.. .

,/

--

..'4

*îrV:

H,

>>♦

ÿ-

i«

\ fń -,

*Èk

.*

>/

r ^

'Łt i

b*ż¥ >v,i4

3S#r

-M

V>;;

4*

! I ..

t<4v

*IT

, Jw

’i>:

nV

,‘ł

•" • '*v\

«.,,»■ w. 4'*;-

««V.V.P ,%

P* V' 1

iJSfc/i*

■ V .i '

liVtf . *

r • , %pâ

igM

jA ”V •

ł. , *4Éb*Sp»y% '.y

⁴

%4>. tV.' *•*'

,v;-‘ '■

*5. ■■.>. ¹

“DV- k

4, :.•>,•£$> * j?' v    4P ,iiÊJl -/>V

V- ■’ i' 1 fv>‘ ,4-^.

<• >. •% -. ;    ' ' î'&:

f- '-aMpiË'W i -4 -

j . , x 's

’• ‘Ja. 5-“% L)trjÊÉt *Tf 1 .

Vï^firîÊâsv^y •,; «

■S*

r*m

ifcïp

■y ^

V.

c*

#**

'■ < ."-' 'T

<■

’ii

■V. *

r?

ï*

«L- -

t; y.

V- - *

<r •

Wrm

skC >

ta

f-

i-'*

AA, -,

[    4.,-    ,    /- îV ■.-.

- tf f'jf-' $

*i'-ł .* /

5UV p *

;~v ? •    -• --"f,    ,• .

4ÎV'. -p.pyp >

.    *"i

* ~St

<»

•    fc**;

«■ '

Ï'ïtyà

'0

ÉiÆ- * iià

Âr

-.— ,

•'    '■ y--

HT. »

-Æ

^ *

- 41

.*1

/•

t;

.1

jf t* ,    y

i >;v

*    . ‘•S

m

:.    .. K .

ń- :<$Ti 'śR. *‘:*    ■•%*• .”

■; '# y

^V;r

i; * v

ppt

$■

•*ç

tv

r -^s*.

?Spj

i¹“

4.

V,

a?

,A

% .*,.<»'•

V-

foi

"*' -'v />!

p.»

5“ ,    '<

^    -Wx •    4 t-

/« 4

Ę Jsj'.

■ ■{ :; •    ■** .'■<■- ■ .;,v ⁴*--<

¹ ‘    %+■£ ;4

. i ^ ’ ä

.......^.. V.,

>¥z'^i\ ? PU

fe

-il

V!

^    »»f

;r ’• ü(

ï~

♦••v

■K- .■

»V

»*

r*;

•>

y *.

- ',f~ h Ą ■

'J Ä:

vk .

>y ■

Wwr

/• %i*v ‘ \ ;

' », -4 .; ' Ł - ^

. * F » ;i .

■ '*■*-{

X'-.

>.V‘ v

< x y*- v' ÿr¹.

f. -4- ■

^¹

r- r ^

■•v a-*’fin, ■» ■•.

i.'

* ,ŚV”

■J*

iii,

*ÉI iMKw.

a®

r. '

^■#h :

'

>. 'I

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000293401

i

j

4

Y

. ■

/

B//?’<*’

Xj/j*

, *

■> -fV

f

v

*

y \

j

♦

O

J Y

v

* v.*

\

*

■ ■

■ -, /■ *:

*1

I

/

;>

v‘

$x

TJ-s -v • "    .-U-'

.

m

0

• ':-ï

'

V

■

..

>r

»

M-

î‘.

-v*;!; ¹

ïfi

.

■ V

*

?

kr

/

«

•,*-■ ' * -

8?

*'

v»

\-

I

*

■ *

:vl:

-y,,'

£-

-V,

/’.-•#

*

v W

i

;

&

' -r~\

t,

»

v.

\

• ; ••*.

^ *.

v

-

r

.!V:

%

SC'

■f

«V

*

'1 s \

t

.

.

Y

S. '

i

/

.

*:/

&

.

-

K#-'

.K

- sr

■

-h î

: /

/,

i

'

£

V

X

*>

•X

⁷

4

t

J

r.

a

*

» &

-

*

v

.

*>

i

V

■■

/

. »

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA.

WYDAWNICTWO POLSKICH PODRĘCZNIKÓW TECHNICZNYCH, PODJĘTE STARANIEM GRONA PROFESORÓW SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

PROFESOR SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWŁEkT. ,,    , Ląd- „

Dr. PLACYD DZIWHSKI,

WYKŁADY MATEMATYKI.

\*

KURS I.

ZASADY GEOMETRYI

I ANALIZY WYŻSZEJ.

TOM I.

/m

ANALITYCZNEJ^!, ^

danych 4iej we fstr. 54.

n r s u I,    .........

Wstęp do geometryi analitycznej i teorya wyznaczników. Początki analizy wyższej i zasady'~ r

rachunku różniczkowego. Teorya krzywych stożkowych.

W 61 wykładach, uzu

pełnionych ćwiczeniami, wiadomościami bibliograncznemi i tematami do rozprawek naukowych.

77ÎÎ figurami w tekście.

<SÄC-to

«SSM* Cena 30 koron.

c-'ot-----XCv⁵*

L W Ó W.

I. Związkowa drukarnia we Lwowie, ul. Lindego 1. 4.

1902.

ZYGMUNT JELEŃ

KSlĘGARi:    SKŁAD PAPIERU

W TARNOWIE

fW%

%

3ir§>

\[{-WoSf

: /. T > łl Sj? *9

r-

VO

Os)

\-\

*OUT

63

KATEDRA I ZAKŁAD MATEMATYKI WYDZIAŁU INŻYNIERII

w Krakowie

Uliotekä

k°kskxej

Składał zecer Marcin Kazimier* Leszczyński.

fi

O*.:- ••

•X

V‘

PRZEDMOWA.

Na podstawie wykładów matematyki, jakie od lat kilkunastu miałem w naszej szkole politechnicznej, pojawiały się od czasu do czasu skrypta autografowane , wydawane staraniem i nakładem moich słuchaczów.

Oto spis tych wydawnictw:

1.    Matematyka kurs I. podług wykładów Dr. Placyda Dziwiń-skiego w c. k. szkole politechnicznej z roku naukowego 1885—86.

Część I. Analiza elementarna 4° str. 243.

Część II. A. Geometrya analityczna na płaszczyźnie. Autogr. 4° str. 227.

B. Geometrya analityczna w przestrzeni. Autogr. 4° str. 152.

Część III. Zasady algebry wyższej. Autogr. 4° str. 120.

Część IV. Zasady analizy wyższej. Autogr. 4° str. 241.

We Lwowie. Nakładem słuchaczy matematyki kursu I. 1886.

2.    Zbiór wzorów Matematyki kursu I. podług autografowanych wykładów Dr. Placyda Dziwińskiego w c. k. szkole politechnicznej we Lwowie. Lwów, 1887. Nakładem słuchaczy matematyki. Autogr. 4°. str. 54.

3.    Główne twierdzenia i wzory analizy wyższej kursu I. dla użytku słuchaczy szkoły politechnicznej. Na podstawie swych wykładów w r. n. 1887/8, podał Prof. Dr. Płacyd Dziwiński. Lwów, 1888. Autografia nakładem słuchaczy matematyki kursu I. 8° str. 208.

4.    Główne twierdzenia i wzory analizy wyższej kursu II. dla użytku słuchaczy szkoły politechnicznej. Na podstawie swych wykładów z r. n. 1888/9, podał Prof. Dr. Placyd Dziwiński. Lwów. 1889. Autografia nakładem słuchaczy matematyki kursu II. 8° str. 240.

5.    Analiza kurs I. Podług wykładu Prof. Dr. Dziwińskiego w r. 1893/4 wydali H. Bach i M. Chyżewski. Lwów, 1894. Autografia, 2 tomy. Tom I. 4° str. 178. Tom II. 4° str. 145.

6.    Analityka kurs I; Podług wykładu prof. Dr. Dziwińskiego w r. 1893/4 wydali H. Bach i M. Chyżewski. Lwów 1894. Autogr. 4° str. 271.

7.    Repetytory urn matematyki elementarnej podług wykładu Prof. Dr. Dziwińskiego w r. 1893/4 wydali H. Bach i M. Chyżewski. Lwów, 1894. Autogr. 2 części. Część I. Algebra 4°. str. 71. Część II. Geometrya 4° str. 50.

8. Matematyka kurs II. podług wykładów Prof. Dr. Dziwińskiego, w r. 1894/5 spisał i wydał W. Dziakiewicz, słuchacz Politechniki. Lwów, 1895. 2 tomy. Tom I. Analiza II. Autogr. 4° st. 346. Tom II. Analityka

II. Autogr. 4° str. 261.

9.    Analiza wyższa kurs I. podług wykładów Prof. Dr. Dziwiń-skiego w r. 1895/6. Zebrał i wydał S. Hirscliberg, słuchacz I. roku wydziału inżynieryi. Lwów, 1896. 4° str. 264.

10.    Geometrya analityczna, podług wykładów Prof. Dra P. Dzi-wińskiego w r. 1895/6. Zebrał i wydał S. Hirschberg, słuchacz I. roku wydziału Inżynieryi. Lwów, 1896. Autogr. 4° str. 196.

11.    Analityka i analiza wyższa kurs II. podług wykładów Prof. Dr. P. Dziwińskiego w r. 1896/7. Zebrał i wydał S. Hirschberg, słuchacz II. roku wydziału inżynieryi. 2 tomy. We Lwowie, 1897.

Tom I. Analityka kurs II. Autogr. 4° str. 184.

Tom. II. Analiza wyższa kurs II Autogr. 4° str. 102.

12.    Analiza wyższa, podług wykładów Prof. Dra. PI. Dziwińskiego w r. 1897/8, zawierająca rachunek różniczkowy i całkowy w lekcyach I—XXXVI. Opracował Karol Polkierski, słuchacz I. r. wydziału inżynieryi. We Lwowie, 1898. Autogr. 4° str. 376.

13.    Geometrya analityczna, podług wykładów Prof. Dr. Placyda Dziwińskiego w r. 1897/8. Zestawił Adam Dziwiński, słuchacz I. r. wydziału inżynieryi. We Lwowie, 1898. Autogr. 4° str. 184.

14.    Repetytoryum matematyki elementarnej, podług wykładów Prof. Dr. Placyda Dziwińskiego w r. 1897/8, opracował Karol Polkierski. We Lwowie, 1898. Autogr. 4° str. 112.

Biblioteka szkoły politechnicznej posiada po kilka egzemplarzy każdego z tych wydawnictw, których jeszcze dotąd słuchacze często do pomocy przy nauce używają.

Gdy w gronie profesorów powstała myśl wydawania podręczników technicznych, któreby pod. tyt. „Biblioteka politechniczna“, objęły nauki, wykładane w naszej szkole, postanowiłem zająć się ułożeniem i wydaniem takiego podręcznika matematyki , któryby stanowił uzupełnienie wykładów i służyć mógł za podstawę do dalszych studyów matematycznych.

Obrałem formę wykładów, pragnąc tym sposobem związać podręcznik ściślej z tokiem mojego nauczania w Szkole politechnicznej.

Rozkład przedmiotu na szereg wykładów dozwolił mi zresztą w każdym wykładzie zamknąć pewną całość, zastosowaną do wyłożonych pojęć, i pozostawił mi swobodę ewentualnego uzupełnienia późniejszego niewyczerpanej kwestyi, gdyby tego zaszła później potrzeba.

Do każdego wykładu dodałem liczne ćwiczenia, w przekonaniu, że nauka matematyki tylko wówczas prawdziwą korzyść przynieść może, jeżeli z teoretycznem rozumowaniem połączy się praktyczne ćwiczenia.

Dodałem do każdego wykładu wiadomości z literatury i rozmaite tematy do rozprawek naukowych, pragnąc tym sposobem zachęcić słuchaczy do samodzielnego, na literaturze opartego, opracowania poszczególnych przedmiotów nauki.

W wydanym obecnie pierwszym tomie wykładów matematyki kursu

I. wyłożyłem w 61 wykładach, w stopniowem rozwinięciu, wstęp do geometryi analitycznej i analizy wyższej. We wstępie do geometryi analitycznej ograniczyłem się do form, odpowiadających równaniom stopnia pierwszego, w spółrzędnych zmiennych elementu przestrzeni, jedno-, dwu-, trój- i wielowymiarowej, rozwijając przy tej sposobności teoryę wyznaczników.

We wstępie do analizy wyższej, wyszedłszy z rozważań nad własnościami funkcyi całkowitej wymiernej n-go stopnia, rozwinąłem stopniowo zasady rachunku różniczkowego i pojęcia funkcyi analitycznej z zastosowaniami geome-trycznemi, kończąc tom ogólną i szczegółową teoryą krzywych stożkowych.

Tom ten postanowiłem wydać nakładem własnym ; z przyjemnością muszę jednak stwierdzić, że w miarę, jak arkusze kolejno pojawiały się z druku, moi koledzy, jak niemniej moi byli słuchacze, zarówno, jak obecni, w drodze prenumeraty nabywali znaczną ilość egzemplarzy, czem mi ułatwili wydawnictwo.

Korektę przeprowadzał dr. Łucyan Böttcher, asystent szkoły politechnicznej przy mojej katedrze matematyki, jemu też zawdzięczam niejedną cenną uwagę, jako też staranność, z jaką zestawił ważniejsze omyłki drukarskie , umieszczone na końcu książki.

Znaczniejsza zaliczka komisyi wydawniczej grona profesorów z funduszu, przez Wydział krajowy na wydawnictwo Biblioteki politechnicznej przeznaczonego, pozwoliła mi wyposażyć tom ten w liczne ryciny, wykonane z należytą starannością w zakładzie artystyczno - fotograficznym p. Edwarda Trzemeskiego, na podstawie rysunków, przy których pomocnymi mi byli mój syn Adam, słuchacz IV. r. wydziału Inżynieryi, i asystent dr. Łucyan Böttcher.

Pierwsza Związkowa drukarnia nie szczędziła starań, aby dzieło to, także pod względem typograficznym , odpowiadało słusznym wymaganiom, za co jej, a w szczególności jej dyrektorowi p. Albinowi Todschindlerowi, składam na tern miejscu moje serdeczne podziękowanie.

Oddając książkę dla użytku młodzieży polskiej, pragnę gorąco, aby myśli i zagadnienia, w niej zawarte, potrafiły w szerszych kołach obudzić zapał do matematyki, do tej nauki, która nie tylko bezwzględne podaje prawdy, lecz także uczy, jak zrozumieć język, którym przyroda i technika do nas przemawia.

Pisałem we Lwowie , dnia 30. czerwca 1902.

Dr. Placyd Dziwiński.

SPIS RZECZY

w tomie I. zawartych.

n Lt.

Stronica

Wykład I. Rozwój pojęcia liczby i przestrzeni. Matematyka. Liczba i postać geometryczna. Główne metody badań. Działania główne. Zasadnicze prawa działań głównych. Działania odwrotne. Liczby dodatnie i ujemne. Liczby ułamkowe.

. 1-10

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste. Bezwzględna wartość liczby. Prawidła działań odwrotnych. Prawidła działań liczbami rzeczywistemu Liczby urojone. Prawidła działań na liczbach zespolonych. Zagadnienia algebry. Liczby nadurojone. Przestrzenie niewyobrażalne. Formy liczbowe i punkta przestrzeni. Ćwiczenia.

11-28

Wykład II. Spółrzędne punktu. Położenie punktu w przestrzeni o ilukolwiek wymiarach. Geometrya analityczna. Położenie punktu na prostej. Położenie punktu na płaszczyźnie. Rzut punktu na oś. Rzut punktu na płaszczyznę. Rzut linii łamanej na oś. Dwa rzuty punktu płaszczyzny. Spółrzędne biegunowe. Pomiar kata. Funkcye goniometryczne. Związki między bokami, a kątami trójkąta. Możliwe wartości spółrzędnych biegunowych punktu. Położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej. Trzy rzuty punktu w przestrzeni. Znaki spółrzędnych punktów w przestrzeni. Spółrzędne biegunowe punktu w przestrzeni. Spółrzędne sferyczne. Położenie punktu w przestrzeni »-wymiarowej. Układ n osi spółrzędnych. ćwiczenia. ........

24-87

Wylcład III. Zagadnienia o punkcie. Punkt w przestrzeni. Kierunek w przestrzeni. Zagadnienie o punktach. Odległość dwóch punktów. Wzory na odległość dwóch punktów. Kąt nachylenia dwóch kierunków. Wyznacznik drugiego rzędu. Warunki prostopadłości i warunki równoległości dwóch kierunków. Twierdzenia o równych stosunkach. Kierunek odległości dwóch punktów. Układy ukośno-kątne osi. Spółrzędne punktu na płaszczyźnie, odnośnie do układu ukośnokąt-nego. Spółrzędne punktu, odnośnie do układu ukośnokątnego przestrzeni. Spółrzędne punktu odnośnie, do układu ukośnokątnego w przestrzeni n~wymiarowej. Odległość dwóch punktów przestrzeni wielowymiarowej , odniesionych do układu ukośnokątnego tej przestrzeni. Kąt nachylenia dwóch kierunków przestrzeni wielowymiarowej, odniesionych do układu ukośnokątnego tejże przestrzeni. Kierunek odległości dwóch punktów przestrzeni wielowymiarowej, odniesionych do układu ukośnokątnego tej przestrzeni. Ćwiczenia.

Wylilad IV, Zmiana układu spółrzędnych. Spółrzędne danego punktu. Zmiana kierunków osi układu. Zasadnicze wzory trygonometryi sferycznej . Wzory Gaussa. Analogie Nepera. Przepełnienie sferyczne. Wyznaczenie rodzaju układu, utworzonego przez trzy osie o danych kierunkach. Dwa układy prostokątne w przestrzeni »-wymiarowej. Zmiana początku układu i kierunków osi. Ćwiczenia 88—49

Wylilad V. Punkta podziału i szeregi punktów. Podział odcinka prostego w danym stosunku. Stosunek pojedyńczego podziału. Bieg punktu podziału. Stosunek an-harmoniczny czterech punktów. Wartość k stosunku anharmonicznego. Przemiany stosunku anharmonicznego. Stosunek harmoniczny czterech punktów.

vin

Spółrzędne czterech punktów harmonicznych. Środek pary punktów. Inwolucya szeregu punktów. Środek i cecha inwolucyi. Punkta podwójne inwolucyi. Geometryczne określenie punktów urojonych. Trzy pary punktów linii prostej, tworzące inwolucyę. Szeregi punktów. Szeregi jednokreślne. Szeregi punktów na prostej w przestrzeni »-wymiarowej. Punkta urojone. Punkta urojone, sprzężone. Zagadnienia o punktach urojonych przestrzeni. Ćwiczenia.

Wykład VI. jŸjxfèta na płaszczyźnie. Równania linii prostej na płaszczyźnie. Równanie linii prostej, przechodzącej przez punkt w danym kierunku. Równanie symetryczne linii prostej na płaszczyźnie. Równanie linii prostej, przechodzącej przez dany punkt. Równanie zwyczajne linii prostej na płaszczyźnie. Równanie odcinkowe linii prostej na płaszczyźnie. Równanie normalne linii prostej na płaszczyźnie. Równanie pierwszego stopnia między spółrzędnemi punktu płaszczyźnie. Różne postacie równania linii prostej. Szczególne położenia prostej na płaszczyźnie. Wykreślanie linii prostej , danej równaniem. Równanie linii prostej w spółrzędnych ukośnokątnych. Odległość dowolnego punktu od prostej na płaszczyźnie. Kąt nachylenia dwóch prostych. Odległość dwóch prostych równoległych. Punkt przecięcia się dwóch prostych. Dwój sieczna kąta, między dwiema prostemi zawartego. Prosta, przechodząca przez punkt przecięcia się dwóch prostych. Trzy proste, przechodzące przez jeden punkt. Punkt i prosta na płaszczyźnie, odniesione do układu ukośnokątnego. Równanie biegunowe linii prostej na płaszczyźnie. Ćwiczenia. .....

Wykład VII. Zagadnienia o punkcie i prostej na płaszczyźnie. Elementa płaszczyzny. Wyznaczenie punktu na płaszczyźnie. Prosta przez dwa punkta. Prosta, przechodząca przez punkt, prostopadle do danej prostej. Prosta, przechodząca przez punkt, równolegle do danej prostej. Prosta urojona na płaszczyźnie.JProsta, przechodząca przez dwa punkta urojone, sprzężone. Punkta urojone na prostej. Ogólne równanie prostej urojonej. Proste urojone, sprzężone. Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego za pomocą wyznaczników. Wyznacznik trzeciego rzędu. Własności wyznacznika trzeciego rzędu. Rozwijanie wyznacznika. Obliczanie wyznacznika trzeciego rzędu za pomocą podwyznaczników. Własności podwy-znaczników. Wyznacznik równy zeru. Wyznacznik dołączony. Iloczyn dwóch wyznaczników. Wartość wyznacznika dołączonego. Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego o trzech niewiadomych za pomocą wyznaczników rzędu trzeciego. Własności i rozwiązania równań jednorodnych stopnia pierwszego. Zastosowania wyznaczników do rozwiązywania zagadnień o punkcie i prostej na płaszczyźnie. Skrócone znakowanie równań linij prostych. Korzyści skróco-conego znakowania równań. Równanie linii prostej w postaci jednorodnej. Spółrzędne trójkątowe punktu na płaszczyźnie. Związek między spółrzędnemi trójkątowemi punktu na płaszczyźnie. Różne rodzaje spółrzędnych trójkąto-kątowych punktu, ćwiczenia. .......

Wykład VIII. Linie proste na płaszczyźnie, jako miejsce geometryczne punktu. Miejsce geometryczne punktu i równania między spółrzędnemi punktu. Ścisły związek między linią na płaszczyźnie, a jej równaniem. Linia prosta na płaszczyźnie i równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi (x, y) punktu. Rozwiązywanie zadań geometrycznych. Biegunowa punktu względem układu dwu prostych. Biegunowe punktu względem trzech kątów trójkąta, Spółrzędne linii prostej na płaszczyźnie. Spółrzędne trójkątowe linii prostej na płaszczyźnie. Odległość punktu, danego przez spółrzędne trójkątowe, od prostej, danej równaniem w spółrzędnych trójkątowych bieżącego punktu. Związek między spółrzędnemi trójkątowemi linii prostej. Związek między spółrzędnemi trójkątowemi' linii prostej, a spółrzędnemi trójkątowemi punktu leżącego na tej prostej. Równanie ogólne prostej w spółrzędnych trójkątowych punktu, i równanie ogólne punktu w spółrzędnych trójkątowych prostej. Równorzędność punktu i prostej, jako elementów płaszczyzny. Zasada dwoistości. Zupełne wielokąty i zupełne wielo-bold. Spółrzędne trójkątowe punktu i spółrzędne trójkątowe linii prostej. Wprowadzenie spółrzędnych trójkątowych. Twierdzenie Desarguesa. Ćwiczenia.

50-64

na

65 -77

78-94

95-112

Wyklad IX. Promienie podziału i pęki promieni. Promień pojedynczego podziału.

Pęk promieni. Stosunek anharmoniczny czterech promieni pęku. Wyznaczenie stosunku anharmonicznego z danych równań promieni pęku. Pęki jednokreślne.

Pęki perspektywiczne. Stosunek harmoniczny czterech promieni pęku. Dalsze własności promieni harmonicznych. Dwój sieczne kąta jednej pary promieni harmonicznych. Związki między własnościami par promieni harmonicznych i par punktów harmonicznych. Konstrukcye promieni harmonicznych. Inwo-lucya par promieni, oś i cecha inwolucyi. Promienie podwójne inwolucyi. Pęk inwolucyjny o danych promieniach podwójnych. Wyznaczenie promieni podwójnych danego pęku inwolucyjnego Trzy pary promieni pęku inwolucyjnego. Szeregi punktów, przedstawione równaniami. Punkt biegunowy jakiejkolwiek prostej względem układu dwóch punktów. Teorya punktów harmonicznych. Własności zupełnego czworoboku i zupełnego czworokąta. Wykreślanie promieni i punktów harmonicznych przy pomocy czworoboku, względnie czworokąta zupełnego. Równania trzech par elementów płaszczyzny, tworzących inwolucyę. Elementa czworoboku, lub czworokąta zupełnego, tworzące in-wolucyę. Wykreślenie pęku par promieni, lub szeregu par punktów, tworzących inwolucyę. Pęki jednokreślne promieni i szeregi jednokreślne punktów'. Konstrukcya pęków jednokreślnych. Konstrukcya szeregów jednokreślnych. Konstrukcya szeregu punktów, jednokreślnego z pękiem promieni. Ćwiczenia. 113—130

131-147

Wykład X. Figury płaskie, prostoltreślne. Figury i układy. Jednokreślność dwóch figur płaskich. Elementa, wyznaczające dwie figury jednokreślne. Linie zbiegu dwóch figur jednokreślnych. Dwie figury jednokreślne z trzecią. Własności figur jednokreślnych. Konstrukcya figur jednokreślnych. Elementa podwójne dwóch figur jednokreślnych. Ogólne uwagi o równaniu n-go stopnia o jednej niewiadomej. Równania dwuwyrazowe n-go stopnia. Przekształcenie liczby zespolonej a-\-bi. Suma i różnica dwu liczb zespolonych. Iloczyn i iloraz dwu liczb zespolonych. Potęga liczby zespolonej. Pierwiastek liczby zespolonej. Wielo-wartościowość n-go pierwiastka. Pierwiastki liczb , które mają bezwzględne wartości , równe jednostce. Pierwiastki jednostki dodatniej. Ilość liczb pierwszych względem », a od » mniejszych. Wielokąty umiarowe. Przykłady wielokątów umiarowych, ćwiczenia. .

Wykład XI. Elementarne konstrukcye wielokątów umiarowych. Pojęcie elementarnych konstrukcyj geometrycznych. Ogólne równanie drugiego stopnia. Szczególne wartości pierwiastków ogólnego równania drugiego stopnia. Własności równań drugiego stopnia. Geometryczne przedstawienie pierwiastków równań drugiego stopnia. Konstrukcye elementarne. Równania dwuwyrazowe xn = ct-\-bi, których pierwiastki dadzą się przedstawić za pomocą pierwiastków kwadratowych. Podział luku na równe części. Uwagi historyczne. Konstrukcye wielokątów umiarowych. Równanie x³—1=0 Równanie a:⁵—1 = 0. Konstrukcya pięciokąta umiarowego. Równanie xP —1 = 0. Równanie x™P — 1=0. Zestawienie równań kształtu xn — 1 = 0, rozwiązalnych przy pomocy samych pierwiastków kwadratowych. Wielokąty umiarowe, dające się wykreślić za pomocą cyrkla i lineału. Konstrukcya dziesięciokąta umiarowego. Równania trój wyrazowe parzystego stopnia. Ćwiczenia. .....    148—IGO

Wyklad XII. Jednokreślność i jednokładuość figur płaskich. Figury jednokreślne. Ogólne równanie trzeciego stopnia. Własności równań trzeciego stopnia Rodzaje pierwiastków równania trzeciego stopnia o spółczynnikach rzeczywistych. Możliwe położenia elementów podwójnych dwóch figur jednokreślnych. Figury homologiczne, czyli jednokładne. Konstrukcye figur homologicznych.

161-171

Linie zbiegu w figurach homologicznych. Cecha homologii, czyli kolineacyi środkowej. Figury jednokreślne w położeniu homologicznem. Figury powinowate. Figury podobne. Figury przystające. Dwoistość dwu figur płaskich, ćwiczenia

Wyklad XIII. Koło na płaszczyźnie. Równanie koła. Ogólne równanie koła. Wyznaczenie środka i promienia koła. Koło rzeczywiste i koło urojone. Szczególne położenia koła. Równanie koła w spółrzędnycłi biegunowych. Równanie koła w spółrzędnych ukośnokątnych. Koło i punkt. Koło i linia prosta Dwa koła. Punkta kołowe urojone. Trzy koła. Pęki kół. Styczna i biegunowa. Własności biegunowej punktu względem koła. Biegun wzajemny względem pęku kół o wspólnej osi pierwiastnej. Trójkąty sprzężone względem koła. Figury biegunowo dwoiste. Ćwiczenia.

172-184

Wykład AIV. Zagadnienia o kole na płaszczyźnie. Warunki konieczne do wyznaczenia koła na płaszczyźnie. Koło , przechodzące przez trzy punkta. Wyznacznik czwartego rzędu. Równanie koła w postaci wyznacznika. Warunek, aby cztery punkta płaszczyzny leżały na obwodzie koła. Własności czworokąta, w koło wpisanego. Związek między bokami i przekątniami czworokąta, w koło

wpisanego. Koło styczne do trzech linij prostych. Styczne, wspólne do dwóch kół. Środki podobieństwa dwóch kół. Środki podobieństwa i oś pierwiastna

dwóch kół. Osie podobieństwa trzech kół. Kąty, pod’jakimi przecinają się dwa koła. Koło ortogonalne względem trzech kół danj'ch. Sieć kół. Koło styczne do trzech kół. Konstrukcya kół stycznych do trzech kół danych. Ćwiczenia. 185—109 Wykład XV. Koła «a płaszczyźnie, jako miejsca geometryczne punktów. Koło, jako miejsce geometryczne punktów. Koło na płaszczyźnie i jego równanie między spółrzędnemi punktu. Rozwiązywanie zadań geometrycznych, dotyczących punktu, prostej i koła na płaszczyźnie. Miejsce geometryczne punktów, których odległości od dwu stałych punktów, pozostają w stałym stosunku m \ n. Miejsce geometryczne wierzchołków kąta stałego w, którego ramiona przechodzą przez dwa punkta. Miejsce geometryczne punktów, z których widać dwa dane odcinki jednej linii prostej pod tym samym kątem. Miejsce geometryczne punktu^ który ma tę własność, że suma, przez pewne liczby stałe pomnożonych, kwadratów odległości tego punktu, od n stałych punktów jest zawsze jednakową.

200-208

Koło, jako obwiednia prostych, równo oddalonych od danego punktu. Równanie koła w spółrzędnych punktu, a równanie koła w spółrzędnych linii prostej. Równanie koła w spółrzędnych linii prostej, wyprowadzone z równania koła w spółrzędnych punktu. Ćwiczenia.

W ykład X VI. Prosta, w przestrzeni. Równania linii prostej w przestrzeni Równania symetryczne prostej w przestrzeni. Równania prostej , przechodzącej przez dany punkt. Rzuty prostej w przestrzeni. Równania zwyczajne prostej w przestrzeni. Kierunek i ślady prostej w przestrzeni. Punkt na prostej w przestrzeni. Szczególne położenia prostej. Prosta, przechodząca przez początek układu. Wai’unki potrzebne do wyznaczenia prostej w przestrzeni. Prosta urojona w przestrzeni. Równania linii prostej w pi’zestrzeni w-wymiarowej. Parametry równali linii prostej]. Równania prostej, ux*ojonej, w przestrzeni

209-217

«-wymiai-owej. Prosta w przestrzeni, odniesiona do układu ukośnokątnego. Ćwiczenia .

218-230

W ykład XXVII. Płaszczyzna w przestrzeni. Równania płaszczyzny. Kierunki na płaszczyźnie. Ślady płaszczyzny. Szczególne położenia płaszczyzny. Przekroje płaszczyzny. Przekrój dwu płaszczyzn. Płaszczyzna przesunięta przez prostą. Wai-unki konieczne do wyznaczenia płaszczyzny. Płaszczyzna, oki^eślona dwoma równaniami o jednym parametrze. Płaszczyzna ui’ojona. Płaszczyzny urojone, sprzężone. Dwie pi*oste ui-ojone, sprzężone. Równania pi-zestrzeni liniowych wielowymiai-owych. Układ równań pierwszego stopnia między spółrzędnemi punktu. Ćwiczenia.

231—242

Wyklad XVIII. Zagadnienia o punkcie, prostej i płaszczyźnie w przestrzeni. Prze-sti-zeń trójwymiarowa. Zagadnienia. Odległość punktu od prostej w przestrzeni, pi’zechodzacej pi’zez początek układu. Odległość punktu od dowolnej prostej w przestrzeni. Kąt nachylenia dwóch pi-ostych w przestrzeni. Warunki prostopadłości i wai-unki i'ównoległości dwóch prostych w przestrzeni. Punkt wspólny dwu pi-ostym w pi’zestrzeni. Prosta, pi-ostopadła do dwóch prostych, wichrowatych. Nąjkińtsza odległość dwóch pi⁻ostych, wichrowatych. Moment dwu linij prostych. Ćwiczenia.

W ykład XIX. Dalszy ciąg zagadnień o wzajemnem położeniu punktów, linij prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Punkt, prosta i płaszczyzna. Odległość punktu od płaszczyzny. Punkt przebicia prostej z płaszczyzną. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny. Krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn. Kąt nachylenia dwu płaszczyzn. Odległość dwu płaszczyzn równoległych. Wzór na odległość dwu prostych wichrowatych. Trzy płaszczyzny. Cztery płaszczyzny. Trójkąt na płaszczyźnie i jego rzut na inną płaszczyznę. Rzuty figury płaskiej na płaszczyzny spół-rzędne. Powierzchnia trójkąta w przestrzeni w spółrzędnych jego wierzchołków. Objętość ostrosłupa, opartego na trójkącie w przestrzeni, a mającego przeciwległy wierzchołek w początku układu. Objętość dowolnego czworościanu, ćwiczenia. 243—255

256-268

Wykład XX. Wyznaczanie wzajemnego położenia punktów, linij prostych i płaszczyzn, odniesionych do układu ukośnokątnego. Zestawienie ważniejszych wzorów w układzie prostokątnym. Punkt , prosta i płaszczyzna, odniesione do układu ukośnokątnego. Zagadnienia o ich wzajemnem położeniu. Znakowania Żmurki. Wzory Żmurki. Punkt. Linia prosta. Płaszczyzna. Wzory Żmurki, podające wzajemne położenie elementów przestrzeni. Kierunek (1, jr, v) prostopadły do dwóch kierunków. Kąt nachylenia dwu prostych. Odległość punktu od płaszczyzny. Kąt nachylenia prostej względem płaszczyzny. Kąt, zawarty między dwiema płaszczyznami. Odległość punktu od prostej. Najkrótsza odległość dwu prostych. Niektóre własności symbolów Żmurki. Zastosowanie układów trójosiowycli do krystalografii. Układy krystalograficzne. Ćwiczenia.

269-285

Wyklad XXI. Zasada dwoistości w przestrzeni trójwymiarowej. Spółrzędne płaszczyzny. Równanie ux-\- vy -\-wz-\- 1 = 0. Zasada dwoistości w przestrzeni. Przykłady zastosowania zasady dwoistości w przestrzeni. Formy elementarne przestrzeni, dwoiście sobie odpowiadające. Stosunek anliarmoniczny czterech punktów szeregu i czterech płaszczyzn pęku. Stosunek harmoniczny czterech punktów szeregu i czterech płaszczyzn pęku. Inwolucya szeregu punktów i pęku płaszczyzn. Własności elementów inwolucyjnych. Układy jednokreślne elementów przestrzeni. Spółrzędne linii prostej w przestrzeni, oparte na spółrzędnych punktu. Spółrzędne linii prostej , oparte na spółrzędnych płaszczyzny. Związek między dwoma rodzajami spółrzędnych linii prostej. Uzmysłowienia konstrukcyjne. Ćwiczenia.    .......

286-300

Wykład XXII. Spółrzędne czworościeime elementów przestrzeni. Równanie jednorodne płaszczyzny i równanie jednorodne punktu. Spółrzędne czworościenne punktu. Równanie jednorodne pierwszego stopnia w spółrzędnych punktu, czyli równanie płaszczyzny. Spółrzędne czworościenne płaszczyzny. Równanie punktu w spółrzędnych czworościennych płaszczyzny. Spółrzędne czworościenne punktu i płaszczyzny, określone na podstawie stosunków anharmonicznych. Przedstawienie geometryczne stosunku ogólnych spółrzędnych czworościennych punktu, lub płaszczyzny. Wzajemne położenie elementów jednostkowych. Spółrzędne czworościenne linii prostej. Związki między spółrzędnemi czworo-ściennemi prostej. Przedstawienie geometiyczne spółrzędnych czworościennych prostej, ćwiczenia.

301-312

W ykład XXIII. Jednokreślność figur przestrzennych. Zasadnicze utwory przestrzenne. Figury przestrzenne. Jednokreślność dwu figur przestrzennych. Elementa przestrzeni, wyznaczające dwie figury jednokreślne. Płaszczyzny zbiegu dwu figur jednokreślnych. Dwie figury przestrzenne, jednokreślne z trzecią. Elementa podwójne dwu figur jednokreślnych , przestrzennych. Ogólne równanie czwartego stopnia o jednej niewiadomej. Rozwiązywanie równań czwartego stopnia według metody Descartes’a. Rozwiązywanie równań czwartego stopnia według metody Eulera. Rodzaje pierwiastków równania czwartego stopnia o spół-czynnikach rzeczywistych. Możliwe położenia elementów podwójnych dwóch jednokreślnych układów przestrzennych. Ćwiczenia.

W ykład XXIV. Szczególne -rodzaje jednokreślności i dwoistości figur przestrzennych. Figury jednokreślne w przestrzeni. Figury jednokladne. Figury perspektywiczne. Powinowactwo układów przestrzennych. Podobieństwo układów przestrzennych. Układy przystające i układy symetryczne. Wzajemna dwoistość dwu układów przestrzennych. Układy biegunowo dwoiste. Zbiór n elementów

Stronica

równoimiennych. Wielokąty, wieloboki i wielościany pojedyncze i zupełne. Zupełny »-kąt. Zupełny »-bok. Zupełny »-ścian. Ćwiczenia.

Wykład XXV. Niektóre wiadomości z teoryi porządków. Określenia. Porządki. Prze-

313-322

336-350

miany. Połączenia. Symbole z teoryi porządków. Iloczyny dwumianów. Potęgi dwumianu. Potęga wielomianu. Iloczyny wielomianów. Potęgi wielomianu. Ogólne uwagi o ilości wyrazów w funkcyach całkowitych, wymiernych, ćwiczenia. 323—335 Wykład XXVI. Zasady ogólnej teoryi wyznaczników. Określenie wyznacznika kwadratowego. Wyznacznik »-go rzędu. Podział przemian na dwa rodzaje. Naturalny porządek przemian. Rozwinięcie i obliczanie wyznacznika. Zasadnicze własności wyznaczników. Rozwijanie wyznacznika podług elementów jednego rzędu. Własności minorów. Określenie wyznacznika »-go rzędu podług Weier-strassa. Mnożenie wyznaczników. Kwadrat wyznacznika. Wyznacznik dołączony do danego wyznacznika. Minory elementów wyznacznika dołączonego, ćwiczenia

351-364

Wykład XXVII. Zastosowanie teoryi wyznaczników do rozwiązywania równań pierwszego stopnia o ilnkolwiek niewiadomych. Rozwiązanie układu »-równań pierwszego stopnia o » niewiadomych. Szczególne przypadki rozwiązań układu «-równań liniowych o »-niewiadomych. Układ równań jednorodnych. Podwyzna-czniki danego układu kwadratowego elementów". Ilość możliwych podwyzna-czników m-go stopnia. Układ podwyznaczników danego rzędu. Układy dołączone podwyznaczników. Rozwiązanie układu »-równań jednorodnych o wyznaczniku D równym zeru, w którym także podwyznaczniki są równe zeru. Równania liniowe niejednorodne o wyznacznikach równych zeru. Układ «-równań o (»—1) niewiadomych. Przybliżone rozwiązanie układu równań liniowych; w którym ilość równań jest większą od ilości niewiadomych. Ćwiczenia.

365-380

. Wykład XXVIII. Zasady ogólne rozwijania wyznaczników prostokątnych i kwadratowych. Określenie wyznacznika prostokątnego. Rozkład wyznacznika kwadratowego »-go rz'çdu na sumę iloczynów, których cznynikami są jego podwyznaczniki ?»/go i (»—7»)-go stopnia. Własności podwyznaczników m-g o rzędu. Prawidła mnożenia wyznaczników prostokątnych. Wyznacznik kwadratowy, utworzony z podwyznaczników ra-go rzędu danego układu »² elementów. Podwyznaczniki dowolnego rzędu , występujące w wyznaczniku A, dołączonym do danego wyznacznika D. Rozwijanie wyznacznika podług elementów głównej przekątni, ćwiczenia

metrycznego.

razami jego szeregów różnicowych. Ogólny wyraz szeregu głównego. Suma

Wykład XXIX. Szczególne rodzaje wyznaczników kwadratowych. Wyznaczniki symetryczne. Wyznaczniki skośne. Wyznaczniki skośne, niesymetryczne. Wyznaczniki ściślej/symetryczne. Szczególna własność wyznacznika ściślej sy-iązki , zachodzące między wyrazami szeregu głównego, a wy-

381—396

wyrazów szeregu głównego. Szeregi sumowe danego szeregu głównego. Postępy arytmetyczne r-go rzędu. Ogólny wyraz postępu arytmetycznego, jako funkcya jego wskazówki porządkowej ». Liczby postaciowe. Liczby p-kątowe płaskie. Liczby ostrosłupowe, ^-ścienne. Wyznacznik ściślej symetryczny ; utworzony przez wyrazy postępu arytmetycznego. Wyznaczniki doskonale symetryczne. Szczególna własność wyznacznika doskonale symetrycznego. Wyznaczniki liipersymetryczne. Ogólne uwagi o szczególnych rodzajach wyznaczników. ćwiczenia.

Wykład XXX. Zastosowanie wyznaczników w teoryi ułamków ciągłych. Określenie ułamków ciągłych. Wart/ści przybliżone ułamka ciągłego. Obliczanie, kolejno po sobie następujących,/wartości przybliżonych. Bezpośrednie obliczanie licznika i mianownika wartości przybliżonej, danego ułamka ciągłego, za pomocą wyznaczników. Wyznaczniki ułamka ciągłego w postaci wyznaczników skośnych symetralnych. Różnica między dwiema, po sobie następującemi, wartościami przybliżonemi danego ułamka ciągłego. Różnica między dowolnemi dwiema wartościami przybliżonemi. Ułamki ciągłe , złożone z samych wyrazów dodatnich. Przekształcanie ułamków ciągłych. Ułamki ciągłe, których liczniki

częściowe są równe 1. Szczególny rodzaj ułamków ciągłych, złożonych z wyrazów dodatnich i ujemnych. Szeregi geometryczne pierwszego rzędu. Szeregi geometryczne wyższego rzędu i szeregi bipergeometryczne. ćwiczenia.

397—410

411-421

Wykład XXXI. Główne wiadomości z teoryi równań wyższych stopni. Wiadomości wstępne z teoryi równań wyższych stopni. Wielomian równania i jego czynnik pierwiastkowy. Dzielenie wielomianu «-go stopnia przez dwumian (x—a). Pierwiastki wielokrotne równania «-go stopnia. Rozkład całkowitej funkcyi wymiernej na czynniki. Pierwiastki urojone równania o spółczynnikach rzeczywistych. Granice pierwiastków danego równania, Związki między pierwiastkami, a spółczynnikami równania «-go stopnia. Wzór interpolacyjny Lagrange’a. z-""⁻ Wzory Eulera, ćwiczenia.

Wykład XXXII. Pimkcya całkowita wymierna i jej funkcye pochodne. Pojęcie funkcyi. Obrazy funkcyi. Własności funkcyi całkowitej, wymiernej «-go stopnia Przyrost funkcyi całkowitej wymiernej «-go stopnia. Przyrost potęgi zmiennej niezależnej. Funkcye pochodne dali ej funkcyi całkowitej. Ciągłość funkcyi całkowitej, wymiernej. Krzywe paraboliczne. Szczególne postacie krzywych parabolicznych. Rozwinięcie funkcyi całkowitej, wymiernej w otoczeniu miejsca x. Sposób rozwijania funkcyi całkowitej, podług potęg dwumianu (x—a), za pomocą dzielenia. Sposób Horner’a wyznaczania spółczynników rozmaitych potęg dwumianu (cc—-a), w rozwinięciu funkcyi całkowitej, w otoczeniu miejsca a. Ćwiczenia. 422—438 Wykład XXXIII. Pierwsza pochodna funkcyi całkowitej, wymiernej i zasadnicze pojęcia rachunku różniczkowego. Stosunek różnicowy funkcyi całkowitej, wymiernej. Wielkości nieskończenie małe i wielkości nieskończenie wielkie. Różniczka funkcyi i różniczka zmiennej niezależnej. Stosunek różniczkowy danej funkcyi całkowitej. Bezpośrednie wyznaczanie różniczki danej funkcyi. Różniczkowanie funkcyi całkowitej. Różniczka sumy dwu funkcyj. Różniczka iloczynu dwu funkcyj. Różniczka iloczynu ilukolwiek funkcyj. Różniczka ilorazu dwu funkcyj. Różniczka potęgi danej funkcyi. Różniczka ułamkowej potęgi danej funkcyi. Różniczka ujemnej potęgi danej funkcyi. Różniczka funkcyi funkcyi. Różniczka funkcyi odwrotnej, ćwiczenia. .......    484—447

448-459

Wykład XXXIV. Funkcye pochodne i różniczki wyższych rzędów danej funkcyi całkowitej, wymiernej. Przyrosty wyższych rzędów, występujące w funkcyi całkowitej, wymiernej. Różniczki wyższych rzędów danej funkcyi. Zależność m-tego przyrostu danej funkcyi od jej funkcyj pochodnych. Przyrosty wyższego rzędu danej potęgi xn. Stosunki różniczkowe wyższych rzędów, występujące w danej funkcyi całkowitej. Stosunki różnicowe wyższych rzędów, występujące w danej funkcyi całkowitej. Pochodne funkcyi potęgowej y = xn. Różniczkowanie «-krotne danej funkcyi. Prawidło «-krotnego różniczkowania sumy funkcyj. Prawidło «-krotnego różniczkowania iloczynu dwu funkcyj. Ćwiczenia Wykład XXXV. Zastosowanie rachunku różniczkowego do wyznaczania maximum i minimum danej funkcyi. Badanie wartości funkcyi w otoczeniu danego punktu. Funkcya rosnąca i funkcya malejąca w danem miejscu. Przypadek wątpliwy. Określenie maximum i minimum danej funkcyi. Warunki istnienia maximum, lub minimum funkcyi f(x). Wyznaczanie maximôw, lub minimów danej funkcyi. Zagadnienia arytmetyczne z zastosowania teoryi maximum i minimum. Zagadnienia geometryczne z teoryi maximum i minimum. Zastosowanie zasad rachunku różniczkowego do funkcyj goniometrycznych. Różniczki i pochodne elementarnych funkcyj goniometrycznych. Różniczki i pochodne elementaimych funkcyj cyklometrycznych. Różniczki i pochodne funkcyj , złożonych z elementarnych funkcyj goniometrycznych, lub cyklometrycznych. Maxima i minima funkcyj złożonych z funkcyj goniometrycznych i cyklometrycznych. Ćwiczenia. 400—477

Wykład XXXVI. Symbole nieoznaczone i ich wartości graniczne. Symbol

czony —, Symbol nieoznaczony ^. Symbol nieoznaczony iloczynu : 0. oo

oo. 0. Symbol nieoznaczony różnicy : oo—oo. Granica potęgi : ^1

nieozna-

lub

potęgi (i + y)”

, dla v = 0. Zastosowanie

Granica

, dla n=oo. granicy potęgi : (l -f *-) ,

Stronica

/    X \ ^

w rachunku procentu składanego. Granica potęgi : ^1 -j- —j , dla n — co . Gra-ax

nica ilorazu: —

dla x—0. Logarytm i funkcya wykładnicza. Różniczka

i pochodna funkcyi wykładniczej : y= ax. Różniczka i pochodna naturalnej funkcyi wykładniczej: y — ex. Różniczka i pochodna funkcyi wykładniczej: y =eu, gdzie u =f(x). Zastosowanie funkcyj wykładniczych do wyznaczania różnicy: co —oo. Różniczka i pochodna funkcyi: y — logax. Różniczka i pochodna logarytmu naturalnego. Zastosowanie logarytmu do wyznaczenia pochodnej potęgi: y — xn. Różniczka i pochodna funkcyi potęgowej o zmiennej zasadzie i zmiennym wykładniku. Symbole nieoznaczone funkcyi potęgowej. Złożone symbole nieoznaczone. Ćwiczenia.

W ykład XXXVII. Różniczki i pochodne funkcyj złożonych z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej. Funkcye elementarne i funkeye złożone. Różniczki i pochodne funkcyj elementarnych. Pochodne cząstkowe funkcyj złożonych. Różniczki cząstkowe funkcyi złożonej. Pochodna funkcyi złożonej, względem zmiennej niezależnej, i jej różniczka zupełna. Ogólne prawidło różniczkowania funkcyi złożonej z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej. Szczególne prawidła 1’óźniczkowania funkcyj złożonych. Różniczkowanie funkcyi złożonej, za pomocą podstawiania funkcyj elementarnych. Różniczkowanie funkcyi złożonej po jej przekształceniu. Różniczkowanie logarytmiczne. Logarytmiczna różniczka i logarytmiczna pochodna danej funkcyi. Pochodna i różniczka funkcyi innej funkcyi. Pochodna i różniczka w-tej iteracyi danej funkcyi. Pochodne wyższe funkcyj elementarnych. Pochodne wyższe funkcyj cyklometrycznych. Wielokrotne różniczkowanie funkcyi danej fankcyi. Wielokrotne różniczkowanie funkcyj złożonych. Ćwiczenia.

Wykład XXXVIII. Rozwijanie funkcyj w szeregi. Szereg Taylora. Przykłady formalnego rozwijania funkcyi elementarnych podług wzoru Taylora. Inna postać Taylora. Szereg Maclaurina. Przykłady rozwijania funkcyj elementarnych, według wzoru Maclaurin’a. Uwagi o rozwijaniu funkcyj według wzoru Taylor’a i Maclaurin’a. Reszta szeregu Taylor’a, według Lagrange’a. Reszta szeregu Taylor’a, według Cauchy’ego. Reszta szeregu Taylor’a, według Roche’a. Rozmaite inne postaci reszty szeregu Taylor’a. ćwiczenia.

Wykład XXXIX. Ogólna teorya szeregów. Zasadnicze pojęcia z teoryi szeregów. Przykłady, a) postęp arytmetyczny, b) Postęp geometryczny. Konieczny, choć niewystarczający warunek zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny. Reszta szeregu. Tworzenie szeregów zbieżnych, lub rozbieżnych. Szeregi liczb dodatnich. Porównywanie szeregów liczb dodatnich. Kryterya Cauchy’ego zbieżności szeregów. Przypadek wątpliwy w kryteryum Cauchy’ego. Kryteryum Raabe’go zbieżności szeregów. Ogólne metody dochodzenia zbieżności, lub rozbieżności szeregów liczb dodatnich. Szeregi liczb rzeczywistych, dodatnich i ujemnych. Szeregi warunkowo zbieżne. Przykład szeregu warunkowo zbieżnego. Szeregi wahające i szeregi rozbieżne. Szeregi liczb urojonych. Równość dwu szeregów, bezwarunkowo zbieżnych. Suma szeregów, bezwarunkowo zbieżnych. Iloczyn szeregów, bezwarunkowo zbieżnych. Iloraz dwu szeregów, bezwarunkowo zbieżnych. Ćwiczenia.

Wykład XL. Główne wiadomości z teoryi szeregów potęgowych. Szeregi potęgowe. Zasadnicze własności szeregów potęgowych. Koło zbieżności danego szeregu potęgowego. Jednostajna zbieżność danego szeregu potęgowego. Ciągłość szeregu potęgowego w obrębie jego koła zbieżności. Szeregi pochodne i ich kresy zbieżności. Przekształcenie szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności. Bezpośrednie i pośrednie przeprowadzenie szeregu potęgowego do pewnego punktu, wewnątrz jego koła zbieżności. Koło zbieżności szeregu ty(x/a). Przeprowadzenie szeregu $ß(x) poza jego koło zbieżności. Pojęcie funkcyi analitycznej. Podział funkcyj analitycznych. Szeregi zwrotne. Wyprowadzenie równania charakterystycznego, danego szeregu zwrotnego r-go rzędu. Wyznaczanie dowolnego spółczynnika danego szeregu zwrotnego r-go rzędu, zapomocą 2r spółczynników bezpośrednio poprzedzających. Ćwiczenia. .

wzoru

478—494

495-511

512 - 526

527-548

za-

549-560

561—572

Wykład XL1. Rozwinięcia funkcyj wymiernych, ułamkowych. Rozwijanie funkcyj wymiernych, ułamkowych, na szeregi potęgowe. Kształt szeregu potęgowego, będący elementem funkcyi wymiernej, ułamkowej. Podział funkcyj ułamkowych. Punkta zerowe i punkta nieskończonościowe danej funkcyi ułamkowej. Rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki częściowe. Rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Metody wyznaczania spółczynników przy rozkładzie danej funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Bezpośrednie wzory na wyznaczanie spółczynników, występujących w rozkładzie funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Użycie rozkładu danej funkcyi ułamkowej do wyznaczenia jej szeregu potęgowego. Ćwiczenia.

Wykład XLII. Rozwinięcia funkcyj potęgowych, wykładniczych i logarytmicznych. Warunki rozwijalności funkcyi podług wzoru Taylora. Tożsamość szeregów Taylor’a i Maclaurin’a. Obliczanie wartości funkcyi w danem miejscu. Zastosowanie szeregu Taylora do obliczania wartości funkcyi :/ (æ) = (1 -J- x)m- Wy-

r~°° lm\

X ir]xr, przy pomocy rachunku różniczkowego. r-o '

znaczenie wartości szeregu

Obliczanie pierwiastków dowolnej liczby bezwzględnej. Rozwinięcie funkcyi wykładniczej : f(x) = ex. Szereg wykładniczy, jako wynik szeregu dwumianowego. Wyznaczenie wartości szeregu E{x) przy pomocy rachunku różniczkowego. Rozwinięcie funkcyi log(l-f-a’). Szereg logarytmiczny, jako wynik szeregu wykładniczego i szeregu dwumianowego. Wyznaczanie wartości szeregu logarytmicznego przy pomocy rachunku różniczkowego. Przekształcenie szeregu logarytmicznego. Tablica logarytmów naturalnych liczb pierwszych. Logarytmy zwyczajne. Urządzenie tablic logarytmów zwyczajnych. Ćwiczenia. 573—590

Wykład XLTII. Rozwinięcia funkcyj goniometrycznych i ich związek z funkcyami wykładuiczemi. Rozwinięcie funkcyj goniometrycznych sina; i cos a;. Wyprowadzenie szeregów na sina; i cosce, zapomocą wzoru Moivre’a. Wyznaczenie wartości szeregów goniometrycznych , przy pomocy rachunku różniczkowego. Związki między funkcyą wykładniczą, a funkcyami goniometrycznemi. Funkcye hiperboliczne. Peryodyczność funkcyj goniometrycznych i hiperbolicznycli. Rozwinięcia funkcyj hiperbolicznych. Liczby Bernouille’go. Związek między liczbami Bernouille’go, a sumą potęg liczb całkowitych. Rozwinięcie funkcyi tghipa;. Rozwinięcie funkcyi cotghipa; Rozwinięcie funkcyi cosechipa;. Rozwinięcie funkcyj; tanga;, cotga;, cosec a:. Rozwinięcie funkcyj ; sechipa; i seca;. Metoda spółczynników nieoznaczonych, przy rozwijaniu funkcyj goniometrycznych. Tablica funkcyj goniometrycznych. Tablica funkcyj hiperbolicznych. ćwiczenia. 590—606

607-622

Wykład XLIV. Rozwinięcia funkcyj cyklometryczuych i ich związek z funkcyami logarytmicznemi. Geometryczne określenie funkcyj cyklometryczuych. Związki między funkcyami cyklometrycznemi. Przekształcenia wzorów goniometrycznych na wzory cyklometryczne. Związki między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi. Funkcye odwrotne względem funkcyj hiperbolicznych i ich związek z funkcyami logarytmicznemi. Nieskończona wielowar-tościowość funkcyj logarytmicznych Rozwinięcie funkcyi arc tanga;. Obliczanie liczby łc. Rozwinięcie funkcyi arc cotga;. Rozwinięcie funkcyi argtanghipa; i argcothipa;. Rozwinięcie funkcyi arc sin a;. Rozwinięcie funkcyi argsinhipa;. Rozwinięcie funkcyi: arc seca; i arccoseca;, tudzież arg sechipa; i arg cosechipa;, Ćwiczenia.

Wykład XLV. Krzywe płaskie, jako obrazy geometryczne funkcyj wyraźnych jednej zmiennej rzeczywistej. Określenie obrazu geometrycznego danej funkcyi jednej zmiennej rzeczywistej. 'Znaczenie geometryczne pierwszej pochodnej danej funkcyi. Wykreślenie stycznej w danym punkcie krzywej: y=f(x). Znaczenie geometryczne drugiej pochodnej danej funkcyi. Wyznaczenie kształtu krzywej : y—fÇx), Przykłady. Podział krzywych o równaniu: y=f(x). Obrazy funkcyj wykładniczych i logarytmicznych. Obrazy funkcyj goniometrycznych i cyklo-metrycznych. Obrazy funkcyj hiperbolicznych. Różniczka luku danej linii krzywej. Krzywizna i promień krzywizny w danym punkcie krzywej. Ćwiczenia. 623—640

WyMad XLVI. Styczność liuij krzywych z liniami prostemi. Równanie stycznej w danym punkcie krzywej : y=f(x). Równanie normalnej w danym punkcie krzywej'. y=f(x). Długość stycznej i normalnej, podstycznej i podnormalnej. Równania asymptot linii krzywej, danej równaniem: y — f{x). Styczność linii krzywej z linią prostą , w jej punkcie styczności. Styczne osobliwe krzywej : y — f(x). Punkta osobliwe krzywych parabolicznych. Przykłady. Punkta osobliwe krzywych hiperbolicznych. Przykłady. Punkta osobliwe krzywych algebraicznych. Przykłady. Punkta osobliwe krzywych przestępnych. Przykłady. Ćwiczenia. b41—655

Wykład XLVII. Styczność linij krzywych między sobą. Krzywe ściśle styczne. Wyznaczanie krzywych, ściśle stycznych w pewnym punkcie danej krzywej. Przykłady. Koło ściśle styczne w danym punkcie krzywej : y =/(æ). Asymptoty krzywolinijne. Punkta istotnie osobliwe krzywych przestępnych. Punkta kątowe krzywych przestępnych. Punkta krzywych przestępnych, nie posiadające wyraźnej stycznej. Układy krzywych i krzywe obwijające. Przykłady, ćwiczenia. 656—668

669-688

Wykład XLVIII. Fuukcye uwikłane jednej zmiennej niezależnej. Określenie funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Pierwsza pochodna funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Druga pochodna i druga różniczka danej funkcyi uwikłanej. Różniczki i pochodne wyższych rzędów danej funkcyi uwikłanej. Równania różniczkowe danej funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Tworzenie równań różniczkowych. Rozwijanie funkcyj uwikłanych na szeregi potęgowe. Maxima i minima funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej. Maximum i minimum danej funkcyi dwu zmienych, od siebie zależnych. Przykłady. Ćwiczenia.

Wykład XLIX. Krzywe płaskie, jako obrazy funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej. Styczna w punkcie (x, y) krzywej f(x, y) — 0. Styczna, równoległa do danej prostej. Odległość stycznej od punktu początkowego. Normalna w punkcie (cc, y) krzywej: /(cc, y) = 0. Długości linij pomocniczych. Asymptoty krzywej: /(cc, y)=Q. Punkta pojedyncze krzywej: /(*, y) = 0. Krzywe algebraiczne rozmaitych rzędów. Przykłady krzywych algebraicznych drugiego rzędu. Punkta podwójne krzywej: /(cc, y) = 0. Przykłady. Punkta potrójne krzywej :/(cc, y)= 0. Przykłady. Punkta poczwórne krzyw ej :/(cc, y)— 0. Przykłady. Punkta wielokrotne (p-krotne) krzywej : /(cc, y) =0. Ogólne wskazówki przy kreśleniu krzywych, danych równaniem kształtu: / (cc,y)=0. Ćwiczenia. 684—704

705-721

Wykład L. Krzywe algebraiczne drugiego rzędu. Ogólne równanie krzywych algebraicznych drugiego rzędu. Zmiana początku układu i jej wpływ na kształt równania krzywej drugiego rzędu. Środek krzywej drugiego rzędu. Podział krzywych rzędu drugiego, oparty na położeniu środka. Możliwe uproszczenia równania krzywej drugiego rzędu, wywołane zmianą punktu początkowego. Dwie proste, przecinające się, jako szczególny przypadek krzywej środkowej. Zmiana kierunku osi bez zmiany punktu początkowego. Uproszczenie równania krzywej drugiego rzędu, wskutek zmiany kierunków osi. Punkta nieskończenie dalekie krzywej drugiego rzędu. Możliwe uproszczenie równania krzywej drugiego rzędu, wywołane przyjęciem pary kierunków asymptotycznych, jako osi układu. Podział krzywych drugiego rzędu, ze względu na asymptoty. Kierunki sprzężone. Średnice sprzężone w krzywych środkowych rzędu drugiego. Kierunki sprzężone w krzywych bezśrodkowycli. Sprowadzenie równań krzywych rzędu drugiego do możlfwie najprostszych postaci. Przykłady. Krzywe środkowe. Krzywe bez-środkowe. ćwiczenia.

721-735

Wykład LI. Ogólne własności krzywych drugiego rzędu. Bezpośrednie rozważanie ogólnego równania krzywych drugiego rzędu. Krzywe rzędu drugiego , jako przekroje stożkowe. Linia prosta i krzywa rzędu drugiego. Szczegółowe badanie spółczynników s, t, f równania: sr² -f- 2tr -f-/= 0. Przypadek t— 0. Średnice sprzężone. Inwolucya średnic sprzężonych. Przypadek s = 0. Asymptoty krzywych drugiego rzędu. Szczególne położenia asymptot. Przypadek /= 0. Styczne do krzywej drugiego rzędu. Punkta szczególne krzywych drugiego rzędu. Przypadek: t²—sf= 0. Para stycznych, ćwiczenia.

Wykład LII. Dalszy ciąg ogólnych własności krzywych drugiego rzędu. Biegunowa danego punktu (Ę, r)) względem danej krzywej drugiego rzędu. Wykreślanie biegunowej danego punktu. Biegunowa danego punktu jest cięciwą styczności, odpowiadającą temu punktowi. Figury wzajemnie biegunowe. Rząd i klasa krzywych , wzajemnie biegunowych. Krzywa wzajemnie biegunowa danej krzywej drugiego rzędu. Badanie własności krzywych drugiego rzędu , za pomocą metody wzajemnych biegunowych. Ogólne równanie drugiego stopnia, w spół-rzędnych ukośnokątnych. Dyskusya równania drugiego rzędu , odniesionego do układu ukośnokątnego. Uproszczenie równania, danego w spółrzędnych ukośnokątnych. Wyznaczenie osi głównych. Przekształcenie równania drugiego stopnia w spółrzędnych (cc,?/) punktu na równanie w spółrzędnych prostej (u,v). Ćwiczenia. 736—747

748-764

Wykład LIII. Ogniska i kierownice krzywych drugiego rzędu. Krzywe rzędu drugiego, jako miejsca geometryczne punktów, których odległości od danego punktu i od danej prostej pozostają w stałym stosunku. Określenie ogniska i kierownicy danej krzywej rzędu drugiego. Poszukiwanie ogniska i kierownicy w krzywych drugiego rzędu Ogniska i kierownice elipsy. Ogniska i kierownice hiperboli. Ognisko i kierownica paraboli. Konstrukcya stycznych i normalnych do elipsy, przy pomocy jej ognisk. Konstrunkcya stycznych i normalnych do hiperboli, przy pomocy jej ognisk. Konstrukcya stycznych i normalnych do paraboli przy pomocy jej ogniska. Krzywe spółogniskowe. Spółrzędne eliptyczne punktu. Wzory transformacyi spółrzędnych Kartezyusza (x, y) na spółrzędne eliptyczne (X, À'). Równania krzywych drugiego rzędu w spółrzędnych biegunowych , jeżeli biegunem jest ognisko Równania wierzchołkowe krzywych drugiego rzędu. Ćwiczenia

Wykład LIV. Szczególne własności elipsy. Ogólne równanie krzywych środkowych drugiego rzędu. Kształt elipsy. Położenie osi elipsy. Punkta na elipsie, a punkta

Of* 2    /jj 2

zewnątrz i wewnątrz elipsy. Konstrukcya elipsy: “2"ł~p⁼⁼l- Konstrukcya

765-782

elipsy, za pomocą sruny, lub różnicy półosi. Konstrukcya elipsy za pomocą dwu pęków promieni Elipsa i linia prosta. Znaczenie geometryczne różnicy: d = a²wz²~t- b²—n-. Cięciwa elipsy i jej środek. Środki równoległych cięciw. Średnice sprzężone elipsy. Kąt nachylenia dwóch średnic sprzężonych elipsy. Równanie elipsy, odniesione do układu średnic sprzężonych. Konstrukcya elipsy o danej parze średnic sprzężonych. Konstrukcya elipsy, wpisanej w rów-noległobok. Związek między średnicami sprzężonemi, a osiami elipsy. Konstrukcya elipsy, o danych średnicach sprzężonych, zapomocą elipsy o takichźe osiach. Równanie elipsy, odniesionej do równych średnic sprzężonych. Kąt wpisany w półelipsę. Konstrukcya elipsy z danych średnic sprzężonych, za pomocą paska papierowego. Wyznaczenie osi głównych elipsy, gdy dane są jej średnice sprzężone, ćwiczenia. .

783-798

Wykład LV. Dalszy ciąg szczególnych własności elipsy. Styczne i normalne do elipsy. Styczne do elipsy, przechodzące przez punkt (£, rj), zewnątrz niej położony. Styczne do elipsy, równoległe do danej prostej. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do elipsy, są do siebie prostopadłe. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne , wyprowadzone do elipsy, czynią ze sobą kąt wiadomy a. Równanie pary prostych, stycznych do elipsy. Normalne do elipsy, wychodzące z danego punktu. Ogniska elipsy. Kierownice elipsy, jako biegunowe jej ognisk. Ogniska elipsy, jako punkta przecięcia się prostych sprzężonych, do siebie prostopadłych. Ogniska, jako wierzchołki zupełnego czworoboku urojonego , na elipsie opisanego. Twierdzenia, odnoszące się do ognisk elipsy. Elipsa i koło. Wzajemne położenie koła i elipsy. Koło ściśle styczne w danym punkcie elipsy. Ewoluta elipsy. Ćwiczenia.

Wykład LVI. Szczególne własności hiperboli. Kształt hiperboli. Położenie osi hiperboli. Punkta na hiperboli, oraz punkta zewnątrz i wewnątrz hiperboli. Ko'n-a.2 y²

strukcya hiperboli:    = Konstrukcya hiperboli, za pośrednictwem koła

wierzchołkowego. Hiperbola równoboczna. Konstrukcya hiperboli za pomocą

dwu pęków promieni. Hiperbola i linia prosta. Proste, równoległe do jednej z asymptot hiperboli. Znaczenie geometryczne wyrazu: d — b²-\-n²—a²m². Cięciwy hiperboli i icli środki. Średnice sprzężone hrperboli. Kąt nachylenia dwu średnic sprzężonych hiperboli. Równanie hiperboli , odniesione do układu średnic sprzężonych. Związek między średnicami sprzężonemi, a osiami hiperboli. Hiperbole sprzężone. Konstrukcya hiperboli o danych średnicach sprzężonych, za pomocą hiperboli o takichże osiach. Wyznaczenie osi hiperboli z danych średnic sprzężonych. Asymptoty hiperboli. Kąt, zawarty między asymptotami hiperboli. Równanie hiperboli, odniesione do jej asymptot. Ćwiczenia.

799—816

Wykład LVII. Dalszy ciąg szczególnych własności hiperboli. Styczne i normalne do

2    ^i2

hiperboli :—₂ —    — 1. Para stycznych do hiperboli. Miejsce geometryczne

817-833

punktów, z których styczne , wyprowadzone do hiperboli, są do siebie prostopadło. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do hiperboli, zawierają między sobą kąt a. Para stycznych do hiperboli, a do siebie równoległych. Normalne do hiperboli, wychodzące z danego punktu. Ogniska hiperboli. Ogniska hiperboli, jako punkta przecięcia się prostych, sprzężonych, do siebie prostopadłych. Ogniska hiperboli, jako punkta przecięcia się stycznych, wychodzących z punktów kołowych urojonych, położonych w nieskończoności. Twierdzenia, odnoszące się do ognisk hiperboli. Hiperbola i koło. Wzajemne położenie koła i hiperboli. Koło ściśle styczne w danym punkcie hiperboli. Ewoluta hiperboli. Ewoluta hiperboli równobocznej, ćwiczenia.

Wykład LVIII. Szczególne własności paraboli. Ogólne równanie paraboli. Trans-formacya ogólnego równania paraboli. Kształt paraboli. Punkta na paraboli, a punkta zewnątrz paraboli. Konstrukcya paraboli: y² — 2px. Konstrukcya paraboli, za pomocą pęku prostych. Parabola i linia prosta. Znaczenie geometryczne różnicy: df = */—mn. Cięciwy paraboli i ich środki. Równanie paraboli, odniesione do układu kierunków sprzężonych paraboli, z danego punktu paraboli wychodzących. Równanie prostej, łączącej dwa punkta paraboli. Równanie stycznej w punkcie P(x‘, y‘) paraboli: y‘i—2px. Styczne do paraboli, wychodzące z punktu P(?, t)). Para stycznych do paraboli Styczna do paraboli o danym kierunku. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do paraboli, są do siebie prostopadłe. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do paraboli, zawierają dany kąt «. Normalna w danym punkcie paraboli. Normalne do paraboli, wychodzące z danego punktu. Ognisko paraboli. Kierownica paraboli, jako biegunowa jej ogniska. Ognisko paraboli , jako punkt przecięcia się prostych sprzężonych, do siebie prostopadłych. Ognisko paraboli, jako punkt, w którym przecinają się styczne do paraboli, wychodzące z punktów kołowych w nieskończoności. Twierdzenia odnoszące się do ogniska paraboli. Parabola i koło. Wzajemne położenie koła i paraboli. Koło ściśle styczne w danym punkcie paraboli. Ewoluta paraboli.

Para prostych równoległych, jako szczególny przypadek paraboli. Ćwiczenia. 834—855

Wykład JLTX. Równania krzywych stożkowych w spółrzędnych jednorodnych punktu, lub prostej. Spółrzędne trójkątowe punktu. Wykreślenie punktu na podstawie danych spółrzędnych trójkątowych. Spółrzędne Kartezyusza, jako szczególny przypadek spółrzędnych trójkątowych. Punkt jednostkowy danego trójkąta odniesienia. Związek między spółrzędnemi Kartezyusza (a;, y) punktu P, a jego spółrzędnemi trójkątowemi £c1? a?₂, x₃. Spółrzędne trójkątowe i spółrzędne jednorodne punktu. Równanie jednorodne drugiego stopnia w spółrzędnych punktu. Badanie rodzaju krzywej, określonej równaniem jednorodnem drugiego stopnia w spółrzędnych jej punktów. Prosta w nieskończoności. Punkta przecięcia się krzywej f=0 z prostą w nieskończoności. Uwaga. Wyprowadzanie ogólnych własności krzywych drugiego rzędu z ich równań jednorodnych. Biegun i biegunowa. Środek krzywej. Proste styczne. Para stycznych. Para asymptot. Równania jednorodne pojedyńczycli asymptot krzywej drugiego rzędu. Warunek prostopadłości dwu asymptot. Średnice krzywej. Przekształcenie równania krzywej stożkowej na równanie, odniesione do innego trójkąta. Spółrzędne trójkątowe linii prostej. Wykreślenie prostej , danej spółrzędnemi trójkątowemi. Spółrzędne Plückera , jako szczególny przypadek spółrzędnych jednorodnych linii prostej. Prosta jednostkowa danego trójkąta odniesienia. Prosta jednostkowa , jako harmonikalna punktu jednostkowego. Związek między spółrzędnemi Plückera , a spółrzędnemi trójkątowemi danej prostej. Spółrzędne trójkątowe, a spółrzędne jednorodne prostej. Równanie jednorodne krzywej, drugiej klasy. Przekształcenie równania jednorodnego krzywej, danego w spółrzędnych punktu na równanie jednorodne, w spółrzędnych prostej. Dyskusya ogólnego równania krzywych drugiej klasy, ćwiczenia.

856—877

878-899

Wykład LX. Szczególne postacie równań jednorodnych drugiego stopnia w spółrzed-nycli punktu lub prostej. Krzywe drugiego rzędu, opisane na trójkącie odniesienia. Trójkąt, utworzony przez stjmzne w wierzchołkach trójkąta odniesienia. Rodzaj krzywych, opisanych na trójkącie odniesienia. Parabola opisana na trójkącie odniesienia. Hiperbola równoboczna, opisana na trójkącie odniesienia. Koło, opisane na trójkącie odniesienia. Równanie krzywej opisanej na trójkącie odniesienia w spółrzędnych jednorodnych linii prostej. Równanie krzywej rzędu drugiego , wpisanej w trójkąt odniesienia w spółrzędnych jednorodnych punktu. Rodzaj krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia. Parabola wpisana w trójkąt odniesienia. Hiperbola równoboczna, wpisana w trójkąt odniesienia. Koło, wpisane w trójkąt odniesienia. Równanie krzywej stożkowej, wpisanej w trójkąt odniesienia, w spółrzędnych jednorodnych prostej. Twierdzenie Pascala. Twierdzenie Brianchon’a. Twierdzenie Brianchon’a w zastosowaniu do paraboli. Zastosowanie twierdzeń Pascala i Brianchona do hiperboli. Równanie krzywej stożkowej, odniesione do trójkąta, z sobą samym sprzężonego. Kształt krzywej : anx\-\- anx\Ą(- anx\ = 0

9C0-922

Wykład LXI. Krzywe stożkowe, jako utwory jednokreślnych pęków promieni, lub jednokreślnycli szeregów punktów. Ogólne określenie jednokreślności dwu pęków promieni, lub dwu szeregów punktów. Miejsce geometryczne punktów przecięcia się odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych. Obwiednia prostych, łączących odpowiednie punkta dwóch szeregów jednokreślnych. Konstrukcya krzywej drugiego rzędu, przechodzącej przez pięć danych punktów. Konstrukcya krzywej, drugiej klasy, stycznej do pięciu danych prostych. Wyprowadzenie twierdzeń Pascala i Brianchon’a z konstrukcyi krzywych stożkowych, jako utworów jednokreślnych pęków promieni, lub jednokreślnych szeregów punktów. Rodzaj krzywej stożkowej, określonej dwoma danemi pękami jedno-kreślnemi. Znaczenie geometryczne warunku A 0, przy danych dwu pękach jednokreślnych. Rodzaj krzywej, określonej dwoma danemi szeregami jedno-kreślnemi. Znaczenie geometryczne warunku W^_ 0, przy danych dwu szeregach jednokreślnych. Spółrzędne punktu krzywej stożkowej, jako funkcye jednego parametru. Spółrzędne prostej, stycznej do krzywej stożkowej, jako funkcye jednego parametru. Szeregi drugiego stopnia. Wyprowadzenie równania krzywej stożkowej z danego równania szeregu punktów, stopnia drugiego. Pęki drugiego stopnia. Wyprowadzenie równania krzywej stożkowej z danego równania pęku promieni, stopnia drugiego. Ogólne uwagi o warunkach, wyznaczających krzywą stożkową. Warunek, pod którym dwa dane punkta, lub dwie dane proste są względem krzywej stożkowej sprzężone. Ocena warunków, podanych na wyznaczenie krzywej stożkowej. Przykłady. Wyznaczenie ilości krzywych stożkowych, czyniących zadość danym warunkom. Uwaga. Ćwiczenia.

Ważniejsze omyłki drukarskie:

Wykład IL

Wykład III.

d COS a. = (a?! -a*') COS alf+ (x2—x2’) cos «ai4-.

Wykład IV.

— 48 -

podstawie warunku OE. OF—p,

Wykład VI.

— 75

Dx1= a0o4 4- *oßi 4- CoTi^ A •

ćwiczenia VIL

Wykład VIII.

- 106 —

Li =L— JctL‘=0, L2=L—Jc2L/—0, L,=L—Jc,L‘ =0, Li=L—Jc^L'=0,

'A D B

«tg+a^ + gą

koła, przez punkt #0=1 przechodzącej ; przy niepar

Wykład XI.

p = 22? +1.

- 166 -

Wykład XIII.

x—ï+T'lJ

Wykład XIV.

£—«i +M£—1«2)+KI—■«3)=°) &i +MM2)+K}?-y=o)

- 206 -

ćwiczenia XVI.

(U)

36) Dowieść, że równanie płaszczyzny, przesuniętej

Ćwiczenia XIX.

a b c

Wykład XXI.

I nu -j- bv 4 cw -j- d — 0 \a‘u b‘v -|- c‘w y d4 —

Wykład XXII.

czyli w postaci rozwiniętej :

Aa: + By Cz -\- D ’ a? -J- br\ -}- c Ax -|- By Cz

Wykład XXIV.

- 322 —

Ćwiczenia XXV.

Wykład XXVI.

« = °V, 1 • 0 + œÿ, 2 0 + - + ag, i •1 + ••• + °V, « • ag, *

Wykład XXVII.

— 361

Wykład XXVIII.

D— IJnA- 2AX T)n—14"X42 Dn-24" ••• A~^An—2 D2 4- An.

(20)

Wykład XXX.

0, 0, 0,

Wykład XXXI.

Wykład XXXII.

Z wzoru (13) otrzymujemy:

Wykład XXXIII.

449

Wykład XXXV.

= fc(4r2—x2)—2 kx2 = 0,

— 475

rośnie więc ciągle wraz z wzrostem liczby dodatniej

Wykład XXXVII.

y‘ =/'(» • «'(«) • y(\w) • <!»'(*)•

\/(i-x2y

Wykład XXXVIII.

Wykład XXXIX.

l + 21-“ + (21-“)2+(2l «)* + ...,

-j — u^vi 4-(wjv<i -t* 2*2?>i) 4* ••• 4" (2*1^«—14- 2*2^'«—24~ ••• 4~Un—2 v% 4"Mn—1 v\)4- •••

Wyklad XL.

a0 + ttyX -pa2æ2-P xm=(b[) + byX + b2x2-\- ... + brxr) (A0 + AyXĄ- A2x2 +...),

»2 4i=a1(x—1)3 + a2(x—l)2 4 J3(»—1)4- A

y°1+T\ + 2! + -+^! + --

3. Wyprowadzenie szeregów na sina? i cos a?, na mo

O)!

Wykład XMV.

gdzie h = 0, ±1, zk 2...

Przykłady. 1) y= X1 + 1. Mamy tu : y‘ = 2x, ly" =

Wykład XüVl.

Ćwiczenia XLYI.

Ćwiczenia XLVII.

xyi -f- 2xy3 3ajy2 -j- 2y -f- 1=0.

Krzywe płaskie, jako obrazy funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej.

Eównanie więc, wyznaczające położenie stycznych, p

488.). »88) (fig. 489.). 89) Punkt (cc = 0, y — 0)

wpada w oś x-ow, lub o równaniu y2—x2=a2, skoro je

z którego widzimy, że dwie średnice sprzężone będą do siebie prostopadłe, skoro kierunek jednej średnicy będzie tak dobrany, że będzie :

Równanie otrzymane nie posiada wyrazu xy, gdyż pod

Wykład LIII.

P.

Ujemny znak iloczynu tangXtangX', dowodzi, że z dw

+ ii= i

Zważywszy, że w trójkącie FlFiM jest : FlF2^>MF2—

gtg2 q3

Wykład LV1I.

*=('lV/s ^_ = _fAV/3

18. Styczne do paraboli, wychodzące z punktu P(£,7

*=? + -— — ?> y

Z każdego punktu P(aą, x2, x3) na płaszczyźnie krz

«1D «12) «13

Wykład UX.

D{x'i, x\, x‘z), E(x\, x\, x\), F{x“\, x‘“2, x,n2),

— 896

Wykład LiXl.

(Axu4Bxv4 Cj)4Jc(A2u4B2v4- (?2)=0,

AA, y). AA, 2/) _ AA, y)*AA, 2/)

Ważniejsze omyłki drukarskie:

str. 928 — 925 „ 926-928.

A.    Omyłki, dostrzeżone w tekście wykładów

B.    Omyłki, dostrzeżone w tekście ćwiczeń i rozwiązań

r

•s

r; :

)

■

■

:

: •

.

*

*

«

■

I

m

WYKŁADY MATEMATYKI I.

Zasady geometryi analitycznej i analizy wyższej.

Wykład i.

Rozwój pojęcia liczby i przestrzeni.

1.    Matematyka zajmuje się badaniem liczb i postaci geometrycznych. Liczba, w pierwotnem swem znaczeniu liczba całkowita, jest formą, przerwaną, złożoną z oddzielnych jednostek, przedstawiającą się jako wynik liczenia

ż d    5

w postaci : 1 -f-1 -{-1 d⁻ • •    1 = os.

Postać geometryczna jest natomiast formą ciągłą, powstałą z przedmiotów świata zewnętrznego po usunięciu ich treści fizycznej i cechuje się oprócz ciągłości także wymiarowością i wyobrażalnością.

Pod względem wymiarowości wyobrażamy sobie formy bezwymiarowe (punkta), jednowymiarowe (linie), dwuwymiarowe (powierzchnie), [obie ostatnie jako ograniczone lub nieograniczone], wreszcie formy trójwymiarowe ograniczone (bryły) i jedyną wyobraźni naszej dostępną nieograniczoną formę trójwymiarową: przestrzeń, przyczem nazywamy najprostszą formę jednowymiarową linią prostą a najprostszą formę dwuwymiarową płaszczyzną.

2.    Liczba i postać geometryczna są to więc pojęcia zasadniczo różne a ich wspólna cecha polega wyłącznie na tern, że obie powstały za pomocą abstrakcyi z przedmiotów doświadczenia, pierwsza, podając ilość przedmiotów bez względu na ich właściwości, druga, przedstawiając postać przedmiotu, oderwaną od treści.

Liczba jest przedmiotem badań analizy, postać geometryczna jest przedmiotem badań geometryi. Rozwój nauki zjednoczył obie te dziedziny w jedną całość, która dziś stanowi przedmiot matematyki.

3.    Główne metody badań matematycznych sprowadzają się do łączenia poszczególnych form w celu otrzymania nowych form i do uogólniania takowych. Łącząc poszczególne formy w celu otrzymania nowych form, wprowadzamy pojęcie działań matematycznych, uogólniając zaś takowe, rozszerzamy zakres badanych form i wprowadzamy nowe dotąd nieznane.

Z liczby całkowitej wyprowadza nauka tą drogą rozmaite nowe formy liczbowe, a z form elementarnych przestrzeni różne nowe formy geometryczne.

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

4. Działania główne na liczbach, całkowitych a i ó, jako to:

1    2 i.

1)    dodawanie: a+ó=a+l + l + l + . . + 1

12    3

2)    mnożenie: a.&=a+a + a+... + a,

12 3 b

3)    potęgowanie : a =a.a.a....a,

prowadzą znowu do liczb tego samego rodzaj'u i każde z nich daje na wynik tylko jedną z liczb całkowitych szeregu naturalnego : 1, 2, 3, 4, .......

5. Każdą liczbę całkowitą zmożemy zawsze przedstawić jedną systematyczną formą:

x=*an9n + an_ign i+.... + a₂g² + aig+ct0l gdzie g jest liczbą całkowitą większą od 1, zwaną zasadą układu liczb, a spółczynniki an, an_^...a₂₎ ai: a₀ oznaczają liczby mniejsze od g, czyli są cyframi układu <jr-towego. Powszechnie przedstawiamy liczby w układzie dziesiątkowym g= 10, gdzie n. p. #=17846 = 1.10⁴+ 7.10³ + 8.10² 4-4.10 + 6.

6. Zamianę układu ^-towego na dziesiątkowy określa wzór :

N. p. liczba układu siódemkowego æ=(103013)₇ daje liczbę dziesiątkową 17846, gdyż : 1.74-0=7, 7.7+ 3=52, 52.7+ 0 =364, 364.7+1=2549, 2549.7+ 3 = 17846.

Natomiast zamianę układu dziesiątkowego na układ <7-to wy uskutecznia się szeregiem działań następujących :

7 : 7= 1 +

9    9

N. p. 17486 : 7= 2549 + y.

zatem 17486 = (103013)₇.

2549 : 7= 364 +

-8Jj h-¹

i.g»- ¹

n 9 ,    364 : 7= 52 +

An=an<9-

52: 7= 7+

cc e-

7. Gdybyśmy się ograniczyli do działań głównych na liczbach całkowitych, wtedy nauka polegałaby tylko na wyszukiwaniu własności liczb całkowitych, co jest przedmiotem t. z. teoryi liczb, na wyprowadzaniu rozmaitych praw tychże działań i na opartem na nich przekształcaniu wyrażeń ogólnych.

8.    Zasadnicze prawa działań głównych. Jako takie występują :

1)    prawo przemienności (lex commutationis) : a + b = b + a,

2)    prawo łączności (lex assooiationis) : (a + b) + c = a + (b + c),

podobnie przy mnożeniu :    1. ab — ba 2. (ab).c = a.(bc),

a przy połączonych działaniach dodawania i mnożenia :

3)    prawo rozdzielności (lex distributionis) : (a + b)c — ac + bc.

Potęgowanie nie czyni zadość ani prawu przemienności ani prawu łączności, natomiast

podlega prawu rozdzielności w postaci wzorów :

(ab)m— am.bm:

amn= (am)n= (an)m,

(a + è)² = a² + 2aô + 6²,

am + n=am.an,

(<a + b)³ = a³ + 3a%b + 3aó² + b³ i t. d.

9.    Działania odwrotne, wykonywane na liczbach całkowitych, jako to:

1) odejmowanie, określone równaniem: & + #=«, czyli wzorem: x—a— b,

•“p

2) dzielenie, określone równaniem: &.#=«, czyli wzorem:

3)    pierwiastkowanie, określone równaniem : xm—a, czyli wzorem : #= V"a,

4)    logarytmowanie, określone równaniem :bx = a czyli wzorem : #=logfia, prowadzą już, jeżeli mają być zawsze wykonalne, do nowego rodzaju liczb, rozszerzającego zakres liczb całkowitych.

10. Liczby dodatnie i ujemne. Chcąc odejmowanie uczynić działaniem zawsze wykonalnem, wprowadzamy obok pojęcia zera, określonego różnicą a—a —0, pojęcie jednostki ujemnej (—1) i dodatnej ( + 1), odróżniając w następstwie tego liczby całkowite ujemne i liczby całkowite dodatnie :

wobec czego dziedzina liczb przyjmuje postać szeregu:

...—3, — 2, —1, 0, +1, +2, +3, ...

11. Liczby ułamkowe. Chcąc dzielenie uczynić działaniem zawsze wykonalnem, rozszerzamy znowu dziedzinę liczb przez wprowadzenie jednostek ułamkowych o własności b.x= 1, czyli kształtu &=-^, i liczb ułamkowych. kształtu :

a    11

& = ⁺b⁺i⁺-⁺y

wskutek czego powstaje pojęcie liczb wymiernych, obejmujące wszystkie liczby całkowite i ułamkowe, dodatnie i ujemne, przedstawiające się dla

dowolnie przyjętej jednostki ułamkowej — w postaci szeregu:

-, o, +-,    -

yt    yi yi yi

12. Liczby niewymierne. Chcąc wreszcie uczynić wykonalnemi działania pierwiastkowania i loga rytmo wania musimy jeszcze bardziej rozszerzyć pojęcie liczby. Nie wystarczą tu już dla rozwiązania zagadnień takich, jak n. p. #²=2, czyli #=V/2, lub 10a:=2, czyli #=log2, liczby ułamkowe.

Szukana liczba x nie da się w żadnem z obu powyższych zagadnień przedstawić w postaci ułamka, natomiast można zawsze znaleźć przy jakim-

kolwiek mianowniku q, dwa po sobie następujące ułamki ^ i My

takie,

że jeden z nich będzie od szukanej liczby x mniejszym, drugi większym, czyli, że będzie x    •

tH ; w

tych ułamków możemy uczynić dowolnie małą, a liczbę szukaną x moglibyśmy przedstawić pod postacią ułamka n. p. dziesiętnego, tylko przy nieograniczenie wielu miejscach dziesiętnych.

Tak n. p. znajdziemy z dokładnością sześciu miejsc dziesiętnych :

VT=1-414213...., zaś log₁₀2=0301030...

13. Liczby nowego rodzaju, do których wprowadzenia zmuszają nas pierwiastkowanie i logarytmowanie, należą do dziedziny liczb, które nazywamy liczbami niewymiernemi.

Nie zawierają one żadnej jednostki ułamkowej całkowitą ilość razy, a przedstawiając je w formie systematycznej , dochodzimy do rozwinięcia nieskończonego :    •

Różnicę

-4 + —f-.9¹    9²

n. p. Y/2 =l+~ +

«3

k d⁻ ...+

⁽JZ

J---L

' 10® *

rH

,    •    • n

— 4- ... m ml.

(f

⁺ i0⁵⁺10⁶⁺

. bez końca.

14. Liczby rzeczywiste.

Przez wprowadzenie liczb niewymiernych

różnego rodzaju (pierwiastki i logarytmy są tylko szczególnymi przypadkami liczb niewymiernych) nikną przerwy pomiędzy poszczególnemi liczbami a powstaje pojęcie continuum liczb rzeczywistych, obejmujące wszystkie liczby dodatnie i ujemne, całkowite i ułamkowe, wymierne i niewymierne.

Tym sposobem wprowadzonem zostało do pojęcia liczby pojęcie ciągłości, jaką się odznacza forma przestrzenna jednowymiarowa. Możemy też liczby rzeczywiste sprzęgnąć z punktami linii prostej. W tym celu przyjmujemy na nieograniczonej prostej X'X (fig. 1.) pewien punkt stały 0, obieramy pewną długość Ol za jednostkę i odcinamy długość OP, odpowia-

Fig. 1.

—1

dającą danej liczbie x, po jednej stronie dla liczb dodatnich, po drugiej dla ujemnych, natenczas każdej liczbie x odpowiadać będzie pewien punkt P, a nawzajem każdemu punktowi P pewna liczba rzeczywista. Ilość liczb rzeczywistych jest więc taką samą, jak ilość punktów na prostej, a tę ilość oznaczamy znakiem oo.

15.    Bezwzględna wartość liczby. Wartość liczby x bez względu na jej znak nazywamy bezwzględną wartością liczby; przedstawia się ona obrazowo jako odległość punktu, danej liczbie odpowiadającego, od punktu początkowego O i oznacza znakiem: |P. Tak n. p. | —2| = 2.

16.    Prawidła działań odwrotnych. Na podstawie zasadniczych prawideł, dotyczących działań głównych na liczbach całkowitych, wyprowadza analiza w teoryi działań odpowiednie prawa dla działań odwrotnych, na liczbach całkowitych wykonać się mających, i stosuje też odpowiednio te prawidła do działań na liczbach rozszerzonego zakresu.

17. W szczególności występuje odejmowanie pewnej liczby (-f- b\ jako dodawanie liczby przeciwnej (—b) :

a—(-j- b) — a-\- (—b) = a—b,

a—(—b) = a -f- (+ b) = a + b, dzielenie przez pewną liczbę b, jako mnożenie przez liczbę odwrotną

a:b = a.

7—i    r*0

a : — = a.—

pierwiastkowanie przy pewnym wykładniku m jako potęgowanie o wykładniku odwro-1

tnym — :

J m

a z prawideł działań potęgami wynikają odpowiednie prawidła działań logarytmami, jak:

iog (y)= loS «—!og b,

y a—a ,

log (ab) = log a + log b,

log (am) = m log a.

Tym sposobem sprowadzają się prawidła działań odwrotnych do prawideł działań

głównych.

18. Prawidła działań liczbami rzeczywistemi. Z działań na liczbach rozszerzonego zakresu zasługują na uwagę następujące wzory :

1) dla zera :

a) a -j- 0 == a, 0 -f- 0 = 0, y) a.0 = O.a = 0, 0.0 = 0,

a°= 1, a — a° — a°,

ß)a—0 = 0, 0—a=—a, 0—0 = 0,

s> 0=CO

— = 0,

CO

s) 0”=0,

b    an — bm

P)

2) dla liczb ujemnych :

«) ö +    (-«) + (-&)—(a+ 6), ß) (+1).(-1)=-1, (-1).(-1) = + 1,

T) (-l)2n = +l, (-1)2»+1 = -1,

5)

«)

¹ -r 1 a

3) dla liczb ułamkowych: a-\-b

ar'

b an Ą- bm

mn

mn

i)

ac

mn

bd ’

*)

tH

ad

n m ’ b ' d bc "

«)

(t)’-

am

/ a \ — m / 6 \m bm

\ b I    \ a I    Q™

bm ’

Jako symbole nieoznaczone, mogące przedstawiać każdą liczbę, występują: 1) różnica co — co,    2) iloczyny : oo . 0 i 0. co ,

3) ilorazy:    i 4) potęgi: 0°, oo°, l⁰⁰.

o |o

19.    Liczby urojone. Chcąc uznać wszystkie działania w zakresie liczb rzeczywistych jako wykonalne, nie możemy pojęcia liczby ograniczać do pojęcia continuum liczb rzeczywistych, lecz musimy je jeszcze bardziej rozszerzyć. Przedewszystkiem występuje liczba \/—I, jako nowa liczba, której nie ma w zakresie liczb rzeczywistych, a z nią liczby kształtu m\/~i, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Liczbę \/—Ï oznaczamy literą i i nazywamy jednostką urojoną; jest ona związaną z jednostką ujemną —1 za pomocą wzoru i²= — 1. Liczby kształtu m\/—I, nazywamy liczbami urojonemi, a liczby złożone z obu jednostek rzeczywistej 1 i urojonej i w postaci a-\-bi: gdzie a i b są dowolne liczby rzeczywiste, nazywamy liczbami zespolonemi.

20.    Przez wprowadzenie liczb zespolonych a-\-bi wprowadzonem zostało do analizy pojęcie wymiar o wo ś c i. Możemy bowiem liczby zespolone

X-

-X

Fig. 2.

na płaszczy-

a tę ilosc oznaczamy znakiem oo², jeżeli znak oo przedstawia ilość punktów na prostej.

21. Liczbę bezwzględną r, przedstawiającą odległość punktu P, odpowiadającego danej liczbie zespolonej a+bi, od punktu zerowego O,

sprzęgnąć z punktami płaszczyzny. W tym celu przyjmujemy na płaszczyźnie dwie proste do siebie prostopadłe XX¹ i YY‘ (fig. 2.), przecinające się w punkcie 0, który przyjmujemy za punkt zerowy. Na prostej X'X odcinamy OM=a, w kierunku 0X przy dodatniem a w kierunku OX‘ przy ujemnem a. Na prostej MP, prostopadłej do osi XX‘i odcinamy MP=b, w kierunku OY przy dodatniem &, a w kierunku 0Y‘ przy ujemnem 6; tym sposobem otrzymujemy punkt P, który możemy uważać jako obraz liczby zespolonej a-\-bi. Każdej liczbie zespolonej a-\-bi odpowiadać będzie pewien punkt P na płaszczyźnie i nawzajem każdemu punktowi P pewna liczba zespolona. Liczb kształtu a-\-bi jest tyle, ile jest punktów źnie

nazywamy

bezwzględną wartością liczby zespolonej aĄ-bi, i onaczamy znakiem:

\a-\-bi\. Mamy tedy: \ a-\-bi\=r—\/a2jrb².

22. Prawidła działań na liczbach zespolonych a-\-bi wynikają wprost z zastosowania podobnych prawideł, dotyczących liczb rzeczywistych, a wyniki tych działań są zawsze liczbami zawartemi w obszarze liczb zespolonych.

W szczególności znamy z elementarnej algebry wzory :

(a 4. bi) + (c + di)={a + c) + (b + d)i,

(a -f- bi) — (c Ą-di) — (a — c) Ą-(b — d) »,

(a bi) (c 4- di) — (ac - bd) -{- (ad 4- bc) »,

a -j- bi ac-\-bd , bc— ad c + dic² 4" d² + c² 4- d*

(a 4- biy = (a*-b*) + 2abi, (a + &»)³ = (a³-3a&²)+ (3a²ô-ô³)», i t. d.

23.    Zagadnienia algebry, w najogólniejszej swej postaci, dotyczą wyszukiwania liczb niewiadomych, któreby w połączeniu z pewnemi liczbami wiadome mi, rzeczywistemi lub zespolonemi, czyniły zadość danym warunkom, określonym równaniami.

Równania wszelkie dzielimy na algebraiczne i przestępne. Równanie nazywamy algebraicznem, jeżeli wchodzą w nie wyłącznie działania algebraiczne, do których zaliczamy dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie, jako też potęgowanie i pierwiastkowanie przy wymiernych wykładnikach, zaś przestępnem, jeżeli w nie wchodzą potęgowanie i pierwiastkowanie przy wykładnikach niewymiernych, logarytmowanie lub też działania algebraiczne w nieskończonej ilości wykonać się mające. Równania algebraiczne dzielimy wedle stopni, nazywając stopniem równania największą sumę wykładników przy niewiadomych w poszczególnych wyrazach występującą. W równaniu: an xn -\-an_y xn~¹4-...4~ <h xiJr aix 4* «o> w którem an , an_v ... a₁,a₀ są dane liczby rzeczywiste lub zespolone, mamy najogólniejszą postać równania ns° stopnia o jednej niewiadomej x.

Rozwiązywanie równań nie zmusza nas do dalszego rozszerzenia zakresu liczb, gdyż wartości niewiadomych czyli pierwiastki równań znachodzą się zawsze w zakresie liczb rzeczywistych lub zespolonych. Równanie neo stopnia o jednej niewiadomej ma wogóle n pierwiastków, należących do tego zakresu. Każdy M-ty pierwiastek z jakiejkolwiek liczby okazuje się «-wartościowym, ale wszystkie te wartości są liczbami rzecz}⁷wistemi lub zespolonemi. Ze stanowiska algebry nie czujemy więc potrzeby dalszego rozszerzania zakresu liczb ani dalszego uogólniania pojęcia liczby po nad liczby zespolone kształtu : a -\-bi.

24.    Liczby nadurojone. Pragnąc uogólnić pojęcie liczby, a nie mogąc się już oprzeć o działania na liczbach rzeczywistych i zespolonych, zwracamy się do form przestrzennych. Za podstawę do rozszerzenia pojęcia liczby posłuży nam uogólnienie sposobu sprzęgania punktów linii prostej z liczbami rzeczywistemi a punktów płaszczyzny z liczbami zespolonemi. Pragniemy sprzęgnąć liczbę z punktami przestrzeni tak, aby każdej liczbie nowej dziedziny odpowiadał pewien punkt przestrzeni, i nawzajem każdemu punktowi przestrzeni pewna liczba tejże dziedziny.

25.    Podczas gdy na płaszczyźnie możemy przez każdy punkt O przeprowadzić dwie proste do siebie prostopadłe, możemy w przestrzeni przez każdy punkt 0 przeprowadzić trzy proste do siebie prostopadłe. Przyjąwszy mianowicie w punkcie 0 dowolnie dwie proste 0X i OK do siebie prostopadłe, możemy zawsze przez tenże punkt 0 przeprowadzić trzecią prostą OZ prostopadłą do obu. Niech będą więc OX, OY, OZ, trzy osie do siebie prostopadłe, wychodzące z punktu zerowego 0. Nazwijmy jednostkę długości odciętą w kierunku osi OX jednostką rzeczywistą albo pierwszorzędną 1, jednostkę w kierunku osi O Y jednostką urojoną albo drugorzędną i, a jednostkę w kierunku osi OZ jednostką nadurojoną albo trzeciorzędną j, natenczas otrzymamy liczbę zespoloną trój jednostkową: a + bi + cj, gdzie liczby a, b, c, mogą być jakiemikolwiek liczbami rzeczywistemi. Takiej liczbie zespolonej trój jednostkowej odpowiadać będzie tylko jeden punkt przestrzeni, który otrzymamy w sposób następujący. Z punktu zerowego 0

(fig. 3.) odcinamy 0M=a w kierunku osi 0X

Fig. 3.

przy dodatniej liczbie a, a w przeciwnym przy ujemnej, następnie odcinamy podobnie w kierunku osi OY długość MN=b, a wreszcie w kierunku osi OZ długość NP—c. Tym sposobem otrzymujemy punkt P, który będzie obrazem liczby zespolonej a-\-bi-\-cj. Każdej liczbie zespolonej z dziedziny a + bi + cj odpowiada więc pewien punkt P w przestrzeni trójwymiarowej, a nawzajem każdemu punktowi P przestrzeni odpowiada pewna liczba tej dziedziny. Liczb zespolonych kształtu a\bi\cj jest więc tyle, ile jest punktów w przestrzeni trójwymiarowej , a tę ilość oznaczamy znakiem oo³, jeżeli jak powyżej, znak go przedstawia ilość liczb rzeczywistych, czyli ilość punktów na prostej. Liczbę bezwzględną r, przedstawiającą odległość punktu P, odpowiadającego danej liczbie a-\- bi-Ą-cj, od punktu zerowego 0 nazywamy też bezwzględną wartością liczby zespolonej trój jednostkowej a+bi + cj, w obec czego mamy :

\a-\-bi + cj\ — 0P= V'ON² -f NP^—V a² -b ô² + c².

26.    Przestrzenie niewyobrażalne. Doszedłszy raz do pojęcia liczby trój-jednostkowej nie widzimy potrzeby ograniczenia się na tejże dziedzinie liczb, lecz przeciwnie możemy utworzyć analogicznie dziedzinę liczb zespolonych czterojednostkowych, pięciojednostkowych, w ogóle ^-jednostkowych. Liczbom tych dziedzin braknie już punktów w naszej przestrzeni, czyli braknie geometrycznej wyobrażalności.

Odrzuciwszy wyobrażalność jako konieczną cechę form przestrzennych możemy na podstawie własności przestrzeni jedno-, dwu- i trzywymiarowej uogólnić stosownie pojęcie przestrzeni i określić przestrzenie niewyobrażalne: czterowymiarową , pięciowymiarową , wogóle w-wymiarową.

27.    Polegając na tern, że w przestrzeni dwuwymiarowej istnieją zawsze

dwa wzajemnie prostopadłe kierunki, a przestrzeń wyobraźni naszej dostępna , przestrzeń trójwymiarowa, posiada trzy wzajemnie prostopadłe kierunki, określimy przestrzeń czterowymiarową, wyobraźni naszej już niedostępną , jako przestrzeń, w której z każdego

Fig. 4.

strzeni trójwymiarowej

-x z jej punktów wyprowadzić się dają cztery kierunki wzajemnie do siebie prostopadłe. Trzy takie kierunki 0X, OY, OZ (fig. 4.) są naszej wyobraźni dostępne, czwarty OU określony jako prostopadły do tych trzech kierunków, a zarazem prostopadły do całej prze-usuwa się z pod naszej wyobraźni. Jeżeli teraz

jednostkę długości, odciętą w kierunku osi pierwszorzędnej OX, przyjmiemy jako jednostkę rzeczywistą 1, jednostkę długości w kierunku osi drugorzędnej OY jako jednostkę urojoną i, jednostkę długości w kierunku osi trzeciorzędnej OZ jako jednostkę nadurojoną trzeciorzędną y, w kierunku osi czwartorzędnej niewyobrażalnej OU jako jednostkę nadurojoną czwartorzędną Je, natenczas dochodzimy do pojęcia liczby zespolonej t er o j e d no s t k o w e j : a-\-bi-\-cjĄ-dk, gdzie znaki i, y, k, przedstawiają cztery roznorodne jednostki, a liczby a, b, c, d są liczbami rzeczywistemi. Takiej liczbie zespolonej czterojednostkowej odpowiada tylko jeden punkt P przestrzeni czterowymiarowej , który otrzymamy, kreśląc OM=a w kierunku osi 0X: następnie MN—b w kierunku osi OY, wreszcie NQ = c w kierunku osi OZ, a w końcu QP=d w kierunku osi OÜ. Liczb zespolonych kształtu a-\-bi-\-cj-\-dJc będzie więc tyle, ile punktów w przestrzeni czterowymiarowej, a tę ilość oznaczymy analogicznie znakiem go⁴. Bezwzględna wartość liczby aĄ-biĄ-cjĄ-dk, cechująca odległość punktu P od punktu zerowego 0 przedstawi się analogicznie wzorem j a + bi + cj {-dk | = Va²-\-b²-\- c²-\-d².

wreszcie jednostkę długości

Liczby zespolone czterojednostkowe nazywają się także kwaternionami.

28.    Przyjmując teraz »-jednostek różnorodnych Ei, e₂, ... en , dochodzimy

do pojęcia liczby zespolonej »-jednostkowej kształtu : x=aisi -j-a?e₂ + ••• ...+    z którą sprzęgnąć możemy punkta przestrzeni w-wymiarowej , dla

w !> 3, niewyobrażalnej , określając tę przestrzeń jako taką, w której z każdego punktu 0 wychodzi »-kierunków OXi, 0X₂, ..., OXn wzajemnie do siebie prostopadłych. Odcinając mianowicie w kierunku OXi długość a1? następnie w kierunku OX₂ długość a₂, i t. d., a w końcu w kierunku 0Xn długość an, dochodzimy do punktu P przestrzeni w-wymiarowej , który będzie odpowiadał liczbie zespolonej »-jednostkowej: aiE^ +a₂e₂ -f... + «„£» ; w ten sposób każdej liczbie zespolonej dziedziny alEi +«₂£₂ +... + «„ £n odpowiada jeden punkt P przestrzeni »-wymiarowej i nawzajem każdemu punktowi P przestrzeni »-wymiarowej odpowiada jedna liczba zespolona dziedziny aiEi -\-a₂E₂ + .... + an£n.

Uwzględniając, że każda z liczb rzeczywistych al7 a₂, ..., an może przyjmować go wartości powiemy, że mamy go” liczb zespolonych »-jednostkowych i co” punktów w przestrzeni »-wymiarowej. Odległość punktu P od punktu zerowego 0, t. j. długość odcinka 0P, stanowi bezwzględną wartość liczby axEx -f a₂£₂    sn. Mamy więc:

|«iL + a2f2 + - + a« £n\~0P=r=V'ai 2j-a₂ ²    + an²-

29.    Teorya działań liczbami zespolonemi wielojednostkowemi musi się oprzeć o zasadnicze prawidła wykryte na liczbach całkowitych, a obowiązujące wszystkie formy liczbowe. W szczególności działania główne na liczbach zespolonych wykonane, winne prowadzić zawsze do liczb tego samego rodzaju. Z tej zasady wychodząc, wysnuwa się zwykle możliwe związki między jednostkami nadurojonemi, jakoteż zastrzeżenia pod względem stosowalności praw zasadniczych do działań liczbami nadurojonemi pewnego rodzaju.

30.    Formy liczbowe i punkta przestrzeni. Liczby i postacie geometryczne, dwie na pozór odrębne dziedziny, zostały więc, jak widzimy, z rozwojem nauki zjednoczone w jedną całość. Liczby nabrały przez wprowadzenie liczb niewymiernych cechy ciągłości, a przez wprowadzenie liczb zespolonych cechy wymiarowości, która została rozszerzoną po za wymiarowość wyobrażalną.

W obu dziedzinach posiadamy formy wzajemnie sobie odpowiadające i to tak formy przerwane jakoteż formy ciągłe w ilukolwiek wymiarach, jak

n. p. zbiór oddzielnych punktów i układ liczb odpowiednich, odcinek prostej i odpowiednie continuum liczb rzeczywistych, część płaszczyzny i odpowiednie continuum liczb zespolonych dwujednostkowych i t. d.

Tym sposobem stworzoną została możność badania form liczbowych przy pomocy form geometrycznych i nawzajem

żytkowania postępu nauki w jednej dziedzinie na korzyść drugiej.

a zarazem

możliwość spo-

ćwiczenia I.

1)    Przedstawić liczbę układu siódemkowego (2341)₇ w postaci liczby dziesiątkowej.

2)    Przedstawić liczbę 1348 w postaci liczby układu ósemkowego.

Następujące wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci:

3)    O + ó) (x + y) + (b-+ c) (y + s) + (c + a) 0 + x)—(a + b + c) {x + y + z).

4)    (« -j-+ c)²—u(b -f- c—a)—b(c -j- a—b)—cia -{- b—c).

5)    (*—y) (* + y—z) + (jf—z) (y + *—*) + (*—*) (z + x—y).

6)    2(a² + ó²) (a + &)²—(a²—ft²)²!

7)    V« {V*—V. [Ve-Vv (Vs—V. (Vio—Vu))]}.

8)    (i/₂ a + V₄ *+ Vs®) (V* «— V* 6 + VsO. Ł g(i—y)

x+y

9)

14

10)

x + 1 (iC-pl)²—Æ2 £C²-|-^ P 1

H)

(a?²—x +1) (x³—1)

ad + a:² +1

1-Z1 f S

Z J ' 1-1 -j- s

i2> 14,

15) (a⁵—a⁷—l) {a^ + a⁷+ l) (a—a’¹+ l).

t?j. ₁₃) ++f: (\++

14)

V/12

(l+V/2 XY/6—V/8)

16)

V/a?

Vy

Y/a;+Y/y

Y/* — Y/y 7—267

14-² , l-²

1 + 2» ^ 1—27'

0-3068 X 0-015 0-0579

20) (2 -j- 37) (2—6») (3 + 27).

Rozwiązać następujące równania: —1    a;—3    x—2    a;—4

a;—2    x—4    x—3    x—h'

17)

18)

19)

2 + 367

6 + 87 ^ 3—47 '

21)?

22) 0-68(0-32a:—0-5) +

1-368

= 3-694a\

23)    V\/x + \/a + V/’\/x —\/a — \/2\/x + 2\/b

24) *>+l-.*(^ + v|). 25)V/ï+\/

27) a;²—(8—27) x — 387—31.

x—1 =

21

26) (

a² + ax + x"¹

a³—ax + a;²

)*-!

a + 2a; — 2a;

Vx-Ï

28) (9*)*—2(3a)x. 3'T+1 = 3²*⁺³.

Przedstawić geometrycznie następujące liczby zespolone i wyznaczyć ich bezwzględne wartości •

29) 3 + 47,    30) V₂ + V₃ 7,    31) 1 -7.    32) - % + 7 »/, Y/ 3.

Wyznaczyć bezwzględne wartości następujących liczb nadurojonych :

33) 1 + 27 + 2;,    34)    1—7\/2~+j,    35) 1 + 27 + 3;+4*.

12—371.13 + 471 16 + 471.115—87|

38) \/—7 + 247 = a;+ i/7, wyznaczyć x i y.

36)

=?

37) V\-%+ %.'!=?

39) Dowieść, że bezwzględna wartość sumy liczb zespolonych jest mniejszą a co najwyżej równą sumie bezwzględnych wartości tych liczb :

|(o + W) + (c+Ä):<|a + W|+|c+Ä|.

40) Dowieść, że bezwzględna wartość iloczynu liczb zespolonych jest równa iloczynowi bezwzględnych wartości tychże liczb :

I(a + bi) (c + (77)| = |a + bi |. | c + di |.

Dowieść następujących tożsamości:

41)    (a² + 6²) (a'² + ó'²) = (aa'—óó')² + (aô' + a'ó)²,

= (aa' + bb¹)² -j- (ab¹ — a'&)².

42)    (a² — ó²) (a'² — 6'²) === (aa' +óó')² — (aô‘ -j- a'ó)²,

= (aa' — i&')²— (a&' — a'ó)².

43)    (a² + &²+ c²) (a'² + ó'² + c²)—(aa' + bb‘ -j- cc')² = (aó'—a'i)² + (ic'—i'c)² -j- (ca'—c'a)².

44)    (a² + aó + ó²) (a² — aó + ó²) = a⁴ + a²ó² + &⁴.

45)    (a—i) (i—c) (c—a) = a² (c—i) + i² (a—c) -J- c² (i—a),

= a (i²—c²) + b (c²—a²) 4- c(a²—i²),

= óc (c—i) ca (a—c) -p ab (b—a),

= ic²—i²c -J- ca²—c²a + ai²—a²i.

46)    (a-\-b)(b + c) (c -J- a) = a²(i + c) + ó²(c + a) + c²(a + b) + 2a&c,

= ai(a + ó) + ic(i + c) + ca (c -f- a) -(- 2a ic,

= ai² + a²i + ic² + b²c + ca² + c²a + 2 abc.

47)    (a + ó + c) (—a + & + c)(a—b 4- c)(a + 5—c) = 2(a²&² + i² c² + c²a²)—(a⁴ 4- i⁴ -j- c⁴).

48)    (—a 4- i 4“ c)(a—b + c)(a + b—c)==a²(i + c) + 6²(c + a) + c2(a 4" &)—a²—i²—c²—2aic.

49)    (-a4-&4-c)³+ (a—i4-c)³4-(a4-i-c)³=(a4-&4-c)³—24aic.

50)    [(2a—6—c)4~*(i—c)Y/3 ]² = [(2Z>—c—a) + *(c—a)\/3 ]².

51)    Dowieść, że ilość liczb pierwszych (podzielnych tylko przez 1 i siebie samych) jest nieograniczona.

52)    Liczbę 45738 rozłożyć na czynniki pierwsze.

53)    Znaleźć wspólny podzielnik liczb 54643 i 91319.

54)    Dowieść , że najmniejsza wspólna wielokrotność dwu liczb całkowitych jest ilorazem z iloczynu tychże liczb przez ich największy wspólny podzielnik.

Rozwiązania I. 1) 862.    2) (2504)g.    3) ax -\~by cz. 4) 2(a² + ó² + c²).    5) 0.

L b^~ c²4-    ac. 9) y. 10) 1. 11) a:—1. 12) l/(2z²-l). 13) 1.

6) (a 4- fc)⁴. 7)

30521

001 I—■

. 8)

a²--

16

14) 2. 15) a² 4-a 4-1. 16) (x + y)/(x-y). 17) 0-007948. 18) 6/5. 19) 8. 20) 65 4-26*. 21) 7/2. 22) -1-455. 23) a4-6. 24)^-,    25) 16. 26) 0,±*V/<T. 27) 7 + 4*, 1—6*. 28) 2, -1. 29) 5.

30)-^Vl8. 31) V/2, 32) 1. 33) 3. 34) 2. 35) \/ÖÖ. 36)    37)    38) ±3, ±4. 52) 2.3³.7.11².

53) 53.

415800

Literatura. S. Dickstein. Pojęcia i metody matematyki, Warszawa 1891. P. Dzi-wiński. Zasady algebry, wyd. II. Lwów 1898. J. Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Rozdział L, II. i III. Lwów 1898. K. Hertz. Pierwsze zasady kwaternionów Hamiltona, Warszawa 1887. P. Dziwiński. Liczby kierunkowe, Jarosław 1882. W. Żmurko. Wykład matematyki. Lwów, 1864. G. Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig 1883. H. Grassmann. Ausdehnungslehre, Leipzig 1878. H. Sch eff 1er. Der Situ-ationscalcul. Braunschweig 1861. Veronese. Grundzüge der Geometrie v. mehreren Dimensionen. Leipzig 1894. Hankel, Theorie der complezen Zahlensysteme, 1867.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Rozwijanie liczb wedle potęg dowolnej zasady.

2.    Teorya działań liczbami zespolonemi trójjednostkowemi.

3.    Elementarne zasady geometryi czterowymiarowej.

Wykład IL

Spółrzędne punktu.

1.    Położenie punktu w przestrzeni o ilukolwiek wymiarach znajduje dokładny wyraz w pojęciu liczby zespolonej o odpowiedniej ilości różnorodnych jednostek. Możnaby zatem prowadząc badania nad liczbami zespolo-nemi w-jednostkowemi, z praw zdobytych na tle tych badań bezpośrednio odczytywać odpowiedne prawa na tle związków geometrycznych, zachodzących w przestrzeni w-wymiarowej.

2.    Geoinetrya analityczna, której przedmiotem jest badanie form geometrycznych za pomocą analizy, nie opiera się jednak na pojęciu liczb zespolonych. Jako środek badania służy tu zamiast jednej liczby zespolonej w-jednostkowej, cechującej położenie punktu w przestrzeni n-wymiarowej, układ w-liczb rzeczywistych, które równie dokładnie wyznaczają położenie tego punktu. Takie liczby rzeczywiste, wyznaczające dokładnie położenie punktu w przestrzeni, nazywamy spółrzędnemi punktu.

3.    Położenie punktu na prostej X'X (fig. 5.), jako przestrzeni jednowymiarowej , cechuje się jedną tylko spółrzędną x, przedstawiającą odległość tegoż punktu od pewnego na tej prostej obranego punktu początkowego O.

Fig. 5.

4. Od wartości spółrzędnej x=OP zależy położenie punktu P. Zachodzić tu mogą trzy przypadki: 1° x=0, 2° x jest liczbą dodatną, 3° x jest liczbą ujemną. W pierwszym przypadku będzie odcinek OP—0, punkt P wpada wówczas w punkt 0, a więc spółrzędną æ=0 cechuje sam punkt odniesienia, punkt początkowy 0. W drugim przypadku będzie odcinek OP przedstawiał liczbę dodatną, punkt P znajduje się wówczas n. p. po prawej stronie punktu 0, a więc dodatne wartości spółrzędnej X cechują punkta na tej części prostej, która znajduje się po prawej stronie punktu początkowego 0. W trzecim wypadku, gdy odcinek OP przedstawia liczbę ujemną, punkt P znajduje się po przeciwnej czyli po lewej stronie punktu 0, a więc ujemne wartości spółrzędnej x cechują punkta na tej części prostej, która znajduje się po lewej stronie punktu początkowego 0 (fig. 6.).

Fig. 6.

—x

+x

- 12 —

4. Położenie punktu na płaszczyźnie, jako przestrzeni dwuwymiarowej, cechuje się dwiema spółrzędnemi. Obierzmy mianowicie na płaszczyźnie

zaś OP" = P'P=y, nazywając x odciętą a y rzędną punktu P. Każdemu punktowi P płaszczyzny odpowiada jedna para spółrzędnych x: y, a nawzajem, każdej

dwie proste XX' i YY' (fig. 7) wzajemnie prostopadłe, przecinające się w punkcie początkowym O, i wyznaczmy prostopadłe odległości danego punktu P od obu osi, natenczas odległości , wzięte z odpowiednimi znakami, mogą być uważane za spółrzędne punktu P. Spółrzędne te nazywamy spółrzędnemi pro-stokątnemi punktu P i oznaczamy OP'=P 'P—x

Fig. 7.

parze liczb rzeczywistych x: y, jeden punkt P płaszczyzny. Co się tyczy prawidła znaków przy spółrzędnych x i y, przyjmujemy x jako dodatnie, gdy przedstawia odległość OP' mierzoną w kierunku OX, jako ujemne zaś, gdy przedstawia odległość OP' mierzoną w kierunku przeciwnym do OX, t. j. w kierunku OX'. Podobnie uważamy y jako dodatnie, gdy przedstawia odległość OP" mierzoną w kierunku O Y a jako ujemne, gdy przedstawia tę odległość OP" mierzoną w kierunku przeciwnym do 07 t. j. w kierunku OY'.

Obie osie spółrzędne XX i YY dzielą całą płaszczyznę na cztery ćwiartki I., II., III., IV., będą miały wobec powyższej umowy kolejno następujące znaki: w I. + +,

w II.--[-, w III.--, w IV. -j--. Punkta na osiach będą miały jedną

spółrzędną równą zeru, a tylko drugą różną od zera i to punkta na osi XX' będą miały y = 0, a x dodatnie, gdy leżą na 0X', zaś ujemne gdy leżą na 0X', podobnie punkta na osi YY' mają x—0, a y dodatnie na OY, zaś ujemne na OY', natomiast punkt początkowy O będzie miał spółrzędne x=0, y=0.

5. Rzut punktu na oś. Spółrzędnym x, y, punktu P na płaszczyźnie, określonym jako liczby przedstawiające odległości tegoż punktu od osi

układu, możemy nadać jeszcze inne znaczenie geometryczne, a to wprowadzając zamiast pojęcia odległości , pojęcie rzutu.

Rzutem punktu P na oś X'X nazywamy punkt P', w którym prosta, przeprowadzona przez tenże punkt prostopadle do osi X'X, przecina tę oś, zwaną w tym razie osią rzutów. Rzutem odcinka AB na oś X'X (fig. 8.) nazywamy odcinek A'B‘, zawarty między rzutami krańcowych punktów jego.

Między odcinkiem l = AB, a jego rzutem l' = A'B', na dowolną oś rzutową X'X zachodzi bardzo prosty związek. Oznaczmy przez a, kąt zawarty między kierunkiem odcinka AB a dodatnim kierunkiem osi rzutowej, natenczas kreśląc ACjjX'X, otrzymamy

spółrzędne x, y, punktów poszczególnych ćwiartek

Fig. 8.

x-

■x

Fig. 9.

13 -

a, czyli AC=AB. cos a:

AC

cos

trójkąt prostokątny ACH, w którym będzie -j-g

a że AC=A/B‘ = l‘i zaś AB=l: przeto otrzymamy wzór : l‘=l cosa. To znaczy: Rzut odcinka na oś jest równy długości tegoż odcinka, pomnożonej przez cos kąta zawartego między tym odcinkiem a dodatnim kierunkiem tejże osi.

Twierdzenie utrzymuje się także w tym razie, gdy odcinek AB=l i oś rzutowa X'X nie leżą na jednej płaszczyźnie a kierunki ich tworzą kąt a (fig. 9). Niech będą bowiem A.' i B' rzutami punktów A i B na oś X'X, które otrzymamy także, przeprowadzając przez punkta A i B płaszczyzny prostopadłe do osi X X. Wykreślmy więc przez A prostą równoległą do osi X‘X: to prosta ta przetnie płaszczyznę rzucającą punkt B w punkcie G¹, przyczem będzie AC= A'B'^=l‘: a trójkąt ACB będzie przy C prostokątnym, będzie zatem i tu £'=Zcosa, wzór, który możemy stosować do rzutu odcinka na oś w jakiejkolwiek przestrzeni.

6.    Rzut punktu na płaszczyznę jest punktem, w którym prosta, przeprowadzona przez dany punkt prostopadle do płaszczyzny, przebija tę płaszczyznę. Rzutem odcinka na płaszczyznę jest odcinek, zawarty między rzutami jego punktów krańcowych. Oznaczmy przez a kąt zawarty między odcinkiem, a jego rzutem na płaszczyznę, czyli kąt zawarty między odcinkiem a płaszczyzną rzutową , a otrzymamy tu taki sam związek między odcinkiem l a jego rzutem V na płaszczyznę, określony wzorem: V = 1 cosa.

jÿ—X

Fig. 10.

kiem osi X'X, natenczas otrzymamy równanie :

7.    Rzut linii łamanej na oś. Niech będzie teraz zamiast odcinka daną dowolna linia łamana, złożona z odcinków a, b₁ c, d, (fig. 10.), to prosta AE=l, łącząca punkt początkowy A i końcowy E linii łamanej, będzie wypadkową pasma łamanego ABCDE. Oznaczmy przez a\ b': c', d\ kolejno rzuty odcinków a, 6, e, d: tego pasma a przez V rzut wypadkowej l na oś X'X, natenczas będzie widocznie rzut V wypadkowej l równy sumie rzutów a', b\ c', d', poszczególnych odcinków a, b, c, d: tego pasma, jeżeli obok bezwzględnej wielkości rzutów tych odcinków uwzględnimy także kierunki, w których poszczególne rzuty mają być uważane. Jeżeli więc przez a, ß, y, d, A, oznaczymy kolejno kąty, jakie poszczególne odcinki a, b, c, d, l, tworzą z dodatnim kierun-

a cos a +• b cos ß + c cos y+cżcos d-=Zcos/l To znaczy : Suma rzutów poszczególnych boków pasma łamanego na dowolną oś, wziętych z odpowiednimi znakami, jest równa rzutowi wypadkowej pasma na tęże oś.

8. Dwa rzuty punktu płaszczyzny. Wprowadzając pojęcie rzutów punktu na osie układu, zauważymy, że każdy punkt P płaszczyzny ma dwa rzuty, jeden P' na osi X'X, drugi P" na osi Y‘Y. Nazwijmy odległość punktu P od punktu początkowego O promieniem wodzącym punktu P, i oznaczmy OP=r, natenczas poznamy łatwo, że spółrzędne x,y, punktu P przedstawiają także rzuty promienia r na osie układu. Możemy więc spółrzędne punktu P określić nie tylko jako odległości tego punktu od osi, lecz także jako rzuty promienia tegoż punktu na osie układu. Według pierwszego określenia byłoby .r=P/'P, y=P‘P, według drugiego zaś x—OP\ y=OP//, co wychodzi w końcu na jedno.

14 -

na

9. Spółrzędne biegunowe. Oznaczmy przez a kąt, jaki promień wodzący r punktu P tworzy z dodatnim kierunkiem osi X'X, natenczas otrzymamy podstawie twierdzenia o rzutach odcinków następujące wzory:

x=r cos a,

y=r sin a,

dozwalające wyznaczyć spółrzędne x, y, punktu P, gdy znany jest promień r tegoż punktu i kąt a, jaki ten promień tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX.

Na odwrót otrzymamy stąd : /•²=Æ²-f y², czylir— Y/#²+y²,

a zarazem cosa=—

sm a —

\/a:² + y²’

wzory, które dozwalają wyznaczyć r i a, gdy znane są spółrzędne

r W + y²’

tang a= x, y, jakiegokolwiek punktu P.

Wielkości r i a

wyznaczają równie dokładnie położenie punktu P, jak wielkości x i y, mogą więc byc także przyjęte jako spółrzędne punktu P. Nazywamy też r \ a spółrzędnemi biegunowemi punktu P, a wzory

r=Vx²-\- y\

x-=r cos a,

?/==rsin a,

przedstawiają związek między spółrzędnemi prostokątnemi x: y, a spółrzędnemi biegunowemi r, a, tego samego punktu.

jako też

ct=~

X

no-

10. Pomiar kąta. "W geometryi elementarnej podaje się wielkość kąta bądź w częściach kąta prostego R, jak ,R, 21?, i t. d. bądź w stopniach , jako częściach kąta pełnego, nazywając stopniem 360-tą część kąta pełnego, (lp=60', l'=60"). Chcąc zaprowadzić jed litość w mierzeniu kątów i mierzeniu długości odcinków zauważmy, że długość odcinka podaje się w liczbie rzeczywistej, przedstawiającej stosunek tego odcinka do pewnej, za jednostkę przyjętej, długości. Otóż tej samej zasady możemy użyć przy mierzeniu kąta.

Fig. 11.

Mając dany kąt AOB, (fig. 11.) zakreślmy z wierzchołka O tego kąta koło dowolnym promieniem r, natenczas zauważymy, że łuk ł zawarty między ramionami tego kąta pozostaje w stałym stosunku do promienia r tegoż f

łuku. Otóż stosunek —, czyli łuk o promieniu równym

jednostce długości, daje liczbę bezwzględną a, którą uważamy za miarę kąta AOB.

B' A

Kątowi 360° odpowiada, jak wiadomo z geo-metryi elementarnej , stosunek O/r (obwodu koła do promienia jego) czyli liczba 2n ■ kątowi 180° liczba r., kątowi 90° liczba tc/2

Fig. 12.

180

w ogóle na zamianę stopni na liczbę bezwzględną wzór : arc «°

45° liczba 7t/4 ; gdzie n jest liczbą niewymierną przestępną , 7c=3-14159...; kątowi 1°

odpowiada liczba = 0-001745329

Otrzymuj emy

ic, a naodwrót na za-a

mianę liczby bezwzględnej a na stopnie wzór: x =—.180°. Liczbie bezwzględnej 1 odpowiada

kąt 57°17'44.806". Chcąc wykreślić kąt odpowiadający liczbie bezwzględnej a, należy zatoczyć łuk o promieniu równym przyjętej jednostce a na tym łuku odciąć a jednostek. Liczbie ujemnej odpowiadać będzie kąt mierzony w przeciwnym kierunku, n. p. w kierunku obrotu wskazówek na zegarze. Tym sposobem wprowadzony zostaje dla mierzenia kątów sposób jednolity ze sposobem mierzenia długości odcinków za pomocą liczb z zakresu liczb rzeczywistych od — co do -j- co.

180°

11. łunkcje goniometryczne. Wielkości kątów wyrażają się także innymi stosunkami, które nazywamy funkcyami goniometrycznemi kąta (albo luku), (fig. 12.) jako to:

'S «

y    y

- -=cos *, -=sina, — = tang a,

r    x

— sec a, —

= cosec a, — = cotang a.

Związki zachodzące między funkcyami goniometrycznemi tego samego kąta a, przedstawiają się, jak to łatwo wykazać, wzorami:

sin²a-{- cos²a = sec²a—tang²a= cosec²<x—cotg²a= 1, sin a. cosec a == cos a. sec a — tang a. co tg a = 1,

sin a

tang a =- cote* a =

cos a °

cos « sina

Za pomocą tych wzorów możemy każdą z tych funkcyi wyznaczyć przez wszystkie inne. Mianowicie otrzymamy:

sin a = y/1— cos²a =

tang a

Y/sec²a — 1

cos a = v/l — sin² a

\/1 -j- tg² a    V/Ï+ Cotg²a

cotga

\/1 -f- tg² a    V/l-f* COtg²a

sec a

sec a

cosec a ’ V^cosec²a—1

cosec a

tang a =

sina

V/1— cos² a

\/1— sin² a

cos a

cotang «

= V sec² a—1

\/cosec²a—1

12. Z określenia wypływają wprost następujące wartości:

arc0° = 0, sin0 = 0, cosO = l, tang0=0, cotangO=oo, secO=l, cosecO = oo; arc90° = —, sin~=l, cos-J = 0, tang = co, cotg¥ = 0, arcl80° = r, sin^=0, cos tu =— 1, tangTc = 0, cotangtz— co,

arc 270° =

3tc

TT    TC

sec —= co, cosec = 1 ; sec7c= — 1, cosec7c = oo;

2“, sin

3;c

3t:

3tt

3tc

2~=—1) cos 2“ ⁼ °, tan& 2~=c0’ cotang —= 0,

sec

3tc

3 TC

2- = °°, cosec-^ =

arc360° = 2i:. sin27c = 0, cos2tt = 1, tang2Tc = 0, cotg2Tc = oo, sec27c = l, cosec2Tc = co;

-i;

nadto :

arc 30° ==

TC    7C 1

T- slnT “ ¥

cos

arc 45°

= tang^=l, cotg-^-=l,

arc 60°—-^-, sin =*=

TC V2

TC V/3

cos

TC

. TC

sm —

= cos

¥—2 ⁵

ś¹’ s“l=V/2.

13. Dla danego kąta można wykreślić wszystkie funkcye goniometryczne, przyjmując pewną długość za jednostkę. W tym celu odcinamy 0A — OB — 0C= 1, (fig. 13.), natenczas otrzymamy ÄD = sina, OD — cos a, AE= tg a, 01?= sec a, CF—cotg a, OjF=coseca. Naodwrót mając daną którąkolwiek funkcyę goniometryczną, można wykreślić odpowiedni kąt a, jakto z figury widoczne.

14. Funkcye goniometryczne kątów ujemnych wyrażają się przez funkcye takichże kątów dodatnich według wzorów:

sin (—x)=—sina, cos(—a) = cos a, tg(—'*)=-tg«; cotg(—a)=—cotga, sec (—a) = sec a, cosec (—a) = — cosec a.

Dla kątów dopełniających a do kąta prostego będzie

■>

a

sin(-^ aj = cos a, cos --aj == sin a, tg —aj —

Fig. 13.

= cotga, zaś dla kątów spełniających a do kąta pół-pełnego będzie sin (tc — a) = sin a, cos (tc — a) = — cos a, tg (tc—a) = — tg a. Wielkości kątów mogą przechodzić granicę 2ic, wówczas otrzymamy dla dowolnego całkowitego k, dodatniego lub ujemnego, wzory: sin (a    2kr:) = sin a, cos (a -j- 2kn) — cos a, wzory, cechujące t. z. peryodyczność funkcyj

goniometrycznych o peryodzie 2ic.

Ir

15. Na podstawie twierdzenia o rzutach linii łamanej otrzymamy funkcye gonio-metryczne sumy kątów a i 3 w postaci wzorów: sin (a -f- ß) = sin a cos ß 4* cos a sin ß,

tga-1-tgß 1—tgatgß’

cos (a ß) = cos a cos ß—sin a sin ß, a stąd tg (a -f ß)

cotg(a4-ß)

co tg a cotg ß—1

Zastępując ß przez (—ß) otrzymujemy stąd:

sin (a—ß) = sin a cos ß—cos « sin ß ,

cotg ß cotg a

cos (a—ß) = cos a cos ß 4* sin a sin ß

tg (a—ß)

tg a tg ß

14-tg« tgß

cotg (a—ß)

cotg a cotg ß 4~ 1

cotg ß—cotg a •

wzory, wyrażające funkcye goniometryczne różnicy dwóch kątów przez funkcye tychże kątów. Przyjmując zaś a = ß, otrzymujemy: sili 2 <x = 2 sin a cos a, cos2a = cos²»—sin²», a zara-

wzory, wyrażające funkcye goniometryczne kąta

zem tg2a =

2 tg a

cotg 2 a =

cotg²»—1 2 cotg a

1—tg²a

podwójnego przez funkcye kąta pojedynczego.

16. W związku z powyższymi wzorami są niektóre wzory ważne ze względu na swe zastosowanie.

Z wzorów: l = cos²a-|- sin²a, cos2a = cos²a—sin³« otrzymujemy mianowicie: 1 4" C0s2« = 2C0S²a, 1—COS2a =2sili²a, czyli cos²a

14* cos 2 a

sin²a

1—cos 2 a

a

Zastępując 2a przez a, zaś a przez — dostajemy 1 4~

COS a

= 2cos²”

2’

1—cos a =2 sin²

a stąd :

COS

a    /I4- COS a

T ⁼ \    2

. a

sin-

II— COS a

\ 2

tg

« cm

-Vï

— COS a

14-COS a

wzory, z których możemy obrachować funkcye goniometryczne kąta a/2, gdy znane jest cos 17. Zasługują tu jeszcze na uwagę następujące przekształcenia goniometryczne: sin (a 4- ß) 4" sin (a—ß) = 2 sin a cos ß,

COS (a 4“ ß) 4“ cos (a—ß) = 2 COS a cos ß,

sin (a 4- ß) — sin (a—ß) == 2 cos a sin ß, cos (a 4- ß) — cos (a—ß) = —2 sin a sin ß

które, kładąc a4-ß —?> a—ß = 4? zatem a — y₂ (9-j-<10, ß= ¹/2(<?—40> przedstawiamy w postaci:

sin 9 4- sin ^ = 2 sin cos ®    ^

a

© _l (L ©—<L x-t, sin 9 — sin <\> =2 cos ¹ ‘ sin

u    AA

© -4“ 4*

cos + cos tp = 2 cos —

COS -

©44    ©—a

cos o— cos ^ = — 2 sin    sin ' • ■

zkąd otrzymujemy:

sin 9 4" sin ł sin©—sinĄ

cos ? 4- cos <{>

cos 9 —cos ^

cotgî+lcotgrf.

tang —

18. Związki między bokami a kątami trójkąta. Przy pomocy funkcyj goniometrycznych możemy znaleźć związki, zachodzące między bokami a kątami trójkąta, co jest przedmiotem trygonometryi płaskiej. W tym celu oznaczmy boki trójkąta BCA (fig. 14.) kolejno przez o, 6, c, a kąty im przeciwległe przez a, ß, y. Rzućmy dowolne dwa boki n. p. a i b na pi'osta CZ>, prostopadłą do trzeciego boku c, natenczas otrzymamy równość a sin ß = b sin a, podobnie dostaniemy równości : 6siny = csinß, jakoteź osin y=csin», z których wypada : t. zw. twierdzenie sinusowe :

(1)

sin a sin ß sin y

t. z. boki trójkąta są proporcyonalne do sinusów przeciwległych kątów. Rzucając zaś dwa boki n. p. o i b na trzeci bok c, otrzymamy t. z. twierdzenie cosinusowe:    •

Fig. 14.

(2)

c — o cos ß -f- b cos a

Są to dwa związki istniejące obok związku aß 4~ Y = r> z których wszystkie inne

17 -

możliwe możemy otrzymać i które dowodzą,, że z trzech części składowych trójkąta można dalsze trzy wyznaczyć. W szczególności biorąc pod uwagę n. p. dwie następujące równości: a sin ß — ô sin a, acosß = c—ôcosa,

otrzymamy

a²(sin²ß -}-cos²ß) = è²sin²a-f (c—b cos a)²,

a więc: a² = b²-\-c²—2 be cos a, twierdzenie znane pod nazwą twierdzenia Carnota.

a-\-b

Z równań 1) dostaniemy także:

tangensowe :

sin a -j- sin ß    sin a—sin ß

a 4- ß

‘«dr

a stąd t. z. twierdzenie

a-\- b

a — b , a — ß ' tg“2

Są to twierdzenia, których używa się przy rozwiązywaniu trójkątów.

19.    Możliwe wartości spółrzędnych biegunowy eh punktu. Wprowadzając dla wyznaczenia położenia punktu na płaszczyźnie, spółrzędne biegunowe r i a, nadajemy promieniowi r zazwyczaj wartość bezwzględną (czyli dodatnią od 0 do co ), druga spółrzędna a może przyjmować wszelkie wartości w zakresie liczb rzeczywistych od —oo do + go, przyczem zauważymy, że liczbom a-\-2kn przy dowolnem całkowitem k, odpowiada ten sam kierunek, co liczbie a, czyli że spółrzędne (r, a) i (r, aJr2kn) wskazują na ten sam punkt P. Spółrzędne (—r, a) wskazywałyby na punkt (r, a-for), ogólnie (r, a + (27c-f- l)n).

20.    Położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej wyznacza się za pomocą trzech spółrzędnych. W tym celu przyjmujemy w punkcie początkowym O (fig. 15.), trzy proste wzajemnie prostopadłe, zwane osiami układu, 07, OZ] przez te proste przechodzą trzy płaszczyzny wzajemnie prostopadłe, zwane płaszczyznami spółrzędne mi: XOY, ZOX, YOZ. Każdy punkt P przestrzeni będzie miał pewne odległości od tych trzech

g—x płaszczyzn, których wielkości otrzymamy, prowadząc z punktu P proste PP 1 XOY, PP" 1 ZOX, i PP" [ YOZ. Otóż odległości te, mierzone w kierunku odpowiednich osi, nazywamy spółrzędnemi prostokątnemi punktu P i oznaczamy

P‘P=z.

Vf

r'

Fig. 15.

?•

P"P=y,

P ‘P=X,

21. Trzy rzuty punktu w przestrzeni.

Punkta P\ P", P" nazywamy rzutami punktu P na płaszczyzny spółrzędne, które z tego względu nazywają się także płaszczyznami rzuto-wemi. Uważając pł. XOY za płaszczyznę poziomą, pł. ZOX, za pionową, pł. YOZ za boczną, otrzymamy w P/ rzut poziomy, w P' rzut pionowy, w P" rzut boczny punktu P.

Przesuńmy przez każde dwie proste rzucające, PP, PP, PP"', płaszczyznę, natenczas otrzymamy trzy płaszczyzny prostopadłe kolejno do trzech osi, a przecinające odpowiędnę osie po kolei w punktach, P*, Py, P-, które będą rzutami punktu P na osie układu. Płaszczyzny te utworzą z płaszczyznami spółrzędnemi równoległościan prostokątny, który ma co cztery boki parami równe, a mianowicie :

P"P= pzP"=PyP' ^0Px=x,

P'P= PXP = P;P/U= OPy=y,

P'P= PyP'“ — PXP" = OPz = Z,

* . <

skąd Wypadają^ozmaite własności spółrzędnych punktu, mogące służyć takżei^a ich określenia.

'fć

'ykłady matematyki I.

- 18 —

22.    Własności te wypowiada się zazwyczaj w geometryi wykreślnej w sposób taki:

1)    Zboczenie punktu, t. j. odległość punktu od płaszczyzny bocznej, równa się odległości rzutu pionowego tego punktu od osi OZ, tudzież odległości jego rzutu poziomego od osi OY i odcina się na osi OX, przedstawiając spólrzędną x tego punktu.

2)    Głębokość punktu, t. j. odległość punktu od płaszczyzny pionowej, równa się odległości jego rzutu poziomego od osi 0X, tudzież odległości jego rzutu bocznego od osi OZ i odcina się na osi OY, przedstawiając spółrzędną y tego punktu.

B) Wysokość punktu, t. j. odległość punktu od płaszczyzny poziomej, równa się odległości jego rzutu bocznego od osi OY, tudzież odległości jego rzutu pionowego od osi 0X i odcina się na osi'OZ, przedstawiając spółrzędną z tegoż punktu.

23.    Znaki spółrzędnych punktów w przestrzeni.

Pod względem znaków + i — przy spółrzędnych, x, y, 0, punktu P będziemy uważali spółrzędną x za dodatnią, gdy przedstawia odległość punktu od płaszczyzny YOZ, mierzoną w kierunku dodatnim osi XX, t. j. w kierunku

OX,    a za ujemną w przeciwnym kierunku OX, czyli innemi słowy, za dodatnią, gdy punkt P znajduje się po prawej, a za ujemną, gdy punkt P znajduje się po lewej stronie płaszczyzny bocznej YOZ. Podobnie przyjmiemy y dodatnie dla punktów leżących przed płaszczyzną pionową ZOX, t. j. oddalonych w kierunku osi OY, a ujemne dla punktów za pionową w kierunku

OY,    wreszcie 0 dodatnie dla punktów nad poziomą pł. X07 w kierunku OZ, a ujemne pod poziomą w kierunku OZ'. Przy takiem zastrzeżeniu odpowiadać będą każdemu punktowi P przestrzeni pewne, dokładnie co do wielkości i co do znaku określone, spółrzędne ; nawzajem, wszelkim, dowolnie w zakresie liczb rzeczywistych obranym, spółrzędnym x,y,z odpowiadać będzie tylko jeden punkt P przestrzeni.

24. Trzy płaszczyzny spółrzędne dzielą całą przestrzeń na ośm ósemek, a spółrzędne x, y, z, punktów w poszczególnych ósemkach

I, II, ... VIII

będą miały kolejno następujące znaki: I(+ + b), II(-j---(-), 111(4---),

na

IV(++-j, V(- + +), vi(--+ ), VII(---), VlII(--b-). Punkta

płaszczyznach spółrzędnych leżące, będą miały jedną spółrzędną równą zeru, a mianowicie dla punktów płaszczyzny XOY będzie z=0, dla punktów płaszczyzny ZOX będzie y = 0, a dla punktów płaszczyzny YOZ będzie x=0.

Punkta na osiach układu położone będą miały dwie spółrzędne równe zeru, a mianowicie dla punktów na osi XX będzie y = 0, 0 = 0, na YY‘ będzie 0=0 i #=0 będzie miał spółrzędne x=y—z—0.

25. Spółrzędne biegunowe punktu w przestrzeni. Połączmy punkt P przestrzeni z początkiem układu (fig. 16.), natenczas otrzymamy promień punktu

OP=r, który utworzy z dodatnimi kierunkami osi OX, OY, OZ, pewne kąty : XOP—À, YOP=y, ZOP=v. Spółrzędne x,y, 0, punktu P, a mianowicie, x=OPx, y-op

prostokątnemi promienia, OP=r, na osie układu. Na podstawie twierdzenia o rzutach (art. 5), otrzymamy zatem wzory:

na

Z Z' będzie natomiast x = 0 i y—0. Punkt początkowy O

0=OP*

są

widocznie także rzutami

(1)

Fig. 16.

x=rco$l, y=r cos^, 0=rcos^, dozwalające wyznaczyć x, y, 0, gdy znane są wielkości r, X, y, v, które też nazywamy spółrzędnemi biegunowemi punktu P.

— 19 -

Rzucając linię łamaną OPxP'P na promień OP otrzymamy na podstawie twierdzenia o rzutach pasma łamanego (art. 7.) nowy związek:

(2)

r=xcos A-\- y cosp-Pz cos v, który, pomnożony obustronnie przez r, daje:

r²=x.r cos A + y.r cos y-\- z.r cos v, skąd, uwzględniając relacyą (1) otrzymamy

(3)

r²=x2jry²-\-&²i zatem r—\/x²-\-y²-h^², wzór, podający odległość punktu P od początku układu, gdy znane są spółrzędne x, p, z tego punktu.

Wzór ten przedstawia ze stanowiska elementarnej geometryi znane nam już twierdzenie o przekątni równoległościanu prostego i prostokątnego (prostopadłościanu), wynikające wprost z figury. Jest bowiem na podstawie tw. Pytagorasa :

r² =RP'² XPP² =OPx² + P^P'2 + PĆP² = x²+y² -p £².

Na oznaczenie kątów A, p, v, otrzymamy z wzorów (1) i (3) :

, x

cos /=—

r V/x²+y²-\-&²’

y

cos u =

r \/xl-\- y²+z2 przyczem zachodzi między kątami A, p, v związek

, COS V =

r \Xx²-\-y²-\-zL^

/£ 2 ty 2

COS ²i + COS ²p -f CO S V = ^2 + w; *p

z² x²+y²+z² r²

^•2

= 1.

Jeżeli więc promień dowolny tworzy z osiami układu prostokątnego kolejne kąty A, p, natenczas zachodzi między temi kątami związek:

(4)

cos² A -p cos ²p+cos V=1.

Jest to uogólnienie związku, jaki zachodzi między kątami X, [x, jakie promień na płaszczyźnie tworzy z dwiema osiami prostopadłemi, t. j. wzoru: cos²X-pcosV = 1, a zarazem uogólnienie wzoru goniometryi : cos²X -p sin²X = 1.

26. Wzór (4) dozwala wyznaczyć jeden z kątów A, p, v, gdy znane są dwa inne. Ze czterech nasuwających się spółrzędnych biegunowych r, A, p, v, punktu P są zatem tylko trzy niezależne, n. p. r, A, p, czwarta jest wynikiem dwu ostatnich, a zamiana spółrzędnych biegunowych na prostokątne i nawzajem odbywa się za pomocą wzorów :

y=r cosp, z=r cos tudzież r— v/a;²-Pp²-P^²

x=r cos A,

cos A = —

cos fl=

cos v——~ , przyczem cos²i-Pcos ²p-pcosV=l.

Fig. 17.

27. Spółrzędne sferyczne. W miejsce czterech spółrzędnych biegunowych r, A, p, v, punktu P, z których trzy ostatnie są od siebie zależne, wedle wzoru cos²J-Pcos ²p-pcosV=l, używa się często innego rodzaju spółrzędnych bieguno-. wych, utworzonych przez trzy wielkości od siebie niezależne , zwane spółrzędnemi sferycznemi , R ^ punktu (fig. 17.). Jako takie spółrzędne przyjmuje / się : 1) długość r promienia wodzącego, 2) kąt cp, zawarty między promieniem wodzącym a jego rzutem na płaszczyznę XOY, 3) kąt tp, zawarty między płaszczyzną, rzucającą promień rna pł. XOY, p płaszczyzną pionową ZOX, czyli kąt, zawarty między rzutem promienia OPna pł. XOY, a osią OX. Według tego założenia spółrzędnemi sferycznemi punktu P są r=OP, (p=XPOP,

28. Położenie punktu w przestrzeni n-wymiarowej będzie wyznaczone «-spółrzędnemi. Stosując pojęcie spółrzędnych do przestrzeni «-wymiarowej,

P«;

Fig. 18.

niewyobrażalnej dla n'>3, określimy spółrzędne punkt u Pw przestrzeni w-wy mi ar o w ej jako rzuty promienia OP=r na istniejący w takiej przestrzeni układ w, wzejemnie prostopadłych osi: ÖX OX2y..OXn, z punktu początkowego 0 wychodzących, oznaczając te spółrzędne przez aą, x₂,... xn. Niech promieńOP=r, łączący punkt P przestrzeni «-wymiarowej z początkiem O, tworzy z osiami układu prostokątnego «-wymiarowego, kolejne kąty Ai, A₂,..., An, natenczas, rzucając promień r na oś 0X{ (fig. 18.), otrzymamy spółrzędną Xi punktu P, na podstawie twierdzenia o rzutach odcinka , w postaci :

(o)

Xi=r.cos A;, («'=1, 2, 3,... w), gdzie znowu wielkości r, Aif A2j ... An występują jako spółrzędne biegunowe punktu P przestrzeni w-wymiarowej , odniesione do układu « osi wzajemnie prostopadłych.

Rzucając na promień r linię łamaną (OPiP₂...Pn^iP), łączącą punkt O za pomocą odcinków : xi = OPil/OXi, x₂=P₁P₂HOX₂,..., xn=Pn~\P\\OXn z punktem P, natenczas otrzymamy na podstawie twierdzenia o rzucie linii łamanej ;

t=x^cos Ai -j-#₂cos A₂ -f ,..-\-xn cos An , czyli r²=xx .r cos Ai +x₂.r cos X₂ Ą-...Ą-xn .r cos An, skąd,

uwzględniając relacyę (a), dostaniemy:

i= n

(&)

'0=X POX, a na oznaczenie ich związku ze spółrzędnemi prostokątnemi (x, y) tegoż punktu otrzymujemy:

x—OPx=OPt. cos?//, y=OPy^=OP‘, sin?//, z—r sing), a więc ze względu, że OP = rcos (p, wzory: x—r cos (pcosyj,

dozwalające zamienić spółrzędne sferyczne Na odwrót otrzymamy stąd :

r— \/ x²-\-y ²-j- #²,

y=r cos cp sin ?//, #=rsin(jp, na prostokątne.

sin (p

tgV»“

(5)

SS

(6)

\Zx² + y2jr8²

wzory zamiany spółrzędnych prostokątnych na sferyczne.

Spółrzędnych r, f, 1, używamy zazwyczaj w astronomii sferycznej, nazywając, gdy oś OZ ma kierunek pionu , kąt ę wysokością, a kąt <1 azymutem punktu ; gdy zaś oś OZ ma kierunek osi świata , nazywa się tedy kąt o deklinacyą, a kąt kątem godzinnym punktu (gwiazdy).

r²=x\ -\-x\p

i — 1

wzór, podający odległość punktu P przestrzeni w-wj^miarowej od początku układu.

Otrzymujemy zatem:

“i /* n

r= V

cos A,

Xi

i= 1

(<0

- 21

przyczem na podstawie (b), uwzględniając relacyę (a), dostajemy:

cos²2x -f cos²ż.₂ + ... + cos²żn=l,

wzór, określający związek między kątami, jakie promień punktu V przestrzeni w-wymiarowej tworzy z n osiami prostokątnemi tejże przestrzeni.

29. Układ n osi spółrzędnych 0XV 0X₂,..., 0Xn przestrzeni n-wy miarowej , uważany jako układ n przestrzeni jedno-wymiarowych, przechodzący cli przez punkt początkowy 0 w kierunkach wzajemnie prostopadłych, jest zarazem układem prostokątnym innych przestrzeni r - wymiarowych, gdzie r <w. W szczególności, przesuwając przez każde dwie osie, n. p. OXi

wza-

i 0Xk płaszczyznę, otrzymujemy układ ^9^ płaszczyzn spółrzędnych jemnie prostopadłych, przechodzących przez punkt 0 w przestrzeni n-wymiarowej. Trzy dowolne osie, n. p. OX1? 0X₂, OX₃, wyznaczają jedną prze-

prze-

w punkcie 0 będzie więc złączony układ (o )

strzeń trójwymiarową strzeni trójwymiarowych wzajemnie prostopadłych. Ogólnie każde połączenie r osi (r <Z n) układu n-wymiarowego utworzy jedną przestrzeń r-wymiarową,

wzajemnie pro-

otrzymamy więc w 0 układ

stopadłych, wreszcie czyli jedną przestrzeń w-wymiarową. Dla n

przestrzeni r-wymiarowych ^ n ^j=n przestrzeni {n — l)-wymiarowych i =1

= 3 otrzymujemy = ³ osie, (o ) = 3 płaszczyzny i ^ = 1 przestrzeń. Dla n = 4 otrzymujemy 4 osie, czyli 6 płaszczyzn, (g) czyli 4 przestrzenie trójwymiarowe czyli jedną przestrzeń cztero wymiarową.

Ćwiczenia II.

1)    Wyznaczyć położenie punktów: A(x = 8). B(x=—2).

2)    Wyznaczyć położenie punktów: A(x — 2, y — 3), B(x =—2, y — 4), C(x=—3, y——1), D(x = 1, y = — 3).

3)    Wykreślić trójkąt, którego wierzchołki mają spółrzędne : .4(5,3), B{0,—2), C(—3, 1).

4)    Znaleźć spółrzędne punktu określonego równaniami : 5x -f- 2y -j- 4 = 0, 3x—7y—55=0.

5)    Przez środek kwadratu o boku a przeprowadzono układ prostokątny o osiach równoległych do boków tego kwadratu. Jakie są spółrzędne jego wierzchołków.

6)    Punkt A ma spółrzędne » = 1, y=\/3, jakie są jego spółrzędne biegunowe (r, a).

7)    Spółrzędne biegunowe punktu są r — 2, 9 = tt/4, jakie są jego spółrzędne prostokątne.

8)    Ile sekund ma kąt półpełny t:, a ile kąt «, jeżeli arc a =1.

U MM

( j    sin (n a), cos (7:-}-*), sin ($Jt + «)> cos -J-a)

9)    Wyrazić: sin

przez funkcye goniometryczne kąta a.

10)    Podać arc 135° i wszystkie funkcye goniometryczne tego kąta.

. 2

11)    Wykreślić kąt a, którego tga = —, obrachować pozostałe funkcye goniometryczne

i wyznaczyć spółrzędne prostokątne punktu A, leżącego w kierunku a w odległość r— \/13.

12. Wyznaczyć, jakie spółrzędne mają środki boku trójkąta, jeżeli punkta 4(2, 3), -0(4, —5), C( —3, —6) są wierzchołkami tego trójkąta.

13)    Wykreślić następujące punkta: A ,(x = 1, y = 2, z — 2), B(x — — 2, y = 3, 0=6). C(x=3, y = — 4, 0 = 0) i wyznaczyć ich odległości od początku układu.

14)    Punkt P w przestrzeni ma spółrzędne prostokątne x = 2, y = 3, z = 6; znaleźć jego spółrzędne biegunowe (r, 1, [jl, v).

cos

15)    Dany punkt P(2, B, 6) ; podać spółrzędne jego rzutów P', P", P'", tudzież rzutów Pr, Py, p?, i wyznaczyć jego odległości od osi układu.

16)    Jakie kąty tworzy promień punktu (1,1,1) z osiami układu.

17)    Znaleźć związek między cos kątów a, b, c, jakie tworzy promień (X, jjl, v) z trzema prostopadłemi płaszczyznami spółrzędnemi.

18)    Środek podstawy czworościanu umiarowego o boku a przyjęty został za początek układu prostokątnego , którego płaszczyzna XY wpada w płaszczyznę podstawy, a oś OX przechodzi przez jeden z jego wierzchołków; znaleźć spółrzędne wierzchołków tegoż czworościanu.

19) Znaleźć spółrzędne (*, y, z) punktu, określone równaniami x²-{- y²— 2z², x-{-y=2z, xy — a2 \£0) Znaleźć spółrzędne punktu P, którego promień r tworzy z osią OZ kąt a, a pła-szczyziia, rzucająca go na płaszczyznę XOY, tworzy z płaszczyzną ZOY kąt ß.

21)    Punkt P przestrzeni czterowymiarowej ma spółrzędne xt — 1, *₂ = — \/2, x₂ =2, *4=3, znaleść jego odległość od początku 0 układu i dostawy kierunkowe promienia OP.

22)    Wyznaczyć kąty, jakie kierunek, prowadzący do punktu A(a, b, c), tworzy z osiami

układu.

23)    Dany punkt P(xl = 1, *₂ — 2, x₃=3, *₄ = 4) przestrzeni czterowymiarowej ; znaleść jego odległość r od początku 0 układu i kąty X₄, X₂, X₃, X₄, jakie promień OP tworzy z czterema osiami wzajemnie prostopadłemi.

24)    W równanie x² -j- y² = 5x wprowadzić spółrzędne biegunowe (r, a).

25)    W równanie o spółrzędnych biegunowych (r, a) kształtu: r²sin2a = 5², wprowadzić spółrzędne prostokątne (x, y).

26)    Spółrzędne biegunowe punktu w przestrzeni są ^4,    i znaleźć jego spół

rzędne prostokątne.

27)    Dowieść następujących równości: cos a 4- sin a

(1)

cos a—sin a

cos a — sin a J / n \

7=tglra);

(3) cotg a + tg a

— %    + a ) 5    (2)

2

sin2a ;    (4) co tg a tg * = 2 co tg 2 a ;

cos a-j- sin

(5)

tg a + tg ß

cotga4~cotgß

= tg a. tg ß. (6)

cotg a -f- cotg ß

cotg a—cotg ß

sin (a -(- ß)

sin (a—ß)‘

(7) sin 3 a = 3 sin a—4 sin³ a ;

(10) sec a = 1 4- tg a . tg ^ ;

= tg² a—tg² ß ;

(8) cos 3 a = 4 cos³ a—3 cos a ;

(9) tang 3 a

3 tg a—tg³ a 1—3 tg² a ’

(U).

sin (a 4- ß)

cos 5 (a + ß)

COŚ { (a — ß) ’

= sin² a . sin² ß ;

sin a 4- sin ß

cos² a—sin² ß

sin (a 4- ß) • sin (a—ß) cos² a cos² ß

(14) 3— 4 cos 2 a 4- cos 4 a = 8 sin⁴ a ;

28) Dowieść, że w każdym trójkącie płaskim:

(1) sin a 4-sin ß 4-sin y = 4 coscos--cos ,

(4) sin a 4- sin ß — sin y = 4 sin — sin — cos (5) sin a—sin ß—sin y=—4 cos — sin [-

2 ⁸inł’

(12)

(18)

cotg²* cotg² 3—1 (15) 3 4-4 cos 2 a 4” cos 4 « = 8 cos⁴ a.

aa. im

x.

sin!

a

(6) cos « 4- cos ß — cos y = — 1 + 4 cos — cos -4-

(7)

OC

cos a—cos ß—cos y — 1— 4 sin — cos -- cos —.

29)    Wyznaczyć kąty w trójkącie, który ma boki a = 11, b = 5, c = 8, i przerobić na tym przykładzie wszystkie przypadki rozwiązywania trójkąta..

30)    Dowieść, że promień koła opisanego na trójkącie: P \31) Dowieść, że promień koła wpisanego w trójkąt : r —

2 sin a⁻a -\-b-\-c

IZ-i

32) Dowieść następujących wzorów, podających powierzchnię A trójkąta:

(1) A

a²sin,8 siny

ab

2sin(8 + y)

. (2) A ——-siny. (8) A

^ Sw—(écos a 4* \/«²—5²sin²a). Z

(4) A = ^ \/(a-\- b -)- ć) (—a-\-b~\-c) (a-b-\-c) (aĄ-b — c).

a -(- b 4" c

(5) A = 2 i?² sin a sin psiny.

(6) i

—r.

(7) A = r².cot    . cot

rO rto

. cot i.

(8) .

‘«Tt82

a

tg~2

(9) A = Y/r.ra.rh.rc.

(a, b, c są boki, a, p, y kąty, R promień koła opisanego^ r wpisanego, ra, rb, rc zaś promienie kół zawpisanych).

33) Dowieść za pomocą trygonometryi

że wszelka poprzeczna a b c wyznacza na bokach trójkąta ABC sześć odcinków takich , że iloczyn stosunków odcinkowych równa się

jednostce dodatniej, t. j.:

aB bC. cA

aC ' bA ’ cB

-— = 1.

34) Dowieść, że trzy poprzeczne Oa, Ob, Oc, poprowadzone z jednego punktu 0 do wierzchołków trójkąta ABC wyznaczają na bokach sześć odcinków takich, że iloczyn stosunków odcinkowych równa się jednostce ujemnej t. j. :

aB bC cA

aC ' bA ' cB■    ¹*

35) Rozwiązać trójkąt, gdy dane są: (1) a, p, b-\-c. (2) a, a, b-\-c. (3) Obwód 2sikąty, (4) Powierzchnia A i kąty.

Rozwiązania II. 1—3. Proste konstrukcye 1) punktów na prostej X‘X, 2) punktów na płaszczyźnie XY, 3) trójkąta na pł. AY, 4) (2,—7), 5)    , -ÿ-), b(— — ,    ), ć(——, ——)•

41

“-), 6) (2, ~) 7)(.VaV/2, y₂Y/2, 8) G48000", 206264-8"... 9) cos«

V/2    V/2“

2“’

—COS a, —COS a, sin a. 10) Y/Ï3 \/Ï3

Ha

-1,-1,-V/2, V/2, U) —l¥

— sin a, — sin «,

2\/i3 3\/13    2

13    ’ 3 ’    ’

CO (N

c4

(?)    V)) (    (ßi    i);

13) A (3, 7, 5),

₂ , A (—3, -2),

14) 7, 73°24', _64°25', 31°. 15) P'(2, 3, 0),... P,<2, 0, 0),..,2V/5, 2\/W, V18. 16) cos 1 = cos ji = ^4^-.    17) cos²a + cos² b -f- cos² c=2. 18) A ? 0, 0,jl, B (

«Y/b

H'

, 0 j, 0,    ;    19) Dwa punkta P(a, a, a) i P'(-—«, —0, —a).

cos),

21) r = 4, -X¹-r = y/30, ^1 =

23) (12-26..., 7-3... 27-5...), 24) r = 5cosa. 25) xy*=%b', 26) (1, Y/3~, 2V/S), 29) a 8 — 24° 37' 12", y=41° 48' 6". 35) (1) tg -I sin

= cos v

«Y/3    a

20) P(rsinacosp, r sin a sin p, rcosa).

₉ cos « cos 3 cos y

' a

\/ a²-j-6²4-c²,

23)

cos 1₂ COS I3 cos X₄ 1

-y/2

COS )>2 cos X₃ cos 1₄

:■

(3) a

« <M

cotg (2) cos ^ Y

l/30

113° 34'42". b 4 c

«

sm—;

cos

2"

cos

-V

2 A sin a

sin p sin y

Literatura. Biot B. J. Początki geometryi analitycznnej przeł. A. Wyrwicz. Wilno 1825. W. Zajączkowski. Geometry a analityczna, W arszawa 1884. Fort u. Schlömileh, Lehrbuch der analytischen Geometrie, Leipzig 1872. G. H. Niewęgłowski. Trygonometrya. Paryż, 1870. S. Pr z y st ańs ki. Trygonometrya prostokreślna. Warszawa, 1859.

Tematu do rozprawek naukowych.

1.    Powierzchnie figur prostokreślnych w spółrzędnych ich wierzchołków.

2.    Zasady kombinatoryki.

3.    Własności symbolów n!,    ) i nr.

Wykład III.

Zagadnienia o punkcie.

swym znakiem Ą- lub —1 jeden z dwu

I*

1. Punkt w przestrzeni. W przestrzeni jednowymiarowej jedyna spół-rzędna x punktu P podaje swą bezwzględną wartością oddalenie r punktu P od początku układu O, r=\x w tej przestrzeni możliwych, wprost przeciwnych kierunków. W przestrzeni dwuwymiarowej ma punkt P dwie spółrzędne Æ, y, za pomocą których znaj-

dziemy a) odległość r punktu Pod początku O układu: r=    y\

b) kąty Z, jakie kierunek OP, prowadzący z punktu początkowego 0 do punktu danego P, tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX układu prostokątnego

gdzie

cosż= — . siii/l= —.

W przestrzeni trójwymiarowej ma punkt P trzy spółrzędne x, y, g, za pomocą których znajdziemy a) odległość punktu P od początku O układu: r=\/x²-\-y'¹-j-&², b) kąty Z, y, v₎ jakie kierunek OP, prowadzący z punktu początkowego 0 do punktu danego P, tworzy z dodatniemi kierunkami trzech osi prostokątnych układu, a mianowicie dostawy kierunkowe :

o sc    y

cos/=-^,    cosy=^-,

punkt P n spółrzędnych za pomocą których znajdziemy: a) odległość r punktu P od

Ogólnie w przestrzeni n-wymiarowej ma •ł'! s *®2 ? ”

początku O układu: r=\/x^ ²-\-x₂ ²+.. 4-æ„²,    &) kąty, Z;, (i = l, 2, .. w), jakie

kierunek OP, prowadzący z punktu początkowego O do punktu danego P, tworzy z dodatniemi kierunkami n osi układu prostokątnego, a mianowicie

dostawy kierunkowe cos/b=—-, (i=l, 2, .. n).

2. Kierunek w przestrzeni. Każdy punkt P w przestrzeni wyznacza odnośnie do punktu początkowego O pewien kierunek w przestrzeni, który tworzy z dodatniemi kierunkami osi układu pewne kąty. Tak samo wyznacza każdy punkt P odnośnie do innego punktu M tej przestrzeni znowu pewien kierunek, który będzie miał także względem dodatnich kierunków osi układu pewne nachylenia. Kierunki, które tworzą z dodatniemi kierunkami osi układu jednakowe kąty, nazywamy kierunkami tożsamościowemi, jeżeli wychodzą z tego samego punktu (czyli wierzchołka), a równoległemi, jeżeli wychodzą z dwóch rożnych punktów (różnych wierzchołków). W przestrzeni jednowymiarowej istnieją tylko dwa wprost przeciwne kierunki, dodatny i ujemny, tworzące między sobą kąt 180°, gdzie arc 180°=:n;. W przestrzeni dwuwymiarowej tworzy każdy kierunek dwa kąty Z, y, z osiami układu, jeden Z

z dodatnim kierunkiem osi OX, drugi ^ z dodatnim kierunkiem osi 07, przyczem 2C^ + ^^=90°) czyli i +    W przestrzeni dwuwymiarowej da

się przeto z każdego punktu wyprowadzić oo¹ kierunków.

"W przestrzeni trójwymiarowej tworzy każdy kierunek trzy kąty À, v z trzema osiami układu prostokątnego, przyczem zachodzi relacya : cos²ż-f cosV + cos²y=l. W przestrzeni trójwymiarowej da się zatem z każdego punktu tej przestrzeni wyprowadzić oo² kierunków.

W przestrzeni w-wymiarowej tworzy każdy kierunek w-kątów, Âl: A.2f .. Ân z w-osiami układu prostokątnego, przyczem zachodzi między temi kątami związek: cosbłj +cos²ż₂ +.. + cos²ż„=l. W przestrzeni w-wymiarowej da się zatem z każdego punktu tej przestrzeni wyprowadzić w niej gow_1 kierunków.

3.    Zagadnienia o punktach w przestrzeni wielowymiarowej dotyczyć mogą, albo a) wyznaczenia spółrzędnych jednego z możliwych oon punktów tej przestrzeni, albo też b) wyznaczenia wzajemnego położenia różnych punktów tej przestrzeni, podobnie zagadnienia o kierunkach przestrzeni wielowymiarowej dotyczyć mogą , albo 1) wyznaczenia jednego z możliwych oo kierunków tej przestrzeni, albo 2) wyznaczenia wzajemnego położenia różnych kierunków tejże przestrzeni. Do wyznaczenia spółrzędnych punktu w przestrzeni wielowymiarowej potrzeba n warunków, z którychby można n spółrzędnych wyrachować ; do wyznaczenia kierunku w tej przestrzeni potrzeba (n — 1) warunków, z którychby można było wyznaczyć (w —1) kątów, jakie ten kierunek tworzy z (w—1) osiami układu.

Wyznaczenie wzajemnego położenia dwóch punktów wymaga przede-wszystkiem wyznaczenia odległości tych punktów, wyznaczenie zaś wzajemnego położenia dwóch kierunków wymaga przedewszystkiem wyznaczenia kąta nachylenia między temi kierunkami. Odległość dwu punktów stanowi odcinek prosty, zawarty między temi punktami, kąt nachylenia dwóch kierunków zaś stanowi kąt, jaki tworzą między sobą te kierunki, wyprowadzone z jednego wierzchołka.

4.    Odległość dwóch punktów. Na podstawie bezpośredniego poglądu możemy z łatwością wynaleść sposób, jak rozwiązać zagadnienie o wyznaczeniu odległości dwóch punktów przestrzeni, danych przez swe spółrzędne. Niech będą bowiem dane dwa punkta przestrzeni n-wymiarowej : punkt M o spółrzędnych (£,•) i punkt P o spółrzędnych (æf), (i— 1, 2, .. n), odnośnie do pewnego układu (OX₁X₂..X„).

Gdyby początek układu był w punkcie M przy niezmienionych kierunkach osi, a punkt P miał odnośnie do nowego układu spółrzędne (x/), natenczas byłoby: #*=£,;-j-#»', zatem x/=X;—

mamy :

Odległość d punktu P od nowego punktu początkowego M przedstawia się wiadomym wzorem d² = xi‘²-\-x₂‘²-{-..-\-xn/2, a że #»'=#,— £;, przeto otrzy-d²^=(xi -St)²+(x₂-£₂)² + ... + (xn-i„)², czyli

ji = n

'-V1

i — n

i= 1

(X'—Çi)²,

więc

wzór na odległość punktu M (£,:) od punktu P (#,), ważny dla jirzestrzeni o ilukolwiek wymiarach.

5. Powyższy wzór na odległość dwóch punktów przestrzeni w-wymiarowej możemy także wyprowadzić na podstawie twierdzenia o rzutach odcinka na

osie układu. Niech punkt M ma spółrzędne (§»■), punkt P spółrzędne (#,-), (i= 1, 2,.. n), a odcinek MP=d, przedstawiający odległość tych punktów, niech tworzy z osią OX{ układu OXi X₂ .. Xn kąt anatenczas, rzucając odcinek (1 prostokątnie na oś OXi} otrzymamy, jako jego rzut, odstęp rzutów MXi i Pxi punktów M i P na oś 0X,:, zatem odcinek x-L -f*, będzie więc na podstawie twierdzenia o rzutach odcinka: Xi—^i—d cos a,-, zatem

i—n

i—n

2 {Xi—£i)²=d² X cos² a i, a że kąty a*, jakie dowolny kierunek tworzy z osiami

i— 1

i-i

i—n

i—i

OXi układu prostokątnego, związane są relacyą J?cos²at=l, przeto otrzymu-

i — n

jemy, jak poprzednio, wzór d²= 2(Xi - %t)².

i = 1

(i. Wzory na odległość dwócli punktów M i P możemy wyprowadzić poglądowo oddzielnie dla każdej przestrzeni wyobrażalnej.

Fig. 19.

x‘-

-*x

M d P

Na linii prostej będzie odległość dwóch punktów M{%) i P(x) określoną wzorem: d=x—Ç, przyczem różnicy tej nadamy znak dodatni, jeżeli chodzi tylko o bezwzględną wartość oddalenia d.

Mając na płaszczyźnie dane dwa punkta M(£, rj) i P(x, y) (fig. 20.) otrzymamy na wyznaczenie ich odległości d wzór: d²=(x— £)²-t(2/—7])², widoczny także wprost z figury.

Odległość d dwóch punktów _M(f, rj, Ç) i P{X, y, z) przestrzeni trójwymiarowej (fig. 21.) przedstawia się jako przekątnia równoległościanu prostego prostokątnego o bokach {x—£), {y - -rj), (#—£), jest więc d²*=(x-Ç)² + (y—rj)²+ («— £)²-

7. Kąt nachylenia dwóch kierunków. Z zagadnieniem o oddaleniu dwóch punktów łączy się zagadnienie o wyznaczeniu kąta nachylenia dwóch kierunków, prowadzących z punktu początkowego do tychże dwu danych punktów.

Niech będą dwa dane punkta P(x{) i P\xi‘)1 (i= 1, 2, .. n) (fig. 22), to ich promienie wodzące :

M,

Fig. 20.

$-■

o)

/k

->p.

Fig. 21.

p’

OP=r

li—n

« V x*₍-²,

li—n

V ^ Xi> ²

OP‘=r‘=

tworzą z osią OX, kąty ź,:, i/, określone wzorami :

COS Aj = —

t=l

Xi‘

cos =

i wyznaczają dwa kierunki (Ai) i (A/) (i= 1, 2, .. »), których kąt nachylenia X POP'=(0, mamy wyznacz3rć.

W tym celu rzućmy promień OP, tudzież linię łamaną (OPTi....P), prowadzącą z O do punktu P, a złożoną z odcinków , #₂ ... na promień OP', •natenczas, na podstawie twierdzenia o rzutach linii łamanej na dowolną linię prostą, otrzymamy następującą równość:

r‘

LO

Fig. 22.

r cos «=34 cos Aj'+^2cos A₂'-f ••• -\-%n cos Xn‘.

. cos X. '4-—-cos A₉'4-..4-—«cosAn', przeto cos &>=cos A!cos A/4-cos A₂cos A₂/4-~ + cos XncoaXn

i=n

cos co = 2 cos A*. cos A/,

t=l

jako wzór na wyznaczanie kąta nachylenia co dwóch kierunnów (A,-) i (A/), (t=l, 2 .. w).

8. Znając cos co, otrzymamy sin co za pomocą relacyi sin²co = l —cos²co.

czyli

COS OJ —

sin ²co

Łatwo zauważyć, że w tej różnicy znikną iloczyny cos²Ai-.cos²At/, opatrzone jednakowemi znakami i: (i— 1, 2, .. n), otrzymamy więc

sin ²co= 2 (cos²A/Cos²Afc'4-cos²Ai cos²A/—2 cos A/cosA/cosA* cos A*'),

/, Ä’—1

î, k—n

czyli

sin ²co= 2 (cos At- cos A*'—cos A* cos A/)²

i, k=\

7, k—n

(cos A,-cos Xk — cos A*cos A/)².

?, A=1

Zastępując różnicę cos At-cos Ajs/— cosAa.cosA/ wyznacznikiem

a więc

sin co =

cos A,- cos A* cos X/ cos Xk‘ i

otrzymamy wzór powyższy w postaci: sinw =

i,k—n

2 i cos A,; cos A* 2 COS Xi COS Ajfc'

i, A~1

9. Wyznacznik drugiego rzędu.

Różnicę iloczynów kształtu ab‘^-a‘b₎ oznaczoną szematem kwadratowym : nazywamy wyznacznikiem rzędu drugiego. Ma on cztery elementa, ułożone w dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Z szematu kwadratowego czterech elementów «, b, a¹, b\ wyznaczamy wartość wyznacznika, mnożąc elementa a, b‘ w przekątni głównej i odejmując od tego iloczynu iloczyn elementów b, a‘ przekątni bocznej. Z powyższego określenia wypływają wprost następujące własności wyznacznika :

(1)    Wyznacznik nie zmienia swej wartości, gdy wiersze przemienimy z kolumnami :

I a b

| a' b‘ | “ j b b‘ \

(2)    Wyznacznik zmienia znak, gdy przemienimy między sobą dwa wiersze lub dwie

a‘ b‘ a b

kolumny :

a b a‘ b‘

b‘

a a‘

«' r

(3) Wyznacznik ma wartość równą zeru , gdy ma dwa wiersze lub dwie kolumny

jednakowe :

(4) Wyznacznik mnożymy przez liczbę, pomnożywszy elementa jednego wiersza lub jednej kolumny przez tęże liczbę : p. a,

va pb

“ ! «' v i =

pa b I pa‘ b‘ |‘

(5) Wyznacznik, w którym elementa jednego wier»za, lub jednej kolumny są sumami dwuwyrazowemi , rozpada się na dwa wyznaczniki , z których jeden ma w tym samym rzędzie pierwsze, drugi zaś drugie wyrazy tej sumy :

«4-«, £+ß |    |

o' b‘

a b I a‘ b‘

« ß ! a‘ b‘ ’

a-fa b |_|

a‘ j-«' b‘ J

(6) Wyznacznik nie zmienia swej wartości, gdy do elementów jednego rzędu dodamy wielokrotności elementów drugiego rzędu równoległego :

4- m b

a‘

Sr

_ I a 4- ma', b mb'

I ~ I a'    b‘ \

10. Z wzorów, podających kąt oj dwóch, kierunków (i,:) i (i't-), (i= 1, 2, n) przestrzeni n-wymiarowej w formie :

i=n

COS OJ

=2 cos i,: cos i\-; sinw=^

t=31

n f i,k=n .

V 2

COS i,; , COS Ak 2 cos i 4 , cos Ak‘

możemy otrzymać wprost szczegółowe wzory na wyznaczenie kątów nachylenia dwóch kierunków, danych w przestrzeni zwykłej lub na płaszczyźnie. Wzory te możemy zresztą wyprowadzić także wprost z poglądu.

11. Niech będą mianowicie dane dwa kierunki OP(A,fi,v) i OP\A\fi\ v{) w przestrzeni OXYZ, których kąt nachylenia oj wyznaczyć mamy. Odetnijmy na tych kierunkach odcinki OP= OPx =1, (fig. 23.), natenczas spółrzędnemi punktu P będą liczby (cos i, cos fi, cos v), zaś punktu P‘ liczby (cos i', cosfi\ cos v‘). Rzućmy promień OP i linię łamaną OPxP‘P na promień OP', natenczas Pl ^ otrzymamy wprost :

COSOJ = COSi COSi'4-COS^ cos/d 4-cos ^ COS V, przyczem musimy mieć na uwadze, że: cos²i4--f-cos²v + cos²v = l, jakoteż cos²A' + cos² fi-f cos²v‘ = 1. Uwzględniając to, dostaniemy: sin²oj = l— cos²oj = = (cos² A-f cos² fi4- cos² v) (cos² A‘ 4- cos² fi-f cos² v‘) —(cos A (cos i'-j-cos ii cos fi'Ą-4-cos v cos p)²=(cos A cos fi—cos A' cos ^.)²-l-(cos [i cos v‘—cos /i¹ cos v)²-\-

cJ

Fig. 23.

p.

-p

/■i

4-(cos v cos i'—cos v‘ cos A)², przeto:

. o cos A cos u ²

81Il <Hc08* COSP

d~

COS fl COS V 2 COS fi cosV

COS V cos i cosP cos i'

a stąd tg oj —

COS i COS fl I²

cos A¹ cos fi i

COS fl COS V 2 COS fl‘ COS V¹

COS V cos i 2 cosP cos A‘

cos A cos A‘ 4- cos fi cos fi 4- cos v cos v‘

12. Kąt nachylenia oj dwóch kierunków na płaszczyźnie XOY, (fig. 24.)

jako to kierunku OP(A fi) i OP‘(A' fi), gdzie A-\-fi= il₂n, jakoteż A'-\-fi‘ = ¹/2îT> przedstawia się wprost w postaci różnicy oj = A—A‘.

Chcąc znaleźć funkcye cos oj i sin oj możemy postąpić drogą w poprzednim art. wskazaną. Odetnijmy mianowicie na danych kierunkach odcinki OP = OP₁ = 1, i rzućmy promień OP jako też drogę łamaną OP'Z³, gdzie OP' = cos A, P/P=cos fi= sin A, t na promień OPx, natenczas otrzymamy :

cos <n = cos A cos A' -f cos fi cos fi‘, czyli :

?/

pr

u>-

Fig. 24.

cos oj —cos A cosi'4-sini sini', wzór znany z gonio-metryi w postaci : cos (i—i') = cos i cosi'4-sini sini', skąd, jak powyżej, lub pomocą rzutów promieni OP i linii łamanej OP‘P na prostą PD, prostopadłą do drugiego ramienia OPj, znajdziemy: sin w —sin (i—i') = sini cos i' — cosisini(

cotg i cotg A‘ -f 1 cotg i'—cotg i

za

przeto: tgoj=tg(i—i')

tg i— tg i'

14-tg i tg i'

cotg OJ

— 29 -

13. Warunki prostopadłości i warunki równoległości dwóch kierunków.

Z pośród kątów co, jakie dwa kierunki (A,) i (i',-), (i—1, 2, n), mogą zawierać między sobą, zasługują na szczególniejszą uwagę kąt prosty i kąt równy zeru. W pierwszym przypadku są oba kierunki do siebie prostopadłe, a że dla co = 90⁰, coscu=0, przeto warunek prostopadłości dwóch kierunków

i'=.71

(A;) i (ź/) przedstawi się w postaci:    cos A{ cosź/=0.

i= 1

Dla kierunków (A fi v) i (ź' /1' ^') przestrzeni będzie ten warunek miał

kształt :

cos i eosź'-pcos fi cos fi‘ + cos v cos v'=0, a dla kierunków (A) i (A') na płaszczyźnie :

cos A cosź' + sin A sinA‘ = 0, czyli A—A/=i!₂n.

W drugim przypadku, gdy co=0°, są oba kierunki tożsamościowe, (t. j. wpadają w jeden kierunek, gdy wychodzą z tego samego punktu, albo są równoległe, gdy wychodzą z dwóch różnych punktów, nie należących do tego kierunku), a że w takim razie jest sin&>=0, przeto warunek tożsamości kierunków (i,-) i (A‘i), (i=l, 2,..., ri), przedstawi się w postaci:

cos A-i cos Ak 2 cos AA cos Ak‘

cos Ai cos Ak cos Ai cosAk‘

=0, a więc w szeregu warunków

, k= 1

czyli cos A; cos A'k—cos ź/cos ź*=0, (i,Jc —1,2,..., w), z których otrzymujemy jako warunek tożsamości kierunków (A,) i (A‘i) szereg równych stosunków:

cos An cos An‘ ’

cos A2 cos A‘₂

Oznaczmy przez h wspólną wartość tych stosunków, tedy będzie :

cos A

cos A'

i. -n

1=71

cos Al—k . cos A‘i, (i

= 1, 2, ... n), a więcej* cos²ź₍=7c² cos²ź/, skąd otrzymujemy

1=1    i = 1

&²—1, czyli £=±1. Dla Æ= +1, a więc cosź₍ = cosź/, (i=l,..,w), czyli źt=ź/, będą to kierunki równolegle równobieżne o kącie w=0; dla Jc= — 1 będzie cos Aj = —cos A‘i czyli A^A^+jt, będą to więc kierunki równoległe przeciwbieżne o kącie co = 180°.

Kierunki (Ajfiv) i {A‘ fi‘v‘) w przestrzeni są więc równoległe, równobieżne lub różnobieżne, stosownie do tego, czy:

COS A COS fl COS V

f 1 czy = —1.

COS A' COS fl‘ cos v‘

14. Twierdzenia o równych stosunkach. Mając szereg równych stosunków, możemy ich

wspólną wartość przedstawić w rozmaitych postaciach. Niech “=-^-, = ^-,= ... = &’, tedy

a + & -f c...

a—lca', b—kb‘, c = kc'

przeto {a -p b -p c -p...) = k (a'-p b‘4- & -{-...), a zatem k

Równocześnie będzie jednak także: mla = kmia‘, m₂b = km₂b‘, m₃c — km₃c‘,... przeto

■ ■■■■

(»ąa-J- m₂b ~p m₃c -f- ...) = k(mya' -\-m₂ b' -p m₃ c‘ -j-...), a zatem k =

Dalej jest a²=k²a'², b²=k²b‘², c²~k²c'², ab = k²a‘ b',

a² -p b² -p c² -p ab -p... a'² -p b'²Ą- c'² -p a' b' -p ...

— k²{a'² ~p 6<2_pc,2-p a' è'~p ...), przeto k²

h y/a² -f b² -P c² -p ab + ...

\/a'² -p b'² -p c'² -p a‘b‘ -p ...

Podobnie otrzymamy k

\/m₁a² -p m² b² -p m₃ c² -p ...

y/wj«'²-p m₂b'² -p m₃ c'²-p...

m^aĄ- m₂b -f m₃c-\- ••• wi\ a'-p m₂b‘    m₃ c‘ -p ..."

a więc a²-f- b² + c² -)- ab -|-... =

a zatem :

ogólnie :

₇ V/an m₂ bn -|- «z₃ c”-j- ...

^ ~ n/- —    '

v mla‘n -(- mtb‘n -j- m₃c'n -f-...

To znaczy: jeżeli mamy szereg równych stosunków (ułamków) i utworzymy pewne wyrażenie jednorodne «-go stopnia z poprzedników a następnie takież same wyrażenie z następników, natenczas stosunek «-tycli pierwiastków tych wyrażeń jest równy wartości tych stosunków.

Wiedząc n. p., że dostawy kątów X, [g v, jakie kierunek w przestrzeni tworzy z trzema osiami układu prostokątnego, są proporcyonalne do liczb a, b, c, możemy obracliować stąd

same dostawy kierunkowe. Otrzymujemy bowiem:

cos X_cos [t_cos v

y/COS²X -f- COS²[X -f- COS²V _

\/a²-}- &² -|- c²

\/a²+6²+c²

zatem :

cosX =

cos p

cos v

V/a²-f è²+c²

V/ a²-f-&²-}-c²

15. Kierunek odległości dwóch punktów. Dwa punkta M[£i) i P{xi)

w odległości MP=r, wyznaczają kierunek MP, który tworzy z dodatniemi kierunkami osi OX, układu kąty a,-, (i=l, i..n); te kąty znajdziemy dzie teoryi rzutów odcinka r na osie OX,, z wzorów —^==r. cos skąd znaj-xi-ti

\/a²4-&²+c²

na zasa-

dziemy cos ot,-

(i=*l, 2...w), czyli stosunki

Dwa punkta .M(£, rf) i P(æ, y) wyznaczają więc kierunek o kątach

(a, ß), gdzie

cos a

cos ß

a? - f

czyli

cos a

y-n V/(Æ-£)²-Hy-??²

y—v

cos /?

Dwa punkta    r], Ç) i P (x, y, z) przestrzeni trójwymiarowej wyzna

czają kierunek o kątach a, /?, y, gdzie zachodzą stosunki: cos a cos ß cos y

y—f] z—t, V{x—|)² + (y—^)²-f (*—£)²

X

skąd otrzymujemy: cos a=-

cos ß

y—n

cos y= — r

16. Układy ukośnokątne osi. Dotąd odnosiliśmy punktu P do układu osi wzajemnie prostopadłych , wychodzących z pewnego punktu początkowego O przestrzeni, określając w końcu spółrzędne punktu P, jako rzuty promienia OP na poszczególne osie tego układu. Nic nie przeszkadza uogólnieniu stosownemu tego określenia spółrzędnych punktu, biorąc za podstawę układ osi pod pewnemi kątami do siebie nachylonych , a wychodzących z przyjętego punktu początkowego O przestrzeni wielowymiarowej. Taki układ osi nazywamy układem ukośnokątnym w przestrzeni wielowymiarowej. Przejdźmy po kolei począwszy od przestrzeni dwuwymiarowej (bo w przestrzeni jednowymiarowej jest tylko jedna oś), możliwe określenia

spółrzędnych punktu P odnośnie do przyjętego układu ukośnokątnego.

17. Spółrzędne punktu na płaszczyźnie odnośnie |P do układu ukośnokątnego. Spółrzędnym punktu P | na płaszczyźnie możemy nadać rozmaite znaczenie ^ I¹ geometryczne, jeżeli osie X‘X i Y Y układu zawierają

-pL* dowolny kąt y, tworząc wówczas układ ukośno-

k ą tny o kącie osiowym y (fig. 25). Jako spółrzędne punktu P odnośnie do tego układu możemy przyjąć odległości punktu P od osi YY‘ i XX⁷, mierzone w kierunku osi XX‘ i YY‘, mianowicie 0Q‘ — Q"P=x,

X'

y"

p>

a'

Fig. 25.

OQ“ = Q‘P—y. Spółrzędne (x, y) tego rodzaju nazywamy s po łr z ę d n e m i ukośnokątnemi odnośnie do układu XOY o kącie osiowym y.

18.    Możemy też jako spółrzędne punktu P obrać odległości prostokątne punktu od osi X‘X i Y'Y, a mianowicie: P‘P=x', P'P—y¹. Spółrzędne (#', y‘), punktu P nazywamy w tym razie spółrzędnemi prostokątnemi punktu P odnośnie do układu ukośnokątnego (y).

19.    Proste PP i PP“, prostopadłe do osi układu, wyznaczają na osiach odcinki 0P‘ — f, OP“ = r], które mogą być również obrane jako spółrzędne punktu P. Przedstawiają one w tym razie rzuty promienia OP na osie układu ukośnokątnego (y). Promień OP=r i kąt POX—a tworzą spółrzędne biegunowe punktu odnośnie do osi biegunowej 0X.

20.    Każdy z tych rodzajów spółrzędnych, wziętych z odpowiednie mi znakami, wyznacza dokładnie położenie punktu P na płaszczyźnie, a nawzajem każdemu punktowi P odpowiada tylko jedna para odpowiednich spółrzędnych.

21. Związek między temi rodzajami spółrzędnych otrzymamy na podstawie twierdzenia o rzutach linii łamanej. Jakoż rzucając promień OP i linię łamaną OQ'P kolejno na osie X‘X i Y‘Y otrzymamy:

r cos a=xĄ-2/cos y=f r cos (y—a)=öccosy + y=«7

Rzucając zaś promień OP i linię łamaną OQ'P kolejno na proste prostopadłe do osi X'X i Y‘ Y, otrzymamy wzory :

r sin a—y sin y=y‘.........( )

r sin(y— a)=aćsiny=ać'........( )

. . (1)

• (2)

co

22. Powyższe wzory dozwalają jeden rodzaj spółrzędnych wyrazić przez wszystkie inne, jeżeli znany jest kąt osiowy y. W szczególności otrzymamy z wzorów (1) i (3):

r‘²=x2jry2jr2xy cos y, zatem r~vx²Ą-y²Ą-2ty cos y, wzór, podający odległość punktu P od początku układu ukośnokątnago (y), gdy znane są spółrzędne ukośnokątne (x, y) punktu odnośnie do tego układu.

Ze stanowiska geometry! elementarnej jest to długość przekątni rówńoległóboku ukośnokątnego, przesuniętej przez wierzchołek kąta y tego równolegloboku.

23. Spółrzędne punktu odnośnie do układu ukośnokątnego przestrzeni.

Położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej może być także wyznaczone przy pomocy ukośnokątnego układu osi. W tym celu

przyjmujemy w punkcie początkowym O, (fig. 26.) trzy proste OX, O Y, OZ, nachylone pod kątami; ~2^YOZ=a, X.ZOX=ß, XXOY=y, jako osie układu ukośnokątnego (a, ß, y), i przesuwamy przez nie trzy płaszczyzny spółrzędne XOY, YOZ i ZOX. Jako spółrzędne ukośnokątne punktu P uważamy wtedy odległości punktu P od płaszczyzn spółrzędnych, mierzone w kierunku osi układu. W tym celu kreślimy przez punkt P trzy proste równoległe do osi, a to PQ'\\ZO, PQ"HYO, PQ"'HXO, aż przetną dotyczące płaszczyzny spółrzędne w punktach Q', Q", Q'“, zwanych także rzutami ukośnokątnemi punktu P na płaszczyzny

Qi

Ö*

'o

0‘

Fig. 26.

- 32

spółrzędne, natenczas spółrzędnemi ukośnokątnemi punktu P będą :

z=Q'P.

y=Qé,P\

x=Q“'P,

Przesuwając przez punkt P płaszczyzny równolegde do płaszczyzn spółrzędnych, wyznaczymy na osiacłi układu odcinki OQx=x, OQv — y, OQz=z, które mogą również służyć za określenie tychsamych spółrzędnych ukośno-kątnych x, y, z.

24. Połączywszy punkt P z początkiem O, otrzymamy promień wodzący OP=r, który utworzy z osiami OX, OY, OZ, kolejno kąty A, y, v. Wielkości r, A, y, v, zwane także spółrzędnemi biegunowemi punktu P odnośnie do układu ukośnokątnego {a, ß, y), możemy wyznaczyć za pomocą spółrzędnych (x, y, z) punktu P. W tym celu rzućmy promień OP i linię łamaną OQtQ'P, prowadzącą do punktu P, prostopadle na trzy osie układu, i oznaczmy rzuty promienia r kolejno przez x‘, y‘, z', natenczas otrzymamy :

(«)

x‘=r cos A—xPy cos ypz cos ß, y'=rcos y=xcos ypypz cos a, z‘=r cos v=x cos ßpy cos a + z,

Rzucając nadto linię łamaną także na promień r, otrzymamy dalszy związek :

z którego otrzymamy: r²=x.r cos Apy.r cos yPz.r cos v, czyli

r=x cos Ap y cos y Pz cos v,

(&)

r² = xx⁴+yy¹ -j- zz‘.

(c)

stąd

Uwzględniając związki (a) otrzymamy stąd : r²=x(xPy cos ypz cos ß)Py{x cos ypypz cos a)pz(x cos ßPy cos apz), czyli r² =x² P y² P z² p2xy cos y p2zx cos ßp 2yz cos a, r=Vx² Py²P z² + 2 xy cos y + 2 zx cosßp %yz cos a, wzór, podający odległość punktu P od początku O układu (a, ß, y), gdy znane są spółrzędne ukośnokątne (x, y, z) tegoż punktu.

Ze stanowiska geometryi elementarnej wzór ten podaje długość przekątni równole-głościanu ukośnokątnego o bokach x, y, z, nachylonych do siebie pod kątami y, oc, 8.

25. Spółrzędne punktu odnośnie do układu ukośnokątnego w przestrzeni n-wymiarowej.

ox,

1 "1

Przyjąwszy w punkcie początkowym 0 przestrzeni n-wymiarowej n osi OX,, OX2 tworzących między sobą kąty : "ZL{OXi OXk) = otik, (i, k = 1, 2, . n), przyczem x.. — 0, wypadnie nam spółrzędnę ukośnokątną (x-) (*=1, 2, . n), punktu P określić, jako odległość punktu P od niewyobrażalnej przestrzeni spółrzędnej (n—1)-wymiarowej , (OXt X₂,.. X,._ , X/4 ,.. Xn), mierzoną w kierunku osi C)X., nie należącej do tej przestrzeni ; w tym celu należałoby przeprowadzić przez punkt P kolejno n prostych w kierunku ujemnych n osi, t. j. w kierunkach XlO, X₂0, .. XnO, aż przetną dotyczące przestrzenie (n—1)-wymiarowe w punktach Q\i Qh •• Qn, które byłyby rzutami ukośnokątnemi punktu P na przestrzenie spółrzędne (n—l)-wymiaro'we, otrzymane kolejno przez opuszczenie jednej osi OX,, OX₂,.. OXH. Według tego byłoby: x^QxP, x₂= Q.₂P, ... xn=QnP.

Przez punkt P przestrzeni n -wymiarowej przechodziłoby analogicznie n prostych w kierunku osi OXt, OX₂, . OXn układu ukośnokątnego, a każda grupa (n—1) prostych tego rodzaju wyznaczyłaby przestrzeń (n—l)-wymiarową , równoległą do odpowiedniej przestrzeni spółrzędnej {n— l)-wymiarowej, przechodzącej przez 0.

Każda taka przestrzeń (n—l)-wymiarowa, przez P przechodząca, równoległa do odpowiedniej przestrzeni spółrzędnej, n. p. (OXl, X₂, .. Xl_l, X₍.. , .. Xn), wyznacza na odpowie-dnej osi OXp nie należącej do tej przestrzeni spółrzędnej, odcinek OQxi, który może służyć za określenie spółrzędnej ukośnokątnej x{ punktu P, a więc :

26. Połączywszy punkt P z początkiem 0, otrzymamy promień wodzący OP = r, który utworzy z osiami 0X{, (t = l, 2kąty X., (* = 1, 2,..»), gdzie r, X₂, .. XB będą analogicznie spółrzędnemi biegunowemi punktu P odnośnie do układu ukośnokątnego (aj, (i, k = 1, 2, .. «). Promień OP i linię łamaną (OÇt Ç₂...Çt_i Qi—Qn—jP), złożoną z odcinków:

00,=^ = 0^, QyQ^x,H0QxV .., Q^Q—xJ/OQ^ .. Qn_iP=xJ/OQxn,, a prowadzącą do punktu P, rzućmy prostopadle na poszczególne osie 0X{. (i = 1, 2, .. «) przyjętego układu ukośnokątnego i oznaczmy rzut prostokątny promienia rna oś 0X^ przez x*v natenczas otrzymamy « równań :

æï = r cos X,.=xi cos aH + x% cos a2i -fas, cos    + ..+a?w cos «wi,

_ (i=l, 2, .. «).

Rzucając nadto powyżej wymienioną linię łamaną także na promień r, otrzymamy dalszy (« -j- 1)—szy związek :

(1)

z którego wypływa :

v — cosXj -f- x₂ cos X₂-f..-J- xi cos X^ -\-~Ą-xn cos X

(2)

czyli

r² — xx. r cos \ + x₂. r cos X₂-j-..4-a~. r cos X,.    xn. r cos \

r'l=XiX^+x%x₂ ‘+..+xixi'4-.. 4 ocnxn\ Uwzględniając « związków pod (1), otrzymujemy z (3):

ri = xl(xi cos alt4-a;₂cos a₂₁4-..+a?f cos    cos anl)-j-

+ «2(0?!COS «₁₂-f tyCOS «22 +••+«;COS a.24-..+ a?nCOS «„2)+

(3)

4-

a że

4-»n(x₁COS alw+ *2 COS «2n4--+^-COS    +«i»⁰⁰⁸ aj,

«,-,•=0, zaś <xik = <xki: przeto po wykonaniu wskazanych działań otrzymujemy: r² = xj² 4- V +..4 V + 2a*a* cos «₁₂ + 2aąa^cos «₁₃ +..4- 2xn_J xn cos W}

i, fc =»j,

i—n

czyli

^»2

ife ?

(4)

wzór na odległość początku 0 układu od punktu P przestrzeni n-wymiarowej, który jest określony « spółrzędnemi ukośnokątnemi x., (t = l, 2..«), odniesionemi do układu ukośnokątnego (aj, (t, fc = 1, 2,. «) tej przestrzeni.

27. Odległość dwćcli punktów przestrzeni wielowymiarowej, odniesionych do układu ukośnokątnego tej przestrzeni. Niech będą P(x{) i P'J/) dwa punkta przestrzeni «-wymiarów ej, odniesione do układu ukośnokątnego «-osiowego o kątach osiowych: (aj, (*', k — 1, 2, .. «), natenczas na podstawie wzoru, który podaje odległość punktu od punktu początkowego, (4) art. 26., otrzymujemy wprost wzór :

i=n

na odległość 8 danych punktów przestrzeni P(aJ i P‘(x') i, k — n

0² J^x-x/y 4- 2 2 (*<-*/)(**-**)

i = 1    i, k = 1

Na płaszczyźnie czyli w przestrzeni dwuwymiarowej wypadnie stąd na odległość dwóch punktów P(x, y) i P'(a?', «/'), odniesionych do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, wzór : 8² = {x—x')'¹4- (2/ — 2/')² 4 2 (x—x‘) (y—y‘) cos y.

W przestrzeni trójwymiarowej odległość punktów P(x, 1/, 2) i P'(*', y', 2')? odniesionych do układu ukośnokątnego o kątach osiowych a, ß, y, przedstawi się wzorem :

8² = (x—x'Y -f- {y—y'Ÿ 4- (z—z')'¹ -f 2 (x—x‘) (y—y¹) cos y 4-4- 2 (;y—y') (z—z') cos a 4- 2 (z—z¹) (x—x‘) cos ß.

COS <xik

(5)

(5o)

(»)

28. Kąt nachylenia dwóch kierunków przestrzeni wielowymiarowej, odniesionych do układu ukośnokątnego tejże przestrzeni. Niech będą (X₍.) i (X/) kątami, jakie dwa kierunki OP i OP' przestrzeni «-wymiarowej tworzą z osią 0X{ układu ukośnokątnego «-osiowego tej przestrzeni.

Oznaczywszy przez w kąt nachylenia tych kierunków, rzućmy promień OP=r, tudzież linię łamaną (0QxV„ P), prowadzącą z punktu początkowego 0 do punktu P, a złożoną z odcinków ukośnokątnych, xt, x₂...xn, kolejno równoległych do osi 0Xt, OX2 układu ukośnokątnego, najpierw na promień OP', natenczas otrzymamy :

r . cos w = aącos Xj'-f- a:₂cos X₂'-j-..-j- xn cos X ',

— cos X/4-    cos Xj'4-..-f- —” cos XB'.

0Xn, danego

cos tü =

Br. Dziwiński Wykłady Matematyki I.

KATEDRA i ZAKŁAD

MATEMATYK! WYDZIAŁU INŻYNIERII

W KRAKOWIE

xi

gdzie stosunki —, (i— 1,2, n), pomiędzy spółrzędnemi ukośnokątnemi (x{) punktu P a jego

promieniem r, otrzymamy z równań pierwszego stopnia :

r cos = xi cos alt. -j- a:₂ cos *2i +... xi cos *H +••+ xn cos

(* — !> 2, .. »),

jakie wypadają, jeżeli promień r i linię łamaną (OQxi..P), prowadzącą z 0 do P, a złożoną z odcinków ukośnokątnych xi,xî).. xn., rzucimy kolejno na osie 0X-, (i = 1,2, .. n). układu.

(7)

X.

Połóżmy — = co8X{, rozumiejąc przez co8 X;, rzut ukośnokątny jednostki promienia OP na

oś 0Xi, i uważajmy te stosunki, między spółrzędnemi ukośnokątnemi x. a promieniem r punktu P, jako wyznaczone z równań (7), które napisać możemy w postaci:

cos X. = co§ XA . cos <xu -f- co8 X₂ . cos x2i +...+ coê \ . cos +•••+ C08 \ . cos a.ni

(i = 1, 2, .. »),

(7')

natenczas przedstawimy wzór (6) w postaci :

cos to = nm Xjcos X^-f- roa X₂cos X₂'+•••+ co* cos XM'..

i — n

=2 roa X.. cos X.'.

i=l

czyli

cos to

(8)

(8‘)

29. Mając na płaszczyźnie dane dwa kierunki OP(X, p), OP'(X', u'), odniesione do układu ukośnokątnego XOY o kącie osiowym y, otrzymujemy, rzucając promień OP=r i linię łamaną OQP na promień OP', równanie:

r cos to = x cos X'4- y cos p.', przeto cos to =-^-cos X'-j——■ cos tP, gdzie na wyznaczenie stosunków ~ i otrzymujemy dwa równania :

-Î- + X

x    . y

— cos y 4- —

r    r

r cos X = x 4* y cos Y)

r cos \i = x cos y 4* Vi

czyli

cos X —

COS [X —

cos Y)

(6a)

(7a)

skąd otrzymujemy :

cos X—cos fj. cos y

zatem wzór (6a) otrzymuje kształt

sin² y

coS X,

cos [r—cos X cos y

sin² y

cos to = raa X . cos X'-f- toa [x. cos fp,

(cos X— cos fj. cos y) cos X' (cos [i — cos X cos y) cos jx' sin² y    '

a po wykonaniu działań i stosownem uporządkowaniu otrzymujemy :

(8a)

czyli

cos to

_ COS X COS X'-j— COS [X COS [P — (cos X COS    COS X' COS [i.) COS Y

sin² y    ’

wzór, określający kąt nachylenia to, zawarty między dwoma kierunkami (X, p.) i (X', |P). na płaszczyźnie, odniesionemi do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y.

COS to

30. Mając w przestrzeni trójwymiarowej układ ukośnokątny OXYZ o kątach osiowych a, ß, y, do którego odniesione zostały dwa kierunki przestrzeni , OP(X, p, v,) i OP (X', jj.', v'), zawierające kąt to, otrzymujemy:

r cos to

czyli :

cos to =

x cos X' -j- y cos p'4- z cos v',

cos v',

przyczem

czyli

r cos X =■ x -f- y cos y 4" z cos P? r cos [i = x cos Y + ?/ + z cos a) r cos v = x cos ß !) cos a 4

cos X =

COS [X = — cos r

(76)

(7'fc)

skąd otrzymujemy

x cos X sin² « 4 cos u. (cos ß cos a—cos y) 4- cos v (cos y cos a —cos ß) r    1—cos² a—cos'² ß—cos² y + 2 cos a cos ß cos y

y cos X (cos a cos ß—cos y) -j- cos jj. sin² ß -f- cos v (cos y cos ß — cos a)

= coê X,

1—cos² a—cos² ß- cos² y 4- 2 cos a cos ß cos y z cos X (cos a cos y— cos ß) -f- cos H- (cos ß cos y—cos a) 4 cos v sin² y 1—cos¹ «—cos² ß —cos ² y -j— 2 cos a cos ß cos y

-s

co§ JJ-,

COê v,

zatem wzór (66) otrzymuje kształt:

cos w = ro0 x . COS X'4- tö« jj. . COS tOń V . COS v', skąd po wprowadzeniu wartości za ukośne coë X, co3 jj., co§ v, otrzymujemy

COS X COS X' sili¹ a 4- (cos jj.' COS v 4- COS Jj. COS v') (cos ß COS y—COS a) 4- &

1—COS² a —COS² ß—COS² y 4“ 2 COS a COS ß COS y gdzie znak & wyraża, że następuje tu jeszcze po dwa takich wyrazów, podobnych do pierwszych dwu, odpowiadających parom (jj., jj.') i (v, v').

cos Cl) =

(8'6)

31. Kierunek odległości dwóch punktów przestrzeni wielowymiarowej, odniesionych do układu ukośnokątnego tej przestrzeni. Dwa punkta P(xt) i P'(a?/), odniesione do układu ukośnokątnego OXl X₂ .. XĄ o kątach osiowych a^, (i, Jc, 1, 2 .. n), wyznaczają kierunek PP', który tworzy z osiami OX. (i — 1, 2 .. n) układu kąty oc, (i = 1,2.. n).

Celem wyznaczenia tych kątów, rzućmy odcinek d=PP', łączący punkta IXxi) i P'{xi)i kolejno prostopadle na poszczególne osie OXt, (i = 1, 2 .. »), układu ukośnokątnego (a^), (i, 1c = 1, 2 .. n), natenczas otrzymamy n równań kształtu :

¹

(xk~xk) cos %

²

V S (*<-<»/)* 4- 2 S (»,—*/) (xk-xk’) cos «■*

d COS a. = (a?! -a*') COS alf+ (x₂—x₂’) cos «ai4-...+ (»»—a«') cos *ni »

(* = 1, ¹ - n\

k = n

czyli

cos««,

d cos *• =2 (xk~xk)

*=1

(* = 1) ²) •• »)

gdzie na podstawie art. 27. wzór (5) :

i = n

di =2 (*<-*/)*+² 2    (xk~xk)cos «<*>

i,k = i

Otrzymujemy zatem :

cos a; =

32. Mając dane na płaszczyźnie dwa punkta P(x, y) i P(x\ y'\ odniesione do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, a oznaczając przez oą, a₂ kąty, jakie odcinek PP* — d tworzy z osiami OX i O Y tego układu, otrzymawy: d . cos «i =(x—x‘) 4- (y—y‘) cos y,

(ag—ag') + (■#-#') cos y

a więc : cos 04 = gdzie

d . cos a₂= (x—x‘) cos y 4~ (y—y')i

(ag—ag') cos y 4~ (y—y')

cos a₂

(9o)

d =V/(a?—x')² 4- (y—y‘) 4~ ² (ag—ag*) (y—y‘) cos y.

33. W przestrzeni trójwymiarowej otrzymamy podobnie na wyznaczenie kątów a₂, a₃, jakie prosta, łącząca punkt P(x, y, z) z punktem P'(a:', y¹, z¹), tworzy z osiami układu ukośnokątnego («, ß, y) wzory :

COS «J

(x—x‘) 4~ (y—U') cos y 4- («—«') cos ß

COS a₂'

{X—X‘) COS y 4" (y—y³) 4" («—»') COS a

gdzie

{x—x‘) COS ß 4- (y—y ) COS a 4- (* - z‘) d    ⁴

d=\/(x—x‘y 4- 2 (y—y') (z—z') cos y 4- &•

COS a₃

— 36 -

34. Związek między kątami (at.), jakie dowolny kierunek przestrzeni w-wymiarowej tworzy z n osiami układu ukośnokątnego (a.^), wyraża się na podstawie art. 27. i 31. za pomocą relacyi :

ros 04 COS «! Ą- ru» a₂COS a₂-f...+ tO» « . COS aw =1, i=n

2 roaa.cos «.=1,

*=i

której możemy także nadać postać następującą :

C0§²at + C0§² «2+-+ COS2 aw+ 2 C0§ ajCOê a₂ • cos “12+-+ 2 COê aw_₁ co8 cos n— 1,

i, Tc—ti

czyli

i =3 n

2r°*2ai+² 2 t°*ałw8“fccosaifc—x*

i — 1    i, fe ;-=l

Powyższe relacye sprowadzają się dla układu prostokątnego (“,■*= 90°) do wiadomego związku : cos^-j-.-.+cos² Xt--}-•.+ cos²XB=l.

W szczególności związek między kątami 1, [a, jakie dowolny kierunek płaszczyzny tworzy z osiami układu ukośnokątnego o kącie y, przedstawia się w postaci :

coëXcosX-j- coê [T cos ja=1, coë²X+coê²fA + 2coâXco8 ja cos y =■ 1, z której, wprowadzając wartości na co§X, coS p-, otrzymujemy tenże związek w postaci następującej :

czyli

lub

cos²X-f- cos² fj. — 2 cos X cos (a cos y sin² y

cos² X -f- cos² p.—2 cos X cos [acos y = sin²y.

Natomiast związek między kątami X, [a, v, jakie dowolny kierunek przestrzeni trójwymiarowej tworzy z trzema osiami układu ukośnokątnego a, ß, y, przedstawia się w postaci :

czyli

ru« X cos X -j- ro£ p. cos [a 4- to« v cos v = 1,

czyli m»²X -f- to»² p + roa². v 4- 2 cna X toa pcos y 4- 2 to» p to» v cos a 4- 2 to» v ma X cos ß=1, z której wprowadzając wyrażenie na co§X, co$p, co§v, otrzymujemy także postać następującą: cos² X sin² a 4- 2 cos p cos v (cos ß cos y—cos a) 4- &

1—COS² a—cos² ß—cos² y 4- 2 cos « cos ß cos y

= 1.

t

Ćwiczenia IY.

1)    Dane są dwa punkta o spółrzędnych (5, 24), (17, 29), jaką mają one odległość, a jaką punkta (1, 1, 3) i (2, —1, 1)?

2)    Odnośnie do układu o kącie osiowym 60° ma A spółrzędne (9, —4), 5(11, 7). Znaleść odległość tych punktów.

3)    Znaleść odległość punktu J.(sina, — cos ß) od punktu 5(—sinß, cos a).

4)    Znaleść punkt równooddalony od trzech punktów A(—1, 1), 5(1, 2), (7(1, —2).

5)    Znaleść punkt C równooddalony od czterech punktów przestrzeni (0, 0, 0), (0, 2, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 3).

6)    Znaleść wyrażenie na odległość dwóch punktów, danych przez spółrzędne biegunowe (r', a') i (r", a'').

7) Wierzchołkami trójkąta są A(2, 3), 5(4, —5), C(—3, —6), jak wielkie są boki trójkąta, jeżeli przyjęty układ osi jest prostokątny.

8) Wyznaczyć długość boków trójkąta, jeżeli jego wierzchołki mają takie same spółrzędne jak w 7), przyjęty zaś układ osi ma kąt osiowy y ==60°.

2 9) Wyznaczyć spółrzędne punktu równooddaloncgo od punktów (2, 3), (4, B) i (6,1), jako też samą odległość d.

10)    Kąt osiowy układu ukośnokątnego wynosi 60°. Wykreślić punkt P, którego spółrzędne ukośnokątne są x = 2, y — 3, i wyznaczyć jego spółrzędne prostokątne (a;', y'), rzutowe (Ç, r,) i biegunowe (r, ot) odnośnie do tego układu.

11)    Znaleść kąt, zawarty między kierunkami , których dostawy kierunkowe są, odpowiednio proporcyonalne do liczb (1, 2, 3) i (5, —4, 1).

12)    Znaleść odległość d dwóch punktów, danych przez spółrzędne biegunowe (r,, Xt, u, , vj) i (^2? ^2) ^2) vî)‘

- 37 —

13)    Długość odcinka’ JB=y/314, spółrzędne punktu A są ^ = 5, y\——3, odciętą punktu B jest #₂=22. Znaleść rzędną y₂ punktu B.

14)    Jaki warunek musi się spełnić, jeżeli punkt (a?1} yt) ma mieć od punktu (7, —2) odległość d = 11.

15)    Jaki warunek muszą spełnić spółrzędne (#, y) punktu P, jeżeli punkt P ma być równooddalony od punktów (2, 5) i (—11, 1).

16)    Wyprowadzić związek, jaki zachodzi między dostawami kierunkowemi, cos a i cos ß, kierunku OP na płaszczyźnie, jeżeli a i ß są kątami , jakie ten kierunek tworzy z osiami układu ukośnokątnego o kącie osiowym y.

17)    Znaleść cos kąta to, jaki tworzą dwa kierunki (X, p., v) i (X', p', v') w przestrzeni, jeżeli ich dostawy kierunkowe są kolejno proporcyonalne do liczb, (a, —6, c), (—a, b, c).

18)    Jaki kąt to tworzą kierunki, prowadzące do punktów A(a, />, c), B(bc, ca, ab).

19)    Znaleść odległość dwóch (1, 2) i (2, 1), odniesionych do układu ukośnokątnego o kącie osiowym 60°.

20)    Znaleść odległość dwóch punktów (aą, yl: zt) i (x2l y%, z₂), odniesionych do układu ukośnokątnego o kątach osiowych a, ß, y.

21)    Punkt P odniesiony do układu ukośnokątnego, (a = ß = y = 60°), ma spółrzędne a?—1, y — 2, z — 3, znaleźć jego odległość od początku i spółrzędne jego rzutów prostokątnych na osie układu.

22)    Do punktu P płaszczyzny prowadzi droga łamana, złożona z odcinka 10 m pod kątem 60° do osi OX, następnie z odcinka 5 m pod kątem 45°, wreszcie z odcinka 7 m równoległego do OX, znaleźć spółrzędne (x, y) punktu P.

23)    Do punktu P przestrzeni prowadzi promień OJ —16 w kierunku osi OZ, następnie odcinek JP = 8⁻5, nachylony do osi 0X pod kątem ) —30°, a do osi O Y pod kątem p.—90°, wreszcie odcinek CP=12,6 w kierunku X = |j. = v. Znaleźć spółrzędne punktu P.

24)    Znaleść odległość 8 dwóch punktów A, P, skoro znamy ich spółrzędne biegunowe A(r', X', ja', v'), B(r", X", [P', v"), odniesione do układu prostokątnego osi.

25)    Znaleść kąt nachylenia oj (1) dwóch kierunków (X,ąi) i (X', |P) na płaszczyźnie, jeżeli kąty tych kierunków odniesione zostały do osi iikładu ukośnokątnego o kącie osiowym y, (2) dwóch kierunków, OP i OP', prowadzących do punktów P(x, y), P'(x\ «/'), jeżeli spółrzędne punktów P i P‘ odniesione zostały także do układu (y).

26)    Jak wielki jest kąt w przestrzeni oj =P0P', jeżeli wierzchołek 0 kąta leży w początku układu prostokątnego, a punkta P i P' mają odnośnie do tego układu spółrzędne 0*5 y, z) i O', y', z').

27)    Podać wielkość kąta POP'w stopniach, jeżeli (1) punkt P ma spółrzędne x—y— z=1, P' ma zaś a?'=l, y'=—1, z‘=ï ; (2) jeżeli dane są punkta 0(1, 2, 3), P(2, 2, l), P(®, 2, 4).

Rozwiązania IV. 1) 13, 3. 2) 12, 124... 3) 2cos —4) (jf, 0).    5) (₂, 1, f),

u

7) y/68, V/50, Vm.

(Ve,(J, 4), (v/22, t*«=y v/äj.

12) d² = (r₂ cos X₂— rt cos Xj)² 4- &.    13) Dwa punkta możliwe Pt(y₂ =2) i P₂(y₂'==—8).

14) x₁²-|-?/₁² — 14a:₁-|-4^ = 68. 15) 26 x -f- 8y-\- 93 = 0. 16) cos² a 4 cos² ß—2cosxcosßcosy=sin²y.

19) 1.

6) S² = r'² -{- r"²—2 r‘r" cos (a"—a').

3)    ( 3³ j 3 )) ^ ⁼ 3 V/50.

10)

⁸)    Y/ö2, Y/57, Y/151.

U) “

~2"

17)

cos oj

a²_|_ft2_c2

a² 4 5² -j- c²’

18) cos

20'

3 abc

Y/«² ô² -j-c²y/ï²c² 4 c²a² -j- a²ó²

21)    5,    P*(1),    P,(4),    P,(5),

O = V/(«2 ~xi y + 2 (y₂ — 2/1 ) («2 —«i ) COS a 4- &.

22) (15-5..., 19-1...), (23) (12-26..., 7-3..., 27-5...).

24)    o² = r'²4- r"²—2r'r"(cosX' cosX"-j- cos [Pcos [P'4 cos v'cos v").

cos X cos X' -f cos cos fP (cos X cos jP -j- cos X' cos [t) cos y

25)    (1) cos oj =

(2)

COS OJ =

sin²X

xx‘Ą- yy‘-\- {xy‘4 x‘y) cos y

xx‘ 4- yy‘ 4- zz‘

26) cos oj = ——    ¹    ¹    -.

y/*² 4 y“¹ ~1~ 2²V/r'² 4 y'² 4

\/xi-\-yi-\-2xycos^\/xl'l-\-y'^-\-2x‘y/cos y

27) (1) 70°31'44", (2) 36°52'12".

Literatura. Böklen 0. Analytische Geometrie des Raumes, Stuttgart 1884. Frischauf. Elemente der absoluten Geometrie, 1876. Steczkowski. Geometrya analityczna, Kraków 1859.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zasady i wzory goniometryi ukośnokątnej.

2.    Rozmaite określenia spółrzędnych punktu i związki między niemi zachodzące.

¹

= 1

²

V S (*<-<»/)* 4- 2 S (»,—*/) (xk-xk’) cos «■*

³

wzór na wyznaczenie kąta a., jaki odcinek, łączący dwa punkta (x;) i (aj/) przestrzeni wielowymiarowej, odniesiony do układu ukośnokątnego    (*’, Jc — 1, 2 .. n), tej przestrzeni,

⁴

tworzy z osią OXi tego układu.

Wykład IV.

Zmiana układu spółrzędnych.

1.    Spółrzędne danego punktu JP zależą od układu osi, do którego dany punkt się odnosi. Zmiana układu osi wywołuje zmianę spółrzędnych tegoż punktu. W przestrzeni jednowymiarowej rostrzyga o jedynej spółrzę-dnej danego punktu P wyłącznie położenie punktu początkowego O, w przestrzeniach dwu-, trzy- i wogóle w-wy miarowych rostrzyga o dwóch, trzech i w ogóle o n- spółrzędnych danego punktu P nie tylko położenie punktu początkowego, lecz także kierunki osi układu. Zajmijmy się najpierw zmianą początku układu.

2.    Niech będzie dany punkt Pprzestrzeni jednowymiarowej XX' (fig. 27),

Fig. 27.

X'

natenczas spółrzędną jego, odniesioną do początku O, będzie OP=x. Przesuńmy teraz punkt początkowy O w kierunku dodatnim OX do punktu O' o długość 00'=% i przyjmijmy punkt 0‘, jako nowy początek, natenczas spół-rzędna punktu P, odniesionego do początku O' będzie 0,P=xt, przyczem zachodzi między spółrzędnemi związek: OP=O0‘ Ą- O'P, a więc

x=%-{-x'.

Jest to wzór na wyrażenie spółrzędnej x przez nową x\ wywołaną przesunięciem początku O o £ w kierunku OX.

3. Niech będzie teraz dany punkt P przestrzeni dwuwymiarowej, który odniesiony do układu osi OXY, ma spółrzędne (x, y).

Fig. 28.

2/=^+2/',

Zmieńmy teraz początek O układu na inny 0\ którego spółrzędne, odniesione do pierwotnego układu, niech będą (£, rj), a zatrzymajmy te same kierunki osi, t. z. przyjmując O'X'I/OX, jakoteż O'Y'HOY (fig. 28). Punkt dany P będzie miał tedy, odnośnie do nowego układu, spółrzędne (x¹, y'), gdzie x'=0'Q, -X y‘=QP. Przesunięcie początku O do punktu 0\ który ma spółrzędne (£, t/), wywołuje przesunięcie początku O o długość £ w kierunku osi OX, a za-“X razem o długość r\ w kierunku OF, otrzymamy więc na podstawie art. 2. dwa związki : x=^Yx\

zachodzące między spółrzędnemi (x, y) a nowemi (x‘, y,s) punktu P, co zresztą widoczne także z figury,

gdyż OP‘=OOx + OxP‘=OO^Qąi PP^PlQYQP=Oi 0‘+QP,

- 39 -

4. Jeżeli dany punkt P leży w przestrzeni trójwymiarowej ima odnośnie do układu OXYZ spółrzędne (x,y,0), a odnośnie do nowego układu (OX'Y'Z')

o początku O' (£, t], £) i o osiach równoległych do odpowiednich osi pierwotnego układu (fig. 29), ma spółrzędne {cc\ y‘, z¹), to widoczna, że przeniesienie początku do punktu O' (|, r\, Ç) znaczy przesunięcie początku O o £ w kierunku osi OX, o rj w kierunku osi O Y a o £ w kierunku osi OZ. Otrzymamy więc

05=1+*', t/=y+y', 2=£+s',

Z'

fu

ar

or

■-‘v

wzory :

przedstawiające związki między spółrzędnemi (x,y,0) a nowemi (x' y‘ z') danego punktu P przy zmianie początku układu bez zmiany kierunków osi.

Fig. 29.

Wzory te można wyprowadzić wprost z figury. Jakoż płaszczyzna Z‘ O Y‘ nowego układu przetnie płaszczyznę X O Y podług prostej 0X R równoległej do O X, będzie więc x — OPK — 00 x + 0XPX = 00 x + 0XR = 00x+0'Qx = t + x‘, y = PXP' = PXR -f RP‘ = 0x O, + QxQ‘ = , + y\ z =P'P = P>Q‘ -f QP=RQx+ Q‘P = 0X0‘+ Q‘P= £+*'.

5. Ogólnie, jeżeli dany punkt P leży w przestrzeni n-wymiarowej i ma odnośnie do pewnego układu OXiX₂..Xn spółrzędne x-n (i=l, 2, ... n), a odnośnie do nowego układu 0/Xi/X₂'..Xn/, którego początek O' odnośnie do pierwotnego układu ma spółrzędne |t- (i= 1, 2, .. n), a którego osie 0⁾Xi/, 0'X₂‘y.0 Xn\ mają kierunki osi OXi} OX₂, .. OXn, otrzyma spółrzędne a?/, (i=l, 2, .. w), natenczas uwzględniając, że przeniesienie początku układu z O do O' (£,;) bez zmiany kierunku osi znaczy przesunięcie punktu O o £,• w kierunku osi OXi, otrzymamy ogólny wzór :

(i=1, 2, .. n),

cechujący związek między pierwotnemi spółrzędnemi xt a nowemi x/ tego samego punktu P przestrzeni w-wymiarowej.

Xi^Çi + Xi¹

6. Zmiana kierunków osi układu 0XY, na płaszczyźnie na inny układ 0'X‘Y‘ o tym samym początku 0, powoduje zmianę spółrzędnych (jj, y) danego punktu P na nowe (x‘, y‘), których związek z pierwotnemi znajdziemy

w sposób następujący: Niech będzie dany układ prostokątny Y0X (fig. 30.), poprowadźmy oś 0X' „ -X’ w kierunku (A1}    ), gdzie    =tt/2, a oś OT

Fig 30.

w kierunku (A₂,/4₂), gdzie À₂-\-/i₂ = 7i 12, natenczas otrzymamy nowy układ osi 0X‘ Y‘ o kącie osiowym (a więc w ogólności ukośnokątny). Dany punkt P będzie miał tedy odnośnie do pierwotnego układu spółrzędne x=0P\ y = PP, a odnośnie do nowego układu spółrzędne x‘ = 0Q: y‘=QP. Rzućmy promień OP i linię łamaną 0QP kolejno na osie 0X i OY, natenczas otrzymamy dwa równania:

æ=P cos Aj +y' cos A₂, cos fix +3//cos/j₂,

(«)

v x=x‘ cosL +y‘ cos A,, czyh y=x‘ sin 4 Ą-y‘ sin

przedstawiające związek między spółrzędnemi {xxy)\(x‘,y‘) danego punktu P.

