób znajdziemy wreszcie e₂=0.

zatem :

Wobec tego będzie :

^ @ii 0*0 @io0*0

dx

zatem :

czyli :

ti

©10(0).©, /(O)

@oi(O)-@oo (0) ‘

dcp,{x) WÏ ©io(0)• ©nł(0) i/x ■dx V „ •©₀₁(O).@₀₀(O) •

d<Pt(x) 1 ©io(0).@i/(0)

^'@oi(0).@oo(°)

@o i C**' ) • @q o (x )

©i o (0) • ©i i¹ (0)    @010*0 @0 0 0*0

@oi(0).@oo(0)    '@iO0*0'@iO0*0

Vx'

J -.1 J ; ,

dx

.cp₂(x) .(pz(x)%

a że :

przeto otrzymujemy:

,c, «»’(O)

»o.W

i ą₀(O).»„-(O)

x‘⁻eol(0).8oo(0)

d(pi{x) _ @qo(0). @i/(0)

@oi(°). ©io(0)

Uwzględniając wzory (22), (23), (25), podające rozwinięcia Thetafunkcyj ®lo(®)> ^OlC²')»

wzory (24), na ©₀₀(O), ©₁₀(O), ©O1(0), znajdziemy z łatwością, że:

dx

na

. y₂(x). (pz(x).

iloczyny nieskończone i mając na uwadze

Ct)

ą,₀(O).ą,‘(O)

®oi(0).«io(0)

zatem ostatecznie pierwszą pochodną funkcyi q)i(x), w postaci:

äcp^x)

czyli :

oj'

(48)

dx

Podobnie znajdziemy :

d (p₂(x)

dx

-=^.©oo²(°).^(^).^).

Ci)

= - 77« @0 o ²(°) • 9>3 (*)• 9»1 0*0,

O)

(49)

(50)

następnie :

à <jP₃

71    ®₀₁⁴(O)

dx

czyli :

w ' ©₀₀ ² (0)

. q>x{x). <p₂ (a:),

drpz{x)

dx

O)

(51)

Powtarzając różniczkowanie, możemy znaleźć podobnie pochodne wyższych rzędów funkcyj <Pi(x), <jp₂(æ), <p₃(aO, a wstawiając w nie æ=0, znajdziemy spółczynniki ich rozwinięć na szeregi potęgowe, uporządkowane podług potęg zmiennej niezależnej x.

18. Wprowadzając w miejsce zmiennej niezależnej x, nową zmienną niezależną u, określoną związkiem :

- li

(O

du

7T

= —.©₀₀ ²(O), zatem pierwsze pochodne funkcyj: cpx(*c), tp₃(x) co

otrzymamy :

(X‘X>

cp.A{x) względem zmiennej u, w postaci szczególnie prostych wzorów:

d cpi (x)

du

= <P₂(x) . Wz(x),

d <p₂ (x)

du

(fs(x) - <Pi(x)

(52)

dcp₃(x)

= —X² .(pi (x).<p₂(X). ,

Na podstawie tych wzorów, możemy utworzyć pochodne wyższych rzędów funkcyj : ^(æ), cp₂(x),    (p₃{x), względem zmiennej u, a oznaczywszy

wartości poszczególnych pochodnych w miejscu Æ=0, a więc w=0, możemy wyprowadzić rozwinięcia tych funkcyj na szeregi potęgowe, uporządkowane według potęg zmiennej #, względnie zmiennej u.

Z powyższych wzorów wynika nych wyrazów, w otrzymanych szeregach potęgowych, będą całkowitemi wymiernemi funkcyami parametru x².

du

zarazem

że spółczynniki poszczegól-

Wszystkie trzy funkcye dwuperyodyczne pierwszego rodzaju: <^0*0, cp₂(x), q>z(x) są więc jednowartościowemi funkcyami zarówno zmiennej

7Z

u=—&₀₀ ²(0). x, jak parametru x².

CO

19. Funkcye clliptyczne w ogólności. Funkcyami elliptycznemi nazywamy dziś w analizie wyższej wszelkie funkcye jednowartościowe dwuperyodyczne , które , oprócz koniecznego punktu istotnie osobliwego w nieskończoności, nie posiadają żadnych miejsc istotnie osobliwych w skończo-ności, a tylko miejsca nieistotnie osobliwe.

Funkcye takie posiadają mianowicie w sw}⁷m równoległoboku peryodów tyle miejsc nieistotnie osobliwych (miejsc nieskończonościowych), ile posiadają miejsc zerowych i tyle też' razy przyjmują każdą wartość A w tymże równoległoboku.

Liczbę, podającą ilość miejsc zerowych, jakie funkcya elliptyczna posiada w obrębie swego równoległoboku peryodów nazywamy stopniem funkcyi eliptycznej.

Ilość ta podaje zarazem ilość miejsc, w których funkcya dwuperyo-dyczna w obrębie równoległoboku peryodów przyjmuje tę samą wartość.

Funkcye ^(æ), g>₂(æ), <jp₃(a?), są według tego szczególnemi funkcyami elliptycznemi, n aj n i ż s z e g o , t. j. drugiego stopnia. Innemi funkcyami elliptycznemi drugiego stopnia, zajmiemy się w następnym wykładzie.

Ćwiczenia XXX.

1)    Dowieść , że wszelka funkcya dodajnikowo - peryodyczna: F(x -f- w) = F(x) ma miejsce istotnie osobliwe w nieskończoności.

2)    Dowieść, że z wszelkiej funkcyi jedno wartościowej, wymiernej, całkowitej zmiennej a?, otrzymujemy funkcyę dodajnikowo-peryodyczną o peryodzie w, jeżeli zastąpimy w niej

2 nxi

zmienną x przez funkcyę e “ .

oprócz punktu w nie

ma

3)    Dowieść, że gdy funkcya dodajnikowo-peryodyczna skończoności jeszcze inny punkt istotnie osobliwy, to ma ich nieskończenie wiele.

4)    Dowieść, że wszelka funkcya mnożnikowo - peryodyczna : F(px)=F(x) ma dwa punktjr istotnie osobliwe, jeden w miejscu x — 0, drugi w miejscu x — cc.

5)    Dowieść, że gdy funkcya mnożnikowo-peryodyczna ma oprócz punktu zerowego i punktu nieskończonościowego (ćw. 4.) jeszcze inny punkt istotnie osobliwy, to ma ich nieskończenie wiele.

6)    Dowieść, że wszelka funkcya mnożnikowo - peryodyczna : I(px) = F(x), oprócz punktu zerowego i nieskończonościowego posiada jeszcze inne punkty nieistotnie osobliwe.

7)    Dowieść, że nie ma funkcyi jednowartościowej o dwu punktach istotnie osobliwych: x=0 i a? —co, któraby dla żadnej wartości x różnej od O i co , nie stawała się ani zerem, ani nieskończonością, a była przytem funkcya. mnożnikowo-peryodyczną.

8)    Dowieść, że wszelka funkcya, mnożnikowo-peryodyczną: f(px)=f(x) ma tyle miejsc zerowych, nie związanych równaniem peryodyczności, ile miejsc nieskończonościowych.

9)    Dowieść, że wszelka funkcya mnożnikowo-peryodyczną: f(poć)—f{x) przyjmuje każdą wartość jednakową ilość razy w miejscach, niezwiązanych z sobą równaniem peryodyczności.

10)    Dowieść, ze niema funkcyi mnożnikowo-peryodycznej, któraby, pomijając pe-ryodyczność, jakąkolwiek wartość tylko raz otrzymywała.

— 511 —

11) Dowieść, że wszelka funkcya mnożnikowo-peryodyczna : f(px)=f(x) jest funkcyą ułamkową, której licznik i mianownik składają się z jednakowej ilości czynników, kształtu:

kształtu:

12) Wykazać, że t. z. funkcya pierwotna, określona iloczynem nieskończonym

?(?², a») — (i + g*)(i + g³4-(¹+ ?2n~1 x)••• (x + “) (i 4- "Ç) - (i 4- ~p) -

w którym |g|<l, da się przekształcić na szereg nieskończony, kształtu:

'p(3²,3*)= —

II (l-g2n)

13)    Dowieść, że zastępując w danej funkcyi mnożnikowo-peryodycznej : /(pas) =/(*), gdzie |p|<Vl, zmienną x przez einix i kładąc: p = q², q=enix, u=a-\-bi, otrzymujemy: z niej funkcyę F(x), czyniącą zadość warunkom: F(x-\-1) — F(x), F (x -f- w) = F(x), czyli zwykłą funkcyę dwuperyodyczną F(x) o dwu peryodach, od siebie niezależnych 1 i w.

14)    Dowieść, że funkcya dwuperyodyczną: F(x) o peryodach niezależnych, li w, a więc spełniająca warunki: F(x -f- 1) = F(x), F(x -j- to) — F(x), nie może mieć innych peryodów, jak peryody kształtu: m + m'u>, gdzie w i w' są dowolne liczby całkowite.

15)    Dowieść, że funkcya dwuperyodyczną F{ x), czyniąca zadość warunkom: F(x-\-l)=F(x), F(x-\- o>) — F(x) ma przynajmniej jeden punkt istotnie osobliwy w miejscu

X —co.

16)    Dowieść, że nie ma funkcyi dwuperyodycznej F(x), czyniącej zadość warunkom : F (x) = F(x-\-1) = F(x-\- w), któraby w żadnym punkcie płaszczyzny liczbowej, różnym od nieskończoności, nie stawała się nigdzie i’ówną ani zeru, ani nieskończoności.

17)    Dowieść, że wszelka funkcya dwuperyodyczną F{x)= F(x -j- 1)=F(x-\- co) przyjmuje bez względu na peryody, wszelką wartość jednakową ilość razy, a co najmniej dwa razy.

18) Dowieść, że kładąc w funkcyi :

®(3²,-«)=(1—«)(1—2J«)(1—«**)••• (1—ff²*«)...(l--|-) (i — -^j) ... (i—j")..., gdzie 2<1,

zmienną z = efini*, q=eniù>, otrzymujemy funkcyę:

71—oo

<p (*) = (1- e2nix) n (1- łn <?nix) (1- łn e- ²™'*),

fl = l

przedstawioną iloczynem nieskończonym, bezwarunkowo zbieżnym dla wszelkich skończonych wartości zmiennej x.

19) Wykazać, że funkcya ®(.r), określona w ćw. 18., da się wyrazić za pomocą Thetafunkcyi : 0^(0?), w której w = l, co'=to, przedstawiającej się w postaci:

«= + 00

etl(*, l,w)=4- 2 (-l)w g(*+*w*

«=—00

20) Dowieść, że wszelka funkcya dwuperyodyczną pierwszego rodzaju o peryodach: 1, co, da się sprowadzić do postaci:

/(*)=

—2m'nix 0n(.r—at) . Qii(x—ai)... Qu(x—an) 011(*—&i) ■ ©u O* ^2) ••• ®ii (x bn)

gdzie «j -j- «2 b ••• + °n —    —62 — ••• — 6« = m -f- m'co.

21) Dowieść, że wszelka funkcya dwuperyodyczną drugiego rodzaju f(x) =Cj/(a;-|-l)= = Cj/(* + u), da się sprowadzić do postaci:

/(*) =

-2m'nix 0n(a; - a,). 0U(*—a₂) Qn{x — an) ®i 1    ^1 ) • ei i(*    ^2) — 0i i(*    b*) ’

przyczem : gdzie X jest liczbą dowolną.

(o, -j- 0-2 “b ••• ”b    —(^1 4 ^2 4 4    — ** 4 ^ M 4

2 r.i

22) Wj'kazac, że wszelka funkcya dwuperyodyczna trzeciego rodzaju:

f (aj) = f(x -j- 1) — e—2(i<*nix+A) f (x    w),

da się sprowadzić do postaci :

Hf

—(2m/-jr/A,)uix    Qil(x—ai).Qn(x—a₂)... Ou(x—an)

®ii(*—*>i).0n(*—h) ••• ©u(*—a„+/ł) ’

przyczem

/(æ) = e

(«1 4- «2+ — 4' a») — (*l + ^2 + ••• 4"    +2" — m    2^

23) Na podstawie określeń:

n=+oo

0n(*)=? 2 (-i)"s<"+,,,)! *

n——oo

w=-p°°

2 njiix

n=-(-co

Innix

⁰oo(*) =    W    2 (-¹)n2”’e “

W=-00

71 =- 00

Qti(g) Qqi^) Qoo(g)

⁰io(*)’ 0iu(*)’ eio(*)

pierwszego rodzaju, czyli zwykle funkcye dwuperyodyczne, zwane funkcyami elliptycznemi drugiego stopnia.

W szczególności wykazać, na podstawie określeń w ćw.' 23) podanych, ze:

24)    (x -f- 2mu    m‘ to') = ^ (x).    2B) ^ [(aj -j- 2 m co -f- m‘ (co -(- w')] —    (*)•

wio    wio    yio

wykazać , że ilorazy :

przedstawiają funkcye dwuperyodyczne

⁰io

eoi

26) [aj 4- m (co — co') 4- tn‘ ( w 4" a)0]

⁰io

(m co -|- m‘ co') — 0.    29) ■— [(m 4- 1) co m‘ co'] = 0.

⁰io

° [(m 4-1) w 4- (m‘ 4- 2) w<] — 0' 31) ^ [m w 4 (m> 4* 1) w'] = oo .

o    “io

32) ^1 [nuo 4- (m‘ 4- |) ⁽⁰'] = co • 33 ) ^ [mto 4- (w' 4* 1) w'] = co •

⁰lj v '    Hio

28)

⁰11

⁰io

⁰OO

⁸⁰>e,

⁰io

(•> 27)

⁰1O

(aj-f OTco-j-2w'co')]=3= ^(oj).

⁰io

34) Wykazać, że iloraz jakichkolwiek dwu Thetafunkcyj : 0oo(aj), ö₁₀(a;), ©oiC³⁷)? 8n(»)j jest funkcya elliptyczną drugiego stopnia.

Rozwiązania XXX. Wskazówki podane w ostatnich dwu wykładach.

Literatura. Bobek. Einleitung in die Theorie der elliptischen Functionen. Lepzig, 1884. Martin Krause. Theorie der doppeltperiodischen Functionen einer veränderlichen Grösse. Leipzig 1895. Tannery et Molk. Elements de la théorie des fonctions elliptiques Paris, 1893.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Rozwijanie funkcyj dwuperyodycznych drugiego i trzeciego rodzaju.

2.    Tworzenie i własności funkcyj mnożnikowo-peryodycznych.

3.    Teorya i własności funkcyj elliptycznycli, na podstawie teoryi funkcyj mnożnikowo-peryodycznych.

Wykład XXXI.

Szczególne funkcye eliptyczne.

1. Funkcje eliptyczne JacobFego. Związki zachodzące między trzema funkcyami dwuperyodycznemi pierwszego rodzaju, oznaczonemi przez ępt(as), <jp₂(æ),    określone wzorami :

<p₂ (*) = Vl— [cpx <x)]², cpz (x) == V1 - x '² lq)^(xÿ\ zapomocą których, znając wartość funkcyi ^(z), w pewnem miejscu x możemy wartości dwu innych funkcyj (p₂(x) i (p₂{x) wyrachować, spowodowały wprowadzenie odmiennego znakowania dla tych funkcyj.

Kładąc mianowicie cpi(x)=sm <jp, otrzymujemy:

(p₂(x) = cos cp

Używając, nadto za przykładem Legendre’a, znakowania:

VI — x²sin² <jp — Acp

przedstawimy funkcye: q>i(x), (p₂(x), cp₂{x) w postaci równań:

(pl(x) = am q), cp₂(x) — cos <p, (p₂(x)=A(p.

Za pomocą tych równań, możemy wyznaczyć kąt cp, gdy dane są war-

®oi⁴(0)

»00 ⁴ (0)'

Przynależne wartości kąta <p, mogą się pomiędzy sobą różnić tylko o wielokrotność kąta 2n.

Dla x=0, będzie u=0, ©₁₁(0)=0, a tern samem także:

«,.(0) ₀

' ®,»(0) ’

a więc sin<jp=0, przeto q) — 2tm, (n =0, -4- 1, ±2,...).

Przyjmując, że dla w=0, ma być <jp nie dowolną wielokrotnością kąta 2n₎ ale wprost zerem, t. i. cp = 0, sprawimy tern założeniem, że każdej wartości zmiennej w, odpowiadać będzie, przy pewnej wartości parametru x², tylko jedna wartość na (p.

Możemy tedy cp uważać jako jednowartościową funkcyę zmiennej u i parametru x.

q)₂(x)=v 1—x²sin²<p .

tości na u —

^-&₀₀²(O).x i

(O

5P,(0)=V4

(1)

(2)

(3)

Nazywamy tedy cp amplitudą zmiennej u, przy module z i piszemy

chcąc zaznaczyć także moduł x, piszemy

(p=am(u)₎ albo krótko <p=amu <p=am(u, x).

Dr. Dziwiiiski. Wykł. matem. I. Tom 11.

Przy tak przyjętem znakowaniu kąta cp, otrzymujemy równania: cpi(x) = sin amu, cp₂(x)=cos amu, <p₃(x) = Aamu ,

(4)

(4')

względnie :

cpi(x)=sin am {u, x), qp₂(a?)=cos am(u, x), cp₃{x)^=Aam{u, x), określające nowe znakowanie trzech funkcyj dwuperyodycznych (P\{x),

W miejsce tego znakowania, wprowadzamy, za przykładem Guder-mana, znakowanie :

piszemy więc :

sin amu—snu, cos amu—cnu, A ani u—dnu

cpi(x)=snu a chcąc zaznaczyć moduł x, piszemy:

cp₂(x)—cnu, cp₃{x)—dnu

(5)

(5')

(pi(x)=sn(u, x), cp%(x)—cn (u, x), cp₃(x) = dn (u, x).

Zmienną u nazywemy argumentem, a stałą % modułem trzech funkcyj snu, cnu, dnu, a funkcye same nazywamy funkcyami eliptycz-nemi Jacobi’ego.

Związek między trzema funkcyami eliptycznemi snu, cnu, dnu a czterema Theta-funkcyami : ®₀₀(æ), ®lo0*0> ©₀i(aO, ©n(^), określony jest wzorami :

SM W

\/l @11®. V x ’ei0(x) ’

CM W

przyczem

— ©₀₀ ²(0).x, x co

₌ \® @oi®

V X ' @10 (®) @oi²(0)    *

@oo² (0) ’

dnu= V x‘ .

@oo(a) @10 0*0 ’

®,o²(0)

@oo²(0) '

(6)

(7)

2. Peryody funkcyj eliptycznych sn u, cnu, dn u.

Z własności

Theta-funkcyj , względnie z własności elementarnych funkcyj dwuperyodycznych : cpv(x),(p₂(x), <p₃(x), wynikają bezpośrednio odpowiednie własności funkcyj eliptycznych Jacobi’ego: snu, cnu, dnu. Jeżeli powiększymy x o co, natenczas u powiększy się o m@₀₀ ²(O).

Oznaczmy tę wielkość przez 2if, t. j. połóżmy:

n @oo² (0) — 2 TT

n®i0\O)=2x‘.K.

tedy będzie na mocy wzorów (37) str. 506., równocześnie : n ©₀₁²(0)=2x.üT,

^@oo²(⁰)-—-• co

Jeżeli powiększymy x o co¹, natenczas powiększy się Oznaczmy tę wielkość przez 2 K‘i, t. j. połóżmy:

W<-=2K—=2K‘i,

co

K‘ .

K¹'

Powiększenie argumentu u o całkowitą lub połówkową wielokrotność wywołuje pewne zmiany w wartościach funkcyj snu, cnu, dnu, które zestawimy w tablicy analogicznej do tablicy podanej w art. 12., poprzedniego wykładu , która przedstawiała zmiany w wartościach czterech Theta-funkcyj, wywołane Zmianą zmiennej niezależnej x o całkowitą lub połówkową wielokrotność peryodów co i co'.

zatem :

liczb 2K i 2K‘i

™ @oo²(0)- — co

O)¹

co

(8)

- 515 —

Mianowicie otrzymujemy tu następującą tablicę :

Powiększenie argumentu u o

zamienia funkcye eliptyczne

sn u

cn u

dnu

2m K -\-2nK‘ i

(—1)™ snu

(—l)m+n cnu

(2w — i)K-\-2nK‘i

cnu

dn u

(—l)m+V

snu

dnu

{—l)ndnu

2mK+(2n + \) K‘i

(-l)m

i. dnu

x.snu

x.snu

(—l)n+'

i. cnu

snu

(2m-l)K+(2n+l)K‘i

(—l)w+i

dnu

x. cnu

(—\yn+n

i.x‘

x.cnu

(-1)W

x‘.i snu

cnu

z której wypływają następujące wnioski, dotyczące peryodów funkcyj eliptycznych : snu, cnu, dn u.

1°. Funkcya snu jest funkcyą dwuperyodyczną, czyniącą zadość równaniu : sn (u + 4mK -f 2nK' i) = snu,

wzorem :

dla wszelkiego całkowitego m i n, a zatem posiada peryody, określone 4«Z-f 2 n K‘ i, (m = n = 0, ± 1, ±2, ...), występujące więc jako sumy całkowitych wielokrotności liczb 4jfif i 2 K‘ i, które są dwoma zasad ni czerni per y odami funkcyi eliptycznej snu.

2". Funkcya cnu jest funkcyą dwuperyodyczną, spełniającą równanie:

cn (u -f 2mK Ą- 2nK‘ i) — cnu,

których suma m\n jest liczbą parzystą, wzorem :

dla całkowitych liczb min Peryody funkcyi cnu są określone

2mK -f 2nK‘i, gdzie m+n=2r, (r=0, ±1, ±2,...), a więc występują jako sumy wielokrotności peryodów 4 K i 2 K + 2 K‘i, względnie peryodów 2K-{-2K‘i, 2K—2K‘i, które możemy uważać jako zasadnicze peryody drugiej funkcyi eliptycznej cnu.

3°. Funkcya dnu, jest funkcyą dwuperyodyczną, spełniającą warunek: dn (u + 2mK-j- 4n K‘i) = dn u,

dla wszelkiego całkowitego m i », a więc posiada peryody, określone wzorem: 2mK+4nK‘i, (m|«=0, ±1, ±2,...),

wysypujące zatem jako sumy wielokrotności liczb 2K i 4 K‘i, które to liczby możemy uważać jako dwa zasadnicze peryody trzeciej funkcyi eliptycznej dnu.

3. Pnnkta zerowe i punkta nieskończonościowe funkcyj snu, cnu, (lnu. Punkta nieskończonościowe są we wszystkich trzech funkcyach eliptycznych snu, cnu, dnu jednakowe i wypływają bezpośrednio z miejsc zerowych funkcyi ®₁₀(æ), któremi są miejsca, określone wzorem:

x=mo)-\-

dla funkcyj snu, cnu, dnu, przedstawiają się więc w postaci:

u=2m K + (2w + l) K‘ i.

Punkta zerowe funkcyj snu, cnu, dnu, wypływają znowu z punktów

zerowych funkcyj: ©n(:*0, ©₀i(#) i ©o o 0*0-

Funkcya sww, (czyt. es-en u) czyli t. z. sinusamplituda staje się więc zerem w miejscach u, określonych wzorem:

u=2mKĄ-2nK‘i, (m = n—0, ±1, ±2,...), funkcya cww, (czyt. ce-enu), czyli t. z. cosinusamplituda, staje się zerem, w miejscach, określonych wzorem:

u=(2m+l)K+2nK'i, (w|«=0, ±1, ±2,...).

Funkcya dnu, (czyt. de-enu), czyli t. z. deltaamplituda, staje się zerem w miejscach, określonych wzorem:

w=(2m + l) K-\- (2w + l) K‘i, (w|w=0, ± 1, ±2,...).

W szczególności, dla 0, otrzymujemy:

sw 0=0, cwO = l, e7w0=l.

Szczególne własności funkcyj eliptycznych Jacobi’ego wypływają ze związku tych funkcyj z Theta-funkcyami.

W szczególności dwie funkcye: cnu i dnu nie zmieniają swej wartości, gdy u zastąpimy przez —u, zaliczają się więc do t. z. funkcyj parzystych, określonych warunkiem : / (—x) = f(x), trzecia funkcya eliptyczna Jacobi’ego: sn u, zmienia tylko swój znak, gdy u zastąpimy przez —u, zalicza się więc do t. z. funkcyj nieparzystych, określonych warunkiem:

Zajmijmy się teraz prawami dodawniczemi funkcyj eliptycznych. W tym celu wyprowadzimy naprzód prawa dodawnicze czterech Thetafunkcyj.

4. Prawa dodawnicze Thetafunkcyj. Utwórzmy funkcyę f\x), jako iloczyn dwu jednakowych Thetafunkcyj , w postaci:

f{x)=®₀₀(x+y).6₀₀(x—y),

to otrzymamy :

f(x+0))=f(x),

" fix).

f{X-\-(ô')=C

Funkcya tak utworzona f{x) jest więc Thetafunkcyą drugiego rzędu z charakterystyką (0, 0), a jako taka da się wyrazić liniowo przez kwadraty którychkolwiek dwu Thetafunkcyj tegoż rzędu o tejże charakterystyce.

Tym sposobem otrzymamy (|) = 6 sposobów, przedstawiających tę

funkcyę.

Połóżmy :

©oo {x + y). ©₀ o {x—y) = c₄. @0 0 \x) -f c₂. @4 i \x).

Celem wyznaczenia spółczynników c₁ i c₂, otrzymamy dla 0, równość:

©o o (y)•©o o ( - y)=. ©₀ o \o),

skąd, ze względu na to, że : ©₀₀(—y)= @₀₀(y), otrzymujemy : ©o₀²(«/) = c₁.@o0²(O)

. ₌ ©oo \y)

¹ ©ooW

a stąd :

Dla x=

(O (O¹

-g-+-g-, otrzymamy zaś:

00

(f⁺¥⁺-/)-@00( ⁺ f“?/)

to P

CS

to

to £

to £

(»)

a że według tablicy str. 603. :

(16)

(17)

oo

©00

zatem :

( -+

ni t(ù‘ \

"o, U-y)

/to ,    ù)‘\

u\Y⁺T/e

3 <M

3 CM

i.e

/to to' \

\T⁺ 2~y) ⁼

ie

•®n(—y)= -

te    }

ni(0‘

przeto powyższa równość po uproszczeniu przedstawia się w postaci:

©n%)=c₂.@₀₀ ²(O),

©u² (y)

©ooW

Podstawiwszy te wartości we wzór (9), otrzymamy :

©oo \y)

z której otrzymujemy :

c₂ —

«Oo(*+j0-«oo(*—y)=

a więc wzór :

«00W

»00² O*)!

s,i!(y)

®oo² (O) ’

©00 ²(0)• ©ooH-«/)• ©0o—30 = ©00 ²(^)-©00 ²Cv) + ©11²0*0-©ii²®/),

(10)

który stanowi t. z. wzór dodawniczy funkcyj @₀₀(a;), na podstawie dwu Theta funkcyj ©₀₀(æ) i ©u(æ).

Pozostałe pięć dadzą się w podobny sposób jak wzór (10) wyprowadzić i przedstawiają się w postaci :

©oo²(0).©oo(^ + «/)-©oo(^-«/) = ©oi²(^)-©oi²(y) + ©io²(a:)-©io²(2/))

©o 1 ²(0)• ©0o0® + y)• ©oo 0&—y) = ©o 1²0*0• ©0o ²(s/) + ©i 1 \X)'©1 o W,

©io ²(°)-©₀p(*+y)-©o«(*—y)“©oo ²(^)-©io \y)- ©01 a(*)-©u ²(2/)>

©io²(⁰).©oo(^+y).©oo(^-y) = ©ioW-©ooW-©ii²(^)-©oi^)» ©oi²(0)-©oo(^ + 2/)-©oo(^—2/) = ©oo²(a:)-©oi²(y) + ©io²(a;)-©ii²(^)1 Podobne wzory dodawnicze otrzymamy: a) dla funkcyi ©₁₀(æ), w postaci:

©o o ²(0). ©i o («+y)-©i o («■—y)=©i o ²(^)- ©oo \y)+©o 1²(«0- ©i 1²(y)

= ©₀₀ ²(a:).©₁₀ \y) + ©n ²(*)-©oi \y)

t—I CM

(13)

(14)

(15)

©0i ²(0).©₁₀(£ + </)-©io(*—y) = ©01²(^)-©i0 ²(2/)+ ©11²(^)-©oo ²(î0

= ©₁₀ ²(z).©₀₁²(y)+ ©oo ²(z)-®n%)

©i o ²(0). ©i o {x + y). ©i o (x—y) = ą ₀ a(æ)-®i ₀ \y) - @! i ²(*)-®i 1²(^)

=©oo ²(*).©oo ²(y)—©oi ²(^)-©oi \y)

ß) dla funkcyi Soi(x), w postaci:

®oo²(0)-»oi(*+y).»„,(*—y) = «oi²(*)-@o»W-®io²W'«u%)

=@₀₀ ²(«). @₀₁%) - »,, ²(*).e, o ²(y) «oi²(0)-«oi(*+y)-»oi(*-y)=@o«²(*)-«.o²(y)-«io²(:,:)-@i«²(y)

- »01²(*)-».i ²w-»u ²(*)-»h ²(y)

₀ ²(0). @₀, (a:+y). @₀, (a:—»/) = @₀1²(^>-o ²(^) — @oo    i

=», o ²(z)-»oi ²(y)-®n ²(*)-®oo \y)

y) dla funkcyi Sii(x), w postaci:

©oo \O).Su(xĄ-y).0n(x-y)= ©u V)-©oo ²^)~©oo W-©n W

= @₁₀ ²(a;).©₀₁²(y)— @₀i ²0®)-©i oW ©₀₁\0).©₁₁(a:+y).@₁₁(ic-y)=©₁₁²(^)-©oi²(2/)-©oiV)-©ii²(2/)

= ©io ²(^)-©oo \y)—[©oo ²(*)-©io²(y) ©io ²(0).©h(« -i-y).©ii(*-y)=-©oo ²(^)-©oi ²(«/)—©oi W-©oo ²(.v)

= ©u ²(«).©i₀ ²(^)-©io ²(*)-©n ²(2/)

5. Utwórzmy teraz funkcyę /(#), jako iloczyn dwu różnych thetafunkcyj w postaci:

f (x) = ©i « (x + y) • ©₀1 (P—y) »

i uważajmy ją, jako funkcyę zmiennej x, to zauważymy, że:

f(x+ co) ==—/(*)

2ni(2x-\- co')

f(x + a)‘) = — e

Funkcya f(x) jest więc, ze względu na zmienną x Thetafunkcyą drugiego rzędu z charakterystyką (1, 1), a jako taka da się wyrazić liniowo przez odpowiednio dobrane iloczyny dwóch thetafunkcyj pierwszego rzędu. Możemy więc n. p. położyć :

(19)

o (*+y) • i (x~y)=q ©₀ 10*0 • ©i o 0*0+c₂ ©i i 0*0. ©₀ o 0*0 •

Podstawiając w tej tożsamości #=0, otrzymamy :

©o1 («/)• ©i o (y)=^ ©0 J (0) • ©i o (0)

a więc:

©oi(y)-©io(y)

¹⁼⁼ ©₀₁(O).ą₀(O) »

0)i

podstawiając zaś    dostajemy:

-•'I-

a że

na podstawie tablicy (str. 480 art. 5.):

©nÙO, ©oi (| — */)=c

TCi<ù‘

io( +«/W

to, £

ie

nil <ù‘\

©oo(y)>

”( )⁼

71(0)'

3 I<n

00

3 '<n

== e

przeto będzie :

©ll(^/)*©00^) — C2*©Ol(0)‘©lo(0)>

0₁₁(y).0oo(yj ² 0ol(O). ©₁₀(O) ’

a więc:

zatem otrzymujemy wzór :

©i 0 (°) ©01 (°)- ©1 o 0* -4- y) ©o 1 (x—y) = ©₀ ! (x) @J o (sc) ©₀ ! (y) ©t 0 (y) + ©11 (cc) ©0 o 0*0 ©i i O) ©o o (y)»

podobnie :

©o i (°)-©i o (O), ©i o 0» - y)©₀10»+y)=©oi 0*0©i o 0*0 ©o i (y) ©i o (y) - ©i i 0*0 ©₀₀ 0*0 ©i i (y)©₀₀ (y)

Oba te wzory możemy zestawić w jeden wspólny wzór, który, jeżeli dla skrócenia położymy ©₀₀(O) = ©₀₀, ©₀₁(O)==®₀₁, ©₁₀(O)=©₁₀, przedstawi się w postaci :

©o 1 ©1 o • ©1 o (*=fcy) ©o 1 («=Fy) = ©o 1 (<*0 ©1 o 0*0 ©o 1 («0 ©10 (y)=t ©o o 0*0 ©i ! (x) ©o o (y) ©! ! (y) (20)

W podobny sposób otrzymamy analogiczne wzory dla innych par Thetafunkcyj, które, jeżeli położymy dla skrócenia: ©o0(O)=©₀₀, ©₀i(O)=© ©io(0) = ©io, przedstawiają się w postaci:

» @01 • o (x±y) i (&+-y) = ®oo (*)¹®o 1 (*) Cl <9) ®o 1 W±¹®1 o O) @11 (*)¹®1 o (ÿ)    1W (21)

^i».o-«„(«!±y)9oo(*=Fy)“®ii(*)®o#(*)®.i(»)»,o(y)±»oi(*)»i«(*)®u(»)®.o(y) (23) @»o@io-@ii(a:±y)®»i(*-l-ÿ) = ®oi(a:)®,i(*j®»o(2/)«l,o(</)±®o«W@,oWôoiW®iiW (24) ®oi®oo-®ii(*±ÿ)»i»(*:Fy) = »₁₁(*)8₁₀W@₀₁(y)eoo(y)±eol(x)«₀₀(:<:)@₁₁(ÿ)6>.₀(j,) (25) które wraz z wzorem (20) wyczerpują, wszelkie możliwe połączenia i pokazując, jak, znając wartości Thetafunkcyi w dwu różnych miejscach x i y, wyznaczyć odpowiednią wartość Thetafunkcyi w miejscu x-\-y, względnie x—y.

Wzorów tych użyjemy do wyprowadzenia analogicznych praw doda-wniczych dla funkcyj elliptycznybh.

6. Prawa dodawnicze funkcyj eliptycznych: (px(x), cp₂(x), q>₃(x). Weźmy pod uwagę trzy prawa dodawnicze Thetafunkcyi, określone wzorami : (24), (20) i (22), a otrzymamy trzy równości :

©ü o ©o i •¹©i i («±y) ©i o («Ty)=©i o («) ©i i («) ©o o (y) ©o i (y)± ©₀ o («) ©₀ i («) ©i o (y) ©i i (y),

©₀1 ©i ₀ • ©o i («±y) ©i o («Ty) « ©o i («) ©i o («) ©o i (y) ©i o fy)=F@! i («) ©₀₀ («) ©i i ■(y) ©₀₀ (y)>

©o o ©J 1 • @o o    @ 1 o («Ty ) = ©! o («) ©Ü o («) ©i o (y ) ©o o (2/) =F ©! ! (aj) ©o 1 (^) ©i 1 (y ) ©o 1 (y) •

Podzielmy lewe strony tych równości przez lewą, a prawe strony przez prawą stronę tożsamości:

©! o²- ©1 o («±y) ©1 o («Ty) - ©! o ²(«) ©10 ²(y) - ©11²(«) ©i1²(y)»

a otrzymamy następujące równości:

(26)

©i o ²(«) ©i o ²(y)—©i 1²(«) ©i 1²(y)

©oo ©n(« + y)    ©io(«)©i i («)©oo(y)©oi (y) T ©oo(«)©₀1 («)©i₀(y)©i 1 (y)

©io * ©io(«±yj

, (27)

©i o ²(«)©io ²(y)—©i 1²(«)©i 1²(y)

©₀1 ©oi.(« T y)    ©o i («) ©i o («) ©o/y)©io (y) t ©i i («) ©0 0 («) ©i/y)©₀₀ (y)

©₁₀* ©io(«±y)

©! o («) ©o o («) ©i o (y) ©o o ry)    ©t i («) ©o i(«)©n(y) ©m(y)

©i o ²(«) ©i o ²(y) - ©i 1²(«)©i 1²(y)

©oo ©oo(« T y)

©io ©io(«Ty)

Wprowadziwszy w te wzory funkcye ^(cc), <jP₂(«)> 9h(«)) według określeń wykładu poprzedzającego (art. 17.), w postaci:

(28)

9h(«)=

©oo (0) ©i i («) _    _

©oi(0)-©io(«) V * -©io(«)

9h («) ~

Qqi(«)

e₁₀(Q) Qqi(«)

©oi(°)’©io(«)

Qi0²(O)

e₀₀ ² (O)’

©io(«)

3C ©Ol¹² (0) ©oo² (O)

©o o («) ©io(«)

©1 0 (Q) ©oo(«)

©oo(°V©io(«)

przedstawimy równania (26), (27) i (28), w postaci:

cp,(x) =

W.

gdzie n‘ —

9h(«±y)=

(Pi (x).(p₂{y).(p^y) ± y₂(y)-y₂(«)-y ₃(«) Ï —x²9>₄ ²(aj).ę>i ²(y)

(29)

9h(«±y)=

9>₂(«)-9h(y) t 9h (a)-9h(y)-9T«)-9h(y) i—xVi ²(«)-^i ²(y)

(30)

(81)

9h(«± y)=

<?₃ (a?).ęps (y) =f x fy₄ («)-y>i (y)-y₂(«)-y₂(y) i—x²gp₄ ²(«)-ępi ²(y)

które dowodzą, że wartości każdej z trzech funkcyi 9hi 9h? w miejscach rr±y dadzą się wymiernie wyrazić przez wartości tychże funkcyj w miejscach æ i y.

7. Prawa dodawnicze funkcyj eliptycznych snu₉ cnu₉ dnu i związki

na nich oparte. Zastępując we wzorach (29), (30), (31) wartości 9k(«), 9h(«)i

dww, zaś ę>t(y), 9>₂(y), 9h(y)> Przez

swv, cnr, d»«, gdzie

®oo⁵(0).y=2%.

n = — .©₀₀ ²(O).^=2^, v=

Ct)

otrzymujemy następujące wzory :

sn (u zhv)

sn u.cn v.änv dz sn v.cn u.dn u

1—x².sn²u.sn²v

(82)

cn{u-±_v) =

cn u.cn v — sn u.sn v.dn u. dn v

1—x².sn²u.sn²v

(38)

dn (u dz v)

dn u.dn v -j- x².sn u.sn v. cn u.cnv

1 — x².sn²u.sn²v

(34)

które dowodzą, że wszystkie trzy funkcye eliptyczne Jacobi’ego dla argumentów u-\-v dadzą się wyrazić wymiernie przez te funkcye dla argumentów u i v.

8.    Zastosowania. Z powyższych wzorów, określających prawidła doda-wnicze funkcyj eliptycznych Jacobi’ego, możemy otrzymać rozmaite ciekawe związki.

W szczególności, kładąc u—v i uwzględniając we wzorach (32), (33) i (34) znak u góry, otrzymujemy następujące wzory:

2 snu cnu dn u 1—x²snhu    '

cn²u—sn²udn²u 1—x²snku    ’

dn² u—x² sn²ucn²u l—xhn^u

dozwalające wyznaczyć wartości funkcyj eliptycznych Jacobi’ego dla podwójnego argumentu, gdy znane są wartości tych funkcyj dla pojedyńczego argumentu.

9.    Łącząc co dwa wzory, wynikające z wzorów (32), (33) i (34) w sumę i różnicę, otrzymujemy związki następujące:

sn 2 u

cn2u

dn 2 u

sn (u+v)+sn (u—v) =

2 sn u.cnv.dn.v

1—x².sn²u.sn²v

(35)

(36)

(37)

sn (u -f- v)—sn (u—v)=

2 sn v.cn u.dn u 1—x².sn²u.sn²v

, . . ,    ,    .    2 cn u.cn v

cn(u+v)+cn(u-v)= --T —=-j-,

1— x. snlu .snLv

2 sn u.sn v.dn u.dn v

1 — x².sn²u.sn²v

2 dnu.dnv

cn{u-\-v)—cn (u—v) = —

du(u-\-v)-\-dn{u—v) =

1—x².sn²u sn²v

(38)

dn {u+v)—dn (u — v) —

2 x².snu.sn v.cn u.cnv

1 — x².sn²u.sn²v

10. Z pomnożenia co dwu wzorów u-\-v i u—v, dostaniemy wreszcie wzory następujące:

sn²u—sn²v — x²sn²usn²v ’ cn²v—dn²v sn²u 1—x²sn²u sn²v ’ dn²v—x ²cn ²vsn ²u 1 — x²sn²usn²v

sn (u+v) sn («—v)=—

cn (u+v) cn (u—v) =

dn (u+v)dn (u—v)=

na

funkcye eliptyczne argumentów

11. Stosując prawidła dodawnicze funkcyj snu, cnu, dnu i uwzględniając

relacye :

CW (dr Jf)=0, cn (±22Q = -1, dn (±22Q= +1, dn (~-ł—3-K) = -f , cn (±4i£) =-fl, dn (±42f) = +1,

sn (± K)=± 1 sn (±2fi')=0,

sn(± 3Z’) = =f1, 6'w(dh37i)=0, sn(±42£)=0,

dojdziemy w szczególności do następujących wzorów:

(40)

„    __ cn u

sn (m±2T) = ± ₇

aww

cn (x±2Q = ±

dnu

sn (w±2.K) = — sn w, cn (u±2K) = — cn

n' snu dnu

sn (n±37f) = -+-

cn u dnu

, cn (n±37f ) = -+-

dn{u±zK)

X⁴

dnu ’ dn (m±22Q = dn n

dn(u±3K)

xJ

dnu

(41)

cn (n±42T )=cnu

które stwierdzają , że z peryodów, występujących jako wielokrotności liczby K mają snn i cnn p ery od 4Ä a dnn per-yod 270

sn (n±47T)=-snn

dn («#±470 )—dnu,

12. Funkcya    i cotnu. Do funkcyj eliptycznych sn««, cnu, dnu,

związanych relacyami :

sn²«+en²n=l, dn²w+x²sn²«#=l

dnu=V 1—x²sn²u

dołącza się zazwyczaj jeszcze funkcye £nn i cotnu (czytaj te-enu, cote-en-u), określone wzorami :

z których wypływa :

cnu=

Vl —sn²u

tnu

snu

cn«#

cotnu

cnu

sn u ’

(42)

zwanetangensamplitudą, względnie cotangensamplitudą zmiennej niezależnej«#.

Ze względu na to, że sn («# ± 270) = —sn««, cn(««±270) =— cn«#, otrzymujemy wzór :

sn («# ± 270)    — sn n

en («« ± 270)    — cn «#

(n{u±2K) = tnu, który dowodzi, że funkcya tnu ma peryod 220.

tn {u ± 2 20 )

tnu

a więc :

Ponieważ nadto $n (u-\-2K‘i)—snu, cn {u-\-2K‘i)—cnu , zatem:

tn (u+ 2 K')=tn u

drugim peryodem funkcyi tnu, jest więc 2K‘i, wszelkie peryody funkcyi tnu, występują zatem jako sumy wielokrotności peryodów zasadniczych 220 i 220'«, czyli określają się wzorem:

2m K+2n K‘i, (w|«=0, ± 1, ±2...).

Też same uwagi dotyczą funkcyi cotnw.

13. Oprócz wspomnianych funkcyj eliptycznych, możemy utworzyć jeszcze inne funkcye eliptyczne, a mianowicie określone wzorami:

dnu

sd u=

snu dnu' .

dsu=

dnu cn u

cd u =

cnu

dnu¹

dc u

cnu¹

o peryodach 470, 220+ 220'«, względnie o peryodach 4/0 i 220'«.

są pod nazwą: sekansamplitudy,

Odwrotności funkcyj cnu

sn u. znane

i kosekansamplitudy i określają się wzorami:

sec nu—

cnu

cosec nu—

snu .

Ćwiczenia XXXI.

1)    Wykazać, że wszelka funkcya elliptyczna posiada w każdym równoległoboku pe-ryodów przynajmniej dwa miejsca nieskończonościowe.

2)    Wykazać, że wszelka funkcya elliptyczna posiada w swym równoległoboku pe-ryodów tyle miejsc zerowych , ile posiada miejsc nieskończonościowych.

bn , wartość nieskończenie wielką , dowieść że wów-

3)    Jeżeli funkcya elliptyczna: F(x) = F(x -j- to) = F(pc +• to'), o peryodach niezależnych o) i tu' otrzymuje bez względu na peryody w n miejscach: an a₂,an wartość równą zeru a w innych n miejscach : 6j, b2 czas: «i +a-i +... + an = br -j- b.₂ -(- ••• + bn -j- wto -J-m'to', gdzie spółczynniki m i m‘ przedstawiają dowolne liczby całkowite.

4)    Wykazać., że dwie funkcye elliptyczne o tych samych peryodach to i to', mające w swym równoległoboku peryodów te same zera i te same punkta nieskończonościowe, każdy w tej samej wielokrotności pozostają do siebie w stałym stosunku.

5)    Wykazać, że dwie funkcye dwuperyodyczne trzeciego rodzaju, czyniące zadość tymsamym relacyom kształtu : f(% -f- w) = e'x^~b f(x), f(x -f- to')= ßCt X+b f‘ (*)> ćUją w ilorazie funkcyę eliptyczną o peryodach w, to'.

Dowieść, że funkcyę 0n(a;) o peryodach 1 i w, określoną wzorem :

eH(x, 1, W) = i- 2

ti=— cc

gdzie ÿ = możemy także przedstawić w następujących postaciach:

71 = 00

71=00

6)    0n(x, 1, (xi) = ‘2q'U sin r.x II (1 — qln) U (1—2q2n cos 2nx -j- qin).

71=1

n—1

7» = 00

7)    0n(x, 1, to) = 2    (—1)» g(»+*/*)* sin (2n -j- l)7tx.

n—O

8)    0j i(x, 1, to) = 2q'U sin r.x — 2q*k sin 3r.x -f- 2q**U sin br.x -f- ...

71    00

71 = co

9) 0ji(x, 1, ui)=>2q'U U (1—q^n) sin r.X. U (1—g2»îïito+2«t*)(l — g2nni<a—2/na;).

n= 1

n— 1

71—00

71 = 00

10) 0ji(^ I to) = 2q'U II (1—^²”)sin^x. II (1—2einniacos 2r.x -j- einnib>).

n—i

W=1

71 —GO

11) 0tl(x, 1, to) =2q'U II (1—t/2««)sin

KX

71 = 1

71 = 00

. U ß2nni(ü [g-2nnia> _ 2 COS 2rcx e²»»»'«].

71=1

71 = 00

71=00

12) 0n(x, 1, to) = 2q'U II (1—g,2,,)sinzx. U einnia [2cos 2»tm—2cos27tx].

71=1

71=1

77 = 00

71=00

sin (x-f wo)r.sin(x—»(0)7:

13)    OiiO*, 1) to) — 2q'U II (1— ÿ2n)3 sin7: aj, U

71=1

14)    en(x, 1, to)=2t//,K(l-^₎3sinTO> ”n sin wto ) 7i. sin (x wto) r. .

(sin n 7c w)²

71= 1

1/4 (gHTtłtO — g—»TItwj

n—.1

77=00

15) 0u(x, 1, to) = 2q'U U (1—gr2n)3sjn

n=1

7l = -j-00

7tx .

jj sin (x-\- n to)* sin nrcto

«=—<»

71=00

16) 0n(x, 1, to) = 2q'U U (1—q2nyr.x . U

71=1

»=+“ m=+°° /    ,,    \

¹¹

\ m -4- neu/

71=—00 rn=—00

52B

z wykluczeniem kombinacyi m—n = 0, przy ktorego wyznaczaniu należałoby najpierw mnożyć podług m (od —co do + co), a następnie podług n (od — co do -j- oo).

17)    Wykazać, że funkcya 0n(a;, 1, w) otrzymuje wartości równe zeru w miejscach: x —m-\- m'a>, gdzie m i m' przedstawiają dowolne liczby całkowite.

18)    Wykazać, że funkcya 0n(a;, 1, w), czyni zadość równaniom:

ön(a; + 1)=—¹0n(æ), 0lt(a5 + w) =—e-7T«(2a;+w) .0u(a:).

19) Wykazać, że funkcye X(aj), |x(a3), v(x), określone wzorami: ⁰oo(O) ⁰i i (x) eoi (°) ’ ©ioC*)

M*)=-

Qio(Q) ⁰OlM

⁰O1 (0) ' 0io(*)

v(*)==

0io(9j_    0 o 0*0

Ooo(O) * 0io(*) ’

są trzema funkcyami elliptycznemi, sprawdzaj ącemi relacye:

l (x -j- 2 m w -(- m'u>') =■ X [x),

-    [x (x -j- 2 m w -j- m'(u) -|- w')) = [j. (a?),

v(a; -j- mw 4~ 2œ'w') = v(a;).

20) Wykazać, że:

n—oo

71 = 00

eM(0)= 1 + 2 2 r‘, 9,o(0)=l+ 2 V(-l). s»>,

«01 (0)-2    gdzie 2= w.

n=:l

Na podstawie określeń :

6»«/

-Vr-

en w

=v?-

«»■ ( 1)

S (M

«■» (S)

dn u — V/*'

«-(»)

St?)’

to s

i kładąc m‘K— wK'i, wykazać, że:

21) sn(m-f-2if ) = — s»«, cn (w -f- 2 if) =— en ît, dn (n 4~ ‘2K) = dnu

cn u dnu’

sn u cn u ’

23) sn(u 4- K)

cn(u-\- K) =—x'

dn(u 4- K) — v.'. ——— , '    dnu

22) sn(« 4"2* if') = snu, cn (u + 2 i if') — — en n , dn(n-f 2iK‘) = — dnu,

1 dnu

25) sn(u -\-R K' i) — — cn (u 4* K 4~ K' i) =— * 7 dn (u K K‘ i) = iv.‘

cnu ’

x cn u ’ sn n c»«

26) sn (4- if) = 4- 1, 27) cn (4-K) = 0.

cn(4~ 2K) — —1. cn (4~3if)=«=0. cn (+ 4/f) = 4-1-

sn (4- 2K) = 0,

«i(4-8J0 = —1,

sn (4-4ff)=0,

31) dn(-Z)=4-x' dn(—2if)—4~ 1, dn(-3if)=4-*' dn(—4A')—4-1-

28) dn(4- if) = 4- z', dn(+2K) = 4- 1, dn(4-8if)=4-x', dn (4-4if)==4-l,

29) sn (—K) = — 1, sn (—2if ) = 0, sn (-3if) = 4-1 sn (—4jBl) = 0,

30) cn(—A) = 0, cn(—22f )=—1, cn(-3if)=0, en (-4Z ) = 4- 1,

32) sn(u—K)=- —

cn(u — if) =

cn n dn n ’ x' sn n

33) sn(u ±2K)—— snu,

34) sn(u + \K‘i) = snu, .

dnu

cn (u + 2K) = — cn u,

cn(n + 4Ä'i) = cnu-, _

dn (n — A^) =

x/

dnn ’

dn(n +2K) — dnn

dn(n + 4Ä'i) = dn n.

....    ,    ,    .    .    .    2 snv cnu dnu

*2) «,(« + ,)-„(,-»)_-j——

.    .    ,    ,    .    2 snu snv dnu dnv

cn (u — v) — cn (u 4- v) = —z--«—s-=—

1—x² snlu snŁv

₇ .    .    , ,    ,    .    2 x²snn sw c/m cnv

dniu — v) — dn(u-\-v)=— -z—z---

'    '    1—x² snŁu smv

48) »(.+.).»(-.)-    ■■

sn/f cntf rfnr -j- snv cnv dnu

1—x² sn²u srih

35) sn(4K±4K‘i) = 0,

36) sn(2K±2K‘i)=0,

en (4A + iK⁴i) — 1,

cn(2K±2K'i) = 1

dn(2K+2K‘i) =—1,

dn (4K + 4 A 'i ) = 1,

38) sn²u Ą-cn²u = 1, dn²u-\- z.²sti²u = 1.

37) sn (.K±K‘i)= * ,

cn(K+K'i) = + i —, dn{K± K'i) =0.

Wyprowadzić następujące wzory dodawnicze funkcyj eliptycznych: snu, cnu, dnu: sn u cnv dnv -\- snv cn u dn u

39) sn (u -f- v)

1—v?srilu srilv

cn (iu -J- o)

cnu cnv — sn u snv dnu dnv

dn(u-\-v) =

1—x²sn²n sn²v

dn u dnv — x² snu snv cn u cn v 1—xJsn²tf snlv

40) sn 2 u —

2 snu cnu dnu

cn 2 u —

1— x²snłff cnlu—sn²u dnlu

, 41 )sn(u-\-v)-\-sn(u—v) =

2 snu cnv dn v

dn2u

1 — x²snłn dn'²u — x²sn% cn}u 1 —x²sn*u

cn {u -f- v) -f- cn (u — v) =

dn{u 4• v) Ą-dn {u— v)

1— z² srihi sn²v ’ 2 cnu cnv i—x² snhi snlv ’ 2 dnu dn v 1—x² sn¹ u sn² v ’

44) sn (n -j- ») • cw (n—?>) = —

45) sn(u — v). cn {u v) —

snu cnu dnv — snv cnv dnu

1 — x²sn% sn'lv

1 — x² sn²u sn²u

46) sn (u -(- v) dn (u — v) —

snu dnu cnv -J-- snv dnv cnu

47) snu (u — v) dn (u -j- v)

snu dnu cnv — snv dnv cnu

1 — x² sn²usnlv

48) cn (u -f- v ) dn ( u — v) —

cnu cm dnu dnv — x'² snu snv

1—x² sn²u sn²v

49) cn (u — v) dn (u -j- v)

cnu cnv dnu dnv -f- x'² snu snv

1—x² sn²u snlv

Rozwiązania XXX. Wskazówki podane w wykładzie.

Literatura. Briot et Bouquet. Théorie des fonctions elliptiques. Paris 1875. Artur Cayley. An elementary treatise on elliptic fonctions. Cambridge 1876. C. G. J. Jacobi. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum auctore Dr. Carolo Gustavo Jacobo Jacobi. Regiomonti 1829 w wydawnictwie C. G. J. Jacobi’s gesammelte Werke. Berlin 1881.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Funkcya eliptyczna snx i jej własności.

2.    Funkcya eliptyczna cnx i jej własności.

3.    Funkcya eliptyczna dnx i jej własności.

Wykład XXXII.

Funkcye eliptyczne Weierstrassa.

1. Funkcya Weierstrassa g (u). Oznaczmy przez 2coi i 2&>₂ dwie liczby o stosunku urojonym i weźmy pod uwagę układ równoległoboków, odpowiadający liczbom: 2mo)i+2n(o₂, (w=w = 0, ±1, ±2...).

Nazwijmy pierwszym równoległobokiem ten równoległobok, którego wierzchołki odpowiadają liczbom 0, 2o)i} 2^+2<u₂, 2co₂, a więc przed' stawiony figurą 15, gdy coi jest liczbą rzeczywistą dodatnią, a a)₂ liczbą czj^sto urojoną , albo fig. 16., gdy coi jest liczbą rzeczywistą dodatnią a co2 liczbą zespoloną, lub w końcu figurą 17, gdy zarówno a>t, jak <w₂ są liczbami zespolonemi.

?CJ.

2uj

©—

0

2cjf 0

Fig. IB.

Fig. 16.

Fig. 17.

Zaliczmy do tego pierwszego równoległoboku wszystkie punkta wewnątrz niego położone, wreszcie punkta położone na pierwszym boku, łączącym punkta 0 i 2coi i na czwartym boku, łączącym 2(o₂ i 0, podczas gdy punkta położone na drugim boku, który łączy punkta 2(oi i 2w₁+2m2 i na trzecim boku, łączącym punkta 2coi-\-2(o₂ i 2m₂, niech należą do sąsiedniego równoległoboku.

Równoległobok, którego wierzchołki odpowiadają punktom: u, 2(o uJr2o)i -fi 2 œ₂, u\2co₂, nazwijmy równoległobokiem peryodów, ze względu na punkt u.

Postawmy sobie najpierw zadanie, utworzyć funkcyę całkowitą, przestępną, której pojedyncze miejsca zerowe, określone byłyby liczbami kształtu: 2tno)i -ł-2wci>₂, (m=n=0, ± 1> zh 2,...).

— 526 —

Żądana funkcya da się, nego w wykładzie XXVIII. nieskończonego, którego czynniki pierwotne są kształtu:

na mocy prawidła Weierstrassa, wyprowadzona str. 467., przedstawić w postaci iloczynu

(■

2ma)₁-f-2««₂

czyli :

(-tK

2 mcoi + 2 ruo

jeżeli dla skrócenia położymy 2w2w, +2wcü₂ =s.

Jeżeli uwzględnimy wszystkie wartości na s, odpowiadające liczbom m i n całkowitym, dodatnim i ujemnym z wykluczeniem kombinacyi m=0, w=0,

u lu¹

T⁺ TV

i uważać będziemy czynniki ^1--i

jako nierozdzielne, otrzymamy iloczyn podwójnie nieskończony:

odpowiadające pewnemu s,

1 u²

T V

który przedstawia funkcyę stającą się zerem we wszystkich wierzchołkach równoległoboków, odpowiadających liczbom 2mo)^ + 2no>₂, (m = w=0, ±1, ±2..) z wyjątkiem wierzchołka 0; znak 6) p₀ prawej stronie II wskazuje, że para spółczynników m — 0,    0 ma być pominiętą w tym iloczynie.

Funkcya, która staje się oprócz tego także jednokrotnie zerem w punkcie 0, a niema żadnych innych miejsc zerowych, przedstawi się zatem w postaci :

Jest to najprostsza funkcya, zwana funkcyą o(u) [czytaj sigma u\ utworzona przez Weierstrassa, jako funkcya pomocnicza do tworzenia funkcyj eliptycznych. Chcąc zaznaczyć , że w jej skład wchodzą liczby (ox i w₂, używamy znakowania o(u\(ou oj₂), pisząc:

1 u²

⁺

(1)

o (u) = u

lub:

ff(U I (Oj , (0₂) = U

Il'ïi

m, n \

2 mcO\ +2 nw₂

ao

Wszelka inna funkcya całkowita, przestępna, mająca pojedyńcze miejsca określone liczbami 2mo)i J-2m6>₂, (m^n=0, ±1, +2,...), a nie stająca się zerem w żadnym innym punkcie płaszczyzny liczbowej, da się przeto przedstawić w postaci:

zerowe

e^u) .a(u),

gdzie g (u) oznacza jakąkolwiek funkcyę całkowitą wymierną, lub prze

stępną.

Z określenia funkcyi g(u) wypływają wprost następujące własności: 1) Funkcya o{v) jest funkcyą nieparzystą:

a (—w) =— g (u).

Każdej wartości liczby s—2mcoi -}-2w(y₂, różnej od zera, odpowiada bowiem jedna wartość równa, a znaku przeciwnego —s ——2mo)i—2wo>₂, a więc

u ___1 U²

2 vS iloczynu, określającego

każdemu cz

ynnikowi pierwotnemu ^1—~^)e

tylko jeden czynnik u, który zmieni znak, a więc o(—u) = — o(u).

2) Funkcya a (u) posiada tę własność, że:

a(o₂) = a.o(u\o)i, o)₂),

a (au \a(o

gdzie a przedstawia dowolną liczbę, różną od zera. Kładąc:

as=2m.aœi+2n.a(o₂, zamiast: s=2ni(oi + 2nco₂,

otrzymamy :

527

funkcyę o(u)

odpowiada czynnik

⁺ T fi

a te czynniki przechodzą jeden na drugi, gdy zmienimy u na —u, pozostaje więc we wzorze

1 U²

T+T fi

o(u)=u

«"{(■-I)*⁷

a(au\ao)u aw₂)

-«.if’fi--)

* V ««/

au

1 a-u²

* T cffi

—a.u

u 1 u2 T⁺ T ~fi

a że :

u 1 u²

T⁺ T ~fi

=a(u, I (ou m₂)

zatem :

a(au\a(oit a(o₂) — a.a(u \ o)i, co₂).

2. Pochodna logarytmiczna fnnkcyi a(u). Z określenia funkcyi a (u), według wzoru :

otrzymujemy :

M l U²

T⁺~T~fi

iogu(w)=iogw4-2( }|log (i—y ł- yi}

a (u)

a stąd, na podstawie prawideł różniczkowania, otrzymujemy pochodną logarytmiczną funkcyi o(w), określoną szeregiem:

a¹ (u)

u (w)

którego poszczególne wyrazy kształtu : /—-—f- —

\u—s s

I należy uważać

G ¹ (u) o (u)

widocznie w wierzchołkach równoległoboków, odpowiadających liczbom : s — 2mo)] +2nw₂₎ (m ^ n — 0, + 1,4-2,...), pojedyńcze punkty nieskończonościowe.

Funkcyę tę oznaczamy symbolem £(w), (czytaj dzeta u), albo chcąc zaznaczyć liczby c^, Cf>₂, w jej skład wchodzące, także symbolem Ç(u \co pisząc :

nierozdzielne.

d⁻

za

Pochodna logarytmiczna funkcyi a (u), czyli funkcya

posiada

co₂)

£(«)-

d log a u)

du

względnie :

--+2+2_+-+-l

» ⁺ + \a—s⁺ s ⁺ sH’

(2)

M-2ffiw, — 2w<n₂    2^*0)! -j- 2wû>₂    (2mw₁ +2 no)₂)

1° Funkcya Qu) jest podobnie jak funkcya o(u) funkcyą nieparzystą. Zastępując bowiem u przez —u: otrzymujemy:

1 ^⁽¹)/ 1

a że :

s. W +

— 528 —

i₊«)s=2⁽'⁾(iès+|+^)

przeto : czyli :

v    V u s u

U-u)=-Ç(u).

1 , u \

⁺ T⁺ s⁵)

2° Funkcya £(w) posiada tę własność, że : Ç(auaa)x, aco₂) —

Zastępując bowiem u, (o otrzymujemy :

~Ç(u |w₁,©₂).

w₂, przez au, aco₁, aa)₂, a więc s przez as,

Ç(au\aù)x,    + 2

0) 1

----1----j----I

au—as    as alsL)

au

a że :

X(

1 aw2 aw—as as~ a²s²

)=±2,1>—

/    & ccs %—S

przeto :

t,(au \ aa),, aw₂) ==

-s s s² / a —s s "2)-

4. Funkcya eliptyczna Weierstrassa    Z funkcyi £{u) otrzymujemy

za pomocą różniczkowania jej szeregu pierwszą pochodną tej funkcyi, określoną szeregiem:

dÇ(u)

1    >?(,Y ¹

'    u~~ ((m-s)²“ s*)'

którego poszczególne wyrazy przedstawiają się w postaci nierozdzielnej :

du

(w— s)²

s²*

Funkcya £'(w) posiada widocznie podwójne punkta nieskończonościowe w miejscach, określonych liczbami s=2ma), -\-2na)₂, (m*= w=0, ±1, ±2,...), czyli we wszystkich wierzchołkach równoległoboków, odpowiadających licz

bom 2mo)i -\-2na)₂.

Otóż funkcyę —£'(w) oznaczamy podług Weierstrassa za pomocą symbolu    (czytaj pe-u) a chcąc zaznaczyć liczby w, i (o₂, w jej skład wcho

dzące , oznaczamy ją symbolem fp(u.co₁, co₂), pisząc:

d²

dw²

log(

(w— s)²

i)

sV

(3)

względnie :

«3)

(2mw, 4-2 n w₂)

3“ +

(3')

—2ma)₁—2nco.₂)² (2mco₁ -\-2na)₂)

1⁰Funkcya jP(u) jest funkcyą parzystą. Zastępując bowiem u przez —u, otrzymujemy •

§ 1 i-»

iLi , V’Y_i__

«V »²⁺ , U«-«²)

h)-

P(")f

zatem :

P(-u) = P(u).

2° Funkcya $?(w) posiada tę własność, że: ^(au\aa)x, aco₂) =

Zastępując bowiem u (o mamy :

(o₂ u przez auaa){, aa)

&(au (aw,, aw₂) = -j- »

?"(

(aw—as)²

"₂)-

a więc s przez as, otrzy-

w₂)

zatem :

(a«« I aw,, aw₂ ) = —₂ (w, i w

"2)7

529

5. Wyprowadzenie wzoru o(ii-\-ci). Z określenia funkcyi pomocniczej o(tt) według wzoru :

1    u²

2    I*⁻

otrzymujemy :

a (u)

Ti¹- t)

(4)

Zastąpmy w tym wzorze u przez w-f«, gdzie a jest dowolną liczbą, różną od liczb przedstawionych przez s = 2ww₁ -f-2wa)₂, a otrzymamy:

w + a\

r>

a (u + a)

u-\-a

'{(

l-

M-f-a 1 (u-\-aP

--H „--ï—

Mamy tu jednak:

«+” j

1 (u-fa)²

1-^

w au 1 u² a

T⁺7²⁺T^ T⁺

1 a²

T I»"

a że :

T-f¹

1—1

a natomiast :

1 u²

-----L --

s s² 2    ²

a więc : u au Im²

s    s2 + 2 s²    s—a ' 2 (s— a)

przeto możemy położyć :

u + a

w aa

1 U²

i+«\    ¹

²    [ a—s

a au

1 U²

s²

2 (5— a)²

1    U²

2    s2 7

tc §

(a — s)²

i]

(‘-T>

1 (u-f-a)²

urJi₊JL. M

2 i² ^ L“—* s ^ «² J 2 i_

(a-.s)²

<S‘—ci

-4]

u²

zatem funkcya w postaci:

a(u + a)

uĄ-a

da się przedstawić jako iloczyn trzech czynników

a (■u + a)

r,4₊^K[

(asy

-B

u-\-a

rV

é~

J

2 (s—a)%

Uwzględniając, że na podstawie wzoru (1):

a 1 a²

ni^i—T_5r

a(a)

a zaś na podstawie wzorów (2) i (3):

s \ a—s

Pr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

- 530 —

otrzymujemy wzór powyższy w postaci:

o(« + a)    a (a)

w-fa

u [ę(a) -    [§?(«) - -V]

(» -fl)³

■ (6)

Wprowadzając do czynników iloczynu nieskończonego II' także

ulu*    *

który należy do czynników ogólnych, zawar-

KKT T’

czynnik :

tych w iloczynie IB¹), pod postacią: ^1—-—~^e S—0, otrzymujemy powyższy wzór (5) ostatecznie w postaci:

s-~a +

U²

2 (s — a)²

pod założeniem

o (u + a) "SW-y £*(a) = e

u(a)

.n

(6)

gdzie s może już przyjmować bez wyjątku wszelkie wartości, jakie się otrzymuje z liczby 2m(oi+2mœil w = w=0, -4rl> -t2...).

6. Funkcye Ç(u + a) i    Logarytmując wzór (6), otrzymujemy:

1 w²

s—a 2 (s— a)²

wzór, który, zróżniczkowany podług u, daje: a‘ (u + a)

<7 (W -j- «7

f(a)+«i»;«)-2{irfïiii £(« + «),

M I

s — a ¹ (s—a)² /

a' (m + a) o (u + a)

przeto otrzymujemy stąd równość:

a że :

(7) •

Różniczkując tę równość obustronnie podług u i uwzględniając, że: £' (u + a) = $(u + a), otrzymujemy wzór:

____ł_\

(u+a—s)²    (a—s)²/

który podaje różnicę między wartościami funkcyi Weierstrassa p(u) w miejscach u + a i u.

P(u + a) —

8

7. Dwuperyodycznoâé funkcyi $(u). Na podstawie powyższych własności funkcyi JP(w), mamy :

<@(u+a + s)—<@(a+ś) = fp (u + a)—p (a), skąd, zastępując u przez b—a, dostajemy wzór:

V (fi + «)—?(&)=§?(«+*)- Via),

(8)

który dowodzi, że różnica fp(a-fs) — g?(a) jest od liczby a niezależną, czyli jest liczbą stałą.

Aby ją wyznaczyć, połóżmy a= —V₂, to uwzględniając, że funkcya Viu) jest funkcyą parzystą widzimy, iż szukana liczba stała jest zerem, że zatem :

$(a + s) = %){a).

W szczególności otrzymujemy stąd, kładąc raz m — 1, n—0, a więc s=2(ou drugi raz m—0, n—1, a więc s = 2<u₂, następujące wzory:

- 531 -

P(u+2(oi)=P(u); @(u + 2co₂)=@(u), a więc ogólnie dla wszelkich całkowitych liczb m i n, wzór:

ip (u -f- 2m-f 2nd).₂ ) = jp (u), który dowodzi, że funkcya fP(w) jest zwykłą funkcyą dwuperyodyczną o pe-ryodach zasadniczych: 2(0^ i 2co₂.

8. Rodzaj dwuperyodycznośei funkcyi £ (w). Z własności funkcyi £(w), określonej wzorem (7), wynika, że:

£ (w+a + s)—£ (a 4- s) + u<p (a+s) = £ {u+«)—£(«) + «g?(a),

(9)

skąd, zastępując u przez b—a, otrzymujemy wzór:

£ (& + s) £ (6) = £ (o ■+ s)—£ (a),

który dowodzi, że różnica £(a-f-s)—£(«), jest liczbą stałą. Aby ją wyznaczyć

g

, to mając na uwadze, że funkcya £ (u) jest nieparzystą a więc stała powyższa ma wartość: 2.£^-^-V zatem: £(a.+ s)=£(a) + 2.£

połóżmy a = otrzymamy :

W szczególności, kładąc raz m=0, n—1, drugi raz m= 1, w=0, otrzymamy stąd wzory następujące:

£(«+2w,) = £f«) + 2£(û)₁),

£(«+2w₂) = £(a) + 2£t<n₂),

ogólnie dla całkowitych w i w, wzór:

£ (w + 2mct)₁ + 2wû)₂ ) = £(m) + 2w£(co₁ )+2»£(û>₂), który, kładąc Ç(o)₁) = r]i, £(m₂) = ^₂, sprowadzamy do postaci:

£ i u + 2rowj +• 2wco₂ ) = £ (u)+2m^t -f 2wî^₂ .

Funkcya £(w) jest funkcyą dwuperyodyczną drugiego rodzaju o peryo-dach 2û)₁ i 2w₂.

9. Rodzaj peryodyczności funkcyi a (u). Na podstawie wzoru (6), mamy :

-«?(«)+ ~Y$p(a)

a(u-\-a + s)

a (a Ą-ś)

skąd, uwzględniając relacye : £ (a + s) ==£(«) + 2mrjx + 2nt]₂, (P(a + s) = {P'a), otrzymujemy wzór:

a[u+a+s) -u(2mVi +■2«%) __ a(u -f a) a[a + ś)

czyli :

a(w + « + s)

a (a Ą-s)

g(u-\-o)

a(a)

Zastępując u przez 0—a, otrzymujemy stąd:

<r(fc + s)

g {a + s)

u(a), ’

zatem :

?    _ e—6(2mi/i+2n»?j)

a (a + s)

G\b)

a (a)

i g a(2m»?, + 2»^,)

jest liczbą stałą Ć7.

582

Połóżmy :

a— —

«o CU

otrzymamy wartość tej stałej, przedstawioną przez. otrzymujemy zatem:

a (u + 2 o)x ) = e~²^“+ w>> a («),

a {u + 2 <w₂) = e”²^“+ Wj).o (««).

Funkcya a(u) jest funkcyą dwuperyodyczną trzeciego rodzaju o peryo-

dach 2col i 2o>₂.

Ogólnie otrzymamy na

a zarazem : gdzie :

podstawie powyższych wzorów:

a (u 4- lźni(oi)=(— 1)”'    o(w),

o (w + 2 nto₂) = (— l)n e²^"u+ ^ <t(w),

<t(w + 2imû>₁ + 2w w₂) — (— l)m+,‘ e'¹ a (w),

(10)

i=2^ [m(w+2ww₂) + w² Wj ] + 2^₂ (tw + n ²co₂ ) = =(2 mrji +2wî/₂)(m + ww₁ + n<n₂)-f + 2«wM[ifo w₂ —

10. Pierwsza pochodna funkcji $(u). Z dwuperyodyczności funkcyi $ (u), określonej P (u    2«w₂) = jp (u),

wzorem :

wynika bezpośrednio dwuperyodyczność wszystkich pochodnych tej funkcyi, jak:

_jP(u)

du

§?"(*) - -

d^Ku)

Mianowicie otrzymujemy z powyższego

wzoru :

P' (ii -j- 2w(jJj -f-2wfo₂) =

Połóżmy w tym wzorze u =—wt, m = l, n=0, a otrzymamy:

Ś?'(wi)=P(—wi)

a że funkcya fp (u) jest funkcyą parzystą, więc funkcya P'(u) musi hy⁶ ^nkcyą niepa

rzystą, będzie zatem:

<p(_w,)= — |p(to,), a więc:    =    czyli: {p(w,) = 0.

W podobny sposób znajdziemy, że także :

jp(w₂) = 0, a więc także: $ ' (w, -j-w₂)= 0.

Do tych wyników dojdziemy wprost stawie wzoru :

z wzoru

określającego funkcyę $?'(«). Na pod-

otrzymujemy za pomocy prawideł różniczkowania wzór.

S"W=-u*

²    o V’’—L___2 l-1-4. V*’    ¹    \

• uil (U-S)*    (U-S)³)

czyli :

Z wzoru tego otrzymujemy w szczególności następujące wzory:

J [(2 m—1) o>t —J— 2«w₂]³    ’

71

rw=-s2

£H"l + wî) ⁼    2

w, n

[2mw, -j- (2w — 1) w,]³

m, n

[(*2»i—l)wi+ (2n—l)wj]

których prawa strona składa się z wyrazów parami równych i znaków przeciwnych, które się mieszczą w sumie, zatem otrzymujemy, jak powyżej:

ö'(ü,i) = 0,    p(ws)=0,    (<*b+«>,)—0.

- 533 -

Ćwiczenia XXXII.

1)    Wykazać, że szereg podwójnie nieskończony:^^

7W , u

kowo zbieżny, gdy a jest liczbą całkowitą , większą jak 2.

2)    Wykazać, że iloczyn podwójnie nieskończony :

ICO

w, n

otrzymany przy całkowitych wi, n, dodatnich i ujemnych, z wykluczeniem pary m—n=O, jest dla wszelkiego u bezwarunkowo zbieżny.

3)    Wykazać, że funkcj'a a (u), określona wzorem:

■ (2m?oi -f- 2nto₂ )«

jest bezwarun-

2mojj -(- 2 nw₂

\    u    i

J g 2wci), +2*iû)j    2

U²

(2mw, + 2nci)j)J >

a(M I (0l5 w₂)

2?«(Oj -|- 2mo₂

\    U    1    ttS

Ig 2m<i),-(-2ji(a₂    2    (2;nû),-(-2n<j,;*    :

m, n

posiada tylko pojedyńcze miejsca zerowre i to tylko w wierzchołkach równoległoboków, odpowiadających liczbom 2mw₁-}-2mo₂, {m=n — 0, -ł- 1. -4- 2....).

4)    Wykazać, że funkcya a (u), określona w ćw. 3. jest funkcyą nieparzystą.

5)    Wykazać, że funkcya a(«), czyni zadość relacyi :

a(awJato,, au>₂) = a . a (w|tu1; w₂).

6)    Z określenia funkcyi a (u), podanego w'ćw. 3., wyprowadzić rozwinięcie:

.

771, n

a («)=«-^-u⁵. 2( }-

(2mojl 2nto₂)⁴    6

7) Wykazać, że funkcya £(«), określona wzorem :

m, n

(2mw, -)-2«w₂)⁶

w—2mwj —2»w₂

posiada tylko pojedyńcze miejsca nieskończonościowe i to tylko w wierzchołkach równoległoboków, odpowiadających liczbom: 2WWJ-4-2MW2, (m=n = 0, -4-1. -4-2....).

8)    Wykazać, że funkcya Ç(u), określona w ćw. 7. jest funkcyą nieparzystą.

9)    Wykazać, że funkcya X(u) ma własność, określoną wzorem:

m, n

2wwj    2 »wj

(2mu)t -j-2no)₂)

C(a« I

aw

1, «“>) = —&(“ I wl> w2>

oc

10) Na podstawie określeń funkcyi o(«), (ćw. 3.) i funkcyi £(«), (ćw. 7.) wTykazać, ze:

d log o (u) c' (u)

du

G (U)’

11) Z określenia funkcyi Ç (u), podanego w ćw. 7., wyprowadzić równanie :

(2w(i)j    2«w₂ )⁴

12) Wykazać, że funkcya («), określona wzorem:

77i, n

U '    (2ww₂-|-2ntiJ₂)⁴

m, n

(w— 2mtol — 2»w₂)²

(2mioj -|-2»ii)₂)² / ’

m, n

posiada tylko podwójne miejsca nieskończonościowe w wierzchołkach rownoległobokow, odpowiadających liczbom: 2wzwt-|-2mw₂, (m=^ w = 0, ±1) ±2...).

13)    Wykazać, że funkcya (w), określona w ćw. 12., jest funkcyą parzystą.

14)    Wykazać, że funkcya §7(«), określona w ćw. 12. ma własność, określoną wzorem:

f(*u\

aro

1, aW2)= W2>

IB) Na podstawie określeń funkcyi a (w), (ćw. 3.) i funkcyi $P(m) (ćw. 12.), okazać, że.

d² log a (u)

du²

- 534 —

16) Z określenia funkcyi $?(w), podanego w ćw. 12., wypi'owadzic rozwinięcie:

(')

(2 mwj -f-2«w₂)⁶

(2ww₁+2wf>2)⁴

Kładąc s — (2/wwj-|-2«w₂), (m^=«=0, ^1, +2,...), wykazać, że:

a (m -|- a)

w, w

w, n

Ï-+4

17)

a (o)

i., e

u>_1

2 (s—aj³J.

18) Ç(«+a)-Ç(a)+«g?(a)=2{

«

la) f (“+P « - 2 {(«+«_,)»~

5

20; §?(a + *)-0>(a) = 0. 21) Ç(«+*) - Ç (a)-2Ç (A)-

22)    a (a + «)=» _e[2m4K)+2n.Ç(o>s) [«+'/»«ll. CT(a).

23)    p(u)=-2 2

u-j-a—s

u ^

(a-syr

(u — s)³

24) Na podstawie wzoru, określającego funkcyę §?'(«)) wykazać:

!P'(wi)—0,    p(w₂) = 0,    $?'(wi + w2)— 0.

2B) Dowieść, że wszystkie pochodne nieparzystego rzędu funkcyi P'(u) stają się zerami dla: w = wj, w₂> oą-j-o^.

Dowieść, że:

a (w -|- a). o (w — a) a^w). a²(a)

, 27)

p(M)

ï(a + «)— Ç (o—«) — 2Ç (u).

28)

= £(a + «)+ K(a — w) — 2Ç(a).

29)

30)

IP (u) - p (a)

f^^l=²^+«)-²w-²w

nn rf , V y ( n\ _l ¹ PO)~PO)

31) Ç(«+a) = Ua)+ TpW-Ptt

32) Ç(*-«) = £(«)-£(<*) +

PO) + PO)

P(u)-p(a)-

34) g?(«-a) = Śp 0) + 4 Ł

Rozwiązania XXXII. Wskazówki podane w tym wykładzie.

Literatura. G.—H. Halphen. Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications. 1886. James Harkness and Trank Morley. A treatise on the theory of fonctions. London 1893. Jules Tannery et Joies Molk. Eléments de la théorie des fonctions elliptique. H. A. Schwarz. Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen nach Weier strass. Göttingen 1885.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Związki między funkcyami c(m), £(m), P (u) i $?'(w).

2.    Związki między Theta-funkcyami Jacobiego a sigmafunkcyami Weierstrassa.

3.    Związki między funkcyami eliptycznemi snu, cnu, dnu Jacobi’ego a funkcyą eliptyczną fP(u) Weierstrassa.

Wykład XXXIII.

Rozwijanie funkcyj eliptycznych.

1. Odwrotności Thetafunkcyj i ich rozwinięcia. Weźmy najpierw pod

•“<•)•czyli funkcye: «i ¹

uwagę odwrotności funkcyj ®₁₀(æ) i

Załóżmy następujące rozwinięcia :

2 7ix t cos 4 nx

—+ ^2 -

CO    CO

sin Ti x

0iO(x)

A₀ 4-J-jCos

71

Sn(x) 0 0^(0)*

--f-^o

71X

sin-

4" ••• 4" -4-m

____    „ . 3 TIX

--p B. sin-

(O    (O

cos 2m 7ix

(O

+ ...4-5msin

(2m4-1) tcx

O)

co

zadanie wyznaczyć spółczynniki Am i Bm tych rozwinięć.

i postawmy sobie za

Mając na uwadze związek między funkcyami Si0(x) i ®ii(x), określony

na str. 502. wzorem :

n(*+- j

to¹ £

= ie

-K)

otrzymujemy :

wKt) i

'» (*+-£)

' #io(aO *

(1)

Na mocy założenia będzie z jednej strony:

m=oo

71

h2i. sin    ¹⁾¹¹

»”(«+■) Ś

to p

(*+ )

a że :

rtia:

2?w

wöii^Ojsin czyli :

4-

(‘ Tj

co®

ni (    (ó' \

u'(0)[^( T)

#-tK)]

-qe

="

nix

— m—cc

2mnix

71

"©n'(0)*sin^-

CO®‘j ! (0) ’

e 2 qme

m=0

zaś :

m=. oo

2 -Bmsin

m— 1

przeto otrzymujemy.

vi=cc

— 536

w=oo

2m-fl

(2m+l)

nix

-0.

2??ż+1

nix

2 nią¹*

nix in—co

Imnix

m—0

2w4-l

nix

+ §? 2S»b......3 e

m—0

(2»«41)-—

6)

—<1

2»; + l

. -    „ nix

r -(²-+¹) tó

Z drugiej strony założyliśmy:

rw=oo

2 mnx

772 COS

m—0

a więc :

ą₀O)

m=oo -i    r

2 TAm\

Imnix

Im nix

“ +e “ I

ni=0

zatem otrzymujemy :

•r +

—ic*

ni f , w'\ m= co (0 V ⁺ 4 J

Im nix

ïmnix

2^-1« " +e “

m—0

Z porównania obu rozwinięć, w myśl wzoru (1), otrzymujemy, po-

(2m-{-l)nix

—(1mĄ-\)nix

równywując osobno spółczynniki przy e “ i spółczynniki przy e relacye :

2w

2m + l

2m-|-l

2m + l

² =iq'l*Am+1, m=1, 2, 3,...

■B».

2

przeto wypływa stąd związek między spółczynnikami -4TO i Am-i w postaci:

««„'(O)³

ale

»*

2m

r³

q—'h — iqli Ai,

4?r

(2)

skąd otrzymujemy wzór bezpośredni:

2?r

Dla w — go staje się ^4m = 0, zatem otrzymujemy na wyznaczenie spół-czynnika -4₀, wzór:

r=cc

(2r—1)²

a stąd :

^⁺«<V(0)2( 1)rï ⁴ “° 2(-i)rï

A“-

2?r

r=oo

(2r—1_)*

r=l

Wobec tego będzie:

A₀ +

2yr

r=: w

(2r-l)*

2tt

r=0

w®n'(0)

2 (-Drï

(2r—l)¹

przeto :

rz=m-j-1

- 537 —

Am qm2= (—l)”^¹

4tc

r=oo

(2r-l)s

2 (-iri

czyli :

r=z oo

(2m + 2r-l)*

gmJ

r=l

a stąd :

-4-m—

4:?r

7*=oo

(2r—ip

—-i-L+m{2r-i)

(3)

Odwrotność funkcyi ©₁₀(x), przedstawia się zatem w postaci szeregu:

2yr

r=co

®.₀(x) äe,7(0)-t2( lr ’a

(2 r—1)»

m~os r~oo

+222(-r'î

(2r-1)*

-f (2r- l)m

2mnx

.COS

»1 = 1

CU 1

l.

2. Kładąc dla uproszczenia:

r=oo

2(— l)r2⁽"+r+,/*⁾' =

r=0

(4)

przyczem «Ä+1 + an = q(n+U**, a "nadto a„ = a nięcie w postaci :

otrzymujemy powyższe rozwi-

77? — oo

(«0 + 2

cos

2nmx

»1=1

CU

czyli :

TTł^roo

o^V(0)    1

2?r    ‘ ©! ₀ (æ)

Na tej podstawie otrzymamy odwrotność funkcyi ®n(x), określoną szeregiem :

«0 + 2

»(=1

cos

2 mnx

CU

(5)

s,il0)    ₌ __

*"    ' ⁶"{X) sin

771 = 00

(2m-f l)²

“4

JIX

m=. O

.sin (2m + l) —.

co

(6)

CU

a stąd także odwrotności dwu pozostałych Thetafunkcyj Ooi(x) i ©ooC®)» w postaci :

77ł = 00

** ‘ @01 (*)

cos

»<=0

wi+1

cos

(2 m 4-1) 7ix

CU

(7)

CU

«VP) ¹

2 7t ■ @₀₀(*)

m—oo

cos

2 nmx

CU

(8)

m=l

3. Przy wprowadzeniu spółczynników a otrzymujemy rozwinięcia samych Thetafunkcyj, w następującej postaci:

określonych wzorem (4),

2nix w=-f-oo

2 nnix

n=.—cc

tl=oo

71X

©₁₁(a:)=-4sin — co

(|+2(

'    71 = 1

_    2nnx\

— l)nan cos-I,

CU /

588

7» — oo

©₀₁(a;)=4cos^(r    + 2

'    n=l

2 nix    n=-f-oo

K>!<?

2tmx\ co )

(9)

2 nnix

„ 6) anqn e

nz=.— oo

4. Rozwinięcia funkcyj eliptycznych i ich odwrotności. Z rozwinięć Thötafunkcyj, wynikają rozwinięcia funkcyj eliptycznych, w postaci ich ilorazów.

Możemy jednak otrzymać także rozwinięcia funkcyj el iptycznych w postaci szeregów, jeżeli pomnożymy szeregi, przedstawiające odwrotności Thetafunkcyj przez odpowiednie szeregi przynależnych Thetafunkcyj.

Tak, otrzymamy na podstawie określeń:

=V4-e»'(a:)

= \Zx‘ . ©00(*)

^1 oW

@oi²(°)    @iq²(0)

- — »    ©oo W

—. ©, o ²(0) = 2x' K

O)

w których :

snu

-V±

» X

©11 (^)

©, o (#)

©i o (x)

cnu

-V-:

©oi(^)

*'* ©io(*)

dnu=\^x‘.

@io0*0

@10^)

w =    . ©oo ²(0). x

*    @00 W

.©₀₁²(O) = 2

n ^oo\0) = 2K₁

(10)

następujące iloczyny:

wzzzoo

snu

, „ x    2 wttæ

(—l)"'«mcos-

(O

)[ao + 2 2

/ L    m=1

amq m\cos

2?r    -\lx' .

cnu=— -- 1/ —.4 cos

w ©^'(0) y %

/    771 = 00

( i/₂«o+2

V    wi=l

am cos

V /    572=00

2mnx\ ( n

nr)

2 mnx\ am q-m\ cos—I

2 71

2 nix 7n=-(-oo

ïmnix

m=oo

Vx' .q ⁴(l + e “ ï) 2 a'»2We “ • («0+22

771= — OO    V    rn —« 1

Ct)@! i ‘(0)

Zamiast wykonywać wskazane mnożenia, połóżmy:

(2w4 1 )nx

2K 1

777=00

am # m\cos

2 mnx\

(O )

u sn u

=-2 ^sin

■ nx S

sin

O)

tedy będzie :

2 K _1_

TT ’ sin (w+lT')

771=00

sin 7i

rr + 2 -®" sin <²” +¹ )“ (* +    )

(*+ï) ”⁼⁰

czyli :

m=°°

h snu— —

71

71 (

sin— x + (0\

3 |<N

2 sin

(2w + l) 71

rri—0

(O

K)

Połóżmy :

m— ot,

71

xsn u

= Am. sin

(2 m+ l)nx

m—O

OJ

a otrzymamy tożsamość:

77? = 00

(2m p 1) TT a:

m=roo

(2#W-ł 1)tt

m—0

OJ

n (    w'\

Sm^[X+2)

m—0

OJ

3 i o'»

czyli :

(2m+l)rat —(2/n + ł)rat    rat w =oo

2f?p “ -e " }=2    +

)w=oo ^    (2/n + 1)rat 2/n + l — (2m+l)rai

+ 2: a-Le

m=0

m=ao

m—O

2mnxi

6)

2/n-1-1

skąd wypływają związki między spółczynnikami Am i B

2/n + l

Am= — 2iq ² p

w postaci :

B,n

2/n+l

_ 2/n + l

j Am=. q

z których wypływa :

2/n+l

4g ²    .

1 — ^2/n + l

Wobec tego założone rozwinięcie, przedstawi się w postaci:

2m + l

Am

771 — co

2 xK

TT

.snu=4

^ j_

S l-g2w+1

. (2m P1) nx

sin -—

a zarazem :

2K 1

/// = 00

Ti snu

1    ^ g2/n+i _ (2mpl)yra;

. tix+ sin —    ”'=°

2/n+l

sin

OJ

OJ

Otrzymujemy zatem rozwinięcie funkcyi snu i jej odwrotności : —^

SYt u

w postaci :

2/n + l

snu=

CM

xK '

zn=oo    2

2 1_q2m+i sin

m=0

(2m P1) 7ix

OJ

(U)

71

2 71 m=co

2/n + l

(2 i»p 1)jix

2K sinTra; ¹ K

1_g2m-\-i

5. Podobnie znajdziemy rozwinięcia dla dwu pozostałych funkcyi eliptycznych , w postaci :

snu

m—O

OJ

2/n+l

mt= oo

(2mpl)7r#

2 71

> _JL

xK ' SI +q2m+1

2 71 ™

cnu 2x‘K costix x¹ K

cnu—

cos

(13)

TC

OJ

q2m ₊ l

2(-¹)mxp^+icos

(2 m p 1) 7ix

OJ

.    (14)

<&? w =

TT

à«

2?«'X

— 540 —

tt?=oo

2tt

x'if

1+ q2m

771=00

)/c=l

cos

gin

Ćwiczenia XXXIII.

1) Na podstawie określeń :

n=-(- oo

0)

cos

2 m nx

(15)

(16)

«) 0u(a;) =

2^

— [<2 !. + !)*+(!.+ */,)*«•] CD

11 — — oo n=-j-oo ni

p) eoi(*)= 2 «

— [(2W + 1) »• + (» + ’/j)³w'l

CD

W — — 00

n=-\- oo

r) 010^)= 2 ( —

(2n ■ -J-»² (O')

W=-f 00

, ⁸) = 2 «

[2nx Ą-n* <ù‘)

n=—oo

« = - OO

wykazać, że stosunki co dwu tych theta-funkcyj, są funkcjami elliptycznemi.

Na podstawie powyższych określeń, wyprowadzić następujące rozwinięcia:

mz=z— oo

2)

_e>ioW ₌ JL e₁₀(0)    ^

®i i (x) w 0ii'(O)

7W =

g) QqoC^)

011W

⁷¹ 0io(O) co • en'(ö)

₄x eo X^) _ ⁷⁷ Qio(0) 001 (*) w 0ii'(O)

_oo sin (x m co')

CD

(- l)m______

» sin —~(x — m co')

to

m=-f oo

•2

in =—

71\=zĄ- co

m—— oo

cos

T.

— (x — m co ') co

m = Ą- oo

₅s Qio(g) ^ ⁷⁷ 0io(O) 'S?

e,W » ’»„'(O)- cos

( l)m

⁷⁷ \ — (x — m co ') co

m= -f- oo

9lt(a>)    * 0lo(O)    V)

⁶> ©ŚV    «'^'(OY* 2d

771 =—00

sin

7)

0Oi(x) ₌7c^ e₀₀(o)

01o(a?) "    W‘0/ll(°)

777 = 4- 00

•2

(~ l)w

m=—

oo sin — (*—

to \

2m

-¹>l)

m=+ oo

8)

0qi(«O    ⁷⁷ 0io(O)

0OO(«)    'O ■ 0,1 ' (0)    <àmmé

m=—

q\    ^lO") — _ ?L? °uo(°)

^    ⁰OJ(aÓ * w ’0n'(O)

rw=4-oo

■2

(-i)»

m—- oo

COS

Wykazać, że: 2£ie

10) sn —— =

V/x

2yyq sin x — 2 l/^g⁹ sin8x 2\Xg²⁵ sin 5æ — ... 1—2g cos 2x    2gł cos4a: — 2g⁹cos 6 x -f- •••

11)

cn

2Kx

7:

Vt 2V/s

COS X

+ 2 cos 3x + 2\/qis cos 5x -{-...

1—22 cos 2x + 2qi cos Ax — 2q⁹ cos fix -f- ...

1 -f- 2q cos 2x -(- 2g⁴ cos 4x + 2g⁹ cos fix -j- •••

12) tf»

7T

Wyprowadzić następujące wzory na pochodne funkcyj eliptycznych :

dsnu

cnu.dnu. 14) —=— du

Y/V

1 — 2q cos2x -|- 22⁴ cos x — 22°cos fix -f-...

13)

du

= Y/ (1—srilu)(l — y.²sn² w) .

15)

d cnu

du

= -snu dnu. 16)^4^-du

y.² sw u cn u.

d ^ św \i/ *

—v.'¹ snu cnu— snu dn² u. 18) - a - =—(l y.²) sw « -j- 2y.²sn³ n.

19)

du³

[—(1 -f- y.²)-f 6*²s«²n] cn u dn u.

Wyprowadzić następujące rozwinięcie :

u l+x² ,    1 -f 14x*+ X⁴

20)    snu — —---——w³-\--

21)    c»«=l-^«²+-r4!

22)    dn u = 1 — «M--₄,

1 + 4*²

5!

w⁵

1 + 135xł+ 135x* + x6

***-

y.² ( 4 + y.²)

m— co

1 -f 44x² + 16/.⁴

6!

u⁶ + ...

n⁴

y.²(16+44y.² + y.«)

fi!

u⁶ + ...

23) snu =--sin

v.K

77 «

COS

(2m—1) r.i K‘

2K

Ul — 1

2 A’

2/v

m=oo

24) cn u —

7:«

cos^=

sin²

. (2jw—1) r.i K‘

sm ----

{‘2m—1) r.i K‘

r.u

2A

~sin 2K

VI—

i r.

25) dnu = 1 -f-

sin²

r.u

oo (—l)m—1 cotg

(2m—1) r.iK*

m=i sin²

(2m—1)7w iK‘

— sin

i*

s itüd

2Ax

2 TT

771 = 00

26) sn² —

77    XA

sin x

•2

771=1

2m~ */a (1 + g-2m—1)

1—2g2m—1 cos2x -j- g4m—2

27) cn²

2 77

xA

cos x

771=00

m—1

qm—'h (1—g2m ~i)

1—2q2m—¹ cos 2x-f- qkm—2 *

2ifx

477

₂₈₎    —l-y

sin²x .

14-«²®-¹

,=«    (_l)m-l?2m-l

1 — 2q^m—l cos 2x -f- q^m—²

2 Kx

29) sn-

a:

r=oo

fcO

r= oo

= sin a;.

r=l

r-H

II

r=i

1—q2r cos 2a: -f- g4r 1—q}r~¹ cos 2a: -j- g4r - ²

2 Kx

30) c»-

⁷    r.

= cos X .

r—go

r= 1

1 + S2r

² II ł 4- 2?2r cos 2a: -f ?4r “■ * 1—2cpr—¹ cos 2a:    qir~²

r=l

- 542 -

....    2 Læ

31) (Zn-

7w

r—co

= n(

r=i

qlr—1^2 j _j_ 2qlr—l cos 2a; 4" g4?‘~2 1 q2r—1/ ' ^1- 2qlr~x cos 2a: -f- qlr-2'

-1

32) sn 2 Ar«

2tc

m=co

7. K

TO = 1

2m—1

</ ²_

1—g2m—\

sin (2»i—1) xu.

»71 = 00

2 rc

33)    cn2Ku = -~

m — i

34)    dn2Ku=~ + 2^

2m—1

1 + 3²™—

771= 00

VI — 1

^ cos (2w—1) n «.

grm

1 4- qlm

cos 2m r. u.

35)

sn u

2x } q

⁼ 2lC°tg 2 K ~K 114-ÿ Sm K

XU

1 + 2²

sin

2rw

K h"T

36)

cn‘ u

en u

37) j— an u

38)

ż»'# <n u

^,3

. 3™

sin -jç 4- ...

}•

2 xu

ü^ü-fUi* T + r+i^sin k • i + ₉>

4- g3 K ' 1 — 3⁶

ntt 1 2n /

“2icrtg

xu

xu

.    3rc u

sin T— 4- ...

}•

2 xu    qx .    .....

i _j_ q2 k "^14* ql sm K + •• r

4r-At

Rozwiązania XXXIII. Wskazówki podane w wykładzie.

Literatura. M. M. Briot et Bouquet. Théorie des fonctions elliptiques. Paris 1875. Artur Cayl ey. An elementary treatise on elliptic fonctions. Cambridge 1886. Dr. Alfred En neper. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte. Halle a/S. 1876. C. J. J. Jacobi’s gesammelte Werke. „Fundamenta nova théorie functionum ellipticarum auctore D. Carolo Gustavo Jacobo Jacobi. Regiomonti 1829“. Berlin 1881.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Różniczkowanie funkcyj eliptycznych.

2.    Rozwinięcia funkcyj eliptycznych na szeregi potęgowe.

3.    Rozwinięcia funkcyj eliptycznych na szeregi trygonometryczne.

Wykład XXXIV.

Rozwijanie funkcyj na ułamki ciągłe nieskończone.

1. Ułamek ciągły nieskończony i jego wartości przybliżone. Jeżeli

nieskończony szereg ułamków :

Pn

qn

Pi Ih PA

’ g₂ ’ S3

tak ze sobą połączymy, że każdy następny ułamek będzie dodajnikiem w mianowniku poprzedzającego ułamka, wtedy otrzymamy wyrażenie nieskończone , kształtu :

Pi

q\ +

Pi

p%

Pn

(i)

qn + •••

które oznaczamy dla oszczędności miejsca (patrz T. I. wykład XXX.) także w postaci :

Qn

(2)

i nazywamy ułamkiem ciągłym nieskończonym.

— jest jego f-tym wyrazem, pr jest r-tym licznikiem

qr

częściowym, qr jest r-tym mianownikiem częściowym a liczby nazywamy także elementami ułamka ciągłego.

Ułamek

Pi } Si > •") Pn i S* i •••>

Przerwawszy nieskończony ułamek ciągły na w-tym wyrazie , otrzymujemy ułamek ciągły w-wyrazowy:

- 8

PL 0s

A₊fj₊A₊...₊Ł

9i <h S3    Q*

który nazywamy w-tym reduktem albo także w-tą wartością przybliżoną, danego ułamka ciągłego.

Ogólne prawidło obliczania kolejno po sobie następujących reduktów danego ułamka ciągłego, wyraża się wzorami redakcyjnymi, wyprowadzonymi w Tomie I. w art. 3. wykładu XXX. str. 397. i 398., w postaci :

Pn — PE*n-\ Qn~\~ I*n—lPn | Qn ⁼ Qn—1 Qn~\~ Qn—2P gdzie JPn jest licznikiem, a Qn mianownikiem w-tego reduktu (w-tej wartości przybliżonej) danego ułamka ciągłego.

(3)

(4)

3. Różnica między dwoma po sobie następującymi reduktami danego ułamka ciągłego, przedstawia się w myśl wywodów, przeprowadzonych na

str. 402. Tomu L, w postaci wzoru :

F„-i

Pn

-1

PlP₂ ...Pn

Qn

Qn- 1

Qn—1 Qn

za pomocą którego otrzymujemy n-ty redukt, wyrażony w postaci sumy, kształtu :

Pn P\

1 PiPr-Pn

Pjpjpz Pipjpzpu

Qn Qi Q\ 2    ^2 Qz    $4

Wzór ten możemy zarazem położyć do zamiany nieskończonego ułamka ciągłego na nieskończony szereg.

Qn—1 Qn

Jeżeli mamy mianowicie ułamek ciągły nieskończony w postaci:

f-* +*+...+

Q ?₂

to przynależny mu szereg nieskończony, przedstawia się w postaci :

P ₌ Pi _ PiP2 , PiPjPz

Q    Q\ Q2 Q-2 ^3

Qi=q 1,    Qn=Qn-iqn-\-Qn~2Pn-

Powyższe wzory, dotyczą ułamków ciągłych w ogólności, bez względu na to, czy ich wyrazy są rzeczywiste, czy też zespolone.

1 PiPt-Pn

(5)

gdzie

4. TJłamki ciągłe nieskończone, o samych wyrazach dodatnich. Jeżeli wyrazy danego ułamka ciągłego są wszystkie dodatnie, natenczas różnica między dwoma po sobie następującymi reduktami, przedstawiająca się w postaci:

Pn

G,    Qn-1 ¹    '

będzie dodatnią, lub ujemną, stosownie do tego, czy w jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą. Każdy redukt takiego ułamka ciągłego, leży więc między dwoma bezpośrednio po sobie następującymi, poprzednimi reduktami.

P P

Różnica między dowolnymi dwoma reduktami i ~ } przyczem n^>ni-f-1,

Yn Vm

przedstawia się znowu, według art. 12., str. 403. Tomu I., w postaci:

4=

Pi P2 ••• Pn

(6)

Pn

Qn Qm

Qm Qn

(7)

z czego wynika, że każdy redukt z parzystą wskazówką jest mniejszy od każdego reduktu z nieparzystą wskazówką, że :

i p2r    P₂r-1

Qir $2r-)-l    $2r    <^2r—1 ’

że więc :

«2 &

—i 5 \ 5 > > (?2r+2

P‘2r—i

Q'2r~i

Pjr+i

$2/+l

Redukty z nieparzystą wskazówką , jak niemniej redukty z parzystą wskazówką zbliżają się , przy rosnącej wskazówce coraz bardziej do wartości danego ułamka ciągłego. Dla tego rodzaju ułamków ciągłych jest więc nazywanie reduktów ułamka ciągłego, także wartościami przybliżo-nemi zupełnie usprawiedliwionem.

5. Zbieżność i rozbieżność nieskończonych ułamków ciągłych. Mając dany ułamek ciągły nieskończony:

9i <h

możemy dochodzić, do jakiej wartości granicznej zdąża n-ty redukt tego ułamka ciągłego :

TJ =

CC. cc

; Pn ;

gn

(8)

Pn Pi i P% ,    j Pn

qn

/T~—--r-----r    —~

Qn qx q₂

gdy n zdąża do nieskończoności dodatniej, t. j., gdy n — Ą- oc.

Zajść tu mogą następujące przypadki:

. . Pn    .

1) Wartość graniczna n-go reduktu: ~ staje się dla n— oo, danego

ułamka ciągłego o jakichkolwiek wyrazach, pewną liczbą skończoną, oznaczoną: Ü7, rzeczywistą, urojoną lub zespoloną, tak, że:

lim

n = oo

Pn

Qn

= U.

Dany ułamek ciągły, nieskończony, nazywamy w tym przypadku zbieżnym a graniczną wartość: U nazywamy wartością tegoż ułamka ciągłego

\x

2) Wartość graniczną w-go reduktu :

Pn

danego ułamka ciągłego o rzeczywistych wyrazach, staje się, dla w=-j-oo, liczbą nieskończenie wielką + GO , lub —co tak , że:

Qn

lim

Pn

n=-foo

Qn

= -t-co

lub lim Jn=

n — -foo

Qn

—GO .

Dany ułamek ciągły nazywamy wtedy ułamkiem ciągłym właściwie rozbieżnym.

3) Wartość graniczna n-go reduktu i " danego ułamka ciągłego jest

nieoznaczoną, a tylko chwieje się między dwiema różnemi wartościami: wartością dolną A i wartością górną i?, dany ułamek ciągły nieskończony nazywamy wtedy niewłaściwie rozbieżnym, albo oscylacyjnym.

Pn

4) Wartość graniczna w-go reduktu:

nieoznaczoną, przyczem sam redukt staje się dla nieskończenie wielu wartości n nieskończenie wielkim.

Dany ułamek ciągły nazywamy wtedy nieoznaczenie rozbież-

Qn

danego ułamka ciągłego jest

ny m.

Dochodzenie, czy i do jakiej wartości granicznej zdąża M-ty redukt danego ułamka ciągłego, celem rozstrzygnięcia pytania, czy dany ułamek ciągły nieskończony jest zbieżnym, czy też w ogólności rozbieżnym żerny zawsze sprowadzić do badania zbieżności szeregu nieskończonego, lub prostszego ułamka ciągłego, zamieniając dany ułamek ciągły V ważny szereg nieskończony lub na inny ułamek ciągły według wzoru :

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

mo-

na

równo-

-Q __h\P\ j M2 Pi jL MsPs j

Mi    ^2 #2

Wobec dowolności czynników A możemy je wszystkie liczniki częściowe były równe 1 ciągły nieskończony przekształcić na czony, kształtu :

; /&„__! hnPn ;

hn Qn

zawsze tak obrać, aby a więc możemy dany ułamek równoważny ułamek ciągły nieskoń-

Ms

(9)

p=l+

Q, «i

gdzie ar**hrqr, przyczem :

^2r-l

P2P i ‘ • ‘Pïr—2

. . -P2r-1

Jl2r —

P\V3 • • -Pir-i

P2P i • • -P2r

(>. Badanie zbieżności lub rozbieżności danego ułamka ciągłego za pomocą badania zbieżności lub rozbieżności równoważnego szeregu nieskończonego. Weźmy pod uwagę ułamek ciągły nieskończony, którego wszystkie liczniki częściowe są równe 1, a więc ułamek ciągły nieskończony kształtu:

(10)

On

i- — +

a₁ a₂

Równoważny z nim szereg nieskończony przedstawia się według 6) w postaci :

wzoru

-t-

(-I)»-¹

Q\Qi ^2 Q?,

gdzie    , Q₂ = o₁a₂ + lj. a ogólnie Q„ = Qn-\ an+Qn-2-

Zbieżność lub rozbieżność tego szeregu zależy od zbieżności lub bieżności szeregu :

(11)

roz-

«O H-'¹

\Q\ Qi\ Q2Q3

\Qn—i Qn

+ «•

(12)

zera

Jeżeli od pewnego n począwszy, wszystkie mianowniki Q„ są różne od wówczas, jak łatwo dowieść, otrzymujemy:

I Qn '    (1 + |«1 !) • (1 + !«₂|)-"(1 + an !)•-.

Dla nieskończenie wielkiego n będzie iloczyn nieskończony:

n ~oo

U (! + :«„ I) = (l+    ) (1+ «2 )• • • (1 + a« )•■•»

n=1

zbieżny, skoro szereg:

«1 + «₂ ■ + ...+ an i +... jest zbieżny, a tern samem szereg: a, -fa₂ + — + ⁰'» + bezwarunkowo zbieżny.

Pod tern założeniem będzie szereg (12) rozbieżny, a tern samem będzie równoważny ułamek ciągły także rozbieżny.

A zatem: Ułamek ciągły nieskończony : — -f —1---h--+    +••• jest zawsze

05 j    CL 2    05g

rozbieżny,    szereg : ^-ka₂ + a₃+    «„ + ... .;'e.s7 bezwarunkowo zbieżny.

Rozbieżność ta nie jest właściwą, gdyby bowiem rozbieżność danego ułamka ciągłego przy bezwarunkowej zbieżności szeregu : ax ■+ a₂ + a₃ +... + «» + ••

a tern samem :

była właściwą byłoby tedy : lim = co

n=c©

Twierdzenie powyższe możemy uogólnić.

Ze względu bowiem na to , że wszelki ułamek ciągły, kształtu :

« ^

co i co

musiałby więc ułamek ciągły : —-

im (l :

=00 V

[ • 1

)-°

1 •

a„

+ ... zdążać do zera,

(^\    0^2    ^3

co jest niemożliwe, gdyż wobec bezwarunkowej zbieżności szeregu kształtu: aA 4- a₂ -f a₃ +..• + «» + ••* jest także szereg: 1 + ^ + «₂ 4- a₃ + ... -\-anĄ-... bezwarunkowo zbieżny.

Pi ₊Pi i ?1 ?2

da się sprowadzić do postaci zasadniczej :

-i-i

rH

a₂

Is

4-... na pod-

stawie przekształcenia :

li\ Pj I ^1 ^2 P2 ! ^2 ^3 P.3

Ą.i îi

gdzie :

%2

+ .» +

• A«_ 1 hn Pn .

lin i\n

A. =

^2r

Vxpv..p-2r-i

P2P i“’ P'2r

lhr + \

Wr- *P2r

P\P%”' Pir-f-1

(r==l, 2, 3,...)

(13)

otrzymujemy :

gl

ft2r

PiP?, -•P2r—l

Çjir ) ®2r “)-1

aąr+1

P\Pz ■•• Plr— 1    P2r+1

- (f-1, 2, 3,...).

P2P ^"’P^r

Jeżeli szereg: at +o₂ -j-«₃ 4-... 4 anĄ-... jest bezwarunkowo zbieżny, natenczas każdy z szeregów: ai +a₃4-... +02^414-.- i a₂ + ak -K.- + «2r4- • • jest także bezwarunkowo zbieżny.

A zatem : Ułamek ciągły nieskończonościowy : — 4-~    4- —4-

zawsze rozbieżny i to niewłaściwie rozbieżny, jeieA' każdy z diva szeregów:

-, Pn ;

g»

»•=0

P\Pz Pir—1

^Ihlh-thr

r= 00

i 2«2r41=2

Î2r

r=oo

P2P i Plr

g2r+1

r=0

r=0

PiP3 • •• P2r—1 P2r + 1

,7 es/ bezwarunkowo zbieżny.

7. Zasadnicze typy nieskończonych ułamków ciągłych. Prawidło przekształcenia ułamków ciągłych nieskończonych, kształtu:

C<I

Si. Öi

Qn

⁽h

na ułamki ciągłe nieskończone , kształtu :

-1

lin gn

1}\P\ _j_ Ajli₂p₂ ^ A2A3P3    An

Mi    K<l2    }h<ł3

gdzie dowolne czynniki: A₁, A₂, ..., A„,... są wszystkie różne od zera, dozwala sprowadzać dane ułamki ciągłe nieskończone przez stosowny wybór' czynników Al5 A₂,..., A„,... do pewnych zasadniczych typów nieskończonych ułamków ciągłych. Jako takie typy zasadnicze, przyjmujemy takie ułamki ciągłe, których wszystkie liczniki częściowe są równe rzeczywistym jednostkom 4-1, lub —1, jak :

---h... typ zasadniczy dodatni.

Qn

rH : S rH

TH ! s" TH

r-H

—... typ zasadniczy ujemny.

typ zasadniczy o znakach na-przemian ujemnych i dodatnich. Przy ocenianiu zbieżności danego ułamka ciągłego nieskończonego okazuje się często korzystnem zamienić dany ułamek ciągły, na inny z nim równoważny, należący do jednego z typów zasadniczyczych.

• • (-1)” •

—- :

Cl i Cl 2

ttn

8. Ułamki ciągłe nieskończone, złożone z samych wyrazów dodatnich.

Niech będzie dany ułamek ciągły kształtu:

— 4 —+“+..• +

ttj a₂ as

w którym mianowniki częściowe ax, o₂, a₃,..., an , ..., są wszystkie dodatnie. Oznaczmy jego wartości przybliżone kolejno przez TT\, W zauważymy przedewszystkiem, że w takim ułamku ciągłym wartości przybliżone parzystego rzędu, tworzą szereg rosnący: W₂<Z    ...<; W2n

wartości przybliżone nieparzystego rzędu, tworzą zaś szereg malejący: w\> W3>    > .. > TU₂r+i , przyczem W2r < Wtr+i-

Wobec tego zarówno wartości przybliżone parzystego rzędu W2r (r=l, 2, 3...), jak niemniej wartości przybliżone nieparzystego rzędu TP^+i (r=l, 2,3...) będą, przy nieograniczenie rosnącem r, zdążały do pewnej granicy skończonej. Granice te, mogą być dla obu szeregów wartości przybliżonych, równe lub między sobą różne.

W pierwszym przypadku, wartości przybliżone ułamka ciągłego dążą do jednej granicy skończonej W, ułamek ciągły jest tedy zbieżny, a ta granica W jest jego wartością , w drugim przypadku, ułamek ciągły waha się między dwiema granicami skończonemi W i W' jest tedy oscylacyjnym. Ażeby ocenić, kiedy który z obu przypadków w danym ułamku ciągłym nastąpi, weźmy pod uwagę wzór:

4= TV2r+l— TT Ir =

««

4- -

(14)

TVn,..., to

P‘ir-(-1    P%r

$2r-fl Qlr Q.îr $2r-f-l

a zauważymy, że dany ułamek jest wtedy, i tylko wtedy zbieżny, jeżeli:

lim. Q2r $2r+i — -j-oo .

r=-foo

Ponieważ jednak: Q,=aiy.., Qn= Qn-₂ + an Q„_i, (»>2), więc Qn>Qn- 2>0, przeto widzimy, że zarówno mianowniki (J2r wartości przybliżonych parzystego rzędu, jak mianowniki Q₂r+i wartości przybliżonych nieparzystego rzędu rosną wraz z rosnącem r. Warunek (15) spełni się zatem, gdy albo Q2r, albo Q2r+\, otrzymuje dla r=4~oo wartości +oo .

(15)

Dla ocenienia tego, otrzymujemy, na podstawie wzoru : Qn = Qn-2 + a<n Qn—i ze względu na to, że Q2r^> 1, kolejno następujące nierówności:

Qz ^ Qi Q2    4* £*3 5

$5 =    4-1*5 ^4 >> «1 4 «3 4 «5 ,

ogólnie :

Q2r+\^> «1 4-«3 4-«5 4-...4-«2» + l , (p^ 1).

- 549

Warunek 15) staje się zatem spełniony, czyli ułamek ciągły:

1 ; 1 ; 1 • -1 ——h ——I—- -+-...4——b •••

(ajj^    ^2    0^2

jest zbieżny, gdy szereg: ax +«₃ + ö₅ + ... + «2r+i + -.. jest rozbieżny. W takim razie będzie jednak także zbieżnym ułamek ciągły :

«i +——f ——b ...d---K-.

a₂ a₂    an

coby wymagało rozbieżności szeregu: a₂ +«₄ + ... + a2r-b-~

Ułamek ciągły nieskończony: — Ą---b—    + ... jestwięczbieżnym,

6^1 (1%

jeżeli jeden z szeregów : a, +a₃ +a₆ + ... +.a₂r+i + ••• lub a₂ + a₄4-a₆+... + a2r-b... jest rozbieżny, albo, co na jedno wychodzi, jeżeli szereg : ax -b«₂ +a₃ + ... + «„ + ••• jest rozbieżny, jeżeli zaś ten szereg jest zbieżny, wtedy dany ułamek ciągły jest, jak już wiemy z art. 6., niewłaściwie rozbieżny, a to oscylacyjnym między dwiema skończonemi granicami.

Mamy zatem twierdzenie :

+ — -b... d--+ . . . JesZ zbieżny,

«3

Ułamek ciągły nieskończony : — + —

ax a₂

oscyluje między skończonemi granicami, zależnie od tego, c-sy szereg : ax +a₂ -b a₃ +... ... + a„ + ... Jestf rozbieżnym, c.?y fei zbieżnym, aZJo, co wa Jedno wychodzi, czy przynajmniej jeden z szeregów: ax -ba₃ + ... + a2r+i + ... lub a₂-\-ali-\-...Ą-airĄ-jest rozbieżny, c£y Zei żaden.

9. Uwaga. W przypadku rozbieżności szeregu: a, + a₂ + «₃ +... +    +•••, a więc zbieżności ułamka ciągłego nieskończonego : — -f- — -j-...-b —■ -b    możemy ułamek ciągły prze-

d\ d₂    dn

rwać na n-tym wyrazie — , a więc zastąpić dany ułamek ciągły nieskończony W przez

dn

ułamek ciągły skończony Wn, będzie bowiem wtedy błąd W—Wn, bezwzględnie wzięty:

I S I = I W— Wn I < I Wn+1- Wn | ,

Qn QnĄ-1

= 0, przeto możemy przy obliczaniu wartości danego ułamka ciągłego

czyli :

a że : lim ——--

n=ico

Qn Qn +1

nieskończonego przy każdem przerwaniu jego ocenić dokładność rachunku.

10. Wracając do ogólnego ułamka ciągłego nieskończonego o dodatnich wyrazach, otrzymujemy następujące kryteryum zbieżności:

Ułamek ciągły nieskończony : ~ -b —+ .jest zbieżnym, lub oscy-

Qi Qi

luje między pewnemi skończonemi granicami, zależnie od tego, czy przynajmniej jeden z szeregów:

^PlPf.- Pir-j £ IhPi-Pîr

jest rozbieżny, czy też żaden.

11. Wystarczające, choć nie zawsze konieczne kryterya zbieżności ułamków ciągłych nieskończonych, złożonych z samych wyrazów dodatnich. Powyżej podane kryteryum zbieżności lub niewłaściwej rozbieżności ułamków ciągłych nieskończonych , złożonych z samych wyrazów dodatnich, okazuje się częstokroć niewygodnem. Zastępujemy je wtedy innemi kryteryami, które są wprawdzie wystarczające, ale nie zawsze konieczne*

• ąir i

r—oo

r— 1

P\ Ps P%r—1

g2r+l

2?2r+1

1. Jeżeli szereg:    «^«3+ ...4- «»««-fi 4" ••• jest rozbieżny, natenczas ułamek ciągły

4- —- -f ... 4" ~ 4~ jest zbieżny.

öj    ^«1

Jeżeli bowiem szereg : ajOj -j- aja₃ -j- ... -4- «« «n-fi 4" jest rozbieżny, natenczas także «, _|_ ai _p ... _j_ a„ ... jest rozbieżny, a zatem ułamek ciągły nieskończony:

-j- •    4" ^ +... jest zbieżny.

Ctrl

, <h<h 1 P2 lh

V\ _j_ Pi i Pz _jl .. 1 P? 1 jest zbieżny.

<1\ <h ^ <h    'In

Jest bowiem wtedy: «»««+!= —

szereg :

¹ 4- ¹

<h ai

2. Jeżeli szereg :

qn ⁽J[n+1

P«+i

</n <l» +1

P»+i

4-... jest rozbieżny, natenczas szereg:

4-    4- ... -j- ihl 4- od pew-

3. Jeżeli w danym ułamku ciągłym nieskończonym :

nego n począwszy jest qn^ pn, a szereg: qx 4* 'h 4" ••• 4~ï*4'** ,îes^ rozbieżny, natenczas dany ułamek ciągły nieskończony jest zbieżny.

li

<[n

Wtedy bowiem mamy: -”gw—¹ > qn a więc z rozbieżności szeregu: qi +<hJr---\-(/n+..-

pn-\-\

wynika rozbieżność szeregu : -¹    4-    ^

ność danego ułamka ciągłego nieskończonego.

4--. -f

qn qn+i

p«+1

a tern samem według 2. zbież-

4) Jeżeli szereg: \/a^a^Ą-\/a₂a₃ 4“ •••4“ \/«no«+i 4* ••• jest rozbieżny, natenczas ułamek ciągły nieskończony :

— 4- * 4-...4- * 4- ... jest zbieżny.

öfj Ct%    flfw

Jest bowiem \/a« a«+1 <C Un d~    a wj^c rozbieżność szeregu :    \/n« a«^-i pociąga

U

w=l

n = 00

= **’ 4-^ a* a tern samem zbieżność danego

U    JM

r\—*>

,    ...    ,,    «« 4* ow+i

za sobą rozbieżność szeregu :    --

ułamka ciągłego.

12. Ułamki ciągłe zwyczajne. Jeżeli w ułamku ciągłym są wszystkie liczniki częściowe równe 4~1, a mianowniki liczbami szeregu naturalnego: 1, 2, 3,..., natenczas nazywamy taki ułamek ciągły zwyczajnym; przedstawia się on w postaci :

»=1

łi=2

1 • 1 •

⁽/o d---1---h ••• 4-

Î1 ?2

i ma wartości przybliżone, określone wzorem:

Pn-lÇ/nd" Pn—2 Qn - 1 Qn 4” V«—2

13. Wartości przybliżone skończonych ułamków ciągłych zwyczajnych mają następujące własności:

1)    Liczniki i mianowniki wartości przybliżonych

ciągłego zwyczajnego są liczbami szeregu naturalnego, rosnącemi wraz z wskazówką n.

"Własność ta wynika z wzorów: P„ = P„_₂ 4- qn Pn

2)    Liczniki i mianowniki każdej wartości przybliżonej są liczbami względem siebie pierwszemi.

"Własność ta wynika z wzoru: P, ÿn-i—Qn Pn-i = (—l)"⁻¹.

Pn

Qn

4- ...

Pn

Qn

-1 i

danego ułamka

Q,n — Qn—2~\~ Çjn Qn - 1 ■

B) Każda wartość przybliżona leży bliżej każdej następnej , jak którejkolwiek poprzedniej wartości przybliżonej :

Jest bowiem :

I P0±L _ j P»+r_^n~\

Qn-\-r Qn j Qn-\-r Qn-1

4) Bezwzględna wartość różnicy między w-tą a r-tą wartością przybliżoną , gdzie n^> r, jest mniejszą, jak 1 : Qr².

Jest bowiem:

Pn

Pr+1

^>+1

Q, V.

•i’

leżącego między

5) Mianownik b każdego ułamka zwyczajnego

dwiema po sobie następującemi wartościami przybliżonemi :

większy, jak mianownik Q„.

Jest bowiem :

Pn-1 • P, 1

Qn—1 Qn

jest

o<

a- a

Pn—1    „

Çn-1    Q.

Pn    Pn-1

zatem :

P.

n—1

<2«-, Ç» ’

W —1

skąd , pomnożywszy tę nierówność obustronnie przez b . Qn-\, otrzymujemy

a że :

O <Ci Cl Qn—\ b Pn—i    ,

lin

n >» 1, przeto b > Qn.

Pn

któryby leżał bliżej wartości “

lin

Qn

6) Ułamek zwyczajny

jak war-

Pr

tość przybliżona ' , musiałby mieć mianownik b większy, od mianownika Qr. lir

Skoro bowiem :

to ułamek

o- a

Pn _ a P„ _

\Qn b \ Qn

P P 1

musi leżeć między wartościami -,7 i —— ^ J    Qr Qr-1

przeto musi być

b> (Jr.

14. Ułamek ciągły nieskończony kształtu:

• 1 •

?o H-----b

2i

4--

Zn

?2

Pn

większych mianownikach Q„, nieskończenie wielkimi.

otrzymuje wartości przybliżone jr o

lin

które rosną wraz z n i stają się wraz

Taki ułamek ciągły nieskończony jest zawsze zbieżny, a jego wartość

coraz

graniczna leży między a }₀-f jest więc zawsze dodatnią i mniejszą od

⁽l\

P

ozem większym

Wartość ta x leży tem bliżej wartości przybliżonej ^

jest wskaźnik n, przyczem jest zarazem:

Pn

X Qn

< Qnr

Wartość graniczna zwyczajnego ułamka ciągłego nieskończonego jest zawsze niewymierną.

Gdyby bowiem liczba x była liczbą wymierną równą natenczas musiałby ułamek ~ leżeć między dwiema bezpośrednio po sobie następującemi

wartościami przybliżonemi, mianownik b musiałby więc być większym od

każdego mianownika Q

wraz z

co jest niemożliwem, gdyż mianownik Qn staje się wskazówką n nieskończenie wielkim.

Pn

15. Nawzajem, nietrudno dowieść, że każda wartość przybliżona ^ podaje wartość A nieskończonego ułamka ciągłego zwyczajnego dokładniej jak jakikolwiek ułamek zwyczajny sprowadzony do najprostszej postaci ,

w której mianownik b nie jest większy od mianownika Qn.

Otrzymujemy bowiem w tym przypadku nierówności:

A—

a--i

b \ K <2„

Qn-1

które są tylko wówczas możliwe, gdy nietylko A lecz także -j- leży między

P

wartościami przybliżonemi -A

. Pn

Qn—1 Qn

a więc gdy b> Qn.

10. Twierdzenie. T)tva zwyczajne ułamki ciągłe nieskończone sg tylko wówczas równe, gdy są tożsamościowe.

Dowód. Niech będą bowiem dane dwa ułamki ciągłe nieskończone,

kształtu :

, 1 • 1 •

A — q o -)---b —

«1 ?2

S⁵

to

«3

o których przypuszczamy, że A=A‘.

Położywszy Pin = ---b

gn

wszelkiego 1 nierówności:

q*+1

qn q'n+\

+ ..., otrzymamy dla

0 < jB„<1,    0<jR'»<1,

a że A=A', przeto będzie q₀ + BA =q\ -b-R'i, a więc:

<7₀    2*01“    ^îj^Cl*

Ponieważ q₀ i q‘₀ są liczbami całkowitemi, przeto wynika stąd, że : 2₀=g₀' a zarazem Bi=B₁'.

więc q„ + Bn^i = q‘n+B‘n+i to

Jeżeli zaś dla pewnego n mamy Bn=B'

będzie także,

qn ą n i — I Bn.|_j    B nĄ-\ 1 j

a tem samem qn = qnj B.n+1 — jR'„₊i, zatem musi być ogólnie qn~=q‘n dla wszelkiego n , czyli oba ułamki ciągłe równe muszą być zarazem tożsamościowe.

- 553 -

Vi. Rozwijanie liczb wymiernych i liczb niewymiernych na ułamki ciągłe zwyczajne. Twierdzenie o zwyczajnych ułamkach ciągłych skończonych:

Wszelką liczbę ułamkową wymierną ~ można zawsze i to tylko na jeden sposób zamienić na skończony ułamek zwyczajny.

Mianowicie, na podstawie relacyj : a = q₀bĄ-ru b=qxrx + r₂, ri=q₂r₂-\-r.i,... •..rm-i—qmrm+rm+11 gdzie 0 ■<rm+\ <rm , a liczby q₀, q₂

rm , ... są liczbami szeregu naturalnego, otrzymujemy ostatecznie:

; 1 • 1 •

° q\ q 2

Twierdzenie analogiczne o zwyczajnych ułamkach ciągłych nieskończonych: Wszelką liczbę niewymierną można zawsze i to tylko na jeden sposób zamienić na zwyczajny ułamek ciągły nieskończony.

Niech będzie bowiem A jakąkolwiek daną liczbą niewymierną a q0 największą liczbą całkowitą w A zawartą. Połóżmy tedy: A = q₀ -j- ax, to

będzie a₄<;l, zatem — >» 1.

(j/j

Połóżmy — = g₁ + a₂

qm, •••? r1? r₂,..

+ ••• "1--•

qn

ax

— =qn-\-an+1, to ilość tych związków an

jest nieograniczona , bo każda z liczb a„ jest znowu liczbą niewymierną. Otrzymujemy tedy :

A    1    •    1    •    •

A=q₀-\---1---h-4

3l ?2

a zatem :

J-

1    P» “h Pn—1 Un-f-1

$ra+ ß«-f-1    Qn~{~ Qn—i^n + i

(—1)” a»+i Qn Qn (4łn + ^n+1 Qn—i)

(16)

więc :

Pn

czyli :

Pn

4= lim jf.

oo

18. Przykład. Rozwinąć ludolfinę t.— B'1415926... na Połóżmy t: = 31415926 + gdzie 0O<+ i rozwińmy iloraz

zwyczajny ułamek ciągły. 1415926 +«

10⁷

na uła-

mek ciągły a otrzymamy :

r, = 1415926 + «

88518-7«

10⁷

—    = 7 +

ri

r₂ — 88518-7«

—    = 15 -j

ri

r₃ = 88156—106«

a-i +

ri

88156—106«

^*2

ïî =15

362—113«

<h =¹

r₄ — 362—113 «

r~ = 292 + rs ,

1 . 1 - ¹ : ¹ :

,t = 3 + y+ 15 +T 4 292 +-

Przy zamianie danej liczby niewymiernej większyć ostatnią daną cyfrę o 1 i rozwijać równocześnie oba ułamki, jak w tym przypadku, ułamki: 31415926 i 3 1415927, przerywając rachunek w tym miejscu, gdzie w wyrazach obu ułamków ciągłych okazuje się już różnica.

zatem :

rt

ll a

ułamek ciągły korzystnie jest po

10. Ułamki ciągle nieskończone, których wyrazy, począwszy od drugiego są ujemne. Jeżeli wyrazy danego ułamka ciągłego nie są wszystkie dodatnie, wówczas niepodobna z góry orzec o jego zbieżności bez osobnego rozważania, zastosowanego do każdego poszczególnego przypadku. Najbardziej interesującym jest rodzaj takich ułamków ciągłych, których wyrazy począwszy od drugiego, są wszystkie ujemne.

Niech będzie •

x = Ł1 h — ü* — ...

9l 92    93

tedy otrzymamy w myśl wywodów Tomu I. art. 18. str. 405. wartość n-tego

Pi lh , PiPiPz

QiQ‘2 $2^3

reduktu :

+ ••• +

PiP2-■-P»

Qn—1 Qn

(17)

Wartość ta złożona jest z samych liczb dodatnich, nie może być przeto nieoznaczoną.

Przyjmijmy do tego, że dla wszelkiego n będzie qn > pn, tedy będzie:

Pn

= lim

<C 1, a więc także: x zbieżny. Mamy zatem udowodnione twierdzenie :

<1, to znaczy: Dany ułamek ciągły jest

LpJ — P»

92 9a ’

W tym wypadku są redukty wszystkie mniejsze od wartości całego ułamka ciągłego, tworząc zarazem szereg liczb rosnących, zbliżających się

„ Ułamek ciągły nieskończony :

... jest zbieżny jeżeli : qn pn-

coraz bardziej do wartości całego ułamka ciągłego.

Wartość ułamka ciągłego nie może być w tym razie liczbą wymierną,

P

to tedy

gdyż gdyby liczba x =

• lh ■ lh ‘

Pi była liczbą wymierną

92    93

musiałyby liczby P i Q być liczbami całkowitymi skończonymi, przyczem byłoby Q^>P, a przeto w różnicy:

ft, 0s

Pi __ P(1 i — QPt m N Q\ 9i

9i

^9i

musiałaby liczba N==Pq^—Qp, być liczbą całkowitą, przyczem byłoby znowu

p“⁹'“

gdzie P^> .27. Postępując tak dalej, musielibyśmy otrzymać szereg nieskończony liczb całkowitych i dodatnich niemożebnem, gdy P i Q są liczby skończone. Wartość ułamka ciągłego nie może być zatem liczbą wymierną. Wyjątek stanowi jednakże przypadek, gdy dla wielkiego n będzie qn — pn J- 1 wtedy otrzymamy bowiem według Tomu I. art 20. str. 406:

93    94

oraz

92

malejących: Q P^> N. . . co jest

Pn

Pi +Pjp2 hPiPiPz f - • • +Pjp2 • • ÖP«

Qn

(18)

1 +Pi -hPl^₂ +Pl»3 + • • • -\-PiPi • • •Pn

P P — = lim " = 1.

Qn

Przykłady. 1) Ułamek ciągły :    ---^---^---, .., jest zbieżny i ma za wartość

liczbę niewymierną, mniejszą od 1.

2) Ułamki ciągłe:

1 •

przeto :

71 — 00

Ol co

CO

5 *•* 1

... ,

-Jij cr:

sa zbieżne i maja wszystkie wartości = 1.

*20. Ułamki ciągłe peryouycziie. Jeżeli ułamek" ciągły ma tę własność, że od pewnego wyrazu począwszy pewna grupa wyrazów, stale się powtarza, natenczas nazywamy tę grupę stale się powtarzającą peryodem, a dany ułamek ciągły ułamkiem peryodycznym.

Ułamek peryodyczny, w którym peryod zaczyna się zaraz od pierwszego wyrazu, nazywamy ułamkiem ciągłym czysto peryodycznym. Ułamek taki, mający peryod złożony z m wyrazów, przedstawia się ogólnie w postaci :

ft+ft

?2    Irn

gdzie zarówno częściowe liczniki, jak mianowniki mogą być zupełnie do-wolnenn liczbami rzeczywistemi lub zespolonemi.

Dla takiego ułamka ciągłego otrzymujemy (m-|-w)-tą wartość przybliżoną w postaci :

P,

Qm-\-n

>fł

+ ••• +

p,„

Pn

Qn

a stąd :

1 niĄ-n

Qm-\-n

Pm-1

Qm - 1

g S se ?*

Ps O» PU O»

+ Pm

U Qni

(19)

Jeżeli dany ułamek ciągły peryodyczny jest zbieżny i ma wartość x, natenczas będzie :

Pn

= lim — =x

«=00

i ■    PniĄ-n

hm

00 ty m-\-n

przeto otrzymujemy z wzoru (19) wzór graniczny:

Pm—1    4~ Pm

x —

Qm - \ X-\- Qm

a stąd na wyznaczenie wartości x równanie drugiego stopnia w postaci :

Qm -1 X ² -f- {.Qm Pm - l) % Pm — 0 , które nazywamy równaniem kwadratowem, nemu ułamkowi ciągłemu peryodycznemu,

(20)

(21)

przy n ależ nem d a-

dwa pierwiastki. Aby

21. Otrzymane równanie kwadratowe (21) ma ocenić, czy dany ułamek ciągły peryodyczny jest zbieżny i który z dwu pierwiastków równania kwadratowego przedstawia wartość danego ułamka

źmy pod uwagę wyróżnik tego równania , który

ciągłego peryodycznego, we otrzymuje tu kształt :

{Pm _i — Qm) ² + 4Pm    1 = ( Qm + Pm-1) ² + 4 (Pm Qm-1 ~ Qm P, _l),

D = £² + 4P,

czyli :

gdzie S = Qm-f Pm._i, P=Pm —    Pm-\-

Jeżeli wyróżnik IJ—0, natenczas otrzymane równanie kwadratowe jeden pierwiastek podwójny w postaci :

ma

Pm—1 Qm

z czego wynika, że ani ył} ani y₂ nie może stać się zerem. Na podstawie wzorów (24) mamy:

(•U *U) Qm—y⁼yi y^i Ou *U) Qm⁼xxy^ x^yX:

a stąd ze względu na to, że :

Pm—i Qm — {X\    X2) Qm—i , Pm— X^X^Qm — 1,

otrzymujemy :

Z wzoru tego otrzymujemy równanie:

Pm—1

skąd kładąc: dostajemy związek :

Qm — 235 Q,ri—1 , Qm "ł⁻ x Qm—i⁼⁼ y >

to to

— y X Qm—1

do którego, z powodu, że D=0, a więc:

(Pm-i Qm) ² "t" 4 PmQm—1 = 0

dołącza się, na mocy wzoru (22), relacya :

.435² $²m_i -ł-4 ÇrnÇm-l—0,

Æ² Qm — i + Qm = 0.

czyli :

Z wzorów (22) i (23) dostajemy:

y=

j (Qm+Pm-,)=Y⁸’

a że D=0, więc S²= — 4P, zatem 5 a więc także y ma wartość różną ód zera.

Wobec tego mógłby mianownik Q/,m+r dla nieskończenie wielu wartości k tylko wówczas stać się zerem, gdyby równocześnie było Pr—xQr—0 i zarazem Qr—0, co jest niemożliwe. A że :

hm+r

(■Pr — xQr) hx Qm-1 + yPr

(■Pr X Qr) "h Qm—l~\~y Qr

Qhm-1- r

przeto otrzymujemy dla wszelkiej wartości r w granicy:

P/im+r

Qhm+r

lim

A=-f»

Ułamek ciągły jest w tym przypadku zawsze zbieżny, a pierwiastek podwójny jego równania jest wartością tego ułamka ciągłego peryodycznego.

22. Jeżeli wyróżnik D jest różny od zera, wówczas równanie: Qm~l X²-\- (Qm Pm i) X Pm=0,

ma dwa pierwiastki różne xx i 35₂ w postaci:

Pni_1- Qm~\~ P

xx

2 Qm_i

Xi=-

Pm—i Qm P

2 Qm-1

gdzie :

B=‘V(Qm-Pm_^+%PmQ

m—1*

Połóżmy :

wówczas otrzymamy :

y i — Qm “ł" Xx Qm — 1 j y 2 — Qm~\~ X% Qm—i

(24)

S+P

przeto :

S-P

lJ\— 2 ’ V2 2 ~

S²—P²    S²—D

y i?/₂=—4

P,

(x4    x«)Pm—\—xxyx x^y^, [xx x^) Pm—xxx^{y^ yj).

— 557

Wobec tego dochodzimy, wobec: h> 1, do wzorów:

(xt ^2) Phm-\=%\y\h x₂y₂h , (x\—xi) Qhm-i~y^h—y-1¹ ;

Cxi *2)    ⁼x\X2(y2*    2/1;') ?    (^1—#2) Qhm=xiy₂h— x₂yxh.

ma być zbieżny, to od pew-zerem.

Jeżeli dany ułamek ciągły peryodyczny nego n począwszy nie może żaden z mianowników Qn stawać się Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy ogólnie :

(Xi X2)Qhm + r ⁼ {Pr X₂ Qr) y\h (Pr X^ Qr) \f₂ .

Jeżeli dla pewnego r jest Pr—xiQr=0, to Qhm+r musi się różnić od zera,

gdyź nie może być równocześnie P,—x₂Qr = 0. Stąd okazuje się może tylko wówczas stać się zerem, gdy:

QhmĄ-r

(Pr #1 Qr) 0 i (y<i'-y\)h — (Pi--X₂Qr)'.(Pr— XiÇr).

G'dyby tedy mianownik Qn miał się stać zerem dla nieskończenie wielu wartości wskaźnika n, musiałaby istnieć przynajmniej jedna wartość r₀, dla której: JPr#—i której odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości ńj <Cń₂<C ••• <2K <2.... takich, że:

(y% ‘ V\ )h (Pr₉ X₂ QrJ : (Pro Xx Qr₀),

Ponieważ wtedy (y₂ :yl )h*—ht — 1 , więc iloraz y₂:y,, musiałby być 0h—/^)-szym pierwiastkiem jednostki , różnym od 1.

Jeżeli y₂:yi jest ^-tym pierwiastkiem jednostki, to mianownik Qn staje się zerem dla nieskończenie wielu wartości n. A że tedy y₂P=y^p, przeto otrzymujemy:

(xi ^2) Qpnm—1—0) t. j. Qpnm—1—0? (W—1, 2, 3, ...).

Ułamek ciągły peryodyczny jest wtedy nieoznaczenie rozbieżny. Z wzoru :

Phm+r

(Pr x₂ Qr) x^yxh (Pr x^ Qr) x₂y₂

Qhm + r

(Pr X₂Q0y\h (Pr X^Qr)y₂‘

(25)

który obejmuje wszystkie wartości przybliżone wypływa, że dany ułamek ciągły peryodyczny zdąża do granicy x^ lub oscyluje między granicami xi i x₂, stosownie do tego, czy różnica Pr—x₂Qr dla r=0, 1, 2,..., m—1 jest różną od zera, czy nie.

23. Z powyższych rozważań wypływają następujące twierdzenia:

1.    Ułamek ciągły czysto peryodyczny jest rozbieżny, gdy Qm-i =0.

2.    Jeżeli Qm_i J>0, « wyróżnik 1)=0, zatem przynależne równanie kwadratowe ma pierwiastki róicne, to ułamek peryodyczny jest zbieżny a pierwiastek podwójny jest wartością graniczną ułamka.

3.    Jeżeli Qm~\ |>0 i P) J>0, a iviec przynależne równanie kwadratowe ma pierwiastki różne :

Pm—1 Qm ~ P 2 Qm-1

W = l),

i X2

*1 =

tedy dla rozbieżności ułamka koniecznym jest warunek S—Ii % S-\-M a nadto Pr—x₂Qr i>»0, r=0, 1, 2,..., m—2, gdzie dla wyznaczenia x₂ ma być znak pierwiastka li tak dobrany, aby było: \ S—P\<2\ S-\-R\.

Pierwiastek xi jest tedy wartością graniczną, danego ułamka peryodycznego.

2 Qm-\

55S

24. Przykłady ułamków ciągłych pcryodyeznyCli.

1) Niech będzie dany ułamek ciągły peryodyczny, kształtu: — +— +

p i q są różne od zera , tedy ułamkowi temu odpowiada równanie drugiego stopnia w postaci : cc² -J- qx = p.

Mamy tedy S = q, D—ql -\-Ap.

Jeżeli Z) <0, to równanie x² -j- qx — p ma pierwiastki sprzężone, a ułamek ciągły

(J

jest wtedy rozbieżny. Gdy D = 0, równanie posiada pierwiastek podwójny x =— ₀ , który jest zarazem wartością ułamka ciągłego.

a, w

-j-... gdzie

Jeżeli D^> 0, tedy mamy w przypadku q < 0 nierówność: ! S—\/D $ | 5-f- \/l) , ułamek ciągły jest wtedy zbieżny a jego wartością jest:

— ?— VV +

— 2 + VV +

lub

stosownie do tego, czy mianownik q jest dodatni, czy ujemny. Wartość ułamka ciągłego jest w tym przypadku zawsze równa bezwzględnie mniejszemu pierwiastkowi równania. Na szczególną uwagę zasługuje najprostszy z ułamków peryodycznych tego typu

w postaci :

— 4- — 4- ¹ 4-...

i^iri^

Mamy tu P₀ = 0, Ç₀ = Pt — 1, ogólnie Qn—Pn-f-l. a przynależne równanie kwadratowe w postaci: x²Ą-x=\.

Wartością graniczną tego ułamka jest dodatni pierwiastek równania :

— 1 -f- y/ 5

Między licznikami poszczególnych wartości przybliżonych, zachodzi tu relacya :

Pn —¹ Pn—1 -j⁻ Pn—2 ,

otrzymujemy zatem, ze względu, że: P₀ — 0, Px = 1 , wartości następne: P₂ = 1, P₃ = 2, P4 == 3, Pr, —5, P₆ = 8, P₇ = 18, Pg =21, P₉-— 34, Pin = 55, ... zwane liczbami Lame’g o.

2) Ułamek peryodyczny dwuwyrazowy kształtu : —[— ^    ^ -f-    —f- . . . otrzymuje

ze względu na to, że: Pt = p, Qx — 1, P^—pq, Qi = qr równanie przynależne kształtu:

xl 4" (2 + r — p)x— pq.

Mamy tu S = p-\-q-\-r. Jeżeli P=0, a więc r — — (p-\-⁽l)₁ tedy ułamek ciągły otrzymuje postać:

U P + g i p U P+ 2 L 2 ⁺1 a?² — 2pæ — p q ,

a przynależne równanie:

pierwiastki p + VV² + P<1 i P—V/P? + pq 1’zeczywiste i różne, skoro: p²-j- pq 0, ułamek jest wtedy rozbieżny.

ma

Jeżeli P < 0, to ułamek jest zbieżny, jak długo przynależne równanie:

3,2 + (2 + r — p)x=p q ,

ma pierwiastki rzeczywiste. 3) Ułamek peryodyczny

w-wyrazowy kształtu : x = ^>i -p -j- ... 4- — 4- — -f- .. w któ-

2i 22    2« 2i

rym liczniki pn p₂,..., pm i mianowniki qu ę₂, ..., gm są wszystkie dodatnie, jest zbieżny. Jego wartość graniczna jest dodatnia , określona dodatnim pierwiastkiem przynależnego równania kwadratowego, postaci:

Pm- 1— Qm -f- \/(Pm—1— Çm)² -j- 4 Pm Çm—1

2 Qm—i

gdzie : a więc :.

(Pm 1 Qm)²-{-A Pm Qm—l2>(Pm-l—Qm)²,

V{Pm-\ Qnî)² -j- Pm Qm—\ > | Pm—1 — Qm |.

- 569 -

Ćwiczenia XXXIV.

Wyznaczyć »-ty redukt następujących ułamków ciągłych : • 1 •

2 ⁺-

4-- +

7+ "

B) -+f +f + ...+

1)

's

2) I + ¹ + 1 + ¹

V    2 V 2

... 4) Ł ₊« ₊

2    2—2i

+ •••

; p~Pi ; p—to ;

î-îî 2-2?

5) Wyznaczyć warunki, pod jakimi dwa ułamki ciągłe o zmiennej cc, kształtu:

• bn—1

x -f- o₂    a; -j- an

; Pi : x • p₂ : cc j • Pu '■x

1    +-+Ï+ J₂

*o

x -f- «o * -f- a, 1 : a:

n-f-1

będą tożsamościowe.

6)    Wykazać, że licznik i mianownik ułamka ciągłego: dnio równe mianownikom ułamków ciągłych:

pm    i ¹ +

22    2j7j

7)    Wykazać, że wartość ułamka ciągłego leży zawsze między dwoma po sobie następującymi reduktami a bliżej następnego.

« + ¹m

2»?i—i

Pn

t? ?

-j-    -j-... -f- P™ są odpowie-

22

Pm

+-+S-

8) Wykazać , że »-ty redukt — ułamka ciągłego jest bliższy wartości ułamka ciągłego

Qn

p

niż jakikolwiek ułamek —

którego mianownik byłby mniejszy, niż Qn.

9) Między jakiemi granicami leży błąd, jeżeli zamiast ułamka ciągłego :

Pi Pi _j_ _j_ Pn

2i ^ 22

weźmiemy jego (»—m)-ty redukt.

1-1.1.

10) Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony:,— + —1---- + ••■ +

a\ ai a3

- 4 _j_ ... jest za

wsze rozbieżny, skoro szereg : a, -f- n₂ -j- a₃ + ... + ö» -f-... jest bezwarunkowo zbieżny.

11) Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony:    4” ^ 4" ••• jest niewłaści

wie rozbieżny, jeżeli oba szeregi :

P1P3

P\P3 - Pu—1

Pi

PiPi

<hr + -

Pi

+ ••• +

Pi Pi - Pu Pi Pi Pu    22r+l

Pi Pi ••• Pu—1    Pu+i

są bezwarunkowo zbieżne.

12) Wykazać, że ułamek ciągły — -j--4~    4~ **-4--4“— .łes^ zbieżnym, jeżeli

d’2 Clą    Cln

szereg: a, + a₂ -j- a₃ -j- ...-{-an -j-... jest rozbieżny.

Zbadać zbieżność następujących ułamków ciągłych nieskończonych :

1 (w_2)2 4-...

13). ~ +    4- g² 4- ⁶² '

12.2.    : 8.4 ₊ 4.6 ₊    :»,_(» +J) j

~ 02 ~ 2³    ~ 2ł ~ “n 2n

• 1.2² * 2².3³ •    • (»—2)»—¹. nn ;

43“    +

14)

. Cl

(T,

Cl

cc

IB) l +

16)*-±i + (- + 1

X - 1    \ X

(» -f l)n

W—1

+-

17)

1.2    •    2.8    -    3.4    -

; (n — 1 ) «

r.

sin —

03 ,i

sin — 4

sin —

18) 1 + Y+^+-p +... + -P + ... 19) Y + y + T + -+T. +

+S+-

²⁰⁾ * + ¥«+£• + i + - +

1“ a'² . 2a(a²-fl)., 3a(ał-f2)-²³⁾ 2"3 + 4~5+- +⁽“n}

22)

a:²

51-+- +

1«    , 2« . a« .

²¹) x* + X² a:"² +

• «“(a²-)- « — 1) •

a?²

sin 4

(— 1)»» + ¹ sin —

H CM

sin

sin

sin 1 •

2    ⁺    3

Wyprowadzić następujące rozwinięcia :

+ 2 + ¥ +'"

27) \/l8 — 4 + -4 4- -g- -H ₄ 4- -g- + ••• ²⁸)

24) —

25) y/2 = 1 -f

t-H O d

26) \/ll = 3 + y + y + ¥ t T + -

3+ V/5

+ ¥+ T+T^-

Wykazać , że :

29) ¹+¥+¥+T+ '3+T + T+-

•4+4.+4

1 ^ 2 ^ 3

3+Y/37

Y/B7-4

30)    i +

31)    Dowieść , że : y/«² -f- 1 = « + ^—t* ^ 4" —

LC h-»

rH CO

32) Wykazać, że «-ca wartość przybliżoną powyższego ułamka peryodycznego można sprowadzić do postaci :

(a -|-Y/aï+l)ra + (a — Y/a² +1)”

(o -j- y/o²-j- i)w —(o — y/«² -j-1)”

33) Wykazać, że ułamek ciągły peryodyezny, złożony z « wyrazów kształtu:

rH

£5 U-l

-j-.. . można zamienić na ułamek peryodyezny jednowyrazowy

w postaci :

(-1)”-¹ j (-1)»-¹

Ç» "t" ę* —1    Çn-f-Çn—1

34) Wykazać, że licznik «-tej wartości przybliżonej ułamka ciągłego peryodycznego :

Qn—1

\Pn-l -j- [

+ -]}•

4—j_ 4—4 J|_ ># sprowadza się do postaci :

Pn

podającej t. z. «-tą liczbę Lamę go.

35) Wykazać, że «-ta liczba Lame’go Pn (ćw. 34.) podaje ilość wyrazów w liczniku «-tej wartości przybliżonej ułamka ciągłego: ^ 4-    4    + ••• 4“ ~ "1" •••

</j    (J 2    ^3

Wyznaczyć wartości następujących ułamków ciągłych :

⁸⁶) \ - t li + i + i + - }■ ⁸⁷⁾ & + i In+u + - )■

¹ /¹ • ¹ ;

_¥\T0 +Ï0 ⁺-

88)

15

8 8“ {'62 t 62 1

— 6fil —

10) 4+j 4 ‘ +...    41)2 + ~|l2+[

42) 8 +1 { 6 + [| ■+ i + g + - ] }• 48) » + .1 ■+ f4 i + i + | + i + -

²⁷ 4 -4- 1

^ 100 ⁺    -I'

100

44) Dowieść , że :

a + 1 6 + 1’

° + T + y +    + T + y + ir + ■ ■

ł+T+y+y+T‘‘‘y+y+•••

45)    Dodatni pierwiastek równania 3a:² + 8a;—7=0, zamienić na ułamek ciągły.

46)    Dowieść, że jeżeli w ułamku peryodycznym ^ 4- — -j-... zastąpimy p przez — p²,

g g

a q przez ę² + 2p, to otrzymamy nowy ułamek peryodyczny, który przedstawia kwadrat danego ułamka wzięty ze znakiem ujemnym.

47)    Dowieść , że jeżeli w ułamku peryodycznym : — -j- — -j- ••• zastąpimy p przez p¹

a q przez ę³ + 3pę, to otrzymamy nowy ułamek peryodyczny, który przedstawia sześcian danego ułamka peryodycznego.

JPn

Rozwiązania XXXIV. 1) —

Qn

_(!+Vt⁺¹) ~(f - Vf⁺¹)

(ł+v?^r-(+-v^

2)

Pln-\

<r~¹ 4- (²”i ³) pn_2 gn_2 + ...

qn-1 + ...

(g«—g) On-1 — p)—(y,-l-g) (P,~P) (7„_2—liVn-A-P)-(7„_i-9'Xîj«_2—P)'

p*-¹

ę³p>‘

-3+ ...

P«

3)

Pn + (* i J) î²P"-² + - •

(7,-2 - g) (Pn— P) —(g, — g) ( P«- 2- P ) (g»—2 g)(P«—1 P) (gn—1 g)(P« —1 P) ’

5) a₀ = Pi, 6₀ =Pt Pî, «r = p2r + p2r+i, &r-i=P2r-lP2r* ⁹) Mi?dzy granicami:

Qu—\

4) Pn

pnqn

Qn

PlPi"Pn-m+\

Qn—m Qn—m 4-1

13)—17) zbieżny. 18) rozbieżny. 19) rozb. 20) zbieżny gdy

Qn—'■* (Ça—jn-j-l + pn—m+2 Qn—m) a <; a:², rozbieżny, gdy a > xî. 21) zbieżny, gdy a<; 2. 22) rozbieżny, gdy a ■> 2. 23) zbieżny.

24) zbieżny. 86) y/Y. 37) \Z~2. 38) {/ 3 . 39) V 6 . 40) 2 + y/ 5 . 41) V 7 . 42) y/l7. 44) Dodatni pierwiastek równania: (b + \)x‘l—(ab + a + b — l)x = a +1. 45) ^ + -g- +    +

+T+T+Ï+-

Literatura. J. Lieblein. Sammlung von Aufgaben aus der algebraischen Analysis. Prag 1867. J. A. Serret. Handbuch der höheren Algebra deutsch bearbeitet von G. Wertheim, Leipzig 1868. Dr. Otto Stolz und Dr. J. Anton Gmein er. Einleitung in die Funktionentheorie II. Abtheilung. Leipzig 1905.

lematy do rozprawek naukowyeh :

1.    Przekształcanie ułamków ciągłych.

2.    Zbieżność ułamków ciągłych zwyczajnych.

3.    Teorya ułamków ciągłych peryodycznycli.

l)r. Dziwiński. Wykł. matom. I. Tom II.

Wykład XXXV.

Przekształcanie szeregów i iloczynów nieskończonych na ułamki ciągłe nieskończone.

1. Przekształcanie szeregu nieskończonego na ułamek ciągły nieskończony. Ułamek ciągły nieskończony kształtu :

V* u

?°+2 +

możemy, jak wiadomo , zamienić na równoważny szereg nieskończony kształtu :

■ Pn

(/n

gdzie :

u₀ +U:—U₂+U₃    f*₄ + ...+ (— l)r“¹M;.+ ...

_P\P~l ••• Pr

Qr-1 &

Pl

u0 — Qo: u\ —

Możemy zatem położyć :

=w₀ +ux— f#2*+w₃—«4 + ... + (—1)

Pn

\n- 1

, gdzie w=l, 2, 3,...

Równania te mogą służyć naodwrót do zamiany szeregu na równoważny ułamek ciągły nieskończony, co się da nieskończenie wielu sposobami uczynić. Przyjmując na razie mianowniki Qr wartości przybliżonych dowolnie, otrzymamy na wyznaczenie liczników częściowych wzory:

_ Q'l

(7o — % » P\ ~u\ Q\ ? Pi

w,

W3 Q?, •

a'⁼«₂-«7’

ogólnie :

w,. (j),.

Ur-\ Qr—2

(r== 2, 3, 4,...)

(1)

przyczem <yo = l, natomiast mianowniki częściowe będą określone wzorami:

(%— «₂) ^2

r/l ~ $1? ^2 —

(Za

(W/-_j    W;) Qf

([r~ Ur-1 Qr—\

Obierzmy mianowniki Qr wartości przybliżonych tak, aby częściowe liczniki i mianowniki szukanego ułamka ciągłego były funkeyami całkowi-temi wyrazów u, równoważnego szeregu.

W tym celu połóżmy: Qt —1, Q₂=xU], Qr=*u{u₂... ur-\, (r—2, 3, 4,...). Wskutek tego będziemy mieli:

p.=Wj, (J\~ 1, 2j (72    ^2> Pr⁼⁼Wr_2Mr, (/r—W,—1 W/-, (t*=3, 4, 5...),

ogólnie :

(»*“2, 3, 4,...).

(2)

a temsamem wzor :

u₀ + ux —w₂ + u₃ — uk +... + (—1 )»+]un - u₀ +^ -j-przekształcający dany szereg na

2. Przekształcenie szeregu potęgowego na ułamek ciągły. Chcąc dla takich szeregów otrzymać możliwie najprostsze ułamki ciągłe równoważne, przyjmijmy najpierw, że:

_U2__' «lUa :    • Un -2 • Un

% W2 W'2 W3

równoważny ułamek ciągły.

w«-i —w«

(3)

~    ar xr

u». =U, ur—~--

bryr

Pod tern założeniem, na podstawie wzorów (1) i (2), otrzymujemy:

Uy 1) y-1 X

ar— 1 br y Qr—2

Jeżeli więc przyjmiemy : Qx = bxy, ogólnie : Qr—ar_i óry $,_i, (r = 2, 3,4...), to otrzymamy przekształcenie w postaci :

uxx a₂xl azxz a₄æ⁴

h U*

<*\X _j___a₂by²xy ■    _j_    a»_₂an b²n^\xy

bxy axb₂y — a₂bxx

(r=l, 2, 3.,.).

a.x V\ =-y—

, qr= —

ar-\ br y—ar b, ^\ x ar-\ br y

Qr

Qr—1

r +■

4-+    1)

n—1

anxn

bn yn

(4)

o«—1 bn y    un bn—135

Z wzoru tego otrzymujemy dla y— 1, wzór: al xï+ a3 x* _

h h

JS

æ—

On

bn

Xn =

(5)

j

a, b₂ — a₂bxx

przedstawiający zamianę dowolnego szeregu potęgowego o wykładnikach całkowitych na równoważny ułamek ciągły.

Dla x= 1 otrzymujemy odpowiedni wzór dla szeregu potęgowego, uporządkowanego według ujemnych potęg zmiennej niezależnej y w postaci:

axx ■

Un — 1 bn Un bn — \ X

«1

■rV

_«2 „-2. «3 \y \

y~³ —

y~k f-

(6)

— “L _j_ a^i ²y ; _j an-,unb\^y

b\ y ' axb₂y~a₂bx ^

Jako szczególne przypadki tych wzorów wypływają , jeżeli położymy raz bx =b₂ ==... = 2»w = 1, to znowu «,=a₂=...=ßn=l, wzory następujące:

uxx—a₂x² + a?x³—a₄&⁴+... + (— l)"⁻¹ u„ xn =

Q>n—2 ^n &

Un -—-Cln X

x • V* ( V* ;

b₂ — bxx b₃ — b.₂x

Un — 1 bn y Un bn—1

ax X ■

U₂ X

; axazX ; ax — a₂ x    o.₂ — a?x

(7)

X X² X³    .r⁴    ,    ...    „.#»

_ + ₊... ₊ (_!)(»-1) _ =

U\ b₂ b₃ ,    bn

•    b\- \X

bn bnx

(8)

ai y

—a₂y-² + a₂y~³—o₄y-⁴-f.. + (— l)(n_1)««^

Un—2 Uny

«2y ; _w„ J

«2^ —«3

-f- ... +

(hy—u₂

«n-1 y-a»

b.

c-

bn

a.

i«/

&3?/—*2

Przyjmijmy, że w danym szeregu:

#„+«l-«ił«3- % + .-. + (— 1)

u₀ — O, M₁ =

Un + • •

M,.=

axa₂... a,-«''

bxb₂--. bry¹

(r=2, B, 4,...)

wówczas mamy, na podstawie wzorów (1) i (2) :

(//■ X

bf y Qr—2

V\ =

axx

b, X

<7i — Q\ ? P>—

qr =

bry—arx

br y

Qr

Qr—1

(r=2, B, 4,

Przynależny ułamek ciągły otrzymuje tu najprostszą postać , jeżeli

położymy :

Q\ — bxy^ Qr b,.y Qr—i j ix 9, d:...),

otrzymamy tedy odpowiedni wzór przekształcenia szeregu na ułamek ciągły w postaci :

axx axa₂x2 bxy bx b₂y

Œ ihx ;___a%b\Xy ;

bxy b₂y — anx

axa₂... a„ xn bxb₂... bnyn

; Un bn-\ X y

bn y—an x

(9)

kładąc a, =a₂ =...=1, otrzymujemy stąd wzór w najprostszej postaci:

(—■I)*-¹®*

x\

X¹

z⁴

M2

b\b₂b₂ bxb₂ 6₃ b4 o₂ — æ 63 — a;

a:

(10)

— x'

Przykłady. 1) Szereg wykładniczy ex zamienić na ułamek ciągły. Mamy tu :

+ Ć 2+ r¥T8⁺-⁺r.B':'é‘...»⁺-

otrzymujemy zatem według wzoru (10) wprost żądane przekształcenie w postaci : cx = 1 -j⁻ ——

ważne dla wszelkiej wartości zmiennej x.

2) Szereg logarytmiczny przekształcić na ułamek ciągły Mamy tu dla |a?[<^l, szereg:

2x

2 -f- x 3 x

xn

• (n—l)x •

otrzymujemy zatem według wzoru (8) odpowiedni ułamek ciągły:

x ■ x ■    2²x    -    3²x    ■

log(l+z)=T+r_-+g

I x j 1, a rozbieżny wraz z szeregiem dla wszelkich innych wartości

—2x

■+* :

4—3x

n²x

' (n -j- 1) — nx ¹

i-...

zbieżny dla zmiennej x.

3) Rozwinąć funkcyę sina; na ułamek ciągły.

Mamy tu: sin x = x —

x?>

a;⁵

x"‘

1.2.3

1.2.3.4.5    172.3.4.5.0.7

otrzymujemy zatem na podstawie wzoru (10) przekształcenie:

1. x²

4.5a:²

i ²-⁸*² i 1 ^ 273 — "x²    475"— x² **

4. Przekształcanie ilorazu dwu szeregów potęgowych na ułamek ciągły.

Niech będą $po(æ) i ^(æ) dwa szeregi potęgowe, uporządkowane podług całkowitych potęg zmiennej x\ niech będzie x wartością zmiennej, należącą do wspólnego zakresu zbieżności obu szeregów. Pod założeniem, że: ^No(0)<P, możemy położyć :

sin x

6.7 — x²

gdzie ó₀ =

^o0*0    $0*0 + «i*$₂0*0.

spółczynnik aA może być jakąkolwiek liczbą różną od zera,

a s|>₂(^) przedstawia nowy szereg potęgowy zmiennej x.

ogólnie :

Jeżeli S-J$₂(0) nie jest zerem, możemy podobnie położyć:

$10*0 = &i$₂(*) +«2* ?ß₃(a;),

$n 0*0 - bn 0*0 -f- (lnĄ. 1 Æ$n-f2 (**0, (w-d, 4r, ...),

gdzie pod założeniem , że $₃(0), $₄(0), ..

są różne od zera, jest zaś spółczynniki a₂, a₃, mogą być dowolnemi liczbami. Otrzymujemy tedy:

$o0*0

$,0*0

=b₀Ą--

axx

$i0*0 :$₂0*)

$i0*0

$₂0*0

*,+

a₂x

$2 0*0 : $₃(a0

$n 0*0

$«+i0*0

a»+lÆ

^₊₁ (*):$«+;(*)¹

a temsamem rozwinięcie kształtu :

$<>0*0    7    ,    •    «2«    ;

^=ł°⁺V⁺ 4,

Weźmy pod uwagę ułamek ciągły nieskończony, kształtu :

K+al"L +af- '

&i b₂

•anx ; an+,a;$»+2 0*0

bn

: (In % ;

bn

to oznaczając jego M-tą wartość przybliżoną przez otrzymujemy :

a zarazem :

$»+i 0*0

(U)

ar

i kładąc .

$nQQ

$»+i 0*0

ïn 0*0

«n-f 1 X Pn—\ + Fn+\ 0*0 •

$<>M₌

s^j (x)    rt« + l % Qn-\-\-Fn+\ 0*0- Qn

Pn—1

Pn

I}

$o0*0 _    ₌___

$j(æ)    rtn+l ^    +    (**•)• ^" ^"-_1

Jeżeli przyjęty ułamek ciągły jest zbieżny, wówczas lim ^ skoro zatem czynnik :

(12)

-i

Gfn+l a? $«—1

rtn + 1 * ön+1 + ^«+1 0*0 Qn bezwzględnie wzięty jest dla wszelkich wartości n skończony, wówczas mamy także :

lim

n= o©

/$o0*0

l$,0*0

r°

zatem :

r *•_*.(*>

^ «.“W*)'

n=

10. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na ułamki ciągłe i na-

równoważny ułamek ciągły

wzajem. Zamianę iloczynu nieskończonego na

i nawzajem można uskutecznić albo wprost albo za pośrednictwem równoważnego szeregu nieskończonego.

Niech będzie dany iloczyn nieskończony:

r=oo / x

(l/j (^2

......

Połóżmy :

«1 W₂

natenczas otrzymujemy:

a\—    P?,

» ii+... + ?=

(7i    (?2

Zn

Pi

<h

te te

(a₂—ń₂)«₁ ^

ogólnie :

«i

?3

axa^—bxb₂

(In

(O/j—3    — s) (®n—1    - 1 ) • On_ 2 • Ó;i—2

««-2 «»—1 — ń„-₂ ^n —1

-, (n>4).

Wzory te prowadzą do rozwinięcia zbieżnego iloczynu nieskończonego na równoważny ułamek ciągły.

Naodwrót otrzymujemy, na podstawie tożsamości:

1 n • Qn—t

^ ~^~*2 • Qi JP^

Qn Q\ iJ\ Ql 1\Q?,    Pn-iQn

wzór :

P\ Pi i \ Pn '    _ P\ Pj • Qj

qi ' r/₂ ¹ qn    PjÇ₂ ‘ P₂Q₃

przedstawiający przekształcenie danego ułamka ciągłego na równoważny iloczyn nieskończony.

0. Przekształcenie iloczynu nieskończonego na nłamek ciągły za po-

P*-Q*

P„ + i • Qn

Pr,

średnictwem szeregu. Dany iloczyn nieskończony kształtu : na podstawie tożsamości :

l.Wjîfo . . .M„— 1 + (m, — 1)4- ux{u₂ — l)-f W, w₂(w3—1 ) + .-•+w, w₂...w„ zamienić na równoważny szereg nieskończony:

I i /On \    . Q>\ b\ Sj’ *    i    Ow    ••

■JUn/ ⁺ ft,    6»    ' ‘

11 (j) możemy

7?~ 1

(wn 1)

który przedstawiony w postaci:

ux —u₂ + «g —uk +... -f ( — 1 )n

zamienia się na ułamek ciągły kształtu:

-1

On ,

Mj — U₂

otrzymujemy zatem wzór:

at -by j (o₂ )ax b ] ■ Oi«₂ — M2

»4 - «»

ffr=co

^    I (a»_l—bn—1) (On + l    &n-j-l) On bn j

OnO„-j_l ’ bnl)hĄ.\

przekształcający dany iloczjm nieskończony na ułamek ciągły.

», a

+ •••

— 567 —

12 , g2 . 52 ,

N. p. a) Ułamek ciągły 1 H—^—H q + -g 4* można przedstawić w postaci iloczynu nieskończonego : \

3    10

1 ' 2 ‘ 13 '    ¹ 781 *•*

2

b) Iloczyn nieskończony :

1-H CO OS t>*

684

2 6 6 10 10

' 3 ' 1T ’ 7 ’ ‘J ‘ ÏÏ zamiema ua ułamek ciągły

1.2 ; 2.3 •    .6 • 6.7 •

i ⁺ T    ⁺ -

iC

7. bezpośrednie rozwijanie danej funkcyi na ułamek ciągły. Eozwi-janie funkcyi f(x) na

ułamek ciągły jest częstokroć bardzo korzystne, jeżeli chodzi o wyznaczenie liczebnej wartości tej funkcyi dla pewnej wartości zmiennej x. Wyznaczenie ułamka ciągłego równoważnego z daną funkcyą jest wogóle zagadnieniem nieoznaczonem, a staje się oznaczonem przy wyborze pewnego typu ułamków ciągłych. Załóżmy mianowicie, że:

/(*)=-

; a2x , «3*    ;    , an% :

l ⁺ 1    ⁺ 1

+ •••

gdzie av a₂, ..

Kładąc x—0 otrzymamy f(0) = a] wartość funkcyi /(./•) w miejscu x=0.

•?

an... są spółczynnikami bliżej oznaczyć się mającymi.

spółczynnik ai przedstawia zatem

Kładąc f(x) =

a,    .    ...

otrzymujemy w zmiennej y funkcyę, która ma się

1+2/

wraz

z x stać razem. Funkcya ta przedstawia się w postaci y=

atx

1 + z

zatem :

~a2- Spółczynnik a₂przedstawia zatem granicę stosunku

gdy dąży

do zera. Zmienna z staje się określoną wzorem :

a₃x

z— --,

1 +M

... Podobnie otrzymamy ak —

V /o    V

Spółczynniki a1? n₂, a₃ ... an ... ułamka ciągłego kształtu:

• a₂x • a₃x ;

1 + ₁ + i

otrzymujemy zatem z szeregu podstawień:

v ’    1+y’ J 1 + 0’    1 -\-u

z którego wynika, że o₃ =

i t. d.

+ ...d

• ClnX ■

skoro wyznaczymy wartość f(x),

Przykład. Rozwiązać funkcyę (l-\-x)n na ułamek ciągły. Kładąc x = 0, otrzymamy najpierw tą — 1, zatem możemy położyć (l-fa:)n —

stąd dostajemy:

1—(l-x)n

v - H+źT-

1+y

Dla x = 0 otrzymujemy y₍₎— — «(l+a+U¹

(!+*)" “

11 x

-n — a-i- Możemy więc położyć:

nx(l-\-x)n 1 ï- (l+*)i _1

stąd dostajemy :

a stąd dla x— 0 stosunek

(ih

to 4-

— = a₃, a więc:

«-(-1

, .    1 • nx •    2 X •

(l-fx)» => y--J“ *ł--J--F —

wzór przydatny przy przybliżonem wyznaczaniu potęgi (l-fa;)« dla małych wartości zmiennej x.

Ćwiczenia XXXY.

ciągłego.

1) Równanie ax— by =■ 1 rozwiązać w liczbach całkowitych za pomocą ułamka

Rozwiązać podobnie równania : 2) a x — by — c. 8) ax by — c.

1 p . 2P . 8P . 4;)    .

4)    Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony: y -{—— -j-żny, gdy : 0<p < 2.

X • X² • X² •

5)    Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony: ^ -j- ₀ -(- ^    jest zbieżny, gdy

jest zbie-

0 < x <; 1.

6)    Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony: — -j-    -j-    jest zbieżny, gdy

x>l, a oscylacyjnym, gdy 0<#<1.

7)    Wykazać, że ułamek ciągły nieskończony:

¹ i¹:¹:⁴:⁴: i o i o i •*

jest równoważny z szeregiem nieskończonym :

t~t⁺4_4+-⁺v

8)    Wyznaczyć, ułamek ciągły nieskończony, który jest równoważny z szeregiem harmonicznym :

• n² • n² • _ o — — -

n +-

Wykazać, że:

9) 1-4

______• (*~l)ł •

8    5    7    " 2n-l

U)-3

1.2 •    1.2 -3.4 -3.4 -5.6 •

¹⁺ł +Ï+ 4 ⁺-⁺ » ⁺ "

—0. 1°) {-j + j- } - + ». ... = 1.

11

1 + Y/5

12)

Ol tfa.

=i 1312-¹-¹-¹-- «i 7    9    11    13    15    }    2    2    2

?+-

14) 1 + y + T + T+- = 2-    15)    + l + y +

16) ~ = i- 4- y 4- —j— + ²,⁸ + ⁸,* + ...

¹⁷>-4 -T+ T +-V + 7 +-# +- 18)‘-*+l+ 8 +T+-+T + -

- ₊ -+4 +■••

log 2

19)    T

20)    Wykazać , że ułamek ciągły zwyczajny : y₀ -j- —    -- -f- ... -f* jest tylko wtedy

?i 72    7«'

— 4-... 4- — + —

7i 7o ’

— log 2

równy ułamkowi :

qn + —--f

?«—1

7n — 2

skoro :

(r =

0, 1, 2

7r 7n—r

Taki ułamek ciągły nazywa się ułamkiem odwrotnym.

Wykazać, że ;

²¹>x^ + T

Ï + i*+ -^r+ -£» + •-

a2> i . i , i . i .

-X²

Wykazać, że :

r— n

X³

,    -    ,    _ X • X (1—X²) • X²(l— X²) • X²(l—X²)² •

1 — X³    1 — X 1 — X²    1 — X³    1—X*

X⁴ X⁹

X³

X⁵

x + l x³ + i x⁵+l x’ + l

23) ». + 2 (-1)'-¹ «<•=«.+ T- -¹ „

i'h

r— 1

ux — W₂

i '»i %    ;

r «₂—«3    ’ '

Un—2 Un

Un—1 — Un

+ •••

r=n

24)    2 (-1/-1 «r x>=^ + xr x

25)    > (- iy-i =--h

²    ^    ’ ar a,

rs=l

a₂x

«! «2*

ł=l

j-= n

— «2 37 a2 — «3X

«2 — Oj X

a₃—a₂x

+■ ••• +

(fn—2 a« x

a«—i — a» x

a«—i* x

Wyprowadzić następujące rozwinięcia funkcyj na ułamki ciągłe nieskończone :

x² •    2.3x²    •    ; (2»-2)(2«-l)x² •

------- ----... ---

26) sin x = ——j

2.3- x²'

4,5 — x²

2« (2m -j‘ 1) — x²

X²

27) «»*=4--i-gf-zH

1,2x²

3.4 — x²

h... +

28) tang x = —

• X² ■ X² • X² • X² •

; (2n — 3) (2» — 2) x² •

(2w — 1) 2w—x²

• • x²

1    3    5 ■    7    9    (2»-f 1)    ”•

„    1    • x • x • x • 2x • 2x ■ 3x • 3x •    • nx ■

J9) <*=T-T+ T“8-+ T-T + T“7 +” ⁺

30) log(l + X) = T + ₂ + 3 + 4 + “B + - + 2i$ ⁺ 2ÜT+1 + "*

31 ) arc tangx = ^

• ra²x² •

nx

-f ...

32)

log(l-fx)

• x² : 4x² • 9x² j 16x² •

ł'T_ + _9_ + - ⁺ 2_«Tl

:    22x •    3²X    :

3—2x 4—3x

x

= ¹⁺2^ +

«²x

(n + 1) — nx

+ •••

1*1

1 > 1-3 •

03 tO

n . n

• (2w-l)(2n+l) •

aS) 2 l0g ï⁺¹

e*-f e~

35)    Wyprowadzić przekształcenie:

ßj (1% din b\ b% bn

36)    Zamienić na ułamek ciągły iloczyn nieskończony :

2    2    4    4    6

~2 T * 8 ’ 3 ’ 5 ‘ y *    *“ 2n—Ï * 2n+l

34)

fi i fi

X • X² • X³ • X* •    . x² •

= T + -g + 5 + T ⁺ ••• + 2n-l + -

(ïj* (flfj ^2)^\b\    *

aj a₂ —&162

• (an— 1 — bn—l)(g«+l — bn+l)anl>n anan+i — bnbn+\.

j:

CD L—

2n

2»

37)    Okazać, że:

./ 2 2 V/2 =x -r- •

38)    Okazać, że :

Ol; O'-

1 - 1*2 • 5-3 • 5-6 • 6-7 .■ 9*10 ■

... -i + T + T+T + T + ^s+_r⁺ -

g³x²    q⁶x³^

(l-5/)(l—*/*) ⁺ (i — 2) (i—2s)(i ?³)

_ qx _• q²(l~q)x • g³(l-g²)x

— X+ ÏZZ ' 1—2²+2²x 1—ÿ³+î³x

.•al Ci

«i O

O H

T-H T—ł

qx

(1+ïx) (l+ÿ²x) (1+2³x) (l+ęłx) ... = 1 + j

-2

39) Wykazać, że szereg ---^ -f- g---— -j- ... da się zamienić na równoważny uła

mek ciągły nieskończony w postaci:

2 l³.3 : 2³.4 • 3³.5 ;

40) Jeżeli x —

a

—    , okazać, że :

y=

e

Wykazać, że:

42)

to to

43) l-

_ 3 _    _

’ ³ ' ⁴ _1 *

3    4    n

4 • 5 •

4 “ 5 ” - ~ «

to to

...-=0

... — oo.

Wyprowadzić przekształcenia :

44) l+Ti+âî+ —¹⁺T-â+ï

2x

3+as

45) *-?+-tf-ï + — '+.■5^+8 43) *-£ + £-*4~-

to

• (n - 1) x ■

n-\-x

.    3²x

!l e de b

«-fl

n—

47) !+(’:>+ (?W—i ¹ ?++*■' ²

48)

49) Jeżeli

okazać, że:

2. i f    2.2ft ' 2> 81

+ ..,

50) Szereg hypergeometryczny kształtu:

!+Ÿ*+

«(*+1)

t(t+!)

a(a+l)(a+2)

■' *!+'"⁺ï(Y+l)(ï+2)

o: ►-

x³-f...

zamienić na ułamek ciągły.

Rozwiązania XXXV. 1) x = (—l)-»-l Qn-l+bu, y = (-l)'»"¹ P«-l + ««, gdzie “ =

+    ¹ +••• + ¹ • 2) x=(-iy*-ic Çn_i-fôw, y=( — 1)»—¹ c Pn-l+ati. •

7i 2a    2»

x = (-l)«-lc    6«, y = (—1)»-1₍: Pn-1-fa«.    4—48) Wskazówki podane w wykładzie.

49) Crelle Journal, T. VI. str. 217. 50) —— ^ H—^ -f

(a-j-n) (y-f« —a)

(t+2w—l)(y-f 2»)

a2n + l

(n+1) (y+n—a) (y+2n) (y-f2«-pi)‘

gdzie    a₂

y—a

t(y+i) ’

Literatura. Leonard Euler: Introductio in analysim infinitorum I, Losanne 1748. Po niemiecku wydał H. Maser, Berlin 1885. M. A. Stern: Lehrbuch der algebraischen Analysis. Leipzig 1860. Karl Hattendorf: Algebraische Analysis, Hannover 1877.

'lematy do rozprawek naukowych:

1.    Przekształcanie szeregów nieskończony cli na równoważne ułamki ciągłe.

2.    Związki między nieskończonymi iloczynami i równoważnymi ułamkami ciągłymi.

3.    Rozwijanie funkcyj na ułamki ciągłe nieskończone.

Wykład XXXVI.

Zasady teonyi całek określonych.

1. Pojecie całki określonej pojedynczej. Niech będzie daną, funkcya F(x) jednowartościowa i ciągła w zakresie od x = a, do x = b posiadająca pochodną :

dF(x) F( x 4- dx)—F(x)

dx

dx

— lim

F(x-\-h)—F(x)

h—o

- /(*)

również jednowartościowa i ciągłą w zakresie (a, b), natenczas w tym zakresie różniczka jej ma wartość:

dF(x) — F(x + dx)—F{x)=f{x) . dx

(1)

Podzielmy odstęp (a, b) na n równych części i połóżmy pod założeniem, że ii dąży do nieskończoności, odstęp

b — a

= dx

natenczas, kładąc w równaniu 1) kolejno x — a, a + äx, a-^-2dx, •••• aĄ-(n — 1 )dx otrzymujemy równania następujące:

Fa + dx) — F (a) =,f\a)dx

F(a -f- 2 dx) — F (a -f- dx) =f(a 4- dx) dx

F (a -f 3 dx)—F (a 4- 2 dx) — f(a 4- 2 dx) dx

F(u 4- ndx) — F (ci 4- n — 1 dx) = f(a 4- n—1 dx)

które dodane do siebie dają równanie:

Fiu4-ndx)—F(u) —f(a)dx4-f{a4-dx) dx4- ... + /(« An— 1 dx) dx

czyli :

r=zn— 1

F(b)—F(a) = ^ f(a + rdx) dx

(2)

r— 0

Tern równaniem określona jest zmiana, jakiej funkcya F(x) doznaje, jeżeli zmienna niezależna x przechodzi od x — a do x—b₎ a zmiana ta jest wyrażoną za pomocą wartości funkcyi pochodnej f(X), Przy nieskończenie

rosnącem n suma f(a-\-rdx)dx rozciąga się na wszystkie wartości zmien-

każdy dodajnik przedstawia się

nej x, leżące między granicami a i b, w postaci przyrostu kształtu fyx) dx. Równanie 2) przedstawia tedy zmianę

- 572 —

funkcyi F(x), wywołaną przejściem zmiennej x od x = a do x — b, jako sum^ nieskończenie wielu przyrostów kształtu f(x)dx w postaci

F (b) —F 0) = ^ / (x) dx

(3)

Taką sumę nieskończenie wielu różniczek nazywamy pojedyńczą całką określoną między granicami a i b i oznaczamy według Fourier’a symbolem :

Ç f(x)dx J a

nazywając a dolną, b górną granicą, a różniczkę f(x) dx elementem całki . (**

określonej \f(x)dx.

J a

Pojedyńczą całka określona przedstawia się według tego wzoru w po

staci :

r~n—1

/(x) dx — lim ^ /(a -j- rdx) dx

(4)

r—0

• /,

i'—n— 1

czyli

f (%) dx — lim    / (a + r-- ) a

;    ST    n } n

(40

albo też gdy położymy^ a = h wzorem:

(•b

\ f{x)dx=

Ja

lim

I ń I / (x) Ą-f (a + k) +

W]

który podaje sposób bezpośredniego obliczenia danej całki określonej wymagającego dwu działań, a to (1) sumowania przyrostów i (2) przejścia do przypadku, w którym ilość przyrostów staje się nieskończenie wielką.

Różnicę F(b)—F (a), przedstawiającą zmianę funkcyi F(x), wywołaną zmianą zmiennej niezależnej x od x—a do x — b wyrażamy według Cau-chy’ego znakiem:

(5)

F(b) — F(a)= I(x)

który wskazuje, że w funkcyi pierwotnej F{x) należy wstawić najpierw górną granicę b, potem dolną a i od pierwszej wartości funkcyi pierwotnej odjąć drugą jej wartość.

Na podstawie powyższych znakowali otrzymujemy tedy z równania

(3) wzór :

(6)

F(b)—F(a) = \ F(x)=\ f(x)dx

|rt    Ja

przedstawiający zmianę funkcyi pierwotnej w postaci całki określonej, wymagającej obliczenia sumy nieskończenie wielu przyrostów i nawzajem wzór:

(7)

f f(x)dx = \ F(x) = F(b)—F (a)

J a    ja

przedstawiający całkę określoną między granicami a i ó, jako różnicę między wartościami funkcyi pierwotnej w miejscach a i b. Mając tedy obra-chować wartość pojedynczej całki określonej danemi granicami możemy, zamiast obliczania nieskończenie wielu jej elementów i następnie ich sumowania, postąpić w ten sposób, że wyznaczymy do danej funkcyi pochodnej

f(x) jej funkcyę pierwotną, czyli jej całką nieokreśloną : \ f(x) dx=F(x) + C,

następnie wstawiamy w niej granice a i ó, a otrzymane wartości funkcyi pierwotnej od siebie odejmujemy.

2. Przykłady wyznaczania całek określonych pojedynczych za poinoeą całek nieokreślonych.

Korzystając z wzoru:

gdzie

( f(x)dx= F(x)=F(b)—F(a)

J a    j a

F(x) = ^ f(x) dx

otrzymujemy między innemi następujące wzory:

bm+1 —

(*i>

1.

xmdx=

\b

I xm+x

₍₍w+l

m-{-1

xm dx

zatem

2.

dx

zatem

— = log £C=log b—log a — log

X

= log —

O

a a-

3.

cf dx—

ax

aß

aa

log a

a

log « log a

rß

zatem

ax dx=

aß— aa

log a

4.

— cos #= — cos ó + cos a

zatem

i"

J a

sin x dx=coś a—cos b.

B.

dx

J₀ Vl—x²

arc sin #=arc sin 1 —arc sin 0=

tc a

dx

zatem

Vl-xl 2

fi.

dr,

|1

arc tang #=arc tang 1—arc tang 0—

zatem

dx

l+x²

podający sposób rozkładania danej całki określonej granicami x₀ i xn na n całek określonych kolejno granicami (x₀, xj), (xA, x₂), ..., {xn-\, xn).

\ cf (x) dx — cF(x), gdzie liczba c jest

natenczas

IV. Jeżeli j* f(x)clx=F(x)

stałym czynnikiem. Na podstawie pojęcia pojedyńczej całki określonej otrzymamy tedy :

jja cf(x)dx= J* cF(x)—cF(b)—c F(a) = c[F(b)—F(a)]

zatem :

(10)

- 574 —

3. Zasadnicze własności pojedynczej całki określonej, oparte na własnościach całki nieokreślonej.

I. Jeżeli j f(x) dx—F(x) natenczas mamy:

\ f(x)dx= F(x)=F(b)—Fia)

J a    a

a zarazem:

zatem :

£'/(«)    aF(x)=F{a)-F(b) = —|F(b)—F(a)}

f bf(x)dx= — \a f(x)dx

v a    v b

(7)

To znaczy : Jeżeli w danej całce określonej przemienimy jej granice, natenczas zmieni się tylko znak całki, a nie zmieni sie jej wartość bezwzględna.

II. W szczególności, otrzymujemy:

\a fix) dx—0

J a

(8)

To znaczy : Całka określona, w której dolna granica równa jest granicy górnej, ma wartość zera.

III. Z tożsamości:

F (b)—F (a) = [F(c)—F (c)] +1 F(b)—F (a)] = [F (c) — F (a)} 4- [ b\b)—F (c)], która pod założeniem, że c jest liczbą, znajdującą się między granicami a i b określonej kształtu j f(x) dx, gdzie j f(x) dx—F(x), otrzymujemy wzór:

j fix)dx= j f(x)dxĄ- j" f(x)dx

To znaczy : Dang całkę określoną granicami a i b możemy rozłożyć na sumę dwu całek określonych, z których pierwsza określona jest granicami a i c, druga granicami c i h, gdzie c jest liczbą, leżącą miedzy granicami a i b.

Ogólnie, otrzymujemy wzór:

całki

(9)

Cxn

fix) ć7r=

X,

f(x)dx +

*3

,Ti

f{x)dx-\- ... +

xn

'Xn-\

f{x) dx

(10)

j* c f (x) dx—c j* f [x) dx

To znaczy: W całce określonej może być czynnik stały wyłączony przed znak całkowania i nawzajem.

V.

Niech będą cp(x) i ip{x) dwie funkeye ciągłe i jedno wartościowe

w granicach a i b tak że \j(f(x)dx=0 (x), ^p(x)dx=Wx)

natenczas :

- 575 — j [ 0 (x) + 0 (a?)] dx == j (p (x) dx-fj ę (x) dx=0(x) + W (x)

skąd otrzymujemy całkę określoną:

f \<P (®) + 0 (x)\ dx= h [ 0 (x) + W (a?)] = \ 0 {aj + \‘ W (x)

*'«    «    |rt    \n

a więc:

(U)

i [(p (x) -f tf) (a;)] dx=j * y (x) dx+jÄ tp («) dx

To znaczy : Całka określona sumy dwu funkcyj jest równa, sumie całek określonych poszczególnych dodajników.

Wzór ten możemy rozszerzyć na wszelką skończoną ilość dadajników.

4. Zmiana zmiennej niezależnej w danej całce określonej.

J f(x)dx=F(x), natenczas, zastępując zmienną niezależną x

1. Jeżeli

przez t otrzymujemy także wzór:

a że :

a zarazem :

zatem :

j' f(t)dt=F(t\,

J⁶/(*)dx—\ F(x) = F(b)—F(a) \ f{t) dt— F (t) — F (b)—F (a)

a    i a

1 f(x) dx= f f(t) dt

V a    * a

. (12)

To znaczy : Wartość całki określonej nie zależy od znakowania zmiennej niezależnej, w jej skład wchodzącej, jeżeli tylko granice całkowania nie zostały zmienione.

f*X i    .

2. Przyjmijmy teraz, że w całce określonej kształtu j f(x)dx, mającej granice stałe ,r₀ i xx, zmienimy zmienną x- na zmienną t za pomocą podstawienia :

x = <p(t),

wówczas otrzymamy całkę nieokreśloną kształtu:

§f(x)dx=F (x)

w postaci :

J /(*) dx=§f[(p (*)]. cp‘ (t) dt=F[(p (0]

r.Xi

Całka określona kształtu \ \f(x)dx otrzymuje wartość:

£/(*)dx~ l1F(x)=F(xt)-F(x„)

Połóżmy tu na mocy podstawienia:

x—ep(t), granice x₀ — (p(t₀), xx^=cp(tx), natenczas będzie:

\r'f'x)dx=,F[<p(tO\-FVP(h)]

•J xo

a że :

F [ę («,)]- F[<p («,)] = F [<r (<)]=£ flf W] <P‘(t) dt

przeto otrzymujemy wzór:

- 576 -

To znaczy : Zastępując w całce określonej zmienną x przez nową zmienną za pomocą podstawienia x=rp(t,j, należy jako granice nowej całki dać takie wartości zmiennej za pomocą podstawienia, jakie odpowiadają dawnym granicom zmiennej x.

Tak np. całka określona kształtu J*f{x)dx otrzymuje wskutek podstawienia:

1    .    . dt

x = —- , a więc ax = — ^

granice zmiennej t, odpowiadające granicom a i b zmiennej w postaci dza się zatem do postaci :

rH --C.

, sprowa-

5. Metoda całkowania przez części w zastosowaniu do całek okre

ślonych.

Na podstawie wzoru całkowania przez części, przedstawiającego się w postaci :

dv=uv — v du

dochodzimy przy wyznaczaniu całki nieokreślonej kształtu: jf(x)dx do rów typu :

wzo-

dx=(p{x)—§ip(x) dx

Niech będzie ^ f(x)dx=F(x), zaś j ip(x) dr — W(x), natenczas otrzymujemy funkcyę F(x) przedstawioną w postaci:

F(x)=<p(x)— W (x).

Połóżmy w niej raz x=xu potem x=xQ i odejmijmy otrzymane wartości, a otrzymamy wzór :

F(xi)—F(x₀) = fp(xi) — cp(x₀ ) - [( Wxj )—( Wx₀ )]

czyli :

j’’ /(*) dx=ę{%,)— ę (*₀)    *

(14)

Mając zatem wyznaczyć wartość danej całki określonej za pomocą metody całkowania przez części, należy tylko utworzyć różnicę miedzy wartościami, jakie w danych granicach otrzymuje część zcałkowana, a nową całkę wziąć między temi samemi granicami.

W szczególności otrzymujemy na tej podstawie wzór:

£/0) <p\x) dx= \ha[f(x) (p(x)]—^n(p(x)f (x)dx

(15)

który możemy stosować do wszelkich znanych wzorów redukcyjnych.