7. Gdy nowy układ OX'Y‘ jest również prostokątny (fig. 31.), naten-

JZ    TC

czas będzie X₂—= czy^ = ^i + -Q-? wystarcza

więc tu tylko znajomość kąta nachylenia nowej osi OX' względem 0X, aby położenie nowego układu było wyznaczone. Oznaczmy ten kąt przez X. Wzory transformacyjne (a) zamieniają się wtedy na następujące :

a?=a;'cosź,+y'cos^ + y=x'suiX+y‘ sin^ +ûj,

o5=ûc'cos X—i/'s’nJ,

(*)

czyli

y^x'shiX+y'eosX, inny prostokątny o tym

Fig. 31.

które służą do zamiany układu prostokątnego na samym początku 0.

8. Niech będzie teraz dany układ OXYZ w przestrzeni, do którego odniesiony dany punkt Pma spółrzędne (x,y,g). Nadajmy nowej osi OX‘ kierunek (XJ} fixi vx), osi OY(X₂, ^₂,V₂) a osi OZ\X₂₎ [i₃₎ vz), natenczas otrzymamy nowy układ OX‘Y'Z‘ (fig. 32.), do którego odniesiony punkt P niech ma spółrzędne (x‘, y¹, g⁴). Układ ten będzie wogóle ukośnokątny ; oznaczmy kąty 'X Y‘OZ‘=a, XX'OX=ß, XX‘OY‘=y, wówczas kąty (a, /?, y), zawarte między nowemi osiami, oznaczone będą wzorami :

cos ą — cos/l₂ cos Xz -f-cos fi₂ cos y₃ + cosv₂ cos v.A COS|3=COS/l3 COS żj -j- COS    cos ^-ficos v₃ cos vi

cosy=cos^j cos X₂ + cos cos ^₂ +cos vx cosv2 przyczem zachodząrelacye: cos²^ -fcos²^ + cos Vt = 1, cos²ź₂ -f-cos²^ -j-cos²^₂ = 1,

cos²2₃ + cos²/^3 + cos²^₃ = 1. Chcąc znaleźć związek między spółrzędnemi (æ, y, g) i (#',«/', g¹) danego punktu P, rzućmy promień OP i nową linię łamaną OQ.vQ‘P kolejno na poszczególne osie pierwotnego układu, natenczas otrzymamy wzory :

ac=as'cos Xi +y‘ co&X₂ + #‘ cosJ₃, y=x‘ cos^ +2/' cos y₂ + z‘ cos «=x> cos vx +y‘ cos v₂ + «' cos vz, przedstawiające związek między pierwotnemi spółrzędnemi prostokątnemi (#, y, g) a nowemi spółrzędnemi ukośnokątnemi (x\ y‘, g‘) dowolnego punktu P przestrzeni.

(a)

5>'*

Fig. 32.

CL

—X

9. Jeżeli nowy układ ma być również prostokątny, natenczas muszą być kierunki (Xx, v₁), (X₂, y2l v₂), (J₃, y₃, vz) nowych osi tak dobrane, aby obok trzech relacyi :

cosbłj -ficos²^ +cos²v₁ = l, cos²J₂ +cos²2i₂ + cosV₂—1, cos²i₃ -fcos V2;.+ cos²^2 + cos²^₃ = 1, spełniały się jeszcze warunki prostopadłości tych kierunków, czyli jeszcze trzy następujące równania:

cos^ cos X₂ -f- cos fix cos fi.₂ -fi cos vx cos v₂ — 1 cos X₂ cos X₃ -fi cos y₂ cos 2*3 + cos v₂ cos v₃ = ł cos X₃ COS Xx + COS (.i₃ cos \ix + cos v₃ cos vx — 1.

- 41 -

10.    Jeżeli n. p. układ prostokątny 0XYZ obrócimy na około osi OZ o kąt a, natenczas otrzymamy nowy układ prostokątny OX'Y'Z (fig.

33.), którego osie będą miały następujące nachylenia względem osi pierwotnego układu i

Âi—a, =90°—ci, ^=90°, ź₂=90 f-a, y.₂ = a, r₂=90°,

/Lj = 90°, ^3=90°, v₃ =0.

Oznaczy wszy przez (x, y, z) spółrzędne punktu P ^ względem pierwotnego, a przez (x', y‘, z‘) względem nowego układu, otrzymujemy z (a) związki następujące:

x=x‘ cos a — y'sin a, y=Æ'sin afi-y'cos a, z=z‘.

Obróciwszy natomiast układ osi OXYZ około osi 07 o kąt a w położenie OX'YZ¹ (fig. 34.) otrzymamy analogicznie związki między spółrzędnemi (x, y, z) i (x‘, y‘, z‘) punktu P w postaci :

x=x‘c,os a—£'sin a, y=y‘>₎ %=oc 'sin a+æ'cos a.

11.    Z powyższych wzorów transformacyjnych skorzystamy przy wyznaczaniu związków, jakie 7 zachodzą między kątami płaskiemi a kątami ściennemi dowolnego układu trzech osi ukośnokątnych, tworzących t. z. kąt bryłowy. Niech będzie dany kąt bryłowy OABC, (fig. 35.), zakreślmy z punktu O, jako

środka powierzchnię kuli o promieniu równym jednostce długości: 0A= 0B=0C=1, natenczas otrzymamy z przekroju ścian kąta bryłowego z powierzchnią kuli, trójkąt sferyczny ABC, którego boki będą miarami kątów płaskich (krawędziowych), B a kąty miarami kątów ściennych danego kąta bryłowego. Wyszukiwanie związków między kątami płaskiemi i kątami ściennemi kąta bryłowego sprowadza się przeto do wyszukiwania związków między bokami i kątami trójkąta sferycznego i tworzy przedmiot trygonometryi sferycznej.

12.    Zasadnicze wzory trygonometryi sferycznej. Przyjmijmy środek 0 kuli za początek układu (fig. 36.), jedną krawędź n. p. OB za oś OZ, ścianę

AOB za płaszczyznę Z0X a prostopadłą do niej za oś 0Y. Oznaczmy przez a, b, c boki, a przez A, B, C, kąty trójkąta sferycznego, natenczas wierzchołek C będzie miał odnośnie do przyjętego układu następujące spółrzędne (por. art. 27. W. II.): x=0Cx—0C'co8 (180°—B) =

= OC. cos (90°—a) cos (180°—B) = — sin a cos B, y=C‘Cx=0C‘sin(180Q-B) =

= OC cos (90°—a). sin (180°—B)=sin a sin B, z, = C'C= 0C. sin (90°—a) = cosa, zatem x——sin a cos B, y—sin a sin B, z=cosa.

Fig. 35.

Fig. 33.

p‘

-X

Fig. 34.

i,

,c

■A

W,

Fig. 36.

- 42

Obróćmy układ około osi OY o kąt c, tak, aby nowa oś OZ¹ wpadła w krawędź 0A, natenczas otrzymamy nowy układ prostokątny 0X‘YZ‘, do którego odniesiony punkt C będzie miał spółrzędne :

x'^-ODx^-OD. cos ^4=cos (90°—b) cos A=sinó cos A, y¹ = D‘Dx= OD.sin J.=cos (90°—b) sin .4 = sin b sin A,

D'C=OC. sin (90°—Z>)=cos b,

zatem

£' = sinó cos A, y' = sin b sin A, #'=cos b.

Związek między spółrzędnemi (x, y: z) a {x\y\zt') punktu C określają zaś wedle art. 10. równanie :

x=x' cos c—8¹ sine, y=y‘, z==x' sin c+s'cos c.

Otrzymujemy zatem następujące trzy równości:

—sin«* cos J5=sinó eosc cos A—cosb sine, sin a sin B=sin b sin A, cos ct=cos b cos c fsin b sin c cos A₉

stanowiące zasadnicze wzory sferycznej trygonometryi, z których można wszystkie inne wyprowadzić. Wzory te dowodzą zarazem, że z trzech części składowych trójkąta sferycznego można trzy inne wyrachować.

IB. Na podstawie tycli wzorów otrzymamy przez analogię następujące układy wzorów: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, cos b = cos c cos a -j- sin c sin a cos R, cos c = cos a cos b -f- sin a sin b cos C, sin a sin B — sin b sin A, sin b sin C t= sin c sin R, czyli sin c sin A — sin a sin (7,

sin a cos R •= cos b sin c — sin b cos c cos A, sin a cos C = cos c sin& — sin c cos b cos A, sin b cos C = cos c sin a — sin c cos a cos R, sin b cos A = cos a sin c — sin a cos c cos R, sin c cos A = cos a sin b — sin a cos b cos C, sin c cos R = cos b sin a — sin b cos a cos C.

sin a sin b sin c

sinR sin R sin C'

(I.)

(II.)

cm.)

Równania (I.) przedstawiają związek między trzema bokami i jednym kątem, równania II. między dwoma bokami i dwoma kątami przeciwległemu., równania III. zaś przedstawiają związek między pięcioma częściami składowemi trójkąta sferycznego. Łącząc (III.) z (II.) otrzymamy w miejsce równań (III.) następujące:

(IV.)

sin A cotg B — cotg b sin c — cos c cos A, sin A cotg C = cotg c sin b — cos b cos A, sin B cotg C = cotg c sin a — cos a cos B, sin B cotg A = cotg a sin c — cos c cos B, sin C cotg A = cotg a sin b — cos b cos C, sin C cotg B = cotg b sin a — cos a cos (7, z których każde zawiera w swym składzie już tylko cztery części składowe trójkąta sferycznego, i przedstawia związek między dwoma bokami i dwoma kątami (jeden przyległy, drugi przeciwległy) trójkąta sferycznego.

Stosując    wzory    (I.) do kąta bryłowego biegunowego , t. j. kąta    bryłowego ,    którego

krawędzie są    prostopadłe do ścian danego kąta bryłowego, a zarazem oznaczając jego    kąty

płaskie przez a',    c', a kąty ścienne przez A', R', C‘ i uwzględniając relacye :

a' Ą- A = 180°, b‘ B = 180°, c' + (7=180°/

A' + a = 180°, B‘ -\-b = 180°, <7'+ c = 180°,

otrzymamy następujący układ równań:

cos A = — cos B cos C -J-    sin B sin G cos a,

cos B — — cos C cos A -{-    sin C sin A cos b,    (V

cos C — — cos A cos B -}-    sin A sin B cos c,

przedstawiający związek między trzema kątami i jednym bokiem trójkąta sferycznego.

Na podstawie wyprowadzonych układów równań możemy rozwiązać trójkąt sferyczny w następujących sześciu przypadkach, gdy dane są (1) a,b,c: (2) a, &, C, (8) a,b,A, (4) A:B,c, (5) A, B, a, (6) A, B, C.

14. Gdy dany trójkąt sferyczny jest prostokątny, natenczas otrzymamy z wzorów (I), (II), (III), (IV) i (V) dziesięć równań szczegółowych, które dla C=90° przedstawiają się w postaci :

cos c = cos a cos b, ( sin a — sin c sin A, \ sin b — sin c sin B, |tga = tgd. sin b, \tg b — tg B sin a,

cos c = cotg A cotg B, I tg a = tg c cos B,

■ \tg b = tg c cos A,

(cos B = cos b sin A, leos A = cos a sin B.

15. Istnieje pamięciowe prawidło, obejmujące tych dziesięć wzorów. Połóżmy mianowicie «'==90°—a, b‘=90°—b, natenczas otrzymujemy, w miejsce powyższych wzorów następujący układ wzorów :

cos a' — sin c sin A = cotg b‘ cotg P, cos b‘ — sin c sin B = cotg a' cotg A, cos c — sin a' sin b' = cotg A cotg B, cos A = sin a‘ sin B = cotg b' cotg c, cos B = sin b‘ sin A = cotg a‘ cotg c.

Układ ten da się ująć w następujące prawidło spostrzeżone przez Nepera: Cosinus każdej części prostokątnego trójkąta sferycznego jest równy iloczynowi sinusów części przeciwległych, albo iloczynowi cotangensów części przyległych , przyczem zastąpić, należy przyprostokątnie a i b przez a' i b‘ czyli przez ich dopełnienia 90°—a, 90°—b.

Przy pomocy tego prawidła łatwo przeprowadzić rozwiązanie prostokątnego trójkąta sferycznego w którymkolwiek z sześciu możliwych przypadków.

16. Przy rozwiązywaniu dowolnych trójkątów sferycznych używa się wzorów stosownie przekształconych.

W szczególności otrzymamy z równań I i V cos a— cos b cos c sin b sin c '

A    A

skąd ze względu, że 1 cos A — 2 cos² —, 1—cos A = 2 sin²—, wypływają wzory

. 6 4-c—a sm

cos A

cos a =

cos A -J- cos B cos C

sin B sin C

cos²

cos a—cos (b -j- c)

. a 4- b -4- c

Sili

2 sin b sin c

. ,A sur—

u

cos (b—c)—cos a

2 sin b sin c

sin

sin b sin c

a—b-\-c . a-\-b—c sin

oos,f

cos A -f- cos (B— C)

cos -

sin b sin c

A—B+ C A + B—C

cos

2 sin B sin C

sin B sin C

AĄ-B+C B+C-A

cos

cos

cos A—cos (BĄ-C) _

2 sin B sin C

Kładąc a -j- b -j- c = 2s, A -f- B C= 2S, otrzymamy stąd wzory:

• •>a sinh

~2 _

sin B sin C

cos

₌ lsjn_s^-a) 8in| ₌ J V sm b sm c    2    \

sin (s—b) sin (s—c)

sin b sin c

cos

cos (S-B) cos (S—C)

sin B sin C

. a

sm —

cos S. cos (S—A)

sin B sin C

(VI.)

które podobnie dla wszystkich boków i kątów trójkąta sferycznego ustawić się dają, dozwalając wyznaczyć kąty trójkąta sferycznego, gdy dane są jego boki i naodwrót.

17. Wzory Gaussa. Uwzględniając relacye :

A + B

sin

. A

sm cos

u

A . B ± cos sm-,

cos

A±B

= cos

A B _ . A . — cos —₊sin — sm

otrzymamy pó wstawieniu wartości analogicznych do (VI) : sin (s—b)sin (s — a)

sin

A±B

sine

. cos

A + B sms + smfs-c)

cos-=-= —--^-i--

smc

. sin

a stąd po wykonaniu łatwych uproszczeń :

. A + B sm—2“

. A—B SIn 2~

. a—b Sm —

aos —

cos

cos

c

Sili

cos

AĄ- B

cos

a Ą- b

cos

A—B

. aĄ-b

sm~2~

. C sm —

COS

. C

sm —

. c

sm ~2

wzory, znane pod nazwą wzorów Gausssa, wyrażające związki między wszystkiemi bokami i wszystkiemi kątami trójkąta sferycznego.

18. Analogie Nepera. Dzieląc przez siebie parami odpowiedne równania (VII) otrzymamy jeszcze następujące :

cos

cos

² . c « + &'cotg2’

. a—b sm ———

tga-±l

⁶ 2

cos

A—B

2    C

+l,cotg¥

. a -+

sm 2 A-B

(VIII.)

sin

, a—b 2~

sin 2

wzory, zwane analogiami Kepera. Używa się ich zazwyczaj przy rozwiązywaniu trójkąta sferycznego, gdy dane są dwa boki i kąt między niemi zawarty, względnie dwa kąty i bok im przyległy.

19.    Wiedząc, że wszystkie trzy kąty płaskie kąta bryłowego wynosić muszą razem

mniej aniżeli 360°, mamy nierówność 0 <C» -j- b -f- c C 360°, a stosując ją także do kąta biegunowego, otrzymamy 0    b'-\- c'<C360°, z której wypływa:

0d80°-^+180⁰—180°— C< 360°, czyli 180°«C4+.B+ C<^ 540°, a zatem suma kątów w trójkącie sferycznym wynosi zawsze więcej jak 180°. Nadwyżkę z = A -f- B -f- C—180° nazywamy przepełnieniem sferycznem.

20.    Przepełnienie sferyczne można obrachować już z samych danych boków. W tym

A B

celu wychodzimy z wzorów Gaussa na sin —-— i cos

u

przepełnienia e =A-\-BC—180°, otrzymujemy dwa wzory następujące:

a -\-h

cos

-, z których za wprowadzeniem

cos

(¥4)

a—b

cos ■—......

sin

(¥ł)

cos

cos

cos

c

sm —

cos

Pierwszy daje wzór :

cos

(f ~4)

— cos

to| o

cos

— cos

cos

C a+b c cos -g- cos —g—r cos ~2

‘«(I-i)** T=ts¥“tgfir’

czyli

drugi zaś :

cos

— cos

a 4* b

sin

c ,    aĄ-b’

C0S¥ +cos~2~

cotg (t~ t) tg t=tg i •tg ¥

+Bin(¥ł)

czyli

przeto otrzymujemy z pomnożenia obu otrzymanych wzorów :

,    , s , s—as—b, s—c

t8T = tg¥t«— l«TlsT’

wzór znany pod nazwą wzoru L’ h u i 1 e r’ a.

- 45 -

21.    Wyznaczenie rodzaju układa, utworzonego przez trzy osie o danych

kierunkach. Przy zamianie układu prostokątnego trójosiowego OXYZ na inny układ OX‘Y⁴Z⁴ o tym samym początku, musimy znać przedewszystkiem 9 wielkości (Âi, yl5 vty, (i₂, y₂, î>₂), (i₃, ^₃, y₃), związanych trzema warunkami cos²^ -f cos²^ 4-cos²^ =1, cos²i₂+ cos V₂ 4-cos²^₂ = 1, cos²A₃ + cosV₃ + cosV₃ = 1, czyli sześć wielkości niezależnych: Ài,    ż₂, y₂, A₃, y₃, aby zaznaczyć poło

żenie nowego układu OX⁴Y⁴Z⁴ względem pierwotnego. Za pośrednictwem tych wielkości poznamy zarazem, czy nowy układ danemi wielkościami określony, jest ukośnokątny, czy też prostokątny.

W pierwszym przypadku znajdziemy wedle wzorów (a) art. 8. kąty 05, ß, y, zawarte między osiami a z tych znaleśó możemy kąty A, B, C, zawarte między płaszczyznami spółrzędnemi, na podstawie wzoru zasadniczego trygonometryi sferycznej, cos 05=cos ß cos y + sinß sin y cos A.

22.    Dwa układy prostokątne w przestrzeni. Jeżeli nowy układ OX'YZ4 jest również prostokątny, natenczas między 9 wielkościami tyt fix vx), (J₂ y.₂ v₂), ty₃ v₃), cechującemi położenie układu nowego, zachodzi sześć równań (art. 9.), jest więc sześć wielkości zbytecznych i dość by było znać tylko trzy, aby położenie wzajemne dwóch układów prostokątnych OXYZ i OX'YZ4 określić.

Euler wybiera jako takie (fig. 37.) wielkości następujące:

1)    Kąt ©, zawarty między płaszczyznami XY i X⁴Y', które niech przecinają się podług krawędzi OX1? jest on zarazem kątem między osiami OZ i OZ⁴.

2)    Kąt cp—y( Xi OX, t. j. kąt leżący na płaszczyźnie XY, zawarty między krawędzią OXj przecięcia się płaszczyzn XY i X⁴Y⁴ a osią pierwotną OX.

3)    Kąt 'ip='X Xi OX⁴. t. j. kąt leżący na płaszczyźnie XJY⁴, zawarty

z,    między krawędzią OXi przecięcia się płaszczyzn

X7 i X'Y⁴ a osią nową OX⁴. Płaszczyzna ZOZ4 prostopadła do obu płaszczyzn XY i X'X', a zatem prostopadła także do ich krawędzi OXi, niech przecina płaszczyznę XY podług prostej OYt a płaszczyznę X'Y⁴ podług prostej OY₂, natenczas kąt YlOY₂, zawarty między temi prostemi, będzie zarazem kątem, zawartym między płaszczyznami ^ XY i X‘Y\ tudzież osiami OZ i OX', a więc także kątem ©. Przy tych założeniach otrzymujemy tu cztery układy trój osiowe , prostokątne, które wychodząc z układu pierwotnego OXYZ, możemy po kolei taktyestawić, że każdy układ ma z poprzedzającym jedną oś wspólną, dochodząc w końcu do układu nowego OX‘Y'Z⁴. Będą to kolejno układy : (1) OXYZ, (2) OX^Z, (3) OXlYiZ,₁ (4) OX⁴YZ⁴. Oznaczmy przez ty, y, *), tyi,yi,#i), ty₂, y₂, ^2): tył, y', #'), spółrzędne danego punktu P odnośnie do tych układów, natenczas na podstawie art. 10. otrzymujemy następujące związki między temi spółrzędnemi :

(1) x—x^cos (p—yjsin (p, y—Æjsin (pĄ-y^cos cp,

Fig. 37.

—X*

'X'

(3) x₂ =x‘cos tfj—y'sintp, y₂ =x‘sin ip-\-y‘cos ty,

(2) xt=x₂,

y₁=y₂cos ©—s₂sin ©, zi =y₂sin @-f #₂cos ©,

Rugując z tych 9 równań liczby oci,yi,zi, #₂,y₂,£₂> otrzymamy trzy równania, przedstawiające związki między spółrzędnemi ty, y, 0) a ty', y', $'):

x=x' (cos ty cos ty—sin ty sin ty cos ©) —y'(sin ty cos ty + cos ty sin ty cos©) -j- £'sin<p sin©, 2/=Æ'(sin cp cos ty + cos cp sin ?/;cos ©)—y'(sin ty sin ty — cos ty cos ty cos®)—Pcosępsin©, £=#'sint/> sin © + f/'cos ?/> sin @+Pcos ©, znane pod nazwą wzorów Eulera.

23. Zmiana kierunków osi w przestrzeni w-wymiarowej.

Przechodząc do przestrzeni w-wymiarowej , w której układ prostokątny w-osiowy OXiX₂...Xn zamieniony został na układ w-osiowy OX‘iX‘₂...X'n, oznaczmy przez 2;*(ó, &=1, 2, ... n) kąt, jaki oś 0X; nowego układu tworzy zosią OXk pierwotnego układu, natenczas, oznaczywszy przez (a?*), (i=l, 2,... ri), spółrzędne punktu P odnośnie do pierwotnego układu OXiX₂...Xn) a przez (iXi ), (i=l, 2,... n), spółrzędne tegoż punktu odnośnie do nowego układu OX\X,₂... X‘n, otrzymamy na podstawie twierdzenia o rzutach drogi łamanej na oś OXi pierwotnego układu, wzór następujący:

kzzzn

Xi = X\C0SÀu-\-X'₂C0S 2₂j+...+#'„ COS 2JU=^j^:r/*t- COS 2

k — 1

zastępujący dla ś=l,2,... n ogółem n równań, wyznaczających pierwotne spółrzędne (xi), (i—1, 2,... w), punktu P przez nowe spółrzędne (xi), (i=1, 2, ...w), tegoż punktu. Rodzaj nowego układu OX^X^^.X^ cechują kąty osiowe (X'iX'k), zawarte między osiami OZ'* i 0Z'Æ, (i,k=l,2, ...w), określone wzorami

r~n

cos(X'iX‘k)=cosXi\cos 2*1 -(-cos 2,-₂cos2*2+... + cos lincos 2*n=^^cos lir cos 2

r=i

przyczem zachodzić muszą relacye :

COS²2;i + cos²2i2 +... + cos²lin = 1, (fc=l, 2, ... w).

24. Zmiana początku układu i kierunków osi. Jeżeli chodzi tak o zmianę początku układu, jako też o zmianę kierunków osi, natenczas te dwie zmiany uskutecznia się jedną po ^ drugiej, zaczynając od którejkolwiek z nich.

Na płaszczyźnie otrzymujemy wtedy przy zumianie układu OXY na 0,XlYt (fig. 38.) następujące dwa wzory :

--A.

x=Ç-\-x‘ cos lx +2/' cos2₂, y=7]+x‘ sin 2₄ +y‘ sin 2₃,

-X gdzie (i, rf) są spółrzędne nowego początku 0\ zaś 21 cechuje położenie osi OX‘, a 2₂ osi 0Y‘ względem osi OX pierwotnego układu , zaś (x, y) i (#', 2/') spółrzędne dowolnego punktu P odnośnie do tychże dwu układów.

W przestrzeni (trójwymiarowej) otrzymamy przy zmianie spółrzęd-nych (x,y, z) punktu O, odniesionych do układu OXYZ, na spółrzędne (P, y', 0') tegoż punktu, odniesione do _ układu (0'X‘Y‘Z¹), (fig. 39.), z połączenia odpowiednich wzorów, następujące:

x=Ç-\-x‘ cos2₁ +y‘ cos 2₂ + Pcos2₃,

Fig. 38.

ii

0'

?7

fi

Fig. 39.

(2l, /h > v\ )i (2₂, /^2J ^₂)j (^3) P°> ) ^3)’

y^rj+x¹ cos Yy‘ cos^₂ +z‘ cos/*₃,

0=f+æ' cos a^+y'cos v₂+z'cos^₃, jeżeli nowy początek O' ma odnośnie do pierwotnego układu spółrzędne (£, 17, £), a kierunki nowych osi 0'X', 0'F, 0‘Z' tworzą z kierunkami osi OX, OF, OZ, pierwotnego układu kolejno kąty

— 47 -

Ogólnie w przestrzeni n-wymiarowej odbędzie się zamiana spółrzędych (#»■), (i—1, 2,... n)} punktu P, odniesionych do układu prostokątnego OXiX₂...X₂ na spółrzędne (%‘ï), (i=l, 2,... w), odniesione do dowolnego układu 0,X₁/X<₂...X/, na podstawie w-wzorów:

=^•+2^cos^ *=1

(i =1,2, ...w),

ki i

#«=t;+æ'iCos ^i/ + r₂cos^2i +    cosWj

gdzie (§,-), (i = l, 2, ... w), określają spółrzędne nowego początku 0' al(t przedstawia kąt, zawarty między kierunkiem osi 0'X‘; nowego a kierunkiem osi 0Xk pierwotnego układu.

25. Z wzorów, przedstawiających zamianę spółrzędnych danego punktu P, odniesionych do pewnego układu prostokątnego, na spółrzędne tegoż punktu, odniesione do dowolnego innego układu , o innym początku i nowych kierunkach osi, przekonywamy się, że spółrzędne pierwotne punktu przedstawiają się przez spółrzędne nowe tegoż punktu jako wyrażenia stopnia pierwszego względem tychże nowych spółrzędnych, w których wyrazy wolne cechują położenie nowego początku, a spółczynniki przy nowych spółrzędnych zależą od kierunków nowych osi. Wyrażenia te możemy przedstawić w następujących postaciach:

a) na płaszczyźnie:

x=a+lix,+l₂y‘, y=b-t-mxx'-\-m₂y‘ -,

b)    w przestrzeni (trójwymiarowej):

x=a-\-l₁x⁴ -\-l₂y⁴ -\-l^s⁴. y=b-\-m\X'-\-m₂y'-\-m?2', £=c+%:r'-f n₂y' + n?j^ ;

c)    ogólnie w przestrzeni w-wymiarowej ;

(*= 1, 2, - »)■

%i, == Cli +l\ iXi ⁴ +1₂ iX2⁴ + .. lniXn‘, i powiadamy, że spółrzędne punktu odniesione do pewnego układu wyrażają się liniowo przez spółrzędne tegoż punktu odniesione do jakiegokolwiek innego układu w dotyczącej przestrzeni.

Mając tym sposobem możność wyrażenia spółrzędnych punktu odniesionych do jakiegokolwiek układu, przez spółrzędne tegoż punktu, odniesione do najprościej wybranego układu w dotyczącej przestrzeni, a to jednoznacznie przez rozwiązywanie równań stopnia pierwszego, będziemy w przyszłości używali przedewszystkiem spółrzędnych punktu, odniesionych do układu prostokątnego.

ćwiczenia IV.

1)    Spółrzędne punktu (a?, y) czynią zadość równaniu: x²Ą-y²—4x—% —18, na jakie równanie w spółrzędnych x‘, y‘ zamieni się to równanie, jeżeli początek układu przeniesiemy do punktu (2, 8).

2)    Przerobić równanie 2x² -j- 3xy -f- 2y² = 4, odniesione do układu ukośnokątnego o y =-= GO0 na inne odniesione do układu utworzonego przez dwójsieczne kątów danych osi.

3)    Równanie 2x² -f- 8ay/ -j- 2y²== 4, odniesione do układu y=60°, przerobić na równanie odniesione do układu prostokątnego o tej samej osi OX.

4)    Dowieść że, jeżeli spółrzędne x, y, punktu P odniesionego do pewnego układu prostokątnego, zamienimy na spółrzędne X, Y, odniesione do innego układu prostokątnego o tym samym początku 0, natenczas x²-j-y²=X²-j-Y².

5)    Dowieść ogólnie, że przechodząc od układu ukośnokątnego y do innego ukośnokątnego y' o tym samym punkcie początkowym, mamy między spółrzędnymi («, y) i (*', y,) tego samego punktu P, odniesionego do tychże układów związek :

x² y² -J- 2xy cos y = x'² -}- y'² -f- 2x'y¹ cos y'.

— 48 -

6)    Punkt P(2,3) odniesiony do układu prostokątnego, jakie będą jego spółrzędne, jeżeli początek układu przeniesiemy do punktu (1, —1).

7)    Związek między spółrzędnemi (x, y) punktów na płaszczyźnie dany jest w postaci + //² — 4æ \-2y —1=0 , jak się przedstawi związek między spółrzędnemi tych punktów,

jeżeli punkt (2, —1) przyjmiemy za początek układu.

8)    Jak zmieni się równanie w spółrzędnych prostokątnych: y²—a:² —4, jeżeli dwój-sieczne kątów danego układu przyjmiemy, jako osie nowego układu.

9)    0 jaki kąt musi być obrócony układ prostokątny, aby oś 0X przechodziła przez

punkt (5, 7).

10)    Kąt osiowy układu ukośnokątnego na płaszczyźnie wynosi 45°, jaki kształt będą miały wzory transformacyjne, jeżeli dwójsieczne kątów danego układu przyjmiemy za osie nowego układu.

11)    Dany punkt w przestrzeni P(l, 1, 0), jakie będą jego spółrzędne, gdy przeniesiemy początek układu do punktu (—1, —2, —3), nie zmieniając kierunków osi.

12)    Jakie będą wzory transformacyjne spółrzędnych (x, y, z) punktu na inne (cc', y': z') odniesione do układu, którego początek leży na płaszczyźnie XOY w punkcie (1, 2).

13)    Spółrzędne punktu P są (1, 2, 3), znaleść spółrzędne tego punktu odnośnie do nowego układu osi, których dostawy kierunkowe (cosX, cos [i, cosv) są kolejno proporcyo-nalne do liczb (1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 0, —1).

14)    Przerobić równanie cc² -j- y² -j- z² -j- yz -f- xz -j- xy — «², odnośnie do układu osi określonego w zad. 13.

15)    Układ trójosiowy OIFJma kąty osiowe: 2śL(UOZ)=440°52'40", X.ZOX=114°15'54" i kąt ścienny : ~X (XZ, ZY)—90°, wyznaczyć resztę kątów.

16)    Dowieść, że w równobocznym trójkącie sferycznym :

CL    jA.

2 cos-^- si¹¹ ~2 — 1) tudzież sec A = 1 -f- sec a.

. « a    b    a    b

— sm² — cos² -g- -f- cos² — sm²

•tg^=tg4.

A    B

sin a tg — — sin b tg — = sin (a — b).

sin² ~

17) Dowieść, że w prostokątnym trójkącie sferycznym , w którym C = 90°, zachodzą następujące relacye :

~2

ts

ë 2

18) Trójkąt sferyczny rozwiązujemy w sześciu przypadkach (art, 13.) według wzorów następujących :

...    . A    ./sin (s—b). sin (s—c)

(1)    V    IrinUrno    ’

•»T-V

sin a . sin (a—a) sin b sin c !

i t. d.

cos c =

cos 4 (a—b) cos 4 (a -(- b) cos a . sin (b -(- o)

, C

cotg -ę.

tg\(A-B)

sin \ (a-b)    G

sin ^ (a -j- b)    2

gdzie cotg © = tg a . cos G ;

(3) sin B

sin b sin A

sin a

sin (c -f ?) =

(4) tg j (a + fc)

, sin (<7-J— 4¹) = cotg atgb sin gdzie tg ^ = cos b . tg A,

cos a sin 7 cos b

cos A (A—B)    , e

gdzie cotg <p = tg b . cos A.

cos

tg 4 (a—b)

sin \ (A—B) c sin \ (A+~F)' g *2’

cos C —

cos A . sin (B—<f)

(5) sin b =

sin B sin a

sin ©

przyczem cotg © = tg A . cos c ;

sin A

, cos (c + ©) =—cotg A . tg B cos 4, gdzie cotg ^ = tg a . cos B,

sin (C—v)

cos A sin cp

cos B

przyczem cotg cp = tg B . cos a ;

(6) sin = \J

cos S. cos (S—A) sin B sin C ’

przyczem 2 S = A Ą- B Ą- C. Bozwiązać trójkąt sferyczny, mając jego boki a = 70°14'10", b = 49°24'10", c — 38°46'10", i przerobić na tym przykładzie wszystkie przypadki rozwiązania.

cos (S—B) cos (S— C) sin B sin C

i t. d.

19) Dowieść że w trójkącie sferycznym tgc

cotg A cotg a 4- cotg B cotg b

cotg a cotg b — cos A cos B 20) Dowieść, że powierzchnię A trójkąta sferycznego, położonego na kuli o promieniu B, podaje wzór:

(^⁰+B°+C°—180°) = (.A+B Ą-C—x).RK ;

180°

21) Jaką powierzchnię ma trójkąt sferyczny na kuli ziemskiej (promień B = 758-48 mil geogr.), jeżeli jako wartość przepełnienia sferycznego A°-{--B⁰4-(1°—180°, znaleziono £=14-858".

(1)

22) Dowieść następujących wzorów, podających przepełnienie sferyczne: z~A-\-B-\-C—r..

V/sin s sin (s—a) sin (s—b) sin (s—c) 2 cos i a cos ^ b cos 5 c

cos

1-f- cos a -f- cos b + cos c

2 cos ^ a cos ^ b cos i c

(2) sin-i

(3) cotg-i

cotg 4 « cotg 5 & -j- cos C

sin C

23)    Dowieść, że powierzchnia F wielokąta sferycznego, położonego na kuli o promieniu B, wyraża się wzorem : F= —(«—2)r:jl?², gdzie J2 jest sumą wszystkich kątów wielokąta.

24)    Dowieść, że w przestrzeni istnieje tylko 5 wielościanów umiarowych, (ograniczonych «-kątami umiarowemi po w w jednym wierzchołku, o S ścianach, W wierzchołkach i K krawędziach) :

(1)    Czworościan

(2)    Ośmiościan

(3)    Dwudziestościan (5    20, « = 3, m = 5, W— 12, lf= 30),

(4)    Sześcian

(5)    Dwunastościan

25)    Dowieść, że suma wszystkich kątów płaskich wielościanu umiarowego o W wierzchołkach jest równą 2 (W—2) r..

26)    Dowieść, że kąt ścienny I wielościanu umiarowego, ograniczonego «-kątami po m w jednym wierzchołku, wyznacza się wzorem :

« = 3, w = 3, W— 4, K= 6), « = 3, ł» = 4, W= 6, K= 12),

(5 = 6, « = 4, m = 3, W= 8, K= 12), (5=12, « =.- 5, m = 3, W= 20, K=30).

sin i

cos

un

~2 ~~

. x sin —

n

iwykazać, że w czworościanie cos I=j, w ośmiościanie =—j, w dwudziestościanie =—|V/5, w sześcianie =0, w dwunstościanie =—l\/K

27)    Jeżeli a jest bokiem wielościanu umiarowego o S ścianach, ograniczonego «-kątami, po m w jednym wierzchołku, r promieniem kuli wpisanej, B promieniem kuli opisanej na wielościanie, F jego powierzchnią a V objętością , dowieść, że

/;=! ^"*-4 <»«%,•

₉ cotg —.

12    n

28)    Znaleźć objętość równoległościanu ukośnokątnego, który ma krawędzie a, b, c,

a kąty a, 8, y.    _

Rozwiązania IY. 1) x,'Ł-\-y,’L— 31. 2) æ'²-i-27y'²-j-12=0. 3) 3æ²-|-10y²—7Y/3.a«/=0.

6) (1,4).    7) x‘² Ą-y‘² = 6.    8) x‘y‘ = 2.    9) 58°16'57".    10) x — ,} x‘ sec ^ y‘ cosec ;

h x‘ sec ~ + $ y‘

138°15'45", 105°52'39". 18) A=110⁹51'16", R=118°56<4'/, (7=38°26/48<ł. 21) 53 mil kwadratowych. 28) abc sin 8 sin y sin A = abc\/1—cos² a—cos²ß—cos² y -j- 2 cos a cos ß cos y.

Literatura. Briot et Bouquet, Leçons de geometrie analytique, Paris 1875. Lefèbure de Pourcy, Leçons de geometrie analytique comprenant la trigonométrie, Paris 1831. Śniadecki J. Trygonometrya kulista, Wilno 1820. T. Todhunter, Spherical Trigono-metry, London 1886. A. Ozajewicz, Trygonometrya płaska i kulista, Warszawa 1891. Laska, Sphärische Trigonometrie, Stuttgart 1890.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Związek między wzorami trygonometryi płaskiej i sferycznej.

2.    Geometry a trójkąta na kuli.

3.    Teorya wielościanów umiarowych.

a , r. I r = y cotg — tang y ;

nSa²    , x

7— cotg — ;

4    Th

V-

nSra²

i/ =

cosec

13) (2V/3, 0, Y/2). 14) 4x* 4-y* 4- 0² = 2a². 15) 71°24'30",

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Wykład V.

Punkta podziału i szeregi punktów.

1. Podział odcinka prostego w danym stosunku. Mając dane dwa punkta A i B, postawmy sobie zadanie wyszukania trzeciego punktu C, któryby podzielił odległość między temi punktami w danym stosunku m:n.

Rozwiążmy najpierw to zagadnienie w przestrzeni jednowymiarowej.

spółrzędną OA = x, punkt B, zaś spółrzędną OB=x', zaś

Niech punkt A ma

X‘

Fig. 40.

szukany punkt C niech ma spółrzędną OC—X CB=X—xwedług warunku zagadnienia ma być ^ = — .przeto:

Cd 71    ^

skąd otrzymamy: n(X-x)=m(X-x'), czyli X(n—m)=nx-~mx', zatem będzie

nx—mx‘

natenczas CA=X—x, a

X—x

X—x‘ n?

spółrzędną szukanego punktu : X———

(a)

2. Jeżeli punkta A i B leżą w jakiejkolwiek przestrzeni a C jest punktem prostej, łączącej te punkta, nachylonej do osi OXt pod kątem ż,:, natenczas, rzucając punkta A{xi), B{x/), C(Xt) na oś OX{

(fig. 41.), otrzymamy: CxAx=Xi—x{—CA . cos Ai,

Xi xi m

CxBx=Xi—Xi‘=CB.cos h, zatem

CA GXAX

t. j. stosunek między odcinkami prostej w przestrzeni jest równy stosunkowi między ich rzutami czyli stosunek między odcinkami pozostaje przez rzuty niezmieniony. Wobec tego dla stosunku m:n O

m    .    ,, . v nxi mxi

——, a więc ogolme A,•=—

otrzymujemy

Xi~xi

Ax

Bx

Cx

Xi~xi

Fig. 41.

Spółrzędne punktu C wyrażają się więc przez równo-zmienne spółrzędne punktów A i B zawsze w sposób jednakowy, powyższym wzorem określony. Będzie więc n. p.

nx—mx‘

ny — my'

na płaszczyźnie : X -

w przestrzeni : X

nx—mx'

ny—my' nz—ms'

Mając więc badać stosunek między odcinkami, możemy wprost badać stosunek między rzutami tych odcinków i na odwrót, a więc możemy w tern zagadnieniu oprzeć się przede-wszystkiem na przestrzeni jednowymiarowej.

3. Stosunek pojedynczego podziału. Każdy punkt C linii prostej dzieli odległość między dwoma danemi punktami A i B tejże prostej w pewnym stosunku, który nazywamy stosunkiem pojedynczego podziału,

punkt C nazywamy punktem podziału odcinka AB. Oznaczmy    na

tenczas spółrzędna (X) punktu C przedstawi się w postaci X—-

—Xx'

(«')

i—x *

W równaniu tern, w którym x i x‘ są wiadome spółrzędne punktów Ai B, jest À dowolnym parametrem, od którego wartości zależy położenie punktu podziału C.

Wartości te zmieniać się mogą w granicach, od —oo do -f- °o. Dla X =— oo będzie

Y~x

oo

— x‘

l-i i-i

= x‘,

OO

a więc punkt C wpada w tym razie w punkt B; jeżeli À jest liczbą ujemną, natenczas odcinki CA i CB są różnych znaków, będą więc miały różne kierunki, a zatem, skoro — oo<.X<0, punkt C znajdować się będzie wewnątrz odcinka AB. Jego spółrzędna ma, gdy

W szczególności dla X == —1, będzie punkt C leżał

X =—l położymy, wartość X-

x -j-

1.+ Ï ’

x -j- x'

2 ‘

Spółrzędna środka odcinka jest zatem średnią arytmetyczną z odpowiednich spółrzę-dnych końcowych punktów tego odcinka.

w środku odcinka AB, a jego spółrzędna będzie X-

Jeźeli X = 0, natenczas będzie X—x, punkt C wpada w tym razie w punkt A.

Jeżeli X jest liczbą dodatnią , natenczas odcinki CA i CB są tego samego znaku,

punkt C leży więc zewnątrz odcinka AB i ma spółrzędna X= —

—lx‘

1—x •

W szczególności

jeżeli X jest ułamkiem właściwym, czyli 0<J.X<;1, wtedy leży C bliżej punktu A, aniżeli punktu B, czyli leży po stronie punktu A, jeżeli zaś X jest większe od 1, czyli l<X<-j-oo,

wtedy punkt C leży bliżej punktu ił jak punktu A, a więc po stronie punktu B. Dla X=l,

będzie X-

x—x‘

X—x‘

= oo, więc spółrzędna X = oo, punkt C leży wtedy w nieskończo-

,1—1

nej odległości od obu punktów A i iii od początku 0. Punkt ten leży zewnątrz odcinka A B tak po stronie punktu A, jak też po stronie punktu B i ma spółrzędna X=-j-oo albo X= — oo, obie dla wartości parametru X = 1 i to tak, że gdy X rośnie, zbliżając się do 1, X maleje, zbliżając się do X=—oo, czyli C oddala się od A, dążąc do —oo; gdy zaś X maleje, zbliżając się do 1, X rośnie, zbliżając się do X— -f-oo, czyli C oddala się od JB, dążąc do -j-oo. Możemy to zaznaczyć tak, że dla x=l—0 jest X=—oo, dla X=lJ-0 jest X=-f-oo. Oba punkta o spółrzędnych X=-f- oo i X=—oo, odpowiadających wartości parametru X=l, uważamy za jeden punkt o spółrzędnej X=+oo i nazywamy go punktem nieskończenie dalekim prostej AB.

Punktowi początkowemu 0 odpowiada X— 0, co się stanie dla X =—, t. z. punkt początkowy 0 jest punktem podziału odcinka AB o stosunku podziału x : x‘.

4. Bieg punktu podziału C, zależny od wartości l stosunku pojedynczego

x—\x‘

1-X

X 4- X-

X= — oo,

— 00 <--

X=l—0,

x‘

X—\x'

1-X ’

o,

-1,

>1,

Fig. 42.

której obok punktu ruchomego C

uzmysłowią załączona figura (fig. 42.), podaną jest wartość jego spółrzędnej X i parametru i, niezależnie od położenia punktu początkowego O.

na

- 52 -

5. W ten sam sposób zmieniają się wszystkie spółrzędne punktu C ze względu na równoimienne spółrzędne punktów J i 5, jeżeli odcinek AB jest odcinkiem prostej, leżącej w przestrzeni dwu-, trzy- lub w-wymiarowej.

Jeżeli więc (xj) i (x'î), (i —1, 2, ... n), są spółrzędnemi dwóch punktów A i B, natenczas spółrzędne (X,), (i—1,2,..., w), punktu podziału G przy sto-

Xi—Xx‘i

sunku podziału X, mają wspólny kształt X,-

1-2

(* = 1, 2, ... w)

albo :

Dla punktów na płaszczyźnie punkt C będzie więc miał spółrzędne:

a?—Xoj'

1-X

x=

dla punktów przestrzeni zaś :

y—^y'

i-x ’

cc—Xcc'

1-X

1—X ■

Powyższe równania przedstawiają przy zmiennem 2 spółrzędne punktu ruchomego C na prostej , przechodzącej przez dwa punkta A i B jakiejkolwiek przestrzeni; każde równanie z osobna podaje spółrzędne rzutu punktu C na poszczególne osie układu. Przyjmując za 2 rozmaite wartości, otrzymamy na podstawie każdego z tych równań szeregi punktów na poszczególnych osiach punktów na prostej AB w przestrzeni.

6. Stosunek anharmoniczny czterech punktów. Przyjmijmy teraz na prostej X'X dwa punkta: punkt A o spółrzędnej xx i punkt B o spółrzędnej x₂, natenczas dowolny trzeci punkt C o spółrzędnej x₃ podzieli odcinek AB

x₃—xx x₃ x₂

o spółrzędnej xi podzieli ten sam odcinek AB podług stosunku

a na

podstawie wszystkich tych równań, szeregi

CA

według stosunku:    „

CB

X, podobnież dowolny czwarty punkt D

DA xk—xx

DB

[i,

rp _rp

iA/ f,    tA/n

(fig. 43.). Stosunek obu tych stosunków pojed3mczego podziału, t. j.

CA DA

rp _rp    rp _rp

*A/q    a tX/A    tAy a

rp    /y»    rp _rp

tAyo    %Aje\    *A/a    *A/n

X

—=Jc, nazywamy stosunkiem podwójnego podziału J¹

CB ’ DB

odcinka AB przez punkta C i D, albo inaczej, stosunkiem anharmo-

Fig. 43.

nicznym czterech punktów A, B, C, D i używamy, na oznaczenie tego

stosunku, znaku (AB CD), względnie (xxx₂x₃xi), pisząc:

CA DA CB' DB

= (ABCD)=4

r

rp _rp rp _rp

iA/q    tÂy a    iAy    a    tAy a

rp__rp rp _rp

«A/ o «A/n «A/a *A/n

W stosunku anharmonicznym (ABCD)=Jc są zatem cztery punkta: pierwszy A , drugi B, trzeci C, czwarty D, z których dwa pierwsze A i B tworzą jedną parę, a dwa drugie C i D drugą parę punktów, sprzężonych z pierwszą podług stosunku anharmonicznego Jc.

7. Mając dany stosunek anharmoniczny czterech punktów: (ABCD) = Jc, możemy, znając spółrzędne xx, x₂, x₃ trzech punktów A, B, C, wyznaczyć punkt czwarty D, wedle określenia:

= Jc, względnie (xi x₂ x₃xli) =

x₃ —xx _ xx —xx

*^3    ⁷ 2    *^4    *^2

*, czyli    - yi

^    rp _ rp

A3 a₂

X4    x₂

skąd otrzymujemy: (#₄— x₂) (x₃ —xi )=k (#₄ — x±) (x₃ - x.₂), czyli:

æ₄[(æ₃—x₄)—k (æ₃ — a?₂)] = x₂ (xz— xx)—kxi(x ₃ — x₂), a zatem

kxi(x₃-x₂)-x₂ (x?>    )

jako spółrzędną szukanego punktu /).

8. Wartość /c stosunku anharmonicznego odnośnie do danej pary punktów (a^), (ty) rostrzyga o wzajemnem położeniu punktów drugiej pary. Jeżeli stosunek k jest liczbą

CA . DA CB ¹ DB

dodatnią, natenczas oba stosunki pojedynczego podziału

mają jednakowe znaki,

t. z. oba są albo jednocześnie dodatne, albo jednocześnie ujemne; punkta C, D drugiej pary, leżą więc w tym razie, albo oba zewnątrz odcinka AB, albo oba wewnątrz odcinka, (jak na fig. 44.). Przy dodatniej wartości stosunku anharmonicznego k leżą więc punkta jednej pary

X'

1)

kcO

1)

Fig. 44.

obok siebie, nieprzedzielone przez punkta drugiej pary. Jeżeli zaś stosunek anharmoniczny

k jest liczbą ujemną, natenczas oba stosunki pojedynczego podziału

ciwne znaki, t. z. jeden z nicli jest dodatny, drugi ujemny; jeden z punktów drugiej pary n. p. C leży tedy zewnątrz, drugi D wewnątrz odcinka AB, (jak na fig. 45.). Przy ujemnej wartości stosunku anharmonicznego k są więc punkta jednej pary A i B, przedzielone od siebie przez punkta drugiej pary.

CA . DA

CB DB

mają prze-

X-

fc<0

Fig. 45.

Dla k = 0, wpada punkt C w A, a D leży zupełnie dowolnie, lub D wpada w B przy dowolnem położeniu punktu C, (fig. 46.).

Dla k — cc wpada punkt C w B przy dowolnem położeniu punktu D, lub D wpada w A przy dowolnem C, (fig. 47.).

Fig. 46.

ot ba

k= 0

k — 00

Fig. 47.

(JA    D A

Dla k — 1, jest stosunek pojedynczego podziału — wpada wtedy w punkt C, (jak na fig. 48).

DB

a więc xi—x₃, punkt D

D B Fig. 48.

- 54 -

CA

DA

jeden z punktów C dzieli wtedy odcinek AB wewnątrz w tym samym stosunku, w jakim drugi punkt D dzieli ten odcinek na zewnątrz.

Jeżeli k=—1, natenczas

CB

DB

k = —1.

X.

.1

Fig. 49.

9. Przemiany stosunku anliarmonicznego. Dane dowolne cztery punkta A, B, C, D prowadzą przemianą ich porządku do 1. 2. 3. 4=4! czyli do 24 przestawień, a tem samem do 24 stosunków anharmonicznycli. Zbadajmy wartości tych. stosunków. Niech

CA X)B ₇ - .    .

CB⁼DA-k>‘^°k =

CA.DB DB.ĆA    AC.BI)    BD. AC

CB7dA ~~ I)T. CB — AD. BC BC .AD nika, że przemianą punktów każdej pary, A z B i C z D, jako też przemianą samych par A, B i C, D nie zmienia się wartość stosunku anharmonicznego k, czyli że:

{AB CD) = (BADC) = {CDAB) = (DCBA) = k.

Przemieniając dwa punkta jednej pary n. p. C i I) a więc parę (C, D) na (D, C) otrzy-

DA CA

mamy stosunek anharmoniczny (ABDC) =    =

To znaczy: Wskutek przemiany punktów jednej pary, stosunek anharmoniczny zmienia swą wartość k na odwrotną Będzie więc:

CA DA

będzie {ABCD)^=k, wtedy jest Wg- Dß

— k, czyli

CA.DB

CB.DA

. Lecz to wy-

rażenie możemy także przedstawić tak:

DA.CB 1 DB . CA k '

(A BD C) = (BA CD) = ( CD BA) = {DC AB) =

Przemieniając dwa punkta dwóch różnych par n. p. B z C otrzymamy:

CA.DB ,

z czego wy-

BA DA    BA. DC    (BC + CA) .{DB -f BC) _ DB

{AC    BC : DC — BC7DA —    BC.DA    — DA ⁺

, a że: DB-\-BCĄ- CA=DA, zaś BC = — CB, przeto

CA.DĄ CB .DA

DB f BCĄ- CA , CA.DB BC. DA

DA

{ACBD) = 1

BC.DA

czyli: {ACBD) = 1 — k.

CA

DA

Będzie zatem :

(A CB D) = ( B DA C) = ( CA DB) = (DBGA) = 1—fc, a przeto zarazem: {ACDB) — {BDCA) = {CABD) — (DBAĆ)

1—k‘

Przemieniając wreszcie punkta jednej pary (C, D) na (X), C) a następnie punkta D i B dwóch różnych par, czyli szereg punktów A, B, C, D na A, i), B, C, otrzymujemy wprost :

k—1

{ADBC)= 1 —

= /c^³ , zatem (ADBC) = (BCAD) = (CBDA) = (DA CB)

Ic

a zarazem:

{ADCB)={BCDA) = {CBAD)={DABC) =

Cztery dowolne punkta A, B, C, D, leżące na prostej, prowadzą zatem w 24 przestawieniach do sześć różnych stosunków anliarmonicznych , z których trzy są odwrotnościami

1    ^ fc_i fc

drugich trzech, jako to k, —, 1—k, -—-, —— , -—-.

10. Jeżeli {ABCD) k = —1, natenczas przemianą porządku punktów otrzymamy tylko trzy różne stosunki anharmoniczne —1, 2, i {, istnieje więc w takim razie po ośm stosunków anliarmonicznych o wartościach —1, 2 i y₂. Mianowicie jest wtedy:

{ABCD) = {ABDC) = — 1, {ACBD) = (ADCB) = 2, (ACDB) = {ADBC) = % podobne pary wartości otrzymujemy, gdy pierwszym punktem będzie punkt B, albo C, albo D.

W punktach o stosunku anharmonicznym {ABCD) = —1, możemy więc przemieniać nietylko punkta obu par razem, lub same pary między sobą, lecz także możemy przemieniać między sobą punkta jednej tylko pary, nie zmieniając przez to stosunku k = —1.

11. Do tego samego wyniku dojdziemy, rozważając wartości, jakie wyrażenie,

przybrać może wskutek możliwycli 24 przemian znaczków

x₃ —xi —xl

Xq    X^ *^2

1, 2, 3, 4. Mianowicie otrzymamy:

Çxixix₃xi) — (x.₂x₁xix₃) — (x₃xix₁x₂) = (xix₃x₂x₁) — h,

rH riè

(^*2*4*3) = (352*1*3^4) — (^3^4^2*1) = (^4*3*1*2) =" ■ » (354353 35₂35₄) — (œîæ₄a!₁a^) = (x^^x^x^) = (3543523533:4) = 1—fc,

(aj₁a5₃®₄a:2) =    — (aj₃*i 352*4) — (*4 *2 *1*3)

1—fc

(354354*2^3) — (*2*3^1 *4) = (353353354354) = (xkxxx₃x₂) = 1--jjj-

fc-1

1    Ä5

(354354353353) = (a52a:335₄ 35i) = (353 35₂ 35i35₄) = (354354.35₂ 35₃) =    ==

— b #₄—a?t ^2    #2

Na tej podstawie powiadamy, że wyrażenie lc~ —

X^

postaciową liczb 354, 35₂ , 35₃ , 35₄. Wyrażenia jednopostaciowe, t. j. wyrażenia, które nie zmieniają swej wartości wskutek przemiany liczb ogólnych, wich skład wchodzących, jak n. p. 35² -f- ?/² Ą- z², nazywamy funkcjami symetrycznemi tych liczb.

12.    Stosunek harmoniczny czterech punktów. Na szczególniejszą uwagę zasługują cztery punkta A, B, C, D, których stosunek anharmoniczny (ABGI))= — 1. Stosunek taki nazywamy stosunkiem harmonicznym, a takie cztery punkta, punktami harmonicznemi i powiadamy tedy, że para punktów (C, D) jest harmonicznie sprzężoną z parą punktów (A, B).

13.    Spólrzędne czterech punktów harmonicznych, A(xx), B(x₂), C(x₃),

/y*    ,    /y*    /y»    _/y»

WO iv j    \AJ A IVA

j est funkcyą s z e ś c i o-

Z)(a?₄), związane są relacyą :

1, czyli

/y* 'V*    /y» /y*

•AZ O    1AZ0 «A/^    iXzp

skąd otrzymujemy: (a?₄ — a?₂) (a?₃ — ^₁) = (a:l — a?₄) (a?₃ —a?₂)> przeto

(1)

373(0?! + .r₂)—2^ 07₂

2o?3—(0?! +^2)

wzór dozwalający do danych trzech punktów xx, o?₂, o?₃, wyznaczyć spółrzędną o?₄ czwartego punktu harmonicznego Z).

14. Z wzoru tego, jak niemniej z relacyi (1) wynika, że punktowi C(xz), leżącemu wewnątrz odcinka (AB), odpowiada punkt Z>, położony zewnątrz odcinka AB i nawzajem. Jeżeli punkt C ma spółrzędną o?₃ ==(074 -M₂)/2, a więc schodzi się ze środkiem odcinka AB, (fig. 50.), natenczas punkt I) ma spółrzędną o?₄=co, czyli jest punktem nieskończenie dalekim prostej X‘X.

a?₄[a?, — £1 4• #3 — a?₂]=xx(x₃ — #2) + a?₂(a?₃ —    ), czyli æ₄

(2)

Duo

X¹

0?t

07₄ = GO

Fig. 50.

Środek C odległości dwóch punktów A i B i punkt nieskończenie daleki D, prostej, przez te punkta przechodzącej , tworzą więc parę punktów harmonicznie sprzężoną z parą punktów A i B.

15. Na podstawie własności czterech punktów harmonicznych A, B, C, D, określonej'

z której wynika, że stosunki pojedynczego podziału

odcinka AB przez punkta C i D są, bezwzględnie, biorąc równe, ale przeciwnego znaku, możemy łatwo, mając na prostej, X'X dane trzy punkta harmoniczne A, B, C, wykreślić

CA DA

iA™™cb-db

CA

= -l, czyli - =

DA

DB

- 56 -

odpowiedni punkt czwarty D tej prostej. W tym celu na jakiejkolwiek płaszczyźnie, przez prostą XX przeprowadzonej, kreślimy przez punkt C, dowolną prostą EF i odcinamy FC—CE, łączymy punkt E z punktem A, a punkt B z punktem F, natenczas proste AE i BF przetną się w punkcie G, z którego wyprowadzona prosta GD, równoległa do BE, przetnie daną prostą X‘X w czwartym punkcie harmonicznym D. Na podstawie twierdzeń elementarnej pla-nimetryi j est bowiem :

CA _ CE

DA ~DQ

CF

CB

CA

DG

m, czyli dś=

DA

DB'

IG. Z związku między spółrzędnemi xux₂, x3 xk czterech punktów harmonicznych w postaci:

Fig. 51.

rf* _ 7*    /y»    _ rp

*A/q    j    tA/ r    %Aj *

sy* _____ /y»    rp _rp

*^3    ^2    ,X/4    ^ 2

1, czyli

otrzymamy przez odwrócenie

xk—X₂

x?, %2 X-2 Xljf

. X3 *^2

X2—Xi    Xk ~ J1

(rr3 ) (*®2    )    (T2 -p) ~ ^4 ,rl )

rp _/y»

\AJ f.    tAZ -j

która wypowiada, że różnica (æ₂—x^ ) jest średnią harmonicznie proporcyo-nalną między różnicami (x₃—x^) i (æ₄—x^).

To znaczy: W czterech punktach harmonicznych jest odległość punktów jednej pary średnią harmonicznie proporcyonalną między odległościami punktów drugiej pary od któregokolwiek punktu pierwszej. Własności tej zawdzięczają też takie cztery punkta, nazwę punktów harmonicznych. 17. Z powyższej proporcyi harmonicznej wynika dalej równość nastę-

stosunków proporcyę :

stąd proporcyę :

X3 X\

(3)

pująca :

X2 ~X1

i—

OCi2    00 ^

X3 X\

x!i—xi

1, z której otrzymujemy :

x₃ X\

xk — xi x₂— xi

czyli :

¹ (____1 ¹ \

2 \ xs —    £C₄ — x^ )

(4)

X2 X1

To znaczy: W czterech punktach harmonicznych jest odwrotna wartość odległości punktów jednej pary średnią arytmetyczną z odwrotnych wartości odległości punktów drugiej pary od któregokolwiek pierwszej.

18. Powyższe własności czterech punktów harmonicznych (A, B, C, D) wypływają

..    . CA AD

czyli z proporcyi — = — .

CA -j- AB DA + AB

CA

także drogą elementarną z określenia:    =

CB

DA

DB’

Otrzymujemy bowiem proporcyę: —

C-ci.

wypływa proporcya harmoniczna :

CB DB

AD

czyli

CA

AD

z której

AC—AB    AB—AD

AC

AD

. T. z. trzy odcinki AB, AC, AD

tworzą proporcyę harmoniczną, w której AB jest średnią harmonicznie proporcyonalną między AC i AD. Dalej otrzymamy stąd:

AB

AC

__AB    1 _ i / 1 i \

AD ’ CZJ1 AB 2 \AC^ ADA

własność odcinka AB jako średniej harmonicznie proporcyonalnej odcinków AC i AD.

19. Środek pary punktów.

Oznaczmy przez £ spółrzędną środka 0 pary punktów C{x₃), D(xk),

harmonicznie sprzężonej z parą punktów A{xx), B(x₂), czyli połóżmy

xz—xy

ź — V) ? ¹ wProwa3źmy £ w równanie

cechujące związek

między społrzędnemi xi,x₂,x₃,xIt czterech punktów harmonicznych, natenczas otrzymamy :

(i— (£—*2) (i—*₂) - (I—«4)'

Według założenia jest atoli: x^—x%

ê-r₃

i—% 4

“Sj—więc (i—x₃)=— (£—xj, przeto będzie: (ł-x₃) + (j—xi)

(i—x ₃)+(i—%)

a zatem :

(ł—x*) — (i-Xi)

(i—x₃) -

(l“®₃)²—*3)+(t-®₂) (£—;rs)—(£-*i)(i-x₂)= *=—(§—x₃y-(§-®i) (f—as₂) (£~•*₃) + (|—a?i)(|—■®₂)» (£—Z₃)²=(ł-Sl) (I—«2)»

skąd otrzymamy:

(5)

wzór, wypowiadający nową ciekawą własność czterech punktów harmonicznych.

Własność tę otrzymamy droga elementarna, jak następuje:

. CA AD Z proporcyi 7^=™,

CO+OA ÎO+OD

oznaczając przez 0 środek pary CD, otrzymamy :

a źe według określenia punktu 0 jest OC ——CO,

CO+OB DO -j- OB DO = —0D=— CO—OC, przeto powyższa proporcya przedstawi się w postaci:

OC—OA OAĄ-OC

skąd otrzymujemy:

~ÖB.~OC-ÖA. ÖB+ ÖC^ — ÖA. ÖC = —7)Ä.~ÖC -i-OA.OB — ÖC² -f OB. ÖC, a więc 2ÖCi = 2. Öl . OB, czyli ÖC¹ = ÖA . OB.

Odległość punktów jednej pary od jej środka jest więc średnią geometrycznie proporcyonalną między odległościami punktów drugiej pary od tegoż środka pierwszej pary. Jeżeli więc, jak na (fig. 52.) A,B, C, D, są cztery

O B

OC—OB OB -j- OC

Fig. 52.

punkta harmoniczne, z których i i 5 tworzą jedną, a C i D drugą parę punktów, a punkt 0 jest środkiem odcinka CD, natenczas OC²=OD² = OA.OB.

20. Na podstawie tej własności punktów harmonicznych, możemy łatwo do danej pary AB, wykreślić drugą harmonicznie z nią sprzężoną, której środek znajduje się w punkcie 0. Należy tylko wyznaczyć średnią geometrycznie proporcyonalną odcinków OA i OB.

X’_7ś\ drk k

Fig. 53.

X-

fc

B]

Trt

W tym celu wykreślamy w dowolnej płaszczyźnie przez X'X przechodzącej, koło na odcinku, AB, jako na średnicy, i kreślimy z punktu 0, jeżeli tenże znajduje się zewnątrz odcinka A, B, jak na fig. 53. styczną OT do tego koła, natenczas długość OT stycznej jest średnią geometrycznie proporcyonalną między odległościami O A i OB, koło o promieniu OT przetnie zatem prostą X'X w punktach C i D, z punktami A i B harmonicznie sprzężonych. Jeżeli środek 0 szukanej pary C, D znajduje się wewnątrz odcinka A, B, natenczas kreślimy w 0 prostopadłą do AB, która przetnie koło na AB w punkcie P, będzie wtedy OP średnią geometrycznie proporcyonalną między odległościami OA i OB, koło

o promieniu OP przetnie więc prostą X'X w punktach C i D, z punktami A, B, harmonicznie sprzężonych (fig. 54). Tym sposobem możemy, mając daną parę punktów

Fig. 54.

(AB), wykreślić nieskończenie wiele par, z daną sprzężonych.

— 58 —

21. Inwolucyą szeregu punktów. Jeżeli na prostej X‘X są dane pary punktów {A, B), (C, D), (E, F) i t. d., związane z pewnym punktem 0 w ten sposób, że OA . 0B= OC. OD= OE. OF=p każdej pary od pewnego stałego punktu 0 jest zawsze jednakowy, natenczas powiadamy, że te pary punktów tworzą inwolucyą zywamy środkiem inwolucyi.

Mogą tu zajść dwa przypadki, albo p jest liczbą dodatnią, albo p jest liczbą ujemną.

Jeżeli iloczyn p=OA.OB—OC. OD jest liczbą dodatną , natenczas takie pary punktów, jak (A, B), (Ć7, D) znajdują się po tej samej stronie środka inwolucyi, a taką inwolucyę nazywamy inwolucyą biperboliczną.

Jeżeli zaś iloczyn p=OA. OB=OC. OD jest liczbą ujemną, natenczas punkta jednej pary leżą po przeciwnej stronie środka inwolucyi 0, a taką inwolucyę nazywamy inwolucyą eliptyczną.

Jeżeli iloczyn p=OA.OB—OC.OD jest zerem, natenczas jeden punkt z każdej pary punktów wpada w środek O inwolucyi, a taką inwolucyę nazywamy inwolucyą paraboliczną.

Inwolucyą hiperboliczną tworzą pary punktów, w których koła, przecinające pod kątem prostym koło o promieniu Ol, przecinają prostą X'X, jak na fig. 55. (A, B), (C, D) przy środku inwolucyi 0, gdyż:

OA, OB— OC. OD = OT².    /

Inwolucyę eliptyczną tworzą pary punktów, w których r~ koła przecinające się w dwóch punktach M, N, przecinają \ prostą przez ich środki przechodzącą, jak na fig. 56. pary (A, B), (C, D) przy środku inwolucyi 0, gdyż:

OA. OB — OC. OD = OM².

czyli, że iloczyn z odległości punktów

stały punkt 0 na-

Fig. 55.

Inwolucyę paraboliczną tworzą pary punktów, w których koła styczne w jednym punkcie 0 przecinają linię prostą, przez ich środki przechodzącą.

22. Środek i cecha inwolucyi. Cztery punkta A(x^), B{x₂), C(x₃), Z)(.r₄), dowolnie dane na prostej nieograniczonej X‘X, wyznaczają już środek i rodzaj inwolucyi. Oznaczywszy bowiem przez £ spółrzędnę środka 0 inwolucyi par punktów (xi,x₂) i (a?₃,a;₄), otrzymamy na jej wyznaczenie równanie :

(t—s₂)=(£—s₃) (!—

z którego otrzymujemy:

!²—Ori+a₂) ÎArVt =!²—(^3+^4) £+*3*4

Fig. 56.

a zatem :

. x₂xk—xix2 (^3+^4)— 0*1+;®₂)

(6)

jako wzór na wyznaczenie środka % inwolucyi, przez dane dwie pary punktów (aą, x₂) i (#₃, £C₄) określonej.

Rodzaj tej inwolucyi wyznacza iloczyn p=(£—xx) (£—x₂) = (%—#₃)(f—æ₄), jeżeli w nim podstawimy za £ wyżej wyznaczoną wartość.

W tym celu otrzymujemy:

x^xK — x^{x^Ą-xk—xt) m (x₃+xi)—(xi +X₂)    ’

P = (i-x 1) (£—®₂)

Xixli—x₂ (x₃ + ^4—^2)

(r₃ + aj₄)—(xi -\-x₂)

[xzr4-j-x²i—x₁ (x₂ + a?₄)]. [ff₃ff₄Ą-x\ —x₂(x₂ + x₄)]

przeto :

[(*8 +*₄) — (»1 +*₂)]:2

wyrażenie, cechujące rodzaj inwolucyi, zwane też cechą inwolucyi.

podstawie warunku OE. OF—p,

Inwolucya będzie hiperboliczną , jeżeli cecha p wypadnie liczbą dodatnią p=c², eliptyczną, jeżeli cecha p wypadnie liczbą ujemną p —— c², a paraboliczną, jeżeli cecha p będzie równa zeru.

W każdym przypadku możemy dla danego punktu piątego E(x₅) wyznaczyć odpowiedni szósty punkt F(xQ) czyli (£ — x₅)(£-x₆)=p, z którego otrzymujemy:

i

na

& P

a więc Xq=Ę

(7)

i *^5

jako spółrzędną szukanego punktu szóstego (x₆), sprzężonego z punktem (x₅) w szeregu inwolucyjnym, określonym parami punktów (xt, x₂) i (x₃, xj).

23.    Punkta podwójne inwolucyi. Na szczególną uwagę zasługują takie pary szeregu inwolucyjnego, w których oba punkta jednej pary, schodzą się w jednym i tym samym punkcie; takie punkta nazywamy punktami podwój nemi inwolucyi. Położenie punktu podwójnego P(x/) inwolucyi o parametrze p określa równanie OPl—p, czyli (x‘ — £)²=p, zkąd otrzymujemy x'—£ = d=VV, czyli x‘=£ ±\/p, a więc x‘=£+\/p, albo x‘=£—\/p. Istnieją więc w ogólności dwa punkta podwójne inwolucyi, jeden P o spółrzędnej x' = £-ł- \/p, drugi P' o spółrzędnej x/=£—\/p. Oba leżą symetrycznie około środka 0 inwolucyi w odległości \/p.

Jeżeli inwolucya jest hiperboliczną, natenczas p=c², będzie zatem xt=£jr_ c,

(8)

a więc

x'=£-j-c} albo x‘=£—c.

Jeżeli zaś inwolucya jest eliptyczną, natenczas p=—c², będzie wtedy

x‘ = £+ c\/—i

(9)

więc x‘==£-f ci, albo x‘=£ — ci.

x‘=£

(10)

Jeżeli inwolucya jest paraboliczną., natenczas p=0, będzie więc x/=£ -f- 0, a więc tylko

W pierwszym przypadku, t. j. przy inwolucyi hiperbolicznej, mają oba punkta podwójne P i P spółrzędne rzeczywiste £ + c i £— c, nazywamy je też rzeczywiste mi punktami podwój nemi, albo punktami asymp-totycznemi inwolucyi hiperbolicznej. W drugim przypadku, t. j. przy inwolucyi eliptycznej, mają oba punkta podwójne Tl i W spółrzędne urojone i to zespolone sprzężone £+ci i £—ci, nazywamy je też urojonemi punktami podwój nemi inwolucyi eliptycznej i powiadamy, że w inwolucyi hiperbolicznej istnieją dwa rzeczywiste punkta podwójne, w inwolucyi eliptycznej zaś nie ma punktów podwójnych rzeczywistych, tylko dwa punkta podwójne urojone sprzężone. Przy inwolucyi parabolicznej wpadają oba punkta podwójne w jeden punkt t. j. w środek inwolucyi.

24.    Geometryczne określenie punktów urojonych. Inwolucya eliptyczna par punktów rzeczywistych zniewala nas do wprowadzenia pojęcia punktów urojonych w przestrzeni jednowymiarowej. Dwie jakiekolwiek pary punktów rzeczywistych na linii prostej, przedzielonych jedna przez drugą, określają już, jak widzieliśmy, dokładnie inwolucyę eliptyczną z pewną wyznaczyć się dającą cechą ujemną: p = —c² i pewnym środku 0 tejże inwolucyi, a zarazem wyznaczają dwa punkta urojone sprzężone, jako punkta podwójne danej inwolucyi eliptycznej. Na tej podstawie możemy wszystkie punkta urojone na linii prostej podzielić na pary, wzajemnie sprzężone, a każdą parą punktów urojonych sprzężonych określić geometrycznie jako wyznaczoną przez dwie pary punkt nv rzeczywistych, przedzielonych na prostej, jedna przez drugą.

25. Trzy pary punktów linii prostej tworzące inwolucyę.

Punkta podwójne P i P‘ inwolucyi odgrywają w szeregu par punktów (A, B), (C, Z)), (E, F), tworzących inwolucyę, wybitną rolę. Z ich związku z punktami każdej pary, określonego relacyą : OP²=OP‘²=OA.OB=OC.OD= . wynika na podstawie art. 19. że każda para punktów inwolucyi Ai B, P i O, E i F, ... jest harmonicznie sprzężoną z parą jej punktów podwójnych P i P', której środek jest zarazem środkiem inwolucyi. Pary punktów inwolucyi hiperbolicznej są więc sprzężone z parą punktów rzeczywistych P i P‘, pary zaś punktów inwolucyi eliptycznej są harmonicznie sprzężone z parą punktów urojonych sprzężonych 77 i 77', symetrycznie ułożonych około środka 0 inwolucyi; pary punktów inwolucyi parabolicznej są harmonicznie sprzężone z parą punktów w jeden punkt wpadającą, który jest zarazem środkiem inwolucyi.

”5

Na tej podstawie możemy się łatwo przekonać, czy dane na prostej trzy pary punktów (A, B), ((7, D), (E, F), tworzą inwolucyę. Musiałaby w tym razie istnieć para punktów rzeczywistych, różnych lub w jeden punkt wpadających , albo też para punktów urojonych sprzężona z danemi trzema parami.

Oznaczmy przez 0 środek tej pary, który byłby wówczas zarazem środkiem inwolucyi, natenczas otrzymamy żądany warunek: OA. OB= OC. OD= OE. OF.

Jeżeli przez xt, x₂, x₃, xi, x₅, x₀ oznaczamy kolejno spółrzędne danych punktów, a przez ? spółrzędną szukanego środka, natenczas powyższy warunek przedstawi się w postaci :

z której możemy znaleźć związek :

(Ü—x\) (Ç—a₂) = (Ç—x₃) (5—#₄) = (S—x₅) (Ç—a?₆),

X?X^XhXę>

x₅x₆—xix₂

xt X.₂—X₃Xi

(*i + xz) — Os + *4) _ Oa + *4) — Os -f ®₆) ~ Os + *e) — Ol + *2) ’

jaki musiałby zachodzić między spółrzędnemi danych sześciu punktów, gdyby miały tworzyć inwolucyę.

26. Szeregi punktów. "Weźmy teraz na prostej X‘X dwie pary punktów (A, B) i (A‘, 77) o spółrzędnych (x₁,x₂) i (x\,x‘₂)J i wyznaczmy dla każdej pary punkt podziału, odpowiadający stosunkowi pojedynczego podziału A, natenczas otrzymamy dla pary (A, B) dotyczący punkt podziału C o spółrzędnej

A¹ B

B‘

Fig. 57.

zaś dla pary (A¹, 77) punkt O o spółrzędnej x

X\ — Ax2 x= l-X

Nadając w równaniach:

xi — Ax2 x==    i_^    ’

parametrowi A rozmaite wartości, otrzymamy na prostej X‘X dwa szeregi punktów, jeden: A, B, C, 7), ... z równania (a), drugi : AJ, 77, C‘, Z)',... z równania (6), w ten sposób z sobą związane, że każdemu punktowi P pierwszego szeregu odpowiada pewien punkt P‘ drugiego szeregu. Będą to punkta, których spółrzędne wypadają z równań (a) i (b) dla tej samej wartości A, a punkta takie, jak P i P, nazywamy punktami odpowiedniemi.

27. Szeregi jednokreśine. Przyjmijmy w pierwszym szeregu dwa punkta

P i odpowiadające dwom wartościom Ai, i A₂ parametru A, natenczas

A.

otrzymamy stosunek anharmoniczny czterech punktów (A BP Q)=-y- ; cztery

À₂

x\ —Ax‘₂

1 -A

(a)

x=--

x\ —Ax\

1 -A

Q>)

- 61

odpowiednie im punkta w drugim szeregu : A', B', P, Q' będą miały ten

z czego wynika, że stosunek

sam

2

stosunek anbarmoniczny (A/B/P‘Q') = -A

anharmoniczny czterech dowolnych punktów jednego szeregu jest równy stosunkowi anharmonicznemu czterech odpowiednich punktów drugiego szeregu. Jeżeli więc cztery punkta jednego szeregu są harmoniczne, natenczas odpowiedne im cztery punkta drugiego szeregu są także harmoniczne, a stąd wynika dalej , że jeżeli pewne par}" punktów jednego szeregu tworzą pewną inwolucyę , wtedy pary im odpowiednich punktów drugiego szeregu tworzą również inwolucyę tego samego rodzaju.

Dwa takie szeregi punktów, określone przez jednoczesne równania :

x\ —Xx\

(U)

xx — lx%

1-A

x=~i~r

nazywamy szeregami jednokreślnemi.

Pierwszy ma tu za podstawę odcinek AB, łączący punkta A(xx) i B(x.₁) drugi zaś ma za podstawę odcinek A‘B‘, łączący punkta A\x^ i B‘(x‘₂).

28.    Szeregi punktów na prostej w przestrzeni n-wymiarowej. Wyprowadzone w poprzednich artykułach wzory, jak wzór na wyznaczenie czwartego punktu na prostej X, X‘, odpowiadającego pewnemu stosunkowi anharmonicznemu (art. 7.), wzór na wyznaczenie czwartego punktu harmonicznego (art. 13.), wzór na wyznaczenie środka inwolucyi (art. 22.), mają wprost zastosowanie przy wyznaczeniu równoimiennych spółrzędnych tychże punktów, szukanych na dowolnej prostej w przestrzeni. Cechę p inwolucyi par-punktów, leżących na dowolnej prostej , p=OA.OB, możemy wyznaczyć za pomocą cechy p; inwolucyi rzutów tychże punktów na jakiejkolwiek osi n. p. OXi (i=l, 2, ... n). Jeżeli bowiem prosta, będąca podstawą szeregu inwolucyjnego, tworzy z osią OXi kąt «, , natenczas cechą inwolucyi par punktów" tejże prostej będzie p = OA.OB

Niech środek 0 inwolucyi ma spółrzędne punkt A...X{ a B...X/, to będzie p = {t,i—#*•)(£;—x\) cos²at=jhcos²«/, gdzie ph jest cechą inwolucyi szeregu rzutów tychże punktów na osi OX,-, a więc zgodną co do znaku z cechą p. Wszystkie cechy pt, (&=1,2, ..., n), są więc tego samego znaku. Oznaczmy przez X; spółrzędne punktów podwójnych inwolucyi, natenczas będzie (art. 23.) (Xf—|i)²=^f, skąd otrzymujemy    ±V/jpt-, (i=l, 2...n), (12)

wzory na wyznaczenie wszystkich spółrzędnych obu punktów podwójnych inwolucyi, które będą punktami rzeczy wistemi, gdy p^> 0, a tern samem PiX> 0, urojonemi, gdy p <Z. 0, a tern samem Pi<i 0, a w jeden punkt wpadają-cemi , gdy p = 0.

29.    Punkta urojone. Punktami urojonemi, nazywamy punkta niewyobrażalne, których spółrzędne są liczbami urojonemi kształtu a-\-bi, gdzie a i b mogą być dowolne liczby rzeczywiste, a i jest jednostką urojoną \/—1.

Przestrzeń jednowymiarowa ma wedle tego obok oo¹ punktów rzeczywistych wyobra-źalnych, jeszcze co² punktów urojonych niewyobrażalnych, przestrzeń dwuwymiarowa ma obok oo² punktów rzeczywistych co⁴ punktów urojonych, przestrzeń trójwymiarowa obok co ³ punktów rzeczywistych, oo⁶ punktów urojonych, ogólnie przestrzeń »-wymiarowa ma obok oo” punktów rzeczywistych jeszcze co2n punktów urojonych.

30.    Punkta urojone sprzężone. Dwa punkta urojone, których spółrzędne różnią się tylko znakiem w części urojonej, jak x = a-\-bi \ x‘ — a—hi, nazywamy punktami urojonemi sprzęźonemi, jak w przestrzeni jednowymiarowej punkta A(x = a -{- a¹ i), B'(x' = a—a'i), w przestrzeni dwuwymiarowej punkta A{x — a-\-a’i, y = b-\-b'i) i B‘(x‘ =a—a'i,

ćwicz ènia Y.

1)    Dowieść, że trzy dowolne punkta A, B, C, leżące na linii prostej, mają tę własność, że suma trzech odcinków po sobie następujących AB, BC, CA, jest zawsze równa zeru, t. j., że: AB -J- BC 4 Chi = 0, i uogólnić to twierdzenie do ilukolwiek punktów: A, B, C, D,... F linii prostej , t. j., że jest zawsze AB 4 BC -j- CI) -j- ... 4 F A= 0.

2)    Dowieść, że skoro M jest środkiem odcinka AB, C jakimkolwiek punktem tej prostej, natenczas jest zawsze: CA. CB= CM^—MA²-

3)    Jeżeli M i M‘ są środkami dwóch odcinków leżących na linii prostej , jeden od-

AA' -f BB'

cinka AB, drugi odcinka A'B', dowieść, że: MM'

AB‘ -f BA‘

-2

4)    Dane są dwa punkta 41, 0? 3), B(2, 1, 4); znaleźć punkt C, który dzieli odcinek AB w stosunku 3:1 i punkt D, który dzieli powyższy odcinek w stosunku —3:1.

pł. XOY, 4(5, 5),

ty' = b — Z>'t), w przestrzeni trójwymiarowej pnnkta : A{x = a-\- a'i, y = b -\-b'i, 0 — c -j- c't) i B(x' — a — a'i, y' = b — b'i, «'= c — c't), ogólnie w przestrzeni w-wymiarowej pnnkta

A®, = «, + «',*)» ⁵(®/“«,—«/*)> (*=1,-2,...»).

31. Zagadnienia o punktach urojonych przestrzeni. Do punktów urojonych możemy zastosować zagadnienia, dotyczące punktów rzeczywistych, jak wyznaczenie odległości dwóch punktów, kierunku prostej przez nie przechodzącej i t. d. Stosując te zagadnienia w szczególności do punktów urojonych sprzężonych otrzymamy : (1) na wyznaczenie odległości dwóch punktów urojonych sprzężonych:

_ Js—n

A(as-\- as>i), B(as—as'i), (s = l, 2, ...n), wzór: 8=2Y/ — IV/ 2a‘²si dowodzący, że odległość ta jest

' s=1

zawsze urojoną, (2) na wyznaczenie środka (i;«) tych punktów wzór, Ç« = as, wzór dowodzący, że środek punktów urojonych sprzężonych jest zawsze punktem rzeczywistym. (3) na wyznaczenie kierunku prostej, przechodzącej przez dwa punkta urojone sprzężonene, wzór: cos <xs

2 as‘i

ls—n 5=1

czyli cos ois ==

a's

s—n

\ 2 <

0 = 1, 2,... n)

5 = 1

wzór dowodzący, że kierunek prostej, łączącej dwa punkta urojone sprzężone jest rzeczywistym kierunkiem przestrzeni.

Z ostatnich wzorów wynika, że przez dwa punkta urojone sprzężone da się zawsze przeprowadzić jedna prosta rzeczywista. Będzie nią prosta, przechodząca przez środek (a₄), {s = l, 2,... n), tych punktów w kierunku, określonym powyższemi dostawami kierunkowemi.

5)    Dane są spółrzędne wierzchołków trójkąta ABC, leżącego na B(l, —9), C(—2, —4). Znaleźć spółrzędne środków poszczególnych boków i spółrzędne środka ciężkości.

6)    Odcinek AB podzielony zoshał na trzy równe części. Punkt B ma spółrzędne (3, 8), najbliższy punkt podziału (4, 13), jakie są spółrzędne punktu A.

7)    Wierzchołki prostokąta są .4(0, 0), B(0, 2), (7(3, 2), Z>(3, 0), znaleźć spółrzędne

jego środka.

8)    Znaleźć środek ciężkości S trójkąta ABC i środek ciężkości 2 czworościanu A, B, C, T), jeżeli dane są wierzchołki A(xuyx,zx), B(x₂,yi,z₂), C(x₃,y₃,z₃), B{xk,yx,z„).

9)    Dany jest układ m punktów B;(x;, yn z-) w przestrzeni, podzielmy P\P₃ na dwie równe części w punkcie 4t; AYP₃ na trzy równe części, przyczem A₂ niech będzie punktem podziału bliższym do 4t, podzielimy dalej 4₂P₄ na cztery równe części, przyczem 4₃ niech będzie punktem podziału bliższym do 4₂, i t. d., znaleźć spółrzędne ostatniego punktu 4m—1, w ten sposób otrzymanego, t. z. środka średnich odległości danych punktów,

10)    Na prostej nieograniczonej dane są dwie pary punktów 4(5), B{3) i (7(4), D( 1), znaleźć stosunek harmoniczny {AB CD).

11)    Dowieść, że iloczyn stosunków anharmonicznych {ABCD).{ACBD).(ADBC) = — 1.

12)    Dane są na linii prostej cztery punkta A{xj), B(x₂), C(x₃), D{x4), dowieść, że AB. CD 4 4(7. DB 4 AD . BC = 0.

13)    Do punktów A(7), P(2), (7(27) znaleźć czwarty punkt harmoniczny D.

14)    Jakie stosunki anharmoniczne tworzą punkta xi — 0, x₂— 3, x₃ — 2, a?₄=5, przy różnych przemianach ich porządku.

15)    Na linii prostej dane są cztery punkta A. 71, C, D i dowolny punkt piąty 77, do-

PP _ 7)77

wieść, że stosunek anharmoniczny (ABCD) —

i wyprowadzić stąd, przyj-

CA    DA    BA ~ DA

(ABCD) =

BA ~CA

16) Na prostej mamy danych n punktów A(xt), B(x₂), C(x₃), Puą) ...N(xn), natenczas

»i + «2 + - + *n

nazywamy punkt P o spółrzędnej i =

środkiem arytmetycznym,

zaś punkt P‘ o spółrzędnej Sj', takiej , że :    = — (— + — +••• + —)

ę n xl x₂    xn'

, środkiem har

monicznym danych n punktów. Znaleźć (1) środek arytmetyczny, (2) środek harmoniczny czterych punktów .4(1), 77(2), (7(3), 71(4).

17)    Jeżeli dane są cztery punkta harmoniczne A, B, (7, 7), a 77 jest dowolnym punktem linii prostej , będącej podstawą powyższych czterech punktów harmonicznych, dowieść że

-    i wyrazić ten związek w spółrzędnych aą, x2l x₃. x₄, x₅ tych punktów.

18)    Dowieść, że spółrzędne aą, a?₂, x₃, x₄ czterych punktów harmonicznych spełniają x^x^— X₂) + X₂ (x₃—X₁) 4- x₃ (x₁—xi) + xi(x₂—x₃) = 0.

19. Jeżeli Są jest spółrzędną środka pary A(xt), B(x₂), zaś Ę₂ spółrzędną środka drugiej pary C(x₃\ 2)(a;₄), harmonicznie z pierwszą sprzężonej, dowieść, że: (1) x₁ x₂ -f- x₃ xi=2’ći’ż2: (2) aąa;₂(a;₄ —a?₃) +x\(^— aj₄) -f x²^(x₃— ^) = 0, (3) x₃x^x₂ — xx) + x\(t₂— x₂) -f x\ (aą — £₂) = 0, (4) xlx₃-x\ + 2ï₂(x₃-ïi) = 0, (5) (^ — ^)² == (5i —^₃) (^ — ^₄), (6) (?2-^3)² = (?2-*i)(?2-^), (7) (?1 —)² + (?₂ — «3)² = (?2—)², (8) (x₃—xi)(x₃—x₂) = (x₃—Zi)(x₃—xi),

(a?i—æ₃)². g₂—D _₂_ (^3—^1)2 (aą—-aą)²’ ^₂—x₂    (x₃—x₂y

relacyę :

(9)

£1—^3 5i — *4

20)    Dany środek M(£) odcinka J77, tudzież iloczyn odległości punktów A i B od punktu początkowego O, t. j, OA. 0B=p, wyznaczyć spółrzędne aą i x₂ punktów A i B.

21)    Dane są cztery punkta J.(0), 77(2), (7(3), P(4), znaleźć środek i cechę inwolucyi tymi punktami wyznaczonej, jako też jej punkta podwójne.

22)    Jaką inwolucyę tworzą pary punktów .4(1), 77(3) ; (7(2), 7)(5).

23)    Znaleźć środek odległości punktów P(l-j-i, 2-|-», 3-f-i) i P'(l—i, 2—i, 3—i), ja-koteż dostawy kierunkowe prostej, łączącej te punkta.

24)    Wykazać , że punkta .4(1, 0, 2), P(5, 2, 4), (7(7, 3, 5), D(9, 4, 6) leżą na linii prostej i znaleźć środek tudzież rodzaj i cechę inwolucyi, temi punktami wyznaczonej.

25)    Wyznaczyć punkta podwójne inwolucyi w zad. 24. określonej.

26)    Dowieść, że trzy punkta .4(7, 3), 27(2, —5), (7(27, 35), leżą na linii prostej i znaleźć czwarty punkt harmoniczny D we wszystkich możliwych połączeniach.

27)    Zbadać, czy trzy pary punktów [.4(2), Z7(3|)], [(7(4), Z>(—1)], [77(1), 7',(3¹¹/₁₂)], tworzą

inwolucyę.

28)    Dane są punkta podwójne inwolucyi P i P‘ o spółrzędnych Sj = |, ę = 35 , jaki punkt szeregu inwolucyjnego odpowiada punktowi M o spółrzędnej a? = 3?.

29)    Jeżeli 0(5) jest środkiem inwolucyi dwóch par punktów [.4(a5t), 77(aą)] i [C(x₃), D(xi)]1 wyprowadzić z relacyi : (i—aą) (Ç—x₂) = (£—x₃) (Ç—as₄) następujące:

(3)    = (*^3 *D ) (*^4 ~*^*i )

'    x₂    (x₃ —x₂). (x₄ —x₂y

30. Jeżeli P{x) jest punktem podwójnym inwolucyi, określonej dwiema parami punktów A(xx). B(x₂) i C(x₃), D(x₄), dowieść, że zachodzą następujące relacye:

(1)

2C₄

(2)

5—₌₌X₂—Xi 'Ż—x₃    X₃— xx

(*^₃ X\) ■ (g₄ g,) __(g—g₄)² ' fa—afr).fa—afr) __ (g—g₃)²

(x₃—x₂).(g₄—g₂)    (g—g₂)² ’ (gt — g₄) (g₂—g₄)    (g—g₄)² ’

(®₄—gj) (g—g₃) (g₂—g) = — (g₃—g₂) (g—g₄) (gj —g),

(*₃—gj) (g—g₄) (g₂—g) = — (g₄— gj) (g—g₃) Oi— g).

BI) Jeżeli P(g) i P'(x‘) są dwoma punktami podwójnemi inwolucyi , określonej dwiema parami punktów -4(gj), B{xï) i C(g₃), P(g₄), dowieść, że:

g'—g₄

g—gj

g—g₃

g'—g₃

g—g₂

g'—g₂

g'—g₄

g—g₄

32) Jeżeli punkt podwójny P inwolucyi, par punktów (g₄,g₂) i (g₃,g₄) ma spółrzędną g — co, dowieść, (a) że w tym razie zachodzą między spółrzędnemi czterech punktów, tworzących inwolucyę, następujące relacye :

(gi— g₃) (»i—g₄) = (g₂—g₃) (»2—*4)5    (*3—*1) O3—■*2) = (*4—®i)0V—^2)»

gj g₃ —g₄ g₂, gj g₄—g₃ g₂,

(&) że drugi punkt podwójnyP‘ wpada w środek każdego z obu odcinków (g₄g₂) i (g₃g₄) czyli,

że spółrzędna :

, *l + «2    #3+^4

x =    2    ⁼    2 '

33)    Dowieść, że punkta podwójne Pi P' inwolucyi określonej dwiema parami punktów (A, B) i (C, D) twoi-zą z parami (A, Z)) i (P, C) inwolucyę sześciu punktów.

34)    Jeżeli 0(5) jest środkiem inwolucyi określonej dwiema parami punktów (g1}g₂)

(g₃ —gt ) (g₄ — gt ) + (g₃ —g₂) (g₄ — g₂)

i (g₃, g₄), dowieść, że:

5-a

a_g₁ + g₂

36) Dowieść, że iloczyn z odległości dwóch punktów urojonych sprzężonych ^4(a-j-Zh) i B(a—bi), od jakiegokolwiek rzeczywistego punktu C(x) prostej AB jest zawsze rzeczywisty dodatni.

36)    Skoro z czterych punktów harmonicznych A, P, C, P, punkta jednej pary są urojone sprzężone, dowieść, że punkta drugiej pary są zawsze rzeczywiste.

37)    Jeżeli trzy pary punktów są w inwolucyi, dowieść, że stosunek anharmoniczny którychkolwiek czterych punktów wziętych z tych trzech par jest równy stosunkowi an-harmonicznemu czterych punktów parami z pierwszemi sprzężonych.

gdzie

g₃-fg₄

Rozwiązania V. 4) C($. §, §), P(f, f, h⁵)-    5) P( 5, —2),    , — 6J), P(>|, j),

Sg. 2y,

'gl + ^2+^3

)■

-8(2|, —2J). 6) (6, 23). 7) ?, 1). 8)

10) -i. 13) P(45). 14)!» 5, I, *• 16) 2V„ l¹¹/«- 20)g₁₌=ii + v/^, g₂ = ę-V/?=^.

21) 0(2-4) inw. hiperb. p=0-96, P(3.38), P'(P42). 22) Eliptyczną o środku 5 = | z cechą

, ...

P = — 5. 23) 0(1, 2, 3), ^=. 24) 0(5-8, 2-4, 4-4), p=- 5*76. 25) P(7‘76, 3-38, 5-38), P'(3-85, 1-42, 3-42). 26) P₁(4Vfl, |), P,(-6i , —18^), Ą(10J, 8j). 27) Tak. 28) g=-5.

Literatura. S. Carnoy. Cours de geometrie analytique, Paris 1881. Clebsch. Vorlesungen über Geometrie. Leipzig 1894. Steiner. Vorlesungen über synthetische Geometrie Leipzig 1864. Sągajło. Zasady geometryi analitycznej, Paryż, 1877. G. H. Niewęgłowski, Geometrya. Paryż 1869. M. Chasles, Traité de geometrie supérieure, Paris 1880.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya szeregów jednokreślnych.

2.    Własności i konstrukcye czterych punktów harmonicznych.

3.    Teorya punktów urojonych na płaszczyźnie.

Wykład VI.

Prosta na płaszczyźnie.

1. Równania linii prostej na płaszczyźnie. Szukając punktu, któryby podzielił odległość między dwoma punktami płaszczyzny w pewnym stosunku m:n=X, otrzymujemy dwa równania:

y t Xy2 y 1-X

(1)

xl —Xx2 X== 1-X

w których (xi,yf) i (rr₂,y₂) przedstawiają spółrzędne danych dwóch punktów, a (x, y) spółrzędne szukanego punktu podziału. Z tych równań możemy dla każdej wartości parametru X wyznaczyć spółrzędne x, y, odpowiedniego punktu podziału, a wszystkie te punkta w ilości oo¹ tworzą najprostszą formę jednowymiarową, przechodzącą wzdłuż najkrótszej odległości dwóch punktów, zwaną linią prostą.

Równania, które wyznaczają wszystkie punkta pewnej formy geometrycznej, nazywamy równaniami tej formy. Z tego powodu nazywamy też równania (1), podające spółrzędne x, y bieżącego punktu linii prostej, zależnie od jednego zmiennego parametru X, równaniami linii prostej, przechodzącej przez punkta (xl1yl) i (x₂,ÿ₂) płaszczyzny. Są to, jak widzimy, równania stopnia pierwszego, ze względu na spółrzędne x: y i parametr X, i dają dla każdej wartości X jeden punkt tejże prostej.

2.    Równania linii prostej możemy także inną drogą otrzymać, używając w tym celu pewnych własności linii prostej, lub stosownego jej określenia. Określmy linię prostą, jako zbiór punktów, leżących w jednym kierunku, przez pewien stały punkt przechodzącym, natenczas możemy postawić sobie zadanie, wyznaczyć spółrzędne punktu, któryby leżał w pewnym kierunku, z danego punktu wychodzącym, w pewnej odległości od niego.

3.    Równania linii prostej, przechodzącej przez punkt w (lanym kierunku.

Niech będzie dany punkt P(|, r[) (fig. 58.), a prosta, przezeń przesunięta,

niech tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-ów kąt

X, natenczas punkt M tej prostej , leżący w odległości r od punktu P(£,rf), będzie miał spółrzędne x, y, które mamy wyznaczyć. Rzućmy drogę r, prowadzącą do punktu M, kolejno na osie X‘X i YY, natenczas otrzymamy dwa równania :

x=% + r cos/l, y=i]+r sini na wyznaczenie spółrzędnych szukanego punktu.

Przyjąwszy pewien stały kierunek X prostej, możemy za r przyjmować rozmaite wartości od — oo do +co

(2)

Fig. 58.

za każdym razem otrzymamy, na podstawie powyższychró wnań pewien punkt M(x,y) prostej, przechodzącej przez dany punkt P(£, 7]) w kierunku X.

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

66 -

Ponieważ dwa równania: a5=£-j-fr*C08 2, 2/=f? + ^sin2, wyznaczają przy zmiennem r wszystkie punkta (x,y) prostej, przeto i te równania o jednym zmiennym parametrze r nazywamy równaniami linii prostej, przechodzącej przez punkt (£, r[) w danym kierunku 2.

4. Równanie symetryczne linii prostej na płaszczyźnie. Z danych równań (2) możemy parametr r wyrugować, otrzymamy tedy jedno równanie między spółrzędnemi (x,y) dowolnego punktu tejże prostej, jako to:

35—£

y—rj

x—Ź

y—n

(3)

albo :

l\ .'.

które nazywamy równaniem symetrycznem linii prostej, przechodzącej przez punkt (£, rj), a nachylonej do osi 0X pod kątem 2.

Równanie to przedstawia już związek między spółrzędnemi (x,y) każdego punktu tejże prostej i dozwala dla każdej przyjętej wartości na jedną spół-rzędnę punktu, n. p. x, wyznaczyć drugą spółrzędnę tego punktu, t. j. y.

5. Równanie prostej, przechodzącej przez dany punkt. Ostatniemu równaniu możemy nadać także postać taką :

eos 2 sin 2

(4)

y-r}=t%L{x—Ź)

skąd, kładąc tg Â=m, otrzymujemy równanie : y — rj='m{x—i), zwane równaniem prostej, przechodzącej przez punkt (£, rj). Spółczynnik dowolny m przedstawia tu tanyens kąta, jaki prosta, przez punkt P przechodząca, tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX, a swą dowolnością dowodzi, że przez każdy punkt na płaszczyźnie przechodzi go¹ linij prostych.

6. Równanie zwyczajne linii prostej na płaszczyźnie. Z równania poprzedniego otrzymujemy dalej: y=mx-\-(r\—m£), skąd kładąc rj—m£=&, otrzymamy równanie :

y=mx+b,

zwane zwyczaj nem równaniem linii prostej na płaszczyźnie. Spółczynnik b przedstawia tu odcinek, jaki prosta wyznacza na osi OD, liczony od początku układu, dla x=0 wypada bowiem z równania y = 6; prosta przechodzi więc przez punkt (o, b). Chcąc na podstawie zwyczajnego równania wykreślić prostę mu odpowiadającą, odcinamy na osi OD, odcinek OB=b (fig. 59.), a przez punkt B kreślimy prostą, nachyloną do osi 0X pod kątem 2, gdzie tang l—m.

(5)

7. Równanie odcinkowe linii prostej na płaszczyźnie. Z równania zwy-

•    mx , w .    .    ,

a więc--—-fy=l, skąd

czajnego y = mxĄ-b, otrzymujemy: -mx-\-y=b

kładąc —

= a, otrzymujemy równanie:

CD

zwane równaniem odcinkowem prostej na a, 6, przedstawiają mianowicie odcinki, jakie prosta, równaniem określona, wyznacza na osiacli układu. Dla x=0 otrzymujemy bowiem y = b, zaś dla y=0, będzie x = a, prosta przechodzi więc przez punkta A(a, o) i B(o, b) (fig, 60.).

płaszczyźnie. Spółczynniki

8. Połóżmy — ^-=w, —~=v, natenczas otrzymujemy z równania odcin-

ux+vy+1=0

kowego równanie: zwane równaniem Plückerowskiem linii prostej.

Spółczynniki u, v, przedstawiają tu odwrotne wartości odcinków, jakie prosta wyznacza na osiach układu, wzięte z przeciwnym znakiem, i nazywają się zwykle spółrzędnemi Pliickerowskiemi linii prostej na płaszczyźnie.

\y

Fig. 59.

Fig. 60.

Fig. 61.

9. Równanie normalne linii prostej na płaszczyźnie. Poprowadźmy przez początek układu prostą OC (fig. 61.), prostopadłą do danej prostej AB, i oznaczmy przez cp kąt, jaki ta prostopadła tworzy z osią 0X, a przez p długość oc tejże prostopadłej, natenczas otrzymamy: p=acos <p = bsin(p, a więc:

. Otrzymamy tedy z równania odcinkowego 1 czyli równanie :

1 cos <o 1 sin ?

,    .    .    . x cos #> . y sin œ

równanie następujące: —- ¹

(7)

x cos cp-\-y sin y=p,

zwane równaniem normal nem linii prostej.

10. Równanie ogólne linii prostej na płaszczyźnie. Gdybyśmy w którem-kolwiek z powyższych równań przenieśli wszystkie wyrazy na jedną stronę i uporządkowali podług spółrzędnych (x, y) bieżącego punktu prostej , otrzymalibyśmy równanie stopnia pierwszego ze względu na zmienne x i y ogólnego kształtu :

(8)

Ax-\-By+ C*= 0

które nazywamy też równaniem ogólnem prostej na płaszczyźnie.

11.    Równanie pierwszego stopnia między spółrzędnemi punktu na płaszczyźnie. Z dwóch równań pierwszego stopnia między spółrzędnemi x i y i dowolnym parametrem r, w postaci: # = £-}-rcos ź, y=?/-|-r sin ź, cechujących wszystkie punkta prostej na płaszczyźnie, dochodzimy więc po wyrugowaniu r ostatecznie do jednego równania pierwszego stopnia, między zmiennemi spółrzędnemi x, y w postaci ogólnej: AxĄ- By A C=o, które przedstawia związek między spółrzędnemi wszystkich punktów prostej na płaszczyźnie, z czego wnosimy, że równaniem prostej na płaszczyźnie jest zawsze równanie stopnia pierwszego: Ax-\-By + C—o.

na

12.    Naodwrót, możemy udowodnić, że wszelkie równanie stopnia pierwszego między dwiema spółrzędnemi (x,y) punktu przedstawia prostę płaszczyźnie.

Niech będzie bowiem danem równanie: Ax + By-fC — 0. Przyjmijmy jakikolwiek punkt P(£,y), którego spółrzędne sprawdzają to równanie tak, że będzie AÇ + Bt] + C=o, tedy powiemy, że punkt    należy do układu

punktów, tern równąniem przedstawionych. Wyjdźmy teraz z tego punktu PŒiV) w jakimkolwiek kierunku 2, i szukajmy dalszych punktów, sprawdzających dane równanie.

68

Przyjmijmy, że spotkamy w kierunku X taki punkt (#,?/), znajdujący się w odległości r od punktu wyjścia P(£, ^), natenczas spółrzędne tego punktu ir=^ + rcosż, y=-^ + rsin/l, musiałyby sprawdzać dane równanie. Wobec tego otrzymalibyśmy warunek: 4(£ +r cos ż)+ Z?(?/ + r sin ź)-f-(7= o czyli:

AÇ + Bp Ą-C+ r(A cos X-\-B sin X)=0,

a że + J5//+ C=o, przeto powyższy warunek sprowadza się do postaci:

r{AcosX-\-B sini)=0,

z której wynika, że albo będzie r=0 niezależnie od ż, albo będzie r dowolne, gdy kierunek X będzie tak dobrany, że będzie A cos X-\- J9sin/l=0, czyli:

tg X——Szukane punkta {x,y) leżą więc niezależnie od punktu wyjścia

wszystkie w jednym kierunku X, czyli tworzą linię prostą, a więc wszelkie równanie kształtu Ax-\-By + C=0 jest równaniem linii prostej.

13. Kóżne postacie równania linii prostej. Z równania ogólnego linii prostej na płaszczyźnie kształtu: Ax-\-By\ (7=0, możemy z łatwością otrzymać wszelkie szczególne postacie równania tej prostej.

W szczególności otrzymamy:

równanie zwyczaj ne: y=—-p, czyli y = mx-\-b, gdzie m=— przedstawia tangens kąta, jaki prosta tworzy z dodatnim kierunkiem osi X'X, zaś odcinek, jaki prosta wyznacza na osi Y Y ;

g , y

-C/Â ' — C/B

a= — Cf A, b= — C/B, są odcinkami prostej na osiach; równanie Plückerowskie:

ta! o

równanie odcinkowe:

Jß

x+-Q-y +1=0, czyli wrfvy-fl=0, gdzie u — AjC, v = BIC, są spółrzędne Plückerowskie linii prostej.

Chcąc z równania ogólnego prostej otrzymać równanie normalne, musielibyśmy pierwsze równanie pomnożyć przez pewien czynnik Æ, bliżej wyznaczyć się mający, tak aby było: JcA = cos <p , kB = sin cp , kC = — p, skąd cos© sino

otrzymujemy: k =

Y/4²-|-B¹ ’

Otrzymujemy tedy równanie normalne:

a więc k

Y/.d²+P²’

Y/4²+p:

x -f-

cos cp=

y/x²-j-.B²

Y/4²+p2 , sin cp

0, czyli x cos (p-\-y sin cp =p , gdzie

V/x² + li²‘

(9)

VAî + B'¹

Mamy tu zarazem wzory na wyznaczenie kąta nachylenia cp pionu prostej względem osi 0X, jakoteż odległość prostej od początku układu, gdy dane jest równanie ogólne prostej. Widzimy też, że kierunek prostej zależy wyłącznie od spółczynników A i B, a od spółczynnika C w połączeniu ze spółczynnikami X, B, zależy odległość prostej od początku układu.

14. Szczególne położenia prostej na płaszczyźnie zależą od wartości spółczynników 4, B, O ogólnego równania linii prostej : Aæ-\-By-\-C= 0. W szczególności, gdy C=0, otrzymujemy Ax Ą-By — O, jako ogólne, albo y = mx, jako zwyczajne równanie prostej, przechodzącej przez początek układu. Jeżeli 4=0, natenczas równanie ogólne By -\-C=0, czyli odcinkowe

X = 1, albo zwyczajne y=b, przedstawia prostą, równoległą do osi OX. Podobnie przedstawia równanie 4a?-}-C = 0, czyli ÜL = 1, albo x—a, prostą równoległą do osi 0Y.

Dla 4== C = Q otrzymujemy ogólne równanie: Iitj = 0, czyli zwyczajne: y— 0, jalco równanie osi X'X, podobnie dla D=C= 0, równanie: Ax = 0, czyli x = 0, jako równanie osi YY‘.

Dla A = B = 0 otrzymujemy równanie ogólne 0 = 0, albo raczej 0.J? -f- O.y + C= 0 jako równanie prostej, wyznaczającej na osiach układu odcinki nieskończenie wielkie, czyli równanie prostej nieskończenie dalekiej na płaszczyźnie.

15.    Wszelkie równania linii prostej na płaszczyźnie, bądź to podając spółrzędne dowolnego punktu tej prostej, zależnie od wartości pewnego parametru (X lub r), bądź to przedstawiając związek, zachodzący między spółrzędnemi każdego punktu tej prostej, a dozwalające dla każdej przyjętej wartości jednej spółrzędne] punktu (a?), wynaleśó drugą spółrzędną tegoż punktu prostej, wypowiadają zarazem pewne własności geometryczne dotyczącej prostej. Tak n. p. równania x = Ę -j- r cos X , y = rt -\-r sin X,wypowiadają sposób, w jaki możemy dojść do poszczególnych punktów prostej, wychodząc z pewnego jej punktu (Ę, rj) w jej kierunku X. Równanie zwyczajne y=mx-1-6, wypowiada, że w każdym punkcie prostej jest różnica między spółrzędną y, a odcinkiem b , proporcyonalną do spółrzędnej * tego punktu ; równanie normalne: x cos ® -j- y sin o = p, wypowiada, że rzut drogi łamanej, prowadzącej od początku układu do dowolnego punktu prostej, na pion tej prostej jest ilością stałą, równą odległości tej prostej od początku układu. Równanie prostej, przechodzącej przez dany punkt : y—t)= m(x—!•) wypowiada, że różnica między jednemi spółrzędnemi dwóch punktów tej linii jest proporcyonalną do różnicy między drugiemi dwiema spółrzędnemi tych punktów.

16.    Wykreślanie linii prostej, danej równaniem. Mając dane równanie linii prostej na płaszczyźnie, możemy zawsze wykreślić prostą, tern równaniem określoną.

W tym celu przyjmujemy na spółrzędną x dwie dowolne wartości xx, .r,, i wyznaczamy na podstawie równania odpowiedne wartości yx, y₂ dla spółrzędnej y ; tym sposobem otrzymujemy dwa punkta I\ (xl, yx ), P₂(ir₂,«/₂), które połączone dają linię prostą, danemu równaniu odpowiadającą. Jako takie dwa punkta wyznacza się najczęściej punkta, w których prosta przecina osie układu ; w tym celu otrzymujemy z równania danego dla x = 0, rzędną punktu przecięcia tej prostej z osią YY', a dla y — 0 odciętą punktu przecięcia z osią XX', a tern samem dostajemy odcinki, jakie prosta wyznacza na osiach układu, które zresztą równanie odcinkowe prostej bezpośrednio podaje.

Chcąc wyznaczyć kąt a, jaki prosta, danem równaniem określona, tworzy z osią OX układu, sprowadzamy równanie dane do formy zwyczajnej y — mx-\-b, a wtedy mamy: tg a = m.

Jeżeli równanie sprowadzone jest do formy ogólnej : Ax -\- By -\- C—]0, natenczas otrzymujemy z łatwością kąt o, jaki pion prostej tworzy z osią OX na podstawie równych stosunków :

COS co

sino p

a więc : cos ?

B c    y/IM-~£~² ’

tudzież odległość tej prostej od początku układu p

\Al²+r² ’

VÂÏ+B*

Y/.l² +r²'

17. Równanie linii prostej w spółrzędnyeli ukośnokątnyeh. Mając równanie linii prostej, odniesione do układu prostokątnego : Ax -\-By -f- (7 = 0, znajdziemy jej równanie, odniesione do dowolnego układu ukośnokątnego, używając podstawień art. 24., str. 46. :

x = ? -j- x‘ cos X -]— y‘ cos V gdzie (x,y) są spółrzędne punktu bieżącego M, odniesione do pierwotnego układu prostokątnego, ([x' y‘) zaś spółi*zędne tegoż punktu odniesione do układu ukośnokątnego, który początek w punkcie (Ç, rj), oś ()X‘ nachyloną do osi pierwotnej 0X pod kątem X, a oś 0 Y‘ pod kątem X', więc kąt osiowy y = X'—X. Wskutek tego podstawienia zamieni się równanie Ax + By -f- C = 0, między spółrzędnemi prostokątnemi (x, y) bieżącego punktu, na równanie między spółrzędnemi ukośnokątnemi (cc¹, «/') tegoż punktu :

A(£-\r cr'cos X -j- y‘ cos X') B(r\ -f- x¹ sin X -(- y' sin X') -f- C = 0 ,

y = r\ -\-x‘ sin X -f-y‘ sin Xy,

ma

czyli na równanie :

(A cos X -|- B sin X)x' -j- (A cos X' -j- B sin X')*/' -\-A\-\- Br\    C = 0,

a więc znowu na

równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi ukośnokątnemi (x\ ?/'), które, gdy spółrzędne ukośnokątne zamiast przez x‘, y' oznaczymy teraz przez x i ?/, kreski jako niepotrzebne opuszczając, otrzymuje taki kształt:

gdzie A= A cosX -j- R sin X

Ax By-j-C =0,

B = A cos X'    B sin X' C = Arz -j- Br] -f- C.

18. Odległość dowolnego punktu od prostej na płaszczyźnie. Niech będzie dany punkt P(^,rj) i prosta: AxĄ-ByA (7=0. Przyjmijmy, że, wychodząc z punktu P(£,tj) w dowolnie obranym kierunku i, natrafimy w odległości d od punktu wyjścia na punkt (x,y) prostej: Ax + By + £7=0, przyczem będzie x=^-\-d cos X , y = rj-\-d sini, tedy otrzymamy warunek:

A{% + d cos X) -j- B(rj + d sin X) -f (7=0 , czyli: A^ + BrjĄ- C-\-d{A cos 4+ B sin ź)=0 , skąd otrzymamy:

(10)

AË,-\- Brj-\- C 4 cos ź +Z? sini

wzór na odległość punktu PQ,rj) od prostej Ax~^By-\- (7=0, mierzoną w dowolnym kierunku, tworzącym z osią 0X kąt X.

Jeżeli kierunek ten będzie prostopadłym do prostej, tedy będzie:

cos X

sin X

__Va*+b²'

więc A cos X-\-B sin X= V Ä¹ + B'¹ , wobec czego otrzymamy:

(U)

A zatem : Ogólne równanie linii prostej w spółrzędnych ukośnokątnych bieżącego punktu jest także równaniem stopnia pierwszego.

Że równanie linii prostej przedstawia się także w spółrzędnych ukośnokątnych, jako równanie stopnia pierwszego, wynika także z określenia linii prostej, na podstawie którego otrzymujemy wprost równanie symetryczne :

sin a sin ß

jeżeli prosta przechodzi przez punkt (2, rj) i tworzy z osiami układu (y) kąty a, ß, a stąd

y—ii

czyli : y-t\ =

sin a

sinß

równanie ogólne Ax Ą- By Ą- C — 0.

Z równania ogólnego w spółrzędnych ukośnokątnych możemy, podobnie jak z równania w spółrzędnych prostokątnych, otrzymać szczególne postacie równań linii prostej, jak :

, skoro «, ß są kąty, jakie

(1)    równanie zwyczajne: y=mx b, gdzie dana prosta tworzy z osiami 0X i O Y układu (y) ;

(2)    równanie odcinkowe :    4" ^    1 ? gdzie a =

tol O

(3) równanie Plückerowskie : ux-\- vy Ą- 1 = 0, gdzie u =

’ V C’

(4) równanie normalne a:cos ? + t/cos^—p = 0 , gdzie cp, ^ są kąty, jakie pion OD prostej tworzy z osiami układu, a p jej oddalenie od środka układu, przyczem : cos f

cos c?

Y/cos² cp -f- cos²ó—2 cos cp cos <1 cos y

siny

B —C

cos ?

A sin y

Y/A² + ił²-240cos y B sin y

Y/a²-}-!?²— 2Ajßcosy

cosf —

Y/4² + 5²—2hAcosy Osiny

\Za²-\- A²— 2 AB cos y

Y/A²B²— 2 AB cos y

Ponieważ zmianą układu spółrzędnych można zawsze przejść z układu ukośnokątnego na prostokątny, przeto będziemy w przyszłości używali przedewszystkiem układu prostokątnego.

AjABrj+C

V Ä¹ + B² ’

wzór na prostopadłą odległość punktu    od prostej Ax + By A (7=0.

Z wzoru tego widzimy, że odległość punktu od prostej jest proporcyonalną do wartości, jaką otrzymuje trójmian Ax-\-By-\-C równania prostej, gdy w niem na zmienne x, y, wstawimy spółrzędne 2, danego punktu. Ponieważ wzór powyższy możemy też napisać w postaci 8=—(2cos ?-(-T) sin o—p), przeto widzimy, że wartość ta da wpi’ost szukaną odległość, jeżeli równanie prostej napiszemy w formie normalnej. Odległość punktu (2,*)) od prostej Ax-\-By-\-C = 0 jest zerem, gdy 42 + ihj -f- C — 0, t. j. gdy punkt leży na prostej.

Wzór na odległość punktu (2,0 od prostej y—mx-\-b przedstawi się w postaci:

? n—niż—b

Y/l -4- m²

- 71

19.    Prosta Ax-j- By Ą-C = 0 dzieli całą płaszczyznę na dwie części, po jednej stronie prostej leżą punkta płaszczyzny, mające odległość dodatnią od tej prostej, po drugiej punkta o odległości ujemnej. Której stronie przypisać należy znak „ + a której „ — “, zależy od umowy. Zazwyczaj przyjmujemy odległość punktu początkowego od prostej, jako odległość dodatnią, a przeto nadajemy znak „ + “ odległościom tych punktów, które leżą po tej stronie danej linii prostej, po której leży początek układu, a znak „ —u odległościom tych punktów, które leżą po stronie przeciwnej.

20.    Kąt nachylenia dwu prostych. Niech będą dane dwie proste, jed o równaniu: Ax-\-By -j- C— 0, druga o równaniu: A‘xĄ-B‘y + C‘ =0, to widoczna, że kąt między niemi zawarty, jest równy kątowi zawartemu między ich pionami. Oznaczmy przez A i A‘, kąty, jakie piony danych prostych tworzą z osią ON, to otrzymujemy na ich wyznaczenie równości :

sin A‘

B‘ — \/Z'²4- Bn -

Oznaczmy przez o) kąt zawarty między temi pionami, a zarazem kąt zawarty między danemi prostemi, natenczas otrzymujemy:

sin (o

cos A sin A

Va²+b²

cos A‘

A'

na

COS (O =

AA‘ + BB‘

AB¹—AB

Va²+b²Va,2+bi2

Va²-\ b-Va,2-\-b

‘2

AB-AB

(12)

AA+BB‘

wzory na wyznaczenie kąta ca, zawartego między dwiema prostemi, których równania ogólne są dane.

Z wzorów tych otrzymujemy warunek prostopadłości dwu prostych, gdy ca = 90°, w postaci: AA*_ßjß‘ = 0, warunek równoległości

j /

zaś, gdy ca=0, w postaci AB‘ = A‘B czyli -j- =

Proste równoległe mają więc w swych równaniach spółczynniki A i B proporcyonalne.

li'

Ii '

Jeżeli dane są równania zwyczajne obu prostych jako to: «/= mx Ą-b, y — m'x Ą-b',

m—m/

a stąd

natenczas otrzymujemy wzór dotyczący ostatecznie w postaci: tang'to

warunek prostopadłości l-fmm' = 0, czyli m'— — —, a warunek równoległości: m‘—

21. Odległość dwóch prostych równoległych. Równania prostych równoległych cechują się proporcyonalnością spółczynników przy x i y tak, że A:A*=B:B‘J dają się przeto zawsze sprowadzić do postaci takiej, że będą umiały spółczynniki A i B jednakowe: AxĄ- By-\- (7=0, Ax-\-ByA C‘ — 0.

Odległości tych prostych od punktu początkowego układu będą kolejno:

-C

P"' VA² + B² ’

zatem ich wzajemną odległością będzie ó=p—p', a więc otrzymujemy :

C‘-C

1 -j- mm'

m.

p¹

-C‘

Va²+b²

(5 =

(13)

Va²+b² ’

jako wzór na odległość dwóch prostych równoległych.

Dwuznaczność co do znaku + i — ustąpi, gdyż chodzi tu tylko o bezwzględną wartość odległości.

Jeżeli równania prostych równoległych dane są w formie zwyczajnej, natenczas muszą mieć kształty: y — mx-\-b, y — mx-{-b', a ich odległością będzie:

b‘-b

v/l + m²

22. Punkt przecięcia się dwu prostych. Niech będą znowu Ax+By + C=0, A‘x-\-B‘y Ą- C' = 0, równania danych dwu prostych, natenczas spółrzędne punktu wspólnego obu prostym, muszą czynić zadość obu równaniom. Chcąc zatem wyznaczyć spółrzędne (x, y) punktu przecięcia się dwóch prostych, należy ich równania uważać jako równania o dwu niewiadomych x i y, i rozwiązać te równania podług tychże niewiadomych. Otrzymujemy wtedy z równań:

metodą równych spółczynników :

Ax-\-By-\-C= 0 B1 A‘x + B‘y+C‘=0 —B

-A

(AR‘-A‘B)x + (CBl-C‘B)=0, (AB,-A‘B)y + (ACl-A,C)=0, A‘C-AC‘ y~AB,-A‘B

a stąd :

BC‘—B‘C

X~ABt-A‘B

(14)

jako spółrzędne szukanego punktu przecięcia. Jeżeli AB¹ — A‘B=0

natenczas są wartości na x i na y nieskończenie wielkie. Proste są w tym razie równoległe, a warunek AB¹ — A‘B=0, czyli AB.

jest właśnie warunkiem równoległości dwóch prostych.

Jeżeli oprócz AB‘—A‘B = 0 jest także BC‘— B‘C— 0 , natenczas będzie :

Ä _ Jł

A‘ ~ B‘ C‘

przeto także A‘C— AC‘=0, wartości na * i y przedstawiają się w tym razie w postaci-5, dane proste mają tedy wszystkie punkta z sobą wspólne, czyli tworzą tylko jedną prostę.

23. Dwójsieczna kąta między dwiema prostemi zawartego. Dwie proste, Ax-\-By-\-C=0 i A‘x-\- B‘y-\- C' = 0, przecinające się w jednym punkcie, tworzą właściwie cztery kąty, z których co dwa są równe jako wierzchołkowe, a co dwa spełniające się do kąta półpełnego, jako kąty przyległe. Istnieją zatem dwie pary prostych, dzielących kąty zawarte między dwiema przecinającemi się prostemi na dwie równe części. Te proste, zwane dwójsiecznemi kątów, są wzajemnie do siebie prostopadłe. Chcąc wyprowadzić ich równania, najprościej jest oprzeć się na tej własności dwój siecznej , że każdy z jej punktów jest od obu danych prostych równo oddalony. Na tej podstawie otrzymujemy wprost równania pary dwój siecznych, w postaci :

AxĄ-ByĄ- C A‘xA-B‘y-\-Cl Ax-\-By-\-C A'x+B'yA-C¹

VaVa‘²+B‘-² ’ VJ^+b² ~~ Va^+b¹*

Z tych dwóch dwój siecznych leży jedna tak, że odległości każdego z jej punktów od obu danych prostych są tego samego znaku, w drugiej zaś znaku przeciwnego. W szczególności otrzymujemy równanie dwójsiecznej tego kąta, w którego polu leży początek układu, jeżeli wyrazom wolnym C i C‘ l równań obu danych prostych nadamy jednakowe znaki; równanie dwójsiecznej kąta drugiego, w którego polu nie leży początek układu, otrzymamy natomiast, jeżeli wyrazom C i C‘ nadamy przeciwne znaki.

73

Jeżeli równania prostych dane są w postaci normalnej :

x cos ©t Ą-y sincpj —p₁₌=0, er cos ©2 + 2/ sinfj—pj=0 ,

natenczas równania dwój siecznych kątów między niemi zawartych mają wprost kształt:

x cos + y sin <Pi - Pi — ±(x cos ®₂ + y sin ©₂ —p₂) gdzie znak „+“ odpowiada jednej, a znak “ drugiej dwój-siecznej.

jC>

Przykład. Dane dwie proste :

Ax-\- 3y —12=0 , y—2—0

-X mają dwie dwój sieczne, przechodzące przez punkt (1 y₂, 2),

jako to :

(U)

Ax +3y—12

y-2.

(22)

y-2

(1) 2x—y—1 =0

czyli :

(22) a; + 2y— V = 0.

Pierwsza (11) dzieli na dwie równe części kąt At CA\, zawarty między dwiema prostemi, w którego polu leży początek 0 układu, druga (22) dzieli na dwie równe części kąt przyległy A₁CA₂, jak na fig. 62. Obie są do siebie prostopadłe, jak to już z ich równań jest widocznem.

24.    Prosta przechodząca przez punkt przecięcia dwóch prostych. Mając dane dwie proste: Ax+ By + C=0, A‘x-\- B‘yĄ-C'=0, przeprowadźmy przez ich punkt przecięcia jakąkolwiek linię prostą, to równaniem tej prostej będzie: (Av-\- By-\~ C) Ą-li{A!xĄ- B‘y + C') = 0, gdzie Jc jest pewnym czynnikiem bliżej nie oznaczonym. Jest to bowiem przedewszystkiem równanie stopnia pierwszego ze względu na x i y, a więc równanie prostej , następnie spół-rzędne (x, y) punktu, które sprawdzają dwa dane równania, sprowadzają także to nowe równanie do zera i to niezależnie od wartości czynnika Jc, a więc punkt wspólny danym dwom prostym leży także na tejże nowej linii prostej, jakąkolwiek wartość przyjmiemy za Jc.

Od wartości czynnika Jc zależy położenie prostej. Jeżeli postawimy warunek, aby prosta, przechodząc przez punkt przecięcia danych dwóch prostych , przechodziła jeszcze przez pewien punkt (£, rj) płaszczyzny, natenczas na wyznaczenie wartości czynnika Jc otrzymamy równanie warunkowe : (M£ + 2?y+C)+Æ(M/£ + -B/?7+C')=(), a'stąd dostajemy;

Ji+Bfi+C A‘£ + B‘V + Cr AÇ+Brj+C A'l+B'ij + C1 AxĄ-By-\-C A‘x-\-B‘y+C‘

AÇ+Brj+C ⁼ A'Ç+B'rj+C' ’

jako równanie prostej, przechodzącej przez punkt przecięcia się danych prostych Ax-\-ByAC=0 i A'x^-B'y + C‘—0 i przez punkt dany (£,77).

25.    Trzy proste, przechodzące przez jeden punkt. Chcąc się przekonać, czy dane trzy proste: Ax+By + (7=0, A! x Ą-B‘yC‘=0, A‘‘x-\-B“y + C“ =0, przechodzą przez wspólny punkt, należałoby się przekonać, czy punkt przecięcia się dwu pierwszych prostych, leży także na trzeciej prostej. W tym celu otrzymujemy jako warunek:

A“{BC,-B‘C)+B\A,C-AC,)+C"{AB‘-A‘B)=0.

Możemy także inną drogą o tern się przekonać, a mianowicie badając, czy prosta trzeciem równaniem oznaczona, jest prostą, należącą do prostych, przechodzących przez punkt przecięcia się dwóch pierwszych prostych.

Fig. 62.

Jc

a zatem równanie: (Ax Ą- By + C)

(AJx + B‘y + C‘)=0

czyli :

74

W takim razie musiałyby się takie czynniki h i k‘ znaleźć, żeby było toż-samościowo : {Ax-\-By-\- C)-\-k(A‘x-\- B‘yA- C,) = k‘{A“xĄ-B“y-\- C“), czyli — co na jedno wychodzi tożsamościowo :

musiałyby istnieć takie trzy liczby Jcu Jc₂, &₃, aby było

kx(AxĄ-By+ G)-\-h₂(A/xJr B'yA C‘) + Jcz(A"x+B"y-\- C“)=O,

co często daje się

rychło dostrzedz ; n. p. proste 2x + y — l^=0, xĄ-2y —1 = 0 \x—y—0 przecinają się w jednym punkcie, bo istnieje tu tożsamość:

(2x+y—1)—{x-\-2y— 1) — (x—y) =0, czyli 0=0, a czynnikami Jcif k₂, &₃, są tu liczby 1, —1 i —1.

26. Punkt i prosta na płaszczyźnie, odniesione do układu ukośnokątnego. Mech będzie dany punkt P(5, r₍) i prosta AB o równaniu Ax -p By -J- C? = 0, odniesione do układu ukośnokątnego XOY o kącie osiowym y, natenczas na wyznaczenie odległości 8 punktu P(S, *]) oddanej prostej, otrzymamy wprost z fig. 63.: h = PQ=OD—OR a że OD — p jest odległością danej prostej od początku układu, a OR jest rzutem linii łamanej OP‘P na promień OD, więc OR = \ cos ? fi- rj cos p przeto otrzymujemy 8 — p — Sj cos cp—rj cos p czyli 8 =—(Ç cos cp -(— y] cos 4* — p).

T)

Sprowadziwszy więc równanie ogólne prostej Ax -{-By -j- C = 0, odniesione do układu ukośnokątnego (y), do (Ax Ą- By Ą- C) sin y

(f

formy normalnej

Fig. 63.

8 ==-

V/A'¹ -p B²—2AB cos y

A\ + Brï + c

0, otrzymujemy

. sin y

\Al² + Ii¹ 2 AB cos y

jako wzór na odległość punktu P(Ę, *)) od prostej Ax -j- By -j- C— 0, odniesionych do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y.

27. Dwie proste na płaszczyźnie odniesione do układu ukośnokątuego. Mech będą Ax -j- By -j- C = 0, A'x -p B‘y -f G‘ = 0 ogólne równania dwóch prostych , odniesionych do

układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, natenczas ich równania normalne mają kształt:

(Ax fi- By A C) sin y

.«J

//M    \ -

₀ÉAtm

h ÎF

Fig. 64.

(A‘x -J- B'y -p C) sin y

-0,

= 0,

VM²+ P'²—2A‘B‘ cos y czyli x cos cp -p y cos ó—p = 0, x cos ®'-p y cos p—p'=0,

V/hf² P 5²-2 AB cos y

gdzie

a więc

cos <p ==

A sin y

cos ©'

\/A² -fi B² — 2 AB cos y A‘ sin y

y/h'² -p P'² -2 A‘B‘ cos y'5 B—A cos y

’ sin ©' =

V/i²p5,-2 ^4P cos y ’

P'—J.' cos y'

V/l'² p5'² —2 A‘B‘ cos y

Oznaczywszy przez to kąt nachylenia danych prostych, a zarazem odpowiedni mu kąt nachylenia pionów tych prostych, otrzymujemy

COS co = cos (cp—cp')

AA‘-\- (B—A cos y)    cos y)

sin w = sin (cp— cp') =

V/h² -p P²—2 AB cos y .y/i'²pP'² — 2 zl'P' cos y (P—J. cos y) J.' sin y—(B‘—A' cos y) A sin y yAl² -p P²-2 AB cos y V4'²pP²—2 A‘B cos y

czyli

COS CO =

siu w =

a więc

_AA'+BB'-jAB'+AB) cos y__

y/A} -pjB²—2 AB cos y .y/h⁷²+/i'²-2 J'/,* cos y’ _(JP-1P) sin y_

y/Z²⁷P P²—2 A li cos y .\Al'² +B^— 2 A B‘ cos y’ (i'fi-dk j sin y

.1.1'+ PP' - (..I P/pM/i) cos y ’

tg co =

— 75

wzory na wyznaczenie kąta nachylenia dwóch prostych danych równaniami , odniesionemi do układu prostokątnego o kącie osiowym y.

Dane proste są do siebie prostopadłe, jeżeli AA¹ Ą-BB' — (A Ii' -\-A'E) cos y = 0,

natomiast równoległe, jeżeli AB'—A'B -= 0.

28. Równanie biegunowe linii prostej na płaszczyźnie. Niech będzie 0 biegunem, oś OX osią biegunową , a AB dowolną prostą na płaszczyźnie. Oznaczmy przez p odległość prostopadłą OD prostej AB od bieguna 0, a przez cp kąt, jaki pion OD tworzy z osią biegunową, a więc OD = p, XOD = oł niech będą dalej p, 0 spółrzędne biegunowe jakiegokolwiek punktu P danej prostej, a więc OP—p, X0P—6, natenczas ze względu na to, że w trójkącie DOP jest OP. cos POD = OD, otrzymamy :

J)

p cos (0 — sp) — 2>, czyli p —

COS (0 — ©) ’

jako szukane równanie biegunowe linii prostej, której pion^ o długości p, tworzy z osią biegunową kąt cp.

Równanie to otrzymamy także wprost z przekształcenia równania normalnego prostej : x cos ? -f- y sin <p = p, za pomocą wzorów transformacyjnych x = p cos 0, y = p sin 0, otrzymujemy bowiem wtedy: p (cos 0 cos » -f- sin 0 sin s) — p, czyli jak poprzednio p cos (0 — ?) — p.

Z równania ogólnego prostej na płaszczyźnie AxĄ-By C=0 otrzymujemy za pod-

Fig. 65.

■X

stawieniem x = p cos 0, y= p sin 0 równanie : p (A cos 0 -\-B sin 0) =C, czyli p

które sprowadza się do postaci p

cos (0—<p)’

podzielimy przez VA²B², i zauważymy, że

^łcos0 -j-JłsinO’ gdy licznik i mianowik poprzedniego ułamka

—------------    — p.

VA² + B²

Va² -f b²

COS cp,

Va¹ + b²

Ćwiczenia VI.

1)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez punkt (2,3), nachylonej do osi 0X pod kątem 30°.

2)    «Wyznaczyć kąt, jaki prosta 5x—3y-j-7 — 0 tworzy z osią OX.

3)    Z równania ogólnego prostej : 7x -j- 11 y—3 = 0, wyprowadzić równanie zwyczajne i wyznaczyć kąt, jaki prosta tworzy z osią 0X, tudzież jej odcinki na osiach układu.

4)    Z równania prostej : 12x-\-5y—26=0 wyprowadzić jej równanie normalne i wyznaczyć kąty, jakie pion tej prostej tworzy z osią OX.

5)    Wyprowadzić równanie zwyczajne prostej, przechodzącej przez punkta (4, 5) i (7,11) i wyznaczyć jej odległość od początku układu.

6)    Wykreślić prostą, daną ogólnem równaniem : 3a:-j-4f/-}-2=0, i podać równania zwyczajne, odcinkowe, Pliickerowskie i normalne tej prostej.

7)    Wyznaczyć położenie prostej z następujących równań: (1) x = 0, (2) y — 0, (3) x=2,

(4) y=—7, (5) y—x = 0, (6) y\-x=0, (7). y=\x, (8) y=—\x, (9) y=-x-\- 3, (10)    = 1,

⁽¹¹⁾ n ⁺ f+ 1 = 0’⁽¹²⁾ y + 6“K*-i2).

8)    Dane są spółrzędne wierzchołków trójkąta: A{—1, —1), B( — 3, 5), C(7, 11), znaleźć równania jego boków.

9)    Wykreślić trójkąt, którego boki dane są równaniami : 2 x—y—5 = 0, x—3y-f-4 = 0, hx -f 2y—b — 0.

10)    Wierzchołkami czworokąta są punkta    A(0,    0),    B( 1,    5),    C(7,    0),    D(4,    —9),    wypro

wadzić'równania boków i przekątni tego czworokąta.

11)    Odcinek, zawarty między punktami R(6, 2) i B(7, —3) został podzielony przez punkt C w stosunku 2:5, jakie będzie x-ównanie prostej, która łączy ten punkt podziału z punktem Z>(—5, —5).

12)    Przez punkt (—12, 12) poprowadzić prostą , która na ujemnych częściach osi układu wyznacza takie odcinki, że trójkąt zawarty między nią, a odcinkami ma powierzchnię 6 jednostek kwadratowych.

13)    Wyprowadzić równanie prostej, która przechodzi przez punkt (—4, 8) i ma od początku układu odległość p = b.

14)    Jak wielkie są wysokości trójkąta, jeżeli jego boki mają równania: y-j-3# + 4 = 0, 5y 3#—34 = 0, 2m—3#—1= 0.

15)    Znaleźć kąty w trójkącie, danym równaniami boków: 8y+5# -(-11=0, by— 2x— 1=0, by + 4# + 6 = 0.

16)    Jaką odległość mają proste równoległe, dane równaniami: y=dx—1, y= 9#+7.

17)    Na prostej y = 2# + 3 dane są trzy punkta -4(# = 0), B(x— 1), C(x =—1), znaleźć punkt czwarty D taki, aby stosunek anharmoniczny był [ABCD) — 3.

.18) Do powyższych trzech punktów A, B: C, prostej y = 2x + 3, znaleźć czwarty punkt harmoniczny.

19)    Na prostej x—2y—1=0 przyjąć cztery punkta : -4(* = 1), B(x = b), C(x=7), D(x — 9), znaleźć środek i punkta podwójne inwolucyi.

20)    Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez punkt (—3, 11), a nachylonej do osi OX pod 2É.45⁰.

21)    Jakie jest równanie prostej, która przechodzi przez punkt (—4, 3) i przez punkt przecięcia się prostych danych równaniami: 17#+21y+l=0, ll#+2y—3 = 0.

22)    Przez punkt (—4, 3) przeprowadzić tak prostą , aby jej długość, zawarta między osiami, podzieloną została przez ten punkt w stosunku 5: 3.

23)    Znaleźć odległość punktu (—4, —2) od prostej ---~ = \, tudzież odległość

punktu (a?I} y1;) od prostej ~ +

24) Wierzchołkami trójkąta są punkta _4(—1, 7), _B(10, - 2), <7(15, 17), wyznaczyć jego

=1.

wysokości.

25) Przez punkt (3, 12) poprowadzić prostą tak, aby miała od punktu (7, 2) odległość

d=Y/58.

26)    Dane są punkta -4(4, 5), BÇ1,11), C(—1, —1), D(- 3, 5). Znaleźć spółrzędne punktu, w którym przecinają się proste AB i CD.

27)    Znaleźć długości boków i wysokości trójkąta, którego boki mają równania : y + 3x -j- 4 = 0, by—bx—34 = 0, 2y—3x—l — 0.

28)    W jakim stosunku podzieli prosta, łącząca punkta (3, 4) i (5, 1), odcinek zawarty między punktami (2, —2), (10, 3).

29)    Wyprowadzić równanie prostej, któraby przechodziła przez punkt (0, 0) i przez punkt przecięcia się prostych bx—2y + 23 = 0, 13# + y—1 = 0.

30)    Znaleźć kąt, zawarty między prostemi 3# -j- by—1 == 0, 11#—2y + 3 = 0.

31)    Podać równanie prostej, która z osią 0X tworzy X 67°. a na osi O Y wyznacza odcinek b = 0*34.

32)    Przez punkt (—2, 5) przeprowadzić tak linię prostą , aby piony wykreślone na niej z punktów (3, —7) i (—4, 1) były sobie równe.

33)    Podać w formie wyznacznika warunek równoległości prostych    —[- ——- = 1,

b‘

a'

34) Czworobok ma boki o następujących równaniach: y—3#+ 9 = 0, 3y + 5#—18 = 0 y— 3#—1 = 0, by + bx—2 = 0, znaleźć a) jego kształt, b) wierzchołki, c) przekątnie, d) punkt przecięcia się przekątni.

35)    Dane są dwie pary prostych :

(2#—5y+ll = 0, 4# + y—33 = 0) i {x + lOy + 21 = 0, bx—3y—1 = 0).

Znaleźć równanie prostej, łączącej punkt przecięcia jednej pary z punktem przecięcia drugiej.

36)    Dany jest punkt (ar₀. y₀) linii prostej i kąty «iß, jakie ona tworzy z osiami OX i O Y układu ukośnokątnego (7), znaleźć spółrzędne ukośnokątne jakiegokolwiek z jej punktów.

37)    Znaleźć stosunek, w którym prosta Ax-fBy-\-C—0, dzieli odcinek, zawarty między punktami A(xt, y{) i B(xil y₂), przecinając go w punkcie P.

38)    Dowieść, że jakakolwiek poprzeczna Ax -\-By-{-C—0 wyznacza na bokach trójkąta sześć odcinków takich , że iloczyn z trzech odcinków nie po sobie następujących równy jest iloczynowi z trzech innych. (Por. ćw. 33 str. 23).

39)    Podobnie dowieść, źe trzy proste, łączące jakikolwiek punkt (*, y) z wierzchołkami trójkąta, wyznaczają na bokach przeciwległych sześć odcinków takich, źe iloczyn trzech z pomiędzy nich, nie po sobie następujących, równy jest ujemnemu iloczynowi z trzech innych. (Por. ćw. 34 str. 23).

40)    Dane są kąty («,, fi,), (a₂, ß-2), jakie dwie proste tworzą z osiami układu ukośno-kątnego (y), dowieść, że kąty (a', ß') i (a", ß"), jakie każda z dwój siecznych kąta a>, między temi prostemi zawartego, tworzy z osiami tego układu, będą wyrażone za pomocą wzorów następujących :

COS a'

cos <xt -j- cos oc₂

CD

2 cos —

cos ß'

COS.ßj -j⁻ COS ßa

2~

CD

2 cos —

COS a":

COS —COS a₂

2 sin

u

COS ß":

cos ßt —cos ß₂

CD

2 sin —

~2

Rozwiązania VI. 1)

®    2) tg«=|, X.« = 59°2'10". 3) y=-fxx + y>t,

Y/3

tg « =-_r⁷T, 2G* = 147°31'44", a = $, 6 = i⁸i- 4) J- ,⁵₃y = 2, ? = 20°37'11". 5) y = 2*-3,

P =    6)    -^ + ^-=1, t* + 2y+l=0,    7) (1) oś YY‘\ (2)oś XX';

°    s ï

(3) 1//0Y,; (4) 1//OX) (B) ? przez 0 pod ^45° : (6) l przez 0 pod y( 135° : (7) l przez 0(0, 0) i 5(4,5); (8) l przez 0 i P( —3, 7); (9) l przez P(0, 3) pod X.135⁰ ; (10) l odcina a = 6 b=—7, (11) l łączy punkta ( — 11, 0) i (0, —3); (12) l przez punkt (12, —6) pod 23L^ = Jf50°15'19". 8) 3*+>-f-4 = 0, 3x—by 34 — 0, 3x-2t/-\-l = 0. 9)    Ÿ), #(i⁷i, W, C(Y, ~'li 10) Boki:

y — bx, 5x -f- Gy—35 = 0, 3x—y—21=0, 9a:-}-4y = 0, przekątnie: y — 0, 14æ -j- 3y—29 = 0. 11) 39a:—79«/—200 = 0. 12) 4a: + 3y + 12 = 0. 13) 4a:-3y + 25=0. 14) Ÿ Y/Ï0, i IV 34“ {j 15) X.* = 40°43'54", 2^.ß=107°39'0-5“, 2dy = 31p31'5". 16) ,\Y/82. 17) i(0, 3), 5(1, 5), C{—1, 1), P(-0-2, 2-6). 18) (J, y)- 19) 41,0), 5(5, 2), 0(7, 3), 5(9,4), 0(5-8, 2-4), 5(575, 3*38), P(3-85,1-42),

20) y—x — 14.__21) 653a: + 853y+ 53 = 0. 22) ij/8-bx/32 = 1. 23) 1-6; (bxt-\- ayx — ab)/\/a'¹ + b\

²AöY/405, "/260Y/52O, ,98/₉₇ \/97. 25) Dwie proste : 3y —7x = 15, 7y Ą- 3x = 93. 26) (-7b/-3%). 27) 21/10; 2Y/34; 4Y/Î3; ts/₅Vl0, ¹⁸/₁₇V/34, ¹⁸/₁₃V/l3.    28) 15:19.

29) 44a: + y = 0. 30) tgw=—6y₂₃. X.w=H0°39/32". 31) y = 2-356..*+0-34. 32) Dwie proste :

J=0. 34) (a) Równoległobok, (è) A(3³/₁₄, ⁹/₄), 5(17«, 4%*), 0(—V₁₄, 1*/₁₄), 5(2V₁₄, -21!/₁₄), (c) a: + 25«/=18, 49a:+7//= 82, (d) 0(1%, ⁵/v).

da:₁4-5y₁+0

24)

8a: -j- 7</—19 = 0 i 16® + 3y + 17 = 0. 33)

35) 7a:—8y—9 = 0. 36) x = x₀-\-r

S l*CO

d = t/o + r

sin a sin y

. 37)

PA

PB Axi-\-Byi-\- G

Literatura. Joachim s thaï F. Elemente der analytischen Geometrie in der Ebene. Berlin 1863. W. Abendroth. Anfangsgründe der analytischen Geometrie der Ebene, 1882. Stammer, Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene. München 1863.

Tematy do rozprawek naukowych :

płaszczyźnie, na podstawie spółrzę-

1.    Geometrya analityczna punktu i prostej dnych Plückerowskich u i « linii prostej.

2.    Geometrya analityczna punktu i prostej na płaszczyźnie na podstawie spółrzędnych ukośnokątnych punktu.

3.    Geometrya analityczna punktu i prostej na płaszczyźnie, na podstawie spółrzędnych biegunowych punktu.

na

Wykład VII.

Zagadnienia o punkcie i prostej na płaszczyźnie.

1.    Elementy płaszczyzny. Na płaszczyźnie, jako najprostszej przestrzeni dwuwymiarowej, istnieją tylko dwie formy elementarne: punkt jako forma bez wymiaru i linia prosta, jako najprostsza forma jednowymiarowa. Powiadamy: punkt jest wyznaczony, skoro znamy jego dwie spółrzędne, odniesione do dowolnie przyjętego układu osi: x=a,y=b] prosta jest wyznaczoną , skoro znamy jej równanie , przedstawiające związek między spółrzędnemi x, y, każdego z jej punktów, a równanie to jest zawsze stopnia pierwszego w ogólnej postaci: AxA-ByA C—0.

2.    Wyznaczanie punktu na płaszczyźnie. Zagadnienia o punktach i prostych na płaszczyźnie mogą dotyczyć, albo wzajemnego położenia tych elementów, albo też wyznaczenia tych elementów pod pewnemi danemi warunkami.

wa-

Do wyznaczenia punktu (x, y) na płaszczyźnie potrzeba dwóch runków, z którycliby można wyznaczyć dwie jego spółrzędne. Ponieważ spółrzędne punktu rzeczywistego mogą być w ogólności jakiemikolwiek liczbami rzeczywistemi, przeto zagadnienie o wyznaczeniu punktu na płaszczyźnie dotyczy wyznaczenia jednego z oo² punktów, możliwych na płaszczyźnie.

3. Wyznaczanie prostej na płaszczyźnie. Ogólne równanie prostej posiada wprawdzie trzy spółczynniki dowolne A, B, C, cechujące kierunki i położenie prostej na płaszczyźnie; od jednego z nich możemy się jednak zawsze uwolnić, podzieliwszy przez niego obie strony równania. Dowolnemi, a dla prostej cechującemi, są więc tylko stosunki między temi spółczynni-

kami, a więc dwa parametry, jak n. p. — może wszystkie wartości od —co do -foo . Powiadamy przeto, że na płaszczyźnie istnieje oc² prostych, a do wyznaczenia położenia prostej, względnie jej równania, potrzeba dwóch warunków, z którychby można było oba parametry, i -ę wyznaczyć.

i — z których każdy przybierać O

4. Prosta przez (lwa punkta. Mając wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkta (xil yx) i (x₂, y₂) otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników równania ogólnego AX+By-\- C=0, szukanej prostej, następujące dwa równania warunkowe: Axi+Byl-{-C=0, Ax₂ + By₂ -{-(7=0, z których możemy wyznaczyć stosunki ~ i Do wyniku dojdziemy wprost, odejmując od szukanego równania i drugiego równania warunkowego pierwsze równanie warunkowe; otrzymujemy bowiem wówczas równanie:

A{x—xx)Ą-B{y—yx)==0, z warunkiem A(x₂—xi)-\-B(y₂—yi)=0,

r¹- (*—*i).

skąd otrzymujemy:

x—xi

y - y\

albo y — yi

V2-

(1)

^2-^i y<i—y\

równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkta (æ, , yA) i (x₂, y₂).

5. Prosta, przechodząca przez punkt prostopadle do danej prostej. Mając przez punkt (£, 77) poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej : Ax-\-By + (7=0, mamy na wyznaczenie spółczjmników równania A‘x-\-B‘y-\-C‘ — 0 szukanej prostej, dwa warunki : A'i; +B'r]-\-C'— 0, tudzież JM/ + Z?.Z?‘=0.

Na tej podstawie otrzymujemy równanie prostej w postaci :

oc-Źy-

^2—'®1

JJ-, albo J5(æ—I)—î?)=0.

Jeżeli dane równanie prostej ma formę zwyczajną y=mx-\-b, natenczas otrzymujemy równanie jakiejkolwiek prostej, przechodzącej przez punkt (£, 17): y — rj=m\x—i), a z warunku prostopadłości l-fm»'=0, dostajemy m'= — l/m,

przeto równanie :

będzie równaniem prostej, przechodzącej przez punkt (£,rf) prostopadle do prostej

y — mx-\-b.

G. Prosta, przechodząca przez punkt równolegle do danej prostej. Mając dany punkt (£, rj) i prostą Ax-h By-]- G⁷=0, otrzymujemy na podstawie warunku równoległości A‘ : A=B‘ : 7i, wprost równanie :

A(a>-i) + B(y-r})=0, jako równanie prostej, przechodzącej przez punkt £,7/, równolegle do prostej AxĄ- By + (7=0. Wedle tego będzie y—rj — m(x — £) równaniem prostej, przechodzącej przez punkt (£, 17) równolegle do prostej y — mx-\-b.

7. Prosta urojona na płaszczyźnie. Niech będą dane dwa punkta urojone: Pi(xi=al-yi=bi-\-b\i), P₂(x₂=a₂+a,₂i, y₂ = b₂ + b'₂i)} natenczas prosta, przechodząca przez te dwa punkta, będzie miała równanie symetryczne : x—(ai Ą-a\i)

(a₂-ax) + {a'₂—a\)i (b₂ -bi) + {b\—b\)i7 które sprowadzone do równania ogólnego, przedstawia się w postaci:

(A+A‘i)x + (B + Bi)y+( C+ C‘'i)=0.

y—n== —

— (as — I) m

y—(p\ +b\t)

(2)

(3)

(4)

(&)

Taką prostą, której równania mają spółczynniki urojone, nazywamy prostą urojoną. Przez dwa punkta urojone płaszczyzny przechodzi zatem jedna prosta urojona.

8. Prosta, przechodząca przez dwa punkta urojone sprzężone. Jeżeli dane dwa punkta są urojone sprzężone, jakoto : Mi(xl=a-\-a‘i, yi=bĄ-b‘i), M₂(x₂ = a—a'i, y₂=b—b'i), to prosta, przechodząca przez te punkta, ma rów-

y - b — b‘i

nanie symetryczne :

x—a—a'i

— 2a¹ i

- 2b‘i

x—a y—b

a więc równanie :

To znaczy: Przez dwa punkta urojone sprzężone przechodzi zawsze jedna prosta rzeczywista.

9. Punkta urojone na prostej. Ogólne równanie pierwszego stopnia między spółrzędnemi x, y, punktu na płaszczyźnie: Ax-\-By-\- (7=0, w któ-rem spółczynniki A, B: C są liczbami rzeczywistemi, przedstawia, jak wiemy, prostą, jako miejsce punktów rzeczywistych płaszczyzny, których społrzędne

a‘

b‘ ’

(6)

— so —

czynią zadość temu równaniu. Ale temu równaniu czynią zadość także spół-rzędne urojone kształtu: x=a-\-a‘i: y—b-\-b‘i, skoro będzie:

A{a-\-a'i)-\-B(b-\-b‘i)-\- C= 0, czyli AaĄ-Bb + CĄ-tAa^Bb^i—0, a więc, tak Aa-\-Bb-{- C=0, jakoteż Aa¹ -\-Bb'=0.

Z tych równań otrzymamy dla każdej wartości a, odpowiednią jedną wartość na b, a zarazem dla każdej wartości na a' jedną wartość na b¹ w postaci: Aa-\-C t,_

B ’ ⁰ ~

a‘\ a zatem każdej wartości zespolonej a-\-a‘i, przyjętej

-B

za odpowiada jedna wartość zespolona b-\-b'i, na y, co dowodzi, że każda prosta rzeczywista ma go² punktów urojonych.

Przypuśćmy, że w powyższych dwu równaniach liczby a, a', &, b' są wiadome, a niewiadome są tylko spółczynniki A, B i C, t. z., że dany jest na płaszczyźnie punkt urojony, a szukamy prostej przezeń przechodzącej,

natenczas mamy na wyznaczenie spółczynników A, B, C dwa równania :

A . B

Aa-\-Bb-\-C=0, Aa‘-ł-Bb‘ = 0, które dozwalają wyznaczyć stosunki i wchodzące w równanie szukanej prostej. Mianowicie otrzymujemy:

A —b‘ B

ab' — a'b '

C ab' — a'b’ C ab' — a'b

Ztąd wynika, że przez punkt urojony (a + a'^, b-\-b‘i) płaszczyzny przechodzi zawsze jedna i to tylko jedna prosta rzeczywista o równaniu: b'.x—y—{ab'—a'b) = 0.

10. Ogólne równanie prostej urojonej:

A'i)x-\-(BB'i)y -f- (C-\- C'i)—0,

możemy napisać także w postaci :

Ax-\- By -t- C-\-(A‘xĄ- B‘y 4- C')i=0.

Równaniu temu czyni zadość jedna tylko para liczb rzeczywistych x i y, określona dwoma równaniami o dwóch niewiadomych x i y, jako to:

Ax + ByĄ- (7=0, A‘x-\-B'y-\- D' = 0,    skąd otrzymujemy:

BC'-B'C

(7)

CA' — C'A

X~~ÄB'-A‘B’ y~ AB'-A'B

a więc wszelka prosta urojona na płaszczyźnie przechodzi przez jeden i to tylko przez jeden punkt rzeczywisty tej płaszczyzny.

11. Proste urojone sprzężone. Dwie proste urojone nazywamy sprzę-żonemi, jeżeli spółczynniki ich równań są liczbami po dwie sprzężonemi, a więc, jeżeli mają równania kształtu:

{A+A'ï)x+(B-\-B'ï)yA-(C+C'i)~0, (A-A‘i)x+(B-B'i)y + (C-C'i)=0. (8)

Równania powyższe możemy przedstawić w postaci :

Ax+By+C) + (A‘x+B'y+ C')y/=ï=0, (Ax+By + C) - (A'x+B'y + C')\/^i=0, a stanie im się zadość, skoro będzie równocześnie :

Ax+By-\- C=0, jako też A'%-\- B‘y C=0.

Ostatnie dwa warunki wyznaczają spółrzędne (x, y) punktu rzeczywistego, wspólnego dwu prostym urojonym sprzężonym. A zatem dwie proste urojone sprzężone przecinają się zawsze w jednym punkcie rzeczywistym.

Punkta urojone, tak jak i proste urojone, nie dadzą się wprawdzie przedstawić obrazowo , przecież wprowadzenie ich do geometryi jest potrzebne i korzystne, pomaga bowiem w wyjaśnianiu równań form geometrycznych i nadaje twierdzeniom geometrycznym cechę jednolitości i powszechności.

12. Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego za pomocą wyznaczników. Mając do rozwiązania dwa równania: ax -\-by = c: a‘x -\-b'y = c', ze względu na niewiadome i i |/, przedstawiamy którąkolwiek z metod znanych z elementarnej algebry (metodą podstawiania, porównania lub metodą równych spółczynników), wartości niewiadome w postaci:

ac‘—a'c ab'—a‘b

cb' — c'b

ab' — a‘b

Stosując określenie wyznacznika rzędu drugiego, napiszemy te wartości w postaci:

I c b \ c' b'

,r

I a b a‘ b'

a c a‘ c‘

I ab J) a‘ b'

T. z. Niewiadoma dwóch równań stopnia pierwszego równa się ułamkowi, którego mianownikiem jest wyznacznik, utworzony ze spółczynników przy niewiadomych, a którego licznik powstaje z mianownika, gdy w nim spółczynniki przy niewiadomej, którą mamy wyrachować, zastąpimy przez odpowiednie wyrazy wolne, przeniesione na drugą stronę równań. Tak znajdziemy n. p. jako rozwiązanie równań bx—7// = 1, 4x-f-3y = 18, tą drogą:

1,-7

18. 3

129

5, 1

5, —71    43    ³’ V

4,    3|

4,18

86

—7    43

==2.

Z ogólnego kształtu wartości niewiadomych x = D₂/D. y = Di/D, wypływają następujące wnioski:

(1) Gdy D —

= 0, zaś Dl i I)₂ są różne od zera, natenczas # = co, y = co; rów-

a' b

nania takie nie mają rozwiązań w postaci liczb skończonych; nazywają się tedy równaniami z sobą sprzecznemi.

(2) Gdy D =

alb'

=0, a zarazem Dr =

Ci Ci

a b

= 0, natenczas jest — = —

przeto

także D-2 =

a c a' c'

= 0. Wartości niewiadomych x i y przedstawiają się w tym razie w postaci symbolów nieoznaczonych: cc={j, y— §; takie równania nie wystarczają do wyznaczenia niewiadomych, gdyż zastępują oba jedno tylko równanie; nazywają się one równaniami równoważnemi.

13. Wyznacznik trzeciego rzędu. Szukając warunku, aby trzy równania stopnia pierwszego o dwu niewiadomych ax-\-by —c, a'x-\-b'y=c', a"x -\-b“y = c", miały wspólne rozwią-

a c a' c‘ a b a' b‘

zania, otrzymujemy z pierwszych dwu równań x

a b a' b‘

które to wartości

wstawione w trzecie równanie, dają szukany warunek między dziewięciu spółczynnikami a, 6, c, a', b\ c', a", b", c", w postaci : a c a' c‘

a"

Ci Ci

— c", zkąd otrzymujemy: a"

-f b "

a c a' c'

— c"

= 0,

czyli :

a'

a'

a"

Ci Ci

+ b"

Ci Ci

a b a‘ b‘

= 0.

Wykonawszy wskazane działania, otrzymujemy ten warunek w postaci: a"bc‘—a“b'c -j- a'b“c—a‘bc“ -(- ab'c“ —ab"c' =0,

czyli po stosownem uporządkowaniu:

ab'c"—ab"c‘ -{- a'b"c—a'bc" Ą-a"bc' — a"b'c — 0.

Mamy tu po lewej stronie wyrażenie złożone z sześciu iloczynów, trzech dodatnich i trzech ujemnych, każdy złożony z trzech czynników. Otóż wyrażenie takie, utworzone z 3² czyli 9 liczb, piszemy w postaci szematu kwadratowego o trzech wierszach i trzech kolumnach: a b c

a'b' c‘ , nazywając go wyznacznikiem trzeciego rzędu. Z tego szematu wyzna-a" b" c"

czarny wartość wyznacznika w sposób analogiczny, jak przy wyznaczniku drugiego rzędu, zwany sposobem Sarrusa.

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

W tym celu do kolumn szematu dołączamy jeszcze dwie pierwsze kolumny: a b c a b

a‘ b‘ c‘ a' b‘ , i poczynając od pierwszego elementu a tworzymy trzy iloczyny elementów, a" b" c" a" b"

położonych w przekątni głównej i dwu przekątniach do niej równoległych, jak abJc"? bc'a" ica'b", którym nadajemy znak dodatni; następnie poczynając od elementu c, tworzymy trzy iloczyny elementów, położonych w przekątni bocznej i w przekątniach do niej równoległych, jak: cb'a", ac'b", ba'c", którym nadajemy znak ujemny; tych sześć iloczynów z umówionemi znakami łączymy w sumę, która przedstawi wartość wyznacznika: a b c

a' b' c‘ = ab‘c" -f- a"bc‘ ■\-a‘b"c—a"b,c—ab"c‘—a‘bc". a" b" c"

Przy tern znakowaniu przedstawi się warunek, aby trzy równania stopnia pierwszego o dwu niewiadomych: axĄ-by — c, a'x-j- b'y = c', a"x-\- b"y = c", miały wspólne pier-

wiastki (rozwiązania) w postaci:

= 0.

a b c a‘ b' c' a" b" c"

14. Własności wyznacznika trzeciego rzędu. Z określenia wyznacznika trzeciego rzędu (3² elementów) wynikają wprost własności tegoż wyznacznika, analogiczne do własności wyznacznika drugiego rzędu, podane w artykule 9., str. 27., jako to:

a' b' c' abc a" b" c"

; (2)

abc

(1)    a' b‘ c'

a" b" c"

(B) a‘ a' c•

a" a" c"

abc abc a" b" c"

0; (4) p.

pa pb pc a' b¹ c‘ a" 6“ c"

pa b c = pa' b' c' ; pa" b" c"

a b c a‘ b‘ c‘ a" b" c"

które nietrudno wyrazić słowami.

(5) a¹

« + “) h 4- ß, c 4- y

a"

b'

b"

c"

4"

a¹¹

; (⁶)

a b c a' b' c' = a" b" c“

a-\-ma‘, b-\-mb\ c-\-mc‘

a¹

b¹

c‘

b“

c"

D = Olai -j- &lßl+ CjYl = a₂02 4' ^2p2 4* f2T2 = <*3a3 4- &₃03 4" f3Ï3?

D=alal -f- <*2a2 4- <*3a3 = ^lßl 4" ^2?2 4" ^3ß3 ~ ^lYl 4“ ^2Ï2 4" C3Ï3-

16. Obliczanie wyznacznika trzeciego rzędu za pomocą podwyznaczników. Powyższe wzory dozwalają wyznaczyć wartość wyznacznika trzeciego rzędu za pomocą podwyznacz-ników, przynależnych elementom jakiegokolwiek rzędu. N. p.

Każdemu elementowi a, b: c odpowiadać będzie w takiem rozwinięciu pewien spół-czynnik a, ß, y, który nazywamy minorem tego elementu. Minor jest, jak widzimy, pewnym wyznacznikiem drugiego rzędu, czyli t. z. podwyznacznikiem elementu , powstałym przez opuszczenie wiersza i kolumny, w których się dany element znajduje, a wziętym ze znakiem właściwym, lub przeciwnym, stosownie do tego, czy suma z liczby porządkowej wiersza i kolumny, w których się dany element znajduje, jest liczbą parzystą, lub nieparzystą. W szczególności przedstawiają się minory poszczególnych elementów w następujących postaciach:

a _I ^2 c21

(5 ! a2 c2 ! . v I °2 &2

| «3 ! ’ Yl I «3 h

= I ß₃₌₌_|alcl|, y₃

i *2 C₂ r ™ I «2 c2p

a rozwinięcie danego wyznacznika otrzymuje następujące kształty:

«2 =

_ I h ci

\ ^3 c3

ß₂ =

₌ I «1 \ . I «2 h1 ’

«1 cl c3 I

Ï2=

a f e (1) D= f b d c d c

a. o-

Ci

« a.

4-

— abc—ad%—f ²c -f- 2fde—&e²;

(2)

2 4-6 2 15    9

1 11 27

_ o ; 4,    6 lic

--2 ; 11. 27 + ¹

2,-6

1, 27 i

-9

! 2, 4 ;

1, 11 •

Sprowadzając na zasadzie własności (4) i (6), art. 14. wyznacznika jeden element jakiegokolwiek rzędu do 1, a pozostałe do 0, sprowadzimy obliczanie wartości wyznacznika trzeciego rzędu do obliczania jednego tylko wyznacznika drugiego rzędu. Tak n. p. będzie:

1, 2, -

2, 15,

1, 11,

-»U; _Sj =-30.-13 = 390.

Nawzajem możemy wyznacznik drugiego rzędu przedstawić w formie wyznacznika trzeciego rzędu, jak:

2, 4, -2, 15,

1, 11, 27

= — 1.6

2.

i-¹

2, -

15

2.3.

11, 27

5) 21 I__on [

10 29 — ou

1 21

®1 a2 \ O

bi b2 I    n

10 0

t-H CO

6.

0, 0 -1

5, 21    3    =

10, 29    9

1 x y

oą a₂ = ; 0 Oj Bj .

0 Zą \    : 0 b^ b.₂

17.    Własności podwyzuaczników. Zastąpmy w rozwinięciach wyznacznika elementa jednego rzędu przez elementa innego rzędu równoległego, natenczas tak powstała suma będzie rozwinięciem wyznacznika, który ma po dwa rzędy równe, a więc według (3) art. 14. ma wartość równą zeru. Będzie więc :

ai«i-b&ißi -bciYi=J>, zaś «₂ai+&2ßi+ <*2Ïi = a₃“i + &3ßi + «3Ti=0,

T. z. Jeżeli elementa pewnego rzędu w danym wyznaczniku pomnożymy przez ich własne minory, to otrzymamy jako Sumę tych iloczynów wartość danego wyznacznika, eżeli zaś elementa pewnego rzędu pomnożymy przez odpowiednie minory elementów innego i*zędu doń równoległego, natenczas suma tak powstałych iloczynów jest równa zeru.

18.    Wyznacznik równy zeru. Jeżeli wyznacznik T> = 0, natenczas zachodzą równocześnie następujące trzy równania:

öi«i-b«₂a₂-ba₃a₃=0,    &iai-b&2a2-bô3a3=0? ci ał-Tc2a2+ c₃ct₃=> 0,

jednorodne ze względu na trzy minory oą, a₂, *₃. Przyjmijmy «₃ < 0, i przedstawmy dane trzy równania w postaci równań niejednorodnych o dwóch stosunkach oą/ag ia₂/«₃, iako to:

ogólnie :

(*, *=1,2, 3).

«1

natenczas, biorąc pod uwagę po dwa równania, a to pierwsze z drugiem, jako też trzecie z pierwszem, otrzymujemy następujące rozwiązania:

gi_^    «2

’ «3 ~b3l b2 C1 c2 _“l _    —c3 c2

—a₃ a₂

a, a₂

b\ h

«3

czyli :

aj a₂

«1    «2

Ï3-—= Tl> Ï3 — =ïï>

®3    *3

«! a₂ a₂_ ai: —a₃

bu ~h3 C\1 C3 «1, —«3    ’

bl bi *3

c₂ <x₂ _

«1 a₂ ‘ aj ~

ß3 —ßl» p3-~—p2

“3    a3

a więc :

₌ a2 ₌ j*3 _“l ₌ «2    «3

ï₃’ Pi '

«! *• «2-«3 =ßl : ß2 ßa = Tl :Ï2 :Ï3-

T. zn. W wyznaczniku, który jest równym zeru, są minory odpowiednich elementów poszczególnych wierszy do siebie proporcyonalne.

19.    Wyznacznik dołączony. Jeżeli z danego wyznacznika D utworzymy nowy wyznacznik A w ten sposób , że w miejscu każdego elementu a, b, c postawimy jego minor a, ß, y, natenczas tak powstały wyznacznik nazywamy wyznacznikiem dołączonym do danego wyznacznika. Tak odpowiada wyznacznikowi :

a\ a% a3

1> — bt b₂ b₃

C1 ^2 ^3

20.    Iloczyn dwóch wyznaczników da się przedstawić jako nowy wyznacznik tego samego rzędu według następującego wzoru:

b h h

mr m₂ m3 »i n₂ %

który wynika z zastosowania własności (5), (4) i (8), art. 14. wyznaczników.

czyli :

Ti Ï2

Pi

fe’ •

wyznacznik dołączony

,b>

Ï2

ÛN Ûîo flo 6, 63 q c₂ c₃

ai h "b aîh + a3h f bi h + b2h -b ^3 h> ci h “b c2 h "b c3h

⁰lw!”b aim2~\~ a3m3l ^lwll"b^2w*>"b^3wt3» Cimi~\~ cim2JT c3m3    i

«lWl-b«2W2 +°3»3> bln\ -bô2%-b b3n3,    -f b>«2 + C3«3

- 84 -

21. Wartość wyznacznika dołączonego. Stosując powyższe prawidło mnożenia wyznaczników do iloczynu wyznacznika D i wyznacznika A do niego dołączonego, otrzymamy : cri a₂ a3 D . A = ój b₂ b3 Cl C₂ c₃

«i «1 j-«2a2"H a3*3) ^1®1 4" ^2a2“b ^3*31 Cl*14" C2*24" c3⁷3

«1 «2 “3

• ßl ?2 ?3 — C*1 ßl “H ö'₂ß₂4' “3^31 A ßl 4- *2^2 4- Aß₃ , <?ißi4~ C₂ß₂4“ C₃S3 «lTl4-a₂T2 4-«3l3, &iYi4- ⁶2T₂4-&3Ï3i c₁y₁+c₂y₂4-c₃T3

Tl Ï2 Ï3

czyli DA =

«1 «₂    <X₃

«i a.₂ a,

0D0 —I)³, a wiec A = Z)², czyli ßi ß₂ ß₃ = bt b.₂ b-, 0 0 D

Cl C₂ c₃

Tl T2 T3

T. z. wyznacznik dołączony do wyznacznika trzeciego rzędu jest równy kwadratowi tegoż wyznacznika pierwotnego.

22. Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego o trzech niewiadomych za pomocą wyznaczników rzędu trzeciego. Z własności wyznaczników trzeciego rzędu korzystamy przy rozwiązywaniu równań pierwszego stopnia o trzech niewiadomych.

Niech będą dane równania:

«1 a.₂ a₃

ł>ixi4~ hx24“ \x3 —    ) gdzie &i b₂ b₃ =■ D.

C1 xl —h C2X2 4" C3X3 ⁼ C₀

aix\ 4" a2X'2 4" <*3*3 == %

ci C₂ C₃

Pomnóżmy te równania kolejno przez minory elementów pierwszej kolumny wyznacznika I) i dodajmy je następnie, to otrzymujemy następujące równanie:

(«1 «14- Ói ßl 4- Cl Tl ) ail 4- (a₂ «14- ö₂ ßl 4- c₂ Tl ) X₂ 4- (a₃ «14- &3 ßl 4- C₃ Tl ) X₃ = «0 “i 4- èo .Ê14- c₀ Tl, a ponieważ na podstawie art. 17. cą «1 4A ßi 4~ci Yi = D, zaś «2 ai 4~ A ßi 4“ c₂Yi=a3«i 4-^3§i4"C3Ti=Oj

¹

Rozwijanie wyznacznika. Wyznacznik trzeciego rzędu da się rozwinąć według elementów któregokolwiek wiersza lub którejkolwiek kolumny, tak, źe możemy wyznacznik uważać za wyrażenie jednorodne ze względu na elementa jego wierszy lub kolumn. Mech

al bt ct

będzie bowiem dany wyznacznik trzeciego rzędu: D= a^b%c^ , natenczas jego rozwinięcie,

«3 bs cs

porządkując podług elementów pierwszego wiersza, przedstawimy w postaci :

Z) = o₁(&₂c₃—6₃c₂) -f bifaaz—c₃«₂) + ci(a₂b₃— a₃b₂).

przeto otrzymujemy:

Dx1= a₀o4 4- *oßi 4- CoTi^ A •

Podobnie otrzymamy Dx₂— «₀a24“ ^op24“ CoY2⁼⁼ A? ^3—aoa3 4’^0^34“ coT3—A? zatem:

«0

«3

«1

#i=

bip

co

c3

«1 «2 bt b₂

c\ c2

«i «2 «o è₂ &₀

C1 c2 c0

C3

Cl

av

a* a₃ |

h h ; c2 c3 I

T. z. Niewiadoma układu trzech równań pierwszego stopnia o trzech niewiadomych jest równa ułamkowi, którego mianownikiem jest wyznacznik utworzony ze spółczynników przy liczbach niewiadomych , a którego licznik otrzymujemy z mianownika, jeżeli w miejscu spółczynników przy niewiadomej , którą rachujemy, podstawimy odpowiednie wyrazy wolne od niewiadomych, przeniesione na drugą stronę równania.

«S⁴ J⁵

«i

«3

Cl

C3

23. Z ogólnego kształtu wartości tych niewiadomych: xx —    , x-i—~jj > ®₃=-^, wyP^'

wają następujące wnioski:

(1) Jeżeli Z> = 0, zaś Dt, Z>₂) A S£t różne od zera, natenczas a,₁=co, x.₂= oo, a;₃=:oo; równania takie nie mają rozwiązali w postaci liczb skończonych i nazywają się wtedy

równaniami ze sobą sprzecznemu

(2) Jeżeli D — 0, a zarazem Dv—D₂=D₃—0: natenczas wartości niewiadomych xux₂, x3 przedstawiają się w postaci symbolów nieoznaczonych #1=5, »₂ = g , £c:, = g ; takie równania nie wystarczają do wyznaczenia niewiadomych i nazywają się wtedy równaniami od siebie zależnemi.

W ostatnim przypadku możemy wykazać, że skoro h=0 i jeden z wyznaczników n. p. J\ — 0, natenczas muszą być także pozostałe dwa wyznaczniki D.₂ i D₃ zerami. Skoro

«1 «2 Ö3

bowiem /)— bl \ b₃ —0, natenczas mamy na podstawie art. 17. następujące równania :

ci c₂ c₃

«i«i-f «2«2+ «3«3=0,    ^iai "1“ ^2a2"ł⁻^3a3 ⁼⁼⁼ 0,    c₂a₂-4-c₃a₃=0,

zatem czyli

jeżeli położymy:

Wobec tego będzie : i «i «g a₃

A= j ^1 ^0 ^3

I Cl Cq <?3

«1 =

~ ®3, ^1-~ ~ ⁶2~ ~    ⁶3 j    Ci “ ~ C2    ~~    C₃,

OCj    OCj Äj    0C^    Otj

«i = ma.₂ -f- na:,,    mb₂ wó₃,    ct    mc₂ -j- nc₃,

*1

«2 —

? t!

ai

*i

wa₂-|- wa₃

mb2 -j- nb₃ bQ b₃ = m mc₂-\- nc₃ c₀ c₃

«U «3

«?

«0 «3 !

b₀ b₃'4- n. 0 =

co c₃ I

«₂ a₃

i₂ b₃ -    — m i>i=

c₂ c₃

zeru

25. Nawzajem możemy dowieść, że jeżeli niewiadome trzech równań jednorodnych są proporcyonalne do minorów poszczególnych elementów jakiegokolwiek wiersza w wyznaczniku, utworzonym ze spółczynników tych równań, natenczas wyznacznik ten jest równy . Skoro bowiem xxja.x =x₂/a.₂ =x₃l«₃, natenczas xx=&*,, x₂ = kx₂, x₃=ky₃, przeto z równania axxx -{- a₂x₂-\-a₃x₃ = 0, otrzymujemy warunek &(ai“i4"®2a2 +asas)— 0, czyli ki) = 0, a więc T) — 0.

0 wskazuje zarazem, że dane trzy równania jednorodne są od siebie

Wyznacznik 1)

zależne. Możemy dowieść, że w takim razie istnieją zawsze takie czynniki fct, k₂, k₃, że będzie tożsamościowo : k{ {axxx -f a₂x₂ + a₃x₃) + k₂(bxxxĄ-b₂x₂ + b₃x₃)Ą-k:l(cxxx -f c₂x₂ -f c₃x₃) = 0.

których ze względu, że także

— 0, wypływają stosunki — =

*1

: ma.2 -f- na₃ a₂ «0

—    + «&3 h K

I mc₂ -f- nc₃ ą c₀

«2 «2 b2 ^2 c2 c2

-f- n

a 3 a2 a0

b, b.₂ b₀

C3

Co

m .0-\- n

«2 «0 ^2 60 = C2 c0

=    - 2Î

«2 «3    *,

&₂ è₃ =-wĄ=_lĄ.

c2 c3

*1

Jeżeli więc Dt =0, natenczas będzie także D.₂ — 0, jakoteż Z)₃= 0, co było do udo

wodnienia.

24. Własności i rozwiązania równań jednorodnych stopnia pierwszego. Jeżeli dane trzy równania są j ednorodne, jako to :

a₁xl -j- atx2a3x?,= 0 bixi-\-b₂x₂-\-b₃x₃=0 gdzie

c₂x₂ + 03X3= 0

a. «0

h h

cl c2

Dxl= 0, T)x₂ — 0, Dx3 =0.

=A

natenczas otrzymamy :

Jeżeli D ^ 0, to równania takie spełniają się tylko wobec xt=0, æ₂=0, x₃= 0.

Jeżeli D = 0, natenczas przedstawią się wartości niewiadomych w postaci nieoznaczonej g. Przyjmijmy x₃ < 0, i przedstawmy dane trzy równania jednorodne o trzecli niewiadomych. w postaci trzech równań niejednorodnych o dwóch niewiadomych stosunkach xx/x₃, x₂/x₃, jako to:

ai + a2 ~r + «3

-    ~    «i «2 %

fti—+*j    -ł- &₃ =0, gdzie ó₂ ó₃ =0,

3    3:3    «1 c₂ c₃

ci

natenczas, biorąc kolejno co dwa równania, otrzymujemy następujące rozwiązania:

ai «2    ^2₌ «U “«S

h h ' xi

&i b₂ X2__    — 63

⁶T c2    ^3    Cl) C3

C] e2 «1 «2

^3 ^2

^1)    ^3

— ^3 ^2 c3 c2

I C1 c2 x\ __    —c3 c2

i ®1 ®2 I ^3

«? £

C15 C3 «1» —«3

—«3 «2

l względniając, że spółczynniki w otrzymanych równaniach są minorami poszczególnych elementów danego wyznacznika

mamy :

ri ;

=T2 ;

=al

.r₂

*3 -— = *2

a więc:

xx_.-r₂    x:. xl    x-2    x₃ xl x₂    x₃

~    ’ ßi    ßa    Pa    ’ Ti    _ Ï2

x3

ßs-“— ßn ß.3*^— ß2

X3    ^3

czyli •

«1 a₂ «3

X\ ’• x2 : x3 — al : a2 : a3 ⁼    • $2 ’• ®3 — Ï1 : Ï2 : Ï3 •

Ts

A zatem: Jeżeli

w trzech równaniach jednorodnych o trzech niewiadomych wyznacznik D utworzony ze spółczynników przy niewiadomych jest równy zeru, natenczas wartości niewiadomych, spełniając takie trzy równania, są proporcjonalne do minorów elementów jakiegokolwiek wiersza tego wyznacznika.

Czynniki te musiałyby spełniać warunki, określone równaniami jednorodnemi: kxax-\-k₂bx-\-k₃cx=0, k₂a₂Ą-k₂b₂-]rkzc₂=0, k₂a₃+k.₂b₃-{-k₃c₃=0, ax b₂ ct «2 b₂ c2 a₃ b₃ c₃

T. z. czynniki takie są proporcyonalne do minorów poszczególnych elementów którejkolwiek kolumny wyznacznika D.

A zatem: Jeżeli w równaniach jednorodnych o trzech niewiadomych wyznacznik utworzony ze spółczynników równań jest równy zeru, natenczas wartości niewiadomych są proporcyonalne do minorów elementów któregokolwiek wiersza, a czynniki k są proporcyonalne do minorów elementów którejkolwiek kolumny tegoż wyznacznika.

26.    Zastosowanie wyznaczników do rozwiązywania zagadnień o punkcie i prostej na płaszczyźnie. Wyznaczniki, dla swej poglądowej przejrzystej formy i rozmaitych własności , nadają się szczególnie korzystnie przy rozwiązywaniu zagadnień geometryi analitycznej , gdyż z jednej strony upraszczają niekiedy znakomicie rachunek, a z drugiej nadają wynikom osobliwą przejrzystość, jak to poznamy z szeregu zagadnień, które rozwiążemy przy pomocy wyznaczników.

27.    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkta. Niech będą dane dwa punkta Pi(xi, yi P₂{x2:y₂). Równanie szukanej prostej

ma kształt :

Ax+ By+ 0=0.

równości :

Ponieważ prosta przechodzi przez punkta P, P₂, przeto zachodzą tu Ax^ -p Byj -p 0=0, Ax₂ -P By₂ -P 0=0.

Te trzy równania między niewiadomemi A, B, O, mogą się ostać (według art. 13.) tylko wówczas, gdy wyznacznik, utworzony ze spółczynników przy niewiadomych, będzie równy zeru. Otrzymamy zatem :

x, Vi 1

xu yu 1 =0, czyli x{y^— y₂)—y(x^ -x₂)    x₂y^O,

x%i y i

jako równanie szukanej prostej.

na linii prostej. Trzy dane punkta niech leżą na

Axj -p By| -p 0=0, Ax₂ -P By₂ -p 0=0, Ax₃ -p By₃ -p 0=0 otrzymujemy zatem szukany warunek w postaci wyznacznika:

28. Znaleźć warunek, aby trzy punkta dane na płaszczyźnie, A(xi} yx), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), leżały prostej: Ax-j-By-\- 0=0, natenczas muszą się spełniać trzy równania warunkowe :

29. Znaleźć warunek, pod którym trzy proste dane równaniami przecinają si§ w jednym punkcie. Równania danych trzech prostych niech będą :

Aix-\-B]y + Cx =0, A₂x-\-B₂yĄ- C₂ =0, A₃x-\-B₂y + 0₃=0. Jeżeli te trzy proste przecinają się w jednym punkcie P(f, rj), natenczas zachodzą między niewiadomemi trzy równania warunkowe: Aii~\-Bxr]-{- C₁=0, A₂^-\-B₂p-\-C₂=0,

A₃£-\-B₃r]AC₃—0, którym stanie się zadość, skoro będzie:

A\ Bx O,

A₂B₂C₂ =0.

A % B₃ Og

Wniosek: Prosta A₃x-\-B₃y-\-Cz=0 przechodzi przez punkt przecięcia prostych Aix4-Biy-\-Ci=0 i A₂xĄ-B₂y A C₂ =0, skoro dadzą się wyznaczyć trzy czynniki kx, k₂, k₃ tak, że będzie tożsamościowo :

k\(A\X-\-B^yC^)Ą-k₂(A₂x-\- B₂yA- C₂)-\-k₃(A₃x-\ B₃y-\- 0₃)=0,

czyli , gdy będzie :

A₃x+B₃y + C₃--(h A, +| ^)*-(ę B, +|ä,) ’J-(ę C, +1 C,)- 0

wtedy jest bowiem wyznacznik:

^ -ł-i    CO

(M CO

PpPpPP

*ri    CO

^ ^ ^

h. a

If ■

k₃

•2 5

rli⁵" bj bd

'    tO M-

B,

A, B, ¹ Ą B2 ³ A B\

Jr ^1 — ~² A

F .²

Æ3 ^

ça td bj

’25

=0.

30. Dowieść, ie ośrodkowe w trójkącie, ń y. proste, łączące wierzchołki ze środkami przeciwległych loków, przecinają się w jednym punkcie. Niech będzie dany trójkąt    B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), natenczas środek Z) boku J5C ma

spółrzędne —^~a?3-, ?/2^³. Prosta, przechodząca przez punkt J.(aJ1} yj i przez punkt D{\(x₂+x₃), £(y₂+y₃)), otrzymuje równanie:

«i

20

=0, czyli

æ₁

=o,

5(^2 + ®₃), ^2+^)5 1

^2+^35 2/₂+2/₃ ²

czyli po rozwinięciu wyznacznika według elementów pierwszego wiersza :

x^y\ —*72—2/3)-K²* 1 —^2 ~xz) +^1(2/2 +2/3)—yi(«₂ +^₃)=⁰-Prostą przemianą znaczków 1, 2, 3 otrzymamy równania dwóch drugich linii ośrodkowych :

*(²2/₂ ~ 2/3 —2/i ) ~ 2/(²*2 ~ ^3—^1 )+^2 ^2/3 + 2/, ) -2/2 (^3 + ^1 )⁼⁰5 ^(²2/₃—2/i —2/2 ) - 2/(²^3 —- ^2 ) + ^3 (2/i + 2/2 ) - 2/3 (^1 + »*2 )=°-Suma tych trzech równań daje 0=0, a więc trzy linie ośrodkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, t. z. środku ciężkości trójkąta.

31. Dowieść, że trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Prosta, przechodząca przez punkt (f, rj) prostopadle do prostej Ax-\- By -f- G⁷=0, ma, jak wiadomo, równanie A{y — rj) — B(x—£)=0. Równanie boku BC trójkąta jest :

x(y₂ -2/3)—2/(^2—•*3)+(*22/3—^2/2)=0,

a więc wysokość ń₁_[_B(7, będzie miała równanie:

(2/2—2/3) (2/—2/1)+(*2—i*3)(*—*i)=°) °zyii XiX2 — ^3 ) T 2/(2/₂ ~ 2/3 ) — Ol («2 — 'XZ ) + y i (2/2 —2/3 )] = 0 Prostą przemianą znaczków 1, 2, 3, otrzymujemy wprost równania dwóch pozostałych wysokości :

x(x₃ —xi)+y(ys—yi) — [x₂(x₃ - x^+y^-y^O, x(xi —x₂) + y{yi - y₂) - [x₃(xi —x₂)+y₃(yl -y₂)]=0,

Suma tych trzech równań daje 0=0, a więc wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

32. Dowieść, że prostopadłe w środkach loków trójkąta wykreślone przecinają się w jednym punkcie. Prosta BC, przechodząca przez punkta (x₂,y₂) i (x₃,y₅) ma równanie :

(*i)

Qh)

(^3)

^(2/2-2/3)-y(x2 ~xz)+0₂2/₃ —^32/2)=⁰5

przeto prostopadła do niej, wykreślona w środku il₂(x₂-{-x₃), ¹/₂(y₂+^3) boku jBC, będzie miała

równanie :

(2/2 —2/3) [(2/ ~ V2O2 +2/3)] + («2 - *3) [(* ~ ¹/₂(^2+^₃)]⁼⁰5 czyli

²^(^2 — ^3 ) + ²2/ (2/2 - 2/s ) — [^ ²2 - ^ ²3 + 2/ ²2 — 2/ ²3 ] = 0.

Prostą przemianą znaczków 1, 2, 3, otrzymujemy równania dwóch innych prostopadłych :

c2x(x₃ — xi ) + 2 y (y₃ - yx ) - [a;²₃ — x\ + y\ — y²₁ ] = 0, 2«(«i —æ₂) + 2y(y₁ -y₂)—[a;²! - z²₂ +y²j —y²]=0.

Suma tych trzech równań daje 0=0, a więc prostopadłe w środkach boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, t. j. w środku koła na trójkącie opisanego.

33. Dowieść, śe środek ciężkości, punkt wysokości i środek koła opisanego (trzy osobliwe punkta trójkąta) leżą na jednej linii prostej. Jeżeli wierzchołek C trójkąta przyjmiemy w początku układu, a zatem x^—y% — 0, natenczas otrzymuje: (o) środek ciężkości $(£, 77) trójkąta na podstawie równań art. 30.

2/i 42/2

4 +4

—3—1 *7

podstawie równań art. 31. spółrzędne :

g,_ (44 42/i 2/2) (2/2 -2/1) 42/2—42/1    ’

(c) środek O (I", 77") koła opisanego 44 42/i 2/2    2/i —2/₂

spółrzędne : £

4+4

(ft) punkt przecięcia wysokości #(£', 77') na

(44 42/12/₂) (4 —4)

42/2—42/1    ’

na podstawie równań art. 32. spółrzędne :

2/i 42/2,44+2/i2/2 4—4 •

4s/₂—■42/i

Dotyczące równania otrzymują wedle wymieniony cli art. następujące kształty: O) 5(2yi—y2)—*l(2a^—*j) + (®iya—*iyi)=0, 5(2ya— yi)—ł)(2a7a— aft)—Oi*/₂— *îîTi) = 0, skąd otrzymujemy na wyznaczenie Ç i r) odpowiędnę wyznaczniki:

| ²//i ~!h

I 2ya—yi

42/₂—42/i

(²*i —*₂1 I _____ I 2?/! —y₂ 2*,—*₂ I _o |2yt— y, 2*t—*₂ I „3 I !h

(2*2 *01 I    3*, I I y, *1    I 2/i

=3

*1 î/j

2/2 r

—(*l?/₂—*2*/i

(*iy₂—*2«/i

) —(2*,—I _l

) -(2*2—*!) j

22/1 —2/2 —(*i2/2-^22/l) |_| ?/l 4 2/2

22/2 —2/1    (*12/2—*22/1) i r

²2/2 — 2/i    (*i?/2—*2./l)

*1 4*2 I

(®iys—*»yi) 2*₂—*11

=(2/1+2/2)

= (*1 4 «2)

I®1 2/11

*2 2/2 ’

2/1 .

2/2

przeto jak wyżej :

07J+X2

3    ’ ⁷¹

?/i + 2/2

(6) ç'ajj + Vyi—(^i^2+2/12/2)S'®a4Vi/j— (a?i-ł- 2/12/2)^ 0,

skąd otrzymujemy na wyznaczenie S;' i rj' wprost:

^ = (^^2+2/i2/2) \ \Vy\ 5 j 5 Vy% I V= (*1*2+ 2/12/2)

*1 ?/i

I *2 2/2 I

przeto , jak powyżej :

ę, _ (+1 ^2 + l/i ya) (y> — V\ )

*12/2—asił/i

(c) 2?"*,4-2t)"2/i —(*\ + 2/²i)=0, 2£"*₂ 4-2rj"y₂- (*²₂4 ?A) — 0, skąd na wyznaczenie Ç" otrzymujemy:

8 8 M-

(agtgg2 4-yiya)'(agi—ag₂).

2 *i y i “ 1*2 2/2 ₌ I *²12/1 I *²2

₌ ! *\4 *1 *2, 2/1

; *²2+*i *2, y-₂

c«_ I *\4 2/²i 2/1 1    I *²i 2/1 ! I I y\

' I *²₂4 y\ 2/2 !    i *²₂ 2/2¹ + ¹ "²

Îl+V. |y, 1

4-(*1*24-2/12/2) I y¹ } I = (*i4*a)

+ 2/12/2

przeto , jak wyżej podano

l"

2/2

— *1*2

*1 2/1 *2 2/2

Fig. 66.

4- (*t*₂ 4- yty₂)

2/1 1

2/2 1

444 , 444 ?/i Ifï V1—V2

²    ~^43/2— 4ł/i '    ²

zaś t)"=

ł/i 4 Uï , 44 4 ?/i ł/2 4~4

42/2 — 4ł/i

AVobec tego będzie miał w myśl art 28. dotyczący wyznacznik wartość:

*/i 42/2 44 42/i2/2 42/₂—42/i

OT ł—¹

4 44 44 42/12/2

42/2' 42/i

(2/2-2/1)

(4—4)

4 444

44 42/12/2

42/₂ —42/i

(2/i -2/₂)i    2/i 42/₂ 4

44+2/i2/2

42/2—42/1

(4—4) ²

“"6

4 44 44 42/12/2

42/2    42/i

(2/2-2/1)

2/i 42/2 44 42/i2/2

t. z.

42/2—42/1 2/i 42/2

punkta 5(|, 7/), #(£', t?'), 0(|“, 77") leżą

(4—4) ¹

=0,

444

na linii prostej, jak na fig. 66.

34. Dam spółrzędne wierzchołków trójkąta A, B₁ C, wyznaczyć powierzchnię A.

Przyjmijmy najpierw punkt A w początku układu, B niech ma spółrzędne x\ y\ C zaś x", y'j (fig. 67), natenczas będzie :

<żA=AB. AC sin a=r'.r" sin (Xu— J')=

JL*

i¹

= r'r“ sini" cos i'—r‘ r“ cos i" sin A'= x‘y"—x“ y‘

x' y' x“ y“

x' y‘

rpłł nt M

Jy y

Niech będzie teraz początek dowolny (fig. 68.), wierzchołek A niech ma spółrzędne (a^,^), B(x₂,y₂), C(xz, y.₂). Poprowadźmy przez punkt A układ osi równoległy do pierwotnego, natenczas odnośnie do nowego układu będzie miał punkt A spółrzędne (0,0), B(xj «/'), C(x", y"), przyczem będzie x₂=x₁+x/, 2/2⁼⁼⁼2/iP2/S x₃=x₁-j-x‘J, yz=y\ +y“, a więc x‘=x₂—xu y‘=y₂—y^ x"=x₂—xx,

y“=y%-y\-

Będzie zatem :

2/1= X> y‘ x" y"

cPy

/fi

Fig. 67.

T-i O O

H «

co to

zatem :

2 A=

2/2

—%i y z-

x₂-xi y₂-y^ ₌

*3—*i 2/3—y i !

1 a?!

i «2 y%

1 æ₃ y₃

A,

y,

r4~~

--!-v

■Kj /\

a:₁    1

2 d== a;₂    1

wzór na powierzchnię trójkąta. Jeżeli <4=0, natenczas trzy punkta leżą linii prostej. (Porównaj art. 28.).

zatem :

Fig. 68.

na

35. Dane są spółrzędne wierzchołków wielokąta, icyznaczyć jego powierzchnię. Przyjmijmy wewnątrz wielokąta punkt P(«, b) i połączmy go ze wszyst-kiemi wierzchołkami danego wielokąta, natenczas rozpadnie się jego powierzchnia F na same trójkąty. Będzie więc: ab 1

ab 1

ab 1

2F= xlyi 1 p x₂ y₂ 1 p...p xn~iyn~11 P %n yn 1 •

xt y t 1

^2 2/2 ¹

*3 y?,¹

yn

staniemy :

Rozwinąwszy wyznaczniki podług elementów pierwszego wiersza

do-

xt 2/i

^2 2/2

2^=0^- y₂)—b{xx—.x₂)A-a{y₂ — y₂)—<b{x₂—.z₃)P

P «(2/3 —2/4)—&(^3 —^4) P - + «(yn—2/i)—&(«»—*1) P

•^2 2/2 «3 2/3

2/» ? *1 2/1 .

■^3 y z

yK

2/1 I ^2 2/2    1 _L I

2/2    ^3 2/3    ’ I

36. Dane są trzy proste swojemi równaniami, wyznaczyć powierzchnię trójkąta przez nie zamkniętego. Niech będą dane trzy proste Zf₁(.4₁æ + B^y-\- Cx =0), R₂(P₂a;p B₂y+ C₂=0), L₃(A₂x-\-B₂yĄ- <7₃=0), natenczas spółrzędne wierzchołków trójkąta przedstawiają się w postaci następujących ułamków:

p • •• P

<r* yn

a stąd:

2 F= \

Xn yn Ą 2/i

bd bd

CO bO

o o

,co to

cPP

^bdbd

o o

^ co ^

Od -r-t!

od T-'

tu tu

bd bd

bd bd tu tu

•PP jaja

B,

tU tu

bd cd

tu tu

bd bd

Uu Li-.

bd bd

Widzimy tu, że liczniki i mianowniki są minorami elementów wyznacznika :

Z)=

tu tu tu

yi=

7i

bi ą

2 -®2 ^2 3 -®3 ^3

a,

X2~~ ) V'l ~ f

a mianowicie jest ic₁ =

ßi

72

72

*3 —

«3

7s

ßz

y 3= —

73

Wobec tego przy zastosowaniu art. 34. i 21. otrzymamy:

24=

X2 1 xz y z i

Ai B

A B2

A A

ai ßi 7i «2 ßz 72

D²

czyli 24

1    Bi

2    Bg

2

3 2*3 ' A B

Jeżeli 4=0, natenczas trzy proste zamykają trójkąt o powierzchni równej zeru, t. j. przecinają się w jednym punkcie. Stanie się to, gdy się

A₁ Bt Ci 4-2 B₂ C₂ —0.

A₃ Bg Cg

Może się wreszcie zdarzyć, że będzie 4 = go , natenczas trzy dane proste zamykają trójkąt o nieskończenie wielkiej powierzchni. To się zdarzy, gdy jeden z czynników mianownika będzie równy zeru, gdy więc:

| A Bi |

i A B₂ I

proste są do siebie równoległe.

7i7₂7₃

7i7₂7₃

tu tu

fcutu

A B-g

spełni warunek (por. art. 29.) :

A B

=4₁_Z?2—4₃Z?₁=0, czyli -4=— t. z., gdy którekolwiek dwie dane

Ag    B 2

37. Skrócone znakowanie równań linij prostych. W rozważaniach opartych na równaniach linij prostych jest rzeczą nieraz bardzo wskazaną, lewą stronę równania sprowadzonego do zera, zastąpić dla skrócenia jedną tylko literą, a więc równanie ogólne linii prostej. Ax -\-By C = 0 zastąpić przez _L = 0, rozumiejąc, że L =Ax -f-By -j- C, dalej równanie normalne linii prostej x cos <p -j- y sin ®—p — 0 zastąpić krótko przez 1 = 0, rozumiejąc, że

1 = x cos <p -}— y sin ® — p.

Przy tern znakowaniu dla jakiegokolwiek punktu (*, y) przedstawia L wielkość pro-porcyonalną do odległości 8 tego punktu od prostej Ax-\-By-\-C=0. Mianowicie, ze względu, że ^ ^ Ax + By + C

VÄJ+B¹

mamy L =8 .Vńd²4-J3²;

Va*-\-B*'

natomiast przedstawia, ze względu, że 8 = x cos o -J- y sin »—p — l, znak l wprost odległość punktu (x, y) od prostej x cos <p -f- y sin <? — p = 0.

38. Korzyści skróconego znakowania równań. Przy pomocy skróconego znakowania równań linii prostej, upraszczają się częstokroć znacznie dowodzenia geometryczne, dotyczące linij prostych na płaszczyźnie, a wzory zyskują równocześnie na przejrzystości

i symetryi.

Jako przykład weźmy sprawę punktów osobliwych trójkąta.

Niech będą l, = 0, l₂=0,    = 0 równania normalne trzech boków trójkąta, którym

przeciwległe kąty oznaczmy przez A, B, C, natenczas otrzymujemy trzy dwójsieczne kątów wewnętrznych trójkąta, określone równaniami:

l\ —^2⁼⁼⁼ bj

h—h—0,

Ig li — 0 ;

(1)

- 91 —

(2) dwie dwój sieczne kątów zewnętrznych i jedną dwój sieczną trzeciego kąta wewnętrznego określone równaniami:

O)

(*)

^2+^=0,

ro fo ■■ — U«

h+h=0,

h—h = 0,

^3“ł⁻ —

^3 4“ ^i=0 ;

(2 «*)

(26)

(2 c)

(3) trzy ośrodkowe trójkąta, określone równaniami :

li sin A—?₂sin B = 0,

£₂sin B—l₃%\\\ C = 0,

(3)

?₃sin C— ^sin A— 0,

które wypływają z uwagi, że odległości środka jednego boku od dwóch innych boków są proporcyonalne do sinusów kątów przyległych pierwszemu bokowi ;

(4) trzy wysokości trójkąta, określone równaniami :

?jCos A—J₂cos Ii = 0,

które otrzymujemy na tej podstawie, że odległości któregokolwiek punktu pewnej wysokości trójkąta od dwóch sąsiednich boków są proporcyonalne do cosinusów kątów trójkąta tejże wysokości przeciwległych.

Suma każdej trójki równań powyższego szeregu prowadzi do tożsamości 0 = 0, a więc trzy proste, powyższemi równaniami określone, przecinają się w jednym punkcie, proste (1) w środku koła wpisanego, proste (2a), (26), (2c) w środkach kół zawpisanych , proste (3) w środku ciężkości, proste (4) w punkcie wspólnym wysokościom trójkąta.

J₂cos B—6₃ cos <7 = 0,

/o cos C—lj cos A — 0,

(4)

39. Równanie linii prostej w postaci jednorodnej. Jeżeli trzy linie proste, tworzące boki pewnego trójkąta, dane są za pomocą równań normalnych ^=0, £₂=0, Z₃= 0, natenczas możemy równanie dowolnej czwartej prostej : Ax -\-By -J- 0= 0, przedstawić w postaci jednorodnej:    a₃l₃-\- a₃l₃—§. Równanie jednorodne przedstawia się bowiem po wsta

wieniu wartości ^=3:008 9j-\-y sin©,—pj, Z₂=a:cos©₂-j-ysin®2—Pi-, h— £ccos<p₃-ł-«/sin©₃ — p₃, w postaci rozwiniętej :

«1 (pc cos ©j + y sin ©t — pj ) -f a₂(x cos ©₂ -f y sin ©₂ —p₂) -f a₃(æ cos ©₃ + y sin ©₃ — p₃) = 0, która uporządkowana podług x, y, otrzymuje kształt następujący :

(®icos ©1+ a₂cos ?₂-f «3cos ©₃)aj + («1 sinoj-f- a₂sin©₂-f a₃sin©₃)t/—(a^ + a2P%+a₃p₃)=0, czyli AxArBy-\-C= 0, jeżeli położymy «jcos -}-a₂cos <p₃+cącos ç₃= A, o₁sinœ₁4-o₂sinç₂-l-+ a₃ sin ©3 = R,    pt -f a₂p₂+ a₃p₃ = — C.

Mając więc jakąkolwiek prostą na płaszczyźnie, daną równaniem Ax -{- By -J- C — 0, możemy z trzech równań

aj cos ©j -j- a₂cos ©₂-j- a₃cos <p₃= A,

«jsin ©j -j- a₂sin -j- a₃sin ©₃=P,

°iPi+ «2P2+ a₃p₃=—C

wyznaczyć jednoznacznie trzy spółczynniki at, a₂, a3: tak, aby powyższym równaniom stało się zadość, co jest zawsze możliwe, jeżeli tylko wyznacznik I cos ©i cos ip₂ cos ©3 ! sin pj sin ®₂ sin ©3 i Pi

jest różny od zera, to znaczy skoro trzy proste, dane równaniami lj — 0, l₂= 0, l₃— 0, nie przechodzą wszystkie przez jeden punkt, a więc tworzą pewien trójkąt na płaszczyźnie,

P2

Pi

cos sin <?j p{ czyli cos ©₂ sin ©₂ p2 cos ©₃ sin <P₃ p₃

na

A zatem : Jeżeli na płaszczyźnie dany jest pewien stały trójkąt BOA, którego boki mają kolejno równania normalne ^ = 0,/₂=0,/₃=0, natenczas równanie dowolnej prostej Ax-\-ByĄ-C—0 płaszczyźnie, da się zawsze sprowadzić do równania jednorodnego, kształtu: ajlj-\-a₂1₂-\-a₃l₃=§.

40. Spól rzędne trójkątowe punktu na płaszczyźnie. Spostrzeżenie, zrobione w poprzednim artykule, a polegające na tern, że równanie wszelkiej prostej: Ax -f- By -f- C = 0, na płaszczyźnie przedstawić możemy w postaci jednorodnej a^-j-    azh = 0, gdzie

?i=0, 6₂=0, 63=0, są równania normalne trzech boków trójkąta, prowadzi do nowego rozszerzenia pojęcia spółrzędnych punktu na płaszczyźnie.

Wyrażenia lj, 6₂, l₃ możemy bowiem uważać nie tylko, jako symbole skróconego znakowania równań normalnych trzech linij prostych, tworzących pewien trójkąt, lecz także, jako odległości prostokątne punktu P(x,y) fig. 69, od tychże prostych ^=0, /₂= 0, £₃ = 0. Tym sposobem dochodzimy do pojęcia trzech spółrzędnych lx, ł₂, l₃ punktu P, przedstawiających odległości tego punktu od trzech boków pewnego stałego trójkąta ABC. Spółrzędne takie nazywamy spółrzędnemi t r ó j k ą t o w e m i punktu; dany trójkąt stały ABC nazywamy trójkątem o.dn i es i en i a, a jego boki osiami odniesienia.

41. Związek między spółrzędnemi trójkątowemi punktu na płaszczyźnie. Punkt P na płaszczyźnie ma według powyższego określenia trzy spółrzędne trójkątowe lu h, ?₃, odniesione do trzech boków trójkąta podstawowego ABC. Między temi spółrzędnemi zachodzi jednak pewien stały związek. Oznaczmy bowiem przez a, ó, c, boki tego trójkąta, a przez A jego powierzchnię, natenczas dla jakiegokolwiek punktu P(x, y) płaszczyzny, określonego spółrzędnemi trójkątowemi lu l3: otrzymamy związek następujący:

O)

cili -j- bl₂“\~ cl₃— 2 A,

związek, który wypływa wprost ze spostrzeżenia, że powierzchnia A trójkąta ABC jest algebraiczną sumą trzech powierzchni BPC-\- CPAĄ-APB. (fig. 70).

CQ

ni

Fig. 69.

F/

!\

i\

E’

L\d

■HT

*_I)J

P’

D fir C

Fig. 70.

Fig. 71.

Uwzględniając ten związek , ważny dla każdego punktu na płaszczyźnie, poznamy z łatwością, że dość jest znać stosunki spółrzędnych trójkątowych punktu, aby wyznaczyć każdą z tychże trzech spółrzędnych.

Przypuśćmy n. p., że spółrzędne trójkątowe lx, ł₂, h punktu P są proporcyonalne do liczb /, ff. h, natenczas otrzymujemy :

a stąd

afĄ- bg -j- ch

«/-f-    + cli ’

,    2A /

¹    a/+ &</ + ch ⁹

2Ary

af + bg -f- ch ’

h=

2 Aft

af -f- bg + ch

42. Różne rodzaje spółrzędnych trójkątowych punktu. Punkt P na płaszczyźnie będzie także wyznaczony, jeżeli jako spółrzędne trójkątowe tego punktu przyjmiemy nie odległości prostokątne tego punktu od boków danego trójkąta odniesienia , lecz odległości te, pomnożone kolejno przez pewne stałe czynniki X, jjl, v, zwane zwykle parametrami odniesienia, a więc    l'₂—\£'₃=vZ₃, albo ogólnie odległości punktu od boków trójkąta, mierzone

w pewnych kierunkach fig. 71. Te nowe spółrzędne trójkątowe Z't, Z'₂, Z'₃, punktu P, spółrzędne trójkątowe ukośnokątne, są wtedy na podstawie wzoru (a) art. 41. związane relacyą :

U\

al\

u.

^U = 2A.

(P)

W szczególności, przyjmując a = X, 6 = p., c = v, otrzymamy powyższy związek w po-

^i+ ^2 4" Uj— 2 A ;

przyjmując zaś, jako szczególne spółrzędne trójkątowe punktu stosunki:

2Ä⁻⁻*¹’

staci:

ch

aly

2 A

otrzymujemy związek między temi nowemi spółrzędnemi xl, x2: x?> w postaci:

^l+^2+^3=l-

Spółrzędne prostokątne, lub ukośnokątne punktu , zwane ogólnie spółrzędnemi Descartes’a, tworzą tylko szczególny przypadek spółrzędnych trójkątowych prostokątnych lub ukośnokątnych, a powstają, jeżeli dwa boki trójkąta odniesienia zostaną przyjęte, jako osie układu, a trzeci bok trójkąta zostanie przesunięty do nieskończoności.

ćwiczenia VIL

1)    Przez punkt (5, 3) przeprowadzić prostą równoległą do prostej , łączącej punkta

(-2, 7) i (4, -5).

2)    Wyprowadzić równanie prostej , przechodzącej przez punkt (3, —13) prostopadle do prostej y = 4x—7.

3)    Wyznaczyć punkt, w którym prosta, przechodząca przez punkt (5, 9) prostopadle do prostej t/ = ł/₇a; + 3, przecina ją.

4)    Przez punkt (3. 5) przeproAvadzic prostą, nachyloną do prostej 3y—2æ + 7=0 pod

kątem 45°.

5)    Dane są równania boków trójkąta: 6y—8a: ==43, by+ 12x = 34, 3x-\-4y +13 = 0; znaleźć równania dwój siecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta.

6)    Obrachować powierzchnię trójkąta, którego wierzchołkami są : 4(—3, 5), 5(5, 11),

<7(2,

7).

7)    Dane są trzy proste: y -j-3# + 4 = 0, by—3x—34 = 0, 2y—3a;—1 = 0; o&rachować powierzchnię trójkąta między niemi zawartego.

8)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkta urojone sprzężone: 4(1 + 2», 3+4»), 5(1—2», 3—4»).

9)    Wyznaczyć punkt rzeczywisty, przez który przechodzi prosta urojona

(3 + 11V/^Ï) ®—(4—7 Y/—T) y + (13-104 V/^ï) = 0.

10)    Dane są wierzchołki trójkąta 4(—1, — 1), 5(—3, B), <7(7, 11) ; znaleźć równania jego wysokości.

11)    Dane są równania boków trójkąta: a:+2y = ll, 9x—2?/ = 59, 6y—7#=3; jakie są równania jego wysokości.

12)    Dane są równania boków trójkąta: x-\-y-\-1 = 0, 3æ + 5y+ll = 0, æ + 2</ + 4=0, znaleźć środek i promień koła opisanego na trójkącie.

13)    Dane są spółrzędne dwóch wierzchołków trójkąta 4(3, 5), 5(7, —4), i kąty u tych wierzchołków y( « = 61° 50* 15", ß = 87° 23' 50"; wyprowadzić równania obu boków trójkąta , tym kątom przeciwległych.

14)    Znaleźć równania dwójsiecznycli kątów w trójkącie: 4(0, 0), 5(æ₂, 0), <7(a?₃, y₃).

15)    Dane są boki trójkąta: bx + 2y—29=0, 9x—y—43=0, 14x+y—49 = 0; wyzna-znaczyć : (a) równania prostych ośrodkowych (linij ciężkości), (b) spółrzędne środka ciężkości (c) odstępy środka ciężkości od boków trójkąta.

16)    Dany jest równoległobok o bokach y= mxx + 6j, y=m₂x-\-b2: y — x + ó₃, y — m₂x-\-b^ jaką jest jego powierzchnia.

17)    Obrachować powierzchnię pięciokąta o wierzchołkach, których spółrzędne podane są w metrach: 4( -5, -2), 5(—1, 4), <7(4, 5), 5(5, -2), 5(1, —6).

18)    Na prostej V23³⁵—V4.V + I—O wyznaczono odcinek 4(y₁=—2), 5(y₂=17). Oba punkta zostały połączone z punktem <7(—10, 37) liniami prostemi. Jak wielką jest powierzchnia tak powstałego trójkąta.

na

19)    W trapezoidzie 4(2, 3), 5(7, 5), (7(9, —3), 5(—1, —2) podzielony został każdy bok trzy równe części, a punkta podziału przyległe wierzchołkom połączono liniami prostemi;

-jak wielką jest powierzchnia tak powstałego ośmiokąta.

20)    Dany jest czworokąt 4(—3, —2), 5(—1, 6), 0(10, 9), 5(5, —4) ; wyprowadzić równania prostych, które dzielą kąt zawarty między przekątniami na dwie równe części.

21)    Równania czterech boków trapezu są y=mix-\-blry=m₂x: y— mxx-\-b₂. y= m₂xĄ-b?t] jak wielką jest powierzchnia trapezu.

22)    Dane są spółrzędne wierzchołków czworokąta (xt, yt), (ar₂, y₂), (a?₃, y₃), (x₄, y₄), wyznaczyć jego powierzchnię.*

23)    Trzy boki trójkąta określone są następującemi równaniami x — by +11 = 0, llæ + 6y—1=0, xĄ-y-\- 4 = 0, wyznaczyć powierzchnię trójkąta, którego wierzchołki są środkami boków danego trójkąta.

24)    "W punkcie przecięcia dwu prostych 2x + by + 8 = 0 i 3x—4y—7= 0 wykreślono prostą prostopadłą do drugiej prostej ; wyprowadzić równanie tego pionu.

25)    Wyprowadzić równania pionów, wykreślonych w środkach boków trójkąta 4(5,—7,) 5(1, 11), c(—4, 13).

26)    Znaleźć spółrzędne punktu, równooddalonego od dwóch danych punktów 4(4, —3), ^ ®(7, —1), któryby od prostej 8æ+15y=120 miał odległość d = 3.

27)    Znaleźć równanie prostej, któraby przechodziła przez punkt (7, 10), a miała takie położenie, żeby ten punkt był środkiem odcinka, zawartego między prostopadłemi z punktów (72) 9) i (9, 1573) do niej poprowadzonemu

28)    Jeżeli a, ß, y są kątami trójkąta ABC, R promieniem koła opisanego na tym trójkącie, a początek układu prostokątnego przyjmiemy w wierzchołku A, oś OX w kierunku boku AB, dowieść, że cztery punkta osobliwe trójkąta będą miały następujące spółrzędne :

(1)    środek ciężkości trójkąta : * — ²/₃ R (sin a cos ß + 2 cos a sin ß), y — ²/₃ R sin a sin ß ;

(2)    punkt przecięcia się trzech wysokości trójkąta : x — 2 R cos » sin ß, y = 2 R cos a cos ß ; (8) środek koła opisanego na trójkącie: x = R sin (a + ß), y——i?cos(a + ß);

(4) środek koła wpisanego w trójkąt :

- ß «+ß

sm — cos

LJ

29) Dowieść, że środek ciężkości trójkąta dzieli odstęp między punktem przecięcia się trzech wysokości a środkiem koła opisanego w stosunku 2:1.

80) Dowieść, że linie proste, łączące wierzchołki trójkąta z przeciwległemi punktami styczności kół zawpisanych, przecinają się w jednym punkcie, t. z. piątym punkcie osobliwym, który odnośnie do układu, w ćw. 28. przyjętym, ma spółrzędne:

« -j- ß

« Ol

y — AR sin

* = 4Æcos+m|coS 2-

y = 8 R sin² sin²

x = 2 R (sin a—sin ß -j- cos a sin ß),

31)    Dowieść, że w każdym trójkącie trzy punkta osobliwe tego rodzaju, jak środek koła wpisanego, środek ciężkości i punkt przecięcia prostych, łączących wierzchołki trójkąta z przeciwległemi punktami styczności kół zawpisanych , leżą na jednej linii prostej i że środek ciężkości trójkąta dzieli odstęp między temi punktami osobliwemi w stosunku 1:2.

32)    Na prostej 2*—y—5 — 0 wyznaczyć taki punkt P(*, «/), ażeby proste, łączące punkt P z punktami ¥(17, 13) i N(9, 3) były do tejże prostej równo nachylone.

33)    W trójkącie o wierzchołkach 4.(5, 2), B(A, —7), <7(3, 7), podzielono bok AB w stosunki! 4:7, a przez punkt podziału D poprowadzono równoległą do BC ; znaleźć równanie tej równoległej i wyznaczyć kąty, jakie ona tworzy z bokami przeciętemi.

Rozwiązanie VIL 1) «/= 6«—27. 2) 4«/+ x + 49 = 0. 3) (6²³/₆₅ , 6⁴V₆₅). 4) 6«/+*=33.

5) 2%—224# = 219, 99* + 77«/=l, lAij—2® =17. 6) 96-5, 7) 36. 8) 2*—«/ +1 = 0. 9) (5,7). 10) 3y—* = 26, 5* -j- 3y + 8 = O, 2* + 3«/ = 9.    11) 2x—y — 7, 2*+9«/ = 42, 6* -f- 7«/ = 56.

12) 0(—4, —10), r=V85) 13) 2«/—*+15=0, 7«/-9*—8 = 0. 14) x[y?1 V/(*₃-*₂)² + 2/3² + +2/3 Vx₃ ²+2/3 ²]—y[x3 V («3—*2)² + y%²—(*₃ —^2) V/*₃ ²+2/3³]—^2/3 V/ *₃ M-2/3 ²=o, *y₃+y {fa —*2)— — \/(*₃ — ^2)²+2/3²}-fa72«/3=0) *2/3 + «/[\/«3²-f 2/s²—■*3] == 0- ¹⁵) a) *—4 = 0, 19® + 3y-78 = 0, 4*—3«/—14 = 0, b) (4, ²/₃), c) ^= ²³₈₇V/29; d₂= ²³/₂₄₆ \/82, rf₃=²³/₅₉₂ Y/lRh 16) [Mï+M*)“ —(&ift*+^2^3)Kwl2—wi). 17) 68 m². 18) 1877-625 jedn. kw. 19) 37¹³/₁₈ jedn. kw. 20) (11*—13«/ +

*!—*3, *₂— *4

2/3—2/1»    2/4—2/2

+ 7)V/W±(5x+3,—13)V/i4B=0. 21) 4    **> > '

23) 4(2,— 3J), P(-,'„ —2⁵/₈), P(—3,',, 2⁷/₈), A=4Ą. 24) 92* +69«/+102 = 0, 25) 2*—9«/+12=0, 10*—4«/ = 63 = 0, 18*—40«/ + 111 = 0.    26) Dwa punkta P(—6J|, 14₂+), P'(1J£, Sjj}).

27) 3*—4«/ + 19 = 0. 32) P(7+, 9+). 33) 154* + 11«/= 700 ; ^ß = 10°25'33",    =17°42'57".

Literatura. Hochheim, Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene, Leipzig, 1882. Analytische Geometrie von George Salmon, bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler. Leipzig 1873. Baltzer, Analytische Geometrie, Leipzig 1882. Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, Leipzig 1875. Hesse O. Wyznaczniki opracowane elementarnie, Warszawa 1880.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Punkta osobliwe trójkąta.

2.    Własności wyznacznika trzeciego rzędu o wartości równej zeru.

3.    Geometrya analityczna punktu i prostej na płaszczyźnie, na podstawie spółrzędnych trójkątowych punktu na płaszczyźnie.

Wykład VIII.

Linie proste na płaszczyźnie, jako miejsca geometryczne punktu.

1.    Jliejsce geometryczne punktu i równanie między spółrzędnemi punktu.

Jeżeli na wyznaczenie punktu na płaszczyźnie dany jest tylko jeden warunek , który, przedstawiony za pomocą spółrzędnych % i y szukanego punktu, ma postać jednego równania między dwiema niewiadomemi spółrzędnemi x i y, natenczas takie równanie nie wystarcza do wyznaczenia obu niewiadomych spółrzędnych x i y, a z drugiej strony nie spełniają to równanie spółrzędne jakiegokolwiek, dowolnie przyjętego punktu, płaszczyzny.

W tym razie możemy jednak znaleśó nieograniczoną ilość par wartości (x,y), czyniących zadość otrzymanemu równaniu. Należy tylko przyjąć za jednę niewiadomą % pewną wartość, a z otrzymanego równania wyrachować odpowiednią wartość na drugą niewiadomą spółrzędną y. Tym sposobem otrzymuje się zbiór punktów, których spółrzędne czynią zadość danemu równaniu. Taki nieograniczony zbiór punktów na płaszczyźnie tworzy t. zw. miejsce geometryczne bieżącego punktu w postaci pewnej formy jednowymiarowej czyli linii (prostej, lub krzywej) na płaszczyźnie. Ta linia jest obrazem geometrycznym danego równania. Naodwrót, każdej linii, jako miejscu geometrycznemu bieżącego punktu na płaszczyźnie, odpowiada pewien związek między spółrzędnemi x, y tego punktu, odniesionego do pewnego^ dowolnie zresztą przyjętego układu, a ten związek między spółrzędnemi x,y bieżącego punktu nazywamy równaniem tej linii.

2.    Ścisły związek między linią na płaszczyźnie, a równaniem o dwu

niewiadomych spółrzędnych x, y bieżącego punktu tej linii stanowi walny środek do badania kształtu i własności linii za pomocą jej równania. Na tym też związku między miejscem geometrycznem punktu, a jego równaniem opiera się cała nauka geometry i analitycznej. Geometrya analityczna na płaszczyźnie stawia sobie wobec tego dwa rodzaje zagadnień: 1) z danej własności pewnego miejsca geometrycznego, czyli z definicyi (określenia) pewnej linii, wyprowadzić równanie tej linii, t. j. równanie, któremu by uczyniły zadość spółrzędne x, y każdego punktu tej linii, 2) z danego równania między spółrzędnemi x, y każdego punktu pewnej linii, wyprowadzić kształt i własności geometryczne tejże linii.

3.    Linia prosta na płaszczyźnie i równanie stopnia pierwszego między dwiema spółrzędnemi ([x,y) punktu. Określając linię prostą, jako miejsce geometryczne punktu, który, wychodząc z pewnego stałego punktu, porusza się w pewnym stałym kierunku, otrzymaliśmy, jako związek między spółrzędnemi (x,y) bieżącego punktu prostej, równanie pierwszego stopnia, w ogólnej postaci: Ax-\-By-\- C=0, czem dowiedliśmy, że równanie wszelkiej linii prostej na płaszczyźnie jest równaniem stopnia pierwszego między spółrzędnemi x, y bieżącego punktu linii prostej. Naodwrót okazało się, że wszelkie równanie stopnia pierwszego między dwiema spółrzędnemi x, y bieżącego punktu przedstawia linię prostą. Z tego wynika, że prosta na płaszczyźnie wyraża się zawsze równaniem stopnia pierwszego między dwiema zmiennemi spółrzędnemi (x,y) punktu tej linii; nawzajem obrazem geometrycznym równania stopnia pierwszego między dwiema zmiennemi spółrzędnemi ty, y) punktu jest zawsze linia prosta na płaszczyźnie.

4.    Rozwiązywanie zadań geometrycznych. Opierając się na ścisłym związku między równaniem stopnia pierwszego, a linią prostą, możemy rozwiązywać zagadnienia geometryczne, dotyczące linij prostych, za pomocą równań stopnia pierwszego, i nawzajem, działania równaniami stopnia pierwszego przedstawić obrazowo, jako konstrukcye geometryczne liniami prostemi.

Przy rozwiązywaniu zagadnień geometrycznych za pomocą równań, mamy do rozporządzenia wybór układu osi. Przyjmując stosownie do danego zagadnienia układ osi w najprostszem możliwem położeniu, możemy niekiedy znacznie uprościć równania, z rozwiązaniem zadania geometrycznego związane, jakkolwiek z drugiej strony tracą częstokroć tak otrzymane równania na symetryi, jaka występuje zazwyczaj przy najogólniej przyjętym układzie. Jako układ osi przyjmujemy zazwyczaj układ prostokątny, chyba, że szczególne warunki zagadnienia wskazują na pewien układ ukośnokątny, jako naturalny w danem zagadnieniu. Mając dane dwie linie proste na płaszczyźnie, jako podstawę do dalszych konstrukcyj, możemy nieraz z korzyścią właśnie te dane proste przyjąć, jako osie układu, a tym sposobem przyjąć za podstawę rachunku spółrzędne ukośnokątne. Co do położenia początku układu, możemy, dla uproszczenia rachunku przyjąć początek w punkcie, danym za podstawę do dalszych konstrukcyj ; gdy dane są dwa takie punkta stałe, natenczas początek układu, przyjęty w środku między temi punktami, upraszcza częstokroć znacznie rachunek. Celem bliższego wyjaśnienia metody rozwiązywania zagadnień geometycznych za pomocą równań, przejdziemy szereg zagadnień o miejscach geometrycznych punktu na płaszczyźnie, przy-czem używać będziemy układu, jaki w danym przypadku nasuwa się jako najkorzystniejszy. Zasada, jakiej się w ogóle przy wyszukiwaniu miejsc geometrycznych trzymać należy, jest ta, aby warunki zagadnienia wyrazić co najrychlej w spółrzędnych bieżącego punktu.

5. Znaleść miejsce geometryczne punktów równ o oddal o ny cli od dicóch stałych punktów. Przyjmując ' układ osi zupełnie dowolnie, (fig. 72.) oznaczmy przez (b,^li), (?2ł⁷l2) spółrzędne danych dwóch punktów, a przez (x,y) spółrzędne punktu bieżącego, natenczas, oznaczając przez dt, d% odległości szukanego punktu od obu danych punktów, mamy wprost warunek =ć?2i który, wyrażony w spółrzędnych ty,y) bieżącego punktu, prowadzi do równania:

czyli :

Y/ty- śi)² + (y—'^i)²= Y/ty—ę₂)²-ł-(y—n₂)²»

ty—Si)² + (y—O² — A\x— ę₂)²—(y—:r\₂y = 0

— 97 —

2x (?₂ - ?! ) + 2y (ï)₂ —‘»it ) + 5i² +    ²- 5a²—^² = 0,

(?₂    ?! )x -f (iij—*i! ) y - Cl

z którego otrzymujemy :

czyli

a więc równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi x, y, szukanego punktu , co dowodzi, że szukanem miejscem geometrycznem jest linia prosta.

Y, M

o¹

_______

YY

V ^

Fig. 72.

CS

Y‘

Fig. 73.

Porównując otrzymane równanie z równaniem prostej, przechodzącej przez dwa dane punkta (?,, rą), (?₂, »h)» w postaci: (r)₂ —r;,) (x—?,)—(?₂ — ?,) (y-rĄ) = 0, widzimy zaraz, że spełnia się tu warunek prostopadłości art. 5 str. 79 ; szukana prosta jest prostopadłą do prostej, przesuniętej przez oba dane punkta. A że wreszcie otrzymane równanie możemy napisać także w postaci : przeto widzimy, że szukana prosta przechodzi zarazem przez środek odległości obu danych punktów , Tij) i (Çs, r]₂). A zatem miejscem geometrycznem punktów na płaszczyźnie, równooddalonych od dwóch danych punktów, jest linia prosta , przechodząca przez środek tych punktów, prostopadle do prostej, przez nie przesuniętej.

Rozwiązując to zagadnienie przy pomocy najprostszego tu wskazanego układu, przyjmijmy środek 0 odległości dwóch danych punktów J, i J,₂, jako początek układu, a prostą A₂At, łączącą te punkta, za oś X'X, natenczas, oznaczając przez (ar, y) spółrzędne szukanego punktu ii/, i kładąc odległość A.,Jl = 2c, a więc ()A₁=c, otrzymamy z warunku d^—d.2, równanie następujące: (ar—c)² -f-t/² = (ar c)² -j-</², czyli 2cx = 0, a więc X = 0, jako równanie szukanej prostej, a jest nią oś YY', więc prostopadła do odcinka A₂A₂, w jego środku 0 (tig. 73).

6. Znaleźć miejsce geometryczne punktów, które mają tę własność, ze odległości ich od dioóch danych prostych różnią się o wielkość stała, d. Przyjmijmy dowolnie układ prostokątny, natenczas równania danych prostych będą :

A\X -f- Bly -f- Ci= 0, A₂x -\-B.₂y -}- C₂ = 0.

Mech będzie M szukanym punktem, natenczas według warunków zadania ma być :

MM'—MM¹¹^ d.