Mając np. wyznaczyć całkę określoną kształtu: dukcyjnego :

n

12 sin’" xdx z wzoru redo

sinm x dx= —

cos x sin”'⁻¹ x , m—1

■m

sin”¹ ~² x dx

otrzymujemy stąd pod założeniem, że m^> 1 wzór:

ycosaj sin'”⁻¹# m—1 Ct

* 7t

sinm xdx— —

² sin”'⁻² x dx

«/ u

577

a stąd :

smm x dx

sin”¹“¹ x dx

Jeżeli wykładnik m jest liczbą parzystą: m=2n, natenczas otrzymujemy w dalszym ciągu:

71

71

sin¹"⁻² xdx =

2 w—3    2

2 w—2

sindx

a w końcu :

71

71

71

sin¹ xdx= —

Z

1 T&-i

a więc ostatecznie wzór:

71

sin 2nxdx

2 n—1 2n—3 2w ‘2w — 2    2 ’ 2

(16)

Jeżeli wykładnik m jest nieparzysty: m=2w-|-l, to na mocy wzoru redukcyjnego:

gin¹«—¹ x dx

sin¹"+¹ x dx —

cos x sin2w#

2 w 4-1

otrzymujemy wzór:

71

71

sin¹'*+¹ x dx=

2w-f 1

sin¹«-i

zapomocą którego dojdziemy w końcu do całek:

71

sin x dx;

sin² x dx=~

o

71

sin x dx= 1,

skąd dochodzimy wreszcie do wzoru:

71

2m-2    2

2w-fl ’ 2n— \    3

(160

.o

6. Wzór Wallisa. Powyżej wyprowadzone wzory dozwalają przedstawić liczbę n w postaci iloczynu nieskończonego.

Jeżeli bowiem    tedy 0 sin cc •<. 1, przeto sin2w+¹ x <^ sin¹"» <C sin¹”—¹ x,

.1

71

71

zatem

sin¹”+¹ x dx

² sin¹” x dx

sin¹»⁻¹ x dx

a więc:

2»—2 2« 2«—1 ’ 2»—1

skąd otrzymujemy nierówność :

2^ 2    4 4    _

1 ' 3 *"3    2»—1

2n ^ tu 2    2    4    4

' 2hT <¥<T,¥'lï 5 “■

a zatem wzór:

przedstawiający liczbę W a 11 i s ’a

-tO ïi

2n

2    2    4    4    __

— T ' T ' ¥ ' 5    2«—i ' 2»-pi

w postaci iloczynu nieskończonego, znany pod nazwą wzoru

K CM

ii;

(17)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

578

7.    Całki określone z nieskończone ml granicami. Wprowadzając pojęcie

całki określonej, kształtu : [af(x) dx, wyszliśmy z założenia, że granice a i b są liczbami stałemi, skończonemi. Jeżeli granice a. i b obie lub tylko jedna z nich są nieskończenie wielkie, a więc całka określona ma jeden z kształtów :^f(x)dx, œ f (x) dx,    /(#)«£», tedy jej wartość stanowi granica,

do której zdąża całka J* f(x) dx, jeżeli lim b = cc , lub lim a — — oc, lub wkońcu lim a= —oo , a lim ó= + oo. Taka wartość graniczna istnieje tylko przy szczególnych postaciach funkcyi f(x).

8.    Przykłady. Znając całkę nieokreśloną ^ f(x)dx — F(x)-\-0, możemy z wzoru

=F(b)-F(a) łatwo poznać, czy dana całka określona z granicami a i b, dążącemi do nieskończoności, zdąża do pewnej granicy skończonej.

Przyjmijmy, że —    Mamy tedy ^Xdx = —

fe-*d» =

Ja

Stąd oti'zymujemy:

f f(x) dx =

«J a

e-At

e — Aaj

-f- C, zatem :

g—Xa — g — ŹLb

dx — —

2. Jeżeli /(a;) — sin x, tedy mamy ^ sin xdx — — cos x -j- C,

sin x dx = —cos &-fcos a

jeżeli

]-»•

«00

•^o

ax , dx =

CO .

zatem

a stąd:

sin x dx — 1—cos 6.

Jeżeli b dąży do nieskończoności, wtedy cos b nie dąży do żadnej granicy, tylko waha się między -(-li

ro

dotyczy całki kształtu \

J -00

pOO

—1, zatem całka 1 sin a: da; nie ma żadnej wartości oznaczonej, to samo Jo

sin x dx.

sin x dx lub

c+°°

J 00

3. Z całki nieokreślonej kształtu :

C dx 1    , x , ^

JP+Ï«”T

otrzymujemy całkę określoną :

1

•/a

h dx

X²-j-a?² X

P⁰⁰ da;

J₀ X² j-a;² 2X

X²+a;² X '

4. Z całek kształtu :

i*

cos 3 x dx —

e—ax /    \

— a2yß2 Va cos ß*— ß sin ßa; j

- 579 -

jV⁻“* sin ß

x dx —

pod założeniem, że a;>0 otrzymujemy:

«“‘“cos ßa: dx — —- “

^    aa-j-ß2

e—cet /    \

— ^äTTß? sin ß*+ßcos bx j

r*CG

Jo

f* 00

e“ “* sin ß a: dx Jo

9. Ocenianie całki określonej na podstawie funkcyi stojącej pod

Niech będzie daną do zbadania całka określona jaf(x)dx, której odpowiednia całka nieokreślona Jf(x)dx nie jest znaną. Przypuśćmy, że funkcya/(#) stojąca pod znakiem całkowania, od pewnego miejsca x₀~^>O jest stale dodatnią, a dla x=cc otrzymujemy wartość równą zeru, jednakże taką, że lim xnf(x) jest wartością skończoną, różną od

Xz=z oo

Niech A będzie wartością od niej mniejszą, w od pewnego x=x‘ począwszy:

kiem całkowania.

czyli :

xnf(x)>A

x A

fV»lF

a²-J-ß² ‘

zera.

zna

tym przypadku będzie

zatem :

f ( x ) dx^> A

dx

xn

Jeżeli    wówczas:

lim

⁶⁼⁰⁰ Ja:'

dx lim

b—oo

I⁶

\x'

(1— n)xn~x    li™

1—n

/V.1 —n X1 X

= +Q0,

zatem także :

c‘

lim \ f(x) dx =

f(x) Æc + lim \ f(x)dx=-\- go.

b~oo

bzz oo

x⁴

Niech będzie B wartością mniejszą od lim xnf(x), natenczas będzie od pewnego x=x‘ począwszy:

a:—co

a więc :

xnf(x)<:B,

f (■*)<-§->

zatem także :

f(x)dx<.B

dx

X'

«/ x‘

xn

Jeżeli n^> 1, natenczas wyrażenie: dx

lim

i=eo

=lim

b=oo ,.(1— n)xn

dąży do wartości skończonej

x‘

xn

-i

lim

b—oo

(1 —n) b*"¹

(1—n)x

(n — ])x,n \af(x) dx=    dx+^/ix) dx,

a tern samem dąży także całka :

dla b = oo do granicy skończonej:

Çb    C.r'    Çb

lim\ f(x)dx=\ f(x) dxĄ lim\ f{x)dx.'

b—o J «    J“    S=90 *'

680

Mamy zatem kryteryum :

Jeżeli funiccy a f(x) jest od pewnego x =a począwszy stale dodatnią, a dla otrzymuje wartość równą zeru, natenczas całka ja f{x) dcc ma wartość slcoń-

X= +00

c'.zoną, skoro lim xn f(x) jest dla pewnego 1 liczbą skończoną.

Xz=.co

Np. Całka Ç

v a

"/(*)

dx, gdzie

/(*)

4 jest funkoyą wymierną ułamkową właściwą, ma

tylko wówczas wartość skończoną oznaczoną, jeżeli mianownik jej ą(x) jest przynajmniej

f(x)

o dwa stopnie rzędu wyższego jak licznik, gdyż tylko wówczas tunkcya    jest dla x — do

wielkością nieskończenie małą rzędu od jedności wyższego.

Jeżeli funkcya ułamkowa

f⁰⁰ f

mianownik jest tylko o jeden stopień wyższy od licznika, natenczas całka j v{x)^X -^est

r* 00

nieskończoną. Na podstawie tego całka j

c+°° dx

J — **+L

Analogiczne twierdzenie dotyczy przypadku, kiedy funkcya f{x) jest stale ujemną.

10. Jeżeli funkcya f(x) w granicach (a, co) zmienia swój znak, wówczas

oo

należy celem zbadania całki ( f(x)dx podzielić odstęp (u, oo ) na części

w tych miejscach, w których funkcya f(x) zmienia swój znak. Odnośne wartości częściowe całki utworzą tedy w ogólności szereg nieskończony, a badanie całki sprowadza się do badania zbieżności odnośnego szeregu.

Chcąc np. zbadać całkę kształtu j* S^— dr, podzielmy odstęp całkowania (0, a>) na

r³¹ sin x

części (0, k), (n, 2t.), ... ; odnośne wartości odnośnych całek częściowych: \

,    J o x

( + ) sin a; ^ . utworzą szereg a, ,..., an,... o wyrazach naprzemian dodatnich i ujemnych. n n    *

<i(x)

/(*)

jest niewłaściwą, albo taką funkcyą właściwą, że

ma wartość.skończoną. W istocie:

I — OO

arc tang x = r..

dr,...

Otrzymujemy:

a" = $

(n+l)7i sin X ,    c

-dx, Ctn +1= t

n.l

(n+2)n gm X

-dr,

(n + lpr X

zatem :

I a« I > I an+1 |.

(n-f 1)71 dx

przyczem :

nn

Tl 1 1

— , czyli I an | < log ——, a więc lim | a„ | = 0.

X    Tl    n—oo

Szereg a,Ą-a^-\-... jest zatem zbieżnym. Zbieżność ta jest jednak warunkową, gdyż:

(n + \)n

^(nĄ-Ort I sin X I

I »» I = \

J nn

a więc :

zatem I «» I >

I sin # I dx,

(n-ł-l)rc

I «o I + I «1 1 + - + I «» I > \ + 4 + y ⁺ ^ Tf)

71 —CO

nn

I an I = CD . Jest więc J    dx =

Tl — 0    ?

oo.

11. Całkowanie szeregów' Niech będzie daną funkcya f(x), określona szeregiem jednostajnie zbieżnym:

f(x) ==/o (x) +/i (*) + ••• -+-/«(#) + —

w którym funkcye : 'f₀(x), f\{x), ... są funkcyami ciągłemi w zakresie {a, b).

581

Położmy :

/(a) = fo (x) +A 0*0 P - P/n (x) P lin 0*0,

gdzie : natenczas otrzymamy :

-K/î (#) =/n-f l(&) P/n-j^O*¹) P ...

IP (x) dx.

( f(x)dx=[ /₀(æ)<top...pf /n(:r)(fepC i

Ja    Ja    Ja    Ja-

Z pojęcia szeregów jednostajnie zbieżnych wypływa, że od pewnego n począwszy jest :

I Iin (X) I < £,

gdzie e jest dowolnie małą liczbą dodatnią, z czego wynika, że:

zatem :

[ \ iü* {x) clx j <C £ \ cfo, czyli \

IJ«    I Ja    IJa

(æ) dc < £ (6—a)

r*b    r*b    r*l)    r%b

(18)

\ f(x)dx=\ /₀(x)dx + \ fi(x)dx+ \ f₂(x)dx + Ja    Ja    Ja    Ja

To znaczy: Jeżeli funkcya f(x) da się przedstawić w postaci szeregu jednostajnie zbieżnego w zakresie (a, b), to całkując w granicach (a, 5), kolejne wyrazy tego szeregu, otrzymujemy szereg zbieżny, którego wartość przedstawia całkę określoną danej funkcyi, t. j. i* / (i) dx.

J a

12. Z tego twierdzenia wynika całkowalnośó szeregu potęgowego w granicach zawartych w zakresie jego zbieżności.

Niech będzie tedy :

f(x)=aQ +aix-\-a₂x²-\-gdzie |æ|<C(>, natenczas, pod założeniem, że j a \ i \b\<C.Q, otrzymamy:

r.1    b /    2

V f(x) dx= ( a₀x p ai -

Ja    a \

=a₀ (&—a) +

a, (/;²—a²)

«2 (b?J~ a?l

P...

a w szczególności dla #<Cp,

Przykłady :

1)

^ f(x)dx=a₀x+~ ' a%X

y-^- = 1—#-f-;r²—æ³-j-... dla I as I <T 1,

(19)

zatem dla | x |    1 także :

x dx

1-f x

x x¹ x³ xi

J--2 +T⁻T⁺-

1—a?²pajł — cc⁶p... dla |*|<C(1,

= log (1+as) =

l-fa²

zatem dla takiego x będzie także:

dx

r

Jo

3)

x a:³ X⁶ x¹

T*~J ⁺ T“ 7 "ł"’”

^1 £C²^    lp ~ CP²4- 2—J^P’”

lp#²

arc tang x =

Vi-*²

zatem, skoro | x |    1, jest także:

r* dx Jo

Vl—æ²

toj 1-1

CC³

1.3

3 ⁺2.4‘

P ¹⁰

P-

- 582 —

Ćwiczenia XXXVII.

1)    Wykazać, że f f{x)dx — F{b) — F(a), skoro dF(x)=f(x)dx.

J a

Wykazać, że pod warunkiem ^f(x)dx=F(x)-\-C zachodzą, relacye:

2)    j* f(x) dx= — f(x) dx

3)    f f(x) dx— f f(x) dx -f- \ f(x) dx.

4)    f * f(x)dx~ { lf(x)dx+ f */(*)<*»+•••+ Ç” f(x)dx.

5)    f cf(x)dx=c Ç f(x)dx.

Ja    Ja

6)    (' /(*) dK + f ? (a:)    = f [/(*)4- ® 0*0] <&r.

Ja    Ja    Ja

7)    ?'(*)*» sdzie «=?(*)» è='p(p).

8)    f f (as) . ?'0*0 dx = | [/(ar) . f (as)] — f © (as) f (x) dx.

Ja    a    Ja.

Wyprowadzić obok podane wartości całek określonych przy pomocy odpowiednich całek nieokreślonych :

t> dx a x

⁹⁾1

X dx = —r

cos²x dx =

11) f

lh) J Yx{x—1 ) dx = —.

,n. c i *ł-4-l ,    *

> ^o^+ï S

¹⁹⁾ Î. e

c⁰⁰

23) f Jo

25) J ² log sin

27)    fî»>■ xdx = k8:».. (2^-¹⁾ *

Jo    2.4.6... Im 2

71

28)    J ² sin2m+! x dx

a c    i j

cos 6 acte

<**+&*’

(M ,CO

xne~x dx = n\

-^-log 2.

10)    ² sin²

(%7l

14) f ¹⁶⁾

18) ^ ^i — x²dx = ~.

f CO

20) i e J o /. t

22) j ccm(log x)ndx =

(*x

24) j log x dx — x (log x—1).

f»0O

²⁶⁾i,

sin x dx — 2.

= arc tg ya .

(Ï3Î . I 7    ^

sin

(—i)»«!

(ro-fl)»-

xe—^dx— —

2‘

2.4.6.....2»»

3.5 77.7.. (2m+ïy

²⁹⁾ I.

y^i^, jeżeli «’<1.

⁸⁰⁾ 7‘i-2!7+^ ⁼ ₂y=iZT    jeżeli «’> 1.

•»tÂ-WH+jâ

1—2ax-fæ²    y i a2

arctg

arc tg

Jeżeli a‘² < L

583

³²⁾f

” o

xdx

1—2xx-\-x²

S3) J. V

1—a² ce

2 log    *)}+ 2fa^—L^°& (a + Va2 • l)’ jeżeli a² )> 1.

-, jeżeli a < 1.

;    i.¹““²!    ¹+a

dx = l-\—2i“l0g

1—

₈4)f

1 xndx

= 2.

⁸⁶⁾ L

o yi—x    \

1 (Zx

y/l-x³ ®

(M co

1 a;2n

2    y-

ÔT⁷¹ • \/3 •

¹ y/a; -f- y/x—¹

38) f -Jo

(Zx

⁴⁰⁾ Jo

1 -j—ce²

l-fx³

dx==-^ 1/2 •

86)    j

87)    j‘

">!,

o y 1 - cc²

(Zx

t:1/2

2n y/3

...    x'ldx r.

⁴⁾ 3₀ (I+^ ⁼ l6-

fOO

⁴⁶⁾J.

⁴⁸>r

y» 00

“'j.

62) j log (1— y/x).

<Zcc

l_j-eac

= vl°g2.

caa: dx

T. — 2

(e2ax_|_l)2

8a

(Zee

2 log 2

(e®V-x -\-e aV x y

a²

~r

1 cc⁴

y/cr(l—cc)

⁰⁰ dx__r.\/2 l+a7⁴    4

⁴¹> J.

4S!> \dh-y-

m C⁺“    dx    JC

⁴⁷^ So e«*+e-

49) f • J 0

/•*>

⁵¹⁾J,

(Zx

ax

2.«-1 ■

7C

4a

1—2 log 2

(ëax+îp- 2a

00 e2ax dx

ga\/ x — g—a\⁷x

(eay/x^-e—a\/ x)2

_q (*e log x (Za; e

] Ji(ï+Tog^” "2

(Zee —

- 1.

t:

2a*

54) f*T ¹ — tang x J o cos 2x

66) fTLJ^Lî

Jo cos 2ce n

f-s- q sin x — cos x 58) \ 2-i,-j-

, J₀ sinx-j-?cos

«»Jf

— . sin² x dx

fc>9 ^

=4¹⁰⁸²“IT ⁶⁶4„

cos² dx = log 2

— (Zx=log q.

sin³x cos³xdx =

1-1 (M

dx

/>²4-2²sin² x

2 p V/p²+g²

71

57) f ² sin⁴xdx — Jo

59) f Jo

1.3 7t

2.42'

sin⁵x(Zx =

2.4

3.5*

71

61) J ² cos³ x dx =*

62) J ²

dx

7C

p²—j²sin² x    2p\/p^-q^

64) Ç2___sin² xdx

y Jo p²sin² #+ÿ²cos² x

71

66) fT J o

cos² x (Zx

p²sin² x-\-q² cos²x

.r

/•y    (Zx

^ J₀ p²sin²x-j-2²cos²x

jt

2pq ‘

r.

71

2 p(p+2)

7C

² 8(p+î)'

68's

Jo

y a cos x —6 sin x

(a sin x-\-b cos x)²

ab

71

sin² x (Zx

(a² sin² x-f-6² cos² x)²

70) f!

Jo

72) r -sina!<fo

^ Jo p² + ?²cos²x

7C

4a³ b

— arc tang —. pq    p

0^1 »

65) J ² sin3

⁷ J₀ (a²sin²x-f-Z>²cos²x)² 4a6³

73) C sin m x . sin nx dx = 0, (w< n). Jo

x cos² xdx =

584

00 /»00 1 "1 /2^»

l-V/l^T²

75)

76)    r¹

Jo

77)    f¹

Jo

r¹

78)    V arc tang ax .dx = arc tang a — f*¹

79)    ^ arccotg ax . d» —arccotg a-|

80)    J arc sin (\/x) . dx

1 8 2 *T‘

arc sin ax .dx = arc sin a

arc cos ax . dx — arc cos a-\-

1 y/T^

log (1-1 a¹) 2 a

log(l+«²)

2a

Jo

arc cos

(%a

8l)i.

»2« dx

⁸²⁾1

y/a²—»²

a a;2w-|-1 dx

V/ a²—»²

(V/») • dx=^

«2« . 4-

2

2n—l

*“ HhT

3~‘ 5~ -T ;*2w4-8

CS Ot

83)    ( »2n y/a²—

J 0

84)    J »2«+! y/a²—

/»OO

8B)I„

~    2    4    6

87) f ²coSî. I = ¥ • 5- • y - 2„+i-

»² dx —-

x²dx= ^

. «2/1 + 3

»!

2» —1 j:

' (log «)« + !’

2»

/■» GO

»« e—mx dx

m«+! ‘

Wyprowadzić następujące rozwinięcia:

»² — a² ,

⁸⁰)

J a »    ö

-*log(l+aQ »

⁹U

9i) r-?¹”*

Jo X

l²

»³

es, csj

— H S3

• co

, H co “L

»³—a³

2T ^ 3.3!

»⁴

“43+-

»⁷

*”OT⁺bTbr”777T

<7» = log — a

»² — a²

_ 2T2 !

»⁴—a⁴

92) f"-™*

Ja *

nX    xn »«+!    »«"f2

88) ^ - *.-1 ix - - +    +•••

»⁶—a⁶

4.4!    6.6!

Rozwiązania XXXVI. Wskazówki podane w wykładzie.

Literatura. Emanuel Czuber: Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung. Zweiter Band, Leipzig 1898. Angelo Genocchi: Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung herausgegeben von Giuseppe Peano. Autorisirte deutsche Übersetzung von G. Bohlmann und A. Schepp. Leipzig 1899.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Pojęcie całki określonej.

2.    Bezpośrednie obliczanie i ocenianie wartości całek określonych.

3.    Całkowanie szeregów nieskończonych i zastosowania.

Wykład XXXVII.

¹

4    2 n ^1 3 2 n—1 ^ 2 4 2n—-2

²

• 8^1J”'2»+I ^ 2"' "2"’T",_2«” ^ 3"' 5 2n - 1

Znaczenie geometryczne całki pojedynczej i przybliżone metody całkowania.

1. Krzywe różniczkowe i krzywe całkowe. Przedstawiając funkcyę y***f{x) w postaci linii krzywej, możemy podobnie wykreślić jej funkcyę pochodną fix'), jako now.ą linię krzywą o równaniu y^fXx). Krzywą y =/'(») nazywamy krzywą różniczkową krzywej pierwotnej y=f(x), a krzywę

pierwotną y = /(») nazywamy krzywą całkową krzywej y=/'(»).

2. Krzywę różniczkową y ==/(») możemy w przybliżeniu wyznaczyć gra-

ficznie wprost z krzywej pierwotnej y=/(») na podstawie określenia :

. dm

dx

=/'(»), czyli na

df(x) f⁽x)

podstawie proporcyi : ——■— «= ——z której wynika, że war-

CtX    i

tość różniczki df{x) danej funkcyi /(») w pewnem miejscu x ma się tak do stałej różniczki dx zmiennej niezależnej », jak się ma wartość pochodnej /'(») w tern miejscu do przyjętej jednostki. Możemy zatem w pewnem miejscu x wykreślić wartość /'(»), gdy dla przyjętej różniczki dx—MB wykreślimy

A 1 fi 0 M’ N’

Fig. 18.

różniczkę df(x)"BN (fig. 18) danej funkcyi, a następnie wykreślimy trójkąt ABP podobny do trójkąta MRN, pod warunkiem, że bok Mi?, odpowiadający bokowi MR=dx będzie równy jednostce. Ponieważ atoli kąt NMR przedstawia kąt, jaki styczna w punkcie M tworzy z osią »-ów, przeto wystarczy na podstawie AB równej jednostce i równoległej do osi »-ów wykreślić kąt a, to znaczy wykreślić prostą AP równolegle do stycznej MN, w drugim końcu jednostki wjdsreślić do niej prostopadłą BP. Długość BP tej prostopadłej przedstawia tedy wartość pochodnej f‘ (») w miejscu ». Podobnie możemy przedstawić rysunkiem wartość pochodnej w każdem innem miejscu, a tern samem wykreślić dla danej krzywej jej krzywą różniczkową.

Konstrukcyę możemy wykonać przy pomocy stosownego diagramu. W tym celu dzielimy powierzchnię, zawartą między krzywą pierwotną O 7

a osią »-ów za pomocą rzędnych na Zewnątrz kreślimv jednostkę AO, w jej końcu 0 prostopadłą do AO,

paski o stosownej szerokości (fig. 19).

— 586 —

punktu A prostą równoległą do stycznej w przyjętym punkcie. Prosta ta przetnie prostopadłą w pewnym jej punkcie, a długość tej prostopadłej będzie rzędną krzywej różniczkowej O'7'. Tak postępujemy z każdym punktem krzywej pierwotnej, aż otrzymamy rzędną ostatniego punktu szukanej krzywej różniczkowej.

c\o’

łr

/■

//

A\'.

//

//

’t

A’

\r

2*

Fig. 19.

3. Mając daną krzywą y=f(x) możemy analogicznie wykreślić jej krzywą

dF(x)

całkową y=F(x), określoną warunkiem

= f{x), czyli proporcyą :

(l F(x)

dx

= 'AA. W tym celu dzielimy powierzchnię zawartą między daną krzywą

y=f(x) a osią x-ów na paski stosownej szerokości, obieramy jednostkę AO i kreślimy prostopadłą w punkcie 0. Na tej prostopadłej odcinamy rzędną przyjętego punktu danej krzywej np. OV. Prosta AV wskazuje tedy kierunek stycznej w punkcie P krzywej całkowej, odpowiadającym punktowi 1 danej krzywej różniczkowej. Przyjąwszy dowolnie punkt 0‘ na prostej 00' jako odpowiadający pierwszemu punktowi O danej krzywej możemy już za pomocą stycznych przedstawić krzywą jako obraz funkcyi F(x) pierwotnej względem funkcyi f(x), czyli krzywą całkową danej krzywej y =/(#), jak to wskazuje fig. 20.

i i ÿp

\i

■i.....

rît J

/G ‘ i.....i

Fig. 20.

4. Całkowanie graficzne. Bezpośrednie wykreślanie krzywej całkowej odpowiadającej danej krzywej różniczkowej nazywamy całkowaniem

587

graficznem. Mając np. daną prostą BIN jako krzywą różniczkową znajdziemy jako krzywą całkową parabolę. Prostej y=x jako krzywej różniczkowej odpowiadają parabole o równaniu: y=-^rX² + C, gdzie C jest stałą do-wolną jako jej krzywe całkowe.

Przyrządy służące do rysowania krzywych całkowych, gdy dane są krzywe różniczkowe nazywamy integrafami.

Jednym z takich jest integraf Abakanowicza, opisany w dziele: Les integraphes par Bruno Abdank-Abakanowicz. Paryż 1886.

5. Znaczenie geomelryczne całki określonej. Niech odpowiada równaniu y = f{x), w którem fix) jest funkcyą ciągłą, pewna krzywa MN (fig. 21),

a odstępowi (a, b) odcinek AB na osi x-ów. ^ Podzielmy odcinek AB na części w punktach x₀, xf, x₂,...,xn, gdzie x^=a, xn = b i wykreślmy w punktach podziału rzędne y₀, yi, y₂,natenczas powierzchnia AB1NB, zawarta między krzywą MN, osią x-ó\v i dwiema rzę-dnemi końcowemi MA=y₀=f(x₀)=f(a) i NB= =yn—f(Xn)=f(b), rozpadnie się na poszczególne części w kształcie trapezów. Niech będzie PQPQ' jednym z tych trapezów, odpowiadający punktom P(xr,yr) i Q(xr+1, ?/r+i) krzywej y=f(x), natenczas będzie P‘Q'=xr+1—xr, P'P— =yr=rf(xr), Q/Q=yr+i = J(Xr+i). Powierzchnia tego trapezu leży widocznie między powierzchniami Ar i ArĄ.i dwu prostokątów wykreślonych nad odcinkiem P¹ Q/=xr+1—xr, z których jeden ma wysokosc PP¹—yr—/(xr), drugi zaś wysokość QQ'=yr+i=fa więc między liczbami:

Ar={Xr+i Xr)yr=(Xr+\ — Xr)f{Xr) 1 Ar + l = (^r+l Xr) «/r+l = (^r+l — Xr)f(xr+i),

otrzymamy tedy dwie sumy, jedną:

—1

A' — ^?Ar —    (Xr+\ Xr)yr — '^>i{xr+1 xr )f (xr),

przedstawiający sumę powierzchni prostokątów wewnętrznych, fig- 22, drugą:

poją»

pi

r

iii

t---

ii

dx

p’ a’

Fig. 21.

r—n—l

r—n—1

r=n—1

A“ =2 4+1 =2 (^+1—i^r-)yr+l=2 (Xr+l—Xr)f(Xr+A,

r—0    r— 0

przedstawiający sumę powierzchni prostokątów zewnętrznych fig. 23. Po-

lii

W\ *

lii

T -

I    _ ...

M/

i

I 1    1    1 „

p> o’    t/jt

H’

N’

Fig. 24.

Fig. 28.

wierzchni AMNB odpowiadać będą tedy liczby A zawarte między temi su-miarę powiększania ilości punktów podziału (fig. 24) zbliżają

bardziej do granicy A=^ay dx—^af {x) dx.

mami, które w

się coraz

Fig. 22.

- 588 -

Całka określona kształtu: Çaf(x)dx przedstawia więc powierzchnię zawartą między krzywą o równaniu y=f(x), osią x-ów i rzędnemi w punktach x—a i x=b.

6.    Wyznaczanie wartości całki określonej odpowiada zatem zadaniu geometrycznemu obliczania powierzchni linii krzywej.

Jeżeli wartości f(xr), /(#r+i) są liczbami ujemnemi, natenczas pod założeniem, że wartości x₀, xi) x₂,...,xn są uporządkowane rosnąco, a więc różnice (xr+i—xr) są dodatnie, iloczyny (£r+i—xr)f(xr) i (xr+\ — xr)/(xr+1) przedstawiają ujemne wartości odnośnych prostokątów. Skoro zatem krzywa w obrębie odstępu (a, h) wznosi się częściowo nad, a częściowo pod osią #-ów, natenczas całka określona ^‘af{x)dx przedstawia w granicy sumę algebraiczną dodatnich i ujemnych powierzchni odnośnych prostokątów.

7.    Uwaga Że suma powierzchni prostokątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wzroście ilości punktów podziału dąży do tej samej granicy niezależnie od rozmieszczenia tych punktów, możemy dowieść za pomocą następujących rozważań:

Niech będą x₀, cc,, x₂,...,xn spółrzędne punktów podziału odstępu (a, b), przyczem x₀=a, xn — b, a zarazem r₀<^.r,    • <C*«, natenczas wartościami funkcyi y=f{x) przed

stawiającej daną krzywą będą kolejno /(cc₀), /(cc,), /(»à),—,/(#»)• Weźmy pod uwagę odstęp (x,-—],x,•), któremu odpowiada element krzywej y—f{as), ograniczony rzędnemi: /(*,-—i) i /(av), natenczas otrzymamy prostokąt wewnętrzny o powierzchni (xr—av-i)/(ccr—i) i zewnętrzny o powierzchni (xr — xr-j)/(av). Przyjmijmy, że między rzędnemi punktów tego elementu krzywej jest m, rzędną najmniejszą, a Mr rzędną największą; zastępując rzędne yi—f(xi),yi=f(xi),...>yn=f(xn) przez rzędne najmniejsze w,, »ą,.., mn odnośnych odstępów

r=zn

otrzymamy sumę:

która będzie mniejszą od sumy:

J    (x,--Xr—l)

r=l r=n

A^'^Çxr- Xr-\)f(Xr),

nir

r=. 1

bo jej dodajniki są mniejsze od odpowiednich dodajników sumy A ; zastępując zaś w sumie A wartości yr=f(xr), (r— 1, 2,...,«) przez największe rzędne M,- (r=l, 2,...,«) odnośnych odstępów, otrzymamy sumę:

r=zn

= ^^(ccr—xr~\) Mr większą od A. Będzie więc A' <C. A A".

r= 1

Jeżeli teraz m jest najmniejszą, a M największą rzędną krzywej y=f(x) w odstępie (a, &), to zastępując rzędne najmniejsze mr (r= 1, 2,... n) przez m, otrzymamy:

r=n

A"

r=n

= (xr—Xr—l)mr > m    as,— l)

r—1

czyli A⁴^> m(b—a), zastępując podobnie rzędne największe Mr (r = 1, 2,...,») przez M otrzymamy :

r= n

A“— ^►(a?r - xr— i) Mr    (xr—xr—\) czyli A4/ <Z. M(b—a).

r= 1

r=1

Otrzymujemy zatem nierówności:    m (b—a) <C A‘ <C A <C A⁴⁴ <Z M{b - a)

Pomyślmy sobie, że pomiędzy punkty podziału a;,, x₂,..., xn—i odstępu (a, b) powsta-wiamy nowe punkty i wykreślimy w nich nowe rzędne krzywej y = /(cc), to poznamy z łatwością, że suma A⁴ będzie coraz bardziej i’osła, podczas gdy suma A“ będzie coraz bardziej malała, przyczem suma A‘ będzie zawsze mniejsza od sumy A⁴⁴.

Różnica między sumami A⁴ i A⁴⁴, opartemi na pewnym podziale odstępu (a, b), przed-

r=m

stawia się w postaci :

A"

— A' -=^S?(cc,--Xr—\)(Mr — mr).

- 589 -

• Różnicę między największą a najmniejszą rzędną krzywej w pewnym odstępie nazywamy chwiejnością krzywej w tymże odstępie. Kładąc Mr—mr = nr otrzymamy :

r—n

r= t

Oznaczmy przez a największą z wartości a,, <t₂,

r~n

ar, to będzie widocznie :

A¹¹—A'

—xr-~l), czyli A“—AJ <C (b—a) a.

r= 1

Zwiększając ilość podziałów danego odstępu, możemy liczbę a zrobić mniejszą od wszelkiej dowolnie małej liczby, obie sumy A‘ i A" dążą więc do jednakowej granicy, a do tej granicy dąży także suma, między nimi leżąca:

r~n

A = ^(.rr—ay-i )/(*,-),

r=1

a granicą tą jest powiei’zchnia A krzywej, przedstawiona całką określoną

r—n

V— 1

8. Metody bezpośredniego obliczania wartości catek określonych. Obliczanie danej całki określonej sprowadza się do obliczania powierzchni linii krzywej. Metody obliczania powierzchni linij krzywych mogą więc zarazem posłużyć do przybliżonego obliczania całek określonych. Dzieląc powierzchnię krzywej y = / (x) za pomocą rzędnych równoległych na elementa, możemy jej powierzchnię A określić w dwojaki sposób:

ry”    r>b

A=lim    gy-1 )f{xr-\)= \ f\x)dx

n— cc r—\    «1“

r=n    ę i

^=lim2(®r—x,-\)f(xr)=\ f{x)dx

n — oo .—*    Ja

albo :

albo :

0)

(2)

używając do obliczania powierzchni elementów w pierwszym przypadku

drugim rzędnych końcowych poszczególnych

rzędnych początkowych, a w elementów. Używając do obliczania powierzchni poszczególnych elementów,

(xn - i, b), pewne rzędne pośre-

odpowiadających odstępom (a, xA), (xi, x₂) dnie t/₂, rj„ odpowiadające odcinkom £1? £

ł/i⁼⁼/’(^i)j %⁼/'(£₂)> •••>

a <    <C ^2 <^-‘*'2 J "*) *^”—1

fr=a;r_i+@,.(av—ar-i), przyczem 0<©,<1,

?..

a więc : gdzie : czyli :

możemy także powierzchnię A krzywej y=f{x) przedstawić w postaci:

r— n    p b

M=lim ^,(a?r—x, -_i )/(!»•) = \

/‘(a;) dx.

(3)

Jeżeli rzędne równoległe y₀, yi: y₂,...,yn odpowiadające punktom a, a^,

£Cn_i, b są zarazem równoodległe, a więc skoro:

... =

ajj —a=x₂—ajj —x₂—x₂ = x^a+h, x₂=aA-2Ji,...,xr^a + rh, gdzie wówczas otrzymujemy na obliczenie powierzchni A wzoiy.

czyli :

r=rn

X)    /[«+(*•-D M

r—n    -,

| = lim    (r—1)^J

= lim

h—0

r—n

h yr

r- 1

r~n

2)

n — oo n .—,    \

n=<x>

IMS

690

r=n

r=n

—=lim h"^.f (arh) = Y\m. h yr

M ) h-= 0    7* — 1    ?•— 1

r=n

/’[a + (r - @,)-- j =lim h^/\a -f (r

L    n J *=o ;fr

rrrn

=lim h^,rjn 0<C@r<;l

o ,._i

zależnie od tego czy w poszczególnych elementach używamy do obliczania ich powierzchni rzędnych początkowych czy rzędnych końcowych czy też jakichkolwiek rzędnych pośrednich.

9. Przykłady bezpośredniego obliczania całek określonych.

1) Obliczyć bezpośrednio całkę £ x¹ dx, czyli powierzchnię krzywej j/—x‘\ w granicach od x = a do x — b.

r=n

Według wzoru:

otrzymujemy tu :

l f(x)dx = lim ——^§/(g+(r-l)    .

J a    r=oo n    \    n /

r= 1

r=n

Cx,dx    ^-2(a+(’- -¹¹=

{^rb’+h+^r) +(“+2S„<l) +-+(“+"-¹~-) ]■

r— 1

— lim

Tl — oo

Wykonawszy wskazane działania otrzymamy:

r~n

6-

rc=n

r=n

//

a źe:

7’— 1    VT“'-1    V — i

2h)=iW..₊(.-i)-

r—1

(r—l)² = l²+2²-f ...-f (n - 1)²= nin~¹^ (2n~¹)i

(i

>•=«

?•=!

?•=!

n(w — 1)

2 ’

przeto będzie :

r~n

i?2(»

r=t

-1)

6-

(w l)(2n —1)| 6n I

zatem:

r=.n

limOO&Va2{a + (r“l)⁶V!} =(*-«) {«²+« (6 -«)+-^3^} =

r=l - (b—a)

(b - a) (b'l-\-ab-\-a'¹)

b*-a³

6³—a³

czyli :

zgodnie z wynikiem otrzymanym za pośrednictwem całki nieokreślonej w postaci :

b x3

x²dx

x²dx —

i³-a³

591

2) Obliczyć bezpośrednio całkę określoną J exdx, czyli powierzchnią logarytmiki

y = ex w granicach od v—a do x — b. Mamy tu pod założeniem nh — b—a,

I"

v a

a że:

= lim h {ga-j-e“+*    ga-H«—1)a|,

Ä |ca-f- ea+h —j— ea+(n—b    = 7i e“ 11    _j_g(w—1)^ | =

= hea

=-(e»àh — ga)

eh—i v    '

h ea eh — 1

(eb—a—1) =

przeto :

fei>~ea) — eh    lim ——

h—0 eh-l

rb

= 1, otrzymujemy : \ e* dx — eh - ea.

Ja

B) Obliczyć bezpośrednio całkę określoną j sin »dr, czyli powierzchnię sinusoidy y = sin x w granicach od x = a do x — b.

M amy tu :

e r dx — lim A—0

eh -1

h

stąd ze względu na to, że lim ^

A=0

r—n -1

r—n — 1

a że:

sin (a-j-r/j)

»•=0

Ç sin x dx — lim h sin (a-\-rh\

J a    A= 0

0

r — n— 1

—2 sin (a-\-rh)

. sin

2 sin — »-=:0

CC s-

r—n—1

2 sin

przeto :

r=0

(—4) - °os (°¹²7i',)j “ - --

2 sin

cos

r

«'a

to i

— COS

sin

tc >-

sin

nli

sin x dx — lim

A=0 sin

-    . sin    s^n

nh

2"-

nh

^_1

Mając na uwadze, że nh = b—a, a więc a-j—h = «4*^ — Tj"

---—, otrzymujemy z powyższego wzoru :

2 2

/i    6—a

— = a-\    -

ICN

f

•J a

sin x dx — lim

Ac=0

. h s,n-

. 2 sin

/a+b

\ 2

h\. a—6

2 >m -T'

a że: lim

h —0

— 1 ; lim 2 sin

. h 8m "2"

przeto otrzymujemy ostatecznie:

7i=0

(aĄ-b

V 2

|)sin^l ₌ 2Sin

d -{- b . d —

Y Sm~2

= cos a - cos b,

sin »dr = cos «—cos b

zgodnie z wzorem pośrednim:

bliżonych

b

(—cos x) =

a

10. Przybliżone metody obliczania powierzchni zastosowane do przy-metod obliczania całek określonych. Przyjmując we wzorach poda-

sin x dx —

— cos 6-j-cos «•

- 592 —

ych w art. 8. liczbę n dostatecznie wielką (ale nie nieskończenie wielką),

a zatem liczbę li—~—— dostatecznie małą (ale nie nieskończenie małą, czyli n

nie równą zeru), otrzymamy dla obliczenia powierzchni, względnie dla obliczenia całki określonej wzory przybliżone w postaci:

r~n

(4)

(5)

A = jy(x) dx=h2/(«-b(r—1 )h)—h[f (a) +/(a-fi h) -f...i. -ff{b—h)]

r-= 1

względnie :

r—n

A==^h f(x)dx = h^, f(a-\-rh)=h[f(a + li) A-f (a -f 2 li) + ...+/ (6)]

r=l

które dają wyniki tern dokładniejsze, im mniejszy odstęp h, czyli większą liczba n podziałów.

Oznaczając rzędne krzywej y=^f{x) odpowiadające odcinkom a, a + h, ...,a+rh,...,b₁ przez «/₀, yt, ...,yr,    przedstawiamy powyższe wzory w po

staci :

względnie :

A= C / (x) dx=h (y₀ + y₂ + ?h + • • • + y * -i )

^ et

A== §l>af(x)dx=h(yi + y₂+...+yn)

(49

(59

M/

M,

czyli:

11. Wzór trapezowy przybliżonego obliczania ealek określonych. Używając powyższych wzorów do przybliżonego N obliczania powierzchni z jednej strony krzy-wolinijnie ograniczonej, poznamy z łatwością, że otrzymamy tu raz za małą, a raz za wielką wartość. Bardziej przybliżony wzór otrzyma-C my, przyjmując w każdym z trapezów (fig. 25), na które powierzchnia przez równoległe rzędne została podzieloną, rzędnę środkową: y,—\ Ar yr H Vr~~~2    ¹

żony na powierzchnię :

A—h(rji +rj.₂+... + r]n),

yn-lAj/n]

2 J’

Fig. 25.

a

°V/

\y₁±y\ , y\ +?h

L 2

a stąd t. zw. wzór trapezowy:

\y±±Vn

L 2

A=h

otrzymamy tedy wzór przybli-

y i A-y% +

(6)

używany w geodezyi przy obliczaniu powierzchni parcel z jednej strony krzy-wolijnie ograniczonych.

Stosując ten wzór do obliczania wartości całki określonej kształtu: [af{x)dx i kładąc b — a=--nh, przedstawimy go w postaci:

593

12. Powyższy wzór możemy także w inny sposób przedstawić. Podzielmy mianowicie odstęp (a, b) na parzystę ilość (2n) równych części, połóżmy b—a

ytn_j, natenczas, uwa-

h i wyznaczmy tylko rzędne nieparzyste yx, yz

żając powierzchnię jako podzieloną na n trapezów o szerokości 2/i, otrzymamy wzór przybliżony na powierzchnię w postaci :

(7)

A=2/i (yi +y₃ + ...+y₂n-i)

a stąd analogiczny wzór przybliżony na obliczenie całki określonej w postaci :

(70

[ f\x) dx=-—- [ f (a + h) +/ (a -f 3/i) -f... + / {a -f (2» — 1 ) /i)]

Ja    W

13. lTzór Simpsona. Podzielmy powierzchnię krzywej MN hg. 26. za

N pomocą rzędnych y₀, yA, y₂, ..., y2n równoległych 'I i równooddalonych na 2n części o szerokości

h=    a. Przeprowadźmy przez trzy punkta

y po sobie następujące M (0, y₀), M‘(h, yx ), M" (2/i, y₂) parabolę o równaniu:

y—ax²-\-ßx-\-y,

to na wyznaczenie niewiadomych spółczynni-Æ ków a, ß, y otrzymujemy trzy równania warunkowe :

y0 =y, yi=cth²+ßh+y, y₂ = AaIi²+2ßh+y.

Powierzchnia części powierzchni (y₀, y₂), ograniczonej tą parabolą, osią xó\v i rzędnemi y₀ i y₂ otrzymuje wartość:

ßx²

+ ~2~

^izn-Z

•s*

Fig. 26.

rîh    c2 n    2h(ax³

\ ydx= \ (ax² + ßx+ y)dx=

J 0    ^0    0 V ^

czyli :

\    8 a/i³ 4 ßh²

vyxj= g ¹

ru    h

^ y dx—-^[ßah²-\-Qßh + 6y),

a że: 8 a /i² + 6 ßh + Q y=y+4 (a li² A/?/i + y)-f- (4 a /i²-f2 ßh + y)=y₀ +4^ +y₂ przeto powierzchnia jednej części o szerokości 2/i, ograniczonej parabolą i dwiema rzędnemi przedstawia się w postaci:

(y₀, ?/₂) =-g-foo + ^+ft)-

Na tej podstawie otrzymujemy kolejno powierzchnie poszczególnych n części, z których każda ma szerokość 2h, wyznaczone wzorami:

(2/0, y₂) =

-|-(2/o+⁴^i +&)

Ii

(y₂, 2/₄)=_g“ (?/₂ 4y₃ y()

(y-2n-2, y₂n) =

g- (yin-2 + 4 yin-1+y₂«)j

38

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

- 594 —

wyznaczenie całkowitej powierzchni wzór przybliżony :

A[Vo+y in+4 {y^ +y₃ +...+y*«-i)+2(ya +y₄ + .*-+y2»-2)]

znany pod nazwą wzoru Simpson a.

Uważając rzędne: y₀,yv...,yu jako wartości funkcyi : y=f(x), gdy x=a, a + (2n—1 )h₁ b, a więc kładąc:

y₀-/(«)> yi“/(«+*)» y₂-/(«+2Ä),•• ,yto-i“/[a+(2«-i)Ä], y₂n=/’(&),

gdzie b = ^ -- , otrzymamy wzór Simpsona, podający przybliżoną wartość 2w

całki określonej w postaci :

£ f(x)dx—~[/(«) +•/(&) + 4 {/(a + ^) + —+/(a + (2w—1)^)} +

-j- 2 I /(tï 4~ 2Ä) 4~ ••• -1⁻(t*(2w—2) //}].

skąd otrzymujemy na

u -j- bj

(8)

(9)

14. Uogólnienie wzoru Simpsona. Postępowanie przy wyprowadzaniu wzoru Simpsona, polegające na tem, że zamiast uważać łuki danej krzywej za linie proste, zastępujemj’ je lukami parabol zwróconych w kierunku rzędnych, możemy uogólnić w ten sposób, że daną krzywą, której powierzchnię obliczyć mamy, zastępujemy przez krzywą prostszą, któraby miała z daną krzywą pewną ilość punktów wspólnych.

Jako takie krzywe prostsze wskazane są krzywe paraboliczne o równaniach:

y = Oy-f-Oj x-\-ai £e²d-...-f-an ar*,

każda taka krzywa jest wyznaczona («-j-1) punktami. Obierzmy tedy na danej krzywej (»4-1) punktów (ar₀, y₀), (a-,, yx),..., (ar₀ yr),    f/n), to otrzymamy na wyznaczenie krzywej

parabolicznej przez te punkta przechodzącej według wzoru Lagrange’a (patrz T. I. str. 419) wzór :

rz=n

(ar —ar₀) (x—ar,) ... (x — x,—l) (ar—Xr+1) ... (x—xn)

(ar,—x₀) (ar,—ar,) ... (ar,—ar,.- l) (xr—xr+i) ... (ar,—Xn)’

który, gdy położymy (ar —ar₀)(ar—r,).. (a:—Xn) — ^(x), przedstawia się w postaci:

?*=.0

r=zn

»-2

ł(*)

r=0

'i'(xr) (ar—ar,-)

yr-,

otrzymamy tedy na wyznaczenie powierzchni danej krzywej y—f(x) wzór przybliżony:

r—n

f /O) ^-=2 yr f

* a    «/ a

(ar) dx

,.=U

Ą‘(xr) (ar—ar,.)

A,• y,-

r~ 0

czyli :

f f(*)dx = yĄ -

V a    ” a

ł(aO

a więc:

dx+y\ ja

i* f(x)dx —A₀ y<y\-Ax yi+—+4« f/n,

a

dx+...Ą-yn\

* a

'Y(xn){x—Xn)

(Za¹,

gdzie spółczyniki ił₀, Ax zależnemi od podziału odstępu (a, b).

.4* są wartościami powyższych całek określonych, a więc

... = xn — Xn—i — h —

Zazwyczaj przyjmuje się punkta podziału w równych odstępach: ar,—ar₀=ar₂—ar, = -——, mamy tedy xr = x₀-\-rh₁ a powyższy wzór sprowadza się tedy do

postaci :

r—n

5>>'-

—rA)

dar.

(10)

- 595 -

15. Średnia wartość funkcyi w danym odstępie. Niech m przedstawia najmniejszą, a M największą wartość fnnkcyi f(x) w odstępie (a, b), innemi słowy niech ni przedstawia najmniejszą, a M największą rzędną krzywej y=f(x) w odstępie od x=a do x—b, tedy każda powierzchnia oparta na jakimkolwiek podziale odstępu (a, b) będzie miała taką wartość A, że:

(b—a) m <Z A <Z (b—à) M,

A — \ f{x) dx

J a

(b - a) m <; j* f(%) dx < (&—a) Jf, \ f(x) dx = ( b—a) fi

a więc także w przypadku, gdy:

będzie :

(U)

zatem :

gdzie /i jest pewną liczbą między m i M zawartą.

To znaczy : Między najmniejszą wartością m, a największą wartością M, jalde funkcya f(x) w odstępie (a, b) przyjmuje, leży koniecznie pewna liczba fi taka, że j₍₍ f(x)dx=(jb—a) fi.

Liczba fi będzie widocznie wartością funkcyi f(x) w pewnem miejscu leżącem między a i b. Oznaczmy to miejsce przez aĄ-@(b—«), gdzie 0 <C @ <C 1 -to będzie fi=/[a-{-8(b — a)], a wzór (11) możemy przedstawić w postaci:

(12)

\ f(x)dx=(b-a)f[a + 6(b—a)\

J a

Liczbę fi możemy także przedstawić w postaci:

,t=Hm /W+A«+ft)+■■■+./(ł-ł)    dzie hJz-_ą

n—ao    n    ’ ⁶    n

i nazywamy ją z tego powodu średnią wartością funkcyi /(a?) w odstępie od x==a do x=b.

Na jej wyznaczenie otrzymujemy tedy na podstawie (11) wzór:

,P

eh

\ f{x)dx

J a

(IB)

&__y V m

fl=-T—

o—a

Jeżeli f(x) przedstawia rzędną krzywej PQ, odpowiadającą odcinkowi x, to liczba fi przedstawia średnią rzędną krzywej PQ, a zarazem wysokość prostokąta, opartego na podstawie M‘N‘ = b—a, mającego tę samą powierzchnię, co krzywa PQM‘N‘ (fig. 27). Zastępując we wzorze :

LT

Fig. 27.

P f(x)dx=(b-a)f[a-\-(j(b—a)]

J a

ęb

dx przez (p{x)dx, zatem dx = (b—a) przez:

f cp (x) dx otrzymujemy wzór:

Ja

\ ’ f(x) (p (x) dx-=f[aĄ-S{b~a)] \ (p (x) dx

va    •'a

U’

jako uogólnienie wzoru 13.

IG. Reszta szeregu Taylora w postaci całki określonej. Resztę Bn sze-

7,2    /,»

regu Taylora: f(x+h) =/ (x) -f h /' («) +—/' (x)--1-... + ^ /W (x) + Bn możemy przedstawić w postaci całki określonej.

— &9ë —

Połóżmy bowiem :

F (*) =f(x—Z) + Z fix—z) -f f“{x — z) + - + ~j ß'Kx—z) tedy różniczkując tę funkcyę podług z znajdujemy:

F'(z)= — —fW\x—₀)

(«)

ztąd otrzymujemy:

A że :

[ F‘(x)dx=--—A zn ßn+i\x—z)dz

Ç₀ F\x) dx — I* ï (x)=F(h)—F (0),

(b)

a na

mocy podstawienia (a) mamy :

hn

F {h)=f ix—h) \-hf{x—h)f    + •••+-, fW(x—h)y F(0)=f(x),

przeto otrzymujemy z (J) lówność:

h¹

hn

fn\x— h)—f (x)= —    j* zr,ßn+i\x—z)dz.

f{x- h) + h f\x—h) + g-j f“ix—h) +... + w j

Zastępując w niej x przez x+h dostajemy:

*    /a*¹    1    /t^

fix+h)=fix) + hfix) + —^-J"(x)+...+    f>\x) + ^ j zn    (x + h—Z) dz

= ™ j" znfn+])ix+h—z) dz

przeto wzór :

przedstawiający resztę szeregu Taylora w postaci całki określonej.

Stosując do całki określonej \(| zH fn+vix + h—z)dz twierdzenie o średniej wartości (art. 15. str. 895) otrzymujemy:

Rn

(14)

zatem :

1 rh

— I zn fn+*\x-\-h—z)dz=@nhnf⁽-n+]'>ix-\-h—@h), gdzie © >< 1 n

Rn = f znfn+V(x+h—s)dz=‘

Jo

©" hn+'

hn+'

czyli po podstawieniu 1 — ©, zamiast O: Rn —

t. zw. resztę Cauchy’ego (tom I. str. 520).

Stosując zaś do powyższej całki wzór ogólny :

(1 — ®)n fn + Vix+@h)

J f(x)q>(x)dx=f[a-\-8(b—a)]j cpix)dx,

j* zn fn+') (x-\-h—z) dz = ßn+ißx + h—©Ta) j* zn dz =

f(n+')(x+h—©A),

otrzymujemy :

zatem :

Rn =

7an+¹

(w + 1)!

7in+¹

n-\-1

fn+'\x + li- ©7i), ©<1

czyli kładąc 1 —

Rn

hn+¹

(w -hi)!

t. zw. resztę Lagrange’a (T. I. str. 519).

/n+1>(a:4-©₁7i),

— 597 -

Ćwiczenia XXXVII.

Wyznaczyć tak krzywe różniczkowe, jak i krzywe całkowe, zarówno rachunkiem jak i metodą graficzną dla krzywych o równaniach:

2) ,= {«•.

⁶) »-i,

10) y — cos x,

!)

B) » =

9) y — sin x,

Wykreślić krzywe różniczkowe następujących linij :

3) y =

7) y = e*,

11) y = tang x,

8) y — log x, 12) y = cotg x.

13) linii prostej, 14) koła, 15) ellipsy, IG) hiperboli, 17) paraboli.

Wykreślić krzywą całkową, przechodzącą przez dany punkt a odpowiadającą:

18) linii prostej, 19) kołu, 20) ellipsie, 21) hyperboli, 22) paraboli.

Wykreślić następujące krzywe i obliczyć powierzchnie zawarte między niemi a osią x-ów w granicach od x = 0 do x — 1 :

²⁴) y =

25) y

28) y = xV/l—x²,

81) y

x⁴

\/l-x² * 34) y = x² logx,

\Zl-x’

29) y — x²V/l—x²,

82) y =

x⁵

26) y

’ VA-**’

3ü) y = x³V/l—xli

27) y = Y/ 1 —**,

V/l-x*’ 35) y = l-f-x—x²-(-x³.

33) y = x log x ,

Wykreślić następujące krzywe i obliczyć powierzchnie zawarte między niemi a osią x-ów w granicach od x — 0 do x = co :

36) y

o²-ł-xa’

40) y — e~ 2a:sinx,

37) y = e-*,

41) y — xe—rsinx,

38) y — e~x sin x, 42) y =

39) y = e -* cos x , 43) y — x e~x,

44) y = x²e—*.

Wykreślić następujące krzywe i obliczyć powierzchnie zawarte między niemi a osią x-ów w granicach od x = 0 do x == — :

46) y = cos x,

45) y — sin x,

49) y = sin³x, sin x

1-f-cos² x ’

53) y —

47) y = sin² x,

48) y = cos² x,

50) y = cos³ x,

51) y

l-bsin²x ’ ^

^ (l-bsin²x)²

54) y

x sin x

14-cos ² x ’

Obliczyć wartości następujących całek określonych i podać ich znaczenie geome

tryczne :

Cb dx

55)

* a

58)

V/(x—o;2 7

ę2a

J a

V/x²-fo² ’

Cb

56) f

V a

59) f²"v/2 ^ o

dx

v/(x—o) (6—x) ’

cb dx 57) f

** a

V/x²—a²’

ax—x² dx

60) f2axV/2

^ o

ax — x² dx ,

61) f²"xV2

^ o

ox — x² dx,

/»u.

62) f

^ o

« x²\/a—x

Y/a-f- x

dx,

/»ćfc

63)

*'o

xV*

64) l

J o

V/ a—x

<ÄX ,

65) l •'o

x dx

\/‘2 a x — x² ’

66) 1 •'o

V/a² - x² ’

—c² X“) dx \/ a²—x^    ’

e-*cos³ x dx

es) r

Jo

2 dx COS⁴ x ’

69) r

J o

² sin x rfx cos² x

⁷⁰⁾ I'

<żx

dx

<ix

q l-)-2x ęos a-|-x'² ’

q l-(-2x cos *-j-x² ’

p (a²-J-x²) (c²-{-x²) ’

598

Wykazać, że:

ft

73)    \ xm(l—x)n dx =

J o

74)    f (1 — x^ dx Jo

⁷⁶⁾ j;

78) Ç

JO

»(»—l)(n—2) ... 1 (m4-1) (to+2) ... (to-f-w — 1) ’ 2.4.6 ... 2»

3.6.7... (2»4~1) ’

2.4.6 ... 2n 3.5,7, (2»-j-l)’

i x^ndx    1.3.5...(2n—1) ~

\/T-x*⁼    2.4 . (i 2«    2

—3) r.

(L4-®²> “ 2.4.6... (2n—2) ' 2';

75) f J o

77) r *

J o

1.3.5...

: v~-'

sin2«4-l a; cos” xdx =

2.4.6... 2to

(»+1) (»+3).» (»+2TO+1)’

71

79) f²

J O

W)

sin^m —1 x cos²”—1 xdx =

¹.2.3... (to—1)

» (»4-1)... (n-j-TO-j-l) ’

2 n²

81) lim / —

*=*> \ n

y/n²—2²

y/ n'¹—i

Wyprowadzić następujące wzory przybliżone na wyznaczanie całek określonych i podać ich znaczenie geometryczne:

\/ w²—(n —1)²I

82)    f */(*) d® = A { f(a)+2/(a+Ä) + ... + 2/(6-Ä)4-/(6)} ,

⁸³)    /(*) dx = ~ {f(a)+f(b)+A[f(a+h)-\-f(a-\-3h)+...+f(b—h)] +

+ 2[f(a-Jr%h)-\-f(a-\-4h)-\-...-}rf(b—2h)}} •

85) Wykreślić krzywą y = — i obliczyć jej powierzchnię w granicach x

x

= 1 do ® = 2

za pomocą wzoru trapezowego i wzoru Simpsona przy użyciu 12-tu rzędnych równood-dalonych.

Za pomocą wzoru Simpsona obliczyć z dokładnością na 3 miejsca dziesiętne wartości następujących całek określonych, a wynik uzmysłowić rysunkiem:

85) J Jo

89) C2 Jo

t dx 114-X *

71

x dx

sin x '

dx

⁸⁶⁾ î,ï+ï*’

⁹⁰⁾ Vl-'k sin»*

7T

87)    f*-“

u y/1-®²’

A

88)    \ e~x2dx

Jo

Wykazać, że:

91)

2 < Î.

dx

y/1—k% sin² x

92) 0 < f¹ ®²e-*J dx < Aj. Jo    2 e

2 y/l-fc²

93) Jeżeli <7+) jest funkcyą całkowitą stopnia najwyżej trzeciego, wykazać, że:

I* ^ (*) dx = ^ [i' («)+⁴ 9    + 17(6)].

Wyprowadzić następujące wzory przybliżone:

94) f ydx —

96)    ^ y dx = -gö“ {? l/₀+13 yt + 11 y₂ + 32 y₃+7 y₄},

nb

37)    \ y dx — -d₀ y₀++ l/i +...+-4n yn,

a

g—• (Vo +⁴ 9i +#2) 1

95)    ^ y dx — A/* (y₀+3//, +3y₂4~y₃),

gdzie :

rJ>

Ar = f

(®—y₀) (®—®t)... (®—.r,.—1) (®—®r-f-i)... (x—xn) dx (*» *0) + #1) ... +» Xr—1 ) (Xr—Xr +1) ... (x, Xn)

98) Wykreślić krzywą y =

4—®²

1—®²

i obliczyć za pomocą wzoru Simpsona jej po-

wierzchnię A w granicach od ® = 0 do ® = 1.

— 599 -

Wyznaczyć średnią wartość funkcyi f(x) w odstępie (a, b), jeżeli:

a — 0, ö = 4,    100) /(*)

99) /(*) =

a = 0, & = -=

l-|-a² tang² x

71    TC

102) /(a?) = (cos 2cc)³/i. cos sc, a =--—, b — —.

103) Podzieliwszy średnicę półkola o promieniu r na części nieskończenie małe między sobą równe, znaleźć średnią arytmetyczną odpowiednich rzędnych.

v/#-i-4+y/#⁵

101)    f(») = sin² x, a = 0, b — ~

2~ ’

Rozwiązania XXXVII. 2) fig. 29. 6) fig. 81, 8) fig. 34, 9) fig. 30), 13) fig. 28, 14) fig. 32. 18) fig. 28. 19) fig. 33. 24) -J. 25) 2. 26)    27) ~    28)    29)

ii»

V-

->

i** «

!■

fi

AV

-2S—

■4

......",

--

‘-i

30)

.    31)

3rc

16'

Fig. 28.

32)    .    33)

co Its

—-X

Fig. 31.

89) A. 40) A.. 41)

49) A 60) A 61) b-\-\/b²—a²

i-i <n

Fig. 29.

-A 84)

Fig. 30.

-f ⁸⁵> a- ³⁶⁾ s 37) L 88) I-

Fig. 32. Fig. 33.

\-JP

c/ \

/A

42)

.    43)

.    52)

5 7C

32 ■

•    CO

t-H    iO

57) log

-. 58) log

2+V/5

1+V/T

f) CL ^ 7E

63) r. 64)    65) an. 66)

2 sina

71)

sin a’

Fig. 34.

44) 2. 45) 1. 46) 1. 47)    48)

-J.    54)    .    55) 3 y^b^a. 56) *.

69) V/2⁻“I. p¹ dx

81) Ç

Jo

r.az

61)

7 7C a⁵

ÎM)- TO ,° (** + *"*)• ⁶⁸>4'

72)

r.

80) $' * Jo

1-h.r² ’

\/1—a;²*

2 ab(a-\-b)‘

84) log 2 = 0 69315... 85) 0 693... 86) 0-785.. 87) 0-514... 88) 0 747... 89) 0-814... 90) 1-854... 93) Przyjąwszy n — 6, otrzymujemy A = 2-934924. 99)-jj-(y/2—l). 100) —j—.    101)-^-.

102) Ay/2.

103) 4

— r.

Literatura. Br. A b d a n k - A b a k a n o w i c z. Les integraphes, la courbe integrale et les applications. Paris 1866. Dr. Ludwig Kiepert: Grundriss der Differential und Integralrechnung II. Theil. Integralrechnung. Hannover 1900. Chr. Nehl: Über graphische Integration und ihre Anwendung in der graphischen Statik. Leipzig 1885. Benjamin Wiliam son: An elementary treatise on the integral calculus. London 1875.

lematy do rozprawek naukowych :

1)    Przybliżone metody obliczania całek określonych.

2)    Teorya całkowania graficznego z zastosowaniami.

3)    Wyprowadzenie szeregu Taylora metodą średniej wartości funkcyj.

Wykład XXXVIII.

Powierzchnie jako obrazy geometryczne funkcyj dwu zmiennych niezależnych.

1. Obraz geometryczny funkeyi dwu zmiennych niezależnych. Niech będzie daną zmienna z, jako funkeya dwu zmiennych niezależnych x i y w postaci :

(1)

*'=/■(#, y)

to możemy ją sobie uzmysłowić geometrycznie punktami (x, y, z) w przestrzeni. W tym celu przyjmujemy na x i y pewne wartości, które uważamy jako dwie spółrzędne punktu P przestrzeni, a z danego równania (1) wyznaczamy wartość na z, którą uważamy jako trzecią spółrzędną tegoż punktu. Odcinając tedy (fig. 35) OPx=x, PxP‘=y, P'P=z, otrzymamy pewien punkt P w przestrzeni, którego spółrzędne sprawdzają dane równanie. Przyjmując rozmaite inne wartości na a: i y i wyznaczając z danego równania odpowiednieŁwartości na z poznamy, że otrzymujemy w ogólności oo² punktów przestrzeni, które utworzą pewną formę dwuwymiarową w przestrzeni, zwaną powierzchnią o równaniu z=f (x, y).

A zatem: Wszelka funkeya dieu zmiennych niezależnych x, y, innemi słowy wszelkie równanie o trzech zmiennych x, y, z przedstawia pewną powierzchnię w przestrzeni.

eP

cc

p’

Fig. 35.

Nawzajem : Każdej powierzchni odpowiada pcicna funkeya dieu zmiennych niezależnych .r, y, czyli pewne równanie o trzech zmiennych y, z, które nazywamy równaniem tej powierzchni.

2. Kształt powierzchni określonej dauern równaniem. Ażeby sobie wyrobić wyobrażenie o kształcie powierzchni, określonej danem równaniem z=f(x,y), badamy przekroje tej powierzchni płaszczyznami spółrzędnemi, jako też płaszczyznami do nich równoległemi.

I tak, kładąc 2=0 otrzymamy przekrój danej powierzchni płaszczyzną (poziomą) XOY, określony równaniem /(#, y)=0. Kładąc zaś z=h otrzymamy przekrój danej powierzchni płaszczyzną równoległą do płaszczyzny (poziomej) XOY w oddaleniu h, określony równaniem f(x,y)=h.

— 601 —

Kładąc y =0 otrzymamy przekrój danej powierzchni płaszczyzną (pionową) ZOX, określony równaniem: z=J (#, 0), a dla y=h otrzymamy przekrój tej powierzchni płaszczyzną równoległą do płaszczyzny (pionowej) ZOX w odstępie równym /c, określony równaniem z~f(x,Jc). Kładąc wreszcie æ = 0 otrzymamy przekrój danej powierzchni płaszczyzną (boczną) ZOY, określony równaniem z=f(0,y), a dla x=l, otrzymamy przekrój tej powierzchni płaszczyzną równoległą do płaszczyzny (bocznej) ZOY w odstępie równym l, określony równaniem z=f(l,y). W ten sam sposób możemy zbadać kształt powierzchni określonej równaniem uwikłanem w postaci :

(2)

F(x, y, e)=0.

Wyznaczywszy przekroje równoległe do jednej z płaszczyzn współrzędych poprowadzone w równych odstępach stosownie dobranych możemy za pomocą tak .otrzymanych krzywych przekrojów sporządzić model powierzchni danem równaniem określonej.

3. Przykłady badania kształtu powierzchni określonej równaniem wyraźnem. Zbadać kształt powierzchni określonej równaniem z = xy. Przekrój tej powierzchni płaszczyzną pionową z — 0 przedstawia się równaniem xy—0 i składa się z dwu prostych x = 0

\\\

'-V-

'VI

^1/

-Y'

V.\

Fig. 86.

Fig. 37.

Fig. 38.

t. j. osi y-ó w i y — 0, t. j. osi x-ów, przekrój równoległy do płaszczyzny X O Y w odstępie z — h określa się równaniem xy — h i przedstawia hyperbolę równoboczną odniesioną do osi OX i OF jako asymptot (fig. 36). Przekrój tej powierzchni płaszczyzną pionową y = 0 określa się równaniem z— 0, przedstawiając oś «-ów, przekrój i*ównoległy do XOZ w odstępie y = k określa się równaniem z = kx i przedstawia prostą nachyloną do osi «-ów pod kątem a, dla którego tang « = k (fig. 37).

Przekrój danej powierzchni płaszczyzną boczną « = 0 określa się równaniem z — 0

7~,,'

Fig. 39.

i przedstawia oś y-ó w, przekrój równoległy do YOZ w odstępie x — l określa się równaniem z = ly i przedstawia prostą nachyloną do osi y-ó w pod kątem ß, dla którego tang ß = Z (fig 38). Przekroje danej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XOY są więc hyperbolami równobocznemi, przekroje równoległe do płaszczyzn XOZ i YOZ są zaś liniami prostemi. Powierzchnia ma więc na sobie dwa szeregi prostych, z których jeden szereg jest równoległy do płaszczyzny pionowej ZOX, drugi do płaszczyzny ZOY, może więc powstać przez ruch prostej, po dwu prostych wichrowatych równoległych do płaszczyzny ZOX jak O A i BP, równolegle do płaszczyzny ZOY. Na fig. 39. przedstawioną jest ta

602

powierzchnia nad prostokątem OA CB. Jeżeli wymiarami tego prostokąta są OA — a, OB — b, natenczas wysokość punktu P, t. j. PC=ab.

4. Przykłady badania kształtu powierzchni określonych równaniami uwikłaliemi.

== 1. Ellipsoida.

/V* 2    yf2

«) Równanie: —,-f |₂ + —₂

Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XOY w odstępach z = h określone są równaniami :

« — /i,

x² w²

+ 4 =1-

a²

Ô²

czyli :

Z = li ,

x²

yi

a²

M) Kl->)

= 1,

są więc ellipsami o półosiach:

c²

które są największe dla h — 0, przyjmują wartości a i &, są rzeczywistemi, jak długo A <C c, a stają się dla A—c punktami.

Przekroje równoległe do płaszczyzny XOZ określone są równaniami:

a²

x² z²

+7»~ = 1

czyli :

a:²

a²

M')

c²

6-S)

SA

są więc również ellipsami o półosiach :

«V

Fig. 40.

A²

które dla & = 0 przyjmują wartości

« i c; są rzeczywiste, gdy h < A, a stają się zerami dla k — b.

Wreszcie przekroje równoległe do płaszczyzny YOZ określone są równaniami:

x — l,

1-

Cr-

ts5 ts5

z²

+ -T = 1-

C²

czyli :

X = l,

?/²

Z²

b²

(-■ )

l²

półosiach: 6yl--—, c ^1—

wartości b i c, są rzeczywiste, gdy /<a, a stają się zerami, gdy l — a.

__    . x² y² z²

——— «4** -

b² ■ c²

są więc znowu ellipsami o

—2 , które dla Z —0 przyjmują

Równanie —=- -f-

a²

= 1 przedstawia więc powierzchnię, której przekroje pła-

szczyznami spółrzędnemi są ellipsami o osiach 2a, 2b, 2c. Nazywamy ją przeto elli-p so idą trój o sio w ą (fig. 40).

Gdy a — b, otrzymujemy ellipsoidę o równaniu

x²-\-y²

z²

a²

— 1, zwaną ellip soidą

obrotową; gdy a — b = c sprowadza się równanie ellipsoidy do postaci:

x²-\-y²-\-z² = a²

i przedstawia k u 1 ę o promieniu a.

Szczególny przypadek ellipsoidy trójosiowej przedstawia równanie kształtu:

z²    x² y² z²

+ ~₁=i. czyli ^ +    +

x²

y²

aa²~^~ a.b²

gdy a = 0. Otrzymujemy wtedy równanie postaci:

= 0,

y² , z²

c²

przedstawiające ellipsoidę o osiach równych zeru, czyli punkt jako szczególną odmianę ellipsoidy.

603

a;²

?/²

s²

Gdy a =* — 1 otrzymujemy równanie

den rzeczywisty punkt w przestrzeni. Powierzchnię taką złożoną z samych punktów urojonych nazywamy ellipsoidą urojoną.

a*

-f- -~K- -)--s- = — 1, któremu nieodpowiada ża-

ft²

c²

ß) Równanie ^ + ^ —-^ = 1. Hyperboloid» o jednej powłoce.

Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XOY określa ją się równaniami :

z==h' a* ⁺ I² ^ ¹⁺ ^ ’

czyli :

a:²

4+5)

&²

(*+5)

.yi+ 1 b^i+h

, które dla h — 0 przyjmują wartości

są więc ellipsami o półosiach:

a i & i rosną ze wzrostem h w nieskończoność.

Przekroje równoległe do płaszczyzny XOZ są określone równaniami:

c²

X² z¹

a² c²

k²

Ô² ’

czyli :

X²

Z²

“i,

są więc hyperholami o półosiach : a

V‘-5

, które dla £ = 0 przyjmują war-

b²

tości aie, dla A: = b stają się zerami, sprowadzając hyperbolę do pary prostych; dla

k^>b oś rzeczywista hyperboli otrzymuje kierunek osi z-ów, a oś druga kierunek osi a>ów. Przekroje równoległe do płaszczyzny YOZ są określone równaniami:

x — Z,

z²

ó²

c²

+4"'/

czyli : x = 1,

</²

z²

Y/

4-5) "4-5)

i są znowu hyperholami o półosiach:

b\ji

a²

V*-5

Fig. 41.

które dla l — 0 przyjmują wartości b i e, a dla Z —a stają się zerami. Dla l > a oś rzeczywista i urojona hyperboli przemieniają się kierunkami.

:</²

Z²

Równanie    ^ —^- = 1 przedstawia powierzchnię, której przekroje płaszczy

znami równoległemi do płaszczyzn spółrzędnych są ellipsami lub hyperholami, rozciągającą się w kierunku osi 2-ów w nieskończoność (fig. 41). Nazywamy ją liyperboloidą elliptyczną o jednej powłoce.

Gdy a — b otrzymujemy hyperboloidę o równaniu:

xi~\~y²    z²    J

a²

c²

utworzoną przez obrót hyperboli (a, b) około osi urojonej, a zwaną liyperboloidą obrotową o jednej powłoce. Gdy a — b = c, otrzymujemy równanie x²-\-y²—z² — a2 przedstawiające powierzchnię powstałą przez obrót hyperboli równobocznej około jej osi urojonej, zwaną hyper boloidą obrotową równoboczną o jednej powłoce.

604

Szczególny przypadek hyperboloidy trójosiowej o jednej powłoce przedstawia równanie kształtu:

Z*

*²    J*² _ i

a²a² * a²j² a²«“®    ’

rt.

X²

ï> +

gdy a = 0. Otrzymujemy wtedy równanie postaci :

czyli :

a2 + A² c² ’

Ł**m'

czyli :

|i\

Fig. 42.

przedstawiające, jako hyperboloidęjednopo włokową o osiach równych , stożek elliptyczny, którego oś wpada w oś s-ów (fig. 42).

y) Równanie — —    —^=1. Hyperboloid»o dwóch powłokach.

Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny X0Y określają się równaniami:

zeru

z = A,

półosiach

x² y²

a² b²

A²

y²

«1,

które dla h =0 otrzymują war-

są więc hyperbolami o

tości najmniejsze a i b i rosną wra '. z A w

Przekroje równoległe do płaszczyzny ZOX określono są równaniami:

nieskończoność.

X²

/I

czyli : y = k,

X²

z²

-(*+£)

c2(,+ A²)

-1,

są więc hyperbolami o półosiach a ^ 1 -f-

fc²

A²

V¹⁺T²’

które dla fc = 0 otrzymują wartości najmniejsze a i b i rosną także wraz z k w nieskończoność.

Przekroje równoległe do płaszczyzny F0Z są określone równaniami :

Fig. 48.

I²

?/² 2²

czyli :

x — l,

b²

i są, gdy l < a, ellipsami urojonemi, stają się dla ł = a punktami, a są dopiero dla l^>a ellipsami rzeczywistemi, których osie wraz z l rosną w nieskończoność. Powierzchnia ma kształt na fig. 43 przedstawiony i nazywa się hyper b o 1 ° i 4 ą eliptyczną o dwu powłokach.

= 1 i przedsta-

x²

Gdy b = c, sprowadza się dane równanie do postaci :

wia powierzchnię, powstałą przez obrót hyperboli (a, b) około osi rzeczywistej, zwaną hyper boloidą obrotową o dwu powłokach. Gdy a = b = c otrz3rmujemy równa • nie x²—y²—z²=a² przedstawiające hy p erb o 1 o i d ę obrotową równoboczną o dwu powłokach.

— 605 -

Szczególny przypadek hyperboloidy trójosiowej o dwu powłokach przedstawia równanie kształtu:

x²

*²

a²a²    a²ó² a²c²

= 1,

czyli :

«dya=0-

■x

Otrzymujemy wtedy równanie postaci:

y? _ z¹ __ n

ft² c² ’

przedstawiające stożek elliptyczny, którego oś wpada w oś x-ów (fig. 44).

p = 2s. Paraboloid» elliptycziia.

Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XOY określają się równaniami:

■V

o²

Fig. 44.

o) Równanie

£C²    ?/²

a2 +

Z = h,

x²

2^Ä ⁺ 2^Ä⁼¹’

są więc ellipsami o półosiach a\/2h i b\/2h. Ellipsy te są dla h — 0 punktami i rosną wraz z Ä nieograniczenie, są zaś dla h <Z 0 urojone. Powierzchnia wznosi się więc tylko nad płaszczyzną XOY.

Przekroje równoległe do płaszczyzny XOZ określone są równaniami:

x² .Tc²

y'-k' ^î+jî

=2ai*~ w)

czyli :

są więc przystającemi parabolami o parametrze 2a², mającemi osie zwrócone w kierunku

fc²

dodatniej osi s ów, a wierzchołki odległe od płaszczyzny XOY oz —

2 b*’

Przekroje równolegle do płaszczyzny ZOY określone są równaniami:

[Z

*“<>    + p- =²*’’

x=l, y* = 2

są więc znowu parabolami przystającemi o parametrze 26², mającemi osie zwrócone w kierunku dodatniej osi s-ów, a wierzchołki

czyli :

odległe od płaszczyzny X0Y o x = —₂-. Powierzchnia ta ma

kształt podany na fig. 46 i zowie się paraboloidą ellipty-c z n ą.

Może ona powstać z przekrojów widocznie w dwojaki sposób, albo 1) przez ruch zmiennej ellipsy, która swemi wierzchołkami porusza się po dwu parabolach, mających wspólną oś, a leżących w dwu płaszczyznach do siebie prostopadłych, albo 2) przez ruch stałej paraboli, która porusza się swoim wierzchołkiem po obwodzie innej paraboli, pozostając w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny tej paraboli i mając oś zwróconą w kierunku osi tejże paraboli. Jeżeli a — b sprowadza się dane równanie do postaci:

Fig. 46.

x² -j- y² = 2alz

i przedstawia powierzchnię, powstałą przez obrót paraboli x² — 2alz około jej osi, zwaną paraboloidą obrotową. Szczególny przypadek paraboloidy elliptycznej przedstawia równanie kształtu:

x²

a² a²

y² _

a²ó*

2z, czyli: ^ + f>⁼⁼²*²*’ gdy « = 0.

- 6o6 -

|/2 ^ ^ Otrzymujemy wvedy równanie postaci —^-f- ^j = 0, które uważane jako równanie o B-ch

zmiennych, przedstawia oś »-ów, a więc linię prostą, jako odmianę paraboloidy ellip-tycznej.

e) Równanie —^

'    a¹

?/2

= 2 s. Paraboloida hyperboliczna. Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XOY określają się równaniami:

X¹

y'¹

---— = 2 h,

«² i² ’

czyli :

2 = /i,

= 1,

26 ² Ä

są więc hyperbolami o półosiach: a\/2h\b\/2h, które dla h — 0 przechodzą w dwie osie

o równaniach — = H- Nad, względnie pod płaszczyzną XOFprzedstawiają się te hyperbole a    6

jako hyperbole sprzężone o asymptotach — rfc ^ (fig. 46).

2aih

X-

-x X\

/X

ż’

7;

Fig. 4G.

Fig. 47.

Fig. 48.

Przekroje równoległe do płaszczyzny XOZ określone są równaniami:

x² — 2a²

y = fc,

(•+£)■

są więc parabolami przystaj ącemi o parametrze 2a², mającemi osie zwrócone w kierunku

fc²

osi »-ów, a wierzchołki pod płaszczyzną XOi w oddaleniu s~2b⁷' Dla k = 0 mamy parabolę .t² = 2«²», jako przekrój płaszczyzną XOZ (fig. 47).

Przekroje równoległe do płaszczyzny ZOY określone są równaniami:

£,)

są parabolami przystającemi o parametrze 26², mającemi osie zwrócone w ujemnym kie-

P

runku osi OZ, a wierzchołki nad płaszczyzną XOF w oddaleniu z = mujemy parabolę y⁷ = — 2b⁷z jako przekrój płaszczyzną YOZ (fig. 48).

Powierzchnia określona równaniem—^ — ^- = 22 ma więc kształt podany na fig. 49

i nazywa się paraboloida liyperboliczną, albo powierzchnią siodełkowatą. Może ona, jak widoczna z przekrojów, powstać w ten sposób, że parabola porusza się po innej paraboli, pozostając w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny tej paraboli i mając oś zwróconą w kierunku przeciwnym osi tejże paraboli. Jeżeli a = 6, sprowadza się dane równanie do postaci : x² — y⁷ = 2alz

x — l,

Dla 1 = 0 otrzy-

Id

/-

Z,

rx

Mil—

i przedstawia paraboloidę hyperboliczną równoboczną.

Fig. 49.

Zmieniając w tym przypadku układ płaszczyzn spółrzędnych w ten sposób, że zatrzymując oś »-ów

— 607 -

przyjmiemy za płaszczyzny XOif i FOZ płaszczyzny dwójsieczne danego układu, czyli innemi słowy obracając dany układ około osi z-ów o kąt 45°, otrzymamy wzory przekształcenia spółrzędnych danych (#, y, z) na nowe (æ', y', z‘) w postaci:

\/2

V/2

« = z'.

Równanie x²—y² = 2a²z sprowadza się wskutek tego przekształcenia, jeżeli znaki jako zbyteczne opuścimy, do postaci:

(x + y)²--\~(x — y)2 =    czyli 2xy — 2a²«, t. j. xy = a²z.

a;

e, otrzymujemy równanie paraboloidy hyperbolicznej równobocznej przero-

Kładąc -4

bione do takiego układu w postaci: z — cxy, uzmysłowionej na figurze 89.

Szczególny przypadek paraboloidy hyperbolicznej przedstawia równanie kształtu:

CC “    i/*    Z

=    gay “ = °-

/p2    y 2

Otrzymam}⁷ wtedy równanie postaci —^ — -p — 0) które uważane jako równanie o 8 zmiennych a⁷, y, 2-, przedstawia dwie płaszczyzny ^ — -F J przecinające się wzdłuż osi «-ów, jako odmianę paraboloidy hiperbolicznej.'

5. Kształt powierzchni, określonej równaniem o dwu zmiennych, uważanem za równanie o trzech zmiennych. Jeżeli równanie o dwu zmiennych x i y kształtu y = f(x) lub kształtu F(x, y) = 0, przedstawiające pewrną krzywą na płaszczyźnie XOY uważamy za równanie o trzech zmiennych x, y, «, natenczas należy w każdym punkcie krzywej, wykreślonej na płaszczyźnie XOY wykreślić równoległą do osi «-ów, a na tej równoległej odciąć dowolną wysokość «. Wszystkie punkta każdej z tych prostych równoległych czynią tedy zadość danemu równaniu. Wszystkie te proste tworzą powierzchnię walcową, której kierownicą jest dana krzywa na płaszczyźnie XOY, a której tworzące są równoległe do osi «-ów.

Wszelkie równanie o dwu zmiennych uważane za równanie o trzech zmiennych przedstawia zatem powierzchnie walcową o tworzącej równoległej do jednej z osi układu.

rp 2    2

Tak np. równanie —a-f-    1j uważane jako równanie powierzchni, przedstawia

rjf* 2    ^2

walec eliptyczny (fig. 50) równanie ₂—'-₂=1 walec hyperboliczny (fig. 51), równanie

NL

rt

Y/

“⁷o

..X.

0,'

■X

Fig. 50.

Fig. 51.

Fig. 52.

y² — 2 px walec paraboliczny (fig. 52). Kierownice tych walców leżą na płaszczyźnie XOY} a tworzące są równoległe do osi OZ.

Jeżeli w równaniu brakuje zmiennej y, tedy równanie ma kształt F(x, z) = 0 i przedstawia walec równoległy do osi y-ów; tak samo równanie kształtu F (y, «)=0 przedstawia walec równoległy do osi cc-ów.

y²-j-«² = a

przedstawiają proste walce kołowe o promieniu a, z któi*ycli pierwszy jest oparty o płaszczyznę XOY, drugi o XOZ, trzeci o YOZ.

Tak np. równania:

*²+y* = «²,

y²+z² = a²,

- 60S -

6. Znaczenie geometryczne pochodnych cząstkowych w danym punkcie powierzchni. Niech będzie dany punkt P(x,y,z) na powierzchni z — /(a:, y) ;

zmieniając x o dx, bez zmiany drugiej zmiennej niezależnej y zmienimy wartość funkcyi z = f(x, y) o

dxz=-^- dz=pdx, gdzie p =

O JO

Spółrzędnym x + dx, y, z+pdx odpowiadać będzie tedy na powierzchni z=f(x, y) punkt Q (fig. 53), przy-czem MQ = dx z = pdx, jeżeli PM = P‘Q‘ = Px Qc=dx. Z trójkąta PQM otrzymamy tedy MQ=PM tang QPM, zatem

dxz=dx . tang a, a więc~^j~—tang a, czyli p =    =tang a,

gdzie cc = yC QNM, przedstawia kąt, jaki prosta PÇ tworzy z osią a?-ów.

da;’

ra

j__

I- P- I rh ■ 0'

WSP

■mm

B⁻

TT*

Fig. 63.

Zmieniając zaś y o dy, bez zmiany zmiennej niezależnej x, zmienimy

dz

wartość z o dyz=-—dy=*qdy, gdzie q =

dy

. Otrzymujemy tedy nowy punkt

P powierzchni z=f(x, y) o spółrzędnych x, y+dy, z-\-qdy, gdzie RN=*dyZ=qdy, jeżeli PN=P'Il, = dy. Z trójkąta PP2V prostokątnego przy iV otrzymamy PiV=PAr. tang PPN, czyli z=dy . tang /?, gdzie    PPN przedstawia kąt,

dyZ

jaki prosta PP tworzy z osią y-ów, a więc

dz

dy ~tang & czy]i 2=^=tang/?•

Proste P$ i PP, łączące punkt P z punktami sąsiedniemi Ç i P, z których pierwszy leży na przekroju powierzchni z=f(x, y) płaszczyzną równoległą do płaszczyzny XOZ, drugi P na przekroju powierzchni płaszczyzną równoległą do płaszczyzny YOZ, są dwiema stycznemi do powierzchni przez punkt P przechodzącemi, jedna PQ równoległa do XOZ, druga PP równoległa do YOZ.

Wartości pochodnych cząstkowych

—p i

dz

dy —q w danym pnnlccie powierzchni

z—f (z, y), przedstawiają zatem tangensy kątów, jakie styczne iv tym punkcie do przekrojów powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzn XOZ i YOZ poprowadzone, tworzą z osiami x-ów, względnie y-óic

Różniczki cząstkowe dxz—pdx i dyz=qdy przedstawiają nieskończenie małe zmiany spółrzędnej z punktu powierzchni, wywołane zmianami nie-skończonemi spółrzędnej x o dx, względnie spółrzędnej y o dy. Równoczesna zmiana x o dx i y o dy wywołuje zmianę z o dz₁ gdzie dz jest zupełną różniczką funkcyi z~*f(x,y), określoną wzorem:

dz

dz

dy dy, czyli dz=pdx+qdy.

Jeżeli powierzchnia określona jest równaniami kształtu F(x, ?/, z)= 0, tedy mamy :

dz = dxzĄ-dyZ=>—dxĄ-

dx

(3)

dF

dx

clx +

dF

dF

dy

dy -j-    dz—0,

dz

dF

dz

zatem pochodne cząstkowe: p =

O JO

dx

dz

dF

q dy

(4)

dz

609

7. Płaszczyzna styczna w dânyin punkcie powierzchni. Określając styczną do powierzchni w danym punkcie P(x, y, z), jako, prostą, łączącą ten punkt z punktem sąsiednim 0(2;+ dx, y -\-dy, z-\-dz), gdzie dz=pdx + qdy, otrzymamy równanie stycznej, jako równanie prostej, przez dwa punkta P(æ, y, z) i S {x + dx, y + dy, z + pdx .-j- qdy) przechodzącej w postaci:

y-y _

dy    pdx-f qdy'

■x

dy

K'

-on

Kładąc , dx

PS na płaszczyznę XOY tworzy z osią x-ów, otrzymamy powyższe równania stycznej w postaci :    ■

— X, gdzie A przedstawia tangens kąta, jaki rzut P‘8‘ stycznej

x-x=FW*(Z~e)’

X—x Y—y Z—z A ~P + qA X~y=

pm(Z~s)

czyli:

gdzie Â jest dowolnym parametrem.

Przez każdy punkt P(x,y,z) powierzchni przechodzi więc nieskończenie wiele prostych stycznych do powierzchni. Każdą poszczególną styczną okre-

dy

śla pewna wartość parametru X= .

O/tAs    «

Wyrugowawszy z powyższych dwu równań parametr Z, w ten spośób, że pomnożymy pierwsze równanie przez p, drugie przez q i tak przekształcone równania do siebie dodamy, otrzymujemy równanie:

P (X—x) + q ( Y—y)=[Z— z),

P (X—x) + q( Y—y)—[Z—z)=0, które jest pierwszego stopnia ze względu na spółrzędne bieżące X, K, Z, a więc równaniem płaszczyzny przez punkt P(æ, y, 2) przechodzącej.

A zatem : Wszy silcie styczne w danym punkcie powierzchni leżą na jednej płaszczyźnie.

Płaszczyznę tą nazywamy płaszczyzną styczną w danym punkcie powierzchni.    -    •    ,    . ■    . •

Równanie płaszczyzny stycznej w danym punkcie P(x,y,z) powierzchni Z—f(x,y) przedstawia się więc w postaci: •

p (X—x) + q ( Y-y)-~(Z—z)=0 przedstawiają wartości' pochodnych cząstkowych w da-

czyli :

(5)

gdzie p —

d$ ’ ^ dy

nym punkcie powierzchni. Jeżeli równanie powierzćhw dane jest w postaci F (x, y, #)=0, tedy mamy:

dF

i. z (un ,'im~

V::

dx

dy

zatem równanie płaszczyzny stycznej w daiiyrn punkcie P(x\y, z) powierzchni F(x, yt0)—O. przedstawia ' się w /postąći:-

dF ' " 9F    dF ' “    ' •

(r-ÿ)+s,(2-.)=°......(6)

dz £V/0    07f : ■;

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

- 610 -

podstawie równa

na

Oznaczmy przez a, ß, y kąty, jakie pion płaszczyzny stycznej tworzy z osiami układu, to otrzymamy na ich wyznaczenie nia (B) wzory :

cos a

cos ß cos y _    1

Vp²+g²+l

(L

(7)

a z równania (6) wzory :

cos a cos ß cos y

dF dF

(8)

dF

dx

dy

dz

/jr*2    y 2    ^

8. Przykłady. 1) Płaszczyzna styczna do powierzchni z =    w punkcie P(x, y z)

, równaniem :

2x    2 y

przedstawia się, wobec tego, że: p= q = ^

czyli :

(z-*)=o,

2x²    2y² n

a² &²

2Xx , 2 Fy

a²

bf~Z + *

2x²    2y²

Na podstawie równania powierzchni, ze względu na to, że —jf ⁼⁼⁼2« otrzymujemy ostatecznie równanie płaszczyzny stycznej w punkcie P(x,y, z) powierzchni:

X² y²

z — -    w postaci :

Xx , Fy    Z+* _n

a²+ 6*    2

2) Płaszczyzna styczna w punkcie P(x, y, z) powierzchni :

rjß 2    ąj 2    £ 2

⁼ 1 przedstawia się, wobec tego, że:

d F 2x dF 2 y dP

dy    &² ’ dz

dx o²

x² w² Z²

F- — -ł- — -1---

a²^ Z>²^ c²

— , równaniem w postaci : cl

2xX 2y F    2zZ    2x²

+    c2    a²

z którego otrzymujemy ostatecznie równanie:

Xx Fy , Zz

czyli :

ÏT-».

x² y²    z²

jako równanie płaszczyzny stycznej w punkcie P(x, y, z) ellipsoidy    =

9. Powierzchnie różniczkowe (lanej powierzchni. Uważając wartości

óz    öz

pochodnych cząstkowych p=— i =^— funkcyi Z'=f(x, y), które są funk-

cyami zmiennych niezależnych x i y, a więc p=/'*(#, #), <l=fy{x,y)i jako spółrzędne $ punktów powierzchni, otrzymamy równania:

y)>

przedstawiające nowe powierzchnie, które nazywamy powierzchniami róźniczkowemi danej powierzchni z=f(x,y).

Danej powierzchni odpowiadają wedle tego dwie powierzchnie różniczkowe. Wysokości £ jednej z nich przedstawiają wartości pochodnej cząstko-

óz    ^

wej p=—= tanga; drugiej—wartości pochodnej cząstkowej £=—=tang ß.

o²

1.

(9)

- 611 —

Tak np. powierzchni z=xy odpowiadają powierzchnie różniczkowe z=y i z=x, które są płaszczyznami dwójsiecznemi układu, z których pierwsza przechodzi przez oś z-ów, druga przez oś y-ów.

10. Powierzchnie całkowe danej powierzchni. Funkcyi z=f(x, y) odpowiadają dwie całki pojedyńcze:

1)    \zdx=[f(x, y)dx*=F^(x, y) + (p{y)

2)    \zdy=[f(x, y) dy=F₂(x, y) + ty{x)

gdzie funkeye Fi(x, y) i F₂(x, y)₎ zwane cząstkowemi całkami głównemi funkcyi f(x,y), są takiemi najprostszemi funkeyami zmiennych x i y, że :

„ àF₂(x, y)

u -:-

àF^x, y)

ôx

dy

=/(«> 2/)

zaś (p(y) i ty(x) są dowolnemi funkeyami jednej tylko zmiennej y lub x, a nadto jedna całka podwójna kształtu:

B) \[zdxdy = [[f(x, ty)dxdy=F(x₁ y) + (p(x) + tp(y), gdzie funkeya F(x, y), zwana podwójną całką główną funkcyi f(x, y), jest taką najprostszą funkcyą zmiennych niezależnych x i y, że :

dlFQr, y) __ d²-F(z, y) dxdy

a qp(æ) i ty(y) są dowolnemi funkeyami, każda jednej tylko zmiennej x lub y. Przedstawiając obrazy tych całek, będących funkeyami dwu zmiennych niezależnych x i y, jako powierzchnie w przestrzeni, otrzymujemy nowe układy powierzchni, zwanych powierzchniami całkowemi powierzchni z=/(x,y). Ograniczając się do głównych powierzchni całkowych odróżnimy trzy rodzaje powierzchni całkowych danej powierzchni z=f{x,y):

1)    powierzchnię całkową o równaniu:

y)dx=Fi(x, y),

przedstawiającą wysokościami z swych punktów wartości całki cząstkowej według zmiennego x w danem miejscu (x, y),

2)    powierzchnię całkową o równaniu:

*=î/(æ, y)dy=F₂(x, y) przedstawiającą wysokościami £ swych punktów wartości całki cząstkowej według zmiennego y w danem miejscu (x, y),

3)    powierzchnię całkową o równaniu:

y)dxdy=F{x, y),

przedstawiającą wysokościami £ swych punktów wartości całki podwójnej danej funkcyi w danem miejscu (a?, y).

11. Całki określone cząstkowe Qf{x, y) dx i f*f(x,y)dy. Wychodząc z pojęcia pojedynczej całki określonej otrzymujemy tu następujące wartości:

dydx

=/(«, y)

(10)

(U)

(12)

Ç /(*, 2/)    0», y) + 9>(y)] --Fi(#₂ » «/)—^2(*i > ?/)

y)dy=iy)[^a(*» ?/)+^)]=^₂(^ y*)—yJ-

Znaczenie geometryczne tych całek określonych wypływa bezpośrednio ze znaczenia geometrycznego całki pojedynczej, jako wielkości powierzchni danej linii krzywej.

— 612 -

Przecinając powierzchnię #=/(#, y) płaszczyzną równoległą do płaszczyzny ZOX w pewnym odstępie OB=y otrzj^ma-my przekrój PQBS‘ (fig. 54), określony równaniem z=f(x, y), odniesionem do układu Z'BX‘, A\ gdzie y ma pewną przyjętą wartość stałą OB. Wielkość powierzchni Ay, ograniczonej krzywą przekroju PQ, osią BX‘ i wysokościami PP‘ i QQ¹ w miejscach xi i x₂ wyprowadzonemi, przedstawia się w postaci:

iZ’

z’

7X

Ni

(13)

Przecinając powierzchnię 2=f(x,y) płaszczyzną równoległą do płaszczyzny ZOY w odstępie OA—x, otrzymamy przekrój MNAY' (fig. 54), określony równaniem £=/(#, odniesionem do układu Z‘AY‘, gdzie x ma pewną przyjętą wartość stałą O A. Wielkość powierzchni AX) ograniczonej krzywą przekroju NM, osią AY' i wysokościami MM¹ i NN‘ w miejscach yx i y₂ wyprowadzonemi, przedstawia się znowu w postaci:

A«=$tf(Xj V) dy.

Całki określone \rf(x,y)dx i \l/f(xJy)dy wyznaczają zatem wielkości przekrojów danej powierzchni z—f(x, 3/), równoległych do płaszczyzn spół-rzędnych XOZ, względnie YOZ₎ w przyjętych granicach.

Tak otrzymamy np. dla powierzchni z=xy, powierzchnię przekroju równoległego do płaszczyzny ZOX w odległości y określoną wzorem :

** x² y(x₂²—xi²)

rt 2

powierzchnię zaś przekroju równoległego do YOZ w odległości x w postaci:

x(y₂ ²—Vi²)

V’ ^ Fig. 54.

(14)

p*»    /»-rj

Ą=J xydx^y^

r,    a:,

xdx — y

pfo    /»2/ł    iZ/a y ²

xydy=x\ ydy=x — =

*Vi    yt z

Ćwiczenia XXXYIII.

L‘

Zbadać kształt powierzchni oki*eślonych następuj ącemi równaniami i przedstawić ich obrazy w stosownych granicach :

1) z = xy², 2) z=x²y, 3) z = x²y²,    4) z — xyz, 5) z = x³y,    6) z = xe!l, 7) z = yex,

8) z=\/xy,    9)    2 = x\/y ,    10) z — y\/x ,    11)    z — xy*/», 12) z — yx*h, 13) 2 = .t log y,

14) 2 = ylogaj,    15)    2 = ajsiny; 16) 2 = aJ²siny, 17) 2 = aj log y, 18) 2 = a?² tang//,

19) 2 = aj²-{-y², 20) 2; == aj² - y², 21) 2 = x²-f-y²—2aJ, 22) 2 = aj²—y²—2aj, 23) aJ²-}-?/²-j-2²= 1, 24) aj²-j-y²—2² —    1,    25) a;² — y²— 2² = 1,    26)    —aj²-j-y²-f-2² = 1, 27) x² — y²2² = 1,

28) — a;²—?/²-{-0    1,    29) — a,24-/y²—2? = 1,    30)    aj²+y²-2² = 0, 81) ;r²-f 4.y²-f 9z²—36 = 0,

32) a;²-p4//²—9«²—36=0, 33) a;²—4y²—9a²—36 = 0, 34) aj²—4t/² — 92² = 0, 35) aj²-|\?/²—e2;5 = 0, 36) x²-\-y²—sin² 2 = 0.

Wyprowadzić równanie płaszczyzny stycznej w danym punkcie ar, ?/, 2 powierzchni i wyznaczyć jej odległość od początku układu, jeżeli powierzchnia określona jest równaniem:

37) aj²-f-y²-f-z² = a²,    38) aj²-j-y²—z² — a², 39) aj²—y²—2² = a², 40) — +    4“    = 1>

⁴¹⁾ a"2 + I² ~ c² “1,J    42) ii “ 'I² “• c2 =    43) I2 + V ~ 2Z " °’    ⁴⁴⁾ o'² “ f²

— 22 = 0.

— 618 -

45)    Wyrachować odcinki, jakie płaszczyzna styczna w punkcie x, y, z powierzchni : f(x, y, z) = 0 wyznacza na osiach układu

Wyznaczyć odcinki w zad. 45 określone:

47) dla kuli: x²4-y²4-z² — a².

46)    dla elipsoidy: ^ -f p= 1,

48)    Na danej powierzchni F(x, y, z) — 0 wyznaczyć punkt, w którym płaszczyzna styczna wyznacza na osiach układu równe odcinki.

Wyznaczyć położenie punktu zad. 48) określonego:

49)    na ellipsoidzie p ■{- p -f- ~ — 1,    50) na kuli æ²-}-y²-f-2² — a².

■T.

51) Wyznaczyć kąty, jakie płaszczyzna w punkcie x, y, z powierzchni «=/(*, y) tworzy z płaszczyznami spółrzędnemi. Przykład z — xy.

aj“* y² g;²

52) To samo dla powierzchni, danej równaniem : /(x, y, z) = 0. Przykład p -j-    -f- - j — !•

53) Na powierzchni z =f(x, y) wyznaczyć punkta, w których płaszczyzny styczne

a;² y²

są równoległe do danej płaszczyzny AxĄ-By-\-Cz-\-I) = 0. Przykład z=—₂ -f-p.

t>    .T² y² g:²

54)    To samo dla powierzchni danej równaniem i'Xæ, y, »)—0. Przykład p 4* p + ^₂ = !•

55)    Wyznaczyć kąt, jaki płaszczyzna styczna w punkcie as, y, z, powierzchni z = /(x, y)

x² y²

tworzy z promieniem tego punktu. Przykład z = p — p.

1.

/p2    j/2    2;2

56) To samo dla powierzchni F(x, y, z) = 0. Przykład p -j- p — p —

57) Wyznaczyć odległość płaszczyzny stycznej w punkcie a?, y,z powierzchni z=/(aj, y ) od punktu początkowego i zbadać kiedy ta odległość jest największą lub najmniejszą Przykład z = 1— x²-(-y².

a;²

58) To samo dla powierzchni: F(x, y, z) = 0. Przykład —₂ — p — -₂

59)    Wyznaczyć pierwsze powierzchnie różniczkowe i pierwsze powierzchnie całkowe danej powierzchni z—f(x,y). Przykład z = xy.

60)    To samo dla powierzchni P(r, y, z) = 0. Przykład: a;²-j-y²+z²—a² = 0.

61) Zbadać powierzchnię z =

i wyznaczyć wielkość przekroju tej powierz-

V/a(y—x)

clini płaszczyzną równoległą do XOZ w odległości w granicach od a; —0 do x — y.

62) Wykreślić powierzchnię z = \/xy i obliczyć jej przekrój płaszczyzną y = ß w granicach od x = 0 do x =a.

63) Jakie znaczenie ma całka określona f ¹ f(x, y)dx, a jakie całka fy* f(x,y)dy, od-nośnie do powierzchni z =/(x, y).

Wyprowadzić następujące całki i uzmysłowić geometrycznie w myśl zag. 63:

64) f (y²—x^)dx Jo

66) ^ \/y2—x² dx == "2 \/y²—a;² +

py #²+y²    4

⁶⁵⁾

x\/ aj²—y²

// • x -fr- arc sin —.

2    y

x-\-\/x%—y²

67) ix o«) jyïî*h**

' -I ■    ,

2l0g

•Ir

2jc

70) C*(e*—«

Jo

69) fV<to=-j[-(l—e*).

Jo    2

Wyznaczyć wielkość przekroju równoległego do płaszczyzny XOZ w odstępie y 0 w granicach od x = 0 do a; = co dla następujących powierzchni:

y )dx — y(ey — e y ).

71) * = *-**,

72) z — e cos

73) z — e xy sin æ,

«)-Ä

— 614 —

⁷⁵)    *2+3,2 »

⁷⁶) S    1+x²y²’

80) z —

77) z^xe

—xy

78) z=x^e-x\

⁷⁹⁾*=dÿr»

Wyznaczyć wielkość przekroju równoległego do płaszczyzny X0Z w odstępie x ]> 0, dla następujących powierzchni:

83)    z = x'ly w granicach yt i y₂.

84)    2=V/l+(log cc)² . xy w granicach od yx = 0 do y₂=y.

85)    z=Y/l+x+y w granicach od yt = 0 do y₂ — 3 — y.

e—x—e—x1J

81) « = e—*v sin cc, 82) z — e~x1J cc² sin cc.

86) «

\/ a²— x²—y²

w granicach od ^=0 do y₂= \/x(a—cc) •

Rozwiązania XXXVIII. 1) fig. 55. 3) fig. 56.    7) fig. 57. 8) fig. 58. 14) fig. 60.

15) fig. 59. 14) fig. 60. 19) Paraboloida obrot. 20) Paraboloida hyperboliczna. 21) Por. 19.

><

s:

a.

■Ul

1

><

ifri

ił

KU

m

m

%£

iiiai

BE

Co

Fig. 55.

Fig. 56.

Fig. 57. Fig. 58.

Fig. 59.

Fig. 60.

22) Por. 20. 23) Kula. 24) Hyperboloida obrotowa o 1 powłoce, o osi OZ. 25) Hyperboloida obrotowa o 2 powłokach, o osi 0X. 26)—27) Por. 24. 28)—29) Por. 25. 30) Stożek obrotowy o osi OZ. 31) Ellipsoida trójosiowa. 32) Hyperboloida o 1 powłoce. 33) Hyperboloida o 2 powłokach. 34) Stożek elliptyczny. 35) Pow. powstała pi’zez obrót logarytmiki. 36) Pow. powstała przez obrót sinusoidy. 37) Xx-\-Yy-\-Zz = a².

dl₊/l+zdl

àx ' J ày' dz cos « cos ß cos y

dF_dF__dF dx dy dz¹

48) F — 0,

dF

dF

Uhx-A—^B

71) —. 72)

)'VQ+(i)+S

¹ mi-i -

VV+<z²+i

⁼ Jz:C’ ÖB) sin to = (px-\-qy—z) : v/(x²+y²+^) (pJ+gł+l). 61) n. 62)    a'/* ß'/*.

-1

y²+1'

73) -i.

8°)logÿ. 81)    82)

74) l+±

y²+l j 2V/3 2(3y²—1) (y²+i)³ ‘

88)i

X²Z/i—X².'/î

log X

⁷⁷> f

⁸⁴) V/Î+ (log x)².

2y

78) —79) —.

y³ y

xz/

log X

- = 1.

86) arc sin^^-

Literatura. W. Folkierski: Zasady rachunku różniczkowego i całkowego z zastosowaniami. 2 tomy. Paryż 1870—1873. F. H. Grelle: Leitfaden zu den Vorträgen über höhere Mathematik am königlichen Politechnikum zu Hannover. Hannover, 1871. Dr. Władysław Zajączkowski: Geometryja analityczna. Warszawa, 1884.

Tematy do rozprawek naukowych.

1)    Kształt i własności powierzchni określonych równaniem: ^x²+Py²+Cfe²+Z> = 0.

2)    Kształt i własności powierzchni określonych równaniem: ^4x²+.By²+2 Cfe = 0.

3)    Powierzchnie różniczkowe i powierzchnie całkowe danej powierzchni.

Wyklad XXXIX.

Całki określone podwójne, potrójne i wielokrotne.

1. Pojęcie całki określonej podwójnej. Niech będzie daną funkeya /(æ, y) dwu zmiennych niezależnych x i ?/, skończona i ciągła w zakresie od x ==a do x=b i od y=a do y=ß, a więc w zakresie określonym relacyami: a<^x<^b, a^y<*ß, gdzie a, b, a i ß są pewnemi liczbami stałemi. Całkując ją cząstkowo względem zmiennej niezależnej x w granicach od x=a do x=b, uważając drugą zmienną y za stałą, otrzymujemy całkę określoną kształtu : fa/(x, y) dx, która będzie przedstawiała nową funkcyę (p{y) zmiennej niezależnej y, ciągłą i skończoną w granicach od y—a do y=ß-

Całkując funkcyę <p(y)=Sbaf y) dx, podług y w granicach od y — a do y—ß, 'otrzymujemy całkę określoną kształtu:

j** y(y) dy=j^( j / (z, y) dx} dy.

Całkując zaś daną funkcyę /(æ, y) cząstkowo najpierw względem zmiennej niezależnej y w granicach od y—a do y=ß, uważając zmienną x za stałą, otrzymujemy całkę określoną kształtu : ^af(x,y)dy, która będzie przedstawiała pewną funkcyę ip(x) zmiennej niezależnej x, ciągłą i skończoną w granicach od x=a do x=b.

Całkując funkcyę: ip(x)=faf(x, y)dy, podług x w granicach od x=a do x—b otrzymamy całkę określoną kształtu:

j rp{x)dx= j ( ^ f(x, y) dy) dx.

Całkę określoną kształtu :

£(    ^dx)dy'

lub :

§    y)dy)dxi

nazywamy całką określoną podwójną. Opuszczając nawiasy, należałoby zastosować znakowanie skrócone :

j (j / (x, y) dx} dy = ^ j f(x,y)dxdy

(2)

któreby wskazywało porządek podwójnego całkowania funkcyi f{xy y), w pierwszym przypadku najpierw podług y w granicach (a, /?), potem podług x w granicach (a, b), w drugim porządek odwrotny.

Powszechnie przyjęte zostało jednak znakowanie dla całek określonych

podwójnych :

~ß

fix, y)dxdy

* a* a w tej myśli, że pierwszy z brzegu znak całkowania f stosuje się do pier-

wszej napisanej różniczki dx, a czki dy.

a ß

drugi znak całkowania do drugiej różni-

2, Porządek całkowania podwójnego przy stałych granicach całkowania. Załóżmy, że:

dx—/₂(x, y),

(ZN

-j/fo y)ty=fi(x, y)

§f(x,y)dx=Fi(x,y), ■    ^l\{x,_y)dy±F₂{x;yy),

wówczas otrzymamy :

: ' §J/fa y) dxdy=§ ( y)dy)M-§ \A(X> y)ßxn *

■ =§a (Ąfa    «)) dx=y fL(xr ß)dx —J A(*>. a)dx= •

LI

,b

I⁶

H /j(*i ß)~ /j(*i «)=/#, ß)—fiiai /₂(&, a)+/₂(«, «),

So

j j f(x,y)dydx=^^ fx,y)dx}dy=^ F^x, y)dy =

y)~FM y))dy=*fFi(^’ y)dy—\Fil«, y)%=

=    2/)— -Fa(a, y)=F2tb, ß)—F₂(b,a)—F₂(a, ß) + F₂(u, a).

'a    u

Ponieważ jednak:

przeto :

-F₂ (*, y) =/₂ (ą, y)+0>(®)+<Ky)>

F₂(ó, ß)—F₂(b, a)—F₂(a, ß)+F₂{a.y a)^f₂(b, ß)—f₂{b, a)—f₂(a, /?)+/₂(a, a),

zatem :

f f¹⁹ f (*, y)    f /■(*, y) dy

a a    ■'    *'«*'« '

(3)

To znaczy : Porządek podwójnego całkowania danej funkcyi dwu zmiennych niezależnych w granicach stałych jest zupełnie dowolny i nie wpływa na wynik.

3. Znaczenie geometryczne całki określonej podwójnej. Niech odpowiada równaniu z—f{x, y) pewna powierzchnia, odstępowi (a, b) odcinek na osi x-6w, zaś odstępowi (a, ß) odcinek na osi y-ów, natenczas zakresom a~<fx<jfby a<y<./?, odpowiadać będzie pewien prostokąt A'B'C'D¹ na płaszczyźnie XOY (fig. 61), jako rzut części ABOD powierzchni, przedstawia-

- 6L7 -

jącej w tym zakresie funkcyę z—f(x,y) Całkując funkcyę f(x,y) przy pe-

wnem stałem x ze wzglądu na y między granicami a iß, otrzymujemy całkę określoną kształtu:    y)dy, przedstawiającą powierz

chnię przekroju FFF‘E‘, poprowadzonego w odstępie x równolegle do płaszczyzny YOZ, a więc:

'N

[C

dt

i’

T7

E-X

17s

v i ir i __»

/ ff r H’ r

Iloczyn :

\ f\xj y) dy = Yow (EFFE') =

^ a

......

dx \ / (x, y) dy = Ax dx,

a

Ax.

d wójną :

przedstawia tedy objętość walca równoległego do osi x-ów, którego podstawą jest przekrój Ax, a wysokością dx.

Całkując otrzymaną funkcyę Ax podług x otrzymamy całkę po-

Fig. 61.

j ( ff(x, y)dy^ dx= j Axdx,

(4)

która przedstawia sumę objętości tych walców, a więc całą objętość bryły ABÜDA'B'CD', opartej

Przy zmienionym porządku całkowania otrzymamy tę samą objętość, jako sumę objętości walców, których podstawami są przekroje powierzchni # = /(#, y) równoległe do płaszczyzny XOZ, a których osie są równoległe do osi y-ów.

na

prostokącie A'B'CB¹.

A zatem: Całka określona podwójna kształtu f (x, y)dxdy przedstawia objętość bryły zawartej między powierzchnią o równaniu z=f (x: y), płaszczyzną XOY i czterema płaszczyznami, z których dwie są równoległe do płaszczyzny XOZ tu od

stępach a i ß, a dwie do płaszczyzny YOZ w odstępach a i b.

4. Całka określona podwójna jako granica sumy podwójnej. Niech będzie daną funkcya f\x₎ y) skończona ciągła w zakresach    i a<y</5. Po

dzielmy odstęp (a, b) zmiennej niezależnej x na n części za pomocą wartości : xu #₂,..., xn-i, a odstęp (a, ß) drugiej zmiennej y na m części za pomocą wartości; yv y₂,..., Vm-\ i oznaczmy:

a=hj, x₂ x^ = h₂,..., xr Xf—i=hr}...} b xn—i—hn ct = k^, y₂ y^⁼k₂)"'₎ yr~—yr—\ = kr^...^ ß y^%—i⁼⁼ km.

Geometrycznie znaczy to, że prostokąt A'B'CB¹ (fig. 62) na płaszczyźnie XOY za pomocą równoległych do osi #-ów i y ów rozkładamy na mn prostokątów o wymiarach hr i kS) {r—1, 2, .*., n, s = l, 2,..., m).

Weźmy pod uwagę iloczyn kształtu: hXf{xrjhys-\)=={xr—xr-x)(ys--yt-j)f(xr i,ys-1)(5) przedstawiający objętość graniastosłupa (fig. 6i3) o podstawie hrks i o wysokości równej :

/(.cr_i, ys-1) i utwórzmy sumę takich iloczynów, t. j. sumę objętości takich graniastosłu-pów, przyjmując dla r wartości od 1 do w,

lilii*

ÜJ)’

II' S’"

«T*

.....n'

Fig 62.

Fig. 63.

— 618 —

a dla s od 1 do m, przyczem a?₀=a, xn = b, y₀=a, */«=/?, natenczas otrzymamy sumę podwójną, kształtu:

r=n s=m

^7i,. Jcs f (xr—i, ?/s—i)

(6)

r— 1 r=l

którą możemy rozwinąć w sumy częściowe, uporządkowane podług li w postaci :

V=hx {/<;,/(«, a) + k₂f(a₁    2/™-i)} +

+ *2{*i/(»l, a) + *₂/(»i, yi)+- + *»A*ił 2/m —i)} "j-

+ Ä»{Ä₁/(*»-!, Ct)-±-k₂f{xn_i, 2/l)+- + ^m/(^n-l, 2/m-l)}-

Weźmy pod uwagę sumę częściową (r-f l)-szego wiersza, przedstawiającą się w postaci:

{^1 Z*(®r>    “l" ^2 /    2/l ) “ł" ••• "ł" kmf fan Vm—l)}j

to suma ta przedstawia sumę objętości graniastosłupów zawartych między dwiema płaszczyznami równoległemi do płaszczyny XOZ, mającemi odstęp hr+j. W przypadku gdy różnice , 7: zera, suma ujęta w nawiasie { } dąży do granicy /(#,., ?/)dy, przedstawiającej powierzchnię przekroju równoległego do płaszczyzny YOZ w odstępie xn możemy zatem położyć :

km nieograniczenie maleją, dążąc do

cß

k i / (#»•> tt) "b 7^2 f (j^rj    {Xf) y>n—\)⁼⁼ \ / (^rj 2/) dj? -f- fjr— 1 >

J «

gdzie «y,._i staje się wraz z różnicami 7cr, ostatecznie zerem.

Połóżmy : a otrzymamy:

rß

f(xn y) dy = (p(xr),

J a

*i {<P(a) + %} + h₂ {ę>(a?i) + rj₂} ++ h„{q>(xń-\) -f rjn}

a więc :

czyli :

Vp(x) + h₂(p(xi)-\-.. Ą-hn (p(xn.i) + łii7]i +h₂f]{ +... + hn rjn

r=.n    r= n

l^r (p(Xr—i) -j-    fin

(7)

r=l

r—n

Jeżeli odstępy Jir maleją nieograniczenie, tedy: lim lir

r—n

lim 2 kr (p{xr-1) = Ç ę>(*) (7ir,

n=oo,._l    a

n=oo i

zatem otrzymujemy ostatecznie:

r—n s—m    & ^

lim F^lim’S’S^^/Ç^.i, ys-1) = f (] f{x,y)dy)dx.

rc=l ,=1    ° “

Wyznaczając wartość sumy V kolumnami, otrzymujemy:

r—n

r—n

rz=.n

a że :

V    krf (xr— i) os) "bk₂ hrf(xr—\, yj-f ••• d⁻    kr f (xr—i, ym—1)>

- 619 —

przeto otrzymujemy ostatecznie:

8—m r—n    ^    ^

lim F=lim2 ^Jc₈hrf{xr-i, y₈-1)= \ ( f /(*, y) dx) dy

s=l r=l    « '«    ⁷

(9)

zatem :

F-= C \ f f(x,y)dxdy=[ f f(x, y) dy dx.

" a” a"    * a^ a

Całka określona podwójna przedstawia się więc jako granica sumy podwójnej iloczynów kształtu f(x, y)h7c=f(x, y)AxAy w zakresach (a, b) i (a, ß). Geometrycznie iloczyny te, podają objętości graniastosłupów o podstawie hk=AxAy, a o wysokości równej wysokości punktu P powierzchni : e=f(x,y), którego rzutem na płaszczyznę XOY jest jeden z wierzchołków podstawy Ax Ay, a granicą tej sumy jest objętość graniastosłupa opartego na prostokącie AB CD, a ograniczonego powierzchnią e=f(x, y).

5. Uwaga. Że suma objętości graniastosłupów przy wzroście ilości punktów podziału dąży do tej samej granicy niezależnie od rozmieszczenia tych punktów, możemy dowieść na podstawie następujących rozważań:

r—n s—m

Połóżmy :

— 2    0    /(*»■» i/s),

r=l s— 1

Weźmy pod uwagę prostokąt częściowy (x?—xr~\)(ys-ys—i) i przyjmijmy, że mr$ jest najmniejszą, a Mrs największą wartością funkcyi z=f(x,y) w obrębie tego prostokąta, niech przedstawia dalej m najmniejszą, a M największą wartość z w całym zakresie (a, b) i (a, ß).

Oznaczmy przez V‘ wartość sumy podwójnej, odpowiadającą wysokościom mrs, a przez F" wartość, odpowiadającą wysokościom Mrs, otrzymamy nierówności:

(b—a) (ß—a) m < V* < F< F" < (b—a)(ß—«) M,

rz=n 8—m

przyczem :

F"—

F'=2 ^^(»9—Xr—l) {ys-ys-1) (Mrs—mrs)

(10)

r—1 s=i

Zwiększając ilość prostokątów częściowych możemy wymiary xr xr—\ i ys—ys-1 zrobić mniej szemi od dowolnie małej liczby rj, a przeto także różnicę Mrs — mrs = ars, zwaną chwiej nością powierzchni z=f(x,y) nad prostokątem (xr—xr—l) (ys - ys—i), uczynić dowolnie małą. Oznaczmy przez a największą z wartości ars, tedy otrzymamy:

V*— V“ < (b— a) (ß —a) . a.

Ponieważ liczbę a możemy przez zwiększanie ilości prostokątów częściowych zrobić dowolnie małą, przeto widzimy, że sumy F" i F' dążą do jednakowej granicy, a do tej także dążyć musi suma F między niemi leżąca. Granicą tą jest objętość F przedstawiona całką określoną podwójną :

(11)

/»& rß

y— \    \ f(x,y)dxdy.

J a J a

6. Całki określone podwójne o zmiennych granicach całkowania. Pojęcie całki podwójnej określonej kształtu:

\ f(x,y)dxdy, J    y i

w której granice całkowania xi i x₂ odnoszą się do zmiennej x, a yx i y2 do y, możemy oznaczyć, przyjmując zakres całkowania tak, żeby granice pierwszego całkowania były funkcyami drugiej zmiennej, a granice drugiego liczbami stałemi. Przyjmując yi=cpl(x), jako granice pierwszego całkowania y^ = (p₂(x), a jako granice drugiego: x±—a, x₂=b, otrzymamy całkę podwójną określoną kształtu :

b -CPiix)    b „(p₂(x)

\ f(x, y)dxdy=\ dx\ f(x,y)dy

"a" qp,(.r)    ” a “ <pi(x)

- 620 —

Jeżeli j* f(x, y) dy= 0 (x, y), natenczas otrzymujemy jako wynik pierwszego całkowania:

fix, y) dyA\

J <?.(*)

0(x, y)=&[x, (p₂(x)]—@[x, q>i(x)].

<p₂(*)

Tt(v)

Dana całka podwójna określona przedstawia się wobec tego w postaci całki pojedynczej wzorem:

(13)

nfi r9P*(*)

\    /O, li) dxdy=\ ( 0 [x, cp₂ (a?)] — 0 [x, (p, (a?)]) dx

” a * $>,(#)    ” a

Przyjąwszy zaś, że pierwsze całkowanie dotyczy zmiennej x w grani-

drugie podług y w granicach stałych

each zmiennych xi=fi(y), x₂—f₂(y)

yt=a, y₂=ß otrzymujemy całkę podwójną, kształtu:

(14)

r»ß    '• ß    r»j %(f)

f (x, y) dydx=\ dy\ f(x,y)dx.

J    J ce Jfx(y)

Jeżeli j*/(a?, y)dx=F(x, y), natenczas otrzymujemy jako wynik pierwszego całkowania :

r*fn(.x)    I

f(x,y)dx=\

Vi(*)

j »(*)

/i(*)

F(x, y)=F[f₂(y), yy-F[Ą(y)t y]

a całkę podwójną przedstawioną wzorem w postaci:

fß cft(y)    r»ß

\ f . f(x,y)dydx=\ (F[f₂(y), y]—F[fi(y), y])dy.

(15)

7. Znaczenie geometryczne podwójnej całki określonej przy zmiennych granicach całkowania w powyższy sposób wybranych jest bezpośrednio widoczne. Jeżeli bowiem dana funkeya #=/(#, y) przedstawia powierzchnię ciągłą w granicach, związanych relacyą q)(x, y)~ 0,

bX

więc nie w obrębie pewnego prostokąta (a, b) i (a, ß), lecz na obwodzie pewnej linii krzywej na płaszczy-\ żnie X0Y położonej (fig. 64), a krzywa ta ma (i, tę własność, że wszelka poprzeczna równoległa osi y ów przecina ją tylko w dwóch punktach yi=(pl(x) i y₂—q)₂(x)j wówczas zaczynając całkowanie od zmiennej y w granicach yi i y₂ przy

stałem x, obliczamy powierzchnię Ax prze-— kroju równoległego do ZOY (fig. 64) w granicach yx*=(pA («), y₂ = (p₂(x)₁ gdzie yi=(pi(x) i y₂ = cp₂{x) są równaniami górnego i dolnego ograniczenia podstawy, wypływającemi z równania (p(x,y)= 0. Otrzymamy tedy Ax — \<Pl('^f(x,y)dy. Powierzchnia ta po-

Jcp^x)

mnożona przez dx przedstawia objętość warstwy walcowej danej powierzchni w odstępie x o szerokości dx. Drugiemu całkowaniu podług zmiennej x kształtu §Axdx odpowiada tedy sumowanie objętości tych warstw, a tu już muszą być granice stałe xx=a^ x₂=b.

Jeżeli zaczniemy zaś całkowanie od zmiennej y przy stałem y (fig. 65), obliczymy najpierw powierzchnię Ay przekroju równoległego do Z0X w granicach x. —f\(y) i x₂ — f₂(y) podług wzoru Ay—\f*<'J)f(x,y)dx. Iloczynowi Aydy odpowiada tedy objętość warstwy walcowej w odstępie y, a drugie całko-

Fig. 64.

/i

/

Fig. 6B.

wanie podług zmiennej x, oznacza tedy sumowanie tychże warstw w granicach już stałych y,=-a, y₂^ßi określonych podstawą q>(x, y)=0.

. 8. Całka określona podwójna o zmiennych granicach przedstawia w myśl powyższego objaśnienia objętość bryły walcowej opartej na danej krzywej, jako podstawie, zawartą między daną powierzchnią a płaszczyzną

poziomą.

Zmiana porządku całkowania wywołuje tu zmianę granic, granice pierwszego całkowania są bowiem zawsze zmienne, a to są pewnemi funkcyami drugiej zmiennej, granice drugiego są zawsze stałe, a oba rodzaje granic należy w każdym przypadku wyznaczyć z równania q>{x, y)= 0, określającego podstawę, czyli rzut tej bryły na płaszczyznę X0Y.

9. Całki określone potrójne. Jeżeli do funkcyi f(x, y, z) trzech zmiennych x, y, z zastosujemy najpierw całkowanie według zmiennej g w granicach zi i g21 które mogą być stałe lub zmienne zależne od dwu pozostałych zmienych x, y, a następnie do tak otrzymanego wyniku, przedstawiającego się w postaci pewnej funkcyi zmiennych x i y, zastosujemy całkowanie według zmiennej y w granicach yx i y₂, które znowu mogą być albo stałe albo zmienne zależne od pozostałej zmiennej #, a w końcu do nowego wyniku, przedstawiającego się w postaci pewnej funkcyi zmiennej x zastosujemy ostatecznie całkowanie podług zmiennej x w granicach stałych xx, x₂, natenczas tak określoną całkę kształtu:

z»r*z2

\    \ \ f(x,y,z)dxdydz

nazywamy całką określoną potrójną.

Trzymając się zasady, że pierwsze całkowanie może się odbywać w granicach zależnych od dwu pozostałych zmiennych, drugie w granicach zależnych od pozostałej trzeciej zmiennej, a trzecie w granicach stałych możemy zachować jakikolwiek porządek całkowania, zmieniając stosownie granice całkowania. Przy stałych granicach całkowania jest porządek całkowania jak przy całce podwójnej zupełnie obojętny.

n części punktami rjx, rj₂,f]n-1, od-

na

10. Całka potrójna jako granica sumy. Jeżeli dana funkeya f(je, y, g) jest funkcyą jednowartościową w zakresie określonym granicami stałemi (a?i, x₂), (yx, y₂), {zx, z₂), przedstawiającym się geometrycznie w postaci równo-ległościanu o krawędziach równoległych do osi układu, a mających wymiary x₂—y~i—y\, £₂—natenczas podzieliwszy odstęp (xx, x₂) na m części punktami iit    odstęp (y,, y₂)

stęp (zx, g₂) na r części punktami f₂, Y,., £r. i, utworzymy potrójną sumę iloczynów, kształtu:

fA,=m v—n Q=r fl—\ V—\ ()=1

gdzie: £₀ =xx,    Vn=&2, £o=*i>    natenczas zauważymy, że

tę granicę oznaczoną symbolem :

ta suma przy wzroście liczb m, n, r, a zarazem przy zmniejszaniu się różnic ip-ip i, yv—rjv-h Çç—Çq-i dążyć będzie do pewnej granicy, podobnie jako suma podwójna art. 4,

otrzymamy, jeżeli do funkcyi f(x, y, z) zastosujemy trzy kolejne całkowania w pewnym z sześciu możliwych porządków sumowania.

Oddzielając poszczególne całkowania i przyjąwszy np. jako pierwsze całkowanie podług 8, drugie podług y, trzecie podług x, przedstawiamy tę całkę potrójną w postaci:

/»2/î

o=\ dx\ dy\ f{x,y, z)ds.

Jxt Jyl J z,

To potrójne sumowanie może odbyć się także w granicach zmiennych wyznaczonych np. pewną zamkniętą powierzchnią o równaniu: F(x,y, 8)=0, o której przypuszczamy, że każda prosta równoległa do osi układu przecina ją tylko w dwóch punktach.

c?>*(*• v)    . ,

\    f{x,y₁z)dz.

J <pi(x> y)

Zaczynając sumowanie podług zmiennej z, otrzymujemy z równania F(x, y, z) = 0 dwie wartości zx i z₂ jako funkcye zmiennych x i y. Niech będzie zx = q>x(x, y), z₂ = (p₂(x, y), tedy pierwsze całkowanie daje całkę określoną :

dwu zmiennych x i y, przedstawiającą granicę sumy pojedyńczej :

j /(«, y, z)dz, od Q do P (fig. 66).

~T

zi

/-

Fig. G6.

Niech będzie krzywa C rzutem powierzchni F(x,y, z) = 0 na płaszczyznę XOY. Krzywa ta obejmować będzie rzuty tych punktów powierzchni F (aj, y, £) = 0, w których płaszczyzny styczne są prostopadłe do płaszczyzny XOY, czyli równoległe do osi z-ów. Spółrzędne tych dF

punktów czynią zadość warunkowi: — =0. Wyrugowawszy zatem zmienną

dF

równań F(x, y, £) = 0 i ^-=0, otrzymujemy równanie krzywej G w po-

oz

staci Q>(x,y)=0. Z tego równania możemy dla pewnego x według założenia otrzymać dwie wartości na y. Niech będą yi=tfłi(x), y₂ = ^2 0*0 rzędne punktów krzywej C, należące do odciętej x, natenczas drugie całkowanie podług zmiennej y, odbywa się wzdłuż prostej MN i daje całkę określoną podwójną:

qp,(x, ÿ)

dy fix, y, 0) dto.

Trzecie całkowanie podług zmiennej a: musi już być określone stałemi granicami æ₁=a, x₂—b, odpowiadającemi prostej AP i prowadzi do ostatecznego wyniku :

S= \ dx \ dy\ f (x, y, e) dz.

J a J    J y)

(17)

Zakres całki określonej potrójnej obejmuje geometrycznie wszystkie punkta pewnej przestrzeni trójwymiarowej, samą wartość całki potrójnej nie możemy już uzmysłowić geometrycznie, analogicznie do uzmysłowień całki podwójnej przez objętość, całce potrójnej tak pojętej odpowiadałaby bowiem pojemność pewnej formy cztero wymiarowej.

— 623 -

11. Pojęcie całki wielokrotnej. Formalne tworzenie całek określonych podwójnych i potrójnych może być z łatwością zastosowane do funkcyi « zmiennych xx, x₂,...,xn. Niech będzie daną funkcya u=f(xi, a?₂,xn)₁ jedno wartościowa i skończona w pewnym zakresie, wyznaczonym bądź to granicami stałemi, bądź to granicami zmiennemi, określonemi za pomocą równania F(xx,x₂,#w)=0. Stosując do tejże funkcyi kolejne całkowania podług « zmiennych w pewnym obranym porządku np. x„, #n_i, ..., #₂, xx, otrzymujemy całkę określoną « -krotną, w postaci:

bn-1

j* dxx jj dx₂ . . j"

/» bn

dxn~ i \ f(xx

Jan

X₂i •••) ^n) dxn,

która powstaje także jako granica «-krotnej sumy iloczynów kształtu:

h)    —x^~^) ... (X^n) — X⁽g*~V) f    ¹⁾, ...    *)),

jeżeli różnice x^—xfr-i), (r=l, 2,...,«) nieograniczenie maleją.

12. Całki w krotne i ich szczególne przypadki, całki liniowe, powierzchniowe i przestrzeni owe. Zakres całki «-krotnej obejmuje punkta p strzeni «-wymiarowej, ograniczone formą (« — 1) - wymiarową o równaniu F(xx, *2, ..., #«)=0, przyczem dla każdego punktu P(xx, cr₂, ..., xn) przestrzeni «-wymiarowej tworzy się iloczyn dxx . dx₂ ... dxn i danej funkcyi f(xx, x₂, ...,x„) spółrzędnych tego punktu i wykonywa «-krotne sumowanie tego iloczynu dla wszelkich punktów w zakresie F(xx, x2f. ., x„) <! 0.

W tern rozumieniu jest taka suma «-krotna całką «-krotną odniesioną do pewnej części przestrzeni «-wymiarowej. W szczególności nazywamy w tern

zmiennej : y=f(x), a więc punktów P(x) na osi z-ów, ograniczoną punktami xx i x₂ tejże, całką liniową; całkę podwójną : j*² dx^f(x, y)dy, dotyczącą funkcyi dwu zmiennych z=f(x, y), a więc punktów P(x, y) płaszczyzny na polu ograniczonem krzywą F{xxy)=>0 nazywamy całką powierzchniową; a całkę potrójną trzech zmiennych: J** dx^²dy^²f(x, y, z) dz, dotyczącą funkcyi «=/(#, y, z), a więc punktów P(x, y, z) przestrzeni w obszarze ograniczonym powierzchnią F(x,y,z) = 0 nazywamy całką przestrzenną.

Nazwy te tern się tłumaczą, że zakres całkowania przy całce linio-waj uzmysławia się odcinkiem linii prostej, przy całce powierzchniowej częścią płaszczyzny, ograniczoną prostokątem lub dowolną krzywą, a przy całce przestrzennej częścią przestrzeni, ograniczoną równoległościanem lub dowolną powierzchnią.

an—1

rze-

rozumieniu całkę pojedynczą: §rr³f(x)dx, dotyczącą funkcyi jednej

Ćwiczenia XXXIX.

Sprawdzić wartości następujących całek określonych podwójnych i uzmysłowić je geometrycznie, objętościami :

a² a

/*#    fd

!) f

Jo Jo

x dx =

Cvi rVi

2) V \ xydxdy Jo Jo

a”i ² «/i ²

a xy

log ~ ■ log '•

cos x dx dy — —.

r I«?⁵

P*

«IS

71

5) f dx f cos'² ?/ dy —

J 0 J 0

7)    V/0²-j-x² Æx dy — — ^xt y/a²-j-x²! "ł⁻³^² l°g

t. Y ■    _

6) j ^X\ V/coss y -f-x² sin² ydÿ==

xi + V a 'lJrx\²

Cf

)'

:.r;\    ' 'ï?iï

71

■L • : : .

8) j" dxj* y/cos² y-)-*² sin² y dy = —.

(*TC    TC

10) f dy f Jo Jo

sin ce cos² ce dx — —

A r ²    ________________________

9) j o«²rôx j o y/cos² «/-(-as² sin² y dy =

— arc tang

c?x dy

« y/cc²-(-i/²-)-c²

Bt:²

64 *

ai

cV/«²+ft²+c²'

r&ï—y ._

12) j dyj    \/4-|-x-|-y<to =

f6

15*

Vax-as*    ,    _

u)

Jo Jo

y/ a²—ce² =

a².

i3) r^ccp

J 0 J 0

I r \ f*“ r\/ał—** « dx dy 3o3o    V/a²—x²

■3a⁴7t

64 ‘

a².

18) fod*fae-«

16)

ai²7i:

17) j '^    dxdij = |? [o² (a⁵—*,²)³/i]

i9).

J o J v/aæ-^®²

y/a²—-ce²—y² .dx dy —

2 a³

/»a    m    ' v

20) j J (pxï+qrj^dxdy^ — (8p+m²g-)a⁴.

6V/2 - 4 24    ⁷¹¹

'v

21) jo j y/l —x^—y^dxdy

22) C fV^?î?: adx dV J 0 3 \/y{a-y) S/oï—X² —?/²

a².

71

Y

(%    (% a cos y

²⁸⁾ î. J.

ce (a²—ce²//» dx dy — -- ^--

2/ ax dx dy

(łUl)- a6>

e» /»a cos

24) e e

J o J o

₀ra rb    dx dy    1    ab

2b) i. L    ⁼Tare ‘a^Y7SŸP+^

y/a²—ce²

a²

I* .

Sprawdzić wartości następujących całek potrójnych :

az

cc³ dx —

7ta⁴—6

10

ad x dy

y/«²-^x²—f/²

a²

(tl4

27ï r⁺¹r+1 y2~æ2

J —i J —i (*²+y²)²

29) .ÇtÇ⁺*f + JoJ-®J

dx dy = Ti.

:v .

V'+

-V

2a cos y

4

x² sin y dx — -g-a³7c(l— cos⁴ fi).

*0-7) >-7f)

(ax²-j-ßy²4-Y2;2)^ = —

31)    r&ę

Jo Jo

32)    r r r+y ex+,j+z dxdydz=e^~

Jo J0 J0    Ö

/•2ti ctt /.a

33)    l dz \ dy 1 Jo d o Jo

35)    _₁(1 — *²)V/l— y*dxdydz= .

36)    I i    *²(1—x²)\/l-y2 dxdydz = ^.

« (l + COS ?/)

x² sin y dx —

3e²«

T ea-

8 7ta³

3 '

ooj ca

dx dy dz — ~

a a²-{-8 y c²

aie

34) f dz C sin y dy C J 0    «) 0    «/O-

yr

2r' -

, Il f

x² dx = -

4;ca³

~3~’

— 625 —

3?)    (!——y*dx dy dz = ^.

œ) LJl₁L₁⁽¹~x>! (!—s'²) v/i—■,>****,

89)    da f+'/"-'’ <te f¹’* dz = 2(3 — a) - .

Jo J —\/ ai—x* Jax    2

40) f dz[ dy ^

•'O    *>0 Jo

Ar.

x² sin y dx —

41)    Obliczyć za pomocą całki podwójnej objętość bryły ograniczonej powierzchnią z=-\/x—y², płaszczyznami x = y\Za, i x — a, tudzież płaszczyznami y = 0 i y = \/a, a opartej o płaszczyznę poziomą s = 0.

42)    Wyznaczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią z — Ax²-j-Z?//², płaszczyzną

15’

y= x, płaszczyzną x—a i płaszczyzną poziomą z = 0.

43) Jaką objętość ma bryła zawarta między powierzchnią z — ax²-|-;3y², płaszczyzną — -f- —• = 1 i płaszczyznami spółrzędnemi.

44) Obliczyć za pomocą całki podwójnej powierzchnię ograniczoną kołem (* — a)‘l-\-y'l=a2 i parabolą y²—ax.    ,

y \/a- x'¹

i obliczyć

45) Wyznaczyć kształt powierzchni określonej równaniem : z objętość zawartą między nią powierzchniami spółrzędnemi i płaszczyznami: y = cix = a.

Wyznaczyć wartości następujących całek określonych:

46) r r?/W²-*²

Jo Jo

⁴⁸) î Î

J o J o

dy dx.

47) ff

J 0 ** 0

\/ax— x²

a dy dx

y/ a²—x²—y'¹

pC ^yClX-m !

⁴⁹⁾U V

Ab x —

— y² Æc dy a

-t-₂ -2c cos y jpj

~2

fin „oo

52) Ç dy\ e Jo Jo

... p*i fii 1 —x²y²    _

⁶⁴⁾ î. Î.

56) S:+l a,_/ Va²-(a:-V^=P)² dx dy.

dy

~~x2 x dx.

61) f* f Jo Jo

53) J ‘ ^‘(1 — \/^y)dxdy.

a a—ßx

a dx dy

\/a²—(aa:-j-ßy)²

«cos a «(a- x cos a) cos a

67) J    f

Jo    Jo

\/a²—(x cos a-j-y sin a)2 58) Na prostokącie o wierzchołkach A(x{, y,), Z? (a;,, y₂), (7(0:2, y,;, D (x₂, y₂) oparty jest graniastosłup ograniczony powierzchnią z = xy, okazać, że jego objętość:

r=

— (ar, -xt ) (y₂ —y, ) (zj +z₂ +*₃ f*₄ )•

Podać znaczenie geometryczne następujących całek określonych podwójnych, zmieniając porządek całkować, wykazać, że:

69) r r'*³

Jo Jo

⁶⁰) S Î * y) ^ dy=f J2v/ay

J0 * J0J

/(*» y)dxdy— Ç “2 2/5

‘’o "o

/"(a;, y) dy dx.

/(* y) dy d* -M    /(*, y) dy dx.

"0 Jo

4a

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

40

— 626 -

„1 „7(2—*)

6!) j r J0

„a „*+2a    „a „a

e2)

f(x,y)dxdy={ f*

J0 Jl—Vi-y

,—/(*, y)dydx.

/(*, y) <&/<&»+

/»2ct «(i    /»3ći /»fi

+ j₀ j₀ A*>    j2({    ₂J(x,y)dvdx-

&(*—y)

[,a (,b-\-x    J>+a „a    „1    „ y

G3) ^ f(xi y)dx dy = J    y)dydx-\- J ^ J ' f{x,y)dydx.

b-\-a

„a f*T pV

64) Podać znaczenie geometryczne całki potrójnej: \ l l dx dy dz —

J0J0J0

granice odpowiadające wszelkim zmianom porządku całkowania.

a³

“6

i wyznaczyć

6B) Okazać, źe J dx J cfy j /(x, y, z)dz — § dy § dx ^ f(x, y, z)dz =

= dy ^ dz^ f(x, y, z)dy = ^ dz ^ dy J ^/(aj, y, s) dx =

= $ ₀ ** S ₀ ** S ₀f(x*dxS ^(x’y’*)*y*

Rozwiązania XXXIX. 8) fig. 67. 8) fig. 68. 16) fig. 69. 11) i 25) fig. 70.

⁴¹⁾ C‘ Ç,A^aV^=f'dyix= ₆₄

7 a³r

Lx

42) £ £    (,4a;²-j-.Był)cZa; dy =    a&(Aa²-f- g Rè²).

i*

a,

(/Jsi

ft

Y,

B.

V/

Fig. 67.

aX-0

⁴⁸> n

Jo Jo

45) ffyy»⁵^ Jo Jo

49) T-C'X^

U

54) arc tang (xt yx ).

Fig. 68.

(acc'M-ßy²) dx dy = ~ ab (aa²-f ß&²).

4b) -g-

Fig. 69.

Fig. 70.

dy dx

r.a²c

B*c4 ~8o~

a²

55) ”r

aß-

⁴⁴>

⁴⁷>i

51) -7

56) \ (3 *+8) a³.

O

52) K.

48)

4    ____

⁵³) *i?/i [i~ł—9~v/    ]•

57) -,-----.

sin « cos a

r.a²

a²

2 a²

Literatura. Ernesto Cesar o: Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, deutsch herausgegeben von Dr. Gerhard Kowalewski. Leipzig 1904. Dr. Schn use: Die Grundlehren der höheren Analysis Zweiter Theil Integralrechnung. Braunschweig 1858. I. Tod bunter: A treatise on the integral calculus and its applications. London 1886.

Tematy do rozprawek naukowych :

1)    Różniczkowanie i całkowanie całek określonych.

2)    Całki określone podwójne, ich powstawanie i przekształcanie.

3)    Przekstałcanie całek określonych potrójnych i wielokrotnych.

Wykład XL.

Różniczkowanie, całkowanie i przekształcanie całek określonych.

1. Różniczkowanie całki określonej względem zmiennych granic. Niech będzie daną całka określona f¹ f(x)dx, w której granice a i b są zmienne.

J a

—f(x), wówczas:

d F (x)

Załóżmy, że jf(x)djc — F(x), więc—-r—-

(1)

ii f(x)dx= F(x) = F{b) — F{a)

•'a    a

Przyjmując, że granica górna b jest zmienną, a dolna a stałą:

db Jh

otrzymujemy :

(1 Cb

Af{j)dx

cl F (b)

db

a że

przeto :

*-/(»)•

(2)

To znaczy : Pochodna całki określonej ze względu na górną granicę b jest równa wartości, jaką otrzymuje funkeya f(x), stojąca pod znakiem całkowania, gdy to niej za zmienną x podstawimy górną granicę b.

Przyjmując, że w danej całce określonej granica górna b jest stałą, a granica dolna a zmienną, otrzymujemy na podstawie (1) pochodną względem a w postaci :

d f⁶

asi/w*

dF{a)

da

a że :

, dF(a)

da~=m'

(3)

zatem :

To znaczy: Pochodna całki określonej ze względu na dolną granicę jest równa wartości, jaką otrzymuje wzięta z przeciwnym znakiem funkeya /(a), stojąca pod znakiem całkowania, ydy w niej za zmienną x podstawimy granicę dolną.

Jeżeli obie granice a i & są zmienne, wtedy otrzymamy zupełną różniczkę danej całki określonej :

w postaci:

Ç f{x) dx= F(b)—F(a)

* a

d[ f(x)dx=

V a

dF(b) b dF(a)

db

da

da,

— 628 —

(4)

czyli :

dÇ f{x)dx—f(b).db—fia), da. J a

Jeżeli obie granice są funkcyami pewnego zmiennego parametru a, wówczas otrzymujemy pochodną całki określonej względem tego parametru w postaci :

d . 7    db    . da

da

dàj{x)dX=m-Ta~m-

2. Różniczkowanie całki określonej ze względu na zmienny parametr znajdujący się pod znakiem całkowania. Całka określona pojedyncza o stałych granicach a i b, kształtu: [ f(x,a)dx, zawierająca pod znakiem całko-

v a

wania zmienny parametr a określa pewną funkcyę tegoż parametru a. Oznaczmy ją przez F (a), a więc połóżmy:

F(a)=[ f(x,a)dx. J a

Nadajmy zmiennej a przyrost Aa, natenczas otrzymamy:

a stąd:

czyli :

a więc :

F(a-\-Aa)=F(a) + AF(a)= f f{x, a + Aa)dx,

J a

AF(a)=[ f(x,a + Aa)dx—[ f(x,a)dx,

Ja    Ja

AF(a)=[ [f{x, a-{-Aa)—f(x, a)]dx,

J a

AF(a) Cb ffx, a + Aa)—J(x, a)

dx.

Jeżeli Aa maleje nieograniczenie, dążąc do zera, natenczas mamy:

.. A F ja)    dF(a)

lim —T- —

Aa = 0 Aa

da =F‘{a)

lim Aa —0

otrzymujemy zatem wzór :

fix, aĄ-Aa)—f{x, a)    df(x, a)

da

dF{a) Chdfix,a) J a

da

da

— dx

czyli :

daï/{X' a)dX=\„

b df(x, a)

da

. dx

(5)

To znaczy : Całkę, określoną pojedynczą o stałych granicach, zawierającą pod znakiem całkowania parametr zmienny, różniczkujemy ze względu na ten parametr, różniczkując ze względu na ten parametr wprost funkcyę stojącą pod znakiem całkowania.

Stosując do danej całki różniczkowanie w-krotne według parametru a, otrzymujemy wzór ogólny:

5 dnJSx\a) dx

dan

ważny, gdy granice a i b są stałe, względnie od parametru a niezależne.

dn

da

-( f{x, a)dx=\

va    V a

(6)

3. Różniczkowanie całek określonych o zmiennych granicach całkowania. Jeżeli w danej całce określonej J f(x, a)dx, zawierającej pod

zna-

kiem całkowania zmienny parametr a, granice całkowania a i b są również zmienne, wówczas dana całka jest funkcyą złożoną zmiennych a, a i d; możemy więc położyć :

\ f(x, a) dx=F(a, a, d).

J a

Zupełna różniczka tej    funkcyi    przedstawia    się w    postaci:

dF    dF    dF

dl [a,    a,    b)= --—da 4- ^ da -j—-7 do.

v    da    da    db

Jeżeli przytem a i b są funkcyami parametru a, np a=qpt(a), d = <jp₂(a), wówczas otrzymujemy z powyższego wzoru pochodną względem a postaci •

dF(a, a,b) dF t dF c?a da ‘ da f/a

aj

dd

db da’

Ale:

dF

da

-r

a

b df(x, a)

dF

« =/(i> “)

zatem otrzymujemy ostatecznie wzór:

da

dd

(7)

podający pochodną całki określonej względem parametru, znajdującego się pod znakiem całkowania, jeżeli granice całkowania są funkcyami tego parametru.

Na podstawie powyższego wzoru możemy otrzymać wyższe pochodne danej całki określonej, wzięte względem parametru a. Mianowicie otrzymujemy stąd drugą pochodną:

d² ' da²

\ f{x, a)dx \

* a    J •) a

■>

b d²f (x, a) da²

d²b da²

dx —/(a, a)

d²a    df(a, a)

da² da

dfjb, a) (db \2 db \da)

(day

\da)

d/(d, a) db

da

’ da

a stąd pochodne dalsze.

4. Zastosowanie prawideł różniczkowania całek określonych. Na podstawie prawideł różniczkowania całek określonych w stałych granicach całkowania możemy ze znanej całki określonej, zawierającej pod znakiem całkowania, dowolnj^ parametr wyprowadzić szereg nowych całek określonych. Tak otrzymamy np. z całki :

«)

s:

xa dx=

a + r

w której a jest parametrem zmiennym, różnym od — 1, drogą różniczkowania podług a, kolejno wzory:

Ç a:“.log x dx Jo

[ x“(log x)²dx Jo

1.2

0 + 1)

(a + 1)²

\ xa (log x)³ dx— Jo

3!

(a-fl)⁴

(U)

- ar

ogólnie wzór:

r

Jo

XC

— ax

dx=--~    (

a² Jo

X¹ e~ ax dx =

.2

aA ’

r*co

Jo

/^n ß—ccv

da=(-l)n^-(—) = dan V a )

(9)

r°° dx

Jo a²-\-xl 2a

otrzymamy na podstawie w-krotnego różniczkowania podług parametru a wzór :

y) Z całki :

71

gdzie a ;> 0,

f*oo

Jo

dx

1.8.5... (2n—1)    Ti

~ 2.4.6... 2 n ' 2 a2n+v

(10)

ć) Z całki :

r* co

\

Jo

cos b x di —

a²+b² ’

otrzymamy na podstawie w-krotnego różniczkowania podług parametru a wzór:

ogólnie :

f¹    , ₇ dn

\ xa(log x)n ax==

Jo

dan

(.i)-

rH

( —1 )nn\

(05+l)”+l

(8)

ß) Z całki :

—ax

dx=~

gdzie «>■ O, otrzymujemy drogą różniczkowania podług a wzory:

Uważając zaś parametr b za zmienny i różniczkując daną całkę w krotnie podług b, otrzymujemy wzór:

r*

Jo

—aa;

/ ,    1171 \

xn cos I bxĄ- -g-I

₇ dn ( a \

(12)

5. Całkowanie pojedynczej całki określonej ze względu na parametr zmienny, znajdujący się pod znakiem całkowania. Jeżeli całka określona między stałemi granicami a i b zawiera pod znakiem całkowania pewien parametr zmienny a, tedy jej wartość jest funkcyą tego parametru.

otrzymamy :

f(x, a)

Przyjmując, że funkeya f(x, a) jest ze względu na x funkcyą ciągłą między granicami a i b, a ze względu na zmienny parametr a między granicami ai i a₂, stałemi, względnie niezależnemi od a i ó, natenczas, kładąc dcp(x, a)

Ci    Çb

\ f(x, a)dx= \

J a    Ja

h d (p(x, a)

da

dx,

a więc, korzystając z prawidła różniczkowania całek określonych, dostajemy

h d cp(x, a)

wzór:

czyli :

Ÿ    a)da

Ja IJ«, da

ij da ^ / z, a) dx j == ^    /(a?, a) daj.

dx

J    a) da j

(18)

- 631 —

To znaczy : Całkę określoną granicami stałemi całkujemy w pewnych granicach stałych ze względu na parametr, całkując funkcyę stojącą pod znakiem całkowania względem tegoż parametru.

6. Prawidło całkowania całek określonych może być, zarówno jak prawidło różniczkowania, użyte do obliczania nowych całek określonych.

Tak otrzymamy np. z całki określonej :

a)

—1 dx=—.

całkując ją ze względu na a w granicach a₀ i całkę określoną:

xa~¹ da

r*r

J 0 J a₀

₌ C*'da ⁰⁵

a że :

r rUi

\dx\

J 0    ^ “o

da

= *\dx J 0

k loS ³⁵

=y

log X

dx

zaś :

r *uog ä

Ja„ a    a₀

przeto, otrzymujemy wzór:

æ“‘—1—xao~l

«i

dx—log —.

log X

Cl xa

otrzymujemy stąd : j ^ ß) Podobnie otrzymamy z całki określonej :

Kładąc ai =a+ 1, a₀ = 1

r-

J o

—05.T

dx~—

«o

(14)

-1

a> 0,

dx=log (a + 1).

wzór :

x>e—a₀x — e-atx

dx=log —.

«0

Kładąc a₀=l,    = cas, otrzymujemy stąd całkę określoną:

r°° c—x_c—ax

\ -——dx=* log a.

* 0    ^

(15)

7. Zastosowanie prawideł różniczkowania i całkowania całek określonych do wyznaczania niektórych całek. Prawidła różniczkowania i całkowania całek określonych mogą być użyte do wyznaczania niektórych całek określonych, jeżeli nie znamy odnośnych całek nieokreślonych. Mając całkę określoną kształtu :

1= Ç f{x₁ a)dxt

v a

otrzymujemy na podstawie prawidła różniczkowania:

‘ df{X' a) dx

= i' f‘a (x, a)dx.

a

dl ₌ f » __

Ja da

Gdybyśmy więc byli w stanie wyznaczyć drogą bezpośrednią całkę

da

kształtu :

Ç fa(x, a)dx'=<p‘(a)

* a wówczas wyznaczenie danej całki 1 sprowadza się do wyznaczania całki kształtu: j'(p\a) da-\- C, przyczem stała C może być na tej zasadzie wyznaczoną, że musi mieć jednakową wartość dla każdego a.

8. Przykłady. 1) Wyznaczyć całkę kształtu:

•'0

ax

dx.

qi y\ /y»

Mamy tu f{x₎ a) = e~a'c-

X

w obszarze od # = 0 do    skończone i ciągłe.

Jest więc :

df

—e sin X, a obie te funkcye są

— (XX

da

sin x dx.

Kładąc: e-ar=u, du= — ae~ax dx, sin xdx=dv, v=—cos x, przedstawimy otrzymaną całkę w postaci:

sin xdx=— e~ax cos x—a^e~ax cos x dx,

skąd ze względu na to, że:

Je-“

cos x dx = e~ax sin # + ceJe_£Msin xdx,

otrzymujemy wzór:

— ax

sin x dx= — e~ax (cos x+a sin x)—a²\e⁻“Ksin x dx,

a więc :

(1 + a²)^e

—ax

sin x dx=e~ax(cos # + a sin a;),

a stąd :

$•

- «a;

sin x dx=

e-«J5 (cos XĄ_ a gjn ^

1 + a²'

zatem :

r-

*'0

— ar

sin a? (?a; = —

1⁰⁰ e~ax (cos x-\- a sin x)

lo

1 + a²

1 + a²'

Mamy więc :

dl

da

poo

I=\ e

— ax

sm a;

a;

dx

1 + a²

—s

1+Œ*

zatem :

arc tg 05+ O.

Dla wyznaczenia stałej C przyjmijmy a=co , wówczas mamy e~ax=0,

a więc. równanie : 0 = —arctg go + C\

zatem także :

($>

— aa;

sin x

dx

a;

czyli :

f+c’

Wobec tego otrzymujemy wartość danej całki określonej przedstawioną

0=-

zatem : 6'=

cc ją

wzorem :

r% CO

“J ⁶

—ax

sin x

dx — ~ — arc tang a — arc tang —, —    a

czyli ostatecznie :

y» OO

\ erax

sm x ₇    ,    1

-dx=arctang —.

x    ⁶ a

(16)

9. Kładąc a =0, otrzymujemy z wzoru (16) ważny wzór:

P sin æ

3 Q X

dx = ~

2'

(17)

Zastępując x przez ax, gdzie a ;> O, zatem dx przez adx, otrzymamy stąd wzór:

r sin i 'o x

dx = ~

Zastępując a przez —a, otrzymujemy: f⁰⁰ sin (—ax)

dx

r sin ax

3 o    X

dx — —

Całka określona kształtu :

^    ~przedstawia więc taką funkeyę

Jt

parametru a, która dla a>>0 ma stale wartość

7Z

—, dla a=*0 ma wartość równą zeru.

10. Wyznaczanie całek określonych pojedynczych za pomocą całek podwójnych. W szczególnych przypadkach możemy daną całkę określoną pojedynczą, której całki nieokreślonej nie znamy, wyznaczyć tą drogą, że z danej całki, wprowadzając stosownie pewien parametr zmienny, tworzymy całkę podwójną, której obliczenie można wykonać przez zmianę porządku całkowania lub stosowne przekształcenie.

Przykład. Wyznaczyć całkę kształtu:

tość —

/'»CO

1= \ e~xt dx,

dla a <C 0 stale war

zwaną całką Laplace’a.

Zastępując w tej całce x przez ax, zatem dx przez adx, otrzymujemy:

a dx.

Pomnożywszy obie strony równości przez e~xł i całkując je podług a w granicach od «=0 do a = oo , dostajemy równość:

r* oo    r* co

\ e~x2 dx=\

* o    " o

r*⁰⁰    c⁰⁰    c⁰⁰

\ e“² da. \ e~x2dx=\ e Jo    Jo    Jo

00    -OO

e~a2da. \ e o    ^ o

adx,

czyli :

I²

= f dx f Jo

e ał(l+xJ) a da,

Uwzględniając, że całka nieokreślona:

«*0+**) ada — —

2 (1 Ą-x²)

r«Vt^) + C,

zatem całka określona :

e-a\l+x³) ac[a

2(1+æ²)

otrzymujemy powyższą równość w postaci:

th cm

i²

więc :

T2 ₌ ^L

4

zatem :

tH (M

czyli :

e~xidx=

(18)

zatem :

Zastępując x przez ax, zatem dx przez adx, otrzymujemy stąd :

e “*** adx=

f

Jo

e~a'xZdx =

(19)

jako ogólniejszy wzór całki Laplace’a.

Różniczkując powyższą całkę w-krotnie względem a i dzieląc wynik przez a, otrzymujemy wzór:

1.3.6... (2n—l)Vre

2n+¹. a2nd-¹

11. Przykłady mieszane. 1) Wyznaczyć całkę określoną kształtu:

i’

e-“²^ a;²’¹ dx = -

(20)

Mamy tu :

7=CV(x, + i)

Jo

"»-(*■+?). _²«

dx.

~^dx. xL

cl    adjc

Połóżmy -=z, a więc ——dz, tedy otrzymamy: CC    X

d/--=2 f ° <tG’⁺?0 <72= —2 f'VC*’⁴'*’) (7z= -27,

J _oo    * o

zatem :

d7

da

——27.

a więc:

dl

I =—2 da,

skąd otrzymujemy: log 7=—2a-\-C,

zatem :

1= C.e~2a.

czyli :

Ç e~(x2+^ödx=

Jo

Ce~2a.

•    r"

otrzymujemy stąd: 1

Jo

a że, jak w art. 10 wykazano: i e~x'dx=- y u,

^ o

c=-|-y«,

Dla a=O

e xi dx= C,

zatem stałą : a więc szukana całka ma wartość:

Çe-y^dx-

Jo

2) Wyznaczyć całkę kształtu :

w

Jo

e-a;2cos axdx.

Mamy tu:

dl

r⁰⁰

= \ —re-^sin axdx, Jo

a że na podstawie metody całkowania przez części:

|"/1

= i ^ sin

—æc- x* sin ax dx

ks;

e~x' cos axdx= —

te a

więc :

dl

zatem :

-j-    ... dl    1

1, czyli: j=--g- a da,

log 1=—czyli: 1= C.e~ 4

dx=~ir-^n, zatem stała: C=*I₀

2 2

da

S iCN

a²

Dla a = 0 mamy :

r*⁰⁰

W

J û

a więc:

m"

a²

e~æîcos axdx=^^n.e 4. 2

Zastąpmy w powyższej całce a przez —

O

a æ przez az, pod założeniem

że a^>0, to otrzymamy:

1 /- b2 e 4Ô*

U

e—«Vcos l)z,adz=~.

skąd, pisząc znowu x zamiast z i dzieląc obustronnie przez «, otrzymujemy wzór :

f

Jo

e—cos b xdx

]'n

-— e 4 a²

ważny, gdy a^> 0.

Uwzględniając, że funkcya stojąca pod znakiem całkowania nie zmienia się, gdy a; zastąpimy przez —x, czyli że jest funkcyą parzystą, otrzymamy :

_ Ü. e 4«*.

(23)

/»+ 0°

\    e⁻«®* cos b xdx —

J _oo    a

12. Przekształcanie całek określonych podwójnych. Jeżeli w całce okre-słonej podwójnej: \    \ /(#, y)dxdy, w której granice na a: i y są albo stałe

albo związane pewną relacyą: F(x, y) =O, wprowadzić mamy nowe zmienne u i t>, które ze zmiennemi x i y związane są równaniami:

9>₂(*» 26    ®)=0,

wtedy zachodzą między różniczkami tych zmiennych relacye :

Vi «, v)=0,

»II' »3

dx + f- dy -f-

dy

àq>i

dy

dÆi du+dJE±dv=0

dv

du

dy+

d(p₂

du

du-\-

d(p₂

dv

dv=0.

Ponieważ różniczki dx i dy są od siebie niezależne, przeto, chcąc wyrazić dy przez dv, musimy przyjąć dx=0 i następnie, uważając dv za stałe wyrazić dx przez du. Otrzymamy tedy:

à(V i,<p₂) à(u, v) à(cp,.cp,) à (y, u)

àisPu<h) u)~du dix. y)

dy

dv=

d(p₂ _ dcpy d(p2 du dv dv du

du=

zatem :

- 636 -

<Kg>i. ff₂)

d {u, v)

à(<Pi,(pî)

à («, y)

d(Pj dcp₂ _ dcpx d(p2 du dv dv du àcpy d(p₂ _ dcpy d(p2 óx dy dy dx

gdzie Ji jest Jakobianem funkcyj cpi i (p₂ wzglądem zmiennych u i v, J2 Jakobianem tych funkcyj względem x i y, a

(Por. wykład XXV). Dana całka określona podwójna sprowadza się więc podstawie tego przekształcenia do postaci:

dx dy

du dv=

du dv— J dudv=

d (x, y) d (u, v)

du dv — J du dv:

J Jakobianem przekształcenia.

na

r»u2 r»vj

\    \ f(x,y)dxdy=\ \ f(x,y).Jdudv,

Xi fj₁    U₁ vx

(24)

gdzie w funkcyi f(x,y) i jej Jakobianie zmienne æ, y mają być wyrażone przez zmienne u i v na podstawie danych związków, a nowe granice całkowania wynikają z danego równania: F(x,y) —O. Jeżeli zmienne x i y podane są jako wyraźne funkcye zmiennych « i i’ w postaci: x=fi(u,v), y=/₂(M)

j Jf± df₂ _ dĄ df2 du dv dv du

a dana całka sprowadza się do postaci określonej wzorem :

df] df₂_dfx df₂

du dv dv du

gdzie granice całkowania wn u₂₁ t\, v₂ wyznaczone są danym zakresem.

13. Znaczenie geometryczne przekształcania całek podwójnych. Całkę

podwójną C i f(x,y)dxdy możemy sobie uzmysłowić geometrycznie jako

J *i !/i

objętość powierzchni: z=f(x, y), ograniczonej graniastosłupem opartym o płaszczyznę XOY lub pewną powierzchnię walcową o równaniu F(x,y) = 0. Dana całka występuje tu jako graùica sumy graniastosłupów o podstawie prostokątnej Ax.Ay i wysokości z. Zakres całkowania, obejmujący wnętrze krzywej określonej równaniem: F(x,y)=0, został więc podzielony na prostokąty za pomocą prostych równoległych do osi OX i OY.

Wprowadzając nowe zmienne u i v na podstawie wzorów przekształcenia : x—fi(u, v), y =/₂(w, v), wprowadzamy podział danego zakresu za pomocą dwu szeregów linij krzywych, określonych równaniami x=f\(u, v), y =/₂(w, x). Równania krzywych jednego szeregu otrzymamy z danych równań przez wyrugowanie parametru zmiennego v ; — drugiego przez wyrugowanie parametru zmiennego u. Krzywe te nazywamy krzywemi parametrowemi, tości u i v, które danemu punktowi P{x₎ y) odpowiadają, nazywamy p metrami albo też spółrzędnemi parametrowemi (krzywolinij-nemi) tegoż punktu.

Prostokąt ograniczony punktami P(x} y), Q(xĄ-dx, y), P(x, y + dy), S(x-\-dx, y + dy) (fig. 71) przejdzie wskutek przekształcenia x=fi(u, v), y=f₂(u, v) na prostokąt o spółrzędnych :

tedy :

[»Ul    r»u2 nv2

f(x,y)dxdy=\ /(/₁,/₂)

J *, Vi    J »i *>t

\dudv~ \²i' /■(/;, A)

d(/i 1/2)

d (u, v)

du dv

a war-

a r a-

Q‘[fi

àf,

du

¹ du. f₂ + ~/² dw) i    du /

àf.

'(a + dv

àf

dv’fî ⁺ dv

»'(/■ +

dfi

àf,

df2

, du+'—dv, f₂ + - --- du -f du dv ⁷ * du

àf

dv

Idvj (fig. 72).

637

Powierzchnię prostokąta PQ'JR'S' możemy uważać za podwójną powierzchnię trójkąta PQ‘lna jej wyznaczenie otrzymujemy zatem wzór:

/'

it

ar

ję

fi +

3/i

du

df

d/₂

du, U + ~    1

du

df.

df\

du,

du

du

du ’ du àf\ df₂

dudv=Jdu dv. (25)

àf\

dv

àvdv’

Iloczyn Jdudv przedstawia zatem powierzchnię prostokąta krzywo-linijnego wywołanego nowym podziałem zakresu całkowania (fig. 72).

Całka przekształcona przedstawia tę samą objętość opartą tylko na innym podziale zakresu całkowania.

Fig. 71.

Fig. 72.

dv ’ dv

14.

r*x2 r>Vi

Przykład. Przekształcić całkę podwójna kształtu:    \ f(oc,y)dxdy

za pomocą podstawienia x=r cos cp, y=r sin cp.

Uważając x i y jako spółrzędne prostokątne, a r i cp jako spółrzędne

biegunowe punktu P płaszczyzny XOY, otrzymamy nowy podział zakresu całkowania, przedstawiony pękiem promieni z punktu O wychodzących i układem kół współśrodko-wych. Jakobian przekształcenia otrzymuje tu wartość :

dx

dr'

cos

cp, sin cp

=r.

dx dy dq>' dcp

Element, odpowiadający temu przekształceniu, ma wielkość Jdr d(p — r dr dcp. W istocie przedstawia się on w postaci czworokąta PIISQ, który jest wycinkiem pierścienia kołowego o wymiarach PQ=dr, PJR=rdcp (fig. 73) i ma powierzchnię: rdcp. dr = rdr dcp.

Przekształcenie danej całki przedstawia się zatem wzorem :

— r sin cp, r cos cp

Fig. 73.

(26)

nVï    r»V>2 pr2

\    \ f{x,y)dxdx=\ \ f(r cos cp, r sin cp) rdcp dr,

J xi J vi    J qt>i i\

gdzie pierwsze całkowanie podług r odbywa się dla pewnego cp od ri=OM do r₂ — ON, a granice następnego wyznaczone są stycznemi poprowadzonemi do krzywej C, przedstawiającej zakres całkowania.

15. W szczególności skoro f(x, y)=e~(x*+,J'\ a granice całkowania określone są kołem o promieniu 72, o równaniu x’-\-y²=P², otrzymujemy całkę określoną :

(**+»*) (

.n „ Ti

lxdy— \ dcp \ Jo Jo

e~r' r dr

%n Tl p—i

-J dV ~h

—e-*²

Gdy zakres całkowania obejmuje całą. płaszczyznę XOY, natenczas

mamy ii=oo, a zarazem ^ = —00, a?₂ = -l-ao, yi = — go, y₂ = + 00 , zatem otrzymujemy całkę określoną kształtu :

z.

Jr.....

i«........

f C e-(*³+2/J) dx dy—n,

* —00 ^ — 00

(27)

jako objętość zawartą między powierzchnią z — e~(x*+yi) i płaszczyzną XOY (fig. 74).

Powyższy wzór możemy przedstawić w po-

staci :

/.+»    r+°°

\ e—x*dx. \ e -dy=n, _ 00    ^ 00

X’

A- ------ 4-

vT

X skąd ze względu na to, że :

Fig. 74.

Fig. 75.

[0"H

l e~x dx=)7i,

—00

otrzymujemy :

wzór przedstawiający powierzchnię zawartą między krzywą Laplace’a : y=e~x\ a osią x-ów.

Równanie z—e~,x3+y*) przedstawia powierzchnię, powstałą przez obrót krzywej Laplace’a położonej na płaszczyźnie XOZ (fig. 75) o równaniu z=e~x' na około osi «-ów.

16. Przekształcanie całki określonej potrójnej. Mając do całki określo-

zatem :

: j*¹ Ç jj ³ /(*» z) dx dy dz, której granice dotyczą

*1 Vi zi

nej potrójnej kształtu

przestrzeni ograniczonej daną powierzchnią F(x, y, z)=0, wprowadzić zmienne u, v, w na podstawie wzorów:

<Pi(x, y,s, u, v, w)=O, <p₂(x, y, z, u, v, w)= O, y₃=(x, y, z, u, v, «O-O, znajdziemy jak w art. 12:

nowe

dx dy dz=~ du dv dw = J du dv dw,

'h

gdzie Jx jest Jakobianem funkcyi gp1? (p₂, <jP₃ względem zmiennych u, v, w; J2 takimże Jakobianem względem zmiennych x, y, z, a więc:

Œ à(<pu y₂, (p₃) d(x, y, z)

j ___a(ffi> ff₂> y₃)

¹ d(u, v, w)

W przypadku gdy wzory przekształceń przedstawiają się równaniami wyraźnemi: x=f\(u, v, w), y^f^u, v, w),    z=f₃(u, v, w),

^C/i> fïi fi)

otrzymamy :

v, w)

f/₂ = 1

àf\

du

dw

zatem :

dx dy dz =

àft

du

?..

du dv dw — J du dv dw,

df₃

àfz

du'

W szczególności, jeżeli społrzędne prostokątne x, y, z punktu zastąpimy spółrzędnemi sferycznemi r, ©, (p, gdzie r przedstawia promień punktu, © kąt, jaki promień ten tworzy z osią zów, a cp kąt, jaki rzut promienia na płaszczyznę XOY tworzy z osią rr-ów, otrzymujemy wzory przekształcenia: x=r sin ©cos gp, y=r sin © sin gp, #=rcos©.

Jakobian przekształcenia przedstawia się tu w postaci:

sin © cos gp, sin © sin gp, cos © r cos © cos cp, r cos © sin cp, —r sin ©

— r sin © sin gp, r sin © cos gp,

otrzymuje zatem wartość:

J=r² sin ©,

zatem element dxdy dz przekształca się na element r"¹ sin Odr d9 dcp. Element ten

/y

v—

jest ograniczony powierzchniami kul o promieniach r i r-\-dr, dwiema powierzchniami stożko-wemi o osi £-ów pod kątem 9 i ©+<#© i dwiema płaszczyznami przechodzącemi przez oś £-ów, a nachylonemi do płaszczyzny XOZ pod kątami gp i cp-\-dq>. Element ten ma więc kształt wycinka pierścienia kulistego (fig. 78) o wymiarach :

Fig. 78.

- 6B9 -

Ç>X2 pVl r»Z2    r.u 2 nv 2 pw2

f(x, y, z)dxdydz=\ \    f(f\, /₂, ff)J dudvdw.

^ xi J yi zi    J «i J v, J wx

(28)

a więc :

gdzie granice całkowania względem nowych zmiennych u, v, w dotyczą zakresu danego równaniem F(f\, f₂, f₃)—0.

Całka przekształcona obejmuje geometrycznie ten sam zakres przestrzeni, sumowanie oparte jest tylko o inny podział tej przestrzeni. Jeżeli elementem pierwotnego podziału był prosty równoległościan prostokątny PQBS o wymiarach dx, dy, dz (fig. 76), to elementowi temu odpowiada w całce y przekształconej element PQ'B'S¹ ograniczony w ogólności powierzchniami krzywemi, który w granicy może być uważany jako równoległościan skośny (fig. 77). Objętość jego jest równa sześciokrotnej objętości ostrosłupa S'P'Q'B', zatem wyraża się ostatecznie wyznacznikiem trzeciego rzędu :

\z S

j.

lii*.___*

⁷ 14

Fig. 76.

Fig. 77.

Ô/'dv

à-hdw

dw

àf₂

àf2

du, --±dv, du ¹ dv dw

^dw

du dv dw=J du dv dw.

àfz

du, ~dv, ^±div du dv    à w

àf

PQ=rd@, PB=r sin 6 dcp i PS=dr, zatem jego objętość jest w istocie równa: rdQ.r sin © dcp.dr=r'¹ sin © dr rY© dtp.

- 640 -

Według tego przekształcenia otrzymamy np. całkę potrójną :

I C+a    “J—x* r+V⁷“²—x²—y²

* - a ^ — v/    — Va¹"—~xr—

yt    — TT p 2/Ï    ^

dxdydz=\ \    \ r² sin © dr d® dcp =

y    ^ 0 o 0

j r² dr J sin@^©j dcp = -^. 2.2n =

17. Przekształcanie całki określonej wielokrotnej odbywa się w sposób

analogiczny do przekształcania całek podwójnych i potrójnych. Jeżeli mianowicie w całce określonej wielokrotnej

co

a² u.

J -J ffruX2l”

a, v₁

., #„) dx₂ ...dx

której granice związane są relacyami F(xi1 #₂,...,#ra)=0 wprowadzić chcemy nowe zmienne w1? m₂,...,w* na podstawie wzorów przekształcenia:

/l(W|    %₂ 5 *    ^»)>    1)    ^2 >    ^«)» •••?    /» (^i j M₂j...)Wä)j

wtedy otrzymamy w myśl. art. 19 str. 421 iloczyn :

ć&Ct dx₂ ...dxn—Jdux du₂ ... Jw,

gdzie t7 jest Jakobianem przekształcenia, przedstawiającym się w postaci wyznacznika funkcyjnego w*go rzędu kształtu:

0', r~l, 2

d/l

«7=

Otrzymujemy tedy:

. c?w₁ ... dw*.

(29)

r #

Ćwiczenia XL.

1) Wykazać, że :

/7

da

da

d”

d<xn

f* /(*, -)<•— f

Ja    Ja

da.n

dx.

Wyprowadzić następujące całki określone, a z nich nowe na podstawie prawideł różniczkowania, całkowania i przekształcania całek określonych:

x« —1 dx = —.

⁴⁾ f

Jo

5) f a:«-¹ log Jo

x dx =

~d~*

6) f a;«—i (logx)²dx = ^’ Jo

8) f 05«-1 (log x)kdx — ^ J o

a²'

7) f *«—¹ (log xy dx =

J o

9) Ç X« ¹ (log x)m dx — (—1)« Jo

8!

~oi*'

w!

am+l

¹⁰⁾ h

*>r.

,4) L

i6) r

J 0

ab

18) f

J a

1 xa—* — 1

log x

dx =r= log a.

e-ax dx — —.

/»OO

13) f

J 0

a;« —1

xn -¹ e—ax dx

(»-1)1

a.n

oo g—x—e~ax

dx = log a.

">s:k

1 — e-a»

oo g— ax—g—/?x

c7x = log—.

">0

X2 ) dx — a (log a 1).

dx ß—

eax—g—ax

eßx—e~ßx

\ rfa / a;

^log2.

eax dx =

ßdb—ßaa

fl

i9) e

J o

eC(x dx

e«—1

CQ

1 xrn—xn

log x

dx — log

m-\-1

/»OO

22)

Jo

/»OO

24) f J 0

/»OO

26) f

J o

/•OO

28) r

Jo

(+71

S0)L ⁸²⁾I f

⁸⁴⁾ Io

85)    r

J o

n

37) f J o

<2x

(x²-J-a²)n

1.3.5... (2»

g—are sin x ^

g—aa: a; cos x dx

8 'o

_-3) it

2n (n—1)!    a²»—1

/.oo dx    7Ï

²¹⁾ j₀ i*+^⁼2S'

/»OO

23) f e

Jo

₇    a

~ax cos x dx — -j-—.

«>+1*

a² — 1

(a²-fl)²'

e—* sin ax dx =    .

a^-J-l

e--ax sin bx dx

—ax — e~ßx

» g—ax—e~ßx

/»OO

²⁶⁾lo

e—«* x sin x tZx

/.oo

²⁷⁾ ].

(+71

29) r

J 0

J (1-«“Ä cos &4

cos dx rfx =A log

ß²-fd²

2a

(a’+l)²*

e~x cos ax dx =

g—aa: COS bx dx — —

a²+d²'

/»OO

31) f

J 0

/»OO

33) f

J o

sin dx c?x = arctang —--arctang —.

g—ax cos bx dx

⁰⁰ x cos ax

a²+l'

a²-|-d² ’

a²-J-d²

an

cos dn—1).

dx

r.

a² cos² x -j- ß² sin² x    2 aß'

e—ax sin bx dx

a²-j-d²’

g- ax

sin x ,

-dx = arctang —.

x    a

⁰⁰ x sin ax

39)

sin² x dx 0 (a² cos² x-j-ß² sin² x)²

1—cos bx

TZ

r.

— g—15a.

2d

36) f Jo

38^ rT_-    __₌

Jo (a² cos² x-}-ß² sin² x)² 4a³ß

/.CO

⁴⁰⁾L

b'l-\-x²

e-ax'- dx

4 a ß³ '

<fa=Ÿlog (¹⁺S)'

b

dx = arctang —.

/.OO

⁴¹⁾ I,«

»on r⁰⁰    sin bx

43) \ e-«x-

Jo    x

71

45) CY_—___₌ JLfl₊ ¹ V

' Jo (a² COS² x-j-ß² sin² x)²    4 a ß Va² ß²/

⁷¹ T— 4- A_ + —)

16aß lał^ a² ß2 r ßV

jrw. c⁰⁰ X COS ax

49) V Jo

rT

⁴⁷⁾ I,

—ax

<Zx

(a² cos² aH~ß² sin² x)³

71

c 2    (&e

J o 1 + “² sin² x

2V/a²+l '

/»OO

⁴²⁾i„

g- a²x² dx — ^T'

2a

(+7t

44) f Jo

sin x cZx

V/1—2a² cos x-|-a⁴

46) r

Jo

1+x²

dx

«-f-d cos x

⁰⁰ x sin ax

1+x²

a² *

t:

V/«²—d² ’

<7x = -|-c_“

/»OO

50) f Jo

x2n g—ax² dx

1.3... (2»-l)

2-1+1

si) r *■

Jo

(ax-[-3)² aß'

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

- 642 -

^ «0

62) r

J o 54) Ç e

56) C e Jo

_os f*+œ —a².i* bx

58) 1 e

a:² g—a³*³ dx

— a²*²

V/tc

2²«³‘

dx =

-2a

cos bx dx =

dec =

\/r.

b'¹

/» OO

53)

J o

»00

55) f e

Jo

67) f⁺"

X²* e—«V    =«=

1.3... (2n—1) \Z%

2»+l a‘2n +1

_ijî    -

cos a .r ax

cos bx dx =

\A

b‘l

g 4 a².

J²—c²

V/n 4a²

—- c

. -J- cc —a'x^—lx

59) J_ä •

coS,xix=V-^e

4«²

cos

be

2a²'

&² — c²

~kcP~

/»—{—co    — a²æ² - te

60) f e

»00    r*oo    1 -, / 7C

62) j sin (a²x²)dx = J cos (a²x²) da: = ^ y-g-.

(t+“‘V-

sin cx dx = —

sin

2a²'

»00

64) \ cos (x²). cos 2ax dx —- sin

Jo

»00

66) \ sin (a;²)

Jo

»00

68) l e Jo

»30

70) f

Jo

. cos 2ax dx — sin

—a²æ²z ax .    — ax. ,    a², /—

(«    +6    ) dx —- e y/ r:.

X2n g —a²*² cos 6x dec —

V/ r. dln 2a db2n

(e-4^²).

»00

61) f

J o

ca» r Ä*

Jo

65) r

J 0

æ4g—a².r²    =

1.3 y/^

2³. a⁵ '

acosx-fl 2y/l—a²

CO xa—1

l-f-ec

dx —

sin ax '

69) e

J 0

67)

» log ( l-|-a²x²)

6²-)-x²

⁷¹⁾ jo

x«-¹ dx = —77-.

a« + l

⁰⁰ arc tang ax

x\/1 — x²

dx—Tj log (1-j-ai).

— log(l-fa).

72)

»00

Jo

x²»—1 e—dl* sin bx dx =

y/x d²”—1

2a db2n—¹

(*“ i).

73) f Jo

°° xm~¹ dx

1-f-x«

7:

7tm"

n sm

a²

2y/ x |32 —!ï=—e .

/•CO

74) j g-jS²*²(g2aa;_|_g- lax'jdx —

r*7X

76)    f Jo

77)    Przekształcić całkę pojedynczą, kształtu : f

J o

— x-j-y/l-|-x² i wykazać, że: C

t/ n

dx

cos x

log (a cos x -f-1 ) — ~n arc sin a.

dx

o y/i+x²

»+1    dx

^ J-1 (x—a) y/1—x²

y/«²-i‘

dx

o y/l-f-x²

1-f v 2 dt

78) Wykazać, że, kładąc x = sin®, otrzymamy:

TT

C¹    dx    a 2

J₀y/(i-x²)(i=P^²)~ J₀

d’it

za pomocą podstawienia:

y/1 — fc² sin² o

79) Wykazać, że, zastępując zmienne x i y, na mocy podstawienia: x — r cos ® y = rsin«, otrzymamy przekształcenie:

f**, f2/î    69P2 f’î

\    ) /(*, y) dy = \    \ /(r cos ®, r sin ®)

v xt v yx    v (pt * i\

r dep dr.

Przy pomocy podstawienia x = rcos®, y = rsin<? wykazać, że: 80) r r g-(a/+4.y)² dx dy

Jo Jo

00 ^ 00    a

82) j j g—(rr²-)-?/!/ cos a+y¹) dx dy = ^—7”“.

2o6'

81) f⁺ f⁺ g—(æ²+y²) dx dy — K. J—00 J —00

(%CL (%b

83) f f J o J o

dx dy

ab

— arc tang adx dy

(x²-\-y²-\-a^p2 (x'l-\-y²-\-b'l)'h    a-\-b'

o(*I+y,+c7/.

c\/a²-j-&²-j-c²

/» »4-00 /»    00

84) f f

J —00 J 00

2ft

85)    Wykazać, że, kładąc r =\/xiĄ-y*, ż = —, otrzymamy przekształcenie:

/»CO /»CO    /»OO /»CO

Ç \ e—(**+y*) dxdy — f f J o J o    JoJo

86)    Wykazać, że, podstawiając x = rcos », «/ = rsin<p, otrzymamy przekształcenia:

e-r²

r dr dt

1+*² ■

dx

V a?—y*

Vy(a-y) Vo²—x%—yt

r dr

n>a

* O

r dr

arc sin —

i.

sin y \/a²—r²

87) Wykazać, że wprowadzając w miejsce x i j/ zmienne w i v na podstawie wzorów t/+a? — u, y = uv otrzymamy :

V a² — r²

/»Cl /»Cl —CC    /»I /»Cl

\    \ dxdy=\ \

JoJo    JoJo

u dv du.

88) Jeżeli x — —-1-j-M

y — xu, okazać, że wówczas:

¹

zaznaczyć możliwe przypadki, dotyczące granic a i b i parametru a.

2) Wykazać, że skoro granice « i ft są od « niezależne, natenczas:

²

Wyprowadzić prawidło całkowania całek określonych przedstawione wzorem :

C * dx TC f(x, a)dx~U= f TC */(*> <x)da]do5, J a, L J a    J J a LJ «i    J

da cx -,    , r¹ r*a6+“) ® <źm dv

\    \ dxdy — V \

JoJo    JoJo

89) Jeżeli x-\-y-\-z — u, xĄ~y — uv, y — uvw" okazać, że:

/»OO /»CO /»OO    /»OO /»I /»I

i i V dx dy dz — \    \ l u² v du dv dw.

Jo Jo Jo ' JoJoJo

90) Jeżeli podstawimy x — r sin 0 cos cp, y — r sin O sin ®, z — r cos 0, okazać, że:

P p p dx dy dz — C f⁶* p² r² sin O dr aft) dy. Ja, Jÿi J z₁    Jr, J 0, J op.

Rozwiązania XL. Wskazówki podane wykładzie.

Literatura. I. Bertrand: Traité de calcul différentiel et de calcul integral. T. II. Calcul intégral. Intégrales définies et indefinies. Paris 1870. I. A. Serret: Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch bearbeitet von Georg Bohlmann. II Band Integralrechnung. Leipzig 1899.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Metody obliczania całek określonych.

2.    Całka Laplace’a i jej zastosowania.

3.    Zastosowanie szeregów w obliczaniu całek określonych.

Wykład XLL

Zastosowanie całek określonych do krzywych

płaskich.

1. Kwadratura krzywych płaskich. Obliczanie powierzchni A (area) pola płaskiego krzy wolinijnie ograniczonego nazywamy kwadraturą krzywej płaskiej.

drugi nieskończe-

Obliczanie to możemy wykonywać, albo 1) za pomocą całki pojedynczej, albo 2) za pomocą całki podwójnej. W pierwszym przypadku wyobrażamy sobie pole, którego powierzchnię A mamy wyznaczyć, podzielone na elementa nieskończenie małe rzędu pierwszego dA, t. j. na takie elementa dwuwymiarowe, których jeden wymiar jest skończony,

nie mały. W drugim przypadku wyobrażamy sobie pole podzielone na elementa nieskończenie małe drugiego rzędu, d'²A t. j. na takie elementa dwuwymiarowe, których oba wymiary są nieskończenie małe.

Elementami płaskiemi nieskończenie małemi rzędu pierwszego są np.: a) prostokąty o wymiarach y i dx, a więc o wielkości dA=ydx (fig. 79); ß) równoległoboki o bokach y i dx i kącie y, zawartym między tymi bokami, a więc o wielkości dA =sin y.y .dx (fig. 80);

y) wycinki kołowe o promieniu r i kącie d(p, a więc o wielkości:

dA=r d(p.^- = -^-r²dq> (fig. 81);

d) pierścienie kołowe o szerokości dr, a więc o wielkości dA=2nr .dr, lub ich wycinki, odpowiadające kątowi środkowemu cp, a więc o wielkości dA = r dcpdr.

Elementami płaskiemi nieskończenie małemi rzędu drugiego są np. : a) prostokąty o wymiarach dx i dy, a więc o wielkości d²A = didy

(fig. 85);

ß) równoległoboki o wymiarach dx i dy i kącie y zawartym między tymi bokami, a więc o wielkości d²^4.==sin y.äx.dy (fig. 86);

y) wycinki pierścienia kołowego o promieniu r, a szerokości dr, odpowiadające kątowi środkowemu dcp, a więc o wielkości d²A=r dcp dr (fig. 87).

2. Zastosowanie całek określonych pojedynczych w kwadraturze linii krzywej. Niech będzie y=f(x) równaniem krzywej, odniesionej do układu . prostokątnego, wtedy element powierzchni dA, zawarty między daną krzywą, dwiema sąsiedniemi rzędnemi jej punktów i osią a:-ów, otrzymuje wartość:

dA=y dx,

zatem powierzchnia zawarta między krzywą, osią x-ó\v i dwiema rzędnemi w miejscach końcowych xi i x₂ (fig. 79) wyprowadzonemi przedstawi się wzorem :

f*x2    n*x 2

(1)

A—\ ydx—\ f(x)dx,

” xx    ” xx

który jest zasadniczym wzorem kwadratury krzywych płaskich, odniesionych do układu prostokątnego.

dx.

X LO *, ***■

V,

'X

Fig. 79.

Jeżeli równanie y—f(x) krzywej odniesione jest do układu ukośnoką-tnego o kącie osiowym y (fig. 80), wtedy otrzymujemy element ćŁ4 = sin y.y.dx i odnośny wzór na powierzchnię :

Fig. 80.

Fig. 81.

Jeżeli krzywa określona jest równaniem biegunowem kształtu r=f{(p), natenczas za element powierzchni możemy uważać wycinek koła o promieniu r, odpowiadający kątowi środkowemu dcp, a więc o wielkości dA^-^-r^dcp,

otrzymujemy tedy wzór na powierzchnię ograniczoną krzywą r=f((p) i dwoma promieniami końcowymi nachylonymi do osi biegunowej pod kątami g)i i <jp2 (fig. 81) w postaci:

(2)

tH CM

A = r^dcp.

(3)

3. Jeżeli pole zawarte jest między dwiema krzywemi, natenczas powierzchnię jego możemy przedstawić w postaci różnicy dwóch pojedyńczych całek określonych.

N.

13,

z* X <9

Fig. 82.

W szczególności, jeżeli równania tych krzywych odniesione są do układu prostokątnego (fig. 82) postaci y—fx{x), y=f₂{x)₁ otrzymujemy wzór:

Fig. 88.

Fig. 84.

= C ¹ /1 Çx) dx — f /₂ (x) dx = f [Ą (x)—f₂ («)] dx.

* xx    ^ xt    " Xt

(4)

Analogiczny wzór dla układu ukośnokątnego (fig. 83) ma kształt:

= sin y j \ fi (a?) - /₂ (»)] dx,

xx

- 646 —

a dla układu biegunowego (fig. 84):

Ti

(6)

4. Zastosowanie całek określonych podwójnych w kwadraturze linii krzywej. Niech będzie F(x, y)—0 równaniem krzywej, odniesionem do układu prostokątnego, natenczas używając elementów nieskończenie małych drugiego rzędu w postaci prostokątów dxdy, otrzymamy na wyznaczenie jej powierzchni (fig. 85) wzór:

Y* çllî    ęJ* r"JYx)

A= \ \ dxdy — \ dx\ dy

pß    pß p

= \ \ dydx= \ dy \

(7)

względnie : gdzie f/j i y₂ są funkcyami zmiennej x₎

Wy)

Wy)

dx

(8)

xi i x₂ funkcyami zmiennej y}

ß\

ID

ß,

Cv''-

Sit;.

■f*

rC

•f7

oo »»■

rl

* Ł*

rzzxz

tVax

........

Y,

Fig. 86.

wynikającemi z równania krzywej : F(x, ?/)=0, przyczem a \ b wyrażają graniczne wartości na x, a a i ß graniczne wartości na y. Przy funkcyach wie-lowartościowych należy zakres całkowania stosownie podzielić.

W układzie ukośnokątnym (fig. 86) otrzymujemy analogiczny wzór

Fig. 85.

Fig. 87.

kształtu : względnie :

r.Vl    .    pb    -/j(*)

A=sin y\ \ dxdy = siny\ dx\ dy,

r*ß /•**    #    r»ß    f»

-4 = siny\ \ dydx=siny\ dy\

(9)

<?i (y)

<pßy)

Jeżeli krzywa odniesiona do układu biegunowego (fig. 87) ma równanie F(r,(p) — 0, gdzie ri=f\(q)), r₂=f₂(cp), natenczas otrzymamy wzór:

dx.

(10)

fTs rri .    -Tl fr2

= \    \ rdxpdr=\ dcp\ rdr.