1,

Oznaczmy przez (ar, y) spółrzędne szukanego punktu, a warunek powyższy doprowadzi do równania :

Ki

Apic +/>Y?/-t- Cj X₂x + li₂y + C₂

VT^+Iîi

które jest równaniem stopnia pierwszego. Szukanem miejscem geometrycznem jest więc linia prosta, równoległa do dwój-siecznej kąta między danemi prostemi zawartego (fig. 74).

Fig. 74.

Jako układ naturalny nadawałby się w tern zagadnieniu układ ukośnokątny, jalcibyśmy otrzymali, gdybyśmy przyjęli dane proste za osie układu, a ich punkt przecięcia, jako początek układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, równym kątowi zawartemu między danemi prostemi (fig. 75).

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

- 98 -

Wobec tego założenia oznaczmy przez x,y, spółrzędne ukośnokątne szukanego punktu ikT, natenczas warunek MM‘—MM“ = d prowadzi do równania :

ij sin y— x sin y = d, czyli y = x fi- ,

które przedstawia prostą równoległą do dwój siecznej kąta przyjętych osi. Jeżeli d = 0, natenczas otrzymujemy dwój-sieczną y = x.

//

7. W trójkącie ABC daną jest podstawa AB — c, i suma boków a-\-b — m, jakie jest miejsce geometryczne punktu P, który leży na

oddalony od podstaivy o długość BC po stronie wierzchołka.

Przyjmijmy początek (fig. 76), w środku 0 podstawy AB — c, oś 0X wzdłuż tejże podstawy. Wykreślmy CD 1 AB i odetnijmy DP-CB=m—AC, natenczas spólrzędnemi punktu P będą 0D=x, DP= y =BC=m—AC, a więc AC=*m—y, a że według twierdzenia Carnota :

AC² =.ÄB² -\-BC² — 2 AB . BC. cos B =

= c² fi- y²-2c . DB = c² fi- </²-2c(-|—x),

przeto otrzymujemy równanie :

(m—yy = c² fi- y²—c% fi- 2ca?, czyli 2ca; fi- 2my = m²,

a więc równanie linii prostej w formie zwyczajnej :

c i —:- * +

prostopadłej do podstawy, z wierzchołka wykreślonej, « Jest

Fig. 75.

5:

NC

y=

~2’

Fig. 76.

którą łatwo wykreślić.

Gdybyśmy na prostopadłej DC odcięli długość DP. równą drugiemu bokowi AC, wtedy byłoby :

y=AC—m—BC, a więc BC—m—y, a że BCl=AB² fi-2C² -2 ÄB AD = c² fi- y^-2c ( V,c fi- æ),

przeto otrzymalibyśmy :

m—y)² = c² fi- y²—c²—2cx, czyli 2my—2cx = m²

c m

a więc linię prostą o równaniu zwyczajnem : y = — x fi- —.

osi YY‘.

Obie proste przechodzą przez punkt (o, ^), symetrycznie względem

8. Dane są trzy punktu A, B, C, na linii prostej, na której mieści sie wierzchołek 0 stałego kąta MON. Poprowadźmy przez C dowolną prostą, która przetnie ramiona OM i ON danego kaja

ip A

w punktach D i E, i połączmy D z A, a E z B ; jakie jest miejsce geometryczne punktu przecięcia P prostych AD i BE.

Przyjmijmy początek układu prostokątnego w wierzchołku 0 (fig. 77), a oś 0X wzdłuż prostej O ABC i oznaczmy 0A=a, 0B = b, 0C=c, X.M0X=a1} X.N0X= a₂, X.MON= — oc₂= y, natenczas proste AD i BC, z których pierwsza przechodzi dowolnie] przez A(a, 0), druga przez B(b, 0), będą miały równania :

y = m(x—a),

gdzie spółczynniki kierunkowe min nie są na razie wiadome.

Eamiona OM i ON danego kąta y, przechodząc przez początek układu, mają równania :

(OM) y — x tg aj

czyli (OM): y = lxx, gdzie lt = tg at, (ON): y = hx, gdzie Z₂=tga₂.

Fig. 77.

(AD)

(BE)

y-=n(x—b)

(ON) y = x tg«,

Wobec tego punkta D i E, jako punkta przecięcia prostych (AD, OM) i (BE, ON), będą określone równaniami :

i? [ y ~n (x—b), \ y=hx,

ni y = m(x—a), \y = hx,

a więc spółrzędnemi

El*

\ 11—1₂

nbl2 \ n—l-2 )'

Punkta I) i E mają wraz z punktem C(c, 0) leżeć na jednej linii prostej, musi się więc spełnić relacja :

która przedstawia zarazem związek, jaki musi w tym razie zacliodzić między współczynnikami m i n równań: y = m(x—a), y = n(x—b), cechującycli punkt P.

Wyznaczając m i n z tych równań i podstawiając otrzymane wartości w poprzednie równanie warunkowe, dostajemy :

1>hy r aiJ _c / x—b Lx—a    \x

D(

ma

mai

k)

nbl.₂[ma—c (m—Zj)] = malx[nb—c {n—l₂)\

skąd, po wykonaniu wskazanych działań , otrzymujemy :

db\y—cbl₂y -j- ćblyl₂(x—a) = abl^y—aclpy-f- ac\l₂(x —b) — 0,

czyli równanie pierwszego stopnia :

c\l<₂{b—a)x -j- [ab(l₂ — h)~c(bl₂ —alx)\ y — 0, a więc linię prostą, przechodzącą przez początek układu.

9. Biegunowa punktu względem układu dwu prostych. Jeżeli przez dany punkt P poprowadzimy jakąkolwiek prostą, która przecina dany układ dwu prostych L i L' w punktach A i P, natenczas miejsce geometryczne

czwartego punktu P, harmonicznie z punktami A, P, P sprzężonego, nazywamy biegunową punktuPwzględem danego układu dwu prostych L i Z/, (fig. 78).

Chcąc znaleźć równanie biegunowej punktu P, przyjmijmy układ osi zupełnie dowolnie. Niech będą odnośnie do tego układu xix y₁ spółrzędnemi danego punktu P, a, x i y spółrzędnemi szukanego punktuP'; niech będzie dalej JL—AxAByĄ-C=0 równaniem prostej P, zaś L‘— AJx-\-B'y-\-C'=0 równaniem prostej P', natenczas, prowadząc z punktu P prostą w dowolnym kierunku X, otrzymamy na wyznaczenie

PA__PA

PB~~ PB'

P"

Fig. 78.

punktu P (xx y) warunek (ABPP/)==—1    czyli

A że wedle art. 18 str. 70 jest

P J —    d~

A cos X -J- B sin X ¹

P‘A—_a

A cos J-j-P sinP

przeto warunek powyższy przedstawia się w postaci równania :

PB

PB

A% -r Pyx + C‘

A'cosX-j-B' sin/l ’

A‘x+B'yĄ- O

A/cos Ź + P'sin X

Ax₁+_Byi + C A%+B‘y,+Ć' = Ax+By-\- C

Ax-\-By-\-C A‘x+B'y-\-C‘

_ A'x+B'y + C'

Axx+Byx + C    A/xi + B‘yx -f C' :

a więc

Fig. 79.

L L'

które możemy napisać w postaci skróconej :

Z, i«,

szukanej biegunowej punktu P(xi:yx) względem dwu prostych i=0 i P=0.

Biegunowa punktu względem układu dwu prosty eh jest więc linią prostą, chodzącą przez punkt przecięcia się tych prostych.

Zarazem łatwo

L'

= 0, jako równanie

prze-

podstawie powyższego równania zauważyć, że prosta CP‘ jest biegunową każdego punktu prostej CP i nawzajem, prosta CP jest biegunową każdego punktu prostej CP.

na

100 -

10. Przyjąwszy dany układ dwu prostych, jako nasuwający się układ osi XOY o kącie osiowym LiCL₂=y₎ znajdziemy biegunową punktu P(xi,y₁ ), odniesionego do tego układu w sposób następujący:

Dane proste L i L' otrzymują w tern założeniu następujące równania : jedna oś OX, równanie y = 0, druga oś OY, równanie x=0 (fig. 79).

Poprowadźmy przez P prostą dowolną, która przecina osie układu w punktach A i 15, a oznaczywszy przez x, y spółrzędne punktu P', otrzymamy PA=k.xi, P‘A=k.x, PB=k'.yi: P‘B=k,y, gdzie czynniki k i k‘ zależą od kierunku prostej PP',

PA P‘A PB

KA

■'M\ •

przeto, z warunku

PB

, równanie :

Fig. 80.

kxi

kx

k'y

czyli y^x + x^y^ 0,

k'Vi

jako równanie biegunowej punktu P{xv yx) względem układu osi.

11. Poprowadźmy przez punkt P dowolne dwie proste, i połączmy na krzyż punkta, w których te proste przecinają się z układem prostych: L i L‘; zbadajmy, jakie jest miejsce geometryczne punktu M przecięcia się prostych łączących AB‘ i A‘B. Odnośnie do danego układu dwu stałych prostych L i L‘, jako układu osi, będą miały dowolne proste PB i PB¹ równania

odcinkowe:--1——=1, —₇H—^7-= 1₇ przyczem, uwzględniając, że proste te

Oj O    Oj O

--=1

X V

przechodzą przez punkt P(%l7 y^), otrzymamy dwa warunki: —

Oj O

zatem warunek    ------jako związek między

spółczynnikami a, b, a', b'.

Poprzeczne AB‘ i A‘B będą miały natomiast równania odcinkowe

X 'U    X u

--—-p —=1 ; ich punkt przecięcia M{x, yj) uczyni więc zadość ró

wnaniu :    ---&---=    P° wyrugowani dowolnych odcinków

y    r

= ——, czyli yix-\-xiy=O, jako równanie V\

a, ó, a', ó', otrzymamy równanie :

miejsca geometrycznego punktu M(x, y). Jest to, jak widzimy zarazem równanie biegunowej punktu P(xil y{) względem układu osi.

Miejscem geometry czneni punktu M przecięcia się poprzecznych AB' i A‘B jest więc biegunowa punktu P, co daje prosty sposób wykreślenia biegunowej jakiegokolwiek punktu P względem danego układu dwu prostych L i L‘.

12. Z tej własności biegunowej punktu możemy też skorzystać w miernictwie, gdy mamy przez dany punkt M przeprowadzić linię prostą, któraby przechodziła zarazem przez daleki niedostępny, lub niewidzialny punkt przecięcia się danych dwu prostych L i L'.

W tym celu prowadzimy przez dany punkt M dowolną prostą BA', następnie prostą A B‘ ; prosta B'M wyznaczy tedy na L punkt A, który, połączony z B, daje punkt P, jako biegun szukanej prostej, przez M przechodzącej ; dowolna prosta PA" przetnie tedy proste L i TA w punktach A“ i P", które, połączone na krzyż z punktami A \ B lub A' i P', -wyznaczają w punktach przecięcia tak powstałych poprzecznych nowe punkta AT szukanej prostej, która jest biegunową punktu P odnośnie do danego układu prostych L\L (fig. 80).

14. Spółrzędne linii prostej na płaszczyźnie. Jak punkt na płaszczyźnie przedstawia się dwiema spółrzędnemi x, y, cechującemi jego położenie,

podobnie przedstawia się linią prostą za pomocą dwóch spółrzędnych, cechujących położenie tej linii prostej.

Takiemi spółrzędnemi linii prostej, odniesio-nemi do układu dwóch osi na płaszczyźnie są n. p. wedle art. 8. str. 66, spółrzędne Plückera :

101

13. Biegunowe punktu względem trzech kątów trójkąta. Mając dane trzy boki trójkąta, podane za pomocą trzech równań:

L=Ax +ByĄ-C = 0,

otrzymamy na mocy art. 9 str. 99, biegunową punktu P(xt, yj) względem ramion kąta A(L‘L"), wyznaczoną równaniem:

A‘x-x-B‘yA- C A'x₁-\-B'y₁-\-C*

które możemy napisać w postaci skróconej :

L'—A'xĄ-B'y-\-C'= 0,

L“=A‘‘x+B"y-{- C"= 0,

A“x, -j- B"yl -j- C"

= 0,

L‘

L"

0.

L" i

Podobnie otrzymamy równanie dwóch pozostałych biegunowych tego samego punktu P(x₁, y A względem dwóch innych kątów w postaci:

i"

~n‘7

Prosta, łącząca punkt P(x,, yt) z wierzchołkiem A(L‘, //'), będzie miała na mocy art. 9 str. 99 równanie :

A‘xĄ-B‘yĄ-C'

A‘xt Ą-B yl -}- C

Podobnie oti*zymamy równania prostych PB i PC w postaci :

L"

L‘\

7-i tych równań w połączeniu z równaniami trzech biegunowych, powyżej podanemi, wynika następujące twierdzenie:

Biegunowe punktu względem dwóch kątów trójkąta i prosta, łącząca ten punkt z wierzchołkiem trzeciego kąta, przecinają się w jednym punkcie, jak na fig. 81. biegunowe AE i CD i prosta PB w punkcie P‘.

Li

°’    *i

i'

L\

0.

^‘x+B-'y+C"

A,‘xi-\-B“yyJrC“

0,

[/

Fig. 81.

JA

zatem w postaci skróconej : ——

L\ n i

IV

i,

0.

u= —

V— —

Fig. 82.

Y z których otrzymujemy odcinki, jakie prosta wyznacza na osiach układu, wedle wzorów:

OA—a =

s i-¹

OB=b = -

a tern samem położenie AB prostej (fig. 82), danej spółrzędnemi u i v. Równanie tej prostej w spółrzędnych x, y każdego z jej punktów ma w tym przypadku kształt: ux + vyA 1 = 0, gdzie u i v są stałe dane spółrzędne tejże linii prostej, zaś x i y zmienne spółrzędne bieżącego punktu tejże linii prostej. Przyjmijmy na tej linii pewien punkt P[x, y) i uważajmy w powyższem równaniu tak przjęjęte spółrzędne x, y punktu , jako stałe, a natomiast uważajmy spółczynniki u, v, tego równania, przedstawiające spółrzędne linii prostej jako zmienne, natenczas równanie uxĄ-vyĄ-1—0 przedstawi zbiór linij prostych, (fig. 83), przechodzących przez dany punkt P(x, y).

Nietrudno dowieść, że wszelkie równanie pierwszego stopnia między zmiennemi spółrzędnemi u, v, linii prostej, jak Au-\-Bv-ł-C=0, przedstawia

102

zbiór Avszelkicli linij prostych, przechodzących przez pewien stały punkt płaszczyzny. Skoro bowiem mamy jakąkolwiek prostą, której spółrzędne m, v,

czernią zadość danemu równaniu Au-\-Bv-\- C= 0, natenczas równanie tej prostej w spółrzędnych x, y jej punktu będzie ux+vy-\-1 = 0.

15. Z tych dwu równań jednoczesnych otrzymamy, gdy drugie pomnożymy przez O, a‘następnie oba do siebie dodamy, równanie następujące:

u(A — Cx) + v(B— Cy) — 0,

któremu stanie się zadość, gdy będzie

x=

To znaczy : wszystkie proste, których spółrzę-dne u, v, czynią zadość równaniu pierwszego stopnia AuĄ-Bv-\-C=0, przechodzą przez jeden punkt o spółrzędnych :

x=-

B’

P/

c-c?

0 A'

Fig. 83.

c’

c'

y=~G'

Wszelkie równanie pierwszego stopnia między spółrzędnemi w, v, linii prostej może więc być uważane, jako równanie punktu w spółrzędnych linii prostej, przez ten punkt przechodzącej.

Równanie ux-\-vy +1=0 jest przeto przy stałych w, v, równaniem linii prostej, mającej spółrzędne u: v, a przy stałych y równaniem punktu, mającego spółrzędne x, y.

16. Spółrzędne trójkątowe linii prostej na płaszczyźnie. Przyjmijmy na płaszczyźnie trzy stałe punkta A(xi, y,), B(x.₂, y₂), C(x₃, y₃), natenczas równania tycli punktów w spółrzędnych w, », linii prostej będą kolejno :

.Ti« + yi»-f 1 = 0, x₂u -j- y₂v + 1 = 0, x₃u -f y₃» -f 1 = 0, albo w znakowaniu skróconem Pt= 0, P₂=0, P₃= 0, jeżeli

położymy Pl=xiu -J- yi»-j-l, P₂=x₂u-\-y₂v-\-\, P^=x^u-\-y^v-\-l. A    P

Przyjmijmy teraz jakąkolwiek prostą o równaniu L — Ax -f- By -f- C — 0, a więc o spółrzędnych

V'⁼~C‘

Odstępy tej prostej od trzech stałych punktów będą kolejno

Oj =    'Si _ UXi l Tl _

\/A²-^-B²    V/u² Hr    r²    \/u² -j-v² ’

Ax₂+By.rf    +1 _________I\

VA²-\-B²    V‘U¹    v²    V/«*² + r’²

■,ł.C₃+/>*//;,+ C ₌ ł/J?3+ >7P+1 _______Pj

V/^l² -j-P²    \/n² -f-    r²    \/u² -j- v²

Wyrażenia Pl7P₂,P₃, możemy    więc    uważać, nie tylko jako symbole skrócone równań

punktów -4, P, C, w spółrzędnych w, », linii prostej, lecz także jako wielkości proporcyo-nalne do odległości ol7 o,, o₃, prostej L, danej spółrzędnemi u, », od trzech stałych punktów

A, P, (7. Mianowicie j est    3j =

P,r=5j V/m²+”»²=X5

Tym sposobem dochodzimy do pojęcia trzech spółrzędnych o1? o₂, o₃, prostej L. przedstawiających odległości prostej L od trzech stałych punktów, czyli od wierzchołków pewnego stałego trójkąta ABC. Spółrzędne takie, jak o,, ó2l °₃, przedstawiające odstępy linii prostej, od wierzchołków stałego trójkąta, nazywamy spółrzędnemi trójkątowemi prostej ; dany trójkąt nazywamy trójkątem odniesienia, a jego wierzchołki, wierzchołkami odniesienia.

1\

C’

Fig. 84.

B’

p?.

Pi

czyli

°2

y/U² + »2>

P₂= 3₂    »² = lo₂, P₃= S₃ \Zu²-\-v² = X8₃, gdzie l-=\/u²v².

\/u² -j- »2>

- 103 -

17. Odległość punktu, danego przez spółrzędne trójkątowe, od prostej, danej rów naniem w spółrzędnyck trójkątowych bieżącego punktu. Oznaczmy przez a, b, c boki, przez a, S, y, kąty, a przez A powierzchnię trójkąta odniesienia i przyjmijmy równania normalne trzech boków trójkąta w postaci :

\=x cos ?t + y sin ?t —px = 0, l₂=zcosa₂+y sin ?₂ —    = k=x cos ?₃ + y sin ?₃—jo₃= 0,

natenczas możemy, w myśl art. 89 str. 91, równanie wszelkiej prostej: Ax\By -j- C ■= 0 przedstawić w postaci Oi7t-j- «?7₂-j- «37₃=0, czyli

(®jcos a,cos »2+ ®₃cos ©₃)x -f- (atsin ?i + a₂sin ?₂-(- a₃sin ?₃) y— (axpx + a₂p₂-\- a₃p₃) = 0. Jakikolwiek punkt P(x', y') płaszczyzny ma wówczas od tej prostej odległość :

8i

_ («icos 0,-f «₂cos s,-i-«3cos ?₃)æ'+ («isin ?t + a₂sin ?₂+ a₃sin ?₃) y'—(«1P1 + a₂Pi+ <hlh)

V/(atcos    -(-«2COS o₂+ a₃cos ?₃)² + («iSin ©!-{- a₂sin ę₂+ a₃sin ©₃)²

Połóżmy æ'cos ?! -j- y'sin ®t — px -=■ l\, æ'sin ?₂-|-*//sin ?₂—p₂— 7'₂, aî'cos ?₃ y'sin ?₃—p₃=7'₃, i rozwińmy w mianowniku kwadraty trójmianów.

Otrzymamy w łiczniku ax lx u₂«₃1₃ % a w mianowniku będzie:

(ojcos ?! -f- a₂cos ®₂-j- a₃cos ?₃)² -f- (ciąsin ®t-j- a₂sin ?₂-(-o₃sin ?₃)²=

= «i² -j- (/₂² -j- «₃² + 2«i«₂(cos cos ?₂-j- sin ?isin ?₂) -f--j- 2«!% (cos ?! cos ?₃-f- sin ?₃sin ?i) + 2a₂«₃(cos ?₂cos ?₃-j- sin ?₂sin ?₃)

gdyż

= ax ² -j- «2² 4- a₃²—2aj«₂cos y—2ö!iö5₃cos ß—2a₂a₃cos a, cos ficos ?₂-j- sin ?jsin ?₂— cos (?t —?₂) — cos (k—y) =—cos y.

Wobec tego otrzymujemy :

_<l\h '-f~ aïh<Jr a:\ói'_

\/«i² + <h² + «3²—2 «₂a₃cos a—2 a₃«iC0S ß— 2 «i«₂cos y jako wzór na odległość punktu P o spólrzędnych trójkątowych 1'₂, l'?>, od prostej o równaniu jednorodnem : ctxlx-\- a₂1₂-f- a₃7₃=0.

18. Związek między spółrzędnemi trójkątowemi linii prostej. Z ostatniego wzoru możemy znaleźć spółrzędne trójkątowe tej prostej, tj. jej odległości od punktów A(hx, 0, 0), -77(0, 7*2, 0), (7(0, 0, 7t₃), gdzie hx, h₂, h₃ są wysokości trójkąta odniesienia.

W tym celu otrzymamy :

__V'i_

V/«i ²—2«₂«₃COS a -j- &’

*i=-

(l₂H₂

3,= —-    —j

V/ at ²—2 «2a3C(>s a + &

wzory, które dowodzą, że spółrzędne trójkątowe 8i,<5₂,8₃, prostej są proporcyonalne do liczb a0hi «2^2 j ®3Ä₃ czyli, że spółczynniki a,, a₂, a₃, równania jednorodnego o, 7i -f- «2 ^2 d⁻ ®3 h = 0

V/«i²—2 a₂ <*3cos a ~b

O)

linii prostej są proporcyonalne do stosunków liczb

8₂

8₃

7*3

Na podstawie twierdzenia o równych stosunkach otrzymujemy ztąd:

h- 2

^ --S*

8₂

7*0

\/©-*

^ COS a -j- &

\/«i²— 2 «2 «3 COS a    &

«1

V«•,²—2 a₂a₃cos « -j- &

przeto

^    07

to to

8.3

^COS a -j- & = 1,

— 4. v . v oJlJî

/»i² '    /#2² ‘    3²    7*2 7*3

jako związek między spółrzędnemi trójkątowemi 81? S₂, o:t, wszelkiej prostej, odniesionej do trójkąta o wysokościach h₂₎ h₃, i kątach a, S, y.

I względniając, że ahx = bh₂= ch₃— 2A, jeżeli a, ó, c są bokami, a A powierzchnią trójkąta odniesienia, otrzymamy z powyższego

a²8!² + 7>²o₂² -j- e³8₃²—2 öco₂8₃cos a—2 ca8₃8,cos ß—2 a65,o₂cos y— 4A², jako związek między trzema spółrzędnemi trójkątowemi 8t, 8₂, o₃, wszelkiej linii prostej płaszczyźnie, odniesionej do trójkąta o bokach a, 7>, c, kątach a, ß, y i powierzchni A.

czyli

COS a—2

Äs 7# j

-1    n    8. Ô,

-r- cos ß—2 -A-    eos y = 1,

wzoru :

(*)

na

19. Na podstawie tego związku, jaki ma zachodzić między spółrzędnemi trójkątowemi Sj,o₂,8₃ dowolnej prostej na płaszczyźnie, możemy wyznaczyć spółrzędne trójkątowe prostej, gdy znamy tylko ich stosunki. Jeżeli bowiem spółrzędne trójkątowe 8n o₂, 8₃, mają być proporcyonalne do liczb wl5 **₂, w₃, natenczas otrzymujemy:

_ o₃ ^ Y/a²ox ²—2 bc 8₂8₃cos a -j- &

Ul w2 “s V/dhli²—2 7>c ux m₂C0S a -j- &

8,

\/a²?/, ²—2 bc U\ U₂COS a -(- &    ’

(tf)

— 104 -

a stąd :

*i=

2 A tą

V/ C«²'«! ²—2 6c «^«2COS a -j- &

o₂.

2 A u₂

y/«%2 ²—2 6c î/j «2COS a -j- &

83:

\/a² tą²—2 betą K z cos a -j- &

20. Związek miedzy spółrzędnemi trójkątowemi linii prostej, a spół-rzędnemi trójkątowemi punktu, leżącego na tej prostej. Podstawmy w równaniu jednorodnem aili + a₂l₂ + a?l?i — 0 linii prostej zamiast ai, ct₂, a₃, wartości wynikające z równań (a) art. 18, natenczas otrzymamy równanie:

,    ^2 ^2 ,    ^3^3 __ n

/» d” /. d⁻ /.    ' ’

•*>\ rl2 'h Q.Óyl{ ”f* 0(^2 ?2 d~ ?g — 0,

czyli

wj^rażające związek między spółrzędnemi trójkątowemi ôi,â₂jô.l linii prostej i spółrzędnemi trójkątowemi Z₁₅ Z₂, Z₃, punktu, leżącego na tej prostej, odnie-sionemi do trójkąta o bokach a, b: c.

Równanie (1) przedstawia przy danych spółrzędnych d1} d₂, d₃, a zmiennych lil l2: l, zbiór punktów na pewnej linii prostej, czyli jest równaniem linii prostej na płaszczyźnie; natomiast przy danych spółrzędnych , ?₂, h, a zmiennych d1; d₂, d₃ równanie (1) przedstawia zbiór prostych, przechodzących przez jeden punkt, czyli jest równaniem punktu na płaszczyźnie. Równanie «d₁?₁ \-bó₂l₂ -f-cd₃?₃=0, jest więc równaniem prostej, mającej dane spółrzędne trójkątowe (d1? d₂, d:!), lub równaniem punktu, mającego dane spółrzędne trójkątowe (Zj5 Z₂, Z₃).

Prawa strona tego rówmania przedstawia, jak łatwo na podstawie wzorów art. 17 i 18, poznamy, odległość prostopadłą d punktu (Zl5 Z₂, Z₃) od prostej (dj d₂, d₃), z tego też powodu nazywamy je zwykle równaniem normalnem.

(1)

21. Równanie ogólne prostej w spółrzędnych trójkątowych punktu i równanie ogólne punktu w spółrzędnych trójkątowych prostej. Oznaczmy spółrzędne trójkątowe punktu P, przez xu x₂, cc₃, a spółrzędne trójkątowe prostej przez u₂₎ ui: natenczas ogólne równanie prostej w spółrzędnych trójkątowych xli x₂, x₃, punktu bieżącego prostej przedstawi się w postaci :

a,+ a₂x₂-\- a₃«ą= 0.

(1)

Porównując to równanie z równaniem normalnem:

ux xx

U₂X₂

h.

I «3*3

⁺ h

o,

(1')

otrzymujemy na wyznaczenie wartości spółrzędnych trójkątowych , u₂, u₃, tej prostej stosunki:

ux

u₂

tą

h₂

h₂

(2)

\/²—2 «2 «3 COS a -j- &

Jeżeli prosta oddala się do nieskończoności, wówczas jej spółrzędne, rosnąc bez granic, dążą do wartości sobie równych. Dla prostej w nieskończoności będzie więc :

a₂h₂= a₃h₃,

«i

a₂

«3

wskutek czego będzie

u?i

■x₂

x₃

Ä1

h₂

63

(3)

równaniem prostej nieskończenie dalekiej, które możemy też napisać w postaci:

ax^-\-bx₂-\-cx₃— 0 albo x₁ sin a -j- x₂ sin ß -|-'x₃ sin ę = 0.

(B')

Równanie ogólne punktu w spółrzędnych trójkątowych tą, u₂, u₃ prostej, przezeń przechodzącej, przedstawi się w postaci :

tą tą -1- a₂u₂-\- a₃tą= 0. Porównując to równanie z równaniem normalnem :

lą

li₂

«3*3

}ą

105

otrzymujemy, przy uwzględnieniu związków art. 18., na towych xx, x₂, x₃ tego punktu, stosunki:

wyznaczenie spółrzędnycli trójką-

*1

«5H«?

(5)

«1+ a2"h a3

Jeżeli punkt, przedstawiony przez równanie ogólne a^Ą- a₂u₂-\- a₃u₃~0: znajdzie się w nieskończoności , wówczas będzie: ax-\- <*24* «3=0, t. z. suma spółczynników w jego równaniu jest równa 0.

22. Równorzędność punktu i prostej, jako elementów płaszczyzny. Przez wprowadzenie pojęcia spółrzędnych linii prostej na płaszczyźnie, analogicznie do pojęcia spółrzędnych. punktu na płaszczyźnie, stają się punkt i prosta równorzędnemi elementami płaszczyzny. Każdy z tych elementów wyznacza się dwiema spółrzędnemi od siebie niezależnemi, punkt: spółrzędnemi Descar-tes’a (x, y), lub trójkątowemi (xi: x₂, x₃), prosta: spółrzędnemi Plückera (w,u), lub trójkątowemi (w,, u₂, u,). Istnieje przytem na płaszczyźnie go² punktów, jako też oo² prostych.

Każdy z tych elementów może być uważany z równem prawem, jako element najprostszy płaszczyzny; z każdego z tych elementów mogą powstać zupełnie analogicznie nowe formy na płaszczyźnie ; analogia może dochodzić aż do najdrobniejszych szczegółów, prowadząc do dwóch zupełnie równouprawnionych systematów geometryi płaskiej ; geometryi na zasadzie punktu, jako elementu, czyli geometryi punktu, i geometryi na zasadzie prostej, jako elementu, czyli geometryi linii prostej.

«2

«3

(6)

23. Zasada dwoistości. W obu geometryach płaskich : geometryi punktu i geometryi prostej, dostrzegamy obok zupełnej analogii jeszcze zupełną wzajemność dwoistą, polegającą na tern, że punkt w geometryi prostej zajmuje to samo stanowisko, jakie prosta w geometryi punktu. Zasadą tą, wedle której twierdzenia geometryi punktu dają się wprost przemienić na twierdzenia z geometryi prostej, nazywamy zasadą dwoistości.

Zasada dwoistości występuje w geometryi analitycznej w ten sposób, że równania i działania pozostają w obu przypadkach jednakowe, a tylko odmienne jest znaczenie geometryczne wyrażeń zmiennych.

Oto wybitniejsze twierdzenia, które są wyrazem zasady dwoistości :

(1) Równanie pierwszego stopnia w spółrzędnych (*, y) punktu : Ax-\-Hy-\- <7—0. przedstawia linie prosta, o spółrzędnych

(1') Równanie pierwszego stopnia w spółrzędnych (u. v) prostej : AuĄ-ltrĄ- C=0, przedstawia punkt o spółrzędnych

li

li

u c ’

(2)    Prosta potesiaje przez połączenie dwóch punktów. Prosta łączącą dwa punkta (xx, yx ) i (x₂, y₂) ma równanie:

! lh 1

*1» 2/i> 1 =0.

! **2» 2/2? 1

(3)    Najprostszem miejscem geometrycznem punktu jest prosta, .opisana przez punkt, poruszający się iv jednym kierunku, wyznaczonym dwoma punktami, na niej połozonemi.

<7 *

Jeżeli (tfi, t/i), (x₂, y₂j są spólrzędne danych dwóch punktów, natenczas spólrzędne każdego punktu prostej, przez nie przechodzącej, będą, wyznaczone równaniami:

y c •

(2') Punkt powstaje przez przekrój dwóch prostych. Punkt przecięcia dwóch prostych («1, vx) i (m₂, v₂) ma równanie:

n, vf 1

i/j, vj ,1    =0.

u.₂, v₂, 1

(3') Najprostszem miejscem geometrycznem prostej jest punkt, utworzony przez prostce, obracającą się w jednej płaszczyźnie, wyznaczonej dwiema prostemi, przezeń prze-chodzącemi.

Jeżeli (ux, vx) i (u₂, v%) są spółrzędnemi danych dwu prostych, natenczas spólrzędne każdej prostej, przechodzącej przez punkt przecięcia danych dwu prostych, będą wyznaczone rótonaniami :

<;

_ *®i x *^2

--1=3T’

t‘i — X/-₂

1—X '

- 106 —

(4') Prosta jest zbiorem punktów na niej położonych Niech równania :

Ay u-\-H\V-\- (\ = 0, A% u-\-H-}V-\- C₂=0 przedstaiviaja dwa punkta, położone na pewnej prostej, natenczas równanie każdego punktu, lezącego na tej prostej otrzymuje równanie kształtu :

(Ai u-\-B\V-\- (Ji)-\-X(Api-\-H^v-\- C'₂)=0, gdzie X jest dowolnym parametrem. Róiv-nanie to przeästatvia szereg punktów.

(4) Punkt jest zbiorem prostych, przezeń przechodzących. Niech równania:

Atx +Ąy+Ci=0,    0

przedstawiają dwie proste, przecinające sie w pewnym punkcie, natenczas ivszelka prosta, przechodząca przez ten punkt przecięcia, otrzymuje równanie kształtu :

{AixĄ-Bxy-\-Cl)-\-'t^A-ljx -j— V>₂//-f- C₂)=0. gdzie X jsst dowolnym parametrem. Równanie to przedstawia pęk promieni.

24. Zupełne wielokąty i zupełne wicloTboki. Zasada wzajemnej dwoistości daje się także łatwo poznać na t. z. wielokątach i wielobokach zupełnych, będących uogólnieniem zwykłych prostych wielokątów, względnie wieloboków.

Wielokątem zupełnym nazywamy układ n punktów na płaszczyźnie, nie leżących po trzy na jednej linii prostej, ze inszystkiemi liniami prostemi (bokami), łączącemi dane punkta, zwane ivierz-chołkami zupełnego n-kąta.

Wielobokiem zupełnym nazywamy układ n prostych na płaszczyźnie, nie przechodzących po trzy przez jeden punkt, ze wszy stkiemi punktami przecięcia (wierzchołkami) linij prostych, zwanych bokami zupełnego wieloboku.

Z określenia tego wynika :

Przez każdy wierzchołek zupełnego w-kąta przechodzi (n—1) boków, które łączą ten wierzchołek z pozostałemi [n— 1) wierzchołkami. Zupełny w-kąt ma zatem n wierzchołki?*—1)

ków i (2)

Na każdym boku zupełnego wieloboku leży (n — 1) wierzchołków które są przecięciami tego boku z pozostałemi (n — 1) bokami. Zupełny w-bok ma zatem n boków n(n—1)

i©

₀ boków.

Zupełny trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki i jest tern samem zwykłym trójkątem lub trój bokiem.

Czworokąt zupełny ma cztery wierzchołki i sześć boków. Dwa boki, nie przechodzące przez ten sam wierzchołek, nazywają się bokami przeciwległemi. Czworokąt zupełny ma trzy pary boków przeciwległych, składa się przeto z trzech zwykłych czworokątów, których bokami są dwie pary boków przeciwległych tego czworokąta zupełnego.

Punkta, w których schodzą się boki przeciwległe, nazywają się punktami prze-kątnemi, a trójkąt, przez nie utworzony, trójkątem przekątnym czworokąta zupełnego.

wierzchołków.

Zupełny trójbok ma trzy boki i trzy wierzchołki i jest tern samem zwykłym trój bokiem lub trójkątem.

Czworobok zupełny ma cztery boki i sześć wierzchołków. Dwa wierzchołki , nie leżące na tym samym boku, nazywają się wierzchołkami przeciwległemi. Czworobok zupełny ma trzy pary wierzchołków przeciwległych i składa się przeto z trzech zwykłych czworoboków, których wierzchołkami są dwie pary przeciwległych wierzchołków tegoż czworoboku zupełnego.

Boki, łączące przeciwległe wierzchołki, nazywają się przekątniami, a trójkąt, przez nie utworzony, trójkątem p r z e k ą t-nym czworoboku zupełnego.

25. Spółrzędne trójkątowe punktu i spółrzędne trójkątowe linii prostej.

Dwoistość wyraża się tu w następujący sposób:

— 107

(ia) Spółrzędne trójkątowe xx, x₂, xx punktu, są trzy liczby, które mają się do siebie tak, jak odległości punktu od trzech boków trójkąta, pomnożone przez dowolne, ale stałe obrane paramétra :

xl ’• a-2 • x3 ⁼⁼ 4 h '■    4 • &3 ^3 j

gdzie 7j, ?₂, ?₃ sa odległości prostokątne punktu odniesienia , /c1; /c₂, /<?₃, zaś doicolnc parametry.

(a') Spółrzędne trójkątowe ux, w2; a:! prostej są trzy liczby, które mają śię do siebie tak, jak odległości prostej od trzech wierzchoł-ków trójkąta, pomnożone przez dotvolne, ale stale dobrane spółczynniki :

U\ • W2 • % ⁼⁼C ^1• ^2°2* ^3⁰3>

gdzie ot , o2; S₃ są odległości prostokątne prostej od wierzchołków trójkątów odniesienia, X1; X₂, X₃ zaś dowolne parametry.

Spółczynniki 1 i J; mogą być tak dobrane, że położenie punktu i prostej określone będzie równaniem: cct-j-u₂-j-u₃x₃—0, a związek między temi spółrzędnemi wypływa z związku między spółrzędnemi trójkątowemi, a zwykłemi spółrzędnemi prostokątnemi.

Mianowicie otrzymujemy :

ls—

gdzie równania :

gdzie równania:

_ Avr + BtyĄ- (\

__ A₂X -}~ iiitf -f- C-2

Va\ą-b\ ’

A₃oc + B₃y + ą

VA\ -f B\ ’

Apx -j- />, g -f- (\ =0, A₂x -j- /»₂// -f- C₂ =0, a₃x -i- /»*,// + ą = o,

są równaniami boków trójkąta odniesienia, wyrażonemi w spółrzędnych prostokątnych (æ, y) bieżącego punktu, przyczem :

A B\ ^

D — A-2 B% C-2    0,

A Bz c₃

Chcąc otrzymać spółrzędne (aą, x.₂, x₃), punktu w prostej postaci, położymy : ki=VA\+B\, Ją = VA\ + B\, Jc₃= \/a\ą-b\

tedy otrzymamy :

./'] = Apx -j— /> 1 y-|-    , x.₂— .12a* -ł- B₂y 4" C₂

x₃ — A₃x -f- B₃y + C₃,

wzory zamiany spółrzędnych prostokątnych (x, y) punktu na spółrzędne trójkątowe punktu.

«r« + ßi<*+Ti

Ti \/ u% + v'¹

«₂tt-4-ß₂ti-fy₂

Ï2

g «3^ + ß3^ + T3

y₃ V/ ït² -j-

ai«' + ßi«? + Ti =0,

«₂«e + ß₂v + y-2 = 0,

«3« + ßs'^ + Ï3 =0,

są równaniami wierzchołków trójkąta odniesienia , wyrażonemi w spółrzędnych prostokątnych (u. v) bieżącej prostej , przy-czem a, ß, y są minorami elementów wyznacz. A, Ą C\

])= a₂ b.₂ c.₂ > 0.

4 b, ą

Chcąc otrzymać spółrzędne (uj u₂, u₃) prostej w prostej postaci, połóżmy:

V=Tl» 'A2=Ï2, *3=T3»

co już wskazuje na zależność między spół-czynnikami k i X, tedy otrzymamy :

th= «1™ + ßl® + Tu «2= «2™ + $2^ + T2: U3=<*₃u + ß₃v + y₃,

wzory zamiany spółrzędnych prostokątnych (u, v) prostej na spółrzędne trójkątowe prostej.

Naodwrót otrzymujemy stąd:

_A\U 1 + A2W2 ~t~ Azuz

Ciiii + C₂m₂ 4" C₃u3 r ^ A^i4 B₂ u₂ 4- B₃it₃

Ciiii+ C₃Ui -f C3M3 ’

wzox*y zamiany spółrzędnych trójkątowych («!, m₂, u₃) prostej na spółrzędne prostokątne (w, v) prostej.

alXl 4~ «2^2+ «3^3

T1 x\ 4" '[2X2 + T3«3 ’

,, = h3 4- ßl^2 4- ß₃«3

Tl^l +T2a:2 +T3«3 ’

wzory zamiany spółrzędnych trójkątowych (xlf x₂, x₃) punktu na spółrzędne prostokątne (x, y) punktu.

Na tej podstawie otrzymamy:

Mtxt    u.₂x.₂-j- u₃x₃— (Aj x -)- ßj y -f- (7, ) (04 w j- v + Ti) 4" & =    -f-vy-f-1), (art. 17., str. 83),

gdzie J) — A₁xi -f- d₂a₂ + 4*3 S 0, a więc uixiAr w₂x₂-f- u₃x₃— 0, skoro ux -f- vy A- 1 = 0, jako związek między spółrzędnemi trójkątowemi punktu xx, x₂, r:, i spółrzędnemi trójkątowemi prostej («j, w₂, m₃), jeżeli punkt (spj., .t₂, x₃) leży na prostej, albo prosta («,, «₂? lh) przechodzi przez punkt.

- 108 -

Równanie uxxx -(- u₂x₂-\- u:,x:]-= O w spółrzędnych zmiennych punktu xx, x₂, x₃ przedstawia więc prostą o spółrzędnych trójkątowych u,, u₂, w:i.

Przez podstawienie xx=-x, x₂—y, x₃~l, przechodzi równanie jednorodne prostej : uixi -j- u₂x₂Ą-u₃x₃— 0, w spółrzędnych trójkątowych x₁,x.₂,x₃ punktu w równanie ogólne prostej ulx-\-u₂y-\-u₃=0, czyli Ax-\-By-\-C=0 w spółrzędnych prostokątnych x, y punktu.

Równanie u, -f- u₂ x₂ -p «3    = 0 w spółrzę-

dnych zmiennych prostej u₁,ui,u₃, przedstawia punkt o spółrzędnych trójkątowych xi: x₂, x:i.

Przez podstawienie ux=u, u₂—v, u₃—1, przechodzi równanie jednorodne punktu : x,u,-\- x<iu₂-}- x₃u₃ — 0. w spółrzędnych trójkątowych (ux, u₂, u₃) prostej w równanie ogólne punktu xxu-f-æ₂î>-p;r₃=0, czyli Au-\--\-Bv-\-C—0, w spółrzędnych prostokątnych u, v prostej.

26. Wprowadzenie spółrzędnych trójkątowych, zwanych także spółrzę-dnemi jednorodnemi, stanowi ważny postęp w geometryi analitycznej, jako uogólnienie pojęcia spółrzędnych i wprowadzenie sy metry i do rachunku przez możliwość nadawania równaniom postaci jednorodnych.

Spółrzędne Descartes’a x, y i spółrzędne Plücker’a u, v są, tylko szczególnym przypadkiem spółrzędnych trójkątowych, a równania w takowych spółrzędnych są tylko szczególnym przypadkiem równań w spółrzędnych trójkątowych, mianowicie, gdy dwie osie odniesienia stają się osiami spółrzędnych a trzecia oddala się do nieskończoności. .

Wyższość spółrzędnych trójkątowych objawia się szczególnie w dowodzeniu własności t. z. rzutowych, lub opisowych figur na płaszczyźnie, podczas gdy ta wyższość ustaje, gdy chodzi o własności miarowe, oddaleń lub nachylenia. Dla uproszczenia rachunku przy użyciu spółrzędnych trójkątowych można jeszcze przyjąć trzy proste dane w zagadnieniu, jako osie odniesienia. Jako przykład weźmy twierdzenie Desargues’a o trójkątach kolineacyjnych.

27. Twierdzenie. Jeżeli dwa trójkąty tak są ułożone, że punkta przecięcia trzech par odpowiednich boków leżą na jednej linii prostej, t. z. osi kolineacyi, natenczas linie proste, łączące odpowiednie wierzchołki, przecinają się w jednym punkcie,

c;

t. z. środku kolineacyi. Przyjmijmy jeden z tych trójkątów, n. p. ABC (fig. 84) za trójkąt odniesienia, natenczas boki tego trójkąta BC, CA, AB, będą miały w spółrzędnych trójkątowych x₁, x₂, x?t punktu, równania xi =0, x₂=0, æ₃=0.

aixi +a' ₂ic₂-f a₃^3 =0,

Fig. 85.

Niech będzie teraz a₁xi -ra₂x₂Jraix₃—0 równaniem prostej, na której leżą punkta przecięcia boków trójkąta A‘B'C‘ z odpowiedniemi bokami trójkąta ABC, natenczas boki B‘C', C'A¹, A'B' trójkąta A‘B‘C‘ będą miały równania kształtu : a\x₁ + a₂x₂ + a₃x ₃=0,

alx₁A-a₂x₂ + a‘₃xs=0,

Odejmując od siebie kolejno te równania otrzymujemy równanie : (a\—a₁)xi+(a₂-a'₂)x₂^0, (a'₂-a₂)x₂ + (a₃—a\)x₂=0, (ax-a\)x, -f(a'₃-a₃)^₃=0, jako równania prostych, przechodzących przez wierzchołki C‘,A‘,B‘ trójkąta A'B'O; według swego kształtu są to jednak także równania prostych, przechodzących przez wierzchołki C, A, B trójkąta ABC, a że ich suma prowadzi do tożsamości 0=0. przeto widzimy, że proste te przecinają się w jednym punkcie-W podobny sposób możnaby dowieść twierdzenie wzajemne:

Jeżeli dwa trójkąty tak są ułożone, że linie proste, łączące odpowiednie loierz-chołki trójkąta przecinają się ic jednym punkcie, t. z. środku kolineacyi, natenczas boki

- 109 —

odpowiedne przecinają, się w punktach, leżących na jednej linii prostej, t. z. osi koli-neacyi. Twierdzenia te tworzą punkt wyjścia dla teoryi figur t. z. kolinea-cyjnych.

Ćwiczenia VIII.

1)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, które mają tę własność, że suma oddaleń każdego z nich od dwóch stałych prostych, nachylonych pod kątem y, jest zawsze jednakową d.

2)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, które mają, tę własność, że stosunek oddaleń każdego punktu od dwóch stałych prostych jest stały, równy m.

3)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, które mają tę własność, że różnica kwadratów ich odległości od dwóch stałych punktów Fi i jF₂ jest stałą , równą a¹.

4)    Na jakiej prostej leżą środki promieni, łączących punkt (—4, —2) z punktami prostej, przeprowadzonej przez punkta (1, 11) i (5, 3).

5)    Z punktu (xx, yj) wychodzą promienie do punktów prostej x cos © -f- y sin cp — p = 0, a każdy z nich zostaje podzielony w stosunku m:n, jakie jest miejsce geometryczne punktów podziału.

6)    Dane są proste y = mlx-\-bi, y = m.₂x -j- b?, znaleźć miejsce geometryczne punktu, którego odległości od danych prostych różnią się o stałą długość d.

7)    Znaleźć miejsce geometryczne wierzchołka C trójkąta ABC, jeżeli daną jest podstawa c, a przytem cot a -j- m cot ß = p.

8)    Między ramionami kąta prostego poprowadzono proste, równoległe do danej prostej Ax -\-By -f- C — 0, a podzielone w stosunku m:n; jakie jest miejsce geometryczne punktów podziału.

9)    Trójkąt prostokątny ABC, o przyprostokątniach BC — a, AC = b, porusza się punktami A i B po osiach układu prostokątnego; jaką drogę opisuje wierzchołek C.

10)    Kąt prosty obraca się około swego wierzchołka (r, a), wyznaczając jednem ramieniem na osi OY odcinek OB, a drugiem na osi OX odcinek OA; jakie jest miejsce geometryczne punktu P, który dzieli odcinek AB w stosunku m : n.

11)    Przez początek układu poprowadzono promienie do punktów prostej y -—mx Ą- b, a nad każdym promieniem wykreślono trójkąt równoboczny ; jakie jest miejsce geometryczne wierzchołków tychże trójkątów.

12)    Znaleźć miejsce geometryczne środków prostokątów, wpisanych w trójkąt, którego wysokość h wyznacza na podstawie trójkąta odcinki p i q. (Wskazówka O Y w h, AB w XX).

13)    W trójkącie ABC poprowadzono prostą B'C‘, równolegle do podstawy BC—a‘, jakie jest miejsce geometryczne punktu P, w którym przecinają się poprzeczne B'C i BC‘,

14)    Dane są dwie proste y = mxx, y=m.₂x-\-b, przetnijmy je liniami prostemi, równo-ległemi do 0X, i wykreślmy w punktach przecięcia prostopadłe do danych prostych; jakie jest miejsce geometryczne punktów przecięcia poszczególnych par tych prostopadłych.

15)    Dany jest kąt YOX= y ; z punktu P wykreślono prostopadłe PP' i PP‘' do ramion tego kąta; jakie jest miejsce geometryczne punktu P, jeżeli (1) PP'-\-PP"= fc², (2) P"P' ma stały kierunek.

16)    Dany punkt 0 i prosta AB w odległości a; poprowadźmy przez 0 promień OC, który przetnie AB w punkcie C, i ^przyjmijmy na tym promieniu punkt P tak, aby było PO : PC = X ; znaleźć miejsce punktu P.

17)    W równoległoboku dany jest kąt a i obwód 2s, jakie jest miejsce geometryczne wierzchołka C, przeciwległego kątowi a.

18)    Dany jest szereg trójkątów podobnych o wspólnym kącie wierzchołkowym a; gdzie leżą (1) ich środki ciężkości, (2) punkta przecięcia wysokości, (3) środki kół opisanych, (4) środki kół wpisanych. (Przyjmij początek w A, oś OX w AB, a oś OY I AB).

19)    Jakie jest miejsce geometryczne czterech punktów osobliwych w trójkątach, które mają stały kąt wierzchołkowy * i stały bok b, a inne części składowe zmienne.

22) Znaleźć miejsce geometryczne punktów, oddalonych o stały odstęp c od prostej

y = mx -j- b.

23)    Dwa wierzchołki trójkąta poruszają się po dwóch stałych prostych, podczas gdy trzy boki tego trójkąta pozostają stale równoległe do trzech danych kierunków; znaleźć miejsce geometryczne trzeciego wierzchołka.

24)    Wierzchołek ruchomego trójkąta, podobnego do danego trójkąta, jest stały ; drugi wierzchołek porusza po pewnej linii prostej ; znaleźć miejsce geometryczne trzeciego wierzchołka.

25)    W dowolny czworokąt wpisany jest równoległobok, którego boki są równoległe do przekątni czworokąta ; znaleźć miejsce geometryczne środka równo!egłoboku.

26)    W trójkącie ABC połączono środek W koła wpisanego z środkiem D podstawy AB. a wierzchołek A z punktem styczności Fi odpowiedniego koła zawpisanego ; dowieść że proste te, WD i AFi, są do siebie równoległe.

27)    Jeżeli w trójkącie ABC podzielimy boki kolejno w stosunku m : n, a każdy punkt podziału połączymy z wierzchołkiem przeciwległym, dowieść, że tak powstałe poprzeczne

{m-nf ^ m² -j- mn -j- w²

20)    Grdzie leżą środki ciężkości trójkątów, mających wspólną podstawę AB=c, a wierzchołki na prostej y — mx -j- b.

21)    Na prostej M N dane są dwa punkta A i B] przez dowolny punkt P płaszczyzny poprowadzono dwie proste PD i PE, równoległe do danych dwóch prostych; znaleźć miejsce

geometryczne punktów P, skoro stosunek

AD

BE

k będzie liczbą stałą.

utworzą trójkąt, którego powierzenia At

28)    Dwie proste lx i l₂, dane są przez swe spółrzędne Plückerowskie, (tą, tą) i (w₂, v₂) ; wyznaczyć kąt w, między niemi zawarty.

29)    Jakie znaczenie geometryczne mają równania między spółrzędnemi tą v linii prostej kształtu: (1) Au-\-C — 0,    (2) Bv-\-C= 0,    (8) x₀u -f- y₀t? -f-1— 0, (4) Au-\-Bv = Q:

(5) u — 0, (6) v — 0, (7) Axu -\-Btv —(--J-X (A₂u -\-B₂v -j-C^) = 0, (8) A(u—w^)-\-B{v—v₀) — 0.

30)    Znaleźć (a) równanie punktu przecięcia się dwóch prostych, danych przez spółrzędne (tą, tą) i (w₂, t>₂), (b) warunek, aby trzy proste, dane spółrzędnemi (tą, tą), t/₂, t?s), (m₃, r₃) przecinały się w jednym punkcie, (c) spółrzędne (tą v) prostej, przechodzącej przez dwa punkta Pt(aą, tą) i P₂(x₂, t/₂), (d) warunek, aby trzy punkta, dane przez równania:

0, A.₂u-\-B₂v-\-C₂— 0, A₃u-\-B₃v-\-C₃— 0, były na linii prostej.

31)    Dowieść, że równanie każdego punktu Au-\-Bv-\-C=0 da się przedstawić w postaci jednorodnej alPl-\-a₂P₂-\-a₃P₃—0₁ jeżeli Pi=0. P₂ —0, P₃—0, są równaniami trzech punktów, nie leżących na linii prostej.

32)    Znaleźć (a) odległość dwóch punktów, danych równaniami: P₁(Aitt Ą-Byv -j-t?i)=0, P^Azu+B₂v+ Ci)=0, (b) odległość o punktu Au Ą-Bv-\-C==0 od prostej («₀, r₀), odniesionych do układu prostokątnego.

33)    Podać znaczenie geometryczne następujących równań w spółrzędnycli trójkątowych aą, x₂, x₃ bieżącego punktu: (1) xl = X₁x₂, (2) ,x₂=l₂.r₃, (3) x₃ = a₃x₁ , (4) aąsina-J-aąsinp-f--j- x₃ sin y — 0, (5) <ą x₁ -j- a₂.r₂-f- a₃x₃ -f- X(aą sin a r₂ sin ß + x₃ sin y) = 0. (6) aąsin a -j- #₂sin ß — — x₃ sin y — 0.

34)    Znaleźć (a) odległość o punktu danego przez spółrzędne prostokątne trójkątowe od prostej <ąaą a₂x₂-\- a₃x₃= 0, (b) odległość d dwóch punktów P(aą, xi: x₃) i P'(x\, x'i: x'₃)m

35)    Trójkąt odniesienia ma boki «, 6, c, kąty a, ß, y, a powierzchnię A, znaleźć spółrzędne trójkątowe: (a) środka W koła wpisanego, (i) środków IFj, llr₂, W₃ kół zawpisanych, (c) środka koła opisanego.

36)    Znając spółrzędne (tą v) jakiejkolwiek prostej, wyznaczyć spółrzędne trójkątowe tą, tą, tą tej prostej, jeżeli wierzchołki trójkąta odniesienia dane są równaniami:

A₂u -j-Pjr -J-Cj= 0, A₂u -j-P₂tt -^-C₂= 0, A₃u -j-P₃v -j-C₃= 0.

37)    Podać znaczenie geometryczne następujących równań w spółrzędnycli trójkątowych

tą, «2, tą linii prostej: (1) AyU^A^u^ 0, (2) J₂w₂-f- J₃tą— 0, (3)    0,

(4)    (*4,tą -\-A₂u₂-\-A₃u₃) -j-1 (Pi tą -\-B₂u₃-{-Biu₃) — 0.

38)    Wyznaczyć odległość punktu danego równaniem: A^uvĄ-A₂u₂-\-A₃u₃ = Q od prostej dangj spółrzędnemi trójkątowemi (u\, m'₂₎ u'₃).

39)    Wyprowadzić (a) równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkta, dane w spół-

rzędnych trójkątowych (x\, x\, x'₃) i (x'\, x‘\, x“₃) ;    (b) równanie punktu przecięcia się

dwu prostych, danych przez spółrzędne trójkątowe (u\, w\, u\) i (w"l5 m"₂, u“₃).

40)    Boki trójkąta ABC obracają się około swych trzech punktów stałych Pt, P₂, P₃, leżących na jednej linii prostej, podczas gdy dwa wierzchołki A, B, trójkąta poruszają się po dwóch stałych prostych MI) i ME ; dowieść, że trzeci wierzchołek C opisuje wtedy linię prostą, przechodzącą przez punkt przecięcia się M tych dwu stałych prostych.

41)    Wierzchołki trójkąta poruszają się po trzech promieniach, wychodzących z jednego punktu , podczas gdy dwa boki trójkąta obracają się około swych dwóch punktów stałych, dowieść ; że także trzeci bok trójkąta obraca się wówczas około pewnego stałego punktu, który z dwoma pierwszemi leży na jednej linii prostej.

42)    Boki »-kąta obracają się około swych » punktów, leżących na jednej linii prostej, podczas gdy (»—1) wierzchołków tego wielokąta porusza się po (»—1) stałych liniach prostych ; dowieść, że także »-ty wierzchołek tego wielokąta opisuje linię prostą.

43)    Jeżeli wierzchołki dwóch »-kątów przyjmiemy parami na promieniach pewnego pęku tak , że pary boków, łączące wierzchołki, leżące na tych samych promieniach, będą wszystkie prócz jednej do siebie równoległe, dowieść, że w tym razie także dwa boki ostatnie muszą wypaść do siebie równoległe.

44)    Jeżeli wykreślimy sześciokąt tak, że jego trzy wierzchołki nieparzyste (pierwszy, trzeci i piąty) będą leżały na jednej linii prostej, a trzy wierzchołki parzyste (drugi, czwarty i szósty) na drugiej linii prostej, dowieść, że wówczas trzy pary boków przeciwległych tego sześciokąta przecinają się w trzech punktach leżących na linii prostej.

45)    Jeżeli wykreślimy sześciobok tak, że jego trzy boki nieparzyste (pierwszy, trzeci i piąty) przechodzą przez jeden dany punkt, a trzy boki parzyste (drugi, czwarty i szósty) przechodzą przez drugi dany punkt, dowieść, że w tym razie trzy linie proste, łączące trzy pary przeciwległych wierzchołków, przecinają się wr jednym punkcie.

46)    Dowolny punkt P płaszczyzny połączmy z wierz-chołkami trójkąta ABC i wykreślmy wT tym punkcie piony tych * trzech prostych ; dowieść, że punkta przecięcia tych pionów z przeciwległemi bokami trójkąta leżą na jednej linii prostej.

47)    Jeżeli jakikolwiek punktO trójkąta ABC fig. 86. połączymy z jego wierzchołkami A, B, C liniami prostemi O A. OB, OC, które przecinają przeciwległe boki trójkąta w punktach E, F, D, dowieść, że punkta przecięcia P, Q, B boków trójkąta EFD z bokami trójkąta BA C leżą na linii R prostej.

FW:

48. W hg. 86 wyznaczono kolejno punkta przecięcia r\

G, H, K, prostych A E, BF i CI) z prostemi FD, DE i EF ; dowieść, że proste GH, HK i KG przechodzą kolejno przez punkta R, P, Q prostej PQ.

Rozwiązania VIII. 1) Dane proste jako osie : y——x -j-    —,

prosta prostopadła do PtP₂. 4) Ax-\-2y—3 — 0,

3) XX w I\I\

a²

2c, 0 w środku : x = ——

4c

5) x cos 9 -j— y sin 9 = (»ccjcos 9 -j- »f/jsin 9 -f- pm)/(m -f- ».    6)

y—mlx—bl

Fig. 86.

2) y = mx.

V/l -f Wj ²    \/l +

ł»₂

7) Jeżeli podstawę i jej oś symetryi przyjmiemy jako osie układu, otrzymamy równanie:

(1—m)x—py -f- c(l-}- m) = 0. 8) Anx—Bmy = 0. 9) y —

x. 10)

(m+n)y

sina = r.

11) *(V/3-w)-l-y(l+wV/3)=2i. 12) ²* ¹ ~!/ &(lFmt²)

+y(«*₂+»»i)—

»i₂—m,

p—ą

= 0. 15) (a) x -f- y —

TT=1. 13) X-\-

Jc²

(ą-2p>_ą-2p u)

(b) x -[- y cos y = k(x cos lĄ-y). 16) Jeżeli

1 -j- cos y

przyjmiemy początek w 0, a oś OX prostopadle do AB, otrzymamy równanie : x =

17)    Przyjmując ramiona kąta a za osie układu otrzymamy: x-\-y = s.

18)    (1)    __L__-a;, (2) y—x co tg ß, (3) y=x cotgy, (4) y=xtg~. 19) (1) */=²/₃5sina,

(2) x = b cos x, (3) y =—x cotg a -j- b/2 cosec a, (4) y = x tg a/2. 20) y =

cm—b

mx—

dX

21) Przyjmując prostą AB za oś O Y a początek w A i kładąc AB—d otrzymamy: ()x—

—(1 -\-k)y-\-kd — Q. 22) y — mxb+ c\/î-\-m‘l. 2B) Przyjmując proste stałe, jako osie układu

i oznaczając przez m{, w?,₂, w₃, trzy czynniki kierunkowe, otrzymamy y-

-x, jako

—m ₃

szukane miejsce geometryczne. 24) Przyjąwszy A jako początek układu prostokątnego, oś OX równolegle do stałej prostej i oznaczywszy przez a kąt u wierzchołka A, przez l stosunek boków z A wychodzących, a przez o odległość wierzchołka A od stałej prostej, otrzy-

a więc dwie proste symetryczne. 25) Prosta, przechodząca przez _    ^1^2+ V1 V-l

V Ul ²+ <’l ²\/%²+ v-2 2,5

na OX. (2) Punkt na OY. (3) Punkt (x₀, y₀). (4) Punkt w nieskończoności na prostej o kierunku tg a = ——(5) Punkt w nieskończoności na 0X. (6) Punkt w nieskończoności na OY. A.

mamy y = + x tg a -f

cos a

środki przekątni czworokąta. 28) cos

tg w

u^—upv ₂

thu2+ v\ r2

. 29) (1) Punkt

(7) Punkt na prostej, przechodzącej przez dwa punkta: 1\(Alu-\-Bxv-\- C\ — 0) i Pi(A.₂u-\-B₂v-\-

w v 1

-j-C₂=0). (8) Punkt jakikolwiek na prostej (w₀, v₀). 31) (a) ux % 1

w₂ r₂ 1

=0; (»)

ul vx 1

v₂ 1    = 0;

% ks 1

(c) «

4t C't

• (d) A₂ P₂ ą =0. 32) 8²=

A ^ B₃ C?) I

33) (1), (2), (3) proste, przechodzące przez wierzchołki trójkąta odnie-

(Pj(7₂-P₂q)²

x\ y»—i*2^1

CV «o² + V

sienią; (4) prosta w nieskończoności; (5) proste równoległe do prostej «qaq -j- a₂:r₂-f- «3^3=0 ;

«i^'i-f «₂a?'₂-f «3^3

x\ y%—xAJ\

(6) prosta, łącząca środki boków a i b trójkąta odniesienia. 34) (a) o

V #i²—2a₂ «3 cos

(b) dA

(aą— x'i)² cos²

LC »

■2 (æa—af₂) (x?i—x'A) sin —-

cos -

to -TO

cos

Ś-+*

4 cos² ~ cos² cos²

(2) ar₂=a*₃=—»1=

AxuĄ-Bx v-\-G\    ^ _

Oj V/«²-h®2    2    C₂y/w²-1-w²

37) (1), (2), (3), Punkta, położone na bokach trójkąta odniesienia. (4) Punkt dowolny, położony na prostej, łączącej punkt AiUx-\-A₃u₃Ą-A₃u?>—0 z punktem Biu,l-\- P₂«₂-f- P:!w:t—0.

35)    (1) xx—x₃—x₃

a + b -j- c ’

&    c

«2= g-Gotgß, a?3=—cotgy. 36) «i

38) 8

-4-1 ^jyML2M'2 ~ł~^3 %/3

*i

*3

to to!

- i t. d.

-j- c—a

A₃u ~\~B₃v "j— C₂

(³) *1= 2'cotga’

-J «3

ń:,w 4-P3« 4- ą

ąv/w²-f r²

■di+^2+^3

. 39) (a)    x\, x'i: x'₃,

X 1, x 2, x 3,

= 0, (i)

M15 w2■

«'i, m<2?

m"i, w"₂,

35

Literatura. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des Méthodes en Geometrie, Paris 1873. W. Whitworth, Trilinear coordinates and other methods of modem analytical geometry of two dimensions. Cambridge 1866. W. Fuhrmann, Einleitung in die neuere Geometrie, Leipzig 1881. W. Schüler, Lehrbuch der analytischen Geometrie, München 1879. J. Todhunter, A treatise on plane co-ordinate geometry, London, 1874.

Lematy do rozprawek naukowych :

1.    Zbadać przypadki , w jakich miejsca geometryczne wierzchołków trójkąta o stałej podsławie, przedstawiają się w postaci linij prostych.

2.    Teorya zupełnych wielokątów i wieloboków.

3.    Geometrya analityczna punktu i prostej na płaszczyźnie na podstawie spółrzędnycli trójkątowych prostej na płaszczyźnie.

Wykład IX.

Promienie podziału i pęki promieni.

1. Promień pojedynczego podziału. Niech będą dane dwie proste L=0 i Lx= 0, gdzie Tj=A%A'ByA-C, Li=Aix-\-BiyAC₁, natenczas L—JcLx = 0 jest równaniem wszelkiej prostej , przechodzącej przez punkt 0 przecięcia danych prostych X=0iX₁=0, jeżeli x, y przedstawiają spółrzędne jakiegokolwiek z jej punktów P. Zbadajmy teraz znaczenie spółczynnika Jc w tern

równaniu. W tym celu oznaczmy przez ô i odległości punktu P(x,y) od danych prostych, natenczas będzie ô \/a² -f i?²=X,    â₁\/Â\±B\ = Li-

Podstawiając te wartości w równanie L—&X₁ = 0, otrzymuj emy ôy/hP-J- b‘>— Jc \/a\-\-B\ =0, zatem

\]Ia\+b\

stosunek odległości dowolnego punktu P{x, y) prostej JL — Jc Li —0 od obu danych prostych, pomnożony przez stały czynnik, zależny od kierunku danych prostych L i Li: czyli innemi słowy: spół-czynnik Jc jest proporcyonalny do stosunku między odległościami każdego punktu prostej L—JcL^ = 0 od obu danych prostych.

Z lig. 87. wynika: ó=OP.sinPOA, zaś (\ = OP. sin POB, więc ?° =

zatem Jc —

D.

Fig. 87.

t. z. spółczynnik Jc przedstawia

sin P O A

sin POB

sin PO A t \A² + B2 sin POB ]A\+B\

stosunku między sinusami kątów, jakie prosta OP tworzy z prostemi O A i OB. Przyjmijmy, że dla pewnego h prosta OP wpada zewnątrz kąta AOB, natenczas dla tej samej bezwzględnej wartości Jc, ale o znaku przeciwnym, odpowiadać będzie prosta, leżąca wewnątrz kąta AOB, czyli, jeżeli równanie L—lcL{ = 0 przedstawia prostą, leżącą zewnątrz pewnego kąta, to równanie L + JcLl= 0 przedstawiać będzie prostą, leżącą wewnątrz tego kąta. Wobec tego nazywamy prostą OP promieniem podziału danego kąta AOB w stosunku sinusów kątów PO A i POB.

2. Pęk promieni. Ograniczając się do równania X—ÆX₁ = 0, żymy co następuje: Jeżeli spółczynnik Jc przebiega wszystkie wartości rzeczywiste między—co a +oo , natenczas równanie L—JcL^= 0 przedstawia

na płaszczyźnie promieni OA promienie, których zbiór nazywamy pękiem promieni

t. z. spółczynnik Jc jest także proporcyonalny do

zauwa-

wszystkie przez punkt 0 przechodzące , a i OB położone o wierzchołku O.

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

— 114 —

3.    Jeżeli dane są równania normalne dwu prostych:

^=0 i = gdzie 1 = x cos o -j- y sino—p, łi—xcos<sl-\-ysinvl—px, natenczas równanie l—hlx = 0 przedstawia przy pewnem h także promień, przechodzący przez punkt przecięcia 0 obu danych prostych l i lx, jeżeli x, y przedstawiają spółrzędne jakiegokolwiek z jego punktów. Ponieważ tu jednak odległość 8 = 1, zaś ot = , przeto:

8

*—? t* j- spółczynnik h przedstawia wprost stosunek między odległościami każdego punktu promienia l—Tc lt=0 obu danych prostych l i llx a zarazem stosunek między sinusami kątów, jakie promień OP tworzy z promieniami OA i OB. Jeżeli ten stosunek k zmienia się między granicami —co a -j-co, natenczas równanie l—klx— 0 przedstawia także wszystkie promienie płaszczyzny, przechodzące przez punkt 0, czyli pęk promieni o wierzchołku 0.

4.    Stosunek anharmoniczny czterech promieni pęku. Niech będą dane dwa promienie OA i OB, określone równaniami ogólnemi : Lx=0, L₂ = 0, i drugie dwa, ÖC i OD, przechodzące przez ten sam wierzchołek: Lt—JcL₂ = 0,

Jc‘L₂ — 0, natenczas spółezynniki Jc i Jc¹ przedstawiają stosunek podziału

sin DO A

kąta AOB, a mianowicie Jc

sili CO A

nek tych stosunków Jc:Jc‘

sin COB sin CO A sin DO A

sin ID OB

IA\±b\ V-4₂² +Po

Stosu-

nazywamy stosunkiem podwójnego

sin COB ' sin D 05 ’

podziału kąta AOB przez promienie OC i OD, albo też stosunkiem anhar-monicznym czterech promieni a, b, c, d. Stosunek ten oznaczamy przez

(abed), pisząc

r ^ V ’ sin (c&) sin (di)

o. Przetnijmy promienie a, b, c, d dowolną poprzeczną MN, w punktach

(1)

A, B, C, D, natenczas otrzymamy nad poprzeczną szereg trójkątów o wspólnej wysokości h, (fig. 88.).

Na podstawie prawideł o obliczaniu powierzchni trójkąta otrzymujemy następujące wzory:

Ji. CA= OC.OA. sin (ca) ; h.CB= OC.OB sin (cb) ;

Ji .DA = OD.OA. sin (da) ; Ji.DB=OD.OB sin(db), sin (ca) _ sin (cb) CA _ DA sin (da) sin (db) CJB DB (abcd) = (ABCD)■

To znaczy : Stosunek anharmoniczny czterech promieni jest równy stosunkowi anharmonicznemu czterech punktów, podług których dowolna poprzeczna przecina te promienie.

6. Za pomocą tego twierdzenia możemy do trzech promieni a, b, c pewnego pęku wyznaczyć czwarty d, któryby z da-nemi utworzył stosunek anharmoniczny (abcd) = Jc:Jc‘.

W tym celu przecinamy pęk promieni a, b, c, poprzeczną równoległą do c, która przetnie promienie a, b, c, d w punktach A, B, oo, D, natenczas będzie

(abcd)=(AB oo D) = l :    DB

ty

fi

a stąd :

czyli

(2)

Fig. 88.

(fig. 89.).

DA»

Punkt D będzie więc wyznaczony stosunkiem

0,

pojedynczego podziału:    ^7. Wyznaczywszy D

otrzymamy w OD szukany promień d.

7. Wyznaczanie stosunku anharmonicznego z danych równań promieni pęku. Jeżeli cztery promienie Lt, L₂, Lz, Lx są

b,

Fig. 89.

określone równaniami, złożonemi z równań dwóch jakichkolwiek promieni pęku L—0, L‘ = 0 w postaci:

Li =L— JctL‘=0, L₂=L—Jc₂L/—0, L,=L—Jc,L‘ =0, Li=L—Jc^L'=0,

to, chcąc znaleźć stosunek anharmoniczny tych promieni, należy równania drugich dwóch promieni Lz i LK złożyć z równań promieni Li i L₂. W tym

Jc2 Bx /t/4 -Z>2

^2 ^1

^2 Bx Z'4 -Z>2    ^4 “h Zż₄ -Zi.

celu otrzymamy z pierwszych dwóch równań L

L'

— L₂

będzie więc:

&2 Bx — Z/4 L, — Z/g Lx -j- Z/g L-2

h₂

Z/g Z//

Z' 2

czyli :

Z'2

Z^₂

*1 Zc₃ j j

Ę=Tcx ^2;

Z'2

Z;₄ Z: Jc, Li Jc

t^=°-

Z^2

Równania czterech danych promieni możemy zatem zastąpić następu-jącemi równaniami:

Z>2

Z// Z/q _

Z'2 Zc₃

z których wynika szukany stosunek anharmoniczny czterech promieni

Z'i . Z?4    Z;!

Z'2 Z:₄ Z;₂

Lx—0, i₂-0, L,

0, Lx

Z- —k

?-~T%=0. Z'2 Z/₄

Jc,

Lu L₂, Lz, Li w postaci: (LiL₂L,L₄)=-=^

Jcz

k.

(3)

8.    Pęki jednokreślne. Z wzoru tego wynika, że stosunek anharmoniczny czterech promieni nie zależy od położenia wierzchołka 0 i promieni pierwotnych , a pozostaje niezmieniony, jeżeli t}dko równania promieni zgadzają się co do spółczynników Z;. Jeżeli więc obierzemy dowolne dwie pary promieni pierwotnych: jedną Ax = 0, źl₂=0, drugą: Bx=0: B₂—0, natenczas otrzymujemy dwa pęki, jeden określony równaniem A,—Jc A₂ = 0, drugi zaś równaniem B,—JcB₂=0, gdzie Jc może przyjmować rozmaite wartości. Nazwijmy promienie tych dwóch pęków odpowiedniemi, jeżeli ich równania zgadzają się co do wartości spółczynnika Jc, jak A,— Jc A₂=0 i Bl—JcB₂ = 0, natenczas na podstawie art. poprz. powiemy, że stosunek anharmoniczny czterech promieni jednego pęku jest rówmy stosunkowi anharmonicznemu czterech promieni odpowiednich drugiego pęku. Takie pęki promieni jak: Ax—JcA₂= 0 i Bx—Jc B₂=0, nazywamy pękami jednokreślnemi.

9.    Pęki perspektywiczne. Dwa pęki jednokreślne stają się, na podstawie wzoru 3 art. 7. zupełnie wyznaczone , gdy dane są trzy paiy odpowiednich promieni za pomocą trzech spółczynników Jcx, Jc₂, Jc₃. Każdy z takich pęków ma według art. 8. własność, że cztery odpowiedne promienie obu pęków prowadzą do tego samego stosunku anharmonicznego, który jest równy stosunkowi anharmonicznemu czterech punktów, podług których dowolna poprzeczna przecina te promienie. Dane dwa pęki jednokreślne możemy zawsze sprowadzić w takie położenie, aby punkta przecięcia odpowiednich promieni leżały na jednej linii prostej. Skoro bowiem promienie jednego pęku przetniemy pewną poprzeczną, która wyznacza na trzech promieniach tego pęku trzy punkta A, B, C, natenczas należy tylko przez te trzy punkta poprowadzić trzy promienie do pewnego punktu Ox tak, aby kąty między temi promieniami O, A, OxB, 0,C zawarte, były równe tym kątom, jakie tworzą odpowiednie promienie OA‘, 0‘B‘, 0'C‘ drugiego pęku, jednokreślnego z pękiem OABC (fig. 90.).

Punkt 0] wypadnie z przecięcia się kół tak wykreślonych nad dwiema z cięciw AB, AC i BC, że ich kąty obwodowe, na tych cięciwach oparte, są

O,

4-4-VJ

o'-

—_____B

5'

/\c

\£

Fig. 91.

Fig. 90.

kolejno równe kątom («'&'), («V), (ÔV) drugiego pęku. Tym sposobem otrzymujemy nowy pęk (O^ABC) identyczny z pękiem (O¹ A'B^*), tak ułożony względem pęku jednokreślnego OABC, że punkta przecięcia się odpowiednich promieni leżą na linii prostej. Takie dwa pęki, jak (OABC) i (0₁ ABC) nazywamy pękami perspektywicznemu Możemy więc tą drogą zawsze dwa pęki jednokreślne sprowadzić do położenia perspektywicznego. Pęki perspektywiczne mają wspólny promień SS¹, wzajemnie sobie odpowiadający (fig. 91.); możemy je zatem przedstawić zapomocą równań: LxĄ-lcL₂ — 0, Lx -\-BL\ — 0, które dla h=0, dają wspólny promień Lx =0. Punkta przecięcia odpowiednich promieni perspektywicznych leżą na linii prostej : L₂—L‘₂= 0.

10. Stosunek harmoniczny czterech promieni pęku. Jeżeli stosunek an-harmoniczny czterech promieni k = (LlL₂LzLi) =— 1, natenczas nazywamy ten stosunek stosunkiem harmonicznym ; powiadamy wtedy, że dwie pary promieni (Lit L₂) i (L₃, Lk) są harmonicznie ze sobą sprzężone, a cztery takie promienie nazywamy wprost promieniami harmonicznemi. Według tego określenia cztery promienie a, b, c, d, są harmoniczne, jeżeli

sin (da)

sin (ca) sin (da) sin (cb) ’ sin (db)

1, czyli , jeżeli

sin (ca)

sin(cb)

sin (db)

0.    (4)

Dwa promienie cid, harmonicznie sprzężone z parą promieni (a, b) mają

Fig. 92.

więc takie położenie, że jeden z nich dzieli kąt zawarty między promieniem a i b wewnętrznie, drugi zewnętrznie. Jeżeli w szczególności X (c a)= X (cb), natenczas sin (da) = — sin (bd), a więc X (da)——X (db), czyli X (fl?q) = X (bd), t. z. jeżeli promień c jest dwój-sieczną jednego kąta między promieniami a i b zawartego, to czwarty promień harmoniczny d jest dwój sieczną drugiego kąta przyległego; promienie cid są więc w tym wypadku do siebie prostopadłe (fig. 92.). Równania promieni harmonicznych sprzężonych z parą promieni Li=0, Z₂=0 przedstawiają się więc w postaci : Li—kL₂= O, LiĄ-JcL₂=0, a naodwrót promienie Li = 0, L₂ - 0, Ly — Jc L₂ — O, Z/j — Je¹ L₂ = O są harmoniczne, jeżeli    — 1, czyli, jeżeli k-]-k' = 0.    (5)

— 117 —

Promienie pęku, których równania podane są w postaci: Ll —kiL₂=0, L{ —Jc₂L₂=0, 2^—&₃L₂= 0, L,~\ 2₂=0, będą natomiast wedle wzoru (8), art 7., promieniami harmonicznemi , skoro będzie :

\    \    ^₄—^i

fcz — k₂ ' h₄ — &₂

-Al

^2

skąd otrzymujemy powyższy warunek w postaci:

.    ^4~    _A

⁺ żfc₄-^₂    '

(6)

&1&2 — 2 (^1 +^2) (^3 'b^4)+^3^4—0

11. Dalsze własności promieni harmonicznych. Warunkowi kształtu:

sin (2a) sin (dó) ’

sin (ca) sin (có)

określającemu dwie pary harmoniczne promieni (a, 6) i (c, d), możemy nadać

jeszcze inne uwagi godne postacie.

Mianowicie, bacząc na to, że : X (c£)=X () + X (a&h '2L(db)=’2^,(da)Ą-'2^(ab) otrzymamy powyższy warunek w postaci: sin (ca)

sin (2a)

0, czyli sin (ca). sin (da+a&)+sin (da) sin (ca + a&)=0.

sin (ca + ai) sin (da-\- ab)

Rozwinąwszy wskazane iloczyny, otrzymamy :

2 sin (ca) sin (da) cos (ab) + sin (ca) cos (da) sin (ab) + sin (da) cos (ca) sin (ai)=0, a podzieliwszy przez sin (ca) sin (da) sin (ia), dostajemy wzór:

cos (ca)

2 cos (ab) sin (ia)

cos (da)

sin (c?a) sin (ca)

0, a więc 2 cotg (ia)=cotg (ca) + cotg (da),

______

tang(ć»&) 2 Vtang (c*c)n tang (ccc?)/

(7)

czyli :

nowy wzór, cechujący dwie pary (a, i) i (c, 6?) promieni harmonicznych, który powiada, że : w czterech promieniach harmonicznych a, i, c, (i cotangens kąta, zawartego między promieniami jednej pary a i i, jest średnią arytmetyczną między cotangensami kątów, jakie tworzą promienie drugiej pary c i d, z jednym z promieni a, lub i pierwszej pary.

12. Dwójsieczna kąta jednej pary promieni harmonicznych. Oznaczmy przez o dwój sieczną kąta pary (cd), to warunek czterech promieni harmonicznych, podany pod (4) jako to:    = ⁰? możemy przedstawić

sin (do + oa) sin(2o+o&) ’

także w postaci następującej :

sin (co + oa)

sin (co-\-ob)

sin (co + oa) sin (c?o + o&) + sin (do-\-oa) sin (co + o&)=0.

Rozwinąwszy wskazane iloczyny, i uwzględniając, że: X.(co) = —X oc, X (qfo)=X (oc) = — X (co), (fig. 94.), otrzymujemy:

sin²(oc). cos (oa) cos (ob) — cos²(oc) sin (oa) sin (ob) — 0,

czyli :

a więc wzór :

wypowiadający nową własność promieni harmonicznych , mianowicie tą , że tangens połowy kąta, zawartego między promieniami jednej pary (c i d) jest średnią geometrycznie proporcyonalną między tangensami kątów, jakie dwójsieczna (o) tej pary tworzy z promieniami a i b drugiej par}'-.

tg²(oc)=tang (oa). tg (ob),

(8)

IB. Związki między własnościami par promieni harmonicznych i par punktów harmonicznych. Z własności par promieni harmonicznych (a, b) i (c, d), określonych wzoromi (7) i (8), dadzą się wprost wyprowadzić własności par punktów harmonicznych (A, B) i (C, D),

podane na str. 56. i 57. Skoro bowiem pęk promieni harmonicznych S(a, b, c, d) (fig. 93.), przetniemy poprzeczną prostopadłą do promienia a, natenczas otrzymamy cztery punkta

harmoniczne A, B, C, D, przyczem będzie tang (ab) —    , tang (ac) =    , tang (a d) =

Wstawiwszy te własności w wzór:

taïïipT T    »Smarny wzór :

AB

(art. 18., str. 56).

Przetnijmy natomiast pęk promieni harmonicznych S(a, b, c, d), poprzeczną, prostopadłą do dwójsiecznej O kąta (cd), (fig. 94.), natenczas otrzymamy cztery punkta harmoniczne

~ jJ>)’ wypowiadajmy znaną własność czterech punktów harmonicznych

V\A

C/

i'

dl

\Ł

7a

Fig. 93.

Fig. 94.

Fig. 95.

OA

Cc) W

tang (ob) =

OS

A, B, C, D i punkt O na dwój siecznej o, przyczem będzie: tang (oa) =

OC

tang(oc)——. Wstawiwszy te wartości w wzór (8): tg²(oc) ~ tg (oa). tg (oł>), otrzymamy

wzór OC²— OD²—OA.OB, wypowiadający znaną własność pary punktów (C, Z>), harmonicznie sprzężonej z parą punktów (A, B).

14. Konstrukcye promieni harmonicznych. Na podstawie powyżej wyprowadzonych związków między parami promieni i parami punktów harmonicznych możemy wykonać konstrukcyę promieni harmonicznych przy pomocy konstrukcyi punktów harmonicznych i nawzajem. W szczególności , mając dane trzy promienie harmoniczne a, b, c, między któ-remi promienie a i b tworzą jedną parę, znajdziemy czwarty promień harmoniczny, kreśląc poprzeczną równoległą do promienia c, która przetnie promienie a, b i c, w punktach A, B i oo (fig. 95.) ; łącząc następnie środek D odcinka AB z wiei'zcholkiem 0 danego pęku, otrzymujemy szukany czwarty promień harmoniczny d.

15.    Inwolueya par promieni, oś i eeclia inwolucyi. Jeżeli na płaszczyźnie dane są pary promieni (a, Z>), (c, d), (e, /) tego samego pęku, związane z pewnym stałym promieniem o tego pęku w ten sposób, że:

tg (oa). tg (ob) = tg (oc). tg (od)^tg (oe). tg(o f) gdzie p jest pewną liczbą stałą , natenczas powiadamy, że te pary promieni (a, &), (c, d), (e, /’) tworzą inwolucyę; stały promień o nazywamy wówczas osią inwolucyi, a stały iloczyn p cechą inwolucyi. Stosownie do tego, czy p jest liczbą dodatnią ,, + c²“, czy też ujemną „—c2W, czy zerem „0“, nazywamy inwolucyę w pierwszym przypadku inwolucyą hiperboliczną, w drugim inwolucyą eliptyczną, w trzecim inwolucyą paraboliczną. Przy inwolucyi hiperbolicznej (p=-\-c²) leżą promienie każdej pary po jednej stronie, przy eliptycznej (p=— c²), po przeciwnych stronach osi o inwolucyi, przy inwolucyi parabolicznej (p=o) wpada jeden promień każdej pary w samą oś inwolucyi.

16.    Promienie podwójne inwolucyi. Jeżeli inwolueya promieni jest hiperboliczną (p=-fc²), natenczas istnieją w tym pęku takie promienie rzeczywiste,

z których w każdym schodzą się ze sobą oba promienie pary. Takie promienie nazywamy promieniami podwójnemi inwolucyi. Oznaczmy promień podwójny inwolucyi przez p, natenczas na wyznaczenie jego otrzymujemy wzór: tg\op)—c², który daje dwa promienie pi i p₂, dla których tang(op₁)— + c, i tang (op₂) =—c, zwane także promieniami asymptotycznemi inwolucyi hiperbolicznej.

Inwolucya eliptyczna, określona cechą p — — c², nie posiada rzeczywistych promieni podwójnych. Na ich wyznaczenie otrzymujemy wzór tg²(op)=—c², który daje dwa promienie pi i p₂, dla któr^mh'tang (op₁) = c\/3ï i tang(op₂)=—cy/^I są liczbami urojonemi ; nazywamy je przeto urojonemi promieniami podwójnemi inwolucyi eliptycznej.

Inwolucya paraboliczna, określona cechą p—0, ma dwa promienie podwójne, schodzące się w jeden promień, wyznaczony wzorem tg²(op)=0, a więc tang(op)=0, wpadający w oś inwolucyi.

Promienie podwójne inwolucyi leżą więc symetrycznie względem osi

inwolucyi.

17. Z warunku tang(oa). tg(o&) = tg(oc) . tg (od) = tg²(op)—p, widzimy zarazem, że każda para promieni pęku inwolucyjnego jest harmonicznie sprzężoną z parą promieni podwójnych tego pęku inwolucyjnego.

Tę własność pęku inwolucyjnego możemy też uważać za określenie pęku inwolucyjnego ; powiadany wtedy : Dane pary promieni tworzą inwolucye jeżeli istnieje jedna para promieni, która z każdą z par danych jest harmonicznie

sprzężoną.

18. Pęk inwolucyjny o danycli promieniach podwójnych. Niech będzie daną para promieni, określona równaniami :

(«)

L-t-k.L‘ = 0, L-\-k'L'=0,

natenczas jakakolwiek inna para promieni pęku, określona równaniami:

L-\-kiL'=0, L + k'iL'=0 będzie z parą (a) harmonicznie sprzężona spełni się relacya :

(ó)

(*=1,2,3,...)

skoro wedle wzoru (6) art. 10.

(c)

kk‘—^(k-^-k¹) (ki + k‘i)-f-kjkj=0

którą, kładąc k-\-k‘ — 2«,    = możemy przedstawić pod postacią:

(ć)

kik,i—a(ki + k‘i) + b=0, (»=1, 2, 3...) zkąd otrzymujemy warunki, którym pary promieni, określone równaniami (ó), muszą uczynić zadość, aby tworzyły pęk inwolucyjny, którego promieniami podwójnemi są promienie, określone równaniami (a).

19. Wyznaczenie promieni podwójnych danego pęku inwolucyjnego.

Dwie pary promieni (Lu L₂) i (L₃, D₄) pewnego pęku wyznaczają już parę promieni, harmonicznie sprzężoną z każdą z dwu danych par, czyli wyznaczają inwolucyę. Mając bowiem dane dwie pary promieni, określone równaniami :

Tą—L-\-k^L/=0:    L-\~k₂L‘ =0, L₂:=L-\-k₂L‘=z0^ T₄eeeL-f-k^L¹=0,

otrzymamy na wyznaczenie pary, L-\-kL‘ = 0, L-\-k‘L'=0, harmonicznie sprzężonej z każdą z dwu danych par, na podstawie wzoru 6. art. 10., następujące dwa równania warunkowe :

kk¹ —(ko T- /c₄) (k -(- k‘) -f- ko kk—0,

kk‘ — £ (ki -\-k₂) (k+k¹) -f-kik₂ = 0, z których otrzymujemy:

/r/r'

^3^4

1, —Tą Tą l? —^3^4

₉    tg tj    Tą Tą_

(^3+^4) (jciJr ^2)

«= 2 a,

(Tą-pTą) i (^3 + ^4)

5 (Tą + Tą)

— 2 (Tą-j-Tą) ₌ k^jk^k^-kyk^Ą-k^ __ & (^3 d⁻ ^4 ) ~’ Où d⁻ ^2 )

— 5 (Tą-pTą)

—i(fc₃4-fc₄)

Szukane parametry 7c i Id są więc pierwiastkami równania drugiego stopnia: &² — 2«£+ó = 0, w postaci: k=a-\-\/a²—b₁ k‘ = a — Va'¹ — b, z czego wynika, że istnieje tylko jedna para promieni (k, kj harmonicznie sprzężona z dwiema danemi parami (ki, &2/) 7 (Zą, &4/) promieni jakiegokolwiek pęku.

Jest ona parą promieni rzeczywistych, gdy a²^>b (inwolucya hiperbo-liczna), parą promieni urojonych sprzężonych, gdy a²<jb (inwolucya eliptyczna), albo wreszcie parą promieni w jeden wpadający, gdy a²=b (inwolucya paraboliczna).

1,

1,

20. Trzy pary promieni pęku inwolucyjnego. Jeżeli dane są trzy pary (Li: L₂), (L?i, L₄), (L₅, jŁ₆), pęku L + ÀL‘ = 0 w postaci równań:

L^ L-j- k^ L*—0, A₂== A w k₂ L‘=0, L₂^=zL-\-k₂L'—0,

L^L+k,L'=0, L₅-LĄ-k₅L‘=0, LQ=L+kßL‘=0, to te trzy pary utworzą inwolucyę, skoro każda para będzie harmonicznie sprzężoną z pewną jedną parą LĄ-kL¹=0, L-\-k‘L'=0. W tym przypadku muszą się w myśl wzoru (c') art. 18. spełniać następujące trzy równania warunkowe :

A/j ^2—Clili'^ *■(*" ^2)    & =0j ICoJc^—Cl(Jc§ 4“ ^4) -f" & = 0?    —^(^5 “t“ "'G ) ~ł~ ^    0

o dwu niewiadomych «=5 (7b J-Æ'), b—kk‘, co (według art. 13. str. 82.) tylko wówczas możliwe, gdy będzie wyznacznik :

2,

4 5    k?> k -

6’ k₆kę

czyli (Jc\ 7ć₄) (*₃ 7c₀) (7ć₅    7j₂)    (&₂    ^3X^4 k₅)(JcC) 7^)—0.

A zatem : Trzy pary promieni ticorzą inivolucy§, jeżeli miedzy parametrami róiunań tych sześciu promieni zachodzi związek D—0.

Związek D= 0, dozwala z pięciu danych parametrów ki, k₂, /c₃, fc₄, fc₅ obrachować wartość szóstego parametru fc₀, wchodzącego weii w stopniu pierwszym , a wyznaczającego drugi promień trzeciej pary, czyli szósty promień pęku inwolucyjnego.

21. Szeregi punktów, przedstawione równaniami. Na zasadzie dwoistości są szeregi punktów i pęki promieni, podobnie jak punkt i prosta, równorzędnemi formami płaszczyzny, wzajemnie sobie odpowiadającemi i w jednakowy sposób mogą być wyprowadzone przy pomocy równań. Podobnie, jak pęk promieni przedstawia się równaniami:

L{-{-lL₂= 0, gdzie L₁EEA₁x Ą-B^y -j- Cx — 0, L₂ = A%x -f B₂y 4- C₂ =0, są równania promieni podstawowych Lt i t₂ w spółrzędnych punktu, a X dowolnym parametrem, możemy także szereg punktów przedstawić równaniem Pt J-X P₂ = 0, gdzie PjEEE-4iu -j— Pjv -J- Cj=0, P₂=A₂uĄ- B₂vĄ- C₂—0, są równaniami punktów podstawowych ł\ i P₂ w spółrzędnych prostej , a X dowolnym parametrem. Od wartości X parametru zależy położenie punktu P, a znaczenie geometryczne tego parametru określa stosunek:

PP₂ -d₂wu -j- C₂

gdzie (w₀, r₀) są spółrzędne jakiejkolwiek prostej, przez P przechodzącej (fig. 96.).

Dwie pary panktów I\ — 0, P₃= 0, I\ -f- XP₂=0, P, -j- uP₂ = 0, dają stosunek anharmo-

niczny — = k. który dla dwóch par punktów o równaniach :

A+MV=o, p₁ + ^p₂=o, p,+ fc₃p₂=o, p, + fc₄p₂= o,

&₃ — Tą Z?₄ — Tą Tą— Tą Tą— Tą

1, Æ

/)= 1, 7ć₃

1.

-k d~ +

=0,

drogą w art. 7. wskazaną, otrzymuje się w postaci: k —

niezależnej od po-

łożenia punktów podstawowych 1\ i P₂. Dwa szeregi punktów, jeden określony równaniem Pi-\-kP₂ = 0, drugi równaniem P\-\-kP‘₂=0, które dla tej samej wartości parametru k dają punkta odpowiednie, są jednokreślne

stosunek anharmoniczny czterech punktów

i?

Fig. 97.

Fig. 96.

jednego szeregu równa się stosunkowi anharmonicznemu czterech punktów odpowiednich. drugiego szeregu. W szczególności szeregi, określone równaniami: P₁-j-fcP₂=0 i P, -j- kP₂‘ — 0. które dla k = 0 dają wspólny punkt P= 0, są szeregami perspektywicznemu Dwa szeregi perspektywiczne P₁-f-fcP₂= 0, Pj-fi feP₂' = 0, (fig. 97.), mają tę własność, że proste , łączące odpowiednie punkta, przecinają się w jednym punkcie O, którego równanie brzmi P₂—P₂ ' = 0.

22. Punkt biegunowy jakiejkolwiek prostej względem układu dwóch punktów'. Mając dane dwa punkta stałe A i B i prostą dowolną LL, (fig. 98.), połączmy jakikolwiek punkt P

prostej PP' dwoma promieniami z punktami i i 5, natenczas, biorąc pod uwagę trzy promienie przez punkt P przechodzące, jakoto PA, PB i promień PD prostej L, możemy wyznaczyć czwarty promień harmoniczny PC.

Niech będą stałe punkta, dane równaniami :

PI

lL

A=Axu -(- ByV -j- Cj=0, B = A.₂u B₂v + C₂—0, dana prosta stała L niech ma spółrzędne u₀, ®₀, szukana zaś prosta PC niech ma spółrzędne {u, v). Według warunku zagadnienia ma być :

CA DA CB^DB

Fig. 98.

czyli

Axu-\- Bxv -f- Cj~ Atu{)-f- Bxv₀-|- Cj A^uĄ- P>₂v -f- C-2    A₂ u(] -f- P₂    b)

A^u Ą- B^v -f- (\ A₂u -j- B₂v -j- (\ _q

A\u₀-\- B^vo 4- Oj    A2^0-f- P₂r₀-f- C₂

= 0, zatem

— o,

fM

PZ

będzie związkiem między spółrzędnemi (u, v) szukanej prostej PC. Związek ten jest równaniem punktu, leżącego na prostej AB. Jeżeli więc wierzchołek P porusza się po prostej L, to czwarty promień harmoniczny obraca się około stałego punktu C prostej AB. Ten stały punkt nazywamy punktem biegunowym prostej L względem układu dwóch punktów stałych i i ß. (Porównaj art. 20. str. 95.).

Do tego samego punktu C dojdziemy także w sposób następujący (fig. 99.):

Fig. 99.

Mając dane punkta stałe A i B i prostą LL, połączmy najpierw jeden punkt dowolny Pprostej LL z punktami Ai B, następnie drugi P', natenczas proste PA i P'B przecinają się w punkcie M, a proste PB i P'A w punkcie M', prosta MM' przecina tedy prostą AU w punkcie C, który będzie punktem biegunowym danej prostej L.

23. Teorya punktów' harmonicznych. Teorya punktów harmonicznych, jak również teorya inwolucyi par punktów, mogą być analogicznie do teoryi promieni harmonicznych i teoryi inwolucyi par promieni, rozwinięte na podstawie równań, podobnie jak to się stało w wykładzie Y. przy pomocy spółrzędnycli punktu.

- 122 -

Tak otrzymamy analogiczne twierdzenia (str. 116. art. 10. i nast.), a mianowicie:

(1)    Dwie pary punktów P₂—0, P₂— 0 i Pi-]- kP-₂—0, P₁-f-fc'P₂=0 są harmonicznie sprzężone, jeżeli 7»⁻-{-A;' —0;

(2)    Dwie pary punktów Pi-f"AąP₂— 0, Pl-\-kiP.₂=0, P₁-f-fc₃P₂— 0, P₁-j-Är₄P₂=0 są harmonicznie sprzężone, jeżeli J>\lc% — \ (1cx + 7i₂)( A₃ 7c₄ ) -f- ^3A₄=0•

(8) Para punktów P\-\-k P₂ = 0, Px-\-k/Pi=0, jest harmonicznie sprzężoną z każdą z dwu par Pl-\-k₁P₂— 0, Pj-f- &₂P₂ —0 i P,-{- &₃P₂=0, P,-f- fc₄ P₂ = 0, skoro spełniają się równocześnie dwa równania warunkowe:

PA⁻'—^ (/.', + A₂) (A⁻-p A:') -J- A⁻₁7i₂=0, 7«A⁻'—, (7ü₃ -f- 7»:₄) (/»' -f- 7P) -j- A₃7»:₄= 0, z których na wyznaczenie k i k' otrzymuje się dwa równania 7»:+ A' = 2a, Txh' — b, czyli równanie drugiego stopnia p²—2«A:-j-& = 0, które daje 7c — «-j-V/«²—&, h' = a—\/«²—7>.

(4) Trzy pary punktów (P,, P₂), (P₃, P₄), (P₅,P₆) o równaniach:

Pi + fciP₂=0, P[-}-A₂P₂=0, P] -f- k₃P₂— 0, Pt-|-fc₄P₂==0, P,P₂= 0, Pj-j-AgP₂—0, tworzą inwolucyę (czyli są sprzężone z jakąś czwartą parą punktów podwójnych), skoro między sześciu parametrami ich równań zachodzi relacya :

*1+ *2, Aąfc2 1,    -j- Ä/₄,    &₄ — 0.

1, fc₅+fc₆, k₀k₆

Z tego wynika, że dwie pary punktów wyznaczają inwolucyę w zupełności, a dla jakiegokolwiek piątego punktu możemy wyznaczyć odpowiedni punkt szósty.

24. Własności zupełnego czworoboku i zupełnego czworokąta, dostarczają prostych sposobów konstrukcyi elementów harmonicznych i inwolucyjnych. Wyprowadzimy je równorzędnie dla czworoboku i czworokąta.

Cztery punkta Px = 0, P₂ = 0, P₃ = 0, P₄ — 0, (fig. 101.), z których żadne trzy nie leżą na tej samej prostej, tworzą figu-x⁻ę, zwaną czworokątem zupełnym. Czworokąt zupełny ma cztery wierzchołki, Pj, P₂, P₃, P₄, a sześć boków, jak P]2, (bok łączący wierzchołki P, i P₂), podobnie boki: P₁₃, P₁₄, D₂₃, Lh i P₃₄. Z tych boków nazywamy co dwa, jak P₄₂ i P₃₄, P₁₃ i P₂₄, P₁₄ i P₂₃ bokami przeciwległe mi. Punkta przecięcia się boków przeciwległych nazywamy punktami przekątnemi czworokąta zupełnego ; jest ich trzy, jak punkt przekątny Dx, przecięcie boków Li2 i P₃₄, punkt przekątny

Cztery proste L\— 0, P₂— 0, P₃ —0,

Li—0, (fig. 100.), z których żadne trzy nie przechodzą przez ten sam punkt, tworzą figurę, zwaną czworobokiem zupełnym. Czworobok zupełny ma cztery boki, P₄, P₂, P₃, P₄, a sześć wierzchołków, jak P₁₂, (punkt przecięcia się boków Lx i P₂), podobnie wierzchołki; P₁₃,

Pu, P₂₃, P₂₄ i P₃₄. Z tych wierzchołków nazywamy co dwa, jak P₁₂ i P₃₄, P₁₃ i P₂₄,

Pi₄ i P₂₃, wierzchołkami przeciw-1 egiem i. Proste, łączące pary wierzchołków przeciwległych, nazywamy przekątniami czworoboku zupełnego; jest ich trzy, jak przekątnia Dj, łącząca wierz-

De W,

Pu

Li

Dl

La__:

RŹL

/L,

Ls

D,

Fig. 100.

Fig. 101.

chołki P₁₂ i P₃₄, przekątnia P₂, łącząca wierzchołki P₁₃ i P₂₄, przekątnia Z>₃, łącząca wierzchołki P₁₄ i P₂₃.

D₂, przecięcie boków P₁₃ i P₂₄, punkt przekątny Z>₃, przecięcie boków P₁₄ i L₃.

Z powyższych równań wypływają następujące:

A 4 A-— AA -i⁻ AA—

P. — P₂— AA 4- LPq —0, p₂+p₃=AA -AA=o,

A — p₃=A 7j₄ — a A =o, A4A=AA+AA=0,

Pt — P₃ = AA 4 AA—0*

Oznaczmy przez P₄₂, PJ3, P₂₃ proste, łączące punkta przekątne Pt i P2| Ą i A? JĄ i P₃, natenczas poznamy, że punkt określony tak równaniem Pi-j-P₂=0, jakoteż równaniem AA Ąk!iJ\-=0.i leży nie tylko na prostej P₁₂, łączącej punkta przekątne Pj i P₂, lecz także na prostej Ln, łączącej wierzchołki P₄ i P₄ czworokąta zupełnego. Równanie Pt -j-P₂=0 przedstawia więc punkt przecięcia prostej P₁₂ z prostą TjH,J)i—P₂=0 punkt (P,₂, P₂₃), P₂-fP₃=0, punkt (P₂₃, A2); P₂—A = 0 punkt (P₂₃, A₄), A4A=0 prmkt (Pi3, Aa), A—A=0 punkt (Pj₃,P₂₄).

prostą

a równanie AA—AA— 0, przedstawia

Z tej tożsamości wynikają dwie następujące:

Równanie przekątni P1; przechodzącej przez punkt P₁₂, przecięcia się prostych i P₂, tudzież przez punkt P₃₄, przecięcia się prostych L₃ i 7>₄, możemy przedstawić w dwu postaciach: Tą Pj-f-ZąP₂ =0, lub AA Ą AA = 0, które będą przedstawiały tę samą linię prostą. skoro spółczynniki A, 7c₂, A, A będą tak dobrane, że wyrażenia A A4 AA i AA 4" A A będą tożsamościowe.

Oznaczmy przez T>\— 0 równanie przekątni P1} natenczas otrzymamy:

Pki Li -j- /i'2 L^ — k₃L₃ -j" A-^4“-- 0.

Z tej tożsamości wynikają, dwie następujące:

ki Li —k₃ L₃ A A A:2 7.₂,

A Li —A P₄ A A —AA*

Równanie i-jl, — AA — 0, przedstawia przechodzącą przez punkt P₁₃,

prostą , przechodzącą przez punkt P₂₄, a że oba wyrażenia AA— AA i AA—AA są tożsamościowe, przeto przedstawiają oba powyższe równania jedną i tę samą prostą, przechodzącą tak przez punkt P₁₃, jakoteż przez punkt P₂₄, a więc prostą P₁₃, P₂₄, czyli przekątnię P₂.

Oznaczmy przez P₂= 0 równanie przekątni P₂, natenczas otrzymamy:

71₂—7t‘j Lj • Ą 77₃    kj Lj AA— 0.

Podobnie znajdziemy równanie przekątni P₃, łączącej punkta PJ4 i P₂₃ w postaci:

71₃ 7ł*j Li —A Lj T?₃ L₃ —A L₂ — 0.

Równanie punktu przekątnego P₄, który jest punktem przecięcia boku P₁₂, łączącego punkta P₄ i P₂ z bokiem P₃₄, łączącym punkta P₃ i P₄, możemy przedstawić w dwóch postaciach: Z?₁P₁-f-fc₂P₂=0, lub fc₃P₃-j-fc₄P₄=0, które będą przedstawiały ten sam punkt, skoro spółczynniki ki: A, k₃, kt będą tak dobrane, że wyrażenia fc₁P₁-J-fc₂P₂ i k₃P₃ -f- ki 1\ będą tożsamościowe :

Oznaczmy przez JĄ — 0 równanie punktu przekątnego P₄, natenczas otrzymamy : Pl= ki Pi -j- k₂ / ₂ — fc₃P₃ -j- k^P^= 0.

AA—AA=AA—AP₂, ki Pt—AA⁼⁼ AA—AA*

Równanie A I\ — k₃ P₃ — 0 przedstawia punkt, leżący na prostej P₁₃, a równanie 7c₄P₄—fc₂P₂=0, punkt na prostej P₂₄, a że oba wyrażenia: AJ\—k₃P₃ i AA—A7 ₂ są tożsamościowe, przeto przedstawiają oba powyższe równania, jeden i ten sam punkt, leżący tak na prostej P₁₃, jak na prostej P₂₄, a więc punkt przecięcia się prostych Lx $ i P₂₄, czyli punkt przekątny P₂.

Oznaczmy przez P₂—0, równanie punktu przekątnego />₂, natenczas otrzymamy:

P₂ ⁼⁼ A Pj —A P₃ 7c₄ P₄ k₂ P₂ = 0,

Podobnie znajdziemy równanie punktu przekątnego P₄, jako punktu przecięcia boków P₄₄ i P₂₃, w postaci:

A⁼⁼ APi —AP₄ m A A—AA = 0.

Di + JĄ = AA4-AA= 0,

Pi — L>₂ = A A4- A P₃ = 0,

P₂ -j- P₃ = A Pj — A A⁼ 0,

P₂— P₃ - AA — k₃L₃—0,

A4- A — A A 4- AA—0»

Pi — JĄ — A A4⁻ A A = o,

Oznaczmy przez Pi2, Pi3, P₂₃ punkta przecięcia się przekątni Pt i P₂, Pj i P₃,

P₂ i P₃, natenczas poznamy, że prosta, określona tak równaniem P₁-|-P₂=0, jakoteż równaniem A 7>j AA —A przechodzi nietylko przez punkt PJ2 przecięcia się przekątni P₄ i P₂, lecz także przez punkt P₁₄, przecięcia się boków A i A czworoboku zupełnego. Równanie 71] -f- P₂— 0, przedstawia więc prostą P₁₂ 7₁₄, Pt—7)₂=0 prostą 7>₁₂ P₂₃, JĄ + Z>₃ --=0, prostą 7l₂₃P₁₂.

P₂—P₃=0, prostą P₂₃P₃₄, Pi-fP₃=0, prostą AaAs, A— A = 0, prostą P,₃ P₂₄.

Uwzględniając, że co cztery równania następujące:

D\ — 0, -D₂— 0, -Dj -j- B> —0, Dx—D.2 — 0; D.x—0, D₃—0, Z)₂ -j- D₃-—0, D₃— D₃—0; Di = 0, D₃—~ 0, Dx -f- D₃ — 0, Z)t i)₃ = 0 ;

przedstawiają dwie pary promieni harmonicznych :

przedstawiają dwie pary punktów harmonicznych ,

mamy twierdzenie następujące:

Divie przekątnie czworoboku zupełnego tworzą z dwiema prostemi, łączącemi ich punkt przecięcia z dwoma pozostałymi wierzchołkami czivoroboku, dwie pary promieni harmonicznych.

Dwa puńkta przekątne czworokąta zupełnego tworzą z dwoma punktami, przecięcia się prostej, przez nie przechodzącej, z dicoma pozostałemi bokami czworokąta, dwie pary punktów harmonicznych.

Px — 0, P₂~ o,

D₂-\- D₃ — kx Px k.) P‘2 = 0, Dl=kiPl + fc₂P₂=0, i t. d.

przedstawiają po dwie pary punktów harmonicznych ,

Uwzględniając wreszcie, że także cztery równania następujące: Li — 0,    — O;

D-2 4“ D₃ — kx Lj — /c₂ f'2 = 0,

Di = k^ Lx -f- fc₂A₂ = 0, i t. d.

przedstawiają po dwie pary promieni harmonicznych ,

mamy twierdzenie następujące:

Dwa boki czworoboku zupełnego tworzą z przekątnią przez ich wspólny wierzchołek przechodzącą i z prostoi, prowadzącą do punktu przecięcia clwu pozostałych przekątni, dwie pary promieni harmonicznych.

Dum wierzchołki czworokąta zupełnego tworzą z punktem przekątnym na ich boku położonym i z pmnktem, w którym prosta, łącząca diva inne punkta przekątne, przecina tenże bok, dwie pary punktów harmonicznych.

25. Wykreślanie promieni i punktów harmonicznych przy pomocy czworoboku względnie czworokąta zupełnego. Na podstawie powyżej wyprowadzonych własności czworoboku, względnie czworokąta, zupełnego otrzymujemy następujący sposób wykreślania czwartego promienia, lub punktu harmonicznego, do trzech danych promieni lub punktów.

Aby znaleźć czwarty punkt harmoniczny do trzech danych A, B, C, (fig. 103.), należy przyjąć dowolny punkt S zewnątrz prostej

Aby znaleźć czwarty promień harmoniczny, do danych SA, SB, SC, (fig. 102.), należy przeciąć je poprzeczną w A, B, C,

GùK x

'A D B

Fig. 102.

Fig. 103.

następnie przez C poprowadzić dowolną prostą CEF i proste AE i BF, przecinające się w punkcie G ; prosta SG będzie żądanym czwartym promieniem harmonicznym SD.

A, B, C, i połączyć go z punktami A, B, C, następnie przez C poprowadzić dowolną poprzeczną CEF i proste AE i BF, przecinające się w punkcie 6r; prosta SG przetnie ABC w żądanym punkcie D.

26. Równania trzech par elementów płaszczyzny, tworzących inwolucye.

Jeżeli P= 0, P‘=0 są równaniami pary elementów podwójnych inwolucyi, to równania trzech par elementów, tworzących inwolucyę o danych elementach podwójnych, można przedstawić w postaci:

P+Ä₂P = O, P-k₂P=o,

P+Ä₁P=0,

P-k,P=0,

Jest bowiem wtedy wyznacznik:

1, 0.

P+Ä₃P=0,

P-k?P = 0.

0- 1, O, ₂² =0.

1, 0,    3²

Kładąc PĄ-k^P*

P+k₂P' =

7^3 J-Äj ’

jako równania pierwszych elementów każdej pary :

-li=0,

^2=0,

P+ŁP

7:, -j- 7?2

J.₃=0.

, otrzymamy

Na podstawie drugiego i trzeciego podstawienia otrzymamy :

•d 2 ^3    -d-3 &2

^(7^3    7j₂)

k₃ 7^ d~ 7j₂

P\k₃-Jc₂)

•d-3

•d-2

7/j d⁻ 7ż₂    7/3 d~ 7/j

a więc

P—kxP‘=A₂,

(7^3 d-T^j)

Ą.

7% + 7Cj

ih-ih(A- Ą)-

(k₃+k₁)(k₃—k₂)

Podobnie znajdziemy Pt — k₂P‘—    ,-(A-₃—Aj)

Pi kzPi= ^    ^ (Ai A₂)

Równania drugich elementów każdej pary przedstawiają się w postaci:

-d-2 A3 — 0,

A zatem : Równania trzech par elementów, tworzących inwolucyę: możemy zawsze sprowadzić do postaci:

4 Ai —0,

■A^ -A₂ —0.

a więc :

4-o, 4 4 ~o,

4

A\ A₂=0,

4 —o,

4 ~~‘4 ⁼o,

gdzie równania, w jednej kolumnie, przedstawiają elementy jednej pary.

27. Elementy czworoboku lub czworokąta zupełnego, tworzące inwolucyę. Weźmy znowu pod rozwagę czworobok i czworokąt zupełny :

Niech będą Pj = 0, P₂=0, P₃=0, P₄=0, równaniami wierzchołków czworokąta zupełnego w spółrzędnycli prostej, natenczas przecinając dowolną poprzeczną L jego boki przeciwległe Ll2 i P₃₄, Ll3 i L₂₄, P₁₄ i L₂₃, otrzymujemy trzy pary punktów, których równania znajdziemy w sposób następujący :

Punkt (P, P₁₂), w którym przecina się poprzeczna L z bokiem P₁₂, łączącym pun-kta Pj i P₂ czworokąta zupełnego, będzie miał równanie kształtu:

Niech będą Li=0, L₂=0, L₃ = 0, L₄=0, równaniami boków czworoboku zupełnego w spółrzędnycli punktu , natenczas łącząc dowolny punkt płaszczyzny z wierzchołkami PJ2 i P?Ai P\3 i P₂₄, -P)4 i P₂3) otrzymamy ti’zy pary promieni, których równania znajdziemy w sposób następujący:

Promień PP₁₂, przechodzący przez punkt Pi2, w którym przecinają się dwa boki P\ i L₂ czworoboku zupełnego, będzie miał równanie kształtu :

P',

il d~ 2 i2-0,

gdzie spółczynnik mi2 znajdziemy z warunku, aby prosta przechodziła przez punkt P. Oznaczywszy przez L\ i I/₂, wartości , jakie otrzymują wyrażenia L, i Ll, gdy w nie za spółrzędne (x, y) bieżącego punktu, wstawimy spółrzędne (P, y‘) punktu P, otrzymamy :

JA

P‘i '

Pt +m₁₂Z>₂=0,

gdzie spółczynnik mn znajdziemy z warunku, aby punkt leżał na poprzecznej L.

Oznaczywszy przez P\ i P'₂, wartości jakie otrzymują wyrażenia 1\ i P₂, gdy w nie za spółrzędne (u, v) bieżącej prostej wstawimy spółrzędne (w', P) prostej L, otrzymamy :

mn

Tym sposobem otrzymujemy równanie promienia PP₁₂ w postaci:

L‘-Ź=°-

Na tej podstawie otrzymujemy równania trzech par promieni, łączących punkt P z trzema parami przeciwległych wierzchołków czworoboku :

Tym sposobem otrzymujemy równanie punktu (L, Ln) w postaci :

Pi

L‘

P\

P‘

0.

■i

Li

L,

TĄ L‘

= 0,

Li

L\ L\

=0,

= 0,

Na tej podstawie otrzymujemy równania trzech par punktów, w których poprzeczna L przecina trzy pary przeciwległych boków czworokąta w postaci :

Pi_ P?,

P\ P' 3

Pl

P*

P‘

P\

= 0,

= 0,

Pl

P\

= °>

L,

Li

L\

TĄ

-0,

L-2

Li

L\

L\

= 0,

= 0.

Kładąc

___

L\ ¹⁷ L\ V,

otrzymamy :

=j₃-a₂,

Li

L\

LĄ

£'i

L<i

Li

I-,

Li

Li

TA

L\

P'₄~ °’ Kładąc

,

P\ P\

p\

Pl

Pt

Pt

p\

Pl

P\ °’ P't

= 0.

p.

P‘ 1    P‘ 3

tJT-Ą

Pi

Pi

p\ p\

otrzymujemy :

Ą _ p4

P<3 P\

L₂ Li

V-L‘i

V7 = Ą—Ą •

— A y -A₃

Pi

P‘ 2    A

P*₂ P*Z ^    "^1 5

Wskutek tego sprowadzamy równania trzech par elementów, t.j. trzech par promieni, łączących dowolny punkt P płaszczyzny z trzema parami przeciwległych wierzchołków czworoboku zupełnego, lub trzech par punktów, w których dowolna prosta na płaszczyźnie przecina trzy pary przeciwległych boków czworokąta zupełnego, do postaci:

-41=0,

A.%—-4,3= 0,

gdzie równania w jednej kolumnie przedstawiają elementy jednej pary. Te trzy pary elementów tworzą więc inwolucyę (art. 26). A zatem :

Trzy pary promieni, łączące jakikolwiek punkt na płaszczyźnie, z trzema parami przeciwległych wierzchołków czworoboku zupełnego, tworzą pęk imvolucyjny.

L 2 L\

a₂—0,

A₃—Ai= 0,

-4-3—0,

Ai A.2= 0,

Trzy pary punktóic, w których jakakolwiek prosta na płaszczyźnie przecina trzy pary przeciwległych boków czworokąta zupełnego, tworzą, szereg imvolucyjny.

28. Wykreślanie pęku par promieni lub szeregu par punktów, tworzącycli inwolucyę.

Na podstawie powyższych własności czworoboku i czworokąta zupełnego otrzymujemy prosty sposób wykreślania do pięciu promieni, przecinających się w jednym punkcie, lub do pięciu punktów, leżących na jednej linii prostej, szóstego promienia, względnie szóstego punktu, który jest z niemi w inwolucyi.

Mając danych pięć promieni, a to dwie pary (a, &), (c, d) i piąty promień e o wspól-wierzcliołku, wykreślmy z dowolnego

nym

Mając danych pięć punktów, a to dwie pary (A,    i piąty punkt E na jednej

Prostej , poprowadźmy przez A dowolną

,E

/K

Fig. 104.

punktu A na promieniu a dwie poprzeczne, jako boki przeciwległe czworoboku ; jedna z nich przetnie promienie c i e w punktach C i E, a druga promień d w punkcie D,

Fig. 105.

prostą i przyjmijmy na niej dwa punkta G\H jako wierzchołki przeciwległe czworokąta; połączmy H z C a G z E, otrzymamy punkt J (trzeci wierzchołek czworokąta), połączmy

prosta DE jako trzeci bok czworoboku przetnie promień b w punkcie B, który połączony z C daje prostą CB₁ czwarty bok czworoboku, przecinający AD w punkcie F. Promień SF jest tedy szukanym szóstym promieniem / pęku inwolucyjnego.

J z B, a Q z />, to otrzymamy punkt K (czwarty punkt czworokąta), który połączony z TI przecina daną prostą w punkcie F. Punkt F jest szukanym szóstym punktem szeregu inwolucyjnego.

29. Pęki jednokreślne promieni i szeregi jednokreślue punktów. Zarówno pęk promieni jak i szereg punktów możemy przedstawić symbolicznie w postaci równania P-{-AQ=0, gdzie A jest dowolnym parametrem. W pierwszym przypadku są P i Q wyrażeniami pierwszego stopnia w spółrzędnych (x, y') bieżącego punktu, kształtu Ax-\-By-\- (7=0, w drugim zaś wyrażeniami pierwszego stopnia w spółrzędnycłi (u, v) prostej, kształtu Au-\-Bv-{- (7=0.

Przyjmijmy dowolnie dwie takie formy na płaszczyźnie, t. j. dwa pęki promieni, albo dwa szeregi punktów, albo pęk promieni i szereg punktów, określając je równaniami:

P-\-JciQ=0, P‘ -pJc'iQ¹=0,

i uważajmy elementa , odpowiadające temu samemu wskaźnikowi za odpo-wiedne, natenczas te formy nazywamy jednokreślnemi, skoro stosunek anliarmoniczny czterech elementów jednej formy będzie równy stosunkowi anharmonicznemu odpowiednich elementów drugiej formy. Warunek ten możemy przedstawić w postaci: (kik₂k₃ki)=(kiik‘₂k‘₃kl!t)^ czyli:

Z* _ Z* Z» _____    7*    Z.'    Z»/    J*i _ZJ

^3 Ki . ^4    ^1 _ K 3    ^ 1    . ^ 4    ^1

k₃—k₂ 7c₄ —    k₂    k?>‘—k'₂    ' k\ —k‘₂ ’

Z równania tego widzimy, że, znając w danych formach trzy parjr od-wiednich elementów (&1? k\): (&₂, k'₂), (k‘₃, k\) możemy dla każdego elementu kk pierwszej formy wyznaczyć odpowiedni element k\ drugiej formy.

W przypadku, gdy w dwóch formach jednokreślnych dwa odpowiednie elementa wpadają na siebie , a więc, gdy, albo (1) promień, łączący wierzchołki danych dwu pęków jednokreślnych jest odpowiedni samemu sobie , albo (2) punkt przecięcia się podstaw danych dwu szeregów jednokreślnych jest odpowiedni samemu sobie, albo (3) gdy promień pęku, jednokreślnego z danym szeregiem punktów, jest odpowiedni punktowi, w którym podstawa szeregu tenże promień przecina , wtedy formy jednokreślne stają się formami perspektywicznemi (art. 9., str. 115.). Pęki perspektywiczne F -j- ki Q — 0, F -f- JA i Q‘ = 0 przecinają się odpowiedniemi promieniami w punktach, leżących na linii prostej.

Szeregi perspektywiczne F-\- ki Q = 0, P-\- /*■'* O — 0 mają odpowiednia punkta na promieniach tego samego pęku. W pęku i szeregu perspektywicznym przechodzą promienie pęku przez odpowiędnę punkta szeregu i nawzajem punkta szeregu leżą na odpowiednich promieniach pęku.

S/

30.    Konstrukcya pęków jednokreślnych. Mając dane trzy promienie o, ó, c o wierzchołku S, a odpowiedne a', 5', c‘ o wierzchołku S‘, możemy dla każdego czwartego promienia d wyznaczyć odpowiedni d‘.

"C/\

;0

W tym celu poprowadźmy przez punkt przecięcia się A promieni a i a‘ dwie proste ABC i AB‘C\ natenczas proste BB' i CC przetną się w punkcie 0, który jest wierzchołkiem p pękli perspektywicznego z pękiem S i z pękiem S‘. Połączywszy punkt O z punktem Ü, w którym dowolny promień d przecina prostą ABC i wyznaczywszy punkt Z)', w którym proste OD przecina prostą AB'C, otrzymamy tedy prostą, łączącą punkt D' z wierzchołkiem S', jak promień d' odpowiedni promieniowi d, (fig. 106.).

Fig. 106.

31.    Konstrukcya szeregów jednokreślnych. Mając dane trzy punkta ABC na prostej l, a odpowiedne punkta A'B'C na prostej Z', możemy dla każdego czwartego punktu D wyznaczyć konstrukcyjnie odpo-

wiedni punkt D‘. W tym celu obierzmy na prostej AA/ dwa punkta S i S‘ i wyprowadźmy z punktu S proste SB i SC a z punktu S' proste S‘B‘ i S'C', natenczas pary prostych (SB, S‘B‘) i (SC, S'C‘) przecinają się w dwóch punktach M, JV, które tworzą podstawę szeregu perspektywicznego z pękiem S i z pękiem S’. Połączywszy punkt

chołku S i trzy odpowiedne punkta A, B, C na podstawie Z, możemy wyznaczyć dla dowolnego czwartego promienia d pęku S odpowiedni czwarty punkt D na podstawie Z. Rozwiązanie zagadnienia możemy bowiem sprowadzić do jednego z dwóch poprzednich, przecinając dany pęk a, b, c dowolną poprzeczną, lub, łącząc punkta danego szeregu A, B, C z dowolnym wierzchołkiem.

f/U

Fig. 107.

Cy

-C

Ćwiczenia IX.

1)    Dany jest pęk promieni («4-2y—3)-j-X(5« f-6y—2)=0; przyjąwszy dwa promienie pęku: 0>x-\-$y—5 = 0, 4«-f- Ay -j- 1=0, jako promienie podstawowe, wyrazić za ich pomocą równanie prostej 51«+6y—23 = 0, należącej również do tego pęku.

2)    Do trzech promieni pęku: 5x-\-6y—2 = 0, 7«—5y-f-3=0, 33«—14y-j-10 = 0, wyznaczyć czwarty harmoniczny, jeżeli dwa pierwsze tworzą jedną parę.

3)    Dane są trzy promienie pęku:

Lx ee llx—2y-j- 7 = 0, L₂ = 3« + 5y-6=0, L,Ą- k₂L₂=2x— 17y + 25 = 0; wyznaczyć równanie czwartego promienia , tworzącego z trzecim jedną parę , jeżeli stosunek anharmoniczny czterech promieni ma być równy %•

4)    Z pęku promieni, określonego równaniem: (5« — ly + 3) -\-\(2x-\-3y—1)=0, wybrano dwie pary, jedną określoną równaniami: ll«4-2y=0, x—13// —j— 5 = 0, drugą: 7«—Ay 4-2=0, 1 5« -|- Sy—2=0. Wyznaczyć stosunek anharmoniczny tych czterech promieni:

5)    Znaleźć stosunek anharmoniczny dwóch par prostych :

(4« + 3y—25 = 0, 3x—2y -f 11 =0) i (2x—7y + 47 =0, 10«—y-3 = 0).

6)    Dane są trzy promienie pęku: L, ^-k L₂ — 0,    L,-\-kL₂=0, L\ — À L.₂ = 0 : znaleźć

czwarty promień harmoniczny, z trzecim sprzężony.

7)    Które linie proste tworzą z trzema promieniami pęku, dowolnie w pary łączonemi : Ll(2x Ą-by—8=0), L.₂(bx-\-y—16=0), L₂(3x—4y—8=0), pęki harmoniczne.

8)    Dowieść, że między czterema prostemi, przez ten sam punkt przechodzącemi, za-

k

chodzi sześć różnych stosunków anharmonicznycli : k, 1—k, -—-zmniejsza się w przypadkach następujących: (1) gdy k = 1—k, czyli 2k-\-\    0; (2) gdy

—y , czyli fc²—2fc=0; (3) gdy = czyli k²—1 = 0; (4) gdy k=^ - , czyli k² t-}-l = 0;

(5) gdy k — — — , czyli k²—fc-j-l

w \

stosunki a e q u i a n h a r m o n i c z n e).

9)    Dowieść, że stosunek anharmoniczny czterech punktów linii prostej nie zmienia się przez ich rzuty na jakąkolwiek prostą, otrzymane z jakiegokolwiek środka rzutów.

10)    Dowieść, że dwa boki trójkąta tworzą z linią ciężkości i prostą równoległą do trzeciego boku dwie pary promieni harmonicznych.

11)    Dane są równania trzech boków trójkąta Zt= 0, Z₂=0, Z₃=0, o kątach a, ß, y; wyprowadzić równania linii prostych, któreby tworzyły pęki promieni harmonicznych, (a) w środku ciężkości z liniami ciężkości, (b) w punkcie przecięcia się wysokości z wysokościami trójkąta.

t-H i

1    k—1

l—k‘

-—. Ilość ta k

0. Mamy tedy trzy różne stosunki rzeczywiste, jak: —1, 2, (b) 0, 1, co, lub dwa urojone sprzężone, jak (c) — -f- i^

Y/3

2    (T. 3.

12)    Wyprowadzić równania pary promieni harmonicznie sprzężonych z każdą z ohu par danych: (*—2/y +11 = 0, 3sc—2y —f- 5 = 0) i (3*+2y—23 = 0, * 4- y—10 = 0).

13)    Dane są dwie pary punktów przez równania: (5«—4/' -(-1 = 0, 3« + 8« +1 = 0) i (4u -\-2v-\-l = 0, u + 20p +1 — 0) ; znaleźć ich stosunek anharmoniczny.

14)    Do trzech punktów linii prostej, danych równaniami:

I\= 7u 4- 3« + 1 = 0, I\ = 2u—bv + 1 = 0, 1\ EE 27« + 35« +1=0, znaleźć czwarty punkt harmoniczny P₄, jeżeli /j i P₂ tworzą jedną parę punktów.

15)    Na prostej dane są cztery punkta: /j(2u + 9« + 1 = 0), I\(Jyu + ?>v + 1 = 0),

P₃(6« + v    + 1 =0),    J\(9u—hv    + 1 = 0); wyznaczyć parę    punktów harmonicznie sprzężoną,

(a)    z    parami    punktów    (Pt =0, P₂ = 0)    i    (P₃ — 0,    P₄ =0) ;

(b)    z    parami    punktów    (P₄ = 0, P₃ = 0)    i    (P₂=0,    P₄=0);

(c)    z    parami    punktów    (Pt=0, I\—0)    i    (P₂=0,    P₃ = 0).

16)    Do pęku promieni, określonego równaniem: (5*—3// + 2) + +* + 2y—1) =0, należą

trzy pary promieni :

(82c+ 3«/—1 = 0, 4*— 5//+ 3=0), (10*+ 7//— 3 = 0, 7*+//=0) i (6* — y + 1 = 0, 8V,a? + 4y—1 ‘/₂ = 0) ;

dowieść, że te trzy pary tworzą inwolucyę.

17)    Jaki warunek spełniają parametry, jeżeli trzy pary promieni: (+ = 0, P₂=0), (Lt + +P₂ =0, Lj + +P₂ —0), (.+ +ä;₃P₂ = 0, P, ++P₂ = 0), tworzą inwolucyę:

18)    Dwie pary promieni pęku inwolucyjnego mają równania:

(11*—2y + 7 = 0, 4* + 5y + 3 = 0), (21* + 10:*/₂ y + 14 % = 0, 27* + 18// + 19 = 0) : jaki promień tego pęku odpowiada prostej* 19* + 8//+ 13 = 0.

19)    Z pęku promieni, określonego równaniem: (5* — 3// + 2) + +* + 2y—1) = 0, wybrano dwie pary inwolucyjne: (8* + 3y—1=0, 4*—5// + 3=0) i (10*+7//—3=0, 7*+y = 0)5 wyznaczyć promienie podwójne tej inwolucyi.

20)    Dany jest pęk promieni (5*—7 + 3) + +2* + 3//—1) = 0, z którego wybrano dwie proste: 11*+ 2y = 0, 13*+ hy—1 = 0, jako promienie podwójne pęku inwolucyjnego. Wyznaczyć promień, odpowiadający prostej 7*—4//+ 2 = 0.

21)    Zbadać , czy z szeregu punktów, określonego równaniem :

(hu—4« + 1)—+3« + 8v + 1)= 0,

wybrane trzy pary punktów:

(2u -4-14 v + 1 = 0, 3%« + 4« + 1 = 0), (4« + 2« + l=0, u — 32« —1=0), (« + 20«+l = 0, 3+₁₃ m+ 2¹²/₁₃ v + 1=0), tworzą inwolucyę.

22) Wyprowadzić równania punktów podwójnych inwolucyi, określonej dwiema pa

rami punktów :

(Pj = 2« + 9v +1 = 0, P₂=5« + 3» + l= 0), (P₃==6« + « + 1=0, P₄=9«—5« +1=0).

23)    Dane są oba punkta podwójne pewnego szeregu inwolucyjnego równaniami : 4:/gu—⁵/gV +1=0, 27« + 35«+l = 0 ; jaki punkt inwolucyi odpowiada punktowi 7«+3«+l==0,

24)    Punkta podwójne szeregu inwolucyjnego dane są równaniami: 5«+ 9«+ 1 = 0, 11 u—13« +1 = 0; jaki punkt szeregu inwolucyjnego odpowiada nieskończenie dalekiemu punktowi podstawy tego szeregu.

25)    Znaleźć parę promieni, harmonicznie sprzężonych z dwiema parami prostych :

(5* 4- 6//—3 = 0, 7*—8// +10 = 0) i (4* + 54//—45 = 0, 7* + 74//—41 = 0).

26)    Wyznaczyć promienie podwójne inwolucyi, określonej czterema promieniami:

5*—6//+ 10 = 0, 3* + 6//—1 = 0, 14*+ 12// + 7=0, 11*+ 6// +8 = 0.

27)    Znaleźć przekrój dwóch pęków perspektywicznych :

(5* + 6y—1) - +3*—2y -j- 5) = 0, (5* + 6y—1)—+4* + 3//—2)=0.

28)    Dowieść, że pęki perspektywiczne:

(2* -j- 3//—8)—+10* + 15y - 6) = 0, (2* + 3//—8)—+10* + 15// + 15) = 0. przecinają się podług prostej nieskończenie dalekiej.

29)    Dowieść, że:

a² + /;²+c², aa'+ bb + cc' I ab 2 ««'+&//+cc', re,2+ //²-r c'² I 1 « ó + c 1 b c+a = 0 ;

1 c a-\-b 111

ab c = (a—b)(b—c)(c—a) ;    (5)

a²ó²c²

(1)

(2)

(4)

(3)

a‘b‘

c'a'

«1 *2 a'i    1

b<b.ybj =-

CtV3

I 1 a² «3 1

I 1 b 2 b³ j = (ab + bc + ca) 1 1 c² c³

+ a₂«₃ aAh.la, a^b, , ;

C] a₂0₃ 0jC₂0₃ Oj«₂C₃ [

o²|

/>²:;

c²

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki i.

— 130 -

1 sin a cos a

1 sin ß cos ß = sin (a—ß) + sin (ß—y) + sin (y—a) ;

1 sin y cos y

u 1 fif₂    I ^1    ^2 I _ [    «1*1+ Û'-i J.2, j— I

^    | m^ 1    |    Tą 7j-f- Z>₂ 7₂ ,    7>2i —J—    bt^Tïl^ J    ?

1 cos y cos a

cos y 1 cos ß =1—cos² a—cos²ß—cos² y + 2 cos a cos ß cos y = cos a cos ß 1

— 4 sin

A

30)    Rozwiązać następujące równania:

(1)    3# + 4y—160 = 0, hx—8y + 100 = 0, 2x—6y + 1z + 8 = 0.

(2)    x—2y + 0=3, Qx-\-ly—32 = 1, 9a?-(-20y—02 = 5.

(3)    x—2y -(-2 = 0, 6a? + ly—32 = 1, 9a; + 20y—9z -(-7 = 0.

31)    Jeżeli spółrzęclne trójkątowe xt, x,, x₃, pewnego punktu związane są ze spółrzę-dnemi prostokątnemi x, y, tego punktu za pomocą równań: xl — ax x-\-bl y-\- c,, xi—a₂x-\-b.₂y-\-C2, *3 = «3* + b₃y-{- c₃, dowieść, że spółrzędne (x,y) wyrażają się przez spółrzędne (xllxi,x₃) za

pomocą wzorów : x

Oj bt Cj

D =    «2 ó₂ c2 ⁼Ti*i+12*2+13*3; gdzie a, ß, y, są minorami elementów a, b, c, wyznacznika D.

«3 &₃ C₃

(6)

(7)

(9)

a+ ß + y

sin

—a+ß+y

(8)

*1 !h |S₌ | *1 ² + *2²; *l*/l+ *27/2 I *12/i+*22/27 2/1 ² + 2/2²    ’

*2 Vi \

+±iSin

« + ß—r 2

«1*1 + «2*2+ «3*3 f _ ßl*l + p2*2 + ßs*3 11*1 + 12*2+13*3’ V 11*1 + 12*2 + 13*3

przyczem zachodzi związek

Rozwiązania IX. 1) [n/₂(6a;+87/—5)+⁹/n(4*+4y+l)] = 0. 2) (hx-\-6y—2)—4(7a?—5.r+ + B) = 0. 3) 3x —15 Vs 2/ + 23 = 0. 4)    = 3, *₂ = - 2, fc₃ = l, fc₄ = 5, fc₂ fc₃ fc₄)= — 2‘/₃.

5) 2a?—ly +47 ==—(4as+3y-25)+ 2(3æ—2y+ll) = 0, 10*—y—3 = (4*-p3y-25) + 2(3a;-2i/+ll)=0,

promienie harmoniczne. 6) Lj--— L₂ =0. 7) 8a;—3«/—24=0 w parze z Lj, a?—9i/==0 z L₂;

7a; + 6y— 24 = 0 z L₃. 11) (œ) 7jSin a — l₂ sin ß = 0, 7₂si;nß— 7₃siny = 0, 7₃siny—7₁sina=0, /jsina — 27₂sin ß-(-7₃siny =0, (b) Z₁cosa — Z₂cosß = 0, Z₂cosß—7₃cosy = 0, 7₃cosy—Z₁cosa = 0, \ cos a—-2 Z₂cos ß + Z₃cosy. 12) (cc—2y+ll) +\/| (3a?—2«/+ 5)=0, (x—2y+ll)—{/1 (3*—2y+5)--0. 13) 4» + 2© + 1 s * (5m-4v + 1) + \ (3u + 8» + 1), u + 20« + 1 = — (hu—4© + 1) + 2 (3w+8o+l), przeto (ĄPjP₃P₄) =- i. 14)_P₄ = (7w + 3i; + 1) + %(2u-hv + 1) - 0. 15) (a) P₄+ V⁷ 7 Pj = 0, P₁-V/7P₂=0, (Ô) Pi-tV/7 P₃=0, P₁+*V7“P₃=0, (c) Pt+P*=0, Pj-P₄=0. 16) ä* = 8, fc₂= — 1, k, = 5, fc₄ = 2, 7c₅ — 1, fc₆=3¹/₂, warunek inwolucyi 6 promieni spełniony.

-++ + %-!) = 0,

7;²

17) fctfc₂—fc+₄=0. 18) 31a? -(- 23«/ + 22 = 0. 19) Urojone: (5a;—3y + 2)-(-

(5* — 3y + 2) 4

13 _ Qi

—-—(x-\-2y—1) = 0. 20) Promienie podwójne mają parametry kl =3, /c₂=4,

O

dany promień ma parametr k?) — 1, promień szukany ma /e₄=1 v/₅ a równanie h9x-\-\{yy—2=0. 21) Tak. Odpowiednie parametry danych panktów są Ay=3, k₃—— 2, 7c₃= — 1, &₄=    k~2,

k₆=— H.22)P₁-V/ifP2 = 0, Pt + V/7 P₂=0. 23) 2m—5y + 1 = 0. 24) 8»-2©+1 = 0 (środek obu punktów podwójnych). 25) (5a? + 6//—3) + 7cj (lx—8y + 10) = 0, (5a? + 6y-S)-\-k₂(lx—8y + + 10) = 0, gdzie kx + &₂ = 0, (&i + 5) (k₂ + + + (    + + (fc₂ + |) = 0. 26) Proste urojone

00, (3)rów-

{hx — 6y + 10) + (2 + i V/2 ) (3a? + Qy — 1) = 0, 5» — 6y + 10+ (2 —i \/2 ) (3» + 6y-l) = 0. 27) x + hy — 7=0. 30) (1) x — 4, y = 5, z= 2, (2) równania sprzeczno x = y = nanie zależne,

Literatura. Bobek, Einleitung in die projectivische Geometrie der Ebene. Leipzig 1889. L. Crémona. Eléments de geometrie projective, traduite par E. Dewulf. Paris 1875. Geiser. Einleitung in die synthetische Geometrie, Leipzig 1869. J. P1 ü c k e r. Analytisch-geometrische Entwickelungen. Essen 1828. Ziembiński. Składnia wykreślna podług Reye’go. Lwów, 1877.

Tematy do rozprawek naukowych :

1)    Harmoniczne i anliarmoniczne układy czterech punktów i czterech promieni.

2)    Własności harmoniczne trójkąta.

3)    Teorya pęków jednokreślnycli o wspólnym wierzchołku.

Wykład X.

Figury płaskie prostokreślne.

1. Figury i układy. Figurą płaską w ogólności nazywamy dowolny zbiór punktów, lub prostych , leżących na jednej płaszczyźnie. Zbiór wszelkich punktów i linij prostych, jakie leżą na płaszczyźnie, nazywamy natomiast układem płaskim.

Uważając punkt (x, y) i prostą (u, v), jako najprostsze, czyli zasadnicze elementa płaszczyzny, mieliśmy w szeregu punktów najprostszy zbiór pojedynczej nieskończoności, czyli oc¹ punktów, a w pęku promieni najprostszy zbiór pojedynczej nieskończoności prostych , leżących na jednej płaszczyźnie. Układ płaski jest natomiast najprostszym zbiorem podwójnej nieskończoności czyli oo² punktów (x, y) i podwójnej nieskończoności, czyli oo² prostych {u, v), jako też tylu pęków promieni i tylu szeregów punktów. Z tego powodu nazywamy szereg punktów i pęk promieni zasadniczymi utworami płaskimi pierwszego stopnia, natomiast układ płaski zaliczamy już do zasadniczych utworów przestrzennych drugiego stopnia.

W układzie płaskim możemy przez dowolny wybór punktów i prostych, jako najprostszych elementów układu, utworzyć najrozmaitsze figury płaskie; każda z tych figur będzie miała pewne , sobie tylko właściwe własności, a między dwiema rozmaitemi figurami płaskiemi mogą znowu zachodzić najrozmaitsze związki. W obecnym wykładzie zajmiemy się najprostszymi związkami, jakim poddać możemy dwie figury, należące do jednej płaszczyzny.

2. Jednokreślność dwu figur płaskich. Przyjmijmy na płaszczyźnie dowolne dwie figury : F i 0 i przypuśćmy, że między spółrzędnemi (x, y) elementów, punktów, względnie prostych, figury U, a spółrzędnemi (£, if) elementów, t.j. punktów, względnie prostych, figury 0, odniesionych do jednego układu prostokątnego, zachodzi związek, określony następującemi równaniami :

₇    B₂y-\-C₂

^ A₃x -\-B₃y-\- C₃

_ AjX-\-B^y-\-C^

AsxJrB₃y-\-C₃

gdzie Ai, B,, (i = 1,2, 3) są pewne liczby stałe, takie jednak, że wyznacznik

A A Ci A-2 B₂ C2 a₃ B₃ C₃

możemy na podstawie powyższych wzorów wyznaczyć odpowiedni element (i, rf) figury 0. Z powyższych wzorów otrzymujemy jednak : x «il+«2</ + g3

7\ź+y-iv+’ V\+y₃ '

ma

fiC

(i)

wartość różną od zera. Dla każdego elementu (x,y) figury F

- 132

gdzie ah ß;, y,-, (i= 1

B;, a, (i=1, 2, 3),

3) są minorami elementów A

1    ct

2    ^2

A₃ 3 C₃

(fi ij) figury 0 odpowiada pewien jednoimienny element (x, y) figury F.

Każdemu równaniu pierwszego stopnia kształtu Brj-f (7=0, między spółrzędnemi (f, rf) elementu figury 0 odpowiada także równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi (x, y) jednoimiennego elementu figury F, mające

postać : (AA₁+BA₂ + CA₃)x+(ABi+BB₂+CB₃)y+(ACi+BC₂ + CC₃)*= 0.

Nawzajem, każdemu równaniu kształtu Ax-j-By A- C—0 między współrzędnemi (■x» V) elementu figury F odpowiada równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi (£, rf) jednoimiennego elementu figury 0 kształtu :

(Aai+Bßi-f Cyf)f-Ą- (Aa₂ + Bß₂ -fi Cy₂) y+ (Aa₃ + Bß₃ -fi Cyz)—Q. Równania (1) określają więc pewną zależność między elementami układów płaskich F i 0, polegającą na tern

odpowiada jeden punkt drugiego układu i nawzajem

prostej jednego układu odpowiada także jedna linia prosta w drugim układzie. Takie dwa układy płaskie, w których punkta i proste jednoznacznie sobie odpowiadają, nazywamy układami j e d n o k r e ś ln e mi.

Zapomocą wzorów (1) możemy więc do każdej figury danej

wyznacznika D = A₂

CN KIP;»;

co dowodzi, że także każdemu elementowi

że każdemu punktowi jednego układu

a zarazem każdej

na płaszczyźnie wyznaczyć nową figurę jednokreślną z pierwszą , czyli innemi słowy możemy daną figurę przekształcić na inną jednokreślną. Z tego powodu zywamy też wzory (1) ogólnemi wzorami przekształcenia jednokreśl-nego figur.

na-

zawie-

jednostkę, mamy zatem do rozporządzenia

3. Elementa, wyznaczające dwie figury jednokreślne. Wzory (1) rają w swym składzie 9 dowolnych spółczynników, z których jednak jeden n. p. Cx może być przyjęty za ośm dowolnych stosunków między temi spółczynnikami, których wartość cechuje rodzaj jednokreślności dwóch figur.

Aby wyznaczyć tych ośm parametrów należy mieć ośm warunków. Warunki te będą określone, skoro dla danych czterech elementów [xn yf), («=1,2, 3, 4) jednej figury będą wskazane odpowiednie cztery jednoimienne elementa (|f, yf), (i—1, 2, 3, 4) drugiej figury; otrzymujemy bowiem w tym przypadku z (1) ośm równań kształtu:

(A₃Xi -fiB₃y,-\- C₃) tfi AyXiA-B^yi-\-    (A,,x-,TB?y i-fi C₃)r\{— A₂Xi-\-B₂ yi-j- C₂,

które są ze względu na

spółczynniki A.,-, Bn Q (i—1,2, 3), równaniami jedno-rodnemi stopnia pierwszego i dozwalają przeto jednoznacznie wynaleźć wartości ośmiu stosunków między 9 spółczynnikami , BC-,, («'=1, 2, 3). A zatem: Jednokreślność dwóch figur jest jednoznacznie określoną,:

{a) skoro znane są cztery pary odpowiednich punktów w obu figurach, przyczem jednak trzy punkta tego samego układu nie mogą leżeć na jednej linii prostej.

(a¹) skoro znane są cztery pary odpowiednich prostych w obu figurach, przyczem jednali trzy proste tego samego układu nie mogą przechodzić przez ten sam punkt płaszczyzny.

4. Linie zbiegu dwóch figur jednokreślnych. Linią zhiegu nazywamy linię prostą z figury F, odpowiadającą nieskończenie dalekiej prostej z¹ œ w figurze jednokreślnej 0, tudzież prostą z¹ figury 0, odpowiadającą nieskończenie dalekiej prostej z figury F.

z którego wypada odwrotny związek:

y ßii+ßiV+ßz yj+y-iv+y^

Jeżeli między punktem (x, y) figury _F, figury jednokreślnej 0 zachodzi związek :

_ A\x-\-Biy-\-Ci

odpowiednim punktem (£, //)

tnrr

A₃x + B₃y + C₃

r    ^-2a? + -g2^+^2

A₃x^-B₃y + C₃

«tg+a^ + gą

yi£-ł-5V7+y₃ ⁷

natenczas widzimy z tych wzorów, że nieskończenie dalekiej prostej zm figury F odpowiada w figurze O linia prosta: y^Ą-y-^-^y-i—^i jako linia zbiegu z‘, natomiast nieskończenie dalekiej prostej z^ figury ®, odpowiada w figurze F linia prosta: A₃x + B₃y + Co =0, jako linia zbiegu z.

Mamy zatem na płaszczyźnie dwóch figur jednokreślnych F i 0, związanych równaniami (1), dwie linie zbiegu, jedną z: Ą₃x+JB₃y-{- C₃--0, odpowiadającą nieskończenie dalekiej prostej figury 0, i drugą z‘ : y^Ą-y^Ą-y^O) odpowiadającą nieskończenie dalekiej prostej figury F.

Proste równoległe, należące do układu F, przedstawiają się w układzie (Z>, jako zbiegające się w punktach prostej zbiegu z⁴: yi£-f 72*7 + 73=0, a proste równoległe figury® przedstawiają się, jako zbiegające się w punktach prostej zbiegu z: A₃xĄ-B₃y-\- C₃=0.

5. Przykład. Mech będą dane cztery punkta 4(0, 0), 5( 1, 0), 0(1, 1), 5(0, 1), należące do figury F i odpowiednie im cztery punkta 4'(0, 0), 5'(2, 1), C"(l, 2), J)‘{—1, 2), figury <l>, (fig. 108), natenczas możemy do figury F wyznaczyć figurę jednokreślną ‘fi na podstawie wzorów : (A:tx + B₃y + (7₃) 5 = Alx + Bty + Cu (4₃æ + B,y -{-(73)7)= A%x + B,y + (7₂, gdzie na wyznaczenie spółczynników An B-, C- (* = 1, 2, 8), otrzymujemy następujące cztery pary równań warunkowych: (1) Ci=0, <7₂= 0 ; (2) 2(4₃ + (7₃) = A₁, ^4₃ Cy₃ ==^4? ; (3) 4₃ +5₃ + C₃ — =4₁+5₁, 2(4₃+5₃ + O3) =A2 + 5»; (4) (B3 + C3) =—Bx , 2(B₃-\-C₃) =B₂, z których na podstawie zwykłych metod rugowania, przyjmując ć'₃ = 2, otrzymujemy A, — 8, 5,=—3, C\=0; 4₂= 4, 5₂= 6, C₂=0; 4₃=2; 5₃=1, (7₃=2. Wobec tego wzory, podające związek między spółrzę-

dnemi odpowiednich punktów (x, y) i (5, rj) dwu figur jedno-kreślnych, danemi punktami określonych, otrzymują postać: 8x—3y 2x -f- y -f- 2

z której dla każdego punktu (x. y) figury F(ABCf)..) możemy znaleźć odpowiedni punkt figury ‘I>(4'5'C"5'..). Tak n. p. otrzymujemy dla punktu P( <5, 3)5 odpowiedni punkt P'(5/7, 10/7). Na odwrót otrzymujemy z powyższych wzorów 65 + 3 rj

* ~~ -45—77)+30’ V ~ —45—77)+ 30’ wzory, podające punkta (x,y) figury F, odpowiednie punktom (5, 7)) figury ‘fi.

\R’

R,

4;

4./;+%

2x + y + 2

\ï

.. D.. ^

B’

7^1

**

jS.

Z.

—45+87)

Prostej 4 cc + By + (7 = 0 figury i*’, odpowiada na figurze

a na-

Fig. 108.

‘fi prosta (6-4—45—4(7) 5 + (34+ 85-7(7) 7) + 30 (7= 0, wzajem prostej 45+57)+(7 = 0 figury ‘fi odpowiada na figurze F prosta :

(84+ 45+ 2(7) æ—(34—65—(7) y + 2(7=0.

N. p. prostej BD(xĄ-y—1=0) odpowiada prosta 5'5'(5 + 3t)—5 = 0). Liniami zbiegu są: na figurze F prosta : 2# + «/+ 2 = 0, odpowiadająca nieskończenie dalekiej prostej figury ‘fi, a na figurze ‘fi prosta: 45+77)—30=0, odpowiadająca nieskończenie dalekiej prostej figury F.

6. Dwie figury jednokreślne z trzecią. Niech będą dane dwie figury płaskie F i <fi, jednokreślne z trzecią F', przyczem spółrzędne (cc', y‘) każdego punktu P‘ figury F' są ze spółrzędnemi (x, y) odpowiedniego punktu P figury F związane za pomocą relacyi :

A\X -\-Bxy + (7,

AoX + /+/ + C3

x'

4₂.r +5₂₋ł/ + (7?

+* +53ty + (7₃

A’

W figurach jednokreślnych jest stosunek anharmoniczny czterech promieni, wychodzących z jednego wierzchołka tej figury, równy stosunkowi anharmonicznemu czterech odpowiednich

Z tego twierdzenia wynika wprost następujące :

W figurach jednokreślnych jest stosunek anharmoniczny czterech punktóic, lezących na prostej w jednej figurze, równy stosunkowi anharmonicznemu odpowiednich punktów drugiej figury.

promieni drugiej figury.

Z tego wynika, że w figurach jednokreślnych są odpowiedne szeregi punktów, jako też odpowiedne pęki promieni z sobą jednokreślne.

p;

AA B

Fig. 109.

a ze spółrzędnemi (?, rf) odpowiedniego punktu II figury <I> za pomocą relacyi :

At^ -f-    4- i\

A3Ç + B₃r, r₃

natenczas zachodzą między spółrzędnemi (.r, «/) i (?, rj) punktów P i II, odpowiadających punktowi 1“ figury F', relacye :

AjÇ + Bjri + r,

a₃? + b₃^ + i,3

^2

A\x ~r B^y 4~ C\ __    4~ BjT] -f- 1\

A₃x -j- Bpy -j- C3    A₃? 4~ B₃t) -j- I3

A₂x -f- Bpy -f- C₂    Aą^ -|- B₂rj -j- I₂

A# -f- P32/ + £3    A₃^ -f- B₃r] -f- Tg

Ą__ _Ąt _

A A₃ ’ A A3 Z tych równań możemy spółrzędne (a?, y) wyrazić przez (5, rj) i nawzajem ; otrzymane wzory będą miały kształt (1) art. 1, będą więc cechowały jednokreślność figur I i 4>. A zatem dwie figury jednokreślne z trzecią są także z sobą jednokreślne. Wzory (2) mogą więc być uważane, jako wzory ogólne, cechujące jednokreślność dwóch figur.

czyli w skróconej formie —

A_ A₂

(2)

(20

7. Własności figur jednokreślnych. Z wzorów powyższych pod (20 wypływają następujące stosunki:

Ai

A2

A3

które prowadzą do następnego twierdzenia dwoistego : (a) Wfigurach jednokreślnych odległości każdego punktu jednej figury od trzech prostych stałych są proporcjonalne do odległości odpowiedniego punktu drugiej figury od trzech odpowiednich stałych prostych drugiej figury.

(«0 W figurach jednokreślnych odległości każdej prostej jednej figury od trzech stałych pun-któio tejże są proporcyonalne do odległości odpowiedniej prostej drugiej figury od trzech odpowiednich stałych punktów drugiej figury.

8.    Konstrukcja figur jednokreślnych. Na podstawie powyższej własności figur jednokreślnych możemy, mając dane cztery punkta jednej figury F, nie leżące na jednej linii prostej, i cztery odpowiednie punkta drugiej figury, dla każdego punktu P figury F wykreślić odpowiedni punkt P' figury d>. Łącząc bowiem którekolwiek punkta pierwszej figury z pozostałemi punktami danemi, a tak samo, łącząc odpowiednie punkta drugiej figury, otrzymujemy po trzy promienie dwóch pęków jednokreślnych, na podstawie których będziemy mogli dla każdego czwartego «. promienia jednego pęku wyznaczyć odpowiedni promień dr u- ^ giego pęku. Każdy nowy punkt P jednej figury może być uważany, jako punkt przecięcia promieni APiBP należących do pęków o dwóch różnych wierzchołkach A i B ; odpowiedni mu punkt P‘ drugiej figury będzie więc punktem przecięcia odpowiednich promieni A‘P‘ i B'P drugiej figury.

9.    Ełemcnta podwójne dwócli figur jednokreśl-nych. Elementami podwój nemi dwóch figur jednokreślnych F i 0 nazywamy elementa, które sobie samym odpowiadają. Na wyznaczenie elementów podwójnych figur jednokreślnych F i 0, których elementa związane są równaniami :

tmp

Ci

A?ix+B?>y+Co

A-<) x B* y 4 - Co

(1)

otrzymujemy, kładąc fj—x, r}=y następujące równe stosunki:

A₂x-\-B₂yĄ C₂

A\X-\-BxyCx

A o X -\- B? y -fi    _

(2)

gdzie s jest niewiadomą wartością tych równych stosunków.

Przypuszczając s jako wiadome, mamy na wyznaczenie x i y równania o dwóch niewiadomych x i y kształtu :

A t x -fi Bx y -fi Cj = sx,

(Ax-s)x + Biy+Ci= 0, A₂x + B₂y+C₂=sy, czyli    A₂x+(B₂—is)y + C₂ =0,

A₃x-\-B₃yF(Cz —s)=0,

Azx-t- B₃y -fi C₃=s,

(3)

które mogą się równocześnie tylko wówczas ostać, gdy wyznacznik rzony ze spółczynników tych równań, będzie równy zeru, t. j. gdy będzie:

utwo-

Ax — s, B

B{s)=- A2

^3 Bz

B₂ s,

_ tH    CO

O

—s

=0.

Rozwinąwszy ten wyznacznik wedle wzoru (5) str. 82. otrzymujemy :

1    Bx

2

3 ^3

Ci

Ci

C,

0^0

_    CSI CO

O O O

A₁ 0 0 A₂ s 0 A. g 0 s

O O co O O co

Bi Ct

B .₂ C₂

B , C\

B,

bi.bi.b_

-0.

T)—s(aj + /?₂ +y3)_ł"S²(/l₁ 4- B 2 + C₃)—s-’—0,

a więc :

czyli równanie stopnia trzeciego ze względu na niewiadomą s w postaci : s³—(Ax +/?₂-fi 63) s²-fi (ax + ß₂ -I-73) s — D — 0, czyli s³—Ps2jrQs — B = 0, gdzie P=4₁ -fi B₂ -fi Cg, $=0^-fi/?₂-fiy₃, a auß₂,y₃ są minorami elementów Ai:B₂,C₃,

wyznacznika D =

1    Bx Cx

₂    P ₂ C₂ .

3    ®3 ^3

Położenie elementów podwójnych, dwóch figur jednokreślnych F i 0 zależy więc od pierwiastków równania trzeciego stopnia kształtu :

s³ — Ps² -1- Qs — B=0.

Poniżej wykażemy, że wszelkie równanie trzeciego stopnia, posiada trzy pierwiastki ; opierając się na tern twierdzeniu, otrzymamy dla każdego z trzech pierwiastków sn s₂, s₃ równania D(s) =0, na podstawie równań (3), jedną parę wartości x,y, określających spółrzędne jednego punktu podwójnego obu danych figur jednokreślnych F i 0. Wobec tego dwie figury jedno-kreślne F i 0 mają w ogólności trzy punkta podwójne (xx, yx), (x₂,y₂) i (x₃, y₃), a że linia prosta, łącząca dwa punkta podwójne dwóch figur jednokreślnych przedstawia odpowiednią prostą podwójną tych figur, przeto otrzymujemy twierdzenie :

Bwie figury płaskie jednokreślne mają w ogólności trzy pary elementów podwójnych (odpowiednich, a w siebie wpadających), trzy punkta i trzy proste podwójne, czyli luspólny trójkąt, względnie trójbok.

Zanim przystąpimy do szczegółowego rozbioru możliwych kształtów trójkąta wspólnego dwom figurom jednokreślnym, zajmiemy się w krótkości równaniami wyższych stopni, a w szczególności równaniami trzeciego stopnia.

10. Ogólne uwagi o równaniu n-go stopnia o jednej niewiadomej. Stawiając warunek , aby pewne wyrażenie całkowite wymierne n-go stopnia

136 -

ze względu na pewną bliżej nieoznaczoną liczbę x, mogącą przyjmować rozmaite wartości, czyli, t. z. funkcya wymierna całkowita n-go stopnia jednej zmiennej x, kształtu: aQxn + axxn~x-\-ci%xn~'²... + an—iX+an, w którym a₀, al, a2 wistych lub urojonych, było równe zeru, otrzymujemy ogólne równanie n-go stopnia o jednej niewiadomej x, w postaci:

os₀ xn -j- ay xn—x 4- a₂xn ~² +    \X -j- an=0

Częstokroć jest dla rozważań nad ogólnemi równaniami n-go stopnia wygodniej przedstawić je w innej postaci, nie mniej ogólnej, jeżeli się przyjmie, że spółczynnik a0 jest różny od zera. Podzieliwszy tedy całe równanie przez a₀, i położywszy:

Q>n— 1

an są danemi liczbami z zakresu liczb rzeczy-

(1)

(h₌_

«o

? ⁷⁻¹

Iq,

-(*)

c2?

<h (n\

C₃,...

(ln — 1

C*-l

On

’ «0

=(- l)"c„

gdzie

hi\_n

Uvï

»(»—1) (»—2)... («—r-j-1)    /

( ” M’j

vn—r' V/

otrzymujemy nową postać ogólnego równania n-go stopnia :

( l)

71—1

+08

(e)

c?ix

którą nazwiemy postacią normalną ogólnego równania n-go stopnia. Lewą stroną równania (1), lub (2) nazywamy wielomianem równania.

Rozwiązanie równania n-go stopnia o jednej niewiadomej x wymaga wyznaczenia takich, liczb x, któreby dane równanie sprowadzały do tożsamości 0=0; takie liczby nazywamy pierwiastkami równania. Zasadniczo biorąc, należałoby najpierw zbadać, czy równanie n-go stopnia musi mieć jakiś pierwiastek, a następnie, ile pierwiastków posiada. Co się tyczy równań ogólnych w-go stopnia, ograniczymy się na razie na t. z. równaniach dwu wyrazowych n-go stopnia, a zajmiemy się szczegółowo ogólnemi równaniami drugiego i trzeciego stopnie.

11.    Równania dwuwyrazowe ü-go stopnia są to równania kształtu : a₀xn4-ora=0, lub %n—c, gdzie c może być jakąkolwiek liczbą z zakresu liczb rzeczywistych lub urojonych, ogólnego kształtu: a+bi. Rozwiązanie takiego równania dotyczy ogólnie wyszukania takich liczb x, których w-ta potęga byłaby równa danej liczbie c, przedstawiającej się ogólnie w postaci a-\-bi, a więc rzeczywistej a, gdy &=0, właściwej urojonej, (czysto urojonej), b\ZX?I, gdy a=0, albo złożonej urojonej (zespolonej, dwu-jednostkowej), a + hi, o bezwzględnej wartości |a-\-bi\ — \/a¹ -\-b²=r (art. 21. str. 5).

Symbolicznie przedstawia się szukany pierwiastek równania xn=c w postaci x==Sy aĄ-bi.

Ażeby wyznaczyć wartość tego symbolu , zastanówmy się bliżej nad teoryą działań liczbami ze-spolonemi.

12.    Przekształcenie liczby zespolonej a+bi.

Liczbę zespoloną a-\-bi, której obrazem jest punkt P na płaszczyźnie liczbowej XOY (fig. 110.), możemy

gdzie

x-

Al

/I

postaci : a-\-bi=r    ® j >

także napisać w

\/«M-ó² jest bezwzględną wartością liczby aĄ-bi.

Stosunki

jaki promień OP=r, tworzy z osią liczb rzeczywistych dodatnich , a który

Fig. 110.

i — są tu widocznie funkcyami goniometrycznemi cos i sin kąta a,

nazywamy azymutem liczby aĄ-bi, lub punktu P. Położmy zatem —=sina, to otrzymamy: a + bi=r(cos a4^sin a), przyczem a=r cos a, b=r sin a,

tg«=F

i nawzajem r=\/a²-\-b², cosa

sm a —

V/a² 4^²

= cos a,

\/a²4 b²

Liczbę zespoloną: cos a -\-i sin a, która ma bezwzględną wartość równą jednostce, oznaczamy za przykładem Żmurki symbolem 1«, czytając „jeden z obrotem au, i nazywamy jednostką kierunkową albo też charakterystyką liczby aĄ-bi, pisząc a + bi=r. la, albo też a-{-bi^=ra, (r z obrotem a). W szczególności jest l₀ = 4l, 1^ — 4^» în= — 1, 1    == — i, 12^=41? ogólnie

l2toi=4l, 1(2*+!)«*= — 1, (k = 0, 41, 42...).

lo. Suma i różnica dwu liczi) zespolonych; P₁=a \-bi, P₂=c-\-di, występują, jako nowe liczby zespolone w postaci:

S= I\ + P₂ = (a + bi)+(c -f di) = (a +c)+ (b + d)i ; B=Pi -P₂ = (a + bi)-(c-\- di)=*(a—c)+(b—d)i,

a przedstawiają się geometrycznie , jako nowe punkta S i B płaszczyzny liczbowej, które otrzymamy konstrukcyjnie w sposób następujący :

W pierwszym przypadku kreślimy (fig. 111.) z Yj prostą Pjg# 0P₂, przez co punkt S wypada, jako wierzchołek czwarty równoległoboku, którego trzy po sobie następujące wierzchołki Pt, O. P-2, dane są'przez pierwszy dodajnik Jj, punkt zerowy O i drugi dodajnik P₂, w drugim przypadku (fig. 112.) zaś kreślimy I\ P równolegle do OP₂, ale w kierunku przeciwnym do OP₂, przez co punkt B wypada, jako wierzchołek ai' ^czwarty równoległoboku, którego trzy po sobie następujące wierzchołki 1\, P₂, O, dane są przez ujemną ij, odjemnik P2 i punkt zerowy O. Bezwzględne wartości liczb J\, P₂ i <S', czyli promienie 0Pt, OP₂, OS', (fig. 111.) tworzą, ze względu na to, że PiS= OP₂, wogóle trzy boki trójkąta OPtS, a że każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwu pozostałych, a równy jej tylko wówczas, gdy dwa boki wpadają w jedną linię prostą, przeto mamy twierdzenie :

| (a -J- bi) 4 <P 4 di) | < | a 4 bi \    \c-\-di\.

T. z. Bezwzględna wartość sumy dum liczb jest mniejszą od sumy bezwzględnych ich wartości, lub co najwyżej równa tej sumie, co wówczas zachodzi, gdy dane liczby mają ten sam azymut a.

Bezwzględne wartości liczb Pu P₂, P, czyli promienie OPy, 0P₂, OB, tworzą ze względu, że PlB=P₂0, trzy boki trójkąta OPxB, a że każdy bok trójkąta jest większy, niż różnica dwu pozostałych boków, przeto mamy twierdzenie:

| (a 4 bi)—{c + di) | > | a 4 bi \ — \ r, 4 di |.

Fig. 111.

Y Pt

P,

I,

-S

s.

lU~C

cT⁻

X!

Fig. 112.

T. z. Bezwzględna wartość różnicy dwu liczb jest wogóle większa od różnicy bezwzględnych ich wartości, a co najmniej równą tej różnicy, co wówczas tylko zachodzi, gdy ujemna i odjemnik mają ten sam azymut a.

Do tych twierdzeń dojdziemy też wprost, porównując rachunkowo bezwzględne wartości dwu liczb z bezwzględną wartością ich sumy, względnie różnicy.

Skoro bowiem:

| a 4 bi | 4 i c 4    I — \/a²-\-b²-\- \/c²-\-d², | (a 4 W) 4 (c 4f^*) i =\/(«4 c)²4 (* 4°0²>

( a 4 hi | 4 | c 4 di |}² = a² 4 b² 4 c² 4 d² 4 2\/(a²4 b²) (c²4<ż²),

! (a 4 bi) 4 (c4 di) |² a² 4 b² 4 c² 4 d²Ą- 2ac 4 2bd.

Porównując te wartości, widzimy, że różnią się one wyrażeniami:

VV4*²)(c²4tf²) ¹ ac 4 hd-

przeto :

podczas gdy :

158

Ponieważ wyrażenia :

(a² -j- b²)(c² 4" d²) — «²c² -f⁻ i}l°² 4“ a²d² 4~ &²d² i (ac 4" &d)2 = ^2c'² 4" b²d² H⁻ 2abcd, obok wyrazów wspólnych mają wyrazy niewspólne: pierwszy — sumę a-d^Ą-b-c², drugi — iloczyn 2 abcd, a widocznie a²d²b²c²^>2abcd: bo (ad—be)² > 0, chyba że a:b — c:d, co by wskazywało, że liczby a 4~ i c Ą-di mają ten sam azymut ot, przeto jest w istocie:

a 4~ bi | 4- | c 4* di |,

Z drugiej strony jest

| (a 4- bi) 4- (c 4~ di) |

| (a 4- bi)-(c 4- di) \ =\/(a-c)²4- (6-d)², {| a 4- bi | — i c 4- di |}² = a² 4- b² +c² 4- d²-2\/(a²+ 6²) (c² 4- d²),

| (a 4- bi)—(c 4- di) |² = a² 4- 6² 4- c² 4- d²—2ac—2bd,

a 4- bi | — | c 4~ di \ =\/a² 4~ b²—\/ c² 4* d²,

przeto

a że, jak powyżej, \/(a² Ą-b²)(c²d²)>jtcbd, przeto jest w istocie

a 4- bi | — | c 4~ di

| (a 4- bi)—(c 4- di) \

Chcąc wyznaczyć azymut sumy, lub różnicy dwu liczb zespolonych a Ą- bi — ra c 4- di —r'a, -, otrzymujemy :

r r‘ a, = r cos a 4- i .r sin a 4- r‘ cos a' 4- i .r' sin a' —

(r cos a -{- r‘ cos a') 4- i (r sin «4~r> sin a') = S S—\/(r cos a 4- r‘ cos a')² 4~ (? sin a 4~ r< si¹¹ a<)² — \/ (a 4“ c)² 4~ (p 4* d)²

a 4~ c

s > sm tp = r sin a 4- r‘ sin a'

(1)

gdzie

COS <P =

r cos a 4- r' cos a'

r sin a 4- r‘ sin a'

tang <?

(2)

a 4- c ‘

ra~r‘«' ⁼ (r °os a—r‘ cos “0 4* * (r sin *—r> sin *0 ⁼ Rty j

r cos a 4- r' cos a'

gdzie

li —\/(r

COS

cos a— r cos a— r‘ cos a'

r‘ cos a')² 4~ (r sin «—r' sin a')² =v (a—c)² 4~ (p—d)², r sin a—r‘ sin a'

b—d

li

r sin a—r' sin a'

b—d

r cos a—r' cos a'

a—c

14. Iloczyn i iloraz dwu liczb zespolonych: Px=a-\-bi, P^=cĄ-di, występują, jako nowe liczby zespolone P i Q w postaci :

P= PjP₂= (a 4- źd)(c 4~ di) = (oc — èd) 4" i (ad 4~ óc),

Pj    a 4~    (a 4~ &*) (c—di)    ac 4- bd

c) P₂    c-f di    (c 4- di) (c—di)    c² d²    1 ” c² 4- d² ‘

Połóżmy a -f ^ f (c°s a 4* & sin a) = r , e 4~ di — r'(cos a'4~ i sin a') = r' natenczas otrzymamy w pierwszym przypadku :

ra • r‘a' ~ rr'(cos a 4- i sin a)(cos a'4* i sin a') = rr'[(cos a cos a'—sin a sin a') 4-4- i (sin a cos a' 4- cos a sin a') = rr‘ [cos (a 4“ a') 4“ * sin (a 4- *')] ra ■ r‘a‘ =    ')«+«' = P<p » wi?c P = rr', ? = « 4- P.

T. z. Bezwzględna wartość iloczynu dwu liczb zespolonych jest równa iloczynowi ich bezwzględnych wartości ; azymut iloczynu dwu liczb jest równy sumie ich azymutów.

bc—ad

zatem

Nietrudno teraz dla danych dwu liczb Pt = a 4~ bi—ra , P₂= c 4~ di=r'a, wykreślić ich iloczyn P=PiP₂. Należy tylko odciąć Od—1, połączyć PtiP₂ z 0, a nad OPt wykreślić trójkąt OPPj C\2 OAP₂, natenczas wierzchołek P przedstawi szukany iloczyn.

W razie iloczynu n czynników zespolonych (n>2), które możemy przedstawić w postaci:

Y ,P

W = ^ (cos as4- * sin «,), (s = 1, 2, .. »).

as

otrzymamy analogicznie :

(ri)at •(r2)«₂--(^)«/ł=n^"^[c°s(ai+a24--4-an)-|-*sin(a₁4-«₂4-..4-«n)], (f n)ccn— (rlr2-^n)(ai-|_ a₂-j-..-f aw) ¹

czyii (»*iL • (>-2)

“i

który to wynik nietrudno przedstawić geometrycznie. Kładąc rl=ri=...= r= 1, otrzymujemy:

i«₂-    ^«1+«₂+••+«„’

czyli (cos aj 4~ i sin a^cos a₂4~ i sin a₂).....(Cos art4-i Sin anl —

stąd

ot

— COS (aj 4~ “2 +--4" %) 4- * sin (aj 4- a₂4-..4-aw).

Fig. 113.

a stąd

(cos a i sin a)M= cos n a -f- i sin n «,

wzór znany pod nazwą wzoru Moivre’a.

W przypadku ilorazu dwu liczb zespolonych mamy :

*a _ r (cos « -j- j sin a) _ r (cos a i sin a) (cos a'—i sin a')

r'«' _

r' (cos a'-j- i sin a')

r‘ (cos a'-j- i sin a') (cos a'—i sin a')

r (cos « cos «'4~ siu « sin a') Ą- i (sin a cos a'—cos a sin a')

zatem

cos² a'-j- sin² a'

cos (a—a')    i sin (a— a')

= ~~r [cos (a — «0 + * sin (a—a )],

ra

-)

a*

a—a'

Qipi

więc

r'

T. z. Bezwzględna wartość ilorazu dwu liczb jest równa ilorazowi ich bezwzględnych icartości, azymut ilorazu jest równy różnicy azymutów dzielnej i dzielnika.

wykreślić ich iloraz

Chcąc dla danych dwu liczb Pj = a + bi — ra , P₂=c-{-di = r'

p

Q⁼ p~i należy odciąć 0.4=1 i nad O A wykreślić trójkąt Ü4PCV) OP₂Pt, natenczas wierzchołek Q przedstawi szukany iloraz.

15. Potęga liczby zespolonej: a-\-bi występuje, jako liczba zespolona, którą znajdziemy w sposób następujący:

Połóżmy a -f- bi = r (cos a -|- i sin a) = r , natenczas otrzymujemy

(a -f- bi)n— [r (cos a Ą- i sin a)]w = rw(cos a -f- i' sin a)w, a że, według wzoru Moivre’a

nowa

OT

Pa

przeto otrzymujemy :

(cos a 4-i sin *)”— cos n a -j- * sin n a,

czyli

(a -f- bi)n= [r (cos a -j- i sin a)]w= rv(cos n a -j- i sin n a),

Fig. 114.

T. z. Bezwzględna wartość n-tej potęgi danej liczby jest równa n-tej potędze bezwzględnej wartości tej liczby ; azymut n-tej potęgi danej liczby jest równy n-krotnemu azymutowi tej liczby.

Chcąc wykreślić potęgę danej liczby, należy postąpić, jak przy mnożeniu.

16. Pierwiastek liczby zespolonej. Mając wyznaczyć tya-{-bi, połóżmy

a-\- bi — r (cos a -j- i sin a) = ra, tya -{- bi =tyra = p(cos<IJ + i sin 4) = p^

natenczas będzie

zatem

czyli

'«-(P*)» czyli ra= pnnxf), on—r, = a więc p—tyr, ó — zatem tyra = (tyr)

tyr (cos a -]-i sin a) — ty v ^cos ~ 4~ & sin

T. z. Bezwzględna wartość n-go pierwiastka danej liczby jest równa n-temu pierwiastkowi z bezwzględnej wartości tej liczby ; azymut n-go pierwiastka jest równy n-tej części azymutu tej liczby.

17. Wielowartościowość w-go pierwiastka. Każdej liczbie zespolonej aĄ- bi odpowiada tylko jedna wartość bezwzględna r = ty a² -j- &²> natomiast azymut a tej liczby, określony

ma wprawdzie tylko jedną wartość w zakresie

równaniami : cos a ==

!>

— tg a = — r ⁰ a

O do 2n, ale wartość ta może być powiększona o 2kr..

(fc = 0, ±1, ±2, ... ),

nie zmieniając przez to wcale kierunku promienia OP, a tern samem położenia punktu P, odpowiadającego liczbie zespolonej abi.

-i

Wobec tego możemy azymut a liczby a-\-bi, przedstawić w postaci:

a 4-2/ot, (k=0, +1, +2,...)

a liczbę a-\-bi w postaci:

ji -,

a-p7u=r[cos («4-2Æ^;) + isin ( a 4-2/ot)] = ra+-ik Tc — ( 0, +1, + 2...)

gdzie

otrzymamy zatem :

sy a-\-bi=S/ra

4-2 kn

a + 2kn

a -j- 2/«'n . . .

cos ----p i sin

u

(* = (0, ±1, ±2...).

a więc V^a-f bi—q^, gdzie q==S/r, ip= aL^‘—K = A -p    Azymut ip pier

wiastka n-go jakiejkolwiek liczby z zakresu liczb zespolonych, może się więc różnić od w-tej części azymutu tej liczby o dowolną wielokrotność liczby

może więc pozornie przybierać nieskończenie wiele wartości kształtu :

(/j=0,+ l, + 2, ...)• Między temi wartościami jest jednak tylko w-wartości między sobą różnych, które wskazują na różne położenie szukanego pierwiastka. Mianowicie, kładąc k— 0, 1, 2, ..., n—1, otrzymujemy na ip w-różnych wartości

a « -j- 2t: a -p 4t:

a -j- 2 (n — 1)~

a -p 2nr.

. Dla k=n otrzymujemy już ip

= -^--P2tf, wartość wskazującą ten sam kierunek, co azymut ip=^-. W ogóle dla 7c=7i-Psw, gdzie h jest liczbą całkowitą z zakresu 0, 1, 2,..., n — 1, a s jakąkolwiek liczbą całkowitą , otrzymujemy :

■f2s7F, wartość, wskazu-

a-p2/br a + 2 (li + sń) n a-Ą-SJmĄ-Ssnn a-\-2hn

a-|-2 Tir.

jącą ten sam kierunek, co ip

A zatem: Pierwiastek n-ty liczby a-\-bi ma n różnych wartości, kształtu -P i sin —~^) , które otrzymamy, nadając znaczkowi k

(S/r )a~\-2kn— tyr

COS

a -p 2Ter.

loartości n liczb całkowitych, po sobie następujących, zaczynając od dowolnej liczby całkowitej, dodatnej lub ujemnej.

Pierwiastki te przedstawiają się, jako punkta równooddalone, umieszczone na kole, wykreślonem z punktu zerowego promieniem p — VV.

1S. Pierwiastki liczi), które mają bezwzględne wartości równe jednostce. Z uwagi, że wszystkie n-te pierwiastki danej liczby zespolonej mają tę samą wartość bezwzględną, wystarczy wyznaczyć pierwiastki liczb, których wartość bezwzględna równa się jednostce, a więc liczb kształtu: 1« = cos « -p i sin a =cos (a~p 2Tck) -p i sin (a -P 2Tck). Dla liczb takich otrzymujemy wzór:

S/la^Sy COS a~p i sina = )//lce4-2iOr = l«-f2iOt = COS

a -P 2kr

■-— -P i sin —⁵—

u ¹    u

Pierwiastki te przedstawiają n punktów równooddalonych, umieszczonych na kole o promieniu równym jednostce.

W szczególności otrzymujemy :

cos

2Tct:

-p i sin

2 Ter.

V/—1    ^1(2^41)^    1(2*41) te—cos

(2k -P 1)t=

(2Tc -p 1 y.

£+2 kn V+D^—C0S

¹    2 n

t(4*4-3) Ti

(Ak -j- 1)tc

(4 k -f 1>

2w

fisin 2»

(4 k + 3 )r.

y+»»

Jeżeli n jest liczbą parzystą n = 2m, wtedy jest: 2 m_^

Y/+1= l*Ä=cos — -)- i sin    ; \/—1=1

= cos

in

2m

2»

-f- i sin

(4fc + 3)k

!"

(2*4-1) 71

= cos

(2k + 1)t:

j-- i sin

(2 k + l)re

"Im

Symbol Akn przedstawia dla k — O, i k — m liczby rzeczywiste 1₀ = +1 i In —— 1,

m

a dla fc = + l, +2,.., liczby parami sprzężone:

-,    kr. ... kr: . .    kr. .. kr.

tfor= cos 1- * Sili — i 1 kn = cos * sin —.

/n

/>/

TO

Symbol l(2*₊iw przedstawia natomiast dla k — O, 1, ,..(2m—1), same liczby parami

sprzężone.

2m

A zatem : Miedzy parzystemi ‘pierwiastkami liczby dodatniej sq zawsze dwa pierwiastki rzeczywiste , jeden dodatni, drugi ujemny; inne pierwiastki są urojone, parami sprzężone. Parzyste pierwiastki liczby ujemnej są natomiast wszystkie urojone i parami sprzężone.

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą n —2m -J- 1, natenczas otrzymujemy:

2to+1

V/+Î = hkn ⁼

2m+l

cos

2 kr.

2 m -j-1

j- i sin

2 kr.

2 m -j-1

2to + 1

V/=ï = l

= cos

(2 k +l)re

(2k 4-1)tc

j- i sin

(2*-)-l) n 2ra+l

Symbol l2kn przedstawia dla k — O, jednostkę rzeczywistą dodatnią 1₀ = -f-1, a dla 2m+l

k =+ 1, +2... + s, liczby parami sprzężone: 1

2 m -f-1

2 m -j-1

2 sn

2Y+Ï

Symbol l(₂t+i)7t przedstawia natomiast dla k—m jednostkę rzeczywistą ujemną in——1,

2»n-f i

zaś dla 2k -f- 1 =+ 1, +3,...+ (2s -j- 1), liczby urojone parami sprzężone i^n+\)n i 1

2ra+l

2.V.T 2TO+Ü

(2ts-f-i)n' 2to+1

A zatem : Między nieparzystemi pierwiastkami liczby dodatniej jest jeden rzeczywisty dodatni, miedzy nieparzystemi pierwiastkami liczby ujemnej jest zawsze jeden rzeczywisty ujemny ; wszystkie inne są zespolone i parami sprzężone.

Przykłady: (1)    \/Ą.\=-.\kn ma dwie wartości rzeczywiste 1₀ = -j-1, 1 n = —1 ;

ma dwie wartości urojone: 1 n — i: 1-^ =—i.

(2) V/-1 = 1

(2*4-1)tt

(B) v/+l — ^u-n ma trzy pierwiastki: jeden rzeczywisty : l₀ = -j-l, dwa sprzężone:

YT

₁    2r ... 2r.    1 . . \/3

¹2n — cos g + ¹ Sln -g- —~ 2    * ~2

Y

(4) \/^ï = l

1 2n __

cos

“i u

— i sin

2 r.

ir~ 2

VT

(2*4-1)71

ma trzy pierwiastki: jeden rzeczywisty ln——1, a dwa sprzężone:

K =cos

ii , . . r. 1 . .YB + lsa„ _    +»    i

= cos

V/B

(5) i/+1 = \.lkn = lkJl ma cztery wartości: dwie rzeczywiste: l₀ = -{-l. 1 n = — 1,

a dwie urojone ln= -j- i , 1

(6) V -1 = 1

(2*4-1) n

ma wszystkie cztery wartości urojone, parami sprzężone:

^ = 008

TC .    .    . TC

T + *8inT

Y/2

Y/2

3tc

2"+» V’

Y/2⁻    . Y/2

■.—g--rï_TT

—TT

= CO S

TC    . . TC

i--1 sin —

4    4

Y/2⁻ .Y/2

2 * 2 ’

1 cos X + * sin ““

4

19. Pierwiastki jednostki dodatniej. Wzór :

V/+¹=rl2feîi⁼⁼

1    37î = COS

3tc

—i sin

V/2    ,\/2

2 * ^2~'

. . . 2/ctc

cos-------h *■ sin —,

n    n

ikr.

podający dla » po sobie następujący cli całkowitych wartości k wszystkie »-te pierwiastki jednostki dodatniej, daje się także przedstawić w postaci:

\y+i=

z której wypływa, że wszystkie »-te pierwiastki jednostki dodatniej występują jako potęgi jednego pierwiastka, a mianowicie pierwiastka:

2tc

2tc

a% =1 o_= cos--1- i sin — = tu,

Zn n    n

są więc kolejno kształtu : w, w², w³, ... w”.

Zbadajmy, czy oprócz pierwiastka w=l2jI istnieje jeszcze inny pierwiastek , którego

n

potęgi dałyby wszystkie »-te pierwiastki jednostki dodatniej. Przypuśćmy, że takim pierwiastkiem jest a?₄=l2wr. Jakakolwiek całkowita n. p. k-ta potęga tego pierwiastka przed

stawia się w postaci: (*,)* = ^l2ł)ty = ^1^

sk

Niech będzie —— =q-\-—, czyli sk = nq -[ », gdzie », jako reszta ze względu na dzielnik », może być tylko jedną z liczb O, 1, 2,..»—1, natenczas otrzymujemy:

^2(*ię -f-r)7c    ‘ ^2r»    ^2to’

w    n    n

Stąd widzimy, że (xa)k = l2r7r będzie tylko wtedy przedstawiać wszystkie »-te pier

wiastki jednostki dodatniej, skoro reszta », powstała z dzielenia sk przez », ze zmianą k zdolna jest przyjąć wszystkie wartości całkowite z szeregu O, 1, 2, ... (»—1).

20. Przyjmijmy, że liczby s i » są , jak 1 i », liczbami względem siebie pierwszemi (nie mającemi prócz 1 żadnego wspólnego podzielnika), natenczas poznamy łatwo, że w tym przypadku reszty », powstałe z dzielenia wielokrotności sk przez liczbę », gdy k przyjmuje »-wartości po sobie następujących O, 1, 2, .. [n—1), będą w istocie wszystkie między sobą różne. Gdyby bowiem dla dwóch różnych k od » mniejszych, n. p. i k? były reszty », i »2 równe », tedy byłoby skl = nql-\-r; sk.₂= nq₂-\- », a więc

s(kj— k₂)

s(fct—Ä?₂) = ^ (<7i —9,2)? a zatem iloraz

musiałby być liczbą całkowitą , co jest niemożliwe, skoro liczby s i » są względem siebie pierwsze, a różnica kx—mniejsza od». Wszystkie reszty », otrzymane z dzielenia sk przez », gdy k przyjmuje wartości od O do (»—1), muszą więc być między sobą różne, a że tych reszt jest», a każda musi być mniejsza od», przeto muszą się one bez względu na porządek zgadzać z liczbami O, 1, 2, .. »—1.

A zatem : Każdy n-ty pierwiastek jednostki dodatniej kształtu ccs=l

w którym s i n są

liczbami względem siebie 'pierwszemi, podniesiony do n po sobie następujących potęg całkowitych daje wszystkie n-te pierwiastki jednostki dodatniej.

Każdy taki pierwiastek nazywamy pierwotnym »-tym pierwiastkiem jednostki. Przyjmijmy teraz, że liczby si» mają pewien wspólny podzielnik, a więc nie są liczbami

względem siebie pierwszemi, natenczas ułamek —, po skróceniu przez największy spoiny

gdzie już u i v będą liczbami względem siebie pierwszemi,

podzielnik, otrzymuje postać

a sam pierwiastek x$— l2wr będzie miał kształt xg == l2<wr. Jego potęgi a?CT°, xg\ xa², .. a?*'—:i,

w    *>

będą wedle poprzedniego wszystkie między sobą różne i stanowią ogół pierwiastków równania xv—1= 0, są jednak tylko częścią ogółu pierwiastków, a mianowicie v pierwiastkami równania xn—l= 0. A więc w przypadku, gdy sin nie są liczbami względem siebie pierw-szemi, nie jest rzeczą możliwą za pomocą potęgi pierwiastka xs=l n-te pierwiastki jednostki.

Pierwotnymi n-tymi pierwiastkami jednostki dodatniej są więc tylko takie pierwiastki kształtu x== 12m, w których ,9 i n są liczbami względem siebie pierwszemi.

2 ns

otrzymać wszystkie

A zatem : Ilość pierwotnych n-tych pierwiastków jednostki dodatniej jest równa ilości liczb pierwszych względem n, a od n mniejszych.

21. Ilość liczb pierwszych względem n, a od n mniejszych. Jeżeli n jest liczbą bezwzględnie pierwszą (nie mającą prócz siebie i 1 żadnych podzielników), natenczas wszystkie liczby od n mniejsze są pierwszemi względem n, istnieje więc tedy w tym razie dokładnie (n—1) pierwotnych pierwiastków. Istnieje więc pierwotnych 2-gicli pierwiastków jednostki jeden, trzecich dwa, piątych cztery, siódmych sześć i t. d.

Jeżeli n jest liczbą złożoną , która rozłożona na czynniki pierwsze przedstawia się w postaci n — aab^cy...    natenczas, szukając między liczbami 1, 2, 3,.. {n—1) liczb pierwszych

względem w, których ilość oznaczmy przez a(n), musimy naprzód wyłączyć

liczb przez a

—(a—1) liczb, niepodzielnych przez a, z których

podzielnych , pozostanie tedy n—— czyli należy znowu wyłączyć liczby przez & podzielne, a tych będzie między —(a—1) liczbami

—j-{a—1), jDOzostanie więc z n liczb jeszcze —(a —1)--~r(a—1) czyli ~—r-(a—1 )(b—1)

CIO    Ct    eto    CIO

liczb, które ani przez a ani przez b nie są podzielne. Wyłączając w ten sposób pozostałe

jeszcze wielokrotności dalszych czynników pierwszych c,.., I liczby n: otrzymamy szukaną

ilość liczb pierwszych względem n i od n mniejszych w postaci :

!)(*—l)(c—1)-0—O-

? 00 =

N. p. 360 = 2³3²5¹ ma »(360)

3G0

(2—1)(3—1)(5—1) =12.1.2.4 — 96, czyli w szeregu

2.3.5

naturalnym liczb od 1 do 360 istnieje 96 liczb pierwszych względem 360.

22. Wielokąty umiarowe. Rozwiązywanie równań dwuwyrazowycłi jest ściśle związane z zagadnieniem geometrycznem podziału koła na równe części. Jeżeli obwód koła podzielimy na równe części , a punkta podziału po kolei ze sobą połączymy, natenczas otrzymujemy wielokąt umiarowy, który nazywamy wielokątem wypukłym umiarowym. Jeżeli zaś otrzymane punkta podziału połączymy nie po kolei, ale tak, że, opuszczając pewną stałą ilość punktów podziałów, przejdziemy w końcu przez wszystkie te punkta, natenczas otrzymamy wielokąt również umiarowy, który nazywamy jednak wielokątem umiarowym gwiaździstym.

Podział koła o promieniu 1 na n równych części zależy od równania xn—1=0. Równanie to ma n pierwiastków kształtu:

1 ïkjl

2Jm

2 Im

■f-i sin

(£=0, 1, 2.. w —1).

Każdy z nich ma wartość bezwzględną równą 1, azymuty zaś kolejno

równe liczbom 0,    ,    , .

H    fl    U

któw podziału koła o promieniu 1 na w-równych części. Pierwiastki sprzężone Xk i’ #„_*=£_*, wskazują na punkta symetrycznie ułożone względem średnicy

cos

2 71    4:71

2(n — 1)ti    .    ,    .    . j

.. —>-— a więc wskazuje na jeden z w-pun-

koła, przez punkt #₀=1 przechodzącej ; przy nieparzystem n istnieje takich

par

n—1    ,    ,n—2

------i przy parzystem n, zas ■    .

Łącząc po kolei punkta, przedstawiające n pierwiastków równania xn—1=0, otrzymujemy n-kąt umiarowy wypukły, którego bok

■i h    2tc

\ 1—cos —

“²V-2 — = V

2n

2 — 2 cos

sn=2 sin

Jeżeli zaś powyższe punkta podziału połączymy tak, że prosta je łącząca obejmie s odstępów, a więc opuścimy przy łączeniu s—1 punktów, natenczas w przypadku, gdy s i n mają największy wspólny podzielnik p, otrzymamy

wielokąt gwiaździsty, który będzie miał tylko — boków i obiegnie okrąg koła

P

s

razy. Ażeby więc wielokąt gwiaździsty miał n boków, musiałoby być

p

p — 1, czyli liczby s in musiałyby być liczbami względem siebie pierwszemi.

W tym też razie otrzymamy w-kąt gwiaździsty, którego obwód obiegać będzie s razy obwód koła. Bok Sn takiego wielokąta gwiaździstego będzie wyznaczony wzorem :

Sn — 2 sin

“==2 y

n f

2 siz

—cos —

=--V

2sn

2—2 cos--

Taki sam wielokąt otrzymamy, biorąc kolejno po n—s odstępów między punktami podziału.

A zatem : Każdy pierwotny pierwiastek równania xn—1=0 odpowiada jednemu n-kątowi umiarowemu ; dwom pierwotnym pierwiastkom sprzężonym odpoiviada ten sam n-kąt umiarowy. Ilość możliwych n-kątów umiarowych jest zatem równa połowie pierwotnych pierwiastków równania xn—1=0, czyli połowie ilości liczb pierwszych względem n: a od n mniejszych. Istnieje więc jeden n-kąt

umiarowy wypukły, a

Xi

— 1 umiarowych n-kątów gwia-

S1

ździstych.

23. Przykłady.

(a) Trójkąty umiarowe. Mamy tu n — 3, gp(3)=2 ; Równanie x?>—1=0 ma dwa pierwotne pierwiastki:

l —_i/ i. i    i i/

istnieje zatem jeden trójkąt umiarowy, zwany trójkątem równobocznym, fig. 115. Bok takiego trójkąta, wpisanego w koło o promieniu =1, ma długość

s3 = V/ä

(ó) Czworokąty umiarowa. Mamy tu w=4, <p(4)=2, X; równanie xk—1=0 ma dwa pierwotne pierwiastki:

lyr —ij 1 3tt = h ¥    ~T

istnieje zatem jeden tylko czworokąt umiarowy, zwany kwadratem, fig. 11(1, a bok jego s₄ = y/2.

Fig. 115.

Fig. 116.

!Xo

(c) Pięciokąty umiarowe. Mamy tu n=5, cp(5)=4; równanie x⁵—1=0

ką,ty umiarowe, jeden wypukły (fig. 117) o boku s₅ =2 sin ~=2 sin36°, drugi

O

tyjr

gwiaździsty (fig. 118), o boku S₅ =2 sin —-=2 sin 72°.

O

ma

4 71

4:71

lł/t — cos —- -Msin —

y ⁵    5

istnieją zatem dwa pięcio

Xd

Xi

Xł

ii1

JlJI

1X0

Xo

L-J

%>

Xî\

x*

Xï

Xi

Xs

Fig. 117.

Fig. 118.

Fig. 119.

(d) Sześciokąty umiarowe. Mamy tu w=6, <p(6)=2; równanie a:⁶ —1=0

ł/W

ma tylko dwa pierwotne pierwiastki: ln = — i/₂ + i~~, l—n =— i/₂—

jest więc tylko jeden sześciokąt umiarowy (fig. 119), którego bok

=2sin-^-b

(c) Siedmiokąty umiarowe. Mamy tu n=7, <p(7)=6; równanie a:⁷—1=0 ma 6 pierwiastków pierwotnych, istnieją zatem trzy siedmiokąty umiarowe:

V/3

⁵6

= 2 sin 30°=1.

X.

Xi

X;

-/—Z

Xo

6Ł

|X?

XÏ

Xt

/Xe

x₆

Xs

X°

Fig. 120.

jeden wypukły o boku s₇=2sin-$₇ =2 sin ~n

Fig. 122.

Fig. 121.

(fig. 120), a dwa gwiaździste : jeden o boku

3tt

ÿ—, (fig. 121), drugi o boku $'₇ =2 sin—^—, (fig. 122).

(f) Ośmiokąty umiarowe. Mamy tu n=8, <50(8)=4 ; równanie x⁸—1=0

zatem tylko dwa ośmiokąty umiarowe, jeden wypukły (fig. 123) o boku

ma

I371

Y/2

istnieją

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

10

- 146 -

Ss

= 2 sin 7c-=\2—2cos~=V^2 \/2 ? drugi gwiaździsty (fig. 124.) o boku

o ^    4

F-*

Ze

I«

X4

X₀

X.i

X?

Fig. 124.

==2 sin^p =^2—2 cos ^ = \/2 4- Y/2 •

Fig. 123.

Ss

Podobnie można wyznaczyć rodzaje i boki wielokąta umiarowego o dowolnej danej ilości wierzchołków.

f

Ćwiczenia X.

1) Wyznaczyć czworokąty związane z kwadratem .4(0,0), J3(l,0), 0(1,1), Z>(0,1), za pomocą następujących wzorów jednokreślności :

2æ + 3«/ + 1

x + 2y 4- 3

y—i

3x -\-2y    1

3^ + 2«/+ 1 ’ «+y—1

*4 y + i

{d) ^—x-\-y,    73 = a;—y.

»4-y4-!

2)    Wyprowadzić wzory jednokreślnego przekształcenia dwu figur płaskich F i <I>, jeżeli punktom (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), figury F odpowiadają punkta (0, 0), (J, 5)5 (!) 0), (4 » —4), figury ‘1>.

3)    Znaleźć linie zbiegu z i z' figur jednokreślnych , podanych w zag. 2).

4)    Wyznaczyć punkta podwójne tychże figur.

5)    Znaleźć punkta podwójne figur jednokreślnych, związanych wzorami:

(1) ?

2x—3y 4* 3

3x—3y + 2

3x —3 y 2

6j Dowieść, że: (a) 3 + 4*=5y, gdzie <p°=53°7'48", (6)3-4t = 5-y. (<D 5iL+2iL4-4iL4-3₂^ = (ll-334...)a, gdzie « = 68°0'48-9".

6    4    2

7) Wykazać ₃ że : (1) au-\-ba-\- ca= (a + b + r)« 5 (²) ®« 4“ ^ 4- i?

-ß —V/«² 4^²4" c²4-2aócos(a—ß) 4~26c cos(3—y) -j-2cacos (y— a) ; a sin a 4-b sin ß 4~ c sin y a cos »4" & cosß-|- ccosy ’

r = Y/a²4- ó²—2aó cos (a—ß) , tang©

tang © =

(6)

(9) a„—a

—a

gdzie :

(³) aa-iß = aa+K+ßt=sirvi Sdzie a sin a -f- b sin ß _ a cos a — ócos ß ’

(4) cta.bß.cy = (abc)a + ß+y-,

; (6) (««)n = («”)««; (7)    (\7«")a • (9) aw + «_a=2acosa,

= 2aźsina; (10) au.a_u= a²;    (11)    : a_a = l2rt=cos2a-f * sin2a.

8) Z prawidła działań liczbami kształtu aa wyprowadzić prawidła znaków w działaniach liczbami dodatniemi i ujemnemi, jako to:

(1)    (4- «) 4- (4-⁶) = 4- (« 4- ⁶)> (4- «) 4- (— = 4- («—C)

(2)    (4- a) — (4- b) — 4- (a — b), (+ a) —(— b) = -\- (a-\-b),

(3)    (+a) . (+ &) = + ab ; (+ «) .(—b)=— ab, (—«).(—b) = -f- ab,

(4)    (+«):(Ą-b) = -f-—; (+«):(—&)=—&) = + -^-.

(9) Jeżeli x=a + bi , y—a'-\-b‘i, a utworzymy liczby z niemi sprzężone cc' = a — ii, y' = ci' — b'i, dowieść, że także liczby: (1)    a:'-}-;y',    (2)« — y, x‘—y‘, (3) xy, x'y‘

—- są parami sprzężone.

(4) * //

y‘

10) Przedstawić w postaci liczb zespolonych następujące wyrażenia:

(1)    +i V/|V^a>}®, (2) T0,łł{-l+V'^+*V/10+2V/'5}⁴,

69 + i \Z~3~— 6i \/~5~ — 7Y/Î5 8-iV/3 + 9JV/5    ’

ro©-©’-

11) Wyznaczyć następujące pierwiastki w postaci liczb zespolonych:

(3)

(5)

+*v

m — iy/ n 1-H , 1— i

1+2»^!—2*

; (6)

; (4)

+*v

2 + 86»    7— 26i

6+8i ⁺ 3—4» ⁵

(1) V6 + iY/l3; (2)    (3) V/4«& + 2(«²-6²)*;

(4) V/l+2aiV/^=3; (5) Y/+Î, (6) V/=l.

12)    Rozwiązać równania: (1) x² = 8 + 6f; (2) xi= —119 + 120».

13)    Jeżeli w jest pierwotnym »-tym pierwiastkiem jednostki dodatniej, dowieść, że 1 + to —to ² to³ —J— ... -j- a^n-i — 0.

14)    Podać wszystkie pierwiastki równania: xG—a⁶ = 0.

15)    Jeżeli co jest pierwotnym trzecim pierwiastkiem jednostki dodatniej (+1), do-(a) æ³ + y³ + 2³—3xyz=(x-\-y p z) (x + my + toV)(a?-{- w²*/“l" MZ)i

(b) (a? + toy + toV)³ + (a: + to hj + mz)³ = (2x—y—z)(2y — x—z) (2z—x—y).

16)    Jeżeli \^x + yi = a + ß» , dowieść, że 4(a²—ß²) = — + -f-.

a p

17)    Oznaczając przez sn bok, przez wn obwód, a przez Fn powierzchnię umiarowego »-kąta wypukłego, wpisanego w koło o promieniu r, dowieść, że:

(1) Sz=rV3, «3 = 3rV/3‘, -^3 = ? r²V/3;    (2) s₄ = rV/2 , »₄ = 4rV/2, F₄=2r²;

rV2-\/2; u^8rV 2 — y/2 ,    Fs=2r²\/^:

_ . 7C    ^    ä    _    »r² . 2jc

(7) s — 2» sin — , » = 2»r sin — ; Fn—~ sin —. n    n n    n    2    »

Rozwiązania X. 1) (a) .4(8, 1), P(l, }), 0(1, 1), D(| , ^) ; (6) A(l, —1), B(0, — J), 0(0,0), D{-\, 0); (c) A(oo,oo), P(-2,0), 0(0,1), X>(—1,0); (d) A{0,0), B(l, 1), 0(2,0), 71(1,-1).

3V/‘) ~⁴), ą(?-±W, -3V/|1-). 5) (1) P,(1,0), Ą(0, 1), Ą(-l, 0), (2) Pj(0, 0), P₂(l, 3), P₃(0, 1). 8) Wskazówka: + a = a2jt, —a — an. 10) (1) a; (2) 1 ;

(4)2 + (V^-4VT)< (5)|; (6)8; (7)

(3) + {(« + ») +(«-»)<}; (4) i(« + il^l); (5) ± (i + i y);

y). 12) (1) + (₃ + *•), (2) +(3 + 2*), ±(2-3.:). 14) «,

1..V8    ,    1 , VÎT

-■2+’^-> "-T +!"2~

Literatura. Bourdon. Application de l’Algèbre à la Geometrie, 7-e édition revue par M. Darboux. Paris 1872. Poncelet. Traité des propriétés de figures. 2-e édition. Paris 1865—1866. Poncelet. Application d’Analyse et de Geometrie, qui ont servi de principal fondement au Traité de propriétés projectives de figures. 2 vol. Paris 1862—1864. W. Zajączkowski. Zasady algebry wyższej. Lwów, 1884.

wieść, że :

(3) s₆ = r, u₆ = Gr, F₆ = %r²    ;    (4)

x — y

* + y + i’ *

Pi

(3)

2(m²—n)

m² n

(2) ±5(3 + 4.-);

(6) ±(i

gdzie w =

ss —

-? + *)

2?—2

(8) x+y + 1 = 0, Ç = l, (4) Pi(0, 0),

Spq(p²—q²)

^2_J_g2

i. 11) (1) ±

V/13 +*

V/ 2    ’

— a, too, w 'a, oj²«, w'²«,

Tematy do rozprawek naukoivych :

1.    Teorya jednokreślności figur płaskich na podstawie spółrzędnych trójkątowych.

2.    Teorya działań liczbami kierunkowemi.

3.    Równania dwuwyrazowe w związku z teorya wielokątów umiarowych.

Wykład XI.

Elementarne konstrukcye wielokątów umiarowych.

1.    Pojęcie elementarnych konstrukcyj geometrycznych łączy się z kon-strukcyą geometryczną pierwiastków równania stopnia drugiego a w ogólności z konstrukcyą wyrażeń, złożonych z samych pierwiastków kwadratowych. Zanim przystąpimy do zbadania, czy i które wielokąty umiarowe dadzą się wykreślić przy pomocy elementarnych konstrukcyj geometrycznych przypomnijmy sobie teoryę równań stopnia drugiego o jednej niewiadomej.

2.    Ogólne równanie drugiego stopnia. Zagadnienie, o które tu chodzi, dotyczy pytania, czy istnieją takie wartości zmiennej x, aby za ich wprowadzeniem ogólna funkcya wymierna całkowita drugiego stopnia: a₀x² -\-axx-\-a^ stawała się zerem. Pytanie to prowadzi do ogólnego równania drugiego stopnia: er₀x² -j- axoc -j- ee₂ = 0, które sprowadzamy do

(1)

<*1=

«0

postaci normalnej cc²—2<ą x -}- c*₂ = 0, gdzie 2cx=— —

(2)

Trójmian tego równania możemy przedstawić także w następującej postaci: a;²— 2cxx-\- c%—(x²—2qx -f- ą²)—(ą²—c₂), a więc x²—2cxx -f- c₂ — (x—Cj)²—( \Zcx ²— c₂)², a więc: æ²—2cxx -f- c₂ =■ [as—cf-f- y/cj²—c₂].[as—cx — \/cA²—c₂]

Trójmian drugiego stopnia: x²—2cxx-\-ci daje się więc tą drogą rozłożyć także na dwa czynniki stopnia pierwszego, staje się więc zerem, gdy którykolwiek z tych czynników będzie równym zeru. Eównanie x²—2cxx -f- c₂ =0, ma zatem dwa pierwiastki kształtu

xx = cx + Vcx ²—Cj, as₂ = cx — [/ cx ²— c₂

(3)

Pierwiastki te są oba rzeczywiste i różne, gdy cx ²—c₂ >0, oba urojone sprzężone, gdy cx²—c₂<.0, a oba jednakowe, gdy q²—c₂=0.

Wyrażenie cx²—c₂, od którego zależy rodzaj pierwiastków równania x²—2ctx -J- c₂ = 0, nazywamy wyróżnikiem (dy skry minan tern) funkcyi as²—2 etas -f- c₂.

^ «2

Uwględniając , że (ą= — ⁰¹

2 «o

'2

«o

otrzymujemy pierwiastki równania:

rz₀ac² -p «i as -f- a₂ = 0,

w postaci :

CTi

<h ■ -i I _ «2

2«₀ V 4a²₀ «o

_«1__1 / «²1__®2_ .

2a₀ y 4«²q «q

(4)

—ax-\-v a\ — 4 a₀ (ą

—«i — y/a\ — 4 a₀«₂

2 «o

gdzie znowu wyrażenie «²j — 4r/₀<*₂ nazywamy wyróżnikiem funkcyi «₀as²-faxx-\-ai9 a zarazem mamy twierdzenie: tvszelkie równanie drugiego stopnia ma dwa i tylko dwa pierwiastki, które dają sie wyrazić przez jego spółczynniki za pomocą pierwiastka kwadratowego.

S. Szczególne wartości pierwiastków ogólnego równania drugiego stopnia. Przyjmując spółczynniki «₀, ax,a₂ jako liczby rzeczywiste, otrzymujemy następujące przypadki szczególne ;

(1)    Jeżeli a₂=0, natenczas równanie ma kształt a^x² axx~0, a jego pierwiastkami

są xx =0, x%    ■

(2)    Jeżeli «i=0, wtedy mamy «₀æ²-j-a₂ —0, a xx

(8) Jeżeli «₀=0, wtedy mamy właściwie równanie pierwszego stopnia axx -[- a₂ = 0, które uważane jednak , jako równanie drugiego stopnia kształtu: 0 .æ²-{- axx -j- a₂ =0, ma

piei'wiastki : xx = —

czyli :

2<«o

J aS₂

-V

— a2

«0

(5)

⁰⁽² æ ax ’    ²

= 00.

- 149 -

(4)    Jeżeli a% = 0, «i = 0, wtedy mamy a₀a5² = 0, xl — 0, ;r₂=0-

(5)    Jeżeli «2=0; «o = 0, wtedy mamy równanie 0.x²-\- axx -f- 0 = 0, a pierwiastki xi =0, x₂ = oo.

(6)    Jeżeli ax— 0, a₀=O, tedy mamy równanie: 0.x* -f- 0. x -{- a₂ = 0) pierwiastki: *i =co, x₂=cc.

Ztąd wynika, że w równaniu: a₀x² -)- axx-\- a₂ =0 wobec a₂=0 jest jeden pierwiastek równy zeru, wobec zaś a₀=O, jest jeden pierwiastek nieskończenie wielki, wobec a₁=a₂=0 są dwa pierwiastki równe zeru, w obec zaś o₀==oi—0 są dwa pierwiastki nieskończenie wielkie.

4. Własności równań drugiego stopnia. Szczegółowe rozważania nad pierwiastkami X\ i x₂ równania a?²—2cix-\-c-2 — 0 prowadzą do następującycli wyników.

Podstawiając w (2) wartości z (3) otrzymujemy:

a?²— 2 CyX + c₂ = (x—x₁)(x—x₂)

T. z. Trójmian równania drugiego stopnia da się rozłożyć na dwa czynniki pierwszego stopnia. Czynniki te nazywamy czynnikami pierwiastkoicemi.

(2)    Wykonawszy mnożenie wskazane w (6) otrzymujemy :

x%—2ctx-{- e₂ = x²—(aą -J- x₂) x -f- xix₂,

*1 +    2cj , xpx₂ — 6*2

T. z. Suma pierwiastków równania normalnego drugiego stopnia jest równa spółczynnikowi przy x, ivzietemu ze znakiem przeciwnym ; iloczyn pierwiastków jest równy ivyrazowi ivolnemu.

(3)    Podstawmy powyższe wartości za ct i c₂ w wyrażenie kwadratowe, występujące w pierwiastkach równania, to otrzymamy :

(1)

(6)

a stąd:

(7)

—»1*2

\/ Cl²—c₂ = 1 (xt —Xi)

T. z. Wyrażenie kwadratowe, występujące w rozwiązaniu równania drugiego stopnia, jako wyrażenie niewymierne ze względu na spółczynniki tego równania, jest wymiernem ze względu na pierwiastki równania, a mianoivicie jest równe połowie różnicy jego pierwiastków.

5. Geometryczne przedstawienie pierwiastków równania drugiego stopnia. Każdy pierwiastek kwadratowy jakiejkolwiek liczby dodatniej możemy przedstawić geometrycznie w postaci odcinka prostego, jeżeli przedstawimy daną liczbę w postaci odcinka, przyjmując pewien odcinek, jako jednostkę. Przy tej konstrukcyi opieramy się na własnościach trójkąta prostokątnego, (fig. 125.), opartych bądźto na twierdzeniach o średniej geometrycznej odcinków, wyrażonych wzorami : iC — in .n, gdzie m-\-n = c, at=m.c- b²=n.c, bądź to twierdzeniu Pytagorasa c²=a²4-&², czyli a²=c²—b².

Na podstawie tych własności przedstawia się x = \/a .b, jako średnia gometryczna między odcinkami a i b na podstawie fig. 126. w postaci odcinka CD, lub na podstawie fig. 127. w postaci odcinka AD. Wobec tego x—\Za, gdzie a jest liczbą dodatnią, przedstawioną odcinkiem AC — a, przyczem CB— 1, przedstawia się, jako średnia geometryczna między a i 1 na mocy równości : \/a =]/a . 1. Wyrażenie x=\/a*¹ -\-b², przedstawia się, jako przeciwprosto-kątnia trójkąta prostokątnego (fig. 126.), którego jedną przyprostokątnią jest a, a drugą b ;

(8)

na

JV

jo-J

C-3

to

P:

Fig. 125.

Fig. 126.

Fig. 127. ₀

wyrażenie x = y a'¹ — &² przedstawia się , jako przyprostokątnia trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątnią jest a, a drugą przyprostokątnia b, albo na mocy wzoru

\/a¹—b² = \/(ti -j- b) (a — b), jako średnia geometryczna między odcinkami («4“^) i (a—b). Na tej podstawie możemy wykreślić wszelkie wyrażenia niewymierne, złożone wyłącznie z pierwiastków kwadratowych, jeżeli tylko liczby dane w wyrażeniach przedstawimy w postaci odcinków ; ponieważ pierwiastki równania drugiego stopnia x²— "l(\x -f c₂ = 0, przedstawiają się, jako wyrażenia niewymierne spółczynników równania, zawierające wyłącznie pierwiastki kwadratowe, w postaci oc^—c^Ą-\Zct ² — c₂, x₂ = ct — V/<\²—c₂, przeto jesteśmy także w stanie, na podstawie powyższych konstrukcyi, wykreślić oba pierwiastki wszelkiego równania drugiego stopnia, którego spółczynniki przedstawimy odcinkami o danej jednostce.

Konstrukcyę obu pierwiastków rzeczywistych xl i a*₂ równania drugiego stopnia x²— 2e₁as 4" c2 — 0, możemy oprzeć także na wzorach xt -p x₂ — 2ą, x₁sci== ca, korzystając z własności cięciw lub siecznych kola, przez jeden punkt przechodzących.

W tym celu wykreślamy koło o promieniu cv i odróżniamy dwa przypadki :

(2) c₂ <C 0.

W przypadku, gdy c₂^> 0, czyli ą jest liczbą dodatnią, a więc oba pierwiastki xl i x₂ są tego samego znaku, wykreślamy w kole cięciwę AB = c.₂ +1, dzieląc ją w punkcie P na odcinki AP—c₂, PB— 1, i przeprowadzamy przez punkt P średnicę CD, natenczas będzie: C'P=xi, PD=x₂\ jest bowiem CP.PD — c₂.1, przyczem CPĄ-PD=2c

(1) c₂>0,

tz

,0

ti

pv

Fig. 128.

Fig. 129.

W przypadku, gdy c₂<[ O, czyli, gdy ą jest liczbą ujemną, a więc oba pierwiastki i x₂ są przeciwnego znaku, wykreślamy w kole o promieniu ą cięciwę AB — c₂—1, obieramy na niej punkt P taki, że AP—c₂, BP— 1 i prowadzimy przez punkt P średnicę CD, natenczas będzie CP—xi: PD = x.₂, jest bowiem CP.PD—c₂ .1, przyczem CP—PD = 2cl.

Pierwiastki równania drugiego stopnia dają się więc przedstawić geometrycznie przy wyłącznej pomocy cyrkla i lineału.

6.    Konstrukcye elementarne. Konstrukcye na płaszczyźnie, czyli konstrukcye plani-metryczne, przy których do wyznaczenia punktów, lub odcinków wystarcza użycie cyrkla i lineału, nazywamy konstrukcyami geometrycznemi w ściślejszem tego słowa znaczeniu, albo też wprost krótko konstrukcyami element a r ne mi. Do takich konstrukcyj należy wykreślanie pierwiastków kwadratowych, pierwiastków równania stopnia drugiego, w ogóle wykreślanie wyrażeń, złożonych wyłącznie z pierwiastków kwadratowych.

7.    Równania dwuwyrazowe xn=a 4 bi₉ których pierwiastki dają się przedstawić za pomocą pierwiastków kwadratowych. Niech będzie dane równanie x²=a-\-bi’, kładąc x=a-{-ßi, otrzymujemy warunek: (a+ßi)²=a-\-bi, czyli a²— ß²-\-⁽2aßi =a -\-bi, a stąd dwa równania warunkowe: a² — ß²=a, ‘2aß=^b, do których dołączyć możemy (na podstawie art. 15. str. 139.) jeszcze następujące: \a-\-ßi\²= | aĄ-bi , czyli ct²A-ß²= Va²-\-b². "Wobec tych równań otrzymujemy :

a²

a-\-Va²-\-b²    —a-p\/a²4-ó²

a więc:

a= V 4- 1 .

V“-

+ \^a²-\-b²

ß=.V+i\/

/ —a-\- \/a²-\-b²

zatem: x=a-\-ßi=

v^+i.y

a+ V/a² + b²

+t-v/+i|/-a+v^+il

gdzie \/+ 1 może mieć jedną, z dwu wartości -+-1 lub —1.

Aby ocenić, które z wartości -|-1 lub —1 i w jakiem połączeniu wybrać należy, aby a-j-ßi było pierwiastkiem równania x² — a-\-bi, odróżnimy następujące przypadki:

(1) gdy 0, należy, ze względu, że 2aß==6, przyjąć a i 8 tego samego znaku; równanie x²=a-\-bi ma zatem pierwiastki:

yja -j-\/ a²-\-b²

-t-y/«²+&²

V'

a+\/«² + &².

(6) gdy b 0, należy przyjąć a i ß przeciwnego znaku, równanie x² = a—bi ma zatem

pierwiastki :

ylaĄ-\/a* + b² _ . yJ-a+\/a*+b*    ^ ₌ _ ÿg + Va²+ b²

+ *'

yl—a-\-\/a²-\-b² .

V 2    ’

(c) gdy ó = 0, natenczas mamy równanie: x² = a, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a pierwiastkami tego równania są xx=-\-\/a ; *2 — —    •

Równanie x²=^a-srbi, daje się przeto w każdym wypadku rozwiązać za pomocą samych pierwiastków kwadratowych.

8. Niech będzie teraz dane równanie dwuwyrazowe czwartego stopnia x^^a + bi, natenczas kładąc x²=y, otrzymujemy równanie drugiego stopnia y²=a-\-bi, którego oba pierwiastki yi i y₂, wyznaczymy za pomocą pierwiastków kwadratowych, jak powyżej, w-postaci:

y—M\

V-

4-V a²-\-b

f o₂i

—V'a² +b²

znowu

daje dwa pierwiastki xx i x₂, dające się wyrazić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych.

gdzie mx i w₂ są równe +1, lub —1, w stosownem połączeniu. Oba pierwiastki yx i y₂ będą ogólnie kształtu a+ßi, a że x²=y, przeto otrzymujemy równanie drugiego stopnia, kształtu x²=a + ßi. które dla każdego y

W przypadku coi=o).₂ = + 1 otrzymujemy mianowicie:

—o,-\-Va²-\-b²

x²=a-\-ßi=

a-b \/a²-\-b²

przeto :

x—

a 4- \/a²-\-ß²

—a-h V a²-\-ß²

= A+Bi

gdzie

V2(.+2V/a!+6î+t⁴'/«s + S² > B=-bJ/ - Via+2V'o*+P+ yb/P+P .

Tym sposobem otrzymujemy cztery pierwiastki równania x^=a-\-bi, wszystkie przedstawione wyłącznie za pomocą pierwiastków kwadratowych. Postępując podobnie z równaniami: x*=a-\-bi, xx6=a-\-bi i t. d. dochodzimy do następującego twierdzenia:

Wszelkie równanie kształtu xn = a Ą-bi, w którem wykładnik n jest całkowitą potęgą liczby 2, t.j. n=2m, daje się rozwiązać algebraicznie za pomocą samych pierwiastków kwadratowych.

9. Podział łuku na równe części. Ponieważ pierwiastki równania x —a-\-bi, czyli xn = a -j- bi — 'i'fp^kni ni°żemy przedstawić także w postaci:

j- i sin

© -j- 2kr. "J

n J

albo

której, w przypadku n — 2m, odpowiadają według poprzedniego art. wyrażenia, złożone wyłącznie z pierwiastków kwadratowych, przeto widzimy, że wyrażenia :

cp    2 Jen

cos

2m

i sin

cp -J-

2m

dają się przy całkowitem dodatniem m, przedstawić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych. A stąd wniosek :

Wszelki kąt, względnie luk da się przy pomocy cyrkla i lineału podzielić na 2, 4, 8, 16.,... ogólnie na 2m równych części (m — 0, 1, 2, ...).

Jeżeli n nie jest =2m, a mamy wyznaczyć pierwiastki równania xn = a-\-bi, natenczas otrzymujemy je w postaci :

(fc=0, 1,2,... n—1),

x=Vr. 1

której nie możemy w ogólności wyrazić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych.

Możemy to jednak uczynić w dowolnem przybliżeniu, a to w sposób następujący. Dla jakiegokolwiek wykładnika n, możemy zawsze znaleźć przy dostatecznie wielkiem

P + 1

m taką liczbą całkowitą p, żeby- ułamek-- zawierał się między liczbami i)m tak, żeby byto |,<“ < o wielkość mnieisza od —Î—

j .    2m

2m

p_ . p + 1 2 m 2m

T—I

będą się tedy różniły od ułamka — która przy stosownein wyborze liczby m, może się stać

ułamki

mniejszą od wszelkiej liczby dowolnie małej. Zastępując tedy przez

), otrzymujemy pierwiastki równania xn — a -f- bi — r^ + 2^,

2m

a więc n przez —

(lub

V_

2m’

rV" . i

• ^ (cp-\-%kn,)p

cp + itcn

kształtu x = ru. lrp + 2kJt, w postaci: x = r%

₂m

k — 0, 1, 2,... n — 1,

która wyraża się za pomocą samych pierwiastków kwadratowych i przedstawia w dowolnem przybliżeniu pierwiastki równania xn — a-\- bi.

Na tej podstawie możemy dowolny kąt względnie łuk przy wyłącznem użyciu cyrkla i lineału podzielić w dowolnem przybliżeniu na n równych części, jeżeli n nie jest =2m.

10. Uwagi historyczne. Metoda rozwiązywania równań polegała w starożytności wyłącznie na konstrukcyi geometrycznej wartości niewiadomych przy pomocy przecięć linij prostych z ko łem, lub gdy to nie wystarczało, z innemi umyślnie w tym celu utworzo-nemi liniami krzywemi.

Tak n. p. znajdujemy u Euklides’a (300 przed Chr.), czysto geometryczne rozwiązywanie zagadnień, prowadzących do równań kwadratowych, jak: x{a—x)^=b², x(ci-\-x) = b‘l, x(x—a)—b², przy pomocy odpowiednich prostokątów, przyczem chodziło tu wyłącznie o wyznaczanie wykreślne dotyczących wartości dodatnich.

Pod wpływem greckiej literatury matematycznej, a zwłaszcza dzieł Euklidesa opierała się też jeszcze algebrą Arabów w początkach wieków średnich przeważnie na tle geometry cznem.

Dopiero z biegiem czasu rozwinęło się pod wpływem Arabów, najpierw we Włoszech, liczebne rozwiązywanie równań, niezależne od poglądu geometrycznego, na mocy którego musiano n. p. objaśniać cc², jako „kwadrat“, cc³, jako „sześcian“, a reguły algebry wypisywać słowami i równocześnie przedstawiać odcinkami, lub figurami geometrycznemi.

Ze słów powstały skrócenia, jako znaki liczb ogólnych i działań algebraicznych prawie w piętnastym wieku dopiero, od którego to czasu dopiero zaczęła algebra wspierać geometryę, jak dotąd geometrya była główną kierowniczką algebry.

Równorzędność algebry z geometrya datuje się dopiero od czasów filozofa francuskiego Réné Descartes’a (1596—1650), który przez wprowadzenie do nauki pojęcia spółrzędnych umożliwił badanie form geometrycznych przy pomocy analizy i wzory algebraiczne przedstawiać przy pomocy konstrukcyi geometrycznych.

11.    Konstrukcje wielokątów umiarowych, łącząc się z rozwiązywaniem równań dwuwyrazowych kształtu xn—1=0, są przy wyłącznem użyciu cyrkla i lineału, tylko wtedy możliwe, gdy dotyczące równanie xn—1=0 da się rozwiązać przy pomocy samych pierwiastków kwadratowych. Takiemi równaniami są wedle art. 7 str. 150, przedewszystkiem równania kształtu: xn —1=0, których stopień n jest całkowitą, dodatnią potęgą liczby 2, a więc równania, 2-go, 4-go, 8-go, 16-go... ogólnie 2m-go stopnia. "Wobec tego możemy za pomocą konstrukcyi geometrycznych, t. j. przy pomocy cyrkla i lineału, podzielić obwód koła na 4, 8, 16, .. 2W części, a tern samem możemy wykreślić umiarowe czworokąty, ośmiokąty, szesnastokąty, ogólnie 2m-kąty (wypukłe lub gwiaździste) przy wyłącznem użyciu cyrkla i lineału.

Zastanówmy się teraz nad tern, czy obok równań x2m—1=0, nie ma jeszcze innych równań kształtu xn—1=0, których pierwiastki dałyby się przedstawić za pomocą samych tylko pierwiastków kwadratowych.

12.    Równanie £e³—1=0 ma, jak wiemy, trzy pierwiastki kształtu:

21cn . . 2kr.

Xk-= hkn = C0S -g“ + * Sln -g⁻, k = °> 1, 2,

W,

. 1    1    2jc . 2jc 1 IZB

a więc #₀=+l, xx=l = cos + i sin — =— ^ -W -y

~3~

co²,

*î=l 4^ = C0S

4rc . . 4rc 1    . \/3

¥ + .smT=-T-.-2

zatem wyrażenia, które zawierają w sobie tylko kwadratowe pierwiastki.

Bo też rozwiązanie równania x³—1=0 możemy sprowadzić do rozwdązania równania drugiego stopnia, przedstawiając to równanie w postaci:

(x—l)(a;² -f- #+1) = 0.

Równaniu temu stanie się zadość, skoro będzie x—1= 0, albo x² -f- x +1= 0, a zatem skoro będzie

x =1, albo x

1 ,,V8

⁼-~2 +’~2

albo x —

1 .1/8

“2—-r-

Xi

Podział koła na trzy równe części (fig. 130), a więc kon-strukcya trójkąta równobocznego, w koło wpisanego, dadzą się zatem wykonać za użyciem jedynie cyrkla i lineału.

— =—K, wystarczy w tym celu w kole

o promieniu 1 wykreślić dowolną średnicę OXy i podzielić przedłużenie promienia OX₀ na dwie równe części ; prosta wykreślona w tym środku prostopadle do OX₀ wTyznaczy kole dwa punkta X, i X₂, które będą wraz z punktem X0 wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Ponieważ cos

na

Ki

\3

K»

13. Równanie xh~\= 0 ma pięć pierwiastków kształtu: .    , . . 2Ick    (

xk-hkn= cos T + *sin - 5- = i

cos

2«.