JTi    J Ti J r,

(ID

Qß 2    «2

5. Przykłady, a) Kwadratura ellipsy: - ₂ -f-    =

Mamy tu y— — y/«² —x²,

1.

& ^a:    __

zatem:    y a²—

x² a że:

jV«²-*²^

a:\/a² - x²

2 ^2

- + — arc sin—, zatem otrzymujemy:

u    öf

o² . x\ -=r arc sin — I 2    a /

czyli :

bx\/a²—x² , a&    x

V-*=--₂~--+¥aro₈m-.

Wprowadzając spółrzędne x, y punktu końcowego P, otrzymujemy stąd:

4,...«-? +

ab

jako wzór na powierzchnię wycinka elliptycznego OP'PB (fig. 88) Ponieważ powierzchnia

przeto otrzymamy (fig. 89) po-

JB

i* P

trójkąta OP'P=^-,

wierzchnię wycinka elliptj'cznego : OPB = ~ arc sin X . Dla x = a wynika stąd powierzchnia ćwierci elipsy :

Fig. 88.

<9 * A oab^Ą

siach a i b przedstawia się wzorem A — abr..

Dla a = b otrzymujemy powierzchnię koła A = a²r.. Przy użyciu całek podwójnych przedstawia się powierzchnia elipsy w postaci całki:

, a zatem powierzchnia elipsy o póło-

Fig. 89.

/» -f ci (% a

Ä-L*L>

——x%

ę*a /• c

*ys=4Jo J

dy = ab r.,

lub :

A-i *i

dx

-w

o

dx = ab r..

- jsjb'-y*

2 _______

ß) Kwadratura hyperboli --j — ^₃- = l. Mamy tu V — — \Zx²—a²

zatem :

Aa

••• x —— f \/x²—a² dx, a Ja

a że:

:    ^ y/x²—a² dx

xy/x²~a²

w l°g

x-f- Y/ x²—a'²

przeto :

ylo ... X

b(x\/x²—a²    a², x-py/æ²—a²

= äl-2---¥log

)•

Wprowadzając spółrzędne końcowego punktu P, (fig. 90) otrzymujemy stąd:

Aa • • *⁼? - "j i°g (l⁻+■£)

wzór na powierzchnię odcinka hyperbolicznego AP‘P.

(13)

Fig. 90.

Ponieważ powierzchnia trójkąta OP‘Pprzeto

u

otrzymujemy wzór na powierzchnię wycinka hyperbolicznego    w postaci:

⁼ ¥log(^T ⁺ i)-

W przypadku hyperboli równobocznej a — b = 1, mamy równanie x²—y%= 1, zatem:

ojp =    log (x+ y/1—x²).

Oznaczmy (MP= , to otrzymujemy u — log (x-j-y/l — x²), a stąd x-j-y/i— x² *= >

ĆMP

zatem x — y/j—x²=e—a więc x =

zaś :

V — y/l—X² — e“—X == e“ —

cos hip w,

eu—e—u

więc :

sin hip u.

Spółrzędne x i y punktu hyperboli równobocznej o półosi równej 1 przedstawiają zatem funkcye hyperboliczne cos hip i sin hip połowy wycinka hyperbolicznego, opartego na luku ^4P hyperboli.

y) Kwadratura paraboli y² = 2px. Mamy tu y—\/2px, zatem:

_ 2 2 _

x7j dx =y/ 2 p -g- *³/j = — *\/2px.

A    ^ y/2 px <Zx

- 648 —

Wprowadzając spółrzędne x i y punktu końcowego 1* paraboli (lig. 91), otrzymamy:

Aa ...

(14)

x -— g

jako wzór na powierzchnię odcinka parabolicznego OP'P.

Ponieważ powierzchnia trójkąta OPP—X^, przeto

otrzymujemy wzór na powierzchnię odcinka parabolicznego, zawartego między lukiem OP a cięciwą OP paraboli w postaci :

A- lxu _xy

A~~ 3 J 2

, zatem A—X^

~6‘

6. Jtcktyfikacya linii krzywej. Wyznaczanie długości łuku pewnej linii krzywej, którą uważamy za granicę długości wielokąta weń wpisanego, nazywamy rektyfikacyą linii krzywej.

Elementem łuku krzywej y—f[x) odniesionej do układu prostokątnego jest ds=}Jdx² + dy²—dx^i-\-y'², zatem otrzymujemy wzór

Fig. 91.

na

długość s łuku

aj.........    âT'?'!

h !...............sHV’

to.

-i ta

\    '"t\

co

............^

-H

8-

><:

Fig. 94.

krzywej y=/(x) w granicach od x=xi do x=x₂ (fig. 92) w postaci całki określonej pojedynczej :

Fig. 92.

Fig. 93.

s = j* Vl + yt2dx—\> ^1+[f‘(x)]²dx.

(15)

Jeżeli krzywa y=f{x) odniesiona jest do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y (fig. 93), wtedy otrzymujemy element łuku :

ds =r Ydx² + dy² + 2 dx dy cos y = dx]1 -f y'²-f 2?/' cos y,

zatem wzór :

s= Ç yi+y/2+2y‘ cos y . dx.

(16)

Przy użyciu równania biegunowego r=f{<p) mamy (fig. 94):

ds²*=r² dcp²-\-dr²,

ds=^r² dg>² -j- dr²=d(p ^r²+

a więc

czyli: ds=^r²+r'² dcp, zatem długość łuku krzywej r=f(cp) w granicach od (p=(pi do <p = <p₂ wyznacza się wzorem:

Jeżeli krzywa odniesiona do układu prostokątnego dana jest dwoma równaniami o parametrze t, w postaci:

wtedy mamy :

dx=f\t)dt, dy=(p\t)dt.

Skoro zatem tx i t₂ są granicami na ź, od powiadaj ącemi wartościom krańcowym xx i x₂ zmiennej x, tedy otrzymujemy na rektyfikacyę krzywej wzór

V17wP+[^wP^

h

7. Przykłady, a) Rektylikacya ellipsy —^ +

ct

postaci :

(18)

= 1. Mamy tu:

— Va²—*² ,

a

bx

l-fy'² = 14

6²®²

a²(a²-®²)

a\/ a²—oj²

a¹ —(a²—5²)®2 a² (a²—®²) '

Zakładając, że a^>b, połóżmy a²—&² = c²,

V/a²-ó²

= e, gdzie e<1, otrzymujemy:

l+2//2

a²—e²®²

=v:

, zatem różniczkę łuku ellipsy w postaci: rfs luk ellipsy w granicach od ® = 0 do ® przedstawia się całką elliptyczną :

a² — ®

a²—e²®²

ai j.2~

dx, a więc

Cx-\ ial—s²®² ₇

Jo V a²-*²

Kładąc ® — o sin », a więc y — b cos 9, gdzie * przedstawia kąt, jaki promien OP, koła wykreślonego nad osią wielką ellipsy, odpowiadający punktowi P odcinka ®, tworzy z osią małą fig. 95, otrzymujemy:

dx — a cos 9 da, a²—£²®²==a²(l—£²sin²cp), a²—®² = a² cos² 9,

A'

przeto :

P’

— a\ \/\—e² sin² 9 . dz>.

Jo

SP/

< /

/\

A x JA

Otrzymaną całkę możemy rozwinąć według potęg mi-mośrodu £. Mamy bowiem :

/--£²    le².    1.3 E⁶

\/l—e² sin² <p=l—— sin² 9——    s^n* t' 2 4~6^s^n° ® ~

1 .8... (2n—3) e²"

“2.4... (2n—2) ‘ 2»

sin²« 9 —..

przeto dostajemy :

sin² 9--sin⁴ 9 — ...

- 1.8..(a—8)g    I (19)

2.4...(2»-2) 2»    ■ I •'

wzór, który możemy użyć do przybliżonego obliczania długości łuku ellipsy, odpowiadającego pewnemu kątowi 9.

Dla ellipsy, której mimośród jest ułamkiem stosunkowo małym np. e < otrzy-

Fig. 95.

1-

mujemy :

a stąd wzór przybliżony :

■= a\y- \sin 2?)]i

(1—cos² 9)J<^9 ,

Sa - -(f

czyli :

s0— <P

w kole jest £ — 0, zatem s — a?.

Dla ćwiartki ellipsy mamy © = —

_a[(1_ t)? + ¥ sin2? ]’

(20)

a więc:

l sin²”© dv —

J o

1.3 .5...(2»-l) n

2.4 . G ... 2n

J ² V/Î—e*sin*Vdv == | { t

£² 1

1 s⁴ 1.8

1,3...(2n—3)e*» 1 .3 ... (2«— 1) 2 ' ‘2    2 4 ‘ 2.4    "*    2.4 ... (2n—2) 2» '    2.4... 2»

zatem :

»«I,

TV¹

Y co

2    £2 n

/1.3 ... (2w-l)\

*" V 2.4... 2n )

obwód całkowity ellipsy o mimośrodzie e przedstawia się więc wzorem:

-

Dla £ — 0 otrzymujemy obwód koła 0 = 2«;;.

ß) Rektyfikacja hyperboli : ^ — ~ = 1. Mamy tu : b .    _

— Vx'—a?

2n—1

o¹!

1.3... (2w —1)\² £²”

2.4... (2n—2)

2n — 1 T

(21)

y=^

dy

bx

I4y,!“i+

b²x²

a¹ (x²—a²)

d*    «V/*²-«² ’

(a²-f-è²)a:²—a4 a\x² — a²)

Kładąc a²-f6² = c²,

Y/V+6²

— £ )> 1, otrzymujemy: 1-f-y'² — boli w granicach x = a do x przedstawiony całką elliptyczną:

E²#²— a2

x²— a²

zatem łuk hyper-

-0

e²*³— a²

x²—a²

dcc.

Uwzględniając, że cc < a, połóżmy cc = asec9P, a otrzymamy y b tang <P ,

a sin ^ cos² V

dx =

d9P,

przeto :

«-afVn

Jo

—cos² 9°-

cos² V

“• 1K¹

cos² <P

£²

y/»_*L

² COS²9P

czyli :

COS²

1 cos⁴ 9P

2e²

2    4 s⁴

1.3.. . (2ra — 3) cos²” 9»

2.4.. . (2 n—2)’ 2m2n wzór, którego możemy użyć do przybliżonego obliczenia łuku hyperboli, odpowiadającego pewnemu kątowi 9°. Kąt 9° otrzymujemy, kreśląc z punktu P' sty-czDą do koła o promieniu równym a, promień OM punktu styczności M na kole, tworzy wtedy z osią a>ów kąt 9° (fig 96).

Dla hyperboli, w której mimośród £ jest tak wielkim, że możemy szereg przerwać na wyrażeniu zawierającym —g, otrzymamy na wyznaczenie długości łuku hyperboli wzór przybliżony:

l d<p J

”’I COS² 9P ’

(22)

Fig. 96.

czyli:    s

w)»'

= «e^tang 9P—    gdzie 9P = arccos

i« : «

Oznaczmy przez a kąt nachylenia asymptoty do osi a>ów, a przez <S punkt asymptoty odpowiadający odciętej x, natenczas otrzymamy:

OS = x sec a —

Va'i+b*

x —---= tx

= ai sec 9P,

przeto różnica pomiędzy długością odcinka OS asymptoty a lukiem AP hyperboli przedstawi się w postaci:

ai jsec V —

OS-AP=

jest:

1.3.. . (2n—3) cos2n~² V

2.4.. . (2»—2)

1 COS² <P

Kątowi V — odpowiada punkt nieskończenie daleki hyperboli. Dla tego punktu

tang

1—sin V

COS <P

+ -4-

'In iLn

\    _ 0 /cos 9°\

/    n 0    \sin9P/    n

= 0.

*=Y

zatem •

=-

TT

1 COS² 9°

2    4e²

1.3... (2«—3) cos²«-² <P 2.4 ... (2»—2) 2n e²«

1.3 ...(2rt—8) cos²« ²9P

- 4" 2.4...(2» 2) 2nsa»-² 4" -

a że :

j:

cos²« 9P df

1.3... (2w—1)    71

2.4 ... 2w ' 2 ’

przeto otrzymujemy wzór:

/1.8\² 1 vJT4/ 6E⁴

... (2n—1)\2 2.4...2 n /

1.3

(2n+2) e²«

4* •••

• 4e²

znay pod nazwą wzoru Lauden’a, dowodzący, że różnica między odcinkiem OS asymptoty, a odpowiednim lukiem AP hyperboli dąży do granicy skończonej.

y) Rektyfikacya paraboli iß — lpjc. Mamy tu 2ydy = 2pdx, zatem:

d* _ y_

dy p ’

ds = [/dx*+dy* = — Vy⁹+P* d}J' P

zatem długość luku paraboli w granicach od y — 0 do pewnego y przedstawia się w postaci całki oznaczonej :

= "p J o y*4-ps

P—X

a że:

j \/ iy

P”

przeto otrzymujemy wzór:

y V/ */²4-p²

p ,    y4-Y/y²4-p²

7j” log---

4-log

'«i⁵«

(H¹⁺P

?/²

to

14-

^0—27 —

czyli :

Zastępując rzędną y punktu końcowego P (fig. 97) przez jego odcinek x, otrzymamy odnośny wzór w postaci :

Fig. 97.

V¹

(Vf+V'+f»

“f{VfVi+f+iog

8. Kubatura powierzchni obrotowych. Jeżeli krzywa y=f{x) obraca się około osi a:-ów, natenczas utworzy powierzchnię obrotową, dla której dana krzywa jest południkiem. Punkt P(x, y) krzywej opisuje koło o powierzchni: Ax = jiy², zatem objętość warstwy opartej na tern kole

so

• •• .C

(23;

wskutek obrotu

a mającej grubość dx (fig. 98), przedstawiającej element objętości V powstałej

w ten sposób powierzchni obrotowej, będzie wyznaczona różniczką:

Cała objętość, zawarta między dwoma przekrojami odpowiadającymi odcinkom xx i x₂ będzie zatem przedstawioną całką określoną:

dV=ny² dx.

GL

Vt

olx

P*

GL’

M'

= n i y²dx=n C [f{x)]²dx. (24)

9. Przykłady, a) Kubatura ellipsoid y obrotowej. Niech będzie daną ellipsa o równaniu:

.î! ₊ !i ₌ l

a² ^ Ô²

Obracając ją około osi rr-ów (fig. 99), otrzymamy element objętości:

fc²

Fig 98.

dV = ny²dx = r.. ₂ (a² — x²)dx,

zatem objętość warstwy ellipsoidy obrotowej w granicach od x — 0 do pewnego x będzie przedstawiona wzorem:

h2

=    §o(a*-x²)dx,

czyli :

Kb²x

At

€ ]\ *\ JA X

Fq... X "

Dla x = a wynika stąd objętość połowy ellipsoidy obrotowej :

a²

P’

a zatem objętość całej ellipsoidy obrotowej:

F= ^ aö²*.

(2B)

Fig. 99.

Jeżeli obrót ellipsy odbywa się około osi małej 2ó, natenczas otrzymamy podobnie

4

objętość ellipsoidy obrotowej spłaszczonej, czyli t. zw. sferoidu: F= a-br.. Dla a = b

4

otrzymujemy objętość kuli: V =    a³r..

fi) Kubatura liyperboloidy obrotoMej o jednej i dwu

-----

£C²    Î/²

a² ft²

około osi urojonej y-ów, otrzymujemy hyperboloidę obrotową o jednej powłoce. Element objętości, zawarty między dwiema płaszczyznami prostopadłemi do osi obrotowej w odstępie dy, otrzymuje wartość:

powłokach. Jeżeli hyperbola:

=1 obraca się

.i.

dV = r.x'¹dy,

a stąd otrzymujemy objętość warstwy w granicach od yi — 0 do y^—y (fig. 100), określoną wzorem:

= x² dy.

V₀...y

a²

Mamy tu: x% = ^(y²-j-6²), przeto:

— 658 -4

Dla y = b otrzymujemy stąd: F₀...j = — a²brc.

rfil    y 2

Jeżeli hyperbola:    ^ — 1 obraca się około osi rzeczywistej «-ów, powstaje hyper-

boloida obrotowa o dwu powłokach (fig. 101). Element objętości, zawarty między dwiema

■~0-

P’

p’

y⁹

Fig. 102.

Fig. 101.

b²

płaszczyznami prostopadłemi do osi .«-ów ma tu wartość: dV—ny²dx, gdzie: y² = —^ («²—a-),

zatem objętość warstwy w granicach od .Tj = a do x.l=x przedstawia się wzorem:

a² V 3

r. b²

stąd otrzymujemy :

Fo ... X

f («²—a²)dx, J a

— a²« —

czyli :

1 a .. æ — -g-    —2d²)(x—a).

(27)

y) Kubatura paraboloidy obrotowej. Z równania paraboli y² = 2px otrzymujemy objętość bryły powstałej przez obrót tej paraboli dokoła osi «-ów, czyli objętość paraboloidy obrotowej (fig. 102) w granicach od ay =0 do x₂ —x z wzoru:

— u i 2pxdx — 2pr. I xdx = npx².

Jo    Jo

Wprowadzając spółrzędne x i y końcowego punktu paraboli, otrzymamy stąd:

V,...* = y*r.*

n~*

'2*

(28)

Objętość paraboloidy obrotowej jest więc równa połowie objętości walca, który ma z nią tę samą podstawę i wysokość.

10. Komplanacya powierzchni obrotowych. Obliczanie powierzchni danej powierzchni nazywamy komplanacyą tejże powierzchni. Jeżeli krzywa y=f{x)

Muznip

obraca się około osi a>ów (fig. 108), wtedy element tfejej łuku, opisze powierzchnię, którą możemy uważać za pobocznicę stożka ściętego, którego średni przekrój jest kołem o promieniu y, a długość krawędzi równa ds. Element dF pobocznicy odnośnej powierzchni obrotowej otrzymuje zatem wartość :

Fig. 103. F—In

dF= 'lny. ds=lny\l + y‘ ²dx, skąd dostajemy powierzchnię, zawartą między przekrojami prostopadłemi do osi x-ów, przeprowadzonemi w miejscach xx i x₂ wyrażoną wzorem :

11. Przykłady, a) Kom pismacy a ellipsoidy obrotowej. Z równania ellipsy : —-f ^- = 3 ,

obracającej się na około osi x-ów, otrzymujemy:

b .-

— y/a²-*²,

a

dy

bx

ds

a\/ a²—a;²

przeto pobocznica ellipsoidy obrotowej w granicach od xx — 0 do wia się całką określoną:

dx

dx

b²x²

a²(a²^²)’ x (fig. 99) przedsta-

= 2rc ~ j J y/a⁴—(a²—6²) as²

Celem wyznaczenia otrzymanej całki odróżnimy dwa przypadki a i a > &, odpowiadające dwom rodzajom ellipsoidy obrotowej, t. j. wydłużonej i spłaszczonej. Przyj-

(*

— =6, gdzie £ <C 1, a okrzy

V/ a² — b²

cz

mując    a więc ellipsoidę wydłużoną, połóżmy: -

mamy:

= 2n — Ç \/a²—£ix² dx.

« Jo

Używając podstawienia zx = z, a więc: dx= ^ dz, otrzymamy:

Fq...X

rH

= 2f \/a²—s² <fe,

e« Jo

a że:

— z² dz -

z\/a²—z² , a²

arc sin

ł + c-

a więc :

/•£$

J y/a*—*² dz

zx\/ a²—s* ar*

a²

—(- — arc sin A

przeto otrzymujemy wzór:

F₀...x

= —    y/c»²—e²*² + ®² arcsin

Kładąc tu x — a i mnożąc wynik przez 2, otrzymamy pobocznicę całej ellipsoidy

wydłużonej :

F = 2r:ab

arcsin e^

(80)

skąd dla a — b, a więc e = 0, wobec y/l — e² = 1 ; chnię kuli: F=&a²K.

Przyjmując a < b,

arcsin s

1 wypada wzór na powierz-

więc ellipsoidę spłaszczoną, połóżmy:

y/b²-a²

£, a otrzy-

mamy:

F₀...x=’2r>

Ç \/a²-\-e²x² dx, J o

skąd, podstawiając E* = az, dx = --- dz, otrzymamy:

£Z

a że:

Fq,..x =*

’    «y/i-f«²

2r'^ rV l+*a dz>

Ba Jo

+ \ log Ky/I+^)+c,

e²*²

przeto :

F₀...x = ab n

Kładąc x = a i mnożąc wynik przez 2, otrzymujemy powierzchnię całej ellipsoidy spłaszczonej, wyrażoną wzorem:

6B5

ß) Komplanacja hyperboloidy obrotowej o jednej i o dwu powłokach. 2 równania

#2    y'l

hyperboli: — ₂-— —₂- = 1, otrzymamy:

b ,

— V/ x²—a², a

a- a

V/y²+i² ,

xdx    y dy

a2 _ fe²

“0,

dy b'lx

a¹ y'

Obracając hyperbolę około osi y-ów otrzymujemy hyperboloidę o jednej powłoce, której powierzchnia ograniczona równoleżnikami y, = 0 i y₂ — y (fig. 100), przedstawia się wzorem:

rfx

ï'o — y

Połóżmy:

= ²⁷¹ foxd8> sdzie = y Y/yM-&² Y^xi+¹ ^ = y y(«    +⁶

V/ ó²4-£²y‘²dy,

a²+fe²

c²

E², gdzie h>1, tedy otrzymamy: xds =

a- a

dy.

pi-zeto :

F₀... y = —J— J v/ó²-j-E² y² dy =

2ai:

ey

a więc :

f07i: p *    .- ,

— V/1+*²

£ Jo

przeto :

tłV

s²y²

s²y²^

i iog (Vy+V‘+ »,

(32)

F₀...y— abr.

/J»2    y 2

Obracając hyperbolę: —-— ~ = 1 około osi x-ów, otrzymujemy hyperboloidę obro-

ó²

tową o dwu powłokach. Elementem jej powierzchni jest dF=2 r.yds, gdzie:

(«M-b^xi-a* dx

— — V/ x²—a²^l +

= £², otrzymamy: yds= ^ \/ e2 xŁ - a¹ dr. zatem powierzchnia liczona od xt =■ a do x₂ = x (fig. 101) będzie określona wzorem :

Fa x =

Kładąc :

a²+&² _ c2 a² a²

z którego otrzymujemy:

ex

ó⁴ x² ,

i¹?*

-4Y

a²

Ibr. r-x ---

j \/£²x²—aldx,

ex

F₀:..X =

abr. (•« ,- 2abr.\alz\/zï—1

—I „Pa

2 log (*“ Y/a*—’ 1 )}»

a więc ostatecznie:

£ X -|/e²®²    !

n~ V^_1

e_v/?^r V

(33)

:-V

£ ² X ²

y) Komplanacya paraboloidy obrotowej. Jeżeli paraboloida y² = 2px obraca się około osi x-ów, wówczas powstaje paraboloida obrotowa, której element powierzchni:

F₀...x = abr.

— 1- Y/e²—1 + y log

y/2p x • ”^/l-f- J® ^X =    V/2p »-j-p² dx.

dF —2r.yds=2r.,

Wielkość powierzchni tejże paraboloidy obrotowej w granicach od x, = 0 do x₂ = x (fig. 102) przedstawia się wobec tego wzorem:

F₀...x

a że:

= 2k j \/2 px-f-p² dx = 2rc Y/p ^ (2x-j-p)'/i rfx,

f (2x-J-p)'/2    =

Jo

f₀...x = 2r: Y/p" {

(2x-bp)³/j _ (2x-f p)³/i

p³/2

Y*}» czyli:

71 Y/p {(2*4-p)³/i — p³/*}.

Wprowadzając w ten wzór, zamiast odcinka x, rzędną y punktu końcowego paraboli

przeto otrzymujemy:

(2x+n)³/»

Fy,..x =

03 CO

(34)

otrzymamy:

Jo-»

“I W+p^-Ą

(35)

12. Momenta statyczne łuków i pól płaskich. Momentem statycznym dM elementu dm jakiejkolwiek formy geometrycznej względem linii prostej lub punktu nazywamy iloczyn z wielkości dm tegoż elementu i jego odległości q od tejże prostej lub punktu, zatem dM—ędm. Momentem statycznym całej formy jest tedy suma momentów statycznych wszystkich jej elementów, więc M=>§ędm. Na płaszczyźnie mamy elementa liniowe i elementa powierzchniowe, zatem odróżniamy momenta statyczne łuku i momenta statyczne pól.

13. Moment statyczny łuku względem prostej. Oznaczmy przez dMs moment statyczny elementu ds łuku krzywej y—f(x) względem osi a:-ów, natenczas mamy według określenia :

dMs=y. ds=y^l + y'² dx ?

.sû

skąd dostajemy:

m,=tvvi \yridx~ rywv i+[/(*)]*(&, (36)

J    Jxt

CjS

M’

F Gf

wzór podający moment łuku krzywej y=f(x) względem osi a>ów w granicach od x=xx do x=xv Analogicznie otrzymamy moment statyczny łuku krzywej y--=f(x) względem osi

, N’ y~ów w postaci :

Ms

= C x ^1 +æ/2 dy.

J 2/i

Fig. 104.

Moment statyczny łuku względem początku układu określi znowu wzór :

= C ^jx² + y²ds — C 1jx²+y² ^l-\-y,2dx. J    J z»

14. Moment statyczny powierzchni zamkniętej względem linii prostej.

Elementa powierzchni mogą być elementami nieskończenie małemi rzędu pierwszego lub rzędu drugiego.

Jeżeli jako element pola weźmiemy element nieskończenie mały rzędu drugiego: d²A — dx. dy, natenczas moment tego elementu względem osi ir-ów będzie również nieskończenie małym rzędu drugiego. Oznaczmy go przez d²Mai a otrzymamy :

d² Ma—y.dx dyx

y dx dy

(37)

skąd otrzymujemy:

wzór na wyznaczenie momentu pola dowolnie ograniczonego. Przyjmując jako element pola elemont nieskończenie maty rzędu pierwszego kształtu: dA=ydx (fig. 105) otrzymujemy jego moment dMa względem osi a;-ów określony wzorem :

dM

çv    rv    1

a=\^ y dx dy = dx ^ y dy=—y²dx,

OJ

który w ogólności dowodzi, że moment staty-

czyli wzorem: dMa=ydx.

czny prostokąta względem jego podstawy jest równy jego powierzchni pomnożonej przez pół wysokości.

Otrzymujemy zatem :

Ma

wzór, podający moment pola zawartego mię-N dzy krzywą y'=f{x) a osią x-ów w granicach od x=xi do x=x₂ (fig 105).

11. Moment statyczny dMa elementu y dx względem osi y-ów określi zaś wzór: dMa—xydx, stąd otrzymujemy :

CX2

a= )

•J xx

xy dx

(38)

wzór podający moment statyczny względem osi y-ó w pola ograniczonego krzywą y =/(#), osią x ów i dwiema rzędnemi w punktach xx i x₂ wyprowadzonemi.

Moment statyczny Ma pola dowolnie ograniczonego względem początku układu wyznacza wzór :

M’

P’ G’

Fig. 105.

N’

Ma= ( ² [Jl^x² + y²dxdy,

Jxi J yl

(39)

który przy użyciu spółrzędnych biegunowych r, cp sprowadza się do postaci:

71/

a= \    \ r.rdcpdr=\ \ r²dcpdr.

J J rj    ^ ri

(40)

12. Środki ciężkości luków i pól płaskich. Środkiem ciężkości formy geometrycznej nazywamy punkt, który ma

"H

Nt M,

tę własność, że moment statyczny tego punktu skupiającego w sobie N wielkość całej formy jest równy momentowi statycznemu tejże formy. Oznaczmy przez rjs odległość środka ciężkości S łuku s od osi x-ów (fig. 106), ^ to otrzymamy na jej wyznaczenie wzór :

przeto :

s.rjs=M,

Fig. 107.

M,

hds    \V‘U

j xx    •>

Odległość £s środka ciężkości S łuku s od osi y-ó w określi analogicznie

Fig. 106.

(41)

wzór :

yx.ds

[Xlds

* xx

^** x Vl + ÿ² dx T² Yi +y‘*.dx

(4=1-) .

Oznaczmy przez £a) rja, spółrzędne środka ciężkości pola A dowolnie ograniczonego (fig. 107), to otrzymamy według określenia:

przeto wzory :

A C*² Cy2 dx dy

J xt •> yt

irr*

A.£a = {Ma)y, A.f]a = {Ma)

(Ma)s

[X'[y'dxdy ’

(42)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

które, dla pola ograniczonego krzywą    osią x-6w i dwiema rzędnemi

w punktach xx i x₂ wyprowadzonemi, sprowadzają się do postaci:

«r h

tH

Va-

1 y²dx

x₂    ¹

y dx

(43)

ba    )

F y äs

V xt

13. Wzory GrUldill’a. Zestawiając wzory kubatury i komplanacyi powierzchni obrotowych, wyprowadzone w art. 10. i 11. w postaci:

F=2n

— n\ y² dr.

z wzorami na środki ciężkości łuków i pól wyprowadzonemi w art. 12 w postaci :

Va

i r**    i „

ÿ-J ydx    y²dx

C.Tj

\ y dx

•J Xx

f 'y^l+y,2dx f yfl+y

„ __

'Is r*x 2__

\ Vl -\-y,2dx

» 2 dx

czyli :

\ y² dx=2 Arja,

v Xt

Î y^l+y/2dx=

•J.r₁

s.rjs

(44)

otrzymamy wzory :

V=A. 2 Ti rja

F=s.2n rjs,

znane pod nazwą wzorów Guldin’a, wypowiadających następujące dwa twierdzenia :

1)    Objętość bryły powstałej przez obrót pola A jest równa iloczynowi powierzchni tego pola i obwodu koła opisanego przez środek ciężkości tego pola.

2)    Powierzchnia powstała przez obrót łulcu jest równa iloczynowi długości tego łuku i obwodu koła opisanego przez środek ciężkości tegoż luku.

14. Momenta bezwładności łuków i pól płaskich. Momentem bezwładności dl elementu dni formy geometrycznej względem prostej lub punktu nazywamy iloczyn z wielkości dni tegoż elementu i kwadratu jego odległości q od tejże prostej, względnie od tegoż punktu, zatem dl=ę²dm.

Momentem bezwładności 1 całej formy geometrycznej nazywamy tedy sumę momentów bezwładności wszystkich jej elementów, jest więc I=ję²dm.

Na płaszczyźnie odróżniamy elementa liniowe i elementa powierzchniowe, zatem mamy momenta bezwładności łuków i momenta bezwładności pól płaskich.

15. Moment bezwładności łuku. Oznaczmy przez dls moment bezwładności elementu ds łuku krzywej y=f{x) względem osi x-ów, natenczas mamy według określenia, kładąc Q=--y, wzór:

dls==y² ds—y² fl -f- y•² dx

zatem moment bezwładności 1 łuku s, w granicach od x—xx do x=x₂, względem osi x-ów przedstawia się wzorem :

¹² dx.

(45)

— 659 —

Analogicznie otrzymamy moment bezwładności tegoż łuku względem osi y-ów w postaci:

/,= ( x²^l-\-y'² dx.

Moment bezwładności tegoż łuku względem początku układu określi natomiast wzór :

Ia— ^ £²ć?s=--(i (#²-f y²) Vl Ą-y'²dx.

* ST,    •)

16. Moment bezwładności pola. Przyjmując jako element pola element nieskończenie mały rzędu drugiego kształtu: d² A = dx dy, otrzymujemy moment bezwładności tego elementu względem osi a: ów jako wielkość nieskończenie małą drugiego rzędu d¹ Ia, określoną wzorem:

d² la=y² ,dxdy,

stąd otrzymujemy

la= f \ y²dxdy

J ‘ 2/i

(46)

wzór na wyznaczenie momentu bezwładności pola dowolnie ograniczonego. Przyjmując jako element pola element nieskończenie mały pierwszego rzędu kształtu dA = ydx, otrzymujemy jego moment bezwładności względem osi x-ów, również nieskończenie mały pierwszego rzędu, określony wzorem:

dla

t. j. iloczy-

dem osi x-ów, jako jego podstawy, jest równy — dx=ydx.-^-t

nowi powierzchni tego prostokąta i trzeciej części kwadratu jego wysokości. Otrzymujemy zatem :

la

= ¹ P’

3 J,,

y% dx

(47)

wzór podający moment bezwładności pola zawartego między krzywą y=f(x) i osią #-ów w granicach od x=xi do x=x₂.

17. Przykłady a) Moment bezwładności powierzchni trójkąta względem jego podstawy.

Niech będzie dany trójkąt ABC o podstawie a i wysokości h. Dzieląc jego powierzchnię za pomocą prostych równoległych do podstawy na elementa nieskończenie małe pierwszego rzędu o powierzchni l. dy, otrzymujemy moment bezwładności takiego elementu ze względu na podstawę trójkąta określony wzorem:

dla = l.dy . y²,

skąd, ze względu na to, że:

Fig. 108.

l:a = (h—y) : h, a więc : l =

a(h—y)

dla

otrzymujemy : a więc :

V T ak3

czyli: Ia=~Y2‘

7 a (*fc . ,    a \h/hy³ y*\ a (h*    h*\

la = T J „ {h~y)v iy = ¥I. (lf - t) ⁼ X Vs' - t)

- 660 -

3) Moment bezwładności powierzchni kola względem jego średnicy. Dzieląc powierzchnię koła na elementa równoległe do jego średnicy 2r, otrzymamy:

dla — 2x.dy. y²,

skąd, ze względu na to, że: x—\/ r²—y² otrzymujemy:

d la = 2 y² \/r² y² <2y, zatem :

la = f ⁺ ’ 2y² \/^-^dy = \ f y² \ATZÿT dy,

r,v^=

|i    _____    _ 1    ^ TT    Jt

[y⁴ arc sin ^ — r(r²—2y²) \/r²—y² ] = fy⁼⁼]gi

^ r⁴1:

Jr

a że :

1 I»-

Fig. 109.

S' lo

więc :

tJ

y) Moment bezwładności kola względem jego środka. Chcąc wyznaczyć moment bezwładności powierzchni koła względem jego środka, czyli względem prostej, przechodzącej przez środek koła, a prostopadłej do jego płaszczyzny, możemy podzielić powierzchnię koła za pomocą kół współśrodko-wycli na elementa o powierzchni 2r.p . dp. Moment bezwładności takiego elementu względem środka koła będzie :

dla — 2^p . dp . p² = 2tco³<#p,

rł7t

~2'

Fig. 110.

zatem :

la — i 2 xp³dp =

Jo

18. Potency al luku i pola płaskiego. Potency ałem dlJ elementu dm formy geometrycznej ze względu na pewien punkt P nazywamy iloczyn wielkości elementu i odwrotnej wartości odległości tego elementu od

punktu P, zatem dlJ=*—; Sumę tych iloczynów, obejmującą wszystkie elementa danej formy, nazywamy potencyałem tej formy ze względu na przy-

C cilat

jęty punkt, zatem t/=\    -. Niech będą a, b spółrzędne danego punktu

P, a x, y spółrzędne punktu formy, to ich odległość:

r=Yör—o)M-(y—■b)².

Elementowi ds łuku krzywej y=f(x) odpowiada zatem ze względu na punkt P(a, b) potencyał :

Vl + 2/

r    V(*—aŸA-{y—b)

zatem potencyał łuku tego w granicach od x=xx do x=x₂ ze względu na punkt P(a, b) przedstawia całka określona :

dUs =

ds

dx,

0,-

xi V (*“ «)²+(y—i)2 dx

X,

-s::v

(48)

Elementowi powierzchniowemu dxdy odpowiada ze względu na punkt P(a, b) potencyał :

dWu=-

dx dy

^(x—a)²+(y—b)² ’

- 661 -

zatem potencyał pola płaskiego ograniczonego krzywą y=f(x)₁ osią x-ów i dwiema rzędnemi w punktach i x₂ wyprowadzonemi, przedstawia się wzorem :

*'*1

dxdy

]{x-a)²+(y—b)²

ogólnie dla jakiegokolwiek ograniczenia w postaci F(x, y) = 0 potencyał pola ze względu na punkt P(a, b) będzie oznaczony wzorem:

dxdy

YOx—a)²A-(y—b)

gdzie granice xt, x₂, yx, y₂ wyznacza się z równania krzywej F(x,y) =0, pole ograniczającej.

ua

(49)

19. Przyciąganie punktu przez luki lub pola płaskie. Wielkością przyciągania dW danego punktu wywołanego przez element dni formy geometrycznej nazywamy iloczyn z wielkości elementu dni i odwrotnej wartości z kwadratu odległości r tego elementu od danego punktu P, zatem dWSumę

tych iloczynów obejmującą wszystkie elementa danej formy ze względu na dany punkt P nazywamy wielkością przyciągania danego punktu przez daną formę

Niech będą a, b spółrzędne danego punktu P, a x, y

geometryczną W = ^—¹

spółrzędne danego punktu formy geometrycznej, to kwadrat ich odległości: r²=(x—a)²-\-(y— b)².

Element ds łuku krzywej y=f\x) wywiera przeto na punkt P(a, b) przyciąganie o wielkości:

Yl H-yndx

*~~{x—a)²+{y—b)² ~ (x-a)² + [ f{x)—b)}²’ zatem przyciąganie wywarte na tenże punkt przez łuk s, ograniczony rzęd-nemi odpowiadającemi odcinkom xi i x₂, otrzymuje wielkość:

Vi +y‘² dx

(x-a)²-\-{y—b)²

Element powierzchniowy dxdy przyciąga punkt P(a, b) siłą o wielkości :

dW;

ws

ds

-r

* ai

(50)

dWa

dxdy

(*-ay+{y-b)"

zatem wielkość przyciągania wywieranego przez pole ograniczone krzywą : P=f(x), osią x-6w i rzędnemi w punktach xx, x₂ wykreślonemi, na dany punkt P(a, b) wyrazi się wzorem :

f** f A*) •'*1 * o

dxdy

(x-a)² + (y—b)²’

(51)

ćwiczenia LXI.

Wykazać, źe: 1) powierzchnia odcinka elipsy — -J- ~ = 1 w granicach od ^ =0 do x₂=ar wyznacza się wzorem:

•^o

• •• x

b ( x -- , a¹    x \ xy , ab    x

“Vis'⁷⁴’-' V g- aro s,n — J =• -g- -1- ^ arc sm

2*2    ,w2

2) Powierzchnia odcinka hyperboli : —- — ^ = 1 w granicach od xx—a do x% wyznacza się wzorem:

.1

O"*®

x\/ cc²—a² a² /

SfM

xĄ- \/ x‘l—a

B) Powierzchnia paraboli y² = 2px w granicach od ccj = 0 do cc₂ = x wyznacza się

wzorem :

, 2 ,2 4o..' x — -g- xy 2px —- -g- nij.

Wykreślić następujące linie i wyznaczyć ich powierzchnie w granicach od xx — 0

do cr₂ = x :

9) y = e* (logarytmika), 10) y =    + e (linia łańcuchowa).

11)    Wykazać, że odcinek elipsy (a, 5) ograniczony prostą, przechodzącą przez punkty piOi> Vi) i AG/21 2/2) elipsy ma powierzchnię:

A (*iyr2/i)+y (arcsin ^

12)    Wykazać, że wycinek ellipsy (a, &), ograniczony promieniami lączącemi środek ellipsy z punktami Px{xx, yj) i P₂(a:2> y₂), ma powierzchnię:

aft /

⁼ V

6) cc²+y² = a²,

7) a;²+y²—2acc=0,

8) y² = o®,

— arc sin

)•

arc sin -- — arc sin — a /

IB) Wykazać, że powierzchnię krzywej : r określa wzór:

1—cos 9

w granicach od f — 0 do ^    ^

Aq ... (p =

wzór :

3 tang³ y tang \

14) Wykazać, że łuk paraboli y'i — 2px w granicach od yx — 0 do y₂ = y wyznacza

;'/+VV+p²

^o-y=^V/p*+y² + -§- log

15)    Wykazać, że luk krzywej r = a(l-|-cos qo) w granicach od Wx = 0 do <P₂ = <P ma = 4 a sin ^

u

16)    Wyznaczyć objętość warstwy sferycznej powstałej przez obrót luku koła xi-\-y² = a1 około osi cc-ów w granicach od xx do cc₂.

długość :    <S’₀

...<P

a więc dla <p = jc, długość 4a.

17)    Wyznaczyć objętość bryły powstałej przez obrót logarytmiki y — ae a około osi cc-ów w granicach od xx = 0 do cc₂ — co .

18)    Wykazać, że objętość odcinka sferycznego o wysokości h określa się wzorem:

h ma wartość :

19) Wykazać, że objętość stożka powstałego przez obrót prostej y = cc tang a w granicach od cc = 0 do cc

= -g-. J: A² tang² a = ~ r² r., gdzie r — h tang a.

20)    Obliczyć pobocznicę powierzchni powstałej przez obrót prostej y = a około osi cc-ów w granicy od xx do cr₂.

21)    Obliczyć pobocznicę stożka powstałego przez obrót prostej y —cc tang a około osi cc-ów w granicach od xx do cr₂.

22) Wykazać, że pobocznica paraboloidy obrotowej powstałej przez obrót paraboli y² = 2px około osi a?-ów w granicach od aą — 0 do x.₂ — x określa wzór :

.    n \/p {(2*+p)s/ï—p³/i|.

23 Wyprowadzić wzory na pobocznicę ellipsoid obrotowych: a) wydłużonej a > i :

{ v/1—E² +

arc sin eI , .

--f) gdzie s==

{v/l+£² + Y log (e+ V/1+£²)}. gdzie e

F¹ — 2aó 7i

\Za²—b²

<1,

ß) spłaszczonej a < b :

F=2abn

V/ó²—a²

<1.

24) Wyprowadzić wzór na pobocznicę odcinka hyperboloidy obrotowej o jednej po-

rjßli    2

włóce, powstałej przez obrót hyperboli :    — "fï = d około osi «/-ów :

F⁷ = a&7:

gdzie e =

V/ a²-\-b²

25) Wyprowadzić wzór na pobocznicę odcinka hyperboloidy obrotowej o dwu powło-kach, powstałej przez obrót hyperboli :

a² b²

-?-=• = 1 około osi x-ów :

F — ab 7C

lfv

e²x²

a²

— 1 — v/e²-i + y log

ex -./E²a

a ~ V a

, gdzie e

V/a²+6²

26)    Wyznaczyć moment bezwładności trójkąta prostokątnego o przyprostolcątniach x i y względem przyprostokątni x.

27)    Wykazać, że moment bezwładności koła: x²-\-y² = r² względem jego średnicy:

d = 2r ma wartość: Fa

28) Wykazać, że powierzchnia ellipsy o równaniu: Ax²-\-2Bxy-\-Cy² = 1 ma wartość

7td⁴

64'

\AlC— JB²’

29) Za pomocą całki podwójnej wyznaczyć powierzchnię A ellipsy:

(#—a)² (y ß)²

a²

ó²

1 i wykazać, że A — ab k.

Wykazać, że stosując całki określone do prostej y = x w granicach (aą, .r₂), otrzy

mujemy:

33) F¹ = 7t y/2 (x₂ ²—*1²),

86)I.= V/2.^ł!,

39) 7)a

S(#2+*l)

31) S^={xi—xi)\/2,

— y"² (gą²—²)

34) >F,

35) Ma = X-^-

o

37) Ja

12

QQ\ „    2^1

38) rjt = — g—

Zastosować całki określone do paraboli y = x² i wykazać, że w granicach od #(=0 do x₂—x otrzymujemy:

a?³

x\/ l-J-4a?²    1

7ra;s

4i)5=—2

42) V₀... x

44) F⁷ = -^ j(8x³+a7) y/l+4^² — ~ log (2#-f \/i-f-4x²)}, 46) 4/s = -— |a:(l-j-8a;²) \/l-|-43;²--g" (2®*ł” V/l-f-4a:²)|,

40) A = — , 43) V₀...y =

1-Ylos (2cc+ V/i+4*²),

— 664 —

£C⁵

46) 47«—

47) h

1    x    49    19

__(w6+w-6)₊__(m4+W-4)_ __(w2+W-2)+ 4 log«,

gdzie u = 2æ-|"\/l+4x^;

48) J« =

x y³

T'T’

49) »I« - i0

loy‘

Wykazać, że w przypadku hyperboli równobocznej xy — l w granicach (a?t, £c₂) otrzy

mamy :

F = 71 Ol —y₂).

BI) Ma--2“(yi— 2/2) J

J«

= -§-G/i²-*/2²)-

Przy pomocy całek określonych wyprowadzić następujące wzory elementarne:

b . h

î/i+1/2 j —2~h-

52) Powierzchnia trójkąta A

54) Powierzchnia koła A — r² k. 56) Powierzchnia elipsy A — abx.

58) Objętość kuli V— ~r³n.

58)    Powierzchnia trapezu A

55) Obwód koła 0 = 2rx.

57) Powierzchnia kuli F — Ar² k.

59)    Pobocznica stożka F—rnk.

60)    Pobocznica stożka ściętego F= 2rm * . k, gdzie rm = -

61)    Objętość stożka V = r²r..

63) Objętość stożka ściętego: F= (R²Ą-lłr-\-r²)Tt.

S⁻

IiĄ-r

62) Środek ciężkości trójkąta

’»•“T

64) Moment statyczny trójkąta ze względu na podstawę:    —    ^

ah²

ah3 12 *

66) Wykazać, że środek ciężkości ćwierci ellipsy (a, b) ma spółrzędne:

65) Moment bezwładności trójkąta ze względu na podstawę: Ia •=

4a

67)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót hyperboli xy=1 około jej asym-ptoty w granicach od x = 1 do x = co ma wartość V = jt.

68)    Wykazać, że całkowita powierzchnia ograniczona krzywą o równaniu:

( a ) ³    ("f”) ³⁼⁼ * ma warto®0 -4 — ~

abit.

69) Wyznaczyć powierzchnię zawartą między liniami krzywemi o równaniach:

y²—4aa: = 0,

x²—4 ay = 0.

70)    Wyznaczyć całkowitą powierzchnię ograniczoną krzywą: a⁴;//²-fô²a7⁴ = a²i²a;².

71)    Wyznaczyć całkowitą, powierzchnię ograniczoną krzywą o równaniu bieguno-wemi : r = a (cos 2'P+sin 29°).

72)    Wykazać, że łuk krzywej o równaniu: cc⁴-f-6a²a;² —8«³y — 0 mierzony od początku układu ma długość: s — ^-₃(x²-\-Aa²)³h.

73)    Wyznaczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej: y²(x— 4a) = ax(x—3a) około osi z-ów w granicach od xx — 0 do x₂ — 3a.

osi y-ów.

74) Wyznaczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej (y²—b²)² — a³x około

75)    Wyznaczyć objętość bryły powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przy-prostokątniach a i b około jego przeciwpiostolcątni.

76)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obi’ôt odcinka kołowego około średnicy równoległej do jego cięciwy 2y jest równy objętości kuli o promieniu y.

77)    Wyznaczyć powierzchnię F i objętość V pierścienia (annuloidu) powstałego przez obrót koła o promieniu a około prostej, której odległość od środka równa b jest większa od a.

78)    Jak wielkim jest moment bezwładności prostej AB o długości l:

a) względem jej punktu początkowego A,

ß) względem punktu leżącego na jej przedłużeniu w odległości a,

prostą leży na przedłużeniu prostej l

y) względem punktu P, którego rzut P' na w odległości a, a odległość od prostej równa b.

79)    Wyznaczyć potencyał prostej l ze względu na punkt P, w przypadkach ß) i y) w zag. 78 podanych.

80)    Wyznaczyć wielkość przyciągania wywieranego przez prostą l na punkt w przypadkach ß) i y) w zag. 78 podanych.

Zbadać krzywą określoną równaniami: x = t², y — t—i wykazać, że w grani-

each od x, = 0 do x₂ = 3, otrzymujemy:

81) A = -g- y/3 )    82) s = 2 y/3 >    83) Ça =    , rja =

3    72    _

85) Vx = ~tz. 86) Fx*= 8r.    87) Vy =    y/3 • «.

V/3

84)

28

cn —J

88) Fy = -g- y/3 •

Rozwiązania XLI. 4)

ax'².

6)

icy/ a²—x²

a² . x — arc sin —. 2    a

9) «*—1.

2 — 8) g" a V/

a²

a—x 1 .    . y—---

———--g- («—*) y/x(2a—x)<

X

10) Ay...x= (e —e ^a\/y² — a²-

7)

arc cós

»o!⁸.

IG) Vxi..,x₂

= 7:

|a²(x₂ —x,)

3    /*

20) Pa-,...a-j = 2ac(x₂—x,),

21) r: tang a. sec a. (x₂²—xt²).

X?y3 12 •

69)

⁰³ o

a².

70)

ab.

71) a²7r.

73)    (15—16 log 2).

74)

a²&²

315 a⁶'

<5) y/a²+6²

71

77) F = Ar.²ab, V = 2r.²a²b.

78) a)

l(3a²-\-3al-\-l²)

Z[3(«²+ó²)-t-3aZ+r²]

79) log (l+log

g+l+ y/(a+?)²+&2 a+V/ÖM^

. 80) 1 7 a

a+V b

W .

T-y arc tang ,

— arc

Literatura. Fr. Autenheimer. Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung mit zahlreichen Anwendungen aus der Analysis, Geometrie, Mechanik und Physik. 5 Auflage. Leipzig 1901. Dr. Arwed Fuhrmann: Naturwissenschaftliche Anwendungen der Integralrechnung. Berlin 1890.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Ellipsa i całki określone z nią związane.

2.    Hyperbola z uwzględnieniem całek określonych z nią połączonych.

3.    Zastosowanie całek określonych do paraboli.

Wykład XLiII.

Przykłady krzywych płaskich algebraicznych.

1. Ogólne uwagi o równaniach krzywych płaskich. Równanie między dwiema zmiennemi spółrzędnemi », y w postaci F(x, y) =0 lub y=f(x) przedstawia linię krzywą na płaszczyźnie XOY. Najprostsze spółrzędne są pro stokątne. Zamiast nich dadzą się wyprowadzić za pomocą stosownych przekształceń i inne spółrzędne, jak ukośnokątne, biegunowe i t. d. Tym sposobem otrzymamy dla tej samej krzywej rozmaite równania, każde o dwu zmiennych. Możemy także jedną z dwu spółrzędnych przyjąć jako dowolną funk-cyę trzeciej zmiennej t, uważanej jako zmienny parametr, np. x=cp (t), wtedy druga zmienna y będzie nową zmienną parametru t, np. y=ip(t). Krzywa przedstawia się wtedy dwoma równaniami parametrowemi w postaci:

(1)

x=(p{t),    y=V(t)

z których, po wyrugowaniu parametru t, otrzymujemy jedno równanie między x i y jako równanie pewnej linii krzywej.

2. Krzywe algebraiczne i przestępne. Stosownie do rodzaju równań w spółrzędnych prostokątnych punktu, dzielimy krzywe na krzywe algebraiczne i krzywe przestępne.

nem

Krzywe algebraiczne dzielimy podług stopni równań na krzywe pierwszego, drugiego, trzeciego,..., w-go rzędu. Rząd krzywej wyznacza się geometrycznie największą ilością punktów, w których krzywa przez dowolną prostą przeciętą być może. Krzywą pierwszego rzędu o równaniu ogólnem: Ax-\-ByĄ- 6'=0 jest linia prosta. Krzywemi drugiego rzędu o równaniu ogól-: au »² + o^y²-l-2a₁₂ »y + 2a₁₃»-f 2a₂₃ y-f«₃₃=0 są przecięcia stożkowe: elli-psa, hyperbola, parabola i ich odmiany. Krzywa n-go rzędu ma w swem

spółczynników i jest ogólnie wyznaczana:

równaniu ogólnem :

0 + l)(rc + 2)

n (n + 8)

punktami płaszczyzny. Krzywą przestępną przecina linia prosta

w nieskończenie wielu punktach rzeczywistych lub urojonych.

3. Wyprowadzanie równania linii krzywej z danej własności jej punktów. Mając daną własność linii krzywej, dotyczącą ruchu jej punktu, możemy wyprowadzić równanie tej linii krzywej. W tym celu należy przyjąć dowolny układ osi a daną własność przyoblec w równanie między spółrzędnemi jej punktów. Otrzymane równanie może znowu posłużyć do badania kształtu tej krzywej i do wyprowadzenia nowych jej własności.

W niniejszym wykładzie zajmiemy się niektóremi liniami krzywemi, które uzyskały pewne znaczenie historyczne i z tego powodu także szczególne nazwy.

drugiego jej końca A poprowadzimy w dowol-

4. Cissoida Dioklesa. Jeżeli w jednym końcu B średnicy AB=2a danego koła wykreślimy styczną, a z nym kierunku promień AD, który przetnie dane koło w punkcie 6, a wykreśloną styczną w punkcie D i odetniemy na tym promieniu długość: AM=CD, natenczas punkta M utworzą krzywą zwaną c i s s o i d ą Dioklesa (Diokles, geometra grecki 200 lat p. Chr., używał jej przy rozwiązywaniu zagadnienia o podwojeniu sześcianu). Jej równanie znajdziemy z warunku

.X__

•a—x a

0?

Fig. 113.

Fig. 112.

AM—CD (fig. 111), wprowadzając weń spółrzędne punktu bieżącego M. Wprowadzając spółrzędne biegunowe r i cp, otrzymamy przy biegunie A i osi biegunowej AB równości:

AM = r,

Fig. 111.

CD=AD—AC

cos cp

zatem równanie biegunowe cissoidy w postaci :

2a cos cp--=

2a sin² cp cos cp

2a sin² cp

r—---•

cos cp

Z równania tego otrzymamy równanie cissoidy w spółrzędnych prostokątnych, kładąc x=r cos cp, y—r sin cp w postaci:

(2)

}lx² + y² =

2 ay² ^x² + y²

x²+y²'

czyli x³Ą-xy²—2m/²=0.

(3)

Cissoida należy zatem do krzywych algebraicznych trzeciego rzędu.

Przedstawiwszy jej równanie w postaci:

(3')

y²

2 a—x

poznajemy bezpośrednio, że cissoida ma w punkcie A punkt zwrotu, a styczna do koła w punkcie B wykreślona jest jej asymptotą.

5. Biorąc pod uwagę, jak to czyniono w starożytności tylko oba te kawałki łuków cissoidy AP i AQ, które się mieszczą wewnątrz koła ograniczone odnośnym lukiem kołowym PBQ, (fig. 111) otrzymuje się postać, przypominającą liść bluszczu (f( idoooę), stąd też pochodzi nazwa cissoida.

6. Odcinając na

każdym promieniu OM, przecinającym styczną do koła podstawowego w punkcie D, długość DM' —DM (fig. 112) otrzymamy nową krzywą (fig. 112) o równaniu biegunowem :

2a (1 + cos² cp)

2a

+ 2a cos (p

2a(1 + cos² (p) costjp '

z którego dostajemy równanie w spółrzędnych prostokątnych w postaci: y² (2a—x) = x²{x—4a)\ krzywa ta jest także trzeciego rzędu i nazywa się sprzężoną cissoidy (fig. 112).

7. Powierzchnia A zawarta między cissoidą a jej asymptotą (fig. 111) określona jest wzorem:

czyli :

a że w cissoidzie :

r— —

cos cp

cos cp

(4)

f 2 a

J. = 2\ ydx,

x=2a sin ² cp,

2a sin³ cp

y =---

cos cp

y dx--=8a² sin⁴ cpdcp,

71

p 2a    (• ²

\ y dx = 8a² \

* 0    d₀

24    3 ₂

“le** ”“T⁸ ”

co

TT

sin⁴ cpdcp — 8a². -.

przeto A — 3a² n, t. j. trzy razy tak wielka jak powieizchnia danego koła.

8. Objętość V bryły powstałej przez obrót cissoidy około jej asymptoty (fig. 113) określa wzór:

a więc:

V= 2w

i (2«—x)² dy,

a że w cisssoidzie:

3 sin³ cp cos² gp + sin⁴ cp cos² cp

(2a —x)² dy=8a³(S sin² cp cos² -ł-sin⁴ cp) cos² cp dcp,

2a—x=2a cos² cp,

dy=2a

dcp,

71

a więc :

i' (2a—x)²dy=8a*[ (3 sin2 *!₀

cp — 5 sin⁴ cp + 2 sin⁶ cp) dcp=~

=8«²j3

1.3.5 '2.4.6

V=2n. a²n=2a:] n².

Przedstawiając znaleziony wzór w postaci:

V= a²7i.2a7i,

widzimy, że objętość bryły powstałej przez obrót cissoidy około jej asymptoty jest równa objętości pierścienia powstałego przez takiż obrót danego koła około tejże asymptoty.

9. Parabola Neila. Kształtem przypominającym cissoidę jest krzywa określona równaniem: y²—xz, zwana w punkcie początkowym punkt zwrotu, a jej asymptota leży w nieskończoności prostopadle do osi x-ów. Powierzchnia w granicach od x—0 do x ma wartość :

przeto :

tC I-*

— 5.

H CM

CO

8a³.

-=a³ Ji,

parabolą Neila (fig. 114). Ma

ona

2 ²

-x;,=-x.y,

gdzie a; i y są spółrzędnemi punktu końcowego krzywej.

-r

" o

x³l* dx=

Łuk krzywej ma w tych granicach wartość:

a objętość bryły powstałej przez obrót paraboli Neila około osi #-ów ma znowu w tych granicach wartość:

V=7t

4

¹ 2 = -jX.y²n,

X jest więc czwartą częścią objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.

Fig. 114.

10. Strofoida. Jeżeli przez punkt A na przedłużeniu ramienia 0X kąta prostego Y0X poprowadzimy dowolnie promień AC, który przetnie drugie ramię w punkcie C i odetniemy CM = CM¹ = CO, natenczas punkty Mi M‘ utworzą krzywą, zwaną strofoidą. Przyjmując ramiona kąta prostego za osie układu i kładąc 0^4 —a, OC=d, otrzymujemy na podstawie warunku: CM=OC (fig. 115) równanie:

V*² + 0—ó)²=d,

czyli :

x²-\-y² — 2óy = 0,

AJ

s i A c r\

a że :

a więc:

ó=—

ay

je--r

A'_X

a x+ a ’

przeto równanie powyższe przyjmuje kształt:

2ay> x+a

x(x² + y²)-)~a(x²—y²)~= 0.

Strofoida należy więc także do krzywych trzeciego rzędu. Przedstawiwszy powyższe równanie w postaci :

x²Ą-y²—

czyli :

(5)

Fig. 115.

x²{a+x)

y²=—--,

a—x

poznajemy wprost, że krzywa rozciąga się symetrycznie względem osi a?-ów w granicach odæ=— a do x=Ą-a, mając w prostej x = a asymptotę prostopadłą do osi a>ów.

Kładąc x=r cos cp, ysin cp, otrzymujemy:

r³(cos³ (p-\-cos (p sin³ q)) + 2ax² (cos² (p —sin² <jp) =0, r cos (p = —a cos 2(p, cos 2(p

czyli : zatem :

jako równanie biegunowe strofoidy.

Z równania tego wynika bezpośrednio, że styczne w punkcie węzłowym 0 stoją do siebie prostopadle, tworząc dwusieczne układu osi.

11. Liść Descartesa. Kształtem zbliżony do strofoidy jest liść Descar-tesa, t. j. krzywa o równaniu: x?’ ■\-y²=3axy. Krzywa ma w punkcie początkowym węzeł, którego styczne wpadają w osie układu, jest symetryczną względem dwójsiecznej kąta układu XOY, składa się z liścia o długości

r=—a

cos cp

(6)

co

równej -

A°

a jej gałęzie nieskończone zbliżają się asymptotycznie do prostej xĄ-y + a=0 (fig. 116).

Kładąc x=r cos gp, y=r sin cp, otrzymujemy równanie biegunowe krzywej w postaci:

3a cos cp sin gp

y» —-_i-

cos³ ęp + sin³ gp

Na podstawie tego równania otrzymamy powierzchnię liścia, określoną wzorem:

cos² cp sin² cp (cos³ gp + sin³ cp)

Kładąc tang cp=u, a więc sin cp

N N*

(7)

71

-^dcp.

V«²+i’

Fig. 116.

cos cp

Vm² + 1 ’

dcp=

otrzymamy :

TT

s.

² sin² gp sin² gp

2 dcp

r u² du J₀ («³+l)'a'⁼”

zatem :

tc ao

a².

(cos³ gp + sin³ cp)

Taką samą wielkość ma powierzchnia zawarta między obu gałęziami nieskończonemi a asymptotą liścia Descartesa.

12. Konchoida Nikomedesa. Jeżeli z danego punktu A wyprowadzimy dowolny promień AB, który przetnie daną prostą MN w punkcie B i ode-tniemy na nim po obu stronach punktu B stałą długość BM = BM‘=a, tenczas punkta M i M‘ utworzą krzywą, zwaną konchoidą Nikomedesa.

oś x-ów

na-

Przyjmijmy daną prostą za oś y-ów (fig. 117),

a prostopadłą AO za

M’

M’

Z" 5 A\r1^

7    [°⁻?

—A-

!B

U»

Fig. 117.

Fig. 118.

Fig. 119.

początek układu, natenczas, kładąc OA=b, OB=6, otrzymamy :

£²4-(?/_<5)²=a², gdzie: -y = V

a punkt O za

BM^ix²+(y-ó)\

czyli: 0= -; wstawiwszy tą wartość J    b + x

otrzymamy :

zatem równanie :

bĄ-x

w powyższe równanie warunkowe

^+{y-

ly )_«•

czyli: Æ²-f-

xhz²

(& + ÎC)²

—a², a stąd x²y²=(a²—#²)(& + a;),²

jako równanie szukanej krzywej. Konchoida Nikomedesa należy do krzywych czwartego rzędu. Z powyższego równania otrzymamy:

(a²—x²) (b +x)²

y²

czyli: y=

(8)

Krzywa mieści się między dwiema równoległemi do osi y-ów przecina jącemi oś ir-ów w punktach —« i + or, posiada asymptotę w osi «/ ów i ma jeden z trzech kształtów następujących:

1)    a—b konchoida zwyczajna (fig. 117);

2)    a<Zb konchoida skrócona (fig. 118);

3)    n^>b konchoida wydłużona (fig. 119).

Konchoidy Nikomedesa używano do podziału kąta na trzy równe części.

Mając mianowicie podzielić kąt AOB—a na trzy równe części należy przez punkt B na kole AOB poprowadzić tak prostą BD, aby odcinek DC był równy promieniowi koła,

wówczas kąt ADB=-^r AOB (fig. 120). Punkt C jest tedy punktem przecięcia

o

choidy Nikomedesa z kołem.

13. Konchoida Pascala. Jeżeli z punktu A danego koła o średnicy 2a wyprowadzimy dowolną prostą AB, która przetnie koło w punkcie B, i ode-tniemy na niej stałą długość BM=b, natenczas punkta M utworzą krzywą, zwaną konchoidą kołową, albo też ślimakiem Pascala.

Przyjmijmy dany punkt A za biegun, a prostą AX za oś biegunową, natenczas punkt M będzie miał spółrzędne AM=r, X.MAX=(p (fig. 121). Otrzymamy wtedy:

zatem równanie konchoidy Pascala w postaci r— 2a cos g>=b, czyli:

r=2a cos cpĄ-b.

Fig. 120.

>A

BM=AM— AB=r—2a cos cp,

(9)

Kładąc #=rcos cp, y=rsin (p, zatem r=^x² + y², cos <P

2 ax

Vx²+y

{x²-\-y²—2 ax)²=b(x²+y²),

otrzymamy : czyli :

^x²+y²=

V*²+y²

■\~b, a więc x²-\-y² = 2cix+b^x²-\-y²,

(10)

►A-

Fig 122.

Fig. 128.

Fig. 121.

jako równanie konchoidy Pascala w spółrzędnych prostokątnych. Konchoida Pascala należy, jak widzimy, do krzywych rzędu czwartego.

Chcąc wykreślić tę- krzywą, musimy odróżnić trzy przypadki:

1) b <(2a (fig. 121) konchoida wydłużona; 2) b=2a (fig. 122) konchoida zwyczajna; 2) b^>2a (fig. 128) konchoida skrócona.

W każdym z tych trzech przypadków jest krzywa symetryczna względem osi x-ów i jest w pierwszym przypadku owalem z jednej strony zgniecionym, w drugim ma kształt przekroju serca i nazywa się też kardioidą, w trzecim ma w wierzchołku A punkt węzłowy.

14. Kardioida. Szczególny przypadek konchoid Pascala, odpowiadający warunkowi i = 2a, tworzy kardioida (fig. 122), której równanie biegunowe przedstawia się w postaci: r=2a(l + cos cp).

Powierzchnia całkowita kardioidy ma wartość:

co

czyli: A = 6a²?r,

Cn    7

v4=\ 4a²(l -ficos <p)²ć?qp— 4a².

Jo    ^ jest więc sześć razy tak wielką jak powierzchnia koła, użytego do kon-strukcyi kardoidy.

15. Krzywe Cassinie’go. Krzywemi Cassini e’ go nazywamy miejsce geometryczne punktów, których odległości od dwu stałych punktów dają stały iloczyn. Niech będą F, i F₂ (fig. 124) dwoma stałymi punktami, zwa-nemi ogniskami, w odległości F₁F₂ = 2c, a M dowolnym punktem szukanej krzywej, natenczas mamy warunek: il/F, . MF₂ = a², czyli : ri r₂ = a², gdzie a² jest stałą liczbą dodatnią.

X.....*

Fig. 12B.

Fig. 124.

Z powyższego określenia krzywych Cassi-nie’go wypływa wprost sposób konstrukcyi dowolnego punktu szukanej krzywej, oparty na \/\ twierdzeniu planim etrycznem, że iloczyn odcin-J ków każdej cięciwy, przechodzącej przez pewien y punkt wewnątrz koła, jest ilością stałą równą kwadratowi połowy najkrótszej cięciwy przez tenże punkt przechodzącej. Wykreślmy .zatem w Fi prostą prostopadłą do Fi F₂ o długości FxG—a (fig. 125) i wykreślmy z punktu 0 jako ze środka koło o promieniu OG, a przez F, dowolną cięciwę BE, natenczas będzie: F,Z). F₁F=F₁ ćr²=a². Odcinki FXD i F^E mogą więc być przyjęte jako promienie wodzące punktu M szukanej krzywej. Wykreślając zatem z punktu Fi} jako środka, łuk promieniem FiD, a z punktu F₂ jako środka łuk promieniem F₂E, otrzymamy w punkcie przecięcia tych łuków punkt M szukanego miejsca geometrycznego o warunku 71/F, .MF₂—a². Chcąc otrzymać równanie szukanej krzywej, przyjmijmy środek O odległości ogniskowej F,F₂ za punkt początkowy układu, a prostą F, F₂ za oś x-ów (fig. 114), natenczas otrzymamy:

MF₂^y²+(x-ć)2 [y² +    + c)²]. [y² + {x—c)]² = a\

MFx <= ]jy² -j- (æ + c)²,

(U)

a więc równanie :

jako równanie krzywej Oassiniego Krzywe te są, jak widzimy, krzywemi czwartego rzędu, a ich kształt zależy od stałych a i c. Zi powyższego równania otrzymujemy następujące:

(x²-\-y²-\-c²)²—4c²æ² = «⁴, a stąd równanie: y²=—(æ²-f-c²)-rYa⁴+4c²æ²,    (12)

— 673 —

które dowodzi, że krzywe Cassinie’go są symetrycznemi względem osi æ-ôw. Każdej wartości na x odpowiadają dwie wartości na y, równe a przeciwnego znaku, które są jednak rzeczywiste tylko wówczas, gdy:

^a^+4:C²x² ;> x²+c², a więc gdy ai+4x² c² (x²-\-c²)², czyli, gdy xi—2c²x² -|-c⁴ <C«⁴, a więc gdy (x²—c²)²<C«⁴.

Krzywa Cassiniego przecina więc oś z-ów, gdy będzie (x² + c²)²=ai) czyli x²—c²=-ł-a², a więc gdy będzie x²=c²+a², jako też gdy będzie x²=c²—a², zatem w czterech punktach xi} 2=±Vc2 + *²}    #₃,₄=dcVc² — a². Dwa z tych

punktów określone wzorem x = ±^c²-]-a² są zawsze rzeczywiste; krzywe Cassiniego są więc zawarte wewnątrz koła o promieniu )Ja²-\-c². Drugie dwa punkta określone wzorem: x*= -ł-\'c²—q² są rzeczywiste i różne, gdy q<Cc; rzeczywiste i w jeden punkt wpadające, gdy a=c; urojone zaś, gdy a^> e. Istnieją zatem trzy główne postacie krzywych Cassini’ego:

1 ) a <C.c Dwuowal Cassini’ego (fig. 126);

2)    tt—c Lemniskata Cassini’ego (fig. 127);

3)    a^>c Pojedynczy owal Cassini’ego (fig. 128).

Dl

V

{•

Ni

\i

Fig. 127.

Fig. 126.

Fig. 128.

16. Celem zbadania kształtu pojedyńczego owalu wyznaczmy jego najwyższe i najniższe punkta. W tym celu otrzymamy z równania:

y²=-(x²-j-c²)-i~}ai-\-4c²x²

różniczkę :

2y dy= | — 2x +    4c²x²^    ² 8c²a;Jcfa:,

2 c²x

Va⁴+4 c²x²

I-

stąd pochodną:

dy

dx

2c ²x — xfa⁴ -f- 4c² x2 y^ja^Ą- 4c²x²

która staje się równa zeru, gdy:

2c²x—x\a!i+4:C²x²=0, czyli gdy æ[2c²—Ya⁴+4c²:r²]=0,

a więc zarówno gdy :

a) x=0, jako też gdy: ß) Ya⁴ + 4c²a?²=2c², czyli a⁴-ł-4c²a:²=4c⁴, 4c⁴—a⁴

a więc gdy :

x² =

4c²

zatem : x=zi

^4c⁴—a

2c

Pojedynczy owal Cassini’ego ma więc styczne równoległe do osi z-ów w trzech punktach, odpowiadających odciętym:

43

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. ïom II.

Do owalów wypukłych należy też koło (fig. 131), któremu odpowiada c=0, a równanie x²+y² = a².

17. Wprowadziwszy spółrzędne biegunowe r i cp i przyj ą wszy biegun w środku O ogniskowej Fi F₂, otrzymamy z równania krzywych Cassiniego, przedstawiającego się w postaci: (cc² iry² + c²)²=ai-\-4:C² x² następujące:

czyli : a stąd : zatem :

(r²-fc²)²=a⁴+4c² r² cos² cp, r4_p2r² c² (1 — 2 cos² cp) = ai— c⁴, r⁴—2r²c² cos 2<p = tt⁴—c⁴, r²=c² cos 2y-4~Yq⁴—e⁴ sin² 2<p jako równanie biegunowe krzywych Cassini’ego.

18. Lemniskata. Szczególny przypadek krzywych Cassiniego tworzy krzywa, dla której c = a, zwana Lemniskatą (fig. 127).

Jej równanie w spółrzędnych prostokątnych otrzymuje na podstawie równania (11) kształt:

(13)

(14)

e\m

Fig. 129.

Fig. 130.

Fig. 131.

V 4 c⁴—a⁴

2) *1 = 4—ic

3) xz

\4c⁴

1) *1“0,

Ostatnie dwa punkta są rzeczywiste tylko wówczas, skoro «⁴<C4c⁴, czyli skoro a²<C2c², a więc skoro a <C . Mamy więc trzy rodzaje poje-dyńczego owalu, zwanego niekiedy ellipsą Cassiniego :

1)    Owal wklęsły c<(a<ic^2 (fig. 128);

2)    Owal płaski c <Z ci=c^2 (fig. 129);

3)    Owal wypukły a^>c^2 (fig. 130).

\/l

r# 17^

rw    i

(x²-\-y²)²—2a² (x²—y²) = 0,

skąd otrzymujemy jej równanie biegunowe w postaci:

r²=2a² cos 2cp.

Powierzchnia wycinka jej owalu otrzymuje wartość: •

A...

==- -\*r²dcp=a2<\* ‘'o

to

cos 2cpdcp=

y sin 2cp, zatem: A₀,..n=—

a więc całkowita powierzchnia owalu jednego: A—a².

19. Róża czterolistna. Po ramionach kąta prostego YOX poruszają się końce prostej AB, mającej stałą długość 2a. Wykreśliwszy z wierzchołka O prostą OM prostopadłą do prostej ruchomej AB, otrzymamy jako miejsce

geometryczne punktu M (fig. 182) krzywą, którą nazywamy różą czterolistną (fig. 183).

równości :

równanie :

Przyjmując punkt O za biegun, a ramię OX za biegunową i oznaczając przez r i cp spółrzędne biegunowe punktu M, otrzymamy na podstawie OM= OA cos <jp, OA=AB sin (p=2a sin <jp, r=2a sin cp cos ęp,

czyli: r=a sin 2gp, jako równanie biegunowe szukanej krzywej, zwanej różą czterolistną, albo także korollą. Z równania powyższego wynika bezpośrednio kształt krzywej (fig. 133). Krzywa składa się z czterech liści o długości stycznych do ramion kąta prostego. Przyjmując ramiona kąta prostego za osie układu prostokątnego, otrzymamy z równania biegunowego równanie :

.Ci

Fig. 132.

2 axy

x² + y

Fig. 133.

czyli: (x²-\-y²)³=4:a² x² y²,

(15)

jako równanie krzywej w spółrzędnych prostokątnych.

Róża czterolistna jest więc krzywą algebraiczną szóstego rzędu i posiada w punkcie O punkt czterokrotny.

17. Astroida. Prosta AB=0 poruszająca się swymi końcami po ramionach kąta prostego YOX obwija krzywą, zwaną astroidą. Oznaczając od-

cinek OA wyznaczony na (fig. 132) zatem równanie prostej ruchomej w postaci:

osi x-ów przez c, otrzymamy odcinek OB=\a²—tf²,

c V«²—c²

fr

g.

Ir

Różniczkując to równanie względem zmiennego parametru c, otrzymamy:

—°L

c² ^

cy

(a²—c²)³/*

=0, stąd równe stosunki:

Jl

Fig. 134.

--b __

c    y«²—c²    i

(a²—c²)®/*    c²-fa²—c² a³’

z których wypada: c³=a²x; (a²—c²)³l*=a²y, c — al*x'l³} (a²—c²)il*=atl»y¹l³-

c³

zatem :

Wstawiwszy te wartości w równanie prostej ruchomej, otrzymamy

(16)

równanie :

fig. 134. Równanie astroidy możemy zastąpić

jako równanie obwiedni danego układu prostych. Krzywa ta zwana astroidą jest symetryczną względem osi układu, posiada cztery punkta zwrotu i ma kształt przedstawiony na

dwoma równaniami parametrowemi w postaci:

#=acos³(jP, y=a sin³ cp,

które możemy z korzyścią używać przy zastosowaniu całek określonych do

astroidy.

Równanie astroidy sprowadzone do wymierności przedstawia się w po-

staci:

(se² + y²—a²)³ -{-27a² x² y²=0, która dowodzi, że astroida jest krzywą algebraiczną szóstego rzędu. Powierzchnię astroidy wyznacza wzór :

a że :

f a    f 0

j yd.z=4a²j

n

= 12a²f sin⁴ cp ^0

sin³ cp. 3« cos² (p sin (pdrp =

cos

71

71

rT .

²cpdcp= 12a²\ (sin⁴ (p—sinf) cp) dcp,

sin⁴ cpdcp =

i .3 n 2.4 ' 2

sinG cp d(p =

1.3.5

2.4.6’

tc a

przeto otrzymujemy :

A = l2a².

1 .3

2.4.6’

czyli: A =

00 co

a² u.

Całkowita powierzchnia astroidy zajmuje zatem

astroidzie opisanego.

Długość łuku astroidy określa wzór:

CO 00

powierzchni koła na

C<p

s = 3«\

sin cp cos cp dcp=— sin² cp, stąd wynika, że całkowity obwód astroidy :

71

« 4.3af² . ₂

⁵bsTJ₀8111 y

jest więc sześć razy tak wielki, jak promień koła opisanego na astroidzie.

Całkowita objętość bryły opisanej przez obrót astroidy około osi y-ów przedstawia się wzorem :

4.3a

~2-=ba’

71

F=2 .Ti

\ x²dy=n\ J o

a² cos⁶ y>.3asin² gpcos cpdcp=

71

71

cos⁷ cp sin

f²

² cpdcp—6a³7i\

(cos⁷ cp—cos⁹ cp) dq),

a że :

f (cos7 *^0

cp—cos⁹ cp) dcp

2.4.6

3.5.7

2.4.6.8

3.5.7.9

2.4.6

3.5.7.9

677

otrzymujemy przeto:

F=6a?yr.

2.4.6

32

3.5.7.9

105

a*n, czyli: F=gg.

cP n,

t. j. równa ~ obiętości kuli o promieniu a.

OD

Całkowita powierzchnia bryły powstałej przez obrót astroidy około osi y-ów przedstawia się natomiast wzorem :

71

2 n\l •'o

x ds

= 4 n[

•'o

a cos³ cp. 3a sin cp cos cp d(p = 12a²7i\ cos⁴ cp sin cp dcp =

*^o

71

= 12 a²n

czyli: F=

3

g .4jest więc równa

!.(

cos⁵ cp\

5 )

12 a²n

3

_ powierzchni kuli o promieniu a.

21. Skarabea jako uogólnienie róży czterolistnej. Jeżeli prosta AB o stałej długości 2a porusza się swemi końcami po dwu prostych prostopadłych OA i OB,

OP=b wykreślimy prostopadłą PM do prostej ruchomej AB (fig. 135), natenczas punkta M utworzą krzywą, którą nazywamy skarabeą (chrabąszcze m). Przy-jąwszy punkt P za biegun, a dwusieczną OP za oś biegunową, otrzymujemy jako spółrzędne biegunowe punktu M: MP=r, X MPX=cp. Wykreśliwszy z punktu O prostą OC prostopadłą do AB, otrzymamy:

OC= OP. cos cpĄ-r=b cos cp-\-r, r— OC—b cos (p.

Aby wyznaczyć długość OC połączmy

a z punktu leżącego na dwusiecznej kąta prostego w odległości

' US

/<F

Si

Fig. 135.

czyli :

środek B prostej AB z punktem O, a otrzymamy :

D0=DB--=DA=^a,

/V

_,u

Vf

li

B⁻ B"

%_BOC=-&DAO = 'A.DOA = ?i—‘ï<p₎

X C0D=⁽2cp, zatem:

0C= OD. cos 2cp=a cos 2(p, r=a cos 2cp—b cos cp, jako równanie biegunowe szukanej krzywej (fig. 136).

Wprowadzając spółrzędne prostokątne, a więc kładąc :

a więc:

a więc :

r='\jx²+y²,

cos cp =

'li

<r 2_nj 2

cos 2ęp= — i

otrzymujemy :

^x²+y² =

a więc: czyli :

Fig. 136.

■ (x²-\-y²yh {x2jry²-{-bx)—a (x²-\-y²) {x²-\-y²) {x²-{-y²-\-bx)²=a²{x²—y²)

a {x²—y²) x²Ą-y²

bx

1jx²-\-y2>

to

jako równanie krzywej w spółrzędnych prostokątnych. Skarabea jest więc krzywą algebraiczną rzędu szóstego. Jeżeli 6 = 0, natenczas równanie biegunowe krzywej sprowadza się do postaci : r=a cos 2<p, która przedstawia różę czterolistną jako szczególny przypadek skarabei.

22. Róże wielolistne. Dalszem uogólnieniem pojęcia róży czterolistnej są róże wielolistne, t. j. krzywe, określone równaniem biegunowem ogólnego

(18)

typu:

r=a sin ncp.

Krzywe tego rodzaju leżą wewnątrz koła o promieniu ft, zwanego kołem podstawowem róży. Jeżeli n jest liczbą całkowitą, to krzywa składa się z 2n lub n liści oddzielnych, stosownie do tego, czy n jest liczbą parzy-

stą, czy też nieparzystą; jeżeli w jest ułamkiem —, tedy liście krzywej nakrywają się nawzajem, tworząc niejako q warstw liściowych ; warstw tych jest nieskończenie wiele, gdy spółczynnik n jest liczbą niewymierną. Wszystkie liście róży r== a sin ncp są symetryczne względem największego swego promienia równego ft.

Powierzchnia każdego takiego liścia otrzymuje wartość:

czyli :

i fn    ft²r”

Ä=Y) r2d(p== 2J s[n2fl(Pd(P⁼ ń

.    1 a² 7i

A=—.—j—. n 4

ft² 71

sin 2ncp) = ^

Ćwiczenia XLII.

1) Znaleźć długość łuku cissoidy x(x²+i/²)—2a#² = 0 w granicach od xt = 0 do x₂ =x.

2)    Wykazać, że różnica między całkowitą długością cissoidy a jej asymptotą jest skończoną, równą 2«V/3 .log (2+Y/3)—4«.

3)    Wykazać, że powierzchnia zawarta między cissoidą y² (2a—x)—x³ = 0, 'osią æ-ôw

3 ,

i jej asymptotą: 4 = -g-a²rc.

4)    Wykazać, że środek ciężkości pola zawartego między cissoidą a jej asymptotą dzieli odstęp między wierzchołkiem cissoidy a jej asymptotą w stosunku 5:1.

5)    Znaleźć objętość bryły powstałej przez obrót cissoidy około prostej przechodzącej przez wierzchołek cissoidy równolegle do jej asymptoty.

6)    Wykazać, że łuk cissoidy x = 2a sin² <P, y = 2a sin² <P tang V ma w granicach od ^,==0 do Vi=V> wartość:

3 log [\/3 cos 9°-}- y/1+3 cos² 9e]—2+y/3 log (2+y/3 ) j.

.=2»{m-⁸

l cos <P

7)    WTykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót cissoidy x³=?/²(2a—x) około osi x-ów ma w granicach od Xj = 0 do x₂=x wartość:

V= « {üa* log ^

8)    Wykazać, że objętość powstała przez obrót cissoidy x³=y²(2a—x) około jej asymptoty ma w granicach od x₁=0 do x₂=x wartość:

V = a³n arc cos ———--r(3a²—5ax+x²) y/2ax—x².

a o

9)    Wykazać, że powierzchnia bryły powstałej przez obrót cissoidy ?/²(2a — x) = x3 około osi x-ów ma w granicach od xt = 0 do x₂= x wartość:

F — 2 an

cos² T

4a²x—ax² —

031 I-¹

x³}.

/x—4 a

ax—3x² +

Y/3

arc cos

3x—4 a

8 a \

y/îf T

679

10)    Wykazać, że całkowita objętość bryły powstałej przez obrót cissoidy około jej asymptoty ma wielkość: V =2r.²a³.

11)    Znaleźć podstyczną i podnormalną cissoidy y²(2a—x) — x³.

12)    Wyznaczyć ewolutę cissoidy: cc(a:²-^y²)—2ay² = 0.

Zbadać kształty krzywych:

2a sin² <P cos (5°+*) ’

14) r = a sin <P—

13) r =

czyli: (cc²-f y²) (x cos a —y sin a) = 2ay² (cissoida skośna);

czyli: x(x'i-\-ijv) = y(ax—cy), (ofiuryda czyli węży ogon).

c sin² <f cos V ’

15)    Wyznaczyć łuk paraboli Neila ay‘ż = x³ w granicach od xx = 0 do x₂ ==x.

16)    Dane są dwie proste równoległe l i V, a na pierwszej z nich punkt A, wykreślmy poprzeczną AB i wyznaczmy na AB punkta styczności Pt i P₂ kół, które są zarazem styczne do prostych l i Z', wykazać, że punkta Pt i P₂ tworzą strofoidę.

17)    Obliczyć: a) powierzchnię zawartą między gałęziami strofoidy a jej asymptotą; ß) powierzchnię owalu strofoidy.

18)    Na osi YY‘ dane są dwa punkta A(0, ß), A’(0, —ß), a na osi XX¹ punkt C(—a, 0). Wykazać, że skoro przez punkt C przeprowadzimy styczne do kół przechodzących przez punkta A i A¹, natenczas punkta styczności P tworzą krzywą o równaniu :

tf(>²+«/²)+ß0²— y²)-f«²0H-y) = 0,

zwaną panstrofoidą.

19)    Zbadać kształty krzywej określonej zag. 18 dla różnych wartości stałych a i ß.

20)    Porównać kształty krzywych :

' a-\-x —3x

21) Dany punkt 0 i prosta l. Poprowadźmy przez punkt 0 promień OM, który przetnie prostą l w punkcie M i odetnijmy na tym promieniu od punktu M począwszy taką odległość MP, aby było OM. MP — A;², znaleźć miejsce geometryczne punktu P.

22)    Zbadać kształt krzywej zag. 21 określonej i wyprowadzić jej równanie w spół-rzędnych prostokątnych.

23)    Zbadać kształt krzywej określonej równaniem:

xy² = a(ar-fy)²,

zwanej krzywą Rolle’go.

24)    Zbadać krzywą o równaniach x — a-\- b cos 9°, y — a tang <P-j-6 sin <p.

25)    Wykazać, że powierzchnia konchoidy Nikomedesa: r = a sec wĄ-b, ma w granicach od 9^=0 do <P₂—<P wartość:

A = ~ |o² tang <f-\-2ab log tang 4- ^■)}+&25D-

26)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót konchoidy xy = {a-\-y)\/łP^-y^ około osi a?-ów w granicach od 3^=0 do x₂ = x ma wartość:

7/    7C

V = —g--ab³n arc sin — -f- — (&²—y²)¹^ (y²-j-2ź>²).

ma war-

27)    Wykazać, że całkowita powierzchnia liścia Descartesa: 3;³-f-y³ = 3axy tość: A = —- a².

u

28)    Wykazać, że całkowita powierzchnia kardioidy: r == a (1-fcos <P) ma wartość.

te -s

29)    Wykazać, że łuk kardioidy r = a(l-j-cos 9P) w granicach od Tj —0 do q»₂= <P ma wartość : s — 4a sin

Ęs — — — a,

’"“s8.

680

rzędne :

80) Wykazać, że obwód kardioidy r — a(l-|-cos 9>) jest równy Ga.

31)    Wykazać, że łuk kardioidy r = o(l+cos^) ma w granicach od <PX do 9^ wartość:

s = 8a ^cos — cos

TZ    f

32)    Wykazać, że łuk kardioidy w granicach od    9°2— ^ ma wartość:

s = 80 ^1

33)    Wykazać, że środek ciężkości połowy obwodu kardioidy: r=a( 1—cos 9°) ma spół-

!)•

V/2

)•

34) Wykazać, że powierzchnia konchoidy o równaniu biegunowem :    ^

ma w granicach od do 9P₂ wartość:

A = ~ j ja² V-\-2ab log tang    2 tang²

35) Wykazać, że powierzchnia zawarta między krzywą donny Agnesi : xy = 2a\/2ay—y‘l a jej asymptotą jest cztery razy tak wielką jak powierzchnia koła tworzącego.

86) Wykazać, że całkowita objętość bryły powstałej przez obrót krzywej Agnesi xy— 2a\/ 2ay—y² około jej asymptoty ma wartość F=4rc²a³.

37) Wykazać, że w konchoidzie Pascala: r — a cos9P-f&, gdy a>w powierzchnia wewnętrzna :

a zewnętrzna :

A = -^-{(a²+2i²) (;i—a)—36 V/«²-*² } , A = -2"|(a²-|-26²)a-j-3ó \/a²—6² |

, gdzie a = arc cos

(-*)•

88) Wykazać, że powierzchnia wycinka lemniskaty: r² = a² cos 29P ma wartość:

et²

A = (sin 2^2 - sin 2⁽Pi ).

39)    Wykazać, że powierzchnia astroidy: x = a cos² <P, y = a sin² <P ma w granicach od

3

3^=0 do x₂=a wartość: 4 = ^«²x, a odpowiedni łuk astroidy:

40)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót astroidy x — a cos² <P, y— a sin² 9°

^ a³rc, a odpowiednia

~2

około osi x-ów ma w granicach od x = 0 do x = a wartość: V

105

g

powierzchnia bryły : F =    a"¹-*.

a sin² V ?/~2-]-sin f

41) Zbadać kształt krzywej określonej równaniami parametrowemi : x = a cos <P, i wyprowadzić jej równanie w spółrzędnych prostokątnych.

42)    Dane koło o środku C i promieniu a i punkt O w odległości d od C\ dowolny promień przez O poprowadzony przecina koło w dwu punktach M i N, jakie jest miejsce punktu F tegoż promienia, jeżeli OP=MN.

43)    Oznaczając przez r, i r₂ odległości punktu M od dwu stałych punktów Fx i /y2 znaleźć miejsce punktów, dla których suma arx-\-$r₂ — a jest ilością stałą.

44) Wykreślić krzywą: y — \/2a²—x²-j-\/a²—*² i obliczyć całkowitą powierzchnię

jej owalów.

Zbadać krzywe określone następującemi równaniami parametrowemi i podać ich konstrukcyę i równania w spółrzędnych prostokątnych :

45) x — a cos <P, y = b cotg 9⁰ ;

47) Dane są trzy punkta A, B, C znaleźć punkt P tak, aby APB — APC.

46) x — a sec 9°, y — b cosec 9°.

- 681 —

48) Zbadać różne kształty krzywej określonej zag. 47.

Zbadać kształty następujących krzywych: a cos <P cos 9® - sin <P

51) Zbadać kształt i konstrukcyę krzywej, określonej równaniem biegunowem:

r = a cos 29°— b cos <P.

49) * =

Ą- b cos <P, y — b sin V ;

cp

50) r=-j sec-=-.

Cp

52) Zbadać kształt i podać konstrukcyę krzywej r — a-j-2a sin

Rozwiązania XLII. 1) s

— a j (2a—x)^

8 a—?>x

2 a—x

dx.

5) V = lOrc²«³.

11) V—

x(2a—x)

, N' =

a:² (3 a—x

(2a-*)²

12) 27«/⁴-|-llö2a²«/²-f-4096a³* = 0.    13) fig. 137.

14) fig. 138.    16) fig. 139. .

i7) a)2I?VS&’

» »r_-v

18) fig. 142.

___'

-i*—»

Fig. 137. Fig. 138. Fig. 139. Fig. 140.

Fig. 141.

20) a) strofoida, ß) liść Descartesa. 21) O biegun, OX J_ l biegunowa, odległość O od Z równa a (fig. 143), to a(r cos <P—a) = k² cos² 9°, konchoida Sluze’go.

22) a(x—a){x²-\-y²) — k²x².

41) (x²-\-2ay—a²)²—y²(a²—x²) = 0 krzywa formy piroga (fig. 144).    42) r = a\/a¹—d² sin² 9P

lemniskata Booth’a (fig. 141).    43) Owale Kartezyusza. 44) Liście Bernouille’go (fig. 145)

24) konchoida Nikomedesa.

A — a² Tc.

a²

b²

#2 ^ 46) —j 4--g 1 krzywa krzyża

⁴⁵) ^2 — Yi =1 krzywa w§Sla (fig-¹⁴⁰)-

47) Kładąc AB — a, AC—b, BAC—a X~ BAG — « przyjmują proste AB i AB osie układu otrzymuje się :    (ay—bx) {x²-\-y²-\-2xy cos a)—ab (y²—x²) = 0.

(fig. 146).

za

-V

'•'i?

__Ł

\'

Fig 142.

Fig. 143.

Fig. 144. Fig. 145. Fig. 146.

Fig. 147.

a²

49) (xy-\-b²—y²)² = (x-\-y—a)²(a²—y²) muszla Dürera.

(trój sieczna).

62) (x²-\-y²)(x²-\-y²—a²)² = 4a² (x²-f-?/²—2a*)² (Nefroida) (fig. 147).

Literatura. Dr. G ino Loria: Spezielle algebraische und transcendente ebene Cur-ven. Nach dem Italienischen bearbeitet von Fritz Schütte. Leipzig 1902.

50) (x²-\-y²) (a²—y²) = Trisektrysa

51) (x³-{-y²) (x²-\-y²Ą-bx)² — a²{x²- y²) (chrabąszcz).

lematy do rozprawek naukowych:

1)    Cissoida, strofoida i ich uogólnienia.

2)    Konchoidy Nikomedesa i Pascala.

3)    Krzywe Cassinie’go i ich uogólnienia.

Wykład XLiIII.

Przykłady krzywych płaskich przestępnych.

więc krzywą, określoną równaniem:

1. Krzywe logarytmiczne. Krzywą logarytmiczną nazywamy krzywą, w której odcięta x każdego punktu jest proporcyonalną do logarytmu rzędnej y tegoż punktu

lub y=nem.

x = m log —,

Ogólnie piszemy równanie krzywej logarytmicznej w postaci :

X

(1)

y=U~a.

Krzywa przecina oś y-ów w punkcie B, gdzie OB=b, zbliża się nieograniczenie do dodatniej części osi ic-ów, która jest jej asym-ptotą. Podstyczna w każdym punkcie tej krzywej jest stalą, równą a (fig. 148). Powierzchnia zawarta między dwiema rzędnemi ma wartość :

r®» cx* _ ł

- A= \ y dx=b\ e « dx, czyli: A=a(yi—y₂),

X    J xt    J xt

Fig. 148.

jest więc równa różnicy rzędnych, pomnożonej przez długość stałej podstycznej. Dla a;₂=oo mamy y₂= 0, zatem A = ay, powierzchnia nieograniczona zawarta między krzywą, jej asymptotą i jedną rzędną jest więc równa powierzchni prostokąta, którego bokami są ta rzędna i stała podstyczna.

Objętość powstała przez obrót tej krzywej około osi x-ów ma w granicach od 2^=2; do x₂ = cc wartość:

V=T€

Coo    2x

\ b⁷e~~* dx=

J x

ab²

2*

czyli: V=y²7r.~

jest więc równa objętości walca, którego podstawą jest koło opisane przez rzędną «/, a wysokość równa połowie stałej podstycznej.

Objętość tej krzywej powstała przez obrót około osi y-ó w ma w granicach od 0 do y₂=b wartości:

V=n\b x²dy----— f°

Ja    « Joo

x    0    _ x

~ a dx=bn (xïJrelax-\-2a²)e a

czyli: V=a²n.2b,

jest więc równa objętości walca, którego podstawą jest koło o promieniu równym stałej podstycznej, a wysokość równa podwójnej rzędnej krzywej w punkcie początkowym.

xL e

2. Linia łańcuchowa. Tak nazywamy linią krzywą określoną równa

niem :

*)•

a ( Ü .

y=-^-l e« +e

Postać tę przyjmuje nić zawieszona w dwu punktach końcowych, pod założeniem, że ciężar nici jest proporcyonalny do jej długości. Geometry-

(2)

p,

/s = pp

M'

At

V,

P<

*--l i

i-’

I*

Fig. 149.

Fig. 150.

Fig. 151.

cznie określa się ją tą własnością, że długość łuku liczonego od jej najniższego punktu C jest proporcyonalną do tangensa kąta a, jaki styczna

dy

w końcu łuku tworzy z osią #-ów (fig. 149), a więc wzorem: s=a tang a=a-j~.

ÖjX dy

Z własności tej otrzymujemy stosunki: — =— = .. ... — ,

a s    ]s² + a²

ds

Mamy więc z jednej strony: dx=a

ds

zatem :

a więc:

przeto:

ea +e

-    s+^s²+a

ea =---

s

2 V^+q²

Vs² + a²’

^ s—Ys² + a²

a więc : Ys²-fa

- = log a

ä+V s² + a²

z drugiej strony zaś: dy =

\s²-\-u

zatem otrzymamy szukane równanie w

/ *

a / — ,

⁼i(e‘+s

a więc: î/=Vs²-fa²,

;)

postaci: y=-^ea-fe aj.

fcâ’ + c «J może być też określona jako miejsce geometryczne środków cięciw równoległych do osi y-ów (fig. 150) zawartych między krzywemi logarytmicznemi :

Linia łańcuchowa :

1 /

₂ (?i +&)•

ft. Jest bowiem : y=

Wykreśliwszy w każdym punkcie P linii łańcuchowej styczną PM i odcinając na niej długość PM równą łukowi liczonemu od wierzchołka C krzywej łańcuchowej s=CP, otrzymamy jako miejsce geometryczne punktu J/, czyli jako odwiniętą linii łańcuchowej, nową linię krzywą zwaną trak-try są (fig. 151).

Łuk krzywej y=—[    + e

y₂=ae

aj w granicach od ^=0 do#₂

=x ma wartość :

S=- (J

cc a

e “l=Vy²

'■-a²

możemy więc go wyznaczyć konstrukcyjnie, kreśląc z punktu 0 jako środka koło o promieniu a, styczna do tego koła wykreślona z punktu Q obranego osi y-ów w odstępie OQ = y, ma długość: QT=^y²—a², a jej kierunek oznacza właśnie kierunek stycznej w punkcie P{x, y) linii łańcuchowej, jest

na

dy

bowiem tang

(XX

— —\    s

e aj=—. Prosta MP‘ jest równoległa do TQ

wyznacza kierunek i długość stycznej w punkcie M traktrysy równą promieniowi a koła pomocniczego.

Oznaczając przez x, y spółrzędne punktu M traktrysy, odpowiadającego punktowi P linii łańcuchowej i oznaczając przez cp kąt jaki styczna MP‘ w punkcie M traktrysy tworzy z dodatnim kierunkiem osi z-ów otrzymamy :

MM*

tang cp =—

y a²—y²

zatem równanie różniczkowe traktrysy w postaci:

31‘P‘

dy

dx

V a²-y²

Z równania tego dostajemy:

---—dy, kładąc a²—y²=z², otrzymujemy : dx— — ₂,

y '    &

x=a log a+la2~É^ Y

y

dx

przeto :

jako równanie traktrysy, która jest, jak widać, także krzywą przestępną. Powierzchnia traktrysy w granicach od 2^ = 0 do#₂=oo przedstawia się

wzorem :

j₀    j₀    .|o\    "    "

• y \

arc sin -— I a )

A a2jl

zatem : A =—j— 4

jest więc równa ćwierci koła pomocniczego.

3. Krzywe goniometryczne, a w szczególności krzywa Dinostrata. Krzy-wemi goniometrycznemi nazywamy krzywe, w których każda rzędna punktu jest funkcyą goniometryczną odciętej tego punktu jak np. :

y=sin x (T. I. fig. 292), y = coso:(T. I. fig. 293), y=tang x (T. I. fig. 294), y=cotg x (T. I. fig. 295), y=sec x (T. I. fig. 296), y=cosec x (T. I. fig. 297).

Dinostratus, matematyk szkoły Platońskiej, zajmując się kwadraturą koła, t. j. zagadnieniem zamiany koła na kwadrat o tej samej powierzchni, względnie zagadnieniem przedstawienia obwodu koła w postaci odcinka prostolinijnego, używał do tego celu krzywej, przezwanej z tego powodu kwa-dratryką Dinostrata.

Niech będzie dane koło AOC (fig. 152) o promieniu a, jeżeli promień OA obraca się jednostajnie około punktu O, od OA do 0(7, a zarazem prosta AD porusza się także jednostajnie równolegle do swego położenia od AD do 0(7, natenczas punkta przecięcia promienia i prostej utworzą krzywą Dinostrata. Przyj ąwszy środek koła za początek układu, a promień O A za oś x ów i oznaczając OA=a, ON=x, JSlP=y ^AOD=cp otrzymamy:

n    a — x Ji

(p:-ir-=a—x:a, a stąd: cp=—

A    Cl

— 685 -

a że: y=x tang ęp, przeto otrzymujemy:

( n    nx\

\ 2    2a)

y=x tang

czyli: y=a:cotang

nx

2«’

(3)

jako równanie szukanej krzywej. Krzywa przecina oś a;-ów w nieskończenie wielu punktach o odciętych :

±3«, ±5«,—, które są punktami przegięcia krzywej, posiada nieskończenie wiele asymptot o równaniach :

nx

- = lim    cos

Fig. 152.

Dla x=0 otrzymujemy :

OE=y₀— lim-—

taDg 2a

x=—ł—2ct, x——f-4a,..., i składa się z jednej gałęzi parabolicznej i nieskończenie wielu gałęzi z punktami przegięcia, jak na fig. 152.

2a „ nx    2a

A _' - -

zatem :

y₀= — , skąd otrzymujemy:

7i    y o

Możnaby więc przy pomocy y₀. a

więc przy pomocy punktu C, w którym krzywa Dinostrata przecina oś y-ów, wykreślić liczbę n.

Jako linie wyznaczające liczbę n mogłyby ostatecznie służyć wszystkie krzywe goniometryczne. Nie będzie to jednak konstrukcya geometryczna polegająca na wyłącznem użyciu cyrkla i lineału.

4. Cykloida. Cykloidę opisuje punkt stale połączony z kołem toczą-się po linii prostej. Niech będzie AC—r promieniem koła toczącego się

cem

po prostej AX₎ zaś PC—a stałą odległością punktu P od środka koła. Jeżeli koło C tocząc się po AX zajmie położenie C‘, natenczas łuk AB od

winie się na prostej AA¹ tak, że będzie À'B — ro), gdzie co przedstawia miarę kąta A‘C'B‘, o który koło C obrócił się podczas toczenia. Punkt P zajmie teraz położenie P\ przyczem będzie OP‘ — CP—a. } Chcąc otrzymać równanie miejsca geometry-' cznego punktu P, przyjmijmy prostą AX za ^ oś x-ów, a punkt A za

układu, natenczas spółrzędne punkta P‘ będą

AM‘—x, M‘P‘=y (fig. 153).

Do punktu P' prowadzą z punktu A dwie drogi, jedna: (AM‘)-\-(M‘P‘), druga: {AA‘)Ą-{A,C‘)A{.CIP‘). Bacząc na to, że: AA' = A'B=rco, B‘C‘ = r, CJM‘=a, otrzymujemy równanie:

i:

p*

M A’

Fig. 153. .

punkt początkowy

x+yi=

rw + n-ł-a^cos^^—-\-i sin {^-—wjj,

czyli : a więc:

xĄ yi=rœ -\-ri-a sin w—ai cos co, xJryi = (ra>—a sin co)-\-(r—a cos a>)&,

— 686 -skąd otrzymujemy dwa równania o dowolnym parametrze co, w postaci:

(4)

x=rco—a sin cd, y=r—a cos co,

jako równania cykloidy.

Z równań tych otrzymamy po wyrugowaniu zmiennego parametru co na podstawie wzorów :

cos CD

r—y

sin cd

V«²—(r—y)²

co = arc cos

r—y

Va²-{f-y)²,

jedno równanie kształtu:

r—y i------

x=r. arc cos--\a²—(r—y)²

Oj

(5)

jako równanie cykloidy w spółrzędnych prostokątnych jej punktów. Jest to równanie przestępne ze względu na zmienne x i y, cykloidą należy zatem do krzywych przestępnych. Szczególne postacie cykloidy zależą od związku między stałemi a i r. Jeżeli a=r mamy cykloidę zwyczajną (fig. 154) o równaniach :

x=a (cd—sin cd), y=a(l—cos co)

(6)

pppp p_

I'

B/

°!

Y.

A A A

Fig. 154.

c P p XB B/ P

BX P

c,

Ic7<

~xr

Ji

0 o!

/O

.oLt?;

k<’

><

[cTa a

li

Fig. 155.

P f*

pxr

'MNP

Kr »i

xC

0|

AJ

WEù

A A A A

A A A

Fig. 156.

gdy a^>r nazywamy cykloidą wydłużoną (fig. 155), gdy a^>r skróconą (fig. 156). Cykloidy wydłużone i skrócone zowią także trochoidami. Problem cykloid rozszerzony na przypadek, gdy koło toczy się po innem kole prowadzi do epi- i hypo-cykloid.

5. Zastosowanie całek określonych do cykloidy zwyczajnej. Dla cykloidy zwyczajnej o równaniach: x=a (co — sin cd), y=a( 1 — cos w) mamy dx=a (l —cos w) dco, zatem element powierzchni:

dA=ydx=a²(l — cos <o)²d(o=a² (1— 2 cos <u + cos² co) dco=

=a²

CO CM

— 2 cos cd+

co i—

cos 2o)\dco.

Na tej podstawie otrzymujemy powierzchnię liczoną od początku układu określoną wzorem :

-'do... a

=a2f(

CO

— 2 cos co -f-

tO: H*

cos 2co^dco,

z którego wypływa:

-d« ... (O

=    —4 sin    sin 2tuj.

Podstawiając <u = 2?r, otrzymamy stąd całą powierzchnię, zawartą między jedną gałęzią cykloidy zwyczajnej a jej podstawą, wartości: J.= 3a‘²yr, t. j. trzy razy tak wielką, jak powierzchnia koła toczącego się. Element łuku cykloidy: x=a(co—sin co), y=a( 1—cos <w),, otrzymuje z powodu, że: dx = a( 1—cos (o') dcO) dy=a sin co dco, wartość: ds=a]j(l — cos a>)² +sin² co . dco = a^ 1—2 cos w + cos² co + sin² co . dco,

czyli :

ds=a^2 (1 —cos co) dco=2 sin ~ dco,

A

zatem łuk cykloidy zwyczajnej liczonej od wierzchołka co wartość:

. o)    ⁰³    co

&o...« = 2a\ sin dco = —4a cos

J₀ ^    lo    "

=4rt^l—cos    czyli: So...<o=8ci. sin²

Podstawiając tu co = 2n, otrzymamy długość jednej gałęzi cykloidy:

S=8a.

Długość cykloidy zwyczajnej jest zatem ośm razy tak wielka, jak promień koła toczącego się.

Objętość bryły powstałej przez obrót cykloidy:

x=a(co—sin co), y=a (1—cos co), około jej podstawy, otrzymuje z powodu, że element:

dV=7iy² dx=na³ (1—cos co)³ dco=8>a³n sin⁶ ~ dco

A

wartość określoną wzorem:

Vo... (o—8a³n

Tsin⁶ ~ dco.

J o    4

Gdy co=2n, otrzymujemy:

f²"

sin⁶

tO £

dco = ~

8 ’

zatem objętość bryły, powstałej przez obrót jednej gałęzi cykloidy zwyczajnej około jej podstawy, otrzymuje wartość: F=57r².a³.

Pobocznica powierzchni powstałej przez obrót cykloidy około jej podstawy otrzymuje ze względu na to, że element jej :

wartość :

dF =2jiy ds =    . a(l—cos co). 2a sin ~ dco -=8a²n sin³

Li

o> o -ÿ-dco.

^o.,.w=8a² n

fw •

\ sin3 ^0

tO £

dco

Gdy co = 2n, otrzymujemy:

P* •    3

\ smJ *^o

(Oj    8

zatem całkowita powierzchnia bryły powstałej przez obrót cykłoidy zwy-

..... .    64

czajnej około jej podstawy przedstawia się wzorem : F= — a²n.

O

6. Epicyklolda i hypocykloida. Epicykloidą nazywamy linię krzywą, którą opisuje punkt stale połączony z kołem, które toczy się po zewnętrznej stronie obwodu innego koła, hypocykloidą zaś, gdy koło toczy się po stronie wewnętrznej obwodu drugiego koła.

Niech będzie OA=R promieniem koła podstawowego, AC=r promieniem koła toczącego się, CD=a oddaleniem punktu P, stale z kołem C połączonego od jego środka; jeżeli koło C zajmie położenie C‘ (fig. 157), gdzie

AA'—AB, natenczas oznaczając przez cp miarę kąta AOA‘, a przez co miarę kąta A‘C‘B', otrzymamy związek R.cp = rco. Punkt P wpadnie teraz w punkt P', gdzie C‘P =CP.

Przyjmijmy środek O za początek układu Do punktu P prowadzą dwie drogi, jedna: x+yi, druga: (0(7')^-f-(Cr/P')(p+;rr+û), czyli: (P-fr)y+«$>+«+«> otrzymujemy zatem równanie:

%+yi—ÇR + r)ęp + an.|-<p-|-o,

a stąd dwa równania :

x=(R+r) cos cp—a cos (cp + co), y—(R+r) sin cp — a sin (cpĄ-co),

które z powodu, że Rcp=rœ, a więc co =

cp-\- co ——sprowadzają się do dwu równań o jednym dowolnym parametrze cp kształtu :

-fp,

r

prostą OC za oś x-ów.

JÄit

<s

(P

<P,

x = {R-\-r) cos cp—a cos

(7)

Fig. 157.

Ii+r

—-V,

r

y=(R-\-r) sin cp—a sin

jako parę równań ogólnej epicykloidy. Z równań tych otrzymujemy wprost równania hypocykloidy, zastępując w nich r przez —r, a przez — a, otrzymujemy tedy równania parametrowe hypocykloidy w postaci:

P—r

-9>,

r

x=--{R—r) cos + a cos

R—r

y—(R— r) sin cp—a sin-cp.

W przypadku, gdy a—r nazywamy epi- lub hypocykloidy zwyczajnemi, gdy «7>r wydłużonemi, gdy a<ir skróconemi.

Epi- i hypocykloidy wydłużone i skrócone nazywają także epi- i hypo-trochoidami. Epi- i hypocykloidy są krzywemi przestępnemi, gdy stosunek

(8)

— jest liczbą niewymierną, zaś krzywemi algebraicznemi, gdy stosunek -jest liczbą wymierną. Rząd krzywej i jej kształt zależy od wartości tego

jeit liczbą całkowitą m, natenczas

stosunku wymiernego. Jeżeli stosunek

- 689 -

epi- lub hypo-

koło toczące się odwija się m razy na kole podstawowem cykloidy składają się z m gałęzi. Na figurach 158 — 163. jestm--=3, zatem B=3r Każda z tych epi- i hypocykloid składa się z trzech gałęzi, jest stosownie do warunku a=r, ay>r₎ a<yr, zwyczajną, wydłużoną lub skróconą.

P,

JJ

P.

Jï

p.

\\\

aJ

LP

V<

p.

,=

'ïP'Vk'

B-

ErV " i

, • p

■    <*t

[• £<

tP

<»

//.

r» ~

P'

ii

Tî

.A

\K

Pf

ï/

\K

[r

SX?'

rp

AZ)

i*

Fig. 158.

Fig. 159. 3

Fig. 160.

i‘

r,

P,

A wf'Ve

»,/ / \X

»,

A ' A--

Vj

»,

PAl

»⁴

»/

7;

[T

Aii

im

\ï7xz tffNi

«a.

r.

A*

Yi

i»

A’

i: r| w •«

l;

-,

I:

Yiij

i;

t>;

.rt'

7\\ VA

5*M \ /

\t %.ii

,\7

4r

■\~7Y

I’

(l

h) \<i

o^sS/S-A

iii

<x-

I'

i*

ii

I!

i*

Fig. 161.

Fig. 163.

natenczas nR=mr₁ koło r

Fig. 162.

n

Jeżeli stosunek — jest liczbą ułamkową

odwija się m razy na w obwodach koła podstawowego; krzywe składają się wtedy z m gałęzi opasujących n razy obwód koła podstawowego. Jeżeli sto-J?

sunek ■ - jest liczbą niewymierną, natenczas krzywe składają się z nieskończenie wielu gałęzi, opasujących koło podstawowe nieskończenie wiele razy.

7. Uwaga. Z równania (8) otrzymujemy niektóre ciekawe przykłady hypocykloid,

p

Tak otrzymamy: a) gdy a — r = -^- równania: cc = 2rcos9°, y = 0, przedstawiające linię

prostą, a to średnicę koła podstawowego wpadającą w oś a>ów.

R

S) Gdy r — a przytem a^-r, natenczas otrzymujemy z równania (8): x = (r-f-a) cos T, y — (r — a) sin 5», przedstawiające ellipsę.

Jeżeli więc koło toczy się wewnątrz drugiego koła o podwójnym promieniu, natenczas każdy punkt obwodu opisuje średnicę koła podstawowego, a każdy inny punkt z kołem środkowem stale połączony opisuje elij^ę.

y) Gdy a — r = otrzymuj emy z (8) równania :

a:==3rcos <P-\-r cos 3^, y — 3r sin V—r sin 3^, czyli: a?=4rcos³y>, y = — 4r sin³ 9⁰,

(£)*+(£)*->•

zatem równanie:

przedstawiające astroidę, jako szczególną postać hypocykloidy zwyczajnej.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 690 —

8.    Odwinięta linii kołowej. Jeżeli po danem kole toczy się zamiast

innego koła linia prosta, natenczas punkt tej prostej opisuje linię krzywą, którą nazywamy odwiniętą linii kołowej (fig. 164). Niech będzie a promieniem koła, O jego środ-

x kiem. Przyjmując O za początek” układu, OA za oś «-ów, otrzymamy spółrzędne punktu P na

mocy równości : xAyi=aa-{-(BP) 3«, gdzie:

,—s    —N    ^ 2

BP=AB=a.co w postaci:

x^a cos co-\-a co sin co, y=a sin co—a co cos co, skąd otrzymamy równania parametrowe odwiniętej koła w postaci:

x=a{cos a) + <*> sin co), f/=a(sin co—(o cos co).

9.    Krzywe spiralne. Krzywemi spiralnemi nazywamy linie krzywe, których równania biegunowe są równaniami algebraicznemi ze względu na spółrzędne biegunowe r i <p ich punktów. Stopień równania w zmiennych r i cp nazywamy też rzędem spiralnej, a szczególną nazwę spiralnej okre ślonej równaniem r=f(cp) stosujemy zwykle do nazwy krzywej algebraicznej, określonej takiemże równaniem w spółrzędnych prostokątnych x i y, więc w postaci y=f(x).

10.    Spiralna Arehimcdesa. Spiralną Archimedesa nazywamy krzywą o równaniu biegunowem r=acp, która powstaje geometrycznie w ten sposób, że

prosta OA obraca się dokoła jednego ze swych punktów 0, a na tej prostej porusza się równocześnie punkt P tak, że drogi przezeń na prostej odbyte są proporcyonalne do wielkości obrotów przez prostą wykonanych. Spiralnej X Archimedesa r=acp odpowiada w spółrzędnych prostokątnych linia prosta y—ax, której obrazu możemy też użyć do wykreślenia obrazu spiralnej Archimedesa. Najłatwiej wykreśli się tę spiralną, kreśląc z początku 0 koło o promieniu a i odcinając na promieniu nachylonym pod kątem cp, długość odpowiedniego łuku kołowego o wielkości a. cp (fig. 165).

11.    Spiralna hyperholiczna. Tak nazywamy krzywą o równaniu r=, której w spółrzędnych prostokątnych x i y odpowiada hyperbola równobo-

Fig. 164.

(9)

/A

i>

i>

Fig. 165.

czna o równaniu y——. Spiralna hyperboliczna (fig. 166) wychodzi dla cp—0

x

=«(^—=ci, posiada V <P J<p=o

z nieskończoności w wysokości: yx=(r.sin cp)T

więc asymptotę o równaniu y—cc, i wije się około punktu 0 nieskończenie wiele razy, osiągając punkt O po nieskończenie wielu zwojach. Punkt O nazywamy też punktem asymptotycznym spiralnej hyperbolicznej. Ujemnemu cp odpowiada analogicznie druga gałęź o asymptocie y= a

— 691 -

i o tymże samym punkcie asymptotycznym, odpowiadającym wartości <p=— go . Równanie    przedstawia spiralną h y perbo liczną trzeciego

(p²

A-----—

'a

Fig. 166.

Fig. 167.

rzędu, zwaną ślimacznicą (lituus) (fig. 167). Krzywa ta ma w punkcie O punkt asymptotyczny, a oś x ów za asymptotę.

12.    Spiralna paraboliczna. Tak nazywamy krzywą o równaniu r—a.(p'\ której w spólrzędnych prostokątnych x i y odpowiada parabola y—ax².

Spiralna paraboliczna ma punkt zwrotu w punkcie 0, z którego wychodzi stycznie do osi #*ów, oddalając się w swych nieskończenie wielu zwojach coraz bardziej od punktu O w nieskończoność symetrycznie względem osi biegunowej.

13.    Spiralna logarytmiczna. Tak nazywamy krzywą o równaniu r = ev, której w spólrzędnych prostokątnych x i y odpowiada logarytmika o równaniu

y — ex. Krzywa wychodzi, gdy <p = 0, z punktu A na osi #ów i wije się około punktu O nieskończenie wiele razy w jednym kierunku zbliżając się coraz bardziej do punktu O, który owi-ja, gdy <p=— oo, a więc dopiero po nieskończenie wielu zwojach. Spiralna logarytmiczna \    ma zatem w punkcie O punkt asympto

tyczny (fig. 168).

11. Styczne w punktach krzywej określonej równaniem biegunowem. Niech będzie MT styczną, a MN normalną w punkcie M krzywej r=/(<p). Poprowadźmy przez punkt 0 prostą prostopadłą do promienia OM==r, to prosta ta przetnie styczną MT w punkcie T, a normalną MN w punkcie N. Nazywamy wtedy MT = T długością biegu-

notcą stycznej, MN=N, długością biegunową normalnej, OT=T‘ biegunową podstyczną, 0N=N' biegunową podnormalną punktu M.

Oznaczmy przez* a kąt, który styczna w punkcie M krzywej tworzy z osią biegunową OX, a przez rp kąt, jaki taż styczna tworzy z promieniem punktu M, o spółrzę-■S- dnych biegunowych OM=r i XM0X=(p, natenczas otrzymujemy relacyę : a = cp-\-tp.

Na wyznaczenie kąta ip otrzymujemy: dr=ds.cos ty, rd(p — dss\nty, skąd dostajemy:

r    dr

, czyli tang^=—, gdzie    .

\b

Fig. 168.

Sn

Fig. 169.

tanS dr

tang 05 = tang {cp \-cp) =

tang cp.drĄ-rdcp sin cp dr4-r cos cp dcp dr— tang cp. rdcp cos (p dr—r sin cp d(p

tang 05=

Z wzoru : otrzymujemy zatem:

tang os — czyli :

tang cp-1-tang cp 1 — tang cp tang cp r¹ sin cp-\-r cos cp r‘ cos cp — r sin cp

wzór wyznaczający kąt, jaki styczna w punkcie M tworzy z osią biegunową. Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny OMT (fig. 169), otrzymujemy :

r² dcp

T‘ = OT=r tang cp

y* 2

zatem podstyczną biegunową :    T——.

*    r

Długość biegunową stycznej określa zaś wzór:

dr

(U)

a że:

sin cp cos cp

r dcp

dr

a więc :

cos lf)=

dr

Yr²dcp²-\-dr²    dcp^r²-\-r¹² ds

»’Y r² -\-r'²

r'

przeto :

r¹

ds Y r² r¹²

Z trójkąta prostokątnego OMN otrzymujemy natomiast:

(12)

ON=N‘ — r cotg ip=V^-

zatem : N‘=r' =

dr

dcp

Biegunową podnormalną podaje zatem pochodna :

dr

dcp

(13)

Długość biegunową normalnej określa zaś wzór :

MN=N=^OM²+ON²^r²+r‘², czyli: JS^r²+r'².

Odległość p stycznej w punkcie M (r, cp) krzywej r=f(cp) od bieguna jest określoną wzorem:

(14)

p=r sin cp

r² .dcp

dr

Y r²-fr'²

1 1

15. Zastosowania, a) W spiralnej Archimedesa r—acp mamy dr=adcp,

z którego wynika, że :

dr

a więc: —=a, czyli: r'—a, zatem: N=a.

To znaczy: Biegunowa podnormalna jest w spiralnej Archimedesa zawsze stalą, równą\ a.

Na podstawie tego twierdzenia możemy z łatwością wykreślić styczną w każdym punkcie spiralnej Archimedesa.

ß) W spiralnej logarytmicznej r—ev mamy dr = e⁽Pdcp₁ a więc:

= ev, czyli: r=r‘, zatem:

Spiralna logarytmiczna r=eV przecina więc każdy ze swoich promieni r TC

pod kątem stałym cp = —

dr

dcp

= 1, czyli: tang cp=l.

Ogólnie przy spiralnej logarytmicznej o równaniu r=av mamy :

dr=av dcp log a,

dr

a więc:

r

tang cp=—

=a⁽f> log a=r log a, zatem : cp=arc tang —

d(p

r‘ log a’

IG. Asymptoty krzywych, określonych równaniami biegunowemi. Punkta nieskończenie dalekie krzywej, określonej równaniem F (r, <jp) = 0 określa waru-

log a

nek r—go, czyli u=~—0, któremu na podstawie danego równania odpowiada pewne równanie ze względu na cp, którego pierwiastki określają kierunki asymptotyczne krzywej.

Położenie asymptoty, odpowiadającej jednemu z takich pierwiastków cp, możemy wyznaczyć za pomocą biegunowej podstycznej, kładąc we wzorze:

T, r² d(P

dr

r‘

przy r— oo , odpowiednią wartość na cp.

Kładąc —-

=u, mamy :

dcp

=du, zatem: T‘ — — , r    dr

gdzie: u¹ —

du

jako wartość podstycznej biegunowej, czyli wzór, podający odległość asymptoty od bieguna.

dcp

17. Przykład. Mając np. krzywą określoną równaniem r — a{sec r-f-tang <jpotrzymu-przeto warunkowi r — oo, czyli w = 0 odpowiadają kierunki

cos 9°

a(l~f sin <P)

asymptotyczne określone wzorem : cos <P = 0, który wskazuje na nieskończenie wiele asym-

ptot odpowiadających kierunkom: y = H-

K -N

, ...

W szczególności otrzymujemy np. dla:

<P =

du

zatem : T‘ = 2a. Pro-

2 ’ d<P    2a’

stopadła do osi biegunowej w odległości 2a od bieguna jest więc asymptotą danej krzywej.

18. Koła i punkta asymptotyczne krzywych spiralnych Jeżeli wartość promienia r krzywej r=f(cp) dąży do pewnej stałej-granicy a, gdy cp dąży do nieskończoności, wtedy krzywa zbliża się coraz bardziej do koła, zakreślonego promieniem a. Koło takie, do którego krzywa zbliża się asymptotycznie nazywamy kołem asymptotycznem krzywej, a jeżeli promień tego koła jest zerem, punktem asymptotycznym.

d cp

^-pp, zauważymy, że dla dodatniego 9° jest promień r stale mniejszym od a. Gdy 9° rośnie nieograniczenie, rośnie także r, dążąc do granicy stałej równej a. Koło zakreślone z bieguna jako środka promieniem a, jest więc kołem asymptotycznem krzywej. Dla ujemnych wartości f otrzymamy drugą gałęź krzywej, dla której to samo koło będzie także kołem asymptotycznem.

19. Przykład. Mając np. krzywą o równaniu: r

20. Promień krzywizny w danym punkcie krzywej określonej równaniem biegunowem. Krzywizną w danym punkcie krzywej (patrz T. I. str. 637) nazywamy stosunek między kątem styczności da a łukiem ds w tym punkcie:

da

a więc: h— . Jeżeli krzywa określona jest równaniem biegunowem r=f(cp),

natenczas: ds=dcp^r²+r'², da—dcp-\-dcp (fig. 169), zatem:

dtp    .    r

gdzie tang cp=—

da

dcp

dcp

zatem :

dcp r'^ —r rn

cos² cp

r'2

dcp,

a więc:

dip Y**—Y Yié

dcp

cos² ip.

A że : cos ip

zatem :

r¹    .    dtp r‘‘l—rr"

^===, przeto otrzymujemy: ^    ^ .

y^ _|_ 2y< ²_yy“

Y¹ 2

Y* 2_yy ^

da

2 j 2

Otrzymujemy zatem krzywiznę:

d(p

Y^ -|-    ^_yy** JL '/*2    ^_TYéê

lc =    r² 4- r'²    '    ⁼    (r2 + y/2)»/,—

a stąd promień krzywizny :    p=—

k

(r² -|-r/2)³/î

Y2 -j- 2r' ^ — YYêt

(15)

czyli :

['■+(sn

r² + 2

(*)-'

dV

(16)

o>

,2

r (1-ł-yO*/» y“ ’

określającego promień krzywizny w dowolnym punkcie krzywej, określonej równaniem : y —f(x) w spółrzędnych prostokątnych punktu.

Kładąc mianowicie : x = r cos 9p, y = r sin Of, otrzymamy :

21. Uwaga. Do tego samego wyniku dojdziemy na podstawie wzoru:

sin y c?r+r cos y dy r‘ sin y-\-r cos y

cos 9° dr—r sin 9° dy

r' cos <P—r sin y ’

y"

_d²y d fr' sin y-\-r cos <f\ d<P __ r(r' cos 9p—r sin 9») (r" sin y-\-2r' cos 9f>— r sin y) dx²    rf9°V/ cos 9° r sin 9^1 ’    L    (r' cos 9°—r sin <p)²

zatem :

(r‘ sin 7--j-r cos 9°) (>•" cos T — 2r‘ sin y— r cos 7 )

(r* cos <P—r sin 9°)2 r²-j-2r'—rr"

(r' cos <P—r sin 9p)³’

Wstawiwszy otrzymane wartości y i y" we wzór na p otrzymamy, jak powyżej:

(r²-[-r<2)⁵/j

'    r2_j_2r/2—rr''⁻

W szczególności, dla spiralnej Archimedesa r = a<P, mamy r> — a₎ r" = 0,

]•

r' cos y—r sin V ’

zatem :

_ (r²+a²)³/, _ (9P²4-l)³/ł p r²+2a² “ (*>*-f.2) ’ wzór podający promień krzywizny w dowolnym punkcie spiralnej Archimedesa, którj*

łatwo można wykreślić. Jeżeli 9° = 0. otrzymujemy stąd: p₀= —

Ćwiczenia XLIII.

1)    Wyznaczyć powierzchnię logarytmiki y = logx w granicach od xt do x₂.

2)    Wyznaczyć długość łuku logarytmiki y —logx w granicach od zi=l do x₂—x>l.

3)    Znaleźć podstyczną T i długość stycznej I, podnormalną N' i długość normalnej

X

N w logarytmice: y — bea.

4) Znaleźć wielkości 1, 7', N i N' w linii łańcuchowej y —    -\-e

a ( a    a\

ma wartość

5) Wykazać, że promień krzywizny linii łańcuchowej y = -^ye + e )

y²

Wykazać, że dla logarytmiki y = ex w granicach xu x₂, otrzymamy:

V/I+ê2i+l

V[r (v/i+ß2a?_ ¥i08,

9) 2^=    [e2a:-he*4-2 log (2e²*—1)],

6) A = yi—yi,

8)    («/a²—2/i²),

10) A-l*’ {-i- <*<+ -!-«■+ i log (2e2x—l]j,

13) I.-ifeHI.

V/l-f e2.c_l

}■

1 1*5

3 I*,

14) Wykazać, że powierzchnia powstała przez obrót logarytmiki y = ae « około jej asymptoty ma w granicach od xt—0 do x₂ — °o wartość:

12) Js =

15) Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót logarytmiki x — ae « około osi æ-ôw w granicach od xt=0 do x₂ — x ma wartość:

(l

y_

16) Wykazać, że powierzchnia zawarta między logarytmiką x = ae®, osią y ów, a pro-stemi y = yt i y = y₂ ma wartość: A — a(x^—x{), a objętość bryły powstałej przez obrót

tej krzywej około osi y-ów ma wartość: V=^-(x₂‘i—x₁²).

Li

17) Wykazać, że powierzchnia linii łańcuchowej y — ~(e Ą-e ^ ma w granicach od

x{ do x₂ wartość:

X₂    %₂

xt    xt

( 2 a\ »V 8 a\

= V ~e ) 2V “e )

a odpowiedni łuk ma wartość:

X₂    X₂

xx    xt

a / a    a \ a ( «

= -2 Ie ~e )~^\e ~e )

a( 2    it\

18) Wyznaczyć powierzchnię linii łańcuchowej y —-^\e Ą-e J w granicach od

*i=0 do x₂—x\

X    X

19)    Wyznaczyć długość łuku linii łańcuchowej: y = -^-^ea-|“e    ' ^ w granicach od

ï₁₌0 do *₂ = x.

20)    Wykazać, że powierzchnia powstała przez obrót linii łańcuchowej :

^ około osi a?-ów ma w granicach od 0^=0 do x₂

= a? wartość :

alï?

»II?

)+4

21) Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót linii łańcuchowej:

X    X

y = 7^6 —e ^ około osi a>ów ma w granicach od æ₁ = 0 do x₂ =

)+2*}.

æ wartość:

2*

a²rc I a / «

f=tV2 k

. a ( a a\

22)    Wykazać, że powierzchnia linii łańcuchowej y = —\e -j-e J w granicach od

xt=0 do x₂ = x ma wartość A —a¹ tang®, gdzie o jest kąt, jaki styczna w punkcie końcowym linii łańcuchowej tworzy z osią a>ów, a odpowiedni łuk s— a tang <p — \Zy²—a².

23)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót linii łańcuchowej :

26)    Jeżeli    e ^wykazać,

V₀...x —    {ax-\-y \/^2_£C2)₎

= x wartość :

V‘ = a²r.

F — 2arc

źe:

Va... y — K [(2a²+x²)y—2 (a²+x \/y²— a² )]•

27) Wykazać, że pobocznica bryły, powstałej przez obrót logarytmiki y — a. e u około osi x-ów w granicach od xt = 0 do x₂ = oo określa się wzorem :

Znaleźć pobocznice powierzchni powstałej przez obrót krzywej:    -j- e ¹ ^

28)    około osi x ów w granicach od xt =0 do x₂ — x-

29)    około osi y-ó w w granicach od yt —-0 do y₂ = y.

X    X

30)    Wykazać, źe środek ciężkości łuku linii łańcuchowej: y— (ea-f e nicach od xl =0 do x₂ =x określają wzory :

tc a

w gra-

2x

2x

xfea — ^s = —-

*1*

a(ea - e -f- 4x

— e

które możemy zastąpić przez następujące:

(.*

“)

»“tv+t)

gdzie x i y są spółrzędne punktu końcowego, a s długością łuku.

31) Wykazać, że środek ciężkości (Ça, rj«) powierzchni linii łańcuchowej :

X    X

y — ~2 (e ' + 6 w granicach xt = 0 do x₂—x określają wzory: !;« = £#, T)a = -^-r]Ä, gdzie Ç*, rjs mają wartości w zag. 36 podane.

32) Wykazać, źe moment bezwładności łuku linii łańcuchowej: y ={^ eae względem osi y ów w granicach od aą ■= 0 do x₂—x wyraża się wzorem :

Is

=    ^(x²-2ax-\-2a²)ea—ax-j- 2x²^e    “ j.

83) Wykazać, że całkowita powierzchnia cykloidy x — a (o — sin ®), y — a (1 — cos <p):

A = 3a²x.

34)    Wykazać, źe długość łuku cykloidy x — a(® —sin <p), y = a(l — cos ®) w granicach od ?i—0 do cp₂ = ® ma wartość: S = 8a sin²

u

35)    Wykazać, źe całkowita długość cykloidy cc = a(®—sin®), y — a(l—cos®) równa się ośmiokrotnemu promieniowi koła ruchomego.

36)    Wykazać, że całkowita objętość bryły powstałej przez obrót cykloidy r=a(<? — sin ®), y = a( 1—cos ®) około jej podstawy ma wartość: F = 5«³jc².

37)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót cykloidy około stycznej w jej wierzchołka jest równa a³n².

a² -iż.

38)    Wykazać, że całkowita powierzchnia powstała przez obrót cykloidy x = a(<p—sin ®), y =a(l—cos <p) około jej podstawy jest równa

Tia= “g"

40) Wykazać, że środek ciężkości całkowitego pola cykloidy: cc = a(® — since), y — a(l—cos®) ma spółrzędne: la—a^

39) Wykazać, że środek ciężkości pola cykloidy x — a(®—sin <p), y = a( 1—cos ó), w granicach od ®t=0 do ®₂=7t ma spółrzędne: Ęa = a(^ +

d ■ -    ■ Ct> •

41)    Wykazać, że środek ciężkości łuku cykloidy x = a(ę> — sin <p), y — a(l—cos®),

4    4

liczonego od punktu zerowego do punktu najwyższego ma spółrzędne: fÄ = -g-a, rts = -^a.

42)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót cykloidy x — a(® — sin ®), y = a(l—cos ę>) około osi .r-ów ma w granicach od ®>i=0 do ®₂ = cp wartość:

F=    ®—4 sin ® -j- — sin 2® + ~ sin³ <p),

F= 16a²7:(-|-

43) Wykazać, źe objętość bryły powstałej przez obrót pół cykloidy około osi x-ów

g

— a³Ji², a odpowiednia powierzchnia: F =

a jej powierzchnia:

ma wartość : V—

~2

— cos

~2

rH j(M

cos

3 1) 2 /*

a²

44) Wykazać, że powierzchnia cykloidy x = a(<p —sin ©), y — a{\— cos®) ma w granicach od xt — 0 do x₂ =x wartość:

/ 3    i    \

A = a² V—2 sin <P + sin 29° j.

to cc

45) Wykazać, źe powierzchnia zawarta między cykloidą x = a(<P — sin 9e), y = a(l— cos <P, osią x-ó\v i cięciwą koła ruchomego odpowiadającą kątowi 9° ma wartość: A— a²(<P—sin <P).

46) Wykazać, że długość łuku zwyczajnej epicykloidy:

y = (fi-j-r) sin <P—r sin

R+r

x = (R-\-r) cos 9°—r cos — w granicach od 9»t do 9°₂ ma wartość:

<p,

4r

•vs

= ^(R+r) (cos ^9^-

47)    Wyprowadzić równanie epicykloidy zwyczajnej w przypadku, gdy R—r=a i wykazać, że ta epicykloida ta jest kardioidą.

48)    Wyprowadzić równanie hypocykloidy zwyczajnej w przypadku, gdy a — r — i wykazać, źe ta liypocykloida jest astroidą.

R

49)    Wyprowadzić równanie hypocykloidy ogólnej w przypadku, gdy r == -— wykazać, że hypocykloida ta jest elipsą o półosiacli r\a i r—a.

50)    Wykazać, że hypocykloida w przypadku a — wicie średnicą koła podstawowego.

51)    Wykazać, że łuk epicykloidy zwyczajnej zawarty między dwoma punktami zwrotu

4r    '    4 r

ma wartość: s — ~ (lï-j-r), a odpowiedni luk hypocykloidy zwyczajnej: s = — (fi—r).

52)    Wykazać, że powierzchnia epicykloidy zwyczajnej zawarta między promieniami

= — jest linią prostą, a miano-

a²r.

dwóch sąsiednich punktów zwrotu : A = — (3fi—2r).

53)    Wykazać, że promień krzywizny w astroidzie xłl₃-\-y*la = dlk ma wartość: p — — 3\y axy,

54)    Wykazać, że powierzchnia zawarta między traktrysą o długości stycznej równej a

a²K

a jej asymptotą: A =

55)    Wykazać, że długość traktrysy od wierzchołka do pewnego y ma wartość:

i a

= a log —.

y

56)    Wykazać, że całkowita powierzchnia bryły powstałej przez obrót traktrysy około jej asymptoty ma wartość: F — 4a²z.

57)    Wykazać, że powierzchnia krzywej: r =

9°2 = -w- wartość : A A

58)    Wykazać, że powierzchnia spiralnej Archimedesa: r — a<P w granicach od 7>l—0 do ma wartość : A =

59)    Wykazać, że powierzchnia krzywej r — eacp zwanej spiralną logarytmiczną w granicach od rj do r ma wartość Arx ...ra    ^    .

60)    Wykazać, że spiralna hiperboliczna : r = — ograniczona promieniami rt i r₂ tworzy powierzchnię: A — — (rt—r₂).

61)    Wykazać, że spiralna Archimedesa r = a<P ma w granicach od 9^=0 do f₂ = f

2 a    <P

1T '    ma W Sran^cac^ ⁰⁽^ n=0 do

<P =

łuk:

2 a²

-l°g 2.

7t³

48

a².

=    \/l+<P² + log (H-\/l+**)]•

62)    Wyznaczyć długość łulcu krzywej r — aev (spiralnej logarytmicznej) w granicach od Ti = 0 do <P₂ = <p.

63)    Jaką jest długość łulcu krzywej r = aecp w granicach od ^ = — co do <P₂ =0.

64)    Wykazać, że powierzchnia spiralnej Archimedesa o równaniu:    ma w gra

nicach od <Pl do <P₂ wartość: A

a'¹

ar,-,

24rA

(9°2³—9°i³), a odpowiedni łuk:

V/Ï+V -    V/1+V + log

65) Wykazać, że powierzchnia spiralnej logarytmicznej r — aV w granicach od P, do <P₂ ma wartość : A =

4 log a

66) Wykazać, że łuk spiralnej logarytmicznej r = aV ma w granicach od do <P₂

długość • s = \/l+(log a)² ■

r%—rt

log a '

67) Wykazać, że powierzchnia spiralnej n-go rzędu r = a<Pn ma w granicach od 0°, airn+i__vn+l

do <P₂ wartość: A—-^ i

»4-1

68)    Wyznaczyć podstyczną biegunową spiralnej Archimedesa r = a<p.

69)    Wyznaczyć podstyczną biegunową spiralnej liyperbolicznej r — —

<p

70)    Wyznaczyć podstyczną biegunową spiralnej logarytmicznej : r — l.ea.

71)    Wykreślić krzywą r = —~i wyznaczyć jej podstyczną biegunowa V i odległość

V<P

p stycznej od bieguna.

72)    Wykreślić spiralną o równaniu <p\/2ar—r²—b i wykazać, że koło o promieniu 2a jest jej kołem asymptotycznem, a biegun jest punktem asymptotycznym.

,    aęp ²

73)    Wykreślić spiralną r — j i wykazać, że ona ma dwie asymptoty nachylone do osi biegunowej pod kątami 9° = -|-1 i f — — 1 i koło asymptotyczne o promieniu a.

Wyznaczyć promień krzywizny: 74) kardioidy: r — a{ 1—cos 9°),    75) lemniskaty:

CL

r% = al cos 29°, 76) spiralnej Archimedesa: r—a<P, 77) spiralnej logarytmicznej r — —.

Rozwiązania XLIII :

1) A => a?₂[log x% — 1]—a?i[log — 1]

3) T‘ = a, T=\/a*+y\ N' —

« 'SL

2) 6,...* = y/l+a;² — \/2 + log

N_yV<*²+yi

ay

, 4) T‘=—~_____ ,

VV²—a²

(1+V2)x

l+Y/i-l-V²’

*/²

¹ v/yJ—a* ’

A'

-t(*

</²

N=—.    18) A = a v/y²—a².

19) Ą...*

2a;

*8) f {!(«“

62) S₀...y = a\/2 (eT - 1).

29) Tc ^2a'²-\-ax (e a— e — a‘²(ea-e

<l

71) T=2a\/<p,

2 «V

Y/Vł-j-4ał

63) S—» ...o = <x\/2 •

2 ,__

74) p = -g\/2ar .

ri

68) T‘ =—.

⁷⁵>

</

70) 2 = ar.

76) p

(g»+rł)ł/»

2a²+r² ‘

77) p

r (a²-|-r²)³/2

a³

Literatura. GL Salmon: Analytische Geometrie der höheren ebenen Curven, deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler. Leipzig 1873. Dr. F. Gregory: Examples of the processes of the differential and integral calculus. Cambridge 1891.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Linia łańcuchowa, jej własności i uogólnienia.

2.    Cykloidy i ich uogólnienia.

3.    Linie spiralne i ich własności.

Wykład XüIV.

Zastosowanie całek określonych do krzywych przestrzennych i powierzchni.

1. Równania krzywej przestrzennej. Dwa równania między trzema zmiennemi #, y, z kształtu ogólnego :

(1)

f₂(x,y,z) =0

przedstawiają jako równania jednoczesne zbiór punktów wspólnych dwom powierzchniom, z których jedna odpowiada równaniu f±(x, y, £) = 0, druga równaniu f₂(x, y, £)=0, a zbiór ten określa pewną krzywą w przestrzeni, jako przekrój dwóch powierzchni.

To znaczy: Dwa równania niezależne o 3-ch zmiennych określają w ogólności pewną krzywą przestrzenną i nawzajem każdej krzywej przestrzennej odpowiadają diva równania od siebie niezależne.

Za pomocą tych dwu równań, zwanych równaniami krzywej przestrzeń-nej, możemy wyprowadzić szereg innych powierzchni, przez tę krzywą przestrzenną przechodzących. Mianowicie wszelkie równanie kształtu:

(2)

fifay, *)+.<* A («i y, *)=o

gdzie X jest dowolnym spółczynnikiem, przedstawia powierzchnię, przechodzącą przez krzywą przestrzenną, określoną równaniami:

fifa */, s)=0, f₂(x,y,z) = 0.

Spółrzędne x, y, z punktów, czyniące zadość danym dwu równaniom spełniają bowiem zarazem i równanie (2).

Mając do rozporządzenia parametr X możemy go tak obrać, aby w równaniu (2) znikła jedna zmienna np. raz zmienna x, drugi raz zmienna y, tym sposobem możemy dane dwa równania krzywej przestrzennej zastąpić dwoma innemi równaniami kształtu :

(3)

Fl O, y) = O, F₂(x, z)=0,

które uważane za równania o 3-ch zmiennych x, y, z przedstawiają dwie powierzchnie walcowe, jedną o równaniu Fi (x, y)=0, prostopadłą do płaszczyzny XOY, drugą o równaniu F₂(x, z)=*0 prostopadłą do płaszczyzny XOZ. Równania te uważane jako równania o dwu zmiennych przedstawiają rzuty ortogonalne danej krzywej przestrzennej, a to, pierwsze równanie Fx(x, y)=— 0 określa jej rzut (poziomy) na płaszczyznę XOY, drugie równanie F₂(x₎ z)—0 jej rzut (pionowy) na płaszczyznę XOZ.

Krzywa w przestrzeni może być wyznaczona dwoma rzutami, które wyznaczają jej położenie w przestrzeni, jako krzywą przenikania dwóch powierzchni walcowych rzucających, o dane rzuty opartych.

Przedstawiając te równania w formie wyraźnej otrzymujemy zatem równania kształtu :

y=cp{x), z=tp(x)

(4)

jako równania krzywej przestrzennej. Równania te możemy zastąpić trzema równaniami o dowolnym parametrze t, w postaci:

y = q>(t), Z=ip(t)

które nazywamy równaniami parametr owe mi krzywej przestrzennej.

Częstokroć używa się przy przedstawianiu krzywych przestrzennych zamiast spółrzędnych prostokątnych x, y, z punktu P spółrzędnych walcowych, jakiemi są spółrzędne biegunowe na płaszczyźnie: r, cp i wysokość z. Mamy tedy :

(5)

x=r cos cp, y=rsin(p, z—z,

a równania parametrowe krzywej przestrzennej w spółrzędnych walcowych przedstawiają się w postaci:

(6)

r=A{t), <p=f₂{t), z=Mt)

Przy użyciu spółrzędnych sferycznych r, ®, (p mamy :

x = r cos © sin qp, y=r sin © sin <jp, z — r cos <p,

równania parametrowe krzywej przestrzennej w spółrzędnych sferycznych przedstawiają się tedy w postaci:

r=Fi(t), ® = P₂(/), <p=F₃(t).    ( )

2. Linia śrubowa na walcu kołowym jako typowy przykład krzywej

przestrzennej. Linię śrubową opisuje punkt, który tak porusza się na walcu

kołowym, że jego odległość od podstawy walca jest proporcyonalną do kąta obrotu, jaki wykonywa jego rzut na podstawę walca około osi tego walca.

Przyjmijmy oś OZ jako oś walca kołowego o promieniu r, to równanie takiego walca kołowego przedstawi się w postaci: x²+y²=r². Wysokość z punktu ruchomego ma być proporcyonalną do kąta q>, opisanego w czasie ruchu przez jego rzut na płaszczyznę XOK, będzie zatem z = acp, a że:

y

a więc: <p = arctang — ,

X

-i

V

tang

X

przeto :

fr v - .....Q—'

/%t;

'1

Fig. 170.

z—a arc tang —.

X

Mamy więc dwa równania :

y

z=a arc tang — ,

X

y—x tang ^

jako szukane równania linii śrubowej (fig. 170). Pierwsze przedstawia walec kołowy, drugie powierzchnię;

x² + y² = r²,

czyli :

x² + y²=r²,

(8)

zwaną powierzchnią śrubową, powstałą przez ruch prostej posuwającej się po osi #-ów,a zarazem obracającej się około tej osi, tak, że jej przesunięcia są proporcyonalne do wielkości obrotu.

Linia śrubowa występuje tu zatem jako przekrój walca kołowego:

x ² + $/²=r², z powierzchnią śrubową: y=x tang—.

Cl

Z tych dwu równań znajdziemy rzuty linii śrubowej na poszczególne płaszczyzny rzutowe w postaci :

z    , z

x=r cos —, y=r sin—. a J    a

z²+*/²=r²,

a ! i«

Wprowadzając parametr i?==--, otrzymujemy parametrowe równania linii śrubowej w postaci :

(9)

x=r cost, y—rs\nt, z = at.

3. Rektyfikacya krzywej przestrzennej. Element ds łuku s krzywej wyznacza odległość dwu punktów krzywej po sobie następujących, a więc punktów P(x,y,z) i Q(x-\-dx, y Ą-dy, z-[-dz), określoną wzorem:

ds=lldx*+dy² + dP.

Jeżeli krzywa przestrzenna dana jest równaniami:

wtedy mamy:

y=(p(x), z=ip{x), dy=f>'(x). dx, dz=tp'(%) dx,

zatem :

ds= \ 1 +

(l)²⁺

²dx.

zatem długość łuku krzywej zawartego między punktami A i B, którym odpowiadają odcinki xx—a, x₂=b przedstawi się wzorem:

(10)

^ + [cp\x)]²+[nx)}²dx.

Jeżeli krzywa przestrzenna dana jest trzema równaniami w postaci:

s=/09,

. dt

wtedy otrzymamy wzór :

-SM®'-(DMsr

czyli :

^ V[/>(0]²+E9'(0]²+[^/W]²^,

*bi

(U)

podający długość łuku w granicach od t — tx do t=t₂.

x — r cos V, y — r sin V, z—z,

4. Uwaga. Jeżeli krzywa przestrzenna odniesiona jest do spółrzędnycli walcowych x, 9P, z, wtedy mamy:

da = — r sin <pd<p-\-cos <Pdr , dy — r cos <Pd<P-{-sin <Pdr, dz=dz, ds² = d^Ą-dytĄ-dz“¹ = dr^-^r"¹ dty^Ą-dz²,

zatem : zatem :

ds^y/'drZ+r^dvi+dz* =s J    d<pi

zatem :

jeżeli <P uważamy za zmienną niezależną.

Jeżeli krzywa przestrzenna odniesiona jest do spółrzędnycli sfei*ycznych r, 0, <p, wtedy mamy:

x — r cos 0 sin <P, y — r sin 0 sin <P, z — r cos V, dx — r cos 0 cos 9° d<P — r sin 0 sin 9° (20-f-cos 0 sin T dr, dy — r sin 0 cos 9° d<p-\-r cos 0 sin 9⁰ d0-|-sin 0 sin <P dr,

dz— — r sin <P (2<P-|-cos V ^r< ds² = dx’l-\-dy‘l-\-dz'i — r² dy^Ą-r² sin² <P d0²-f rfr²,

ds = y/r² dy>²4~r² sin² d0²-pdr²,

=i* V’,,+risin’ * (^)+(^y*’•

zatem :

5. Przykłady, a) Rektyfikacja linii śrubowej : a: = rcosf, t/ = rsinż, z = at. Mamy tu da: = — r sin t. dt, dy = r cos t. dt, dz — a . dt, ds = y/V² sin² ź-j-r² cos² tf+o² ,dt=\/r²Ą-a²dt,

a więc:

— J *\/V²-(-a² dt—\/ r²-{-a² j" ¹ df,

= (\/r²+a²)(<2—#i).

(i) Rektyfikacya krzywej przestrzennej określonej równaniami: y = -g- a:²,

dy — x dx, dz = æ² da;, ds² = (1-j—a?⁴)    = (l-f—-**)² <2a;²,

ds = (l-j--^ x²)dx,

U

zatem otrzymujemy długość łuku w granicach od a:,— 0 do x^—x w postaci:

« =    (1+y x²)““ *+y »

gdzie x, y, z są spółrzędne końcowegomi punktu krzywej.

6. Komplanacya walca rzucającego krzywą przestrzenną. Przypuśćmy, że krzywa przestrzenna określona jest jako przekrój walca o równaniu: y = cp(x) i powierzchni o równaniu: e=f(x, y). Element dF=PQP'Q‘, powierzchni tego walca możemy uważać za prostokąt o podstawie P'Q\ który jest elementem łuku krzywej ; y ==f(cc) i o wysokości:

PP=z=f[x, (p{x)\*=tp{x),

dF=z ds-Ąl+Y¹ dx='ip(x)il + [cp,(x)\idx, wobec tego otrzymamy powierzchnię walca w granicach od x—xj do x=x2 określoną wzorem :

czyli :

Mamy tu:

Ci

B’

Y    —po:

Fig. 171.

zatem :

f- rvwvi+w*)]²

•Jxt

. dx.

I-¹

X³.

czyli : s — xĄ-z,

(12)

7. Kubatura powierzchni dowolnych. Obliczanie objętości bryły ograniczonej powierzchnią o równaniu: F(x,y,z)-=0 nazywamy kubaturą tej

całki

powierzchni. Obliczenie to możemy wykonywać albo: 1) za pomocą pojedynczej, albo: 2) za pomocą całki podwójnej, albo: 3) za pomocą całki potrójnej. W pierwszym przypadku wyobrażamy sobie objętość V, którą mamy wyznaczyć, podzieloną na elementa bryłowe nieskończenie małe rzędu pierwszego dV, t. j. na takie elementa trójwymiarowe, których jeden tylko wymiar jest nieskończenie mały; w drugim przypadku wyobrażamy sobie objętość V podzieloną na elementa nieskończenie małego rzędu drugiego d² V, t. j. na takie elementa trójwymiarowe, których dwa wymiary są nieskończenie małe; w trzecim przypadku wyobrażamy sobie objętość V podzieloną

- 704 —

na elementa nieskończenie małe trzeciego rzędu, t j. na takie elementa trójwymiarowe, których wszystkie trzy wymiary są nieskończenie małe.

Elementami przestrzennymi trójwymiarowymi a nieskończenie małymi rzędu pierwszego są np. 1) warstwy walcowe o podstawie y²n, a o wyso kości dx, a więc o wielkości: dV=ny²dr, albo pierścienie kuliste o promieniu r, a o grubości dr, a więc o wielkości; dY=Yr²n . dr i t. p.

Elementami bryłowymi nieskończenie małymi rzędu drugiego są np. 1) graniastosłupy o podstawie prostokątnej o powierzchni dxdy, wysokości z a więc o wielkości: d²V=z dxdy, 2) graniastosłupy o podstawie w kształcie wycinka pierścienia kołowego o powierzchni rdcp.dr, a wysokości z, a więc o wielkości: d²V=zrdcpdr.

Elementami nieskończenie małymi rzędu trzeciego są np. graniastosłupy o wymiarach dx, dy, dz, a więc wielkości d?‘V=dxdy dz.

8. Zastosowanie całek określonych pojedyńczych w kubaturze powierzchni. Niech będzie F{x, y, z)=0 równaniem powierzchni, wtedy element dV objętości, zawarty między dwiema płaszczyznami prostopadłemi do osi x-ów w odstępie dx otrzymuje wartość: dV=Axdx, gdzie Ax przedstawia wielkość przekroju powierzchni F(x,y,z) = 0 płaszczyzną równoległą do ZOY w odstępie x. Znalazłszy powierzchnię Ax jako funkcyę zmiennej x, otrzymuj emy :

V= \ Ax dx, J Xx

wzór przedstawiający objętość powierzchni zawartą między dwiema płaszczyznami prostopadłemi do osi x-ów w miejscach xi i x₂.

Analogicznie otrzymujemy wzory:

ÇVi    fzJ

= \ Aydy i V= \ A~dz J y i    *hi

gdzie Ay i A~ przedstawiają wielkości przekrojów prostopadłych do osi y-ów i z-ów.

9. Zastosowanie całek podwójnych w kubaturze powierzchni. Niech

będzie z—f{x, y) równaniem powierzchni, natenczas używając elementów nieskończenie małych rzędu drugiego w postaci graniastosłupów o objętości: d²V—zdxdy otrzymamy na wyznaczenie objętości wzór:

(13)

CV*.

F=\    \ zdxdy=\ \ f{x,y)dxdy

* yx    J xt jyt

gdzie granice całkowania są wyznaczone przekrojem powierzchni z=f(x, y) płaszczyzną X0Y czyli krzywą f(x, y) = 0, względnie zależą od ograniczenia objętości wyznaczyć się mającej za pomocą walca opartego o płaszczyznę XOY.

Jeżeli powierzchnia daną jest równaniem F (x, y, ź) = 0, a chodzi o objętość bryły powierzchnią ograniczonej, wtedy, przyjmując, że każda prosta równoległa do osi z-ów przecina powierzchnię w dwu punktach o wysokościach zi i z2, otrzymamy dwie objętości, których różnica daje żądaną objętość w postaci :

V= \ \ (z₂—) dx dy.

j yt

V 45

- 705 -

Granice całkowania określa tedy walec styczny do powierzchni F(x₁y,z)=0,

dF

którego krzywa styczności określona jest równaniami F(x, y, #)=0, — =0,

z których po wyrugowaniu zmiennej z otrzymujemy równanie: cp(x,y)=0, jako równanie jej rzutu.

10. Zastosowanie całek potrójnych w kubaturze powierzchni. Rozkładając daną powierzchnię na elementa nieskończenie małe trzeciego rzędu w postaci : dz V=dx dydz, otrzymujemy objętość V określoną całką potrójną:

(**• fy*

= \    \    \ dxdy dz

•J x{ yl j z,

(14)

gdzie granice całkowania wynikają z równania powierzchni F(x, y, z)=0. Przy użyciu spółrzędnych sferycznych r, ©, <p, otrzymujemy wzór:

-T* T² f^Vsin ®drd6d(p.

*) rx @i •) (px

Jeżeli równanie powierzchni w spółrzędnych sferycznych przedstawia się w postaci r—f(©,    ), natenczas, przyjmując, że początek układu O znaj

duje się wewnątrz szukanej objętości, otrzymujemy ze względu na to, że:

Y 3

r² dr =

(15)

r

•'o

objętość w postaci całki podwójnej :

—i- ^0² J r* sin © d®d(p,

(16)

odpowiadającej podziałowi szukanej objętości na stożki z wierzchołkiem 0, o podstawie: r²sin@rf©ćńp i wysokości r.

Całą objętość w granicach od (pi=0 do cp₂ = 2n i od ®i— 0 do ®t=n podaje tedy wzór:

r³ sin © d©.

11. Przykłady, a) Kubatura ellipsoidy; —₂    *2 ~b ^2 ⁼ Przekrój ellipsoidy prosto

padły do osi OZ w odległości z od początku układu (fig. 172) jest ellipsą :

(17)

•■0-5) ' »*0-5)

⁴I)

której powierzchnia: ^z = r:aó^l—Objętość

war-

-li

stwy ellipsoidalnej w granicach od z=zy do z = z2 przedstawia się zatem wzorem :

i-

<:

1*1* • Z2

— abr.

5:0-5)

dz,

Fig. 172.

czyli :

Przyjmując «i=0, z₂=;s, otrzymujemy stąd:

1 g₂³—³ ~i

c² J*

0-15).

. -^-c, a stąd objętość całej ellipsoidy trójosiowej :

4

-g a&c re. Objętość ta wyraża się za pomocą całki podwójnej wzorem:

Pb... z = ab n

ab Ti z

skąd dla z — c wypływa: Fo

• 11 C

= abr.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

f=⁴‘ÎA “V¹

w²    4

— dxdy = ~^ abc tu,

a za pomocą całki potrójnej wzorem:

F-tff

^ o ^ o

»Y*— A-i-i

i.

co

abc tu.

dx dy dz —

æ/2    £>2    ^

ß) Kubatura hyperboloidy o jednej powłoce: —j + v,---₂ = 1 • Przekrój powierzchni

G/ O C

prostopadłej do osi OZ w odstępie z (fig- 173) jest ellipsą:

= i,

a²

1)

rvi

^1-j- ^2\)‘ Objętość

której powierzchnia: Az^abn

warstwy hyperboloidalnej będzie więc wyznaczoną wzorem:

Fz,... «j = oótu

OÓTU

(*+1)

czyli :

{(«2 — *l) + g^2 (2:2³⁻²'l ³) }*

Fz,.., z₂ = ab tu Przyjmując 2'i=0, z₂=z, otrzymujemy stąd:

Fo...z== «ÓTu

(•+£)-

abr.z

! co

abc tu.

skąd dla z = c wypada: Fo...c =

y) Kubatura hyperboloidy o dwu powłokach: ~—— ^y = l. Przekrój prostopadły do osi a;-ów w odstępie x (fig. 174) jest ellipsą:

•Fig. 173.

z²

iî

ó²

(5-0'-(5-0

= i.

której powierzchnia ^4x = óctu^—^—l). Objętość warstwy w granicach xx i x₂ będzie zatem :

l)

czyli: Vx,...x₂

-a:,³

3 a²

(X₂-Xi )}.

Przyjmując 0?!=«, x₂=x, otrzymujemy: x%—ai

F« ...a: = ÓCTU.f

(* — «)}•■=

-‘«(»-ify*¹-o

t 3«²

4

Dla x = 2a wypływa stąd: Va... la = -g- oóctu.

Fig. 174.

2 ^.2

3) Kubatura paraboloidy elliptycznej : ^ + ^ = 22:. Płaszczyzna prostopadła do osi

a:²

y'¹

z-ów w odległości « od początku układu (fig. 175) przecina ją podług ellipsy :

której osie są d\/2z i b\/2z, więc powierzchnia przekroju:

Az — a\/ 2z . bV • tu =• 2abr.z.

Objętość warstwy tejże paraboloidy elliptycznej pi’zedstawia się zatem wzorem :

Fz,...

2a²z

^ 2 b²z 1?

czyli :

Zj == 2ab tu \ ² z dz = abK {z% ²—zi ²),

j Z t

F = ab tu (z₂ -\~zi ) (zi ~z\ )•

- 707 -

Kładąc z₂ — zi — h i uwzględniając, że 2abr.zi = A₂, 2ctbnzl — Al przedstawiają powierzchnie przekrojów: górnego w wysokości z₂ i dolnego w wysokości z{, otrzymamy po-

h

wyższy wzór w postaci: V =

A.

[IC

/_v _ vl

U    a'² ft²

1C

Fig- 175.

Fig. 176.

Dla zt = 0, z₂ = z, otrzymamy :

Fo ... z = ab z'². Jt, czyli :

Fo...z—2abnz.    = A .

e) Kubatura paraboloid} bj perbolicznej :

= 2 z. Płaszczyzna prostopadła do osi x-ów w odległości x od początku układu (fig. 176) przecina powierzchnię podług krzywej :

Powierzchnia przekroju wzniesionego nad płaszczyzną XOY, otrzymuje tedy wartość: 4    4 x²

Objętość warstwy tejże paraholoidy hyperholicznej przedstawia się zatem wzorem:

Frt...

Dla a?i= 0, a-j = x, otrzymujemy stąd: Fo... * =

2 h x₂i—xii

^Sa²’    4

2 b    x    x

T⁼3"    *T’ CZyh:    4-

12. Komplanacya dowolnych powierzchni. Niech będą x, y, s spółrzędne punktu P, zaś a: 4-tto, y + dy, £ + £?£ spółrzędne sąsiedniego punktu $ (fig. 177), powierzchni z=f(x, y) Przeprowadzimy przez punkta P i Q po dwie płaszczyzny : jedną równoległą do XOZ, drugą do YOZ, to płaszczyzny te ograniczą na danej powierzchni element czworokątny PQ, którego rzut na płaszczyznę X0Y będzie prostokątem P‘Q‘ o powierzchni: d^J—dxdy. Element PQ powierzchni mieści się na płaszczyźnie stycznej punktu P (art. 6 str. 608), t. j. na płaszczyźnie: p (X—x) + q ( Y—y)=Z—z, dz dz P=di’ "⁼Ty

i otrzymuje wartość: d²F

I*

iV-\

gdzie :

S’

o’

dxdy

gdzie y jest

Fig. 177.

cos y ’

kątem, jaki ta płaszczyzna tworzy z płaszczyzną XOY. Mamy tedy :

cos y—

zatem otrzymujemy: d² F=dx dy . ^Jp²+g²+1,

Vp²d-g²+ 1 ’

wzór podający element pobocznicy danej powierzchni. Stąd otrzymujemy wzór na komplanacyą powierzchni w postaci :

A. **i

czyli :

fyi fi** t // dz\²    / dz\ ²

X, VUJ ⁺ Uy/

-j- 1. dx dy,

(18)

gdzie granice całkowania zależą od ograniczenia rzutu powierzchni, która ma być obliczoną.

Zamiast elementu, którego rzut na płaszczyznę XOY jest prostokątem o powierzchni dxdy, możemy niekiedy z korzyścią przyjmować na danej powierzchni 0=f(x, y) takie elementa, których rzuty przedstawiają się w postaci wycinków pierścieni (fig. 178) o powierzchni rdcp . dr, gdzie : /    x—r cos cp, y=r sin 9).

W takim razie otrzymujemy wzór komplana-

-X cyi w

c\;

■Ł/

postaci : J-PC^JS±.

cosy

(19)

Niekiedy upraszcza się rachunek wskutek wprowadzenia spółrzędnych sferycznych r, (p, cp określonych wzorami :

x=r sin cp cos cp, y=r sin cp sin cp, z=r cos cp. Wzór na komplanacyę powierzchni otrzymuje w takim razie kształt:

I«*

s’

Fig. 178.

f=IZ Vr! sinî ?+(î)2 sin>+(^)²-

(20)

13. Przykłady. «) Komplanacya kuli: cc²-fy²-|-2² = a². Mamy tu:

czyli :

przeto wzór:

dz = —

x dx-\-y dy-\-z dz = 0,

x , y ,    dz    x

— dx--dy, a więc: — =--

z    z    dx    z

Oz__

dy

adx dy

SA

V a²—cc²—y²

Dla jednej ósemki kuli (fig. 179), otrzymujemy zaczynając całkowanie od zmiennej y, granice yi = 0, y₂=V/«²—o;², a następnie cc₁=0, x₂=a, zatem:

/s/ a¹—x²

F-$‘$

a dx dy

iS

A że:

\Za²—x²—y ²

\/ o²—x²

dy

V/a²—x%i—y²

rß dy ß

J o V/ß²—yi    0

arc s

2’

I*

----■ -06

zatem :

IV

F- [aaK J o

~2

dx = —

a² n

Fig. 179.

2 o

Powierzchnia całej kuli jest zatem:

_    ₀ a²7t

F==8‘~2

4 a²rc.

Gdybyśmy chcieli całkować najpierw podług x, a potem podług y, wówczas mielibyśmy przy ósemce kuli dla zmiennej x granice #1=* 0, x₂ = \/oP¹ y² > a dla y gianice y,= 0, y₂ = a, a więc wzór:

ady dx

y/a²— a?²—y²

-r*r

** o ^ o

<Zcc

(*a a    cc arcf“ a²Jt

— \ a dy arc sin — =₀\ dy = —. 0 0 0 J

O \/a²— æ²

ß) Komplanacya powierzchni xy = az. Przekroje tej powierzchni płaszczyznami równo-ległemi do ZOX i ZOY są liniami prostemi, a powierzchnia sama paraboloidą hyperbo-liczną. Mamy tu:

« 'a    dx a

-oti+s⁺s**-

Ograniczając powierzchnię płaszczyzną równoległą do ZO Y w odstępie O A — a i równoległą do ZOX w odstępie OB = ß, otrzymamy rzut tej części powierzchni na płaszczyznę

XOY w postaci prostokąta o bokach a i ß, zatem:

c-s

⁼    ^ V/**+y*+«*«** *y-

r>

Gdybyśmy daną powierzchnię ograniczyli jej przekrojem z powierzchnią walca: a:²-f-y² — c², tedy przedstawiłby się rzut tej części powierzchni na płaszczyznę XOY jako koło o promieniu c (fig. 180). Element powierzchni, którego rzut na XOY jest rdvdr otrzymuje tedy wartość:

Fig. 180.

d²l

⁼V¹⁺

a² ^ a²

rd<P dr

\/ a²-\-r ²

r d<P dr

gdzie r² = x'l-\-y².

Zatem powierzchnia rzucająca się jako koło o promieniu c ma wielkość:

« [/a²-j-r²    ,

— r d<P dr

(•271 Cc

JP=J J

•'O    ^ 0

rindyfc --

“3,

r dr,

a więc:

2r.

= ~[(a²+c²)’l>-a%

cc² . y²

y) Komplanacya ellipsoidy trójosiowej. Z równania: —^ -j- ^ -f-    = 1 dostajemy:

-.yi

a;² y²

Ô²'

ca:

à*

cy

óa;

a²

*/²’

ty

a² i²

a:² y²

a²~P

zatem element powierzchni:

1—

cü²jF = dxdy

CT²—c² ^²_ a² ’ a²

Ô²—c² y2 6²    * Z>²

₁ _ æ² _ y²

a² &²

Przyjmując, że o>6>c, możemy położyć: są ułamkami właściwymi, zatem :

o²—c²

a²

a²

&² — c²

Z>²

ß², gdzie a i ß

a² a;² ß² y²

d²F — dxdy

a²

ó²

a:²

a² &²

Powierzchnia ósemki ellipsoidy jest tedy określona wzorem:

\/ a¹—æ²

1—

a² x²

ß²y²

a²

&²

1-

2/²

dxdy,

a² &²

który prowadzi do całek eliptycznych.

5) Komplanacya powierzchni śrubowej: z = a . arc tang    Mamy tu:

aa:

? ty »²+y² ’

_ dz    ay

^ dx    x²Ą-y²

zatem :

d²F

=yi+

a²y²

a²a;²

(a:²-|-y²)² “ (a:²-fy²)²

dxdy = y 1+

a²

a;²-{-y²

dx dy,

u więc:

Przetnijmy daną powierzchnię walcem: æ²-|-î/² = r², wtedy otrzymujemy na wyznaczenie tej części powierzchni śrubowej, której rzut na płaszczyznę XOY przedstawia się

jako ćwiartka koła o promieniu r (fig. 181), wzór:

l>

Fig. 181.

IV

15'

Fig. 182.

Vrï—x¹ ,-

VH

a²

*/•

x²4y²

Zamiast spółrzędnych prostokątnych ar, y punktu P* położonego wewnątrz koła (r), może--—V    my tu użyć spółrzędnych biegunowych p i 9°.

Połóżmy zatem: ar = p cos 9°, y = p sin <P, x²-j-J/² = p², wtedy powiększając p o dp, a <P o d<P, otrzymamy na płaszczyźnie XOY (fig. 182) element prostokątny p d<Pdp jako rzut elementu pobocznicy powierzchni śrubowej o wielkości :

== p d<P dp yl-j- ^ , czyli: d² F= y/a²_|_p2 dp d<P.

cos y

Szukaną powierzchnię wyznacza zatem całka:

d<P \ r y/V²+p²ob ¹² o

a że:

r\/a²+r²

przeto otrzymujemy:

r-{-N/«²⁻!⁻²’²

F — -r\_r y/a²+r²+ a² log

14. Momenta statyczne i środki ciężkości powierzchni i brył. Na podstawie określenia momentu statycznego danej formy geometrycznej, jako sumy momentów statycznych jej elementów, otrzymujemy moment statyczny powierzchni 0=f(x, y) w dowolnem ograniczeniu względem płaszczyzny XOY, określony wzorem :

= \    \ 0^p²-\-q² + l dxdy,

moment statyczny odnośnej objętości wzorem:

= TT

•Iz, Jy, j xx

z dx dy d0.

(21)

Moment statyczny tejże powierzchni względem osi x-ów określa wzór:

= f ( V^²+y² Vp²+?9j + 1 dxdy,

Jyt Jxx

(22)

moment statyczny odnośnej objętości względem osi a>ów w}'znacza się wzorem :

= i [ ( V#²+y ² dx dy d0.

Jzt

(23)

śla wzór:

Moment statyczny tejże powierzchni względem początku układu okre

= ( ( * ( ¹ V®²d-y’l + 0ï - ^lp²+q²+ldxdy,

•1 y, *1 x, *1 z,

(24)

a moment statyczny odnośnej objętości względem początku układu wyznacza się wzorem:

(25)

= Ç ( ( ^x²-\-y²+z². dxdy dz.

* Zt * yx J Xl

z których otrzymujemy:

Na wyznaczenie spółrzędnych prostokątnych f, r\, £, środka ciężkości powierzchni z=f(x,y) dowolnie ograniczonej służą wzory: £.F=MX, rj.F=My, £. F= M

Ç ² y^p² + q² +1 dx dy

J y x J x,

^ \ ² x^jp²+ q² + l dxdy J yx ^ x,____

* y i * »i J

Ç ²^P² + q²+ 1 dxdy

" y t J *i

(26)

^    ² z^p² +g² + l dxdy

J y i J xx_________

Cÿ2 C**}]p²+q²Ą-1 dxdy

J Vx J rt

podczas gdy spółrzędne £, rj, £ środka ciężkości odnośnej objętości będą określone wzorami :

'frr

\² \j2 \ ¹ xdxdy dz

J z, J yy J x,_

J² j^² j**² dx dy dz

f"² \Xi y dxdydz

n == J zi J yi J xi_____

fZî [Vt f*² dxdydz

Jzt J yx J xt

U-Y

T² f* P² z dxdydz

J h J y i J *x_

P² C* P* dxdydz

j Zi V yx j <xx

(27)

15. Momenta bezwładności powierzchni i brył. Na podstawie określenia momentu bezwładności formy geometrycznej, jako sumy momentów bezwładności jej elementów, otrzymujemy moment bezwładności powierzchni: z—f(x, y) dowolnie ograniczonej względem płaszczyzny XOY określony wzorem :

i=( ( z²^p² + q²+l. dxdy,

dy, Ji,

(28)

względem osi x-ów wzorem :

1= f ’ \ * (z² + y²)^p² + q² + l. dxdy,

dy, dx,

(29)

względem początku układu wzorem:

J=( ² ( \x²+y² + z²)’]/p² + q²+1. dxdy,

J y, d xt

(30)

podczas gdy moment bezwładności odnośnej objętości wyznacza względem płaszczyzny XOY wzór:

Tzi Cy*

dz, dÿ, d as,

z² dxdydz,

(31)

względem osi x-ów wzór :

Czi fy* Cx*

1=) \    \ {z²+y²)dxdy dz,

dz, dÿ, J Xl

(32)

a względem początku układu wzór:

Cz2 f2/i Cxt

7=c\ \    \ (x² + y² Ą-z²)dxdy dz.

dz, dy, dæ.

(33)

- 712 -

16. Potcncyały powierzchni i objętości. Na podstawie określenia potency ału formy geometrycznej jako sumy potency ałów jej elementów otrzymujemy potencyał powierzchni z—f{x, y) dowolnie ograniczonej względem płaszczyzny XOY określony wzorem:

CX2

M

l'j/j V xt

** ^p²+q² + l dxdy

(34)

względem osi x-ów wzorem :

MT

J y i *'*,

^]p² + q2jrl dx dy

^#²+y²

(35)

względem początku układu wzorem :

Çîh Cxi

M

* Vi * xi

x*^p²Ą-q2jrl dx dy

^ x² + y² + z²

(36)

podczas gdy potencyały odnośnych objętości wyznacza względem płaszczyzny XOY wzór:

względem osi z-ów wzór:

f*Z2 (.Vi (,xl

HU,

v- r r r

** dxdydz

(37)

** dx dy dz

WW’

(38)

względem początku układu wzór :

dx dy dz ^ x² + y²+z²

17. Przyciąganie punktu przez powierzchnie i bryły. Na dany punkt P(a, &, c) w przestrzeni wywiera element dm formy geometrycznej przycią-

gdzie r jest odległością

nzi nTJi nx2

HU,

(39)

ganię, którego wielkość wyraża się różniczką:

dm

elementu od punktu P.

Wielkość przyciągania punktu P(a, b, c) przez powierzchnię z=f(x, y) dowolnie ograniczoną wyraża się zatem całką :

Vp²d-g²+1 . dxdy

(x—a)² + (y—b)² + (z—c)

(40)

wielkość przyciągania tegoż punktu przez odnośną objętość zaś całką:

(41)

dx dy dz

(x—a)² + (y - b)² + (z—c)r

•Np. kula pełna o równaniu x²y²z²=r² wywiera na punkt P(a, b, c) zewnątrz niej położony przyciąganie o wielkości :

r +r f

w-lM

-f-Y/V²—z2 —\/r²—x²

dy\

_|_y/r2—x²—y²

dx dy dz

(42)

s = x-\-y—z.

5)    Wykazać, że długość łuku linii śrubowej : x — a cos <P, y = a sin <P, z = b .<P w granicach od 9°! do <P₂ wyznacza się wzorem: s = (<P₂—9’₁) \Za⁷-j-b⁷.

6)    Wykazać, że długość łuku krzywej : x = eatf cos 9°, y = ea(p sin 9», z — bea(f>. zwanej spiralną stożkową, w granicach od 9pt do 9°₂, względnie od zt do z₂ wyznacza się wzorem:

~äb~ V/l+«M-a²fc².

— V/l+o²-f-a² b² (eacP*—eacpi), względnie : et

y2    CL (    ß \

7)    Znaleźć długość łuku krzywej o równaniach:    -f- ~ = 1, x = — \e Ą-e J,

liczoną od punktu z — 0.

8) Wykazać, że długość łuku krzywej określonej równaniami:

aa; ,    2 = Y/5«* ,

z

V/5

= a sin —

1)    Znaleźć długość łuku linii śrubowej o równaniach : x = a cos —, y w granicach od zt=0, do z₂= z.

2    /p3

2)    Wykazać, że długość łuku krzywej: y = — , » = —₂ w granicach od £C!=0 do x₂ = x przedstawia się wzorem s — x-\-z.

dz 1

3)    Wykazać, że krzywe o równaniach y—f(x), — = — [/'(*)]*, mają długość określoną wzorem: s = x-\-z-\-0.

łuku

4cc³

4) Wykazać, że dla krzywej przekroju powierzchni: (z—x)⁷ = -j—, (y+a0² = 4ax jest

— 713 —

Ćwiczenia XLIY.

liczona od początku układu ma wartość: s — y-\——.

9) Znaleźć długość łuku krzywej: y — 2\/ax—x, z —

<M I CO

układu.

, liczoną od początktu

10)    Wykazać, że długość łuku krzywej: y — 2\/2px, z = p log—, liczonego od x = a ma wartość s — x-\-z—a.

______ 2a

11)    Znaleźć długość łuku krzywej: y = \/2ax—x⁷, z = alog=--, liczoną od po-

1    ,    a-\-x

» = — a log—-z    a—x

czątku układu.

a’

12)    Zbadać kształt krzywej określonej równaniami: y = a . arc sin ~ i wykazać, że długość łuku liczona od początku układu wyraża się wzorem: s = x-\-z.

13)    Znaleźć długość łuku krzywej: y = \/a⁷—x⁷, z = a log --^-xoàxi — 0

do x₂ — x.

14)    Wykazać, że długość krzywej przekroju walca parabolicznego (y-{-z)⁷ = 4ax ze

4

stożkiem elliptycznym -g- x⁷Ary⁷—zl = 0, liczoną od początku układu możemy wyrazić wzo-

= z\/ 2.

15)    Wykazać, że wzór s = z\/2 przedstawia także łuk krzywej przekroju walca parabolicznego [z—y)⁷—3a(zĄ-y) = 0 ze stożkiem elliptycznym x⁷-\-y⁷—z⁷ =0.

16)    Dane są dwie powierzchnie obrotowe o wspólnej osi obrotu: 1) ellipsoida:

CK 2 Jy 2

——— y2 = a⁷] wykazać, że powierzchnie ich

rem : s

x⁷-\-z⁷-{-

a\y⁷

b⁷

= a², 2) hyperboloida : x⁷-]rz⁷—

— 714 —

zawarte między dwiema płaszczyznami prostopadłemi do osi obrotowej mają jednakową, wielkość.

17) Wyznaczyć objętość bryły, jaką walec x²-\-y² = b² wycina z kuli x²-\-y²-\-z² = a²,

gdzie b <fl.

18) Wyznaczyć wielkość objętości, jaką kula: x²-\-y²-\-z² = a² ma wspólną z walcem:

x²-\-y² — ax.

19)    Wyznaczyć objętość walca: x²Ą-y² = a² ściętego płaszczyzną: z — a; tang a.

20)    Wyznaczyć całkowitą objętość bryły powstałej przez obrót konchoidy: xy = («+</) (&²—y²)'/i około osi x-ów.

21)    Zbadać kształt powierzchni: c²z² = (a²—x²)y² i wykazać, że całkowita jej objętość jest równa : a²c . n.

22)    Wykazać, że całkowita objętość walca kołowego: x²-\-y² = a² wspólna z wal-

16

a³.

cem x²Ą-z² = a² ma wartość: 1 =

23)    Jak wielką objętość kula: x²-\-y²Ą-z² — a² ma wspólną z walcem: x²-\-y² = b².

24)    Wyznaczyć wspólną objętość, jaką paraboloida obrotowa y²-\-z² = 4ax zawiera z walcem: x²-\-y² = 2ax.

25)    Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót ćwierci linii kołowej około stycznej w jednym punkcie końcowym luku.

26) Po prostej — + —= 1 leżącej na X0Z i po elipsie:    — 1 leżącej na 10 7

porusza się parabola o parametrze: 2p =--, równolegle do YOZ, obliczyć objętość bryły

w zakresie jednej ćwiartki układu.

27)    Obliczyć objętość bryły zawartej między pięcioma płaszczyznami: z — 0, x = a, x = b, y — a, y = ß i powierzchnią krzywą o równaniu: xyz — c³.

1,

28)    Wyznaczyć objętość zawartą między walcem oliptycznym :    -f-    ^ ^ =

a paraboloidę hyperboliczną : z — ^-.xy.

29)    Obliczyć objętość bryły, zawartej między paraboloida hyperboliczną: z—— xy,

płaszczyzną: x \-yĄ-z = c i płaszczyzną X0Y, (z = 0) w obrębie ósemki układu o spółrzę-dnych dodatnich.

30)    Wykazać, że komplanacya powierzchni, określonej trzema równaniami:

»=/(«, »), y = V{u, v), z — ł(w, v) o dwu parametrach u} v, prowadzi do wzoru:

du dv.

31)    Obliczyć całkowitą pobocznicę powierzchni, ograniczonej walcem: x²Ą-y² — ax i kulą: x²-\-y²-\-z² — a².

32)    Wykazać, że część powierzchni kuli : x²-\-y²Ą-z² = a² wycięta przez dwie powierzchnie walcowe o równaniach: x²-\-y² = ax i x²Ą-y² = —ax ma wartość: F = 4a²rc—8a².

33)    Wykazać, że część powierzchni śrubowej: y — x tang~ zawarta między dwoma

walcami kołowymi spółśrodkowymi o równaniach: x²-\-y² — a i x²-\-y² = b i dwiema pła-c    c

szczyznami: z——n i z —--— rc ma wartość:

bĄ-Vb²+c²

+ V/a²+c2/'

y jó\/ó²-fc² — a \/a²Ą-c² + c²log

34) Wykazać, że całkowita pobocznica powierzchni : (x²-\-y%-\-z²)² = a²(x²—y²) ma wax⁻-to ść:f=^.

- tang² <P •

35) Wyznaczyć tę część powierzchni kuli: x²-\-y²-\-z² — 1, której rzut na płaszczyznę XOY obejmuje wnętrze krzywej o równaniu biegunowem:

36)    Wykazać, że środek ciężkości bryły powstałej przez obrót około osi z-ów pola

cc² y²

kyperboli:    — — = 1 ograniczonego rzędnemi w xt i x₂ ma spółrzędną:

3    x₂ ¹—xt ¹—2a²(x₂ ²—xi ²)

4    x₂³— ajj³—3a²(x₂—aą) ’

37)    Wykazać, że środek ciężkości bryły powstałej przez obrót jednej gałęzi cissoidy

x³ — y²(2a—x) — 0 około jej asymptoty leży na tejże asymptocie w wysokości: r\ = —.

71

38)    Wykazać, że środek ciężkości powierzchni powstałej przez obrót połowy jednej gałęzi cykloidy: x — a (y—sin V), y = a(l—cos 9°) około jej podstawy leży na tejże podstawie w odstępie: £=^r.

39) Wykazać, że środek ciężkości bryły zag. 38. określonej leży także na osi #-ów w odstępie : Ç = a

64

4Ö7C

)•

40) Wykazać, że środek ciężkości powierzchni paraboloidy obrotowej, powstałej przez obrót paraboli: y²— 2px około osi #-ów w granicy od #1 = 0 do x₂ = x znajduje się na osi obrotu w odległości:

”5

1 (6x²-\-px—p²)\/2px-\-p² -p3 (2#-j-p) \/2pxArp² —p²

41)    Wykazać, że środek ciężkości powyższej objętości znajduje się także na osi #-ów

2

w odległości: £=-g-:c.

42)    Wyznaczyć środek ciężkości połowy ellipsoidy obrotowej powstałej przez obrót x2, y²

ellipsy:    -f- ~ = 1 około osi #-ów.

43)    Wyznaczyć środek ciężkości połowy powierzchni ellipsoidy obrotowej w poprzednim zagadnieniu określonej.

2    y 2

44) Wyznaczyć objętość bryły, jaką walec: —^ H—^2== wycina z paraboloidy:

x² . y²

--b

= 2 z.

45)    “Wyznaczyć objętość bryły ograniczonej płaszczyzną XOF, walcem: x²-\-y² = ax i paraboloidą obrotową: x²-\-y² = cz.

46)    Wyznaczyć objętość wspólną dwu walcom: x²-\-z² = a² i x²-\-y² = a².

47)    Wyznaczyć wielkość objętości, jaką ma wspólną kula: x²-\-y²-)rz² =* a² z walcem: x² (x²Ą-y²)—a² (#²—y²) = 0.

48)    Jak wielką objętość obejmuje część powierzchni : a²y²-\-x²z²—r²x² = 0 ograniczona płaszczyznami: x = 0 i x = a.

1 ma wartość: F= —

na

51) Wykazać, że moment bezwładności ellipsoidy :    -j-    = 1 ze względu

52) Wyznaczyć moment bezwładności stożka kołowego o równaniu: x²-\-y² = ze względu na oś z-6w.

N5 tO

z²

53)    Wykazać, że objętość bryły powstałej przez obrót odwiniętej koła o równaniach

x=a(cos    sin <P), y = a(sin V—9° cos <P) ma w granicach od 0 do V wartość:

V = 2o²n (3 sin <P—8qp cos V—<P² sin 9»).

54)    Wyznaczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej : y = a<P, æ = a(l—cos 9°) około osi a>ów.

55)    Wykazać, że powierzchnia części walca: x²-\-z² — a² ograniczonej krzywą jego przenikania z walcem: x²-\-y² = a² ma wartość: F = 8a².

56)    Jak wielką jest powierzchnia części kuli: x²-\-y²-\-z² = a² ograniczonej krzywą jej przenikania z walcem: x²-\-y² = ax.

57)    Jak wielką jest część powierzchni walca: x²-\-y² — ax, ograniczona krzywą jego przenikania z kulą: x²Ą-y²-\-z² — a².

58)    Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót ellipsy: y — Cziz — \/ a²—x² około

osi x~ów.

59) Wykazać, że powierzchnia paraboloidy hypex’bolicznej o równaniu: z~ —

-xy

ograniczonej płaszczyznami x = 0 i x ~ a, tudzież y — 0 i y = b przedstawia się wzorem:

b+\/c²+a²+bï ,

Vc²+x²+y²dy = ~yc²+a²+b² + ^^-\og

(3c²Ą-b²)b .    a+\/c²+a²-\-b² c²

6c ' l0g

V/ c²+b²

ab

arc tang —.    ----.

³    c\/c²+a²+b²

\/ c²-\-a²

60) Wykazać, że powierzchnia paraboloidy hyperbolicznej o równaniu: x²—y² = 2pz ograniczona krzywą jej przenikania z walcem: x²-\-y²—a przedstawia się wzorem:

c a    pV aI+œï

F= \ dx \

" o •'O

2k

Y/p²+*²+y2 dU = 3^ [(p²+«²) V p²+a² ~ P³]-

V/ a²-\-b²

V a²-\-b2 b **

17) F= -^-7: [a³ - (a²—ó²)³/>].

Rozwiązania LXIV. 1) s

11N i _ V/2a + V x 11) a log — —=

\/ 2 a — \/ x

2

19) -g- a³ tang a.

₂₆₎    27) c> log A log |.

8B)|-+\/2log(V/2+l)-y4log(V/3+ Vi)- 42)5 =

13)

7)

9) xĄ-y—z.

4    4    /    8 \    u³k

20) a6²(7ca+-|-6). 23)    7c(a²-ó²)²/s.    24) 2a³ (*+—}. 25) — (10-3r).

28) ^ t:.    29)    - log 4) c³.    31)

2a[l—(1—e²)]³/» 3e²[V/l—e² -j-— arcsin e]

h

. 52) I=^r². F. 54) F=a³ 7t(7t²—4).

F = 2ab..

co co

a. 43) ? =

3 «⁴7C

V/ a²4-&2 £ = -!-.

a

8a³/ 7t 1 , , J    ar² tu w

«) t(t- 2-+l0« V- ⁴⁸⁾ -2- ⁴⁹⁾ -

66)fw(|-_l)

Literatura. Dr. Oskar Schlömlich: Übungsbuch zum Studium der höherer Analysis. Zweiter Theil. Aufgaben aus der Integralrechnung. Vierte Auflage. Leipzig 1900.

44) F=

57) 4a².

(M |cO

abn(2³h—1).

45) V=

32 c

a³.

abcr.(b\/2 —4)

24

58) F = 2a6c7T².

lematy do rozprawek naukowych

1.    Teorya momentów statycznych i środków ciężkości.

2.    Teorya momentów bezwładności.

3.    Teorya potencyałów i przyciągania mas.

¹

płaszczyznę YOZ ma wartość: I=j-a³bcn.

Wykład XüV.

Teorya styczności i krzywizny krzywych przestrzennych.

1. Styczna do krzywej przestrzennej. Niech będzie daną pewna krzywa przestrzenna za pomocą trzech równań parametrowych kształtu:

(1)

£=/(*), y=y(t),

gdzie x₎ y, z są spółrzędne bieżącego punktu tej krzywej, a t dowolnym parametrem.

Kierunek stycznej w pewnym punkcie krzywej przestrzennej wyznacza linia prosta, łącząca punkt styczności z sąsiednim punktem krzywej, który do punktu styczności nieograniczenie się zbliża.

Punkt nieskończenie blizko punktu x, y, z położony będzie tedy miał spółrzędne: x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz.

Niech będą X, Y, Z spółrzędne zmienne punktu linii prostej, to jej równanie będzie miało kształt :

X=mZ-\- fi, Y=nZ+v.

Jeżeli ta prosta ma być styczną krzywej, to muszą spółrzędne punktu styczności x, y, z i punktu z nim sąsiedniego: x-\-dx, yĄ-dy, z-\-dz, dogadzać równaniu tej prostej ; na

x=mzĄ-fi, y=nz-\-v, jakoteż: xĄ-dx=m\zJrdz)Jry, y-\-dy=n(z-\-dz)-\-v, z których wypływa:

tej podstawie otrzymujemy równania warunkowe:

dx

dx=mdz, dy=ndz, a więc:    ,

dy

n=~

dz

dy

przeto :

dx

[i=x—mz=x—z-^, v=y—nz=y—z

Podstawiwszy te wartości w równanie prostej, otrzymamy równanie stycznej w punkcie æ, y, £ w postaci:

dx

dx

dy

dy

dz

dz

Y=Z^+y-z~, czyli:

dz

X—

dz

(2)

albo w postaci równych stosunków:

X—x __ Y—y Z—z dx dy dz

- 718 —

Element krzywej zawarty między dwoma sąsiednimi punktami krzywej nazywa się różniczką łuku i oznacza przez ds—^jdx²-\-dy² + dz². Kierunek tego elementu zgodny jest z kierunkiem stycznej w punkcie x, y, z, jeżeli więc X, fi, v, oznaczają kąty, jakie styczna tworzy z osiami układu, wtedy mamy wzory :

ax

dy

dz

(4)

COS V = -T-o

ds

cos /i=3:

2. Asymptoty krzywej przestrzennej. Asymptoty są styczne, których punkt styczności z krzywą leży w nieskończoności. Niech będzie daną krzywa przestrzenna zamocą równań :

ds ’

X D' V D' * D

gdzie A, B, C, D są funkeyami całkowitymi n-go stopnia, zmiennego parametru, który oznaczamy przez t Celem wyznaczenia równania stycznej otrzymamy tu :

dz=

DA'—AD‘

₂ dt, dy

DB'-

BD¹ 7, -dt,

dz—

DO-CD¹ u

-—-dt.

D²

Równania stycznej przedstawiają się przeto w postaci:

X-x

Y-y

Z—z

DA'-AD¹ CD'—CD' DB‘-BD

skąd jeżeli podstawimy: x = cznej w postaci:

y=

b, b

z=

C

-p, otrzymamy równania sty-

{DO—CD') X=(DA‘-AD‘) Z+{AO-A'C),

{DO—CD') Y^{DB'-BD')Z+{BC'-B,C).

Styczna staje się asymptotą, skoro punkt styczności wpadnie skończonośó, w tym razie musi być D=0.

Równania asymptoty otrzymują więc kształt:

D‘CX=D‘AZ-\-A‘C—AO D‘A Y= D'BZ+B‘ C—BO

t-:: -

D = 0.

(5)

w nie-

Równanie D=0 jest stopnia n-go ma więc n pierwiastków: t które określają n punktów w nieskończoności. Istnieje tu zatem w ogólności n asymptot. Rzeczywistym pierwiastkom t odpowiadają asymptoty rzeczywiste, urojonym urojone. Jeżeli równanie Z)=0 ma dwa pierwiastki równe, wtedy będzie dla tych pierwiastków także D‘=0. Równanie asymptoty otrzymuje tedy kształt:

0=B'C—C‘B

0=A*C— C'A

i przedstawia prostą w nieskończoności. Równym pierwiastkom równania D=0 nie odpowiadają przeto żadne asymptoty.

3. Płaszczyzna normalna krzywej przestrzennej. Proste prostopadłe do stycznej w punkcie styczności x, y, otworzą płaszczyznę, zwaną: płaszczyzną normalną krzywej w punkcie x, y, z. Jej równanie znajdziemy w sposób następujący: Równanie wszelkiej płaszczyzny ma kształt:

Ax By -f- Cz -f- D =,0.