Fig. 130. + i sin Ç) j (k = °> 1> 2, 3, 4),

które dadzą się również wyrazić za pomocą samych kwadratowych pierwiastków. Przedstawiwszy bowiem równanie x⁵—1=0 w postaci (x—l)(a;⁴ -fi cc³ -ficc² -fiæ-fil) = 0, poznamy, że stanie mu się zadość, gdy będzie x—1=0 albo æ⁴ -fi a?³ -J- x² -fi x 4-1= 0. Pierwsze równanie daje pierwiastek x =1, drugie równanie: xK -fi x³ -fi x² -fi x +1== 0, jest szczególnym typem równania czwartego stopnia, którego rozwiązanie możemy sprowadzić do rozwiązania równania drugiego stopnia.

1 1

Połóżmy bowiem cc -fi — = «/, natenczas będzie x² -fi ~    —2, wobec czego równanie

a;⁴ -fi x³ 4- x² -fi * +1= 0, które możemy napisać także w postaci :

(a;⁴ -fil) -fi (xz -(- x) =—a?²,

albo

(** + ^ + (* + 4')--l'

przejdzie na równanie stopnia drugiego: y²—2 Ą-y ——1, czyli y² -fi y—1=0. To równanie ma dwa pierwiastki

1 , Y/5

¹ v/ö .    ,1

_ a ze x+ —

przeto mając«/, otrzymujemy na wyznaczeniex znowu równanie drugiego stopnia kształtu: x²—xy1=0, które daje znowu dwa pierwiastki:

xi— Tfi "ł" 7j~V/ys—4,    a?2

że V⁷2/i²—4 = -^-Y¹⁰ + ²V/5, przeto otrzymujemy obok pierwiastka x₀=l jeszcze cztery następujące:

£Ct=l/4 (-1+ {/& + iV 10 + 2V/5) ;    «*=4/4 (-l-fiY/5 -iV 10 -fi 2\/5);

£C₃=l/4(—1-V&+ iV 10-2V/5);    sc₄=l/4 (-1-\/f—iViO-2\/b ),

zawierające wyłącznie pierwiastki kwadratowe. Ażeby poznać, która z tych wartości odpowiada pierwotnemu pierwiastkowi:

y\

v/^4=-|-viöL2v/5;

2rc

2r.

w = ¹2n= cos y + * sin -g »

2r.

wystarczy wziąć pod uwagę, że ma być cos—!!>0, jako

kiem jest to = a;₁=l/4 (—l-fiY/5 -fi iY/10 -j- 2Y/5 ),

2*    -l-fV/5“

też

2rc

sin —^>0, zatem tym pierwiast-

a przytem

cos

2r.

sin — — 5

V/10+2Y/5

14. Konstrukcya pięciokąta umiarowego, wymaga tylko wykreślenia wyrażenia

2 jc —l-fiY/5

MLA

g f /Ja.

. W tym celu zakreślimy koło promieniem

równym jednostce i poprowadzimy w niem dwie średnicy do siebie prostopadłe AB i CD (fig. 131.) Połączywszy punkt O ze środkiem E promienia PO, otrzymujemy CE = l/2\/b; zakreślmy więc z punktu 2?, jako środka, łuk promieniem CE, przecinający średnicę AB w punkcie F, natenczas będzie Y/5-1

cos

OP =

D K

Fig. 181.

Podzieliwszy zatem OFna, dwie równe części w punkcie <7, otrzymamy 06?

l/B-l

2 71

cos -g-. Prosta O// 1 AB wyznacza

więc na kole punkt podziału H, który połączony z A daje odcinek HA jako bok umiarowego pięciokąta.

Przekonawszy się, że równania æ³—1=0 i x⁵—1=0, dają się rozwiązać za pomocą samych pierwiastków kwadratowych, a więc podział koła na 3 i 5 równych części jest możliwy przy pomocy cyrkla i lineału, zajmijmy się w ogólności rozwiązaniem równań xp—1=0, gdziep jest jakąkolwiek liczbą bezwzględnie pierwszą z szeregu 1,2,3,5,7,11,13,.. i t. d., a tein samem podziałem koła na p równych części.

15. Równanie xp—1=0, gdzie p jest liczbą bezwzględnie pierwszą map pierwiastków kształtu :

(&=0, 1, 2, ... p—1)

+ i sin

a z tych jeden rzeczywisty æ₀ —1, ap — 1 pierwiastków urojonych, parami sprzężonych , z których każdy jest zarazem pierwotnym p-tym pierwiastkiem jednostki dodatniej. Chcąc się przekonać, czy którykolwiek z tych p — 1 pierwotnych pierwiastków (a zatem i każdy z nich) da się przedstawić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych, przedstawmy równanie xP—1=0 w postaci (x —    :¹Ą-xp~i-\-...Ą-x²-\-x-\-l)=0, natenczas poznamy, że wyzna

czenie (p — 1) pierwotnych p-tych pierwiastków jednostki dodatniej zależy od rozwiązania równania xP—'-\-xp~²-\-..-\-x²-{-x-\-1=0, które wobec tego, że p jest liczbą pierwszą jest zawsze stopnia parzystego n. p. 2m-go, gdzie p—1=2m, czyli od równania kształtu:    x2m-\-x2m~i~\-x2m~²-\- ...-{-x²-\-x-\-l=0,

którego pierwiastki musiałyby się dać wyrazić przez same pierwiastki kwadratowe. Podzielmy to równanie przez xm i złączmy razem po dwa wyrazy, od obu końców wielomianu jednakowo oddalone, natenczas przedstawi się powyższe równanie w postaci :

+(*-‘+^)+ ■•+(*+-f)+¹-⁰-

Połóżmy w niem :

X

■=y, natenczas otrzymamy :

xm~x)

(xm+^y⁼(*■ -⁺^){x+ÿ=(xM+¹⁺s^h)⁺(*■

*(*•+£)-(*■

J-i.

xm-\)

Xm+iĄ--7

—I— 1

Wobec tego, kładąc kolejno m—0, 1, 2, .. otrzymamy:

2j_ 1 =y, x +-^2

^⁴+-^4=y(«/³—%)—(y²—2)=y⁴—4y² + 2,

x

-L=p(2/⁴_4«/² + 2)-(y³—3^)=y⁵-5p³+5«/, i t. d.

X

zatem ogólnie :

x-\-

=y²-2,

K=y(y²—%)-y=y'A—

x⁵+

Dane równanie 2m-go stopnia względem x sprowadza się wskutek tych podstawień do równania m-go stopnia względem y.

Każdemu pierwiastkowi yi tego równania odpowiadają dwa pierwiastki równania drugiego stopnia :

y* . 1    ._

x²-yix-\ 1 = 0 w postaci x==~^ —    4,

pomocą samych pierwiastków kwadratowych, skoro

manę

która będzie wyrażoną za także yx da się wyrazić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych. Otrzy-równanie m-go stopnia względem y musiałoby więc byc znowu stopnia parzystego i doprowadzić w końcu przy pomocy podobnych podstawień do równania stopnia drugiego, a zatem wykładnik danego równania parzystego stopnia musiałby być całkowitą potęgą liczby 2.

Ztąd wniosek: Równanie x*—1=0 w którym p jest liczbą bezwzględnie pierwszą, da się tylko wówczas rozwiązać za pomocą samych pierwiastków kwadratowych,, jeżeli p — 1 jest całkowitą potęgą liczby 2, czyli, gdy p—l=2m,

- 156 —

a zatern, jeżeli p = 2m+l, a przytem jest liczbą pierwszą. Nietrudno wykazać, że p może być w danych warunkach liczbą pierwszą tylko wówczas, gdy wykładnik m będzie sam potęgą liczby 2. Gdyby bowiem wykładnik m nie był potęgą liczby 2, tylko przedstawiał się n. p. w postaci m=a.mi, gdzie m jest liczbą nieparzystą, wtedy ze względu na to, że am-\-1 przy nieparzystem m jest podzielne przez a + 1, byłaby także liczba 2w4-1=2⁰!",i4-1 = (2⁰!)wi4-1 podzieliła przez 2“+1, a więc nie byłaby liczbą pierwszą.

A zatem: Wykładnik p równanie xp—1=0, które by się dało rozwiązać przy pomocy samych pierwiastków kwadratowych, musi być liczbą pierwszą kształtu p=22?-fl- Takiemi liczbami są kolejno liczby:

2²°4-1=2 + 1 = 3, 2²*4-1 = 2² + 1=4-1-1 = 5, 2²²=2⁴+1 = 16+1 = 17,

2 2³=2⁸ 4-1=2564-1 = 257, 2²⁴-H=2¹⁶4-1 = 15586 + 1 = 15537.

Zachodzi tu pytanie, ważne dla teoryi liczb, czy liczby, tą drogą otrzymane, są w istocie wszystkie liczbami pierwszemi, czy nie. Otóż Euler pierwszy wykazał, że już liczba 22&4-1=4294967297= 641.6700417 nie jest liczbą pierwszą, oprócz tego poznano liczbę 22U-{- 1 jako podzielną przez 117689, liczbę 2 ²²³-f-l jako podzielną przez 16772161.

16. Własności równania xp —1=0, w którem p = 22?4-l, a jest przytem liczbą pierwszą, odpowiada następujące twierdzenie geometryczne:

Każdy umiarowy p Jcąt, w którym p jest liczbą pierwszą kształtu : 2²⁵ 4-1, da się wykreślić za pomocą cyrkla i lineału.

Najbliższą liczbą pierwszą tego rodzaju jest liczba 17; rozwiązanie równania xi7—1=0 sprowadza się obok x—1= 0 do rozwiązania czterech równań stopnia drugiego, a konstruk-cya umiarowego siedmnastokąta jest możliwą przy użyciu jedynie cyrkla i lineału. Jeżeli wykładnik p jest wprawdzie liczbą pierwszą, ale nie jest kształtu 2²”*4-l, rozwiązanie równania xp—1=0 sprowadza się wedle Gaussa do rozwiązania tylu równań, ile liczba p—1 ma czynników pierwszych i takich stopni, jakie te czynniki wskazują.

Tak więc wymaga rozwiązanie równania a;⁷—1=0, ze względu na to, że 7—1=6 = 2.3 rozwiązania jednego równania drugiego stopnia i jednego równania trzeciego stopnia ; rozwiązanie równania ad³—1=0 ze względu na to, że 13—1=12 = 2².3, rozwiązania dwóch równań drugiego stopnia i jednego równania trzeciego stopnia; konstrukcya umiarowych p-kątów tego rodzaju, a więc umiarowych 7-kątów, 11-kątów, 13-kątów i t. d., nie jest możliwa przy pomocy jedynie cyrkla i lineału.

Zajmijmy się jeszcze równaniami xn—1=0, w których wykładnik« jest liczbą złożoną.

17. Równanie scm2>-l=0, ma pierwiastki kształtu:

2kn

2kn

+ i sin

Xk—    COS

mp

Przyjmijmy, że czynniki m\p wykładnika w = mp są liczbami względem siebie pierwszemi, natenczas możemy zawsze znaleźć takie liczby całkowite si i s₂, aby było psi-\-ms₂-^k, możemy zatem położyć

2kji __2(psy -k-ms^n _2sx7i 2s₂u

mp

mp

. (A=0, 1, .., mp — 1).

mp

mp

Wskutek tego przedstawia się powyższy pierwiastek w postaci : Æ'Æ⁼⁼l2tor⁼⁼⁼l2s₁7r •ł-2$,!7r, CZyll

2 S₂JV

mp

mp mp

“(

COS

2 sxji

j- i sin

2 si7l

cos

\-i sin

gdzie 12Sln przedstawia pierwiastki równania xm—1=0, zaś l%Sl7l pierwiastki

m    p

równania xp —1=0. A zatem, gdy m i p są liczby względem siebie pierwsze,

otrzymuje się wszystkie pierwiastki równania xmp —1=0, mnożąc każdy pierwiastek równania xm —1=0, przez każdy pierwiastek równania    —1=0.

Stąd wynika, że mnożąc każdy pierwotny pierwiastek równania xm—1=0 przez każdy pierwotny pierwiastek równania xp—1 = 0, otrzymuje się pierwotny pierwiastek równania x™p-l=0.

Mnożąc bowiem Przez 3-2, ni Przyczem si jest liczbą pierwszą względem m, a s.₂ liczbą

m    i

pierwszą względem p, otrzymamy 1,^ =\hV+Sim)n=hin, przyczem sumas^+s₂«i=J;,

p /    mp    mp

będzie liczbą pierwszą względem mp, a więc l2kn będzie pierwotnym pierwiastkiem równa-

mp

nia xmp—1=0.

18. Na podstawie powyższego twierdzenia sprowadza się rozwiązanie równania æPtPiPî-—i ₌ o, w którym pu p2l p₃, .. są liczbami pierwszemi, do rozwiązywania równań xPi—1=0, xp’—1=0, xPs—1=0,... Dość jest przytem wyznaczyć jeden pierwotny pierwiastek każdego z tych równań , ich iloczyn będzie bowiem pierwotnym pierwiastkiem danego równania, który przez swe potęgi da wszystkie inne pierwiastki tego równania.

Jeżeli więc pierwiastki tych równań dadzą się przedstawić za pomocą samych pierwiastków kwadratowych, natenczas dadzą się także w ten sposób przedstawić wszystkie pierwiastki danego równania.

19. Zestawienie równań kształtu xn—1=0, rozwiązalnych przy pomocy samych pierwiastków kwadratowych. Jako szczególne postaci równań tego rodzaju poznaliśmy dotąd dwa rodzaje równań.

(1)    Równania, w których wykładnik n jest całkowitą potęgą liczby 2, a więc równania kształtu x%m—1=0.

(2)    Równania, w których wykładnik n jest liczbą pierwszą kształtu:

p = 22? +1.

Do tych równań dołączają się na mocy art. poprz. także

(3) równania, w których wykładnik n jest iloczynem liczb pierwszych kształtu: p=22?-f-l i potęg liczby 2, a zatem równania kształtu ocP—1=0, gdzie p₁=22ÎI-fl, p₂=22?î + l, ... Ogólną postacią równań dwuwyrazowych, rozwiązywalnych przy pomocy samych pierwiastków kwadratowych, będzie więc równanie kształtu: xn—1=0, w którem n=pip₂p₃..2», gdzie czynniki pt są liczbami pierwszemi kształtu 22<?*-f-1, przyczem niektóre, lub wszystkie mogą być równe 1, a g jest liczbą całkowitą dodatnią, lub zerem.

20. Wielokąty umiarowe, dające się wykreślić za pomocą cyrkla i lineału.

Odnośnie do twierdzenia o równaniach xn—1=0, rozwiązywalnych za pomocą pierwiastków kwadratowych, otrzymujemy jako wielokąty umiarowe, dające się wykreślić za użyciem jedynie cyrkla i lineału:

(a)    wielokąty umiarowe, w których ilość wierzchołków jest całkowitą potęgą liczby 2.

(b)    wielokąty umiarowe, w których ilość wierzchołków jest liczbą pierwszą kształtu p=22?-f 1.

(c)    wielokąty umiarowe, w których ilość wierzchołków jest iloczynem liczb pierwszych rodzaju 2²'; + l i potęg liczby 2.

Z tąd wniosek : Każdy wielokąt umiarowy, w lctórym ilość wierzchołków da się przedstawić w postaci iloczynu PiP₂P3"2?, gdzie pi są liczby pierwsze kształtu

22<7-f 1, lub równe, 1, a q jest liczbą całkowitą, dodatnią, zerem, da się wykreślić za użyciem jedynie cyrkla i lineału.

21. Konstrukcya dziesięciokąta umiarowego. Równanie a;¹⁰—1=0 ma ®(10)=4 pierwiastki pierwotne, które są ze względu na to, że 10 — 2.5, iloczynami pierwotny cli pierwiastków równań æ²—1—0 i cc⁵—1 = 0. Pierwsze ma jeden pierwiastek pierwotny 1^= — 1, drugie ma ich

V1Q + 2 V/5 .

2 jj    2ji

cztery, z których jeden jest 127I = cos —- -j- i sin    =

łf    ___

1—\/b    .V/10 + 2V/5

- ^

-1 + V/B

+ **

ich ilo-

jest pierwotnym pierwiastkiem, któ-

czyn: ln A%Jl— l7?r — lu^—    4

T "5“    1Ô"

rego potęgi dają wszystkie pierwiastki równania cc¹⁰—1 = 0.

Chcąc otrzymać wyłącznie cztery pierwotne pierwiastki równania ad⁰—1=0, należy pierwotne pierwiastki równania a:⁵—1 =0 pomnożyć przez —1, a że pierwotne pierwiastki równania x⁵—1 = 0 określone są równaniem x⁴ fi-æ³ fi-æ² 4- a;4-1 = 0, przeto zastępując w tem równaniu a; przez —a?, otrzymamy równanie ad—as³-]-a?²—ccfi-l=0, wyznaczające cztery pierwotne pierwiastki równania a:¹⁰—1 = 0. Celem rozwiązania powyższego równania, które możemy napisać także w postaci :

(a?² + ^2) — (a:+^-) + ¹ = ⁰) połóżmy x 4* ~ = a więc a;2+^2 = */² — 2,

l±>/5

a otrzymamy y²—y—1 = 0, a stąd y

Zarazem otrzymujemy cos^ = ^ umiarowego dziesięciokąta :

, a następnie x =    + ~\/y²— 4.

1 + V/5

skąd wypływa następująca konstrukcy a

W kole o promieniu 1 (fig. 132.), wykreślamy dwie średnice do siebie prostapadłe AB i CD, a w ich końcach C i B styczne do koła, które się przecinają punkcie F.

Łącząc środek E promienia OB z punktem F, otrzymamy EF——~—) z punktu E, jako środka za-

u

kreślamy teraz łuk promieniem EF aż do przecięcia jego ze średnicą AB w punkcie G, będzie tedy

podzieliwszy 0G na dwie równe części w punkcie H i wykreśliwszy w punkcie H prostą JK 1 0G, otrzymamy w punktach J, B, K, trzy po sobie następujące wierzchołki umiarowego dziesięciokąta.

22. Równania trójwyrazowe parzystego stopnia. Do rozwiązywania równań dwuwyrazowych kształtu xn—c=0 sprowadza się rozwiązywanie równań parzystego stopnia kształtu x2n + axnĄ-b=0. Równanie to może być bowiem uważane, jako równanie drugiego stopnia ze względu na niewiadomą x¹¹, a jako takie , rozwiązane podług xn, prowadzi do dwóch równań dwuwyrazowych :

"T'ï

•7

Or

\\

Fig. 132.

czyli xłl—ci= 0 i xn—c₂ = 0, gdzie i c₂ będą w razie, gdy liczby a i b należą do zakresu liczb zespolonych, także liczbami zespolonemi.

Możemy tedy położyć cx — r(cos afi-isin a)=ra, c₂ = r(cosß+ i sin/?) = ç>y, a otrzymamy 2 n pierwiastków, z których jedna połowa przedstawia się w postaci:

xn= —

x— \/r • 1 a • I2kn

druga zaś w postaci:

x=Sy ? >l^-l2^,    (Æ=0, 1, 2,... n—1).

W przypadku, gdy spółczynniki a i b danego równania należą do liczb

2

rzeczywistych, będą liczby cx i c₂, albo obie rzeczywiste, gdy — > b, albo

a2

obie urojone sprzężone, gdy — < b. W tym ostatnim przypadku będziemy mogli położyć ci =rtt, c₂=r_a, dane równanie przedstawić zatem w postaci: [x,n— r(cos a+isin a)]. [xn — r(cos a — tsin a)]=0, czyli : x2n — 2raw cosa-P r²= 0, z której otrzymujemy 2w pierwiastków w postaci:

2&?rd-a

k*sin

2 hn-\-a\

n )

x=S/r . I^cos

w której za Jc należy podstawić n jakichkolwiek liczb całkowitych po sobie następujących.

Ćwiczenia XI.

1) Równanie x^axb = 0 sprowadzić do równania dwuwyrazowego za pomocą następujących podstawień:

2 uv

(4) x

u-j- »’

2)    Rozwiązać następujące równania drugiego stopnia:

(1) x²-piOx—39 = 0; (2) x²—10x-p21 = 0; (3) x²—3a:—4 = 0;

(4) 8*ł—10» + 3=0; (5) x²-2y₆ x + l = 0.

3)    Równanie drugiego stopnia x² -p ac -f 6 = 0, ma pierwiastki: x== —^ + -i-^«²— 4i, które możemy wyznaczyć goniometrycznie w sposób następujący:

(1) jeżeli tt²>4&, wówczas podstawiając 2y/ft = «sina, i otrzymujemy:

Vb

Xi sin a

L+V^V

1—sin²a

Vb

sin²a

cotg = — VA . -

sina — cos a

sin a

— \/b tg—’,

1— sin²a

X-2 — —

VT

sin² a

sin a 1 + cos a sin a

a więc :

sina

=    (_i_+cotga) = - VT.

- VT> tg , a?₂== - V b cotg ;

— V b cotg a = = — V b . cotg

2) jeżeli ct²<4&, wówczas podstawiając a — 2\/ b cos 9, otrzymujemy:

#,= — y/ ft (cos w— i sin ®),    = — \/b (cos 9 -p i sin ®) ;

(3) jeżeli b<^0, a więc równanie

— -J+ -l-V/ö² + 4i , natenczas podstawiamy a=V b. coiga, otrzymujemy:

ma

kształt a?²-p ax — b — 0, a pierwiastki

X, = —    6 cotg a -j- y/ & \/cotg²a -{- 1 = — \/ b cotg a -p

= V/T. tg-^

V/ b

sina

=Vb isïL-cotg“h'/!’

1— COS a

sin a

x₂=

Y/X

— y/ & cotg a — y/ b y/cotg²a -j- 1 = — y/ & cotg a —

- y/T. cotg ^,

sin a

= - V b Iüîu+cotg 4" “ v 6

1 cos a

sina

a więc:

= V i tg-J , «₂

— \/ b cotg -

IC R

Rozwiązać tą drogą następujące równania:

(a) «² +9*125571«+ 9-7419265 = 0, (6) «²-138-722274« + 8016 = 0,

0) «²+1-1102«-8-3594 = 0, (d) «²-93-7062« + 1984-74 = 0,

(e) «²—504-67—263489 = 0, (/) «²-24-691« + 6P6 = 0.

4)    Wyprowadzić równanie drugiego stopnia, w którem suma jego pierwiastków jest równa a, a suma trzecich potęg tych pierwiastków jest równa b³.

za

5)    Jeżeli «t i «₂ są pierwiastkami równania «²+a« + 6=0, wyrazić «⁵t+ «s2 pomocą spółczynników tego równania.

6)    Trójmian «²—2«+5 rozłożyć na dwa czynniki pierwszego stopnia.

7)    Rozłożyć na czynniki rzeczywiste pierwszego, lub drugiego stopnia następujące

dwumiany :

(1) as³—1, (2) «8 + 1, (3) «⁶—1, (4) «6+1.

8)    Wykreślić pierwiastki następujących równań:

«²—a«+ó²= 0; (2) «²—ax—b³ — 0, 3) «²—a«+6c = 0, (4) «² -j- ax— bc=^ 0, jeżeli liczby a, b, c przedstawione są odcinkami prostemi.

9)    Dwumian «⁵+l rozłożyć na czynniki rzeczywiste pierwszego, lub drugiego stopnia ze względu na «.

10)    Jeżeli sn jest bokiem, un obwodem a Fn powierzchnią umiarowego n - kąta wypukłego, wpisanego w koło o promieniu r, dowieść, że

Sb=Y₂,ViO-2V/5;    *h,=*l*rV 10-2 v 5i    Fb=^V 10 +2\/5;

Ft0=s/₄r²V/10-2 V/6.

wio=5r(\/5—1),

11)    Wyznaczyć jeden z pierwotnych 7mych pierwiastków jednostki dodatniej.

12)    Wielomian «⁶+«⁵+«⁴ + «³ + «³+«+l rozłożyć na czynniki rzeczywiste drugiego stopnia względem «.

13)    Pierwiastki równania «⁵—1=0 przedstawić za pomocą pierwiastków kwadratowych.

14)    Dowieść, że istnieją cztery piętnastokąty umiarowe, jeden wypukły, a trzy gwiaździste, a boki ich wyrażają się za pomocą pierwiastków kwadratowych przez następujące wzory :

sn=l/i(V 10 + 2V/5'—V/l8—6V/5 ) ;

<S"₁₅=y₄(V/18 + 6Y/5—Wo—2\/5~);

*io=Vsr (V/5—1),

Si₅=i/₄(l/10 + 2\/5 + V/18-6Y/5 ) ; ^"15—V4(^/i8 +6V/5"+V/l0—2V/5”).

p²

R o z wią z an i a XI. 1) (1) yî== + q, (2) u² + (2o + os) w + (w² + a« + 6), 2v + a = 0,

(3) (4v² + 2at+ 6) w²+2(w² + óv)w+ bv³=0, ao-\-b = 0, (4) (w²+2«w + 4&)*;²-|-2(aw² + w³)r+«⁴— 0,

w² + (a²—26) w + 6²

a, -(5) v³— y(> + &> +

(3) 11, -1; (4) I, J; (5) f , f. 3) (a) -1-23456, -7-891011; (6) 69.36157 ±i56-61272 ; (c) 1*35998, -2-47018; (d) 61-3607,32-3454; (e) 800-205, -295-535; (/) 21-875,2-816. 4) 3a«²-3a²« + a³-6³=0, 5) —a⁵+5a³ó— 5a6². 6) («—1+2i)(x—1—2t), 7) (1) («—1) («² + « + 1), (2) (« + 1) («²—« + 1), (3) («—l)(«+l)(«²+«+l) (.T²—«+1), (4) («²+l)(æ²— «y/3 +1) («²+«V/3+l) 8) (1) ó²=«(a—«), więc w kole o średnicy a wykreślona prostopadła do tej średnicy, a równa 6, wyznaczy na niej oba pierwiastki; (2) 6² —«(«—os), wykreślimy koło o promieniu a/2, a do niego styczną = 6, i połączmy koniec stycznej ze środkiem pola.

= 0, u = — b. 2) (1) 3, - 13;

(2) 7, 3;

Literatura. L. Matthiessen. Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1878. Paul Bach mann. Die Elemente der Zahlen theorie, Leipzig 1892.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Goniometryczne rozwiązywanie równań drugiego stopnia.

2.    Konstrukcya umiarowego siedemnastokąta.

3.    Zasady podzielności liczb całkowitych i teorya liczb pierwszych.

Wykład XII.

Jednokreślność i jednokładność figur płaskich.

1.    Figury jednokreślne. W art. 2. str. 131, nazwaliśmy dwie figury figurami jednokreślnemi, jeżeli każdemu elementowi jednej figury odpowiada jeden jednoimienny element drugiej figury, a zatem każdemu punktowi— punkt, a każdej prostej — prosta.

Badając jednokreślność dwu figur, przekonaliśmy się, że dwie figury jednokreślne mogą mieć także pewne elementa wspólne, wzajemnie sobie odpowiadające, a położenie tych elementów wspólnych, które nazwaliśmy elementami podwój nemi, zależy od pewnego równania trzeciego stopnia.

Poznawszy sposoby rozwiązywania i własności równań dwuwyrazowych jakiegokolwiek stopnia, jakoteź równań ogólnych stopnia drugiego, zajmijmy się teraz rozwiązywaniem i dyskusyą ogólnych równań trzeciego stopnia o jednej niewiadomej.

2.    Ogólne równanie trzeciego stopnia ma kształt: a(ix³-\-aix²Ą-a₁x-\-az=0, który, skoro a₀ ^ 0, sprowadza się do postaci: x³—3clx²-sr3c₂x—c₃=0, skoro

położymy 3^ = —^, Bc₂=^,3c₃=    °³

a₀    «o

Połóżmy w tern równaniu x=z-\-ci: gdzie z jest nową niewiadomą, natenczas otrzymamy :

a₀

x³=    z³Ą-3ciz²-\-3ci²z-\-c₁³

—3cix²=    — 3ciz²—6cl²z—3ci³

+ 3c₂x=    ■\-3c%zJr3cxc%

c?,i

przeto :

c₃ —

x³—3cix² + 3c₂x—c₃=z³ Ą-3pz—2q, gdzie p=c₂ —ci ², q=cx ³— § cxc₂ + \ c₃. Rozwiązanie równania x³— 3c^x²Ą-3c₂x— c₃= 0 sprowadza się tym sposobem do rozwiązania równania: z³-\-3pz~2q=0.

Połóżmy w tern równaniu z=u-\-v, gdzie u i v są również niewiadome, natenczas otrzymujemy:

u³ -\-3u²v -\-3uv²-f-v³ Ą-3p(u-{-v)—2^=0, u³+v³ -f 3uv(u + v) -j- 3p(u+v)—2q=0, w3^_v3_2g_p3(u-\-v) (uv +p)=0,

a więc : czyli równanie :

któremu stanie się zadość, skoro niewiadome u i v będą tak dobrane, że będzie w³ + v³=2g, a zarazem uv——p, a więc także u³v³——p³.

Liczby u³ i v³ występują więc, jako pierwiastki równania drugiego stopnia y²—2qy—p³=0, z którego otrzymujemy:

yi==u³=q-ł-\/q² + p³, y‘L=v³=q-Vq²+p³, a stąd na u i v w myśl art. 12. str. 153. po trzy wartości następujące:

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

- 162 —

u₂=ù) ^ q-\-V q²-\-p³, Uo=(0²\//q+Vq²-\-pz, V'q²-\-p³, v₂=û) V*q— V q²-\-p³, v₃ = co²^//q— \/q²-\-p³. Jakkolwiek z powyższych wartości da się ułożyć dziewięć połączeń dla utworzenia sumy z=uJrv, to jednak tylko te wartości u i v mogą być obrane jako dodajniki sumy u-\-v, które czynią zarazem zadość warunkowi uv ——p. Warunkowi temu czynią zadość:

uivi = \//q-\-Vq²-\-p³. Ÿq—Vq² + p³= u₂v₃ = (o^ qĄ-\/q²-\-p³. (o²^ q-\/q²-\p³==(o³.—p= —p, u₃v₂ = ù)²\/ą-\- \/q²Ą-p³. co^q~\/q²-\-p³ = (o³.—p=

vi

-p

-p.

Otrzymujemy zatem tylko trzy wartości na 0—u+v, a to:

q + \^q² + p³ + ^ q — V q²^- p³ = ui + v±,

0₂ =0)^q J- V q²p³ Ą-co²^ q — Vq²-\- p³=coui + (o²v 0₃ =w²V//q + \/q²-\- p³Ą-û>V/q — \Zq²-\-p³=oj²ui~\-(ovi.

(I)

Pierwszy z tych wzorów nazywa się zwykle wzorem Cardan’a, który ogłosił ten wzór po raz pierwszy w r. 1545. Dla równania z³ pz -\-q = 0, przedstawia się on w postaci:

Znalazłszy wartości na 0, jako pierwiastki równania 0³ + 3p0 — 22=0, otrzymujemy odpowiednie wartości na x, jako pierwiastki równania: x³— 3c₁a;² + 3r₂ic—c₃ = 0, na podstawie związku x=0-j-c₁, w postaci:

Xi=ci q + Vq²Ą-p³Ą- ^q— Vq²-\-p³ =C₁+Ui+Vi:

x₂ = Ci\q-\- \/q²-\-p³-\- co²^q— \/q²-\-p³=cx -\-(ouA + co²v

a?₃=Ci    q-\- \/q²4- p³Ą- oj Vq— \/q²-{-p³=ci -Pec)²^ -\-0)Vi

q=c\ — ³l₂cic₂+il₂c₂, p=c₂-c²

3. Własności równań trzeciego stopnia. Równania trzeciego stopnia posiadają własności, analogiczne do własności równań drugiego stopnia.

gdzie

(I')

Dla równania z³Ą-3pz—2q = 0, które ma pierwiastki zt, z₂, z₃, pod (I), w art. 2. podane, otrzymamy naprzód:

przeto mamy:

Dalej znajdujemy :

zi~\~ gz z3 — (,ui 4* vi) (1 4" w 4~ w2)) a że 1 -}- w -j- w²—0,

zl+z₂+z₃ = 0.

(1)

przeto :

czyli :

czyli

czyli :

zl 2:₂=W«1²-)- W²r²₁ -p (w -j- w²) ulvi)

zîz3 — ul² + %² + (w + W²)    V

Z₃Zy = lù³u\    W»j ² -p {W 4" W²)«j ,

zlz2 4* Z3Z3 4* z3zi === M1 ²(1 4- W -p w²) 4- ^ ²(1 -pw-p w²) -f 3WjVj(co -p co²) =

— 3utvt . —1 = — 3«!vt = Bp, ztz₂ + z₂z₃ -P z₃zl = Bp.

Wreszcie jest: 2₁2₂£₃ = (w₁ -p vt)(u\ -p — u^) = u³x -p r³t = 2q,

ziz₂z₃=2q.

Wobec tych związków otrzymamy dalej : (z—zi)(e—zi)(z—z₃)=z³—zi(ziĄ-z₂-[-z₃)-\-e(z₁zi -\-z₂z₃ Ą-z₃z₂)—z₂z₂z₃ = z³-\-Bpz—2q, (z—z^iz—Zt)(z—z₃)=z³ -PBpz—2q.

(10

(!■")

(2)

Pomnożywszy w końcu pierwiastki zt, z₂, z₃ kolejno raz przez 1, w², cd, drugi raz przez 1, w, w², otrzymujemy:

Wyniki otrzymane dla równania z³ -J- 3pz—2q — 0 dadzą się przenieść na równanie ogólne : x³—3c^x²    3c₂x—c₃~ 0.

Skoro bowiem x³—3cja;²-f-3r₂a?—c₃ — z³ + 3pz—2ą, przeto będzie

(H)

x³—S^x²-\- 3c₂x—c₃=(z—zi)(z—zi){z—zz)i a te z = xĄ-cl wynika stąd: x³—S^a?² + Sr₂x—c₃= (x—xt)(x—x₂)(x—x₃).

Wykonawszy mnożenia wskazane w tym wzorze, otrzymamy z porównania spółczyn-ników przy jednakowych potęgach zmiennej x następujące wzory:

(HI)

^i + *2+«3 =3c, xyx₂-\- x₂x₃-\- a^₃a?i== 3c₂, x,₁x₂æî=c₃.

(IV)

Zastępując w reszcie w równaniach (3) wartości « przez odpowiedne a?, otrzymujemy w² (pci—xi') -j- w (x₃— srt) == 3//,, w (,e₂—a?,) + w² (æ₃—»•,) = 3yt.

Mamy zatem następujące własności ogólnego równania trzeciego stopnia:

(1)    Ogólne róionanie trzeciego stopnia ma trzy i tylko trzy pierwiastki, które dadzą sie wyrazić przez spółczynniki równania za pomocą piemciastków kwadratowych i sześciennych ;

(2)    Wielomian równania trzeciego stopnia daje się rozłożyć na trzy czynniki stopnia pierwszego.

(3)    Spółczynniki równania trzeciego stopnia są kolejno równe sumie pierwiastków', sumie iloczynów po dwa pierwiastki i iloczynowi wszystkich trzech pierwiastków.

(4)    Wyrażenia niewymierne, złozone ze spólczynników, a występujące przy rozwiązaniu równania trzeciego stopnia, są wymierne ze względu na pierwiastki tego równania.

4. Rodzaje pierwiastków, równania trzeciego stopnia o spółczynnikacli rzeczywistych. Rostrząsając pierwiastki danego równania trzeciego stopnia: #³ + 3pz—2^=0, w którem spółczynniki są liczbami rzeczywistemi, przedstawione w postaci :

zl=u+v, z₂=tou+to²v, zs*=to²u + tov, gdzie

u=xy g+vv+jp³,

możemy odróżnić następujące trzy przypadki :

q²-\-p³> 0.

W tym przypadku są u i v liczbami rzeczywistemi: u=a, v = b, przeto

(1)

będzie :

a+b i\/ 3

2~ (a-b).

A zatem: Jeżeli w równaniu z³ + 3p —2g=0 jest g²-fp³>0, natenczas jeden pierwiastek jest rzeczywisty, dwa pozostałe są urojone sprzężone.

q²+p³=0.

W tym przypadku mamy u= tfq, v—\/q, przeto *1=2 Vq, »₂ = -\/q,    «3 =-Vq.

A zatem: Jeżeli w równaniu z³-\-3pz—2#=0 jest ą²-\-p³—0, równanie ma wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste, a z tych dwa równe.

g²4_f>³<0.

W tym przypadku, który zajść może tylko przy ujemnem p, otrzymu-q+ \Zq³-{-p³=a-\-bi=r(cos a+^sin a)=r.la=ra,

(2)

(3)

jemy :

q~Vą³-\-p³=a—bi=r (cos a—i sin a)=r.l_œ=r_a,

gdzie

r— \/a²-\- ô²= V/q² — q²—p³= \/ —p³, b \/—qi—pi

tang a=—— ———

Wskutek tego otrzymamy:

U—\/ra ={\yr)a*=Qa,    V=\/r_a = (\y r)-a = Q-a,

::

gdzie Q=x/r =\/—p jest wobec p<0, liczbą rzeczywistą dodatnią, przeto będzie :

Zl-=Qa + Ç-

&2 — ^ * Qcc J CO ~ Q—d — 1 2 jz • Q cc "i" 1—2iz • Q

3~ T

-cc }

a zatem

czyli

#1 — Qu + Q—

^3 — ^ Qm ~ł“ ^Q—M — 1—27i Qcc "f" 12/f Q—

T T “

#2 ~ Q u-f-2ji + Q a+2rr j Z3 —Q a—2n Q a—ïn^

a -,

~    a — 2n

-,    ^₃=2()COs—^—.

A zatem: Jeżeli w równaniu æ³ + 3pz—2q=0 jest ą²-\ p³ <0, wtedy wszystkie trzy pierwiastki równania są rzeczywiste i różne od siebie.

5. Możliwe położenia elementów podwójnych dwóch figur jednokreśl-nych. Wróćmy teraz do równania trzeciego stopnia:

J?i,

Ou

4-8,

A(s)=    A-2, B₂ s,    C₂j =0;

4l -®3> ^3 S>

od którego pierwiastków zależy położenie punktów podwójnych dwóch figur jednokreślnych, w których spółrzędne (#, y) i (£, 77) odpowiednich punktów

(a)

związane są wzorami :

jŁ₂x + B₂y + C*2

AgOJ+Pg^+Cg ’    ^    ^3

(6)

i nawzajem

7i^ + 7₂^ + 7₃

c₁g+a₂i?+tt3 71^ + 72^+73

Jeżeli równanie d(s)== 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste si, s₂, s?,i natenczas każdemu pierwiastkowi sf(*=l, 2, 3) odpowiada jeden rzeczywisty punkt podwójny (xi: yi), (*=1,2, 3), którego spółrzędne określone są trzema od siebie zależnemi równaniami, kształtu :

(<0

{4 — Si)Xi+Bi y i + C\ =0,

4 Xi+(-®2 ~~ s4i + C₂ =0,

A₃#{+B₃yi+(G₃ — Si)=0, z których którekolwiek dwa wyznaczają spółrzędne (xi} y i) punktu podwójnego P/, odpowiadającego pierwiastkowi s{- równania 4(s)=0. Dwa dane układy płaskie jednokreślne mają w tym przypadku trzy oddzielne rzeczywiste

punkta podwójne P^, P₂, Pz, a tern samem także trzy oddzielne proste podwójne PXP₂, P₂P₃ i P₃Pi, (fig. 133).

(d)

Jeżeli równanie d(s) = 0, ma jeden tylko pierwiastek rzeczywisty si, a dwa pierwiastki urojone sprzężone, natenczas otrzymamy tylko jeden punkt podwójny rzeczywisty xi,    , a dwa urojone sprzężone,

a że dwa punkta urojone sprzężone wyznaczają jedną R \ prostą rzeczywistą, (art. 8 str. 79) więc dane figury jednokreślne mają w tym przypadku jeden tylko rzeczy wisty punkt podwójny P, i jedną rzeczywistą prostą podwójną li.

Tak n. p. w figurach jednokreślnych Fi <I>, podanych w art. 5, str. 133, a związanych 8x—3y    _ 4x -\- Gy

2cc+7/+2 ’ ⁷¹    2cc+y+2

równanie trzeciego stopnia :

Fig. 133.

wzorami: Ç=

otrzymujemy na wyznaczenie punktów podwójnych

8—s, —3, 4,    6—s,

, 2,

1, 2

oo

= 0, czyli (2—s)[(8—s)(6—s) +12] — 0,

Drugim dwom pierwiastkom odpowiadają punkta podwójne urojone o spółrzędnycli :

13 + iY/ïl

-4<s+.V 11), > =

które rozpada się na dwa równania s—2=0 i s²—14$-f 60=0, ma zatem jeden pierwiastek rzeczywisty $t=2, a dwa urojone sprzężone $2=7-1-iyll, sz=l—i\/H.

Pierwszemu pierwiastkowi odpowiada punkt podwójny rzeczywisty, określony równa-

6æ—3 y = 0,

3a;-(-4 y = 0,

2» + y = 0,

(8—2)æ—8 y — 0, 4x+(6-2)y = 0,

2* + y -f- (2-2) = 0,

które wyznaczają punkt (# = 0, y — 0).

niami :

czyli

* =    (2— iV il), y

Punkta te wyznaczają prostą rzeczywistą, której równanie, na podstawie art. 8 str. 79. otrzymujemy w postaci: x -f- 3y-= 9. Dane figury F i ⁽I> (fig. 108 str. 133), mają zatem jeden rzeczywisty punkt podwójny P(0, 0) i jedną podwójną prostą rzeczywistą l o równaniu

« + 3 y—9 = 0.

Figury jednokreślne mają więc co najmniej jeden rzeczywisty punkt podwójny i jedną rzeczywistą prostą podwójną, albo mają trzy rzeczywiste punkta podwójne i zarazem trzy rzeczywiste proste podwójne.

6. Figury homologiczne, czyli jednokładne. Szczególny przypadek jednokreślności dwóch figur płaskich powstaje, gdy trzy równania (d) wyznaczające spółrzędne (x, y) punktu podwójnego, odpowiadającego pewnemu pierwiastkowi = o równania J(s)=0, sprowadzają się do jednego tylko równania. Stać się to może wówczas, gdy w tych trzech równaniach będą trzy pary spółczynników proporcyonalne do trzech jakichkolwiek liczb A, B, C, czyli gdy będzie :

Ax —o = lciA, -A-₂—k₂ A,

■^3 ⁼⁼ ^3 A j

B^k i-B,

Bo — o=k₎ B, B, = Jc₃B,

C₂=k₂C, C₃—o=k₃ C.

(«)

W tym przypadku równanie trzeciego stopnia 4(s) = 0 otrzymuje po wstawieniu wartości za A,-, BC,-, (i = 1, 2, 3), z powyższych dziewięciu równań wynikających, następującą postać:

kiAJt-o—s:

KB,

k₂ B - j- G — S, Jc₃B,

K C,

k₂ C,

k₃ C -j- o— s,

=0.

(&)

czyli a więc

(a—s)³ +(u—s)²{/j₁^t-|-/c2^+^3 C}=0,

(s - o) ²{(s — g) — (/q A + k₂ B + k₃ C)} = 0,

(<0

a zatem będzie równaniem, które ma dwa pierwiastki s₁, s₂, równe u, a trzeci Sg == o -j- k^ A -j- k-i B -j- k₃ C.

Powiadamy tedy, że to równanie trzeciego stopnia ma jeden pierwiastek g podwójny.

0,0’

G\

Fig. 134.

Jeżeli więc równanie 4(s) = 0 ma pierwiastek podwójny si—s₂ = G₁ natenczas równania, wyznaczające odpowiedni punkt podwójny, sprowadzają się do jednego równania Ax+ By-\-C=0, cechującego linię prostą, jako miejsce geometryczne punktów podwójnych obu figur jednokreślnych. Dane figury mają więc w przypadku , gdy równanie 4(s)=0 ma jeden pierwiastek pojedynczy, a jeden podwójny, / obok jednego punktu podwójnego O, jeszcze nieskoń- Ą' czoną ilość punktów podwójnych, leżących na linii prostej ABC (fig. 134).

- 166 -

Takie figury nazywają figurami homologicznemi, albo jednokładnemi, albo także środkowo kolineacyjnemi.

Punkt podwójny nazywamy wtedy środkiem kolineacyi, a prostą punktów podwójnych, osią kolineacyi.

a punkta odpowiedne leżą na linii prostej

Proste odpowiedne dwóch figur homologicznych przecinają się tedy w punktach na osi kolineacyi

przechodzącej przez środek kolineacyi, jak na fig. 134.

A,

Ti

7.    Konstrukcye figur homologiczny cli. Kolineacya środkowa jest wyznaczona środkiem 0, osią kolineacyi t i dwoma punktami odpowiedniemi A i A'. Nietrudno też dla jakiegokolwiek punktu B figury F wyznaczyć odpowiedni punkt B‘ figury homologicznej F'. W tym celu łączymy punkt B ze środkiem 0, to na promieniu OB musi leżeć odpowiedni punkt B\ łącząc zaś A z B otrzymamy prostą AB, która z odpowiednią prostą A'B‘ figury F‘ musi się przeciąć na osi kolineacyi t, przedłu-żywszy więc prostą AB aż do przecięcia się T z osią ź, po- ■— łączmy T z A‘, to prosta A‘T przetnie promień OB w punkcie B‘, odpowiednim punktowi B (fig. 135).

Fig. 135.

8.    Linie zhiegu w figurach homologicznych. Łatwo A’r wykazać, że przy środkowej kolineacyi obie linie zbiegu, / linia z figury F i linia z? figury homologicznej F‘, są równo- / ległe do osi kolineacyi, (fig. 136), określonej równaniem :

AxĄ- By + C = 0.

,    W tym razie przedstawiać się będą bowiem na mocy

związków (a) art. 6, str. 165, spółczynniki A₃, B₃ równania linii zbiegu z figury F: A₃x -\-B?iy -j- 0?= 0, jako też spółczynniki y₂ równania linii zbiegu z‘ figury ⁽I> :

Ti? + T2U + Ï3— 0,

V jako proporcyonalne do spółczynników A i B równania,

Ax + By+ C= 0, przedstawiającego oś kolineacyi.

Kolineacya środkowa staje się przeto wyznaczoną, gdy dany jest środek 0, oś kolineacyi t, jako też jedna linia zbiegu.

Fig. 136.

z.

Chcąc tedy dla dowolnego punktu A figury F wyznaczyć odpowiedni punkt A‘ figury F', (fig. 137) połączmy 0 z A i wykreślmy przez 0 dowolnąprostą OZ i połączmy Z z A, natenczas prosta ZA przetnie oś kolineacyi w punkcie T; prosta odpowiednia względem ZA przechodzi przez T równolegle do OZ —— i przetnie promień O A w punkcie A', odpowiednim punktowi A.

VA

A/-""

Fig. 137.

9. Ceclia homologii, czyli kolineacyi środkowej. Weźmy pod uwagę dwie pary punktów odpowiednich A, B i A', B\ dwu figur homologicznych, o środku 0, a osi kolineacyi i, (fig.135) I natenczas proste odpowiedne AB i A'B‘ przecinają się ~ w punkcie T na osi kolineacyi. Mamy tedy w punkcie T wierzchołek pęku, przeciętego dwiema poprzecznemi OA i OB, przecinającemi oś kolineacyi w punktach 1\ i 2’₂, będzie zatem wedle art. 5 str. 114, stosunek anharmoniczny (Orl\AA‘) równy stosunkowi anharmonicznemu (OI\BB‘), a zatem:

Stosunek anharmoniczny, podług którego punkta odpowiednie dwu figur homologicznych dzielą odstęp między środkiem kolineacyi, a osią jej, jest ilością stałą, którą oznaczamy przez K. Ten stały stosunek nazywamy cechą kolineacyi.

Wprowadzając w miejsce dowolnych dwóch punktów odpowiednich, punkta na liniach zbiegu i odpowiadające im punkta w nieskończoności, otrzymamy cechę kolineacyi, wyrażoną w postaci :

— 167

T. z. Cecha kolineacyi dwu figur homologicznych F i <Ił, określa stosunek , w jakim oś zbiegu z figury F dzieli odstęp między środkiem kolineacyi 0, a jej osią.

10. Według powyższych równości mamy :

OZ    OZ'    1

— = iT, zaś ^ = -£, skąd wypływają stosunki:

OZ TZ OT OZ' TZ' OT T r K—l ’ “T ~~K ~ 1—K

K — (OTZZ'^ ) =

Z0 Z‘^0 _ ZO ZT ' Z'n T ŹT '

z których otrzymujemy

K—l

. 0Ï’:    7’Z

-_ OT-

iń-1 *    ’

0Z‘

. 07’:    2’Z'=

oi

i-a: *

1-K

Jest zatem OZ — — TZ‘—Z‘T, a zarazem 0Z'=—TZ—ZT.

T. z. W dwu figurach homologicznych linie zbiegu z i z‘, równoległe do osi kolineacyi, dzielą odstęp OT między środkiem i osią t kolineacyi na części symetryczne (fig. 138).

Z‘

Z¹

Fig. 138.

11. Knlineacya środkowa będzie wyznaczoną, gdy obok środka 0 i osi t daną jest cecha K kolineacyi.

W tym razie otrzymamy położenie linii zbiegu z figury F podług wzoru 0Z-

OT,

K—l

jOT. Z wzoru pierwszego widzimy,

że dla Jc <Z 0 linia zbiegu z leży między środkiem, a osią kolineacyi, przechodząc dla k = 0 przez środek 0, a wpadając dla k =—oo w oś kolineacyi; dla fc>0, leży linia zbiegu zewnątrz środka i osi kolineacyi, a to dla k < 1 po stronie środka, dla k >1 zaś po stronie osi kolineacyi. Dla &=1 wpada linia zbiegu w nieskończenie daleką prostą płaszczyzny figur. Dla k~ — 1 wpadają obie linie zbiegu z i z¹ na siebie, dzieląc odstęp między środkiem, a osią kolineacyi na dwie równe części. Taką kolineacyę nazywamy kolineacyą inwolucyjną.

zaś położenie linii zbiegu z‘ podług wzoru 0Z‘

12.    Figury jednokreślne w położeniu homologiczncm. Figury jednokreślne mogą być zawsze sprowadzone w położenie homologiczne. W tym celu należy jedną figurę obrócić około punktu podwójnego o kąt zawarty między liniami zbiegu z i z‘, a więc tak, aby linie zbiegu w nowem położeniu były do siebie równoległe, co się stanie także w tym razie, jeżeli jeden układ przesuniemy, a następnie obrócimy o pewien kąt tak , aby równanie •K⁵) = 0j otrzymane na podstawie nowo utworzonych związków między spółrzędnemi {x, y) i (5, Tj) odpowiednich punktów tak powstałych figur, miało pierwiastek podwójny.

Szczególne przypadki figur homologicznych powstają, jeżeli : (1) środek kolineacyi, albo (2) oś kolineacyi, albo (3) tak środek, jak oś kolineacyi leżą w nieskończoności.

Przejdźmy te przypadki po kolei.

13.    Figury powinowate. Jeżeli dwie figury płaskie homologiczne mają względem siebie takie położenie, że ich środek kolineacyi leży w nieskończoności, natenczas nazywamy takie figury płaskie figurami powinowatemi, jak n. p. {ABC) i (A‘B‘C‘) na fig. 139, oś kolineacyi nazywamy tedy osią powinowactwa.

Jeżeli A \ A‘ tworzą parę punktów odpowiednich, natenczas otrzymujemy cechę A O 4¹0

kolineacyi K={0X TA A¹) =    =

czyli A‘T=^AT.

AOx AT A'Oœ ' A‘T

1:

AT A‘T    .

przeto będzie

A‘T

J/T_ JL AT ~~ K'

— 168 -

A zatem : Oś powinowactwa dzieli odcinki zaivarte miedzy punktami odpowiednimi w stałym

stosunku.

14.    Powinowactwo dwu figur jest wyznaczone, skoro daną jest oś powinowactwa DA' i jedna para odpowiednich punktów. Do każdego punktu B znajdziemy odpowiedni B\ jeżeli połączymy punkt A z punktem S, aż do przecięcia z osią f, w punkcie D i przetniemy promień przeprowadzony przez B równolegle do AA' prostą DA¹ (fig. 139).

BT

Jeżeli cecha k=—1, natenczas powinowactwo nazywamy symetryą osiową , punkta odpowiednie leżą tedy symetrycznie po obu stronach osi powinowactwa.

C/Q

Powinowactwo, a zarazem symetryę nazywamy ortogo-nalnemi, jeżeli proste, łączące odpowiednie punkta, są do osi powinowactwa prostopadłe.

Fig. 139.

15.    Figury podobne. Jeżeli dwie figury homologiczne mają tylko środek 0 kolineacyi w punkcie skończonym 0; natomiast oś kolineacyi t wpada w prostą nieskończenie daleką płaszczyzny tych figur, natenczas nazywamy takie figury figurami p o d o b n e m i , a ich środek kolineacyi nazywamy środkiem podobieństwa tych figur (fig. 140).

Jeżeli Ai A' są punktami odpowiedniemi dwu figur podobnych natenczas otrzymujemy, jako cechę kolineacyi, stosunek ankarmoniczny :

ET

K=(OTaoAA0

AO ATX AO A 'O ' A‘ Tm _ AM)

••1,

jest więc A‘0=~. AO.

A zatem odpowiedne szeregi punktów są do siebie podobne, a odcinki odpowiedne proporcyonalne.

16. Podobieństwo dwu figur jest wyznaczone, skoro dany jest środek podobieństwa i jedna para punktów odpowiednich A i A'. Do każdego punktu 7? znajdziemy odpowiedni ik, kreśląc przez A‘ prostą równolegle do AB i wyznaczając jej punkt przecięcia BJ z promieniem OB (fig. 140).

Fig. 140.

Jeżeli cecha K—— 1, natenczas podobieństwo nazywamy symetryą środkową, punkta odpowiedne leżą wtedy symetrycznie po obu stronach środka podobieństwa.

B⁷

17. Figury przystające. Jeżeli w dwu figurach środkowo kolineacyjnych środek 0 i oś kolineacyi leżą w nieskończoności , natenczas są dane figury płaskie figura m i przystającemu W figurach homologicznych przystających są odpowiedne odcinki równe i równoległe. Przystawanie dwu homologicznych figur jest już wyznaczone, skoro daną jest para punktów odpowiednich.

Do każdego punktu B znajdziemy odpowiedni B‘, kreśląc A‘B‘ równolegle do AB i odcinając A‘B'=AB (fig. 141).

18. Dwoistość dwu figur płaskich. Jeżeli dwie figury płaskie F i <I>, tak są od siebie zależne, że każdemu punktowi jednej figury odpowiada jedna prosta drugiej figury i nawzajem, przyczem trzem punktom leżącym na linii prostej w jednej figurze odpowiadają w drugiej trzy proste, przechodzące przez jeden punkt, natenczas takie dwie figury nazywamy figurami dwoiste mi. Oznaczmy przez (x, y) spółrzędne punktu jednej figury, a przez (w. v) spółrzędne odpowiedniej prostej w drugiej figurze, natenczas zachodzą między temi spółrzędnemi związki:

Api -f- Bp: -J- C<l V~ A₃u + B₃v + ć7₃’

C’

Atu -f- Btv -f- C\

z których otrzymujemy na odwrót:

«1^ -f xry + a₃

filx + ßiV ~t~

Tl® + T2*/ + Ï3

Fig. 141.

które dowodzą, że każdej prostej układu d> odpowiada jeden punkt układu F i nawzaj#in każdemu punktowi układu F jedna prosta układu

Sposobem przy figurach jednokreślnycli wskazanym , możemy dalej wykazać,

(1)    że każdej prostej układu F odpowiada jeden punkt układu <I>;

jednej figurze i cztery odpowiednie punkta

(2)    że cztery proste, wzięte dowolnie na na drugiej wyznaczają już dwie figury dwoiste;

(3)    że nieskończenie dalekim punktom jednej figury odpowiadają proste, przechodzące przez ten sam punkt drugiej figury;

(4)    że odległości każdego punktu jednej figury od trzech stałych prostych są propor-cyonalne do odległości odpowiedniej prostej od trzech stałych punktów.

(5)    że stosunek anharmoniczny czterech punktów w linii prostej jednej z figur jest równy stosunkowi anharmonicznemu czterech prostych odpowiednich drugiej figury.

(6)    że w dwu figurach dwoistych istnieją w ogólności trzy punkta takie, że każdy z nich ma tę samą prostą odpowiednią w obu figurach. Dwa z tych punktów mogą być urojone sprzężone, jeden jest zawsze rzeczywisty.

Ćwiczenia XII,

1)    Podać pierwiastki równań: (a) x³—a³ — 0, (b) a?³-|-a³=0, (c) (a—x)³—(x—b)³.

2)    Rozwiązać równanie x³ax²-\-i/₃a²x = b.

8) Równanie x³-{- px -f- q = 0 sprowadzić do równań drugiego stopnia, względnie dwu-wyrazowych trzeciego stopnia i rozwiązać za pomocą następujących podstawień:

(1) x — u-\-v (metoda Carda na), (2) x=\uv(u-\-v) (metoda Lacroix’a); (3) x²Ą-vx-\-w — y, (metoda Tschirnhausena) ; (4)x—y-\-zy², ?/²=v, (metoda Eulera); (5) x=ziy-\-ziyi, y³—1=0 (metoda Bózouta).

4)    Równanie x³-\- ax'ź -f bx + c — 0 rozwiązać za pomocą następujących podstawień:

(1) x=-^a + z-\-

a¹— 2 b

g- ■,    (2) x = u + v+w.

5)    Rozwiązać następujące równania trzeciego stopnia :

(1) x³-63x-162 = 0; (2) x³-hxĄ-^=0 ; (3) x³-V2x²+ 47*—60= 0 ; (4) x³-9æ² + 23®—IB =0; (5) x³— lhc²-|-36a;—36= 0; (6) a:³-10.x²+29a:-20=0; (7) aj³+3cc²-6a:—8 = 0 ; (8) æ³-3x+2—0 ; (9) »³-24«-48 = 0; (10) *³-6a:²+llœ-6 = 0.

6)    Dowieść , że (a) pierwiastki równania x³-\-cix²Ą-bxĄ-c=0 przedstawiają się w postaci :

x——

-jj- +    y₂(2a³-dab + 27c) + y₂ Y/(2a³-9ab + 27c)²-4(a²-36)³ +

+ y₃(V^l )²V^—ś(2a³—9ab + 27c)— \ V/(2a³-9«6+27c)²—4(o²—Sb)³, (wzór Lagrang e’a);

(b) pierwiastki równania x³—3ctx²-{- 3c₂x—c₃=0 zaś w postaci:

* = <*+V^1 V\ (2ci ³-3c₁o₂ + c₃)+j y/(2c,³-3ctc₂+ c₃)²+4(c₂-ct ²)3 (2^-3c^ + Cs)- i VW-3^ + c₃)²+4(c₂-Ô³.

7) Dowieść, że jeżeli w równaniu trzeciego stopnia x³ax² ~\-bx-\-c — 0 jeden picr-

x₂+ *₃

wiastek (a) jest średnią arytmetyczną dwóch innych : xt

natenczas : 2a³—9a&-f- 27c=0;

(ib) jeżeli jest średnią geometryczną dwóch innych, x^—\/x₂x₃, natenczas a³c—b³— 0:

(c) jeżeli jest średnią harmoniczną dwóch innych x₁ =

2x₃x3 *2+»₃’

natenczas : 2b ²—9abc -f- 27c² — 0 ;

(d) jeżeli dwa pierwiastki są równe, ale przeciwnego znaku, xx=—,x₂, natenczas ab—c — 0.

8) Równanie trzeciego stopnia x³Ą-px-\-q—0 ma pierwiastki:

- 170 -

które możemy wyznaczyć goniometrycznie w sposób następujący: (a) Jeżeli p*>0 podstawiamy ^- = ^-tg²«, a więc

4p³

27 (f

•tg²«, natenczas otrzymujemy:

3 _

i /l—cos al V Sin « / ’

3    3    3    3    3

■=— Vï{ \/ °ot* -S- —    '

3_

=    dostajemy xt=— ^/-|- (cotg ß—tang ß), a więc

= ^/|(c°tg2p + i^|F),    (cotg2fi

a kładąc

1+ cos a sin «

czyli a?!

*i=—² y/y cotg 2 ß,

•'i

V/3

(jeden pierwiastek rzeczywisty, dwa urojone).

(p) jeżeli p<0, a więc równanie ma kształt x³—px + 2 = 0, a pierwiastki:

sin2ß

3__

.-yrf-ł+JŁ

Ł+(\>D

² Ve!

, przyczem

27’

p 3    ^ 2

natenczas podstawiamy    sin² a i otrzymujemy:

3__

.3/—/ . /l + COS a

*i=-]/2\)/—2--

3_ 3 _____

=- ]/? cos² -j{l+ y/tg² j.

\j¹—^Li}=-^Ą\lcos2i+ \/sin!l}=

3 _

skąd kładąc

I SÜCO

. cotgß, dostajemy

»i=—

V cotg ß

3 cos² ß

3 ‘ sin 2 ß’

3 cotg2ßJ,    a:₃ =    {gin2 ß- —» V/3 cotg2ß}.

V 3 \sin2 ß

(jeden pierwiastek rzeczywisty, dwa urojone). g² <P³

(c) jeżeli zaś przy p <C 0, jest i otrzymujemy

27

r/²

p³

natenczas podstawiamy    sin² a,

*i=²\/

I +CO

=²VłBin(⁶o’-ł)

•r::

“²Vf sin(e0”+l)

n -g"? æ2

(wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste).

Rozwiązać tą drogą następujące równania :

(1) a:³+7aî + 3 = 0,    (2) x³—7x-{-11=0, (3) :z³-7a + G=0, (4) x³ + lia;²—102^+181=0,

(5) æ³+ 2x²-30^ + 39 = 0.

(1)

(4)

9) Wyznaczyć wartość niewiadomej s z następujących równań : 3—s,    3, —5,

1, 8—s, —8,

1, 2—S,

2,    3,

= 0, (2)

5—s,

3?    _5?

1, 10—s, —8, =0,    (3)

1, 4—s, .

1—

4,3 s,

6,

7,

= 0, (5)

-2,

³/₂-s, Vs, -⁵/s, Vs, — ⁵/î, 1,

3, -5,

6—s. —8, = 0, 1, s,

= 0, (6)

a+6+c —a,

1,

a,

c+a, a+1—s,

a+ó,

A =0,

1, c+a—s,

8, i s,

10)    Dowieść, że równanie s³ + ps+g,=0 ma pierwiastek podwójny sl=si=—³/ip/q, skoro 4p³+27j²=0.

11)    Znaleźć punkta podwójne figur jednokreślnych, związanych relacyami :

•Ç

3cc

//

⁷¹    4y-3 •

12) Dowieść, że gdy w dwóch figurach homologicznych trzy punkta jednej figury, położone na tej samej linii prostej, nakrywają odpowiednie punkta drugiej figury, natenczas wszystkie punkta tej prostej, są tak samo punktami podwójnemi, a figury są homologiczne, * czyli środkowo kolineacyjne.

4y—3

171 —

13)    Oś kolineacyi t wpada w oś X'X(y— 0) a środkiem kolineacyi jest punkt <S'(0, 1), wyprowadzić wzory kolineacyi, jeżeli punktowi A{»=y₂), odpowiada punkt A'(»=³/₂), wyznaczyć linie zbiegu i cechę kolineacyi.

14)    Dwie figury homologiczne określone są wzorami:

^M+Ąy+ci

A₃x-\-B₃y-\-c₃    ⁵

odniesionemi do pewnego układu prostokątnego; dowieść, że zmianą punktu początkowego, i kierunków osi układu, można te wzory sprowadzić do postaci:

Mxx

Jä+By+C MX

Ax-\-By-{-C ’ ⁷‘    Ax-\-By-\-C ’

środkowo kolineacyjne o środku S (0,0), osi t (AxĄ-By-{- C—M— 0), liniach zbiegu z(Ax-\-By-\- C—0) i s\Ać-\-Bti~M= 0) i znaleść odległość środka S (a) od osi t, (b) od linii zbiegu z, (c) od z', (d) odległość z od t.

16) Znaleźć środek S, oś t i linie zbiegu z i z' dwu układów homologicznych, określonych wzorami : ij

A^x -\-B%y -f- C₂

A₃x -\-B₃y -\-C₃

?/==

Ax+By-\-C

15) Dowieść, że wzory Ç

MY

cechują dwie figury

a? 4- y—1

⁷¹    x-\-y—1‘

Bozwz wiązania XII. 1) (a) Ą-a, <* w, au², (b) —a, —a.w, —a.w², (c)    -f- ó),

4(a + &)±K«-6)»V3. 2)»₁₌—|-

w=V^l- 3) Dochodzi się do wzoru

(2)    **³*>³=-3p, **³-f v'=9q/p.    (8) y³=-Ç (»4-73-f-) ₅ w=*/₃p, ®=— ^-(¹/2? + V/l/4?²+¹/27P³)

(4)    3zr =—p,    »-i-z³v²——q,    r² -J- g»—‘AtP³ —0-    (5) Wyrugowawszy y    i y² otrzymuje się

»³—SzjZj»—(z^-f z₂³) = 0, więc Szjz^—y, zt³ + s₂³ =—g. 4) (1) z³    = 0, gdzie

^=7₂v(2a³-9aft -f- 27c), C=i/m{ai—3ó)³, (2) ** =—y₃a, **²—vw=$b, u³ -f- r³-}-*#³—3uviv——c. 5) (1) -6, 3(1±.V2); (2) 1, Vj±V6*VB1; (3) 3, 4, 5 ; (4) 1, 3, 5 ; (5) 2, 3, 6 ; (6) 1, 4, 5; (7)    2, 4, —1;    (8) 1, 1, —2;    (9) 5-69464, —2-84732+0-532*; (10) 1, 2, 3.    6) Podstawieniem

z—y₃a,    dochodzi się    do równania z³ -f- 3pz — 2q = 0, gdzie    p =—‘AC«² — 3ft),

q——y6ł(2a³—9ai + 27c). 7) Wskazówka a——(ajj 4-x₂d-a-₃), i = a:₁»₂-|-»₂»₃-|-»₃»₁, c——xixix₃. 8) (1)^ =—0-4181286, x% i ^₃=0-209064+*2-67042; (2) ^=-3-226362, »₂ i »₃=l-613181±*0-898365.

(3)    xi=l, »₂=2, »₃=-3; (4) »t= 3-22952, »₂= 3*21313, x₃=-17-44265; (5) ^=-7-04452,

»2=3-43087, .r₃=l-61365. 9) (1) ^=1, (2) ą=3, (3) st=-1, (4) st=-2, (5)    (6) st=a.

11) Fgury środkowo kolineacyjne y = 0 oś kolineacyi, S(0, 1) środek kolineacyi.

—3»    y

4y—3 ’ ^ 4y—3 ’ *

27 + b’

Oardana, przyjmując w (1) **³-|-*>³ =—5, u³v³——y₂₇p³,

13) 5 —

C—M

\Za?+b*' v“' y/A^B²’

* (* + y—1 = o), z'(£ + rj —1 = 0).

15) (a)

C'

-5

3»)

4r)-l ’ V

Y/AH-b²’ ^

-M

4JPÏ» fc=—Vs» <2/ =³/ł)j *'(»!—Yi)-

16) 5(0,0), *(» + y-2 = 0),

\At²+/ï²’

Literatura. H. Kaiser. Einführung in die neuere analytische Geometrie, Wiesbaden 1887. B. J. Magnus. Sammlungen von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie, Berlin 1883. B Niewęgłowski. Cours d’algèbre, Paris 1889. J. Petersen. Theorie der algebraischen Gleichungen, Kopenhagen 1878.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Goniometryczne rozwiązywanie równań trzeciego stopnia.

2.    Teorya figur powinowatych.

3.    Analityczna teorya figur dwoistych na podstawie spółrzędnych trójkątowych.

Wykład XIII.

Koło na płaszczyźnie.

1. Równanie koła. Szukając punktu P(x, y), któryby leżał w jakim kolwiek kierunku, z danego punktu G’(£, fj), (fig. 142) wychodzącym, w pewnej

stałej odległości r od punktu wyjścia, otrzymujemy na wyznaczenie spółrzędnych tego punktu równania :

(1)

y=rj-\-r sin X,

ty

gdzie X jest dowolnym parametrem.

r-x

Fig. 142.

Dla każdego X otrzymujemy przy stałych wartościach £, rj, r, pewien punkt (x, y), a zbiór tych punktów tworzy formę krzywą jednowymiarową, zwaną linią kołową, albo krótko kołem. Ponieważ równania (1) podają przy zmiennem X wszystkie punkta koła, dlatego nazywamy je też równaniami koła z jednym dowolnym parametrem X.

Możemy też z obu równań wyrugować parametr i, co nastąpi, gdy równania owe w postaci : x~£=r cos X, y—y = rsinX, podniesiemy obustronnie do kwadratu, a następnie dodamy; otrzymamy tedy jedno równanie między spółrzędnemi (x, y) punktu na kole, w postaci :

(2)

(x—£)² + (y-??)²=r²,

które nazywamy też zwyczaj nem równaniem koła.

Na odwrót wszelkie równanie tej postaci przedstawia koło o środku (£, rj) i o promieniu r. Równanie to wypowiada bowiem własność koła, polegającą na tern, że odległość każdego punktu (x, y) na kole od punktu (£, 77), zwanego środkiem koła, jest stale jednakową, a tę stałą odległość r nazywamy też promieniem koła.

2. Ogólne równanie koła. Wykonawszy działania wskazane w równaniu: (x— £)²+(y—rj)²—r² i przeniósłszy wszystkie wyrazy równania na jedną stronę, otrzymujemy:

x²-\-y²—2|ic — 2î7«/ + (£² + ?7²—r²)=0

skąd, kładąc 2£=—a, 2t]=—ó, £² + T7²—r² = c, dostajemy równanie:

x²+y²+ax+by + c=0, zwane ogólnem równaniem koła.

Widzimy z tąd, że ogólne równanie koła w spółrzędnych, odniesionych do jakiegokolwiek układu prostokątnego, jest zawsze równaniem stopnia drugiego, które nie ma wyrazu z iloczynem xy: a przy wyrazach x² i y² ma równe spółczynniki.

(3)

Ogólne równanie koła zawiera trzy dowolne społczynniki a, b, c, od których zależy położenie i wielkość koła na płaszczyźnie, z czego wnosimy, że na płaszczyźnie istnieje wogóle oo³ kół, a mianowicie oo² kół o pewnym stałym promieniu, czyli równych kół, tudzież oo¹ kół o pewnym stałym środku f,77, czyli kół współśrodkowych.

3. Wyznaczenie środka i promienia kola. Z ogólnego równania koła: x²-\-y²+ax+by-\-c=0 można wyznaczyć spółrzędne £, 77, środka i promień r koła, sprowadziwszy to równanie do formy zwyczajnej: (x—£)² + («/—r\)'Ł=rcl. W tym celu, uzupełnimy obie pary wyrazów ogólnego równania do zupełnych kwadratów, a otrzymamy :

a²    b²

x²+ax+-fy² + bx +    —

a²

— c, czyli :

(,₊iy₊

4 +

więc {x—i)² + (y—7/)²=r²,

, są spółrzędnemi środka

Ja²    6*

r“VT+T

gdzie    g-

promieniem koła.

4. Koło rzeczywiste i koło urojone. Koło, dane ogólnem równaniem %2jry² + ax + by + c=0₁ jest rzeczywistem kołem, jeżeli    c, wtedy bo.

wiem jest r² liczbą dodatnią , a promień r koła o środku (£, 77) wyraża się liczbą rzeczywistą. Jeżeli zaś 4-^-<(c, tedy r² jest liczbą ujemną, a pro-

• f    f    •    •    •    I q[2 J'2

mień r koła o środku (f, 77) wyraża się liczbą urojoną yc——— — =p\/Hf; koło o promieniu urojonym pV/—1 nazywamy też kołem urójonem. Koło takie ma wprawdzie rzeczywisty środek (£, 77), ale nie ma żadnego punktu rzeczywistego na płaszczyźnie.

Jeżeli w końcu

77=-

a²

natenczas jest r², a tein samem także r

T ⁺ T=c

równem zeru; koło takie o środku (£,77) jest kołem o promieniu zero, czyli sprowadza się do jednego punktu, którym jest środek (£, 77) tego koła, przez który przechodzą dwie proste urojone sprzężone, przedstawione równaniami: (%—Ź) + i(y—V)=(x—£)—i(y—r])=0.

5. Szczególne położenia koła. Szczególne położenia koła zależą od wartości spółczyn-ników a, b, c, ogólnego równania, czyli od spółrzędnych 5, rj środka tego koła.

Jeżeli środek C koła leży w początku układu, Ç —0. 73 = 0, (fig. 143.) natenczas rów-

X¹    y²

nanie koła sprowadza się do postaci: a?²+7/² = 7’², czyli do postaci odcinkowej : —2 + —3 =

1.

Y'

Fig. 143.

Równanie koła <r²-j-f/²=r² można także napisać w postaci y²—r²—x¹, albo ?/²=(r-J-a:) (r—x), zatem y = YY(t* + a*)(f—æ), co wypowiada, że w każdym kole prostopadła do średnicy jest średnią geometryczną między obu odcinkami średnicy: MŃ¹ —NA¹. NA, (fig. 144.)

Fig. 144.

— 174 —

brzmi :

Jeżeli środek koła leży na osi OX, natenczas ż=p, *i = 0, więc równanie takiego koła (x—pY -|- v/² = r², czyli: x¹ -f- iß—2px — r²—p'¹.

Jeżeli nadto p = r, (fig. 145.), natenczas otrzymujemy równanie koła, którego obwód przechodzi przez początek układu, a środek leży na osi 0X :

xi-\-y‘²‘—2px = 0, czyli y‘¹ — 2px— cc²,

które nazywamy zwykle równaniem w i erze hołko wem koła, odniesionem do układu prostokątnego, którego oś 0X przechodzi przez środek koła. Podobnie otrzymamy.równanie koła, którego środek leży na osi OY, a więc ma ; = 0, r\ — q, w postaci    2q y=r'i—q²,

a dla q = r równanie wierzchołkowe koła odniesione do układu, którego oś OY przechodzi przez środek koła w postaci: æ² = 2ry—y².

Jeżeli ę=»*i=r, (fig. 146.), natenczas równanie koła otrzymuje kształt:

(x—r)²Ą-(y—r)² = r², czyli cc² -}- y²—2r(x-\- y) -f- r² = 0, x'¹    y’l-\~r’l—2r{x-\-y)-

su

><

-------«-b

Fig. 145.

Fig. 146.

Do powyższych postaci możemy sprowadzić równanie każdego koła za pomocą stosownej zmiany początku układu.

pomocą wzorów transformacyjnych: x=ęcoscp,

za

6. Równanie kola w spółrzędnych biegunowych. Oznaczmy przez ({?₀, <jd₀) spółrzędne biegunowe środka G koła o promieniu r, a przez (q, cp) spółrzędne biegunowe jakiegokolwiek punktu M linii kołowej, a otrzymamy ze zwyczajnego równania koła y—r sin cp, albo też wprost z figury, na podstawie twierdzenia Carnota (fig. 147.) równanie: p² + ę>²₀ — p₀cos {cp — <p₀)=r², czyli q²—2q ç>₀cos {cp—cp(j)=r²—p²₀, jako równanie biegunowe koła o środku (p₀, cp₀) i o promieniu r.

Przeprowadzając oś biegunową przez środek G koła (fig. 148.), mieć będziemy równanie biegunowe koła: q²—2q ę₀cos cp=r²—q²₀.

Jeżeli oprócz tego za początek tego układu przyjmiemy jakikolwiek punkt linii kołowej, tedy będzie p₀=r, (fig. 149.), a równanie biegunowe sprowadza się do postaci: q—2rcos<p=0, czyli: q — 2rcosep, co dowodzi między innemi, że kąt w półkolu jest prosty.

■sr

y’

'X

Fig. 148.

Fig. 147.

Fig. 149.

Jeżeli w końcu sam środek koła przyjmiemy za początek układu, tedy będzie p₀=O, <jp₀=O, a więc równanie biegunowe koła będzie brzmiało: q—v.

Rzucając środek O prostopadle na osie układu w punktach D‘ i D" mamy

4    ß

0-D'= 5    7) cosy, OD" +5 cos y, zatem jest OD' —--, OD"=——. Możemy więc na

podstawie równania koła, danego w spółrzędnych ukośnokątnych, wyznaczyć środek koła

A

prostą konstrukcyą geometryczną. Mianowicie odcinamy na osi OX długość OD¹ =---—,

Z

ÿ

a na osi O Y długość 0D"= —— i kreślimy w punktach D' i D" prostopadłe D‘C i D"C, to te prostopadłe przetną się w środku C koła , równaniem określonego.

8. Koło i punkt. Linia kołowa dzieli płaszczyznę na dwie części, z których jedna zawarta jest zewnątrz, druga wewnątrz koła. "Wszystkie punkta (%, y), leżące na obwodzie koła o środku (f, if) i promieniu r, czynią zadość rów-

èy

-p naniu : (x—£)² + (y—fj)²—r²— 0. Dla punktów (%, y) f znajdujących się wewnątrz, lub zewnątrz koła nie sprawdza się to równanie. Wyraz (x—^)2jr(y—f])²—r2 nie będzie dla'tych punktów równy zeru, tylko będzie y pewną liczbą dodatnią, lub ujemną, którą nazywamy potęgą punktu Pze względu na dane koło.

X-

Fig. 151.

7. Równanie koła w spółrzędnych ukośnokątnych. Niech będzie dany układ ukośno-kątny XOY o kącie osiowym y, (fig. 150.), do którego ma być odniesione koło o środku C i o promieniu r. Oznaczmy przez 5, tj, spółrzędne ukośnokątne środka C, a przez cc, y spół-

rzędne punktu bieżącego P, natenczas ze zwyczajnego równania koła, odniesionego do układu prostokątnego, na mocy wzorów transformacyjnych art. 6., str. 39., albo wprost na zasadzie wzoru o odległości dwóch punktów, danych w spółrzędnych ukośnokątnych, art. 27. wz. (ba) str. 33. otrzymamy :

(x—5)²-f (y—ri)² -j- 2(x—5) {y—r\) cos y = r², jako równanie koła w spółrzędnych ukośnokątnych.

Po wykonaniu wskazanych działań sprowadza się to równanie do postaci :

D/

C/

x² + y² + ‘Zxy cos y H⁻ Ax -ł- By -j- <7=o,

A = —2(5 -j- rt cos y), B — —2 (r\ -j- 5 cos y)

(7= 5² -f 7)² -f 25 7) cos y — r².

Ogólne równanie koła w współrzędnych ukośnokątnych jest więc także stopnia drugiego, ma jednak obok spółczyn-ników równych przy x² i y² także pewien spółczynnik przy xy, jakiego nie ma w równaniu koła, odniesionem do układu prostokątnego; spółczynnik przy xy jest przytem =2cosy, jeżeli spółczynniki przy cc² i y² są równe jednostce.

X gdzie

Fig. 150.

Z ogólnego równania koła w spółrzędnych ukośnokątnych możemy wyznaczyć środek (5, 7j) i promień (r) koła , za pomocą powyższych trzech relacyi. Mianowicie będzie :

j. Pcosy— A ^ -4cosy—P

2sin²y ’ ^    2 sin²y

, r²

A²-\-B²—2 AB cos y—4 Csin² y

4 sin²y

Oznaczmy przez d odległość punktu P(x: y) od środka koła, a otrzymamy d²=(x—£)2jr(y— f])². Jeżeli punkt P *X leży zewnątrz koła, natenczas jest d)> r, a wyraz: (x—£)²+(y—ff)²—r²==d²—r2 jest wtedy liczbą dodatnią i przedstawia geometrycznie kwadrat długości stycznej PT, jaka z punktu P da się wykreślić do danego koła (fig. 151.).

Jeżeli punkt P(x,y\ leży wewnątrz koła, natenczas jest d<(r, a wyraz (x~i)²+(y—v)²—r2 jest tedy liczbą ujemną = — (r²—d²), która, bezwzględnie wzięta, przedstawia kwadrat połowy najkrótszej cięciwy, przechodzącej przez punkt P. Jest bowiem CP²=r²— d². (fig. 152.).

- 176 -

ii

A zatem odnośnie do koła o środku (|, ij) i promieniu r będzie wyraz (x— £)² + (y—7])²—r²^> 0, czyli dodatni „p²“ dla punktów zewnątrz koła, zaś <0, czyli ujemny „— p2U dla punktów wewnątrz koła, przyczem p przedstawia w pierwszym przypadku odległość punktu P od obwodu koła, mierzoną w kierunku stycznej, w drugim odległość punktu P od obwodu koła, mierzoną w kierunku prostopadłym do najkrótszej odległości punktu P od środka koła.

9. Koło i linia prosta. Niech będzie dane koło : x²-\-y²=r² i prosta dowolna: Ax+By-{-C=0, której X' równanie napiszemy w formie normalnej :

-X

x cos qp -\-y sin cp=p,

natenczas na oznaczenie punktu wspólnego danemu kołu i danej linii prostej otrzymujemy dwa równania o dwóch niewiadomych x, y, jako to x²-\-y²=r², cc cos cp-\-y sin cp—p. Metodą porównania otrzymujemy na wyznaczenie spółrzędnej cc równanie : p — cc cos cp

Fig. 152.

a więc :

A"

i/r²— cc²

a stąd

p² + cc²cos²<p—2pcccos cp=(r²—cc²)sin²<p, czyli: cc²—ÿpx cos cp=r² sin² cp—p², cc— p cos cp ± sin cp\/r²—p²

sin cp

x-

a zarazem

Fig. 158.

P—f-C0S =p sin cp~F cos cpVr²—p². sm cp

Otrzymujemy więc dwie pary wartości na cc i y, jako to: x₁ =pcos ęj+sin cp\/r²—p², yx =p sin cp—cos cp\/r²—p², jakoteż:    x₂—p cos cp—sin cp\/r²— p², y₂=P sin 9) -fi cos cp\/r²—p².

a zatem dwa punkta wspólne (cc1? yA) i (cc₂, y₂). To znaczy: W szelka prosta przecina koło w dwóch punktach. Te punkta są albo:

(1) oba rzeczywiste i różne , co zachodzi wtedy, gdy p<Cr, t. z. gdy odległość prostej od środka koła jest mniejszą od promienia, albo: (2) oba są rzeczywiste i tesame, t. j. wpadają w jeden punkt, co zachodzi wtedy, gdy p=r, t. z. gdy odległość prostej od środka jest równa promieniowi , albo (3) oba są urojone i sprzężone, co zachodzi wtedy, gdy p>>r, t. z. gdy odległość prostej od środka jest większa od promienia. W pierwszym przypadku mówimy, że prosta jest sieczną koła, w drugim—, że jest styczną koła, w trzecim—, że leży poza kołem, mając dwa urojone sprzężone punkta z kołem wspólne. Środkiem odległości tych punktów jest punkt, w którym prostopadła do linii prostej, ze środka koła wykreślona , przecina tę prostą (fig. 153.).

10. Dwa koła. Niech będą dane dwa koła, jedno Ki o promieniu ri i środku (|t, %), drugie K₂ o promieniu r₂ i środku (£₂? %)> przedstawione równaniami: Ki=(x—ii)²-\r(y—^l)²-ri ²=0; K₂=(x-Ç₂)+(y—tj₂)²~ r₂²=0, natenczas spółrzędne x, y punktów przecięcia tych kół sprawdzać będą także równanie Kx —K₂ =0, czyli równanie :

2(^₂ — ^1) aj-h2(?;₃ — %)y+k=0, gdzie k=(§\ +rj\— r\)—(£²₂ + 1?²₂—r\).

Równanie to jest ze względu na x i y stopnia pierwszego, przedstawia więc linię prostą, która przechodzi przez punkta przecięcia dwóch

danych kół. Prosta ta, ze względu na to, że dla każdego z jej punktów 7T, — K2 jest zarazem miejscem geometrycznem punktów, mających równe potęgi względem kół danych, t. j. miejscem geometrycznem punktów, z których styczne, do kół danych wyprowadzone, są sobie równe. Prostę tą nazywamy wspólną sieczną, albo także osią pierwiastną dwóch kół Ki i K₂.

Porównując równanie zwyczajne tej osi: y

h.__h X—

%~Vl

z rów-

naniem zwyczajnem prostej, przechodzącej przez środki Cx(jż\ > V\) i ^₂(§₂> V2)

danych kół: y—yi =

% - V\

ii-ii

zauważymy, że oś pierwiastna dwóch kół

jest prostopadłą do linii prostej , łączącej środki tychże kół.

Powyższe własności osi pierwiastnej dwóch kół dowodzą, że oś pierwiastna istnieje zawsze bez względu na to, czy dane koła przecinają się w punktach *“ rzeczywistych (jak na fig. 154.), czy też w punktach urojonych sprzężonych, (jak na fig. 155.). W pierwszym przypadku tą osią jest prosta, łącząca oba rzeczywiste punkta A, B przecięcia się dwóch kół, w'drugim

c,

C,

o¹

Fig. 154.

Fig. 155.

przypadku zaś należy ją wykreślić na podstawie jeęlnej z własności osi pierwiastnej n. p., że przechodzi przez środek A jakiejkolwiek wspólnej stycznej TjTj, obu kół danych, prostopadle do linii środków.

11.    Punkta kołowe urojoue. Każde koło: x² -f- y²-\-2ax-\-2by -f- c=0, posiada oprócz 001 punktów rzeczywistych (x, y) jeszcze 00² punktów urojonych sprzężonych, po dwa na każdej linii prostej. Na szczególniejszą uwagę zasługują te dwa punkta urojone, które leżą na prostej nieskończenie dalekiej. Ponieważ dla tych punktów, wobec x = 00, będzie

y²    y

l+^j=0, a więc —=+i, przeto poznajemy, że każde koło przechodzi przez te same dwa

punkta urojone w nieskończoności, położone w kierunkach urojonych, określonych wzorem tg'*=+#. Te stałe punkta urojone, położone w nieskończoności, a wspólne wszystkim kołom płaszczyzny, nazywamy punktami kołowemi urojonemi.

12.    Trzy kola. Trzy dane koła o równaniach :

Kt=(x—li)²+(«/-»?i)²-^²₁ = 0, 7T₂ = (x— ź₂)²+(y — %)²— ^²2 = 0,

.    .    ,    . K?.= i?— ^)²+(«/-^₃)²-.r23=°J

prowadzą do trzech osi pierwiastnych o równaniach: Kl—K₂=0, K₂—2T₃ = 0,

—    0. Suma tych

równań daje tożsamo-ściowo 0=0, a więc osie pierwiastne trzech kół przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem pier-wiastnym trzech kół. Środek pierwiastny jest punktem jednakowych

c;

C,

Fig. 156.

Ct

£>

Fig. 157.    potęg względem trzech

'lanych kół, czyli punktem, z którego wyprowadzone styczne do trzech kół

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

12

- 178 -danych mają jednakowe długości. Koło, zakreślone ze środka pierwiastnego promieniem równym tej długości, przecina wszystkie trzy dane koła pod kątem prostym.

Za pomocą środka pierwiastnego trzech kół, możemy wykreślić oś pierwiastną dwóch kół, nie przecinających się w punktach rzeczywistych. Mając wykreślić oś pierwiastną dwóch kół i K₂₁ przecinamy je dowolnem trzeciem kołem X₃. Koło K₂ daje z kołami Ki i K₂ dwie osie pierwiastne, przecinające się w punkcie B, przez który przechodzi także szukana oś pierwiastną, prostopadle do prostej CiC₂.

13.    Pęki kół. Ogólne równanie wszelkich kół, przechodzących przez punkta przecięcia dwóch danych kół :

^1=0—li)² + (y—%)²—r\=0, K₂ = (x—Ç₂)² + (y—y₂)²—r²₂=0 brzmi: Ki—AK₂=0, gdzie A jest dowolnym parametrem. Równanie to rozwija się bowiem, jako równanie stopnia drugiego w spółrzędnych x i y, odpowiadające kształtem ogólnej postaci równania koła w spółrzędnych prostokątnych, a zarazem spełnia się dla tych spółrzędnych x, y, które spełniają równania danych kół, jest więc w istocie równaniem pewnego koła, przechodzącego przez punkta przecięcia kół i K₂.

Szczególne położenie takiego koła zależy od parametru A, a wszystkie te koła tworzą układ oo¹ kół, czyli tak zwany pęk kół, wyznaczony przez dwa dane koła Kx i K₂. Każde koło tego pęku ma równanie Ki—ż/iT₂ = 0,

t. z. w każdem kole, należącem do pewnego

Z*

z którego wypływa

pęku, odpowiadającem pewnemu parametrowi A, stosunek potęg każdego punktu tego koła względem dwóch danych kół jest liczbą stałą, równą wartości parametru A.

Jeżeli A— 1, natenczas koło pęku przechodzi w prostą:

Jfi — K₂=2(£₂ -ii)x+2(% - %) y + 7v=O,

czyli w oś pierwiastną danych kół. Wszystkie koła danego pęku mają więc wspólną oś pierwiastną.

14.    Przyjmijmy oś pierwiastną dwóch danych kół Kj i X₂, jako oś YY',

a linię, łączącą środki Ci i C₂ danych kół, jako oś X'X, (fig. 158.), natenczas jakiekolwiek koło pęku będzie miało równanie :

czyli : "X albo ;

{x — |)²-f y²— r²= O, x²+y²—2£xĄ-£;²— r²=0, x²Ą-y²— 2^+p—O,

gdzie p—^² — r² jest potęgą punktu początkowego (O, 0) względem tegoż koła danego pęku.

Fig. 158.

Ponieważ jednak przyjęty początek układu leży na osi pierwiastnej , a ta jest miejscem geometrycznem punktów, które mają równe potęgi względem dwóch kół, a zarazem i wszystkich kół danego pęku, przeto jest potęga p punktu początkowego stałą dla wszystkich kół pękli.

Równanie któregokolwiekbądź koła tego pęku, odniesione do układu, którego oś Y Y jest osią pierwiastną, a oś X'X przechodzi przez środki kół, otrzymuje więc kształt: x²-\-y²—2^-fp~0, gdzie p = ^²—r‘² jest liczbą stałą, a | przedstawia odciętą środka C owego koła. Zajść tu mogą dwa przypadki:

Pierwszy przypadek: stała p = £~— r²=c² jest liczbą dodatnią, po-czątek układu leży zewnątrz wszystkich kół takiego pęku: x²Ą-y²— 2|æ-4-c²=0; koła te nie przecinają się wcale w punktach rzeczywistych, tylko w urojonych sprzężonych: rr=0, y=+V/—c²⁼⁼ i.cV/—1 a leżąc symetrycznie po obu stronach osi pierwiastnej, mają promień r==V/^²— c², przyczem odcięta £ musi

Fig. 1B9.

być większą od c. Dla f=+c sprowadzają się odpowiednie koła do kół o promieniu zero, czyli dwóch punktów, leżących symetrycznie względem osi pierwiastnej w odstępie c. Ponieważ punkt początkowy (0, 0) ma stałą dodatnią potęgę c², względem wszystkich kół pęku, przedstawionych równaniem x²-\-y²— 2£:r-bc²=0, gdzie £ jest dowolnym parametrem, przeto wszystkie styczne, jakie z punktu początkowego 0 do kół tego pęku poprowadzić się dadzą, są między sobą równe; koła tego pęku przecinają więc pod kątem prostym koło rzeczywiste, o środku 0 i o promieniu c. Taki pęk kół (fig. 158.) nazywamy pękiem hiperbolicznym.

Drugi przypadek: stała p—ê,²—r²=—c² jest liczbą ujemną, początek 0 układu leży tedy wewnątrz wszystkich kół, należących do pęku. Koła takiego pęku, przedstawionego równaniem : x²-\-y²—e²=0, przecinając się w dwóch

-x

XI

Fig. 160.

punktach rzeczywistych: Aix—0, y=-}-c), B(x=0, y——c), leżących na osi YY‘ jako osi pierwiastnej tych kół, leżą równocześnie po obu stronach tej osi, mając promień r=Y/£²-f-c².

W pęku tych kół nie ma kół o promieniu równym zeru; najmniejsze koło ma promień równy c, a środek w początku układu ; promieniami innych kół są odległości ich środków C od punktów A i B. Taki pęk kół nazywamy pękiem eliptycznym (fig. 160.).

Trzeci przypadek: stała p=0, początek układu leży tedy na obwodzie każdego koła. Wszystkie koła pęku: x² \ y²—2£x=0, są styczne do osi YY¹. Taki pęk kół nazywamy pękiem parabolicznym.

15.    Styczna i biegunowa. Styczną do koła (art. 8. str. 174.) jest linia prosta, której odległość od środka koła równa się promieniowi r tego koła.

JP

Niech będzie x²Ą-y² = r² równanie danego koła, natenczas każda prosta, oddalona o r od środka tego koła, otrzymuje równanie normalne: a? cos cp-f-y sin cp = r; oznaczmy przez x‘, y' spółrzędne punktu styczności P, (fig. 161.), natenczas mamy a:' = rcoso, y‘—r siną, przeto równanie stycznej w punkcie (x‘, y‘) koła x²-\-y²=r² przedstawi się w postaci : xx‘ -j- yy' => r², przyczem as'² -f- y'² = r².

16.    Równanie xx'-\-yy'—r², w którem as', y‘ są spółrzęd-nemi jakiegokolwiek punktu P płaszczyzny, nie związanemi warunkiem x,2-\- y'²=r², przedstawia także pewną linię prostą, odpowiadaj]ącą przyjętemu punktowi (as', y'), która nie będzie jednak w ogólności styczną do koła.

Fig. 161.

Mil

Fig. 162.

Równanie xx‘ + yy'=r², jest zatem równaniem stycznej do koła w punkcie (x', y'), jeżeli punkt (cc', y') leży na obwodzie koła, czyli jeżeli x'² y'² =r², a w ogólności równaniem biegunowej punktu (as', y') względem koła as²-|-y²— r², bez względu na to, czy x'²-\-y'² — r².

17. Biegunowa p punktu (as', y‘) względem koła x² -\-y² = r², przedstawiając się równaniem: xx'-f- yy' = r², istnieje zawsze niezależnie od tego, czy punkta styczności prostych, stycznych do koła, wyprowadzonych z punktu (as', y'), są rzeczywiste, czy też urojone. Jest ona prostopadłą do prostej OP, której równanie brzmi: x!y—y'as = 0, czyli do prostej, łączącej dany punkt P(as', y') ze środkiem koła, a ma od tegoż środka odległość:

Ażeby poznać położenie tej linii prostej względem punktu (a;', y'), zauważmy, że styczna, przechodząca przez punkt (as', y'), zewnątrz' koła położony, dotykając się koła w punkcie d/(as", y"), miałaby równanie xx" -f- yy" = r², a że przechodziłaby także przez punkt (a?', y'), przeto między punktami (as', y') i (as",y") zachodziłby związek x'x“-\-y‘y" = r², przyczem x"² -f- y“² = r². Punkta styczności (x", y") prostej, przechodzącej przez punkt (x', y'), z kołem x² -(- y² = r²5 występują zatem, jako punkta przecięcia prostej xx'-\-yy'=r2 z kołem x²-\-y²—r². Równanie asas' -j- yy' = r² przedstawia zatem linię prostą, przechodzącą przez punkta styczności M i N obu stycznych do koła x² -f-y² = r², wyprowadzonych z punktu (as', y'), (fig. 162.). Tę prostą p nazywamy biegunową punktu P względem koła (r), a nawzajem punkt P nazywamy biegunem prostej p względem tegoż koła.

op

r²

0P‘

\/ x'² —|— y'²

Jest zatem 0P.0P=r², co dowodzi, że punkta P i P są harmonicznie sprzężone z punktami A i P, w których prosta OP przecina dane koła.

r²

Mając zatem dany punkt P(as', y'), moglibyśmy wykreślić jego biegunową w sposób następujący. Łączymy punkt P z punktem 0 prostą OP, która przetnie koło w punktach A i P, poczem do punktów A, P i P wyznaczamy punkt harmoniczny P,

czyli odcinamy OP =

OP'

Prosta Pd/, prostopadła w P dc

OP, będzie szukaną biegunową danego punktu P względem koła (r), (fig. 162.).

Fig. 163.

18. Przyjmijmy na biegunowej p (xx‘-\-yy=r²) punktu P(as', y') jakikolwiek punkt Qx", y"), natenczas biegunowa y punktu Q będzie miała równanie xx“ -f- yy" — r², a że punkt ^ł(as", y") został przyjęty na prostej xx'-\- yy' — r², przeto jego spółrzędne muszą spełniać relaeyę x'x“ -\-y'y" = r², co dowodzi , że prosta q przechodzi przez punkt P(as', y'), (fig. 168.)

(b) Biegun jakiejkolwiek prostej, przechodzącej przez dany punkt, leży na biegunowej tego punktu.

19.    Własności biegunowej punktu względem koła. Niech będą P(x', ?/')> Q(x", y“) dowolne dwa punkta na płaszczyźnie, natenczas wszelki punkt M(x, y) prostej, łączącej te

punkta , określa się równaniami :

x‘ -fi \x"

x—ï+T'lJ

li

A zatem :

(a) Biegunowa jakiegokoliviek punktu danej prostej przechodzi przez biegun tejże prostej.

y‘ + V'

1 + X •

Punkt ten będzie znajdował się na kole x²\y²= r², skoro j ego spółrzędne sprawdzą równanie tego koła, czyli, skoro będzie : (x‘ -f- X#")² + (y'+Xy")²—r²(l -f- ) )²—0. Uporządkowawszy to równanie warunkowe podług P potęg X, otrzymamy:

Fig. 164.

\\x"²-\-y“²—r²)-)- 2\(x'xn fi- y'y"—r²)-\-(x'² -|- y'²—r²) = 0, równanie, które daje dwie wartości na X, wyznaczając przez to oba punkta przecięcia się M i M‘ koła z prostą, łączącą punkta (x'} y‘) i [x‘\ y").

Jeżeli przyjmiemy punkt Q(x", y‘j na prostej xx'-\-yy‘—r², natenczas będzie x‘x“ -\-y'y“—r² — 0. Powyższe równanie warunkowe daje w tym przypadku na X dwie wartości równe, ale znaku przeciwnego.

Jeżeli więc punkt P ma równanie Ai — 0, punkt Q zaś równanie A₂ = 0, natenczas punkta M i M‘ będą miały równania’• A, -)- XA₂ =0, At — XA₂ = 0. Punkta P, Q, M, M‘ tworzą zatem dwie pary punktów harmonicznych. A zatem :

Biegunowa punktu P względem koła jest miejscem geometrycznem czwartego punktu harmonicznie z nim sprzężonego względem pary punktów, w których dowolna prosta, przez punkt P przechodząca, przecina to koło.

20.    Na tej podstawie możemy biegunową danego punktu względem koła wykreślić w sposób następujący: Przez punkt P (fig. 164.), prowadzimy dwie sieczne PAB i PCD, natenczas dwie pary prostych AD i BC, tudzież AC i BD przecinają się w punktach E i F, które, połączone ze sobą wyznaczają prostą, harmonicznie sprzężoną z punktem P względem układu dwu prostych FA i FB, a tein samem biegunową p punktu P względem koła.

21.    Biegun wzajemny względem pęku kół o wspólnej osi pierwiastnej YY‘.

Niech będzie dany pęk kół, określony zapomocą równania : (x — A)²-\-y² — r² = 0, przyczem stałą potęgę początku układu względem któregokolwiek koła oznaczmy przez p²=A²—r², natenczas biegunowa jakiegokolwiek punktu (x*, y‘) względem któregokolwiek koła tego pęku będzie miała równanie (x—A)(x‘—A)-\-yy‘—r²—-0, czyli xx‘-\-yy‘— A(x-\~x') Ą-p² — 0, gdzie p²—A²—r². Równanie to spełni się niezależnie od A, skoro będzie: xx'Ayy¹+p² = 0₁ jakoteż x-\-x‘ = 0. Te dwa równania wyznaczają pewien punkt stały.

A zatem : Biegunowe danego punktu (x‘y‘) płaszczyzny względem kół, mających tę samą oś pierwiaslną, przechodzą wszystkie przez jeden stały punkt (x, y)i który nazywamy biegunem wzajemnym danego punktu odnośnie do danego pęku kół.

22. Trójkąty sprzężone względem kota. Mając dane koło x²-\-y²=r2 i trójkąt ABC o wierzchołkach A(x\y‘), B(x",yl‘), C(x“j y"‘), wyznaczmy biegunowe punktów A, B, C ze względu na dane koło, natenczas otrzymamy nowy trójkąt A‘B'Cj który nazywamy trójkątem sprzężonym z danym trójkątem.

Boki tego nowego trójkąta otrzymają (art. 16. str. 180.) kolejno równania: (B‘Cj:xx‘-{-yy‘ — r²~0, (CA¹) : xx"-\-yy'‘—r²=0, (A‘B‘) \xx,u -\-yynt—r²**=0, z których po dwa równania wyznaczają spółrzędne wierzchołków nowego trójkąta A'B‘ Cj przyczem A', B‘, Cj są zarazem biegunami boków

BC, CA, AB danego trójkąta ABC i nazywają się wierzchołkami odpowiednimi trójkąta z danym sprzężonego.

Połączmy dwa odpowiednie wierzchołki A i A* linią prostą, natenczas, uwzględniając, że punkt A jest punktem przecięcia prostej (C‘A):xx" + yy" — r²=0 z prostą (A‘B‘) :xx “Ayy¹“ — n²=0, otrzymamy równanie prostej AA w postaci:

{xx‘‘ -\-yy“—r²)—Ąxx'“ Ą-yy“¹—F²)=0, czyli po wstawieniu wartości za À, równanie :

(x‘xlu -j- y'y“‘— r²) (xx‘‘Ą-yy"—r²)—(x'x'Ay'y“—-r²) (xx“‘ -\-yy“‘—r²)=0, (AA) Podobnie otrzymamy równania prostych BB‘ i CC‘ w postaci :

(x“x‘ -f yuy‘—r²) (xxin Ą-yy“¹—r²)—(x“x“‘ Ą-y“y“‘—r²) (xx/ Ayy¹—r²)—0, (BB') (x,ux" -\-y‘“y/‘—r²)(xx‘ \-yy‘—r²)—(x"‘x/-{-ylllyl—r2) (xx‘‘ Ayy“—r²)=0. (CC')

Ponieważ suma tych równań prowadzi do tożsamości 0=0, przeto te proste przecinają się w jednym punkcie.

A zatem : Linie proste , łączące odpowiednie

wierzchołki dwóch trójkątów, względem koła sprzężonych , przecinają się w jednym punkcie, punkta więc przecięcia odpowiednich boków dwóch trójkątów względem koła sprzężonych leżą na jednej linii prostej.

-X r

11

//

A

Fig.^ 165.

Jeżeli dany trójkąt AB‘C‘ jest w koło wpisany, natenczas trójkąt ABC, z nim sprzężony, utworzony jest przez styczne do koła w wierzchołkach A‘, B', C' wykreślone, (fig. 165). B Stosując twierdzenie powyżej udowodnione do takich dwóch trójkątów, otrzymamy twierdzenie następujące :

Linie proste, łączące wierzchołki trójkąta na kole opisanego z punktami styczności boków przeciwległych, przecinają się w jednym punkcie.

23. Figury biegunowe dwoiste. Mając daną jakąkolwiek figurę na płaszczyźnie, możemy dla każdego z jej punktów wyznaczyć odpowiednią linię prostą, jako biegunową ze względu na dane koło, a dla każdej prostej jeden punkt, jako jej biegun. Tym sposobem otrzymamy dwie figury dwoiste, które będą miały tę własność, że każdej prostej , jako należącej do jednej figury, odpowiada ten sam punkt w drugiej figurze i nawzajem. Takie dwie figury nazywamy figurami biegunowo dwoistemi.

Figury biegunowe dwoiste tworzą szczególny przypadek figur dwoistych , określonych w art. 18. str. 168.

Ćwiczenia XIII.

1)    W kole o promieniu r wykreślono dwie średnice AB i CD do siebie prostopadłe, podać równanie tego koła, gdy początkiem układu o osiach równoległych do tych średnic będzie kolejno jeden z punktów A, B, C, D.

2)    Równania ogólne kół :

(1) x² -f- ;/²—4a? -p 2y -f-1 = 0, (2) x² + y²-Gy=l, (8) 3a:² + 3y²-5.r-7y-t-1 = 0, sprowadzić do formy zwyczajnej i wyznaczyć środki i promienie tych kół.

8) Co przedstawiają równania :

(1) (x- l)² + 0 + 2)2 = 0, (2)x²+y²=0, (8) Or-l)* + (y + 2)* + 4 = 0, (4). <r»+y» + 2 = 0.

4)    Jakie znaczenie geometryczne ma wyraz stały C w równaniu :

z² _|_ yi 2Jæ -L 2By + C=0.

5)    Jakim warunkom muszą uczynić zadość spółczynniki stałe równania :

ax²    by- -f- cxy -j-dx Ą-ey -\- f=0,

jeżeli to równanie ma być równaniem koła.

6)    Wyznaczyć spółrzędne środka i promień koła o równaniu :

(1) ax²-\-ay²dx -f ey -j-/=0,    (2) 2⁻5a;²-j-2⁻5t/²-f 12⁻5a;— 7⁻5y-j-10 = 0.

7)    Przez punkt 0 danego koła o średnicy d poprowadzono średnicę OX i trzy cięciwy OJ, OB, OC, nachylone do niej pod kątami af(t = 1, 2, 3), znaleźć równania biegunowe kół, wykreślonych na cięciwach OJ, OB, OC, jako na średnicach, przyjmując punkt 0 za biegun, a średnicę OX za oś biegunową.

8)    Jakim warunkom podlegać muszą spółczynniki w równaniach dwóch kół kształtu:

ctvx²a^y² + dy x Ą-eiy -h/j = 0,    a.₂x² Ą-aM²d.₂xe.₂y-\-f₂ = 0, jeżeli te koła mają być

współśrodkowemi.

s 9) >Wy pro wadzić równanie linii środkowej dwóch kół:

sc²y²lbx—1C)y—7=0, x² -j- y²—4x- 22y -f- 25 = 0.

10)    Jaką postać przyjmie równanie koła: x²-\-y²—7a?-j-11 y—3 = 0, jeżeli układ osi obrócimy o kąt 45°.

11)    W jakich punktach przecina koło: x²-\-y²—bx—7y-j-6=0, osie układu.

12)    Wyznaczyć punkta przecięcia koła x²Ą-y² — (Sb i prostej 3x -\-y=2b.

13)    Wyprowadzić warunek, pod którym prosta y = mx, jest styczną do koła:

a(x² -f- y²) -f dx -f ey +/ = 0.

14)    Wyprowadzić równania linij prostych, które przechodzą przez początek układu i są stycznemi do koła: x² -f- y²—Qx—2y + 8=0.

15)    Jakie jest równanie koła , stycznego do dodatnich kierunków osi układu w odległości = 7 od początku układu.

16)    Prosta: bx -f- 3y -j- 19 = 0 przecina koło: x² -j- y ² = 113 w dwóch punktach. Wyznaczyć długość cięciwy a i dotyczący kąt środkowy a.

17)    Dowieść, że prosta styczna w punkcie {x‘, y') koła x²-\- y² = r² ma równanie -j- yy'=r², prosta zaś, łącząca punkt styczności (x‘, y‘) ze środkiem tego koła ma

równanie : jcx‘—yy‘ — 0.

18)    Wyprowadzić równanie prostej stycznej w punkcie (x',y') koła: (x — Ç)^-j-(y—r,)²=r².

19)    Wyprowadzić równanie siecznej, przechodzącej przez punkta (cc', y‘) i (cc", y") koła x² -\- y² — r².

20)    Znaleźć warunek, pod którym prosta Ax By -j- C—0 dotyka koła⁻

(x — ^)² + (y — r))² = r².

21)    Dowieść, że punkta styczności prostej, stycznej do koła x² -\- y² — r², a przechodzącej przez punkt (,x‘, y'), położony zewnątrz koła, mają spółrzędne :

rV + raj,\/V²+ y'² — r*

x"

y" =

X'² + y'²

r²x' + ry‘ \/x‘² y'² — r2 cc'²-f-,?/'²

są więc rzeczywiste, gdy x‘²-\-y'²^>r², zaś urojone sprzężone, gdy x,2Ą-y'²cr².

22)    Przez punkt (—7, 4) koła x²-\-y²— 65 przeprowadzić sieczną, któraby miała od środka koła oddalenie d — b.

23)    Przez punkt (3, —5) położony wewnątrz koła x² -j- y² — 217 poprowadzić cięciwę, której środek znajduje się w tym punkcie.

2D/'W punkcie (10,9) koła x² -\- y²—14x — 4y— 5=0, wykreśloną została linia styczna. Jaki kąt tworzy ona z promieniem wodzącym tego punktu.

25)    Wyprowadzić równania linij stycznych do koła x² -j- y²-\-]0x—6y—2 = 0, a równoległych do prostej y—2x—7.

26)    W punktach (xl, yx ) i (cc₂, //₂), koła x²-\-y²-\-2ax-\-2by-\-c — 0, poprowadzić styczne do koła, i znaleźć tangens kąta w, między niemi zawartego. Jakie warunki spełniają spółrzędne danych punktów styczności, jeżeli styczne są do siebie: (1) równoległe, 2) prostopadłe.

27)    Wyznaczyć długość stycznej, wyprowadzonej z punktu (—11, —9) do koîa : U — 3)² + (y-7)² = 25.

28)    Z punktu (13, 2) poprowadzono dwie styczne do koła x²-{-y²—9, znaleźć równanie cięciwy styczności.

29)    Dane są dwa koła: 1^ = x²-\-y²—Qx—2y—26 — 0, K₂ = a?²-}-«/² -j- 2x—4 y—11 — 0; znaleźć równanie koła o promieniu r—5, przechodzącego przez punkta przecięcia kół danych.

30)    Znaleźć oś pierwiastną :

(«) dwóch kół: Ki=(x—2)²-f- (y—3)² — 16 =0 i JT₂= (x + 1)² + (y-4)²-25 = 0,

(6) punktu P(17, 11) i koła K == x² -|- y²+ B.r -j- 12y—7 = 0,

(c) dwóch punktów Pi (3, 5) i P₂(—4, 7).

31)    Znaleźć środek pierwiastny trzech kół :

(*—7)² + 0/—9)²=36, (x -f- 3)²-(-(y—2)² = 16, (* + 4)² + (//+ 5)² = 9.

32)    Jakie jest równanie pęku kół, jeżeli: («) środki (Ę, rj) kół leżą na osi XX', a osią pierwiastną jest oś YY', (b) jeżeli koła przecinają oś pierwiastną w punktach (0, -j-h) i (0, —h).

33)    Dane są dwie proste pod kątem y; wyprowadzić równanie koła, odniesione do układu tych prostych: (a) jeżeli koło przecina dane proste w punktach A, A' i P, B‘, (b) jeżeli koło jest styczne do tychże prostych w danych punktach.

ma

34)    Dowieść, że biegunowa punktu (x‘, y') względem koła (pc—?)²-f- (y—q)²—r² =0, równanie (x—?)(«;'—Ç) -j- (y—rj) (yJ—rj)—r² = 0.

35)    Znaleźć równanie biegunowej: (a) punktu (3,2) względem koła : {x—1)²+ (//+2)²—10=0, (b) punktu (4, 5) względem koła x²-\-y²—3o?—4y = 8.

36)    Znaleźć biegun (x‘, y') prostej Ax -\- By -\- C—0 względem koła x² Ą-y² = r².

37)    Znaleźć biegun: (a) prostej: 2cc4-3y—6 = 0 względem koła (x— l)²+(y—2)²— 12, (ó) prostej: 3æ-f-4y=7 względem koła: x² -j- y² — 14.

38)    Dany jest trójkąt ABC i koło x² y²=r². Wykreślmy biegunowe wierzchołków A, B, C, względem danego koła, natenczas otrzymamy nowy trójkąt A'B'C‘\ dowieść, że proste AA', BB', CC' przecinają się w jednym punkcie.

39)    Z równania x²Ą-y² = r² wyprowadzić własności koła, dotyczące średnic i cięciw, siecznych i stycznych, kątów obwodowych i kątów w półkolu.

Ilozwiązania XIII. 1) (A) x²-\- y² -j- 2 rx — 0, (B) x²-\- y²—2r.r=0, (O) x²-\-y²-\-2ry=-0, (D) x² -j- y² — 2ry — 0. 2) (1) (x - 2)² + (// + l)² = 4, C{2, -1), r = 2, (2) a:² + (y-3)² = 16, <7(0,3), r = 4, (8) (*-%)»+(y-y₆)* = ii, <7(⁵/₆), _%). r=yeV/62. 3) (1) punkt (1,-2), 2) punkt (0, 0), (3) koło urojone o środku (1, —2) i o promieniu r — 2\/—1, (3) koło urojone C{0, 0), r = i\/2. 4) Potęga punktu początkowego, ze

5) • = », «=0. G) (1) (-A, _2L),    +    (2) (-2-5, l-5),\/*6.

7) p = dcos.cos(®—C(*=1,2.3). (8) |    |=0, j 1, =    !>) 2æ—3//+29=0. 10) •r!+'/-+

+ 2#\/24-9yY/2~-=30. 11) (2,0), (3,0), (0,1), (0,6). 12) (7, 4), (8,1). 13) (d+m)²-4«/(14-m²)= = 0. 14) x — y—0, aj-)-7y=0.    15) x²-\- y²—14 x — 14 y -f-■ 49 = 0. 16) Punkta (—8, 7),

(2t⁷₇ , -10T<V), « = 20-2368, a = 144 °18'. 18) (a?-g) (a'-g) + (y-ifl (y'-ij) = r². 19) (<*' + *"> + -j-(y'-j-//')y=r²4-æ/#'<    20) AJ;-}-Pr] + (7=rV/A² + P². 22) y—4 = T'₅ ( —14 + 5\/l0)(a?-f-7).

23) 3# - 5// = 34. 24) tang<p =    , 2C ® = 65°11' 9". 25) y = 2x + 13 + 6V/5 .

2/i + b __x2 ~t~ a

+ a y₂ + b

względu na dane koło.

(g»+ «) (yi +    +«) (y₈ + &)

(*i+ a) (,x2 + «)+(yi + 6) (^2+&)

27)V/427=20-66. 28) 13æ+2y=49. 29) Dwa koła ■Kl-^(6±\/69)ÆT₂=0. 30) («)6cc—2y-5=0; (6) 156«; + 136y = 537; (e) Ux — 4// + 31 =0. 31) (7J , -3 |j). 32) æ² + y² - 2\x + p = 0; (6) «:² + y² — 2ca: — h².—0. 33) J(0, «), J'(0) «')? -® (^₅ 0)» -®'(^⁽: 0), otrzymamy: x²y²-\--j- 2xy cos y — (« + «') «: — (b + fty) y -j- aa' — 0, (ft) a:² -j- y² + 2xy cos y — 2«a; — 2ay + a² = 0.

At²

35) («) x P 2y—2 = 0, (b) 5x-\-6y—48=0, 36) x'=--—, y'

26) tg w =

(1)

x,-\-a

*2 + a

Br ²

(2)

. 37) (a) (-11,16), (b) (6,8).

Literatura. B u d a j e w. Geometrya analityczna , Petersburg 1880. Fort und S c h 1 ö-m i 1 c h. Analytische Geometrie der Ebene. Leipzig 1894. Joseph Carnoy. Cours de geometrie analytique. Geometrie plane. Louvain — Paris , 1880.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya i własności koła na podstawie spółrzędnych ukośnokątnych punktu na płaszczyźnie.

2.    Teorya i własności koła na podstawie spółrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie.

3.    Teorya bieguna i biegunowej względem koła.

Wykład XIV.

Zagadnienia o kole na płaszczyźnie.

1. Warunki konieczne do wyznaczenia koła na płaszczyźnie. Równanie koła na płaszczyźnie: x'ljry‘¹-\-2ax-r2by-\-c=0^ zawiera w swym składzie trzy parametry dowolne a, b, c, cechujące położenie i wielkość koła. Mając zatem wyznaczyć pewne koło z pośród go³ kół na płaszczyźnie możliwych, musimy mieć trzy równania warunkowe, z którychbyśmy mogli wyznaczyć trzy niewiadome parametry a, 6, c.

2. Koło, przechodzące przez trzy punkta. Niech będą dane trzy punkta Px(#ir V\), P2(^2? V2)1 Pz(x3> Vi)i Przez które ma koło przechodzić. Napiszmy równanie szukanego koła w postaci:

(1)

x²Ą-y‘¹-\-2ax-\-2by-\-c=Q)^ natenczas na wyznaczenie niewiadomych parametrów a, b, c tego równania, otrzymujemy na podstawie danego warunku, który wypowiada, że każdy z trzech punktów Pl5 P₂, P₃, ma należeć do szukanego koła, następujące trzy równania warunkowe :

x₁ ² Ą-yx²+ 2axi + 2byi +c=0

(2)

i*

v.

^2 ² +2/2²+2aÄ;2 + ²%2 + c==0

xs² + y3² + 2«b₃ + ²%3 + c=0, które są ze względu na niewiadome a, &, c, równaniami pierwszego stopnia o trzech niewiadomych, a przeto określają jednoznacznie wartości tych niewiadomych , co dowodzi, że przez trzy punkta dane na płaszczyźnie da się tylko jedno koło przeprowadzić

Metodą wyznaczników otrzymujemy z powyższych trzech równań:

to to to

r—ł    CS    Ot

?5ł

+ + +

•ł-.    CS    ot

8 « «

to

t—I r—I r—I

CS CS CS

« «

w    to ^

«

co    to    *-*•

+ + +

CO tO

to to to

8 « H

W M ^

<Sg <Sg

CO tO

3* 3* i*.

to to to -+■ ■+■ +■ co to ^

CS CS CS

xu 2/n ¹

X2 ? yïi i xz ? 2/3 ? 1

x\ ? 2/n 1

^2 ? y 21 1

*^3 ? 2/.3 J 1

*1» 2/n 1

y2> 1

xzi 2/3? 1

a podstawiwszy te wartości w (1), otrzymujemy, uwzględniając własności wyznaczników trzeciego rzędu , podane we wzorze (2) art, 14 str. 82, równanie szukanego koła w postaci :

1    ^² + 2/i²>2/n¹'

¹    ^3 ² + 2/3 ²»2/3?¹

0² + 2/²) X2l

^3

t—1    CS ot

xi²+yi²,xiA

x2² d⁻ y 2²? ^2 ? i •^3²+2/3 ²> ^351

V + 2/i Vn2/i

y- X2² d~ y2 ²? *^2 ? y2 y

■j

=0. (3)

*1»

T—'    CS co

Równanie to wymaga, aby było :

trzy punkta P₁(a;₁, yj, P₂(#₂, ?/₂), P₃(.r₃, Va) nie legały na jednej linii prostej (art. 28 str. 86), inaczej bowiem szukane koło przechodzi w linię prostą, przez te punkta przechodzącą.

x₂

*3?

1    5 O, czyli, ażeby

3. Wyznacznik czwartego rzędu. Szukając warunku, aby cztery równania stopnia pierwszego o trzech niewiadomych x,y,z, kształtu: a₁x-\-bly-\-clz-\-dl=0, a₂x-\-b.₂y-\-c₂z-{-d2=0, a₃x b₃y -f- c₃z -j- d₃= 0, akx -f- b^y -f- c₄0 -(- d₄=i 0, miały wspólne rozwiązania, otrzymujemy z ostatnich trzech równań:

CO

r>^

Ci Ci Ci 4!" W ti

«2i *2l c2 «3 1 *31 C3 «4 5 *4 î c4

Cs- S5j ÄI

*■'    W    to    ^    w    N5

Ci Ci Ci Ci Ci Ci ^    W    N9    +>    OC    ts5

«21 *2i ^2 «3 i *3l ^3 0^4 ^ &4, d[^

«2i *2i c2

«3i *3î c3 «₄, 64, C4

(«)

które to wartości, wstawione w pierwsze równanie, dają szukany warunek między szesnastoma spółczynnikami : a;, bv cv d.t (i -=1, 2, 3, 4) w postaci :

^2i *2i c2

«1 d3 i *3 » c3 "h *1 a₃, <Z₃, C₃ -j- c, «3, *3, <?₃    «3 5 *31 c3 =0.

«4, f^4, C4

«21    *^2ł c2

«2l *2i <lï

«2i *2l c2

(?4, 64, C4

«4; *45 ^4

«41 *41 ci

Uwzględniając własności wyznaczników trzeciego rzędu, podane pod (2) w art. 14, str. 82, możemy to ostatnie równanie warunkowe napisać także w następującej formie symetrycznej :

«2i    *21 c2

«1    *3i C₃, <*₃    — *1    «31 c3l <*3    + C1 «31 *31 d3 ~ d\ «31 *3l c3 =0.

*41 ^41 di

Mamy tu po lewej stronie wyrażenie, które, po rozwinięciu zawartych w niem czterech wyznaczników trzeciego rzędu i wykonaniu wskazanych działań rozpada się na 24 iloczyny, każdy składa się z czterech czynników. Otóż wyrażenie to D, utworzone z 4², czyli 16 liczb, piszemy w postaci szematu kwadratowego o czterech wierszach i czterech kolumnach :

«ii *ii cii di «21 *2 i c2) di «31 *3l C3ł di ’

«41 *41 ^41 d^

nazywając go wyznacznikiem czwartego rzędu.

*2i c2i ^2

«21 c21 d<i,

«21 *2i d1

«4, 6*4, (?4

«41 *41 ^4

! «41 *4ł c4

I) =

Z tego szematu wyznaczamy wartość wyznacznika wedle wzoru :

a b c d    *2 c2 ^2    «2 c2 di    «2 *2 ^2    «2 *2 c2

«3 *3 o' i =<ti h ~hi 03 C3 ^3 +Cj *3 h d> ~di a* bs c*

«4 c₄

mnożąc kolejno każdy element jednego (n. p. pierwszego) wiersza przez odpowiedni wyznacznik trzeciego rzędu, powstały przez opuszczenie wiersza i kolumny, w których się dany element znajduje, a wzięty ze znakiem mu właściwym lub znakiem przeciwnym, stosownie do tego, czy suma z liczby porządkowej wiersza i kolumny, w których się dany element znajduje, jest liczbą parzystą lub nieparzystą, poczem dodaje się tak otrzymane iloczyny.

?>4 C4 d^

I $4 C4 C?4

«4 &4 C4

(d)

Wykonawszy wskazane działania i zatrzymując porządek naturalny wskaźników 1, 2, 3, 4 otrzymamy :

D — oą b2 C; ć?4 ■ cą b 2 d₃ — cc^ c₂ b> d^ -j⁻ (t, c₂ d₃ b^ —|—

-j- «1 d₂*3C4—« 1 <^2C3*4—*1 «2^3dk    *1 «2<^3⁽'4_l~

-f Ó, C₂ a₃    C₂ (^3 a₄ — d₂ a₃ C₄ U 0,rf₂C3a4-f-

+ q«2*3^4 —C1 «2^3*4 —cl*2«3^4+ Ci*2^₃«4 +

-f- C] (Z₂ «3 *4 — Cj d₂ b₃ O4 — (Z, «₂ 63 C₄ -}- <Ü₁«2c3*4 +

+ ^1 *2 «3 c4 —^1 *2 c3 «4 ~d\    «3 *4 + d\ e2*3«4i

z czego widzimy, że przy niezmienionych skaźnikach 1, 2, 3, 4, następują litery «, ft, c, we wszystkich możliwych 4 ! —1.2.34 = 24 przemianach w ich zwykłym porządku (naturalnym), a z takim porządkiem znaków, że po pierwszym iloczynie dodatnim następują naprzemian po dwa iloczyny ujemne i po dwa iloczyny dodatnie.

Wyznacznik czwartego rzędu jest więc sumą algebraiczną 4! , czyli 24 iloczynów, powstających z iloczynu    w ten sposób, że przy niezmienionych skaźnikach 1, 2, 3, 4

czynimy wszystkie przemiany liter w porządku naturalnym, a otrzymanym iloczynom nadamy znaki -j-, lub —, według tego prawidła znaków, że po pierwszym znaku dodatnim następują naprzemian dwa znaki ujemne i dwa znaki dodatnie.

Na podstawie tego określenia możemy wyprowadzić własności wyznacznika czwartego rzędu, analogiczne do własności wyznaczników trzeciego rzędu, poznanych w art. 14* do 20. na str. 82. i 83.

Zestawienie i wyprowadzenie tych własności odnośnie do wyznaczników n-go rzędu, wraz z określeniem wyznaczników n-go rzędu, przedstawionych w postaci szematu kwadratowego , złożonego z n² liczb, ułożonych w n wierszach i n kolumnach, będzie przedmiotem jednego z późniejszych wykładów.

4. Równanie koła w postaci wyznacznika. Na podstawie powyższego określenia wyznacznika czwartego rzędu, możemy równanie koła, przechodzącego przez trzy punkta (Xj, yj), (a;₂, v/₂), (*₃, ?/₃), wyprowadzone pod (3), w art. 2., napisać w postaci następującego wyznacznika czwartego rzędu:

x² + y²,

+2/²i, x\+y\:    *2, .2/2) 1

^²3 +2/²3)    »3) 2/3) ¹

(4)

». 2/) 1 2/i) 1

5. Warunek, aby cztery punkta płaszczyzny leżały na obwodzie koła. Zastępując w ostatniem równaniu spółrzędne zmienne x, y przez spółrzędne #₄, y₄, jakiegokolwiek czwartego punktu, otrzymamy warunek, pod którym cztery dane punkta :

•^(»l) 2/l))    -^2(»2) 2/2))    -^3(»3> 2/3)) Ą(»4) 2/4))

leżą na obwodzie koła, w postaci:

(5)

G. Własności czworokąta w koło wpisanego. Rozwinąwszy wyznacznik (5) podług elementów pierwszej kolumny, w myśl prawideł art. 15. str. 82., otrzymamy :

#2 */21 ;

(æ2l+y²l) »3 ^3 ¹ \ —(æ\-\-y\)

»4 2/4 1

»1 </, 1

»3 y₃ ¹

»4 y. 1

-f0²3 + 2/²3)

2/i ¹

X% y% 1 - (æ²4+*/?4) x₄ y₄ 1

rH tH tH

= 0,

czyli :

(*³i + y\)

»1 2/1 ¹

»2 2/2 1

»3 2/3 ¹    + 0²3 + 2/\) »2 2/2 1

»4 2/4 1

= (»²2 + 2/²2)

tH tH T-—I

H ff {f

+ (>²4 + y\) \

• (6‘)

Wzór ten, uwzględniając, że x\ +ya* == OPf², gdzie O jest początkiem układu, i, oznaczając powierzchnię trójkąta, wyznaczonego punktami Pl5 P₂, P₄, przez PtP₂P₃, możemy przedstawić w postaci :

OP²₁.P₂P₃P₄ + OP^.Pj P₂P₄ =OP₂².P₁P₃P₄+ OP\.PtP₂P₃,

która wypowiada własność jakichkolwiek czterech punktów Pt, P₂, P₃, P₄, kola, czyli własność jakiegokolwiek czworokąta w koło wpisanego, względem dowolnie przyjętego piątego punktu O, położonego na płaszczyźnie tego koła.

7. Związek między bokami i przekątniami czw orokąta w kolo w pisanego. Jeżeli punkta Pi Ol, y i ), P₂0₂, y₂), P₃(*3, t//₃), P₄ (x₄, 2/4) są wierzchołkami czworokąta w koło wpisanego, czyli, jeżeli ich spółrzędne sprawdzają relacyę (5), art. 5., natenczas spełni się także re-lacya następująca:

1, yif + y\

1, *2, Hi 1 ®*2+y²2 i, *3, 2/3) Z²3+2/²3

1, *₄, y₄, *s₄+y>₄

I ®²i+ 2/²d 2*i ,

æ22+ 2/²2) 2x₂,

^²3+ 2/²3j 2x₃, — 2y₃, 1 *²4+ 2/\) 2^4, — 2y₄, 1

w której lewa strona przedstawia iloczyn dwóch wyznaczników czwartego rzędu, mających wraz z wyznacznikiem nr. (5) art. 5., wartości równe zeru.

Wykonawszy wskazany iloczyn , mnożąc w myśl wskazówek art. 20. str. 83. elementa wierszami, otrzymamy tą relacyę w postaci:

—22/d 1

—22/ż, 1

(6)

+₂—#₁)²+(y₂_y₁)2₎ (a?₃— »i)²+(2/₃— V\)\ (^4—*i)²+G/4— //i)²

(a?₃-a?₂)²+(i/3— y₂)²,    (^₄—a?₂)²+(y₄—.y₂)² ₌

,    (a?₄ —^3 ) 2_|_(^4 — ,/3 )2

(xi— a^M-Ot— VîY,

O^i -r₃)²+ G/i 2/3 )² 5 (#2 ^3)² “G G/2 —#3 )²)

! (^1- æ4)²+(//l-2/4)G (^2 —-^4)²+C//2 — //4)²;    (x3—xi)2Jr(jh—!h)²,

<1

O (7)

Elementa, tworzące otrzymany wyznacznik czwartego rzędu, przedstawiają kwadraty odległości danych punktów, mianowicie jest (a?.— x^-\- (y.—yky = di ległością punktu P.(æ., y.) od punktu P+r*, 24), (/, fc=l, 2, 8, 4).

Wprowadzając te odległości w równanie (7), otrzymujemy relacyę :

=0, czyli:

ik 1

gdzie dik jest od-

= 0,

gdy uwzględnimy, że d\. = d*ik (i, k = 1, 2, 8, 4).

Kładąc dla uproszczenia dik — ik, (i, fc, =1, 2, 3, 4), przedstawimy powyższą relacyę

w postaci :

0, Ï2², Ï2²,

Ï8²,    23²,

Ï4²,    24²,

W o SI Ki

n²

²,    24²

34 ²

= 0.

Rozwijając otrzymany wyznacznik podług elementów pierwszego wiersza, otrzymamy

Ï2²,    0    24²

0 , 23², 242 0 23²,    0    34²

24², 34²,    0

-12²

Î2², 23², 242 13²,    0    34²

14², 34²,    0

+ Ï3²

14², 24 ², 34²

a stąd, po rozwinięciu podwyznaczników trzeciego rzędu, dostajemy: —12² (13².24².34²+ 23². Ï4². 34²—Ï2². 34⁴) +

+Ï3² (Ï3².24⁴—Ï2². 24².84²-Ï4². 23². 24²) —

—14²(l2². 23². 34² -f 13 ². 23².24²—Ï4².23*) = 0,

czyli :

Ï2⁴.34⁴ + Ï3⁴.24⁴+Ï4⁴.23⁴—2{Ï2².Î3².24².34²4-+12².14².^².34²+Ï3².Ï4².23².24²} = 0.

Wzór ten sprowadza się do postaci : (Ï2.344Ï3.24-1-Ï4.23) (12.34413.24—14.23). .(12.34—Î3.24+Î4.23)—(—Ï2.344T3.24+I4.23) = 0, z której wynika:

12.34 + 13.24+14.23 = 0,

czyli znane twierdzenie Ptolomeusza w postaci:

13.24=12.34 + 1428. (Fig. 166).

T. z. W czworokącie w koło wpisanym iloczyn przekątni jest równy sumie iloczynów boków przeciwległych.

8. Koło styczne do trzccli linij prostych.

Niech będą dane trzy linie proste Iu Z₂, L pomocą równań :

Fig. 16G.

za

t.

OG

lx=x cos cüj Ą-y sin ax —px =0, l₂=x cos a₁ + y sin a₂ — p₂=0,

1z=xcos «3 +y sin a₃ — p₃=0.

Miejsce geometryczne punktów, równo-

sta-

\f

oddalonych od dwu boków trójkąta nowią dwójsieczne kąta, między temi bokami zawartego, określone równaniami:

0,

Fig. 167.

h G    0.

Z tych trzech par prostych, czyli z sześciu dwójsiecznych przecinają się w jednym punkcie po trzy dwójsieczne, określone następującemi równaniami:

h + h h ~\~h ⁼0,

wyznaczając cztery punkta równooddalone od trzech danych prostych czyli środki (f, ?/), (fa, ??«), (&, rçé), (|c, ty), czterech kół (r), (rB), (n), (re), stycznych do tych linij prostych.

Z tych czterech kół nazywamy koło o promieniu r, którego środek jest punktem przecięcia dwójsiecznych wewnętrznych kołem w pisa nem w trójkąt ABC (fig. 167), trzy inne koła o promieniach rai rb, rC) których środki są kolejno punktami przecięcia jednej dwójsiecznej wewnętrznej i dwu zewnętrznych, kołami zawpisanemi.

9. Równanie koła wpisanego w trójkąt, przedstawiające się w postaci:

(*—S)² + {y—*i )*r>,

(1)

(2)

(3)

(4)

l?> - ly =0,

^2+^3⁼⁼0,

h + h =0,

znajdziemy, skoro niewiadome ę, 7), r, wyznaczymy z trzecli równań :

£ cos otj-j- 7) sin oą — px= r, Ç cos a₂-j- 7] sin a₂ — p₂ = r, £ cos «3+ tj sin a₃-\--p₃— r,

czyli z równań napisanych w formie skróconej :

lx—r = 0,

otrzymujemy tedy :

*,-r = 0,

?3_r = 0,

Pu sin«,, —1 Pi, sin a₂, — 1

p₃, sin «3, — 1

COS at, Pi, —1 COS «j, p₂, —1 COS «3 , #3» —¹

z równań :

cos a,, sin a,, cos a₂, sin a₂, p2 cos a₃, sin «3, j>₃ i cos a,, sin a,, —1 ’ cos a₂, sina₂, —1 cos a₃, sina₃, —1

Podobnie znajdziemy środki i promienie kół zawpisanych (Ça, 7)ft, r ), (£é, rjft, rft), (5C, ł)e, re),

I cos «!, sin a,, —1 cos «2, sin a₂, —1 I cos a₃, sin a₃, —1

cos «!, sin a, cos a₂, sin a₂, —1 cosa₃, sin «₃, —1

(a)

(P)

— l\~ra— 0, h ~rb — 0,

*s-»*a«0,

h—rb = 0,

(<0

h-rc= 0,

—h—rc=0.

h~rc= 0,

10. Styczne wsi)ólne do dwóch kół. Niech będą dane dwa koła zapo-mocą równań :

K={x—£ )²+(y — rj )—r ²=0,

K‘ = (a?—f') ² + (y —17') - r'²=0, natenczas równanie stycznej do koła K w punkcie (#', y') przedstawi się w postaci :

z której, gdy położymy —-—

0» - £)(*'—i) + (y -    ' - v) - r2=

y—V

cos a, ———=sina, otrzymujemy postać nastę-

(x—i) cos a-\-(y—rj) sin a—r=0,

gdzie a przedstawia kąt, jaki promień styczności tworzy z osią X‘X.

W podobny sposób otrzymamy równanie stycznej do koła K‘ w postaci:

(x — f') cos a‘ + (y—V) sin a‘—r‘=0-Jeżeliby te styczne miały być te same, natenczas równania (a) i (ó), musiałyby przedstawiać jedną i tę samą linię prostą.

Przedstawiwszy je w postaciach:

pującą:

(a)

0)

x cos a+y sin a—£ cos a + 77 sin a-kr, a: cos a'sin «'=£' cos a' j-V sin a' + r'

otrzymujemy dotyczące warunki w postaci:

sin a

cos a

i cos a-j~V sin a-kr

sin a‘

z której możemy a i a' wyznaczyć.

cos a¹

f ' cos a' -k rj‘ sin a¹ + r‘

=+1.

Z pierwszych dwóch stosunków otrzymujemy tgo5=tgo{⁴, przeto, albo (1) a' = a, albo (2) g!⁴ = 18O⁰+ 05, będzie więc w pierwszym przypadku:

£ cos a-f 17 sin aĄ-r=^‘ cos G5 + t/⁴ sin cj + r⁴.

w drugim : czyli

£ cos 05 + 7/ sin 05+cos 05 +7/'sin a—r\

( )    (£ — ^⁴)coso5 + (t/ — 7/')sino5 + r- r'==0,

( )    (£— £') cos 05 + (77 — 7/') sin os+r + r⁴*=0.

W obu przypadkach otrzymujemy na wyznaczenie os, równanie drugiego stopnia ze względu na cos 05 lub sin 05, a więc w obu przypadkach otrzymujemy po dwie wspólne styczne. Istnieją więc w ogólności do dwóch kół danych cztery wspólne styczne.

Chcąc wyznaczyć ich punkta styczności z kołem K, połóżmy

as⁴-!

y‘—y

COS 05,

— sin o:, a otrzymamy

(i-i¹)(«'- £)+(y—y‘)(y‘-y)+r(r—r‘)=o,

(!—!')(«'—i)+(y—y‘)(y‘—y)-K(H • »*0=0.

Pierwsze równanie (P) daje w połączeniu z równaniem koła:

K={x—i)² + (y—i])²—r²=0,

na którem ma znajdować się punkt styczności (x\ y'), a więc w połączeniu z równaniem warunkowem :    —    ² + {y' — y)²—r²=0,

równanie stopnia drugiego ze względu na x¹, a więc wyznacza dwa punkta styczności A i A' z kołem K jednej pary wspólnych stycznych; podobnież wyznacza drugie równanie (2') punkta styczności B i B‘ z kołem K drugiej pary wspólnych stycznych do kół K i K\ a że równania (l⁴) i (2⁴) są ze względu na x‘, y⁴ równaniami stopnia pierwszego, więc przedstawiają linie proste, zawierające po dwa punkta styczności.

Równanie

(«)

(I - !')(«- !)+(y—y‘)(y - y)+r(r - r¹)=o,

przedstawia cięciwę styczności AA‘ z kołem K jednej pary wspólnych stycznych do kół K i K¹ ; podobnież równanie :

(!—!')(as -!)+(?/- y')(y—y)+r(r+r')=0,

(6)

przedstawia cięciwę styczności BB‘ z kołem K drugiej pary wspólnych stycznych do kół K i K‘.

tS}

0’

Te cięciwy styczności AA¹ i BB‘ są biegunami dwóch punktów S i S\ których spół-rzędne znajdziemy wprost, napisawszy równania (a) i (b) cięciw styczności AA i BB1 w postaciach :

(!'-!>•

/:

k;

— r¹

Cy—y)=r²,    (a⁴)

(!'-!>

(t/⁴—7/)r

(y-y)=r²,    (b‘)

Porównawszy bowiem te równania z ró-Fig. 168.    wnaniem biegunowej punktu (a⁴, y⁴) względem

£'0*2 > 2/2)» prostej

wzory :

koła (os-£)² + (y—t^W², mającem kształt: (V—£)(æ—|) + (y‘- rj)(y - 7/)=r², otrzymujemy na wyznaczenie biegunów S(xi, yt) i i 7?R

«1-1

«/i-»/

( r/—q)r

Z wzorów tych widzimy, że punkta S(xu y^), S\x₂, y₂) dzielą odstęp między środkami 0(£, rj), 0'(f', tj¹) kół K i K‘; jeden w stosunku r :r‘, drugi w stosunku —(r:r‘), więc jeden zewnętrznie, drugi wewnętrznie, tworząc z parą środków O, O¹, parę punktów harmonicznie sprzężonych. Punkta S i S‘ nazywamy środkami podobieństwa kół K i K‘ ; jeden zewnętrznym, a drugi wewnętrznym, przyczem nazywamy wspólne styczne, z punktu S wychodzące, stycznemi zewnętrznemi, a styczne, z punktu S' wychodzące , stycznemi wewnętrznemi.

11. Środki podobieństwa dwóch kół. Niech będą dane dwa koła o środkach 0 i O', natenczas przyjmując wspólne styczne tych kół, jako osie układu, sprowadzimy równania tych kół do postaci:

(1)

(2)

K~ x²Ą-y²-\-2xy cos co—2ć*r—2ayĄ-a²=0 K‘ ^x2jry2jr<2xy cos co —2a‘x—2aty\a'² = 0 gdzie oj przedstawia kąt między osiami zawarty, a spółczynniki a i a¹ dają długości stycznych ST i ST, (fig. 169.), wykreślonych z punktu S do kół K i K'-Zastąpmy w pierwszem równaniu (1), spółrzędne x i y przez Xx i Ty, natenczas otrzymamy równanie :

X\x²-\-y²A-^xy cos oj)—2aXx—‘lały + o²=0,

(ł‘-ł)r

(w—

71 = -—-— ,

' r+r¹

z których otrzymujemy, jako spółrzędne punktu S:

TL

Ë,‘r — £r‘    rfr — rjr‘

^    y_y* ’    y_y>

a, jako spółrzędne punktu S Ç'r+ir¹

x₂

Tj'rA-rjr¹

rĄ-r¹

Fig. 169.

czyli :

x²-\-y²-\-2xyc,osoj—2~ x—2X A    A

a²

y + ji=o,

które przejdzie w równanie drugie (2), skoro będzie -j- — a¹, czyli

CL    ^

przyjmiemy T=—. Koło K' powstaje więc z koła K, jeżeli spółrzędne po-

skoro

szczególnych punktów K, odniesione do układu wspólnych stycznych, uwielo-krotnimy w stosunku a¹ : a.

Przeprowadźmy więc przez punkt S jakąkolwiek sieczną o równaniu y=mx, natenczas sieczna ta przetnie koło K w punkcie A(x, y), a koło K‘ w punkcie A¹ {x‘, y¹), tak że będzie :

x‘

a' ST¹    Vx‘² + y‘² + %%‘y¹ cos co SA¹

SA'

a ST \/x²-\-y²-\-2xy cos co SA*

Stosunek — nie zależy więc od kierunku siecznej. Na każdym promieniu wodzącym punktu A koła K znajdziemy więc odpowiedni punkt A‘ koła K‘, odcinając na tym promieniu S‘A‘= ^. SA. Ta własność cechuje figury podobne, dla których S jest środkiem podobieństwa. (Por. art. 15. str. 168.).

Bezpośrednio wypływa stąd także, że promienie kół K i K‘, należące do punktów odpowiednich A i A‘ są do siebie równoległe.

Na tej podstawie możemy wyznaczyć środek podobieństwa dwóch koł bez pośrednictwa stycznych podwójnych. W tym celu wykreślamy dowolnie dwa promienie równoległe O A i 0'A‘, natenczas prosta AA¹ przecina linię środków OO¹ w środku podobieństwa S.

Jeżeli dane koła odniesiemy do stycznych wewnętrznych, natenczas drogą powyżej wskazaną poznamy, że ich punkt przecięcia S‘ posiada te same własności, co punkt S. Punkt S‘ jest więc także środkiem podobieństwa kół K i K‘.

Chcąc go wykreślić należy w danych kołach K i K* wykreślić dwa promienie równoległe OA i O A", w przeciwną stronę zwrócone, a prosta AA" przetnie linię środków w punkcie S‘.

Dwa koła, dowolnie na płaszczyźnie położone, mają więc zawsze dwa środki podobieństwa, jeden wewnętrzny, drugi zewnętrzny; koła styczne mają jeden ze środków podobieństwa w punkcie styczności.

12. Środki podobieństwa i oś pierwiastna dwdcli kół. Przyjmijmy dowolne dwie sieczne,

wychodzące ze środka podobieństwa S dwóch kół K i K', jako osie układu o kącie osiowym y, natenczas równanie koła K przedstawi się w postaci ogólnej : a;²-p</²4-2a?ycosy -j- 2Ax -f- 2ByĄ- C= 0 Oznaczmy przez a, b, c, d odcinki, jakie koło K wyznacza na osiach OX i O Y układu, natenczas » wypadnie :

(a) dla y — 0] x²Ą-2Ax-\-C=(x—a)(x—b) = x²—

0) dla 03 = 0 ; y²\2By -\-C=(y—c)(y-d)=y²—(c-\-d)y -j- cd skąd wynika 2A— — (« + &), 2B = — (c-\-d , C = ah = cd] równanie (1) koła K przedstawia się więc w postaci : ^ a3²-J-^²-4-    cos y— (<» -J- ó) o? — (c-j-eZ)y-j- ab = 0 (1')

Oznaczając przez X stosunek podobieństwa kół K i K‘, otrzymamy równanie koła K', odniesione do tego samego układu w postaci :

K‘ EE x² -f- y² -j- 2xy cos y — X (a -f- b)x — X(c -j- d)y -f- X² ab = 0 przyczem Xa, Ib, Xc, Id, będą przedstawiać odcinki , jakie koło K‘ wyznacza na osiach układu.

Oś pierwiastna tych kół otrzymuje przeto równanie:

(a -f b)x-\-{c A-d)y — a&(l-j-X) =0 podczas gdy proste, odpowiednie, łączące punkta przecięcia osi OX i O Y i kół K i K* będą miały równania :

^hr¹'    <BB>r+i=¹’(B'n')-u+S=¹-

Z równań tych widzimy, źe proste, odpowiednie, jak AC i A'C, BD i B‘T)' i t. d. są do siebie równoległe.

Dodajmy natomiast równania (AC) i (B‘D‘), jakoteż (A'C‘) i (BD), natenczas otrzymamy w obu przypadkach równanie :

Q......C

n'

rx

(1)

1C

Fig. 170.

(2)

(3)

T{^ ⁺ y} ⁺ x{y⁺T}⁼⁼T + 1’

czyli :

a więc równanie (3) t. j. równanie osi pierwiastnej kół K i K‘.

Mamy zatem twierdzenie : Jeżeli ze środka podobieństwa dwóch kół K i K‘ wyprowadzimy dwie sieczne, z których jedna przecina koło K w punktach A i B, a koło K' w punktach A¹ i B‘, druga zaś przecina koło K w punktach C i D, a koło K‘ w punktach C i D‘, natenczas cięciwy odpowiedne AC i A'C, BD i B‘D* są do siebie równolegle, natomiast cięciwy odwrotne, jak AC i B‘D‘, BD i A‘C‘ przecinają się na osi pierwiastnej tych kół.

(a -f- b)x -j- (c -j- d) y = (1 -J- X) ab,

13. Osie podobieństwa trzech kół. Niech będą dane trzy koła:

Kx={x—%y + (y—?h)²—rx ²=0, K₂=(x- ?₂)²4-(>—*!2)²-r²2=0, K₃ =(*—?₃)² + («/-^₃)²—r\ = 0,

natenczas otrzymujemy trzy środki podobieństwa zewnętrzne, określone według art. 10. następującemi spółrzędnemi :

°-

;0>

&s = 8{KtKt) :

5«

S,=S{K₂K₃) :

<3,

. r^₂— r₂gt    r₂7]j #

**1 —r2

. ^3 — r-i?2    ^3—^3%.

^2—^3

. *3^ — n^3    ^»ll—»’l’ls

r₃—r, ’

—r₂

r₂—*3

Fig. 171.

*3 — O

Spółrzędne spełniają widocznie relacyę art. 28. str. 86., a zatem środki zewnętrzne podobieństwa Si, S₂, S₃ leżą na jednej linii prostej. Tą prostą nazywamy osią podobieńs twa trzech kół.

Biorąc pod uwagę także wewnętrzne środki podobieństwa Ą', S'₂, S'₃, których spółrzędne wynikają ze wzorów na spółrzędne <Sj, S2: S₃, gdy w nich zmienimy kolejno znaki promieni r₂, r₃, rl5 poznamy nietrudno, że także dwa środki wewnętrzne leżą z pozostałym środkiem zewnętrznym na linii prostej.

Otrzymujemy zatem obok osi podobieństwa a~SlS₂S₃ jeszcze trzy osie następujące: <?i ZE <Sj S'-₂ S'₃, a₂= S\ S₂ S'₃, a₃= S\S‘₂S₃. Trzy koła na płaszczyźnie mają więc razem cztery osie podobieństwa jak na fig. 171.

14. Kąty, pod jakimi przecinają się dwa koła. Jeżeli dwa koła Kt i K₂ przecinają się

w dwóch punktach I\ i P₂, to kąty, pod jakimi te koła się przecinają, określają się przez kąty o1} <p₂, jakie tworzą promienie tych kół, poprowadzone do punktów przecięcia Px i P₂, (fig. 172.).

Celem wyznaczenia tych kątów otrzymujemy, kładąc 0i0₂=c, na podstawie twierdzenia Carnot’a: c² = r\ -]- r²₂— 2rtr₂cos <p,

r²j -|- r²₂ — c2 2nr₂

Jeżeli zatem dane dwa koła mają równania:

K\ = x2 + */² + 2atæ + 2bxy 4- ą = 0,

K^—oc^ -)-y²-{-2a₂a;-{- 2b₂y J- c₂ =0, natenczas te koła mają środki w punktach:

^iCh= a\i łli⁼⁼^i)'    ć>₂(?₂ = a2i ^2 — ^2)i

a promienie t\ = \/a\-\- b\ — cl5 r₂ =\/ a\ -f b\—cv

O,'

■xjy

Fig. 172.

cos cpi = COS ?₂ =

a stąd:

(i)

(2)

przeto będzie odległość środków:

0i0₂=c— \/(S₂ tj)²(r]₂    («2    ®i)M"(^2— ^i)² — V/ff²i +^²i + a22~f*^²2—2(«ja₂-j-ójó₂)-

Otrzymujemy zatem :

COS <?! = COS <p₂

_ 2(«! rgą -f fttft₂) — c₂ — c₂

2/ą r₂    ’

wzór na wyznaczenie kąta nachylenia, pod jakim przecinają się dwa koła, dane równaniami (1) i (2).

Z wzoru tego otrzymujemy warunek , aby dane koła Kx i K₂. przecinały się pod kątem prostym , w postaci :

2(aia₂-\-bib₂) = ci 4 c₂, r\ + r22 = c'²*

zkąd wypływa warunek :

15. Koło ortogonalne względem trzech kół danych. Niech będą dane trzy koła za pomocą równań:

Kl=x²+y'²—2a]x—2biy + ci=0, K₂=x²-\-y²—2a₂x—2b₂yĄ-c₂=0, K₃=x²Ą-y²—2a₃ x—2b₃ y 4- c₃ =0,

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

a koło szukane, ktoreby trzy dane koła przecinało pod kątem prostym, niech ma równanie :

K=x²-\-y'²—2ax—2by-\-c—0. ■

Na wyznaczenie spółczynników a, b, c równania szukanego koła, otrzymujemy zatem na mocy art. 14. następujące trzy równania warunkowe :

ci—2aal—2bbiJrC=0, c₂ — 2aa₂ — 2bb₂ + c=0, c₃ —2aa₃ —2óó₃+c=0, z których, po wyznaczeniu niewiadomych 2a, 2ó, c, i podstawieniu w równanie szukanego koła, otrzymujemy szukane równanie w postaci wyznacznika czwartego rzędu :

* +</², X, y, 1

ax

C2 ?

i -o-

2) ¹

C3

3) 1

Z określenia koła ortogonalnego względem trzech kół danych wynika wprost, że jego środkiem jest środek pierwiastny trzech kół danych, a promieniem długość równych między sobą stycznych, wyprowadzonych zeń do tychże kół.

16. Sieć kół. Utwórzmy z trzech danych kół Kx=0, K₂ = 0, K₃ =0, koło o równaniu: Ki -\-yK₂ -f- vK₂ =0, gdzie p i v są dwoma dowolnemi parametrami, natenczas, nadając każdemu z tych parametrów, wszystkie możliwe wartości od —oo do -t-oo, otrzymujemy na podstawie tego równania układ co² kół, położonych na płaszczyźnie. Ten układ kół, określony równaniem:

Kx +/iK₂ + vK₃=Ot

nazywamy siecią kół, opartą o dane trzy koła Kv K₂₎ K₂.

Każdej dowolnie obranej parze parametrów p, v, odpowiada jedno koło tej sieci o równaniu, Æ²+y²—2ax—2by-\-c=0, gdzie

j+pb₂Jrvb2 1 + p + v

ax + pa₂ + vaz lĄ-p + v

(1)

_ ci ~t~    2 ~h VC3

a więc koło o środku (£=«, y=b) i o promieniu r= \Za'² -f- b²— c .

Nawzajem, każdemu punktowi (£, ^), na płaszczyźnie odpowiada jedno tylko koło tej sieci, mające środek w tym punkcie (£, tf). Parametry bowiem p, v, równania jego określone są na mocy wzorów (1) dwoma równaniami pierwszego stopnia :

£—«i +M£—¹«₂)+KI—■«3)=°)    &i +MM₂)+K}?-y=o₎

z których możemy /£ i ^ jednoznacznie obrachowaó.

Trzy dane koła mają środek pierwiastny (r, y), określony równaniami Ki=K₂—Kz—p, gdzie p jest potęgą tego środka, jednakową względem wszystkich trzech kół danych. Ten punkt ma względem koła; Kx -\-p₂K+vK₂=0,

potęgę : a więc P=p.

A zatem : Wszystkie koła sieci mają wspólny środek pierwiastny.

Koło K=0, przecinające dane trzy koła KX) K2l K₃ pod kątem prostym, przecina zarazem wszystkie koła sieci pod kątem prostym. Z tego powodu możemy sieć kół określić, jako układ kół ortogonalnych względem danego koła K=0.

Zachodzić tu mogą trzy przypadki: (1). Dane koło K jest kołem rzeczy-wistem; w tym przypadku każdy punkt, znajdujący się zewnątrz koła K, jest środkiem pewnego rzeczywistego koła tej sieci; każdy punkt, znajdujący się wewnątrz koła K, jest środkiem pewnego urojonego koła tejże sieci; każdy

~ł~    2 "h

l+fi + v

zaś punkt na obwodzie koła K jest kołem zerowem sieci; (2) koło TT jest kołem zerowem, czyli punktem, natenczas każdy punkt płaszczyzny jest środkiem pewnego rzeczywistego koła sieci. Jedno tylko koło jest kołem zerowem, mianowicie owo koło K: kół zaś urojonych o środkach rzeczywistych nie ma wcale; (3) koło K jest kołem urojonem o pewnym środku rzeczywistym, natenczas każdy punkt płaszczyzny jest środkiem pewnego koła rzeczywistego sieci, a kół zerowych nie ma wcale.

Gdy wreszcie koło K sprowadza się do linii prostej l, natenczas wszystkie koła sieci mają środki na tejże linii prostej, promienie zaś ich są dowolne.

17. Kolo styczne do trzech kół. Niech będą dane trzy koła Ki= 0, K₂— 0, -Zr₃=0, do których ma być styczne czwarte koło K o promieniu r

i środku (f. r[). Koło to może być do każdego z kół danych, mających promienie r1? r₂, r₃, styczne zewnętrznie, lub wewnętrznie, stosownie do tego, czy odległość środków dotyczących dwóch kół ma być równą sumie, czy też różnicy promieni. Na wyznaczenie środka r\ i promienia r szukanego koła K, otrzymujemy więc następujące trzy równania:

(1)

Fig. 173.

(£-£i)²+(^-*7i)Mr±n)²

(£-£₂)H 0?—%)²^(r±y2)²

(I—^3)²+(^—%)²=(r±r3)2 w których znak „ + “ dotyczy kół stycznych zewnętrznie, a znak „ — “ dotyczy kół stycznych wewnętrznie.

Ponieważ oba równania, w pierwszym z wzorów (1) zawarte, mogą być z czterema pozostałemi połączone , przeto możliwych jest ośm oddzielnych trójek równań , a więc istnieje wogóle ośm kół stycznych do trzech kół danych, a to: (1) jedno koło styczne zewnętrznie do wszystkich trzech kół (fig. 173.); (2) jedno koło styczne wewnętrznie do wszystkich trzech kół; (3) trzy koła, z których każde jest do dwóch kół styczne zewnętrznie, a do trzeciego wewnętrznie, wreszcie (4) trzy koła, z których każde jest do dwóch kół styczne wewnętrznie, a do trzeciego zewnętrznie.

W każdym z tych przypadków otrzymujemy trzy równania kształtu (1), z których można wyznaczyć trzy niewiadome Ç, r), r, odpowiadające szukanemu kołu, które może być w szczególnych przypadkach kołem rzeczy wistem , lub urojonem.

Jeżeli rl= 0, wtedy w równaniach (1) możliwe są tylko cztery kombinacye znaków, a więc istnieją cztery koła, styczne do dwóch kół, przechodzące przez jeden punkt dany.

Jeżeli ry=r₂— 0, wtedy możliwe są tylko dwie kombinacye znaków, a więc istnieją tylko dwa koła, przechodzące przez dwa dane punkta i styczne do jednego koła danego.

Jeżeli w końcu r₁=r₂=r₃=0, to otrzymamy tylko jedno koło, przechodzące przez trzy dane punkta.

Jeżeli którekolwiek koło n. p. staje się linią prostą o równaniu normalnem:

x cos co, -J- y sin ?t —pt = 0,

wtedy jedno z dotyczących równań grupy (1) zamieni się na równanie warunkowe :

Ç cos <pi + n sin— pi =+ r.

Jeżeli to się stanie z dwoma kołami, wówczas dwa równania warunkowe grupy (1)5 otrzymują postać:

Ç cos ?i + 7] sin ft —p! =±r, Ç cos ?₂ + *1 sin ?₂—p₂ = + r.

W obu wypadkach otrzyma się ośm kombinacyi znaków, skąd również wypływa, że istnieje ośm kół stycznych do dwóch kół i jednej linii prostej , lub stycznych do jednego koła i dwóch linii prostych.

Jeżeli wszystkie trzy koła staną się liniami prostemi, wtedy równania warunkowe (1), prowadzą do trzech równań następujących:

Çcos -j- r) sin <px —px =±r, Ç cos<p₂ + r\ sin®₂ —p₂ = ± r, Çcos ®₃ + r) sin <p₃ —p₃ = ± r.

z czterema tylko kombinacyami znaków: (++ 4")> (+ -j--), (H---(-), (--j-+), a więc

istnieją tylko cztere koła styczne do trzech danych prostych.

18. Konstrukcya kół stycznych do trzech kół danych. Opierając się(l) na twierdzeniu, że prosta, łącząca punkta styczności koła K stycznego do dwu innych kół Kx i A₂, przechodzi przez środek podobieństwa tychże dwóch kół, jakoteż: (2) na twierdzeniu, że proste, wykreślone ze środka podobieństwa dwóch kół, przecinają je w punktach, które, odpowiednio połączone, dają proste odwrotne, przecinające się w punktach, leżących na osi pierwiastnej tychże kół (art. 12. str. 192.), możemy wyznaczyć koła styczne do tychże kół danych, wyznaczając ich punkta styczności z każdem z tych kół.

Przyjmijmy, że do kół ATl5 A₂, K₃, mamy wykreślić parę kół stycznych K i AT', z których pierwsze dotyka się tych kół wewnętrznie, a drugie zewnętrznie.

Jeżeli koło Kx ma być styczne do koła K wewnętrznie a do koła K‘ zewnętrznie, natenczas cięciwa, łącząca punkta styczności Ax i Bx koła -Kj, musi przechodzić przez wewnętrzny środek podobieństwa S kół K i K'. Tak samo przechodzi cięciwa, łącząca punkta styczności A₂, B₂ koła K₂, jakoteż cięciwa, łącząca punkta styczności J₃, B₃, koła K3: przez wewnętrzny środek podobieństwa szukanych kół K i K\

A zatem wszystkie trzy cięciwy styczności AXBX, A₂B₂, A₃B₃, kół Aj, K₂, K₃ z parą kół szukanych K i K\ przechodzą przez wewnętrzny środek podobieństwa S‘ tychże kół szukanych.

Jeżeli koło K ma być styczne do kół Kx i K₂ wewnętrznie, a koło K' zewnętrznie, natenczas tak cięciwa styczności AtA2x koła A, jakoteż cięciwa styczności BXB₂ koła A"', musi przechodzić przez zewnętrzny środek podobieństwa Si2 kół Kx i K₂. Podobnież przejdą cięciwy A₂A₃\B₂B₃ kół K\ K‘ przez środek zewnętrzny podobieństwa S₂₃ kół K₂ i A₃, a cięciwy A₃AX i B₃BX kół K i K‘ przez środek zewnętrzny podobieństwa S3X kół K₃ i Aj.

Punkta Sx2, S₂₃ i S3X wyznaczają jedną z czterech osi podobieństwa kół Kx, A"₂, K₃, a to oś zewnętrzną podobieństwa a. Cięciwy styczności AXBX i A₂B₂, jako odwrotne względem środka podobieństwa Sl2, przecinają się w punkcie, leżącym na osi pierwiastnej i?12 kół K. i A₂, tak samo proste A₂B₂ i A₃B₃ w punkcie na osi pierwiastnej R₂₃ kół K₂ i A₃,

vî

kl

r.

r-

Fig. 174.

a proste A₃B₃ i AXBX w punkcie na osi pierwiastnej i?₃₁ kół K% i KXx a więc wszystkie trzy cięciwy styczności AXBX, A₂B₂ i A₃B₃ muszą się przecinać w jednym punkcie wspólnym wszystkim trzem osiom pierwiastnym kół KXx K₂, K₃, czyli w środku pierwiastnym R kół Ku K2x K₃. Środek pierwiastny U kół Ku K2x K₃ jest więc wewnętrznym środkiem podobieństwa kół K i K‘.

Proste RByAi i RB₂A₂ wyznaczają, na kołach K‘ i A dwie proste odwrotne BtB2 i AXA₂, które, przecinając się w punkcie przecinają się zarazem na osi pierwiastnej kół A i A', a więc oś pierwiastna kół A i A' musi przechodzić przez punkt Sl2, t.j. przez zewnętrzny środek podobieństwa kół Aj i Ä₂, a z tego samego powodu, także przez punkta S₂₂ iiS₃₁, a więc zewnętrzna oś podobieństwa ct kół Ku K₂, A₃ jest zarazem osią pier-wiastną szukanych kół stycznych A i A'.

Styczne t₂ i t\ w punktach styczności At, Bl koła Aj, są ze względu na koła A i A' prostemi odwrotnemi względem środka podobieństwa R kół K i A', a więc przecinają się na osi pierwiastnej a kół A i A' w punkcie Pt. Ten punkt Pj jest z drugiej strony biegunem prostej Ax Bx względem koła Aj, a że Pj leży na osi pierwiastnej t, więc biegun Ej osi pierwiastnej a musi leżeć na biegunowej punktu Pj względem koła A,, czyli na prostej A₁Bl, przechodzącej przez R.

Znalazłszy więc biegun Ej osi t, względem koła Kx ; połączmy Et z punktem R ; prosta REj przetnie koło Kx w punktach styczności Bx. Podobnież znajdziemy punkta styczności A₂, P₂, na kole K₂ i punkta styczności J.₃, P₃, na kole A₃. Koło, przeprowadzone przez punkta Ax, A , A₃ będzie tedy szukanem kołem A", a koło przeprowadzone przez punkta Pj, B₂, P₃, szukanem kołem AT'.

Stąd wypływa następujący sposób wykreślania kół stycznych do danych trzech kół:

Mając dane trzy koła Aj, K₂, A₃, wyznaczamy ich zewnętrzną oś podobieństwa a, jakoteż ich środek pierwiastny A, (fig. 174).

Wyznaczywszy następnie bieguny Ej, S₂, E₃, zewnętrznej osi podobieństwa a względem trzech kół danych Aj, A₂, A₃, łączymy je ze środkiem pierwiastnym R, natenczas proste EjR, E₂R, E₃R przecinają koła A",, A₂, A₃, odpowiednio w parach punktów : (AX,BX), (d₂, P₂), (d₃, P₃). Punkta Au A₂, A₃, wyznaczają tedy jedno koło-A, styczne wewnętrznie, punkta Pj, P₂, P₃ zaś wyznaczają drugie koło A', styczne zewnętrznie do kół danych Aj, Ii₂, A₃.

Powtarzając taką samą konstrukcyę na podstawie pozostałych trzech osi podobieństwa a2? ⁷3j otrzymamy dalsze trzy pary kół stycznych do trzech kół danych. Fig. 175. przedstawia jedną taką parę kół, wyznaczoną na podstawie jednej wewnętrznej osi podobieństwa.

0,

es,-

A:

1;, ?

ńO:

Fig. 175.

ćwiczenia XIV.

1)    Wyprowadzić równanie koła , przechodzącego przez punkta (0,    1),    (0,    5)    i    (8,    2).

2)    Wyznaczyć koła, przechodzące : (a) przez punkta (2, 3), (4, 5), (6,1),    (b)    przez    punkta

(2, 0), (3, 0), (1, 4), (c) przez początek układu i punkta (2, 3) i (3, 4).

3)    Wyprowadzić równanie koła, przechodzącego przez punkta (10, 9) i (5, 2—3YĆ6), jeżeli środek tego koła leży na prostej Sx—2y—Yi.

4)    Wyprowadzić równanie koła , które przechodzi przez punkt (5, 6), a ma środek w punkcie przecięcia się prostych lx—y — 3 = 0, Sx—Ay -f-13 = 0.

5)    Przez punkta (10, 4) i (17, —3) przeprowadzić koło o promieniu r    ==18.

6)    Przez punkt (3, 6) przeprowadzić koło styczne do osi układu.

7)    Z punktu (5, 3), jako środka, wykreślić koło styczne do prostej Sx -J- 2y =10.

8)    Promieniem r =10 zakreślić koło, któreby było styczne do prostej 4x -j- Sy—70 = 0

w punkcie (10, 10).

I 9)xWy pro wadzić równanie koła, przechodzącego przez punkt (5, 9), a stycznego do tej Ax ‘Sy Ą-S — 0 w punkcie (x =—3).

(10) Wyprowadzić równanie koła, przechodzącego przez punkt (2, 3) i przez punkta przecięcia się kół : .r² -f- y²—2x—Ay -}- 9 = 0, a:² -f- y²—Sx -f- 2y—6 = 0.

pros

if₂= («—4)² + y²—9 = 0.

11)    Wyprowadzić równanie koła opisanego na trójkącie ^1(10, 9), P((4, 5), C(0, 5).

12)    Wyprowadzić równanie koła wpisanego w tróikąt, którego boki maią równania : x—y = 5, 7« +17y =161, 17« +7y - 55.

13)    Dany jest punkt (—17, —15) i prosta: 19« + 20y=8; wyznaczyć koło o promieniu r — V/l30, względem którego dana prosta byłaby biegunową danego punktu i nawzajem.

14)    Jeżeli ^4=0, B=0, C== 0, D = lAĄ-mBĄ-nC — 0, są równaniami boków czworoboku ; dowieść, że na tym czworoboku da się opisać koło o równaniu AC—BD — 0.

15)    Wyprowadzić równanie koła o promieniu r =7, które wyznacza na osi X'X odcinek a — 3, a na osi Y Y odcinek b — 2.

16)    Promieniem r=Y/130 zakreślić koło, styczne do prostej 9« + 7y—98=0, a mające środek na prostej 2x—5«/— 65 = 0.

17)    Dane są dwa koła: Kt= æ² + y²—6«—2y—26 = 0, K₃— «² +y² + 2x—4y—11=0; promieniem r= 5 zakreślić koło, przechodzące przez punkta przecięcia kół danych.

18)    Pod jakim kątem przecinają się koła «² + y²=16, («—5)² + y² = 9.

19)    Wyprowadzić równanie koła, któreby przecinało pod kątem prostym trzy koła : (a) Xi=»² + y²—14«—18?/ + 94 = 0, Ä₂=«² + y²+6«—4y—3=0,

K₃=x² + y² + 8« + lOy + 32 = 0 ;

(i) koła: («-1)²+ (y-2)²=7, («-3)² + y² = 5, («+4)² + (y +1)² = 9.

20)    Przez punkta (—4, 3) i (—2, —3) przeprowadzić koło, któreby przecinało pod kątem prosiym dane koło: «² + y²—6«—7=0.

21)    Wyprowadzić równania prostych, wspólnie stycznych do kół:

#1= (*-5)² + (y—3)²—16 = 0,

22)    Dane są dwa koła: («—ll)² + (y—3)²—36 = 0, ('«—l)² + (y+7)²—25 = 0 ; wyznaczyć spółrzędne ich środków podobieństwa.

23)    Wyznaczyć środki podobieństwa :

(a)    dwóch kół ÆT₁(Ç₁, rjt), iT₂(?₂, ł5₂) o jednakowym promieniu r;

(b)    dwóch punktów («,, yj), («₂, y₂) :

(c)    koła («—S)² + (y—rj)²—r² = 0 i prostej Ax + By + C— 0;

(d)    dwóch kół: «²+y²—6«—8y = 0, «² + y²—4«—6y = 3.

24)    Wyznaczyć cztery osie podobieństwa trzech kół następujących: «² + y² = 16, («—5)² + y² = 81, («—7)² + (y-10)² = 4.

25)    Wyprowadzić równanie koła, któreby z kołem: (x—l)² + (y—4)²—121=0 miało środki podobieńttwa w punktach : <S\5, 20), S'(9, 36).

26)    Wyprowadzić równanie koła stycznego do trzech kół, danych równaniami:

xï + (y—5)²—9 = 0,

(«—3)² + (y-3;²-4 = 0.

«² + y² —1= 0,

27)    Przez punkta (0, 3) i (0, —3) przeprowadzić koło styczne do koła

(•£ 4)² + (y + 3)² = 4.

28)    Wyprowadzić równanie koła, przechodzącego przez punkt (5, 2), a dotykającego się prostej y = 0 i koła: a;² + (y—6)² = 9.

29)    Wyprowadzić równanie koła, przechodzącego przez punkt (3, 8), a dotykającego się prostej y = 0 i prostej 35«—12y = 0.

30)    Dowieść, że kwadrat stycznej, wyprowadzonej z jakiegokolwiek punktu P koła

do koła iń₂, jest proporcyonalny do odległości tego punktu od osi pierwiastnej tych kół.

31)    Jeżeli z jakiegokolwiek punktu P koła, opisanego na trójkącie ABC, wykreślimy prostopadłe do boków tego trójkąta , dowieść, że spodki tych prostopadłych leżą na linii prostej (na t. z. prostej Simson’a) i wykazać, że prosta Simson’a dzieli na dwie równe części odstęp między punktem P, a punktem przecięcia się H wysokości trójkąta.

32)    Dowieść, że koło, przechodzące przez środki boków trójkąta, przechodzi także przez punkta przecięcia się wysokości trójkąta z przeciwległemi bokami, jako też przez środki górnych odcinków tychże wysokości. Promień jego równa się połowie promienia koła, opisanego na danym trójkącie. To koło nazywamy kołem dziewięciu punktów trójkąta, albo też kołem Feuerbach’a.

33)    Dowieść, że koło dziewięciu punktów danego trójkąta jest styczne wewnętrznie do koła w tenże trójkąt wpisanego, a zewnętrznie do kół weń zawpisanych.

34)    Dowieść, że w czworokącie wkoło wpisanym, mającym boki a,b,c,d i przekątnie l>, q, zachodzą relacye : pq — ac + bel, p/q = {ad + bc)/(ab + cd).

85)    Dowieść, że w czworokącie ABCD, opisanym na kole, przekątnie ACiBD przecinają się w tym samym punkcie M, co cięciwy, łączące przeciwległe punkta styczności i wykazać, że te cięciwy są zarazem dwójsiecznemi kątów między przekątniami zawartych.

86)    Jeżeli czworokąt ma tę własność, że jedno koło da się na nim opisać, a drugie koło da się w niego wpisać, dowieść, (a) że iloczyn długości obu stycznych, wyprowadzonych z końców jednej przekątni jest równy kwadratowi promienia koła wpisanego w tenże czworokąt ; (6) że środek koła opisanego i punkt przecięcia się obu przekątni tego czworokąta znajdują się na jednej linii prostej.

37)    Dowieść, że stosunek anharmoniczny czterech punktów prostej jest równy stosunkowi anharmonicznemu czterech biegunowych tych punktów względem danego koła.

38)    Dowieść, że przekątnie sześciokąta, opisanego na kole, przecinają się w jednym punkcie (punkcie Brianchon’a).

39)    Dowieść, że boki przeciwległe sześciokąta, wpisanego w koło, przecinają się w punktach znajdujących się na jednej linii prostej (prostej Pascal’a).

Rozwiązania XIV. 1) a;² t/²—2;u—6«/ -f- 5 = 0. 2 ) (a) (x— ¹³A)² "4" (2/—V3)² = ⁵%j (è)#²+y²—5x — ₇y+6='0; (c) x²+y²—23x-f-14«/=0. 3) x²+«/²—14#—4y—5=0. 4) (x —l)²-|-(y—4)²=20. 5) Dwa koła możliwe: (x—5)² + (y + 8)²=169, (a?—22)² -j- («/—9)² =169. 6) Dwa koła możliwe: (x—15)²+(y-15)² = 225, (x-3)² + (y-3)² = 9. 7) (se-5)² + (y—3)*=¹²¹/i₃- 8) Dwa koła możliwe: (x—2)² + (y—4)*=100, (x-18)² + (y-16)*=100. 9) (*-1)*+ (y-6)²= 25. 10) *² + y² + 4x-40y+ + 99 = 0. 11) x²+y² —14.r-4y—5 = 0. 12) (x-4⁵/₆)² + (</-4¹/₆)î=³³⁸/36- 13) Dwa koła możliwe: + - 2)J + (y -5)*= 130^ (* + 20¹⁸⁷/₇₆₁)² + (y + 18”%₆₁)«= 130. x²+?/² ±8xV/3±yY/l87 + ¹⁸³/4 = 0.    16) Dwa koła możliwe : (x—27²/₅₉)ł + (y + 2¹¹/₅₉)ł= 130,

(cc—5)⁷ + (y+ll)²= 130. 17) Dwa koła : Z₁-(5±V/69)X₂=0.    18) Pod kątem prostym.

19) (a) (X-1 y,)*+ (y + 3²³/₄₂)²=121⁹⁷⁷/176ł; (b) (* +Vie)’+ (y +“/i6),«=,,46/i56. 20) (x + 2Ve)*+ + (y— ⁵/j₈)'² = 10¹²⁵/i62• 21) Styczne zewnętrzne: x—1=0; Ax—3y—31= 0, dotykają się koła Kr w punktach (1, 3) i (8'/₃, 3³/₅) na prostej : x + By—10 = 0 ; styczne wewnętrzne dotykają się koła Kt w punktach urojonych na prostej: x + By +14 = 0. 22) S(—49, —57), S'( 5⁶/n, —2⁵/lt). 23) (a) S(oo, 00), S"(V₂(?i+?₂), V₂ + +^)); (&) jak w (o), (e) S, S' \($VÄ'~+B~'±Ar)lVA' +R², (■n\/Âï+ip±Br)/\/A*+B*} ; (d) S(-2, -1), S'(²²/₉, ³¹/₉). 24) 10*-9y+40 = 0,130x-61y-200=0, 13Qr—81y—200 = 0, 10*-13y + 40 = 0. 25) 0»-67₃)² + (y-25Va)*+ (‘Ys)²- 26) Cztery koła

—366±45V/ÎÏ9y

rzeczywiste :

233 + 9\/ll9

94

-(

15) Dwa koła możliwe :

188

, cztery pozostałe urojone. 27) Dwa koła:

x'¹-\- y¹= 9, #²+y²—8x—9 = 0. 28) Cztery koła możliwe : (x—⁶⁹/₇)²+(y—³³⁸/₄₉)² = (³³⁸/49)% (x-3),+ (y-2)⁷=4, +-15-8V/3)²+(y-74-40V/3)²=(74+40V/3>, (z-15 + 8\/3 )² +

+ (2/_74 + 40V/3“)!=(74—40V/3)².    29) Dwa koła możliwe: a-²+ y²— 14a?—lOy + 49 = 0,

*²+    ⁷³⁹/₄₉y +S329/₄₉₌₌ 0.

Literatura O. Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene, Leipzig 1865. Apollonius v. Per g a. De tactionibus ac lemmata Pappi cum Vieta restitutione ed. Cramer Gothae 1795. L ü b s e n, Ausführliches Lehrbuch der analytischen o. höheren Geometrie, Leipzig 1862. I. Steiner. Die geometrischen Constructionen mittelst der geraden Linien und eines festen Kreises, Berlin 1833. H. Cantor und F. R u d i o, Die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene, Leipzig 1894.

Tematy do rozpratvek naukowych :

1.    Związki, zachodzące między promieniem koła wpisanego w trójkąt, a promieniami kół zawpisanych.

2.    O czworokątach, które dają się w jedno koło wpisać, a na drugiem opisaq,

3.    Teorya i własności koła (Feuerbacha) dziewięciu punktów trójkąta.

4.    Teorya kół stycznych do trzech kół danych.

Wykład XV.

Koła na płaszczyźnie jako miejsca geometryczne

punktów.

1. Kolo, jako miejsce geometryczne punktów. Określając koło, jako miejsce geometryczne punktu, znajdującego się w stałem oddaleniu r od pewnego punktu (£, rj), otrzymaliśmy, jako związek między spółrzędnemi (æ, y) bieżącego punktu tego koła, odniesionego do układu prostokątnego, równanie

x²+y² + ax -f by + c=0, w którem spółczynniki a, b, c, zależą od położenia środka (£, rj) i promienia r koła.

kształtu :

(1)

Ponieważ spółczynniki a,b,c równania (1) dozwalają na odwrót wyznaczyć środek f, rj, promień (r) koła, albowiem równanie (1) da się zawsze sprowadzić do równania kształtu :

(x—i)² + (y—y)=r²,

określającego koło o środku £, r\ i promieniu r, przeto stąd wypływa twierdzenie, że wszelkie równanie kształtu (1) przedstawia koło na płaszczyźnie.

Porównując to równanie koła z ogólnem równaniem stopnia drugiego między spółrzędnemi bieżącego punktu {pc₎ y), które ma kształt:

ax' + by^+cxy 4- dx4 ey-\-f=0, spostrzegamy, że równanie (3) da się sprowadzić do równania (1), gdy między jego spółczynnikami zachodzą dwa związki następujące:

(2). c=0,

z czego wynika, że ogólne równanie stopnia drugiego między spółrzędnemi punktu (#, y), odniesionemi do układu prostokątnego, w postaci :

ax² -f by² -f cxy + dx -f ey-f-f— 0,

(2)

(3)

przedstawia koło, skoro a=b, c—0.

2. W układzie ukośnokątnym otrzymujemy, na podstawie tego samego określenia^ równanie koła w postaci :

które wypływa z równania :

x² + y² + 2 xy cos y Ą-Ax -\-By -\-C—0,

(P)

(20

(x—Ç)²-f- (y— ï))² + 2(x—£)(//—rj) cos y — j*2 i da się na odwrót do równania (2') sprowadzić.

Porównując równanie (1') z ogólnem równaniem drugiego stopnia, odniesionem do układu o kącie osiowym y, w postaci :

ax² + by² -f- cxy + dx + ey + /= 0,

spostrzegamy, że równanie (80 da się sprowadzić do równania (10, czyli, że równanie (80 przedstawia koło, skoro między jego współczynnikami zachodzą relacye : a = b, a przytem

— 201 -

3. Używając spółrzędnych biegunowych (p, ®) otrzymaliśmy (art. 6. str. 174), równanie koła o środku p₀, ®₀ i ⁰ promieniu r w postaci :

P²—2pp₀cos (®—?₀) = »*²—Po²,

z której wypływa :

P = p₀cos (<P—cp₀)±\/r²—p²₀sin²(<p—<?₀),

a stąd wynika, że wszelkie równanie w spółrzędnych biegunowych (p, ®), kształtu :

p²—2p (<e cos ® + 6 sin ®) + c = O,

przedstawia koło o promieniu r, skoro

a = p₀cos <j>,

b = p₀sin o, <e² + 6²—r² — c.

c = p₀²—r²,

a więc, skoro :

4.    Kolo na płaszczyźnie i jego równanie między spólrzędnemi punktu.

Opierając się na ścisłym związku między kołem, a jego równaniem, możemy zagadnienia, dotyczące kół, rozwiązywać za pomocą ich równań i nawzajem, możemy działania równaniami kół przedstawić obrazowo, jako konstrukcye geometryczne liniami kołowemi.

5.    Rozwiązywanie zadań geometrycznych, dotyczących punktu, prostej i koła lia płaszczyźnie. Wyrażając punkt za pomocą jego spółrzędnych, a linię prostą i koło za pomocą ich równań w spółrzędnych bieżącego punktu, możemy wszelkie zagadnienia geometryczne dotyczące punktu, linii prostej i koła rozwiązywać przy pomocy dotyczących równań.

Na odwrót, możemy przy pomocy odpowiednich równań wyznaczyć punkta podległe danym warunkom , jako też wyszukać ich miejsca geometryczne, a przy tern zbadać, czy i pod jakimi warunkami szukane miejsca geometryczne będą liniami prostemi, lub kołami.

Wybór rodzaju układu i jego położenia odnośnie do danych elementów jest wogóle obojętny. W szczegółach należy się stosować do wskazówek podanych w wykładzie VIII. na str. 96 i nast. gdzie była mowa o miejscach geometrycznych punktu, przedstawiających się w postaci linii prostej. Obecnie zajmiemy się niektóremi zagadnieniami, w których miejsca geometryczne szukanych punktów przedstawiają się w postaci koła.

6. Miejsce geometryczne punktów, których odległości od dwu stałych punktów pozostają w stałym stosunku m : n. Przyjmijmy dwa dane punkta i i 5, na osi X‘X i oznaczmy ich spółrzędne przez a ii, natenczas według

warunku zagadnienia AM : BM=m : n otrzymamy wobec :

AM²=y² + (x—a)²,

Î)

BM²=y² + (x— b)²,

równanie :

y²-\-{x—a)²

m¹

—X

y²+(x—b)²

czyli : w²[«/²+(£— «)²]—m²[y²A(x— &)²]=0, a zatem równanie koła :

’J'

Fig. 176.

(x²y²)(n² — m²)—2 x(n²a—m²b)*=m²b²—n²a². Środek tego koła leży na prostej, łączącej

n²a—m²b

dane punkta w oddaleniu È——-

punkta przecięcia z osią XX‘ wyznaczone są spólrzędnemi y = O, n²a—m²b , mn[a—b) n²—m²

— m²

, a jego

na—mb

na A mb n+m ’

t. z. Punkta przecięcia C i D koła z prostą AB: dzielą odstęp między punktami A i B w stosunku w: w, jeden: C — wewnętrznie, drugi: JD — zewnętrznie,

x=—

n²—m²

a więc: xi

x₂ =

AM² ’ BMr

A zatem: Miejscem geometrycznem punktów, których odległości od dwóch danych punktów, bezwzględnie wzięte, pozostają w stałym stosunku, jest koło, którego średnica jest odległością pary punktów C i _D, harmonicznie sprzężonych z danemi punktami według stosunku m:n.

7. Wiadomo z fizyki, że stopień oświetlenia punktu stoi w stosunku odwrotnym do kwadratu z odległości tego punktu od źródła światła.

Wyobraźmy sobie w punktach A i B źródła światła, których siły oznaczmy przez p i q, natenczas stopnie oświetlenia punktu M przez światła A i B wyrażą się

Jeżeliby punkt M miał być przez punkta A i B jednakowo oświe-

AM Vv

V

stosunkami

p    q

BM

Vq

tlony, natenczas musiałoby być -:=-s —........ ₀, czyli

J    AM²    BM²

T. z. Stosunek odległości punktu M od punktów A i B musiałby być stały, a więc punkt M musiałby leżeć na kole.

A zatem: Miejscem geometrycznem punktu M, równooświetlonego przez śiciatła Ai B o siłach p i q jest koło, którego średnicą jest odległość dwóch punktów O i D, dzielących prostą AB harmonicznie w stosunku \/p ' Y/ q •

8. Miejsce geometryczne wierzchołków kąta stałego co, którego ramiona przechodzą przez dwa punkta. Niech będą A i B dwa dane punkta, których

odległość AB=2c. Przyjmijmy prostą AB za oś X'X, a jej środek 0 za początek układu i oznaczmy przez x, y spółrzędne szukanego punktu P, natenczas kąt nachylenia oj prostych AP i BP, łączących punkta A(—c, 0) i P( + c, 0) z punktem P(æ, y) wyrazi się na mocy art. 20. str. 71. za pomocą wzoru:

7Y

x

tg«=-

—c x-\-c    y{x-\-c)—y{x—c)

Zcy

14

y²

Æ²+y²—c²

Æ²+y²- c²’

x²—c²

z którego otrzymamy równanie szukanego miejsca geometrycznego w postaci:

x"¹ Ą-y^—^cy . cotg <n=c².

Równanie to przedstawia koło, którego środek leży na prostopadłej w 0 do AB w odległości: rj=c. cotg w, a promień r=c. cosec co, (fig. 177.).

Z tego widzimy, że koło jest miejscem geometry cznem punktów, z których dany odcinek AB widać pod stałym kołem y, czyli, że w kole kąty obwodowe oparte na tym samym łuku, są sobie równe.

9. Miejsce geometryczne punktów, z których widać dwa dane odcinki jednej linii prostej pod tym samym kątem. Przyjmijmy daną prostą za oś X‘X i oznaczmy przez (a,b) i (a‘, b¹) spółrzędne x obu końców (A, B) i (A‘, B‘) danych odcinków AB i A‘B\ a przez x, y, spółrzędne szukanego punktu M, natenczas warunek: tgAMB=tgA‘MB¹ przedstawi się w postaci :

Fig. 177.

II

<l\>

\ ,

—x

x—a x—b

x—a¹ x — b‘

14

(;X— a) (;X — b)

14

y²'

(x—a,)(x—bl)

Fig. 178.

czyli :

y {a—b)

y(a‘—b‘)

(x—a) (x-b)-\-y²

z której otrzymujemy równanie :

(x²-J-y²) {a—b — a¹ + b‘) — 2x(ab‘ + a‘b)—ab(a‘—b^—a'b'ia—b),

ab(a‘ — b‘)—a'b'(a—b)

(x — a¹) (x — b‘)-j-y²

x²+y²—2x

ab' + a'b

czyli :

a więc równanie koła, którego środek leży na danej linii prostej.

Jakikolwiek punkt M tego koła występuje wedle art. poprz. jako przekrój dwóck kół, z których jedno przechodzi przez punkta A i B, drugie przez punkta A‘ i B\ a mają tę własność, że kąty obwodowe, na tych odcinkach oparte, są w obu kołach jednakowe.

10. Miejsce geometryczne punktu, który ma tę własność, że suma przez pewne liczby stałe pomnożonych kwadratów odległości tego punktu od n punktów stałych jest zawsze jednakową. Niech będą dane n punkta :    yt),

(£=1, 2, ...w), odniesione do dowolnego układu prostokątnego, odległość szukanego punktu P(x, y) od punktu Pt{Xi, yi) niech będzie d{, (£=1,2, ..., n). Kwadraty tych odległości c^²(£=l, 2, ...w), pomnożone przez pewne liczby stałe Ui{i—1, 2, ...), mają dać stałą sumę m².

i=n

Na podstawie warunku 2 riid^—m² otrzymujemy równanie:

(o—b)—(a‘ — b‘)

{a — b) — (a‘—b‘)

?'=i

i—n

2 Yii [{x — Xi]²-\-{y— y i) ²]=m²,

i=1

czyli:

(x2jry²)2ni—<2x2 n{Xi—2 y 2 ni y{+2n,: xt ² \ 2n, y ²=m². Jest to równanie koła, którego środek ma spółrzędne :

2fl{ X{ Yl^X^-\-Yl^X^-\- .,.~\-YlnXn

2fii

ni +w₃ + ..-+ww

__2niyi^ niyi+n₂y₂ + ... + nnyn 2ni    -h w₂ -h... *h Mn

a promień r ma wartość, określoną wzorem :

r²=[2fij xi]² + [2rii yj\² + 2nt{m²—2nt x,: ²—2uj y i²)

2n;²

Punkt, określony wzorami (a), nazywamy zwykle środkiem proporcyo-nalnych odległości albo też środkiem ciężkości danych punktów, zakładając, że masy tych punktów znajdują się w stosunku nx :n₂:... : nn.

A zatem: Miejscem geometrycznem szukanego punktu jest koło, którego środek jest środkiem ciężkości układu danych punktów, w których umieszczamy massy, stojące w stosunka ny\n₂. ...n₃ punktów.

W przypadku, gdy ni=ni—...nn — 1, równanie (1) przybiera postać:

n(x² -f y²)—2xLxi—2ylyi + 2a;². -f- 2?/².=

(a)

(6)

2*. -Vi

przedstawia więc koło o środku Ç=—, r\ = —, który nazywamy środkiem średnich odległości , albo krótko środkiem arytmetycznym (str. 63. ćw. 16.), danych punktów.

11. Koło, jako obwiednia prostych, równooddalonych od danego punktu.

Niech będą (u, v) spółrzędne prostej ruchomej , dany punkt P niech się przedstawia w spółrzędnych linii prostej równaniem ogólnem : £u-\-rjv-fl=0. Jeżeli prosta ruchoma (w, v) ma w ciągu ruchu pozostać w stałem oddaleniu r od tego punktu , natenczas otrzymamy warunek :

Çu+rjv + 1

\/ U² + V²

(£u+ rjv+ l)²=r²(u²Ą-v²)

(1)

skąd wypływa związek :

(2)

jaki zachodzić musi między spółrzędnemi (u, v) prostej stycznej do koła, mającego środek £, 77, i promień r.

Jest to więc równanie koła w spółrzędnych linii prostej, czyli ogólne równanie Plückerowskie koła.

Wykonawszy w tern równaniu wskazane działania, otrzymujemy równanie stopnia drugiego w spółrzędnych (u, v) linii prostej w postaci :

(3)

(£²—r²) .u² + (77²— r²) .v²+2Çrj. uv -f 2£.u -f 277.7; -f 1=0,

czyli równanie w którem :

(3')

Au² + Bv²-\-2Cuv-{-2Du-\-2Ev + F=Oi A=%²—r², 73=77²—C—Çrj, Z)=£, E=rj, F= 1

(4)

Z wzorów (3') możemy wyrugować £, 77 i 7-, a otrzymamy warunki : T)E-C=0, D²—A=E²—B,

jakie zachodzić muszą między spółczynnikami równania koła w spółrzędnych linii prostej.

Pod tymi warunkami otrzymujemy :

1=7), n=E, ri=D²—Ą=Ei—B.

Jeżeli początek układu znajduje się w środku koła, natenczas mamy £=0, 77=0, równanie (1) sprowadza się do postaci: r²(u² -f v²) —1 = 0, będącej równaniem koła w spółrzędnych linii prostej , czyli równaniem PI iic-ker’owskiem koła, którego środek znajduje się w początku układu.

12.    Równanie koła w spółrzędnych punktu a równanie koła w spółrzędnych linii prostej.

Uważając punkt (x, y), jako element płaszczyzny, mamy w równaniu koła między spółrzędnemi a?, y, punktu ruchomego podany zbiór 00¹ punktów, tworzących linię krzywą , której wszystkie punkta są równoodalone od jednego stałego punktu.

Uważając zaś prostą (u, v) za element płaszczyzny, mamy w równaniu koła w spółrzędnych u, v prostej ruchomej, określony zbiór 00¹ prostych stycznych do koła. Koło w zwykłem słowa znaczeniu występuje wtedy, jako linia obwinięta przez wszystkie swe styczne, czyli przez proste, równooddalone od jednego stałego punktu.

Oba rodzaje równań, są ze względu na swe spółrzędne zmienne pewnemi równaniami drugiego stopnia.

Jedno z nich mianowicie równanie koła w spółrzędnych (x, y) punktu dowodzi , swym stopniem, że na każdej prostej , należącej do płaszczyzny, znajdują się dwa punkta koła, drugie , t. j. równanie koła w spółrzędnych (u, v) linii prostej dowodzi znowu swym stopniem, że przez każdy punkt płaszczyzny przechodzą dwie proste, styczne do koła.

13.    Równanie koła w spółrzędnych linii prostej, wyprowadzone z równania kola w spółrzędnych punktu. Styczna w punkcie (cc', y'), koła x'²-\- y²— 7*² ma równanie : xx‘-\-yy‘—r‘l—0,

które możemy także przedstawić w postaci : — ~ x — ~ y Ą- 1 = 0, czyli w formie Pltic-

x¹

ker’owskiej : ux\-vyĄ-l = 0, gdzie —=u, —    są spółrzędnemi prostej stycznej do koła.

Wobec tego otrzymujemy na odwrót: x' =— rht, y' — —wzory na wyznaczenie spółrzędnych punktu styczności (x\ y), gdy dane są spółrzędne stycznej (u, v). Ponieważ dla punktu («', y') danego koła jest: a;<2-f-y/2 = r², więc związek między spółrzędnemi (77, v) prostej, stycznej do danego koła, ma postać: r⁴w² -f- r'lv² =r², czyli r\u² rł) = l,

a więc u³-\-v² — jako równanie koła o promieniu r, którego środek leży w początku

układu, wyrażone w spółrzędnych (u, v) prostej, stycznej do tego koła.

14. Jeżeli równanie koła w spółrzędnych (#, y), bieżącego punktu dane jest w formie

x² Ą-y² —Vax—2&t/-{- c = 0,

ogólnej :

(1)

natenczas styczna w punkcie (a?', y'), tego koła, jako prosta: Ax-\-ByĄ- 0= 0, przechodząca przez punkt (x‘, y‘) w odległości r od środka koła, ma równanie :

(x‘—a) x (y'—b) y—ax‘—by* -f- c= 0

y-

czyli :

x‘ — a

c—ax‘—by‘

a więc w formie Plücker’owskiej : ux-\-vy-\- 1 = 0, gdzie:

c—ax‘—by‘

x'—o

c— ax'— by'

są spółrzędnemi prostej stycznej do danego koła w punkcie (x', y'). Na odwrót, otrzymujemy stąd:

(1 -f- om) #'-f- buy'= cu -f- o, o»a?'-f- (i+ ^0 y‘—cv +

przeto

__(cm -f- o)(l-f- bv)—(cv -f- b)bu    (cm -f- o) -f- b(av—bu)

(1-f- au\l-\-bv)—abuv

1 -f- «m + bv

/ (ic»-f- b) (1 -f- <*m)—(cm -J-o)o»    (cv -f- b) a(bu— av)

^    (1 -j- om) (1 -f- bv) — abuv    1 -j- au -\-bv

wzory, wyrażające punkt styczności (a?', y') prostej (m, v) z danem kołem przez spółrzędne (m, ») tejże linii prostej.

Uwzględniając, że równanie danego koła, możemy przedstawić w postaci:

y—b

c— ax — by

więc dla punktu (a/, y‘). na kole mamy warunek:

;—ax — ay

y-f 1 = 0,

x'— «    , . V — b

-;-r—- x'Ą----— y' 4- 1 = 0,

c—ax' — by'    c — ax‘ — by'

czyli ux' -f- vy‘-f- 1 = 0. Podstawiając powyżej otrzymane wartości na x' i y' w równanie, zachodzące między spółrzędnemi (m, ») prostej stycznej dodanego koła, otrzymamy wzór: [(cm -f- a) -ł- b(av—bu)]u -f- [(cm -J- &) -f- a(bv—au)]v -f-1 + au -\- bv = 0.

(c—b >²    (c- o²) v² f- 2abuv -f- 2om -[- 26» -f-1 = 0,

a więc :

jako równanie koła (1), przedstawione w spółrzędnych (m, v) prostej stycznej do koła.

15. Jeżeli równanie koła odniesione jest do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, a więc w spółrzędnych (x, y) bieżącego punktu ma postać:

x² -f- y² -f- 2xy cos y—2ax—2by -f- c    0,

natenczas styczna w punkcie (ać, y') koła, jako prosta: Ax By -j- C = 0, przechodząca przez punkt (a?', y') w odległości równej promieniowi r od środka koła, otrzymuje równanie: (x‘ y' cosy—a)x -[-(«'cos y -j-y'—b) y—ax'—by'-\-c = 0,

■a ₊^osrp^

!    ¹ g _ ßßt_foyt J 1    ‘

ux -J— vy -J- 1 = 0,

albo :

czyli :

aj'-J-y'cosy—

c— ax‘—by

_x' -\- y' cos y — a

c — ax‘ — by'

są spółrzędnemi prostej stycznej do danego koła w punkcie (x': y'\ którego spółrzędne spełniają więc warunek:

gdzie :

x' cosy-\-y'—b c — ax‘ — by' ’

x‘ -j- y' cos y—a

Na odwrót otrzymamy:

c—ax'—by'

x' -f-

x' cos y -f- y'—b

c—ax'—by'

y,JT 1-0.

(1)

a stąd

x‘ (1-f- om) -j- y' (cos y -|- bu) — cu -f- o) x' (cos y -f- av) -f- y' (1-f- bv) = cv -j- b:

^_ (cm —f- o) (1-f- bv)—(cv -\- b) (cos y -f- bu)

(l-[- om)( 1-f- bv)—(cos y -f- o»)(cos y -f- bu) (cv -{- b) (1+ om)—(cm -f- o) (cos y -f- av)

y'

(1-f- om)(1-|- bv)—(cos y -f o»)(cos y -f- bu)1 wzory, wyrażające punkt styczności prostej (m, v) z danem kołem przez spółrzędne m, », tejże linii prostej.

Podstawiwszy te wartości w równanie warunkowe (1), otrzymujemy związek między spółrzędnemi (m, v) prostej stycznej do danego koła w postaci :

[(cm -f- o) (1-f- bv)—(c» -j- b) (cos y -f- Z>m)] m -f--f- [(c» -f- 6) (1-J- «m)—(cm -f- o) (cos y -f- o»)] » -f--f- (1-f- om) (1-f- &»)—(cos y -f- om) (cos y -f- bv) = 0,

a więc równanie koła w spółrzędnych (u, »), prostej, odniesione do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y w postaci :

- 206 -

Au² +J>Vj + 2 Cuv + 2 Dm + 2JE*>    0,

gdzie yl = c—6², B = c—a², C — ah—c cos y, D = «4"^C0ST) 7? = 5-4 « cos y, i',= sin²y.

Wyrugowawszy z powyższych związków spółczynniki a, &, c, otrzymamy warunki :

CF—DE = (D²—AF) cos y.

D²-AF=E²-BF,

jakim spółczynniki równania drugiego stopnia w spółrzędnych Plückera, odniesionych do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, w postaci :

Au² + Bv² + 20uv + 2 Du + 2 Ev + F= 0,

muszą uczynić zadość, aby to równanie było równaniem koła w układzie Plückera.

ćwiczenia XV.

1)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, z których styczne wyprowadzone do koła:

(x—Ç)² -j- (y—r\)² = r², (°0    równe p, (b) tworzą stały kąt a.

2)    Dowieść, że wierzchołki trójkątów, które mają wspólną podstawę 2«, a sumę kwadratów dwóch boków pozostałych równą stałej 2m², znajdują się na kole.

3)    Znaleźć miejsce geometryczne wierzchołków trójkątów, które opierają się na wspólnej podstawie c i mają ten sam kąt y u wierzchołka przeciwległego podstawie.

4)    Wyprowadzić miejsce geometryczne wierzchołka trójkątów :

(a)    jeżeli dane są : kąt y u wierzchołka C i wierzchołki A(x‘, y'), B{x", y") podstawy

(b)    jeżeli y = 90°.

5)    Jakie jest miejsce geometryczne punktu przecięcia się wysokości trójkątów, które mają u wierzchołka C kąt y, i wierzchołki : A(x‘, y‘) i B{x", y") podstawy.

6)    Między ramionami kąta prostego porusza się odcinek linii prostej o stałej długości 2a, jakie jest miejsce geometryczne środka tego ruchomego odcinka.

7)    W kole: cc² 4- y²—2Cte = 0, wykreślono przez początek układu pęk cięciw; jakie jest miejsce geometryczne punktów, które dzielą te cięciwy na dwie równe części.

8)    Znaleźć miejsce geometryczne środków kół, które przechodzą przez punkt (ay, yx) i przecinają koło: aj² 4-y² = r² pod kątem prostym.

9)    Znaleźć miejsce geometryczne punktu, który ma tę własność, że styczne zeń wyprowadzone do kół Kt= 0, K₂=0 mają długości, pozostające do siebie w stosunku Xt:X₂.

10)    Dany punkt F i prosta AB ; znaleźć miejsce geometryczne punktu , który ma tę własność, że kwadrat jego odległości od danego punktu F ma się do jego odległości od prostej AB, jak m²:n.

11)    Znaleźć miejsce geometryczne punktu, którego odległość od początku układu jest średnią geometrycznie proporcyonalną między danym odcinkiem d — 5, a odległością tego punktu od prostej : 3a? 4- 4y -j- 6 = 0.

12)    Znaleźć miejsce gometryczne punktu O, który ma tę własność, że poprowadziwszy przezeń proste B‘CC"A", A"‘B'", równoległe do boków BC, CA, AB, trójkąta AX, otrzymujemy stałą sumę iloczynów : B‘0 . OC'-\-C"0.0A“-\-A'“0 . OB"', równą w².

13)    Znaleźć geometryczne miejsce środków cięciw koła x² -\-y² — r², równoległych do

prostej :

x cos a 4- y sin a — p — 0.

14)    Znaleźć miejsce geometryczne wierzchołków kąta prostego, którego ramiona przechodzą przez punkta przecięcia się

x cos a 4- y sin a—p = 0 z kołem : x² - y² — r².

15)    Znaleźć miejsce geometryczne środka cięciw koła: x²-\- y² = r², na których opiera się kąt prosty mający wierzchołek w punkcie (x‘, y‘).

16)    Znaleźć miejsce geometryczne spodka prostopadłej na cięciwę koła:

x²-Ą-y²2ax2byc — 0, której przynależy kąt prosty, jako kąt środkowy w tern kole.

17)    Znaleźć warunek , pod którym prosta x cos a 4-y sin a—p = 0, odcina na kole :

x²Ą-y²-\-2ax-{-2byĄ-c—0

luk, któremu odpowiadający kąt środkowy byłby kątem prostym.

18)    Dowieść, że wierzchołek kąta, którego ramiona obracają się około dwóch stałych punktów, opisuje przy tym obrocie linię kołową.

prostej :

19) Jeżeli na kole przyjmiemy cztery punkta A, B, C, D, dowieść, że cztery promienie, łączące te punkta z którymkolwiek piątym punktem P tegoż koła, mają zawsze jeden i ten sam stosunek anliarmoniczny,

(fig. 179.).

20) Jeżeli na kole przyjmiemy cztery styczne a, b, c, d, dowieść, że cztery punkta przecięcia tych stycznych z jakąkolwiek piątą styczną tegoż koła mają zawsze jeden i ten

sam stosunek anharmoniczny.    \

B'

21)    Dowieść, że w czworokącie w koło wpisanym wszelka \ poprzeczna przecina trzy pary boków przeciwległych w trzech parach punktów, tworzących inwolucyę.

Fig. 179.

22)    Znaleźć miejsce geometryczne punktu przecięcia dwu stycznych, wykreślonych w końcach cięciwy koła :

x² fi- y² = r²,

której odpowiada w tern kole stały kąt środkowy 9.

23)    Przez punkt P poprowadźmy sieczną, przecinającą dane koło K w punktach Pi Q, znaleźć miejsce geometryczne środka cięciwy PQ.

24)    Na płaszczyźnie przyjęto « linij prostych U (i —1,2,.. «), a z punktu P wykreślono prostopadłe do tychże prostych, spodki zaś Pi (i =1, 2, . «) tychże prostopadłych połączono po kolei liniami prostemi tak, że powstał «-kąt o pewnej powierzchni A; znaleźć miejsce geometryczne punktu P, aby w ten sposób utworzony «-kąt miał daną powierzchnię.

25)    Dane jest koło: x²-\-y² = r² i punkt (cc', y‘\ znajdujący się na obwodzie tego koła; przeprowadzić przezeń prostą, któraby to koło przecięła pod kątem 9 (t. j. tworzyła ze styczną w tym punkcie kąt <s).

26)    Dowieść, że miejsce geometryczne punktu, mającego stałą sumę kwadratów odległości od boków trójkąta równobocznego jest kołem.

27)    Pod jakim kątem y muszą być nachylone osie układu, aby równanie x²Ą-y²—xy— —ax—by = 0 mogło przedstawiać koło.

28)    Dowieść, że równanie we współrzędnych biegunowych p, 9 kształtu ; p — a cos (9—a) -j- b cos (9—ß) fi- c cos (9—y) fi-.. przedstawia koło.

29)    Dowieść, że miejscem geometrycznem punktu P, którego odległości od wierzchołków trójkąta równobocznego ABC związane są relacyą : PA = PB -fi- PC, jest koło opisane na tym trójkącie.

30)    Dowieść, że miejsce geometryczne punktu o stałej sumie kwadratów ich odległości od boków wielokąta umiarowego jest kołem.

31)    Dowieść, że w spółrzędnych Plückerowskich (u, v) linii prostej punkt styczności stycznej («', v‘) do koła r² (u² fi- v²) =1 ma równanie r² (uu'-\- vv‘) =1.

32)    Dowieść, że biegun prostej («', v') względem koła r² {u² fi- v²) =1 ma równanie r² (uu'Ą- w') =1.

równanie

33)    Dowieść, że biegun prostej («', v‘) względem koła (!jw -J- -t\v -j-1)²—r² (u² -f- v²) — 0 ma y]v'-f-l)(Çw fi- 7\v fi-1 )-r²(uu'-\- vv‘) — 0.

34)    Dowieść, że równanie kół, przechodzących przez dwa punkta Zfi(xx, 0) i P₂(^₂, 0), położone na osi XX', da się przedstawić w postaci

æ2 yi—fa fi- x₂) x—2Ey fi- xlx₂— 0,

gdzie E jest dowolnym parametrem , równanie zaś kół, przechodzących przez dwa punkta Pi(0, yt), P₂( 0, y₂), położone na osi YY', w postaci: x² fi- y²—2Ex—(yt-f y₂) y + yty₂ =0.

35)    Dowieść, że równanie kół, stycznych w punkcie P(a?,, 0) do osi XX', da się przed-

stawić w postaci gdzie E jest dowolnym parametrem.

36) Dowieść, że ogólne równanie koła w spółrzędnych («, v) Plückera, odniesione do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, da się przedstawić w postaci:

x² fi- y²—2a:₁£c—2Ey-\- xv ² = 0,

i-T 0 a

cos y, a, u,

cos

J-- ». ?. =0.

b, c, 1, v, 1, 0,

37) Dowieść, że gdy koło jest styczne do układu osi o kącie y w odstępie X od środka, natenczas jego równanie w spółrzędnych Descartes’a ma kształt :

x² fi- y² fi- 2xy cos y—2Xoj—2\y fi- X² =0,

2\²uv -f- 2lu -f-    -j- (1+ cos y) = 0.

w spółrzędnych Plücker’a zaś :

38) Jeżeli równanie koła w układzie Plücker’a ma kształt :

Au² -f Bv² + 2Cuv + 2Du 2Ev + F « 0,

przyczem EF—D² = BF—E², ED—CF—(EF—D²) cos y, dowieść, że równanie tego koła w spółrzędnych punktu przedstawi się w postaci :

aa:² -j- by² + 2ca:y cos y -j- 2<fo + 2ery -j-/= 0,

gdzie a, &, c, (7, e, /, są minorami elementów A, B, C, Z), K, Z', wyznacznika :

A, C, D,

przyczem będzie a — b} c — a cosy.

39)    Dowieść, że środki ośmiu kół stycznych do trzech kół danych znajdują się po dwa na liniach prostych, wykreślonych ze środka pierwiastnego R danych trzech kół prostopadle do czterech osi podobieństwa tychże kół.

40)    Dowieść, że w czworokącie opisanym na kole środki obu przekątni i środek koła leżą na jednej linii prostej.

<7, B, E,

D, E, z;

Rozwiązania XV. 1) a) (x—?)²-j- (y—7])*=rî-|-p², b) (x—^y~\-{y—t])²= rJcosec⁵a/2. 2) Przyjąwszy podstawę na osi X'X, a środek podstawy w początku układu prostokątnego, otrzymamy równanie: x’lĄ-yl—m'l—a'¹. 3) Przyjąwszy układ jak w 2) otrzymamy a:²-j-y²— —cycotgy = (>/₂c)². 4) (a) koło : [(»—+ (y—y'){y-y")] tg y + æ (y — y“)—y (x'-x") + -f- x'y" — y'x" — 0, (b) koło: (x—x')(x—x¹') -f- (y—y')(y—y") = 0. B) koło: \(x — x‘)(x—x") -j--(-(y—y‘)(y~ y")]tg T—x    ~b y {x'—x")—x,y"-\-y'x“—0. 6) x²-{-y¹—a¹. 7) x⁷ Ą-y*—lOx — 0.

8) Prosta: xxt-\- yy,= \ (ay ² yj² + r²). 9) Koło: X₂²/fj — X₁²K’₂=0. 10) Przyjąwszy początek w środku odległości punktu F od prostej AB otrzymamy: n(x²-\-y²)— (pn-\-m²) x-\-Jr'ltkV(Pn—2m²) = 0.    11) (cc—³/₂)²-{-(y—2)² = (⁷/₂)².    12) Przyjąwszy ramiona kąta y u wierz

chołka C trójkąta AB C, jako osie układu, otrzymamy równanie: x²-\-y²-\~2xy cos y—ax—by-\-A~ m² = 0. 13) Prosta : y = x tg a. 14) x² -j- y²—2px cos ?—2py sin cp -j- 2p²—r² — 0. 15) (x—x')²-\-+ (V—VO² + xi + ?/² = **²- 16) x² -j- y² -j- ax -f- by-\- i/ic = 0. 17) 2p² -f- 2p (a cos a -f-b sin a) -f- c — 0. 22) (a:²-j— y²) cos² ę = v². 23) Przyjmując O jako biegun, prostą łączącą punkt O ze środkiem C danego koła jako oś biegunową i kładąc OC—d, otrzymamy równanie szukane w spółrzędnych biegunowych p, <p w postaci : p = d cos cp. 24) Koło, którego środek zależy tylko od położenia danych n prostych y — mp -f- b{, (i =1, 2, .. n), a niezależy wcale od danej powierzchni A. 25) (æ'sin cp -|- y‘cos <p) x -f- («'cos ©—y'sin ¥)y = r² cos cp. 27) y =420°,    =v) = r = a.

36) W układzie Descartes’a o kącie osiowym y możemy równanie koła przedstawić w postaci (p -f- y cos y -f- a) x -f- (x cos y + y -f- h) y + («# + by + ć) — 0, skąd kładąc x -f- y cos y + a = fcnq,

x cos y y -j- b = kwi1 ax -f- by -j- c — a więc xm₁-\- yw₂-j- w₃= 0, przyczem u — —, v — ~,

co₃    W₃

otrzymamy po wyrugowaniu a?, y, 1, A:, z powyższych czterech równań równania szukane.

Literatura. Brisse, Recueil de problèmes de geometrie analytiques, Paris 1889. Casse rat, Sur le cercle considéré comme élément générateur de l’espace, Paris 1889. G-raefe, Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie, Leipzig 1885. Sauvage, Les lieux géométriques en geometrie élémentaire, Paris 1893. T o w s e n d, Chapters on the modem geometry of the point, line and circle, Dublin 1863.

Tematy do rozprawek naukowych

1. Teorya wielokątów wpisanych w jedno koło, a równocześnie opisanych na dru-

giem kole.

2.    Teorya koła na podstawie spółrzędnych linii prostej.

3.    Teorya koła na podstawie spółrzędnych trójkątowych punktu i linii prostej.

Wykład XVI.

Prosta w przestrzeni.

1.    Równania linii prostej w przestrzeni. Niech będzie dany w przestrzeni a prosta, przez niego przechodząca, niech tworzy z osiami

układu kąty A: fi, v, (fig. 180.), natenczas punkt do-wolny M tej prostej, znajdujący się w odległości PM=r, będzie miał spółrzędne x: y, z, wyznaczone trzema równaniami rzutów odcinka PM na osie :

x—|=r cos A, y—rj==rcosfi₁ z—£=rcos^, z których otrzymujemy:

cos/i, y=i]+r cos z=Ç+r cos v (1) Przyjąwszy pewien stały kierunek A,fi, v prostej i zmieniając r w granicach od —go do +go , otrzymamy na podstawie powyższych trzech równań spółrzędne wszystkich punktów prostej , przechodzącej przez punkt P(|, 17, £) w kierunku A, fi, v. Z tego też powodu nazywamy powyższe trzy równania, o jednym tylko zmiennym parametrze r, równaniami prostej w przestrzeni.

2.    Równania symetryczne prostej w przestrzeni. Z równań (1) możemy wyrugować parametr r, a otrzymamy trzy równe stosunki :

as—!__ y— V ₌ g—£

cos A    cos y    cos v

punkt P(|, rj, £),

0 !\

Fig. 180.

li

-A

(2)

wyznaczające związek, zachodzący między spółrzędnemi (x,y,z) każdego punktu linii prostej i stanowiące t. z. równania symetryczne prostej w przestrzeni.

Zastępując dostawy kierunkowe prostej: cos i, cos fi, cos v, przez liczby im proporcyonalne Z, m, w, które nazywamy też czynnikami kierunkowe mi prostej, możemy równania symetryczne wszelkiej prostej przedstawić

as—! y— n z—Ç

w postaci :

(3)

Na podstawie teoryi równych stosunków otrzymujemy : cos A cos fl cos v

cos A=

VP+ m²-\- n² ’

COS fl —

VY²-t-m² + w² ’

COS V —

a stąd :

\/1²-\- m2jr n2?

Vl²+ m²Ą- n²’

wzory na wyznaczenie kątów, jakie prosta, równaniami (8) określona, tworzy z osiami układu.

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

14

3. Równania prostej, przechodzącej przez dany punkt. Z równań symetrycznych (3) prostej w przestrzeni otrzymujemy dwa tylko równania od

z-X,

siebie niezależne, jak n, p. w formie:    (*—£), y— y=™ (0—£)• Kładąc ^=a,

— z-~ , które możemy napisać

— b, otrzymujemy

x-Ç=a(*—£), y—y=1>(z—Ç)

jako równania prostej, przechodzącej przez punkt (£, î/, Ç) w przestrzeni.

4.    Rzuty prostej w przestrzeni. Każde z powyższych dwu równań (B) przedstawia związek między dwiema tylko spółrzędnemi punktu ruchomego (x, y, z) prostej w przestrzeni. Dwie spółrzędne punktu M(x,y,s) (fig 181), są spółrzędnemi jego rzutu na odpowiednią płaszczyznę rzutową , a mianowicie

(x, y) są współrzędnemi rzutu M¹ punktu M na pł. XY, ^ (x, z) są współrzędnemi rzutu M“ punktu Mna pł. XZ. (y, z) są współrzędnemi rzutu M“‘ punktu M na pł. Y Z, a więc każde z tych równań j est równaniem rzutu linii prostej w przestrzeni na dotyczącą płaszczyznę spółrzędnych. Tak n. p. równanie x — £=a(z—£) M? ^ przedstawia rzut prostej na płaszczyznę XOZ, czyli rzut pionowy l" prostej w przestrzeni ; równanie y — r]=b(z—Ç) — rzut tejże prostej na płaszczyznę YOZ, czyli rzut boczny V“ prostej l. Z obu tych równań otrzymamy równanie rzutu prostej na płaszczyznę XOY, czyli równanie rzutu poziomego V prostej l w postaci: y—(#—£), ⁰⁰ dowodzi, że mając dwa rzuty prostej możemy, wyrugowawszy odpowiednią spółrzędną, wynaleźć jej trzeci rzut.

W geometryi wykreślnej przedstawia się wszystkie trzy rzuty na jednej płaszczyźnie rysunkowej , jak na fig. 182.

5.    Równanie zwyczajne prostej w przestrzeni. Z równań prostej w przestrzeni kształtu x—£=a(g—£), y—rj=b(z—£), otrzymujemy także równania następujące:

x=az+Ç—a£, y=bz+rj—bÇ, skąd, kładąc at, = a, rj—b£=ß, otrzymujemy równania prostej w postaci :

dwa równania :

(5)

K.

?,

o I Ir

Fig. 181.

M'

M'

MY

CC

(fi)

Y——iĘf

oc=az-{-a, y=bzJrß,

t. z. zwyczajne równania prostej w przestrzeni.

Pierwsze jest zwyczajnem równaniem rzutu I“ prostej na płaszczyznę XOZ, drugie jest zwyczajnem równaniem rzutu Z'" prostej l na płaszczyznę YOZ; równanie trzeciego rzutu V prostej

otrzymamy z dwóch pierwszych równań po wyrugowaniu g w postaci :

b(x—a)—a(y—ß) =0.

6. Kierunek i ślady prostej w przestrzeni. Z równań zwyczajnych linii prostej: x=az-fa, y=bz-\-ß, możemy łatwo wyznaczyć jej położenie w przestrzeni. Przedstawiwszy bowiem te równania w postaci symetrycznej : * y—ß z—0

-R

M»...

Fig. 182.

(60

—, widzimy, że prosta ta przechodzi przez punkt (a, ß, 0) i tworzy z osiami układu kąty À, y, v, określone stosunkami :

cos A

COSA COS fl

COS V

W+ô²+1

z których wynika :

W + &2 + 1

COS fl =

Va M-ô²+l

(7)

VV+ 0* + 1 ’

Widzimy tn zarazem, że od spółczynników a, 6 zależy tylko kierunek, od spółczynników a, ß, zaś miejsce prostej w przestrzeni, albowiem a, ß, 0 są spółrzędnemi punktu, w którym prosta przebija płaszczyznę (poziomą) XOY. Punkt taki nazywamy śladem poziomym Ä prostej l. Ślad pionowy v prostej l, czyli ślad jej na XOZ, będzie miał spółrzędne y—0,

— y, x=--~-\-a j ślad boczny h zaś, czyli ślad na YOZ, ma spółrzędne:

x=0, 2= —

i«

7.    Punkt na prostej w przestrzeni. Chcąc na prostej, danej dwoma równaniami, przyjąć jakikolwiek punkt należy przyjąć dowolnie jedną spół-rzędną n. p. x₎ a z danych dwu równań możemy już wyrachować dwie inne spółrzędne (y, z) tego punktu.

8.    Szczególne położenia prostej względem płaszczyzn rzutowych zależą od wielkości kątów X, ji., v, jakie prosta tworzy z osiami układu.

(1) Jeżeli kąty X, [x, v są zupełnie dowolne, różne od zera i 90°, natenczas prosta jest dowolnie nachyloną do płaszczyzn rzutowych, a jej rzuty przedstawiają się, jako proste nachylone do osi, (fig. 182.), o równaniach zwyczajnych : x — az -f a, y—bz + ß, lub o równaniach x—£

symetrycznych :

y—n

z-X.

cos X

cos v

COS [X

(2)    Prosta l równoległa do płaszczyzny 17, czyli prostopadła do osi ZZ‘, ma v = 90°.

CC_

zatem cosv = 0. Jej równania symetryczne mają więc kształt: CQg ^ —

/ ' — r

rego wypadają dwa równania l lyy — j

ległej do pł. J7(fig. 183.). Rzut na XY jest tu prostą nachyloną do osi XX¹ i YY‘; rzuty na XZ i na YZ są prostemi prostopadłemi do osi ZZ‘.

(3)    Prosta l równoległa do płaszczyzny XZ, czyli prostopadła do osi TT⁷, ma <x = 90°,

mx + n

z-X,

y — 'i

COS [X

jako równania zwyczajne prostej równo-

—, z któ-

x—\

y —»)

-—, z którego

COS V

zatem cos[x = 0; jej równania symetryczne mają kształt:

\V = T\

\x=ClZ-1- a

do pł. XZ (fig. 184.) Rzut na XZ jest tu prostą nachyloną do osi XX i ZZ‘. Rzut na X7 i rzut na YZ są prostemi prostopadłemi do osi YY‘.

wypadają dwa równania l

Y-i

-X

cos X

jako równania zwyczajne prostej równoległej

iż

Y-r-

-X

Fig. 183.

Fig. 185.

Fig. 184.

(4) Prosta l równoległa do płaszczyzny YZ, czyli prostopadła do osi XX', ma X = 90°,

z którego

zatem cosX=0; jej równania symetryczne mają więc kształt: —q~ —    ^

wypadają dwa równania l \    , .

\y=bz-\- ß

YZ (fig. 185.). Rzut na YZ jest tu prostą nachyloną do osi TT'i ZZ‘. Rzuty na XTi na XZ są prostemi prostopadłemi do osi XX.

COS [X

jako równania zwyczajne prostej równoległej do pł.

(5)    Prosta l prostopadła do płaszczyzny XY, czyli równoległa do osi ZZ', ma X = 90°, jx==90°, v=0, zatem cosX = 0, cosix = 0, cos v = 1 ; jej równania symetryczne mają więc

kształt: -q⁻

zwyczajne prostej prostopadłej do XY, czyli równoległej do osi Z. Rzut V na XY jest punktem (Ç, tj), a rzuty : na XZ i na YZ, są prostemi równoległemi do osi ZZ‘ (fig. 186.).

(6)    Prosta l, prostopadła do płaszczyzny XZ, czyli równoległa do osi YY' ma X = 90°, |x=0, v = 90°, zatem: cos X=0, cos;a=1, cosv=0; jej równania symetryczne mają więc kształt : x—Ç

z-X.

/ â? ‘-^

, z którego wypadają dwa równania l\y i jako równania

g_Ç    ₍    ij-_r-

—, z którego wypadają dwa równania ?■{__ , jako równania prostej pro-

stopadłej do XZ, czyli równoległej do osi YY'. Rzut na XZ jest tu punktem (?, £), a rzuty na XY i na YZ są prostemi równoległemi do osi YY'. (fig. 187.).

(7) Prosta l prostopadła do płaszczyzny YZ, czyli równoległa do osi XX', ma X = 0, [jl = 90°, v =90°, czyli cosX=l, cos[a=0, cosv = 0; jej równania symetryczne mają więc

kształt : ³—r~

czajne prostej prostopadłej do YZ, czyli prostej równoległej do osi XX'. Rzut V" na YZ jest tu punktem (tj, Ç), a rzuty : na XZ i na XY są równoległe do osi XX'. (fig. 188.).

y—n

_£    I j . _ „

— , z którego wypadają dwa równania Z-j , jako równania z wy-

U    \ £ — s

4—

-x Y

-x Y

+-

Fig. 186.

Fig. 187.

Fig. 188.

9. Prosta, przechodząca przez początek układu. Prosta, przechodząca przez początek układu ma ze względu nato, że Ç=0, 7]=0, £=0, równania symetryczne: —

COS v’

-x

COS [A

skąd wypadają dwa równania: x = az, y = bz, jako równania zwyczajne linii prostej , przechodzącej przez początek układu (fig. 189.).

Równania x=y —z przedstawiają linię prostą, przechodzącą przez początek układu, a równo nachyloną do wszystkich trzech osi układu.

Wielkość nachylenia znajdziemy z równości stosunków: COS X COS [A cos v

Y/B

stąd cos X = cos ja = cos v

Y/3-

Rzuty tej linii są nachylone do odpowiednich osi pod kątem 45°, a prosta sama wskazuje przekątnię sześcianu, opartego swemi ścianami o płaszczyzny rzutowe, a wychodzącą z wierzchołka, leżącego w punkcie początkowym.

Fig. 189.

10. Warunki potrzebne do wyznaczenia prostej w przestrzeni. Równania zwyczajne prostej w przestrzeni: x=az-\-a, y = bz-\-ß zawierają cztery spół-czynniki, a, b, a, ß, od których zależy kierunek i miejsce prostej w przestrzeni. Każdy z tych czterech spółczynników może przybierać oo{ wartości, w przestrzeni istnieje zatem go⁴ prostych. Prostych równoległych w danym kierunku, określonym spółczynnikami a, b, jest oo². Tak samo istnieje go2 prostych, przechodzących przez punkt (a, ß, 0), t. z. wiązka prostych o wspólnym wierzchołku. Do wyprowadzenia równania pewnej prostej potrzeba czterech równań warunkowych , z którychby można było obrachowaó cztery parametry a, b, a, ß.

- 213 -

Mając n. p. wyprowadzić równania prostej, przechodzącej przez dwa punkta Pl(xi yx zt), P₂(a?2) Vh sî)i otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników w zwyczajnych równaniach prostej : x — az-\-a, y—bz-1-ß, cztei*y równania warunkowe: x^=az^~J-a, yx=bzx-\-ß, ar₂— az₂-\-«, y%—bz^-\- ß, z których możemy wyznaczyć cztery parametry a, b, a, ß. Mianowicie otrzymujemy : x<>—X.

a = —-,

^2—^1

Tym sposobem otrzymamy równania w formie zwyczajnej :

2/2—2/i

y%—y\

zï Z1

a= xx

#2—^1

z2~zl

zl,

z2~zl

zl-

cc—a?!

albo w formie symetrycznej :

«2-

- («—»l)>

2/—2/i

s₂-

*1

(8)

cc —

2/ — 2/i

Z—Z{

cc₂—£fi

(80

2/2 —2/1

jako równania prostej, przechodzącej przez dwa punkta Pi, y\, 2^) i -P₂(*2j V2i zi) przestrzeni trójwymiarowej.