- 719 —

Jeżeli ta płaszczyzna ma przechodzić przez punkt x, y, z krzywej przestrzennej, tedy musi się spełnić warunek:

Ax 4- By -f Cz + D=0,

który w połączeniu z równaniem ogólnem płaszczyzny daje równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt x, y, z w postaci :

A(X-x) + B(Y-y) + C(Z-z)=0.

Jeżeli ta płaszczyzna ma być płaszczyzną normalną, to musi być prostopadłą do stycznej w punkcie x, y, #, która ma równanie :

Z-z

X—x Y-y

dx

dy

dz

muszą przeto zachodzić równania :

ABC

dx dy dz ’

na tej podstawie ma równanie płaszczyzny normalnej w punkcie x, y, z postać :

(6)

dx(X—x)-\-dy (Y-y)Adz(Z—z)=- 0.

4. Płaszczyzna ściśle styczna. Płaszczyzna, przechodząca przez trzy nieskończenie blizkie punkta krzywej przestrzennej, nazywa się płaszczyzną ściśle styczną krzywej. Niech będzie æ, y, z danym punktem krzywej przestrzennej, tedy otrzymamy równanie płaszczyzny przez ten punkt przechodzącej w postaci:

(a)

A(X-x)Ą-B(Y—y)Ą-C(Z—^)=0.

Jeżeli ta płaszczyzna ma także przejść przez punkt sąsiedni x\dx, y Ady, z + dz, tedy musi zajść warunek:

czyli :

A [(x+dx)—x] H- B [(y+ dy) - y] + C [{z + dz)—z]=0, AdxĄ-B dy+ Cdz=0.

(&)

Warunek ten otrzymamy wprost, różniczkując równanie płaszczyzny (a) ze względu na spółrzędne x, y, #, stąd ważny wniosek: Warunek, aby płaszczyzna przechodząca przez dany punkt, przechodziła także przez punkt sąsiedni, otrzymamy, różniczkując jej równanie ze względu na współrzędne tego punktu. Zastosowując to twierdzenie jeszcze raz do warunku (b), otrzymamy warunek, aby płaszczyzna jeszcze przez trzeci następny punkt prze* chodziła w postaci :

A d²x+B d²y Ą~Cd²z=0.

(<0

Z równań warunkowych:

AdxĄ-B dy+ Cdz=0 i Ad²xĄ-Bd²yA Cd²z=0, A (dx d²z—dzd²x)+B {dy d²z—dz d²y)=0,

A (dx d²y—dy d²x) + C(dz d²y—dy d²z)=0,

otrzymamy :

przeto :

(d)

dy d²z—dzd²y dz d²x—dx d²z dxd²y—dy d²x

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej w punkcie x, y, z otrzymuje przeto kształt :

0 =*(X-x) (dy d²z—dz d²y) + ( Y—y) (dz d²x- dx dh) + (Z—z) (dx d²y- dy d²x) (7)

czyli w postaci wyznacznika:

X—x, Y—y,

Z-B

dx

dy

dz

=0.

(8)

d²x

d²y

d²z

który rozwinięty daje równanie:

(9)

P(X—x) + Q ( Y—y) + B {Z—z)=0,

gdzie :

P=dyd²z—dzd²y, Q=dzd²x—dxd²z, B=dxd²y—dy d²x.

Jeżeli krzywa jest płaską, wtedy są spółczynniki P, Q, 11 dla każdego punktu x, y, z krzywej stale jednakowe; płaszczyzna ściśle styczna jest przeto płaszczyzną, na której leży ta krzywa płaska. Spółczynniki równania płaszczyzny ściśle stycznej tworzą więc kryteryum dla krzywych płaskich i przestrzennych.

5. Normalna główna i Mnornialna. Normalną główną do krzywej

dx(X.—x)-\-dy(Y—y) + dz(Z -z)=0 i równanie płaszczyzny ściśle stycznej :

w przestrzeni nazywamy przekrój płaszczyzny normalnej z płaszczyzną ściśle styczną. Prosta ta daną jest przez dwa równania: równanie płaszczyzny normalnej :

P(X-x) + Q (Y—y) + B (Z—z)=0.

Z tych dwóch równań otrzymujemy równanie głównej normalnej w postaci symetrycznej :

X-x

y-y

Z-0

Qdz—Bdy Iidx—Pdz Pdy—Qdx'

(10)

Binormalną nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny ściśle sty

cznej :

P(X-x)^Q(Y-y)+B(Z-z)=0. Równania binormalnej mają przeto kształt:

X-z Y-y Z—z

li *

(U)

Płaszczyzna prostopadła do głównej normalnej, a więc przechodząca przez styczną i binormalną w punkcie x, y, z krzywej jest jedną z osobliwszych płaszczyzn stycznych krzywej w punkcie x, y, #, którą nazywamy płaszczyzną rektyfikacyjną linii krzywej w punkcie x, y, z. Jej równanie ma kształt:

(Qdz—Bdy) (X—x) + ÇUdx—Pdz) (Y-y)-\-+ (Pdy—Q dz) (Z—z)=0.    (12)

O'P

t/y

/ ‘V <3f' / <0.® i T ^

Fig. 183.

Płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną ściśle styczną i płaszczyzną normalną punktu układ prostokątny trzech płaszczyzn, których i przekroje, jako to: styczna, główna normalna >-⁷' i binormalną tworzą w danym punkcie krzywej układ trzech osi prostokątnych (fig. 183). Jest to układ naturalny osi i płaszczyzn spół-rzędnych, jak i wyznaczyć można w każdym punkcie krzywej przestrzennej. Układ ten zowie się także podstaw owym kątem trójściennym danego punktu krzywej.

46

6. Kolo ściśle styczne i krzywizna pierwsza. Koło przechodzące przez trzy następujące punkta krzywej przestrzennej nazywa się kołem ściśle styczne m, albo kołem krzywizny pierwszej. Wszelkie koło w przestrzeni określić możemy jako przekrój kuli z płaszczyzną; jeżeli ta płaszczyzna przechodzi przez środek kuli, wtedy będzie promień kuli zarazem promieniem koła. Niech będą tedy f, rj, Ç spółrzędne środka kuli, a ę jej promieniem, wtedy przedstawią się równania koła w postaci:

(X-£)²+ (Y-f])² + (Z-Ç)²=Q²,

A(X-.Ç) + B( Y-n) + C (Z- £)=0.

Jeżeli to koło ma przechodzić przez punkt x, y, z krzywej przestrzennej :

» U=⁽p(f)i    wtedy otrzymamy dwa równania warunkowe:

{x- i):2 + (y—17)² + (0—£) ²=ę²,

A {x—i) -f B (y - 77) + G (z—£)=0.

Warunki, pod jakimi to koło przechodzi jeszcze przez dwa inne punkta nieskończenie blizko danego punktu położone, otrzymamy przez dwukrotne zróżniczkowanie powyższych dwóch równań ze względu na x, y, z, z czego wypadną równania:

(a)

(&)

jakoteż :

(x-i)âx-f (y -rj)dy + (z—Ç)dz~= 0,

A dx -f B dy -f Cdz=0,

(x—£) d²x-\-(y—q) d²y-\-(z — t,) d²z + d²x² d²y² + d²z²=-0, A d²xĄ-B d²y-\- Cd²z=0.

(c)

(<*)

(<0

(/)

Równania (5), (<i) i (/) wypowiadają warunki, aby płaszczyzna koła była płaszczyzną ściśle styczną w punkcie x, y, z krzywej (art. 4. str. 719) i prowadzą do równania:

P(x—|)-f- Q(y—(z—£)=0.

Na wyznaczenie spółrzędnych £, rj, Ç otrzymujemy przeto trzy równania : P(x-i)+Q(y-rj)+B(z— £)=0,

(x Ç)dx+(y rj)dy + (z—Ç)dz=0, (£-£)d².z-Hy — rj)d²y + (z—£) d²z= — {ds)²,

z których otrzymamy :

Q B dy dz ds² d²y d²z

x-l=

czyli :

P Q B dx dy dz d²x d²y d²z

y-v=

dx 0 dz d²x ds² d²z

dx dy O d²x d²y ds²

P Q

dx dy (Px d²y

to

'—Qdz

Ç dx—Pdy P² + Q²+R²

Pdz

P²+Q²-fR²

Tym sposobem wyznaczony jest środek koła ściśle stycznego w punkcie x, y, 0 krzywej przestrzennej. Jeżeli do tych równań dołączymy dwa równania krzywej przestrzennej kształtu: f(x, y, z)=0, gp(æ, y, z)=0, wtedy otrzymamy pięć równań, z których możemy wyrugować trzy zmienne x, y, z. Tym sposobem otrzymamy dwa równania między |, r\, £, przedstawiające miejsce geometryczne środków kół ściśle stycznych, które będzie w ogólności pewną krzywą przestrzenną, odpowiadającą ewolucie u krzywych płaskich. Promień koła ściśle stycznego w punkcie x, y, z, otrzymamy z wzoru:

02 == 0*—£)²+(//—??)² + (#—D²?

x—i

— Pidx

P² + Q²+ll²

y-v=T.

z-Ç=

ds²    (13)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. Tom III.

jeżeli weń wstawimy wartości pod (IB) otrzymane. Będzie wtedy:

Q²

(Bdy—Q dz)²+(P dz—B dx)² -f ( Q dx—P dy )²

(ds)².

(P¹ 2 3 + Q⁴ 5 + B²)²

Na mocy tożsamości Lagrange’a :

(ah'—a'b)² (bc‘ - -b‘ c)² (ca'—ac')²=(a² + b² c²) (a'⁴+&'²+ c⁶)— (aa'+bb' + cc‘)², będzie :

(P dy—Qdz)2jr (P dz-Bdx) ² + (Q dx—Pdy)²=

= (P² + Q²+B²) (dx² + dy² Ą- dz²)—(P(fa;-f Qdy-\-Bdz)²,

a że: P dx+ Q dy+Bdz=0, przeto otrzymujemy:

(Bdy—Qdz)²-\~(Pdz—B dx)²(Q dx—P dy)²=(P²Ą- Q² + B²) (ds)²,

(i”+«a+Æ²) fc.. W⁶

⁹    (P2+g^+i{2)^ J P2+Ö2+P*’

będzie więc :

(ds)³

Q~fP²+Q*+B²‘

Otóż to jest wzór na obliczenie promienia koła ściśle stycznego w punkcie x, y, z krzywej przestrzennej.

Dla krzywych płaskich położonych na płaszczyźnie XOY, a więc określonych równaniami: x =f(t)} y=cp(t), z=0, otrzymamy:

(ds)²=dx2jrdy², P=dyd²z—dzd²y=0, Q = dz d²x— dx d²z=0, B = dx d²y—dy d²x,

(dx²+dy²)*l*

czyli :

(14)

przeto :

ds³

dx d²y— dy d²x dx d²y— dy d²x

(14')

Jeżeli uważać będziemy x jako zmienną niezależną, tedy będzie d²x=0,

[¹⁺(2)T

przeto otrzymamy :

(dx² + dy²)³^ dx d²y

d²y

(l+y'²)*⁷*

y“

(14")

dx²

- 723 —

Na tej podstawie znajdziemy:

de=MN='\j(x₂—xi)² + (y₂ - */i)² + (^2 ~ ^i)²>

czyli :

de=^(d cos a)²-t-(dcos ß)²+(d cos y)².

(15)

Uwzględniając, że: dx=ds cos a, dy=ds cos/?, dz—ds cos y,

dsd²x—dx d²s

/ dx\

otrzymamy: ć2cosa = ću—J

ds²

(dy\ dsd²y—dyd²s ,    dcos/?=<^j-

ds²

ds d²z—dz d²s

przeto:

(de)

daosV=d{%)

₂    (ds d²x—dxd²s)² (ds d²y—dy d²s)² (dsd²z—dzd²s)²

ds²

ds⁴

cfe⁴

ds⁴

Z wzoru: ds²=dx²-\-dy²-\-dz², wynika:

ds d²s =* dx d²x Ą-dy d²y + dzd²z, przeto będzie: ds² d²x—dx ds d²s=(dx² + dy² + dz²) d²x—dx(dx d²x-{-dyd²y Ą-dz d²z) — = d²xdy²Ą- d²x dz²—dx dy d²y—dx dzd²z=

podobnie :

= dz (dz d²x—dxd²z)—dy (dx d²y—dy d²x)= Q dz—li dy, ds² d²y—dy ds d²s=R dx—Pdz, ds² d²z—dzds d²s = Pdy — Q dz.

Wskutek tego otrzymamy:

(de)²

(ds²d²x—dx ds d²s)² + & __(Q dz—R dy)² + (R dx—Rdz)² + (P dy — Q dx)²

dsQ

ds⁶

(P²+ Q2 + R2) ds²_ P² + Q²+R²

tfs⁴

ds⁶

czyli :

ds²

(16)

Na tej podstawie znajdziemy: ę

ds

ds³

de }jp2+.Qi₊Rî'

wzór zgodny z wzo-

rem pod (13) otrzymanym.

Stosunek kąta styczności do różniczki łuku, czyli odwrotną wartość promienia krzywizny nazywamy: pierwszą krzywizną krzywej przestrzennej,

jej wartość jest tedy:

1 _de VP²+Q²+R²

ę ds

ds³

(17)

Wzory powyższe znacznie się uproszczą, jeżeli jako parametr przyjmiemy długość łuku s, liczoną od pewnego punktu, a więc, jeżeli równania krzywej przedstawimy w postaci x=f(s), y=(p(s), z=ip(s). Otrzymujemy wtedy :

czyli :

dy dty (R d²z ds ds² ds ‘ ds²

x/2-\-y,2+z'²=1, x'x“ Ą-y^“ Ą-z'z“=0, przeto:

(dx\²    (dy\ *■    ( dz\²

U)⁺ (*)⁺ w⁼

dx d²x ds ’ ds²

de

Y(S)'* ©'+ (£)’■

^ Al(d²x\² (d²y\²    (d²z\²’

]!\ds²) ⁺ (ds²) ⁺ Ws²)

czyli:

— 724 -

8. Kąt skręcenia i draga krzywizna. Dwie po sobie następujące płaszczyzny ściśle styczne zawierają między sobą kąt, który nazywamy kątem skręcenia krzywej przestrzennej. Stosunek kąta skręcenia do różniczki łuku nazywamy skręceniem albo drugą krzywizną krzywej przestrzennej.

Zajmijmy się najpierw wyznaczeniem kąta skręcenia drj. Wiemy, że równanie płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie x, y, z krzywej przestrzennej przedstawia się w postaci:

P(X—x) + Q(Y— y) + B(Z—*) = 0.

Pion tej płaszczyzny ma zatem kierunek (A, y, v) oznaczony wzorami :

cos A=

COS (l =

iP²+Q²+n²

cos v =

^p²+q²+b²

dij=^(d cos A)²Ą-{d cos y)²Ą-(d cos v)².

Pion sąsiedniej płaszczyzny ściśle stycznej będzie miał dostawy kierunkowe; cos i-fdcos A, cos yĄ-dcos y, cos videos v, a kąt między obu pionami zawarty równać się będzie kątowi skręcenia dy. Wykreślmy przez punkt początkowy równoległe do tych pionów i odetnijmy na nich jednostkę długości, tedy będzie odległość końcowa promieni miarą kąta skręcenia. Otrzymamy zatem:

Z wzoru: cos A

p

---p=r. gdzie M=P² -p Q²-\-R², dostaniemy:

d cos A—

,    i dM

lM.äP-YPW

MäP-^-PäM

A

Mal>

a zatem :

Ponieważ atoli: P=dy d²z—dzd²y, przeto jest: dP=d²yd²z\dyd³z—d²zd²y—dzd³y, czyli: dP=dyd³z—dzd³y, podobnie: dQ=dz d³x—dxd³z, dR = dx d³y — dy d³x, dM=2 (PdP+QdQ+BdB) =

= 2 (Pdy d³z—Pdz d³y + Qdz d³x— Q dx d³z + R dx d³y—R dy d³x) =

= 2 [d³x ( Q dz—B dy) + d³y (B dx—Pdz) + d³z{Pdy— Q dx)]. Uwzględniając, że: Pdx+Qdy+Bdz=0, otrzymamy:

MdP-~PdM^(P² + Q² + B²) dP-P(PdP+ QdQ+R dB) =

= (Q²+B²)dP-P(QdQ+RdR) =

=(Q²ą-R²) (dy d³z—dzd³y)—P(Qdzd³x—Qdx d³z + Bdxd³y—Bdyd³x) = =d³x(PBdy—PQdz) + d³y (—Q²dz—PRdx—R² dz) + d³z(Q² dy+R² dy + PQ dx) = = Pd³x (Rdy—Qdz)—d³y[Q² dz+R(Pdx+Rdz)]+ d³ z [R²dy + Q(Pdx + Qdy)] = =Pd³x (R dy-Q dz)-d³y (Q² dz- QR dy) + d³z (.B²dy-QBdz) =

=Pd³x (B dy—Qdz)Ą-Q d³y (B dy—Q dz) + Rd³z(Rdy—Qdz) =

= (jHdy—Qdz) (Pd³x-\- Qd³y 4-R d³z),

przeto :

d cos A

(B dy—Q dz) (Pd³x + Q d³y + B d³z)

M³i>

a więc :

(d cos A)

₂ (B dy— Qdz)²(Pd³x+Q d³yĄ-B d³z)²

M³

podobnie :

(d cos y)

₂_(P dz—B dx)²(Pd³xĄ-Q d³y-\-B d³z)²

M³

(d cos r)» (Qdx—pdy)²(pd*x+Qd*y+Bd**)²

Wstawiwszy te wartości we wzór na dy, otrzymamy:

W²=

₂ (JR dy— Q dz)² + (V dz—Ji dx)² + (Q dx—P dy)

M³

— (P d³x-j- Q dy+R d³z)²,

czyli :

(dy)²=

(P²+Q²+R²)ds²

(Pd³x+Qd³y+Rd³z)

2 (Pd³x+Q d³y-\-R d³z)²ds²

a więc:

Pd³x+Q d³y+R d³z ₇

p2₊Ç2 ₊ ÿp    ^

(18)

wzór na wyznaczenie kąta skręcenia krzywej w punkcie y, 0 krzywej przestrzennej.

Skręcenie samo czyli tak zwana druga krzywizna będzie przeto wyzna

czona wzorem :

dy P d³xĄ- Q d³y + Ii d³z ds P² + Q² -ł- jR²

Oznaczywszy    rozumiejąc przez ęi, promień skręcenia czyli

promień drugiej krzywizny, otrzymamy :

P2₊₍g2 ₊ p2_

P d³x-\-Q d³y + R d³z

czyli: ^

p2₊Q2 ₊ p2

(19)

(20)

dx, dy, <f*

A=P d³x f Qd³y + Rd³z= d²x,d²y,d²z .

cf³cc, (f ³y, d⁻³#

Krzywe przestrzenne są więc krzywymi podwójnej krzywizny. Dla krzywych płaskich jest kąt skręcenia (krzywizna druga) zerem, promień ęi krzywizny drugiej będzie zatem nieskończenie wielkim. W tym razie musi być ^1 = 0, równanie to stanowi zatem kryteryum krzywych płaskich.

9. Kula ściśle styczna. Kulą ściśle styczną nazywamy kulę, która przechodzi przez cztery nieskończenie bliskie punkta krzywej przestrzennej. Oznaczmy jej promień przez r, a spółrzędne jej środka przez £, y, Ç, wtedy otrzymamy jej równanie w postaci:

gdzie :

(X-ft)* + (r-^)² + (Z-&)*-r*.

Ażeby ta kula przechodziła przez punkt x, y, z i trzy nieskończenie bliskie mu punkta, muszą się spełnić następujące równania warunkowe:

(a)

(x-Çi)² + (y—?il)²+(z—t;i)²=r²1 (x—Çi)dx + (y-yi)dy+(z—Çl)dz=0,

(x—fi ) d²x+ {y—yx ) d²y-f{z—)d²z + (ds)²=0,

(x—) d²x Jr{y—'t]x') d³y+•(z—) d³z+3 dsd²s=0.

Z tych czterech równań dadzą się niewiadome:    i r wyznaczyć.

Ostatnie trzy równania dają mianowicie na wyznaczenie , yx, : (x—^) {P d³x + Q d³y + R d³z)=ds² dP—3 Pdsd²s (y-yl){Pd³x-\-Qd³y-\-Rd³z)=ds²dQ—3Qdsd²s (z—Ç{) ÇP d³x-\- Q d³y Ą~R d³z) = ds²dR—3Rdsd²s skąd za pomocą równania (a) obliczyć możemy promień r.

— 726 —

Prostszymi będą wzory na    ^ i r, jeżeli weźmiemy do pomocy

promienie pierwszej i drugiej krzywizny ę i ęl. Poprzednio otrzymaliśmy:

tfs⁶

Ç* P²+Q²+12²

p2_pQ2+jR2

Qi~~Yd³x-VQd³y + Rd³z ’

będzie zatem :

Q²Q i

ds⁶

(22)

Pd³a?+ Q d³y + R d³z'

Oznaczywszy przez y, r kąty, jakie pion płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie x, y, # tworzy z osiami układu, mamy:

cos A=-=,

cos fl =

Y-ZfcT

COS V = --=- ,

iu

gdzie M=P²+^² + P².

Będzie zatem:

cos A P cos fi q ds³’    £ ds³ ’    () ds³

Różniczkując te wyrażenia, otrzymamy:

ds³dP— 3Pds² d²s    ds² dP— 3 P ds d²s

ds⁶

ds⁵

podobnie :

'(T)-

ds²dQ—3Qdsd²s

ds⁵

“(T)-

ds² dR—3Pdsd²s

ds⁶

Wstawiwszy te wartości w (21), dostaniemy:

dsB.d

/ cos A \

V Q )

dsKd

Pd³» -f- Q d³y+R d³z

V~Vi =

^COS fi ^

Pd³x-\- &

dsKd

z—£i =

Pd³x-\-&    ’

-«.-m

czyli : x—it = skąd wypadają wzory :

*-<’> “ is

ds

y—Vi

MT)

ds

z—li

( COS V \

P²C,^—j

ds

Q\

(ęd cos A—cos A dip),

— (Q d cos fi—cos fi dę)

z—Çi = ■— (ędcos v—cos vdq)

CIS

Jeżeli te równania podniesiemy obustronnie do kwadratu i dodamy, to otrzymamy :

(28)

r²

Qi²

ds²

cos

^)² + <#] + (d(>)²[cos² A + &]—2(xf()[cos ^dcos A+(&]},

czyli, ze względu na to, że: (dcos A)² + (d cos ^)² + (dcos v)²=(d^)²,

cos² ^J-cos² fi-\-cos² v=l, cos A dcos >2 +cos fi d cos fiĄ-cos v dcos i>=0,

nowy wzór:

r-e2+ft2(!)²’

Zważywszy wreszcie, że: ^ = — otrzymamy:

CIS

r=i^+(!'iW

przeto :

wzór na wyznaczenie promienia kuli ściśle stycznej.

- 727

Środki kul ściśle stycznych tworzą krzywą przestrzenną, której równanie otrzymamy, jeżeli z równań (21) na    ^ otrzymanych i równań danej

krzywej przestrzennej wyrugujemy zmienne x, y, z.

10. Związek między promieniem koła ściśle stycznego i promieniem kuli ściśle stycznej. Niech będzie M(x, y, z) punktem krzywej, (?(£, rj, £) środkiem przynależnej mu kuli ściśle stycznej, tedy będą dostawy kierunkowe promienia r określone stosunkami:

x—ij

y—n i

z-Z

>i

Promień ten utworzy z płaszczyzną ściśle styczną kąt, który oznaczmy przez (o. Kąt ten jest dopełnieniem kąta, jaki tworzy promień r z pionem płaszczyzny ściśle stycznej, który ma dostawy kierunkowe :

li

będzie zatem:

Vp²+Ç²+P²’    yP²+Q²d-P²’ V P²+Q²+R²

COS

(Î--)

_x ii

__y-Vi___

r VP2+Q2 + jR2'r r yp2₊Q2 ₊ ^2

z~Zi

r ]IP²+Q²+R²'

czyli :

sin o)

P(x—ii) + Q(y—y i)+P(g—gj

r yP²+ Q²+P²

(25)

Biorąc do pomocy wzory na £₁₍ rjlt pod (28) otrzymane, dostaniemy

sin cu =

skąd, kładąc:

P— COS A yP2₊Q2 ₊ ^-2 otrzymamy :

r ds^jP² + Q²Ą-R²

q=cosq²+r², a=cos^yp²+g²+P²,

sin co

ei(e cos ^(7(cos ^)—cos² iî. (7(>)-f-c£    ^ |()[cos i c?cos ^+<ßj —[cos² ź + <£]}

rds

rds

Zważywszy atoli, że :

cos² ^ + cos² cos² v—l, cos Ad cos AĄ-cos fid cos fi+cos vdcos v=0, dostaniemy z poprzedzającego wzoru:

—Me

,    .    dQ

przeto: rsinw=-()₁-y as

Na mocy wzoru (24) mamy jednakże:

sin co

rds

czyli: r²sin²a>=^₁

r²—ę², przeto będzie: r² cos² <n = r²—ę²,

ę²=7,2(l—sin² (d) =r² cos² <u, a więc: ę=r cos co,

(26)

czyli :

t. z. : Promień koła ściśle stycznego jest rzutem promienia kuli ściśle stycznej na płaszczyznę ściśle styczną.

Wnioski: 1) Prostopadła wyprowadzona z środka C, kuli ściśle stycznej na płaszczyznę ściśle styczną przechodzi przez środek S koła krzywizny.

t

2) Środek S koła krzywizny i środek C kuli ściśle stycznej w pewnym punkcie M krzywej przestrzennej leżą na płaszczyźnie normalnej tegoż punktu M.

11. Wzory Freneta. Oznaczmy przez a, ß, y kąty, jakie styczna, przez rj, £ kąty, jakie główna normalna, a przez X, fi₎ v kąty, jakie binormalna w punkcie P(x, y, z) krzywej przestrzennej tworzy z osiami układu, wtedy otrzymujemy na podstawie wzoru (8)

a) z relacyj :

cos a

cos ß cos y

dx

dy

dz    ^dx² Ą- dy² Ą- dz²    ds

wzory :

dx

COS a =

ds’ ⁰⁰³ P“

dy

dz

(I)

na podstawie wzoru (11) ß) z relacyj :

cos I

cos 77

___ COS g___₌_______

Q dz—Ii dy R dx—Pdz~ Pdy ~Qdz Y(Qdx—R dy)²P& dsfP² + Q²+R² ’

wzory : cos £=

Qdz—Rdy

ds^P²+Q~² + R²

cos r\

jR dx—Pdz

ds^P²+Q² + R²

cos £=

Pdy—

ds^P²+Q² + R²

(II)

które ze względu na to, że na mocy (I) :

dsd²x—dxd²s

d cos a

Q dz—R dy

ds²

ds³

Q dz—R dy=d cos a . c?s³, a podobnie: R dx— Pdz=d cos ß . ds³, Pdy—Q dx—d cos y . ds³,

możemy przedstawić w postaci :

a więc :

a nadto : ę

ds³

V P²+Q²+R²

c. d COS 05

C08ê=?-Æi-

y) Na podstawie wzoru (11) z relacyj : cos X cos fi cos v

d cos ß

cos ,_f _s_

cos £=(>

d cos y

(ii‘)

R yp2₊Ç2+jR2

ds‘Ą

wzory :

cos X

qP

qQ

ęR

(III)

cos v==

⁰⁰³ '•-Si

ds³'

Na podstawie powyższych wzorów w połączeniu z wzorami na promienie krzywizny i skręcenia (i i (), możemy wyprowadzić wzory, podające stosunki między różniczkami dostaw kierunkowych stycznej, głównej normalnej i binormalnej a różniczką łuku, zwane wzorami Freneta.

Przedewszystkiem otrzymujemy z IP wzory, podające stosunki między różniczkami d cos a, d cos ß, d cos y dostaw kierunkowych stycznej a różniczką łuku ds postaci :

d cos a cos £ d cos ß cos rj d cos y __ cos £

ds²

ds

ds

ds

(27)

Między dostawami kierunkowemi binormalnej (X, fi, v) i stycznej (a, /?, y) zachodzi związek prostopadłości: cos a cos X-\- cos ß cos fi-\- cos y cos v=0. Różniczkując ten związek, otrzymujemy:

cos ad cos X-\-&-\-cos Xd cos a + &=0,

ds

a że na podstawie (27): cos X d cos a + &=(cos X cos £-f &). —,

powodu prostopadłości kierunków binormalnej (A, fi, v) i głównej normalnej (£, r\, £) :    cos/îcos £d-coscos ??d-cos ^ cos £=0,

przeto otrzymujemy związek: cos a d cos A d-cos ß d cos ^t-j-cos y d cos v=0, który w połączeniu z równaniem: cos ^(2 cos/ł-j-cos ^ cos ^-J-cos cos î>=0, wynikającem z relacyi: cos² ^d-cos² ^-fcos² v=l, prowadzi do szeregu stosunków :

d cos A

d cos fi

d cos v

[cos ß, cos y

COS fi, COS V

cos y, cos a |cos v, cos A\

|cos a, cos ß cos A, cos fi

dy,

czyli ze względu na to, że :

cos ß, cos y cos fl, cos v

— cos £,

cos y, cos a cos v, cos A

= cos rj,

cos a, cos ß cos A, cos fl

= cos £,

d cos A d cos fi cos I cos rj

z których otrzymujemy wzory, podające stosunki między różniczkami dostaw kierunkowych binormalnej a różniczką łuku w postaci :

d cos A cos £ d cos fi cos rj d cos v cos £

do stosunków :

d cos v cos £

ds

Qi

ds

ds

Qi

(28)

Uwzględniając relacyę:

cos |=

cos ß, cos y cos fl, cos v

= cos ß cos v—cos y cos fi,

otrzymujemy :

= — (cos ßcos £—cos y cos y) + — (cos vcos rj—cos fi cos £)

d cos £=cos ß d cos v — cos y d cos ^d-cos vd cos ß—cos (id cos y, skąd po uwzględnieniu wzorów (27) i (28), otrzymujemy: d cos £

¹

Koło ściśle styczne z krzywą przestrzenną w pewnym jej punkcie nazywamy zarazem kołem krzywizny linii krzywej w tym punkcie. Wychodząc z określenia krzywizny, podanego przy krzywych płaskich, znajdziemy promień krzywizny w sposób następujący: Z trzech po sobie następujących punktów: A, JB, C krzywej przestrzennej połączmy pierwszy z drugim, a drugi z trzecim, proste łączące dadzą dwie po sobie następujące styczne, które zawierają między sobą kąt de, zwany kątem styczności. Wykreślmy w środkach obu różniczek łukowych AB i BC prostopadłe, to te leżyó będą w płaszczyźnie ściśle stycznej i utworzą między sobą także kąt de, a ich punkt przecięcia P będzie środkiem koła krzywizny, będzie więc:

ęde=ds.

²

Celem wyznaczenia kąta styczności de poprowadzimy z punktu początkowego O równoległe do stycznych AB i BC i odetnijmy na każdej z nich jednostkę długości 0M=0.ZV=1, tedy będzie łuk MN miarą kąta styczności de.

³

Niech przedstawiają a, ß, y kąty, jakie prosta OM tworzy z osiami układu, tedy będą współrzędnymi punktu M :

^=cos a, yi=cos ß, zi=oos y.

⁴

Punkt N otrzymamy, jeżeli na krzywej przestrzeni przyjdziemy do sąsiedniego punktu, którego spółrzędne są: x-\-dx, y-\-dy,    z-\-dz, wskutek

⁵

tego zmienią się kąty a, ß, y tak, że spółrzędnymi punktu N będą :

⁶

a:₂=cos ot+dcos a, y₂—cosßi-dcosß, z₂ = cos y-\-dcos y.

⁷

=    = ~)]x“²-{-y'‘2jrz"²

Qi

ds

a że:

cos 05 =

cos A —

COS fl, COS V

cos rj, cos £

cos rj, cos £ cos ß, cos y

==cos fi cos £—cos v cos rj,

— cos rf cos y—cos £cos ß,

przeto otrzymujemy wzory przedstawiające stosunki między dostawami kie-rnnkowemi głównej normalnej a różniczką łuku w postaci :

d cos £

cos a

cos A

d cos rj

ds

Qt

ds

-(

cos ß

cos fl

d cos £

ds

/ cos V Ç

COS fl

Qi

(29)

Z wzorów Freneta wynika, że krzywa przestrzenna jest co do kształtu swego wyznaczoną, gdy promień krzywizny q i promień skręcenia ęi podane są jako funkcye łuku s, a więc gdy jest przedstawioną równaniami kształtu: ę = q>(s), (Jj =tp(s), które nazywamy równaniami naturalnemi krzywej przestrzennej.

12. Przykłady, a) Linia śrubowa: x — a cost, «/ — osin i, z = bt. Mamy tu:

d³x

dx

dy

dz

dry

d'lz

-asm«, -33= 0,

= — a cos «, ^(T

- = -«8ml,    —=acos ł, -jt = b,

^ = asin(, — — acosi, ^s = °i -Jt= V^+à' > p — nêsinf**,

Q =-ab cost dt³, R = o² df³, Y/pa+^+P² = o y/a'+b'dt³, Pd³x+Qd³y+Rd³z= a*bdt⁶. Na tej podstawie znajdziemy :

o) równanie stycznej w punkcie x, t/, 2, odpowiadającym pewnej wartości t,

As

rf.S‘

z wzoru:

X—x Y—y _ Z—z

dx

dy

w postaci:

X—a cost Y— osin t

Z-bt

czyli:

w postaci : czyli :

—o sin t

--sin t. ZĄ-a (t sin ż-j-cos 0»    P =    cos * • -^“a 0 cos *—S3n 0»

6) równanie płaszczyzny normalnej z wzoru:

(X- *) <fa:+ ( r-y) dy+(Z-z)dz = 0,

—(X—o cos t)a sin t-\-(Y—a sin t)a cos t-\-(Z—bt)b = 0.

— o sin t XĄ-a cos t YĄ-b Z = 6²ż,

o cos t

c) równanie płaszczyzny ściśle stycznej z wzoru:

P(X—*)-f Ç(r-y)+P(Z-s) = o,

w postaci: czyli :

ab sin t(X—a cos t)—ab cos t(Y— a sin t)-\-a³(Z—bt) — 0, b sin t X—b cos t Y-\-a Z = abt, d) kierunek binormalnej, t. j. pionu płaszczyzny ściśle stycznej z wzorów:

b cos t

b sin t

VV-j-fc² ’

Ponieważ cos v jest tu ilością stałą, zatem płaszczyzna ściśle styczna do linii śrubowej jest w każdym punkcie do osi OZ, a więc do rodzących walca jednakowo nachyloną.

e) Normalna główna jako przecięcie płaszczyzny normalnej z płaszczyzną ściśle styczną określoną tu będzie równaniami:

— o sin t X-j-a cos t Y-\-bX = bH, b sin t X—b cos t YĄ-aZ = abt, które sprowadzić możemy do postaci :

cos X =

cos fi =

Y/o²+6² ’

cos v =

Y/aM-fe* '

Z — bt, X sin t = Y cos t,

z której czytamy, że główna normalna linii śrubowej przecina zawsze oś OZ, czyli oś walca.

w postaci:

f) Promienie pierwszej i drugiej krzywizny znajdujemy z wzorów:

P²+£²+Æ²

Pl~Pd³x+Qd³y+Rd³z ’

o²+6²

ds³

⁹    \/P²+Ç²-fP²’

Pi

które dowodzą, że linia śrubowa ma w każdym punkcie jednakową krzywiznę i jednakowe skręcenie.    _

g) Promień kuli ściśle stycznej :

r = ^e'+eĄ%)

będzie tu miał z powodu, że:

dp = 0 wartość: r = p

^2 I    ^

-—jest więc także jednakowy i w każdym punkcie równy profit

mieniowi koła ściśle stycznego.

h) Środek koła ściśle stycznego określony równaniami:

Pdz—Rdx pt+Qt+RÎ

Rdy—Çdz Pj+Qi+R3 będzie tu wyznaczony wzorami:

ds², y 7)

ds², z — Ç =

Qdx—Pdy

P²+ Q²+R

ids\

a²+fc²

6²

cos t = a cos t Ą--cos t,

a

y—n

o²-fó²

b²

sin t = a sin t-\--sin t,    z—X, = 0,

a

z których wypada:

b*

Ç =--cos 7] »--sin t, Ç = bt.

a    a

Wzory te dowodzą, że miejsce środków kół ściśle stycznych do linii śrubowej tworzy znowu linię śrubową.

Środek kuli ściśle stycznej wpada w środek koła ściśle stycznego, gdyż z powodu,

O

że r — p mamy cosw = — = 1, a więc w = 0, koło ściśle styczne jest tu zatem wielkiem r

kołem kuli ściśle stycznej. Miejsce środków kul ściśle stycznych zgadza się więc z miejscem kół ściśle stycznych i tworzy nową linię śrubową.

ß) Lemniskata sferyczna. Na około punktu początkowego opisana jest kula o promieniu o; nad promieniem tej kuli jako średnicą oparty jest na płaszczyźnie XOY, prosty walec kołowy, tenże wycina z kuli zamkniętą krzywą przestrzenną wyglądającą jak lemniskata na kuli rozmieszczona. Znaleźć obie krzywizny.

Krzywę tę przedstawiają równania: x²-f2² — a² i x²-\-y² = ax, które możemy zastąpić równaniami: y² = x(a—x), z² — a(a—x).

Uważajmy x jako zmienną niezależną, a więc dx jako ilość stałą, zatem d²x =* 0, to

otrzymamy :

dy

dz

2 y —- == a—2x, 2 « — = — o, przeto

CLOG    (XX    (X*Xs

Różniczkując jeszcze raz otrzymamy:

■GD+*S~* «<£),+*Ä

dy    a—2x dz

2y ’ dx    2z'

dx² °*

skąd wypada:

o² d²z

a²

d³y 8 a² dy dx³ 4ył’dx Na tej podstawie znajdziemy:

Dalej będzie stąd:

d'ly _ dx²    4 y³' dx²    4 z³‘

Bo²(a—2x)    d³z

’ dx*

3o³

8 z⁶'

ds

dx

⁼V¹⁺

(o — 2x)²

a²

4 x(a—x)    4 a(a—x)

■\l a(p-\-x)

y 4x(a—x)

P²+Ç²+P² =

a\{a-\-2x) 8x³h(a—x) a³(5a-|-3:r) 64 x³(a—x)

dx³, Q

a²

a²

dt\ R--

dx⁶, PdlxĄ-Qd³y-\-Rd³z

3a²\/ax

32x²(a—x)

Â3 dx '

a więc promienie:

œ____________ !

P v/p²+<?²+ä² V

4a-J-3x

Promień kuli ściśle stycznej jest stały r = a, krzywa jest bowiem krzywą sferyczną. Na wyznaczenie środków kół ściśle stycznych mamy:

x-\

Rdy — Qdz

P²+<?²+P

2 ds³

2(a-j-x) (x²-\-2ax—ar) — a (Bo-j-3a;)

przeto :

(o—x) (3a-\-x)(aĄ-2x) o (Ba-}-3x)

2(2o+x)xV/ x(a—x) a (Bo 8x)

2(2o-j-x)V/ o (o—*)

podobnie znajdziemy: rj ——

Miejsce środków kół ściśle stycznych jest zatem krzywą przestrzenną określoną ostatniemi trzema równaniami. Krzywa ta jest krzywą algebraiczną stopnia szóstego.

B a-\-8x

y) Dana krzywa algebraiczna: x — ał, y =    z = ~ł³. Mamy tu:

, d²x - dhy    d²z _ J d³x n dfy _    <2³z    ₀

—    ⁼ rf#² —    ^f² —    ^3 — ~dX —    1Û³ ^

dx

« dy „ł

it~ ' di=at’

73‘2

przeto :

=«v/i+«■+«*, dri““’'¹-    *3

V/Pł+<?*+-R

8? 8*

PćZ³cc-|- Q d³y-f-7? d³z

<ft³

<ft³

= 2a³.

Na tej podstawie znajdziemy:

Z i ¹ o

T⁺ 6'°*’

•X-H F-f t²Z= ai(l+ -g’ + ’g^j *²X—2f F4-Z=-|-<², p = —- dS3 ---= a \/(¹+**+*ł)³ ,

\/P²+Ç²+P² V l+4*ł-H⁴

P²+Ç²+P²

Pl~ PdNu+ÇrfSy+Âd®» e) promień kuli ściśle stycznej z wzoru: r² = ps+Pi²    w postaci:

r² = ~ (4—3^+8<ł+101<⁶+108<⁸4-16P°),

/) miejsce środków kół ściśle stycznych : j*-2t*—2f a ï+4f²+fr’ ⁷¹

g) miejsce środków kul ściśle stycznych:

Ü1 =f(<³+*⁵), r,l==-|-(2-3#²-10<⁴), r₁=-|(9<+20^³).

Z 2

o) równanie linii stycznej : X = -₂-\--^

6) równanie płaszczyzny normalnej:

c) równanie płaszczyzny ściśle stycznej :

d) promienie krzywizny:

at,

2+3<²+4P—t⁶-2t*

l+4<²+P

, C-

_ 6H-10P+13*⁵+4P

8) Wyznaczyć asymptoty krzywej przestrzennej :

gdzie :

x = t=~V y = T’ — i+T

Równanie tej krzywej możemy przedstawić w postaci : ż²-H A

A =    B — a(t²—1), C = o(i²—ż), D = ti—t.

f²-l

t*—t C

Krzywa ma trzy punkta w nieskończoności odpowiadające trzem pierwiastkom równania : P = ź³—ż = 0, którymi są tt— — 1, ż₂ = 0 i <3 = -j— 1. Istnieją tu zatem trzy rzeczywiste asymptoty. Równania jakiejkolwiek asymptoty są:

XD'C= ZD'A+(A'C-C'A), YD‘C= ZD'B+{B‘C—C'B)

W tym wypadku mamy:

A‘ = a(2t+1), B‘ = 2at, C'=^a{2t-l), P' = 3*²-l,

przeto przedstawiają się powyższe równania w postaci:

Z(3t³+3tł-t—l)-a(f-l) 8#³-3^-<4-1

Z(3*³+3*²-f-l)—2at

8f3_3*j_*_|_i    » Y

Poszczególne asymptoty będą tedy:

a)    dla tx — — 1, X— —, Y = — a, prosta równoległa do osi OZ,

b)    dla ż₂=0, Z = a, X— — a, prosta równoległa do osi OY,

c)    dla #3 = 1, Z— —

Y — a, prosta równoległa do osi 0X.

13. Styczność dwu krzywych przestrzennych. Przyjmijmy, że dwie krzywe przestrzenne, jedna określona równaniami: x=fi{f), y = (p\{f), £=^1 (t), druga równaniami: x=f₂(t). y=cp₂(t), z = rp₂(t) mają punkt wspólny (x, y, z), odpowiadający pewnej wartości parametru t, natenczas otrzymamy trzy warunki: Mt)=f₂(t), (px{t) = (pAt), ipM) = ipM).

— 733 -

Jeżeli prócz tego punktu miałby być jeszcze sąsiedni punkt wspólny, odpowiadający wartości t-\-dt parametru, natenczas otrzymalibyśmy nowe trzy warunki w postaci :

<P\ (O = 7>'₂09>    (*) = ^'₂(0-

wspólną styczną obu krzywych w punkcie takie krzywe, które mają

Warunki te wskazują na odpowiadającym pewnej wartości parametru t, w pewnym punkcie wspólną styczną, nazywamy krzywemi stycznemi w tym punkcie.

Gdyby takie krzywe, mające wspólne dwa punkta sąsiednie P(x, y, z) i Q (x+dx, y+dy, z-\-dz) miały jeszcze wspólny następny punkt:

R(x+2dx-\-d²xf y+2dy+d²y, z-\-2dz+d’²z)1 wówczas musiałyby się na podstawie wzoru Taylora spełnić jeszcze warunki:

O krzywych takich powiadamy, że mają w punkcie P(x, y, z) styczność drugiego rzędu.

Ogólnie, jeżeli dwie krzywe, jedna o równaniach x—fx(t), y = <Pi(t), z=ipi(l), druga o równaniach: x=f₂(t). y--=(p₂(t), z = ip.₂(t) mają oprócz punktu P(x, y, z) jeszcze n następnych punktów wspólnych, a więc razem (w + 1) punktów sąsiednich wspólnych, wówczas powiadamy, że krzywe mają na tym punkcie styczność n- go rzędu.

Warunki styczności n-go rzędu przedstawiają się dla powyższych krzywych na mocy szeregu Taylora w postaci 3(w + l) równań kształtu:

fi (*)=/₂(*)> <Pl(f) = <P2(ł), %{*)=%(*),

AW-AW, <P\W-pVO,

4B)(0-4W)(0,

Jeżeliby druga krzywa była dana równaniami F(x, y, z) — 0₁ $(x, y, #)=0, natenczas otrzymujemy (2n + 2) równanie kształtu:

cp{t), y{t)\= 0, F‘[f\t),    ip(t)]=0,..., F^lfit), ip{t)\ = 0,

(Pi*), W)]=0, Ocp{t), yj(*)]=0, ...,    ip(t)]=0,

przedstawiające warunki, pod którymi krzywa x=f(t), y = <p{t), z=ip(t) ma z krzywą: F{x, y, z)—0, &(x, y, z)— 0 w danym punkcie i styczność n-go rzędu.

ćwiczenia XLV.

1) Uzasadnić podział krzywych przestrzennych na krzywe algebraiczne i krzywe

przestępne.

2)    Wykazać, że każda krzywa przestrzenna rzędu pierwszego jest linią prostą.

3)    Wykazać, że krzywe przestrzenne rzędu drugiego są krzywemi płaskiemi, a mianowicie przecięciami stożkowemi.

4)    Wykazać, że rzut krzywej przestrzennej jest najwyżej tego samego rzędu, co sama krzywa przestrzenna.

5)    Wykazać, że dwie powierzchnie, z których jedna jest m-go, druga »-go rzędu przecinają się według krzywej mn-go rzędu.

Zbadać następujące krzywe przestrzenne i wyznaczyć ich rzuty i rzędy:

— 734 —

6) x²-fy²-|-2²=’a²,

y² = x{a—x);

⁷)»—2*’ ‘“TT

8) y = V/x, 2=4

9) x²+y²-{-;s² = a², x²-j-y²—«² = 0;

11) Okazać, że równania parametrowe kształtu: ai ż³+ ż²+Ci

10) x²-f y² = a², y = X tang —.

at³-\-bt²Ą-ctĄ-d ’

at³-\-bt²-\-ct-}-d

przedstawiają krzywe przestrzenne trzeciego rzędu.

Wykazać, że w danym punkcie x, y, z krzywej: x=f(t), y — <ą{t), « —<K0 otrzymujemy równania:

12)    Prostej stycznej : -y—- =    ^    ^

dcc    d

13)    Płaszczyzny normalnej: dx(X— x)-fdy(F— y)-\-dz(Z— z) = 0;

14)    Płaszczyzny ściśle stycznej : P(X-x)-f Q(Y— y)Ą-R(Z—z)=»=0, gdzie P= dy d'lz— dz d²y Q = dzd³x—dxd⁷z, R = dxd⁷y—dyd'lx\

X x

dz ’

15) Głównej normalnej:

Y-y

Z-z

Qdz—Rdy    Rdx—Pdz    Pdy—Qdx

, . X—x Y-y    Z—z

16)    Binormalnej: —^— =

17)    Płaszczyzny rektyfikacyjnej: (Qdz-Rdy)(X—x)Ą-& = 0;

18)    Wykazać, że równania stycznej w punkcie P(x, y, z) krzywej przestrzennej określonej równaniami: <p(x, y, z) — 0, \(x, y, z) = 0 możemy przedstawić w postaci:

dv

dip

à?

dkl

S (*-*)+$(?-»)+ ~ (*-*) = 0, -Z (X—H- -Z {Y-y)+£ (Z-,) = 0.

19) Wykazać, że równanie płaszczyzny normalnej w punkcie P(x, y, z) krzywej : <p(x, y₁z) = 0₁ t^(x, y, z) = 0 możemy przedstawić w postaci wyznacznika:

X—x, Y— y, Z—z dcp d-f dx ' dy ’ dz'

dą

= 0.

di/

dii

dj> to*

Wyprowadzić równania osi i płaszczyzn układu naturalnego w danym punkcie P(x,y,z) krzywej przestrzennej, określonej równaniami:

20)    »=/(<), y = y(t), z — <{/(<), gdzie t jest dowolnym parametrem.

21)    æ=/(s), y = <p(s), z — ^(s), gdzie parametr s przedstawia długość łuku, liczonego od pewnego punktu krzywej.

22)    y = f(x\ z = (o (x).

dx

23) ?(x, y, 2) = 0, «!»(*, y, z) = 0.

Wyprowadzić równania osi i płaszczyzn układu naturalnego w danym punkcie P(x, y, z) następujących krzywych*

24) x — a cos ł, y = a sin t, z = ł. 26) * = ₍4p

y==T* z==ï+ï

28) x²+y²+z*= a², ^    J = 0.

25) x = t, y =    2= t\

27) x²-j-y² = a, yî-\-zi = b².

th I co

29) Wykazać, że kula x²+y²-|-2² = 1 przecina powierzchnię x²y²+y²z²4-2²x²—2xyz = 0 w czterech kołach i wyznaczyć płaszczyzny tych kół.

30) Wykazać, że środek koła ściśle stycznego w punkcie (x, y, z) krzywej x — f(t) y = ©(*), 2=iJ<(ż) ma spółrzędne:

(ds)³

a promień tego koła ma wartość:

31) Wykazać, że promień skręcenia p, w punkcie (x, y, z) krzywej przestrzennej

pt+Ql+R*

Pl=_ Pd³x-\-Qd³y+Rd³z’

P V/p²+ç²+p² ’

x~f(t), y = <p(ł), 2=ij/(^) wyznacza wzór:

- 735 —

32) Jeżeli krzywa przestrzenna określona jest dwoma równaniami kształtu: y =/(x), z=f(x) okazać, że wówczas wzory na promienie krzywizny i skręcenia p i pt możemy przedstawić w postaci:

(1+y'²+s'²)³

Pl p³(y"z'" — y'"z")’

33) Okazać, że gdy krzywa przestrzenna określona jest równaniami: x =/(«), t/ = ®(«), « = |(s), gdzie sjest długością łuku, natenczas spółrzędne środka krzywizny otrzymują wartości :

P=V

(l+y'»+g'ł)³

5 = x-(-p²

d²x ds² ’

d²y

d²z

ds² ’

ï=*+p

veA©)’₊©)

przedstawia promień krzywizny.

34) Jeżeli p jest promieniem krzywizny, pt promieniem skręcenia w danym punkcie krzywej przestrzennej, okazać, że promień r kuli ściśle stycznej w tym punkcie wyraża

się wzorem:

Wyznaczyć promień krzywizny i skręcenia w następujących krzywych:

cc³

w²    a ( « .

j> = ¹’ ®_a4* +e 1

3 S)y = ^x\ z = ±x 3.

⁸⁶⁾

37)x = acos?>, y = asin®, z — bv.

89) Wykazać, że środek Ç, rj, Ç kuli ściśle stycznej w punkcie x, y, 2, krzywej : x=/(s), y =><p(s), 2 = ^(5), gdzie s przedstawia długość łuku, możemy wyrazić wzorami:

38) a; = aip cos a-, y — a© sin <p, z =

* > yS

gdzie A =    y", 2"

x'", y'", x'"

a promień r kuli ściśle stycznej wzorem: r =x‘,n-\-y“,'l-\-z",‘l—(x,‘²Ą-y"i-\-z"'l)'i‘

40)    Punkt styczności (x, y, z) porusza się po krzywej: y = -^-opisuje na płaszczyźnie XOY ślad stycznej.

41)    Wyznaczyć miejsce geometryczne środków kół ściśle stycznych w punktach

krzywej : y =-|-x², z —

42)    Zbadać kształt krzywej: * = ea(f> cos 9, y = ea(f> sin 9, z = c.ea(f i wyznaczyć długość jej łuku w granicach od 2 = 2, do 2 = z₂.

43)    Okazać, że krzywa określona równaniami: f(x, y, z) = 0, ®(x, y, 2) = 0 ma

, df d* df dv df dv w punkcie • i>(*, », *), dla którego

44)    Wykazać, że przekrój płaszczyzny normalnej wykreślonej w punkcie P(x, y, 2) krzywej przestrzennej z płaszczyzną normalną punktu sąsiedniego, zwany osią krzywej w punkcie P{x, y, 2), określa się równaniami :

dx{X—x)Ą-dy{Y—y)-\-dz{Z—z) = 0, d²x (X—x)-|-d²y {Y—y)-\-d²z(Z—z) = ds².

45)    Okazać, że oś krzywej, określona zag. 44, a odpowiadająca punktowi P(x, y, 2), ma ten sam kierunek (X, ja, v), co binormalna tego punktu, określony wzorami:

cos X

S = *4

z'y“‘—y'z'"

, *\ = y+

x'z'n—z'x"'

i £ = *4-

y'x'"—x'y‘"

x\ z =

y*³, jaką drogę

— x³.

dz ' dz ’

punkt osobliwy.

COS [A

COS V

R

46) Okazać, że dwie styczne po sobie następujące w krzywej: *=»/(<), y = ®(*) z — Ą(t) są określone równaniami:

X—x    Y—y    __ Z—z    X—x—dx _ Y—y—dy    _ Z—2—dz

dx    dy    dz ⁵    dx-j-d³x _ dy-j-d²y dz4-d²z    ’

a kąt ds między niemi zawarty określa się wzorem :

<2

de =

dy, dz d²y, d'lz

4-

I dz, dx 2 I d²2, d²x

dx, dy d²x, d²y

dx²4-dy²4‘^2;2

47) Okazać, że 'dwie krzywe, jedna: £c=/,(^), y = fi(<), z = Ii(0j druga: æ—jKO» y = ^(t), a = <J)ä(<), mają w pewnym punkcie styczność n-ego rzędu, jeżeli dla pewnej wartości parametru obok trzech warunków:    <Pi(0 — ?î(0> Ii(0 = łi(0» spełnia się

jeszcze 3» warunków:

^r/i (0 _ 400 (O _ ?»(*) ^rli(0 _ rfrK(0

dtr

dtr

dtr

dV

dtr

dtr

gdzie : r — 1, 2,..., n.

48) Okazać, że krzywa x=f(t), y = <o(t), * = K0 ma z powierzchnią F(x, y, z) = 0 w pewnym punkcie t styczność n-ego rzędu, jeżeli obok warunku: F[f(t), ®(0> KO]“® spełnia się jeszcze n warunków kształtu:

drF[f(0, y(Q, KO]

dtr

0, (r — 1, 2,n).

Oznaczając przez kąty a, ß, y kierunek stycznej, przez Ç, tj, £ kierunek głównej normalnej, przez X, [a, v kierunek binormalnej, a przez p i pt promienie krzywizny i skręcenia, okazać, że:

ccL. ~

cos Ç = cos p. cos y— cos v cos ß 50) cos r) = cos v cos a—cos X cos y. COS Ç = COS X COS ß—COS [i. cos a

51) cos a d cos X-fcos ß d cos p.-fcos y d cos v = —

52) cos Ç d cos X-j-cos r; d cos p.-j-cos Ç d cos v = — r N d cos a cos i| d cos ß cos rj d cos y_. cos Ç

B8) —ir -

dcos ^

M)~dT

d cos X cos Ç d cos p.

K)-* ~

ds

ds

pcos a . cos X

L p

d cos r)

p'

ds

fcos ß , COS p."|

L“p p^"J’

cos T) d cos v cos £

d cos £

ds

rcosy cos v

L P

P'

p'

P' ’

56) Oznaczając przez dć kąt między sąsiedniemi stycznemi, przez dr) kąt między binor-malnemi, a przez dco między głównemi normalnemi, okazać, że: dw² = d^-{-dr\² (twierdzenie Lancret ’a).

ds

ds

Rozwiązania XLV. 6) Przekrój kuli z walcem kołowym. 7) Przekrój walca parabolicznego drugiego rzędu z walcem parabolicznym 3-go rzędu. 8) Przekrój walca parabolicznego z walcem hyperbolicznym. 9) Przekrój kuli ze stożkiem. 10) Linia śrubowa. 11) Płaszczyzna: aæ-fßy+Y²'+^ = 0 przecina krzywą w trzech punktach. 28) Sferyczny przekrój stożkowy. 29) x-\-y-\-z =—1,    x-\-y—z— 1,    x-y-\-z— 1, x y—z= 1.

(a²+5²) æ²

35) p

(a²+ó²)*²    _    (2a²-j-a;²)²    _ «²+*²

’    *=-$-•    ⁸⁶)P = P‘=    4a²    ’    37)P--ä

4(«²+&²)&⁴-K4a²-|-b2)&2z2-fa?g4

V/[(a²-f 6²) &M-a²*²)]³

' P oó\/4(a²+6²)ół+(4a²-ł-ó²)&²2²-l-o²«* ’ 40) y = ~x*,    41) X= — ~x³,

42)

fe³(66²+2²)

Pr“

a²+Z>²

Z = -g- £c(3-j-2a:²).

Literatura. F. Joachimsthal: Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung. Zweite Auflage. Leipzig 1881. Dr. Georg Scheffers: Einführung in die Theorie der Curven in der Ebene und im Raume. Leipzig 1901. Komerell: Allgemeine Theorie der Raumcur-ven. Leipzig 1903.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Linie śrubowe walcowe i stożkowe.

2.    Niezmienniki różniczkowe krzywej przestrzennej.

3.    Równania naturalne krzywych przestrzennych.

Wykład XüVl.

Ogólne własności powierzchni drugiego rzędu.

1. Dyskusya równania drugiego stopnia o trzech zmiennych. Ogólne równanie drugiego stopnia między trzema zmiennymi #, y, z ma kształt: f(x, y, z) = aux²+a₂₂y‘i+a₃zz² + 2ai2xy + 2aizxz+2a2zyz+

+ 2a₁₄a: + 2a₂₄y -p2a₃₄£4-a₄₄ =0.

Równanie to zawiera dziesięć wyrazów, czyli dziewięć dowolnych parametrów, co dowodzi, że dziewięć punktów:    yf, £,)(* = 1,2,..,9),

określa w przestrzeni pewną powierzchnię drugiego rzędu.

Ażeby zbadać ogólne własności powierzchni drugiego rzędu, przyjmijmy w przestrzeni dowolny punkt £, t], Ç i poprowadźmy z niego promień w dowolnym kierunku, tworzącym z osiami układu kąty X, fi, v.

Przyjmijmy, że promień ten spotka powierzchnię w pewnym punkcie x, y, z oddalonym o r od punktu wyjścia, wówczas będzie:

y—y

COS fl

x=£ + r cos A, y=rjĄ-r cosy, z=Ç-\-r cos v.

Wstawiwszy w równanie (1) za x, y, z wartości (3), będziemy mieli: an(i+r cos Xy¹-\-2a₃₃('i]-{- r cos fi) (£+r cos i>) + 2a₁₄(£-l-r cos A) + (fe-j-a₄₄=0.

czyli :

*-£

cos X

COS V

(1)

(2)

(3)

Uporządkowawszy to równanie według potęg r, otrzymamy równanie drugiego stopnia ze względu na r, kształtu:

(4)

sr²-\-2tr+f=0j

gdzie :

S = ö₁₁ COS² ^ + «22 COs2 /« + «33 cos2 ^ + 2a₁₂ cos X cos y+

+ 2a₁₃ cos X cos v-\-2a₁₃ cos fi cos v}

t=an^ cos X-\-a₂₂ y cos /«■+«3 3 £ cos ^ + «12 £ cos y + «₁₂ ?? °os X-\-ai3 £ cos vĄ-

+ a₁₃£ cos X-\-a.₁₃ V cos ^ + «23 £ cos y+a₁₄ cos A-p«₂₄ cos y+«₃₄ cos v, /-«u £²+«₂₂ ^ + «33 £² + ²«i2 £*? + 2a₁₃1 £+2a₂₃ rç£+2a₁₄ £+2«₂₄ ?? + 2a₃₄ £+a₄4*

Położywszy dla skrócenia :

(5)

atl cos 2+a₁₂ cos y + «₁₃ cos v=wą, a₁₂ cos X-\-an cos /« + «23 cos v==wn a₁₃ cos «23 cos y+ «33 cos v=w₃,    a₁₄ cos >î + a₂₄ cos a₃₄ cos v=wk,

«11 £ + «1 2 ^+ «13 £ + «14 ⁼ A >    «1 2 £ + «22 ^ + «2 3 £+ «24 “«Z"2 >

«13 £ + «23 ^ + «33 £ + «34 ⁼⁼f3 J «14 £+«24 *7 + «34 £+«44⁼Ał

Dr. Dziwiński. Wyki. matem. I. Tom II.

— 738 -otrzymamy spółczynniki s, ż, / określone w postaciach następujących:

(6)

s—wi cos Aą-w₂ cos    cos v,

t = £wx +1?W’₂ + ^M;3+W,4=/l C0S    C0S P+f* C0S V1

f= i fi + vA + £ A +A •

Spółczynnik s zawisł tylko od kierunku promienia, f tylko od punktu wyjścia, t od punktu wyjścia i kierunku promienia.

Z równania (4) wypadają na r w ogólności dwie wartości rx i r₂₁ które dowodzą, że wyszedłszy z punktu £, rj, £ w dowolnym kierunku A, spotkamy wogólności dwa punkta powierzchni (1), jeden znajdować się będzie w końcu odległości rlf drugi w końcu odległości r₂, gdzie:

(7)

r\

—t——fs

Punkty te będą rzeczywiste i od siebie różne, skoro punkt wyjścia £, t], Ç i kierunek A, /i, v będą tak dobrane, żeby było i£²>*/s; rzeczywiste i w jeden punkt wpadające, skoro ł²=fs ; urojone i sprzężone, skoro t²<if‘s. Wszelka prosta przecina więc powierzchnię drugiego stopnia w dwóch punktach (rzeczywistych i różnych, albo rzeczywistych w jeden wpadających, albo urojonych, jednakże sprzężonych).

Przejdźmy teraz do szczegółowego rozbioru równania (4), który nas doprowadzi do poznania głównych własności powierzchni drugiego rzędu.

2. Środek powierzchni. Przyjmijmy naprzód, że spółrzędne punktu wyjścia £, 77, f i kierunek promienia A, fi, v czynią zadość równaniu warunkowemu 1=0.

W tym razie otrzymamy z (4) równanie :

sr²—f= 0, a stąd r=±

czyli na r dwie wartości równe, ale przeciwnego znaku.

Równanie warunkowe ż=0 wskazuje na związek, jaki w tym razie zachodzić musi między spółrzędnymi f, tj} Ç punktu wyjścia, a kierunkiem A, (i, v promieni.

Jeżeli punkt wyjścia f, r\₎ Ç jest stały, wówczas możemy równanie warunkowe £=0 napisać w postaci:

(8)

A cos A-\-f₂ cos fi+f₃ cos v=0,

która wskazuje, jak ma byó dobrany kierunek A, fi, v, aby przyjęty punkt £, 17, £ był środkiem cięciwy przez niego przechodzącej. Kierunki te muszą na mocy (8) byó równoległymi do płaszczyzny: x-\-f₂y-\-f₃z=0, czyli muszą leżeć na płaszczyźnie:

(9)

A (*—£)+A (y—n)+A (#—

Przez każdy punkt w przestrzeni da się więc przesunąć jedna płaszczyzna, tak że ten punkt będzie środkiem wszystkich cięciw przez niego przechodzących, a na tej płaszczyźnie położonych. Innemi słowy: Wszelki punkt w przestrzeni jest środkiem jednej krzywej płaskiej (krzywej drugiego rzędu) na danej powierzchni drugiego rzędu położonej.

Płaszczyzna tej krzywej jest ściśle i jednoznacznie określoną, skoro wyrażenia fu f₂, f₃₁ nie są równocześnie zerami, zaś zupełnie dowolną w razie przeciwnym.

Weźmy pod uwagę ten wypadek wyjątkowy, w którym równocześnie:

A-O, A-o, A-o.

W tym razie musiałyby spółrzędne przyjętego punktu wyjścia £, r], dogadzać równocześnie trzem równaniom pierwszego stopnia kształtu:

fi = «1 1 £ + ai 2 ^ + «13 Ç"b a\ 4 ⁼ 0 A =«12 £ "b «2 2 ^ "b «2 3 £~b «2 4 = ^>

/3=«13^ + «23    +«3

z których otrzymamy spółrzędne punktu :

«14 «12 «13 «24 «2 2 «23 «3 4 «2 3 «3 3

,=0,

} (JO)

'fir

«11 «12 «13 «12 «2 2 «2 3 «13 «23 «33

«11 «14 «13 «12 «24 «23 «13 «34 «33

«11 «12 «13 «12 «2 2 «2 3

Vo

«11 «12 «14 «12 «22 «24 «13 «2 3 «3 4

«11 «12 «13 «12 «2 2 «2 3 «13 «23 «3 3

(U)

Ten szczególny punkt w przestrzeni jest środkiem wszystkich cięciw przez niego przechodzących i nazywa się środkiem powierzchni drugiego rzędu. Na wyznaczenie jego spółrzędnych służą trzy równania kształtu (10),

/₃=Y^ możemy zastą-

które ze względu na to, że:

dl=o ^=0 V_o

dl u’ dr, u’ dl

1 df

2 dr]

(10')

pić równaniami :

Spółrzędne środka będą miały wartości skończone, skoro:

«11 «12 «13 «12 «22 «23 «13 «2 3 «3 3

nieskończone, skoro 4=0, nieoznaczone zaś, skoro obok 4=0 staną się także liczniki w (11) zerami.

W ostatnim przypadku są równania (10), przedstawiające trzy płaszczyzny, od siebie zależne i sprowadzają się do dwóch równań niezależnych, albo do jednego tylko, przedstawiają zatem w pierwszym razie prostą w przestrzeni, w drugim płaszczyznę jako miejsce środków; miejsca te mogą leżeć znowu w skończoności lub nieskończoności.

Na mocy tego podzielić można powierzchnie drugiego rzędu na następujące rodzaje:

1.    Powierzchnie środkowe, mające jeden środek w skończoności.

2.    Powierzchnie bezśrodkowe, t. j. powierzchnie mające środek w nieskończoności.

8. Powierzchnie, mające prostą środków, położoną w odległości skoń-

4=

(12)

czonej.

4. Powierzchnie, mające prostą środków, położoną w odległości nieskoń

czonej.

5. Powierzchnie, mające płaszczyznę środków.

Jeżeli powierzchnia drugiego rzędu posiada środek, to może się zdarzyć, że ten punkt leży na niej samej. W takim razie muszą spółrzędne środka uczynić zadość równaniu :

/=/i £+A Vf3 £+/»—ty

czyli skoro: A=/2=A=0> także A =0, a więc dogadzać czterem równaniom :

— 740 -

/i=«u £+«₁₂ î? + a₁₃ £+a₁₄ = 0,    /₂=*a₁₂ | + a₂₂ rj + a₂₃ £+«₂₄=0,l

/₃=«13 ^"i_^2 3 ^ + a33 ê" “ł⁻ ^*3 4 ⁼⁼⁼ 0,    /₄ —    ₄ ^ "ł” ^2 4    4“ ®3 4 £ "b *^4 4    ^ J

co się stać może tylko wtedy, gdy będzie wyznacznik:

®11 tt12 3 ß14 ®12 tt2 2 ft2 3 tt2 4 «13 «23 tt33 ß34

(13)

D=

=0.

(14)

«j 4 «₂₄    «₃₄ «₄₄

Równanie (4) otrzymuje wtedy kształt: sr²=0, daje więc na r dwie wartości równe zeru, skoro kierunek A, fz, v będzie tak dobrany, że s > 0, albo

wartości dowolne, skoro będzie $=0.

Powierzchnia taka składa się z szeregu prostych, z jednego punktu wychodzących, jest więc powierzchnią stożkową.

Stożek drugiego stopnia jest zatem jedyną powierzchnią rzędu drugiego, której środek leży na samej powierzchni. Wierzchołek jest środkiem stożka.

3. Płaszczyzny środkowe. Przyjmijmy w równaniu warunkowem ź=0, kierunek promieni A, fz, v, jako stały, wówczas możemy równanie t=0 napisać w postaci:

iiVi + rjWi + ÇiVz + u\=0, która przy zmiennych spółrzędnyoh £, i], f punktu wyjścia przedstawia pła-

(15)

szczyznę.

Przyjąwszy więc pewien stały kierunek, otrzymamy na każdej prostej w tym kierunku wykreślonej jeden punkt, który będzie środkiem dotyczącej cięciwy. Spółrzędne tego punktu muszą dogadzać równaniu (15) stopnia pierwszego, a zatem :

Środki cięciw równoległych powierzchni drugiego rzędu leżą zawsze na jednej płaszczyźnie.

Płaszczyznę taką nazywamy płaszczyzną środkową, albo diame

tralną.

Z jej równania podanego w (15) kształtu:

wi x + w₂y + w₂z -f wk=0,

otrzymamy kierunek jej pionu A\ /z¹, v\ określony równaniami :

cos A‘ cos y' cos v‘

W.

w%

przeto: cos A‘ =

wi

V w^ + w^+Wz²

COS {Z¹

V««₁² + W₂² + ^3²

w₂

COS V¹

! (¹⁶>

y*v+fv+v

Każdemu kierunkowi cięciw (A, fz, v) odpowiada więc jeden kierunek płaszczyzny środkowej {A‘, fz¹, v').

Równaniu płaszczyzny środkowej podanemu w (15) kształtu:

i wt + rjw₂ + t;w₃ + wx — 0,

które przedstawić możemy także w postaci :

/i cos A-\-f₂ cos {z-\-f₂ cos v=0,

czynią zadość niezawiśle od A, [z, v spółrzędne środka, które określają równania: fy — f₂ = /g =0, z czego wynika:

Płaszczyzna środkoica powierzchni drugiego rzędu, odpowiadająca jakiemukolwiek kierunkowi cięciw, przechodzi zawsze przez środek powierzchni.

Odwrotnie jakakolwiek płaszczyzna poprowadzona przez środek powierzchni będzie płaszczyzną środków cięciw równoległych.

y^ ²+iv₂ ²+w₃

Niech będzie bowiem :

A(x—i) ±B(y—t]) + C(s—Ç) =0

równaniem dowolnej płaszczyzny, przechodzącej przez środek £, 17, £, to porównując je z równaniem płaszczyzny środkowej, odpowiadającej kierunkowi A ft, v, przedstawiającem się w postaci: Wy(x—^)-\-w₂{y—rj)-\-tv₃(z—Ç)= 0, otrzymamy równości :

(17)

— 741 —

Wy W J %

A ⁼ B ⁼ ~G

które wystarczą do wyznaczenia kierunku /i, y, v cięciw danej płaszczyźnie przynależnych.

Mianowie otrzymamy z tych równości:

«11 COS /l-ł-«i2 COS ^ + «₁₃ COS V CLy ₂ COS A-{-a₂₂ C0S ^ + #23 C0S ^

przeto :

cos A=lc

1! fcrt

«₁₃ COS /l + «₂3 C0S ^ + ö33 C0S v

~C    k

»a i⁵

w M W o? »    »

CO CO CO

cos [l*=1î

«11 «12 «13

«12 «22 ^2 3

«11 A «13

«12 B «23

«13 C «33

«U «12 «13

«12 «22 0₂₃

cos v=Tc

«1 ^ Ojy 2 A. ®12 ^22 3 ö23 C

«11 «12 öl 3 tt12 a22 a22 «13 «23 «33

Ze względu, że: cos² A 4-cos²^4-cos² v=\, będzie: ß²

4²

V+V+V’

gdzie zl jest wyznacznikiem mianowników, di, d₂, d₃ są wyznacznikami liczników, przeto otrzymujemy:

cos A—

Vv+V+V

COS fl

cos v=

W+V+V'

VV+V+V

Każdej płaszczyźnie, przechodzącej przez środek, odpowiada przeto jeden kierunek cięciw, który nazywamy kierunkiem z płaszczyzną sprzężonym.

4. Średnice powierzchni 2-go rzędu. Przekrój dwóch płaszczyzn środkowych danej powierzchni drugiego rzędu nazywamy średnicą tej powierzchni. Ażeby znaleźć równania takiej prostej, weźmy pod uwagę dwie płaszczyzny środkowe sprzężone z kierunkiem A, [i, v względnie A\ (i‘, v‘. Ich równania dadzą się przedstawić w postaci:

fx cos A+f\ cos fi+A cos v—0₎ f\ cos A¹ +/j cos <«'4-/3 cos v‘—0, skąd otrzymujemy równości :

COS fl COS V¹ COS (l‘ COS V COS V cos A¹—COS v‘ COS A COS A COS (,l‘—COS A¹ COS [A ⁵

które się sprawdzają dla dowolnego punktu przecięcia płaszczyzn środkowych, a więc określają średnicę powierzchni. Ponieważ stałe kierunki A, fi, v, A¹, fi', v¹ są dowolne, przeto możemy napisać równanie średnicy w postaci :

(18)

gdzie l, w, n są dowolnemi liczbami.

_ 744 -

Jeżeli z tych równań wyrugujemy A, fi, v otrzymamy jedno równanie, które zawiera tylko niewiadomą s w postaci :

«11 Si «12?    «13

(28)

4(ó') =    «12>    «22 ~ S> «23 —0.

«13    a₂₃    a₃₃ S

Równaniu temu możemy, rozwinąwszy wyznacznik, nadać postać:

(«1 1 - S) («22 — S) («33 - S) — («11 — ⁵) «²23 - («2 2 — S) « ²13 — (a33 — S) «²1 2 + ²«i 2«1 3«2 3 =

czyli :

S³ — (a₁l+«22+«33)s2 + («ll«22+«lia33+«22a33-ß212—a213-«²23)S + ■b «11«²23 "h «22«²1 3 d“«33«²j 2    «1 1«22«33    ²«1 2 «13 «23 “0.

(24)

Kładąc :

P~a\ \ 4“ «22 +«33 >    ę = («ll«33—«»²12)+-(«₁₁a₃₃—'«²1 ₃) + («22«33 “'«²₂₃)“

_ «2 2 «23

«2 3 Cl33

«11 «13

«13    «33

«u a₁₂

«12 «22

= «11 +«22 + «33

«H «₁₂ «13

4«= «h«22«33 + 2«j ₂ «₁₃ «23    «^ «²₂₃    «₂₂ «^3    «33 «²1 2 ⁼ «1 2 «22 «2 3

«13 «23 «33

napiszemy powyższe równanie w postaci :

(25)

s³-Ps²+Qs—A=0.

Równanie (25) zależy tylko od spółczynników przy wyrazach drugiego stopnia w równaniu ogólnem, a jako równanie trzeciego stopnia dostarcza w ogólności trzy pierwiastki slt s₂, s₃, za pomocą których z równań (22)

cos A

znajdziemy wartości stosunków

cos fi cos v

cos V

samem trzy kierunki główne w powierzchni rzędu drugiego.

przynależnych każdemu s, a tern

8. Układ kierunków głównych. Najpierw wykażemy, że powyższe równanie trzeciego stopnia ze względu na s ma wszystkie trzy pierwiastki rze czy wiste.

W tym celu przedstawmy wprzód równania (22) w postaci :

cos fl

cos v

cos A

«13

«12

«12 «13

(s «i i)

cos A

cos v

cos (l

•>

«23

«12

cos A

COS fl

«1 2 «2 3 COS V

iß «22))

«23

«13

(S «33)

«13«23

skąd gdy dodamy po obu stronach poszczególnych równań kolejno:

cos A

«23

COS fl COS V

«12

wypadnie : cos A , cos fi

COS V

COS V

«12«! 3

«23

«13

cos A , cos fi

«2 3

«13

cos A

COS (l

«12    «12«13

COS V    COS fl

«12    «12 «2 3

COS V    COS V

«23

«12«23

«13

«23

«13

«12

«13 «2 3

Połóżmy :

COS A COS fl COS V

--1-----1--

«23

«13

«12

k,

«11

«1 2«13

«23

«,

«22

«12 «2 3 _7.

U)

«13

a12g13    _j_    g12a23    fl13a23    _|

czyli :

a33

al3 aï 3

c, wtedy otrzymamy z równań poprzedzających:

h . «1 ₂«i 3

COS

le. ai 2«₂₃

s-b

COS V

a stąd :

cos À

cos fl

cos v

°23

al3

«12

= k=/e

a\ 2al 3 ^2 3a)

tt12tt23

a!3q23 «i3(s —&) ' "Oi₂(»—<0

4'Js

«₂₃(s—«)    a₁₃(s—b) ai2(s—c)~

Na podstawie tego równania możemy równaniu trzeciego stopnia ze względu na s nadać kształt:

(s—a)(s—b) (s — c) (s—b)(s—c) (s—a)(s—c)    (s—a)(s — b)

-0. (26)

«³23

Z postaci tej łatwo wywnioskować, że równanie ma wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste. Przyjmijmy «)>6>>c, co wcale nie zmniejsza ogólności i podstawmy w równaniu kolejno za s liczby: —co , «, b, c, tedy otrzymamy pod założeniem, że iloczyn: «₁₂.a₁₃.«₂₃ jest ujemny, następujące wartości lewej strony równania (26) :

a23ai3ai2

«²i2

(a—b) (a—c)

(ft—«) (ft—c)

(c—a) (c — b)

a223

<3

czyli następujący szereg znaków: -f, —, +, —, z którego wypływa, że równanie (26) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, zawarte między liczbami: — co i «, « i b, b i c.

Jeżeli iloczyn ai2ai?,a23 jes^ dodatni, wówczas podstawmy za s kolejno wartości «, ft, c, +co, a otrzymamy szereg znaków: —, -f, —, -f, który dowodzi, że i w tym razie ma równanie trzy pierwiastki rzeczywiste, zawarte między liczbami: « i ft, b i c, c i -j-co .

Pozostaje nam zbadać przypadek, dotąd wykluczony, jeżeli jeden ze spół-czynników «₁₂, a₁₃, «₂₃, a tern samem iloczyn «i₂ai3a23 Jes^ zerem. Przyjmijmy, że a₁₂=0, tedy otrzyma równanie (23) kształt:

o 12

(«11 S) («22 S) («33 5) («11    S)«²₂₃    (a2 2 ^)m213

Przyjmując, że a₂₂'^>aii podstawmy za s wartości —co, «u, a₂₂, +00, a znajdziemy dla wartości lewej strony tegoż równania szereg znaków:

+ , —, który dowodzi, że i w tym razie wszystkie trzy pierwiastki są rzeczywiste, a zawarte między liczbami: —co i «u, «n i «₂₂, «₂₂ i + co Jeżeli wreszcie między spółczynnikami «i₂, «i3, «₂₃ dwa są zerem, a więc np. «₁₂=0 i «₁₃=-0, tedy sprowadza się równanie poprzednie do następującego :

(«U — S) [(«₂₂    s) (®33    s)    ft223] —

które ma jeden pierwiastek równy alt, dwa inne zaś są oznaczone równaniem drugiego stopnia :

(^2 2 S) (a3 3 S) a 22 3 ”

które ma jak łatwo sprawdzić zawsze pierwiastki rzeczywiste.

W każdym więc razie ma równanie trzeciego stopnia ze względu na s wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste.

Istnieją więc w powierzchni drugiego rzędu trzy kierunki główne (^1,^1, ^i), (^2,|W₂, v₂), (À3f fi₃, P₃), odpowiadające trzem pierwiastkom sit s₂, s3 równania trzeciego stopnia.

— 746 —

9. Nie trudno wykazać, że kierunki główne są do siebie prostopadłe. Na podstawie równań (22) otrzymujemy bowiem dla dwóch kierunków (J1; fiv vx) i (X₂, y₂, v₂), odpowiadających dwom pierwiastkom s1? s₂ równania: ax 1 cos Xx-\-aX2 cos fi{ + ax3 cos vi =si cos X

ai2 COS Xt +«22 C0S VL\ + «2 3 cos v\ cos (*u «₁₃ COS X₁ +«23 C0S fll + «33 C0S v\ =S\ cos v\ }

«n cos X₂ +«12 cos n₂ + a₁₃ cos v₂ =s₂ cos X₂,

«₁₂ COS X₂ +«22 C0S ^2+^23 C0S /*> ==S2 ⁰⁰³ ^2 >

3 COS + «₂g COS + «₃₃ COS V=S₂ COS V₂.

Pomnóżmy trzy pierwsze równania kolejno przez cos^₂, cos^,, cos v₂, drugie przez cos Xt, cos^, cos vi i odejmijmy następnie od sumy trzech pierwszych równań sumę trzech drugich, wtedy otrzymamy równanie :

(27)

(si—S2^ (cos ^1°0S >ł₂ + cos ^cos ₂ +cos î^cos v₂)=0, z którego wynika, że kierunki główne odpowiadające dwom równym pierwiastkom równania trzeciego stopnia są do siebie prostopadłe.

Z własności tej mamy nowy dowód, że pierwiastki s nie mogą być urojone. Gdyby bowiem było 6^=«,+ ßf musiałoby być s₂ = ai—ßxi, otrzymalibyśmy tedy z równań (26):

cos Xi=a-{-bi, cos fi^=c-\-di, cos vi=e+fi, cos X₂=a—hi, cos fi₂=c—di, cosv₂ — e—fi.

Warunkowi cos XicosX₂Jr cos ^cos ^2 +cos ^cos v₂—0, który tu otrzymuje kształt: a² + ó² + c² +^² + e² + /“²=0, mogłoby się stać zadość tylko wtedy, gdyby było a=h—c—d—e — f—0, ale w takim razie nie mógłby się sprawdzić związek konieczny : cos² X{ + cos² [ix +cos² vi = 1, a więc niemoźebną jest rzeczą, aby równanie trzeciego stopnia ze względu na s miało pierwiastki urojone.

Niech będzie s, jednym z pierwiastków równania, Xi, fix, vi odpowiadającym mu kierunkiem głównym, tedy płaszczyzna z tym kierunkiem sprzężona, czyli tak zwana płaszczyzna główna, będzie miała równanie :

xwx + yw₂ + 0ws + w₄ = 0

czyli ze względu na równanie (22) w postaci :

si(x cos X{ Ą-y cos fix +z cos vx)Ą-au cos Xi + «₂₄ cos + «₃₄ cos vx =0.    (28)

Każdemu kierunkowi głównemu wyznaczonemu przez pierwiastek Sj różny od zera odpowiada tedy jedna płaszczyzna główna powierzchni.

Istnieją zatem, gdy pierwiastki si, s₂, s₃ są między sobą różne i różne od zera trzy płaszczyzny główne powierzchni

Jeżeli jeden pierwiastek jest zerem, co się wedle (25) tylko wtedy stać może, skoro będzie:

«u «i ₂ «i 3

=0.

«12 «₂2 «23

«13    «23    «33

wówczas otrzymujemy kierunek główny, któremu przynależy płaszczyzna główna położona w nieskończoności; gdyby jednakże oprócz /i=0 było także «i₄ cos Xx +«₂₄ cos + «₂₄ cos vx =0, wówczas byłoby równanie (28) tożsamością, płaszczyzna główna nieoznaczona; wszelka płaszczyzna prostopadła do kierunku Xx, fil, vi byłaby więc płaszczyzną główną powierzchni.

747

Średnice poprowadzone w kierunkach głównych powierzchni nazywamy osiami powierzchni. Widocznie każda oś będzie zarazem przekrojem dwóch innych płaszczyzn głównych.

10. Płaszczyzna styczna. Przyjmijmy punkt £, 77, Ç tak, aby było f=0, a więc na danej powierzchni, w tym razie będzie równanie (4) kształtu:

(29)

sr²-f 2ir^=0

(30)

21

będzie więc miało jeden pierwiastek ^=0, drugi zaś r₂ =--—

Wychodząc więc z pewnego punktu £, rj, Ç powierzchni w dowolnym kierunku X, (i, v, napotkamy jeszcze drugi punkt tej powierzchni w odle-

głości r₂ =--—, która będzie skończoną skoro będzie s rożnem od zera.

Odległość tego drugiego punktu od punktu wyjścia staje się także zerem, skoro będzie kierunek X, [i, v tak dobrany, aby było ź=0, czyli:

(31)

A cos XS-/₂ cos cos v=0,

są w wiadomej nam zależności od punktu wyjściu £, 77, Ç.

gdzie f j, f2, fz

Z równania (31) wynika, że kierunki te tworzą płaszczyznę, która przechodząc przez punkt £, 77, f ma równanie kształtu:

(32)

czyli z powodu, że: w postaci:

A {x—èï+fitit—v) +/₃(*—£)=o, f= îA+ y A+£/₃ ~hA = 9,

A x +/î y 4-/3 2 +/₄ =0.

Z każdego punktu powierzchni drugiego stopnia da się więc wyprowadzić nieskończenie wiele prostych, które w tym punkcie powierzchnię podwójnie przecinają, mając z nią wspólne dwa punkta w jeden wpadające. Proste te, zwane prostymi stycznymi do powierzchni, tworzą wedle (32) jedną płaszczyznę, zwaną płaszczyzną styczną do powierzchni.

*/rr

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni /(r, y, z)=0 w punkcie , 77, Ç, ma tedy wedle (32) kształt:

czyli :

A % ~\~f 2 y 4-/3 2 +/i=Oj

(33)

(auÇ + ai2rj+aiSÇ+aill)x + (ai2Ç+anri-\-ai3t;+aVi)y+ + (ai^ + a₂^Ą-a^+a3ti)z+(aAJ-\-a2!tf] + au^+aik) = 0,

który otrzymamy wprost z równania powierzchni, zastępując x², t/², z² przez ar|, yrj, 0Ç, iloczyny 2xy, 2xz, 2yz, przez xtjĄ-^y, xÇ+Çz, yÇ + qz, a wyrazy 2x, 2y, 2z przez x + Ç, y+ 77, z + Ç.

Wyznaczmy warunek, pod jakim równanie pierwszego stopnia:

(34)

Ax + By 4- Gz + D=0

przedstawia płaszczyznę styczną do powierzchni drugiego rzędu.

A x "h/2 P    "hA⁼

Porównywując to równanie z równaniem płaszczyzny stycznej w punkcie i, 77, £ kształtu :

otrzymujemy równania warunkowe :

f\—A4, /₂—kB, A — A — AD,

gdzie Jc jest dowolną ilością stałą.

Mamy tedy na oznaczenie szukanego punktu styczności £, 77, £ pięć

równań :

fx COS ź+/'₂ COS /M4/3 COS V

zfi +y/i +0f₃+fi—f

748

all£ + a12»? + al3£+a14“-'^ = °»    «i2^ + «22⁷? + a23^ + a24—^ß==0)

»13^+«23î? + 0r33^+«34—^ÆC = 0, Oj ₄£ + «₂4r/ + «3 4 £+ «44~'

AÇ+Bi]+CÇ+D=0,

którym może się stać zadość tylko wtedy, skoro będzie wyznacznik:

» «14» ^

» «₂₄, .Z?

, «34, C , ^4 4 > B

D, 0

1) «12»

2» «22»

3 » «2 3 »

4) «24»

A, £»

Wyznacznik ten zrównany do zera przedstawia zatem warunek, pod jakim równanie (34) przedstawia dowolną płaszczyznę styczną do powierzchni drugiego rzędu.

13. Stożek styczny. Weźmy teraz dowolny punkt rj, Ç w przestrzeni i oznaczmy miejsce geometryczne wszystkich stycznych, jakie z obranego punktu wyprowadzić się dadzą do danej powierzchni.

Ażeby prosta z punktu £, 7]₎ Ç wyprowadzona była styczną do powierzchni musiałby jej kierunek    fi, v być tak dobranym, aby równanie:

sr²+2trJrf—0

dało na r dwa pierwiastki równe, co się stanie, skoro będzie: t²—fs —0,

co co co    •

e <f e e °

= 0.

(35)

(36)

(/ COS A4-/2 cos fl + f₃ cos v)² = fs.

Oznaczmy przez x, y, z spółrzędne dowolnego punktu tej prostej oddalonego o p od punktu £, rj, £, tedy będzie :

czyli :

z—I

, COS fl

y-n

s=

z—£

f/ta-/>)TTT

IV

COS ^-f-w;₂ COS fl + Wa COS V=(fu—-/j)-2

?

= t \.xf ix yf‘lx Azfzx+fkx—2 (zfi +yf₂ 4-0/3 +/₄) -*-/] =

Q

y» *0    f?, D—2 (aj/i + y/₂ 4-^/3 +/₄],

h (/3* y3) ^2

przeto otrzymamy z (36) równanie :

(37)

[z/i +y/₂+0/3+/₄]²⁼=/(z, y» *)/(£> *?>r.D» które jest ze względu na a?, y, £ stopnia drugiego i przedstawia stożek obwi-jający powierzchnię /(#, y, #) = 0, czyli tak zwany stożek styczny do powierzchni mający wierzchołek w punkcie £, rj, £.

13. Biegun i płaszczyzna biegunowa. Krzywa styczności stożka z powierzchnią będzie określoną równaniami stożka i powierzchni, a zatem dwoma równaniami:

(z/i +y/₂+2/3 +/₄)²=/(z, y, *)/(£, % £), /(z, y,»= 0,

które widocznie dadzą się zastąpić także równaniami:

z/i + y/₂ + eft+/₄ = 0, /'(z, y, *)=0.

Pierwsze jest ze względu na x, y, z stopnia pierwszego, przedstawia zatem płaszczyznę, drugie przedstawia daną powierzchnię. Krzywa styczności stożka z powierzchnią drugiego stopnia jest zatem krzywą płaską.

Płaszczyzna tej krzywej pozostaje z wierzchołkiem f, 77, £ stożka styczności w osobliwszym związku.

Poprowadźmy mianowicie przez punkt £, 77, £ prostą w dowolnym kierunku Â, fi, v. to prosta ta przetnie powierzchnię w dwóch punktach: w jednym    y i, zf) w odległości rx od punktu $•(£, 77, £), w drugim P₂(a? ₂, y₂, ^2)

w odległości t*₂ ; płaszczyznę zaś krzywej styczności w punkcie M(x,y,z) w odległości (>.

Będzie tedy na podstawie równania:

Ale:

sr² + 2^+/’=0,    ^+^2=--

s

X=Ç-\-Q COS Ź,

f r\ +r2 ___

11 = V + Ç COS y, £=£+(> COS 7>,

r>r’“T'

przeto otrzymamy z równania:

xfi+yfi+zU+fi^O,

przedstawiającego płaszczyznę krzywej styczności następujące równanie: (l+Ç cos 4>/i + (*?+£ cos fi)f₂+(Ç+ç cos v)f₃+fi= 0, l/i + ??/₂ +l/₃ +/₄ + (> [/i cos A+/₂ cos y -h/₃ cos v] =0.

czyli :

Będzie zatem:

l/i+77/2+ £/₃+/₄

fi COS À + f₂ COS (l+fz COS V

1 ₌ ^l + y₂

2r₁r₂

t. z. odległość £ jest średnią harmoniczną między odległościami rx i r₂.

Płaszczyzna krzywej styczności jest zatem miejscem geometrycznem czwartego punktu harmonicznego sprzężonego z wierzchołkiem $(£, 77, £) ze względu na punkta przecięcia P₁, P₂ dowolnego promienia z powierzchnią.

Z tego powodu nazywa się też płaszczyzna krzywej styczności stożka z powierzchnią drugiego stopnia płaszczyzną biegunową punktu £, 77, £, a punkt £, 77, £ biegunem tej płaszczyzny ze względu na powierzchnię drugiego rzędu f(x, y, z)=0.

Punktowi £, 77, £ w przestrzeni odpowiada wedle tego płaszczyzna biegunowa, której równanie ma kształt :

a więc:

2 Ui + rJ

(39)

xf\ + yf%    +/4=0.

Równanie to możemy napisać także w postaci :

Î fix    fix fbx = Qj

(40)

(41)

które wyraża, że płaszczyzna biegunowa punktu x, y, z przechodzi przez punkt i, 77, £. A zatem:

Jeżeli z dwóch punktów f, 77, £ i #, y, 0 jeden leży na płaszczyźnie biegunowej drugiego, to drugi leży na płaszczyźnie biegunowej pierwszego punktu. Stąd wnioski :

1. Jeżeli punkt porusza się po płaszczyźnie, to płaszczyzna biegunowa punktu, obraca się koło bieguna tej płaszczyzny.

- 750 —

2. Jeżeli punkt porusza się po linii prostej, to płaszczyzna biegunowa obraca się około drugiej prostej.

Te dwie proste, które w ten sposób sobie odpowiadają, że płaszczyzny biegunowe punktów na jednej z nich położonych przechodzą przez drugą, nazywają się prostemi sprzężonemi względem danej powierzchni.

Możemy tu wykazać, że :

Szereg punktów leżących na jednej prostej jest homograficznym z pękiem płaszczyzn biegunowych, przechodzących przez drugą prostą. Skoro bowiem: P‘ (£', 77', £') i P"(£", 77", £") są dwoma punktami szeregu prostolinijnego, opisanego przez punkt P, to spółrzędne punktu P będą:

x=XÇ‘+yÇ'‘,    y=X'r]' +yrj", z=X£ Ą-yC,".

Płaszczyzna biegunowa punktu P będzie miała tedy równanie ;

(a)

xf\ 4- y fi +2/3 +4

które sprowadza się do postaci:

(&)

J W\ +yf\ +2/3 +// ₄]+^[^//'i    +///4]⁼⁼0-

Ze zmianą X i y otrzymujemy z (a) szereg punktów, położonych na prostej P'P", t. j. na prostej określonej równaniami:

xf\ +yf₂+0/'₃+f,i=o, xf\ +yr₂+*r₃+f\=o.

Jeżeli tedy uważać będziemy punkt szeregu (a) i płaszczyznę pęku (b)

odpowiadające tej samej wartości stosunku ~ jako elementa sobie odpowia-

dające, wtedy widocznie jest pęk płaszczyzn (b) homograficznym, czyli jedno-kreślnym z szeregiem punktów (a).

10. Punkta nieskończenie dalekie na powierzchni. Stożek asymptotyczny. Wróćmy znowu do rozważania równania: sr²-f2źr-f/=0, a w szczególności przyjmijmy, że dla pewnego przyjętego kierunku X, y, v jest s=0. W takim razie otrzymujemy z tego równania jeden pierwiastek ri =00 ,

drugi r₂ = —

Prosta wyprowadzona z dowolnego punktu £, 77, Ç w kierunku dogadzającym równaniu s=0, przecina tedy powierzchnię w dwóch punktach, z których jeden jest punktem nieskończenie dalekim, drugi zaś ma, skoro t >■ 0, odległość skończoną.

Równanie s=0, czyli :

aii cos² X + a₂₂ cos² y-f-a₃₃ cos² v-\-2ai2 cos X cos y +

+ 2as 3 cos X cos vĄ- a₂₂ cos y cos v—0

jest ze względu na X, y, v jednorodnem stopnia drugiego, przedstawia zatem szereg kierunków, które wyprowadzone z pewnego punktu wyjścia £, 77, £ tworzą w ogólności stożek drugiego rzędu. Oznaczmy przez x, y, z spółrzędne dowolnego punktu prostej, wyprowadzonej z punktu £, 77, £ w kierunku y, wtedy będzie:

x—ê

y-7?

*-s

cos y

przeto otrzymamy z warunku t=0 równanie:

«11 (x—i)² + a2 2 (y—77)² + a3 3 O'— £)² + 2^ ₂ (z—£) (y—t?( +

+ 2a₂ 3 (y - y) [z—£) + 2«j 3 {x - £) (—£)=0.

<>

jednorodne względem x—y—77, z—£, przedstawiające stożek o wierzchołku

I, v, £

Każda tworząca tego stożka przecina powierzchnię drugiego stopnia w dwóch punktach, z których jeden leży na tej prostej w nieskończoności.

Jeżeli oprócz s=0 jest także t—0, czyli:

/j cos À+f₂ cos (i+f₃ cos 7’ = 0,

co stać się może przy pewnym kierunku J, fi, v od warunku t=0 niezależnym, tylko wówczas, skoro będzie /’₁=0, /₂ = 0, f₃ = 0, czyli skoro przyjęty punkt £, 77, £ jest środkiem x₀, y₀, #₀ powierzchni, natenczas przecina każda taka prosta powierzchnię w dwóch punktach nieskończenie dalekich w siebie wpadających jest więc asymptotą powierzchni. Stożek z tych prostych powstały nazywamy też stożkiem asymptotycznym powierzchni drugiego rzędu; jego równanie ma kształt:

(43)

«liO*—*o)²+ff₂₂ (y—J/o)² + «3₃(^-^o)² + 2a₁₂ (x-x₀)(y—y₀) + +2ais(x-x₀) (z-z₀) + 2an(y—y₀) (*—2₀) = O,

gdzie wartości a*₀, t/₀, #₀ określają znane równania:

/i=0, /₂= 0, /₃=o.

Stożek asymptotyczny mają tylko powierzchnie środkowe. Zależnie od kształtu tych powierzchni może być stożek urojonym, t. z. punktem samym, albo stożkiem rzeczywistym.

Jeżeli lewa strona równania (41) rozkłada się na iloczyn dwu czynników pierwszego stopnia, natenczas rozkłada się stożek asymptotyczny na dwie płaszczyzny asymptotyczne, które mogą być urojone (jedna prosta), albo rzeczywiste.

ćwiczenia LXVI.

1) Wykazać, źe powierzchnia drugiego rzędu jest wyznaczona dziewięcioma punktami

przestrzeni.

2)    Wyprowadzić warunek, pod którym dziesięć punktów przestrzeni leży na tej samej powierzchni drugiego rzędu.

3)    Okazać, że wszelka płaszczyzna przecina powierzchnię drugiego rzędu podług krzywej drugiego rzędu (rzeczywistej, lub urojonej).

4)    Okazać, źe wszelka prosta przecina powierzchnię drugiego rzędu w dwu punktach (rzeczywistych, lub urojonych).

5)    Wykazać, że spółrzędne środka powierzchni drugiego rzędu/=0, określone są

^=0,

tf-a

dz

trzema równaniami kształtu : ~ = 0,

dx    dy

6)    Znaleźć środek <S'(Ę, rj, Ç) powierzchni: xy-\-xz-\-yz—2x—y — 3z+l ~ 0.

7)    Wyznaczyć środek /SYÇ, tj, Ç) powierzchni:

x'l-\-y'²‘-\-'&z'l-\-xy-\-3xz-\-2yz — 1x—Yly—2bz-\-l = 0.

8)    Znaleźć środek S(%, »), Ç) powierzchni:

(<ay-\-bx—c)*—ab (xy—z²) = 0,

9)    Wykazać, że równanie: 8xy—l§xz-\-8yz—8^4-8^—162—7 = 0 przedstawia powierzchnię stożkową o wierzchołku: *8^—-^-, —,--

10)    Okazać, że równanie jednorodne drugiego stopnia o zmiennych x, y, z przedstawia powierzchnię stożkową drugiego rzędu, której wierzchołek leży w początku układu.

11)    Okazać, że wszystkie proste g, które przechodzą przez punkt przecięcia dwu danych prostych l i V tak, że suma kątów, jakie każda z tych prostych g tworzy z dwiema danemi prostemi l i V jest ilością stałą, tworzą powierzchnię stożkową drugiego rzędu, której wierzchołek leży w punkcie przecięcia danych dwu prostych.

12)    Okazać, że wszystkie proste g, które przechodzą przez punkt przecięcia dwu danych prostych lii‘ tak, że różnica kątów, jakie każda z prostych g tworzy z dwiema danemi prostemi l i l\ jest ilością stałą, tworzą powierzchnię stożkową drugiego rzędu, której wierzchołek leży w punkcie przecięcia danych dwu prostych.

14) Wyprowadzić warunek, pod którym ogólne równanie drugiego stopnia między trzema zmiennemi x, y, z, przedstawia powierzchnię stożka drugiego.

14)    Okazać, że miejsce geometryczne punktów, których odległość od danej prostej l, do jego odległości od danej płaszczyzny P nachylonej do l, pozostaje w stałym stosunku £ jest stożkiem drugiego rzędu.

15)    Okazać, że miejsce punktu, którego odległość od osi x-ów jest równą jego odległości od płaszczyzny: Ax-\-By-\-Cz — 0 jest stożkiem o równaniu: (KAx-\rByĄ-Cz)'¹-— D²(a;²-{-i/²).

16)    Znaleźć równanie stożka, którego wierzchołek, znajduje się na powierzchni kuli a^+yM⁻²'² — ff² w punkcie P(0, 0, a), a kierownica jest kołem małem tejże kuli, leżącem na płaszczyźnie : lx-\-my-\-nz — p.

17)    Okazać, że stożek rzędu drugiego jest jedyną powierzchnią rzędu drugiego, której środek leży na samej powierzchni.

18)    Okazać, że powierzchnia:

aiia;2'4⁻4y²-l-92!²-i-4a;y-f-12y24-62a:-l-2a₁4a;-}-2a₂4y-{-2a342:-}-«4i= 0

posiada środek w nieskończości, jeżeli «u < 1, a w przypadku, gdy <*n= 1, posiada prostą w nieskończoności.

19)    Wyznaczyć miejsce geometryczne środków cięciw równoległych do prostej :

cos X

cos v

COS [T

20) Wyznaczyć równanie płaszczyzny środkowej, odpowiadającej kierunkowi X, p., v cięciw w powierzchni : xy-\-yz-\-zx = a².

21) Okazać, że powierzchnia:

anx*-\rany'i-\ra₃₃zi-\-2alixy-\-2ai3xz+2ai3yz+H = 0,

i stożek:

0n»²+0222/M-«33zM-2ai2*H- 2a₁₃*2-|- 2anxy = 0,

mają te same płaszczyzny środkowe.

22)    Okazać, że płaszczyzna przesunięta przez punkt: P(ij, rj, Ç), któraby przecinała powierzchnię drugiego rzędu podług krzywej drugiego rzędu, dla której punkt P(Ç, rj, Ç) jest środkiem, ma równanie: f'$(x—^)-\-frj{y—f\)-h/'gO*—Ç) = 0

23)    Wyprowadzić równania średnicy spółrzędnej z płaszczyzną Ax-\-By-\-CzĄ-D — 0 w powierzchni: /= a,₁a?²-f-...-[-a44 == 0.

24)    Płaszczyzna obraca się około pewnej danej prostej, okazać, że jej średnica sprzężona opisuje płaszczyznę, mianowicie płaszczyznę sprzężoną z daną prostą.

25)    Okazać, że powierzchnia drugiego rzędu ma w ogóle trzy płaszczyzny główne

i trzy osie.

26)    Wyznaczyć płaszczyzny główne powierzchni: 7cc²-j-6y²+52²—ŁxyĄ-iyz ■— b

27)    Wyznaczyć dostawy kierunkowe osi głównych powierzchni, określonej równaniem :

32 a;²-}-y²-j-2:²—16xy-\-Qyz—16xz—Qx—12*—122-1-18 = 0.

28) Okazać, że dwie powierzchnie o równaniach:

(T + f^TKT + T + M-G + M-¹

a*²4-Z>t/²-}-c2²—(ax-j-ßy-f y«)² = d\ mają osie główne jednakowego kierunku.

— 753 -

29)    Wyprowadzić warunek, pod którym płaszczyzna rc,x-\-r\y-\-X,z-\-l — 0 dotyka ogólnej powierzchni drugiego rzędu : fx = 0.

30)    Wyprowadzić warunek, pod którym prosta, określona równaniami:

Ax-\-By-\-Cz-{-D = 0, A‘x-\-B'y-\- C'z-\-D‘ = 0 przechodzi przez środek powierzchni drugiego rzędu.

31)    Okazać, że styczne, wyprowadzone z początku układu do powierzchni :

1' = a₁₁cc²-j-...+a4*= 0, leżą na stożku o równaniu:

«44/ - («1 l*+«2₂y+«332:+ «44)² = 0.

32)    Okazać, że środki powierzchni, określonych równaniem:

x--\-y²—z‘¹-\-2'kxzĄ-2\xyz—2 ax—2by-\-2cz — 0, w którem 1 i [i przedstawiają dowolne parametry, leżą na powierzchni:

x²-\-y^Ą-z²—(ax-\-by-\-cz) = 0.

33)    Wyprowadzić warunek, pod którym równanie:

«i, a:²-fa22y²-fa₃3^²+2a1 s*y-f 2at 3xe+2anyz = 0 przedstawia stożek o trzech tworzących do siebie prostopadłych.

34)    Wykazać, że w powierzchniach pozbawionych środka płaszczyzny środkowe są albo do siebie równoległe, albo równoległe do jednej linii prostej.

35)    Wykazać, że wszelka powierzchnia drugiego rzędu ma przynajmniej jedną płaszczyznę główną.

36)    Okazać, że równanie trzeciego stopnia A(s) —0 nie może mieć pierwiastków zespolonych kształtu s₁==a-f-ß*, s₂= <x—ßt.

37)    Jakie równanie trzeciego stopnia A (s) = 0 odpowiada powierzchni:

x'l-\-2y'l-\-2z'Ł-\-2xy—2x—4y—4z-\-2 — 0

i jakie są jego pierwiastki.

38)    Okazać, że spółczynniki równania trzeciego stopnia A(s) = 0 nie zmieniają się ze zmianą danego układu prostokątnego na inny układ prostokątny.

39)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny stycznej w punkcie P(£, 7), Ç) powierzchni drugiego rzędu f(x, y, z) = 0.

Wyprowadzić i rozwiązać równania trzeciego stopnia A(s) == 0, odpowiadające następującym powierzchniom :

41) 2xy—xzĄ-yz—2x-\-2y—3 z = 2,

40) 5x²—y'L-\-zï-\-§xz-\-4:xy-\-2x-\-4.y-\-Ç>z — 8,

42) xy-\-yz-\-zx = a'²,

43) 7x²-f 6y²4-5.z²—4 xy—4 yz — 6.

44) Wyznaczyć środek powierzchni:

x'l-\-2y'i-\-§z'1,-\r2(xy-\-xz-\-yz)-\-x-\-y-\-z — 1.

45)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny biegunowej punktu: P(Ç, 7), Ç) ze względu na powierzchnię drugiego rzędu:/(a;, y, z) = 0.

46)    Wyprowadzić równanie stożka stycznego do powierzchni drugiego rzędu/ = 0, mającego wierzchołek w punkcie P(?, 7), Ç).

47)    Wykazać, że płaszczyzna styczna w punkcie: P(x‘, y\ zJ) powierzchni: ax’LAę-by'i-\-cz'l-\-2a‘yz-\-2blxz-\-2c,xy-\-2a“x-\-2b"y-\-2c"z-\-d ■— 0 ma równanie:

(ax'-\-cty-\-b‘z-\-a")xĄ-(c'x-\-by-\-a'zĄ-b“)y-\-(b'x-\-aty-\-cz-\-c")z-\-{a“x-\-b“y-\-c"z-\-d) — 0.

48)    Wykazać, że punkta styczności stożka stycznego do powierzchni drugiego rzędu leżą na płaszczyźnie biegunowej wierzchołka.

49)    Wykazać, że wszystkie punkta, które ze względu na powierzchnię rzędu drugiego są z danym punktem harmonicznie sprzężone, leżą na jednej płaszczyźnie, płaszczyźnie biegunowej danego punktu.

50)    Wykazać, że prosta, podług której przecinają się płaszczyzny biegunowe dwu punktów jest wzajemną biegunową prostej łączącej dane dwa punkta.

51)    Wykazać, że płaszczyzny biegunowe czterech punktów leżących na linii prostej mają stosunek anharmoniczny równy stosunkowi anharmonicznemu danych czterech punktów.

52)    Wykazać, że stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn przecinających się podług pewnej linii prostej jest równy stosunkowi anharmonicznemu ich biegunów.

Dr. DzIwiński. Wykł. matem. Tom III.

58) Wykazać, ze szereg punktów linii prostej jest jednokreślnym z pękiem odpowiednich płaszczyzn biegunowych.

54)    Okazać, że płaszczyzna biegunowa danego punktu powierzchni drugiego rzędu wpada w płaszczyznę styczną w tym punkcie powierzchni.

55)    Okazać, że przez wszelką prostą w przestrzeni można przesunąć w ogólności dwie płaszczyzny styczne do powierzchni drugiego rzędu (z wyjątkiem stożka i walca).

56)    Okazać, że przez wszelki punkt w przestrzeni można przesunąć w ogólności dwie płaszczyzny styczne do stożka, lub walca drugiego rzędu.

57)    Wykazać, że płaszczyzny biegunowe punktów średnicy są do siebie równoległe i równoległe do płaszczyzny środkowej z tą średnicą sprzężonej.

58)    Wykazać, że średnica powierzchni przechodząca przez wierzchołek stożka stycznego do powierzchni drugiego rzędu przechodzi przez środek krzywej styczności stożka z tą powierzchnią.

59)    Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni, a do siebie równoległe są styczne w punktach końcowych średnicy sprzężonej z płaszczyzną środkową do tych płaszczyzn stycznych równoległą

60)    Okazać, że linie styczne do powierzchni drugiego rzędu, a do siebie równoległe są styczne do powierzchni według krzywej przekroju tej powierzchni płaszczyzną środkową sprzężoną ze średnicą do tych stycznych równoległą.

61)    Wykazać, że średnica powierzchni drugiego rzędu: fx = aux-\-...-\-a^^=0 sprzę-

óf    àf àf

ÓJC    Otł 02/

żona z płaszczyzną: Ax-\-By-\- Cz-\-D = 0 jest określoną równaniami:    =    = —-.

ABC

62)    Wykazać, że płaszczyzny środkowe powierzchni drugiego rzędu: / = 0, sprzężone z kierunkami X, p, v spełniającymi warunek: a cos X-|-6 cos p.-j-c cos v = 0 przechodzą przez

àf àf c)f

prostą, określoną równaniami : ~ = ~ = —.

63)    Przez dany punkt P(x₀, y₀, z₀) przesunięto wiązkę płaszczyzn przecinających powierzchnię drugiego rzędu: / = 0, wykazać, że środki przekrojów tych płaszczyzn z powierzchnią mieszczą się na powierzchni drugiego rzędu o równaniu :

àf

àf

àf

Rozwiązania XLVI.

6) S(l, 2, 0).    7) S( 1, 2, 3)

8) s(

2 c 2c 86’    8a’

o).

10) (p—na) (#M-y²)—(P"ł“na) (z—a)'l-\-2a(z— a) (lx\my) = 0.

20) (cos {A-j-cos v)a?-)-(cos X-f cos v)p-j-(cos X-j-cos fi)« = 0.    26) x-\-2y-\-2z = 0, 2x—2y+z = 0

cos Xj _ cos [At _ cos 1 cos X₂ _ cos ja₂ _ cos v₂

2x-\-y—2 z = 0.    27)

V/2

3’

-1

6"’

cos X₃ COS [A₃

cos v,

V/2

-1

83) «Il -j-®î24"a33—0*

40) s³—5s²—14s = 0. 44) S(-~, 0, 0).

39) fs—2)(s²—3s-fl) = 0. 41) s³—-|-s+y = 0.    42) s³-i-s—L = 0. 43) s³—18s²-{-99s—162 = 0.

Literatura. Joseph Carnoy: Cours de geometrie analytique. Geometrie de l’espace Louvin-Paris 1881. George Salmon: A treatise on the analytic geometry of three, dimensions. Dublin 1882. Dr. Władysław Zajączkowski: Geometry a analityczna Warszawa 1884.

lematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya środków i osi głównych w powierzchniach drugiego rzędu.

2.    Teorya płaszczyzn stycznych do powierzchni drugiego rzędu.

3.    Teorya biegunów i płaszczyzn biegunowych względem powierzchni drugiego rzędu.

Wykïad XLVII.

Szczególne postacie powierzchni drugiego rzędu⁻

1. Przekształcanie ogólnego równania powierzchni drugiego rzędu na podstawie zmiany początku układu. Niech będzie:

aiix²+a₂₂y²-\-a₃₃z² + 2ai2xy-ł-2ai3xz+2a₂₃yz + 2aux + 2a2liy + 2a3liz-taii=0 (1) równaniem dowolnej powierzchni drugiego rzędu, odniesionem do pewnego układu prostokątnego.

Zmieńmy najpierw punkt początkowy układu, zatrzymując niezmieniony kierunek osi spółrzędnych. W tym to celu połóżmy w równaniu :

x=x‘ + Ç, y=y'+7], z=z‘-(-Ç,

gdzie rj, £ są współrzędnemi nowego punktu początkowego, wtedy otrzymamy przerobione równanie w postaci :

a\ 1 (&' + £) ² +- 2a₂₃ (y' + ?]) i*¹' + £) +    ₄(#' + £) + & + «44 =0.

Uporządkowawszy to równanie wedle potęg zmiennych x‘, y\ kreski jako nie potrzebne opuszczając, otrzymamy równanie:

anx²-\-a₂₂y²+a₃₃z² + 2aX2xy+2ai3xz+2a₂₃iyz-{ 2(aiJ+ai2r]Ą-ai3^+aill)xĄ-+2(ai2Ç+a₂₂r]+a₂₃!;+a2i)y + 2(ai3Ç+a₂₃ii+a₃₃Ç+a3lt)z-\-(aiiÇ² + a₂₂ri²+a₃₃t;²-{-+ 2ai2Çrj+2ai3Çl;+2a₂₃r]£;-i-2aiJ+2a2ltrj+ 2a₃₄£+a₄₄)=0, czyli za użyciem symbolów równanie kształtu :

anx²+a₂₂y²+a₃₃z² + 2ax2xy + 2ai3xz+2a₂₃yz + 2fix-\-2f₂y+2f₃z+f=0.    (2)

Zmiana punktu początkowego wpływa więc tylko na spółczynniki przy x, y, z i na wyraz wolny, nie zmienia zaś wcale spółczynników w wyrażeniach drugiego stopnia : Æ², y², z², xy, xz, yz.

Stosownym wyborem punktu początkowego możemy trzy spółczynniki sprowadzić do zera. Jakoż, położywszy :

Aiit=fi=all£ + al2'rl + al2£+aU=⁰i A<ik=f<L = ai2^ + a22^ 3^"ł~a24 ^Oj -^3 4 ⁼/3 = al 3^ +3 ^ 3 £ + tt34 ⁼0'

otrzymujemy na wyznaczenie nowego punktu początkowego trzy równania pierwszego stopnia ze względu na rj, £, cechujące jak wiadomo środek powierzchni.

Równanie powierzchni środkowej uprości się więc, skoro środek (oc0:y₀,z₀) powierzchni będzie punktem początkowym układu, mianowicie gdy znikną spółczynniki przy x, y, z, wyrazem wolnym będzie zaś:

,    ,    D

Aii = f=ailtX₀ +«24^0 +a34^0 +a44=_X >

_ 756 —

gdzie D i A są wyznacznikami znanymi z wzorów (12) i (14) poprzedniego wykładu, zatem będzie miało równanie powierzchni środkowej, odniesione do środka powierzchni jako punktu początkowego, postać:

(3)

aiix*+a₂₂y*+a₃₃z*Ą-2n,nxy + 2ai3xz + 2a₂₃yz+^=0.

Jeżeli D=0, to znak, że środek powierzchni leży na niej samej, taką powierzchnią jest stożek drugiego stopnia, a jego równanie ogólne odniesione do wierzchołka jako punktu początkowego przedstawia się zatem w formie równania jednorodnego drugiego stopnia:

(4)

ax x x² 4- a₂ 2 y ² + % 3 z² + 2aA 2,xy+2a{ ₃xz 4- 2«2 3 y z=0.

Jeżeli powierzchnia drugiego rzędu nie ma środka, wówczas nie możemy wszystkich trzech spółczynników przy x, y, z sprowadzić do zera, gdyż w tym razie nie ma, z powodu, że 4=0, żadnego punktu w skończoności, dla któregoby równocześnie znikły /₂ i /₃. Natomiast możemy zawsze wyraz wolny / i którekolwiek dwa z tych trzech spółczynników np f₂ i f₃ sprowadzić do zera, obierając stosownie pewien punkt powierzchni za punkt początkowy.

Tym sposobem sprowadzić możemy zmianą punktu początkowego równanie powierzchni bezśrodkowej do postaci:

(5)

a, j x¹ -f-«₂₂y² + a₃₃z²-\-2aA2xy + 2ax 3xz-\- 2a₂₃yz-\- 2/j % = 0.

2. Zmiana kierunków osi układu. Rozważmy teraz, w jaki sposób zmiana kierunków osi wpływa na kształt równania.

W tym celu wyprowadźmy z punktu początkowego trzy proste w kierunkach (Ax, vx)(A₂₎ y2; ^2X^3» Pzi vz) i przyjmijmy je za osie 0X, OY\ OZ1 nowego układu. Wzory transformacyi otrzymują w tym razie kształt:

x=%‘ cos Ai Ą-y* cos X₂ + z‘ cos ź₃, y=x‘ cos yx Ą-y' cos y₂ -\-z> cos y₃, z=z cos vi Ą-y¹ cos v₂-\-z‘ cos v₃, wskutek czego równanie (1) zamieni się w następujące:

an(x cos Ai +y cos X₂ + z cos A₃)²+

-j-2a₂₃(æ cos Ą-y cos y₂ +z cos y₃) (x cos v₂ +y cos v₂ -f z cos v₃)-ł-+ 2aik(x cos Ai +y cos A₂ + z cos Â₃) + d,-jraii=0.

Uporządkowawszy to równanie według potęg zmiennych x, y, z otrzymamy :

(aii cos² +«22 cos2 Pi + «33 cos2 v\)x<ijr^yz{a\i cos ^2 cos ^3 + «22 cos P‘2, cos Pz + + a₃ 3 cos v₂ cos v₃ + ai 2 cos A₂ cos y₃ + ax 2 cos X₃ cos y₂ + ai 3 cos A₂ cos v₃ +

-j-«₁₃ COS A₃ COS v₂ +«2 3 C0S P'2 C0S ^3+«2 3 C0S Pz C0S ^2) +

+ 2x(au cos Ai +a₂₄ cos yx -j-a₃₄ cos +    «₄₄=0,

czyli przy użyciu łatwo zrozumiałych skróceń :

S)Xi + s₂y'¹ + s₃z²-\-2pl2xy + 2pi3xz+2p₂₃yz+2qix+2q₂y+2q₃z + alilt=0.    (6)

Zmiana kierunku osi przy niezmiennym punkcie początkowym nie wpływa więc wcale na wyraz wolny.

Jeden tylko kierunek i to kierunek nowej osi 0X wpływa na spółczyn-niki przy æ²iæ; dwa kierunki, a to osi OY i OZ wpływają na spółczynniki przy y z ; podobnie ma się z innymi spółczynnikami.

3. Zastanówmy się nad kształtem spółczynników p₁₂,jp₁₃, Piz stojących przy iloczynach xy, xz i yz. Spółczynnik p₂₃ zawisł od kierunków (^₂, y₂, v₂)

— 757 —

i (X₃, y₃,v₃); uporządkowawszy jego wyrażenie wedle cos J₂, cos fi₂₁ cos v2 otrzymamy :

P23 —(«11 cos X₃ + a₁₂ cos (i₃-\-ai3 cos v₃) cos X₂ -j-

j?2:$ = cos X₂ + w⁽₂³⁾ cos fi₂ -f w⁽V cos v₂,

+ («₁₂ cos J₃+a₂₂ cos +a₂₃cos ^₃)cos y₂ + («i3C0S X₃-\-a₂₃ cosy₃ + «₃3 cos v₃)cos v₂, czyli :

przy uporządkowaniu według cos X₃, cos fi₃, cos v₃ przedstawi się p₂₃ w postaci :

^23 =M?12) C0S ^3 +^²⁾ COS (l₃    COS y₃.

Podobnie znajdziemy:

P\<2 =W?[¹) COS ił₂    cos y₂ -j-M^COS v₂ — w® cos -{-w^ cos    cos vi}

Pi 3 = *0^ COS X₃ + COS (l₃ cos v₃ = COS Xi -\-W^3 COS    cos vl.

Z kształtu spółczynników pi2, pi3i ^23 widzimy, że one staną się zerami, skoro kierunki (Xi1 fiu v^), (X₂, fi₂, v₂) i (X3} p₃, v:]) utworzą układ kierunków sprzężonych.

Obrawszy nowe osie OX, OF, OZ w kierunku trzech średnic sprzężonych powierzchni, uwolnimy równanie powierzchni od wyrazów, zawierających iloczyny spółrzędnych ; przekształcone równanie powierzchni otrzyma wtedy kształt:

(7)

six²+s₂y²+s₃z²+2qix+2q₂y-\-,Żq₃0+a₃₃=O,

gdzie wyrażenia:

S1 =W,1¹⁾ COS Xl    C0S Pi +W/3¹⁾ COS vv s₂ =wf⁾ cos X₂ -\-wW cos p₂ +w'^ cos v₂

S3 = w<³⁾ cos X₃ + cos fi 3 + wf> cos v₃, qi = q₂ — wf\ q₃ = w\[*\

zawisłe są każde od jednego z trzech kierunków sprzężonych.

Jeżeli przyjmiemy w szczególności, że nowe osie układu są równoległe do trzech osi głównych, t. j. do trzech kierunków sprzężonych i do siebie prostopadłych, wówczas użyjemy do wyznaczenia kierunków nowych osi równań (21) str. 743, równanie przekształcone otrzymuje także kształt (7), a spół-czynniki przy x², y², z² będą tu pierwiastkami wiadomego równania trzeciego stopnia ze względu na s.

Jeżeli więc, niezmieniając punktu początkowego obierzemy kierunki osi głównych powierzchni jako osi układu, wówczas przekształcimy równanie ogólne :

aux²-\-a₂₂y²+a₃₃z² + 2ai2xy+,2ai3xz-{-2a₂₃yz-{-2ai!ix+2a2iyĄ-2a3lkz+aii^O w następujące:

(8)

s₁a:² + s₂y² + S3^² + 2y₁a; + 2g'₂y + 2g3^ + «44 = 0ł gdzie s1? s₂, Sn są pierwiastkami równania trzeciego stopnia:

«11    «12 > «13

=0.

«12 J «22    «23

«13, «23» «33 S

4. Zmiana początku i kierunków osi układu. Przekształćmy teraz równanie (1), zmieniając punkt początkowy i kierunek osi.

Przyjmując osie układu w kierunku średnic sprzężonych, a niezmieniając punktu początkowego, otrzymujemy na mocy (7) równanie:

six²+s₂y²+s₃z²+2qlx+2q₂yĄ-2q₃z+au=0, - 758 —

więc pod-

przenieśmy teraz pun&t początkowy do innego punktu f, 17, £, stawmy w równaniu (8) :

x=>x'+g, ij=y‘ + y, £=*'+£,

wtedy, opuszczając kreski, otrzymamy równanie przerobione w postaci six²+s₂y²+s₃z²+2(qi+sig)x+2(q₂+s₂r])y+2 (q₃ +s₃Ç) z-\-f--=0, gdzie:    +    +    Ą-2q₃ę+au.

Równanie powierzchni odniesione do trzech osi prostokątnych równoległych do osi głównych powierzchni,

rego spółrzędne względem pierwotnego układu są g, r\₎ £,

six²+s₂y²+s₃z² + 2(qi+sig)x+2{q₂ + s₂7])y + 2(q₃+s₃g)z+f=0.

5. Jeżeli powierzchnia jest środkową, możemy uwolnić równanie od spół-czynników przy x, y, z, przyjmując środek powierzchni jako punkt początkowy układu, a więc kładąc w równaniu (9): g=— —

si

będzie tedy :

/=S₁^² + S₂Î?² + S3^²—2S1^² —2S2⁷/²- 2s3^² + «44 = —(⁵1^² + S2^² + S3^² —a44) = ^

(9)

przecinających się w punkcie, któ-ma więc kształt :

v=—

*?2 f-___^3

S2 ’

S2

przerobione równanie zatem przyjmie postać:

(10)

s₁æ²+s₂y²+$₃0² + *=0.

Gdybyśmy zmienili w równaniu (1) najpierw punkt początkowy, obierając go w środku powierzchni, otrzymalibyśmy wedle (5) równanie:

a₁₁æ² + a₂₂y²+a₃₃0²+2a₁₂zy+2a₁3Z0+2a₂₃^+^=(),

zmieniając teraz kierunek osi nie zmienimy tym sposobem wcale wyrazu

wolnego przekształcone równanie odniesione do dowolnych osi ze środka

powierzchni wychodzących będzie zatem:

«i X²+ s₂ y² + s₃ ² + 2pj ₂ xy + 2pi 3 xz+2p2 3 yz+    0.

Jeżeli jako osie układu przyjmiemy trzy średnice sprzężone, w szczególności trzy osie główne, wówczas będzie pi2 —V\% ⁼i>23 =0, a równanie przerobione otrzymuje tedy kształt:

sxx²+s₂y²+s₃z²+^ =0.

(U)

musi więc ~ równe być h.

Równanie powierzchni środkowej odniesione do układu osi głównych tej powierzchni przedstawia się zatem w postaci :

six²-\-s₂y²+s₃z²+7c—0,

gdzie spółczynniki s1} s₂, s₃ są pierwiastkami równania trzeciego stopnia d(s)=0, a wyraz wolny 7c=~.

6. Jeżeli powierzchnia nie ma środka, wówczas możemy odnieść równanie do układu kierunków sprzężonych bez zmiany punktu początkowego, a otrzymamy równanie :

(12)

slx²+s₂y²+s₃t²+2qix-i- 2q₂y + 2q₃z + a^=0,

zmieniając teraz dowolnie punkt początkowy dostaniemy równanie przerobione w postaci :

slx² + s₂y² + szz²+2(qi +sii)x+2(q₂+s₂rj)y + 2(qi + s₃Ç)0+f=O. (IB) Ponieważ dla powierzchni bezśrodkowych jest A=0, a więc jeden pier* wiastek równania trzeciego stopnia 4(s)=0 jest zerem np. si =0, więc, odnosząc równanie powierzchni bezśrodkowej do układu kierunków głównych z punktu £, rj, £ wychodzących, a w szczególności przyjmując kierunek, dla którego 6^=0 za oś a;-ów, otrzymamy równanie przerobione w postaci:

(14)

*2# ² + S3*² + ²2l * + ² (?2 + S₂ ^ + ² (?3 + S₃ D 2-k f = 0, gdzie f=s₂rl² + szÇ² + 2qx%+2q₂rl + 2q₃Ç+a!ili.

Jeżeli drugie dwa pierwiastki równania trzeciego stopnia A(s) są różne

od zera, wówczas możemy obrać punkt początkowy tak, aby było —

£=— ; tym sposobem sprowadzimy równanie (14) do postaci:

s₂y²-\-s₂0²+2qix+Jc=O,

Ï2

s₂

(15)

gdzie teraz :

Jc=s₂f]²+ssP+2q^—2s₂f]² - 2s₃£²+a₄₄ = 2g₁£—s₂î7²—s₃£²+«₄₄ =

~--k«44*

Q.\ tl

S2

zależy jeszcze tylko od dowolnej ilości

Przyjmując, że qi jest rożnem od zera, możemy £ dobrać tak, aby było lc=0. W tym celu położymy:

Q.²2S3 ~k?²3S2    a44⁵2g3

²?1⁵2S3

a równanie (IB) sprowadzi się wtedy do postaci:

s₂y² + s₃0² + 2q{x^=O.

Równanie powierzchni, nie mających środka, możemy tedy, obierając pewien punkt powierzchni, jako punkt początkowy, a osie układu w kierunku głównych osi powierzchni sprowadzić do postaci:

s₂y² + s₃z² + 2qix=0,

2q\

(16)

(17)

gdzie s₂ i s₃ są dwoma pierwiastkami równania A[s) różnymi od zera, a spół-czynnik ql =a₁₄ cos -j-a₂₄ cos +«₃₄ cos vi zawisł od kierunku osi, dla której pierwiastek =0.

7. Jeżeli w równaniu (9) wypadło qi= 0, wówczas nie moglibyśmy uwolnić równania od wyrazu wolnego Jc, równanie przerobione zatrzymałoby tedy kształt :

(18)

s₂y²+ssz²+Jc=0,

gdzie: k=au—(s₂rj²+s₃Ç²),    ^ , £= —

O

s₃z² + 2qlx -f 2q₂y + 2 (q₃ + s₃ £) z + Jc=0,

Jeżeli równanie trzeciego stopnia A(s)■=0, dostarcza dwa pierwiastki równe zeru, np. Sj=0 i s₂ =0, wówczas przedstawia się równanie powierzchni odniesione do układu kierunków głównych z punktów f, rj, £ wychodzących w postaci :

gdzie: Jc=s₃Ç²+2qiÇ+2qtf + 2q

W tym przypadku możemy wziąć: £=---, wskutek czego równanie

S3

przerobione otrzyma kształt :

gdzie :

*₃*²+2ït®+2£₂y + fc=0, Jc^q^ + Zq.rf—s₃£²+a₄₄.

(19)

Ponieważ kierunki główne odpowiadające pierwiastkowi ^=$2=0 są nieoznaczone, bo dla pierwiastka podwójnego równania 4(s)=0, nie są równania (21) poprzedniego paragrafu od siebie różne, więc dla wyznaczenia kierunku (A₂, fi₂, v₂) odpowiadającego pierwiastkowi s₂=0 możemy dołączyć równanie :

Ö2 —⁰⁵14 C0S ^2 +a24 C0S P-l + a34 C0S Vï

Przyjąwszy, że ql <0, będziemy mogli jeszcze przyjąć £ tak, aby było:

*=-2^1—sa£a+a₄₄=0,

Sec

skąd otrzymujemy:

Tym sposobem przejdzie równanie przerobione w następujące:

s₃z²+2qix=0.

Jeżeli zaś qx =0, wówczas nie możemy się uwolnić od wyrazu wolnego Æ, równanie przerobione otrzymuje tedy kształt:

2<7i

(20)

s₂z²Ą-k=0, gdzie &=a₄₄ — s₃£², £=—-~-

S3

Przypadek, żeby wszystkie trzy pierwiastki równania d(s)=0 były zerami, jest niemożliwy, gdyż wtedy byłoby równanie dane stopnia pierwszego.

Na podstawie powyższych wyników przekształceń możemy teraz przystąpić do ocenienia możliwych kształtów powierzchni drugiego stopnia.

8. Klasyfikacja powierzchni drugiego rzędu. W poprzedzających paragrafach poznaliśmy, że równanie powierzchni drugiego stopnia da się stosownie do natury spółczynników sprowadzić do jednego z następujących pięciu kształtów :

six²+s₂y²+siz² + k=0, six² + s₂y²-\-2qsz=0, six²+s₂y²+k=0, six²-\-2qiy=0, six² + k=0.

Z tych kształtów wynurzają się poszczególne formy powierzchni drugiego stopnia, jeżeli spółczyriniki równań I —Y otrzymują szczególne znaki.

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

* ₂

— przez a-⁴,

S3

b², c², tedy otrzymamy z (I) następujące cztery możliwe kształty powierzchni środkowych :

z²

—2 = 1, Ellipsoida trójosiowa (fig. 184). c

—2 -f-    -J- ^j- = —1, Ellipsoida urojona.

X²

—2 + az

y²    *_²

b2 + c²

z²

y¹ 2

- 761 -

—g + -Tj--2⁼^î Hiperboloida o jednej powłoce (fig. 185).

CL 0 C

4. £²_ l²

*²

a²

p--2 = 1, Hiperboloida o dwóch powłokach (fig. 186).

j.

'A

-X

-X

V/

Fig. 184.

Fig. 185.

Fig. 186.

Jeżeli Jc=-r- = 0 wówczas otrzymamy z (I) jeszcze dwa możliwe kształty

powierzchni środkowych. x² y² #²

5.    ^2 + p- -1--2 =0, Punkt (jako stożek urojony).

/y* 2

6.

*²

a²

5² c²

=0, Stożek elliptyczny (fig. 187).

Z równania (II) otrzymamy znowu stosownie do znaków liczb s₂, q₃, dwa kształty powierzchni bezśrodkowych, jako mających środek w nieskończoności, a to :

x² y²

7.    —g +    = Paraboloida elliptyczna (fig. 188).

CL    Uù

^2 2

8.    g--£2=2#, Paraboloida hiperboliczna (fig. 189).

O

IZ

i;

ii

z.

Fig. 189.

Fig. 188.

9.

— 762 —

2 2

-^2 + |2=l, Walec elliptyczny (fig. 190).

/y% 2

10.

*/²

a²

11.

æ²

a² ft²

12. ^

+-p= — 1, Walec urojony.

«²

^2 = 1, Walec hiperboliczny (fig. 191).

a²

ô²

=0, Linia prosta — oś z-ów.

13.

W 2

y2=0, Dwie przecinające się płaszczyzny.

.....r/-..

........-_iC

y/

Y.

o

0, .

-X

Y/

Fig. 190.

Fig 191.

Fig. 192.

Z (IV) wypadają powierzchnie mające prostą środków w nieskończoności, jako to :

14.    x²=2py, Walec paraboliczny (fig. 192).

Wreszcie z (V) powierzchnie, mające płaszczyznę środków, a to:

15.    #²=a², Dwie płaszczyzny równoległe.

16.    x²= — a², Dwie urojone sprzężone płaszczyzny równoległe.

17.    æ²=^=0, Płaszczyzna podwójna.

Oprócz tych kształtów nie może równanie drugiego stopnia przedstawiać żadnego innego utworu geometrycznego. Z siedemnastu kształtów uważane są jako właściwe powierzchnie rzędu drugiego tylko pięć, a to : ellipsoida, hiperboloida o jednej i dwóch powłokach, jako trzy powierzchnie środkowe drugiego rzędu; paraboloida elliptyczna i paraboloida hiperboliczna jako dwie powierzchnie bezśrodkowe drugiego rzędu, resztę kształtów jako szczególne odmiany tych pięciu powierzchni.

9. Powierzchni© obrotowe rzędu drugiego. Zastanówmy się obecnie nad przypadkiem, gdy równanie trzeciego stopnia 4(s)=0 dostarcza pierwiastków równych. Przy szczegółowem roztrząsaniu tego równania zauważyliśmy, że jego pierwiastki są zawsze rzeczywiste i że mieszczą się między wielkościami : —00 , a, b, c, albo między wielkościami a, b, c, oo , według tego czy iloczyn ai2ai3a23 jest ujemny czy dodatni, jeżeli:

ai2ai3

al3a23

ai 2U23

b = a₂₂

Jeżeliby więc dwa pierwiastki miały być równe, musiałby koniecznie ten podwójny pierwiastek zejść się z jedną z wielkości granicznych a, b, c.

a=aii

a23

Ui3

,    c=— a₃₃

tt12

- 763 —

Niech będzie a tą wielkością, czyli podwójnym pierwiastkiem równania J(s)=0; istnieje tedy wspólny czynnik (s—a)², co wymaga jednakże, aby było a=b=c. Odwrotnie jeżeli a = b=c, tedy będzie miała pierwsza strona równania czynnik (s — a)², będzie więc a podwójnym pierwiastkiem równania.

Warunki konieczne, a zarazem wystarczające, aby równanie 4(s)=q miało dwa pierwiastki równe, przedstawiają się więc w postaci równań a=b—c, czyli:

«12«! 3

«2 3

«2 2

«1 2 «2 3

«13

«33

«13 «2 3

« 12

(21)

Oznaczmy przez si podwójny pierwiastek równania 4(s)=0, tedy będzie :

«12 «2 3

«12«!3

a więc:

«U

Sl=«ll

«23

c_a\2a\ 3

— «22

«13

~«33

«13 «2 3

«12

a₂₃

«22

s=a\2a22

«13 «2 3

«13

«12

Na tej podstawie otrzymamy z trzech równań:

(aii—s) cos A + ai2 cos fi + ai3 cos v=ai2 cos À + (a₂₂ — s) cos    cos v==

=a₁₃ cos À + a.,₃ cos ^+(«₃₃—s) cos v=0 określających kierunek główny A, fi, odpowiadający pewnemu pierwiastkowi s, jedno tylko równanie w postaci:

ai ₂a₁₃ cos A-f-a₁₂a₂₃ cos/j+a₁₃a₂₃ cos ^=0,

(22)

(23)

które dowodzi, że istnieje nieskończenie wiele kierunków głównych odpowiadających pierwiastkowi podwójnemu. Są one kierunku X₃, fi₃₎ v₃

od pierwszych dwóch st =s₂ i równoległe do płaszczyzny :

«1 2«1 ₃ X "ł* «J 2«23    «1 3 «23 %

Jeżeli tedy obierzemy dowolnie dwa kierunki Ài, fii, vx i X₂₎ fi₂, v₂ po-źone na tej płaszczyźnie, a do siebie prostopadłe i dołączymy do nich kierunek À₃, fi₃, v₃, tedy otrzymamy układ trzech, kierunków sprzężonych, do siebie prostopadłych. Obrawszy te kierunki za kierunki osi spółrzędnych sprowadzimy w tym razie równanie powierzchni środkowych do postaci:

Si(x² + y²) + s₃z²-\-1c=0,

wszystkie prostopadłe do różnemu

odpowiadającego trzeciemu pierwiastkowi s₃

(24)

(25)

którą cechują widocznie przekroje kołowe prostopadłe do osi OZ. Taka powierzchnia da się utworzyć przez obrót jakiejś krzywej na około pewnej osi (OZ) i nazywa się powierzchnią obrotową. Jako powierzchnie obrotowe drugiego rzędu mające środek, występują wedle (25):

x²-\-y

1. ellipsoida obrotowa:

*²

a²

2. hiperboloida obrotowa o jednej powłoce:

x²+y²

z²

a²

3. hiperboloida obrotowa o dwóch powłokach:

x²+y²

c²

z² _

~2 ⁼0. cz

Równania powierzchni obrotowych drugiego rzędu bez środka s₂, s₃=0 sprowadzimy do postaci:

4. stożek obrotowy :

a²

s(#²+y²)+2^2=0

jeżeli środek powierzchni wypada w nieskończoności, albo do postaci:

s(x²+y²) + k=0,

x²+y²

jeżeli oś obrotu (OZ) jest osią środków.

2$,

W pierwszym przypadku występuje paraboloida obrotowa

oo ^ y ^

w drugim walec obrotowy -/

aż

obrotowych.

1 jako szczególne kształty powierzchni

Pozostaje jeszcze do rozpatrzenia przypadek, jeżeli równanie trzeciego stopnia d(s)=0 daje pierwiastek potrójny s₁ =s₂ =s₃. Z kształtu równania d(s)=0, który możemy napisać w postaci :

(«11 S) («22 S) («33 S) «²2s(«i i S) « ²l 3 («2 2 S) ~ a 2\ 2(^3 3 S) 4" 2«t 2«i 3 «2 3 = 0, wynika, że przypadek: si—s₂=s₃ może nastąpić tylko wtedy, skoro będzie: «12 =«13 =«23=0, a przytem : «ii =«22 —«33 J w tym przypadku stają się trzy równania określające kierunek główny tożsamościowymi, co dowodzi, że wszystkie kierunki w przestrzeni są dla takiej powierzchni kierunkami głównymi. Wyprowadziwszy tedy ze środka powierzchni, który w tym razie leży w skończoności z powodu, że żaden pierwiastek s nie jest równy zeru, dowolne trzy kierunki do siebie prostopadłe, jako osie spółrzędne, sprowadzimy równanie ogólne powierzchni do postaci: sl(x²-\-y²+s²)-\-Jc^=0₎ która

przedstawia kulę: #²+y²+2³=r², o promieniu r—

Ćwiczenia XLVII.

1)    Okazać, że równanie powierzchni drugiego rzędu, której środek leży w początku układu nie zawiera wyrazów pierwszego stopnia.

2)    Przekształcić równanie :

#²+3ÿ²+4;z²-j-6a;«/-|-2i/,z-f 4-za: - 26a:—24«/—82^—26 = 0, przyjmując środek tej powierzchni za początek układu.

Przekształcić podobnie równanie:

3)    4a;²+3«/²+9z²-|-8a:z (-4*y+4«/+8«+l = 0.

4)    4a;²—15y²-\-14yz-j-4zz—4xy-\-4x—34y-\-24z—18 = 0.

5)    Wykazać, że wszelką powierzchnię środkową rzędu drugiego możemy przedstawić równaniem kształtu- Ax²-\-By*-\-Cz² = D.

6)    Wykazać, że w każdej powierzchni środkowej drugiego rzędu suma kwadratów jakichkolwiek trzech średnic spi-zężonych jest równa sumie kwadratów jej osi.

7)    Wykazać, że w każdej powierzchni środkowej drugiego rzędu suma kwadratów ścian bocznych równoległościanu utworzonego z trzech średnic sprzężonych powierzchni jest równa sumie kwadratów ścian bocznych równoległościanu prostokątnego utworzonego z osi tej powierzchni.

8)    Wykazać, że w każdej powierzchni środkowej drugiego rzędu objętość równoległościanu, utworzonego z którychkolwiek trzech średnic sprzężonych, jest równa objętości równoległościanu prostokątnego utworzonego z osi tej powierzchni.

9)    Okazać, że równanie: 5«/²— 2x²—z²-\-4xy—6«/z-j-8x«—1 = 0 przedstawia hyperboloidę o jednej powłoce.

10)    Okazać, że równanie: x²—y²-(-*²—4xyĄ-6xz —2yz—1 = 0 przedstawia hyperboloidę o dwu powłokach.

— 765 —

11)    Okazać, że równanie: 4x²-{-4y²-|-12zs— 12y;z-{-4xy-j-4x-f2y-j-3;s — 0 przedstawia paraboloidę elliptyczną.

12)    Okazać, że równanie: 4x²—2y²—12z²-\-12yzĄ-4xy-\-4x-\-2y-\-Sz = 0 przedstawia pa-raboloidę hyperboliczną.

13) Okazać, że równanie: x²-{-2y²-\-iz²—4yz—2xy-\-2x—2y—4 = 0 przedstawia walec

elliptyczny.

14)    Okazać, że równanie: xy-\-yzĄ-zx — a² możemy przez zmianę kierunków osi układu sprowadzić do postaci: 2x² — y²—z² = 2a².

15)    Okazać, że równanie: x²-\-y²-\--^yz-\-zx = a² możemy przez zmianę kierunków osi

3    1

układu sprowadzić do postaci: x²-j-—y²——z² = a².

16)    Okazać, że równanie: x²-\-y²Ą-z²-\-k{xy-\-yzĄ-zx) = 1 przedstawia powierzchnię obrotową drugiego rzędu, której osią obrotu jest prosta o równaniach: x — y — z.

17)    Okazać, że równanie: x²—2y²-\-2z²-\-3xz—xy—2x-f-7y—5z = 3 przedstawia dwie

przecinające się płaszczyzny, których krawędź przecięcia ma równanie:

, , _    4,5

— 4y +-7 = — -g

18)    Zbadać powierzchnię określoną równaniem: x²-\-y²-\-z²-\-2xy-\-4xz-\-2yz = 1 i wyznaczyć kierunki i długość jej osi.

19)    Okazać, że równanie: x²-\-y²Ą-2(xyĄ-yz-\-zx) — a¹ przedstawia walec hyperboliczny.

20)    Okazać, że równanie: x²-\-y²-\-3z²-\-3yz-\-zx-\-xy —lx— 14y—252+a = 0 przedstawia ellipsoidę, punkt lub ellipsoidę urojoną stosownie do tego czy a 0 15.

21)    Okazać, że równanie: (cy—bz)²-\-(az —cx)²Ą-(bx—ay)² = 1 przedstawia prosty walec kołowy, którego oś ma równania: — = ^

22) Okazać, że równanie odniesione do układu ukośnokątnego a, ß, y, a przedstawiające się w postaci: ax²-\-by²-\-cz² = 1 przedstawia powierzchnię obrotową, skoro:

a cos a

b cos ß

c cos y

cos y—COS a cos ß*

cos a—cos ß cos y

Zbadać następujące powierzchnie i sprowadzić ich równania do najprostszej postaci: 23) x²-\-2y²Ą-2z²-\-2xy—2x—-4y—4z+2 = 0,

25) x²-yz-\-a²— 0. 26) 7x²+6y²+5z²—4yz—4xy = 6. 27) llx²+10y²+6z²—12xy—8y*+4xs = 12. 29) 7x² — 18y²+6«²+24xy+ 12yz—12xz = 84.

cos ß—cos a cos y

24) 2 xy—zxĄ-yz—2x+2y—3 z—2 = 0,

30)    Okazać, że równanie: 4x²+y² —4xy + 6x+3z — 0 przedstawia walec paraboliczny.

31)    Okazać, że równanie: z = ax²-\-by² -\-2cxy-\-2dx-\-2ey-\-f przedstawia paraboloidę elliptyczną, gdy: c²—ab<.0, paraboloidę hyperboliczną, gdy: c²—afe>0, a walec paraboliczny, gdy: c²—ab — 0.

32)    Okazać, że powierzchnia: x²—y²—z²-\-2yz-\-x-\-y—z — 5 = 0 ma nieskończenie wiele

środków położonych na prostej określonej równaniami: 2x+l = 0,    2y—2z—1=0.

33)    Okazać, że równanie: a(y-z)²-\-b(z—x)²-\c{x—y)²— d² przedstawia walec drugiego 1’zędu, i to hyperboliczny, gdy bc-\-ca-\-ab <; 0, zaś elliptyczny, gdy bcĄ-caĄ-ab > 0.

34)    Okazać, że równanie: «n*²+4y²+9z²+12y2+6x2+4xy-\-2aiix-]r2aiiy-\-2a₃ikz-\-aii — 0 przedstawia paraboloidę elliptyczną albo walec paraboliczny albo paraboloidę hyperboliczną stosownie do tego, czy aH >1, czy a=l, czy też: alt<l.

35)    Okazać, że równanie: a₍₁ x²-{-a^y²-\-aziz²-\-2a<liyzĄ-2axixz-\-2iixy = 0 przedstawia stożek obrotowy, którego kąt u wierzchołka równy 0, skoro :

(«11 +«22 + «3₃) XVe-

36) Wyznaczyć miejsce geometi'yczne punktów równooddalonych od każdego punktu koła określonego równaniami: x²-\-y²-\-z² — a², Ax-\-ByĄ-Cz = D.

«ll«23~a12«13 _«?2«13—«12«23

«33«! 2    «23«! 3

«13

«23

«12

- 766 -

37) Okazać, że równanie: xy-\-xz-\-yz-2x-\-by—8z — d przedstawia hyperboloidę obrotową o dwu powłokach, skoro d >48, stożek obrotowy, gdy <2 = 48, a hyperboloidę o jednej powłoce, gdy d < 48.

88) Wyznaczyć położenie przekrojów kołowych hyperboloidy o dwu powłokach i wykazać, że te same płaszczyzny przecinają podług kół jej stożek asymptotyczny.

39)    Jeżeli: A(xt, yt, %), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) są spółrzędnemi wierzchołków

aj 2    y2    g;2

trzech średnic sprzężonych ellipsoidy:    + c\~ ^ wykazać, że:

x\+x²₂+x²₃ = a², y\-\-y\+y\ = &²> *²i4*²2+z²3 =

Jr^2Jr^î/3 = 0,    Zi-\-X2*2+x₃z₃ = o, yiZi+y^+y^ =0.

40)    Wyprowadzić warunki konieczne, pod którymi równanie:

anx²Ą-a₂₂y²-\-a₃₃z²-\r^ax 2xy-\-2ai3xzĄ-2a₂₃yz = 0

przedstawia dwie płaszczyzny.

41)    Dowieść, że dwie powierzchnie drugiego rzędu przechodzące przez pewną krzywą płaską przecinają się jeszcze podług drugiej krzywej płaskiej.

42)    Wykazać, że przez pięć prostych wychodzących z jednego punktu przestrzeni da się przeprowadzić tylko jeden stożek drugiego rzędu.

43)    Wykazać, że suma kwadratów odległości środka powierzchni: Ax²-\-By²-\-Cz² ~ 1 od trzech płaszczyzn stycznych do powierzchni, a do siebie prostopadłych, jest wielkością

V    ,    1,1.1

stałą równą : -j + -g -+-

44)    Wykazać, że miejscem geometrycznem punktów, z których można poprowadzić płaszczyzny styczne do powierzchni: Ax²-\-By²-\- Cz² =■1, a do siebie prostopadłe, jest kula

r=V'j⁺^⁺^'

o promieniu:

45) Wykazać, że suma kwadratów odwrotnych długości średnic powierzchni : Ax²-\-By²-\-Cz²—l do siebie prostopadłych jest stałą równą: A-\-B-\-C.

Rozwiązania XLVII.

3) Ax²Ą-3y²-{-8z²-\-8xz-\-\xy = 5.

2) x²-\-3y²Ą-^z²-\-8xy-\-2yzĄ-\xz = 111.

4) 4x²—15i/²-{-14t/z-f-4a:2:—Axy = 6.    18) Hyperboloida o jednej powłoce o osiach: \/6—\/2,

Y/6+\/2, 1, przy dostawach kierunkowych: (1, [/8 — 2, 1), (1, — \/8 — 2, 1), (1, 0, —1).

23) Ellipsoida: £x²-\-(3-\-\/b )?/²+(3— \/5 )z² — 4. 24) Hyperboloida o jednej powłoce: 2x²-\-(\/3 — l)y²—(l-j-V/3 )z² = 2.    25) Hypei-boloida o dwu powłokach: z²—y²—2v² = 2a².

16) x²-\-2y²-\-3z² — 2.    27) x²-j-2//²+6s² = 4.    28) x²-\-2y²~3z² = 12.    36) Linia prosta:

40) a²₁₃—«11Ö33 >0,    («²13—*1 1 *33) (*²23—*22*33)-(*23*13    *33*is)²*

x _ y__z

T~~ B ~~ C‘

Literatura. C. Briot et I. C. Bouquet: Leçons de géométrie analitique. Dixsep-tième édition revue par M. Appell. Paris 1900. Dr. Otto Hesse: Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung. Leipzig 1861. B. Niewęgłowski: Cours de géométrie analytique. Tom III. Geometrie dans l’espace. Paris 1896.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Sposoby upraszczania równań powierzchni drugiego rzędu.

2.    Powierzchnie obrotowe drugiego rzędu.

3.    Teorya stożków stycznych do powierzchni drugiego rzędu.

Wykład XLVIII.

Szczególne własności powierzchni środkowych

rzędu drugiego.

1. Ellipsoida. Równanie powierzchni środkowej drugiego rzędu można, jak wiemy, sprowadzić zawsze do postaci:

s^+s₂y²+s₃z²

jeżeli obierzemy środek powierzchni za punkt początkowy układu, a trzy osie główne, w ogólności trzy średnice sprzężone, powierzchni za osie układu. Jeżeli spółczynniki s1? s₂, ss, #, są dodatnie i różne od zera, wówczas możemy równanie (1) napisać w postaci:

l²

b² ^

(1)

z²

z²

C²

(2)

gdzie'wielkości: a=^~,    C=^Y są rzeczywiste i oznaczają po

łówki trzech osi powierzchni, zwanej ellipsoidą.

łl)

— U-n

;Æ

Jeżeli po obu stronach punktu początkowego, który jest środkiem ellipsoidy, ode-tniemy długości równe wielkościom a, b, c otrzymamy sześć punktów A i A\ B i Ci C, które się nazywają wierzchołkami ellipsoidy. Jeżeli a > b > c, wtedy jest 2a=AA‘ osią wielką, 2b=BB‘ osią średnią, 2c==CC' osią

Fig. 193.

małą ellipsoidy.

Przekroje ellipsoidy płaszczyznami spół-rzędnymi, które są płaszczyznami głównymi powierzchni, wyznaczone są równaniami :

y² z2 b² + c²

Z²

Æ = 0.

-1,

a1 + e¹

przedstawiającymi ellipsy, z których każda przechodzi przez cztery wierzchołki ellipsoidy.

Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny xy, przecina ellipsoidę w ellipsie,

x² y²

określonej równaniami: z=h, —y +    =1—    •

A /1

Półosie tej ellipsy są tu :    ai/1—

Ellipsa jest rzeczywista, skoro h<c i maleje, sprowadzając się h=c do punktu, jako ellipsy, której osie są zerami. Dla li^>c staje się ellipsa

Ci ; ^ to I to

— if-?

c²

dla

urojoną. Przekroje płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn głównych są więc ellipsami i to rzeczywistemi, skoro płaszczyzna przekroju znajduje się między środkiem i wierzchołkami powierzchni.

2. Przekroje płaskie ellipsoidy. Niech będzie z^=mx-\-ny-\-p dowolną płaszczyzną. Wyrugowawszj'- zmienną z z równania tej płaszczyzny i równania ellipsoidy, otrzymamy równanie :

² ₍ (mx+nyĄ-p)² ₁

C²

które przedstawia rzut krzywej przecięcia się tejże płaszczyzny z ellipsoidą na płaszczyznę XOY.

Rzut ten jest ellipsą, gdyż w równaniu jego podanem w postaci : anx²+<2ai2xy-\-a₂₂y² + <2aizx + i2a^y + aoZ=0, mamy :

m²n²    1

c⁴    a²b²

m²\ /I w² \ c²)    ⁺ c²)

m²

b²c²    a²c²

!;>o

dla wszelkich wartości spółczynników m, w, p.

Wszelka płaszczyzna przecina więc ellipsoidę w ellipsie. Przekroje płaszczyznami równoległymi są widocznie ellipsami podobnymi, gdyż spółczyn-nik p, cechujący położenie płaszczyzny nie wpływa na wyrazy drugiego stopnia w równaniu przekroju. Chcąc więc zbadać kształt dowolnego przekroju płaskiego ellipsoidy dość jest zbadać przekrój ellipsoidy płaszczyzną środkową do danej płaszczyzny równoległą.

3. Przekroje kołowe ellipsoidy. Wyobraźmy sobie pewną płaszczyznę przechodzącą przez środek ellipsoidy, któraby przecięła ellipsoidę w kole o promieniu r. Koło to musiałoby leżeć na kuli z ellipsoidą współśrodkowej określonej równaniem :

x² y² z²

r²

r²

"1--5 = 1.

r²

Odjąwszy od równania ellipsoidy równanie kuli, otrzymamy równanie jednorodne :

*’(p-p)+y‘(p

przedstawiające stożek, który ma wierzchołek w środku ellipsoidy i przechodzi przez przekrój kuli z ellipsoidą. Ażeby więc obie powierzchnie miały wspólny przekrój kołowy, musi stożek przejść w dwie płaszczyzny przez środek przechodzące, co się stanie, skoro w ostatniem równaniu jedno z wyrażeń stanie się zerem. Położywszy kolejno r=a, r — b, r—c, otrzymamy równania płaszczyzn kołowych :

(p - t) + *²(p -p)=°:

Jeżeli a^>b^> c, natenczas przedstawia pierwsze i trzecie równanie pła szczyzny urojone, drugie zaś równanie sprowadza się do postaci;

x²(a²—b²)    z² (b²— c²)

a²

c²

czyli :

= ±—

u²—b²

b²—c²

i przedstawia dwie płaszczyzny rzeczywiste, przechodzące przez oś średnią ellipsoidy. Oznaczywszy przez © kąt nachylenia tych płaszczyzn do płaszczyzny XOY, otrzymamy równanie:

tang

² -b²

(3)

W ellipsoidzie istnieją zatem dwa szeregi przekrojów kołowych ; oba są równoległe do średniej osi powierzchni. Wykreśliwszy w ellipsie (a, c) (fig. 194),

położonej na płaszczyźnie XOZ średnice równe 2ft, otrzymamy dwie proste: BlB\ i B₂B‘₂₁ jako ślady środkowych płaszczyzn kołowych, do których dwa szeregi płaszczyzn są równoległe.

Z dyskusyi powyższej okazuje się, że płaszczyzna może ellipsoidę trój osiową przeciąć tylko w ellipsie, a dwa szeregi płaszczyzn przecinają ją w kołach. Jako odmiany ellipsoidy trójosiowej występują: ellipsoida obrotowa (ia=b), kula (a=b — c), walec elliptyczny (a— co ), dwie płaszczyzny równoległe (a=oo, b = oo ) i punkt (a=& = c=0).

4. Średnice i płaszczyzny środkowe ellipsoidy. Niech będzie x, y, z dowolnym punktem ellipsoidy, 2d zaś długością średnicy przez ten punkt przechodzącej. Oznaczmy przez X, y, v kąty, jakie ta średnica tworzy z osiami ellipsoidy, wtedy otrzymamy :

.1 IÎ

/i u

*§§§

LS......=»

Fig. 194.

x=d cos X, y = d cos fi, z=d cos v.

ma :

Podstawiając te wartości w równanie ellipsoidy, dojdziemy do równa-

cos² fl

cos² X

d²

a²

cos² v c² *

Przyjmijmy, żeśmy przez środek poprowadzili trzy średnice: 2dx, 2d2 2d₂ do siebie prostopadłe, wtedy otrzymamy trzy równania :

1 cos² X₂ cos² fi₂

1 cos² Xx ' cos² fix t cos² vx d\ ?

c²

d\

b²

cos² v₂

c²

1 cos² X₂ COS² fl?i

cos² v₂

d\

a²

b²

które do siebie dodane dają równość tożsamościową:

— 1 ___ 1 , 1 , _1 d\ ⁺ d\ ⁺ d²₃ ' a2 + b² + e²"’ t. zn. Suma odwrotnych wartości z kwadratów średnic prostokątnych w ellipsoidzie jest ilością stałą.

5. Niech będą znowu X, y, v kątami, jakie pewna średnica tworzy z osiami ellipsoidy. Płaszczyzna środkowa sprzężona z tą średnicą będzie określona równaniem :

(4)

x cos X y cos fi z cos v + '-j2— ⁺

Oznaczmy przez x‘, y', z¹ punkt, w którym ta średnica spotyka elli-

xx‘ yy‘ zz‘

psoidę, wtedy otrzymamy : —ę +

a²

=0.

=0.

(5)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

Zważywszy, że równanie płaszczyzny stycznej w punkcie x‘, y¹, 0' elli-

,    ,    xx‘ yy‘ zz‘ .    ., .

psoidy ma kształt: -p- + -p- + —2 = 1, widzimy, ze:

płaszczyzna środkowa sprzężona z średnicą przechodzącą przez punkt x‘, y‘, z' elli-psoidy jest równoległą do płaszczyzny stycznej w tym punkcie.

6. Układy średnic sprzężonych. Trzy średnice tworzą układ średnic sprzężonych, skoro każda z nich jest sprzężoną z płaszczyzną dwóch innych.

Przyjmijmy dowolnie pierwszą średnicę OD (fig 195), to płaszczyzna środkowa z nią sprzężona przetnie ellipsoidę w ellipsie; przyjmijmy dowolne dwie

średnice sprzężone OE i OF w tej ellipsie, wtedy utworzą trzy średnice OD, OE i OF układ średnic sprzężonych. Przyjąwszy trzy proste \ OD, OE i OF jako osie układu i oznaczywszy Jj\ przez a¹, b', c‘ długości OZ), OE i OF, otrzy-1 mamy równanie ellipsoidy w postaci :

J    x²    y² #²

a‘ 2    j/2    c<2

Z równania tego widzimy, -jak się zmieniają przekroje równoległe. Jeżeli przetniemy powierzchnię płaszczyzną równoległą do płaszczyzny środkowej Y‘OZ‘, otrzymamy ellipsę :

CC ^

— , jednokładną (homotetyczną) z ellipsą EOF. Ellipsa ta^zmniej-

(l⁴

D’

'■A V r

ii*

Fig. 19B.

y² z²

F2 + c‘²

sza się w miarę jak płaszczyzna sieczna oddala się od płaszczyzny środkowej i sprowadza się w końcu do punktu, gdy płaszczyzna przejdzie przez punkt P, a więc będzie styczną do powierzchni. Po za tym punktem przesunięta płaszczyzna nie przecina już powierzchni, albo innemi słowy przecina ją w ellipsie urojonej, której środek leży na prostej OD.

7. Niech będą teraz a', b¹, c‘ połówkami trzech średnic sprzężonych ellipsoidy (a, b, c), a (X¹, y‘, z'), (&", y“, z"), (x"‘ y"‘, z“‘) punktami, w których one ellipsoidę przecinają. Ażeby dane średnice były sprzężone, musi płaszczyzna środkowa sprzężona z jedną średnicą przechodzić przez dwie inne. Muszą się przeto spełnić następujące relacye :

= 1-

x'x"

z'z“

a²

0.

x"x"‘

y"y"'

a²    b²

z"z“'

c²

0,

x'x"*

y'y‘u

d—p—1—p~=0*    (6)

z'z'n

Połóżmy: x‘ = a. cos X‘, y'=b.cos yf, z'=c. cos F, podobnie: x" = acos X", y " = b .cos y", z“ = c. cos vll,x“, = acosl/n,y,“=b.cosytn,z',l=c.cos v‘u, wtedy będą À, y, v wielkościami zmieniającemi się wraz z położeniem punktu na

/£2 y*l    fil

ellipsoidzie. Zważywszy, że dla punktu x‘,y', z' ellipsoidy : p d~ p d—sprawki' ²

-i—2" = 1, przeto będzie : cos² A'-f cos² ^-f-cos² v'—l,

x/2

yn

dza się równanie : —y -j-    ₂

Cl    o

co dowodzi, że parametry D, y‘, v‘ wyznaczają kąty nachylenia pewnej prostej, wychodzącej z punktu początkowego, z osiami powierzchni. Prosta ta nie przechodzi w ogólności przez punkt x‘, y', z' ellipsoidy, da się jednakże dla wszelkiego punktu x‘, y‘, z‘ jednoznacznie wyznaczyć. Kąty takie Z¹, y*, v¹ nazywają się częstokroć spółrzędnymi kątowymi punktu

¹

l

■ Z’

²

Fig. 187.

Z (III) wypadają kształty powierzchni, mających prostą środków, którą jest tutaj oś 0-ów, a to :

- 771 -

x‘, y', z\ Spółrżędne kątowe {X\ y', v‘), {X\ y",    (X‘n, fi"', v"‘), odpowia

¹¹}

(7)

dające punktom (#', y',#'), (#", y", z"), (a?'“, y"', z“') dogadzają tedy relacyom : cos² ^'-f-cos² 4-cos² v' = l, cos² /P'-j-cos² y"-j-cos² v" — cos² i"' + cos² y"'-|-cos² v"'=l, nadto z powodu, że punkta (x\ y', #')» (a;", y", 0"), (x‘“, y"', #"') są końcami średnic sprzężonych wedle wzorów (6) czynią zadość także relacyom :

(8)

cos X' cos X“ -j-cos y' cos y"-l-cos î^'cos ?>"=0, I cos X“ cos XiU + cos y" cos y"'-l-cos v" cos v"‘=0, \ cos X"¹ cos ^' + cos y"' cos y' + cos vcos ?>/=0, które dowodzą, że proste (X', y', v'), (X", y", y"),    y"', y"'), odpowiadające końcowym punktom (#', y', z¹), (æ", y", #"),    y"', £'") trzech średnic

sprzężonych w ellipsoidzie są do siebie prostopadłe. Będzie więc także : cos² /l‘ + cos² ^"-j-cos² Xul = l, cos² y'-fcos² y" + cos² y'"= cos² ^' + cos² ^" + cos² vu, = l.

Długość średnicy przechodzącej przez punkt (x\ y', z') ellipsoidy (a, &, c) określona będzie wzorem: a'²=:r/2 + y'²-M'² = a² cos² X⁴-\-bz cos² y'-f c² cos² v⁴.

Na tej podstawie otrzymamy dla trzech średnic sprzężonych («', b⁴, c‘)

równości :

a'²=a² cos² X‘-\- 6² cos² y'-f-c² cos² v‘, 6/2=a² cos²^" + &² cos² y⁴⁴ + c² cos² v44 cn—a‘l cos² X⁴⁴⁴Ą-b'z cos² y'" + c² cos² v‘", które do siebie dodane dają ze względu na równości (9) wzór :

(10)

a/2+6'²-fc'² = tt²'l-&² +c², wypowiadający twierdzenie: Suma kwadratów trzech średnic sprzężonych jest stałą i równą sumie kwadratów osi.

Podobnie możemy dowieść następującego twierdzenia: Objętość równole-głościanu, wykreślonego nad trzema średnicami sprzężonymi jest stałą i równą objętości róimoległościanu, wykreślonego nad osiami.

Objętość równoległościanu, wykreślonego nad połówkami średnic sprzężonych, przechodzących przez punkta (x⁴, y‘, z'), (a:", y", z"), (x¹“, y'", $'") ellipsoidy, będzie bowiem określoną wzorem :

a', y\

F=

(U)

x¹¹, y", 0" x"\ y⁴⁴⁴, z4it

skąd, wprowadzając spółrzędne kątowe (i', y¹ v‘), (X", y", y"), (A'", y'", ?>"') otrzymujemy wzór:

V=abc

V=abc.

(II¹)

cos i', cos y', cos cos X“, cos y", cosv" . cos i"', cos y"', cos v444 Wyznacznik ten jest jednakże z powodu relacyi (7) i (8) równy 1, przeto jest:

8. Układ równych średnic sprzężonych. Zbadajmy, czy istnieją w ellipsoidzie równe średnice sprzężone. Ażeby istniał w ellipsoidzie układ równych średnic sprzężonych, musiałyby się sprawdzić następujące relacye : cos² ^/-j-cos² y'+cos² v' = l, cos² i" + cos² y"+cos² v,4—l, cos² +" + cos² y"' + cos² v,ll = l, cos X‘ cos X" -f cos y' cos y" + cos v‘ cos v"=0, cos i" cos ż'" + cos y" cos y'" + cos î>" cos v'"=0, cos ż"' cos i' + cos y"' cos y' + cos y'" cos ^'=0,

a²cos² Z‘ + b² cos² p' + c² cos² v‘ = a² cos² X" + b² cos² p“ + c² cos² v" =

==a² cos² .4/"-f ft² cos² p'" -\-c² cos² v"'.

Mamy tedy ośm równań na wyznaczenie dziewięciu niewiadomych. Istnieje zatem nieskończenie wiele układów równych średnic sprzężonych.

Niech będzie a' długością jednej z nich, wtedy będzie:

a2jrb²-\-c²

(12)

na

3al2=a²+b²-\rC², czyli: a'²=

Końce równych średnic sprzężonych w ellipsoidzie znajdują się przeto przecięciu się tej ellipsoidy z kulą: x²-\-y²z²—

a²-f-ft²-ł-c²

0. Hipcrboloida o jednej powłoce. Równanie: six²+s₂y²+szz²=H. określa powierzchnię, zwaną hiperboloidą o jednej powłoce, jeżeli jeden ze społ-czynników s jest ujemnjr, a stała ilość H jest dodatnią. W tym żerny, jeżeli s₃ ma

Ilości 2a, 2b, będą tedy długościami osi rzeczywistych, 2c długością osi urojonej. Przekroje główne powierzchni (fig. 196) są tu określone równaniami:

CC ^

y⁼⁰’

przekrój płaszczyzną XOY jest tu ellipsą, dwa inne przekroje główne hiperbolami o osi rzeczywistej Va —AA', względnie 2b = BB>. Przekrój powierzchni płaszczyzną równoległą do XOY będzie określony równaniem :

razie mo-

znak ujemny, przedstawić powyższe równanie w postaci:

a , «

tsS ! to

#=o.

X²

*“¹’gdzie: a“V?’

, Ł²_i 55 ⁺ 62 Af

0²

= 1;

„ y²

X = 0, j-z--s

b²    c²

-1,

- -- r

?i

lr

, r_, ,

a2 + 6a c²’

będzie zatem zawsze ellipsą, jakąkolwiek wartość nadamy ilości f. Ellipsą ta powiększa się w miarę oddalania się płaszczyzny siecznej od punktu początkowego. Płaszczyzna y =77 równoległa do XOZ przecina powierzchnię

x² z2 a² c²

która będzie hiperbolą o osi poprzecznej równoległej do osi OX, skoro rj;> b, układem dwóch prostych, skoro rj = b, a hiperbolą o osi poprzecznej równoległej do osi OZ, skoro fj <Zb. Podobnie poznajemy, że płaszczyzna x=£, równoległa do YOZ przecina powierzchnię dla £<;« w hiperboli o osi poprzecznej równoległej do OY, dla £=« podług dwóch prostych, dla £<Za w hiperboli o osi poprzecznej równoległej do OZ.

Y/

Fig. 196.

wzdłuż krzywej: y—r\,

10. Przekroje płaskie hiperboloidy o jednej powłoce. Weźmy teraz pod uwagę przekrój hiperboloidy dowolną płaszczyzną: z=mx-\-ny-\-p.

Rzut tego przekroju na płaszczyznę XOY będzie określony równaniem : x² t y² (mx-\-ny-\-p)²

« "f TT,~    “ó ‘

b²

c²

fl

(13)    .

które przedstawia krzywą drugiego rzędu.

- 778 __

Mamy tu na wyznaczenie rodzaju krzywej :

1 m²    1 n²    mn

an⁼⁼^2'    ^2"’ a2 2⁼ jY ^2 i ai2~~^T> przeto:

m²n² 1

a\ 1 a2 2

°2,s“(a²

m²

w²

c²

c⁴

a²ó² ô²c² «²c2 = — «²6²c²(ö²m²+&²w²— c²). Krzywa przekroju będzie tedy ellipsą, skoro a²m²+&%²<c², hiperbolą skoro a²m²+b²n²^> c², parabolą zaś skoro a²m² + ó²w²=c². Warunkowi ostatniemu stanie się zadość, skoro będzie m—~ cos (p, n=-^-sincp: gdzie cp jest

dowolnym parametrem. Równanie płaszczyzny, przecinającej hiperboloidę

o jednej powłoce w paraboli, ma tedy kształt:

e x    y .

— = — cos ffi+-fsin (p+p. ca    b

11. Przekroje kołowe hiperboloidy o jednej powłoce. Z równania hiper-boloidy : -y-f    i równania kuli współśrodkowej ^2^ + ^2 = 1>

otrzymujemy po odjęciu równanie:

(14)

które przedstawia stożek przechodzący przez przekrój tych powierzchni. Stożek ten sprowadza się do dwóch płaszczyzn, skoro przyjmiemy: r²=a², r² = 6², r²—c². Pod założeniem a²'k>b²^>— c² będą te płaszczyzny rzeczywiste tylko dla r²—a², ich równanie będzie tedy:

(15)

(16)

i przedstawia dwie płaszczyzny, przechodzące przez oś x-ów.

Iliperboloida o dwóch powłokach ma więc dwa układy przekrojów kołowych, które są równoległe do jej większej osi rzeczywistej.

12. Stożek asymptotyczny hiperboloidy o jednej powłoce. Z równania hiperboloidy o jednej powłoce:

x²

z²

-1=0.

:Q

/•"

■X

YZlp^

-ł-—

i-k

b² c²

otrzymamy, opuszczając wyraz wolny, równa-x² y²

me: ^ ⁺ P⁻^

otaczający oś urojoną danej hiperboloidy. Stożek ten zbliża się coraz bardziej do hiperboloidy, im bardziej oddalamy się od środka w kierunku osi OZ. Skoro bowiem obierzemy prostej równoległej do osi OZ dwa punkta, jeden P(x,y,z) na hiperboloidzie, drugi Q(x,y,Ç) na stożku (fig. 197), wtedy będzie:

na

z²

=0, które przedstawia stożek,

z²

Fig. 197.

skąd przez odejmowanie otrzymamy:

X1 ₊

a²^b²    c²    ’

x² y2 a² b²

t²

c²

c²

1, czyli:

(17)

Skoro tedy z rośnie nieograniczenie, wówczas różnica £— z maleje i staje się równą zeru dla z= oo . Stożek zbliża się więc nieograniczenie do hiperboloidy dotykając się jej w nieskończoności. Stożek ten jest więc stożkiem asymptotycznym hiperboloidy o jednej powłoce. Przekroje hiperboloidy i jej stożka asymptotycznego są krzywe podobne i współśrodkowe, gdyż współczynniki ilości zmiennych są takie same w równaniu hiperboloidy, jak w równaniu jej stożka asymptotycznego. Płaszczyzna przecinająca wszystkie tworzące stożka asymptotycznego, przecina więc hiperboloidę w ellipsie, płaszczyzna równoległa do dwóch tworzących stożka w hiperboli, a płaszczyzna równoległa do jednej tylko tworzącej stożka w paraboli.

Z równania hiperboloidy o jednej powłoce wynika, że szczególnymi odmianami hiperboloidy o jednej powłoce są: hiperboloida obrotowa o jednej powłoce, stożek, walec elliptyczny i hiperboliczny, dwie płaszczyzny przecinające się i dwie płaszczyzny równoległe.

13. Linie proste na hiperboloidzie o jednej powłoce. Na hiperboloidzie o jednej powłoce istnieją dwa szeregi linij prostych, które nazywamy prostymi tworzącymi hiperboloidy. Zajmijmy się tedy bliżej ich wyznaczaniem. Prosta określona równaniami: x=mz-\-p, y = nz-\-q,

będzie leżała na hiperboloidzie o jednej po-

z²

-s=l, skoro dla dowolnego z

/Y» 2    aj 2

0[

wło“:p+p-?

sprawdzi się równanie :

i.

(mzĄ-p)² , (nz + q)² z²

c²

b²

/•

, -iy "

Stanie się to oczywiście, skoro parametry m, p, n, q będą dogadzać relacyom: m² n² 1

tt~2 + b² ~ ~C²⁼⁽⁾'

<r

Fig. 198.

mp nq p² q2 ⁺ P"=U’ a² + b2 . p² q²

Z relacyi: —z -f    1 = 0 czytamy, że pro-

Cl o

sta położona na hiperboloidzie ma swój ślad

nip

/p2    y 2

z płaszczyzną X0Y na ellipsie szyjnej : ^    1, druga relacya:

,2

-1=0.

daje równości:

n i Im²

j y^s +

n²

b²

pq

abc

a² b²    ^a²q²+b²p²

p²    q²

z których otrzymujemy: m=-±~

Z każdego punktu (p, q) ellipsy szyjnej (fig. 198) wychodzą więc dwie proste tworzące hiperboloidy, określone równaniami:

, aq    bp    aq    bp

X=bce+P' p=-«ce+<1> x~~bcs+p<

Wprowadzając kąt pomocniczy <jp, możemy spółrzędne dowolnego punktu ellipsy’ szyjnej określić równaniami* p=a.cos q = b. sin <p, równania prostych tworzących otrzymują tedy kształt:

cab

pq

_bp

ac

p2 2

„2 ' 2

(18)

1. — = — sin cpĄ-cos cp,

-Isin gp + cos cp, —- =cos gp-j-sin gp.

h = — — cos gp + sin gp,

2.

14. "W innej formie otrzymamy równania prostych tworzących wprost

-2 = 1. Mamy bowiem stąd:

z równania hiperboloidy :

x² 02 a² c²

Równaniu temu stanie się zadość, skoro położymy:

¹—^2 ' czyli:

À¹ b )’

(19)

albo :

z (. y \ x

- + T-T-T)' â

(20)

gdzie ‘X d fi są dwa dowolne parametry. Otrzymane dwie pary równań przedstawiają tedy dwa układy {X i fi) prostych położonych na danej hiperboloi-dzie (fig. 199). Przez każdy punkt hiperboloidy o jednej powłoce przechodzi jedna prosta z każdego z obu układów i to tylko jedna. Skoro bowiem xlf yu zx jest pewnym punktem hiperboloidy, wtedy otrzymamy na wyznaczenie parametrów À i fi równania :

+ M¹⁺t)

xi

« Li*

x-

-X

z których otrzymujemy:

V'

i-y±

b

V\

¹⁺T

X1

fi=

fi

Ponieważ punkt (xi, î/l5 zx) leży na danej hiper-boloidzie, przeto będą oba stosunki otrzymane na X, jako też oba stosunki na fi otrzymane między sobą równe. Przez każdy punkt hiperboloidy przechodzi więc jedna tylko prosta z jednego i jedna z drugiego układu prostych tworzących. Dwie proste należące do jednego i tego samego układu tworzących są względem siebie wichrowate. Albowiem równania dwóch prostych należących, np. do pierwszego układu, różnią się tylko między sobą oddzielnemi wartościami parametru X, czyli mają kształt:

Z'

Fig. 99.

7-ÏMY

a i*

(21)

(22)

mogą się więc równocześnie sprawdzić tylko wtedy, skoro będzie:

0, jako też :

co jest niemożebnem. Dwie proste jednego układu nie mogą więc mieć żadnego punktu wspólnego, czyli nie mogą leżeć na jednej płaszczyźnie, są

(*,—àJ(i i- l)-

(x-r)

— 776 -

więc względem siebie wichrowate. Natomiast dwie proste należące do dwóch różnych układów leżą zawsze na jednej płaszczyźnie. Jakakolwiek płaszczyzna przechodząca przez pewną prostą układu A, jako to:

^ ₊ Ł=i(₁₊n «

a c V b ) a

będzie bowiem miała równanie :

■ !(•-1)

'(i+ )]+*[(:

f)

gdzie h jest parametrem nieoznaczonym. Płaszczyzna ta przejdzie przez pewną prostą drugiego układu y, jako to:

x z (    \ x z l + y\

)’ T-T- (¹⁺ł)’

o-

skoro będzie:

dla wszelkiej wartości y, a więc skoro będzie Jc=Ay Płaszczyzna:

(28)

zawiera więc tworzące dwóch różnych układów, czyli przez dowolne dwie proste A, y, z których każda do innego układu należy, da się zawsze przesuń

da się także sprowadzić do postaci:

ąó jedna płaszczyzna (fig, 198), określona poprzedniem równaniem, które

A*

~~■ ( 1 + Afi) + ~ (fi - A)-\--(1—Ay)—(A-\- y)=0.

CL    0    C

:MC

/r

Jeżeli równania dwóch tworzących, należących do dwóch różnych układów (fig. 200) napiszemy w postaci :

U”

— cos ą>-\- sin <p, y    z

~ — —cos w* +sm w. b    c

— = —y sm <Pi+cos cpx

wtedy otrzymamy równanie płaszczyzny, przechodzącej przez pierwszą tworzącą w postaci :

Fig. 200.

(x \ a

^-sin />—-cos <jpj + 7^

- H--cos (p —

c

sin =

0.

Ażeby ta płaszczyzna zawierała w sobie także drugą tworzącą musi być

j sin qp-t-sin <p' cos (pĄ- cos cp‘

sin

cos

cp + (p

płaszczyzna dwóch tworzących ma zatem równanie kształtu :

<P + <P‘ , y 2    ’ b Sin 2

Aby dwie tworzące, należące do różnych układów były do siebie równoległe musi być: sin cp ——sin (p\ cos cp=—cos cp', a więc (p‘ — (p +180. Równanie płaszczyzny, przechodzącej przez dwie tworzące do siebie równoległe, (fig. 200) ma więc kształt:

— cos

z . œ — m‘

H---sm ~ -

- = cos

- 777 -

wskazuje zatem na płaszczyznę, przechodzącą przez punkt początkowy czyli przez środek danej hiperboloidy.

15. Proste poprowadzone przez środek hiperboloidy równolegle do jej tworzących, tworzą stożek asymptotyczny. Prosta poprowadzona przez środek hiperboloidy równolegle do tworzącej: x—^z+p,

bowiem równania : x=~z, y——z których otrzymujemy: p=— ^

p2    ...    ,

a że:    przeto będzie miejsce tych równoległych określone

z'¹    ,

₂--które przedstawia właśnie stożek asymptotyczny.

O c

y=—

bp

ac

(24)

z + q ma

acy

bcx

Q= —

az

x^

równaniem : —= -f-

a¹

Z tej własności tworzących hiperboloidy wynika bezpośrednio, że trzy tworzące, należące do jednego układu, a więc względem siebie wichrowate nie mogą być równocześnie równoległe do jednej płaszczyzny, musiałyby bowiem trzy tworzące stożka asymptotycznego leżeć na jednej płaszczyźnie, co jest niemoźebnem.

16. Hiperboloida o jednej powłoce powstała przez ruch prostej. Wiemy, że wszelka prosta jednego układu tworzących przecina wszystkie proste drugiego układu. Jeżeli tedy obierzemy dowolnie trzy proste wichrowate i poruszać będziemy inną prostę tak, aby się na danych trzech prostych opierała, to ta prosta ruchoma utworzy hiperboloidę o jednej powłoce. Ażeby wprost dowieść tego twierdzenia przesuńmy przez każdą z danych trzech prostych Pi, P₂, P₃ dwie płaszczyzny równoległe do dwóch pozostałych prostych. Otrzymamy tedy równoległościan, którego krawędzie będą do danych prostych równoległe; środek tego równoległościanu przyjmijmy, jako punkt początkowy układu osi równoległych do danych trzech prostych. Oznaczmy przez 2a, 2b, 2c długości krawędzi w utworzonym otrzymamy równanie danych prostych w postaci :

X“.....T

>-

P.

7,

z'

y;

-X

Fig. 201. równoległościanie, i

la

—c

pAx . a.

\y=l

Prostę ruchomą możemy uważać, jako przekrój dwóch płaszczyzn, z których jedna przechodzi przez prostą Pl5 druga przez prostą P₂, a temsamem określić równaniami: z—c—A(y + b)= 0, z+c—fi(x— a)=0

Ażeby ta prosta przecięła także prostą P₃ musi byc :

g=cJr2Ab=—-c—2fia, czyli: c-\-Àb-\-/ia=0.

, z-c

Wstawiwszy w ten warunek za À i fi wartości: X=fi mamy równanie :

z+c

x—a'

otrzy-

c-t

C1 -i—    czyli: ayz+bxz+cxy+abc—0,

X—CI

y-\-b

(25)

które sprowadza się do postaci :

(25')

yz zx xy .    „

f- + - + 4+i=°

bc ac ab

Równaniu temu czynią zadość spółrzędne jakiegokolwiek punktu prostej ruchomej, jest ono zatem równaniem powstałej powierzchni. Powierzchnia ta jest stopnia drugiego. Ażeby ją odnieść do osi głównych, utworzymy równanie trzeciego stopnia 4(.s)=0 w postaci:

s³—Ps² + Qs—4=0.

Mamy tu :

_    _ _n _ a

a\\ — tf22“a33—    a23--g

Q

ai2 ⁼⁼~2~ ’    +tt22+a33 ⁼0;

Q=(an«22-«²i₂) + &=—^-(a2 + &² + c²),

0 i- A

’ 2 ’ 2

L o -=    v

2 ’ » 2    ’

«i3-y

ail> ^12? a13 a\ 2 > avn a2 3 ai3> tt23? a33

= ICM

powyższe równanie otrzymuje przeto kształt: a²+b² + c²

s³

aftc

s--—=0, czyli: 4s³—(a² Ą-b² + c²)s—aóc=0,

daje zatem dwa pierwiastki ujemne i jeden dodatni. Otrzymana powierzchnia drugiego stopnia odniesiona do swych osi głównych będzie więc miała równanie kształtu :

—six²—s₂y²+s₃z²=—abc, czyli: six²+s₂y²—s₂z²=abc₁

jest zatem hiperboloidą o jednej powłoce. Wszelka powierzchnia, powstała przez ruch prostej opierającej się stale na trzech wichrowatych nierówno-ległych do jednej płaszczyzny, jest więc hiperboloidą o jednej powłoce.

17. Średnice sprzężone hiperboloidy o jednej powłoce. Płaszczyzna środkowa sprzężona z kierunkiem A, y, v średnicy, otrzymuje tu równanie kształtu :

x cos A , y cos y z cos v

(26)

a²

b²

c²

0.

(27)

które, jeżeli przez x\y\z* oznaczymy spółrzędne punktu końcowego średnicy,

,    .    .    , ,    ,    . xx* iyy‘ zzJ _

przedstawi się także w postaci: “y + yy--Płaszczyzna styczna

(X O c

w końcu x\ y‘, z¹ danej średnicy, ma atoli równanie kształtu:

xx‘ yy* zz‘ _

jest zatem równoległą do płaszczyzny środkowej z tąź średnicą sprzężonej. Jeżeli odniesiemy hiperboloidę o jednej powłoce do układu trzech średnic sprzężonych, wtedy otrzymamy równanie:

z²

a'²

br2

x± + al

- 779 -

gdzie 2a', 2Ô', 2c' będą długościami średnic sprzężonych. Między trzema średnicami sprzężonymi hiperboloidy istnieje zawsze jedna urojona, t. j. taka, która hiperboloidy wcale nie przecina. Skoro bowiem jedna płaszczyzna, np. płaszczyzna (a‘, &'), przecina powierzchnię w ellipsie, to średnica z tą płaszczyzną sprzężona będzie leżała wewnątrz stożka asymptotycznego, będzie więc urojona, jeżeli zaś ta płaszczyzna przecina powierzchnię w hiperboli, to trzecia średnica wpadnie zewnątrz stożka, będzie więc rzeczywistą. Poprowadziwszy przez punkt końcowy średnicy rzeczywistej a' płaszczyznę równoległą do dwóch innych średnic, otrzymamy płaszczyznę styczną do powierzchni; płaszczyzna ta przetnie zarazem tę hiperboloidę w dwóch prostych, określonych równaniami:

x=a‘,

z²

b‘²    c‘²

-^=0.

Płaszczyzna styczna do hiperboloidy o jednej powłoce, przecina więc zawsze tę powierzchnię w dwóch prostych rzeczywistych, będą to dwie tworzące hiperboloidy, przez punkt styczności przechodzące.

18. Między długościami średnic sprzężonych istnieją związki podobne do tych, jakieśmy. przy ellipsoidzie poznali. Płaszczyzna dwóch średnic sprzężonych (a', b‘) niech przecina hiperboloidę w ellipsie a płaszczyznę XOY w średnicy 2a, z którą sprzężona średnica w tej ellipsie, niech ma długość 2/?, wtedy będzie na podstawie własności średnic sprzężonych w ellipsie: til2+b/2=a²+ß², przeto: a'² + b¹²— c/2=a²-\-ß²—c'².

W ellipsie szyjnej (a, b) niech ma średnica sprzężona z średnicą 2a długość 2y, to płaszczyzna sprzężona ze średnicą 2a przetnie powierzchnię w hiperboli, która będzie miała średnice sprzężone 2y i 2c, jakoteż 2ß i 2c', będzie zatem :

y²—c²=ß²—c'², przeto: a²+y²—c² = a²+ß²— c/2=an-\-b‘²—c¹².    (28)

A że a² + y²=a²-j-&², będzie więc: a,2-\-b'²—c,2—a²-\-b²—c². Suma algebraiczna kwadratów trzech średnics przężonych w hiperboloidzie, jest więc ilością stałą. Wiedząc, że powierzchnia równoległoboku wykreślonego nad średnicami sprzężonemi krzywej drugiego stopnia jest stałą, otrzymamy, oznaczając objętość równoległościanu, wykreślonego nad średnicami sprzężonemi a\ bc' przez V(a', b‘, c'), kolejno:

V(a‘ b‘ c')=F(a, b, c‘)=V(a, ß, c)= f(a, b, c), czyli: F(a', b\ c‘)=V(a, b, c).

Objętość równoległościanu wykreślonego nad trzema średnicami sprzę-żonemi hiperboloidy o jednej powłoce, jest więc stałą i równą objętości równoległościanu wykreślonego nad osiami.

z²

= 1, w której 2 a przedstawia długość osi rzeczy-

19. Hiperboloida o dwóch powłokach. Hiperboloida o dwócb powłokach jest powierzchnią określoną równaniem: six²-\-s₂y²-\-s₃z²=H₁ w którem dwa spółczynniki, np. s₂ i s₃ są ujemne. Równanie takie możemy zawsze sprowa-%c ^

dzić do postaci: ^^— ^2

wistej, 2b i 2c zaś długości osi urojonych. Główne przekroje są tu określone równaniami :

a²    ó²

= 1, y=o,

z²

= 1, £ = 0.

= -1

- 780 -z których dwa pierwsze przedstawiają hiperbolę o osi rzeczywistej 2a, trzecie zaś ellipsę urojoną. Płaszczyzna równoległa do YOZ przecina powierzchnię

cc²    ,    .

= — — 1, która jest ellipsą urojoną dla a<Za, pun-

Cl

z²

w krzywej: x= a,

ktem dla a=a, a ellipsą rzeczywistą dla a^> a. Przekroje równoległe do dwóch innych płaszczyzn głównych przedstawiają hiperbole, których oś rzeczywista jest zawsze równoległą do osi x-ów.

20. Przekroje płaskie biperboloidy o dwu powłokach. Niech będzie

teraz: x=rny+nz+p dowolną płaszczyzną, płaszczyzna ta przecina powierzchnię w krzywej, której rzut na płaszczyznę YOZ określony jest równa-

(my-\-nz+p)²    y²    z²

mem: — -—-    -

b²    c²

/m² 1 Ww² 1 \ U² ” b²){a²~c²)

Fig. 202.

= 1. Dwumian aiia₂₂—«²₁₂ ma tu wartość:

a Przekrój płaski hiperboloidy o dwóch powłokach [p\ może być tedy, jedną z trzech krzywych stożkowych, ellipsą, skoro b²m²-\-c²n²^> a², hiperbolą, skoro: 5V-(-«²c²<a², albo parabolą, skoro: b²m2jrc²n²=a². Ostatniemu warunkowi

stanie się zadość, skoro przyjmiemy: m= t~°os <jp,

— sin cp, wszelka płaszczyzna równoległa 0

:p

% ił    Z

do płaszczyzny: — = -^-cos cpĄ- — sin (p przecina tedy hiperboloidę o dwóch powłokach w paraboli.

21. Przekroje kołowe hiperboloidy o dwu powłokach. Ażeby wyznaczyć przekroje kołowe tej powierzchni odejmijmy od równania powierzchni:

S)Q 2    £/2

=1 równanie kuli: —₅ + ~ H—₅

y Ł    y* L

x² y² z2 a² b² c²

= 1, a otrzymamy równanie:

które przedstawia dwie płaszczyzny, jeżeli położymy kolejno: r²=a², r²=—b², r²— —c².

Przyjmując b^>c, otrzymamy płaszczyzny rzeczywiste tylko dla r²= — b², w którym to razie równanie powyższe otrzymuje kształt:

xia*⁺b*) Kc²

^)=0, czyli :    c!. (29)

Hiperboloida o dwóch powłokach ma zatem dwa szeregi płaszczyzn, dających przekroje kołowe; płaszczyzny te są równoległe do większej osi

urojonej.

22. Stożek asymptotyczny hiperboloidy o dwu powłokach. Jeżeli w równaniu hiperboloidy o dwóch powłokach jest wyraz wolny H ze-

00 ^

rem, wtedy otrzymujemy równanie jednorodne: —

Cl

wiające stożek, którego wierzchołek jest w punkcie początkowym (fig. 202). Płaszczyzna równoległa do YOZ przecina ten stożek w ellipsie : x^a, y² z² o

~__i__— _

6²    c²    a

a²

stożek ten jest zatem elliptyczny i ułożony na około osi x-ów.