11. Prosta urojona w przestrzeni. Niech będą dane w przestrzeni dwa punkta urojone Pi(«i-f- a\i, bx-\- b\i, ct-\-c*ti), P₂(a₂4-«/2b b2~\~ b<2h c2+ c00? natenczas prosta, przechodząca przez te punkta, będzie miała równania symetryczne: x—aj—a\i

(«2 — '«l)+(«'2 —    (&₂—*l)+(*'2—(C2—Cl) + (C'₂—c,t)*’

które, sprowadzone do równań zwyczajnych, przedstawiają się w postaci:

* = (« + a>i)z + (a + «'*)> y=z(b + h‘i)z + (P + ß'O»

cechującej prostą urojoną w przestrzeni.

Równania te możemy także napisać w postaci równań takich :

(x—a z—a)—i (a‘z -f- a') = 0,    (y—b z—ß)—i (b*z    ß')    0,

którym stanie się równocześnie zadość przez spółrzędne er, y, z rzeczywistego punktu, skoro będzie: x—az— a = 0, a‘z-\-a.'— 0, y—bz—ß —0, b'z -)- ß'— 0. Są tu cztery równania o trzech niewiadomych æ, y, z, a takim równaniom nie można w ogólności uczynić zadość żadnym układem wartości x, y, z, co dowodzi, że prosta urojona w przestrzeni trójwymiarowej nie ma w ogólności na sobie żadnego rzeczywistego punktu tej przestrzeni.

&'    a'

Gdyby przypadkowo było:    = —g—, a więc równania a‘z-\- a' = 0 i b'z-|-ß' = 0,

b    ß

sprowadzały się tylko do jednego równania , natenczas otrzymalibyśmy jeden rzeczywisty punkt tej prostej urojonej o spółrzędnych: z

b* a—aß'

y—b\ —b\i

a'

ß'

a* a—aa'

b'

a*

b'

a'ß—ba.*

ö'ß—6ß'

a'

b*

Jeżeli dane dwa punkta urojone przestrzeni są sprzężone, a więc mają spółrzędne Ml (a -j- a'i, b -j- ó't), Jf₂(a—a'i, —6'i) natenczas prosta, przechodząca przez te punkta, ma równania ;

a?—a—a i

y—b—b*i

z—c—c*i

—2 a‘i

—2 cï

1 czyli

x—a

y—b

(9)

-2 b*i

a więc przez dwa punkta urojone sprzężone w przestrzeni trójwymiarowej przechodzi zawsze jedna prosta rzeczywista.

12.    Równania linii prostej w przestrzeni n-wy miarowej. Prosta w przestrzeni w-wymiarowej, wychodząca z punktu P(£,:), pod kątem i,: do osi 0X,, (i=l, 2.. n), niech ma punkt dowolny M(xi) w odległości r od punktu wyjścia (ii)- Na wyznaczenie spółrzędnych tego punktu otrzymujemy n równań:

Xi=ii+rcosAi, (i=l, 2, ... w), które dla każdego r wyznaczają jeden punkt prostej. Nazywamy je też równaniami prostej, wychodzącej z punktu P(ii), przestrzeni w pewnym wiadomym kierunku Ât- (i=l, 2,...w). Prostą w przestrzeni n-wymiarowej określa więc n równań stopnia pierwszego ze względu na zmienne spółrzędne (xf) bieżącego punktu tej prostej, zawierających jeden zmienny parametr r.

13.    Wyrugowawszy z tych równań zmienny parametr r, otrzymujemy n równych stosunków:

a*

c*

(10)

- 214 -

Xn, '%n

^1 êi Mi £2 _    __

cos X₂    cos In

tworzących równania symetryczne prostej, przechodzącej przez dany punkt przestrzeni n-wymiarowej, w danym kierunku tej przestrzeni.

14. Zastępując dostawy kierunkowe cos i* przez liczby do nich propor-cyonalne, możemy równania wszelkiej prostej, położonej w przestrzeni »-wymiarowej, przedstawić w postaci :

cos Xi

(H)

Xn

“X⁻*

(12)

Na podstawie teoryi równych stosunków wynika : cos X, cos Â

2__

cos

l-n

znajdziemy więc, cos i*

² dX² d~ * • dX

(»=1, 2, ..n), t. j. wzory na wyzna-

czenie kątów, jakie prosta w przestrzeni n-wymiarowej, powyższemi równaniami określona, tworzy z osiami układu.

15. Łącząc parami owe równe stosunki, otrzymujemy układ (n — 1) ró

wnań od siebie niezależnych, kształtu:

Xi—Źi

Xn 'Ę,

In

(i-1, 2, .. n-1).

czyli Xi— £i=ai(xn—|n), (i= 1, 2, .. n — 1), jako równania prostej, przechodzącej przez dany punkt (£,•) przestrzeni w-wymiarowej.

16. Każde z tych równań przedstawia związek między dwiema tylko spółrzędnemi xi i xn bieżącego punktu prostej, jest więc równaniem rzutu tej prostej na płaszczyznę spółrzędną X₍.OXn. Powyższe równania przedstawiają zatem (»—1) rzutów prostej na (»    1)

płaszczyzn spółrzędnych. Płaszczyzn spółrzędnych, przechodzących przez początek 0 układu

»-osi przestrzeni »-wymiarowej jest w ogóle miarowej ma więc {^j rzutów, a że z powyższych (»—1) równań wyznaczyć można równanie każdego z rzutów prostej, zatem prosta w przestrzeni »-wymiarowej jest określona

(»—1) rzutami na (»—1) dowolnych płaszczyznach spółrzędnych, a z

(»—1)(»—2)

. Każda prosta przestrzeni »-wy-

1 • 2

tych (w—1) rzutów mo-

żerny pozostałe

»(»—i)

(»—1), czyli

rzutów wyznaczyć.

W przestrzeni trójwymiarowej są możliwe trzy rzuty a wystarczają dwa ; w przestrzeni cz terowymi arowej jest możliwych sześć rzutów a trzy wystarczają aby pozostałe

wyznaczyć.

17. Z równań prostej kształtu a?t—£t-=(fc= 1, 2 .. w), otrzymujemy równania zwyczajne tej prostej w postaci : Xi—ciiXn+tti, (*=1> 2 .. (n 1), z których każde jest zwyczajnem równaniem jednego z (n — 1) rzutów tej prostej na odpowiednią płaszczyznę spółrzędną.

Z równań tych poznajemy, że prosta przechodzi przez punkt (a1; a₂,..«„_i,0) i tworzy z osiami układu kąty określone stosunkami :

cos

ai

Va^ + a^+.+an² ’ cos Xi=

z których dostajemy wzór :

li = n

V 2 a?

i=i

(13)

dowodzący, że kierunek prostej zależy tylko od spółczynnikow a,-. Spółczyn-niki a/ cechują natomiast tylko położenie prostej, mianowicie są spółrzędnemi punktu(a₁,a₂..a„_i,0), w którym prosta owa przebija przestrzeń spółrzędną(n—1),

który nazywamy analogicznie śladem prostej

wymiarową 0XiX₂..Xn-1, a

- 215

w przestrzeni w-wymiarowej na przestrzeni spółrzędnej (n — l)-wymiarowej OXiX₂..Xn-1. Przez początek O przechodzi n przestrzeni spółrzędnych {n—1)-wymiarowych , prosta zatem ma n śladów Pi(Xi=0), {i= 1, 2 ..w), każdy na jednej z tych n przestrzeni (n—l)-wymiarowych.

18. Parametry równań linii prostej. Równania zwyczajne prostej w przestrzeni w-wymiarowej :    (i= 1, 2..n —1) zawierają 2(w — 1), czyli

2n—2 parametry: a,-, ai} (i=1, 2..w—1), od których zależy położenie prostej w przestrzeni w-wymiarowej. Każdy z tych parametrów może przyjmować oo ¹ wartości; w przestrzeni w-wymiarowej istnieje zatem oo2n—2 prostych.

Do wyprowadzenia równania pewnej prostej tej przestrzeni potrzeba więc (2n—2) warunków, z którychby można było obrachować (2n—2) parametrów ai i a;, (i= 1, 2, .. n—1).

Mając n. p. wyprowadzić równania prostej, przechodzącej przez dwa punkta (^.) i przestrzeni «-wymiarowej, otrzymujemy na wyznaczenie tych 2(n—1) parametrów 2(«—1) równań warunkowych: ?*• = «*?„+<*,-, >',• — ai £'„4* a;i z których otrzymujemy równania:

ai

rC —rr<

•n    * i

(* = !» 2,.. n 1),

t. j. równania :

xn,—-n

jako równania prostej, przechodzącej przez dwa punkta (?.) i (Ç'.) przestrzeni «-wymiarowej.

(*" —1> 2,.. « 1),

19. Iłów ii a ii i a prostej urojonej w przestrzeni n-wy miarowej. Jeżeli dane punkta prostej mają spółrzędne urojone, n. p. rżi—l;-\-mi\/—1, Ç'f == -f-    — 1, natenczas równania

prostej, przez takie dwa punkta przechodzącej, otrzymują kształt:

xn    ¹

xi—li— m,y/—1 (l'i—li) + (*»'(—*»,)>/—1    ïn) +    — l’

= («< 4 «'ł\/—1> ®w4- (a. + *\V— l) (* = 1, 2, .. «—1),

czyli

wyznaczający prostą urojoną w przestrzeni «-wymiarowej, jako prostą, której równania mają spółczynniki urojone.

Eównania te możemy także napisać w postaci równań takich :

(*<—«.• **—*,■)—(«',■ xn +    1= 0 (i = 1, 2, .. «—1),

którym uczynią równocześnie zadość spółrzędne (cc.), (i — 1, 2.. «) punktu rzeczywistego, skoro będzie: x-t—ai xn—a; = 0, jako też a*. xn -(- a^. = 0, dla i = 1, 2,..«—1. Mamy tu (2«—2) równań o « niewiadomych cc,, cc₂,..a;n, zatem przy 2«—2>« czyli «>2 mamy o («—2) równań więcej, jak niewiadomych, co dowodzi, że prosta urojona w przestrzeni «-wymiarowej nie ma w ogólności na sobie żadnego punktu rzeczywistego tej przestrzeni. Wyjątek stanowią proste urojone, o równaniach, w których części urojone spółczynników a i a we wszystkich («—1) równaniach pozostają do siebie w jednakowym stosunku a¹ i : a.'. = Tc (t=l, 2..«—1). w takim razie będzie:

*n=-

PTa*>

(i = 1, 2 .. «—1).

20. Jeżeli dane dwa punkta urojone przestrzeni «-wymiarowej są punktami sprzężo-nemi o spółrzędnych ^. = l.-\-mi\/—1,    = —m^/—1, (*' = 1, 2,..«), natenczas prosta

przechodząca przez takie dwa punkta, ma równania:

xi    — miV—1

xn-ln-mnV—i

czyli

—2 m^/—1

Xi h

—2 m \/—1

n *

Xn,

-, (* = 1, 2,.. n— 1),

>"n

czyli jest prostą rzeczywistą, przechodzącą przez punkt (Z{) w kierunku, dla którego dostawy kierunkowe cos X/ są proporcyonalne do liczb m., (i — 1, 2,:.«). Przez dwa punkta urojone sprzężone przestrzeni «-wymiarowej przechodzi więc zawsze jedna prosta rzeczywista.

)>)

‘216

21. Prosta w przestrzeni, odniesiona do układu ukośnokątnego. Niech będą Ę, 7), Ç, spółrzędne punktu P przestrzeni trójwymiarowej, odniesione do układu ukośnokątnego OXYZ, o kątach osiowych a, ß, y- a prosta, przechodząca przez punkt P, niech tworzy z osiami tego układu kąty X, [a, v, natenczas spółrzędne x, y, 2, dowolnego punktu P tejże prostej, znajdującego się w odległości r od punktu danego P, będą na podstawie teoryi rzutów, określone następuj ącemi równaniami :

X— Ç -f (y—ïj) cos y -j- (2—Ç) cos ß = r cos X, (x—Ç) cos y -f- (*/—>î) + («—Ç) cos « = r cos ja, (x—Ç) cos ß -\-(y—'cosa-j- (z—Ç)=rcos v,

skąd otrzymujemy:

cos X cos y cos ß cos {1    1

cos v cos a

cos a

1 cos X cos ß cos y cos ja cos a cos ß cos v 1

cos y cos ß cos a

cosy 1 cos ß cos a 1

1 cosy cos ß 'S    cos a

; z—t=r

1 cos y cos X cos y 1 cos [a cos ß cos a cos v

CQ

1 cos y cos ß cos y 1 cos a cos ß cos a 1

Stosując znakowanie art. 80., str. 34., otrzymujemy stąd:

y—Ç = r.coêX, y—r\ = r co8 [a,    = r co8 v,

a więc trzy równania :

x—'źĄ-?*ro»X, y — f\-\-rz$K\a, 2= Ç +?*edäv, jako równania prostej w przestrzeni, odniesione do układu ukośnokątnego, a zawierające jeden zmienny parametr r.

Z równań tych otrzymujemy równania symetryczne prostej w postaci:

!/— r\_z — £

CO» v

[A

gdzie Z = co8X, w = co8ja. w = co8v, są t. z. czynniki kierunkowe linii prostej.

Znając l, w, w, otrzymujemy w zastosowaniu wzorów art. 34. str. 36. na podstawie teoryi równych stosunków:

co8 X co8 [a __ co8 v

\/ lr-\- w² -j- n² -}-2fora cosy-f- 2«mcos a-j- 2w?cos ß

przeto :

co8 X

co8 (a

VV¹-\-2mn cos a + &

V£²-f- 2j/m cos a -j-& a stąd, wedle wzorów art. 30. str. 34., dostawy kierunkowe :

cos v =

V/?²+2»mcos a-j-&

cos X = co8 X -f- co8 [acos y -f- co8v cos ß, cos ja= co8Xcosy-j- co8 [a -j- co8 vcosa, cos v = co8 X cos ß -j- C08 [a cos a -j- co8 v.

— 5    //— »I

--'-, prostej , odniesionych do układu

Z równań symetrycznych: —-ukośnokątnego, otrzymujemy, jak przy układzie prostokątnym, równania zwyczajne prostej :

x = azĄ-    y=bz-f-ß

b(x—a)—a(y—ß) =0.

z których pierwsze jest równaniem rzutu ukośnokątnego danej prostej na płaszczyznę spółrzędną XOZ, otrzymanego za pomocą prostych , rzucających poszczególne punkta tej prostej, równolegle do osi O Y, drugie zaś analogicznym rzutem na płaszczyznę Y OZ. Trzeci rzut ukośnokątny na płaszczyznę XOZ, przedstawia się na podstawie powyższych równań w postaci :

ćwiczenia XVI.

1) Dany jest równoległościan prostokątny, ograniczony płaszczyznami spółrzędnemi i płaszczyznami do nich równoległemi , przechodzącemi przez punkt P(a, &, c) ; podać równania prostych, łączących kolejno wierzchołki 0, P, Pr, Py, Pr, P', P", P", tego równo-ległościanu.

2)    W warunkach zad. 1) określonych , znaleźć równania prostych , łączących punkt 0 ze środkami ścian przeciwległych.

3)    Znaleźć trzeci rzut prostej x = 3 z—5, y -\-2z = 2.

- 217

4)    Znaleźć warunek, pod którym równania: mx—ly = c, ny—mz — a, Iz—nx = h, przedstawiają rzuty tej samej prostej w przestrzeni.

5)    Znaleźć warunek , pod którym prosta, łącząca punkta (a, b, c) i («', b‘, c'), przechodzić będzie przez początek układu.

6)    Prosta tworzy z osią 0X kąt 60°, z osią O Y kąt 45°, jaki kąt tworzy ona z osią OZ,

7)    Znaleźć ślady prostej: 2y—x-\-l — 0, y—z-\-2 = 0.

8)    Znaleźć równania prostej, przechodzącej przez punkta (0, 0, 2) i (1, 2, 3).

9)    Znaleźć równania zwyczajne prostej, przechodzącej przez punkt (1, 2, 3), jeżeli jej dostawy kierunkowe są proporcyonalne do liczb 1, 2, 3.

10)    Znaleźć kąty a, ß, y, jakie prosta: x = 2z-\- 3, y = 32+-4, tworzy z płaszczyznami

rzutowemi.

11)    Dane są trzy punkta .4(1, 2, 3), B(2, 3, 1), <7(3, 1, 2), znaleźć równania prostych, łączących każdy z tych punktów ze środkiem odległości dwóch innych. Wyniki uzmysłowić rysunkiem w rzutach.

12)    Zbadać , czy prosta urojona: x== (2 +- i) z + (3—2 i), y ={l-\-i)z -J-(l—2 i), przechodzi przez punkt rzeczywisty przestrzeni i wyznaczyć jego spółrzędne.

13)    Wyznaczyć dostawy kierunkowe prostej:    = —, 2 = 0.

14)    Znaleźć dostawy kierunkowe prostej, danej równaniami:

Ax + By + Cz-{-D = 0, A'x4. B'y + Ce + D‘ = 0.

15)    Dowieść, że trzy linie proste, łączące środki trzech par przeciwległych krawędzi

czworościanu: A(x', y', 2'), B(x“, y“, z"), C(x“‘, y“‘, z'n),    y‘“‘, 2""), przecinają się

w jednym punkcie.

16)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez punkt początkowy układu i przez punkt (xt, yt, zx).

17)    Przez jaki punkt rzeczywisty przechodzi prosta urojona:

* = (« + a‘i)z-\- a, y — (b + b‘i)z + ß.

18)    Przez punkt (1, 2, 3), przeprowadzić: a) prostą, równoległą do płaszczyzny X0Y-, b) prostą, prostopadłą do płaszczyzny X0Y.

19)    Co przedstawiają równania: *² = y^—z²?

Rozwiązania XVI. 1) OP (^~ —    = ~j, OPx(y — z — (LI), OP‘ ^z — 0, — —

7).

PP‘(x — a, y = b). PxP‘(z = 0, a> = a), PxP“(y =0, x = a), PXP'“(^£ = 1

P‘P'

' (x —a, ~ -f- — = l). 2) - - = ^ = ^. 3) 2oj-|-% ⁼ 4. 4) «? +6w-}-cn =0. 5) (a«'-j-óó'-l-cc')²

==(«² + &² + 0(^2+ *'2 + 0. 6) 60«. 7) (—8,_2, 0), (1, O, 2), (O, ~V₂, - %). 8) *=2-2,

y = 2 s 4- 4. 9) x — y₃z, y = ²/₃2. 10) sin a = ²/u Y/l4...    11) (y = 2, z—-—x-j-4). (* = 2,

y =— 2 + 4), (2 = 2, cc = —«/ —f- 4). 12) (7, 3, 2). 13) Z/\/ot²+»², m/\/ Z²-}- m², 0.

14) (5C'— B'C)lV{BC- B'Cy+ (CA'— <7'4)² + (4B'-4'£ )². 15) ł(x‘+ x" + x‘" + a?“), i t. d.

— . 17) (a, ß, 0). 18) (a) y—2=a{x—1), ? = 3; (ft) ic = 1, y—2. 19) Cztery proste: z\

16) — =

xi V\

(a) x=y = z, (2) x = y=—z, (3) x=—y = z, (4) -x = y = z.

Literatura. Es cher i cli. Einleitung in die analytische Geometrie des Raumes. Leipzig 1881. Ohm. Grundriss der analytischen Geometrie im Raume am schiefwinkligen Coordi-natensystem, Nürnberg 1849. Plücker. J. Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, Leipzig 1868.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya punktów i prostych urojonych w przestrzeni trójwymiarowej.

2.    Geometry a analityczna punktu i prostej w przestrzeni na podstawie spółrzędnych, ukośnokątnych punktu.

3.    Teorya i własności dowolnego czworościanu.

Wykład XVII.

Płaszczyzna w przestrzeni.

1. Równania płaszczyzny. Trzecią elementarną formą przestrzeni trójwymiarowej jest płaszczyzna, jako najprostsza forma dwuwymiarowa. Płaszczyzna powstaje, jeżeli linia prosta porusza się w przestrzeni po innej prostej, zatrzymując w ciągu ruchu swój kierunek, czyli, jak zwykle mówimy, zachowując położenie do pierwotnego równoległe.

Niech będzie dany w przestrzeni trójwymiarowej punkt Jf(£,    £), (fig.

190.); wyjdźmy zeń w pewnym kierunku (2, /j, v), do pewnego punktu N, leżącego w odległości r od punktu wyjścia M, poczem wyjdźmy z punktu N w jakimś innym kierunku (2',^', v‘) do pewnego punktu P, który ma od punktu N odległość r‘. Znajdźmy spółrzędne ar, y, z punktu P. W tym celu rzućmy linię łamaną OMNP kolejno na poszczególne osie układu, natenczas otrzymamy następujące trzy równania:

æ=£+rcos2-f r'cos2', y=rj-\‘V cos /i-f^'cos fi‘ cos v-f-r'cos v‘.

które dozwalają wyznaczyć spółrzędne punktu P, jeżeli znane są punkt wyjścia (£, r], £), kierunki 2, y, v, 2', fi\ v‘, tudzież odległości r i r‘.

Uważając w tych równaniach parametry r i r¹, jako zmienne, otrzymamy, zmieniając tak r, jakoteż r‘ w granicach od —oo do -foo, rozmaitość oo2 punktów, tworzącjmh formę dwuwymiarową, czyli powierzchnię, która powstaje w ten sposób, że pewna prosta NP porusza się po stałej prostej MN, zachowując w ciągu ruchu stały kierunek, różny od kierunku prostej MN, a taką formę dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną. Równania (1) podają zatem spółrzędne wszystkich punktów na pewnej płaszczyźnie, określonej jednym z jej punktów M(£, •»/, £) i dwoma kierunkami (2, fi, v) i (2', fi', v‘). Z tego powodu nazywamy też równania (1), o dwóch zmiennych parametrach r i r', równaniami płaszczyzny, przesuniętej przez dwie proste (2,^,^) i (2', fi\ v'), wychodzące z punktu (£, rj, £).

Równania te są, jak widzimy, równaniami pierwszego stopnia ze względu na spółrzędne x, y, z punktów płaszczyzny i dają dla każdej pary wartości r i r‘ tylko jeden punkt tej płaszczyzny.

o,

-- ! Mx! Nx ¹ n

Fig. 190.

-x

TT

(1)

- 219

2. Z powyższych trzech równań możemy wyrugować parametry r i r‘, a otrzymamy jedno tylko równanie, przedstawiające związek między spół-rzędnemi punktów płaszczyzny. W tym celu staramy się wyrugować parametr T] mnożąc pierwsze równanie przez cos y, a drugie przez '•—cos A ; następnie pierwsze przez cosî', a trzecie przez —cos A:

Æ=£+r cos ż + r cos A4 y—yĄ-r cosy-\-r'cosy⁴ —cos A z=t,-\-r cos v-\-r‘ cos v⁴

dodajmy tak przekształcone równania, a otrzymamy dwa równania o jednym tylko parametrze r⁴, a mianowicie :

(x—£) cos y~(y—if) cos A=r⁴(cos A'cos y—cos y‘cos A)=r⁴l {x—£) cos v—(z—Ç) cos ż=r'(cos J'cos v—cos v‘cos A)=r⁴ m, gdzie l—cosÀ'cosy—cos y'cos ż, m=cos ż'cos ^—cos^'cos/l będą pewnemi, przy wiadomych kierunkach À, y, v i A⁴, y', v\ wiadomemi wielkościami.

W otrzymanych dwu równaniach (2) mamy już tylko jeden parametr zmienny r', po wyrugowaniu jego otrzymujemy jedno równanie w postaci: {x—£) cos y—(y—rj) cos A (#—£) cos v—{z—£) cos A m(x—|)cos y—m(y—tf) cos A=l(x—£) cos v—l{z—£) cos ż.

Uporządkujmy to równanie podług x—£, y—f], z—£, jako to:

(m cos y—l cos î>) (a:—£) —m(y—rj) cos A-\-l(z—Ç) cosż=0 i połóżmy m cos y—leos v=A, —m cos A = B, l cos A=C, gdzie A, B, C, będą znowu, przy wiadomych kierunkach ż, y, v i ż',y', v‘, wiadomemi wielkościami, natenczas otrzymamy równanie :

cos y

czyli

A(x—Ç)+B(y -rj)+ C(z—Ç)=0

(2)

(3)

przedstawiające związek między współrzędnemi wszystkich punktów płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (f, r], f), czyli równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (£, rj, £). Spółczynniki A, R, C tego równania zależą od dwu na tej płaszczyźnie przyjętych kierunków (A, y, v) i (A', y', v⁴).

.. ?

3. Wykonajmy działania w tern równaniu wskazane i uporządkujmy wyrazy podług spółrzędnych x, y, z, natenczas otrzymamy :

Ax-\-ByĄ- Cz—(A^-\-^f]Jr CÇ)—0.

Połóżmy (At-Ą- Brj-{- CÇ) = — D, gdzie Ubędzie pewną wiadomą wielkością, zależną od kierunków A, y, v i A⁴ y', v i od wiadomego punktu wyjścia £, rj, £, to otrzymujemy równanie :

(4)

Ax+By+ CzĄ-I>=0 przedstawiające związek między spółrzędnemi x, y, z jakiegokolwiek punktu płaszczyzny. Równanie to nazywamy też o gól nem równaniem płaszczyzny w przestrzeni.

Jest ono, jak widzimy, równaniem stopnia pierwszego między spółrzędnemi x, y, z, każdego punktu danej płaszczyzny, z czego wnosimy, że równanie wszelkiej płaszczyzny, podające związek między spółrzędnemi #, y,z każdego jej punktu, jest zawsze równaniem stopnia pierwszego między temi trzema spółrzędnemi.

4. Możemy ogólnie dowieść, że każde równanie stopnia pierwszego między trzema spółrzędnemi x, y, z punktu przedstawia płaszczyznę. Przyjmijmy bowiem jakikolwiek punkt P(Ç, »], £), którego spółrzędne czyniłyby zadość powyższemu równaniu, a zatem sprawdzały warunek A: -j- Br\ -|-    -\- D~0 i wyjdźmy z tego punktu w dowolnie obranym

— 220 —

kierunku X, p, v, natenczas jakikolwiek punkt M(x,y,z) tego kierunku, znajdujący się w oddaleniu r od punktu wyjścia P(£, tj, Ç), będzie miał spółrzędne x, y, z, określone następującemi równaniami :

x — \ reos X, y — y; -j-r cos p, £ = Ç-f-rcosv.

Jeżeliby ten punkt miał także należeć do punktów formy przestrzennej , określonej danem równaniem : Ax -f-By 4“    “1“ D = 0, natenczas jego spóUzędne musiałyby również

sprawdzać to równanie. W obec tego otrzymujemy warunek:

A(Sj -j-rcosX) -f- B(j[ -j⁻ ^cos p)-j- C(X -f- rcos v)    D — 0,

czyli :

a, że według założenia: A?, 4~ Br\ 4~ CX 4" B — 0, przeto otrzymujemy powyższy warunek

r (A cos X 4~ B cos p 4- 0 cos v) = 0.

Jest to warunek , aby wyszedłszy w dowolnym kierunku X, p. v, z dowolnego punktu P(Ç, ï), X) formy przestrzennej, określonej równaniem: Ax-\-By-\- Cz 4- D = 0, napotkać na

Ä~ -J- Br\ -f- CC, D -f- r {A cos l-\- B cos p 4- C cos v) = 0,

w postaci :

inny punkt tej formy, znajdujący się w odległości r od punktu wyjścia. Widzimy najpierw, że warunek ten jest niezależny od punktu wyjścia P(Ę, r), £), bo nie zawiera w sobie spółrzęd-nych Ç, r], Ç, tego punktu, a wartość dla r może być albo zerem, albo zupełnie dowolną; warunek ten spełnia się bowiem przy jakiemkolwiek X, p, v, jeżeli będzie r — 0, albo przy jakiemkolwiek r, jeżeli kierunek X, p, v będzie tak dobrany, ażeby było :

A cos X 4- B cos p 4* C cos v = 0.

To znaczy :

Wychodząc z dowolnego punktu P(Ç, 7], Ç), formy przestrzennej , określonej równaniem : Ax-\-By-\- Cz-\-D = 0, albo nie spotykamy oprócz punktu wyjścia P(Ę, 7], Ç), żadnego innego punktu, któryby należał do tej formy, albo, gdy obierzemy kierunek (X, p, v), tak, aby się spełniał warunek AcosX 4- Pcos p 4* <7cos v = 0, natenczas każdy punkt tego kierunku w jakiemkolwiek oddaleniu r, będzie należał do punktów tej formy. A zatem, prosta linia ma z tą formą, albo tylko jeden punkt wspólny, albo wszystkie swe punkta z formą wspólne.

Kierunków określonych warunkiem A cosX-j- B cos p 4- Ccos v = 0, jest nieskończenie wiele, i to ze względu, że każdy kierunek musi oprócz tego spełniać warunek: cos²X -f- cos²p 4“ cos²v =1, możemy ilość kierunków, spełniających oba warunki, oznaczyć znakiem oo¹.

Z każdego punktu formy przestrzennej, określonej równaniem : Ax-\- By 4- Cz -j- B = 0, da się zatem wyprowadzić oo1 prostych, należących do tej formy, a kierunek tych prostych nie jest wcale zależnym od punktu wyjścia.

Poprowadźmy przez punkt P (fig. 191.) dwie proste, jedną w kierunku (Xlt p1; vt) drugą w kierunku (X₂, p₂, v₂), tak,

tfS&SSSEł&SIJlS. natenczas obie y te proste będą należały wszystkiemi swemi punktami do danej formy przestrzennej. Przyjmijmy na prostej o kierunku Xj, p,, vj, jakikolwiek punkt Pt, natenczas z tego punktu da się także wyprowadzić prosta w kierunku X₂, p₂, v₂, należąca do tej formy. A zatem forma przestrzenna, określona do-wolnem równaniem kształtu: Ax-\- By -J-Cz-j- D — 0, powstaje, jeżeli po jakiejkolwiek z jej prostych porusza się druga prosta, zachowując położenie do pierwotnego równoległe. Taka forma przestrzenna jest właśnie płaszczyzną. Wszelkie równanie pierwszego stopnia miedzy zmiennemi x, y, z, w postaci:

Ax 4- By 4- Cz 4- D = 0,

p Hf*

i,«i*;

(X

W"

Fig. 191.

i>

przedstawia zatem płaszczyznę.

5. Kierunki na płaszczyźnie. Kierunki w przestrzeni, czyniące zadość warunkowi: A cos X 4- B cos p-f- C cos v = 0, y nazywamy kierunkami możliwemi na płaszczyźnie Ax 4* By 4~ Cz -f- D =0, albo także kierunkami tej płaszczyzny.

Układ prostych, wykreślonych w takich kierunkach z dowolnego punktu P(Ç, rj? Ç) tej płaszczyzny, nazywamy też pękiem prostych na tej płaszczyźnie (fig. 192.), a punkt P wierzchołkiem pęku.

Fig. 192.

6. Położenie płaszczyzny, danej równaniem ogolnem Ax + By + CzA Z)=0, zależy od wartości spółczynników A, B, C, D tego równania. Aby wyznaczyć jakikolwiek punkt na tej płaszczyźnie, należy przyjąć szczególne wartości na dwie spółrzędne n. p. x i y, a na tej podstawie wyrachować z danego równania trzecią niewiadomą spółrzędną z. W tym wypadku otrzymamy równanie :

D

— =r równanie :

z= —

czyli kładąc —=

C c y~

które nazywamy zwykle zwyczajnem równaniem płaszczyzny.

7. Dla każdej z obu spółrzędnych x i y możemy przyjąć jedną z oo¹ wartości rzeczywistych , z czego wnioskujemy także, że płaszczyzna ma na sobie oo² punktów. Zarazem widzimy, że trzy parametry p, q, r, przedstawiające stosunki między spółczynnikami A, B, Ć7, D ogólnego równania płaszczyzny, cechują położenie tej płaszczyzny w zupełności, z czego wnosimy zarazem, że w przestrzeni trójwymiarowej istnieje oo³ płaszczyzn.

8. Mając daną płaszczyznę Ax-\-By-\-CzĄ-D=0, z łatwością znaleźć możemy punkta, w których ta płaszczyzna przecina osie układu. W tym celu przyjmiemy w jej równaniu dwie spółrzędne równe zeru. Tak n. p. dla y=z=0, otrzymujemy x= — j = a ;

—wreszcie dla x=y=0 będzie z——^=c.

dla z — x = 0, będzie

Tym sposobem otrzymujemy trzy punkta przecięcia się płaszczyzny z trzema osiami układu A (a, o o),

B(o,b,o), C(o, o, c), (fig. 193.), które wskazują na trzy odcinki a, b, c, jakie płaszczyzna wyznacza na osiach układu.

9. Przedstawmy równanie ogólne :

AxA By+CzJrD=0, czyli Ax+By vCz=— Z),

= 1, albo

Y'

iC

-X

Fig. 193.

w postaci :

i połóżmy----a,

x~Dy~DZ

D_h

B~

- D/A^ —DIB

-*-=1 -DjC ’

~=c, natenczas otrzymujemy równanie;

1,

(5)

zwane równaniem odcinkowem płaszczyzny.

10. Połóżmy--=u

— =w, natenczas otrzymamy z rów-

c

nania odcinkowego równanie :

(6)

ux+vy+wz 4-1=0 zwane równaniem Plücker owskiem płaszczyzny. Spółczynniki u. v, w;, przedstawiają tu odwrotne wartości odcinków, jakie płaszczyzna wyznacza na osiach układu , wzięte z przeciwnymi znakami i nazywają się zwykle spółrzędnemi Pliickerowskiemi płaszczyzny w przestrzeni.

11. Wykreślmy z początku 0 układu prostopadłą do płaszczyzny, czyli t. z. pion płaszczyzny, i oznaczmy przez a, /?, y kąty, jakie ten pion czyni z osiami układu odległość początku układu od płaszczyzny, natenczas (fig. 194.) otrzymamy :

p — a cos a —ó cos ß=c cos y.

przez p długość ob, przedstawiającą najkrótszą

cos/5 1 cos y    .    , -*

Będzie zatem —

Cl

cos a

¹    ---Utrzymujemy tedy z rowna-

P

-j- ■— + -- = 1, u astę-

nia odcinkowego płaszczyzny :

pujące równanie:

xcos a+y cos ß+zcos y=p: zwane równaniem normalne m.

(7)

W równaniu normalnem przedstawiają spółczynnilri przy cc, y, z, cosinusy kątów, jakie pion tej płaszczyzny tworzy z osiami układu, a wyraz wolny p przedstawia oddalenie punktu początkowego 0 od tej płaszczyzny.

Porównawszy równanie normalne płaszczyzny z jej równaniem ogólnem, otrzymujemy szereg równy cli stosunków: Y cos y_ —p

D,

T*

cos a

cos ß

II

k,

Fig. 194.

skąd dostajemy :

COS a

cosß=

cos y==

(J

-D

Va² +b² + c²’ p ' Va²+/»’² + c²

Va²+b²+ O²’

Widzimy więc, że z równania ogólnego płaszczyzny otrzymamy równanie normalne,

wówczas

jeżeli równanie ogólne pomnożymy, obustronnie przez czynnik k =

VA* + B» + C²’

wzory powyższe wyznaczają kąty a, ß, y, jakie pion płaszczyzny, danej ogólnem równaniem, tworzy z osiami układu, jakoteż odległość p tejże płaszczyzny od punktu początkowego.

Kąty a, ß, y, równe są zarazem kątom A, B, (7, jakie płaszczyzna dana E tworzy z płaszczyznami układu, mianowicie jest:

Od spółczynników A, B, C, ogólnego równania płaszczyzny zależy zatem nachylenie tej płaszczyzny względem płaszczyzn spółrzędnycłi, a od wyrazu wolnego D i spółczynników A, B, C oddalenie płaszczyzny od początku układu.

12. ślady płaszczyzny. Śladami płaszczyzny nazywamy proste, podług których płaszczyzna dana przecina płaszczyzny spółrzędne. Chcąc wyznaczyć ślady płaszczyzny: AxĄ-By-\- Cz-\- Z)=0, należy w jej równaniu na jedną spółrzędną podstawić wartość 0.

Tak otrzymujemy dla z=0 równanie : Ax-\-By -\-D=0, jako równanie śladu tej płaszczyzny na płaszczyźnie X0Y, czyli śladu poziomego Eh płaszczyzny E.

Podobnie otrzymamy dla y=0 równanie: Ax+ Cz + D=0, jako równanie śladu płaszczyzny na płaszczyźnie X0Z, czyli śladu pionowego Ev płaszczyzny E ; wreszcie dla x=0 otrzymamy równanie :

ByACz-\J)=0₁ jako równanie śladu płaszczyzny na płaszczyźnie YOZ, czyli śladu krzyżowego Ek płaszczyzny E.

■x

W geometryi wykreślnej przedstawiamy płaszczyznę śladami Ehl EV1 Ek, jak na fig. 195.

13. Szczególne położenia płaszczyzny. Zależnie od wartości spółczynników A, B, G, D, równania :

Fig. 195.

Ax+By-\-Cß+D=0, otrzymuje płaszczyzna rozmaite położenia względem płaszczyzn spółrzędnych.

1) Jeżeli D=0, natenczas otrzymujemy równanie płaszczyzny w postaci Ax-\-By-\-Cz=^0 z którego wypadają odcinki tej płaszczyzny na osiach układu:

4)    Dla (7—0 otrzymujemy równanie : ALxĄ-JBy-\-D—0, które daje odcinek c——— =oo,

przedstawia zatem płaszczyznę równoległą do osi Z Z', czyli prostopadłą do płaszczyzny XOY (fig. 199).

Jeżeli więc w równaniu : Ax \-By-\-Cz -j- D — 0 brakuje jednej zmiennej, albo x, albo y, albo też z, natenczas równanie to, uważane, jako równanie o trzech zmiennych, przedstawia płaszczyznę prostopadłą do jednej z płaszczyzn spółrzędnych (fig. 197—199).

5)    Dla A—B=0 otrzymujemy równanie: Cz-\-D— 0, czyli z = c, które daje odcinki:

i b=—

zny XOY, czyli prostopadłą do osi (fig. 200).

a —--- = oo

= oo. przedstawia zatem płaszczyznę równoległą do płaszczy-

Eu

Eu

które są wszystkie zerami: a = 0, & = 0, c = 0.

Równanie AxĄ-By-\- Cz — 0, przedstawia zatem płaszczyznę, przechodzącą przez początek układu (fig. 196).

2) Jeżeli A— 0, natenczas równanie danej płaszczyzny ma kształt: By-\-Cz -f-Z> = 0, z którego wypadają odcinki osiach :

a——

§-*

na

© tSi

E*

i=—

Z)

a——

(X).

(7

Płaszczyzna ta wyznacza zatem na osi XX‘ odcinek nieskończenie wielki, jest zatem równoległa do osi X-ów czyli prostopadła do płaszczyzny YOZ (fig. 197).

3) Dla B—0 otrzymujemy równanie: Ax -f- Cz -\-D= 0,

które daje odcinek na osi O Y: b

osi FF', czyli prostopadłą do płaszczyzny XZ (fig. 198).

Er

Y'

Fig. 196.

~—oo: przedstawia zatem płaszczyznę równoległą do H

Z, EX

Er,

Eo

Eu

Ek

Ek

7/

Er

Ek

Er

Fig. 197.

Fig. 198.

Fig. 199.

Eo

h-

Ek

oJ

-X

Er

Fig. 201.

Fig. 200.

Fig. 202.

6) Dla A=^C—0 otrzymamy równanie :    czyli ?/=&, które wyznacza odcinki

o—c=oo, przedstawia zatem płaszczyznę równoległą do płaszczyzny XOZ, czyli prostopadłą do osi Y Y (fig. 201).

7)    Dla B = C—0 otrzymujemy równanie:    — 0, czyli a?=«, które daje odcinki

b = c = oo, przedstawia zatem płaszczyznę równoległą do płaszczyzny YOZ, czyli prostopadłą do osi XX (fig. 202).

Jeżeli więc w równaniu płaszczyzny: Ax -fByĄ-CzĄ-D—O, brakuje dwóch zmiennych natenczas równanie to, uważane, jako równanie o trzech zmiennych x, ?/, z, przedstawia płaszczyznę równoległą do jednej z płaszczyzn spółrzędnych (fig. 200—202).

8)    Dla A—D = 0 otrzymamy równanie: ByĄ-Cz— 0, które daje odcinki

«==%j &==0> c=0,

przedstawia zatem płaszczyznę, przechodzącą przez oś XX (fig. 203).

9)    Dla B = 0, D — 0, otrzymujemy równanie: Aon -j-Cz = 0, które daje odcinki: a = 0 c = 0, 5=% i przedstawia zatem płaszczyznę, przechodzącą przez oś YY‘ (fig. 204).

10)    Jeżeli wreszcie jest O— 0, D — 0, natenczas otrzymujemy równanie: 4a?-j-J>//=0, które daje odcinki: a—0, 5 = 0, c=% i przedstawia zatem płaszczyznę, przechodzącą przez oś ZX (fig. 205).

\2

E»

Er

Eu

Eo

Ek

'o

} /Ek

Ek

Fig. 203.

Fig. 204.

Fig. 205.

Jeżeli więc w równaniu ogólnem płaszczyzny brakuje wyrazu wolnego i jednej zmiennej, natenczas równanie to przedstawia płaszczyznę, przechodzącą przez jedną z osi układu (fig. 203—205).

11) Dla D = 0, 4 = 0 i B = 0, otrzymujemy równanie: Cz — 0, czyli s = 0, które daje

odcinki a = b = c

— i przedstawia zatem płaszczyznę XOY (fig. 206).

12)    Dla D = 0, .4 = 0, 0 = 0, otrzymujemy równanie: Jły= 0, czyli y — 0, które daje odcinki b — 0, a=%, c=% i przedstawia płaszczyznę XOZ (fig. 206).

■x

Fig. 206.

13)    Dla D = 0, B = 0, C= 0 otrzymamy równanie : .4a? = 0, czyli a? = 0, które daje odcinki a — 0, &=%> c==% i przedstawia zatem płaszczyznę Y OZ (fig. 206).

14)    Jeżeli w końcu w ogólnem równaniu płaszczyzny jest 4 = 0, B = 0, 0 = 0, natenczas otrzymujemy:

0a?+ 0/y-(- 0s+2> = 0, czyli X)=0,

które daje odcinki

D -D

q = oo, podobnie b — oo, " c = oo

i przedstawia zatem płaszczyznę , wyznaczającą na osiach układu odcinki nieskończenie wielkie.

Równanie D= 0 (bez zmiennych), czyli 1=0, uważane, jako równanie o trzech zmiennych kształtu : 0a? -f- 0y -J- Os -j-l= 0, przedstawia zatem płaszczyznę leżącą w nieskończoności czyli płaszczyznę nieskończenie odległą.

14. Przekroje płaszczyzny: Ax-\-JByJrCz-\-D=0^ płaszczyznami równole-głemi do jednej z płaszczyzn współrzędnych dają również pogląd na położenie płaszczyzny w przestrzeni. Przekroje równoległe do płaszczyzny X0Y otrzymamy, łącząc równanie danej płaszczyzny z równaniem £=/&, gdzie h przedstawia odległość płaszczyzny, przecinającej od płaszczyzny X0Y.

Będą one więc wyznaczone równaniami: z=h, Ax-\-By—D—Ch, które przedstawiają proste, równoległe do śladu poziomego (E/t) płaszczyzny. Podobnie będą miały przekroje równoległe do płaszczyzny YOZrównania : x=l, By-\-Cz=D—Al, określając proste równoległe do śladu bocznego (Ek) płaszczyzny, a przekroje równoległe do płaszczyzny ZOX równania : y=A;, Ax-\-Cz=D—Bk: określając proste równoległo do śladu pionowego (Ev) płaszczyzny.

15. Przekrój dwu płaszczyzn Ax-\-By-\-CzĄ-D=0, A'x+B'y + C'z+D^ 0,

określa się równoczesnemi dwoma równaniami :

(Ax-\-B y+C z + Z) = 0)

\ A'x 4- B‘y + C‘z+B‘=0/’ które cechują pewną prostą w przestrzeni i nazywają się zwykle o gól nem i równaniami prostej w przestrzeni. Chcąc otrzymać rzuty tej prostej na płaszczyzny spółrzędne, musimy wyrugować z tych równań kolejno jedną ze spółrzędnych. Tak wyrugowawszy y, otrzymamy równanie rzutu tej prostej na płaszczyznę XOZ w postaci:

(AB'- A'B)x+(CB‘ -C‘B) z + (DB‘ - D¹ B) = 0 ; wyrugowawszy x, otrzymamy rzut tej prostej na płaszczyznę YOZ:

(AB'-A‘B)y + (C‘A-CA')z+(D,A-DA')=0,

a wreszcie wyrugowawszy z, dostajemy rzut tej prostej na płaszczyznę X0Y:

(AC'-A'C)x+(BC,-BiC)y+(DC'-D,C)=0,

a stąd równania zwyczajne prostej przekroju :

x = az-\-a, y^=bz-\-ß,

gdzie

CA• - C‘A

C‘B — CB' BD‘— B‘D AB‘—A'B' a~ AB‘-A'B ’    ~~AB'-A'B

ß=z

A'D — AD‘ AB'— A‘B‘

16. Płaszczyzna, przesunięta przez prostą. Przez prostą, określoną równaniami zwyczajnemi: x — az + a, y=bz-\-ß, czyli równaniami: x—az—ct=0, y—bz—ß=0, przechodzi pęk płaszczyzn, którego równaniem będzie:

(x — a z — cc)+7c (y—bz—ß)=0,

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą. Bównanie to sprawdza się bowiem niezależnie od k dla wszystkich spółrzędnych x, y, g, które sprawdzają równocześnie równania: x — az—ct =0 i y — bz — ß=0, a więc dla spółrzędnych wszystkich punktów danej prostej , z czego wynika, że wszystkie punkta danej prostej leżą na płaszczyźnie: (x—az—a)+k(y—bz—ß)=0, przy jakiem-kolwiek k, czyli, że wszelka płaszczyzna o takiem równaniu przechodzi przez daną prostą. Od społczynnika k zależy położenie płaszczyzny, należącej do tego pęku płaszczyzn; założywszy warunek, aby płaszczyzna pęku przechodziła przez pewien punkt (§, rj, £) przestrzeni, otrzymujemy na wyznaczenie

społczynnika k warunek: (£—at,—«) + k(r]—bt,— /?)=0, więc k=

'Ę, — aÇ—a r\ — b £ — ß‘

Wstawiwszy tę wartość w równanie: (x—az—a)+k(y—bz—ß)=0, otrzymujemy

równanie :

Ûr-Sf-fl-0,

(rj—b^—ß) (x—az-a) — (Ç—aÇ—a) (y-bz-ß)=0,

(x—az—a)

czyli :

jako równanie płaszczyzny, przechodzącej przez prostą (x=azĄ-a, y=bz+ß) i punkt (I, 17, £).

17. Warunki konieczne do wyznaczenia płaszczyzny. Ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By+ Cz-\-D= 0, zawiera wprawdzie cztery spółczynniki, A, B, C, Z), ale od jednego z nich możemy się zawsze uwolnić, podzieliwszy obie strony równania przez jeden z tych spółczynników ; wystarcza więc

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

IB

f    •    ,    a. b

jr, aby płasz-

B C

między

znać tylko stosunki między temi spółczynnikami, jak —, czyzna w przestrzeni była wyznaczoną. Z tego wynika, że do wyznaczenia położenia płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej potrzeba trzech warunków, któreby dozwoliły wyznaczyć trzy stosunki, jak spółczynnikami równania płaszczyzny: Ax+By-\-C8-\-D=-0.

Mając n. p. dany warunek, aby płaszczyzna szukana przechodziła przez trzy punkta (xx, yi} gx), (x₂, y₂, g₂), (x2J y₃, £₃), otrzymujemy na wyznaczenie niewiadomych spółczynników równania szukanej płaszczyzny trzy równania warunkowe :

B , C

ABC D ⁺ D ⁺ JD JB C

D I)y?>    ~DS?’⁼

z których możemy wyznaczyć trzy niewiadome stosunki, jak

Axx -f Byx + Czx + 7)=0

Ax₂+By₂ + Cg₂-{-D=0, czyli:

+ -5^3 4- Cg ₃ 4- jD=0,

«2 = “1

-1

bi b

bl o

w postaci:

4    4    4

D“ 4 ’ D_ A ’ JD~~ À

na podstawie których otrzymamy szukane równanie w postaci :

Ax x ~b A₂y -f- 4₃# 4 4=0.

Równanie to przedstawia się na podstawie teoryi równań jednorodnych wprost w postaci wyznacznika czwartego rzędu :

*i Vi

*2 y%

x3 Vz

Z równania tego otrzymujemy zarazem warunek , aby cztery punkta :

(**i i y i i zi)i {.æ2i y2i s2)i (x3) y 3i %))    y^i zi)i

= 0.

(8)

leżały na jednej płaszczyźnie, w postaci:

*i yi «i 1 *2 îh z2 1

*3 yi Z3 1

xi y₄ «4 1

18.    Płaszczyzna, określona dwoma równaniami z jednym parametrem. Dwa równania o czterech zmiennych æ, y, 2, w, kształtu :

+ Al/ + Ci« + Ą» + Æfi= 0, ^ł₂sc + -B₂Z/ + C2« -j- jD₂w. 4-JB₂ = 0 gdzie a:, y, z są spółrzędnemi punktu w przestrzeni trójwymiarowej , a u dowolnym zmiennym parametrem o jakiemkolwiek znaczeniu geometrycznem , przedstawiają również płaszczyznę w przestrzeni. Możemy bowiem z tych równań wyrugować zmienny parametr u, a otrzymamy jedno tylko równanie między zmiennemi spółrzędnemi (a;, y, z): bieżącego punktu w postaci równania pierwszego stopnia :

(4A-4A)* + (ĄĄ-ĄĄ)y -KąD₂-C₂A)s + (ĄD,-ĄA)= 0,

czyli, ogólne równanie płaszczyzny: _4a? -j- By + Cfe -f- U = 0.

19.    Płaszczyzna urojona. Jeżeli równanie stopnia pierwszego między trzema zmiennemi x, y, 2, ma spółczynniki urojone, a więc przedstawia się w postaci :

= 0.

(80

(9)

(A + A‘i)x+(B + B‘i)y + (C+ C‘i)e +{D+ I)'i)=0, natenczas powiadamy, że to równanie przedstawia płaszczyznę urojoną. Równanie to możemy napisać także w następującej postaci :

( Ax-\ By + Cg■+-D) + (A'x-\- B'y C'gD')i=0.

której stanie się zadość przez spółrzędne x, y, z punktów rzeczywistych, skoro będzie równocześnie:

Ax + By-\- Cz+D=0, tudzież A'x+B'y+ C'z+D'=0.

Oba równania przedstawiają punkta rzeczywiste, znajdujące się na przekroju dwu płaszczyzn rzeczywistych, czyli na jednej prostej rzeczywistej. A zatem: Wszelka płaszczyzna urojona przechodzi przez jedną prostą rzeczywistą.

20. Płaszczyzny urojone sprzężone. Płaszczyzny urojone nazywamy sprzężonemi, jeżeli odpowiednie spółczynniki ich równań są liczbami urój o* nemi, parami sprzężonemi, a więc jeżeli równania tych płaszczyzn mają następujące kształty:

(A+A‘i)x+ (B+B,i)y + (C+ C‘ï)z+ (D + D'i)=0 (A—A'i)x + (B—B‘i)y + (C— C,i)z+(D—D,i)^ 0

(U)

Równaniom tym czynią zadość spółrzędne x,y,z, sprawdzające równocześnie równania :

Ax+ByĄ-Cz + D=0, A‘x-\-B'y Ą-Cz+D^ 0,

więc ogólne równania pewnej linii prostej w przestrzeni.

A zatem: Dwie płaszczyzny urojone sprzężone przecinają się zawsze podług pewnej prostej rzeczywistej.

21. Dwie proste urojone sprzężone. Dwie proste urojone w przestrzeni nazywamy analogicznie prostemi urojonemi sprzężonemi, jeżeli odpowiednie spółczynniki ich równań są liczbami urojonemi, parami sprzężonemi, a więc, jeżeli równania tych linij prostych przedstawiają się w postaciach następujących:

x={a—a‘i)z-\- (a—a¹ i) y—{b— h‘i)z+(ß—ß‘i) '

x =(a-ł-a‘i)z-\-(cc + a‘i), y =(b-\-b,i)z-*r{ß-\-ß,i)i

Te linie proste mają punkt wspólny, skoro ich równania spełniają

a‘ \ bl=a‘ :ß'.

Wszelka płaszczyzna, przez pierwszą z tych prostych urojonych przesunięta, otrzymuje równanie kształtu:

x—(a + CL'i)z—(a-\-a‘i)—Ą(y—(b -\-b>i)z—{ß -{■ ß‘ij\=0.

Ażeby ta płaszczyzna zawierała w sobie także drugą prostą urojoną, sprzężoną z pierwszą, musi być À tak obrane, aby się spełniały równocześnie relacye :    Xb‘—a'=0, jako też:

Cb*

skąd wypływa : / =    =

możliwe, gdy dane proste urojone sprzężone mają jeden punkt rzeczywisty wspólny. Pod tern założeniem, podstawiwszy za À tę wartość w równanie (12), otrzymamy równanie :

równocześnie warunek :

Xß'-u'=0

(12)

-co! a

co jest według poprzedniego tylko wówczas

blx—aty—{ab‘—alb)z-\-{a‘ß—b‘a)—0, przedstawiające płaszczyznę rzeczywistą.

A zatem: Przez dwie proste urojone sprzężone, przecinające się w jednym

punkcie rzeczywistym, przechodzi zawsze jedna płaszczyzna rzeczywista.

22. Równania przestrzeni liniowych wielowymiarowych. Niech będą xu x₂, ...xn spółrzędnemi bieżącego punktu P w przestrzeni n - wymiarowej, związane równaniem pierwszego stopnia :

Aixi -j-A₂x₂ +...-ł- Anxn-\- A₀ =0,

Na podstawie tego równania możemy, przyjąwszy dowolnie (n—1) spółrzęd-nych punktu, n. p. x₂,... %n-\, wyznaczyć n-tą spółrzędną : x„. Forma

(13)

— 228 -

przestrzenna, przedstawiona tem równaniem, obejmuje wobec tego ocM—1 punktów przestrzeni w-wymiarowej, czyli jest (n—l)-wymiarową formą, położoną w przestrzeni w-wymiarowej. Aby zbadać własności tej formy (w—1)-wymiarowej w przestrzeni w-wymiarowej , przyjmijmy w przestrzeni n-wymiarowej jakikolwiek punkt    £₂,.należący do punktów tej formy

przestrzennej, a więc spełniający warunek: A₁^₁ -j-A₂g₂ + ...+ Ani„A-A₀—O.

Wyjdźmy z tego punktu w pewnym kierunku, nachylonym do osi 0X, pod kątem Ai} («=1, 2,... n), i przypuśćmy, że w tym kierunku w odległością spotkany nowy punkt P(x,), (i—1,2, ..., w), należy również do tejże formy badanej, natenczas spółrzędne tego nowego punktu P, określone równaniami:

%t=*ii + rcoaÀi, (i=1, 2,... w), musiałyby również uczynić zadość danemu równaniu :

A-ixi A₂x₂-]~Anxn-{- A₀ =0,

wobec czego otrzymujemy warunek :

czyli :

^i(£i+rcos/l₁) + A₂(£₂+rcosi₂) + ...-Mn(£n+rcos A,)-f A₀ = 0,

kształt :

(■A-iii “b A₂^₂ +... + An^n-\- A₀) -j-^(A₁cos -f- A₂cos à₂ +...+ An cos An)=0. Wobec równania: At£t +A₂£₂-l-...-j-Antn + A₀=O, warunek ten otrzymuje r(Ax cos^ +A₂cosyl₂ + A„cos An)=0, z którego wynika , że r może być tylko, albo (1) zerem, gdy A.!cos A₁ 4-A₂cos A₂ +...-pA„cos An ^ 0, albo (2) zupełnie dowolnem , gdy Aicos Ai -\-A₂cosA₂ + ...+An cos An=0.

mem

T. z. prosta linia ma z formą przestrzenną, określoną danem równa-albo tylko jeden, albo wszystkie punkta wspólne. Taką formę przestrzenną nazywamy przestrzenią liniową.

A zatem : Wszelkie równanie pierwszego stopnia, między n-spółrzędnemi bieżącego punktu, przedstawia przestrzeń liniową (n—l)-wymiarową Pn-\ w przestrzeni n-wymiarowej.

Wobec tego równanie pierwszego stopnia między dwiema zmiennemi æ i y, jako to: Ax -f- By -f- C = 0 , przedstawia przestrzeń prostą jednowymiarową, czyli linię prostą w przestrzeni dwuwymiarowej, t. j. na płaszczyźnie; równanie: Ax -j- By -f- Cz 4- D =0, przestrzeń prostą dwuwymiarową, czyli płaszczyznę w przestrzeni trójwymiarowej ; równanie: Ax-\-By -\-Cz-\-Du -f- F= 0, przestrzeń liniową, (zwykłą) trójwymiarową w przestrzeni czterowymiarowej ; ogólnie równanie : Axxy -\-A₂x₂ -f- ...-f- Anxn-\- A₀ = 0, przedstawia przestrzeń liniową (»—l)-wymiarową w przestrzeni n-wymiarowej.

23. Układ równań pierwszego stopnia między spółrzędnemi pnnktu.

Xt i *^2 J •••>

Niech będzie danych r równań stopnia pierwszego między n- spółrzędnemi xn punktu przestrzeni w-wymiarowej w postaci :

Alix₁ + A₁₂x₂ + ...-f AinXn + Aio=0 A-21^1 + A₂₂X₂    Ain «« + A₂₀ =0

Art -\-Ar<lX₂ + ...+ Arnxn-h Aro—0,

xn. Forma

gdzie Aik są dowolnemi liczbami rzeczywistemi, a r liczbą całkowitą mniejszą od n, natenczas możemy z tych r równań wyznaczyć tylko r spółrzędnych n. p. xl, x₂₁..., xr, gdy przyjmiemy pewne, dowolne zresztą w granicach od —oo do + oo, wartości dla pozostałych (n—r) spółrzędnych Ær+i, 2V+2 przestrzenna, powyższemi równaniami określona, przedstawia zatem zbiór 00 n-r punktów, tworzących formę (n—r)-wymiarową w przestrzeni w-wymia-rowej, wspólną r przestrzeniom liniowym (n—1)-wymiarowym tejże przestrzeni w-wymiarowej.

A zatem : r równań pierwszego stopnia między n-spółrzędnemi przedstawia formę liniową (n-r)-wymiarową Pn—r w przestrzeni n-wymiarowej.

Na mocy tego dwa równania pierwszego stopnia o dwócli zmiennych : Ax -f- By + C= 0, A'xĄ- B'yĄ- C = 0, przedstawiają formę bezwymiarową, t. j. punkt w przestrzeni dwuwymiarowej, t. j, na płaszczyźnie; dwa równania o trzech zmiennych: Ax -f- By -|- Cz -f- D = 0, A‘x-\- B'y -f- Cz -f- D' = 0 przedstawiają formę liniową, jednowymiarową, t. j. linię prostą w przestrzeni trójwymiarowej; trzy równania Ax-\-By -\-Cz -f- D — 0, A'x -\- B'y -\-Cz-\-D'=0, A"x -f- B“y + C“z -j- D“ =0, przedstawiają punkt w przestrzeni trójwymiarowej i t. d.

Ilość r danych równań pierwszego stopnia musi hyc oczywiście mniejszą od ilości spółrzędnych, jeżeli równania dane mają przedstawiać jakąś formę przestrzenną, przyczem wszystkie dane równania winne być od siebie niezależne, czyli każde z osobna winno przedstawiać inną formę przestrzenną, która przechodzi przez formę, danemi równaniami określoną. Forma ta będzie punktem, jeżeli ilość równań, niezależnych od siebie, jest równą ilości spółrzędnych; prostą formą jednowymiarową, czyli linią prostą, jeżeli ilość równań jest o 1 mniejszą od ilości spółrzędnych ; prostą formą dwuwymiarową, czyli płaszczyzną, jeżeli ilość równań jest o 2 mniejszą; prostą przestrzenią (zwykłą), trójwymiarową, jeżeli ilość równań jest o 3 mniejszą od ilości zmiennych spółrzędnych; w ogólności liniową formą r-wymiarową , jeżeli ilość równań jest o r mniejszą od ilości zmiennych, występujących w tych równaniach.

ćwiczenia XVII.

1)    Daną jest płaszczyzna: 3x—2y—4z = 12, znaleźć a) odcinki jej na osiach układu, b) ślady na płaszczyznach spółrzędnych, c) kąty nachylenia śladów do osi układu, d) kąty nachylenia płaszczyzny do płaszczyzn spółrzędnych , e) odległość jej od początku układu.

2)    Znaleść miejsce geometryczne punktów, równooddalonych od początku układu i od punktu (a, ó, c).

3)    Bównanie płaszczyzny: x — 4//-j-2z—4 = 0, sprowadzić do formy odcinkowej i rozmaitych innych form i znaleźć odległość tej płaszczyzny od początku układu.

4)    Daną jest prosta w przestrzeni: x—az-\- a, y —bz znaleźć odległość początku układu od płaszczyzn, rzucających tę prostą na trzy płaszczyzny rzutowe.

5)    Dane są trzy punkta A(x% y', z'), B{x", ?/", z"), 0(x"',    z‘"), połączmy A z B

i podzielmy odcinek AB w punkcie D w stosunku Z : m, następnie połączmy punkt podziału D z punktem C i podzielny odcinek CD w stosunku n:    w punkcie P; znaleźć spół-

rzędne (x, y, z) punktu P.

6)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (x', y', z*) i przez krawędź dwóch płaszczyzn Ax By -j- Cz-\- D = 0, A'x-\-B'yC'zD'—0.

7)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkta :

(0, b, c),    (a, 0, c),    (a, b, 0).

8)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez początek układu i przez punkta (x, */', z') i (x", y", y").

9)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (1, 2, —1) i przez prostą : (2x—z -j- 1 = 0, Sy -j- 2z—2 = 0.)

10)    Jaki punkt wspólny mają płaszczyzny:

2x—6y 7z -p 8 = 0, 3x-\- Ay—16^ = 0, bx—Sy 10^=0.

11)    Znaleźć odległość płaszczyzny : — -j-    -j--y = 2, od początku układu.

12)    Znaleźć punkt przecięcia prostej :

jr+T=1> ł+T⁼¹’z p,aszozyzn%: T+i⁺T⁼¹-

13)    Wyprowadzić równanie płaszczyzn, przechodzących przez osie układu i przez punkt (a, &, c).

14)    Jakie kąty tworzy płaszczyzna: x-\-y z = 0, z płaszczyznami spółrzędnemi.

15)    Pod jakimi warunkami będzie prosta: — =    =

, pionem płaszczyzny:

*+-£ + ^ = 1.

a o c

16)    Z punktu (1, 2, 3) wychodzą dwie proste ; dostawy kierunkowe jednej są propor-cyonalne do liczb 1, 2, 3; drugiej do liczb 2, 3, 1; wyprowadzić równanie płaszczyzny przez nie wyznaczonej.

17)    Po prostej :    =    posuwa się prosta, nachylona do osi OX pod 2£.60°) a do

osi O Y pod X 45°; wyprowadzić równanie płaszczyzny, przez nią opisanej.

18)    Co przedstawia równanie:

{x—az—a.)Ą-\^y—bz—ß)=0, a) wobec 1 = 0, X=co, c) X =—

19)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez punkt (3, 2, 1) prostopadle do płaszczyzny: Sx-\- 2y-\- z-\- 1=0.

20)    Pod jakimi warunkami prosta: x=az-f-a, y-bz-J-ß, leży całkowanie na płaszczyźnie : Ax-\-By Cz f D = 0.

21)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt (Ç, rj, <Q i odcina na osiach XX‘ i YY‘ odcinki a i b.

22)    Czy i na jakiej płaszczyźnie znajdują się proste urojone sprzężone:

( a; = (1 2i)z -}- (2 -j- 3t)

G- (2 + <>+(! + %>'

= (1—2i)z + (2—80

y = (2—i)z + (l—%i) '

23)    Podać zwyczajne równanie prostej rzeczywistej , znajdującej się na płaszczyźnie urojonej : (1 -f- i)x -f iy -f z-f- 3 = 0.

Rozwiązania XVII. 1) (o) 4, —6, (b) y=Aj^x—6, #=⁴/₃£-[-4, y = —2s—6, (c) tgX=³/2 ! t. d. {d) — =

"⁾f-T + ł“¹'ŚV/^- ⁴⁾

Ax -f- By -f Cz + D _ A‘x + B'y + C‘z -f D'

Ax'+By‘+ Cfe'+ D ~ A'x‘-{- B‘y‘ + C‘z'+D‘ '

+ y(s'x"-x'z"+z(x'y"-y'x“)=0. 9) 2x -6y-6* + 5 = 0. 10) (4, 5, 2). 11)

12) (a, b: 0). 13) cy—bz—0, az—cx = 0, bx—cy—0. 14) cosa=cos ß =cos y=

16) 7x-hy +2 =0. 17) (3-VT).#-Y/2 .y + (V/2 - 1) . « = 0.    18) Płaszczyzny, rzucające

prostę: x=az + <x, y=&« + ß, b(x—o)—a(y—b) = 0. 19) a; = 3z, y = 2». 20) A« -fRß +D = 0.

^4« -J- Ró -f- 0 = 0. 21) — -j- ---ę- -p ---1^ = 1. 22) Na płaszczyźnie i⁻zeczywistej :

x—2y -f- 3z = 0. 23) x = —«+3, y — z—3.

cos ß cos y -2 ⁼ ^4~

6)

¹ / \ 12

“ y/29 ’ * 29 V/29. 2) a# -f b y + cz = V, (a² + &² + c²).

5) x =

7) y + y + y = 2. 8) a: (y'*" -*'y") +

aß — óa

V/Î+«"²’ V/ï+ft"²’ Vät+b*

lx‘ mx" -j- nx‘"

I -f- m -J- n

, ...

2 abc

\/ôV² -)- a²c² -f a²ô2 15) al—bin

\/3

on.

Literatura. S a 1 m o n. Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler. Sch löm i Ich. Analytische Geometrie des Raumes, Leipzig 1877. Fross-Percival, Solid-geometry. London, 1875.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Punkt, prosta i płaszczyzna w spółrzędnych ukośnokątnych punktu.

2.    Punkt, prosta i płaszczyzna w spółrzędnych (Pliickerowskich) płaszczyzny.

Wykład XVIII.

Zagadnienia o punkcie, prostej i płaszczyźnie

w przestrzeni.

1.    Przestrzeń trójwymiarowa posiada obok punktów, które się przedstawiają trzema spółrzędnemi (x, y, z)₁ czyli trzema równaniami : x—a, x=b, 8= c, jeszcze dwie formy elementarne położenie w przestrzeni wyznaczamy dwoma równaniami stopnia pierwszego między trzema spółrzędnemi bieżącego punktu, w postaci zwyczajnej :

x=az+a, y=bz 4-/5,

(■b) płaszczyzny, których położenie w przestrzeni wyznaczamy jednem równaniem między trzema spółrzędnemi bieżącego punktu w postaci ogólnej :

Ax+JSy+ Cfe + 2>==0.

2.    Zagadnienia o punkcie, prostej i płaszczyźnie w przestrzeni dotyczą przedewszystkiem wyznaczania wzajemnego położenia tych form elementarnych , danych przez swe równania elementarnej , któraby odpowiadała danym warunkom.

Pod względem wzajemnego położenia dwu form elementarnych przestrzeni trójwymiarowej, musimy wziąć pod rozwagę: (1) punkt i prostą, (2) dwie proste, (3) punkt i płaszczyznę , (4) prostą i płaszczyznę , (5) dwie płaszczyzny. W niniejszym wykładzie zajmiemy się najprzód rozważaniem wzajemnych położeń punktów i linij prostych , tudzież dwu prostych w przestrzeni , biorąc pod rozwagę przedewszystkiem odległości i nachylenia dotyczących form elementarnych, danych przez swe równania, przytem przypominamy, że dwa punkta Px(xi, yu i P₂(x2l y₂, £₂)> przestrzeni trójwymiarowej, wyznaczają prostą, określoną równaniami symetrycznemi :

x₂—xx y₂-yx s₂ —-1

i mają wzajemną odległość eZ, wyrażającą się wzorem:

d=V(x₂-xx)²+(y₂-yiy+(x ₂ —*t)²

Biorąc pod uwagę punkt i prostą w przestrzeni , wypadnie nam przedewszystkiem wyznaczyć odległość punktu danego przez swe spółrzędne od prostej , danej przez swe równania. W tym celu przyjmijmy najpierw dany punkt, dowolnie w przestrzeni obrany, a dana prosta niech przechodzi przez początek układu.

to: (a) linie proste, których

następnie wyznaczania pewnej formy

/y» _ /y*

y - V\

(i)

(2)

3. Odległość punktu od prostej w przestrzeni, przechodzącej przez początek układu. Niech będzie dany w przestrzeni punkt P(£, rj, £) i prosta, przechodząca przez początek układu w kierunku (A, fi, v). Prosta, przechodząca

przez punkt P prostopadle do danej prostej, niech przetnie ją w punkcie Z), wtedy odcinek PD=ó, przedstawia najkrótszą odległość punktu Pod prostej <Xmt OD (A, fi, v).

Połączmy punkt P z początkiem układu promieniem OP—r i oznaczmy przez oj kąt POP, wtedy otrzymamy z trójkąta prostokątnego OPP relacyę: ó=r sin oj.

Fig. 207.

Niech promień r=\/£² tworzy z osiami układu kąty Z', fi‘, v‘, natenczas mamy: cos A¹ cos fl‘ cos v¹

ii nr

V/£²+»7²+p    r’

a, że oj jest kątem, zawartym między kierunkami (P, fi,¹, v‘) i (A, fi, v), więc sin² oj=(cos P cos fi— cosfi'cosA)²-{-(cosfilcosv—cosficosv‘)²-{-(cosvlcosA—cos^cosP)², (art. 11, str. 28), przeto otrzymujemy:

COS fi

--cos Aj -f^~-cos^—cos fi

r-

) ⁺h

- cos A--cos v

a więc :

cp—r² sin²oj=(Çcosfi— ?]cos A)² Ą- (qcosv — Çcos fi)² + (ÇcosA — ÇcosvP,

zatem:

^ — v (^cosfi—rfcosA)²-f (rfcosv— Çcos fi)²-f- (£cos/l — Ë,cosv)²,

albo

i-1/| f

y | cosA, cos fi,

£|²

I, ²

cos«', cosi

(3)

COS fi, COSV,

jako wzór na odległość punktu (£, rj, Ç) od prostej, przechodzącej przez początek układu w kierunku (A, fi, v).

4. Odległość punktu od dowolnej prostej w przestrzeni. Niech będzie teraz dany w przestrzeni punkt P(£, rj, Ç) i prosta dowolna l(x=az-\-a,

y—bz+ß). Prosta ta niech wyznacza na płaszczyźnie NOPśladO'; spółrzędne tego śladu będą z=0, x—a, y—ß. Niech będą dalej A, fi, v kąty, jakie ta \    prosta tworzy z osiami układu, natenczas, przedsta

wiając równania danej prostej w postaci symetry-

x—a y—ß z—0

~X cznej :

0’

otrzymujemy wprost:

Y"

cos i    cos fl    cosv

Fig. 208.

\Za2 ₊ J2 + 1’

Przesuńmy dany układ OXYZ, nie zmieniając kierunków osi, do punktu O¹ (a, ß, 0), jako do nowego punktu początkowego, natenczas dany punkt P(£, ij, £), będzie miał odnośnie do tego nowego układu spółrzędne f', rf, przyczem będzie: £=a-|-£',    £=£', a więc

j]‘=rj—ß, £'=£. Prosta dana przechodzi przez początek tego nowego układu w kierunku (A, fi, v), przeto wedle wzoru (3) art. 3, będzie:

<S²=(£'cos fi — rl cos A)²-\-(n¹ cos v— Ç¹ cos fi)²-\-(Q cos A—f' cos v)²,

skąd, uwzględniając wartości na g', ł?', i 2, r, otrzymamy:

ó²

a²+ó²+l

skąd, po stosownem uporządkowaniu wyrazów, wynika :

^-a^—a)²+(r]-b^—ß)²+[b (g—a)—flQ?—/?)]²

a²-t ô² + l

a więc

Ą = ^(g—CTg— a)²+(rf—6g—/?)²+(ft (g—«)-<*(?/—ff))²

l/^2+&2 ₊ l '

jako wzór na odległość punktu od dowolnej prostej w przestrzeni.

W tym wzorze zasługują na uwagę wyrażenia, występujące w liczniku. Z równań: x = az-\- a, y — bz-j-ß, danej prostej otrzymujemy równania rzutów tej prostej na poszczególne płaszczyzny spółrzędne w postaci :

x—az—a — 0,

Wstawmy w wyrażenia po lewej stronie równania zamiast spółrzędnych. x, y, z bieżącego punktu prostej l, spółrzędne danego punktu P(2, rj, Ç), leżącego zewnątrz tej prostej i oznaczmy :

natenczas przedstawi się wzór na odległość punktu P od prostej l w postaci :

a vV+4²+*32 y/a²-f &²+l

Chcąc zatem wyznaczyć odległość pewnego punktu od danej prostej, należy podać równania zwyczajne trzech rzutów tej prostej w formie sprowadzonej do zera, a w miejsce spółrzędnych x, ?/, « bieżącego punktu prostej podstawić spółrzędne danego punktu, natenczas otrzymuje się trzy liczby lt, l₂, Z₃, a suma kwadratów tych liczb, podzielona przez «²d-£²+l? daje kwadrat odległości danego punktu od danej prostej.

Jeżeli Zj = l₂= ?₃= 0, jeżeli więc spółrzędne danego punktu (2, rj, £) sprawdzają równania danej prostej, to znaczy, że punkt dany o spółrzędnych (Ę, rj, X) leży na prostej danej równaniami: x — az-j- a, y = bz -j- [1, a wtedy odległość jego od tej prostej jest: 8 = 0.

y—bz—6 = 0,

b(x—a)—a(yy—ß) = 0.

ï]—ÔÇ— 3 = Z1? Ç—aÇ—« = * 2, *(5—«) —ß) =

(40

5. Kąt nachylenia dwóch prostych w przestrzeni. Niech będą dane równania symetryczne dwóch prostych :

x—a y—b    z—c

x—a‘_y—b‘_ z—c‘ n‘

Oznaczmy przez (2, fi, v) i (2', fi\ v¹) kąty, jakie te proste tworzą z osiami układu, wówczas na wyznaczenie tych kątów otrzymujemy szeregi równych stosunków : cos À cos fl cos v

cos A¹ cos fl¹ cos V¹

VP + m² + n²

m'

w'

a stąd:

cos A

\/PĄ- m² +w²’

cos fl

\ZP-f- m²+w²’

cos v

\/P-\-m²-\-n2:

cos À'

COS fl

cos v‘

n‘

\Zl‘²    -{-n¹²

Kąt nachylenia dwóch prostych, jako kąt zawarty między dwoma kierunkami (A, fi, v) i (2', fi¹, v'), wyznacza się wiadomemi wzorami art. 11 str. 28, na podstawie których otrzymujemy:

ll‘ mm¹+nn‘

COS OJ =

VP-\- m² + w²V/^²'^-w<2+n<2,

(5)

m n 2 m' w'

sin m —

V'PA-m²-^- n²V'l'² 4-w'²-j-w'²

tgCÜ

\/ (Im'—Vm)² H- (mn‘ — m‘ri)² + (nV — n‘l)²

+nn‘

(7)

Jeżeli dwie proste dane są zwyczajnemi równaniami

fx == a‘z-\- a' \y = b'z + ß'

lx = az-j- a \y = bz -f ß

natenczas równania te, w formie symetrycznej przedstawione będą miały kształt:

y—ß

y-P'

a‘

b'

zkąd wyznaczamy ich nachylenia (X, (i, v) i (X', p', v') do osi układu, a to na mocy wzorów : cos X cos [X cos v

cos X' cos p/ __ cos v'

\/a² + ô² + l’

Kąt nachylenia danych prostych wyznacza się wobec tego wzorami :

b‘

Ws+ó's+i

aa‘ -f- bb‘ -f- 1

sin w

V/V-|_£2₊₁ .v/«/24-6'²+l

^ ^ \/(ab‘—a'ó)²-(-(a—a')²-j-(ft—è')²

V/a^fè^fT • Y/«⁷² + è'²+ï

V/{aV—a'by + (&-&')²+ (ffl-ap²

(70

6. Warunki prostopadłości i warunki równoległości dwóch prostych w przestrzeni. Z powyższych wzorów znajdziemy warunki, pod którymi dwie proste w przestrzeni, dane przez swe równania, będą do siebie prostopadłe, a pod którymi równoległe. W pierwszym przypadku będzie    a więc

cosw=0, otrzymujemy więc, jako warunek prostopadłości dwóch prostych, danych równaniami symetrycznemi, wzór :

IV + mm¹+nn‘=0.

W drugim przypadku będzie ;>£a>=0⁰, a więc sino) = 0, warunek równoległości dwóch prostych przedstawia się zatem w postaci równania:

(lml—l‘m)²-\-(mn,—in‘n)²-\-(nl‘—n‘l)²=0, które prowadzi do Im¹—Vm—0

Otrzymujemy więc szereg równych stosunków :

trzech równań :

mn‘ —m‘n=0,

nl‘ — n‘l = 0.

n‘ ’

(8)

(9)

jako warunki równoległości dwóch prostych, danych równaniami symetrycznemi.

Proste równoległe mają więc w swych równaniach symetrycznych czynniki kierunkowe proporcyonalne, a tern samem i równe, bo równania symetryczne można skrócić przez czynnik proporcyonalności.

W przypadku równań zwyczajnych przedstawia się warunek prostopadłości dwóch prostych w postaci :    bb'-\-1— 0, a warunek równoległości w postaci :

1, czyli w formie : a — a', b — b\

(90

7. Punkt wspólny dwóm prostym w przestrzeni. Dwie proste określają

się, każda dwoma równaniami, jedna równaniami:

fx=az+a, ,    ,    .    . f

jdruga równaniami: ^

x=a‘z-\-a‘, y=b‘z+ß‘.

Mamy więc cztery równania. Spółrzędne punktu (x, y, 0), wspólnego obu tym prostym, musiałyby więc uczynić zadość powyższym czterem równaniom, co stać się może tylko pod warunkiem, że trzy z powyższych równań wystarczają już do wyznaczenia spółrzędnych x, y, 0 punktu wspólnego, a tak wyznaczone spółrzędne spełniają zarazem i czwarte równanie.

- 235 —

Odejmując powyższe równania parami, otrzymujemy:

0=(a—a‘)z+(a—a'), tudzież: 0=(b—bl)g+(ß—ß‘), skąd wypływają wartości na spółrzędną g, które powinny by wypaść równe tak dla jednego, jak i dla drugiego z powyższych równań, jeżeliby dwie dane proste miały w istocie punkt wspólny. Musiałby więc zachodzić między spółczynnikami równań danych prostych związek :

czyli :

a— «' ₌ ß — ß'

a — a' b — b'

(a—a') (p—b‘) — (ß—ß¹) (a—a¹) = 0,

(10)

jako warunek przecięcia się dwu prostych, danych przez swe równania

zwyczajne.

Jeżeli ten warunek się nie spełnia , t. z. jeżeli :

(a - «') (b — V) - (ß—ß') (a-O ^ 0,

natenczas dane proste nie mają punktu wspólnego i są względem siebie wichrowate.

Jeżeli zaś warunek (a—a') (b—b‘)—(ß—ß‘) (a—a‘)=0 jest spełniony, natenczas dane proste mają punkt wspólny, czyli przecinają się w jednym punkcie , którego spółrzędne są :

a— a'

a‘a

bß‘—b‘ß

y -    •

ß — ß' aa‘ —

Qß —-

a—a'

Jeżeli w szczególności a=a‘ i b—b\ t. z., jeżeli dane proste są równoległe, natenczas spółrzędne ich wspólnego punktu wypadają nieskończenie wielkie, t. z. proste równoległe przecinają się w punkcie nieskończenie dalekim.

b-b'

a—a‘

Warunek (a—a‘)(b — b')—(ß—ß') (a—a‘) = 0, spełnia się więc tak dla prostych, przecinających się (w punkcie skończonym), jak i też dla prostych, przecinających się w punkcie nieskończenie dalekim, czyli równoległych, t. j. wogóle dla prostych, leżących w jednej płaszczyźnie.

8. Odległość dwóch prostych równoległych. Niech będą dane dwie proste równoległe: jedna l(y = az-\- a, y=bz ß), druga V(x=az -f- a', y = bz -(- ß'), natenczas odległość jakiegokolwiek punktu jednej z nich od drugiej będzie zarazem odległością tych dwu prostych równoległych.

Przedstawmy równania trzech rzutów prostej V w formie zwyczajnej, sprowadzonej do zera , jako to: y—bz—ß' =0, x—az— a'=0, b(x— a')—a(y—ß') = 0, i obierzmy na prostej l zamiast dowolnego punktu, jej ślad (a, ß, 0) na płaszczyźnie X0Y, natenczas, podstawiając w równania rzutów prostej V spółrzędne (a, ß, 0), otrzymujemy wyrażenia:

ß—ß'= V,    = l‘iî K«—a')—«(ß—ß') = ?,3J

skąd na mocy wzoru (4) art. 4. otrzymujemy:

. y/(«-o²+(ß-ß')²+(6(«-«')-«(ß-ß'))²

V/«a +i

wzór na odległość dwóch prostych równoległych.

9. Prosta prostopadła do dwóch prostych wichrowatych. Niech będą dwie proste :

(11)

h{

%=az-\- a

y—b&Ą- ß

x=a'z-\-a‘

y=b‘g+ß' '

Powiadam, że w ogólności istnieje jedna prosta l, prostopadła do obu danych prostych i obie zarazem przecinająca.

Niech będą: x-=lzĄ-p, y=mz-\-q: równania szukanej prostej l, natenczas na wyznaczenie czterech niewiadomych spółczynnikow ?, m, p, q jej równań mamy następujące cztery równania warunkowe:

1.    prosta I ma być prostopadła do prostej lu musi się więc spełnić warunek prostopadłości tych dwóch prostych:

2.    prosta l ma być także prostopadłą do prostej l₂, a więc także:

1= 0

(a)

(b)

8. prosta l ma przecinać prostą Zl7 a więc musi się spełnić warunek przecięcia dwóch prostych :

(p — cc) (m—b)—{q—ß) (l—a) = 0

(c)

4. prosta l ma przecinać także prostą l₂, a więc także :

(p — a¹) (m—b‘)—(q—ß‘) (l - a‘)=0

Z równań warunkowych (a) i (b) otrzymujemy stosunki :

, b—b‘    a‘—a

więc 1=    -— , m= —--.

ab‘—a'b    ab —a'b

(d)

b — b‘ a¹ — a ab¹ — a‘b

Wobec tego otrzymujemy równanie wspólnej prostopadłej do prostych li i l₂ w postaci równań zwyczajnych :

b—b'    ,    a'—a

X=*W=aTb° y=M=*b“+q' albo w postaci równań symetrycznych :

x—p    y—q

b— b‘ a'—a ab¹ — a‘b

(12)

gdzie spółczynniki p i q są jeszcze zupełnie dowolne. Istnieją zatem oo2 prostych, równoległych, z których każda jest prostopadłą do dwu danych prostych.

10. Między temi prostemi mamy wybrać taką wspólną prostopadłą, któ-raby zarazem obie dane proste przecinała.

W tym celu musimy wyznaczyć ślad (p, q) szukanej prostej na pł. XOY, a to na podstawie równań warunkowych (c) i (d), które, ze względu na to, że :

₇    (b—b‘) — a{ab‘—a‘b)

i — a=-—---

ab— a'b

(a¹— a) — b{ab‘ — a‘b)

ab¹ — a'b

(b—b¹)— a\ab>— a‘b)

(a'— a) — b‘(ab‘ — a‘b) ab¹ — a,‘b    ’

przedstawiają się, po wprowadzeniu tych wartości, w postaci:

(p—a) [(«'—a) — b(abl—a'b)]—(q—ß)[(b—b‘)—a{ab‘ — a‘b)]=0 (p- a')[(a'—a)—b,(ab,—alb)\—(q—ß/)[(b—b,)—a/(ab/—a'b)]=0 skąd po uporządkowaniu, podług niewiadomych p i q, otrzymujemy:

[(«'—a)—b{ab'—a‘b)\p—[(&—b')—a(ab'—a‘b)]q = a{a‘—a) -f- ß(&'—b) -f-(aß—ba.) (ab¹—a'b), [(a'—a)—b'(ab‘—a'b)\p—[(b—b‘)—a‘{ab‘—a'b)] q = a '{a'—a) + $'(b' — b) + (a'ß'—b' a') (ab'—a'b),

dwa równania stopnia pierwszego o dwu niewiadomych p i q, w postaci :

Ap — Bq— C, A'p — B'q— C,

A=(a'—a)—b(ab'—a'b), A' = (a'—a)—b'(ab' — a'b),

B—{b—b')—a{ab‘—a'b), B‘ — (b—b')—a'(ab‘—a'b),

C — a.(a‘— a) -(- ß(&'—6)-|-(aß—bat)(ab'—a'b),

C — 0L'(a'—a)    $'(b'—b) -f- (a'ß'—b'a.') {ab'—a'b').

Na podstawie powyższych równań otrzymujemy:

CB‘ - C'B

V~AB' — A'B' q AB‘ — A‘B

gdzie :

l— a'

ab¹— a‘b

CA¹ - C'A

{&)

{d‘)

a zatem równania prostej, przecinającej prostopadle dane dwie proste ZA i Z₂, w postaci: b—b‘ ab'— a‘b

z d~

CB'- CB AB‘— A‘B ’

CA' — CA

ab‘— a‘b

AB' — A‘B

(13)

11. Kładąc dla skrócenia :

b-b‘=l

a' — a=mi,

ab‘ — a‘b=ni

otrzymuj emy :

A=mi—bni, AJ=mi —    ,    B=l^— anx^ B‘=li—a‘łii

C=ami —ßli +(aß—ba)ni, C' = am₁—

AB'—A‘B= —n^ (Z²i    +^²i)j

CB' — C‘B= — (Zj — «^[(Zj — a'Wj) (/?—/?')— (% —&'%) (a—a')] —an₁(Pi Ą-m²i+nl ²), 6h4' — C' J.=(w₁ — Zwj )[(Zi — a'Wj )(/?—/?')—(m, — &'%)(«— «')]—ßni (Z²i + w*²i d-w²j ), zatem powyższe równania w formie :

x=-± g+

(Z₁—aw₁)[(Zj — a*nx)(ß—ß‘)~(mi — b‘nß){a—a¹)]

ni

^(Z²! -f^²i d-^²i)

+ a,

y ~ ~~~

nl

i    (»*1—6%)^—a‘ni)(ß—ß‘)—(ml—b‘nß){a—a')]

n^Z²! d-«!²! d-»²₄)

(130

czyli :

(Z²! d-w²! d-w^Xw^a:—a)— Z₁^]=(Z₁— «»^[(Zj — a'n^iß—ß¹)—(Wj —5,n₁)(a—a')],

(Z²A -f w \ -f »0 ) K (y — 0)■— mi z] = — (mt — 0% ) [(Zi — a‘nx ) (ß—ß‘) — (»»j —Z>'% ) (a—a*)].

12. Najkrótsza odległość dwóch prostych wichrowatych. Najkrótszą odległość dwóch prostych wichrowatych :

= az -f a y = bz d- ß

stanowi odległość dwóch punktów, w których wspólna prostopadła Z obu prostych Zt i Z₂ przecina te proste.

Oznaczmy przez (x‘, y‘: z¹) i (x“: y", z") spółrzędne punktów przecięcia się prostej Z z prostemi i Z₂, natenczas, przedstawiając równania (130 wspólnej prostopadłej Z w postaci :

{*

\ y

i Z₂

x= a'z+a1 y= b‘z +ß

x=^-z+p, y=—s-r-q.

*i

»i

otrzymujemy na wyznaczenie spółrzędnych x‘, y‘,    x'\ yl\ z'¹ następujące

równania warunkowe:

e‘+q,

x"

x‘=az‘+a, y‘=bz' Aß, x'^^z' + p, y‘= ^

7

=aV'd-«', y,,= b,z,,-\-ß^ xt,= — e“+p₁ y“= ~ z“-\-q.

»i

z których otrzymujemy :

7    Ml

a:''— «'=—    y"—y'—— (z“—z¹),

przeto odległość d punktów (a?', y*0 i    *")j określona wzorem:

przedstawi się w postaci :

s (0"— ^OV^Z²!    ²d- w²i (*"—*0^(a“a0²+(&—&')² + («&/—«'^)² ’

d___    Wl    ” ab'-a'b    '    ¹    '

13. Celem wyznaczenia różnicy 0"—z¹, otrzymujemy równania:

4-05—29 = 0, z'

hi)

(j_?y + /5_î=

*"(«'-    ) + “'-î>=0,

z¹

tH I ■r-t

* I X

0,

-2=0,

z których wypływa :

gl= (P ~ a)n\ __ (<l-ß)Jh ani—h bni—mi A że na podstawie równań (13') art. 11.

z“

₌ (p—a¹)^ ₌ (g—/?'K a‘ni—l{ b‘ni —mx '

p—a

(Ji —an i )[(Zj — a‘nx )(ß—ß')—(mA — ö'Wj )(os—os')]

ni(l\+m\+n\)

a-ß—- (mi —bniMi — a,niXß—ß')—(mi—b‘ni)(<x—a')]

nt(l²i 4-m²₁ + n²₁)

przeto będzie :

0' =

(ili—«%)(/?—/?')—{nii —&'%)(«—a¹)

analogicznie :

li ²+m²i 4-n²i

tudzież

0"= —

(li—a'ni)(ß—/?')—(%— bUi) (a—a¹)

l²i Jrm²i 4-nx ²

skąd otrzymujemy równe stosunki:

0'

z“

(li—ani)(ß—ß‘)—{mx —b'n^ia—a')    (^ — a'wj)(/3—/?') — (mt — fo^) (os—os')

Zat 4-m²i 4-n²i

(ani — os'%) (ß—ß‘)-\-(&'% — dw^os—os')

0" — 0'

a więc :

—0'= —

ni[{a—a,){ß—ß,)-\-{b‘—b){a—a,)\ *

—w., [(os—os')(/3—/?') — (&—&')(os—os')]

l²i 4-m²i 4-n²i

Podstawiwszy tę wartość w wzór (14) na odległość <5, otrzymamy:

(os —os')( ß—ß‘)—(b—b')(a—a‘)

1/(a—a‘)²Ą-(b—b‘)² \-{ab'—a‘b)² ’ jako wzór, podający najkrótszą odległość dwu prostych:

x=a‘z-p os' y=b‘z+ ßr

(15)

'*{

£=0504-05

y=bz-\-ß

i *₂{

Z wzoru tego wynika, że skoro dane proste się przecinają, a więc:

(a—a') (/?—/?')—(&-&') (os—os')=0,

natenczas ich najkrótsza odległość d jest równa zeru.

14. Moment dwu linij prostych. Powyżej otrzymany wzór na odległość dwu prostych, możemy przedstawić także w następującej postaci:

os—os', ß—ß¹ 0 b 1

V (a—a‘)²-\-(b—&')²4-(aZ»' — a‘b)²

(15')

os'

6' 1

Oznaczmy przez (ż, p, v) i (Ż', /P, v‘) kąty, jakie dane proste tworzą z osiami układu, a przez co kąt, między temi liniami zawarty, natenczas otrzymujemy :

- 239 —

cos À

CO S /» =

l/ a²+6² + l

COS V

VV²-f- ô²+l

cos Ż'

Y/«'² + &'² + 1

COS U —

6'

V/^2 + ô-2₊₁’

COS v' =

\/a'²-j-ô/24-1

sin oj =

Y/ (a—a')² + (ô — ô') + (ab¹— a‘b)²

V/a² + 6²-fl \/^² + 6'²+l

Wprowadzając kąty Ż, /», î', ż', /»', v' w powyższy wzór na ô, otrzy

mujemy :

S- V"«²+6²+l y/g<2 + ó<2+l

y/(a—a')² + (^—b')²+(ab‘— a'b)²

a—a', ß—ß'i

COSŻ COS/» COS»' COS 1' cos /»' cos v‘

czyli :

â 1 sin w

a—a¹, ß—ß\ 0 cos ż, cos /», cos »>

COSŻ', COS/»\ COS V*

(15")

jako nowy kształt wzoru, podającego najkrótszą odległość dwu prostych w przestrzeni.

Z wzoru tego otrzymujemy :

a-a', ß—ß',

<5sin<y=- cos i, cos/», cos»' cos 2', cos/»', COS»''

Otóż iloczyn ô sino), t. j. iloczyn najkrótszej odległości dwu prostych przez sinus kąta, między niemi zawartego, nazywamy momentem dwu linij prostych.

Oznaczmy go przez M, natenczas mamy :

a-a',    ß-ß¹,

cos X

cos X‘, cos /»

M=

COS/», COS V

cos v{

(16)

Ćwiczenia XVIII.

1) Znaleźć punkt przecięcia prostych :

^(a? = łar + 4, .y=l« + 3) i h{x = — 2s + 4, y=— 32 + 3).

x—a

y—b

=    , przeci-

2)    Dowieść, że trzy proste : — =

. .    / a b c \

nają się w punkcie ^i y j yj-

3)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez dwie proste, przecinające się w punkcie (Ç, rj, Ç), a mająęe równania symetryczne :

æ—£

COS X COS [T

y—

COS V ’ COS X'

y — >i

2-Ç

COSf/.' cosv'⁻

4) Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez dwie proste równoległe,

s —Ç x—\‘ y— rf _ z—Xj

*    JJ_ £

przedstawione równaniami: —-

y—n

5) Dowieść, że równanie płaszczyzny, przesuniętej przez dwie proste, przecinające się, dane równaniami: l(x= az-\- a, y = bz-|-ß) i l‘(x=a'z-\-a.', y — b‘z + ß'), których spółczyn-niki związane są więc relacyą i (a—a‘) (ß—ß')—(b—Z>')(a—a')=0, przedstawia się w postaci: (ß—ß')(£c—az—a) — (a—a‘){y—bz—ß)=0.

6) Dowieść, że równanie prostej, przechodzącej przez punkt (V, «/', z') i przecinającej proste : l j *

= <*2 -|- a y=bz -f- ß

= a'z -f- a' y=&'*+ß'

da się przedstawić w postaci:

X—x‘

y—y'

z—z⁴

I x‘—az —a, b{x'—a)—a(y‘—ß) \x‘—a⁴z‘—a', b‘{x‘—a')—a\y‘—ß')

y‘—bz‘—ß, b{x'—a)-a(y'—ß) y‘—b‘z‘—ß', b\x'—a')—a\y‘—ß')

y'—bz‘—$, x‘—az' a y‘—b‘z‘—ß', x'—az'—a'

7) Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez początek układu i przecinającej

\ x — a'z Ą- a'

» y=*

,    ,    _ / # = a£ 4- a

linie proste : Z ^    _

b'z + ß' ‘

8)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez początek układu i przecinającej dwie linie proste: l(x—a, y = b) i l'(x—a', z = c').

9)    Wyprowadzić równanie linii prostej, przecinającej proste:

\ x = 2z 1

y = z — 2

10)    Dowieść, że odległość punktu początkowego (0, 0, 0) od prostej: x = az-(-a,

/* = * + l l y =■= « -j- 2

i Z'

i równoległej do prostej: j ^

2/ =    -f- ß, wyraża się wzorem: o =-

V/a⁸+ ß²+(«6—ßa)²

\/tt2+&2_(_₁

11)    Znaleźć odległość punktu (1, 2, 3) od prostej : x=z-j- 1, y—z—1.

,    ( * = z 4-1

12)    Znaleźć odległość dwu prostych równoległych: l-y _

13)    Wyznaczyć kąt, zawarty między liniami prortemi :

w)¹ ''(w"*

(Ï

\/3

z=oy

\ x — z 2 l y — 2s-f-4’

CC

14) Dowieść, że odległość punktu (x': yz') od prostej: -^ — ——

COS A COS p<

stawia się w postaci :

--- , przed-

COS V

s=\l i

— ?! V‘ — »1

COS X, COS [X

Ç, a?'—?

cos v, cosX

V,—’>1> s'— £ ²

COS [X, COS V

15) Dowieść, że warunek, pod którym przecinają się linie proste, dane równaniami

O)

(2)

przedstawia się w postaci :

x= £-|- rcosX, i/=7] -J- r cos [x,    -j-rcosv>

x =    -f- r cos X', y = rj'-f- rcos jxy, « = Ç + rcos v',

Ç-Ç', ’i-r, s-r

cosX, COS [X, COS v COS X', COSp', cosv'

16) Dowieść, że najkrótsza odległość o dwu prostych:

* —S^y—q ₌ g~£ t g —^_y—g — g

COS X COS [X COS V COS X' COS p' cos v'

x S-S', *)-V, C-?

cosX, COS [X, COS V ,

COS X', cos p', cos v'

wyraża się wzorem :

sin w

= 0.

gdzie to przedstawia kąt, zawarty między temi prostemi,

17)    Dowieść, że odległość o punktu (#', y', z') od prostej, danej trzema równaniami: x = ';-|~r2:os4 y =r) -|~rcos [x, z = Ç r cos v, wyraża się wzorem:

o²=(£c'—?)²sin²X +(2/'—r))²sinV4- (z'—Ç)sin²v—2(as'—S)(2/'—*))cosXcos p—

—2(î/'—7])    —Ç)cospcos v — 2(s'—Ç)(sc'—Ç) cos v cos X.

18)    Dowieść, że równania dwój siecznej kąta, zawartego między liniami prostemi:

z — X .

y—n

cosX COSp COS V " cosX' cosp' cosv' przedstawiają się w postaci :

x—S

y—*i

z-X

cosX+cosX' COS p COS py COS V + C0Sv' równania zaś dwój siecznej kąta przyległego w postaci :

x—^

y—b

COS X—COS X'    COS p —COS p'    COS V—cosv'

19) Dowieść, że spółrzędne (x, y, 0), spodka prostopadłej, wykreślonej z punktu

wyrażają się za pomocą wzorów :

(x\ y¹, z‘) na prostą :

X—'ż

y—*i

z-r.

cosX

COS V ⁷

COS [i.

a: = Ç 4“(5—a;/)c.°s²X-f-(n—«/')g°s Xcos p4“ (£—£') cosX cos v, y =7) -}-(?—*') cosX cos p 4- Ol—y') cos²p4“ (?—0O cos V- cosv,

0 = ^4- (Ç —»') COS Xcos V 4~0r)—y‘) COS p COS V 4-(?—0/)c°S²V.

20)    Dowieść, że środki linij prostych, równoległych do płaszczyzny XOY, a przecinających oś ZZ‘ {x — y— 0) i prostą: x=az -\-ol, y = bz 4-ß, mieszczą się na linii prostej: 2x = az 4- «, 2y = bz -}- ß.

21)    Znaleźć cosinus kąta, zawartego między liniami prostemi :

x y__0 . x _ y _

c bc ac ab'

22) Na prostej =    = ^ przyjęto punkt    —

J ; jakie jest miejsce geometryczne prostych., poprowadzonych w tym punkcie prostopadle do danej prostej.

23)    Dowieść, że równania linii prostej, przecinającej pod kątem prostym linie proste :

x—x‘

cos X' cos p' cos v' " cos X" cos p" cos v" 7 nachylone pod kątem w, dadzą się przedstawić w postaci:

(x—x‘) cos X" (y— if) cos p" -j- (0—z') cos v" = \(x —x‘) cos X'-j- (y —y') cos p'-j- (0 —z') cos v'] cos to, (x—x“)c,os X' -k (y—y")cos p'-|- (0—z") cos v' —[(a;— a;“)cos X" -\-(y—y") cos p"-f- (0—z") cos v"] cos to.

24)    Dowieść, że prosta), przechodząca przez punkt (x', y\ z') prostopadle do prostej:

x = az    a., y = bz 4- ß, wyraża się za pomocą równań :

(x—az— <*)(y'—bz'—ß)—{y—bz—ß) (x'—az'—oi) — 0, a{x—x') + b{y—y‘) 4- (z—z') — 0.

25)    Znaleźć odległość punktu (1, —1, 2) od prostej : x — y = 2z.

26)    Dowieść, że równania: x— ny -j- m0, y=lz-\-nx: z=mx -\-ly, przedstawiają linię prostą, skoro P-\- w²+ n²-j- 2lmn = 1, i wykazać, że równania symetryczne tejże linii prostej

sprowadzają się do postaci:

y—y‘

2/— V“

tO o

z—z"

Y/l — i'¹ Y/l — w²    Y/l — w²

27) Dane są równania linii prostej w postaci: £ — ny -f- mz

7) — fe 4~ nx

Ç — mx ly

wyprowadzić równania symetryczne tejże linii prostej.

28)    Znaleźć warunek, pod którym trzy równania : mz~ nya — 0, nx—lz-\-b=01 ly—mx-\-c—0: przedstawiają trzy rzuty linii prostej i wyprowadzić w tym przypadku równania symetryczne prostej, przechodzącej przez początek układu, prostopadle do prostej, powyższemi trzema równaniami określonej.

29)    Dowieść, że miejscem geometrycznem punktów, równooddalonych od trzech punktów A(x 1, yu 0t), B(x.₂, y₂, 0₂), C(x₃, yi: z₃), jest linia prosta w przestrzeni.

30)    Przyjąwszy na prostej, określonej równaniami: 2y—x-\- 1 = 0, ty—0 4-2=0, cztery punkta A{ty = 0), B(y = 2), C(y = 3), D(y— 4), znaleźć środek 0 i cechę inwolucyi, temi punktami wyznaczonej, jako też punkta podwójne inwolucyi.

31)    Znaleźć środek i cechę inwolucyi, określonej czterema punktami J(l, 1,1), B(3,3,3), C(2, 2, 2), D{5, 5, 5) prostej : x=y = z.

32)    Znaleźć kąty, jakie prosta: æ=20 4-3, y — SsĄ-Ł tworzy z płaszczyznami rzu-

towemi.

33)    Znaleźć kąty: X, p, v, jakie linia prosta: x=az, y—bz, odniesiona do układu ukośnokątnego (a, ß, y), tworzy z osiami tego układu.

34)    Dowieść, że równanie płaszczyzny, przesuniętej przez punkt (x\ y‘, z‘) i przez prostą: x ^=az-\-a., y = bz-}— ß, da się przedstawić w postaci:

a, &,

a, ß,

Ok-¹

¹ =0 lub I x~az~*i y—te—ß 0    ⁷    I x‘—az'—«, y‘—bz'—

= 0.

35) Dowieść, źe równanie płaszczyzny, przesuniętej przez prostą l j nolegle do prostej V

da się przedstawić w postaci:

I r. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

(a; = a0 4-a \y=bzĄ- ß

,0 rów-

16

T—I O r—I O

=0, lub

x—az—a, y—bz—ß I_^

a—a',    b—b‘ |

36)    Dowieść, że równanie płaszczyzny, przesuniętej przez prostą: Z    prosto

padle do płaszczyzny: AxByCz5=0, da się przedstawić w postaci:

= 0.

B—bC

x—az—a, y—bz—ß A—a(7,

37)    Dowieść, że wszelka prosta Z, położona na płaszczyźnie: 5 = Ax-\-By-\-Cz-\-D—0, a równoległa do krawędzi przecięcia się płaszczyzn :

5=3 AxĄ-ByĄ- Cz+D i E‘ = A'x^-B'y-^ Cz-\- 5 =0, jest zarazem równoległa do płaszczyzny E' = A‘x -f- B‘y -f- C'z -|-5'=0 i nawzajem.

38)    Dowieść, że przez każdy punkt P płaszczyzny E~Ax -\-By -J- Cz -j-5 =0, można poprowadzić prostą Z, równoległą do dowolnej płaszczyzny : E‘ = A‘x -j- B‘y -f- Cz -J- 5' = 0, a leżącą w tejże płaszczyźnie.

Rozwiązania XVIII. 1) (4, 3, 0), 3)

COS X COS [J-cosX' cos ul'

V, V

Ç, ?

(*-Q=0. 4)

OT

m -f

•ret

«rrt

V-n, V-X.

*>' n = 0. 7) r-iL,

yj    a, aö-

COS [j. COS V COS fl.' COS v'

I    n )

*⁺ Ç'-Ç,

(*-*) +

cosv cos X cos v' cosX'

(y ~ n) +

— ß « |

a', a'ó'—ß'a'

9) as = 2»+ 1, y = 3»+ 2. 11) Y/(T. 12) J V/2.18) 80«. 21) 22) «a;+&?/+c2-^(a²+ö²+c²)=0. 25) ^2- 27)y{* j. 28) aZ -j- bm + cn — 0,

ß, ab — ßa ß', a'b'—ß'a'

Ç'-Ç, V-rj

——r* 8) -

*4-

V,

rb Ï

z+

2!

y?»

aa' &a' ca'

cos cu

3 abc

m£—W7)

î⁸-)-w²-f ri

=4-

a:

V a²-\-b²-\-c²\/ ô²c²-j-c²a²+a²ô²

»S-K \ _

Z² -|-m² -j-»² J 30) Al, 0,2), 5(5,2,4),

K(

n2

(7(7,3, 5), 5(9,4, 6), 0(5-8, 2-4, 4-4), p²-= 5-76, P(7-75, 3-38,5-38), P'(3-85, 1-42, 3-42). 31) 0(⁷/₃,⁷/₃, Vs), p²— — ⁸/g. 32) sina = ^V/Ï4, sin ô = ³/₁₄\/l4, sine = yi4 V/l4. 33) Wskazówka:

ne—mb na—Ze    Zó—ma

cos X

COS [j.

cos v

a -4- b cos y-f- cos ß

acos y + b -f- cos a

acos ß -)- b cos * -j- 1’

Literatura. L. J. Magnus. Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie des Raumes. Berlin 1837. Briot et Bouquet. Leçons de geometrie analytique. Paris 1875. Geometrie dans l’espace. A. Clebsch. Leçons sur la geometrie. Rec. p. Lindemann , trad. p. Benoist. Avec les notes étend, de St. Venant. 3 tomes. Paris, 1879—1883. L. Mossbrugger. Analytische Geometrie des Raumes. Mit 8 Tafeln. Aarau 1845. K. Z et sehe. Katechismus der ebenen und raümlichen Geometrie. Leipzig 1871.

Tematy do rozpraivelc naukowych.

1.    Teorya prostych wichrowatych.

2.    Wzajemne położenie punktów i prostych w przestrzeni trójwymiarowej.

3.    Wzajemne położenie punktów i linij prostych w przestrzeni n-wymiarowej.

Wykład XIX.

Dalszy ciąg zagadnień o wzajemnem położeniu punktów, Mnij prostych i płaszczyzn w przestrzeni.

1.    Punkt, prosta i płaszczyzna. W poprzednim wykładzie poznaliśmy sposoby wyznaczania wzajemnego położenia punktów, danych przez swe spółrzędne, tudzież prostych, danych przez swe dwa równania zwyczajne, symetryczne, lub ogólne w spółrzędnych bieżącego ich punktu. Pozostaje nam jeszcze wziąść pod rozwagę sposoby wjTznaczania wzajemnych położeń punktu i prostej względem płaszczyzny, tudzież wzajemnego położenia dwu płaszczyzn w przestrzeni. Zagadnienia, jakie się tu nasuwają, są zagadnieniami dotyczącemi: (a) odległości punktu od płaszczyzny, (ó) punktu przebicia prostej z płaszczyzną i kąta nachylenia prostej względem płaszczyzny, (c) przekroju dwu płaszczyzn i kąta nachylenia między dwiema płaszczyznami.

2.    Odległość punktu od płaszczyzny. Niech będzie P(|t,    £A) danym

punktem w przestrzeni, zaś AxĄ-ByĄ-C0-\-D=O, równaniem danej płaszczyzny. Ażeby wyznaczyć odległość punktu P(f, y, £) od danej płaszczyzny,

wykreślmy najpierw z punktu P prostą PM w dowolnym kierunku, określonym przez kąty A, y, v, i oznaczmy przez x, y, 0, spółrzędne punktu M, w którym ta prosta przebija daną płaszczyznę, przez d zaś odległość PM, punktu P od płaszczyzny, mierzoną w kierunku A, y, v,

.1

Fig. 209.

natenczas otrzymamy :

x=Ç-\- d cos A, y=rj-\-ó cos y, 0=t,Ą-ó cosv.

Skoro punkt M(x, y, 0) ma znajdować się na płaszczyźnie, to spółrzędne jego muszą czynić zadość równaniu płaszczyzny. Wstawiwszy powyższe wartości spółrzędnych (x, y, 0) punktu M w dane równanie płaszczyzny, otrzy-

mujemy następujące równanie warunkowe:

A(|-f-d cos A) + B(y+ó cos y) -bC(£+d cos^) + Z)=0,

z którego dostajemy wzór :

d=

A£+By-\-CÇ+-D

A cos A-\-B cos y+Ccos v

określający odległość punktu (£, rj, £), od płaszczyzny, mierzoną w kierunku A, p, v. Jeżeli ten kierunek jest kierunkiem pionu płaszczyzny, tedy jest:

COS i COS [X COSV

Va²+B²-\-C²

Odległość prostopadła punktu (x±, y1} zß), od płaszczyzny : Ax+By + Cz+D=0, przedstawia się przeto wzorem :

Axi +By₁ + Czi + D

V A²Ą-B²-\- C²

(1)

Jeżeli równanie płaszczyzny dane jest w formie normalnej : æcos J+y cos p+z cos v—p—0, natenczas szukana odległość wyrazi się wzorem :

<5=— (ætcos J+^eos y+^cos v—p).

A zatem: Wielomian (x cos J-j-y cos p+z cos v — p) równania normalnego płaszczyzny: æcosJ+y cospĄ-zcos v—p=0, przedstawia odległość jakiegokolwiek punktu P(x, y, z) przestrzeni od płaszczyzny. Jeżeli dany punkt znajduje się w początku układu, a więc xi=y{=zi = 0, natenczas odległość jego od płaszczyzny: x cos A-\-y cos^t + ^cos v—p=0 sprowadza się do wartości <5=—p. Wobec tego należy przy dodatniem p uważać odległość punktu początkowego od płaszczyzny, jako ujemną, a tern samem nadać także znak ujemny odległościom wszystkich tych punktów, które znajdują się po tej stronie płaszczyzny, co punkt początkowy, a znak dodatni punktom, znajdującym się po przeciwnej stronie, lub też przeciwnie. Punkta na płaszczyźnie położone mają widocznie d=0.

3. Punkt przebicia prostej z płaszczyzną. Prosta: x=az+a, y=bz + ß, ma z płaszczyzną: Ax-\-By-\-Cz-\-D=0, punkt wspólny, którego spółrzędne znajdziemy, rozwiązując powyższe trzy równania ze względu na trzy niewiadome x, y, z. Wyrugowawszy w tym celu x i y z danych równań, otrzymujemy równanie:

(10

A(az -f- <x) -f- B(bz -j- ß) -f- Cz -j- D=0,

z którego wypływa :

z=

Aa+Bß+D

a wskutek tego : x= —

a(Act-\-Bß-\-D)

Aa-\- Bb -j- C

(2)

AaĄ-Bb-\- C

y=

b(Aa-\-Bß-{-D)

ł-0-

Aa + Bb + C

Jeżeli Aa-\-Bb-\- (7—0, wówczas stają się wartości na x, y, z, nieskończenie wielkiemi, punkt przebicia prostej z płaszczyzną znajduje się wtedy w nieskończoności. Powiadamy tedy, że prosta jest równoległą do płaszczyzny.

Jeżeli zaś równocześnie sprawdzają się równania następujące:

Aa-\-Bb-\-C=0, Aa + Bß-ß D=0,

natenczas punkt przecięcia się prostej z płaszczyzną jest nieoznaczony.

Każdy punkt prostej może być w tym przypadku uważany za punkt przecięcia się prostej z płaszczyzną, to znaczy, prosta w całej swej rozciągłości leży na płaszczyźnie.

A zatem : Prosta ma z płaszczyzną jeden tylko punkt wspólny, (w skończo-ności, lub w nieskończoności), albo ma wszystkie punkta z nią wspólne.

W ostatnim przypadku prosta l leży na płaszczyźnie, równania : Aa-\-Bb-\-(2=0, Act-\-Bß-\~ D=0, przedstawiają więc wspólnie, konieczne i wystarczające w tym celu warunki.

(3)

Pierwsze równanie: AaABbA C=0, wypowiada, że w tym przypadku, dana prosta musi być równoległa do płaszczyzny, drugie równanie :

Aa 4 Bß + D = 0,

żąda, aby w tym przypadku, ślad prostej na płaszczyźnie XOY: t.j. punkt (a, /?, 0), leżał na równoimiennym śladzie: Ax-\-By ą-D=0, płaszczyzny:

AxA By A Cz4-D=0.

4. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny. Kątem nachylenia prostej do płaszczyzny, nazywamy kąt, który prosta tworzy z swym rzutem na tę płaszczyznę.

Jest on dopełnieniem kąta, który prosta tworzy z pionem płaszczyzny, (fig. 210.).

Niech będą dane równania symetryczne

*-Ç

prostej :

y—rj

i równanie płaszczyzny: AxABy 4 C^-f-D=0.    q

Oznaczmy przez A', y‘, v‘ kąty, które dana V prosta tworzy z osiami układu, a przez 2, y, v kąty, który pion płaszczyzny tworzy z osiami układu , wówczas mamy : cos A¹ cos y* cos v‘

-X

Fig. 210.

cos A cos y cos v

C    VA² AB² AC²

Vl²An²

Oznaczając przez © kąt nachylenia prostej do płaszczyzny, a przez (o jego dopełnienie, a więc w = 90°— ©, otrzymamy na podstawie wzorów : cos w = cos A cos A‘ 4 cos/c. cos ^' + cos v cos V*,

wzory następujące:

sin co=[(cos A cos y‘—cos A‘ cos ²+ &]*/*,

sin © =

Al 4- Bm + Cn

\/l²+m²+n² • VA²AB²A C²

(4)

cos © =

V(BI —Am)² 4 (Cm — Bn) ² 4 (An — Cl)²

VpAn^A n² • Va² 4 5²+C²

(5)

a stąd :

tang © =

AlABmA Cn

V(An-Cl)²A(Cm—Bn)²4 (BI-Ani)²

(6)

wzory, wyznaczające kąt ©, zawarty między prostą i płaszczyzną.

Z tych wzorów wypływa : (a) dla ©=0 warunek równoległości prostej :

y—n

(7)

do płaszczyzny: AxA By 4 CzA D—0, w postaci: AlABmA Cn=0,

(b) dla ©=90° warunek prostopadłości prostej do płaszczyzny w postaci:

(Bl-Am)²A(Cm—Bn)²A(An-Cl)²=0, której stanie się zadość, skoro będzie równocześnie :

Bl—Am=0, Cm—Bn=0, An=^Cl=0,

a więc :

(8)

A B C l m n

T. z. Prosta jest prostopadłą do płaszczyzny, skoro jej czynniki kierunkowe l, m, n są kolejno proporcyonalne do spółczynników A, B₁ C równania płaszczyzny, albo im równe.

Warunek ten jest zgodny z warunkiem, aby prosta była równoległa do pionu płaszczyzny.

5. Odległość prostej od płaszczyzny do niej równoległej. W przypadku równoległości prostej: x — az-\-a., y—bz-j— ß, do płaszczyzny: AxĄ ByCz -(-1> = 0, określonej warunkiem : Aa-\-Bb-\- C= 0, znajdziemy odległość tej prostej od tej płaszczyzny, wyznaczając odległość jakiegokolwiek punktu tej prostej od tej płaszczyzny. Obrawszy, jako taki punkt (a, ß, 0),

A cc -j- B ß -f- D

z warunkiem

ślad prostej na płaszczyźnie X0Y, otrzymamy wzór: 8

Aa-\-Bb-\-C—0, jako wzór, podający odległość prostej: x = az-\-a, ij=bz-\-$, od płaszczyzny: Ax-\- By -\- Cz    1)=0, do niej równoległej.

6. Krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn. Dwie płaszczyzny :

Ax-\-By-\- CzĄ- D=0 i A‘x-\- B‘y-\- Ce A -D'=0, mają punkta wspólne, położone na linii prostej, zwanej krawędzią przecięcia się dwu płaszczyzn, określonej dwoma jednoczesnemi równaniami:

(AxĄ-By j- Cz-f- D=0 I A'x-\-B'y+ C‘z-\-D‘ = 0’

które nazywamy też ogólnemi równaniami prostej w przestrzeni. Jeżeli z tych dwóch równań wyrugujemy jedną zmienną y, albo x, natenczas otrzymamy dwa równania kształtu :

(9)

(AB'-A'B)x + (CB‘-C'B)z+(DB'-D'B)=0,

(AB‘-A‘B)y + (AC'-A‘C)zA(AD‘-A'D)=0,

stąd równania zwyczajne krawędzi:

przyczem: a

BC'—B'C

AB'—A'B

x = az+a, y=bz + ß,

B, C I

B' C

CA‘ — C'A

(10)

A, B A\B‘

AB'—A'B

B,

B'

DA‘ —D'A

BD'-B'D

a~ AB'—A'B A, B A', B'

Każde z tych równań przedstawia związek między dwiema tylko spół-rzędnemi pnnktn (x, y, z), znajdującego się równocześnie na dwu danych płaszczyznach, a więc na ich krawędzi, czyli jest równaniem rzutu krawędzi na jedną z płaszczyzn spółrzędnycli.

Każde z powyższych równań, uważane jako równanie o trzech zmiennych, ■ przedstawia płaszczyznę. Każda z tych dwóch płaszczyzn przechodzi przez daną krawędź i jeden z jej rzutów, jest zatem płaszczyzn ą rzucającą krawędź na jedną z płaszczyzn spółrzędnych.

Z dwóch równań ogólnych linii prostej , z których każde przedstawia równanie płaszczyzny przez tę linię prostą przesuniętej , otrzymujemy więc równania płaszczyzn, przez tę linię prostą przechodzących, rzucających tę linię prostą na płaszczyzny spółrzędne, jeżeli z danych równań wyrugujemy kolejno jedną ze zmiennych spółrzędnych.

7. Z danych dwóch równań : Ax-\-By-\- CzĄ-D=0, A‘x-\-B‘y + C'z\D'—0: otrzymujemy równanie jakiejkolwiek płaszczyzny, przechodzącej przez linię prostą , danemi płaszczyznami określoną, w postaci równania :

(Ax -\-By-\-Cz-\-D)Ą- X{A‘x-f B'y + Cs + D')=0.

; ß=

AB'—A'B

hU

(U)

- 247

Równanie to jest bowiem, dla- wszelkiej wartości na A, równaniem stopnia pierwszego, ze względu na zmienne spółrzędne x, y, z, a więc przedstawia płaszczyznę, a że spółrzędne punktów, czyniące zadość równaniom : Ax + By-\- CzĄ- Z)=0 i A'x+B'y Ą- OzĄ- D‘— 0, spełniają także równanie:

(.Ax+ By-\-Cz + D) + A(A‘x 4- B‘y 4- C‘z+D')=0, więc równanie to przedstawia dowolną płaszczyznę, przechodzącą przez krawędź przecięcia danych dwu płaszczyzn.

371

Od wartości parametru A zależy położenie tej płaszczyzny ; ponieważ A przybierać może wszelkie wartości od — oo do +go, przeto istnieje go¹ płaszczyzn, przechodzących przez daną linię prostą. Wszystkie te płaszczyzny razem tworzą t. z. pęk płaszczyzn, a ich wspólną krawędź nazywamy osią pęku płaszczyzn, (fig. 211.).

Równanie :

Li

Fig. 211.

(Ax -f- By + Cz + D) + A(A‘x 4- B‘y -f Oz 4- D‘) = 0, przedstawia więc przy zmiennem A pęk płaszczyzn, przechodzących przez krawędź przecięcia dwu płaszczyzn, określonych równaniami :

Ax-rBy-\-Cz+- D=0 i A‘x-\-B‘y+ C‘z+ D‘=0.

Do płaszczyzn tego pęku należą także trzy płaszczyzny rzucające krawędź na poszczególne płaszczyzny spółrzędne.

Równania płaszczyzn rzucających , otrzymamy z równania pęku płaszczyzn, przyjąwszy A tak, aby spółczynnik przy jednej ze zmiennych spółrzęd-

^ albo A= —

nych stał się równy zeru, a więc, albo A= —

albo A — —

B"

W pierwszym przypadku otrzymamy płaszczyznę, rzucającą daną prostą na płaszczyznę YÔZ równolegle doo si X‘X, w drugim — płaszczyznę, rzucającą na pł. XOZ równolegle do osi YY‘, w trzecim — płaszczyznę, rzucającą na pł. XOYrównolegle do osi Z¹ Z.

C'

8. Kąt nachylenia dwu płaszczyzn. Kąt nachylenia dwu płaszczyzn, mierzymy kątem, zawartym między pionami tych płaszczyzn , (fig. 212.).

Niech będą więc: Ax + By -f Cz + D — 0 i AJx-\rB'y A Oz + D'—0 dane równania dwóch

płaszczyzn. Oznaczmy przez i, y, v i A‘,y\v‘ kąty, jakie piony tych płaszczyzn tworzą z osiami układu, a przez® kąt szukany; natenczas, ze względu na to, że:

cos ®=cos A cos A¹ fi- cos y cos ^u' + cos v cos v\ sin²©=(cos^cos<ił' — cos 2'cos y)-\--bCcos^cos v‘—cosy‘ cos^)² +

4~ (cos v cos A‘—cos v‘ cos A)²,

e:

■i

V.

-£

a przytem : cos A cos y

cos V

Fig. 212.

cos A‘

G V A²+B²+ C* cos y¹ cos v‘

B‘

otrzymamy :

V A/2+ B‘²+ 6"²

a zarazem:

AA+BB + CC

Va²+B²+C² V A¹*+&*+<?* '

V/(AB'-A'B^+iBO—B'C^+iCA'-CA)²

Va²+b²-\-c²Va¹² +Bi2+ C"²

cos ©=

sin © =

(12)

(18)

tan- *=V{A&-*BY+{BO--BlC)*+{CAl--CAy

AA+BB+CC¹

wzory na wyznaczenie kąta, zawartego między danemi dwiema płaszczyznami.

Na podstawie tych wzorów otrzymujemy: (a) dla ©=90°, warunek prostopadłości dwu płaszczyzn :

(14)

AA'Ą-BB'+CC'=0,

(ib) dla ©=0, warunek równoległości dwu płaszczyzn :

A ₌ B ₌ C A‘ ~ B' C"*

(IB)

05

Równania dwu płaszczyzn równoległych, mając więc odpowiednie spół-czynniki przy zmiennych x, y, z, do siebie proporcyonalne, dadzą się więc sprowadzić do postaci :

Ax+By-\-Cz-\-D=0 i Ax+By A- Cz+Z>‘=0, w których mają spółczynniki przy zmiennych x:y: 0, parami równe, a tylko wyrazy wolne D i D¹ od siebie różne.

9. Odległość dwu płaszczyzn równoległych. Mając dane dwie płaszczyzny równoległe, których równania dadzą się sprowadzić do postaci :

Ax+By + Cz+I)=0₁ Ax+By-\-C0 + D'==O^ znajdziemy ich odległość <5, jako różnicę odległości tych płaszczyzn od punktu początkowego 0, lub od dowolnego punktu przestrzeni. Otrzymujemy zatem na mocy wzoru podanego w art. 2. str. 243., wzór :

D—IJ

Va²+ B²-\- C2>

(17)

jako wzór na odległość dwu płaszczyzn równoległych, określonych równaniami ogólnemi. W przypadku równań normalnych :

x cos i + y cos y-\- & cos v—p=0, x cos A-\-y cos y Az cos v —p‘ —0, przedstawia się ten wzór w postaci :

ô = p‘ — p,

gdzie p i p‘ są to odległości owych płaszczyzn od początku układu.

(170

10. Wzór na odległość dwa prostych wichrowatych. Z wzoru na odległość dwu płaszczyzn równoległych, możemy wyprowadzić wzór na odległość dwu prostych wichrowatych :

x= a'0+a‘

y= b'z Aß

W tym celu przesuwamy przez prostą l płaszczyznę E, równoległą do prostej Z', a przez prostą V płaszczyznę E' równoległą do prostej l. Odległość tych dwu płaszczyzn będzie zarazem odległością obu prostych wichrowatych. Płaszczyzna E, przechodząca przez prostę l, otrzymuje równanie :

(x — az—a)—k(y — bz—/3)=0,

przyczem k znajdziemy z warunku równoległości płaszczyzny E do prostej l\

przedstawiającego się w postaci: a¹—Jeb¹—(a—Jcb) = 0. Warunek ten daje &=    ; równanie płaszczyzny E otrzymujemy więc w postaci:

(b—b‘) {x—az—a)—{a—a¹) (y—bz—ß)=0.

Podobnie znajdziemy równanie płaszczyzny E‘, przesuniętej przez V, równolegle do prostej l w postaci :

(b—b‘) (x—a'z—a^—ia—a¹) (y—b'z—ß‘)=0, a stąd odległość płaszczyzn równoległych E i E', otrzymuje wartość:

(18)

która jest zarazem wyrażeniem najkrótszej odległości danych dwu linij

prostych.

11. Trzy płaszczyzny, określone równaniami :

Ei =Aix-\-Eiy-\-Ciz-jrDi =0, E₂ =A₂x+B₂y -p C₂z+Z)₂=0, Di=Asx-\-B₂yĄ-CzzĄ-Dz=0,

mają punkt wspólny, którego spółrzędne znajdziemy, rozwiązując powyższe trzy równania podług niewiadomych x, y, z.

Kładąc :

A\ ? A? A

A₂ ? E₂, c^2

—D

17

= Z>

A?

A 7

1)

27

A7

A.<n

^3 7

ttibjbd

= A,

bbb

= 7)

2    -*^3 7

otrzymuj emy :

(19)

-A -A

’

jako spółrzędne punktu przecięcia trzech płaszczyzn.

Punkt ten znajduje się w skończoności, gdy 0; w nieskończoności zaś, gdyZ) = 0, a przytem X)j, J>₂, D₃, są różne od zera. Jeżeli obok D—0 jest także Dy—0, wówczas na mocy art. 23. str. 84., musi być także D₂ = 0 i 2>₃ =0 ; wartości na x, y, s przedstawiają się wtedy w postaci symbolu nieoznaczonego 5 ; punkta , leżące na płaszczyznach. 2£i i E2 znajdują się wtedy także na płaszczyźnie E₃, t. zn. trzy płaszczyzny dane przecinają się w tym przypadku podług jednej linii prostej, określonej równaniami któryehkolwiek dwu z nich.

A

Jeżeli przytem —

C .    A

= — , a więc także —

wito

wówczas trzy dane płasz-

J2 -®2

czyzny przecinają się podług prostej nieskończenie dalekiej, czyli są do siebie równoległe. Płaszczyzny te sprowadzają się w końcu do jednej płaszczyzny, jeżeli:

ä-

Ai: By: Cy:Dy — A₂: B₂: C₂ :T)₂ — A₃: B₃: C₃: D₃.

12. Cztery płaszczyzny, określone równaniami :

Ey = AyX -p Byy -)- CyZ -\-Dl = 0, E₂ = A₂x -p B₂y -p C₂z -p D₂ = 0,

E₃ = A₃x -p B₃y -p C₃z + D₃ — 0, Ey = AyX ~p ß₄y -p (\z -p Dy = 0, przechodzą przez jeden punkt, skoro spółrzędne x, y, z, wyznaczone z trzech równań, czynią także zadość czwartemu równaniu, co się stanie, skoro będzie :

Al, By, Cy , Dy

=0.

a₂, b₂, c₂, d₂

Az, B₃,    C₃,    D₃

Ai, By, C\, Dy I

ky Ey —p k₂ E₂ -p k₃E₃ -p ky Ey — 0.

W tym przypadku istnieją na mocy art. 24. str. 85. takie cztery spółczynniki kt, k₂, k₃, ky, że będzie:

- 250 —

13. Trójkąt na płaszczyźnie i jego rzut na inną płaszczyznę. Niech będą dane dwie płaszczyzny E i E‘, przecinające się podług prostej l; na płaszczyźnie 1? przyjmijmy trójkąt ABC i wyznaczmy jego rzut A'B'C na płaszczyznę E'.

fi'

dwa trójkąty ABD i ADC, na dwa trójkąty

Fig. 213.

trójkątów ABD i ADC ze

Między powierzchnią trójkąta ABC, a powierzchnią jego rzutu A'B'C' zachodzi osobliwszy związek, który znajdziemy w sposób następujący. Przeprowadźmy przez punkt A prostą AD równoległą do krawędzi l płaszczyzn E i E‘, natenczas jej rzut A‘D‘ na płaszczyznę E' będzie także równoległy do krawędzi 1, przyczem będzie A‘D‘=AD. Trójkąt ABC rozpada się na jego rzut A'B'C‘ również A'B'D' i A‘D‘C‘, które są rzutami trójkątów ABD i ADC. Oznaczmy przez h i w wysokości względu na wspólny bok AD, a przez h‘ i w' wysokości trójkątów A'B'D' i A'D'Cze względu na ich wspólny bok A'D‘, natenczas otrzymamy:

ABC=-- ABD + ADC= { ÄD(h + w),

A'B'C'=A'B‘D' + A'B'C' = \A'D' (h‘ +w'), skąd ze względu na to, że, A‘D‘=AD, otrzymamy:

ABC= \ ÀD(h+w), A'B'C = 1 AD(h‘

Ponieważ wysokości h i w, jakoteż h' i w' są prostopadłe do wspólnej krawędzi l płaszczyzn E i E‘, przeto kąt między niemi zawarty, przedstawia zarazem kąt co, zawarty między płaszczyznami E i E‘. Wobec tego jest h‘ = h. cos co, w‘=w .cos co, przeto A'B'C'= bADQiA- w) cos co, a więc:

A'B'C = ABC. cos co.

Mamy więc twierdzenie o rzutach trójkąta na płaszczyznę, analogicznie do twierdzenia o rzutach odcinka. Powierzchnia rzutu trójkąta na jakąkolwiek płaszczyznę równa się powierzchni trójkąta , pomnożonej przez cosinus kąta, zawartego między płaszczyzną trójkąta, a płaszczyzną rzutu.

Twierdzenie to możemy rozszerzyć do jakiejkolwiek zamkniętej figury

płaskiej F. Możemy ją bowiem stosownemi liniami podzielić kąty Ax, A₂,..., An. Rzut F‘ figury F widocznie sumą rzutów A\, A\, A‘

izzn

F‘=2 Ai, a że A'i—Ai. cos co, przyczem co przedstawia kąt między płaszczyzną

An, czyli

na same trój-na jakąkolwiek płaszczyznę E' będzie A'n trójkątów Ai, A₂, A

i—\

i—n

figury F, a płaszczyzną rzutową E', przeto otrzymujemy F' = 2 Ą-. cos co, zatem

i—1

(20)

F‘ = F. cos co.

14. Rzuty figury płaskiej na płaszczyzny spółrzędne. Niech będzie dana figura płaska F, położona na płaszczyźnie E =Ax-\- By + C0+ D= 0, która tworzy z płaszczyznami spółrzędnemi układu prostokątnego OXYZ kąty:

YZ), ß=-£(E, ZX), y^E, XY),

to miarą tych kątów są, jak wiemy, kąty zawarte między pionem p tej płaszczyzny, a osiami O X, O Y, OZ, układu, mianowicie: « = X.(Pj OX), ß='2L(p, CY),    OZ), określone stosunkami:

cos y

Va²YB² + C² ’

Rzućmy figurę płaską F kolejno na płaszczyzny spółrzędne XOY, XOZ, YOZ i oznaczmy jej rzuty przez F\ Fu, F“‘ natenczas otrzymujemy :

F‘“=Fcos a,

F"=F cos ß,

a stąd a że

przeto otrzymujemy relacyę :

F‘=F cos y,

F‘² + jF" ² + jP" ²=F² (cos²a + cos²/?-i-cos²y),

cos²a + cos²/?+cos²y=l,

F²=F‘² + F"²+F,u\

T. z. Kwadrat powierzchni, leżącej na pewnej płaszczyźnie równa się sumie kwadratów powierzchni jej rzutów na płaszczyzny spółrzędne układu prostokątnego.

15. Powierzchnia trójkąta w przestrzeni w spółrzędnych jego wierzchołków. Niech będą dane trzy punkta przestrzeni: A(xi, yi, zi ), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₂), tworzące trójkąt o powierzchni d, natenczas rzuty 4', 4", A“ tej powierzchni na płaszczyzny spółrzędne XOY, XOZ, FOZ będą wyznaczone

(21)

A/

wzorami :

^lj *l> ¹

^ — Y ^2 ł V21 ^    ^ “ 2 X2 ? ^2) 1    ^    ^ 5 Vïy Z₂ ł ^ *

y%l ^35 i

B”<

Tc

XZł 2/3 > ^

Na mocy art..poprzedniego będzie jednak : A²=A,2+A/l2+A‘“², przeto otrzymujemy:

xił V\ 1 1    ²    V\i    1    ²    ^1 ! ^1 j 1

4zi²= *^2 ? V^    d⁻    2/25    ^2? 1 d⁻    ^2? ^2? ^    •>

Z Z ł ^3! 1

i.

rc'

*®3? y zi 1

ysi z % ; 1

Fig. 214.

a stąd :

x\i Vu 1    2

•®2) ^2) ^

Z'zi y^i ^

*11 1 2

^2 > ^2 5    1

, ZC₃, 1

y u *i, 1 2

y₂»    1

2/3? ^3J 1

jako wzór na powierzchnię trójkąta, danego w spółrzędnych jego wierzchołków.

^*/A/

d~

d~

(22)

16. Objętość ostrosłupa, opartego na trójkącie w przestrzeni, a mającego przeciwległy wierzchołek w początku układu. Niech będą dane w przestrzeni trzy punkta A(xi, yu zt), B(x₂, y.₂₁ z₂), C(xs, ys, z₃), (fig. 215), natenczas płaszczyzna przesunięta przez te trzy punkta, otrzymuje równanie:

* , y , z, 1

x\ł y^i Z\i 1 __q

x2ł yz₂i 1 x3ł y z: z %) 1

z którego po rozwinięciu wyznacznika otrzymujemy :

x\ ,2/i,l

x y*łZ₂ł 1 —y x2łZ₂łl Y z x₂,y₂,l - x₂,y₂,z₂ =0,

XZ ł Z31 1

y\łZ 1,1

y^łZzł 1

albo

Vu*\A

X1, z,, 1

xzł y zł 1

xiłVu ¹

xi,yiłZi

xzłyzł z 3

x\łV\ł z i

x y^z^l Yy z.2:x.₂,l\ + z x₂,y₂,1|- x₂₎y₂,z₂ =0. y zł z zł 1

xz ł y zł 1

Odległość p początku układu od tej płaszczyzny będzie :

Zzłxzł 1

xzłyzł Zz

Fig. 215.

*“a &•

xił yu *i

x2ł y2ł z%

xzł y zł z %

Vu *11 1 y2? *%i i 2/s, *₃» ¹ i

*11 ®1, 1 ^2 J *^2 »    ^

*3» ^3» ¹

Wobec tego otrzymujemy objętość ostrosłup BAC, na podstawie wzoru:

gdzie :

2A=

•f"

So

^ w to ^

2/n 1 2/₂, 1 2/₃?

opartego na trójkącie

F=4,

, w postaci:

a:

I’

F=A i

6d

cl* J* i*

2/i

» 2/₂> j 2/₃?

skąd otrzymujemy:

B”'-

F=

2.8

xu yu ex x%i y2? *2 x?,i y37 ^3

(23)

C'o

[/.

wzór na objętość czworościanu, którego podstawą jest trójkąt A(xit yu ^), B(x₂, y₂, z₂), #₃), a wierzchołkiem początek układu

C(x 3

o **

0(0, 0, ).

'B

Fig. 216.

17. Uwzględniając, że w równaniu ogólnem : Ax -\-By-\- Cz -\-D = 0, płaszczyzny, przechodzącej przez trzy punkta (xi, yt, z^)-, (#₂> Vh ^2) i ixzi 2/3» ^3)» spółczynniki wyrażają się

B = 2A",

wzorami :

C = 2A',

;1 = 2A'",

otrzymujemy po wstawieniu tych wartości relacyę :

d=-gv,

- 2A"';r -j- 2A"«/ -j- 2A'2 — 6 U.

Ponieważ zaś iloczyn cc.A'" jest równy potrójnej objętości ostrosłupa, którego podstawą jest rzut A"' trójkąta A na płaszczyznę YOZ, a wierzchołek znajduje się w dowolnym punkcie x, y, z, płaszczyzny trójkąta, przeto kładąc a3.A'"=3F3, analogicznie y. A"=3F₂, « . A'= 3Fi, otrzymujemy wzór :

F-ł-r₂+r₃=r.

T. z. Gdy przez wierzchołek czworościanu OABC poprowadzimy trzy płaszczyzny do siebie prostopadłe i rzucimy na nie podstawę ABC tegoż czworościanu, to objętość jego równa się sumie objętości trzech czworościanów, które mają za podstatvy trzy rzuty A", A'", a jako wierzchołek dowolny punkt tej podstawy.

18. Objętość dowolnego czworościanu. Niech będzie teraz dany dowolny czworościan o wierzchołkach A(x2l yu ^), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, ys, #₃), B(xk, y₄, #₄) natenczas, przenosząc początek układu do punktu Z)(æ₄, y₄, #₄) i niezmieniając kierunków osi, otrzymamy spółrzędne wierzchołków A, B, C, odnośnie do nowego układu DX‘Y‘Z‘ w postaci:

2/'i=2/i—2/4;    Ä'i^i-04,

2/<2=2/₂—2/4» *\=*₂-*k,

*\=*2 —*A•

Wskutek tego przedstawi się objętość F czworościanu BABĆ (lig. 217) za pomocą wzoru :

#₄, y\ ytii %    ^4

^2 ^4? y2 2/4» ^2 ^4 •

^3—^4» 2/3—2/4» *3“ *4 Przekształciwszy otrzymany wyznacznik trzeciego rzędu rzędu czwartego, otrzymamy :

/y»l /y» /V»

1 —•"l    v(/4»

/y»* AC _rf>

x 2    **/4»

y3 =2/3 —2/4»

*'1, 2/<u

^Ve *'2» y‘21 *‘2

x‘zi 2/ł₃, ^3

F=V

1,    (£4,

0, x4 Æ4? 2/1 2/4» ^1 ^4?

o, ^2 ^4? y2 2/4» ^2 ^4»

0» *₃—*₄, y3-2/4» «3—■*4»

2/4

^4»

i.

v:’

vT

Fig. 217.

na

wyznacznik

— 258 —

skąd, pozostawiając pierwszy wiersz niezmieniony, a dodając jego elementa kolejno do elementów drugiego, trzeciego i czwartego wiersza, otrzymujemy:

1) A) Vk ) A

1, Xy, yy, ty 1) «2» 2/2) *2 1) A) 2/3) A

r-¹/«

=¹/<

1) X\l 2/l ) A 1) *®2J ^2) A 1) A) 2/3) % 1) A) 2/41 A

czyli

r«¹/«

xu yi'i a? 1 ) 2/2) A) 1 •A) y3) A) ^ *A> y u A) ^

(24)

jako wzór na objętość czworościanu, którego wierzchołki są dane za pomocą spółrzędnych (x1} yi: ^), (a?₂, y₂, *₂), (æ₃, y₃, *₃), («4, 3/4, A)-

19. Gdy dane są równania czterech płaszczyzn, tworzących cztery ściany czworościanu

jako to :

£t=A* -\-Byy -\-CyZ + Dy = 0, E₂—A₂x -\-B₂y -j- C₂z Ą-D₂— 0,

E3—A3X +A2/ -f- C₂z -j-A— 0,

-£4 =Ayx -\-B^y -p Az -pl>4= 0,

natenczas oznaczając przez Xy, yx, zt, spółrzędne punktu przecięcia płaszczyzn E₂, £3, £4, przez x₂, y₂, z2:— płaszczyzn £t, £₃, £₄, przez x₃, y₃, 2₃—płaszczyzn £1: £₂, £4, a przez a?₄,y₄,«₄ — płaszczyzn £t, £₂, £₃ otrzymamy:

«1

Ï2_.

a2--jr

2/2=-*-

*i=-v 2/1

„ a3 _ x3-~g"~) 2/3-

gdzie oc, ßf, yf, 8f są minorami elementów A) £■, A> Ib wyznacznika :

, A, a , A, A > A > A , A, A

Objętość F czworościanu, którego wierzchołki Pź, (i =1,2, 3, 4), mają spółrzędne x^ yf, z%

81’

83’

Ai,

x₄=

8₄’

84’

I) =

A₂

A3,

Ai,

b b b ba

4-' W ti ^

wyraża się według art. poprzedniego wzorem :

82

84 ’

*1» *n 1 *2) 2/2) «2) 1 *3» 2/3) «3) ¹ ’

*^4) 2/4) ^4) 1

skąd, podstawiwszy powyżej podane wartości na x{, yt, z{, (i =1, 2, 3, 4), otrzymamy :

v==ik

au ßu Tu 84 a2) ?2) Ï2) 8₂

a3) ?3) Ï3) °3 *4) ?4) Ï4) 84

Analogicznie do wzoru art. 21 str.

ßu 8t

ß*2 )

ßi)

r-t S^l 03

82

83

84

Al, By, Cy, Ai, A) A) A3, A) A) A ) A ) Ci,

bbbb

przeto otrzymujemy :

czyli

25)

A\, A) Ci

Ai, A) A

Ji: A) C4

Au A) A A) A) A A4 ? A ? C4

wzór na objętość czworościanu, ograniczonego czterema płaszczyznami:

£t=Q, E₂= 0, #3=0, #4= 0.

A) A) A A) A) A Ai, A) A

Au

b b b

to to

Ćwiczenia XIX.

1) Znaleźć odległość punktu początkowego od płaszczyzny : -—|-    -J—— = 1.

ud u 0 uC

2)    Znaleźć odległość punktu (1, 2, 3) od płaszczyzny: x -j- 2y-\- 0z = 0.

3)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (a?j, ?/,, zt) i przez

prostą, określoną: (a) równaniami: x — az -f- a, y — bz    (b) równaniami;

Ax-\-By+ Cz-\-D = 0, A'x + B'y+ 0'z+D‘= 0.

4) Dowieść, (a), że warunki, pod któremi trzy płaszczyzny: A^x^-B^y -\~ Cxz Dx= 0, A₂x B₂y + C₂z 4~ D₂ = 0, A₂x -j- B₃y -J- C₃z A =0, przecinają się podług jednej linii prostej, można przedstawić w postaci:

-^3, AL₂ I

A) 1*2 I

-^3,    -^2

1>₃, I>₂

1*3, 1*2 1*3, 1*2 £4, C2 f 1*3, 1*2

(ft), że warunki, pod któremi te trzy płaszczyzny przecinają się podług prostych, równoległych , sprowadzają się do jednego równania warunkowego :

1*3, 1*1 1*3, 1*1 <4, Cl 1*3, 1*1

-I3, -li

1*3, A -I3, -ll

1*3, 1*1

^1, 1*1, C,

-I2, 1*2, Cj =0.

-I3, 1*3, C₃

5) Wyprowadzić równanie linii prostej, która przechodzi przez punkt (aą, yt, «j) i jest prostopadłą do płaszczyzny: Ax -f- By -f- Cz -f-1) = 0,

(5) Dowieść, że równanie płaszczyzny, która przechodzi przez prostą , określoną równaniami : Ax -j- By-\- Cz -{- D—0, A‘x -f- B'y -(- Cz -J- D' .= 0 i jest prostopadłą do płaszczyzny: A‘'x-\- B“y -j- C“z -\-D" = 0, przedstawia się w postaci:

(A'A" 4 BU" -\-C'C") (Ax 4- By 4- Cz+ D)-(AA"+ liii¹¹ + CC") (A'x+B'y 4- C'z+I)')=0.

1) Dowieść, że spółrzędne (x, y, z) punktu, w którym prosta , przechodząca przez punkt {x‘, y', z') prostopadle do płaszczyzny : .da? -f- By -f- Cfe = 0, przebija tę płaszczyznę, wyrażają się za pomocą wzorów:

B(Ax‘ + By‘ + Cz‘-\- D) _    ^    0(Ax‘+By'+Cz'+D)

A² -f B² 4- Ti² ’    A²Ą-B²+C²

8)    Przez punkt (x', y‘, z') przeprowadzić płaszczyznę , prostopadłą do prostej :

x = az -f a, y = bz -J- ß.

9)    Dowieść, że spółrzędne punktu, w którym płaszczyzna, przesunięta przez punkt (a:', y‘, z') prostopadle do prostej : x = az-j- a, y — bz -j-ß, przebija tę linię prostą , wyrażają się za pomocą wzorów :

_ A(Ax‘ 4- By' 4- Cz‘ -\-D)

a²-\-b²+c²    ’ J J

X = x‘ 4“

ab(y'—bz'—ß)—(è²4~l) (#'—az'—<*)

a²4- &²4- 1

, y=v‘ 4

ab(x‘—az'—a)—(a²-j- 1) (y'—bz'—ß) a² 4- b² 4-1

a{x'—az'~ a) 4- b{y‘—bz'—ß)

a² 4- b²-f- 1

z = z' 4

10)    Wykazać, że wspólna prostopadła do linii prostych: l(x = az-\-a, y = bz4-ß) i l'(x= a'zĄ- a', y = b'z-\-$'), wyraża się zapomocą równań:

(o—a') (x—az—a) 4~(ó—b') (y—bz—§) -f- {ab'—ba')[b(x—a)—a(y— ß)] = 0,

{a'—a) (x—a'z—a.') 4- (b'—b) {y—b'z—ß') 4“ (ab'—b'a) \b'(x—a')—a'{y—ß')] =0.

11)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, które od płaszczyzny: Ax-\-By-\-CzĄ-D—0 mają odległość d.

a pionem

•    x y z

12)    Znaleźć cosinus kąta, zawartego między linią prostą : — = — = —-

= 1.

płaszczyzny :--[-    4“ ~

13)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez początek układu i przez krawędź przecięcia się płaszczyzn: Ax-\-By-\- Cz-{- D—0 i A'x -f B'y -f- Cz -f- J)' — 0.

14) Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez dwie proste równoległe :

x—a'    y—b' z-c'

15) Wykazać, źe skoro trzy linie proste :

x _ y_ z x _ y _ z

T⁼⁼T⁼⁼T’    ⁼ b\~~ c²ę ’ l

znajdują się na jednej płaszczyźnie, wówczas zachodzi równanie warunkowe:

-L(J2_c3) Ą. — (c2—a2) Ą.    Ô²) = 0.

16) Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez dwie , w punkcie (a, b, c)

z—c x—a    y—b z—c

~n~’’ ~lr~ _

x—a y— b

n‘

przecinające się, proste: —-— —    ■ =

17)    Przez ślad płaszczyzny E(Ax -\-By -j- Cz-\-D=0) na płaszczyźnie XO Y przesunąć płaszczyznę prostopadłą do tejże płaszczyzny E.

18)    Przez punkt (a, ź>, c) przeprowadzić płaszczyznę, prostopadłą do krawędzi przecięcia się płaszczyzn : Ax -j- By -J- Oz -f- D = 0 i A'x-\- B'y Cz D‘ = 0.

19)    Dane są dwie płaszczyzny: Ax -j- By -J- Oz -f D = 0 i A‘x -j- B'y C‘z -j- D' = 0 ; znaleźć odległość punktu początkowego od dwu płaszczyzn, które przechodzą przez krawędź przecięcia obu danych płaszczyzn, dzieląc kąty między niemi zawarte na dwie równe części.

20)    Daną jest płaszczyzna: Ax-\-ByCz = 0, wyprowadzić równania prostej, która znajduje się na tejże płaszczyźnie i dzieli kąty, zawarte między śladami pionowym Ev (na pł. XOZ) i bocznym Ek (na pł. YOZ) tej płaszczyzny na dwie równe części.

Bozwiązania XIX. 1) p = 2abc / V/«²i²-f- i² c²-f- e² a² . 2) \/14.

8) (a) (<r — az — *)(yt— bzx — ß) —(a?t — azx — a) (y — bz— ß), (6) (Ax + By -f Cz + DXA'xx + B'yr +

y—yi,

C'zi+D‘)=(A‘xJrB'y+ C'z + &){Axl + Byl+ Czt + D). 5)

8) a(x— x‘)    b{y—y') -j- (z — z‘) = 0, 11) Dwie płaszczyzny równoległe : Ax -f- By -f- Cz D =

=±d\/ A^Ą-B^+C*. 12)

z — zx

COS O)

V o² -f- b² -\-c²

Va²⁺P ⁺ T²

13) D'(Ax + By + Cz) =

= D(A'x -f- B‘y C z).    14) [m(c— c‘) — n(b —b')\(x — a) + [n(a — a') — l (c — c')] (y — b) -f-

■\-[l(b—b‘)—m(a—«')](?— c) = 0. 16) (mn‘—m'n)(x—a) -j- (nl‘—n‘l)(y— b)-\-(lm‘—l‘m)(z — c)=0.

17) Ax -f- By —

A²-f JS²

19)

z = Z>. 18) {BC—B‘C){x—a)-\-{CAt-CA)(jy—b)+(AB‘—A'B){z—<?)=0. D—D'

V/2(AA'+ BBr+~CC‘ + 1) ’ V/2(l— AA'— BB‘— CC)

(.Ax + By + Cz= 0, x Y/ÄM- C ² = ± y V-\- <7²).

n+D¹

. 20) Dwie proste :

Literatura. J. Bonne 1. Note sur la ligne droite et le plan. Lyon 1890. A. Calinou. Introduction à la Geometrie des espaces à trois dimensions, Paris 1891. H. Faraguet. Théorie analytique du plan et de la ligne droite dans l’espace. Paris 1854.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zagadnienia o punktach szczególnych trójkąta w przestrzeni, określonego , jako przekrój płaski układu trzech płaszczyzn do siebie prostopadłych.

2.    Warunki wzajemnej prostopadłości trzech kierunków w przestrzeni.

Wykład XX.

Wyznaczanie wzajemnego położenia punktów, linij prostych i płaszczyzn, odniesionych do układu

ukośnokątnego.

1. Zestawienie ważniejszych wzorów w układzie prostokątnym. Punkt P(x, y, z), odniesiony do układu prostokątnego, ma od początku układu odległość :

r =Y/ac² y² + z\

i wskazuje na kierunek (X, jx, v), którego dostawy kierunkowe określają się wzorami :

COS [X

cos X

COS V

(1)

a?

Prosta

\x= az -j- a \y = Iz + ß

\/æ² + y² -j- 3²

(2)

ma na płaszczyźnie XOY ślad H(a., ß, 0) i tworzy z osiami OX,

OY, OZ, układu prostokątnego kąty X, u, v, których dostawy kierunkowe otrzymujemy z wzorów :

cos X

COS [X

COS V

V/a² + fe²+1*

(3)

Płaszczyzna E = Ax -\-By -\-Cz -\-D — 0, wyznacza na osiach układu odcinki:

a —■

b=—

j9 ’

(4)

jej pion, wyprowadzony z początku układu, ma kierunek X, fx, v i długość p, określone wzorami :

CosX

COS [X

COS v

—JJ

V/-/l²+7i²-fC²*

(5)

Dwa punkta Pt(xt, yx, zY) i P₂(a;₂, y₂, z%) mają odległość:

=\/(aîj —a?!)² -j- (y/₂-yx )² -f fa—ą )²,

(3)

i wyznaczają kierunek X, [x, v, o dostawach : cos X

COS [X

COS V

a?₂— Xi

2/2—Z/l

s2 «i    V/(a?₂— a^)² + (?/₂— 2/i)² + («2-^i)²

= az a

y ==    -j- ß

Punkt P(£, 7), Ç) i prosta

s _    (q-&Ç-P)² 4- fftff^KCTfr-ß)!²

mają odległość prostokątną:

co

i wyznaczają płaszczyznę :

V/a² + &² +1

(8)

COS O) =

0)—K—ß) (a?—az—a)—(£—aÇ— a) (y/—ß) = 0.

Dwie proste    ß 1    = ß/ tworzą kąt w, który wyznacza się z wzorów:

V(a—a'Ÿ Ą- (b—&')²-f- (ab'— a'bŸ

Y/«r+>>²+iV/«'² + &'²-}-i

y/a² + />2 -f 1\/V2 + &'2₊₁’

sin w

(9)

» (10)

i mają odległość prostokątną :

(b—b') (a — x')—(a—«)(ß—-ß')

V {u—«')²-f- (& —£*')²-j- (ab'—a'b)²

Punkt P(Ę, rj, Ç) i płaszczyzna P = Ax -{-ByĄ-Cz -\-D = 0, mają odległość prostokątną:

Aï+Bn+cn+D

Va²-\-B² + C² *

Prosta ^    ß i płaszczyzna P = Ax -f- By Ą- Cz -f- I) = 0, tworzą kąt 0, który

(U)

(12)

wyznacza się wzorami: sin 0 =

Aa+Bb + C

V/«"²’+^²+lV/^²+-B² + C² ’

Aa +Pß +B AaĄ-Bb + C '

cos 0 =

V(Ab-Ba)² + {B—bC)²-\-{A-aC)²

Vu² + bl +iVa² +b² +i

i mają punkt wspólny: z—-

Dwie płaszczyzny : E = Ax Ą-By ~\~Cz -\-D = 0 i I'E A'xĄ-B‘y\-Cz -j-Z>'= 0, przecinają się podług linii prostej :

(13)

A (.AB‘-A,B)x (CB‘ -CB)z -f (DB‘—D‘B) = 0, \ (ABl—A'B)y + (AC—A'C)z-\- {aD‘—A‘D)=0,

i tworzą kąt w, wyznaczony wzorami :

AA+BB'+CC¹

__V(AB'—A'B)² + &

V^* +B*-{-C²V^l/2 +B'²    *

2. Punkt, prosta i płaszczyzna, odniesione do układu ukośnokątnego. Odnośnie do układu ukośnokątnego oznaczamy punkt P przestrzeni za pomocą spółrzędnych x, y, z, podających odległości punktu P od trzech płaszczyzn spółrzędnych , mierzone w kierunku osi układu (fig. 218).

Prosta, przeprowadzona przez punkt P(Ę, tj, £), w kierunku X, p., v, otrzymuje równanie symetryczne:

y—n

COS W

VAL²-\-B²C²\/A‘² -j-JS'² -\-C‘2 9

sin w =

(14)

•z

Qt

ił

p,

gdzie, w myśl §.21 str. 216, l—co§X, m= cogjr, w=co§v, są t. z. czynniki kierunkowe linii prostej.

Płaszczyzna w przestrzeni, której równanie, odniesione do układu prostokątnego, jest w myśl art. 4 str. 219 zawsze stopnia pierwszego, otrzymuje w odniesieniu do jakiegokolwiek układu ukośnokątnego na mocy wzorów transformacyjnych art. 8 str. 40 także równanie stopnia pierwszego w postaci ogólnej :

Ax -f By + Cz Ą-I) — 0,

z której podobnie, jak w układzie prostokątnym rozmaite inne formy szczególne wyprowadzić możemy.

W szczególności otrzymamy z formy odcinkowej (fig. 219) równania : x

Y'

Fig. 218.

0'

równanie normalne płaszczyzny :

x cos X -f- y cos p. -j- z cos v—p = 0, gdzie X, v, przedstawiają kąty, jakie pion tej płaszczyzny tworzy z osiami układu (a, ß, y), a p długość tego pionu , przyczem związek między spółczynnikami równania normalnego, a równania ogólnego, określają tu, po zastosowaniu relacyi art. 34 str. 36, stosunki : cosX

y/B

GL

-x

COS [j.

COS V

Fig. 219.

-D

Vcos² X sin² a -|- 2 cos ja cos v (cos ß cos y—cos a) -j- &

VAl sin² a -J- 2 BC (cos ß cos y—cos a) + &

V1—cos² a—cos² ß—cos² y fi- 2 cos a cos ß cos y

VA sin² a -f- 2BC(cos ß cos y—cos a) -f &

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

17

— 268 -

skąd, kładąc 1 cos² a—cos²ß—cos² y -}- 2 cos a cos ß cos y = M, otrzymujemy:

aVW_

\/A sin² a -f- 2 BO (cos ß cos y—cos a) -|- & ’

BVW_

VA sin² a -f- 2BC (cos ß cos y—cos a) -j- &

_cVW

VA sin² a -f- 2 BC (cos ß cos y—cos a) -f &

3.    Zagadnienia o wzajemnem położeniu punktów, linij prostych i płaszczyzn, odniesionych do układu ukośnokątnego (a, ß, y), mogą być rozwiązane przy pomocy odpowiednich wzorów dla układu prostokątnego, zestawionych w art. 1. str. 256., jeżeli dane spółrzędne, względnie równania, odniesione do pewnego układu ukośnokątnego (a, /?, y), przerobimy na spółrzędne, względnie równania, odniesione do dowolnie przyjętego układu prostokątnego (fig. 220),

pomocą dotyczących wzorów transformacyjnych, podanych w art. 8 str. 40 w postaci: x=x'cosA₁ -+-y'cosA₂+z'cosA₃, y=x'cos^ -f y'cos/i₂ +z'cosy31 z=x‘cosvi +y‘cosv₂+z‘cosv31 gdzie kąty (ż1; vx), (i₂, fi₂, v₂), (ż₃, fi₃, v₃), wskazują kierunki trzech osi układu ukośnokątnego względem przyjętego układu prostokątnego.

Możemy jednak zagadnienia tego rodzaju rozwiązywać także bez trans-formacyi, wprost w danym układzie ukośnokątnym, a zarazem wyprowadzić wzory, cechujące wzajemne położenie elementów przestrzeni, odniesionych do pewnego układu ukośnokątnego.

Dotyczące wzory otrzymują kształty, przypominające odpowiednie wzory w układzie prostokątnym, jeżeli użyjemy znakowania, wprowadzonego u nas przed trzydziestu kilku laty przez ś. p. Wawrzyńca Żmurki, profesora akademii technicznej we Lwowie.

4.    Znakowania Żmurki. Niech będzie dany punkt P o spółrzędnych oj, y, z, odniesionych do układu ukośnokątnego o kątach osiowych a, /?, y, a promień jego OP=r₁ niech tworzy z osiami kąty i, fi, v i niech wyznacza na tychże osiach rzuty prostokątne x‘, y\ z\ natenczas na podstawie teoryi rzutów otrzymujemy w myśl art. 24 str. 32 następujące relacye :

x‘=r cos ż=#-i-y cosy4-£cos ß?

y‘=r cos y=xcos y Ą-y z cos a, z‘=r cos v=xcos ß-\-y cosa + z.

Otóż jedno ze znakowań Żmurki polega na tern, że utworzywszy z trzech jakichkolwiek liczb a, b, c, wyrażenia kształtu:

a 4- b cos y \-c cos/?, acos y-f ó-f c cos a, a cos ß-\-b cos a + c,

cos X =

COS [X =

cos v =

Z’

za

Fig. 220.

(«)

zaznacza się te wyrażenia kolejno znakami a, b, c, ujętemi w nawiasy gra-niaste-przerywane kształtu

pisząc :

a-f-ôcosy + ccos/?=[ttj, «cos y-fi 6 + ccos a=[b], acos ß+bcosa + c=[c]. Wprowadzając to znakowanie, otrzymujemy powyższe wzory w postaci : xl—r cos À—[x], y‘=r cos fi=[y], z*=rcosv=[z].

(«')

y‘ ₌ T y1

r l r J

Wprowadzając w myśl art. 30. str. 35. określenia:

~ = C0§A, -^- = C0èfl, -~- = COê V,

x'

a stąd:    cosÀ =—

₌ r*_i

r L r J’

cos fi —

Z¹

cechujące t. z. dostawy ukośnokątne kierunku (A, rj, v), które Żmurko oznaczał przez Tcy, Jcz, otrzymujemy z powyższych wzory:

COS^ = [C0§^, COS [l = [C0§> fi], COS^ = [CO§^J, jako wzory, określające związek między dostawami prostokątnemi cos/l, cos fi, cosv, a ukośnokątnemi co§^, co8[i, coś kierunku (i, fi, v) w przestrzeni.

Z relacyi («) otrzymujemy na odwrót spółrzędne x: y, z, punktu P, wyrażone przez rzuty prostokątne x\ y‘: z‘ promienia OP^r, w postaci wzorów :

1 , x‘, cos/3 cosy, y', cos a cos/3, z',    1

^    1 , cos y, cos ß

cos y, 1 , cos« cos /3, cos a, 1

(a")

x¹, cos y, cos/3 y\ 1 , cos «

_ z', cos «,    1

1 , cos y, cos ß cos y, 1 , cos « cos /3, cos «, 1

Kładąc za przykładem Zmurki : cos«—cos/3cosy=J., cosß—cos ycos« = Z3, cos y—cos acosß=*C, i, oznaczając wyznacznik stojący w mianownikach tych wyrażeń przez M, a więc:

M= 1—cos²«—cos²/3—cos²y+2 cos « cos ß cos y=sin²«— C cos y—_Z3 cos ß=

= sin²/3—cos a—Ccos y=sin²y—B cos /3—A cos «, otrzymujemy powyższe wzory w postaci:

P. sin² a—y‘. C—z¹. B

z=

1, cos y, X1 cos y, 1 cos /3, cos «, z‘

y‘

1 , cosy, cos/3 cos y, 1 , cos a cosß, cos«, 1

(b)

x=

y=

y'.sin²/3—z'.A—x'. G

P.sin²y—x'.B—y'.A

Otóż Żmurko wprowadza tu

nowe znakowanie, które polega na tern, że, utworzywszy z trzech jakichkolwiek liczb «, &, c, wyrażenia kształtu:

«.sin²«—b . C—c. B, b sin² ß—c . A—a . (7, c sin²y—a . P—& . A, zaznacza się te wyrażenia kolejno znakami «, b, c, ujętemi w nawiasy okrągłe — przerywane, kształtu :

« .sin²«—b . C — c . P—(«),    &. sin²/3— c. A — « . C={b),

f NU

?n ;

pisząc :

c . sin² y -« . B — b.A=(c). Wprowadzając te znakowania, otrzymujemy wzory (&) w postaci:

(*/')

.M ’ y M

z=

(p;

(&')

a stąd:

(x‘\

(y,\

(z'\

x \r) y \r) z \r)

czyli :

coś A=

(cos A)

(cos fi)

U - C0M= M

COŚ V = —

(cos v)

(&")

wzory, wyznaczające dostawy ukośnokątne: coêA, coś,«, coê kierunku A,fi,v, odniesionego do układu («, /3, y), przez dostawy prostokątne cos A, cos fi, Uwaga. Symbole Żmurki mają tę własność prostokątnego «=/3=y=90°, wobec cos «=cos /3=cos y-=0, J.=P=C=0, .M=l, staje się («] = «, («) = «, a więc nawiasy przerywane po prostu znikają.

cos v.

że w przypadku układu

5. Wzory /murki , cechujące położenie punktu w przestrzeni względem układu ukośno-kątnego (a, ß, y), przedstawiają się wobec przyjętego znakowania w sposób następujący: Punkt P(x, y, z) ma od początku układu odległość r, określoną wzorem :

r — x cos X -J- y cos p -)- z cos v,

który prowadzi do wzorów następujących:

>'²= x[x] + y[y) + <*], a więc r = \/x[x] + y[y] + s{z],

(1)

(10

wzoru, wyrażającego r przez x, y, z)

(2)

r² = xx‘ yy‘ -j- zz',

czyli :

«+*/' [y') +<«

V/« + y' [ÿ) + g' (gQ

(1")

, a więc r

wzoru, wyznaczającego r przez rzuty prostokątne x‘, ?/, 2' promienia r.

Kąty X, [a, v, jakie promień OP = r punktu P(x, y, z) tworzy z osiami układu (a, ß, y), określają się więc w symbolach Żmurki następującemi wzorami:

Vm

cos X ==

lub

cosX

Vx[x]+ & x‘\/M

COS [A

[y]

Vx[*] + &

cos v ==

Y/« + &

COS p

y Vm

COS V

\/x[x]+&

z‘\/M

Vx' y)-\- &

W)

tudzież :

coë X

a?

coë p

Vx [x] + &

coë v —

\/x[x] + &

y) y/m

\/x‘[x‘) -J- &’

przyczem związek, zachodzący między kątami X, p, v, otrzymuje kształty:

coë X cos X-J- coë pcos p-f- coëv cos v = 1, coëX [coëX]-{- coë {j. [coê p] -f- coëv [cos v] = 1.

cos X (cos X) -f cos [j. (cos p( -{-cos v (cos v) = M, coê²Xcoë²p -f- coë² v -{- 2 coë Xcoë [Acosy-f- 2 coë p coë v cos a -{- 2 coë v coë X cos ß = 1. cos² X sin² a -j- cos² p sin²ß -{- cos² v sin²y -j-2 yt cos p cos v -f 2k cos v cos X -J- 2 C cosX cos [a = M wzory, które w przypadku układu prostokątnego sprowadzają się do postaci:

cos²X -{-cos² p -)- cos²v — 1.

\/ x[x)-\- &

lub

ooë X

coë [a =-

[y)\/m

Vx'[x‘) -{- &

coë v =

V(iX') -j- &

(2")

(2"0

kształtu :

6. Linia prosta, określona równaniami symetrycznemi, odniesionemi do układu (a, ß, yj,

y — f\

z-X

przechodzi przez punkt Ç, rj, Ç i tworzy z osiami układu (a, ß, y) kąty X, p, v, określone stosunkami :

coë X

coë ja_coëv y/coë X [coë X(-(-&

Vi[i\ + &

V l [fj    n[n]

(30

skąd otrzymujemy dostawy ukośnokątne :

coëX =

Vlft + A ’

a wskutek tego dostawy prostokątne:

coë [a =

Vi[r,+&

coë v

(40

cos X =

rr

L_J

(4‘0

cos v =

COS [A

VI ‘

7. Płaszczyzna, określona równaniem: Ax By + Cz -f- D — 0, odniesionem do układu (a, ß, y), ma kierunek (X, p, v) i długość p pionu, określone stosunkami :

v l[l] + &

cosX COS |A COSV

V^cosX (cosX)

Vm

skąd otrzymujemy :

— D Va (.a) + &

cosX =

aVm

COS [A

bVm

cos v =

VA .1 -i /‘Il    ’

cVM

VKä) + &’ P~ VA[A)+&

I)V M

VA [A]    &

Wobec tego dostawy ukośnokątne tego kierunku określają się wzorami:

(50

coê X =

coê ja

[B)

Vm\/a{a) 4- &

COê v

[O)

VmVa:a)+&

(5")

VmVa{a) + &

8.    Wzory Żmurki, podające wzajemne położenie elementów przestrzeni. Na podstawie powyżej wprowadzonych symbolów Żmurki kształtu: (aj i [a], możemy wzory, określające wzajemne położenie elementów przestrzeni, odniesionych do układu ukośnokątnego (a, ß, y), przedstawić w formie, przypominającej odpowiednie wzory, podające wzajemne położenie elementów, odniesionych do układu prostokątnego, z których ważniejsze zostały zestawione w art. 1. niniejszego wykładu.

9.    Dwa punkta P(x, y, z) i P(x', y', z') mają odległość d, określoną na mocy wzorów (!') i (1"), art. 5., str. 260. wzorem :

d* = ( x-x‘) [x—x']-\-{y—y,)[y—y,)-\r{z—zl) [z—z'].

Kąt tu, zawarty między kierunkami X, p, v i X', p⁷, v⁷, odniesionemi do układu (a, ß, y) znajdziemy, na podstawie teoryi rzutów, na mocy figury 221. i w myśl wyjaśnień art. 11. sti\ 28., z układu równań:

(60

x -f- y cos y-j-zcosß = rcos X, x cos y -j- y z cos a = r cos p, a: cos ß -f- y cos a -(- z = r cos v, a; cos X' -\-y cos ja' -f- z cosv' = r cos tu, którym stanie się zadość, skoro będzie wyznacznik, utworzony ze spółczynników przy niewiadomych x, yi z, r, równy zeru, czyli skoro będzie:

1, cos y, cos ß, cos X cosy, 1 cos«, cos ja cos ß, cos a,

cosX⁷, COSp⁷, cos v', COS w

COS V

= 0,

skąd otrzymujemy :

M cos w = cos X (cos X⁷ sin²a-f Ccos ja⁷ -f- K cos v⁷) -\-+ cos p (cos [a⁷ sin² ß -)- A cos v⁷ 4- Ccos X⁷) -j-4~ cos v (cos v⁷ sin²y -f- Ii cos X⁷ A cos p‘), czyli, stosując symbole Żmurki, wzór:

Fig. 221.

Mcos w = cos X (cos X⁷) -f cos [a (cos p'( -|- cos v (cos v⁷(,

przeto :

cos tu =

cos X (cos X⁷) 4- cos [A (cos [A’( -j- cos v (cos v⁷)

en

* Wprowadzając dostawy ukośnokątne kierunków OP i OP\ otrzymujemy wzór: cos tu = cos X coêX⁷ + cos |a coê p⁷ -J- cos v coê v⁷, który możemy przedstawić także w następujący sposób :

cos w —. cos X⁷ coê X -f- cos ;a⁷ co8 p -f- cos v⁷ coê v, cos w — coê X (coê X⁷j -j- coê a (coê p⁷] 4~coê v Ie08 v'u cos tu = coê X⁷ (coëXj 4- coê [a⁷ (coê ja, + coê v⁷ (coê v].

(9")

(9"')

10. Z wzoru (9⁷), uwzględniając relacye (2'⁷⁷), tudzież (9"), otrzymujemy także : sin² tu = 1—(coê X cosX⁷ 4- coê p. cos p.' 4" coê v cos v')² = (coêXcos X 4- coê p. cos p 4" coê v cos v). .(coê X⁷ cos X⁷ 4- coê p⁷ cos p⁷ 4- coê v⁷ cos v⁷) — (coê X cos X⁷ 4- coê p cos p⁷ 4* coê v cos v⁷).

.(coê X⁷ cos X 4- coê p' cos p 4- coê v⁷ cos v),

skąd wypływa :

czyli w formie skróconej :

sin² tu =(coê Xcoê p'—coê X⁷ coê p) (cos X cosp⁷—cos X'cos p) 4~ +(co§ p coê v⁷—coê p⁷ coê v) (cos p cos v⁷—cos p⁷ cos v)-f-4* (coê v coê X⁷—coê V⁷ coê X) (cos V COS X⁷—COS V⁷ cos X),

albo :

a stąd:

sin² w — (coê X coê p⁷—coê X⁷ ceê p) (cos X cos p⁷— cos X⁷ cos p) 4~ &, coê X, coê p

coêX⁷, coêp⁷ ‘ cosX⁷, cosp⁷

sin² tu —

cos X, cos p

+ &,

sin tu

cos X, cos p

coê X, coê p coêX⁷, coêp⁷ ’ cosX⁷, cosp⁷

4-&.

(9⁷'")

11. Kierunek (X, p, v) prostopadły do dwóch kierunków (X', p', v') i (X", p", v"), odniesionych do układu ukośnokątnego (a, ß, y), jest wyznaczony równaniami :

cos X'(cos X) cos p'(cos p) + cos v'(cos v) =0, cos X"(cos X) cos p"(cos p) + cos v"(cos v) — 0,

z których otrzymujemy:

(cos X)

'cos V-)

(cos v)

COS X', COS p' I ’

cosX", COS p" I

COS p', COS V' |    , I COS v', COS X' I „    I COS X', COS p' Iß

COS p", cos v" |    ’    | cos v", COS X" I ’    I COS X", COS p" I ’

otrzymujemy powyższe stosunki w postaci :

(cosX) _ (cos p) _ (cosv)

cos p', cos v' cos p", cos v"

cos v', cos X' cos v", cos X"

Kładąc :

k,

a więc: a, że:

przeto mamy :

(cos k) — M co$ X,

(cos X} = kA: (cos p) = kB, (cosv) = fc(7 (cos p) = M coS p,

C08p=—-B,

— ił

Jłf

(cos v) = Mco§ v,

co§ v =

a więc

:«8,,;=4lĄ

Ze względu na to, że na mocy wzoru (2") jest:

coS X (coê X] -f co§ p [co8 p] + coë v [co§ vj =1,

rLco8 Xj

^ rn Jlf L J’

(co8 Vj

— C M

^ r /"r

M L°

przeto mamy :

k'¹

i=jp(A^)+KV'AC[c^ otrzymujemy więc wzory :

a więc k =

Va[A)+B[B)ą-0[0)

V/A[A]+B[B]+C[C)’

\/A[A]+B[B]+C[C]

VA[A)+B[B]+C[C]

a zarazem :

cos X

r a¹

iA i

VA[A] +B[B] +C[C)

cosp=

cosv=

[C]

V/ A[A] +B[B) +0[0)

jako wzory na wyznaczenie kierunku (X, p, v), prostopadłego do dwóch kierunków (X', p', v')

VA[A) +B[B) -\-C\C\

i (X", P", V").

12. Kąt nachylenia w dwu prostych :

y—n

x—l

z-X,

Z-V

m'

n‘ ’

wyznaczymy na mocy (9') i (9") wobec relacyi (3') za pomocą wzorów :

l\V) -j- mim') -f- n[n‘)

cos W =

l'[l) + m‘[m)    n'[n)

(1O0

V/(Im'—Vrri)[lm'—l'm) -f- {mn‘—m‘n))mn'—m‘n) -j- {nV—n‘T)[nl‘—n‘l)

V\l) 4" & v/"h &

które w przypadku równań zwyczajnych linij prostych :

zZ+l ¹ Ąl=il +1\ otrzymu«ksztalt:

sinw =

COS W =

a‘[a) + b'[b] +!*[!]

V/a[a] -f- & V/«'(«'( -j- &    V/«(«] + &    + &

(10")

sin w

y (ab‘—a‘b)[ab'—a'b) -f (b—b'){b—b‘) -|- (a—«')(«—«

Va[a) 4-&V/«'[a') + & gdzie [1] =14- a °os ß + ó cos a, zaś [1'] =1 «'cos ß 4- &'cos a.

Wobec wzorów (10') otrzymujemy warunek prostopadłości dwu prostych w postaci :

l[l‘) 4- m[m‘) 4- n[n‘) = 0,

a warunek równoległości dwu prostych w postaci :

m'

n‘ ’

IB. Odległość punktu (?, rj, Ç) od płaszczyzny: Ax-\-By-\-Cz-\-I)c= O, mierzona w kierunku X, [a, v, określa się w myśl wywodów art. 2. str. 243, wzorem :

Ar; +£ri +C% +D

8=—

A coê X -\-B coê [x + C coê v

(12')

przeto prostopadła odległość punktu (£, rj, Ç) od płaszczyzny: Ax -\-By -f Cz -j- I) — O, wyraża

A* + Brt + CK + D A{A)+B[B)+C{C)

się wzorem :

Vm.

(12")

14. K.at nachylenia O prostej: ^

x—£

y—

= —-——)    względem płaszczyzny

fi /

(Ax-\-Bij-\-Cz-\-D — 0) przedstawia się, wobec tego, że dostawy ukośnokątne coêX, coê;/, coêv, prostej I określone są stosunkami :

coê X

COê [X

coê v

Vl[l) + m[m) -f- »[»]’

a dostawy kierunkowe pionu (X', [j.', v') płaszczyzny E zaś stosunkami :

cos X'

na mocy wzoru: w postaci :

___\/M_

C ~~ \/A{A)+B{B)+C{C) ’ sin 0 = coê X cos X'-j- coê [x cos jx'-j- coê v cos v',

Al 4- Bm -\-Cn

COS (X*

cos v'

sin 0

Vi[i) + & Vka) + &

Vm,

(13')

przyczem na podstawie wzoru (9") będzie:

cos 0

ViAm'—BVy^Anï—BV) + & V/*[*] + & Va[a] + &~'

(13")

skąd wypływa :

(«) warunek równoległości prostej l do płaszczyzny E w postaci :

Al -f- Bm -f-Cn — 0 ;

(b) warunek prostopadłości prostej do płaszczyzny ;

15. Kąt oj, zawarty między dwiema płaszczyznami

E = Ax 4- By 4- Cz 4- /1 = 0 i E‘ =A‘x -f B‘y 4- C‘z 4\-D‘= 0, miarę kąt, zawax*ty między pionami (X, ;x, v) i (X', jx', v') tych płaszczyzn, i wyraża się, w obec tego, na mocy (90, po zastosowaniu relacyi (50 i (5“), wzorami : A{A‘)+B[B‘)+C{C‘)

VA{A)+&V/<X0+& ’

stąd wypływa : (a) warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn w postaci :

A(A*) 4- B{B0 4- C(C0 = 0,

ma za

cos w

sin w

1 V{BĆ‘-B‘C) [BC'—B'C) 4- &

Vm Va(a) 4- & Va'{A‘) 4- &    ’

(140

(b) warunek równoległości :

A‘

B‘

C" '

16. Odległość ô punktu P(?, ïj, Ç) od prostej:

y—b

-—-, znajdziemy na podstawie tej uwagi , że punkt P(ę, ą, Ç), jego rzut Q na daną prostą i punkt M{a, b c), tej prostej tworzą trójkąt prostokątny, w którym

PQ = Z = MP. sin w,

gdzie oj jest kątem zawartym między prostemi MPiMQ. Odcinek MP, przedstawiający odległość punktu rii S) °d punktu M(a, b, c) znajdziemy na mocy wzoru:

JfP^-«X5-®]+(»i-6X*l-6ï+(Ç-«»-e],

kąt oj zaś znajdziemy na podstawie wzoru :

sin² oj—(coê X coê [j.'—coê X'coê jx)(cos X cos ix' — cos X'cos [x) Ą- &>

z którego wypływa :

Jmv

cP

sin oj =

Vl{l) + &    \/(t-a)[Z-a] + &

przeto otrzymujemy szukaną odległość

\Z{l(rt—b)—m($- a))[l(r\—b)—m($—a)) 4~ &

(8')

Fig. 222.

17. Najkrótsza odległość o dwu prostych:

c . x—a' y—b' z—c' n ¹ V

W myśl art. 11. str. 262., kierunek prostej, prostopadłej do obu danych prostych określony jest stosunkami :

co§ X

(mn'— m'n]

y—b

m'

n'

C0§ [X

C0§ V

(nV—n'ï)

(i)

a więc jest prostopadły do płaszczyzny: Ax -|- By -j- Cz-\-D=0, w której :

VM V (mn' — m'n) (mn' — m'n) -f- &

mn'— m‘n    nl‘— n‘l

Im'—I m ’

a zatem do płaszczyzny:

E= (mn'—m'n) x -f- (nl'—n'l) y -j- (Im'—l'm) z-\- D= 0,

która jest równoległą do obu danych prostych, a ma położenie zależne od D.

Przesuńmy przez punkt («', b', c‘) jednej z obu danych prostych płaszczyznę, równoległą do płaszczyzny E, a więc płaszczyznę :

{mn'—m'n) (cc—a‘)-\- (nV—n'ï) (y—b') -j- (Im¹—l'm) (z—c') = 0, natenczas ta płaszczyzna zawierać będzie w sobie całą prostą l. Odległość dowolnego punktu (a, b, c) drugiej prostej od tej płaszczyzny będzie tedy także najkrótszą odległością danych prostych. Wobec tego otrzymujemy :

(mn'—m‘n)(a—a‘)-\-(nl'—n'l)(b—b')-\- (Im' — l'm) (c—c')

\/(mn'—m'n) (mn'—m‘n) Ą-(nl'—Vn) (nV—l'n) -j- (Im'—l'm) (lm‘ — l‘m)

wzór na wyznaczenie najkrótszej odległości dwu prostych, odniesionych do układu ukośno-kątnego (a, ß, y).

18.    Niektóre własności symbolów /murki. Symbole (a) i (a), mają, jak już zauważaliśmy, zastosowanie tylko przy rozważaniu trójek wielkości , n. p. a, 6, c, odnośnie do trzech kątów układa a, ß, y, nie zmieniając przyjętej wielkości, jeżeli układ staje się prostokątny. Mając daną trójkę liczb a, b, c, musimy przytem zarazem wskazać, którą z tych liczb uważamy za pierwszą, a którą za drugą i trzecią. Przyjmując porządek a, b, c, mamy: (a) =■= a -f- b cos y-f c cos ß, (b) = b c cos a -j- a cos y, [c] = c -|- a cos ß -f- b cos or, (a) =osin²a—bC— cB, (b) — b sin² ß—cA—aO, (c) = csin²y—aB—bA, gdzie A = cosa—cos ßcos y, B — cos ß—cos a cos y, C= cos y—cos a cos ß.

Przy zmianie porządku elementów trójki : a, b, c, zmieni się stosownie znaczenie nawiasów [ ] i ( ), obejmujących te elementa.

Na podstawie powyższego określenia symbolów trójkowych Żmurki [a], [b], (c), tudzież (a), (b), (c), możemy z łatwością wykazać następujące własności tych symbolów:

(1)    (a-\-a')=(a)Ą- [«'], tudzież (a + a') = (a) + (a

(2)    (rcï} — r(a ], tudzież (ra) — r(a)

(3)

[a]) — ((a)]= Ma, gdzie M— 1—cos²a—cos²ß — cos²y-(- 2 cos acosß cosy.

(4)

[a)(b')-(b] (a') = (ab'~ ba').

(5)    (a) (b')—(b) (a') =■ M(ab'—ba'].

(6)    ((a)(b')-(b)(a')) = M>(ab'-ba‘).

(U

[[a](b']-(b)(a']\ = M(ab'-ba‘).

(8)    a(a‘) -f - b(b‘) Ą- c(C] = a‘[a) + KK + ć(c\.

19.    Zastosowanie układów trójosiowych do krystalografii. Układy trój-osiowe, zarówno prostokątne, jak ukośnokątne, mają zastosowanie przy rozważaniu postaci krystalograficznych, przyczem jako osie układu przyjmuje się zazwyczaj osie kryształu.

Każda ściana krzyształu określa się wtedy za pomocą odcinków a, b, c, jakie ona wyznacza na osiach przyjętego układu, a odcinki te zowią się w krystalografii parametrami ściany kryształu. Parametry a, b, c określają płaszczyznę, która wyznacza na osiach przyjętego układu odcinki a, ó, c,

a więc odniesiona do tego układu osi ma równanie:--f--f-4--=1.

a b c

Stosunek parametrów a:b:c, utrzymujący się bez względu na znak, lub porządek stale dla każdej ściany kryształu, cechuje poszczególne postaci krysztaliczne, które oznaczamy krótko znakiem (a, ó, c).

Tak n. p. w odniesieniu do układu prostokątnego znak (1, 1, 1) cechuje ośmiościan umiarowy (fig- 223.); znak (1, co, co) — sześcian (fig. 224.); znak (1, 1, co) — dwunasto-ścian rombowy (dodekaeder rombowy), (fig- 225.); znak (1, n, co)— czwórosze ścian (tetrahishexader), (fig- 226.); znak (1, 1, m) — t r ó j o ś m i ości an (tiûaliisoktaedei’) (fig. 227.); znak (1, w, m) cechuje dwudziestoczterościan (ikositetraeder), (fig. 228.); znak (1. w, n) — czterdzicstoośmiościan (hexakisoctaeder), (fig. 229.).

.X

Fig. 223. Fig. 224. Fig. 225.

Fig. 226. Fig. 227. Fig. 228. Fig. 229.

20. Układy krystalograficzne. Możliwy stosunek długości osi kryształu i wzajemne nachylenie tych osi prowadzi do siedmiu rozmaitych układów krystalograficznych :

1.    Układ równoosiowy, w któi-ym 3 osie kryształu są sobie równe i do siebie prostopadłe, (fig. 230.).

2.    Układ jedno-dwuo-osiowy, w którym wszystkie 3 osie są do siebie prosto-stopadłe, a dwie tylko są równe, (fig. 231.).

3.    Układ jedno-trzy-osiowy, w któi*ym są cztery osie, trzy równe, nachylone do siebie pod kątem 60°, a czwarta od nich różna, do nich prostopadła, (fig. 232.).

4.    Układ różnoosiowy, z trzema osiami do siebie prostopadłemi, ale nierównemi.

5.    Układ jedno-skośno-osiowy z trzema osiami nierównemi, z których dwie są do siebie pi’ostopadle, a trzecia do obu dowolnie nachylona, (fig. 234.).

6.    Układ dwu-skośno-osiowy, z trzema osiami nierównemi, z których dwie są do siebie pod dowolnym kątem nachylone, a trzecia do nich prostopadła, (fig. 235.).

(fig. 236.)

7.    Układ trój-skośn o-o s i o w y, z trzema osiami nierównemi i dowolnie nachylonemi,

ty

ty

ty

ty

m.

li

ii

Fig. 230. Fig. 231.

Fig. 232. Fig. 233. Fig. 234. Fig. 235. Fig. 236.

Badanie postaci, należących do pierwszych czterech układów, może się więc odbywać przy pomocy prostokątnego układu osi, badanie zaś postaci, należących do trzech ostatnich układów krystalogi-aficznych, wymaga użycia układu ukośnokątnego », ß, y, w którym przynajmniej jeden kąt jest i*óżny od kąta prostego.

Ćwiczenia XX.

1)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez początek układu i przez punkt (1, 2, 3), prostopadle do płaszczyzny: a:-j- 2y + 3z -f- 4 =0.

2)    Wykazać, że równanie płaszczyzny, przesuniętej pi*zez punkta {x\ //', z¹), (x",y",z“) prostopadle do płaszczyzny: Ax-\- By-\- Cz U D= 0, da się przedstawić w postaci:

z —z'

y—y', y"—y‘, z“—z‘ = 0-

x—x‘ x"—x

B,

3) Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez początek układu i punkta (1, 2, 3) i (2, 3, 1).

13)    Dany jest trójkąt o wierzchołkach: A(x‘, y\ s'), B{x", y", z"), 0(x"\ yz"'); wykazać , że płaszczyzny, przechodzące przez środki boków trójkąta, prostopadle do tychże boków, przecinają się podług jednej linii prostej.

14)    Wyznaczyć dostawy kątów X, p, v, jakie prosta y —tworzy z osiami

układu ukośnokątnego , w którym a=ß = y = 60°.

15)    Wyznaczyć kąt nachylenia dwu prostych, danych równaniami:

x y z x y z

odniesionemi do układu (a = ß = y = 60u).

16)    Wyznaczyć kąty X, jjl, v, jakie pion płaszczyzny x—a, odniesionej do układu ukośnokątnego (a, ß, y), tworzy z osiami tego układu.

17)    Dane są trzy punkta w przestrzeni A(xlf yl, zx\ B(x₂, y₂? ^2)? @(x3? 2/3? 23)? położone nad płaszczyzną X0D. Dowieść, że objętość V graniastosłupa trójściennego, rzucającego ten trójkąt prostopadle na płaszczyznę X0Y układu prostokątnego 0XYZ, przedstawia

się wzorem :

«1» 2/n 1

F=b0i+S2+*3)    *2? 2/2? 1    •

■^3 ) 2/3 ) 1

18)    Dowieść, że objętość V graniastosłupa trójściennego, rzucającego trójkąt:

płaszczyznę XOY w kierunku osi OZ układu

na

^Oi? 2/1? *1)? £(*2? 2/2? «2)? Cfo, 2/3, «3), ukośnokątnego (a, ß, y), przedstawia się wzorem:

.___*1? 2/1? 1

V = $ (z{z₂-\-z₃) v 1— cos² a — cos² ß — cos² y + 2 cos a cos ß cos y x₂, y2l 1 .

#3? 2/3? 1

4)    Znaleźć równania dwój siecznych, dwu płaszczyzn: x y-\- z-\-l — O i x—y—z—1=0.

5)    Dowieść, że płaszczyzny dwójsieczne kąta bryłowego trójściennego przecinają się podług jednej linii prostej.

6)    Dane są trzy płaszczyzny, przecinające się w jednym punkcie; przesuńmy przez krawędź przecięcia się dwu z tych płaszczyzn płaszczyznę, prostopadłą do trzeciej płaszczyzny ; dowieść, że trzy płaszczyzny, w ten sposób otrzymane, przecinają się podług jednej linii prostej.

7)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez punkt (1, 2, 8) równolegle do płaszczyzny : x -f- 2y -f- 3z = 0.

8)    Dowieść, że równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt (Ę, rj, Ç), równolegle = az -(- a

y=bz-\- ß

do dwu

prostych żj X

\Xy_    ß' przedstawia się w postaci:

*—Ç» y—*i> *—£

= 0.

b* 1

9)    Dowieść, że jakikolwiek punkt (x, y, z) płaszczyzny, przesuniętej przez trzy punkta A{x\ y', «'), B(x", y", z"), C(x"‘, y"‘, z“¹), wyraża się za pomocą spółrzędnych :

Ix¹ -j- mx" -j- nx"‘    ly‘-1- my" -\- ny

10)    Dowieść, że kąt o>, zawarty między płaszczyznami:

.Ej = a? —    — a =0, E₂ = y — bz — ß = 0,

,    / #=az-|-a

rzucającemi prostą: ^ f ^ _j_p

kątnego, wyraża się wzorem:

Iz' -f- mz" -f- nz“‘ l-\- m -\-n

na

płaszczyzny spółrzędne XOZ i Y OZ układu prosto-

COS w

ab

Y/&² + 1

V/ a² -f- 1

11)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt (1, 2, 3) i jest równoległą do prostej: xt=y=z, a zarazem prostopadłą do płaszczyzny x + 2y-|-3z — 0.

12)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez punkt (1,2, 3) prostopadle do płaszczyzny : y += 1.

19) Dowieść, że objętość V dowolnego czworościanu, jest równa szóstej części iloczynu długości dwu krawędzi przeciwległych lx i l₂ i ich momentu o sin w, czyli, że wyraża się wzorem: V— j, ltl₂8 sin a>, gdzie 8 jest najkrótszą odległością krawędzi i l₂, a w ich kątem nachylenia.

20) Dowieść, że rzuty ortogonalne pionu płaszczyzny: Ax-\- By-\- CzĄ-D—0, na płaszczyzny spółrzędne , są prostopadłe do równoimiennych śladów tej płaszczyzny.

21)    Wykazać, że płaszczyzna: —l—    —^- = 1, ma ślady:

Æ"(l ⁺ T⁼¹’ *=⁰)’ Ä(ir ⁺ T⁼¹’ y=0)’ a(f+ T⁼¹’*⁼⁰)>

a jej pion wychodzący z początku układu ma rzuty:

T-* r-ï-i-o.

f‘=-t-----= 0, %>" = —

ba    c

22)    Dowieść, że kąt, zawarty między płaszczyznami:

1,|, *_

a b c

odniesionemi do układu prostokątnego, po stronie punktu początkowego, wyraża się wzorem:

4- +

' cc'

COS co=—

aa'

bb‘

V* 6² c^ V <*'²    &'² 0 *

i wyprowadzić stąd wzory na wyznaczenie kątów, jakie płaszczyzna: — 4" "y 4" ~ tworzy z płaszczyznami spółrzędnemi.

23) Dowieść, że kąt, zawarty między płaszczyznami:

» , V ,    * _ i

odniesionemi do układu ukośnokątnego («, 3, y), po stronie punktu początkowego 0, wyraża się za pomocą wzorów :

i i JL i ¹

COS W

a    b \b‘J ‘ c ^ c'¹

'1\

V'

4- &

a ^ a )

i wyprowadzić stąd wzory na wyznaczenie kątów, jakie płaszczyzna: ~ 4"    + ~

tworzy z płaszczyznami spółrzędnemi.

24)    Znaleźć kąt zawarty między płaszczyznami : x -\- y \-z = l i x—y -j- z == 1.

25)    Jaki kąt tworzy płaszczyzna: x-\-z—l z płaszczyzną y-\-z = l.

26)    Wykazać, że płaszczyzna: æ-|—^- = 1 tworzy z płaszczyzną : -^-\-z=l kąt 143°7'48".

27)    Jak wielkie kąty tworzą z płaszczyzną: — 4*    4" -^-=-1 następujące płaszczyzny:

«T + i + ł“¹- «T + T+à“¹- »T + T+T-¹-

28)    Wykazać analitycznie, że ośmio ścian (1,1,1) (fig. 223.) ma 8 ścian, 16 krawędzi i 6 wierzchołków, podać ich równania i wykazać, że kąt «, zawarty między sąsiedniemi krawędziami =60°, a kąt A, zawarty między sąsiedniemi ścianami =109° 28 16".

29)    Wyprowadzić równania ścian, krawędzi i wierzchołków sześcianu (1, co, go), (fig. 224.).

30)    Wykazać, że dwunastościan rombowy (1, 1, co) (fig. 225.) ma 12 ścian rombowych, 24 krawędzi równych i 14 wierzchołków, a to 6 czterościennych i 8 trójściennych ; wyprowadzić ich równania , tudzież wykazać, że kąty zawarte między krawędziami są: a = 109°28'16", ß = 70°31'44", a kąt A zawarty między ścianami =120°.

31)    Wykazać, że c z w o r o s z e ś c i a n (1, n, go) (fig. 226.) ma 24 ścian w postaci trójkątów równoramiennych, 36 krawędzi, a to 12 dłuższych i 24 krótszych i zarazem 14 wierzchołków, a to 8 sześciościennycli i 6 czterościennych i dwojakiej wielkości kąty ścienne.

32)    Wykazać, że t r ó j o śmio ś c i a n (1, 1, m) (fig. 227.) ma 24 ścian w postaci trójkątów równoramiennych, 36 krawędzi, a to 12 dłuższych i 24 krótszych, a zarazem 14 wierzchołków, z tych 6 ośmiościennych i 8 trójściennych i dwojakiej wielkości kąty ścienne.

Rozwiązania XX. 1) 2x — y = 0. 3) lx -- hy -f- z = 0, 4) y -f- z -f- 1 = 0, x = 0.

7) x -j- 2y 3z = 14, 10) x—2y-\- z=0. 11) a;—l = 2(y—2) = 3(z—3). 13) cos X= , cos [x= ,⁸S,

cos [x = 0, cos v =0. 23) 109° 28'16". 24) 120°.

cos v = t⁹b. 14) cos w—$l. 15) cos X =

26) (1) 162° 14' 50", (2) 154°47'28", (3) 144°2'58". 37) F* =FX*—2Fy Fz cos A + &

a\ZW

sin a

Literatura. Ohm, Grundriss der analityschen Geometrie im Raume am schiefwinkligen Coordinatensysteme, Nürnberg 1849. Wawrzyniec Żmurko. Wykład matematyki na podstawie ilości o dowolnych kierunkach. Tom II., str. 394. i nast. Lwów, 1864. Zasady geometryi analitycznej w przestrzeni na podstawie wykładów prof. W. Żmurki ułożył August Witkowski. Autografia. We Lwowie, 1875. Matematyka kurs I. podług wykładów Dra Placyda Dziwińskiego w c. k. szkole politechnicznej we Lwowie, w roku naukowym 1886. Część II. B. Geometrya analityczna w przestrzeni. Autografia nakładem słuchaczy matematyki. Lwów, 1886. C. Klein, Einleitung in die Krystallberechnung. Stuttgart, 1876. J. Müller. Zasady krystalografii, przełożył M. L. Bruner. Warszawa, 1858. C. Neuman. Elemente der theoretischen Krystallographie. Leipzig, 1856.

Tematy do rozprawek naukoivych :

, zwanego także sinusem kąta

38) Wykazać, ze dwudziestoczterościan (1, m, m) (fig. 228.) ma 24 ściany czworokątne (deltoidy), 48 krawędzi, a to 24 dłuższych i 24 krótszych, tudzież 26 wierzchołków, a to 8 trójściennych i 18 czworościennych i dwojakiego rodzaju kąty ścienne o wielkości, zależnej od m.

34)    Wykazać, że czterdziestośmiościan (1, m, n) (fig. 229.) ma 48 ścian w postaci trójkątów różnobocznych, 72 krawędzi, po 24 jednakowej długości, i 26 wierzchołków, a to 6 ośmiościennych, 8 sześciościennych i 12 czworościennych, a przytem trojakiego rodzaju kąty ścienne o wielkościach zależnych od parametrów min.

35)    Na dowolnej płaszczyźnie, nachylonej do osi układu ukośnokątnego (a, [i, y) znajduje się figura zamknięta o powierzchni F, której rzuty na płaszczyzny XOY, XOZ, YOZ, w kierunku osi OZ, OY, 0X, wynoszą kolejno Fz, Fy, Fx ; dowieść, że:

F sin ß

Fz

F sin a

F sin y

COS X, Fy

cos [x, Fx

cos v,

gdzie X, [x, v, są kąty, jakie pion płaszczyzny danej figury, tworzy z osiami układu (a, ß, y), a M— 1—cos² a—cos²ß—cos²y -f- 2 cos a cos Q cos y.

36)    W danym układzie ukośnokątnym o kątach osiowych a, ß, y, a kątach ściennych A, B, C, wykreślmy osie: 0X' | Y OZ. 0 Y" | ZOX, OZ’ I XOY ku tym stronom, ku którym dążą dodatnie kierunki osi OX, OY, OZ danego układu, natenczas otrzymujemy układy osi OXYZ i OX’Y'Zwykazać analitycznie, że kąty osiowe a', ß' y' układu OXJY’Z’ są spełnieniami kątów ściennych A, B, C, a kąty ścienne A‘, B‘, C‘, tego układu są spełnieniami kątów osiowych a, ß, y pierwotnego układu OXYZ, czyli, że a'=180°—A, ß'=180ü—B, y/ = 180°— C, A‘ =180°—a, 7?'=180°—ß, <7'=180°-y.

Takie układy osi nazywamy zwykle układami wzajemnie się spełniającemi.

37)    Wynaleźć związek, jaki zachodzi miądzy powierzchnią F figury płaskiej , a powierzchniami Fx, Fy, Fz, jej rzutów na płaszczyzny układu (a, ß, y), otrzymanych w kierunkach osi tego układu.

Vm

V/m

Vm

1, cos y, cos ß

1. Własności wyznacznika M= cosy, 1, cos a

cosß, cos a, 1

bryłowego trójściennego (a, ß, y).

2. Teorya punktu, linii prostej i płaszczyzny, oparta na parametrach płaszczyzny, t. j. na odcinkach, jakie płaszczyzna, uważana, jako element przestrzeni, wyznacza na

osiach układu.

3. Analityczna teorya postaci krystalograficznych układu równoosiowego.

Wykład XXI.

Zasada dwoistości w przestrzeni trójwymiarowej.

1. Spółrzędne płaszczyzny. Jak w geometryi analitycznej

na płaszczyźnie

po-

okazały się punkt i prosta, jako elementa równorzędne płaszczyzny, dobnie możemy w geometryi analitycznej przestrzeni trójwymiarowej, uważać punkt i płaszczyznę, jako elementa równorzędne tej przestrzeni.

Przyjmując punkt, jako element przestrzeni, wyznaczony trzema spółrzędnemi x, y, z, otrzymujemy w układzie Descarte s’a (prostokątnym, lub ukośnokątnym) płaszczyznę, wyznaczoną równaniem pierwszego stopnia w spółrzędnych x, y, z, jej bieżącego punktu, w postaci ogólnej :

Ax + By -f Cz -f D = 0,

z której otrzymujemy równanie odcinkowe: —

a

Z tego równania widzimy, że trzy odcinki a, b, c na osiach układu wyznaczają dokładnie i jednoznacznie położenie płaszczyzny, mogą więc byó uważane, jako spółrzędne tej płaszczyzny.

Za przykładem Plückera nazywamy jednak spółrzędnemi płaszczyzny odwrotne wartości odcinków, jakie ta płaszczyzna wyznacza osiach układu, wzięte z przeciwnemi znakami, a więc trzy wielkości:

u= —

i.

na

Ö i I-¹

O' I-i

**, w,

(1)

Płaszczyzna, której odpowiadają trzy spółrzędne Plückera: otrzymuje zatem równanie:

u x+vy -f wz -ł-1=0.

2. Równanie ux-\-vy    f-1=0 wypowiada, że punkt, mający spół-

na płaszczyźnie, mającej spółrzędne w, v, w, czyli, że zawiera w sobie punkt (x, y, z). Jeżeli zatem w po-

rzędne x, y, g, leży płaszczyzna (u, v, w) wyższem równaniu spółczynniki u, v, w są liczbami wiadomemi, natenczas równaniu temu czynią zadość wszystkie punkta (a?, y, z), płaszczyzny, mającej spółrzędne u, v, w. Jeżeli zaś, nawzajem, spółrzędne x, y, z, punktu są dane, a więc w powyższem równaniu liczby x, y, z, są wiadome, a spółczynniki ui vi w uważamy jako wielkości zmienne, natenczas równaniu temu czynią zadość wszystkie płaszczyzny (u, v₇ w), które dadzą się przesunąć przez Przyjęty punkt (x, y, z).y

Z tego powodu nazywamy też równanie: ux+vy-\-wz+1—0, także równaniem punktu (x, y, z) w spółrzędnych płaszczyzny.

3.    Zasada dwoistości w przestrzeni. Równanie: uxĄ-vy-\-wz +1=0, może być uważane zarówno , jako równanie płaszczyzny (u, v, to) w spółrzędnych punktów, na niej się znajdujących, jakoteż, jako równanie punktu (x, y, #), w spółrzędnych płaszczyzn, przez ten punkt przechodzących. Wobec tego możemy każde połączenie równań tego rodzaju uważać, jako dotyczące punktów, lub, jako dotyczące płaszczyzn w przestrzeni, a tern samem możemy z każdego twierdzenia, dotyczącego położenia punktów, wyprowadzić bezpośrednio odpowiednie twierdzenie, dotyczące położenia płaszczyzn, a ta okoliczność stanowi zasadę dwoistości w przestrzeni, analogiczną do zasady dwoistości między punktami i liniami prostemi na płaszczyźnie. (Porównaj art. 22. i nast. str. 105.).

4.    Przykłady zastosowania zasady dwoistości w przestrzeni. Oto kilka ważniejszych twierdzeń dwoistych:

1.    Eównanie Ax -j- By -f- Cz -j- J) ==■ 0, przedstawia płaszczyznę o spółrzędnych •

u =

2.    Trzy punkta :

O^ił y i i z\ )i (x2t y 1.1 zi)i (x31 y%i zî) wyznaczają płaszczyznę, przez nie przechodzącą , o równaniu :

*» Vi *,    1

xi, y\i zn 1 xij ysj zn ¹

*3 ) y 31 z31 1

Spółrzędnemi tej płaszczyzny są minory elementów aą y, z, tego wyznacznika , podzielone przez wyznacznik :

*n V\i zi

xh y ii zi •

x3l yzi z3

3.    Dwie płaszczyzny, określone równaniami w spółrzędnych punktu , kształtu :

ulx-\-viy-\-iviz1—0,

uix +¥+«’!*+ 1=0,

wyznaczają linię prostą , jako krawędź przecięcia płaszczyzn: (tą, tą, wą) i (tt₂, tą, wą), która otrzymuje w spółrzędnych punktu (x, y, z) równania zwyczajne kształtu :

(w,tą—w₂tą) x -p (witą—ttątą) z = tą—tą

(«!tą—u₃tą) y + («ittą—tąttą)« = tt₂—tą.

1. Eównanie Jtt -j- Bv -f- Ow -j- D = 0, przedstawia punkt o spółrzędnych :

.4

= 0.

x=D'y=D' z==Ty

2. Trzy płaszczyzny :

(«1, tą, te,), («₂, tą, ttą), (%, tą, ttą) wyznaczają punkt przecięcia o równaniu:

tą tą w, 1

uu vt, wu 1

«2, »ii W1l ¹

«3» V31 W31 1 Spółrzędnemi tego punktu są minory elementów tą tą w tego wyznacznika, podzielone przez wyznacznik :

= 0.

D= —

«i, * i, v>\

D = — M₂, tą, ttą .

M3) y3) W3

3. Dwa punkta, określone równaniami w spółrzędnych płaszczyzny, kształtu : aą« -p Viv + -p 1 = 0, x-iu + yy+z%w +¹ =

wyznaczają linię prostą, jako prostą, łączącą punkta: (aą, tą, 2,) i (aą, 2/2) *2)) która otrzymuje w spółrzędnych płaszczyzny (w, tą te) równania zwyczajne kształtu:

(«12/2—æ2//i)M +    2/2—~22/i ) w = t/i —2/2 )

(*12/2—xiV\)v -\-(xiz2—xizi) w = x.₂—xi.

Z tego wynika, że linia prosta w przestrzeni jest dwoistą względem siebie samej, i występuje, jako samoistna forma przestrzenna, bądź to: jako przekrój dwóch płaszczyzn w przestrzeni, jako t. z. oś przestrzeni, przedstawiając się dwoma równaniami pierwszego stopnia w spółrzędnych punktu w postaci ogólnej :

Ax -{- By -f- Cz    D = 0,

A'x -f- B‘y    Cz -j- D‘ = 0.

4. Jakakolwiek płaszczyzna, przechodząca przez krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn :

bądź to: jako połączenie dwóch punktów w przestrzeni, jako t. z. promień przestrzeni , przedstawiając się dwoma równaniami pierwszego stopnia w spółrzędnych płaszczyzny w postaci ogólnej:

Au + Bv + Cw -j- D =0,

A'u + B'v Ą-C wD'= 0.

4. Jakikolwiek punkt, położony na prostej, przechodzącej przez dwa punkta:

— 271

są :

P4-XP'    (7-f- X 0"

4Î    — ____________

z>4-Xi>'’    z>4-XD'

tf _“i + P-^2 ' 1 + P

_ A+kA‘ B + \B‘ C 4-XC' æ~I>4-XZ>'’ Z/“Z>4-XZ>#’ * “ D + \D‘ skąd, wprowadziwszy spółrzędne (xl^yl1zl) i (#2; 2/2) ^2) dwu punktów podstawowych:

P= 0 i P ' = 0, szeregu : P 4- X P' — 0, otrzymamy spółrzędne bieżącego punktu szeregu w postaci trzech równań :

__*1+P*2    .. _ 2/1+ f*2/2    *1+^*1

l + ft ¹    1+|X ’    i+jT-

wyrażających spółrzędne (ar, y, 2) zapomocą

Z»'

E= AxĄ-By + Cz+D = O, FA E= J7a;    B'y Ą C'z -f £>' = 0,

otrzymuje równanie:

E+1E‘ = 0,

gdzie X jest dowolnym parametrem, od którego wrartości zależy położenie jednej z ooi możliwych płaszczyzn, przechodzących przez krawędź przecięcia dwu płaszczyzn :

E= 0 i E‘=0.

5. Zbiór wszystkich oo¹ płaszczyzn, przechodzących przez prostą w przestrzeni, nazywamy pękiem płaszczyzn i określamy w spółrzędnych punktu równaniem : (Ax-\-By-\- Cz+D)+ X (A'x-\-B‘y+ CzĄ-D') = 0, albo w formie skróconej:

JE74- X 0.

Płaszczyzny: 22=0 i J2'=0 nazywamy płaszczyznami podstawo w emi pęku płaszczyzn, a prostą: E= 0, E‘ = 0, osią pęku płaszczyzn.

C. Spółrzędnemi (w, d, w) bieżącej płaszczyzny pęku , przedstawionego równaniem : (Ax f %4- CzĄ-D) 4- X (A'x 4- P'y4- <7'z-|-Z>)=0,

.4 4-X^l'

u — —!-

Z>4-XD

skąd, wprowadziwszy spółrzędne (w,, tą, wą) i (m2>    *^2) dwu płaszczyzn podstawowych :

P = 0 i E'=0, pęku: P4-XP' = 0, otrzymamy spółrzędne bieżącej płaszczyzny pęku w postaci trzech równań :

«1 +    _W\JrV-w‘i

14-1*    1+P- ’

wyrażających spółx*zędne (u, v, iv) za pomocą

jednego parametru [j. = X.~ i za pomocą

spółrzędnych dwu danych płaszczyzn pęku.

7. Przez każdy punkt (aą, yu zx) w przestrzeni przechodzi oo² płaszczyzn, tworzących t. z. wiązkę płaszczyzn, określoną równaniem :

A(x—x^ 4- B(y—yi) -}- C(z—zl) =0, w którem stosunki między spółczynnikami A, B, (7, są zupełnie dowolne.

Każda przyjęta para stosunków, n. p.

AB

-Q 1 cechuje już jedną płaszczyznę tej wiązki, której wierzchołkiem jest punkt Od z/n «O*

8. Każde dwie płaszczyzny jednej wiązki płaszczyzn, przecinają się podług jednej linii prostej, przechodzącej przez wierzchołek tej wiązki. Wszystkie linie proste, przechodzące przez wierzchołek wiązki płaszczyzn, a zatem wszystkie linie proste, przechodzące przez jeden punkt

Ps .dw + Bv -|- Ow -j- B = 0, P‘ = -f B'v + C"w + Z)' =0, otrzymuje równanie:

P-f \P‘ = 0,

gdzie X jest dowolnym parametrem, od którego wartości zależy położenie jednego z oo¹ możliwych punktów, położonych na linii prostej, łączącej dwa punkta :

P = 0 i P' = 0.

5. Zbiór wszystkich oo¹ punktów, położonych na prostej w przestrzeni, nazywamy szeregiem punktów, i określamy w spółrzędnych płaszczyzny równaniem : (Au+Bv+Cw+DÏ+XA'u-tB'v+C’w+D'^O, albo w formie skróconej :

jP4-XjP' = 0.

Punkta: P — 0 i P‘=0, nazywamy punktami podstawowemi szeregu punktów, a prostą : P = 0, P ' = 0, podstawą szeregu punktów.

6. Spółrzędnemi (#, y, z) bieżącego punktu szeregu punktów, przedstawionego równaniem :

(Au-\-Bv-\- C!M>-fZ))4-X( A‘u-\-B‘vĄ- C‘wĄ-D')=0, są : jednego parametru jji = X.^ i spółrzędnych

dwóch danych punktów szeregu.

7.    Na każdej płaszczyźnie (tą, tą, ?<ą) przestrzeni leży oo² punktów tworzących t. z. układ płaski punktów, określonych równaniem:

A{u—ux) -|- B(v—tą) 4- C(w—wl)= 0, w którem stosunki między spółczynnikami A, B, C są zupełnie dowolne.

Każda przyjęta para stosunków, n. p. A B

i ~qi cechuje już jeden punkt tego układu

płaskiego, którego podstawą jest płaszczyzna (tą, tą, t/ą ).

8.    Każde dwa punkta pewnego układu płaskiego, połączone ze sobą, dają jedną linię prostą, leżącą na podstawie tego układu. Wszystkie linie proste, leżące na podstawie układu płaskiego punktów, a zatem ogólnie wszystkie linie proste, położone na jednej płaszczyźnie, twoi’za oo²

przestrzeni, tworzą zbiór oo² linij prostych, przechodzących przez jeden punkt, t. z. wiązkę promieni o danym wierzchołku, określoną w spółrzędnych punktu równaniami :

cc—aą

z—zx

linij prostych, znajdujących się na jednej płaszczyźnie, czyli t. z. układ płaski linii prostych o danej podstawie , określonej w spółrzędnych płaszczyzny równaniami : u—ux

gdzie stosunki trzech spółczynników l, m, n, są zupełnie dowolne, a każda para stosun-

gdzie stosunki trzech spółczynników l, m, tt, są zupełnie dowolne, a każda para przyjętych stosunków— i cechuje już jedną

prostą , przechodzącą przez punkt (aą, yx, zx), jako wierzchołek wiązki promieni wyższem równaniem określonej.

5. Formy elementarne przestrzeni, dwoiście sobie odpowiadające. Na zasadzie dwo-

cechuje już jedną prostą, po-

po-

ków — i —, n n

łożoną na płaszczyźnie (tą, tą, ttą), jako podstawie pęku układu płaskiego osi, powyższem równaniem określonego.

istości wypływają wprost następujące elementarne formy przestrzenne.

Z punktu, jako elementu przestrzeni powstaj ą :

(1)    punkt;

(2)    p r o s t a, j ako promień w przestrzeni , połączenie dwóch punktów ;

(3)    szereg punktów, jako zbiór oo1 punktów, znajdujących się na jednym promieniu przestrzeni ;

(4)    p ę k promieni, zbiór promieni, znajdujących się na jednej płaszczyźnie, a przecinających się w jednym punkcie tej płaszczyzny ;

(5)    układ płaski punktów, zbiór oo² punktów, znajdujących się na jednej płaszczyźnie przestrzeni.

(6)    układ płaski promieni, zbiór oo² prostych, położonych na jednej płaszczyźnie.

Z płaszczyzny, jako elementu prze

strzeni, powstają:

(1)    płaszczyzna;

(2)    prosta, jako oś w przestrzeni, przekrój dwóch płaszczyzn ;

(3)    pęk płaszczyzn, jako zbiór ooł płaszczyzn, przechodzących przez jedną oś przestrzeni ;

(4)    pęk osi, zbiór osi w przestrzeni, przechodźącycli przez jeden punkt przestrzeni, a położonych na jednej płaszczyźnie, przez ten punkt przesuniętej ;

(5)    wiązka płaszczyzn, zbiór oo2 płaszczyzn, przechodzących przez jeden

punkt przestrzeni ;

(6)    wiązka osi o jednym wierzchołku, zbiór oo² prostych, przechodzących przez jeden punkt przestrzeni;

(7)    układ płaski osi, zbiór wszystkich oo² osi, leżących na jednej płaszczyźnie, przestrzeni;

(8)    układ p ł a s z c z y z n w przestrzeni, zbiór wszystkich oo³ płaszczyzn przestrzeni trójwymiarowej.

(7)    wiązka promieni, zbiór wszystkich oo² promieni, dających się przeprowadzić przez jeden punkt przestrzeni.

(8)    układ punktów przestrzeni, zbiór wszystkich oo³ punktów, znajdujących się w przestrzeni trójwymiarowej.

6. Stosunek anharmoniczny czterech punktów szeregu i czterech płaszczyzn pęku. Niech będzie dany układ czterech punktów A, B, C, Z), położonych na linii prostej i określonych równaniami :

A = 0, B=0, A-AB=0,    0,

gdzie A i B są wyrażeniami pierwszego stopnia w spółrzędnych Plückera

Au -+- Bv + Cw -f D=0.

m, v, w, kształtu :

Spółczynnik A przedstawia stosunek, w jakim punkt C (fig. 237.) dzieli odległość

punktów A i B, jest więc A —

AC

BC ’

podobnie

AD

Iloraz tych stosunków t. j. :

A^^ACAD

ii BC BI)

nazywamy stosunkiem podwójnego podziału odcinka AB przez punkta C i 7), albo stosunkiem anharmonicznym szeregu punktów A, B, C, D i oznaczamy przez (ABCD). (Porównaj art. 6., str. 52. i następne).

.1

Fig. 237.

jest (i—

BD '

jeżeli w danych równaniach wyrażenia A i B są funkcyami pierW^ szego stopnia w spółrzędnych Kartezyusza x, y, 8, podanemi w kształcie normalnym: æcos i + f/cos^-J-^cos v—p, wówczas powyższe równania przedstawiają cztery płaszczyzny a, ß, y, ô, przecinające się podług jednej linii prostej.

W tym razie przedstawia spółczynnik A stosunek, jaki zachodzi między odległościami każdego punktu płaszczyzny y od płaszczyzn a iß. Stosunek ten równa się widocznie także stosunkowi między sinusami kątów, jakie płaszczyzna y tworzy z płaszczyznami a iß.

Jeżeli więc przez c1? c₂ oznaczymy odległości prostopadłe punktu C płaszczyzny y od płaszczyzn a iß, wówczas otrzymamy spółczynnik:

A = ^-

sin («y)

c₂ sin (ßy) '

Podobnie otrzymamy, oznaczając przez dl, d₂ odległości prostopadłe punktu D płaszczyzny d od płaszczyzn a iß, spółczynnik :

di    sin (aó)

^ d₂    sin (ßö) ’

stąd otrzymujemy:

A    ct di    sin (ay) sin (ad)

/i    c₂ * d₂    sin (ßy) ' sin (ßö) '

Podwójny stosunek ten sinusów nazywamy stosunkiem anharmonicznym czterech płaszczyzn a, /?, y, d i oznaczamy go przez (aßyö).

Zważywszy, że : otrzymamy :

AC (h_BÇ dl AD ’ d₂ UD

sin (ay) sin (ad)

AC AD    _____

BC BD sin (ßy) sin(ßö)

czyli :

(ABCD) — (aßyö).

Stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn pęku równa się więc stosunkowi anharmonicznemu czterech punktów, w których dowolna poprzeczna przecina te płaszczyzny.

(2)

7. Jeżeli dane są równania czterech punktów, leżących na prostej, lub czterech płaszczyzn, przecinających się podług jednej prostej, w postaci: A=0, J5=0, A-AB=0, A-(iB=0,

A

wtedy stosunek anharmoniczny ma wartość : —.

Dla układu czterech elementów" (punktów, lub płaszczyzn), określonych równaniami :

(«) A-AB=0; (y) A~AB=0;

(ß) A—fiB=0 ; (d) A-pB=0,

(3)

które , kładąc A—AB=A\ A—[iB=B‘ i wyrażając A i B przez A¹ i B‘, napisać możemy w postaci :

^B= 0, (3j [ï

18

(a)    A‘=0; (fi) B'=0;

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

8. Stosunek harmoniczny czterech punktów szeregu i czterech płaszczyzn pęku. Stosunek anharmoniczny szeregu czterecli punktów, lub pęku 4 płaszczyzn nazywamy harmonicznym, jeżeli jego wartość równa się —1. Por. art. 10., str. 116. Wedle tego będą miały elementa :

A=0, B=0, A-AB=0, A- fiB^0, stosunek harmoniczny, jeżeli się spełni warunek:

— =—1, czyli A-\-fi=0.

otrzymamy wartość stosunku anharmonicznego, określoną wyrażeniem :

A — fi‘

(aßyä)=—

t*

A-A'

-A' '

fi — fi‘

(4)

Dla elementów określonych równaniami :

A-AB=0, A—(iB=0, A-AB=0, A—fi‘B=0

otrzymamy zatem warunek, pod jakim one tworzą układ harmoniczny, w postaci :

A — fi1 [i — A‘ fi — fi1 A fi — \ (ź-f fi) (A‘Ą-fi‘) A A‘fi'=0.

9. W jaki sposób układają się względem siebie cztery elementa harmoniczne, poznamy z warunku (4), który dla czterech punktów d, B, C, D, przyjmuje postać:

AC AD

We : W)

czyli :

A-A¹

(5)

== — 1, czyli

AC , AD

BC ¹ BD

0,

dla czterech płaszczyzn a, ß, y, o, zaś :

sin (ay) _ sin (a8) sin (ßy) ’ sin (ß8) AC . AD

sin (a8) sin(ß8)

były znaku przeciwnego , musi się jeden z punktów C, lub

D znajdować między punktami A i B wewnątrz odcinka AB, drugi zaś zewnątrz. Jeżeli

AC

punkt C zajmie środek odcinka di?, tedy staje się stosunek — — 1, a punkt D, czyniący

Aby stosunki

BC BD

1, czyli

sin(ay)

sin(ßy)

zadość równaniu

AD

BD

1, musi leżeć w nieskończoności, a zatem: Dwa jakiekolwiek

punkta , ich środek i punkt w nieskończoności, tworzą zawsze układ harmoniczny.

sin(a8)

Ażeby stosunki

sin(ay)

sin(ßy)

były znaku przeciwnego, musi jedna z płasz-

sin(ß8)

czyzn y, albo 8 znajdować się w obrębie kąta dwuściennego (aß), druga w obrębie kąta, jemu przyległego. Jeżeli płaszczyzna y staje się dwójsieczną kąta aß, tedy

sin (a8)

stosunek

sin(ay)

otrzymuje wartość —1, stosunek więc

musi otrzymać wartość +1,

Sin(ßy)

a więc płaszczyzna 8 z płaszczyzną y sprzężona, musi być dwójsieczną kąta przyległego. A zatem: Ściany kąta dwuściennego i jego płaszczyzny dwójsieczne tworzą pęk harmoniczny płaszczyzn.

sin (ß8)

10. Inwolucya szeregu punktów i pęku płaszczyzn. Trzy pary elementów A i A¹, B i B\ C i C‘, t. j. punktów, leżących na jednej prostej, lub płaszczyzn, przechodzących przez jedną prostą, tworzą inwolucyę, jeżeli stosunek anharmoniczny czterech elementów, wziętych dowolnie z tych trzech par, równy jest stosunkowi anharmonicznemu czterech elementów, z nimi kolejno sprzężonych. Weźmy pod uwagę układ elementów, określonych równaniami :

A=0, A‘=0, A-AA‘^0, A-A'A‘= 0, A-fiA'^0, A-fi‘A'=0, (6) i oznaczmy warunek, pod jakim one utworzą inwolucyę. Wybrawszy z nich cztery elementa: A=0, JL'=0, A—A'A'^O, A—fi'A'=0, których stosunek

X'

tedy znajdziemy dla elementów

{*'

anharmoniczny ma widocznie wartość kolejno z nimi sprzężonych, których równania: A‘=0, A=0, A—AA‘=0,

Łatwo sprawdzić, że stosunek anharmoniczny czterech elementów, obranych dowolnie z tych trzech par, będzie zawsze równy stosunkowi anharmonicznemu czterech elementów, sprzężonych , a więc warunek (7) jest konieczny i zarazem wystarczający, aby elementa, określone równaniami (6), tworzyły inwolucyę.

11. Własności elementów inwolucyjnych. Poniżej wykażemy kilka własności elementów, będących w inwolucyi :

(1) Jeżeli sześć elementów, określonych równaniami :

(9)

275

A—fiiA¹ — Ö, możemy napisać w postaci: A¹ —0, A=0, A¹—^A=0, A*—— A=0,

stosunek anharmoniczny równy : ~ : —— y- Ażeby więc pary elementów, określonych równaniami (6), tworzyły inwolucyę, musi zachodzić równość :

⁼ ”X"’ CZyH ^=

1: !

0.

(7)

X'

Równości tej stanie się zadość, skoro będzie    (i‘==

Równania sześciu elementów, tworzących inwolucyę, będą tedy:

(A=0 (A-XA‘=0 IA—MA*=0,

U'=0 \A—à'A‘=0

Ac-

(8)

A-i-A‘=0.

Tc

.4 = 0, 5 = 4—X4'=0,    C== 4—fi4' = 0,

A'=0, 5'==4—X'4' =0, C'==4— ;P4'=0,

tworzy inwolucyę, tedy dadzą się zawsze wyznaczyć spółczynniki stałe Z, m, n, tak, aby było tożsamościowo :

(90

IAA • -j- mBB‘ +n CC'es 0.

Wyrażenie Z44'-j- mBB'-\- nCC‘ otrzymuje bowiem przez wprowadzenie wartości za B, B\ C, C kształt:

Z 44'-f- m(A—X4') (A—+ n(A — p.4')(4—p.'4')=[Z—jw(X-{-X')—ni^Ą-^y^AA' -|--j- (m -f- n) A² -f- (mXX' -|- wu.p')A ■²,

staje się więc tożsamościowo zerem, niezależnie od A i 4', skoro się spełnią warunki: l—m(X-j- X')—w(|r-J- fP) ⁼⁼ 0; mĄ-n—0; mW -J- n^'— 0.

Ostatni z tych warunków jest równoważny z drugim, gdyż XX' = u|i.', jeżeli elementa (9) tworzą inwolucyę, pozostają więc dwa równania:

Z—tw(X -(- X')—m(|a    m-{-n=0,

które wystarczają do wyznaczenia stosunków — i m , które uczynią zadość tożsamości :

n n    *

IAA¹ Ą-mBB' + n CC‘= 0.

Odwrotnie możemy wykazać, że jeżeli między sześcioma elementami:

4 = 0, B = 0, C = 0 4' = 0, B‘ = 0,    6r' = 0

(10)

(U)

(12)

zachodzi tożsamość :

IAA¹ + m BB' + nCC' = 0, te elementa są w inwolucyi. Z tej tożsamości otrzymujemy bowiem równania warunkowe (10), z których po wyrugowaniu spółczynników Z, w, w, znajdziemy związek XX' •= który stanowi właśnie warunek inwolucyi elementów (12).

Na podstawie powyższego twierdzenia możemy znaleźć warunek, przy którym ele-menta, określone równaniami :

4—X4'=0, 4—p4' = 0, 4—v4'=0, A—X'4'=0, 4—[44'= 0, 4—v'4'=0,

są w inwolucyi.