Jest on zarazem stożkiem asymptotycznym hiperboloidy. Jeżeli bowiem obierzemy dwa punkty na prostej równoległej do osi OZ, jeden P(x, y, z) na hiperboloidzie, drugi Q(x,y,Ç) na stożku (fig. 202), tedy otrzymamy równości :

z²

1=1

.1 X1

Z²

Z²

a²    6²    c²

a²

b² c²

z których wypada :

= 1, czyli: £—0

c²

. Widać stąd, że £ jest większe od z i że różnica £—z maleje nieograniczenie w miarę jak z rośnie,

y¹

,    .    ~    z²

obie powierzchnie dotykają się więc w nieskończoności, stożek : — — j-^--j = 0

CL U C

jest zatem stożkiem asymptotycznym hiperboloidy o dwóch powłokach: Li

a² b² c²

Jako odmiany hiperboloidy o dwóch powłokach występują jak łatwo wywnioskować : hiperboloida obrotowa o dwóch powłokach, stożek, walec hiperboliczny i dwie płaszczyzny równoległe.

23. Płaszczyzny środkowe i średnice sprzężone hiperboloidy o dwu powłokach. Płaszczyzna środkowa sprzężona z kierunkiem X, y, v otrzymuje tu równanie kształtu:

x cos X y cos y z cos v

X²

c²

-0, czyli: aj

x²

XX¹ yy‘ zz‘ b² ~ c²

-0,

w którym średnica wykreślona w kierunku

jeżeli (X¹, y‘, z') jest punktem X, y, v spotyka powierzchnią. Płaszczyzna styczna w tym kierunku przed

stawia się tu równaniem:    — ^2 —~2~^> Jes^ zatem równoległą do pła

szczyzny środkowej, sprzężonej z średnicą przez ten punkt przechodzącą. Jeżeli kierunek X, y, v wpada wewnątrz stożka asymptotycznego, wtedy cięciwy równoległe przecinają obie powłoki tej powierzchni, płaszczyzna środkowa, przechodząca przez ich środki, nie przetnie tedy hiperboloidy; jeżeli kierunek X, y, v wpada zewnątrz stożka, cięciwy równoległe przecinają tedy jedną tylko powłokę, płaszczyzna środkowa przetnie tedy stożek asymptotyczny w dwóch prostych, a hiperboloidę w hiperboli, jeżeli wreszcie kierunek X, y, v wpada w tworzącą stożka, wtedy będzie płaszczyzna środkowa styczną do stożka asymptotycznego.

Z uwagi, że płaszczyzna środkowa, albo nie przecina wcale hiperboloidy, albo ją przecina w hyperboli stosownie do tego, czy średnica z nią sprzężona powierzchnię przecina lub nie, wynika wprost, że z trzech średnic sprzężonych hiperboloidy o dwóch powłokach jedna tylko hiperboloidę przecina. Jeżeli odniesiemy hiperboloidę o dwóch powłokach do trzech średnic sprzężonych, otrzymamy też równanie:

z²

*/²

u¹ 2    b/2    c'²    ’

gdzie 2a¹, 2b‘, 2c‘ przedstawiają długości średnic sprzężonych. Podobnie jak przy hiperboloidzie o jednej powłoce otrzymamy tu relacyę:

a'²—V²—c⁽²=a²—b²—c², -

(30)

— 782 -

dowodzącą, źe algebraiczna suma kwadratów trzech średnic sprzężonych jest stałą i równą algebraicznej sumie kwadratów trzech osi, jak również

V(aJ, b\ c')=V(a, b, c) wypowiadającą, że objętość równoległościanu, wykreślonego nad trzema średnicami sprzężonemi jest stałą i równą objętości równoległościanu wykreślonego nad osiami.

drugą :

(31)

Ćwiczenia XLVIII.

x ²    y ²    2 ²

1)    Podać środek, płaszczyzny główne i przekroje ellipsoidy: p + p 4¹ p⁼⁼⁼

/j»2    2    -g»2

2)    Podaó płaszczyznę środkową, ellipsoidy: pp-|-p = 1, sprzężoną z cięciwami

równoległemi do prostej : ~ = ~ = —.

>>

3)    Podaó warunki, pod jakimi płaszczyzna: 4x-\-By-\-Cz=Q jest sprzężona z śre-

⁼ »⁼jr’eIIipsoidy:

aï² y²

4)    Gdzie leżą środki przekrojów ellipsoidy: p + p ¹ ł“

ległemi do płaszczyzny:    = D.

dnicą : —

— 1 płaszczyznami rÓwnO-

SC² J/²    2²

5) Wykazać, że płaszczyzna styczna w punkcie P(x', y‘, z¹) ellipsoidy : p + p + p = 1

jest równoległa do płaszczyzny środkowej sprzężonej ze średnicą łączącą dany punkt: P(x‘, y‘, z') ellipsoidy z jej środkiem.

9)    Wykazać, że półosie r ellipsy występującej jako przekrój ellipsoidy : p "h p d" p = 1

płaszczyzną: 4:zd-Zh/d-Cfe = 0 czynią zadość równaniu:

c²<7²

= 1 można

a²4²

6²5²

r²—a²

r²—6²

r²—c²

0.

z płaszczyzną: Ax-\- By-\- Cz —D wyznacza się wzorem:

4²a²+5²&²-ł-C²c²—X>²

(4²a²+5²6²+C²c²)³/₂

abcn.

Æ²

Z²

11) W punktach przekroju ellipsoidy: p + p + p — 1 z płaszczyzną z = /& wykre

a¹ cc²

b‘lyi

ślono normalne do tejże powierzchni, wykazać, że ich ślady na płaszczyźnie XOY tworzą ellipse o równaniu:

(a²—c²)² ' (P — c²)²

12)    Podać warunki, pod którymi trzy średnice o kierunkach (X, jj., v), (X', p.', v')

,    ,    a:² w² 2²

(X'', ja", v") tworzą układ średnic sprzężonych ellipsoidy: p + p H—^ ⁼ 1¹

/p2    ^/2    ^2

13)    Wykazać, że równanie ellipsoidy: —^ -f- p -j- p = 1 odniesione do któregokolwiek

układu jej średnic sprzężonych przedstawi się w postaci:    -f- ^ -f p =1, gdzie a', 6', c'

hędą połówkami odnośnych średnic sprzężonych ellipsoidy.

14)    Wykazać, źe suma kwadratów trzech średnic sprzężonych ellipsoidy jest zawsze stałą i równą sumie kwadratów jej osi.

15)    Wykazać, że suma długości trzech średnic sprzężonych ellipsoidy jest wtedy największą, gdy te średnice są równe.

16)    Wykazać, że objętość równoległościanu utworzonego z trzech średnic sprzężonych ellipsoidy jest równą objętości równoległościanu prostokątnego, utworzonego z osi ellipsoidy.

17)    Wykazać, że w równoległościanie utworzonym ze średnic sprzężonych ellipsoidy jest także suma kwadratów powierzchni jego ścian bocznych stałą, równą sumie kwadratów powierzchni ścian równoległościanu prostego utworzonego z osi ellipsoidy.

^»2    y 2    0 2

18)    Wykazać, źe ellipsoida trójosiowa: ^    ~ -f- —^ = 1) gdzie    ma dwa

szeregi przekrojów kołowych układem płaszczyzn, określonych równaniami:

rV

62—c²

a²—b'²

19)    Wyznaczyć kąt 0, jaki tworzą płaszczyzny przekrojów kołowych ellipsoidę trój-

/p2    y*Ł    2*1

osiową : —^    ^ -f-    == 1 z płaszczyzną XOY.

20)    Wykazać, że punkta końcowe średnic sprzężonych z płaszczyznami przekrojów

/|ç2    y 2    «g» 2

kołowych ellipsoidy : —-f- ~ -y = 1, zwane punktami kołowemi ellipsoidy trój-

osiowej mają spółrzędne (x‘, y\ z'), określone wzorami:

a²—ł>²

x' = a

a²—c²

, y‘ = 0,    2' = -1— c

b²—C2 ^ł²—-C²^

x²    Î/²

21) Wyznaczyć odległość r punktów kołowych ellipsoidy trójosiowej: —j -f-    -f-od jej środka.

22)    Wykazać, że w ellipsoidzie suma kwadratów z odwrotnych wartości trzech średnic do siebie prostopadłych jest stałą równą sumie kwadratów odwrotnych wartości trzech osi tejże ellipsoidy.

23)    Okazać, źe do odmian ellipsoidy trójosiowej należą ellipsoida obrotowa, kula, walec elliptyczny, dwie płaszczyzny równoległe i punkt i podać odpowiednie najprostsze równania.

c²

24)    Wykazać, że płaszczyzna: z — mx-\-ny-\-p przecina hiperboloic^:    4“ |y —

podług ellipsy, gdy a²m²-\-b²n²    c², podług hyperboli, gdy a²m²-\-b²n² < c², a podług

paraboli, gdy a²m²-\-b⁹n² = c².

2j2    y 2    £.2

25)    Wykazać, źe hiperboloida o jednej powłoce:    -j-    — -^= 1, gdzie a²>6²)>c²

ma dwa układy przekrojów kołowych z płaszczyznami równoległemi do większej osi rze-wistej tejże powierzchni.

26)    Okazać, źe do odmian hiperboloidy o jednej powłoce należą hiperboloida obrotowa, stożek, walec elliptyczny, walec hiperboliczny i dwie płaszczyzny równoległe ; podać odnośne najprostsze równania

27)    Wykazać, że przez każdy punkt hiperboloidy o jednej powłoce przechodzą dwie linie proste, leżące na tej powierzchni.

2j2    y 2    2 2

29)    Wykazać, źe punkta hiperboloidy o jednej powłoce: ^2 + |y —    1, przez które

przechodzą dwie jej tworzące do siebie prostopadłe, leżą na przecięciu się tejże hiperboloidy z kulą: x²-\-y²-\-z² = a²-\-b²—c².

30)    Wykazać, że proste poprowadzone przez środek hyperboloidy o jednej powłoce równolegle do jej tworzących tworzą stożek asymptyczny tejże hyperboloidy.

31)    Wykazać, że rzuty prostych tworzących hyperboloidę o jednej powłoce:

ÇJQ1    y 2    £>2    «2

a² b² —    1 na płaszczyznę X0Y są styczne do ellipsy:    -j- p- = 1.

28)    Wykazać, że na hiperboloidzie o jednej powłoce istnieją dwa szeregi linij prostych; proste jednego szeregu są względem siebie wichrowate i przecinają wszystkie proste drugiego szeregu.

32) Okazać, że przeprowadziwszy przez dwa punkta w przestrzeni pęki płaszczyzn przechodzących przez tworzące jednego układu hiperboloidy o jednej powłoce otrzymujemy dwa pęki jednokreślne.

— 784 -

33)    Wykazać, że krawędzie przecięcia się odpowiednich płaszczyzn dwu pęków jedno -kreślnych utworzą hiperboloidę o jednej powłoce.

34)    Wykazać, że płaszczyzna styczna do hiperboloidy o jednej powłoce przecina jej powierzchnię podług dwu prostych rzeczywistych.

35)    Wykazać, że suma kwadratów z prostopadłych wyprowadzonych ze środka hiperboloidy o jednej powłoce do trzech płaszczyzn stycznych a do siebie prostopadłych jest ilością stałą.

36)    Wykazać, że płaszczyzna przesunięta przez dwie do siebie równoległe proste hiperboloidy o jednej powłoce przechodzi przez środek tej powierzchni.

37)    Wykazać, że płaszczyzna: Ax-\-By-\- Cz-\-D = 0 przecina powierzchnię: yz-\-zx-\-xy — a² podług paraboli, skoro \/ A-\-\/lB-\-\/ C — 0.

38)    Wykazać, że linie proste, leżące na powierzchni: yz-\-zx-\-xy\a² = 0; a przechodzące przez punkt: P^O, «X, —tejże powierzchni mają

x(\—ł—X) = a"k—y = G— (Xæ-j-a),

39)    Wykazać, że płaszczyzny równoległe do płaszczyzny: x-\-y-\-z = 0 przecinają powierzchnię: yzĄ-zxĄ-xy = a¹ podług linij kołowych.

40)    Wyprowadzić warunek, pod którym płaszczyzna: Ax-\-By-\-Cz = 0 przecina powierzchnię: ayz-\-bzx-\-cxy = 0 podług dwu prostych do siebie prostopadłych.

^2 ^2

41)    Okazać, że płaszczyzna: z — mx-\-ny przecina stożek: —^-j-~y— p = 0 podług dwu prostych do siebie prostopadłych, jeżeli spełnia się warunek:

Ï* ⁺ V² +W’(iT - ^H”?(a²

42)    Wykazać, że płaszczyzna: x = myĄ-nz-\-p przecina hiperboloidę o dwu powło-

równania :

?/²

kach:    — p- — p “ ^ podług ellipsy, gdy: 6²«t²-f c²»² < a⁵, podług hiperboli, gdy:

b²m²-\-c²n² "> a², podług paraboli, gdy: b²m²-\-c²n² = a².

43)    Wykazać, że hiperboloida o dwu powłokach ma dwa układy przekrojów kołowych płaszczyznami równoległemi do większej osi urojonej.

44)    Wykazać, że punkta kołowe hyperboloidy o dwu powłokach:

X² W² z²    -i /

^2 — p- — p =*= 1 mają spółrzędne: y = 0, x = A- a y

a²-\-b²

■^Tc² ’ ²

i jb²—c²

V«M-²-

45)    Okazać, że do odmian hiperboloidy o dwu powłokach należą hiperboloida obrotowa dwu powłokowa, stożek, walec hyperboliczny i dwie płaszczyzny równoległe.

46)    Wyprowadzić równania normalnej w punkcie P(x', y‘, z*) hiperboloidy o dwu

x² w² z²

powłokach: -- — -— = 1.

Rozwiązani a XLVIII.    + ^ + ^ = 0

?»

4) Na pro-

stej :

8)

a²A b²B c²C' a²(b²—c²)    , b²{c²— a²)

xĄ

19) tang 0 = ±

a² — b²

46) a2(æ“X/)-

x‘

b²—c² * b\x—ÿ)

5) Porównaj 3).

0. 12)

21) r = y/a²-\-c²—b². c²(z—z')

7)

³) a² A    b²B c²C'

a²(x—\)    b²(y—n) c²(z—Ç)

COS X COS X' COS [A COS [P cos V cos v'

a²

b²

0,

41) aBO+bCA+cAB = 0.

z>

Literatura. O. Fort und O. Schlömilch: Lehrbuch der analytischen Geometrie. Zweiter Thel: Analytische Geometrie des Raumes. 6. Auflage. Leipzig 1898. Percival Frost: Solid geometry. London 1876. Dr. Max Simon: Analytische Geometrie des Raumes. II. Theil : Die Flächen zweiten Grades. Leipzig 1902.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Szczególne własności ellipsoidy.

2.    Szczególne własności hiperboloidy o jednej powłoce.

3.    Szczególne własności hiperboloidy o dwu powłokach.

Wykład XülX.

Szczególne własności powierzchni bezśrodkowych

rzędu drugiego.

1. Paraboloida elliptyczną. Jeżeli równanie drugiego stopnia przedstawia powierzchnię nie posiadającą środka, wówczas da się zawsze sprowadzić do postaci :

s₁afi+s₂y²=2^,

która określa paraboloidę elliptyczną, skoro i s₂ mają jednakowe znaki, albo paraboloidę hiperboliczną, skoro znaki spółczynników si i s₂ są różne. Weźmy najpierw pod uwagę paraboloidę elliptyczną, którą określa

a²^ b²

równanie :

(1)

(2)

Płaszczyzny XZ i YZ są tu płaszczyznami głównemi powierzchni, które przecinają ją w dwóch parabolach, mających wspólną oś OZ, która się też nazywa osią paraboloidy elliptycznej.

|Z

Płaszczyzna XOY dotyka się paraboloidy elliptycznej. Przekroje równoległe do płaszczyzny XOY są ellipsami, które określają równa-

K + g-s u.

nia :

z=h,

a²

ii

Fig. 203.

Osie tych ellips rosną nieograniczenie w miarę jak rośnie h. Dla ujemnego h stają się ellipsy urojone, powierzchnia nie ma zatem żadnego punktu pod płaszczyzną XY. Płaszczyzny równoległe do XOZ przecinają powierzchnię w parabolach, których równania-

/y* 2    Z>2

y-*, -Sz-

mi będą:

V²'

Parabole te mają wszystkie jednakowy parametr 2a², są więc do siebie przystające. To samo dotyczy przekrojów, równoległych do YOZ, które będą przy-stającemi parabolami o parametrze 2b².

2. Przekroje płaskie paraboloidy elliptycznej. Niech będzie teraz: y = mz+nx+r dowolną płaszczyzną; jej przekrój z powierzchnią rzuci się na płaszczyznę XOZ w krzywej drugiego rzędu :

(mz-\-nxĄ-r)²

x²

b²

20=0.

(3)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

BO

dla której dwumian ciiia₂₂—a²i2 otrzymuje wartość:

m²n²

⁼ a²b²'

m²

b²

(± + K) l,a²⁺ i²/

Krzywa przekroju zatem jest zawsze ellipsą, skoro spółezynnik m jest różnym od zera. Dla m = 0 będzie przekrój parabolą; płaszczyzna przekroju ma tedy równanie kształtu: f/=wa? + r, jest więc równoległą do osi OZ, która

jest osią paraboloidy elliptycznej.

3. Przekroje kołowe paraboloidy elliptycznej. Ażeby wyznaczyć przekroje kołowe paraboloidy elliptycznej, przyjmijmy, że jakaś płaszczyzna, przechodząca przez punkt początkowy O, przecina paraboloidę w kole. Przez to koło przesuńmy kulę, któraby dotykała się płaszczyzny XOY w punkcie O; środek tej kuli będzie tedy leżał na osi 2-ów, jej równanie otrzyma przeto kształt:

czyli:

x²+y²+z²—0,

*1

z²

-\---22=0,

odejmując od tego równania równanie paraboloidy: otrzymamy równanie :

//• 2    ąj 2

p + P“²*“⁰.

(4)

przedstawiające stożek, który musi się sprowadzić do dwóch płaszczyzn, jeżeli paraboloida i kula mają wspólne przekroje kołowe. Stać się może to tylko dla r=a², albo r=b². Załóżmy, że a^>b, wtedy, kładąc r=a², otrzymamy równanie :

₂{ 1 1 \ , *2 yW bV⁺a²

a²)    °’

przedstawiające dwie płaszczyzny rzeczywiste:

~=aI- ¹

a ■'yj!

-=-y

a² *

(5)

a²'

przechodzące przez oś x-ów. Paraboloida elliptyczna ma zatem dwa szeregi płaszczyzn kołowych, równoległych do stycznej w wierzchołku tego z przekrojów głównych parabolicznych, który ma większy parametr.

4. Odmiany paraboloidy elliptycznej. Jako szczególne odmiany paraboloidy elliptycznej występują paraboloida obrotowa (a = b), walec paraboliczny (a = cc , albo b = oo) i linia prosta (a=b—0).

Paraboloidę elliptyczną możemy także uważać jako granicę ellipsoidy:

x²    y²    z²

-j-f    H—2=1, w której osie rosną nieograniczenie, gdyż ellipsoida odnie-

CL    0    C

¹

jij2    |i2    2¹2

10) Wykazać, że powierzchnia E ellipsy, będącej przekrojem ellipsoidy: p + p + p = 1

siona do układu, którego początek wpada w wierzchołek osi OZ ma równanie :

x² y² z2 ₀* + p + ?-

z²

które dla c=oo jący właśnie paraboloidę elliptyczną.

=?-(>, czyli: * + c ’ J a²

c

^ 2    /g2    y2

—=B² otrzymuje kształt: ^pj + ^2

d---22=0,

—22=0, przedstawia-

— 787

5. Płaszczyzna styczna i prosta normalna. Płaszczyzna styczna w punkcie x‘, y‘, z¹ paraboloidy elliptycznej otrzymuje równanie:

“2 +(y-3'')p-—(*—*')=0, czyli:

2    y ł 2

które ze względu na to, źe :    -f- ^

(x—x‘)

~~2

y'²

-°

—2#' przedstawia się ostatecznie w postaci :

xx'    yy'

5" “r

a²

ó²

(6)

Normalna w tym punkcie będzie określona równaniami:

x—x'

y—y

y'

z —z' —1 '

(7)

«²

ó²

Przyjmijmy dowolnie punkt (£, £) w przestrzeni i poprowadźmy przez niego normalną do paraboloidy, wtedy otrzymamy na wyznaczenie punktu przebicia normalnej z paraboloidą równania:

y - y' ₌

Ï-X'

x‘²

y'²

a;'

.y'

a²

ô²

a²

6²

Z pierwszego szeregu wartości otrzymamy :

a²£

a²+k’ V

b²rj

b² + fc

a podstawiwszy te wartości w równanie paraboloidy dostaniemy równanie:

&y

trrp

-—2(Æ+ £)=0,

(al-\-k)

które jest ze względu na Jc stopnia 5-go. Z dowolnego punktu w przestrzeni można więc wykreślić w ogólności pięć normalnych do paraboloidy elliptycznej. Punkta przecięcia x₎ y, z normalnej odpowiadającej punktowi £, rj, z paraboloidą dogadzają równaniom :

(b² + fc)

Ź—x

y—y

Ç—z x² y²

=T’

a²

ó²

Pierwsze dwa równania możemy także przedstawić w postaci:

Cl

czyli :

Sy

y-y=o,

--2 + æ—£=0

er

&² 6 ²

skąd, pomnożywszy pierwsze przez a:, drugie przez y, otrzymamy jako sumę równanie :

a²

/#² y²

*Vî+p

które ze względu na równanie paraboloidy sprowadza się do postaci:

2z‘z+y²-\-x²—lźz^—x^—yrj=0,

przedstawiającej ellipsoidę obrotową, której oś obrotu jest równoległą do osi z-ów.

(8)

Spodki pięciu normalnych, jakie się z danego punktu w przestrzeni do paraboloidy elliptycznej, poprowadzić dadzą, leżą tedy na przecięciu parabo-loidy z pewną ellipsoidą obrotową, która przechodzi przez wierzchołek paraboloidy i ma oś obrotu równoległą do osi tej paraboloidy.

6. Płaszczyzny środkowe i średnice paraboloidy elliptycznej. Płaszczyzna środkowa sprzężona z kierunkiem A, fi, v otrzymujemy tu postać:

x cos À

y cos fi

(9)

cos v=0,

jest więc dla każdego kierunku i, fi, v równoległą do osi #-ów, czyli do osi paraboloidy. Jakakolwiek średnica jest przeto, jako przekrój dwóch płaszczyzn środkowych, także równoległą do osi paraboloidy.

I tu otrzymamy nieskończenie wiele układów spółrzędnych, dla których

równanie paraboloidy będzie kształtu :    -f-2z.

Obrawszy mianowicie jakąkolwiek średnicę równoległą do osi paraboloidy za oś 2-ów, przyjmijmy płaszczyznę styczną do paraboloidy w końcu M średnicy jako płaszczyznę XOY, obierając na niej dowolnie oś OX, a za oś OY kierunek sprzężony z płaszczyzną XOZ. Równanie odniesione do takiego układu kierunków sprzężonych musi dla x = 0 jako też dla y=0 przedstawić parabolę odniesioną do średnicy i stycznej w punkcie końcowym średnicy, musi więc mieć widocznie kształt powyżej podany.

(10)

a²~b²

Przekroje tej powierzchni płaszczyznami spółrzędnemi są określone równaniami :

7. Paraboloida hiperboliczna. Paraboloid a hiperboliczna określa się równaniem kształtu:

0=0.

z²

a² b²

= 0; x—0,    y²= — 2b²z; y = 0,    x²=2a²z.

Pierwsze przedstawia dwie proste: x=-^y, x=—

« hCS

y na płaszczyźnie XY symetrycznie ułożone względem osi układu ; drugie parabolę na YZ, której oś ma kierunek ujemnej osi £-ów, trzecie znowu parabolę na XZ o osi idącej w dodatnim kierunku osi z-ów.

Płaszczyzna równoległa do XY przecina powierzchnię w hiperboli :

P-⁸*

z=y,

x²

której oś poprzeczna jest dla dodatniego y równoległą do osi #-ów, dla ujemnego y zaś do osi y-ów. Płaszczyzna równoległa do YZ daje na przekrój parabolę :

²    a²

2z+~

x=a,

przystającą do paraboli leżącej cina płaszczyzna równoległa do XZ powierzchnię w paraboli :

a²’

na

płaszczyźnie głównej YZ. Podobnie prze-

y=ßi 2“    + : 2 ’

przystającej do paraboli położonej na płaszczyźnie głównej XZ.

8. Przekroje płaskie paraboloidy hiperbolicznej. Na wyznaczenie

przekroju danej powierzchni dowolną płaszczyzną: y=mz+nxĄ-r, otrzymujemy

x²    (mz + nx -f- r)²

o^~

określające rzut krzywej przekroju na płaszczyznę XZ.

równanie:

6²

=2*,

Mamy tu dwumian: alta₂₂—a²₁₂

w²

a²b²

; krzywa będzie więc zawsze

hiperbolą, z wyjątkiem, gdy m—0, t. zn. gdy płaszczyzna przekroju jest równoległą do osi z-ów} w którym to wypadku będzie przekrój

parabolą.

Paraboloida hiperboliczna nie da się prze--N ciąć w kole, gdyż nie ma wcale przekrojów zamkniętych, nie może być też nigdy powierzchnią obrotową.

9. Linie proste na paraboloidzie hiperbo-licznej. Szczególna własność paraboloidy hi-perbolicznej polega na tern, że na jej powierzchni dadzą się wykreślić dwa szeregi prostych, zwanych prostemi tworzącemi paraboloidy hiperbolicznej.

Aby to wykazać przyjmijmy, że prosta określona równaniami:

Fig. 204.

y=mx + a, z=nx+ß

fil    yl

leży cała na powierzchni: —^ — ^—%z, miałoby tedy sprawdzić się równa-=2(nx+ß), czyli:

(mx -f- a)²

\    ~ (ma \

)-Hv+n)

-2/8-0,

nie :

jakiemkolwiek byłoby x.

Spółczynniki w równaniach prostej muszą przeto dogadzać równaniom :

ma

p-+w=0,

Ostatnie równanie sprowadza się do kształtu: a²=—2b²ß wypowiadając, że ślad rozważanej prostej na płaszczyźnie głównej YOZ musi się mieścić na paraboli y²=—2b²z₎ która jest głównym przekrojem powierzchni. Pierwsze dwa równania dają natomiast:

a²

b²

b²

CS- o

=0.

n = T~r

ab

a więc dwie wartości na w? i w co dowodzi, że z każdego śladu (aß) wychodzącą dwie proste, leżące na paraboloidzie hiperbolicznej, i to tylko dwie określone równaniami :

a : o-

x+a, s=+~x+ß,

gdzie parametry a i ß są spółrzędnemi dowolnego punktu paraboli y²=—2b²z, a więc związane są relacyą a²=—2b²ß.

10. Równanie prostych tworzących możemy także otrzymać wprost z ró-

fi 2    y 2

wnania powierzchni: —₂ — ^=2z, które możemy napisać w

y=

(ii)

postaci :

Jeżeli bowiem podstawimy : . oo y

1) — + -f

Cl o

Cs- 'Cr

= ß, - i ~T~ ⁼⁼ -j

aby

gdzie ^ i y są stałe dowolne, wtedy otrzymamy dwa układy równań, określających dwa oddzielne układy prostych, które leżą bolicznej, gdyż z pomnożenia równań 1) albo 2) wypada równanie tej powierzchni. Przez każdy punkt paraboloidy hyperbolicznej przechodzi z każdego układu jedna prosta. Niech będą bowiem xit yx, zx spółrzędne dowolnego punktu powierzchni, to proste przez ten punkt przechodzące będą określone równaniami :

a b    a

w których parametry Xl, yi będą oznaczone wartościami:

na

paraboloidzie hiper-

x    y

--b -f- =

a    b

(M

(.13)

xi

V\

M

à)

V\

+ T-

Mamy tu wprawdzie dla każdego z obu parametrów po dwie wartości, są one jednakże ze względu na równanie paraboloidy hiperbolicznej, na której punkt x, y, z, leży między sobą równe. Istnieje więc w każdym z obu układów 1) i 2) jedna prosta i to tylko jedna, która przez dany punkt xi, yv zi przechodzi.

11. Dwie proste tego samego układu są względem siebie wichrowate, dwie proste należące do dwóch różnych układów leżą natomiast zawsze na pewnej płaszczyźnie. Niech będą bowiem dane dwie proste należące do jednego układu np. 1), a więc określone równaniami:

Ł = ²1

b X,

b X₂

Ażeby te dwie proste mogły mieć punkt wspólny, musiałaby istnieć grupa wartości x, y, z, któraby powyższym czterem równaniom dogodziła. Odejmując od siebie parami po dwa równania pod sobą umieszczone, otrzymamy w obu wypadkach jako warunek: X₁— X₂=0, który się sprawdzić nie może, skoro przyjęte dwie proste są różne od siebie.

Dwie proste należące do jednego układu nie mogą tedy nigdy utworzyć jednej płaszczyzny, muszą więc być względem siebie wichrowate. Wszystkie proste jednego układu, jakkolwiek względem siebie wichrowate,

=0.

płaszczyzny: —---—=0.    dwie płaszczyzny stałe nazywamy płaszczy

znami kierowniczemi paraboloidy hiperbolicznej.

- 791 —

Weźmy teraz dowolne dwie proste, należące do dwóch różnych układów, a więc określone równaniami : x , V

T⁺T

__ i _y_ __ 2^

a b fi

Dowolna płaszczyzna przesunięta przez pierwszą prostą będzie tedy miała równanie :

=z,

T='l<

t)“⁰-

Ażeby ta płaszczyzna zawierała w sobie także prostą drugiego układu musiałby się sprawdzić warunek :

--Aj — ^)==0, czyli: (Z—fik)—fiZ(Z—fiJć)=0

dla wszelkiego co Równanie :

A

prowadzi do warunku jedynego k——.

y

(- + 1

\ a b

f--)-

0, czyli:    -æ-f ^ ^ y—2Ag—Zfi=0, (14)

będzie tedy równaniem płaszczyzny zawierającej w sobie dwie proste (Z, fi) należące do dwóch różnych układów. Przez każdą parę prostych, należących do dwóch różnych układów, da się tedy zawsze przesunąć jedna płaszczyzna.

12. Z powyższych własności wypływają następujące prawidła tworzenia paraboloidy hyperbolicznej : 1) Paraboloida hyperboliczna powstaje przez ruch prostej, która się opiera na trzech prostych wichrowatych, równoległych do pewnej płaszczyzny, albo 2) Paraboloida hyperboliczna powstaje przez ruch prostej, która się opiera na dwóch prostych wichrowatych i pozostaje zawsze równoległą do pewnej płaszczyzny. Możemy obu tych prawideł dowieść wprost rachunkiem: ad 1). Niech będą dane trzy proste Z>1} L₂, L?>,

równoległe do jednej płaszczyzny. Przyjmijmy prostą L₃ za oś x ów, poprowadźmy płaszczyznę XZ równoległą do prostych L± i L₂ i obierzmy jako oś yów prostą przecinającą obie proste Li i L₂. Przy tym układzie osi spółrzę-dnych (fig. 205) będą równania prostych:

,y=m ¹ \z=nx

Prostą ruchomą przecinającą proste Li i L₂ możemy uważać, jako przecięcie się dwóch płaszczyzn, z których jedna przez Lu druga przez L₂ przechodzi, przeto określić równaniami :

jy=m' jy=0 ²\z=n‘x'    ³I*=0’

Fig. 205.

{z—nx)—A (y—m)== 0, [0—n‘x)—/i(y—m‘)=0, gdzie Z i fi są, dowolnymi parametrami. Ażeby prosta przecięła także oś OX

musi być: 0 + Am=0, jako 0+fim'=0, a więc Am—firn*—0, czyli: ~,~~-

Równania prostej przecinającej proste Li i L₂ mają tedy kształt:

»I

(0—nx) — A{y—m)=0,    (z—n'x)---Z (y—m‘)=0,

1ÏI

- 792 -

skąd po wyrugowaniu parametru dowolnego A otrzymamy równanie powstałej powierzchni w postaci :

m'(z — n‘x) m{y—mJ)

z—nx

y—m

przedstawiające powierzchnię drugiego stopnia nie mającą środka, a zawierającą proste tworzące, czyli paraboloidę hiperboliczną.

ad 2) Niech będą L{ i L₂ dwie dane proste, a P stałą płaszczyzną, przyjmijmy prostą L₂ za oś z-ów, płaszczyznę daną jako płaszczyznę XZ

równolegle do Lx i obierzmy jako oś y-ów prostą przecinającą Li. Przy tym układzie osi 1* (fig. 206) przedstawią się równania danych prostych w postaci:

Zl

L>{

y=m

z=nx

x=0

y=o

Prosta ruchoma AB przecinająca L₂ i równoległa do płaszczyzny XY będzie miała tedy równania: z=A, y = yx₁ gdzie A i y są dowolnymi parametrami. Ażeby ta prosta przecięła także prostą Lx musi być nx=A jako też m=yx czyli mn — Ay. Wyrugowawszy z równań

Fig. 206.

prostej AB parametry A, y, otrzymamy tedy równanie powierzchni ruchomej w postaci: yz=mnx, określające właśnie paraboloidę hyperboliczną.

Nietrudno zauważyć, że prosta ruchoma AB opierająca się na prostych Lx, P₂, a równoległa do stałej płaszczyzny P wyznaczy na prostych Lx i P₂ odcinki

proporcyonalne. Niech będą bowiem AB₎ A‘B\ A“B‘‘ trzy położenia prostej ruchomej, przez H każdą z tych prostych przesuńmy płaszczyznę równoległą do płaszczyzny kierowniczej P, otrzymamy tedy trzy płaszczyzny między sobą równoległe, a te wyznaczają na prostych je przecinających odcinki proporcyonalne (fig. 207). Będzie więc :

ir

ir

AA' _ BB‘ A¹ A" ~ BB"'

4"'

Na tej własności opierając się, możemy wykreślić model paraboloidy hiperbolicznej z drutów lub nitek. W tym celu podzielimy dwa przeciwległe boki czworoboku wichrowatego na równe części i połączymy punkta podziału nitkami, które w tym razie przedstawiają jeden układ tworzących paraboloidy ; zrobimy podobny podział na dwóch innych bokach przeciwległych, otrzymamy drugi układ tworzących.

13. Płaszczyzny styczne i płaszczyzny środkowe paraboloidy hlperbo-licznej. Niech będzie x\ y', z‘ punktem paraboloidy hiperbolicznej :

w tym punkcie będzie miała równanie :

Fig. 207.

x%‘ yy'

y2

p=2#, płaszczyzna styczna

—2—-jï=s-\-e'. Porównawszy to równanie z równaniem płaszczyzny, zawie-Cl o

rającej dwie tworzące A, y, które ma kształt:

- 798 -

(A + fi)— Ą-(ft—X) b—2z—X/i=0, otrzymamy równości:    = — ,^=2

b²

z których wypadają wartości:

, y‘

ai+V

x⁴

fl = ~Y

a²

y'

b² ’

określające tworzące paraboloidy hiperbolicznej przecinające się w punkcie x\ y\ • Płaszczj^zna styczna do paraboloidy hiperbolicznej zawiera więc w sobie obie tworzące, jakie przez punkt styczności przechodzą. Normalna w punkcie x\ y‘, z¹ paraboloidy hiperbolicznej ma równania:

y-y'

x—x‘

z'

z—z‘

y‘ — i ’

(15)

a²

b²

Ażeby wyznaczyć liczbę normalnych, jakie z dowolnego punktu £, rj, £ w przestrzeni do paraboloidy hiperbolicznej wyprowadzić się dadzą, postąpimy jak przy paraboloidzie elliptycznej. Punkta przecięcia x‘, y⁴, z¹ normalnych z powierzchnią oznaczone tu będą równaniami:

y-y¹ ₌ ^z^₌/c

ł—x‘

X¹²

y/2

\-=ïz‘

b²

b²

a²

skąd na wyznczenie wartości Jc otrzymamy równanie piątego stopnia :

ft r

by²

—2(* + ?)=0,

(«J + £)³    (6²-i)²

dowodzące, że przez dowolny punkt w przestrzeni da się poprowadzić w ogólności pięć normalnych do paraboloidy hiperbolicznej. Punkta przecięcia tych normalnych z paraboloidą hiperboliczną leżą tu jak przy paraboloidzie ellip-tycznej na powierzchni obrotowej, przechodzącej przez wierzchołek paraboloidy i mającej oś obrotu równoległą do osi paraboloidy.

Płaszczyzna środkowa sprzężona z kierunkiem X, fi, v ma przy parabo-

a² b²

loidzie hiperbolicznej:

=2# równanie kształtu:

x cos / y cos fi

a²

b²

—cos v=0.

(16)

jest przeto równoległą do osi OZ, która tu jest osią powierzchni. Wszystkie średnice, jako przekroje płaszczyzn środkowych, są zatem między sobą równoległe, a zarazem równoległe do osi paraboloidy. Mamy tu także, jak przy paraboloidzie elliptycznej, nieskończenie wiele układów sprzężonych osi uko-śnokątnych, dla których równanie powierzchni otrzymuje postać:

Obrawszy bowiem jakąkolwiek średnicę jako oś z-ów, a jej punkt przecięcia z powierzchnią jako punkt początkowy, a płaszczyznę styczną w tym punkcie, jako płaszczyznę XY, możemy jeszcze przyjąć na tej płaszczyźnie dwie proste z sobą sprzężone, jako osi OX i OY, a otrzymamy w takim razie zawsze równanie paraboloidy hiperbolicznej w formie powyżej podanej.

ćwiczenia LXIX.

1) Wykazać, że przekrój paraboloidy elliptycznej :

im le*

8 I e

-f- ^2 ■= 2z płaszczyzną:

ByĄ-Cz — D jest albo ellipsą albo parabolą.

2

2) Wykazać, że paraboloida elliptyczna: —^ -\-j^ = 2z ma dwa układy przekrojów kołowych równoległych do dwu płaszczyzn określonych pod założeniem, że a² > b² równa-

y2{^~^} = 0-

niem :

z²

3)    Okazać, że do odmian paraboloidy elliptycznej należą: paraboloida obrotowa walec paraboliczny i linia prosta.

4)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny stycznej w punkcie P(S-, rj, Ç) paraboloidy

QÇ2

elliptycznej: ^ + 1^ = 2z.

5) Wyprowadzić równania normalnej w punkcie: P(Sj, tj, Ç) paraboloidy elliptycznej:

//'

6) Wykazać, że suma rzutów na oś paraboloidy elliptycznej, prostopadłych wykreślonych z wierzchołka paraboloidy na trzy płaszczyzny styczne do siebie prostopadłe jest stałą.

7)    Okazać, że miejscem geometrycznem wierzchołka kąta bryłowego prostościennego opisanego na paraboloidzie elliptycznej jest płaszczyzna prostopadła do osi paraboloidy.

8)    Okazać, że przez każdy punkt przestrzeni można poprowadzić w ogólności, pięć normalnych do paraboloidy elliptycznej.

9)    Wykazać, że równanie: anx²-\-2ai3yz-{-2anx-\-...-\-aii= 0, w którem o₂2«i3 = «ii«₂₃, jakoteż a-nan— a₂₃a₁₃ przedstawia w ogólności paraboloidę, której oś jest równoległa do prostej a; = 0, anyĄ-aXiz — 0.

10)    Wykazać, że przekrój paraboloidy hiperbolicznej :    — p-= 2s jest w ogólności

albo hiperbolą albo parabolą.

11)    Wyprowadzić warunek, pod jakim płaszczyzna: Ax-\-By-\- Cz = 0 przecina para-boloidę hiperboliczną : -j — p- = 2z podług hiperboli równobocznej.

12) Wykazać, że paraboloida hiperboliczną:

a:²

prostych.

a² b²

== 22 ma na sobie dwa układy

13) Okazać, że rzuty poziome prostych jednego układu paraboloidy hiperboliczne są równoległe do jednej z dwu prostych, podług których płaszczyzna XOY przecina para

x²

boloidę hiperboliczną : ^ — — = 2z, a rzuty poziome prostych drugiego układu są równoległe do drugiej prostej tego przekroju.

x²

y‘l

14)    Wykazać, że przez każdy punkt paraboloidy hiperbolicznej :    — p- = 2z prze

chodzą dwie proste należące do dwu różnj^ch układów.

15)    Okazać, że proste jednego układu tworzących paraboloidy hiperbolicznej są względem siebie wichrowate.

16)    Okazać, że prosta jednego układu tworzących na paraboloidzie hiperbolicznej przecina wszystkie proste drugiego układu.

17)    Wykazać, że miejscem geometi^cznem punktów paraboloidy hiperbolicznej, przez które przechodzą dwie tworzące do siebie prostopadłe jest hiperbola.

18)    Wykazać, że rzuty prostych paraboloidy hiperbolicznej :

x² y²

== 2 z na pła

szczyznę XOZ są styczne do paraboli, podług której płaszczyzna XOZ przecina tę powierzchnię.

19) Wykazać, że proste jednego układu tworzących, należących do paraboloidy hiperbolicznej są równoległe do jednej płaszczyzny.

20)    Dowieść, że paraboloida hiperboliczna ma dwie płaszczyzny kierownicze, do których jej proste tworzące są równoległe.

21)    Okazać, że powierzchnią powstałą przez ruch prostej, która przecina dwie proste wichrowate, a jest zarazem równoległa do pewnej stałej płaszczyzny, jest paraboloida hiperboliczna.

22)    Okazać, że prosta ruchoma : z — l, y = mx, równoległa do XOY a przecinająca dwie proste, jedną o równaniach: x = 0, y — 0, drugą o równaniach: y = b, z =■ ax utworzy para-boloidę hiperboliczną o równaniu : yz = abx.

23)    Wykazać, że płaszczyzna styczna w punkcie: P(æ', «/', z⁴) paraboloidy hiperbo-licznej zawiera dwie proste przez ten punkt powierzchni przechodzące.

paraboloidy hiperbolicznej :

=-2 z.

24)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny stycznej i linii normalnej w punkcie P(ç, 7], Ç) cc² y2 o² 6²

25)    Wyznaczyć długość prostopadłej wykreślonej z wierzchołka paraboloidy hiper-bolicznej na płaszczyznę styczną w punkcie P(Sj, rj, Ç) tej powierzchni.

26)    Wykazać, że suma rzutów na oś paraboloidy hiperbolicznej, trzech prostopadłych wykreślonych z wierzchołka paraboloidy na trzy płaszczyzny styczne do siebie prostopadłe, jest wielkością stałą.

27)    Okazać, że miejscem geometrycznem wierzchołka kąta bryłowego trójściennego i prostokątnego opisanego na paraboloidzie hiperbolicznej jest płaszczyzna prostopadła do osi tejże paraboloidy.

28)    Wykazać, że przez każdy punkt przestrzeni można wyprowadzić w ogólności pięć normalnych do paraboloidy hiperbolicznej.

29)    Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele układów ukośnokątnych, do których

/j2    y'l

odniesione równanie paraboloidy hpierbolicznej otrzymuje kształt:    — ^72=2,z.

30) Wykazać, że prosta jednego układu tworzących paraboloidy hiperbolicznej poruszająca się po dwu stałych prostych drugiego układu wyznacza na nich odcinki propor-cyonalne.

31) Wykazać, że paraboloidzie hiperbolicznej odpowiadają dwie płaszczyzny asym

ptotyczne.

32) Podać warunek, pod którym dane trzy proste wichrowate będą trzema tworzą-

cemi tego samego układu prostych paraboloidy hiperbolicznej.

/p2    «2    4<2'

33) Wykazać, że punkta paraboloidy hiperbolicznej: ^ — ^r ——, Przez które przechodzą dwie tworzące do siebie prostopadłe leżą na płaszczyźnie równoległej do płaszczy-

zny XOY w odstępie równym’

b²- a²

34) Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch linii prostej, któraby zawsze przecinała linię prostą: xĄ-y = 0, z — 0. pod kątem prostym i przechodziła przez obwód paraboli: x² = 2pz, y — 0.

85) Wyznaczyć miejsce geometryczne środków cięciw powierzchni : Ax²-\- By²-\-2Cz-\- D—0 równoległych do prostej : —- = -y = —.

36) Wyprowadzić warunek, pod jakim płaszczyzna: Ax-\-ByCz-\-D — 0 jest płaszczyzną styczną powierzchni:

anx²-\-a₂₂y²-\r2aiix-\-^auy-{-2a^z-]rau=0.

37) Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch linii prostej po trzech

prostych :

T (x = 0 J =    fx = my

LA = ’ L3\z=c

równoległych do płaszczyzny XOY.

cijiała dwie

38) Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch prostej, któraby prze-proste: lX    ^ i była równoległą do płaszczyzny:

x cos <x-|-w cos ß+2 cos y = p.

39)    Wyznaczyć miejsce geometryczne punktu, którego odległości od danych dwu prostych wichrowatych byłyby zawsze jednakowe.

40)    Wykazać, że miejsce geometryczne punktu przecięcia się trzech prostych sty-

gę 2    /y 2

cznych do paraboloidy:    -ł-|y — 2z, a do siebie prostopadłych tworzy paraboloida obrotowa : x²-\-y²—2(a²-\-b²)z —    a²b².

41)    Wykazać, że równanie: (az-\-by)² = cx-\-2abzy przedstawia paraboloidę elliptyczną.

42)    Wykazać, że równanie: 4z²—5y²-j-8z—20yĄ2x—0 przedstawia paraboloidę hiper-boliczną.

43)    Wykazać, że równanie : x²Ą y²-\-z²—2xy — 8 przedstawia walec elliptyczny.

44)    Wykazać, że równanie: z²—6y—8a; = 0 przedstawia walec paraboliczny.

45)    Wyznaczyć środek krzywej przekroju powierzchni: ax²Arby²-\-2cx-\-2dy-\-2ez-\-j — 0 płaszczyzną: AxĄ-By-\-CzĄ-D — 0.

46) Jeżeli dwa odcinki w przestrzeni względem siebie wichrowate podzielimy na równe części, dowieść, że proste łączące odpowiednie punkta będą tworzącemi paraboloidy hiper-bolicznej.

KI |KI

H I «

47) Wykazać, że tworząca paraboloidy hiperbolicznej :

— ~ =. 2z przechodząca

przez jej wierzchołek jest tą tworzącą układu, na której tworzące drugiego układu wyznaczają najmniejsze odcinki.

48) Wykazać, że równanie: 4r²—2y²—12z²-\-12yz-\-Ąxy-\-Ą.x-\-2y-\-3z — 0 przedstawia paraboloidę hiperboliczną i wyznaczyć oba układy jej prostych tworzących.

49) Wyznaczyć kąt a, jaki tworzą dwie tworzące przechodzące przez punkt: P(^, 0, Ç)

paraboloidy hiperbolicznej

x² y²

‘ ä² “ b²

= 2 z.

x² y²

50) Wykazać, że punkta paraboloidy :    = 2z, przez które przechodzą tworzące

do siebie prostopadłe leżą na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny XO Y w odległości : b²—a²

4) îi ₊ Ç_,_ï=0.

a b

⁶⁾ =

35) Aax-\-Bby-\-Cc — 0.

Rozwiązania XLIX.

11) A²a - B²b == C²(b—a).

36) ali(Can—Aany²-\-aM(Cali—aua3i)² = 2ananc(“~^—aiiDy 37) (a—c)x(z—b)=(b—c)y(z—a). 38) a;(2a)cos a-j-y (z—a)cos ß-j-(z²—a²)cos y — 0* 39) Paraboloida hiperboliczną.

45) a^+c

y—b= —

34) x²—y² = 2pz.

48) 2x-\-y-\-l-{-(y—2z)\/3 = X,

Ax+By+Cz+D = 0.

^x-\-y-\-l—(y—2z)\/3 = y(l—3z), 2xĄ-y-\-1+0 -2z)\/3 = p(l—3z), 2x-\-y-\-l-{y—2z)\Z^ —

»H i d.

49) cos a

a²—b²—2 z

a2 ,y2y₂r

Literatura. Matematyka kurs I podług wykładów Dra Placyda Dziwińskiego w ck. szkole politechnicznej we Lwowie w roku naukowym 1886. Część IT. B. Geometrya analityczna w przestrzeni. We Lwowie. Autografia nakładem słuchaczy matematyki, 1886. I Todhunter. Examples of analytical geometry of three dimensions. London 1878.

lematy do rozprawek naukowych.

1.    Znamiona i własności paraboloidy elliptycznej.

2.    Znamiona i własności paraboloidy hiperbolicznej.

3.    Znamiona i własności powierzchni walcowych drugiego rzędu.

Wykład h.

Ogniska i kierownice powierzchni drugiego rzędu i powierzchnie spółogniskowe.

1. Równanie kali. Określając kulę jako miejsce geometryczne punktów (z, y, z), których odległość od pewnego stałego punktu C{f, «7, £), zwanego środkiem kuli, jest stałą r, otrzymujemy ogólne równanie kuli w postaci :

(1)

(*—i)² + (y—V)²+0—£)'²=²

czyli w postaci rozwiniętej :

(2)

#²+^²+#²+2aa; +2fo/ + 2c0-ł-c?=O, gdy położymy: a= — f, b=—rj, c=—£, d=i² + q²+ £²— r².

Ogólne równanie kuli jest więc szczególną postacią ogólnego równania stopnia drugiego, kształtu :

aMaj² + a₂22/² + «33^² + 2al2;r2/+2ft13^ + 2a23^ + 2ai4a; + 2a24^ + 2a34^+a44⁼0,

w ktorem .    — w₂₂ “^33,    2 ⁼ 3 ~^23⁼ 0-

Jeżeli początek układu przyjmiemy na powierzchni kuli, wtedy ogólne równanie kuli możemy sprowadzić do postaci:

(3)

x²+y²+z²—2(Ax+By+ Cz)=0,

a jeżeli początek układu przyjmiemy w środku kuli otrzymujemy równanie najprostsze kuli w postaci:

x2jcy²-\-z²=r².

zera

2. Potęga punktu względem kuli. Jeżeli x, y, z przedstawiają spółrzędne dowolnego punktu M w przestrzeni, natenczas prawa strona równania kuli sprowadzonego do w postaci:

(5)

(*-5)²+(2/-r))²+(*-9²-r* = 0, przedstawia kwadrat odległości tego punktu od środka kuli C(i|, rj, Ç) zmniejszony o kwadrat promienia. .Różnica ta jest widocznie równa kwadratowi długości stycznej Ml wykreślonej do kuli z punktu M(x, y, z).

Prawa strona równania kuli kształtu (5) przedstawia więc dla każdego punktu M(x, y, z) przestrzeni kwadrat długości stycznej wyprowadzonej z tego punktu M do kuli, zwany częstokroć potęgą punktu M względem kuli. Potęga punktu położonego zewnątrz kuli jest dodatnią, potęga punktu wewnętrznego ujemną, a potęga punktu na kuli jest ze względu na tę kulę zerem.

3. Ilość kul w przestrzeni. Ogólne równanie kuli zawiera cztery dowolne parametry, potrzeba zatem czterech warunków geometrycznych, z którychby każdy prowadził do jednego równania między tymi parametrami, ażeby kula była zupełnie wyznaczoną.

Istnieje więc co⁴ kul w przestrzeni, co³ kul o stałym promieniu, a go¹ kul o stałym środku. Cztery dane punkta: A(xt, yx, «,), B(xi} y%, z₂), C(x₃, y₃, z.5), D(xi, y₄, 2₄) wyznaczają zupełnie kulę przez nie przechodzącą. Równanie kuli, przechodzącej przez te punkta możemy, opierając się na równaniu (2), przedstawić w postaci wyznacznika piątego rzędu:

x²+y'²+'A x, y, z, 1 x\+y\+s\, *i, yu z,, 1

= 0.

(6)

*²2-f*/²2+2²2> *2» 2/2) «2» 1

'^-H/^+^S) æ3) 2/3) *3; 1 a;24+2/²4+z24) *4i 2/4) «4) 1 4. Układ dwóch kul. Weźmy pod uwagę dwie kule, jedną o środku (7₁(^₁, rti, Ç,) i pi*o-mieniu ru drugą o środku C₂(;₂, r)₂, Ç₂) i promieniu r₂, natenczas otrzymujemy równania,

^i = (*-5i)²+(2/-^!i)²+(«-Çi)²-^²₁ = 0, K^ix-W+iy-^y+tz-W- r*a= 0.

Odejmując od siebie te równania, otrzymujemy równanie pierwszego stopnia kształtu:

(7)

JKi-Ą=:0,

czyli :

(?2 — 5l )*+(*)! —■»h )2/+(^2 — )*■

^2+^2+ę²2-^²i-^i-r>

= 0,

(70

które przedstawia płaszczyznę, zawierającą punkta wspólne obu kulom.

Płaszczyzna ta zawiera też punkta, które mają jednakowe potęgi względem obu kul danych i nazywa się płaszczyzną pierwiastną tych dwu kul (Por. Tom I. Wykład XIII, art. 10. str. 117).

Prosta łącząca środki tych kul ma równanie:

y—_ 2—

h-h ⁼

(8)

*)2—'"Il

jest zatem prostopadłą do płaszczyzny pierwiastnej tychże kul.

5. Układ trzech kul. Trzy dane kule Kx= 0, K₂=0, Ka= 0 prowadzą do trzech płaszczyzn pierwiastnych o równaniach :

(9)

—ür₂=0, X₂-X₃=0, Kz —Kx = 0.

Płaszczyzny te przecinają się podług jednej prostej o równaniach:

— K%= KZ)

która jest miejscem geometrycznem punktów, mających tę sarnę potęgę względem trzech kul danych i nazywa się osią pierwiastną tychże ti*zech kul. Oś ta jest prostopadłą do płaszczyzn środków tych kul i zawiera punkta, z których wypi’owadzone styczne do kul mają jednakową długość.

6.    Układ czterech kul. Cztery dane kule Kx — 0, K₂= 0, K₃= 0, Kk— 0 prowadzą do czterech osi pierwiastnych przecinających się w jednym punkcie:

Kx= K₃=K₃=Kx,

zwanym środkiem pierwiastnym czterech kul danych. Punkt ten ma tę samą potęgę względem każdej z tych kul, t. z. styczne do kul z niego wyprowadzone są wszystkie sobie równe. Jest on zatem środkiem kuli zawierającej wszystkie punkta, w których styczne dotykają się tych czterech kul.

7.    Równanie kola w przestrzeni. Przekrój kuli dowolną płaszczyzną, przechodzącą przez środek tej kuli wyznacza koło o promieniu równym promieniowi tej kuli. Jeżeli zatem C(£, 77, £) jest środkiem, a r promieniem kuli, natenczas koło o środku C(£, 77, £j i promieniu r wyznacza się dwoma równaniami kształtu:

(x—|)²+(y—77)²+(£—£)²=r², A{x-Ç)+B{y—ri)+C^—Ç)=0.    (12)

(10)

(U)

Równania te mają sześć parametrów dowolnych £, 77, £, r,

cechujących położenie i wielkość koła. Istnieje zatem w ogólności oo⁶ kół w przestrzeni trójwymiarowej.

Jeżeli początek układu przyjmiemy w środku kuli, a więc £=77= £=0, tedy równania koła przyjmą kształt:

(13)

i przedstawiają przy zmiennych parametrach r, —, —

w ogóle oo³ kół

G G

współśrodkowych o środku leżącym w początku układu.

8. Ogniska i kierownice danej powierzchni rzędu drugiego. Jeżeli po wierzchnia drugiego rzędu :

aux² + a₂₂y² + a^z²-\-2aiixy + 2ai3xz-\-2a^yzĄ-2ailix-]-2a2liy + 2auz + a!l!l=0 (14) da się przedstawić w postaci:

(x— a)² + (y—ß)² + (e— y) ²-f (Ax + By + CzĄ-D) (A‘x+B‘y + C‘z -f D')=0, (15) natenczas nazywamy punkt o spółrzędnych a, ß, y ogniskiem, a prostą określoną równaniami:

Ax-\- By-\- Cz + /)=0, A'x + B‘y + C'z + D‘=0,

o spółczynnikach rzeczywistych lub urojonych odpowiednią kierownicą danej powierzchni.

Płaszczyzny: AxĄ-By-\- Cz-\- Z)=0, A‘x + B‘y-]- C‘z + D‘ =0 przedstawiają tedy płaszczyzny równoległe do przekrojów kołowych danej powierzchni. Jeżeli one są urojone, wtedy możemy zastąpić iloczyn:

(Ax+By A Cz+D) (A'x + B‘y-\- C‘zĄ-D‘) przez sumę kwadratów, a więc równanie (15) przedstawić w postaci: (x—a)²-\-(y — ß)2jt-(z—y)²=(Lx + My-\-Nz-\-P)²-lr(Llx-\-M‘y-\-N,z+P/)².    (16)

9. Ogniska w powierzchniach środkowych drugiego rzędu. Weźmy pod uwagę powierzchnię środkową:

/V» 2    2

»

*²

c²

d--s⁻ —!•

Jeżeliby ta powierzchnia miała ognisko (a, ß, y), to jej równanie po-winnoby się sprowadzić do postaci :

(x-a)²+(y-ß)² + (z yy=(Ax+By+Cz+D)(A‘x+B‘y+C'z + I)‘).

Ponieważ płaszczyzny kołowe powierzchni środkowej są równoległe do jednej z osi powierzchni, przeto możemy iloczyn:

(Ax+By+ Cz+D) (A‘x + B'y+ C'z + D‘)

zastąpić przez jedną z sum:

A(x — i)² + B(y~fj)\ A(x-£)²+ C(z — £)², B(y - v;)²+ C(z—£)²,

otrzymujemy tedy, przyjmując przekroje kołowe równoległe do osi z-ów, równanie :

(x — a)² + (y—/?)² + (s—y)²=A(x—£)²+ B(y—rj)², które miałoby przedstawiać tę samą powierzchnię, co równanie :

(17)

(18)

Przedewszystkiem otrzymujemy w tym celu z powodu, że środek powierzchni jest początkiem układu, warunki:

a=A£, ß=Bri, y=0,

wobec tego równanie (17) przyjmuje kształt :

a²-f

(1—A) ic² + (l—B)y²-\-z²

- 80Ö -który, porównany z (18) prowadzi do równości:

i_:?/?2

rt²(l—4)=6²(l-2?)=6-²

l—A ₂

-7— «M

z których otrzymujemy:

n2

4=—

&²-c²

’ ^ 6²

— C²

i-^=4

a² ’

1—7?=

c²

6²

^²-a2_c2“2 + ₆2_c2^²

zatem na wyznaczenie ogniska (a, /?, y) równania :

c²

(19)

y=0

05²

b²—c²

Ogniska powierzchni środkowej drugiego rzędu składają się więc z trzech krzywych drugiego rzędu, zwanych k r z y we mi ogniskowemi, położonych w trzech płaszczyznach głównych tej powierzchni, a określonych równaniami :

#=o,

a²— c²

b²—c²

i; y=o,

z²

a2_J2 + C2_&2

l;

æ=0,

0²

(20)

1.

' ft²—a²

Punkta kołowe powierzchni należą do krzywych ogniskowych, spółrzę-dne punktów kołowych na XOZ, oznaczone równaniami :

c²—a²

y=o,

#=-4-a

V5

-ó²

—C’²

b²—c2 a²—c² ’

a:²

*²

czynią mianowicie zadość równaniu krzywej ogniskowej :    ^ +

leżącej na płaszczyźnie XOZ.

rfi 2    <2*2

10. Wnioski. Jeżeli daną powierzchnią środkową jest ellipsoida:    -f-    -j- ^ = 1,

gdzie a>ó>c, natenczas, na mocy równań (20) jedną krzywą ogniskową jest ellipsa na płaszczyźnie XOY (fig. 208), drugą hiperbola na płaszczyźnie XOZ (fig. 209), trzecią ellipsa urojona na płaszczyźnie YOZ (fig. 210).

c²—b²

r;-

pt- -*

i*

i;

»->15 Y

ii

Lk

W—}

Fig. 208.

Fig. 209.

Fig. 210.

=1,

Jeżeli daną powierzchnią Środkową jest hiperboloida o jednej powłoce : przyczem a > è, natenczas równania krzywych ogniskowych przedstawiają się w postaci

^ = 0,

æ²

a²-l-(!²

ż»²+c2    1 ’

y = o,

a?²

a²—6²

6²+c2    1 ’

x = 0,

</²

o 2—a²    c²-f-a²

jedna z nich jest ellipsą na płaszczyźnie XOY (fig. 211), druga hiperbolą na XOZ (fig. 212) trzecia ellipsą urojoną na YOZ (fig. 213).

Zc’

lii

d\

'’X AJ-for

li

li-Y

li

<:

Fig. 211.

Fig. 212.

Fig. 213.

Jeżeli daną powierzchnią środkową jest hiperboloida o dwu powłokach:

x² y² z2 a² b² c²

— 1, przyczem a² > i² > e², wtedy krzywe ogniskowe mają równania:

« = 0,

a:²

</²

a²+c²

ż>²-c²

OL

kl

y = o,

æ²

s²

o²+6²

è²—c²

= 1,

.y²

-i;

"I

-55

L—

a²-\-b²    a²-f-c²

v    ^ pierwsza z nich jest hiperbolą na XOY(fig. 214),

druga ellipsą na X0Z (fig. 215), trzecia ellipsą urojoną.

Fig. 214.

Fig. 215.

z = 0,

V²

„2_|_C2 + ₆2+c2 °»'

y =o,

Jeżeli daną powierzchnią środkową jest sto-

/p 2    y*l    2*2

^2 + §s    Przyczem «²>&²>c², wte

dy krzywe ogniskowe mają równania:

żek:

X²

z²

2/²

z²

= 0,

&²+c2    0;

a²-f-c²

nich jest jedna tylko rzeczywistą, złożoną z pary prostych leżących na płaszczy-

a²—b²

a²—b‘l

a z źnie XOZ

11. Kierownice powierzchni środkowych. Przekroje płaszczyzn rzeczywistych lub urojonych, określonych równaniami:

A(x-Ç)² + B(y-V)²=Q,    0, 5(y-^)²4- <7(s-D²=0, (21)

wyznaczają odpowiednie kierownice powierzchni środkowych. Spółrzędne punktów, w których kierownice przecinają płaszczyzny główne powierzchni można wyrazić w funkcyach spółrzędnych a, ß, y odpowiedniego ogniska. Otrzymujemy mianowicie na mocy relacyj art. 9 następujące równania:

v hi_cï i y .    ci_hi.

*=0, l=—2

a²

a²«

—c²’

>xrr

a²-ó²’

x=0.

b²ß

^ b²-a²’

■i' C

c²y

c²—a²’

(22i

Z równań tych wynika, że :

a²—c²

a²

y cï²—c²

Vó²-c²’

zatem równanie:

a² c²

a⁴

ICrr

²-b

b²—c² 2 ~bi~v

(28)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I ïom II.

przedstawiające miejsce geometryczne śladów, jakie kierownice powierzchni wyznaczają na płaszczyźnie XOY, w postaci krzywej rzędu drugiego ; kierownice tworzą zatem walec, którego podstawą jest krzywa rzędu drugiego, powyżej otrzymana. Walec taki nazywamy walcem kierowniczym. Każdej krzywej ogniskowej danej powierzchni drugiego rzędu odpowiada tedy oddzielny walec kierowniczy.

Równania trzech takich walców mają kolejno kształty:

o 2_a 2

----y² d--z² = 1

&4    ^ ^ c4 *

Jeden z nich jest w przypadku ellipsoidy a²^>b²^>c² walcem ellipty-cznym, opartym o XOY, drugi walcem urojonym opartym o YOZ, trzeci walcem hiperbolicznym opartym o XOZ.

r^L y^

12. Biegunowa punktu (f, rj) ze względu na krzywą : ^-4-    przekroju

oc ^

z~0, powierzchni: —^ +

Cl

a²—c²

a⁴

~x²Ą

b²-c² _    ,

—Ï⁻*—v²= i ó4 y

b²—a²

c²—b²

c⁴

Z²-\

a²—b²

ak

«²=1. (24)

tsS

= 1 (fig. 216) przedstawia się równaniem:

o"

e"

os

&ß)

vN-

\N zastępując ^ przez ich wartości w spółrzę-Si dnych (a, ß) ogniska pod (22) wyrażone, otrzy-mujemy równanie:

7 1 ł

ax

ßy

b²—c²

(25)

'o

'-o

o'

a²—c²

które przedstawia styczną w punkcie (a, ß) krzywej ogniskowej :

Fig. 216.

X²

a²—c

b²-c²

=1

leżącej na płaszczyźnie XOY.

A zatem: Ślad kierownicy odpowiadającej ognisku (a, ß) jest biegunem stycznej wykreślonej w tym punkcie krzywej ogniskowej ze względu na odpowiedni przekrój powierzchni.

13. Prosta łącząca ognisko (a, ß) ze śladem (£, rj) odpowiedniej kierownicy (fig. 216) ma równanie: %—- — — - ^.

Ę—a rj—ß

Zastępując £, r\ przez ich wartości w spółrzędnych (a, ß) ogniska pod

(22) wyrażone, otrzymujemy równanie:

y-ß

x—a

a²—c²

przedstawiające normalną w punkcie (a, ß) krzywej ogniskowej :

b²—c²

(26)

=1.

cc²

a²—c

b²—c²

Stąd wynika, że prosta łącząca ognisko ze spodkiem odpowiedniej kierownicy jest normalną do krzywej ogniskowej w temże ognisku.

Nietrudno wykazać, że płaszczyzna przesunięta przez ognisko powierzchni i odpowiednią kierownicę, przecina daną powierzchnię podług krzywej, która ma w tym punkcie swe ognisko, a w tej prostej swą kierownicę.

14. Ogniska w powierzchniach bczśrodkowych. Weźmy pod uwagę powierzchnię bezśrodkową, określoną równaniem:

=2*.

(27)

W

a²

Jeżeliby ta powierzchnia miała ognisko (a, ß, y), równanie jej mogłoby się sprowadzić do jednej z postaci:

(x—a):2 + (y—ß)² + [z—y)² = A (x—i)'² + O (z—£)'²,

(«—«)² + (y—/?)² + [fi—i)²=B (y—n)² + ^ {fi— Ç)²* •

Z pierwszego równania otrzymujemy po stosownem uporządkowaniu wyrazów równanie drugiego stopnia w postaci:

(1—A)x² + y²-\- (1—C)z²—2{a — A£)x—2ßy 2(y—-6£)0 + a² + /?²-f y²—    (7£²=0,

² ty²

j- -J- ^2— 2#=0 prowadzi do relacyj:

które porównane z danem równaniem :

(28)

(29)

1_CW0, a-AÇ = 0, 0=0, «2(1— A)=*b*~y-C£, a² + y²=^²+C^:

Z relacyj tych otrzymujemy.

aa²

. a²-b2 A=-2

przeto: a²(l—    6⁴—Si²,»—£»²(£t²—2y), czyli:

(7=1

a²—ó²

^=y-&²,

a²-fy

a²a²

a²-&²

Hy-&²)²,

a²

a²—b²

2y—b²,

a więc na wyznaczenie spółrzędnych (a, ß, y) odpowiedniego ogniska równania :

z-

0=0, a² = (a²— 6²) (2y—b²).

2    y 2

Z tego wynika, że paraboloida elliptyczna: -j + ^ = 2# posiada jedną

krzywą ogniskową określoną równaniami: t    y = 0,    x²=(a²—b²){2z—b²),

■--w które przedstawiają parabolę, leżącą na płaszczyźnie X0Z, zwróconą w dodatnim kierunku osi £-ów, gdy    (fig. 217).

Podobnie znajdziemy z równania (29) warunki: a=0, ß²=(b²—a²)(2y—a²),

Fig. 217.

(30)

Fig. 218.

Qß2    y2

z których wypływa, że paraboloida elliptyczna: —^ -f- ^=2# posiada jeszcze

drugą krzywą ogniskową określoną równaniami:

s=0, :</²=(6²-a²)(20-a²) które przedstawiają parabolę (fig. 218) położoną na płaszczyźnie YOZ, zwróconą w przypadku a^>b w ujemnym kierunku osi #-ów.

Zastępując w powyższych równaniach &² przez —&², otrzymujemy na

(31)

x²

wyznaczenie krzywych ogniskowych paraboloidy hiperbolicznej : -j—^y = 2#,

O; u

równania :

y=o,

x²=(a² + b²)(20 + b²) ; #=0, y²= — (a² + &²)(2^—a²),

(32)

— 804 -

przedstawiając© dwie parabole, jedną na płaszczyźnie XOZ, drugą na płaszczyźnie Y OZ.

15. Kierownice w powierzchniach bezśrodkowych. Przekroje płaszczyzn rzeczywistych lub urojonych określonych równaniami:

A(x-Ç)²+C(z-Ç)²=0, B(y-V)*+C(z-Ç²=0,

CL ^

gdzie na podstawie art. 14: A— —

wiednie kierownice.

Spółrzędne punktów, w których te kierownice przecinają płaszczyzny główne powierzchni możemy wyrazić w funkcyach spółrzędnych a, /?, y odpowiedniego ogniska.

Otrzymujemy mianowicie:

*-°> ê-Â

Uwzględniając równania krzywych ogniskowych, podane w art. 14, otrzymamy równania śladów odpowiednich kierownic w postaciach:

!_0,

kierownice odpowiednie krzywym ogniskowym powierzchni bezśrodkowej : =2# tworzą zatem walce paraboliczne o równaniach :

(a²—b²)x²—2aIiz—a⁴6², (b²—a²)y²~2bliz—a²6⁴,

a?² w2 a2 + 6²

«7=0,

a²—b²

-b²

1) ^ - - Cl> ^

, B==—p—, C— 1 wyznaczają odpo-

æ=-0.

b²ß

a²

£=y-

(33)

p² = <2Ç—a²]

(34)

jako walce kierownicze.

16. Ogniska pępkowe i ogniska modułowe powierzchni. Jeżeli równanie powierzchni drugiego rzędu da się sprowadzić do postaci :

(x—a)²+(y—ß)²-\-(z~y)² = (Ax + By + Cz + D) (A'x+B'y-YC'z + ß0

(35)

w której spółczynniki : A, B, C\ D, A\ BC\ D‘ są rzeczywiste, wówczas pierwsza strona powyższej równości przedstawia kwadrat odległości r dowolnego punktu: P(x, y, z) powierzchni od ogniska: F (a, ß, y), które nazywamy ogniskiem pępkowem tej powierzchni, druga strona podzielona przez :

k=^A² + B²+C².^A'²+B‘²+C‘²

przedstawia iloczyn odległości d i d¹ punktu P(.r, y, z) powierzchni od obu płaszczyzn : Ax \-By-\- Cz+D=0 i A‘x-\-B'y-\- Oz+P' = 0, zwanych płaszczyznami kierowniczemi powierzchni; powyższe równanie sprowadza się więc do postaci :

r² = k.

dd‘

ry* 2

a ’ czyli: dd=Ł

(36)

To znaczy : Kwadrat odległości każdego punktu powierzchni drugiego rzędu od jej ogniska pępkowego pozostaje w stałym stosunku do iloczynu odległości tego punktu od dwu stałych płaszczyzn.

Jeżeli równanie powierzchni drugiego rzędu da się sprowadzić do po

staci :

(x—a)²-\-(y—ß)²+ (z—y)²=(Ax-\-By-\- CzĄ- D) (A'x+B'y+C'z+I)'),

— 805 —

o spółczynnikach urojonych sprzężonych:

+ B=M+M'i, C=N+N'i, D=P+P'i, A‘=L—L'i, B'=M-M'i,    C‘==F-N'i, D'=P-P‘i.

a więc do postaci :

{x-a)²+(y /8)²+(«- y)²=(Lr ■]-My+ Nz +Pj² +(L‘x+M'y + N'z + P)², (37) o spółczynnikach rzeczywistych: L, M, N, P, L', M‘,N',Pj wówczas prawa strona równania przedstawia kwadrat odległości r dowolnego punktu: P(x,y, z) powierzchni od ogniska F (a, ß, y), które nazywamy ogniskiem modułów e m tej powierzchni ; druga strona równości podzielona przez pewien stały czynnik przedstawia kwadrat oddalenia d punktu P(a?, y, z) powierzchni od prostej, określonej równaniami:

Lx -f My + Nz 4- P = 0, L‘x 4- My -f JN'z + P‘=0, zwanej kierownicą modułową, mierzonego równolegle do pewnej płaszczyzny kierowniczej; powyższe równanie sprowadza się więc do postaci:

(88)

r²=k.d², czyli:

To znaczy: Odległość punktu powierzchni drugiego rzędu od jej ogniska modułowego pozostaje w stałym stosunku do jego oddalenia od kierownicy modułowej, mierzonego równolegle do pewnej płaszczyzny kierowniczej.

17. Uwaga o ogniskach pępkowych powierzchni drugiego rzędu. Szukając punktu któryby miał tę własność, że kwadrat jego odległości od pewnego stałe go punktu (o, ß, y pozostawałby w stałym stosunku do iloczynu jego odległości od dwu stałych płaszczyzn: Ax+By±Cz+D = 0, A'x+B'y+C'z+P' = 0,

otrzymamy jako miejsce geometryczne szukanego punktu pewną powierzchnię drugiego rzędu.

Ten stały stosunek nazywamy modułem pępkowym, stały punkt ogniskiem pępkowe m, a dwie stałe płaszczyzny płaszczyznami kierownicze mi pęplcowemi, ich przekrój odpowiednią kierownicą pępkową.

Miejsce geometryczne szukanego punktu zawiera w sobie dziesięć stałych dowolnych, a mianowicie trzy spółrzędne «, ß, y, cechujące położenie przyjętego ogniska, po trzy parametry, cechujące położenie każdej z dwu płaszczyzn kierowniczych i przyjęty stosunek £, a więc o jeden parametr więcej, jak ich potrzeba do wyznaczenia pewnej powierzchni drugiego rzędu.

Dana powierzchnia drugiego rzędu może więc mieć w ogólności nieskończenie wiele ognisk pępkowych, tworzących linię krzywą zwaną pępkową krzywą ogniskową, i nieskończenie Aviele kierownic równoległych, tworzących pępkowy walec kierowniczy, którego ślad na płaszczyźnie głównej powierzchni nazywamy pępkową krzywą kierowniczą.

18. Uwaga o ogniskach powierzchni modułowych drugiego rzędu. Szukając punktu, którego oddalenie od pewnego stałego punktu F(a, ß, y) pozostawałoby w stałym stosunku £ do oddalenia tegoż punktu od pewnej stałej prostej, mierzonego równolegle do stałej pła" szczyzny, otrzymamy jako miejsce geometryczne szukanego punktu pewną pewierzchnię drugiego rzędu.

Ten stały stosunek nazywamy modułem, stały punkt ogniskiem moduł o-wem, stałą prostą nazywamy kie równicą modułową, a stałą płaszczyznę płaszczyzną kierowniczą otrzymanej tej powierzchni.

Miejsce geometryczne szukanego punktu zawiera w sobie znowu dziesięć stałych dowolnych, a mianowicie trzy spółrzędne a, ß, y przyjętego ogniska, cztery parametry przyjętej kierownicy, dwa stosunki kierownicze przyjętej płaszczyzny kierowniczej i przyjęty stosunek e, a więc także o jeden parametr więcej, jak ich potrzeba do wyznaczenia powierzchni rzędu drugiego.

Dana powiei-zchnia drugiego rzędu ma więc w ogólności nieskończenie wiele ognisk modułowych, tworzących pewne linie krzywe, zwane modułowemi krzywemi ognisko wemi i nieskończenie wiele kierownic równoległych tworzących pewną powierzchnię walcową, zwaną modułowym walcem kierowniczym, którego ślad na płaszczyźnie głównej danej powierzchni nazywamy modułową krzywą kierowniczą.

19. Powierzchnie spółogniskowe. Dwie powierzchnie nazywamy s p ó ł-ogniskowemi, jeżeli ich przekroje główne mają wspólne ogniska rzeczywiste lub urojone, innemi słowy, jeżeli przy wspólnym środku mają jednakowe kierunki osi głównych, a kwadraty ich osi różnią się o stałą wielkość.

Niech będą więc równania :

Z²

c²

_! i xl + yl + el₌i

a'² ^ b‘2 1 c'²

równaniami dwu powierzchni spółogniskowych, tedy między ich osiami zachodzą relacye :

a²—a/2=b² b/2=c² — c'²=Z, czyli: a/2=a — Z, b>2=b²—Z, c/2=c²—Z.

Równanie :

z²

(38)

c²—Z

przedstawia zatem przy dowolnym parametrze Z wszystkie powierzchnie spół-

^ 2

ogniskowe z powierzchnią :    Ą- ~

a² —

b²-Z

z²

»1.

+ T²

20. Powierzchnie spółogniskowe z ellipsoidą, przechodzące przez dany pnnkt przestrzeni. Niech będzie dany punkt P(£, rj, f) i dana ellipsoida: x² ij2 ai' ' b²

są równaniem :

*²

+ — = 1. Wszystkie powierzchnie

z nią spółogniskowe określone

s²

z²

a²—.

Jeżeliby te powierzchnie miały przechodzić przez punkt P(£, rj, wówczas na wyznaczenie parametru Z otrzymamy równanie:

b²~Z

■< ?

Tir

u²

trt

(39)

czyli :

{Z- a²) (Z- b²) {Z c²) + Ź²{Z-b²)(Z-c²) +

-X

+ fj²(Z—c²) (Z—a²) +£² (Z—a²) (Z — b²)=0,

Otrzymane równanie trzeciego stopnia

ze względu na Z dostarcza trzech pierwiastków rzeczywistych. Jeżeli bowiem przyjmiemy, że a²^>ó²>>c², natenczas, kładąc w wielomianie równania na Z, kolejno a², b², c², —go , otrzymamy szereg wartości tego wielomianu o znakach +

Fig. 219.

z czego wynika, że istnieją na Z trzy wartości rzeczywiste Zl} Z₂, Z₃, przyczem a²^> Z{^> b², b²^> Z₂^> c², c²>.J;?>» — go, wobec tego różnice a²— Z, b² —Z, c²—Z będą miały, gdy Z=Z znaki +-, —, —, gdy Z=Z₂ znaki +, +, —, gdy Z=Z₃ znaki +, +, +.

Przez dany punkt przestrzeni przechodzą zatem trzy powierzchnie spół-ogniskowe z daną ellipsoidą, z tych jest jedna ellipsoidą, jedna hiperboloidą o jednej powłoce, a jedna hiperboloidą o dwóch powłokach (fig. 219).

21. Normalne do trzech powierzchni spólogniskowyeh, przechodzących przez dany punkt przestrzeni. Niech będzie P(|, 77, £) punktem ellipsoidy :

2

yd—2~⁼1> wspólnym z powierzchnią spółogniskową : c

X ^ b²-X

z²

a²—

natenczas otrzymujemy równania warunkowe:

il ₊ 5i ₊ i!_!    __

a² ' b² ~ c² ’ a²_A ~ b²—X ' c²_X

które odjęte od siebie dają tożsamość:

trt

I²

77²

■f .

(40)

0.

c²{c²-X)

Oznaczając przez X, fi, v kierunek normalnej w punkcie P(£, 77, £) elli-

a²(a²—X)

b²{b²—X)

a;²

©■‘i'sï

*²

psoidy:    -f j- + -^ = l, a Przez P, v' kierunek normalnej w punkcie

sjß 2    2

P(£, «?, £) powierzchni spółogniskowej :    ^ + —₂—^ +

szereg stosunków :

cos ^ COS [A,

ź ~ y

c²-,*

1, otrzymamy

COS V

COS A' COS /i' cos v‘

lui

77

•r

c²

a² — X

b²-X

c²-^

z których wynika, że :

—r = Jc cos i

a²

(rn

—5—S=P cos X‘, a¹—X

^7    b ,

~ = /C COS fi,    —1C COS T',

P cos (a\

77

~ = p COS v‘.

Wobec tego równanie (40) sprowadza się do postaci:

cos X cos X' -1- cos fi cos fi' + cos v cos v‘ = 0,

co dowodzi, że normalne wykreślone w punkcie wspólnym trzem powierzchniom wspólogniskowym tworzą układ prostych do siebie prostopadłych.

22. Powierzchnie spółoguiskowe z daną powierzchnią bczśrodkową.

Niech będzie daną paraboloida elliptyczńa, określona równaniem:

b²-X

c² -

—2#=0.

(41)

natenczas równanie kształtu :

_, _l!_

a²Ą-X b²-\-X

o dowolnym parametrze X przedstawia układ powierzchni spółogniskowych z daną paraboloidą.

Przekroje główne tych powierzchni określone równaniami :

3=0, y²=2(b²+X)z + X(b²+X)}

2z — X=0.

(42)

(43)

y=0, x²=2 (a²-±-À) z-\-X (a²-\-A),

(44)

mają te same ogniska, co przekroje główne danej paraboloidy.

Pierwszy przekrój jest bowiem parabolą, która ma swój wierzchołek

X b²

— — jest równa takiejże odległości odpowiedniego prze-

A    2i

na osi OZ w odległości — od początku układu a odległość jej ogniska od początku:

kroju głównego paraboloid}^ t. j. paraboli y² = 2b²x. To samo tyczy się drugiego przekroju głównego, określonego równaniem (44).

Ogniska przekrojów głównych powierzchni, określonych równaniem (42) przystają więc do ognisk głównych przekrojów danej paraboloidy.

Powierzchnie spółogniskowe są, jak się okazuje z równania (42), zawsze paraboloidami elliptycznemi z wyjątkiem przypadku, gdy parametr X otrzymuje wartości leżące między a² i b².

gę 2    /y 2

Dane powierzchnie spółogniskowe z paraboloidą: —^ + ^-=2#, przecho-

CL 0

dzące przez dany punkt P(£, rj, Ç) przestrzeni określone równaniami:

x²

y²

a²+Xi b²-\-X

-2z—X₁ =0,

x²

a²-\-X₂ n b²-\-X2 mają w tym punkcie płaszczyzny styczne o równaniach:

2z—X₂ =0,

yy

xî

yn

&2+/L

a²+X ₂ ⁺ b² + X₂

a2jrXi

Płaszczyzny te są widocznie do siebie prostopadłe, gdyż sprawdza się tu warunek prostopadłości :

<ffr

t]²

(a² + X{) (u²+X₂) ^ {b² + X\){b²+ X₂)

f 1=0.

Skoro bowiem :

£2

rj²

—---b

a²+Xl b²-{-Xi

tnrp

r\²

a²-\-X₂

b²Ą-X₂

to odejmując od siebie te dwa równania, otrzymujemy:

=2£-f X₂,

_ (^2~^l)^²    _2

(a² + Xl)(a² + X₂) ^ (b² + Xt) (b²Ą-X₂)    1    2’

zatem tożsamość :

'Ser

r\²

+ 1=0.

(45)

(a²+Xi) (a² + X₂) ^ (b² + Xi)(b²+X₂)

Mamy zatem twierdzenie: Powierzchnie spółogniskowe z powierzchnią bez-środkową drugiego rzędu przechodzące przez dany punkt przestrzeni przecinają się pod kątem prostym.

- 809 —

Ćwiczenia L.

1)    Wykazać, że trzy równania: x — a cos X, y — b cos p., z = c cos v przedstawiają ellipsoidę trójosiową i podać znaczenie kierunku X, u., v.

2)    Wykazać, że odległość p płaszczyzny stycznej do ellipsoidy:

*/²

b²

Ci b*

NS

od środka tej powierzchni przedstawia się wzorem : p² = a² cos² a-|-ó² cos ß-j-c² cos² y, gdzie kąty a, ß, y określają kierunek pionu płaszczyzny stycznej.

3)    Wykazać, że suma kwadratów trzech prostopadłych wykreślonych ze środka

x² y² z²

ellipsoidy: —j- -j-    + -₂- =1 do trzech płaszczyzn stycznych do tejże ellipsoidy a do sie

bie prostopadłych jest stałą, równą a²-\-b²Ą-c².

4)    Wykazać, że z każdego punktu przestrzeni można wykreślić sześć prostych normalnych do ellipsoidy, z których dwie są zawsze rzeczywiste, a wszystkie te normalne leżą na jednym stożku rzędu drugiego.

5)    Wykazać, że przekroje płaskie hiperboloidy o jednej powłoce i jej stożka asymptotycznego są krzywe podobne i współśrodkowe.

6)    Okazać, że przez dany punkt przestrzeni można wykreślić w ogólności sześć normalnych do powierzchni hiperboloidy o jednej powłoce i że te normalne leżą na jednym stożku drugiego rzędu.

7)    Wykazać, że suma kwadratów trzech prostopadłych wykreślonych ze środka

2*2    ^2    g2

hiperboloidy o dwu powłokach:    — , =1 na trzy płaszczyzny styczne do siebie

prostopadłe jest ilością stałą, równą: a²—b²—c².

8)    Wykazać, że równanie hiperboloidy o dwu powłokach

z²

x² y²

: aï-'bï-^

sione do układu średnic sprzężonych można zawsze przedstawić w postaci :

2j2    |/2    £-2

—₂ — —j — -/a = 1, przyczem: a‘²—b/2—c‘²=-a²—b²—c².

9)    Wykazać, że miejscem geometrycznem wierzchołków kątów bryłowych prosto-

/|»2    y2    gl    _

kątnych, stycznych do ellipsoidy:    =l,jest kula o promieniu: r = y a^Ą-b^Ą-c¹.

10)    Okazać, że miejscem geometrycznem wierzchołka kąta bryłowego prostokątnego opisanego na hiperboloidzie o jednej powłoce:

x²-\-y²-\-z² — a²-\-b²—c².

11)    Wykazać, że wierzchołki kątów bryłowych prostokątnych opisanych na hiper-

2j2    j/2    2*2

koloidzie o dwu powłokach: ^    — 1 mieszczą się na kuli: x²-\-y²-\-z² = a²—b²—c².

12)    Wyprowadzić ogólne równanie kuli i podać warunki, pod którymi ogólne równanie drugiego stopnia:

/ = «u«²+a,s«/²+«33²²+²«i2aj2/ + 2a₁₃a:2:-j-2a23^-t-2öf₁₄*-f2a₂,y-j-2a3₄24 or₄₄ =0

= 1, odnie-

x²

Ci b^

= 1 jest kula:

jest równaniem kuli.

13) Wykazać, że równanie kuli przechodzącej przez początek układu można zawsze sprowadzić do postaci :

x²-\-y²-\-z²—2(ax-\-by-\-cz) — 0.

14) Wyprowadzić równanie kuli o promieniu r, stycznej do trzech płaszczyzn spół-rzędnych XOY, XOZ, YOZ.

15)    Wykazać, że wszelka powierzchnia drugiego rzędu, która przechodzi przez przekroje powierzchni: f — ailx²-\-...-\-aii =0 z płaszczyznami: A — 0, B = 0 ma równanie: f—lAB = 0,

16)    Wykazać, że w punktach przecięcia prostej: .4 — 0, B = 0 z powierzchnią f=0 mają powierzchnie o równaniu:/—XAB = 0 te same płaszczyzny styczne.

17)    Dwie powierzchnie nazywamy podobnemi i podobnie ułożonemi, jeżeli promienie punktów jednej powierzchni wychodzące z punktu 0, pozostają w stałym stosunku do odpo-

— 810 —

wiednich do promieni punktów drugiej powierzchni wychodzących z innego punktu 0' ; okazać, że powierzchnie drugiego rzędu :

/— 0 i /—l(Ax-\-By+Cz+D) = 0

są powierzchniami podobnemi i podobnie ułoźonemi.

18) Wykazać, że dwie podobne i podobnie ułożone powierzchnie drugiego rzędu przecinają się podług jednej krzywej płaskiej, a druga płaska krzywa przecięcia leży w nieskończoności.

19) Wykazać, że trzy podobne i podobnie ułożone powierzchnie drugiego rzędu przecinają się podług krzywych płaskich, których płaszczyzny przechodzą przez tę samą linii prostą.

20)    Wykazać, że wszystkie kule są podobnemi i podobnie ułoźonemi powierzchniam drugiego rzędu, które się przecinają podług koła urojonego leżącego w nieskończoności.

21)    Podać równania wszystkich powierzchni drugiego rzędu, które przechodzą przez przekrój kuli: K = (x——ß)²-j-(«:—y)² = 0 z powierzchnią drugiego rzędu/ = 0.

22)    Wykazać, że kula przcinająca powierzchnię drugiego rzędu podług koła przecina ją jeszcze podług drugiego koła.

28) Wykazać, że równanie: / — X (Ax-\-By-\- Cz-\-D)² == 0 przedstawia wszystkie powierzchnie, które są styczne do powierzchni ^=0 wzdłuż krzywej przekroju powierzchni/= 0 z płaszczyzną Ax-\-By-f CzĄ-D — 0.

24) Wykazać, że powierzchnia :

a{Axx-]rBiy-\-Cxz-\-DiyĄ-b{AixĄ-Biy-\-Ciz-]rD),1Ą-c{Aix-\-Bzy-]rCiz-\-DiyiĄ-

-H(d₄*+P₄H-0iH-A)² = 0,

przedstawia powiorzchnię drugiego rzędu, dla której każda z czterech płaszczyzn:

AjX-{-Bit/-\- CizĄ-Di = 0, (i= 1, 2, 3, 4)

jest biegunem punktu, w którym trzy inne płazczyzny się przecinają: powiadamy wtedy, że te cztery płaszczyzny tworzą czworościan sprzężony ze sobą ze względu na tę powierzchnię.

2B) Wykazać, że w powierzchni, drugiego rzędu trzy sprzężone płaszczyzny środkowe i płaszczyzna w nieskończoności tworzą czworościan ze względu na tę powierzchnię ze sobą sprzężony.

26) Jakie znaczenie geometryczne ma równanie:

(aj_«,*+(y_ß)S-j_(a,_Y)*_rs = (.Ax-\-By-\-Cz+D) (A'x+B‘y+C'z+D').

27) Okazać, że przekroje kołowe powierzchni drugiego rzędu wyznaczonej równaniami: (x-lll)*+(Jf-.p)i+(z—y)i-.risss(Aa:+By+Ce+D) (A'x+B'y+Cz+D'),

określone są płaszczyznami :

Ax-\-By-\-Cz-\-D = 0, A'x^-B'y-^ CzĄ-D' = 0.

28) Wykazać, że przekrój płaszczyzn:

Ax-\-By-\- CzĄ-D = 0, A‘x+B'y+C'z+D' = 0, wyznacza oś powierzchni drugiego rzędu określonej równaniem :

(æ_a)2₊₍'y_p)24.(2_ï)2_ r2 ₌ ( AxA-By-\- Cz+D) (A*z+B'y+ Cz+D').

29) Wykazać, że ognisko powierzchni drugiego rzędu jest nieskończenie małą kulą, która ma z powierzchnię drugiego rzędu podwójną styczność w odpowiednich punktach

kierownicy.

30) Wykazać, że płaszczyzna przechodząca przez ognisko powierzchni drugiego rzędu i odpowiednią kierownicę przecina powierzchnię, podług krzywej o tym ognisku i tej kie

rownicy.

31) Wykazać, że płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny krzywej ogniskowej przecina powierzchnię drugiego rzędu podług krzywej, której ognisko leży na krzywej ogniskowej.

32)    Dowieść, że krzywa ogniskowa powierzchni drugiego rzędu przechodzi przez punkta kołowe powierzchni.

33)    Wykazać, że kwadrat odległości każdego punktu powierzchni drugiego rzędu od ogniska pępkowego pozostaje w stałym stosunku do odległości tego punktu od dwu płaszczyzn przechodzących przez kierownicę, a równoległych do płaszczyzn kołowych po.-wierzchni.

— 811 -

34) Wykazać, że odległość punktu powierzchni drugiego rzędu od ogniska modułowego pozostaje w stałym stosunku do odległości od odpowiedniej kierownicy, jeżeli ta odległość mierzoną jest równolegle do jednej z płaszczyzn kołowych powierzchni. Wyprowadzić równania powierzchni spółogniskowych z powierzchniami:

86) ïl+*4_î!_l

' a² ^ fe² c² ’

X²

sb>S+S+5“¹’

tO\ tsS

cc

S'

tsS| ^

</²

= 1.    43) y² = 2px, 44)

a²

42) îî _ £

; a² 6²

45) Wyznaczyć krzywe ogniskowe powierzchni współogniskowych o równaniu:

y.

z²

a²+X Ô²+X‘¹' c²+X

1.

46)    Wykazać, że przez dany punkt można przeprowadzić trzy powierzchnie spółogni-skowe z daną, powierzchnią drugiego rzędu.

47)    Wykazać, że dwie powierzchnie spółogniskowe przecinają się zawsze pod kątem

prostym.

48)    Okazać, że dwie płaszczyzny równoległe styczne do dwu powierzchni spółogni-skowych mają tę własność, że różnica kwadratów ich odległości od środka powierzchni jest wielkością stałą.

49)    Wykazać, że płaszczyzny styczne do ellipsoidy, a równoległe do płaszczyzn stycznych stożka asymptotycznego hiperboloidy z daną ellipsoidą spółogniskowej mają jednakową odległość od środka ellipsoidy.

50)    Wykazać, że przekrój ellipsoidy płaszczyzną styczną do stożka asymptotycznego hiperboloidy z nią spółogniskowej ma stałą powierzchnię.

51)    Dowieść, że normalne powierzchni współogniskowych przechodzących przez jeden punkt, są do siebie prostopadłe.

52)    Jeżeli trzy powierzchnie współogniskowe przechodzą przez dany punkt P, okazać, że przekrój jednej z tych powierzchni płaszczyzną równoległą do jej płaszczyzny stycznej w punkcie P ma osie równoległe do normalnych wykreślonych w punkcie P do pozostałych dwu powierzchni współogniskowych.

53)    Wykazać, że osie stożka stycznego do danej powierzchni drugiego rzędu są normalne do powierzchni z nią współogniskowych, a przechodzących przez wierzchołek tegoż stożka.

54)    Wykazać, że miejscem geometrycznem wierzchołków stożków obrotowych, opierających się na danej elllipsie jest hiperbola leżąca na płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny danej ellipsy.

55)    Dowieść, że proste normalne do układu powierzchni współogniskowych wychodzące z jednego punktu tworzą stożek rzędu drugiego.

56)    Przez daną prostą poprowadzono pęk płaszczyzn stycznych do układu powierzchni współogniskowych, dowieść, że normalne w punktach styczności wykreślone tworzą paraboloidę hiperboliczną.

57)    Znaleźć miejsce geometryczne biegunów danej płaszczyzny: Ax-\-By-\-CzĄ-D = 0 ze względu na układ powierzchni spółogniskowych, określonych równaniem:

x²

y'¹

z²

= i.

«•²-l-À ¹ &M-x ^ c²+x

58)    Wykazać, że ellipsa ogniskowa ellipsoidy zawiera ogniska modułowe, a jej hiperbola ogniskowa zawiera ogniska pępkowe powierzchni.

59)    Wykazać, że ellipsa ogniskowa hiperboloidy o jednej powłoce, jak również jej hiperbola ogniskowa, zawierają jej ogniska modułowe.

60)    Wykazać, że ellipsa ogniskowa hiperboloidy o dwóch powłokach zawiera ogniska pępkowe, a hiperbola ogniska modułowe.

61)    Wykazać, że linie ogniskowe stożka asymptotycznego danej hiperboloidy są asymptotami hiperboli ogniskowej tejże hiperboloidy.

62)    Wykazać, że na około powierzchni środkowej drugiego rzędu można opisać dwa walce obrotowe, których tworzące są równoległe do asymptot jej hiperboli ogniskowej.

G4) Wyznaczyć krzywe ogniskowe powierzchni:    -f- —~\~2z = 0.

x‘l

y²

68) Okazać, że paraboloida:

y²

-f- ~ = 22 posiada dwie parabole ogniskowe, z których każda jest spółogniskowa z odpowiednim przekrojem głównym paraboloidy.

O    u

65)    Wykazać, że krzywe ogniskowe danej powierzchni przedstawiają miejsce wierzchołków stożków obrotowych stycznych do tejże powiei*zchni.

66)    Wykazać, że powierzchnie:

Ax'iĄ-By*+Cz*= 1, M+>Oa:2+(-B+⁾-)y²+(c'+X>²= ¹

mają te same płaszczyzny kołowe.

67)    Wykazać, że miejsce punktów styczności płaszczyzn stycznych do układu powierzchni spółogniskowych, a równoległych do pewnej stałej płaszczyzny jest hiperbola.

68)    Wykazać, że suma kątów, jakie dowmlna tworząca stożka drugiego rzędu tworzy z jego prostemi ogniskowemi jest ilością stałą.

69)    Wykazać, że płaszczyzny przechodzące przez dowolną tworzącą stożka i przez jego linie ogniskowe są do płaszczyzny stycznej przeprowadzonej wzdłuż tejże tworzącej stożka jednakowo nachylone.

70)    Wykazać, że każdy punkt prostej, poruszającej się swemi trzema stałemi punktami A, B, C po trzech płaszczyznach do siebie prostopadłych opisuje ellipsoidę.

71)    Wykazać, że miejscem geometrycznem punktów równooddalonych od dwu prostych wichrowatych jest paraboloida hiperboliczna.

72)    Wykazać, że paraboloida hiperboliczna może być uważana jako miejsce geometryczne punktu, którego odległość od stałego punktu (ogniska) jest równa jego odległości od stałej prostej (kierownicy), jeżeli ta druga odległość jest mierzona równolegle do stałej płaszczyzny (płaszczyzny kierowniczej).

78) Daną jest parabola: y‘l — 2px, z = 0; wyznaczyć miejsce geometryczne punktu, z którego wyprowadzone trzy proste do siebie prostopadłe opierałyby się na tejże paraboli.

74)    Wyznaczyć miejsce geometryczne punktu, którego odległość d od prostej określonej równaniami y — 0, z = x tang «, pozostaje do odległości d‘ od płaszczyzny X01 w stałym stosunku d\d‘ = z.

75)    Wyznaczyć miejsce geometryczne punktu, którego odległość d od prostej z—c, y = x tang «, pozostaje do odległości d‘ od prostej z ——c, y — x tang a w stałym stosunku d\ d‘ — 1 : E, gdzie e ^ 1.

Rozwiązania L. 14) a:²-|-y²-l-0²4-2r(a:-fy-\-z)+2r² = 0.    20) Równanie wszystkich

Dog    -Dii

kul jest: æ²-fy²+z²-fl(Ax+By+Cz+ Z>) = 0. 21) f-lk = 0.    57) Prosta: —-fa² = b² =

Dz

= —-fc², prostopadła do danej płaszczyzny. 61) y — 0, xl-\-2z-\-2 = 0; x — 0, y² = 2z-j-3. O

7B) y* Ą-z² 2px. 74) Stożek : sin² « . x²-fy²-f(cos² a—s²)z²—sin 2a . xz = 0.    75) Hiperboloida

cz-\-c² = 0.

o jednej powłoce: sin² a. x²-{-cos² *. y²Ą-z²-\-

1 + E²

1 —S²

sin 2 a . xy-\-2

1+E²

1 — E²

Literatura. Dr. Fr. Graefe. Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie des Raumes insbesondere der Flächen zweiten Grades. Leipzig. 1888. I. Koehler: Exercices de geometrie analytique et de geometrie supérieure. Deuxieme partie. Paris 1888.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Krzywe ogniskowe powierzchni środkowych drugiego rzędu.

2.    Krzywe ogniskowe powierzchni bezśrodkowych drugiego rzędu

8. Teorya powierzchni spółogniskowych rzędu drugiego.

Wykład lii.

Zasady ogólnej teoryi powierzchni.

1. Ogólne równanie powierzchni. Równanie powierzchni możemy przedstawić w ogólności w jednej z następujących postaci: albo 1) w postaci wyraźnej :

albo (2) w postaci uwikłanej :

*=/(*> y)

(1)

F(x, y s)=0

albo (3) za pomocą dwóch równań o jednym zmiennym parametrze t w po-

(2)

staci:

f(x, y, g,    gd{x, y, 0, t)=0

(3)

albo (4) za pomocą trzech równań o dwóch dowolnych parametrach u, v w po-x=f(u, v), y-=(p (u, v),    0=ę(u, v).

2. Linie styczne i płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni:

Styczna w punkcie P(x, y, 0) powierzchni s=f(x, y) określa się, jak wiemy z art. 7. str. 609, równaniami :

?-y

staci:

X-x

dx

dy

pdx-\-qdy

. X—x Y— y czyli: —    - y

p + qA

(4)

Ô0

gd.ie: p=-

Ö0

dy

q=Y , a A=~- jest dowolnym parametrem.

O(XX

Wszystkie proste styczne w punkcie P(x, y, 0) powierzchni g=f(x, y leżą na płaszczyźnie :

V (X—x) + q ( Y—y) — (Z-0)=0 zwanej płaszczyzną styczną w punkcie: P(æ, y, 0) powierzchni: #==/(#, y).

Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie : P(x, y, 0) powierzchni określonej równaniem: F(x, y, *)=0 sprowadza się tedy (patrz str. 609) do postaci:

(4)

dF

dF

dF

-₍x_*)₊-(r-,⁾₊-⁽₂-,⁾=°.

Jeżeli powierzchnia określona jest trzema równaniami:

x=f(u, v), y=gp(w, v),    0=iy(u, v)

o dwu dowolnych parametrach u i v, wtedy otrzymujemy różniczki :

7 àe ₇

„ du A---dv,

du ôv ⁷

(5)

₇ dx di 7    7 dy n dy .

dx:=x-du-\- — dv, dy = -^~du-\-~dv, az-= du dv    du dv

d0

d0=^-dx+*^- dy=p dx-\-qdy, dx dy

przeto otrzymujemy na podstawie tego związku relacyę :

a że :

czyli :

dz ₇    dz ₇    dx ₁    dx ₇ \    , (dy    dy    \

—duĄ-—dv=p\ -auĄ-— dv 1 -f q\ — du-\~ -~~dv ] du    dv    \du    dv )    *\du    dv    )

4u)du+( -pd£

dz dx

p

dU

du

«I i rts

q~\dv=0 dv )

która, wobec tego, że parametry u, v są od siebie niezależne prowadzi do dwu równań :

dx dy dz dx dy pdu + qdu ⁼ du’ PÄv + qdU⁼ ’

z których otrzymujemy pochodne cząstkowe: p—

dz

dz

dx ’

gr=T- w dy

postaci :

dz dy du ’ du

dx

du ’

^ l'-o

«Sil

dx

I Ci/ CL/ i Cl/ §    *4

dv ’ dv

îl;i O; Û/I O;

« : a § i «

dx dy

du

du

dx dy dv ’ dv

Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie: P(x, y, z) powierzchni określonej równaniami: x—f{u, v), y=cp(u, v), z=tp(u, v) przedstawia się zatem w postaci :

dy dz

dz dx

dx

du

du

dy dz dv ' dv

{X— x) +

du

du

dz dx dv ’ dv

(r-sO+

dx

I O/

h« g ^

dv dv

Z—z)=0.

(6)

3. Normalna i płaszczyzny normalne w danym punkcie powierzchni.

Normalna w danym punkcie P(x, y, z) powierzchni: z—f{x, y) jako prostopadła do płaszczyzny stycznej w tym punkcie określona jest równemi sto-X—x Y-y Z-z

czyli dwoma równaniami:

X— x+p(Z—0)=O, Y— y+q(Z— z)=0.

Wszelka płaszczyzna przesunięta przez prostą normalną w danym punkcie powierzchni nazywa się płaszczyzną normalną w tymże punkcie powierzchni. Równanie jakiejkolwiek płaszczyzny normalnej w punkcie P(x, y, z) powierzchni z=f(x, y) można zatem przedstawić w postaci:

[X - x+p [Z— Z)] + X[ Y—y + q(Z—z)]=0, gdzie X jest dowolnym parametrem, cechującym jedną z płaszczyzn normalnych w tym punkcie.

4. Punkta osobliwe powierzchni. Punkt na powierzchni, który ma tę własność, że styczne do powierzchni przez niego przeprowadzone nie leżą na jednej płaszczyźnie, nazywamy punktem nadzwyczajnym albo też punktem osobliwym powierzchni dla odróżnienia od punktów o pewnej jednoznacznie wyznaczalnej płaszczyźnie stycznej, które nazywamy punktami zwyczajnymi powierzchni.

sunkami :

<1

-1

(7)

(8)

Punkt P(x, y, z) powierzchni F(x, y, z) =0 jest punktem nadzwyczajnym, skoro wszystkie trzy pierwsze pochodne cząstkowe są w tym punkcie t. j. skoro obok związku; F (z, y, z) = 0 spełniają się jeszcze trzy następujące równania;

zerem

dZ=o    «Lote ’    ày ’ dz

równanie płaszczyzny stycznej w takim punkcie :

dF

dF

dF

ày

(Y-y)+\-{Z-z)=0

dz

sprowadza się do tożsamości 0=0, płaszczyzna styczna jest więc w tym

przedstawiają

dz .

punkcie nieoznaczona, pochodne cząstkowe: P=A

O JO

się wtedy w postaci :

Ażeby zbadać miejsce geometryczne prostych stycznych w takim punkcie nadzwyczajnym weźmy pod uwagę szereg Taylora:

i q=--

là F dF F \

F(x + h, y+b, st + T) = F(x, y, +    +    l) +

1 \â'F,,à'F., , d*F„ t „dlF t] , „ d'F,, d*F

+ all ⁺'ÿ*-* ⁺ tei-P+2 ^**+a ^⁺²

dF dF dF

dxdy

dydz

dzdx

ZaI+R,.

— 0 przyjmując przyrosty A, k, l nie-dz

skończenie małemi i opuszczając R₃ otrzymujemy równanie:

Wobec: F(x, y, z)—0,

d²F,„ d²F. „ d²F

dx²

h² +

dy²

k² +

d^

l² + 2

d²F

dxdy

hk -f- 2

d²F

dydz

kl+2

d²F

dzdx

lh = 0,

wskazujące położenie punktów sąsiednich punktu: P(x, y, z).

Równanie to jest równaniem stopnia drugiego, jednorodne z względu na A, A, l, przedstawia zatem powierzchnię stożkową rzęda drugiego.

Mamy zatem twierdzenie: Wszelka powierzchnia ma w otoczeniu swego punktu nadzwyczajnego kształt stożka (fig. 223).

dF dF dF dx dy dz

Innemi słowy: Styczne w punkcie nadzwyczajnym: F

tworzą powierzchnię stożkową.

Zastępując przyrosty A, A, l przez różnice: X—x, Y—y, Z—z, gdzie x, y, z są spółrzędne przyjętego punktu nadzwyczajnego powierzchni: F{x, y, z)=0) a X, Y, Z spółrzędne bieżące, otrzymujemy równanie stożka stycznego w punkcie nadzwyczajnym P(x, y, z) w postaci:

d²F

d²F

d²F

d²F

J-i(X-x)'+-^(Y-y)>+W2(Z-z₎>+2—(X-x)(Y-y) + (Y y)(Z z) + 2

d²F

d²F

dydz

dzdx

(Z-z)(X—x)=0.

(9)

Przyjmując punkt nadzwyczajny za początek układu, zastępując więc A, k, l przez x₎ y, z i kładąc:

d²F

d²F_ to~²~'a 11

d²F

dy²

a22

dz²

d²F _

a33’ dxdy~°¹²’

d²F

dydz

fl23)

d²F

dxdz

T=z‘a\ 3

otrzymujemy równanie tego stożka w postaci :

(10)

anx² + a₁₂y²+a^z² + %a^xy Ą-Za^yg+Za^z^O, jednorodnej ze względu na zmienne æ, y, z.

5.Szczególne postacie punktów nadzwyczajnych zależą od kształtu stożka równaniem (10) określonego:

a) Jeżeli otrzymany stożek jest stożkiem urojonym, wówczas rozważany punkt nadzwyczajny nie ma rzeczywistych punktów sąsiednich, a taki nadzwyczajny nazywamy tedy punktem odosobnionym.

ß) Jeżeli otrzymane równanie stożka rozkłada się na dwa czynniki stopnia pierwszego, a więc, jeżeli równanie :

aux² + a₂₂y²-\-a^z² + <2ai2xy + 2aiZxz-]-2a2:iyz=0, sprowadza się do postaci :

(U)

(ax+ by+cz) (a‘x + b'y+c'z)=0,

wówczas stożek stycznych w otoczeniu takiego punktu nadzwyczajnego składa się z dwu płaszczyzn przecinających się. Taki punkt stożkowy nazywamy punktem biplanarnym (fig. 220).

/"Ti

r

■V.

......H

Fig. 220.

Fig. 221.

Fig. 222. Fig. 223.

y) Jeżeli otrzymane równanie stożka przedstawia się jako zupełny kwadrat funkcyi stopnia pierwszego, a więc sprowadza się do postaci :

(12)

(ax + by+czŸ^O,

natenczas stożek składa się z dwóch płaszczyzn na siebie wpadających, a taki punkt stożkowy nazywamy punktem uniplanarnym (fig. 221).

ó) Jeżeli otrzymane równanie sprowadza się do sumy kwadratów dwu funkcyi stopnia pierwszego:

(13)

(ax + by Ą-cz)²Ą- (a'x + b'y + & z)²=0,

wówczas stożek ma kształt linii prostej określonej równaniami:

ax-\-by-\-cz=0,    a‘x-\- b‘y-{-c'z=0,

a taki punkt stożkowy nazywamy wtedy ostrzem (fig. 222).

e) Jeżeli otrzymany stożek jest stożkiem rzeczywistym drugiego rzędu, wtedy nazywamy też taki punkt nadzwyczajny punktem stożkowym drugiego rzędu (fig. 223).

G-dyby w takim punkcie nadzwyczajnym obok:

dF _dF _dF _0 dx dy dz

F=0,

były także wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu zerami, a więc gdyby było:

d2F _d²F _d²JF _ d2F _ dW _ d²^_0 dx² dy² dz² dxdy dxdz dydz ’ a więc gdyby spółrzędne punktu P(jx, y, z) czyniły zadość powyższym dziesięciu warunkom, wtedy powierzchnia miałaby w otoczeniu takiego punktu kształt stożka rzędu trzeciego. Taki punkt nadzwyczajny nazywamy też punktem stożkowym rzędu trzecie go.

Analogicznie otrzymamy określenie punktu stożkowego rzędu

w-go.

6. Uwaga. Wyznaczanie punktów stożkowych drugiego rzędu polega na wyznaczaniu wartości x, y, z, czyniących zadość czterem równaniom:

dF

dF

dF

— =0.

F= 0,    ’■=- = 0, — =0,    ^

dx    dy    dz

Możemy tedy wyznaczyć wartości x, y, z na podstawie trzech z powyższych równań i sprawdzić czy otrzymane wartości czynią także zadość czwartemu równaniu. Tym sposobem możemy otrzymać jeden lub więcej punktów stożkowych na danej powierzchni : F(x, y, 2) = 0. W szczególnych przypadkach możemy ^ otrzymać całą krzywą złożoną z punktów stożkowych, co się stanie wówczas, gdy spółrzędne punktów czyniąc zadość dwom z danych równań przedstawiających krzywę przestrzenną, sprawdzają także dwa pozostałe równania. Taką szczególną krzywą ma np. powierzchnia siebie samą przecinająca.

Przykłady, a) Powierzchnia czwartego rzędu: (aj²-}-«/²-f-2²)² = a²xy-\-b*yz-\-c*zx ma w punkcie (x = 0, y— 0, z = 0) punkt stożkowy, o stożku stycznych: a^xy-\-ihyz-\-cizx = 0. ß) Powierzchnia czwartego rzędu (x²-\-y²-\-ziy = a^xy (fig. 224) ma w punkcie (x = 0, y = 0 2 = 0) punkt biplanarny o płaszczyznach stycznych x — 0, y = 0.

7. Stożki styczne do danej powierzchni. Styczne do danej powierzchni F(x, y, z) =0 wyprowadzone z pewnego punktu S(£, rj, £) przestrzeni tworzą stożek obwijający powierzchnię, zwany stożkiem stycznym do tej powierzchni. Chcąc otrzymać równanie stożka stycznego do powierzchni F(x, y, £)=0, mającego wierzchołek w punkcie S(Ç, rj, f), weźmy pod uwagę prostą styczną w punkcie P(x, y, z) tej powierzchni.

Jej równania mają kształt:

ff -........

o\ :mz-

«i

Fig. 224.

X—x Y-y

dx

dy pdx+qdy

czyli :

X—x

P+ąA

(Z-z)-,

Y-y

gdzie : p =

dz

dz

q dy

l jest dowolnym parametrem. Jeżeli ta styczna ma

dx ’

przejść przez punkt $ (f, 17, £) przestrzeni, wówczas muszą się spełnić relacye :

pW^~e)’ n~y

przyczem spółrzędne x, y, z mają czynić zadość równaniu F(x} y, z)—0.

ł-V

"p+ąf Ą

Dr. Dziwińaki. Wykł. matem. I Tom II.

52

Mamy zatem 5 równań, z których wyrugowawszy cztery parametry zmienne x, y, 0, Â, otrzymamy równanie szukanego stożka stycznego do powierzchni F (x, y, 0)=O o wierzchołku #(£, rj, £).

Do równania stożka stycznego możemy dojść także w sposób nastę

pujący.

Oznaczmy przez a, ß, y kąty, jakie styczna w punkcie P(x, y, 0) powierzchni tworzy z osiami układu, przez r odległość punktu styczności: P(x, «/, 0) od wierzchołka S (£, rj, £), a przez P odległość punktu zmiennego D, Z) stycznej od wierzchołka, wtedy mamy:

cos ß—

cos «=-

y—y

Y-V

*-s

cos y= —

/ r

Z-Ç

a stąd<

^=£+4(X—£), y=y+~v(Y—y),

r

Kładąc -_j = £, otrzymamy: li

a?=t+ż(X—£), y=rjĄ-t(Y—17),    £).

Wstawiwszy te wartości w równanie powierzchni jP(æ, y, #)=0, otrzymujemy równanie:

a że styczna w punkcie P(æ, ?/, #) powierzchni ma z powierzchnią jeszcze sąsiedni punkt P(x+dx, y-\-dy, z-\-d0) spoiny w odległości r-\-dr od wierzchołka $(£, rj, £), dla którego parametr t otrzymuje wartość t+dt, przeto, chcąc otrzymać warunek dodatkowy, należałoby podstawić w powyższem równaniu za t wartość t-\-dt i odjąć to równanie od otrzymanego. Do tego warunku dojdziemy wprost, różniczkując powyższe równanie ze względu na zmienny parametr t. Otrzymujemy wtedy równanie :

aF    o,

dF

dx

OZ

(14)

które w połączeniu z równaniem :

(140

F[£+t(X—i), ij-\-t(Y—r])₎    {Z— £)]⁼0,

określa szukany stożek, którego równanie między zmiennemi spółrzędnemi X, Y, Z dostaje się po wyrugowaniu z obydwu równań zmiennego parametru t.

8. Mając np. wyprowadzić tą drogą równanie stożka stycznego do ellipsoidy:

/|»2

-f--^2= 1 o wierzchołku -S' (Ç, rj, Ç) połóżmy w równaniu ellipsoidy: x = \±t{x-\\ y^n+tiY-n), 0 =

a otrzymamy równanie :

E+*(x-E)]» h-Hcr-n)]» [c-Hjz-o]¹

a²

6²

c²

= 1,

które, uporządkowane podług potęg parametru ź, sprowadza się do postaci:

a'¹

■H

Y-v

6²

Kładąc na razie dla uproszczenia :

otrzymujemy równanie:

* a² ^ J* *²P+2*£-j-P = 0,

(«)

które zróżniczkowane podług t prowadzi do warunku dodatkowego:

Q

2tP-{-2Q = 0, a więc: t = — -p.

Równanie (a) otrzymuje przeto kształt:

fÇ(X-Ç) , ri(F-rj)

L a²

ó²

— 2-~4"Æ! ⁼ 0, a więc: Ç² = PR, czyli:

■    k^)’+ e+s+s-*].

skąd wypływa równanie:

(IB)

c²

[?+5+?]-[5+p+5-i]E+îî+

^ 2 2>2

jako najprostsze równanie stożka stycznego do ellipsoidy : —^ -j- d—~2 = 1.

9. Kontury powierzchni. Punkta, w których tworzące stożka, stycznego do powierzchni F(æ, y, ^)=0, mającego wierzchołek w punkcie £(|, 77, £), stykają się z tą powierzchnią, tworzą krzywą na powierzchni, określoną trzema równaniami o zmiennym parametrze t, kształtu:

F[f + *(X-|), tj+HY-fi), Ç+t{Z-Ç)]=0,

dF

dF

O;

F& r, X)=o,

zwaną konturem powierzchni widzianej z punktu 5(|, 77, £).

Kontur ten możemy także w ten sposób otrzymać: jeżeli x, y, z są spółrzędnemi punktu, należącego do konturu powierzchni, to czynią one zadość powierzchni F (ir, y, z)=0 i płaszczyźnie stycznej:

przez ten punkt przechodzącej. Płaszczyzna ta przechodzi jednak także przez punkt £(£, 7/, £) jest więc także:

dF

dF

dF

dF

—(£-æ) + —(77—7/H

dF

dy

Uważając spółrzędne x, y z za zmienne, otrzymujemy tedy na wyznaczenie konturu powierzchni F(æ, 7/, 0) = O, odpowiadającego punktowi $(f, Ty, £) dwa równania:

dF

dF

dF

F(s, y, *0=0,

przedstawiające dwie powierzchnie, których przekrój daje szukany kontur powierzchni.

Powierzchnię określoną równaniem :

dF    dF    dF

o zmiennych spółrzędnych æ, y, z, przechodzącą przez kontur powierzchni F(æ, y, 0), odpowiadający punktowi S (£, 77, £) nazywamy powierzchnią biegunową punktu 5(£, 7;, £) ze względu na powierzchnię F(æ, y, £) = 0.

10. Uwaga. Jeżeli F(x, y, z)— 0 jest równaniem w-go stopnia ze względu na zmienne a;, y, z, to równanie:

jest równaniem (n—1) go stopnia ze względu na te zmienne. Zastąpiwszy bowiem x, y, z otrzymujemy równanie:

dx^dy^⁺dz^dt ’

którego wszystkie wyrazy są (n—1) stopnia. A zatem: Powierzchnia biegunowa punktu S(Ç, 7], Ç) ze względu na powierzchnię n-go rzędu jest powierzchnią (n—1)-go rzędu. Kontur powierzchni n-go rzędu jest więc krzywą n(n—1 )-go rzędu.

11. Promienie krzywizny przekrojów płaskich danej powierzchni. Przekrój płaski powierzchni z=f(x, y) jest określony dwoma równaniami kształtu:

Ax+By+Cz+D=0, z=f(x, y).

Promień krzywizny q w punkcie P(x, y, z) tego przekroju określa, według art. 6 str. 722, wzór: ę

przez

(16)

ds³

Otrzymujemy tu na podstawie równań (16) równania następujące:

Adx+Bdy + Cdz=0,

dz=p dx-\-qdy, Ad²x+Bd²y-\-Cd²z=0, d²z=p d²x-\-qd²y+dpdx + dqdy,

ważne dla każdego punktu przekroju.

Z pierwszych dwu równań po lewej stronie otrzymujemy szereg sto

sunków:

czyli :

K) jO»

dy d²z—dz d²y dz d²x—dxd²z dxd²y—dy d²x Z dwu równań po prawej stronie otrzymujemy natomiast równanie:

0=pQ—qP—dz (dp dx+dqdy), czyli: pQ—qP=dz(dpdxJrdqdy)

skąd ze względu na to, że Q=-^-P, otrzymujemy równanie:

B—p—Pq=dz (dp dx+dqdy),

a zatem :

A dz (dp dx 4- dq dy)

Bp—Aq

B dz (dp dx+dq dy)

Bp—Aą

C dz (dp dx -f- dq dy)

Bp —Aq

a stąd :

P²+Q² + B²

(A² + B²-\- C²) dz²(dpdx+dqdy)

(Bp—Aq)²

a że : przeto :

ds²=dx²+dy²-\-dz²,

q²=

(Bp—Aq)² (idx² -\-dy² + dz²)3 (A²-\-B²+C²)dz² (dp dx-\-dq dy)²‘

(17)

Z równań :

Adx-\- Bdy + Cdz=*0, pdx-\-qdy—dz=0,

wynikają stosunki:

dx

dy

dz

zatem : A że : przeto :

B-\-Cq A-\-Cp Bp—Aq dx² + dy²-\-dz²=h² [(-4.4- 0p)2jr(BJr Cq)2jr(Bp—Aq)²). dp=rdx-\-sdy, dq=s dx + tdy, dpdx + dqdy=*rdx² 4- 26’ dxdyĄ-t dy².

Z uwzględnieniem relacyj (18) jest zatem:

dp dx+dq dy=Jc² [r (B + Cq)² + 2s (B+ Cq) (A 4- Cp) +1 (A + Cp)²],

przeto :

dx² Ą-dy² + dz²    (A 4- Cp)² + (B+ Cq)²+(Bp—Aq)²

dp dx-\-dqdy    r (B-f- Cq)²+2s (B + Cq) (A + Cp)-f-1 (A-f Cp)

przyczem :

dx²+dy²Ą-dz² (A+ Cp)²+ (B-ł-Cq)² + (Bp—Aq)²

dz²

(.Bp—Aq)²

Wstawiwszy otrzymane wartości w wzór (17) dostajemy:

[{A^Cp)²A{B^Cq)²A{Bp-Aq)²Y

Q (A ²+B²+ C²) [r (B + Cq)²+2s(B+ Cq) (A + Cp) + t{A+Cp)²)

a więc :

(19)

n==__[{AĄ-Cp)²A-{BA Cg)²A-{Bp—Ag)²p.    _

⁹ fA²+B² + C² [(B+Cq)²r+ 2 (B+ Cq)(A + Cp) s + (A+ Cp)²1\ jako wzór na promień krzywizny w punkcie P(x, y, z) przekroju powierzchni z=f(X) y) z płaszczyzną: Ax + By + Cz-\-I)=0.

12. Promienie krzywizny przekrojów normalnych powierzchni. Przekrojem normalnym w danym punkcie powierzchni nazywamy przekrój, którego płaszczyzna przechodzi przez normalną w tym punkcie powierzchni.

Niech będzie: A (X—«) + B (Y— y) -{- C(Z—z)=0 równaniem płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(x,y,z) powierzchni z=f(x,y). Normalna w tym punkcie ma równania :

X-æ,

Y-y _ z—Z - —1 '

Jeżeli płaszczyzna, powyższem równaniem określona, ma przechodzić przez normalną w punkcie : P{x, y, z) powierzchni, musi się spełnić relacya :

Ap-\-Bq—C= 0.

Istnieje zatem w danym punkcie powierzchni pęk płaszczyzn normalnych. Chcąc wybrać zeń jedną z tych płaszczyzn, należy dodać jeszcze jeden warunek.

ct/u

Jako taki warunek przyjmijmy stosunek:    =J, a że na mocy (18) dla

(MC

krzywej przekroju: ~ = w postaci :

A+Cp

B+Cq

A-\-Cp B + Cq

przeto otrzymujemy warunek dodatkowy

A, czyli : A+ Cp+(B-\- Cq)A=0.

Na wyznaczenie spółczynników A, B, C równania dowolnej płaszczyzny normalnej w danym punkcie powierzchni mamy zatem równania : Ap-\~Bq—C—0, A-\-BA~\- C(^_ł~5,^)⁼⁼0,

z których wynikają stosunki:

2, —1

A, p+qA

-1, p

P + qA, 1

czyli :

pg+(l + ₃²)^    —1—p²—pqA

pA—q ‘

Równanie wszelkiej płaszczyzny normalnej w danym punkcie P(x,y,z) powierzchni    y) możemy zatem przedstawić w postaci :

(pq + q²A + A) (X—x)—(pqA+p²+l)(Y—y) + (pA— q) (Z—z)=0, gdzie A jest dowolnym parametrem. Celem wyznaczenia promienia krzywizny w danym punkcie przekroju normalnego na podstawie wzoru (19) mamy tu:

A=pq-\-q²A-\-A, B= —pqA—p²— 1, C=pA—q,

A+Cp = (p²-\-q² +1)^,    B+Cq= — (p²-Jrq²-\-1),    Aq — Bp = (p²-\-q² +1) (p + qA),

A’>+B²+C²={p²Ą-q²+V)[l+p²+2pqA+{l + q²)A²],

(A+Cp)² + {B+Cq)² + (Aq—Bp)²’=(p² + q² + l)²[l-\-p2jr2pqA + {l-\-q²)A²},

₂    (p²+q² + l)[l+p² + 2pqA+(l + q²)A²]²

Ç ~    [r+2sA+tA²]²

Otrzymujemy zatem:

(l+p²) + 2pqA+(l + q²)A

Q=^p² + q²+l.

wzór na wyznaczenie promienia krzywizny w dowolnym przekroju normalnym powierzchni.

13. Główne promienie krzywizny. Wielkość promienia krzywizny w danym punkcie przekroju normalnego powierzchni jest na podstawie wzoru (20) funkcyą ułamkową wymierną stopnia drugiego ze względu na parametr dowolny A, posiada więc swą wartość największą i najmniejszą. Chcąc je wyznaczyć, otrzymujemy:

r-\-2sA-\-tA²

(20)

dQ _Vf,2 , -2 I T    + 2sÀ + a²)i~PQ + ²1¹ + ?Vj—[!-+ P² + 2p2* + (1 + q²)A²]2(s-f tA)

dA u i"A    (r+2sAi-tA²)² skąd kładąc ^=0 otrzymujemy równanie drugiego stopnia ze względu na A, w postaci :

(21)

= ?i),

max

[( 1 + q²)s —pqt]A² + [( 1 + q²)r - (1 +p²)t]A+pąr—{l + p²)s = 0 dostarczające dwie wartości na A, z których jedna Ai wskazuje na ten przekrój normalny, w którym promień krzywizny jest największy druga A₂ zaś na ten przekrój normalny, w którym promień krzywizny jest naj mniej szy (£min= Ç₂)•

Największy i najmniejszy promień krzywizny przekrojów normalnych przez dany punkt powierzchni przechodzących nazywamy głównymi promieniami krzywizny w danym punkcie powierzchni (fig. 225 i 226). Wartości tjrch promieni określa równanie:

ę = ^p² + q²+l .

1 +p² + 2pqA + (l + q²)A2 r+2sA+tA²

(Jq

przyczem na mocy warunku ^=0 zachodzą równe stosunki:

l+p²+2pqA + ([+q²)A² pq+(l+q²)A l+p²+pqA

r+sA

Mamy tedy dla głównych promieni krzywizny dwa równania kształtu : o=^p²-\-q²+l

T ~\-2sA-{- tA²

pq + (l + q²)A

s -\-tA

(22)

Q=W² + q²+1

-l-\-p²+pqA

r+sA

— 828 -

czyli :

Q (s-\- tX)

Vp²+g²+1

pq+{l + q*)X,

S'

im*

ç(r+sX)

V P² + q²+1

które uporządkowane podług X przedstawiają się w postaci:

=»1 +p²+pqX,

{l + q²)\=pq

t-

z{mm~pq}=1+pl

QS

Vp² + <Z²+1

V^²+3²+l’

^ skąd, po wyrugowaniu parametru X, otrzymujemy równanie:

Fig. 225.

{çs—pq^lp² + q²+ i\²={çt—(l + q²)'ip² + q²+l} {çr—(l-f-p²)Vp²+g²-f 1},

Fig. 226.

które uporządkowane podług q jest równaniem drugiego stopnia kształtu: {rt—s²)ę²—[(l + g²)r—2pqs-\-{lĄ-p²)t]ę']/p²-]-q²^\-l-i-(p²-\-q²-\-l)²=0. (23) Pierwiastki tego równania wyznaczają bezpośrednio oba główne promienie krzywizny w danym punkcie powierzchni.

"W szczególności otrzymujemy na podstawie powyższego równania: a) sumę głównych promieni krzywizny :

( 1 + q²)r—2pqs + ( 1 + p²)t

(h +^2 —

rt—s²

-}/pi ₊ q2₊i

(24)

b) iloczyn głównych promieni krzywizny :

(25)

(>2

(ff²+ff² + l)²

yfc_g 2

14. Wzajemne położenie głównych płaszczyzn krzywizny w danym punkcie powierzchni. Chcąc wyznaczyć wzajemne położenie płaszczyzn głównych krzywizny, należałoby wyznaczyć kąt między niemi zawarty. Przyjmijmy dany punkt powierzchni jako początek układu, płaszczyznę styczną w tym punkcie, jako płaszczyznę XOY, a normalną w tym punkcie jako oś OZ, otrzymamy wtedy dla tego punktu: x=y=z=0, p=0, q=--0.

Równanie cechujące położenie płaszczyzn głównych kształtu:

[(1 + q²)s — pqt\X² + [(1 + q²)r—( 1+ p²)t]X+ pqr — ( 1 +p²)s=0, sprowadza się wtedy do postaci:

(26)

>1-1=0

sX² + {r—t)X—s=0, czyli: X²Ą-r—^-

daje więc na X dwie wartości X{ i X₂ takie, że XiX₂ ——1, a że: it=tang ax, A₂ = tang a₂, gdzie au a₂ przedstawiają kąty, jakie ślady płaszczyzn głównych na płaszczyźnie XOY tworzą z osią OX, przeto mamy tang ai tang a₂ =—1, a zatem : Płaszczyzny głównych krzywizn są do siebie prostopadłe.

15. Przyjmując ślady płaszczyzn głównych na płaszczyźnie stycznej, przyjętej za płaszczyznę XOY, czyli t. z w. kierunki główne w danym punkcie

TC

jako osie OX i OY, mieć będziemy ck₁ =0, a.₂=~, zatem ^=0, X₂=co , co

możliwe, jeżeli w równaniu na X obok x=y*=z=0, p—q=0 będzie także s=0. Równanie wyznaczające główne promienie krzywizny kształtu: •

{rt—s²)ę²-[{lJrq²)r—2pqs-\-{l +p²)t\ę^p2jtq²+l + (p² + q2jr 1)²=0,

sprowadza się w przyjętych założeniach do postaci:

-=0.

rtq²—(r-M)p+1=0, czyli: q²

r+t

yj. Q yf

Promienie główne krzywizny mają tedy wartości:

Q2=-r

e.-T

czyli są w takim razie odwrotnemi wartościami drugich pochodnych cząstkowych funkcyi z względem zmiennych niezależnych x i y.

16. Wzór Eulera, wyznaczający promień krzywizny w dowolnym przekroju normalnym. Promień krzywizny w dowolnym przekroju normalnym przedstawia się na mocy art. 12 w postaci:

(l+p²)+2p^+(l+q V²

r-\-2sA+tA²

Przyjmując dany punkt jako początek układu, płaszczyznę styczną za płaszczyznę XOY, normalną za oś OZ, a kierunki główne za osie OX i OY mamy :

æ=y=0=O, p=g=s=0,

r=—

t=—

zatem :

-A²

— + — P 1+V    *

1+P

9i 92

czyli : — J Q

Dowolna płaszczyzna normalna otrzymuje w przyjętym układzie równanie : y=Ax, gdzie A = tang a, jeżeli przez a oznaczymy kąt, jaki ślad tej płaszczyzny normalnej tworzy z nową osią x-ów (fig. 227).

Otrzymujemy tedy wzór:

— 4- — tang² a 9\    92 b

sec² a

₁ i -t- — tang² a

1 ₌ 9i______92    ____

ę    1-j-tang² a

-yni

Fig. 227.

zatem :

1 cos² a sin² a

(27)

czyli :

wzór, znaczy pod nazwą wzoru Eulera.

Wniosek: Suma odwrotnych wartości dwóch promieni krzywizny q i ę' w dwu przekrojach normalnych do siebie prostopadłych jest ilością stałą. Jest bowiem :

1 cos² ct sin² a

1 sin² a cos² a

9‘ 9i

—++-

9    9

('i    92

17. Wzór Meusniera, wyznaczający promień krzywizny w dowolnym

przekroju skośnym. Zatrzymując powyżej określony układ naturalny w danym punkcie powierzchni, przyjętym za początek układu, otrzymujemy równanie jakiejkolwiek płaszczyzny skośnej przez tenże punkt przechodzącej w postaci:

AxĄ-ByĄ-Cz=0.

Ax+By=0.

Płaszczyzna ta przecina płaszczyznę styczną, przyjętą za płaszczyznę XOY podług prostej o równaniu:

Oznaczmy przez a kąt, jaki ta prosta tworzy z osią OX, a przez co kąt, jaki tworzy płaszczyzna skośna z płaszczyzną normalną, przesuniętą

przez prostą: AxĄ-By=0, natenczas otrzymamy tang05= —    ; możemy za

tern równanie płaszczyzny skośnej przedstawić w postaci:

x sin a—y cos a-\- Cz=0,

równanie płaszczyzny normalnej: «/=ætang a, otrzyma wtedy kształt:

x sin a—y cos 05=0,

Kąt co, zawarty między dwiema płaszczyznami :

Ax+By-\- Cz+B=0 i A‘x-\-B'y-{- CuzĄ-JD‘=0

określa się wzorem:

COS² CO

AA‘ + BB'+CQ

otrzymujemy zatem:

cos² co=

(A²+B²+ C²) (A‘²+Bl2+ C/2)

a więc:

sin² a + cos² cc

(sin² a + cos² a) (sin² a + cos² a-f C²)    1 + O²’

6,2=tang² co, czyli: 07=4; tang co.

Równanie płaszczyzny skośnej otrzymuje zatem kształt:

x sin a—y cos a-i-z tang g>=0.

Wyznaczając promień krzywizny q‘ przekroju skośnego podług wzoru:

Q²

[(A + Cp)² + (B+Cq)² + (Bp-Aqyy (A² + B²+C²)[r(B + Cg)²-2s{B + Cg) (4    +    + Cp)²]

otrzymujemy tu ze względu na to, że:

A = sin a, B= — cos a, C= tang co, p^g=s=0, r=

t= —

ę'²

(sin² a-f-cos² 05)³

Qi

cos² co

$2

wzór:

(1-f-tang² co) (—cos² a-\~ — sin² 05

V ^1

(>2

^² ^COS² 05

sin² oj\ ² ’

)

a więc :

COS co

cosz 05

sin² 05 ’

Ç2

Oznaczając przez ę promień krzywizny w przekroju normalnym płaszczyzną przesuniętą przez ślad płaszczyzny skośnej na płaszczyźnie stycznej (fig. 228), mamy:

cos² 05 sin² 05    1

fin.

Fig. 228.

Qi

Q2

otrzymujemy zatem wzór znany pod nazwą wzoru Meusniera w postaci :

(28)

q'—q cos co.

To znaczy : Promień krzywizny w dowolnym przekroju skośnym jest rzutem promienia krzywizny w przekroju normalnym na ięż płaszczyznę skośną, jeżeli płaszczyzna normalna ma z płaszczyzną skośną ten sam ślad na płaszczyźnie stycznej

w danym punkcie powierzchni.

12) Z każdego punktu powierzchni:

4z(aæ²-f byr)-\-al(x‘l‘-\-y'i) = 0,

jako wierzchołka wykreślone zostały stożki styczne do powierzchni: a6z— (a.r²-j-&y²) = 0, wykazać, że płaszczyzny styczności tworzą powierzchnię :

4z (ax²-\-by²)—(a²ic²-{-&²y²) — 0.

18) Wyprowadzić równanie linii prostej stycznej w danym punkcie krzywej prze-

= 0.

Ćwiczenia LI.

1)    Wykazać, że powierzchnia n-go rzędu jest wyznaczona w ogólności zapomocą

[(~rr~)—1] Punktów.

2)    Ile punktów wyznacza powierzchnię drugiego, ile trzeciego, a ile czwartego rzędu? B) Wykazaó, że linia prosta przecina powierzchnię n-go rzędu w ogólności w « (a nie

więcej) punktach.

4) Wykazać, że przekrój płaski powierzchni n-go rzędu jest w ogólności krzywą n go (a nie wyższego) rzędu.

B) Znaleźć miejsce punktów, w których proste wychodzące z początku układu prosto-

2*2 |/2 2»2

padle do płaszczyzn stycznych ellipsoidy:    ~1 przecinają te płaszczyzny.

V

6) Zbadać powierzchnię kształtu: z — a. arc tang—.

osobliwe.

7) Zbadać powierzchnię określoną równaniem: xyz = c(x²—y²) i wyznaczyć jej punkta

8)    Wykazać, że powierzchnie, określone równaniami:

(a?²-f-t/²) (o²—z²)—c²y² = 0, (x—c)²+*/²+2²—a² === 0 dotykają się nawzajem; rzut krzywej styczności przedstawia się na jednej z płaszczyzn rzutowych jako koło, na drugiej jako parabola.

9)    Wyprowadzić równanie powierzchni, któraby miała tę własność, że płaszczyzna styczna w punkcie P{x, y, z) przecina oś z-ów w odległości równej odstępowi tego punktu od początku układu.

2*2    y 2    £ 2

10) Wierzchołek stożka stycznego do ellipsoidy:    +    Porusza się P° elli'

O—«)² , (y—ß)² i (g-ï)a

psoidzie:

wykazać, że jego płaszczyzny styczności są styczne do powierzchni:

a²

V-²

c²

(5+^+5-0-^+S+5>

11) Wykazać, że równanie:

przedstawia stożek, skoro:

«11 * ²+«2 2 2/²+«3 3 z²+2tf ! 4 æ+2a₂₄    2a₃ 4 z-f a₄ 4 =-: 1

«*u

a²

«²34

«u

«22

«33

- — a₄₄.

P a2 _ P ’

Zbadać powierzchnie, określone następującemi równaniami:

15)    (Ax+By+Cz+D)*+(A'x+B'y+ C z+D‘yĄ-(A“xĄ-B“y-\-C'e+D“)* = K.

16)    (Ax+By+Cz-\-Dy+(A'x+B'y-\-C'z-\-D'y-(A"x+B“y+ C"z+Du)* = K.

17)    (Ax+ByĄ- Cz+Dy+(A'x+B'y+ C'z+D')² = K.

18)    C*+ Z))a-(.i'x+5'y+ (7^+D')² = K.

19) Wykazać, że prostopadłe wykreślone z początku układu do wspólnych płaszczyzn stycznych ellipsoid : ^ + p- + ^ = 1 i ^r₂ + f72 + ^ = ¹ tworzą stożek:

*/²

(a²—a'²) x²-|-(fe²—&/2)y²-}-(c²—c,2)z² — 0‘

20)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, w których prostopadłe wyprowadzone z początku układu na płaszczyzny zamykające z płaszczyznami spółrzędnemi stałą objętość V — a² przecinają te płaszczyzny.

21)    Okazać, że płaszczyzna styczna w pewnym punkcie powierzchni:

a²x²Ą-b²y²-\-c²z²—2bcyz—2 acxz—2 abxy = 0

przecina powierzchnię :

ayz-\-bxz\cxy = 0

podług dwu prostych do siebie prostopadłych.

22)    Wyprowadzić warunek, jakiemu poddane być muszą wierzchołki stożków stycznych do ellipsoidy, aby środki ellips styczności były równooddalone od środka ellipsoidy.

23)    Wyprowadzić warunki, pod jakimi dwie powierzchnie drugiego rzędu, przechodzące przez początek układu, a określone równaniami:

anx²+any²Ą-a₃₃z²-\- 2a^xy-\-2anxzAr2a₃₃yz-\-2z = 0, Anx²-\-Any²-\-A₃₃z²-\-2Anxy+2Al3xz-\-2Ai3yzĄ-2z = 0 mają w tymże początku układu oba główne promienia krzywizny sobie równe.

/£ 2    y 2    0 2

24) Wykazać, że punkta hiperboloidy :    =• 1» w których główne promie

nie krzywizny są równe, ale przecinego znaku mieszczą się na krzywej, której rzut na płaszczyznę X0Y jest ellipsą o równaniu:

a²Ą-c²

a²

X²Ą

&²-j-c²

b²

y² = a²-\-b².

2B) Wykazać, że powierzchnia określona równaniem:

z = (y-b) tang

ma w każdym punkcie główne promienie krzywizny jednakowe co do wielkości a przeciwne co do znaku.

26)    Zbadać powierzchnię określoną równaniem : xyz — a³ i wyznaczyć główne promienie krzywizny w każdym punkcie tej powierzchni.

27)    Znaleźć główne promienie krzywizny dla powierzchni: z—c—\/xy.

28)    Zbadać powierzchnię:

Ąz(ax²-\-by²)-\-ab(x²-\-y²j = 0

29)    Na danej powierzchni wykreślono pewną linię krzywą, wykazać, że promień krzywizny w danym punkcie tej krzywej jest taki sam jak promień krzywizny w przekroju powierzchni z płaszczyzną ściśle styczną w tymże punkcie linii krzywej.

30)    Wyprowadzić równanie drugiego stopnia wyznaczające główne promienie krzywizny w danym punkcie powierzchni: f(cc)-|-«(y)-|-<j/(2;) = 0.

31)    Główne promienie krzywizny w danym punkcie powierzchni są a i b ; przyją-wszy ten punkt za początek układu a płaszczyznę styczną za XY, a płaszczyzny główne za XZ i YZ, wykazać, że koła krzywizny w przekrojach normalnych przez ten punkt przechodzących tworzą powierzchnię:

(x²-fy²+z²)(^- + y) = 2 z(x²+y²).

32) Znaleźć promień krzywizny w dowolnym przekroju normalnym powierzchni: aj t x²-\-any²-j- a₃₃z²-\-2ai %xy+2«! ₃xz-\- 2anyz-\-2z = 0.

przechodzącym przez początek układu.

33) Sumę głównych promieni krzywizny w danym punkcie powierzchni wyrazić w spółrzędnych tego punktu.

- 828 —

84) Jeżeli Pi i ps są głównemi promieniami krzywizny w danym punkcie powierzchni, a f i 4 są kątami, jakie normalne w tym punkcie tworzą z osiami x-ów i y-ów, okazać, że:

d cos tp d cos I

Pi    P 2    dx

35) Wykazać, że powierzchnia o równaniu:

dy

/0)+?0)-H0) = o

ma w danym punkcie P(x, y, z) główne promienie krzywizny sobie równe, skoro:

36) Wykazać, że normalne w punkcie osobliwym powierzchni L(x. y, z) = 0 tworzą stożek o równaniu:

Yd^Fd³! /<)²P\² 1/    \* /

Yw w~ ifyto) J(x~*7 +²(

)(r-y)(z-z)+<* = 0.

d²F d³F <PP d³F dxdydxdz dx'¹ dydz

37)    Wyznaczyć punkta osobliwe powierzchni:

(x²-|-y²-j-2r²) (a²x²-|-ó²y²-|-c²;?²) — a²(6²-fc²)x²—&²(c²-f-a²)y²—c²(a²-|-&²)2²+a²&²c² = 0.

38)    Wykazać, że powierzchnia: a²x²-f-i²y² = z³(c—z) ma w początku układu ostrze jako punkt osobliwy, w któi*ym stożek stycznych wpada w oś z-ów.

39)    Wyznaczyć promienie krzywizny przekrojów płaskich powierzchni:

<*\ix'l-\-aiiyi-\-aiiz't-\-2aiixy-\-sianxz-\-2anyz-\-2ai^z = 0, przechodzących przez punkt P(0, 0, 0) a leżących na płaszczyznach: y = 0, x=0.

40)    Wykazać, że suma krzywizn w dwu przekrojach normalnych danego punkta, a do siebie prostopadłych jest ilością stałą.

41)    Wykazać, że równanie stożka stycznego do powierzchni :/(x, y, z) — 0 o wierzchołku S(jź, 7), Ç) wypływa z równań :

m =/[5+<(X-Ç), v+tiY-ri Ç+*(Z-Ç)] = 0, <-*'(*) = 0,

po wyrugowaniu zmiennej t.

42) Wykazać, że krzywa styczności walca równoległego do prostej :

L(x = az-\- «, y = &z-f ß),

a stycznego do powierzchni f(x, y, z) =■= 0 określa się równaniami :

= 0.

/(*, y, !)=°,

Rozwiązania LI. 5) (x²+y²-j-2:²)² = a²x²-j-è²y²+c²«². 6) Powierzchnia śrubowa.

20) (x² -J- y²)³ = 6a³xyz.

9) «+Y/a3²+y²+»² = ®

1 Rï Xæ/ i "T

23) «11+Ö22 — ^•ll"t"-^22) ®²12—öll®22 -^²12—Al^22-

L z=JL

2 ’    V/2’

₃₉₎    «'ll).

'öjl 022'

Literatura. G. Monge: Application de l’analyse à la geometrie. Cinquième édition par M. Liouville. Paris 1850. Dr. Reinhold Hoppe: Lehrbuch der analytischen Geometrie. II Teil Leipzig 1890. George Salmon: A treatise on the analytic Geometry of three dimensions. Dublin 1882.

lematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya powierzchni określonych równaniami kształtu: z=f(x, y).

2.    Teorya powierzchni określonych równaniami kształtu: F{x, y, z) = 0.

3.    Teorya powierzchni określonych układem równań kształtu: x = /(«, v), y =*9(2*, u),

z = <!»(«, i>).

Wykład Liii.

Teorya krzywizny powierzchni.

1. Środki krzywizny powierzchni. W teoryi krzywych płaskich nazywamy punkt przecięcia się normalnych w pewnym punkcie z normalną w punkcie sąsiednim środkiem krzywizny w danym punkcie linii krzywej. Chcąc zastosować to określenie do powierzchni zbadajmy, jakie położenie względem normalnej w danym punkcie powierzchni mają normalne w punktach sąsiednich.

Normalna w punkcie P(æ, y, z) powierzchni: z=f(x, y) jest określona równaniem :

(1)

X—x+p(Z—z)=0, Y— y f q (Z—*)=0.

Około tego punktu istnieje nieskończenie wiele (oo¹) punktów sąsiednich danej powierzchni, mających spółrzędne : -

x-[-dx, y + dy, z-\~dz=z-\-pdx-\-qdy, dv

gdzie stosunek: -/-=& jest dowolnym parametrem.

(XX

Normalna w którymkolwiek z tych punktów sąsiednich otrzymuje równania :

X—x—dx+(p+dp) (Z—z—dz)=0, Y— y—dy + (q + dq) (Z— z— dz) = 0    (1')

Warunki, pod którymi normalna ta przetnie normalną w punkcie P(x, y, z) otrzymujemy, odejmując od siebie kolejno co dwa równania, czyli co najedno wychodzi, różniczkując równania (1') według x i y; otrzymujemy wtedy równania warunkowe :

a stąd :

—dx—pdz+(Z—z)dp=0, —dy—ądz+(Z—z)dq=0,

„ dx+pdz Z—z=- =

dy + qdz

dp

dq

Ażeby więc dwie normalne sąsiednie miały punkt wspólny, musi spełnić się warunek :

Ponieważ jednak:

dx+pdz _ dy-\-qdz dp    dq

dz=pdx+qdy, dp=rdxĄ-sdy, dq=sdx+tdy, przeto warunek powyższy sprowadza się postaci:

sdx-\-tdy

dx+p(pdx + qdy) _ dy+ q(pdx + qdy) rdx+sdy

dv

. Kładąc:    ż, otrzymujemy stąd równanie:

CIX

1 +p²+pqA_ (1 + q²)A+pq

r-f sA

s -f- tA

przedstawiające warunek, pod którym normalna w punkcie P(x, y, z) przecina się z normalną sąsiednią. Uporządkowawszy powyższe równanie podług A otrzymujemy:

[(1 + q²)s—pqt]A²+[(1 + ą^r— (1 +p²)t]A Ą-pqr— (1 +p²)s=0,

(4)

dy

a więc równanie drugiego stopnia ze względu na dowolny parametr: A=

Istnieją więc dwie wartości na A spełniające powyższy warunek.

Innemi słowy: Pomiędzy wszystkiemi normalnemi, jakie wykreślić można w nieskończenie małem otoczeniu danego punkt P(ar, y, z) powierzchni istnieją tylko dwie takie, która przecinają normalną punktu P {x, y, z)] wszystkie inne normalne są względem normalnej punktu P(x, y, z) powierzchni wichrowate. Powyższe dwa punkta przecięcia się normalnych sąsiednich nazywamy dwoma środkami krzywizny w punkcie P(x,y,z) danej powierzchni (fig. 229).

Odpowiednie promienie krzywizny jako odległości punktu P(x, y, z) od tychże dwu środków krzywizny wy-

dx

i\

na

Ir

tL,

znaczymy z wzoru :

i?*

q²={X—*)²-l-(y—y)²+(Z—z)², który ze względu na to, że:

X—x=~p(Z—z), P—y--=—q(Z-z),

f-

Fig. 229.

otrzymuje kształt :

Q²=(p² + q²+l)(Z—z)²₁ czyli: ę-=^p²+q²+l(Z—z). dx+pdy 1 Ą-p²-\-pqA dp    r+sA ’

A że :

Z-g.

Z—z=

dy+qdz (1 +q*)A+pq

tudzież :

przeto otrzymujemy na odnośne promienie krzywizny dwa równania:

^łig^yp+ji+i,    i,

z których po wyrugowaniu A, otrzymujemy równanie drugiego stopnia ze względu na ę w postaci:

(rt—s²)ę²—[(l + g²)r—2pqs+(l + p²)t]^p²-\-q² + i (>-Kp² + g²-f 1)²=0    (6)

zgodnej z postacią pod 23 w art. 13 poprzedniego wykładu otrzymaną, wyznaczające dwa główne promienie krzywizny, odpowiadające przyjętemu punktowi P(x, y, z) powierzchni: z=f(x, y)\ odległości danego punktu od jego dwóch środków krzywizny wyznaczają więc największy i najmniejszy promień krzywizny wszelkich krzywych przez ten punkt przechodzących, czyli główne promienie krzywizny.

9

2. Powierzchnia środków krzywizny. Środki krzywizny odpowiadające wszystkim punktom danej powierzchni z —f (a?, y) tworzą pewną powierzchnię zwaną powierzchnią środków krzywizny danej powierzchni.

dq

s + tA

(5)

- 881 —

Spółrzędne X, Y, Z środków krzywizny są w punkcie P(x, y, z) spół-rzędnemi punktów przecięcia dwu sąsiednich normalnych, określają się według (1) wzorami :

V-P² + 2²-H

X—x=—p(Z—z), Y—y— —ą[Zj—z), Z—z

z których otrzymujemy równania:

x=

x__. W.    Y=ii—    ^    -

V/'²+9,2+1* Vij2 + 3'² + l

Vp²+Ï²+1

(7)

Wyrugowawszy z tych równań przy pomocy równania z=f(x, y) zmienne x, y, z, otrzymamy jedno równanie między zmiennemi X, Y, Z w postaci F(X, Y, Z) = 0 jako równanie powierzchni środków krzywizny danej powierzchni: z=f{x, y).

Do każdego punktu powierzchni należą dwa środki krzywizny odpowiadające dwu wartościom na otrzymujemy więc na mocy wzorów (6) dwa równania, a więc dwie powierzchnie środków krzywizny, jedną powierzchnię środków największej, drugą powierzchnię środków najmniejszej krzywizny. W ogólności tworzą obie te powierzchnie dwie powłoki jednej powierzchni, zwanej ogólnie powierzchnią środków krzywizny.

3. Uwaga. Powierzchnia środków krzywizny danej powierzchni odpowiada w teoryi krzywych płaskich krzywej środków krzywizny, zwanej ewolutą danej krzywej. Jak normalna krzywej płaskiej jest styczną do ewoluty w odpowiednim środku krzywizny, tak też jest każda normalna do powierzchni styczną do jej powierzchni środków krzywizny i to styczną w dwu punktach, t. j. w dwu odpowiednich środkach krzywizny, gdyż każdą normalną przecinają dwie sąsiednie normalne w dwu różnych punktach, mianowicie w środkach największej i najmniejszej krzywizny.

4 Kry tery a krzywizny. Główne promienie krzywizny ęi i q₂ dają pojęcie o krzywiźnie w danym punkcie powierzchni: z=f(x, y) i jej rodzajach. Uwzględniając, że iloczyn głównych promieni krzywizny wyraża się wzorem :

(p²-\-q² +1)²

rt — s²

QiQ% —

a promień krzywizny ę w dowolnym przekroju normalnym określony jest wzorem Eulera :

1 cos² a . sin² a

Qi

dochodzimy do następujących wniosków:

a)    Jeżeli rt—s²^>0, natenczas jest iloczyn ęię₂ dodatni, główne promienie krzywizny są wtedy oba jednakowego znaku. Tego samego znaku są też promienie krzywizny we wszystkich przekrojach normalnych. Środki krzywizny leżą wtedy po jednej stronie normalnej punktu P(x, y, z) powierzchni. Powierzchnia jest w tym punkcie w jedną stronę skrzywiona. Punkt taki nazywamy punktem elliptycznym;

b)    Jeżeli rt—si<CO, natenczas iloczyn ęię₂ jest ujemny, główne promienie krzywizny są wtedy znaku przeciwnego, promienie krzywizny leżą między granicami i ^)₂, są więc częściowo dodatnie, częściowo ujemne. Środki krzywizny leżą tedy po przeciwnych stronach normalnej punktu P(x, y, z) powierzchni. Powierzchnia jest w tym punkcie siodełkowatą. Punkt taki nazywamy punktem hiperbolicznym. W takim punkcie istnieją prze-

- 832

kroje normalne, w których promienie krzywizny są nieskończenie wielkie, a położenie odnośnych płaszczyzn normalnych określone jest wzorem:

sin² a

cos² a

0, czyli: tang q = H-

Są to dwie płaszczyzny ułożone symetrycznie względem płaszczyzn głównych tego punktu Ich przekroje wykazują w tym punkcie krzywiznę

Q\

— równą zeru, podczas gdy przekroje normalne wykazują bądź dodatnią

9

bądź ujemną krzywiznę.

c) Jeżeli rt—s²=0, natenczas iloczyn ęiQ₂ = cc , zatem przynajmniej jeden z głównych promieni krzywizny w tym punkcie jest nieskończenie wielki. Powierzchnia wykazuje wtedy w jednym przekroju głównym krzywiznę równą zeru, a we wszystkich swych przekrojach normalnych krzywiznę tego samego znaku. Punkt taki nazywamy punktem parabolicznym.

Gdyby w takim punkcie były oba główne promienie krzywizny nieskończenie wielkie ^=00, q₂ =00, wtedy byłyby wszystkie promienie krzywizny nieskończenie wielkie, a punkt taki byłby punktem płaskim.

5. Krzywa wskazująca (Indicatrix) Dupina. Pojęcie o krzywiźnie w danym punkcie P(x, y, z) powierzchni g=f(x,y) o głównych promieniach krzywizny Qi i ę₂ może dać przekrój powierzchni płaszczyzną przeprowadzoną w pewnem oddaleniu równolegle do płaszczyzny stycznej w tym punkcie.

Weźmy pod uwagę obok punktu P(x, y, 0) powierzchni z=f{x, y) punkt inny Q{xĄ-x\ y+y', z-\-z‘) tej powierzchni, mamy wtedy związek:

y+y')>

z którego na mocy szeregu Taylora otrzymujemy:

.    ..    . , dz dz 1    , ₀ d²z

dxdy

x‘y'⁺\^yn\+R»

*+*'_/(*, y)+Tx*+^y+~sls** +a

rxl2

0'=px, + qÿ+-âr-

Przyjmując punkt P(x, y, z) za początek układu, a płaszczyznę styczną w tym punkcie za płaszczyznę XOY, ślady dwóch płaszczyzn głównych tejże płaszczyźnie stycznej za osie OX i OY otrzymamy:

0=0, p=q=0, s=0, r=—

czyli :

(8)

na

x=y=

9\

Oznaczając przez h odstęp płaszczyzn równoległych, a więc, kładąc #'=ń, otrzymujemy na podstawie wzoru (8) wzór:

(9)

⁺ 2?3-

A zatem : Płaszczyzna poprowadzona równolegle do płaszczyzny stycznej danego punlctu powierzchni w nieskończenie małem oddaleniu przecina powierzchnię podług krzywej drugiego rzędu, zwanej krzywą wskazującą Dupin a.

Główne osie krzywej Dupin’a wskazują główne kierunki krzywizny w danym punkcie powierzchni.

Krzywa ta jest:

a) ellipsą (fig. 230), skoro oba główne promienie krzywizny ęi i q₂ i odstęp h mają jednakowe znaki, czyli, jeżeli rt—s²;> 0, a więc powierzchnia jest skrzywioną w jedną stronę normalnej ;

ß) hiperbolą (a właściwie w nieskończenie małem otoczeniu punktu styczności ma postać hiperboli) (fig. 231), jeżeli oba główne promienie krzywizny mają przeciwne znaki, jeżeli więc rt—s²<;0, czyli, jeżeli powierzchnia jest w danym punkcie siodełkowatą.

Fig. 230.

Fig. 231.

Fig. 232.

y) Jeżeli z dwu głównych promieni krzywizny i p₂ jest jeden nieskończenie wielki, wtedy krzywa Dupin’a w nieskończenie małem sąsiedztwie punktu styczności sprowadza się do paraboli, względnie do dwu prostych równoległych (fig. 232), otrzymując, gdy ęl= oo równanie:

, a dla p₂=oo, równanie x=-+^2ę₁h.

6. Krzywizna Graussa. Krzywizna k w danym punkcie krzywej płaskiej określa się, jak wiadomo, stosunkiem kąta styczności do różniczki łuku, czyli dc

Stosunek ten można uzmysłowić geometrycznie w ten spo-

wzorem :

sób: Wykreślmy w dwu sąsiednich punktach P, Q krzywej w odstępie PQ=ds normalne, a z dowolnego punktu O, jako środka, koło o promieniu 1, poprowadźmy proste równoległe do obu normalnych, proste te przetną koło ktach P' i Q', odległość P‘Q' będzie tedy miarą kąta styczności de, otrzymu-dc P'

jemy tedy:    =    Miarę krzywizny w danym punkcie krzywej

płaskiej możemy więc określić jako stosunek między elementem koła mieniu równym jednostce, łuku koła są równoległe do normalnych w końcach elementu krzywej.

Gauss uogólnia to określenie krzywizny krzywych płaskich do powierzchni w sposób następujący. Wyobraźmy sobie na danej powierzchni dowolnie ograniczoną część powierzchni PQP (fig. 233), a w punktach ograniczenia wykreślone normalne do powierzchni, obierzmy sobie obok powierzchni dowolny punkt 0, jako środek kuli o promieniu równym jednostce i wykreślmy z tego punktu promienie równolegle do normalnych wykreślonych w powyżej przyjętych punktach powierzchni, tenczas promienie te wyznaczą na kuli pewną krzywą P'Q'P‘, odpowiadającą przyjętej krzywej na powierzchni.

w pun-

o pro-

elementem krzywej, gdzie końcowe promienie

R’\

P’

0'

na-

Fig. 233.

Skończonemu polu ograniczonej powierzchni odpowiada również skończone pole na kuli. Stosunek między tern polem kuli a odpowiedniem poi powierzchni możemy uważać

em

za

miarę krzywizny tejże części powierzchni.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

53

Ażeby w myśl tego uogólnienia wyznaczyć krzywiznę w danym punkcie powierzchni z—f(x,y) obierzmy nieskończenie mały element / tej powierzchni

będzie szu

i wykreślmy odpowiedni element cp na kuli, natenczas stosunek

kaną miarą krzywizny. Jako nieskończenie mały element powierzchni możemy przyjąć trójkąt prostokątny, powstały w ten sposób, że obok punktu P(x, y, z) powierzehni przyjmiemy dwa nieskończenie bliskie punkta Q i B w kierunkach osi OX i OY, jako wierzchołki trójkąta (fig. 233), a więc punkta:

P(x, y, z), Q{x+dx, y, z+dxz), B{x, y + dy, z+dyz),

czyli :

P(x, y, *), Q{x+dx, y, z+pdx), B(x, y + dy, z+qdy).

Trójkąt PQB rzuci się tedy na płaszczyźnie XOY jako trójkąt o powierzchni — dxdy, a że wielkość trójkąta płaskiego jest równa wielkości jego

rzutu podzielonej przez cos kąta, jaki płaszczyzna trójkąta tworzy z płaszczyzną rzutową, a kątem tym jest w tym przypadku kąt y, jaki styczna w punkcie P(x, y, z) tworzy z płaszczyzną XOF, a więc określa się wzorem:

cos y

Ip'+i'+i’

przeto oznaczając powierzchnię trójkąta PQB przez d²F, otrzymamy wzór:

d²F=

^-dxdy^p²+q²+.L.

Wykreślmy teraz odpowiedni trójkąt P‘Q‘R' na kuli, a otrzymamy, jako wierzchołki odpowiednie punktom:

P(x, V, *), Q(x+dx, y, z+pdx), B(x, y+dy, z + qdy),

powierzchni, punkta:

P‘(X,Y,Z),    Q'(X+||

R‘

dx,

àX v dF    dZ \

öydy’ Y+öydy' *+**>

dX' T+dx

na kuli.

Rzut tego trójkąta na płaszczyznę XOY otrzymuje powierzchnię określoną wzorem:

X,

dX

Cm

X -]—-— dx, Y-f-

dx

dx, 1 i

dX

X+-—dy, Y+

dy

dy, 1

-fl * fi %

§■ &

dX dY

= 2 dx dy

dx ’ dx dX dY

dy ’ dy

Wobec tego powierzchnia trójkąta (P'Q'R'), którą oznaczmy przez d²@, ze względu na to, że płaszczyzna trójkąta I‘Q'R' jest równoległą do płaszczyzny trójkąta PQB, otrzymuje wartość:

d²Q>dx dy^ p²+q²+1

(10)

dx ’ dx dX dY dy ¹ dy

8B6

zatem stosunek :

d²&

7c d²F

SIR* R

dY\

dx

dY

dy

- dJC dI_ ÖÄ dÄ

dx ' dy dy ’ dx *

(U)

Pozostaje nam tedy wyznaczyć tylko spółrzędne X, Y, Z punktu P‘ na kuli, odpowiadającego punktowi P(x, y, z) na powierzchni.

Jeżeli środek kuli o promieniu równym jednostce przyjmiemy w początku układu, a z punktu tego wyprowadzimy prostą równoległą do normalnej w punkcie P(a;, y, z) powierzchni, wtedy oznaczając przez a, /?, y kąty, jakie ta normalna tworzy z osiami układu, otrzymujemy:

X=cos a, Y= cos ß, Z=cosy, cos ß

a że:

przeto będzie :

cos a

cos y

-1

Vp²+2²+i

V^² + 3'²+l;

Wobec tego otrzymujemy:

dX _ ( 1 + q ²)r +pqs dx    (p² O’² -f-1 )3/* ’

dX    (l + g²)s+pgź

dy — (p²+g²+l)a^ ’

Y ______g    z

Vp² + g'²+1’

Vj»i2 + '7²+1

dY (l-±-p²)s+pqr dx (p²+q²+l)³l* ’ dY (1 -\-p²)l+pqs dy ~ {p²+q² + iyi>'

zatem :

dXdY_ dXdY_ (rt—s²)(l+p²+<Z²) dx dy dy dx

(p² + ?2+₁₎₃

rt—s²

“CP²+y² + l)²’

określający miarę krzywizny powierzchni, zwaną krzywizną Gaussa.

Szukając związku między krzywizną Gaussa a głównymi promieniami krzywizny (>₂, których iloczyn wyraża się wzorem:

otrzymujemy wzór: k=—

A zatem : Krzywizna Gaussa w danym punkcie powierzchni jest rôivna odwrotnej wartości iloczynu głównych promieni krzywizny w tym punkcie.

7. Krzywizna dodatnia, ujemna i zerowa. Krzywiznę Gaussa w danym punkcie powierzchni nazywamy też zupełną krzywizną powierzchni w tymże punkcie.

Punkta, w których krzywizna zupełna k jest dodatnią, a więc punkta, w których główne promienie krzywizny ęi i są tego samego znaku, czyli t. zw. punkta elliptyczne na powierzchni, nazywamy też punktami o dodatniej krzywiźnie zupełnej, a powierzchnie, w których wszystkie punkta mają krzywiznę dodatnią (&>»0), nazywamy powierzchniami o krzywiźnie dodatniej.

Punkta, w których krzywizna k jest ujemną, a więc punkta, w których główne promienie krzywizny p, i p₂ przeciwnych znaków, czyli punkta hiperboliczne, nazywamy też punktami o ujemnej krzywi-

a więc wzór:

(P²+ï²+1)

rt—s²

(12)

(IB)

źnie zupełnej, a powierzchnie, w których wszystkie punkta mają krzywiznę ujemną (&«<0), nazywamy powierzchniami o krzywiźnie ujemnej.

Punkta, w których krzywizna Tc jest równa zeru, a więc punkta, w których przynajmniej jeden z głównych promieni krzywizny jest nieskończenie wielki, czyli t. zw. punkta paraboliczne, nazywamy też punktami o krzywiźnie równej zeru, a powierzchnie, w których wszystkie punkta mają krzywiznę zupełną, równą zeru (Jc=0), nazywamy powierzchniami o krzywiźnie

zerowej.

Jeżeli krzywizna zupełna otrzymuje w poszczególnych punktach powierzchni stale tę samą wartość niezależną od spółrzędnych punktu, natenczas nazywamy taką powierzchnię powierzchnią o stałej krzywiźnie. Według tego dzielimy powierzchnie o stałej krzywiźnie na a) powierzchnie o stałej krzywiźnie dodatniej, określone warunkiem:

*²,

1    rt—s²

(Mb ⁼(P² + <?² + ï?

b) powierzchnie o stałej krzywiźnie ujemnej (fig. 234) określone warunkiem :

= - c²

rt—5²

(i>² + tf² + l)²

c) powierzchnie o stałej krzywiźnie zerowej, określone warunkiem:

Fig. 234.

Tc=—

rt—s²

Q\Q\

(P² + ?²+l)

2=0, czyli: rt—s²=0.

8. Punkta kuliste czyli punkta pępkowe powierzchni. Szukając kierunku głównych płaszczyzn w danym punkcie P(#, y, z) powierzchni na podstawie wzoru:

[(1 + q²)s — pqt]A ² + [(l + q²)r—(l4-p²)t]A-}-pqr—(l-{-p²)s=0,

przypadek, w którym szukany kierunek jest nieozna-ma na A nieskończenie wiele pierwiastków,

możemy natrafić na ozony, gdy równanie powyższe przypadek, w którym wszystkie trzy spółczynniki równania są zerami, a więc spełniają się równania warunkowe:

(14)

(1-f q²)s—pqt = 0, (l + q²)r—(ld-p²)ż=0, (l + p²)s— pąr=0.

Z tych trzech równań jest jedno wynikiem dwu innych, a więc dwa z nich wystarczają do wyznaczenia spółrzędnych x, y, z takich punktów.

Powierzchnia ma w takich punktach nieskończenie wiele kierunków głównych, promienie krzywizny wszystkich przekrojów normalnych przez ten punkt przeprowadzonych są wtedy jednakowe. Powierzchnia ma więc w tym punkcie kształt kuli, a punkt taki nazywamy punktem kulistym albo punktem pępkowym (pępkiem) powierzchni. Krzywa wskazująca Dupina jest w takim punkcie kołem.

Punkta kuliste określone równaniami (14), występują na powierzchniach w ogólności jako oddzielne punkta, w szczególnych przypadkach mogą tworzyć pewne krzywe na powierzchni. Powierzchnią o samych punktach kulistych jest tylko powierzchnia kuli.

9. Rozwijalność powierzchni na innej powierzchni. Krzywizna Gaussa spowodowała teoryę rozwijalności jednej powierzchni na drugiej. Powierzchnia

jest na drugiej powierzchni rozwijalną, jeżeli można ją na tej drugiej powierzchni rozwinąć bez zmiany jej wymiarów. Odpowiednie elementa obu takich powierzchni muszą mieć tedy jednakową wielkość, innemi słowy krzywizna Gaussa jest w odpowiednich punktach dwu powierzchni na sobie roz-wijalnych jednakową.

Powierzchnie rozwijalne na płaszczyźnie, zwane zwykle powierzchniami rozwijalnemi, mają w każdym punkcie krzywiznę zupełną równą zeru, ich punkta czynią więc zadość równaniu różnicznikowemu cząstkowemu drugiego rzędu, kształtu :

rt— s²=0,

które też nazywamy równaniem różniczkowem powierzchni rozwi-jalnych na płaszczyźnie.

Powierzchnie rozwijalne

punktach stałą krzywiznę zupełną Jc równą —: stkowe kształtu :

na kuli o promieniu a mają we wszystkich Równanie różniczkowe czą-

2‘

rt—s²

(p²-f- <?²+l)² a² ’

jest więc równaniem różniczkowem wszystkich powierzchni rozwijalnych na kuli o promieniu a. Powierzchnie o stałej krzywiźnie dodatniej są więc powierzchniami rozwijalnemi na kuli.

Powierzchnie rozwijalne na powierzchni

o stałej krzywiźnie ujemnej: Jc=—^

pseudosferą o promieniu a, jaką jest traktry-soida (fig. 235), t. j powierzchnia powstała przez obrót traktrysy około jej asymptoty mają we wszystkich punktach stałą krzywiznę zupełną

Jc równą —równanie różniczkowe cząstko

we kształtu : rt—s²

(P²+g² + l)²

jest więc równaniem różniczkowem wszystkich powierzchni rozwijalnych na pseudosferze o promieniu a. Powierzchnie o stałej krzywiźnie ujemnej są więc powierzchniami rozwijalnemi na pseudosferze.

10. Spółrzędne krzywolinijne na powierzchniach. Jeżeli powierzchnia określona jest trzema równaniami kształtu:

x=f(u, v),    y=(p(u, v) z=ip(u, v),

o dwu parametrach zmiennych w, v, natenczas każdej parze przyjętych wartości Mj, vi parametrów u i v odpowiada pewien punkt tej powierzchni. Każdy punkt występuje tu jako przekrój dwu krzywych u=ui1 v=vi, z których jedna należy do układu krzywych w, druga do układu krzywych v, jakiemi pokryta jest powierzchnia powyższemi równaniami określona. Szczególne wartości m1? vi parametrów w, v, nazywamy spółrzędnemi krzy-wolinijnemi punktu na danej powierzchni, a krzywe u i v nazywamy krzywemi parametrowemi tej powierzchni.

(15)

zwanej

• /I

few.

Fig. 23B.

niej wykreślonych, których równanie określa v w postaci cp{u, v)=0. Ilość układów krzywolinijnych na danej powierzchni: F{x, y, z) = 0 jest nieograniczona; każdy taki układ otrzymamy, wyrażając spółrzędne x, y, z punktu ruchomego jako takie funkcye dwu niezależnych parametrów u i v, ażeby przez wyrugowanie tych parametrów z odpowiednich trzech równań:

Spółrzędne krzy wolinijne punktu na powierzchni nazywają, niekiedy także spółrzędnemi Gaussa. Są one ściślej związane z naturą powierzchni samej bez względu na jej położenie w przestrzeni, dla tego używa się ich z korzyścią przy badaniu powierzchni i wyszukiwaniu jej własności lub własności pewnych krzywych na dowolny związek między parametrami u,

x=f(u, v), y=(p(u, v), z=cp{u, v)

wypadło równanie dane kształtu: F(x, y, z)=0.

11. Różniczka luku na powierzchni, określonej trzema równaniami, kształtu: x=f(u₉ v), y = cp(u₉ v),    v). Element łuku krzywej w prze

strzeni określa wzór :

ds¹=dx¹ + dy¹ + dz¹.

Mamy tu na podstawie danych równań:

dx=

dx

du

du 4- —dv=a du-\-a' dv, dy—^-du + ^~dv=b duĄ-b‘ dv, dv    du dv

dz

dz

dz=-du + -dv=cdu-\-c‘dv,

du

dv

gdzie :

dx    df

d    du’    a dv

dx df i - dy dcp dv ’    du du'

dz dip t dz dtp C =dv ⁼ dv’

V=dy = dcp-dv dv ’

C du du’

ds¹=(a du fa¹ dv)¹-\-(b du + b' dv)¹-\-(c du + c¹ dv) a stąd : ds¹={a¹-\-b¹-\-c¹) du¹-ł-2(ua‘ Ą-bb' -f cc¹) du dv+ (a'¹+b‘¹-\-c¹²) dv¹,

ds¹=E du¹ + 2Fdu dv + G dv¹,

(16)

czyli element łuku na tej powierzchni, wykreślonego z punktu P(w, v), w kierunku określonym stosunkiem :

du

dv"

Spółczynniki :

E=

©'+ (I)¹- (£)-

a¹-j-ó¹-fc¹,

T. dx dx dy dy dz dz ,

1    ——[- — ——f — ——aa + bb -f cc ,

du dv du dv du dv

a>2-\-b‘¹-\-cl2,

mają dla wszystkich elementów, wychodzących z tego samego punktu (u, v) powierzchni: x=f(u, v), y = ęp(u, v), z=ip(u,v), w tymże punkcie te same wartości i nazywają się zasadniczemi wielkościami pierwszego rzędu w danym punkcie powierzchni.

Jeżeli na dwu powierzchniach, których równania przedstawione są w tych samych parametrach u, v, wielkości zasadnicze J£, F, G są te same, natenczas na podstawie równania (16) są takie długości wszystkich odpowiednich elementów równe, skąd wnosimy, że powierzchnie, mające ze względu na te same parametry w, jednakowe wielkości zasadnicze są na sobie roz-wijalne.

Uwaga. Jeżeli spółrzędne x i y są same parametrami, a więc powierzchnia ma równanie £=/'(#, y), wtedy otrzymujemy:

E=l+p², F—pq, 6r=l-fV²,

zatem wzór na element łuku na powierzchni z—f{x, y), w postaci:

(17)

ds²=( 1 -\-p²) dx²-\-2pq dx dy -f (1 + q²) dy².

12. Kąt zawarty między dwoma lukami na powierzchni. Jeżeli «, ß, y> przedstawiają kąty, jakie element łuku, pi-zechodzący przez dany punkt (u, v) powierzchni:

x = f(u, v), y = y(u, v),    »)

tworzy z osiami układu, wtedy mamy:

cos a —

dx

ds '

cos ß —

dy

ds

cos y =

zatem :

cos a

dx    ,àx

— du 4- — dv du dv

dy

dy

V Edu²+2Fdudv+Gdv² ’

cos ß

—-duA- dv du dv

v/ E du²+2F du dv \-Gdv ’

cos y —

y/E du²-\-2F du dv-\- G dv²

dv

Kładąc: — = X, otrzymujemy stąd wzory:

cos a

dx d x du ' ' dv

ày

dy

d2_LX — à u ¹ ùv

VE±2I<k+Gl² '

-2-LX-^ du dv

cos ß =

cos y —

VE-y2Fh-\-G\'t ’

wyznaczające styczną odpowiadającą parametrowi X.

Dwa łuki w punkcie P(w, v), z których jeden odpowiada parametrowi X, drugi parametrowi X' zawierają kąt w, którego wielkość wyznacza się wzorem:

cos w = cos a cos a'-|-cos ß cos ß'-j-COS Y COS y' =

\/E+2Fk+G\^

⁺(E+x^)(^+x/<l)⁺

GX²). (_EM-2*X'+6?X'²

czyli :

cos w =

-E+-F(X-!-X')-t-gXX'_

v/(K+ 2PX-}- ÖX²) (E-y2FX'-y GX‘²j Dwa łuki w danym punkcie P(u, v) przecinają się zatem pod kątem prostym, skoro :

#4-i7(X-fX')+(?XX' = 0.

Jeżeli z dwu elementów łuku, wychodząc3rch z punktu P(m, p), wpada jeden w krzywą u = c stałej, drugi w krzywą v = c stałej, wówczas otrzymujemy w pierwszym przypadku du — 0, zatem X = oo, w drugim dv — 0, zatem X'= 0, kąt zawarty między temi krzywemi wyznacza się wtedy wzorem:

EG—F2 EG ‘

skąd wynika : sin

cos « — — ,_

V/EG

Warunek prostopadłości krzywych u i v przedstawia się tedy w postaci: F= 0, a różniczka łuku określa się wzorem:

dsi = Edui+Gdv\

13. Promień krzywizny przekroju normalnego powierzchni jc=f(u,v) f y=cp(u, v), &=ip(u, vj. Płaszczyzna styczna w punkcie (u, v) powierzchni x —f(u, v), y=cp(u, v), 0=ip(u, v) ma równanie:

A (X—x) + B ( Y- y)+C {Z-z) - 0,

gdzie spółczynniki A, B, G są wyznacznikami funkcyjnymi we wzorze (6) str. 414 określonymi. Dowolna płaszczyzna normalna w punkcie P{u, v), jako prostopadła do płaszczyzny stycznej w tym punkcie, przetnie powierzchnię podług krzywej, której promień krzywizny ę możemy bezpośrednio w ten posób wyznaczyć. Niech będzie PQ=ds elementem łuku tego przekroju, ó odległością punktu Q(uĄ-du, v+dv) od płaszczyzny stycznej, tedy będzie

ds²=2çô, zatem q=

ds²

2(5'

Odległość ô punktu Q(u + du, v + dv) od płaszczyzny stycznej w punkcie P(w, v) będzie nieskończenie małą rzędu drugiego, wyznaczoną wzorem:

„    1 Ad²x+2B d²y+Cd²z

⁰⁼⁼2\

fA²+B²+C²

a że :

d²x=

d²x

du²

du² + 2

d²x

d'lx

du dv

- du dv +    ₂ dv²

d²y =

à²y

du²

du² + 2

à² y

du dv

du dv +

à²y

dv²

dv²,

d²z

d²z= —₂ du² + 2    du dv + — dv²,

du²    dudv    dv¹

przeto otrzymujemy:

gdzie :

R=

Aà²x. ndhj i r A^'+Bdu2+C

du²

- [jR du²-\-2Sdu dv + T dv²]

u

. d²X T* ” V SI

A ——— -f- B v - + G A A

du dv du dv du dv

^J² + Bt+C²

d²z

du²

S=>—

à² y

d²z

A że :

przeto otrzymujemy :

VA² + B²+Ć²

Ad*Ą+B

T= dV =

fA²+B²+C²

ds²=E du²+2F du dv + G dv²,

dhj

dv²

fcO w

(18)

y s² __ Edu²+2Fdudv+Gdv2 ® 2(5    R du²+2 Ś dudvT dv²

dv

skąd kładąc

=A, otrzymujemy wzór:

P+2FAą- GA2 B+2SA+TA²

przedstawiający promień krzywizny w przekroju normalnym punktu P(u, v), określonym parametrem A.

14. Główne promienie krzywizny w punktach powierzchni x=f(u, v), y=(p(u, v), z=ty(u, vj. Główne krzywizny znajdziemy z warunku: ^|=0. Otrzymujemy tedy z (19) równanie na A w postaci:

R+2SA+TA², SĄ-TA P+2FA+GA², F+GA ’

(19)

czyli równanie stopnia drugiego kształtu :

E, S    R,

i', I E,

Główne promienie krzywizny wyznaczone będą tedy stosunkami : E+2FA + GA² F+GA E+FA Ç~R+2SA+TA* ~ S+TA ~ R+SA ’

G. F

A²=0.

(20)

czyli równaniami: (S+ TA)ç=F+ GA, (R + SA)q=E-\-FA,

z których po wyrugowaniu parametru A, otrzymujemy równanie stopnia drugiego ze względu na q ;

(R T— S²)q ²—( GR+ET—2 FS)ę + (EG—F²)=-0, wyznaczające oba główne promienie krzywizny p₂ w danym punkcie powierzchni :

(21)

x=f{u, t>), y==ęp(M, v), z=ip(u, v).

Na podstawie tego równania znajdujemy : a) krzywiznę Gaussa, czyli zupełną krzywiznę:

_ RT—S2 EG-F² ’

(*1 @2

b) średnią krzywiznę:

(22)

t-H

1 _ GR+ET—2FS

EG-F²

Punkta kuliste (^₁₌=ę₂) będą określone równaniami:

E _ F _G R~~S=a~T’

a punkta pseudosferyczne (Pi= —p₂) równaniem:

Çi

(23)

(24)

GR+FJT—2FS=0.

Wielkości Ii, S, T określone wzorami (18),

występujące przy badaniu krzywizny powierzchni o równaniach: x=f(u, v), y = <p(u₎ v), z = ty(u,v), nazywają się zwj'kle zasa-dniczemi wielkościami drugiego stopnia.

Ćwiczenia LII.

1)    Wykazać, że przekrój powierzchni płaszczyzną równoległą i nieskończenie bliską do płaszczyzny stycznej w danym punkcie powierzchni jest w ogólności krzywą rzędu drugiego (w nieskończenie małem otoczeniu punktu styczności).

2)    Wykazać, że odległość punktu: (x-{-dx, y-\-dy, z-\-dz), powierzchni z—f(x, y) od płaszczyzny stycznej w punkcie P(x, y, z) tej powierzchni otrzymuje wartość:

^ r cfcc²-j-2s dx dy-\-t dy*

2\/p^Ą-g^Ą-l

3) Wykazać, że kierunki główne w punkcie P(x, y, z) powierzchni z — f(x, y) określa

^ które możemy przedstawić w postaci:

równanie stopnia drugiego ze względu na 1 =

dx ’

X², -X,    1

l+2>², P<h 1+?² =0.

4) Wykazać, że t. zw. średnia krzywizna w danym punkcie P(x, y, z) po wierzchni z=f(x₁ y) ma wartość:

(l+P²+2²)³/>

11 _(l-ri>²)^+(l+2²)r—

Pi Fi

— 842 —

5) Wykazać, że t. zw. zupełna krzywizna w danym punkcie P(x, y, z) powierzchni z = f(x, y) ma wartość :

rt — s²

¹

atem : czyli wzór:

przedstawiający odległość dwu punktów, odpowiadających parametrom (w, v) i fuĄ-du, v-\-dv), leżących na powierzchni:

x=f{u, v), y=cp(u, v), z=tp(u, v),

P1P2 — OM-ïM-i)² ’

0) Wykazać, że punkt P(x, y, z) powierzchni z—f(x, y) jest jej punktem kulistym skoro spełniają się relacye :

l+P², pq

ho,

pq, 1+2²

= o,

z których jedna jest następstwem dwu pozostałych.

7) Wykazać, że główne promienie krzywizny pj i p₂ w danym punkcie P(x, y, z) powierzchni z — f(x, y) są równe, lecz znaku przeciwnego, skoro :

(ld-2²)r-j-(l-f-p²) ł—‘2pqs = 0.

y'l

8) Okazać, że normalne do płaszczyzn przecinających paraboloidę: -+—- = 2z

podług krzywych, mających w punkcie początkowym promienie krzywizny równe r, leżą na powierzchni stożkowej :

(*MV)³ = r²{x²-\-y²-\-z²)(^- + y) •

9) Znaleźć główne promienie krzywizny w tym punkcie, w którym oś cc-ów przecina powierzchnię:

2az²-\-z(x²-\-2xy-\-y²—2a²)— éaxy — 0.

10)    Wyznaczyć promień krzywizny przekroju normalnego w punkcie powierzchni:

2az²-\-z(x²-\-2xy-\-y²—2 a²)—4 axy = 0,

leżącym na osi æ-ôw, skoro styczna w tym punkcie przekroju jest prostopadłą do osi ic-ów.

/p2    yl

11)    Wyznaczyć punkta kuliste na powierzchni:--\-~ — 2z.

a b

12)    Wyznaczyć punkta kuliste (pępki) powierzchni xyz — a³.

13)    Wykazać, że promień krzywizny w punkcie kulistym powierzchni xyz = a³ jest równy odległości tego punktu kulistego od początku układu.

14) Wykazać, że kula o promieniu: r

abc

abĄ-ac-\-bc

(tJMDMt)*-¹

, której środek leży w początku

układu dotyka się powierzchni: w jej punktach kulistych.

15)    Wyznaczyć punkta kuliste powierzchni:

(aJ²-fy²-j-2;²)² = 4a²(aj²+«/²).

16)    Wykazać, że punkta paraboloidy elliptycznej, w których krzywizna Gaussa jest jednakową, tworzą linie krzywe rzucające się na płaszczyznę prostopadłą do osi paraboloidy jako ellipsy podobne.

17)    Wykazać, że powierzchnia, powstała przez obrót traktrysy około jej asymptoty (fig. 235) jest pseudosferą, mającą w każdym punkcie jednakową krzywiznę, równą —

jeżeli a jest stałą długością stycznej zawartą między punktem styczności a asymptotą.

18) Wykazać, że powierzchnia śrubowa wichrowata (powstała przez ruch prostej po osi OZ i po linii śrubowej : x = a cos ®, y = b sin ©, z = a<p, równolegle do płaszczyzny XOY) ma w każdym punkcie sumę głównych promieni krzywizny równą zeru.

19) Wykazać, że krzywizna Gaussa w danym punkcie P(x, y, z) ellipsoidy :

/j»2    yTh    2 2

+    +    otrzymuje wartość: K

8⁴

Pi P2

a²b²c² ’

gdzie 8 jest odległością płaszczyzny stycznej od środka ellipsoidy.

20) Wykazać, że punkta powierzchni: xyz — a(xyĄ-yz-\-xz), w których krzywą wskazującą jest hiperbola równoboczna, leżą na przekroju powierzchni ze stożkiem piątego

rzędu :

*⁴(y+*)+y⁴(*+*;ł+2!ł(*+y) = 0

— 84 B —

21) Wykazać, że punkta powierzchni: xi-\-yz-\-zi—3xyz—a'*, w których krzywa wskazująca jest hiperbolą równoboczną leżą na przekroju tej powierzchni ze stożkiem drugiego rzędu: xy-\-xz-\-yz = 0 i że ten przekrój jest kołem o równaniach:

x-\-y-\-z = a, xï-\-y'l-\-z‘i — a¹.

22)    Wykazać, że kula jest powierzchnią o stałej dodatniej krzywiźnie.

23)    Wykazać, że traktrysoida, t. j. powierzchnia powstała przez obrót trak trysy około jej osi, jest powierzchnią o stałej krzywiźnie ujemnej.

24)    Wykazać, że katenoida (powierzchnia powstała przez obrót linii łańcuchowej około jej osi) (fig. 236) jest powierzchnią o stałej średniej krzywiźnie równej zeru.

Fig. 236.

25)    Wykazać, że element ds łuku linii krzywej, leżącej na powierzchni, określonej równaniami : X=f(u, o), y — y(u, o), z — ty{u, v) wyraża się wzorem:

^ dudo -j-

+ [(£)’+ ©+ (s)¹]*’" -

=[©+(£)+(£)>’+<

ds²

dx dx .dydy dz dz du dv ~ du dv du do

26)    Wyznaczyć odległość punktu (cc-j-ń, y-\-k, zĄ-l) powierzchni : x = f(u, v), y = y{u,v), z — ty(u, o) od płaszczyzny stycznej w punkcie P(x, y, z) tej powierzchni.

27)    Wykazać, że odległość punktu (u-ty-du, vĄ-dv) powierzchni: x =/(«, v), y — y (u, v), 3 = 4(w, v) od płaszczyzny stycznej w punkcie (u, v) tej powierzchni otrzymuje wartość:

8 = — (R du²Ą-2S dudv+T dv²).

28) Wykazać, że promień krzywizny w dowolnym przekroju normalnym, przechodzącym przez punkt {u, v) powierzchni: x=f(u, v), y = y(u, o), z — ty (u, v) określa się wzorem :

dv

_E+2F\+Gl2 P ~ R+2S\-\-T\*

29)    Wykazać, że główne promienie krzywizny w danym punkcie (u, v) powierzchni: x =/(«, v), y = <p(u, v), z = ty(u, v) określają się równaniem:

{RT—S²) p²-\-{2ST-EF-GR)p-\-{EG—F²) = 0.

30)    Wykazać, że krzywizna Gaussa w danym punkcie (u, v) powierzchni: x — J{u, v),

y =*= cp(u, v), 2 — 4(ui v) wyznacza się wzorem: k

RT—S2 EG-I*

31)    Wykazać, że kierunki główne w punkcie (u, v) powierzchni : x—f(u, v), y = y(u, v),

z— ty (u, v) określa równanie stopnia drugiego ze względu na X —    , które możemy przed-

stawić w postaci :

X2, -X, 1 E, F, G =0,

R, S, Ï

32)    Wykazać, że t. z. wielkości zasadnicze E, F, G, R} S, Ï powierzchni x—f(x, v), x — (p(u, v), 2 = |(m, «?) nie zamieniają swych wartości przy zmianie układu OXYZ.

33)    Wykazać, że punkt (u, v) powierzchni: x=f(u, v), y — (p(u, v), 2r=tJ*(w; t>) jest punktem kulistym, skoro między wielkościami zasadniczemi powierzchni w tym punkcie

-F^G’

34) Wykazać, że równania: x = ucosv, y — u sino, z = —\/u²—a² o dwu parame

zachodzą relacye : ~ xL

trach u, o przedstawiają hiperboloidę obrotową o jednej powłoce.

35) Wyznaczyć wielkości zasadnicze E, F, G-, R, S, T powierzchni : x — u cos v,

y — u sin v, z = ~\/ w²—a².

- 844 — 86) Wyznaczyć wielkości zasadnicze E, F, G, i?, S, T powierzchni obrotowej : x = u cos v, y = u sin v, z —f (u).

37) Wyznaczyć główne promienie krzywizny plt p₂. w danym punkcie (u, v) powierzchni obrotowej: x = u oos w, y = «sint>, z=f(u).

88) Wyprowadzić równanie i kształt powierzchni środów krzywizny dla hipex'boloidy o jednej powłoce.

Ah+Bkj-Cl \/4²-|'

39) Wyprowadzić równanie i kształt powierzchni środków krzywizny dla parabo-loidy elliptycznej.

Rozwiązania LII, 11) x = 0, y =* — \/ab—W, « =• -g-(°—V).    26)

35) 1-+

A²«²

a² (w²—a²)

Fig. 237.

, 0, m²;

Fig. 238. —a²£>²

Fig. 239.

0,

w²ó²

[a²(u²— d^Ą-bW]'!*

A A _A

Fig. 240.

Fig. 241.

Fig. 242.

/"(*)

/"(“)

a+[/' wm

, o,

37) Pt=^

36) l+[/'{*)]², 0, u\

p₂₌₌    38) fig. 237, 238, 239.

89) fig. 240, 241, 242. Modele oddzielnych powierzchni środków krzywizny paraboloidy elliptycznej i ich połączenia.

«(!+[/'(*)m

(!+[/' («)]*)’/» ‘

/"O)

Modele powłok oddzielnych i ich połączenia.