Warunek ten określi się wedle poprzedniego tożsamością:

Z(4—) 4') (4—X'4') -f- m(A—p4')(4—^'4')-f- nA—A—AA') = 0. Czynniki Z, m, n: muszą więc sprawdzić równania :

0, Z(X -f- X')    p') -j- w(v-pv')=0, Z XX' + m[Air'    n w' = 0,

z których, po wyrugowaniu czynników Z, m, n, ofarzymamy szukany warunek w postaci:

X + X',    v~ł~v' — o.

XX'

w'

(13)

A—\AJ= O, A—\lA' = 0,    A—v4' = 0,

(2) Jeżeli trzy pary elementów :

vl—A' = O,    4—p.‘A‘ = 0, A—v'A' = 0,

tworzą inwolucyę , tedy dadzą się zawsze znaleźć dwa elementa : A—IA'— 0, A—mA' — 0, które tworzą z elementami każdej pary układ elementów harmonicznych. Na wyznaczenie spółczynników lim otrzymamy bowiem na mocy wzoru 5., str. 275. równania :

Im—2 (Z-|- m)(\    XX'= 0, Im — ^ (? -f- m') (pu -f- u.')    |x[i' = 0, Im—£ (? m) (v -f- v') -f- w' = 0,

które z powodu warunku inwolucyi:

1, X + X', XX'

1,    |x-j-|i',    [i[i'    =0,

1, v -J- v', w'

sprowadzają się tylko do dwóch oddzielnych równań, z których możemy więc obliczyć wartości wyrażeń: Im i l-\~m, uważanych za niewiadome.

Znajdziemy tedy n. p. l-\-m — a, lm = b, a stąd wypadną wartości na l i m, jako pierwiastki równania drugiego stopnia: x²-ax-\-b — 0.

Istnieją więc zawsze dwa elementa, harmonicznie sprzężone z każdą parą elementów, będących w inwolucyi.

(3) Nawzajem, trzy pary elementów, sprzężone harmonicznie z tymi samymi dwoma elementami, są zawsze w inwolucyi.

Niech będą bowiem A — 0 i A' = 0, równania dwóch stałych elementów, wówczas równania trzech par elementów, z nimi sprzężonych, będą miały kształty:

A -)- \A' = 0,    ^4-vd'=0,

A—IA' = 0, A—[J.A'= 0, A—vA'=0.

Równania te czynią zadość tożsamości :

(v²—[i²) (A²—X²A/2) -j-(X²—v²) (A²—\i²A'²) -f- ([i²—X²) [A²—v²A'²) =0,

przedstawiają więc trzy pary elementów, będących w inwolucyi. (4) Sześć elementów, określonych równaniami kształtu : ^1=0

mB—nC = 0,

B = 0,

nC—lA = 0,

c== 0,

IA—mB — 0.

(14)

tworzy inwolucyą.

Jakoż z równań tych wypada tożsamość:

lA(mB—nC) + mB{nC— IA) -f nC(Al-mB) =0, która właśnie dowodzi , że te elementa tworzą inwolucyę.

Jeżeli w powyżej otrzymane warunki układów inwolucyjnych wprowadzimy dla punktów odcinki, między nimi zawarte , a dla płaszczyzn kąty, jakie między sobą zawierają, otrzymamy szereg własności geometrycznych elementów, tworzących inwolucyę. Itak otrzymamy dla trzéch par punktów A i A', B i B\ C i C", będących w inwolucyi, a przedstawionych równaniami (9), stosunki między odcinkami :

AB'

ItB⁷’

wskutek tego warunek inwolucyi: XX/=[x[i/ otrzymuje kształt:

AB.AB'

AB

A'B ’

X'

^~~A'C ’

AC. AC'

A'B.A'B'    A'C.A'C‘ »

AC'

A' C':

czyli :

(15)

AB. AB'    A'B.A'B'

AC. AC' ~~ A'G.A‘(¥’

Jeżeli równania (9) przedstawiają płaszczyzny a i a', ß i ß', y i y', wówczas zamieni się ów warunek na następujący:

C'B ’

(150

skąd otrzymujemy warunek:

A'B.B'O. C'A

A'C.B'A . C'B

= 1,

czyli także:

AC' .BA'. CB' AB‘. BC‘ .CA'

= 1.

(16)

— 277

(16')

Dla trzech par płaszczyzn w inwolucyi otrzymuje powyższy warunek kształt: sin (a, y'). sin (ß, a'). sin (y, ß') sin (a, ß'). sin (ß, y') . sin (y, a')

12. Układy jednokreślne elementów przestrzeni. Dwa układy elementów, t. z. dwa szeregi punktów, albo dwa pęki płaszczyzn, jako to:

A, B, C, D.........

A\ B‘, G‘, D'.........

nazywamy jednokreślnemi, jeżeli stosunek anharmoniczny czterech elementów jednego układu równa się stosunkowi anharmonicznemu odpowiednich elementów drugiego układu.

Niech będą A=0, B—0, równania dwóch elementów jednego układu, zaś A¹ — 0, B‘ — 0, równania odpowiednich dwóch elementów drugiego układu, tedy przedstawiają równania:

A—AB=0,

A‘—JcAB‘=0,

gdzież jest dowolnym parametrem, a Jc liczbą stałą, dwa jednokreślne układy elementów, przyczem elementami odpowiednimi będą te, które odpowiadają tej samej wartości A.

Czterem wartościom parametru A, jako to żl5 A₂, A₃, ż₄, odpowiadają bowiem w jednym układzie elementa:

A-AXB=0, A-A₂B=0, A-A₃B=0, A—ż₄#=0,

(a)

w drugim zaś elementa:

A‘—kX₁ B‘—0, A‘-M₂B‘=0, A‘-kXtB‘= 0, A‘-U,B‘= 0: stosunek anharmoniczny będzie w obu razach jednakowy:

A\ ż₃ . ż₄ ż₄

(&)

(1, 2, 3, 4)=(1', 2', 3-, 40 =

A₂—At

A₂ A₃

Przypuśćmy, że równania (a) odnoszą się do spółrzędnych Plückerowskich (u, v, w), a więc przedstawiają szeregi jednokreślne punktów; równanie: A—AB=0 przedstawia tedy punkta jednego, A!—hAB¹—0, zaś punkta drugiego szeregu. Przyjmijmy dalej, że te szeregi punktów leżą na jednej prostej. W takim razie musiałyby punkta: A‘=0, B‘= 0, znajdować się na prostej, łączącej punkta: A—0, B=0, a więc moglibyśmy położyć A¹ =A— mB—0, B‘ = A— nB—0, wskutek tego przedstawiłoby się równanie szeregu punktów, z szeregiem : A—AB=>0 jednokreślnego i na tej samej prostej położonego, w postaci: A¹ —JcAB¹ = (A — mB)—JcA(A—nB)=0,

(1—TcA)A—(m—JcA)B—0.

13. Zachodzi teraz pytanie, czy w dwóch szeregach punktów jednokreśl-nych, położonych na jednej prostej, istnieją punkta, które sobie samym odpowiadają. Jeżeliby tak było, musiałoby być A tak dobrane, aby było tożsa-mościowo :

czyli :

(17)

A — AB = a[( 1—Te A) A—(m—JcAn) B],

1    A

l=a(l—JcA), A=a(m—JcAn), czyli —    =-^y—. Uporządkowawszy ostatnie

J. "ft/A — KAU

co się stanie, skoro będzie :

równanie podług A, otrzymamy równanie drugiego stopnia w postaci :

JcA²—(1 + Jen) A+m=0,

na A dwie wartości, rzeczywiste, lub urojone. W dwóch sze-

na jednej prostej, istnieją

(18)

które dostarcza

regach jednokreślnych punktów, położonych w ogólności dwa punkta, które sobie samym odpowiadają. Punkta te nazywamy punktami podwójnemi szeregów jednokreślnych. W szczególności przedstawiają równania: A—AB—0, A—JcAB—0, dwa szeregi jedno-kreślne punktów, położone na tej samej prostej : A=0, B=0, a mające punkta podwójne dla X=0 i i = oo , a więc punkta A=0 i B=0.

Przyjmijmy teraz, że równania: A — XB=0, A‘ -~kXB‘—0, odnoszą się do spółrzędnych x, y, z, tedy przedstawiają one dwa pęki jednokreślne płaszczyzn, z których jeden przechodzi przez prostą : A=0, B—0, drugi przez prostą: J.'=0, B‘=0. Jeżeli oba pęki przechodzą przez jedną prostą, wówczas obok A—O, B=0 musi być A‘ = A mB=0, B‘ = A—nB—0; dwa pęki jednokreślne płaszczyzn, przechodzących przez jedną prostą, będą tedy określone równaniami: A—XB=0, (l—kX)A—(m—JcXn)B=0. Każdej płaszczyźnie jednego pęku odpowiada jedna płaszczyzna w drugim pęku, w ogólności różna od pierwszej. Płaszczyzna pewna będzie sobie samej odpowiadała, skoro będzie X tak dobrane, że będzie : A—lB = a[(\.—kX)A— (m—JcXń)B], czyli: l = a(l—7cX), X=a(ni—kXn), a więc: kX²—(1 4- kn)X-\-m—0. W dwóch pękach jednokreśłnych płaszczyzn, przechodzących przez wspólną oś, istnieją w ogólności dwie płaszczyzny, sobie samym odpowiadające, t. z. płaszczyzny podwójne dwóch pęków. W szczególności określają równania: A— XB—0, A—kXB— 0, dwa pęki jednokreślne płaszczyzn o wspólnej osi: A=0, B — 0; płaszczyzny, odpowiadające wartościom X —0 i X=co , a więc płaszczyzny ^4=0, B=0, są tu płaszczyznami podwójnemi pęków.

14. Weźmy teraz dwa dowolne pęki jednokreślne : A—IB—0, A'—lB'—O. Przyjąwszy pewną wartość X, otrzymamy powyźszemi dwoma równaniami określone dwie odpowiedne płaszczyzny, które wyznaczają swym przekrojem pewną prostą w przestrzeni. Wyrugowawszy z obydwu równań czynnik dowolny X, otrzymamy równanie drugiego stopnia między x, y, z, w postaci: AB¹—A‘B == 0, ktôi’e przedstawi nam miejsce geometryczne prostych, otrzymanych z przecięcia odpowiednich płaszczyzn dwóch pęków jednokreśłnych , a zatem: Miejscem geometrycznem prostych, w których się płaszczyzny odpowiednie dwóch pęków jednokreśłnych przecinają, jest powierzchnia prostokreślna drugiego rzędu, przechodząca przez osie obu pęków Podobnie otrzymamy z równań dwóch szeregów jednokreśłnych punktów: A — XB = 0 A' — ÏB'—0, po wyrugowaniuX, równanie drugiego stopnia w spółrzędnych (w, v, w) w postaci: AB‘—A'B=0, przedstawiające miejsce prostych, łączących odpowiedne punkta dwóch szeregów jednokreśłnych, co dowodzi, że: Proste, łączące odpowiedne punkta dwóch szeregów jednokreśłnych, tworzą powierzchnię drugiego rzędu, przechodzącą przez podstawy tych szeregów.

15. Spółrzędne linii prostej w przestrzeni, oparte na spółrzędnych

punktu. Równania zwyczajne linii prostej , jako miejsca geometrycznego punktów w przestrzeni trójwymiarowej , przedstawiają się w spółrzędnych punktu w postaci: x—azĄ-a, y=bz-\-ß; zawierają one w swym składzie cztery spółczynniki, od siebie niezależne a, b, a, ß, których wartości wyznaczają dokładnie i jednoznacznie położenie prostej w przestrzeni. Z tego powodu możemy też te cztery wielkości a, b, a, ß, nazwać także spółrzędnemi linii prostej w przetrzeni.

Możemy je także zastąpić innemi czterema wielkościami, które maią jednolite znaczenie geometryczne. Na podstawie równań zwyczajnych linii prostej znajdujemy mianowicie jej ślady ii, V, K na płaszczyznach spółrzędnych XOY, XOZ, YOZ, określone spółrzędnemi:

aß —ba

-I). 4 “4"“

HO, ß, 0), v(.

— V Otóż którekolwiek cztery z tych wiel

kości n. p. a, ß, —

wyznaczają dokładnie położenie położenie prostej w przestrzeni

i mogą być również uważane, jako spółrzędne prostej.

Za przykładem Pliickera wprowadzono do nauki pięć spółrzędnych linii prostej: r, s, ę, a, r\, gdzie r—a, s=b, Q=a, a=ß, rj = aß—ba, które nazywamy

zwyczajnemi spółrzędnemi prostej, uważanej jako promień punktów. Między pięcioma spółrzędnemi prostej : r, s, a, rj, zachodzi jeden związek: fj=ro—SQ1 wskazującjr na cztery tylko od siebie niezależne spółrzędne linii prostej i dowodzący, że jedna z powyższych pięciu spółrzędnych linii prostej wyraża się przez cztery pozostałe.

1(>. Przyjmijmy, że dana prosta j

x=az-\-a y=bz-tß

(xJ, y', z¹), (x“, y“, z"), natenczas na wyznaczenie spółczynników a, b, a, ß, otrzymujemy cztery warunki:

x‘=az‘-{-a,    y'=bz‘-\-ß, xu—az“ + a, yn—W¹ +ß,

z których otrzymujemy pięć powyższych spółrzędnych linii prostej w postaci:

przechodzi przez dwa punkta

r=

xu—x¹

a—-

z“—z¹

⁰ 0"-0‘ ’

Q=a =

x‘zu —x“z‘

Z“-Z‘

(19)

%"y‘—xlylt

ylzll—y,,z> z“—z‘

Otóż pięć spółrzędnych zwyczajnych r, s,    a, 17, prostej, uważanej

promień, występuje tu w postaci stosunków między sześcioma wyrażeniami, x“—x¹, y“—y', z¹¹—z\ y'z“—y'V, z'x"—z"x\ x‘yu—xily\ wziętemi ze stosownemi znakami. Te wyrażenia, odznaczające się symetryą względem osi układu, albo w ogóle wielkości im proporcyonalne, przyjmujemy, jako nowe spółrzędne pi: p₂, p₃, p₄, p₅, pG linii prostej i nazywamy je ze względu na dany układ trój osiowy, spółrzędnemi symetrycznemi, albo także spółrzędnemi jednorodnemi linii prostej, kładąc:

a=ß=

p=aß—b a =

z¹'—z¹ ‘

za

Pi

Vï

Pa

Pu

Ps

x“ — x‘

z“— z' y'zn—y“z'

z'x“—x“z‘

yn— y'

gdzie Jc jest dowolnym czynnikiem proporcyonalności.

Tym sposobem otrzymujemy dla prostej, uważanej jako promień w przestrzeni, sześć spółrzędnych p1? p₂₎ p₃, jp₄, p₅, p₆, między któremi na podstawie równania tożsamościowego :

(x“—x‘) (y'z"—y“z‘) + (yu—y‘) (z'x¹¹—z“x,) + (zu —z‘) (x'y''— xuy')=0. zachodzi następujący związek:

x'y“—x“y

(21)

PlPu +P2p6+PaPG=°-

Ten związek wraz z warunkiem proporcyonalności spółrzędnych dowodzi, że sześć spółrzędnych, od których zależy położenie prostej w przestrzeni, sprowadza się do czterech wielkości od siebie niezależnych.

Na odwrót możemy wykazać, że jakiekolwiek sześć wielkości pi, p₂, p₃, Pi, p$, Pti czyniące zadość warunkowi:    -\-p₃p₅ 4"PzPt — 0, mogą być uważane, jako spółrzędne

pewnej linii prostej w przestrzeni. Możemy bowiem w tym przypadku, za ich pomocą na podstawie równań (20), wyrachować jednoznacznie spółczynniki a, b, a, ß, zwyczajnych równań odpowiedniej linii prostej, a tern samem wyznaczyć samą linię prostą w przestrzeni.

Chcąc za pomocą spółrzędnych linii prostej, wyznaczyć dwa punkta linii prostej, otrzymujemy na podstawie równań (20) i warunku (21) tylko cztery równania od siebie niezależne, które dozwalają wyznaczyć tylko cztery z sześciu spółrzędnych: a?', y‘, z\ x", y", z"] dwie spółrzędne zaś, n. p. z’ i z", są więc zupełnie dowolne, co dowodzi zarazem , że punkta (»', y', z') i (a?", y", z") mogą być przez jakiekolwiek dwa inne punkta tejże linii prostej zastąpione bez wpływu na spółrzędne pl5 p₂, p₃, p₄, p₅, p₆.

17. Spółrzędne linii prostej, oparte na spółrzędnych płaszczyzny. Równania zwyczajne linii prostej, jako osi pęku płaszczyzn, przedstawiają się w spółrzędnych płaszczyzn, przez nią przesuniętych, w postaci :

u=pw-\-n, v = qw-ł-x,

i zawierają także cztery spółczyrmiki p, q, ji, x, od których zależy położenie prostej w przestrzeni. Z tego powodu możemy też spółczynniki p, q, jt, x uważać także, jako spółrzędne linii prostej w przestrzeni.

Każde z powyższych równań, oddzielnie uważane, przedstawia punkt na jednej z płaszczyzn spółrzędnych, a mianowicie jest równanie: u = pw-\-r.₎ równaniem śladu linii prostej na płaszczyźnie XOZ, równanie: v — qtv-\-y., zaś równaniem śladu tej linii na płaszczyźnie Y OZ. Wyrugowawszy zaś z tych dwóch równań zmienną v, otrzymamy równanie: pv—qu = py.—yrc, jako równanie śladu prostej na X0Y, czyli, jako równanie punktu, w którym dana prosta przecina płaszczyznę X0Y.

Za przykładem Plückera przyjmuje się cztery wielkości p, ą, 71, x, tudzież piątą o)=px—qn₎ jako spółrzędne linii prostej, z których jedna wyraża się przez cztery pozostałe.

18. Przyjmijmy, że dana prostaj

u=piv-\-n v—qw-\-x

płaszczyzn (w', v\ w‘) i (u“, v“, w"), natenczas otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników p, q, tt, x, cztery warunki:

u¹ =pw‘ -J- Tr, v'=qw' + x, u" =pw" + ar, • v" = qw" -\-x) z których otrzymujemy powyższych pięć spółrzędnych linii prostej:

u"—u'

«

v‘w"— v"w‘

występuje, jako przekrój dwu

v"—v'

w" — w

71

u¹ w"—U"W

w“—w/ ’ u"v‘— u'v"

oj =--p x—qn—

w postaci stosunków między sześcioma wyrażeniami :

u"—m', v"—v‘, w"—w*, v‘w"—v"w\ w'u" —w"u‘, u'v" — u"v‘, wziętemi ze stosownemi znakami. Otóż te wyrażenia, lub wielkości do nich proporcyonalne , przyjmujemy, jako nowe spółrzędne : n.t, ti₂, ti₃, jt₄, 7r&, ?r₆, linii prostej, uważanej za oś, i nazywamy je ze względu na układ trójosiowy spółrzędnemi jednorodnemi linii prostej, uważanej za oś, kładąc:

w"— w‘

w"—w' ’

n\

Jl₂

7lz

71q

u"—u‘

v" —V'

w"—w'

v‘w" — v"w‘

w‘u" — w" u'

u'v"—u"v‘

X, (200

gdzie À jest dowolnym czynnikiem proporcyonalności. Tym sposobem otrzymujemy dla prostej, uważanej jako oś w przestrzeni, sześć spółrzędnych: 7ii, Ti2, tc₂, tt₄, jf₅, Tlę, między któremi, na podstawie równania tożsamościowego : (u"—u') (v'w"—v"w')Ą-{v"—v0 ([w‘u“—w"u')-\-(w"—w‘) (u'v" —u"v‘)=0,

zachodzi związek:

(210

7Vi7l!l-\-7l₂7l₆ -\-7l₂7l^ =0.

Związek ten w połączeniu z relacyami (200 prowadzi do czterech spółrzędnych, od siebie niezależnych, i dowodzi zarazem, że którekolwiek dwie płaszczyzny (w', v't w'), (w", v", w"), przechodzące przez linię prostą, wyznaczają jej położenie, jako osi w przestrzeni.

11). Związek między dwoma rodzajami spółrzędnych linii prostej, uważanej raz, jako promień, drugi raz, jako oś w przestrzeni. Jeżeli jedna i ta sama linia prosta ma hyc wyznaczoną raz, jako promień , łączący dwa punkta (cc', y', z0, (cc", y", z"), drugi raz, jako oś przekroju dwu płaszczyzn (u‘, vJ, u>'), (u", v", w"), wówczas każdy z obu punktów, wyznaczających dany promień, musi leżeć na każdej z obu płaszczyzn, wyznaczających daną oś, i nawzajem każda z obu płaszczyzn musi przechodzić przez każdy z obu punktów. A zatem promień, określony punktami (cr#, y', z'), i (cc", y", z"), wpadnie w oś, określoną płaszczyznami («', v\ w') i (u", v", «?"), jeżeli spełnią się równocześnie następujące cztery relacye :

u‘x‘ -f- v'y' -J- iv‘z‘ -j-1 = 0, u"x‘ Ą- v“y‘ -j- w“z‘ -(-1 = 0, u'x“ -f- v'y" -j- w'z" —J— 1 = 0, u“x" -f- v“y" -J- io“z“ -{-1 = 0.

- 281 —

Z obu pierwszych równań warunkowych i obu drugich, wypływają następujące dwa równania :

(u“—u')x‘ -\-(v“—v')y‘ (u'“—w')z' = 0, (u“—u’)x" -f (v"—v’)yu Ą-(iv"—iv‘)z“ = 0, skąd wyrugowawszy po kolei różnice (»"—»') i (to"—?»'), otrzymujemy znowu dwa równania:

(u“—u‘) (x'y"—x"y')—(w“—w') (y'z“—y‘'z‘) — 0,    (u"—u') (z'x‘‘—z“x')—(v"—v‘)(y'z"—y“z')=0,

które prowadzą do szeregu równych stosunków :

Xl"—xP

v“~ v‘

iv“— w‘

xy'z“ — y“z‘

z'x“—z“x‘

x'y“—x“xy' ’

(23)

czyli :

r-i

*3

(230

P 4    Po Pd

Podobnie otrzymujemy z pierwszego i trzeciego , tudzież z drugiego i czwartego równania układu (22) dwa równania warunkowe :

(x''—x‘) u' -f- (y“—y‘)v' -\- (z"—z')w‘ — 0, (x“—x‘) u" -j-(y“—y')v"    (z“—z‘)w“ = 0,

z których, wyrugowawszy kolejno różnice (y“—y') i (z“—z‘), otrzymujemy znowu dwa równania warunkowe w postaci:

(x‘‘—x‘) (u'v“—u“v') — (z"—z‘) (v'w“—v“w0 = 0, (x“—x') (w'u" —w"u')—(y"—y‘) (y,w"—v“w‘)-= 0, które prowadzą do szeregu równych stosunków:

y" —xj'

z"— z'

v‘xv“—v“w‘

xv'xi“—xv“u‘

xi'v“— u“v‘ ’

(24)

czyli :

Pi _ Pi _ Pi

(240

Jeżeli wreszcie z pierwszych dwóch równań układu (22) wyrugujemy x', a z dwóch ostatnich x", natenczas otrzymujemy dwa równania następujące:

(u'v“ — u"v‘)y‘—(w'u‘‘—w“u') z'—(u"—«0—0?

(u'v“—u“v')y"—(iw'u“—iv“u') z"—(u“ -u')—0, z których wyrugowawszy różnicę (w'u" — w“u'), otrzymujemy równanie:

(u'v“—u“v‘)(y'z“—y“z‘) — (u"—u') (z"—s') = 0,

z“—z'

y'z“—y“z‘ '

Podobnie, wyrugowawszy z równań (22) kolejno najpierw y' i y", potem z¹ i z", znajdziemy stosunki:

czyli :

u'v“— u“v‘

u"—u'

(25)

v'xv“—v"xv'

V"—V'

z'x“—z“x‘

xv'xi"— xv“xi‘ w“—XV'

y"-y

x xj“—x“y’ '

(26)

czyli :

Pi    __ Pi_ *5 _ Pi

Pi ’    ~2 Po ’    *3 Pa '

Łącząc równości (P), (1") i (!"'), otrzymujemy zatem relacyę:

(260

(27)

Pi: Pi'-Ps-Pi- Pr,'- Pa = H- V-r-a: '■ r-i-*i, wypowiadającą warunki, pod lctóremi dwa układy spółrzędnych linii prostej, jako to spół-rzędne pi, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, oparte na spółrzędnych bieżącego punktu prostej, za promień uważanej, tudzież spółrzędne r1?    r3; 7:₄, r₅, r₆, oparte na spółrzędnych bieżącej płasz

czyzny, przechodzącej przez prostą, jako oś uważaną, przedstawiają jedną i tę samą linię prostą.

20. Uzmysłowienia konstrukcyjne. Niech będą dane równania linii prostej w spółrzędnych (x, y, z) jej punktów: x—az-J— a, y — bz-j-ß, a więc ay—bx — -i\, gdzie r] = aß—6a, natenczas równaniom tym odpowiadają płaszczyzny, rzucające daną linię prostą na płaszczyzny spółrzędne X0Z, YOZ, XOY, a zarazem trzy linie proste II"K" V, H“'KV“‘, HK'V, jako trzy rzuty I“, l 1‘, danej prostej l(HKV), przedstawionej na fig. 238. i 239.

Z równań rzutów linii prostej znajdujemy spółrzędne (x, y, z), jej śladów:

x—0

x = OH“ = H“‘H‘ = «,

H’ y = OH‘“= H“ H‘ = 8, z — 0,

a zarazem spółrzędne (u, », w) jej rzutów :

X = OV‘ = V" V= —

“T’

y=OK'= K“ K“‘ — —, J    a ’

0= OK" = K‘ K'“ = —,

v— —

0V‘

r\ ’

l“

OH"

OiP"

O K"

OR•

Ta sama linia prosta, niech ma w spółrzędnych (w, v, w) płaszczyzn przechodzących, równania :

--5

0V

przez nią

u=pw-j- k, v — qw-\- x, a więc pv—qu = h>,

gdzie u>=py.—qK, natenczas równaniom tym odpowiadają punkta na płaszczyznach XOZ' YOZ i XOY, w których dana prosta przebija te trzy płaszczyzny spółrzędne , czyli trzy punkta V, K₎ II, jako trzy ślady lxz, lyz, lxy tejże linii prostej 1{HKV).

IW*

i \ \v*

! \pK

:«q\*

JL

.......

JL

V.

E*

/.

KI

.. »■

y/Ei

Fig. 238.

Fig. 239.

Na podstawie równań tych trzech śladów, znajdujemy ich spółrzędne: x=OH" = H‘" H'=

ii

ÜJ ’

vl

7Ï ’

U-

OK‘ = K" K'"= —

y = 011"' = II" W = -^-,

OJ

a zarazem spółrzędne rzutów l', l", V" prostej l w postaci :

i/=or= V'V" —

— OK" — K‘K"' =

<7

•/.

OJ

0V‘

OH"

V"

OH"

OK'

«0 =

OP"

OK"

Dowolny punkt P, (fig. 238.), położony na danej prostej , ma spółrzędne Descartes’a :

x = PP"‘, y—pp“, * = pp⁴

natomiast dowolna płaszczyzna P, (fig. 239.), przechodząca przez tę prostą , ma spółrzędne Plückera:

<7

iz

w= —

0 Ex

OEz

OEy

Przyjąwszy na prostej 7, dwa punkta: Pi(x, y, z) i P₂(a?', y', P), (fig. 239.), otrzymujemy spółrzędne jednorodne tej prostej, za promień uważanej, na mocy określeń:

Pi=x—‘Pi=y—y‘, p₃=s—z', p₄= yz‘—y‘z, ph-=zx‘—z‘x, pG=xy'—x'y, przesunąwszy zaś przez tę samą prostą dwie jdaszczyzny, E(u, «, w) i E'(u', v\ w') (fig. 239.), otrzymujemy spółrzędne jednorodne tej prostej, za oś uważanej, na mocy określeń:

nl— u—^3 = W—w\ n±=VW'—v'w, nh = WU' — W'U₎ n^ — uv'—u'v, skąd wprost z figury wypływa proporcya bieżąca :

Pi ■ Ih : Pz ■ Pi ■ Pr, ■ Pr, = J\ ■    \ -n\ : "₂

której muszą uczynić zadość spółrzędne pi promienia i spółrzędne ni osi, tworzących tę linię prostą.

ćwiczenia XXI.

1)    Podać znaczenie geometryczne trzech równań:

(1) u—a, v — b, w — c, (2) u— 0, r — 0, w— 0.

2)    Podać znaczenie geometryczne następujących równań w spółrzędnych (w, ©, w) płaszczyzny :

(1) u—a, (2) v — b, (3) w — c: (4) au Ą-bv -\-d = 0, (5) au-\-cw-\-d = 0, (6) bvciv Ą-d = 0.

3)    Podać spółrzędne prostokątne punktów, przedstawionych równaniami :

(1) 8u—4® + 2w + l=0; (2) 2v—3*0=0; (3) u + 2t>+ 3u> = 0; (4) lu + 5r+ 2 = 0.

4)    Wyprowadzić równanie punktu, który dzieli odstęp między punktami:

xiu~\~y\v 4 ziw “f* 1=0, x.₂u 4 Viv 4zilv "I⁻1 =0,

na dwie równe części.

5)    Dowieść, że cztery płaszczyzny, określone spółrzędnemi :

Ą(-7n,    -%),    7», -*/«). Ą(-2, -u/s, ■%), Ei(-“A> -lsAi ••/„),

przecinają się w jednym punkcie P, określonym równaniem: 2« 4 3t>4 4*0 4 1=0.

6)    Ściany a, ß, y, 0 czworościanu mają spółrzędne:

®(1, 0, 0), ß(0, 1, 0), y(0, 0, 1), 3(—V₈, -V12, -Ve), wyznaczyć równania jego wierzchołków.

7)    Wyznaczyć spółrzędne wierzchołków czworościanu, którego ściany mają równania :

x=0, y— 0, z—0,    2*42^4 42=24.

8)    Dowieść, że cztery płaszczyzny :

4* 42y—32—11 = 0, 8æ46y—72—23 = 0, 12*—10y-ll2 45=0, 16*—14y—152 49=0, przecinają się w jednym punkcie P(4, 2, 3).

9)    Znaleźć spółrzędne płaszczyzny, przesuniętej przez trzy punkta:

3uyv -yiv—18 = 0, 3» 4 2» 4 w—21 = 0, 4« 4 2» 4    —75 = 0.

10)    Dowieść, że trzy punkta :

12« 4 4r—8w 41=0, 3« 4 v—2m> -(-2 = 0, Gu 4 2r—4iv 41 = 0,

leżą na jednej linii prostej :

11)    Wyznaczyć długość prostopadłej, wyprowadzonej z początku układu do płaszczyzny (1, 2, 5).

12)    Dowieść, że odległość o punktu: Auy Bo y Cw y D — 0, od płaszczyzny («', 0', *0'), przedstawia się wzorem :

Au¹ 2 4 Ev⁴ 4 Giv‘ 4 D

D\/u4i 4 ^/2 "h

13)    Wyznaczyć stosunek anliarmoniczny dwóch par płaszczyzn:

(3*4 2 yĄ-z =

14)    Stosunek anliarmoniczny czterech płaszczyzn (E\, ET₂, E₃, E\) - 3 ; znaleźć równanie płaszczyzny Ei, jeżeli:

Ei ==x-\-hy—3*—2 — 0. E% — 4* 4 3y—2—1 = 0, P3 = 3* — 2y4 2^-j- 1 =0.

15)    Stosunek anliarmoniczny czterech punktów : {A B CD) = % ; znaleźć równanie punktu D, jeżeli:

1    \2x y y — 1

1 la; — z —■■ 0.

A = lîu—13r—lito—23=0, B = 3«—5«;—w—5—0,    <7=«4^——4=0.

16) Równania czterech elementów (punktów, lub płaszczyzn) przestrzeni dane są A—B = 0, A—213 = 0, A—3H — 0, vl-4B=0;

w postaci:

wyznaczyć stosunek anharmoniczny drugiej pary elementów względem pierwszej. 17) Znaleźć czwarty element, harmonicznie sprzężony z elementami:

(a) A—0, P = 0, A -|- 2B = 0,    (b) A—3P = 0, ^-5P = 0, A—6P=0.

18) Wyznaczyć kat, jaki tworzą ze sobą płaszczyzny:

(—T’

4 ’ °)¹ (~¥’°> ~ir)’(ô) (“Ä

2    4 \    /    2

27 ’ 27/ ¹ V 13 ’    13

19)    Znaleźć spółrzędne Pliickerowskie płaszczyzn, dzielących kąt, zawarty między płaszczyznami x-\-y — 4 i x-\-z = 3, na dwie równe części.

20)    Wyznaczyć punkta , w których prosta, łącząca punkta (1, 2, 3) i (2, 3, 1), przebija płaszczyzny spółrzędne.

21)    Wyznaczyć w spółrzędnycli (w, r, w) równania linii prostej, podług których przecinają się płaszczyzny: (1, 2, 3) i (2, 3, 1).

22)    Znaleźć warunek, pod jakim prosta: u — mwya, v — nw-\-b, przecina prostą: u = m‘w-\- a\ v = n‘w -j— b\ i wyznaczyć w tym przypadku spółrzędne płaszczyzny, przesuniętej przez te dwie linie proste.

23)    Pod jakimi warunkami przedstawiają równania:

¹

AxĄ- By -y Cz Ą- D = 0

²

\ A‘x Ą- B‘y 4. C‘z-yD'= 0

tę samą linię prostą.

I nu -j- bv 4 cw -j- d — 0 \a‘u b‘v -|- c‘w y d⁴ —0

- ‘284 —

24)    Wyprowadzić równania linii prostej, która przechodzi przez punkt, określony równaniem: auĄ- bv + cw -J-1 = 0, i tworzy z osiami układu kąty X, [j, v.

25)    Wyprowadzić równanie prostej, przechodzącej przez punkt: au + bv + cw + 1 = 0, prostopadle do płaszczyzny («', t>', w‘).

26)    Wyznaczyć kąty X, v, jakie prosta , łącząca punkta :

au + bv -J- cw + 1 = 0 i a‘u + b‘v + c‘w —J— 1 = 0,

tworzy z osiami układu.

27) Znaleźć spółrzędne płaszczyzny, która przechodzi przez dwie przecinające się

proste :

( au-\-bv-\-civ-\-l = 0

1 (a+cos a')w-j-(ó+cos ß>+(c+cos Y>+1= 0.

lau-\-bv-\-cw-{-1 = 0

l(a+cos « ‘)u +(6+cos(i')r+(c+cos y)w+1 = 0

28) Wykazać, że kąt w, zawarty między liniami prostemi, danemi przez równania:

wyraża się wzorem :

\ au + bv + cw + 1 = 0 i a‘u + b‘v + c‘iv +1 =0

au -j- bv + cw 1 = 0 a“u -j- b“v + c“w + 1= 0,

(a—a') (a—a") + (&—&') (b—6") + (c—c') (c—c")

\/(a—a')²+ [b—&')²+(c—c')² \/(a—a")²+(ó—&")²+(c—c")2 29) Wykazać, że równania linii prostej w spółrzędnych płaszczyzny, kształtu: u—pwĄ-n^ v=qw y., przedstawiają się w spółrzędnych punktu, w postaci:

COS W =

z-JL

.i

qn — py-

30) Wykazać, że kąt 0, jaki płaszczyzna (a, b, c) tworzy z linią prostą:

{a‘u + b‘v + &w + 1=0, a"u + b“v + c“w + i =0),

wyraża się wzorem :

sin 0 =

(a‘ — a")a + (b'—6") b + (c'—c")c

\/(a' — a")² + (b‘—ó")² + (c'—c")²    \/ a¹ + ft² + c²

31)    Podać warunki, pod któremi prosta: u—pw-\-jr, v = qw-\-y., przechodzi przez punkt : Au + Bv + Cw + D — 0.

32)    Podać warunki, pod któremi prosta: u = piv-\-czyźnie (A, B, C).

33)    Znaleźć spółrzędne płaszczyzny, przechodzącej przez linię prostą:

{    0 ’ ProstoPadle do płaszczyzny Aux + B“y -{- C“z + D“

34)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przechodzącej przez prostą :

\Axx-\-B^yĄ- C^z +Z>! = 0    ,    ,    , i    , . IA₃xA- B₃y + C₃z + D₃ = 0

\A₂x +B.pj + C₂z + D.₂ =0 rowno,e^le do ProsteJ : Ll₄* + Ąy + ą« + Ą = 0'

7T,

v = qw + •/., leży na płasz-

= 0.

35)    Znaleźć : (a) spółrzędne Pliickera r, s, p, a, r) linii prostej, uważanej jako promień, łączący punkta (1,2,3) i (4,5,6); (b) sześć spółrzędnych symetrycznych p. tegoż promienia.

36)    Znaleźć: (a) spółrzędne Pliickera p, ?, n, x, w linii prostej, uważanej jako oś, powstałą przez przekrój dwu płaszczyzn (1, 2, 3) i (4, 5, 6); (b) sześć spółrzędnych symetrycznych ni tejże osi.

37)    Znaleźć kąty, jakie tworzy z osiami układu:

(“) 1>r0Sta    + p

(i) prosta {“

= piv + n

— qw + **

38)    Wyznaczyć równania prostej : (a) wychodzącej z punktu (1, 5, 7), prostopadle do

płaszczyzny: x-\-y-\-z = 1;    (b) wychodzącej z punktu: du + hv + 3w + 1 = 0, prostopadle

do płaszczyzny (1, 1, 1).

39)    Znaleźć: (a) równanie płaszczyzny, przechodzącej przez prostą: x=5z—8, y=9z—3, prostopadle do płaszczyzny: Ax +3y + 2z= 1 ; (b) spółrzędne płaszczyzny, przechodzącej przez prostą: u—3w—5, v—lw —2, prostopadle do płaszczyzny (5, 3, 1).

40)    Wyznaczyć: (a) równanie płaszczyzny, przechodzącej przez prostą: x — z—1, y = 8£-ł-3, równolegle do prostej: x— 2z -\-l, y=.Az-\-b) (b) spółrzędne płaszczyzny, przechodzącej przez prostą: u=w-\-7, ® = 5m» + 1, równolegle do prostej: m=3^+1, v=2w—2.

41) WyproAvadzié równania linii najkrótszego oddalenia prostych :

0—5    æ-2_ÿ_0 + 4

Rozwiązania XXI. 1) (1) Płaszczyzna, przecinająca osie układu w punktach:

(-i °,°), (o,

czyzny, przechodzące przez punkt ^--—, 0, oj ; (2) punkt ^0,

(4) punkt    O)

P°)> (°>°-

y), (2) Płaszczyzna w nieskończoności. 2) (1) Płasz-

— y :c) ; (³) Punkt (o> °, -y); XOZ-, (6) p(o, ~

dJ

XOY; (5) P (~, 0, ~)

³) (!) (⁸, —4, 2), (2) ({J, oo, oo), (3) (00,00,00), (4) (’/₂, %, 0). 4) (xlu-{-yiv-\-siw-{-l) + (x₂u-\-Vïv + zîw 1) = 0. (i) w-f-77-f- w—1=0, Gm—v—w-\-l—0, Au-\-Av- ldiv—4=0. 2m—Alv-\-2iv—2=0. 7) (0,0,0), (0,0,6), (0,12,0), (8,0,0). 9) (-%, 10, ²%). 11)%\/W. 13) % 14) ll*+4y-l=0. 15) u — lv 13m> -j- 3= 0. 16) y₃. 17) (a) A-2B = 0, (b) A-%B = 0. 18) (a) 60», (b) 0°. 19) (-?, -4, -!) i (0, -1, +1). 20) 0, 1, 5), (-1, 0, 7), (%, %, 0). 21) 2u+w=5, 2v+u>=7.

(m—m‘) b—(a—a')n

, »=------— , «> =

m—m

na

na

na YOZ.

22) (a—«') (n—n‘) — (b— b‘) {m—m‘) ; u

a‘m — am‘

a—a‘

m—m‘

23)Aa+Bb+Cc+Dd=0, Aa‘+Bb*-\- Cc‘-\-Dd‘=0, A'a+B'bĄ-C'c+D‘d=0, A'a'-\-B'b'+ C'c'+D'd'=0.

24)

cos X cos p. COS V

C. 25) ^ v    u'

cosl COS p. COS V

a—a‘

b—b‘

27)

-1

cos ß, cos y cosß', cos y'

COS a, cos ß COS a', cos ß'

^+52+0=0- 32) A=pCĄ-n, B—qCĄ-v.. 33) u = B(A'A" + &)—B‘(AA" + &)

cos y, cos a cos y', cos a'

V/{a — a')² 4- &

. 31) An -j- By. -j- Z) = 0,

cos ß, cos y cosß', cos y'

A(A'A"-\-B'B"-\- G‘ 0"')—A‘(AA"-\-BB"Ą- CC“) T)(A⁷A⁷⁷+BiB"-\-C'C“)—D\AA''-{-BB"+-CC'')' C(A*A" + &)— C\AA“ + &)

+&

B(A'A“ -f- &)—Z>'(AA" + &)

^2) -4₃, ^4

34) Ą, Ą, Ą

^2)    ^3)

85) (a) r = 1, « = 1, p = —2, er = — 1, 7) = 1. (&) y = y = y = y —

-2, * = —1, „=1 .Ł.3_Łl.i.?. 37)(«)^=OOS1‘-COSV-

1111    —^ JL    ö

,, N cos X cos p. COS V

W—----

+Ł'-

(b) (22, 7G, 1). 41) 4L» + 23y + 52® = 260, 5* + 13//-1162=441.

<A,x +Bty + ą z+ /),)—

i“*»

- D\AA“ -f &).

> -®3j ^4 (-4.2* "f"    -\-C₂z -f- B₂)=0.

, ą, ą

D(A'A“

Pn

f. 36) p=l, 2=1,

r: =

38) («) x—1 = 7/—5=0—7; (£>) m-J- y

2^1 px V//t²+'/.²+( qn-pxY ~    39) («) 5*-2t/-7® + 34=0; (6) (-⁹²/₃₇, ⁶⁹/s7, *%)■ 40) («) 4* + y-12* + 1=0;

Literatura. H. Cotta. Handbuch von Aufgaben und Formeln aus der technischen Geometrie und Stereometrie 1874. J. H. G r a e f e. Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie des Raumes, 1888. J. Müller. Elemente der analytischen Geometrie in der Ebene und im Raume, 1878. J. Hymers. Treatise ou Analytical Geometry of three dimensions, 1836. Julius PI Ücker. Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der Linie als Raumelement. Mit einem Vorwort von A. Clebsch. Leipzig 1868.

Tematy do rozprawek naukowych.

podstawie spółrzędnych płaszczyzny.

1)    Geometrya punktu, prostej i płaszczyzny na

2)    Zasada dwoistości w odniesieniu do własności czworościanu.

3)    Znaczenie geometryczne równania pierwszego stopnia w spółrzędnych linii prostej

w przestrzeni.

Wykład XXII.

Spółrzędne czworościenne elementów przestrzeni.

1. Równanie jednorodne płaszczyzny i równanie jednorodne punktu.

Jeżeli dane są cztery płaszczyzny, tworzące ściany czworościanu, zapomocą równań w spółrzędnych bieżącego punktu (x, y, 0), w postaci skróconej :

jb₄-o, e₂=o, js₃=o, e,=o.

natenczas możemy wykazać, że równanie wszelkiej innej płaszczyzny da się przedstawić w postaci jednorodnej :

(1)

(2)

(tEy -J- J}E2 d⁻ cE3 d⁻ i'ZE₄ =

Skoro bowiem dane cztery płaszczyzny, przedstawimy równaniami :

EiE=A.iX-{-Biy-\-Ci8-\-Di=*=0, (*, 2, 3, 4), a dowolna piąta płaszczyzna ma równanie: E= Ax-A-By-f-CzA~B=0, natenczas równanie jednorodne: aEy +bE₂-\-cE₃-]-dE^=0₉ otrzymuje kształt: a(AyX d- By y -f- CyZ A~By) -f- b(A₂x A-B₂yA C₂z -f- D₂)A~ c (A₂x d⁻ Bzy d~ C₂z + DS)Ą-A-d(AixA-BliyA- CIlzA~DJ=0, a więc sprowadza się do postaci: Ax-\-By-ł-Cz + D=0, skoro spółczynniki a, ó, c, d, tak dobierzemy, że będzie :

ttAy d⁻ b A₂ d~ ('Ary d⁻ dAy = A} aBy -j⁻ bJB₂ d⁻ ^B₂ d⁻ dB₄ =• Zł, aCx -\-bC₂+cCry -AdCk = C, aDx d-bD₂ Ą-cD^Ą-dB^D.

A zatem: Jeżeli w przestrzeni dany jest pewien stały czworościan ABCD, którego ściany a, /?, y, ô, mają w spółrzędnych (x, y₎ z) kolejno równania: Ey =0, E₂=0, Es — 0, E^=0, gdzie Ei=AiX-\-Biy-\-CiZ+Di=Oi (*=1,2, 3, 4), natenczas równanie dowolnej płaszczyzny : E= Ax A-By A- Cz + D=0, da się zawsze sprowadzić do równania jednorodnego : aEx d- bE₂ -f- cEz -f &Ek = 0.

Na podstawie zasady dwoistości otrzymujemy stąd anałogiczne twierdzenie o równaniu jednorodnem: aEy d-& JP₂ Ar C-P3 d~ <ZBK — 0, punktu, opartem na równaniach: ^=0, J*₂=0, P₃=0, jP₄=0, czterech punktów w przestrzeni.

To spostrzeżenie prowadzi do rozszerzenia pojęcia spółrzędnych punktu i płaszczyzny w odniesieniu do pewnego stałego czworościanu.

2. Spółrzędne czworościenne punktu. Weźmy pod uwagę cztery płaszczyzny, zamykające czworościan. Równania normalne tych płaszczyzn, odniesione do dowolnego układu prostokątnego, niech będą:

XGOsÀy d-ycos [iy -\~z cos Vy —Py =0, æcos X₂ Ary cos p₂ A-z cos v₂—p₂=0, x cos d-y cos [iry -h z cos vz —pz =0, x cos ź₄ -j-y cos d- z cos r₄ —pk =0. Przyjmijmy teraz dowolny punkt P(x^yxz) i oznaczmy przez jego odległości prostopadłe od ścian czworościanu , wówczas otrzymamy : d₄ =æcos ly A-y cos -A-z cos Vy—px, ô₂=xcos Â₂ A-y cos p₂ d-£cos v₂—p21 d₃=.zcos ź₃ A-y cos p₂ -h^cos v₂ —p₃, d₄=.rcos ź₄ -f y cos pk-f z cos vK—pK.

Odległości tego punktu od ścian czworościanu, mierzone w kierunku prostych dowolnie obranych, tworzących z odpowiedniemi ścianami czworościanu kąty ©1? ©₂, ©3, ©₄, będą tedy:

(^sec©!, d₂sec©₂, d₃sec©₃, ó₄sec @₄.

Otóż te odległości mogą być uważane za spółrzędne punktu w przestrzeni , nazywają się też spółrzędnemi czworościennemi punktu i oznaczają się przez xi} x₂, æ₃, æ₄; sam zaś czworościan AB GD, zowie się czworościanem odniesienia. Ściany czworościanu odniesienia rozkładają przestrzeń na 15 obszarów. W celu odróżnienia od siebie tych obszarów przyjmiemy spółrzędną xt punktu P, odniesioną do pewnej ściany za dodatnią , lub ujemną według tego, czy punkt P i wierzchołek przeciwległy tej ścianie , leżą po tej samej, czy też po przeciwnych stronach tej ściany. Położenie punktu P jest widocznie zupełnie oznaczonem, skoro znamy 3 spółrzędne czworościenne punktu co do długości i znaku, musi więc istnieć pewien związek między czterema spółrzędnemi punktu, z któregoby można obliczyć czwartą spółrzędną.

Wyprowadzimy ten związek, biorąc najpierw pod uwagę tylko spółrzędne czworościenne prostopadłe, rozumiejąc więc przez xi, x₂₁ x₃, æ₄, długości prostopadłych, spuszczonych z punktu P na ściany czworościanu odniesienia.

W tym celu połączmy punkt P z wierzchołkami A, P, C, D, a otrzymamy cztery czworościany składowe PBCD, PCDA, PDAB i PABC.

Suma algebraiczna objętości tych czworościanów, mających w punkcie P wspólny wierzchołek , równa się objętości czworościanu.

Dla punktu położonego wewnątrz czworościanu jest to twierdzenie widocznem. Nietrudno sprawdzić je , jakkolwiek byłby punkt położony. N. p. dla punktu, leżącego w kącie bryłowym A po przeciwnej stronie ściany PCD, jak leży wierzchołek A, będzie spółrzędną x₁ ujemną, należy więc czworościan o wysokości xi odjąć od sumy trzech trzech innych czworościanów, aby otrzymać objętość czworościanu odniesienia, a więc suma algebraiczna wszystkich czterech będzie w istocie równą objętości czworościanu odniesienia i t. p. w innych przypadkach. Gdziekolwiek więc w przestrzeni leży punkt P, mamy zawsze :

(3)

(PABC)A(PB CD) + (PGDA) + {PDAB)=(A B CD).

Oznaczmy przez a, b, c, d powierzchnie ścian czworościanu, przeciwległych wierzchołkom A, P, C, P, a przez 7 objętość czworościanu odniesienia, wówczas przedstawi się powyższy związek w postaci :

3 a%f d 3 ^#2 4" 3    4* 3 ^4 ⁼ V)

axi + bx₂ -f- cx₃ -f dxk=3 F.

Wskutek tego związku, dość jest znać liczby, proporcyonalne do spół-rzędnych czworościennych punktu, aby z nich wyprowadzić wartości samych spółrzędnych. Przypuśćmy n. p., że spółrzędne punktu są proporcyonalne do liczb Z₂, i₃, i₄, wówczas otrzymamy:

axi -j- bx₂ A cx₃ -f- dxk

czyli :

(4)

skąd :

xx    x₂    x%    xk

Â]    À₂    Âo    >ł.₄    ciÀ^ -J- bÂ₂ -f- cÂr, 4" dÀ^

37

xt

37

Ài’ Xl~atiA&Âv

37

37

x₃

’ Xbt aÀx A &

Jeżeli zamiast spółrzędnych prostokątnych punktu xi, #₂, x₃, XK) używamy spófczędnych ukośnych X1? X₂, X₃, X₄ tedy będzie;

X₃=nx:,,

X₁=^₁,

X₄

(50

X₂=mx₂₁

gdzie Z, m, w, p zwane parametrami odniesienia, są stałemi dowolnemi, zależnemi od kierunków spółrzędnych. Spółrzędne takie związane będą wskutek relacyi (4) równaniem :

aXx

bX₂

CX₃

dXk

3F.

(40

3. Jeżeli ściany czworościanu są przedstawione równaniami kształtu :

Ax -\-Bij -f- Os -j-D = O,

wówczas możemy uważać za spółrzędne czworościenne ilości :

Xi=Aix-\-Biy-^-Cis-{-Di = lxx X₂—A₂x-\-B₂y-\- C₂z-\-D₂— mx 2 X₃=A₃x+B₃y-\-C₃z+D₃=nx3 •V₄ :—AxxA-Bxy-Ą- Oxz-\- /ł₄= px^ parametry odniesienia będą tu miały wartości :

Z=V/0łi²+Ą² + C'₁²,

n=\/A^+BS+C^

î)=l/VWW

(6)

(GO

Można wreszcie przyjąć za parametry odniesienia ilości a/3, bj3, c/3, d/3, wówczas przybierze równanie (40 kształt :

(7)

x₁+x₂+x₃+x₄=f.

Spółrzędne jednorodne Xt, X₂, X₃, X₄, przedstawiają tu widocznie objętości czterech czwoi*ościanów cząstkowych. W końcu, jeżeli przyjmiemy za spółrzędne punktu stosunki objętości czterech odpowiednich czworościanów cząstkowych do czworościanu odniesienia, otrzymamy spółrzędne ?l5 ?₂,    £4? związane równaniem:

?l+5₂+S3-H4=l.

(8)

4. Jakikolwiek z tych rodzajów spółrzędnych czworościennych obierzemy, będzie zawsze związek między niemi, a spółrzędnemi Kartezyuszowskiemi (x, y, £), określony równaniami kształtu :

xi =aix-{-biy->rcxz-hdi x₂=a₂xĄ-b₂y-\-c₂z-\-d2 x₃=a₂x+b₂y + c₂0+d2 xk=ax%+&₄y -f -f

gdzie xx,x₂,x₃,#₄ przedstawiają spółrzędne czworościenne, (jr,y,0) zaś spółrzędne Kartezyuszowskie tegoż samego punktu. Każdemu układowi wartości na #, y, 0 odpowiada układ wartości na xi, x₂₎ #₃, æ₄ i odwrotnie każdemu danemu układowi wartości na xi, ic₃, £C₄ będzie odpowiadał jedyny układ wartości na x, y, £. Gdyż rozwiązując te równania względem x, y, 0, 1, otrzymamy:

Dx^=alxi +a₂x₂ + a₃x₃ + aixi

Dy⁼ß\x 1 +^2^2 i⁻    ßkxk

Dz=yx xx + y 2^₂ + y₃#₃ + y₄^4 D — ÔXXX -\-S₂X₂ +^3^3 + ^4^4 gdzie at-, yf, d,-, (i=l, 2, 3, 4) oznaczają ilości dołączone do elementów a*, bi, c,-,    (i=l, 2, 3, 4) w wyznaczniku:

«1, &i, Cj, tt2 ? ^2 J C2) ^2 63, C3> ^3 a4J ^4> C4? ^4

D=

(9)

(9')

Będzie więc:

y=

ay xx + a₂x₂ + a₃ #₃ + a₄Æ₄

xi -\-ó₂x₂Jr ó₃a?₃ + àkxk ß\ Xj 4~/?₂*2 +/?3^3 +/5₄^4

Ôlx₁ + ô₂x₂ + ô₃xi + dfä 7l*l + 7₂*2 + 73*3 + 74*4

(9")

^1®1 +(5₂*2+^3*3+⁽⁵4*4

Wstawiwszy w jakiekolwiek algebraiczne równanie między x, y, £, powyższe wartości na æ, y, z, otrzymamy zawsze równanie jednorodne między spół-rzędnemi x₁, x2: x₃, xK. Z tego powodu nazywają się też spółrzędne czworo-ścienne punktu także spółrzędnemi jednorodnemi punktu.

Jako szczególny rodzaj spółrzędnych jednorodnych punktu używa się częstokroć spółrzędnych aą, x2} x3} æ₄, połączonych ze spółrzędnymi Descartesa równaniami :

xi

x₂

*3

xk

*4

(10)

Tak określone spółrzędne jednorodne punktu są szczególnemi spółrzędnemi czworościennemi ; ścianami czworościanu odniesienia są tu trzy płaszczyzny spółrzędne YOZ, ZOX, XOY i płaszczyzna w nieskończoności.

5. Równanie jednorodne pierwszego stopnia w spółrzędnych punktu, czyli równanie płaszczyzny. Równanie jednorodne pierwszego stopnia w spółrzędnych punktu kształtu :

Xxy 4-13x2 -j- Cxg 4- DiI/4 =0, będzie także stopnia pierwszego w spółrzędnych x, y, z, jeżeli zastąpimy w niem spółrzędne xi,x₂,x₃, x₄ przez ich wartości (9), przedstawia więc równanie płaszczyzny, której szczególne położenie zawisło od spółczynników stałych A, B, a D.

(U)

W szczególności przedstawia równanie pierwszego stopnia, mające tylko jeden wyraz

płaszczyznę, wpadającą w jedną ścianę czworościanu (w danym wypadku w ścianę BCD).

Równanie, mające dwa wyrazy n. p.:

Axi -{-Bx₂=0,

przedstawia płaszczyznę, przechodzącą przez jedną krawędź czworościanu (w danym wypadku krawędź CD).

W końcu równanie jednorodne o trzech wyrazach n. p. :

Ąx 1 + Bx 2 4- Cx 3 =0,

określa płaszczyznę, przechodzącą przez jeden wierzchołek czworościanu (w danym wypadku przez wierzchołek D).

Axi =0,

(12)

(18)

(14)

6. Chcąc zbadać bliżej znaczenie stałych spółczynników w równaniu jednorodnem:

Axl -\~Bx₂ 4 Cx₃-\-Dxi= 0,

przeróbmy to równanie na równanie współrzędnych Kartezyusza. Oznaczmy przez \, u,,vt kąty, jakie linie proste, prostopadłe do ściany a czworościanu, przeciwległej wierzchołkowi A, tworzą z osiami OX, OT, OZ, przez p₄ zaś długość prostopadłej z początku układu na tę ścianę i t. d., a otrzymamy równanie przerobione w postaci :

A{x cos -f- y cos -j- e cos v₄ — p, ) 4-5 (x cos X₂ -f- y cos ji₂4" 0 cos v2 —P2) 4*

-\-C(x cos X₃-j- y cos [i₃4- « cos v₃— p₃) -\-D (x cos X₄4- y cos z cos v₄—p₄) = 0,

czyli :

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Jeżeliby w równaniu jednorodnem było : A— a,

B = b,

C — c,

(a, b, c, d są powierzchnie ścian czworościanu), tedy płaszczyzna taka miałaby wedle wzoru (19) równe odległości od wszystkich wierzchołków czworościanu, co jest niemoźebne, chyba gdyby te odległości były nieskończenie wielkie. Równanie kształtu:

axj-f- bx₂-\- cx₃-\- dxi= 0,

przedstawia więc płaszczyznę, położoną w nieskończoności.

8. Dwa jednoczesne równania pierwszego stopnia kształtu :

(22)

{A cos cos X₂-f-ć7cos X₃-j-D cos X₄) x -f--f- (A cos [j-t Ą-B cos u₂-]-(7cos [-i₃—|—X> cos \>%)y +

-}- (A cos    cos v₂ + C cos v₃ f D cos v₄) z —

—(4P i +BPi + CPz+DPi) = 0-

Odległość prostopadła d jakiegokolwiek punktu (x',y‘,z') od tej płaszczyzny oznaczoną będzie wzorem :

^_ {A cos \ -f- &) #'+ {A cos [rt -j- &) y'Ą- (A cos v₄ -f &) z'—(Api -f- &)

V(A cos X₄-j- &)² -\- (A cos [Tj -j- &)² + (A cos v₄ &)2 j    Ax\-\-Bx\-\-Cx\-\-Dx\

\/(A cos X, -f- &)² -f (A cos fj-i -j- &)² + (A cos v₄ + &)2 jeżeli x‘X) x'2: aj'₃, #'₄, przedstawiają spółrzędne czworościenne tego punktu.

Wyrażenie, znajdujące się pod znakiem pierwiastkowym w mianowniku, po wykonaniu działań i po uwzględnieniu relacyj :

COS²Xj-f- COS²(JL₄ -f COS²Vj=l, COS XjCOS X₂+ COS (JLt COS fj.₂-t~ COS VjCOS v₂= COS (a, ß), gdzie («, ß) oznacza kąt dwuścienny czworościanu przeciwległy krawędzi A B przyjmuje postać : ^l²4-i?²+6'²-t-Z>² + 2 AB cos (a, ß) -f 2 AC cos (a, T) + 2 AD cos (a, 8) +

-1- 2 BC cos (ß, y)-\-2BD cos (ß, 8) + 2 CD cos (y, 8), którą dla skrócenia oznaczymy przez B, (7, i)|².

Wstawiwszy w wyrażenie (IG) zamiast x\,x'₂,x'3l x\ spółrzędne czworościenne wierzchołków czworościanu odniesienia, jako to kolejno (ht, 0, 0, 0), (0, A₂, 0, 0), (0, 0, /«₃, 0), (0, 0, 0, /*₄), otrzymamy, jako odległości wierzchołków czworościanu od danej płaszczyzny:

Dhk

czyli :

d,=

A\

{a, B, c, d\

skąd wynikają równości :

d₂=

Bh₂

Ch?,

{a, b, c, d}’ ch {a, b, c, x>}’

F B, O, B}’

(15)

(16)

(17)

i*

d₂

T₂

d₃

h₃

albo, jeżeli zastąpimy w nich \ przez h₂ przez -j~-w postaci :

adi

bd₂

cd₃

d%

(18)

i t. d.

ddk

(19)

7. Na podstawie równości (18) i (19), określających znaczenie spółczynników, możemy równanie jednorodne pierwszego stopnia, czyli równanie płaszczyzny, przedstawić w postaci :

di

d.

»3

dk

hi

h₂

h₃

«•₄=0,

albo :

adiarj —J— bd₂x₂-\- cd₃x₃-\- dd₄a?₄= 0.

A^iAA xi Ax?, + A .r₄= 0

A₂x\ -\-B₂x₂-\- (J₂x₃-\-D₂Xi= 0

sprawdzają się dla spółrzędnych takich punktów, które są wspólne obu płaszczyznom równaniami (22) przedstawionym, określają więc prostą w przestrzeni, jako przekrój tych płaszczyzn.

9. Spółrzędne czworościenne płaszczyzny. Weźmy pod uwagę cztery punkta w przestrzeni, przedstawione równaniami Plückerowskiemi :

+ 1=0 x₂u+y₂v-\-z₂w +1=0 x₃u-ry?y-\-z₃w-{-1 = 0 V+y₄v+0₄w + l=O

Przyjmijmy teraz dowolną płaszczyznę w przestrzeni, mającą spół-rzędne Pltickerowskie u, v, w i oznaczmy przez di: d₂, <?₃, d₄, odległości prostopadłe tej płaszczyzny od danych czterech punktów, tedy będzie:

^ xiuĄ-y^vĄ-ziw-\- l ' j x₂u-\-y₂v-\-z₂w Ą-l ¹ Vu²-\-v²w² 7    2    \/u²-\-v²-{-w² 7

^ _x₂u+y₂'oĄ-Zz wĄ-1 #    ^ xku-\-yKv+zK w-\-1

Y/w² + V²-f W2 7    4    V/w² + V²+ W²

Odległości danej płaszczyzny od czterech punktów stałych, mierzone w kierunkach, tworzących z płaszczyzną kąty: ®l7 ®₂, ®₃, ®₄, będą natomiast: <?₁sec®₁, <Z₂sec ®₂, <ż₃sec©₃, ^₄sec ©₄. Otóż te odległości mogą być uważane za spółrzędne płaszczyzny w przestrzeni, nazywają się też spół-rzędnemi czworościennemi (czteropunktowemi) płaszczyzny i oznaczają przez w1} w₂, m₃, uk ; czworościan zaś, wyznaczony danemi czterema punktami, nazywa się czworościanem odniesienia. Co do znaków przyjmuje się to, że spółrzędne czworościenne płaszczyzny, które leżą po tej samej stronie płaszczyzny, mają też jednakowe znaki.

10. Aby wyznaczyć związek , jaki zachodzi między czterema spółrzędnemi czworościennemi danej płaszczyzny, weźmy najpierw pod uwagę spółrzędne czworościenne prostopadłe, rozumiejąc więc przez uX) w₂, w₃, w₄ odległości prostopadłe wierzchołków danego czworościanu od tejże płaszczyzny.

Niech będzie:

równaniem danej płaszczyzny, tedy będzie na mocy wzorów (17) str. 290. :

Ahx

B, C,D}

skąd wypada :

(24)

u₂

BJu

Ch3

DhA

{A,B,C,D}’    [A,B,C,Dy "*    [A, B, C, D)

IA, B, C, Dy

W²,

u\

= {A, B, C, D}> =

h\

s-

I Ux U₂ % M₄ j ²

IV V V \\

a więc :

czyli :

V , «J I «V Ä²j ⁺ Ä²j ^ h\ ^ h\

₊₂^bcos(.,₈₎₊₂ SÄ

cos

(«» P)+²|^ cos (*> 7) +

U\ U.₂

h h₂

(ß? ï) +2 cos (ß, 8) -j- 2

cos

^3

h₃ ht

cos (y, 8) = 1.

Jest to związek między prostopadłemi spółrzędnemi czworościennemi płaszczyzny, za pomocą którego, mając dane trzy z nich, można wyznaczyć wartość czwartej. Wstawiwszy w nim:

, h2~T ,    >*3=-

*₄ =

3F

gdzie F wyraża objętość, zaś a, &, c, d, powierzchnie ścian czworościanu, otrzymamy powyższy związek w postaci:

ahi\-\- bhi\ -}-c%²₃ -j-cZ²w²₄ -f- 2abuxu₂ cos(a, ß) -j-2ac«₁«₃ cos (a, y)-j--{-2a<2w₁w₄cos(a, ö)-}-2öcw₂w₃cos(ß, y) + 2bdu₁ui cos (ß, 8)-j-2c^M₃w₄cos(y, 8) = 9F², albo w skróceniu:

jćWj, Zw₂, cw₃, <2m₄}²=9F².

Związek ten da się łatwo przekształcić, jeżeli zamiast spółrzędnych prostopadłych użyjemy spółrzędnych ukośnych czworościennych: Ux=lxuxi U₂ — <₂w₂, U?> = ?₃%, F₄= Z₄w₄, gdzie ?j, ?₂, Z₃, Z₄ przedstawiają dotyczące parametry odniesienia.

11. Równanie punktu w spółrzędnych czworościennych płaszczyzny.

Z równania płaszczyzny :

Axx -j- JBx₂ -f Cx₃ -f- Dx₄=0,

otrzymujemy jej spółrzędne czworościenne w postaci:

A\

B\

Ch₃

B\

{A, B, C, D}

Wyznaczywszy stąd wartości na A, JB, C, D i podstawiwszy je w równanie płaszczyzny (25), otrzymamy równanie kształtu :

albo :

{A, B, C, D) ’

[A, JB, C, D\

{A, B, C, B} '

• ux

m₂

ÏT

A₂

(26)

(26')

auixi -\-bu₂x₂ -\-cu₃x₃ -{-duix[i=0.

Równanie to wyraża związek między spółrzędnemi czworościennemi płaszczyzny i spółrzędnemi czworościennemi punktów tej płaszczyzny, przedstawia więc, albo zbiór punktów na płaszczyźnie (ux, u.₂, u₃, m₄) położonych, albo zbiór płaszczyzn przez punkt (xx, x₂, x?>, æ₄) przechodzących, stosownie do tego, czy będziemy uważali spółrzędne płaszczyzny (w1? u₂,u₃, w₄), jako dane, a spółrzędne punktu (xx, x₂, x₃, xk) jako zmienne, czy też przeciwnie spółrzędne punktu (xit x₂, x₃, xk) jako dane, a spółrzędne płaszczyzny (wl7 u₂, u₃, w₄), jako zmienne.

Wskutek tego równanie w spółrzędnych (xx, x₂, x₃, æ₄) kształtu:

Axx -f- Bx₂ -j- Cxg -f- Dx₄ =0 jest równaniem płaszczyzny; równanie w spółrzędnych (w₄ , u₂, u₃, w₄), kształtu

Aux -f-2?w₂ -f Cu₃ + Dw₄ =0

(27)

(270

jest równaniem punktu.

W równaniu (27) są spółczynniki A, B, C, D proporcyonalne do liczb ;

u₂

u?<

a₃

, czyli auy, bu₂, cu₃, duk A4

K A 2

w równaniu (270 są ⁰¹¹⁶ proporcyonalne do liczb:

X\ x₂ x3 K' h₂ ’ h₃

co dozwala w pierwszym przypadku wyznaczyć spółrzędne płaszczyzny, w drugim spółrzędne punktu odnośnie do danego czworościanu.

Jeżeli płaszczyzna oddala się do nieskończoności, wówczas dążą jej spółrzędne do wartości równych, spółczynniki A, B, G, D, będą więc proporcyonalne do liczb :

czyli axi, bx₂, cx₃, dx4 A4

h-*

czyli do liczb: a, b, c, d, t. j. do

7^+7^ + 7^=0, albo równanie l A₂ A₃ ń₄

ax₁ + bx₂ -\rcx₃ -f Æcc₄—0, przedstawia zatem płaszczyznę w nieskończoności.

Podobnie dążą dla punktu, oddalającego się do nieskończoności, spółrzędne xx,x₂,x₃, xk, do wartości równych

-4, B, G, D równania (27') będą proporcyonalne

do liczb: —. —. —, —, czyli do liczb a, b, n₃ hk

U₃ 4

_ h₂ h₃ T ₄

nanie: aux -f-bu₂ + cu₃ -j- du^ = 0, przedstawia zatem punkt w nieskończoności.

12. Spółrzędne czworościenne punktu i płaszczyzny, określone na podstawie stosunków anliarmonicznych. Spółrzędne czworościenne punktu P

A₂ Ag

powierzchni ścian czworościanu ; równanie :

a zatem spółczynniki

Ai    A ₂

'R

c, d ; równanie : ^

=0, albo rów-

łR

Fig. 240.

określone, jako prostopadłe odległości punktu P od czterech ścian a, ß, y, d, czworościanu ABCD, dają cztery wielkości xi=PiP, æ₂=P₂P, #₃ = P₃P, #₄ = P₄P, od siebie zależne (fig. 240.), których stosunki wystarczają już do wyznaczenia punktu w przestrzeni. Spółrzędne czworościenne płaszczyzny tc, określone, jako odległości płaszczyzny n od czterech wierzchołków A, P, C, D, czworościanu aßyö, dają również cztery wielkości: ui=An, u₂ = Bti, uz — Cti, u^Dti, od siebie zależne, których wiadome stosunki wystarczają już do wyznaczenia położenia płaszczyzny w przestrzeni.

Otóż tym stosunkom możemy nadać inne znaczenie geometryczne, związane z pojęciem stosunku anharmonicznego.

(a) W tym celu weźmy pod uwagę dwa punkta E i P, odniesione do danego czworościanu aßyö, i uważajmy punkt E, jako pewien stały punkt przestrzeni, a punkt P, jako pewną stałą płaszczyznę prze-jako bieżący punkt tej przestrzeni, natenczas, przesuwając przez punkta E iP i przez każdą krawędź czworościanu poszczególne płaszczyzny, otrzymujemy w każdej krawędzi

pęku będzie określony stosunkiem anharmonicznym czterech punktów, ślony stosunkiem anharmonicznym

czterech płaszczyzn, przechodzących

czworościanu, a przez

czworościanu pęk czterech płaszczyzn, a to trzy stałe płaszczyzny : mianowicie dwie ściany czworościanu i jedną płaszczyznę przez punkt stały E przechodzącą, a oprócz tego jedną płaszczyznę zmienną, zależną od położenia punktu P. Stosunek anhar-moniczny tych czterech płaszczyzn

w których prosta, łącząca punkt P z punktem E przebija te płaszczyzny, (art. 27. str. 283.). Oznaczmy przez ei, e₂, e₃, e₄ odległości punktu E od ścian a, ß, y, d, przeciwległych wierzchołkom A, B, C, D, czworościanu, a przez pl, p₂, pz, p₄, takież odległości punktu P od tych ścian ; natenczas , biorąc pod uwagę ściany a, ß, czworościanu , otrzymujemy ze względu na to, że przez krawędź l(a, ß) przechodzą cztery płaszczyzny a, ß, (JE), (IP), stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn a, ß, IE i IP, w postaci:

e2 P2 Pi • «I

(o') W tym celu weźmy pod uwagę dwie płaszczyzny sin, odniesione do danego czworościanu ABCD i uważajmy płaszczyznę £,

strzeni, a płaszczyznę n, jako bieżącą płaszczyznę tej przestrzeni, natenczas, przecinając płaszczyzny e i ji poszczególnemi krawędziami czworościanu, otrzymujemy na każdej krawędzi czworościanu szereg czterech punktów, a to trzy stałe punkta : mianowicie dwa wierzchołki czworościanu i jeden punkt, w którym ta krawędź przebija stałą płaszczyznę £, a oprócz tego jeden punkt zmienny, zależny od położenia płaszczyzny n. Stosunek anharmoniczny tych czte

rech punktów szeregu, będzie okre-

przez krawędź przecięcia płaszczyzn sini przez dwa wierzchołki krawędzi czworościanu (art. 29. str. 285.). Oznaczmy przez £1? e₂, c₃, £₄ odległości płaszczyzny s od wierzchołków A, B, C, D, przeciwległych ścianom a, ß, y, ó, nx,n₂,n₃,nk, takież odległości płaszczyzny 7i od tych wierzchołków, natenczas, biorąc pod uwagę wierzchołki A, B, czworościanu , otrzymujemy, ze względu na to, że na krawędzi {A, B), znajdują się cztery punkta A, B, (Je), (In), stosunek anharmoniczny czterech punktów A, B, h i Iti,

£ TC

w postaci: (AB en) A : __¹

7l₂ . £2 ⁷¹ \ • £1

£₂    ^2

Weźmy pod uwagę trzy krawędzie, tworzące jedną ścianę czworościanu , n. p. krawędzie óa, öß, ôy, ściany ô, natenczas otrzymujemy na każdej z tych trzech krawędzi pęk czterech płaszczyzn, a więc następujące trzy stosunki anharmoniczne :

Weźmy pod uwagę trzy krawędzie, przechodzące przez jeden wierzchołek czworościanu, n. p. krawędzie DA, DB, DC, przechodzące wierzchołek D

natenczas

(iôa EP)

Pi ■ C\

Pi - c4 '

(ôy EP)

cößEP) =

P?, -

V 2 • e2

Pi - Ci

przez

otrzymujemy na każdej z tych trzech krawędzi szereg czterech punktów, a więc następujące stosunki anharmoniczne :

(28)

Pi ■ Ci

Znając jeden z tych stosunków anharmonicznych, możemy na podstawie jego wartości wyznaczyć jedną płaszczyznę bieżącego punktu P, a zatem trzy powyższe stosunki

( DA £7l)

__ni • £i

7^4 . £4

{DC 871) = -

(DBETZ)^-²-

3 • C3

: e2

Tii : £4

(280

wyznaczają dokładnie położenie punktu P w przestrzeni.

Oznaczmy pr. ei=xil (i= 1,2, 3, 4), natenczas otrzymamy cztery liczby x\i x2? ^3? ^4? których stosunki:

^==(005 PP),

*i

-WEP),

Tli : Ei

Znając jeden z tych stosunków, możemy na podstawie jego wartości wyznaczyć jeden punkt bieżącej płaszczyzny 71, a zatem trzy powyższe stosunki wyznaczają dokładnie położenie płaszczyzny ti w przestrzeni.

Oznaczmy Tii : £i=Ui, (i— 1, 2, 3,4), natenczas otrzymamy cztery liczby : ux, u₂, u₃, w₄, których stosunki:

x?,

= (óaEP), — = {DB£ti)

u₃

Xi

= (óy EP)

(29)

w₄

= (DCeti)

wyznaczają dokładnie położenie punktu P, ze względu na czworościan odniesienia i piąty punkt podstawowy E w przestrzeni.

Liczby xi, x₂, x₃, xk są zatem ogólnemi spółrzędnemi czworościen-nemi punktu P, a punkt E, przez swe położenie względem ścian czworościanu, wskazuje niejako na cztery podziałki, podług których odpowiednie odległości punktu P od ścian tego czworościanu mają być mierzone, aby dały liczby xi, x₂,x₃,xk, jako spółrzędne czworościenne punktu P w przestrzeni.

Przyjmując spółrzędne punktu E wszystkie równemi jednostce, a więc =e₂=e₃ — ei = l, mamy w odpowiednich miarach odległości : pt, p₂, p₃, p₄, punktu P, jako spółrzędne xx, x₂, x₃, £₄ tego punktu.

Z tego powodu nazywa się też stały punkt podstawowy E odnośnie do czworościanu punktem jednostkowym układu.

wyznaczają dokładnie położenie płaszczyzny ti, ze względu na stały czworościan odniesienia i piątą płaszczyznę podstawową £ w przestrzeni.

Liczby ui, u₂, u₃, w₄, są zatem ogólnemi spółrzędnemi czworościen-nemi płaszczyzny ti, a płaszczyzna £ przez swe położenie względem czterech wierzchołków czworościanu wskazuje niejako na cztery podziałki, podług których odpowiednie odległości płaszczyzny ti od wierzchołków tego czworościanu mają być mierzone, aby dały liczby w1? u₂, u₃,uk, jako spółrzędne czworościenne płaszczyzny n w przestrzeni.

Przyjmując spółrzędne płaszczyzny £ wszystkie równemi jednostce, a więc ^ =£₂ =£₃ <=£k =1, mamy w odpowiednich miarach odległości : nx, ti₂, n₃, ti₄, płaszczyzny jako spółrzędne ui, u₂, u₃,uk tej płaszczyzny.

Z tego powodu nazywa się też stała płaszczyzna podstawowa £ odnośnie do czworościanu płaszczyzną jednostkową układu.

13. Przedstawienie geometryczne stosunku ogólnych spółrzędnych czwo-rościennyck punktu, lub płaszczyzny. Stosunek między dwiema spółrzędnemi czworościennemi punktu P, lub płaszczyzny n, możemy przedstawić jako stosunek anharmoniczny czterech odpowiednich punktów, znajdujących się na jednej krawędzi czworościanu.

Niech będą bowiem punkt P i płaszczyzna n, odniesione do czworościanu o wierzchołkach A, P, C, D i o ścianach im przeciwległych a, ß, y, d, przyczem niech będzie pewien punkt E punktem jednostkowym, a pewna płaszczyzna e płaszczyzną jednostkową tego układu.

Połączmy wierzchołki A, P, C, D czworościanu (fig. 241.) z punktami E iP natenczas otrzymamy z każdego wierzchołka dwa promienie, które przebijają przeciwległą ścianę czworościanu w dwóch punktach, jak Ei i 1\, E₂ i P₂, E?j i P₃, Ek i P₄.

T„

Fig. 241.

Przesuńmy dalej płaszczyznę przez każdy z obu punktów E i P i przez poszczególne krawędzie czworościanu, natenczas otrzymamy w każdym z tych punktów po sześć płaszczyzn? z których każda przebija przeciwległą krawędź w jednym punkcie. Oznaczmy przez P₁₄ i P14 punkta, w których płaszczyzny ECE i PCP, przecinają krawędź AD: natenczas będą cztery punkta A, P, P₁₄ i P₁₄ punktami przebicia krawędzi AD z czterema płaszczyznami pęku o osi PC, mianowicie z płaszczyznami ABC, PPC, EBC i PPC.

Wobec tego stosunek anharmoniczny czterech punktów A, P, Eu i P14 będzie równy stosunkowi anharmonicznemu czterech płaszczyzn d , a,

x\

EBC i BBC, czyli (ADEilk P₁₄) = (ôaEP), a że (d«PP)=

przeto

i

V A e₄

otrzymujemy:

X' =(AD EitPii), tudzież ^ =(BDEuPu)A^(CDEuPn), (30)

•"4    *^4

równania, przedstawiające stosunki ogólnych spółrzędnych czworościennych punktu P, (fig. 241.), jako stosunki anharmoniczne czterech punktów jednej krawędzi czworościanu, z których jedną parę tworzą wierzchołki czworościanu, a drugą punkta przebicia tej krawędzi z płaszczyznami, przechodzą-cemi przez punkta E i P i krawędź przeciwległą.

T,

ir.

..........

te;**-

.......

(V

\

■A

Biorąc zaś pod uwagę płaszczyznę jednostkową £ i dowolną płaszczyznę poznamy, że te dwie płaszczyzny przebije każda z sześciu krawędzi czworościanu w dwóch punktach. Oznaczmy przez E₁₄ i iJ₁₄ punkta, w których płaszczyzny ein przecinają się z krawędzią AD (fig. 242.), natenczas będą ^ cztery punkta A, P, E₁₄ i 77^ punktami przebicia krawędzi AD z czterema płaszczyznami pęku o osi (ejr), mianowicie z płaszczyznami :

A(eti), D(eji), ein.

Fig. 242.

Wobec tego będzie stosunek anharmoniczny czterech punktów A, D: E₁₄ i P₁₄

równy stosunkowi anharmonicznemu czterech płaszczyzn: A(87i), D{etc), e i n

przeto będzie :

Ml«(Z»4E₁₄J7₁₄),

a że : (AD en) = -

więc (AD~ËiiIlu) = (A D 8 ji)

(ADEi!iUu)=—, a więc (Z)^IE₁₄/7₁₄)=—. Otrzymujemy zatem

w₄

w₄

M2-(X»5E2i77₂₄),

w₄

U-= (DCEZi II3li), równania, przedstawiające stosunki ogól-

w₄

nych spółrzędnych czworościennych płaszczyzny n (fig. 242.), jako stosunki anharmoniczne czterech punktów jednej krawędzi czworościanu, z których jedną parę tworzą wierzchołki czworościanu, a drugą punkta przebicia tej krawędzi z płaszczyznami e i n.

14. Wzajemne położenie elementów jednostkowych. Jeżeli punkt jednostkowy E i płaszczyznę jednostkową £, odniesiemy do tego samego rościanu o wierzchołkach A, B, C, D, natenczas określimy ich wzajemne położenie, podając wartości trzech stosunków anharmonicznych, jak:

czwo-

(ADE14c E₁₄), (BDE2ti E₂₄), (CDE3li E₃₄).

Przyjmując (ADEi5Ei5) = —    (#Z)_E₂₄E₂₄) = — y-, (CDE3!iE₃₄)= — -~

4.    A4    ,    .    ^4

możemy wtedy dla danego punktu jednostkowego E wyznaczyć odpowiednią

os?

powyższemi równaniami określoną, płaszczyznę jednostkową E, wyznaczywszy trzy jej punkta , jak E₁₄, E₂₄, E czworościanu. Nawzajem możemy stąd dla danej płaszczyzny jednostkowej £, wyznaczyć odpowiedni, powyższemi równaniami określony, punkt jednostkowy E, wyznaczając na podstawie danych stosunków anharmonicznych na trzech krawędziach AD, BD, CD, punkta _E₁₄, EU1 EZk, skąd, połączywszy E₁₄ z wierzchołkami Bi C, E₂₄ ziiC, E₃₄ z A i B, znajdujemy na ścianach czworościanu punkta Ei, E₂, E₃, a tern samem punkt E w przestrzeni.

Jeżeli przyjmiemy Àl—À₂=À₃=Àlt = l, natenczas otrzymamy szczególne położenie wzajemne elementów jednostkowych E i £, określonych równaniami:

na

trzech krawędziach AD, BD, CD

(ADEi[k E₁₄)= —1, (BDE2li E₂₄) = —1, (CDEZk E₃₄) = —1

Oba elementa jednostkowe oddzielają w tym przypadku harmonicznie wierzchołki, krawędzie i ściany czworościanu.

14. Spólrzędne czworo ściernie linii prostej. Linia prosta w przestrzeni może być uważana, albo, jako promień, łączący dwa punkta (xu x.₂, #₃, xk) i (x\, x\, x'₃, x\), albo, jako oś, czyli krawędź przecięcia dwu płaszczyzn (ui, u₂, u₃, w₄) i (u\, u\, u'₃, u\). Jeżeli obie proste są tożsamościowe, natenczas istnieją równocześnie następujące cztery ińwnania:

UXX^ -(- U₂X₂ -j- U₃X₃ -f- ubxi =0, u,x\ u₂x\Ą- u₃x'₃ -f- u^x\ = 0, u\xl U\X₂ -j- U'₃X₃ -j- u\x^ =0, u\x\ -f- u\x’2 4“ u‘zx‘z -J-u\x\ =0.

Wyrugowawszy kolejno z pierwszych dwóch równań po jednej ze spółrzędnych («i, w₂, m₃, w₄) płaszczyzny, otrzymujemy następujący układ czterech równań:

(x₁x'₂— X₂x\ )m₂— (*3*'l— x\x'l) UZ J- (xix\— x^x\)ui = 0,

—Ol x'₂—x₂x'₁)u₁ + (x₂x'₃—x₃x,₂)u₃+(x₂x/i—xix/₂)ui=’0,

(x₃x\—xlx\) ui — (x₂x'₃—X₃X\)u₂ -f- (x₃x\—xkx‘^)uk =0,

—(Xj x\ —xkx\)    —{x₂x\ —X^X'z) u₂ — (*₃x\ —x^x^) u₃ = 0.

Podobnie otrzymamy, wyrugowawszy kolejno z ostatnich dwóch równań po jednej ze spółrzędnych (u\, u\, u'₃, u\) płaszczyzny, układ czterech równań, w postaci:

(ajjicą—x.₂x\)u\—(xzx\—xix\)u\ + (x\x\—x^x\) u\ = 0,

— (XiX'z— x₂x\)    x₃x'₂) uJ₃ -J- (x₂x\ — XiX'A u\ =0,

(x₃x\—xix‘₃)u\ — (x₂x<₃—x₃x\)u\-\-(x₃x\—xixt₃)u\ = 0,

— (xix\—xix\)u\— (x₂x\—xixl₂)u\—(x₃X\—XnX‘₃)u'₃ =0.

(31)

(«)

Wyrugowawszy zaś kolejno z pierwszego i trzeciego równania po jednej ze spółrzędnych czworościennych (aą, x₂, cc₃, a?₄) punktu, otrzymujemy następujący układ czterech równań :

(U^U' 2—U₂U\ ) £C₂ — {U3U\ — uiu>3) x3 + {Ui U\—Uk u'\)xk = 0,

~(uiU,₂ — U₂U\)xlĄ‘{u₂U\ — U₃u'₂)x₃ -\-{u₂U\—U^u'ïjX4 =0,

(u%u\—UAv'^) Xt —(u₂u'₃—U?u\) x₂ + (u₃u‘4—uiul₃)x!i = 0,

—(u{u\—uiu\)xi—(u₂u\—uku‘2)^2— (u₃u\—w₄w'₃) a?₃ = 0, podobny zaś układ otrzymamy, po kolejnem wyrugowaniu jednej ze spółrzędnych x\, x‘i x‘₃,x\ z drugiego i czwartego z równań (a), a mianowicie:

[uku‘2—«2^1 ) a3'₂——U^U'^jX'3 + («1^*4—uku'^) x\ — 0.

—    {u^u\— u₂u\) x\ + (u₂u'₃—u₃u'₂)x'₃ -)- {u₂u\—uku‘^)x\ =0,

(u₃U\—U\U'x\—(u₂u‘₃—usu‘₂) x‘₂ + (u₃u\ — u!iu,₃)x\ — 0,

—    (WjM'₄ — uku\)x\—{u₂u\—uiu'₂)x‘₂ — (u₃u\—u^u'-^x'^ = 0.

Spółczynniki x;x'k—xkx'i — pik nazywamy spółrzędnemi czworościennemi prostej, uważanej za promień, spółczynniki uiu‘k— uk u⁴.= izik nazywamy spółrzędnemi prostej, uważanej za oś. Wprowadzając wskazane znakowanie, otrzymamy równania («) i (6) w postaci:

Pn^i—P3lu3 + Pl4% =0,    *1₂«2 ~ *31X3 + *14*4 = 0,

— Pl2*h +P23% +^24^4=0,    —*12^1+ *23*3 + ^4*4 =0,

P3iul P23M3 + P34w4 — 0,    *31*1—*23*2 + *34 *4 = 0,

Pikui Piku2—P3iu3 ⁼    —*14*1— *24*2—*34*3 = 0,

(P)

(60

00

a równania (a‘) i (60, zaś w postaci:

-Pn**3 + Pi 4^4 =0,

—Pi 2U\ —P-23^3 +Puu\ = 0,    —*i₂*'i+*23*0+ *24*0=0,

•    P3\u\ —Pî3u<3 + P34 u\ = 0,

—pnu\—p2iul₂ —p3i u\ =0,    — KViX\— *24*0 — *34*0 =0.

10. Związki między spółrzędnemi czworościennemi prostej. Wyrugowawszy z każdej pary równań lewej grupy w spółrzędnych u{ i u‘k ruchomej płaszczyzny kolejno spółczynniki pik, albo z każdej pary równań prawej grupy w spółrzędnych x{ i x'k ruchomego punktu kolejno spółczynniki r.ik, otrzymujemy 12 równań, z każdej pary po trzy równania, z których każde będzie zawierało tylko po dwa spółczynniki kształtu pjk i po dwa kształtu njk. Z pierwszej pary, po kolejnem wyrugowaniu spółczynników p₁₂, Pa, Pn, otrzymamy n. p. trzy równania następujące :

*12*0—*31*0 +*14*0 = 0,

*31*0 —*23*0 + *34*0=0,

00

—P31*23 +Pl4*24 0, p 12*23 Pl4*44— 0, Pi2*24—2*31*34 0,

prowadzące do trzech stosunków:

P31:Pl4—*24 : *23, Pl2 : Pli -*34 :*23; Pl2 : P31 -*34 :*24,

Pl2 : P31 : PU — *34 • *24 : *23-

czyli do proporcyi :

Podobnie otrzymamy z każdej drugiej i trzeciej pary równań (c) i (c') lewej grupy, lub równań (c) i (c⁴) prawej grupy proporcye :

Pi2 : P23 :P24 =*34 : *14 : *31,    P31 : P23 : P34 =*24 : *14 : *1 2,    Pl4,: P24 : ^34 =*23 : *31 : *12,

z których wypływa proporcya łańcuchowa :

(32)

Pl2 :Pi3 :P3l :Pl4 : P24 : P34 ~ *34 :*14 : *24 : *23 : *31 : *12,

cechująca związek między spółczynnikami p;k i izik równań linii prostej, uważanej za promień, łączący dwa na niej położone punkta, lub za oś, czyli krawędź przecięcia dwu płaszczyzn , przez nią przesuniętych.

Wyrugowawszy natomiast z czterech równań lewej grupy (c), jednorodnych w «■, spółrzędne (i = 1, 2, 3, 4), a z czterech równań prawej grupy (c), jednorodnych w x-n spółrzędne x{, (»=1,2,3, 4), otrzymujemy dwa związki: jeden między spółrzędnemi pik) drugi między spółrzędnemi r.{k, w postaci wyznaczników, równych zeru:

0, Put —Pzii Pik —Pi 2,    0,

Psi, —P23, 0, pu Pl4, P24, P34, 0

P23, P24

= 0;

0,    *12,    *31, *14

*12, 0,

*31,    *23,    0, *34

*14,    *24,    *34, 0

*23, *24

= 0,

(33)

czyli w postaci rozwiniętej :

17. Przedstawienie geometryczne spółrzędnych czworościennych prostej.

Spółrzędne pik=Xi x'k—xkx‘i, (i, k== 1, 2), jako spółczynniki czterech równań lewej strony układu (c) przedstawiają widocznie spółrzędne płaszczyzn, które przechodzą przez dwa punkta x{ i x'k, (i &=-l, 2, 3, 4) i przez jeden z wierzchołków A, P, C, D czworościanu, czyli spółrzędne płaszczyzn, rzucających daną linię prostą z poszczególnych wierzchołków czworościanu na przeciwległe ściany. W szczególności są spółrzędne p₁₂, p₃₁ ip₁₄ spółrzędnemi płaszczyzny, rzucającej daną prostą z wierzchołka A czworościanu.

Spółrzędne nlk=uiu‘k—uku\ ([i, 7c=l,2, 3, 4) prostej, jako spółczynniki

---

równań prawej strony układu (c), przedstawiają natomiast spółrzędne punktów, w których prosta, przechodząca przez punkta Xi i %'k, (i, k= 1, 2, 3, 4), przebija jedną ze ścian a, /?, y, ó, czworościanu , przeciwległych jego wierzchołkom A,B,C,I). W szczególności są spółrzędne jr₁₂, tf₃₁, ?r₄₁ spółrzędnemi punktu, w którym dana prosta przebija ścianę a.

■i-------_.’.T

Fig. 243.

Związek między dwoma rodzajami spółrzędnych pik i 7iik linii prostej, przedstawiony proporcyą bieżącą (32), ma w tern swe znaczenie geometryczne, że każdy z czterech rzutów prostej na poszczególne ściany czworościanu, musi zawierać punkt przebicia tejże linii prostej z dotyczącą ścianą czworościanu.

Fig. 243. przedstawia linię prostą, odniesioną do czworościanu ABCD, wraz z jej płaszczyznami, rzucającemi E\ E², E³, P⁴, i punktami przebicia się P,, P₂, P₃, P₄ z poszczególnemi ścianami tegoż czworościanu, uzmysławiając zarazem spółrzędne pik i 7vik, tejże linii prostej.

Ćwiczenia XXII.

Dane są wierzchołki czworościanu : .4(1, 2, 3), B{5, 7, 9), (7(4, 6, 8),    0,1,0); wyznaczyć :

1)    długość i równania 'sześciu krawędzi czworościanu ;

2)    równania czterech ścian a, ß, y, o czworościanu;

3)    kąty ścienne w czworościanie;

4)    długości i równania wysokości czworościanu;

5)    objętość V czworościanu.

4-2a!—ll=0, y

Dane są równania ścian a, ß, y, S czworościanu: s. = ÿx -\-!y-\-hz—23=0, ß = 3.r-j-4yd~ x~\~ V ~\~ z—6=0, o = 2a;-p 3y -f 3z—10 = 0 ; wyznaczyć :

6)    spółrzędne przeciwległych wierzchołków : A, B, (7, D czworościanu ;

7)    długości i równania krawędzi;

8)    kąty ścienne w’ czworościanie ;

9)    długości i równania wTysokości czworościanu ;

10)    objętość V czworościanu.

11)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, dla których suma odległości każdego punktu od czterech ścian czworościanu jest stale równa d.

12)    Znaleźć spółrzędne (u, v, w) płaszczyzny, której równanie przedstawia się w postaci :

hEi +    + hEi = 0, gdzie E. = u.x -f v..y -f wf -f 1 = 0, (i = 1, 2, 3, 4).

13)    Znaleźć spółrzędne (x, y, z) punktu , którego równanie przedstawia się w postaci :

h Pi +    + *3*8+ h = 0, gdzie P{ = xu + y.v + z{ w -f 1 = 0, (i = 1, 2, 3, 4).

20) Wyprowadzić równanie jednorodne płaszczyzny, przesuniętej przez punkt

(*'”    1 przez pl'ost!»:    cS₃" + »C=0.

14)    Dowieść, że przecinając dowolną poprzeczną cztery płaszczyzny a, (3,y, 8, przechodzące przez wspólną krawędź, w punktach A, B, C,D, otrzymujemy stały stosunek anharmo-niczny AB CD, niezależny od położenia linii poprzecznej, a równy stosunkowi anharmonicz-nemu (aßy8) danych czterech płaszczyzn.

15)    Dowieść, że przecinając cztery płaszczyzny, mające wspólną krawędź, dowolną piątą płaszczyzną, nie przechodzącą przez ich oś, otrzymujemy pęk promieni o stałym stosunku anharmonicznym, nie zależnym od położenia płaszczyzny przecinającej.

16)    Podać położenie punktu P w przestrzeni, jeżeli jego spółrzędne czworościenne, xu x₂, #3, xt, odniesione do czworościanu ABCD, mają następujące wartości:

(1) xx = 0,    (2) xi=x₂ — 0,    (3) x₂= x₂=x₃ — 0.

,17) Podać położenie płaszczyzny E w przestrzeni, jeżeli jej spółrzędne czworościenne uYi u2i u3i ui) odniesione do czworościanu ABCD, mają następujące wartości:

(2) u₂ = m₂ == 0 ;    (3) uY= u₂=u₃ = 0.

18) Dowieść, że warunki równoległości dwu płaszczyzn Axt -)- Bx₂ + Cx₃ -j- Z)₄ =0, AJx₁ -\-B‘x₂ CJx₃ -\-D‘x4=0, odniesione do czworościanu o powierzchniach a, b, c, d ścian przedstawiają się za pomocą wzorów :

(1) ux =0;

A, B, C

C, D, A C", D\ A' c, d, a

że warunek równoległości prostej : A‘x₄ -f-B'x₂ -j- C‘x₃ -J- D'xi =0;

B, C, D

4', B\ C‘ =0, B\ C", D‘ a, è, c

19) Dowieść

0,

D, A, B D\ A', B' =0. d, a, 6

J."** -f- B“x₂ -J- C“x₃ -(- D“x,± =0, do płaszczyzny: Axt Bx₂-\-Cx₃ Dxi=0, przedstawia się w postaci :

A, B, C, A', B', C", 4", J3", C", a, b, c,

=0.

21)    Podać równania jednorodne płaszczyzn, przesuniętych przez wierzchołki czworościanu odniesienia, równolegle do jego ścian.

22)    Podać równania jednorodne płaszczyzn , przesuniętych przez punkt (x\, x‘₂, x\, x‘₄) i każdą z sześciu krawędzi czworościanu.

23)    Dowieść, że płaszczyzny dwójsieczne kątów ściennych czworościanu, przecinają się po trzy, podług jednej linii prostej, a wszystkie sześć przechodzą przez jeden punkt.

24)    Wykazać, że płaszczyzny, przesunięte przez krawędzie, wychodzące z jednego wierzchołka A czworościanu, prostopadle do ściany przeciwległej «, przecinają się podług jednej linii prostej.

25)    Wykazać, że trzy płaszczyzny, z których każda przechodzi przez jedną krawędź wierzchołka A czworościanu i przez środek krawędzi przeciwległej, przecinają się podług jednej linii prostej.

26)    Wyprowadzić równanie płaszczyzny, przesuniętej przez środki krawędzi, schodzących się w wierzchołku A czworościanu.

27)    Danych jest pięć punktów At, A₂, ^ł₃, AÀ,E po trzy tylko w jednej płaszczyźnie; dowieść, że każdy szósty punkt P da się wyznaczyć za pomocą trzech stosunków anharmo-nicznych (A₃AtEF), (A^A^EP), (A₂AiEP) trzech pęków płaszczyzn o osiach AtA₂, A₂A₃, A₃A₂.

28)    Danych jest pięć płaszczyzn: a₄ a₂, a₃, a₄, s, po trzy tylko w jednjun punkcie; dowieść, że każda szósta płaszczyzna ju da się wyznaczyć za pomocą trzech stosunków an-liarmonicznych (a₃a₄£jr), (o^oejsjt), (a₂(x₄£7i), trzech szeregów punktów, położonych na liniach

(aia₂), («j«3), («3 «j).

29)    Cztery wielkości x, y, 0, t, których stosunki : ~, —, — są spółrzędnemi prosto-

padłemi punktu, nazywamy spółrzędnemi jednorodnemi punktu; jak się przedstawia; (1) równanie dowolnej płaszczyzny w tychże spółrzędnych jednorodnych ; (2) jak równanie płaszczyzny nieskończenie dalekiej.

30)    Dowieść, że moment dwu linii prostych, z których jedna ma spółrzędne p, q, r,

ni x, p, druga zaś spółrzędne p', ę', r‘, n‘,    o', przedstawia się w postaci

V<n +• Q.ty' ■+■ r‘? + Vn‘ +    "f rp'

31) Dowieść, źe kąt nachylenia o> dwóch linij prostych, z których jedna ma spół-rzędne p, q, r, n, -/., o, druga zaś spółrzędne p', g', F, w',    p', wyraża się za pomocą wzoru:

COS OJ

pp' -(- qq‘ + rr‘

V/p² + 2² + >"² Y/p'²+ <z'² + r'²

X-¹ J“²-*■=?; ^C=V/6Ö:

b

AD=Y/ÏÏ :*==y— 1 = 4-; ⁵ C = Y/8 :* - 5 = y - 7 =s- 9 ; BD=V 142:^

o    o

(7Z)=V/I05:-|

Rozwiązania XXII. 1) AP=Y/77:^-

co

y—¹

= -|-. 2) a3aj — 4y+ s+4=0; ß = 7a?—4y—2+4=0, y = 9x—Gy—2+6=0.

8 = a: —2y+2 = 0. 3) cos (a, ß)

18

cos (ßy) =

44

V/33V/59

cos (a y)

25

V/13 V/59

2-3

V/33V/59’

2    03—5

COS (ßo):

Y/33Y/3“

y~l-

cos (yo):

10

V/3 V/59'

2    03—4 y—6_ z — 8

cos (a8) = — 4) ha=-₇

V/Î3V/3“’

aj—l y—2

Y/26’ ³

-4

03

y-¹

—2 1 *

Y/118' -9

5) F-J. 6) +8,    %), 2*8, -³%, ³⁵A), <?(%, %, ⁵A), 2*-2, V«, ¹⁵A)- 7)

»-8 y + % s—% .

V/éT’ 1

* —8, y+ 2= -2; AC=⁵A Y/G2:

-5

AD = 5Y/6 :

x'~8 y+% ⁵A.

10    -5    —6 ’

£(7= 5/4 Y/494    — ^+3J/₂    «

¹⁷₂ y—⁷A s--⁵A ox . „v

—^ • ⁸) cos (aß)

-17

cos (ßy) = —

—9

y+³⁹A_g-3SA.

+ ; M-lOV^r:+⁸

COS (ay) =

cos (y 0) =

65

21

—2

CD = ⁵A Y/30:

Y/29Y/Î55 ’

54

COS (a 8) =

Y/22 Y/155’ 30    03 — 8

Y/155    9

hy = \V?> ;os—Va = y = ⁷A = « —SA ;

Y/3 Y/155

21

9) ha

cos(ß 8)

Y/22 Y/29 ’

__.___ y+³% _ « - ³⁵/₂.

Y/29 ' 3    2

^=V^2^²- y~'/2 ï_,6/l

y+ %

Y/3 Y/29"

5    ’

Y/3 Y/22’

30

03 — 8

. 10) F=62'5. 11) Płaszczyzna: El-\-E₂Ą-E₃-\-Ei=d, gdzie à

l\ ui + lï + ^3 **3 + A uk

Ei = 0, są równaniami normalnemi ścian czworościanu. 12) u =

h X\ + hx2~\~hx3~\~hxi

h+h+A+ h

ścianie BCD ; (2) P na krawędzi CD ; (3) P w wierzchołku D czworościanu. 17) (1) E przechodzi przez wierzchołek A ; (2) E przez krawędź AB ; (3) E wpada w ścianę ABC czworościanu. 20) (Azj + Po3₂ + Cx₃ + Po3₄) (A'x\ + P/03,₂+ B‘x\-\- C‘x\ + D'x\) = (A'xi + B‘x₃-\- C'x₃ + +P'a3₄) (Ar'j+PP₂ + ße'g + Zte'₄). 21) (1) ix₂+ cx₃ + <fcr₄ = 0 ; (2) aoy + cx₂ + Pr₄ = 0 ; (3) ax{ +

, y-

03₃    03t    +₄ s ₀

i t. d.

+i03₂ + dxk = 0 ; (3) ao3j + bx₃+ cx₃ =0. 22) ^ - ~² = 0, J-¹ -

Aj 1    w 2    w J    JC 3 w J    tA/ 4

23) (a) 03₂—o;₃=0, o3₃—03₄=0, o3₄—03₂=0, i t. d. 23) o3₂cos (ay)—x₃cos(aß)=0, x₃cos (a8)—03₄cos(ay)=0, ä3₄ cos (aß) 03₂cos (a8) = 0. 25) f^=0,||--|=0, |-⁴-^=0. 26) ^    --|³ -    = 0.

29) (1) Ax+By-\-Cz+Dt= 0; (2) < = 0.

Literatura. J. B00tli. Treatise on some new geometrical methods. London 1873. (L Möbius. Der barycentrische Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie 1827. J. PI Ücker. On a new geometry of space. London 1865. F. Rudio. Elemente der analytischen Geometrie des Raumes, Leipzig 1891. G. Salmon. A treatise on the analytical geometry of three dimensions, London 1874.

Tematy do rozprawek naukoivych :

1)    Własności dowolnego czworościanu na podstawie spółrzędnych czworościennych punktu i płaszczyzny.

2)    Własności dwóch czworościanów wzajemnie wpisanych i opisanych.

3)    Momenty linii prostej, ze względu na trzy osie układu prostokątnego.

Wykład XXIII.

Jednokreślność figur przestrzennych.

1.    Zasadnicze utwory przestrzenne. Uważając punkt, jako element przestrzeni, otrzymujemy, jako najprostsze zasadnicze utwory przestrzenne następujące trzy utwory 1-go, 2-go i 3-go stopnia:

(1) szereg punktów, t. j. zbiór wszystkich a©¹ punktów na linii prostej; (2) układ płaski punktów, czyli pole punktów, t. j. zbiór wszystkich o©² punktów na płaszczyźnie; (3) układ punktów w przestrzeni, czyli przestrzeń punktów, t. j. zbiór wszystkich o©³ punktów przestrzeni.

Tym utworom zasadniczym odpowiadają na zasadzie dwoistości, jeżeli przyjmiemy płaszczyznę, jako element przestrzeni, znowu następujące trzy utwory 1-go, 2-go i 3-go stopnia :

(1) pęk płaszczyzn, t. j. zbiór wszystkich o©¹ płaszczyzn, przechodzących przez linię prostą; (2) wiązka płaszczyzn, t. j. zbiór wszystkich o©² płaszczyzn, przechodzących przez punkt ; (3) układ przestrzenny płaszczyzn, czyli przestrzeń płaszczyzn, t. j. zbiór wszystkich o©³ płaszczyzn przestrzeni.

Przyjmując zaś linię prostą, jako element przestrzeni, otrzymujemy cztery utwory zasadnicze, utworzone z samych linij prostych , a to następujące utwory kolejno 1-go, 2-go, 3-go i 4-go stopnia:

(1) pęk promieni, t. j. zbiór wszystkich o©¹ prostych na płaszczyźnie przechodzących przez jeden punkt tej płaszczyzny, (2) układ płaski promieni, t. j. zbiór wszystkich a©² prostych, znajdujących się na jednej płaszczyźnie, i (2⁽) wiązka promieni, t. j. zbiór wszystkich a©² prostych, przechodzących przez jeden punkt przestrzeni; (3) skupienie osiowe promieni, t. j. zbiór wszystkich o©³ prostych, przecinających daną oś,

(4) przestrzeń promieni, t. j. zbiór wszystkich o©⁴ prostych przestrzeni.

2.    Figury przestrzenne. Figurą przestrzenną w ogólności nazywamy dowolny zbiór punktów, prostych, lub płaszczyzn przestrzeni trójwymiarowej. Zbiór wszelkich punktów prostych, i płaszczyzn przestrzeni trójwymiarowej nazywamy zwykle układem przestrzennym trójwymiarowym.

W układzie, zawierającym o©³ punktów, oo⁴ prostych i oo³ płaszczyzn, możemy, przez dowolny wybór poszczególnych punktów, prostych i płaszczyzn, utworzyć najrozmaitsze figury przestrzenne; każda taka figura będzie miała pewne, sobie tylko właściwe, cechy, a między dwiema rozmaitemi figurami mogą znowu zachodzić najrozmaitsze związki. W bieżącym wykładzie zajmiemy się najprostszemi związkami, jakim poddać możemy dwie figury, należące do jednej przestrzeni trójwymiarowej.

3. Jednokreślność dwu figur przestrzennych. Przyjmijmy w przestrzeni trójwymiarowej dwie figury F i 0, i przypuśćmy, że między spółrzędnemi (x, y, z) punktów figury F, a spółrzędnemi (£, rj, f) punktów figury 0, odniesionych do jednego układu trój osiowego OXYZ, prostokątnego, lub ukośno-kątnego , zachodzi związek, określony następującemi równaniami:

AjX-\-Biy-\-ClzA- Bi _ A₂x-\-B₂y-\-C₂zJrB₂ r_ A^Ą-B^yĄ- Ć7₃g-b2)₃    ....

À^xAr Bky -\- C^z -\r Bt

A^xA^B.yy 4- C₄0+Z)₄

A^x-\- B^y -h C7₄#-j- D₄

gdzie Aj, Bj, Gj, Z), (i-= 1, 2, 3, 4), są pewne liczby stałe, takie jednak, że wyznacznik :

hU.    ^

4>    CO    to    *-*■

bo bb td bd

.p*    CO    bO

PPPP

b b b b

CO    fcO    M»

ma wartość różną od zera,

Dla każdego punktu (x, y, z), figury F, możemy na podstawie powyższych wzorów wyznaczyć odpowiedni punkt (£, r\, £), figury 0.

ß\^JrßirlJrß^Jrßti

Z powyższych wzorów otrzymujemy jednak: aJ+a₂rj+a^+a±

àJ+ô₂rj-\-ô^+yll ’

gdzie a₄-, ßj, yj, d,-, (i = 1, 2,3, 4) są minorami elementów Aj, Bj, Cj, Bj, (i=1,2,3,4) wyznacznika 2>, co dowodzi, że także każdemu punktowi (£, 7j, Ç) figury 0 odpowiada jeden tylko punkt (x, y, z) figury F.

Każdemu równaniu pierwszego stopnia kształtu: A^Ą-BijĄ- CÇ-\-D=0, między spółrzędnemi punktu (£, r\, £) figury 0, odpowiada także równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi odpowiedniego punktu {x, y, z) figury F, mające kształt :

(AA} d- BA₂ -p GA₃ -bBA^) x -b (AB₄ -b BB₂ -b GB₂ -b BB₄) y -b -b(ADi d* BC₂ d⁻ CC₂ -f BClt)z-{-(ABi -f- BB₂ -b CBZ -b D_D₄)=0.

Nawzajem, każdemu równaniu kształtu: Ax-\-By + Cz + B=0, między spółrzędnemi punktu (x, y, z) figury F, odpowiada równanie stopnia pierwszego między spółrzędnemi odpowiedniego punktu (|, rj, £) figury 0, kształtu :

(2')

(Aai d- Bßi -b Cyl -b Bôi) £ + (Aa₂ Ą-Bß₂ d- Cy₂ -bDó₂)rj+

-b {Aa?t -b Bß₃ d- Cy₂ -bBó₃)-b (Act₄ +Bß₄ -b Cy₄ -b Dd₄) = 0.

Równania (1) określają więc pewną zależność między elementami układów przestrzennych F i 0, polegającą na tern, że każdemu punktowi jednego układu odpowiada jeden tylko punkt drugiego układu i nawzajem, a zarazem każdej płaszczyźnie jednego układu, odpowiada także jedna tylko płaszczyzna w drugim układzie; wobec tego odpowiada także jednej linii prostej jednego układu tylko jedna linia prosta w drugim układzie, a zatem trzem punktom jednego układu, położonym na jednej linii prostej, odpowiadają w drugim układzie trzy punkta, położone również na jednej linii prostej.

Takie dwie figury przestrzenne, w których punkta, linie proste i płaszczyzny jednoznacznie sobie odpowiadają, nazywamy figurami jedno-kreślnemi, albo także kolineacyjnemi.

Za pomocą wzorów (1), możemy więc do każdej figury, danej w przestrzeni , wyznaczyć nową figurę jednokreślną z tą figurą, czyli innemi słowy, możemy daną figurę przekształcić na inną, z nią jednokreślną. Z tego powodu nazywamy też wzory (1) ogólnemi wzorami przekształcenia jedno-kreślnego figur w przestrzeni.

4.    Elementa przestrzeni, wyznaczające dwie figury jednokreślne. Wzory (1) zawierają w swym składzie 16 dowolnych spółczynników A,-, B, , Ci, D,, (&=1,2, 3, 4), z których jednak jeden, n. p. Z)₄, może być przyjęty za jednostkę, mamy zatem do rozporządzenia 15 dowolnych stosunków między temi spółczynnikami, czyli, jak się zwykle wyrażamy, 15 stałych dowolnych, których wartość cechuje rodzaj jednokreślności dwóch figur w przestrzeni. Istnieje zatem względem danej figury przestrzennej wogóle oolr’ figur z nią j ednokreślnych.

Ażeby względem danej figury F wyznaczyć pewną figurę z nią jednokreślną, należy więc mieć 15 warunków, z którychby można wyznaczyć owych

15    parametrów, od których zależy rodzaj jednokreślności tych figur.

Warunki te będą określone, skoro dla danych pięciu elementów ynzć) (i=l, 2,3,4,5), pięciu punktów, lub pięciu płaszczyzn jednej figur}', będziemy znali pięć odpowiednich, równoimiennych elementów (£t-, rji, £*) drugiej figury; otrzymujemy bowiem w tym przypadku na podstawie równań? (1) piętnaście równań warunkowych kształtu :

(A^iĄ-B^yiĄ- C^Zi-Ą-Df) =A₁Xi-{-Biy i -f- Ciz i + JD₁,

(3)

{A^Xi-\- Bkyi 4- CkZi + D₄ ) rji=A₂ Xi -j- B₂ y i + C₂ z i+D₂,

(A₄Æt--(--B₄y;+ (7₄0i-t-Z)₄) Çi=A₃Xi+ B₃yi 4- CzZi-\-D₂,

(*—1, 2, 3, 4, 5),

które są, ze względu na 16 niewiadomych spółczynników As, Bs, Cs, Ds, (s = 1, 2, 3, 4), równaniami jednorodnemi stopnia pierwszego i dozwalają przeto wynaleźć jednoznacznie wartości piętnastu stosunków, między temi

16    spółczynnikami.

A zatem: JednoJcreślność dwóch figur w przestrzeni jest jednoznacznie określoną , skoro :

(a¹) danych jest pięć par odpowiednich płaszczyzn w obu figurach, przyczem jednak trzy dane płaszczyzny tej samej figury nie mogą się przecinać podług jednej linii prostej, a cztery dane płaszczyzny nie mogą przechodzić przez jeden punkt.

(a) danych jest pięć par odpowiednich punktów w obu figurach, przyczem jednak trzy dane punkta tej samej figury nie mogą leżeć na jednej linii prostej, a cztery dane punkta nie mogą leżeć na jednej płaszczyźnie.

5.    Płaszczyzny zbiegu dwu figur jednokreślnych. Płaszczyzną zbiegu figury przestrzennej F, nazywamy płaszczyznę p figury F, odpowiadającą nieskończenie dalekiej płaszczyźnie figury jednokreślnej 0, tudzież płaszczyznę n figury 0, odpowiadającą nieskończenie dalekiej płaszczyźnie pœ figury F. Jeżeli między punktem (x, y, z) figury F, a odpowiednim punktem (£, p, £) figury jednokreślnej 0 zachodzi związek, określony równaniami:

Płaszczyzny równoległe, należące do układu F, przedstawiają się w układzie 0, w ogólności, jako płaszczyzny zbiegające się, czyli przecinające się w linii prostej, położonej na płaszczyźnie zbiegu n\ ô^A-à^A-à^A-à^—0, i nawzajem płaszczyzny równoległe, należące do układu 0 przedstawiają się w układzie F, jako płaszczyzny, przecinające się w linii prostej, położonej na płaszczyźnie zbiegu p : Akx-\-BkyA- C₄^ + D₄=0. Dwóm równoległym prostym jednego układu odpowiadają w drugim układzie dwie proste, przecinające się w jednym punkcie, położonym na płaszczyźnie zbiegu drugiego układu.

natenczas widzimy z tych wzorów, że nieskończenie dalekiej płaszczyźnie figury 0 odpowiada w figurze F płaszczyzna: A^xA-B^yA- C^zA D!t=0, jako płaszczyzna zbiegu p, natomiast nieskończenie dalekiej płaszczyźnie px figury F odpowiada w figurze 0 płaszczyzna: d₁^d-d₂^d-d₃^+d₄=0, jako płaszczyzna zbiegu n.

A^xA-B^yAr C\Zfi-_D₁

AkxArBkyAr C^A- Z)4 z których wypadają naodwrót równania:

a^ + arf + a^+a,    _ ßJ+ßrf+ß^Arßi

ôli+ô,v+ô^+ât ’y

A%xB₂y A- C₂zĄ- D ₂

A^x+B^y 4 C^zAr

£=

A?x-\-B?> y4 Cz zĄ-D₂

A^xA-B^ y-\- C^z +-D₄

Wszystkim prostym jednego układu F, równoległym do pewnej płaszczyzny odpowiadają w drugim układzie linie proste, przecinające pewną prostą, położoną na płaszczyźnie zbiegu drugiego układu.

(î. Dwie ligury przestrzenne jednokreślne z trzecią. Niech będą dane dwie figury przestrzenne F i <I>, jednokreślne z trzecią F', przyczem spółrzędne cc', y', z', każdego punktu P' figury F‘ są ze spółrzędnemi cc, y, z, odpowiedniego punktu P figury F związane za pomocą relacyi :

, _ A\XA- Rjy A- C\z + A

A„x 4- P₃y + C4Z 4- Z>₄ ’ a ze spółrzędnemi Ç, rj, Ç punktu TI figury '[> za pomocą relacyi :

Ajj + Btn + IVH-A, a₄? a~ B4T +4- A4 ’

y' =

y‘ =

Aj® 4 Bpy 4 £-2* “h A 44CC A-B^y 4- O4Z 4" -Ö4

A₂ś 4 b₂t) 4"    4 A2

_/_ A₃a?4 B₃y "k @3Z ~k Ds

A.xA-BmA-C.zA-D, ’

__, _ -d₃^ 4 -B₃t) ~k DÇ ~k ń₃

A414 Ih⁷) ~k 4~ A4 ⁵    A₄£-p B₄ri "k 4~ A4

natenczas między spółrzędnemi cc, y, z i Ç, 7], Ç punktów P i II, odpowiadających punktowi P' figury P', zachodzą następujące relacye:

Ai Ç 4 -^1 ~k ^ ~k Ai

+ Jh y 4- Ci g 4- A

A4* 4" Baj 4~ Ci3 4" A

A₄5 4 #4*1 -k ~k a₄

A₂ac4'^22/ ~k

Akx 4- Baj 4- P4S ~k A

Â₄ç 4- b₄7] -k r₄ę 4- a₄

(4)

■d₃a? 4~ Asy k ^3g4~ -A

a₃S 4- B3*) + DS k A₃

A4CC 4- Bpj 4~ C4z 4~ P4

A₄É4Btï]4-r*t-M4 •

Z tych równaii możemy spółrzędne cc, y, z punktu P wyrazić jednoznacznie przez spółrzędne Ç, rj, £ punktu TI i nawzajem, dotyczące bowiem wzory będą miały kształty (1) i (1') art. 3., str. 302., będą więc cechowały jednokreślność figur F i 4>.

A zatem: Dwie figury przestrzenne, jednokreślne z trzecią figurą przestrzenną, są także ze sobą jednokreślne.

Wzory (4) mogą być więc uważane, jako wzory ogólne, cechujące jednokreślność dwu figur przestrzennych.

Z tych wzorów wypływają wprost następujące twierdzenia dwoiste:

W obu jednokreślnych figurach przestrzennych odległości każdego punktu jednej figury przestrzennej od czterech stałych płaszczyzn są proporcyonalne do odległości odpowiedniego punktu od czterech odpowiednich płaszczyzn drugiej figury przestrzennej.

W dwu jednokreślnych figurach przestrzennych odległości każdej płaszczyzny jednej figury przestrzennej są proporcyo-nalne do odległości odpowiedniej płaszczyzny od czterech odpowiednich punktów drugiej figury przestrzennej.

W dwu j ednokreślnych figurach przestrzennych , stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn, przechodzących przez linię prostą jednej figury przestrzennej, równa się stosunkowi anharmonicznemu czterech odpowiednich płaszczyzn drugiej figury przestrzennej.

a stąd :

W dwu j ednokreślnycli figurach przestrzennych , stosunek anharmoniczny czterech punktów, leżących na linii prostej jednej figury przestrzennej, równa się stosunkowi anliarmonicznemu czterech odpowiednich punktów drugiej figury przestrzennej.

7. Elementa podwójne dwu jednokreślnych figur przestrzennych. Jeżeli dwie figury jednokreślne związane są równaniami:

A æ 4~ Bi y 4- Ą g 4- Ą

_________ Ą^4- B.₂y+ C^zĄ-Dz

A®4-Ay4-A*+A ’ Aa?+Ay4-A*+Ä

A^xA-B^yĄ- Ą ff4~ A

A# 4- Bky 4- A* 4" A

natenczas na wyznaczenie odpowiednich punktów na siebie wpadających, czyli t. z. punktów podwójnych danych figur jednokreślnych, otrzymujemy na mocy warunków: #=£, y=rj, 0=Ç, następujące równe stosunki:

A#4-Ąy4 A g 4-A Ąa?4-Ąy4~ A# 4~ A __

_ Asa?4-Ąy4- A^4-As A#4- Ay4~A^+A

gdzie s jest niewiadomą wartością tych równych stosunków.

Przypuszczając s, jako wiadome, otrzymujemy stąd na wyznaczenie spółrzędnych x, y, 0, punktu podwójnego cztery równania o trzech niewiadomych w postaci:

Aix+Biy+Ci0+Di=sx A₂xĄ-B₂y-\-C₂0-\-D₂ =sy A®⁴“ Ayd⁻A^4-A“

A kx4-A y 4- C₄ 04-Z)₄ = s które mogą się równocześnie tylko wówczas ostać, gdy wyznacznik, utworzony ze spółczynników tych równań, będzie równy zeru, t. j. gdy będzie:

Ai .9,

Aj Aj -Aj

* czyli : S0 J

(Ai—s)x+Biy+Ci0+Di= 0 A~x-\- (B₂—s)y-\- C₂0 + Z)₉ =0 A₂x+B₃y+iCa-8)0+D₃= 0 Aix+Bliy+Ci0+(Di—s)=0,

(4)

B\ A, A

A? A

3? A    -A

Aj A s

A-

~ co''

=0.

(5)

Rozwinąwszy wyznacznik i uporządkowawszy jego wyrazy według potęg niewiadomej s, otrzymujemy równanie czwartego stopnia, ze względu na s w postaci : gdzie :

A u A A> A

4-

u Aj

2 j -A j

3j Aj

s⁴-Ps*+Qs²-Bs + J)=0, JP=A₁ + A + A+Aj

Aj A Aj A Aj A A A

Aj Aj A Aj Aj A

o Aj Aj A

Aj Aj Aj A -A’ -Aj Aj -A -A j -A j A j As

Aj Aj Aj A

4-

4-

bb

Aj

6’

(5')

4-

4"

bbb

4-

4 J W 4J

Aj

Aj

■A j

2>=

Położenie punktów podwójnych dwu jednokreślnych figur przestrzennych .F i $, zależy więc od pierwiastków równania czwartego stopnia :

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

s⁴—Ps²4-Qs²—BsĄ-D—0. Każdemu z czterech pierwiastków s1? s₂, s₃,s₄ tego równania odpowiada na podstawie (4), układ szczególnych równań, wyznaczających spółrzędne x, y, z, odpowiedniego punktu podwójnego.

Wobec tego dwie jednokreślne figury przestrzenne F i 0 mają w ogólności cztery wspólne punkta podwójne (x{, y i, zj, (»=1, 2, 3, 4).

Ponieważ linia prosta, łącząca dwa punkty podwójne dwóch figur jedno-kreślnych, przedstawia odpowiednią prostą podwójną, a płaszczyzna, przesunięta przez trzy punkta podwójne dwóch figur jednokreślnych, przedstawia odpowiednią płaszczyznę podwójną tych figur, przeto otrzymujemy twierdzenie:

Dwie jednokreślne figury przestrzenne mają w ogólności cztery punkta podwójne, sześć prostych podwójnych i cztery płaszczyzny podwójne wspólne.

8. Ogólne równanie czwartego stopnia o jednej niewiadomej. Ogólne równanie czwartego stopnia o jednej niewiadomej x ma postać:

a₀ x⁴+ax x³+a₂,x²+a₃x + a₄=■0,

przyczem spółczynniki a, (i—0,1, 2, 3, 4) mogą być w ogóle dowolnemi liczbami z zakresu liczb rzeczywistych, urojonych, lub zespolonych.

W przypadku a₀ ^ 0, możemy to równanie sprowadzić do postaci normalnej :

(6)

x⁴—4ą x³ + Cc₂ x²—4c₃ x -fi c₄—0,

w której :

«3

«i

4«,--

Mo

Połóżmy w tern równaniu x=z-j-ci, natenczas otrzymamy: xi==zi+4c₁z³+6ci ²z²+4c³iz-ł-ci

⁴0 = -

a₀

Ci ⁼⁼ „

—4 cix³= 6c₂x²= —4 c₃x=

—4c₁z³—12c²₁z²—12c³iz—4c\, 6c₂z²-\-12c₁c₂z+6c₂c2 4c₃# 4c₃c₁

ci,

ci —

x⁴—4c₁x³4-6c₂x²—4c:}x-]-ci=z'i-\-6pz² — 4qz4-r, p=c₂—c²u q=2c\—3cic₂ + c₃, r=c!i-4c₃ci+6c₂c²i-3c\.

Rozwiązanie równania czwartego stopnia o niewiadomej x kształtu : r⁴—4c^x³-\-3c₂x²—4c₃# + ć₄=0, sprowadza się tym sposobem do rozwiązania równania czwartego stopnia o niewiadomej z, kształtu :

z¹⁴ fi bpz²—4qz + r=0, które jest o tyle prostsze, że brak w niem wyrazu z trzecią potęgą niewiadomej.

przeto : gdzie :

(7)

Przy tej sposobności zauważymy, że, chcąc się w ogólnem równaniu czwartego stopnia, kształtu: a?⁴-fi ax³ -j- ftx²-|- ex -fi d =0, uwolnić od wyrazu trzeciego stopnia, t. j. od ax³, należy w tein równaniu podstawić x = s— i/ia, t. z. przekształcić dane równanie o niewiadomej x na inne o niewiadomej z, którego pierwiastki byłyby o */\a większe, za pomocą podstawienia x — s—    , gdzie a jest spółczynnikiem przy*³, a wyraża;⁴ ma spółczynnik

równy 1.

9. Rozwiązywanie równań czwartego stopnia według metody Dcscartesa.

Metoda ta polega na rozkładaniu wielomianu czwartego stopnia, kształtu :

zkĄ-3pz²—4ąz-\-r,

na dwa czynniki drugiego stopnia. Niech będzie:

z^Ą-óópz²—4qzr={z²-\-2uzv) (z²—2uzĄ-w)=0, tedy musimy liczby u, v, tv₎ tak obrać , aby to równanie było tożsamością.

(7)

Wykonawszy wskazane mnożenie otrzymamy:

z^Ą-ftpz²—4:qz-\-r=z!i-\-(vJriv—4m²)#²—(2uv—2uw)zJrvw=0:

Z porównania spółczynników przy jednakowych potęgach niewiadomej e otrzymamy :

(8)

v + w- 4:U²=6p, uv-uw=2q, vw=r,

z czego wypływa

2 c

v-\-w=Qp-\-Ą:U²,    v—w=~,

przeto :

?; = 3jö + 2 m²+— u

a więc :

czyli :

w=3p-y 2w²—— u

r=(3p+2u²)²— — , w²

9^² + 12j|?M²+4M⁴— +:=r.

uA

(8')

vw=

Na wyznaczenie ?v., otrzymujemy więc równanie szóstego stopnia kształtu: 4 wG + 12pw⁴+(9p²—r)«² — g²=0, które, gdy za u² podstawimy nową niewiadomą y, sprowadza się do równania trzeciego stopnia :

(9)

4y³ + 12^n/² + (9p²—r)y—g²=0,

(9')

którego rozwiązanie na podstawie art. 2. str. 161. wykonać się daje.

Na tej podstawie otrzymamy sześć wartości na u kształtu: ± w₁₅ + w₂, ±m,, a tem samem sześć grup wartości w, v, w.

Każde dwie grupy dają jednakże ze względu na wzory (8') to samo; rów-£⁴+6p#²—kqz-\-r=(<z²+2uz-\-v) (z²—2uz-\-w),

naniu (7') :

można więc trzema rozmaitemi sposobami zadość uczynić.

Każdy z tych trzech sposobów prowadzi do czterech pierwiastków równania: #⁴+ 6pz²— 4#£ + r = 0, których bliższe wyznaczenie nie podlega trudności.

*4 _j_₂2²—162 + 77 = 0.

Mamy tu, jeżeli 2ł+22²—162+77 =(2² + 2w2 4- v) (z²—2m2 + *c), równania: »+w=2+4w²,

g

w—w =—    tw=77, skąd dostaniemy na wyznaczenie u równanie: w⁶ + w⁴—19w⁴ — 4 = 0,

Weźmy przykład :

czyli równanie trzeciego stopnia, kształtu: y³ + y²—19// — 4= 0, które daje pierwiastek rzeczywisty: y = 4.

Będzie więc

w = 2, t> = l + 8 + 2 = +ll, *0 = 1+8-2 =7,

2* + 22²—162 + 77 = (2² + 42 + II) (2²-42 + 7).

Pierwiastki danego równania czwartego stopnia są więc :

2, =—2 + *V7 , % =—2—*V/7 , 23 = 2 +*V/3, 2₄ = 2 — »V/3 .

10. Rozwiązywanie równań czwartego stopnia według metody Eulera.

Połóżmy wraz z Eulerem 2=w + t; + w, i oznaczmy:

n+v + *o=s₁, wv + w+mw=s₂j uvw=sz, m²+î;²+«o²=cr₁,    m²0²+v²«0² + m>²m²=-<7₂> u²v²w²=a?tl

przeto :

tedy otrzymamy :

0 = s1? £² = <T₁+2s₂, ^⁴ = 0'²j +4(7^2+4s²₂ = 0²₁ +4*7^2+402+85^93.

Wskutek tego, równanie:

2⁴+ 6p#² — 4g# + r = 0,

zamienia się na następujące :

a\ +4(7^2 +4(7₂ +8*₁«₃ +6p(c7i +2s₂)—+ r=0, (7²! + 4(7₂ + 6pcrt + r + sl (8s₃ —4 g) + s₂ (4<7₄ + 12p)=0 ;

czyli :

równanie to spełni się, skoro będzie :

o\ +4<r₂ -f 6^ + r=0, 8s₃— 4^=0, 4^ 4-12p=0,

skąd otrzymamy :

9p²—r

ci =u‘l-\-v‘¹-\-iv‘²‘= —3p, a₂ ■=u²v²-\-v²iv²-\-tv²u²—

<?

s,=uvw=~ ³ 2

o₃=u²v²w²=    ,

Ilości w²,v²,w², są więc trzema pierwiastkami równania trzeciego stopnia:

9p²—r q²

--- y ——=Q,

4^4'

y³ + 3py²-f

(13)

będzie więc, jeżeli yu y₂₁ y% są pierwiastkami tego równania:

u²=yu v²=y₂,    w²—y₂,

mi = + VVij v\ = JrVy2^ wi = + Vy?,, u2— Vyv v2~ \Zy% f w%— \/ y z •

a więc :

(14)

Skoro więc, na mocy założenia: z—u-\-v-\-w^ przeto wypada na s ośm

fp tylko cztery będą

wartości, z których jednakże z powodu warunku: uvw=-^~ pierwiastkami równania. Mianowicie otrzymamy pierwiastki:

*i = % + + Wi = -p i/yi -p y/t/2 + V/y₃ ?

v2 + w2⁼⁼ + V/^i — Vy^~Vy₃ j ^3==W2+Vl+W,2 ⁼ ~V/^i + V/2/₂~V/y3 » ^4==W2+V2+W;i⁼⁼~V/yi — l/z/₂ + VA/;j j jeżeli liczba q jest liczbą dodatnią; zaś pierwiastki:

(15)

*i =m2 + ^2+w2= — \Ai — Vy2—Vy?,i

Z₂=U₂ JrVi+Wi=~\/yi + \/yi+\/y₃ ,

^3=M1 +'y2+Wl==r + V/.yi —V/l/2+ V/l/3 )

^4=^1 -\~v\ +w2===JrV'yi + Vy^—Vyz

jeżeli liczba ą jest liczbą ujemną/

11. Rodzaje pierwiastków równania czwartego stopnia o spółczynnikach rzeczywistych. Wszelkie sposoby ogólnego rozwiązania ogólnego równania czwartego stopnia wymagają ostatecznie rozwiązania pewnego równania pomocniczego trzeciego stopnia.

Wszelkie równanie trzeciego stopnia o spółczynnikach rzeczywistych posiada, jak wiemy z art. 4., str. 163. przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przyjmijmy, że spółczynniki p, g, r, danego równania czwartego stopnia są liczbami rzeczywistemi, wówczas w równaniu pomocniczem :

0 jp 2_y

y²Ą-3py²-]--^- y--^-=0, musi być przynajmniej jeden pierwiastek, nie-

tylko rzeczywisty, ale i dodatny. Jakoż wielomian y³ + 3py²H—^—

jest całkowitą wymierną funkcyą zmiennej y i ma dla y=0 wartość ujemną, a dla y=oo wartość dodatnią funkcyj całkowitych wykażemy, musi istnieć wartość na y, pośrednia między 0 i oo, t. j. wartość dodatnia, przynajmniej jedna, albo trzy, przy której wielomian ten jest równy zeru, t. j. musi zachodzić przynajmniej jeden pierwiastek dodatni.

y —-t,

więc, jak zresztą później szczegółowo dla

Z tego wynika, że równanie pomocnicze (13) może mieć, albo (1), wszystkie trzy pierwiastki dodatnie, albo (2) jeden dodatni, a dwa ujemne, albo (3) jeden pierwiastek dodatni, a dwa urojone sprzężone.

W pierwszym przypadku wobec wzorów (15) i(15') wszystkie cztery pierwiastki równania czwartego stopnia (11) są liczbami rzeczywistemi ; w drugim przypadku mamy yx=u², y₂ =—v², y₃ =—w², gdzie u, v, iv są liczby rzeczywiste, wobec tego pierwiastki równania (11), gdy g;>0, będą miały, kształt: u-{-i{vĄ-w), u—i(v-f-w), — uĄ-i(v—w), —u—i(v—w),

gdy q<0, zaś:

—u—i(v-\-w), -u-\-i{v-\-w), u-\-i{v—w), u—i(v—w), a więc wszystkie cztery pierwiastki są liczbami zespolonemi sprzężonemi, skoro v^tv] gdy zaś v—w, wówczas dwa pierwiastki będą liczbami zespolonemi sprzężonemi, dwa zaś pozostałe będą liczbami rzeczywistemi, ale równemi.

W trzecim przypadku, niech będzie yi=u², y₂=m-\-ni, y₃=m—ni, gdzie u, m,n są liczbami rzeczywistemi, natenczas otrzymujemy, ze względu na to, że:

V/m-\~ni —

\/m²d-n² + m

Vm^Ą-n²—m

a + ßi,

jako pierwiastki równania (11): (a) dla q)>0, według (15) następujące wyrazy: + w + 2a, ą-u—2a, — u+2ßi, —u—2ßi,

(■b) dla q<C.O, zaś :

—u—2a, — «+2a, u—2ßi, u-\-2ßi,

a więc w obu wypadkach dwa pierwiastki rzeczywiste, a dwa urojone sprzężone.

•A zatem : równanie czwartego stopnia o spólczynnikach rzeczywistych ma, albo wszystkie cztery pierwiastki rzeczywiste, albo dwa tylko pierwiastki rzeczywiste, a dwa zespolone sprzężone, albo wszystkie cztery pierwiastki zespolone, parami sprzężone.

12. Możliwe położenia elementów podwójnych dwóch jednokreślnych układów przestrzennych. Wróćmy teraz do równania czwartego stopnia:

B\ > i Bi

■®2 Sl ^21

B3 » ^3    -^3

*4,

od którego pierwiastków zależy położenie punktów podwójnych dwóch jednokreślnych układów F i 0, w których spółrzędne odpowiednich punktów : P{x, y, 0) i 77(|,    £), związane są wzorami:

A,-s,

zl(s)==

^-3>

a₄,

C₄, 7)₄—s

=0,

A₂xĄ-B₂yĄ-C₂z+D₂

A^+B^+C^+D^    _    _₌

Awx+ B$-\rCkz-\-Dk ’ A^xA-Bky\GkzArBx

'fir

A₃#-h-Z?3ff+

-A₄# + P₄y -f- Ckz + 7)4 Jeżeli równanie J(s)—0, ma cztery pierwiastki rzeczywiste, natenczas każdemu pierwiastkowi st («'=1,2, 3, 4), odpowiada jeden rzeczywistjr punkt podwójny (xi: y{, zß, (i= 1, 2, 3, 4), którego spółrzędne określone są czterema od siebie zależnemi równaniami, kształtu :

(16)

(Ai — si)XiĄ-Fiyi-\- C\Zi~\-F)\ =0, A₂Xi-Y{B₂—sß y i A- C₂Zi-\- P₂ =0, A₃Xi-\-B₃yi-\-(Cs—si) Zi-\-D₃ =0, AKXi-\-B kyi-\- C₄#t + (7)₄—sß—O, z których którekolwiek trzy wyznaczają spółrzędne (xif yi, zß punktu podwójnego Pi, odpowiadającego pierwiastkowi st- równania J(s)=0.

- BIO -

Dwa dane jednokreślne układy przestrzenne mają w tym przypadku cztery oddzielne rzeczywiste punkta podwójne P1} P₂, P₃, P₄, a tern samem sześć oddzielnych, prostych podwójnych P,P₂, P₄P₃, P±P^ P2-A AA» P3P4 i cztery płaszczyzny: P₁P₂P3? P₁P₂P₄, P₁P₃P₄, P₂P₃P₄, czyli wspólny czworościan, którego wierzchołki, krawędzie i ściany wzajemnie sobie odpowiadają.

Jeżeli równanie J(s)=0 ma dwa tylko pierwiastki rzeczywiste , a dwa urojone sprzężone, natenczas dane układy jednokreślne mają tylko dwa rzeczywiste punkta podwójne, a dwa punkta podwójne urojone sprzężone, a że na podstawie art. 11. str. 213. przez dwa punkta urojone sprzężone przechodzi zawsze jedna prosta rzeczywista, więc dane układy jednokreślne mają w tym przypadku, dwa rzeczywiste punkta podwójne, dwie rzeczywiste proste podwójne i dwie rzeczywiste płaszczyzny podwójne, przecinające się w jednej prostej rzeczywistej, a nadto dwa punkta urojone, sprzężone, cztery proste urojone, przecinające się po dwie w jednym punkcie rzeczywistym i dwie płaszczyzny urojone sprzężone, przecinające się podług jednej prostej rzeczywistej, łączącej oba rzeczywiste punkta podwójne.

Jeżeli równanie zi(s)=0 ma wszystkie cztery pierwiastki urojone, parami sprzężone, tedy dane układy jednokreślne nie mają, ani rzeczywistych punktów podwójnych, ani też rzeczywistych płaszczyzn podwójnych, a tylko dwie rzeczywiste proste podwójne, na których leżą po dwa urojone sprzężone punkta podwójne i przez które przechodzą po dwie urojone sprzężone płaszczyzny podwójne.

ćwiczenia XXIII.

1) Z punktów I\ i P₂ figury przestrzennej F wykreślmy prostopadłe do płaszczyzn Cj i e₂, a z odpowiednicli punktów 17, i II₂ figury ⁽I> jednokreślnej z F, prostopadłe do odpowiednich płaszczyzn e, i e₂, dowieść, że:

P\e\ . Piei_Th£i . tf₂h

P\ e2 P%e2    dl £2 fi2£2

2) W figurze przestrzennej F danych jest sześć punktów: I\, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆, a w figurze ‘I>, z nią jednokreślnej sześć odpowiednich im punktów: II,, H₂, fi₃, Th) lb₅ Th» dowieść prawdziwości następujących stosunków między objętościami odpowiednich ostrosłupów :

P\ P'i P'i Pr, . P\ P'i Pj P>, fij TI3 TI4 ^5 . Tli fią TI4 łlę

Pi P3 Pi P5 Pi P3 Pi P$    TI2 Tl3 fi₄ Ih Tl2 II₃ ll₄ n₆

3)    Dowieść, że dwa dowolne czworokąty płaskie dadzą się nieskończenie wielu sposobami tak umieścić w przestrzeni, że linie łączące po dwa odpowiednie wierzchołki tych czworokątów przecinają się w jednym punkcie.

4)    Cztery proste, łączące odpowiednie wierzchołki dwóch czworościanów AB CD i A'B'C'D' przecinają się w jednym punkcie 0; dowieść, że w tym przypadku krawędzie przecięcia ścian , przeciwległych owym wierzchołkom , leżą na jednej płaszczyźnie.

5)    Dwa ostrosłupy mają takie położenie, że linie proste, łączące ich wierzchołki, przecinają się z liniami prostemi , łączącemi wierzchołki podstaw, w jednym punkcie ; dowieść , że w tern położeniu krawędzie przecięcia się ścian i krawędzie przecięcia się obu podstaw leżą na jednej płaszczyźnie.

6)    Dowieść , że równania :

A\x ~ł~ Biy-\- C\ z -f- D₁

A₂x -f- B₂x -f C₂z + D%

Ax -f- By -j- Cz-\-D

Ax    By -j- Cz -j- D

cechują jednoki*eślność układu płaskiego punktów (Ç, rj) z wiązką promieni, której wierzchołek wyznaczają trzy równania:

+ Gxz-\- 2>t=0, A₂xĄ-B₂y-\- C₂s-|-D₂=0, Ax Ą-By -fi Cz-{-D=Q.

7)    Zbadać zależność dwu figur, określoną równaniami :

«l^ + M + Cj _Mx~YBxy + Cjg + A -\-b₂f\Ą-c₂    + #2# + (?₂ g + A

Aa: + By    Cz -\- D ’ a? -J- br\ -}- c Ax -|- By Cz Ą- D

8)    W wiązce promieni o wierzchołku 0, obierzmy dowolnie dwie płaszczyzny Et i E₂ i wykreślmy z dowolnych dwu punktów Pt i P₂ cztery prostopadłe PlEi, P₂E₂, P₂E\, P₂E₂\ w jednokreślnym z nią układzie płaskim wyznaczmy dwie proste llt l₂, odpowiadające płaszczyznom i P₂, i dwa punkta P't, P'₂, odpowiadające promieniom 0Pt i OP2 i wykreślmy cztery prostopadłe P\l\, P\h, P\hi ) dowieść, że:

p^h _ p₂fej py, . P'₂zt

pxe₂-p₂e₂ p\i₂-p\i₂

9)    Punktowi P o spółrzędnych czworościennych ajj, #₂, a:₃, a?₄ w układzie P odpo

wiada w układzie jednokreślnym 4>, punkt n o spółrzędnych czworościennych tt, tj₂, ?₃, £₄, określonych relacyami ;    ajj 4~ Bi x₂ -f- Ci x₃ -f- Di a?₄, (i = 1, 2,8, 4); jaka płaszczyzna

układu <t> odpowiada płaszczyźnie: AxyĄ- Bx.₂-\- ßc₃-f- Pa;₄= 0, układu V.

10)    Jak przedstawiają się wzory przekształcenia dwóch figur przestrzennych jedno-kreślnycli F i ⁽l> o punktach xl( x₂, x₃, ą, io punktach (q, <j₂, ?₃, ?₄), mających cztery rzeczywiste punkta podwójne, jeżeli te punkta przyjmiemy, jako wierzchołki czworościanu odniesienia.

11)    Płaszczyźnie (w1? w₂, w₃, u₄) układu F odpowiada w układzie E‘ płaszczyzna

(u\, u'₂, uJ₃, th₄), przyczem u. =    Bi u‘₂-\- Ciu‘₃Ą- Dw\. (*=1,2, 3. 4). Jaka forma geo

metryczna układu F' odpowiada punktowi: aą«i-ł- x₂u₂-\- x₃u?-\-xiui= 0, układu F.

12)    Przetnijmy krawędzie czworościanu dowolną płaszczyzną , a na każdej krawędzi wykreślmy czwarty punkt harmoniczny; dowieść, że trzy linie proste, łączące czwarte punkta harmoniczne, położone na dwu przeciwległych krawędziach, przecinają się w jednym punkcie.

13)    Równanie niezupełne czwartego stopnia, kształtu: xi -j- px² -j- qx -f- r= 0, rozwiązać za pomocą podstawienia: x z=ziy-\- z₂y² -\-z₃y³ ; y⁴—1=0, (Metoda Bézouta).

Rozwiązać następujące równania czwartego stopnia:

14)    x⁴—912#—l⁷/ie=0. 15) x⁴—hxz-\- 5x² -f- 5x—6 = 0.

16) x⁴—12a;³ + 47a:²—72^ + 36 = 0. 17) x⁴+6æ³-112æ²+ 330a:—225= 0.

18) a;⁴—8x³-f-24a:²—40x -f- 32 ■= 0. 19) xi—10cc³ -f- 33a;²—46# -j- 20=0.

20)    #⁴-j- ²/₃#³—12⁶/i₂x² + %₂x + 1 = 0.

21)    Rozwiązać równanie: xi-j- ax³ -)- bx³cx-\-d—0: za pomocą sprowadzenia tego. równania do postaci: (x2il₂ax-\-z)²—(qx-\- r)²=0, gdzie z,q,r są to wielkości pomocnicze.

22)    Wykazać, że cztery pierwiastki xt, x₂, x₃, #₄ równania czwartego stopnia kształtu xl -)- px² -f- qx -j- r = 0, dadzą się przedstawić w postaci (wzorów Ampèra):

Xx} ⁼ ^{J±    +    l³t}⁼⁼~Y\y

gdzie y — xi-\-x₂—— (x₃    x^) jest pierwiastkiem równania pomocniczego szóstego stopnia:

y⁶ Apyk -j- (p²—Ar) yl—q² = 0.

23)    Rozwiązać równanie: #⁴—60#²440#4~ 396=0, za pomocą wzorów Ampèra, (ćw. 22.)

24)    Wykazać, że cztery pierwiastki równania #⁴ px² -J- qx -f- r = 0, dadzą się przedstawić wobec q~>0 w postaci (wzorów Eulera):

gdzie yu y₂, y₃, są

)= — Vy\ + Vyi + Vyz); J*} = VV\ + (V2/2 — Vy₃)»

pierwiastkami równania pomocniczego trzeciego stopnia: y³ -j- y² -j-    g4 2²—

25) Wyznaczyć pierwiastki równania: cc⁴—25;r² 4- 6Cte — 36=0, za pomocą wzorów

Eulera.

26)    Wykazać, że wielomian równania: .x,4-f p%²    4~ r — 0) da się wedłag Descar-

tes’a rozłożyć na dwa czynniki drugiego stopnia kształtu: (x³-\-ux v)(x³—ux-\-w), gdzie: w -j- v = p> -j- y²-, w—v — q\y, przyczem y jest pierwiastkiem równania pomocniczego: y⁶ 4- 2py⁴ 4“ (p²— 4r)y²— q²— 0.

27)    Rozwiązać równanie: x^ -f- 2x²—16x-j- 17= 0, za pomocą metody Descartesa rozkładu czworomianu na dwa czynniki drugiego stopnia.

28)    Równanie: xi—7x³—12^4“ 18—0, rozwiązać za pomocą: (a) wzorów Ampèi’a, (ćw. 22.), (b) Eulera (ćw. 24.) i (c) metodą Descartes’a (ćw. 26.).

— 812 —

29)    Równanie: a:⁴ -|- a^x³ -f- a₂æ²-f- a^xJr ai = Oj przekształcić na równanie odwrotne:

yiĄ- ay³ -f- by²    ay 1 = 0, za pomocą podstawienia : x — qy-\-r.

30)    Eównanie : xi—10 x³ -J- 33a;²—46æ -f- 20= 0, przekształcić na równanie odwrotne: za pomocą podstawienia x — qy -\-r, a następnie rozwiązać.

31)    Rozwiązać równanie : x(x -j-1) (x -f- 2) [x -f- 3) = 24.

32)    Utworzyć równanie czwartego stopnia, któreby miało pierwiastki : 2+Y/3, —1 + Y/3.

33)    Równanie: xi—lx³-\- 15æ²—7x—6 = 0, ma pierwiastki l-]-\/2 , znaleźć resztę pierwiastków.

34)    Rozwiązać równanie: xi—⁵/₆x³—¹³/₃x²—⁵/₆x-{-l=.0.

35)    Rozwiązać równanie odwrotne: 6a:⁶—23cc⁵-|-Kte⁴14æ³10æ²—23x-\-Q—0.

36)    Wiedząc, że równanie: a:⁴—4æ³-J-16®—16 — 0, ma pierwiastek potrójny; wyznaczyć wszystkie jego pierwiastki.

37)    Podobne jak w 36) równanie: xi—6®²—8®—3 = 0.

38)    Wyprowadzić wzory jednokreślności figur F i <b, jeżeli punktom A(0, 0, 0), B{ 1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1), E{0, 1, 1) figury F odpowiadają punkta A(l, 1, 1), B(l, 2), r(l » 2, 1)» A(2> h Vj)j E(|, Î, 1) figury <l\

39)    Wyznaczyć punkta podwójne figur jednokreślnych, określonych w ćw. 38.

Rozwiązania XXIII. 1) do 3) wynika z określenia jednokreślności dwu figur. 9) (AAt    CCi + DDl)xl+& = 0. 10) çt= xu S₂ = A₂æ₂, £₃=A₃?₃, ?₄=fi₄?₄. 11) punkt:

(fi₄a:j -\-A₂x₂ A₂®₃-j- _4₄a?₄) u\ -j- & = 0. 13) ®₄=    z%Ą-z₃, a5j=—s₂+*2—*3> *3=*«i —z₂—iz₃,

®₄=—*2]—22 + *%? gdzie zx, z₂, 2₃, z₄ są pierwiastkami równania : zG-\-^ pziĄ-i/ie(jo³—Ar)z²— ~V6ł2”0. 14) l±^\/3, -l±³/₂V/3. 15) -1, 1, 2, 3. 16) 1, 6, 3, 2. 17) 1, -15, 3, 5 18) 2, 4, 1 + * y/3 ■ 19) 3+ Y/5 , 2 + i. 20) !/₂,—4, 3,—y₆. 21) Xa wyznaczenie « otrzymuje się równanie : z³—¹/₂bz²-\-iJi[ac—4:d')z—il₈(a'id—4ó<7-f-c²) = 0, a wielomian rozpada się na iloczyn: [a;²4-(y₂a+\/y₄a²— ó-f- 2z)x-\-(z -j-\/z²—a)]. [®²-f-(y₂a— \ZlU a²— 6+ 2z ) a? + {zĄ-^/z³ — a)] =0. 23) y=10,    a^₂ = 5 +V/3⁻, ar₃, **=-5+\/T. 25) y³-²%y* + ⁷⁶Vi₆2/—²²⁵A ; 9{=% ya = 4,

«/₃ —²⁵/₄, »1=—6, x₂=3, x₃—2, ®₄=1. 27) (aa²-)- 4a?    11) (a;²—4®-j-7)=0. 28) (a) y—4, (6) ^=4,

Z/₂, y₃ =— y₄ + 2 i\/2 , (c) (cc² — 4« -j- 3) (a?² -f- 4® -j- 6). a;₁=3, ®₂=1, x₃, xi = — 2±i \/ 2 . 29) Warunki : ri -j- a^r³-\- a₃r³-\- a₃r -f- a₄ = (Z⁴, (4r -j- ax) q'¹= Ar³-\- 3a₄r² 2a₂r -f- a₃, stąd otrzymuje się na wyznaczenie spółczynnika r równanie: (oą³—4a₁a₂+8a₃)®³+(a²i«₂4-2a₁a₃—4a²₂-f-l<>a₄)r² -f-    8a₄«₄—4«₂a₃)r -J- («^«4—a₃²)=0, z którego otrzymujemy wartość rzeczywistą na r, a stąd wyznaczymy q. 30) r=—g = 5    29 ; y’*~²⁴/₂₉V/29) ÿ³-{- 6²⁴/₂₉ y²—

— ²⁴/₂₉\/29 y + 1 = 0, aą, x₂=3±V/5", a?₃, ®₄ = 2 ± *. 31) 1, -4, $(—8+*\/Ï5). 32) ®⁴-—2®³-9®²-fl0®-2=0. 33) 3, 2. 34) 3, U —2,—J. 35) 1, 1, 3, —³/₄±¹/₄*VÜ 36) 2, 2, 2, —2.

a?-j-2z/4"32: + l

a7 + 2/ + 0+ 1 ’ ⁷¹

37) -1, -1, -1, 3. 38) Ç

2® + 3«/ z 1

« + 2/ + Z + 1

, ■<-

3® 2y -f- 2s 1

a> + Z/+s+l

Literatura. F. Buecking. Theorie der geometrischen Verwandschaften. Marburg 1874. C. Predige r. Die Elemente der analytischen Geometrie des Raumes. Mit 26 Tafeln. 1887. I. Swellengrebel. Analytisch-geometrische Untersuchungen über allgemeine VerwandschaftsVerhältnisse von Coordinatensystemen. Bonn 1855. K. Uhrig. Ueber trili-neare und tetraedale Kollineation , Diss, 1891.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya jednokreślności dwu figur przestrzennych, odniesionych do jednego czworościanu.

2.    Warunki inwolucyi dwu układów w przestrzeni.

3.    Związek boków czworokąta w koło wpisanego z pierwiastkami równania czwartego stopnia.

Wykład XXIV.

Szczególne rodzaje jednokreślności i dwoistość figur przestrzennych.

1.    Figury jednokreślne w przestrzeni mogą mieć z jednej strony szczególne położenie wzajemne , zaznaczające się szczególnem położeniem punktów podwójnych, a z drugiej strony mogą się różnić co do istoty swej jednokreślności. Pod pierwszym względem odróżniamy, obok ogólnych figur jedno-kreślnych, figury jednokładne i figury perspektywiczne, pod drugim względem rozróżniamy, obok ogólnej jednokreślności, jeszcze następujące rodzaje jedno-kreślności, jak powinowactwo, równość, podobieństwo, przystawanie i sy-metryę figur.

Poznawszy w poprzednim wykładzie ogólną jednokreślnośó dwóch figur przestrzennych, cechującą się czterema oddzielnemi punktami podwójnemi tych figur, zajmijmy się wpierw szczególnemi przypadkami jednokreślności, wynikającemi z położenia ich punktów podwójnych.

2.    Figury jednokładne. Szczególny przypadek jednokreślności dwóch figur przestrzennych otrzymamy, gdy cztery równania (16), str. 309. wyznaczające spółrzędne x, y, #, punktu podwójnego , odpowiadającego pewnemu pierwiastkowi a równania d(s) = 0, nie wystarczają do wyznaczenia spółrzęd-nych tego punktu, co się stanie, skoro równania, albo (1) sprowadzają się do dwóch równań, albo (2) do jednego tylko równania.

W pierwszym przypadku przedstawiają równania układ płaszczyzn, przecinających się podług jednej linii prostej, której wszystkie punkta są punktami podwójnemi danych układów jednokreślnych.

Przyjmując dowolne dwa z tych równań, n. p. pierwsze i drugie: Ei=(Ai — o)x-\-Biy-\-Ciz-\-Di — 0, E₂= A₂x-\-(B₂— a)y-1- G1l₂£+D₂=0, jako równania od siebie niezależne, otrzymujemy drugie dwa w postaci:

A —JciE₂=Asx-{- Bsy -\-(C₃—g)z-\- A⁼A Ei -h₂E₂=AIkx-\' B^yĄ- Gł₄^-}-(Z)₄ — oO=0, gdzie i Tc₂ są pewnemi, stałemi spółczynnikami, skąd wypływają relacye : As=Ai g A₂j B, = Bi k^(B₂ er), C₂ g=C^ ki C₂₁ D, — A h±I)2 AIl = Ai—G—Jc₂A2: A=A—Jc₂(B₂ — o)i Ck = Cx—lz₂C₂i Dli — G=Di—lc₂D₂.

W tym przypadku równanie czwartego stopnia Zl(s)=0, otrzymuje następującą postać:

Ct

A.—S

A,

A\ G Jci A2 ) A-i g k₂ A-₂,

B₂ s,

B\ —\(B₂ — o), Ci— lciC₂-\-o— s, Di — /q Ą A    ^2 (A —    A ^2 A i

2?

= o.

z której, pozostawiając w wyznaczniku pierwsze dwa wiersze, a dodając do

wyrazów trzeciego i czwartego wiersza kolejno wyrazy pierwszego, pomnożone przez —1, i wyrazy drugiego, pomnożone przez kv wględnie przez k₂, otrzymuj emy :

Ai-s, A 2 >

2?i, C

jB₂ S,

s—a, ky(s—g), s—a, 0 s—a, Jc₂(s—a),

=o.

0,

s—a

Wyłączywszy z ostatnich dwu wierszy wspólny czynnik s—a, otrzymujemy powyższe równanie czwartego stopnia w postaci :

A1 s, By, Cy, Dy

A2> B₂ s, C₂, D₂

(s-u)²

JCy ,

(17)

czyli :

1,    *a,    0,    1

(s —<j)²[s²—Hfs + W]=0.

A\1 Dy, Cy, Dy\

A2, -E>2> ^2, ^2

1, o •

1, k₂, 0, 1 I

Równanie czwartego stopnia ma w tym przypadku dwa pierwiastki Sj i s₂ równe a, a drugie dwa określone równaniem s²— Ms-\- N=0, albo oba rzeczywiste, albo oba urojone sprzężone. Powiadamy tedy, że równanie zl(s)=0 ma jeden pierwiastek podwójny.

Jeżeli więc równanie 4(s)=0, ma jeden pierwiastek podwójny, natenczas dane układy jednokreślne mają obok dwóch punktów podwójnych rzeczywistych, lub urojonych sprzężonych jeszcze nieskończoną ilość punktów podwójnych, leżących na jednej linii prostej, mają zatem wspólny pęk płaszczyzn podwójnych o osi, przechodzącej przez te dwa oddzielne punkta podwójne i dwa wspólne pęki perspektywiczne promieni, których wierzchołkami są właśnie powyżej wspomniane, oddzielne punkta podwójne.

Takie układy jednokreślne nazywamy układami jednokładnemi, albo środkowo kolineacyjnemi. Prostę punktów podwójnych nazywamy osią kolineacyi, a oba punkta podwójne środkami kolineacyi.

3. Figury perspektywiczne. W drugim przypadku, gdzie wszystkie cztery równania układu (16), str. 309., odpowiadające, pewnemu pierwiastkowi o równania 4(s)=0, sprowadzają się do jednego tylko równania, przedstawiają te równania jedną tylko płaszczyznę w przestrzeni, której wszystkie punkta są punktami podwójnemi danych układów jednokreślnych.

Przypadek ten zachodzi, gdy w powyższych czterech równaniach cztery pary spółczynników będą proporcyonalne do czterech jakichkolwiek liczb A, B, C, D, czyli, gdy będzie :

Ay -C = kyA, By =ky B,

A‘2 —k₂ A

A3 =k₃A

Ar, = fcyA

gdzie :

Q O 1—1

" i    •>

o t-h O

i-¹

N-

1. k

Cy=kyC,

B₂ o—k₂B, C₂ = k₂C,

B?i=k?B,

B,=k,B,

W tym przypadku równanie J(s)=0 otrzymuje po wstawieniu wartości za Ai, B,, Ci, Di, (i = 1, 2, 3, 4), wynikających z powyższych dwunastu równań, następujący kształt:

Dy = ky D,

D₂=k₂D, ą—o=k₃C, D?t=k₃D, C,=k,C,

Dy — G =kyD.

- 315 -

K C,

\D

\A-\-o— s, KB,

7^2-4 j

M,

Æ₄u4,

Stąd otrzymujemy równanie czwartego stopnia, ze względu na s, w postaci : (s— u)⁴— (s—<r) ³(7<;₁ A -p jfc₂ 5 + (7 4- 7c₄ Z>)=0,

(s—a)³ {s—o—(&! zł + 7c₂ B + Jcz C4- D)}=0,

Jc₂Bo—s, Jc₂C,

kzB,

Jc₂D

JczC[-g — s, Jc₃D

h c,

Jc^D g—s

=0.

(18)

czyli :

a zatem równanie, które ma trzy pierwiastki si, s₂, s₃ równe u, a czwarty s₄=o'+^₁-4 + ^2-®+^3^+^₄®' Powiadamy wtedy, że dane równanie czwartego stopnia ma jeden pierwiastek potrójny.

Jeżeli więc równanie d(s)=0 ma jeden pierwiastek potrójny si — s₂=s₃=o, natenczas równania, wyznaczające odpowiedni punkt podwójny, sprowadzają się do jednego równania: Ax-\-ByA Cz-\-D=0, cechującego płaszczyznę, jako miejsce geometryczne punktów podwójnych obu jednokreślnych układów przestrzennych.

Dane układy przestrzenne mają więc w przypadku, gdy równanie 4(s)=0, ma jeden pierwiastek pojedynczy i jeden pierwiastek potrójny, obok jednego punktu podwójnego 0, jeszcze nieskończenie wiele, a to oo² punktów podwójnych, znajdujących się na jednej płaszczyźnie.

Takie układy przestrzenne nazywamy układami perspektywiez-nemi. Punkt podwójny nazywamy środkiem perspektywiczności, a płaszczyznę punktów podwójnych płaszczyzną perspektywiczności-

Punkta odpowiedne dwóch figur perspektywicznych leżą na linii prostej i przechodzącej przez środek perspektywiczności ; proste odpowiedne przecinają się w punktach, na płaszczyźnie perspektywiczności ; płaszczyzny odpowiedne przecinają się podług linii prostych , znajdujących się na płaszczyźnie perspektywiczności.

4. Powinowactwo układów przestrzelmy cli. Jeżeli we wzorach jednokreślności dwu figur przestrzennych mamy: Ai=Bi= C₄=0, natenczas otrzymujemy szczególny przypadek jednokreślności dwu figur F i <t> przestrzennych, określony wzorami:

5 = -di*    -f- G,z -f-    = A₂x -j-B₂y -j-    D₂, Ç = A₃x-{-B₃y -fi C₃z -{- D₃,    (19)

który nazywamy powinowactwem figur.

W tych wzorach mamy dwanaście stałych spółczynników Ai, Bi, Ci, Di, (* = 1,2,8) od których zależy wzajemne położenie dwu figur powinowatych. Aby wyznaczyć te spół-czynniki dość jest znać cztery punkta jednego układu F i cztery odpowiednie punkta, układu powinowatego , otrzymujemy bowiem wtedy dwanaście równań pierwszego stopnia kształtu (19), z których możemy jednoznacznie wyrachować tych dwanaście niewiadomych Ai, Bi, Ci, Di, (7 = 1, 2, 3), a zatem:

Cztery pary odpowiednich punktów dwu figur przestrzennych, wyznaczają dwie powinowate figury przestrzenne.

Zarazem widzimy z wzorów (19), że płaszczyzny zbiegu dwu figur powinowatych F i $ wzajemnie sobie odpowiadają, tworząc płaszczyznę nieskończenie daleką przestrzeni, skąd nietrudno wykazać :

{a) że prostym, równoległym układu F odpowiadają w układzie powinowatym <1>, także proste do siebie równoległe;

b)    że odpowiednie odcinki dwóch układów powinowatych, zostają przez odpowiednie punkta, podzielone w tym samym stosunku.

c)    że objętości dwóch czworościanów w jednym układzie F, pozostają do siebie w tym samym stosunku, jak objętości odpowiednich dwóch czworościanów w drugim układzie powinowatym <J>. Jeżeli stosunek między objętościami dwu odpowiednich czworościanów, równa się jednostce, wówczas takie powinowactwo nazywamy równością układów.

- 316

5. Podobieństwo układów przestrzennych jest szczególnym przypadkiem powinowactwa , w którym odcinki odpowiedne dwócli figur powinowatych są sobie proporcyonalne.

Jeżeli więc Pi(xx, yx, zx), P₂(x₂,y₂,z₂) są dwa punkta układu F, a n₁(5₁, r^t,) i II₂(Ç₂, >12^2) odpowiednie punkta podobnego układu przestrzennego <b, natenczas otrzymujemy ze względu

na to, że: PiPa² = («j — a?i)²'+ (*/?,— «/i)²+(«₂ ~ «i)²) nin2² = (^— ?i)² + (»lj— *h)² + (£2— ^i)²> wobec wzorów powinowactwa:

5 — Axx-\~Bxy-j- CyZ -\-Dl, r\ — A₂x-f-B₂y-j- C₂z -J- D₂, '( = A₃x-\-B₃y-\- C₂z-\-D₃, odległość IIjU₂ , określoną wzorem:

Ci(^- '"i)]² + & = (Al ⁵ + A\ + A\)(x, ₂- ^)²+

+ (B\+B\+B\)(y₂-yiy+(C\ + C\+ C\) (%-^)²+ 2(AXBX+A₂B₂ -\-A₃B₃)(x₂-xx) (2/2—2/i)+ -(-2(^i Oj -|- />2 62 -f- P₃ C’;)(//₂ —y{)(z₂ —zx)-f- 2(ht Cj + fi₂(<i + A₃ 63) (x₂ —*i)(«2 —h)•

Jeżeli zatem, według określenia podobieństwa dwóch układów przestrzennych ma być ïîi fi₂ — k • PV12 , a więc IIjI^² =fc². P₁P₂², dla wszelkich wartości x., yt, ». (® = 1, 2), natenczas, porównując ze sobą wzory otrzymane na PiP₂² i na fijl^², otrzymamy następujące równania:

M4“ -J²₂ + -d ²₃ =P²1+ P²₂+ ß²3 = ^1 + ^²2 + ^3 A\P\ 4~ a₂/>2 + d.j P₃ = Pi Pi 4~ p₂ p₂ 4~ P3 P3 — Piyb 4~ P₂^₂ 4~ C'3^3 — o,

jako warunki, przy których spełnieniu dwa układy powinowate są zarazem podobne. Mamy tu przy danym czynniku podobieństwa k sześć równań warunkowych o dziewięciu niewiadomych Ai, Bi, Ci, {i — 1, 2, 3), z których możemy wyznaczyć sześć spółczynników, gdy trzy pozostałe są wiadome.

Dwie pary odpowiednich punktów dwu układów przestrzennych, wyznaczają zatem dwa podobne układy przestrzenne.

Przyjmując punkt (0, 0, 0) jako punkt podwójny dwóch układów podobnych, otrzymujemy wzory podobieństwa w postaci :

S = Axx-\- Bxy + Cxz, 7] = A₂x + B₂y + C₂z, Ç = A₃x -f B₃y -f C₃z.

z warunkami :

(20)

A\ + J²₂ + A ²j = B\ + B\ + P²3 = C\ + ć'²₂ + C\ = W,

AyBy -j- A₂B₂ + J3P3 — Bi c\ 4- P-2 P₂ 4“ P3 C₃ — Cx A₁ 4- C₂A₂ 4- C₃A₃ = 0.

we-

Punkt podwójny 0 dwóch układów podobnych F i <t>, który nazywamy też środkiem podobieństwa układów, posiada tę osobliwą własność, że, łącząc go z jakimkolwiek punktem P układu F i odpowiednim punktem fi układu podobnego <1>, otrzymuje się odcinki, pozostające zawsze w tym samym stałym stosunku k, niezależnie od położenia punktu P. Jeżeli ten stosunek jest dodatni, nazywamy środek 0 zewnętrznym środkiem podobieństwa wnętrznym zaś, gdy ten stosunek jest ujemny.

Me trzeba dodawać, że proporcyonalność odpowiednich odcinków, pociąga za sobą podobieństwo odpowiednich figur płaskich dwóch układów podobnych , a tern samem równość kątów nachylenia, zawartych między odpowiedniemi liniami prostemi.

6.    Układy przystające i układy symetryczne. W przypadku, gdy stosunek k podobieństwa dwóch układów jest równy -f-1, lub —1, otrzymujemy układy, które w pierwszym przypadku są sobie zupełnie równe, w drugim symetrycznie równe. W pierwszym przypadku nazywamy je układami przystające mi, w drugim układami s y m e t r y c z n e m i.

7.    Wzajemna dwoistość dwu układów przestrzennych. Jeżeli między spółrzędnemi x, y, z punktów układu przestrzennego F, a spółrzędnemi u, v, w płaszczyzn układu 0, zachodzi związek, określony równaniami:

(21)

u _ A\x4~ V 4~ Cj z4~Dj v_ A₂%AB₂y-\- G₂z-\-D₂ ^_ A₃xĄ-B₃y-\- C₃z-\-D3 Akx-\-Bky-\-CkzĄ-Dk ’ ~A!tx+B!ty + C^zĄ- DJ w~Altx+Blky + Cltz+Dlt wówczas widzimy, że każdemu punktowi P(x, y, z) układu F, odpowiada jedna płaszczyzna n układu 0 i nawzajem. Dwa takie układy przestrzenne, w których każdemu punktowi jednego układu F odpowiada jedna płaszczyzna drugiego układu 0, a zarazem każdemu punktowi układu drugiego 0>, jedna płaszczyzna układu pierwszego 2^, nazywamy układami wzajemnie dwoistemi.

- 817 -

Za pomocą wzorów (21) możemy daną figurę przestrzenną przekształcić na inną, względem niej dwoistą. Z tego powodu nazywamy też wzory (21) wzorami przekształcenia wzajemnie dwoistego.

8. Z wzorów (21) wynika bezpośrednio, że trzem punktom, leżącym na jednej płaszczyźnie, odpowiadają w drugim układzie wzajemnie dwoistym trzy płaszczyzny, przecinające się w jednym punkcie i nawzajem trzem płaszczyznom, przecinającym się w jednym punkcie, odpowiadają trzy punkta , leżące na jednej płaszczyźnie.

Punkt jednego układu i odpowiednie im płaszczyzny drugiego układu, nazywamy wzajemnemi biegunami i płaszczyznami biegunowemi i powiadamy, że jeżeli punkt jednego układu porusza się po pewnej danej płaszczyźnie, natenczas jego płaszczyzna biegunowa obraca się około jednego punktu drugiego układu, a mianowicie około bieguna danej płaszczyzny, i nawzajem jeżeli w jednym układzie, płaszczyzna obraca się około jednego ze swych punktów, natenczas jej biegun porusza się na pewnej płaszczyźnie drugiego układu , a mianowicie na płaszczyźnie biegunowej punktu.

Jeżeli więc punkt porusza się po pewnej linii prostej l, natenczas jego płaszczyzna biegunowa obraca się około nowej linii prostej l', mianowicie około krawędzi przecięcia się płaszczyzn biegunowych którychkolwiek dwu punktów prostej l i nawzajem.

Z tego wynika, że każdemu szeregowi punktów jednego układu odpowiada pęk płaszczyzn w układzie dwoistym, a więc każdej prostej Z układu przestrzennego F, jako promieniowi, odpowiada w układzie wzajemnie dwoistym pewna prosta Z', jako oś. Takie dwie linie proste, jak Z i Z' nazywają się pros tern i, wzajemnie dwoistemi.

9. Niech będą x — az —j— a, y=bz-\- ß równaniami prostej l w układzie F, którego punkta (x, y, z), związane są z płaszczyznami {u, v, w) układu wzajemnie dwoistego $ za pomocą wzorów :

u = A\x +B₁yJr -f- D,

A^x -j- B^y -f- C^z -j- -D4 Z tych wzorów otrzymujemy na odwrót następujące wzory:

Asx 4" B₂y ~k G%z -k Ą

A^x -p B^y -f- C3S -j- -D4

, tv

A3 x ~!~ ~k Gsz + D?,

A^x -J— B^y -j- C₄£ -j- D4

«1« +k2^+ «3    «4    ßiW+ß₂^ + ß₃te+ ß₄    Tl«+Ï2^+Ï3^+T4

W *-{“ §2^ —|— Óo W —J— O4 *    W —(- 82^ ~t~ ^4 ^ "1” ^4

gdzie oc, ßf, y., 8^, (* = 1,2, 3, 4) są minorami elementów wyznacznika D(Ai, Bi, Ci, Di), (i = l, 2, 3, 4).

Podstawiając te wartości w równania: x = aza, y = bz-\-$, prostej l, otrzymamy równania prostej wzajemnie dwoistej V, w spółrzędnych u, v, iv płaszczyzny, w postaci :

«i« + aiv + “3^ + a4 = «(ïlU + Ï2V + l3w + T4) + a(SlU + M -f- S3^+

+^2^+ $3wJr ßi ⁼ KïiM + T2v + T3 w + T4) ~k ß(^iM “k ^ + 83W + ^₄),

czyli :

(«! ——oc8. )» + (a*—«y,—<x8«) v 4- («■!—aYo—a8,) w 4- (<*₄—«Yi — a8₄)=0, (ß₁_&ri_ß8i)w + (ß₂_ör2_ß8₂)v + (ß3-6Y3-ß83)W + (ß₄-6Y4-ß8₄)=0, skąd otrzymujemy równania zwyczajne prostej V \ u=pv + iz, v—qtv

Podobnie znajdziemy równania prostej l układu: x=?az-\-<x, y—bz-\-$, z równań: u —pv -j- 7z, v—qw-\- x, prostej, wzajemnie dwoistej V układu <!>•

10. Jeżeli dana prosta Z'leży w nieskończoności, jako oś płaszczyzn, do siebie równoległych, natenczas odpowiada jej prosta, wzajemnie dwoista, łącząca bieguny (x, y, z) wszystkich płaszczyzn równoległych. Taką prostą w układzie F, wzajemnie dwoistą względem pewnej prostej w nieskończoności układu ⁽I>, nazywamy średnicą sprzężoną z układem płaszczyzn do niej równoległych układu <t>. Ztąd wynika, że wszystkie średnice sprzężone jednego układu, przecinają się wogóle w jednym punkcie, jako biegunie nieskończenie dalekiej płaszczyzny drugiego układu. Taki punkt nazywamy śród k i e m układu.

818

Spółrzędne środka układu F. wyznaczają równania :

AyX -\- B^y    G\z 4- Bi — 0, A₂x 4- B₂y -f- C₂z -j- D₂ = 0, A₃x -(- B₃y -p C₃z -p D₃= 0,

z których otrzymujemy :

AA

“a

y =    *

Ai Ąj

skąd wypływa, że wyznacznik A = d₂, i?₂, C₂ musi być różnym od zera, jeżeli środek

Al Ą? Ć7₃

układu ma mieć spółrzędne skończone; dla A = 0 leży środek układu w nieskończoności, lub jest nieoznaczony, jako punkt pewnej prostej, lub pewnej płaszczyzny w przestrzeni.

11. Układy biegunowo dwoiste. Punktowi (x, y, z) układu F odpowiada w układzie wzajemnie dwoistym płaszczyzna (u, v, w), której spółrzędne określone są wzorami :

A] x d⁻ B^ y 4“    & 4" D.

A₂x-\-B₂y A C₂zĄ-D₂

A₃ x4-B₃y A C₃zĄD₃

Akx-\-BkyA CkzADk

Płaszczyzna ta otrzymuje w spółrzędnych (£, rj, £) swych punktów

AkxABky A GkzĄ- D₄

AW%A B^y 4- Gkz\Dk

równanie :

{AxxAB^yA CizADi) %A(A₂xAB₂y A C₂z-{-D₂) y A A{A₃^ A Bzy A CzzAD₃) ÇA(Aiix+BliyACitzADll)=0, Pównanie to możemy także napisać w postaci :

A A^rjA A?>t,A A₄) xA{Bl^AB₂f]AB₃^AB!i)yA

A(Ci^AC₂rjAC₃^A Ci)zA(Di^A D₂r]AD₃ÇADii)=0.

Oba te równania przedstawiają wogóle dwie różne płaszczyzny; uważając pierwsze równanie, jako równanie płaszczyzny biegunowej punktu (x, y, z) układu F, należącą do układu 0, mamy w drugiem równaniu płaszczyznę biegunową punktu (£, rj, Ç) układu 0, należącą do układu F.

Uważając ten sam punkt (x, y, z), jako należący raz do układu F, a drugi raz do układu 3>, otrzymujemy więc wogóle dwie różne płaszczyzny względem niego biegunowe, stosownie do tego, czy go uważamy, jako punkt układu F, czy też, jako punkt układu 0. Obie te płaszczyzny wpadną w jedną płaszczyznę, skoro spełni się następujących sześć relacyj :

A₂=Bl, aŁ₃ — C\, Ai=Di, D₃ = C₂₁ J5₄ = _D₂, t7₄■= D₃.

W tym przypadku odpowiada wtedy każdemu punktowi (x, y, z) ta sama płaszczyzna biegunowa , bez względu na to , czy uważamy ten punkt jako punkt układu F, czy też, jako punkt układu wzajemnie dwoistego 0. Takie dwa układy wzajemnie dwoiste, w których danemu punktowi przestrzeni odpowiada zawsze ta sama płaszczyzna, niezależnie od tego, do którego z tych układów dany punkt zaliczamy, nazywamy układami biegunowo dwoistemi.

12. W układach biegunowo dwoistych odpowiada każdemu punktowi przestrzeni jedna i ta sama płaszczyzna biegunowa, każdej płaszczyźnie jeden i ten sam biegun, każdej prostej jedna i ta sama prosta dwoista, bez względu na to, do którego z dwu układów zaliczamy dany punkt, daną płaszczyznę , lub daną linię prostą.

Nie trudno zauważyć, że układy biegunowo dwoiste mają także ten sam środek, gdyż równania, wyznaczające spółrzędne środków (x, y, z) i (£, rj, Ç), mają w tym przypadku kształty :

AixABiyA @\z A A “0,    B₂y-\-C₂z-\-D₂=0, A?ix -j- B?ty -p C?tz-\- A — 0,

względnie :

4* Atj 4“ Ci » 4" A—o? A%A A⁷) 4~    4" A ==■o, -d₃ £ 4 A⁷! 4- c₃x 4-A — o,

dające na x, y, z, te same wartości, co na Ç, tj, £.

13.    Zbiór ^-elementów równoiiniennycli. Zasadnicze figury przestrzenne, o których była mowa w obu wykładach, wypełniają swemi nieskończenie wielu elementami, (punktami , płaszczyznami, lub liniami prostemi), całą przestrzeń jedno-, dwu-, lub trójwymiarową w ciągłem, nieprzerwanem następstwie swych elementów, są zatem, według swej istoty układami ciągłemi punktów, płaszczyzn , lub linij prostych.

Jeżeli jednak z pośród nieskończenie wielu elementów pewnego układu ciągłego wybierzemy pewną skończoną ilość elementów i połączymy je w pewnym porządku w jedną całość, natenczas otrzymujemy figury w luźnem przerwanem następstwie elementów, czyli poszczególne figury przestrzenne, które, stosownie do rodzaju elementów, w ich skład wchodzących, nazj^wamy (wielopunktami), wielokątami, wielobokami, lub wielościanami.

na

14.    Wielokąty, wieloboki i wiclościany pojedyncze i zupełne. Podobnie, jak odróżniliśmy płaszczyźnie art. 24. str. 106. zupełne wielokąty i zupełne wieloboki obok zwykłych

wielokątów, względnie wieloboków, tak samo robimy tę różnicę w przestrzeni. Figury w przestrzeni, utworzone z » elementów (punktów, linij prostych, lub płaszczyzn), a więc wielokąty (»-kąty), wieloboki (»-boki), lub wielościany (»-ściany), nazywamy zupełnemi, jeżeli zawierają w sobie wszelkie możliwe połączenia tychże » elementów, zaś pojedyncze mi, jeżeli powstają z danych »elementów, przez połączenie tychże w pewnym, określonym porządku.

W figurach pojedynczych nazywamy połączenia dwu po sobie następujących punktów — bokami, przekroje dwóch po sobie następujących prostych, wierzchołkami, przekroje dwóch po sobie następujących płaszczyzn, krawędziami, płaszczyzny przesunięte przez dwie, po sobie następujące, przecinające się proste, lub przez trzy, po sobie następujące, punkta, ścianami figury; połączenia zaś elementów, po sobie nie następujących, nazywamy połączeniami przekątnemi, figury, odróżniając punkta przekątne, linie przekątne, czyli przekątnie i płaszczyzny przekątne figury pojedynczej. W figu-gurach zupełnych nazywamy zaś wszelkie połączenia » elementów figury wierzchołkami, bokami i krawędziami, lub ścianami tej figury.

te obejmą już wszystkie możliwe »-kąty pojedyncze,

15.    Zupełny ?i-kąt, (w-punkt). Z » oddzielnych punktów w przestrzeni, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie, otrzymuje się »-kąt zupełny o »wierzchołkach, (") bokach, czyli krawędziach i (”) ścianach. Łącząc dane » punkta w pewnym wybranym porządku, otrzymujemy »-kąt pojedynczy ; z każdego z » punktów, możemy wykreślić ł (»—1)! pojedynczych »-kątów, z czego wnosimy, że »-kąt zupełny zawiera w sobie ^(»—1)! »-kątów pojedynczych. Najprostszym »-kątem jest trójkąt, z którego wszystkie inne wielokąty dadzą się złożyć.

»-boków i (”) wierzchołków, a zawiera » oddzielnych, prostych w przestrzeni

16.    Zupełny n-bok. Z » oddzielnych prostych w przestrzeni otrzymuje się »-bok zupełny tylko wówczas, gdy wszystkie te proste wzajemnie się przecinają, t. j. gdy leżą na jednej płaszczyźnie. Taki płaski »-bok zupełny, ma w sobie , (»—1) ! pojedynczych »-boków płaskich. Z wzajemnie się nieprzecinających, możemy otrzymać tylko pojedyncze »-boki przestrzenne, których ilość zależy od wzajemnego położenia prostych, danych w przestrzeni.

W takim zbiorze »-prostych, które nie leżą wszystkie na jednej płaszczyźnie, może nie być żadnego wierzchołka , albo też może istnieć pewna ilość wierzchołków większa od zera; najwyżej jednak może być (J) wierzchołków w przypadku »-boku płaskiego.

Zauważyć należy, że trójkąt zupełny na płaszczyźnie nie różni się wcale od trójkąta płaskiego zwykłego.

W wiązce promieni i wiązce płaszczyzn odróżniamy jeszcze dwoiście sobie odpowiadaj ące : zupełne »-k ąty bryłowe, czyli naroża »-krawędziowe, złożone z » promieni danej wiązki promieni z wszelkiemi płaszczyznami, przez nie przechodzącemi, przyczem przyjmuje się, że trzy promienie »-kąta bryłowego nie leżą na jednej płaszczyźnie; jakoteż zupełne »-kąty bryłowe, czyli naroża »-ścienne, złożone z » płaszczyzn, danej wiązki płaszczyzn, z wszelkiemi krawędziami przecięcia tych płaszczyzn, przyczem przyjmuje się, że trzy ściany »-kąta bryłowego nie przechodzą przez jedną linię prostą.

- 320 -

Łatwo zauważyć, że przekrojami płaskiemi zupełnych kątów bryłowych, »-krawędziowych, są zupełne »-kąty płaskie; przekrojami płaskiemi zupełnych kątów bryłowych, »-ściennych, są zupełne »-boki płaskie.

17. Zupełny «.-ścian. Z » oddzielnych płaszczyzn otrzymuje się zupełny »-ścian o » ścianach, (™) krawędziach i wierzchołkach, który zawiera w sobie w ogólności i(n—-1)! pojedynczych »-ścianów.

Najprostszym »-ścianem jest czworościan zupełny, ma on cztery ściany, sześć krawędzi i cztery wierzchołki, a zawiera w sobie trzy pojedyncze czworościany. Zauważyć wypada, że czworościan zupełny nie różni się wcale od czworopunktu względnie czworokąta zupełnego w przestrzeni.

Z czworościanów pojedynczych dadzą się złożyć wszelkie inne możliwe wielościany.

Ze względu na zastosowanie teoryi połączeń w rozważaniu własności wielościanów, zajmiemy się w następnym wykładzie najprzód ważniejszemu wiadomościami z teoryi porządków w ogólności, jak niemniej własnościami i zastosowaniem dotyczących symbolów.

t

Ćwiczenia XXIV.

wzorów :

1) Zbadać jednokreślność dwu figur przestrzennych F i d>, określoną za pomocą

___y_

⁷¹ Ax Bij Cs -\-D ’

Ax+By + Cz-fi D ’

2) Zbadać jednokreślność dwu figur, określoną wzorami :

X.

Ax -f- By Cz -f- D '

l=Alx-\-Biy-\-Ciz-\-Di1 7) = A₂x-{- B₂y-{- C₂z-\- Z>₂, K=A₃x + B₃y+ C₃z + D₃.

3)    Dowieść, że w dwu figurach powinowatych F i d> odległości dwóch punktów 1\ i P₂ figury F od płaszczyzny e pozostają do siebie w tym samym stosunku, jak odległości odpowiednich punktów Ili i Ił₂ figury <I> od odpowiedniej płaszczyzny e tej figury, czyli że:

Pte :P₂e — IIjS : IT₂£.

4)    Dowieść, że w dwu figurach powinowatych F i d>, objętości odpowiednich czworościanów, należących do tych figur, pozostają do siebie w tym samym stosunku.

5)    Dane są na linii prostej w przestrzeni trzy punkta: Pt, P₂, P₃ figury F i odpowiednie trzy punkta Ili, U₂, n₃ figury z pierwszą powinowatej; dowieść, że:

Pi P3; P2-P3 — ntn₃ : n₂n₃.

6)    Dowieść, że w dwu powinowatych figurach przestrzennych F i $ płaszczyzny jednej figury P, odpowiadające płaszczyznom równoległym drugiej figury <I>, są także między sobą równoległe.

7)    Dowieść, że w dwu powinowatych figurach przestrzennych linie proste jednej figury, odpowiadające prostym równoległym drugiej figury, są także względem siebie równoległe.

8) Dowieść , że dwie figury powinowate F i <l>, w których spółrzędne punktów odpowiednich P(æ, y, z) i n(Ç, rj, Ç), związane są równaniami :

'Ż = Alx + BlyĄ-Clz    Du rl=A₂x+B₂y+C₂z + D₂, Ç = A₃x + B₃y+ C₃z-\- P₃,

A\ Ą-A\ +A*₃= B\+B\ +B\ = <7», + C\+C\,

są podobne, jeżeli między spółczynnikami: Ai, Bi, Ci, Di, (i— 1,2, 3,4) zachodzą następujące relacye :

AlBi+A₂B₂+A₃B₃= 0,    +    BlCi + B₂C₂ +B₃C₃ = 0.

9) Dowieść, że punkt podwójny dwóch podobnych figur przestrzennych, posiada tę własność, że odcinki, łączące go z odpowiedniemi punktami tych figur, pozostają do siebie zawsze w tym samym stosunku.

Zbadać rodzaj jednokreślności dwu figur przestrzennych, określonych następującemi

wzorami :

10)    ę = Ąa: + Ąy-ł- C₂z, tj = A₂x + B.₂y -f C₂z, Ç=A₃x+B₃y + C₃z.

11)    Ç = Alx+B₁y, 7\ —A₂x -\- B₂y, Xa = A₃z.

13 )î = Ax + Du 7]=By+D₂, X=Cz+D₃.

15) k = Ax, y — Ay, X,~Az.

12)    ij = Ax, 7) = i?y, Ç = Cz.

14) \ = Ax-\- Du 7]=Ay-\-D₂, Ç = dz-fZ)₃.

- 321

16)    Dowieść, że w figurach przestrzennych, podobnych i podobnie ułożonych, odpowiednie płaszczyzny i linie proste są do siebie równoległe.

17)    Dowieść, że w dwóch układach przestrzennych wzajemnie dwoistych, w których punkta (x, y, z) jednego układu związane są z płaszczyznami (u, v, w) drugiego układu za pomocą relacyj :

___ Ąxj-Ąy+ C\zĄ-l)x A^x -j- B^y -j- C^z -f- D₄ ’

d.₂a: -f- B₂y -j- C%z -(- D2 ĄaT+Biy + C\z + D₄ ’ **

Ąz + ^3 y +    + A

A±x D₄y -j- Ć4 z -f D₄ ’

trzy punkta (x{, y{, z{) (i = 1,2,3) jednego układu, odpowiadające trzem płaszczyznom (uî, V-, te;), drugiego układu, leżą na płaszczyźnie, odpowiadającej punktowi przecięcia tych płaszczyzn.

18) Dowieść, że liniom prostym, przecinającym się w jednym punkcie przestrzeni, odpowiadają w układzie wzajemnie dwoistym linie proste, leżące na jednej płaszczyźnie.

19) Dowieść, że w układach, wzajemnie dwoistych, płaszczyznom równoległym jednego układu odpowiadają w drugim układzie punkta, znajdujące się na jednej linii prostej.

20) W danym układzie przestrzennym F dane są cztery elementa , a to : dwa punkta A, B, i dwie płaszczyzny y, 5, o odległościach dy, Dy, J8, D<5, odpowiadające płaszczyznom a, ß i punktom C, Z), układu wzajemnie dwoistego , których odległości są Ca, Da, Cß, Dß, dowieść, że :

dy ^Ö_Ca . Cß Dy ' Bh~~Dx ' Dß'

21)    Dowieść, że dwa układy wzajemnie dwoiste dadzą się w ogólności czterema różnemi sposobami sprowadzić w położenie biegunowe dwoiste.

22)    Dowieść, że dwa układy przestrzenne, wzajemnie dwoiste względem trzeciego układu przestrzennego ⁽I>, są między sobą jednokreślne.

23)    Punktowi (aą, x%, x₃, x^) układu F, odpowiada płaszczyzna (■u\, u⁴«, u⁴₃, u\), układu F, przyczem u'. = Ai -|- B,; x₂ -j- O i x₃ -]- Di ; jaka forma geometryczna w układzie F odpowiada punktowi x^u\ -\-x.₂u\ -j- x₃u‘₃ xiu\ = 0, układu F⁴.

24)    Jeżeli punkta odpowiednie P(x, y, z) i P⁴(x⁴, y⁴, z'), dwóch figur (powinowatych) F i F⁴ związane są relacyami:

x⁴' = Atx -f- Bxy -f- C^z + D₁₍ y⁴ — A₂x -f B.₂y -j- C₂z -j-D₂, z⁴ = A₃x-\- B₃y C₃z Ą- D₃, wyznaczyć punkta podwójne tych figur.

25)    Wykazać, że dwa trójkąty ABC i A⁴B⁴C⁴, tak ułożone w przestrzeni, że proste, łączące ich punkta odpowiednie AA⁴, BB⁴, CC⁴, przecinają się w jednym punkcie O, mają także tę własność, że punkta przecięcia odpowiednich boków AB i A‘B⁴, BC i B‘C⁴, CA i C'A⁴ leżą na jednej linii prostej , mianowicie na krawędzi przecięcia płaszczyzn obu danych trójkątów i nawzajem. (Twierdzenie Desargues’a).

26)    Dwa wielokąty płaskie ABCD i A'B'C'D⁴ tak są w przestrzeni położone, że linie proste, łączące ich punkta odpowiednie AA⁴, BB', CC⁴, przecinają się w jednym punkcie O, (środku kolineacyi); dowieść, że punkta przecięcia odpowiednich boków AB i A⁴B⁴, BCi B⁴C⁴, i t. d. leżą na wspólnej krawędzi obu płaszczyzn tych wielokątów (osi kolineacyi).

27)    Dwa wielokąty płaskie ABCD i A⁴B⁴CD⁴ są tak ułożone w przestrzeni, że mają wspólną oś (prostę podwójną), a dwie proste , łączące dwie pary punktów odpowiednich AA⁴ i BB⁴ są do siebie równoległe; wykazać, że w tym przypadku są także wszystkie proste, łączące odpowiednie punkta, do nich równoległe (figury powinowate w położeniu perspektywicznem).

28)    Dwa wielokąty płaskie ABCD i A⁴B‘C⁴D⁴ tak są ułożone w przestrzeni, że ich odpowiednie boki AB i A⁴B⁴, są do siebie parami równoległe; wykazać , że w tym przypadku , linie proste, łączące odpowiednie wierzchołki AA⁴, BB⁴,... przecinają się w jednym punkcie (środku podobieństwa wielokątów).

29)    Dwie figury przestrzenne F i <1> mają wspólną płaszczyznę F punktów podwójnych, (płaszczyznę kolineacyjną); dowieść, że w tym przypadku płaszczyzny zbiegu, a to płaszczyzna: z, figury F (odpowiadająca nieskończenie dalekiej płaszczyźnie Ç«> w figurze «I»), i płaszczyzna t, w figurze <I>, (odpowiadająca nieskończenie dalekiej płaszczyźnie figury F) są równoległe do płaszczyzny podwójnej (kolineacyjnej) danych figur przestrzennych Di<I>.

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

- 322 —

*

30)    Wykazać, że w dwu figurach jednokreślnych F i <ł>, mających płaszczyznę podwójną T, (płaszczyznę kolineacyjną) i jeden punkt podwójny O, (środek kolineacyi), płasz-czyzny zbiegu 0 i Ç tych figur są równoległe do płaszczyzny podwójnej i tak ułożone, że odległość jednej z nich od płaszczyzny podwójnej T równa się odległości drugiej płaszczyzny zbiegu od punktu podwójnego O.

31)    Dane trzy jednokreślne figury przestrzenne F, F', F“ mają po dwie jedną płaszczyznę podwójną; dowieść, że odpowiednie trzy punkta podwójne tych trzech par figur leżą na jednej linii prostej.

BL-

P>

A.--

32)    Dane są dwie płaszczyzny Ey i E₂, przecinające się podług krawędzi l (fig. 244.) i wiązka promieni o wierzchołku P; dowolny promień tej wiązki przecina płaszczyznę Et w punkcie A, a płaszczyznę E₂ w punkcie B ; dowieść, że miejscem geometrycznem punktu P‘ harmonicznie sprzężonego z punktem P w irkładzie punktów A, P, P, P' jest płaszczyzna E, która też nazywa się płaszczyzną biegunową punktu P ze względu na parę płaszczyzn El i E₂.

33)    Dowieść, że płaszczyzna, przecinająca czworościan P ABCD równolegle do jego dwu krawędzi przeciwległych AB i CD, przecina czworościan podług równoległoboku.

Fig. 244.

34)    Dowieść, że równoległościan ma sześć płaszczyzn przekątnych i cztery przekątnie, przechodzące przez jeden punkt, t. z. środek równoległościanu.

35)    Dowieść, że w równoległościanie da się przeprowadzić ośm płaszczyzn przekątnych, parami równoległych, przecinających równoległościan w przystających trójkątach przekątnych.

• 36) Przeciąć sześcian płaszczyzną tak, aby przekrój był sześciokątem umiarowym.

37) Kąt bryłowy czworościenny przeciąć płaszczyzną tak, aby przekrój był równo-ległobokiem.

Rozwiązania XXIV. 1) Jednokładna środkowa kolineacya. 2) Powinowactwo.

23) Płaszczyzna (Aj»'! -f- A₂ A + AA +-A *'4) #1 + & = 0. 24)    Ai

y*i ~~ 1) A

Cl

A — 1)

C₃-l

h-¹

-1,

C3-1 A

5 A -1, A

dl-1,

d₂ ,

yi=—

36) Przez środek sześcianu przeprowadzić płaszczyznę, prostopadłą do jednej z jego czterech przekątni, 37) Płaszczyzna równoległa do krawędzi przecięcia się ścian przeciwległych kąta bryłowego.

*1= —

Literatura. 1. Beckmann. Die geometrischen Grundgebilde und ihre perspectivische Verwandschaft, 1879. J. Booth. Treatise on some new geometrical methods. London, 1874.

N. Ferrers. An elementary treatise on trilinear Coordinates, the method of reciprocal polars, and the theory of projections, 1866. J. Hy mers. Treatise on Analytical Geometry of three dimensions, London 1836. G. Veronese. Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Raüme durch das Princip des Projecirens und Schneidens 1881.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya jednokreślności układu płaskiego punktów z wiązką promieni w przestrzeni.

2.    Teorya jednokreślności dwu wiązek promieni o dowolnych wierzchołkach.

3.    Teorya wzajemnej dwoistości dwu układów przestrzennych.

Wykład XXV.

Niektóre wiadomości z teoryi porządków.

1.    Określenia. Przedmiotem teoryi porządków jest podanie prawideł zestawiania danych przedmiotów w pewnym porządku. Dane przedmioty zowią się bez względu na swój rodzaj elementami, a ich poszczególne zestawienie grup ą.

Grupa zowie się m-tej klasy, gdy zawiera w swym składzie m elementów, dowolnie obranych z w-danych elementów. Grupy pewnej klasy mogą się różnic między sobą elementami i porządkiem tych elementów, albo tylko porządkiem, albo tylko elementami bez względu na porządek. Według tego odróżniamy następujące rodzaje zestawień z n danych elementów :

(1)    Porządki (Waryacye), t. j. wszystkie możliwe zestawienia danych elementów w grupy pewnej klasy z uwzględnieniem porządku elementów.

(2)    Przemiany (Permutacye), t. j. zestawienia tych samych n elementów z uwzględnieniem porządku.

(8) Połączenia (Kombinacye), t. j. zestawienia danych elementów w grupy pewnej klasy, bez względu na porządek elementów.

Porządki, przemiany i połączenia nazywamy bez powtórzenia, gdy ten sam element w utworzonej grupie się nie powtarza, z powtórzeniem, gdy ten sam element w grupie, utwoi'zyc się mającej, powtarzać się może, wreszcie, nazywamy je pojedynkami, ambami, ternami, ogólnie zestawieniami m-tej klasy, zależnie od liczby elementów, znajdujących się w poszczególnych grupach.

2.    Porządki (Waryacye). (a) Porządki bez powtarzania. Liczba możliwych porządków m-tej klasy bez powtórzenia z n elementów jest:

Vnm=n(n — l)(w —2) ...(n—m + 1).

(1)

Liczba pojedynek jest bowiem w; połączeniem każdej z tych pojedynek z (w—1) elementami od niej różnemi otrzymujemy n{n—1) amb, czyli porządków drugiej klasy; połączeniem każdego z otrzymanych amb z {n—2) elementami w nim się nie znajdującemi, otrzymamy n{n—l)(n — 2) tern, czyli porządków trzeciej klasy i t. d., a więc w ogólności:

n (n —1) (n — 2) ... (n — m + 1) porządków m-tej klasy bez powtórzenia.

N. p. cztery elementa 1,2,3, 4 dają 4.3=12 porządków drugiej klasy bez powtórzenia,

13

14

IC IC

zaś 4.3.2=24 porządków trzeciej klasy:

123

124

£>■ 05

312

314

:?

-r- 324 -

b) Porządki z powtórzeniem. Liczba wszystkich możliwych porządków m-tej klasy z powtórzeniem, z n elementów jest:

(2)

7nm(p) = nm.

Fn™W=nm.

Jeżeli bowiem każdy z n elementów zestawimy raz z każdym, jego samego nie wyłączając , otrzymamy n.n=--n² porządków drugiej klasy z powtórzeniem. Zestawiając teraz każdy z n² porządków drugiej klasy z każdym z n elementów, otrzymamy w².w=w³ porządków trzeciej klasy z powtórzeniem i t. d., a więc ogólnie nm porządków m-tej klasy z powtórzeniem, czyli będzie w istocie:

N. p. cztery elementa 1, 2, 3, 4, dają 4² —16 porządków z powtórzeniem drugiej klasy, jako to:

11

21

31

12

13

22

32

14

23

24

33

34

zas 4:i =

(ii

Ph

tC 10

r-l CM CO -Si)

fe CO co co co

Q 03 (M <M CM

-o

•rH

p T—I “1 tH T—ł

© co co co co

Ö0 tO ł—¹

CC « OT OT ». CO CC CO co

-, 1—I CM CO

S HHr-H

431

432

433

434

3. Przemiany (Permutacye). a) Przemiany bez powtórzenia. Liczba przemian możliwych z n różnych elementów jest:

(3)

Pn= 1.2.3... n=n !

Jeżeli bowiem Pn-\ jest liczbą możliwych przemian z (n— 1) elementów, to w-ty dołączony element może    w    każdej    przemianie (w—1)-klasy zająć

jedno z n miejsc, będzie wiec P„=PB_i.w, a że:

Pt = 1, P₂ = 1.2=2!, przeto P₃ = 1.2.3 = 3!, ogólnie Pn=1.2 ...n — nl

N. p. cztery elementa 1, 2, 3, 4 dają 41 = 1.2.3.4 = 24 przemian, a to:

W szczególności otrzymujemy: 5 ! = 120, 6! = 720, 71 = 5040, 81=40320, 91 = 362880, 10 ! - 3628800, 11 ! = 39916800, 12 ! = 479001600.

b) Przemiany z powtarzającemi się elementami. Jeżeli między n elementami znajduje się a równych jednego rodzaju, ß równych drugiego rodzaju, y równych trzeciego,..., tedy będzie liczba możliwych przemian:

(4)

al ß\ y !...

gdyż n elementów różnych n. p. a{,a₂... aa bibl... bßC₁r₂... cy... daje ni przemian; opuściwszy zaś w a elementach rodzaju a wskazówki, otrzymamy z nl przemian co al jednakowych przemian, przeto będzie liczba istotnie różnych

p a, ß, y... _

n

przemian tylko —j. Opuszczeniem wskazówek w ß elementach rodzaju b, otrzy-

mamy znowu z pomiędzy różnych przemian będzie tylko -

przemian co ßl jednakowych, przeto liczba

1,3!

i t. d.

więc w istocie:

Pn«> ß, 7- =

Połączenia z powtórzeniem drugiej klasy z n elementów otrzymamy bowiem, jeżeli element pierwszy 1 połączymy z wszystkiemi n pojedynkami 1, 2, 3, ...w, element 2 tylko z elementami 2, 3, 4,... w, element 3 tylko z elementami 3, 4 ...w, element 4 tylko z elementami 4, ...w i t. d. Liczba połączeń z powtórzeniem drugiej klasy z n elementów będzie więc:

n(n -b 1)

N. p. elementa 1123 dają, — =12 różnych przemian:

H H CM HHH

CM CO CO

HHH

4. Połączenia (Kombinacye). a) Połączenia bez powtórzenia. Liczba połączeń bez powtórzenia m-tej klasy z n elementów jest:

n(n — !)...(« —m-t-1)

Cnm =

1.2.3... m

(5)

Połączenia bez powtórzenia m-tej klasy z n elementów powstają bowiem z porządków bez powtórzenia m-tej klasy z n elementów, jeżeli wszystkie grupy, różniące się tylko porządkiem elementów, za jedną uważać będziemy. Każda grupa m-tej klasy powtarzać się będzie m! razy, będzie więc różnych kombinacyj bez powtórzenia m-tej z n elementów tylko :

n(n—1).. {n —• m-fl)

1.2 ...m

czyli będzie w istocie :

nm_ n(n — 1) (w-2)...(w-m-|-l) ”    1.2.3... m

czyli 6’,lw=(^\ gdzie symbol (^) wyobraź i mianowniku m czynników; czynniki licznika zaczynają się od n i maleją kolejno o jedność, czynniki mianownika zaczynają się od 1 i rosną kolejno o jedność.

ułamek, zawierający w liczniku

N. p. Pięć elementów daje (^= ^

= 10 połączeń bez powtórzenia drugiej klasy

(amb), a to :

12, 13, 14, 15,

23, 24, 25,

34, 35,

45,

/ 5 \    5.4.3    . -    ,    ,

\3j==j-2g = 10 połączeń bez powtórzenia trzeciej klasy:

123, 124, 125,    34,    35,    4

t-h CM

Ol

5.4.3.2

V2.3A

= 5 połączeń bez powtórzenia czwartej klasy:

1234,    1235,    1345,    2345.

b) Połączenia z powtórzeniem. Liczba połączeń z powtórzeniem m-tej klasy z n elementów jest:

Cnm(-rt=

n{n-\-1) (n -f-2)... (n-fw—1)

n + m—1

1.2.3... m

(6)

n -b {n~ A ) + (n—2) +... + 2 -f 1

Liczbę tę otrzymamy także w ten sposób : jeżeli do każdego z elementów dołączymy kolejno po jednym z n danych elementów i jeszcze raz ten sam element, przez co otrzymamy w(w-bl) połączeń z powtórzeniem drugiej klasy, ale każde będzie dwa razy powtórzone , przeto będzie :

CnW =

n(nĄ-1)

Załóżmy teraz, że mamy już potworzone połączenia z powtórzeniem (w—1) klasy z w elementów; niech liczba tychże będzie oznaczoną przez Cnm—\(p)' Dołączmy teraz do każdego z tych Cnm~^p^ połączeń kolejno po jednym z danych n elementów i jeszcze raz po jednym z (m—1) elementów już w nich zawartych, to otrzymamy tym sposobem (n-\-m—l)(7w(m_1)(p) połączeń m-tej klasy z n elementów, ale każde będzie m razy powtórzone, gdyż każde połączenie jednego z m elementów z pozostałemi (m—1) elementami, stanowi to samo połączenie, przeto będzie:

n-\-m —1

Cnm^)=

Podstawiając w tej równości kolejno m—1, m—2, ...3, 2, za m, znajdziemy =

czyli :

l)(w + m—2)...(n + l)w m . (m—1)... 2.1

w-j-m—1

w(w + l)... (w+m—1)

1.2 ...m

\ (w + m—1)! / m ! (w—1) !*

a to :

N. p. cztery elementa 1, 2, 3, 4 dają ^ = 10 połączeń z powtórzeniem drugiej klasy,

11, 12, 13, 14,

22, 23, 24,

33, 34,

zaś

4.5.6

44.

1.2.4

20 połączeń z powtórzeniem trzeciej klasy:

111, 112, 113, 114, 122, 123, 124, 133, 134, 144, 222, 223, 224, 233, 234, . 344, 333, 334, 344,

III.

5. Liczbę połączeń z powtórzeniem m klasy z n elementów można także znaleźć z liczby przemian, zawierających powtarzające się elementa, a to w następujący sposób :

Załóżmy, że mamy a-\-ß elementów, między nimi a jednakowych jednego rodzaju a, ß jednakowych drugiego rodzaju 6, tedy będzie liczba przemian:

pa, ß __

(a-\- ß) !

a\ ß\ '

Zastąpmy w myśli w każdej przemianie wszystkie po sobie następujące elementa b wskazówkami, naturalnym porządkiem bieżącemi : 1,2, 3, ... (ß— 1), /?, zastąpmy dalej każde a stojące przed pierwszem 5, wskazówką 1, każde a, stojące między 1-szem a 2-giem b wskazówką 2, każde a stojące między drugiem a trzeciem b wskazówką 3 i t. d. wreszcie każde a, stojące między (/?— l)-szem a /?-tem b wskazówką ß,

wskazówką /?+l. Po opuszczeniu w każdej przemianie wszystkich b się znajdujących

zówek, zastępujących element a, a więc w grupę a-tej klasy. Powstałe grupy będą więc oczywiście połączeniami z powtarzaniem a-tej klasy z (ß+1) elementów 1, 2, 3,... ßj (/?-(-1), których liczbę

a+ß

w końcu każde a stojące po /?-tem b

w niej

zamieni się każda przemiana w grupę, złożoną z a wska-

oznacza

będzie więc :

qc<p) _ p«. ß

(a -f- ß) !

jednakże symbol C^v

a ! ß ! •

Połóżmy w tej równości ß+1 ==», a=m, tedy dostaniemy:

(w + m — 1) !

ß+i

a+ß

Cnm'^ =

w + m— 1

m ! (w — 1 ) !

6. Symbole z teoryi porządków. W teoryi porządków występują następujące trzy

n(—l) (n — 2)... ( n—r -f 1) _ 1.2.3 . r

symbole:    i nr, określone wzorami: n ! = 1, 2, 3,... n\

1 ²

nr — n . n .    ... n .

Z tych wzorów wypływają następujące własności tych symbolów:

— n(n — 1) !, a więc: (n—1) ! = — , skąd otrzymujemy 0! = — — 1, (—1)! —oo,

Ib    J-

fV)    «•

(—2)!=— —, (—r)!=(— 1)

1°. n\

_1 co

H-

Symbol n\ ma według powyższego określenia znaczenie tylko dla całkowitych n.

on / \ (n\    ( n \ n — r -fi

2°. («) = -—

skąd otrzymujemy :

»> a-c»-.)

(o) “ (-1) ⁼ °> °Sólnie (_!_V) ⁼ °’

skąd otrzymujemy :

ii :

r ! (n—r)\

0-(s)-i.    -o.

o (“)=(40.    (4Î) • -=(TO •—,

n¹ / V i¹-/ fi—y \*    */    /•    \ *    / fi—f

skąd otrzymujemy : (jj) = 1,    = 0.

*> (T)=(-Dr- c+r¹)-

Symbol ma według swego określenia znaczenie tak dla dodatnich, jak dla ujemnych, całkowitych, lub ułamkowych n ; r zaś musi być liczbą całkowitą dodatną :

•) (O+C-O-Ct¹)-

Skoro bowiem :

prz eto o trzy muj emy :

a+(40“C-i)[B-^±¹

a więc: (“) + (4) = ("t¹)-

Za pomocą tego wzoru możemy utwory t. z. „trójkąt arytmetyczny“ Pascala:

10

10

15

20

15

21

35

35    21

29

56

70

56

28

9    36    84    126    126 . 84    36

10    45    122    210    252    210    122    45

10

1 i t. d.

w którym wiersze poziome przedstawiają kolejno wartości symbolu dla dodatnich n. {n— 0, 1, 2,..., 10); wiersze ukośne zaś przedstawiają na mocy wzoru d) bezwzględne wartości symbolu (”) dla ujemnych«, czyli bezwzględne wartości symbolu^”)? pierwszy wiersz ukośny dla n = 1, drugi dla n = 2, i t. d., r-ty wiersz dla n—r, (r—0, 1, 2,... bez końca).

3°. nr — n . n

r—\

, a więc nr 1— —, skąd otrzymujemy:

Tb

1    —r 1

— » = n

n°— 1, ń

nr

Symbol n ma według powyższego określenia znaczenie dla wszelkiego w, r zaś musi być liczbą całkowitą. Dla ułamkowego r, wyobraża on, jak wiemy z elementarnej algebry, połączenie działań potęgowania i pierwiastkowania , mianowicie :

_ p

n ~ — \/ n , n

<1

7. Iloczyny dwumianów. Iloczyn n dwumianów kształtu:

i—n

Il {ai + &,) = («! +&i) (a₂ + b₂)... (an + bn)

i—i

przedstawia się po rozwinięciu , jako suma 2n iloczynów, z których każdy zawiera w sobie n czynników. Pierwszym jest iloczyn wszystkich pierwszych wyrazów danych dwumianów, czyli iloczyn aia₂a₃... a„, ostatnim jest iloczyn wszystkich drugich wyrazów: b{b₂b₃... bn ; wszelki inny wyraz jest iloczynem r pierwszych wyrazów którychkolwiek r dwumianów, in — r drugich wyrazów pozostałych dwumianów, przyczem r przyjmuje wartości od 1 do (w—1).

Możemy też ogólnie położyć :

i=n

n (a-i + bi) — 2ak ak ... ak . bk

i—1

gdzie suma 2 rozciąga się na wszystkie porządki w-klasy, utworzone z dwu rodzaju elementów a,: i óf, (i=1, 2, ... w), w ilości 2”, i uważane, jako iloczyny. Przyjąwszy drugie wyrazy dwumianów za jednakowe :

ó₁ = &₂=6₃= ... = bn=b,

otrzymujemy iloczyn:

77 "f b)—Cn +    & + Cn - 2 72_b ...+ Cn-r Ór -f- ... + Cj -f-

czyli :

i—n

r—n

n (a i -\-b)=2 Cn_ r ór,

/=i

r=0

gdzie C₀ = 1, C? zaś przedstawia sumę połączeń r-tej klasy, bez powtórzenia, utworzonych z « elementów , a₂,...an i uważanych za iloczyny, a więc:

C,₍ ⁼⁼ Cl^ Cl₂ • • • On , C#— 1 — är₂ ... —2 _ J *j- ö₂... Cln —2 ~b • • • “b ^2    ,

Cr = ü^ü₂...    ... “t ö!n_r-j.l ... ttn—\ ttn , C₂ —tt^Cl₂ -f- Æj£ï₃ -j- ... -\-Cln—\ £ün ,

Ci =0!i +a2 "b •••-b^n j zaś Cq = 1,

przyczem zauważać należy, że Cr zawiera razem (?) iloczynów r-go stopnia.

Jeżeli obok drugich wyrazów poszczególnych dwumianów są także pierwsze wyrazy między sobą równe, a więc =a₂ = ... = a„=a, natenczas iloczyn w dwumianów zamienia się na w-tą potęgę dwumianu (« + &)• W tym przypadku otrzymujemy:

a zatem:

(a+6)»=a* + (Jij) «n -¹ b +■ („_?,) a"~² &- +... ■+ (n "r) an~r br+.. + (?) ab”-'+ bn albo ze względu na to, że (?)=ć_^) w postaci:

(a + b)n=an-b(?) an~ib + (?)an~² b² \-... + (?) a*-r ór-j-... + („”d)afr"“¹ + bn,

r=n

a więc :

(a-\-b)n = 2 (?)a”_rór, albo też (a + 6)”=^,(?) arbn~r,

r=0 v

lub :

r=n

{a-\-b)n—2 n !

ar bn~r

r.=0

r ! (n—r) !’

(7)

8. Potęgi dwumianu. Wzór powyżej otrzymany, znany pod nazwą wzoru Newtona, przedstawia n-tą potęgę dwumianu (a-\-b), rozwiniętą w postaci sumy {h -j-1) wyrazów jednorodnych n-go stopnia.

Na mocy tego wzoru jest (a-fi)⁰—1, [a-\-b)i=a-\-b, (a-f &)²=a²-f 2ab +b²: («4-ô)³=a³4-3a²& 4 3a&²-f&², (a +6)⁴=a⁴ + 4a³è + 6a²6² + 4a&³4- &⁴, i t. d. ogólnie: (a + &)n=a” + (”) a”-¹ ö 4-... + (”) a” "r +... + (n” Jafc"~¹ -f ón.

Wzór ten moźnaby też wprost otrzymać, jako uogólnienie znanych wzorów, podających drugą i trzecią potęgę dwumianu , tym sposobem doszlibyśmy też do potrzeby wprowadzenia symbolów połączeń kztałtu : (”), które nazywają się też spółczynnikami bino-mialnemi (dwumianowemi).

Kładąc (a + b)n

zauważymy, że znając po-tęgę a", dość jest celent wyznaczenia potęgi (a -f b)n rozwinąć potęgę czyli potęgę dwumianu, w którym pierwszy wyraz równa się 1,

Kr

a drugi wyraz jest ułamkiem otrzymamy wzór :

— właściwym, skoro a^>b. Położywszy

n\

^³ + ...-|-    )xr-\- ...+

\r

O”

ważny dla wszelkiej liczby dodatniej n. Zastępując w tym wzorze x przez —x, zmienimy znaki w nieparzystych potęgach liczby x na przeciwne, otrzymamy zatem :

ss §

(1— X)n

9. Potęga wielomianu. Na podstawie teoryi połączeń możemy wyprowadzić wzór, służący do rozwinięcia jakiejkolwiek całkowitej dodatniej potęgi danego wielomianu a-\-b    na wielomian. Mając mianowicie rozwinąć

potęgę (a + b Ą-c-\- ...Ą-l)n, zauważymy, że, położy wszy wielomian a-\-b-\- c-j-...-|-4, w myśl określenia potęgi, w-razy, jako czynnik, otrzymujemy, po wykonaniu mnożenia, wyrazy kształtu: ct + ß-\-y + ö-\-...-\-A będzie stale równą wykładnikowi potęgowemu w. Możemy więc położyć :

aa bP cv dô... I*

przyczem suma wykładników

[fi -f b + c + d-\-... + l)n—2    js, yy... z cj cl⁰... I*,

gdzie spółczynnik y>.. z wskazuje, ile razy iloczyn aaW cy ... I*, o pewnych, z warunkiem a-\-ß-\-y-{ ô-\-... + A — n przyjętych wykładnikach a, ß, y, ... A występuje w rozwiniętej w-tej potędze wielomianu a-\-b-\-c-\-d+...+ l-

Celem wyznaczenia spółczynnika Ca,p,y,..z zauważymy, że iloczyn aabPc?dô... I* jest w istocie swej iloczynem n czynników, między któremi jest a czynników równych a, ß czynników równych &, y czynników równych c, i t. d , A czynników równych l. Czynniki te mają być wybrane z pośród u czynników potęgi (a-\-b c + dĄ-    w wszelkich możliwych przesta

wieniach; iloczyn aab?cv, ... I* wystąpi zatem w rozwiniętej potędze wielomianu tyle razy, ile jest możliwych przestawień z powtórzeniem z n elementów, między któremi jest a elementów rodzaju a, ß elementów rodzaju 6, i t. d., A elementów rodzaju Z, będzie więc (według wzoru (4) str. 324.):

n!

a ! ß ! y!... A\

a zatem otrzymujemy wzór na rozwinięcie n-tej potęgi wielomianu w postaci: (a + b + c+d+...+l)n=    2

któremu możemy nadać taki kształt:

(tt -j- b c -j- d -j-. .• -f- ^)n==

aa W cy d⁶... I*.

(8)

₍ aa W cv d⁶

n'â\ J\J\ J]Ty

i*

(8')

ß~\~y “ł"***    —w

Znak sumowy 2 rozciąga się na wszystkie przypadki , w których suma wykładników a, ß, y, d, ..., wybranych z pośród liczb 0,1, 2, 3,w, równa się liczbie «.

Rozwinięta «-ta potęga wielomianu o l wyrazach, ma zatem tyle iloczynów od siebie różnych, ile jest możliwych połączeń liczb 0, 1, 2,...«, do sumy «.

Takich możliwych połączeń po l liczb a, ß, y, A z zakresu liczb 0, 1, 2, ... n do sumy n będzie widocznie tyle , ile jest możliwych połączeń n-tej klasy z powtórzeniem z l elementów, a ilość ta przedstawia się według art. 4. str. 326.

wzorem :

ę,n{p)

-fT¹)

w! (Z—1)!

nr¹}

Rozwinięta «-ta potęga wielomianu o l wyrazach (Z-mianu): (a+è + c-f ... + Z) j wyrazów w kształcie iloczynu aa W cY.. opatrzo-

przyczem a-\-ß-\-y-\-A=n.

ma więc ogółem

l-l

nego spółczynnikiem

wyrazów,

al ß\ y !... i!

Wobec tego rozwinięcie w-tej potęgi dwumianu (a -f- b) ma

a mianowicie :

potęgi trójmianu (a + bĄ-c) ma    —

(n -f-1)

an,    aw~²S², ... abn~x, bn ; rozwinięcie «-tej

(«-f-2)(« + l)

1.2

wyrazów, rozwinięcie

, •    ,    .    .    ,    7    (n-\- 3\    («-f 3)(« + 2)(«4-1)

Yi-tej potęgi czworomianu: {a + b + c + d) ma I ^ l=-y

wyrazów, i t. d., rozwinięcie «-tej potęgi m-mianu : (a-f6+c-b ... + ni)

J wyrazów kształtu: aa¥ cy ...m^, gdzie aĄ- ß-\-y-\-...Ą-fi=n.

Każdy z wyrazów rozwiniętej «-tej potęgi wielomianu (a-\-b -f cĄ-...Ą-m)

«-fm—1 m—1

jest stopnia «-go i ma odpowiedni spółczynnik w postaci:

2.    3

ma

a\ ß ! y !... fi !'

10. Iloczyny wielomianów. Iloczyn n wielomianów, z których każdy złożony jest z m wyrazów, jako to:

II (a. + bt + ct + ... + mt) = (»i +&!+... +    )(<h+ &> + ••• + m'i)••• (»« + bn + ••• +    »

t=l

rozwinięty na zasadzie prawidła mnożenia dwu wielomianów, przedstawia się, jako suma mn iloczynów, z których każdy zawiera n czynników z szeregu liczb : a;, b., c{, Æ.., (i=l, 2 przyczem poszczególne czynniki muszą być wzięte każdy z innego wielomianu.

Pierwszym iloczynem tej sumy, powstałym przez pomnożenie wszystkich pierwszych wyrazów danych wielomianów, jest iloczyn cącą... , ostatnim jest iloczyn ml m₂... mw powstały przez pomnożenie ostatnich m-tych wyrazów każdego z danych n wielomianów, każdy inny jest iloczynem liczb af^ b. ; c. ...m. , przyczem skaźniki «j, i₂,... *'n , wzięte z szeregu liczb 1, 2,

w muszą być wszystkie między sobą różne.

Przyjąwszy ostatnie wyrazy wielomianów między sobą równe: ml—m₁=... = mr==x, otrzymujemy w rozwiniętym iloczynie wielomianów potęgi xr od r=0, do    Wobec

tego rozwinięcie iloczynu, uporządkowane podług potęg liczby cc, otrzymuje kształt :

i—n

XT {(H -j- bi —f—Il -f- a?) = Ln    Ln—1 X -j- Ln—2*²    Ln—r XrLxXn 1 -f- L^xn,

i= 1

gdzie Z,₀=l ; Ln—r, zaś przedstawia sumę iloczynów, powstałych z porządków («-»)-tej klasy z powtórzeniem z (m—l) elementów a, è,Z, przyczem elementa każdego z (w—l)*»-r porządków otrzymują , jako wskazówki, wszystkie połączenia znaków 1, 2,..., w bez powtórzenia do (»—r) - tej klasy w iiości (n^r). Suma iw—r zawiera więc razem (M^r) (»w — l)n~r iloczynów (n-r)-go stopnia, (gdzie stopień iloczynu liczb ogólnych określamy, jako sumę wykładników przy poszczególnych czynnikach).

Ilość wszystkich iloczynów w rozwinięciu przedstawia się sumą :

(»—!)” + (;)(»-!)»-' +-... + Ç) («-!)«->• + ... +    (m-1) + (") = (m-1 +1)” = »*.

jest więc równą mn, jak być powinno.

Przyjąwszy ostatnie dwa wyrazy wielomianów między sobą równe, i położywszy:

- ... ; lyi — y, -»Ï 2 - - ... —- TWw — a.,

otrzymujemy w rozwiniętym iloczynie wielomianów U{ai-\-bi-\-...-\-h.y) wszelkie połączenia potęg liczb ogólnych a? i y z liczbą », jako największą sumą wykładników. Rozwinięty iloczyn, uporządkowany podług rosnących potęg liczb ogólnych x i y, będzie więc miał obok wyrazów wolnych od x i y, jeszcze wyrazy z x i y; x², xy i y²; a?³, æ²y, xi/1 i y³,...; a?” , a:w_1 y, a;"⁻²*/²,... «V

71—2

x//

i yw , ogółem :

₁₊₂₊₃+...₊(„+i,«feints_(* ²),

4- (M

wyrazów z pewnemi spółczynnikami, gdzie spółczynnik przy a?^y*, (r-|-s) r< », będzie sumą iloczynów, powstałych z porządków (w—»—s) klasy z powtórzeniem z (m—2) elementów a, 6,...fc, przyczem elementa każdego z (w—2)"—s porządków otrzymują, jako wskazówki wszelkie połączenia znaków 1, 2,..., », bez powtórzenia do {n—r—s) klasy w ilości:

( n )=(n)

\n—r—sj

Ilość wszystkich iloczynów w rozwinięciu przedstawia się więc sumą:

n—2

+ ... +2r (”) (m-2)w"r+ ...+2W = (m-2-|-2)w= mw ,

jest więc równa w”, jak być powinno.

Przyjąwszy r końcowe wyrazy w » wielomianach w-wyrazowych sobie równe, kolejno równe liczbom x1} x₂,..., xr, a pozostałe (m—r) wyrazy a., b{..., (i =1,2, ... ») nierówne,

i=n

otrzymujemy w rozwiniętym iloczynie II {<n-\-bi-\-x₂x/ wszelkie połączenia

i—l

av z liczbą », jako największą sumą wykładników. Rozwiać , będzie

potęg liczb ogólnych a^, aj₂,

nięty iloczyn, uporządkowany podług rosnących potęg liczb ogólnych xu æ₂, więc miał obok wyrazów wolnych od xu a;₂,..., a?r, jeszcze wyrazy pierwszego stopnia »r, drugiego z a?²t, ajtaj₂ , æ²₂ , ..., a;r_₁ a?r,..., x²r ; ... »-go stopnia: x^ , a^«—¹ a?,,

z aą, a^₂,

n—1

a7t

...X*r, ogółem 1-f g) + (rj *) + Ct²) + ••• + C⁺* ’) = (nr 0 wyrazów

ze stosownemi

spółczynnikami, które przedstawiają sumę iloczynów, powstałych z porządków (»—fc)-klasy z powtórzeniem z (m — r) elementów a, ft,

porządków otrzymują, jako wskazówki wszelkie połączenia znaków 1, 2, rżenia do (»— k) klasy w ilości: (”).

Ilość wszystkich iloczynów w rozwinięciu, przedstawia się sumą :

przyczem elementa każdego z (m — r)n—k

», bez powtó-

(»- *•)*+ © r(m- rY +... +    - ,•) + rn (m-r + r)*-«*.

11. Potęgi wielomianu. Jeżeli odpowiednie wyrazy » wielomianów m - wyrazowych są sobie równe, a kolejno równe liczbom: aą, x₂, ..., xn, natenczas iloczyn zamienia, się na »-tą potęgę wielomianu -f-•••    ; rozwinięcie przedstawiać się będzie, jako suma iloczynów »B° stopnia w ilości :    wyrazów z odpowiedniemi spółczynnikami , których

wielkość wyznacza ilość przestawień z powtórzeniem , możliwa wewnątrz danego wyrazu.