Literatura. Ch. Dupin: Développements de Geometrie. Paris 1818. V. Komme-rell i K. Kommerell: Allgemeine Theorie der Raumcurven und Flächen. II Band. Leipzig 1903. Carl Friedrich Gauss: Allgemeine Flächentheorie (Disquisitiones generales circa superficies curvas), deutsch herausgegeben v. A. W a n g e r i n, Leipzig 1889.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Krzywizna i powierzchnia środków krzywizny ellipsoidy.

2.    Krzywizna i powierzchnia środków krzywizny hiperboloidy o jednej powłoce.

3.    Krzywizna i powierzchnia środków krzywizny paraboloidy elliptycznej.

Wykład LIII.

Teorya tworzenia powierzchni.

1. Powierzchnie powstałe przez ruch linii prostej. Linia prosta w przestrzeni określona jest dwoma równaniami zwyczajnemi kształtu:

(1)

x=az-\-a, y=bs-\-ß,

zawierającemi cztery dowolne parametry a, b, a, ß, z których pierwsze a, b cechują, kierunek, drugie a, /?, położenie prostej w przestrzeni.

Istnieje zatem w przestrzeni w ogólności cc⁴ prostych, a potrzeba czterech warunków, przedstawiających związki między czterema parametrami a, ó, a, ß, z którychby można wyrachować wartości parametrów, aby prosta w przestrzeni była wyznaczona. Trzy dane warunki wyznaczają trzy parametry jako funkcye czwartego np. &=/’(«), a=(p(a), ß=tf>(a).

Równania :

(2)

x=az + cp{a), y=f{a)zĄ-if)(a),

o dowolnym parametrze a określają tedy go¹ prostych w przestrzeni, cechują zatem pewien ruch prostej w przestrzeni, skutkiem którego powstaje powierzchnia, którą nazywamy powierzchnią prostokreślną.

Równania :

x=az + (p(a), y=f(a)g+y>(a),

o dowolnym parametrze a, przedstawiają więc ogólne równania powierzchni prostokreślnych.

Dwa dane związki między czterema parametrami a, ft, a, ß linii prostej, wyznaczające dwa parametry jako funkcye dwu pozostałych, określają oo² prostych w przestrzeni, tworzących zbiór prostych, zwany kompleksem rzędu drugiego; jeden związek między czterema parametrami prostej, wyznaczający jeden parametr jako funkcyę trzech pozostałych, określa oo³ prostych w przestrzeni, tworzących zbiór prostych, zwany kompleksem rzędu trzeciego.

2. Powierzchnie walcowe. Jeżeli prosta w przestrzeni porusza się po danej linii krzywej równolegle do swego pierwotnego położenia, natenczas tak powstałą powierzchnię prostokreślną nazywamy powierzchnią walcową. Przy takim ruchu prostej pozostają parametry a i b niezmienione, a zmieniają się tylko parametry a i ß w pewnej zależności od siebie. Niech będzie ß=(p(ä)₁ natenczas równania prostej ruchomej przedstawiają się w postaci :

x—agĄ-a, y = bz-fgp(a),

czyli :

—bp=(p‘(x—az). (1—ap),    1—bq=q)\x—az).(—aq),

z których możemy wyrugować dowolną funkcyę <p, cechującą szczególny kształt powierzchni walcowej.

Otrzymujemy tedy równanie: abpq=(l —ap) (1—bq),

apĄ-bq—1=0,

(6)

gdzie a i b są pewnemi stałemi liczbami, a zaś jest dowolnym parametrem. Po wyrugowaniu parametru a otrzymujemy jedno równanie o trzech zmiennych #, y, z, kształtu :

(3)

y—bz=cp(x—az),

jako ogólne równanie powierzchni walcowych.

Kładąc z=0 otrzymujemy y=cp(x) jako równanie przekroju powierzchni walcowej z płaszczyzną XÖY, zwanego zwykle kierownicą powierzchni.

Jeżeli za kierownicę powierzchni przyjmiemy dowolną krzywą w przestrzeni, określoną równaniami:

/lO, y, *0 = 0, /j(®, y, z) = 0,

wtedy warunki, pod którymi prosta x—az-\-*, y — bz-\-$, opiera się na tej krzywej, przedstawią się dwoma równaniami:

/i(«*'+*» M"ß> *0 = 0, MazĄ-«, öz+ß, z) = 0,

z których po wyrugowaniu zmiennej z otrzymamy jedno równanie między zmiennemi parametrami a, 6 pi'ostej ruchomej w postaci: /(«, ß) = 0, z której otrzymujemy ogólne równanie powierzchni walcowych w postaci:

f(x—az, y — bz) — 0.

(4)

Jeżeli prosta ruchoma określona jest jako przekrój dwu płaszczyzn o równaniach: Ax-\-By-\-Cz-{-D = ot, A'x-\-B‘y-\- C‘z-\-D' — ß,

w których wszystkie spółczynniki są stałe z wyjątkiem parametrów «, ß, natenczas przedstawi się ogólne równanie powierzchni walcowych w postaci:

f{Ax-\-By-\- Cfe-f-D, A'x-\-B<y-\- C'z-\-I)‘') — 0.

(5)

3. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni walcowych. Różniczkując ogólne równanie powierzchni walcowych kształtu:

y—bz=cp(x—az),

kolejno cząstkowo podług zmiennych niezależnych x i y, otrzymujemy, kła-= q, dwa równania różniczkowe w postaci:

dąc :

dz

dz

dx dy

zwane równaniem różniczkowem cząstkowem powierzchni walcowych.

Równanie to wypowiada wspólną własność wszystkich powierzchni walcowych, niezależną od kierownicy, mianowicie tę własność charakterystyczną, że płaszczyzna styczna w danym punkcie jakiejkolwiek powierzchni walcowej jest styczną w każdym punkcie tworzącej przechodzącej przez ten punkt, a wszystkie płaszczyzny styczne przecinają się podług prostych równoległych do tworzących powierzchni walcowej, których kierunki określone są stałymi parametrami a i b.

Różniczkując otrzymane powyżej równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu jeszcze raz kolejno podług zmiennych x i y i kładąc:

d²z

d²z

d²z

dx²

r,

otrzymujemy równania :

dxdy Sj dy2 ar-\-bs=0, asĄ-bi^ O,

z których możemy wyrugować parametry a i ó, stąd zaś otrzymamy równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, kształtu: rt—s²=0, które wypowiada, że wszelkie powierzchnie walcowe mają w każdym punkcie krzywiznę równą zeru, czyli, że należą do powierzchni rozwijalnych na płaszczyźnie.

4. Powierzchnie stożkowe. Jeżeli prosta w przestrzeni porusza się po danej linii krzywej, przechodząc zawsze przez pewien punkt stały, natenczas tak powstałą powierzchnię nazywamy powierzchnią stożkową.

Niech będzie dany stały punkt #(£, rj, £), zwany wierzchołkiem powierzchni stożkowej, natenczas równania wszelkiej prostej, przechodzącej przez ten punkt, przedstawiają się w postaci:

X—f = «(*-£), y—rj=b (z—£), gdzie a i b są, dowolnemi parametrami.

Jeżeli prosta ruchoma ma się opierać na danej kierownicy: /,(x, y, g) = 0, /₂(æ, y, ß) = 0, natenczas, po wyrugowaniu zmiennych x, y, z z powyższych czterech równań, otrzymamy pewien związek między parametrami a i b w postaci:

F (a, b)=0, a stąd: b = cp(a). Równania prostej ruchomej otrzymują tedy kształt:

z których po wyrugowaniu dowolnego parametru a, otrzymujemy równanie :

(7)

y—v

U-r

)-°

względnie :

jako ogólne równanie powierzchni stożkowych.

W przypadku szczególnym, gdy wierzchołek powierzchni stożkowej leży w punkcie początkowym układu sprowadza się powyższe równanie do postaci :

(8)

tc

a.

*si

Ogólne równanie (7) powierzchni stożkowych jest równaniem jednorodnem ze względu na zmienne cc—Ę, y—tj, z—Ç, gdzie Ç, rj, Ç są spółrzędnemi wierzchołka. Nawzajem wszelkie równanie jednorodne zmiennych æ—Ç, y - *], z — Ç przedstawia powierzchnię stożkową o wierz-

ft, otrzymamy z danego równania jedno-

*—?    y—ł)

chołku S(Ç, T), Ç), kładąc bowiem: -—- — a, -—^

rodnego równanie F(a, 6) = 0, jako związek między parametrami a, ft prostej, przechodzącej przez punkt S(Ç, »), Ç), tworzącej zatem powierzchnię stożkową. Nie trudno okazać, że ogólnie wszelkie równanie jednorodne kształtu:

F(Ax+By+Cz-\-D, A'x+B'y\-0's+D‘, A"x-\-Buy+C‘,z+D'') = 0,

przedstawia powierzchnię stożkową, której wierzchołek jest punktem przecięcia trzech płaszczyzn :

Ax-\-ByCzĄ-D = 0, A‘x+B*y+ C'z±D' = 0,    D" = 0.

5 Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni stożkowych. Różniczkując ogólne równanie powierzchni stożkowych, kształtu:

y—n

kolejno cząstkowo podług zmiennych x i y otrzymujemy równania :

y—n

^p=<p'

£—{x—|)jp

(*—£)

(*-£)²

rr‘(X~~ź\ — (g—l)g

£/ (*—D² ’

z których po wyrugowaniu dowolnej funkcyi <p, cechującej szczególny kształt powierzchni stożkowej, otrymujemy równanie:

*(*—£)+?(y —*?) -(*-£)=o,

które jest równaniem róźniczkowem cząstkowem powierzchni stożkowych.

Równanie to wypowiada wspólną własność wszystkich powierzchni stożkowych, niezależną od kierownicy, a polegającą na tern, że płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni stożkowej jest styczną wzdłuż całej tworzącej przez ten punkt przechodzącej, do danej powierzchni stożkowej przechodzą przez jej wierzchołek $ (£, rj, £).

Różniczkując otrzymane równanie (9) jeszcze raz kolejno cząstkowo ze względu na zmienne niezależne x, y, otrzymujemy równania:

p+(x—f)r-Ky—if)S-p=0, (x-Ç)s + q + (y—f])t-q=0,

(x-i)r f (y—i?)«—0, (a—f)s-Ky—iy)ż«=0,

(9)

wszystkie płaszczyzny styczne

czyli :

z których możemy wyrugować spółrzędne £, r\, Ç wierzchołka, a otrzymamy różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu kształtu :

rt—s²=0,

dowodzące, że powierzchnie stożkowe należą także do powierzchni o krzy-wiźnie równej zeru, czyli są powierzchniami rozwijalnemi na płaszczyźnie.

6. Ogólne równanie powierzchni rozwijalnych na płaszczyźnie. Powierzchnią rozwijalną na płaszczyźnie nazywamy w ogólności powierzchnię pro-stokreślną, w której dwie po sobie następujące tworzące leżą na jednej płaszczyźnie, a więc przecinają się wzajemnie. Równanie wszelkiej powierzchni prostokreślnej możemy na mocy art. 1 przedstawić w postaci dwu równań :

x=az + (p(a), y =f (a)8+rp(a)

o dowolnym parametrze a.

Danej wartości parametru a odpowiada pewna prosta tworząca tejże powierzchni prostokreślnej ; tworząca po niej bezpośrednio następująca odpowiada parametrowi: aĄ-da, otrzymuje zatem równania:

x—(a-f da)z + q>(a -j- da), y=f(a + da)z+ip{a + da).

Ażeby te proste przecinały się, muszą spełnić się warunki, które wynikają z kolejnego odejmowania powyższych równań, lub co na jedno wychodzi z różniczkowania pierwszych dwu równań podług parametru, w postaci :

0=z + (p\a),    0=zf'(a) + xf>,(d),

z których otrzymujemy warunek:

zatem :

ip\a) = f'(a) <p‘(a), V(à)=$f\a) <p‘(a)da.

Ogólne równania wszelkich powierzchni rozwijalnych przedstawiają się zatem w postaci :

- 849 —

7. Równanie różniezkowe powierzchni rozwijalnych. Szczególne postacie powierzchni rozwijalnych zależą od kształtu funkcyj / i <jf, występujących. w równaniach (10). Różniczkując powyższe równania kolejno cząstkowo podług zmiennych x i y, otrzymujemy cztery równania w postaci:

da

da

1=ap+s +9,(a)

da

da

0=aq-\- g —    q)‘(a)—

dy

dy

da

da

0 =f{a).p-\-z.f\a) — + f,(a)cp\a)—

da

1 =f(a).q+z. f\a) -—\-f\a) (p\a)

da

dy

dy

Wyrugowawszy z tych równań funkcye <jp i a to mnożąc pierwsze równanie przez f‘{a), trzecie przez — 1, następnie drugie przez /'(a), a czwarte przez —1 i dodając co dwa tak powstałe równania, otrzymujemy:

f\a)=apf\a)—pf{a), —l=aqf'(a) — qfla), z których możemy znowu wyrugować funkcyę    Otrzymujemy miano

wicie :

(H)

(1‘2)

V + ?/'(«)=0,

zatem równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu w postaci :

ap+f(a).q—1 =0

o dowolnej funkcyi f(a).

Różniczkując jeszcze raz to równanie kolejno cząstkowo podług x i y, otrzymujemy dwa równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu:

da

da

ar +f (a). s + [p + Qf'(a)]^ =°> as+f(a).t+[p + qf (a)] —=0

które ze względu na to, że na podstawie (1L): p + qf(a) = 0, sprowadzają się do postaci :

arĄ-f(a).s—0, as+f(a).t=0,

skąd, po wyrugowaniu dowolnej funkcyi /(a), otrzymujemy równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, kształtu:

(18)

rt—s²=0

nie zawierające żadnej funkcyi dowolnej, wypowiadające wspólną własność wszystkich powierzchni rozwijalnych, zwane też równaniem różniczko wem powierzchni rozwijalnych.

8. Krzywa zwrotu na powierzchni rozwijalncj. Tworzące powierzchni prostokreślnej rozwijalnej następujące nieskończenie blisko po sobie, przecinając się kolejno tworzą krzywą przestrzenną, leżącą na tejże powierzchni, a zwaną krzywą zwrotu powierzchni rozwijalnej.

Z ogólnego równania powierzchni rozwijalnej :

x=az + q)(a),    y=f{a)z-\-Jf‘(a) q)\a)da,

otrzymujemy równania krzywej zwrotu w postaci trzech równań o jednym parametrze dowolnym a, kształtu:

x-—a(p,{a)-\-q>(a)₁ y =—f (a) (p\a) +ff'(a) cp‘(a)da, z= — (p'(a).    (14)

Wszelka tworząca powierzchni rozwijalnej ma z krzywą zwrotu wspólne dwa punkta po sobie następujące, mianowicie swe punkta przecięcia się z poprzedzającą i następującą tworzącą, jest więc styczną do krzywej zwrotu, można zatem powierzchnię rozwijalną uważać jako powierzchnię powstałą przez ruch linii prostej, która pozostaje stale styczną do danej krzywej

64

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I Tom 11.

przestrzennej, która w tym razie staje się krzywą zwrotu tejże powierzchni rozwijalnej.

9. Równanie powierzchni rozwijalnej, mającej daną krzywą zwrotu.

Niech będzie daną krzywa w przestrzeni określona trzema równaniami o dowolnym parametrze t, w postaci: natenczas równania stycznej w dowolnym punkcie (t) tej krzywej przedstawiają się w postaci trzech równych stosunków, kształtu:

_ y—g>(t) _ e-ę(t) <P\t) Vif)

m

Oznaczając zmienną wartość tych równych stosunków przez u, otrzymamy trzy równania o dwu zmiennych parametrach t i u w postaci :

(15)

przedstawiające równania powierzchni rozwijalnej, dla której dana krzywa

æ =/(*), y=(p(t), z=rp{t)

na-

jest krzywą zwrotu. Z równań powierzchni rozwijalnej w ten sposób podanych łatwo jest poznać jej krzywą zwrotu, na której opiera się kształt i zwa odnośnej powierzchni rozwijalnej.

10. Płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni rozwijalnej. Płaszczyzna styczna w danym punkcie (<r, y, z) powierzchni rozwijalnej, określonej równaniami: ma równanie:

A (X—x) + B(Y—y)+C(Z—e)—0₁

gdzie :

I'

dt’ dt

C=

du

du

dx

dt'

dx dy du’ du

Mamy tu:

dy

%-m,    %=<pv)+»rv),

zatem :

A=u[<p“(t)ą\t)—y\t) <p'(«)],    -f\t) V'(Q],

Wszystkie trzy spółczynniki A, S, C zawierają czynnik u, równanie płaszczyzny stycznej jest więc zależne wyłącznie od wartości parametru t. Płaszczyzna styczna w pewnym punkcie powierzchni rozwijalnej jest więc styczną wzdłuż całej tworzącej, przechodzącej przez ten punkt powierzchni. Z tej własności płaszczyzn stycznych do powierzchni rozwijalnych wynika bezpośrednio, że przez daną linię prostą nie można w ogólności przeprowadzić płaszczyzny stycznej do danej powierzchni rozwijalnej ; jeżeli bowiem P jest punktem przecięcia tej prostej z powierzchnią, musiałaby płaszczyzna przesunięta przez tę prostą i przez tworzącą powierzchni rozwijalnej,

- 851 —

przechodzącą przez P, być płaszczyzną styczną w punkcie P, co w ogólności nie koniecznie musi być.

Przez dany punkt przestrzeni możemy w ogólności poprowadzić skończoną ilość płaszczyzn stycznych do danej powierzchni rozwijalnej. Ilość tych płaszczyzn stanowi klasę powierzchni.

11. Powierzchnie wichrowate w ogólności. Powierzchnię prostokreślną nazywamy wichrowatą, jeżeli dwie po sobie następujące tworzące tej powierzchni nie leżą na jednej płaszczyźnie. Ogólne równania wszelkich powierzchni wichrowatych przedstawiają się w postaci:

(16)

x=az-\-(p(a), y=f(a)g+ty(a),

gdzie a jest dowolnym parametrem, a funkcye dowolne /, <p, ty cechują szczególny kształt powierzchni wichrowatej.

Funkcye te mogą być wyznaczone, gdy dane są trzy kierownice Ci, C₂, C.?il na których ma się opierać prosta ruchoma, tworząca odnośną powierzchnię.

Otrzymamy tedy na wyznaczenie spółczyn-ników a, a, &, ß trzy równania warunkowe, przedstawiające warunki przecięcia się prostej ruchomej z danemi trzema kierownicami w postaci :

if*

tm

1 i. Ißi

fi'a, a, 6, /?)=0, /₂(a, a, b, /?) = 0,

/'₃(a, a b, ß) = 0.

Warunki te określają &, «, /?, jako funkcye czwartego parametru a, a więc żądane trzy funkcye /(a), œ(a), ty(a).

(17)

Najprostszą z powierzchni wichrowatych w ten sposób powstałych będzie ta, w której trzy dane kierownice Cj, O*, O, są liniami prosteini; powierzchnią tą jest, jak wiadomo, hiperboloida o jednej powłoce (fig. 24B).

Szczególny rodzaj powierzchni wichrowatych tworzą takie powierzchnie prostokreślne, w których jedna z trzech kierownic jest w nieskończoności. Powierzchnie takie powstają przez rnch prostej, opierającej się na dwu kierownicach Ci i C₂, a równoległej do pewnej stałej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierowniczą. Takie powierzchnie prostokreślne nazywamy ż powierzchniami wichrowatemi o jednej płaszczyźnie ierownicz ej.

Fig. 243.

Pomiędzy powierzchniami wichrowratemi o jednej płaszczyźnie kierowniczej, zasługują na szczególniejszą uwagę te, w których jedna z dwu kierownic jest linią prostą, a druga linią krzywą. Takie powierzchnie wichrowate nazywamy konoidami, a szczególny rodzaj kierownicy krzywolinijnej cechuje też kształt i nazwę odnośnego konoidu.

12. Przykłady konoidów. a) Paraboloida lii per boli czna.

Najprostszy rodzaj konoidów powstaje, jeżeli prosta porusza się po dwu prostych wichrowatych, równolegle do pewnej stałej płaszczyzny. Jest nią, jak wiadomo, paraboloida hiperboliczna (fig. 244).

Fig. 244.

ß) Konoid kołowy powstaje, jeżeli linia prosta porusza się po innej linii prostej i po kole równolegle do danej pła-

- 8B2 -szczyzny. Niech będzie np. daną linia prosta leżąca na płaszczyźnie XOZ, równoległa do osi æ-ôw, o równaniach «/ — O, z—li i koło na płaszczyźnie XOY o równaniach: x^-\-y² = r'*, 2 = 0, a prosta ruchoma niech będzie stale równoległą do płaszczyzny YOZ, natenczas równanie prostej ruchomej przedstawia się w postaci x — a., y — bz-\-$. Na wyznaczenie związków między spółczynnikami a, 6, ß otrzymujemy:

\/ r²—a²

6Ä-j-ß = 0,    a²4-ß² = r², zatem ß = V/r²—a², b —

a więc równania proste] ruchomej w postaci:

V/r²-«²

z-\- [/r²—a²,

skąd, po wyrugowaniu parametru a, otrzymujemy równanie:

(18)

(r²—aj²) (z—hy—y^h^ = 0,

jako równanie szukanego konoidu kołowego.

13.    Płaszczyzny styczne do powierzchni wichrowatych. Dwie nieskończenie bliskie tworzące I i II powierzchni wichrowatej nie mają w ogólności żadnego punktu spólnego. Wszelka płaszczyzna przesunięta przez tworzącą I przecina tworzącą II w pewnym punkcie P. Prosta łącząca ten punkt z jakimkolwiek punktem twrorzącej I leży na tej płaszczyźnie; płaszczyzna ta jest zatem styczną w punkcie P. Obracając ją około tworzącej I, otrzymamy na tworzącej II coraz inne punkta przecięcia, które będą punktami styczności tej płaszczyzny z powierzchnią. Jeżeli płaszczyzna obracająca się około tworzącej I zajmie położenie równoległe do tworzącej II, natenczas punkt styczności P przyjdzie do nieskończoności.

Poprowadźmy przez tworzącą I płaszczyznę prostopadłą do pewnej płaszczyzny przesuniętej przez tworzącą I, a stycznej w punkcie A powierzchni, natenczas płaszczyzna ta prostopadła do płaszczyzny stycznej w A będzie płaszczyzną normalną w tym punkcie. Płaszczyzna ta, jako przechodząca przez krawędź I, jest jednak sama płaszczyzną styczną w innym punkcie B tej powierzchni, mianowicie w tym punkcie, w którym ona przecina sąsiednią tworzącą II.

A zatem : 1) Wszelka płaszczyzna przechodząca przez tworzącą pouierzchni wichrowatej jest w jednym punkcie powierzchni płaszczyzną styczną, a w innym płaszczyzną normalną;

2) Jeżeli dwie płaszczyzny przesunięte przez pewną tworzącą powierzchni wichrowatej są do siebie prostopadłe, natenczas punkt styczności jednej z nich jest tym punktem, w którym druga płaszczyzna jest płaszczyzną normalną i nawzajem.

14.    Takie dwa punkta A i B powierzchni wichrowatej, które posiadają tę własność, że jedna i ta sama płaszczyzna jest płaszczyzną styczną w punkcie A, a płaszczyzną normalną w punkcie B, mają następujące uwagi godne własności. Jeżeli płaszczyzna przesunięta przez tworzącą I ma swój punkt styczności A w nieskończoności, natenczas punkt B, w którym ona jest płaszczyzną normalną do powierzchni, wpada w miejsce najkrótszego oddalenia tworzącej I względem sąsiedniej tworzącej II. Płaszczyzna przesunięta przez tworzącą I prostopadle do płaszczyzny stycznej, do tworzącej II równoległej, przetnie bowiem tworzącą II w punkcie B, z którego wychodzi wspólna prostopadła do tworzącej I i II, wyznaczająca miejsce ich najkrótszej odległości.

Jeżeli punkt A zmienia swe położenie na tworzącej, natenczas zmienia go także punkt B; jeżeli punkt A zajmie miejsce najkrótszej odległości

dwóch tworzących po sobie następujących, natenczas punkt B przejdzie do nieskończoności i nawzajem.

15.    Krzywa zwężenia (strykcyjna) danej powierzchni wichrowatej. Miejsca najkrótszego oddalenia dwóch tworzącyah danej powierzchni wichrowatej, po sobie następujących, tworzą pewną krzywą na tejże powierzchni, zwaną krzywą zwężenia powierzchni, albo krzywą strykcyjna tejże powierzchni.

Według Chasles’a nazywa'się miejsce najkrótszego oddalenia tworzącej I względem nieskończenie bliskiej następnej tworzącej II także punktem centralnym tworzącej I, linia strykcyjna określa się więc jako miejsce punktów centralnych wybranych na każdej tworzącej danej powierzchni wichrowatej.

Nie trudno zauważyć, że wspólna prostopadła w miejscu najkrótszego oddalenia dwu tworzących sąsiednich danej powierzchni wichrowatej nie jest elementem linii strykcyjnej czyli innemi słowy nie jest styczną do linii strykcyjnej, na każdej tworzącej jest bowiem tylko jedno miejsce najkrótszego oddalenia tejże tworzącej względem tworzącej następnej, a dwa takie punkta dwu tworzących po sobie następujących, jako dwa następne punkta linii strykcyjnej, nie leżą na wspólnej prostopadłej obu tych tworzących.

16.    Powierzchnie powstałe przez ruch koła. Ogólne równania koła w przestrzeni przedstawiają się w postaci dwu równań kształtu:

(19)

(x—1?)²+(^—£)²=-R²,

A (x - £) + B (y—rj) + C 0—£)=0,

, musiałoby O

za-

zawierają więc sześć stałych dowolnych: f, rj, £, B,

tern istnieć pięć warunków, które przedstawiałyby pięć stałych jako pewne funkcye pozostałej szóstej stałej, aby ruch koła w przestrzeni określić. Przyjmijmy £, jako tę szóstą stałą niezależną, a pozostałe pięć stałych, jako jej funkcye, to otrzymamy równania :

(20)

jako ogólne równania powierzchni powstałych przez ruch koła.

Pomiędzy powierzchniami tego rodzaju zajmiemy się głównie powierzchniami obrotowemi i powierzchniami kanałowemi.

17. Powierzchnie obrotowe. Powierzchnia obrotowa powstaje, jeżeli koło o zmiennym promieniu tak się porusza, że jego środek posuwa się po pewnej linii prostej, a jego płaszczyzna pozostaje stale prostopadłą do tejże linii prostej. Tę stałą prostą nazywamy osią obrotu powierzchni.

Przyjmijmy oś obrotu za oś 0-ów, natenczas równania koła ruchomego przedstawiają się w postaci:

z=c.

x²+y²+(0—c)²=B²,

Pierwsze przedstawia kulę o środku (7(0, 0, c) i promieniu r, drugie płaszczyznę równoległą do X0Y, przechodzącą przez środek (7(0, 0, c), oba równania zawierają więc jeszcze dwie stałe dowolne B i c.

%²-\-y²+{z—ć)²=(p(ć)

z=c,

Ażeby ruch tego koła był określony musi być podany związek między terni stałemi, przyjmijmy, że B²=(p(c)₎ natenczas sprowadzamy równania powyższe do postaci:

— 854 -o jednej stałej dowolnej c; wyrugowawszy ją otrzymujemy jedno równanie kształtu :

(21)

x²+ij²^cp(z)

jako ogólne równanie wszelkich powierzchni obrotowych, których oś obrotu wpada w oś OZ.

Przekroje powierzchni płaszczyznami prostopadłemi do osi obrotu nazywamy równoleżnikami powierzchni obrotowej. Są one kołami o równaniach: z=h, x²-\- y²~cp(h).

Przekroje powierzchni płaszczyznami przechodzącemi przez oś obrotu nazywamy południkami powierzchni obrotowej. Są one krzywemi przy-stającemi, południk powierzchni obrotowej : x²-\-y² = cp(z) leżący na płaszczyźnie X.OZ, określony jest równaniami: y = 0, x²=cp(z).

18. Określając koło jako przekrój kuli o stałym środku C(a, ß, y), płaszczyzną: a{x—a)-fb(y — ß)-\-c(z—y)—d, o stałym kierunku, określonym spół-czynnikami a, b, c, otrzymamy równania:

(x—a)² + (y—ß)²+(z—y)²=B², a(x—a)+b{y—ß)-\-c{z—y) = d, a dodając warunek B² = (p(d), otrzymamy równanie:

(22)

(x - a)² + (y—ßj² + (z—y,² = (p[a{x — a) + b(y—ß) + c(z—y)], jako ogólne równanie powierzchni obrotowej, której osią obrotu jest prosta:

x—a    y—ß

Jeżeli oś obrotu przechodzi przez początek układu C(0, 0, 0) w kierunku oznaczonym liczbami a, b, c, natenczas powyższe równanie sprowadza się do postaci :

x²-\-y²-\-z²= cp(ax + by + cz),

(23)

a w przypadku, gdy oś obrotu wpada w oś OZ, a więc, gdy a=b=0, c= 1 otrzymuje kształt:

x²+y² — cp{z)

powyżej pod (21) otrzymany.

19. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni obrotowych. Różnicz-kując ogólne równanie powierzchni obrotowych, którjmh osią obrotu jest oś z-ów, przedstawiające się w postaci: x²-\-y² = cp(z), kolejno cząstkowo podług x i y, otrzymujemy równania różniczkowe :

2x=*<p\z).p, 2y = <p'(z). q,

z których po wyrugowaniu funkcyi dowolnej <p, cechującej szczególny kształt powierzchni, otrzymujemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu :

(24)

x — -j - czyli: yp—xq=o.

Różniczkując analogicznie ogólne równanie powierzchni obrotowej o dowolnej osi obrotu, przedstawiające się w postaci:

(*- a)²+(y—ß)²+{z—y)²=(p[a(x-a) + b{y-ß) + c(z—y)], otrzymujemy dwa równania różniczkowe cząstkowe :

2 (x—a)+ 2 (z—y) p = (p‘[a{x—a) + %—/?) + c{z—y)] (a -|- cp),

2 (y—ß) + 2(z-y)q = g>‘[a(x—a) + b{y—ß) + c{z—y)] (b + cg),

x—a, y—ß, z-y

jako równanie różniczkowe wszelkich powierzchni obrotowych o dowolnej

gę (2 y—ß    g— y

osi obrotu, określonej równaniami : —— = —^---

Równania różniczkowe cząstkowe (24) i (25) wypowiadają wspólną własność wszystkich powierzchni obrotowych niezależną od kształtu południka,

która opiewa :

Normalna w jakimkoliciek punkcie powierzchni obrotowej przecina oś obrotu.

Innemi słowy : Płaszczyzna styczna w jakimkolwiek punkcie powierzchni obrotowej jest prostopadłą do płaszczyzny, przechodzącej przez ten punkt i przez oś obrotu czyli prostopadłej do płaszczyzny południkowej tego punktu.

nor-

20. Powierzchnie kanałowe. Powierzchnia kanałowa powstaje, jeżeli koło o stałym promieniu tak się porusza, że jego środek przebiega daną krzywą przestrzenną, a jego płaszczyzna pozostaje stale płaszczyzną malną tejże krzywej (fig. 245).

Niech będzie daną krzywa w przestrzeni określona równaniami :

x=f{z0, y=cp{z),

zwana kierownicą powierzchni kanałowej.

Ogólne równania koła, kształtu :

(x— i)2j-{y—£)²=-R²,

A (x—i) + B(y-p) + C(z-Ç)=0,

podpadają tu następującym pięciu warunkom:

„ABC £=/(£),    - âjj d£ ’

a że di^f'iÇjdÇ, dg = cp\t>) dÇ, sprowadzają się zatem do postaci :

|W(?)]!+[</-ÎP(f)]² + (* - Î)²=-K²,

f%) [*-/ (£)]+<p‘(S) [y-?>(£)]+(*- ?)=o.

(27)

z których, po wyrugowaniu dowolnej funkcyi : cp‘[n(x—a)Ą-b(y—ß)+c(z—y)J, otrzymujemy równanie różniczkowe cząstkowe bez funkcyi dowolnej w postaci : czyli :

które możemy przedstawić w postaci wyznacznika:

q —1

x— a + O—y)p _ aĄ-cp IJ—ß + (z — y)q b + cq'

. \b(s—y) — c{y—ßj]p-{-[c(x — a)—a(z—yj\q=a(y - ß)—b(x—a),

(25)

=0,

(26)

Fig. 246.

Równania te zawierają jeden dowolny parametr £ i są ogólnemi równaniami wszelkich powierzchni kanałowych.

21. Równanie różniczkowe cząstkowe powierzchni kanałowych. Różnicz kując ogólne równania powierzchni kanałowych podane pod (27) kolejno cząstkowo podług zmiennych niezależnych x i ^otrzymujemy najpierw z pierwszego równania dwa następujące:

x—m

*-/(£)

*-m+Ą>-s) - §{[*-/(?)]/'(?) + [.</-?(?)]?'(£)+ (*-î)}-0;

czyli :

*-/■(£)

które za uwzględnieniem drugiego równania sprowadzają się do postaci :

(28)

x—f(&) +1>0—5)=0, y—<p{£) + q{8 - D=0,

Otrzymane równania różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego zawierają jeszcze obie funkcye dowolne /(£) i <p(£), cechujące kierownicę danej powierzchni, i wypowiadają własność tej powierzchni, że wszelka normalna do powierzchni kanałowej przecina kierownicę tej powierzchni. Różniczkując oba te równania jeszcze raz kolejno podług zmiennych x i y, otrzymujemy następujące cztery równania różniczkowe:

dy

1 +P² + r(0—Ç) = [/'(£)+p]

pq + aie—fy-tyfä + q]^ -, pg+s(0—Ç)=[fU)+p}^

1 +q² + t(0-Ç) = [(p‘(Ç) + qfê-

z których możemy funkcye dowolne /'(£) i (p\t) wyrugować.

Odejmując mianowicie od iloczynu pierwszego i czwartego równania iloczyn drugiego i trzeciego równania, otrzymujemy równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, kształtu:

[1 + p² + r{z- £)] [.1 + q² + i (z— Ç)]—[pq + «(#—£)]²=0, zawierające w sobie jeszcze stałą dowolną £. Stałą tę dowolną możemy stąpić danym promieniem R koła ruchomego.

Z równania :

(29)

za-

[*-/(?)P+[y-ęp(0]³+(«-D²=-K²,

w połączeniu z równaniami (28) :

æ—/'(£)=—pO—D, y-(p(Ç)=—q(z—£),

(z— Ç)²(p² + q²+ 1)=R², zatem: z—£

otrzymujemy bowiem :

Podstawiając tę wartość w równanie (29), otrzymujemy:

V_p²+?²+i

(l+Pa +

Rr

Rt \ l    Rs

j — (m +

Vi,a+2² +1

Vp²+2²+i

a stąd równanie :

(■rt—s²) R²—{(l + 2²)r—2pqs+(l+p²)t}^p²+q’i+l.R+(p² + 2²+1)²=0, (80) jako równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu przynależne wszystkim powierzchniom kanałowym, powstałym przez ruch koła o stałym promieniu R, niezależnie od obranej kierownicy. Równanie to jest ze względu na R zgodne z równaniem wyprowadzonem pod (6) na str. 880, wyznaczającem główne promienie krzywizny w danym punkcie powierzchni, z czego wynika, że w powierzchniach kanałowych jest w każdym punkcie jeden z głównych promieni krzywizny zawsze stały, równy promieniowi koła ruchomego.

Jeżeli kierownicą powierzchni kanałowej jest krzywa płaska: z = 0, y = /(*), wtedy ogólne równanie powierzchni kanałowej, otrzymuje kształt:

(*——/'(?)]*+**=(*—0+[y—/(0]/'(0 = o,

a odnośne równanie różniczkowe sprowadza się do postaci:

(pM-2²+1 )z² = Bi

jest więc równaniem różniczkowem cząstkowem rzędu pierwszego.

ćwiczenia LIII.

1)    Wyprowadzić równanie powierzchni walcowej, której kierownicą jest linia ki-zywa z = 0, F(x, y) = 0, a tworzące są równoległe do prostej: x = az, y — bz.

2)    Jaki kształt ma równanie walca parabolicznego, którego kierownicą jest parabola: y^ = 2px, leżąca na płaszczyźnie XOY, a tworzące są równoległe do prostej : x = az, y — bz.

3)    Jaki kształt ma równanie walca kołowego, którego kierownicą jest koło: xi-\-y²= 1, leżące na płaszczyźnie xy, a tworzące są dowolnie nachylone.

4)    Wyprowadzić równanie powierzchni walcowej, której kierownicą jest logarytmika : y = ex. z — 0, a kierunek tworzących jest określony liczbami: a, b, 1.

5)    Wykazać, że równanie: x'l-\-y‘¹-\-2zi—2xz\2yz—1 = 0 przedstawia walec kołowy, którego tworzące są równoległe do prostej : x = z, y = — z.

6)    Wykazać, że krzywa styczności walca opisanego na powierzchni: f(x,y,z) — 0 mającego tworzące równoległe do prostej: x = az, y — bz, przedstawia się równaniami:

f(x, y, z) = 0

adŁ + b¥y + d£^°'

7)    Wyprowadzić równanie walca opisanego na kuli: *²+y²+2² = r², a mającego tworzące równoległe do prostej x = az, y — bz.

8)    Wykazać, że równanie stożka opierającego się na krzywej z — h, f(x, y) — 0, a mającego wierzchołek w początku układu przedstawia się w postaci*

tH-

9) Wykazać, że równanie stożka opierającego się na krzywej: z = 0, f(x, y) — 0, a mającego wierzchołek w punkcie: £(?, i\, Ç) przedstawia się w postaci:

)=°-

\z ly—f\z

z-K

10) Wykazać, że równanie:

3;r²+2</²—2xz-\-4:ijz—4#—8z—8 = 0

przedstawia stożek o wierzchołku: S(0, 2, —2).

11) Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch linii prostej, która przecina stale:

1) prostą L ₌

2) koło K I*

= +«

, 3) koło K' (X

=■ —a = r²

12)    Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch prostej, która opiera

prostej l{^_q, 3) na prostej Zćj _

, 2) na

się stale: 1) na kole K_ri

13)    Wykazać, że wszelką powierzchnię prostokreślną możemy przedstawić układem równań kształtu:

x = 03+y (a), y =/(a). ®+<Ra),

gdzie a jest dowolnym parametrem

14) Wykazać, że ogólne równania powierzchni, powstałych przez ruch prostej, opie

rającej się stale na prostej Ly ™    ^ możemy zawsze przedstawić w postaci:

az—

IB) Wykazać, że ogólne równanie powierzchni powstałej przez ruch prostej, która pozostaje stale równoległą do płaszczyzny ax-\-by-\-cz — 0 możemy przedstawić w postaci:

x%(ax-\-by-\-cz)-\-y\[ax-{-by-\-cz)-\-1 = 0.

16) Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni powstałej przez ruch linii prostej, opierającej się stale na dwu prostych:

x—a‘z—a.‘ = 0 y—b‘z—ß' = 0'

lx-az- a = 0    I

L\y-bz-[J = 0    1

21)    Wyprowadzić równanie powierzchni, powstającej przez ruch prostej, któraby przecinała oś XX pod danym kątem to, a od osi YY‘ miała stale odległość równą p.

22)    Wykazać, że ogólne równanie konoidy, której tworzące opierają się na osi OZ i są równoległe do płaszczyzny X0Y, możemy przedstawić w postaci:

F(Z’ 1)⁼⁼°-

23)    Wykazać, że normalne w punktach prostej, leżącej na dowolnej powierzchni wichrowatej, tworzą paraboloidę hiperboliczną.

zawsze

24)    Okazać, że przez wszelką tworzącą powierzchni wichrowatej możemy przeprowadzić taką powierzchnię wichrowatą drugiego rzędu, że obie powierzchnie będą miały we wszystkich punktach tej tworzącej te same płaszczyzny styczne.

25)    Wyprowadzić równanie konoidu kołowego, którego tworzące opierają się na osi OZ i na kole x — a, y'l-\-z² = r², a są równoległe do płaszczyzny XOY.

x² y²

26)    Wykazać, że krzywa zwężenia na paraboloidzie hiperbolicznej : ^ — jpï składa się z dwu parabol, określonych równaniami:

o³—i³

= 2 z.

17) Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni, powstałej przez ruch linii prostej, która opiera się stale na prostej :

l{X aZ *    ^ i powstaje zawsze równoległą do pia

ły——p — 0

szczyzny : Ax-\-By-j- Cz = 0.

18) Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni, powstałej przez ruch prostej, opierającej się stale na osi ZZ‘ i przecinającej ją pod kątem w.

19) Jakie równanie ma powiei*zchnia powstała przez ruch prostej, która przecina

1g ■ - Q

prostą L-2 \    _ , a do prostej Ly jest nachyloną pod stałym kątem <o.

yy = o

\x —

prostą Li\

20) Jakie równanie ma powierzchnia prostokreślna, jeżeli jej tworzące przecinają oś OZ pod stałym kątem to, a nadto opierają się na ellipsie :

x'¹ y²

27)    Wyprowadzić równanie różniczkowe powierzchni powstałej przez ruch linii prostej przecinającej dwie dane krzywe i równoległej do płaszczyzny XOY.

28)    Wyznaczyć równanie powierzchni utworzonej przez linię prostą, która porusza się równolegle do płaszczyzny XOY, a przecina oś z-ów i krzywę daną równaniami:

'Eps.

iM

** : o

■ y _

29) Zbadać powierzchnię utworzoną przez linię prostą, która porusza się równolegle do płaszczyzny XOY i przecina krzywe:

= 1,

1.

x — oj.

°' {fï + ^ = lł

30) Wykazać, że ogólne równanie różniczkowe cząstkowe wszelkich powierzchni powstałych przez ruch prostej, pozostającej stale równoległą do płaszczyzny : Ax-\-By \-Cz — 0 przedstawia się w postaci :

(B-\-Cqyr—2(5+ Cq) (A+ Cp)s+(A 4- CPyt = 0.

gdzie:

dz

dz

d²z

d-z

d²z

s — —— dxdy

T~ dx*

⁽¹ dy ’

31) Wyprowadzić równanie powierzchni utworzonej przez prostą, która przecina dwie fy — mx c ’

głą do tychże dwu prostych, a którego środek dzieli najkrótszą odległość tych prostych na dwie równe części.

proste: Ly

dx'

cyr

i xi xncc

i koło, o promieniu r, którego płaszczyzna jest równole-

(2; = —c

32) Wyprowadzić równanie różniczkowe wszelkich powierzchni prostokreślnych utwo-

c

- i pozostaje równoległą

y-b

rzonej przez linię prostą, która przecina prostą: -do płaszczyzny: AxĄ-By-\-Cz = 0.

33)    Wyprowadzić ogólne równanie wszelkich powierzchni prostokreślnych, których tworzące przecinają daną linię prostą i są do niej prostopadłe.

34)    Znaleźć powierzchnię utworzoną przez linię prostą, któraby była stale równoległa do płaszczyzny X0Y, przecinała os OZ i krzywą: C(xyz = a³, cc²4-y² = &²).

35)    Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez obrót linii łańcuchowej:

a ( a

y = 0, x = —\e +e

około osi OZ (fig. 246).

36) Jakie równanie otrzymuje powierzchnia powstała przez obrót linii łańcuchowej :

około osi OZ.

\ Iî&mR

»i

> Î..

37) Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez obrót linii prostej : x = az-\-a, y — bz-\-$ około osi OZ.

Fig. 246.

możemy przedstawić w postaci:

38) Wykazać, że równanie wszelkiej powierzchni obrotowej, który osią obrotu jest prosta : x—a

cos a cos ß cos y ’

y—b

(x—a)²+(y—7>)²-f z¹ — ® {x cos aĄ-y cos ß-J-s cos y)

39) Wyprowadzić równanie powierzchni obrotowej, powstałej przez obrót krzywej :

c{x

=/(*)

y = ?(*)

około osi OZ.

40) Jakie równanie otrzymuje powierzchnia powstała przez obrót krzywej:

<?{«/ — 0, as²-f for²-]- 2ex-{- d — 0| około osi OZ.

41)    Jakie równanie otrzymuje powierzchnia powstała przez obrót hiperboli:

C{y = 0, xz — a²) około jednej z jej asymptot.

42)    Wyprowadzić równanie powierzchni, powstałej przez ruch koła o stałym promieniu a, jeżeli środek koła porusza się po osi XX', a płaszczyzna koła przechodzi stale

fx =

przez prostą L ^    _

43)    Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni powstałej przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli płaszczyzna koła pozostaje stale równoległą do płaszczyzny XOY, a środek koła opisuje pewną krzywą, leżącą na płaszczyźnie XOZ.

44)    Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli płaszczyzna koła pozostaje stale równoległą do płaszczyzny XOY, a środek koła opisuje daną krzywą w przestrzeni: x = cp(«), y ~ \(z).

45)    Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli środek koła opisuje krzywą y — o{x\ leżącą na płaszczyźnie XOY, a płaszczyzna koła przechodzi przez oś OZ.

46)    Jakie równanie ma powierzchnia powstała przez ruch koła, o stałym promieniu r,

a płaszczyzna koła przechodzi przez oś OZ.

jeżeli środek koła opisuje prostą L _

47)    Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni, powstałej przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli środek koła opisuje pewną krzywą przestrzenną, a płaszczyzna koła przechodzi stale przez oś OZ.

48)    Jakie równanie otrzymuje powierzchnia powstała przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli środek koła opisuje linię śrubową:

x = a cos —

— a sin —

na

nu

a płaszczyzna koła przechodzi przez oś OZ.

49) Wyprowadzić równanie powierzchni, powstałej przez ruch koła o stałym promieniu r, jeżeli promień koła porusza się po prostej Ly_

Cr- O

, a obwód koła dotyka się stale

osi OZ.

50)    Wyprowadzić równanie powierzchni, powstałej przez ruch koła zmiennego, jeżeli płaszczyzna koła przechodzi przez oś OZ, środek koła pozostaje w początku układu, a obwód koła przecina ellipsę: E{z = 0, b²x²-\-a²y² — a²b²).

51)    Znaleźć powierzchnię obrotową, któraby miała tę własność, że główne promienie krzywizny w każdym z jej punktów byłaby równe, ale przeciwnego znaku.

a?²4y²

52)    Wyznaczyć promień krzywizny w przekroju normalnym ellipsoidy obrotowej : z²

a²

(--ij- = l, jeżeli płaszczyzna przekroju tworzy z płaszczyzną południkową dany

kąt a.

53)    Wykazać, że promień krzywizny przekroju normalnego w danym punkcie powierzchni rozwijalnej jest proporcyonalny do kwadratu sinusa kąta, jaki ten przekrój zamyka z tworzącą powierzchni rozwijalnej.

54)    Wykasać, że promienie krzywizny przekrojów normalnych w punktach danej tworzącej powierzchni rozwijalnej są proporcyonalne do odległości tych punktów od punktu przecięcia się tej tworzącej z tworzącą nieskończenie blisko położoną.

1) F(x—az, y—bz) = O

Rozwiązania LIII.

8) (x—az)²-\-(y—bz)'¹ = 1.

—2axz—2 byz = (a‘l-\-b²-\-\)r².

i2) c'y(.z+cy-\-c*x\z-cy-r\z-\-cy(z-cy = o.

2)    (y—bz)² — 2p(x—az).

4) y - bz — ex~az.

7) (b²-\-\)x²-\-(a²-\-V)y²-\-(a²-\-b²)z²—2abxy —

11)    a²(y²+z²)-r²x² = O lub x²z²-\-a²y²-r²x² — 0.

— a'z—a'

16) -

— az—«

y—b‘z—ßv

y — bz—$

j^)-    18) « = cotgw . V/    -f-    19) (a>²4-y²)(y—&)² =

20) (6².r²-|-aV²)[3—cotg t» V/^M-y² ]² = a²6² cotg² w (a?²+ł/²).

21) [z sin to-f-\/x²Ary² cos œ]²y² — p² (x² cos² w4y²). 25) a²y²-\-x²z²—r²a:² = 0.    28) — -j- ^ =

— (l—• ^9)    + -—) + —=1. 31) (mc²x—cyz)²Ą-m\mcxz — c²y)² = m²c\c

34) b²xyz — a³(a;²-fy²).    35) x²Ą-y² = ^j-je -f⁶    }•    96) z =    a

37) a:²-f?/² = (a^+a)²4-(60+ß)².    39) x²+y²= [/(*)] ²4 [?(*)]²-    40) [6(a;²4y²)4azM-d]a =

= 4c²(*²+f/²).    41; 2²(x²+y²) = a⁴.    42) (y²4z²) (y—&)² = (o²—*²)y²-    43) z = ©(*4 \/r²~y²)-

44) [*-*(*)]»+ly—<!»(*)]* =-r*.    45) **(«*_r*)+(*2+yJ)|a._ę^y«B1o.    46) y²(z²-r²)4-

17) il»-ł-Sy+Car = (p (-

‘ \u

— tang² w y²z².

—az—

y—bz — p

4" e

+0²+-y²)(y—ż>)²=-0.

48) («-»aarctg —^ + \/x²4y² —a)² —

47) 4-44)!'+ 4+?’) {* +(£)}-

r²x².

49) (y²4-z²) (y— 26)-f a?²?/ = 0.

50) {a²y²-\-b²x²)(x²-\ry²-\-z²) — a²b²(x²-\-y²).    51) Powierzchnia powstała przez obrót linii łań-

r².

około osi cc-ów.

( a    a\

cuchowej : y — - Ąe -\-e I

Literatura. Joachimsthal: Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung. Leipzig 1870. Knoblauch: Einleitung in die allgemeine Theorie der krummen Flächen. Leipzig 1888. Ludwig Immanuel Magnus: Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie des Raumes. Berlin 1837.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya powierzchni prostokreślnych.

2.    Teorya powierzchni obrotowych.

3.    Teorya powierzchni rurowych.

Wykïad UV.

Dalszy ciąg teoryi tworzenia powierzchni.

1. Powierzchnia powstała przez ruch dowolnej krzywej. Niech będzie ogólnie dana krzywa ruchoma w przestrzeni, określona równaniami:

(1)

f\(x, y, z, a)=0, f₂(x, y, z, a)=0,

o dowolnym parametrze a.

Każdej wartości parametru a odpowiada pewne położenie krzywej ruchomej. Jeżeli parametr a zmienia się ciągle, natenczas krzywa ruchoma utworzy powierzchnię. Rugując tedy z obu danych równań parametr a, otrzymamy równanie tej powierzchni jako miejsca geometrycznego wszystkich położeń powyższej krzywej ruchomej.

Jeżeli równania krzywej ruchomej przedstawione są dwoma równa

niami:

(2)

/i(s, y, z, 6)-0, f₂(x, y, z, a, b) =0,

o dwu parametrach dowolnych a i &, wtedy istnieje go² położeń krzywej ruchomej. Ażeby tedy krzywa ruchoma utworzyła powierzchnię, musi istnieć pewien związek między parametrami a i & w postaci:

(3)

<p(a, b)=0.

Pod tern założeniem możemy parametrom a i b nadawać tylko takie wartości, które czynią zadość danemu warunkowi, w takim razie będzie istniało tylko go¹ położeń krzywej ruchomej, które utworzą pewną powierzchnię przez ruch krzywej powstałą, a równanie tej powierzchni, otrzymamy, jeżeli z powyższych trzech równań wyrugujemy oba parametry ö i ft.

Ogólnie jeżeli krzywa ruchoma w przestrzeni jest przedstawiona dwoma równaniami :

(4)

o n parametrach dowolnych ail a₂,.. ,an, to jej ruch w przestrzeni będzie określony, gdy będzie danych (w—1) równań między tymi n parametrami, w postaci:

ifl\ j    — 0,    ®2) J ®») Oj •••} (pn—1 (®i j #2> • , dn) 0,    (5)

które dozwalają wyznaczyć (n—1) parametrów jako funkcye pozostałego n go parametru. Możemy tedy wyrugować z danych (w-fi) równań wszystkie parametry, a otrzymamy jedno równanie między spółrzędnemi x₎ y, z jako równanie powierzchni powstałej przez tak określony ruch krzywej w przestrzeni.

- 862 -

Warunki w ilości (w—1), potrzebne do określenia ruchu krzywej, mającej w swych równaniach n parametrów dowolnych, możemy otrzymać w ten sposób, że podamy (n—1) stałych krzywych w przestrzeni, zwanych kierownicami powierzchni, na których krzywa ruchoma ma się opierać, przecinając je.

2. Przykłady powstawania powierzchni rzędu drugiego przez ruch krzywych drugiego

rzędu.

a) Ellipsoida powstaje przez ruch ellipsy zmiennej, której wierzchołki poruszają się po dwóch ellipsach, mających jedną oś wspólną i leżących w płaszczyznach do siebie prostopadłych. Obierzmy płaszczyzny dwóch ellips stałych CO A i COB za płaszczyzny ZOX

i ZOY, a ich oś wspólną CC' za oś «-ów i przyjmijmy, że płaszczyzna ellipsy ruchomej AOB jest równoległą do płaszczyzny XOY (fig. 247). Oznaczmy w ellipsach stałych CO A i COB półosie O A —a, OB = b, OC = c i weźmy pod uwagę jakiekolwiek położenie ellipsy ruchomej AOB, np. AxOxBx. Dowolny punkt P tei ellipsy niech ma współrzędne x = ON, y — MN, z — MP, wtedy będzie dla ellipsy OAxBx widocznie

OA\ Z²

NU x

x²

Y²

i;

OAx 2 1 0B\ z ellipsy OBC zaś:

1, z ellipsy O AC wypada atoli : ——

OB\ . Z²

b²

= 1 będzie więc:

Fig. 247.

OA\ = a'( l-£),

Wstawiwszy te wartości w równanie ellipsy OAxBx, otrzymamy związek, jaki zachodzi między spółrzędnymi każdego punktu ellipsy ruchomej w każdem jej położeniu, czyli równanie ellipsoidy w postaci :

x²

y²

a²

ß) Hiperboloida o jednej powłoce powstaje przez ruch ellipsy zmiennej, której wierzchołki poruszają się po dwóch hiperbolach, mających wspólną oś urojoną i położonych w płaszczyznach do siebie prostopadłych.

Obierzmy płaszczyzny dwóch stałych hiperbol za płaszczyzny ZOX i ZOY, a płaszczyznę ellipsy ruchomej równoległą do płaszczyzny XOY (fig. 248). Oznaczmy ich półosie O A = a, OB = b, a połówkę wspólnej osi urojonej OC—c i weźmy pod uwagę jakiekolwiek położenie ellipsy ruchomej AOB, np. AxOxBx. Dowolny punkt P tej ellipsy niech ma współrzędne ON—x, MN—y, PM —z, to jej równaniem będzie:

x²

OiA² ' OxB2    1;

z hiperboli AAX otrzymamy atoli :

OxA²x z2 ö² c2 ==

z hiperboli BBX zaś :

i°

OxB\

z²

b²

będzie więc :

i+£),

Wstawiwszy te wartości w równanie ellipsy OxAxBx,

otrzymamy :

Fig. 248.

a²

czyli: h⁺b²~T«⁻¹’

jako szukane równanie hiperboloidy o jednej powłoce.

— 868 —

y) Hiperboloida o dwóch powłokach, powstaje przez ruch ellipsy, której wierzchołki poruszają się po dwóch hiperbolach, mających wspólną oś rzeczywistą i położonych w płaszczyznach do siebie prostopadłych.

Weźmy płaszczyzny stałych hiperbol, mających wspólną oś poprzeczną AA' — 2a, za płaszczyzny spółrzędne XOZ i YOZ i przyjmijmy, że ellipsa porusza się równolegle do płaszczyzny YOZ. Oznaczmy przez c połowę osi urojonej dla hiperboli ACXC, położonej na płaszczyźnie XOZ, zaś przez b połowę osi urojonej dla hiperboli ABtB, położonej na płaszczyźnie XOY i weźmy pod uwagę jakiekolwiek położenie ellipsy ruchomej, np. RjSjCj, gdzie 8iBl i S₁Cl są jej półosiami. Dowolny punkt P tej ellipsy niech ma współrzędne x = 0SU y = MSl, z = MP (fig. 249), wówczas otrzymamy jej równanie w kształcie:

y²

z²

SlB\ ' StC\

CY

= 1,

Z hiperboli ACt otrzymamy jednakże: x² _ SjC\ a² c²

a stąd:

Fig. 249.

*/²

SjB\

a²    b²

z hiperboli ABi zaś : będzie więc: 5'₁C,2₁=c²^-lj₎ SXB\= b²    —1^.

= 1,

Wstawiwszy te wartości w równanie ellipsy CiPBi

otrzymamy:

Z² CC²

a:² y² z2 a² b²    c²

= 1,

jako szukane równanie hiperboloidy o dwóch powłokach.

8) Paraboloida elliptyczna powstaje przez ruch paraboli poruszającej się wierzchołkiem po innej stałej paraboli, jeżeli płaszczyzny tych parabol są do siebie pi*ostopadłe, a osie parabol równoległe i w tę samą stronę zwrócone.

Przyjmijmy płaszczyznę stałej paraboli za płaszczyznę XOZ, jej wierzchołek za początek układu, a jej oś za oś z-ów (fig. 250). Równanie tej paraboli na płaszczyźnie ZOX będzie tedy:

x² = 2 pz,

IV(

Mu

uf

j\

jeżeli p jest jej parametrem.

Niech będzie teraz CP jakiemkolwiek położeniem paraboli ruchomej, której parametrem niech będzie q. Przyjmijmy dowolnie punkt P na tej paraboli, niech będzie nadto ON = x, PM = y, MN=z, wtedy będzie:

PM² = y² = 2q. MO = 2q (MN—NC),

czyli :

y² = 2 ąz—2 ąNC.

Fig. 250.

Z paraboli OC dostaniemy zaś :

CR² — 2p . OR₎ czyli: x² == 2p . CW,

przeto :

x²

CN = —

2p

jako równanie paraboloidy elliptycznej.

e) Paraboloida hiperboliczną, która powstaje przez ruch paraboli poruszającej się wierzchołkiem po innej stałej paraboli, jeżeli płaszczyzny tych parabol są do siebie prostopadłe, a osi równoległe, jednakże w stronę przeciwną zwrócone.

Przyjmijmy płaszczyznę stałej paraboli za płaszczyznę XOZ, jej wierzchołek za początek układu, a jej oś za oś z-ów. Równanie tej paraboli na płaszczyźnie XOZ będzie

Otrzymamy :

a:²

*/²

czyli :--1--= 2z

V ?

tedy: x²— 2pz, jeżeli p jest jej parametrem. Niech będzie teraz CP jakiemkolwiek położeniem paraboli ruchomej o stałym parametrze q. Przyjmijmy na niej dowolny punkt P, spółrzędne jego niech będą OQ — x, QM—y, PM = z (fig. 251).

Z paraboli CP otrzymujemy tedy:

PM² = 2q . CN= 2q (CQ-NQ), y'¹ = 2q (CQ—z);

czyli :

z paraboli OC dostaniemy zaś :

CQ² = 2p. OQ,

x czyli:

Otrzymamy więc: y² — 2q{^

x² = 2p. CQ, przeto: CQ — ~

i;M

Fig. 251.

2 p

równanie paraboloidy hiperbolicznej.

3. Powierzchnie śrubowe. Powierzchnią śrubową w ogólności, nazywamy powierzchnię, która powstaje w ten sposób, że dowolna krzywa obraca się około pewnej osi, a zarazem przesuwa się równolegle do tej osi, jednakże tak, że stosunek między szybkością obrotu a szybkością przesunięcia jest ilością stałą.

Każdy punkt tworzącej opisuje przy tym ruchu linią śrubową, a wszystkie te linie śrubowe mają jednakowe kroki.

Przecinając powierzchnię śrubową, płaszczyzną przesuniętą przez oś powierzchni śrubowej otrzymujemy krzywą, którą nazywamy linią południkową powierzchni śrubowej. Linie południkowe powierzchni śrubowej są do siebie przystające. Jeżeli linia południkowa powierzchni śrubowej wykonywa ten sam ruch śrubowy, co krzywa tworząca, natenczas powstaje ta sama powierzchnia śrubowa.

Najogólniejsza linia śrubowa może więc powstać przez ruch śrubowy krzywej płaskiej około osi leżącej na płaszczyźnie tej krzywej.

Przyjąwszy oś OZ za oś powierzchni śrubowej, krzywą na płaszczyźnie XOZ o równaniu z=f{x) jako krzywą południkową powierzchni śrubowej, wtedy obracając dowolny z jej punktów o kąt ą> na około osi OZ i przesu-wając go zarazem wzdłuż osi o wielkość acp, otrzymamy na wyznaczenie nowych spółrzędnych tego punktu równania:

x = r cos <jp, y—r sin <p, z=Ąr)Jra(p, o dowolnych parametrach r i (p, skąd po wyrugowaniu r i <jp, otrzymujemy:

-H

ts,

to

PO

as

At -

jako ogólne równanie powierzchni śrubowjmh (fig. 252, 253 i 254).

W szczególności powierzchnia

f    y

o równaniu: z=a arctang — jest po-

OC

wierzchnią śrubową wichrowatą powstałą przez ruch śrubowy prostej prostopadłej do osi OZ.

Jeżeli a = 0, natenczas ruch śrubowy przechodzi w prosty ruch obrotowy, równanie otrzymuje tedy kształt : £=/(V^² + y²) i przedstawia powierzchnię obrotową o osi #-ów.

Fig. 252.

Fig. 253.

Fig. 254.

— 865 -

Powierzchnie obrotowe możemy przeto uważać jako szczególny przypadek powierzchni śrubowych.

4. Powierzchnie powstałe przez ruch powierzchni. Niech będzie daną powierzchnia, określona równaniem: /(#, y, z, t)—0, w którem t jest dowolnym parametrem, natenczas zmiana parametru t wywołuje zmianę w położeniu powierzchni, czyli ruch powierzchni powyższem równaniem określonej. Weźmy pod uwagę nieskończenie bliskie położenie, odpowiadające parametrowi t-\-dt, określone równaniem:

f(x, y, z, t + dt)=0,

natenczas oba równania: f(x, y, z, l)=0, f(x, y, z, t+dt)= 0 przedstawiają razem przekrój dwu powierzchni po sobie następujących w miejscu odpowiadaj ącem pewnej wartości parametru t. Równania te możemy zastąpić dwoma równaniami następującemi :

dt

f(x, y, z, t)=0,

df{x, y, z, t)

Ze zmianą wartości parametru t zmieniają się położenia obu powierzchni, a więc także położenie ich krzywej przecięcia. Krzywa ta poruszając się w przestrzeni tworzy powierzchnię, określoną równaniami :

f-o,

d±₌0

dt ’

(7)

o dowolnym parametrze t.

Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią obwijającą układ powierzchni, określonych równaniem : f(x, y, z, tf)=0, albo także powierzchnią obwiednią układu f(x, z, t)—0.

Przekrój dwu nieskończenie bliskich powierzchni tego układu nazywa się według Monge’a, krzywą charakterystyczną powierzchni obwie-dniej. Wzdłuż krzywej charakterystycznej ma powierzchnia ruchoma te same płaszczyzny styczne, co powierzchnia obwiednia.

Równanie płaszczyzny stycznej w danym punkcie powierzchni /= 0 ma

df df df    „

: to ’ dy' to¹’ a te 8,4 dla pewn6;l

z których parametr t został wyrugowany, t. j. dla po-

bowiem za spółczynniki pochodne cząstkowe stałej wartości parametru i takie same także dla powierzchni, określonej równaniami: /=0, -^7=0,

Ot

wierzchni obwiedniej.

Powierzchnia obwiednia dotyka się więc każdej powierzchni ruchomej (tworzącej) wzdłuż przynależnej krzywej charakterystycznej, czyli obwija ją wzdłuż tej krzywej.

5. Przykład. Powierzchnie powstałe przez ruch płaszczyzny. Niech będzie danem równanie płaszczyzny ruchomej w postaci:

z = tx+f(t).yĄ-<p(t),

gdzie t jest dowolnym parametrem, a f(ł) i ©(£) pewnemi danemi funkcyami. Różniczkując to równanie ze względu na parametr f, otrzymujemy:

oba równania razem:

(8)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

przedstawiają po wyrugowaniu parametru t, powierzchnię powstałą przez ruch płaszczyzny. Różniczkując powyższe pierwsze równania cząstkowo podług zmiennych x i y, otrzymujemy:

p = *+[*+/'«)■    ]~, 2.=/(0+[*+/W;y+?^)]    .    .

skąd, uwzględniając drugie równanie w (8), otrzymujemy równania:

? =/(*)>

zatem, po wyrugowaniu parametru t, równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, przynależne powierzchniom przez ruch płaszczyzny powstałym, w postaci :

(9)

Î =•=/«, osyli: £-/(£)•

Każda powierzchnia, której odpowiada równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu kształtu: q*=f(p), jest powierzchnią rozwijalną na płaszczyźnie. Różniczkując bowiem powyższe równanie cząstkowe podług zmiennych x i y, otrzymujemy równania:

s=f'(p)-r> * ==■/'(*>) •

a stąd, po wyrugowaniu dowolnej funkcyi/'(p), dostajemy równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, kształtu;

rt—s² = 0,

(10)

cechujące powierzchnie rozwijalne.

Wszelka powierzchnia powstała przez ruch płaszczyzny jest zatem powierzchnią rozwijalną ; linią charakterystyczną jest tu przekrój dwu płaszczyzn po sobie następujących, zatem linia prosta.

v ^ ■    •

6. Powierzchnie graniczne. Jeżeli równanie między trzema zmiennemi æ, y, z zawiera w swym składzie dwa parametry zmienne u i v, a więc przedstawia się w postaci:

f(x, y, z, u, v)=0,

natenczas przedstawia ono podwójnie nieskończony układ powierzchni czyli oo² powierzchni w przestrzeni.

Dwie po sobie następujące powierzchnie, odpowiadające pewnej wartości parametru u i wartości następnej u~\-du, przy pewnej stałej wartości parametru v, określają jako swój przekrój krzywą w przestrzeni, wyznaczoną równaniami :

f(x, y, z, u, v)=0, f(x, y, 0, u+du, v)=0

df

cyli:    /=0, du -

. . . . ^ ^ . .... r :

Analogicznie, dwie po sobie następujące powierzchnie, odpowiadające pewnej

wartości parametru v i wartości następnej v-\-dv, przy pewnej stałej wartości parametru w, określają jako swój przekrój krzywę w przestrzeni, wyznaczoną równaniami :

f{x, y, z, w, v) = 0, f{x, y, z, u, v + dv)=0, czyli: /'= 0,

ov

Obie krzywe określają punkta przecięcia, określone trzema równaniami :

a/=o, f-o,

du    dv

z których, po wyrugowaniu parametrów u i v, otrzymuje się równanie F(X, y, z) —0, jako równanie powierzchni, zwanej powierzchnią graniczną danego układu powierzchni.

— =0.

df

==0.

f= o,

(U)

— 867

Powierzchnia graniczna jest styczną do każdej powierzchni danego układu w ich punkcie wspólnym. Weźmy bowiem pod uwagę jedną z powierzchni układu, określoną równaniem : f(x, y, z, w, v) = 0 przy pewnych stałych wartościach u i vr natenczas płaszczyznę styczną w pewnym punkcie tej powierzchni wyznacza różniczka zupełna :

df==~rr dx + ^ dy -f ^7 dż ;

ÓX

dy

dz

płaszczyznę styczną w pewnym punkcie powierzchni granicznej, określonej równaniami:    .0 J    ,    "    ,

^-0. V_o

du

dv

określa zaś różniczka zupełna:

która wobec:

df=?fdx+~ dy+ Źfdz+^fduĄ- d-fdv, dx dy dz du dv

^ j*

=0,    —=0 sprowadza się także do postaci:

df= ~dx + ~dy 4- ~ dz ox

'/i

dy

dz

jest więc taką samą, jak dla powierzchni: f(x, y, z, u, v) o stałej wartości parametrów u i v.

±J - i -    . /    ...... ,    . .^    ; j _ •    f. : • •. yr

Płaszczyzna styczna w punkcie powierzchni granicznej, leżącym na pewnej powierzchni danego układu powierzchni, wpada więc w płaszczyznę styczną w tym punkcie do tejże powierzchni układu.

Powierzchnia graniczna obwija więc podwójnie nieskończony układ powierzchni, dotykając się każdej z nich w pewnym punkcie.

7. Przykład. Powierzchnia graniczna podwójnie nieskończonego układu płaszczyzn ma

w ogólności równania kształtu:

dv    dv

z = ux-\-vy+<p (u, v),    0 =    ,    0 = y-\-^

(12)

z których po wyrugowaniu parametrów i v wypływa równanie tej powierzchni w postaci: F(x, y, z) —0.

Kształt tej powierzchni zależy od kształtu funkcyi <p(w, v). Przyjmijmy, że: 9(w, v) = V/a²M²+&²«,2-bc2 ) natenczas odnośna powierzchnia graniczna otrzymuje równania

a^u

z = ux

P = yi

bh

\/ a²«²-f-&²r²-f-c²

V/ a²w²-|- 6²r²-j-c²

Wstawiwszy w pierwszem z tych równań w miejsce x i y wartości, wypływające z drugiego i trzeciego równania, otrzymujemy:

a²w²-}-ó²r²

j-\/a²M²-|-ó²t>²-ł-c², zatem: z

c²

Y/a²«²-l-ó²0²-f c²

Spółrzędne punktów szukanej powierzchni granicznej określone są więc trzema równaniami kształtu :

V/ a%²+&²r²-t-c²

bh' j

a²«²-h&²r²-|-c²    \/ a²«²-l-ó²r²4-c²

z których możemy z łatwością wyrugować oba parametry zmienne u i, v. Mianowicie otrzymujemy stąd równanie:    -    '    ■    • -

a²u

V/a²«²4-ó²t>²-(-c²

c²

a?² w² z²

iï + fï+^-i.

i°

i*

cechujące ellipsoidę jako szukaną powierzchnię graniczną.

8. Równania powierzchni w spółrzędnych płaszczyzny. Plücker był pierwszy, który okazał, że wszelką powierzchnię możemy przedstawić jako powierzchnię graniczną jej płaszczyzn stycznych.

Niech będzie daną powierzchnia, określona równaniem :

y, 0)=O.

Równanie płaszczyzny stycznej w pewnym punkcie P(x, y, z) tej po

wierzchni :

df

àf

df

—(X—x) + — ( Y—y) + —{Z— z)=O,

ày

dz

możemy sprowadzić do postaci Plückerowskiej :

ux+vy + wz= 1,

w której spółczynniki u, v, w, zwane spółrzędnemi płaszczyzny, otrzymują wartości :

df

àf

dx

dz

(13)

U df' df df1 Xàï+ydy+°Yz przyczem f(x, y, z)=0.

"Wyrugowawszy z tych czterech równań spółrzędne x, y, z punktów powierzchni, otrzymamy równanie tej powierzchni w spółrzędnych u, v, w jej płaszczyzn stycznych, w postaci:

df    df    df

dx    dy    dz

dx

dy

dz

F (u, v, w)=0.

9. Przykład. Równanie ellipsoidy w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych. Z równania

|y2    2>2

ellipsoidy w spółrzędnych punktu:    ^    1 otrzymujemy równanie jej płaszczy

zny stycznej w postaci:

$ + g+£-i-a

Spółrzędne (u, v, w) płaszczyzny stycznej w punkcie (su, y, z) tejże ellipsoidy określone są zatem wzorami:

z których otrzymujemy:

s i «

N3 »O

= a²«²,

zatem równanie ellipsoidy w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych w postaci:

aV-f-6 V+c²w>² = 1.

10. Powierzchnie spodkowe danej powierzchni. Niech będzie daną powierzchnia F(x, y, z)=0 i dany punkt O w przestrzeni. Wykreślmy z punktu O prostą prostopadłą do jakiejkolwiek płaszczyzny stycznej do danej powierzchni, natenczas spodki tych prostopadłych, wyznaczone na poszczególnych płaszczyznach stycznych, utworzą nową powierzchnię powstałą z danej powierzchni, zwaną powierzchnią spodkową danej powierzchni.

Przyjmijmy stały punkt O w początku układu i oznaczmy przez w, v, w spółrzędne płaszczyzny stycznej do danej powierzchni: F(x, y, £)=0, natenczas równanie tej płaszczyzny możemy napisać w postaci :

ux+vy-\-wz= 1.

- 869 -

Prosta prostopadła do tej płaszczyzny, wychodząca z początku układu, przebija tę płaszczyznę w punkcie x, y, z, którego spółrzędne czynią zadość relacyom :

V w ’

z których, na podstawie twierdzeń o równych stosunkach, otrzymujemy :

x² + y²+z²

x²+y² + z ux+vy-\-wz

a zarazem:

u²-]-v²-\-w

ux \-vy+w z V w u²Ą-z²+w²

a stąd wzory :

x²-\-y²-\-z²

v x²+y² + z

W x² + y²-\-z²

a zarazem :

x—

Z u²-srv² + iv

wykazujące zależność między spółrzędnemi płaszczyzn, a spółrzędnemi punktów, w których proste wyprowadzone z początku układu prostopadle do tych płaszczyzn, je przebijają.

Mając więc daną powierzchnię określoną równaniem w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych w postaci :

U2 j[-v² + w²¹

y u² + v²-\-w

F (u, v, w)=0,

trzymamy równanie jej powierzchni spodkowej w postaci:

(_-_

[z² + y² + z

h-

(14)

x²+y²-\-z² ’ x²-\-y2jrz‘Ł

Nawzajem jeżeli punkt P(x, y, z) opisuje powierzchnię F(x, y, z)=0 natenczas płaszczyzna poprowadzona przez punkt F prostopadle do promienia OP obwija powierzchnię, której równanie w spółrzędnych płaszczyzny przedstawia się w postaci:

=0.

(15)

u²Ą-v²Ą-w²' u² + v2jrw² ’ u2jrV²-\-w2 Z danej powierzchni możemy wyprowadzić kolejno szereg powierzchni, jako powierzchni spodkowych, które nazywamy powierzchniami spodkowemi wyższych rzędów, kolejno pierwszą, drugą, ..., n-tą spodkową. Naodwrót nazywamy powierzchnię obwiednią płaszczyzn stycznych wykreślonych w końcach promieni wodzących poszczególnych punktów danej powierzchni spodkową ujemną, odróżniając kolejno spodkowe ujemne pierwszą, drugą,.., w-tą, spodkową ujemną.

11. Przykład. Spodkowa dodatnia i ujemna ellipsoidy. Stosując powyższe postępowanie do ellipsoidy:

SY* 2    ąj 2    £ 2

h+h+î?-¹’

czyli :

a%u²-\-b¹vi-\-c'iw² — 1, otrzymamy równanie powierzchni spodkowej danej ellipsoidy w postaci:

aV-j-ô^-j-C²?² =s= (a;²+y²4-2²)².

- 870 -

r f.p......    .. r : . . , .    x'l° yl e2

Jeżeli zaś punkt Pipe, y, z) opisuje ellipsoidę: —^ -j-    — h natenczas płaszczy-

zna

płaszczyzny równaniem :

prostopadła w P do promienia ÓP obwija powierzchnię, określoną w spółrzędnych

u²

12. Powierzchnie równoległe do danej powierzchni. Powierzchnia graniczna podwójnie nieskończonego układu kul o stałym promieniu r, których środki leżą na danej powierzchni, ma od tej powierzchni zawsze jednakową odległość r, nazywamy ją przeto powierzchnią równoległą do danej powierzchni.

Wszelka powierzchnia ma nieskończenie wiele ( oo¹) powierzchni równoległych, gdyż promień r może przybierać nieskończenie wiele wartości.

Powierzchnie równoległe do płaszczyzny są płaszczyznami, powierzchnie równoległe do kuli są kulami z nią spółśrodkowemi.

Powierzchnia, równoległa do powierzchni: Z—f(x,y) w odstępie r, określona jest trzema równaniami:

[x—i)² + [y—rj\'²+|> - /■(£, y)Y = r²,

o dwu zmiennych parametrach f i r\.

Powierzchnię równoległą do danej powierzchni możemy także określić jako powierzchnię, którą podwójnie nieskończony układ normalnych w poszczególnych punktach powierzchni przecina pod kątem prostym.

Ćwiczenia LIV.

1) Wykazać, że równanie : przedstawia powierzchnię powstałą przez obrót koła około linii prostej leżącej na płaszczyźnie tego koła

2) Wykazać, że powierzchnia: a;²-|-y²-f-z²—8xyz — r*¹ jest powierzchnią obrotową, której oś obrotowa jest określona równaniami: x = y = z.

X² Xf²    z²

8) Wykazać, że krzywa zwężenia hiperboloidy : ^ -f- ^    — 1 jest jej przekro

jem z powierzchnią:

(1    1\²C²

\&²    a²/ z²‘

(w ~ c²

\² a² /I 1\²Z>²

4) Wykazać, że ogólne równanie powierzchni obrotowych, których osią obrotu jest oś z-ów, możemy przedstawić w postaci trzech równań :

x — u cos v, y — u sin v, z— /(w),

o dwu dowolnych parametrach u i o,    :    .

B) Wykazać, że w każdej powierzchni obrotowej normalna w danym punkcie powierzchni spada z normalną linii południkowej tego punktu.

6) Wykazać, że w każdym punkcie powierzchni obrotowej jeden z głównych promieni krzywizny jest równy promieniowi krzywizny południka, a drugi równy odcinkowi normalnej, zawartemu między tym punktem a osią obrotu.

7) Wykazać, że równania:

x — ueosv, y —u sin r, z — (p{u)-\-av,

o zmiennych parametrach u i v przedstawiają powierzchnię śrubową.

8) Kule o stałym promieniu r przechodzą przez początek układu, znaleźć powierzchnię obwiednią stożków wychodzących z punktu S(a, b, c), a stycznych do tychże kul.

9) Kula: x'i-\-y²-\-z²—2ax—2by — 2cz — 0 przecina inną kulę, przechodzącą przez począ-

•    «*/    XI ^    2/^

tek układu a mającą środek na ellipsoidzie : y + y Hwykazać, że obwiednia pła-

szczyzn przecięcia się tworzy powierzchnię:

- + + ax by cz

10) Dane są dwie parabole:

Ct(z²~4.ax, y = 0), <7s(ys = 4a'», z = 0), znaleźć obwiednią płaszczyzn stycznych do tychże parabol.

11) Wyznaczyć powierzchnię, powstałą przez ruch kuli, która ma środek na powierz-

2²

chni paraboloidy: y -f- y = 2x, a promień równy odległości tego punktu od pewnej stałej

płaszczyzny prostopadłej do osi tej paraboloidy.

12)    Wyznaczyć obwiednią ellipsoid o stałej objętości, których jedna oś rośnie nieo-graniczenie, a przekroje zawierające dwie inne osie są ellipsami podobnemi

13)    Znaleźć obwiednią płaszczyzny: ux-\-vy-\-wz = 1, jeżeli zmienne parametry u, v,w czynią zadość równaniom:

au-\-bvty-cw = 1,    a²u²-\-bh²-\-c²w² == 1.

14) Wykazać, że obwiednią płaszczyzn:

sin cp cos <|* _r sin cp sin ty r cos cp a

15) Wykazać, że obwiednią płaszczyzn: Ax-\-By-\-Cz — D, których spółczynniki czynią zadość równaniom:

AĄ-B+C = 0, ^²+5²+C²— 1,

jest walec drugiego rzędu:

0»—yf+(y—z)²-\-{z-x)² = 3a².

16) Wyznaczyć obwiednią płaszczyzn:

~ cos {cp - <!)+ V- sin {Cp <104- y sin (Cp+ty) = sin (9>-j),

gdzie Cp i ^ są dowolne parametry.

Wyprowadzić równania w spółrzędnych u, v, w płaszczyzn stycznych dla następujących powierzchni drugiego rzędu:

= 1.

x'¹

z%

1.

x²

z'²

= 1.

2^.

21)

CC²

= 2«.

2 2<2

22)    Wykazać, że płaszczyzna ruchoma odcinająca ze stożka:    --stałą

objętość ob wij a hiperboloidę o dwu powłokach, której równanie w spółrzędnych «, v, w płaszczyzny ma kształt: c²w>²—«V—b²v² = 1.

23)    Wykazać, że równanie w spółrzędnych w, v, w płaszczyzny kształtu:

u¹

v²    , w

® ²-j-X ¹ &²+X

gdzie X jest dowolnym parametrem, przedstawia układ powierzchni drugiego rzędu, mających te same przekroje kołowe.

- 87 2

*r

I®«»

** I ^

24)    Wyprowadzić równanie powierzchni spodkowej dla ellipsoidy:

jeżeli prostopadłe do jej płaszczyzn stycznych wychodzą z początku układu.

25)    Wyprowadzić równanie powierzchni, której powierzchnią spodkową ze względu

/p2    2    gl

na początek układu jest ellipsoida: ^ -f p- + ~ = 1.

26)    Wyprowadzić równanie powierzchni spodkowej, odpowiadającej początkowi układu, jeżeli płaszczyzny przechodzą przez dany punkt (a, 5, c) przestrzeni.

27)    Wyprowadzić równanie powierzchni, jaką obwija płaszczyzna, której spodkową jest płaszczyzna: ax-\-by-\-cz — 1.

28)    Znaleźć miejsce spodka prostopadłej z początku układu do powierzchni Py²+ Cfc² = x.

29)    Wyprowadzić równanie pierścienia kołowego w takiem położeniu, że oś obrotu koła o promieniu a wpada w oś OZ, a środek leży na płaszczyźnie XOY w odległości c.

30)    Koło o promieniu r porusza się tak, że jego środek opisuje krzywą: x = y(z): y — 'K²), a jego płaszczyzna pozostaje stale równoległą do płaszczyzny XOY. Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez tenże ruch koła.

31)    Jaką powierzchnię opisuje koło o promieniu r, poruszające się równolegle do płaszczyzny XOY, jeżeli jego środek opisuje linię śrubową:

x— a cos — , na

32)    Wyprowadzić równanie powierzchni powstałej przez obrót krzywej :

Ci[azï-\-bx'l-\-2cx-\-d = 0, y = 0] około osi OZ.

33)    Wyprowadzić równanie powierzchni obrotowej powstałej przez obrót hiperboli równobocznej (xz — a², y = 0) około jednej z jej asymptot.

. z

na

y — a sin —.

34)    Wykazać, że równanie: z— a . r . arc tang-^-4-(p(x²-j-?/²) przedstawia ogólną powierzchnię śrubową, której osią jest oś z ów.

35)    Wyprowadzić równanie powierzchni śrubowej powstałej przez ruch śrubowy koła K[(x — a)²-f-z² = r², y = 0] około osi OZ.

Rozwiązania LIV.

10) 4*=(

+■

W V

₁₈) (— + 4- + —

\a b c

8) (ax-{-by-\-cî)² == r²[(a:-j-a)²-(-(y4 ó)²+(z-j-c)²].

**    )=o.    12) (*²-f«y)² =

y=) • U) (*+«) (*—0+

ß²

V_o(x i y* . **

a-px - b

o-

a-\-x - c

1. 17) a²w³-j-i²»²-f-c²io² = 1.

18)«²«²+6V-c²^² = l. 19) a²«²—i²»²—c²to² = 1. 20) a²w²+&V = — 2w. 21) a²«²——2w;. 23)    ^-)a:²-|-(&²-j-X>;2/²-l—(c²—t~X)s:² = 1. 26) ax-^-by^-cz^^x^-^-y^^-z². 27) au-\-bv-\-cw —

28) 4(**4-s,H^)f|S + ^ = 0.

+[x-y(z)Y = r\

29) (x²-j-î/²-j-z²-fc²—a²)²—4c²(x²-|-i/²) = 0.

30)

31) x²-f y²—2a y sin ~ - 2ax cos “+«² - r² = 0. 32) (az²-{-by²-\-bx² Ą-d)² =

= 4c²(x²-j-«/²). 33) z²(x²-\-y²) — a⁴. 35) 2 = na arc tang ~ +^r²—x²—y²—a²-\-2a.^ t/²-f-æ².

Literatura. Dr. Max Simon: Analytische Geometrie des Raumes. Leipzig 1906. Gaston Darboux: Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Paris 1887. ßürklen: Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes. Leipzig 1906.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya powierzchni śrubowych.

2.    Powierzchnie powstałe przez ruch kuli.

3.    Teorya powierzchni równoległych.

Wykład UV.

Zasady teoryi przekształcania powierzchni.

1. Powierzchnie algebraiczne. Oznaczając przez u₀, ui, u₂,...,un funk-cye jednorodne stopnia 0, 1, 2, ..., n-go ze względu na zmienne spółrzędne x, y, z punktu powierzchni, otrzymamy ogólne równanie powierzchni algebraicznej n-go rzędu w postaci :

(1)

Ct⁸)

spółczynników dowolnych, z czego wynika, że do wyznaczenia pewnej powierzchni n-go rzędu potrzeba

Równanie to zawiera w ogólności

w ogólności znać v=[ g J—1 punktów w przestrzeni, należących do tej

powierzchni. W szczególnych przypadkach jest ta ilość niewystarczającą.

Fn + AF‘n=0,

Niech będą bowiem dane dwie powierzchnie n-go rzędu: Fn=0, F'n =0, natenczas równanie :

o dowolnym parametrze X, przedstawia układ powierzchni n-go rzędu, przechodzących przez punkta wspólne obu powierzchniom: Fn = 0 i F'n=0. Te wspólne punkta utworzą krzywą przestrzenną w²-go rzędu, jako przekrój dwu powierzchni n-go rzędu, z czego wynika, że zagadnienie wyznaczenia powierzchni n-go rzędu któraby przechodziła przez dane v=^    —1 pun

któw, staje się nieoznaczonem, gdy dane punkty leżą na krzywej przestrzennej w²-go rzędu.

2. Układy liniowe powierzchni. Z danych dwu powierzchni n-go rzędu F= 0, 0=0, otrzymamy nieskończony układ powierzchni, przechodzących przez ich wspólną krzywą przekroju, określony równaniem:

(2)

F+X0=0.

Układ taki nazywamy liniowym układem pierwszego stop-n i a, utworzonym z dwu danych powierzchni. Przez każdy punkt w przestrzeni przechodzi jedna powierzchnia tego układu.

Z danych trzech powierzchni w-go rzędu : F= 0, 0=0, 0=0, otrzymamy układ n² powierzchni, przechodzących przez punkta wspólne danym trzem powierzchniom, określony równaniem:

(3)

F+X0+fi&=O.

Taki układ powierzchni nazywamy liniowym układem drugiego stopnia. Równanie tego układu powierzchni zawiera dwie stałe

- 874 —

dowolne À i p, a więc przez każde dwa punkta przestrzeni przechodzi jedna powierzchnia tego układu.

Podobnie możemy utworzyć z czterech powierzchni Fl = 0, F₂— 0, _F₃ = 0, Fi=0 układ liniowy trzeciego stopnia, określony równaniem :

(4)

Fi + 2F₂-\- fiF₃ +vFlt=0,

a każda z powierzchni tego układu wyznaczona jest trzema dowolnymi punktami przestrzeni.

Rozważania te możemy odnieść do układów liniowych dowolnego stopnia. W szczególności nazywamy układ liniowy powierzchni przechodzących przez jeden i ten sam punkt wiązką, a układ liniowy powierzchni, przechodzących przez tę samą parę punktów nazywamy pękiem powierzchni.

3. Przez stosowne połączenia powierzchni, należących do dwu różnych układów liniowych, możemy utworzyć nowe powierzchnie, jako miejsce geometryczne wszystkich tych krzywych, podług których przecinają się odpowiednie pary powierzchni dwu różnych układów.

Tak otrzymamy np. z dwu układów liniowych pierwszego stopnia:

JF(n) + J0(w)=0, F&+20^=0,

z których jeden utworzony jest z powierzchni n-go rzędu, drugi z powierzchni p-go rzędu, powierzchnię algebraiczną (n+p)-go rzędu, której równanie wskutek wyrugowania parametru przedstawi się w postaci:

(5)

=0.

En\ 0(n)

F(p\ 0tp)

Powierzchnia ta zawiera widocznie obie krzywe podstawowe danych dwu układów powierzchni.

W szczególności otrzymujemy przez połączenie danych jednokreślnych dwu pęków płaszczyzn: Fi +AE₂ =0, Ez + XEK — 0 powierzchnię prostokreślną drugiego rzędu, określoną równaniem :

Fi, E₂

_ Aix -fBxy-\-    , A₂x-\-B₂y-\- C₂z-\-D₂

Ą, Ą A:ix + B.,y+C?jz+ Z),, A^x-\-lfy+Ckz+Dk ~

= 0.

4. Rząd i klasa powierzchni algebraicznych. Stopień równania powierzchni w spółrzędnych jej punktów nazywamy rzędem, a stopień jej równania w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych nazywamy klasą powierzchni. Jeżeli równanie powierzchni w spółrzędnych punktu w postaci : f(x, y,z) =0

funkcyami

jest równaniem n-go stopnia, wtedy są pochodne:

. df    df

dx' dy ’ dz

(n — 1) go stopnia. Związki między współrzędnemi (#, y, z) punktu na powierzchni, a spółrzędnemi («, v₎ w) płaszczyzny stycznej w tym punkcie, określone stosunkami:

df

(6)

df df , df a? —— -j- y —— -f- z —— dy dz dx dy dz

z warunkiem f(x, y, z')—0, prowadzą więc celem wyrażenia spółrzędnych if, y, z przez spółrzędne u, v, w, do trzech równań, z których dwa są stopnia (n — l)-go, a jedno stopnia n-go. Wskutek wyrugowania zmiennych x, y, z, otrzymujemy więc ze względu na zmienne u, v} iv równanie (n—1 ){n—ljw-go czyli n(n—l)²-go stopnia.

- 875 —

A zatem : Równanie n-go stopnia iv spółrzędnych punktu zamienia się na róimanie n(n—1 )²-go stopnia w spółrzędnych płaszczyzny i nawzajem.

Ztąd wniosek: Poivierzchnia n-go rzędu jest zarazem powierzchnią n{n—l)2 klasy i nawzajem.

Rząd i klasa pozostają takie same tylko przy powierzchni ach drugiego rzędu. Powierzchnie drugiego rzędu są zarazem powierzchniami drugiej klasy, powierzchnie trzeciego rzędu są już w ogólności powierzchniami 12-tej klasy i t. d.

Geometrycznie rząd powierzchni wskazuje na ilość punktów, w których linia prosta przecinać może powierzchnię, klasa powierzchni wskazuje na ilość płaszczyzn stycznych do powierzchni, jakie przeprowadzić można przez daną prostą przestrzeni.

5. Powierzchnie biegunowo-wzajemne. Jeżeli dwie powierzchnie F i O tak są ze sobą związane, że każdemu punktowi jednej odpowiada pewna płaszczyzna styczna drugiej powierzchni, jako jego płaszczyzna biegunowa ze względu na pewną powierzchnię pomocniczą rzędu drugiego i nawzajem, natenczas powierzchnie takie nazywamy według Poncelet’a powierzchniami biegun owo-wzajem nem i.

Jeżeli powierzchnia F jest powierzchnią n go rzędu (a więc prosta przecina ją w n punktach), natenczas jej powierzchnia biegunowo - wzajemna będzie miała n płaszczyzn stycznych, przechodzących przez jedną prostą, więc będzie powierzchnią n-tej klasy, a zatem w ogólności powierzchnią : n(n—l)²*go rzędu.

Powierzchnia pomocnicza drugiego rzędu, służąca do tworzenia powierzchni biegunowo - wzajemnych, może być w ogólności dowolną; przyjmijmy ją jako kulę o promieniu r, określoną równaniem:

x²+y²+z²—r² =0,

i wyznaczmy dla danej powierzchni F(x, y, z) = 0 powierzchnię biegu-nowo-wzajemną. Przyjmując dowolnie punkt P(xi, y{, Zt) na powierzchni F(x, y, z)=0, otrzymamy równanie płaszczyzny biegunowej tego punktu ze względu na kulę w postaci :

xxi + yyi+zzi—r²=0,

która, porównana z równaniem Plückerowskiem płaszczyzny, kształtu:

ux+vy Ą-wz—1=0,

prowadzi do relacyj :

V\

w=v-

r¹

które podają spółrzędne u, v, w płaszczyzny stycznej do powierzchni biegu-nowo-wzajemnej z powierzchnią F(x, y, z) = 0. Z równań tych otrzymujemy spółrzędne xi. y1? zit odpowiedniego punktu powierzchni F(x,y,z), określone

wzorami :

xi = r²u, yx=r'¹v, zi = r²w.

Wstawiwszy te wartości w równanie F(x, y, z)=0 powierzchni, otrzymamy równanie :

(7)

F(r'lu, r²v, r²w)=0,

przedstawiające powierzchnię biegunowo-wzajemną w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych. Jeżeli, nawzajem, powierzchnia dana określona jest równa-876 niem : F{u, v, «>)=0 w spółrzędnych jej płaszczyzn stycznych, natenczas jej powierzchnia biegunowo-wzajemna ze względu na kulę o promieniu r otrzymuje w spółrzędnych punktu x, y, z równanie kształtu :

(8)

f(± JL Ł\=o

* \y3 » r1 > r2 ) U‘

Przyjmując r— 1, otrzymujemy równania:

(9)

F(x, y, z)=*0, F {u, v, «0 = 0, jako równania powierzchni biegunowo-wzajemnych ze względu na kulę o promieniu 1.

A zatem : Z równania danej powierzchni otrzymujemy wprost równanie powierzchni biegunówo-wzajemnej ze względu na kulę o promieniu równym jednostce, zastępując spółrzędne punktu x, y, z przez spółrzędne u, v, w płaszczyzny i nawzajem.

Tak otrzymamy np. powierzchnię biegunowo-wzajemną z elllipsoidą : y -f- |y -fi ^y = l, określoną równaniem w spółrzędnych jej płaszczyzn sty-

to to

X(t    V^

cznych : - -+ p--j—y=1, a więc równaniem kształtu:

a²x²-\-b²y²-\-c²z²=l₁

w spółrzędnych jej punktów.

6. Powierzchnie jednokreślne czyli homograficzne. Wszelkiej powierz-

chni F(x, y, #) = 0 odpowiada na w Tomie I str. 302, art. 3, kształtu :

podstawie wzorów jednokreślności, podanych

AlX+BlY+C{Z+Di

x~AtX+BiY+CiZ+Di’

A₂X.Ą-B₂Y C₂Zą-D₂

y-A.x+B.r+c.z+D,’

AzX-\-B₃Y-\- CzZĄ-B₃

s~^X+BJ-+CiZ+5\'

nowa

powierzchnia o równaniu:

■pifAiX-YBi Y-fi ClZ-{-D1 \A,X+B,Y+ĆJŹ+D,

A₂X+B₂Y+C₂Z+D₂ A*X+B₃Y+C₃Z+D₃\_n A.X+BJ+C.Z+D,’ A.X+B.Y+C.Z+DJ

czyli :

<D[X, Y, Z)—Oj

która posiada tę własność, że każdemu punktowi powierzchni F, odpowiada jeden punkt powierzchni 0 i nawzajem.

powierzchnię 0 nazywamy

na

Takie przekształcenie powierzchni F przekształceniem j e d no kr e ś 1 n e m albo h o m o g r a f i c z n e m, a odnośne powierzchnie U i 0 nazywamy powierzchniami jednokresl-n e m i, albo homograficznemi.

Przekształcenie homograficzne nie zmienia rzędu powierzchni. Wszelka powierzchnia homograficzna danej powierzchni drugiego rzędu staje się także powierzchnią drugiego rzędu Możemy tedy korzystać z dowolności stałych

spółczynników, występujących we aby dana powierzchnia pewnego np. drugiego rzędu przekształciła się inną prostszą powierzchnię tego samego rzędu.

wzorach jednokreślności, obierając je tak,

na

- 877 -

z²

_|—— = 1 na kulę o promie-

y^¹

c²

Chcąc np. przekształcić ellipsoidę : “2" + niu równym jednostce, należy użyć wzorów jednokreślności w postaci:

x=aX, y=bY, z=cZ.

Podstawiając te wartości w dane równanie ellipsoidy, otrzymamy równanie,

X*+Y²+Z*= 1,

a więc równanie kuli, jako równanie powierzchni homograficznej.

Nawzajem możemy użyć przekształceń jednokreślnych także w tym celu, aby z pewnej szczególnej prostszej powierzchni dojść do powierzchni ogólniejszej tego samego rzędu. Tym sposobem możemy za pomocą przekształceń homograficznych z własności pewnej powierzchni wyprowadzić odnośne możliwie ogólniejsze własności odpowiednich powierzchni tego samego rzędu.

7. Powierzchnie jednokładne czyli homologiczne. Szczególny przypadek jednokreślności stanowi środkowa kolineacya (T. I. str. 313 art. 2), na mocy której dwie figury środkowo - kolineacyjne mają wspólny punkt P(#₀, y₀, z₀), jako punkt podwójny (środek kolineacyi) i wspólną płaszczyznę punktów podwójnych (płaszczyzna kolineacyi).

Wzory przekształceń środkowo-kolineacyjnych przedstawiają się w po

staci :

X — XQ

X—x₀

AX+BY+CZ+D

y—y o

Y-y o

AX+BY+CZ+D

Z—z o

gdzie punkt S(#₀, y₀, z₀) jest środkiem a płaszczyzna: AX+BY+ CZ+ D = 0, płaszczyzną kolineacyi, a sprowadzają się w przypadku, gdy środek kolineacyi leży w początku układu do postaci :

AX+BY+CZ+D'

X AX+BY+CZ+D'

y-

AX+BY+CZ+D'    ⁰ AX±BY+CZ+D'

Podstawiając te wartości w równanie powierzchni: F(x₁y₁z) =0, otrzymamy powierzchnię o równaniu:

AX+BY+CZ+D' AX+BY + CZ+D' AX+BY+CZ+D

)=°

0(X, Y, Z)=0,

czyli :

zwaną powierzchnią homologiczną z daną powierzchnią.

Stosując wzory przekształcenia homologicznego (w przypadku, gdy środek kolineacyi leży w początku układu) do kuli o równaniu :

x2 ₊ yl + z2-Bl = ₀,

otrzymamy równanie :

(10)

X² ₊ Y²+ Z²—B² (AX.+BY+ CZ + D)²-=10,

przedstawiające powierzchnię obrotową rzędu drugiego jako powierzchnię z kulą homologiczną.

Powierzchnia ta przedstawia tę własność, że odległość każdego z jej punktów od początku układu pozostaje w stałym stosunku od jego odległo-

- 878 -ści od płaszczyzny: Ax-\-JByĄ- Cz-ł-D=0, początek układu jest więc jednem z jej ognisk, którego płaszczyzną kierowniczą jest płaszczyzna:

-By + Cz + D = 0.

Tym sposobem moglibyśmy użj⁷ć przekształceń homologicznych do wyprowadzania z własności kuli odpowiednich własności dla powierzchni obrotowych drugiego rzędu.

8. Przekształcenie powierzchni za pomocą promieni odwrotnych (inwersja). Przydzielmy każdemu punktowi P(x, y, z) przestrzeni, mającemu odległość r od punktu układu inny punkt P'(X, Y, Z) na promieniu OP tak, żeby odległość B tego nowego punktu P' od początku układu była określona równaniem :

an

gdzie c jest dowolną liczbą stałą, a otrzymamy z danej powierzchni utworzonej z punktów P(x, y, z) nową powierzchnię, utworzoną z punktów P'(X, K, Z). Takie przekształcenie powierzchni nazywamy przekształceniem za pomocą promieni odwrotnych, albo krótko inwersyą. Punkt 0 nazywamy środkiem inwersyi. Wszystkie punkta położone na kuli o promieniu c około punktu 0, jako środka, spadają razem ze swymi odpowiedniemi punktami, wszystkie punkta wewnątrz tej kuli mają swe punkta odpowiednie po za nią i nawzajem ; środek inwersyi jest osobliwym punktem, który ma swój punkt odpowiedni w nieskończoności.

Z warunku :

c²

B=—

znajdziemy z łatwością związek między spółrzędnemi x, y, z punktu P a spółrzędnemi X, Y, Z punktu odwrotnego P‘ określony wzorami:

i nawzajem :

c²x

c⁷y

c'lz

x²-{-y²-\-z²

x²+y² + z

x² + y² + z²

(12)

c²X

x~X² + Y² + Z

c²Y

c²Z

X²+ Y² + Z² ’    Z~X²Ą- Y²Ą-ZV

(13)

Na podstawie tych wzorów otrzymamy z danej powierzchni F(x, y, z) =0 nową powierzchnię o równaniu:

c²Y    c²Z \

X²+Y²+Z²' X²+Y*+Z*)‘ 0(X, r, Z)=o,

(14)

c²X

x*+r²+z

czyli :

jako inwersyą danej powierzchni.

Wedle tego wypada jako inwersyą płaszczyzny: Ax+ByĄ- Cz + D=0 kula o równaniu:

c²(AX+BY+ CZ) + D(X² + r²+X²)=0,

która staje się tą samą płaszczyzną, gdy D=0*

Kuli: x²-\-y²-\-z2jrAx-\-By + Cz-\-T)=0 odpowiada jako inwersyą kula o równaniu :    .

c⁴+o² (AX+ BY+ CZ) + D(X² + Y² + Z²) = 0,

która przechodzi w płaszczyznę, gdy D=0.

— 879 -

Linii prostej jako przekrojowi dwu płaszczyzn odpowiada tedy jako inwersya koło jako przekrój dwu kul; podobnież kołu odpowiada znowu koło.

Łatwo poznać, że inwersya należy do przekształceń, przy których podobnie jak przy figurach podobnych utrzymują się kąty figur pierwotnych.

9. Równania powierzchni w spółrzędnych jednorodnych. Aby równania powierzchni uczynić jednorodnemi, wprowadzamy w miejsce spółrzędnych zwyczajnych punktu (x, y₎ z) lub płaszczyzny (u, v, w), t. z. spółrzędne jednorodne, któremi są spółrzędne czworościenne (xi, x₂, x3: as₄) punktu lub spółrzędne czworościenne (uv u2r w₃, w₄) płaszczyzny (Patrz T. I. Wy kład XXII) określone wzorami ogólnymi :

ux + a₂u₂ + a₃M₃ -f o₄.w4 C?j -f- d₂U₂ -j- d₃U₃ d₄«₄

U i ~b ^2^2 "ł" ^3^3 "b ^4^4

-\-d₂U₂Ą- ^3^3 + ^4w4 c₁ ui -b c₂u₂ -b C₃u₃ + C₄M4 (iy + d₂u₂ ~b d₃u₃ ~b ^₄'M₄

^ Ayi'^ -f- A₂x₂ “b A₃x₃ -b A^x^

~+^2X2 +£>3X3 +Ą^4 ’

względnie :

-Bi Si JrB₂x₂ + B₃x₃^r'Blixk

D^x^ + I)₂xg + D₃x₃ -f-D₄æ₄ ’

_ C\Xi~\- C₂x₂-\r C₃x₃ -j- 6'₄a;₄

~~ A+ D₂x₂ + D₃x₃ + D₄;r₄ ’

lub też wzorami szczególnemi :

x\

X — —

xk

y=

x2

£ = —, względnie: u =

u₂

w=—

xK

w₄

(15;

Z pomocą tych podstawień zamienia się równanie powierzchni n go rzędu kształtu F(x, y, z)=0 na równanie jednorodne kształtu : F(xi, x₂, x₃, £C₄) = 0, względnie równanie powierzchni w-tej klasy kształtu : F(«, m) = 0 na równa nie jednorodne kształtu : F(w1? u₂, w₃, w₄)=0.

W szczególności równanie ogólne powierzchni drugiego rzędu przedstawia się w spółrzędnych jednorodnych w postaci:

a\\x<L\ +«22;r22 JrCl33X‘\ +a₄4^²4 + %ai2XiX‘i +2a₁₃xix₃ +2^ ^ #₄+

+ 2a₂ 3 æ₂ z₃ + 2a2 kx₂ xk + 2a3 kx₃ xk = 0,

a równanie powierzchni drugiej klasy w postaci :

^ ₄ W²J + A2 2 w:2₂ -f A3 3u\ + Auu\ + 2 At 2 «i w₂ + 2    ₃w₃ -b 2    ₄m₄ m₄ +

4-2/ł₂₃w₂% -b 2 A 2 4 w₂ w₄ -j- 2 A3 4 w₃ w₄ = 0.

Wprowadzenie spółrzędnych jednorodnych w teoryi powierzchni rzędu drugiego nadaje odnośnym wzorom odpowiednią symetryę i umożliwia w wysokim stopniu zastosowanie odpowiednich symbolów skróconych, jest przeto szczególnie przy badaniu rzutowych własności powierzchni nadzwyczaj korzystne. Dodać przy tern należy, że możliwa dwojaka interpretacya wzorów i wyników rachunku, opartego na równaniu jednorodnem stopnia drugiego względem czterech zmiennych, polegająca na tern, że się te zmienne uważa bądź jako spółrzędne punktu, bądź jako spółrzędne płaszczyzny prowadzi jednocześnie do dwu twierdzeń dotyczących powierzchni drugiego rzędu i drugiej klasy. Wskazówki w tym kierunku znaleźć można w tomie I, w wykładach LIX i następnych, które dotyczą badania krzywych stożkowych na podstawie spółrzędnych jednorodnych punktu lub prostej.

Stosowanie spółrzędnych jednorodnych jest też wskazanie w ogólnej teoryi powierzchni n-go rzędu, jeżeli chodzi o zbadanie własności rzutowych powierzchni n-go rzędu.    - „    - - .

nazywamy znowu drugą powierzchnią biegunową punktu (x\, x'₂₁ x‘z, x\), ogólnie powierzchnię określoną równaniem:

(19)

— 880 -

10. Powierzchnie biegunowe pnnktu ze względu na daną powierzchnię w--gO rzędu. Mając daną powierzchnię określoną równaniem w spółrzędnych jednorodnych w postaci:

F(xi, x₂₎ xZ) x₄) 0

znajdziemy punkta, w których prosta przechodząca przez dane dwa punkta :

P\x\, a?'₂, x'z, x\), P"(x"u x\, a"₈, x\)

przecina tę powierzchnię, określone spółrzędnemi :

x₁ =Ax\ +/ix"i, x₂=Ax'₂+tix"₂, xz=Ax'z-\-fix‘‘z, xz= Ax\-\-fix'\i

gdzie na wyznaczenie stosunku parametrów A : fi otrzymujemy jako wynik podstawienia powyższych wartości na xi, x₂, x₃, æ₄ w równanie danej powierzchni: Fi(xi, x2J xz, #₄)=0, równanie n-go stopnia w postaci:

F(Ax\ -\-fixi ", Ax\ -\-fix‘\, Ax\-\-fixuz, Ax\+px“₄)=0.

Rozwijając to równanie i oznaczając znakiem A działanie:

^7+^2 ^-+^3

A=x\

możemy powyższe równanie przedstawić w postaci :

AnF‘+An - ViAF¹+~ An~*fi ²A²F‘-\-...=0.

Z !

dxi

dx₂

dxz

(16)

Otóż powierzchnię określoną równaniem:

/ dF , dF

nazywamy pierwszą powierzchnią biegunową punktu (x\, x'₂, x‘z,x\) ze względu na daną powierzchnię F= 0; powierzchnię określoną równaniem :

dx₂

dF

dx 3

f x\

£”°’

(17)

(x> A

\Xidxi

dx₂

dx 3

, , d y

[’XidrJ

F=0

(18)

F= 0,

nazywamy r-tą powierzchnią biegunową punktu (x\, x‘₂₁x‘z,x\) ze względu na daną powierzchnię: F(x₁, x₂, x₃, xi)=0.

Równanie r-tej powierzchni biegunowej punktu (x‘i) jest równaniem jednorodnem r-go stopnia ze względu na spółrzędne tego punktu, zwanego biegun em, a zarazem równaniem (n—r)-go stopnia ze wzglęgu na spółrzędne zmienne punktów r-tej powierzchni biegunowej.

11. Płaszczyzna styczna jako pierwsza powierzchnia biegunowa punktu na danej powierzchni. Jeżeli punkt P(x\, x\, x‘zi x\) leży na powierzchni: F(xu x₂, æ₃, æ₄)=0, tedy linia prosta, przechodząca przez punkt P\xi) przecina powierzchnię F= 0 w dwu punktach, wpadających w punkt F\xf), jeżeli obok spółczynnika F‘ przy An także spółczynnik przy An~^[i w równaniu (16) staje się zerem, co się stanie skoro:

— 881 -

(20)

dP dP dP X] dx\ %2dx\+ X*dx\ a to równanie jest równaniem płaszczyzny stycznej w punkcie P(x‘i) powierzchni F(xit x₂, x3} xi)=0.

12. Draga powierzchnia biegunowa punktu parabolicznego na płaszczy źnie i powierzchnia Hcssego. Linia prosta przechodząca przez punkt P‘(Xi) powierzchni F{xXl x₂, x₃₁ #₄)=0 przecina powierzchnię w trzech punktach po sobie następujących, jeżeli w równaniu (16) oprócz spółczynnika przy Àn i Xn~ifi znika także spółczynnik przy Ź"~V², linia prosta leży tedy nie tylko na płaszczyźnie, lecz także na powierzchni biegunowej drugiego rzędu :

(21)

F= 0,

X* dx\

która jest powierzchnią stożkową.

Punkta tego rodzaju są punktami parabolicznemi powierzchni (punktami przegięcia w odnośnym przekroju), a wyróżnik:

dx\

dx\

d²F d²F a²^ a²^ dx²i ‘ dx²₂ 'dx\ 'dx\

równania F== 0 położony równym zeru, przedstawia powierzchnię 4 (n—2)-go rzędu :

I d²F    diF    a²F^ JPF

dx²i ’ dxxdx₂    dxidx₃ dx₁ dxi

U(xj, x₂, x₃₎ æ₄ ) —

=0.

(22)

d²F d²!? _d^F d²F dxidx₂ dx\' dx₂dx₃ dx₂dx d²F d²F d²F dxi dx₃ ’ dx₂dx₃’ dx²₃ dx₃dxi d²F JPF d²F d²F dxi dxi ’ dx₂dxk' dx₃dx₄’ dx²A

której przekrój z daną powierzchnią daje krzywą 4w(w—2)-go rzędu, jako miejsce geometryczne punktów parabolicznych danej powierzchni. Powierzchnię H{xv x₂, x₃, æ₄)=0 nazywamy powierzchnią wyznacznikową, albo powierzchnią Hessego, odpowiadającą danej powierzchni.

Jeżeli powierzchnia określona jest równaniem zwyczajnem kształtu: F(x, y, 0)=O, wtedy otrzymujemy równanie powierzchni Hessego w postaci:

gdzie :

dF

H(x, y, z)=

dF

dy’

fes fes fes

fcO to fcO

2=3

⁴⁰ to to w

o ^

W tO ^ fcO ^

=0.

(23)

d²F

d²F

d2F dx21 d²F

'»-'"“Sä?

dF,

F =

•³ dz

^22

dy²'

-^33 —

dz²

d²F

F₂₃=F,₂=^4-.

23    32 dydz

d²F dxdy

Krzywa punktów parabolicznych występuje tu jako przekrój powierzchni F(x, y, ^)=0 z powierzchnią 17(#, y₎ z)=0.

F\2—%2i —

Dr. Dziwińaki. Wykł. matem. I Tom II.

3) Wykazać, że ogólna powierzchnia drugiej klasy:

Axxu'i-\-Anv,i‘-\-Auw'l-\-clAl^uv-\-2Anutv-\-^AnvwĄ—\-2Ai,ku-\-2A<Ł^v-\-⁽2,Aiiw-\-Aiti— 0, staje się krzywą drugiej klasy, skoro spełni się warunek:

= 0.

An Al) -A3 > A4 Aî) A2) A3) A4

A3) ^23) A3) A4 A4) A4) A4) A4

4) Wykazać, że powierzchnia biegunowo - wzajemna powierzchni drugiego rzędu ze względu na powierzchnię pomocniczą tego samego rzędu jest także powierzchnią drugiego rzędu.

B) Wyprowadzić i-ównania powierzchni biegunowo-wzajemnych ze względu na kulę o promieniu r — 1, odpowiadających powierzchni drugiego rzędu kształtu:

Axï+Byî+Czi+D = 0.

6) Wykazać, że powierzchnia biegunowo-wzajemna kuli:

(*-fÇ)2+y2-f»2-ie2 = 0,

ze względu na kulę: x²-\-y²-\-z²—1=0, otrzymuje równanie:

{R²Ą-W)x²+R²(y'+z²)-Wx-l =0, jest więc powierzchnią obrotową drugiego rzędu.

7) Wykazać, że powierzchnia biegunowo - wzajemna wszelkiej kuli (ze względu na kulę pomocniczą r=l) jest powierzchnią obrotową drugiego rzędu.

8) Wykazać, że powierzchnia biegunowo-wzajemna (ze względu na kulę o promieniu r = l) wszelkiej powierzchni obrotowej drugiego rzędu jest ogólną powierzchnią dru

giego rzędu.

— 882 —

Dla powierzchni określonej równaniem z=f{x, y) otrzymamy powierzchnię Hessego, określoną równaniem: rt—s²=0, czyli:

d²0 d²z dx²' dy

² \dxdy)

(24)

a miejsce geometryczne punktów parabolicznych powierzchni z=f(x^y) określone jest równaniami:

y), rt—s²=0.

Ćwiczenia LV.

1)    Wykazać, że równanie powierzchni drugiego rzędu:

«ii*²+«22y²+«33*²+²«i2^+²«i3^+²«23yz+2a₁₄æ+2a₂₄y+2a₃4Z+a44»=0,

wyrażone w spółrzędnych u, v, w płaszczyzny możemy sprowadzić do postaci:

2)    Wykazać, że równanie powierzchni drugiej klasy kształtu:

AiM2+A2wM~A3M’²+²A2wt’+²A3M«’”l⁻²A3M0-i'²A4w-l_2A4H⁻²A4M’+A4⁼⁼ 0,

wyrażone w spółrzędnych x₁ y, z punktu można sprowadzić do postaci :

1, 0

= 0.

H S', w T-H

= 0.

æ,

y,

z,

9) Wykazać, że przekształcenie homograficzne nie zmienia rzędu powierzchni.

- 883 -

1Ö) Wykazać, źe w dwu powierzchniach homografićznych stosunek odległości dwu punktów jednej powierzchni od dowolnej płaszczyzny pozostaje w stałym stosunku do stosunku odległości odpowiednich dwu punktów drugiej powierzchni od płaszczyzny homo-graficznej.

11)    Wykazać, że w dwu powierzchniach homograficznych stosunek odległości dowolnego punktu jednej powierzchni od dwu stałych płaszczyzn, pozostaje w stałym stosunku do stosunku odległości punktu odpowiedniego drugiej powiei'zchni od odpowiednich stałych dwu płaszczyzn homograficznych.

12)    Wykazać, że dwie powierzchnie homologiczne drugiego rzędu przecinają się podług dwu krzywych płaskich, z których jedna leży na płaszczyźnie kolineacyi.

13)    Wykazać, że dwie powierzchnie drugiego rzędu wpisane w ten sam stożek drugiego rzędu są powierzchniami homologicznemi.

14)    Znaleźć punkta, w których prosta łącząca dwa punkty określone spółrzędnemi jednorodnemi :

Px{x\, a;'₂, x\, x\),    P₂(x'\, x“₂, x“₃, x'\)

przecina powierzchnię drugiego rzędu: f(xt, x.ly x₃, xf — 0.

15)    Wyprowadzić warunek, pod jakim punkta przecięcia się prostej, łączącej punkta: PJ(x*l, x'iy x'₃, x\) i P“(x‘\, cr"₂, æ"₃, aj"₄), z powierzchnią drugiego rzędu: /(ar,, ar₂, ar₃, ar₄) = 0 są harmonicznie sprzężone z parą punktów P‘ i P“.

16)    Wykazać, że płaszczyzna biegunowa punktu: P'(x'j, x'₂, x'₃, x\) względem powierzchni drugiego rzędu: f(xi, ar₂, x₃, x₄) określa się równaniem:

xi fi -\-xifi +*3 fi ~\~xif\==m 0.

17)    Wykazać, że pary punktów sprzężonych względem danej powierzchni drugiego rzędu: f(xi, oj₂, x₃, xf) — 0, leżące na jednej prostej, tworzą inwolucyę, której punktami podwójnymi są punkty przecięcia się tej prostej z daną powierzchnią.

18)    Wykazać, że płaszczyzna styczna w punkcie P(x/,, x\, x‘3y x\) powierzchni drugiego rzędu:/(a?,, ar₂, x₃, ar₄) = 0 określa się równaniem jednorodnem :

*i/'i+**/'j+*s/'s+*4/'4= 0.

19)    Wykazać, że stożek styczny do powierzchni drugiego rzędu: /(xlf x₂, x₃, :r₄)=-0 o wierzchołku: £(ar'j, ar'₂, x'₃, x\) określa się równaniem:

f -f—{xif\ +xif'i+x3f'3+xlf\? = 0.

20)    Znaleźć płaszczyzny przechodzące przez prostą występującą jako przekrój

dwu płaszczyzn E‘ i E" danych w spółrzędnych jednorodnych E'(u\,    m'₃, m'₄),

E“(u“i, u‘\, «"₃, w"*), a stycznych do powierzchni drugiej klasy: F(uu «₂, u3l w₄) = 0.

21)    Wyprowadzić warunek, pod jakim płaszczyzny styczne do powierzchni drugiej klasy: F(uly u₂, u₃, wK) = 0, przesunięte przez krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn: E‘(u\, m'₂, w'₃, u\), E'‘(u"t, w"₂, u"₃,u") są harmonicznie sprzężone z parą płaszczyzn JEJ, E

22)    Wykazać, że biegun płaszczyzny E'(u',, «'₂, u'₃, u\) względem powierzchni drugiej klasy: F(u{, u₂, u₃, uf) — 0 określa się równaniem jednorodnem:

«i F\ -j- w₂ F\ -j- u₃ F‘₃ -f - m₄ F\ =0.

28) Wykazać, że punkt styczności płaszczyzny: E‘(u\, u\, u'3y u\) stycznej do powierzchni drugiej klasy: F(ut, u₂, w₃, uf) — 0 określa się równaniem jednorodnem:

Uit'i+UzF'z+UÿF'i, fuiF\=0.

24) Wykazać, że powierzchnia drugiego rzędu opisana na czworościanie odniesienia otrzymuje równanie jednorodne:

«12 xi *2+ «13 xl x3 +«1 4‘rl ^ + «23*2^3 +«24^2^4 +«34*3*4= °-

25) Wykazać, że powierzchnia drugiej klasy wpisana w czworościan odniesienia otrzymuje równanie jednorodne:

-i4.11W1 w2+-4i 3M1 «3++4«1M4+-4.23 W2M3++4W2M4+-^34^3^4— 0.

26) Wyznaczyć rodzaj powierzchni drugiego rzędu, określonej równaniem jednorodnem kształtu:

27)    Wyznaczyć rodzaj powierzchni drugiej klasy, określonej równaniem jednorodnem:

J^llw2l_ł_-^22w22"ł⁻-^33t#23”ł“'^44w24⁼⁼ 0*

x²    y²    #²

28)    Wykazać, źe powierzchnia środków krzywizny ellipsoidy : ^ -J- ^ -f —^ = 1, otrzymuje w spółrzędnych w, p, w jej płaszczyzn stycznych równanie (wskazane przez I. Booth’a w r. 1875) kształtu:

^2    jg|2

29) Wykazać, źe w powierzchni środków krzywizny ellipsoidy: ^    "ł" ^ — 1 zachodzą między spółrzędnemi (x, y₎ z) jej punktów a spółrzędnemi («, r, w) jej płaszczyzn stycznych relacye (podane przez Salmona w r. 1858) kształtu :

44²-

M² . 4>² tP2 ^2+p-+^2

4P

w² e² , 4P²

a2 + P" ⁺ö²

80)    Wykazać, że powierzchnia środków krzywizny ellipsoidy jest powierzchnią dwunastego rzędu.

81)    Wykazać, źe dowolny punkt normalnej w punkcie styczności płaszczyzny (u‘, v', 4P') z powierzchnią drugiej klasy: o²w²-j-ó V;-j-c²44>² = 1 określa się równaniem:

a²uu,-{-b²vv,-{~ciwwt-\-l(uuJ-\-vv/ Ą-ww') — 0,

gdzie X jest dowolnym parametrem.

32) Wykazać, że punkta styczności wszystkich płaszczyzn stycznych przesuniętych przez punkt: (x\, æ'₂, cc'₃, x\) do powierzchni: F(xt, cc₂, æ₃, cc₄) = 0 leżą na pierwszej po-wierzchni biegunowej tego punktu, określonej równaniem:

dF

dF

dF

+*'2 3-+æ/3

dF

0.

x\ —

¹ dxi

33)    Wykazać, źe w danym punkcie powierzchni z—f(x, y) da się wykreślić parabo-loida ściśle styczna, która będzie paraboloidą elliptyczną, hiperboliczną lub walcem parabolicznym stosownie do tego, czy ten punkt powierzchni jest punktem elliptycznym, hiper-bolicznym lub parabolicznym.

34)    Dowieść, źe wszelka płaszczyzna styczna w danym punkcie P powierzchni przecina ją podług linii krzywej, która ma w tym punkcie albo punkt odosobniony, albo węzeł albo punkt zwrotu stosownie do tego, czy ten punkt jest elliptycznym, czy hiperbolicznym, czy też parabolicznym.

dx ₂

dXm

dxi

Rozwiązania LV.

14) xi — llXi/-\-\ixi" (4 = 1, 2, 3, 4), przyczem: +2h'ki(x'/\f'i+x'\f'i+x"₃f₃-\-x'\ f₄)+X₂²/" = 0, gdzie : /,=    , /₂ = ^ , f₃=

àf

df

/*=

0*4’

20) Ui — \uiĄ-\ui" (4 = 1, 2, 3, 4), przyczem: X²₁1,'-|-2X₁X₂(u"₁.Pj -]-u',₂F\-\-u"₃F'₃-\-u'\F'i)-\-

óx₃ ’

r)F

+X²,F-:=0, gdzie: F, = —, F₂=

dir

dF

dF

Literatura. George Salmon: Analytische Geometrie des Raumes deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler Dr. Władysław Zajączkowski: Gieometryja analityczna. Warszawa 1884.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Przekształcenia jednokreślne i jednokładne danej powierzchni i ich zastosowania.

2.    Teorya powierzchni drugiego rzędu i drugiej klasy na podstawie spółrzędnych jednorodnych.

3.    Teorya biegunów i powierzchni biegunowych

Wykład LVI.

Powierzchnie określone równaniami różniczkowemu i wybitniejsze linie na powierzchniach.

1.    Równania zwyczajne a równania różniczkowe powierzchni. Równa

nia zwyczajne powierzchni przedstawiając związki, jakie zachodzą między spółrzędnemi wszystkich punktów odnośnych powierzchni, prowadzą za pomocą metod różniczkowania do nowych równań, zwanych równaniami róźniczkowemi, które wypowiadają własności dotyczące otoczenia punktów na powierzchniach.    •

W szczególności równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu wypowiadają własności dotyczące styczności, t. j. płaszczyzn stycznych i wielkości z niemi związanych w każdym punkcie powierzchni.

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu wypowiadają własności dotyczące krzywizny, t. j. promieni największej i najmniejszej krzywizny i ich zależności w dowolnym punkcie powierzchni.

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego i drugiego rzędu wyrażają znowu własności stycznych i krzywizny linij krzywych na powierzchni.

W jaki sposób z danego równania różniczkowego dojść do zwyczajnego równania będzie przedmiotem teoryi równań różniczkowych. W niniejszym wykładzie podamy tylko kilka przykładów typowych ważnych głównie ze stanowiska historycznego.

2.    Powierzchnie stokowe, czyli powierzchnie posiadające płaszczyzny styczne jednakowo nachylone do danej płaszczyzny. Przyjmijmy jako płaszczyznę stałą XOY i szukajmy powierzchni, których płaszczyzny styczne są nachylone do płaszczyzny XOY pod stałym kątem y, otrzymamy wtedy warunek:

cos y

Vp²+2²+i

a stąd: p²+g,2+l = sec² y,

p² + q²—tang² y,

(1)

czyli :

jako równanie różniczkowe cząstkowe szukanych powierzchni, które nazywamy powierzchniami stokowemi. Są to więc powierzchnie o równaniu z=f (%, y), posiadającem tę własność, że suma kwadratów pierwszych pochodnych cząstkowych funkcyi z względem zmiennych niezależnych x i y,

dz

dz

t. j. p=— i g=— jest ilością stałą.

Uwzględniając, że na podstawie powyższego równania g=Ytang² y — j)³, a więc pochodna cząstkowa q jest funkcyą pochodnej cząstkowej p, dochodzimy do wniosku, że szukane powierzchnie są powierzchniami rozwijalnemi.

Aby otrzymać równanie takiej powierzchni, uważajmy ją jako powstałą przez ruch płaszczyzny o równaniu:

(2)

0=tx + f{t)y+(p{t)

o zmiennym parametrze t.

Wyrugowawszy z tego równania i z równania różniczkowego:

(3)

0=x+f(t)y+(p'(t)

zmienny parametr otrzymujemy równanie wszelkich powierzchni rozwijal-nych, między któremi znajdować się musi także szukana powierzchnia.

Z równania (2) otrzymujemy:

<1=f{t)+[%+f'{t) y +■

p=t+[x+f{t) y + (p\f)\ ^

zatem na podstawie (3) otrzymujemy równania:

p — t, q_=f{t), a że: q = ^ta,ng²y—t², przeto otrzymujemy na wyznaczenie funkcyi f(t) równanie :

/’(*)=Ytang² y—P.

(4)

y + <P'(t):

Ytang² y—P

o zmiennym parametrze t i o dowolnej funkcyi q>(t), jako ogólne równania wszelkich powierzchni, których płaszczyzny styczne są nachylone do płaszczyzny XOY pod stałym kątem y.

Podstawiwszy tę wartość w równania (2) i (3), otrzymujemy równania : z=txĄ-Vtang²y—P . y+cp(t), 0=z

Powierzchnie rozwijalne tego rodzaju mają widocznie tę własność, że nie tylko ich płaszczyzny styczne, lecz także ich tworzące są do płaszczy-zny XOY jednakowo nachylone.

Płaszczyzna XOY przecina taką powierzchnię podług linii krzywej, którą wszystkie tworzące powierzchni przecinają pod kątem prostym ; krzywą tę nazywamy kierownicą odnośnej powierzchni rozwijalnej.

szcz

Możemy więc wszelką powierzchnię tego rodzaju także w ten sposób utworzyć, jeżeli linię prostą poruszać będziemy po danej krzywej płaskiej jako kierownicy, tak, aby ta prosta ruchoma była stale prostopadłą do po-ególnych stycznych tejże linii krzywej, a tworzyła zarazem z płaszczyzną tej krzywej pewien kąt stały.

kołowy

Najprostszym przykładem powierzchni tego rodzaju jest prosty stożek

3. Powierzchnie Weingartena (zwane krótko powierzchnie W.). Wiemy, że w każdym punkcie powierzchni istnieją dwa kierunki główne, w których przekroje normalne wykazują największą, względnie najmniejszą krzywiznę. Promienie krzywizny ę₂ tych przekrojów określone dla powierzchni o równaniach js=f(x, y) wzorem:

{rt-s²)Q²-[a + q²)r—2pqs+(l+p²)t]^2P + q² + lçi-(p²+q*+l)²=0,

wzorem :

(6)

a dla powierzchni o równaniach: x=f(u, v), y=(p(u, v), z=xp{u, v) (BT-S²)ç²-[GR+FT-2FS]q+FG-F²=0, są funkcyami współrzędnych (x, y), względnie parametrów (u, v) i pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu w tym punkcie.

Otóż wszelkie powierzchnie, które odnośnie do głównych promieni krzywizny i posiadają własność, określoną jakiemkolwiek równaniem kształtu: jP(Pi, (>₂)=0 nazywają się powierzchniami Weingarten a, według nazwiska matematyka, który się niemi pierwszy zajmował.

Do powierzchni Weingartena należą w szczególności np. powierzchnie o stałej krzywiźnie zupełnej, określone równaniem:

(7)

Mi

powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie, określone równaniem :

(8)

Ł-Ł

i tym podobne.

Z równania, określającego dany związek między głównymi promieniami krzywizny w każdym punkcie szukanej powierzchni w postaci: F(ęi1 £₂)=0, otrzymujemy na podstawie różniczkowania cząstkowego podług zmiennych niezależnych x, y, względnie podług parametrów u, v równania :

dF ₊ ^    ₌o,

ÔQi du ^ dç₂ du dJFdÇj _^àFdç2=0 dp! dv dç₂ dv !

dFd0i ₊ dF ^2₌q

względnie :

dç^ dx dę₂ dx ' dJ?_àQi ₊ àF dę₂ () àQi dy ^ dę₂ dy z których wynika równanie :

dQ 2

àÇi

dx

= 0, względnie :

du

-0,

(9)

dy

dv

jako ogólne równanie różniczkowe wszelkich powierzchni Weingartena.

4. Powierzchnie minimalne. Powierzchnie, które mają tę własność, że

— jest równa zeru, czyli

ich punktów krzywizna średnia : — -f-

£1

w każdym z

główne promienie krzywizny p₂ są równe, lecz znaku przeciwnego, stanowią szczególny rodzaj powierzchni W., które z powodu osobliwszej ich własności przez Lagrange’a odkrytej nazywają się powierzchniami minima lnem i. Zawierają one bowiem minimum powierzchni, które daną krzywą przestrzenną napina.

Możnaby je praktycznie otrzymać, wtykając drut dowolnie zamknięty w rozczyn mydlany, powłoka płynna wyobraża wtedy powierzchnię minimalną. Powierzchnie minimalne określone są warunkiem :

(?2

l + —-=o, czyli: =

(*2

(10)

który na podstawie wzoru (5) prowadzi do równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu kształtu :

(l + 2>—2p2s + (l+P²)ć=0,

(U)

=0.

czyli :

które nazywamy też równaniem różniczkowem powierzchni minimalnych.

72

- 888 —

(12)

Równanie to możemy na mocy (6) zastąpić ogólniejszem :

ET+ GB-2FS=0,

odpowiadającem szukanej powierzchni o równaniach : x=f{u, v), y=(p(u, v)i Z = lp(u, v).

Powyższemu równaniu stanie się zadość, gdy przyjmiemy : E=0, G=0, S= 0, czyli:

d²z

du dv du dv

A x dudv

Równaniu S=0 stanie się zadość, gdy przyjmiemy:

dudv

Szukane funkcye musiałyby pod tymi warunkami mieć kształt : #=/(**)+/t(v), y = (p{u) + (pi(v), Z = tp{u) + Xp i(v), zawierający sześć dowolnych funkcyj.

W tych warunkach byłoby :

d²x

dudv

0,

du dv

dx

dx

dy

dy

dz

dz

dw

dw

zatem wobec: E=0, G=0 musiałyby się spełniać relacye :

[/(w)]² + [q>‘ (M)]² + |y («)]:2=o, [ /'i (v)]:2 +1y, ( V)]²+[V»'i 0)]² = °>

z których wynika :

[>'(«)]² = — {[/'(«O]² + l9>'(M)]'²},    ty'i (v)]² = - {[fi W]² + Wi(v)l²}»

zatem :

= iV [f\u)\² + [ç>'(«0]², Ip\ (v)=iV [fl (V)]²+[<p\ («)]², yj{u) = iJVi/(M)]:2 + [ç>'(w)] ² du,    (»)=(v)]² + [gp'i (v)]² dv.

Możemy więc ogólne równanie powierzchni minimalnych przedstawić w postaciach :

x=f{u)+fi(v), y=<p{u)+(pi(v),

*=[/'(w)]² +[?'(«)]² du+i^[f\ (v)]² + [<p\(v)]² dv,

w których mamy już tylko cztery funkcye dowolne.

Połóżmy za przewodem Weierstrassa :

f(u)=fF‘(u) cos udu, fi(v)=JF\(v) cos vdv,

(p{u)=fF(u) sin u du,    (v) —f F\ (v) sin v dv,

wtedy otrzymamy powyższe równania w postaciach :

x=fF(u) cos u du-f-fF\(v'j cos v dv, y=JF'(u) sin u du-\-JF\(v) sin v z=i$F‘(u) du—i$F\ (v) dv,

które zawierają już tylko dwie funkcye dowolne: F(u) i

Zastąpmy je innemi dwoma f i (p, za pomocą podstawienia : F(u)=f{u) + i(p(u)₎ Fx v)=l(v) + i(ptv),

— 889 —

wtedy otrzymamy :

x=[f‘(u) cos u du-\-[f\v) y=J/'(w) sin u du + ^f(y) sin v dv-\-i[[(p\u) sin u du—[(p‘{v) sin v dv], z={f(u)—f(v)}i—{(p(u) + (p(v)}, jako ogólne równania powierzchni minimalnych.

5. Przykłady. 1) Przyjmując f(u) = au, v(«) = 0, otrzymamy:

cc = J« cos u du-\-^a cos v dv = «(sin «-j-sin v), y — J« sin u du-\-^a sin v dv = — «(cos «+cos v), z — ia(u—v),

o • u+v

x — 2« sin —

fi

ężyli:

u—v

cos -pr

COS V

dv-\-i[$(p‘(u) cos u du—§cp‘(v) cos v dv],

18)

o

2    * y = - 2« cos —

cos —pr— , z = ia(u — v),

zatem

przeto :

x²-|-y² = 4a² cos2 V

fi

#²-}-y² —, 4«2 COS² 2^ ,

2ai

a więc: V/x²4-w⁸ = 2« cos    = 2« cos ~ = 2«

2«ł    2«

czyli :

skąd, kładąc 2« = m, otrzymujemy równanie:

Fig. 255.

V/x²-fy²=^e”'-f e

Równanie to przedstawia powierzchnię powstałą przez obrót linii łańcuchowej około osi «-ów, czyli t. zw. katenoidę (fig. 265).

Jedną z powierzchni minimalnych jest więc katenoida.

2) Przyjmując/(«) = 0, <p(«) = ««, otrzymujemy równania odpowiedniej powierzchni minimalnej w postaci :

czyli :

x = i { J« cos u du—J« cos v dv\ = i a (sin u— sin v\ y — i {Ja sin u du—Ja sin v dvJ = —ai(cos u—cos v), z = «(«+«), u—v

x — 2ai sin Q

fi

z których wypływa:

a-l-w    „ . .    «—v . u-\-v

cos -g-, y = 2ai sin sin ,

— = tang

« = «(«-(-v),

./•

“taneé

a więc:

— = tang ^ , czyli równanie : z = 2« . arc tang ,

przedstawiające zwyczajną powierzchnię śrubową.

Jedną z powierzchni minimalnych jest więc także powierzchnia powstała przez ruch śrubowej prostej prostopadłej do osi «-ów, czyli t. zw. zwyczajna powierzchnia śrubowa.

6. Linie na powierzchniach. Linie na powierzchni określa się zazwyczaj jako przekroje danej powierzchni innemi powierzchniami za pomocą równań kształtu:

a) z=f(x, y) z=cp(x, y), b) F (x, y, z)=0, 0(x, y, s)=0,

c) x—f (w, v)₎ y=(p{u, v), z=y){u, v)y F(u, v)=0.

Linie na powierzchni mogą być też określone równaniami różniczko-wemi zwyczajnemi, wypowiadającemi własności tychże linij krzywych, dotyczące ich styczności lub krzywizny, a więc równaniami różniczkowemi rzędu pierwszego, drugiego lub rzędów wyższych. W tym przypadku otrzymujemy obok równania danej powierzchni jeszcze jedno równanie różniczkowe, z którego staramy się zwykle otrzymać równanie różniczkowe rzutów

— 890 —

odnośnych linij krzywych na płaszczyznę X0Y. Szukane krzywe na powierzchni występują tedy jako przekroje danej powierzchni walcami rzucającemi.

W następnych artykułach zajmiemy się wybitniejszemi liniami krzy-wemi, występującemi na powierzchniach.

7.    Linio krzywiznowe. Z każdego punktu P danej powierzchni wychodzą, jak wiemy, dwa kierunki główne do siebie prostopadłe, mianowicie kierunki największej i najmniejszej krzywizny w tym punkcie. Możemy, idąc z punktu P do punktu sąsiedniego P, a następnie z P do P" i t. d., postępować w kierunku największej krzywizny, a otrzymamy linię krzywą na powierzchni, zwaną linią krzywiznową największej krzywizny punktu P. Idąc z punktu P do punktu sąsiedniego Q', a następnie z Q¹ do Q" i t. d. w kierunku najmniejszej krzywizny, otrzymamy drugą linię krzywą, do pierwszej prostopadłą, zwaną linią krzywiznową najmniejszej krzywizny punktu P.

Przez każdy punkt powierzchni, przechodzą zatem dwie linie krzywiznowe do siebie prostopadłe, na każdej powierzchni istnieją zatem dwa układy linij krzywiznowych do siebie prostopadłych, mianowicie linie największej i najmniejszej krzywizny.

Ponieważ dwie normalne wykreślone w dwu punktach sąsiednich leżących w kierunkach głównych powierzchni kolejno się przecinają, przeto normalne do powierzchni wykreślone w punktach linii krzywiznowej tworzą zawsze pewną powierzchnię rozwijalną.

Linię krzywiznową na danej powierzchni możemy więc określić, jako krzywą na powierzchni, mającą tę własność, że normalne do powierzchni w punktach tej krzywej wykreślone tworzą powierzchnię rozwijalną.

Normalne wykreślone w punktach jakiejkolwiek krzywej na powierzchni tworzą w ogólności powierzchnię prostokreślną, która jest tylko wówczas powierzchnią na płaszczyźnie rozwijalną, gdy wykreślona krzywa jest linią krzywiznową.

8.    Linie krzywiznowe poszczególnych powierzchni. Na podstawie powyższego określenia linij krzywiznowych możemy dla niektórych powierzchni podać wprost położenie linij krzywiznowych.

a)    Powierzchnie walcowe mają jako jeden szereg linij krzywiznowych swoje tworzące, gdyż normalne w punktach tworzącej leżą na jednej płaszczyźnie, drugi szereg linij krzywiznowych tworzą przekroje prostopadle do tworzących.

b)    Powierzchnie stożkowe mają także jako jeden układ linij krzywiznowych swoje tworzące, drugi układ tworzą przekroje sferyczne stożka kulami spółśrodkowemi, których środek leży w wierzchołku powierzchni stożkowej. Tworzące powierzchni stożkowej stają się bowiem promieniami każdej takiej kuli, kula i powierzchnia stożkowa przecinają się zatem pod kątem prostym, ich krzywe przekroju są zatem prostopadłe do układu tworzących, tworzą więc drugi układ linij krzywiznowych.

c)    Powierzchnie rozwijalne na płaszczyźnie mają jako jeden układ linij krzywiznowych układ swych tworzących, drugi układ tworzą krzywe, które wszystkie tworzące danej powierzchni rozwijalnej przecinają pod kątem prostym, czyli t. z. trajektorye prostokątne układu tworzących powierzchni rozwijalnej.

Na ogólnej powierzchni prostokreślnej, względnie na powierzchni wichrowatej nie możemy tak łatwo podać z góry położenie linij krzywiznowych.

d)    Powierzchnie obrotowe mają jako jeden układ linij krzywiznowych swoje równoleżniki, gdyż normalne do powierzchni, wykreślone w punktach równoleżnika przechodzą wszystkie przez ten sam punkt osi obrotu, drugi układ linij krzywiznowych na powierzchni obrotowej tworzą jej krzywe południkowe.

e)    Powierzchnie kanałowe mają jako jeden układ linij krzywiznowych układ kół ruchomych, tworzących daną powierzchnię kanałową, drugi układ tworzą krzywe przecinające układ tychże kół pod kątem prostym, czyli t. z. trajektorye prostokątne układu kół tworzących powierzchnię kanałową.

9. Analityczne wyznaczanie linij krzywiznowych na danej powierzchni. Z określenia linii krzywiznowej jako linii krzywej, która ma tę własność, że normalne w jej punktach do powierzchni wykreślone kolejno się przecinają, otrzymujemy na podstawie równań dwu sąsiednich normalnych powierzchni z=f{x, y) kształtu: X-x-\-p(Z—e)=0, Y—y-\-q(Z—£)=0,

X—x - dx Ą-(p dp) {Z—z—dz)=0, Y—y—dy+(q+dq) (Z—z—dz) = 0, jako warunek przecięcia się tychże dwu prostych równanie:

dxA-pdz dy-\-qdz

dq

dp

czyli :

(14)

(dx+pdz)dq—(dy + qdz)dp=0. Powyższe równanie sprowadza się na mocy wzorów:

dz=pdx-{-qdy, dp=rdx + sdy, dq = sdx + tdy,

do postaci:

[(l + ?²)s-2^](!)V |(l + îJ)r-(l+p')<g+ [p7r-(l+P*j»]

=0, (15)

wyprowadzonej pod (21) na str. 822, cechującej kierunki główne na powierzchni z=f(x, y) i przedstawiającej zarazem równanie różniczkowe linij krzywiznowych na tej powierzchni.

Jest ono równaniem różniczkowem pierwszego rzędu i stopnia drugiego, cechuje zatem oba układy linij krzywiznowych.

Odpowiednie równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni o równaniu kształtu: F(x, y, z)=0 otrzymamy z (14), podstawiając odpowiednie wartości za p i q. Tą drogą otrzymamy równanie :

dF JF ⁺ dy a dz

dF

dx

dx

dF

dz

dF dF dz dy

dF

dy

dz

(%)’

Ay-»F

dz

dF JF dF JF

— —— d —— -f- — d ——-

dz ćx dx dz

'a

0,

dz

które uporządkowane podług dx, dy, dz, sprowadza się do postaci:

, JdF .dF dF JF

d x {—— d ----— d —

dy dz dz dy

i _ \dF JF rdy\tedto dz

dF JF \

di^)⁺

, idF JF dF JF\

+ d*\Tzdl>j- dydteh°"

dx,

dy,

dz

czyli :

=0.

(15')

dx'

dy

dz

/u 2

10. Linie krzywiznowe na ellipsoidzie. Dla ellipsoidy: --s +|y +

()i?_2dx

ddx⁼⁼ O² *

c* I **

bJ ts3

= 1 mamy :

d-F 2x dF 2y dF    2z

dx    a²' dy    b² ’ dz    c² ’

zatem na podstawie (15) równanie różniczkowe:

dF Ady

i"

2dz

l'C

c² ’

dx

dy

dz

(ydz-zdy)-f    (« x—* dz)+{xd,y—y dx) = 0,

b²c²

które uporządkowane podług 2 i dz, otrzymuje kształt:

(«)

Idxdy dxdy\ lydx

z    bwndz lôV²

x dy xdy

a²c²

Ponieważ :

z²

= c²(l

y*\

b²)

z dz

=ci

__Ł"J = 0.

a²b² a²b²l

ydy\ b² r

przeto, pomnożywszy równanie (ó) przez z, otrzymamy :

.»(i    *!

b²)\c²a²    6W V

a²

, y dy\(y dx x dy    xdy y dx\

⁺ ‘ b² A b²c²    a²c²    a²b²    a²b V

czyli :

dy² . a²{b²—c²)xy—dxdy [ó²(c²—a²)*²-} a²\b²—c²)f/²-ho²ó²(a²—fe²)]-j-dx² ó²(c² a²)xy = 0.

- = ß², a²—b² = e²,

Zakładając¹ a²>ó²>c², połóżmy dla skrócenia: a otrzymamy stąd:

a² c²

b² — c²

b²

$²xy dy²-\-\o?x²—ß²y²—e²\ dxdy—a.²xydx² = 0,

czyli :

ß²a-«/(^)    (a²a;²—ß²y² -e²)    —<x²xy — 0,

(16)

jako równanie różniczkowe linij krzywiznowych na ellipsoidzie.

Celem wyznaczenia funkcyi pierwotnej, czyli całki tego równania pomnóżmy je przez

xy i wprowadźmy nową zmienną na mocy podstawienia: xy^- — t², a otrzymamy:

dx

(i²*ł4-(a²a;²—ß²</²—e²)t²—a²x²^² = 0,

skąd wypływa:

ß²J⁴-f (a²x² - e²)t²

ß²*⁴-|-a²x²

, czyli: y²=--t²—

e²t²

ß¥²+aV'

(17)

Za pomocą różniczkowania dostajemy stąd :

ydy = tdt—

czyli ;

{$²t²-\-x²x²)e²tdt—e²t² {$²t dt-{-*²x dx)

($²t²-\-CL²X²)²

<x²e²xt (x dt—tdx) (ß²*²+a²x²)2_ '

y dy = t dt—

,    .    t² dx

a ze na mocy podstawienia: ydy —-, przeto mamy:

t²dx

- tdt-*²e²xt±d*-XJJ^,

Równaniu temu stanie się zadość, skoro spełni się relacya:

czyli: -i (Iix-xdt)- *Vxt

dt dx

xdt, czyli:    zatem: log t = log cc-|-log C, czyli: t — Cx,

gdzie C jest stałą dowolną. Wstawiwszy tę wartość w (17), otrzymujemy:

e²C²x²

3²C²x²-j-a²x²

Wprowadzając w miejsce stałej dowolnej C inną stałą X na podstawie związku:

a2(&2_X) ß2/₀2_X) ’

tdx —

y² = C²X²-

. czyli: y² — C²x²—

C² = -

e²C²

ß²C² + a²'

(18)

0)

— 893 —

otrzymujemy z (18) równanie:

ß2₍'a2_X)

X² -f-

e2a2(&2__X)

— «²ß² (6²-X)+«²ß² (a2_X)

=0,

a więc:

a²#²

ßV

e²

a²#²

|V__₁

(19)

, czyli:

a²—X"r6²-X

Równanie to w połączeniu z równaniem ellipsoidy:

a² —5²

<ł²—X ^ ó² - X

(20)

^2+ft2 +^2-¹-

daje linie krzywiznowe na ellipsoidzie, jako przekroje układu walców drugiego rzędu z elli_ psoidą.

Na podstawie równań (19) i (20) pomnożywszy (20) przez c², a (19) przez X i odjąwszy tak otrzymane równania, dostajemy równanie:

a że:

X²

c²

c²

a²

a²X

ß²X

a²—X

b²—X

(21)

a²X

a²    o²—X

c²

ß²X

a²c²—c²X—(a²—c²) X a² a²—X)

J2c2_c2)_(₆2_c2)X ~6S(ï>_x)

c²—X

6²    a²—X

przeto równanie (21) sprowadza się do postaci:

a²—X ’ c²—X

P3x ’

œ²

y²

z'²

a²—X ^ 6²—X ^ c²—X

— 1.

(22)

Jest to równanie powierzchni spółogniskowych z daną ellipsoidą.

A zatem: Linie krzywiznowe na ellipsoidzie są przekrojami ellipsoidy z jej poivierzchniami spółogniskowemi.

Poszczególne linie krzywiznowe na ellipsoidzie, w której a > b >• c, otrzymamy z (22)1 nadając parametrom X rozmaite wartości.

Jeżeli — co <C X < c², wtedy powierzchnia spółogniskowa jest ellipsoidą, leżącą wewnątrz danej ellipsoidy, nie otrzymujemy tedy żadnych rzeczywistych linij krzywiznowych.

Jeżeli:    < X < 6², otrzymamy rozmaite hiperboloidy o jednej powłoce, ułożone około

osi OZ. Wyznaczają one jeden układ linij krzywiznowych, leżących symetrycznie względem płaszczyzny XY. Jeżeli X = b² sprowadza się hiperboloida do hiperboli leżącej w płaszczyźnie XOZ.

Jeżeli: b² <. X < o², otrzymujemy jako powierzchnie z ellipsoidą spółogniskowe rozmaite hiperboloidy o dwu powłokach ułożone około osi 0X. Wyznaczają one drugi układ linij krzywiznowych, które leżą symetrycznie względem płaszczyzny YZ.

Ę,

mm

Fig. 256.

Fig. 2B7.

Fig. 258.

Załączone figury przedstawiają położenie linij krzywiznowych na powierzchniach środkowych drugiego rzędu: fig. 256 na ellipsoidzie, fig. 257 na hiperboloidzie o jednej powłoce, fig. 258 na hiperboloidzie o dwu powłokach.

— 894 -

il. Wprowadzając dwa dowolne parametry u i określone pod założeniem: c² < b² <C warunkami: c² <iu <ib², J²<i;<(i², otrzymamy linie krzywiznowe ellipsoidy wyznaczone trzema równaniami :

?! + £ + £! = 1,

«2 ^ -r c2

a²—u

2/²

b²—u

z²

c²—u

y%

b²—v

C² — V

1.    (23)

Pierwsze i drugie równanie wyznaczają tedy jeden układ, pierwsze i trzecie drugi układ linij krzywiznowych.

Na podstawie równań (23), otrzymujemy trzy równania:

x² — a²

0a²-u)(a²-v)    (b²-u) (b²-v)    (c²-u) (c² - ₀)

(a²—J²)(o²—C²) ’    ?/ “    (62_c2)₍₆2_a2) ’    ²    ' (c2_a2)(c2_&2₎>

o dwu dowolnych parametrach m i jako równania parametrowe ellipsoidy utworzonej przez układy jej linij krzywiznowych.

Spółrzędne u i « punktu na ellipsoidzie nazywają się zwykle spółrzędnemi elliptycznemi.

12. Dwie powierzchnie przecinające się podług wspólnej linii krzywiznowej. Niech będą dane dwie powierzchnie określone równaniami :

y, 0)=O, F₂ (x, y, *)=0,

które przecinają się podług linii, będącej dla obu powierzchni linią krzywiznową, natenczas muszą się na mocy wzoru (14) spełnić relacye :

(«)

przyczem :

(dx+pide)dqi = {dy+ qxdz)dpx, (dx + p₂d0)dq₂=(dy + q₂de)dp2 de=pxdx + q,dy, jakoteż: de=p₂dx-\-q₂dy.

Obierzmy pewien punkt na krzywej przekroju i poprowadźmy w nim dwie płaszczyzny styczne, jedną do powierzchni F(x, y, z)=0, drugą do powierzchni F₂{x, y, #)=0, natenczas dostawy kierunkowe tych płaszczyzn, otrzymują wartości:

P\

Yp*i +^²i +i

V-p²i+?²i+i’

-1

1p\+q\ +i

P2

02

-i

Vp²2+2²2 + ¹

Vp²2+9,22 + ¹’

1p\+V\ + 1

zatem kąt w, zawarty między temi płaszczyznami będzie określony wzorem :

M-¹

V(p²i+3²i+l)(p²2 + ?²₂-t-l) leg' f=PiP2+vÆ    e=p\ +g\ +1, g=p\+g\+1

cos (O =

czyli :

gdzie : zatem :

df=px dp₂-\-p₂dpi+qidq₂+q₂dqx, de^=2{pxdpx+qxdqx), dg=2 (p₂ dp₂ + q₂ dq₂ ).

Na podstawie relacyj (a) i (6) otrzymamy jednak, rugując dx, dy, de, równania następujące:

f.de=2e(q₂dqx+p₂dpx), f.dg=2g(qxdq₂ +pxdp₂),

przedstawiające warunki, pod którymi krzywa przekroju jest linią krzywiznową jednej i drugiej powierzchni.

Z warunków tych otrzymamy równanie :

~) -Pi #2 +P₂^i + 0i dq₂ + 02 dqx —dfy

czyli równanie różniczkowe

f_(de_

2l e ^ g)

df

Całkując to równanie, otrzymamy zatem:

log f=\ log (^)-Hlog C,

f

=log Oj a więc: -= = (?, czyli: cos œ*=C.

V eg

A zatem : Dwie powierzchnie, których przekrój jest ich linią krzywiznową, przecinają się zawsze pod kątem stałym.

Nawzajem: Jeżeli krzywa przekroju dwu powierzchni przecinających się pod kątem stałym jest linią krzywiznową dla jednej z tych powierzchni, to jest nią także dla drugiej.

Skoro bowiem w każdym punkcie przekroju dwu powierzchni: Fi(x,y,z) = 0 i ł\{x, y, z) = 0 jest:

czyli :

log

1 (de dg\

⁼ 2T7 + 7b

cos w = C, czyli : .....- - = C, natenczas jest:

V eg

jeżeli obok tego krzywa przekroju jest linią krzywiznową jednej powierzchni, natenczas:

/ de

27’

/ de

df=    Ą V-

PidpiĄ-q₂dqi

przeto:

więc :

/ de

27

= (dî + di)

\ e g /

_ / de 2 e ’

czyli :

Pi dpt ~ł" 3i dq% =

co dowodzi, że ta krzywa przekroju jest także linią krzywiznową dla drugiej powierzchni.

13. Linie asymptotyczne na powierzchni. Promień krzywizny w punkcie P(x, y, z) dowolnego przekroju normalnego powierzchni: z=f{x, y) określa się wzorem (20) str. 822 kształtu:

Q=^P²+q² +1 •

(1 +p²) + 2pqA+ (l + q²)A

r-\-2sA-\-tA²

dy

w którym parametr:    cechuje kierunek płaszczyzny normalnej.

Kierunek, w którym promień krzywizny jest nieskończenie wielkim, nazywamy kierunkiem asymptotycznym.

Wartość odpowiedniego parametru À wyznacza równanie :

r+2sA-\-tA²=0,

które daje dwie wartości na A, rzeczywiste gdy rt—s² <CO, t. j. gdy dany punkt jest punktem o krzywiźnie ujemnej, czyli, gdy wskazująca Dupina jest hiperbolą.

W punktach, które mają krzywiznę ujemną, istnieją zatem dwa kierunki asymptotyczne. Idąc z punktu do punktu sąsiedniego w jednym z kierunków asymptotycznych, otrzymamy na powierzchni dwa układy krzywych, których styczne w danym punkcie są kierunkami asymptotycznemi tego punktu. Krzywe tego rodzaju nazywamy kr z y we mi asymptotycznemi powierzchni.

Krzywe asymptotyczne na powierzchni cechuje równanie różniczkowe pierwszego rzędu i drugiego stopnia kształtu :

,• + 2 M + t

(24)

które też nazywamy równaniem różniczkowem linij asymptotycznych.

Możemy je także przedstawić w postaci :

r dx²-\-2s dxdy + t dy²=0,

z której wypływa równanie :

dx (r dx -f- s dy) 4 dy(sdxĄ-t dy) = 0,

(25)

dxdp-\-dy dq=0,

czyli :

charakteryzujące linie asymptotyczne.

Jeżeli powierzchnia dana określona jest równaniami:

x=f(u, v), y=<p(u, v), z=yj(u, v),

wtedy na mocy wzoru (19) str. 840, otrzymamy równanie różniczkowe krzywych asymptotycznych w postaci :

R du²Ą-2Sdu dv-\- Tdv²=0.

(250

14. Linie asymptotyczne na powierzchniach obrotowych, określonych równaniami: x=uc08V, y—U8 in u, z—f(u)• Mamy tu:

dx

dx

— = cosv, du    dv

dy

dy

—— —u sin v, -^- = sinv, 4-=mcos du

dv

dz

dz

du

—=0

A=u cos v f (u), B=u sin v .f‘(u), C=—u,

² 4-    + C²=1 + [f\u)\²

dhy d²y dv²

-Msin v,

d²x

d²z

du²

d²x

dv¹

— U COS V,

d²x

dhy

sin v,    cos v,

⁷ du dv

zatem na podstawie wzorów (18) strony 840 otrzymujemy:

dudv

du dv

nu)

V*+ [/*(«)]*

S=0 T

uf'(u)

Vi+[m]²'

.Równanie różniczkowe: Rdu²Ą-2S dudv-\-Tdv²=0 sprowadza się tu zatem do postaci :

— f"(u)du²—uf,(u)dv²=0,

skąd otrzymujemy:

dv?=* —

f"{u)

uf {u)

du², zatem : dv

r(u)

uf (u)

du,

a stąd :

sv

nu)

uf (u)

du,

(26)

jako związek między parametrami u i v, który połączony z równaniami powierzchni obrotowych, wobec stałej dowolnej C, wyznacza układ krzywych asymptotycznych na tejże powierzchni.

W szczególności dla hiperboloidy obrotowej: x²Ą-y²—*² = 1, czyli: a: = «/cosr y — u sin v, z = \/u²—1, otrzymamy:

f(u) — V/ U²— 1, f(u) —

v/«²-i ’

/"(«)=_

/»

_ (u²-iyi7

(u²-iyi, ’    u f(u) ~ («²-l)*/,w* ~ u\u²— 1)

— 8Ö? -

f\u)

uf‘(u)

du

du

1    1, M+l

2l0®W'

w²(w²—1)    u

zatem szukany związek w postaci: v-\-C = —---

jako przekrój hiperboloidy: sc²-j-y%—2² = 1 z powierzchniami o równaniu:

-1

a więc linie asymptotyczne,

arc tang —---.

x \/

15. Proste minimalne. Prostą, przechodzącą przez dany punkt P(a, 6, c przestrzeni, możemy określić równaniami:

x=a+at, y = b + ßt, z=c\yt,

gdzie t jest dowolnym parametrem; «, &, c przedstawiają spółrzędne danego punktu P; a, ß, y są stałe cechujące kierunek tej prostej.

Każdej wartości parametru t odpowiada pewien punkt M(x, y, z) tej prostej. Odległość punktu M(x,y,z) od punktu P(a,b,c) określa się wzorem:

d=^(x—a)²-\-(y—b)²-\-(z—c)²—i^ oP-j-/?² + y².

Dla prostych rzeczywistych może być ta odległość tylko wówczas zerem, gdy t=0, czyli gdy punkt M(x,y,z) spada z punktem P(a, 6, c). Dla prostych urojonych staje się odległość d także wówczas zerem, gdy:

a²+/P + y²=0.

Otóż proste urojone tego rodzaju są prostemi o długości równej zeru i nazywają się z tego powodu proste minimalne.

Przez każdy punkt w przestrzeni przechodzi oo¹ prostych minimalnych Ażeby wyznaczyć ich miejsce geometryczne, połóżmy w (28) wartości z (27) wypływające:

(27)

(28)

/»-*=*

a otrzymamy równanie :

(a — a)² + (y—b)²+ (z— c)²=0.

Równanie to możemy uważać jako równanie kuli o promieniu równym zeru, zwanej kulą zerową, albo też jako równanie stożka urojonego drugiego rzędu o wierzchołku P(a, b, c). Przenosząc punkt P(a, b, c) do początku układu otrzymujemy powyższe równanie w postaci:

Æ² + 2/² + 0² = O,

przedstawiającej kulę zerową punktu początkowego, czyli sto-żek urojony drugiego rzędu utworzony z prostych minimalnych, wychodzących z początku układu.

Wszelki stożek utworzony z prostych minimalnych powstaje przez przesunięcie równoległe stożka urojonego, wychodzącego z początku układu. Wszystkie stożki urojone mają co dwie tworzące do siebie równoległe. Płaszczyzna nieskończenie daleka przecina wszystkie te stożki i kule zerowe podług jednego i tego samego koła urojonego. To koło urojone jest wspólnem wszystkim kulom, proste minimalne występują tedy jako proste łączące punkta tego nieskończenie dalekiego koła urojonego z dowolnym punktem przestrzeni.

16. Możemy także w inny sposób dojść do prostych minimalnych. Możemy bowiem każdą powierzchnię drugiego rzędu uważać za powierzchnię

(29)

(30)

Or. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 898 -prostokreślną o dwu szeregach prostych tworzących, jeżeli dopuścimy także tworzące urojone.

Nieskończenie dalekie punkta tych tworzących na powierzchni kuli tworzą urojone koło wspólne wszystkim kulom.

A zatem : Urojone tworzące kuli są same proste minimalne.

Przyjmijmy kulę:

x²-\-y²-\-z²=1.

Aby otrzymać równanie prostych urojonych na kuli połóżmy:

x+yi    1 + z

1—z    x—y i

x—yi 1 + z i—z    xĄ-yi

Równania (31) określają tedy pierwszy szereg tworzących urojonych kuli, równanie (32) — drugi. Oba szeregi tworzą proste minimalne, gdyż proste przeprowadzone przez początek układu równolegle do prostych szeregu (31), mają równania:

albo :

x + yi

x—yi

w,

M,

(31)

(32)

(33)

a zatem te proste leżą na stożku :

x²+y² + z² =0.

To samo dotyczy prostych (32). Z równań (31) wypływają stosunki:

1—U²    fc(l+M²)

— = W,

u

z których:

wu.

(34)

układu.

Są to równania prostych minimalnych przechodzących przez początek

równania :

Proste minimalne przechodzące przez punkt (æ₀, y₀, z₀) otrzymują

X-Xo+Yi¹—™²)' ?/==2/o+y(1 fw2)’

Z równań tworzących urojonych kuli wypływa ważny sposób przedstawień spółrzędnych kuli jako funkcyj parametrów u i v urojonych tworzących tej kuli. W szczególności równania:

1— uv u—v

przedstawiają kulę: x²-\-y2jrZ²= 1.

17. Krzywe minimalne nazywamy takie krzywe urojone, których styczne są prostemi minimalnemi, czyli których styczne przecinają nieskończenie dalekie koło urojone wspólne wszystkim kulom. Aby otrzymać równania krzywej minimalnej, szukajmy warunków, którym spółrzędne x, z jej punktów, jako funkeye parametru w, muszą uczynić zadość.

Równania stycznej w punkcie (x, y, z) mają kształt:

i (1 Ą-UV)

---

U—V

z=z₀ + WU.

u-\-v

£=-,

U—V

(35)

X=x-\-av,    Y=y-\-ßv, Z=z+yv.

Ażeby ta prosta była minimalną, musi być:

a²+/?² + y²~0, czyli: ds²=dx²Ą-dy²-\-dz²=0.

Krzywe minimalne są krzywe o długości zera. Własność ta służy często za określenie krzywych minimalnych.

Pisząc warunek ds²—0 w postaci:

/dx\²    (dy\²    (dz\²    _

\du) + (äs) ⁺ (s) ⁼⁰>

zauważymy, że równaniu temu stanie się zadość, gdy :

dx

dz

du

du

du

— wu,

gdzie w może być jeszcze dowolną funkcyą parametru u. Oznaczmy ją przez F (u), a otrzymamy:

—u²) F (u) du,    y=~^(lĄ~u²) F(u) du, z=^uF(u)du, (36)

jako równania krzywych minimalnych.

Zastąpmy F(u) przez J“‘(u), a otrzymamy na podstawie całkowania przez części równania krzywych minimalnych w postaci :

y=Y (1 + u)/"(««)—iu m + if\u)

(37)

z=~uf“{u)—fiu).

Płaszczyzna ściśle styczna w jakimkolwiek punkcie krzywej minimalnej dotyka się nieskończenie dalekiego koła wspólnego wszystkim kulom.

18. Linie geodezyjne. Linią geodezyjną na powierzchni nazywamy taką linię krzywą, która wyznacza najkrótszą odległość między dwoma punktami danej powierzchni.

Weźmy pod uwagę trzy nieskończenie bliskie punkta A, B, C linii geodezyjnej, to łuk ABC musiałby być najkrótszą drogą między punktami Ai C powierzchni. Z trzech nieskończenie bliskich punktów A, B, C linii geodezyjnej musiałby więc punkt średni B być takim punktem powierzchni, przez który przechodzi najkrótsza droga między drugimi dwoma punktami A i C. Trzy po sobie następujące punkta A, B, C linii geodezyjnej wyznaczają koło ściśle styczne do tej krzywej, które jest zarazem kołem krzywizny w pewnym przekroju powierzchni. Jeżeli ten przekrój jest skośnym, to promień koła krzywizny jest mniejszym od promienia krzywizny przekroju normalnego przez punkta A i C przechodzącego. Ze wszystkich łuków kołowych, przechodzących przez dane dwa punkta, jest ten łuk najkrótszy, który należy do koła o największym promieniu. Jeżeliby więc łuk ABC był najmniejszym ze wszystkich łuków przechodzących przez punkta i i C powierzchni, to jego promień musiałby być największym, koło krzywiznowe musiałoby być więc leżeć na płaszczyźnie normalnej tego punktu.

A zatem : Płaszczyzna ściśle styczna w danym punkcie linii geodezyjnej musi być płaszczyzną normalną w danym punkcie powierzchni.

Jest to charakterystyczna własność linij geodezyjnych, na której możemy oprzeć wyznaczanie linij geodezyjnych na danej powierzchni.

19. Analityczne wyznaczanie linij geodezyjnych na powierzchni:

z=*f(oc, yj. Linia geodezyjna na powierzchni posiada według poprzedniego arfc. tę własność, że jej płaszczyzna ściśle styczna w pewnym punkcie x, y, z określona równaniem :

P(X—x)-\- Q (Y—y)-\-Ii (Z—z)=0,

przechodzi przez normalną w tym punkcie do powierzchni wykreśloną, t. j. przez prostą :

X—x+p(Z~z)=0, Y— y+q(Z—*) = 0,

musi się zatem spełnić relacya :

(38)

Fp+Qq—R=0,

gdzie:

P=dy d²z—dzd²y, Q=dzd²x—dx d²z, B=*dxd²y—dyd²x. Uwzględniając te wartości, otrzymujemy równanie różniczkowe:

(dyd²z dz d²y)p + (dzd²x dxd²z)q—(dx d²y—dyd²x)=0, które uporządkowane podług dz² i dz sprowadza się do postaci :

d²z(pdy qdx)—dz{pd²y—qd²x) — (dxd²y—dyd²x)=0, a że dla każdego punktu na powierzchni z=f(x, y) mamy :

d²z=r dx2jr%sdxdy + tdy²,

przeto otrzymujemy z powyższego równania następujące:

(p²+q²+1) (dy d²x — dx d²y) + (p dy—q dx) (r d²x-±2s dxdy-\-tdy²)=0. Przyjmując x za zmienną niezależną, a więc kładąc d²x—0 i dzieląc równanie przez dx³, otrzymamy równanie różniczkowe :

(39)

jako równanie różniczkowe rzutów linij geodezyjnych powierzchni z=f(x, y) na płaszczyznę X0Y.

20. Linie geodezyjne na powierzchniach obrotowych. Opierając się na tej własności linii geodezyjnych, że ich główne normalne wpadają w normalne powierzchni, otrzymamy jako równania różniczkowe linij geodezyjnych na powierzchni obrotowej, określonej równaniem:

z=f(^ x²+y²),

szereg stosunków :

d²x d²y d²z _ x df(^x²Ą-y²) ds² ’ ds² ds² *    ^x²+y² dix²Ą-y²

z których wypływa równanie :

dfOlx²-\-y²) ' Vx²-\-y²    d\x²-\-y²

:1,

d²x

dhj

#=0,

(40)

ds ² y ds²

jako równanie różniczkowe rzutów linij geodezyjnych na płaszczyznę XOY. Równanie to możemy przedstawić w postaci:

-^-(æ dy —y dx)=0.

GS

Wprowadzając spółrzędne biegunowe: #=-rcos<jp, y = rsinę>, otrzymamy:

xdy—y dx=r²

d(p

dx² + dy²

r²

dcp

ds ’

— 901 —

Tym sposobem przekształci się powyższe równanie różniczkowe w na

stępujące :

z którego wypływa równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci :

r²

dtp

ds

= 6’,

(41)

gdzie C jest stałą dowolną.

21. Znaczenie geometryczne równania: r² — C. Weźmy pod uwagę element PP'

jako element linii geodezyjnej i przeprowadźmy przez punkt P(x, y, z), równoleżnik, a przez punkt P' południk, który przetnie równoleżnik w Q, natenczas z trójkąta prostokątnego PQP' otrzymamy:

PQ = PP⁷ sin PP' Q,

Oznaczając 2C PP'Q, który możemy uważać za kąt, pod jakim linia geodezyjna przecina południk, przez a i mając na uwadze, że: PQ = r dcp, PP'= ds, otrzymamy:

dcp

r dcp = ds . sin *, więc : r — = sin a.

d(p

Równanie: r²~ = C przedstawia się wobec tego w postaci:

r sin « = O.

To znaczy: W każdym punkcie linii geodezyjnej na powierzchni obrotowej iloczyn z promienia równoleżnika przez sinus kąta nachylenia linii geodezyjnej do południka jest ilością stałą.

22. Długość łuku linii geodezyjnej na powierzchni obrotowej z=f{r).

7i równania:    wypływa:

ds²

r^dcp²

(42)

a że :

ds²=dx²Ą- dy² + dz²=dr²-\-r²dq)²-\-f‘(r) dr² = r²d(p²-\- [1 -f (f'{r)²]dr², przeto otrzymujemy z (42) :

a więc :

+V‘W

r²-C²

— dr,

,    Cds

a ze : dcp<=—s⁻r

przeto będzie :

ds =

rV

r²—C²

dr,

1+[/W]²

(43)

dr+C\,

zatem otrzymujemy :

wzór podający długość łuku linii geodezyjnej jako funkcyę promienia r.

23. Warst wice i linie największego spadu. Przekroje powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny (poziomej) X.0Y, nazywają zwykle warstwicami powierzchni, a linie prostopadłe do warstwie nazywają się liniami największego spadu.

r²— C²

Warstwice powierzchni z=f(x, y) określone są równaniami:

z których wypada równanie równiczkowe dz—0, czyli:

p dx-\-qdy=0,

jako równanie różniczkowe warstwie powierzchni: z=f{x, y).

Linie największego spadu, jako linie do warstwie prostopadłe, mają w każdym punkcie styczne prostopadłe do stycznej, jaką w tym punkcie ma odnośna warstwica powierzchni.

Ponieważ styczna w danym punkcie warstwicy ma na podstawie (44) kierunek określony równaniem :

dy dx

przeto kierunek stycznej do linii największego spadu, przechodzącej przez ten punkt powierzchni, będzie określony równaniem:

dy _ q

dx p ’

skąd otrzymujemy równanie różniczkowe:

(45)

qdx—p dy=0,

jako równanie różniczkowe linij największego spadu na danej powierzchni.

»    •    00^    2 2

24. Linie największego spadu na ellipsoidzie. Z równania ellipsoidy : ^2 +jj+ -j=l otrzymujemy za pomocą całkowania częściowego :

a stąd:

q __ ahj

p b*x ’

zatem równanie różniczkowe linij największego spadu na tejże ellipsoidzie przedstawia się w postaci :

dy a\j

dy a² dx

dx~iv ozyh:

Całkując to równanie, otrzymujemy:

a²

loS^ ⁼ ä2 loS x+⁰'

a²

skąd kładąc: ^ — m dostajemy równanie: y = cxm, przedstawiające wobec stałej dowolnej c

układ powierzchni walcowych, któi*e przecinają daną ellipsoidę podług krzywych największego spadu.

25. Warstwice i linie największego spadu na powierzchni obrotowej z — f(r). Mamy tu:

r=Vx²-fy², » =/( V æ²-h/²),

dz dr

zatem :

dz

dz

P dx dr dx

dr y/V+y²

dz dz dr dz y

q — — =--=--—---.

dy dr dy dr \/x2Ą.y2

Eównanie różniczkowe linij największego spadu kształtu: pdy—qdx — 0 otrzymuje tu więc postać:

x dy—y dx — 0, czyli : — = —

skąd za pomocą całkowania otrzymujemy:

log y = log æ+log c, czyli równanie : y = cx.

które przedstawia przy stałej dowolnej c pęk płaszczyzn przechodzący eh przez oś OZ, jako oś obrotu.

Linie największego spadu są więc południkami powierzchni obrotowej, jeżeli war-stwice są równoleżnikami.

26. Isofoty na danej powierzchni. Isofotą czyli linią równego oświetlenia na danej powierzchni nazywamy linię krzywą na powierzchni, mającą tę własność, że płaszczyzny styczne do powierzchni wykreślone w poszczególnych punktach tej linii są do kierunku światła jednakowo nachylone.

Niech a, ß, y oznaczają kąty, jakie promień światła tworzy z osiami układu, płaszczyzna styczna w punkcie P(x, y, z) powierzchni I(x, y, z)—0 określona jest równaniem :

dF

dF

dF

dx

dy

(Y—y)+--(Z—e) =0.

dz

Kąt nachylenia tej płaszczyzny do kierunku światła wyznacza wzór :

dF

dF

dF

sin co =

-r— cos a -f —- cos ß +■ -T— cos y dx    dy    dz

Kładąc sin²co=C, otrzymamy stąd równanie:

dF

dF

dF

M© * © * (W

(46)

. cos a-j- — cos Æ+ — cos y dx    dy    dz

przedstawiające powierzchnię, której przekrój z powierzchnią F{x, y, z) = 0 określa isofotę, odpowiadającą danej wartości stałej dowolnej C.

/p2    2*2

W szczególności isofoty na ellipsoidzie: p-+ p + p = l określają się jako przekroje ellipsoidy z powierzchniami:

COS

*+ p008 p+ i⁰⁰⁸ 1 = °{p+p + 0*1

(47)

które są stożkami drugiego rzędu, mającymi wierzchołek w początku układu.

ćwiczenia LYI.

1) Wykazać, że odcinając na prostopadłej do przekroju środkowego ellipsoidy :

X² w² z²

^2 + p-+ 2- = 1, począwszy od środka i po obu jego stronach, połowy długości obu osi tego przekroju otrzymamy jako miejsce punktów końcowych powierzchnię czwartego rzędu:

X²

y²

x²+t/²+«²—a²    x*+t/²+z²- b²    x²+y²+s²—c²

zwaną powierzchnią falową Fresnela.

2)    Wykazać, że linia prosta leży na danej powierzchni n-go rzędu, jeżeli ma z nią (»+1) punktów wspólnych.

3)    Wykazać, że na każdej powierzchni trzeciego rzędu, która nie jest powierzchnią prostokreślną, znajduje się 27 linij prostych, rzeczywistych lub urojonych.

4)    Wyprowadzić równanie powierzchni, której płaszczyzny styczne są nachylone do płaszczyzny XOY pod kątem stałym a, jeżeli ślady tych płaszczyzn na XOY są styczne

do ellipsy: p + p = l.

5) Wykazać, że kąt a zawarty między dwiemi krzywemi u —a, v œ by powierzchni x — /(m, v), y — cp (w, v), s = ^ (w, w) wyznacza wzór :

da; da; dy dy dz d;z dw dv ' du dv ' du dv

COS a =

V eg

' V©'*©'*©' *£)'+©■+©

6)    Wyprowadzić warunek, pod którym krzywe u — a, v = b powierzchni x —f (w, v), y = <p(u, v\ z — <{*(«, ») przecinają się pod kątem prostym.

7)    Wykazać, że pole d²F elementu powierzchni: x=f(u, v), y = œ(w, »), z = (];(«, t>) zawarte między pax*ą krzywych u — a, v — b i parą krzywych sąsiednich wyraża się

ET dX dX I «L

wzorem: d²F =\/ËG—F²dudv. gdzie

8) Wykazać, że krzywizny główne w danym punkcie powierzchni: x = u cos u, y = u sin V, z = y (u) otrzymują wartości :

#>"(«)

— —u

<*>'(«)

P2

9) Wykazać, że dwa główne kierunki w punkcie: P(x,y,z) powierzchni: F(x,y, z) — 0 są wyznaczone równaniem:

dF

da; ’

<Z

, cZa;

dF

T-, d dy

; dy

= 0.

dF

dz

(Z

cZz

ma kształt:

10) Wykazać, że równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni z=f(x, y)

[p yr—s(l-|-p²)] dx¹—[p qt—s(\.Ą-qY)\dy'l-\-dxdy[r(\-\-<]r)—Z(1 +p²)] — 0. 1+p², pq, 1+y²

czyli :

»•»

= 0.

dy'¹, —dxdy, dx¹

11) Wykazać, że równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni: F(x,y,z)=0 możemy przedstawić w postaci:

dF    dF

— , cZ —, dx dx    dx

F=0,

dF

dh

dy '

dy ’

==0,

dF . dF, , dF

-— dx -j- — dy 4—— dz = 0. da; dy dz

dF    dF

dz ’ dz

12)    Wykazać, że linie krzywiznowe powierzchni: x—J(u, v), y = cp(w, f), z = ^(m, «) cechuje równanie różniczkowe, w postaci wyznacznika :

F,    F,    G

R, S, T ==0.

du²,    —dudv,    «Zt?²

13)    Dowieść, że przekrój kuli z płaszczyzną jest ich linią krzywiznową.

14)    Dowieść, że gdy płaszczyzna przecina powierzchnię pod stałym kątem, krzywa przekroju jest linią krzywiznową tej powierzchni.

IB) Wykazać, że główne promienie krzywizny w punkcie u, v powierzchni: x = f(u, v): y = (p{u, v), 2 = iJ/(tt, v), której krzywemi parametrowemi są linie krzywiznowe, określają się wzorami:

i-i i a!

tH I £

16) Wykazać, że liniami krzywiznowemi powierzchni obrotowej są równoleżniki

i południki.

17)    Wyznaczyć wszystkie powierzchnie, których linie krzywiznowe są kołami.

18)    Dowieść, że krzywa przekroju dwu powierzchni spółogniskowych rzędu drugiego jest linią krzywiznową dla obu powierzchni.

19) Wykazać, że równanie różniczkowe linij asymptotycznych na powierzchni z —f(x, tj)

ma kształt:

r dx²Ą-2s dx dy-\- tdy² = 0.

20) Wykazać, że równania różniczkowe krzj^wych asymptotycznych na powierzchni F(x, y, z) = 0 przedstawiają się w postaci:

dF ^ dF ^ _ ,AF . ,dF —— dy4- — dz~ 0. d—- dx-\-d — óy J ¹ cz    ôx    du

21) Wyprowadzić równanie różniczkowe krzywych asymptotycznych na powierzchni :

dF

F=⁰’ ^ix+

dF

dy-\- d — dz — 0.

dz

— v u¹—a¹-

x = u cos v, y — u sin v, z =

22) Wykazać, że kierunki asymptotyczne w punkcie : P(x, y, z) powierzchni : F{x, y,z) = 0 są wyznaczone równaniem:

dF

d — dx4-d dx

dF

dF

dydy+ddz

dz = 0.

— jest stale równa zeru.

23) Wyznaczyć krzywe przestrzenne, których krzywizna

24)    Wyznaczyć krzywe przestrzene, których skręcenie jest stale równe zeru.

25)    Wyznaczyć linie krzywe przestrzenne, w których stosunek krzywizny do skręcenia jest stały.

26)    Znaleźć obwiednią płaszczyzn ściśle stycznych danej krzywej przestrzennej.

27)    Znaleźć obwiednią płaszczyzn normalnych danej krzywej przestrzennej.

28)    Znaleźć obwiednią płaszczyzn rektyfikacyjnych danej krzywej przestrzennej.

29)    Jaką powierzchnię przedstawiają równania parametrowe:

u-\-v

z =--.

U—V

1 — UV u—v ’

30)    Zbadać przekrój ellipsoidy:

+ |ï +-^ = 1 z kulą: æ²-fy²-fz² = r².

31)    Zbadać przekrój stożka obrotowego: x²-\-y'¹ — z* — 0 z walcem:

i(\Ą-uv)

U—V

log (æ²-j-y²) = arc tang —.

x

32)    Wykazać, że krzywe parametrowe powierzchni : x=f(u, v), y = y (u, v), z = ty(u, v) są krzywemi asymptotycznemi, skoro R=T= 0.

33)    Wykazać, że punkta paraboliczne powierzchni: F(x, y, z) = 0 tworzą krzywą przekroju powierzchni F~ 0 z powierzchnią wyznacznikową (powierzchnią Hessego):

F\i-, Fx2, Fi3) Fx

= 0.

Fu, 7'22) ^23, F₂

f3U f₃₂, f₃₃, f₃

» Fu 1₂, F₃, 0

34)    Wykazać, że równanie różniczkowe linij geodezyjnych na powierzchni : I (x, y,z) = 0 można przedstawić w postaci:

dx, d²x

dy, d%y

dz, d²z

- 906 —

35)    Wykazać, że w każdym punkcie P linii geodezyjnej na danej powierzchni płaszczyzna ściśle styczna w punkcie P tejże linii jest płaszczyzną normalną w punkcie P powierzchni.

36)    Wykazać, że główna normalna linii geodezyjnej jest normalną do powierzchni.

37)    Wykazać, że krzywe parametrowe powierzchni: x=f(u, v), y = cp(u, v), z--=<\i(u,v) są liniami krzywiznowemi, skoro F= S = 0.

38)    Wyprowadzić równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni walcowej z — <p(x).

39)    Wyprowadzić równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni stożkowej : * = u cp (v), y — uv, z —u.

40) Wykazać, że równanie rzutu linij krzywiznowych na powierzchni śrubowej : a5 = rcoscp, y = r sin ę, z — a<o, na płaszczyznę XOY można przedstawić w spółrzędnych

—c-fy

)•

biegunowych r, © w postaci:

1 ( C+<P . r = —~ — ae

41)    Wyprowadzić równanie różniczkowe linij asymptotycznych na konoidach: x — u, y = uv, z = <p(v).

42)    Wykazać, że równanie różniczkowe linij asymptotycznych na paraboloidzie hyper-

bolicznej :    — — =2z możemy sprowadzić do postaci :

(?-?)(?+?)=«•

43)    Wykazać, że linia spadu przechodząca przez punkt (xu yx), na powierzchni drugiego rzędu: ax²-f-fo/²-{-cz² = d występuje jako przekrój tej powierzchni z powierzchnią walcową o równaniu:

44)    Wykazać, że powierzchnie posiadające płaszczyzny styczne jednakowo nachylone do danej płaszczyzny są powierzchniami utworzonemi przez styczne do linij śrubowych.

45)    Wykazać, że między powierzchniami obrotowemi istnieje tylko jeden rodzaj powierzchni obrotowych minimalnych, a tymi są t. zw. katenoidy obrotowe, t. j. powierzchnie powstałe przez obrót linii łańcuchowej.

46)    Wyprowadzić równania krzywej, zwanej krzywą loxodromiczną, która przecina południki kuli pod stałym kątem.

Rozwiązania LVII. 17) Cyklida Dupina (fig. 259). 23) Linie proste. 24) Krzywe płaskie. 25) Linia śrubowa na dowolnym walcu. 26) Powierzchnia rozwijalna utworzona przez styczne do linii krzywej. 27) Powierzchnia rozwijalna utworzona z osi krzywiznowej, czyli t. zw. powierzchnia biegunowa danej krzywej.

28)    Powierzchnia rozwijalna rektyfikacyjna.

29)    Kula: x*-\-y'i-\-z² = l.    30) Ellipsa sferyczna.

31) Spiralna stożkowa. 38) dx dy — 0.

39) uiv'\v)dv^l-\-v^Ą-\'D(v)Y\du-\-u[v-\-y(v)y‘(v)'\dv} =0. 41) du\uv>"(y)dv—2<o,{v)du\ = 0.

Fig. 259.

Literatura. Luigi Bianchi: Vorlesungen über Diffentialgeometrie. Autorisirte Übersetzung von Max Lukat. Leipzig 1894. Dr. Georg Scheffers: Einführung in die Theorie der Curven in der Ebene und im Raume. Leipzig 1901. Dr. Georg Scheffers: Einführung in die Theorie der Flächen. Leipzig 1902.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya powierzchni Weingartena.

2.    Linie krzywiznowe na powierzchniach drugiego rzędu.

3.    Isofoty na powierzchniach rzędu drugiego przy oświetleniu równo ległem.

Wykład LVII.

Wstęp do teoryi równań różniczkowych.

1. Określenie i podział równań różniczkowych. Równaniem różniczko-wem nazywamy równanie, określające związek między zmienną zależną, jej pochodnemi jakiegokolwiek rzędu i zmiennemi niezależnemi.

Równania różniczkowe dzielimy na :

zwyczajne; 2. równania różniczkowe cząstkowe.

1. równania różniczkowe

Równania różniczkowe zwyczajne nazywamy równania, w których jest jedna tylko zmienna niezależna, a do niej są odniesione pochodne zmiennej zależnej. W przypadku kilku zmiennych zależnych należy mieć tyle równań, ile jest zmiennych zależnych, aby można te zmienne zależne określić jako funkcye danej jednej zmiennej niezależnej.

Równania różniczkowe cząstkowe nazywamy równania, w których występuje kilka zmiennych niezależnych, najmniej dwie zmienne niezależne, a do nich odniesione są pochodne cząstkowe zmiennej zależnej. W przypadku kilku zmiennych zależnych należy mieć tyle równań różniczkowych cząstkowych, ile jest zmiennych zależnych, aby można było te zmienne zależne określić jako funkcye danych zmiennych niezależnych.

2. Rząd i stopień równania różniczkowego. Rzędem równania różniczkowego nazywamy najwyższy rząd pochodnej, jaka w tern równaniu się pojawia ; stopień równania różniczkowego określa wymiar poszczególnych wyrazów tego równania, o ile jest ono sprowadzone do postaci całkowitej wymiernej, w której wymiar jakiegokolwiek wyrazu stanowi suma wykładników potęgowych odnośnej funkcyi i jej pochodnych występujących jako czynniki tego wyrazu.

W myśl tego określenia jest np. równanie:

dy

dx² ' dx

równaniem róźniczkowem zwyczajnem czwartego rzędu, bo 4 jest rzędem najwyższej po-chodnej : —jaka w tern równaniu występuje; jest ono zarazem równaniem różniczko-

wem zwyczajnem czwartego rzędu a trzeciego stopnia, gdyż pierwszy wyraz:

jest wymiaru trzeciego, drugi: x²(y²—1) jest wymiaru drugiego.

.y-x\y%— 1)

dxy

dxk

dKy

dxi

+⁶*s(20=°'

także wymiaru trzeciego, a

trzeci : Ba;³

(dW

\dxV

Równania różniczkowe pierwszego stopnia, jakiegokolwiek zresztą rzędu, nazywamy zwykle równaniami różniczkowemi liniowemi.

.Równanie np. :

jest zwyczajnem równaniem różniczkowem liniowem rzędu trzeciego.

3.    Całki równania różniczkowego. Całkami równania różniczkowego nazywamy funkcye, które wraz ze swemi pochodnemi czynią zadość danemu równaniu różniczkowemu, sprowadzając je do tożsamości.

Wyszukiwanie takich funkcyj nazywamy całkowaniem danego równania różniczkowego.

za-

4.    Tworzenie równań różniczkowych zwyczajnych. Z danego równania pierwotnego o dwu zmiennych, jednej niezależnej x i jednej zależnej y, wierającego n stałych dowolnych ci} c₂,..., cn) w postaci:

(1)

0®, Vi Cl, c₂, •••, cn) 0,

otrzymamy, na podstawie różniczkowania w-razy powtarzanego, równania różniczkowe :

dF dF dx dy

dnF

dxn

Ą-n

d²F n d²F , d²F ,₂ , dF „ dx² + ldxdyV + dy2 y + dy V

dnF

=0,

dxn_1 dy

kolejno 1-go, 2-go, .., n-go rzędu, które w połączeniu z danem równaniem prowadzą po wyrugowaniu n stałych dowolnych ci, c₂,..., cn do jednego równania różniczkowego n-go rzędu w postaci :

dy

(2)

równania

które nazywamy równaniem różniczkowem danego pierwotnego, nazywając naodwrót dane równanie pierwotne o n stałych dowolnych całką ogólną otrzymanego równania różniczkowego

zwyczajnego n-go rzędu.

5. Równania różniczkowe linij krzywych. Z równania układu linij krzywych kształtu: F(x, y, ci, c₂, ..., c„), zawierającego n dowolnych parametrów otrzymujemy na podstawie r- krotnego różniczkowania r równań różniczkowych, z których przy pomocy danego równania możemy wyrugować r stałych (por. T. I. str. 674), tym sposobem otrzymujemy M

równań różniczkowych r-go rzędu, każde o (w—r) stałych dowolnych, a z tych równań jest tylko (r+1) równań od siebie niezależnych. Różniczkując dane równanie n razy, otrzymujemy n równań różniczkowych, z których przy pomocy danego równania możemy wyrugować wszystkie n stałe, a otrzymamy jedno równanie n-go rzędu bez stałych dowolnych, zwane równaniem różniczkowe m danego układu linij krzywych.

Poszczególne równania różniczkowe, otrzymane z danego równania układu krzywych wypowiadają pewne własności poszczególnych krzywych tego układu, zależne od wartości stałych dowolnych występujących w odnośnych równaniach.

Równanie różniczkowe w-go rzędu bez stałych dowolnych wypowiada wspólną własność wszystkich krzywych danego układu.

Geometryczna interpretacya tych własności zależy od rzędu równania i opiera się na geometrycznem znaczeniu pochodnych pierwszego i wyższych rzędów.

W myśl tego znaczenia równania różniczkowe pierwszego rzędu wypowiadają własności linij krzywych, danem równaniem pierwotnem określonych, dotyczące styczności i elementów związanych z kierunkiem i położeniem prostych stycznych w punktach tychże linij krzywych.

Równania różniczkowe drugiego rzędu wypowiadają własności linij krzywych, danem równaniem pierwotnem określonych, dotyczące krzywizny i elementów od promienia krzywizny zależnych, w punktach tychże linij krzywych.

Równania różniczkowe w-go rzędu wypowiadają własności ścisłej styczności danych krzywych układu z prostszemi liniami krzywemi n-go rzędu, względnie z krzywemi parabolicznemi w-go rzędu.

6. Przykłady równań różniczkowych poszczególnych linij krzywych.

a) Równanie linii prostej: y=mx + b, zawierające dwie stałe dowolne m i b, daje dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu, z których każde zawiera tylko jedną ze stałych m i b, w postaci:

y — x~=b, czyli: y'—m,

(XC0

dy

~=m

dx

y—xy'=b,

wypowiadające własności linii prostej zależne od jednego spółczynnika m, względnie ó, a prowadzi tylko do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu kształtu :

d²y

dx²

0, czyli: y"=0,

(3)

które jest równaniem różniczkowem wszystkich linij prostych, cechującem linie proste, jako linie o nieskończenie wielkich promieniach krzywizny, czyli o krzywiźnie równej zeru w każdym z ich punktów.

ß) Równanie koła: (x—a)²+(y—/?)²=r² ma trzy stałe dowolne: a, /?, r

prowadzi zatem do = 8 równań różniczkowych pierwszego rzędu, z któ-

==-3 równań różniczko-

CO (M

rych każde zawiera tylko dwie stałe, wreszcie do

wych drugiego rzędu, z których każde zawiera tylko jedną z powyższych trzech stałych, a daje tylko jedno równanie różniczkowe trzeciego rzędu bez stałych dowolnych. Równania te wynikają z równań:

(x—a)² + {y— /?)²=r²,    (z-a)-f(y - 0)^=0.