Będzie więc:

+ x₂... + xmy =    ^

a,

. xx x₂

a.

um

Tak*otrzymamy dla n = 2, tylko następujące koinbinacye wykładników: 2, 11, a więc

0»i -j- «2 4- ••• + a?m)² = S 4-2Sa?₁*₂.

wyrazy kształtu : x? i xix/c, przyczem spółczynnikami tycli wyrazów będą : —=1, i —=2, jest więc:

Dla ro = 3, możliwe są tylko następujące koinbinacye wykładników: 3, 21, 111. a więc

31    31    3 !

wyrazy kształtu: cc³!, x\x₂, xxx₂x₃, o spółczynnikach —1, — = 3, — = 6, jest więc:

o !    2i\    1 !

{xx-\-x₂ f ...xmy='Zx\ +3Sx²₁a?2 + 6

Dla n — 4 możliwe są koinbinacye wykładników: 4, 31, 22, 211, 1111, a więc wyrazy

^⁴’ 2T2I = 6’

kształtu: xi₁, rr³^, a:²!#^, a^a^a^,    o spółczynnikacli :

4!

4!

=1,

'śH !co

4!

2^ = 12, 4! = 24, jest więc:

(aą -j~ a?₂ 4" ••• */»)* = S a?⁵! -j⁻ 4 j.x'4x₂ 4-62 x\x²2 4~ 12 Sx²₁x₂x₃ 4- 24 S x₁x₂x₃xi. Tą drogą znajdziemy dalej :

(x\ 4~ *2 4""-4" aîm)⁵⁼⁼"a;⁵₁-l-^J Laj^aą 4

5!

5!

3! 2!

Sa^a?²^ — Sas^asjaH

5!

2! 2!

sZx\x\x₃ 4-

5!

-\-^Y^x\x₂xzxK-\-h\ 'Lxlx.ix₃xix₅,

(ajj4- a?₂ 4“ - 4"ar»0⁵—S *⁵i 4_51ia:⁴₁a:2 + 10Sa3³₁aj²₂4-

4-20 S a?³ta;2a:3 4- 2ßlLx\x\x₃ 4“ 60Zx\x₂x₃xt 4“ 120 ’Lxlx₂x₃xixr>.

12. Ogólne uwagi o ilości wyrazów w funkcjach całkowitych wymiernych. Funkcye wymierne całkowite ilukolwiek liczb ogólnych aą, a?₂,xr odróżniają się według stopni. Stopniem wyrażenia wymiernego Ax^'x₂“². . x“r nazywamy sumę wykładników at 4"a24"-" -k«r. Każde wyrażenie, stanowiące część składową funkcyi całkowitej wymiernej ilukolwiek zmiennych, może być w ogólności innego stopnia. Możemy tedy wybrać naprzód wszystkie te wyrazy danej funkcyi, w których stopień «14“ *2 + • •• + \ ma wartość największą «, oznaczmy ten zbiór przez un, potem wyrazy, których stopień określa liczba n—1, dotyczący zbiór oznaczmy przez un_\, i t. d. ; postępując w ten sposób możemy ustawić zbiory un_2 u2i u\i uo) ⁰ stopniach n—2,... 2, 1, 0. Całkowita wymierna funkcya zmiennych xXl x₂,... x w której wszystkie wyrazy są ze względu na te zmienne jednakowego stopnia nazywa się funkcyą jednorodną zmiennych a?₁₍ x₂, ..., xr. Wobec tego będą un ,    ,... « j, m₀,

jednorodnemi funkcyami n-go, (n — l)-go, pierwszego, zerowego stopnia.

Wszelka funkcya całkowita 2 Ax^¹ x₂Kl... xrnr n-go stopnia zmiennych xl5 a?₂,..., a3rj przedstawi się przeto, jako suma funkcyj jednorodnych: unĄ-un ,-f-•••+    + Mo-

Funkcya jednorodna r zmiennych p-go stopnia może zawierać najwyżej tyle wyrazów, ile połączeń jp-tej klasy z powtórzeniem da się utworzyć z r elementów, t. j. najwyżej wyrazów.

Ogólna funkcya całkowita wymierna n%° stopnia r zmiennych, jako zbiór (w-{“l) funkcyj jednorodnych od r-go do zerowego stopnia, zawiera więc w ogólności:

a więc:

(r+r')+(

r + n-2

wyrazów, a ta ilość jest taką samą, jaką jest ilość wyrazów w funkcyi jednorodnej n-go stopnia , o (r -j- 1) zmiennych , czyli równą (r^”).

Tak n. p. funkcya całkowita wymierna drugiego stopnia o dwu zmiennych x, y, ma = 6 wyrazów i przedstawia się w postaci: ax²by²-\-cxydx-\-ey-\-f

ŁOI CD

(T)=©=

funkcya drugiego stopnia o 3 zmiennych: x, y, z, ma (" 2²) — (2) =    ⁼ ^ wyrazów, przed

stawiając się w postaci: ax² -f by² 4- cz²-\- a‘yz 4- b'xz 4- C'XU 4“ a"x 4" b“y 4" c“z + d.

Ćwiczenia XXV.

1)    Znaleźć liczbę przestawień z n elementów, jeżeli między niemi jest a jednakowych.

2)    Znaleźć liczbę przestawień z n elementów, jeżeli między niemi jest jedna grupa a jednakowych, a druga grupa znowu ß między sobą równych elementów.

3)    Dowieść, że skoro suma a-j-S jest liczbą nie większą od w, natenczas iloczyn (ot —J— 1), (a-|~2),..n podzielny przez 1.2...ß, a iloczyn, (ß -j- 1), (ß-J-2)...n podzielny przez 1.2...a.

4)    Jeżeli wszystkie peiunutacye grupy abcdef wypiszemy w porządku słownikowym alfabetycznym, którą z rzędu będzie permutacya dbafce?

5)    Wyznaczyć 76-tą permutacyę grupy abcde.

6)    Wykazać, że w 90 numerach loteryi liczbowej jest 4.005 amb, 117.480 tern, 2,555.190 kwatern i 43,949.268 kwintern.

7)    Ilu sposobami da się iloczyn złożony z mn czynników, rozłożyć na iloczyny z m czynników. Przykłady szczególne: (a) m — 2, w —2, (b) m — 3, n= 3.

8)    Ile istnieje liczb dziesięciocyfrowych , których cyfry są wszystkie różne od siebie.

9)    Ile przekątni posiada zupełny w-bok. Przykłady szczególne: (a) n = 4, (b) n—h.

10) Dowieść, że (o) (») + (») + g) + (?) +•••+ (B*t) + 0=2”,

» (o) - (”) + 0 - - + <-Df) +- + (-¹)"©“⁰' W(2) + 0+(S)+-=²""'-¹-«0+0+0+-“²”⁻¹-

11) Dowieść, że ilość wszystkich możliwych połączeń z n elementów we wszystkich klasach jest równa liczbie 2”—1.

Dowieść prawdziwości następujących wzorów:

i2> (”H»-)=FT(b)v is> ci+UiH-n

14) o (7») f-;o= ^Irr-15> (”) - Ç=Î)+[r-1)+C3) +•••+ (”-i)-

iO”)+r7¹)+r7²)+-+(i=m

W) CT ”) - o+{r -i) (?)+(4*) (") +••+O (A)+Ci

18)    Prostokąt AB GD jest przecięty na długość n, a na szerokość m liniami prostemi. Ilu sposobami można , idąc temi liniami dojść od punktu A do punktu C, jeżeli długość drogi ma być stałą równą ADĄ-BC.

19)    Dowieść, że ilość permutacyj f(n) z n elementów, w których żaden element nie pozostaje na swem miejscu pierwotnem da się wyi*azić za pomocą wzoru pośredniego, (wzoru Eulera): f(n)=nf(n—1) -f- ( —1)” , z którego otrzymuje się:

/(0) = 1, /(1)=0. /(2)= 1, /(3) — 2, /(4) = 9, /(5)= 44.

20) Dowieść, że funkcya Eulera f(n), podająca ilość tak wybranych permutacyj elementów, że w nich żaden element nie pozostaje na swem miejscu pierwotnem , da się wyznaczyć wzorem bezpośrednim :

r~n

r=n

f(n)=--n\ 2

(-iy

, tudzież, że :    f(n—r) = n !

r=0

0

21) Dowieść, że suma ilości wszystkich kombinacyj r-tej klasy z powtórzeniem elementów od r — 1, aż do r=p, a więc suma ilości pojedynek amb, tern, aż do kombinacyj ^-fßj klasy z powtórzeniem z n elementów, wyraża się wzorem :

r=p

i.

r=0

22) Dowieść, że ilość waryacyj r-tej klasy

z n elementów jest równa ilość permutacyj wszystkich n elementów, jeżeli między temi elementami uważamy {n—r) elementów za jednakowe.

23)    Dowieść, że ilość kombinacyj r-tej kasy bez powtórzenia z n elementów jest równa ilości permutaoyj wszystkich n elementów, jeżeli między niemi jest r elementów równych jednego rodzaju, a (n—r) elementów równych drugiego rodzaju.

24)    Dowieść, że suma ilości waryacyj n elementów bez powtórzenia od pierwszej aż do p-tej klasy przedstawia się wzorami :

r~p

r=.p

/=!

r— 1

(n—r) ! ‘

25) Oznaczając przez sn sumę ilości waryacyj z n elementów wszystkich klas bez powtórzenia od 1 do w wykazać, że: sn~n(sn_^ -f- 1), i wyznaczyć s₂> s?,i h-

26) Dowieść, że sumę ilości waryacyj z n elementów, z powtórzeniem, aż do r-tej

klasy włącznie, przedstawia iloczyn :

n. (nr — 1)

27)Wykazać, że    r^=(r+1)

Dowieść prawdziwości następujących wzorów sumowych symbolu:

«s) 2(-i)'ć)=⁽-i)r(“7¹>⁸⁷) 2(-v(—.)■(:)—i

5=0

n—p

r—p-

i)- 85) 2C10-CT).

5=0

5=0

s= 0

S = oo

5=oo

æ) 2(4)C)-("r> 89) 2(4.)(7)-(

5=0

ley

2.6.10.14 ...(An—2)

1.2.3.4...«

5=0

S — 00

■ *> 2C=:)(“s+s)=(’,+rM)'

r=0    _ ^

Uważając poszczególne połączenia liczb naturalnych 1, 2, 3,... w, jako iloczyny, a zbiór

połączeń pewnej klasy, jako sumy iloczynów, i oznaczając przez [Cr(n)\ [Cr ^ (»)], sumę tak uważanych połączeń r-tej klasy bez powtórzenia , względnie z powtórzeniem z n liczb, w porządku naturalnym po sobie następujących, wykazać, że przyjmując [ C'₀ (w)] = 1, [O—r(»)]=0, otrzymamy:

5=0

42) [<7,0—1)]= (”). 43) [<?,(»—1) ] = 2 (“) + 8 (J).

44) [C₁WW)=(» + ¹).    45) [Cs«(»)]=(',+ ²) + 3(k + ²).

46)    [Cr (.n)\ = [Cr (n—1)]    n [Cr—1 (n—1)].

47)    [Cr (ł,)(»)] = [C+p) (n — 1) ] + n [Cr~\W(n)].

5=r—1

1.

48)    [Cr 0»)]= — 2 (r + l—przyjmnjąc [C₀(»)] =

5=0 5=»—1

49)    [O« (»)]=-! 2

5 = 0

50)    Dowieść, że w trójkącie arytmetycznym Pascala , zbudowanym na podstawie

wzoru    1)“    1 )’ Przy n~1» 2,..., w którym wiersze poziome przedstawiają

wartość

symbolu    przy dodatnim n, wiersze ukośne do siebie równoległe, przedstawiają

bez względu na znak wartości symbolu    przy ujemnem n.

— 3BB -

51) Liczbę , przedstawioną symbolem ^n    ^ 1

nazywają także r-tą liczbą postaciową n- go rzędu. Dowieść, że r-ta liczba postaciowa n-g o rzędu wypada, jako suma (r—l)-szej liczby postaciowej n-g o rzędu i r-tej liczby postaciowej (n—l)-szego rzędu, lub, jako suma pierwszych r-liczb postaciowych (n—l)-szego rzędu. Na tej podstawie wyznaczyć szeregi liczb postaciowych pierwszych czterech rzędów.

52)    Wykazać, że rzędy ukośne arytmetycznego trójkątu Pascala przedstawiają liczby postaciowe kolejno zerowego, pierwszego, drugiego, trzeciego i t. d. rzędu.

53)    Wykazać, że liczby postaciowe drugiego rzędu    ) Poc^ai% ilość kul, które

dadzą się zestawić w kształcie trójkątów (liczby trójkątowe).

54)    Wykazać, że liczby postaciowe trzeciego rzędu ^    ^ podają ilość kul, które

dadzą się zestawić w postaci ostrosłupa trójściennego (liczby ostrosłupowe trójścienne).

55)    Dowieść, że:

(x -f- a) (x -{- b) (x -f- c)... (x -j- Ï) (oc-\-m) = xm -f- S(a). xm~¹    S(ab) . xm~² -j- S(abc) . xm~³+ ... S(abc... l)x + abc... Im,

i wyznaczyć tą drogą iloczyn : (x—2) (x—3) (x—4) (x—5) (x—6).

56)    Dowieść, że:

a+*+*»+...)»■= i+(?)*+ ci¹) «4- a²) *s+...+(* +;_1) *'+...

Przyjmując n= 1, 3, 4, 5, wyznaczyć:

57)    (a + b -f- c)n. 58) (a -\-b -\- c d)n. 59) (a -f- bx-\- cxT)n.

60)    (a₀-j- ayx -(- a₂x² -f a₃£c³ -f- ... -{- ar xr)n.

61)    Wykazać, że funkcya całkowita jednorodna, n zmiennych, a p-go stopnia, w której nie brak żadnego wyrazu, ma wyrazów, a takaż funkcya niejednorodna

w-zmiennych, a p-g o stopnia ma    wyrazów. Przykłady: n = 1, 2, 3, p=l, 2, 3.

Rozwiązania XXV. 1) (a -}- 1) (a -|- 2) ... n. 2) —

CL

( mn) !

5) daceb. 7)

n \ (w!)”

. 3) Wynika z 2). 4) 389-ta.

! ß!

sposobami (a) 3, (b) 280. 8) 3 265 920. 9) | n (n — 1) (n—2) (n — 3); (a) 4;

2)

(w + 1)! (»+1)!

6i> c+r¹)-("+;-*)-( «o(V> (0- Ct¹).-c

(6) 15. 18)

sposobami. 22) W — ^    23) c£

n-1 ) — U-lj + \n-l)^U-lJ ‘ ”• V w-1 ) r -1)' ⁵⁵)a;5-20;r4+165a:3-580a:2+1044 æ — ⁷²°-

r ! (n—r)\'

26) 4, 15, 64.

Literatura. R. Bałt zer. Die Elemente der Mathematik. Leipzig 1875. R. Lipschitz. Lehrbuch der Analysis. Bonn, 1877. R. Lübsen. Ausführliches Lehrbuch der Analysis. Leipzig, 1868. Schlömilch. Handbuch der algebraischen Analysis. Jena, 1868. Stern, Handbuch der algebraischen Analysis. Leipzig 1860.

Tematy do rozpratveh naukowych :

1. Teorya przestawień z uwzględnieniem przestawień ograniczonych co do miejsca

elementów.

2.    Teorya połączeń z szczególnem uwzględnieniem połączeń elementów o pewnej sumie wskazówek, czyli t. z. połączeń izobarycznych.

3.    Suma połączeń i suma waryacyj , uważanych za iloczyny liczb.

Wykład XXVI.

Zasady ogólnej teoryi wyznaczników.

1. Określenie wyznacznika kwadratowego. Wyobraźmy sobie, układ n2 liczb, ułożonych w n wierszach i n kolumnach. Oznaczmy przez aik liczbę, znajdującą się w i • tym wierszu i 7c-tej kolumnie, wówczas przedstawi się wspomniany układ w kształcie szematu kwadratowego o n² elementach:

<*11    <*12    **1 3    •    *    a\ni

•    <*nn<

W tym szemacie kwadratowym istnieją dwie przekątnie ; jedną, łączącą element an z elementem ann nazywamy przekątnią główną, drugą zaś, łączącą ain z an przekątnią boczną.

ann i pomyślmy sobie z tego iloczynu potworzone

Weźmy pod uwagę iloczyn n elementów leżących na przekątni głównej t. j.    a₂₂. <*33

nowe iloczyny w ten sposób, że nie zmieniając w tym iloczynie pierwszych wskazówek, z drugich wskazówek porobimy wszelkie możliwe przemiany. W ten sposób otrzymamy razem n\ iloczynów, z których każdy zawiera n czynników, po jednym z każdego wiersza i każdej kolumny. Tak otrzymanym iloczynom nadajmy znaki -f albo — stosownie do tego, czy przemiany są parzyste , czy nieparzyste. Algebraiczna suma tych n ! iloczynów nazywa się wyznacznikiem kwadratowym n-go rzędu.

2. Wyznacznikiem n-tego rzędu nazywamy więc sumę n\ iloczynów,

powstałych z iloczynu <*n<*₂₂<*33.......<*„n, jeżeli z pierwszych, lub drugich

wskazówek porobimy wszystkie przemiany i tym iloczynom nadamy znaki + lub — stosownie do rodzaju przynależnych przemian.

Wyznacznik oznacza się według Cayley’a, zamykając układ liczb między dwie proste pionowe, w postaci :

i⁵

to

i* i⁵

a a

an1 o»2 .

. 0>nn

albo według Cauchy’ego, poprzedzając iloczyn elementów głównej przekątni, wzięty z znakami +, znakiem sumowania S, w kształcie :

D — S + «ii«22a33

albo według Kroneckera, zamykając element ogólny aik między dwie proste pionowe, w kształcie :

Clnni

n).

Częstokroć oznaczamy elementa jedną tylko wskazówką, używając natomiast różnych l, w liczbie n. W takim razie wyznacznik ma kształt :

zgłosek, jak a, ó, c,

J)

ST

Niektórzy opuszczają zupełnie zgłoskę, a piszą obie wskazówki w nawiasach ujęte w ten sposób :

(11) (12) (13).....(1»)

(2 1) (2 2) (2 3).....(2 n)

(n 1) {n 2) {n 3)

( n n)

3.    Podział przemian na dwa rodzaje. Z n elementów da się utworzyć w! przemian. 0 przemianie pewnej powiadamy, żerna jeden spadek (inversion), jeżeli, idąc w szeregu jej elementów od lewej strony ku prawej napotykamy na takie elementa, że wskazówka pierwszego jest większą od wskazówki następnego.

Tak n. p. grupa 1243567 ma jeden spadek 43, grupa zaś 4216753 zawiera spadki 42, 41, 43, 21, 65, 63, 75, 73, 53, czyli razem 3 +1+ 2 + 2 +1= 9 spadków.

Według Cramera można podzielić wszystkie przemiany na dwa rodzaje. Do pierwszego rodzaju przemian należą te przemiany, które mają parzystą liczbę spadków, do drugiego rodzaju należą te, w których, liczba spadków jest nieparzystą.

4.    Dowiedźmy najpierw następującego twierdzenia: Przestawienie dowolnych dwu elementów zmienia rodzaj każdej przemiany.

Niech będzie bowiem daną pewna przemiana (permutacya)

L i M Je N.

gdzie L, M, N są grupami elementów, zawierającemi między sobą pewną ilość spadków, i i Je niech będą zaś dwa elementa, które mają być przestawione. Przestawiając te elementa otrzymujemy przemianę:

L k M i N.

(1)

(2)

Część spadków, w ilości a, zawartych w przemianie (1), pozostaje niezmienną w przemianie (2). Będą to mianowicie : (1) spadki, zawarte wewnątrz poszczególnych grup L,M,N) (2) spadki, zachodzące między grupami Liii/, między L i N, wreszcie między M i N, (3) spadki, zachodzące między elementami i, k: a grupami L i N. Natomiast zmieni się w przemianie (2) ta ilość spadków, którą grupa M tworzy z elementami i i 7c. Grupa M niech tedy zawiera p elementów, między tymi niech będzie q elementów wyższych od i (o wyższej wskazówce, jak wskazówka elementu i), więcp—ą elementów niższych od i. Niech będzie dalej między owymi p elementami r elementów wyższych od 7c, a więc p-r niższych od k. Przypuśćmy teraz naprzód, że element i jest niższy od elementu Tc, co oznaczymy przez i <Zk. W tym razie otrzymamy na liczbę spadków w pierwszej przemianie L i M k N widocznie a-\-p — q-\-r} na liczbę spadków w przemianie L k M i N zaś a-\-q-\-p—rĄ-1. Różnica między liczbą spadków, zawartych w tych dwu przemianach, będzie {a+q+p—r+1)—(a-\-p-q+r)=2{q - r) + l,

tedy:

czyli liczbą nieparzystą.

Przypuśćmy teraz, że element i jest wyższy od elementu k, co oznaczymy przez i^>k. W tym razie otrzymamy znowu na liczbę spadków w pierwszej przemianie Li Mk N widocznie a-\-p—+ na liczbę spadków

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

22

a więc także liczbą nieparzystą.

w drugiej przemianie Lic Mi N zaś aĄ-q-\-p—r. Różnica między liczbą spadków w tych dwóch przemianach będzie teraz :

(a+q+p—r) — (a+p— q + r+l)=2(q—r) — 1,

Z tego wynika, że, przestawiając dowolne dwa elementa pewnej przemiany, zmienimy zawsze liczbę spadków o liczbę nieparzystą, przestawieniem dowolnych dwóch elementów jakiejkolwiek przemiany zmienia się więc w istocie rodzaj tej przemiany.

Przykład. W przemianie 254369817 przestawmy ze sobą dwa elementa 3 i 8, otrzymamy wówczas przemianę 254869317. W tym przykładzie są grupami L: M, N. grupy 254, 69, 17, elementami przestawionymi : *, k elementa 3 i 8.

Nie licząc spadków a pierwszej przemiany, zachodzących niezmiennie w drugiej, wypadnie nam tylko wyznaczyć liczbę spadków, które grupa M, t. j. 69 tworzy z elementami 3 i 8.

W pierwszej przemianie 254369817 element 3 nie tworzy z grupą M żadnego spadku, grupa .M z elementem 8 tworzy zaś 1 spadek, mamy zatem razem między elementami 3 i 8 i grupą 69 jeden spadek, w drugiej przemianie 254869317, tworzy element 8 z grupą M jeden spadek, grupa M z elementem 3 dwa spadki, a element 8 z elementem 3 daje 1 spadek, więc, razem cztery spadki. Przemiana druga ma więc o 4—1=3 spadki więcej od pierwszej, czyli przestawieniem elementów 3 i 8 zmieniła się ilość spadków o liczbę nieparzystą. (W całości jest w pierwszej przemianie 13, w drugiej 16 spadków).

5. Przemiany pierwszego rodzaju, t. j. o parzystej liczbie spadków, nazywamy także dodatniemi, przemiany drugiego rodzaju, t. j. o nieparzystej liczbie spadków, ujemnemi.

Między n\ przemianami należy \n ! do jednego, a \n\ do drugiego rodzaju ; kolejnem przestawianiem po dwa elementa w jednej przemianie możemy bowiem otrzymać wszystkie przemiany ; otrzymane w ten sposób przemiany będą miały naprzemian parzystą i nieparzystą liczbę spadków, a zatem, skoro liczba wszystkich przemian jest zawsze parzystą, będzie połowa przemian pierwszego rodzaju, t. j. dodatną, a druga połowa drugiego rodzaju, t. j. ujemną.

0. Naturalny porządek przemian. Zazwyczaj tworzymy przemiany w ten sposób :

Naprzód ustawia się wszystkie elementa 1, 2, 3, (n—1), n w porządku od najniższego

do najwyższego, następnie wypuszcza się kolejno po jednym elemencie, a z następnych tworzy się wszystkie przemiany w liczbie («—1) !, poczem wypuszczony element stawia się na początku każdej przemiany.

Zachodzi teraz pytanie, czy nie możnaby bjdo wyznaczyć prawidła, w jakim przy tern tworzeniu przemian ich dwa rodzaje po sobie następują. Oznaczmy przemiany o parzystej liczbie spadków przez 4-, przemiany o nieparzystej liczbie spadków przez —, wówczas otrzymamy w (n — 1) ! przemianach, w powyższy sposóh utworzonych, pewien porządek znaków, niezawisły od tego, który z elementów 1, 2, .... n opuścimy. Uzupełniając teraz wszystkie te (n—1) ! przemiany brakującym elementem, n. p. m, kładąc go na pierwszem miejscu, wywołamy w każdej przemianie przyrost (m—1) spadków, przeto zmieni się pierwotna grupa znaków, którą oznaczamy przez    na grupę (—l)m—„_₁. Otrzymamy więc, kładąc na

początku elementa 1, 2, 3 ..... n, kolejno następujące grupy znaków

(3)

z czego wypływa, że, znając grupę znaków, należącą do przemian z (w—1) elementów, otrzymamy grupę znaków dla n elementów, gdy pierwszą grupę znaków napiszemy n razy po sobie, lecz raz niezmienioną , drugi raz z przeciwnymi znakami.

Ponieważ przemiany z dwóch elementów dają grupę znaków -)—, przeto dadzą przemiany z trzech elementów grupę znaków -j—, —-j-> -j—, z czterech elementów zaś grupę

H | |    , —|—i----b? ^----1—1—j —I—I-----K

W ten sposób możemy mechanicznie, t. j. hez obliczenia spadków, napisać grupę znaków dla przemian, utworzonych z dowolnej liczby elementów. Równocześnie poznajemy, że grupy znaków w (w—1)! i n\ przemianach zgadzają się z sohą co do ostatniego znaku, albo nie, stosownie do tego, czy n jest liczbą nieparzystą, czy parzystą.

7. Rozwiniecie i obliczanie wyznacznika. W określeniu wyznacznika zawarty jest sposób jego rozwinięcia i obliczenia. Napisawszy iloczyn wyrazów zawartych w przekątni głównej , wyprowadzamy z niego resztę iloczynów, tworząc z drugich wskazówek wszystkie przemiany i udzielając otrzymanym iloczynom znaki +, albo —, stosownie do rodzaju przemian. Porządek znaków przy zwykłem tworzeniu przemian będzie według art. 6., str. 338. taki, że po pierwszym znaku dodatnim, następują kolejno po dwa ujemne i dwa dodatnie, dopóki się liczba iloczynów nie wyczerpie.

Według tego będzie zatem wyznacznik drugiego rzędu składał się z 2 ! = 2 iloczynów w kształcie :

— S+ajjCfjî— «ll«22—«12 «211

«n a₁₂

I «21 «22

jest zatem równy iloczynowi elementów głównej przekątni mniej iloczyn elementów bocznej przekątni.

Wyznacznik trzeciego rzędu składa się z 3 ! = 6 iloczynów o znakach -1----1- -|--

w postaci :

«11 «12 «13

«21 «22 «23    ⁼ —' it «11 «22«33 ⁼ «H«22«33 ~ «11«23«32    ®12«21«33 “1" «12«23«31 + «13«21«32 —«13«22«31

«31 «32 «33

Wyznacznik czwartego rzędu składa się z 4! = 24 iloczynów w postaci:

— S + ÖiiÖ₂2«33«44 =

«11 «12 «13 «14 «21 «22 «23 «24 «31 «32 «33 «34 «41 «42 «43 «44

= «11«22«33«44    «11«22«34«43— «11«23«32«44 "b «11«23«34«42 "b

+ flfj j «24«32«43    «11 «24«33«42—«12«21«33«44 ~\~ «1 i«21 «34«43"b «12«23«31 «44—

«12«23«34«41    «12«24«31 «43 “b «12«24«33«41 “b «13«21«32«44—«13«21«34«42 —

«13«22«31 «44 + «13«22«34«41 + «13«24«31 «42—«13«24«32«41—«14«21«32«33 ~b ~b «14«21«33«42 "b «1 4«22«31 «33    «14«22«33«41—«14«23«31«42+ «14«23a32«41 •

Przykład. Obliczmy wyznacznik czwartego rzędu :

12 10 3 2 12

1    0 3 2'

2    13 0

Celem oznaczenia jego wartości, musimy, niezmieniając pierwszych wskazówek po robić wszystkie przemiany drugich wskazówek. Otrzymamy tu :

12 3 4

12 3 4

Iloczyny

Iloczyny

+ 3.0.1.0 =

+ 3.0.3.0 =

—    3.1.1.2 = —

—    3.1.3.0 =

przeto Z) =72—44 = 28.

W ten sposób możnaby oznaczyć wartość wyznacznika jakiegokolwiek rzędu.

8. Twierdzenie. Wyznacznik utworzony wskutek 'przemian pierwszych wskazówek, przy niezmiennym porządku drugich, jest równy te y znacznikowi, utworzonemu za pomocą przemian drugich wskazówek, przy niezmiennym porządku pierwszych.

Oznaczmy bowiem przez D‘ wyznacznik, utworzony wskutek przestawień pierwszych, przez D wyznacznik, utworzony za pomocą przestawień drugich wskazówek, to zauważymy, że jakikolwiek z n\ iloczynów w wyznaczniku D' musi być zarazem jednym z n\ iloczynów w wyznaczniku D. Możemy bowiem w każdym poszczególnym iloczynie częściowym wy-

+II++II++II+

^^OOOOh^h^^^OOOOtOtO

CO H-¹ l-+ H—*- +*• wû co to co

O O ZD O

+II++II++II+

OOOOtOtOl—¹

znacznika D, w którym wskazówki pierwsze tworzą pewną przemianę, drugie zaś są w porządku naturalnym, ustawić czynniki w takim porządku , aby wskazówki pierwsze miały porządek naturalny, drugie wskazówki muszą tedy utworzyć pewną przemianę; iloczyn rozważany staje się przeto jednym z iloczynów wyznacznika D. Jeżeli w ten sposób postąpimy z wszystkimi wyrazami wyznacznika D‘, otrzymamy z nieb wszystkie wyrazy wyznacznika D. Iloczyny w jednym wyznaczniku będą miały te same znaki, jak utworzone z nieb iloczyny drugiego wyznacznika, gdyż wskutek przestawienia dwóch czynników, przestawiają się równocześnie dwie pierwsze i dwie drugie wskazówki, przez co suma spadków w pierwszych i drugich wskazówkach, zmieni się o liczbę parzystą, co się stanie i w tym wypadku, gdy pierwsze wskazówki zajmą wskutek przestawień czynników, porządek naturalny, otrzymana grupa drugich wskazówek należeć będzie przeto do tego samego rodzaju, jakiego była pierwotna grupa pierwszych wskazówek. Otrzymamy więc z wyznacznika D\ wyznacznik Z), z czego wynika, że D'=D.

Przy rozwinięciu wyznacznika S + an a.n a₃₃... ann jest więc rzeczą obojętną, czy z pierwszych, czy z drugich wskazówek robimy wszystkie przemiany.

9. Zasadnicze własności wyznaczników.

(1) Wyznacznik nie zmienia swej icartości, jeżeli z jego wierszy porobimy kolumny, a z kolumn wiersze.

Niech będzie bowiem:

D=

«u a.| 2 ••• Oln ^21 02 2 •..

D‘ =

(4)

an\ an% ... aun

a\n a%n ••• Oww

Rozwinąwszy, według poprzedniego paragrafu oba wyznaczniki, poznamy, że w obydwóch wypadkach rozmaite ich wyrazy powstają z jednego wyrazu głównego -}-a;₁₁a₂₂... am, z przemiany pierwszych, lub drugich wskazówek, obydwa wyznaczniki są zatem równe, czyli D=D'.

(2) Wyznacznik zmienia swój znak, skoro dwa rzędy róicnoległe z sobą prze-staivimy. Niech będzie :

Oj j Oj₂ ... Ol,* ... Oj* ... Oiw 021 0₂₂ ... a%i ... O2* ••• O2n

Oj i Oj₂ ... a\i... oj*... a\n

O2 j 0'₂₂... a-u... a2k ••• 02fi

0(1 O,-2 ... O// ... O/* ... a-,n

D‘ =

0*1 0*2 ••• O*,;... 05** ... 0*n

(5)

0*1 0*2 ... o*/ ... O!** ... 0*„

O/i 05/2 ••• O/f ... O/* ... 0/w

oni on2 ... o„/...anlc...ann

Oni On2 ... Ow/ ... 05n* ... Oww

tedy otrzymamy Z)=J2 + asj± a₂₂... a,/... o** ...anw, Z>'= .S + on 05₂₂ ...o*,-... o,-*... otnn. Ażeby rozwinąć wyznacznik Z)', musimy w iloczynie:

Oj j 052 2 ... 05*/... O!/* ... Oww ,

nie zmieniając porządku drugich wskazówek, który jest w J) i D‘ jednakowy, wykonać wszystkie przemiany pierwszych wskazówek 1, 2,... k .. i.. n. Ale te wskazówki tworzą już w wyrazie głównym wskutek przestawienia elementów i, k przemianę przeciwnej klasy, jak ta , którą tworzą pierwsze wskazówki w D. Wszystkie wyrazy wyznacznika D\ będą więc te same, co w wyznaczniku Z), tylko znaku przeciwnego, będzie więc D‘—— Z), czyli wyznacznik Z) zmienił wskutek wzajemnego przestawienia dwóch wierszy «-tego z &-tym swój znak, nie zmieniając wcale swej liczebnej wartości.

To samo dotyczy widocznie dwóch, dowolnych kolumn.

(3) Wyznacznik ma wartość równą zeru, jeżeli jego dwa rzędy równoległe składają się z równych odpowiednio elementów.

Przestawieniem danych dwóch rzędów równoległych i równych, dany wyznacznik widocznie się nie zmieni, ale z drugiej strony, musi według poprzedzającej własności, zmienić swój znak, musi więc być D=—D, co się stać może tylko wtedy, gdy Z)=0. Według tego będzie:

ĆJj $2 ^3 ••• an

bi b₂ bz ... bn

(6)

■D — by b₂ Óg ••• bn —0.

ly ^    ^3 i»

(4)    Wyznacznik ma wartość równą zeru, sZ;oro ivszystkie elementa jednego z jego rzędów są zerami.

W rozwinięciu wyznacznika zawiera bowiem każdy wyraz jego po jednym czynniku z każdego rzędu, każdy z n\ wyrazów danego wyznacznika będzie więc miał jeden czynnik równy zeru, wyznacznik sam będzie więc miał wartość równą zeru.

(5)    Wyznacznik mnożymy przez pewien czynnik, jeżeli wszystkie elementa jednego rzędu, pomnożymy przez ten sam czynnik.

Odwrotnie: Czynnik wspólny, wszystkim elementom jednego rzędu, może być postawiony, jako czynnik przed wyznacznikiem.

tedy :

czyli :

Jeżeli bowiem wszystkie elementa i-tego wiersza, pomnożymy przez stały czynnik p, tedy występuje w sumie 2 Jraiia₂₂... ann w miejscu aik wszędzie paik dla Æ=l, ...n, możemy więc z tej sumy czynnik p wyłączyć; otrzymamy 2 4^ a^y 0^22 ••• P®ii ••• A/fin ⁼⁼P^ ®ii ^2 2 ' •*    ••• C'nw

1    2    ^1»

®21 ^*22    ^2«

P«/i pa^...pain

a-i\ aa

a in

(7)

ani an2 ... ötnw

Możemy dowolny wyznacznik przekształcić tak, aby wszystkie elementa w jednym rzędzie były równe 1. Niech będzie n. p.

«1 «2 «3 D— ^1 ^2 ^3

c₁ c₂ c₃

Oya₂a₃ a₂azüy azaya₂

a₂a₃.a₃ay .axa₂ D= bxa₂a₃ b₂a₃ax b₃axa₂ =axa₂a₃ bxa₂a₃ b₂a₃ax b₃axa₂

Ci «2 «3    ⁽'2a3C,i ^3 ^ 1 ^*2

an\ an2...

tedy otrzymamy:

Cya₂a₃ c₂a₃ax c₃axa₂

przeto D

by0₂a₃ b₂a₃ax b₃axa₂ .

Cy(t₂a₂ c₂a₃ax c₃axa₂

(6) Wyznacznik ma wartość zera, skoro odpowiednie elementa dwóch rzędów doń równoległych są proporcyonalne.

Własność ta wynika bezpośrednio z własności 5-tej, z uwzględnieniem własności trzeciej.

axa₂a₃

(8)

(7) Jeżeli elementa jakiegokolwiek rzędu tworzą sumę m elementów, wyznacznik można wyrazić przez sumę m wyznaczników.

W istocie, skoro bowiem każdy element n. p. i-tego wiersza jest sumą m dodajników, tedy każdy wyraz w rozwinięciu wyznacznika, będzie miał jedną z tych sum, jako czynnik, da się więc przedstawić, jako suma m iloczynów. Iloczyny te utworzą grupami m wyznaczników, które będą się zgadzały co do reszty rzędów z danym wyznacznikiem, tylko w rzędzie sum będą miały, jako elementa kolejno: pierwsze, drugie..., m-te dodajniki odpowiednich elementów. Będzie tedy :

(9)

2 ik 1^22 • • * d" ßii d⁻ • • • d⁻ f&ii • • • «nn⁼⁼ ^ «i i «2 3‘"    ’ * * «nn d~

d⁻ ^ _b ai i ć?22 ••• ßii ••• «nn d~ ••• d⁻ ^dl «11 «2 2 * “ 4«(l ••• «nn¹

Jeżeli wszystkie elementa wszystkich rzędów danego wyznacznika n-go rzędu są sumami, złożonemi z m elementów, tedy wyznacznik dany równa się sumie z mn wyznaczników, które się od danego wyznacznika tern różnią, że w nich, zamiast owych sum występują poszczególne ich dodajniki, jako elementa.

Przykład. Wyznacznik drugiego rzędu :

a²-}-6²4-c² aa'-\- bb' -j- cc' aa'-p 66'-j-cc' a'²-f- bn-\- c'²    ’

da się przedstawić jako suma z 3²=9 wyznaczników. Mianowicie będzie:

a² bb' aa' 6'²

a² aa' aa' a'²

a² cc' aa' c'²

6² aa' bb' a'²

6² 66' bb' 6'²

6² cc' bb' c'²

d-

c² aa' cc' a'²

bb'

ce' 6'²

c² cc' cc' c'²

Korzystając z znanych, już własności wyznaczników, otrzymamy dalej : a b a' b'

(«*'- «'») + | t c' (Sc' “ ^ +

a² -f- 6² -f- °2 aa ~b 66' -f- cc' aa‘ -\-bb‘ -\-cc‘ a'²-}- 6'²-f- c'2 czyli tak zwana tożsamość Lagrange’a:

(<e²-p &² + c²)(a'²-j- 6'²-}- c'²)—(aa' -f- bb‘-\-cc')²= (ab'—a'b)%-\-(b&—6'c)² + (ca'—c'a)².

(8) Wyznacznik nie zmieni swej wartości, jeżeli do elementów jednego rzędu dodamy odpowiednie elementa innego rzędu równoległego, pomnożone przez jakikolwiek czynnik, gdyż :

D— ab'

-j- ac'

a c a‘ c'

-j- a' 6

a'

6c'

6'

-f- ca'

c a . ,, c c' a' +C& r

c'

a 6 a' b'

a c

a' c'

(ac' — a'c) =

a 6 a' 6'

d~

O*⁴

Ci

d~

a c a' c'

przeto :

a 6 a' 6'

b' c'

c a ~ c' a'

«11 ai2... aa-\-ma[je... aik a\„

«21    «22 ”• «2ï d~ma<lk ... Ü2k ... «2n

«ii «i2 ••• a a ... «i^ ... «in «21 «22 «2* ••• «2i ••• «2n

d⁻

««1 «n2 ••• «ni ••• «n& ••• ««n

«»1 ®»2 ••• «nid⁻mttnk ••• anic ••• unn

«11 «12 ■•* «U ••• «1Æ ••• «1» «21 «22 «2fc ••• «2£ ••• «2n

«ni «n2 *•• «nfc ••• «nfc«¹* «n»

Ostatni wyznacznik ma w dwóch kolumnach elementa równe, jest przeto równy zeru, a więc odwrotnie :

«Il «12"‘ «lî + ?w«n ••• «1A ••• «ln «21    «22«2i + W«2i ••• «2& ••• «2n

«31    «32‘‘ «3id“ma^k ••• «3/fc ••• «3n

«11 «12 •” «1* •” «I*”¹ «1»

(10)

«21    «22    «2* ••• «2A*"* «2n

«31 «32 *'• «3/    «3* ••• «3»

«nl «n2 «ni • •• «n£ ••• «nn

«nl «n2 ani-\-mank ... ««£ ••• «nn

«11 «12 ”■ «1*—1 «U- «U--j-1 ••• «ln «21 «22 •” «2A-1 « 2/t «2A+1 ••• «2 w

C(ni «»2    «wA—1 «ni- «n/t-(-l ••• «n»

«il «i 2 • • • «i/t—i «i*d"^i«n d_ À₂ai2-\- ...-f aa-i «i/t-i + ^+i «iæ+i d⁻•••d⁻Jn«in «n+i •••«!»

__ «21 «22 ••• «2A-1 «2jtd"^2«21 h ^2«22 d" ••• d* ^A-l «2A-1 "t“'h-J-l «2/t + l d“ • d" «2n «2A-f 1 ••• «2n

. «ni «n2 • «n/t-1 «nid⁻ ^i«nl + ^2a'»2_h ••• d~    1 «ni—1 d~ ^/t-fl «ni+1 d" ••• + «nn «n/t+l ••• «nn

10.    Rozwijanie wyznacznika podług elementów jednego rzędo. Z określenia wyznacznika, jako sumy algebraicznej n\ iloczynów, powstających z iloczynu n czynników «n«₁₂...«»», jeżeli z pierwszych, albo drugich wskazówek porobimy wszystkie przemiany, wynika bezpośrednio, że w każdym dodajniku wystąpić musi jeden element z każdego rzędu układu kwadratowego elementów, t. j. z każdego wiersza i z każdej kolumny i to tylko jeden. Oparci na tej okoliczności, możemy rozwinąć wyznacznik wedle elementów jakiegokolwiek rzędu.

Rozwinięcie wyznacznika wedle elementów i-tego wiersza będzie tedy:

(U)

D — a a ein d~ «ł2 cia -f- ••• d~ «<» «iw,

a rozwinięcie wyznacznika wedle elementów Æ-tej kolumny znowu :

(12)

D = «1* Cl\k + «2/t «2/t d" • • • d" «w* ank i gdzie spółczynnik aik przedstawia pewien zbiór iloczynów po (n—1) czynników, nie zawierających żadnego elementu z i-tego wiersza i 7c-tej kolumny.

Czynnik aik) przez który element aik pomnożyć musimy, aby otrzymać sumę iloczynów, zawierających, jako czynnik element aik, nazywamy minorem elementu a-lk w wyznaczniku Z), albo ilością dołączoną do elementu aik.

11.    Zajmijmy się obliczaniem minorów. Wyznaczmy najpierw minor «n elementu «H w wyznaczniku D— ^ + «₁₁«₂₂..,«wn. W tym celu musimy wyszukać wszystkie wyrazy danego wyznacznika, zawierające czynnik «H. Nie tykając tedy elementu «11? poróbmy w iloczynie a₂₂ai3...ann wszystkie możliwe przemiany pierwszych, albo drugich wskazówek, tedy otrzymamy wszystkie wyrazy wyznacznika D, zawierające element aii, zawarte w formie:

będzie przeto :

Ogólnie będzie :

«11 ^ dl «22 «3 3 • • • «nn j «1 ^ — .N 1 «22«33 «WW*

Minor jest więc nowym wyznacznikiem, który się otrzymuje z danego wyznacznika, jeżeli w nim opuścimy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę. Jeżeli więc:

«11    «12    «1 3 ••• «1»

D=

«21

«si

«2 2 «2 3

«go «33

s g

CO

tedy an =

«22 «23 "• «2n «32 «33 "• «3,î

(13)

Un2 ^n3 • •• ^nn

«ni :««2 «?>3 ••• «nn

Ażeby wyznaczyć minor elementu «,*, pomyślmy sobie element «,* sprowadzonym do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. W tym celu sprowadzamy najpierw i-ty wiersz na pierwsze miejsce; do tego potrzeba wykonać i — 1 kolejnych przestawień wierszy. Przestawieniem dwóch wierszy zmieni się znak wyznacznika, przez sprowadzenie i-tego wiersza do pierwszego zmieni się przeto znak wyznacznika (i—l)-razy, będzie więc:

«4—1,* «4-1,1 «4-1,2... «i-l,jfc-l «i—l,*+i    ...«,-_1,

B=

«»'+!,* <**+1,1 «4+1,2-. <**+!,*—1 <**+1,*+l ... «i+i,»

... ann

ank    ani    an2... anik—1 «n,*-j-\

a więc D=(—1)*+*2?.

Minor elementu, znajdującego się w wyznaczniku B, na pierwszem miejscu, w pierwszym wierszu, znajdziemy jak wyżej, jeżeli w wyznaczniku B opuścimy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę. Oznaczmy przez óik wyznacznik otrzymany w ten sposób, że w wyznaczniku B opuścimy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, identyczny z wyznacznikiem, który otrzymamy, jeżeli w wyznaczniku D opuścimy i-ty wiersz i k-tą kolumnę, a więc:

to

... d{k ... «u-... «2*

... ttin ... «ln ... «2«

di—i,i «t—1,2 «4-1,3 •••«/- 1,fc ... «4—I,n «4+1,1 «4+1,2 «4+1,3 ••• «4 + 1,k • •• «4 + 1,n

=(-1 y-'D.

Cf>n 1    «n2 «n 3

ann

... ank

Sprowadźmy teraz w otrzymanym wyznaczniku k- tą kolumnę na pierwsze miejsce, tedy wyznacznik ten zmieni swój znak (k—l)-razy, czyli wskutek obu rodzajów przesuwań zmieni pierwotny wyznacznik D razem (i + k—2)-razy swój znak, będzie przeto:

(*ik ^nl

«1* an

«2*

«21

Cli2 ••• «2 2 ’ • •

«4, Jfc—1 «1,*— 1 «2, *—1

«t,*+l

«1,/t+l

«2,Jfc+l

... «ljfc—l «1/fc+l ••• «1« ... «2/fc-l «2*+l ...«2re

(5/*=    «4—1.1    «i—1,2 ••• «/—!,*—1 «»—1,*+l    * «À -l,n

<*»+1,1 0+2,2 ••• «*+!,*—1 «i+1,*+l •■•«»+!,»»

«ni «n2

• •• «n, k—1

... ann

«n, A:+1

tedy będzie z powodu, że D={ —    widocznie:

«»==(—l)i+*<fo.

Minor aik elementu aik w wyznaczniku D jest więc zawsze wyznacznikiem (n-l)-szego rzędu, powstałym z wyznacznika D przez opuszczenie i-tego wiersza i k-tej kolumny, wziętym ze znakiem -f lub —, podług tego, czy suma iĄ-k liczb porządkowych opuszczonego wiersza i opuszczonej kolumny jest parzystą, czy też nieparzystą liczbą.

Wyznacznik jest więc równy sumie elementów jednego rzędu, pomnożonych przez minory tychże elementów.

r=n

D — aa ß/l + ß/2    +    ⁼ dir dir ₃

r=i r=n

D ⁼ «1 j «1 i -j- «2i «2i ~ł⁻ « * • d" «n 4 «n 4' =    «/■< Clri■

r;=l

12. Skoro, z wyjątkiem jednego elementu, wszystkie elementa pewnego rzędu są zerami, natenczas wyznacznik równy jest iloczynowi z tego jednego elementu od zera różnego, przez jego minor n. p.

(140

(15)

(15')

13. Własności minorów. Wiemy już, że skoro:

«11    «12 ... «i«

tedy będzie także :

«21 «2 2 ”• «2»

••• Q>nn

r—n

D = akl cckl + «*2 «Æ2 + ... + ttkn Ctkn — 2 tlkr CCkr •

r=l

. Zastąpmy teraz w sumie po prawej stronie, elementa Jc-tego wiersza przez elementa i-tego wiersza, t. j. akr przez air, nie zmieniając wartości minorów akr, tedy otrzymamy D‘=an a*i + «i2 a*2+...-f «,•» akn-

Suma D‘ przedstawia teraz wyznacznik, powstały z pierwotnego D, jeżeli w tym ostatnim zastąpimy Jc-tj wiersz przez i-ty, czyli będzie :

«11 «12 *’* «1»

... «in

Przykłady:

5    3 2 6

6    4 2 7

7    5 3 8 4 3 2 5

1)

rH i—I rH rH

(M CO (M tH ca ca th

10 CD l>-

t—1 rH -i-H tH O O rH O O rH t—I O

rH 03 CO O

O O »h O rH rH rH 03 CO

I-. M- O

i*

a. a a* a a a. a. a. a- a a a a a

= (a -f- b -f- c -f- d)

^ a .«> S

a ^ Ö ^

t« S¹® u tHHHH

I -f

Cr-

r+

à ar

Ci

3)

a a a-a o- a a- a a

asa

= [6 -j- (»—!)«]

rH tH * rH

a a a- a

a a. a a

a-. a a a

~[b-\-(n— 1 )a\ (b—a)*—¹

«ni «n2 "• ann

«11 «12 ... «1 «21 «22 ••• «2n

®11 «12    0    «14

ff₂i «22 «23    «24

«31 «32 «41 «42

Wyznacznik n-go rzędu, sprowadza się w tym razie do wyznacznika (n—l)-go rzędu. Korzystając z własności (8), wyznacznika, możemy tym sposobem dany wyznacznik sprowadzić do rzędu dowolnie niższego. Odwrotnie z każdego wyznacznika n-tego rzędu można zrobić wyznacznik (n -|-l)-szego rzędu i dowolnie wyższego :

«34

«44

«11 «12 «14 «23 (—O⁵    «31 «32 «34

«41 «42 «44

«11 «12 «14 «23    «31 «32 «34

«41 «42 «4 4

1 0 0 ... 0

X1 «11 «12¹" «In «"2 «21 «22.” «2n

1 Vi y% -y*

o «n «₁₂... «lre

0 «2i «₂₂... «2re •

xn an\ anV' ann

0 «ni anT•' ann

d’il «i2

I⁵ .

«ni ««2    ... «nn

Wyznacznik D‘ ma dwa wiersze równe, jest przeto równy zeru. Otrzymamy więc :

«il Ctki -j- «i2 Ctk2 4" ••• +«in CCkn=0.

(16)

Podobnie otrzymamy, uporządkowawszy wyznacznik D podług elementów ^-tej kolumny:    «i* ^+«21 «2* + .•• + ««* ank,

a stąd, zastępując elementa Z-tej kolumny przez odpowiednie elementa i-tej kolumny, dostaniemy :

Mnożąc więc elementa pewnego rzędu przez minory, przynależne do odpowiednich elementów innego rzędu, otrzymamy, jako sumę tych iloczynów zawsze zero. Możemy tedy napisać:

r=n

D jeżeli i=k,

0    „    i % k,

I) jeżeli i=1i,

0    „ i % k.

14. Określenie wyznacznika ii-go rzędu podług Weierstrassa. Na podstawie poznanych głównych własności wyznacznika: D = 21 + «n«22«33... ann , jesteśmy w stanie określić wyznacznik podług teoryi Weierstrassa, jak następuje:

Wyznacznikiem układu n² elementów jest wszelka funkeya n² elementów, która posiada następujące trzy własności:

1)    jest jednorodną liniową funkcyą elementów każdego wńersza , wyjętego z układu n² elementów, ułożonych w n wierszy i n kolumn ;

2)    zmienia znak, gdy w niej dwa wiersze ze sobą przemienimy ;

3)    jest równa 1, gdy wszystkie elementa przekątni głównej są równe 1, a wszystkie inne równe 0.

Niech będzie dany układ n² elementów :

«11, «12, •» «!„'

«21, «22, ••• «2n

Clir Ctfcr —

(17)

r— 1

r= 1

&rk —

(170

anV anD—ann

a F niech będzie funkcyą tych elementów, posiadającą powyższe trzy własności, natenczas każdy dodajnik funkcyi F według pierwszej własności, musi zawierać, jako czynnik jeden wyraz każdego wiersza, musi więc mieć postać: O.a1;^ a2i^ «3^ •••«„,; , gdzie Cjest spółczyn-nikiem niezależnym od elementów : a{;, a2i , ai/

Według drugiej własności przechodzi F na —F, gdy dwa którekolwiek wiersze ze sobą przemienimy, a między innerai, gdy n. p. przemienimy elementa pierwszego wiersza z elementami drugiego wiersza. Przemiana ta zamienia dodajnik: Caif a.2i a₃₍. ... ani na dodajnik: —Ga.2i^    ... ani-n⁼—^a\i₁ «2», a3»v «nf ’ z tego wynika, że funkeya F musi posiadać

dodajnik : —Cau* a.2;^ a3i^..ani^.

Przemieniając elementa pierwszego wiersza z elementami trzeciego, czwartego , ... n-go wiersza, poznamy podobnie, że funkeya F, zaAvierająca w sobie dodajnik:

1) OaUi «2^ a3i^ ... ani , musi obok dodajnika: 2) —Ca^a^ a.Ai^ •••«„,• , zawierać także dodajniki: 3) —    «2;, «3?, ••• amn ! 4) — Cau^ ...    ... ani^ ,..., n) — Ca

1 in “2ia •")«„;,•

Z jednego wyrazu funkcyi F, otrzymujemy więc, na podstawie drugiej własności tej funkcyi, (n—1) nowych wyrazów, powstających wskutek przemiany elementów pierwszego wiersza z elementami 2-go , 3-go

Przemieniając teraz w tych n dodajnikach elementy drugiego wiersza kolejno z elementami trzeciego

nowych («—2) dodajników ze znakiem —, z dodajnika 1), a ze znakiem -f- , z dodajników 2), 3),..., n), a więc razem n(n—2) dodajników, które doliczone do pierwszych « dodajników, dają razem n-\-n(n—2) — n(n—1) dodajników funkcyi F.

Postępując podobnie z «(«—1) dodajnikami, otrzymamy z każdego z nich (n—3) nowych dodajników, więc razem «(«—1 )(«—3) dodajników, które doliczone do poprzednich n(n—1) dodajników, dają ogółem n(n—l)Ą-n(n—1) («—3) = n(n—1)(«—2) dodajników funkcyi F. Wyczerpawszy w ten sposób wszelkie przemiany, znajdziemy w funkcyi F, powyższemi dwiema własnościami określonej, ogółem n(n — 1) («— 2) ... 3.2.1=»! wyrazów kształtu: + C.    a₂/₂ ••• a»i ⁰ wspólnym spółczynniku C.

Żaden z wyrazów funkcyi F nie może też zawierać dwóch elementów z jednej kolumny. Gdyż, przypuściwszy, że w funkcyi F, określonej pierwszą własnością, znajduje się wyraz, zawierający elementa 0^, a2i z jednej kolumny, a więc wyraz:    a2ii «3^... ani^

natenczas poznamy, że na podstawie pierwszej własności, przemieniając elementa pierwszego

«-go wiersza.

i następnych wierszy, otrzymamy z każdego z tych « dodajników

i drugiego wiersza, tworzymy wyraz + 0,/a₂t₁ «i/t aSi₃ ••• amni zawarty w funkcyi F¹¹, a więc w funkcyi F musiałby się znajdować wyraz: — £'2*, aul <*&₃ ••• «Wî- , który znosi się widocznie z wyrazem przyjętym -f- (7'«^ a₂ą ... ani . Funkôya F, określona pierwszemi dwiema własnościami, ma więc tylko «! dodajników kształtu: + (7.a1; a2i au ••• ani > a więc postać : F= OZ ± aUi a.^    ...    , czyli : U= C.S + an a₂₂ «33 ... ann.

Według trzeciej własności ma być jednak F— 1, gdy au = a₂₂=a₃₃ =... = awra = 1, zaś aik = 0, gdy i^k, wobec tego będzie JP=1= C, a więc (7=1, a zatem funkcya U, określona powyższemi trzema własnościami jest wyznacznikiem D danego układu «² elementów, przyczem znak każdego z jej dodajników zależy od parzystej , lub nieparzystej ilości przestawień, tworzących, tenże dodajnik.

15. Mnożenie wyznaczników. Określenie Weierstrassa dozwala w bardzo prosty sposób wyprowadzić prawidło mnożenia wyznaczników. Niech będą dane dwa wyznaczniki:

bn &₁₂ ..., bXn bi\ ^22 •••) b2n

bnl bn2

ma

ma

kształt: F= 2 + «n«22«33 ••• ann⁼ A czyü

«11 o₁₂ ..., a^n

«21 «22 •••» «2n

£>' =

«ni «n2 ”•> «nn

Utwórzmy wyznacznik:

«11^11 +«12^12+—+«jn «11&21 + «12^22 +•••+ a\nb2ni""i «ll^nl + ai2bn2 +    +«ln

£)//_ a21ôll + «22è12+-+«lw ^ln) ®21ô21+«22^22+•••+a2w ^2«? "•? «21    + «22*n2 4"    + «2n An

«ni *ll+«n2^12+-+«nn An) ®«1^21 + 0!m2^22 +•••+ ann b2 cu c₁₂ ...cln

c2i c22 ••• c2n

n > "•)

«ni Al H" «n2&n2 +•••+ «nn Ai

» Sdzie cik = «ii Al + ai2 hk2 + - «in bk

(18)

cn\ Cn2 cnn

natenczas poznamy z łatwością, że wyznacznik U" 1) będzie jednorodną liniową funkcya elementów każdego z wierszy: arl, ar 2,... arn (r = l, 2, ...w), 2) zmienia znak, gdy dwa z tych wierszy ze sobą przemienimy. Te dwie własności wskazują, że D“ — C. D, gdzie O jest spółczynnikiem stałym, niezależnym od elementów wyznacznika D. Chcąc wyznaczyć jego wartość, przyjmijmy an=an= ... = ann = 1, aik = 0    w tym przypadku będzie

X> = 1, wyznacznik D" sprowadza się wówczas do wyznacznika D‘ ; -wzór D/J = C.D zamieni się wtedy na wzór: D' — C .1, będzie więc: C—D', otrzymujemy zatem: D“ = D.D\

Wyznacznik D" o «² elementach c;* (i, fc = 1, 2, «), jest więc iloczynem wyznaczników Ü i D‘.

Nie trudno zauważyć, że elementa crs wyznacznika D", które tworzyliśmy, łącząc wiersze wyznacznika D z wierszami wyznacznika D', możemy bez zmiany jego wartości, także tak utworzyć, że połączymy wiersze jednego wyznacznika z kolumnami drugiego, albo też kolumny jednego z kolumnami drugiego.

16. Kwadrat wyznacznika. Na podstawie powyżej podanego prawidła mnożenia wyznaczników, możemy wyznaczyć kwadrat danego wyznacznika. W tym celu otrzymamy :

c12 ••• cln c2i c22 ••• c2n

Z>² =

«11 «12’” «ln «21 «22 ••• «2n

(19)

gdzie będzie :

«ni «n2 •** «nn

Cnt Cn2 cnn

CtVfc = «êl «Ai + «»2 «A2 + - + «*A «AA + ••• + «tre «An >

CAi = «Al «il + «A2 ®i2 + - + «A* «iA + - + «An «in »

Cik ~ CAi J

Cü = «²ii + «²i2+- + «²in-Kwadrat wyznacznika w-go rzędu przedstawia się więc w postaci takiego wyznacznika «-go rzędu, że w nim elementa, leżące symetrycznie względem głównej przekątni są parami równe. Taki wyznacznik nazywamy wyznacznikiem symetrycznym «-go rzędu i powiadamy : Kwadrat wyznacznika jest wyznacznikiem symetrycznym tego samego rzędu.

a więc:

przyczem będzie:

Tak n. p. otrzymamy :

«i 2/i |²₌|«²i-ł «²2, «i2/i + *s2/a «i 2/1+«22/2, 2/²i+ 2/²2

«1 2/1 *1 «2 2/2 *2 «3 2/3 *3

1*2 2/2

*²l+*²2+*²3,    «l2/l + «2 2/2 +«3 2/3,    *1*1 + *2*2 + *3*3

*l2/l+ *22/2+ «32/3,    2/²l+ 2/²2+ 2/²3,    2/1*1+ 2/2*2+ 2/3*3 •

«1*!+«2*2 +«3*3,    2/1*1 +2/2*2+ 2/3*3,    **1 + **2 + **3

17. Wyznacznik dołączony do danego wyznacznika. Jeżeli z danego wyznacznika D = | aik |, (i, fc=l, 2, ..., w) utworzymy drugi w ten sposób, że w miejscu każdego elementu aik postawimy jego minor a.^., tedy tak powstały drugi wyznacznik: A=|asjfc|, (*, fc=l,2, ...n) nazywamy wyznacznikiem dołączonym do danego wyznacznika.

Jeżeli D—\aik\, jest danym wyznacznikiem n² elementów aik, (i, k = 1, 2,.... w), a A = |a(i|, jego dołączonym wyznacznikiem w² minorów /xik , (i, fc = l, 2natenczas otrzymamy ich iloczyn:

w),

Z)A«=|c«|, (i, fc = l, 2,

r~n

gdzie :    = afl + a,₂ «*₂ + - + ain *kn = 2 «,v V-

r=l

Wiemy jednakże z art. 13. str. 346., że:

Wobec tego otrzymujemy :

b o" o"

P bp

CH3 JO

o cT cT

»•i®⁴

0, 0, 0,

A = £>«-!, czyli |«tt|= »ah-¹.

Wyznacznik dołączony jest zatem (n—V)-8zą potęgą danego wyznacznika.

18. Minory elementów wyznacznika dołączonego. Niech będzie danym wyznacznik D — I aik I, którego wyznacznikiem dołączonym jest A — |    |, (i, k= 1, 2,n). Oznaczmy

przez J.;* minor elementu w wyznaczniku dołączonym A, natenczas możemy położyć:

*l*+l » a2fc+l »

a stąd :

(20)

«11,

«21,

«i*»

a2i>

*1»

«2n

Aik =(-!>■+* .

*t—1,H a£—1,2*—ł “i—1, *- 1 » **—i , * ’ *t—1, *+i

0, ...,

«Î+1, 1, *i—|—1,2,    “t+l.i-l, */—j—1, k^ “t+1, Æ+1

“i-i,»

0,

0,

1,

0,

“t+l, w

*nl>

®«2 J ”»> ««, k—\

a«Är >    Æ+i »

“*»

Wobec tego otrzymamy:

D.Aik = (— !>+*! CflrA I, (#, Â=l, 2,

n),

r—n

gdzie :

Cgh = agl *A1 + ag2 ®A2 + ••• + agn *hn ~ 2 V “Ar _ { 0,’ ^    ^

s-* »

r=l

przyczem dla g, h — *, będzie :

« ⁼ °V, 1 • ⁰ + œÿ, 2 ⁰ + - + ag, i •¹ + ••• + °V, « • ag, *

% i = «1, i • ⁰ + «f, ₂ ⁰ + - + «i, jb • ¹ + - + ag, n ■ ⁰ = ai, k

Otrzymujemy zatem:

d'ci

... 0

....

... 0

D. Aik = (-!)*■+*

a\,kl a2, kl *”> aik •”

= aik •Z)n_1

przeto :

0, ... x>

= I>n~² . «)(t.

0, 0,

— 349 -

T. z. Minor elementu imyznacznika dołączonego do danego -wyznacznika jest równy odpowiedniemu elementowi danego wyznacznilea, pomnożonemu przez (n—2)-gą potęgę tegoż wyznacznika. Wskutek tego otrzymujemy:

Aik I = Dn(n-2). I aik I = ZW -8*+l I Aik I = D(»-0².

T. z. Wyznacznik, utworzony z minorów wyznacznika dołączonego do danego wyznacznika, jest (n—l)²-/« potęgą danego wyznacznika.

czyli:

(22)

t

Ćwiczenia XXVI.

Rozwinąć i obliczyć następujące wyznaczniki :

0,    «, b

a, 1, cos y . 3)

T 1

1)

4)

11,24, 7,

. 5)

■^'od'cTth'o'

T-i    <M

lO Ct> co

a²

b,

§ Tf co' cc t-T

^    HH

. 8)

OOOM-P

13, 17 28, 33 40, 54 37, 46

1,

b,

-1,

0, -

0,

J> -j- c)², a²

ó², [c -f- a)², i²

c² (a-j-i)²

—y»

c²,

00%-rw r-T

J¹ « O

0,

• 9)

—a,

1, 1,

a, b,

a²

a³, b

a⁴ &

o s o- »

1, 1

d,    e

(Z²

d\

d\

1,

3,

10)

w+?2,

2» 4" 2,

(w—l)rc-J-l, (w—l)w + 2, (n — l)n -f- 3,... w²

» + 1,

2»+ 1,

w+ 3, 2»+ 3,

2w

. 11)

e⁻ dodo

12) W wyznaczniku D =

y-i

połóżmy:    = pxjj-qyk, yi =p‘x\ -f- q'yi , (• = !, 2),

wykazać , że wyznacznik Z> = 13) Dowieść, że:

ą‘

x\ y 1 x‘2 y‘2

U\ 1 «2 \ + «3 41    a2ml 4" «3 m2

&2    &3Z3,    Z;₂ wî, -j- &₃ mt .

c2 ^1 4" c3 ^2 ? C2W1 4" c3 m2

«1 «₂ a?>

h h b₃

C1 c2 c3

14)    Dowieść, że iloczyn ilukolwiek wyznaczników jednakowego rzędu jest znowu wyznacznikiem tego samego rzędu.

15)    Dowieść, że iloczyn ilukolwiek wyznaczników rozmaitych rzędów jest znowu wyznacznikiem, którego rząd jest równy najwyższemu rzędowi danych wyznaczników.

16)    Dowieść, że wyznacznik D— | aik | ma wartość zera, jeżeli stosunek rożnie odpowiednich elementów dwóch par wierszy, lub kolumn, jest stały.

17)    Dowieść, że wyznacznik, w którym wszystkie wyrazy po jednej stronie przekątni głównej są zerami, ma wartość równą iloczynowi wyrazów tejże głównej przekątni.

18)    Jeżeli m pierwszych elementów, należących do n—m-1-1 wiei’szy lub kolumn wTyznacznika n-go rzędu mają wspólny czynnik p, dowieść, że wówczas dany wyznacznik jest podzielny przez p. (Twierdzenie Mu ira).

- bu

cu

19) Dowieść , że :

P«ll) pa ₁₂, «13, «14

P«21) p«22> «23) «24 P«31) P«32) «33i «34

«42) «43,    «44

«41

20) Dowieść, że wyznacznik D = \ailc\ nie zmienia swej wartości, jeżeli każdy ele-n) pomnożymy przez p*—', t. j. przez Je—i)-tą potęgę dowolnie danej

ment aik J = 1, 2,

,MJ

liczby p. (Tw. Fürstenau’a).

p²<*13> P³«h P«23,    p‘²«24

21) Dowieść , że :

«44, «42, «43, «44

«21, «22, <*23, «24 «31, «3 21 «33, <*34 «41, «42, «43, <*44

22) Dowieść, że wyznacznik \aik \ (i, k= 1, 2,

n) nie zmienia swej wartości, jeżeli jego elementom o nieparzystej sumie wskazówek (i-j- & =2r -J- 1), nadamy znaki przeciwne, a elementa o parzystej sumie wskazówek (i-\-k=2r) pozostawimy niezmienione. (Tw. Janni’ego).

23) Dowieść, że w wyznaczniku symetrycznym {aik — aki) mają elementa równe a-k i aki także jednakowe minory: <xik = <xki.

24) Dowieść, że w wyznaczniku symetrycznym {aik = ak!), w którym suma elementów poszczególnych wierszy jest stale równa zeru, t. j.:

ai\ + «i2 + <*i3 + - + «ii + - + ain = 0» 0' = h 2,n),

n), a wy-

wszystkie jego elementa aik mają jednakowe minory, t. j. a.lx = a..k, (i, k = 1, 2, znacznik ma wartość zera, (Tw. Borckhardt’a).

25)    Wyznacznik n-go rzędu nazywamy skośnym, jeżeli jego elementa sprzężone aik i aki różnią się między sobą tylko znakiem: aki *=—aik, a zarazem «,-,• — 0. Dowieść, że wyznacznik skośny rzędu nieparzystego jest równy 0.

26)    Dowieść, że wyznacznik dołączony do wyznacznika skośnego («,•*.= — «iifc, «łt- = 0) jest również skośnym, lub symetrycznym, stosownie do tego, czy jego rząd jest parzystym, czy też nieparzystym.

27) Dowieść, że:

«21 ~f* ^*2 “H &i, «22 4” 7*24“ &2

<*11, <*12, ••• <*in <*21, <*22 ) ••• <*2n

an\ ’ an2 , •"> ann

28) Dowieść, że :

—y» —*» ⁰

29) Wykazać, że wyznacznik (w -j-1) - go stopnia D==|a,-*|, (i,    = 1, 2,..., (»-(-1)),

w którym aik = ik~¹ jest równy 1! 2! 3!...n!

= (aa;—by 4- es)².

—c.

Rozwiązania XXVI. 1) 1 a²-f 6²-j-c². 2) —(a²-\-b²—2«ócosy). 3) 2(a-\-b -\- c)³abc. 4) IG. 5) 15. G) [ax -\-by -f-cz)². 7) 4680000 (kwadrat magiczny 25 liczb od 1 do 25 ; suma elementów każdego wiersza, kolumny, lub przekątni równa się 65). 8) abede -f- abc abe -f-ade -f- edeac Ą-e. 9) («—&)(«—c) (a—d) (a—e) (b—c) (6—d)(b—e)(c—d)(c—e){d—e). 10) 0, jeżeli n^>2, w razie n— 2, wyzn. ma wartość 2. 11) afh(lf—me).

Literatura. M. A. Baraniecki. Teorya wyznaczników. Paryż, 1879. F. Brioschi. Théorie des Déterminants. Traduit par Combescure. Paris 1856., w tłum. niem.: Théorie der Determinanten. A. d. Ital. v, Schellbach, 1856. S. Günthe r. .Lehrbuch der Determinanten. Erlangen, 1875. O. Hesse. Die Determinanten elementar behandelt, Leipzig 1872, w polskim języku, w przekładzie A. Zdziarskiego. Warszawa 1880.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Teorya kwadratów magicznych.

2.    Iloczyn dwu wyznaczników i zastososowania.

8. Własności wyznaczników symetrycznych i wyznaczników skośnych.

Wykład XXVII.

Zastosowanie teoryi wyznaczników do rozwiązywania równań pierwszego stopnia o ilukolwiek niewiadomych.

1. Rozwiązanie układu n równań pierwszego stopnia o n niewiadomych.

Niech będzie danym układ n równań pierwszego stopnia, tak zwanych równań liniowych, o n niewiadomych, w postaci :

a\ix\ JTa\ 2X2    + xi + ••• -f-ßlw Xn —    ,

<*21^1 JT°₂₂X₂    xi 4~ ••• 4~ Ct/2n Xn = a 2?

(1)

0*1 xir\~ dii X2 4~ ••• 4" Xi 4" ••• 4“ din Xą = d;

an\ xi 4" Cln2 X₂ 4" ...4~ ClniXiĄ- ... 4~ dnnXn = (ln Oznaczmy przez D wyznacznik n-go rzędu, utworzony ze spółczynników lewej strony równań :

1^12 dii’” d>in d₂ 1 ^2 2 **• Clii ••• di-ln

dni Cln2 • • • dm • • • dnn

i załóżmy, że ten wyznacznik , zwany także wyznacznikiem układu n równań, jest różny od 0. Ażeby wyznaczyć wartość niewiadomej Xi, pomnóżmy każde równanie przez minor elementu w wyznaczniku D, odpowiadający współczynnikowi przy Xi, a więc pierwsze równanie przez au, drugie przez au, ostatnie przez ani, i dodajmy następnie wszystkie równania, a otrzymamy :

X\ (ai i aii 4" a₂1 ali 4" • •• 4" dni CC„i) -\-X₂ (di 2 du 4“ d₂₂ a%; 4-...4- dn2 dni) 4"

4- -\-Xi(a\i au-\-Q>u «2*4- *..4~dni a«i)4" ••• -\-xn (a\n au4-<*2« einann ctni)=

czyli :

— di au~\- Ü2i d2i-\-... 4“ dn ani

rz=.n

r~n

r—n

r=n

r=n

xi N ar 1 ari 4- x₂ 2 or2 ari 4- •. • 4- X; 2 ari ari 4-... 4- xn 2 drn ar! — 2 ar ari.

r= 1    r= 1    rt=; 1

Ponieważ jednakże ^ a,.* ari =/^?    ^ ^

r=i    10    „    * k

Dxj= 2 a, ari — a,; 4- a₂ an+... 4~ dn dni.

r=rw

r=l

r=1

przeto otrzymamy :

(2)

Prawa strona tego równania jest wyznacznikiem A, który powstaje z D, jeżeli w miejscu wyrazów i-tej kolumny wstawimy wyrazy z prawej strony układu równań, t. j. wyrazy wolne od niewiadomych , przeto będzie:

^11 ^12 " ^1*'

Ct2 \ @2 2 * * ^2 ' *

Di

«2i + •• • + an(Xni

3'i =x-

Z)    -ł~    "b"* 4" ClniCCni

Cln\ ^w2 •• ^nn

(3)

^11 A2 "^l* • •

Ö&21 ^2 2 ' *®2i • • ^2«

05jî2*» Q>ni" ®nn

Wartość wszelkiej niewiadomej Xi układu n równań liniowych przedstawia się więc w postaci ułamka, którego mianownikiem jest wyznacznik D układu równań, a licznikiem wyznacznik, powstały z Z), jeżeli w miejscu kolumny, zawierającej współczynniki, stojące przy tej niewiadomej, wstawimy kolumnę wyrazów wolnych od niewiadomych, tworzącą prawą stronę układu danych równań.

2. Że wartości niewiadomych, w ten sposób otrzymane, sprawdzają wszystkie dane równania, przekonamy się wprost za pomocą podstawień. Podstawmy mianowicie wartości znalezione na Xi, (t=l, 2,... »), w pierwsze równanie układu (1), natenczas otrzymamy stąd:

(4)

«llA + «12A + aliJ)iJr,’‘J^alnDn==aiD

Wyznaczniki Di (i= 1, 2są liniowemi funkcyami wyrazów wolnych: al: a₂,..., an. Uporządkowawszy więc lewą stronę równania (4) podług wyrazów: an a2 mu jemy :

an, otrzy-

«l(«ll «11 + «12'«12 + ••• + ain «i„) + «2(«11«21+ «12«22 + •••+ ain «2w) +

r—n

+ - + a» («11 «ni + «12«w2 + ••• + «ln ann) = «1 A r—n

skąd, ze względu nato, że: S «lr<*lr=A S alr *2r = 0,..., S «lr «nł. = 0, otrzymujemy

r=l    r=l    r=l

tożsamość aiD=aiD. Podobnie prowadzi i-te równanie do tożsamości: aiD = ai D.

3. Szczególne przypadki rozwiązań układu n równań liniowych o n niewiadomych. Powyżej (art. 1. str. 351.) założyliśmy, że wyznacznik układu równań (1) jest różny od zera, D^O; w tym razie otrzymujemy wartości

niewiadomych x-, w postaci liczb skończonych xf=^-, (i =1,2, ..., n). Szczególne przypadki będą tu następujące:

a)    0=0, Di ^ O. Gidy wyznacznik D układu równań jest równy O, nie-możemy równania Ac/=A przez D podzielić. Układ danych równań przy 0=0 nie sprawdza się, skoro A<0; (i—1, 2,...n), dla żadnych skończonych wartości niewiadomych xv x₂₁ ...,xn- Równania takie są z sobą sprzeczne a wartości niewiadomych, przedstawiają się w postaci: xt=co, («= 1, 2,... n).

b)    D% O, 2>,= O («=1, 2,..., n).

Jeżeli wyznacznik D układu równań jest różny od

a natomiast

wszystkie wyznaczniki O,- są równe zeru, wówczas otrzymujemy z (2) dla wszyskich niewiadomych równania: 0^=0, zatem æ,-=0, («=1,2 układ równań sprawdza się tylko dla wartości: xx =x₂ = ...=xn=0.

zera

n). Taki

n) mamy

Nietrudno wykazać , że w tym przypadku wyrazy wolne a;, znajdujące się po prawej stronie równań, muszą być także zerami. Wobec założenia Z>,; = O, (i = 1, 2, bowiem układ n równań :

- 35B -

(4)

an -f- «2a21+ ••• "b a»l — 0 ®1 ®12~b tt2a22 “b “b an aw2 = 0

alalra "b a2a2»“b ••• ann= 0

o » niewiadomych o1} a₂, ••• «n, którego wyznacznik A = | “/* | jest wyznacznikiem dołączonym do wyznacznika D, a, że według art. 17. str. 348 jest A = D»-i, przeto jest wobec 5<0 także A < 0, zatem widocznie «,= «₂= ... = ö« =0.

Taki układ równań (1), w którym wyrazy ai wolne od niewiadomych są zerami, nazywamy układem równań jednorodnych.

c) Z>=0, Z>t=0, (»=1, 2, ...w).

Jeżeli wyznacznik danego układu równań (1) jest równy zeru, a przy tern wszystkie wyznaczniki Di są także równe zeru, wówczas przedstawiają się wartości niewiadomych w postaci nieoznaczonej    (*=1,2, ...w).

4. Przedewszystkiem możemy wykazać, że gdy, w przypadku D=0, jest choćby jeden z wyznaczników Dr=0, natenczas muszą być także wszystkie pozostałe wyznaczniki Di=0, (»=1,2, ...r—1, r-f 1,...»).

Skoro bowiem -Z)=|«;*|=0, wówczas możemy ustawić następujący układ

n równań :

(5)

D = Ü^^(X^ 1 + «i 2«! 2 "b ••• ~b «Ir «lr“b ••• ”b«ln Ml rc = 0 «21 «11 “b«22«i2 "b • •-~b«2r «lr'b-»‘ + «2n«l» —0

«ni «u + ««2 «12 "b +    «Ir + ••• + «nn «1» = 0,

z których ostatnie (w — 1) równania są ważne dla wszelkiej wartości wyznacznika Z), a pierwsze równanie dla wyznacznika D=0.

Mamy zatem w przypadku D=0 układ n równań jednorodnych, ze względu na minory au, (»=1,2, ..., r,..., n) elementów wyznacznika D, z któ^ch,

(»=1, 2,... n), otrzymujemy układ n równań

kładąc dla uproszczenia Jt-= —

«lr

w postaci :

«11^1 "b «12 ^2 ~b • • • -b ^*1, r—1 Jr—l*b«l,

«21 ^1 ~b «22 ^2 "b ••• “b «2, r—1 Jr—1+«2, r+1 Jr+1 + ••• "b«2n Jn= «2r

r+1

Jr+1 “b ••• *b«ln J«— «lr

(6)

«»1 ^1 + «*2^2 +•••"1“ a», r—1 Jr—1 4" Ctn, r+1 Jr+1 ~b ••• + «ww Àn = ^nr-Weżmy pod uwagę którykolwiek z wyznaczników D,, w których i ^ r,

a więc :

A-

an>

a21>

a a

to

, i + l j ••• «Ira ,t+lj •••    «2«

««i

j «rc2 j •••> «w, i—1 j «nj «», i+1 j ••• «nw

wówczas, zastępując wyrazy r-tej kolumny: air, a₂r, awr, przez sumy (w—1)-wyrazowe (6), i, rozkładając tak przekształcony wyznacznik w-go rzędu Di, (» ^ r), na (w —1) wyznaczników tego samego rzędu, poznamy z łatwością, że wszystkie te wyznaczniki będą miały po dwie kolumny proporcyonalne, a więc będą zerami, prócz jednego, który ma wspólny czynnik będzie więc :

Di

■'b

TH

e e

»125 ..•} «1, r—1 J ((ii }    , r+1 J «1, i—1

«2 2? •"! ®2, r—1 ) (l2i j «2, r+1 j •••; «2, i—1

CT1? aP i+1 ? •

a2> a2, i+1 , •

«In

«2n

««1 j ®n1 i •••? ««, r—1 ? öf»; j «w,    , ..., Qn ,-_i

(ln , «;?, (+1 ; •

"I

«wn

23

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

skąd, przemieniwszy wyrazy r-tej i «-tej kolumny, otrzymamy :

«11 , «12>*"J «1, r—1 , j ^1, r+l j    «1, i—1 , «],*, «1, i + 1

«2, r-1 , W₂, «2, r+1 , — , «2,1—1, «2, £ , «2, i+1,—, 0-2n

«₂₁, tt₂₂,

U i— —A

«ni , «w2 , •••, «w, r—1 ,    , «w, r+l ,    «w, i—1 , «w,? , «w, i+l , • •*, «ww

czyli :

Di——ij J9r.

Skoro więc wobec D—0 dla pewnego r jest Dr—0, wówczas jest także Z)/=0, («'=1, 2,..., w), a więc wszystkie niewiadome x-t przedstawiają się równocześnie w postaci nieoznaczonej    («=1,2,..., m).

5. Nietrudno wykazać, że w przypadku D=0, D,=0, («=1,2, ... n) równania układu (1) są od siebie zależne.

Oznaczmy dla uproszczenia lewe strony układu równań (1) kolejno przez /i, /*₂, —, fn, i pomnóżmy pierwsze równanie przez au, drugie przez an,.. ostatnie przez ani, natenczas, dodawszy tak pomnożone równania, otrzymamy równanie :

«ii /1 + «21/2 + ...-\-anifn=Di=0

sprawdzające się dla wszelkich wartości niewiadomych xi} x2 Z tego wynika, że w przypadku Z)=0, D*=0, («=1,2 zawsze takie czynniki Ai, A równanie :

xn.

ri), możemy An, znaleźć, że otrzymamy tożsamościowe

Kf\ +^2/2+—+^»/ń=o,

^l(/l —«l) + ^2(^2~ «2) + .-*-b^w(/’w — ««) = 0.

Stąd widzimy, że, nadawszy w przypadku D=0, Di—0, («=1, 2, ...w), niewiadomym a^, x₂,..., xn takie wartości, które czynią zadość pierwszym (w—1) równaniom: fi—ai, f₂=a₂, —, /»-i=«»_1, uczynimy temi samemi wartościami także M-temu równaniu: /*„=«„ zadość, czyli, że równania układu (1) są w tym przypadku od siebie zależne.

Taki układ M-równań , w których D=0 i zarazem Di=0, nie wystarcza więc do wyznaczenia n niewiadomych xi, x₂,..., xn, zastępuje bowiem tylko (m—1) równań od siebie niezależnych.

6, Z tych równań możemy każdą z (w—1) niewiadomych wyrazić przez M-tą niewiadomą.

W tym celu opuśćmy M-te równanie układu (1), jako zbyteczne i napiszmy pierwszych (m —1) równań w postaci:

«11®! “ł⁻ •    «1 2*^2 4“ ••• 4"«1, »—1 ®n—1    — «1—«ln®«

«21®1 “ł"    •    «22®2    4" «2, n—1 ®n—1    ⁼ «2    «2« ®n

czyli :

(8)

(9)

«n—1 1, ®i "ł~«n—1, 2 ®₂ “h ••• "f" «n—1, n—1 ®n—1 — «n — 1 «n —1, n ®n ,

natenczas otrzymamy z tego układu (m —1) równań niewiadome xu x₂,...,x„—i D'i

w postaci: xi=-jyl, («"=1, 2, ...m), gdzie:

D‘ =

a, i,    a₁₂,

üï1 ?    ü22>

...j

•••j «], n- 1 a2, n-1

«« —1, 1, ««—1 2 •••,    -1, f ••

•»

«n—1, «—1

— 355 -

«h

D't=

«21

«125    •••} d/y «ln^„,

^2n <^n i

«2 2

...j

«n—1, 1; ««—1. 2 •••; Cln-l d'n —1,11 fflnj • ••, 0/n -1, n—1

Ponieważ wyznacznik Di jest liniową funkcyą elementów każdej, a więc i-tej kolumny, zawierającej niewiadomą xn, przeto Di¹ jest liniową funkcyą niewiadomej x„, a zatem możemy powiedzieć, że wszystkie (n—1) niewiadome X{, (i=l, 2,..., n — 1), dadzą się na podstawie danego układu (1) w przypadku D = 0, Dt = 0, wyrazić, jako liniowe funkcye M-tej niewiadomej xn- Powiadamy wtedy, że układ jest jednokrotnie nieoznaczony.

7. Wyniki rozwiązań układu n równań liniowych, o n niewiadomych, są zatem następujące:

1) D3 0, Dt gO,    (i-1,2, »).

Xi=co , równania sprzeczne.

Æt-.=0, (*' = 1,2,..., w), (możliwy tylko w razie 0).

2)    D=0, Di ^ 0,

3)    D > 0, Di=0,

4)    D = 0, Di= 0, #*•=§, równania zależne, wystarczające tylko do wy-znaczenia (n—1) niewiadomych, jako funkcyj liniowych n-tej niewiadomej.

8. Układ równań jednorodnych. Jeżeli w układzie równań (1) wszystkie wyrazy wolne od niewiadomych, są zerami, t. j. jeżeli a^ — a₂ = ...=an=0, natenczas otrzymujemy układ n równań jednorodnych o n niewiadomych w postaci:

«11^1 4“ «12% +••• + «1»ÆW —0 «21% 4" «22% 4" • • • 4" «2w xn = 0

(10)

«rai % 4" «ra2% 4“ ••• 4" ««n Xn = 0.

Z tego układu równań otrzymujemy na wyznaczenie niewiadomych a?,-, (»=1, 2, ... w)., sposobem w art. 1. wskazanym, równania:

Dxi=0, (*=1, 2,... w).

Z tych równań wyprowadzamy następujące wnioski:

1)    Jeżeli D ^ 0, wówczas są równocześnie xi—x₂ = ... = xn=0, a zatem: Układ n równań jednorodnych, którego wyznacznik D=\aiJc\ jest różny od zera. sprawdza się tylko dla icartości: %=%=•••—%=0.

2)    Jeżeli D=0, wówczas otrzymujemy wartości niewiadomych w postaci nieoznaczonej #*•=§, (*'=1,2,..., n).

Oznaczywszy w tym razie lewe strony danego układu równań kolejno przez , ^₂,..., fn, otrzymamy, jak w art. 5. str. 354. równanie tożsamo-

«li/l 4- «21/2 4-.-4- «ni /n ⁼ 0,

z którego wynika, że wartości aą, x₂,...,xn, sprowadzające (w — 1) wyrażeń

/h_1 do zera, sprowadzają także wyrażenie fn do zera, czyli, że jedno

z n równań jest wynikiem pozostałych (n—1) równań, a zatem: układ n równań jednorodnych, którego wyznacznik D== 0, przedstawia układ równań jednorodnych od siebie zależnych.

9. Podzielmy w tym razie dany układ równań jednorodnych przez xn, natenczas otrzymamy układ n równań niejednorodnych :

ściowe :

fu f:

25 •••5

— 356 -

xK>n

X₁

a2i jr +

%hyi

x₂

«12--|-••• d" «1, n—1

Xn

Xn ,

ß22~ + -..+ «2 xhn

Xn—1 .    ^

--h«i»=0

Xn

Xn—J

"h «2 « — 0

(10')

x₂

Xn—1

-j- dn, n —0

+ «n—1,2—H •••"!-Æ«—1,

Xn    Xn

X₁

«ni--h

Xn

od siebie zależnych, z których (w—1) dowolnie wybranych wystarcza do

wyznaczenia (n—1) niewiadomych stosunków —, —,...    ^ Opuściwszy w-te

równania, jako w tym razie zbyteczne, otrzymamy:

X\ «ni *®2    ««2    —1

Xn

X₂    Xn—i

dni--h ••• "4" «n, n—1-

Xn    Xn

+ «nn = 0,

czyli :

«n «n»    «wn

«^1    3^2

«ni    «n2

, ...

Xn

Xn—i

«n, n— 1

dnn

(U)

xn

dnn

(110

«n, n—1

Gdybyśmy w danym układzie równań jednorodnych, wobec D=0, od siebie zależnych, opuścili i-te równanie, otrzymalibyśmy podobnież:

_^2. «/I «i 2

(11")

*£«—1 *^n

«/, n—1 «in

A zatem : Jeżeli wyznacznik D układu n równań jednorodnych o n niewiadomych jest równy zeru, natenczas dadzą, się wyznaczyć stosunki między terni n niewiadomemi, « mianowicie niewiadome układu równań jednorodnych mają się do siebie tak, jak minory elementów któregokolwiek wiersza.

Szczególny przypadek zachodzi, jeżeli także minory elementów wierszy są zerami. Ażeby rozebrać ten przypadek, zajmiemy się teoryą pod wyznaczników, względnie minorów rozmaitych rzędów.

10.    Podwyznaczniki danego układu kwadratowego elementów. Jeżeli w danym układzie w² elementów, przekreślimy m wierszy i tyleż kolumn a z pozostałych (n — m)² elementów utworzymy wyznacznik, natenczas powstały wyznacznik nazywamy podwyznacznikiem m-g o stopnia ze względu na dany układ. Podwyznacznik m-go stopnia danego wyznacznika n-go rzędu jest więc wyznacznikiem (n-m)-go rzędu, powstałym z danego wyznacznika n-go rzędu przez opuszczenie m wierszy i m kolumn w tymże danym wyznaczniku.

Podwyznaczniki pierwszego stopnia są więc wyznacznikami (n—l)-go rzędu, podwyznaczniki drugiego stopnia są wyznacznikami (n—2)-go rzędu,..., podwyznaczniki (n—2)-go stopnia są wyznacznikami 2-go stopnia, podwyznaczniki (n—l)-go stopnia są wyznacznikami pierwszego rzędu, czyli oddzielnemi elementami danego wyznacznika.

11.    Ilość możliwych podwyznaczników m go stopnia. Opuszczając coraz inne m wierszy i tyleż coraz innych kolumn, otrzymamy za każdym razem w ogólności inny podwyznacznik m-go stopnia. Ponieważ z n wierszy da się utworzyć Q) połączeń m-tej klasy bez powtórzenia i tyleż z n kolumn, przeto możemy z danego wyznacznika n-go rzędu utworzyć razem (”)² pod-wyznaczników m-go stopnia, a więc ze względu na to, że (”)=(„:"„,)> także taką samą ilość podwyznaczników (n—m)-go stopnia, czyli w danym układzie w²elementów istnieje (”₄)² wyznaczników m-go rzędu i tyleż (n-m)-go rzędu.

Dany wyznacznik n-go rzędu posiada więc n² podwyznaczników pierwszego i tyleż (n-l)-go stopnia, (₂)² podwyznaczników 2-go i tyleż (n—2)-go stopnia i t. d.

12. Układ podwyznaczników danego rzędu. Wypiszmy (*)=/u połączeń m-tej klasy z n elementów w pewnym porządku, zaczynając n. p. od połączenia 1,2,3,..., (m —1), m, w którem iloczyn wskazówek jest najmniejszy i postępując kolejno do połączeń o coraz większych iloczynach wskazówek, tak, że ostatniem fi-tem połączeniem będzie połączenie: n—m-fl, n— m + 2,..., n—1, w o największym możliwym iloczynie wskazówek z szeregu liczb: 1, 2, ..., n, natenczas każde z możliwych (.i połączeń wierszy możemy łączyć z każdem z \i możliwych połączyć kolumn.

Oznaczmy podwyznacznik m-go rzędu, odpowiadający 7-temu połączeniu wierszy w związku z 7b-tem połączeniem kolumn przez , natenczas możemy wszystkie podwyznaczniki m-go rzędu zestawić w postaci szematu kwadratowego o (”)² elementach:

Ai(w,)

7) (m)    7) (m)

•^12    > "U

7) (M)    7) (m)

■^22 J *”?

(12)

7) (w)    7) M

Ai(m)

przedstawiającego układ podwyznaczników m-go rzędu, powstających z wyznacznika «-go rzędu:

13. Układy dołączone podwyznaczników. Każdemu podwyznacznikowi m-go rzędu odpowiada, jako d op e łnia j ący, czyli, jako m inor, pewien podwyznacznik (n—m)-go rzędu, utworzony z pozostałych (n—m) wierszy i (n— m) kolumn , skoro dla utworzenia wyznacznika użyliśmy 7-go połączenia wierszy i 7j-tego połączenia kolumn.

Oznaczmy ten podwyznacznik dopełniający (n—m)-go rzędu przez Dl(~n natenczas możemy wszystkie podwyznaczniki dopełniające (n—m)-go rzędu, dołączone do podwyznaczników m-go rzędu , czyli ich minory, zestawić znowu w postaci szematu kwadratowego o    ²⁼(”)²—l¹² elementach :

D\₂(n-”l), ...,

(120

T)<    (n—m)    T)t (n—m)

^ t*2    ? •••» W*

7)<    (n—m)

J J I* 1    J

Takie dwa układy podwyznaczników m-go i (n— m)-go rzędu, jak | i j Z)| , (7, 7c=l, 2,..., (”)), nazywamy układami dołączonemi (”)-go stopnia.

14. Itozwiązanie układu n równań jednorodnych o wyznaczniku D równym zeru, w którym także podwyznaczniki są równe zeru. Niech będzie dany układ równań jednorodnych:

U',\ T<h’2 #2 T ^3 "h •••    #n = 0, (7=1, 2,...,«),

w którym wyznacznik D=\aik [, (7, 7c=l, 2, ..., n) jest równy reru. W tym przypadku znajdujemy według art. 8. str. 356. stosunki:

00    0C(£    ^

Ctrl Ur% OJr3

gdzie r jest jedną ze wskazówek 1, 2, ..., n.

(13)

Xi

Uri

Urn

Możemy wtedy wyznaczyć stosunek:

—(»=1,2, Urn

(14)

a stąd Xi=

001 Ctri OOyi Ctm

Jeżeli wszystkie minory elementów r-go wiersza wyznacznika D są zerami, wówczas jest także stosunek Xi’.xn nieoznaczony.

zera.

Przypuśćmy ogólnie, że w danym wyznaczniku D= |=0, są nietylko wszystkie minory jego elementów, czyli wszystkie podwyznaczniki (n 1)-rzędu w ilości w², lecz także wszystkie minory jego podwyznaczników 2-go rzędu, czyli wszystkie podwyznaczniki (n—2)-go rzędu w ilości (”)², etc. wszystkie minory jego podwyznaczników (w — m—l)-go rzędu , czyli wszystkie podwyznaczniki (m-f-l)-go rzędu w ilości (M_”_₁)²=(m^.i)2 s4 zerami, a natomiast przynajmniej jeden pod wyznacznik m-go rzędu [jest ich (”)²] jest różny od^

Przyjmijmy, jako taki jeden podwyznacznik m-go rzędu, utworzony z wyznacznika D— \ aik|, (*', Tc— 1, 2, ..., n) przy i-tej kombinacyi wierszy i /c-tej kombinacyi kolumn, i oznaczmy :

aiikl j ailk₂ •••> at\km

®'l2km

Ui₂kx j Ui₂kj

V)

= Djk-

(15)

a'm*ii aimkj"’l aimkm

Napiszmy m-równań, w których elementy wyznacznika Dik występują jako spółczynniki niewiadomych, w formie następującej :

xK + aixhxK + ... + ańkmxkm=— K*wi+1 xkm+x + ... + xkn)

(16)

uilkl xki + aiihxK-\- ... 4- ai₂kmxkm = - K*m+1 xkm+i + - + «/,*„**«)

aimh Xk> + a>mhxhJr-Jr aimkmXkm =    , *km+1 + ... + «*„*»**»)

xk

Km

których liczniki powstają z Dik,

natenczas otrzymamy z tych równań wartości niewiadomych xki, xki w postaci ułamków o mianowniku Dlk w ten sposób, że coraz inną jego kolumnę zastąpimy przez wyrazy po prawej stronie równań (16) stojące.

Tak otrzymamy n. p. :

a'ikm+iXkm+i    ahknXkn

ai₂k₂ 5 ...5 a‘ikm

X*i~~ T)

-Uik

(17)

üimkm-y\ Xkm+1    a'mkn Xkn ’ a‘mk^    a'mkm

Wstawmy tak otrzymane wartości w którekolwiek z pozostałych (n—m) równań danego układu , n. p. w równanie :

%kxXhĄ- VA⁺-+V,\ = -(V™+i Xkm+i + -+aipknXkn)

natenczas otrzymamy równanie jednorodne o niewiadomych xkm+v xkjn+v ■•■%kn-15. Celem wyznaczenia spółczynnika przy tych niewiadomych w tern równaniu n. p. przy niewiadomej xk , rozłóżmy wyznacznik w równaniu (17) na dodajniki, natenczas otrzymamy stąd wyrazy kształtu:

ahk(A, > a’\k₂ }    aHkm    ,

(18)

Dik

bl b

— Xk

ik

gdzie :

®imku 1 ®lmk2 ’ ^'mkm

Oznaczmy przez D‘₂, Z>'₃, ... D‘m wyznaczniki , powstałe z Dik w ten sposób, że zastąpimy kolejno drugą, trzecią, m-tą kolumnę wyznacznika Dik przez pierwszą kolumnę wyznacznika D\, natenczas otrzymamy na podstawie równania (18) spółczynniki przy xkfl w postaci :

~    + D\aiph +... + D‘m aipkJ4-%kp=

tH

16. Wyrażenie w nawiasie da się przedstawić w postaci wyznacznika (m + l)-go rzędu, kształtu:

{~Qipkii Dik+aipkiD‘i +aipkj D\ + ... + <*ipkmD'm |*

%*>’    ’ a,'pk* ’

aHkH > a'iki )    “'A) a'mk

który jest zarazem jednym z podwyznaczników (m4-l)-go rzędu w wyznaczniku D=|«t*|.

Ponieważ jednak, według założenia, wszystkie podwyznaczniki (m+l)-go rzędu w wyznaczniku Z) są zerami, przeto będą w równaniu (18) także wszystkie spółczynniki przy niewiadomych xk

Xkm+v •••> *** zerami, a więc równanie (18) spełnia się dla wartości (17) tożsamościowo. Równanie (18) było jednak zupełnie dowolnie obrane z pośród (n—m) pozostałych równań układu, a więc wartości niewiadomych xk którychkolwiek równań danego układu, spełniają tożsamościowo wszystkie pozostałe (n—m) równania.

m-\-1 ⁷

..., xkm, wyznaczonych z m

aż do (w-f i)-go rzędu włącznie

A zatem: Jeżeli wyznacznik n-go rzędu, utworzony ze spółczynników układu n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych jest zerem, a obok tego także ivszystkie jego podwyznaczniki (w—l)-^o, (n—%)-go są także zerami, a jeden przynajmniej podwyznacznik m-go rzędu jest różny od zera, natenczas taki układ równań zastępuje tylko m równań od siebie niezależnych, a z niego możemy wyrazić m niewiadomych, jako liniowe funkcye pozostałych (n—m) niewiadomych. Taki układ równań jednorodnych jest więc (n-m)-krotnie nieoznaczony.

17. Według tego układ dwóch równań jednorodnych o dwu niewiadomych, mający swój wyznacznik 2-go rzędu równy zeru, zastępuje tylko jedno równanie , z którego możemy wyznaczyć jedną niewiadomą , jako liniową jednorodną funkcyę pozostałej niewiadomej.

Układ trzech równań jednorodnych o trzech niewiadomych, mający swój wyznacznik trzeciego rzędu równy zeru, zastępuje tylko dwa równania od siebie niezależne, z których możemy wyznaczyć dwie niewiadome, jako liniowe funkcye pozostałej trzeciej niewiadomej, Jeżeli jednak w tym układzie równań obok wyznacznika trzeciego rzędu są także wszystkie jego podwyznaczniki drugiego rzędu zerami, natenczas układ taki zastępuje tylko jedno równanie, z którego możemy wyznaczyć, jednę niewiadomą, jako liniową, jednorodną funkcyę pozostałych dwu niewiadomych.

Układ czterech równań jednorodnych o czterech niewiadomych, mający swój wyznacznik czwartego rzędu równy zeru. zastępuje tylko trzy równania od siebie niezależne, z których możemy wyznaczyć trzy niewiadome, jako liniowe, jednorodne funkcye pozostałej czwartej niewiadomej. Jeżeli jednak w takim układzie obok jego wyznacznika czwartego rzędu, są także wszystkie jego podwyznaczniki trzeciego rzędu zerami, a natomiast przynajmniej jeden podwy znacznik drugiego rzędu różny od zera, natenczas taki układ czterech równań zastępuje tylko układ dwóch równań od siebie niezależnych, z którego możemy wyznaczyć dwie niewiadome, jako liniowe funkcye pozostałych dwóch niewiadomych. Gdyby w takim układzie równań były oprócz wyznacznika D, jego podwyznaczników trzeciego rzędu, także wszystkie podwyznaczniki drugiego rzędu zerami, natenczas układ ten jest równoważny tylko jednemu równaniu, z którego możemy wyrazić tylko jednę niewiadomą, jako liniową funkcyę pozostałych trzech niewiadomych.

18. Równania liniowe niejednorodne o wyznacznikach równych zeru.

Niech będzie dany układ n równań liniowych niejednorodnych kształtu:

a,xx^ +a<ta?₂+... +a,■„»„=«,•, (»=1, 2,..., w), w którym D—0, tudzież Di—0, [i= 1, 2, ... n), natenczas układ ten, jak wiemy z art. 6. str. 354., zastępuje układ (n— 1) równań od siebie niezależnych, z których możemy wyznaczyć każdą z (n—1) niewiadomych, jako liniową funkcyę pozostałej w-tej niewiadomej.

Jeżeli jednak obok wyznaczników n-go rzędu D—0 i D{—0, {i—1,2,.. n) są także wszystkie ich podwyznaczniki (n — l)-go , (n—2)-go , i t. d., aż do (w-fl)-go rzędu włącznie zerami, a natomiast niektóre ich podwyznaczniki m-go rzędu są różne od zera, natenczas możemy wybrać z układu dowolne m równania i przedstawić je w postaci:

a'\ki Xkt "k ahh Xk₂ *b • • • + aiikm %km —    ahkm+i Xkm+i •••    a,\knXkn

(19)

ahh xh + °hK XK + ••• + aHkm Xkm==a'~ ahkm+1 Xkm+1“ - ~ °hkn Xkn

a im KXK + aimh **»+••• + a;m km xkm=aljn —₊ —..aifnkm xK skąd znajdziemy n. p.:

Xki~~ n

XJik

ah    Xkm + l ••• ahknXkn J a'\kii •••? aiikm

a>2 aiikm+\Xkm+\ •" ahknXki

(20)

^'m    ^'mkrn-\-\ XkmĄ-\    ®l*mkn Xkn

ahki )    ahk2 !    ••• km

gdzie :

a>2kt 1    aHh 1    •”

d’mki >    a’ ®>lmkm

podobnież znajdziemy , ...

Wstawiwszy tak znalezione wyrażenia w którekolwiek z pozostałych (w—m) równań danego układu, n. p. w równanie:

a* .

*771

a‘Pki xh"kaipk₂#*,+ — + aipkmXkm—aip aipkm+iXkm+l ... aipknXkn

otrzymamy równanie pierwszego stopnia między (n—m) niewiadomemi :

(21)

Xkm+1 > ^m + 2 J

w którem wedle art. 16. str. 359., będą wszystkie spółczynniki przy tych niewiadomych zerami. Wyraz wolny od niewiadomych otrzymuje kształt :

(ßip Dik aipkl Di Uipk₂D₂

gdzie D1; Z>₂,..., Dm są wyznacznikami powstałymi z D stąpimy kolejno pierwszą, drugą, ..., m-tą kolumnę przez kolumnę wyrazów wolnych: ail, a,-₂,..., aijn. W tym wyrazie przedstawia wyrażenie ujęte wyznacznik (m-f-l)-go rzędu:

ik i

gdy w nim za-

w nawias

^'p ⁵    ^ipki >    ^'p km

ah ?    a'ikm

ah J    > ”•

a,-

'm

”• a‘m km

— 361

którego wartość jest według założenia równa zeru. Wobec tego będzie także wyraz wolny równania (21) równy zeru, a więc równaniu (21) uczynią toż-samościowo zadość wartości z równań (19) otrzymane.

Wartości m niewiadomych, wyznaczone z którychkolwiek m równań danego układu, sprawdzają zatem w tym przypadku tożsamościowo wszystkie pozostałe (n — m) równania.

A zatem: Układ n równań liniowych, niejednorodnych, iv którym, oprócz wyznaczników D=0 i Di—0 (&=1, 2,... n) są także wszystkie ich podivyznaczniki od {n—1 )-go rzędu, aż do (m-\-l)-go rzędu włącznie, zerami, zastępuje układ m równań liniowych, niejednorodnych od siebie niezależnych, z których możemy wyznaczyć m niewiadomych, jako funkeye liniowe niejednorodne pozostałych (n—m) niewiadomych. Dany układ jest więc w tym przypadku (n-m)-krotnie nieoznaczony.

19. Układ n równań o (w—1) niewiadomych. Niech będzie dany układ n równań o (w —1) niewiadomych:

=0

=0

ail • 2/l~ba12 • y2 +-" + ßl, n-l • 2/n-l + ßlw a2\ • V\ d⁻ ^22 • y2 "ł" ••• *ba2, n—1 • yn-l + «2n

(22)

=0

an—1,1 y 1 d" Oin—i, 2 y2 -b ...+ «n—1, n—1 «/n-l + ^n—1, n = 0 an 1    •    2/i+^n, 2 • y2 +•••    n-i • y»-l + «nn

Połóżmy w tym układzie :

a?₂

... yn-i

Mn

i pomnóżmy potem wszystkie równania przez xn, natenczas zamieni się powyższy układ n równań niejednorodnych o (n—1) niewiadomych na układ n równań jednorodnych o n niewiadomych w postaci:

ai\ • xińrai2 • x2 ~b ••• d" ai, n—i • Xn-\-\-a\n . Xn—0 a2\ • ^l+a22 * X2 d⁻*'* d"a2, n-l • #n-l + anl • Xn = 0

(220

Ctn—1, 1 d⁻ a,n-i, 2 %2 -b ••• H⁻ 1, n—1 #n—1 + £*n—1, n —0 ®n\ •    ^i-h0!n2 •    #2 “h ••• "P an. n-\ • %n—\~Y^nn •    0

Te równania mogą się równocześnie ostać, skoro wyznacznik ich spół-czynników będzie równy zeru.

A zatem: Układ n równań o {n—1) niewiadomych jest rótunoważny (ma ivspôlne rozwiązania), skoro wyznacznik n-go rzędu, utworzony z ich spółczynników, jest równy zeru.

Rozwiązanie D=0, czyli jałjt|=0, wyrażające warunek istnienia wspólnego rozwiązania danych równań, nazywa się równaniem wypadko-wem (Resultante), a funkcyę spółczynników, której przyrównanie do zera daje owe równanie wypadkowe, nazywają rugownikiem (Eliminante) danego układu równań.

Wyznacznik układu n równań niejednorodnych liniowych o (n — 1) niewiadomych, czyli też wyznacznik układu n równań jednorodnych liniowych o n niewiadomych, jest więc rugownikiem tych równań.

20. Przybliżone rozwiązanie układu równań liniowych, w którym ilośó równań jest większą od ilości niewiadomych. Niech będzie dany układ n równań o m niewiadomych (m < ń), w postaci :

«1«1+ Kxi+ <‘i#3 + - + ml xrn =

«2^1 + b₂x₂-\- c₂a-₃+ ... + w₂«m =

(23)

«n *1 + ö«*2+^^3+-+ mnxm = nn

w którym spółczynniki a₍-, ôt-, cź, ... wt-, (*=1, 2,..., «) są tylko w przybliżeniu znane, n. p. jako wyniki pewnycli spostrzeżeń, (liczba spostrzeżeń jest większą od ilości niewiadomych), natenczas może być mowa tylko o przybliżonych (najprawdopodobniejszych) wartościach tychże niewiadomych. Celem wyznaczenia tych wartości postępuje się powszechnie w ten sposób.

Dane równania mnoży się najpierw, każde równanie kolejno, przez spółczynniki ai, «2?*") an, stojące przy niewiadomej xx i dodaje się tak przekształcone równania, a otrzymuje się jedno równanie w postaci:

gdzie :

[aa] xv [ab]cc₂-j- [ac] x₃ -f-...-}~[am]xm = [an],

[aa] — a\ -j- a\-f-... -j- a\, [ab] = albl-{- a₂b₂ 4“ ••• 4" an bn, i t. d.

Następnie mnoży się każde równanie kolejno przez spółczynniki: by, b₂

bn, stojące

przy drugiej niewiadomej x₂, i dodaje się tak otrzymane równania, tym sposobem otrzymuje się drugie równanie kształtu :

[ab] aą -}- [bb]x₂ -f [bc] x₃ -f- — + [bm]xm—[bn].

W końcu mnoży się każde równanie kolejno przez spółczynniki mn m₂,...,mn, stojące przy w-tej niewiadomej xm, i dodaje znowu otrzymane iloczyny, a otrzymuje się m-te równanie kształtu :

[am]xi -j- [bm]x₂-f- [cm]x₃ -f-    ]mm]xn *=[mn],

Tym sposobem otrzymuje się więc z danego układu n równań (doświadczalnych) o m niewiadomych (n > m), układ m równań o m niewiadomych :

[aa] ^ -f- [ab]x₂ + .... -j- [am] xm — [an]

[ab] xy -f- [bb] x₂ -f- ... 4* [bm] xm= [bn]

(24)

[am]xy-\-\bm]x^    [mm]xm—[rnn],

zwany układem równań normalnych, z którego otrzymuje się t. z. najprawdopo-

Di

niewiadomych, w postaci: xi = j-, (i — 1, 2,..., m),

[aa], ..., [an], ... [am]

dobniejsze wartości m

aa

I)

am

gdzie :

A ==

[ai], ... [ii], ... [im]

Di

[in], ... [im]

am],

im],

mm

[arn]

[mn] ... [mm]

Ćwiczenia XXVII.

Rozwiązać za pomocą wyznaczników następujące układy równań: 1) 9x + lly = 5    2) 3x + 2y—3 = 0    3) 3x -f- 5y—2 = 0

8x -f- lOy = 4.

4^    — r I. _ i _*___V

' a ^ ß ’    ; a² —ô² «²+aô-i-&²

i i 1^1 a2"r ß2 y •

7) x -j- 2y -|- 3s —14 3# -j- y4- 2s = ll 2x -|- 3y -f- z = 11.

9# — 4y—5 = 0.

4ic -J- 6y—1 = 0.

= ab.

a(2a -f- b),

⁶> +Ś-¹-

g » y ₌i

2 ma    2łi

9) 2x-f 3y + 4z=29 3# -j- 2y -j- 5s = 32 4# + 3y + 2« =25.

a²4-ó² ^ ff²-a&+ó²

8) 3x 4- hy—lz—2 = 0 4æ -f- 8y—14s -\- 3 =0 3x    6y—8z—3 = 0.

10) x 4” ay 4~ a²s -j- a² = 0    11) ax-\- by 4~ cz — a-\- 6-f* c

x+by + b*z + b* = 0 x Ą- cy c^z Ą- c* = 0.

12) ax -4- cu -j- bz = cx 4- by -j- az — bx -j- ay 4- cz — a³ 4~ b³ 4" °³—3abc.

a²x -j- b^y 4" cLz = (a -j- ö 4- c)²

bcx 4- cay -f- abz — 0.

— 363 -

¹³⁾ f + f + f = ³⁶

* , I,£

16 + 20 + 9

X I y I ^ /I Q

T + ÏÔ ⁺ T⁼⁴³-

= 10

14) -Z—,-____

; aĄ-b^ a-b

b -J- c &— c

2c

2b.

c a

16) 3x — 2y + 3m=0    17) xi — 2x₂ + x₃ + 2a:₄ = 8

x—y + 2=0 3y + 3z—2m = 0

1B' V+6=C-

f + f

0 a; c ' a

-— a.

= &.

3«! — 2x₂ + 2x₃ — xk = 1

2xt —J— £C₂ —J— cc₃ — £C₄ = 3 x -f- 2y + 3z + 4« = 8. xt — x₂ -j- x₃ + #4 = 6. 18) 4cc—2y 2 = 0

—2x + y -f- 3^= 0 —6x -j- 3y + 22 =0.

20) 2x 3y—3z—A 3a: + z —17 x -f- y—2 2 = 1.

21)    x -\-y -\-z— d = 0, y +2 + w—a= 0, x-\- z-\-u—ô = 0, x-\- y Ą-u—c = 0.

oo\ „ i o xAz __x3u x\-3v xAry+z-^-u-^-v—1 5a? + 4y+ 32 + 2« + t> + 2

22)    * "T 2«/ = g    —~    •    ---

19) 2x-\-Ay— 32 = 0 3a? -j- Yly + 2=0 -x-\-y—2z = 0.

23) Wykazać, że warunek, pod jakim równania:

1, x— y =r a— b

a + X ' & + X

mają, wspólne rozwiązania, da się przedstawić w postaci: X²=o&.

24)    Wykazać, że równania: {a Ą-b)x-\- (b + c) y + (<H~ a) = 0, (ó+c)aj+(c+«)y+(o+&)=0, (c + a)x-\- (a + &)y + (& + c) = 0, są równoważne, skoro a³ + ó³ + c³ = 3abc.

25)    Wyznaczyć wartość stałego czynnika X tak, aby cztery równania :

(X + l)a? + (X + 2)y -f- (X + 3)2= 76, 2x—3y+52=18, 3x—y + 42 = 20, Ax + 2y—2=5, o trzech niewiadomych x, y, z miały wspólne 1’ozwiązania.

26)    Wykazać, że wartości niewiadomych x, y, 2, sprawdzające równania jednorodne :

(1b—c)x + by—cz — 0, (c-a)y-\-cz—ax r= 0, (a-b)x-\-ax—by—0, określone są proporcyą: x :y:z= (b + c—a) : (c + a—b)\(a + b—c).

27)    Wykazać, że równania jednorodne:

x = by + cz + du , y = ax + cz + du, z = ax + óy + du, u=axbycz, prowadzą do warunku:

a + l^ft + l^c+l^d+l °’

i do proporcyi:

a+1 ' ó+l ' c+1 ' d+l‘

28) Wykazać, że układ pięciu równań jednorodnych o 5 niewiadomych kształtu: x + 2y + 32 + u = 0, 3x + by + 82 + 2m + v = 0, 7x + Ay + II2—3w + 10f> = 0,

Gx + by + II2—u -\-lv = 0, —cc + 3y +22 + Au,—5u = 0

x:y\z:u

sprowadza się tylko do dwu równań jednorodnych od siebie niezależnych, kształtu:

x= — z-\-u— 2v, y — — z—u + v.

29) Wykazać, że rozwiązanie dwu równań liniowych jednorodnych o trzech niewiadomych aą, aj₂, a?₃, kształtu:

«1^1 + \xi + cixz = 0, «2^1+ hxz + cixi =0, daje tylko stosunki, w jakich niewiadome pozostawać mają do siebie, w postaci:

Zą ą    ą ctj    ciy Zą

&2 c₃    c₂ »2    °2 ^2

30) Wykazać , że równania :

* + Vs y — ⁶A = 0, ^ x + y—% =0, a:—y + 1 =0,

są równoważne. 31) Jeżeli

(œ + l)²

Bx-\- C

(x + 2) 0²+ a? + l)

x² + x -f 1

x-\-2

wyznaczyć liczebne wartości spółczynników A, B, C.

Wyznaczyć liczebne wartości spółczynników A, B, C ,D w następujących rozwinięciach tożsamościowych :

22a?² + 33a?—54 (aj—1) (a:—3) {x Ą-2)"~ x—    x— 3^ x +2’

- 364 —

331    »‘+¹    ^ i B i C i D

' (x—l)⁴ X —1    {x—l)² {x — l)³ ' {x - 1)'

Ax + B

34)

x²

Gx\D

{x² -h 1) O»² — 2a; -J-10)

Ax -f- B

x²— Bcc — 2

X² + X 1

x²-\- 1

36)

(1 + *) (1 + *²)

1 —j- £C

Cx + D {X² -f X -j- l)²"

Bx+ C 1 -j-cc²

X²

Cx -j- D

37) -

___₊_.

(x— l)² (x² + 1)    X —1 ^ (x — l)² ‘    «2+1

38) Wykazać, że między, niewiadomemi równań liniowych dwu układów, każdego o n niewiadomych, jednego o niewiadomych: xx, x%,... xn, kształtu:

«il «1 + «|2 æ2 + - + «IW »n= «i ₅ (* t=1₅ 2, n), drugiego o niewiadomych: yx, y%,...,yn kształtu:

aikyi + a2kVi + - + ankxn=⁼Vk i 0=l,2,w), mających wspólny wyznacznik | a ik | = | aki \ = D, (i, k = l, 2,..., n), zachodzi związek:

al2ń 4"    4" ••• 4* a” ¹Jn = ßi*i -j-    4“ ••• 4" finXn.

39) Jeżeli w układzie n równań liniowych o n niewiadomych:

«il xl + «i₂ 4- - 4- ain xn = ai» (i= 1, 2,... »),

są wszystkie równania prócz jednego (s-go), jednorodne, a więc:

«1

H — as - i =«a+i =... = «„=0. zaś ö, 5 0, dowieść, że w tym przypadku wartości niewiadomych są proporcyonalne do minorów przynależnych w wyznaczniku równań spółczynnikom, występującym przy niewiadomych w równaniu niejednorodnem, t. j. że:

xl

a?₂

Xn

an

a,2

««

Rozwiązania XXVII. 1) 3, -2. 2) »/₁₅, ²/₅. 3) -    ⁵/₂. 4) «²(r-ß)/y(«-ß),

ß²(y— a)/y(3 — a). 5) a⁴-Z>⁴, a* + a²b²b*. 6) 2hn{m - 3l)a/(2m²-SI²), 3lm(2m-l)b/(2m²-3t²). 7) 1, 2, 3. 8) 0-4, 3*1, 2*1. 9) 2, 3, 4.    10) — abc, bc ca-\-ab, — a—b —c. 11) a{a-\-b -j-c)/

/(a—b)(a—c), b(a -{- b 4- c)/{b—c)(b—a), c(a -j- b J- c) / (c— a)(c — b). 12) x — y = z = (a² -|- b²-\-c²)— {ab-\-bc)ca). 13)60,40,36. 1£) x=2bc{c²—a²) (a Ą-b)/(bc² -{- ca²-\-ab²-]-abc), i t. p. 15) a{b-\-c—a)/2, b(c-La-b)l 2, c(a + b-c)/2. 16) -¹¹²/₆₁, -²⁴/₆₁, ⁸⁸/₆₁, ⁹⁶/₆₁. 17) 1, 2, 3, 4. 18) x:y:z= 1:2:0, 19) x:y:z=-5:1:—2. 20) 5, 0, 2. 21) y₃{b + c+d-2a), ‘/₃(a4-0 + d-2b), i/₃{a + b +d-2c), V₃(a + 5 + c-2rf). 22) 1, 3, 5, 9, 11. 25) 6. 31) % ²/₃, >/,. 32)    ²⁴³/₁₀, -³²/₁₅. 33) 0, 1, 2, 2.

34) -%B, V.5, ⁹⁴/s5, -²y₈₅. 35) 0, 1, -4, -3. 36) - % % */,. 37) ⁴/₂, */i, — Vi, 0-

Literatura. R. Baltzer. Theorie und Anwendung der Determinanten 5. Aufl. Leipzig 1881. D ö 1 p. Die Determinanten. Darmstadt 1889. P. Mansion. Elemente der Theorie der Determinanten mit vielen Uebungsaufgaben Leipzig 1899. K. Hattendorf. Einleitung in die Lehre von den Determinanten, 1872. Fr. Reidt. Vorschule der Theorie der Determinanten. Leipzig 1874. K. J. Bobek. Lehrbuch der Ausgleichsrechnung nach d. Methode d. kleinsten Quadrate. Stuttgart. 1891. Bronisław G u stawie z. Rachunek wyrównania błędów spostrzeżeń na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Część I. Sprawozdanie dwunaste dyrekcyi c. k. III. Grimnazyum w Krakowie za rok 1895.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Rozwiązywanie układu równań liniowych niejednorodnych o czterech niewiadomych z uwględnieniem przypadków, jedno-, dwu- i trzykrotne nieoznaczonych

2.    Teorya równań jednorodnych o ilukolwiek niewiadomych.

3.    Teorya podwyznaczników rozmaitych rzędów w odniesieniu do danego wyznacznika.

Wykład XXVIII.

Zasady ogólne rozwijania wyznaczników prostokątnych i kwadratowych.

1. Określenie wyznacznika prostokątnego. Mając mn elementów, zestawionych w m wierszach i n kolumnach szematu prostokątnego, zwanego zwykle macierzą (matrix) elementów, kształtu :

^11* «12»    i ••• ^1 n

^*21 > ®22J    j ••• ^2«

• 0/n

O/j , ••

Om2j • ••) Omj, ••• Omw

postawmy sobie za zadanie utworzyć z tych mn elementów funkcyę F, któraby miała następujące dwie własności:

(1)    Szukana funkeya F ma być liniową jednorodną funkcyą elementów każdego wiersza ;

(2)    Szukana funkeya F ma zmieniać znak, skoro dwa wiersze przemienimy między sobą.

Funkcyę układu prostokątnego nm elementów, posiadającą powyższe dwie zasadnicze własności, nazywamy wyznacznikiem prostokątnym, albo także wyznacznikiem niezupełnym i przedstawiamy ją zwykle symbolicznie w postaci szematu prostokątnego, ujętego w kreski, pisząc:

a\ i ? a\ 2J •••)

(2)

F=

j Æm2? •••}

2. Celem wyznaczenia funkcyi F przyjmijmy najpierw, że n^>m, t. j. że liczba kolumn jest większa od liczby wierszy.

Skoro szukana funkeya F ma być według własności (1) liniową jednorodną funkcyą elementów każdego wiersza, to musi w jej rozwinięciu wystąpić widocznie iloczyn kształtu: Caiua^,... amfl, t. j. iloczyn, któryby miał z każdego wiersza danej macierzy jeden i tylko jeden element. W tym iloczynie wskaźniki a, ß,... [i muszą być także wszystkie między sobą różne.

mp*

Grdyby bowiem w rozwinięciu funkcyi F znajdował się n. p. iloczyn Caiaa2a.-.amfl o dwóch drugich wskazówkach równych a, natenczas musiałaby ta funkeya ze względu na drugą własność, według której przemiana wierszy wywołuje zmianę znaku, posiadać także iloczyn: —Ca-iaaicc,... a

Iloczyn ten jest widocznie równy —Ca\a a<ia,... am/ł, znosi się więc z iloczynem powyżej przyjętym, a zatem liczby a, ß, ...fi, występujące w iloczynie Ca\aa-iß,... amfl, jako drugie wskazówki, są w istocie między sobą różne.

hm dowolne liczby tego rodzaju, a iloczyn

Liczb tych jest wogóle m, (t. j. tyle, ile wierszy), a mogą być dowolnie wybrane z szeregu liczb 1,2,..., w, odpowiadających wskazówkom kolumn danego szematu. Niech będą , 7ć Crania,2jc₂... cimkm niech będzie jednym z wyrazów szukanej funkcyi F: natenczas możemy z tego iloczynu utworzyć m\ podobnych wyrazów (porównaj art. 14. str. 346.), a między innemi wyrazy: —    amkm, '—CraikaOut‘»amkm

Otrzymujemy zatem w sumie :

C'r    (lïk₂ «3*₂ ••• «m*m ,    CrCl\Jcm «2*ä «m*j •

Cr2zt «i*j«2*₂". amkm> część szukanej funkcyi F.

?2 ••• ,

lcin=m, a natomiast = 1, ?₂⁼2, ...lm—\ =

Przyjąwszy inną kombinacyę kolumn z liczb 1,2, ... n n. p. kombinacyę: otrzymamy oczywiście nową sumę : C,2± tt\i₂o>ïi₂ ••• «m*m, dostarczającą nowych m ! wyrazów szukanej funkcyi F. Wyrazy te są różne od wyrazów sumy poprzedniej : Gr 2d= aUl «2*, ...«m*m-Połóżmy bowiem 7^ = 1, 7c₂ =2 —W— 1, ZTO=w-bl; natenczas otrzymujemy dwie sumy: Cr2zt «n«22 i (7r^± «h«22 •••«m-i, m-i«m,m+1, nie mające widocznie jednakowych iloczynów.

Ponieważ liczby 1,2, ...w możemy {”„)—/& sposobami połączyć w grupy w-tej klasy, przeto widzimy, że rozwinięcie funkcyi F występuje, jako suma fi wyznaczników m-go rzędu, opatrzonych pewnemi spółczynnikami Gn (r= 1,2,... fi).

Ai= :

3. Połóżmy :

«H 0^2 ... «lm

zaś

Dir= :

«ml «m2 ••• «mm

«1*1 ? «1*» , ••• «i*„j

«m*t, «m*₂, ••• Q>mikm

jeżeli 7^, Jc₂,...Jcm jest r-tem z rzędu połączeniem m-tej klasy, utworzonem z liczb 1,2,... n, natenczas otrzymamy ostatecznie rozwinięcie szukanej funkcyi F postaci :

r=(*=I

F<= CrDxi + C₂D₁₂ -f- C₃ D₁₃ -f-... -f -Dpt =

2 C»lr-

r—1

(3)

4. Nie trudno poznać wprost, że przy dowolnie obranych spółczynni-kach C'r suma 2 Cr T)\r spełnia obie zasadnicze własności szukanej funkcyi F.

r= 1

Suma 2CrD\r jest bowiem liniową jednorodną funkcyą elementów każdego wiersza, a spełnia widocznie także drugą zasadniczą własność zmiany znaku przy przemianie wierszy.

5. Niekiedy przyjmuje się spółczynniki Cr= 1, a wówczas szukana funkcya F ma w przypadku    kształt: F=2Dir, nazywa się wyznacz

nikiem prostokątnym rozszerzonymi oznacza się symbolicznie w postaci szematu prostokątnego, ujętego w podwójne kreski, jako to:

«11» «12» ••• «1 n

«21J «22)    «²»

«l*t, «1*₂ , ••• «1 km

(4)

«2*l}    «2*j    ,    •••    «2*,n

«ml, «m2, ••• «mn

I al ^1 ci II

I ^2 c2 II

wycłi drugiego i’zędu, piszemy tedy:

II 01 bi    I =

II «2 h

Tak n. p. symbol

Mmktf Mmktf ••• «m*m przedstawia zwykle sumę wyznaczników kwadrato-

«1 &i »2 &2

-r

- 367 -

6. "W przypadku «<ą t. j. gdy liczba kolumn jest mniejszą od liczby wierszy, musiałaby szukana funkcya F, na podstawie pierwszej własności zasadniczej, zawierać wyraz kształtu: Ca\ua^, ...w^, gdzieby liczby «, ß, ...

(w ilości w) musiałyby być wszystkie między sobą różne i wybrane z liczb

1,2,..., n, co widocznie wobec warunku n<C.m jest niemożliwe. Szukana funkcya F ma więc w przypadku n<jm, zawsze wartość zera. Powiadamy zatem że wyznacznik prostokątny wydłużony jest zawsze równy zeru.

Według tego jest więc:

«1 «2 b₂ = 0.

c\ c2

7. Rozkład wyznacznika kwadratowego n-go rzędu na sumę iloczynów, których czynnikami są jego podwyznaczniki m-go i (n-m)-go stopnia. Podzielmy dany wyznacznik n-go rzędu:

«12 ?

«22?

«11» «21 »

«lm

«1, m + 1 «2, m+1

«1, m+ 2 j «2, m+2 ?

J)=

«m, m + 1,    «m,m + 2,

«m+1, 1 > «m+1,2,---, «m+l,m j «m+1, m+1 , «m+1, m+2, -•-, «mfl,n «m+2,1, «m+2,2 j    «m+2,m «m+2, m+1 , «m+2, m + 2 ,«m+2,n

«ml

«m2

"1

«mm

(5)

«n 2

...,    «n, m ; «n, m+1 5    «h, m+2

na dwa działy, z których pierwszy zawiera w sobie m wierszy, a drugi (n—m) wierszy, kolejno po sobie następujących, a następnie każdy dział znowu na dwa działy, z których pierwszy zawiera m kolumn, a drugi (n—m) kolumn, natenczas otrzymamy w danym wyznaczniku cztery działy, z których pierwszy tworzy układ kwadratowy m² elementów, a czwarty układ kwadratowy (w—m)² elementów, dwa pozostałe działy, drugi i trzeci tworzą układy prostokątne, o m{n—m) elementach.

Połóżmy wyznacznik:

«ni

«nn

«11 j «12? •••} «lm «21? «22? •"? «2m

«ml, «m2, • ••, «mm

«m+1, m+1 , «m+1, m+2 ,    «m+1, n

=B

«m+2, m+1 , «m+2, m+2,    «m+2, n

«n, m+1

«n, m+2

natenczas poznamy, że iloczyn AB będzie zawierał pewną ilość wyrazów rozwiniętego wyznacznika D.

o a spadkach, natenczas przestawieniu temu odpowiada w roz-

Przyj mij my d alej

Pierwszym wyrazem rozwiniętego wyznacznika A jest bowiem iloczyn aiia₂₂...amm, a pierwszym wyrazem rozwiniętego wyznacznika B jest zaś iloczyn: «m+i, m+i, «m+2, m+2---, «nn- Z tych iloczynów otrzymamy wszystkie wyrazy wyznaczników A i B, skoro w nich zatrzymamy pierwsze wskazówki, a z drugich wskazówek porobimy wszelkie możliwe przestawienia. Przyjmijmy, że pewnem przestawieniem wskazówek 1, 2, ..., m jest przestawienie Aj? Â₂, ..., À,

winiętym wyznaczniku A, wyraz: (—l)“«a, «24 •«m^TO-— 368 —

że pewnem przestawieniem wskazówek: m +1, m + 2, ..., n jest przestawienie:

o ß spadkach, natenczas przestawieniu temu odpowiada

ż-m-J-l j ^m-j-2 j •••; ^

w rozwiniętym wyznaczniku wyraz: (—1/ am+\,xm+x, am+Mm+2 •••a», V Iloczyn :

( —iy+ßaUi au₂ - am*mam+i,a

Mm-j-2, ^)n + 2    !

musi być koniecznie jednym z wyrazów wyznacznika D. Wszystkie wyrazy wyznacznika D powstają bowiem z iloczynu: aiiai2... ann, gdy, niezmieniając pierwszych wskazówek porobimy wszystkie możliwe przestawienia drugich wskazówek; jednein z tych przestawień będzie przestawienie ÀiÀ₂... Àn, które będzie miało widocznie a+/? spadków, a przestawieniu temu odpowiada w wyznaczniku D, wyraz: (— l)“+^auta₂^ —    - anzn.

m-f 1

Wszystkie wyrazy iloczynu AB są więc w istocie wyrazami wyznacznika Z), a że wyznacznik A ma m ! wyrazów, wyznacznik B zaś (n—m) ! wyrazów, przeto iloczyn AB daje m\{n—m)\ wyrazów wyznacznika D-

8. Utwórzmy teraz z danego szematu n² elementów wyznaczniki A i B pierwszy m-go, drugi (»—m)-go rzędu w jakikolwiek inny sposób.

Sprowadźmy mianowicie ^-szy wiersz na pierwsze miejsce, i₂-gi wiersz na drugie,..., im-ty wiersz na m-te miejsce, przyjmując ii <^i₂<C. ••• <C im-

Ażeby is-ty wiersz ($=1,2, ..., m), sprowadzić do $-go miejsca, potrzeba wykonać is — s kolejnych przemian, zatem potrzeba w całości wykonać ii—2 + ...+ńn—w przemian. Oznaczając wskazówki pozostałych wierszy kolejno przez    2, ..., in, otrzymamy dany wyznacznik D w postaci:

Mt\ 1

«i, 2

..., ttjxrn

D=(—

a>m\

aim+1,¹» aim+l,²> •••>

■ (6)

Rozłóżmy nowy wyznacznik podobnie, jak powyżej wyznacznik Z), znowu na cztery działy, z których pierwszy utworzy pewien wyznacznik m-go rzędu, który oznaczmy przez R, a czwarty pewien wyznacznik (n—m)-go rzędu, który oznaczmy przez S. Iloczyn RS da znowu m! (n—m) ! wyrazów rozwiniętego wyznacznika D.

9. Ponieważ n wierszy możemy (”) sposobami połączyć w grupy po m wierszy, przeto możemy tą drogą otrzymać (”) iloczynów kształtu RS, a ponieważ każdy z nich dostarcza m ! (n—m)! wyrazów wyznacznika Z), za każdą rażą inne, przeto otrzymamy tym sposobem ogółem (”) m\(n — m)\ = n\ wyrazów wyznacznika D, czyli wszystkie wyrazy wyznacznika D.

Otrzymujemy zatem :

(7)

D=2{-lyt-H ń-2 + -    ÆS.

Suma &j—l + ć₂—2 + ...-I-im—ni przedstawia, jak łatwo poznamy, ilość spadków w grupie: ixi₂...im...in. Liczby grupy:    nie tworzą bowiem

ze względu nato, że: ii <^i₂<C. ... 0’m> między sobą żadnych spadków, tak samo nie tworzą między sobą żadnych spadków liczby grupy:    im+2y, V

Spadki mogą tylko zachodzić między liczbami pierwszej i drugiej grupy. Ponieważ liczba ix stoi na pierwszem miejscu, przeto ma ona po sobie —1 liczb mniejszych, tworzy więc z resztą liczb ii — 1 spadków, podobnie liczba

- 369 -

i₂, stojąca na drugiem miejscu, tworzy z resztą liczb i₂— 2 spadki, zatem ilość wszystkich spadków grupy ixi₂... im im+\ • • K jest:

a==ix —1+^₂— 24 — 4ńn—m.

10. Mamy więc wzór :

(8)

a zatem następujące twierdzenie (twierdzenie La place’a):

Jeżeli układ kwadratowy w² elementów podzielimy na dwa działy, z których pierwszy zawiera m kolumn początkowych, a drugi (n—m) kolumn końcowych, wówczas biorąc coraz to inne połączenia po m wierszy, utworzymy z kolumn działu pierwszego (M) wyznaczników m-go rzędu, zaś biorąc połączenia po (w—m) wierszy wprzód nieuwzględnionych, utworzymy z kolumn działu drugiego, tyleż wyznaczników (n — m)-go rzędu, w obec czego otrzymamy (”) par wyznaczników wzajemnie dołączonych m-go i (n—m)-gu rzędu.

Suma iloczynów tych (”) par wyznaczników, wziętych ze znakiem 4, lub —, stosownie do tego , czy grupa pierwszych wskazówek w wyrazach głównych tych iloczynów ma parzystą , czy też nieparzystą ilość spadków, jest równą wyznacznikowi danego układu kwadratowego n² elementów.

11. Nie jest rzeczą konieczną , aby elementa wyznacznika R były utworzone wyłącznie z pierwszych m kolumn wyznacznika D. Możemy użyć do tego celu innych m kolumn o wskazówkach: Jcx, Jc₂,...,Jcm. Sprowadziwszy te kolumny kolejno na pierwsze, drugie,..., m-te miejsce, wywołamy w wyznaczniku D razem kx—1Ą-Jc₂—2Jcm—m zmian znaków, a jeżeli, oprócz tego sprowadzimy m wierszy o wskazówkach ilx i₂,..., im kolejno na miejsce pierwszego, drugiego,..., m-tego wiersza, wówczas wywołamy znowu w wyznaczniku D razem il— l-f*₂—24 — 4im—m zmian znaków. Będzie więc:

aixkx

aixk₂ i

ahkm'

-,

D = Eik-

aimk>

a*m*n

•••» a>mkm1 a‘mkmĄ-\ a,'m+1**5 aim+1*»    a>m-\-\km > “‘m+lbn-fi » ""> a'm+\kn

(9)

aink t

a<nkm

£i!c = ( — iy.-l+*,-2 + —+»'OT—l+*i—2+...-ł-tm—»»__

= (— l)4+—+^mb*i +••• + hn—2(1+² + ••• + »«) = (—    — + ini~\-kfh—+km~m(w»+¹)

a że m(m +1) jest zawsze liczbą parzystą, przeto jest także:

l)*ł+- + *m+*i+•■+*»!.

-,

gdzie :

(10)

yi(yi -4-14

Ponieważ jednak ix -f i₂ 4 —4i»4 ...-p^w=l+2-i-...4-w = --- ~ - , tudzież:

^₀⁺¹⁾ jest więc (—l)''i+~■+*»+*»+•••+*»= (—l)w(n+¹)= 4-1, przeto (—l),J“4im+t+-+im=(_l)'m+i+'"+,»+,'m+i+-+łn , zatem:

£,•* = (— 1)*»+— +*'«+Jfct+~+•*»»=( — l)lro+l+*”+,‘«+*in-fl+-“+*»».

Wobec tego możemy wzór Laplace’a napisać także w postaci:

lcx -\-h₂ 4 — 4&»»4 ••• 4^w⁼⁼ 1 + 24 ••• 4w

(109

D=2j Ea

ahkil ••• a'i km

(89

24

Dr. Dziwiński. Wykłady Matematyki I.

12. Oznaczmy podwyznacznik m-go rzędu, odpowiadający w pewnem uporządkowaniu połączeń, i-temu połączeniu wierszy i /c-temu połączeniu kolumn, przez DW, a więc :

aWi

a '\ km

(11)

l "‘I

Wyznacznikowi temu odpowiadać będzie wyznacznik (w—m)-go rzędu, utworzony z pozostałych (w—w) wierszy i tyluż kolumn wyznacznika Z), oznaczmy go przez D⁽-n~m'> , a więc :

TMn-m)_

j¹

a‘m+l¹m+l?    a»m+i¹w

(11')

a,«¹ n

a<»¹m + l ’

wówczas otrzymamy wzór Laplace’a w postaci:

(12)

JD=2eikDWZK™\

13. Na podstawie tego wzoru możemy każdy wyznacznik n-go rzędu rozłożyć na ( ”) iloczynów jego podwyznaczników m-go rzędu odpowiadających pewnej kombinacyi wierszy i odpowiednich dopełniających wyznacznikówrzędu (n—m)-go, każdy z odpowiednim znakiem.

Tak np. wyznacznik czwartego rzędu możemy rozwinąć na (2)= 6 iloczynów jego podwyznaczników rzędu drugiego , odpowiadających pewnej parze wierszy jego, przez ich podwyznaczniki dopełniające, każdy z odpowiednim znakiem, jako to:

«11 «12 «13 «1 4 i «2, U.n 0-23 «24 j_|«n «12 *31 «32 «33 «34 «4! a₄₂ O43 «44

*21 ¹22

«33 ¹34    _ ¹11 ¹12

*43 ¹44 I I ¹31 ¹32

*23 ¹24 *43 ¹44

*11 ¹12 *41 ¹42

*23 ¹24 *33 ¹34

*13 ¹14 I _ [ ¹21 ¹22

*43 ¹44

*13 ¹14 *41 ¹42 I I ¹33 ¹34

Z twierdzenia Laplace’a możemy skorzystać przy wyznaczaniu wartości wyznacznika

*21 ¹22

*31 ¹32

*3l ¹32 *41 ¹42

«13 «14 «23 «24

szczególniej wówczas , gdy niektóre wiersze i kolumny mają elementa równe zeru. Tak n. p. otrzymamy :

Wyznacznik «-go rzędu jest więc równy sumie jego ( ¹) podwyznaczników m-go rzędu, odpowiadających pewnemu i-temu połączeniu wierszy i wszystkim możliwym (¹ ) połączeniom kolumn, przytem każdy podwyznacznik w-go rzędu zostaje pomnożony przez odpowiedni mu minor    go rzędu.

371

15. Oznaczmy przez Av, (r=l, 2,p), podwyznaczniki w-go rzędu, odpowiadające i-tej kombinacyi wierszy, połączonej ze wszystkiemi    kom-

binacyami kolumn, a przez Ain (r=l, 2,... p), odpowiednie im minory, natenczas według twierdzenia Laplace’a mamy :

(14)

Ai da-pA'2^i2 -p ••• 4* A>ł Ain=D.

Zastąpmy w sumie po lewej stronie napisanej minory Ąr, (r=l, 2,..., p), odpowiadające pod wyznacznikom m-go rzędu przy i-tej kombinacyi wierszy, przez minory Akr, (r=l, 2. ..., p), odpowiadające podwyznacznikom m-go rzędu przy /c-tej kombinacyi wierszy, natenczas otrzymamy sumę :

(15)

Ai da + Di2 Ak2 4 ••• 4 A/t Ak[x=D¹

która przedstawiać będzie wyznacznik:

af, i

• •• ^i,m

••• a'mm >

> ai'm”

^»i+l¹ ’ a*m+lw> a*m+l«

(150

a*n 1

• ••> ttknm ,    •••}

Założywszy, że kombinacya : k{k₂... km jest różną od kombinacyi iii₂...im, poznamy z łatwością, że jedna z liczb: iu i Z liczb •    , ^7/î-|-2 , •••} ^71'

W wyznaczniku D' będą więc pewne wiersze tożsamościowe z pewnemi innemi wierszami, będzie więc: D‘= O, a zatem mamy:

Ai da 4 Z)/2 Aki 4 •..4A> dąt=0.

Wobec tego otrzymujemy wzory :

r—u

im musi być równą jednej

(16)

(17)

analogiczny do wzoru :

rz=m

dir dfcr

_/A jeżeli = — n    >

(170

r=l

A zatem : Jeżeli (*) podwy znaczników m-go rzędu, utworzonych z danego wyznacznika n-go rzędu , przy pewnej kombinacyi wierszy, pomnożymy przez ich własne minory (n—m)-go rzędu, wówczas otrzymamy jako sumę dany wyznacznik n-go rzędu, jeżeli zaś te (” ) podwyznaczników pomnożymy kolejno przez minory (") podwyznacz-ników, utworzonych przy innej kombinacyi wierszy, wówczas otrzymujemy sumę tych iloczynów równą zeru.

16. Prawidła mnożenia wyznaczników prostokątnych. Niech będą dane dwa układy prostokątne po mn elementów :

jeden A :

«11, «12,— «!„' «21, «22,— «2«

I, drugi B :

atnV amïi “■ amri‘

Ol, O2, —, O n \

Ol, Os, •••? On |

Oni’    *

mn

Utworzony z nich wyznacznik o m² elementach :

cll, c12, •••, ci

C21, c22, •••, c2

7) =

(18)

cmV cw2,

Cmm

372

tak, żeby jego element c.jk był sumą iloczynów elementów i-tego wiersza pierwszego układu A i odpowiednich elementów k-tego wiersza drugiego układu B omn elementach, t. j. tak, aby było:

r~n

(19)

cik = aii hi + ai2 bk2 + ... + «in hn = 2 air hr•

r= 1

Wyznacznik D jest według określenia wyznaczników kwadratowych liniową jednorodną funkcyą elementów każdego ze swych wierszy, a że (według (19)) elementa i-tego wiersza są liniowemi jednorodnemi funkcyami elementów i-tego wiersza układu A, o spół-czynnikach b, przeto wyznacznik D jest zarazem liniową jednorodną funkcyą elementów każdego wiersza układu A.

Wyznacznik D zmienia znak, skoro przemienimy jego dwa wiersze; przemiana dwu wierszy (n. p. pierwszego z trzecim) nie zmienia bowiem nic w spółczynnikach b, a tylko w elementach a wywołuje zmianę pierwszych wskazówek (wskazówki' 1 na 3). W powyższy sposób utworzony wyznacznik D jest więc jednorodną funkcyą elementów poszczególnych wierszy układu mn elementów, która zmienia znak za przemianą wierszy tego układu. Wobec tego na mocy art. 3. str. 366. jest :

(20)

D = CiDli -J- C^-D]₂-f- C₃Dl3 -J— ... -f- C[A, D\p gdzie Dir, (r= 1, 2, ... p), jest wyznacznikiem kwadratowym, utworzonym z połączenia pierwszej kombinacyi wierszy z r-tą z (”) kombinacyj kolumn układu A.

17. Aby wyznaczyć spółczynnik Ct, przyjmijmy w przypadku n>m, że wszystkie elementa układu prostokątnego A od (m -j- l)-szej kolumny począwszy aż do n-tej kolumny są zerami, że więc:

°1, m-f-l ““ ®l,m+2---* —

«2, m+1 ⁼ «2, m+2 ⁼ — ⁼

arn, tn-J-1 am,m+2    amn ®

Pod tern założeniem otrzymamy D₁₉ — D₁₃ = ... = Dj^ =0, a zatem D=(7₁D₁₁, gdzie Dn jest wyznacznikiem , powstałym z połączenia pierwszych m wierszy z pierwszemi m kolumnami układu A, czyli :

«1D    «12) “. «J

Ai=

«21) «22) — «2

«mi i «mli ’•* «mm

Wstawiwszy jednak także w cik zera za wszystkie elementa aik, w których druga wskazówka jest większa odm, otrzymamy:

cik = aii hk\ + a<2 A-2 +    + «im bkm f

przeto będzie w tym przypadku :

/) —

r,, c₁₂ ... cim

^21 c22 ... c2rn

«11 «12 ...) «1 «21 «22 ".") «2

hi &₁₂ blm hi b22 —) Am

Cmi "■ cmm

czyli :

aml «m2-) «mmi

D= | a.j. |. | b{k I, (i, k = 1, 2,... m),

."")

bmm

a, że według poprzedniego D=ClDii, a Bn =\ aik |, przeto będzie:

hi 6₁₂ ...ftj

A = I bik I, (*, k — 1,2, ... m), czyli : Ci —

Ai b22 A

bmi bm2"' b

18. Chcąc wyznaczyć jakikolwiek inny spółczynnik n. p. Cr przy wyznaczniku:

«1A-, >    “u, aikm

Ar =

«2kt 1    ®2*, "• a2km

«mkl > amk₂ amkm

połóżmy analogicznie :

b*m-f-l b^Wi+2    a^ikH ^

= a2,*m+2 = •" =«2,^ = ⁰

°m^m+1    a>n^7n+2    “»*•*«

D = Cr D\r>

tedy otrzymamy z (20) równanie:

W tym przypadku otrzymuje jednak element ca wartość:

cik = aikt hkx + aika bkk₂ + - + a*m hkkm'

a wskutek tego będzie:

cll> c12) —> C1 c21> c22> •••} c2

a\kl i a\k₂i •"> °litm “2*, i ®2i, ) •") a2km

cml ł c.-n2> "•) Cmm

amka»a₂ î •")

A*,» Afc₂ > bikm

b2kt i    A*m

i    •" bmkm

otrzymujemy zatem :

CV =

A*, i bikj • •? A*m

b2kx ) *2*, 5 •••> A*m

bmkxi bmk₂l *"> bmkm

Spółczynnik CV jest zatem wyznacznikiem, utworzonym z elementów układu 5 w ten sam sposób , w jaki składa się wyznacznik D\r z elementów układu A.

19. Możemy więc położyć Cr = D'\r i otrzymujemy wzór:

r—l*

Al ^'ll "I" -£*12    + ••• 4"    D‘\f* -Dir Z>'lr, [j- — (*),

J) =

(21)

r= 1

wzór podający zależność wyznacznika X> = | c** |, (*, fc=l, ni), od wyznaczników częściowych dwu układów prostokątnych i wyraża się dla n > m wzorem :

Au bni Ad As2>

Z> => | ca-1 =

«11 «12— «ln «21 «22 — «2n

-•)

•••)

bln

r=(n )

'm'

= 2 D^D'ir.

ami am2 amn

r=l

Anl) Ai2> A»i

Dla n>m jeden z wyznaczników prostokątnych równa się zeru, więc także ich iloczyn D= 0.

Dla n—m otrzymujemy zwykłe prawidło mnożenia wyznaczników kwadratowych w postaci wzoru:

r~n

r=t

D= | dk | = | aik |. | bik I, (*, h— 1, 2,..., n), gdzie dk — 2 air bir.

20. Wyznacznik kwadratowy utworzony z pod w y zn aczni k ć w m-g o rzędu danego układu n² elementów. W danym układzie n² elementów D—\cnk\i (h fc— 1,2,..., w) istnieje, jak wiemy, jj.² = (")² podwyznaczników m-go rzędu, z których podwyznacznik , odpowiadający i-temu połączeniu po m kolumn, ma kształt :

aHki >    ahki ? •“

Dik =

®'j*t J    > ••• ^l'ikm

Wszystkie te podwyznaczniki w-go rzędu, ułożone w |jl wierszach i [i kolumnach, utworzą nowy wyznacznik |J.-go rzędu kształtu:

^11? -^12) •••}

(22)

^21) Aî2J •••> -®2M

Każdemu z podwyznaczników Dik, (*,    1, 2,

p), m-go rzędu odpowiada w wy-

*•*?

znaczniku I> jeden podwyznacznik (n—m)-go rzędu :

) ®'Vn+l*fw-ł-2 ”,J

__    a5'n»-|-2im-|-l »    2*m-f2 "*> Ö5t‘m+2<:n    }

aV'm + 2

.... a,j k

‘    *» n

który wzięty ze znakiem (—1)«+/*, gdzie a=*j—l-j-*«—2    —w, zas P = 1 + ^2 2-f-

-|- ...-|-km—m, daje odpowiedni minor (n—m)-go rzędu : (—1 )«+ß D'ik = &ik, przynależny podwy-znacznikowi D,k. Wszystkie te minory, ułożone w p wierszach i p kolumnach utworzą znowu wyznacznik p-go rzędu, kształtu:

U- ta.

ii;

id₁₂,

i—

U*

21) ^22) "•>    2t*

(220

^M) ^i»2) ’••) ^t*f*

Uwzględniając relacye , wyprowadzone w art. 15. str. 371., w postaci:

\D, (i = k)

Du Am + Du A*2 + ... + D't* ^kt* — J g (i ^k)

czyli :

AV1 A/ä1 -f* P/r? A/ł2 U ... -f- D.r„ A»y*

które, ze względu na to, że wskazówki fcj, k-2 w pewnym porządku, możemy napisać w postaci :

DffJc, A»,*-, + P,-r*,    + •••

_ (A (v=0

\o,

Jc/j, przedstawiają wszystkie liczby 1,2, ...p

, _    .    P(*V=*.)

+ D'rV i’.V⁼ "jO (tr 5 i.j ’

otrzymamy iloczyn wyznaczników złożonych P i Q w postaci:

... 0

... o

= 2)(«)

(23)

0 0 .. D

1| Aft| = z/*), gdzie i, 7c=l, 2,... (*).

(230

czyli :

To znaczy : Iloczyn dwu wyznaczników (” )//o rzędu, z których jeden utworzony jest z (m)² pod-wyznaczników m-yo rzędu, a drugi z (")² minorów tychże podwyznaczników wyznacznika n-go rzędu, jest równy (” ) -tej potędze danego wyznacznika.

W przypadku P — | D,k | — | an | = D, a więc m = 1, mamy Q — \ iik | = | *« | = A> a stąd otrzymujemy D\ — Dn , przeto \= D"⁻¹, jak w art. 17. str. 348.

21. Twierdzenie. Wyznaczniki P i Q wszystkich (”)² podwyznaczników m-go rzędu Dik i ich minorów Aik w wyznaczniku D, dające na iloczyn (,”)-/« potęgo wyznacznika D, są same potęgami tegoż wyznacznika I).

za

Celem udowodnienia tego twierdzenia rozważmy najpierw rozwinięcia wyznaczników T) i P. Wyznacznik D jest liniową funkcyą każdego z jego elementów, uważajmy go liniową funkcyę elementu a,,, natenczas możemy położyć D = all<xu -f- er, gdzie a przedstawia zbiór iloczynów, nie zawierających elementu an. Wobec tego otrzymamy Dt* — (allail-\-i)f*. Wyznacznik p-go rzędu P=|D/*|, (*, k = 1,2,... p), jest także funkcyą elementów an. Ponieważ zaś PQ = Dt'■*, przeto jest P podzielnikiem potęgi Dl*. Możemy więc położyć P — L(ai ! ai i-4-a)-î, gdzie spółczynnik L nie zależy od an. W ten sposób możemy uważać wyznaczniki D i P, jako funkeye każdego innego elementu wyznacznika D. Spółczynnik L musi więc być niezależny od wszystkich elementów wyznacznika D, może więc być tylko pewnym czynnikiem liczebnym.

Przedewszystkiem wyznaczmy wartość wykładnika X. W tym celu zbadajmy, z jaką najwyższą potęgą występuje elemelit otn w wyznaczniku P. Weźmy pod uwagę element głównej przekątni wyznacznika P, t. j. wyznacznik m-go rzędu:

Du—

aVi 7 °Va ? - av'm av, 5 «'VA ••• «Vm

«'wi?b    ’" fl'm'm

i rozważmy naprzód, ile jest wyznaczników kształtu : P,v, w których występuje element Ponieważ liczby 2, 3,..., w dadzą się połączyć w grupy (tm—1) liczb wogóle (^Zj) sposobami, przeto widzimy, że istnieje wogóle (,”~j) wyznaczników kształtu Da, w których występuje element all. Najwyższy wykładnik potęgowy elementu an w wyznaczniku P jest przeto

(r!)

równy (”_]). Musi więc być X = (”_]). Mamy zatem P = L.D

Celem wyznaczenia spółczynnika L, niezależnego od elementów wyznacznika D, połóżmy w D wszystkie elementa głównej przekątni równe 1, a pozostałe równe zeru, tedy będą także wszystkie odpowiednie elementa wyznacznika P równe 1, a wszystkie pozostałe równe zeru.

Wobec tego będzie dla takiego jednostkowego wyznacznika, obok Z>=1, także P—1,

a zatem na mocy wzoru P—L.D Otrzymujemy zatem wzór :

Cii)

będzie także L = 1.

, gdzie i, k = 1,2,..., (m).

(24)

-P=| Dik \ == D

A zatem: Wyznacznik {^-rzedu, utworzony z (^)² podwyznaczników m-go rzędu, ivyznacznika n-go rzędu D, jest (m~\)~SZ(ï P⁰H9°i danego wyznacznika D.

Wobec tego znajdziemy na wyrażenie wyznacznika, utworzonego z (” ) minorów,

( ”⁻¹ 4

‘ n -m—l/J

przynależnych podwyznacznikom m-go rzędu wyznacznika P, wzór: #=|A«*| = P który, ze względu na to, że: (n

71 — 1

—m -1

) = (nTO¹) możemy także napisać w postaci:

/ n—1 \

Q — \\ik\=iy- m , gdzie i, k= 1, 2, ...(m).

A zatem: Wyznacznik (Jn ) - go rzędu, utworzony z ( ")² minorów, przynależnych podwy-znacznikom m-go rzędu, w danym wyznaczniku D rzędu n-go, jest (w~*) - tą potęgą danego wy-znacznika.

22. Podwyznacznik! dowolnego rzędu, występujące w wyznaczniku A, dołączonym do danego wyznacznika I). Niech będzie dany wyznacznik D i jego wyznacznik dołączony A w postaci :

I) =

i⁵ O

25 Ö

to

ai 1} «1 2? •••} al»i «21? «227 **'7 «2»

«wl J «712

&nn

«rai j «»2j

gdzie element a,t w wyznaczniku A jest minorem elementu aik wyznacznika D, natenczas według art. 17. str. 348. mamy A = D'*—h

Oznaczmy przez Aik minor elementu a,* w wyznaczniku A) natenczas na mocy art. 18. str. 348. mamy Aik= aik Pn—2.

Obliczmy ogólnie dowolny podwyznacznik m-go rzędu, powstały z elementów wyznacznika dołączonego A, n. p. podwyznacznik :

i*t > a'i*i ”•? a>\*m

2S>-

«'V.? «/A •••?

powstały przy i-tem połączeniu wierszy z fc-tem połączeniem kolumn wyznacznika A-

W tym celu przedstawmy ten podwyznacznik, który jest wyznacznikiem m-go rzędu jako wyznacznik n-go rzędu. Stosując twierdzenie Laplace’a, (według art. 13. str. 370.) otrzymamy:

«ml «m2

0, 0,

... a

0, 0,

«m, m-f 1 > •"> amn 0 «m+1, m-f 1 »    «m+1, n

«nn

mm

«11 •» «Im

«ml •¹' «mm

«m+ 1, m+1 ¹•' «m+1, n

«n, m+1 >

- «n¹

«n, m+1 1

14. Własności podwyznaczników m-g o rzędu. Oznaczmy podwyznacznik m-go rzędu Z)W krótko przez Da, a, odpowiadającj’⁻jemu wyznacznik (w—w)-go rzędu D^n~m\ pomnożony przez £,•¹, krótko przez Ą-¹ ; nazywając Aik minorem (n—m)~go rzędu, przynależnym podwyznacznikowi m-go rzędu: Da, albo ilością dołączoną do tego podwyznacznika, natenczas możemy wzór : D=2ea D^ D(¹~w) napisać w postaci:

*=¹=&)

/>= 21}>ii

k — 1

ik ,

(13)

jako uogólnienie znanego wzoru:

r~n

Mir &ir•

(13')

a»-

Ob:,*, j    05ti^₂,

°b'A 5    °b'A

“'An

J •••>    » “• a'2kn

0. o

(25)

o, o

0, ... 1

Przestawmy w danym wyznaczniku D odpowiednie wiersze i kolumny, natenczas

otrzymamy :

°hki 1    5    a*i*w

aA„, »

D—Ea.£ß aimko aimk₂ j •••

> ^!mkml    '"I ^hukn

aim+\kil aim+lk2T"1 ttim+ikml °im+\km-\-\r',,l aim + \kr>

gdzie £a = (—1)“, £<J = (—1)^, skoro liczba a podaje ilość spadków grupy *1} *2 grupy t'm-f-1, *’m+2,... in, liczba ß zaś podaje ilość spadków grupy kx, grupy fcm+l, &m+2

Pomnóżmy teraz tak przekształcony wyznacznik D przez powyżej podany wyznacznik tn), natenczas, łącząc wiersze z wierszami i bacząc na to, że

i=Jc

i%h'

1 •**)

kn.

im względem km względem

A — I (X'rks\i (r’ S

««1 ß/tl 4" ail 05*2 + • •• + ßf» «An

czyli :

®ir 1 ««,1 + air2 05,,2 4* ••• + 0;rn 05;,»= |

D, *V = ig

0, irgi,'

a ogólnie, ze względu na to, że fcj, fc₂,... przedstawiają wszystkie liczby od 1 do n.

A ir=is

otrzymamy iloczyn:

o,

A o.

0,

0,0,

Z), 0,    0, 0>iikm^

a'i*m+2?    *•’>

ß*An+2

°i2k.

DJS-ea.*

o o o.

cT o cT

•••> *4 a,m + l*m+l » aim+lkm+2 >    a‘m+l*n

’"J 0,    . 2*m+l ’ a'm-ł-2J-m+2’    ttim + 2kn

a,mkrn f 2’    '"J

®'mkn

(26)

a'n*m + l’    a,n*m+2» "•» a,nkn

Otrzymany w ten sposób wyznacznik n-go rzędu, możemy według twierdzenia Laplace’a przedstawić w postaci iloczynu dwu wyznaczników m-go i (n-m)-go rzędu, otrzymujemy wtedy :

0. 0. 0. ..

•>

DA{$=e„.eKD"

a,7n-fl*m+l» a*TO+li»n+2> **•» aim+l*» a,:mH-2*m+l J a'm + 2*m-f-2» •"> a*»i4-2*n

^inkm4-i

ainkm+2

— 377

Kładąc :

Dik =

a,ikm

a'tki J a4*j J •••) a4*m

dilkl j

D‘ik=

aim-\-ikm+i > a,‘m+l*m + l ***> a,’m+)h ) a'm+2*»n + 2 '*•> a4n+2frre

aimki»    a'mkm

^'n^m+Z ’    *'*⁵ ^'nkn

a'nkm+\

czyli: £>«* = |a,:r*J, (r, <?= 1,2,... w), £>'/*= |%*ff I ⁼C°>    =    j»+2, ...,») i bacząc na

to, że i)/* jest pewnym podwyznacznikiem m-go rzędu, utworzonym z danego wyznacznika D rzędu n-go przy i-tej kombinacyi po m wierszy z fc-tą kombinacyą po m kolumn, zaś D';*jest dopełniającym podwyznacznikiem (n-m)-go rzędu, utworzonym z pozostałych (n-m) wiei-szy i (n — m) kolumn wyznacznika Z), otrzymamy w iloczynie

za • £p D'ik ~ (~ 1)“+P 7)'»* ,

minor (w— m)-go rzędu, przynależny podwyznacznikowi Di* rzędu m-go.

Połóżmy (—l)«+ßDUt — A;* , natenczas otrzymamy:

Dm_1 A,*, czyli I airkt | = Dm_1 (— 1 )a+ß \ aięk(j |

(r, s=l, 3,... m),

To znaczy : Podwyznacznik m-go rzędu wyznacznika A = | a,* |, dołączonego do wyznacznika D=\aik\ rzędu n-go, jest równy (m—l)-szej potędze danego wyznacznika D, pomnożonej przez minor (n—m)-go, rzędu odpowiedniego podwyznacznika m-go rzędu w danym ictjznaczniku D rzędu n-go.

23. Rozwijanie wyznacznika podług elementów głównej przekątni. Wyobraźmy sobie wyznacznik D=\aik\, (i, 1= 1, 2,    n), rozwinięty na n\ wy

razów, to możemy te wyrazy rozdzielić na n grup. Do pierwszej grupy zaliczamy wyrazy, zawierające wszystkie elementa przekątni głównej, do drugiej te, które zawierają (n—2) elementów i t. d., wreszcie do ostatniej te, które nie zawierają żadnego elementu przekątni głównej.

Aby wyznaczyć spółczynnik przy iloczynie ai±il ai%^ wadźmy w wyznaczniku D wiersz ^-szy na pierwsze miejsce drugie, i t. d. ip-ty na p-te miejsce, ćp+i-szy na (p-fl)-sze, a w końcu »*-ty n-te miejsce. Sprowadźmy dalej w wyznaczniku D kolumnę yszą pierwsze i t. d. ip-tą na p-te, ^.pi-szą na (p-f-l)-sze, ®n-tą na n-te miejsce, wyznaczniku D weźmy pod uwagę podwyznacznik p-tego rzędu:

(q, a=m-J-l, w-f 2,... n).

(27)

%iP=Ap > sPro" i₂-gi na

na

na

ci W

**>!»!»    '“J

) •••» a'Vp

(28)

®*p4j %'j) ayp

i jego podwyznacznik dopełniający (n—p)-go rzędu:

aip₊\ip ₊1» %+l«p+2»,,,> %+l'n % ₊ 2«p+l >    %+2*p+2 > •••»    %+2’n

7)'    =

1t-~p

(28')

a*»*n

natenczas poznamy, że iloczyn Dp. D' nika Z). Pomiędzy (w— p) ! wyrazami wyznacznika D‘ wyrazów takich, które nie mają żadnego elementu głównej przekątni. Wyrazy te otrzymamy, skoro w wyznaczniku D'

głównej równe zeru, otrzymamy tedy wyznacznik (n —p)~go rzędu :

0    %+l>p+2 J •">

%+2V+U    ⁰

daje p!(w—p) ! wyrazów wyznacz-będzie pewna ilość

n—p

n —p

położymy elementa przekątni

Dn-p =

^*p+2*n

aVp+2 >

który w rozwinięciu wyznacznika 1) będzie widocznie spółczynnikiem iloczynu A₁₎=aix,x a,y₂,..

di 4 • p p

Ponieważ n wierszy możemy ułożyć (p sposobami w grupy p-tej klasy, przeto poznamy, że w rozwinięciu wyznacznika D będzie (”) iloczynów kształtu :

będzie więc suma tych (”) iloczynów, którą oznaczamy przez 2APD jedną częścią rozwiniętego wyznacznika D.

Połóżmy p = O, 1, 2, ..., w, natenczas otrzymamy rozwinięcie wyznacznika D w postaci:

A p. D

n- pi

n—p

D — Dn-\-2AX Dn—\ A-2A₂Dn—2J!-2AP . D

n—p

4~ •••    Dx + A

gdzie :

Dn =

An— ax x «22; ••

Oj «12? «13» •••? «1» 0,    @>2 3 > ûl'ln

«31»    «32 J 0,    «3n

zaś :

«21

^ni j ^w2 j    •••>    0

Wyznaczniki muszą być widocznie równe zeru.

Rozwinięcie wyznacznika D podług elementów głównej przekątni przedstawia się więc w postaci :

¹

11    ¹12    ••• «lm «1, m+1

(29)

D— IJnA- 2AX T)n—14"X4₂ Dn-24" ••• A~^An—2 D₂ 4- An.

Ponieważ istnieje tylko jeden wyznacznik Dn, a (”) wyznaczników kształtu Dn—1, dalej (”) wyznaczników kształtu Dn—2, i t. d., przeto widzimy że wyznacznik D przedstawia się w powyższej postaci jako suma 1 4“ (1) 4“ (2) 4" • • • 4" (*”2) + ! iloczynów, czyli ze względu na to, źe:l+ (”) + (”) 4- ... 4- (w^₂) 4- („ ?i) + 1=(1 +■ 1)* = 2» jako suma 2» -(n"₁)=2»-n iloczynów.

Ćwiczenia XXVIII.

1)    Wykazać, że wyznacznik czwartego rzędu:    , możemy i'ozwinąć wedle

następującej reguły, zwanej regułą Bonoli’ego: Do danego szematu kwadratowego \abcd\, dopisujemy pierwsze trzy kolumny a, b, c i tworzymy tedy najpierw iloczyny czterech elementów, położonych w przekątni głównej i na trzech rzędach do niej równoległych, nadając otrzymanym czterem iloczynom naprzemian znaki -f- i — , następnie tworzymy iloczyny czterech elementów przekątni bocznej i trzech rzędów do niej równoległych, nadając znowu tak otrzymanym czterem iloczynom naprzemian znaki -pi —. Tym sposobem otrzymujemy ośm wyrazów danego wyznacznika. Dalszych szesnaście otrzymamy, postępując, jak z szematem \abcd\, tak samo z szematami: — \ acbd \ i -p|acüèc|.

2)    Regułę Sarru s’a dla wyznaczników trzeciego rzędu (art. 13. str. 82.) rozszerzyć na wyznaczniki rzędów nieparzystych.

że po ich

3)    Regułę Bonoli’ego dla wyznaczników czwartego rzędu (ćw. 1. str. 378.) rozszerzyć na wyznaczniki rzędów parzystych.

zer.

4)    Wykazać, że wyznacznik prostokątny, zawierający tyle kolumn wyłączeniu pozostaje kwadratowy szemat p² elementów różnych od zera, sprowadza się do wyznacznika tych p² elementów, pomnożonego przez dowolny spółczynnik.

Wykazać, że:

a a

to ►—

to

4-

«i cx a₂ c₂

b\ C\ b-2    \

ax bx 0 -

«î b\

ai bï == ai b2 0    ⁼⁼ 0.

«₃ b?> 0

«3 h

— 379 —

«11,    «12, •••» «ln

am\ » am2 ann

gdzie Dir jest wyznacznikiem kwadratowym, powstałym przez połączenie m wierszy z r-tą z ) kombinacyj kolumn wyznacznika prostokątnego.

«11 «12 «13

«21 «22 «23    •    **21 **22 ^23    “    «21 «22 «23

^31 ^32 ^33

^11 ^12 ^13

8)

«31 «32 «33

r-=l

&2i Ó₂₂ &23

«31 «32 «33

^11    ^12 ^13

• «u «12 «13    +

^31 ^32 ^33

^11 ^12 ^13

+    ^21    ^22 ^23    •    «21 «22 «23    +    «21 «22 «23    •    ^21 ^22 ^23    •

^31 ^32 ^33

«11 «12 «13

i,, by ₂ Z>₎₃

«11 «12 «13

«31 «32 «33

/>2i b₂₂ bn

«31 «32 «33

2, by Cy

dy by Cy

9)    a.₂ b₂ c₂ . x₂ y.₂ z₂ = x₂ b₂ c₂ . a₂ y₂ z₂ + y₂ b₂ c₂ . x₂ a₂ z₂ + z₂ b₂ c₂ . x₂ y₂ a₂ .

93 h Cs

«3 ^3 C3

Xy y y Zy

Xy by Cy

9l by Cy

Xy dy Zy

Xy y y dy

«3 2/3 %

*3 })S Oi

«3 2/3 ^3

X₃ «3 2₃

^3 ^3 c3 *3 2/3 «3

10)    Dowieść, że wyznacznik nie zmienia swej wartości, gdy wiersze i kolumny tak przemienimy, że elementa głównej przekątni pozostają te same, choć w innym następują po sobie poi-ządku.

11)    Dowieść, że wyznacznik zatrzymuje tę samą bezwzględną wartość, gdy go tak przemienimy, że główna przekątnia staje się boczną przekątnią

12)    Wykazać , że :

0 a.₂ a₃

₌ h o b₃

c, c₂ 0

dy d₂ d₃ 0 0 &4 d₂ 0

a, a,

h K

c₃ c4 d₃ dy | 0 c₄

I ^3 0

13) Wykazać, że :

+ «1 ^3

«11+*» «12,

«21,

- «1« «22 + *, ••• «2n

+-«i

+ «2

0 a₃ a4 c, 0 c₄

0 «2 a₄

+ 0i ó, 0 ó₄

₈"0 o ~r iT

-f axd4 | ®

«3

+ c3^4

n i + «1 ^2C3^4 •

==*»+ *»-12Z)₁ + aj"-22Ą+...+ æ²S.Dn-2 + tf 2D„_i + D,

•    ... «K„+*

gdzie 27),- przedstawia sumę wszystkich (") podwyznaczników r-go rzędu, utworzonych z wyznacznika D — | aik |, i, fc = l, 2,... n.

14)    Wykazać, że wyznacznik ngo rzędu ma podwyznaczników m-go rzędu i tyleż podwyznaczników {n-m)-go rzędu.

15)    Jeżeli z wyznacznika n-go rzędu wydzielimy podwyznacznik m-go rzędu, a z pozostałego podwyznacznika dopełniającego (n-m)-go rzędu wydzielimy nowy podwyznacznik l-go rzędu , a z pozostałym podwyznacznikiem dopełniającym [n—m—Z)-go rzędu podobnie postąpimy, otrzymamy układ dopełniający podwyznaczników. Dowieść że taki układ pod-

(n!)²

(m !)²(Z!)²..

16)    Wyprowadzić prawidło mnożenia dwu wyznaczników trzeciego rzędu za pomocą rozwiązania następujących dwu układów równań:

«1 xxAraix.l-\-aixi=yx

Mi + *2*2+ *3^3 =2/2 ;

CXX, + C₂X₂ + C₃ X₃ r=y₃

an\ »

an2 »

wyznaczników dopełniających daje się utworzyć

sposobami.

~ *22/2+ hv3 — *o mi V\++ »*3^3 = mo n\9\ + n₂y₂ + n₃y₂ = n₀

i wykazać , że :

«2 «3 c2 c3

«1 h *4“ **1 *2 + C1 *3,    «2h 4" *J2*2 + c2 4?    «3*1 +^3*2 + Oj *3

aimiĄ-blm.₂-{-clm₃, d₂my-{-b₂m₂-\-c₂m₃, <hmx-\-b₃m₂-\- c₃«₃ .

«1 «1 + *>1 w2 + C1 n3 , «2% + *>2W2 + f2w3 r «3^1 + *3 w2 + C3 n3

1, «, a3 1, i, +

1, c, c³

*1 ł₂ *3

mx m₂ m3 n{ n₂ n₃

1, a, a²

17) Kładąc A ■= 1, 6, è2 1, c, c²

dowieść, że: B'¹ = A{CD).

Wyznaczyć wartości następujących wyznaczników kwadratowych:

18)

a 0 0 0 & i a 0 0 0 0 6 a 0 0 0 0 & o 0 0 0 0 & a

. 19)

a, 0, b, 0, a: c, 0, d, a?, e /, 0, 0, 0 9, *, h, i, / x, 0, 0, 0, 0

. 20)

—J—rH t—1 tH

r-H

i-Ti-T-[-r4

+i-Tr-T

1+d

21)

i, i, i,

1, x-\- 1, 1,

1,

. 22)

V 1 c' 0

d‘ 0

ÜÜHO

i-¹ o o a.

1, 1, 1, +1

23) Wykazać, że rząd wyznacznika da się podwyższyć przez obrębienie go nowym wierszem i nowa kolumna.

24)

Wykazać, że :

0, a:, y, «

x, 0, z, y

y> o, *

s, y, o

o, i, i, i

₌    1, 0, z², y²

1, z² 0, a:² * 1, y² a;² 0

to

s

Ö'r-T + i-l - 8

■rH    CT

OOH

a⁵-b⁵

O?-

a—&

jeżeli ab — 1.

71

eo

« w co

esj (M cs ~

rH tH t—I r—i

tH tH rH t“H

e<» ca

-a o ^

a § >

An ^

CO co co

4-

c?

«3 «4

dA dk

** >-*■

ro to>

«3 «4

c₃ c₄

°1 cï di d₂

o- a

co co

^ a

ifs-

28) Wykazać, że pod założeniem a-j-ß-f y = n jest wyznacznik:

cos a, D— sec a,

cos ß, sec ß,

cos y sec y

cosec a, cosec ß, cosec y

= 0.

29) Wyznaczyć wartość wyznacznika:

*o co th co co

00 CM TH CO H 1> ^ r-l (M <M O O O HCOOOO

na podstawie twierdzenia Laplace’a o rozkładzie wyznacznika na podwyznaczniki 2-go rzędu.

30) Wykazać, że iloczyn ilukolwiek wyznaczników kwadratowych jest wyznacznikiem, którego rząd jest równy najwyższemu z rzędów danych wyznaczników.

Rozwiązania XXVIII. 1) Porównaj art. 7. str. 339.    18) a⁵b⁵. 19) x5,

20) abcd (-L -f- i- _j_ 1. 4. _ł). ₂1) xyz. 22) a-bb‘-cc‘-dd. 29) 52.

Literatura. Ł. Böttcher. Teorya wyznaczników. Część I. Zasady ogólne, zebrał i ułożył Dr. Ł. E. B., asystent Matematyki c. k. Szkoły Politechnicznej. Autografia we Lwowie, 1899. H. D ö 1 p. Die Determinanten nebst Anwendung auf die Lösung algebraischer und analytisch-geometrischer Aufgaben Darmstadt 1893. GL Garbier i. Teoria e applicazioni dei determinanti. 1893. L. Leboulleux. Traité élémementaire des déterminants. Paris 1886. E. Pascal. Die Determinanten. Eine Darstellung ihrer Theorie und Anwendungen mit Rücksicht auf die Gesammtheit der neueren Forschung. Berechtigte deutche Ausgabe von Dr. H. Leitzmann. Teubner. 1900. Trzaska. Krótkie wiadomości o wyznacznikach, przypisek do dzieła W. Folkierskiego Paryż. 1870 (str. 1031—1087).

Tematy do rozprawek naukowych.

L Twierdzenie Laplace’a o rozwijaniu wyznaczników.

2.    O wyznacznikach, utworzonych z podwyznaczników danego wyznacznika.

3.    O związkach między wyznacznikami układu prostokątnego mn elementów.

Wykład XXIX.

Szczególne rodzaje wyznaczników kwadratowych.

1. Wyznaczniki symetryczne. Wyznacznik n² elementów, w którym elementa aik i aki, ułożone symetrycznie względem przekątni głównej są sobie równe, a więc w którym a,•*=«*», nazywamy wyznacznikiem symetrycznym, jako to:

8=

è" e¹ «T

co to

S S    S

to    to    »-*•

co    to    to

a d a

co    to    ^

co    co    co

a a a

MM»*

»as

(1)

d\n i    dZfi) ... Qnn

2. Twierdzenie I. W wyznaczniku symetrycznym mają elementa równe ant i aid także równe minory.

Jako minory elementów aik i au wyznacznika /> = | «/A |, (i, k = 1,2, ... ), otrzymujemy bowiem (według art. 11. str. 344.):

«12;

«11,

ai lł

®22)

•••* ai, k-1 ł "•> °2, k—1 •

Ui, A+l > a2, A + l »

«»=(—1)*+*

ai-1, 1 » ®i—1, 2 ) —ł ®i-l, A—1 » ®i—1, A+l > ai+1, 1 » ai+l, 2» •"> ai+l, A—1 ł °i+l, A+l

«i-1, n

Ui+1, n

(2)

«»lł

«»2’

"•> «», A—1 ł «», A+l ł

«1, i+1 »

“2, i+1 )

®11)    •    °12)    •    •••) ®1,    i—lł

®21>    •    ®22)    •    «2,    i—1»

"'5 «1» •"> «2»

«A* = (—1)*+*

«A—1, 1 ł «A—1, 2 i «A+1, 1 ł «A+1, 2 ł

«A—1, i—1 ł «A-1, i+1» «A—1, » «A+1, t-11 «A+1, i+1»    «A + l,n

■ (2‘)

«»1 ’ * «»2

«», i + 1 ’

“•ł «W»

*    ’"i «», i— 1»

Ponieważ wyznacznik D=S jest symetryczny, przeto mamy aik=> «Ai, wobec tego jest:

«11)    •    ®21)    •    •••) ®i-l,    1 ł

«12;    •    «22)    •    •••) ai—1,    2)

“i+1, 11 «i+1, 21

«»2

«A/==(—1)‘+*

«2, A—lł ”*ł °i-1, A—lł «i+1, A—lł «», A- 1

«1. A-l

«1, A+l’ «2, A+l’ —ł ai—1, A+l i ai+1, A+lł «», A+l

«1»’ •

«2» ’    ’    «i-1, w ł ’ «i+1, w ’

*"ł «»»

Uczyńmy w otrzymanym wyznaczniku na a ki kolumny wierszami, a wiersze kolumnami , natenczas otrzymamy wprost :

a ki = a,k

co było do udowodnienia.

3. Twierdzenie II. Jeżeli w wyznaczniku symetrycznym minor jakiegokolwiek elementu przekątni głównej, n. p. minor cna elementu aa, jest rómny zeru, natenczas wyznacznik jest zupełnym kwadratem ze iczgledu na elementu wiersza lub kolumny, w których znajduje sie ten element głównej przekątni.

Przyjmijmy, że 0, gdyby było w nim a/,- = 0, możemy zawsze element aa przemianą wierszy i kolumn sprowadzić na miejsce elementu au. Rozwinąwszy wyznacznik symetryczny S podług elementów pierwszego wiersza, otrzymujemy:

S— «ii«u+ «12*12 + ••• + «1i aU + ••• + a\n aln «217 «227 •••) «2,,— 1) a'2, i-\-\ i ""i a'2n

(3)

“u—(—i)**¹

(4)

«ni > an2i "’1 an,i—\i an,i+1’    ann

skąd, sprowadzając pierwszą kolumnę na (i—l)-sze miejsce za pomocą (i—2) przemian kolumn , otrzymamy :

«22? «23? •••? «2, i—i > «21 J «2,, + l?    a2n

««=(—iy+i+#-²

(40

an2i an2i’”i, an,i—\i «nl>, ««,» + 17

«nn

Rozwinąwszy tak otrzymany wyznacznik podług elementów a-₂i, «31? (i—l)-szej kolumny, a oznaczając ich minory przez a'₂i, a'₃,

«1 t = — («21 «V 7 + «31 «V + ••• + ««1 *'«<).

a'w/, otrzymujemy:

«ni, jego

(5)

Według założenia jest jednak:

«227 «23 7 •••? «2n

«11=

«n2’ «w37    ««n

Warunek ten proAvadzi do jednoczesnego układu (n—1) równań jednorodnych:

«22^2 U «23*3 + ••• 4" «2n *« = 0 «7,2*2+«„3*3 + - + <*nn*» = ⁰

z których w myśl art. 8. str. 356. otrzymujemy stosunki:

Jest zatem:

x₂:x₃:... : xrt = a'r2 : a'r3 :... : a'rn == a^₂: <x'ł3 :... : <*'sn. czyli :

aVS-aV = a'rr-a+*

a'rr: a0«=a0r:a0*’

Ponieważ wyznacznik <S jest według założenia symetryczny, a więc a™ — ««/-, przeto według twierdzenia I. jest także: 0,™ = ^/-, czyli aV* = aV, a zatem: a'r*² = <x'rr«'ss, przeto: aY/a'rr.a'M = \/«Vr y/a'.«« ₅ otrzymujemy więc:

a'2, =» V/*'22 V«'« 7 ?'3i = \/«'33 a «    — \/a'wn \/<*'» ,

przeto z wzoru (5) wynika:

*li— V *'« («21 V/°‘/22 +«31 V+33 +••• +

«„1

V/*'»» )?

a że dany wyznacznik:

S-«n«il+ «12*12+ ••• + «!/ ®li + "• + «1» *ln 7

a przytem «n=0, przeto będzie:

S= — («12 \/a<22 + «13 \/**33 + ••• + «1 „y/abm ) («21 \/a<22 + «31 ^«*33 + ••• + ani\/ ^ nn )l

skąd, ze względu na to, że aik=aki, otrzymujemy:

s= — («12 y/a/22 + «13 y/ a/33 + •••+«i»y+*yn„ )²?

(6)

t. z. wyznacznik symetryczny, w którym a₁₁=0, (a»,=0) jest zupełnym kwadratem ze względu na elementa pierwszego (i-go) wiersza.

4. Wyznaczniki skośne. Wyznacznik nazywamy symetrycznym skośnym, albo krótko wyznacznikiem skośnym, jeżeli dwa jego elementa sprzężone aik i aki różnią się między sobą tylko znakiem, jeżeli więc (liic——aki, a zarazem elementa przekątni głównej, wobec warunku a,,— — są zerami, jak:

a\ 2 J

ll'in

(7)

, ....

«i2 j 0

ü\ 3 J aï3 J

«ln j ^2«)    <^3n

5. Twierdzenie I. Wyznacznik skośny rzędu nieparzystego jest równy zeru.

Pomnożywszy bowiem każdy wiersz danego wyznacznika skośnego T przez (—1), otrzymujemy :

r=(—1)»

«12)

a13)    a23)

i al3l •••» a\n «23) •••)    «2n

0, ...,    «3w

= (-1)» T.

aln i    a2n i

a3n ”*»    ®

Dla nieparzystego n otrzymujemy więc T—— T, a zatem T — 0, c. b. d. u.

(». Twierdzenie II. FAementa sprzężone (cnk i ak,j wyznacznika skośnego n-go rzędu mają przy nieparzystem n tesame minory, przy parzystem zaś n różne tylko co do znaku.

Na mocy poprzedniego twierdzenia , otrzymamy bowiem minor elementu aa- w postaci: «/A- = (—1)«—1 aki, a zatem :

a-ik = <nki.

7. Twierdzenie III. Wyznacznik skośny parzystego rzędu jest dokładnym kwadratem pewnego wyrażenia ivymiernego swych elementów.

Rozwińmy dany wyznacznik skośny T według elementów pierwszego wiersza , natenczas, ze względu na to, że aH = 0, otrzymamy :

a) dla n=2r, będzie oiik ——a*/, <xn=0. ß) dla n — 2r-|- 1,

(8)

T— «j2    2 + «13 *13 + ••• + aU «H+.-+ a\n alw-

przyczem :

«11 =

..., «2/) •••) «2„

a3%l a33 ) •••> aZii •••) °3n

«22) a23l

-0,

O)

zaś

an'ii anii •••)

°21 ) a22)”‘) «2, i—1 ) a2, i-J-1 ) •") ®2« a31) a32i—) a3, i— 1 i ®3, f+1 > •"> a3n

ann

an\i an2i ”•) “n, i—1 J an, i+\ > •">

a22) a23) •••) «2, i—i ) a21) ®2, i-J-1 > °2re ®32) a33 ) •••) ®3, f— 1- **31) a3, i+l ł M,I a3»

(10)

ann

an2i an‘ii'-) an,i— 1) anii an, f+1 ) •••»

Oznaczając minory elementów « wyznacznika atl przez a', otrzymujemy:

“11= a-2i a/2»+ a3i a/3i+ ••• +    a'«; )

al?:⁼    (**21 a/2t + a31 a/3/+-+ an\ a'ni)'

Ponieważ, według poprzedzającego twierdzenia, an=0, przeto zachodzą między minorami elementów wyznacznika an stosunki:

aV2 : ®/r3 : ...: rn = odj 2 • a<13 • ••• • W)

zaś:

(90

(100

otrzymujemy zatem :

a więc:

a.‘rr : a/rs = <*■'st : a/xs 5 = Oc'.sr .    ,

a że minor a,, jest wyznacznikiem skośnym nieparzystego rzędu, skoro dany wyznacznik skośny T jest rzędu parzystego, przeto na mocy tw. 2. będzie a'rs=a.'Sr. Wobec tego otrzymujemy :

aV.d= aVr . z'ss

zatem : a.'rs= \/a• Y/a'*«•

(U)

Połóżmy s—i, a za r podstawmy kolejno wartości 1, 2,

— — V/«'« («21 V/a/22 4~ «31 \/*'33 4* ••• -4* ««1 \Z<*‘nn )i

ft, to otrzymamy z (10') wzór :

przeto z wzoru (8):

7’= — (o₂t V/a/22 4~ «31 V/“'33 + ••• 4" &nl\/0.'nn ) («12    “'22 4" «13    a/33 4" ••• 4“ «1»»V/«'nu ) j

w obec tego, że w wyznaczniku T jest «,-* =—a*i, przeto otrzymujemy:

T— («12^«'22 4" «13    a>33 4- ••• 4“ a\n\/»in ) ²-

Wyznacznik skośny T rzędu parzystego jest zatem dokładnym kwadratem pewnej funkcyi liniowej ze względu na elementa pierwszego wiersza. Spółczynniki w poszczególnych wyrazach tej funkcyi przedstawiają się w postaci pierwiastków kwadratowych z poszczególnych minorów wyznacznika <xu. Te minory aVr, są widocznie wyznacznikami skośnemi (n—2)-go rzędu, a więc wraz z T rzędu parzystego dadzą się więc tak samo przedstawić, jak wyznacznik T.

Tym sposobem dojdziemy w końcu do wyznacznika skośnego drugiego rzędu :

0, aj 2 -«12, 0

który jest, jak widzimy, zupełnym kwadratem. Wobec tego dla ft = 4 wyrażenie \/a.'u będzie wymiernem, \/T zatem będzie wyrażeniem wymiernem, złożonem z 3 wyrazów; dla ft = 6, będzie więc \/i¹ wyrażeniem wymiernem, złożonem z 3.5 wyrazów, ogólnie dla w = 2r będzie \/T wyrażeniem wymiernem, złożonem z 1.3.5 ... (2r—1) wyrazów.

Wszelki wyznacznik skośny parzystego rzędu jest więc kwadratem pewnej funkcyi wymiernej swych elementów. Wyrażenie wymierne, które występuje, jako pierwiastek kwadratowy wyznacznika skośnego parzystego rzędu, nazywa się zwykle pfafianem.

Pfalf (matematyk niemiecki) zajmował się pierwszy własnościami tych wyrażeń.

8. Przykład. W wyznaczniku skośnym czwartego rzędu:

0, a b c 0 z y

0 x    »

= «²12,

(12)

T=

—»,

—6, —z,

—y, ~x o

, mamy atl

—z    0

—y —x

zatem: a'₂₂=

= *²,    <*'33=

—y

-z 0

= Z²,

“'23 — —

—y

= — xy, «'24=

=*y,

—y, ~x

zaś a'₂₄= \/ a'₂₄ . \/ a'4ł,

“'23 - V“*22 ‘ V*'3

przeto, położywszy <*'22 = 4~ xi otrzymamy Y/a'₃₃=y, V/*'44 =«, a więc T — (ax—by-\-czf.

Wyrażenie ax—byĄ-cz jest więc pfafianem trój wyrazowym, który wypływa, jako pierwiastek kwadratowy danego wyznacznika skośnego czwartego rzędu.

9. Wyznaczniki skośne niesymetryczne. Wyznacznik nazywamy skośnym niesymetrycznym, albo także symetralnym, jeżeli związek «,*=—«*,-, pociągający za sobą a«=0, nie odnosi się do elementów głównej przekątni, czyli, jeżeli elementa sprzężone a,-* i aki wyznacznika, położone symetrycznie względem przekątni głównej, różnią się tylko znakiem, jednak elementa głównej przekątni są różne od zera, jak:

a że :

«u

a12)

®1 3 >    a23»

a12>

®22> tt23J ”*?

CS co

e ö e

(13)

«1 »,    $2 n

10. Twierdzenie. Wyznacznik skośny niesymetryczny może być rozłożony na same wyznaczniki skośne i symetryczne. Rozwijając bowiem wyznacznik U według elementów przekątni głównej według wzoru (29) art. 23. str. 378. otrzymamy :

gdzie An= «u«22)-) «n»,

U= Un -(- £    Un—i -j- ^.4.2 U»—2 -J-... -I⁻ 2 An—2 U₂-\-An ,

(14)

0,

Un =

— «12) ‘    ®13 )

co

ö

ani •••) a\n

«23) •••) a2n 0) ain

= Tn

alw> a2ni a‘ini'"i ®

ogólnie JJP—TP jest wyznacznikiem skośnym p-go rzędu. Według tego twierdzenia otrzymamy n. p. :

-b

O Ci

Si

O "O

O o-

T" XVZ-

11. Wyznaczniki ściślej symetryczne. Wyznacznik nazywamy ściślej symetrycznym, jeżeli ma nietylko wyrazy sprzężone ctikiaki równe, lecz ma także równe wszystkie elementa, położone w jednym rzędzie, równoległym do przekątni bocznej, jeżeli więc dla wszystkich możliwych wartości liczby r istnieje warunek aik=ai+rf k-r=ai—r, k+r- Wyznacznik taki nazywa się także wyznacznikiem Han kia (bo Hanke 1 pierwszy go badał) i przedstawia się w postaci:

Ctn—i ) Cln Q>n ) ®n+1

(15)

^5)    •••} 0»+l ) tXn-\-2

Ctn—i > Ctn

Ctn

0^4-1 ,mj ^2n—3j ^2n—2 Q>n-f-1 j    M'j ^2tî—2j    —1

12. Szczególna własność wyznacznika ściślej symetrycznego. Wyznacznik ściślej symetryczny ma, jako elementa, różne między sobą, elementa następujące : au a₂, a₃,..., ci2n-i, które tworzą pewien szereg (2n — 1) liczb. Wyznaczmy pierwsze różnice szeregu tych elementów, odejmując od każdego elementu element poprzedzający, i połóżmy:

$2    «1 —âv Ct₂ Cl₂=Ô₂)    $4    053=03,..., 05re_|_i Ctn ⁼ Ón , ...,

natenczas, odejmując w danym wyznaczniku H od elementów każdego wiersza odpowiednie elementa wiersza poprzedzającego, możemy dany wyznacznik, bez zmiany jego wartości, przedstawić w postaci:

*1,

/?= ,

d₂,

3?

Oo    Ô

^ CO fco to

o. a

Ci ^    ^

•    ••j Ctn—1 } Ctn

•    ••j    —1 )

dn-pl d„-J_1 ? Ôn+2

d» ,

d»-f-1 j    ..., ^2«—3, 0-2n—2

Wyznaczmy teraz pierwsze różnice pierwszych różnic: d czyli t. z. drugie różnice danych elementów, kładąc :

d₂-di=d²i, d₃ —d₂ =d²₂,..., ón+\—dw=d²w, podobnie różnice drugich różnic, czyli t. z. trzecie różnice, kładąc:

ô\-ô\=ô\, ô\-ô\=ô*2}d²n+i —d²n=d³n,

25

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

i t. d., w końcu różnice (r—l)-szych różnic, czyli tak zwane r-te różnice danych elementów, kładąc :

ni

ôr-\-ôr-\=ô\, dr——Ôr~¹₂ — Ôr₂,    ô'-\+l-ôr-K = Ô'-

natenczas, odejmując znowu w nowo otrzymanej postaci wyznacznika II. od elementów trzeciego wiersza i następnych odpowiednie elementa wiersza bezpośrednio poprzedzającego, otrzymamy dany wyznacznik w postaci:

H=

Ô²

n—2j

Co Oo Oo Ä to to ⁶⁰

»O

to to CO 42* CO

Oo Qo

(M

Ot

Un—1 j Un • ••j    Ûn— 1 j dn

d²n_i, Ô²n

^²n₊l

....

â²

u n j

Ô\_u 0\, (5²w + l, ..., <5²2n_4, d²2„-3

Powtarzając podobne działania, zaczynając od elementów czwartego wiersza i t. d., dopóki nakoniec nie zaczniemy od elementów przedostatniego wiersza, doprowadzimy w końcu dany wyznacznik do postaci:

a i,

a₂,

a₃,

ak)

ó₂1

31

45

II

Ô²

ń2 V 21

Ô²

31

Ô²

4?

Ô³

25

Ô³

Ô³

..., Cłw—1 ,

..., Ón—1 ..., <5²w_i, ó\ d³w_,, Ô³

>(

*H-\> Ô2, <^3 5 ^"¹4,

Postępując podobnie z elementami kolumn, otrzymamy w końcu dany wyznacznik H w postaci:

to

11=

42* CO

•o "O <o "O

co to

'O 'O 'O «o

ôn~1 ..., Ô\ ôn+l

ôn+2

(16)

ô²»-\

ôn~x^ ôni,    <5”+^,

To znaczy : Wyznacznik ścisłej symetryczny nie zmienia stvej ivartoêci, jeżeli w nim w miejscu jego elementów położymy początkowe wyrazy ich szeregów różnicowych.

Z tej własności wyznacznika ściślej symetrycznego korzystamy przy jego obliczaniu. 13. Przykład. Mając dany wyznacznik ściślej symetryczny:

0, 1,    8,    27    ‘

1, 8, 27, 64 8, 27, 64, 125 ;

27, 64, 125, 216

wj^pisujemy szereg jego elementów, tudzież icb szeregi różnicowe, jak następuje:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216 1, 7, 19, 37, 61,    91,

6, 12, 18, 24,    30,

skąd otrzymujemy, jako początkowe wyrazy tych szeregów, liczby: 0, 1, 6, 6, 0, 0, 0. Zastępując tedy elementa danego wyznacznika przez te liczby, otrzymujemy:

HC CO

0 6

11 =

= 6⁴ —1296.

14. Związki, zachodzące między wyrazami szeregu głównego a wyrazami jego szeregów różnicowych. Niech będzie an ogólnym («-tym) wyrazem danego szeregu: at, a₂, będzie dalej litera 6 znakiem różnicy, natenczas utworzywszy z danego szeregu kolejno po sobie następujące szeregi różnicowe, otrzymamy następujące szeregi liczb:

an, ...

Ora , ...

8²ra, ...

8³», ...

niech

szereg

różnicowy

szereg główny: pierwszy: drugi : trzeci :

«1,

§1,

§³i,

a3i

^3)    ^4)

§²3, H

0³3,    0³4

(17)

§ri, Sr₂, or₃

r-ty :

gdzie on =an+i—an, 8²«= 8wą-i—8W, 8³n = 8²ra-j-i—8²w

8r₄,..., 8*», ...

j ...j

=⁸ra+ll-°r--¹«-

Mamy tu więc :

V= «2 - «1

0²1 = §2—Si=(«3 —«2)—(«2 —O^l) = «3 —²«2 +«1 j

8 ,jj == 8²₂—o²^ = 83 —2ö₂ -j- 84 — (04—öj)—2(03 —ö₂) "4" (®2—3<z₂ «1, z czego wnosimy, że:

(«)

onl = an+1 —(”)«ra + (2)««—1—(3) (*re—2+ ••• + (— 1)” ¹ (M!Li)a2+( l)Wori-Przyjmując prawdziwość tego wzoru dla pewnego n, n. p. n — r, i bacząc na to, że o^+ij = ór2—8ri, a różnica 8r₂ powstaje tak samo z liczb: «₂, a3 z liczb: «j, a₂,..., «r+l , otrzymamy:

8r₂=«r+2 — (1) ar-t-l+ (2) ör— (3) «r—i + ... + (—l)r«₂,

«r+1 — (ï)«r+ (2) «r—1 + ... + (—1),—l) ®2 + ( l)r°l

arp2, jak różnica 8^

8r₁₌₌

przeto, ze względu na to, że:

(.+i) + ß-C#)

otrzymamy :

8^+1, = ft-+2 — C\') Or+l + Ç'V)ar — (rf)

wzór, który z (a) otrzymujemy, jeżeli w nim położymy n =r -j-1. Jeżeli więc wzór (a) jest prawdziwy dla n — r, to też dla n — r -1- 1 musi być prawdziwy, a że okazał się prawdziwy dla n = 1, 2, 3, więc musi być dla wszelkich wartości wskazówki n prawdziwy. Wobec tego mamy dla wszelkiego r :

ar—i

ó\=ar+1—(l) ^+(2)

— (3) ar—2+.". + ( — 1) a\

(18)

wzór, podający pierwszy wyraz r-go szeregu różnicowego za pośrednictwem pierwszych (r -f-1) wyrazów szeregu głównego.

Wobec tego otrzymamy dowolny («-ty) wyraz r-go szeregu różnicowego , wyrażony

ön-fr szeregu głównego w postaci:

za pomocą (r -f-1) wyrazów: a«, an+l

àrn = ®r+n — (l) <Vfn-i + (2) ^r+

ra—2 —

(3) ar+n—3+ •■• + (—1) an‘

(19)

15.    Ogólny wyraz szeregu głównego. Znając    pierwszy wyraz al    pewnego    szeregu

głównego    liczb, tudzież pierwsze wyrazy 81? 8²t,...    ..., jego szeregów⁷    różnicowych

żerny wyznaczyć dowolny wyraz szeregu głównego.

Mamy bowiem :

«2 = ai +

a₃ =a₂ -j- S₂ = «i -J- Oj -J- ot -j- 8²! — Oj-j- 28j-j- 8²t,

a₄ = a₃ + 8₃ = at28t + 8²t -f + 2 8\ + 8³t == ą + 38t -|- 38²t +    8³t,

«5 = «4 + §3 = «1 + 4 8t + 68 ²J + 48 ³t + 8 S,

mo-

skąd wnosimy, że:

an

Że wzór ten jest w istocie ogólnie prawdziwy, przekonamy się w⁷ ten sposób, że, przyjąwszy jego prawdziwość dla n = r, która dla r = l, 2,3, została bezpośrednio udowodnioną, a więc że:

ar = al -f-    t¹) Sj-j- (r ₂¹) s2i + ... + oł'-' b ,

otrzymamy ze względu na to , że :

dr-f 1 — dr    i

Cr = Oj + (r i *)    + ••• + 3?'l )

«r+1 — «i + (0 °1 + Qo\ -f- ...-f- (rü.i) 5r—:1i +3rlł

wzór:

który wypływa wprost z wzoru przyjętego, gdy w nim położymy » = r-f-1.

Prawdziwość powyższego wzoru dla n — r pociąga więc za sobą prawdziwość tego wzoru dla n=r-\- 1, a że ten wzór jest dla » = 3, prawdziwy, jest więc ogólnie dla wszelkich wartości liczby » prawdziwy.

Mamy zatem ogólny wzór :

(20)

8«—ij, kolejno po sobie następujących (»—1) szeregów różnicowych.

wykazujący zależność »-go wyrazu dn szeregu głównego od wyrazu pierwszego dl i pierwszych wyrazów: 8t, 8²t

16. Suma wyrazów szeregu głównego. Utwórzmy z wyrazów szeregu głównego du «₂, «3,..., an, po kolei sumę 1, 2, 8,..., » wyrazów, po sobie następujących, i oznaczmy:

d₂-\- «3 -j- ...Ą-dn,

/S'i==a₁, Ä2 = «1 -j— «2;    S₃= Oi-f*

natenczas otrzymamy nowy szereg liczb :

Sn ,

Ą, $2)    ^4

zwany szeregiem sumowym danego szeregu głównego.

Bacząc na to, że Sn= Sn-l + dn, a więc dn — Sn —-Sn—\ = 8jS«-i , poznamy, że szereg główny będzie pierwszym szeregiem różnicowym tego szeregu sumowego, którego pierwszym wyrazem jest <S,₀==O.

Wobec tego otrzymamy (» -f- l)-szy wyraz tego szeregu na podstawie wzoru (20), określony wzorem :

Sn — £'0 -j- (”) dt -f- Q) §i -f- (3) 8²i + ... + S” ¹i ,

skąd wobec S₀= 0, otrzymamy wzór:

(21)

8«—h jego (»—1) szeregów różnicowych.

podający sumę » wyrazów szeregu głównego , jeżeli znany jest pierwszy wyraz szeregu głównego i pierwsze wyrazy o1; 8\

17. Szeregi sumowe danego szeregu głównego. Otrzymawszy z danego szeregu głów-

gdzie Sr= «1 + «2 + ••• ar1 który

nego: au «₂,

szereg sumo wy : <Sj, S.₂, Sà musimy uzupełnić o pierwszy wyraz S₀— 0, aby pierwszy wyraz :    —S₀, szeregu głów

S³n,..., a z tego trzeci: S\, S³2 gdzie S'n=Sr-\ +    4- ... 4. tfr-l,,, (r =2, 3,...).

S³n, i t. d. r-ty szereg

nego był zarazem pierwszym wyrazem pierwszego szeregu różnicowego tegoż szeregu sumowego, możemy z tym t. z. pierwszym szeregiem sumowym postąpić podobnie, tworząc t. z. drugi szereg sumowy S\, Sn sumowy: Sru -ÿ^,..., S'n,

Z łatwością poznamy, że wobec tego szereg główny okaże się jako r-ty szereg różnicowy swego r-go szeregu sumowego , jeżeli dołączymy do tegoż r wyrazów początkowych, równych zeru. Na tej podstawie możemy na mocy wzoru (20) dowolny (»-ty) wyraz dowolnego (r-go) szeregu sumowego, odpowiadającego danemu szeregowi głównemu, wyrazić za pomocą pierwszego wyrazu głównego i pierwszych wyrazów jego kolejnych szeregów różnicowych.

W tym celu, bacząc na to, że Srn jest (»-j-r)-tym wyrazem r-g o szeregu sumowego, którego wyraz początkowy wraz z wyrazami początkowymi (r—1) szeregów różnicowych jest równy zeru, otrzymamy na mocy wzoru (20):

S,-=(r+»-¹)«, + (

(22)

r + »—1 r-j- 1

wzór, podający sumę » wyrazów r-g o szeregu sumowego danego szeregu głównego.

18. Postępy arytmetyczne r-g o rzędu. Jeżeli dla danego szeregu głównego liczb: dn, wyrazy jednego z jego szeregów różnicowych są sobie równe, a wskutek tego

«i, a₂,...,

wszystkie wyrazy następnych szeregów różnicowych są równe zeru, natenczas taki szereg liczb nazywamy postępem arytmetycznym, a to r-g o rzędu, jeżeli wyrazy jego r-g o szeregu różnicowego są wszystkie równe między sobą.

Szereg główny: oą, a₂,an, jest więc szeregiem arytmetycznym r-go rzędu, skoro ori= or₂=:?>3>• = ... = hrn=d, gdzie d jest pewną stałą liczbą, a wskutek tego ?r+¹t =... =0.

Wobec tego otrzymamy na podstawie wzoru (20) wyraz ogólny (w-ty) postępu arytmetycznego r-go rzędu w postaci :

Ctn

(23)

a sumę n wyrazów postępu arytmetycznego r-go rzędu na podstawie wzoru (24) w postaci :

My*⁺©<*+(»r,*⁺--⁺(r+i)ir

1*

(24)

Sh jego r szeregów różni-

Z tych. wzorów wynika , że postęp arytmetyczny r-g o rzędu jest wyznaczony, skoro znamy jego wyraz początkowy a₁ i początkowe wyrazy ol 5 8²j cowych, czyli jeżeli mamy wogóle (r -j- 1) wyrazów tego postępu.

Postęp arytmetyczny pierwszego rzędu wyznaczają więc dwa jego wyrazy, drugiego rzędu trzy wyrazy i t. d., za pomocą których możemy wyznaczyć którykolwiek wyraz, jako też sumę ilukolwiek wyrazów tegoż postępu arytmetycznego.

W szczególności otrzymamy :

1) dla postępu arytmetycznego pierwszego rzędu , kładąc 8₁=8₂ — ••• = d, wzory znane ze zasad algebry, jako to:

ün

=ai + (n—l)d,    ;

2) dla postępu arytmetycznego drugiego rzędu, kładąc 8²₁=o²₂ = ... — d, wzory:

an

= «. + (V)s>+(”7V; s»==G)«.+ ©8, + e)-i; i ta.

19. Ogólny wyraz postępu arytmetycznego jako funkcya jego wskazówki porządkowej n.

Rozwiązawszy wyraz ogólny postępu ai-ytmetycznego r-go rzędu, podany powyżej w postaci:

an

= % + Ct') ⁶.+(”2’) n+("7 ‘)ä3.+■■■+(*;’) s-, •

(i)

według potęg wskazówki porządkowej n, otrzymamy widocznie wielomian r-go stopnia ze względu na n, w postaci:

(II)

an — c₀ -f- ctn c₂«² -j-... -{- <V nr, którego (r-j-1) spółczynników :    c₀, q, c₂,..., cr, zależy wyłącznie od (r 4* 1) wyrazów:

8rt , przyczem, jak łatwo zauważyć, jest c₀ = ai, zaś cr=—j&ri.

Z tego wynika, że wszelka całkowita wymierna funkcya r-go stopnia , ze względu na liczbę n, kształtu: c₀ + ąn -f- c₂«² -f- ... Ą-crnr, przedstawia ogólny n-ty wyraz pewnego postępu arytmetycznego r-g o rzędu, którego pierwszy wyraz oą — c₀, a stała r-ta różnica 8r! ==> r ! cr.

W szczególności tworzą w-te potęgi liczb szeregu naturalnego : an=nm, («=1,2,3,...), postęp arytmetyczny m-go rzędu , którego pierwszym wyrazem jest cą = 1, a stałą r-tą różnicą o?'₁=r!

Wobec tego możemy na podstawie wzoru (24) wyznaczyć sumę jakichkolwiek (w-tych) potęg liczb szeregu naturalnego :

Sn =1« -f 2¹⁷¹ 4- 3m ... -f n™.

Tak n. p. otrzymamy:

(1) dla « = 2, szereg kwadratów : l², 2², 32 w którym at=l, 3,    ² == 2 ! = 2, przeto na wyznaczenia sumy kwadratów:

n¹

jako postęp arytmetyczny drugiego

rzędu

Sn = 1² 4~2³4- ••• 4“ ^²> wzór:

S.=n + 3.(S)+2.(g)

«(« 4-1) (2» + 1)

(2) dla «=3 szereg sześcianów : l³, 2³, 33 rzędu, w którym at = l, S₁=7, 8\ = 12, 8₁³=3! = 6, przeto:

«³,..., jako postęp arytmetyczny trzeciego

S* = l³4-2³ 4- - 4- n*=n + 7 . (![)+12. ($) + 6. (*)

«²(«4-i)²

20. Liczby postaciowe. Szczególne przypadki postępów arytmetycznych tworzą wyrazy szeregów sumowych, powstałych z postępu arytmetycznego pierwszego rzędu o stałej różnicy d i o wyrazie początkowym =1, t. j. z postępu arytmetycznego:

1 4-nd,...

1, 1 4- d, 14-2d, 1 + 3d

i t. d. r-ty szereg sumowy:

jako postęp arytmetyczny r-go rzędu o wyrazie ogólnym:

^.-(*⁺r¹)+(

n + r —

r + 1

r-go rzędu. W szczególności nazywamy liczby szeregu (a)

Otóż te szeregi sumowe znane są pod nazwą szeregów liczb postaciowych pierwszego, drugiego w przypadku, gdy d=*p—2, liczbami plaskiem i p-kątowemi, ponieważ jednostki tych liczb uważane jako punkta , dadzą się zestawić w podobne p-kąty płaskie umiarowe o wspólnym wierzchołku, a liczby szeregu (b) w przypadku, gdy d—p—2, liczbami os trosł upo wem i p-ściennemi, ponieważ jednostki tych liczb dadzą się zestawić w podobne p-ścienne ostrosłupy o wspólnym wierzchołku.

21. Liczby 2>~kątowc płaskie. W szczególności otrzymujemy z szeregu (a) :

(1) dla tf=l, czyli dla p=3, szereg naturalny liczb: 1, 2, 3, 4,... w , z którego otrzymujemy szereg sumowy, jako szereg liczb trójkątowych:

(T)

1, 3, 6, 10, 15

którego ogólny wyraz :

-0 + C9-CÎ¹)

Szeregami sumowemi tego postępu, kolejno po sobie następuj ącemi, są: (1) pierwszy szereg sumowy:

1, 2 +d, 3+3d, 4 + 6<ż, 5 + lOcZ,...

jako postęp arytmetyczny drugiego rzędu o wyrazie ogólnym Sn — n + (”)d. (2) drugi szereg sumowy :

O)

1, 3 + tf, 6 + 4<ż, 10+10d, 15 + 20Æ,... jako postęp arytmetyczny trzeciego rzędu o wyrazie ogólnym:

Oin

przedstawia n-tą liczbę trójkątową (trójkąt o n kulach, w jednym boku (fig. 245.).

Fig. 245.

Fig. 246.

Fig. 247.

Fig. 248.

(2) Dla d — 2, czyli dla p>=4, otrzymujemy z postępu arytmetycznego pierwszego rzędu: 1, 3, 5, 7, 2»—1,..., szereg liczb czwór okątowych:

którego ogólny wyraz:

1, 4, 9, 16

przedstawia «-tą liczbę czworokątową, czyli kwadratową (kwadrat o n kulach w jednym boku). (Fig. 246.).

(3) Dla d = 3, czyli p — 5, otrzymamy z postępu :

1, 4, 7, 10, 13,..., 8»—2,...

szereg liczb pi ęci ok ąt o w y c h:

1, 5, 12, 22, 35

n(3n—1)

,...

którego wyraz ogólny :

an

= G) + (")-3=-^

przedstawia «-tą liczbę pięciokątową (pięciokąt umiarowy o n kulach na jednym boku). Fig. 247.

(2n—1), i jego pierwszego

/n+l\ 2re-f-l ( 2 )-J-

(2) Dla d — 2, (p=4), otrzymujemy z postępu: 1, 3, 5, 7, szeregu sumowego: 1, 4, 9, ..., «²,..., drugi szereg sumowy: 1, 5, 14, 30, 55 jako szereg liczb ostrosłupowych czworościennych, którego wyraz ogólny:

dn

-CîO + CtV-Ct¹)^

przedstawia «-tą liczbę ostrosłupową czwór oścień na (ostrosłup czworościenny kul o « warstwach kwadratowych fig. 250.).

(3) Dla <7 = 3, (p = 5), otrzymujemy z postępu : 1, 4,7,10,..., (3«—2), .. i jego pierwszego

/ją- |- 2 \

drugi szereg sumowy : 1, 6, 18, 40, 75,...«( 2 )’

szeregu sumowego : 1, 5, 12, 22,... jako szereg liczb ostrosłupowych pięciościennych, którego wyraz ogólny:

(4) Dla d — 4 a więc p = 6, otrzymamy z postępu arytmetycznego pierwszego rzędu:

4«—3, ...

1, 5, 9, 13, 17

szereg sumowy, jako szereg liczb sześciokątowych:

1, (?, 15. 28, 45

n(2n — 1),...

którego ogólny wyraz:

dn

przedstawia n-tą liczbę sześciokątową (sześciokąt umiarowy o n kulach na jednym boku) (fig. 248.).

Dla d—p—2, otrzymujemy z postępu arytmetycznego pierwszego rzędu: 1, p—1, 2p—3, ‘dp—5,

(n-l)p-(2n—3)

szereg liczb p-k ą t o w y c h :

1, p, dp—d, Gp—8,

(2) p-n(n-2)

którego wyraz ogólny :

«n

=(l) + (2) (P -2) = (g) p-w (w- 2),

przedstawia n-tą liczbę p-kątową (p-kąt umiarowy o n punktach na jednym boku).

22. Liczby ostrosłupowe p-ścienne, występują jako wyrazy drugiego szeregu sumo-wego, otrzymanego z danego postępu arytmetycznego o wyrazie początkowym 1 i stałej różnicy d — p—2. W szczególności otrzymamy:

(1) dla d=l, czyli p—d, z szeregu naturalnego liczb: 1,2,3,

«, ...i jego pierwszego

szeregu sumowego : 1,2,6,10,...    ..., drugi szereg sumowy: 1, 4, 10, 20, 35,..., (w^²)

jako szereg liczb ostrosłupowych trójściennych, którego ogólny wyraz:

an

przedstawia «-tą liczbę ostrosłupową trójścienną (ostrosłup trójścienny kul o n warstwach trójkątowych fig. 249.).

Fig. 249.

Fig. 250.

Fig. 251.

Fig. 252.

«(3«—1)

(lv

przedstawia «-tą liczbę ostrosłupową pięciościenną (ostrosłup pięciościenny kul o «-warstwach pięciokątowych fig. 251.).

(4) Dla d — 4, (p — 6), otrzymujemy z postępu : 1, 5, 9, 13, 17,... (4«—3),.., i jego pierwszego szeregu sumowego:!, 6, 15, 28, 45

n{2n — 1), drugi szereg sumo wy:

1, 7, 22, BO, 95,

jako szereg liczb ostrosłupowych sześciościennych, którego wyraz ogólny:

4«—1

5 •* 1

(In

-CD + CD-^Ct¹)-

przedstawia «-tą liczbę ostrosłupową sześciościenną (ostrosłup sześciościenny o « warstwach sześciokątowych, fig. 252.).

Ogólnie dla d — p—2, otrzymujemy z postępu arytmetycznego pierwszego rzędu:

1, p—1, 2p—3, 3p—5,..., («—1 )p—(2«—3),...

i jego szeregu sumowego :

1, p, 3p—3, 6p—8,... Qp-nÇn—2), ...

/w + 1\    /« + l'\ 2»- “

V 3 )P-( 2 ) —

jako szereg liczb ostrosłupowych, p-ściennych, którego wyraz ogólny:

o.-? t V 01x) (p-8) - C ł >-(" tx)

drugi szereg sumowy :

1, p1, 4p—2, 10p—10

przedstawiają «-tą liczbę ostrosłupową p-ścienną (ostrosłup p-ścienny o « warstwach p-kątowych).

23. Wyznacznik ściślej symetryczny, utworzony przez wyrazy postępu arytmetycznego. Jeżeli w wyznaczniku ściślej symetrycznym m-go rzędu:

al)    a2l    a31

j ^*4

«3,    «4, . .

H—

am-1-1

(25)

Ctm

elementa an, (« = 1,2,..., 2m—1), tworzą postęp arytmetyczny r-go rzędu, a więc ich wyraz ogólny an w myśl art. 19. str. 389. przedstawia się w postaci pewnej całkowitej wymiernej funkcyi r-go stopnia ze względu na liczbę porządkową «, czyli jeżeli:

an — c₀ -f- ct«4- c₂»²-f- ••• + cmr , (« = 1, 2,..., 2«î—1), natenczas r-ty szereg różnicowy szeregu: av, a2,...,    1, będzie miał wyrazy jednakowe

8ri = r! cr, a wyrazy następnych szeregów różnicowych będą zerami: ?r+j₁ =    2t= ... = 0.

Zastępując więc w wyznaczniku ściślej symetrycznym II jego elementu «„,(«=2, 3,...2m—1), kolejno przez wyrazy początkowe; §²j, 8³1?    ,..., 82(wj—i)t jego(2m—2) szeregów różnicowych,

otrzymamy nowy wyznacznik II'=H, w którym, w przypadku, gdy r<^m—1, elementa bocznej przekątni, tudzież wszystkie elementa po jednej stronie tej przekątni, będą zerami. Taki wyznacznik będzie miał widocznie jeden lub kilka ostatnich wierszy i kolumn, wypełnionych zerami, będzie więc sam miał wartość zera.

Jeżeli zaś r = m—1, natenczas, zastępując w wyznaczniku ściślej symetrycznym 11 2m—1), tworzące postęp arytmetyczny r-go rzędu , przez ich wyraz początkowy at i przez wyrazy początkowe 8n S^,..., 8rj jego r szeregów różnicowych, otrzymamy w tak przekształconym wyznaczniku H‘ równym II, wszystkie elementa bocznej przekątni równe stałym wyrazom r-g o szeregu różnicowego, które w przypadku, gdy :

an—c₀ -J- Cj« -f-c₂«²-)-••• -\-crnr, (« = 1, 2,..., 2m—1), będą miały kształt otr = r ! cr, wszystkie zaś elementa po jednej stronie tej przekątni:

V+¹, V+²

jego elementa an, (« = 1, 2,

8j2r—¹ będą zerami.

Wartość takiego wyznacznika sprowadza się do iloczynu elementów bocznej prze-

m (m—1)

kątni, wziętego ze znakiem ( — 1)    2

(1)

będzie więc :

m (m—1)

H={— 1)    (r\ cr)m. = (—1)    ² .[(w — 1)! cm-i]m.

(25')

A zatem: Wyznacznik ściślej symetryczny m-go rzędu o elementach, tworzących postęp arytmetyczny r-go rzędu, ma 10 przypadku, gdy r <( m—1, wartość zera , a w przypadku, gdy r=m—1, jest bezwzględnie biorąc, równy m-tej potędze liczby (r ! cr), która jest stałym wyrazem r-go szeregu różnicowego tegoż postępu arytmetycznego.

24. Do wyznaczników ściślej symetrycznych możemy sprowadzić także takie wyznaczniki, w których nie boczna lecz główna przekątnia i wszystkie rzędy do niej równoległe mają jednakowe elementa, jako to:

«1

a₂,

i/' =

ö3?    •••)    an—1 ;    an

a1i    •••)    an—2i    an—1

a\i    •••)    an—3 >

«2

a2n-2ł a2w—3 ł an—3 >"•} al > a2»—U a2n—2i a2n—2i "•) an-|-H al

Możemy bowiem przemianą poszczególnych par kolumn przekształcić dany wyznacznik tak, aby elementa głównej przekątni stały się elementami przekątni bocznej.

n (ra—2)

a- = (-i)~2~a.

(26)

Będzie więc

Do tych wyznaczników stosują się więc także wszystkie własności wyznaczników ściślej symetrycznych.

25. Wyznaczniki doskonale symetryczne. Wyznacznikiem doskonale symetrycznym albo także podwójnie ściśle-symetrycznym nazywamy taki wyznacznik ściślej - symetryczny, który w każdym wierszu i w każdej kolumnie ma te same elementa, zestawione w takim porządku, że grupa elementów jednego rzędu jest kołowem przestawieniem elementów rzędu poprzedzającego.

Przestawienie grupy nazywamy kolowem, jeżeli elementa następują w tym samym porządku , co w grupie poprzedniej , a tylko zaczynają się kolejno od coraz innego elementu wstecz (lub wprzód) położonego.

Wyznacznik dokładnie symetryczny «-go rzędu przedstawia się zatem w postaci :

dn

£*n—1

i⁵ i⁵

i⁵ «

i •••} £*w—1 j Q>n , ttfi—2 j £*m—1 £*n— 3 5 £*n—2

(27)

a21

£*47 £*4> •••}    £*w )

zawierając n elementów : a1} a₂,...,    , ułożonych w każdym wierszu w jednem

z po sobie następujących n przestawień kołowych.

26. Szczególna własność wyznacznika doskonale symetrycznego. Dodawszy w wyznaczniku N (wzór (27)), do elementów pierwszej kolumny kolejno elementa wszystkich pozostałych kolumn, otrzymamy w pierwszej kolumnie tak przekształconego wyznacznika N wszystkie elementa jednakowe, równe sumie: at-pa₂ -p... -p a«, co dowodzi, że wyznacznik doskonale symetryczny jest podzielny przez sumę elementów jednego wiersza (lub jednej kolumny).

Weźmy pod uwagę równanie dwu wyrazowe n- go stopnia, kształtu: xn—1 =0, i oznaczmy przez co jeden z «-tych pierwiastków pierwotnych jednostki dodatniej (art. 20. str. 142.), natenczas wszystkie n pierwiastków tego równania przedstawiają się kolejno w postaci : to, to², to³,..., w»-1, to», gdzie to» = l.

Wybrawszy pierwiastek to, pomnóżmy elementa drugiej kolumny przez to, trzeciej przez to²,..., «-tej przez co»-¹ i dodajmy tak pomnożone elementa kolejno do elementów pierwszej kolumny, natenczas otrzymamy w pierwszej kolumnie tak przekształconego wyznacznika N, następujące sumy :

ax -J- a₂eo -j- a₃co²-p ... -(- an to»—¹ = a,

Cln -p «1 to -p a₂to²-p    CO»—¹ = a .to,

Un-1 -j- an to -f- % to²-)- ... -pan- 2 to»-¹ ==«. to².

a₂ -p a₃to~p a₄to² -P ... -p ajto»—¹ = a. to»-¹

- 394 -co dowodzi, źe wyznacznik A jest także podzielny przez sumę:

(ti 4“    w d~ w2 4“ ••• 4“    ^n ^*.

w» 1 , przeto poznamy z łatwością, że wyznacznik dokładnie syme-

Ponieważ przy tem działaniu możemy użyć jakiegokolwiek z («—2) pozostałych pierwiastków, w², w³

tryczny A jest także podzielny przez następujące sumy:

a^ 4- ^2 ^ ² 4* ^3 ^ ^ d~ • • 4”    ^ ²(w b

Oą-1~ Ö2W³ 4 ®3*u®4” ••• —I-    f»³(n 9 ,

öj4"    ^4”®3w3^ i) 4— ••• 4~    —b ■

Wobec tego możemy wartość wyznacznika doskonale symetrycznego A przedstawić

w postaci:

N— O. (oą 4- a₂ 4- ... 4" ein) (® 14" aiM 4“ ••• d- an wW *) ••• (ai 4" «2    1 4" ••• 4" ®n    —b

gdzie C jest pewnym spółczynnikiem. bliżej wyznaczyć się mającym.

Aby go wyznaczyć, dość porównać to rozwinięcie wyznacznika z rozwinięciem zwykłem na jakichkolwiek dwu wyrazach.

W rozwinięciu zwykłem wyznacznika A otrzymujemy jako iloczyn elementów głównej przekątni wyraz oą”, z wskazanego powyżej iloczynu wypływa podobny wyraz w postaci: C'a!«, z czego wynika, źe (7—1.

Otrzymujemy zatem na wyznaczenie wartości wyznacznika doskonale symetrycznego A, wzór:

(aA 4-«2 + ••• + «») («14-«2+ • •• +    («i d-«2w2 + ••• 4-ow«>2(n-1))j ...

(28)

... (0^4-a₂W⁷*-¹ 4-...4-ÛT» w^-¹)²),

gdzie w jest jednym z pierwotnych n-tych pierwiastków jednostki dodatnej.

27. Przykład. Wyznacznik doskonale symetryczny trzeciego rzędu:

x y z

A= z x y = (x-\-y -j- z) (x -j- wy co²#) (cc -f"    4~ ws)*

y z x

Pierwiastkami równania trzeciego stopnia cc³—-1=0, są w, w², 1, gdzie (o——ij₂-\-l/₂i\/ 3, w² — —■%— Vj»V3 , w²=>l, a więc w-j-fo²= —1, otrzymujemy zatem: (#4-ll>yd_t‘)2l80(a;d_wVd_W2:)⁼a3²4_y²4-a;2/(w4-fo2)4_a:2:(tod_w2)4"2/'2:(w 4" w²)=a:²4-v/²4-2:2—xy—xz—yz, przeto wartość wyznacznika A w postaci :

A= (a; 4” 2/ 4* *)(**4-ya+ «²—xy—#2—yz) =»³ 4~ //³4~2:3—3a5yz.

28. Wyznaczniki hypcrsymetryczne. Wyznacznikiem hypersyme, trycznym, albo też ogólniej - symetrycznym nazywamy wyznacznik, w którym elementa głównej przekątni aa są liczbami rzeczy wistemi , ele-menta sprzężone aik i aki zaś liczbami zespolonemi, parami sprzężonemi :

a-\-bi i a—bi, («=y/HI),

jako to :

«u

(*12 “ł* ^i2b ’••} ^ln“b b\ni

a2n d~ b<Lni

(29)

(*ln b\nij (ł^n birJ¹)    Q>nn

29.    Twierdzenie. Wyznacznik hypersymetryczny ma wartość rzeczywistą.

Zastępując bowiem w wyznaczniku hypersymetrycznym A, jednostkę urojoną i przez

—i, spostrzeżemy, że wyznacznik A nie zmienia swej wartości , ma więc wartość niezależną od i, czyli wartość rzeczywistą.

30.    Ogólne uwagi o szczególnych rodzajach wyznaczników. W niniejszym wykładzie rozważaliśmy szczególne postacie wyznaczników kwadratowych , biorąc pod uwagę sposób rozłożenia jednakowych elementów wyznacznika, odnośnie do przekątni jego szematu kwadratowego.