•gg+*-»g-*

(4)

dających ostatecznie równanie różniczkowe wszystkich kół w postaci:

(5)

(i+y²)ÿ"'—W*-o,

czyli :

wypowiadające wspólną kół jako krzywych o niezmiennej krzywiźnie (t. j. dla

dq

których ^- = 0). ctoc

y) Ogólne równanie krzywych drugiego rzędu, kształtu :

ax² +- by² -f cxy + dx+ ey +1 = 0,

ma pięć stałych dowolnych, prowadzi zatem do równania różniczkowego piątego rzędu, jako równania różniczkowego wszystkich oo⁵ krzywych stożkowych na płaszczyźnie, które przy pomocy rachunków powyżej wskazanych możemy ostatecznie sprowadzić do postaci :

d²y d?,y dky dx²' dxz'dx*

9 y" ²y(V)—45y uy“éyW) -j-40y"'²=0.

Uwaga. Dwa równania różniczkowe pochodzą od tej samej funkcyi pierwotnej, skoro po wyrugowaniu swych stałych prowadzą do tego samego równania różniczkowego bez stałych dowolnych.

7. Całka ogólna zwyczajnego równania różniczkowego rzędu pierwszego.

dy

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu, kształtu:    y), podaje

A(d*yyd*y

\dxy dxh

-45

WS)'-*

czyli :

(6)

(7)

pierwszą pochodną niewiadomej funkcyi y jako wiadomą funkcyą f\ zmiennej niezależnej x i jej niewiadomej funkcyi y. Na podstawie tego równania możemy przedstawić wszelkie pochodne wyższych rzędów tejże niewiadomej funkcyi y, jako znane funkcye zmiennej niezależnej x i zależnej y. Mianowicie dostajemy najpierw:

« y mm àA , àj\ #    dfy    dfi

dx² dx dy dx    dx ^    ^’

ou

zatem :

dzy

dx²

y).

Podobnie znajdziemy:

dzy dx³

d'y

dny

=fn(x, y).

Niech będzie tedy y — (p{x) szukaną funkcyą, czyniącą zadość danemu równaniu różniczkowemu, tedy na podstawie wzoru Taylora odpowiada jej rozwinięcie w postaci szeregu potęgowego :

dx⁴

(x—x₀)n

y=#»o)+<p'0*o)—p+?>"(*o)— g*—+<p‘“M^^r-+---+(p(n)(x₀)

Przyjmijmy, że dla x=xQ jest y=(p(x₀)=y₀ gdzie y₀ jest stałą dowolną, natenczas będzie:

h-*

<p'M

fm

\dx)

a: =r .r₀

\dx ²)x — ,r₀

/n(.Tq , y₀),

zatem będzie :

+■/,(*,

ogólnem rozwiązaniem czyli ogólną całką danego równania różniczkowego, zawierającą jedną stałą dowolną ?/₀.

y=(p{x)=y₀ -b /'j (Xq , «/„)

(x-x₀)n

1!

f... (8)

Jeżeli przyjmiemy #₀=O i oznaczymy odpowiednią wartość szukanej funkcyi przez c, wtedy przedstawimy szukaną całkę ogólną w postaci szeregu potęgowego :

y=cp(x)=c+Ą(0, c)x + f^ c)0» c)“i

(9)

w którym c jest jedną stałą dowolną.

Tym sposobem dochodzimy do następującego twierdzenia:

Każdemu równaniu różniczkowemu pierwszego rzędu odpowiada zawsze pewne rozwiązanie ogólne o jednej stałej dowolnej, czyli pewna całka całka ogólna, którą możemy zawsze przedstawić w postaci szeregów potęgowych.

Nadając stałej dowolnej c pewne wartości szczególne, otrzymamy szczególne rozwiązania, czyli t. zw. całki szczególne danego równania różniczkowego.

8. Geometryczny obraz całek szczególnych i całki ogólnej danego równania różniczkowego pierwszego rzędu. Uważając płaszczyznę jako zbiór oo2 punktów (x, y), określamy danem równaniem zwyczajnem kształtu : F{x,y)=0 zbiór oo¹ punktów, tworzących w ogólności pewną formę jednowymiarową

dy

=y‘ wyzna

czyli pewną linię krzywą na płaszczyźnie. Pierwsza pochodna

cza kierunek elementu ds w jakimkolwiek punkcie P(£, y) tejże linii krzywej. Każdy taki element łączy punkt P(x, y) z punktem sąsiednim: Q(x+dx, y + dy) tejże linii krzywej i może być nazwany elementem dwu-punktowym płaszczyzny, a położenie jego określają trzy wielkości, jako to wielkości x: y, cechujące spółrzędne jego punktu wyjścia i wielkość:

y' = d?L} cechująca jego kierunek. Płaszczyzna posiada oo³ takich elementów

dwupunktowych, a wszelkie równanie między trzema wielkościami x, y, y' kształtu f(x, y, y‘) = 0 określa zbiór oo² elementów dwupunktowych, wybranych z pośród oo³ elementów, mieszczących się na płaszczyźnie w sposób danem równaniem f (x, y, y‘)=0 określony.

Przyjąwszy dowolnie pewien punkt P(x, y) na płaszczyźnie, znajdziemy na podstawie danego równania różniczkowego rzędu i stopnia pierwszego kształtu: f(x, y, y')=0 pewną wartość na y\ a zatem pewne położenie elementu dwupunktowego odpowiadającego, na podstawie danego równania różniczkowego, przyjętemu punktowi P(x, y) płaszczyzny. Uważając teraz koniec tego elementu dwupunktowego, t. j. punkt Q(x + dx, y + dy) jako początek nowego elementu dwupunktowego, znajdziemy znowu na podstawie tego samego równania różniczkowego nową wartość y\ cechującą położenie następnego elementu dwupunktowego, odpowiadającego punktowi: Q(x+dx, y + dy) i t. d.

na

na

Z tego widzimy, że każdemu punktowi P{x, y) płaszczyzny odpowiada podstawie danego równania różniczkowego rzędu i stopnia pierwszego pewien zbiór elementów dwupunktowych, tworzących pewną linię krzywą płaszczyźnie przez tenże punkt P(æ, y) przechodzącą, która jest obrazem pewnej całki szczególnej danego równania różniczkowego. Przyjmując kolejno coraz inny punkt wyjścia P{x, y) np. na prostej równoległej do osi y-ów, otrzymamy oo¹ krzywych, których układ jest obrazem całki ogólnej danego równania różniczkowego rzędu i stopnia pierwszego.

t. j. równania, które powstają wprost z różniczkowania danej funkcyi dwu zmiennych kształtu: F(x, y)—C (Por. art. 16. str. 293).

W pierwszym przypadku otrzymujemy wprost rozwiązanie w postaci :

(14)

Danemu równaniu różniczkowemu rzędu i stopnia pierwszego odpowiada zatem układ oo¹ krzywych płaskich, a przez każdy z punktów płaszczyzny przechodzi jedna z tych krzywych.

Jeżeli dane równanie różniczkowe rzędu pierwszego jest równocześnie równaniem stopnia n- go, natenczas odpowiada każdemu punktowi P(x, y) płaszczyzny na podstawie danego równania różniczkowego n wartości na y\ a więc n elementów dwupunktowych ; z pośród oo¹ krzywych układu, będących obrazem całki ogólnej takiego równania różniczkowego, przechodzi tedy przez każdy punkt płaszczyzny n krzywych tego układu.

9. Normalna postać równania różniczkowego pierwszego rzędu i pierwszego stopnia. Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu i pierwszego stopnia, kształtu: f{x, y, y¹) — 0, możemy przedstawić w postaci:

dy

y) + V(x,    czyii: ^ y)dx + ip(x, y) dy=0

Kładąc q)(x, y)=M, ty{x, y)—N, otrzymujemy równanie:

Mdx-\- Ndy=0

które nazywamy normalną postacią równań różniczkowych rzędu i stopnia pierwszego.

W szczególnych przypadkach możemy równanie tego rodzaju bezpośrednio zcałkowaó.

Należą tu przedewszystkiem :

a) równania różniczkowe zwyczajne, w których zmienne są oddzielone, t. j. równania kształtu:

(10)

Xdx + Y dy=0,

gdzie X jest wyłącznie funkcyą zmiennej x, Y zaś wyłącznie funkcyą zmien-nej «/, jako też równania różniczkowe, w których zmienne za pomocą stosownych działań, mianowicie obustronnego podzielenia równania przez jedną i tę samą funkcyę, dadzą się oddzielić, t. j. równania kształtu:

Xi Y₁ dx + X₂ Y₂dy=0, gdzie X₁ i X₂ są wyłącznie funkcyami zmiennej x, Yi i Y₂ wyłącznie funk-cyami zmiennej «/, podzieliwszy bowiem takie równanie przez iloczyn YiX21 otrzymamy równanie różniczkowe w normalnej postaci :

(U)

(12)

Y,

dx-\- -ß-dy=0,

Xdx-\- Y dy=0,

czyli :

w którem zmienne są już oddzielone.

b) równania różniczkowe zupełne, czyli równania kształtu:

dF„    dF

dx

dx +

dy

dy=0, czyli: dF{x, y)=0,

(13)

f.Xdx + $Ydy=C.

Zagadnienie sprowadza się tym sposobem do zagadnień zwykłego rachunku całkowego i uważa się za rozwiązane.

Np. 1) równanie różniczkowe: xdx-\-ydtj = 0 prowadzi wprost do całki ogólnej jx dx-\-^y dy — C, czyli: x^-\-y^ = O,

kształtu :

gdzie c jest stałą dowolną.

2) Równanie różniczkowe : — -\-

pro wadzi do całki ogólnej :

C, czyli: logæ-|-logy = C.

W drugim przypadku, którego szczegółowy rozbiór będzie przedmiotem następnego wykładu, z równania różniczkowego zupełnego, kształtu:

(15)

dFj    dFj

— dx + ~—-dy=0, dx    dy * '

sprowadzonego do postaci: dF{x, y)=0 otrzymujemy wprost:

(16)

F(x, y)=C,

jako całkę ogólną danego równania różniczkowego, w której C jest stałą dowolną.

Tak np. otrzymamy z równania różniczkowego kształtu:

y dx-\-x dy = 0, równanie: d(x y) = 0,

zatem : xy — C, jako jego całkę ogólną.

10. Rozmaite postacie całki ogólnej danego równania różniczkowego rzędu i stopnia pierwszego. Stosując do danego równania różniczkowego: f{x V) y')=Q dwie różne metody całkowania, możemy otrzymać dwie różne postacie całki ogólnej, jedną kształtu: Fi(x,y)=Cu drugą kształtu : F₂(x, y)=C₂. Oba te rozwiązania muszą być zgodne, gdyż muszą prowadzić do tego samego równania różniczkowego.

Pierwsze z nieb daje równanie różniczkowe kształtu :

^~dx 4-

dF,

dac

dy

-dy=0,

drugie daje równanie różniczkowe kształtu :

dF₂

dF:

dx

- dx -i

wartości na ^ z dx

maga, aby było :

dy

dy=0,

tych równań otrzymane muszą być jednakowe, a to wy-

dF\ dF₂ _ dF\ dF2 dx ’ dy dy dx

dFi dFi

0, czyli :

dx

dy

dF₂ dF. dx ’ dy

=0.

(17)

t. z. aby Jakobian funkcyj F^(x, y) i F₂(x, y) był równym zeru (Por. str. 410).

na-

A zatem: Dwie różne postacie całki ogólnej Fi(x, y) = Ci i F₂(x, y) = C2 leżą do tego samego równania różniczkowego, skoro Jakobian tych dwu funkcyj : F^(xt y) i F₂(x, y) jest równy zeru.

Takie dwie funkeye jak Fi(x, y) = C^ i F₂(x, y)=C₂, prowadzące do tego samego równania różniczkowego są od siebie zależne, rugując z obu równań Fi(x, y)=Cv F₂(x, y) = C₂ jedną ze zmiennych x lub y, wyrugujemy tern samem także drugą zmienną, otrzymując ostatecznie związek między temi równaniami w postaci:

F(Ci} C₂)=0, czyli: C₂=f(C\).

58

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I Tom II.

doc dy

ll. Przykłady. 1) Równanie różniczkowe :--1—- = 0, któremu odpowiada całka

x y

ogólna kształtu :

log æ-f log y = C,

możemy przedstawić w postaci:

y dx-\-x dy — 0,

a więc w postaci zupełnego równania różniczkowego, kształtu: dixy) — 0, któremu odpowiada całka ogólna kształtu:

xy = C\

Oba rozwiązania są ze sobą zgodne, mianowicie jest: C = logC". Dane równanie różniczkowe doprowadziłoby więc, gdybyśmy logarytmów nie znali, do głównei własności logarytmów: log cc-j-log y — log (xy), z których wszystkie inne dadzą się wyprowadzić.

2) Równaniu różniczkowemu:

dx

dy

staci:

l-}-#² ' l-}-«/²

= 0 odpowiada wprost całka ogólna w po

= C, czyli : arc tang cc-j-arc tang y — C.

x+y

l—xy

1 +?/²

Biorąc tangens obu stron równania i kładąc: tang C — C', otrzymujemy równanie: ==• C\ które jest także rozwiązaniem danego równania różniczkowego.

Moglibyśmy więc stosownem przekształceniem danego równania różniczkowego otrzy-

mać -wprost równanie różniczkowe zupełne kształtu: ^    0, a tern samem otrzymać

wprost drugie rozwiązanie w postaci :

x±y

1 -xy

= C\ a tern samem wyprowadzić równość: x-\-y

arc tang cc-j-arc tang y = arc tang ■    ,

1 —xy

z której, kładąc: cc = tan g u, y — tang#, otrzymujemy wzór: tang (u-\-v) —

3) Równanie różniczkowe:

dx

dy

\/i-x> ' y/~i-T²

tg M+tg v

1~ tg U tg V

= 0 prowadzi wprost do całki ogólnej:

■C, czyli : arc sin cc-}-arc sin y—C.

dy

V\-y*

y/i—X¹

Biorąc sinus obu stron równania i kładąc sin O— C‘ otrzymujemy równanie:

cc\/1—y'¹ \y\/1—cc²= C',

któx*e jest także rozwiązaniem danego równania różniczkowego.

Można je również otrzymać wprost z danego równania różniczkowego przez przekształcenie tegoż na równanie różniczkowe zupełne kształtu:

d\x\/l—y²-\-y\/l—cc²] = 0,

czem dowiedzioną zostaje własność funkcyi sinus w formie:

sin (u-\-v) = sin u \/1—sin² v-f-sin v \/1—sin² u-

12. Powyższe przykłady wykazują, że dane równanie różniczkowe, w którem zmienne są oddzielone, a którego rozwiązanie prowadzi do sumy dwu funkcyj, wychodzących po za zakres funkcyj nam znanych, przekształcone na równanie różniczkowe zupełne, daje t. zw. teorem dodawania tych funkcyj nieznanych.

Tak np. równanie różniczkowe kształtu:

dx

dy

y/(l-.r²) (l-fc²*²)    V/(Ï— y²) (l-fc V)

0.

prowadzi do równania pierwotnego:

dx

dy

V(i—*²)(i—fc²*²)

które wymaga znajomości t. zw. całek elliptycznych.

-C',

(«)

— 916 -

Powyższe równanie różniczkowe możemy stosownem przekształceniem sprowadzić do równania różniczkowego zupełnego w postaci :

d Iy²)(i—fc²y²) +- y\/(l—g²)(l—fc²æ²)l _Q

1—fc²x²y²    J ’

a tern samem przedstawić całkę ogólną danego równania różniczkowego w postaci algebraicznej :

aV(l—.¥²) (1—k² y²)+2/Y/( l—*²) (1—k²r²)

1— fc²*sys

= C",

(6)

Kładąc :

Cy J o

dy

fc_dx    _

y/(l—cc²)(1—fc²#²)

i = sn M,

Y/(l-i,²)(i-fcV)

— v, y = sn », C — w-)-», C‘ — sn («4*)

i używając skróceń:

Y/1—sn²w=>c»w, l/1—fc²sn iu = dnu₁

otrzymujemy z porównania równań (a) i (b) tak zwany teorem dodawania elementarnych funkcyj elliptycznych w postaci:

sn(«-(-v) =

snu cnv dnv-\-snv cnu dnu 1—Psn²«sn²»

(18)

18. Ogólne uwagi o rodzajach całek elliptycznych. Całkami elliptycznemi nazywany w ogólności całki, w których pod znakiem całkowania występuje pierwiastek kwadratowy z funkcyi całkowitej trzeciego lub czwartego stopnia, czyli całki typu :

§R(x, X)dx,

gdzie: X = \/a.-\-$x-\-ya^-J-Sa^-j-sx⁴, a R{xi X) jest funkcyą wymierną zmiennej x i funkcyi

niewymiernej X.

Przypuśćmy, że funkcya: a4P*4ïa,!4*8æ³4s*⁴ nie ma czynników wielokrotnych i rozłóżmy ją na dwa czynniki di'Ugiego stopnia tak. że:

\/e(/—‘Zgx-\-x^) (f — 2g,x-\-xr).

Połóżmy : x = wtedy otrzymamy :

i+*’

dx =

(1 -p)dt

(1+t)²

gdzie p i q są stałe dowolne, t zaś nową zmienną,

f—2yx-\-x² —

7-2 Gt+Ht*

(l+o²

,    /'— 2g,xĄ-xi =

F‘—2G‘t-\-II‘t’¹

(l+O²

_ \A(F— 2Gt+Hti)(F‘-2G't-\-H'ti)

(1+t)²

Mając do rozporządzenia dwie stałe p i q, możemy je tak obrać, aby było: G — 0 i G' = 0. Otrzymamy wtedy :

_ Vt(F+Ht*) (F'-^-R't²)

x--(i+0⁵

przeto :

a przeto:

gdzie: ? — l/-\-(t² - XI G²— p.) ■

(1+0²

£ R (x, X) dx — §R (t, 1 ) dt,

czyli : X

VlHH‘

(i+ty

(19)

Gdyby s było równe 0, a więc wielomian pod pierwiastkiem był stopnia trzeciego, wtedy: X—\/—8 (o—x) (/—2gxĄ-x"¹), a wskutek podstawień: .-r =

p+qt

1-f t

sprowadziwszy oba czyn-

niki do wspólnego mianownika, otrzymamy: X

V—8(F—2Gt+IIF) (F-2G‘t+H't*j

(l-H)²

czyli, obierając p i q tak, aby było: ćr = 0 i G' — 0, dostaniemy również:

V/-BÄH⁷

T, przeto: §R(x, X)dx — §R(t, 7)dt.

Funkcya wymierna R(ł, T) wzoru (19) może być zawsze sprowadzoną do postaci:

M+Nt ~M‘+N'F

gdzie M’, JV, M', R' są funkcyami całkowitemi z 1² i T.

(140²

V/_t(<²_X)(/²_a) =

(14 O²

R(t, T) =

Pomnożywszy licznik i mianownik przez    otrzymamy ostatecznie:

R(t, T) — P-\-Qt,

gdzie P i Q będą wymiernemi funkcyami z t² i 7, przeto będzie:

Jfi (as, X)dx = ^R{t, T)dt=^Pdt+^Qtdt,

Druga całka, t. j. £Qtdt za pomocą podstawienia t² = u, sprowadza się do postaci: £/(w, \/«+bu-\-cu²)du, wyx*aża się więc za pomocą funkcyj algebraicznych, logarytmicznych i cyklometrycznych (Por. str. 55. art. 9 i następne).

Pierwsza całka ma kształt:

Mj+Njl

dt —

Ni+-£

dt,

gdzie JMj, M₂, Nt) są całkowitemi funkcyami samego t²; pomnożywszy licznik i miano-

M

wnik ostatniego ułamka przez : N% - —, otrzymamy :

Całkę kształtu: ^R(t²)dt można wyrazić przez funkcye algebraiczne, logarytmiczne i cyklometryczne, bo R(t²) jest funkcyą wymierną, pozostaje jeszcze zbadać całkę kształtu:

p?(ż²)^, gdzie R(t²) przedstawia funkcyę wymierną zmiennej t², zaś 7' — \/ -Y-(t²—l)(t²— p).

Jakiekolwiek byłyby wartości rzeczywiste X i [x, możemy zawsze całkę: §R(t²)^-,

R(x‘l)dx

V(l-x²)(l-k²x²)'

gdzie R(x²) przedstawia funkcyę wymierną, zaś k² ilość dodatnią mniejszą od jednostki. Rozłożywszy następnie R (x²) na ułamki częściowe, otrzymam}' wyrażenia kształtu :

sprowadzić do postaci:

jR(t*)dt j

Ax

(21)

(22)

(\-\-nx²y>¹

gdzie A, R, n są stałe, [x jest liczbą całkowitą dodatnią, odjemną lub zerem, v zaś liczbą całkowitą dodatnią.

Całka :

rozpadnie się więc na całki kształtu:

x^f*da:

(1+nx*pHm

Weźmy naprzód całkę: Y/a. Różniczkując iloczyn a;²^--W, otrzymamy:

(2jji—3)^-4 H²

d(x 2a»-3 tf) = (2[i-B)x^-l^Hdx+x^^dH =

dx—

xïl*-Z(\-\-k²)xdx ₍ 2k²xitl

- H dx

czyli :

(2jj.—3)aiïP—^dx

(2p.-2)(l+fc²)a:2i«-2

— dxĄ

(2[x — l)k²x1(*dx

x2fi-2 H= (2(x—3) Y/a-2—(2p.~2) (1+fc²) P7«—i-f-(2pu—l)fc² Y/a,.

Wszelką całkę Y/a można na mocy tego wzoru wyrazić przez funkcye algebraiczne i dwie całki:

zatem :

x²dx

r-= J a

Weźmy teraz pod uwagę całkę:

dx

(1+nx²y>H‘

Różniczkując funkcyę

xli

(1-f-wx²)*'—1 ’

otrzymamy po wykonaniu działań :

d ((î^rnx2jv-l) = AdZv—BdZv-x+CdZv-î- DdZvs,

- 917

gdzie A, B, C, D przedstawiają stałe współczynniki. Całkując to równanie, dostaniemy: AZv—BZv—i~\~CZp—2—DZv—3

xH

(l-(-nx^y-ï

Wszelkie funkcye Zv dadzą się wedle tego wzoru wyrazić przez funkcye algebraiczne i trzy po sobie następujące funkcye Zr, ponieważ atoli, jak łatwo zauważać:

Z₀=Y„ Z-i=Y₀+nYu

więc wyznaczenie całek Zv prowadzi tylko do jednej nowej całki:

(24)

*

A zatem: Całki funkcyj wymiernych, zawierających oprócz całkowitych potęg zmiennych x także kwadratowe pierwiastki z funkcyi trzeciego lub czwartego stopnia, można wyrazić za pomocą funkcyj znanych, algebraicznych, logarytmicznych lub cyklometrycznych i za pomocą całek należących do jednego z trzech rodzajów:

dx

V (1— x²)(l— fc²x²)

u, r,_f

x²dx

V/(l—a:²)(l—fc²x²)

-7 C    dX

Zt=\-■    ...........— W,

J (l+nx^y/Çl-x^Çl-kW)

=■«»

(25)

Te trzy całki nie dadzą się w ogólności wyrazić przez funkcye znane i tworzą nową klasę funkcyj, zwanych całkami eliptycznemi 1-go, 2-go, 3-go rodzaju, stanowiące dziś jedną z głównych części analizy nowszej.

14. Całki eliptyczne 1-go i 2-go rodzaju zawierają stałą k mniejszą od 1, zwaną ich modułem; całka eliptyczna 3-go rodzaju Zl zawiera oprócz modułu k jeszcze stałą n, zwaną jej parametrem.

cp i kładąc: à(p = V 1—k² sin² q> , otrzymamy

Podstawiając x = sin tp, \/1—xi = cos te trzy całki eliptyczne w prostszej postaci:

«=$ ,

'S 'S

Çsin² (p dtp    r

V=J Itp ' W~J

dtp

(1-j-n sin² tp)htp ’

kąt <p nazywa się amplitudą funkcyi u i oznacza co =• amu, a na tej podstawie pisze się : x = sin amu, \/1—x² — cos amu, Y/1—k²x² = hamu,

\/1—x² — cnu, \/l—k²x²=dnu.

albo :

x —snu,

Te trzy osobliwe funkcye zmiennej niezależnej u zowią się funkcyami eliptycznemi Jacobie’go (Por. Wykład XXXI str. 513 i nast.); są one względem całki u tem, czem źunkcye goniometryczne względem funkcyj cyklometrycznych.

15. Jeżeli moduł k osięga swoje graniczne wartości Oil, całki eliptyczne sprowadzają się do funkcyj cyklometrycznych lub logarytmicznych.

W szczególności będzie dla k — 0:

\/1—x²

arc

sina:, Yt—J

x²dx

l/l-x²

dx

(1 Ą-nx²j\/l—x² \/l-\-n

arc tg -

2" * \/1 —x² + arc sin x, x\/ l-j-w

l/T-aT²’

zaś dla k — 1 :

z‘=i

? dx

=iog y

1-j—x F-x’

*-î-

x'ldx

1—X²

dx

V/ n

arc

tg,v/»+Iy-„iogyi^

(l-}-»X²J (1 - X²)    1-j-w

Uwaga. Jeżeli stopień funkcyi stojącej pod pierwiastkiem w całce:

J/O*, X)dx,

przewyższa czwarty stopień, wchodzi się w obszerne pole teoryi całek hipereliptycznych i funkcyj hiperelliptycznych.

przedstawiające układ linij krzywych, zwanych trakt rysami (fig. 260).

2) Znaleźć linie krzywe o stałej podstycznej V — a. Szukane krzywe są określone równaniem różniczkowem rzędu pierwszego, kształtu :

t    dy

y‘

IG. Zastosowania geometryczne równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu wypowiada pewną własność prostych stycznych do szukanej linii krzywej. Wyznaczyć całkę danego równania różniczkowego rzędu pierwszego, znaczy zatem wynaleźć linie krzywe, któreby posiadały własność danem równaniem różniczkowem określoną. W zagadnieniach wyrażających daną własność prostych stycznych do szukanych linij krzywych w postaci równań różniczkowych rzędu pierwszego korzystamy z wzorów podających wielkości od położenia stycznej zależne,

dv

jakiemi dla krzywej: y—f{x) i pochodnej: ?/'=—.=tang a, są między inne-

YÏ+**

mi długość stycznej T^=y yt : malnej N=y^l-\-y'², długość podnormalnej N'—yy\ odcinek stycznej na osi odcinek stycznej na osi y-ów b=y—xy' i t. p.

00

długość podstycznej T'——

długość nor-

x-ów a—x—

17. Przykłady. 1) Znaleźć krzywe, które mają w każdym punkcie stałą długość sty

cznej T—a.

Równanie różniczkowe szukanych krzywych przedstawia się w postaci :

y\/ l+y'*

— = o, czyli: y²(l-j-y,2) = a²y'²,

skąd otrzymujemy:

y'²(a²—y²) = y², zatem: y*

ŚP-

Y/«²^’

a więc równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci normalnej :

Fig. 260.

dx—

w której zmienne są oddzielone.

Scałkowawszy to równanie, otrzymujemy równanie:

a-\-\/a²—y²

x-\-\/a²—y²—a log

C,

== », czyli : y = a . — ,

które, sprowadzone do postaci normalnej, otrzymuje po oddzieleniu zmiennych kształt:

dx — ^1 = 0

X-

a. C

2 w postaci:

Całka ogólna tego równania przedstawia się więc

Fig. 261.

~ — log y = c,

skąd otrzymujemy:

czyli kładąc:    c— C, równanie:

y — C. ea,

jako równanie zwyczajne krzywych o stałej podstycznej. Krzywe te tworzą układ loga-

rytmik (fig. 261).

- 919 —

18. Trajektorye układu krzywych. W związku z teoryą równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego pozostaje zagadnienie o trajektoryach danego układu linij krzywych. Odnośne zagadnienie opiewa jak następuje: Dany jest układ krzywych określony równaniem, zawierającem jeden parametr zmienny, wyznaczyć linie krzywe, które przecinają wszystkie krzywe danego układu pod pewnym kątem stałym. Szukane krzywe nazywamy tra-jektoryami danego układu, w szczególności trajektoryami pro-stokątnemi, skoro przepisany kąt jest kątem prostym.

Niech będzie F(x, y, c)=0 równaniem danego układu krzywych, gdzie c jest zmiennym parametrem. Przyjmijmy na dowolnej krzywej pewien punkt P(x, y), tedy otrzymamy na wyznaczenie kierunku stycznej w tym punkcie po wyrugowaniu zmiennego parametru c, równanie różniczkowe rzędu pierwszego kształtu :

Mdx+N dy=0,

, ,,    ,    .    dy M

z ktorego otrzymujemy:

GjOC

— = tang a = m, a że trajektorya prostokątna

przecina tę styczną pod kątem prostym, przeto styczna w tym punkcie tra-

1 N

jektoryi określona będzie wzorem: tang a'=m'= —

dy

dx

czyli :

tang a

któremu odpowiada równanie różniczkowe rzędu pierwszego w po

rn

staci :

N dx—M dy=0,

(26)

jako równanie różniczkowe układu trajektoryi. Całka ogólna tego równania różniczkowego w postaci: <p(Æ, y, C)=0, będzie tedy równaniem szukanego układu trajektoryi prostokątnych.

Jeżeli szukane trajektorye danego układu krzywych mają być ukośno-kątnemi, a © jest kątem, pod którym szukane trajektorye każdą krzywę danego układu krzywych, określonego równaniem: F(x, y, C) przecinają, tedy oznaczywszy przez m i m‘ spółczynniki kierunkowe obu stycznych w punkcie przecięcia się P(x,y), czyli kładąc: tang a = m, tanga^m', otrzy-

m¹—m

mamy :

tang ©=

1-f mm

(27)

a że dla układu danych krzywych F(x, y, ć)=0, któremu odpowiada równanie różniczkowe :

Mdx-\- N dy—0,

m= —

otrzymujemy kierunek stycznej w punkcie P(x,y) określony wzorem:

zaś dla trajektoryi ukośnokątnej przez tenże punkt przechodzącej kie-

/ dy m‘, dx

runek stycznej ma być wyznaczony na podstawie podstawienia : przeto otrzymujemy z wzoru (27) równanie :

dy M dx ⁺ ~Ü

1 dy '

N‘dx

a więc równanie różniczkowe kształtu :

M dy Ndx

tang ©

czyli :

M dy\ „ dy M

\i--n ârDgê’’dl⁺ n

1-

dy M

dx

— 920 -

(, M \¹⁺N

a więc w postaci normalnej :

czyli :

tan

g@)|-tang &~N

(28)

(M—N tang ©) dx+(NĄ-M tang ©) cfa/=0

jako równanie różniczkowe szukanego układu trajektoryi ukośnokątnych.

19. Przykłady, a) Znaleźć trajektorye prostokątne układu prostych o równaniu y^=cx. Rozwiązanie: Mamy tu: y‘ — c, zatem równanie różniczkowe danego układu w postaci:

stąd: y‘ =

Na tej podstawie otrzymujemy dla szukanych trajektoryj :

dy dx

a więc ich równanie różniczkowe w postaci normalnej :

x dx-\-y dy = 0,

stąd wypływa równanie pierwotne: x²-\-y² = C, przedstawiające koła współśrodkowe fig. 262 jako szukane trajektorye.

ß) Znaleźć trajektorye układu krzywych o równaniu: y — cxn. Mamy tu: y' = ncxn~i,

a więc równanie różniczkowe: —    , czyli: y/ = —-, skąd otrzymujemy dla traktoryi:

y x    x

dy

x

-, =--, a więc równanie różniczkowe:

dxny

x dy-\-ny dy = 0,

którego całka ogólna otrzymuje kształt: cc²-|-ny² = C, przedstawiający dla »>0 układ ellips, a dla »><0 układ hiperbol jako układ szukanych trajektoryi. W szczególności dla układu

0-

Fig 262.

Fig. 263.

Fig. 264.

Fig. 265.

parabol: y = cx², otrzymujemy jako trajektorye układ ellips współśrodkowych o równaniu:

aj²-j-2y² = C (fig. 263), a dla układu hiperbol równobocznych: y =    , otrzymujemy jako

układ trajektoryj nowy układ hiperbol równobocznych o równaniu: a;²—2y²=<7(fig. 264). y) Znaleźć trajektorye układu logarytmik o równaniu: y = cex.

Mamy tu: y‘— cex, zatem równanie różniczkowe: y,==y, stąd wypływa dla trajekto-

ryj :    =--— , czyli równanie różniczkowe w postaci normalnej : dx-\-y dy = 0, którego

dx    y

«+2czyli: y² = — 2(x— C),

przedstawia układ przystających parabol, mających wierzchołki na osi a>ów (fig. 265) jako układ szukanych trajektoryi.

20. Całka ogólna równania zwyczajnego różniczkowego n-go rzędu. Równanie różniczkowe n-go rzędu, przedstawiające się w postaci:

/'(*, y, y‘, y",...,«/(w))=o,

całka ogólna :    *

czyli :

dy d²y dny dx' dx² ’ dxn

dny

niewiadomej funkcyi y zmiennej niezależnej x, jako

pewną wiadomą funkcyę zmiennej niezależnej », jej funkcyi niewiadomej y i wszystkich jej pochodnych aż do (n — l)-go rzędu włącznie.

Przyjmijmy, że na podstawie powyższego równania różniczkowego wy-

dn~xy\ dxn~x)'

Różniczkując to równanie podług x i przedstawiając w tak otrzyma-

fry

nem nowem równaniu za wartość równaniem (29) określoną, otrzymamy

ctx

znowu jako pewną funkcyą zmiennej niezależnej

», jej niewiadomej funkcyi y i wszystkich jej pochodny oh aż do (n—l)-go rzędu włącznie, w postaci:

dn+xy dxn+x

podaje n-tą pochodną

nika :

następną pochodną :

dxn

ny ' ( dy d²y lxn==fo\’ y' di' dx²

dn+xy

dxn+x

/,(

dy dn~x y

Postępując tak dalej, otrzymamy : dn+2y dxn+2

~f2\

y,

(29)

dn+ry

dy    d²y    dn~

dx ’    dx² ’    dxn~x)'

dy    d²y    dn~xy

dx ’    dx² ’    dxn~x

dxn+r

Przedstawiwszy sobie szukaną funkcyę y rozwiniętą w szereg uporządkowany podług potęg »—»₀, gdzie x₀ jest przyjętą wartością zmiennej niezależnej », zauważymy, że wszystkie spółczynniki rozwinięcia począwszy od potęgi (»—x₀)n będą wyrażone za pomocą spółczynników przy niższych potęgach. Nadając zatem n pierwszym spółczynnikom pewne wartości zupełnie zresztą dowolne: y₀, y*₀₁ «/₀",wyznaczymy już tym sposobem wartości następnych spółczynników: /₀, Ą, /₂, szereg w postaci:

Y •••

i otrzymamy odnośny

y₀

(n-1)

(»-!)!

(» »o )W — 1 "ł"

/o

/i

fr

(»—»₀),,+1 + ...4

Otrzymany szereg potęgowy, zawierający n stałych dowolnych: y₀, y'₀, y*",-,y^n-X\ określa zatem w najogólniejszej postaci szukaną funkcyę, czyniącą zadość danemu równaniu różniczkowemu, czyli całkę ogólną danego równania różniczkowego rzędu n~go.

(n +1)!

(n + r) !

21. Mając np. dane równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci:

dx2, dx' ’

du    d **11

przyjmijmy, że dla x — O jest: y = c, -~ = c\ a otrzymamy już: —^ — c'-}-c², następnie:

3-S +2y! - »H-a+*)g-<»+<¹+².K

“ ²4+² (l)’-H¹+²»)0-»WKl-H») *+* (fi)’ - c’+2«’+(l+4cK+2e- i t. d.

diy

dxi

— 922 —

Wobec tego otrzymujemy szukaną całkę ogólną danego równania różniczkowego rzędu drugiego w postaci szeregu potęgowego:

C²-f c'

c²-f-2c³-|-(l-}-4c)c'-{-2c'²

X ³ -f

X² -f

y — c-\-&x-\

22. Geometryczny obraz całek danego równania różniczkowego nr g o

rzędu. Łącząc z wartościami spółrzędnych zmiennych x, y punktu na płaszczyźnie wartości pochodnych y‘, y",..., y(*> w tern miejscu, dochodzimy do poję cia elementów krzywolinijnych t. z. (w+ 1)-punktowych,

Jako najprostsze elementa tego rodzaju występują elementa dwupun-ktowe, określone wartościami x, y, y', przedstawiające się jako odcinki prostolinijne, elementa trzypunktowe, określone wartościami x, y, y\ y", a przedstawiające się jako elementa kołowe.

Elementem (w+1) - p u n k t o w y m jest element liniowy w ogólności krzywolinijny, łączący dany punkt x, y z n punktami nieskończenie blisko niego położonemi, następującemi po sobie w pewien sposób, określony wartościami y', y", ..., yM. Przez każdy punkt płaszczyzny7, przechodzi oon elementów (:n -\- l)-punktowych.

Płaszczyzna zawierając oo² punktów (x, y) zawiera zarazem oo³ elementów dwupunktowych (x, y, y'), oo⁴ elementów trzypunktowych (x, y, y', y"), ogólnie oon+1 elementów krzywolinijnych w-punktowych, z których oc”—1 ele-metów w-punktowych przechodzi przez dany punkt płaszczyzny.

Wszelkie równanie różniczkowe n-go rzędu:

/(®, y, y\ y", ...,y(w))=o,

określa wtedy zbiór oo” elementów w-punktowych z pośród oow+1 takich elementów mieszczących się na płaszczyźnie, wybranych w sposób danem równaniem : f(x, y, y', yyln))= 0 określony.

Przyjąwszy dowolnie spółrzędne æ, y pewnego punktu F na płaszczyźnie, a zarazem wielkości: y', y", ..., y(n-1), przedstawiające wartości pierwszej, drugiej, ..., aż do (n—lpszej pochodnej w tern miejscu, odpowiadające niewiadomej funkcyi danem równaniem różniczkowem określonej, obierzemy tym sposobem na płaszczyźnie XOY pewien element n - punktowy ; na podstawie danego równania różniczkowego znajdziemy już yW, to jej wielkość określającą (w-fl)-szy punkt tego elementu, a zatem pewne położenie elementu (n + l)-punktowego, odpowiadającego na podstawie danego równania różniczkowego przyjętemu elementowi w-punktowemu płaszczyzny.

Uważając koniec tak wyznaczonego elementu (n +1) - punktowego, jako początek nowego elementu (w+ l)-punktowego, możemy znowu przyjąć dla tego punktu dowolne wartości pochodnych: y', y",y(ra-1) i wyznaczyć na tej podstawie za pomocą danego równania różniczkowego y(n), a zatem wyznaczyć nowy element (« + l)-punktowy, czyniący zadość danemu równaniu różniczkowemu. Tym sposobem otrzymamy pewien zbiór elementów (w 4-1)-punktowych, tworzących pewną linię krzywą na płaszczyźnie, która jest obrazem pewnej całki szczególnej danego równania różniczkowego n-go rzędu.

Przyjmując kolejno coraz inny element w-punktowy jako element wyjścia otrzymamy oo” krzywych, których układ jest obrazem całki ogólnej danego równania różniczkowego n-go rzędu.

Danemu równaniu różniczkowemu w go rzędu i pierwszego stopnia ze względu na yW, odpowiada zatem układ oon krzywych na płaszczyźnie,

2!

3!

— 923 —

krzywych tego

a przez każdy z punktów tej płaszczyzny przechodzi gc układu.

Jeżeli dane równanie różniczkowe w-go rzędu jest zarazem równaniem r-go stopnia ze względu na yM, natenczas odpowiada mu układ r . con krzywych na płaszczyźnie, a przez każdy punkt przechodzi r. oon_1 krzywych tego układu-

Ze stanowiska geometrycznego odpowiada więc całkowaniu danego równania różniczkowego rzędu n-go, postępowanie, na mocy którego z pośród oow+¹ elementów n-punktowych płaszczyzny wybieramy elementa w-punktowe tak, aby utworzyły linię krzywą, jako obraz całki szczególnej tegoż równania, a krzywe takie tworzą układ ccn krzywych na płaszczyźnie, a więc układ, którego równanie między spółrzędnemi x, y ich punktów zawiera n stałych dowolnych.

Drogą geometryczną wynika więc z tego twierdzenie, że równaniu różniczkowemu pierwszego rzędu odpowiada układ co¹ krzywych na płaszczyźnie czyli równanie pierwotne o jednej stałej dowolnej, równaniu różniczkowem drugiego rzędu odpowiada układ oo² krzywych czyli równanie pierwotne o dwu stałych dowolnych, ogólnie równaniu różniczkowemu w-go rzędu odpowiada układ go” krzywych czyli równanie pierwotne o n stałych dowolnych.

23. Równanie różniczkowe zwyczajne ilukolwiek zmiennych. Mając dane równanie pierwotne złożone z (w —1) zmiennych niezależnych æ₂, ..., x„_i i jednej zmiennej zależnej z, jako ich funkcyi kształtu: F(xi, x₂, ...,Æn_i, z)=0 i różniczkując je ze względu na wszystkie zmienne, otrzymamy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu kształtu:

i* *

dxi -f

dF

dF

dx₂

dxn

dxn—] 4-

dF

dz

dz=0

(30)

zwane zupełnem równaniem różniczkowem zwyczajnem pierwszego rzędu, odpowiadającem danemu równaniu pierwotnemu.

Dalszem różniczkowaniem tego równania ze względu na wszystkie zmienne otrzymujemy równania różniczkowe zwyczajne wyższych rzędów, odpowiadające danemu równaniu pierwotnemu.

24. Równania różniczkowe linij krzywych na powierzchni. Z równania pierwotnego F(x, y, z)—0 przedstawiającego pewną powierzchnię w przestrzeni otrzymamy równanie różniczkowe zupełne :

dF, dF

dx

dxĄ-

dF

dy

gdzie :

dy + —dz=0, czyli: lJdx-\-Qdy + Rdz=0, dz

dF

P=4=-

dF

dx ’

dy

dz

które w połączeniu z równaniem pierwotnem wypowiada pewną własność dotyczącą prostych stycznych w dowolnym punkcie P(x, y, z) powierzchni.

Nazywamy je też równaniem różniczkowem pierwszego rzędu dotyczącem linij na danej powierzchni.

Przy pomocy następnych różniczkowań otrzymujemy równania różniczkowe zwyczajne wyższych rzędów dotyczące krzywizny i ścisłej styczności linij krzywych na danej powierzchni.

- 924 —

25. Tworzenie równań różniczkowych cząstkowych. Z danego równania pierwotnego, określającego związek między zmiennemi niezależnemi xi} x₂, —,%p i zmienną zależną z, jako ich funkcyą, a zawierającego przytem « stałych dowolnych c1} c₂₁...,cn w postaci:

(31)

F(xi, #2,    Xp) Z) , c₂, ...j cn) 0,

otrzymamy na podstawie różniczkowania cząstkowego podług każdej z p zmiennych niezależnych xi, x₂,..., xp najpierw p równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, kształtu :

dF dF dz

in _o dF i àF dz __q dz dxt ’ dxp dz dxp ’

różniczkując otrzymane równania różniczkowe cząstkowe znowu cząstkowo podług każdej z p zmiennych niezależnych z osobna, otrzymamy :

= ^2"^ równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu, a sto-

P(P +1)

dxx

(82)

1.2

sując w dalszym ciągu to postępowanie do otrzymanych równań różniczkowych, aż do «-go rzędu włącznie, dojdziemy w końcu do:

p(p-\-l)(p+2) ... (p-ł-n —1)

1.2 ... «

_ (p+n—1\ V #    /

równań różniczkowych cząstkowych « go rzędu.

W ten sposób otrzymamy z danego równania pierwotnego, licząc aż do równań różniczkowych «-go rzędu włącznie, wraz z niem wogóle :

pĄ-n—1

‘Wî'KrM

równań różniczkowych cząstkowych. Z tych Jc równań różniczkowych możemy wyrugować « stałych dowolnych c1? c₂,..., c„, występujących w danem równaniu pierwotnem, a otrzymamy Jc—« równań różniczkowych cząstkowych, zwanych układem równań różniczkowych cząstkowych «-go rzędu, odpowiadających danemu równaniu pierwotnemu «-go rzędu.

Każdemu z Jc—« równań tego układu uczyni zadość zmienna zalezna z, jako funkcya p zmiennych niezależnych, określona pierwotnem równaniem o n stałych dowolnych ci? c₂,..., c„, jakiekolwiekby były wartości tych stałych. Dane równanie pierwotne nazywamy przeto całką zupełną otrzymanego układu (Jc—«) równań różniczkowych cząstkowych «go rzędu.

26. Przyjmijmy, że w równaniu pierwotnem, zawierającem związek między

xpi a zmienną zależną z, jako ich funkcyą,

p zmiennemi niezależnemi : xt, x2 występują w miejscu « stałych dowolnych c1} c₂,..., cra, wogóle funkcye do-cpn znanych p— 1 funkcyj 0^, a₂, ..., ap-\ zmiennych niezależ-

wolne qp₁, (p2) nych, jako to:

&p—l)j •••)    &p—l)j

«p—1), %(« 1

że więc związek między p zmiennemi niezależnemi a zmienną zależną z, jako ich funkcyą, określony jest równaniem pierwotnem kształtu:

F(fl/j, x₂,..., fl/p ,    , ę?₂ j ÇPn) 0,

natenczas, tworząc z tego równania pierwotnego kolejno równania różniczkowe cząstkowe aż do m-go rzędu włącznie, otrzymamy równaniem w ogóle:

(33)

wraz z danem

RH » M'î r-⁺(

równań, w których występuje: a) p zmiennych niezależnych: aJ₁, x₂,xp, zmienna zależna z jako ich funkcya wraz ze swemi pochodnemi cząstko-wemi aż do m-go rzędu włącznie, a nadto : ß) n funkcyj dowolnych :

(°^i, •••>    i),    •")    •••> W”    ? •••> ap—1)>

wraz ze swemi pochodnemi cząstkowemi ze względu na znane funkcye : alt a₂, ..., ap_!, aż do rzędu m-go włącznie; ilość tych funkcyj i ich pochodnych będzie określona wzorem :

l=n

pĄ-m—2j'

(34)

Nadając liczbie m kolejno wartości 1, 2, 3, ..., musimy przy danej ilości n funkcyj dowolnych: (pu (p₂, ..., (pn, dojść w końcu do przypadku, w którym będzie k^> Z; wówczas możemy z otrzymanych k równań różniczkowych wyrugować wszystkie dowolne funkcye: ęp1? qp₂,..., cpn w ilości n i ich pochodne cząstkowe ze względu na p—1 znanych funkcyj: au a₂,..., av_\ danych p zmiennych niezależnych, w ogólnej ilości l dowolnych funkcyj, a otrzymamy k—l równań różniczkowych cząstkowych m-go rzędu, zawierających tylko zmienne niezależne xv x₂,    zmienną zależną z jako ich funkcyą i jej

pochodne cząstkowe aż do m-go rzędu włącznie.

Taki układ k — l równań różniczkowych cząstkowych m-go rzędu nazywamy układem równań różniczkowych cząstkowych danego równania pierwotnego. Układowi temu czyni zadość funkcya z, określona równaniem pierwotnem, jakiekolwiek byłyby funkcye dowolne q)i, <p₂, ..., gp„, z tego powodu nazywamy równanie pierwotne całką ogólną otrzymanego układu k—l równań różniczkowych m-go rzędu.

37. Równania różniczkowe cząstkowe o dwn zmiennych niezależnych.

F (x, y, z, cu c2f •••, cn) 0,

(35)

Mając dane równanie pierwotne między trzema zmiennemi x, y, z, a to dwiema zmiennemi niezależnemi x, y, ich funkcyą z, zawierające n stałych dowolnych, w postaci :

to różniczkując je osobno ze względu na każdą z dwu zmiennych niezależnych x i y, otrzymujemy zawsze dwa równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, kształtu :

dF dF dz ^ ⁺ dz ~dx~ ’

dx

dF ^ àFde^^0 dy dz dy ’

(36)

następnie trzy

CO Ol

równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, kształtu :

d²F .^d²F dz . d²F/dz\² dF d²z _ dz² Id# / dz dx²    ’

d²F dz . d²F dz dz dF d²z

dz² dx dy ⁺ dz dxdy ’ d²F(dz\² dF d²z dzAdy)

dx²

dxdz dx

d²F d^F dz dxdy dxdz dy

dzdydx

(37)

d²F

d²F dz

ogólnie

dy

dzdy dy

dz dy²

0 i t. d.

równań w-go rzędu. W ten sposób otrzymamy aż do r-go

rzędu włącznie ogółem :

■+0*0*CM(T)

1 + 2 + 3 + 4+... + (r+l)

(r + 1) (r + 2)

-rr)-*

czyli :

równań, z których możemy n stałych wyrugować, a otrzymamy :

h—n

(r+l)(r + 2)    „„

2 ’

równań różniczkowych cząstkowych r-go rzędu bez stałych dowolnych.

/r + 2\

Funkcyą pierwotną nazywamy tedy całkę zupełną układu I ^    )—n

równań różniczkowych r-go rzędu. Dla r=l, w=2, otrzymujemy:

—n=1

*-rr)-». m

Danemu równaniu pierwotnemu kształtu jF(æ, y, #, a, 6) = 0 odpowiada tedy jedno równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu bez stałych dowolnych, równanie pierwotne o dwu stałych dowolnych jest więc całką zupełną otrzymanego równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu. 28. Przyjmijmy teraz, że funkcya z jest określona równaniem:

F[x, y, z, Kia),..., ę>B(a)]-0,

gdzie a jest znaną funkcyą zmiennych x, y, z, zaś ę+ qp₂,..., <jpn dowolnemi w funkcyami.

Potwórzmy pochodne cząstkowe tego równania aż do r-go rzędu włą-0+1) (r+2)

--—=Jc równań, w których występują:

Ł

cznie, tedy otrzjunamy :

a) zmienne niezależne x, y i ich funkcya z wraz z pochodnemi cząstkowemi aż do rzędu r-go, ß) funkcye 9+ go₂, .., q)n wraz z pochodnemi tych funkcyj ze względu na daną funkcyę a aż do r-go rzędu, których ilość określa liczba :

l—n

i-o

CM CM

01-

n(rA-1).

-r²)

tO +

równań możemy wyrugować funkcye dowolne çpi, gp₂, ..., cpn

i ich pochodne, ogółem 1=w(r+l) funkcyj, a otrzymamy: (r+l)(r+2)

h—l

- — n(r+l) = (r + 1)    w) =

0+1) (r-r-2 — 2w)

równań między zmiennemi niezależnemi x, y, ich funkcyą z i ich pochodnemi cząstkowemi aż do r-go rzędu włącznie. Temu układowi równań różniczkowych cząstkowych uczyni zadość funkcya z, określona równaniem :

F[x, y, z, (Pi(à),..., <pn(a)]=0 jakiekolwiek byłyby funkcye 9+ <jp₂,..., cpn.

Nazywamy to równanie całką ogólną otrzymanego układu równań różniczkowych cząstkowych r-go rzędu. Dla r= 1, w=l, otrzymuje k=8, Z=2, zatem &—Z—1.

A zatem: Danemu równaniu pierwotnemu kształtu: F(æ, y, z, cp(a)]—0, gdzie a jest znaną funkcyą zmiennych + y, z, a cp jest funkcyą dowolną od-

- 927 -powiada jedno równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu bez funk-cyi dowolnej.

Otrzymane równanie nazywamy też równaniem różniczkowem cząstko-wem danego równania pierwotnego z jedną funkcyą dowolną, a to równanie pierwotne nazywamy całką ogólną otrzymanego równania różniczko wego cząstkowego pierwszego rzędu.

29. Równania różniczkowe powierzchni. Z równania układu powierzchni kształtu: F(x, y, 0, c₁, c₂, ..., c«)=0, zawierającego n dowolnych parametrów otrzymujemy na podstawie r-krotnego różniczkowania cząstkowego, licząc

ogółem

zarazem równanie pierwotne

równań, z których, po wyrugo-

waniu n stałych w przypadku, gdy 7c^>w, otrzymujemy układ Je—ń) równań różniczkowych cząstkowych r-go rzędu, stanowiący równania różniczkowe danego układu powierzchni.

Poszczególne równania różniczkowe cząstkowe, otrzymane z danego równania pierwotnego wypowiadają pewne własności poszczególnych powierzchni tego układu, zależne od wartości stałych dowolnych, występujących w odnośnych równaniach. Układ równań różniczkowych cząstkowych bez stałych dowolnych wypowiada wspólne własności wszystkich powierzchni danego układu.

Geometryczna interpretacya tych własności zależy od rzędu odnośnego równania różniczkowego cząstkowego i opiera się na znaczeniu geometry-cznem pochodnych cząstkowych pierwszego i wyższych rzędów, odpowiada-jącem geometrycznemu znaczeniu równania pierwotnego jako równania powierzchni.

W myśl tego znaczenia równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu wypowiadają własności powierzchni, danem równaniem pierwotnem określonych, dotyczące styczności i elementów związanych z płaszczyznami styczności w punktach tychże powierzchni.

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu wypowiadają własności powierzchni, danem równaniem pierwotnem określonych, dotyczące krzywizny i elementów od głównych promieni krzywizny zależnych, w punktach tychże powierzchni.

Równania różniczkowe cząstkowe wyższych rzędów wypowiadają własności ścisłej styczności danych powierzchni układu z prostszemi powierzchniami wyższych rzędów, względnie zmian głównych promieni krzywizny w poszczególnych punktach promieni.

Przykłady równań różniczkowych cząstkowych poszczególnych rodzajów powierzchni poznaliśmy przy sposobności badania krzywizny, tudzież w teo-ryi tworzenia powierzchni.

Ćwiczenia LVI1.

1)    Wykazać, że równanie pierwotne F(x, y, C) = 0 o stałej dowolnej C prowadzi do zwyczajnego równania różniczkowego pierwszego rzędu kształtu: f{x, y, y') — 0.

Wyprowadzić równania różniczkowe następujących równań pierwotnych:

2)    («/—c)²—2x^ 0. 3) x*-\-2Oy—Cz~a* = 0. 4) (ar—2C)'¹-\-Cy*=C²    5) 2x—3cy-(-c³ = 0.

— 928 —

6) log(V/»²—»y—y+2»)—

8) y = (x-\-c)ex.

9) y²—2cx—c² — 0.

10) y = cx cos x-\-c₂ sin ».

13) î/² = c₁—c₂x².

14) cxx-\-c%y — xy.

7} y = cx-\-V/i+c²*

11 \    ! Ct+C₂a;

11) y = x log—-—. 15) y = e^{cxA-cix-\rcixv)-

12) y = 2cj »-|-c₂»².

16) (1— »)^ = c₁»²+c₂»-fc₃,    17) y = cxex-\-c₂e-*+c₃ sin (»+c₄).

Wyznaczyć w postaci szeregów całki ogólne następujących równań różniczkowych:

dy dfiy dx dx²

22) Wykazać, że każde równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego posiada całkę ogólną, zawierającą jedną stałą dowolną.

28) Dwa równania pierwotne: /(», y) = c, F(x, y)=C, każde o jednej stałej dowolnej prowadzą do tego samego równania różniczkowego pierwszego rzędu ; dowieść, że w takim razie Jakobian funkcyj F i f jest zerem.

Wyznaczyć całki ogólne następujących równań różniczkowych rzędu pierwszego:

24) (2y—1) dx-\-x dy — 0 ;

27) dy—2 sin ^-dx = 0;

A

80) xy dy-(-(1 — y)² dx = 0.

32) (l+y²)tfx-(y+V/1+P) (1+*²)³/’ dy = 0.

Znaleźć linie krzywych, dla których :

²o)a:S-!'=a

-}-» = 0.

25) î/(14-y²)tZ»-»(l—y²)tfy = 0;

26) \/l—yidy—ydx = 0;

28) V/ 1-j-y² dx—x dy = 0 ;

29) (a²—b²y²)dx—dy = 0;

81) sec² x tang y d»4“sec2 V tang x dy — 0.

33) sin x cos y dx—cos x sin y dy — 0.

34) T=a, 35) N = a, 36) V = a, 37) N' = a, 38)T'=», 39)N' = x.

Znaleźć trajektorye prostokątne układu krzywych:

40) y = o»w, 41) y = c. log », 42) y = c . sin », 43) y — c . tang », 44) y = c . arc sin ». 45) Wykazać, że całka ogólna równania różniczkowego: — — a»-j-y², przedstawia się

= c+c²»4--^-(a+2c³)»²-f-    c(a-f3ß³)»³-j-—

w otoczeniu miejsca » = 0 w postaci:

Utworzyć równania różniczkowe cząstkowe odpowiadające następującym równaniom pierwotnym o dowolnej funkcyi (p:

46) z²—xy—=i=0.

47) sin x = sin z

æ²-|-yM-z²

Rozwiązania LVII.

⁴) yn~^r yn—

8) y'—y = e*.

25) (1+y²)» = Cy.

28) »==<%+N/T+ÿ²).

31) tang ». tang y— C. 32)

2)    2y' y/»—1 = 0.

3) (»²—a²)y'²—2 xyy‘—a² = 0. ²⁷ = 0. 6) y'-a+Vl-^. 7) y = ÿ'x+V/r+),‘!.

9) yy'²-j-2»y'= y. 10) y"-|-y = 0.    11) »³y"+(y — »«/')* = 0.    24) x\/2y— 1= O'

l+N/ï-y²

26)    x+\/1—y²—log

29) a-\-by = O (a—by' e*¹®¹**.

Y/l—»²

óz

34—39) Partrz art. 16 str. 918.    46) xz-—\-yz

ox

27) »—log tang ^-= C. j^+log »(1 - y) = C.

^-log(l-H/²)—log(?/+Y/l+y²)=D. 33) cos y =

im ,    dz , ,    dz

4<) tang » —-f- tang y ■—= tang z. ox

dz

C.

30)

C sin ».

dz

dz

dy

= xy.

dy

48) (y²-|-z²— »²) — = 2»y— -j-2xz.

ày

Literatura. A. R. Forsyth: A treatise on Differential equations. London 1888.1. Hoüel: Cours de calcul infinitésimal. Paris 1880. C. Jordan: Cours d’analyse Paris T. I. 1893. II. 1894. III. 1896. W. Zajączkowski: Wykład nauki o równaniach różniczkowych.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Tworzenie równań różniczkowych zwyczajnych.

2.    Tworzenie równań różniczkowych cząstkowych.

3.    Całkowanie geometryczne równań różniczkowych.

Wykład LàVlII.

Szczególne metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego.

1. Metoda oddzielania zmiennych. Najprostsze typy równań różniczkowych zwyczajnych rzędu i stopnia pierwszego, przedstawiających się w postaci normalnej :

(1)

M dx-\-Ndy=0,

tworzą równania różniczkowe, w których zmienne są oddzielone lub za pomocą zwykłych działań rachunkowych dadzą się oddzielić.

Należą tu równania kształtu:

dy =f(x), czyli: dy=f(x)dx,

a)

’ dx

ß) %⁼⁽p(y')’ czyli: dx== dy

y) (p{x)dx+yj(y)dy=0,

<p(y) ’

ogólnie równania typu:

fPiWVi (y) dx+y₂(x)tp₂(y)dy=0,

(2)

które sprowadzają się do postaci:

cp₂(x)

dx -f-

dy=0

i mają całkę ogólną, kształtu:

j(p₂(x)    (y)

dy=C.

(20

2. Metoda zamiany zmiennych. W szczególnych przypadkach możemy w danem równaniu różniczkowem oddzielić zmienne, wprowadzając w miejsce zmiennych występujących w równaniu nowe zmienne za pomocą stosownych podstawień.

Ogólny kształt takich podstawień przedstawiają równania:

x=q)(u, v), y=tp(u₁ v)

(3)

skąd otrzymujemy :

d(p

dcp

dtp

dtp

(4)

dX’duau+ł»dV’ dy-dud^-dvdv'

Dobierając odpowiednie funkcye (p i ty możemy niekiedy przekształcić dane równanie różniczkowe na prostsze, zwłaszcza na takie, w których nowe zmienne u i v można oddzielić.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

59

93Ô

Podstawienia, wprowadzające nowe zmienne u i v w miejsce zmiennych x i y, mogą być zastąpione także takiem podstawieniem, które wprowadza tylko jedną nową zmienną. Podstawiając mianowicie y = cp(x, u), a więc:

du

<)x

du, zamieniamy równanie różniczkowe MdxßNdy—0 o zmiennych x i y na równanie kształtu Pdx+ Qdu=--0 o zmiennych x i u.

Rodzaje podstawień trudno ująć w ogólne prawidła, dla tego wyjaśnimy tylko sposób postępowania na przykładach.

1) Mając np. wyznaczyć całkę równania:

(x — y²)dx-\-2xydy — 0,

w któi-em zmiennych za pomocą dzielenia nie można oddzielić, połóżmy: y² = xz, a więc: 2y dy = x dz-\-z dx, a przekształcimy dane równanie różniczkowe w następujące:

(x—xz)dx-\-x² dz-\-xzdx = 0, czyli: dx-\-x dz = 0,

w którem zmienne możemy już oddzielić: -Ą-dz = 0, a otrzymamy całką ogólną : log x-\-z= C. Tym sposobem otrzymujemy całkę ogólną danego równania różniczkowego w postaci:

log x-\- ^—=C, czyli : xe x = C‘.

2) Mając znowu wyznaczyć całkę równania różniczkowego:

(x-\-y)²dy—a²dx — 0.

w którem niepodobna oddzielić zmiennych x i y za pomocą dzielenia, połóżmy:

x-\-y — u, a więc : dx~ du - dy,

a otrzymamy równanie:

u²dy - a²du-\-a²dy = 0, czyli: (u²Ą-a²)dy—a²du = 0,

które, po oddzieleniu nowych zmiennych y i u, sprowadza się do postaci: a² du u²-\-a²

Wracając do pierwotnych zmiennych x i y, otrzymujemy stąd:

dy—

0 i daje całkę ogólną: y—a arc tang —

= C.

— C, a więc:    — = arc tang j czyli równanie: x-\-y = a tang ^

y—a arc tang

jako całkę ogólną danego równania różniczkowego.

cx.

3. Zastosowania geometryczne. <*) Trajektorye ukośnokątne układu prostych y = Równanie różniczkowe trajektoryj ukośnokątnych względem układu prostych y — cx, któremu odpowiada równanie różniczkowe:

I)' — ~ i czyli: y dx—x dy = 0 przedstawia się na mocy art. 18 str. 919 w postaci:

£-f = ta„ge(₁₊^),

czyli :

x dx-\-y dy

j^^iy-yi*).

Kładąc: a? = r.cos<p, y = r.sinç, a więc: dx — cos o dr—r sin o do, dy = sin cp drĄ-r cos o do, otrzymamy :

xdxßy dy — rdr, x dy—y dx = r² do,

zatem równanie różniczkowe między zmiennemi r i o w postaci:

Fig 26G.

r dr =

tang 0

'i

tang 0

.do,

cp

a stąd całkę ogólną kształtu: r = Ce

tang B

szukane trajektorye. Jeżeli 0 =

(fig. 266).

öäi

, przedstawiający spiralne logarytmiczne jako

tedy równanie odnośne otrzymuje kształt: r=Ce

•r

jj) Przykład trajektoryj ortogonalnych. Znaleźć ortogonalne trajektorye krzywych o własności:    = a'\ gdzie rt i r₃ są odległościami ich punktów od dwu stałych punktów.

Oznaczywszy odległość stałych punktów przez 2e i przyjąwszy prostą łączącą te punkta za oś cc-ów, a jej środek za punkt początkowy, otrzymamy równanie różniczkowe trajektoi-yi :

a stąd po scałkowaniu równanie trajektoryi:

X²—y*-\-cxy = cy.

Ortogonalnymi trajekioryami układu spółogniskowych krzywych Cassiniego (Patrz str. 672 art. IB i nast.) są zatem spółośrodkowe hiperbole równoboczne.

4. Równania różniczkowe jednorodne. Szczególny przypadek równań różniczkowych rzędu i stopnia pierwszego, w których zmienne za pomocą wprowadzenia nowych zmiennych zawsze oddzielić można, stanowią równania różniczkowe jednorodne. Są to równania kształtu:

Mdx+N dy=0,

w których spółczynniki M i N są jednorodnemi funkcyami zmiennych x i y tego samego, np. w-go stopnia, zatem dadzą się przedstawić w formie:

M=xn (p(Jx ), N=xn ^( f).

Ogólny kształt równania różniczkowego jednorodnego będzie zatem :

(5)

Kładąc: y = ux, a więc dy=u dx-\-x du sprowadzimy powyższe równanie jednorodne do postaci:

-,    , x    -, v ^    . du tyiu) du

y(u)dx+y{u){udx+xdu)=0, czyli : - + --^--^0.

w której są zmienne oddzielone, skąd otrzymujemy całkę ogólną w postaci funkcyi między zmiennemi x \ u kształtu:

log x+ j

xf)(u) du (p(u)-\-uip(u)

Po wykonaniu wskazanego całkowania, należy zastąpić zmienną u przez

stosunek:

y    ₉

—, a otrzymamy szukaną całkę ogólną. x

Przykłady, a) Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego jednorodnego:

(y-x)dy-\-y dx = 0.

Rozwiązanie: Kładąc: y = ux, zatem: dy — udx-\-xdu sprowadzimy to równanie do

postaci:

stąd otrzymujemy:    ,

zatem całkę w postaci ogólnej :

x(u—\){udx-\-xdu)-\-uxdx = 0, czyli: x{u—\)du-\-u²dx = 0, dx    u— 1

- + -jrd«-o<

loga:-piogM+^- = C, czyli: log {ux) = C—,

a więc:

s : i-*-

czyli : y = C . e jako całkę ogólną danego równania różniczkowego.

ux — Ce

H I a»

ß) Znaleźć całkę równania różniczkowego jednorodnego kształtu:

(%+10x) dx-\-(by-\-lx) dy = 0. Rozwiązanie: Kładąc: y — ux, otrzymujemy:

x(8u-\-l0)dx-{-x(bu-{-l) (u dx-\-x du) — 0,

stąd :

czyli :

zatem rozwiązanie ogólne w postaci:

a: (Bw-j—7) duĄ-(bu²-\-VbuĄ-\0) dx — 0, dx , 1 (buĄ-l)du 5 w²+3m-j-2

= 0,

i°g*+H

5w+7

w²+8«+2

du = C.

Ze względu na to, że :

bu-j-7

5tt+7

t*²+8w+2    («-j-1) (w+2)    u-(-1    u-1-2’

du = log [(w+1)² • 04-2)³],

a więc:

5m+7

m²+3w+2

otrzymujemy powyższe równanie w postaci:

log «4-— log [O+l)² (m-4-2)³] = c,

O+«/)²0/+2x)³= C,

skąd wypada równanie: jako całka ogólna danego równania różniczkowego.

5. Równania różniczkowe niejednorodne możemy w niektórych przypadkach za pomocą szczególnych podstawień przekształcić na równania jednorodne. Do tych należą równania różniczkowe kształtu :

(iax Ą-by-\-c)dx-\- (a‘x -f    + c‘) dy=0

które zamieniają się na jednorodne:

albo: 1) skoro podstawimy: x=x‘—a, y=y'—ß i obierzemy a i ß tak, żeby spełniły się warunki: aa-\-bß=c, a'a-\-b'ß=--c‘;

albo: 2) skoro podstawimy: axĄ-by-\-c=£', a'x+b'y+ c' = r\'.

Mając np. dane równanie różniczkowe niejednorodne:

(2x—y+l)dx+(2y—x—1 )dy = 0,

to a) podstawiając: x — x‘—, y = y'+-j^, otrzymamy równanie różniczkowe jednorodne:

(2a5'—y/)<Za;/-f-(2y'- x')d\y‘ — 0;

czyli :

otrzymamy równanie jednorodne:

ß) podstawiając zaś: 2x—y-J-l = Ç, 2y—x— 1 =■= r), a więc: 2dx—dy — d\, 2dy—dx = drj, dx = ^ (2^+cZr)), dy = ~ (<*Ç+2*j),

Pierwsze px*owadzi na mocy podstawienia: y‘ — ux, do równania różniczkowego: (2 u—1 )du 2(u²—m+1)

drugie prowadzi na mocy podstawienia : y = v\ do równania różniczkowego :

dx'

x‘

0, skąd otrzymujemy jego całkę ogólną w postaci: xn-\-i/'²—x'y' — C,

Ç ^ 2 r²+v+l

d\ _1 (1+2 v)dv _ ₀

skąd otrzymujemy znowu jego całkę ogólną w postaci: £²+++?7) = O.

Oba rozwiązania prowadzą ostatecznie do całki ogólnej danego równania różniczkowego niejednorodnego w postaci: *²+y²—xy-\-x—y = C.

— 933 -

6. lié witania liniowe pierwszego rzędu. Równaniami różniczko wem i liniowemi nazywamy równania kształtu :

dy

di+p’J=Q’

(6)

gdzie P i Q są wyłącznie funkcyami zmiennej x. 1. Jeżeli Q=0, tedy mamy:

%+Py=o, ^=-Pdx,

zatem rozwiązanie ogólne :

y= CiT$ra*,

gdzie C jest dowolną stałą.

2. Jeżeli Q jest różne od 0, przyjmijmy jako rozwiązanie danego równania, równanie kształtu: y=Ce~^,lh'₁ uważając C jako niewiadomą funkcyę zmiennej x, którą mamy wyznaczyć tak, aby danemu równaniu różniczkowemu stało się zadość. Wstawiając:

= Ce~fPdx,

a wiec : ^    ~ . eS^-CPeS^

dx dx

w dane równanie różniczkowe, otrzymamy warunek:

dx ’

e~fll,x=Q, czyli:    zatem C=$Qe$Idxdx-\-c,

(XX

jako szukaną funkcyę, która wstawiona za C daje rozwiązanie szukane równania liniowego pierwszego rzędu w postaci:

czyli :

y=ce

y=^Pd*Qäx+c}e-Srd*.

S™+e-f™$Qefrd*dx.

(7)

Powyższą metodę całkowania równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy metodą zmienności stałych.

Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe:

dy

Rozwiązując najpierw równanie prostsze kształtu:

dy 2 dx x+ly °’

otrzymujemy w tym celu po oddzieleniu zmiennych równanie różniczkowe:

= 0,

dy    2 dx

y *-fï

które scałkowane daje równanie pierwotne:

i°g y—2 log (»4" i) = c,

y=C(x+1)2,

skąd dostajemy:

jako całkę ogólną równania różniczkowego uproszczonego kształtu:

= 0.

dx x+lJ

dy

Przyjmując ten sam kształt całki ogólnej dla danego równania różniczkowego '• 2

• y =*(cc1)³ z warunkiem, że O jest niewiadomą funkcyą zmiennej niezależnej,

dx x-{-l

otrzymujemy z postaci: y = C(xĄ-l)² pierwszą pochodną:

dy

dO

dx ’

zatem na wyznaczenie O warunek:

2C(x+ !)+(*+1)²

-^7C(x+iy=(x+i)\ x-\-L

z którego dostajemy:

dć'

-r— j=ar+l, zatem: O dx

+c•

w postaci:

Wobec tego otrzymujemy całkę ogólną danego równania różniczkowego liniowego

7. Metoda całkowania równania różniczkowego liniowego rzędu pier wszego za pomocą funkcyi dowolnej. Wprowadzając w równaniu różniczko-

wem liniowem :

. dy

wierna :

-\-Py=Q dwie nowe zmienne u i v za pomocą podsta-

(IX

y = uv,

dy dv du dx U dx^~V dx ’

dostajemy : zatem dane równanie w postaci:

(dv _ \ du _    _

w której jedna ze zmiennych m i v może być dowolnie obraną. Przyjmijmy funkcyę v tak, aby było:

1+^=0- «yU: dh~Pdx’

log v—C—§Pdx, czyli zatem: v=ce ^ wówczas równanie (8) sprowadza się do postaci :

(8)

r,ix

(9)

du

VTx-Q=°'

dx⁼VQ=VQ'e

1 f [Pdx ₇

w= — \QeJ dx + ci.

Całka ogólna danego równania różniczkowego liniowego otrzymuj przeto kształt:

skąd wypada:

zatem :

y = uv

du

l\lx

(10)

-ł$

Qe

-I

Vdx

czyli :

/Wx

/Was

ÿ = ccie

cfo,

a więc:

gdzie C—cc. jest stałą dowolną.

Vdx

Vdx

dx,

(H)

935 —

8. Stosując tę metodę do równania liniowego:

a więc, kładąc: y — uv, J^ = u    otrzymujemy równanie:

dv du ‘luv

uTx+vTx~ïc+i = ^'

2v 1 , du

i+vdx

fdv

\<2x x+l

któremu stanie się zadość, skoro się spełnią równania różniczkowe:

czyli :

-(*+1)3 = 0,

dv 2v dx x+l

z których możemy wyznaczyć funkcye u i v. Z pierwszego dostajemy: dv    2 dx

-0,

du

zatem: log v = 2 log(x+l)+logc, a więc: v — c{x-\-1)². Wobec tego drugie równanie różniczkowe sprowadza się do postaci:

x+l

du

skąd otrzymujemy:

czyli :

du = dx zatem : u c

¹ (*+!)²

— ■—J(x+1)dx+Ci, czyli:

Całka ogólna danego równania różniczkowego otrzymuje więc kształt •

-(łfe3r-,+<0*<-+,>’-

y =    +c}(a,+i) > Jak wyiei■

9. Równania Bcrnouiirego. Równania różniczkowe kształtu:

y — uv

dy

Tx+Py=Qyn'

f<*i-

(12)

gdzie F i Q są wyłącznie funkcyami zmiennej niezależnej zwane równaniami Bernouilli’ego, dadzą się sprowadzić do formy liniowej. Kładąc mianowicie yx ~n=£, otrzymamy równanie liniowe:

dż

^+(l-»)P.«=(l—w)Q.

(13)

Mając np. dane równanie różniczkowe Bernouilli’ego kształtu:

+

dx x+l

podstawimy: y—2 — 2, a więc: y — z—'k, a otrzymamy:

dy

dy 1 dz dx    2 z dx ’

wobec czego przekształci się dane równanie w następujące:

(*+l)³

dz    z—V»

hrx+x+i—

skąd otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe między zmiennemi x i z w postaci:

= (*+1)3,

dz 2 z dx x+l

którego całka ogólna w myśl art. 6 otrzymuje kształt:

- 936 -

Całka ogólna danego równania Bernouill’ego przedstawia się więc w postaci:

czyli :

10. Równanie Riceati’ego. Tak nazywamy równanie różniczkowe kształtu:

dy

(14)

dx+Py*+Qy+E=- 0,

w którem spółczynniki P, Ç. R są, wyłącznie funkcyami zmiennej x. Równanie to nie da się w ogólności scałkować w formie zamkniętej. Możemy jednak wyznaczyć jego całkę ogólną* gdyby znaną była jakakolwiek całka szczególna tego równania.

Niech będzie: y = fx(x) pewną funkcyą, czyniącą zadość temu równaniu, czyli pewną znaną całką szczególną tego równania, połóżmy :

dy _ diji dz dx r dx

*/ = yi+z, a więc: ^

a otrzymamy z danego równania :

dV\

dz

czyli:

dx +    +*)+Ä = °>

Py ²i+Qyi + -ß) + ^+(²^i+ę)z-ł-Rz² — o,

a że według założenia:

dyt

dx+Py\+Qyt+R = o,

przeto sprowadza się ostatnie równanie do równania liernouille’go, kształtu:

dz

Jx+(2Pyi + Q)z+Pz* = 0.

Równanie to na mocy podstawienia z — w—¹, przekształca się na równanie liniowe:

du

~ —(2P//i -j- Q) u—P = 0,

któremu na podstawie art. B odpowiada całka ogólna w postaci:

Wobec tego całka ogólna danego równania Riccatiego otrzymuje kształt: ÿ “ *+*=y'⁴ «-=    C«*) -

czyli :

<d{x)Ą-C^{x)

Przyjmijmy dowolnie cztery całki szczególne, odpowiadające czterem wartościom: Cj, Cit C₃, Ci stałej dowolnej C, w postaci:

Vi =

(•’“I, 2, 3, 4),

natenczas otrzymamy:

y-r-yi. !u—y\ ^3 —z/2 ’ y i—y 2

C₃ — Cj Ci (7,

C* —Ci' Ci —C₃

To znaczy: Stosunek anharmoniczny czterech całek szczególnych równania Riccatiego jest

ilością stałą.

11. Zupełne równania różniczkowe rzędu pierwszego. Zupełnem nazywamy równanie różniczkowe M. dx-\-Ndy—0, które powstało przez bezpośrednie różniczkowanie pewnego równania pierwotnego kształtu: f(x, y)—c; pierwsza strona danego równania różniczkowego jest tedy zupełną różniczką jakiejś funkcyi: f{x, y).

Koniecznym i wystarczającym warunkiem, aby pierwsza strona równania Mdx-\-N dy=0 była zupełną różniczką, jest:

df

gdyż skoro: M= —, N= ox

dM dN dy dx

dM _ a²/

dy dx dy

Skoro ten warunek się spełnia, tedy możemy położyć du=Mdx-\-Ndy. Całkując ze względu na x, otrzymamy: u=[M dx-\- C, gdzie C jest wielkością od x nie zależną, ale może się zmieniać wraz ze zmienną y, jest zatem pewną funk-cyą zmiennej y, możemy zatem napisać :

u^=$Mdx+(p(y),

a że ma być:    przeto otrzymujemy na wyznaczenie <jp(y) warunek:

wtedy :

jako też :

dN _ d²f dx dx dy

przeto :

dN

dx ’

(15)

(16)

d]M dx    d qv(y)

dy

dy

N, stąd :

. d (p(y)

dy

=N

d§ M dx

dy

N d]Mdx

dy

^<7y+C, zatem będzie: ^Mdx + ^^

n_4m dx

dy

J dy=c

rozwiązaniem danego równania.

Uwaga. Wyrażenie: N■ nie może x zawierać, co nastąpi, skoro :

0, czyli :

d[Mdx

dy

musi być wyłącznie funkcyą z y, czyli

d /jy d[ M tfaA dx\ dy )

d d\Mdx dx dx dy

dN

zatem :

dN _ d$Mdx dx dy ' dx

dN dM

CZyli : di dy

warunek :

dM dN ...    ,

= jest zatem wystarczający.

Aby więc rozwiązać równanie: Mdx-\-Ndy=0, którego lewa strona jest zupełną różniczką, całkujemy Mdx ze względu na x, uważając y jako stałą i dodajemy w miejscu stałej dowolnej dowolną funkcyę y. Otrzymana suma różniczkowana podług y musi być równą N; stąd znajdziemy żądaną funkcyę zmiennej y. Tak powstała suma zrównana ze stałą dowolną, będzie szu-kanem rozwiązaniem.

Przykład. (x²—Axy—2y²)dx-\-(y'i — Axy — 2x'l)dy = 0. Mamy tu: -^- = — =—4y—Ax.

£Mdx =J(cc²—Axy—2y*)dx = ^ 2xhy—2y'ixĄ-ro{y).

N — y²—Axy—2x² = Jÿ [y “ 2a:V -?ya*4-?(*/)] = — 2x²—Axy-\-v\y),

przeto: ®(y)=    .

Szukanem rozwiązaniem danego równania różniczkowego jest zatem:

^-2*V-2y%+^=C.

Rozwiązanie:

stąd:

- 938 -

12. Teorya czynników całkujących. Jeżeli lewa strona równania różniczkowego : Mdx-\-Ndy=0 nie jest zupełną różniczką, można ją taką zrobić, mnożąc równanie przez pewną funkcyą : y=f{x,y), którą nazywamy czy unikiem całkującym.

Czynnik całkujący istnieje zawsze, istnieje bowiem zawsze równanie: cp(x, y) — c, dogadzające danemu równaniu różniczkowemu: Mdx+Ndy=0.

Różniczkując równanie cp(x, y)—C, otrzymamy równanie różniczkowe: d cp{x, y)

óx

dx -f

d (p(x, y)

dy

dy=0.

Porównując je z danem równaniem, otrzymamy warunki: d cp(x, y) d (p(x, y)

dx

dy

, à q)(x, y)

y, zatem : -—

dx

yM,

d <p(x, y)

dy

fiN,

więc yM i yN są pochodnymi cząstkowymi tej samej funkcyi cp{x, y)} wyrażenie: yM dx-\- yN dy będzie zatem zupełną różniczką, czyli: Mdx-\-Ndy może zawsze stać się zupełną różniczką, gdy je przez czynnik y pomnożymy.

Do każdego równania różniczkowego należy nieskończona ilość czynników całkujących. Niech będzie bowiem : y — F(x, y) funkcyą, której zupełna różniczka jest: du=yM dx-\- yN dy, zaś if)(u) dowolną funkcyą u, której pochodną jest: /(w), tedy będzie:

dip(u)=f(u)du=yf(u) MdxĄ-yf(u)N dy,

że / (u) jest dowolną funkcyą u,

zatem będzie także: yf(u)Mdx-\-yf(u)Ndy zupełną różniczką pewnej funkcyi z x i y. Skoro zatem y jest czynnikiem całkującym równania różniczkowego, tedy jest nim także yf(u), gdzie u jest funkcyą x i y, której zupełną różniczką jest wyrażenie: yMdx+yNdy, zatem liczba czynników całkujących jest nieskończenie wielka.

Normę równania pierwotnego cp(x,y)~c możemy zmienić bez zmiany związku między zmienną zależną i niezależną Zmiany w formie równania pierwotnego wywołują odpowiednie zmiany w formie czynnika całkującego.

Np. równaniu: æ²(l~f-y²) = c możemy bez zmiany związku nadać np. formy:

log x²-Hog (1-h/²) = C, sin [x²(l+y²)] = O, a otrzymamy trzy formy równania różniczkowego.

d x . 2ydy

^ ⁺ 1+F"a

B. cos [a:²(l+y²)]. [2x(l-(-</²)c?x-f-2a:²ł/rfy] — 0.

1. 2x(l-\-y*)dx-{-2x²y dy — 0.

Znając dwa czynniki całkujące danego równania różniczkowego możemy je rozwiązać bez całkowania. Skoro bowiem y i y' są dwoma czynni

kami całkującymi, tedy musi być y'—yf(u)

zatem :

—f{u) będzie więc:

u/

~ = C rozwiązaniem danego równania.

13. Ogólne wyznaczanie czynników całkujących równania: Mdac+Ndy*— 0.

Jeżeli y jest czynnikiem całkującym równania: Mdx-\-Ndy =0, tedy jest: yMdxĄ-yNdy zupełną, różniczką funkcyi dwóch zmiennych x i y, będzie zatem :

d(yM) d(yN)

dx

dy

— 959 —

skąd otrzymujemy równanie :

N^_Mdj,₌jd_M_dm

dy \dy dx )

()x

(18)

które zawiera dwie zmienne niezależne, jest zatem cząstkowem równaniem różniczkowem. Całkowanie tego równania cząstkowego jest w ogólności tru-dniejszem od całkowania danego równania zwyczajnego. Można jednak pod pewnemi założeniami podać żądane rozwiązanie, które wskaże zarazem, czy przyjęte założenie jest uprawnione.

a) Założenie y — cp(x). Będzie tedy: ~=0

dM __ dN dy dx •dM dN

zatem: y=(p(x)=e

Taki kształt czynnika całkującego jest widocznie tylko wówczas mo-dM dN

= (p'(x), równanie cząstko-

dx

we otrzymuje kształt: N(p\x)==(

dM dN q)'(x) dy dx

~dM dN

(p(x)

log q>(x)=~

di/ dx , -----—d:g.

N

żebny, skoro iloraz :

dy dx

jest wyłącznie funkcyą X.

(•dN dM dx dy , M

Pod założeniem: y=cp(y) znajdziemy: y=e

dN dM

czynnik całku-

dx dy

-——— jest wyłącznie funkcyą y.

Np. Równanie liniowe:    = Q możemy sprowadzić do postaci:

dM dN

(Py— Q)dx-\-dy — 0, mamy tedy: M — Py — Q, N — 1,    '— = P,

f Pdx — eJ

jący możliwy, skoro iloraz:

zatem czynnik całkujący \x

Pomnożywszy przez ten czynnik dane równanie, otrzymamy równanie:

fPdx, ^    , , [l’dx ,

(Py— Q)dx-{-ei dy — 0,

fPdx    n \Pdx^

eJ y—\ eJ    Qax—O, skąd otrzymujemy:

— fl‘dx. p fPdx

— eJ    (C Ą-yJ    Qdx).

dv

ß) Założenie y — q>(xy). Kładąc xy=v, zatem:

które scałkowane daje równanie:

àx=y'

dv

dy

—x otrzymamy:

dy

dy

'*-«•)> dx

równanie cząstkowe otrzymuje wtedy kształt równania zwyczajnego :

"dM

<p'(v) - dy dx Ny—Mx ’

Skoro powyższy iloraz będzie funkcyą v, tedy będzie czynnik całkujący

Ncp'(v) y—Mcp'(v)x— ^ ^

dM dN

dx

=<p'(v)y, :£=<P‘(V)X>

J(p(v), skąd znajdujemy:

(p(v)

dN

*dM dN

kształtu: y=e

dJ—dXdo.,

Ny-Mx

y) Założenie: y,-=(p{~). Kładąc: —=v,

x

dv

y dv 1

my równanie zwyczajne kształtu:

skąd :

cp\v)

<P(V)

JdN dM X l dx dy Mx-\-Ny

dx x²’ dy x

«

eJ Mæ+jVj/

otrzyma-

dM dN

dx

yp(v),

zatem :

Równanie: Mdx-\-Ndy ma więc czynnik całkujący kształtu: (jp(i0, skoro

dy

dx

.    .    y

jest funkcyą ilorazu: —.

oc

ó) Założenie: [i=xncp(^x). Kładąc: —=v, otrzymamy równanie różnicz-

X

ko we kształtu: N \nxn~x cp(v) — xn~'² y (p\v)]—M xn~¹ <p‘(v) = (

V

\-{-nNx

iloraz :

MxĄ-Ny

dM dN

dx

j xn cp{v)

stąd :

cp\v)

<p(v)

JdN dM \ dx dy MxĄ-Ny

fi

-)=/(«)•

y=xncp(y)=xne

jV (v) dv

Równanie: Mdx+Ndy=0 ma czynnik całkujący w postaci funkcyi jed-

rodnej n-go rzędu, ze względu na x i y, skoro iloraz :

JdN dM

xz\----

\ dx dy

Mx+Ny

jest funk-

cyą ilorazu :

. Warunek ten spełnia się, skoro spółczynniki M i N są funk-

cyami jednorodnemi m-go rzędu; skoro bowiem: M—xm(p(v), N=xmr[>(v), v——

dN

tedy będzie :

dx

=mx

1p{v) — X

m—2

dM

przeto :

f(v)

-^—=3

dy

(m-j-w) ip(y)—v ip‘{v)—<p‘{v)

(p\v)

cp(v) + v ty(v)

Stopień n czynnika całkującego nie jest niczem ograniczony, możemy przyjąć n=—(m+1), tedy otrzymamy:

/'(«)

1p(v) + V 1p\v) -f (p\v)

(p(v) -f V

jf(v)dv = — log {(p(v) + vy>(v)}

stąd :

fi=xne

f/(v) dv

xm+l[(p{v)Ą-vip{y)] MxĄ-Ny Równanie różniczkowe o spółczynnikach jednorodnych staje się zatem

zupełnem przy pomocy czynnika :

Mx-\-Ńy'

e) fi==(p(v), gdzie v jest daną funkcyą x i y. Równanie cząstkowe:

dM dN

dy [ dy

otrzymuje tu kształt równania zwyczajnego:

[ ày

,, du _. du N---M

dx

dv

dv

N (p'(y) ---Mq?‘(v) — =

ox

dy

dM

dx

dx

<p{v)

— 941 -

skąd :

dM dN dy dx

cp(v)

dv

dv‘

dx

dy

dM dN

TT7 . dy dx W arnnek : —^-

■xi àv

N ---M

ma być funkcyą v, za-

dx

dy

tem połóżmy ją równą f(v), tedy będzie:

y=e

Jf(v)dv

dostajemy:

14. Przykłady, a) Mając dane równanie różniczkowe kształtu: (x²Ą-y²-\-2x)dx-\-2y dy =0,

£\dM _ dN\ _

N t dy dx t ’

dN . dM dN = 2y’    ta=°’ Ty~-te⁼*y’

zatem czynnik całkujący, któryby był wyłącznie funkcyą zmiennej x w postaci: p = ex, dałby więc równanie różniczkowe zupełne :

M = x²-\-y²-\- 2x, N=2y,

dM

dy

ex(x²Ą-y²-\-2x) dx-\-2y ex dy = 0,

któremu odpowiada całka ogólna, kształtu: ex{x²-\-y²) = C.

ß) W równaniu różniczkowem : 2xy dx-\-(y²—3x²)dy — 0, mamy: M = 2xy, N — y’¹ - 3x²,

1 (dN _ dM M \dx dy

dM

dN

dN dM

\    4

J —--— , zatem czynnik całkujący w po-

-- = — 8x

«ÿ = 2x’    te“⁶*’

staci funkcyi samej zmiennej y, kształtu: [j. —na podstawie którego otrzymujemy z da

do:    dy

nego równania niezupełnego x-ównanie różniczkowe zupełne:

2 x

3 dxĄ

y³

któremu odpowiada całka ogólna: x²—y² = Cy³.

15. Równania różniczkowe pierwszego rzędu a wyższych stopni. Ogólny kształt równania różniczkowego pierwszego rzędu a n-go stopnia jest:

y²—3a;²

yK

dy — 0,

(dyy (dy\n-l (dy\n-2

\dx) +jPiw ⁺

dy

(19)

Pn są funkcyami z x i y. Rozłożywszy to równanie na czyn-

gdzie: Pu F.

dy

niki pierwiastkowe ze względu na pochodną: —, otrzymamy, skoro :pi,p₂ ..pn są pierwiastkami tego równania, iloczyn:

(20)

gdzie pif P2,...,pn będą znanymi funkcyami zmiennych x i y. Rozwiązując oddzielnie równania różniczkowe:

o    -0 dy

’ dx Pl

dy

—Pn = 0,

dx~P' =

otrzymamy w rozwiązań kształtu:

/i(*> 2/: C'i)=0, /₂(®, y, C₂)=0,... ,/«(#, y, C'n)=0.

Każde z nich będzie całką danego równania.

Całką ogólną danego równania różniczkowego będzie widocznie iloczyn :

’’ dx

fi (#, Vi G)    y i G) •• fn{X"t y, C)=> o

o jednej stałej dowolnej (7, obejmujący wszystkie całki szczególne.

Geometrycznie przedstawia to rozwiązanie ogólne układ krzywych, przyczem każda krzywa układu składa się z n gałęzi, odpowiadających n całkom pojedynczym dla tejże samej wartości stałej dowolnej.

(21)

Przykład. (£)'

nia, kształtu :

których całki mają kształt:

= O. Otrzymujemy tu dwa równania różniczkowe pierwszego stop-

dy

y—2 Y/ ax—Cj — 0,    ax—c₂ = 0.

Zastępując obie stałe przez c i mnożąc te równania otrzymamy:

(y-2\/ax—c)(y-\-2\/ax—c) = 0, czyli równanie: (y—c)²—4a.r = 0, jako ogólne rozwiązanie danego równania różniczkowego drugiego stopnia.

16. Szczególne przypadki równań różniczkowych rzędu pierwszego a wyższych stopni. W niektórych przypadkach można rozwiązać równania różniczkowe pierwszego rządu a wyższych stopni bez rozkładania równania na czynniki.

Do najprostszych przypadków tego rodzaju należą te, w których dane

równanie różniczkowe zawiera obok

dy

tylko zmienną x lub tylko zmienną y.

(100

Kształty :

=0.

a) Kładąc

. dl

—p, otrzymamy:

dx

F(x, p) = 0, stąd: x=f(p), przeto: dx=f‘(p) dp, dy—p dx=pf‘(p) dp, zatem : y= jj»f'(p) dp-j- O.

Równania: x—f‘(p) i y— ^pf‘(p) dpĄ- C dają po wyrugowaniu p szukany związek pierwotny między x i y.

3 „i

Przykłady. l)a;=l-|-p³. Mamy tu: dx — 3p²dp, dy — '3p³dp, więc: y-\~G, zatem będzie: y = — (x — 1) ³-\-C rozwiązaniem ogólnem.

2) x = \-\-p-\-p³. Mamy tu:

dx = (l-j-3p²) dp, dy = p dp-\-3p³ dp, zatem : y — F- +    —\~

co w połączeniu z równaniem: x — l-\-p-\-p³ podaje szukany związek między x i y.

ß) Z równania: F^y, ^j^=0, czyli: F(y, p)=0, otrzymujemy natomiast :

y=f(p), dy=f'(p)dp, zatem: pdx=f‘(p)dp,

~ dp, a więc : x

więc :

stąd :

dx=

f\P)

f‘(P)

Wyrugowawszy p z równań: y=f(p), związek między x i y.

Przykład, y = p‘¹-\-2p³. Mamy tu : dx —    -

dp-{- C.

rf'(p)

a?*=\ ——-dp otrzymamy szukany J p

dy = 2dpĄ-Sp dp, zatem : x = 2p-j-Bp²-|- C.

Ogólny związek między x i y przedstawia się zatem dwoma równaniami :

x = 2p-\- 3p²-(- C, y = p²-)-2 p³,

z których możemy p wyrugować.

Metodę tu stosowaną nazywamy metodą całkowania równań różniczkowych przez różniczkowanie.

Do równań różniczkowych, w których korzystamy z tej metody należą, także t. zw. równania Clairaut’a i Lagrange’a, któremi zajmiemy się w następnych artykułach.

17. Równanie Clairaut’a. Nazywamy tak równanie kształtu:

dy

y~Xdx+l

/dy\

\d.vj

(22)

Połóżmy

. dv

dx

=p, to otrzymamy równanie :

y=xp+f(p).

Różniczkując je, dostaniemy:

dp

P==pJrXdx

dp

dx

stąd: [x+f'(p)]~=0.

(23)

dp

Otrzymane równanie rozkłada się na dwa równania: x-\-f\p) = 0, -=-=0.

Drugie równanie scałkowane daje p = C, podstawiwszy tę wartość w dane równanie, otrzymamy: y=Cx-\-f{C) jako szukane rozwiązanie ogólne, czyli całkę ogólną danego równania różniczkowego z jedną stałą dowolną C.

Pierwsze równanie : xJrf,(p) =0, Dołączone z danem równaniem : y=px-\-f(p) daje po wyrugowaniu p nowy związek między x i «/, który nie da się wyprowadzić z całki zupełnej przez nadanie stałej dowolnej pewnej wartości szczególnej. Taki nowy związek między x i y nazywamy rozwiązaniem osobliwem, albo całką osobliwą równania różniczkowego.

Przykład. y = xp-\- Różniczkując, otrzymamy: 0=^— ”2)^

Z równania :

d£ = 0 wypływa p — c, a stąd: y =    rozwiązanie ogólne.

m

p = ⁰ wypływa :

a stąd: y — \/mx -f- \/mx , czyli:

Z równania : x — y² — kmx rozwiązanie osobliwe.

18. Kównanie Lagrange’a. Równaniem ogólniejszem od równania Clairaut’a jest t. zw. równanie Lagrange’a, kształtu:

y=x.f

(!)«©

(24)

dy

czyli: y—xf{p)-\-(p{p)₁ gdzie: p=~r~. Różniczkując je otrzymamy:

(J/JC

dx

P=f(P) + {xf‘(p) + (P'(P))-£, stąd: {p—f(P))(/p

f\pi x dp p-f(p)'

równanie liniowe 1-go rzędu, skąd możemy oznaczam x jako funkcyę parametru p ; np. x = ip(p,c).

—f\p)x=(p\p),

czyli :

<P‘(P)

P—f(p)

(25)

Wyrugowawszy p z tak otrzymanego równania i z danego, otrzymamy ogólną całkę danego równania różniczkowego.

Przykład, x-\-yp — ap². Różniczkując otrzymamy: l-\-p²-\-ydj)

dp

rugowaniu zmiennej y, równanie:

V

dx    1    ap

dp ~ ÿ(l+p²)x °    » którego całka przedstawi się w formie:

—x dp

d^2apfx'OV‘^VOVy'

,r- = 2ap^~, a więc równanie liniowe: dx    dx

* = -~T    = [<?+« . log (p+V/ 1+P*)].

V/l+2>³

Otrzymane równanie w połączeniu z danem daje po wyrugowaniu p, szukany związek pierwotny między x i y.

21. llówiiania różniczkowe ewolwent danej linii krzywej. Ewolwenta czyli rozwijająca danej krzywej C jest trajektoryą prostokątną układu stycznych do krzywej C, zwanej ewolutą.

Równaniem stycznej w punkcie P(x, y) danej krzywej y—f(x) jest:

Y—y=y\X—x).

Kładąc y'=p=fl (%) i uważając p za stałą dowolną, otrzymamy stąd: x=g)(p), a więc na podstawie danego równania krzywej : y=ty(p), zatem spół-rzędne punktu styczności określone jako funkcye parametru p. Wobec tego przedstawi się układ stycznych do krzywej y=f(x) równaniem o parametrze p w postaci :

Y=pX+F(p).

Jeżeli przez x, y oznaczymy spółrzędne punktu na

(26)

trajektoryi, tedy

będzie: p—---, otrzymujemy zatem z (26) równanie różniczkowe ewolwent

krzywej y—f{x) w postaci:

Vi

—t)

y \ y)

(27)

ktore jest równaniem różniczko wem Lagrange’a.

Przykład. Niech będzie daną krzvwa parabola Neila o równaniu: y — x³h, natenczas

³ v 2 *'*'

05

p², y = 27

Równanie stycznej w punkcie P(x, y) paraboli Neila y = x³h ma kształt:

Y-y = y'(X-x),

Y=pX-±p‘,

jako równanie układu stycznych do paraboli Neila: y = x³l₂.

Trajektorye tego układu otrzymują na podstawie wzoru (27) równanie różniczkowe,

4 1 27 y,r 4

Kładąc ?/' = p, otrzymujemy stąd y = —1-f-—p—³, a po zróżniczkowaniu:

zatem równanie liniowe między x i p w postaci:

otrzymujemy : y‘ = p =

skąd otrzymujemy:

kształtu:

zatem : x —

-4+

V'

p³.

(P+P"¹)

dx

dp

= xp—² —

P-⁴,

dx

d X'p(p²+1)

którego równanie pierwotne otrzymuje postać : x =

4 V/(P²+1)’    4 V/p+ï

27 p³

Kładąc <7—0, otrzymamy krzywą: x = — — -J- ^^2 , y = któx*a będzie parabolą

i,2V

27 ⁺ 16 *

nej x w postaci:

zatem :

drugiego rzędu o równaniu: x —

9 • p3(pU4). ’

(7-4=

V/ p²+l

gdzie (7 jest funkcyą zmien

05

■H»

, zatem : y

— 945 —

22. Równania różniczkowe rulet. Ruletą nazywamy linię krzywą P, opisaną przez punkt stale połączony z pewną linią krzywą C, toczącą się bez ślizgania po stałej krzywej K, zwanej krzywą podstawową. Do rulet należą, jako szczególne przypadki wszelkie cykloidy, epi- i hipocykloidy (Patrz str. 685—689).

Niech będzie y=f(x) (fig. 267) równaniem krzywej podstawowej K, z którą styka się w punkcie A krzywa tocząca się C, obie krzywe mają

=/'(*)•

w punkcie A(x, y) wspólną styczną, której kąt nachylenia a względem osi x-ó\v określony jest dy

wzorem :

■K

CCJC

Niech będzie dany punkt P o spółrzę-dnych X, Y, połączony stale z krzywą C, mający od punktu A krzywej C odległość :

F»

Fig. 267.

PA=r=^(X—x)² + (Ÿ— y)², która tworzy ze styczną w punkcie A do krzywej C, kąt PAT=tp.

Gdy krzywa C toczy się po krzywej K, natenczas punkt P opisze krzywą Y=F(X) (obwiednią kół zakreślonych z punktów krzywej K promieniami r), której styczna będzie prostopadłą do promienia PA, łączącego punkt P z punktem styczności krzywych C i K. Oznaczając przez a kąt, jaki styczna w punkcie P(X, Y) krzywej K, tworzy z osią #-ów, otrzymamy:

zatem :

tang ?/j=cotang (a‘ - a) =

1 + tang a tang a' tang a'—-tang a ’

a że :

dy

tang a=-~=f(x)=y‘

tang (a‘ — a)

fi Y

tang a'=-^r—F'(X)=Y',

1 +y‘Y‘

Y‘—y' ’

Kąt ip, jaki styczna w punkcie A krzywej C tworzy z promieniem PA zależy od każdorazowego punktu styczności krzywej C. Przyjmując punkt P za biegun, a prostą PA za oś biegunową, otrzymamy równanie biegunowe krzywej C, odniesione do tego układu w postaci gp = <jp(r), będzie tedy (na mocy

dœ

tang ty—r

przeto będzie :

tang tp

art. 14 str. 691) : otrzymujemy zatem równanie:

dr=rg>‘(r)’

(28)

r cp'(r)

1+y‘Y‘

Y'-y' ’

które w połączeniu z równaniami: X—x=—r sin a‘

Y—y=r cos a',

(29)

czyli :

X—x=—

rY

V l + T²

Y-y

Vi+r*

(30)

prowadzi po wyrugowaniu zmiennych x i r do równania między X i Y', przedstawiającego równanie różniczkowe rulety.

Równania powyższe prowadzą zarazem do rozwiązania dwu innych zagadnień.

Uważając w powyższych trzech równaniach funkcye y—f(x) i Y — F(X), jako wiadome, otrzymamy z nich po wyrugowaniu zmiennj^ch x i X równanie między r i ?'(r), jako równanie różniczkowe krzywej C.

60

Dr. Dzrwiński. Wykł. matem. I Tom II.

Jeżeli zaś uważać będziemy funkcye œ(r) i F(X) za wiadome, to wyrugowawszy z pó-wyższych trzech, równań zmienne r i o, otrzymamy równanie między ce, y i y\ jako równanie różniczkowe krzywej toczącej się O.

Jeżeli krzywa K, po której toczy się krzywa C jest linią prostą, wtedy równania (29) i (30) sprowadzają się do postaci:

, . 1

r ?'(>•) = -

(31)

y/i-f r<2‘

23. Równania jednorodne ze względu na x i y. Metodę całkowania przez różniczkowanie możemy także zastosować do równań różniczkowych jednorodnych ze względu na zmienne x i y kształtu:

(32)

y    ây

Kładąc: —=v, —=jp, otrzymamy: g)(v, p)--= 0, stąd: p=f(v), a że y=vx,

X    (XX

dx _

+ —=o.

dv

dv

dv

przeto będzie także: p—x ^ -\-v, zatem: x--\-v=f(v), czyli:

W otrzymanem równaniu różniczkowem są zmienne x i v oddzielone. Całka

y

jego przedstawia po zastąpieniu v przez — szukany związek pierwotny mię-

X

dzy x i y.

dy

Przykład, y :^xJrnx -

Kładąc: y =

dy

*’? + " = W+„ Vl+v\ stąd : V -    W •

JX=P^ otrzymamy :

,    dv ,    ,    , .

, a że : p = x — -J-r, przeto będzie :

dv

»-VW», czyli:

Ÿ ^ Całkując równanie, otrzyma-

my:

log (vA-\/v²-\-n) — -4-    log -C, stąd: v-\-\/ «²-j-

n cx

±f-

czyli, zastępując v

= cx

iY~~, jako szukaną całkę ogólną.

przez    ostatecznie: yĄ- \/y'i\nxl

24. Całki osobliwe równań różniczkowych pierwszego rzędu. Osobliwe rozwiązanie (p{x, y) =0 jest związkiem między x i y, który czyni zadość danemu równaniu różniczkowemu, ale nie da się wyprowadzić z całki ogólnej f(x, y, c) =0 przez nadanie stałej c pewnej szczególnej wartości. Można jednakże przekształcić całkę ogólną na całkę osobliwą, zastępując ilość c stosowną funkcyą, dość bowiem położyć f(x, y, c)=(p{x, «/), skąd wypada wartość c jako funkcya zmiennych x i y. Przypuśćmy, żeśmy wartość taką oznaczyli, tedy otrzymamy z całki zupełnej :

(33)

f(x, y, c)=0

df ₊ df dy    df d c _^ ( )

dy dx ^ dc dx ’

różniczkując ją podług x równanie:

ox

skąd wypada:

dy

dx

1^(8' ^

1^1

dc

’ dx

(34)

dy dy

Wyrugowawszy z tego równania i z rozwiązania ogólnego f(x,y,ć)=0 wielkość c, powinniśmy otrzymać dane równanie różniczkowe, czyli:

' dy

dx

-W SI«

gdzie c jest zastąpione wartością obliczoną z równania f(x, y, c) = 0, wobec

czego musi się spełnić warunek :

13: 81-3;

dc

^=0.

’ dx

(35)

dc

dy

Przypuszczając    otrzymalibyśmy c równe ilości stałej

Cv'JC

całkę ogólną. Pozostaje tedy warunek:

a więc

df

dc

—=0, f(x, y, c)=0.

df

dy

który rozpada sie na dwa następujące :

if

— = oo

dy

f(x, y, c)=0

Wyrugowawszy c z dwu równań każdego z tych dwóch układów, otrzymamy rozwiązania osobliwe danego równania.

Całki osobliwe danego równania różniczkowego pierwszego rzędu, otrzymują się zatem, rugując c z całki ogólnej i jej pochodnej podług c zrównanej do zera, albo z całki ogólnej i jej pochodnej podług y, zrównanej do nieskończoności.

Przykład. Równanie: xdx-\-ydy=dy\/x'L-\-xy'l—al ma całkę ogólną kształtu: y-\-c — Y/a;²-|-y²—ad , czyli: 2cy-\-ćlAral—x² = 0.

Warunek dla całki osobliwej będzie zatem: ~ — 2y-\-2c == 0, albo: ~ — 2c = co.

Drugi warunek prowadzi do rozwiązania osobliwego y = oo, które wykluczamy; pierwszy dajec= — y, zatem będzie równanie : æ²+«/²—a² = 0 szukanem rozwiązaniem osobliwem.

dc

I.

II.

(36)

f 0», y, c)=o

df

dc

25. Uwaga. Warunek dla całki osobliwej przedstawiony w formie: —. =0

clv

zastępuje się także wprost warunkiem: --=0 otrzymamy bowiem :

dy

z równania: f{x, y, c)=0,

dfi+dfdy

dc dy dc

=0, przeto : —

dy

dc

dy

Do warunku: -p=0 dojdziemy wprost z rozwiązania zupełnego y=f{x, c),

CCC

skoro przypuścimy, że ilość c jest zmienną, a pomimo to dogadza danemu

równaniu różniczkowemu : ^    c\

dx dx

w równaniu :

co się tylko wtedy stać może, skoro

dy _ df(x, c) . df(x,c)dc dc dx

dx

dx

df (x. c) dc

, będzie: ---^0.

. dc dx

df{x, c)

dc

dy dc

+    =1 ma całkę ogólną: y = cx-\-\/c²

Na oznaczenie całki osobliwej otrzymamy tu:    — x--

dc    v 1—c²

czyli, pominąwszy

— 0, skoro będzie:

j

Przykład. Równanie: y¹ — 2xy '

dx

dx

„    = 0, czyli:

dc    J

= 0.

0, stąd: c

Vx²-i'

podstawiwszy tę wartość w całkę ogólną, otrzymamy: y = y/a;²-}-! , jako całkę osobliwą.

26. Geometryczne objaśnienie całki ogólnej i osobliwej. Całka ogólna y=f\x, c) przedstawia familię krzywych (fig. 268), których szczególne kształty będą określone szczególnemi wartościami stałej c. Dwie po sobie następujące krzywe wywołane będą dwiema po sobie następującymi wartościami c jako to c i cĄ-dc, ich punkt przecięcia się będzie określony równaniami y=f(x, c) i y=f(x, c + dc), zatem równaniami:

cr:

Pi

dy

y=f(x, c) i ^-=0.

(9

Fig. 2Gi.

Całka osobliwa przedstawia zatem miejsce punktów, w których przecinają się po sobie następujące krzywe określone całką ogólną, innymi słowy, — całka osobliwa przedstawia

obwijającą krzywych, określonych całką zupełną.

27. Wyprowadzenie całki osobliwej z równania różniczkowego. Jeżeli dane jest równanie pierwotne: y^f(x, c), to różniczkując je podług#, otrzy-

M dfXx, c)

mamy równanie pochodne :

które zamieni się na równanie różniczkowe: p = (p{x, y), skoro za c podstawimy funkcyę z x i ?/, z równania pierwotnego wypadającą. Całka osobliwa równania różniczkowego wypada z całki ogólnej, skoro za c podstawimy

funkcyę równaniem :

dy

=0 określoną. Dla takiego c będzie ze względu na to, że

P,

dp dp dc dp dy dy dc ' dy dc ' dc osobliwe równania różniczkowego: p=(p(x, y)

widocznie

dp

-=- = 00 .

dy

Całki

muszą zatem uczynić zadość równaniu:    oo .

X-

v//i

f T///tV>T

<r

Fig. 269.

p³—2px-\-2y — 0, czyli: p — x-h\/a;²—2//, stąd:

Tym sposobem możemy wynaleźć całki osobliwe bez znajomości całki zupełnej, należy jednakże w każdym razie zbadać, czy funkcyę

wyprowadzone z warunku:

rozwiązaniami danego równania różniczkowego. Przykład. Równanie różniczkowe:

(â)’-²'l⁺*“°'K,ad^

-. d* _ i

dy (xi-2y),lt'

==co są w ogóle

dy

— p, otrzymamy stąd: Warunek : ^ — cc spełnia

dx

dy

— 949 —

X²

się, skoro będzie: x²—2y — 0, czyli: y = Ta funkcya czyni zadość danemu równaniu różniczkowemu, jest więc jego rozwiązaniem osobliwem (fig. 269).

Do tego samego rozwiązania osobliwego dojdziemy z całki zupełnej danego równania,

którą będzie: y = cx—C— jeżeli za c podstawimy wartość z równania: ^ = x padającą, zatem: c — x będzie bowiem tedy: y —

— c — 0 wy-

x²

całką osobliwą.

Ćwiczenia LVIII.

Wyznaczyć całki ogólne następujących równań różniczkowych:

1)

dy

« = 0. 2)

xy dx-\-y \/ax dxx²

C- 'S

dy = 0.

3) (xĄ-2y)dx—xdy=0.

ß)^ibdy—ydx—\/ x²-{-y-dx — 0.

8)    {x³-\-3xyi)dx-\-(y³-\-Bx,y')dy — 0.

^    C—    /    2 \    ^

9) (2* yfl)dx+(2y-as—l)dy = 0. 10) (8y+10x)dx+ (by+ lx)dy=0. 11) (l + M

- dx

⁴X (y—»)rfy+y<iæ = 0.

7) (x² - 4xy—2y *) dx -|- (y²—4.xy — 2x²) dy = 0.

5) (2 V/ xy—x)dy-\-y dx — 0.

dx-2j/

¹⁷ dy — 0.

jdy —0.    13) {l-f-ey ^dx-fey^l—^dy=0.    14) (x²y-t~y³)dx—3xy²dy -^0

3x²

2xdx

LTy*~

10 y'¹ dx-\-(xy-\-xl)dy — 0.

12)

y⁴

dy

¹⁸⁾ £+!,=a:3-ai) X -

-ć- dx x

24) —f-Ą-y cos x —

dx

x-j-l

16) y³dy-f 3y-xdx-\-2xidx — 0.

2-iTiy=⁽*+1)s-

20)

a»

-- sin 2x.

ax³.

dy

¹⁷>

—xy — a.

dy

dy

²⁷⁾ 3y²- -^-ay³-x+l.

23) dl +_i_, = Vil’.

dx^(l-x²)³//    (1-X²)²

26) (1 —x²) ^—X,J — axy².

²2 *ć + *+i

28) [i

]^ =

—l^y = 0.

y J

& ⁺

Y/x²+y²    Y/xM-y² y

32) (sin y\y cos x)dx-}-(sin x \-x cos y) dy — 0.

34) xdy — y dx — \/xl-\ y² dx. 35) dy — (a-\-bx-\-cy)dx — 0.

-a «*>(l),-⁴“*I*»!=⁰' ⁸⁹) (!)-(“+*)

dy , a

-i—y

⁴³> -Ms)’}-¹-

—xy — 0.

O—y)

dx

_4- r

V/x²-fy² ^-y    y\/ x²-j~y²

31) ec(x²-ł-y³+2x)dx-{-2yex . dy =• 0.

33) (a²y-f-x³)dx-f-(ó³-|-a²x)dy = 0.

³⁶> (^)-“,=⁰- ³⁷>(!)

⁴⁰⁾    (x+»-t-0Gx) ⁺^(i+x+!,)Ê

⁴²⁾ (I*)’ - (*»+*y+»>)^),+ (**jf+**»f*+*ir*) ^

44) 3,3 (Ê) ⁻²^

«) x+y| = 2j,.

Znaleźć najprostsze czynniki całkujące, tudzież całki ogólne następujących równań różniczkowych niezupełnych :

51) (l-j-xy)y dx -f- (1 — xy)xdy — 0.

29)

30)

— ax

⁴¹^ dx

— ÔX”.

^ +y²—x²y²4-*⁴ = 0. ⁴⁷⁾

—x²y² = 0.

^ — x³y³ = 0.

46) xv^lS⁺(x'-y'-a'Y:’

dy

xy — 0.

dy

6°) x+yix

« (dÏŸ

U '

ix

—4 a² = 0.

52) (nx sin -- y cos -—) dx — xaos~dy — 0. 53) (x“-j-y)dx—xdy = 0. 54) {xy-\-yr)dx-\-(xy—l)dy — 0. 55) (5x²-(-4xy²+3y)dx-j-(2x²y-fx)dy — 0.

56)    Znaleźć linie krzywe, których styczne wyznaczają na osi x-ów odcinki równe ą(x).

57)    Znaleźć linie krzywe, których styczne wyznaczają na osi y-ów odcinki równe <f(x). Znaleźć linię krzywą, dla której :

x4-y

58) Podstyczna T‘ —

59) Podnormalna: N'

xJrH

- 950 -

60) Znaleźć linię krzywą, dla której odcinek stycznej w każdym punkcie zawartą między osiami układu miałby stałą długość równą a.

Wyznaczyć całki ogólne i całki osobliwe następujący cli równań różniczkowych :

ei)x(ty~2ii%+ix=o- e2>

⁶³>    «) y=*d£+°f-W

65) y = x ^ +

'    dx dx

dy

(dyV

\dx) ‘

==o.

68) y =

66) y=*2+«^i-(|)s-

⁷⁰⁾ (ID +2x^~y

7ł>

⁷²> ⁸(!)³-=²^

= 0.

74) (*»    = 0.

,6) ,-4-«y₁+(g),=o.

⁷⁶>

77)    Znaleźć obwiednią ellips, w. których suma półosi jest stałą równą a.

78)    Jaką krzywą obwija linia prosta AB, poruszająca się swemi końcami po osiach układu tak, że: OA-Ą-OB = a.

79)    Jaką krzywą obwija linia prosta, która jest prostopadła do prostej przechodzącej przez stały punkt A na osi y-ów, przyczem OA = a i przez punkt przecięcia się prostej ruchomej z osią a>ów.

Znaleźć trajektorye prostokątne układu krzyw}rch określonych następującemi równaniami o stałej dowolnej C:

81) xi+y*+C* = l+2Cxy.

82) Znaleźć równania biegunowe krzywych rzutów poziomych na XOY loxodromij-nych na kuli o promieniu 1.

88) Znaleźć krzywą, w której długość normalnej N pozostawałaby w stałym stosunku X do jej odcinka na osi æ-ôw.

84) Znaleźć krzywą, której powierzchnia byłaby równą sześcianowi rzędnej y punktu końcowego, podzielonemu przez odciętą x tego punktu.

80)    æ²-j-y² — Cx.

85)    Znaleźć linie krzywe, które przecinają układ prostych y — cx pod kątem stałym.

87)    Znaleźć krzywą, dla której powierzchnia : J y dx = — (a?²-fy²).

88)    Znaleźć linię krzywą, w której stosunek między rzędną y a podstyczną T‘ byłby równy stosunkowi między pewną stałą długością a a różnicą spółrzędnych: y—x (Zagadnienie Beaune’a).

89)    Znaleźć trajektorye prostokątne ellips, określonych równaniem: y= — y/a²—x¹, gdzie G jest dowolnym parametrem.

Dla jakiej krzywej będzie powierzchnia:

90) \Xydx^Xy

•'o

91) Ç y dx —

Jo

1 ("f    1

94) A₀... <p = g-J r² (ï® = y ar cp.

x fy-j-a). 92) j y dx=x\/ay. 93) j ydx — 95) A₀...<p = ~^ri d-o =    —ar.

x ®(y)>

Dla jakiej krzywej będzie długość łuku:

97) S₀... x = C V l-\-y^dx = 2\/ax-\-y. Jo

99) S₀... cp = [* \/V²-j-r'² dy =

— X.

98) SJ... x. = V/ l-f-y'²<te = Y/y²-«2 J o

«? —r.

100)    Znaleźć krzywą, której podstyczną N' jest równa n-krotnej odciętej x.

101)    Znaleźć krzywą, w której długość stycznej T jest średnią geometryczną propor-cyonalną między rzędną y a daną długością a.

102)    Znaleźć linię krzywą, która miałaby tę własność, że jej łuk mierzony od pewnego jej punktu (x, y) byłby równy \/2xy.

103)    Znaleźć linię krzywą taką, aby powierzchnia zawarta między krzywą, osią x-ów i rzędną y punktu końcowego pozostawała do powierzchni prostokąta zawartego między spółrzędnemi (x, y) tego punktu końcowego w stosunku, jak m : n.

104)    Znaleźć linię krzywą, w której prosta wyprowadzona z początku układu prostopadle do stycznej w punkcie P(x,y) tejże krzywej miała długość równą odcinkowi cc punktu styczności.

105)    Znaleźć krzywą, w której odległość punktu od początku układu byłaby równa odcinkowi stycznej zawartemu między punktem styczności a prostopadłą wykreśloną z początku układu.

106)    Wykazać, że trajektoryami ortogonalnemi lemniskat o równaniu: (x²-\-y²)² = axy są lemniskaty podobne o równaniu : (x²-|-y²)² = Cxy.

107)    Wykazać, że traktrysa jest ewolwentą linii łańcuszkowej.

108)    Znaleźć linię krzywą, któraby miała tę własność, że kąt a, zawartą między styczną w pewnym punkcie krzywej a osią cc-ów jest równy podwójnemu kątowi, zawartemu między promieniem wiodącym tego punktu a osią cr-ów.

Znaleźć linie krzywe, któreby miały tę własność, że prostopadłe px i p₂ wykreślone z dwu stałych punktów F₂ na ich styczne miałyby:

109)    stałą sumą p₂-\-p₂ =2a; 110) stałą różnicę Pi~p₂ =2d] 111) stały iloczyn p₂p₂ — p ; 112) stały iloraz p{ : p₂ — q.

118) Wykazać, że równanie różniczkowe ewolwenty danej krzywej y =•=*/(:»), możemy przedstawić w postaci :

ź+A-y)-

y ⁼⁼

Znaleźć ewolwentę:

Q I 8

bO\ tsS

= i;

b²

114) koła: x²-\-y² =* a²;    115) ellipsy:

117) paraboli: y² = 2ax] 118) paraboli Neila: y = ax³li.

119) Wykazać, że równanie różniczkowe rzutu poziomego linij przecinających południki powierzchni obrotowej: x — r cos », y = rsino, z—f(r) pod stałym kątem a, sprowadza się w spółrzędnych biegunowych r, o do postaci: V l-\-[f\rj\² dr r cotg a . d* — 0.

Rozwiązania LVI1I. 1 )y-\-b — Cex. 2)--^-logxj . 3) x² — C(x-\-y).

4) y = Ce

5) ye

YZ

c.

6) a² = 2 Cy-\-C².

C.

7) -g--2x²y-2y²xĄ- — =

8) xi-\-Gx²y²-\-yi = C. 9) x²-\-y²—xy\x—y = C. 10) (x-by)²(//-(—2a;)³ = C. ll)x²—y²—Cx.

13) x-\-y e'J= C.

12) x²-y²=Cy³.

16) y²-j-2x² = CX/x^+y².

19) y = (*+l)»{!?±îl*+o).

22) y — ax-J-Cx\/ 1 — x²

={⁽*i^+c(*+¹)²}~Vï-

32) æsiii y-\-ycos x= C. 33) X 36) {y — C)²—a²x² = 0.

14) (x²—2y²)³ — Cx². 17) y — ax-j-cVl-t⁻#²*

20) y = (a;-(-l)«[e*+C,].

15) y

18) y = cc³—3x²-j-6x - 6-{-C.ex.

21) y=^Cx«Ar~—

1—a

23) y^Ce 1—** _|_

25) y

= (7.

V/l-x²' 26) y = [C\/T^-a)-x.

29) y² = C²-2Cx.

24) y — sin x - l-j-C'c-sin

27) y³ = Ce«* -    — i.

a a¹

31) e*(x²+y²)=C.

30) y²—2Cx = C².

-\-a² xy-\-b³y = C. 34) x² = 2Cy-\-C². 35) c(a-\-bx-\-cy)-{-b = Cecx 38) (log y\ C)²—a²xi = 0.    39) (y-C)²-

37) (y — C)²—ax³ — 0.

a:¹

+ -|-a;³ = 0. 40) (y—y + Ć)(y + Ce*}(y\ Ce²) =

0. 41) y

«) (y+c-^)(»+iTö)(^+Ce2)=a

tangV^+a

43) y — \/x{ 1 - x)—

Ca²

c^Fï

49) y² = 2(7x+(7².

44) [y—a: sin hip ((7+a:)]. [y—x sinhip (C- x)]=0. 45) y²— (7²x²-|-

47) y²=Cx²-

1-M(T

» 0+« log [ri V/I+?). V

⁶³>i

50) log

48) (y²—O')²—16a²x² — 0.

M)

i æ

i log —

y

2C»t—1

m—1

— = C.

fC.

54)

i—i ;

arc

— 0. 46) (x - y) ex~-y =■* 0.

50) x-\-yp — ap²,

— = C. 52)

xn =

O'sin y-.

®y

x² sin —

, x²-f-2xy —2 log y = C.

⁶⁵>

x^-^x¹¹ y²-{-x³y = C.

57) y=JyC-Ÿ~?«*\

58) (x-y)² = 2(7y.

—x(x)

59) (x—y)²(x-|-2y) = C, Astroida. 61) x² —C{y— C),

#²+y² = a².

65) y — 0,(.r+1 — C), 4y=(l-ffx)². 66) y — G»+a\^l—(P, y\-x\ = a\.. 67) y = Cx-j-a\/l-|-C²

63) y² = C²(x—C)²,    x⁴ = 16y.

62) (?²+2(7y+a²-x²:=0, 64) y = <7x+a\/l + C'²₁    x²+y² = a².

y ² — 4x².

x²-ffy² — a².

68) y = CH- V/a+(a+P) O'²,

a'²

2/²

69) C²x² = 2Cy-\-a, y² — ax².

4-x)=o

74) x²-|-2y² — 0,    75) x²d-y² — a².    76) y — -4-at.

81) x\/1—a² —

ÏXP+6²

= 1.

71) y=0(x-C)²,

70) (8xy-|-2x³-|-0)a-4(y-f-x²)³ = 0, y= — x².

72) y² = (x-ff(7)³, y = 0.    73) y⁴ = 4a²x².

77) x’h+y⁵/:, = **/>,.    78) \/x"-f Y/V-=VA_.    79) y=~.    80) x²+y² = Cy.

—yY/ 1—y²-f-arc sin [xV^ 1— y²—y\/1—x²] — C. 83) (x²—l)(x²+y²)= C²+2(7x.

82) tang *

84) x² —2y²= Cx\.

= C'e9°cotg«₎ gd/de sin 85) arc tang ~ = k log \/x²-|- y ² -j- 6'.

Spiralna logarytmiczna. 86) y—x = Ce^ *.

87) logV/x² —xy-Fy²-|- o arc tang

2 y—x

V/3

= C.

_ A

88).x —y—a-j-e «-f-U.    89) y² — C²—x²-|-2a² log x.    90) y — C xn—h

₉₃) tog.-fïS^+a

Jy-x(y)

97) y = -    — \/ax.

101) x-j-U — Y/ay—y²+a arcsin V~

104) x²+y²=(7x.    105) log

110) Układ dwu prostych. Ill) Elipsy lub hiperbole. 112) Pęk prostych

92) y =

aC²

(O'—x)²

94) r

Ca

<7—*’

95) r —

96) r² — a²(e<P—1).

100) y,i — Cx.

103) as» - »» = Cjy™.

109) Koło.

rH ICC

2x

98) y — a sec —.

= arc tg

99) r —

ca a

ev—1

a , . • er-t-1

108) x²-j-y²—Cy — 0.

Literatura G. Boole: A treatise on differential equations. London 1872. Dr. Stanisław Kępiński: Podręcznik równań różniczkowych ze szczególnem uwzględnieniem potrzeb techników i fizyków. Część I. Równania różniczkowe zwyczajne. We Lwowie. Nakładem komisyi wydawniczej biblioteki politechnicznej 1907. Dr. Oskar Schlö milch: Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis. Zweiter Teil. Leipzig 1900.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya czynników całkujących w równaniach różniczkowych rzędu pierwszego.

2.    Teorya i zastosowania równań różniczkowych Riccati’ego.

3.    Ewoluty i ewolwenty krzywych płaskich i teorya rulet.

Wykład LilX.

Równania różniczkowe zwyczajne drugiego i wyższych rzędów.

1. Równania różniczkowe liniowe n-go rzędu. Równaniami różniczko-wemi liniowemi rzędu n-go nazywamy równania różniczkowe kształtu : dn y

dn~¹ y

dxn

dxn~v

fX₂

dn~²y

dxn~

2+... + X„y = X,

(1)

gdzie X1? X₂, ..., Xn, X są funkcyami wyłącznie zmiennej niezależnej x, albo liczbami stałemi.

Jeżeli druga strona równania (1) jest zerem, tedy otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe n-go rzędu sprowadzone do zera.

Twierdzenie: Jeżeli y1? y₂₎... ,yn przedstawiają n oddzielnych funk-cyj, które czynią zadość równaniu liniowemu:

dn~²y dxn~²

dny

dxn

dn~

(2)

dxn~x

zwanych całkami szczególnemi równania różniczkowego, tedy funkcya :

y=c i«/i +c₂y₂ + ... + cny gdzie: cl5 c₂, C₃,...,c„ są stałe dowolne, będzie zupełną całką danego równania różniczkowego.

Podstawiwszy bowiem przyjętą wartość ogólną na y i jej pochodne w dane równanie różniczkowe (2), otrzymamy :

dn~~Vi

dxn~x

(3)

Cl

dny

dxn

dny₂

dx

+x₂

dn~²y,

dxn~²

dn-xy₂

dxn~x

fX₂

dn~²y₂

dxn~²

+ "k

...    J-

/ dnyn V dxn

dn~xyn

dn~²y„

=0.

~ + ... + Xny

r+x 2

+ cn

Skoro zaś wedle założenia yu    s$ całkami szczególnemi, spra

wdzaj ącemi dane równanie różniczkowe, to ostatnie równanie jest tożsamością, zatem jest: y = ciyiJrc₂y₂Jr..-\-c₇,yn także całką danego równania różniczkowego, a z powodu n stałych dowolnych, zarazem całką zupełną.

Rozwiązanie zupełne równania liniowego n-go rzędu, w którym wyraz wolny jest zerem, s zań, czyli n całek szczególnych.

dxn~

dxn~

prowadza się zatem do wyszukania n oddzielnych rozwią-

- 954 -

2. Równania różniczkowe liniowe w-go rzędu o stałych spólczynnikach.

Niech będzie:

dny dn~'y dn~²y

+a,d^+ai

równaniem różniczkowem liniowem n-go rzędu o stałych spółczynnikach : au a₂,    sprowadzonem do zera

Przyjmując całkę szczególną w postaci: y = clr, otrzymamy:

dxn

dxn~²

...Ą- any—O,

dny

dx

•• ?

dx¹¹

XneXx.

podstawiwszy te. wartości w dane równanie różniczkowe, otrzymamy, po odrzuceniu czynnika ekx

na

wyznaczenie X równanie w go stopnia:

(5)

Xn j-^X⁷¹-¹ + a₂Xn~²-\-... + a„ =0,

które nazywamy równaniem charakterystycznem danego równania różniczkowego.

3. Jeżeli równanie charakterystyczne ma n pierwiastków rzeczywistych i różnych: Xxi X₂₎..., Jn—i, Xn, tedy otrzymujemy układ n całek szczególnych, zwany u kła dem zasadniczym:

yi==e^x₁ y₂=e^x, y₂ = e*>x ,..., yn = ezn:x, za pomocą którego znajdujemy całkę ogólną w formie:

y=ci    +c₂e^x +... + Cne^.

Przykład. Dane równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych spółczynni-

kach w postaci:

(6)

Kładąc: y — e^x, otrzymamy równanie pomocnicze: X²—8X-f-2 = 0, stąd: Xt=l, X₂= 2 zatem układ zasadniczy całek: yi—ev₁ y₂= e²*, a stąd całkę ogólną danego równania różniczkowego w postaci: y — c,eE-j-c₂e2ł-.

4. Jeżeli między n pierwiastkami nierównymi pojawia się para pierwiastków sprzężonych w formie a-\-bi, tedy otrzymamy w całce ogólnej odpowiednią parę wyrazów w postaci:

ax—bix

czyli :

ci    -f c₂ e{v-U)x=cx eax+iix-j-c₂e

cxeav .ebxi-\-c₂eax ,e~bxi=cxeax(cos bx-\-i sin bx)-\-c.₂eax(cos bx—i sin bx) =

=(cx + c₂)eax cos bx-\-(cx — c₂)ieax sin bx.

Kładąc: cx-\-c₂ = A, (cx — c₂)i=B i uważając A i B jako nowe stałe dowolne, otrzymamy: Aeax cos bx-\- Bear sin bx, jako parę całek szczególnych, odpowiadającą parze pierwiastków sprzężonych: Xx =a + bi, X₂ — a—bi.

d*u /7i/

Przykład.    ~\~13y — 0. Kładąc: y — e^x, otrzymamy równanie pomocnicze:

X² —4X-J-18 = 0, stąd: X —2+8*, z-atem zupełną całkę ogólną danego równania różniczkowego w formie : y = Aelx cos 3as-}-Be¹** sin 3æ.

5. Jeżeli pomocnicze równanie charakterystyczne ma pierwiastki równe, np. Xx=X2} tedy sprowadzają się w całce ogólnej odpowiednie wyrazy: Cj e^x + c₂e^x do jednego, {cxc₂)e^x \ liczba stałych stałaby się tym spobem o jedną zmniejszona, całka uważana za ogólną przestałaby być ogólną. Ażeby w tym razie wyprowadzić zupełną całkę ogólną, przyjmijmy na razie pierwiastki Xx i X₂ jako różne i połóżmy X₂ = Xx+h, tedy będzie:

cx e^x + c₂ e^x=cx ek'x + c₂ e¹^+A)a:=e'LiX(ci Ą- c₂ehx)=e^xycx -f- c₂ -\-c₂hx +

c₂h²x²

2!

b...

— 955 —

Kładąc: cxĄ-c₂—A, c₂h = B, jako nowe stałe, otrzymujemy:

Cj e^x -\-c₂e^i'+h^C:= e^x^A-\- Bx-\-Bh^y + ...^,

stąd wypada dla ń =O forma: e^x(A-\-Bx), zastępująca dla Xx = X₂ wyrazy: cieZiX + c₂ex*x z zupełnej całki ogólnej. Dla trzech równych pierwiastków: Xl=X₂=X₃ otrzymamy podobnie w miejscu: cieZiX:c₂ez*x + c₃ez*x formę: ez‘x(A + Bx-± Cx²), ogólnie dla r równych pierwiastków, czyli dla pierwiastka r-krotnego w miejscu: cxezix-j-c₂ez*x +.,. + crezrx odpowiednią część zupełnej całki ogólnej w formie :

ez‘x(A₁ + A₂x-\- A₃x² 4-... + A,jt?’~i).

Wielokrotnemu (r-krotnemu) pierwiastkowi X równania pomocniczego odpowiada zatem całka szczególna Ce**, gdzie C jest funkcyą wymierną (r—l)-go stopnia zawierającą r stałych dowolnych.

Przykład.

(Lf’ — dx* ~    y ~ eZvi otrzymamy równanie pomocnicze

X³—X²—X-j-l *= 0, stąd:X₁= — 1, X₂ = X₃ == 1. Pierwiastkowi pojedynczemu X₁=— 1 odpowiada w zupełnej całce ogólnej wyraz ce-*, pierwiastkowi podwójnemu X₂ = X₃ = 1, zaś wyraz: e*(A-\-Bx). Zupełną całką ogólną danego równania różniczkowego będzie zatem funkcya : y — ce—x-\-(A-\-Bx)ex.

6. Jeżeli para pierwiastków sprzężonych, kształtu a-4-bi, występuje w równaniu pomocniczem r razy, tedy otrzymamy odpowiednią część zupełnej całki ogólnej w formie :

(cą.-l c₂x+... + crxr~i) e^bi^x-\-(c\ + c'₂Æ-|-..+c',.æ,'~¹) eia~hi> r, która po zastąpieniu funkcyi : &ix i e~Ux przez funkcye goniometryczne, otrzymuje kształt:

(Ax + A₂x + ...+A,xr~~i).eav cos bxĄ-(Bi -f B₂x+...+Brxr~^)eax sin bx.

Wielokrotnej (r krotnej) parze pierwiastków sprzężonych kształtu azk.bi równania pomocniczego odpowiada zatem w zupełnej całce ogólnej całka szczególna: Aeax cos bxĄ-Beax sin bx, w której spólczynniki A i B są wymier-nemi funkcyami (r— l)-go stopnia ze względu na zmienną niezależną x₁ każdy o r stałych dowolnych.

Przykład.

dhj

+2»²

d*y

-f-n⁴y = 0. Kładąc : y = c-¹*, otrzymamy równanie pomocni-

dx⁴

cze: X⁴-|-2»²X²-|-»ł = 0, skąd: X₁=X₂ = -i-m, X₃ = X₄== — ni, zatem całkę ogólną kształtu:

y = (Ai -f- A₂x) . cos nx-\-(Bi -f-B₂x) sin nx.

7. Wyniki poprzednich rozważań mogą być zestawione w następującej regule: Jeżeli równanie liniowe n-go rzędu ma stałe spólczynniki, a wyraz wolny równy zeru, tedy kładąc w niem y = eZa, otrzymuje się równanie pomocnicze n-go stopnia. Każdemu pierwiastkoivi rzeczywistemu X odpowiada w zupełnej całce ogólnej wyraz CeZx, każdej parze sprzężonych pierwiastków aA-bi wyrażenie kształtu : Aeax cos bx-\-Beax sin bx. W tych wyrażeniach będą spółczynniki A, B, C, stałe, skoro odpowiedni pierwiastek jest pojedynczy, zaś wielomianami (r - l)-go stopnia, skoro odpowiedni pierwiastek jest r-krotny.

dx²

8. Równania różniczkowe liniowe ze stałymi spółczynnikami i wyrazem wolnym, różnym od zera. Niech będzie dane równanie różniczkowe kształtu :

dny dn~iy dn~²y dxn 1dxn1    2

dxn~%

fany=X.

(7)

- 956 —

w którem X jest daną funkcyą zmiennej x lub liczbą stałą. Możemy tu zastosować następującą metodę rozwiązania:

a) Wyznaczamy całkę ogólną równania z wyrazem wolnym, równym zeru, czyli całkę ogólną równania różniczkowego:

dn-²y ,    ,    ~

—+...+a.y=0.

d1i~iy

dn y dxn

ß) Otrzymaną funkcyę o n stałych dowolnych, podstawiamy w dane równanie różniczkowe, uważając stałe dowolne jako parametry zmienne.

y) Wyznaczamy te zmienne parametry tak, aby się stało zadość danemu równaniu różniczkowemu; w tym celu możemy poddać szukane parametry jeszcze (n — 1) dowolnym warunkom, a w-ty warunek, zawarty będzie w warunku, aby danemu równaniu różniczkowemu stało się zadość.

Najdogodniej przyjąć (n— 1) równań warunkowych tak, aby pochodne szukanej funkcyi aż do (n — l)-go rzędu przedstawiały się przy zmiennych parametrach ci, c₂, ••., cn tak, jak gdyby te parametry były stałe.

Ta metoda rozwiązywania równań różniczkowych nazywa się powszechnie metodą zmienności parametrów.

-j-n² y — cos ax. Dla równania :

dxn~

i "b %

dh/

dx>

. d*y

\-n²y = 0, otrzyjmujemy rozwiązanie zupełne: y — c, cos nxĄ-c₂ sin nx. Ten sam kształt rozwiązania przymujemy dla danego równania różniczkowego, uważając ct i c₂ za zmienne parametry od x zależne. Przyjąwszy

na wyznaczenie c, i c₂ warunek pierwszy, cos nx -^^-j-sin nx =0, otrzymamy drugi wa-

dcj    dc%

— n sin nx ——p n cos nx    = cos ax,

ctx    (XX

Przykład.

runek:

dx²

1    .    rfc₂ 1

— cos ax sin nx, —r— == — cos ax cos nx, n    (ix n

cos (n—»)*]

r~ J+Cl

Wstawiwszy te wartości w przyjęty kształt rozwiązania: y = c{ cos nx-\-c₂ sin nx,

otrzymamy szukaną całkę ogólną danego równania różniczkowego w postaci:

cos ax    .

y = —₂——j + "i cos nx-f-C₂ sin nx.

9. Równania różniczkowe liniowe ze zmiennymi spółczynnikami. Równania różniczkowe liniowe ze zmiennymi spółczynnikami możemy niekiedy za pomocą stosownych podstawień przekształcić na równania liniowe ze stałymi spółczynnikami. Należą tu między innemi równania różniczkowe

’ dxn~-

gdzie J, B, ..., L są liczby stałe, a X daną funkcyą zmiennej niezależnej x.

Równania tego kształtu dadzą się sprowadzić do równań liniowych ze stałymi spółczynnikami za pomocą podstawienia a-\-bx=et.

Niech będzie np. dane równanie różniczkowe drugiego rzędu, kształtu:

stąd:

zatem :

dcy

dx

1 Tcos (n-\-a)x Ci 2wL n-{-a

kształtu :

(a-\-bx)

dny

dxn

n—

-p Â (ot -p bx')

dhj

Kładąc a-\-bx — e*, otrzymujemy:

dx    dt ' dx²

1 rsin(n+a)a:    sin (w—a)xl

c> = L-n+a +--n-^r~l+Ą-

(8)

dy

We-2«

r d'Ly dyl Ldt* ~ dt\

Podstawiwszy te wartości w dane równanie, otrzymamy równanie różniczkowe,

d²y

dt²

+n²y = 0,

— 957 -

nt

nt

którego rozwiązaniem ogólnem będzie: y = c, cos — -j-r₂ sin —, stąd, kładąc: ż = log {a-\-bx) otrzymujemy rozwiązanie danego równania różniczkowego:

n    n

y = cx cos log (a-\-bx)b -j-c₂ sin log (a-\-bx)h .

10 Równania różniczkowe nieliniowe wyższego rzędu. Równania różniczkowe nieliniowe rzędów wyższych dadzą się niekiedy za pomocą stosownych podstawień przekształcić na równania różniczkowe rzędów niższych. Do tych należą :

a) Równania, w których brak jednej ze zmiennych. Równania tego rodzaju dadzą się przekształcić na równania różniczkowe rzędu o jeden niższego, skoro się przyjmie pochodną najniższego rzędu jako zmienną zależną.

dy d²y dx ’ dxl

a) Kształt :

0.

(9)

Kładąc

dy

dx

=p, otrzymamy :

d~y dp dx'¹ dx

zatem równanie różniczkowe kształtu : F

które zcałkowane prowadzi do równania: p = (p{x} c), czyli do równania różniczkowego rzędu pier-du

wszego : -~ = (p(x, c), zatem otrzymamy po powtórnem całkowaniu:

y=f(p{x, ć)dx-

jako całkę ogólną danego równania różniczkowego rzędu drugiego.

dy d²y dx' dxl

b) Kształt :

F (y,

0.

(10)

Kładąc

dy

dx

—p, otrzymamy :

d²y dp dp dy dp dx² dx dy'dx ^ dy'

zatem równanie różniczkowe rzędu pierwszego między zmiennemi y i p:

które zcałkowane daje:

F(y, P, p|)=a

P = <P(y, c), czyli: ^=(p{y, c)

skąd otrzymujemy: dx

dy

zatem :

dy

<p{y, c)

fet

v(y, c)

jako całkę ogólną danego równania różniczkowego nieliniowego rzędu drugiego.

Np. równanie różniczkowe nieliniowe rzędu tą drogą do całki ogólnej kształtu: y²Ą-{x—o)² = 6².

drugiego: l +    0, prowadzi

11. Szczególne przypadki równań różniczkowych nieliniowych tego rodzaju są:

dn y

a)

dxn

= X, gdzie X jest wyłącznie funkcyą zmiennej x.

Kolej nem całkowaniem otrzymamy :

dn~²y dxn~

dn~x y dxn~¹

2/=^ ... ^Xdx"+Cix”

\ — J Jxda^+e^+Cj,

+ c₂xw-²+...4-cw.

w końcu:

jako całkę ogólną.

ß) P

dxn

Równanie całkowalne dla w=2. Gdyż z równania :

dy d²y dy dxdx²^

= Y, gdzie Y jest wyłącznie funkcyą zmiennej y.

dhy

, czyli : d

m =2Y-.^, zatem:

\ClXj    (XX

dy

Ær²

Y, otrzymamy :

{%f=2fYd,J+c'

stąd :

dy

dy

dy

+ c2*

-^=(^Ydy+ei)\ dx jako całkę ogólną.

^2 y

Tą drogą otrzymamy np. dla równania: ^ — U1J- Całkę ogólną w postaci: log [«*/+ V/«V²+Ci ]+c2-

(2JYdy + cJi*

a więc:

(2 jYtfy + c,)¹'*

y")

dxn

Kładąc

dn—¹ y dxn~x dn y dz dxn dx

=8, otrzymamy:

, zatem :

dz

dz

, , C da

stąd : x= \

+ c.

- = (p{x, c) rzędu (n—l)-go całkowalne podług a).

równanie różniczkowe :

Jeżeli wyrazimy stąd z przez x i c, tedy otrzymamy: z=cp(x,c), zatem dn~x y dxn~

Jeżeli nie możemy wyrazić z wyraźnie przez x i c, wtedy możemy tak

postąpić :

Z równania :

dxn~¹

z mamy :

%zdz

dn~²y

dxn~

ä y    Ç(to f

dxn~

³ J" Ja«) J/w J/w’

w końcu :

z dz

fPÏ

Przykład. Znaleźć całkę ogólną równania : a

Kładąc: ^^ = 0, otrzymujemy:    ~ , zatem przekształcimy dane równanie róż

niczkowe trzeciego rzędu na równanie różniczkowe pierwszego rzędu między zmiennemi

X

dz    —

x i z w postaci: a—= s. Całka ogólna tego równania przedstawia się w postaci: z = Ce ,

jest równaniem różniczkowem drugiego rzędu, kształtu:

a± - c?

dx²

i ma całkę ogólną : która jest zarazem ogólnem rozwiązaniem danego równania różniczkowego.

y = Cea+Cx+C",

à)

dny

dxn

' ydx¹¹-² )’

dn~²y dxn~²

-T"₂=f\z) całkowalne podług ß).

CLX

Kładąc

z, otrzymamy :

dn y d²z dxn dx²

, zatem równanie różniczkowe:

d²z

Kładąc:

dkij    ^ 2^y

Przykład. Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego czwartego rzędu: a²-^₄ = ^-^.

■ dy

dx²

d⁴w d^z

= z, otrzymujemy :

zatem przekształcimy dane równanie czwartego

d²z

rzędu na równanie różniczkowe drugiego rzędu: a² —₂ = ;2!, któremu odpowiada całka ogólna:

z = CleaĄ-Oie która jest równaniem różniczkowem drugiego rzędu: ^ — c.ea 4-C,e    “

dx"

i prowadzi do całki ogólnej w postaci:

y = c₁ea+c₂c æ+c₃a5+c₄.

12. Równania różniczkowe jednorodne wyższych rzędów można za pomocą stosownych przekształceń sprowadzić do równań różniczkowych niższych rzędów. Należą tu równania:

a) Jednorodne ze względu na funkcyę i jej pochodne.

dy d² y dn y dx'¹ dxv""> dxn

Niech będzie:

f[x, y,

)-°

dy

dny ” ’ dxn ’

równaniem jednorodnem ze względu na: y,

Kładąc y—ez, możemy rząd o jedność zniżyć, otrzymamy bowiem:

dy ^ dz d² y dx dx ’ dx²

możemy zatem po podstawieniu tych wartości dane równanie przez ez podzielić, a tym sposobem zniknie zmienna z. Tak otrzymamy np. zrównania:

dy d²y dx ’ dx²i dß

skąd, kładąc:—dostaniemy równanie różniczkowe 1-go rzędu: dx

y,

=0 równanie:

f(x, 1, w,

dx

Ydx² \dx) \

Ti (    . dz

FI 05, 1

’ dx ’ dx²

(S)>°

du

dx

Ą-U

-°

z którego otrzymamy u—(p{x, c), a stąd:

0=fq>(x, c)dxA-c', czyli: log y=$(p(x, c)dx + c',

jako szukaną całkę.

ß) Równania jednorodne ze względu na zmienne i pochodne.

dy dn y

Równanie różniczkowe: F^x, y,

dx

, ...,

dxn

j =0 możemy uważać za rów-

nanie jednorodne, skoro uważać będziemy zmienne x i y stopnia 1-go,

stopnia -l-go,

dy

stopnia 0-go,

d²y

dxL

dny

dxn

stopnia —(w—l)-go.

Połóżmy tedy x—e?, y—uez, zatem: dx=ezdz, dy=ez(udz-\-du), tedy otrzy-

d²y dx*

Tak przekształcone równanie różniczkowe między u i z, nie będzie zawierało zmiennej z da się zatem zamienić na równanie (n—l)-go rzędu.

Jednorodność równań różniczkowych ze względu na zmienne x i y możemy ogólnie tak ustalić, że przypiszemy zmiennej x pierwszy stopień, a zmiennej y stopień w-ty, a jej r-tej pochodnej stopień (n-r)-ty. Kładąc mianowicie: x—e\ y=xn=u—uevł₁ otrzymamy:

e(n—1)<

mamy :

-=u-1

du

dx

dz

dy

dx

du dŁu

fW ⁺ J?

ja~z.

(du \ = \di+nu)

dxl

i t. d.

na

przekształcimy tak pojęte równanie różniczkowe jednorodne między x i y równanie różniczkowe między n i t, które nie będzie zawierało zmiennej t. Np. Równanie różniczkowe:

dy

xij~i~(xi+2xy) V = 0

możemy uważać za jednorodne ze względu na zmienne x i y i pochodne przypisując zmiennej x stopień pierwszy, a zmiennej y stopień drugi, pochodnej stopień pierwszy, pocho-flhi

dnej —₂ stopień zerowy i t. d.

x = &, y — x² u — we²*,

Połóżmy tedy : a otrzymamy:

# dhy 6 1 dx*

zatem sprowadzimy dane równanie różniczkowe do postaci:

s“+³|,+²“-(¹+²“)(s+²“)⁺⁴“!=0’czyli: «”⁺²⁽¹““⁾s‘⁼⁰’

a więc do równania różniczkowego drugiego rzędu ze względu na zmienną m, w którem brak zmiennej t.

13. Zupełne równania różniczkowe rzędów wyższych. Równanie różniczkowe rzędu n-go, kształtu:

dy d²y dny dx ’ dx²¹    ’ dxn

nazywa się zupełnem, skoro Vdx, gdzie:

r°

ai)

V=(p(x, y,

dy

dx ’ ”

pełną różniczką pewnej funkcyi U, która będzie kształtu:

dny\

dxnj ’

jest zu-

Jx u aJL ⁶lH\

P\ ’ V' dx’-’dx"-')'

Ze sposobu postępowania przy całkowaniu zupełnego równania różniczkowego rzędu pierwszego: dU=0 wypływa następująca reguła całkowania równań różniczkowych zupełnych n-go rzędu :

pochodna

(j[n u

Całkujemy wyraz, zawierający:    w pierwszym stopniu, jak gdyby

Ci JO

dn u

a ⁹

dn~

dxn~y

¹ y

~ była jedyną zmienną

dxn

jej pochodną. Przedstawiwszy

wynik przez üi, otrzymamy dU—dUi, jako zupełną różniczkę, zawierającą

Powtarzając powyżej wskazane działanie

. , . ,    .    dy dn~U/

dx ’    ’ dxn~¹ ’

juz jedynie: x, y, —

przedstawimy w końcu U, jako sumę całek U:, ZJ₂,... i t. d.

Przykład. y-\-Sx^^-\-2y -p (#²-f-2y²^)    — 0. Uważając lewą stronę za zupełną

różniczkę, połóżmy :

dU — (y Ą-3xp-\-2yp³) dxĄ-(x²-\-2y²p) dp,

gdzie: t-%

dy

dp — ~^dx. Całkując wyrażenie jedynie ze względu na p, otrzymamy: Ui=x²p+«/V, czyli:    p² (^) .

Zupełna różniczka dU, będzie atoli:

będzie zatem: dU—dUx={^y-\-x^S^dx^ skąd otrzymujemy: U—U^—xy^ a stąd:

ą +xy =    (f0+*y-

Pierwszą całką danego równania różniczkowego będzie zatem równanie 1-go rzędu:

14. Niektóre równania całkowalne za pomocą metody zamiany zmiennych. Za pomocą stosownych przekształceń, wywołanych wprowadzeniem nowych zmiennych, dochodzimy częstokroć do równań łatwo całkowalnych.

Przykłady. 1)

= ax-\-by. Kładąc: ax-\-ł>y = t, otrzymamy:

, dy dt u dhy _ dH dx dx ’ dx² dx² ' *

dH

zatem równanie przekształcone: ~—^ = bt, które jest równaniem liniowem o stałych spół-czynnikach.

dll

2) (1—a;²)——-—æ ^    ” O- Kładąc: arcsin a: — #, otrzymamy:

dhy

dt²

+-?²2/ = 0, stąd:

y = c, cos (g arc sin æ)-f-c₂ sin (ę arc sin x).

15. Zastosowanie metody zamiany zmiennych do równania różniczkowego rzędu drugiego sprowadzonego do zera. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego kształtu :

d*P, T>dy<n„ n d£> + 1 dx+Qy = (>'

ma, jak wiemy, (art. 1 str. 953) całkę ogólną kształtu:

y^CiVt +c₂y₂,

gdzie ys i y₂ są dwiema całkami szczególnemi tego równania.

Znając jedną z całek szczególnych tego równania np. yi możemy wyprowadzić dowolną inną całkę szczególną y2l a tern samem wyprowadzić całkę ogólną y w sposób następujący.

Niech będzie yi jedną z całek szczególnych danego równania, tedy mamy tożsamość :

(12)

dhys

dyx

dx²

+ PlxJ'

61

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

Położmy y=u.yi, gdzie u jest nową zmienną, tedy mamy: dy    dyx

dx U dx ^^'dx' dxl ” dx2 otrzymujemy zatem z danego równania różniczkowego następujące:

d%y±, pdyi

dx² dx

d²y    dhj₁

—— — tw —z—«

t-2

dudy₁

dx dx

d²u

ł"yi«tea’

d²u

dx²

a stąd :

d²u

czyli równanie różniczkowe:

A

Æz²

dyx

+-P+

dx

V\

dx

które wprost scałkowane prowadzi do równania :

du

czyli :

]°ëdx ⁺ ^Pdx+ 2 l0g ^=log Ci»

- fPÆe

du

y\

Otrzymujemy stąd za pomocą ponownego całkowania:

e~SPdx

=c<

y\

dx -f-    ,

zatem całkę ogólną danego równania różniczkowego rzędu drugiego w postaci:

ß—JPdx

y=c\yĄ

y\

dx-\- C%yx.

(13)

Przykład. Równanie różniczkowe

. dli

dx²

—a²y = 0 ma jedną całkę szczególną: «/,eax,

na tej podstawie przedstawi się całka ogólna w myśl wzoru (13) w postaci:

y=Cx e—axje—2ax    CjC«*, czyli : y = Oj e~ax-\- C₂eax

Uwaga. Dwie całki szczególne y, i y.₂ równania różniczkowego drugiego rzędu:

dhy

dy

Çy = 0 pozostają w osobliwszym związku ze spółczynnikiem P równania różniczkowego.

Z warunków: §H-p|^+<?2/i = 0, wyrugowaniu spółczynnika Q równanie:

-j-j-\-P-^j^-\-Qyi=0 otrzymujemy mianowicie po

d²y₁_ d²y₂

dx1 Vi dx*

,og w)+î ■pix=iog

dyv dy₂    — C Pdx

y% ik~y' = Ce ’

gdzie stała C otrzymuje pewną wartość, skoro yx i y₂ są dane dwie całki szczególne.

Rozumiejąc pod y₂ całkę ogólną danego równania, otrzymamy stąd wzór pod (13) wyprowadzony.

czyli :

a stąd:

a więc związek:

2/2

fP=0.

(14)

16. Przekształcenie równania różniczkowego rzędu drugiego na równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zastąpmy w równaniu różniczkowem :

dx'¹

zmienną y przez nową zmienną u za pomocą podstawienia:

^udx

tedy będzie:

. dy

~=ue

dx

§udx d²y ’ dx²

== u²e

j'udx

dll fudx

-r eJ ,

tir

zatem dane równanie sprowadzi się do postaci:

(“ï+Ê+pM+<3)

(IB)

fudx _

eJ =0.

Tym sposobem otrzymujemy na wyznaczenie zmiennej u równanie różniczkowe pierwszego rzędu :

du

dx

T u² -f- Pu T Q’⁼⁼- 0.

(16)

Wyznaczywszy stąd u jako funkcyę zmiennej x, otrzymujemy y z wa-, dy

runku: ~<=uy. dcc

Przykład. Mając np. dane równanie różniczkowe rzędu drugiego w postaci:

^~-\-a dx^~by “0, dochodzimy na mocy podstawienia y

= e§v"lJ do równania różniczko-

wego rzędu pierwszego :

du

—~\-u²-\-au-{-b — 0, czyli: dx-j-

du

0,

u^Ą-au-f-b

które w przypadku, gdy: u²-\-au-f-b — (u—a.^) (u— a₂), sprowadza się do postaci:

1    ( du _ du \ ₌

*2~“l ^«—«2    « —«)/

z której otrzymujemy ostatecznie równanie:

dxĄ

y =

17. Uwaga. Do otrzymanego powyżej równania różniczkowego rzędu pierwszego w po-

du

staci: ^Ą-u^Ą-PuĄ-Q = 0 możemy zastosować następującą uwagę. Kładąc: u — vz, a więc: du dz dv

dx=vT*+*T*'

« "d7c^"VJf- iper J/jj -+'■( ~    S⁴y położymy:

T) i dv _    .    ÇPdx    i    •    •    • t    •

Pv-\- — = 0, a więc: v = e J , otrzymamy na wyznaczenie zmiennej z równanie: ax

dz A.gîeSFdx+QeS

dz

Pdx

dx+^’+T-⁰’ 0zyłi: dx Tym sposobem rozwiązanie równania różniczkowego rzędu drugiego :

= 0.

przedstawia się dwoma równaniami:

\udx

u = ze

y = e

gdzie z jest całką równania różniczkowego rzędu pierwszego kształtu:

dJ.₊^-frdx+QeS

dx

fpdx    — fPdx

Powyższe równania sprowadza się pod założeniem, że: QeJ — ae J , gdzie «jest

^+(«+2²>“//,lx= 0, zatem : j    == Cv,

Pdx

= 0.

pewną liczbą stałą, do postaci: z której pod założeniem, że a jest liczbą dodatnią, otrzymujemy:

a że :

V/ a

Według założenia jest:

— r

u— ze, J —z

— arc tang

5==C‘-KW

'a    J

V!

Xdx.

przeto otrzymujemy z ostatniego równania :

z = \/a . tang (Cj — £ \/ Q ^x)i , przeto będzie: « = \/Ç tang (C, — \\/Q.dx)

y — C%e

^dx\/# tang ((7,— J    <te)

»

/72 »y    (Lu

jako całkę ogólną równania różniczkowego: —-j-f-P —-f-Çy = 0 pod założeniem, że:

, czyli, że:

a więc ostatecznie:

(17)

rf£c+2pe=°-

18. Przekształcenie równania różniczkowego rzędu drugiego na inne, w którem brak pierwszej pochodnej. Wprowadzając w równaniu różniczko-d²y dx%

a więc:

wem

dy

-fP — -\-Qy=0 nowe zmienne u i z za pomocą podstawienia: y = uz, dcc

d²y _ cPu dxL dx²

dy du dz

(7²,s

r/x

(7a;

-j⁻ %

da?

otrzymujemy :

d²z

A du -r, \ dz (

l²dx+FVTz ⁺ (

(7²m

U dx‘l

Przyjmując zmienną u tak, aby było:

dxl

du dz dx dx

+pS ⁺ «“)*=⁰'

(7a;²

(18)

„ du T. _    du

2 —+ Pm=0, czyli: — = (7a;    ' J u

--— (7#, a więc: u

Pdx

= 6    7

otrzymujemy na wyznaczenie zmiennej z równanie:

d²z

1 d²u P du

dx²

dxl

"T

u dx

+q)

z=0.

Ponieważ:

1 (7w w dx

1 d²u

u dx²

/ 1 du\ ²_ V u dx)

1 dP

2 dx '

1    dP

2    (7a;

1 d²u u dx²

1 (7²w    P du    _

u dx²    u dx⁺    4

przeto powyższe równanie różniczkowe określające zmienną 0 sprowadza się do postaci :

czyli :

P²

a tern samem :

LC t—

(7P

<te + <2’

d²z

/P²

= U ⁺

1 dP

(19)

dx²

więc do równania różniczkowego rzędu drugiego, w którem niema pochodnej rzędu pierwszego.

Wyznaczywszy stąd z, otrzymamy :

y—ze

Q =» o, gdzie a jest pewną liczbą stałą, otrzymujemy

2 (7a;

Pdx

(20)

T> •    •    . P*    1 *P

Przyjmując np. ze: ₄

na wyznaczenie s równanie różniczkowe:

którego całka ogólna pod założeniem, że a jest liczbą dodatnią, przedstawia się w postaci :

z=ae~xy/ a-\-C%exV a'

Dane równanie różniczkowe ma w tym przypadku kształt:

S+pË+(

a jego całka ogólna przedstawia się w postaci :

,j = {c.e-‘V“ + 0^}e~'^rdX.

19. Ogólna całka równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego z wyrazem wolnym różnym od zera. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego :

P² 1 dP 4 2 dx

a) y = 0,

g+J-ita-n,

(21)

w którem spółczynniki P, P są funkcyami zmiennej niezależnej Æ, rozwiązujemy w myśl art. 8 i 9 metodą zmienności parametrów, opierając się na całce ogólnej równania różniczkowego do zera sprowadzonego :

'■».rl-K»-«,

dx²

przedstawiającej się w postaci: y=CxyxĄ-C₂y₂.

Przyjmując tensam kształt całki ogólnej dla danego równania różniczkowego pod założeniem, że parametry Cx i C₂ są funkcyami zmiennej x, zakładamy, że w pierwszej pochodnej :

dV_r dyx dx ¹ dx ²

dCx dCn ix +yi~dx+yi dx

dy₂

spełnia się warunek:

dC

da

y'W+y‘‘Tx

²=0.

(22)

Wobec tego druga pochodna otrzymuje kształt:

d²y₂ ^ dyA dC\    dy₂ dC₂

dx dx ’

d²y dx²

na podstawie którego po uwzględnieniu danego równania różniczkowego otrzymamy na wyznaczenie zmiennych Cx i C₂ drugi warunek :

-«SK*

dx²

dx dx

dyx dCx dy₂ dC2 dx dx dx dx

P.

(23)

Z warunków (22) i (23) otrzymujemy:

ddy 2

dC

dC,

dx

dyx

a stąd :

"i

By₂dx

dy i

dx

-y i

dy₂

dx

dy₂

dx

dy₂

+ Ci

ą-

dx

Vï

dyx ’

Byxdx

dy₂

dx

dyx

dx dx

Całka ogólna równania:

staci:

y=

By₂dx

dyx

dy₂

P«i

PO

Byxdx

dy₂

dyi

(24)

^² dx dx

skoro i y₂ dwiema całkami szczególnemi równania :

• d2y+pd£ + Qy=°-

dx²

20. Znając tylko jedną z całek szczególnych równania:

dhj

dij

dx²

'rP'di+Qy^⁰'

np. yi zastosujmy do równania: z którego wynika :

d²y

dx²

dy

-\-P ~-\-Qy=R podstawienie: ij = uyi ctx

dy

lii

=u

dyi

du

dx

<P_y d2y\

dx ’ dx² dx²

du dyl d x dx

+yi

dx²

wtedy otrzymujemy:

» (d'h

l dx ²

+P

dx

+ Qy\ j+2

du dyx dx dx

₊ (P

du

ilx

d²u\ dx²)Vi =

li,

a stąd skoro :

d²y,

dy i

hP + Qy± — 0, na wyznaczenie zmiennej u równanie:

²u

y^ dx²

Otrzymane równanie różniczkowe drugiego rzędu możemy przekształcić

cl 2

równanie liniowe pierwszego rzędu. Kładąc bowiem : — = v,    —

(XX    (XX

otrzymujemy równanie liniowe pierwszego rzędu kształtu:

dx²

'S

na

dv

dx ’

dv

dx

¹ B

\    y i dx) yi

z którego na podstawia art. 6 str. 933 wypływa :

v—

J Pdx

du

otrzymujemy:

skąd ze względu na to, że: v =

(XX

dx e~f¹ " ’ / f T. f Pdx    \

yi-y j %i eJ <te+ J + C.

a stąd wobec y=uyt całkę ogólną równania różniczkowego :

+ Pt+C^R

w postaci :

y=y i

J¹y Hx

(25)

Znając więc zmienną jako jedną z całek szczególnych równania: dy

P Jl-ł-Qy=0 możemy na podstawie powyższego wzoru podać całkę ogólną równania :

d²y

dx²

dy

dx^+PTx+Qy=K

21. Przykład. Niech będzie dane równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci:

dhj 1 dy

x²—1’

Biorąc pod uwagę równanie do zera sprowadzone:

dx*

x dx a?²

a.

JXU

Cdx

= —e^xw dx xu ’

du

dy

, a więc:

a otrzymamy na wyznaczenie u równanie:

1—u—

du

dx

X²«²

dhj

dx²

* ~r~

dx

a:²«²

rac e x’\

b-4 o»yU:    1-0,

skąd dostajemy: --

du

.Y/d-y

logx+^logC^-^log]^

1_ {du

w(l-M²) U ' 2 \1 — U    1-f-U

- , a stad : u

— --r, zatem :

1—uL

Zważywszy, że: ^

Cdx

otrzymujemy: j-^ = log«--log (1—w²)-{-log C₂, przeto: y = é^xu =

czyli: u

Ci»²—1

Ci**+1 *

du

skąd wyrażając u przez x, dostajemy ostatecznie: y — C₂

Cjo:²—1

\/l-«² ’ czyli, co na jedno wycho-

2x\/ Oi

dzi : y = Cjar—1--^-, jako całkę ogólną równania:    +    --~=0.

Przy pomocy dwu całek szczególnych tego równania w postaci: yx = x, y₂——,otrzy-

dyi dy-i 2 y2Tx~yi~te~~x'

mamy ze względu na to, że:

na podstawie (25) wprost całkę ogólną równania danego w postaci:

a dx

*⁼ü

2(x²—1)

i⁻'■)*+()

ax’¹ dx

2 (1—x²)

a więc:

«Z

czyli :

a    a:—1 , \ 1

Tlosï+ï+cd ¥■

(a,-^)l0*x

X-J-1"

Na podstawie znajomości jednej całki szczególnej równania:

d²y

w postaci yi—x, otrzymamy z (13) całkę ogólną równania: w postaci:

d⁷y

dx²

+ i|!_4 = 0

a; dx x2 1 dy y ₌ a

x²—1

a; dx x²

-[00

ax²dx

e,)+Ą], czyli:

a że na podstawie całkowania przez części: f hx f* æ² dx

3^3p=t

1 P a?² dx 1 r dx ⁼⁼~ 2x²3x²— 1 ' 2 3

a?²—1

1 , x²— 1    a;

~2* ⁺ ~4x^l0g*

*+1’

przeto dostajemy :

-1

*+l ’

czyli jak powyżej :

-ł+c‘*+T + T (*-v)logx

22. Całkowanie równań różniczkowych drugiego rzędu za pomocą szeregów. Równanie różniczkowe drugiego rzędu określa zależność drugiej pochodnej od wartości funkcyi i jej pierwszej pochodnej w dowolnem miejscu zmiennej niezależnej x i dozwala stąd wyprowadzić zależność wszystkich pochodnych rzędu wyższego nad drugi od szukanej funkcyi i jej pierwszej pochodnej. Na tej podstawie możemy szukaną funkcyę przedstawić wprost lub metodą współczynników nieoznaczonych w postaci szeregu Taylora lub Maclaurina, przyjmując w jednem miejscu x=>a lub x = 0, wartość funkcyi y i jej pochodnej y‘ zupełnie dowolnie, kładąc więc np ya = Ci, y'a=C₂, względnie y₀=cu y\ = c₂ (Por. art. 20 str. 921).

Na szczególniejszą uwagę zasługują takie równania różniczkowe, których całki nie dadzą się przedstawić w formie zamkniętej i są źródłem funk-cyj nowego rodzaju. Należą tu w szczególności równania Legendre’a, BesseFa i Gaussa.

23. Równanie Legendre’a: (1—x²)^j^—%x*^+n(n-\-l)y==to.

Równaniu temu odpowiadają dwie całki szczególne, jedna yx, z warunkami: æ=0, yi~ 1, ^ =y\==0 w postaci szeregu:

CiX

«(«+1)    »(«+l)(»-2)(» + 3)

172~ ⁺    1.2.3.4    ~-

druga y₂ z warunkami: æ=0, y₂=0, <^²=#/₂ = l w postaci szeregu:

(w—l)(« + 2) 3i (w—1) (w+ 2) (w—3)(w+ 4) R * ⁺    1.2.8.4.5    *

y₂=x—

1.2.3

(26)

(27)

a więc całka ogólna :

Jeżeli « jest liczbą całkowitą, to jeden z tych szeregów przechodzi w wielomian, mianowicie szereg na yx urywa się przy parzystem «, szereg na y₂ przy nieparzystem «.

Równaniu Legendre’a: (1— x²)y“—2xy‘-\-n (« + l)y = 0 przy całkowitem «, czyni zatem zadość wielomian stopnia «-go, czyli t. zw. wielomian Legendre’a w postaci :

y=c,y+c₂y₂.

P»(æ)

1.3 ... (2«—1 ) /    n («—1)

w! V    2(2«—1)

æn-2 +

« (w—1) (w—2) (w —3)

2.4(2«—1)(2«—3)

æ"-⁴+... (28)

Wielomian Legendre’a zowie się także funkcyą kulistą pierwszego rodzaju i przedstawia się w postaci:

Pn(x)

1    d*(x²-l)n

2n . « !

dxn

(280

W szczególnośei otrzymujemy stąd :

p₀ 0*0=1, Pi (a?)=», p₂ (z)=-|-a?²

-y- **.(*)=

to Ol

Æ³—

x² Ą-

8'

d²y

Ażeby rozwiązać to równanie, połóżmy :

y=Aj æ™' -f A ₂ xm* + A₃ xm3 ...

a otrzymamy dla wykładników prawo: mr=mi +2(r—1), przyczem m²i=«²,

Ar J_

2 V Wj +r ’

dostajemy zatem dwie całki szczególne, jedną , odpowiadającą wykładnikowi mi—n pod założeniem Ax= 1 w postaci:

( x²    a;⁴    \

y₁⁼^V~2²(«4-₁) ⁺ 2!2*(« + l)(»+2)“’“J

drugą y2 odpowiadającą wykładnikowi mx——n, pod założeniem Al=l w postaci:

24. Równanie Bessel’a: x²

^4 (x² + n²)y=0.

zatem mx—n lub mx=—n, a dla spółczynników prawo: Ar+\— —

(29)

n(l    X2    xk    \

{    2²(—n+1) ⁺ 2!.2⁴(~«-M)(-« + 2T ⁺ '‘7

(30)

y₂-=x~

a więc całką ogólną: y=Cxyx + C₂y₂.

Całki yx i y₂ prowadzą do nowych funkcyj, zwanych funkcyami Besse’la rzędu «-go, oznaczanych przez względnie tak, że yi = CiIn,

- 969 -

y2⁼⁼⁼ G%1—■«• W szczególności dla n — 0 otrzymujemy funkcyę Bessel’a zerowego rzędu w postaci :

/y» 2

/ =1__ o ¹ 2²

it? ^

2H2 —    (—1)n

ocP*n

25. Równanie Gaussa: a?(l—æ)

d²y

2²4²... (2w)2_r‘” f {y—(a+/5 + l)æ} dy

(31)

— aß y «= 0.

dx²

Kładąc: y =    4-^4₂æ™+²-|-..., otrzymamy za uwzględnieniem danego

równania różniczkowego dla wykładników m t. z. równanie charakterystyczne: m (m—l + y)=0, które a dla spółczynników Ar równanie warunkowe :

dx

ma

dwa pierwiastki ^=0 i w?₂ = l—y,

Ar.fi =

(m+r+a)(m + r+ß) (m + r+1) (m + r + y)

Przyjmując mi= 0, otrzymamy pod założeniem ^4₀=1 całkę szczególną

w postaci :

y.-l₊^a:+“(« + !)/» (^+1)

a;² + ...

(32)

1.2 . y . (y+1)

przedstawiającą t. z. szereg hipergeometryczny Gaussa, oznaczany zwykle przez -P⁷(a, ß, y, a;), gdzie a, ß, y zowią się elementami szeregu. Szereg ten zawiera jako przypadki szczególne wszystkie szeregi występujące w analizie elementarnej.

Przyjmując m₂ = 1—y, gdzie y nie jest liczbą całkowitą, otrzymamy na podstawie powyższego prawidła spółczynników także drugą całkę szczególną danego równania różniczkowego.

26. Zastosowania geometryczne równań różniczkowych rzędu drugiego.

Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego wypowiada pewną własność, dotyczącą krzywizny szukanej linii krzywej lub wielkości z krzywizną związanych.

Całka ogólna równania różniczkowego rzędu drugiego przedstawia oo2 krzywych tego rodzaju, dwa warunki stosownie dobrane wyznaczające dwie stałe tejże całki ogólnej cechują jedną z szukanych krzywych.

Przykłady. 1) Znaleźć krzywe płaskie, w których promień krzywizny jest równy danej funkcyi odciętej x.

Otrzymujemy tu równanie różniczkowe:

M8T

=/(*)•

dhj dx2

Równanie to nie zawiera y, da się zatem sprowadzić do równania różniczkowego rzędu pierwszgo.

r.. , dy    d²y dp

Kładąc ; -=p, —t = - , otrzymamy :

stąd :

dp

zatem :

C dx ,

=W-^+c’

_ f (X4-C)dx

-j[i-(X+<7p]v,

W szczególności otrzymamy dla : f(x) = — , X =    =    ;

f    x²Ą-c

y = \ —,----------■ dx 4- O*

^ \/ai-(x²-j-c)²

jako równanie szukane.

(i-\-p²yiz f(x) X-\-C

P ~ Vï-{x+o)² ’

V/i+p²

więc: y

fCŁ,

zatem :

równanie krzywej, znanej w mechanice pod nazwą „krzywej elastycznej“; jej promień krzywizny jest do odciętej xy odwrotnie proporcyonalny.

normalnej.

2) Znaleźć krzywe, w których promień krzywizny jest proporcyonalny do sześcianu

Otrzymujemy tu równanie różniczkowe :

czyli :

«²

d'ly • dx'¹

[»V^DT.

d%y = dcc² y³"

Równanie nie zawiera a;, możemy tedy położyć: dr —

a¹

a otrzymamy: pdp = - dy

a² 1

P² — 2 +

y²

dy V y*—nal % /—

p^~-=-» dx — y n .

ydy

\Zy²—na⁷

x = \/n , VV²—na²-)-a, zatem: 6r—a)²—w² — -4- w²«².

równanie szukanej krzywej, która jest stosownie do n albo ellipsą, albo hiperbolą.

3) Znaleźć krzywe, w których promień krzywizny jest proporcyonalny do normalnej.

W

Mamy tu równanie różniczkowe:

d²y

ay

dx²

czyli :

*<£)-

d²U

Kładąc:

. dy

dx

= p, otrzymamy stąd:

dp

1+P² = ay , czyli :

2 dy 2p dp

1+p² ’

zatem :

czyli:

log (y)” = l°g(!+?’)) więc: p = y(c )    _1 ’

-Vi

rfy, stąd: a?= j[(y) l] hdy+c‘,

równanie szukanych krzywych, zwanych zwykle krzywemi Kibaucour’ a. Szczególne przypadki :

a) a = — 1; rozwiązanie: a?— Cj= — Y/c²—y², czyli: (.-r—ct)M-ya=c² koło (ńg. 260).

y+VV— c²

ß) a —-fi; rozwiązanie: — Z¹ — j*

. y+VV— c²^ c

= log

czyli :

linia łańcuszkowa (fig. 261)

, zatem:

v/ y²—c2 . y—V/y²—c2    c

o:—c,

, skąd: y = -|-(e ' +e

-C!

° )

Y-

,r

(S*

/<P

X-

f)

Fig. 260.

Fig. 261.

Fig. 262.

Fig. 263.

-()<*=-

c-y

, równanie różniczkowe cykloidy (fig. 262).

g-.-Cl—, parabola (fig. 268)

8) a = 2 ; x—ą —2\/c . \/y—c, czyli : y—c

4) Znaleźć krzywe, w których rzut promienia krzywizny na daną prostą ma stałą długość a, t. j. p cos a = a.

Przyjmijmy daną prostą jako oś x-ów, tedy otrzymamy równanie różniczkowe:

MI)TA

dy

dy

dx

dhj

rix²

V«©'

a, czyli :

dx

b+m

dhy rix²

— ai

Kładąc :    = Vi otrzymamy :

dx dp

p 1-f-p² ’

7aś dy ' dp Ś a 1-fp² ’

skąd po wyrugowaniu p znajdziemy równanie szukanej krzywej :

p dp

y—«2

x—cx    p

przeto : -— log —..........—, -

«    \/l-Hp²    «

arc tang p,

?=ït_logSm (*=*).

6) Znaleźć krzywą, w której promień krzywizny jest proporcyonalny do łuku, mierzonego od pewnego stałego punktu tej krzywej.

Równanie różniczkowe krzywej jest:

Kładąc:    = otrzymamy pierwszą całkę:

Ce&Tctiinep d/ = (l+p²YU.

(IX

«àVs

Podstawiwszy : arc tang p — T, otrzymamy równania szukanej krzywej w formie :

x—a = CxenT(n . cos T-f sin T\ y—b — CxenT(n . sin T— cos T).

Krzywa jest spiralną logarytmiczną.

ćwiczenia L1X.

Znaleźć całki ogólne następujących równań różniczkowych liniowych ze stałymi spółczynnikami :

1] tS~³%+2y==0-

³⁾

7,g-4iH*-a 8)3-g-|+y = o.

d²y

dhj

⁴⁾ Ö+“ S'“⁰-

⁹> g+^>=°-

= o.

12)

'O

dy

+8 ^+2?/ — 0.

“>3-^+*—- uoâ-v—.

¹⁸> S-²“i+⁽“!+6>=⁰-

₁₇v    d=ly_

J dxi rfx3_t~ rix²

dy

19)

a.

j+a²y = cos x.

21)

u> =

i4> s+-s^‘»

18) g+»-

B-²S+²S-²t+*“¹-

— 0.

X³.

COS X.

d²y

23) ^+4y == x sin² x.

²⁴> S-²l+*=~ ²⁸>

*> «3-3

3+£*~*-

⁸²⁾ rfx2+2/ = sin:c-

²⁶) 0-⁴l+⁸^=2e3*-

301 diy od*y \d*y

ÓV) rix*~^rix3 + rix²

Wyznaczyć całki ogólne następujących równań różniczkowych liniowych mających spółczynniki zmienne :

= X³.

dy

²⁷⁾ ^-²fe+s'“a: e3'-

²⁸> -3-3

⁸¹> •,2-*a-«r-a 32) (x₊«)>g-4(,₊«)g+ey=0. 38,^ + I|-iy

—0.

- 972 -

³⁵> *²B+²*l+°²*²^a 86)S+2æl+^^=°-

³⁷⁾ §+(a+6x)^+°&^=a 38) * ^₂+(«+^)    =    39) .r³ |j-3*² ^+7* ^-8y=°.

40) (aa-**)|^+2(» - l)x ^+«(»-l) = 0. 41) »*^-4» ^+% = *- 42) x²^-$x d£+ty = 2x\ 48) Wykazać, że znając dwie całki szczególne yt, y₂, odpowiadające równaniu róż-

jS+P2x+Qy^⁰'

w którein P i Q są funkcyami zmiennej x, otrzymujemy jego całkę ogólną w postaci: U = Oiyi + ^2-

44) Wykazać, że znając jedną całkę szczególną yi równania różniczkowego liniowego d /V d u

drugiego rzędu, kształtu:    ₂—P^-|-Çy = 0, otrzymamy całkę ogólną w postaci:

d²y

⁸⁴> *

dy

-j-2aj ^—a²x²f/ = 0.

niczkowemu liniowemu rzędu drugiego sprowadzonemu do zera, jak:

y=

46) Wykazać, że między dwiema całkami szczególnemi równania różniczkowego drugiego rzędu: ^+p^+^ = ° zachodzi związek: y₂~ — Vy^ = Ce~5ldx.

2/²i

cfo.

46) Wykazać, że całkowanie równania różniczkowego drugiego rzędu: ^Jj+P^-{-Çy    0, sprowadza się za pomocą podstawienia: y = e^"d'‘, gdzie u jest nową

zmienną, do całkowania równania różniczkowego rzędu pierwszego kształtu:

w²+Pw+ Ç = 0.

d^if dy

47) Wyznaczyć całkę równania różniczkowego:    ^ -f-% = 0 o stałych spółczyn-

ojc ojc

nikach a i 6 za pomocą podstawienia :

\udx

= eJ

, gdzie u jest nową zmienną.

7/ du

48) Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego:    ₂+P^ -f-Ç«/ — 0, w którem:

P² 1 <ZP

— 4~ ~2 ifo—Q==(t) gdzie a jest liczbą stałą dodatnią, możemy przedstawić w postaci:

-f-as'V/ a

—x\/ a

4~ 0'₂ e

\e-'l’fFdx.

y=

49) Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego drugiego rzędu:

i,»+Pd»i ₊ dP

dx²' dx dx

można przedstawić w postaci:

60) Wykazać, że skoro funkcya z jest jakąkolwiek całką równania różniczkowego:

^j^+P~p-Qy = 0, natenczas całkę ogólną równania różniczkowego kształtu: d²y

dy

dx²

4-P^-f-Çy—P, gdzie R jest funkcya wyłącznie zmiennej x, możemy przedstawić

w postaci :

- Ą    jR*JMxdx+ C, )+ C, }.

51) Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego rzędu drugiego, kształtu:

1 dy _ y ^_____

x dx x²    a:²—1 ’

d²y

dx²

możemy przedstawić w postaci:

x—l

x4-l‘

52) Znaleźć pierwszą całkę równania różniczkowego drugiego rzędu kształtu:

*+y'⁸

a+yy'

y“ =

Podobnie dla następujących równań różniczkowych:

53) x²

dhj

-MB*}*-

64) ,+8. *4* (g)’+ (-* +V®) 3-a

dxl

Wykazać, że następujące równania różniczkowe mają całki ogólne w postaciach obok podanych :

⁵⁵) ^“2/==0, W P°sfcaci: aJ=⁼¹°g(j'+V/2/²+c)+C.

dhj

56)    —ay — 0. w postaci:

— æ+sina;, w postaci: y = -i-a:³—sin

(1/7 iy

58) (1—a;²) —₂—æ    ~°²y = 0, w postaci : y = ct cos (a . arc sin a;)-|-c₂ sin (a • arc sin #)•

^ log (ay+V/a² y ²+ Ct )+ <*.    57)

dx*

kq\ dhy

59) a ^

x—c

rf*²

“)•

60)

d²!J

dy

Y/ay²-f 6't

=+ą. ci)

d²y

w postaci:

* iv

w postaci:

df{y")

fC₂.

63)

V“df{r)+Cx

x = c, -J-cos c₂ . log tang ^~j~C2.

All A,

⁸J^r

— ay, w postaci : ®=+0,. 62) ,-,(£0,

cosy—siny==l, w postaci:

w postaci:

4a/y -j-Cj

rfx²

*==^+«1 log (y+\/y²-fl—c²i)+log(y-c,Y/y²+l-c²t). 65) (¹+£c2)^2+¹ + (yf) = °> w P°*

^+“>g+*(g)-£

y+c'= log (a;²—c²) 5-log *+C.    68)    —1 = 0, w postaci: (a;-j-c)² = y²+c'².

= {1_KiD } W Postaci :    ci)ł+(y—«0* = «²-    70) y — (^) = y² log y,

-j-(^)=l, w postaci: a;+ct= \/y²-|-c².

staci: c²y = (1-j-c²) log (1 Ą-cx) — cx-\-C\

staci : y = y/a²-}-c²—a;² — c log

cĄ- V/ a²-}-c²—a:2 c'(a;—a)

w po-

= 0, w postaci:

69)

d⁷y

w postaci: log y = ct e*-|-c₂ e~*.

Znaleść linie krzywe, w których promień krzywizny p pozostawałby z długością normalnej N w każdym punkcie w następującym związku:

74) p => —2N.

71) y

dîy

dx²

72) p = -N,    73) p = JV.

75) p = 2N.

76) p = aN. 77) p = aN³.

N³ y⁴

78) p cos a. — a, gdzie * jest kątem, który promień p tworzy z osią a;-ów. 79) — = — ^.

Oznaczając przez p promień krzywizny w pewnym punkcie krzywej, a przez a kąt, jaki styczna w tym punkcie tworzy z osią a: ów; znaleźć krzywe, w których:

80) p = fc cosec² <x. 81) p = a;sec²a. 82) p = 2a: cosec a. 83) p = 2x sec² a. 84) p

cos a sin a.

85)    Znaleść krzywą, w którejby promień krzywizny w jakimkolwiek punkcie był równy promieniowi wodzącemu tego punktu.

86)    Znaleść krzywą, której promienie krzywizny byłyby proporcyonalne do łuków. Jakie krzywe przedstawiają równania między promieniem krzywizn}' p a łukiem s

w postaci :    87) p² = 2as.

Znaleść całki szczególne następujących równań różniczkowych:

88)    p²+s² = a².

89) s² = a(p—a)

90)    — ax. pod założeniem, że gdy x — 0, jest y — 0, y'— 0.

91)    ^^ = m²y, pod założeniem, że gd}T x = œ, jest y — 0, a gdy x — 0, jest y = ax¹

Vo-

d-y

-i

pod założeniem, że gdy æ=>0, jest y — 0 i y⁴ — 0.

93)

d²x

dx

a ‘-a

x, pod założeniem, że gdy :r = 0, jest t — 0, a gdy x = b, jest: — ==0.

rfiy    J

94) M Px-y px³ = 0, pod założeniem, że dla x = l, jest y — 0, y‘— 0.

dt²

Rozwiązania LIX. 1) y — ciev-Lc₂e'2x. 2) y—    C₂e—3) y=Clex-{-C₂eix.

4) y= Ojcos ax-f<7₂ sin ax. 5) «/ = (<?t-(-C₂x)ex. 6) y = c{e^x-\-c₂e'*x. 7) y = Aéixc,os, 3x-f-Be2:E sin 3x.

8) y= Ce-x-\-(A-\-Bx)ex. 9) «/ = (.4₁-j-^4₂x)cos x-fCBt-f-Bassin *• 10) y = (0j-f 0₂x-\-C₃x²-f C4X⁴)ex.

11) y = C'e-*-f(c₁+c₂a;)e2r.

14) y — (Cj-f 0₂x) cos ax-f (C₃ -f C₄x) sin <xx.

12) y = c₁c-!E-f c₂e~2a:.

13) y = eax(Cx cos bx-\-C₂ sin bx). 15) y = e²*(C'₁ + C₂x)-{- Vs (2x³-f 4x-f 3).

16) y — C, eaæ-f C₂e~ax -j- O3 cos ax-f 0₄ sin ax —

co

a 8

-f 3x³-f 12x².

18) y — Cjcos x-fC₂ sin x-\-xj₂x sin x.

17) y = (Gi + ^x^-ff 0₃-f C₄x-f— + "2'+ 19) 2/

cos x

a²—1

-f <7j cos ax-f C₂ S3n aa:‘

20) y — Cie^x-\-C₂e'*x-f -f C₂ sin x — i/₂x cos x.

12x+7

144

22) y=Oicosx-f

21) y = c,cos x-f c₂ sin æ-f (C3+c₄x)e*-f 1.

23) y — Cjcos 2x-fCj sin 2x-fygx—*/₃₂ cos 2x—i/l6 x² sin 2x.

24) y = ( Cj -f C₂x-f V₂x²) ex.

(Cjcos    -f C’₂ sin ) +

T—i C-*

e²*.

26) y — C\ex-\-

-|-Ce2r-f xc³*.

27) y — (C,-f C₂x)eT-f ^    —

to «

co co

^e²*.

28) y= <7jOa-f (7₂x-f C₃.

29) y=C'₁e“ + C₂e a-fCax-fC₄.

30) y-f^-f c₂x)e*fc₃-f c₄x-f rjô Tf+^x^ 12x².

31) y = c₄x³-f 32) y — cx(x-f a)²-f c₂(x-f a)³.    33) y = C'tx-f ^². 34) y =    (Ci««« -fC₂e «*).

35) y = *-(Ct cos ax-f C₂ sin ax). 36) y = e—‘/»^(Cj-f C₂x). 37) y = e-a* C'a -j-Je«*—V»⁶*² tfxj. 38) y = e—^{c^-j-C'jJ’x—ae^Æx}. 39) y=xi\Cl-\- C₂x log x-f C₃(log x)²]. 40) Podst.: y = (a-|-ßx)", y = (a+x)n j Cr! -f C,, j*    Æx}- 41) ?/ = c,x-f c₂x²-f‘/₂x. 42) y = x²jct-f c₂ log x-f (log x)²].:

y'

Y/1+y'²

48) Podstaw : y = «i\ 50) Podstaw : y = «2;. 52) y —    y'-f C\/ô-f y'². 53)

a;—«

a/ l/|    .4/--' J

⁵4) ** dx^²(^) +*y = G 72) (x—a)²-fy² = c². 73)y = -|-(e ' -fe ' j. 74) Cykloida.

75) y—c =

(*“*i)²

4c

-V2

77) Krzywe rzędu drugiego.

O/V«    O/Vt    ,

79) y²== Cjcos —-)-C₂ sin--f \/C\-f². 80) (y— c,)² — 2fc(c₂ — x).

dy.

78) Ü-* = log sin y—X a    a

81) 4C’y = x²—2<7²logy.    82) Cykloida. 83) y—l)v/ör. 84) y²=c(c-fCe c).

86) Spiralna logarytmiczna. 87) Ewolwenta koła. 88) Cykloida. 89) Linia łańcuchowa.

X    X

h ( ~ä "~¥\

82) y-fÄ = ye Jre y 83) x

05 i-¹

90) y =    ax³.

94) My~ (J’*-î) + f O’*-!')'

91) y = y^e~mx.

= & sin ( £

Literatura. A. R. Forsyth: Lehrbuch der Differentialgleichungen. Braunschweig 1889. A. R. Forsyth: Theorie der Differentialgleichungen. Leipzig 1893. I. Horn Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. (Sammlung Schubert Band I). Leipzig 1905. L Schlesinger: Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Vax-iablen. (Sammlung Schubert Band XIII). Leipzig 1904.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Ogólna teorya równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego ze stałymi i zmiennymi spółczynnikami.

2.    Równanie różniczkowe Gaussa.

3.    Równania różniczkowe Bessel’a i Legendre;a.

Wykład LX.

Zwyczajne równania różniczkowe o ilukolwiek zmiennych i układy równań różniczkowych.

1. Zupełne równanie różniczkowe pierwszego rzędu o trzech zmiennych.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu o trzech zmiennych x, y, z przedstawia się w postaci ogólnej :

P dx -f Q dy+B dz=0,

gdzie P, Q i P są funkcyami zmiennych x, y, z.

Z równania pierwotnego: cp(x, y, z) = C, gdzie C jest stałą dowolną, otrzymamy za pomocą różniczkowania równanie :

(1)

dcp

ćx

dxĄ-

dq>

dy

dy +

dcp

dz

dz=0.

czyli ogólnie równanie różniczkowe kształtu:

Pdx+Qay + Rdz=0.

Mając odwrotnie dane równanie różniczkowe kształtu:

Pdx+Q dy + lid'z=0,

musimy wpierw zbadać, czy ono może pochodzić z różniczkowania pewnej funkcyi pierwotnej kształtu: q)(x, y, z) = C. Jeżeliby tak bjJo, musiałyby być spółczynniki P, li proporcyonalne do cząstkowych pochodnych, pewnej zresztą niewiadomej funkcyi q)(x, «/, #), zatem byłoby:

dcp dą> dcp dx dy dz

czyli :

dcp

dcp

=fiP,

dx    dy

gdzie [i jest pewną nieznaną funkcyą zmiennych x, y, z. Z pierwszych dwóch równań otrzymamy warunek:

d*(p _ d (jiP) _ d(fiQ) dx dy dy

* ÿ/y    ÿy '    ()0C    ÔOC

dP dQ\₌₌Q<!E_pd£

) Vdx dy

czyli :

zatem :

Podobnie dostaniemy z równań:

dz

dx

dhp ₌ à(fiQ) d(fiR) dz dy

dydz

(3)

(«)

— 976 —

d²cp d (fill) d (pP) dz dx dx dz

następujące warunki:

dQ dli

ày) ày

(à)

dz ’

₌₌pdt_Rdt

dz dx'

Pomnożywszy równania warunkowe a), 6), c) kolejno przez B, P, Q otrzymamy warunek:

dli _dP dx dz

(c)

FßQ dB

) + «(

dû__dP

dx dz

dP dQ

(4)

dz dy

który musi się spełnić tożsamościowo, skoro dane równanie ma mieć całkę pierwotną kształtu: <p(#, y, z)=C. Takie równanie różniczkowe nazywamy równaniem zupełnem.

2. Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, możemy dopiero szukać odpowiedniego równania pierwotnego kształtu: q>(x, y, z)—O.

Sposób postępowania będzie następujący:

a) Całkujemy równanie Pdx+ Q dy=0, jak gdyby zmienna z była stałą i kładziemy stałą całkowania równą cp(z).

ß) Zróżniczkowawszy otrzymaną funkcyę ze względu na wszystkie zmienne, porównywamy otrzymane równanie z danem i wyznaczamy funkcyę cp{z) tak, aby otrzymane równanie różniczkowe było zgodne z danem równaniem.

Tym sposobem znajdziemy szukane równanie pierwotne czyli całkę danego równania różniczkowego.

Przykład. (y-\-a+dx-\-zdy— {yĄ-a)dz. Mamy tu: P = (y-f-a)², Q — z, R=—y—a

= -l,

()P

dQ

dli

dP

dQ

dli

— 2(y-\-a).    —- = 1,    — =0,    — = 0,    "7 ⁼⁼³ 0,

dy    '    ' dz    dx    dz    dx    dy

p(a«-

V dz dy

Warunek całkowalności spełniony, czyli dane równanie różniczkowe pochodzi od pewnego równania pierwotnego. Chcąc je znaleźć, uważajmy z jako wielkość stałą, zatem

0, otrzymamy tedy równanie: (y-\-a)'ldx-{-zdy = 0, czyli: dx-\-. Z~~-^ = 0, którego całką

\y+a)

będzie: x— —— = C, czyli: x~ —(p(z) Różniczkując otrzymane równanie ze względu na wszystkie zmienne otrzymamy równanie różniczkowe:

zgodne z równaniem danem, skoro będzie: —{y+a) = —{?/+<*+(y4"a)², czyli:    = 0,

zatem (p(z)=C. Szukane l-ównanie pierwotne będzie zatem: x—

zatem :

dz =

dy —

\y-\-a

dR

)+& = G/+«)² • 2—(y+a) ■ 2 (y-fa) = 0.

-e = C.

y+a

Moglibyśmy byli także uważać wpierw y jako wielkość stałą, otrzymalibyśmy tedy równanie różniczkowe: (y-\-a)²dx—(y-\-a)dz = 0, czyli : dz—{y-\-a)dx — 0, którego całką ogólną byłoby równanie: z—x{yĄ-a) = <p(y). Różniczkując to równanie i porównywając z danem, otrzymalibyśmy na oznaczenie (p(y) warunek:

x+i_m₌ *, czyii: y+a

z—x (y Ara)

<P(y)

d<p(y) dy zatem: — v —    ⁹

y+a x

stąd: log (f{y) = log («/+«)+ c, czyli: <PQJ) — b (y+a), gdzie b jest stałą dowolną, a więc: z~x{y+a) = b{y-\-b) równanie pierwotne zgodne z poprzednio otrzymanem.

dy

dy

y+a

y+a

<P(y)

y+a'

- 977 —

3. Jeżeli równanie Pdx-\-Qdy-{-Bdz=O jest jednorodnem ze względu na x, y, z, to rozwiązanie jego można sobie ułatwić za pomocą podstawienia:

x=uz, y=vz.

Przykłady. 1) (ay — bz)dx-\-{cx — az)dyĄ-{bx—ay)dz — 0. Kładąc: x = uz, y — vs, otrzy-

(av—b)du—{au—c)dv — 0, czyli: ^U

zupełną całkę danego równania.

2) {y'i-\-yz-\-z’l)dx-\-{x'i-]rxz-\-sT)dy-\-{x‘l-\rxy-\-yv)dz — 0. Kładąc: x =■ uz, y = vz, otrzy

mamy :

dv    i -,

-—skąd: av—b ’

au—

av—b

^ = C, zatem:

ax—cz

ay — bz

mamy :

dz

{v²-J- v -|-1 ) du-p (■u²--f-u-j-1 ) dv

, log «—log

uĄ-v-\-l

uv-\-u-\-v

a w końcu zupełne rozwiązanie:    = C.

4. Jeżeli równanie: Pdx-\- Q dy-\-B dz=0 jest całkowalne, to znaczy jeżeli pochodzi od jakiejś funkcyi pierwotnej: (p{x, y, z) — C, zatem czyni zadość

dP _dQ dy dx

warunkowi :

F{dQ dB

)+«(

dB dP dx dz

)+Æ(

dz dy

wtedy istnieje zawsze pewien czynnik y, taki, że będzie y(Pdx + Qdy-\-Bdz) zupełną różniczką du, zatem u=C zupełnem rozwiązaniem.

Czynnik ten nazywamy czynnikiem całkującym równania różniczkowego pierwszego rzędu. Szczególną jego formę wyznaczamy pod pewnymi założeniami z jednego z warunków :

d (yP) _d{yQ) d{yQ) _d (yB)    d (yR) _ d (yP)

dx    dz

dy

dx

dz

dy

5. Równanie różniczkowe niezupełne o trzech zmiennych. Zastanówmy się teraz nad przypadkiem, gdy równanie różniczkowe: Pdx-\-Qdy-\-Bdz=0 nie spełnia warunku całkowalności ; w tym razie nie pochodzi dane równanie różniczkowe od żadnej funkcyi pierwotnej kształtu: (p{x, y, z)=C za pomocą różniczkowania tej funkcyi i podzielenia otrzymanej różniczki pewnym czynnikiem y. Musiały tedy zajść inne przekształcenia, które z zupełnej różniczki pewnej funkcyi wyrobiły dane równanie różniczkowe.

Przyjmijmy tedy dowolną funkcyę f(x, y, z) = 0; różniczkując ją, otrzymamy równanie różniczkowe:

ÖX

dy

dz

(5)

Zestawiając te równania z danem równaniem różniczkowem :

Pdx-\- Qdy-\-Bdz=0

możemy z nich wyrugować z i dz, a otrzymamy równanie różniczkowe :

Mdx+Ndy=0,

gdzie M i N będą wyłącznie funkcyami z x i y.

Rozwiązując to równanie otrzymamy równanie (p{x, y)=C, zawierające stałą dowolną C, a łącząc otrzymane równanie z poprzednio dowolnie przy-jętem : f{x, y, z)—0 otrzymamy rozwiązanie danego równania różniczkowego. Rozwiązanie składa się w tym razie z dwóch funkcyi f{x, y, z)*=0 i (p(x, y) = C, z których pierwsza jest zupełnie dowolną, a druga od niej zależną.

Geometrycznie przedstawia tedy rozwiązanie pewien układ linij krzywych, wykreślonych na dowolnie przyjętej powierzchni, a posiadających

(6)

(7)

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. 1 Tom 11.

62

— 978 —

w każdym swym punkcie własność określoną danem równaniem różnicz-kowem :

Pdx-\-Qdy-\-Rdz =0.

Jak z teoryi krzywych wiadomo, są wielkości dx, dy, da proporcyonalne do cosinusów kątów À, fi, v, jakie styczna w danym punkcie x, y, z tworzy z osiami układu, t. z. :

dx

dy

dz

cos À COS [I

przeto posiadają styczne do otrzymanych krzywych, własność określoną

P cos Â+ Q cos fi-\-R cos v=0.

y2

--j —= Równanie nie odpowiada warunkom

całkowalności, nie pochodzi zatem od jednej funkcyi pierwotnej. Możemy tedy przyjąć

y 2    2*2

dowolny związek między x, y, z, np. -y -f- ~ -f- -₂ = 1. Ze związku tego otrzymamy:

równaniem :

Przykład. x dx-\-y dy-f c

V¹

a²

COS V

a:

^2“

z dz

b²

c²

0, zatem : dz — —

c²Pxdx y dy\

~Ź    ⁺ ~W^}

zdz = — c²

x dx

y dy

)■

Dane równanie: xdx-\-ydy-\-c ^ 1—~    ~dz — 0 sprowadzi się więc do kształtu:

xdx-\-y dy —    + ~^r^) — 0, czyli do równania: ^1 — x    — y dy = 0,

którego całką będzie: (l—x²-\-(l—y² = 0. Otrzymane równanie w połączeniu

y 2    2*2

+    + ^2 ~ 1 Jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego i przed

stawia układ krzywych na ellipsoidzie, których rzuty na płaszczyznę XOY są współśrod-

*Uj2    y 2

kowemi liniami stożkowemi. Przyjąwszy w miejscu:    -f- p- -j-    — l inny związek mię

dzy x, y, z, otrzymamy inny układ krzywych, który będzie miał jednak także własność określoną danem równaniem róźniczkowem.

6. Zupełne równanie różniczkowe o n zmiennych ma kształt:

.Ä.J dxJ -f- ^2dx2 -f- • •• "ł* Xn dxn = 0,

gdzie X,, X₂,..., Xn są funkcyami n zmiennych xi, x₂₎..., Xn.

X²

z przyj ętem: ^

(8)

Ażeby to równanie miało całkę kształtu: cp{xx, x₂,..., x„) — A, to muszą

dcp

współczynniki X* być proporcyonalne do pochodnych cząstkowych :

dXi

tak

dcp

żeby dla wszelkich wartości i — 1, 2,..., n było =

Wybierając z tych n równań jakiekolwiek trzy, np, i= 1, 2, 3, otrzymamy z nich warunek:

Y

àXi

dX₃ dX dx, dx?)

)⁺M

dXA _ dX2 dx₂ dxA

= 0.

(9)

Tworząc wszelkie możliwe kombinacye trzeciej klasy z n wskaźników, /n\ n{n—1) (w—2)

otrzymamy w ogólności:

wych. Równania te nie są wszystkie od siebie niezależne, gdyż te równania warunkowe, które np. Xn nie zawierają, mogą być oczywiście wyprowadzone z tych, które Xn zawierają. Takich równań, w których Xn się nie znajduje,

to też będzie ilość warunków od siebie niezależnych, którym spółczynniki równania różniczkowego pierwszego rzędu o n zmien-

podobnych równań warunko-

jest:

(n — 1) (n—2)

2!

nych muszą uczynić zadość, aby toż równanie miało całkę pierwotną kształtu :

(p j 5 * • • i m) ~ ^■

Skoro te warunki są spełnione, możemy wyszukanie funkcyi pierwotnej qp(o;₁, a?₂,xn)=C wykonać metodą przyjętą dla trzech zmiennych. Podług tej metody musimy najpierw przyjąć wszystkie zmienne, prócz dwóch, jako stałe i całkować tak otrzymane równanie o dwóch zmiennych, zastępując stałą dowolną funkcyą pozostałych zmiennych za stałe uważanych-

Zróżniczkowawszy następnie otrzjrmaną całkę ze względu na wszystkie zmienne, porównamy wynik z danem równaniem różniczkowem. Warunki potrzebne dla tożsamości wyniku z danem równaniem różniczkowem posłużą tedy do wyznaczenia wprowadzonej funkcyi dowolnej, a tern samem do wyszukania równania pierwotnego.

7.    Przykład. .Równanie różniczkowe:

(2xx-\-x\-\-2xxx^—x₃)dxx -j-2x₁x₂ dx₂—xldx₃-\-x\dx± — 0,

są

czyni zadość , t. j. czterem warunkom całkowalności, z których tylko t. j. trzy

niezależne, pochodzi zatem od pewnej funkcyi pierwotnej. Przyjąwszy xi i x₂ jako stałe, zatem dxx = 0, (hr₂=0, otrzymujemy równanie różniczkowe: —x₁dx₃-]-x\dxi — 0, zatem całkę: -xxx₃-\-x\x^ = (p{xXx x₂). Różniczkując ją ze względu na wszystkie zmienne, znajdziemy równanie różniczkowe: (—x₃-\-2xxxi)dxx—xxdx₃-\-x\dxi:=d(p, które, porównane z danem daje: d(p=—(2xx-\-x²₂)dxx—2xxx₂dx₂, skąd wypada: (p — —x²x—xxx²₂-\-0,    równa

nie pierwotne: x²x-\-xxx²₂—xxx₃-j-x²₁xi=C.

8.    Zwyczajne równania różniczkowe stopnia wyższego nad pierwszy.

Należą tu równania, w których różniczki zmiennych występują w potędze wyższej nad pierwszą.

Ograniczymy się na równaniu różniczkowem stopnia drugiego ogólnego kształtu :

Adx² + Bdy²-\-Cdz² + 2A/ dydz + 22?' dzdx-\-2C‘ dxdy=0,    (10)

gdzie A, B, C, A', B‘, C‘ są funkcyami zmiennych x, y, z.

Przyjmijmy, że lewa strona równania da się rozłożyć na dwa czynniki, co jest możliwe pod warunkiem, że wyznacznik:

tu tü

A, B'

A¹ =ABC+2A'B'C'-AA‘²—BA'*-CC'*=0.

B\ ' C

W takim razie rozpada się dane równanie różniczkowe na dwa zwyczajne równania różniczkowe pierwszego stopnia, kształtu:

P dx -j- Q dy + B dz=0.

Całka każdego z tych równań będzie szczególnem rozwiązaniem danego równania różniczkowego. Otrzymamy zatem dwie całki szczególne w postaci :

<Pi(x, y, z)—Ci = 0,    <p₂(tf, y, z)—C₂ = 0,

a całką ogólną będzie tedy równanie pierwotne:

y, «)—y, z)~c\=o,

o jednej stałej dowolnej C.

Przykład. Równanie: x² dx²-\-y² di/²—z² dz²Ą-2xy dx dy ==0 da się przedstawić w formie: (x dxĄ-y dy-\-z dz)(x dx-\-y dy—zdz) = 0, zatem rozłożyć na dwa równania:

x dxĄ-y dyĄ-z dz — 0, x dx-\-y dy—z dz = 0,

których całkami będą równania: x²-\-y²+z² — c,,    x²-\-y²—z² = c₂, zatem całką ogólną:

(n^Ą-y^Ą-z²—ć)(x²-\-y²—z²—c) — 0. Dane równanie różniczkowe wypowiada zatem własność

lirôj stycznych do krzywych, położonych dowolnie na kuli (c,), albo na hiperboloidzie obrotowej (c₂).

9.    Przyjmijmy teraz, że wyznacznik A < 0, czyli, że wielomian drugiego stopnia w danem równaniu nie da się rozłożyć na dwa czynniki pierwszego stopnia. W tym przypadku nie pochodzi dane równanie od jednego równania pierwotnego, ani od dwóch równań niezależnych, z których każde by było rozwiązaniem danego równania. Możemy jednak tedy przedstawić w ogólności rozwiązanie za pomocą układu równań jednoczesnych, z których jedno jest zupełnie dowolne, a drugie od pierwszego zależne.

10.    Układy równań różniczkowych. W miejscu jednego tylko równania różniczkowego chcemy obecnie rozważać układy równań różniczkowych, czyli t. zw. równania różniczkowe jednoczesne. Jest w nich jedna tylko zmienna niezależna, której wszystkie inne zmienne są funkcyami. Ilość równań układu jest równa ilości zmiennych zależnych.

Najprostsze przykłady równań różniczkowych jednoczesnych tworzą:

1. równania oddzielnie całkowalne, np. układ :

l dx-\-m dyĄ-n dz=0, x dx-\-y dy+z dz=0,

odpowiadający całkom:

lx-\-my-\-nz—Cv x²-\-y² Ą-z²= C₂ ;

2. równania jednoczesne, które, stosownie połączone, dadzą się zastąpić układem równań oddzielnie całkowalnych, np. układ :

dx

2a?

dt +T“¹

da się zastąpić układem równań:

dx+dy

2#

d.r

dt x+y' Jt

2x .

⁺ T“¹’

które są oddzielnie całkowalne i dają równania pierwotne w formie:

+ 4-

log {x+y)=t+cu x=

t²

11. Równania jednoczesne pierwszego rzędu i pierwszego stopnia o trzech zmiennych tworzą układ równań kształtu :

Pdx + Q dy-\~B dz—0, P'dx+Q'dy + B'dz^, gdzie P, P‘ i t. d. są funkcyami zmiennych x, y, z, albo liczbami stałemi.

Rozwiązanie takiego układu równań możemy zawsze uczynić zależnem od rozwiązania zwyczajnego równania różniczkowego drugiego rzędu między dwiema zmiennemi, gdyż z danego układu otrzymamy :

PQ‘—QP' ₇

(U)

dy=

BP—PB'

dx, dz

czyli :

vdx,

QB'—BQ

dy—(p{Xy y, z)dx, dz—xp(x, y, z)dx, a stąd:

QB,‘ — BQ

s I « bsa

= <p(x, y, z)

=*V(x, y, z).

(12)

Różniczkując pierwsze z tych równań pod założeniem, że # jest zmienną niezależną, otrzymamy :

które obok i ~ dxl dx

zawiera znane funkcye zmiennych a;, y, z. Rugując z za

dz

a podstawiają« za

Cvdü

d²y dg) dx² dx

dg) dy dg> dz dy dx ~ dz dx

wartości z drugiego równania dostaniemy równanie:

d²y dg) , dg> dy t dg> dx²    da;

dy dx dz

y, 4

pomocą pierwszego równania układu (12), otrzymamy w końcu zapowiedziane równanie różniczkowe drugiego rzędu wyłącznie między x i y. Zupełna całka pierwotna tego równania będzie zawierała dwie stałe dowolne, np. w postaci:

y=f(*> ci, c₂)?

stąd otrzymamy wskutek tegoż równania pierwszego :

d/'(x, ci}c₂)

(13)

(14)

g>(x, y, z). ■

Oba równania (13) i (14) zawierają dwie stałe dowolne i przedstawiają zupełne rozwiązanie danego układu.

Zupełne rozwiązanie układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu, składa się zatem zawsze z dwóch równań zawierających dwie stałe dowolne.

dx

Przykład. (by-\-$z)dx-\-dy-\-dz — 0, (&y-\-3z)dx-\-2dy—dz — 0. Mamy tu: —=• — 8y—4z, dz

— —2y—bz, stąd otrzymamy :

d²y

— — 3 ^—4 ~    — 8    =

CLOC Ct/00    CLX

równanie liniowe ze stałymi spółczynnikami.

du

Scałkowawszy je, otrzymamy: y=c^e—a porównawszy wartość stąd na ^

otrzymaną z wartością powyżej podaną, będziemy mieli: SyĄ-Az — cte—'x-\-lcie—'T*; oba ostatnie równania o 2 stałych dowolnych przedstawiają zupełne rozwiązanie danego układu.

czyli :

dx²

12. Równania różniczkowe jednoczesne pierwszego rzędu o ilukolwiek zmiennych. Przyjmijmy, że mamy tylko jedną zmienną niezależną x, zaś n zmiennych zależnych yi, y^-^yn, jakoteż układ n równań różniczkowych kształtu :

(15)

P⁽bdx-\-P^ dyx + P^ dy₂ -f-... + P^ dyn—0, (i—1, 2w)

gdzie P są funkcyami zmiennych: x, y±, y^...^yn-

Z danego układu n równań możemy wyznaczyć stosunki między różniczkami dx, dyl,...,dyn w formie symetrycznej:

dyn

(16)

dx dyx dy₂

Q Qt Q

gdzie Q będą wiadomemi funkcyami zmiennych.

Rozwiązanie tego układu równań różniczkowych zależy od rozwiązania równania różniczkowego w-go rzędu między dwiema zmiennymi. Z (16) otrzymamy bowiem n równań takich:

dy i

Qi

dx

r\ ^l(^) V\ ) Vli ł Un)

Ix “    ^ > y*, -> y«),

~££*ss<Q=aff’H(ai’yi’y*¹ '”>y^'

Różniczkujmy pierwsze z tych równań (w—1) razy podług Æ i pod-

clt/

wyrażenia podane ctoc

stępnych (w—1) równaniach. Tym sposobem otrzymamy wraz z pierwszem równaniem n równań, które podają związek między pochodnymi tej samej

funkcyi yu jako to:

dy₂

stawmy po każdem różniczkowaniu za

ÜX

,...,

w na-

• dyl d‘ly' dx ’ dx²

a zmiennymi: x, yA, y₂,..., yn. Wyrugowawszy z tych n równań (w—1) zmiennych y₂, y₃, ..., yw, otrzymamy tylko

d²^ dnyi dx² ’    ’ <ńr"

jedno równanie w formie :

,...,

)=0.

(18)

Równanie to będzie właśnie zapowiedzianem równaniem różniczkowem n-go rzędu. Jako takie ma ono n od siebie niezależnych pierwszych całek, z których każda zawiera dowolną stałą od reszty stałych niezależną.

Całki te możemy przedstawić w formie :

dn~x y i dxn~x

F'{x’ ^ *

, ... ,

*’*(*> y i

dyi

dx

, ... ,

dn~¹ y i

j = cu

dxn -¹

) = C2I

(19)

dyi dx ’ ’

Jeżeli teraz w tym układzie równań zamiast pochodnych

•(

x, y i

•• }

dn~'y^

dxn—*

)-

Cn.

dyx    dn~Hyt

dx ’    ’ dxn~Y

podstawimy ich wartości wyrażone przez pierwotne zmienne, wtedy otrzymamy układ n równań kształtu :

) y ni Cj) o, > y«> ^a)

<Pi(*i y u y2

(20)

Vi, y2

y u y ••• ? 2/«; ^w)—

które wystarczają, aby każdą zmienną y jako funkcyę zmiennej niezależnej # wyznaczyć, a zatem :

Zupełne rozwiązanie układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu między (w+1) zmiennymi zależy od zupełnego rozwiązania jednego równania różniczkowego n-go rzędu i składa się z układu całkowego, t. zw. układu n równań, między (w + 1) zmiennymi i n stałymi dowolnymi.

13. Niektóre uproszczenia przy całkowaniu układu równań różniczkowych. Dany układ równań różniczkowych pierwszego rzędu i stopnia o n zmiennych zależnych, można przedstawić w formie symetrycznej :

dxn dx

Y ⁼⁼⁼ Y ⁼⁼⁼ •••    Y J

-A-2    -^-n

gdzie Xj, X₂,... ,XB są funkcyami zmiennych x₂,...,x

dxl dx₂

n*

Metoda postępowania przy całkowaniu tych równań może być częstokroć zupełnie różną, od wygłoszonej poprzednio metody ogólnej. Zależy ona przedewszystkiem od kształtu mianowników i opiera się na własności równych ilorazów, dozwalającej z powyższych równości utworzyć nowe formy kształtu :

mi dxl + m₂ dx.₂ 4-.. + mn dxn miXi A^-yïi^X.^ —|—... —(Xn ł

m₂, ..

które będą zupełnemi różniczkami, albo zestawione z jedną z powyższych, utworzą równanie całkowalne. Mając do rozporządzenia n czynników mn) możemy częstokroć otrzymać n równań całkowalnych, których rozwiązania utworzą całki danego układu.

14. Przykłady. 1) Dany układ:

dx

dy

Otrzymujemy stąd:

ax-\-by-\-c    a‘x-\-b‘y-\-c‘

.. dt czyli : ^

Obierzmy m tak, aby było {a-\-ma‘)m — b-\-mb\ wtedy będą obie strony równania zupełnemi różniczkami, otrzymamy tedy całkę:

dt

dx-\-mdy

ax    by-\- c-}-m {a‘x -f b‘y -f-c')

(a-\-ma')dx-\ (a-\-ma‘) m dy aĄ-ma' ’ (a-fmaj xĄ-{b-{-mb‘)y-\-c-\-mcr

log t-f C

czyli :

Ct «= [ax-\-by-\-c-\-m (a‘x-\-b‘y-\-c‘)\aJrma>.

Warunek (a-\-ma‘)m — b-\-mb‘ daje jednakże dwie wartości na m, np. mi i w₂, mamy zatem dwa równania:

Cit — [ax-\-byĄ-c-{-mi(aix-{-b'y-\-c,)\a+m'a', C%t = [ax-\-by-\-c-\-m₂(aix-\-b'y-\-c')\a+'nha', które są całkami danego układu.

2) Dany układ: —

dx

dy

dz

Wprowadźmy

a^Ą-bUjĄ-cz-^-d' tf^-^b^yĄ-c^zĄ-d"' nową zmienną t i oznaczmy mianowniki powyższych równości kolejno przez X, Y, Z,

ax~\-by-\-cz-\-d

dx dy dz dt l dx-\-m dyĄ-n dz

wtedy otrzymamy:

Obierzmy l, m, n, tak, aby było :

al-\-a‘m-\-a“n = 11,    bl-\-b'm-\-b“n — \m,    cl-\-c‘m-\-c“n — Xw, dlĄ-d^mĄ-d¹^ — Ir,

wtedy otrzymamy:

dt l dxĄ-m dy\n dz t X \lx-\-my-\-nz-\-r]

Z pierwszych trzech warunków otrzymamy jednakże po wyrugowaniu l, m, n, na

a — X, a', a"

b,    b‘—X, b“ =0,

c,    c', c"—X

które jako równanie 3-go stopnia ze względu na X daje trzy pierwiastki X₂, X₃, otrzymamy zatem także trzy odpowiednie grupy czynników: Zl5 m,, nu rt, Z₂,    n₂, r₂, l₃, m₃, n₃, r₃,

a więc układ całek :

lX-\-mY-\-nZ

zatem

oznaczenie X równanie:

1    -j

: log £-t-C = -^-log {lx-\-my-\-nz-\-r\ czyli: Ct = {lx-\-my-\-nzĄ-r) .

cit = [llx-\-miy-{-niz+rl];il, c₂t = [l₂x+m₂yĄ-n₂z+ri];i*, c₃t = [hx-\-m₃y-\-n₃z-\-r₃]Z3,

z których, po wyrugowaniu t, otrzymamy ogólne rozwiązanie danego układu w formie:

[ńtf+łWjy+WtZ-frjf* = C[l₂x^-m₂y-\-n₂z+r₂]^,    [ïlar+i»₁y-j-«₁«4-r₁]‘a* = C'[Z₃a;+m₃y-f r^zĄ- r₃]*», gdzie C i C są dwie stałe dowolne.

Tym sposobem otrzymamy w całości sześć równań pierwszego rzędu między sześcioma zmiennemi zależnemi x₁ y, z, x‘, y\ z' i jedną zmienną niezależną i. Zupełne rozwiązanie tego układu składać się będzie z sześciu równań między owemi zmiennemi, z sześciu stałemi dowolnemi.

Jeżeli z tych sześciu równań wyrugujemy trzy zmienne x\ y\ z' nowo-wprowadzone, otrzymamy trzy równania między pierwotnemi zmiennemi x, y, z, t i wspomnianemi powyżej sześcioma stałemi.

A zatem : Zupełne rozwiązanie układu trzech równań różniczkowych drugiego rzędu między czterema zmiennemi wyraża się trzema równaniami pierwotnemi, zaivie-rającemi te zmienne z sześciu stałemi dowolnemi.

Ogólnie można dowieść twierdzenia: Zupełne rozwiązanie układu n równań różniczkowych między (w+1) zmiennemi, z których jedna jest niezależną, składa się z n równań między temi zmiennemi, każde z tych równań będzie zawierało oprócz tego stałe dowolne, których ilość równa się sumie skażników w stosunkach różniczkowych najwyższego rzędu.

W jaki sposób dojść do tych równań, niema reguły ogólnej. Różniczkowaniem i rugowaniem zmiennych można częstokroć dojść do równania różniczkowego wyższego wprawdzie rzędu, ale zawierającego tylko dwie zmienne. Częstokroć można także użyć z korzyścią metody czynników nieoznaczonych.

ĆL ^2)

16. Przykłady. 1) Dany układ równań różniczkowych: ^-== ax-\-by,

dt»

15. Układy równań różniczkowych rzędu wyższego nad pierwszy. Układ jednoczesnych równań różniczkowych rzędu wyższego nad pierwszy możemy zawsze sprowadzić do układu równań rzędu pierwszego.

Ażeby to wykonać, należy uważać jako nową zmienną każdy stosunek różniczkowy, oprócz stosunku różniczkowego najwyższego rzędu.

Tak przekształcone równania różniczkowe będą podobnie jak związane z nimi równania różniczkowe rzędu pierwszego dołączone, a oba układy razem utworzą układ jednoczesnych równań pierwszego rzędu.

Niech będzie dany układ równań różniczkowych rzędu drugiego, kształtu :

d²X

dt²

dhy

dt²

d²z_

Y’ dt²    '

(22)

gdzie X, Y, Z są funkcyami zmiennych x, y, z, t i pochodnych :

Takie równania nazywają się zwykle równaniami ruchu.

dx , dy dz

37-r, 3T-*'.

Przyj ąwszy :

dt

przekształcimy dany układ w następujący:

dy' _ y

dx‘

dt

-X,    ₇

dt

dz'

dt

dy dz dt ’ dt'

(23)

(24)

= a‘x-\-b'y.

Różniczkując pierwsze równanie dwa razy ze względu na t, otrzymamy:

dt* dt* ^ dt* ’

(%> hi

z tych trzech równań, otrzymamy: dti -(a+b')^-+(ab'-a'b)x=:0,

t. j. równanie liniowe czwartego rzędu ze stałymi spółczynnikami. Zupełna całka równania przedstawi x jako funkcyę t, z czterema stałymi dowolnymi, stąd znajdziemy:

1 (d*x

y = Y>\dt*-ax

wyrugowawszy y i

d*x

di x

Prócz tego sposobu ogólnego można tu także tak postąpić. Z danjmh dwu równań

znajdziemy :

d*x

dt²

b-\-mb‘ a \-ma

Połóżmy x-\-my — u i oznaczmy m tak, aby było:

b-\-mb‘ a-\-ma‘

— (a-\-ma')u, stąd: u = Cie(a+ma')^2tĄ-Oie—(a+,,nal)^²K

Na m otrzymamy jednakże z warunku (a) dwie wartości mx i m.₂, przeto składać się będzie zupełne rozwiązanie z dwóch równań:

x-\-mxy — C\    l-\- 6'₂e—<, x-\-m₂y — C₃e(a+nha/')^² ^ Cie-(ai-m2a'')i^t.

2) Dane równania ruchu centralnego : d'*x dt¹ ~~

wtedy otrzymamy :

-k*-.

y* 3

d*y

dt*^~k2r³ ’ gdzie: r = \/«M-y²*

dx

Wprowadzając dwie nowe zmienne: —

nań zastąpić układem czterech równań w postaci :

dx dy dx‘

dy

(«)

= x/,    = y' możemy dany układ dwu rów-

dt

x‘ y‘

dy‘

v —= dt

-k>°L

r3

któremu odpowiada układ czterech całek.

Z trzech ostatnich stosunków dostajemy raz równanie różniczkowe kształtu:

x‘ dx‘-\-y‘ dy'

k'¹

dt,

— rf (xx'+yy‘)

które ze względu na to, że: æ²-f-y² = r², zatem xx‘-\-yy‘ = rr‘ sprowadza się do postaci:

Vi ^C^+y'²) _dt

fc²

czyli: V₂ rf(a?'²-fy'²) =

rff = fc²rf(l);

3

daje zatem całkę pierwszą w postaci:

k²

x'*+y'*e=2-+2Ci]

r

(a)

drugi raz dostajemy równanie różniczkowe kształtu:

x dy‘—y‘ dx = 0, czyli : d (xy'—y x‘) = 0, xy'~yx‘= <7₂.

zatem całkę dimgą w postaci:

Opierając się na tożsamości:

(P)

O²+y²) (x'²-(-y'²J = (ææ'-f-yy')²—{xy‘—yx')²,

otrzymamy po uwzględnieniu powyższych dwu całek równanie:

r² (2—+2Ct) = rV²-|-(7²ź,

r ~ = V/2Ctrî+2jfcV—0²j - Y/S, r dr

z którego dostajemy:

rr' =

czjdi równanie różniczkowe : (Z# —

V/ä’

które daje trzecią całkę w postaci:

"Î

r dr

Y/Ä

fes.-

00

Z całki drugiej otrzymujemy równanie różniczkowe :

xy‘—x'y

Ctr'

r²

czyli :

dt

(i)

dr

dt

r\/R

które daje całkę czwartą w postaci:

arc tang

J r\/ R

fą.

(<*)

Tym sposobem otrzymaliśmy wszystkie cztery całki danego układu równań, z których ostatnie dwie zawierając wszystkie cztery stałe dowolne, rozwiązują ogólnie zagadnienie. W szczególnych przypadkach potrzeba czterech warunków, na podstawie których możnaby cztery stałe wyznaczyć.

Ćwiczenia LX.

Następujące równania różniczkowe o trzech zmiennych zbadać pod względem ich całkowalności i wyznaczyć ewentualne całki ogólne:

²) Q/+z)dxJr(.z-tx)d!/+(x-\-y)dz — o.

4) 2{y-\-z)dx-{-{x-\-'èy-\-2z)dy-\-(x-\-y)dz = 0.

6) (y²-\-yz-\-z²)dx-]r{x²-\-xz-\-z²)dy-\-(x²-\-xy-\- y²)dz=0. 8)    (y²-\-yz)dx-\-(xz-\-z²) dy-|-(y²—xy)dz — 0.

10) (2x-\-y²-\-2xz) dxAr2xy dyĄ-x² dz — 0.

1) (y dx-\-x dy) (a—z)-\-xy dz — 0.

B) (a dx —b dy)z-\-(by—ax)dz — 0.

5) (ay—bz)dx-\-(cz—ax)dy-\-(bx— cy)dz = 0.

7) (y-\-a)²dx-\-z dy— (y-j-a) dz — 0.

9) Qx²-\-2xy-\-‘Zxz²-\-l) dx-\-dy-\-2dz — 0.

11) zy dx—zx dy—y² dz — 0,

12) Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego zwyczajnego: aydx\b dy—dz = 0 pod warunkiem, że y —f(x).

IB) Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego zwyczajnego kształtu:

y dx—(x—z) (dy—dz) — 0.

14)    Wyprowadzić warunki, pod którymi równanie różniczkowe o n zmiennych, kształtu:

Aj dx^ j- A)) dx^ ~j~. ■ ,-j— Al w dxn ⁼⁼⁼⁼ 0

ma całkę ogólną kształtu: F(xl, a?₂,..., xn) — O i wykazać, że istnieje w ogólności: Vî(»—1)(»—2) odnośnych równań warunkowych od siebie niezależnych.

15)    Wykazać, że równanie różniczkowe :

(2#!-(-x\-f-2xj— x₃)dxi -\-2xjxidx₂-xidx₃-{-x²₁ dxt = 0 jest równaniem różniczkowem zupełnem, któremu odpowiada całka ogólna w postaci:

x\-\-xxx²i—xix₃-\-x\x^= C.

Wyznaczyć całki ogólne następujących równań różniczkowych zupełnych:

16)    (y+z-\-u)dxĄ-(z-\-u-\-x) dy-\-(u-\-x-\-y)dz-\-{x-\-y-\-z)du — 0.

18)    (2x-{-y²-\-2xz)dx-\-2xy dy-\-x²dz du = 0.

17) yzu dx-\-zux dyĄ-u xy dz-\-xyz du == 0.

19) z (y-\-z)dx-\-z(u—x)dy-\-y(x—u) dzĄ-y(y-\-z)du = 0.

20)    Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego pierwszego rzędu a drugiego stopnia, kształtu: x² dx²Ą-y² dy²—z² dz²-\-2xy dx dy = 0 możemy przedstawić w postaci:

(as«+ys_<7)* = *ł.

21)    Wykazać, że równanie różniczkowe linij krzywiznowych na powierzchni: ax²-\-by²-\-cz² — 1 można sprowadzić do postaci:

a{b—c)x dy dz-\-b(c—a)y dz dx-\-c(a—b)z dx dy = 0

i wyznaczyć jego całkę ogólną.

dy

22) Wykazać, że rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych kształtu : ~ = — ay,

— = ax określają równania : x = Cx cos cntĄ- C₃ sin ał, y = — C₃ cos aż-j- Cj sin at. Rozwiązać następujące układy równań różniczkowych:

W)^=«x+by+c, f

24) w=ax+by,

d²y

a'æ-f-fr'y.

= a'xArb'y-^-c’.

²⁶) <^+7a;—V = °’ g +2x-f5y = 0.    26) ^|+m²y = 0, ^-m²x = 0.    27) ^

~ — bx—ay. 29)    4a;-j—^==0,

f/.r

dy

dx    bc(y—z)

aż

ca (2—a;)

Ar A «■ U

dy

I-*-*- «

— az—cx.

— x = 0.

dr.

dy

w postaci :

31)    Wyprowadzić rozwiązanie układu równań różniczkowych kształtu:

__________ dV _ Jt

2y—bx-\-eł    x—6y+e2t

x-Yy = <7    — e* + jr e2i,

32)    Wykazać, że układowi równań różniczkowych:

tdx = (t—2x)dt, t dy = (ta-}-ń/+2x—ż) di,

®4-y = c2eł ■

dx

x—y

= ²,

odpowiada rozwiązanie ogólne:

33) Wykazać, że rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

⁴ !+⁹ t+2*+l%-“= 0,    3 2+71+*+24,-3 - 0,

,    2    , G

y = e—4«[(A—IB) sin t-(AĄ-B) cos i]—    Y pp

przedstawia się w postaci dwu równań:

93

x — e—^ (A cos t-\-B sin <)-)-    et —

34) Wykazać, że całki ogólne układu dwu równań różniczkowych:

te OD CSl I-¹

17

d.r

dy

dï+a« = ïï-bx = ⁰’

możemy przedstawić w postaci:

tl/ab , ^ -Ą/ab

+ <V

x — C,e

, y=oAK.e

—1\/ ab

-c\

dy

35)    Analogicznie wykazać, że skoro: —-{-ax-j-fy/    ^t~Yaix'Y^⁾iy — 0, otrzymujemy:

\ - a    \« — a

—— Cxe-^tĄ---

gdzie \ i Xj są pierwiastkami równania: X²—(a-f bl)X-\-abi —dyb = 0.

dcc    dii

36)    Wykazać, że gdy: —Ą-4:X-\-3y = t, —-\-2x-\-hy = e*, otrzymamy: ^-e«+C,lc-⁷«+C₂e-2<,

Eozwiązać następujące układy równań różniczkowych: dy dz xĄ-z xĄ-y d z

^_|_2y+3s = 0.

37)

31

196

dx

.+

t—

38)

dx

dy

dz

et —

Ąe-lt-Cte-*.

(/./

dy

^+x+to = e<,    ^

41) Wykazać, że rozwiązanie układu równań : przedstawi się w postaci:

— 1    3y-\-iz    2y-\-bz'

*>%+*—o, t+2+*=°,

—Sx—y~Y 3 = 0,

39) -^+2x—4y = i,

dy d‘% da;

dt dt²    dt

J-x—8y-f"5 = 0

= ^-f‘clc2H'c2c—2< — C3e<'^⁷ —    7j.

W-ay~lx = c' %- a‘y-b‘x~c'-

a ^

r+. to

dfy

dż²

A_j_4Cl e2<_|_4c₂e—2<_ c₃e¥ ⁷ —ąe-tY ⁷,    y

42)    Wykazać, że rozwiązanie ogólne układu: może być przedstawione w postaci :

ac‘—ca‘ a'b—ab' ó'c—&c'    a²-fń

y a'b—aô'

gdzie a² i ß² są pierwiastkami równania: X²-{-(«'+&)X-Yàb'—a'b = 0.

43)    Wykazać, że skoro :

^_2 —-2 —-j-x = cos 2*. d*²    d¥

—|- C7j cos ax-f Cj sin «x-j-Cî cos ßx+C* sin ßx,

[Ci cos ax + C₂ sin «x]

^    [0₃ cos ßx-j-C₄ sin ßx],

otrzymamy :

x = cos 2*-2 sin 2t - cos *+ Cj cos *Y2 + ^2 sin f)j2 + C₃

S¥⁺² lL + ¥+%+Ba: “ sin *’

t^3-Y Ci sin <V3 .

cos

44) Wykazać, że ogólne rozwiązanie układu dwu równań różniczkowych :

-+5*+* = «,«,    “+8./-X-«»,

można określić równaniami:

— U,

x==Łet~ àe2'+(Cif+c'2)e_4<)

4B) Wykazać, że na podstawie układu równań różniczkowych:

otrzymamy: x = Cie^t-\-Cie^iiĄ-Cze^it^ gdzie Xn X₂, X₃ są pierwiastkami równania:

X³— (a'ó-j-o"c-|-ó"c')X-}-a'ó"c-f a"bc* = 0.

46) Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego zwyczajnego :

dx

-^-\-by-\-cz = 0,

dy

'S 'S

-\-a"x-\-b“y — 0,

x dx-\-y dy-\-c^l

x² y2 a² è²

dz — 0,

3*2    jg;2

pod warunkiem, że: ^

47) Wyznaczyć powierzchnie, których przekroje z powierzchnią obrotową: x²4-y² = <o(z) czynią zadość równaniu różniczkowemu :

= 1.

[x(x-a)-\ry(y—ô)] dz— (z—c) (x dx+y dtj) = 0.

48)    Jakie równanie należy złączyć z równaniem: y-\-z log x-{-<t>(z) = 0, aby stało się zadość równaniu różniczkowemu : z dxĄ-x dy\-y dz — 0.

49)    Na powierzchni paraboloidy obrotowej: x*-fy² = fc²2² wykreślić tak linię krzywą, aby jej styczne spotykały koło określone równaniami: #²-|-y² = a², z=*b.

50)    Wyznaczyć trajektorye ortogonalne układu prostych paraboloidy hiperbolicznej :

CC² Î/²

61) Wyznaczyć krzywe asymptotyczne na paraboloidzie hiperbolicznej: —^ — — = z.

52)    Wyznaczyć linie krzywiznowe powierzchni: e—z = cos x cos y.

53)    Pośród powierzchni konoidalnych o równaniu : z =    wyznaczyć takie, w któ

rych główne promienie krzywizny byłyby w każdym punkcie bezwzględnie równe, ale miały znaki przeciwne.

64) Znaleźć trajektorye ortogonalne prostych tworzących na paraboloidzie hiperbolicznej : xy — az.

55) Wyprowadzić równania krzywych asymptotycznych na powierzchni śrubowej: z= a . arc tang —.

56) Wyprowadzić równanie różniczkowe linij krzywiznowych na paraboloidzie:

z — ax^A-by¹.

57) Wykazać, że wyznaczanie krzywych płaskich, określonych równaniem różniczko-wem: F(x, y, y') —0, odpowiada wyznaczaniu krzywych na powierzchni: F{x, y, z) = 0, czyniących zadość zwyczajnemu równaniu różniczkowemu o trzech zmiennych, kształtu: dy—zdx = 0 j wyprowadzić stąd odnośne wnioski.

z równań :

58) Wykazać, że równanie: H(x, y) = 0 otrzymane po wyrugowaniu pochodnej y',

dF dF

F<?> *>*') = °> ⁼

przedstawia miejsce geometryczne punktów przegięcia krzywych całkowych odpowiadają-jących danemu równaniu różniczkowemu: F(x, y, y') = 0.

59)    Każdemu punktowi M(x, y, z) przestrzeni niech odpowiada pewna płaszczyzna E przez niego przechodząca o równaniu: A(X— x)-\-B(Y— y)—(Z—z) — 0, gdzie A i B są zna-nemi funkcyami zmiennych x, y, z. Znaleźć takie powierzchnie, aby płaszczyzna E była styczną w tym punkcie powierzchni.

60)    Wykazać, że całką ogólną zupełnego równania różniczkowego :

x(z—x)

jest z = x-{-C(l-\-xy).

1±JK

i+xy

dx -f

l+æy

dy,

61) Wykazać, że całkowanie zupełnego równania różniczkowego:

(y²~\~yz'{~lgV) dx-\-{z²-\-xz-\-xr) dy-\-{x²-\-xy-\-y²) dz — 0

sprowadza się do całkowania układu równań różniczkowych : —— =

z y

całkę ogólną kształtu: xy-\-yzĄ-zx — C(cc-fy-\-z).

dy

dz

y-

- i daje

62) Zbadać ruch punktu na płaszczyźnie, określony równaniami:

5    , 3 d²y 3    5

--2I+ä J< W’⁼¹2X~~2V'

5=1.

d²x

W

pod założeniem, że gdy: t = 0 jest cc = 0, y— 0,

dx

dt dt

63) Zbadać podobnie ruch określony równaniami:

d²x

dt²

dhy

~0, dt*

g, pod założeniem.

dx

że gdy: t = 0, jest æ=-0, y = 0, ^

d²x

dy

= »’ Tt^⁰'

64) Podobnie zbadać:

Wy

dt²

°’ dt²

■g, pod założeniem, że gdy t = 0, jest cc = 0,

dx

dy

= v sin a.

y-=o,^ = vcos., Tt

d²x    (dx\² d²y

’⁵) W m (d*/ ’ W —

dx    dy

y-°'d~t-U' ^=tangÄ-

—y~

dx dy

mdidi,

pod założeniem, że dla t — 0, jest cc —0,

Rozwiązania LX.

ay—bz

4) Cr-H/)²(y+z)=C. b)fs

16) xy-\-yz-\-zu-\-ux = C. 17) xyzu — C.

—ax

3)

1) -5L

a—z

= 0.    6) xy+xz-\-yz = C(x-\-yĄ-z).    12) z — a^f(x)dx-\-bf(x)-\-C.

C.

2) xyĄ-yzĄ-xz — C.

18) £«7²-J~a52/²-J-a;²^—« — C.

19)

29) x = ce ² — y, y = (cf + ct)e

30)35 = Èbet ~~ 4 c2<"Kc+ci*) e~⁴*> y ⁼ ^+ źee2t~

lt² +

39) cc =

—(c+«i+«i *)•""**•

⁶⁰^±łl + Jj⁽⁶*⁺“!'⁾£ = 0’

62) tangi(-^+y) = <7 tang -1 (^-±*)-54)    — c*.

+ (*²— -^-y²+

' a

38) Cj(y—z) = C₂(y+2z) —e~x.

C\e tĄ-G^e ⁴H‘~5'

et -

x² ył

4a²6

b²

⁵¹) £ï-fï“"*’

53) Powierzchnie śrubowe wichrowate.

55) (y — Ccc) (cc²-f-y²— C) *= 0, z — a. arc tang ^ y‘—xy — 0.    59) Całkowanie równania różniczkowego: dz — Adx-\-B dy.

(y-c)²-

56)

a²

x² = 0*

b    <2 I

— xy ■ y² +

sin 21,

64) y — x tang a —

62) cc—y =

“T

y»²

2v² cos² a '

cc-|-y = sin f, krzywa czwartego rzędu. 65) y == (tang a-f

63)

2m u²

Literatura. E. G o u r s a t : Cours d analyse mathématique. Tome II. Paris 1905. F. Tisserand: Recueil complémentaire d'exercices sur le calcul infinitesimal. Deuxième édition par P. Painlevé. Paris 1896. Giulio Tomaselli: Esercizii sulle equazioni diffenrenziali. Milano 1883.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya całkowalności równań różniczkowych zwyczajnych o ilukolwiek zmiennych.

2.    Układ n równań jednoczesnych rzędu pierwszego.

3.    Równania różniczkowe ruchu, czyli t. zw. równania dynamiczne.

Wykład LtXl.

Równania różniczkowe cząstkowe.

O

1. Całki równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego. Równaniem różniczkowem cząstkowem rzędu pierwszego jest równanie kształtu:

dx⁵ dy

czyli: F(z, y, z, p, q)=0.

w którem :

dz

dz

dz=P’

dy

kształtu :

Przyjmijmy, że dany jest związek pierwotny między zmiennemi x, y, z,

f{x, y, z, a, ó)=0,

(1)

gdzie a i b są dwie stałe dowolne.

Aby otrzymać z tego równania pochodne cząstkowe p i q, mamy wskutek różniczkowania częściowego ze względu na æ i y równania:

df . df

q=0

(2)

dy dz

Z trzech równań (1) i (2) możemy wyrugować stałe dowolne a i b, a otrzymamy cząstkowe równanie różniczkowe kształtu :

(3)

Fix, y, z, p, g)=0, odpowiadające danemu równaniu pierwotnemu.

Nawzajem jest dane równanie (1) rozwiązaniem cząstkowego równania różniczkowego (3) i to rozwiązanie zawiera dwie stałe dowolne i więcej ich zawierać nie może.

Nazywamy całką zupełną danego równania różniczkowego pierwszego rzędu, związek między zmiennemi, dogadzający równaniu różniczkowemu i zawierający tyle stałych dowolnych, ile jest zmiennych niezależnych.

Pod tymi warunkami jest tedy f(x} y, z, a, b)—0 całką zupełną równania różniczkowego F{x, y, z, p: q)=0.

Przyjmijmy teraz, że wielkości a i b równania pierwotnego /(x, y, #, a b)—0 nie są stałymi, ale funkeyami zmiennych niezależnych x, y. W tym razie otrzymamy na oznaczenie pochodnych p i q równania :

df df    df da df db

dx ⁺ dz    da dx ' db dx~~ ¹

df df df da dfdb dy dz^ da dy db dy

Równania te dostarczą przy zmiennych a i b takich samych form dla pochodnych cząstkowych p i q, jakie wynikają z równań (2), skoro się spełnią relacye :

df da dfdb_ da dx db dx

Niech przedstawia JR wartość wyznacznika:

da db

dx ’ dx da db da db da db ~~ dx dy dy dx dy' dy

df da df db

dx dy db dy

~=0.

(5)

wtedy można zastąpić równania (5) równaniami im równoważnymi:

(6)

db

Rb°<

Równaniom tym stanie się dla O zadość, skoro będzie: —=0,

df

Tj=0 i to są dwa równania, które określają a i b, jako funkcye zmiennych x,y,

które podstawione w (1) dają równanie bez stałych dowolnych, będące również rozwiązaniem danego równania różniczkowego-

Takie rozwiązanie nazywamy całką osobliwą cząstkowego równania różniczkowego; jest ono związkiem między zmiennemi, które nie zawiera żadnej stałej dowolnej i nie wypływa z całki zupełnej przez nadanie stałym dowolnym szczególnych wartości, a więc nie jest szczególnym przypadkiem całki zupełnej. Przy pomocy całki zupełnej f(x, y, z, a, &)=0 określoną jest całka osobliwa równaniami:

*_o

da ’ db

£-0.

/(*, y, z, «. i)=°!

Równaniom (5), a zatem i (6) staje się także zadość, skoro będzie:

da db dx ’ dx da db dy ’ dy

Odrzuciwszy przypadki, w których a i b są stałe, zauważymy, że równaniu (8) staje się zadość, skoro funkcye a i b będą od siebie w jakikolwiek-bądź sposób zależne, czyli skoro będzie b = (p{a), gdzie (p jest funkcyą dowolną.

Z równań (5) otrzymamy prócz tego, pomnożywszy pierwsze przez dx, drugie przez dy i dodawszy do siebie ich iloczyny, następujące równanie: df i da da\dx

R=0, czyli:

da db    da db ^

dx dy    dy dx

dx -j~

(7)

(8)

czyli :

da ₇ \ df (db ₇ db dydV ⁺ d[dxdX+dy

dlda+~ db=0.

o*

dy^=0,

da

db

Tym sposobem możemy równania (5) zastąpić równaniami :

czyli :

. df -, df ! Fada+db

df[x, y, z, a, cp(a)\

db=0

b = cp{a),

da

Istnieją zatem trzy w zasadzie różne rodzaje rozwiązań cząstkowych równań różniczkowych, jako to: 1) całka zupełna, 2) całka osobliwa, 3) całka ogólna.

2. Twierdzenie. Wszelkie rozwiązanie cząstkowego równania różniczkowego zawarte jest w jednem z trzech rodzajów rozwiązań, t. z. jest albo całką zupełną, lub jej szczególnym kształtem, albo całką osobliwą, albo całką ogólną, lub jej kształtem szczególnym.

Niech będzie bowiem g—tp(%, y) rozwiązaniem równania różniczkowego :

F{x, y, *, p, q) = 0,

którego zupełna całka ma kształt g=f(x, y, «, d) =0, wówczas sprawdzić się muszą równocześnie dwa równania, jako to:

f{x, y, ę

)-0, F(x, y, f, £, £

dtp dtp dx ’ dy

z których widoczna, że skoro stałe a i b tak wyznaczymy, żeby się stało któ-

df dtp df dtp    ,

3-“3-, r-= r- zadość, dx dx dy dy

Te równania wystarczają do oznaczenia wielkości aid, jako funkcyj zmiennych niezależnych x i y, a tak otrzymane wartości będą zawierały dowolną funkcyę cp. Wstawiwszy te wartości w równanie f(x, y, g, a, b) — 0, otrzymamy nowe rozwiązanie różne od obu poprzedzających.

Takie rozwiązanie nazywa się całką ogólną. Jest ono związkiem między zmiennymi, który zawiera w swym składzie jeszcze dowolną funkcyę zmiennych niezależnych, a określone jest przy pomocy całki zupełnej f(x, y, g, a, b)—0 równaniami:

f[x, y, g, a, q>(a)]= 0,

df[x, V, 8, a, q>(a)\

da

=0.

(9)

rymkolwiek dwom równaniom z układu: f=y>,

także trzeciemu stanie się zadość.

Przyjmijmy, żeśmy a i b wyznaczyli tak, że będzie :

df __dtp df _ dtp dx dx ’ dy dy ⁷

wówczas muszą z powodu, że w tych warunkach jest także P, spełniać się także warunki :

df

dtp df dx ’ dy

przeto muszą także wartości otrzymane na « i i dogadzać warunkom:

df da df db da dy ^ db dy

dx

t-+

kO i H

l'-O

Oj! O.

Oj ! Oj

dy

df da ^df db da dx — db dx

A to są właśnie warunki rozwiązania się otrzymuje. Możemy zatem związek między daną całką a całką zupełną wyszukać w sposób następujący:

Najpierw wyznaczamy wartości na a i & tak, aby się stało zadość rów-

na

podstawie których z całki zupełnej inne

naniom :

df dtp df dtp dy~~dy'

dx dx

Jeżeli wartości w ten sposób otrzymane są stałe, wtedy jest dane rozwiązanie szczególnym przypadkiem całki zupełnej ; jeżeli zaś te wartości są

- 998 —

zmienne, jednakże od siebie zależne tak, że jedna jest funkcyą drugiej, wtedy jest dane rozwiązanie szczególnym przypadkiem całki ogólnej, jeżeli wreszcie wartości na a i b są zmienne i od siebie niezależne, wtedy jest dane rozwiązanie całką osobliwą.

3. Przykład. Z równania z=(x-\-a) (y-\-b), gdzie a i b są stałemi dowolnemi, otrzymujemy równanie różniczkowe z = pq, dla którego jest tedy: z =    (y-\-b) całką zupełną.

—-g— odpowiada także równaniu różniczkowemu: z = pq, jakiego rodzaju

(x-\- y)²

-ÿ²-, p=y+b

y—x

Równanie: z

x+y

x+y

jest to rozwiązanie? Mamy tu- (x-\ a)(y-\-b) te trzy równania są od siebie zależne i dają: a

b = —a. Wartości na a i & są więc zmienne i od siebie zależne. Dane rozwiązanie: z jest zatem szczególnym przypadkiem całki ogólnej :

z “ (*+«) [y+®(«)] ; 0 = (*+»). <p'(«)+[«/+ ?(«)], gdzie <p(a) =

4. Geometryczne znaczenie całek danego równania różniczkowego cząstkowego rzędu pierwszego. Jeżeli mamy tylko dwie zmienne niezależne a jedną zmienną zależną, wtedy możemy owe trzy zmienne uważać jako spółrzędne punktu w przestrzeni. Całka zupełna kształtu f(x, y, 0, a, b)=0, przedstawia tedy z powodu dwóch stałych dowolnych ai b podwójnie-nieskończony układ powierzchni, których płaszczyzny styczne posiadają własność danem równaniem różniczkowem określoną.

Całka ogólna otrzymuje się z całki zupełnej na podstawie równań:

2~, q=x+a

2 , b —    » skfid wypływa* że

(*+y)²

—a.

f(x,y₎s,a, b)=0,    ^    ę>'(a)=0, h = q>(a).

Równania te wypowiadają, że z podwójnie nieskończonego układu powierzchni należy wybrać pewien pojedyńczo - nieskończony układ, tworzący pewien rodzaj powierzchni, zaznaczony warunkiem: b=(p{a). Powierzchnie tak obrane przecinają się kolejno w liniach krzywych, określonych powyż-szemi równaniami. Każdej wartości parametru a odpowiada pewna linia krzywa, położona na powierzchni odpowiadającej parametrowi a. Po wyrugowaniu parametru a, otrzymamy równanie od a niezależne, przedstawiające powierzchnię obwijającą przyjęty układ powierzchni.

Powierzchnia obwijająca dotyka się każdej powierzchni układu, w krzywej przedstawionej powyższemi równaniami, zwanej charakterystyką albo krzywą charakterystyczną powierzchni obwijającej. Całka ogólna przedstawia zatem powierzchnię obwijającą przyjęty układ powierzchni, utworzoną przez swe linie charakterystyczne.

Całka osobliwa otrzymuje się z całki zupełnej na podstawie równań :

^=0, V-0

’ db ’

/o, y, 0, a, b)=0, da

przedstawia zatem powierzchnię obwijającą wszystkie całką zupełną określone powierzchnie. Ta powierzchnia obwijająca dotyka się każdej powierzchni układu w pewnym punkcie określonym powyższemi trzema równaniami i zowie się zwykle powierzchnią graniczną podwójnie-nieskończonego układu powierzchni całką zupełną przedstawionego.

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

63

5. Równanie cząstkowe liniowe rzędu pierwszego. Przyjmując trzy zmienne, z zależną, x i y niezależne, możemy równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu pierwszego przedstawić w postaci:

dx

dy

(10)

gdzie P, P są funkcyami zmiennych <r, y, z, albo liczbami stałemi. Oznaczając dla skrócenia ~-=P,

O JO

nie w formie :

dz

dy

= q, przedstawimy powyższe równa-

Pp+Qq=R.

Twierdzenie. Pierwotne równanie kształtu w=ę>(v), gdzie u i v są dane-mi funkcyami zmiennych æ, y, z, a cp funkcyą dowolną prowadzi zawsze do równania różniczkowego cząstkowego kształtu :

Pp+Qq=R,

gdzie P, Q, Ii są funkcyami zmiennych x, y, z.

Różniczkując bowiem równanie pierwotne kolejno ze względu na x i «/, otrzymamy :

(10')

du du dx T dz

p=<r\v)(

dv dv dx n dz

p)

du

"T" +

oy

du    (dv

dv

dy dz

q)

skąd po wyrugowaniu cp‘(v) dostajemy:

du du

a--b ⁽1

dy dz

dv

+ TT?

dz

du    dv dv ’

dz P dx dz P

przeto :

du dv du dv dz dx dx dz

du dv du dv dx dy dy dx

du dv du dv dy dz dz dy

Do tego samego równania różniczkowego możemy dojść jeszcze następującą drugą:

Różniczkując równanie u—(p{v) ze względu na wszystkie zmienne otrzy-

czyli: PpĄ- Qq^Ii.

mamy :

du

dx

dx-\-

du

dy

7 du ₇    ,, . (dv ₇ , dv ₇    ^ 7 \

dy + —dz=q>,(v) ( — dx -f- — dy 4- — dz } ⁹ dz ryj\dx dy ⁹ ' dz )

a że to równanie ma się ostać niezależnie od kształtu dowolnej funkcyi (p(v) przeto otrzymamy stąd dwa równania:

du

Cl

dx

dx-\- — dy +

dy

z których wynika, że :

dx

du

dz

dz=0

dv

dx

dv

dv

dx-j- — dyĄ- —- dz—0,

dy

dz

dy

dz

du

’ dz

dv

du du dz ’ dx dv dv dz ' dx

du

dx ’

dv

dx ¹

’ dz

a że: dz^pdx+qdy, przeto otrzymamy cząstkowe równanie różniczkowe, kształtu :

** s> i »st

dl d

du du dz ’ dx àv dv dz ’ dx

du

dx¹

,1= do

dx

S'«*

czyli :

Pp~\~ Qg— P-

G. Z równania pierwotnego: u=cp{v) możemy zatem otrzymać równanie różniczkowe cząstkowe w sposób następujący:

Tworząc równania: u=a, v=b, gdzie a i b są stałe dowolne, różniczkujemy oba równania ze względu na wszystkie zmienne i wyznaczamy stąd sto-

sunki różniczek zupełnych dx, dy, dz w formie :    =

dx dy dz

T , tedy będzie : U

Pp+ Qą=P szukanem równaniem różniczkowem.

Z powyższych wywodów wynika następujące postępowanie odwrotne: Ażeby wyznaczyć całkę cząstkowego równania różniczkowego liniowego •' PpĄ- Qą=ll, utwórzmy układ pomocniczy zwyczajnych równań różniczkowych:

dx dy _dœ . Wygzukajmy dwie od siebie niezależne całki: u=a, v=b, wtedy P Q Jx

będzie: u=(p{v), gdzie (p jest funkcyą dowolną, całką danego liniowego równania cząstkowego różniczkowego.

Rozwiązanie: u=cp{v) jest całką ogólną danego liniowego równania różniczkowego, obejmującą w sobie wszelkie możliwe rozwiązania.

Skoro bowiem równanie: ty(x, y, z) = 0 byłoby rozwiązaniem równania różniczkowego: Pp-\-Qq=R, podczas gdy u = cp(v) jest całką powyższą metodą znalezioną, wtedy musiałyby równocześnie spełniać się równania:

o, Pp+gf+E⁰”

dx dy dz    dx dy

co możliwe tylko wtedy, skoro będzie wyznacznik :

dx

dy

dz

-o, p»a+Q*+i&-o,

§'!§' §'!* S-jf

zatem ip=F{u, v), czyli rozwiązanie ip(x, y, «)=0 jest zawarte w rozwiązaniu F (u, v)=0, zatem w rozwiązaniu u—q>(v). Rozwiązanie F (u, ?;)=0 lub w=ę)(?;)₎ gdzie F lub (p są dowolnymi funkcyami, jest zatem rozwiązaniem najogólniejszem liniowego równania różniczkowego cząstkowego, czyli jego całką ogólną.

7. Przykłady. 1) xpĄ-yq — nz. Otrzymujemy tu układ zwyczajnych równań różniczko-

^ = —, którego dwiema całkami są: — = a, — = b, zatem będzie: — =r® nz    x    xn    xn

. dx

wych : — —

szukaną całką ogólną danego równania różniczkowego.

2) {mz- ny)p-\-(nx—Iz) q — ly—mx. Jako równania pomocnicze, mamy tu:

ldx-\-mdy\ndz x dx\y dy-\-z dz

dx

mz—ny

dy

nx — Iz

dz

ly — mx

z których wypadają następujące:

l dx,Ą-m dyĄ-n dz — 0, x dx-\-y dyĄ-z dz — 0,

= x-\-yArZ.

w Sr

zatem dwie całki szczególne: lx-\-my-\-nz = a, xi-\-y²-\-z'² — b, całką ogólną będzie zatem:

lx-\-my-\-nz = w(x²-\-y²-\-z²).

= 9(æ³—y³)u. Równania pomocnicze:

ÙU

3) (y³x—2x*)--\-(2y'—x\j)

dy

du

y³x—2x*    2?/⁴—x³y    9 (a;³—y³)u

skąd mamy najpierw równanie:

{x³y—2yi)dx-\-(y³x - 2xi)dy = 0,

którego całką zupełną jest:    — potem drugie równanie różniczkowe w formie:

którego całką zupełną jest: x³y³u — b, zatem całką ogólną danego równania różniczkowego

cząstkowego będzie: x³y³u — -f -j-

8. Równania różniczkowe cząstkowe o ilukolwiek zmiennych. Są to równania kształtu :

PiPl-\-ł\P2~\- — -\-Pnpn = R,

j)n —    , a P], P₂,... , Pn, R są funkcyami zmiennych .r,, æ₂,...

OXn

dz

dz

gdzie: pt=

Mając rozwiązać to równanie, tworzymy układ równań:

dxn dz

Pn ⁼ R'

Przedstawiając całki tego układu, w formie: u=-a, rx—bx, v₂=^ &₂,.. , vn—\ — b„—i. otrzymujemy całkę ogólną danego równania cząstkowego w formie: w=*'ç(p,, r₂,..., t'n-l), Mając np. dane równanie:

dx₂

X„, Z.

dx j    dx.x

Pi

P₂

tworzymy układ pomocniczy równań:

dx

dy

dz

dt

y-\-z-\-t zĄ-x-\-t x+yĄ-t x+y+z ’

z którego otrzymamy:

dt—dx    dt — dy    dt—dz    dxĄ-dy-\-dz-\-dt

3(*+y+s-H)

y -t

Układ całek przedstawi się zatem w foi’mie:

(x—t) (x+yĄ-z+t)ll₃ = a, (y-t) (*+y+»+<)‘/» =    (*—<) (*+*/+2+#),/3 =

przeto otrzymamy całkę ogólną danego równania cząstkowego w postaci:

o[(x—t)S'U, (y — t)S'l3,    (z—t)S'li] — 0, gdzie: S — x-{-y-\-z-{-t.

9. Równania cząstkowe pierwszego rzędu nieliniowe. Istnienie funkcji pierwotnej między x, y, z, czyniącej zadość równaniu: f(x, y, z, p, q) = 0, polega na założeniu, że równanie: dz—pdx-\-qdy czyni zadość warunkowi całkowal-ności :

(11)

(àP \ _ (dq \

\dy) \dx)

dA + d-*v

dy ^ dz h

Skoro wyznaczymy na tej podstawie p jako funkcyę z x, y, z, otrzymamy z danego równania q jako funkcyę z x, y, z, a wstawiwszy w równanie: dz=pdx-\-qdy otrzymane wartości na p i q, otrzymamy po scałkowaniu szukaną funkcyę między x, y, z, dogadzającą danemu równaniu cząstkowemu.

gdzie :

©-

tsi

(12)

(^/ ⁼    °^rz^mamy najpierw z uwzględnieniem wartości (12)

Z warunku

dJL = dl + „dJ

dz dx * dz

Ponieważ q jest na podstawie danego równania znaną funkcyą x, y, z, p, przeto przedstawia się powyżej otrzymane równanie jako liniowe równanie cząstkowe rzędu pierwszego, w którem p jest zmienną zależną, a x, y, z zmienne niezależne. Możemy zatem utworzyć układ pomocniczy:

równania :

dA d_l , d>>

dp ' dx

dy

4~

(*-*!)

(13)

dx

dp

dz

(14)

= dy

dji dA dq dp dx dz

z którego można wyprowadzić wartość na p zawierającą pewną stałą dowolną, a potem z danego równania odpowiednią wartość na q.

Obie wartości wywołają tedy równanie całkowalne:

dq

dp

q—p

(15)

dz=p dx+qdy,

które po wykonaniu całkowania dostarczy równania między x, y, z i dwiema stałemi dowolnemi, a to równanie będzie zupełną całką danego równania cząstkowego. Takich całek zupełnych możemy wyprowadzić więcej jak jedną.

Praktyczna metoda wyszukania całki zupełnej równania: f{x,y,z,p,q) — 0 zwana metodą Lagrange’a i Char pif a, jest tedy następująca:

1) Wyrażamy najpierw q jako funkcyę x, y, z i p.

G) - (I)-z któreg° °trzy-

2)    Tę wartość podstawiamy w równanie:

mamy równanie cząstkowe liniowe, a stąd układ równań zwyczajnych, który dostarczy pewnej wartości na p zawierającej jedną stałą dowolną.

3)    Otrzymaną wartość na p wraz z odpowiednią wartością na q wstawiamy tedy w równanie: dz=p dx-\-qdy, które jest zwyczajnem równaniem całkowalnem.

4)    Scałkowawszy to ostatnie równanie, otrzymamy całkę zupełną danego równania cząstkowego nieliniowego.

Przykład. Wyszukać całkę zupełną równania cząstkowego z—pq. Mamy tu:

(dp dp \

z (dp\ dp dp (dq\

\Ę)-^⁺d^q' W ⁼

»-‘ki+to»)

pi

zatem :

2 dp dp p² ' dx dy

2z dp

*_*p_

p'¹ ' dx ' dy ' p dz dx = dy = ~ dz — dp.

Z równania: dp — dy otrzymamy tedy: p = y-\-a, zatem: q —

skąd otrzymujemy układ pomocniczy:

1, czyli:

y Va ’

przeto :

dz — (y-\-a)dx-1 dy, a stąd całkę zupełną: z— (y-\-a){x-\-b), gdzie a i b są stałe dowolne.

y+a

r . V

Inną całkę zupełną otrzymamy przy pomocy równania: —dz — dp, które daje: p = c . z'l*,

— c . z'ltdx-p —z'hdy.

Scałkowawszy to równanie, znajdziemy:

zatem: q —

z'k, przeto: dz

{cx-{- ~y-Vc^

2s'/a = cx-\--y-j-c', czyli: z —

c

gdzie c i c' sa dwie stałe dowolne, jako nową całkę zupełną równania cząstkowego: z — pq.

Z obu otrzymanych kształtów całki nowicie otrzymamy z pierwszego kształtu całkę ogólną w formie:

zu

pełnej, możemy znaleźć całki ogolne. Mia-

* — (y+a) [*+?(«»)]. 0 = a?-fę(a)-Ky+a)?'(a),

skąd może być a wyrugowane, skoro kształt o (a) przyjęty, z drugiego zaś w formie: skąd może być stała c wyrugowaną skoro kształt <]>(c) przyjęty.

Możemy także z obu powyższych całek zupełnych, wyprowadzić całkę osobliwą. Z pierwszej otrzymamy w tym celu:

2 = («/+«) 0 + b),    = O, ~=y+a = O,

a stąd b = — x, a — —y, zatem z — O, jako całkę osobliwą. Z drugiej postaci całki zupełnej otrzymamy:

a = T(“⁺T+c/)i’

<)C

- 4 (*- ?)(<“+ t+c')⁼°’ s? ⁼ 4 (M+ i+c‘)⁼⁰’

stąd c = 0, c' = 0, zatem « = O tę samą całkę osobliwą.

10. Przykłady zastosowań geometrycznych. 1) Wyprowadzić ogólne równanie powierzchni, w których długość normalnej zawarta między powierzchnią a płaszczyzną (x, y) jest stałą h— 1.

X_x

Z równania normalnej : —— nachylenia równości :

Y-y

Z—

— otrzymamy na wyznaczenie jej kątów

cos a

cos 8_cos y

vV+îM-1 ’

przeto długość żądaną normalnej równą: = —z\/p²-f y²4-l • Otrzymamy zatem równanie różniczkowe cząstkowe szukanych powierzchni w formie: zi(p‘i-\-qi-\-1) == 1. Stąd

-1

otrzymujemy: q = (z—¹2 — 1—ps)7», przeto z warunku:    r°wnań pomocni-

czych :

dx

dy

dz

z'⁶ dp

2—2—1

Z ostatnich dwóch stosunków znajdziemy:

c(l-2²)7,

P = —-—

przeto: = (1—c²)7i

( 1 —2²j7a

zatem : <22

c(l—g²)7ł

dx-Kl-ca)7,

(1—2²)7ł

dy,

a stąd całkę zupełną: (1—2²)³/a — ex—(1 — c²)7jy-f-c', gdzie c i c' są stałe dowolne. Całka ogólna przedstawi się stąd w formie dwTóch równań:

(1—2²)7j = cx—(1—c²)72 y-j-© (c),    0 = x-(-c(l—c²)—7jy-j-?'(c)»

z których należy c wyrugować.

3Ö") z którego wyprowadzamy równanie różniczkowe: dx-\-p dz-\-z dp = 0, któ-

Inny układ rozwiązań otrzymamy z układu równań pomocniczych, tworząc stosunek: dx-\-p dz-\-z dp p-j-pz—t—p—pz

rego całką będzie: x-\-pz = a. Mamy teraz scałkować równanie:

a^dx+±

z

[1—(a— x)²—z²]7i

dy,

dz — ~

a otrzymamy całkę zupełną w postaci: (x—a)²-j-(y—b)²+z² = 1.

Odpowiednia całka ogólna będzie określona równaniami:

(x— a) ²+[y - ę (a)]²-f 2² = 1, x—a+[y - œ (a)]. ©■'(a) = 0, a całka osobliwa równaniem: 2² = 1, czyli: z = -ł-1.

Z przykładu tego widzimy, jak ważną jest rzeczą wyprowadzić, jeżeli możebna stosowny kształt całki zupełnej, aby otrzymać należytą a prostą odpowiedź geometryczną, jaką np. w tym razie daje drugi układ rozwiązań. Całka zupełna przedstawia tu kulę o promieniu równym 1 i środku na płaszczyźnie (x, y); wyprowadzona z niej całka ogólna przedstawia powierzchnię kanałową, utworzoną przez dowolną kulę pod temi zastrzeżeniami. Całka osobliwa przedstawia dwie płaszczyzny równoległe do płaszczyzny (x, y) w odległości równej 1.

2) Wyznaczyć układ powierzchni, w których stosunek między elementem powierzchni a jego rzutem na płaszczyznę x, y jest stały (równy m).

Otrzymujemy tu równanie różniczkowe: l+p²+ÿ² = ra², którego całka zupełna: z — axĄ- \/—a²—1. yĄ-b przedstawia podwójną nieskończoność płaszczyzn. Całka ogólna:

yfo'(a)

z = ax-j-\/ m²—a¹—1 .

V w²—a²—1

przedstawia rozmaite układy stożków i innych powierzchni rozwijalnych.

11. Bezpośrednie wyprowadzenie całki osobliwej z danego równania różniczkowego. Równanie pierwotne wyraża z za pośrednictwem zmiennych ir, y i stałych dowolnych a i b. Równanie różniczkowe wyraża 0 za pośrednictwem zmiennych x, y i pochodnych cząstkowych p, q. Jedno równanie da się przekształcić na drugie za pomocą dwóch równań, które wypływają z różniczkowania równania pierwotnego ze względu na x i y.

Na tej podstawie otrzymamy: dz d²z dz d²z

dz d²z    dz d²z

da dbdx    db dadx

d²z d²x    d²z d²z '

daôx dbdy    dady dbdx

Całka osobliwa wyprowadza się z całki zupełnej przy pomocy równań :

dz da dbdy db dady dp d²z d²z    d²z d²z ’

dadx dbdy    dady db dx

dz

(16)

dz

dz

da

=0,    -£=0, w tym wypadku będzie jednakże podług poprzedzających

wzorów :

dz

dz

—=0, —-=0, zatem: dp dq

Z równania różniczkowego: z=f{x, y, p, q) znajduje się wprost jego całkę osobliwą, skoro wyrugujemy zeń p i q za pomocą równań:

dz

dz

=0.

—=0 dp ' dq

Przykład: g={\ 4- p² + q²)~\ Mamy tu:

“-y⁽¹+p,+ï2)_,’-²i>=0 ds

(17)

dz

dq

- - i(l+Ps+g²)-‘'-.2«=0,

zatem dostajemy 0, q=0. więc 0—±1, jako całkę osobliwą.

12. Całkowanie równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego nieliniowych o ii ukoi wiek zmiennych. Równania różniczkowe tego rodzaju mają kształt:

f(xu x₂,...,xn, z, pv p₂,...,Pn) = 0,

(18)

dz

dz

gdzie; Pl=~,.

Przedewszystkiem musimy się starać wyznaczyć: pi: p₂,...,pn za pomocą zmiennych: xif x₂, ..., xn) z, tak, aby było calkowalnem równanie różniczkowe:

dz=pidxl -\-p₂dx₂-\-...-\-pndxn.

Przypuśćmy, że razem z równaniem (18) istnieje równanie:

x₂,..., xn, z, Pi, p₂

wówczas, różniczkując równania (18) i (20) i podstawiając wartość otrzymaną na dz w równanie (19) otrzymamy dwa równania:

i — »

Pn)=0,

(19)

(20)

df

dpi

dpi^= 0,

(21)

dep

dpi

dpi=0,

(22)

dz

Ale Pi=-—, zatem:

dx

dpi =

d²z

d²z

d²z

(23)

dxn.

dx 2 +... +

dx -, dx₂

Podstawiwszy tę wartość w (22) i zrównawszy spółczynniki przy niezależnych od siebie różniczkach: dxi, dx₂,..., dxn do zera, otrzymamy n równań

dx; dxi

dxi dxn

kształtu :

dcp dcp

dXr

F Pr

dz

n

i dcp d²z “ dpi dXi dxr

=0, gdzie: r— l,...,w,

i dcp

d'²z

i = 1 r =. n

'\^ dcp d z    i

^    V

Porównawszy to równanie z (23) zauważymy, że różniczki dpi i dxr są związane temi sarnemi relacyami, co funkcye : —

czyli :

dp i dx , dxr

dXr

F Pr

jako też :

dcp

dx;

dr P%

dcp

dz

możemy

zatem w (21) podstawić zamiast dp i funkcyę: — funkcyę

zamiast dXi

dcp

’ dp -,

a otrzymamy równanie:

df . df

dX;

+ Pi

dJL(ty+Pity

dz) dp ; dp\dXi Lldz

Cl-'

)“°

(24)

i — 1

które jest przy danej funkcyi / liniowem równaniem różniczkowem ze względu na nieznaną funkcyę cp. Z odpowiedniego układu pomocniczego zwyczajnych równań różniczkowych dość jest tedy oznaczyć n— 1 całek:

(25)

⁽P\==a\l <JP2⁼⁼⁰2> i Cpn-\—Qn—\i a te dozwolą w połączeniu z danem równaniem różniczkowem wyznaczyć P\ iPîi ••• iPn przez zmienne xi, x₂,...,xn, z.

Podstawiwszy wartości w ten sposób otrzymane w równanie :

dz=px dxi -\-p₂dx₂ 4- •• +pndxn,

otrzymamy zupełną całkę danego równania różniczkowego w postaci:

F(r^, x₂) ••• ) xn, <4, o2, •••, (in)~0.

Inne formy całek otrzymamy stąd, uważając parametry ai} a₂,...,an jako zmienne, podległe pewnym warunkom, nie naruszającym kształtów:

P\ ) Pi ? j P«’

13. Całkowanie układu równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego. Weźmy pod uwagę układ równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego niezawierających zmiennej zależnej z wyraźnie, w postaci: fi{X\ , X₂ j ••• j Xnj P\ , P₂ , •• J Pn) — 0, (ß ~ 1 ) 2,..., Mi),

(26)

(27)

dz

gdzie: pi =

Aby równania (27) miały wspólną całkę :

F(xu at,,    *0=0, czyli: z=f(xv x2i..., xn\

należy z równań (27) tak wyznaczyć pochodne p-L jako funkcye zmiennych xu    xn, aby było:

dXi

czyli, aby różniczka :

dpi _ dpk dxk dxi

(h Jc 1, 2, .., w),

dz=pi dxx + p 2 dr 2 +... +phdxn =    p* dXi

była różniczką, zupełną.

W tym przypadku znajdziemy zależną zmienną z, całkując równanie (28) jako równanie różniczkowe zupełne.

Ażeby ocenić, czy i kiedy takie rozwiązanie wspólne jest możliwe, weźmy pod uwagę dwa równania układu (27) np. fz=0, f^ — O. Różniczkując równanie fu, — 0 względem xi (i — 1, 2,...,»), otrzymujemy n równań:

mnożąc te równania przez

àJjA,

dpi

dfz i    àpk

r)xi    dpk dxi

k = 1 r

i sumując względem i, dostajemy

= 0,

i=n

i — n k=i

dfx dA    dA *e=o

dxi dpi    dpk dpi dxi

{— 1    { — \ fa-— ^

Postępując podobnie z równaniem : f^ — 0, dostaniemy sumę:

i=n k=n

iz=.n

X! àU à fl    ■X XJ dfx àff, dpi _ ₀

drj dpi    dp& dp; dx/c

i= l    - J y a

2 — 1 & —1

Odejmując tę sumę od popi’zedzajacej, dostajemy:

i = n k—n

i— n

X! /4A    _ dp d/;M\ py ^ dp dp (dpu _ dpi\ = 0

dp» dp; dxi /    dp/c dpi 'daji dx/t/

Jeżeli p,, p.₂,...,pn są pochodnemi cząstkowemi tej samej funkcyi, wtedy:    —

powyższe równanie sprowadzi się zatem do postaci równania:

i—n

X? (dJAdfp_dndfĄz== o

Vdxi dpi dpi da;i/ ’

i—1

(29)

które nazywamy równaniem Pois sona.

Stanowi ono warunek, pod którym równanie fźi — 0 i = 0 mają wspólną całkę. Nadając wskazówkom 1 i p. wartości 1, 2,..., m, otrzymamy warunki, pod jakimi dany układ m równań różniczkowych może mieć wspólną całkę.

Ponieważ plt ..., pn zawierają n—m stałych dowolnych, więc całka rów-

i=n

dz='s^₁pidxi

nania :

zawierać będzie n—m-f-1 stałych dowolnych i przedstawi się w postaci:

(80)

u , ... , Xni    , C„_TO) “bCn—?n+l)

jako całka zupełna układu (27), z której zmieniając stałą Ci możemy otrzymać całki ogólne i osobliwe.

14. Kównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Są to równania różniczkowe kształtu :

F{x, y, z, p, q, r, s, 0-0,

(81)

gdzie :

dz

dz

d²z

d²z

d²Z

t=—„

dx' ^ dy¹ dx²’ S diedy Znane są dotąd tylko szczególne przypadki, w których równanie cząstkowe drugiego rzędu da się ogólnie scałkować.

dy²'

— 1002 —

Najważniejszy przypadek jest ten, w którym pochodne drugiego rzędu r, s, t pojawiają się tylko w pierwszym stopniu, zatem równanie ma kształt:

(32)

Br + Ss+ Tt= F,

gdzie B, S, T, V są funkcyami x, y, z, p, q

Metoda rozwiązania tego równania (metoda Monge’a) polega na wyszukaniu jednej lub dwu całek kształtu m=/(v), gdzie u i v są oznaczonemi funkcyami x, y, z, p, q, a / przedstawia dowolny znak funkcyjny. Z takich dwóch pierwszych całek z osobna lub razem wziętych, otrzymuje się przez następne całkowanie drugą całkę, zawierającą dwie funkcye dowolne i będącą ogólnem rozwiązaniem danego równania różniczkowego drugiego rzędu.

Twierdzenie, Równanie różniczkowe pierwszego rzędu kształtu: u—f(v) prowadzi do równania różniczkowego drugiego rzędu kształtu:

Br+Ss+Tt=V,

skoro u i v związane są tożsamościowo warunkiem :

= 0.

du dv du dv dp 'dq dq' dp

Grdyż różniczkując równanie u=f{v) ze względu na x i y otrzymamy dwa równania:

dv

du    du    du

di+pdi+rdp+s

du    du    du

dï+idï+sdï+t

z których po wyrugowaniu f{v) otrzymamy równanie kształtu :

Br+8s+Tê+ Ü (rt—s²)— F, jj du dv du dv dp dq dq dp

Równanie to otrzymuje tylko wtedy kształt:

Br-\- Ss-\-Tt= F, du dv du dv dpdq dq dp ¹

gdzie :

skoro będzie:

co było do udowodnienia.

a/l

, (dv dv

■z--h S -

dv

dqY

dv dv dv

+«s⁺*s

dv\

+tàè

15. Całkowanie równania: Hr+Ss+Tt= V. Metoda Monge’a. Przyjmijmy, że to równanie ma pierwszą całkę kształtu: u=f(v). Przekształciwszy dane równanie za pomocą równań:

dp=rdx-\-sdy, dq=sdxĄ-tdy

i podstawiając wartości za r i t stąd otrzymane w dane równanie, otrzymamy równanie :

B dp dy-\-Tdq dx— Vdxdy=s {Bay²—S dx dy -jrTdx²), któremu stanie się zadość, skoro będzie równocześnie:

co co

Bdy²—Sdx dy-\- Tdx'L— 0,

B dp dy-\-Tdq dx— Vdx dy =0. Pierwsze równanie rozkłada się na dwa następujące:

dy—£idx=0, dy—%₂dx=0.

Z pierwszego z tych równań liniowych i równania:

Bdpdy + Tdq dx— F dx dy — 0

znajdziemy dwie całki:    — vi=bu przeto:    gdzie przed

stawia dowolną funkcyę, będzie pierwszą całką pośrednią. Podobnie otrzymamy z drugiego równania liniowego, w połączeniu z równaniem (34) drugą parę całek u₂—a₂, v₂ = b₂₎ przeto u₂=f₂(v₂) drugą całkę pośrednią.

Aby w końcu otrzymać szukaną całkę danego równania różniczkowego drugiego rzędu, musimy scałkować znowu każdą z otrzymanych dwóch całek pośrednich, które są równaniami różniczkowemi pierwszego rzędu, albo wyznaczywszy z nich p i g, wstawić otrzymane wartości w równanie :

(85)

dz=pdx+ądy.

Równanie to całkowane daje zupełną całkę danego równania różniczkowego.

16. Przykłady. 1) r — a'lt, Otrzymamy tu z powodu, że: dp — rdx-\-sdy, dq—sdx-\-tdy, równanie: dpdy — a²dxdq — s(dy² — a²dx²) = 0, które dostarcza równań pomocniczych:

dy²—a²dx² — 0, dpdy—a²dxdq — 0.

Pierwsze rozkłada się na dwa: dy-adx — 0 i dy-\-a dx = 0, których całki są: y — ax = A, y-\-ax = B. Połączmy pierwszą z tych całek z drugiem równaniem pomocni-czem, otrzymamy równanie: dp—adq = 0, które całkowane daje: p—aq=^At, zatem pierwszą całkę pośrednią w postaci: p-aq — v^y—ax). Połączmy zaś w ten sposób: y-\-ax — B, otrzymamy: dp-\-adq = 0, zatem: p\aq—BX} przeto drugą całkę pośrednią w formie: pĄ-aq = v<i(y-\-ax). Uważając otrzymane dwie całki pośrednie jako równania jednoczesne, wyznaczmy z nich p i q i podstawmy otrzymane wartości w równanie: dz = pdx-\-qdy, a otrzymamy po stosownem przekształceniu:

dz —    _ (dy -a dx) <ęt(y—aas)

przeto całkę zupełną: z = <o(yĄ-ax)-\-'\(y—ax), gdzie <p i są dwiema dowolnemi funkcyami. 2) (ó-j-c</)²r—2(bĄ-cq) {a-\-cp)s-\-(a-\-cp)'lt = 0. Eównania pomocnicze będą tu:

(bĄ-ccff dy²-j-2 (ó-f cq) (a-\-cp) dx dyĄ-(a,Ą-cp)² dx² = 0,    (b-\-cq)²dp dy-\-(a-\-cp)² dqdx = 0

Pierwsze daje: {b-\-cq)dy-\-(a-\-cp)dx - 0, skąd ze względu, że: dz — pdx-\-qdy, otrzymamy: a dx-\-b dy-\-c dz = 0, zatem całkę: ax-\-by-\-cz — C±. Drugie równanie pomocnicze sprowadza się po wyrugowaniu stosunku dy : dx do równania różniczkowego :

{b+cq)dp = {a-\-cp)dq,

którego całką jest: (a-\-cp) = C%{b-\-cq). Całką pośrednią danego równania różniczkowego będzie zatem równanie pierwszego rzędu :

a-\-cp — (b-\-cq)z(ax-\-by-\- cz),

które należy scałkować znanym sposobem używanym przy równaniach liniowj’ch.

dx

dy

W tym celu otrzymamy zwyczajne równania pomocnicze: — = ——

dz

, z któ-

bo —a

rych wypada raz: adx-\-b dyĄ-cdz — 0, zatem całka: ax-\-by-\-cz— C, drugi raz: dy-\-dx(p{G) — 0, zatem druga całka: y-\-x <p(C) — C.

Całka zupełna danego równania różniczkowego drugiego rzędu będzie zatem:

y-\-xv (ax-\-by-\-cz) = <J< (acc-f by-\-cz).

17. Całkowanie równań różniczkowych cząstkowych za pomocą szeregów potęgowych. Metoda całkowania za pomocą szeregów Taylor’a lub Maclaurina, stosowana przy równaniach różniczkowych zwyczajnych, może być niekiedy z korzyścią zastosowana także przy całkowaniu równań różniczkowych cząstkowych.

Niech będzie dane równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego,

kształtu :

ÎSi «

CO

CD

Rozwiązanie tego równania możemy przedstawić pod postacią szeregu potęgowego:

s==J^oo +-^01

X—x₀

1!

+ ^io

y~y o

1!

, A (X~Xo)2 i -^20    2 f

(x—xtt)(y—g₀)

1! 1!

, A («/ - «/o)²

i" o 2    21

CC =

oo ß :

— OO

czyli :

{x—x₀ )«(y-yay

ß — oo

Połóżmy: 0fw) = ^> vla/7

a — 0 ß = 0

(y-y y

/*! '

(.37)

, natenczas otrzymamy rozwinięcie (37)

OJ — oo

0=2 ^(a)

« =. o

Szereg (38) ma uczynić zadość równaniu (36), wobec tego otrzymujemy celem wyznaczenia spółczynników 0^ tegoż rozwinięcia równanie:

a — 0

pod postacią szeregu:

(38)

(a —2)!

a= 0

z którego, porównywając ze sobą spółczynniki przy jednakowych potęgach dwumianu x—x₀, otrzymamy:

^(ce+2) _

a² \ ày )

(39)

Przyjmując więc zupełnie dowolnie spółczynniki 0⁽°) i 0(,) jako funkcye zmiennej y, a więc, zakładając, że dla x=x₀ jest: z^ — cpiy) i 0^'

1 da(p(y)

-(£)

= </>(*/):

otrzymamy z (39) :

, d2a0

*(2a) —- ₌ -

dx² “    tt2oc

fixïct+\ a2a

Wstawiwszy te wartości w równanie (38) otrzymamy ogólne rozwiązanie danego równania różniczkowego cząstkowego w postaci:

g(2cc+1)

1 d^xpiy)

dya

(p{a)(y) (x—x₀)

Z~~ ^    a2ct

(2 a) !

2ce ,    v^a)(y) (x—x^ya+i

~ ⁺    ~~cM

cc = 0

(2a +1) !

(40)

a — 0

Funkcyę szukaną 0 możemy także przedstawić w postaci szeregu uporządkowanego według potęg dwumianu (y—y₀).

Połóżmy w tym celu w (37) :

CC — 00

*-2 A

a— 0

(x—x₀)“ “P a !

natenczas rozwinięcie to przedstawi się w postaci szeregu :

ß=co

ß — Q

gdzie na wyznaczenie spółczynników 0^ otrzymujemy z równania (36) równa-

,s^co (y—y<>y~l

2j⁰ß

(y-y*)ß

ß'-

(41)

a—

ß=

(y—y₀y

1 dx² ß\

Porównywając ze sobą spółczynniki przy jednakowych potęgach dwu-

-ai^Ł te*'

nie warunkowe:

a=0

09-D!

mianu (y—y₀), otrzymujemy :

%+i

(42)

— 1005 —

Przyjmując więc 0O jako zupełnie dowolną funkcyę zmiennej x, t. j. kładąc dla y=yQ 2q = 0(x), otrzymuje z (42):

2ß=alP 0 ²&(x),

wskutek czego rozwinięcie (41) przedstawia się w postaci szeregu:

iy-VoY

z=z cc

^=2

ß = 0

który, o ile jest zbieżny, a to zależy od kształtu funkcyi 0(x), przedstawia znowu całkę danego równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego.

W podobny sposób możemy zawsze całkę jakiegokolwiek różniczkowego cząstkowego rozwinąć na szereg potęgowy, a cała trudność polega na okazaniu, że ten szereg w pewnym zakresie będzie zbieżny i że przeto danemu równaniu różniczkowemu cząstkowemu czyni zadość nie tylko formalnie, lecz także w rzeczywistości.

fl'-

(43)

Ćwiczenia LXI.

dz

1)    Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego cząstkowego : żerny przedstawić w postaci: 2z—y log (x-\-y-\-z)² — F(y).

2)    Znaleźć całkę zupełną równania różniczkowego cząstkowego kształtu:

x -—\-y ~- = m \/ x²-\-y'K

ta:    x-\-z

mo

dy

3) Wyprowadzić równanie różniczkowe powierzchni, której normalne przecinają pro-

x y z sta w przestrzeni : — = — = —.

Im

4)    Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego odpowiadającego zagadnieniu 3) możemy przedstawić w postaci: F(lx-\-my-\-nz. x²-\-y²-\-z²) = 0.

5)    Utworzyć równanie różniczkowe cząstkowe mające całkę zupełną kształtu: y²(x²—a)—(2-|-ó)² = 0 i znaleźć wszystkie całki tego równania.

6)    Przedstawiając całkę zupełną równania różniczkowego cząstkowego:

àz àz    .    1 /    , y , , \²

w postacl: * = TV“⁺V+łl ’

zbadać do jakiej kategoryi całek tego równania należy funkcya :

xy    x²Ą-y²-|—(cc²—yl) sin a

z = ——I------.

2    4 cos «

dz

7) Znaleźć całkę zupełną równania różniczkowego cząstkowego: z — x — -f-y i zbadać rodzaj całki kształtu: z — y(p(j^.

8) Wykazać, że całkę zupełną równania różniczkowego: 2 =    -j- ^^

my przedstawić w postaci: z — ax-\-by-\-ab i wyznaczyć jego całkę osobliwą. Rozwiązać następujące równania różniczkowe cząstkowe liniowe:

10) ^

może-

q\ àz dz 9) x-—Pm—-' àx * dy

12) 1-.) £+(»-,)£

„ , dz dz 14) *-+y

= z.

dz

— c—z.

=x—a \/x²-\-y²-\-z².

dz

16)

dz

. ,    ...    dz X.XaX-,

:+x‘x‘te,+x'*>te, = —

dz

= - 2/²-

U)

dx-**

_    dz ,    dz

13) tang x . —-|-tang y — — tang 5.

1B) *'te.+x'dź+x*

dy

xz

dx

= xy.

— — nz.

dx₃

17) Wykazać, że równanie różniczkowe cząstkowe : ap-\-bq = c ma całkę ogólną

kształtu :

z =    -\-(p{bx—ay).

18) Wykazać, że równaniu różniczkowemu: ~-\-b ^+c ^ = xyz odpowiada całka

ÔX o u oz    ¹

ogólna: u — ~ x²yz--^x³{bzĄ-cy)Ą- ~ bcx'-\-(p(y—bx, z—cx).

Znaleźć całki ogólne następujących równań różniczkowych liniowych:

dz dz

dx dy %-\-y

23) yp-\-*q — z. 24) sec x . pĄ-aq = z cotg y.

19) x

21)'

dz dz nx    11    «

T—~ —•    22) — p-\--q — —2

dx dy y    x y y²

26) = —.

X³

26) xipĄ-yq = —.

Rozwiązać następujące równania różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego:

__ fdz\²    /dz\²

²⁷⁾ w ⁺ W)⁼

a².

dz dz

dx dy

= 0.

r)s dz dx dy

31) Wykazać, że zupełną całkę równania różniczkowego cząstkowego:

= z²

/^ \ 2    /\ 2 Ą.

s J + J = —, można przedstawić w postaci: (z-\- a²)³—(x-\ ay-\-b)² — 0.

32)    Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego liniowego: a^-j-6^- — 1.

33)    Znaleźć całkę szczególną równania różniczkowego cząstkowego : ap-\-bq = 1 pod założeniem, że: a:²—y² = l.

34)    Znaleźć całkę szczególną równania różniczkowego cząstkowego :

— z- c,

dz

dz

ćy

pod założeniem, że: x²Ą-y² = 1 i podać jej znaczenie geometryczne.

35) Wykazać, że całkę zupełną x*ównania różniczkowego cząstkowego kształtu:

p'¹-\-qi—2pz—2qyĄ-‘2xy = 0,

możemy przedstawić w postaci:

x²-\-ax-\-y²-\-ay-\-b ^ (x—y)\/ 2(x—y)²—a²    a¹ log [(æ—y)\/ 2 -\-\/2(x—y)²—a²]

4\/2

36) Każdemu punktowi M(x, y, 2) przestrzeni odpowiada pewna prosta L o równaniach :

4V/2

X—x

Z—z

Y-y

Q “ Ä ’

gdzie P, Ç, P są znanemi funkeyami zmiennych as, y, z. Wyznaczyć taką powierzchnię, aby płaszczyzna styczna do tej powierzchni w każdym z jej punktów przechodziła przez odpowiednią prostą L.

37)    Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego: x² ^~~+y²    = z² i wyprowadzić

równanie stożka drugiego rzędu, który czyni zadość powyższemu równaniu i przechodzi przez punkt (1, 2, 3).

38)    Znaleźć powierzchnię, która ma tę własność, że spółrzędne punktu, w którym normalna przecina płaszczyznę XOY, są proporcyonalne do odpowiednich spółrzędnych punktu powierzchni.

39)    Znaleźć powierzchnię, która przecina pod kątem prostym wszystkie kule, przechodzące przez dany punkt, a mające środki na danej prostej przez ten punkt przechodzącej.

40)    Znaleźć ogólne równanie powierzchni, które przecinają pod kątem prostym kulę określoną równaniem: x²-\-y² Ą-z²—2az =- 0, gdzie a jest parametrem zmiennym.

41)    Wyznaczyć powierzchnie całkowe równania różniczkowego cząstkowego:

•V lx+X*% ⁼

42)    Wyznaczyć powierzchnie, przecinające pod stałym kątem wszystkie płaszczyzny przechodzące przez daną prostą.

Znaleźć całki ogólne następujących równań różniczkowych cząstkowych:

dz (<>z\2 ⁴⁸> •

44) xp-\-zq-\-y = 0.    45) y²p-\-xyq — nxz. 46) (x-\-y)p+(y—x)q = z.

47) (*—2;/)p+(2sr—8jl)ï = ï.

— 1007 —

48) Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego, kształtu: x dv

przedstawić można w postaci :

5+<i-r>>£+<.-..>5+<»-l»)£-

z—ay    U—by \

V/l-2/²’ v/ 1—-y²^

*² ’

cc

x\/1—y²

v    a:²(l—y²)

49) Wyprowadzić całkę ogólną równania różniczkowego cząstkowego kształtu:

2² — a?²—y²

o d« dz 2x -—\- 2y — J dy

60) (x‘¹-yz)p-\-(y'¹—xz)q = z*—xy.

Z-X    x y

■P-1-tang-g-. j tang

51) tang ₂

52)    Znaleźć całkę osobliwa równania różniczkowego cząstkowego:

L

\ ó;»

53)    Wykazać, że całkę ogólną równania różniczkowego cząstkowego:

[xpĄ-yq—Zf = l-fp² + ?²

-f y

ày

•Y-»®'*®-

możemy przedstawić w postaci dwu równań :

ax

xĄ-y(p‘(a)-z-r

a-\-(p{a) <P'(a)

{l a²-[??(a)]²},/l

0,

gdzie fp{a) jest dowolną funkcyą.

54) Znaleźć całkę zupełną równania różniczkowego cząstkowego, kształtu:

Znaleźć całki zupełne i całki osobliwe następujących równań:

55) z — px-\-qyĄ-pq.

58) z = px-\-qy-\-3 pq-

59) Wykazać, że całka osobliwa równania różniczkowego cząstkowego:

x?-\-y²

GO) Wykazać, że całkę zupełną równania i’óżniczkowego cząstkowego:

dz dz

z=xa+y

dy

+ £) + (*)

67) z — px-\-qy-\-\Zap²-\-bq^-\-c.

ma kształt: z = —

dz dz

czyli pq — xy możemy przedstawić w postaci : z = -f Scałkować następujące równania różniczkowe:

y²

2»+i'

' dx^ = Xy'

0l) (i ⁺ (f + ïï+Oî-^-^)*

62) p²-)-^² = æ²+*y-|-y²

63) ax'--\-(xKz-\-axzy - ax²y*)— = 2ax'lyz—a^yh. 64) pxĄ-qy—pq — 0.    65) py-\-qx—pq = 0.

66) 2 = —

dz dz

dx ‘ dy’

“O-

70) —

x dx y dy

72) j-—4-)/~=0 ' dr J dy

73) Znaleźć powierzchnię, która przecina pod kątem prostym wszystkie elipsoidy

Cc’^    g 2

przedstawione równaniem : -j -f- ~ -j—- = 1.

71) (y—b—Bz)^--{-(x —a —Az)~- = B(x—a) - A(y — b).

74) Wyprowadzić równanie powierzchni, której promienie krzywizny są w każdym punkcie jednakowe i tego samego znaku.

Znaleźć całki ogólne następujących równań różniczkowych cząstkowych i podać

ich znaczenie geometryczne:

dz ,    dz

■j" cos p --cos y — 0.

75) COS a

ày

dz

dz

dx ’

dy

X,

y,

cos a, cos ß, cos y

drugiego :

Wyprowadzić całki ogólne następujących równań różniczkowych cząstkowych rzędu

78;

d²z

dx²

=/(*)•    79)

d²z

d²z

d-z

82) x²

(i-2

fix ²

-2/²

()%

t-t = a’

dxdy

⁸⁰⁾ W^°Wr

d'łz

d²z

dy²

d²z

0.

85)

d²z

d²z

dy²

= 0.

q!î\ r^V—

' v)x dy) fix² fiy²

= o².

f)x²

<>y²^

86) x²

d²z

dx²~yi

d²z

88)

d**

2 ()2

f)²2

óy²

= XV-

fix²

x fix

dx dy

„ _    „ _    f)²#

te>+²a:yte^+!' v,=o-

__    „ f)²2 ,02! Ć2

⁸⁷> * to*⁻¹' Sÿï+'âS⁻®'^“⁰-

f>2 ÙZ Ù-Z óx dy " f)x r)y

84) x

()²2

f)²2

d²z

<)?2 a² d²z    (dz\²d²z

⁸⁹is?-?â?=°-    ⁹⁰⁾ (ty) te ~²

/dz \² d²z \()x/ dy²

= 0.

91) Wykazać, że całka szczególna równania różniczkowego rt — s² = 0 pod założeniem że ą² — (l-\-p²)x² przedstawia się w postaci:

z — ay-\- Y/ a²—x² -f- « log

a—y/ a²—x²

Rozwiązania LXI. 2) z—m\/x²-\-y² — JP    3) (wy—»ix)^--{-(te—nx)~~mx — ly.

9) - =

2/

7) log 2 == a log x-f (1—a)logy-\-b.

8) z — —xy.

2/²

20) z = ex+y(p(x-\-y).

21) z = ym(p(y—mx). 22) z — y (p (y²—x²).    23) z = (x+y)cp (y²-\-x²).

m *+g + |-*(=>

26) *>-*» = »{j).

32) x—«2 = (p(y — bz).    33) (x—a2)²-j-(y-—&2)² — 1.    34) Stożek: («2!—cx)²-f (bzĄ-cy)² — (z — c)².

43) ^ — ax-\-a²y-\-v{a).

44) xearc te~y = "KyM-z²). 45) z — yn. ⁽P{x²—y²). 46) z —\/ x²-\-y² . ?>(arc tang —— log \/x²Ą-y² ].

x²-\-y²+z² ₌    / \

24) 2! = (sin y)a (p(y - a sin x).

36) Całkowanie równania liniowego : Pp-\- Qq — /?.

47) (x—y)z — ex~^y<P(x—y)²    49)

51) cos (y-j-2)-fcos (x-j-^+eos (x-\-y) — /[sin (y-(-2)-ksin (2-(-^)+sin (x-|-y)].    52) x²Ą-y²-\-z² = 1.

54) z — ^ (x+a)³U + ^ (y—afh+b.    66) 2 = (x+a) (y-f ß), lub :    2 =    +a^+^) •

67) z = a.x-{-f(a)y-\-ß.    68) z — a²y²-\-{axĄ-b)².    69) a(z—b)—1 =    (x-f-ay-|-ß)².

?2) Z==^'

78)    = stąd: ^ = ^(jr)    74) (x-a)²+(y—b)²+{z-c)² = r².

⁷⁸> p) = »-

78) 2 = JJ [f(x)dx²Ą-x<p(y)\-\(y).

X 86)    2 = xy log xĄ-xf(~}-\-<p(xy).    87) z = <p[^Ą-\(xy).

89) 2 = » {f(y+-^-)+^(y----)}•    90) z = f[x+y<p(z)\.

50) y z = (x-tj)f(yz+zx-\-xy).

70) 2 = <p(x²-\-tj²).

71) (x—a)²-\-(y—b)²-\-z² = <P(Ax-\-By-{-z).

75) f(x cos y—2 cos a, y cos y—z cos ß) = 0.

77) <P(x²-\-y²-\-z², x cos a-j-y cos ß+2 cos y) = 0.

Ł5)    2 = 9>(y+ax)+<Ky-ox)+—.

[y>(y+ax)4-'}(y - a®)].

88) 2 =

Literatura. E. G ours at: Leçons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Paris 1891 E. G ours at: Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre. T. I. Paris 1896. T. II. Paris 1898. Dr. Stanisław Kępiński: Podręcznik równań różniczkowych. Część II. Równania różniczkowe cząstkowe. We Lwowie 1907. Riemann-Weber: Die partiellen Differentialgleichungen. Braunschweig 1900.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Metody całkowania układu równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego.

2.    Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego.

3.    Całkowanie równań różniczkowych cząstkowych za pomocą szeregów potęgowych.

Wykład LiXlI.

Przedstawianie funkcyj i rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą całek określonych.

1. Ogólny pogląd na wyznaczanie wartości całek określonych. Do jednej z najważniejszych dziedzin rachunku całkowego należy” wyznaczanie wartości takich całek określonych, których odpowiednie całki nieokreślone nie mogą być przedstawione w skończonej liczbie wyrazów za pomocą znanych funkcyj, tworząc nowe rodzaje funkcyj.

Metody wyznaczania wartości takich całek określonych mogą być rozmaite; najgłówniejsze z nich poznane w wykładach XXXVI —XLIY polegają:

a) na przekształcaniu danej całki określonej za pomocą zmiany zmiennej niezależnej i odpowiedniej zmiany granic (art. 4. str. 696);

ß) na całkowaniu przez części, celem znalezienia związku między znaną i szukaną całką określoną (art. 6. str. 576);

y) na rozwijaniu funkcyi, występującej pod znakiem całkowym na szereg i całkowaniu poszczególnych wyrazów tego szeregu, sumowaniu wyników i odejmowaniu wartości sumy odpowiadającej dolnej granicy od wartości odpowiadającej granicy górnej (art. 11. str. 580);

Ô) na przybliżonem obliczaniu całki określonej, opartem o przybliżone metody obliczania powierzchni (art. 10. str. 691 ) ;

c) na różniczkowaniu i całkowaniu danej całki określonej ze względu na parametr, występujący pod znakiem całkowania (ait. 1 — 9 str. 527—632); £) na przekształcaniu danej całki określonej na całkę podwójną (art 10

str. 576).

Funkcyę /(#), której odpowiada w odstępie od a do b, skończona wartość całki określonej : 1= j f(x)dx, nazywamy też funkcyą całkowalną w tym odstępie, jaką jest między innemi wszelka funkcya ciągła.

2. Fnnkcye przedstawione całkami określonemi. Całki określone mogą być uważane jako funkcye jednej lub obu zmiennych granic całkowania, jak np. całki określone kształtu:

Ÿj{x)dx=F{x)

f(x)dx=F(x, y)

«' X a przy stałych granicach a i b jako funkcye jednego lub więcej parametrów zmiennych występujących pod znakiem całkowania, jak np. całki określone kształtu :

a) dx=F(a), JV(Æ, «, ß)dx=F(a, ß).

64

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I ïom II.

W myśl tego zapatrywania całki określone mogą służyć jako sposoby przedstawiania funkcyj jednej, dwu lub więcej zmiennych niezależnych.

W następnych artykułach zajmiemy się niektóremi uwagi godnemi całkami określonemi, przedstawiającemi nowe funkcye zaznaczone osobnemi nazwami.

3. Całki Eulera. Tak nazywają się za przykładem Legendre’a dwie całki

określone, jedna kształtu: B (y, g,)=C x? j(l—x)q~i dx, zwana B e t a * f u n k-

✓»00

zwana Gamma-

cyą parametrowy i ą, druga kształtu: r {jp)= \ e~xxp~]dx,

J o

funke y ą parametru p.

Pierwsza zowie się także całką Eulera gatunku pierwszego, druga całką Eulera gatunku drugiego.

Całce Eulera gatunku pierwszego :

(1)

B(p, q)=V xp-\l—xy—'dx

J o

możemy nadać między innemi następujące kształty: Kładąc: x—~ -

dy

2, a uwzględniając, że

a więc: 1—x—

i +y

(i+y)

granicom Oil zmiennej niezależnej x odpowiadają granice 0 i oo dla nowej zmiennej «/, pisząc wreszcie x zamiast y, otrzymujemy:

1 +y*

⁰⁰ xp~'dx

(l+aj^+î*

(2)

piszemy :

Rozkładając otrzymaną całkę na dwa dodajniki w ten sposób, że na

xp~'dx

⁰⁰ xp~'dx

(l+x)p+q'

zastąpmy w drugim dodajniku zmienną x przez —

CC

(i+xy+i

dx

zatem dx przez — — a otrzymamy 0 i 1, jako granice nowej zmiennej, wobec tego będzie:

B(P, 2)=î

Jo

(1+®)*+«

dx,

(3)

skąd wypływa bezpośrednio własność Beta-funkcyi, przedstawiona wzorem:

B(P,    P)j

która wypływa zresztą także z wzoru (1), gdy w nim zastąpimj' x przez 1 — 05.

(4)

Całce Eulera gatunku drugiego :

r{p)

/»OO

= \ e~x xp~x dx ^0

(5)

możemy znowu nadać między innemi następujące kształty: Zastępując x przez mr, otrzymujemy:

/»oo

r(p)=n?p \ e *^o

xp~*dx,

skąd zastępując znowu x przez x² dostajemy wzór:

e-xl x2p—i

— mx

(6)

/•OO

r(y) = 2

J o

(7)

Kładąc we wzorze (5) e~x=y, zatem ic=log

dx= —

dy ,

—, otrzymujemy:

dy,

a stąd pisząc x zamiast y, dostaj'emy wzór:

dx.

(8)

4. Związek między obu gatunkami całek Eulera. Kładąc we wzorze (2) :

B{p’

na

podstawie (6) :

/»OO

\ e—(I+y)*ipp+2-¹efof "o__

(1 +y)p^

T(p+q)

otrzymujemy :

£(p, q)

T(p + q) '

£.00    /»OO

\ yp-'dy\ *0    " o

czyli :

a że na podstawie wzoru (6) :

B(p, q) =

i r r(p+g) \

xp+v-^e-

/•OO

yp-'e-*ydy,

/•oo

\ yp—xe~xvdy

^(JP)

przeto wzór poprzedni sprowadza się do postaci:

B(p, g)

xP+y-'e—zdx.

r{p)

x~p ’

czyli :

2)

r(p)

/• 00

•'O

a że

r(p + q)

/•oo

^x<l~‘le~xdx=r(q), przeto otrzymujemy z

r(p).r(q)

xq~ie~xdx,

powyższego równania wzór :

(9)

-A p+?)

wykazujący związek między Beta- i Gamma-funkcyami.

Na podstawie tego wzoru możemy obliczyć wartości Beta-funkcyj, gdy znane są wartości funkcyj Gamma.

5. Obliczanie wartości funkcyj Gamma. Dla jakiejkolwiek wartości parametru p otrzymujemy na podstawie całkowania przez części:

/» 00

e-xxp-\ (p _ 1) \ e-x xp ^d'Xj

•'o

r(p)=(p—i)r(p—i),

r(p) = (p—l)(p—2).. .(p—m) JT(p — m),

który w przypadku, gdy p jest liczbą całkowitą równą n, sprowadza się ze względu na to, że ■Z¹(l) = j> e Xdx= 1, ostatecznie do postaci:

-T(w) = 1.2.3.. .(n—1), czyli: F(n)=(n—1)!    2)

/» oo

•'o

e~xx p—^dx— —

czyli :

skąd wynika wzór:

(10)

(U)

w przypadku, gdy p nie jest liczbą całkowitą, dozwala wyznaczyć wartości funkcyi T dla wszystkich wartości dodatnich parametru p, jeżeli znana jest wartość funkcyi T dla wartości p między Oil.

Przyjmując we wzorze (9)p-fg,= l, a więc: q= 1—p, otrzymujemy stąd :

r xP-^dx

r(p)r(i—p)

1+Æ

a że :

f»00

r( i)~J

^ O

e~xdx= 1, a za

X

pomocą rozkładania funkcyi : y-y u

na ułamki

proste, dostajemy:

\

•'o

⁰⁰ x2mdx l + x2n

2n sin

2m + l

TC

skąd podstawiając x za x2n i kładąc:

2m4-1

=P,

⁵⁰ XP-*

dx ——

TC

1 -\-x

otrzymujemy przeto z powyższego wzór:

sin pn

T(p).    1 —p) = . U --

sinpjr

który w połączeniu z wzorem (11) dozwala wyznaczyć wartość funkcyi r dla wszelkiego p, gdy znane są wartości funkcyi l⁷ dla parametrów p leżących w granicach od 0 do if₂.

6. Uwaga dotycząca obliczania wartości całki określonej : \

J o

określonej : \ połóżmy :

⁰⁰ ocp 1 dx

(13)

. Wartość całki

⁰⁰ x P~X

l-\-x

dx może być także wyznaczoną przy pomocy szeregów. W tym celu

⁰⁰ XP

-1

dx

1 XP

-l

1 —pa?

a że dla pierwszej całki, gdzie 0 < x <. 1 mamy:

xP-\

I-j-cc

a dla drugiej, gdzie 1 < x < co jest:

xP-¹

o 1+*

dx-\- j*

00 XP—1

—dx, i l-\-x

= xP-¹-xP+xP+i-XP⁺²+...

= xp-'¹-xp-z+xp-!i-xp-h+...

przeto całkując te szeregi w dotyczących granicach otrzymujemy: J q l-j“33

p 1+p 2j-p 8-+-p    4+p    "    1 — p 2—p

czyli :

⁰⁰ 1

l-pr

dx =

¹ , ²P

p ⁺ :

2p

2p

2p

l²—p²    2 ²-p²    3² —p²

4²—p2_r"’

Szereg ten przedstawia właśnie funkcyę:    .

Jest bowiem na mocy wzorów (11) i (12) str. 452:

cos

przeto:

pr.

d log sin —

dp

. prc 1    2 p

2p

2p

4 ²—p²    6²—p²

,,    P*

d log cos —■

dp

pn

tang y

2p

2p

2p

2p

l²—p²

3²—p²

5²—p² 7²-p²‘r"‘

a że:

fcotgf + l-tengf

sin px ’

zatem otrzymujemy wzór sumowy:

TZ

2p

2p

a więc:

x?-¹

sin px'

+ 32_p2    42_p2+-

gdy: 0 <2><1.

7. Wartości: F

(a) 1 r(m+ I)'

Ula p =

rH JM

otrzymujemy z (IB):

(4)'-

n, zatem: F j ^ e~x x'l* dx = ^n.

Zastępując w wzorze (11) p przez p + m, gdzie ni jest liczbą całkowitą, otrzymujemy :

czyli wzór : z którego, gdy p= j/₂, dostajemy:

F (p-\-m)=(p + m—1) (p-\-m—2)...p.F(p),

r(p + m)=p(p +1). . .(p + m—1) F{p),

(14)

1 3 5^

2'2*2'" 2 /    1\    1.3.5... (2m—1)-./—

\m+V =-2”--V*-

8. Przedstawienie funkcyi J^as) w postaci iloczynu nieskończonego.

^»OO

Różniczkując funkcyę r(x)=\ e~yyx~'dy podług x, otrzymujemy:

czyli :

i⁷

(m+ y) -

i⁷

T-l km

(15)

r% 00

e-yy*-' log y dy,

skąd kładąc : log y

r e_z

Jo

—e~y*

dz, dostajemy:

F‘ (x) = F(x) .

zatem :

f'Or) ^ log /⁷(æ)

n-

1 I dz

F(x)

dx

(l+*>\

= \ [e-z — (1 + #)■*] -J₀    0

czyli :

d log /⁷(æ)

dx

Jo V y

e~*y

l—e-y

(16)

Pochodna tej funkcyi podług x otrzymuje kształt: d² log F(x)

dx²

/»OO

Jo

ye~xy

dy,

a że :

a więc :

l—e-y

1    e~ny

. -=1+ e⁻*/+e_22' + ..+ ^-

l — e-y r -r -r T    u l_ey

ye~*y + ye-2'(-r+¹) .\rye-y^+'i) +...

ye~Xy

l — e-y

d² log F(x)

/■» oo

= \ [ye~xyĄ-ye-y^^-l ye-y⁽~x+²⁾...]dy, Jo

przeto będzie :

zatem otrzymamy rozwinięcie :

d² log F(x) ₌ _1_

<iz²    x² (x+l)2 1 (# + 2)2 1

w postaci szeregu jednostajnie zbieżnego dla wszelkiej dodatniej wartości x.

dx²

(17)

- 1014 —

Całkując go między granicami 1 i x, otrzymujemy:

d log r(x)

dx

c+(1_ł) ⁺ (i

+ •••

(18)

-na-

Całkując (18) między granicami x i 1, otrzymamy:

gdzie stała C=r\l)

—j e~ydy zowie się stałą Eulera.

log r(x) = -C(x- l) + (^y

. x \    (x—

logT) + (^

—log

+ •••

... +

(V~log

(19)

skąd, kładąc x — 2, otrzymujemy stałą Eulera w postaci:

*-(¹⁺t⁺¹

— --log W Y

m—1    ⁶ )

T+...+

Po uwolnieniu od stałej C otrzymujemy wzór (19) w postaci:

m = co

log r(a)-2 [(*-i)iog (1+ —J-iog (¹⁺^-)]

(20)

skąd wypada:

1.2.3... m.    ¹

czyli :

1 . 2.3 ... (m -l)mx X ~ m^x^x + l) ...(x+m—1)’

(21)

Do tego wzoru możemy dojść także bezpośrednio w sposób następujący:

r(x) = f yx 1e ydy czynnik e y J0

Zastąpmy w całce: dąży do e—^ gdy m dąży do nieskończoności i wyjdźmy z całki:

lim m = co.

przez potęgę

M-)

, która

!» = yx 1(i- ~Çdy^ Sdzie

Za pomocą całkowania przez części w-razy powtórzonego otrzymujemy: x(x-{-l). . (x-\-m 1) m™ J ₀

T(x)

1.2... m

1 m yx+m

aj(x-f-l)... (aj-j-m—1) ’ mm o x-\-m

zatem ostatecznie:

r (x) = lim

1.2.3 ... m

00

x(xĄ-l)... (ccĄ-m)

mx.

9. Przedstawienie funkcyi logjP(l-fas) w postaci szeregu potęgowego.

Na podstawie wzoru (17) otrzymujemy: d² log r(£-f 1)

dxl

(# + l)² ^ (# + 2)²    (# + 3)2 1

(22)

skąd dla x=0 dostajemy:

1 \d² log r(ic-fl)

2!

dx²

^i[i ₊ ± + l₊ 1_*

J.=o 2 li2 +22 +3!+"'|    2'

Postępując z (22) do w-tej pochodnej, otrzymujemy:

1 rdMogTOr+l)

n\

dxn

]-

a źe na podstawie (18):

d log r(ic-f 1)

dx

= — C, zaś:

æ=0

[log I> + l)j

=iogr(i)=oJ

przeto otrzymamy na mocy szeregu Maclanrin’a :

log T(1 +*)=-Cx+ s, ~ - ą ^ + S, ^ - Ss ~+...

log r(l—*)- Or+Ą ^    ^ + S₄ Y+-

b log |T(1-*). T(1 +*)] - S, X1 + S₄ ~ + S₆ °Ç+...

> . ' - ' '

r(i—*)r(i+*)

(28)

a stąd :

Wobec tego mamy:

a że :

nx

sin nx

log —

2 sin nx przeto wzór (23) sprowadza się do postaci:

log r(l + «) = —Gc + ilog—;

2 sin nx

więc :

nx

/V 2    /y* 4    ry* 6

sĄ+sĄ + sĄ+...

71X

cc

/yi    /y% 5

Q "    . (J

*S3 3 ⁺ ^ 5

5+•'

Dodajmy do tego wzoru tożsamość:

, l+x x³ x⁵

^I^ + x+3

0=-

-h

a otrzymamy wzór:

nx

log T ( 1 + a:) = -g- log —

2    ° sin nx

Tlog

(24)

/y» 3    ry* 5

-(ą-i)|— (Ą-i)|—.

który dozwala dość szybko obliczyć wartość funkcyi logiki+2) dla wszelkich x między 0 i gdy obliczone są sumy Sr i stała Eulera C.

u

Sumy Sr obliczone zostały przez Legendre’a aż do <S₃₅. Z dokładnością na dziesięć miejsc dziesiętnych jest:

St = 1-6449340668, S₆ = 10369277551, S₈ = 1-0040773512,

S₃ = 1-2020569032, S₆ = 1-0178430620, S₉ = 1-0020783928,

Si = 1-0823232337, ó₇ = 1-0083492774, 5₁₀ = 1-0009945751.

Kładąc we wzorze (24) x=i/i, otrzymujemy na wyznaczenie stałej Eulera C wzór:

(7= 1+logl - (Ą-1>-    (Ą-1)(S.

z którego otrzymujemy (7 = 0 5772156649...

10. Obraz funkcyi    Na podstawie powyżej wyprowadzonych wła

z.

sności funkcyi r(#) nie trudno wyrobić sobie wyobrażenie o przebiegu funkcyi krzywej : y=T(x). Krzywa ma od x=0 do # = co , rzędne stale dodatnie, przyczem r(0) = oo, jako też r(oo)=GO, otrzymuje zarówno dla æ=l, jako też dla #=2 jednakową wartość równą 1, przeto posiada w odstępie między x=l a æ = 2 pewną rzędną najmniejszą (minimum) (fig. 264).

0 se

Fig 264.

Staje się to, jak z warunku r'(#)=0 można w przybliżeniu obliczyć, dlaÆ = l-4616321451, któremu odpowiada: P(o?)=0 8856031944...

11. Sprowadzanie niektórych całek określonych do funkcji Gamma. Zapomocą funkcyi Eulera można wyrazić wiele całek określonych, które za pomocą znanych funkcyj elementarnych wyrazić się nie dadzą.

Przytoczymy tu przykładowo najważniejsze z nich:

a) Całka kształtu:    sin²?—¹ 9° cos²?—¹9°<29p, sprowadza się na mocy podstawienia:

x — sin² f do postaci:

sin²?—¹9° cos²?—¹ V d<P

1 f¹

= — \ XV—^(l—x)<i 2^o

—¹ dx —

~2

wobec czego otrzymujemy:

sin²?—¹9° cos²?—¹ df

i r(p).r(g)

2 r (p+2)“'

(25)

Zakładając p — ą, otrzymujemy:

71

71

P 2    1 p 2

\ (sin 9° cos 9p)²?—¹ <29® = ^—-r \ (sin 2<?)²?

Q    1 e/ o

-!<29®

2²?-3

p¥

\    sin²?’-¹ <P d<P,

J o

zatem na mocy (25) wzór:

TC

sin²?—¹9° c29P

=f

o

cos²?’—¹9° <29° — 2²?—²

r²(p)

r(2p)

(26)

ważny dla wszelkiej dodatniej wartości parametru p.

Zakładając p+2 —1? a więc kładąc 2p — 1 = n, 2q — l — —n, otrzymujemy z (25):

a że:

s;

sinn f cos—"9® <29® —

rH ]<M

1+n\

2 )

r(+).r++)

7t

7C

. 1+w

sin—— k cos

MZ ’

2"

TC

przeto otrzymujemy wzór:

pT

\ tang” 9® <29®

2 cos

(27)

V/1—xi

ważny gdy n < 1.

pi xn

ß) Całka określona kształtu: \

J o

y = x* do postaci :

n- 3

V/3++*

dx sprowadza się wskutek podstawienia

X K+Hi)

r(”r)

skąd dostajemy wzór:

¹    #«<2o3

^! +

o V1—xl

⁴ K+⁸)

/»OO

y) Całka Laplace’a: \ e—a²*²dx sprowadza się wskutek podstawienia y = a'*x² do J o

postaci :

/•OO

^0

g—a**² <2®

-y

⁰⁰ e-ydy

2aV/y

otrzymujemy wzór:

skąd, ze względu na to, że

pGO

^0

g—a²z²    =

i/*

2a

3) Całki określone kształtu : Ç

J 0 xp

dx,

I*⁰⁰ sin cc

(p < 1)» j - xp dx (p < 2) możemy sprowa-

dzić do całek Eulera, przekształcając wpierw te całki na całki podwójne na podstawie wzoru :

Otrzymujemy tedy: p cos x

J₀ xp

dx —

e- xu cos x dx

/»OO

^ o

yP~i dy,

a że na podstawie art. 7. str. B79 jest:

/»OO

*^0

e—*y cos x dx

l-ł-2/²

/»OO

’ ^ 0

e~xy sin x dx —

i-H/²’

przeto otrzymujemy:

J Q XP

Kładąc y — tang V, a więc: dy—

⁰⁰ ypdy

M-y

COS² <P

J 0 xP

i uwzględniając wzór (19), otrzymujemy:

1 p _ r (2>)J o

⁰⁰ yP~idy

1+y² '

⁰⁰ yndy

i+y²

— C tangn 9° d<P J o

(» < !)»

przeto:

p COS :

J 0 xP

dx — —

2r(p) cos V~

2I\p)sin

pr.‘

~2

(28)

W szczególności otrzymujemy stąd:

r

•'o

⁰⁰ cos X

V/ x

dx

=f

⁰⁰ sina;

y/ x

dx

-Vf

12. Całki ęlliptyczne. Całkami określonemi elliptycznemi pierwszego i drugiego rodzaju nazywają się całki określone oznaczone za przykładem Legendre’a w następujący sposób:

C<p

F (Tc, cp) — \ Jo

dcp

F(Jc, cp) — \    — &² sin² cpdcp

•'o

Vl—Tc² sin² cp

w których (p zowie się amplitudą, Tc modułem odnośnej całki. Wprowadzając w całce elliptycznej pierwszego rodzaju:

«-IVÄEV

(29)

nową zmienną cpx za pomocą podstawienia: tang cp — stawieniem Landen’a, otrzymamy :

sin 2<jpj

Æ+cos 2(jp/

zwanego pod-

S’

Jo

dcp

V1 — 7c² sin² cp

2_

+ Tc J o -

dcpi

(1 + *)

-₂sm²(p

gdzie : Tc,

i-{-Tc

czyli wzór:

f,)

który dozwala sprowadzić daną całkę elliptyczną pierwszego rodzaju na inną z większym modułem i mniejszą amplitudą. Wzór tern wraz z odpowiednim wzorem odwrotnym :

F (Tc, cp)

(30)

F (ha q>i)

1+Jc

(31)

dostarcza metod obliczania wartości funkcyi F(Jc, cp).

Stosując podstawienie Landena: tang <p = cznej drugiego rodzaju :

sin 2cpx

Æ + cos 2q)i

do całki ellipty-

E(k, 9?)=^^!—Jc² sin² cp dcp,

(32)

otrzymamy :

E(Jc, (p)4- Jc sin cp = Ç [^1 * o

—Z;² sin² cp Ą-Jc cos

r 9

cp]dcp = 2\ *^o

l + 7c cos 2cp, fi + 27c cos 2cpi

à<pi

Kładąc jak poprzednio: Jc.

2V&

otrzymujemy :

E (Jc, cp)-\-Jc sin 9>

=^‘[(i+i)Vî

^'l + 7c (1 — 2 sin² cpt)

V 1—-Jc²i sin²

—Z:²! sin² <^ + (1 — Z;)

V 1 — Jc\ sin² cpi =(i + Jc)E(Jci, cpx)+(l—Jć)F(ku 9?i),

zatem wzór :

E(Jc, (p) + Jc sin qp=(l +Jc)E(Jci} ępJ-Hl-Jc)F(7ci) cp^)

(33)

który dozwala wyrazić daną całkę elliptyczną drugiego rodzaju i całkę elliptyczną pierwszego rodzaju, obie ze zwiększonym modułem i zmiejszoną amplitudą.

Całki F(cp, Jc) i E{cp, Jc) zostały obliczone przez Legendre’a, który ułożył odnośne tablice.

13. Szczególniej ważne w zastosowaniach są całki F i E odpowiadające . Nazywamy je zu p e ł n e m i całkami elliptycznemi

amplitudzie <p =

i oznaczamy wzorami :

Fm-r

•'0

dcp

E(Jc)

= [ Vl— Jc² sin² cpdcp. J o

(34)

VI—Jc² sin² cp

Zupełna całka elliptyczną pierwszego rodzaju jest pewną funkcyą modułu 7c, którą możemy przedstawić w postaci szeregu potęgowego. Otrzymujemy mianowicie :

1    13

— Jc² sin² ff~K.    sin⁴ cp-{

1.3.5

2.4.6

sin⁶ cpĄ- ...j dcp,

a że :

f

Jo

sin2n <p dcp

1.3.5... (2n— 1) n

2.4.6 ... 2w

przeto całkując wyraz za wyrazem we wskazanych granicach dostajemy:

1.3.5

2.4.6

Jc³

(35)

- 1019 —

Jeżeli Jc rośnie od O do 3, funkeya F(k) rośnie od

do oo (fig. 265).

Zupełna całka elliptyczna drugiego rodzaju jest nową funkcyą modułu Jc, którą możemy również przedstawić w postaci szeregu potęgowego. Mianowicie otrzymujemy:

ST

1.3.5

L{_

5 V‘2.4.6

Je³

)~

•    (36)

Jeżeli Je rośnie od O do 1, funkeya E{Je)

(9

spada od

do 1.

13. Wzory (35) i (36) są bardzo użyteczne przy obliczaniu wartości funkcyj F (k), E(k) dla małych wartości modułu k. Dla wartości Jc bliskich 1, otrzymamy za pomocą podstawień Landena wzory:

Fig. 265.

**(*) = (l+fcOfX*!),

E(k) ⁼    E(kl)-(l-Jcl)F(ki ),

(37)

(38)

gdzie: Jcv

2V/fc T+JT

Tą drogą dochodzimy dla funkcyi F(Jc) do wzoru:

F(k) = (1+fcj) (1-f fc,)... (l+*.)^(fe»),

gdzie Jcn może już być dowolnie małem, a wobec tego wartość F(kn) może być łatwo obliczoną za pomocą wzoru (37).

Dla n= co otrzymamy Jcn = 0, 2^(0) = -^-, a wskutek tego:

F{k) = ^ (1+kt ) (1+fc,)... (1+k„)...

W szczególności, otrzymujemy tą drogą:

F(ł) “

1-617

(ł) =

1-685..., F

(?)=

1-854..., F

(¥) =

2-156...

stajemy :

Analogiczne wzory możemy na podstawie (38) wyprowadzić dla funkcyi E(k) i do

tH CO

= 1-526..., E

tsï i—

= 1-467..., E

(¥)-

1-350.., E

(¥)-

1-211...

14. Przykłady całek określonych, sprowadzających się do całek elliptycznych zupełnych pierwszego lub drugiego rodzaju. .Niektóre całki określone można zawsze sprowadzić do zupełnych całek elliptycznych pierwszego lub drugiego rodzaju. Rozważymy tu przykładowo najważniejsze

1) Całka określona: i*

J f\

dx — —sin 9 d© do postaci :

dx

o Yi—a?⁴

sprowadza się za pomocą podstawienia x — cos ©

71

o Yi-*ł

_f o    do _ Jlf 2

^ n Y1-j-cos²©    'o

dtp

"2

~2

sin² ©

otrzymujemy zatem :

o Yi—

¥-4f>

1-311...

2) Całka określona: J

postaci:

i x² dx

o y i—x⁴

sprowadza się za pomocą podstawienia x = cos <p do

0 Yl—x⁴

i r²

yi-^-sin²?

otrzymujemy zatem :

0-599...

1 X² c£x

oyi-xł

(*² d!x

3) Całka określona, kształtu: \

J o

sin x = t, dx =

dt

Vsin x

sprowadza się za pomocą podstawienia

Vl-<²

do postaci :

TC

o V ^(1—*s)

Vsin x

Kładąc teraz £ = cos²®, zatem cft =—2 sin ® cos <p cZcp, otrzymujemy

TT

r*² dx *^o

Vsin x

—aj¹

v n

dCp

d<p

yi+cos² cp

yi-y sin² cp

tc

zatem :

f*²    <2x

o

Vsin x

2-622...

4) Całka określona: ^

sin tp = V2 sin cp, a więc :

o \ll—2 sin² ÇP cos ip d<\

sprowadza się wskutek podstawienia :

do postaci:

TT

TC

f

•'o

i r² rf-P Vl—2 sin² ÇP    V‘2 J o

dcp

TC

więc:

d<jp

Vl—2 sin² (jp

yi-i sin2+

1-311...

.    i*“

5) Całka określona : \    _______

J o Ycos <jP—

wobec czego:

COS a

wskutek podstawienia : fc = sin sin — = k sin tp,

2h cos <p dtp

Vl — fc² CO«² ł

a granicami na tp odpowiadającemi granicom 0 i a zmiennej o będą 0 i sprowadza się do postaci :

cos o—cos a

= 2^sin²-^—sin² ^) = 2fc² cos² <p, do —

V2 f

—-= V2 -F(k),

do

0 Ycos q>—COS a

o Yl-fc²cos²<p

zatem :

dy>

0 Ycos ®—cos a

V2 F (siu -^j.

15. Szeregi i całki Fourier’a. Rozwinięcie dane] funkcyi f(x) na szereg

potęgowy:

/(x)=a₀ + aix + a₂xi f —+ »*®n+...

prowadzi na mocy podstawienia x=r (cos <p + i sin (p) z uwzględnieniem wzoru Moivre’a : (cos cpĄ-i sin <jp)" = cos ncp + i sin n<p na pomysł rozwinięcia: f{x)=A₀-\-Ai cos# + J.₂ cos 2x+...-\-An cos nx-\-...

(39)

-\-Bi sin xĄ-B₂ sin 2x-\-...Ą-JBn cos nx+...

które nazywamy szeregiem Fourier’a.

Załóżmy w myśl Fourier’a, że dana funkcya f(x) dla wszelkich wartości położonych między —n... + n możemy przedstawić w postaci powyższego szeregu i postawimy sobie za zadanie wyznaczyć odpowiednie spółczynniki Ar i Br.

Całkując równanie (39) między granicami — n... + n dostajemy:

\ f(x)dx=\ Ar.dx+ > \    J.rcos rxdx + ^ \

J_*

Br sin rx dx.

r— 1

r—l

skąd ze względu na to, że:

r

•J -71

cos rxdx=

sin rx

— 71

0,

r

«/ —71

sin rx dx =

Tl

—71

cos rx

=0,

otrzymujemy :

zatem :

Pn    Cn

\ f{x)dx=\

J —71    J — 71

A^Ł\"j(x)dx-

A₀dx= 2n A ₀,

(40)

Mnożąc znowu równanie (39) raz przez cos sx, drugi raz przez sin sx, całkując je w granicach od —n do    otrzymujemy:

r — oo

\ f(x) cos sxdx=^^ \

J —Tl    r = O ^ ~~n

r=co

\ f(x) sin sxdx=^^ \

—71    r Q —71

r = oo

Ar cos rx cos

Ar cos rx sin

sx +    \ Br sin rx cos sx dx, (a;)

^_i * —71

r = oo

sx dx + 2 \

Br sin rx sin sx dx, (b)

a że :

r

•J —7i

cos² rx dx

C⁷¹ l + cos2ra

J —71

dx=

\n / x

U"2 ⁺

sin 2rx

= 71,

r

—7i

cos rx cos sx dx

Cn cos (r—s)rc-f cos (r-fs)x

J —71

dx=0.

PTt

J —71

sin rx cos rx dx=-7-

1 ⁷¹

4r

cos 2nc=0

sin rx cos sx dx

Cn sin (r + s)æ-{-sin (r—s) x

J —71

dx=O,

Ç71 J —TC

sin² rxdx

-r

* —71'

1 — cos 2rx

dx

\n fx

~ Ul 2

sin 2rx

ogólnie :

r

•J —71

sin rx sin sx dx

Cn cos (r—s)x—cos (r-|-s) x

J —71

dx=O,

sin rx cos sx dx=0.

Ç71

J —7i

cos rx cos sx dx

JO, gdy r>s

(Tt „

r=s%O’

r

—71

sin rx sin sx dx

f0, gdy r%s \ti, gdy r—s < 0 ’

przeto otrzymujemy z (a) i (6) wzory:

zatem :

Ç7V

\ f(x)cosrxdx=JiA

J —71

1C⁷¹

Ar=—

f {cc) cos rx dx,

PTI

\ f(x) sin rxdx=Ji B

J — 71

1

=— \    f(x) sin rx dx.

Tt J —ji

Br

—71

Spółczynniki Ar i Hr w szeregu Fouriera przedstawiają się więc jako pewne całki określone, które nazywamy całkami Fourier’a.

Podstawiwszy otrzymane wartości spółczynników w równanie (39), otrzymujemy szereg Fourier’a w postaci:

r= oo

/(*)

=ŁZ/(r)dx+}ń'2tcosrxL„

f{x) cos rx dxĄ-

r = oo

-j--sin rx (    /(#) sin rx

W zTta    7 —n

(42)

przedstawiający wartość funkcyi f{x) w przedziale od x——n do x=n.

16. Uwaga, a) Jeżeli dana funkcya f(x) jest funkcyą parzystą, t. z. jeżeli f(x) — /(—x),

tedy mamy:

Çn    Çn    rn    Çn

\ f(x) dx = 2 \ f(x) dx,    \ f(x) cos rx dx — 2\ f(x) cos rx dx,

J —71    V 0    " —⁷¹    * 0

Ç71

\ f(x) sin rx dx — 0.

J —n

Funkcya parzysta f(x) przedstawia się więc w przedziale od 0 do rc w postaci szeregu :

r = oo

czyli:

gdzie :

u    r— 1

f(x) — -i- A^Ą-Ai cos x-\-A₂ cos 2cc-J“--,+^-nCOS nx-j-... 2

= — \ f[x) cos nx dx.

7Z J Q

cos rx

f*n

\ f(x) cos rx dx,

Jo

(43)

An

ß) Jeżeli dana funkcya f{x) jest funkcyą nieparzystą, t. z. jeżeli /(—#) = —/(x), tedy

mamy :

\ f(x) dx = 0,    \    f(x) cos rx dx — 0,

*J —71    J —71

Çti    Çti

\ f(x) sin rxdx — 2 \ f(x) sin rx dx.

J —71    J Q

Funkcya nieparzysta f(x) przedstawia się zatem w przedziale od 0 do n w postaci

r =z oo

szeregu :

^-2

sin rx

\ f(x) sin rx dx, J o

(44)

czyli:

gdzie:

;• = l

f(x) — BY sin x-\-B₂ sin 2x-\-\-Bn sin nxĄ~...

Bn

2 fn

= — \ f(x) sin nx dx. 7C J o ‘

y) Z szeregów (42), (43) i (44) ważnych w przedziale od —n do «, względnie od 0 do jc, możemy wyprowadzić szeregi ważne między —a i a, względnie między 0 i a, gdzie a jest liczbą dowolną.

Kładąc mianowicie: x = f(x) — <u(y), otrzymamy ogólny szereg Fourier’a:

r — cc

r = oo

V(y) = 2a S_a ^(y)

r = 1

a stąd dla funkcyj parzystych szereg :

r = 00

my Ça

C°S —- \ ?(y)

a ₀

cos

a dla funkcyj nieparzystych szereg:

r = oo

.rxyÇa    rny

sin —- \ p (y) sin-dy.

Cl «/ o    ®

r = 1

17. Przykłady. ' 1) Rozwinąć x w szereg Fourier’a. Mamy tu:

2

— O, Br — — \ x sin rx dx =

J o

Ar

zatem:

x — 2 |sin x—

—(—i)r_1—=(—i)’'⁻¹ —,

n ' r    r

~ sin 2x-f- sin Sx--sin 4x-j-. .|,

obraz geometryczny szeregu składa się z odcinków równoległych, jak na fig. 266.

Fig. 266.

Fig. 267.

Fig. 268.

2) Rozwinąć y = -\-c, przy 0<C.x<^n i V ——c-„ przy 0>x>— n. Funkcya jest w całym przedziale nieparzystą, mamy zatem:

jsin x-\- -j^-sin 3x-|- -j^-sin 5x-}-...j,

a stąd:

4 -~r

sin x . sin Sx . sin bx

Obraz geometryczny szeregu przedstawia fig. 267.

3) Rozwinąć t/=x, przy 0    i y——x} przy —rc<C*< 0. Funkcya jest w całym

przedziale parzystą, otrzymujemy zatem:

«    4 /cos :

Obraz geometryczny szeregu przedstawia fig. 268.

18. Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą całek określonych.

Całek określonych możemy niekiedy używać z korzyścią także przy rozwiązywaniu równań różniczkowych. Sposób postępowania podany przez Lapla-ce’a polega na tern, że przyjmujemy dowolnie kształt całki określonej, która miałaby przedstawić rozwiązanie danego równania różniczkowego, a następnie wyznaczamy funkcyę stojącą pod znakiem całkowania, tudzież granice . całkowania tak, żeby danemu równaniu różniczkowemu stało się zadość.

Sposobu tego możemy z korzyścią użyć szczególnie przy całkowaniu równań różniczkowych liniowych, mających za spółczynniki funkcye zmiennej niezależnej x, zwanych zwykle równaniami Laplace’a w postaci :

dny

Ażeby rozwiązać to równanie załóżmy, że szukaną całką jest:

cos Sx cos 5x

5²

dn~¹y

dxn~x

b**.“b(fln—i + ^n—i«0    (^n + ónx)y—0 (45)

2/=r

J<o

etx Tdt,

(46)

— 1024 —

gdzie T jest nieznaną funkcyą wyłącznie zmiennej t. Na podstawie tego założenia :

dy

dx

= [ tetx T dt,

<Py

dx²

= ^ t² etx Tdt...

a wstawiwszy te wartości w równanie (45), otrzymujemy warunek: (a₀-(-&₀æ)\ tnetxTdx-\-

^ to

który, jeżeli położymy :

a₀ tn -f ax t"-¹ +... + an-.\t+an= <p(ź), b₀ in -f bi tn~x +... + bn-\t+bn=ip(t), sprowadzi się do postaci •

... -f-(an_i + &ra_

¹ tetx Tdx+^an + Kx)^

hétxTdx=0, (47)

xetx Tip{t) dt=0.

[ etx T (p{t) dt-\-\

«1 ta    J ta

Na podstawie metody całkowania przez części mamy :

,.&mdi

r

jt₀

xełx Tip(t) dt

h    Çh

= [ełx Tip(t)]—\

to    Jt₀

dt

przeto otrzymujemy z (48) warunek:

'd[Tip(t)]

dt

2>(0]

dt=0,

któremu stanie się zadość, gdy przyjmiemy:

d[T(p{t))

dt

T(p(t)—0 i zarazem:

to

[ełxT(p(t)}=0.

(49)

znacza

Pierwsze z tych równań określa T jako funkcyę zmiennej t, drugie wy-granice całkowania dla całki przj^jętej jako rozwiązanie danego równania różniczkowego.

Ażeby wyznaczyć T, napiszemy pierwsze równanie w postaci :

d[T(p{t) ]    (pit)

dt

W)

Txp{t)=0,

a otrzymujemy stąd :

d[T(p(t)] _ (pjt)

T (p{t) ęit) '

a więc:

log T(p(t) = J

(pit)

W)

dt + c, czyli: T(pit) —Ce

dt

dt

JV»

■»Ht)

zatem :

T=C

(Pit)

(50)

jako kształt funkcyi, którą należy podstawić w przyjętej całce określonej (48).

Drugie równanie, z którego należy wyznaczyć granice całkowania t₀ i otrzymuje teraz kształt:

[etx T(p(t)] =

1 = Cetx+^M

i t₀

(51)

czyli :

Jeżeli z równania (51) potrafimy wyznaczyć dla pewnego t₀ n wartości odmiennych: tu    tedy otrzymamy całkę ogólną danego równania róż

niczkowego w postaci :

=ci r* etxTdt+c₂ r*

Jt₀    Jt.

etxTdt-j-...

+ Cn^ etc Tdt.

tn

(52)

19. Przykład. Weźmy pod uwagę równanie różniczkowe zwyczajne n-go rzędu:

d*y

-j—— *«/= 0. Załóżmy, że całka jego ma kształt:

y — \ ' et* Tdt.

Jta

natenczas otrzymamy na wyznaczenie nieznanej funkcyi T i niewiadomych granic całkowania równanie różniczkowe:

dn

dxn

o”-

etx Tdt—x

czyli :

skąd ze względu na to, że:

etxtn Tdt—

[ ¹ e*x Tdt = 0,

Jt„

\ ¹ etxx Tdt = 0,

Jta

<?■

otrzymujemy :

etxxTdt= etxT—j etxdT, — et* TĄ- 1"¹ etx{Tt” dtĄ-dT) = c.

Jt₀

Równaniu temu uczynimy zadość, przyjmując:

t,

etx j =

li« dtĄ-dT = 0,

to

— c.

Z pierwszego równania dostajemy:

dl

— — —tndt, a stąd: log T —— 1 = Ce~ *+r,

wskutek czego drugie równanie otrzy⁷muje kształt:

_    r

O ex «+1 = —c, czyli : Cye

zatem :

t,x—

fr»+t «+1 _

tn+ i

nĄ-1

~+(7,

to" ¹ T

n+TJ =

— C.

Przyjmując t₀= 0, C=c otrzymujemy na wyznaczenie granicy górnej równanie:

»+1 =o,

któremu stanie się zadość, jeżeli = co, będzie tak zawsze, gdy: ź” >(»-t-l)a\ Jako granice przyjętej całki określonej, występują więc 0 i oo, otrzymujemy zatem całkę szczególną danego równania w postaci:

p OO

( xt —

y= \ «

Wartość funkcyi 1 nie zmieni się, jeżeli t zastąpimy przez toż, gdzie w jest jakimkolwiek pierwiastkiem stopnia (n-j-l)-go z dodatniej jednostki, otrzymujemy zatem (»-{-1) całek szczególnych, kształtu:

<«+l n+1 dt.

[•aa    [,ao

y = CA e*tx n-t-1 <2(wt) = CjW \ e03 x J 0    J 0

Jeżeli w jest pierwotnym pierwiastkiem, tedy tworząc powyższe całki określone dla wszystkich (w-f-1) pierwiastków w, u>², ...,cora, 1, i dodając je, otrzymamy sumę:

1 dź,

która uczyni zadość danemu równaniu różniczkowemu, jeżeli będzie: Cf)Ą-Ox-\-...Ą-Cn = 0.

/»OO

t/=C₀ \ e J 0

tn+\

tx--—

n-f-1

dt-\-uCx[ eû)fe_MT^-f...+to«Cn f el°ntx—

Jo    •'o

Dr. Dziwiński. Wykł. matem. I. Tom II.

— 1Ó26 —

Warunek taki zachodzić więc musi między (n-f-1) stałemi, aby powyżej przedstawiona

dny

funkcya była całką ogólną równania różniczkowego:    — xy.

Ćwiczenia LXII.

Wyprowadzić następujące własności całek Eulera:

2)    F (p) = C e V ^ dx — mp (* e mxxp idx = 2 (* e x xp~Xdx

J 0    ^ 0    Jo

3)    B(p, q) eźeli p > 1.

₌ r(p).r(₉)

r(p+g) '

r¹ cc

p— 1

+/'¹

-wir

da:.

⁴) r(p) = (p—i)r(p—i) = (p—i) (p—a)... (p—»»)r(p-w),

3) r(p) — (P—!)'• jeżeli p jest liczbą całkowitą.

8) r(y).r(?+-i-) =

J 0 z J 0 L

----U ■...¹__r.

(x-|-1 )² ' (cc-j-2)²^

7) r(i+p)r(i—p) ₉) d ł°g r(g)

dx

io) d2 log

daj²

Kp

sin pr. '

⁰⁰ ye—rn l~e-y

₆₎ r(P).r(i-P)=-^.

jiW).

22V-

e—xv

1—e—y

]<*?/■

u)

d log r(*)

dx

1 - e-y

12) logr(a;)=-C'(*-l)+(?Y¹

ni— oo

m= 1

-log in^ —

(¹⁺T + '5'⁺-⁺S=î Iogł) ₊ (^_log^)₊..₊(^

lim

m z=z oo

,    ™    >    i *    1.2...

141 r<V) = lim ---.

'    m = oo aj(aj-|-l) ... (x-f-w — 1)

log

gdzie (7= lim fl-|--pT+—+~—r

vi— co \    4    7W—1

2a \ 2 /

/» 00

i6) ^ « J o

— a².t²

\A

2a

r(| ) ■ r₍₃)

2r(|+s)'

0-5772166649...

—log

as-j-m —1\

~rrT~r

15) logr(i-f-sp) = — Cx-\-Sî -g- — ą-g- -ł-s₄——...

⁺ 2^ ⁺ 8^“t"”’ (w = 2’ ³-)' a^-^l-aQ8 O (x-\-a)

H) f

*J n

-1

P+î

da;

1 r(p)r(g) m (14«)j> ' r(p+g)'

19)    (" log T(aj) daj = log \/27:.

Jo

20) C log T(a;)da: — p log p—pj-log \/2~, (wzór Baabe’go). 2L) i log    — =

•> p    \1 — X/ X

28) { e~x* log aj dx = —    ((7-f-log 4)

J O    4

1    r(p) r(g)

2    r(p+g)‘

/»OO

22) \ e J O

71

24) (" sin^ Cp cos? Ç? d^P = Jo

* log X dx = — C = -0,577215664...

_#)

rte₊₁)

(M

f*

25)

J o

sin

2^-1

(p cos

(p d(p

7t².

TC

26) J'

sin

2p—1

cpd<p = f

cos

2^—1

cpdcp=^ 2

2y—2 r;(p)

r(2p)-

it

- 1027 —

27) I tang. * dx = i r(^) . r(i^) = —

2 cos

nrO

gdy [w| < 1. 28) j"

rt

~2

0 V/tang x    ^2

pi dx

29)

V A

8°) j‘

J 0

0 X/l—xn

r(—). r(i— —) =—-

\ n / V » /    .re

w 81D —

, gdy n > 1.

i r(p). r(₂)

aPii r(f>+2)

. 31) f“* •'o

r(p+g)

/»CO

32)

^ o

cc?; 2 e Xdx

1.3... (2p—1)

₂p

V/re .

33) Kładąc logarytm całkowy: Li(x)—^ Li(ex) = C+logic-f-

r* dx

wykazać, że:

o log x 1 „    1 a:²    1 a?²

T ⁺~2 27 ⁺ ¥3T⁺

gdzie C = 0 5772156649... jest stałą Eulera. Dowieść, że :

⁰⁰ sin xy

dy = ~ [e~ xLi(ex)—ex Li(e—X)].

34)    f J 0

35)    I₀    dy = - ^[e-*Li{e*)-\-ex Li («-*)].

1+2/²

dy

36)    Wykazać, że: F(fc)=j i dowieść, że F(0) = F(l) = co.

37)    Wykazać, że: F^j-^ = 1-617... F

71

rY

38)    Wykazać, że: E(k) = \    \/1

J o

i dowieść, że: F(0) —E(l)=l.

39)    Wykazać, że :

o V/1— k² sin² <P

(t)“

1-685..., F

—k² sin² y . dy

(i)=1-864..., f(|)=

2-156..

(D-

(ł) =

1-526..., F

40) Wykazać, że: E{k)-F{k) = k . E'(Jc). Dowieść, że:

1-467

f(-L) = 1-350..., E

VV2⁷

(f) =

1-211 ..

TT

² dx \/ sin x , i x²dx

4i) y

J o

43) j

-»i:—

0 \/ 1 —x⁴

71

dx

_ Lf(-L) =

oV/l-a?‘ V2 vV2/

⁴²) 1

45) f

=v/2F(#=

o V l-(-x⁴

2-622...

0-599...

71

= — f(—) =-2

0-927..

dy

o V⁷1—2 sin² y

1-311..,

1-311...

71

² log sin y dy

\ Fik). log fc- F{V 1-fc*)-

47)    Daną jest funkcya/(a:), wyznaczyć tak (m-j-l) stałych: 4₀, Au A₂,..., -4»i, aby funkcya: .4₀-}- At cos a:-{-.-.+-49» cos podawała w miejscach: x = rW, (r = 0, 1,

te same wartości, co funkcya f(x).

48)    Jaką wartość będzie miał spółczynnik Ar w zag. 47, gdy m rośnie nieograniczenie.

i V/1—2 sin² y dy = 0-599..

• ⁴⁶> $

J o

V⁷1—k² sin² y

m), gdzie:

103Ś

4Ó) Daną jest funkcya / (a:), wyznaczyć tak m stałych:    Bt,..., Bm, aby funkcya?

Bx sin x-\-B₂ sin 2x-\-...-\-Bm sin mx miała w miejscach: x = <P, 2<P,...    guzie 9p =

same wartości, co funkcya f(x).

50) Jaką wartość będzie miał spółczynnik Br rozwinięcia podanego w zag. 49, jeżeli to rozwinięcie ma przedstawiać wartość funkcyi f(x) dla wszelkich wartości x od x — 0 do ® = )i,    ,

51) Jaką wartość mają spółczynniki Ar i Br pod założeniem, że dla wszelkich wartości zmiennej niezależnej od x = —tc do x — n dana funkcya f(x) przedstawia się w postaci szeregu:

f{x) — Aę-ł-Ai cos x-\-...-\-An cos nx-{-. .-\-Bt sin x-\-...-\-Bn sin nxĄ-...

52) Wykazać, że wszelkiej funkcyi parzystej f{x) =/(—a:) odpowiada w granicach od x — 0 do x — T. szereg Fouriera, kształtu:

f(x) = j /(*) dx+ ~ 2 ⁰    r= 1

58) Wykazać, że wszelkiej funkcyi nieparzystej f(x) = —f(—x) odpowiada w granicach od x — 0 do x — K szereg Fouriera :

r — oo

cos rx

i /(*) COS rx dx.

J o

sin rx

j=l

fu

\ /(*)sin J o

rx dx

w postaci:

64) Wyprowadzić ogólny szereg Fourier’a, ważny w granicach od x =* — a do a; = a

r zz oo

/* — 1

cos ^ J /(*)

a «7 — a

r zr oo

56) Jak się przedstawia rozwinięcie podane w (54) w przypadku, gdy f(x) jest funkcya pai’zysta, a jak gdy f{x) jest funkcyą nieparzystą.

Wyprowadzić następujące szeregi Fouriera :

x    111

56)    — = sin x— -g- sin 2x-j- -g- sin 3a:--— sin Łx-\-...

57)    a — ^ (sin *+ sin 3cc-j- -4 sin 5x-|-...^.    58) —

«    4/cos a: . cos Ba; . cos Ba:

59)    x=^——[

„    7t²    „ /    cos 2a; , cos 3a:    cos 4a:

60)    *² — "g 4 (cos x----è2_ + —^---

.    .    8 /sin x . sin 3a; . sin 5æ

61)    «(«-*) = _-(—3

V Z= 00

62) e«* =    (f — cos nxeai*) sin nx.    63) e<*x=

n — 1

n sin aa:    sina:

2 sinawi    1²—a²

65)^

⁶⁶>i(f-:e)“COS^ 8²

2a e<*n—e - an 2a²

69) 4

70) 4

sin x sin 3a; sin bx

M ; co

COS ax

2 sin ««

l²

3²

4²

3³

5³

n zz cc

ean—1 2a^J <xk ' n ^mA

cos nKe<*n — 1

2 sin 2a:    8 sin 3a;

~2²^²~    3²— a²

a COS x

4-

a cos 2a; a cos 3a;

2a *²-l²    ' a² — 2²

cos 3x . cos Ba:

e<xxĄ-e ~ax

eccx—e~ ax

2 ealt—e~a7t

a²—3²

f... 67) -Ja:

= sin as-

ws , cos 2a:    COS 3a: ₍

1²+*2 + 2²+a² ~ B²+a2_t''”

sin x

l²+a2 1 cos X -2 +-4

n zz

a²-^-»²

cos nx.

sin Sx sin 5a: sin lx

3²

5²

72--1“-

2 sin 2x t 3 sin Sx 4 sin 4a; 2²+a2 + 3²+«²    4²-fa2 4""*

cos 2a; cos Sx cos 4a:

1.3

2.4

3.5

staci:

dh)

71)    Wykazać, że równanie różniczkowe: x^i~y=0 ma rozwiązanie w postaci:

sin — e—ll2v*vdv.

72)    Wykazać, że równanie różniczkowe: x~^Ą-y = 0 ma rozwiązanie w postaci:

X

„oo --V*

/•OO

y = c\ •'o

r°° v

y=C\ e J o

v dv.

d%y

78) Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego:    a²æ²™—²y = O w po-

JC

TC

.2    m    „ 2    m

y = Ci\ cos (axm sin V) cos V d<P -f- C^c \ cos (aa™ sin y) cos <P d<P, •'o

pod założeniem, że —1 < m < 1.

74) Znaleźć całkę szczególną równania różniczkowego : aiy" = \/1Ą-yn , pod warunkiem, że dla: x = 0 jest: y — 0 i yJ — 0.

75)    Podobnie dla równania różniczkowego: y“ — m(y-\-a).

76)    Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego:    —x    y = 0; wiedząc, że jedną

dCC    dX

*lL '

z jego całek szczególnych jest: yx= e².

77) Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego Legendre’a :    Ą-— ^--*y = 0,

dcc⁶ y dcc cc

sprawdziwszy, że jedną z jego całek szczególnych jest: y^=x ². Znaleźć linię krzywą, dla której :

78) (* y² dx = 2m (* yV^l+y'² da;. 79) r³ sin dcp =

Ja    Ja    Ja

16) Podstawić: y — a²x².

Rozwiązania LXII.

18) Podstawić : x² c=y.

30) Podstawić: æ

by

\ ^r sin ® \/ r²-\-rn d».

J a

17) Podstawić : —— ——.

aj-f-a    1-j-a

31) Połóż: x — ay.

2qp    9o

47) Ar = — [cos r<P . /(<p)-f-...-j-cos mr    j, r = 1, 2,..., w, zaś : A₀ = — [/(7,)-+-...+/(wiqp)].

2    i c»    2v>

48) Ar = — \ cos rx.f(x)dx, A₀=-—\ f(x)dx. 49) Br— — [sinr9p/(»,)-j-...d-sin n J o    n J o    n

1 Cn

= -—J    f(x) cos rx dx,

r — 1, 2,..., m.

50) Br = j* sin rx ./(a;) da;. 51) A₀=    /(x) da;

, Ar

r = oo

=    /(*) sin r* d*. 55) /(*) =/(-*) = j* /(*) da?+-^2

⁷⁵    ⁰    r = :

/(*)=-fi—*)=-§2

Br

r r= oo

sin

—i /w®¹¹¹

a o

r;ra;

dx.

rrca; (*« , . cos rjtœ

cos-\ /(»)--

a J v ' a

dx,

r = l

Literatura. E. Cés aro: Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung mit zahlreichen Übungsbeispielen, deutsch v. G. Kowalewski. Leipzig 1904. G. Lejeune-Dirichlets: Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arendt, Braunschweig 1904 G. F. Meyer: Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen. Leipzig 1871. Wł. Zajączkowski: Wykład nauki o równaniach różniczkowych. Paryż 1877.    •

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya całek Eulera.

2.    Całki i szeregi Fouriera.    *

3.    Całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych za pomocą całek

określonych

Wykład hXIII.

Zasadnicze pojęcia rachunku przemienności.

1.    Pojęcie przemienności funkcyi. Niech będzie daną pewna funkcya zmiennej niezależnej x w postaci y=f{x). Wyobraźmy sobie teraz inną funk-cyę nieskończenie mało różną od danej funkcyi y, t. j. nową funkcyę posiadającą tę własność, że dla każdej wartości zmiennej niezależnej x odpowiednia wartość tej nowej funkcyi różni się nieskończenie mało od wartości przynależnej danej funkcyi y=f[x). Otóż tę nieskończenie małą zmianę w kształcie danej funkcyi y nazywamy przemienności ą (waryacyą) funkcyi y i oznaczamy przez óy. Przemiennośó dy funkcyi y jest w ogóle zupełnie dowolną wielkością nie tylko dla różnych wartości zmiennej niezależnej x, lecz także dla pewnej danej wartości tejże zmiennej x. Znak y + dy przedstawia zatem nie jedną, lecz nieskończenie wiele nowych funkcyj zbliżonych nieskończenie do danej funkcyi y.

2.    Chcąc zaznaczyć w pewien sposób przejście od danej funkcyi do następnej y + dy, połóżmy y=q>(x, t), gdzie t jest dowolnym parametrem, ze zmianą parametru t możemy tedy wydobyć coraz inne funkcye zmiennej x. Mianowicie otrzymujemy tedy przemiennośó:

(1)

dt,

óy

dcp{x, t)

dt

a więc przedstawioną w postaci cząstkowej różniczki funkcyi (p(x, t) wywołanej zmianą parametru t.

Jeżeli przeciwnie parametr t pozostaje niezmieniony, wówczas mamy do czynienia z funkcyą zmiennej niezależnej x i otrzymujemy różniczkę tej funkcyi określoną wzorem :

dy

d(p(x, t)

dx

dx,

(2)

Przemiennośó óy i różniczka dy mogą być więc uważane za różniczki tej samej funkcyi, przemiennośó óy byłaby tedy tylko różniczką zmiennej y uważanej za funkcyę parametru t przy niezmiennem x, podczas gdy dy jest różniczką zmiennej y uważanej za funkcyę zmiennej x przy niezmiennym parametrze t. Skoro y otrzymuje przyrost óy, wówczas y‘ otrzymuje przyrost óy', y" zaś óy" i t. d., a wszelka funkcya V, która zależy od y, y‘, y", otrzymuje tedy przemiennośó 6V zależną od przemienności dy, óy¹, óy'¹ i t. d.

Z tego określenia waryacyi wynika, że do symbolu ó stosują się podobne prawidła, jak do symbolu różniczkowania d. Nie trudno zauważyć przy tern, że symbole d i d są przemienne, że mianowicie :

dly

dx¹

3. Przejście od danej funkcyi y=f(x) do następnej y + óy może być także w ten sposób zaznaczone, że przyjmiemy:

<5y=e.

gdzie f](x) jest pewną niewiadomą funkcyą, a E wielkością nieskończenie małą.

Geometrycznie przedstawia to nieskończenie małe przekształcenie wywołane przesunięciem krzywej y=f{x) w kierunku osi y o wielkość zmienną ôy=s .rjÇx), skutkiem czego następuje przekształcenie krzywej «/=/(#) na krzywą: y + óy=f (x) + Erj{x) (fig. 269).

Dowolny punkt M krzywej y=f(x) zajmie teraz położenie gdzie MMx=óy=e. rj(x).

(3)

Fig. 269.

4. Przemienność całki określonej. Postawmy sobie za zadanie wyznaczyć przemienność całki określonej :

= \XlVdx,

(4)

gdzie V jest wiadomą funkcyą zmiennej niezależnej x, jej funkcyi y i pochodnych y\ «/",.•• a Xq i xi przedstawiają pewne stałe granice całkowania. Połóżmy :

tedy będzie przemienność tej funkcyi :

ôV=f{x, y+ôy, y'+óy‘, y" + óy",...)—/(x, y, yy"...), przedstawi się na mocy wzoru Taylora w postaci :

» Y- Çôy +    iÿ+~ <5yu+...

dy dy' ¹⁷ dy"

V=f(x, y, y‘> y*-),

(5)

zatem będzie :

ÔÜ

•»*

ôVdx

dV

dy

^dx=

-óy“ dx+...

Na podstawie metody całkowania przez części otrzymujemy atoli: *» dV

óy‘ dx

dy

f*» dV ódy J*₀ dy' ' dx

dx

₌ ^dYdóydx

J x₀ dy dx

następnie :

fr* dV

\ ^,óy“dx

J * o

dy

f*» dV d d²y Jx₀dy" dx2 X

f*» dV d² óy j

= )x.wr~^

I*»/dF „ \    Cx* d²V

"kW /    Jrady‘dx

kW" U ) J rtdy“dx

óy dx,

óy¹ dx=

dy‘‘dx²

by dx

i tak dalej, zatem jest:

ÓU

jT_ s

óy' -

m»)

f*. /dV d²V \r Ady dy'dx

d³V

dy"dx

...jóydx,

- 1032 —

czyli :

ôU

\xi    C xi

*    ®fydx,

koJ *o

(6)

dY , dV . d²V

oy4- t~ ôy—    -oy + ...

dy' dy

przedstawia zbiór funkcyj nie wymagających żadnego całkowania, a zależnych tylko od granic x₀ i xu zaś:

dF    d²F d³F

dy    dy'dÆ    dy"dx²

5. Maximum lub minimum całki określonej. Możemy teraz wyznaczyć

maximum lub mini-

gdy:

8___8°

:.2- u

warunki, pod jakimi całka określona: U= \ ¹ Fdx będzie

. *0 .

mum. Przedewszystkiem musi być w takim razie:

ÔÜ=Q.

To wymaga jednakże, aby było 0=0 przeto także 2=0.

Równanie 0=0 przedstawia się w postaci równania różniczkowego :

d³F dy"dx²

które będzie zawierało tyle stałych dowolnych, ile wskazuje rząd najwyższej pochodnej

dV a²F

dy dy‘dx

dn y dxn

Na wyznaczenie tych stałych służy drugi warunek:

w tern równaniu występującej.

- (Ł *)⁺ GH

jT__£

H"_8

-f-    —— dy¹ —

dy" y

(7)

(8)

(9)

które mogą być dowol-

który, zawierając przemienności : dy₀, ôyu ôy'₀₎ ôy' nemi wielkościami, spełni się, gdy spółczynniki przy tych przemiennościach będą zerami, a to dostarczy tyle równań, ile stałych będzie do wyznaczenia. Zagadnienie wyznaczenia maximum lub minimum całki określonej po-

lega zatem na całkowaniu równania różniczkowego 0=0.

6. Zagadnienie o bracliistoclironie. Znaleźć linię krzywą, po której punkt ruchomy przejdzie pod wpływem siły ciężkości w najkrótszym czasie od punktu A do B (fig. 270).

Przyjmijmy oś OY zwróconą w kierunku siły ciężkości i przesuńmy oś 0X przez punkt A, wtedy otrzymamy prędkość v w dowolnym punkcie M określoną wzorem :

Y-

-v^=£.

gdzie s jest długością przebytej drogi, a t czasem upły-nionym. Otrzymujemy stąd:

Fig. 270.

Y/2gy    \/2 g V y

Czas potrzebny do przebycia łuku AB przedstawi się zatem pod postacią wzoru:

. da

T=wX

xi v l+y'²

dx.

Mamy zatem wyszukać taką funkcyę, dla której całka określona:

p=f'r<fe=r,v/l+!''i

J *0    d X„

Vy

dx

otrzymuje wartość minimalną. Mamy tu:

,r V    Iv/i+j'¹

Vy ' oy ²

y‘

2/³/*

’ ày' V/y(l+2/<2)'

Warunek o{7=0 prowadzi tu do równania:

oV d²F % dy'da; ’ d²V    2 yy"—^'²—y'⁴

«ty'dx    2[«/(14-y'²)j³/ł ’

1 V/ï+F² 2 yy«-y‘*-y‘l

2ya/*(l +y'²)³/,

skąd ze względu na to, że:

otrzymujemy równanie różniczkowe:

2

które po uproszczeniu otrzymuje kształt:

(l+y'²)i-\~2yy,'—yti—y'i=0, czyli: l+y'²-f²y*/" = °-Otrzymane równanie różniczkowe jest rzędu drugiego i powstaje z różniczki zupełnej:

tfl2

d{

Vya+yV

)“°>

ma zatem pierwszą całkę w postaci :

= O, czyli:    =

Kładąc -^ = 2a, otrzymujemy stąd równanie różniczkowe x*zędu pierwszego w postaci:

2 a—y

y'²

2a—

-, skąd dostajemy: ~

Będzie więc:    dx =

Vy

Vïa-y Ze względu na to, źe :

— dy, czyli : Ær

y dy

\/ 2ay-y²

, zatem : a;

-S

ydy

Vvay-y*

fô.

_ ¹ Çd(2ay—y²)

² V^öy—y*’

ydy

V 2ay—y*

otrzymujemy stąd równanie szukanej krzywej w postaci :

x —a . arc cos ~~ — V2ay-y^Ą-b. V^ay—yï

4v/20

—y²

Kładac: ~y a

ma równaniami w postaci :

= cos V, zatem : sin <P

, zastąpimy powyższe równanie dwo-

x—b = a(v—sin 9>), y = a(l -cos f)

wskazującemi cykloidę zwyczajną jako szukaną brachistochronę.

Na wyznaczenie stałych a i b wystarczają dwa punkta A i B, przez które ma krzywa

przechodzić.

7. Przemienność całek określonych o zmiennych granicach całkowania.

całce określonej: U—^'Vdx mogą oprócz funkcyi y, występującej

w wyrażeniu: V=f(x, y, y', y",.-)j zmieniać się także granice x₀ i xu t. z. geometrycznie, jeżeli punkta końcowe krzywej y—f(x) zamiast pozostać stałe mają się poruszać po krzywych y = (p{x) i y=ip(x)₁ wówczas należy do prze-mienności ÔU, otrzymanej pod założeniem, że granice x₀ i xi są stałe, dołą-czyć jeszcze przemiennośc całki, spowodowaną przemiennością granic x₀ o óx0: x± o óxA

Jeżeli w

Ta dodatkowa przemiennośc przedstawia się w postaci :

x, +<3x,

x,-f óx,

V dx —

*«+<5x₀

r

•J x₀

V dx

Cx,

Vdx—

Cx₀ + dx₀

Jz,

X,

Vdx= Viôx₁ — V₀ôx₀ = i (Vôx).

1*0

Będzie tedy zupełna przemienność danej całki określonej przedstawiona

wzorem :

ÔÜ

Cx i

= \ 0óy

j x₀

. dx-\-

i(s+vóx)

(10)

przyczem przemienności ôx są na granicach zależne od przemienności óy według wzorów :

ôy₀ = [ç>'(sr₀ )—y o ] ôxo * óyx = [tp'(xi )-y\\ óxx.

8. Szukając np. brachistockrony pod założeniem, że jej punkta końcowe A i B znajdować się mają na krzywych y — ’fix) i y = ^{x), otrzymamy z warunku <I> = 0, jak powyżej, cykloidę:

Warunek

x—b — a(<P—sin 9»), y = a(l-cos 9°). ^2-}-F 8x^ = 0, ze względu na to. że:

V/l+ÿ'2 V2a

y(l+y<2) = 2«, a więc: F

y‘

\A

V y0~+yri)

oy =

y‘Zy

V2a ’

y‘

a wskutek tego:

a więc:

~bd~ ^0^*0 —

y\

V/2a

= [90'(£c₀)—y'₀] 8^0+

8x₀ = [y'o^oid-1] -7= > I/o    V 2a

= [j/<lł'(a;l)+¹]7^§=>

2/i    V 2a

otrzymuje tu kształt: z którego wypływają dwa równania graniczne:

= 0,    ^-~\~y\f\xo) ⁼⁼⁼ 0-

Musi być zatem : y\ — —

^1=-

- — , co dowodzi, że szukana cykloida jako

<K*o)

brachistochrona musi obie dane krzywe: y = ?>(*) i y = <Ka?) przeciąć pod kątem prostym.

<K*i)

9. Maximum lui> minimum całki określonej zależnej od dwu lub więcej funkcyj. Niech będzie teraz dana całka określona kształtu: V=^ V dx,

dwie niewiadome

gdzie: V=f(x, y, z, y‘, z', y", z",...), przyczem y i z są funkcye zmiennej x, od siebie niezależne.

Szukając przemienności funkcyi U wywołanej przemiennościami tunkcyj y i z, otrzymujemy według art. 4 wzór:

ÔÜ

= ( ¹ (0óy-\- 0óz) d

•J xa

x 4-

!F+r)

(11)

gdzie 0 i T są odnośnie do funkcyi z wielkościami 0 i 2 odnośnie do funkcyi y.

(12)

Na wyznaczenie funkcyj y i z, które są wstanie wywołać maximum lub minimum danej całki określonej, a więc spełniają warunek óD=0, otrzymujemy tu dwa równania:

nadto na wyznaczenie stałych równania:

X,

2=0,

T=0.

Jeżeli funkcye y i z mają być od siebie zależne na podstawie równania: F(x, y, z)=0, tedy przemienności ôy i ôz funkcyj y i z nie są od siebie niezależne, lecz związane relacyą :

dF

dF

dy

óyĄ—r— óz=0.

dz

(18)

Warunek maximum lub minimum danej całki określonej, przedstawiając

.    . ii    ^    /F. dF dF

się w postaci: &ôy+*Pôz=0 sprowadza się stąd do warunku:

który musi sie spełniać dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej x₎ zawartych między granicami x₀ i xi.

10. Mając np. znaleźć najkrótszą odległość dwu punktów na powierzchni F(x, y, *) = 0 mamy znaleźć minimum całki :

U = f ¹ \/1    dx.

JX₀

Mamy tu:

«!> = -

y‘

z'

\/1 -|-y'a4-«'² *

oznaczając przez s długość łuku szukanej krzywej mamy:

ds — \/l-j-y'²-\-z'^dx,

zatem:

dy

y‘

dz

z‘

ds    ’ ds

z czego widzimy, że i są proporcyonalne do cosinusów kątów ß i y, jakie główna normalna szukanej krzywej tworzy z osią y-ów i z-ów. dF dF¹

— są proporcyonalne do cosinusów kątów jj. i v, jakie ta normalna do po

A że:

dy

dF

dF

wierzchni tworzy z temi osiami, a przy tern ma być:    —XF więc widzimy z tego,

że płaszczyzna ściśle styczna w każdym punkcie szukanej krzywej wpada w płaszczyznę normalną do powierzchni, co jest własnością linij geodezyjnych na tejże powierzchni.

11.    Maximum lub minimum całki określonej z warunkami dodatkowymi. Częstokroć chodzi o wyznaczenie maximum lub minimum danej całki określonej ZJ pod założeniem, że inna całka określona V od niewiadomych funkcyj zależna otrzymuje pewną stałą wartość.

W tym przypadku należy, jak wynika ze sposobów wyznaczania mum lub minimum funkcyi ilukolwiek zmiennych, wyznaczyć maximum lub minimum całki U-\-AV, a więc położyć równą zeru przemienność sumy C/+iłJ, gdzie A jest wielkością stałą, którą stosownie obrać należy.

12.    Mając np. między krzywemi o stałej długości wyznaczyć taką, której powierzchnia ograniczona osią a; ów i krańcowemi rzędnemi byłaby maximum lub minimum, mamy wyznaczyć taką funkcyę, któraby wywołała maximum lub minimum całki określonej :

określonej: \    \/1 -\-yadx.

Połóżmy: / = y-\-l\ZF\Y¹, to ze względu na to, że / jest wyłącznie funkcyą y i y‘,

àf dy' dy' dx

maxi'

C«,

U = \ y dxy niezmieniając wartości całki

j x₀

otrzymamy :

e_£„,, jf

dx dy dy

. d dj

■y"=yd^ ⁺

dx\J dy')'

zatem :

gdzie O jest pewną liczbą stałą. W danym przypadku jest:

àf

dy'    v/l+y/2

f—y'    = y+l V i+/² -

dy

Vi+y‘*

= y+

V i+y'²

- 1036 —

Oznaczywszy stałą G przez b, otrzymamy równanie:

= b,

I/14-y,%

które rozwiązane podług y‘ sprowadza się do postaci : y' =

Otrzymujemy zatem po oddzieleniu zmiennych x*ównanie różniczkowe kształtu:

\A ²-(fc-y)²

b—y

dx=_ V>-y)dy YAM*»-*/)²’

a stąd:

x==$

(b—y) dy

V/X2_( b-yy

a więc⁻

(x-ay+(!,-by = V;

krzywą tą jest zatem łuk koła, którego środek (a, b) i promień X znajdziemy z warunku, że koło przechodzić ma przez dwa dane punkta, a długość łuku ma mieć pewną stałą wartość.

13. Przemienność całki określonej zależnej od niewiadomej funkcyi dwu lub więcej zmiennyell. Weźmy pod uwagę całkę określoną kształtu:

(**» Çvt

\ \ /O», y, z, p, ą)dx dy,

*0 ^ 2/o

rozciągającą się na pewien dany zakres całkowania, w którym z jest niewiadomą funkcyą zmiennych niezależnych x i y, a p i q są jej pochodnemi cząstkowemi.

Przemienność óz tejże niewiadomej funkcyi wywołuje przemienność óf funkcyi f{x, y, z, p, q) w postaci :

dz

dp

dq

(14)

Mamy jednak:

zatem :

dp    dp    dx    op dx    dx\dp    )

dq    dq    dy    dq dy    dy \dq    )

df=L

df d

d df

dy dq

dx dp

dy dq

Kładąc: 0=^

dv____ay_

dz dzdp dydq

otrzymujemy :

ôü=

££•***+££[£ (**) + #**.)]**.

(15)

Jeżeliby z była taką funkcyą zmiennych x i y, dla której wartość całki określonej U byłaby maximum lub minimum, musiała by być przemienność ÔU— 0, a to się stanie, skoro będzie:

££[ !(aH⁺é(f^)Hÿ=a

0=0, a następnie:

Równanie :

06)

=0,

s*    df d df d

dz dx dp dy

prowadzi do równania różniczkowego cząstkowego, którego całka ogólna określa ogólną postać funkcyi z, drugie równanie wyznacza szczególne funk* cye, występujące także w całce ogólnej.

Mając np. przeprowadzić przez daną krzywą zamkniętą pewną powierzchnię, na któ-rejby ta krzywa ograniczała najmniejszą powierzchnię, mamy znaleźć minimum całki określonej: U— \ ‘ \Ji \/l-|-p²-{-q² dx dy. Mamy tu:

J x₀ J y o

9.

\ZlĄ-v²-\-q² ty \/l-\-p²-\-q2 Warunek 4> —0 prowadzi tu do równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego,

f= \/ 1-ł-PM“?²

kształtu :

(1+2²) r—2pgs+(1+p²) t = 0, które jest równaniem różniczkowem powierzchni minimalnych.

Ćwiczenia LXIII.

1) Wykazać, że kolejne przemienności By, 3²qp,... funkcyi <P{x, y, y', y",... yW) można

przedstawić w postaci:

d<p    d<p    d<P

Sy = „8y + —8j,'+

3V

d²⁽P

ty²

d²<P

^²+^T2^'² + ²

d²<P

ty ty

jeżeli By, 3y';..., ByM są przemiennościami funkcja y i jej pochodnych y', y"

ty

; tyty'+-

yW.

f*!

2) Wykazać, że pi-zemienności całki określonej: U= \    o(a;, y, y',..., y(m))dx przedsta-

*'*0

wiają się w przypadku stałych granic całkowania w postaci:

B£7

— i ¹ 6qp dx,

8²Z7

=» \ ¹ B²o dx.... * x0

Br £7

-ł

«T ff

8 r(Pdx.

8) Wykazać, że w przypadku, gdy granice całkowania x₀ i xx zmieniają się o 3t₀

..., y(m))dx wyrażają

i Ba:, zależne przemienności B£7 i 3²£7 całki określonej: U— i ¹ <P(x, y,y',

x₀

się wzorami:

B?7

fse,    1*1    , f* t

= \ Bqpdx-|- (qe Bas) = \ By (fcE+^Ba;,—qp₀3;r₀. V x₀    |x₀    V x₀

8ł£7

Ba;². —

8»«,+«(«*), 8*, -2f.>),33V

4) Wykazać, że w przypadku maximum lub minimum całki określonej:

U=\ ' <p(x, y, y‘,...)dx jej pierwsza przemienność 8 £7 musi stawać się zerem dla wszel-J x₀ '

kich przemienności By, 8a*₀, Ba;,, a zarazem druga przemienność 8²£7 musi być stale różną od zera.

5) Przyjmując: U—\ ' V(x, y, y')dx wykazać, że:

-i:om

6)    Wykazać, że konieczny warunek istnienia maximum lub minimum całki:

dy dx\dy'/

7)    Wyznaczyć tak zmienną y jako funkcyę zmiennej a:, aby całka określona: minimum.

8)    Dla jakiej funkcyi całka określona: \ ³y\/ \Ą-y‘²dx będzie

Jxi'

9)    Wyznaczyć tak zmienną r jako funkcyę zmiennej y, aby całka określona:

U = i ' V(x. y, y‘)dx sprowadza się do równania różniczkowego:

“ xo

l ² \/1 Ą-y'² dx była

Xi

miała minimum.

j {r²—2a \Zr²-\-r‘²^ df była maximum.

10) Dla jakiej funkcyi otrzymuje całka określona: i y dx wartość najmniejszą pod

J —a

założeniem, że całka: i \Zl-\-y‘² dx ma stałą wartość 21.

* —a

- ioeö -

11) Dla jakich funkcyj zmiennej niezależnej t uzyska wartość minimalną całka okre-

ślona:

ilWÏ+iîï+ÊÏ

dt.

12) Wyznaczyć tak zmienną z, jako funkcyę dwu zmiennych niezależnych x i y, aby

dx dy otrzymała wartość minimalną.

całka określona:

13)    Znaleźć linię najkrótszego oddalenia dwóch punktów.

14)    Daną jest krzywa płaska, znaleźć drugą krzywą płaską o danej długości tak, żeby powierzchnia zawarta między temi krzywemi była największą

15)    Przez dwa dane punkta przeprowadzić tak linię krzywą, aby powierzchnia powstała przez obrót tej krzywej około danej osi była najmniejszą.

16)    Pomiędzy wszystkiemi krzywemi o danej długości wyznaczyć taką, która przez swój obrót około danej osi opisze największą lub najmniejszą powierzchnię.

17)    Pomiędzy krzywemi o danej długości wyznaczyć taką, która przez obrót około danej osi utworzy największą lub najmniejszą objętość.

18)    Znaleźć linię krzywą tak, aby powierzchnia powstała przez obrót tej krzywej około danej osi miała daną wartość stałą, a odpowiednia objętość była maximum lub minimum.

19)    Która linia krzywa zamyka przy danym obwodzie największą powierzchnię.

20)    Znaleźć linię krzywą taką, ażeby powierzchnia zawarta między tą krzywą, jej ewolutą i końcowymi pi*omieniami krzywizny była minimum.

21)    Znaleźć linię krzywą, która ze względu na dany punkt ma największy lub najmniejszy moment bezwładności.

22)    Na danej powierzchni znaleźć najkrótszą linię między dwoma punktami.

23)    Znaleźć najkrótszą linię między dwoma punktami, mającą pewną stałą krzywiznę.

24)    Na danej powierzchni wykreślono pewną linię krzywą, znaleźć na tej powierzchni drugą krzywą o danej długości, zamykającą z pierwszą krzywą największą powierzchnię.

i ' \J' V/p²-\-ql dx dy J y»

25)    Znaleźć równanie powierzchni, dla której całka podwójna: miałaby największą lub najmniejszą wartość.

Cxi Çvt

26)    Znaleźć równanie powierzchni, dla której całka podwójna: \    \ (z—px— qy)dxdy

J *o J y o

byłaby maximum lub minimum, przy danej stałej wartości całki : \ ¹ \ ' \/p²-\-q² dx dy.

•'»o J Vo

q\ a ( a

⁸) y=-2\e

10) (y—c')²-Ka:—c)² = -^j. 11) x = aż-f-a, y = bt-\-$, z =■ ct-\-•(.    12) Całka ogólna równania

różniczkowego: (1 + q²)r—2pgs-}-(l-f-p²)# — 0.

Rozwiązania LXIII. 7) y = ax-\-b.

x-b

*)■

9) r = 2a sin <P.

15) Linia łańcuchowa.

Literatura. Oskar Bolza: Lectures on the calculus of variations. Chicago 1904. M. C. Jordan: Cours d'analyse de l'école polytechnique. Tome troisième. Paris 1887. Kneser: Lehrbuch der Variationsrechnung. Braunschweig 1900 Moigno: Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral. Tome quatrième. Calcul des variations rédigé en collaboration avec M. Lindelöf. Paris 1861.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Maxima i minima całek określonych pojedyńczych.

2.    Maxima i minima całek określonych podwójnych i potrójnych.

3.    Teorya zagadnień izoperymetrycznych.

Koniec tomu IX.

Str.

wiersz :

11

46

57

58

63

64

74

80

80

Dostrzeżone omyłki drukarskie.

zamiast:

powinno być:

[ax^-\-bx-\-c—

§R(x, y)dx

ostatni wzór (10) i str. 59 wiersz drugi i. czwarty od góry skreślić współczynniki przez arcsin jako nie potrzebne.

Ax-\-B) dx {x²-\-px-\-q)™y

6 od dołu,

13 od góry

5 od dołu

17 od góry

11

„ we wz. (13)

§dx+[x~i =

[aa:²—bx-\-c — SR, y)dx

{x‘t-\-px+q)y

dx

rdx_

J y

11 i 13 od dołu we wzorach (1) na 1‘ przed log postawić brakujący współczynnik

\/ aa^Ą-bctĄ-c 3 od dołu powinien mieć postać 1" = —

du

V«(»!—«) (x₂—a)

L_r

N/oJ^i—*)

i u

log-

V/ xy—a+\/ x₂ — a

u\/ xt—a-j- \/ x₂ — oc

90 w. 10 i 11 od góry we wzorach (2) i (3) zamiast A 0, powinno być A 0.

93 w. 7 we wzorze (6) w mianowniku po x zamiast (1-f-y/a²-f-l), powinno być (— l+\/«²+l)⁻105 w. 10 od dołu we wzorze (3) zamiast §xm—nP(a-\-bxn) dx, powinno być ^xm~nP(aĄ- bxny>dx..

[bzß+

118 w. 9 od góry zamiast s-j-2 przez s, a więc s przez 8—2, powinno być s—2 przez s,

112

9 od dołu

121

2 od góry

a więc s przez s-{-2.

2m—1 w mianowniku

122

11

cos³ a: ₍    *

g—{sin² #+2/

122

6 od dołu

123

8 od góry

Is—2, m+2 tg2r~²#

2r—2

134

s-\-k

140

14

b sin² <P

2m—2

C0₃^{sin²a:₊2}

Is—2, żfc-f 2 tg²''⁻*³#

2r—3

b sin² <P

b cos² <P

COS² <P

r—m

r~m

143

10 od dołu

J2C)

m-m

r=0

r=0

224 wiersz ostatni

a cos a;-(-sin x

a²+l

——, oraz

a sin a;—cos a: a cos *-|-sin a:

a sin a:—cosa;

a²-|-l

a²+1

eax, oraz

a²+l

eax

227

14 od dołu

229

12

dv    e<M    dnv

ma byc — —,    3— =

J dx    a    dxn    an

dv — cos bx dx

eax

dv = cos xdx

pierwszy wiersz rozwinięcia wzoru (19), czyli 9 w. od dołu w liczniku zamiast 5²(x—a)2r+e+l} powinno być b^r(x—a)2r+e+l.

Śtr.

wiersz :

zamiast :

powinno być i

251

251

14 od góry we wzorze na Iiztz i J₂ zam. e'a+hi) (*—“5) dx, pow. być e(“ + 4,:) (*—

(a-\-bi)Q xr'\-Q

16

260

21 od dołu

(a-\-bi)xr+Q (n—\.\x”-z , V 3 /    3

(n—1\ xn~ 1 i 3 )-S-⁺-

265

16

>7

3#V'+

814

13 od góry

3!¥

3«/V"+

1 x3 3Ï 3

320

16 od dołu

d³u

dx²

== —b

394

12

>5

ma być

-c

d³u dx3 d‘lz dx dxl dv

—b

ó²z dy\ dx dx dy dv ) dv

527

wiersz ostatni

528

9 od góry

_ 1^⁽¹⁾

s

1.^(1) 1

a Jiml u — S

1

a J \u—S

550

13

⁽h<h

?2?3

<lï⁽h

P3

Pi

P3

565

b^x{x)

578

16

77

608

11

))

X.QNM

616

10 od dołu

A(«, a)

/î(«» a)

633

i»

f»00

^0

e“²(l+*²) a da

637

77

f(x, y)dxdx

/»G© ^ 0

e~-a²(l+æ²)ada

f(x, y) dx dy

638

10 od góry

p 00

J —00

e~x*dx

/»OO

J — 00

e—æ2 da;

638

df. df\d fx

na dole w wyznaczniku w pierwszym jego wierszu zamiast: —,    ,

dA dA dA,

du ’ dr* dw ’

640

648

powinno być

2 od góry jako dolna granica całkowania zamiast: —y/a²—x²- y , powinno być —y/a²—a:²—t/².

wzór (16) różniczka da; nie stoi pod pierwiastkiem, ale po nim, skreślić kreskę pierwiastka stosownie.

82

8X

654

6 od dołu

1“

I“

•'O

655

16

655

670

684

800

804

869

913

937

ie poprawki).

dolna granica całkowania nig 0, lecz £

V?

11 od góry pod całką w liczniku zamiast: sin

AD

wiersz ostatni, w ostatniem równaniu w miejsce mianownika g²—a², pow. być 6²—a².

r² = k . — a

ux-\-vy-\-wz w²d-2²+w2 dx dy

„ po wyrażeniu :--[- —, postawić — 0.

x y

^ = N

12

7?

-1

e²a;²

>•>

5 od dołu

7 od dołu

8 od góry

10

du

<//

dd‘

mtr?«*¹

Bud. Lą<i

\£g.T. MA

B?B JOTEKA

lali uat. ugólm

LE

■•O''-

.2

n² <P, powinno być eos² <P sin² <P. NP

r² = k . dd‘

ux-\-vyĄ-tvz

du

dy

= N.

4MS. 93

-,

O

.

1

-A

».

v

%

J*

J

V

t

\

\

r

Jjk

»

v

V

Biblioteka Politechniki 111-306059

łM

mm

"ï?.

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000293402