Ten pogląd czysto geometryczny, występujący pod postacią symetryi osiowej, może być odniesiony nietylko do przekątni, lecz także do środka kwadratu, w którym wypisane

— 395 —

są elementa wyznacznika. W ostatnim przypadku dochodzi się między innemi do pojęcia wyznacznika środkowo-sy metrycznego, który tern się odznacza, że jego elementa jednakowe leżą na jednej środnicy kwadratu w jednakowem oddaleniu od jego środka. Dotyczące poszukiwania nie są jeszcze w system ujęte, dlatego też niemi zajmować się nie będziemy.

Nadmienić tu jeszcze wypada, że pod względem geometrycznym uogólnione zostało pojęcie wyznacznika kwadratowego (o n elementach) do pojęcia wyznacznika sześciennego (o rià elementach) i ogólnie do pojęcia wyznacznika wielowymiarowego (o nr elementach).

Nie wchodząc bliżej w te ugólnienia poglądowe, zajmiemy się w następnych wykładach jeszcze temi rodzajami wyznaczników, do których prowadzą zastosowania teoryi wyznaczników w rozmaitych zagadnieniach algebry lub geometryi.

Ćwiczenia XXIX.

pi

P

O.

§Q

g'

i wyznaczyć

a 11 ®12 al3 a12 a22 a23 a13 a23 °33 i

.    3)

CO lO CD O HO H Si IM^OCD

HOrfiO O rH CM CO O rH (M CO

.    5)

—a 0 —b —d

—b

CO Ss «Si o

Ci

-/

. 8)

rH CM CO

'S So i—l O H Si

• 6)

—2

CO    CO

• 9)

~f

tH i—i O r—i

10)

1111 l—l—l 1 l—l 1—1 1 1-1-1

. 11)

ntH i—l CM CO CO Ttf tH (M CM CO rH i-i CM CO hH

. 12)

COCQHO

dkooh

1-1 O CO <M O i—l CO CO

tH

co'

CO CO (M CO CM CO (M C0 CO

. 14

cc —J— b —[- Cj cc -p b -f- c o-j-6-fc,    26,    a-\-b-\-c

a\b-\-c, a-\-b-\-c, 2c

2 a,

x—y—z, . 15) y-fa?,

y -f »,    * + u

y-z—x    z Ar y

2 + «/, z-x-y

h-»

O O O M- H O O I-L & O O I—¹ S O O l—¹ H O O O H O O O M-

. 17)

s' ^4 é' s'

. 18

tO -J tJH to

i—¹ I—1 CD tO

OC I—¹ H*

O CD

CM

H—

16

CD CM -^1 1—1 CO CD

CD (M H CO

. 20)

2² 3² 4² 52 3² 4² 5² 62 4² 5² 6² 'i²

. 21)

^ OD tO M

www

oi ^ 00 to

www»

O Cl ^ 00 w w w w

CO CO OJ CO

22)    Jeżeli w wyznaczniku symetrycznym S = | aik j, (a(k = akj), minor a.rr , należący do elementu arr, leżącego w głównej przekątni, jest zerem, dowieść, że taki wyznacznik symetryczny jest kwadratem liniowej funkcyi elementów r-go wiersza, lub r-tej kolumny.

W szczególności, jeżeli an = 0, otrzymujemy:

S= — [«12^*22 + «13 V/*33 "f ••• "f UiiA/cinrĄ¹.

23)    Dowieść, że w wyznaczniku skośnym (aki —— aik, au= 0) nieparzystego rzędu minory, należące do elementów sprzężonych aik i au są sobie równe , czyli , że a;* = an.

24)    Dowieść, że w wyznaczniku skośnym (aki — — aik, au= 0) parzystego rzędu, 2 r) są minory <xu = 0, zaś aik — — a ki.

25)    Dowieść, że wyznacznik skośny D = | aik |, (aik — —au; au — 0) (i, k=l,2,... 2r), daje się wyrazić, jako kwadrat jednorodnej liniowej funkcyi elementów jednego wiersza ze spół-czynnikami wymiernymi, mianowicie otrzymujemy:

D = [uj2 \/ «22    a\3 \/a33 ~f ••• 4" a^n\/a»n]²)

gdzie au są minorami elementów głównej przekątni.

26)    Wykazać, że wyznacznik ściślej symetryczny, utworzony przez kolejno po sobie następujące wyrazy postępu arytmetycznego , którego rząd jest o jednostkę większy od rzędu wyznacznika , ma wartość zera.

— 396 —

Wyznaczyć szeregi różnicowe, rząd i wyraz «-ty następujących postępów arytmetycznych :

28) % 3, 73%, 243, 604%,... 30) 1, 5, 12, 22, 35, 51 32) 1, 9, 30, 70, 135, 231,...

27) 2, 15, 52, 125, 246, 427,...

29) 1, 5, 15, 35, 70, 126,...

31) 1, 7, 18, 34, 55, 81

Wykazać, że dla szeregu głównego: «n a₂> a3) «4,..., wyraża się:

33)    Pierwszy wyraz r-go szeregu różnicowego wzorem:

%ri— ar+1 — Q ar -f g) aT-i -f ... + (—l)r aj.

34)    Ogólny («-ty) wyraz szeregu głównego wzorem :

«» = «.+ Cl¹) 8, + (“r¹) 8\ + ... + Czl) 8—1,.

35) Suma n wyrazów szeregu głównego wzorem :

«• = (?) «, + fi) 8, + fi) 5*,+ (fi 83, + ... + g) 5,

36)    W postępie arytmetycznym pierwszego rzędu zachodzą między pięcioma wielkościami: aj, d, n, an i Sn dwa związki: an — ay-\-(n—l)d, Sn = (oą -f- an ) ; wyznaczyć którekolwiek dwie wielkości, gdy trzy pozostałe są znane.

37)    Wykazać, że dla liczb aj-kątowych jest:

an = rl [(aj—2) n²—(aj—4) »],

Sn — s » (n +1) [3 -f- (a?—2) («— 1)].

38)    Wykazać, że dla liczb ostrosłupowych aj-ściennych jest:

an — \n(n-\- l)[3-j-(æ—2)(n—1)],

Sn = ilun (» + 1) (» + ²) [4 + (*—2) (w— 1)].

39)    Wykazać, że dla liczb postaciowych r-g o rzędu, (mających stałe r-te różnice), jest

2\ r + (aj—2) («—1)

)    r    ’

(n+r —1\ r + l-f (aj—2) (»—1)

*W==V r j -7+1-•

n -\-r—

r—1

Uzmysłowić rysunkiem i wyznaczyć następujące liczby postaciowe⁻

40)    Szóstą liczbę siedmiokątową.

41)    Piątą liczbę ośmiokątową.

42)    Szóstą liczbę ostrosłupową siedmiościenną.

43)    Piątą liczbę ostrosłupową ośmiościenną.

44)    Wykazać, że wyznacznik środkowo-symetryczny czwartego rzędu da się przed

stawić jako iloczyn dwu wyznaczników drugiego rzędu w postaci :

av by Cy dy

«2 % c2    I «1 + %,

d-2 c-2 b<2 ö₂ I a^Ą-d-2,    c-2

dy Cy by tty

\ay—dy, by~Cy\

I — ^2, &2—c2 I

Rozwiązania XXIX. 1)2 abc. 2) a₁i«₂2a33—a22ef2i3‘~ %3a?i2+2aJ2 a₂₃ a₎₃. 3) 112. 4) -224. 5) (af—be + cd)*. 6) (a/ + óe-f ccż)². 7) (Sx—2y Ą-z)\ 8) (3® + 2y + z)\ 9) -3. 10) 16. 11) 0. 12) 0. 13) 8. 14) 8abc. 15) S(x + y + z) (*² + y² + z²). 16) æ⁵+1. 17)    9a⁴.

18) 4. 19) 0. 20) 0. 21) 6*. 27) S³₁ = 12, an=2n³-n+l. 28)    =    ¹/₃. 29) a„=(n+³).

30)    (3w² —«). 31)    ^ (5«²—3«). 32) an= ^ n (n + 1) (2«—1). 36) Dziesięć możliwych za

gadnień. 40) 81. 41) 65. 42) 196. 43) 135.

Literatura. C. J a c o b i. Bildung und Eigenschaften der Determinanten (1841), übersetzt und m. Anmerkungen herausgegeben von P. Stäckel. Leipzig 1896. B. Scott. Treatise on the theory of déterminants. Cambridge 1880. W. Schräder. Zur Theorie der Determinanten 1887. L. Gegenbauer. Über Determinanten höheren Banges. Wien, 1880.

Tematy do rozprawek naukowych :

1)    Wyznaczniki ściślej symetryczne i doskonale symetryczne.

2)    Teorya szeregów arytmetycznych wyższych rzędów.

3)    Teorya wyznaczników sześciennych.

Wykład XXX.

Zastosowanie wyznaczników w teonyi ułamków ciągłych.

1. Określenie ułamków ciągłych. Jeżeli szereg ułamków :

Pn

3»

Pi Pi Pz 3i ’ 3₂ ’ 3s

tak ze sobą połączymy, że każdy następny ułamek będzie dodajnikiem mianownika w poprzedzającym ułamku, wtedy otrzymamy wyrażenie kształtu:

Pi

3i +P2

3₂+Ps

(1)

qn

które nazywamy ułamkiem ciągłym.

Poszczególne ułamki—, (i= 1, 2,    «), nazywamy wyrazami albo też

•    .    .    9/':

ogniwami ułamka ciągłego, liczniki pi, p₂, ..., nazywamy licznikami częściowymi, mianowniki zaś g1? g₂,.,., 3» mianownikami częściowymi.

I)la oszczędności miejsca piszą się ułamki ciągłe także w postaci:

albo także:    + — + — +    —

3₂    1.13

gdzie punkta umieszczone nad -f mają oznaczać, że następujący ułamek należy dodać do poprzedzającego mianownika.

2. Wartości przybliżone ułamka ciągłego. Przerwawszy dany ułamek «-wyrazowy kolejno na pierwszym, drugim, trzecim,..., n-tym wyrazie, otrzymujemy ułamki:

\P± Pl    Pl Pn]

Ui ’ 3^    3s ’    3»J

Qn

(1')

Pl    \Pl Pl 1    \Pl Pi Pz

3i ’ L3i ’ 3₂J’ L3i ’ 3-2

Psi    \Pi Pi Pn\

3₃J    L3i ’ 32 ’ 3nJ

które nazywamy wartościami przybliżonemi, (albo też red uktami danego ułamka ciągłego). W szczególności nazywamy wartość ułamka, złożonego z pierwszych r wyrazów, (r=l, 2,..., .u), r-tą wartością przybliżoną (albo r-tym re duktem) danego ułamka ciągłego.

3. Obliczanie kolejno po sobie następujących wartości przybliżonych.

Oznaczmy r-tą wartość przybliżoną ułamka ciągłego przez otrzymujemy :

Ä V. , ^

lO³

natenczas

P\ . Pi p> _ Pi

$1 Qi ⁷ Q2 „i

tfi -r

JJ

Zastępując w ostatnim wzorze mianownik częściowy q₂ przez    ,

' ⁽h

otrzj^mamy trzecią wartość przybliżoną w postaci :

PMz+PiPz__

(?i ^-H^ + tfiPs

Pitf₂

(2)

co co

Pl

(,,+S)

#2

(3)

Jeżeli na podstawie (2) położymyp^ =P₂,    +p₂ = #₂, Pi=^*i> <li=Q

natenczas wzór (3) przedstawi się w postaci :

P₃__P2^ + PiPs

Qs Q2Q.3 ”1" QiPz

(30

z której widzimy, że :

P%—P2 0.2 ”k P\Pz J Ql— $2^3 "ł~ Q\Pz'

Wobec tego spodziewamy się ogólnego prawidła:

Pr Pi—1 qr~\~Pr—2 Pr

Qr    Qr—i Ord" Qr—2Pr

Pr = Pr-1 qr + Pr-2 Pr , #r = Çr-1 qr + Qr-2 Pr-Przypuśćmy, że to prawidło, które okazało się prawdziwe dla r = 3, utrzymuje się też dla r-tej wartości przybliżonej, natenczas, chcąc z tego prawidła wyznaczyć (rj-l)-szą wartość przybliżoną, należy r-ty mianownik

czyli :

częściowy qr zastąpić przez

2r+l

Wobec tego otrzymujemy:

Pr-1

Qr-,(ir+^^ + Qr

__{Pr—1 (?r“f" Pr—2Pr) 3r-f-l “f"Pi—1 PrĄ-i Pr (?r4-l "ł” Pr—lPr+1

Qr 9V-J-1 H" Qr—1 Pr-j-1

r+i⁼-Pr îr-f 1 ~j“-fr—1 Pr-fl j Qr-fl ⁼ $r îr+l "ł" Qr—1 Pr-flj

Pr+1

#r+l

-2 Pr

-2 Pr

($r—1 ö'r + Qr—2 Pr) Qr+1 + $r—1 Pr 4-1

a więc :

prawidło zgodne z powyżej przyjętem.

A zatem prawidło, ważne dla r-tej wartości przybliżonej jest ważne także dla (r-f-l)-szej wartości przybliżonej dla trzeciej , więc jest prawdziwem także dla czwartej i t. d., a więc ogólnie prawdziwem.

Mamy zatem ogólne prawidło obliczania kolejno po sobie następujących wartości przybliżonych danego ułamka ciągłego według wzorów redukcyjnych :

że okazało się prawdziwem

1 n—’-Pri—i Qn~\~ Pn—iPn j

Licznik Mianownik

(4)

Qn — Qn— 1 qtn-\~ Qn—îPn

| każdej wartości przybliżonej ułamka ciągłego jest | poprzedzającej wartości przybliżonej, pomnożonemu przez mia-| przed-poprzedzającej wartości przybliżonej,

To znaczy :

licznikowi mianownikowi

nownik częściowy, więcej

pomnożonemu przez licznik częściowy tego ivyrazu, na którym się zatrzymujemy.

równy

licznikowi

mianownikowi

— 399 —

4. Chcąc więc obliczyć wartości przybliżone danego ułamka ciągłego , wyznaczamy

P P

wprost pierwszą i drugą wartość przybliżoną, t. j. —1 i ²

Yl V2

poczem postępujemy już we

dług prawidła powyżej wykazanego.

Tak znajdziemy n. p. dla ułamka ciągłego: x= ^ -f § 4. f + | -p |.

= .g-, więc: P₂=3, Qt=8, 87 . P₅

a stąd:

--==■, więc P₁₌l, ^₂,-=2+2/s

P₃ 3.4+ 1.3    IB. P₄ 15.5 + 3.4

8.4 + 2.3    38 ’    38.5+8.4 ~222’    — 222.G + 38.5⁻ 1522 ’

5. Bezpośrednie obliczanie licznika i mianownika wartości przybliżonej danego ułamka ciągłego za pomocą wyznaczników. Na wyznaczenie mianownika n-tej wartości przybliżonej danego ułamka ciągłego mamy według (4) wzór redukcyjny: Qn— Qn—i #«+ Qn—ïPn, który możemy przedstawić w postaci:

Pn Qn—2~i~3m Qn— 1    Qn⁼⁼^’

Uwzględniając przytern, że Qi=Qi, Q₂ = Q\ Ç[₂ -\-p₂ ? otrzymamy na bezpośrednie wyznaczenie mianowników Qu Q₂t--, Qn następujący układ równań:

87 .6 + 15.5

597

(5)

Qi

(?2 Qi Q2

Pz Q\ “b (Z3 Q2

Pk Q2 d" Olk Q₂ Qb

= —P2

=0

=0

(6)

PnQn—2~\~ f[nQ,n—1    Qn — 0

Jest to układ n równań pierwszego stopnia domych :    Q₂,..., Qn, którego wyznacznik:

cf.

T3

so

po- O £ gł J-

o .-T J?

00 s* J⁻¹ J? P

o,o,

0..

0,

o,o,

-1...

•J

0,

o o cT cT

t-H

Pn-1 7 Q.n—1 >

Pn,

-1,    0,

Q.n 7    1

Wobec tego na podstawie art. 1. str. 352., otrzymamy:

zaś :

Dn

gdzie D=(—l)w_1

St

£ £ i⁻ P

cT o'th

i?

O T—I

o o cT cT

O o* cT o*

cT cT

£ £

»i cT

Sprowadźmy w wyznaczniku Dn natenczas otrzymamy :

ostatnią kolumnę na

pierwsze miejsce,

qu 1,    0,    0

P2J *?2>

o, p₃

0. o

-1

0,

#3?

Pm

cT 0

0,

0,

o,..., o, o,..., o,

1,.

0,

cT ö" cT o'

0000

cT o*'

Pn—1? Qn—1 y    1

0, pn 7    %

przeto będzie:

Qn =

O C> w* ^

^ H-*- o o

cT © cT t-T

ö' o o* cT

0,

0, 0,

0,

O,

Pn—lj Çn—1)    1

Pn j

0,0,

skąd, pomnożywszy elementa pierwszego wiersza i pierwszej kolumny przez (—1), otrzymamy:

Qn =

Ä ai ö' o"

?2,

P₃,

0,

^ «5

4Ï- w

« I

4^

O,...,

O,

0. ..

-1,.

o cT

•>

O,

O,

O,

O,

(?)

Pn— 1? QLn— \)    1

o,

Pn

qn

(». Na wyznaczenie licznika w-tej wartości przybliżonej mamy zaś według (4) wzór redukcyjny :

Pn— Pn—\q_n~\~ Pn—2 Pn > Pn Pn—2"ł~ Ç[n Pn—\    Pn^^0,

czyli :

(8)

skąd uwzględniając przytem, że: Pi —pi, Pï=p^qi=P^₎ otrzymujemy na wyznaczenie liczników : Pi, P₂,Pn , układ n równań liniowych:

=Pi

P<

q%P\ p%

PsPl+ZzPi— P3

PuPï+^Pz—Pk

=0

=0

=0

(9)

Pn Pn—2 Qn Pn — 1 Pn — O

którego wyznacznikiem jest :

o,

O,

0,

0,

0...

•?

O,

O,

cc <r

a»

-1

o,

-1,..

•J

O,

O,

O,

O,

o*

o,    o

o,    o

o, o,... o,    o,..

Pn—1 j Q.n—1?    1? O

Pn j Ç?n i

O,

Będzie więc (analogicznie do Qn) :

Pn =

^ cS £° ęr o" cT o*

O rH

cT cT cT th"

cT o" o* o"

(10)

O,

O,

Oj ...j Pn-1 J    1

o,o,

?. Wobec wzorów (7) i (10) wartość przybliżona danego ułamka ciągłego:

przedstawia się w postaci :

\Pi Pz

Pnl

gwJ ’

h-Ł

cT o" d'

Pn

cf o

....

qn-\

Vn,

qn

Qn

I—(    Pi co

I A,

°~7 «

(11)

qn—i,

•••) Pn ?

To znaczy: n-ta wartość przybliżona danego ułamka ciągłego da się przedstaivic w postaci ilorazu dwu wyznaczników n-go rzędu, z których każdy ma elementa różne od zera, wyłącznie na przekątni głównej i po obu stronach w najbliższym wierszu do niej równoległym. Wyznacznik w dzielniku ma w przekątni głównej wszystkie po sobie następujące mianowniki częściowe qx, r/₂, nad nią wszystkie (n—1) elementa ró>wne —1, a pod nią same liczniki częściowe p₂, p?i,..., pn. Wyznacznik w dzielnej otrzymuje się z wyznacznika w dzielniku, gdy w nim pierwszy częściowy mianownik q, zastąpimy przez pierwszy częściowy licznik ply a drugi częściowy licznik p₂ przez 0.

Zauważyć tu wypada, że minor pierwszego elementu jest w obu wyznacznikach jednakowy. Oznaczmy go przez Q\, natenczas otrzymamy:

QJn

qn,

Pn =Pi Q\

a zatem :

Pn

Qn

8. Z wzoru (11) możemy naodwrót otrzymać wzory redukcyjne (4). Rozkładając bowiem wyznaczniki Pn i Qn podług ich ostatniego wiersza, otrzymujemy:

Pn

qn

q->

— pn

p,    -1    0 ...    0

0    g₂    —1 ...    0

0 ... qn— 1

0 0 0 ... —1

0 ... 0

«1 —¹

î>2 ?î —1 ...    0

rH

— pn

to

0 0 0 ... -1

czyli :

0 ... qn -1

Pn = Pn — \    -j- Pn — 2 .pn , Qv =    —1 g» -f- Çn—2 . pn.

9. Wyznaczniki ułamka ciągłego w postaci wyznaczników skośnych symetralnych.

Wyznaczniki Pn i Qn możemy także przedstawić w postaci wyznaczników symetralnych (skośnych niesymetrycznych art. 9. str. 384.). Okażemy to najpierw na wyznaczniku Qn. W tym celu pomnóżmy elementa drugiej kolumny przez V/p₂, trzeciej przez \/PiP-z

przez VPiPi

«-tej

pn, a otrzymamy :

Qi

— VpiPz    _

Qn-

q-z VPiPs    —VpiPiïh • • o

Vpr VpiPr'-VPiPz-

. —Vptfh,-Pn .    . qnVprth,~'Pn

Podzielmy teraz elementa drugiego wiersza przez \/p%, trzeciego przez \/p%Pz n-go przez \/p^Pz,—, Pn, natenczas otrzymamy:

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

a wskutek tego, uwzględniając wzór 10. art. 6. wprost:

, o, 0,    0, ... o,

2    — Vpv o, ... o,

p»=

120

2s, —Vvk~ °,

0,    0,

0,    0,

cT cT

Qn =

2i, -VPi

VPi, 22, ~Vlh

°,    V/p₃,    23,

o,

0, ... 0^ ...

— V/p₄,-

OOO

0, 0, 0, 0, 0, 0,

Oj »»»(Jti—lj    V pn

0, ... \Zpn, qn

0,    ... Qn—I, \/pn

0, ... Vpn , qn

a więc tak Pra, jak Qn w postaci wyznaczników symetralnych.

10. Różnica między dwiema po sobie następująeemi wartościami przy-bliżonemi danego ułamka ciągłego. Oznaczmy różnicę między n- tą a (w—l)-szą wartością przybliżoną danego ułamka ciągłego:

Pi : Pi ■ Pa , \Pn-

--1---1-------r ••• i---r

?i ffa 03

przez Ą,, natenczas otrzymamy :

A __1\    Pn-\

n Qn    Q.n-1 "

Pn - 1 'In p Pri — 2 Pn

Pn-1

—1 Qn p Qn.—iPn

-1

(Pn—i Qn P Pn—2 Pn) Qn — i    (Qn—iQn~t~Qn—iPn)Pn-i

Qn — 1 Qn

Pn(Pn — 2 Qn — i Pn— 1 Qn—i) Pn Qn—i /

« V

Qn—i Qn

Pn Qn—2

Pn-1

Qn

Pn -2 Qn-2

a że :

•P»—2    Pn—1

Qn — 2    Qn-\

Pn—i    Pn—2

Qn—i    Qn—2

przeto otrzymujemy :

Pn Qn—2

dn_i*

(13')

Podstawiając w tym wzorze za n kolejno: 2, 3, ..., n, otrzymamy następujące równości:

Pi Qo A

Qi

Pi Qi A

Q3

Pn Qn—2 A

n—i ?

które, przez siebie pomnożone, dają:

— Q»QA-

P 70    70

Ponieważ Ax    ~, przeto możemy położyć Ai ——

°Li

Qn—1 Qn

<ii

a więc ze-

p

ro w ą wartość przybliżoną :    ¹- =

Qo

i-M o

przeto Q₀ = l.

Wobec tego otrzymujemy wzór:

An

Pn

Pn—1

PiPi-Pn

Qn Qn—i

Qn—i Qn

(13)

jako ogólny wzór na wyznaczenie różnicy między dwiema po sobie następu-jącemi wartościami przybliżonemi danego ułamka ciągłego.

11. Zważywszy, że:

Qn    Qi

Pn

(3

\q₂

p,

Qi

)⁺(S_lJ⁺-⁺(i

Qn -1

a więc :

Pn

Qn

otrzymamy na podstawie wzoru (13) :

Pn _ Pj

Qn Qi Q\ Q₂

wzór, wyrażający w-tą wartość przybliżoną danego ułumka ciągłego w postaci sumy, złożonej z liczników częściowych p, danego ułamka ciągłego i mianowników jego wartości przybliżonych.

12. Różnica między dowolnemi dwiema wartościami przybliżonemu Niech będzie zaś «-tą wartością przybliżoną danego ułamka ciągłego, a przytem «>m + l,

Jrai-f-1 Pm Çm-f-1 -j- Pm—1 pm-\-1 QmĄ-1 Qmqm-\.1 4~ Qm— \pm-\-\¹

— , otrzymamy :

Pm , m-tą

Pn

Pi P₂

P\ P2P3

Q₂ Q?,

-...d-(-l)»-¹

V\V₂ •••Pn

Qn—1 Qn

(14)

’ Qn

natenczas , uwzględniając że

Qm

Pn

Qn

powstaje z

gdy w

Pm-\-1

Qm-j-1

zastąpimy qm+1 przez qm+1 d

pm+2    : pm+3    ;

- d--

(jfwi-j-2 tytnĄ- 3

d-... d

; Pn

qn

Pn Pm

Pm

p

.---b Pm—i .pm+\    D

q    1 m

Qn Qm

pm+1 {Pm—i Qm— Qm—1 Pm)

Qm . ~—b Çm—1 . pmĄ-l

Pm-\-1 Qm—1

Qm

Qn Qm

Qn

f Pm _ Pm—i 1

L Qm    1

Według wzoru (13) mamy jednak:

Pm

PiPi-.pm

Qm

Qm—1 Qm ?

przeto otrzymujemy :

Pn Pm

, _ iw, Pi Pi -Pm Pm+1 1    ;    Qm Qn

wzór, określający różnicę między dwiema wartościami przybliżonemi , dowolnie od siebie oddalonemi.

Qn Qm

(15)

13.    Z wzoru (13) otrzymujemy wprost także wzór następujący:

Pn Qn-\ — Pn—1 Qn =(— l)™“¹ Py lh ... pn To znaczy : Różnica między iloczynem licznika n-tej wartości przybliżonej i mianownika poprzedzającej, a iloczynem mianoivnika tejże wartości i licznika poprzedzającej jest niezależna od mianowników częściowych ułamka ciągłego, a jest równa iloczynowi z pierwszych n liczników częściowych, wziętemu ze znakiem -b, lub —, stosownie do tego, czy poprzedzająca wartość przybliżona zawiera parzystą, czy nieparzystą ilość wyrazôiv.

14.    Ułamki ciągłe, złożone z samych wyrazów dodatnich. Jeżeli dany ułamek ciągły:

(16)

— 4-^+... + ^ ma same dodatnie wyrazy, tedy będą także jego wartości przybliżone 2i 22    2n

liczbami dodatniemi. Różnica między dwiema po sobie następującemi wartościami przybliżonemi będzie zaś na podstawie wzoru :

Pn

Pn—1 Qn — 1

dodatnią lub ujemną stosownie do tego, czy « jest liczbą nieparzystą, czy parzystą. Z tego wynika , że :

Ara

Qn

= (_!)«-!

Plth-Pn

Qn—1 Qn

P\ \ Pj Pj ^ P3 _

Qi    ’ Qï Q:\    Q2r—1

P'2r — i . P:2r    Plr    P₂r +1

Qlr ’ Qir Q₂r+i ’

czyli wartości przybliżone parzystego rzędu są mniejsze od sąsiednich wartości przybliżonych nieparzystego rzędu.

Każda następna różnica między dwiema po sobie następującemi wartościami przy* bliżonemi bezwzględnie wzięta, jest także mniejszą od poprzedzającej , co wskazuje wzór:

pm Qm—2 Qm

Pm Qm—2

w którym spółczynnik

Pm Qm ~ 2

Qm

Qm—1Qm + Qm—2pm | Am | < | Am—1 |.

, jest mniejszy od 1, a przeto :

Ztąd wypływa, że :

P%r—1 ftr-1 ’

<?4    <?6 ^    ^ <?2r’

czyli, że wartości przybliżone nieparzystego rzędu kolejno maleją, parzystego rzędu zaś kolejno rosną.

³ >4>->

4^3

<?5

tudzież :

Pn Pm

(—l)m -tĄ—•‘/>m wynika znowu, że różnica między dwiema

ym . V«

wartościami przybliźonemi jest dodatnią, lub ujemną , według tego, czy wartość przybliżona niższego rzędu jest parzystego, czy nieparzystego rzędu, skąd wypływa, że każda wartość przybliżona parzystego rzędu jest mniejszą, każda nieparzystego rzędu zaś większą od każdej wartości przybliżonej po niej następującej.

•r,    , ,, . Pn Pm . Pn Pm—1

Ponieważ rozmce — * —— i — —

Qn    Qm Qn    Qm—1

poznajemy, że każda wartość przybliżona zawartą jest między dwiema po sobie następują-cemi wartościami przybliźonemi niższego rzędu. A że ostatnia wartość przybliżona jest wartością ułamka ciągłego , przeto widzimy, że wartość ułamka ciągłego, złożonego z wyrazów dodatnich, jest zawartą między jego dwiema po sobie następującemi wartościami przybliźonemi. Wartości przybliżone parzystego rzędu, rosnąc, nieparzystego zaś rzędu malejąc, zbliżają się więc coraz bardziej do wartości całego ułamka ciągłego. Stąd też jest nazwa: wartości przybliżone, zupełnie usprawiedliwioną.

15. Twierdzenie. Wartość ułamka ciągłego nie zmieni się, jeżeli przez tę samą liczbę pomnożymy licznik i mianownik jednego z jego wyrazów, jakoteż licznik ivyrazu po nim następującego.

Twierdzenie to , które możemy przedstawić za pomocą wzoru :

ÜL + Al + „t+Pa+Ł±L + m.m+£i-

0\ O2    Or 3V+1    On

Pi P2 •    ; hpr • hpr+i •    ■ Pn

0 1    0.2    Mr ?r+l

gdzie h jest dowolnym czynnikiem, wynika wprost z ilorazu wyznaczników, przedstawiającego we wzorze (11) wartość ułamka ciągłego:

Al ₊ Al ₊

Oi 02

Uwzględniając wzory (12) i (12') art. 9., przedstawiające wartości na Pn i Qn w postaci wyznaczników symetralnych, zauważymy, że, mnożąc, tak w Pn, jak w Qn, r-tj wiersz i r-tą kolumnę tych wyznaczników przez \/h, nie

a równocześnie zastępujemy wyrazy: p

Z wzoru :

Qn Qm

Pn

mają dla n~j>m znaki przeciwne, przeto

Pn

On Q

On

(17)

zmienimy stosunku

ułamka ciągłego przez hpr, hqr, hpr+\.

Z twierdzenia tego korzystamy przy przekształcaniu ułamków ciągłych.

16. Przekształcanie ułamków ciągłych. Korzystając z wzoru (17), pomnóżmy poszczególne wyrazy ułamka ciągłego kolejno przez hi, h a otrzymamy :

Qn

Ot 7 Pr+i

lln,

hu Pn

Pi ; P2 ; Pz ; \Pn h Px ;KKp2 \KKpz ;    ;

Qi Ï2 &    ft    /&₃?₃

Ponieważ czynniki Ä są zupełnie dowolne, przeto możemy je tak obrać, aby częściowe liczniki stały się wszystkie równe 1.

Wartości szukane ft1} Ä₂,..., musiałyby czynić zadość równaniom:

hn Qn

. (18)

z których otrzymamy :

7    _ ¹    7    1

⁴ Pi h~ Kp%

Mr-i

PiPz

Ä₃=-^-PiPz

M r =

Pi

• •••%

PzPk

PîPti''" Pir—2

P\Pz‘" Pzr—i

PiPz- Plr-i

PzPi-Pir

(19)

Otrzymamy tedy :

ii

« ^5

to ; to

Qn Q>i ^2

O»

(20)

gdzie ar=hr.qr.

Wszelki ułamek ciągły możemy zatem zamienić na inny, którego wszystkie liczniki częściowe będą równe 1.

17. Ułamki ciągłe, których liczniki częściowe są równe 1. Dla ułamków ciągłych, których liczniki częściowe są równe 1, przedstawiają się wzory poprzednie w następującej postaci :

Pn    Pn—i Un -J⁻ Pn—2    .

ö'¹⁻ i Un-J- öre — 2?

Pn

Ö«

Ö”

Qn-1 Qn ’

Pn

öl öl Ö2 Ö2 Ö3 ÖS Ö4 Pn Pm (—l)m

Qn Qm

Qm Qn '

i- ... 4- ("O’-¹., (n>m +1).

Pn Qn—1 — Pn—1 Qn — (—l)w b

Ostatni wzór dowodzi , że licznik i mianownik każdej wartości przybliżonej ułamka

ciągłego : —    — -j- ... -j- A- Są liczbami względem siebie pierwszemi.

®1 a2    dn *

18. Szczególny rodzaj ułamków ciągłych, złożonych z wyrazów dodatnich i ujemnych. Na szczególną uwagę zasługują ułamki ciągłe, w których wszystkie mianowniki częściowe są liczbami dodatniemi, liczniki częściowe zaś, począwszy od drugiego, liczbami ujemnemi, a do tego ogniwa wszystkie ułamkami właściwemi. Taki ułamek ciągły przedstawia się w postaci:

Pi_ _1 L Ił 1    ' P"

Qi Q2 Qz

gdzie znak — wyraża, że następujący ułamek częściowy należy odjąć od poprzedzającego go mianownika częściowego.

Na wyznaczenie m-tej wartości przybliżonej tego ułamka ciągłego otrzymujemy tu na podstawie art. 3. str. 398. wzór:

Pm—1 Qm Pm—2 Pm

Pm

Qm

Qm—1 Qm    Qm —2 Pm

Przyjmijmy, że w tym ułamku ciągłym zachodzą nierówności:

Qi^> Pil 9,2-'->2?2’ **•) Qm^Pmi-'i Qn^> Pn j

natenczas przekonamy się najpierw, że wszystkie wartości przybliżone takiego ułamka ciągłego są dodatnie.

Zważywszy bowiem, że qm> pm, możemy położyć qm=pm + cm + 1, gdzie c»n >0. W skutek tego otrzymamy :

Pm = Pm—1 (pm + Cm + 1) — Pm-2pm = Pm—i -}- pm (Pm—\~Pm-2) + Cm Pm-1    )

Qm— Qm—l(pm + Cm + 1) — Qm—2pm = Qm—\ pm( Qm—1 — Qm—2) + Pm Qm-i    )

Mamy zaś Pi~Pi, P₂=.Pi<2'₂, a więc P₂>Pt, przeto będzie według wzoru (a):

Pm > Pm—i, a tern samem Pm > 0.

P3 > pa Ą >P₃

Podobnie będzie, z powodu , że :

Ol —    $2 =Ql^i—Pi== Qi(Pi 4- <?2 + 1)—^2 =?i4_p₂(s₁—1)+

widocznie    przeto według wzoru (i): <?₃ > <?₂, Ç>₄>0₃,... Qm> Qm-i,

także Çm>0.

a tern samem

Liczniki i mianowniki wszystkich wartości przybliżonych danego ułamka ciągłego są więc liczbami dodatniemi , więc same wartości przybliżone są także dodatnie.

Na wyznaczenie różnicy między dwiema po sobie następującemi tościami przybliżonemi mamy w tym razie wzór :

war-

Am =

P1 Pi-Pm

Qm—1 Qm

z którego wynika, że dla wszelkiego po sobie następujące, tworzą więc w tym razie szereg rosnący liczb.

będzie 4m;>0; wartości przybliżone

19. Nietrudno okazać, że wszystkie wartości przybliżone danego ułamka ciągłego są w tym przypadku ułamkami właściwemi.

Z warunku :

qm—l=pm—1 + cm—i -(-1, czyli qm—i >pm—l + l, wypływa bowiem, ze względu na nierówność — cl, że : qm—l >> pm—i + —

qm

pm—i

qm

czyli, że : qm—l — — > pm—1, a stąd że :

qm

pm

(}m—1--

<1, czyli, że:

Pm—1 • pm

Qm—1    qm

<1-

(Jm

Na tej podstawie otrzymamy z nierówności: qm-2 >pm—2 -f b następującą nierówność: ^], z której wypływa

qm—2    pm—-2 4" j —

pm—2

m—1 ‘ pm ?m—1    ([m

— < 1, czyli :

,    fPm—i • pm \.

ze: qm-2—    —— — — J>pm—2, a przeto

Pm—i ‘ pm Qm—1    ([m

Postępując tak dalej , otrzymamy nareszcie nierówność : h <h <?j

dowodzącą, że wszystkie wartości przybliżone takiego ułamka ciągłego są w istocie mniejsze od jednostki, a więc ułamkami właściwemi.

qm—2

qm—2    qm—1 Qm

Pm

(pm

Qm

<1,

20. Ułamek ciągły —~

Pi

lh

^n * Jeżeli dla każdego m

(m = 1, 2,

Pi 4-1 Pi 4~ i Ps 4-1    p» 4-1’

n) ułamka ciągłego: ——    — Ul--... — ^ jest qm—pm-\- 1, wtedy będzie

?1    ?2    ?3

Jm==:lm—1 4- Pm (I'm—1 — Pm—2), Qm = Qm—1 4“ Pm ( Qm—i— Qm—2),

Im I m— 1 = pm (Pm —i —Pm—2) J Qm— Qm—1 ⁼⁼ Pm (Qm—1— Qm—2),

czyli :

skąd wypływają równości:

Pt — P₀ = Pi

Pi~Pi = PiPi P₃—P₂ =PiP₂p₂

tudzież :

Q\ Qo—?i 1—Pi Q-2 — Qi=P\P2

Qî—Qi^PiPiPz

Pm—Pm—1 —PiPîPi...pm

Qm— Qm—l=Pi P'iP’i .»pm

z których, kładąc P₀=O, Ç₀=l, a więc przyjmując zerową wartość przybliżoną otrzymamy :

po_    0

Oo    1

Pm = Pi 4- Pi Pi Jr Pi PiPz 4- ... 4- P1P2P3- Pm Qm = 1 4- Pi + Pi Pi 4- PiPiPi 4- -PiPiPi - Pm , a więc m-tą wartość przybliżoną danego ułamka ciągłego w postaci:

zatem :

Pi

- 407

JPl + Pi Pi + Pi Pi Pz + ...+ PlP2P₃-P>n Qm 1 + Pi+PiP2JT Pl Pi Pz + •‘•-\-PlPiP3—Prn

Pm

Pi

____Pi + Pi Pi -4 - + PlP% - Pn

p₃ + 1    " ” pn + 1    1+^1 +j?l Pi “h — + PiPi — Pn

Pz

pn

przeto :

Pi + 1 ftłl

Dla pt = p₂ = ... =pm=p, otrzymujemy szeregi geometryczne :

P(PW—1)

P-1    ’

pm+1 —1

P 1    ’

Pm

p __ p(pm—V)

(21)

Qm i>4-1    1>+1 jp+l pm+l—l *

W szczególności otrzymujemy stąd dla pl—pi=...—j)n=l, wartość ułamka ciągłego o m ogniwach :

1 • 1 • 1 •

Qm~ 2    2    2    2

Pm

+1*

an ; każdy

21. Szeregi geometryczne pierwszego rzędu. Jeżeli w szeregu liczb at, a₂, wyraz an jest równy poprzedzającemu wyrazowi an—l , pomnożonemu przez stałą liczbę q, natenczas nazywamy taki szereg liczb szeregiem geometrycznym pierwszego rzędu albo także postępem geometrycznym, a stały czynnik q ilorazem geometrycznego.

Kładąc wyraz początkowy postępu geometrycznego ^=0, i oznaczając stały iloraz tego postępu przez q, otrzymamy postęp geometryczny a, aq, aq²

pływa ogólny n-ty wyraz postępu geometrycznego w postaci, znanej z zasad algebry :

postępu

aqn

-1

skąd wy-

(22)

Sumę w wyrazów tegoż postępu geometrycznego określa się

= a aq -f- ag² + — + ag"⁻¹,

wzorem :

z którego otrzymujemy :

Sn q = aq -f aq'¹- -J- ... -f aq",

Sn — Snq — a—aqn, Sn (1—q) = a(l—qn),

przeto : czyli :

a stąd mamy wzór sumowy postępu geometrycznego :

a    1 -qn

Sn — Cl • —-.

1—«

(23)

który, dla a == 1, otrzymuje kształt:

Sn

(230

22. Szeregi geometryczne wyższego rzędu i szeregi liypergeometryczne. Jeżeli w szeregu

w, są wszystkie sobie

iloczynów : aqa, bqß , cq7 , dqó

spółczynniki a, 6, c, <2,

a wykładniki a, ß, y? •••> v> tworzą postęp arytmetyczny r-go rzędu, (art. 18. str. 388.), natenczas nazywamy taki szereg szeregiem geometrycznym r-go rzędu.

Ogólny wyraz an szeregu geometrycznego r-go rzędu jest więc potęgą, której wykładnik jest (na mocy art. 19. str. 889.) całkowitą wymierną funkcyą r-go stopnia ze względu na wskazówkę porządkową n, może być przedstawiony w postaci :

równe, a więc a = b—c=d =

(24)

gdzie spółczynniki c₀, Cj, c₂,

On—«'•+'>” ⁺ '*"'+ - +

Cr są dowolnemi liczbami stałemi , a wyraz początkowy

«o = qc » •

Rozkładając powyższą potęgę na iloczyn i kładąc: gco=g₀, 2et = 2i,—, qcr = qr, otrzymamy ogólny wyraz szeregu geometrycznego r-go rzędu także w postaci następującej :

qrnr

gdzie wyraz początkowy «0 ⁼ ïo*

Jeżeli w szeregu iloczynów :

aqa, bqß, cgy, dgö

nqv,...

tworzą spółczynniki a, 6, c, d,..., pewien postęp arytmetyczny, a wykładniki a, (i, y, 8, ..., tworzą również postęp arytmetyczny tego samego, lub innego rzędu, natenczas taki szereg liczb nazywa się ogólnie szeregiem arytmetyczno-geometrycznym, albo też szeregiem hyper geometrycznym.

Sumy szeregów geometrycznych wyższego rzędu, tudzież sumy szeregów hypergeo-metrycznych nie są dotąd w ogólności zbadane.

Ćwiczenia XXX.

Wyznaczyć stosunek ~, skoro dane są, następujące równania : 1)    p₁x=q₁x₁-\-x₂

2) x — ąixxĄ-xi + æ₃

pn—IXm—2= ę»-1#» -1-j-iCw pnX/i—1 = ([n Xn

Xn—2 =» Ąn—l#n—1 -j- Xn Xn—1 ⁼⁼⁼ (\n Xn»

3) x — 2ay -j- ar2 =3a;₂ + a;3 x₂=4x₃-|-£C₄

!3/J-* a

będzie :

ułamka ciągłego —4-...-j-— ?1 ?2 ?»

4) Wykazać, że dla piątej wartości przybliżonej

-f*5 — ?2?3?4?5 ~T ?2?3 4“ ?2?5 4“ ?4?5 4~ ^

^5 ⁼ ?1?2?3?4?5+ ?1?2?3 4“ ?1?2?5 4“ ?1?4?5 4" ?3?4?5+ ?l+?3+ ?5

i wyprowadzić stąd ogólne wnioski.

5) Wykazać, że w ułamkach ciągłych, których tak liczniki, jak mianowniki częściowe są liczbami dodatniemi, wartości przybliżone nieparzystego rzędu kolejno maleją, a wartości przybliżone parzystego rzędu kolejno rosną.

6) Wykazać, że w ułamku ciągłym : —j---j- ... -j ,

?i ?2    ?»

jego wartości przybliżonej są liczbami względem siebie pierwszemi. Wyznaczyć wartości następujących ułamków ciągłych:

r ⁸>4-+4^ 3

¹⁰⁾-fr~-

• 2 n(n—1)

1.1;

licznik i mianownik każdej

9)

a to

+ ...4

an

bn

+- —+ -1 r 5 ^ 6

«2 •    «3    •

60    O3

On

bn

“>4--

¹²> T + T

CO

4    • 12 •

CD

CD

_ + _ 4. i« + 2B

5-1-7-1-9+11*

05

Wyznaczyć wtą wartość przybliżoną następujących ułamków ciągtych:

¹³⁾ ~2⁺¹2⁺~2⁺-⁺~2' U) iK\ X    ' X \    X \    \    X

⁵) x-l    * —l +    + +    1*

Pn

16) Wykazać , że licznik P» i mianownik Ç» «-tej wartości przybliżonej

Qn

ułamka

ciągłego

— -j- —* -f- — -j- ... dadzą się wyrazić zapomocą następujących wyznaczników: «1    «2 a₃

-1,

Pn^=bx

o, ...

o,...

*4) akl —1? •••

«3,

000

Qn

0, ... 0 0,... o -1,... o

0,    0,    0,    0,... an

17) Wykazać, że «-ta wartość przybliżona ułamka ciągłego —j—^j^... przedstawia się w postaci:

0,    0,    0, an

Pn

an-l

Qn

“* + (V) »>-*+(% ²)»"-⁴ + -

18) Wykazać, że «-tą wartością przybliżoną ułamka ciągłego:

Pn—1 -j- Pn — 2 dn Qn—1 "j⁻ Qn—2 dn

19) Wykazać , że :

i+i+T:+-s

CO rH o

HKK

Ol H-¹ O

O O l-¹ to

r—I CO r—I O

O r—I rH rH

OI I—¹ o o

o*! to toi 03

20) Wykazać, że dla «-tej

*0

"o

r<

r—i

N-

'O?

Pn = v

• p? ff 5s i

cT t—i o?

OOO

PÎ? ff 2

55 «s

rH~

.S

bo O⁻ H

bC

a. ö⁴

JL _|_ ... jest:

0, 0,    0, ... ą («)

21)    Wykazać, że:

Pu 0,    0

0)    ?2 ł —1    •

0, Pi, ?3

22)    Wykazać, że:

Pffff

Pff

•-¹ M. o

PP?

KHO

~°ï?

—Pi Ihlh •

PPÏ

3? ff p

“ 1-"P

000

P\ J_ Pi _

?1    ?2    ?3

0,    0,    0, ... (fn

?»

P? ? « ff y-« P* P

Pn

23) Jeżeli — wykazać, że :

Qn

jest «-tą wartością przybliżoną ułamka ciągłego — —    + — 4" y 4" •••

Pn-f-2 — (db -j- 2) Pn    Pn—2 = 0,    QnĄ-2 — (db -j- 2) 4łn    Qn—2 — 0.

24) Wykazać , że :

4--—--f-—²    + -+ + — =

« r «—1 ^«—2 ^ ^ 2 ^ ^2

*H : rH

«-f-1

«4-2'

25) Wykazać, że, gdy a^> 1, natenczas ułamek ciągły nieskończenie wielowyrazowy: • a • a-J-l • a-\-2 •

a-|-l    «4"2    a-J-3    a—1*

26) Wykazać, że:

O O tH «T-

cT i-T c? s? r-T 5? s£ o~ c? C cT cT

5s I

5*1®

27) Wykazać, że:

_1    L_1

1 a.

• dn—1

dn

' a2 %

«1    «2    «3

• «n+l «n+1

Pi + •••

28) Dowieść, że ułamek ciągły t. z. wstępujący —    ^

?i

Pn—1 (pn -j- pn

ma wartości przybliżone

pi _ Pi

Qi

?i ’

ogólnie

Pn

Qn

?1 ?2 — ?»

pn

29) Wykazać, że licznik i mianownik n-tej wartości przybliżonej — ułamka ciągów

Pi + • • •

lego wstępującego: —

znaczników :

<?i

dadzą się przedstawić w postaci następujących wy-

Pn

PlPi-Pn

-1,

O;    —?n

0»    —îift» <hP% -Yp-i

Pii

0,

o, o,

o,

<Inpn—1 -J- pn

Qn

PlPi-Pn

-1, o,

—<iiP2, <PtPi-\-Pn —<li 0,    —<?2 Pil KPi+Pl

«1»

qnÿn-1+ pn

0, 0, 0,

BO) W postępie geometrycznym pierwszego rzędu zachodzą między pięcioma wielkościami: a,, q₎ n, an i Sn dwa związki: an—a^qn-¹, Sn — ——^, wyznaczyć jakiekolwiek dwie wielkości, gdy trzy pozostałe są znane.

31) Wykazać, że w szeregu arytmetyczno-geometrycznym:

(<a-\-d)q,    (a-}-2^)ę², (o Ą- 3d)q³,... (« + (»—l)d)qn~i,

jest:

S„

a(qn—1) + ndqn

dq(qn i)

(q-iy *

-\-b\Z—i,    + i

-f- <2y/—i, «—&v/—i + -c+dy/^i cą-dV-i, a-by/^i

(«2 _j_ ja + c² -f rf²) (a'² + i'² + c'² + P²) = A² -f P² + C'² -f D².

32) Przyjmując D=

vi

a‘+b‘ V-1, —c+d'V — l c*4-d'\/-ï, a'-èV^l

wykazać, że iloczyn: DD‘—

a stąd :

Rozwiązania

17

7) ^ 8)

972

1393

. 9)

13)

(1+V2 )"—(i—y/2 )»

(l+V/2 )«+l-(l-V/2 )»+i

XXX. i) ^    ...

71    72    73    Qn

Pn—l bn -j- Pn—2 On

$n— 1 bn -J⁻ 0»—2 dn

cc* + l—-xn + l— 1‘

. 14)

Pn—l ^n— Pn—2 On On—1 bn— Qn—idn

X ₁    —(—l)wa?

Ï* ¹⁵^ »«+!—(-1> *

10)

• 2) - + - + - +    3) ⁶⁸

?1    ?2    ^3    Çn

2»+r* ¹²> °'78B866-

157'

11)

2« —

Literatura. Günther. Darstellung der Näherungs werth e von Rettenbrüchen in independenter Form. Erlangen 1873. T. Muir. A treatise on the theorie of Determinante. London 1882. N. Trudi, Teoria de determinanti e loro applicazioni. Napoli 1862. Serret. Handbuch der höheren Algebra übers, v. Wertheim. Leipzig 1868.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Bezpośrednie wyznaczanie wartości przybliżonych danego ułamka ciągłego.

2.    Główne własności ułamków ciągłych i ich wartości przybliżonych, wykazane przy pomocy wyznaczników.

3.    Teorya ułamków ciągłych wstępujących , w których każde ogniwo dołącza się do licznika ogniw poprzedzających.

Wykład XXXI.

Główne wiadomości z teoryi równań wyższych stopni.

1. Wiadomości wstępne z teoryi równań wyższych stopni. Ogólne równanie n-go stopnia o jednej niewiadomej przedstawia się, jak wiemy, (por. art. 11. str. 136.) w postaci:

* (1)

w—2

aQ xn -f ai xn~i +a₂x

gdzie spółczynniki: a₀, au a₂,..., an urojonemi) a x liczbą niewiadomą. Lewą stronę równania sprowadzonego do t. j. wielomian: a₀æra-j-a₁xn~¹-{-... + an_\X-\-an, nazywamy wielomia-

są liczbami danemi (rzeczywistemi, lub

zera

nem równania. Uważając niewiadomą x, jako zmienną, t. j. jako liczbę, mogącą przybierać rozmaite wartości w zakresie liczb rzeczywistych, lub urojonych, powiadamy, że wielomian równania n-go stopnia:

(2)

f(x)=a₀ xn + a₁ xn~¹ -f a₂ xn~² +... + an _i x 4- an, jest całkowitą wymierną funkcyą n- go stopnia ze względu na zmienną x. Pierwiastkami równania n-go stopnia : f(x)=0 są te wartości zmiennej x, dla których funkcya całkowita wymierna f(x) staje się zerem, które nazywamy też miejscami zerowe mi tej funkcyi.

Pytanie, czy istnieją takie miejsca w zakresie liczb zespolonych płaszczyzny liczbowej i ile ich jest, jest identycznem z pytaniem, czy równanie n-go stopnia ma pierwiastki i ile. Aby na to pytanie odpowiedzieć, rozważymy wpierw własności funkcyi całkowitej wymjernej w-go stopnia.

2. Twierd zenie I. W funkcyi f(x) ■^a₍₎xn-sraixn~i-\-a₂xn~‘²\X-\-an da się zawsze wyznaczyć taka wartość na æ, że różnica między bezwzględną wartością funkcyi, a bezwzględną wartością jej wyrazu wolnego an będzie mniejszą od dowolnie małej liczby d, t. j., że: —d <C| f{x) | — | an \ <Cd.

n),

Przyjmijmy, że wszystkie spółczynniki aj, funkcyi f(x) są liczbami skończonemi z zakresu liczb zespolonych, natenczas możemy położyć: a^-=rji(cos ctz-\-i sin a^), (^=0, 1, 2

gdzie ri przedstawia bezwzględną wartość liczby az jej azymutem (art. 12. str. 137.); przyjmijmy dalej, że wartość podstawiona za x jest także liczbą zespoloną o bezwzględnej wartości że więc \x\=^ natenczas otrzymamy odpowiednią wartość bezwzględną funkcyi f(x), wy

rażoną przez :

] f{x) | = | %xn + aixn~' +... +    x -f an \

skąd, (na mocy art. 18. str. 187. i nast.), otrzymujemy:

I f\x) | <\a₀xn\-\-\aixn~i I + ... + I an—\% | + | an

< r^n _j_ Ti Çn-l _j_ rw_i £ -f | an

przeto :

(3)

I f\x) | -1 an | < r₀ +rt I—¹ +... + rn—1f.

Różnica między bezwzględną wartością funkcyi /’(#), a bezwzględną wartością jej wyrazu wolnego an zależy więc od bezwzględnej wartości £ zmiennej x i zmniejsza się za zmniejszeniem się wartości £.

3. Oznaczmy przez r największy ze spółczynników r^, (i=0,1, 2, ... w—1), i zastąpmy nim wszystkie inne spółczynniki prawej strony nierówności (3), natenczas otrzymujemy powyższą nierówność w postaci :

\fXx)\-\an\<r^+r%n-' + ... + r^+r%.

Suma po prawej stronie jest sumą wyrazów postępu geometrycznego :

r £-4-r|²4-...-fr£w_1 Ą-r %n=r£

Jest zatem:

właściwym ; zastąpiwszy go przez jednostkę równość w postaci:

Jeżeli przyjmiemy £ <C 1, natenczas różnica 1 —    będzie ułamkiem

otrzymamy powyższą nie

1-f

Chcąc więc, aby było \f(x) |—\an\ <; d, musimy | tak obrać, aby było:

że :

1-1

<Cd, czyli    <5|, a więc | <C

r -j-ó’

Wszelka wartość mniejsza od ułamka właściwego: —

sprawia więc,

(4)

e II. Jeżeli bezwzględna wartość funkcyi f{x) jest w pewnem zera, a więc |/'(#₀)|    0, to można zawsze do x₀ dodać taką

4. Twierdzeni miejscu x=x₀ różną od , liczbę h, że będzie : j f(x₀ + h) | < | f(x₀ ) |. Skoro bowiem :

to :

t\X0 ) = «0 ^0 ” + «1 ^0 n_1 + «2 ^0 / (x₀ + Ä)=a₀ (^o ~k ^)”+(*o ~k

w—2

n—1

(5)

Rozwinąwszy wskazane potęgi dwumianu x₀-{-h, i uporządkowawszy wyrazy podług potęg przyrostu otrzymujemy:

f (®o “k^0⁼/(^o)"kk-\-b^h²-{-... "k^»^n j

gdzie spółczynniki b są zależne od spółczynników a i wartości x₀.

Ponieważ wartość f(x₀) jest według założenia różną od

przeto

możemy porównać wartość f(x₀-\~h) z wartością f(x₀), a otrzymamy stosunek:

/‘Oo)

/(*o)

Än,

zera

Połóżmy —

f 0*o )

=cs, ($=1,2,..., w) i przyjmijmy, że spółczynniki cs są

liczbami zespolonemi kształtu: cs= Ra (cos (p₃-\-i sin i że przyrost h jest również liczbą zespoloną:    (cos giĄ-isin ip),

Przyjmijmy azymut ip przyrostu /fc=(ty, tak, aby było (p^Ą-ip^n, a więc sin ((pi +^)=0, cos (y>i -\-ty) = — 1, zaś p tak małe, by było Rię<C.l, natenczas przy tak dobranem ip otrzymamy: f{*o+fe)

1 — Ri p + B₂ p² [cos (<p₂ -f- 2 ty) + i sin (<p₂ + 2ip)] +...

A*o)

natenczas otrzymamy: f(xQ + h)

fM

1 + Rx Q [cos(^p₁ + if>) 4- i sin(^ -f y>)\+B₂q²[cos(cp₂ + 2t/i) + *sin(ę>₂ + 2*/>)] + ... + Bn Qn [cos (cpn + nip) -f i sin (tpn + wft)].

+ -Rn pn [cos (cpn 4- nip) -\-isin((pn+nip)],

przeto stosunek bezwzględnych wartości: | f(x₀ -t- Ä)

czyli :

/'(«o + h) I

I/*(*<> )l

<1—P(^— -ß₂e — - — R»Qn ’)•

który jest całkowitą wymierną

"W wielomianie: Rl—B₂q—...—RnQn funkcyą (n — l)-go stopnia ze względu na p, możemy (według tw. I.) obrać wartość na p tak małą, że wyraz, ujęty w nawias, będzie liczbą dodatnią, a zarazem cała prawa strona <C 1. Będzie wówczas:

l/'W I

<1, czyli \f{x₀+h)\<\f(x₀)\.

(6)

5. Twierdzenie III. Wszelka funkcya całkowita wymierna n-go stopnia musi mieć na płaszczyźnie liczbowej przynajmniej jedno miejsce zerowe.

Pomyślmy sobie bowiem w każdym punkcie x płaszczyzny liczbowej wyznaczoną wartość bezwzględną danej funkcyi f(x), a więc ]/'(#) |, i odciętą na prostopadłej do płaszczyzny liczbowej w tym punkcie wykreślonej tenczas otrzymamy nad płaszczyzną liczbową zbiór go² punktów. Z tych punktów musi być przynajmniej jeden najniższy. Niech ten najniższy punkt odpowiada pewnej niewiadomej wartości x₀ i ma wysokość |/‘(#₀)|- Najniższa ta wysokość j/'(r₀)| musi być koniecznie równą zeru.

Gdyby bowiem wartość |/‘(æ₀)| była większą od zera, natenczas możemy według twierdzenia II. wyznaczyć na płaszczyźnie liczbowej inny punkt x₀+h, taki, że w nim będzie \f(x₀ -\-h) | <i\f(x₀) |, wysokość |/’(#o)| nie byłaby wtedy najmniejszą. Musi być więc \f(x₀) |=0, a więc także f(x₀)=O, t. z. płaszczyźnie liczbowej musi istnieć przynajmniej jedno miejsce x takie, że w niem funkcya f(x) staje się równą zeru. Tym sposobem zostało tez udo-

że każde równanie n-go stopnia musi mieć pewien

na

na

wodnione twierdzenie

pierwiastek.

6. Wielomian równania i jego czynnik pierwiastkowy. Jeżeli równanie: /,(aj)==at)a;”-i-aia;n_1-f-... + an_i x-\-an=0,

ma

pierwiastek x=a, natenczas otrzymujemy równość tożsamościową /'(«)=0,

czyli :

a₀ an -j- ax an~¹4- «₂ ctn~'£ f... +an-i a+an = 0.

Wobec tego otrzymujemy :

f{x) =f\x) -/■(«) = («0 xn + a\ Xn~X + •.. + 0*-1 » + O») — (»0 “W + «1 «”~¹ + ... + «n-1 « + «n) = a₀ (zn—an) + ai (xn - '¹ — an - ■¹ ) +... -f    (x— a).

Ponieważ różnica potęg jest podzielną przez różnicę liczb, a mianowicie jest:

(xn—an) : (x—a)—xn~¹ + a xn~² + a²xn _3 +... -f aw_2 % + aw_1, przeto możemy w każdym wyrazie wzoru (7), czynnik x—a, zwany czynnikiem pierwiastkowym, wyłączyć przed nawias; otrzymujemy zatem:

f(x) = (x—a) [a₀{xn~¹ + a xn~² +... + an~*) + «i    ...) + ••• +    i]- (8)

"Wielomian, ujęty w graniasty nawias, jest widocznie funkcyą całkowitą wymierną {n— l)-go stopnia ze względu na x\ oznaczmy ją przez f\(x)^ natenczas przedstawimy wzór (8) w postaci :

(9)

f{x)=(x-a)f^x), czyli ——=fx(x).

tb U

To znaczy: Wielomian równania n-go stopnia jest podzielny przez swój czynnik pierwiastkowy.

7. Dzielenie wielomianu n-go stopnia przez dwumian (x—a). Dzieląc funkcyę całkowitą wymierną :

f (x)=aq xn ■\~aixn -i + ... + an-i oc-\-an, przez dwumian (x—a) i przedstawiając iloraz w postaci:

f{x)

— = ó₀X'n-¹+&l^-²+... + 6„_₂a:+&n_ 1 -|--

a    x—a

otrzymujemy dla kolejnego wyznaczenia spółczynników ó₀, b pujące równania:

1 3 •”3

bn , nastę_

3 *,,3

&₀=«0 3 ki=ab₀-{-ai: b₂~abi -\-a2 br — abr—i ar ^ bn—\'⁼⁼aibn^‘i-\-an—\, bn^^abn—id⁻

skąd widzimy, że pierwszy spółczynnik ilorazu jest równy pierwszemu spółczynników dzielnej, każdy następujący n. p. r-ty spółczynnik ilorazu otrzymujemy, jeżeli poprzedzający spółczynnik pomnożymy przez a a do iloczynu dodamy r-ty spółczynnik dzielnej.

bn

Wobec tego postępuje się przy wyznaczaniu spółczynników 6₀, b ilorazu najdogodniej według następującego szematu:

b„

CL CLq j CL] y CL*2 ^ j ^03 ^13 K

To znaczy: Wszystkie spółczynniki danej funkcyi f(x) wypisujemy obok siebie , jeden za drugim, w drugim wierszu piszemy spółczynniki ilorazu, najpierw ó₀=a₀, a każdy następny spółczynnik otrzymujemy, mnożąc poprzedzający przez a i dodając do iloczynu następną liczbę pierwszego wiersza. Ten sposób dzielenia wielomianu nazywamy dzieleniem Horner’a.

Mając n. p. podzielić wielomian: fÇx) — xi—2x³ -f- 5x² 7x—11 przez x—3, otrzymujemy szemat:

in cc

7, -11 31,    82 ’

z którego wynika iloraz: a;³-j-a;²-J-8a;-f 31 i reszta 82=/(3).

8. Twierdzenie. Wszelkie równanie n-go stopnia posiada najwyżej n pierwiastków.

Skoro bowiem równanie n-go stopnia :

/(x) — af.xn-f-a^xn 1-i-a^xv 2-\-...-\-an—iX-\-an—0,

— 415 -posiada jeden pierwiastek au tak, że /’(a₁)=0, natenczas możemy wielomian równania według art. 6. sprowadzić do postaci:

f\x)={x-ax)f\(x),

gdzie f\(x) jest całkowitą, wymierną funkcyą (n—l)-go stopnia, posiadającą ten sam spółczynnik początkowy a₀, co funkcya f(x).

Niech będzie a₂ koniecznem miejscem zerowem tej funkcyi (art. 5.), a więc /i(«₂)⁼0, natenczas możemy znowu na mocy art. 6. położyć: gdzie f₂(x) jest całkowitą wymierną funkcyą (n—2)-go stopnia, posiadającą ten sam spółczynnik początkowy a₀₁ co funkcye f(x) i f\(x).

Na tej samej podstawie otrzymamy dalej :

f₂(x)=(x—x₃)f₃(x), fz(x)=:{x - xk) f\(x), i t. d.

a w końcu: /»_i (æ) = (æ—xn) a₀. Wobec tego będzie:

(10)

f (x)=a₀(x—xi) (x—x₂) (x—x₃)... (x—xn).

Funkcya f\x) całkowita wymierna w-go stopnia może się więc stać zerem w n różnych miejscach: xv #₂,..., xn, płaszczyzny liczbowej, czyli równanie n-go stopnia: /'(#)= 0 może posiadać n rozmaitych pierwiastków. Jeżeliby obok tych n pierwiastków równania: f(x) =0 miał istnieć jeszcze jakiś (w-J-l)-szy pierwiastek xn+\, od nich różny, natenczas musiałby być iloczyn :

«oOWl *®l)(*^»* + l *^2)    (#«+1    <^n)— 0,

a wobec tego, że wszystkie różnice xn+\—Xi są różne od zera, musiałby być spółczynnik a₀= 0, a wskutek tego także <^=0, a₂=0, ..., «„ = 0, co jest wykluczone.

Funkcya całkowita wymierna w-go stopnia może więc mieć najwyżej n miejsc zerowych, czyli równanie n-go stopnia może mieć najwyżej n pierwiastków.

9. Wnioski. 1) Jeżeli dwa równania n-go stopnia f(x) = 0 i cp(æ)=0, mają jednakowe pierwiastki , natenczas mogą się różnić tylko współczynnikiem przy najwyższej potędze, a ich postacie normalne muszą być tożsamościowe.

Skoro bowiem liczby: as,, as₂,..., as» są równocześnie pierwiastkami równania f(x) = 0 i równania ©(as)=0, natenczas będzie:

przeto :

/(as) = o₀(as—as, ) (as—as₂)... (as—as»), O (x)= b₀(x—x₁ ) (as—as₂)... (as—as»),

— /(as) = ^ to (as) = (as—as, ) (as—as₂)... (as—as»). a₀    o₀

2) Jeżeli dwie funkcye całkowite wymierne n-go stopnia f(x) i cp(as) mają w (n-\- 1) miejscach płaszczyzny liczbowej jednakowe wai*tości, natenczas mają one także jednakowe spółczynniki , czyli są tożsamościowe, t. z. f (as) = ©(as).

Skoro bowiem funkcye f(x) i <p(as) są n-go stopnia, natenczas różnica /(as)—®(as) może być także co najwyżej funkcyą n-go stopnia ; ponieważ jednak ta funkcya miałaby mieć (n-j-l) miejsc zerowych, przeto musiałaby mieć wszystkie swe spółczynniki równe zeru, a więc spółczynniki funkcyi /(as) musiałyby być równe odpowiednim spółczynnikom funkcyi co (a:).

10. Pierwiastki wielokrotne równania n-g o stopnia. Istnienie jednego pierwiastka as, w każdem równaniu /(as) = 0, powoduje (jak w art. 8. wykazaliśmy) rozkład wielomianu n-go stopnia na n czynników pierwiastkowych stopnia pierwszego w postaci:

/(as) = (as—aą) (as—as₂) ...—(as—as»).

Pierwiastki xx, ai₂,..., xn, nie muszą być jednak wszystkie między sobą różne. Wszelki pierwiastek powtarzający się nazywamy pierwiastkiem wielokrotnym.

Przypuśćmy, że pierwiastek xx powtarza się vt-razy, x.₂ zaś v₂-razy, ogólnie pierwiastek xm niech powtarza się vm-razy, natenczas otrzymamy ogólnie:

(U)

f(x)= (x—xxy, (x—x%y₂ ..., (x—Xm)vm ,

gdzie :

V1 4“ v2 “f~ ••• "ł~ vł» — ni

i powiadamy, że równanie f(x)— 0 ma n piei^wiastków, przyczem należy v-krotny pierwiastek policzyć za v pierwiastków.

11.    Rozkład całkowitej funkcyi wymiernej na n czynników pierwszego stopnia jest tylko jest tylko w jeden sposób możliwy. Niech będzie bowiem f(x)—(x—xi)vi(x—x₂)...(x—xm)vm przy vj + vj-j-... -f vm=», jednym, zaś f(x)= (ar—Ç|)/*t (*—Çj>**... (x—Çr>*r , przy t^i + F^ Hh — + fJr= n, drugim rozkładem funkcyi f(x) różnym od pierwszego, wówczas musiałoby byó :

(x—xx)v\ (x—X₂)vi ... (x—Xm)vm— (x-\)t*i (x—1₂)^2 .. (x—')r )t*r .

Lewa strona tej równości staje się zerem dla x—xx, musiałaby przeto także prawa strona stać się zerem dla x — xx ; czyli różnica x—xx musiałaby być także czynnikiem prawej strony. Tym czynnikiem niech będzie a?—Ç, wtedy będzie xx—%. Gdyby czynniki x—xx i x—S; nie pojawiały się po obu stronach w jednakowej ilości, gdyby więc n. p. było v₁>;j.₁, to możnaby obie strony przez (x—xx)P\ =(x—?j)^t podzielić. Wówczas zostałoby jeszcze po lewej stronie vt—^ czynników kształtu (x—xx). Lewa strona stawałaby się więc dla x—xx jeszcze (vj—p^) razy zerem, prawa zaś nie, co być nie może, więc musi być Vj = [Aj. Podobnie wnosić możemy, że musi być: x₂ = ç₂, v₂ = p.₂ i t. d., a więc rozkład funkcyi całkowitej wymiernej n-go stopnia na czynniki pierwszego stopnia jest tylko w jeden sposób możliwy.

12.    Uwaga. Twierdzenie, że każde równanie n-go stopnia/(cc) = 0 musi mieć n pierwiastków, jest prawdziwe, jeżeli się każdy pierwiastek xx liczy za tyle pierwiastków, ile razy różnica x—xx w funkcyi f(x) jako czynnik występuje. W tern tylko rozumieniu rzeczy możemy powiedzieć, że równanie -f~ axxn—^-\-...-\- an = 0, gdzie a₀ ^ 0, ma » pierwiastków. Gdyby w tern równaniu było a₀= 0, wówczas byłoby to równanie, skoro ax ^ 0, równaniem stopnia (n—l)-go i miałoby już tylko (n—1) pierwiastków. Uważane jednakże za równanie n-go stopnia powinnoby mieć n pierwiastków. Zachodzi więc pytanie, jaka liczba byłaby tym »-tym pierwiastkiem. Ażeby na to pytanie odpowiedzieć, połóżmy w danem równaniu

n-go stopnia x — -~-, wówczas otrzymamy równanie:

«o •

U a\ TT

... -f- ttn—1 . -z—f- ß» = 0,

czyli :

(12)

ßo U ’ + ••• "4~    —1 %n ^ -f⁻ an\n = 0.

Jeżeli a₀ —0, tedy ma ostatnie równanie jeden pierwiastek równy zeru, z czego wypada, że pierwotne równanie f(x) — 0 ma, skoro o₀ = 0, jeden pierwiastek kształtu j=oo; czyli jeden pierwiastek nieskończenie wielki. Gdyby w równaniu danem było a₀=0, «1=0,..., ßr—1=0, tedy miałoby równanie (12) r pierwiastków równych zeru, a więc dane równanie r pierwiastków nieskończenie wielkich, zaś (n—r) pierwiastków o wartości skończonej. Równanie r-go stopnia, uważane jako równanie n-go stopnia, gdzie    ma wedle

tego na płaszczyźnie liczbowej r pierwiastków w skończoności , zaś (n—r) pierwiastków w nieskończoności.

13. Pierwiastki urojone równania o spółczynnikach rzeczywistych. Niech będzie xx=a.-\-ßi pierwiastkiem v-krotnym równania:

f(x) = xn axxn—l -j- a.₂xn—'²-j- ... -f- an—1 x-\-an= 0, w którym spółczynniki ßt, ß₂,..., an są liczbami rzeczywistemi, natenczas wielomian f(x), ma czynnik (x—a—ßi)v, możemy więc położyć: /(x)=(x—a—$i)vf\(x).

Zastępując w tej równości i przez —i, nie zmienimy nic po prawej stronie i otrzy-

f(x) = (*—« + ßi)v

mamy:

co dowodzi, że czynnikiem wielomianu f(x) musi być w tym przypadku także potęga

(x—<x-|- ßi)v.

A zatem: Jeżeli równanie : f (x) = 0 o spółczynnikach rzeczywistych ma v-krotny pierwiastek zespolony: xx=ot-\- ßt, to ma także v-krotny pierwiastek sprzężony x%— a—ßi.

W równaniu mającem spółczynniki rzeczywiste mogą więc pierwiastki urojone występować tylko parami, jako pierwiastki sprzężone.

417

Połączywszy pewną parę v-krotnych pierwiastków sprzężonych: a4 i a—Si równania/(cc) =0, otrzymujemy:

f(x) = {x—«—$i)v (x—a -j- ßi)^<p(a:),

(x—a—ßi)(cc—a -j-ßi)=(a;—a)²4 ß²=a?²-j-+ q, f (*) = (x² 4-px + q)vą(x),

a że:

przeto będzie:

gdzie <o(x) jest funkcyą całkowitą wymierną (n—2v)-go stopnia.

Każda para pierwiastków sprzężonych równania f(x) = 0, wywołuje więc w funkcyi f(x) jeden czynnik rzeczywisty stopnia drugiego.

A zatem : Wszelka funkcya f(x) całkowita wymierna n-go stopnia o spółczynnikacli rzeczywistych da się rozłożyć na czynniki rzeczywiste, które są częściowo pierwszego, a częściowo drugiego stopnia , lub ich całkowitemi potęgami.

Rozkład zależy od rodzaju pierwiastków równania f(x) =0.

14. Granice pierwiastków danego równania. Pierwiastki równania n-go stopnia możemy przedstawić geometrycznie punktami płaszczyzny liczbowej. Z danego równania f(x) = 0, możemy zawsze wyznaczyć granice, między któremi znajdują się wszystkie pierwiastki tego równania. Według art. 3. str. 412. mamy bowiem :

g

|/(*)|<| a»| + 8, tudzież \f(x) |> | an | — o, skoro    ?

gdzie A jest największą wartością bezwzględną spółczynników an—l

o = | an | , a więc :

| Un

(t-2 j * * * 5

ot. Obierzmy

A -j- | Ö» | ⁵

tedy będzie |/(*)|>0, a tern samem wartość funkcyi/(cc) różną od zera. Ilość

jest więc dolną granicą dla bezwzględnej wartości zmiennej x, poniżej której żaden pierwiastek równania f(x) — 0 znajdować się nie może.

Z równania :

y (iCj = Xn -j~ OjXn - ¹ -j- 0₂ Xn—'² 4 ... On — 1 X -\- Ctn = 0

wypływa dalej :

On |

A 4 | an

f(x) = Xn [l 4- «1    + «2

j-. . 4- On

r—I

x-

H-r

Zastosujmy poprzedni wynik do funkcyi :

¹ + «1 - ^ + «2* -^-+...4-0«.^-,

to powiemy, że ta funkcya nie może stać się zerem, dopóki będzie:

Fig. 253.

x B + 1 ’

Ilość 5 4-1 jest więc górną granicę dla wartości \x\₁ poza którą nie może znajdować się żaden pierwiastek równania f(x)—0.

Wykreślmy więc na płaszczyźnie liczbowej fig. 253. około punktu zerowego, jako środka,

gdzie B> | ot|, |o₂|

| on I, czyli dopóki \x 11> A? -J— 1.

jedno koło o promieniu r =

an

A-\-1 On | ’

drugie zaś koło o promieniu R — B4-1, gdzie A jest

on—11, B zaś największym ze spółczynników: On I, natenczas otrzymamy pierścień, wewnątrz którego znajdować się muszą

an równania f(x)— 0.

15. Związki między pierwiastkami, a spółczynnikami równania n-go stopnia. Przypuśćmy, że dane równanie w-go stopnia, kształtu :

Xn 4- «i xn~'¹ 4- «2 xn~² + • ■• • + an-1 x + an = 0,

ma n pierwiastków: xx, x₂,..., xn: natenczas wielomian równania przedstawia się jako iloczyn czynników pierwiastkowych:

xn + aixn-i+a₂xn-² + ... + an-iX-,ran=(x—xi)(x—x₂)... (»—«„). Wykonując mnożenia wskazane i, porządkując wyrazy podług potęg niewiadomej x₎ zauważymy, że spółczynnikiem przy xn~r będzie suma iloczynów po r pierwiastków, wybranych z grupy n pierwiastków, wzięta ze znakiem (— l)r.

największym ze spółczynników | o, |, | o₂ |

l«ll, | «2

wszystkie punkta, odpowiadające n pierwiastkom: al5 a₂,

(13)

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

27

Oznaczmy go dla skrócenia przez (—l)r Sr. natenczas otrzymamy: xn+ax xn~¹ +... + ar xn~r+... + an=xn—Si xn-' +... + (—• l)r Sr xn~r +... + (—l)n S„. skąd, porównując spółczynniki przy równych potęgach liczby x, otrzymujemy następujące równości :

=—(x^ + #₂ d~ + ®*))

S₂ =    {X^    -\~X^X^ -j- ••• -\-X^XnA- ... + Xn—i Xn),

Qtr—( l)rSy^-( l)r (ß'l'X'2    *^r ~k *’•    »-+1 • ^n—r+2 ••• Xn—i • Xn')

(14)

a„=(—l)nx^x₂...xn.

W równaniu n-go stopnia kształtu: x1l-\-aixn~‘¹ + ... + <bî_iæ+an=0, pierwszy spółczynnik jest sumą pierwiastków, wziętą ze znakiem przeciwnym, drugi sumą iloczynów po dwa pierwiastki, r-ty spółczynnik jest sumą iloczynów po r pierwiastków, wziętą ze znakiem (—l)r, a ostatni, (n-ty), iloczynem wszystkich n pierwiastków, wziętym z jego własnymi, lub przeciwnym znakiem, stosownie do tego, czy n jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą.

mają tę własność, że wskutek przestawienia pierwiastków xn wcale nie zmieniają swych wartości. Z tego powodu nazywamy je zwykle

16. Sumy <Sj, S%

, a?2,

element a rnemi symetrycznemi funkcyami pierwiastków i oznaczamy kolejno znakami S(xt), SÇx^x^),

z pierwiastkami równania wypowiadamy także tak : W równaniu, którego spółczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, następne spółczynniki, wzięte naprzemian z własnym, lub przeciwnym znakiem, są elementarnemi symetrycznemi funkcyami pierwiastków tego i*ównania.

S(XyX2

xr),... Wobec tego twierdzenie o związku spółczynników

Na podstawie tego twierdzenia możemy z łatwością utworzyć równanie «-go stopnia, któreby miało dane liczby: a,, a₂,..., jako pierwiastki.

Chcąc n. p. utworzyć równanie, któreby miało za pierwiastki liczby: 1, 2, 3, 4, otrzymujemy :

£(*0=1+2 + 8 + 4 = 10, £(*!**) = 1.2+1.3 + 1.4 + 2.8 + 2.4 + 8.4=85, ^(*1*2*0== 1-2-8 + 1.2.4+ 1.3.4+ 2.3.4= 50, Sfa x₂x₃ *₄) = 1.2.3.4=24. Szukane równie będzie więc miało kształt: a;⁴— lCte³ + 35;z²—5Cte + 24 = 0.

17. Wzór interpolacyjny Lagrange’a. Wiedząc, że wszelka funkcya całkowita wymierna n-go stopnia staje się zerem dla n wartości szczególnych, odpowiadających n punktom płaszczyzny liczbowej, w każdem zaś innem miejscu otrzymuje wartość różną od zera, postawmy sobie zadanie utworzyć funkcyę n-go stopnia f(x), któraby dla danych n wartości xi,x₂, ...#„, zmiennej x stawała się zerem, zaś dla pewnej (w+l)-szej wartości x₀ otrzymała daną wartość u₀.

Szukana funkcya f{x) byłaby kształtu:

f{x)=a^x—xx){x—x₂)... (x—xn),

gdzie spółczynnik a₀ jest liczbą stałą, bliżej wyznaczyć się mającą. Jej wartość znajdziemy, jeżeli uwzględnimy, że dla x=x₀ musi być według łożenia f(x₀)=^u₀. Będzie więc:

za-

przeto :

«o

uo

(*0 ^1 ) («0 *^2 ) • • • («0 •®»)

Wskutek tego, otrzymujemy szukaną funkcyę w postaci:

{X — XX) (tt— Są) ...(flg — Xn)

(*o-Xi)(x₀ — x₂)...(x₀ —xn) ■

f(x)=uo

(15)

Na tej podstawie możemy z łatwością wyznaczyć funkcyę całkowitą wymierną n-go stopnia, któraby w (w + 1) miejscach płaszczyzny liczbowej miała pewne przepisane wartości.

Oznaczmy przez F(x) tę funkcyę szukaną, która dla x=x₀, x±1 #₂,... xn, otrzymuje kolejno wartości w₀, uix w₂, ..., un.

Według poprzedniego, funkcya f(x) wymierna całkowita n-go stopnia, która dla x=x₀, xt1 x2t •••, xn otrzymuje kolejno wartości w₀, 0, 0 kształt :

0, ma

{x —Xj){x—x₂) {x—x₃)... (x — xn)__

(x₀ — Xt) {x₀ — x₂) (x₀ — x₃) ... (x₀ —xn) ’ podobnie będzie miała inna funkcya n-go stopnia /[(x), która dla x=x₀, xx, x₂,...,x„ otrzymuje kolejno wartości 0, ux, 0,..., 0, kształt:

(x—x₀) (x—x₂)... (X—Xn)

(xx—x₀) (xi—x₂)... {xx — xn) ’ funkcya n-go stopnia f₂(x), która dla x=x0: xix x₂₎ x₃,..., xn otrzymuje wartości 0, 0, u₂, 0, ...0, będzie miała kształt:

(x—x₀) (x—xx) (x—x₃)... (x—Xn)

(x₂ Xq) (x₂ xx ) (x₂ x₃)... (x₂ xn)

/■(«)=«* o

f\{x)=Ui

i t. d., funkcya w-go stopnia /'„(a;), która dla æ=æ₀, a:l7 #₂, ... wartości 0, 0, 0,...,    , będzie miała kształt:

(x—x₀)(x—xx)(x—x₂)... (#—Xn—\)

(jXn X₀ )    xx )    a:₂)... (:&» xn —i)

f n{x) —

otrzymuje

F(x)=u₀

Utwórzmy teraz funkcyę F(x)==f (x)-\-fx(x)-\-f₂(x) + ...-j-/ń(#), to otrzymamy:

(a;—a?₀) (a;—x₂) (x—x₃)... (x—xn)

(x₁ —x₀)(x₁ —X₂)(x₁ —x₃)...(x₁ — xn) (x—x₀)(x—xx)(x— x₂)...(x—Xn-\) (xn —Xo)(xn xx )(#« x₂ )...(ajw Xn— 1)

(x—xx) (x—x₂) (x—x₃)... (x— xn)

(a:—æ₀) (a:—a^) (a: — a:₃)... (a:—xn)

(x₂-x₀)(x₂-xi)(x₂—x₃)... (x₂ — xn) jako funkcyę, która odpowiada danym warunkom, jest bowiem funkcyą całkowitą wymierną n-go stopnia i otrzymuje dla x—x₀, xx,x2x ...,xn, kolejno wartości :

+ U2

\- ...Ą-Un

, ^1 ) ^2? •”)

Wzór, określający żądaną funkcyę, zowie się wzorem interpola-cyjny m Lagrange’a, i przedstawia się w postaci:

X~n

(X— x₀) (x—xx) ... (x — Xz-\) (X—Xi+i)...(x—Xn)    _

(»a—x₀) (xjl—xx)... (xz—xj,~i)(xj,— au+i)... (xz—xn)

(16)

Służy on do utworzenia tunkcyi w-go stopnia, jeżeli dane są (w+1) wartości funkcyi i do przedstawienia danej funkcyi w-go stopnia, jako sumy (w + 1) funkcyi tegoż stopnia.

18. Przykład. Utworzyć funkcyę drugiego stopnia, któraby dla trzech wartości x\i xii x3j zmiennej niezależnej x otrzymała wartość 1. Używając w tym celu wzoru Lagrange’a , otrzymamy szukaną funkcyę w postaci :

f(x) =

_ _ {x—xx)(x—x₂)

(xx — x₃)(xx — x%)    {x₃ —xx) (x₂ — x₃) ¹ {x₃ — xx){x₃—x₂)'

(x—x₂) (x—x₃)

(*—*i)    x₃)

Sprowadziwszy wyrazy w niej zawarte do wspólnego mianownika, otrzymamy:

f(x) = (X~Xï)(X—X*)(X3 ~xi) + (X~Xl) (X—X3)(X1—X3) + (X— X\ )(«—gpfa— gl)

(xi xi )    —X₃ ) (x₃ —XX )    ’

a po wykonaniu wskazanych działań :

/(*) =

0..r²-f (Lz-f M

gdzie M—xxx\—x\x₂ -\-x%x\—x\x^-\-x^x\—x\xx ; będzie więc szukana funkcy a f (x) — — 0. a?² + 0.a;1, czyli /(as) = 1 ; t. j. ilością stałą, równą 1.

19. Wzory Eulera. Przedstawmy wzór Lagrange’a w postaci:

Z=n

F(x)= 2 F(x£)

(x—X₀) ... (x—    *l+l) ...(*—**)

(160

4=0

i połóżmy E(cc) = a₀æ»-J-    1 -f-fl^cr’*—'² -j- — -j- an-i x 4“ ttn ? natenczas otrzymamy:

Z—n

a^xn-\-axxn—^-\-...-\-an— 2    ¹+ •••4' «»)

4=0

gdzie Bz, Cz... są współczynnikami z mnożenia otrzymanemi.

Porównajmy obustronnie współczynniki przy potędze xn, a otrzymamy wzór:

«o*    + a\xzn~X + •••+«*

(*ji—!ro)-(*x—o^-^+i) - ( xz~x*y

który się ostaje się dla wszelkiego układu współczynników a. Połóżmy w tym wzorze a₀—1, a inne spółczynniki a równe zeru, to dostaniemy:

Z—n

CC«-|-Bz Xn~^ -f- Cz CCW~²-|-... (xz—xo)-(xz—xz-i)(xz-xz+i) - (xZ~Xn) ’

Z~n

«0 = 2 4=0

(17)

CC,«

l __    "__

Z— o (*4“ *o).(*4—i®l)-(^—*4-lK*4“ xz+i) - 0*4” *»)'

(«)

Połóżmy zaś w (17) ««=1, zaś inne a równe zeru, tedy dostaniemy:

Z=n

xZn~a

>1=0

gdzie może być a = 1, 2,

Otrzymane dwa wzory a) i b) zowią się wzorami Eulera.

(XZ~Xo) -(xz~xZ-1) (*4“*4+i) - (** “*»)    ’

71,

Ćwiczenia XXXI.

1)    Jaką resztę otrzymamy z podbielenia wielomianu: 3cc³-f-2cr²-|-5cr-f-7 przez x—3.

2)    Dowieść, że wielomian /(oj), podzielony przez dowolny dwumian (cc—a), daje na

resztę /(a).

3)    Wykazać, że w funkcyi całkowitej wymiernej: /(cc) = a₀xn-{• axxn—¹ -J-... -f- «n—l cc, możemy wartości bezwzględnej j x |, nadać tak małą wartość r, że bezwzględna wartość j/(cc)| staje się dla |cc| = r, tudzież dla |cc|<;r mniejszą od jakiejkolwiek danej liczby e.

4)    Jeżeli dwie liczby a, b, podstawione za cc w funkcyę całkowitą wymierną f(x) dają wyniki o przeciwnych znakach, wykazać, że przynajmniej jeden pierwiastek równania /(cc) = 0, znajduje się między granicami a i b.

5)    Wykazać, że równanie nieparzystego stopnia o spółczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

6)    Wykazać, że równanie normalne parzystego stopnia o spółczynnikach rzeczywistych, w którem wyraz wolny od niewiadomej jest ujemny, ma przynajmniej dwa pierwiastki rzeczywiste o znakach przeciwnych.

7)    Wyznaczyć sumę kwadratów pierwiastków równania: cc⁶—Gæ⁵+40cc³-)-60cc²—x—1—0.

Rozwiązać następujące równania:

8)    cc³4-8=2cc²-f- llcc -j-14. 9) cc⁴ 4- 4-2VA^2 — 4cc².

10)    (x + l)(cr + 3) + (x + 2)² = cc² (cc + 4)²—8.

11)    CC⁴— ⁵/₆ CC³ — ¹⁹/3 cc² — % cc -f- 1 =0.

12)    Qx⁶ - 23 X⁵ 4- 10 X* + 14 cc³ -f- 10cc² - 23 x + 6 = 0.

13)    Utworzyć równanie, któreby miało pierwiastki: 2+\/8, —1+Y/3.

14)    Równanie cc⁴ -\- 2x³—5cc²—6cc-|-6 = 0 ma pierwiastek cr₁=Y/3 — 1, wyznaczyć pozostałe pierwiastki.

15)    Równanie cc⁴—7cc³-j-15a;²— 7x — 6 = 0 ma pierwiastek xx—\-\-\/2x wyznaczyć resztę pierwiastków.

— 421 —

16) Wykazać, że suma trzecich potęg pierwiastków równania :

xn4aixn~' 4 a₂xn—² 4 — 41 *4 an = 0,

jest równa: 3a₁«₂—3a₃—a\.

Wyznaczyć dolną i górną granicę bezwzględnych wartości pierwiastków w następujących równaniach:

17) *⁷ 4 6*⁶ — 51*⁴ — 10*³ — 103* f 500 —0.

19)    Jaki związek zachodzić musi między spółczynnikami <y, c₂, c₃, aby równanie:

*³ — Cj*² 4 C2X — c3 — 0,

miało pierwiastki: xi=tgct, *₂ = tgß, *₃ —tgy, przyczem: a4ß4y = 7:-

20)    Znaleźć związek, jaki zachodzić musi między spółczynnikami cj5 c.₂, c₃ równania, *³—q*²4 c₂x—c₃=0, jeżeli pierwiastki tego równania mają przedstawiać cos kątów trójkąta.

21)    Wykazać, że pierwiastki równania *³—6*²410"c — 4 = 0 mają postać:

18) *⁶4 6*⁵— 7*⁴ 4 2*³— 8* - 10 = 0.

*t = 4cos²-g-, *₂= 4 cos ² ^T'

*₃ = 4 cos²

3^

"8 *

22)    Pod jakim warunkiem równanie: ax³-\-bx²-\- cx 4 rf=0 może być przedstawione w postaci: (*² -f- px 4 ą)²—*⁴.

23)    Wykazać, że w równaniu: æ⁴ - qx³ c₂æ²-c₃æ -j- c₄=0 suma dwu pierwiastków jest równa sumie dwu powstałych, skoro: 8c₃—4c₁c₂ 4- <4 = 0.

Metodą Homera wyznaczyć następujące ilorazy:

24)    (*³- 2*²—5* -f 6) : (x 4 4). 25) (2*6-2*⁴ +12*³-21*-226530) : (* + 7).

26)    (*³ 4. 9*² + 38* 4-168) : (*—5).

27)    Wyznaczyć funkcyę całkowitą n-go stopnia, która na (»41) miejscach xn-\-1 ma odpowiednio wartości: *4, *₂a

28)    Utworzyć funkcyę, która w miejscu* —1, staje się dwukrotnie równą zeru, a w miejscu *— 2, ma dwukrotnie wartość =3.

29)    Jakie jest miejsce geometryczne punktów rozmieszczonych na płaszczyźnie liczbowej zmiennej *, jeżeli odstępy tych punktów od tej płaszczyzny określone są bezwzględ-nemi wartościami funkcyi /(*) = a 4.bi, gdzie a i b są liczbami stałemi.

Wyznaczyć pierwiastki następujących równań:

a² — *, ab—* cos y ab—*cosy, b²—*

Xn+ 1“, (« =1, 2,

»).

30)

ax

A, B

-1,    0 =0.    31)

0, -1

= 0.

32)

= 0. 33)

=0.

Rozwiązania XXXI. 1) 121. 7) 36. 8) —2, 2±\/f. 9)+\/2,... 10) 1,-1,-3,-5. 11)3,4 —2, — L 12) 1, 1, 3, 4 -|(3±*VT). 13) *⁴-2*³-9*²4l0*-2 = O. 14) —\/Ś —1, ± Y/3 . 15) 1- V2, 3, 2. 17)    5. 18) |, 11.    19) q = c₃. 20) c\ - 2c₂ 4 2c₃ - 1 = 0-

22) c³—AbcdĄ-Sad^—O. 24) *²—6*419—V0/;c+⁴- 25) 2xr’—14*⁴496*³— 660*² 4 4620*—32361—³/r-f-7. 26) *² 4 11x4 1084 ⁷⁰⁸/a;—5. 27) *”. 28) 15 — 36* 4 27*²—6*³. 29) Płaszczyzna równoległa do

Ap 4 Bq 4 U Aa+ Bb + C

*4 =

płaszczyzny liczbowej w odstępie — \Za²-\-b²- 30) *

32) *j= 0, *₂=0, *3 = 4V/«²4 b² 4c‘²ł

(a² 4 b² — 2 ab cos y) sin² y

33) x₁— a, *₂ = a, *₃= a, *₄ = — 3a.

*₂

31) *! = 0, - v/«²4&²4 c² .

Literatura. A. Dronke. Einleitung in die höhere Algebra J. Petersen. Theorieder algebraischen Gleichungen. Kopenhagen, 1878. Todhunter. An elementary treatise on the theory of équations. London. Zajączkowski. Zasady algebry wyższej, we Lwowie, 1884.

Tematy do rozprawek naukowych:

1.    Historyczny przegląd dowodów istnienia pierwiastków równań n-go stepnia.

2.    Własności i obrazy funkcyi całkowitej wymiernej zc spółczynnikami rzeczywistemi.

3.    O funkcyi całkowitej wymiernej, która w wierzchołkach wielokąta umiarowego ma stale jednakową wartość.

Wykład XXXII.

Funkcyą całkowita wymienna i jej funkcyę

pochodne.

1.    Pojęcie funkcyi. Jeżeli dwie wielkości zmienne x i y tak są ze sobą związane, że każdej wartości zmiennej niezależnej x odpowiada pewna, określona wartość zmiennej zależnej y, natenczas powiadamy, że zmienna zależna y jest funkcyą zmiennej niezależnej x, i piszemy y—f\x).

Zmienną niezależną x uważamy, jako taką zmienną, która może przybierać wszelkie wartości, bądź to w nieograniczonym zakresie liczb rzeczywistych (od—oo do+00 ), bądź też w nieograniczonym zakresie liczb zespolonych (a-\-bi); w pierwszym przypadku nazywamy ją zmienną rzeczywistą, w drugim zmienną urojoną.

Zmienna zależna y =/(#), będąc funkcyą zmiennej niezależnej x, przybiera wartości, zależne od kształtu funkcyi f(x) i od wartości zmiennej niezależnej x i może być przy pewnym danym kształcie uważana, jako funkcyą zmiennej rzeczywistej, lub też, jako funkcyą zmiennej urojonej.

2.    Obrazy funkcyi f(x). Funkcyę zmiennej rzeczywistej możemy przedstawić geometrycznie, odcinając na osi nieograniczonej X‘X wartości zmiennej niezależnej x w pewnej podziałce, a na prostopadłych do tej osi, wartości funkcyi f(x), odpowiednie odcinkom x, o ile są rzeczywistemi liczbami, a więc, uważając x i y=f(x), jako spółrzędne punktu na płaszczyźnie.

Tym sposobem otrzymamy na płaszczyźnie XY zbiór oo¹ punktów, tworzący pewną formę jednowymiarową, która będzie, albo formą ciągłą w postaci linii krzywej, albo formą przerywaną, w postaci luźnych punktów, lub odcinków krzywolinijnych.

Mając n. p. daną funkcyę całkowitą, wymierną, drugiego stopnia: y=^ 1—Æ², otrzymujemy tablicę par wartości zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej y w postaci :

X=-~ CO

y=-co

, ...,

z której wypływa, że:

CO 00

05 hC

■»—i    o

O h-

CM CO

CO GO

+ C0

—co

dla

—co

jest:

— co

0, ...

C ’-i

1. .

0,.

+ oo —co .

Funkcya y=l—x², zmiennej rzeczywistej x: staje się więc dwa razy zerem: dla x— — 1 i dla Æ=-j-l; między granicami x= —1... + 1, jest stale dodatnią,

a dla a?< —1, jako też dla x^> + 1 jest stale ujemną. Jej obrazem jest linia krzywa, wznosząca się między odcinkami X— — 1 i æ=+1 nad osią x-ów, zaś, dla x<i— 1 i    pod

osią x-6w, symetrycznie ułożona względem osi yy‘ (fig. 254.).

3. Chcąc otrzymać obraz geometryczny funkcyi zmiennej urojonej, należy przyjąć dwie oddzielne płaszczyzny, jedną X, jako płaszczyznę zmiennej niezależnej X, drugą Y, jako płaszczyznę zmiennej zależnej y, będącej funkcyą f(x) zmiennej niezależnej x. Przyjmując na płaszczyźnie X pewien punkt P, odpowiadający pewnej wartości urojonej, przyjętej za zmiennę niezależną x, otrzymujemy na płaszczyźnie Y odpowiedni punkt 77, odpowiadający wartości zmiennej zależnej y, wynikającej ze związku y=f(x) Tym sposobem odpowiadać będzie każdemu przyjętemu zbiorowi punktów P na płaszczyźnie X, pewien zbiór punktów U na płaszczyźnie Y, zależny od kształtu danej funkcyi y=/’(*)• Powiadamy tedy, że płaszczyzna Y jest odwzorowaniem płaszczyzny X za funkcyi y=f(x).

Mając n. p. płaszczyznę zmiennej niezależnej, urojonej x —    odwzorować za po

mocą funkcyi y — 1—a?², otrzymujemy, dla każdego punktu a; = Ç fi- rti płaszczyzny zmiennej niezależnej x, odpowiedni punkt y = Xfi- Yi płaszczyzny zmiennej zależnej y, oznaczony wzorem :

-1

+1

■X’

Y'

Fig. 2B4.

pomocą danej

czyli :

z którego wypływa :

X+Yi = 1—(Ç + rti) ² =l-?²-2^i fi- r)², X + Yi—(l—?² fi- tj²)—25)i,

II

-5

Fig. 255.

Każdej parze spółrzędnych rzeczywistych (E, tj) punktu P na płaszczyźnie zmiennej niezależnej x odpowiada tedy na płaszczyźnie zmiennej y para spółrzędnych rzeczywistych (X, F) punktu II, będącego odwzorowaniem punktu P, jak n. p. na fig. 259. punktowi P(l, 1) odpowiada punkt 11(1, 2).

4.    Własności funkcyi całkowitej wymiernej n-go stopnia. Wielomian:

(1)

f(x)=a₀xn+aixn~l-\-...+ aM_i x 4-a równania «-go stopnia: a₀xn Ą- a^”—¹    ... + aw_j Æ-pan=0, przedstawia jedną z naj

prostszych form, w jaką połączyć możemy zmienną niezależną x z liczbami stałemi : a₀,alt ..., an , celem otrzymania nowej liczby:

(10

y=a₀ xn 4- ax xn~^ +... + an. .₄ x + an, zmiennej, od x zależnej, którą nazwaliśmy funkcyą całkowitą wymierną zmiennej niezależnej x.

Najprostszą funkcyą całkowitą jest funkcya zerowego stopnia: y = a₀, która jest dla wszelkich wartości zmiennej niezależnej x, stale równą a₀ ; zmienna zależna y nie jest w tym razie funkcyą zmiennej niezależnej x. tylko liczbą stałą. Po niej następuje funkcya całkowita wymierna pierwszego stopnia, czyli funkcya liniowa: y = a₀x-\-al, następnie funkcya drugiego stopnia: y = a₀æ² -f- a₀, i t. d.

Wszelka funkcya całkowita wymierna f{x) zmiennej niezależnej x otrzymuje dla każdej wartości szczególnej a, rzeczywistej, lub urojonej, zmiennej x tylko jedną wartość odpowiednią, skończoną f(a).

Przyjąwszy bowiem za x wartość a —rcp=r (cos ® -f- isin ®), otrzymamy dla wszelkiego całkowitego dodatniego wykładnika m potęgi xm tylko jedną wartość skończoną: am = (rm)mcp =rm (cos m <p -f- i sinm©), która się nie zmieni, gdy azymut co powiększymy o 2tc, jest bowiem (1^ + 2n)m= 0-<p)m — 1 my.

Z tego powodu powiadamy: Funkcya całkowita wymierna jest w każdym punkcie x płaszczyzny liczkowej skończoną i jednowartościową, a jest tylko w punkcie nieskończenie dalekim (æ=oo ) także nieskończoną.

W ostatnim wykładzie (art. 5. str. 413.) przekonaliśmy się, że pośród punktów skończonych płaszczyzny liczbowej istnieje n punktów takich, (oddzielnych, lub na siebie wpadających), w których dana funkcya całkowita wymierna «-go stopnia staje się zerem.

Z tego twierdzenia wynika też wprost następujące: Wszelka funkcya wymierna całkowita przyjmuje na płaszczyźnie liczkowej wszelką, wartość n-razy.

Z warunku f(x) = c otrzymujemy bowiem równanie «-go stopnia: f{x)—c=0, które ma « pierwiastków, wskazuje zatem na « miejsc, w których dana funkcya f(x) otrzymuje daną wartość c.

Przyjmując w funkcyi całkowitej f(x) wszystkie spółczynniki a₀, a₁, ..., an rzeczywiste i nadając zmiennej niezależnej x także pewną wartość rzeczywistą, skończoną «, otrzymamy, jako odpowiednią wartość f(a) danej funkcyi, znowu wartość rzeczywistą, skończoną. Wartość ta może być dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej niezależnej x najwyżej «-razy zerem, co się stanie wówczas, jeżeli równanie f(x) =0 ma « pierwiastków rzeczywistych, ale może też dla rzeczywistych wartości x nie być nigdy zerem, skoro równanie f(x)=0 nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych, a ma tylko same pierwiastki urojone parami sprzężone (art. 13. str. 416.).

5.    Przyrost funkcyi całkowitej wymiernej n-go stopnia. Funkcya całkowita wymierna «-go stopnia :

r~n

(2)

ar x

f\x)=a₀xn + ai xn~¹ +...+a„_i x + an=2

r-0

otrzymuje dla każdej skończonej wartości zmiennej x pewną szczególną wartość /'(#), którą nazywamy wartością funkcyi f(x) w miejscu x. Nadajmy wartości zmiennej x pewien przyrost h, natenczas dochodzimy do miejsca xĄ-h, w którem dana funkcya otrzymuje nową wartość:

/ (a; + Ä) = a₀ (# + Â)w -j- a, (a? + A)

+ ... + ö*_l («+ Ä) + On =

r— n

(2')

=2ar (®+ A)n_r.

r=0

Różnicę tych wartości w miejscach (æ-j-A) i x, t. j.: f(x + h)*-f(x) = aQ [(x-\-h)n—xn]-\-ai[(x + h)n-i-xn-i] + ...-\-an-][(x+h) — x],

r=n

f{X + h) —f(x) = 2 ar { (X'+ Ä)n_r

(3)

czyli :

r= 0

nazywamy przyrostem funkcyi całkowitej wymiernej /‘(&), odpowiadającym przyrostowi h liczby zmiennej x.

W szczególności otrzymamy dla funkcyi f(x) — a, gdzie a jest liczbą stałą, przyrost: f(x -f h)—f(x) = a—a, a więc : f(x -f h)—f (x) = 0.

To znaczy : Przyrost liczby stałej jest zerem

Dla funkcyi / (x) =• ax, gdzie znowu a jest liczbą stałą, czyli dla t. z. wielokrotności wielkości zmiennej x, otrzymujemy przyrost: f{x-\-h)—f(x) — a(x-\-lt)—ah, a więc: \ f(x -\- h)—f(x)-= a . h.

To znaczy : Przyrost wielokrotności zmiennej niezależnej x jest równy tej samej wielokrotności przyrostu tejże zmiennej.

6. Przyrost potęgi zmiennej niezależnej x. Szczególnym przypadkiem funkcyi całkowitej wymiernej ze względu na zmiennę niezależną x jest potęga tejże zmiennej niezależnej : /(£c)=£C», gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią. Funkcya ta, zwana także zwykłą potęgą, ma wszystkie n miejsc zerowych, w punkcie a? = 0, jest zresztą, jak każda funkcya całkowita dla wszelkiej skończonej wartości x skończoną i jednowartościową , a dla x=oo otrzymuje także wartość nieskończenie wielką.

Przyrost funkcyi f(x) — xn w jakimkolwiek miejscu x, wywołany przyrostem h zmiennej niezależnej x, otrzymuje wartość, określoną wzorem \f(x-\-h)—f(x)=(x-\-h)n—xn.

Rozwinąwszy potęgę (x-\-h)n według wzoru Newtona:

{x-\-h)n=xn -\- (")cc»-1Ä -j- (”) xn~z h* -|~... + (”) xn~~r hr + ...Ą-h”,

otrzymamy :

(pcĄ-h)n — x» = nxn — 1 . h -f-    —².Ä²-f- ... -f- {^)xn—r .hr Ą- ... _p ]bn ₅

a więc przyrost funkcyi- potęgowej f(x) = xn, w postaci :

r=n

f(x -J- h) —f(x) = (x -j- h)n — xn = 2    xn—r . hr.

r= 1

(4)

Przyrost «-tej potęgi zmiennej niezależnej x jest więc całkowitą wymierną funkcya «-go stopnia ze względu na przyrost h tejże zmiennej niezależnej, nie mającą wyrazu od h

wolnego.

(5)

7. Rozpatrzmy bliżej spółczynniki przy poszczególnych potęgach przyrostu h. Zauważymy najpierw, że spółczynnik przy h ma kształt nxn~¹ , czyli jest funkcya. całkowitą («—l)-go stopnia, a to («—l)-szą potęgą niezależnej x, pomnożoną przez wykładnik potęgowy «. Funkcyę tę nazywamy pierwszą funkcya pochodną funkcyi potęgowej f(x)—xn, i oznaczamy przez f'(x) (czytając / prim x albo / z kreską xj. Powiadamy tedy, że funkcya f(x) — xn ma pierwszą funkcyę pochodną, kształtu:

f‘(pc) — (xnj‘ = nxn~^

czyli, że : pierwsza funkcya pochodna potęgi zmiennej niezależnej x równa sie wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez potęgę tejże zmiennej, wziętą z wykładnikiem o 1 zmniejszonym.

«(«—l)xn—²

jest więc ze względu na

Spółczynnik przy h² ma kształt: (ry)*”⁻²

x funkcya całkowitą («—2)-go stopnia. Funkcyę «(«—l)æn—², powstającą z pierwszej pochodnej /'(as) =nxn—¹, podobnie, jak powstała pierwsza pochodna «a;*-¹ z potęgi xn, nazywamy drugą pochodną funkcyi potęgowej xn i oznaczamy przez fix) (czytając / wtór x, albo / z dwiema kreskami, x). Powiadamy tedy, że druga pochodna funkcyi potęgowej f(x)—x* ma kształt:

gólnych potęgach hr (r —1,2, ...n) przyrostu h w postaci

W tern rozwinięciu przyrostu f(x-\-h)—f(x) funkcyi potęgowej f(x)=xn podług potęg rosnących przyrostu h zmiennej niezależnej x, przedstawiają się spółczynniki przy poszcze-

f^(x)

zależnej od wai-tości po-

426

x otrzymuje się z pierwszej pochodnej: f'(x) = nxn—i, jeżeli w niej zmniejszymy wykładnik potęgowy o 1, a następnie pomnożymy ją przez wykładnik pierwotny.

Wogólności spółczynnik przy hr ma kształt :

Xn~r

n(n—1)... (n—r -j-1) xn~r

jest

więc ze względu na x funkcyą całkowitą (n—r)-go stopnia. Funkcyę nCn—1 )...(n—r-\-l)xn~r nazywamy analogicznie r-tą pochodną funkcyi potęgowej f(x) — xn, i oznaczamy pi’zez f(r){x) (czytając f f (x) — xn, ma kształt :

kreskami, x). Powiadamy tedy, że r-ta pochodna funkcyi potęgowej

f(r) (ac) = (xn)(r) —n (n—1)... (n—r +1) xn—r

(V

i powstaje z (r-l)-szej pochodnej f(r—¹)(x)=n(n—l)...(n—r-\- 2) xn~r+'[₎ (podobnie, jak pierwsza pochodna /'(aj) = nxn~¹ z danej funkcyi potęgowej f(x)—xn), jeżeli w niej zmniejszymy wykładnik potęgowy o 1, a następnie pomnożymy ją przez wykładnik pierwotny.

Spółczynnik przy /i«—¹ , jako przedostatniej potędze przyrostu /*, ma kształt : nfn—l)...2.aj

(.-i)-

, jest więc ze względu na x funkcyą pierwszego stopnia. Funkcyę

(n—1) !

n(n—l)(n—2)...2.x nazywamy (n—l)-szą pochodną funkcyi potęgowej f(x) — xn i piszemy analogicznie :

f(n—P (x) = (a5»)("—i) —n(n—\)(n—2) ...2. x.

W końcu spółczynnik przy hn, jako najwyższej potędze przyrostu h, ma kształt: /n\ n !

ynj = ^—l, jest więc ze względu na x funkcyą zerowego stopnia, równą 1. Funkcyę

n(n—1)...2. l.x® = n\ nazywamy n-tą pochodną funkcyi potęgowej i piszemy analogicznie:

fi”) (x) = (xn)(n) = n !

8. Wprowadzając powyższe określenia funkcyi pochodnych danej funkcyi potęgowej f(x)—xn , otrzymujemy jej przyrost:

n(n—1) xn~²

(8)

f(x-\-h) —/(x)— nxn~î. h -f w postaci :

2!

.7^ + ...+

n(n—1)... (n—r -j- 1) xn~r

-hr + - +

- lin

f(x + h)—f(x)=

ÎÏ

.h+cph,₊..^

fr (as)

ltr “I⁻ ... -\~

/(«) (x)

nl

hn.

chodnych: f(r)(x) = n(n—1)... (n— r + l)xn—r funkcyi potęgowej f(x)—xn, w miejscu przy-jętem x. Ponieważ wszystkie pochodne funkcyi potęgowej są także funkcyami potęgowemi, opatrzonemi pewnemi , stałemi spółczynnikami, a więc dla każdej' wartości skończonej x są także skończone i jednowai-tościowe, pi*zeto są także spółczynniki przy poszczególnych potęgach przyrostu li także skończone i jednowartościowe.

Przyrost f(x-\-h)—f(x) jakiejkolwiek całkowitej potęgi x« jest więc w każdem miejscu x płaszczyzny liczbowej, dla każdego skoiiczonego przyrostu U zmiennej niezależnej x, także skończonym i może przy stosownie dobranym przyroście h (w myśl art. 2. str. 412.) stać się, bezwzględnie biorąc, mniejszym od wszelkiej dowolnie małej liczby 8, pozostając ciągle mniejszym od 8, gdy bezwzględna wartość przyrostu h jeszcze bai'dziej maleje, i staje się dla h = 0 także zerem.

Funkcyą potęgowa xn o wykładniku całkowitym dodatnim n jest w otoczeniu każdego miejsca x płaszczyzny liczbowej, t. j. w otoczeniu każdej wartości skończonej rzeczywistej, lub urojonej, zmiennej zasady x, funkcyą, zmieniającą się bez przerwy, powiadamy przeto, że: funkcyą potęgowa y—xn jest iv kazdem miejscu x funkcyą ciągłą.

9. Funkcyę pochodne danej funkcyi całkowitej. Celem wyznaczenia przyrostu danej funkcyi, określonego wzorem (3), rozwińmy potęgę (x-\-ii)n~r zapomocą wzoru Newtona :

(K-r)

zn-r~xh +

fr)

xn~r~²h² + ...+

hn~r

natenczas otrzymamy z (B) :

r~n

xn-r-\

(n — r\

( 2 r~r

-²Ä²+... +

427

Uporządkowawszy otrzymaną sumę podług potęg rosnących przyrostu h, dostajemy stąd-

r—n

f(x+h) — f(x)

~ r)ar%n

¹ r=z 0

r—n

Il ~ ’WI

+ £1 ^ (w—r)(n-r—l)arxn h/ft

d--2j(n—r)(n—r—l)...(n—r—mJrl)arxn

m ! j—

r= 0

r—n

d~

(n — r) (n—r—1) ((n—r—2) ar xn~r~²Ą- ...+

r=0

+... +

2. *

. n ! aj. (11)

W otrzymanem rozwinięciu przyrostu funkcyi : f(x-\-h)—f(x) podług potęg przyrostu h zmiennej x, przedstawiają spółczjmniki przy poszczegól-

(r — 1, 2, ... n), nowe funkcye zmiennej x, które

nazywamy funkcyami pochodnemi danej funkcyi całkowitej względem zmiennej x.

W szczególności nazywamy spółczynnik przy h, pierwszą pochodną

h²

funkcyi f(x), oznaczając ją przez f‘(x), spółczynnik przy    nazywamy

drugą pochodną funkcyi /'(#), oznaczając ją przez f“(x), spółczynnik nazywamy trzecią pochodną funkcyi /“(#), oznaczając ją przez

nych wyrazach kształtu:

przy

hr

hm

nazywamy m-tą pochodną funkcyi

f“‘(x) ; ogólnie spółczynnik przy f\x) i oznaczamy ją przez f(m\x).

10. Mamy tedy dla danej funkcyi całkowitej n-go stopnia:

rz=n

/y^)=2 (ir %n

r~ 0

następujące funkcye pochodne:

r= n

n— r—1

Clr X

r~ 0 r=n

—r—2

r=0

r—n

/Ul(x)—'^j (w—r) (w—r—1) (n—r—2) ar >n-r

-3

(12)

r=0

r—n

f(m\x)    (n—r) (w—r—1)... (n-r—m-f 1) ar xn~r~m

r—0

(x) = n ! a₀,

skąd wypływa następujące prawidło: Z danej funkcyi całkowitej w-go stopnia f(x) otrzymujemy jej pochodną, jeżeli w każdym wyrazie zmniejszymy wykładnik zmiennej o 1, a następnie, pomnożymy ten wyraz przez wykładnik pierwotny. Postępując tak samo z otrzymaną funkcyą pochodną, otrzymujemy następne pochodne danej funkcyi.

- 428 —

Z tego prawidła wynika, że pochodne danej funkcyi całkowitej n-go stopnia, po sobie następujące, są fnnkcyami całkowitemi stopnia o 1 coraz mniejszego, tak, iż n-ta pochodna funkcyi całkowitej w-go stopnia będzie już funkcyą zerowego stopnia, czyli liczbą stałą, a (w-j-l)-sza pochodna i wszystkie następne będą już zerami.

11. Pisząc funkcyę f{x) w postaci :

f(x)=a₀ xn + aY x-”_1 + a₂ xn~² +... + ar xn~r +... + an_ i x+an,

otrzymujemy następujące postacie jej funkcyj pochodnych:

f\x)—n «qÆ”-¹ + (n—l)atxn~2jr (n—2)a₂xn~² +... + (n—r)arxn~r~i +... + 2aw_2#4- ««_i f“(x)--=n{n~l)a₀ xn~² +... +(n—r)(n — r— 1) arxn~r~² + ...-1-2 ! a„_2 f‘“{x)=n {n—1) {n—2) a₀ icn_3 + ... + (w—r) (w— r—1) (w—r—2) arxn~r~²-f ... + 3 ! ara_3 fm(x)=n(n—l)...(w—w + l)a₀#M~Wi-f ... + (w—r)(w—r— 1)...(m—r—m-\- l)ar xn~r~m + ...

+m\ an-m

/'(» i\x)=^n(n~l){n—2)...8.2.a₀a;4-(n—1) ! ai

/(w>0»)=ra!ao,

/*(« + b (x) ₌ f{nĄ l) (#) = ,,. = /" n+r(a;) = ... = 0.

12. Tak otrzymujemy n. p. dla funkcyi:

f(x)= xi— 4*³    5*² -J- 3*— 5)

poszczególne pochodne :

f\x) = 4*³—12 *²    10u? -j- 3

f'(x)= 12*²—24* + 10 f‘“(x)= 24*

/(*)(*)= 24,

następne zaś pochodne są zerami.

13.    Ciągłość funkcyi całkowitej wymiernej. Wprowadzając znakowanie funkcyj pochodnych w wzór (4), podający rozwinięcie przyrostu funkcyi całkowitej wymiernej jednej zmiennej x, podług potęg rosnących przyrostu h tej zmiennej, otrzymujemy wzór w. postaci:

(13)

f(x+h)—f(x)=^-^-h+^-^h²+...-k nl

Znając więc wartość f\x) funkcyi całkowitej wymiernej w-go stopnia w pewnem miejscu x, i wartość wszystkich pochodnych f(r\x), (r=l, 2,... n), tejże funkcyi w temże miejscu x, możemy na podstawie wzoru (13) wyznaczyć wartość przyrostu f(x-\-ii)—f{x), danej funkcyi, odpowiadającego dowolnemu przyrostowi h zmiennej x.

Uwzględniając dalej, że funkcye pochodne /(r)(ic), (r=l, 2,..., w), jako funkcye całkowite (n—r)-go stopnia dla wszelkiej skończonej liczby x, otrzy-mują także wartości skończone, poznamy, że wartość przyrostu funkcyi f(x-{-h)—f{x) może stać się przez stosowny wybór przyrostu Ji dowolnie małą w każdem miejscu x. Możemy mianowicie na mocy art. 3. str. 412. przyrost h tak obrać, aby była bezwzględna wartość przyrostu: |f(x-\-h)—f(x)\<ió, gdzie <5 jest liczbą dowolnie małą, i mniejszą od ô pozostała, gdy h jeszcze bardziej zmniejszymy. Tą własnością cechuje się ciągłość funkcyi/(#); wskutek tego otrzymamy twierdzenie: Funkcya całkowita wymierna f (x) jest ciągłą około każdej wartości przyjętej za zmienną x, czyli: Funkcya f(x) jest w każdem miejscu funkcyą ciągłą swego argumentu.

14.    Krzywe paraboliczne. Z twierdzenia o ciągłości funkcyi wymiernej wynika, że wszelka całkowita wymierna funkcya niezależnej rzeczywistej zmiennej przedstawia się geometrycznie, jako ciągła linia krzywa na płaszczyźnie XY, jeżeli wartości zmiennej nie-- 429 -zależnej x odcinać będziemy na osi XX, a odpowiednie wartości funkcyi całkowitej y—f(x) na prostopadłych do osi XX, wykreślonych w końcach odcinków x.

Równanie y=f(x) nazywamy tedy równaniem dotyczącej linii krzywej a wszelkie krzywe o równaniu kształtu: y=f(x), gdzie f(x) jest całkowitą wymierną funkcyą n-go stopnia ze względu na zmienną niezależną x, nazywamy krzywemi parali o 1 i c znemi n-g o rzędu.

Krzywe paraboliczne n-g o rzędu, mając równanie :

(14)

V = aQxn + axxn-^ -f-... -j- an -1 x + an ,

an są dowolnemi liczbami rzeczywistemi, mają w każdem

w którem spółczynniki a₀, ax

miejscu rzeczy wistem skońezonem x, jedną rzeczywistą skończoną rzędną y ; przecinają oś XX najwyżej w-razy t. j. najwyżej w n punktach rzeczywistych , a otrzymują tylko dla æ = 4-°0) tudzież dla x = —co nieskończenie wielkie rzędne y, dodatnie, lub ujemne.

Krzywe paraboliczne parzystego (2r-go) rzędu: y =a₀xîr 4- a^r-1 4. ... -|- a.lr_x X + «2 mogą wcale nie przecinać osi XX, albo przecinają ją w parzystej ilości punktów rzeczywistych (jak na fig. 256.); krzywe paraboliczne nieparzystego (2r -1- l)-go rzędu :

Fig. 257.

y = œ₀a;2r+l _|_ axx> 4- ... 4. a%r x a2r+1 , przecinają zawsze oś XX, przynajmniej w jednym punkcie rzeczywistym, albo w nieparzystej ilości punktów, (jak na fig. 257.)

15. Szczególne postacie krzywych parabolicznych przedstawiają funkcye potęgowe :

y = xn,

które stają się zerami tylko w jednem miejscu « — 0, w stopniu w-krotnym. Krzj^we paraboliczne, im odpowiadające, zwane także zwykłemi parabolami n-go rzędu, przechodzą przez początek układu, od którego począwszy rozciągają się po obu stronach osi XX w nieskończoność.

-X-

-XX—y

-X

'< -1-

-Y

-Y

y^=x*

y= x³

y=xi

Fig. 258.

Fig. 259.

Fig. 260.

Fig. 261.

Pomijając parabolę pierwszego rzędu y—x, przedstawiającą się, jako linia prosta, przechodząca przez punkt (0, 0) pod kątem 45° do osi æ-ôw, mamy w równaniach: ł/ = sc², y = x⁴, y = x⁵ parabole drugiego rzędu (fig. 258.), trzeciego rzędu (fig. 259.), czwartego (fig. 260.) i piątego rzędu (fig. 261.).

16. Rozwinięcie funkcyi całkowitej wymiernej w otoczeniu miejsca x.

Z wzoru (13) otrzymujemy:

f{x+h)=f(x)+tMh+qp

n\

(14)

wzór, podający rozwinięcie funkcyi całkowitej f(x), w otoczeniu miejsca x, znany pod nazwą wzoru T aylor a.

Z tego wzoru możemy znaleźć wartości funkcyi całkowitej wymiernej f\x) w jakiemkolwiek miejscu x-\-h, gdy znamy wartość tej funkcyi i wartość wszystkich jej funkcyj pochodnych w jednem tylko, dowolnie wybranem, miejscu skończonem x.

Pisząc a zamiast x, zaś x—a zamiast /&, możemy ten wzór także przedstawić w postaci :

f(x)=f{a) +    +

/"(«)

/(») (a)

n\

(x—a)n,    (15)

która dozwala daną funkcyę całkowitą f(x) uporządkować według potęg argumentu (x — a).

Dla a=0 przedstawia się ten wzór w postaci:

m-m+^sc+f-^x*+... 4

/"(O)

xn,

(16)

znanej pod nazwą wzoru Maclaurin’a. Ponieważ jednak:

f(x)=a₀xn-{-aixn~'¹    ...Ą-an-iX-\-an,

przeto otrzymujemy z wzoru Maclaurin’a wprost:

fn( 0)

fn~\0)

°    «! ’ a>~ («-I)!’’

n o)

1!

an=f( 0),

wzory, określające znaczenie spółczynników a₀, a₁, . n-go stopnia.

Przykład. Dla funkcyi:

an, funkcyi całkowitej

/(a?) = cc³—«² -]- 4x — 1,

której szczególne pochodne są: f\x) = 3x³-6.r-|- 4, f"(x) = 6x—6, /"'(#) = 6, rozwinięcie w otoczeniu miejsca x = a, przyjmuje postać:

/(*) =/(«)    (* — «) d

/'(«)

2!

(se —a)² -j-

/'"(«)

3!

(x—a)³,

skąd , ze względu na to , ze dla tej funkcyi jest :

otrzymujemy :

f(a) = a³ — 3a² -j- 4a — 1, /'(a) = 3a² — 6a + 4, /" (a) = 6a — 6, /"'(«) = 6,

f(x) = (a³—3 a² -|- 4a—1) -f- (3a²—6a -f- 4) (cc—a)    (3a—3) (x—a)²-f~ (x—a)³.

W szczególności dla a = 1, będzie :

/(i)=i, /'(i) = i, /"(i) = e, /'"(i)=6,

przeto otrzymujemy daną funkcyę, uporządkowaną według rosnących potęg dwumianu (cc—1) w postaci :

f(x) = 1-1- (x—1) + 3(cc—l)² + (æ-1)³.

17. Sposób rozwijania funkcyi wymiernej całkowitej podług potęg dwumianu (x— a) za pomocą dzielenia. Dzieląc rozwinięcie funkcyi f(x) w otoczeniu miejsca:

f(x)==f{d)-\

f\a)

f“(d)

1!

{x—a)+ 2f

(x—a)² + ... f

/•W(a)

, (x—a)n n\

przez dwumian (x—a) otrzymujemy, jako iloraz, funkcyę całkowitą (n—l)-go stopnia :

i resztę :

/ ’ H ( n \

fi 0*0 =/■'(«) + -^2jr 0»—«) +    ₃ ;

B—f(a).

(x—a)²+...+

/»

(ic—a)

Wskutek podzielenia funkcyi f\(x) przez (x—a), otrzymujemy, jako iloraz funkcyę całkowitą (n - 2)-go stopnia :

— 431

/ii*)— 2.

/■»(«)

3!

i resztę :

Dzieląc znowu funkcyę /jty) przez (oj—a), otrzymujemy iloraz całkowity:

M®)“

/'"'ty) /W ty)

3!

4! ty — «) + ••• +

/W (a)

n!

(a;—a)w—3

i resztę:

TO _ /■"(«)

Ul 2    ₂,

Postępując tak dalej, otrzymamy, przy r-tem dzieleniu (r < «), jako iloraz funkcyę całkowitą (n-r)-go stopnia:

f,{r)(a) f(r+i) ty)

/rty)

/■*(«)

r!

(r+1)!

, ty-a)M-r w !

i resztę :

JRr—\ —

fr-') {a)

(r—1)!

/■(*)(«)

a w końcu, przy w-tem dzieleniu, iloraz: /*wty)-

/•O-D (a)

(n-l)!‘

Spółczynniki w rozwinięciu funkcyi całkowitej wymiernej w otoczeniu miejsca a, przedstawiają zatem kolejno reszty, jakie otrzymamy, jeżeli funkcyę f\x) i po sobie następujące ilorazy całkowite, przez dwumian (x—a) podzielimy.

18. Sposób Homera wyznaczania spółczynników rozmaitych potęg dwumianu (x— a) w rozwinięciu funkcyi całkowitej w otoczeniu miejsca a.

Stosując sposób w art. 15. str. 417. podany nietylko do dzielenia funkcyi f(x) przez {x—a), lecz także do dzielenia przez ty—a) wszystkich ilorazów całkowitych: /,ty), /₂ty), ..., po sobie następujących, otrzymujemy na mocy art, 17. w resztach po sobie następujących: Æ, ity iü₂, ..., Rn—i, 72n, spółczynniki :

fW(a)

i resztę:

Hn—1

A4

f\a) f\a)

1!

2!

rozwinięcia funkcyi f(x) w otoczeniu miejsca a. Ten sposób rozwinięcia nazywamy sposobem Homera,

Przykład. Mając, sposobem Horner’a, rozwinąć funkcyę :

f(x) = a;ł—2xz-\- 5x²-)-7x— 11 podług potęg dwumianu x—3, należy przyjąć a —3, co prowadzi do następującej tablicy Horner’a •

t-H r—I t—I i—^ T—1

-».i    H-¹ to

icTco o

41

7, -11

3L

82

91

10

Liczby tłuste są tu szukanymi społczynnikami, t. j. :

/'( 3)

1!

2!

». .,-Œ>

-10,

_B₄

fIV( 3)    L

Otrzymujemy więc:

f(x) =82 + 91 (a—3) + 41 (*-3)²+ 10 (>-3)³ + (x-3)⁴.

Ćwiczenia XXXII.

Wyznaczyć funkcye całkowite wymierne 2-go stopnia, któreby w miejscach a;—0,1, 2 otrzymały wartości:

I)    y = l. 6, 17. 2) y = 3, 6, 11. 3) y=* 1, 2, 9.

4) -1, 0, 7. B) 1, 0, -7. 6) 2, 6. 12.

Wyznaczyć funkcye całkowite wymierne trzeciego stopnia, któreby w miejscach: *= 0, 1, 2, 3 miały następujące wartości:

7) y = l, 4, 15, 40. 8) —1, 2, 14, 39. 9) —1, 0, 9, 32. 10) —1, -2, 1, 14.

Jeżeli zmienna niezależna x przybiera wartości w zakresie liczb rzeczywistych od —go do -I-⁰⁰) ułożyć tablicę odpowiednich wartości funkcyi y=f(%) w stosownych odstępach zmiennej x w następujących przypadkach:

II)    y=x². 12) y =x³. 13) y = x⁴. 14) y = x⁵. 15) y = x²-\-1, 16) y=x²—l.

17) y=x² -\-x-\- 1. 18) y=x² -\-x—1. 19) y = x²—x -\-1. 20) y = x²—1. 21) y = x³-\- 1. 22) y = x³— 1. 23) y—x³—6a:²-j-lla:— 6.

Płaszczyznę zmiennej urojonej :» = £-}-*]* odwzorować na płaszczyźnie zmiennej zależnej y — x-\-yiz& pomocą następujących funkcyi:

24) y = x-\-2. 25) y — 2x. 26) y =2x -j- 1.

27) y = 2x². 28) y *= x²-j-2, 29) y t= x² -f- 2x — 1.

Przedstawić obrazy geometryczne następujących funkcyi zmiennej rzeczywistej x :

M y=(x-1) {x + 2). 31) y = (o?—l)². 32) y = (x + 2) (ar-l)(<r-3).

*33) y — x(x²—4). 34) y = (x—l)³. 35) y — x(x²-j-1). 36) y={x—l)(æ²-]-l).

37) y=x(x—2)². 38) y — x\x—1). 39) y—ix—l)(x—2)(x—3) (cc—41.

40)    y = (cc² + 1) (x² -{- x -j- 1).

Wyznaczyć przyrosty następujących funkcyi, odpowiadające przyrostowi h zmiennej niezależnej x :

41)    y — 3cc—5. 42) y — ¹/ix². 43) y — i/₃x³. 44) y = xj₄ce⁴.

45) y — x²—hx -(- 6. 46) y — 1 -j- x -f- y₂cc². 47) y = 1—x -j- ¹/ix².

Jaki przyrost w miejscu cc = l, odpowiadający przyrostowi h=OJ zmiennej niezależnej x otrzymują następujące funkcye tejże zmiennej :

48) y = 3x²~l. 49) y = 2 (x-1) (x—2). 50) y = x² + 4.

51) y = 2x (cc² -L 4).    52) y = 1 -)- 3cc² x³.

Znaleźć pochodne następujących funkcyj :

33) y — 2x² -j- x -j-1.    h4) y— 3x³-\-2x²-\-x-\-l. 55) y — 1 -f- x-\- xj^x²-\- ²/sX³.

56) y = 1—x -j- ¹/2^î— VîCC³. 57) y — 1 -f- 1 ! x -)- 2 ! x² -|- 3 ! x³.

58) y = 1 -f- 1 ! x 2 ! x²-\-.... n ! x”. 59 )y = x^r. 60 )y=x^r+i.

61) y = x⁵—3xi—7x² -f 5. 62) y = cc⁶-3cc⁵—7x⁴-f- 2br³—48x² + 12cc— 20.

63) y = x⁷—7. 64) y = ccc -]- cc⁴ -f- x²—3.

65)    Wyznaczyć funkcyę całkowitą wymierną trzeciego stopnia, któraby w miejscu x — l miała wartość /(1) = —(5, a które) pochodne w tern miejscu miałyby następujące wartości: /'(1) = 1, /"(1) = 6, /'"(1)=6.

Wyznaczyć funkcye całkowite wymierne z następujących warunków:

66)    /(2‘5) = 6, /(3) = 8, /(35)=15, /(4)=18. 67) /(1)=4, f\ 1)=6, /"(l)=-6.

68)    /(-1)= -31, /'(-l) = 45, /"(-1) = - 24, /"'(-1) = 6.

69)    /( 1) = 1, /'( 1) = 6, /"( 1) — 30, /"'(1) = 120, /(⁴)(1)= 360, /(8)(1)=720, /(«)(1) = 720

70)    Funkcyę y= 5x³—llcc²-}- 10æ—2 rozwinąć w otoczeniu miejsca x = 1 Rozwinąć funkcye:

71)    y—2cc—3, w otoczeniu miejsca x = l.

72)    y=x³-\-2x²—5cc—7, według potęg dwumianu (x—2).

73)    y = x³—46:c²—36ce-|-18 w otoczeniu miejsca cc = 1.

74)    y = cc⁵—7 w otoczeniu miejsca æ —1.

75)    y=x³-1- x—1000 według potęg dwumianu x—10.

76)    y — (2x—l)(3aj— 2) według potęg dwumianu ce-f-2.

77)    y—x(x—l)(o5—2) w otoczeniu miejsca: a) cc = 0, 6) æ = l. c) cc = 2.

78)    Rozwinąć funkcyę (a -j- ócc)n podług potęg cc i wyznaczyć na tej podstawie pierwszą pochodnę funkcyi (a -f- bx)n.

79)    Znaleść wartość liczebną funkcyi: 3ce⁴—2x³—5x-f-7; a) dla cc = 3. b) dla cc = 4.

80)    Przyjmując f(x) — a₀xi-j-a₁x³-j-a₂x²-\-a₃x-j-ai, wykazać, że:

y"

y²

81)    Wykazać, że funkcya / (cc) = p(cc-j-c)w , ma następujące funkcye pochodne:

/'(cc) = £>»(cc-j-c)»—1, /"(cc) = pn(n— 1) (cc -j- c)n—:2, /"'(cc) — pn(n—1) («•—2) (cc -j- ć)n—3 i t. d.

82)    Znaleść wartość zmiennej niezależnej cc, dla której druga pochodna funkcyi

/(cc) = cc⁴ a²»² +    -j- cł, staje się zerem.

83)    Znaleść wartość funkcyi : y = cc⁴ -j- 4cc³— 7cc²— 22cc -J- 24= i wartości wszystkich pochodnych tej funkcyi dla cc= 5.

84)    Wyznaczyć warunek, pod jakim wartość funkcyi cc³-j-25cc będzie większą od wartości funkcyi 8cc²-|-26.

85)    Dla jakich wartości liczb aib będzie funkcya (cc—a) (3cc—2) tożsamościowo równa funkcyi : 3cc² -f b + 10.

Wykreślić następujące krzywe i wyznaczyć punkta, w których one przecinają oś odciętych XX :

86)    yc=x²-\-x. 87) y — (cc    1) (cc—1) —j— 1. 88) y=(x—l)²-j-3(ce—1).

89) y=(x    3)³ — (cc³ -j- 8cc² —j— 16 cc—1). 90) y=x⁶—(cc²-{-³/₂)²(ce²—1)—1.

91) y = cc⁴—40cc    39. 92) y — 2x³ —cc²—2cc—8.

93) y = xi — 5cc(cc²—x—1)—6. 94) y— 8cc⁴—42cc³-(- 29cc² -J- 42cc -j-8.

95) y = cc⁵-f-l. 96) y — 12cc⁵-f- xi -j- 13cc³—13cc²—cc—12.

97)    Przez punkta (5, 23) i (6, 67) przeprowadzić krzywę paraboliczną drugiego rzędu, która przecina oś cc-ów w dwóch punktach, równooddalonych od punktu początkowego.

Wyznaczyć spółczynniki A, B,..., następujących rozwinięć:

98)    x³-\-4x² + 5x-\-2 = (x— 1)³+A(cc— 1)²+B(x—1)+ O.

99)    cc⁴ + 5cc³—4cc²—3cc -f 5 = (cr + 2)⁴—J(cc + 2)³ + B(x -f 2)²-(7(cr + 2) -j- D.

100)    cc⁹—5cc⁶-|-3cc³—120=(cc³—7)³ -j- A(x³—7)² -\-B(x³—7)+ C.

101)    3cc⁴—32cc³-j- 12cc—105 = 3(cc—2)⁴ -j- A(x—2)³ -j- -B(cr —2)²-j- C{x-2)Ą-D.

Rozwiązania XXXII. 1) 3cr² + 2cc + L 2) 3+ 2cc -f cc². 3) 3cr²—2cc+l. 4) 3cc²—2x—1. 5) —3cc²-j-2cc1. 6) cc²-j-3cc + 2. 7) cc³-f- cc² -j- x -f-1. 8) cc³ -j- cc² -f- x—1. 9) x³ + cc²—x — 1. 10) x³ — cc² — x — 1. 65) x³ — 2x—h.    66) — 12cr³ + lllcr² - 372cc + 386. 67) — 3cc² +12® — 6.

«V/6 .

—g b *2 =

68; cc³—9cr²-f 24cc-(-3. 69)jr⁶. 70) 2 -f 3(cc—1) + 4(cc-1)² + 5(cc — l)³. 79) o) 181, 6) 627.

82) cc,

89) -4, -7. 90) ±1. 91) 1, 3. 92) 2. 93) 2, 3, 1, -1. 94) 4, - % 2, -»/,. 95) -1. 96) 1,

-³V± VaV/ÊT, — ⁵/î± Va V/21. 97) y=4cc²-77. 98) A=7, 5=16. (7=12. 991 A=3, B =-10, (7=—41, D — — 29. 100) J=16, 5 = 80, G=—1. 101) A = -8, 5= — 120, C=—276, Z>=—289.

84) cc>2. 85) a = 5, b = —17. 86) 0, —1, 87) 0, 0. 88) 1, -2.

Literatura. L. Euler. Elements d’algèbre, traduit de l’allemand par Lagrange, Lyon 1795. Laurent. Traité d’algèbre, Paxùs, 1887. G. S a 1 m o n, Traité d’Algébre supérieure, publiée, d’après la 4-me éd. angl. par O. Chemin 1886. J. Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Lwów, 1898.

Tematy do rozprawek naukowych.

1)    Sposoby rozwijania funkcyj całkowitych wymiernych.

2)    Teorya podzielności funkcyj całkowitych wymiernych.

3)    Związki między obrazami geometrycznemi funkcyj całkowitych, a obrazami geo-metrycznemi ich funkcyj pochodnych.

28

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Wykład XXXIII.

Pierwsza pochodna funkcyi całkowitej wymiernej i zasadnicze pojęcia rachunku różniczkowego.

1. Stosunek różnicowy funkcyi całkowitej wymiernej. Na mocy wzoru Taylor’a, otrzymujemy przyrost f{x-fli)—f[x) wszelkiej funkcyi całkowitej wymiernej /'(#), wywołany przyrostem zmiennej niezależnej x, w postaci:

/■(”) (a;)

f\x+h)—f(x)

f‘ (*)

1!

2!

/in.

(1)

Podzieliwszy obie strony tej tożsamości przez h: otrzymujemy:

m+Ä₊q^₊...₊

/i

— hn~i

*(2)

wzór, podający stosunek między przyrostem funkcyi całkowitej w pewnem miejscu x, a przyrostem h zmiennej niezależnej x. Stosunek ten nazywamy zwykle stosunkiem różnicowym danej funkcyi w miejscu x, nazywając przyrost f(x-\-h)—f{x) także zmianą, albo różnicą funkcyi f\x).

Powszechnie oznacza się przyrost funkcyi f(x) w miejscu x znakiem: Af(x)=f(x-\-h)— /'(#), a przyrost zmiennej niezależnej x znakiem Ax—h; (,A jest tu znakiem różnicy „differentia“). Wskutek tego, stosunek różnicowy funkcyi f(x) przedstawia się znakiem:

Af(x)    f(xĄ-Ax)—f(x)

Ax

Ax

(3)

Wobec tego, otrzymujemy wzór (2) w postaci:

lub :

Af{x)

f'(x)\nxh\r‘{x) Ax    2!    3!

h²-i-...4

/(") (x)

M-¹

(20

SI

f“ (:jr)

AxĄ

f,n (x)

3! (Ax)²+...+

fn(x)

(Ax)n~l.

(2")

Stosunek, różnicowy danej funkcyi całkowitej n-go stopnia jest więc, w każdem miejscu x, funkcyą całkowitą wymierną (n—l)-szego stopnia ze względu na przyrost Ax—h, jest więc funkcyą ciągłą tegoż przyrostu , zdążającą przy ciągłem zmniejszaniu się przyrostu Ax do wyrazu wolnego f‘(x), jako do granicy, którą osiąga, gdy przyrost Ax=h staje się zerem.

— 435 —

2. Oznaczywszy granicę, do której dąży stosunek Ax i którą osięga dla Ax = O, znakiem lim

Af(x)

Af(x)

, przy malej ącem

Aæ — 0 ^x

wyrazu łacińskiego limes (granica), otrzymujemy wzór :

gdzie lim jest początkiem

lim

Af(x)

Acc = 0 Ax

lim

f‘(x+h)—f(x)

■A*):

(4)

h = 0

podający nowe określenie pierwszej pochodnej f‘(x) danej funkcyi całkowitej f(x), a mianowicie :

Pierwsza pochodna danej funkcyi całkowitej f(x), zmiennej x, przedstawia się, jako granica, do której dąży stosunek różnicowy tej funkcyi, gdy przyrost zmiennej niezależnej x dąży do granicy równej zeru.

3. Analogicznie otrzymamy :

Af\x)

lim

f " (x) = lim —.

kx—0 Ax

f‘(x+h)—f'(x)

Aj" (x)

lim

f"(x-rh)—f "(x)

(40

ogólnie :

AfV-i)(x)

fV-V(x+h)-f(r-V(x)

f(r) (x) = lim \x — 0

To znaczy: Pochodna r-ta danej funkcyi całkowitej przedstawia granicę, do której dąży stosunek różnicowy (r—1)-szej pochodnej danej funkcyi, gdy przyrost \x zmiennej x dąży do zera.

Ax

lim

4. Wielkości nieskończenie małe i wielkości nieskończenie wielkie.

Przyrost zmienny Aa; zmiennej niezależnej x, dążąc przy swem zmniejszaniu się do zera , przechodzi przez wszystkie możliwie najmniejsze liczby, których granicą jest zero. Otóż takie wielkości zmienne, które dążą do zera, stając się mniejszemi od wszelkiej, dającej się pomyśleć, dowolnie małej liczby, nazywamy wielkościami nieskończenie małe mi.

Podobnież wielkości zmienne, które wzrastają nieograniczenie, stając się większemi od wszelkiej , dającej się pomyśleć, liczby skończonej , choćby największej, nazywamy wielkościami nieskończenie wielkiemi.

Wszelka wielkość nieskończenie mała jest zerem wobec wszelkiej liczby skończonej, może być jednak porównaną z inną wielkością zmienną, nieskończenie małą, jak n. p. nieskończenie mały przyrost Af(x) funkcyi całkowitej f\x) z nieskończenie małym przyrostem h zmiennej niezależnej x.

wobec wielkości nie-

Podobnie, jest wszelka wielkość skończona zerem skończenie wielkiej, która mogłaby być porównaną tylko z inną wielkością nieskończenie wielką.

Oznaczając przez h pewną wielkość nieskończenie małą, (dążącą do zera), przyjętą , jako miarę zasadniczą innych wielkości nieskończenie małych, otrzymamy w znaku a.h, gdzie a jest jakąkolwiek liczbą skończoną, przedstawione wszelkie wielkości nieskończenie małe, mające tę własność, że ich stosunek do wielkości zasadniczej h staje się liczbą skończoną.

Takie dwie wielkości zmienne nieskończenie małe, lub nieskończenie wielkie k i h, których stosunek dąży do dowolnej liczby skończonej a, nazy-

Warny wielkościami nieskończenie małemi, względnie nieskończenie wielkiemi, tego samego rzędu.

Przyjmując h z warunkiem limh=0, jako zasadniczą wielkość nieskończenie małą pierwszego rzędu, otrzymamy w symbolach: h², h³,...hr, zasadnicze wielkości nieskończonie małe, kolejno, drugiego, trzeciego, r-go rzędu; mają one tę własność, że każda z nich jest zerem wobec wielkości poprzedzającej. Daną wielkość nieskończenie małą h nazywamy tedy nieskończenie małą r-go rzędu, jeżeli jej stosunek do nieskończenie małej wielkości zasadniczej r-go rzędu, t. j. do hr, dąży do liczby skończonej.

Na podstawie tych określeń, wprowadzamy do nauki obok jednostki skończonej 1, jeszcze jednostki nieskończenie małe , rozmaitych rzędów, jak A, A², A³, ..., Ar, gdzie r jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią.

h

Jednostka skończona 1 występuje tu, jako stosunek —-=A°=1, a więc

fi

jako zerowa potęga zasadniczej jednostki A, nieskończenie małej rzędu

pierwszego.

Podobnie, występują jednostki nieskończenie wielkie, oznaczane zwykle znakami oo, go²

oor, jako ujemne potęgi jednostki zasadniczej A, jak:

A“¹, A~², ..., h~r.

Symbol a.A_r, gdzie a jest liczbą skończoną, przedstawia więc, według

powyższych określeń, wielkość nieskończenie wielką r-go rzędu.

Tym sposobem, otrzymujemy zamknięte zakresy wielkości nieskończenie małych rozmaitych rzędów, kolejno po sobie następujących, dalej zakres wielkości skończonych, a w końcu zakresy wielkości nieskończenie wielkich różnych rzędów, rozszerzających się nieograniczenie, począwszy od rzędu pierwszego. Każdy zakres wielkości ma swoją jednostkę zasadniczą, a wszystkie te jednostki tworzą szereg geometryczny kształtu:

A*². A⁻¹. A°. A¹, A² .

Ar...

,...,

W tym szeregu jest wobec każdej jednostki każda następna zerem, a każda poprzedzająca nieskończenie wielką.

5. Różniczka fnnkcyi i różniczka zmiennej niezależnej. Wielkości nieskończenie małe, występujące , jako przyrosty, czyli zmiany wielkości zmiennych, graniczące z zerem, ale różne od zera, nazywamy różniczkami (differentialia) tych wielkości zmiennych.

Różniczki zmiennych x i y oznaczamy symbolami dx i dy, gdzie d jest literą początkową wyrazu łacińskiego : differentiale.

Różniczka dx zmiennej x, sama przez się, nie przedstawia żadnej wielkości, któraby zapomocą jednostki skończonej dała się zmierzyć; wszelkie przedstawienie różniczki dx za pomocą liczby skończonej, chociażby najmniejszej, n. p. za pomocą ułamka dziesiętnego z dowolną ilością zer na początku, byłoby zawsze tylko pewnem przybliżeniem, stwierdzającem, że różniczka dx nie jest bezwzględnem zerem, czyli, że wielkość x nie jest wielkością stałą, lecz wielkością zdolną do ciągłej zmiany. Jeżeli zmienna æ jest zmienną niezależną, natenczas nazywamy nieskończenie małą zmianę dx, z zerem graniczącą, różniczką zmiennej niezależnej x, a dla stwierdzenia, że różniczka ta nie jest bezwzględnem zerem, a tylko znikomą wobec wszelkiej wielkości skończonej, możemy ją przedstawić dowolnie małą liczbą stosownie do rodzaju zagadnień, w których ją stosujemy. Różniczka zmiennej niezależnej

zmienne

— 437 -a; jest niejako stałą, dowolnie przyjętą, miarą dla różniczek innych wielkości zmiennych od x zależnych. Jeżeli więc zmienna y jest pewną funkcyą zmiennej niezależnej x, a więc y=f{pc)₁ natenczas jej różniczka dy, wywołana różniczką Ær, przestaje już być wielkością, która by mogła byó dowolnie wybraną , lecz staje się w każdem miejscu x zależną od przyjętej miary dx.

Różniczkę dy, czyli df(x) nazywamy tedy różniczką zmiennej zależnej i uważamy ją również, jako wielkość zmienną, nieskończenie małą, dążącą wraz z dx do zera, jednakże zależnie od przyjętej różniczki dx, a, w ogólności, i od wartości x.

Podczas, gdy dla pewnych celów matematyki stosowanej, różniczka dx zmiennej niezależnej x może byó dowolnie przyjętą w zakresie wielkości znikająco drobnych, to różniczka dy zmiennej zależnej y musi już. byó wyznaczoną i za pomocą miary dx wyrażoną.

6. Stosunek różniczkowy danej funkcyi całkowitej. Granica, do której

dąży stosunek różnicowy^ danej funkcyi y = f\x), gdy przyrost Ax zmiennej niezależnej x nieograniczenie maleje, a którą też osiąga, gdy przyrost Ax staje się zerem, nazywamy stosunkiem różniczkowym danej funkcyi y=f(x) względem zmiennej niezależnej x i oznaczamy w postaci

ilorazu : ~

dx ’ P1SZ{*C :

lim

Aa; =

Ay ₌ dy_ 0 Ax dx

(5)

W tym symbolicznym ilorazie znaki dx i dy, przedstawiają przyrosty zmiennych x i y, dążące do zera i stające się równocześnie zerami; są one różniczkami zmiennych x i y, a mianowicie : dx różniczką zmiennej niezależnej Æ, a dy różniczką zmiennej zależnej y=f(x).

Z tych dwu różniczek, uważamy różniczkę dx zmiennej niezależnej x, jako liczbę stałą, z zerem graniczącą; różniczkę dy uważamy, jako różniczkę, zmienną, od dx i od æ zależną, i określamy stosunek różniczkowy danej funkcyi y—f(x), jako stosunek między różniczką dy=df(x) danej funkcyi y=f\x), a różniczką zmiennej niezależnej x.

W myśl tego określenia powiadamy : pierwsza pochodna danej funlccyi całkowitej x=f{x) przedstawia stosunek różniczkowy tej funkcyi w każdem miejscu x. Piszemy równocześnie :

(50

dy df{x)

dx

przyczem, do wyznaczenia tego stosunku różniczkowego, używamy wzoru:

df(x)

Af (x)

= Um —t—

dx Aa; =0 Ax

— lim Aa;=0

f(x+Ax)—f(x)

Ax

(6)

Z równości :

dy    . . .

=//', względnie

dx

df{x)

dx

(7)

wypływa wzór:

(70

dy=y‘dx, względnie df(x)=f'(x)dx, który określa różniczkę danej funkcyi y=f{%) zmiennej niezależnej x, jako iloczyn z pierwszej pochodnej: y'—f'ix), tejże funkcyi przez różniczkę dx zmiennej niezależnej x.

7. Stosując przyjęte znakowanie do wszystkich pochodnych danej funkcyi y=f{x), kolejno po sobie następujących, otrzymamy analogicznie

dx

do wzoru : znowu następujące:

(8)

dx ’

y(r)=f(r)(x)

(Zyk-b dfr~V(x)

dx

dx

określające wszelką pochodną danej funkcyi całkowitej, jako stosunek między różniczką pochodnej rzędu bezpośrednio niższego, a różniczką zmiennej niezależnej.

następujące wzory:

(9)

Z powyższych wzorów wypływają też, analogicznie do wzoru: dy=df{x)=y‘. dx=f‘(x). dx, dy‘ ==df,{x)=y". dx=f " (x). dx, dy“ = df"(x)=y'“. dx=f“,(x).dx₁

dyW=df(r)(x)=y(r+i'). dx=f(r+1‘Xx).d:r,

określające różniczkę wszelkiej pochodnej danej funkcyi, jako iloczyn z pochodnej rzędu bezpośrednio wyższego przez różniczkę zmiennej niezależnej. Tak przedstawimy dla funkcyi całkowitej potęgowej y—xn funkcye pochodne w postaci: y' — nxn~i, y" = n(n—1) cc”-² ,..., y{r)—n{n—1) [n—2)... (n — r-\-1) x^—r } zaś jej różniczkę i różniczki jej funkcyj pochodnych, w postaci i

dy =«xn—1 .dx, dy'=n{n — 1) xn~2. dx,..., dy(.r—^) = n(n—1) (n—2)...{n—r -\-V)xn—r ,dx.

8. Bezpośrednie wyznaczanie różniczki danej funkcyi. Przyjmując w rozwinięciu wartości f(x-ł-h) funkcyi całkowitej wymiernej f(x) według potęg przyrostu h, określonem wzorem Taylora :

f(x+h)=f(x)-{

f\x)

1!

h -f-

f“{x)

2!

przyrost h, jako nieskończenie mały przyrost zmiennej niezależnej x, czyli jako różniczkę dx zmiennej niezależnej cr, otrzymujemy różniczkę df{x) funkcyi f{x), określoną wzorem:

df(x)=f(x + dx)—f{x)-=

f\x)

1!

dx-\-

r\x)

₂,    (dx)² + ...+

fn(x)

{dx0»,    (10)

że funkcye f‘(x), f“{x) ..,fW(x) są dla każdej skoń-

zkąd , ze względu na to czonej wartości x skończone, wynika, że różniczka df{x) jest zmienną nieskończenie małą tego samego rzędu wyższe potęgi różniczki dx, opatrzone spółczynnikami skończonemi, w każdem skończonem miejscu x, jako znikające wobec wyrazów z różniczką nieskończenie małą dx, otrzymujemy wprost wzór:

co

różniczka przyjęta dx. Uważając więc

df{x)=f{x+dx) — / (x) =f'(x). dx.

(U)

Chcąc więc znaleźć różniczkę danej funkcyi f{x), należy w wyrażeniu f{x+dx)—f(x) zatrzymać tylko wyrazy, zawierające pierwszą potęgę różniczki dx, a opuścić wyrazy z wyższemi potęgami tejże różnicżki dx.

— 439

Tym sposobem otrzymujemy n. p. różniczkę dy zmiennej zależnej: y = 3x² w postaci: dy = 3 (x -f- dx)²— 3as'² = 8x² -|- Gxdx -f- 3 (dx'fSx² — 6xdx 3(rfa;)², skąd, opuszczając wyraz 3(<ite)², jako znikający wobec wyrazu 6x.dx, otrzymujemy dy=6x.dx, czyli : d(ßx²)= 6x.dx.

9. Różniczkowanie funkcyi całkowitej. Wyznaczanie różniczki danej funkcyi nazywamy różniczkowaniem tej funkcyi, a rachunek, oparty na różniczkach, nazywamy rachunkiem różniczkowym.

Wprowadzając pojęcie różniczki dx zmiennej niezależnej x₁ jako wielkości, która wobec wszelkich wielkości skończonych jest znikająco małą, a ma zarazem tę własność, że wobec niej znikają wszelkie jej wyższe potęgi, oznaczone przez (dx)r, lub dxr, r^>l, mamy

dy = df(x) =f(x+dx)‘— / (x)=f‘ (x).dx,

ogólny wzór na wyznaczenie różniczki dy danej funkcyi /'(#), a we wzorze:

dy df(x)    fix 4- dx)—f{x)

dx dx

we wzorze:

dx

ogólny wzór na wyznaczenie pochodnej danej funkcyi y—/(#), względem zmiennej niezależnej x.

W szczególności, otrzymujemy wzory następujące:

1) Jeżeli y=f\x)—o, gdzie a jest wielkością stałą, natenczas otrzymu-

df\x)=da—a—a—0,

da=0, a zarazem ^*=0.    (1 )

dx

jemy:

czyli :

CN

T. z. Różniczka i pochodna wszelkiej wielkości stałej jest zerem.

2) Jeżeli y = ax, gdzie a jest wielkością stałą, natenczas otrzymujemy: dy=a{x-\-dx) — ax=ax-\-adx—ax, a więc dy—a.dx, czyli:

d(ax)__a dx

(13)

d(ax)=a.dx, a zarazem

T. z. Różniczka wielokrotności zmiennej x jest równa wielokrotności różniczki tejże zmiennej. Pochodna wielokrotności zmiennej niezależnej względem tejże zmiennej jest równa spółczynnilcowi wielokrotności.

3) Jeżeli y=xn: gdzie n j est liczbą całkowitą dodatnią, natenczas mamy: dy—{x-\-dx)n—xn—xnĄ-nx”~idx-}-...—xn , a więc dy—nxn~¹.dx, czyli:

d(xn)—nxn~¹ dx, a zarazem:

T. z. Różniczka całkowitej potęgi zmiennej niezależnej x jest równa wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez potęgę tejże zmiennej, wziętą z wykładnikiem o 1 zmniejszonym, i przez różniczkę tejże zmiennej. Pochodna całkowitej potęgi zmiennej niezależnej x, ze względu na tę zmienną, jest równa wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez potęgę tejże zmiennej z wykładnikiem o 1 pomniejszonym.

10. Różniczka sumy dwu funkcyj. Jeżeli dane są dwie funkcye u=f(x) i v=q>(x), które mają różniczki: du=df(x)=f‘(x).dx i dv=dep{x)=(p,{x).dx₁ natenczas otrzymamy różniczkę sumy tych funkcyj , t. j. funkcyi :

y=u-\-v=rfXx)+(p(x)₎

na podstawie określenia różniczki funkcyi, w postaci :

dy = f(x -\-dx)-\-cp(x-{-dx) —f (x) — q>{x)1 dy =f{x + dx) —f(x) 4- cp{x 4- dx) — rp(x), dy—df(x)Ą-d(p(x)1 d[u+v)=du+dv.

zkąd wypływa: a więc :

d(xn)

dx

nx

(14)

czyli :

— 440 —

T. z. Różniczka sumy dwu funkcyj jest równa sumie różniczek tychże funkcyj. Z wzoru tego otrzymujemy zarazem : d(u-\-v) du ^ dv dx dx

dx

czyli: (u+v)*=u‘Ą-r*»

• (150

T. z. Pochodna sumy dwu funkcyj względem pewnej zmiennej jest równa sumie pochodnych poszczególnych funkcyj względem tejże zmiennej.

Twierdzenia te dadzą się widocznie uogólnić do sum algebraicznych ilukolwiek funkcyj, tak że: d{uĄ-v-\-ioĄ- ...)=du Ą-dv-\-dw

czyli : a zarazem:

d [f (x) + cp(x) + ip(x)+ ...}=df(x) -f dcp(x) + dtp{x) + ...

czyli :

d(u-\-vĄ-w+...) du dv dw dx dx    dx

+    +    -\-v‘ -f W‘ + ...

dx

11. Różniczka iloczynu dwu funkcyj. Jeżeli, jak wyżej, u=f(x), v = cp(x) są dwiema danemi funkcyami, natenczas otrzymamy różniczkę iloczynu tych funkcyj,t.j.funkcja: y—u.v =f(x).cp(x) w postaci: dy=f(x + dx).(p(x + dx) —f(x).cp(x), czyli: dy=(uĄ-du)(v-\-dv)—uv, z której wypływa:

dy=uv\udvĄ-vdu-\-du.dv—uv, czyli: dy—udv +vdu-\-du.dv.

Iloczyn du.dv różniczek du=f'(x) dx i dv=(p\x).dx jest wobec różniczek udv i vdu wielkością nieskończenie małą drugiego rzędu , równą f{x). (p‘{x).{dx)², znika więc wobec wielkości nieskończenie małych pierwszego rzędu, jest zatem : czyli :

dy—udv-{-vdu, d(uv)=udv 4- vdu.

(16)

T. z. Różniczka iloczynu dwu funkcyj jest równa sumie iloczynów: pierwszego czynnika przez różniczkę drugiego i drugiego czynnika przez różniczkę pierwszego.

Na tej zasadzie, otrzymujemy stąd:

d(uv) dv du dx U dx^V dx '

(UV)¹ =UV‘ +VU¹.

T. z. Pochodna iloczynu dwóch funkcyj względem ich zmiennej niezależnej równa jest sumie iloczynów: piemvszego czynnika przez pochodną drugiego czynnika i drugiego czynnika przez pochodną pierwszego, wziętą względem tejże zmiennej niezależnej.

Jeżeli y=a.u, gdzie a jest'liczbą stałą, niezależną od x₁ natenczas otrzymamy widocznie :

czyli :

(160

dy=a. du,

a zarazem

dy du

dx a dx ’

czyli: d(au)=a .du, a zarazem

Różniczka wielokrotności danej funkcyi jest więc równa wielokrotności różniczki tej funkcyi; pochodna wielokrotności danej funkcyi względem zmiennej niezależnej x jest równa wielokrotności z pochodnej tejże funkcyi względem tej samej zmiennej niezależnej.

Innemi słowy : Przy różniczkowaniu danej funkcyi, możemy jej stały czynnik wyłączyć przed znak różniczkowania.

12. Różniczka iloczynu ilukolwiek funkcyj. Niech będzie najpierw dany iloczyn trzech funkcyj: y=uvw, natenczas, kładąc vw=z, otrzymujemy: y—uz, a stąd na mocy art. 11. mamy:

przeto będzie :

dy=udz-\-zdu, a że: dz=vdw-\-wdv,

dy=uv . dw-\-uw . dvĄ-vw . du,

441

a więc :

a zarazem :

d(uvw)=vw . du+wu. dv + uv. dw,

d(uvw)

(17)

du

dv

dw

dx

dx

dx

dx

czyli :

(uvw)'=viv. îi'-\-wu . v' + uv .w¹. Powyższy wynik możemy także napisać w postaci : (uvw)‘

(170

UVW

= — . u' + — . v‘ 4--w¹

czyli :

1 dy 1 du ^ 1 dv + 1 dw u dx v dx w dx

y dx

Ogólnie, otrzymujemy dla iloczynu ilukolwiek funkcyj :

(18)

wzór :

*y — j • *2/2 •    1

1 dy 1 du^ 1 du₂ 1 du₃

— —    —|—--j ' —

U2 dx u 2 d.c

1 dun

y dx

+ ••• 4---. •

un dx

(19)

ux dx

Na podstawie powyższych wzorów, możemy wprost wyznaczyć różniczkę, lub funkcyę pochodną iloczynu danych lunkcyj całkowitych, nie wykonując przedtem wskazanego mnożenia danych funkcyj.

Tak otrzymamy n. p. dla funkcyi y = (x -f-1). (a4 -f 1), na mocy wzoru (16): dy=(x 4- 1). d(x² + 1)+ (a:² + 1) d(x -f- 1) — dy—{pcĄ- 1). 2xdx -j- (x% + 1) dx, dy — (2a:¹ 4" 2æ 4“ cc² -f- l)dx, dy=(%x²Ą-2x-\-l)dx, y'=3x’î-{- 2x1.

Wykonawszy zaś przedtem wskazane mnożenie, otrzymamy daną funkcyę w postaci : y = a?²4-*³+    1, a stąd: dy — 3x² + 2a?    1, jak powyżej.

zc

18. Różniczka ilorazu dwu funkcyi. Jeżeli y= —, gdzie u=f(x), v = q>(x) natenczas otrzymamy :

a stąd : a więc :

zatem :

dy

u-\-du

uv + vdu — uv — udv

v + dv

v²-\-vdv

a więc :

dy =

vdu — udv

v²+vdv

Iloczyn vdv jest wielkością nieskończenie małą pierwszego rzędu kającą wobec wielkości skończonej v², jest przeto:

vdu — udv

zm-

dy

a więc :

d\

v du — udv

(20)

T. z. Różniczka ilorazu dwu funkcyj jest równa dzielnikowi, pomnożonemu przez różniczkę dzielnej, mniej dzielnej, pomnożonej przez różniczkę dzielnika, przy-czem otrzymana różnica zostaje podzieloną przez kwadrat dzielnika.

Porównywając otrzymaną różniczkę z różniczką .zmiennej niezależnej x: otrzymamy wzór :

du

dv

'(t)-

V dx U dx

(vf

vu¹ — uv‘

czyli :

T. z. Pochodna ilorazu dwóch funkcyj względem ich zmiennej niezależnej jest równa dzielnikowi, pomnożonemu przez pochodną dzielnej, wziętą względem tejże zmiennej niezależnej, mniej dzielnej, pomnożonej przez pochodną dzielnika, wziętą

(20')

względem tejże samej zmiennej, przyczem należy otrzymaną różnicę podzielić przez kwadrat dzielnika.

W szczególnym przypadku, gdy dzielna u jest liczbą stałą a, otrzymujemy widocznie:

a    d ( a\

d-Ąvr

a dv v² * dx

Na podstawie powyższych wzorów, możemy wyznaczyć różniczkę i pochodną ilorazu dwu danych funkcyi całkowitych :

u=f(x) — a₀xn -|- alxn—1    ... -f- an—i x-\- an

v = y(x)—b^x™-\-b{x™-¹+... -j- bm -ix Ą- bm, a więc wyznaczyć różniczkę , lub pochodną funkcyi kształtu :

a₀xn aixn~i -f-... -f- an -1 x -j- an b₀x”• -\-blxm—¹ -j- ••• + bm—1 x -f- bm ’ którą nazywamy funkcyą ułamkową wymierną zmiennej niezależnej x.

cc²—f- Ï

na mocy wzoru (20):

Tak n. p. otrzymamy dla funkcyi y — -.

a więc :

dy =

(cc²-j- 1) d(x—1) - (x-l)d(xl-l)

(cc² -j- l)²

dy —

(cc² -f-1—2cc²    2cc) dx

(cc² +1)²

(a;² —j— 1) dx—(x—l)2x dx

(cc² -j- l)²

(1 4- 2cc—x ²)dx

(cc² + l)²

1 2x — cc2 (cc²-fl)2 dX]

14. Różniczka potęgi danej funkcyi. Jeżeli y=um, gdzie u=f{x) jest daną funkcyą całkowitą zmiennej niezależnej x, której różniczką jest : du—f\x).dx, natenczas otrzymujemy:

a zatem :

dy =

dy

1 -\-2x — cc²

(cc²-f l)²

dy=(u + du)m—um,

l YYl \

dy=um-\-mu™-' du-fi 1 u

skąd, uwzględniając, że wyrazy, zawierające wyższe potęgi różniczki du, znikają wobec różniczek pierwszego rzędu, otrzymujemy:

dy=mum~i . du, d(um)=mum~t. du.

T. z. Różniczko potęgi danej funkcyi jest równa wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez potęgę tej funkcyi , wziętą z wykładnikiem o 1 pomniejszonym, i przez różniczkę tej funkcyi, będącej zasadą potęgi.

a więc :

czyli :

m—2

(rfw)²+...-f (du)m—um,

(21)

Porównywając otrzymaną różniczkę z różniczką zmiennej niezależnej x, otrzymuj emy :

d(um)

dx

— ni .u

TO- 1

du

dx

czyli : (um)‘=mum~¹. u¹.

(2P)

T. z. Pochodna potęgi danej funkcyi, wzięta względem zmiennej niezależnej x, jest równa wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez potęgę tej funkcyi z wy-kładnikiem o 1 zmniejszonym, i przez pochodną tejże funltcyi, wziętą względem tej samej zmiennej niezależnej.

Na podstawie tych twierdzeń możemy wy znaczyć różniczkę, lub pochodną całkowitej potęgi jakiejkolwiek funkcyi całkowitej wymiernej, nie rozwijając według wzoru 5. str. 330. wskazanej potęgi tej funkcyi.

Przykład. d(x² -j- 1)2 = 2(x² 4.1).d(x² -f 1) = 2(æ² -f 1) . 2x.dx = 4cc(cr²+ 1). dx, a więc :

Ax(x² -f 1).

d(x--\- l)² — Ax(x²-\-1 ).dx, d(x²-f l)²

dx

443

15. Różniczka ułamkowej potęgi danej funkcyi. Jeżeli daną jest ułana-

kowa potęga danej funkcyi całkowitej, a więc y=un, gdzie u=f(x), naten-związek powyższy możemy przedstawić w postaci:

yn — um

czas

skąd na mocy art. 14. otrzymujemy:

ny

71— 1

. dy—mu

m— 1

. du,

przeto: dy—

n yn

-1

du = —

m um y , m y ,

. du= — — du= -n u

n yn u

m un

m

m

du^= — u du

a więc:

s m v    m A

J \ m, —i _ d\un ) — — un . du u

(22)

a zarazem :

dx

un

doc

cz

yli: («0 -

— un

te'.

(220

Prawidło różniczkowania całkowitej potęgi danej funkcyi stosuje się więc także do potęg ułamkowych tej funkcyi.

Na tej podstawie możemy wyznaczyć różniczkę, lub pochodną z jakiegokolwiek wymiernego pierwiastka danej funkcyi całkowitej: u =f(x) = «₀.rn -\-aixrt-^ -J- ... + an , a więc wyznaczyć różniczkę, lub pochodną funkcyi kształtu:

y = a₀ xn -j- a, x*—i -|- ... -|- an -1 x an , która nazywamy funkcyą niewymierną zmiennej niezależnej x.

dy

Przykłady. 1) y — \/x = x\, dy = \x ł dx, 2) y=\/ x^x* , dy = ^x~:'

1

dx = ~2X

Zx 5 2Y/V ’

dy 2    4

16. Różniczka ujemnej potęgi danej funkcyi. Niech będzie teraz y=u-m

natenczas możemy ten związek przedstawić w postaci: y~~^i skąd na mocy art. 13. otrzymujemy:

a więc :

a zarazem :

dy

mu

u2m

d(u~m)= —mu~ m~i du

d(u~m)

dx

mu—m~

du

dx ’

(23)

(230

czyli :

(yu~™y ——.u'.

Prawidło różniczkowania dodatniej potęgi pewnej funkcyi stosuje się więc także do potęg o ujemnych wykładnikach.

Na tej podstawie możemy też wyznaczyć różniczkę, lub pochodną funkcyi niewymiernej, kształtu :

V =    =

\/ a₀xn -j- ajiP”-! -f- ... -j-

Przykłady: 1) y = ~ x~l, dy—

2) î/==^==x *’ dy=~\x~*

(*²+i)

an—1 x a,\

iy

dx

_x-2=_

x²"

d x,

dy

1 I

— ar

Sy^a;⁴

-1

ćfce 3

to! h-

dy=—

2y/(a,2_j_₁)3 •

17. Uwaga. Stosując w należytem połączeniu powyżej wyprowadzone prawidła różniczkowania , możemy za ich pomocą wyznaczyć różniczkę, lub pochodną jakiejkolwiek

Y/*²+l

funkcyi, powstałej z danych funkcyj całkowitych wymiernych na podstawie dowolnego połączenia działań algebraicznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania przv dowolnych stałych wykładnikach. Funkcyę */=/(*) tak utworzoną, nazywamy w ogólności wyraźną funke y ą algebraiczną. Do funkcyj algebraicznych zaliczamy też funkeye wymierne całkowite i ułamkowe, tudzież funkeye niewymierne całkowite, lub ułamkowe.

18. Różniczka funkcyi funkcyi. Jeżeli zmienna y, jest funkcyą pewnej zmiennej w, a zmienna u jest funkcyą zmiennej niezależnej x, a więc : y=f(u), zaś u=(p(x)j natenczas nazywamy zmienną y funkcyą funkcyi zmiennej niezależnej x i piszemy y=f[cp(%)].

Celem wyznaczenia różniczki dy zmiennej y, otrzymujemy naprzód, uważając zmienną u=(p(x), jako funkcyę zmiennej niezależnej x, jej różniczkę:

du=(p{x-\-dx)—(p(x)=<pt(x)dx,

uważając następnie zmienną y=f{u), jako funkcyę zmiennej w, otrzymamy:

dy =f(u + du) —fu) = f(u) .du.

Wskutek tego otrzymujemy różniczkę:

dy=f(u).<p'(x) .dx, czyli: df\(p(x)]=f[cp{x)\cp‘{x).dx.

Wzory te przedstawiamy zwykle w postaci : dy du du’ dx

dy=

.dx, czyli : df[cp{x)]

df[(p{xj\ dcp(x) d(p(x) ' dx

. dx.

(24)

T.z. Różniczka funkcyi innej funkcyi zmiennej niezależnej x, równa się pochodnej pierwszej funkcyi ze względu na drugą funkcyę, uważaną chwilowo za zmienną niezależną, pomnożonej przez pochodną tej drugiej funkcyi, odniesioną do zmiennej niezależnej x, i przez różniczkę tejże zmiennej niezależnej.

Porównywając różniczkę funkcyi funkcyi z różniczką zmiennej niezależnej, otrzymujemy więc:

dy dy du dx du'dx

df[q)(x)]_ df[(p{a:)] d(p(x) dx dx

(24')

czyli :

T. z. Pochodna funkcyi innej funkcyi zmiennej niezależnej x, wyznaczona ze względu na tę zmienną niezależną, jest równa pochodnej pierwszej funkcyi, obliczonej ze względu na drugą funkcyę, chwilowo uważaną, jako zmienna niezależna, pomnożonej przez pochodną tejże drugiej funkcyi, odniesioną do zmiennej niezależnej x.

Przykład. Jeżeli y = «²-j-3w-f 1, a przytem u = x³—1, natenczas otrzymujemy: dy = (2« -f 3) du, zaś du = 3x²dx. Wobec tego jest: dy =2[(x³—1) -J- 3]. 3 x^.dx, a więc: dy=(2x³—2 —f- 3) .3x'Jdx, czyli: dy — 3x²(2x³-j-l)dx,

= 3x² (2x³    1).

d(p(x)

zaś :

dy

dx

19. Różniczka funkcyi odwrotnej. Jeżeli zmienna y jest pewną funkcyą zmiennej x, a więc y=f(%): natenczas zmienna x jest także pewną nową funkcyą zmiennej y, możemy więc położyć x=(p(y). Tę nową funkcyę q>(y) nazywamy funkcyą odwrotną względem danej funkcyi f(x).

Tak n. p. otrzymujemy dla danej funkcyi y = x², funkcyę odwrotną x = \/y i t. p.

Pojęcie funkcyi odwrotnej względem danej funkcyi f\x) łączy się ściśle z pojęciem funkcyi funkcyi. Skoro bowiem y=f(x), a x=q>(y), wówczas mamy tożsamość x=(pf(xj).

Dla funkcyi funkcyi u=(p[f(x)], czyli u=(p(y), przyczem y=f(x), mamy na mocy art. poprzedniego:

du    du dy

dx    dy ' dx

skąd, skoro u=x, otrzymujemy:

a więc:

dx

dy dy

dx dy dy ' dx ’

d(p{y) _    1

dy df\x)'

czyli:

dx

dx

T. z. Pochodna funkcyi odwrotnej cp(y) względem danej funkcyi f(x) jest równa odwrotności z pochodnej danej funkcyi względem zmiennej niezależnej x.

Na podstawie tego prawidła możemy wyznaczyć różniczką, lub pochodną funkcyi odwrotnej danej wyraźnej funkcyi algebraicznej.

Jeżeli n. p. y = x², a odwrotnie x=\/y , natenczas otrzymujemy:

dVÿ    1 _JL    1    d^)

dy    2 \/y    2x ’ dx

2x, więc :

d\/y _ 1

dy

d(xty

dx

Ćwiczenia XXXIII.

Wyznaczyć zmianę (x) funkcyi całkowitej /(x), wywołaną zmianą Ax zmiennej niezależnej x, jeżeli:

1) /(x) = 2x². 2) f(x) =x²—1.    3) f(x) = x\x—1). 4)/(x)=x³—1.    5) /(x) = x(x² -f- 1).

6) f(x)= x(x²—1).    7) f(x)= x⁴ + 1.    8) f(x) = x\x² + 1).    9) y = x™.

Znaleść stosunek różnicowy następujących funkcyj całkowitych :

10) y=ix* + <d. ll)y={x⁴4-4.    12) y = (x—l)(x -\- 2).

13) y — (x—l)². 14) y — x(x—l)(x—2). 15) y = (x— l)³.

Wyznaczyć granice, do których dążą stosunki różnicowe następujących funkcyj całkowitych zmiennej niezależnej x, gdy Aa: dąży do zera:

lQ)y = ax-{-b. 17) y = ax²-\-bx-\-c. 18) y = ax³-j- bx²cx -j- d. 19) y = (x — a) (x—b). 20) y = (x — a)². 21) y = x²—a².    22) y=(x-j-a)². 23) y=(x— a)³.

24) y = (x² -j- a²)². 25) y—{x—a)⁴.

Wyznaczyć:

26) Hm Ax=0

30) lim Ax=0

A (x²—3a:-}-2)

^(x³—X²)

Aa;

A(x⁸—x⁴)

Aa;

A(a? 4- 1 )²

31) lim

Ax — 0 Aa;

A(x² 4- 1)

32) lim

Ax =0 Aa;

<ł)

33)    lim

Ax=0 Aa;

34)    Wykazać , że :

niczkowe :

. 27) Hm

Ax=0 Aa;

w miejscu x = 1.

A(x⁴—x)

-. 28) Hm

Ax=0 Aa;

29) lim A x=0

Ax⁷

Aa;

w miejscach: x= — 1, 0, 1, 2.

w miejscach: x=— 1, 0, 1, 2.

w miejcach: x = l, 2, a.

lim

(x -f Ax)”» xm

■ix — 0

Ax

— m x—»»—1.

Metodą granic, jakoteż i metodą różniczek, wyprowadzić następujące stosunki róż

35)

dx

2x.

36) <*jp = 3x².    37) ^^ = 4x³.    38)

ao-io.».

dx

d(xn)

39) dx

— nxn-1.    40)

d (x—‘n)

n

i-+T'    ¹⁴¹

d(x-1) _    1    d(x-2)

dx    x'¹'    dx

d (x³—3x² -|- 4x—8)

x³ '

42)

d(x—3)

dx

~1F'

dx

3.x²—6x-f- 4. 45)

46) Jeżeli funkcya całkowita: /(x) — <j.(x)-f-C, wykazać, że:

df(x) d»(x)

dx

dx

47) Wykazać, że:

. 4/0)±?(*)]    df(x)

do[x)

dx

d[ cf(x)]

dx

dx '    dx

df(x)

dx

49)

d \f{x).ux)\

dx-

50)

d\^)}    dx

f(x) •    + ?(*) •

df(x)

df(x)

dx

df(x)

-/(*)•

dx

62) «

dx

[y (x)]²

» [/(»)]•-¹ 68)

^/(*)

[/(x)]²' dx

dx

— » [/(a?)]-*—¹

dx

54) d(x Ż. y + z) — dx + dy + dz. 55) d(x«/) — xdy + ydx.

66) ,(i)

59) d(—) =

y \xm /

xdy — ydx

x'¹

mdx

. 57) dVx= dX

2\/x

dx

m'^/xrn~i

x»»+l

adx x² ”

MN jfa~x\    2a. dx

61)<ih+5J = -(5+^ï

2dx

(x-f 1)

■ «9 ** (■*■)—

63) d(x³— 5x²—7x -j- 6) — (3x²— 10x—7) dx.

«*) *(£)

2dx

x³ ’

65) d x = dx

3\>Vr

66)    d(a Ą- èx'»)»— wz nb a;«-* (a -j- èx"')”“¹ • dx.

67)    d (

a--r-=

V/V²

£₌₊A\ ₌ [

x\y x    ®

2ô

4c

2(7

««)

1—nx⁷‘—¹ -j-(n—l)x»

(1-x)²

§x\/ x²    3x²Y//x

dx. 69) d\/ 1-j-x²

x³

. dx.

xdx

y/l + x² + x

70) d(x + V/l-t~x²) =

/ x \    adx

^ V V/a-)-ix²/    V/⁷(a -f- ôx²)³

V/l + x²

v/l-f" x²

Z>x dx V/a-J- ix²

73) d(a²—Æ'²)⁵ == — 10x(a²— x²)⁴. dx.

dx. 71) d V^a-j-tac²

74) d(a4~ &x³)⁴ = 12&x²(a    bx³)³. dx. 75) d \/(a -f hxf = ■} b V/«+ bx. dx.

V/(a +^?4x. 77) d

2a -j- èx    i²

V/a-j-^x    2 y/(a-j-ix)³

Podać i przedstawić geometrycznie pierwsze pochodne następujących funkcyj : 78) x, x², x³, x⁴, x⁵. 79) x, x ¹ , x—?, x—³, x—⁴, x—⁵.

80) \/x, V/²x , V^x , V/x . 81) x'/², x~^ , x3/V, x\

82) x—'/i, x—*/s, x—V», x-‘/i. 83) x ²/s, x-³7, x—'V*, x—hU.

76) df /    =

\v «-j-&x/

xdx

84) V⁷ \/x , V/ V^x , \/ \/x , V/ \^x . 85) V⁷ V/x , V⁷ V^x , V⁷ \/x , V⁷ \)/x .

Wykazać, że dla :

x dy_    1    __ x

1 -j- x ’ dx    (1—(“x)²"    'J 1 -f- x² ’ dx

88) y= ¹ +--    ^

^ ^    1—x² ’ dx

86) z/

. dy

1—x²

(1 -j-x²)² "

4x

?0) y

92) z/

(1—x²)² ' x²— x-j-l_ dy __    2(x²—1)

x²—h x —1 dx (x² + x -j- 1) dy ₌

’ dx 2\/ (l-x)⁵

(1+*)³. 4/₌₌₌0_+x)²(7 + x) (1    x)⁴ ’ dx

2- 91) y = Y/a+x; ^

(1—x)⁵

2t/7a-j-x

. 93) y =<1 + x) V⁷! —

— dy    1—3x

<2x    2V/Î—x*

941?/ =---•    _

\/l—x² ’ dx \/(l —a;²)³

x³    dy

(1— a;²)®/* ⁵ dx~ (1-x²)% ‘

98) y — a;(l    x)] y‘ — 1 4- 2x. 99) y =^(1—x²)—'h ;    = x(l—x²)—³L

\/l 4-a? -f- y/l — x

\/l-\- X — \/ l — X

101)    Wyznaczyć wartość pochodnej funkcyi : y=x(l-\-x)(l-\-x²) w miejscach: x——1, 0,1.

102)    Znaleźć objętość V równoległościanu prostego o stałej powierzchni całkowitej F,

. ,    dV

ktorego podstawą jest kwadrat o boku x, i wyznaczyć stosunek różniczkowy:

103)    Dany jest walec kołowy o stałej powierzchni całkowitej =2a²r. i zmiennym promieniu x podstawy. Wyznaczyć objętość V tego walca, jakoteż pochodną V‘ tej objętości względem promienia x.

104)    W kulę, o stałym promieniu r, wpisany jest walec kołowy o zmiennym promieniu x podstawy. Wyznaczyć całkowitą powierzchnię F tego walca, jakoteż pochodne F, tejże powierzchni względem promienia x.

105)    Znaleść powierzchnię F wycinka sferycznego o promieniu a; i o stałej objętości równej i/₃a³r., a zarazem wyznaczyć wpływ, jaki zmiana dx promienia wywiera na zmianę dF tej powierzchni.

106)    Przyjmując f(x) = 1—3#, wyznaczyć funkcyę funkcyi fff(x) — ff \x) =f³(x), i jej pochodna względem x.

• 95) y —

dy

(1— x)'h ’ dx    2(1—a?)V

96) y =

100) y =

3x²

97) y—(2—a;)(3—a?) (4—x); y‘=—[26—18a?4-3o;²].

; y⁴

1 4~ V/Ï — x²

x² y/1— x²

dx

U' u-

Roz wiązania XXXIII. 1) A(2a?²) — AxAx -p(Aa;)², podobnie. 2) —9). 10)

-R x.(\x)² -f- Y₃ (Aa?)³. 16) ^ =a. 17) 2axb. 18) 3ax²-\-2bx-\-e. 19) 2x—a—b. 20) 2(x⁻—a). 21) 2x. 22) 2(a-+ a). 23) 3(æ-a)². 24) 4x(x²-\- a²). 25) 4(^-a)³. 26) 2x—3. 27) 3#²—2#. 28. 4*-³—1.

, 4, 6. 32) —2, 0, 2, 4. 33) - 1, — % — -₂. 101) -2, 1, 10.

=Vi (E—4.z²). 103) V=n(a²x—x²), V'=3n(V₃a²—ÄT²). 104) E=2;t(.r²4-

29) 7a?G. 30) 4. 31) 0,

102) r=¹/4 x (F—2x²) ; 4-2a?V/^²—x²), F'= —

4rc[x\/r² — a?² 4* (^² — 2 a?²)]

V/ r²— a;²

.    105) F= 2 ar.

—æ².Ax4-

Ćr+V-(—£>>

dF

ua²[a?³ 4" 2a³— 4a \/a(x³ — a³)]

dx

x²\/a (x³— a³)

. 106) 1—21X-, -27.

Literatura. Bucbowski. Początki wyższej analizy. Poznań 1822. Cournot. Traité élémentaire de la théorie «de fonctions et du calcul infinitesimal. Paris 1857. Euler. Introduction à l’analyse infinitesimale traduite du latin en français par Eabey. Paris 188o. Lübsen. Einleitung in die Infinitesimalrechnung. Hamburg 1855.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zasady teoryi mnogości według Cantora.

2.    Zasadnicze pojęcia teoryi granic.

3.    Pojęcia funkcyj ciągłych i nieciągłych.

Wykład XXXIV.

Funkcye pochodne i różniczki wyższych rzędów danej funkcyi całkowitej wymiernej.

1. Przyrosty wyższych rzędów, występujące w funkcyi całkowitej wymiernej. Przyrost Af{x)—f{x-\-Ax)—f(x)₁ funkcyi całkowitej /'(#), wywołany stałym przyrostem Ax zmiennej niezależnej a, otrzymuje wartość zależną od x, czyli jest nową funkcyą całkowitą zmiennej niezależnej x.

Nadając zmiennej niezależnej x przyrost Ax, wywołamy więc w przyroście Af(x) funkcyi f(x) przyrost AAf(x), który nazywamy przyrostem drugiego rzędu danej funkcyi f{x) i oznaczamy przez A²f(x). Na wyznaczenie przyrostu A²f(x) otrzymujemy na mocy określenia:

Af(x)=f(x+Ax)—f(x),

A²f(x)= Af(x + Ax)— Af(x)=f(x+2Ax)—f(xĄ- Ax)—f{x-\-Ax)-\-f\x),

A² f(x) =f\x-\- 2 Ax)—2 f\x + Ax) + f (x).

(1)

wzór : czyli :

(2)

Za pomocą tego wzoru możemy wyznaczyć przyrost drugiego rzędu danej funkcyi całkowitej f(x) w pewnem miejscu x, odpowiadający przyrostowi Ax zmiennej niezależnej x, jeżeli znamy wartości danej funkcyi f(x) w miejscach x-\-Ax i x-j-2Ax.

Przyrost A²f{x) jest według tego nową funkcyą całkowitą zmiennej niezależnej x, otrzymuje więc przy zmianie x o Ax swój własny przyrost A(A²f(x)), który nazywamy przyrostem trzeciego rzędu danej funkcyi f(x) i oznaczamy przez A³f(x). Na wyznaczenie przyrostu A³f(x) otrzymujemy wzór:

A ³fix)=A²f{x -f Ax)—A²f (x),

a że na mocy (2) :

A²f(x+Ax)=f(x+3 Ax)—2 f\x + 2 Ax) -\-f\x-\- Ax) —A²f{x)

-f{x-\- 2 Ax) + 2f(x -j- Ax)—f (x),

przeto otrzymujemy wzór:

A ³f(x)=f(x+3 Ax)—3 f{x+2 Ax) + 3 f(x+Ax)—/ (#),

(3)

dozwalający wyznaczyć przyrost trzeciego rzędu A³f\x) danej funkcyi całkowitej f{x) za pomocą jej wartości w czterech miejscach x, x-{-Ax, x+2Ax i a?+3Ar.

Przyrost A³f\x) jest znowu funkcyą całkowitą zmiennej niezależnej x, ma więc swój własny przyrost A(A³fx), wywołany zmianą x o Ax, który nazywamy przyrostem czwartego rzędu danej funkcyi całkowitej f{x) i oznaczamy przez d⁴/(#).

449

Postępując podobnie, dojdziemy do przyrostu m-go rzędu danej funkcyi całkowitej /(#), który oznaczany przez Amf{x).

Przypuśćmy, że, analogicznie do wzoru (3) otrzymujemy przyrost m-go rzędu Amf(x) w postaci wzoru:

Am f(x)=/'(a? 4- niAx)—j/(a? Jr'm—Ida?) + ... + (—l)r|

który możemy także napisać w postaci :

Am f (x)

m— r Ax)

(4)

natenczas otrzymamy przyrost (m-fl)-szego rzędu danej funkcyi całkowitej /‘(a?), na mocy określenia :

A mf(x)—Amf(x-\-Ax)— Am f{x). Jeżeli zważymy, że na mocy (4) jest:

rz=.m

Anf(x-\-Ax)=^i (—l)r (m jf(x-\-m—r+l Ax),

r—0    ' T/

r—m+1

= 2 (—:{jr^i)fXx+m—r+lAx)

—Amf\x)

to ze względu na to, że:

(m\    ( m \ /m + l\

(r)+(r_i)-(    ,    )

otrzymamy :

Am+¹ f(x)

r— jn-t-1

=    (—l)r M/'(a? + m—r-\-lAx)

r~ 0    \ r /

wzór, zgodny z wzorem (4), przyjętym na przyrost m-go rzędu.

Jeżeli więc wzór przyjęty na Amf{x) jest dla pewnego m prawdziwy, to już dla (m+1) musi być prawdziwym, a że prawdziwość została dowiedzioną bezpośrednio dla m=2, 3, przeto jest ogólnie prawdziwy wzór:

/fYl\    _ ( fYYl\

Amf (x) =/'(# + mAx) — ( Af{x-\-m—1 Ax) -f ( Af\xĄ-... + (—!)r (^f{x+m

m—2 Ax)—...

podający sposób bezpośredniego wyznaczania przyrostu m-go rzędu danej funkcyi całkowitej f(x) w miejscu a?, za pomocą wartości funkcyi f(x) w (m-j-1) miejscach, kształtu: x+rAx, (r=0, 1, 2,..., m).

2. Różniczki wyższych rzędów danej funkcyi. Wprowadzając pojęcie nieskończenie małych rozmaitego rzędu, których jednostkami mierniczemi są kolejno: stała różniczka dx zmiennej niezależnej a?, i jej potęgi (dx)², {dx)²,.

... (dx)n, które oznaczać będziemy znakami: dx², dx²₁...dxnJ mamy na wyznaczenie różniczki: dy—df\x), danej funkcyi: y—f(x), wzór:

dy — f(x + dx) — /‘(a?) = f‘(x). dx.

Z tego wzoru wynika wprost, że różniczka dy jest nieskończenie małą rzędu pierwszego, zależną nietylko od przyjętej miary stałej dx, lecz także od wartości zmiennej niezależnej a?, ma więc swoją własną różniczkę d{dy) — d²y, którą nazywamy różniczką drugiego rzędu, albo drugą różniczką funkcyi y—f(%), i wyznaczamy bezpośrednio na mocy określenia: d²y=d(dy) = d[df(x)]=d[f(xĄ-dx)—f(x)] = f{x-\-2dx)—f (xĄ-dx)— f {x-\-dx)-\-f (x), a więc według wzoru: d²y—f(x-\-2dx)—2f(x+dx)+f(x).

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Ażeby ocenić rząd tej w-tej różniczki danej funkcyi całkowitej y—f(x), i jej wartość, z powyższego wzoru wynikającą, wyjdźmy z pierwszej różniczki: dy=f‘(x).dx.

Na zasadzie prawidła różniczkowania iloczynu otrzymamy stąd:

d²y=f‘(x). d²x-\- df\x). dx.

a że d²x—d(dx)~= O, jako różniczka wielkości: dx przyjętej, jako stała,

zaś d f‘(x)=f“(x). dx,

przeto otrzymujemy:

d²y=f “(x) .dx .dx=f<‘{x). (dx)², d²y — f“(x). dx²,

czyli :

z czego wynika, że : druga różniczka danej funkcyi jest wielkością, nieskończenie małą drugiego rzędu i równa się pochodnej tejże funkcyi ze względu na zmienną niezależną x, pomnożonej przez kwadrat różniczki tejże zmiennej niezależnej.

Różniczka tej różniczki przedstawi się znowu w postaci :

a że :

przeto będzie : a więc:

Na mocÿ podobnego rozumowania, jak w art. poprzedzającym, otrzymamy różniczkę trzeciego rzędu, czyli t. z. trzecią różniczkę funkcyi: y=f(x), w postaci:

d³y=f{x+Sdx)—8 f(x+2dx) -f- 3 / (x 4 dx) —/ (x).

Ogólnie, otrzymamy analogicznie różniczkę n-go rzędu, czyli t. z. w-tą różniczkę funkcyi y=f(x), za pomocą wzoru:

dny=f{x-\-ndx)—

czyli :

(”) f(x+n

r—n

dnf(x)='^i (—1)r f\x-\-n—rdx).

(5)

r=0

dzx—f‘‘(x). 2dx. d²xJrdf'"(x). dx², d²x=0, a df/‘(x)=f“l(x).dx, d³y=f‘“(x) dx. dx²=f/,,(x). dxz, diy=f,,,(x). dx³.

T. z. Trzecia różniczka funkcyi y=f(x) jest nieskończenie małą trzeciego

rzędu, równą trzeciej pochodnej danej funkcyi, pomnożonej przez trzecią potęgę różniczki dx zmiennej niezależnej x.

Stosując podobnież prawidło różniczkowania iloczynu do różniczki d³y i następnych , otrzymamy ogólnie :

dm y=f(m) (x). dxm.

(5')

T. z. m-ta różniczka funkcyi y=f(x) jest nieskończenie małą m-go rzędu,

równą m-tej pochodnej tejże funkcyi, pomnożonej przez m-tą potęgę różniczki dx zmiennej niezależnej x.

Do tych wyników możemy dojść także inną drogą, a mianowicie, badając wprzód zależność m-go przyrostu danej funkcyi całkowitej wymiernej od jej funkcyj pochodnych , określoną wzorem (4) art. 1.

3. Zależność m-go przyrostu danej funkcyi od jej funkcyj pochodnych. Mając na uwadze, że, na mocy wzoru Taylora, wartość funkcyi /(#), całkowitej wymiernej w-go stopnia, w miejscu xĄ-mAx przedstawia się za pomocą wzoru:

f(x + mAx)=f(x) +

f\x)

mAxA-

f"(x)

m\Ax)²-1-...+

f(r) 0*0

mr(Ax)r+... +

n

mn (Ax)n,

gdzie spółczynniki c₀, c1} ..., c„ określone są, ogólnym wzorem:

r~m

(a)

otrzymujemy przyrost m-go rzędu: Amf{x) w postaci:

f\x)

Amf(x)^c₀f(x) + ci ,

da; + c₂

r («)

(6)

... 4" C«

/■».(*)

(A»)*-P ...

(A%)ni

(m—r)*, (s=0, 1, 2,... w).

Z własności symbolów kombinatoryki wynika wprost, że spółczynniki cm_i są zerami, a spółczynnik cm=m! Wobec tego wzór (7) otrzy-

C0 5 J C2 5

muje kształt:

Am f{x)=f(m\x).(Ax)m + Cm+l

/•W (a:)

(m+l)!

(da;)w (6')

z którego wypływa, że przyrost m-go rzędu funkcyi całkowitej wymiernej w-go stopnia (m<n), jest ze względu na przyrost Ax zmiennej niezależnej funkcyą całkowitą wymierną n-go stopnia, zaczynającą się dopiero od m-tej potęgi przyrostu Ax, a ze względu na zmienną niezależną x funkcyą (n—m)~go stopnia.

Wyznaczanie przyrostów rozmaitych rzędów danej funkcyi jest przedmiotem t. z. rachunku różnicowego, który stworzyli Taylor (1717), po nim Simpson (1740) i Stirling (1749), a następnie rozwinęli Euler (1755), Laplace (1777) i Lacroix (1800).

4. Przyrosty ■wyższego rzędu danej potęgi xn. Stosując wzór (4) do potęgi y —cc», otrzymujemy m-ty przyrost tej potęgi w miejscu cc, w postaci :

i—m

A»»(ccn) =    (—l)r    (cc-p m—r Acc)» ,

(7)

r=0

skąd wypływa wartość tego przyrostu w miejscu cc = 0, wywołanego przyrostem \x zmiennej niezależnej cc, w postaci:

r=m

r—0

skąd, po uwzględnieniu wzoru (a), wypływa relacya :

Am(0») = Cn . (Aa;)» , A m (0»)

Cn    (Aa;)»

a więc :

(0

Na mocy wzoru (b) otrzymamy :

Am(C)¹) =0. A»» (O²) = 0,... A»«(O»—¹) = 0,

>)/

Am(0m) = m ! (Aa;)m , Am (0»*+0 = (m + 1)1 — (Acc)m+1 Am(0m+²) = (m -p 2) ! „ —(Aa;)m-i-²,

(Acc)m+S , i t. d.

m³ -p m'¹

Am(0m+3)₌(TO_j_B)!

Możemy więc wzór (7) przedstawić w potaci:

48

lub :

Am(xn) = Cm (* ) cr»-m . (Aa:)m_p cm+1    ^ »»-«—1 (Aa;)m+1 +

-p c»—2    ^ • (Acc)»-²-p cn—1 ^ a;. (Aa;)»—1 -p cra (Aa;)»,

^(*”>= ( ”)

(°*)+(«.+i)**

+ - + (o) *²- A»¹ (0»—²) -p    X. Am (0*-l)+ Am(0»).

xn~m. Am

. Am (0+0 -J-

Liczebne wartości spółczynników cm niem Aa; = 1, podaje następująca tablica:

Am (0»)

(Aa;)m

czyli przyrostów \m(Ön) pod założe-

0«    A⁴(0«) A²(0) A³(0*) A⁴(0)    A⁵(0)    A⁶(0)    A⁷(0«)    A⁸(0)    A⁹(0")    A¹⁰(0n)

M-

to

o³

o⁴

14    36    24

O⁵

1    30    150 • 240    120

0«    1    62    540    1560    1800

720

O⁷

1    126    1806    8400    16S00    15120

5040

O⁸

1    254    5796 40824    126000    191520    141120    40320

0:)

510    18150 186480 834120    1905120    2328480    1451520    362880

Oio

1022 55980 818520 5103000 16435440 29635200 30240000 16329600 3628800

5. Stosunki różnicowe wyższych rzędów, występujące w danej funkcyi całkowitej. Podzieliwszy równanie (6') obustronnie przez    otrzymamy

wzór :

Amf\x)

(Ax)m

f^\x) + cm+1

(m + 1) !

Ax-\~... + Cn

fW(x)

(Ax)n~m,

(8)

podający stosunek między m-tym przyrostem danej funkcyi f(x), a m-tą potęgą (Ax)m przyrostu Ax zmiennej #, zwany stosunkiem różnicowym m-go rzędu, albo też m-tym stosunkiem różnicowym danej funkcyi ; na bezpośrednie wyznaczenie jego wartości dla funkcyi y = f(x) mamy w myśl (4) wzór :

Amy Amf(x) _ f(x-f-mAx)—(f) f{x-\-m—l Ax)-|-... + (—1 )mf{x)

(Ax)m

(Ax)m ~~    (Ax)m

czyli :

Arnf(x)

r=m    /m\    -

2 (—l)r I    —rAx)

r=0    V r )

(Ax)m

(Ax)m

(80

Uwzględniając wzór (8), zauważymy, że m-ty stosunek różnicowy danej funkcyi całkowitej wymiernej n-go stopnia jest, tak ze względu na przyrost Ax, jakoteż ze względu na zmienną niezależną x: funkcyą całkowitą stopnia (n—m)-g o.

Funkcya całkowita wymierna n-go stopnia ma zatem obok stosunku różnicowego pierwszego rzędu jeszcze stosunki różnicowe wyższych rzędów, aż do w-go rzędu włącznie, zatem wogóle n stosunków różnicowych kształtu:

Amy

(Ax)m

(m=l, 2

n).

6. Stosunki różniczkowe wyższych rzędów, występujące w danej funkcyi

całkowitej. Stosunek różnicowy m-go rzędu:

Am y

(Ax)

— danej funkcyi całkowitej f(x), dąży, na mocy wzoru (8) w miarę nieograniczonego zmniejszania się przy-

rostu Ax, do pewnej granicy, którą osięga, gdy Ax=0. Granicę tę nazywamy

stosunkiem różniczkowym m-go rzędu, albo też, m-tym stosun-

^w» y

kiem różniczkowym danej funkcyi y=f(x), i oznaczamy znakiem:

pisząc :

₇. Am y    dm y

lim -j-j——— = —.

A*=0 (4*)”    dx"

Na wyznaczenie stosunku różniczkowego m-go rzędu danej funkcyi: y=f(x), otrzymujemy, w myśl powyższego określenia, wzór :

r=m

lim

4* = 0 (4*)™

z którego, uwzględniając relacyę (8), otrzymujemy:

dmf{x)

dmf(x)

Zim

A.r = 0

2(—l)r    f(x+m—rAx)

(9)

(da:)”¹

dxm

lim

Amf(x)

a*=o (4*)”

(9‘)

a tem samem określenie pochodnej m-go rzędu danej funkcyi, jako funkcyi, podającej granicę m-go stosunku różnicowego, czyli m-ty stosunek różniczkowy danej funkcyi w dowolnem miejscu x tejże funkcyi.

Funkcya: y =f(x) — a₀ xnĄ-ai a;w-1d-... + a„_ia:4-«n, całkowita wymierna w-go stopnia, ma , wobec tego, obok funkcyi pochodnej pierwszego rzędu, której znakowanie i wyznaczanie określone jest następującymi sposobami:

dx

== lim ~ = lim A*=0^

f{x-\-Ax)—f(x)_f(x-\-dx)—f(x)

\x = 0

Ax

dx

=n% z*⁻¹ -f (n—1 ) «j xn-²-f... + 2an_₂ %+a»-i, również funkcye pochodne wyższych rzędów, aż do w-go włącznie wicie : drugą pochodną :

(10)

a miano-

= df‘W    d²f(x) _ f‘(x+dx)—f\x)

d    dx dx dx² dx²

dx

= lim = lim — Lx = 0Ax    Ax

A fix)

= lim Ax =0

f\x + Ax)—f'(x)

Ax

lim

A² y

a*=o(4*)²

4 ²/(*)

t=0 (Ax)²

f(xĄ- 2Ax) — 2 f\x•+-Ax) + f (x)

lim

\x— 0

f(x -f- 2 dx) — 2 f(x + dx) 4- f(x)

A(x)²

dx²

(10')

=n(n—1) a₀a:w_24-(w—1) (n—2) (^a:”⁻³-!- ...-f-2.1.aB-2, ogólnie m-tą pochodną (m<Cw):

dy(m~^ dftm-»(x) dmy    dmf(x)    f^m-\x-\-dx)—fm-\x)

dx

dx

dxm

dxm

dx

am -

Ax = 0 Ax

= lim \x= 0

Af^~%x)

Ax

— lim kx—0

f    Ax)—fm~X\x)

da:

r—m

2 (—l)r (m\ f{x-\-m—rdx)

r—n    V /

Amy

lim

Amf(x)

A*!Lo (4*)" a*=o (4*)”

r=m

= lim

Aæ =0

:)«*+

m—r Ax)

(H)

(Ax)m

=»(»—1)... (»—m+l)a₀aîw_TO-f (»—1) (»—2)...(»—m)aix a w końcu »-tą pochodną :

*,(«)=/*(*) =

dydßn~i\x) dny dnf(x)    f^n~i\x + dx)—fn~x\x) _

dx

dxn

dxn

dx

zh/C«-¹)

= lim —. A*=0    ^

lim

Aa:=0

Ax

lim

A# = 0

Ax

Km

lim

4n/‘(Æ)

S.x — 0 (Ax)

r=n

r=w

= Uni Aæ—0

2(-!)r (”)/(*+"—r4a0 2 (~l)r(!)f(x+n-r<te)

rr-n    V /    n    \'/

(4æ)w

ćfcc"

(12)

=» . (»—1)...2.1 .a₀ = » !a₀.

Wzory te uwidoczniają, że funkcyę pochodną danego rzędu możemy wyznaczyć pośrednio z pochodnej rzędu bezpośrednio niższego w ten sam sposób, jak pierwsza pochodna powstaje z danej funkcyi, albo bezpośrednio z danej funkcyi, bądźto metodą granic, jako funkcyę, podającą granicę odpowiedniego stosunku różnicowego, bądźto metodą różniczek, jako funkcyę, podającą odpowiedni stosunek różniczkowy danej funkcyi.

7. Pochodne funkcyi potęgowej y=xn. Funkcya potęgowa y=xn ma przy jakimkolwiek stałym wykładniku n pierwszą różniczkę, względnie pierwszą pochodną w postaci :

dy—nx'^dx, względnie y' = ».r

y"=n(n—l)x y'“=n(n—1) (w—2)xn~³

skąd, stosując znane prawidła różniczkowania potęg, otrzymujemy różniczki i pochodne wyższych rzędów w postaci: d'²y=n(n—1 )xn~².dx² ; d*y=n(n—1) (»—2) xn~z. dx³ ;

dry=n(n—1)... (»—r-²rl)xn~r.dxr ; y^=n(n — 1)... (»—r-pl)icn~r.

Z tych wzorów wypływa, że funkcya potęgowa y=xn, o całkowitym dodatnim wykładniku » ma tylko » pochodnych, w postaci funkcyj całkowitych wymiernych kształtu :

dr y

y{r)=

przyczem »-ta pochodna :

dxr

»(»—!)...(»—r-\-l)xn~r, (r=l,2, ...w),

dny

=»(»—1)... 2.1=» !

*/<”>=

jest już funkcyą zerowego stopnia, czyli liczbą stałą są zerami. Wszelka inna funkcya potęgowa kształtu: y=xn, której wykładnik » nie jest liczbą całkowitą dodatnią, lecz jest liczbą całkowitą ujemną, lub liczbą wymierną ułamkową, dodatnią, lub ujemną, ma, na mocy powyższych wzorów, nieskończenie wiele pochodnych, kształtu :

dxn

następne pochodne

2/(,) =

dr y dxr

=n(n—1) (n—2)... (w—r+1) 05rt_r,

(13)

w którym r przybierać może wszelkie wartości całkowite dodatnie od 1 do oo. Funkcya: y=x—n=-~ ma funkcye pochodne, w postaci:

V(r) =    = (-!)r n{n + 1)... {n + r—1) *-» -r= (-1)

„ »(» + !)...(»+r-l)

xn+r

»    (13')

tunkcya y = æ » =S/w postaci :

dr y

y(r)

dxr

m (m .\    (m    , A —— r

- (--1) ... (--r -f-1 ) xn

n \n / Vn    /

(13")

, w postaci :

a funkcya y = x

(13"')

/n /    -.n m ( m .    / m ,    . x ■— tt — r

y(r)₌(_l)r- (- + !)...(-+r-l)*

Na podstawie tych wzorów możemy wyznaczyć wprost którąkolwiek pochodną danej potęgi zmiennej niezależnej x, o jakimkolwiek wymiernym wykładniku.

—, ma pochodne:

= — 3 ! a;—4 =

W szczególności funkcya ułamkowa : y = x—¹ =

-à- ,J“

dy

-S-»'--

3!

ogólnie :

yir)-dry

= ( l)r Î- ! X~r-l = (-l)r —ï.

clxr

Funkcya niewymierna: y—\/x ==■ x'², ma pochodne:

y‘ = V* «“‘S y" = — Va • V» ar3/l

(«)

yT = V> • V| • %    ... y« = (-1X+¹

1.3.5...(2r — 3)

-—^--x £

2 r

(P)

8. Różniczkowanie w-krotne danej funkcyi. Wyznaczanie w-tej różniczki, lub w-tej pochodnej danej funkcyi, przy n^> 1, nazywamy «-krotnem różniczkowaniem tej funkcyi.

Postępowanie przy tern wyznaczaniu opiera się na różniczkowaniu danej funkcyi i kolejno po sobie następujących różniczek, względnie pochodnych tej funkcyi, w myśl prawideł, wyłożonych w art. 10—17 str. 439 - 445.

Z wyznaczonych w ten sposób w-tych różniczek, lub w-tych pochodnych, dotyczących danych funkcyj, możemy niekiedy korzystać przy n-krotnem różniczkowaniu funkcyi, złożonej z danych funkcyj, których w-te różniczki, lub n-te pochodne są znane.

9. Prawidło w-krotnego różniczkowania sumy funkcyj. Niech będzie dana funkcya : y — u + v, gdzie » i », są pewnemi wiadomemi funkcyami zmiennej niezależnej æ, natenczas otrzymamy na podstawie prawidła różniczkowania sumy (art. 10. str. 439.). wzór :

dy=du+dv, a zarazem y^u¹-\-v\ do którego, stosując to samo prawidło, otrzymamy:

d²y=6Ü²W-f d²*; ; y" =u“ Ą-Vu, d*y=d³u-[-d³V‘,    y,tl=u>,t-\-vt>>

ogólnie : a zatem :

a zarazem:

dny=dnu-\-dnv, y(n)=ifin'>-dn(u Ą-v)—dnu+dnv,

To znaczy: n-ta różniczka (pochodna) sumy funkcyj jest równa sumie n-tych różniczek (pochodnych) poszczególnych dodajników.

10. Prawidło w-krotnego różniczkowania iloczynu dwu funkcyj. Niech będzie dany iloczyn dwn funkcyj: u=f(x): v=(p(x), w postaci funkcyi: y=u.v, natenczas na podstawie znanego prawidła różniczkowania iloczynu, otrzymujemy pierwszą różniczkę tej funkcyi:

dy = u .dv + v .du,

skąd, stosując znane prawidła różniczkowania sumy i iloczynu funkcyj, otrzy-

mamy :

a więc drugą różniczkę w postaci :

d²y=u. d²v + du. dv + dv . du + v. d²u,

d²y=u. d²v\2 du. dv+v.d²u.

Stosując do niej znane prawidła różniczkowania, otrzymamy: d²y=u .d²v-\-du. d²v + 2du. d²v-sr2d²udv-\-dv . d²u-\-v. dzu, a więc trzecią różniczkę:

dzy=u. d²v+Sdu. d²v + Sd²u. dv-\-d²u. v.

(14)

dn(u+v) __ dnu    dnv

dxn    dnx    dxn

czyli: (uĄ-v)^==u^

Spodziewamy się zatem ogólnego prawidła :

dny=u.

du. dn~l V + ...+

C)

dru. dn~rv-\-... + dnu.v.

(15)

Przypuśćmy, że prawidło to jest prawdziwe dla pewnego w, jak okazało się prawdziwem dla n=2, i dla n=3, natenczas, stosując doń znane prawidła różniczkowania, otrzymamy :

dn+iy=u.dn+iv + {^du.dnv +

Ą-du .dnvĄ- ••• +

dru. dn~~‘r+¹ v +... + dvu.dv-\-

dru.dn-r+iv + ...-\-

U.)

d”u . dv + dn+iu. v,

chah*:¹)

dru.dn~r+iv-ł-...+

skąd, ze względu na to, że:

dn+iy=u.dn+iv-\-(^'J^^du.dnv-\- +    ^ j

dostajemy : \H~n ^dnu‘dv + dn+iu.v.

a więc wzór, zgodny z wzorem (15).

Jeżeli więc przyjęte pod (15) prawidło ważne jest dla w-tej różniczki, to musi być także ważnem dla (w-f-l)-szej różniczki. Ponieważ wykazaliśmy jego ważność dla n=3, przeto musi być ono ważne także dla w=4, i t. d. Mamy więc wzór ogólny na w-tą różniczkę iloczynu dwu funkcyj, w postaci:

dru.dn~rv-

dn(uv)=u.dnv-\-

^jdn~'u-dv + dn

u.v,

r~n

dn{uv)

-2:)

r=0 ^ '

dru. dn~rv.

czyli :

gdzie należy położyć d°u=u, d^v=v.

Ztąd otrzymujemy wzór na w-tą pochodną iloczynu tych funkcyj :

n\ dn dn-^v 1 / dx ' dxn~x

dn—dv

dxn~i ’ dx ^ dxn V'¹

dn{uv)

dxn

dnv

u. — dxn

n \ dru dn~rv

{n l)

1 r ) dxr ’ dxn 'r dnu

a więc w postaci :

dn(uv)

r~n

dxn

r- 0

dru dn~rv ' dxr ’ dxn~r ’

r=n

(15“)

czyli :

gdzie należy położyć    v<°)=«;.

Wzory te znane są pod nazwą: wzorów Leibnitz’a.

Za pomocą wzorów Leibnitz’a możemy wyznaczyć w-tą różniczkę, lub n-tą pochodną iloczynu dwu funkcyj, jeżeli dla każdej z tych dwu funkcyj znamy wszystkie jej pochodne od pierwszego aż do n-go rzędu włącznie.

Mając n. p. wyznaczyć wprost n-tą pochodną funkcyi :

y = pqy| = (i—*) (1 + «O⁻¹ »

u = 1—x, v =(1 + aj)—¹

połóżmy : natenczas będzie :

*' = —1, u"= 0, zaś t>' = -(l-p*)~²,... t>" = 2!(l-P*) przeto na mocy wzoru :

-3

»(«) = (-l)«»!(l + *)-<n+i),

otrzymamy :

y(n) = (!_«). (-1)« .#»!(! + *)-(« + b + (ï)(~ L • (-l)*"¹ • (»“1)! C¹ + 2C)“”

a więc :

y{n) =

(—1)» . n ! (1 — x) } (— l)n.n\ (1+ *)*+! “

czyli :

y<">

(—l)«.2.n!

(! + *)»+! '

(1 -f x)n ’

ćwiczenia XXXIV...

Wyznaczyć pierwszą pochodną y‘ następujących funkcyj całkowitych wymiernych: 1) y= 1—Sx Ą- 3*²—x³. 2) y = 9*    (’*² -\- ⁴/₃ *³.

3) y = a³-|-a²a3—a6*²-p73^2a;3“ 4) y=(l-p2*—4*²)(1—2*-p 4*²—4*³).

5)    y= (12a:⁴ + 8*³ + *6/₃*² + «/,* + ⁵⁵/₂₇) (2-3*).

6)    y = (a⁴ -p a³* -p a² *² ~p a*³ -p *⁴) (a — x) (*⁵ -p <*⁵)«

Wyznaczyć pierwszą pochodną y' następujących funkcyj wymiernych, ułamkowych:

7) y=^.8)y=

1 -p3*— *2 1—3*-p *²

7 -p 10*

49-p70* + 25*2 16*³ -p ll*² -p 9* — 3 6*⁴-p 6*³-p6*²

1 -p *

1 -p æ²

, 9) y

-1

(n—l)*»-¹

• 10) y

an -p xn

il) y

12) y

a -p 6*-p c*2 a~p ß*-p y*²

13) y =

14) y

16) y

15) y =

1 + 3*-3*2 3*³—9*² -p 9*— 3

«»—xn

a— 26* -p 3c*2 a-\- 26*—3c*²

1 —2*² -p 4*⁴— 6*⁶

1 -p2*²—4*⁴-p 6*⁶

Wyznaczyć pierwszą pochodną y‘ następujących funkcyj niewymiernych : 18) y —Sx—⁹/₂*^³-p ³/₅*V^*². 19) y = ²/₁₉ *³\zćc -p ⁴/i3*²\^* "P ^hxS/x •

20) y =>x\/1— *². 21) y — xn\/a-\-bx + c*² •

1 -p *

22) y =

xn

23) y

V/a -p 6* -p c*2 Wyznaczyć różniczkę rfy następujących funkcyj :

a -P 6* -p c*

\/1—*

—P ßcc ~p y*²

25) y=(3-2*)⁵. 26) y =

1—2* + *²‘

27) y =    28) y =* i/₃*³—3*² + 9*-17.

29) y — 3x—*3 x\/x 4" Va*²* 30) y= % *²    ^

2(a -f- bx) V/« + 6a;

V^a;

24a;²

ai) y «[%(« +a»)-¹/,«].

• 32) y

33) y

a;

3a²a;—a;3 a(a² —3a;²)'

a:³

34) y =

35) 2/

(1—a:²)³4 ‘

Wyznaczając bezpośrednio przyrosty A»/(a;), wykazać, że:

36) A³(a;²) = 2(^a;)². 37) A²(a:³) = 6a;. (Aa;)² 4 6(Aa;)³. 38) A³(*³) = 6.(A*)³-

39)    A²(a;⁴) = 12a;². (Aa:)² -f- 24 a;.(Aa:)³ + 14(Aa;)⁴.

40)    A²(a;⁴) = 24a:.(Aa;)³ + 36.(Aa;)⁴. 41) A⁴(a;⁴) = 24.(Aa;)⁴.

42) Am(xn) = (^ km(Qm)xn-m Ą.    (O^h¹) xn-m -i ... -}-

V/ a²—a:²

(1+ x)n •

+ - + (n- 2)Aw,(°n-²>² + (n”i) A«(0»-l)*+ A'»(0»).

43) A*(a;*) = A*(0) = n ! (Aa;)w.

A²(a;³)

(Aa:)²

44)

= Gx + 6Aa;. 45)

A³(a;³)

(Aa;)³

6. 46)

A²(a;⁴)

(Aa;²)

= 12a;² -j- 24a?Aa; 4* 14(Aa:)².

47)

A³(a;⁴)

(Aa;)³

24a;+36.Aa;. 48)

A⁴(a;⁴)

(Aa;)⁴

24.

₄₉₎ A-Q**)

(”)

\m)

4    Cn~1 X •(^)ra_,n_1 + Cn(kz)n-m.

= (24a;—6)+ 36. Aa;. r=*

51) Wykazać, że: S (—l)r^Jr* =

(Aa:)«

Cm ,xn -

₅₀) A³^⁴-^³)

(Aa:)³

0, gdy s<w.

Oznaczając przez h wielkość nieskończenie małą pierwszego rzędu, okazać, że dla wszelkiej całkowitej wymiernej funkcyi :/(a;), zmiennej niezależnej x, wyrażenie:

52)    f(x -}- 2Ä)—2/(a; -f- h) +/(») jest wielkością nieskończenie małą trzeciego rzędu.

53)    Wyrażenie: f(x3h)—3f(x Ą-2h)3f(x-\-h)—f(x) jest wielkością nieskończenie małą trzeciego rzędu.

rzędu.

r~m    / k    _

54) Wyrażenie : 2 (—l)r( r ) f{x 4~ n~r^) jest wielkością nieskończenie małą w-go

r=0

55) Jeżeli w funkcyi wymiernej całkowitej y=f{*) nadamy zmiennej niezależnej x kolejno wartości: x, x -J- hy, a; -j- 7tt 4- h₂, x-\-h{-\-h₂-{-h3 powiadają wartości: y, yl: y₂₎ .., y mi danej funkcyi y— /(a?), okazać, że stosunek różnicowy :

A my

hyKfa,...

gdy przyrosty: hu 7t₂

x    h₂-\- ...-{-hm, którym od-

——dąży do granicy, równej ni-tej pochodnej: ytm)—f(.m)(x), danej funkcyi: y =f(x),

lim

hm, dążą równocześnie do zera.

56) Jeżeli funkcya v(x) = A(x—oą)(x—a₂), okazać, że:

d² q(x)

dxl

2! A.

57) Jeżeli <d(x) = A(x—at) (x—<x₂)(x—a₃), okazać, że:

58) Jeżeli <p(a;) = A(x—<Xj)(a;—a) ...(a; —a«), okazać Wykazać, że skoro :

dx²

że :

d³ v(x) dx3 dn <p(x)

3! A.

dxn

n ! A.

3«²

dhy

24

^    1—a; ’ dxK    (1—x)w

61) y

62) y

A\/x (x — dfU

1—x -f- x¹    d²y 1-j-3x-j-%²

dx² (1 -j- x²)sh

dny (—1)«.«! J bac    b—ac \

2c    l (x—c^J-¹    (x -f- c)n+J I ’

\/1    x'² ’

ax 4* b

X²— c² ’

dxn

63) y

a²

dh)

24a⁴» — 24a²»³

a² -j-»²

dxz

(a² -(- »²)⁴

64) y~(a-\-bx)r\

dny

dxn

— r(r—1)... (r—n-\-l) bn (a + bx)r~n.

65) y — (a»²)r ;

dny

dx»

2r(2r—1) ... (21—n + l)ar x2r—

d«y

(-!)»-!.1.3.5. ..(2n—1)

66)    y=Vx 5

1    dny

67)    y =-T ; —-— bn .    .

J a — bx dxn _ (a — bx)n-Fl

(—1 )nn ! bn j

dxn

2n. x n

\/x.

68) y

dny

a²—ô²»²

dxn

2a

69) y

1 dn y 1+x²’ "êfa*"

(— 1)” (n + 1) !»n

(1 -f x²)«+*

70) y

1    dny

n ! xn

\/l—x²

Æ»n

(1 — »v*+v,

__(»\ 1 , \

' 5»⁴    V6/-7»6'r"T

I¹ + ¥ © • i +Ë 6) • ^⁴⁺ ÈÜ (e) • ^+-}‘

B o związania XXXIV. 1)-3(1-»)². 2) (3-)-2»)². 3 )(a-Z>x)². 4) 4»(20»³—24»²+9»-2).

2(3—2») (l-3x-fx²)²' »² — 2 (» — l)4 1—2»²

5) -3(60x⁴+2»+l). 6) -10»⁹. 7) ——r 8)

1—2»— »²

2nanxn—1

12)

(a b—a3)+2(ac—ay)» 4-(ßc~~&y)x²

(a -j- ß» -j- y»²)²

. 13)

(1 + x²)² ' 4ax(3cx— b)

16)

x³(l-f- »-)-»²)²’

17)

—8»(1—4»² -f- 9»⁴)

(a -\-2bx — 3c»²)²

(1 -j- 2»²— 4x³ -f- 6»⁴)

. 14)

(an — x«)2 — 60»

. 11)

. 15)

(7 + 5»)³

₂. 18) (3- V^» )²- 19) V₃(l + »)² • S/x. 20)

^ y/i—»2>

21)

2waxn~l -{- (2n-\-l)bxn _|_ 2(w-j-l) cxn+1

2naxn—¹ + (2n — 1) bxP    2(n — 1) cxn+⁴

2Y/a -f- bx -j- c»²

2V/(a -f- bx -f- ex²)³

23)

27)

(1 - x)³/»* —2dx

(ôa—aß) -j- 2(ca—ay) » -|- (iy—cß)»²

(1 + »)²

32)

3(a² -f- »²)²<7» a(a²— 3»²)²

24) — n

-. 28) (x—3)²dx. 29) (3+ V/» ) (1— Y/» )tfx. 30) f —L_

*    Vy/»²

nxn—¹

V/(a -f- ôx -j- c»²) . (a-(- ßx -f- y»²)³

. 25) -10(3— 2»)⁴(üx. 26)

2\//x⁵ ^

. 33)

aïday

(a²- x²)³//

34)

3 x²Æx

(1 — x²)⁵/,'

35)

(1 -f x)»+i‘

—2<2x

(1-x)3 .dx. 31) »y/a-\-bxdx.

Literatura. L. F. Arbogast. Du calcul des dérivations. Strassburg 1800. G. B o o 1 e Calculus of finite différences. 3. ed. by Moulton. London 1880. Gilbert. Cours d’analyse infinitesimale, 1882. S. F. Lacroix. Traité des différences et des séries. Paris 1800. Solinke. Sammlung von Aufgaben aus der Differentialrechnung. Halle 1859. George P e a c o c k. Collection of Examples of the applications of the differential and integral Calculus. Cambridge 1820.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zasadnicze pojęcie rachunku różnicowego.

2.    O liczbach kształtu A«(0m) dla Ax = l.

3.    Pochodne wyższego rzędu funkcyi : y = (a-j- bx -}- c»²)' i ich zastosowania.

Wykład XXXV.

Zastosowanie rachunku różniczkowego do wyznaczania maximum i minimum danej funkcyi.

1. Badanie wartości funkcyi w otoczeniu danego punktu. Niech będzie dana funkcya y=f{x) całkowita, wymierna, n-go stopnia, natenczas, znając jej wartość w pewnem miejscu x i wartości wszystkich jej n pochodnych w tern miejscu, otrzymamy jej wartość w jakiemkolwiek miejscu xĄ-h,. za pomocą wzoru Taylora, w postaci:

f{x + b)=f{x)-f

f\x)

f"(x)

1!

2!

fc²+... 4

hn,

(1)

z którego możemy też wywnioskować o zachowaniu się danej funkcyi y=f{x) w otoczeniu miejsca x.

W tym celu, weźmy pod uwagę wartości tej funkcyi w dwu miejscach, blizkich miejscu x, a położonych po przeciwnych stronach punktu x, t. j. w punktach x-\-h i x—/&, gdzie h jest wielkością dodatnią dowolnie małą, natenczas otrzymamy:

f^lhn

fXx+h)=f(x)+^^h+t^W+...+ nl

a więc :

f{x—h) ==f{x) f(x+h)—f'(x)

f\x)

r(x)

nf{n)(x)

1!

h*

f\x)

-«*)+ 2!

f>\x)

Jjn-i

(2)

f{x—h)—f{x)    f‘(x)    f“{x)

—h

1!

a.

(3)

Mamy tu dwa stosunki różnicowe, jeden:

. f{x+h)—f{x)

1-Ä

wywołany

, występujący, gdy

wzrostem zmiennej niezależnej x, drugi:

—h

zmienna niezależna x maleje. Pierwszy nazywamy stosunkiem różnicowym wprzód, drugi stosunkiem różnicowym wstecz.

Jeżeli h maleje, to z wzorów (2) i (3) wynika, że oba stosunki różnicowe: wprzód i wstecz, dążą do tej samej granicy f'(x), którą osiągają, gdy h staje się równe zeru, jest bowiem:

Hm

f(xĄ-h)—f(x)

=fu{x), tudzież: lim h = 0

f(x—h)—f(x)

=f\x).    (4)

Mówimy przeto, że w funkcyi całkowitej wymiernej , w każdem miejscu, oba stosunki różniczkowe, tak wprzód, jak i wstecz, są sobie równe, a mianowicie są równe wartości pochodnej f\x) w tern miejscu, co oznaczamy wzorem :

lim

f(x + h)—f(x)

±A

/'(*)•

(40

A = O

2. Funkcya rosnąca i funkcya malejąca w danem miejscu. Z porównania wartości f{xĄ-h) i f(x—A) z wartością f(x) mogą wyniknąć następujące przypadki:

1) /'(^d-A) ^>/‘(æ), a zarazem f{x—h)<C.f{x),

f(xĄ-h)—f(x)^> O, a zarazem: f(x—h) — f(x)<C O.

Wartość funkcyi w miejscu æ jest wtedy mniejszą od wartości funkcyi w miejscu (rr-f-A), a zarazem większą od wartości funkcyi w miejscu (x—h). Mówimy tedy, że w tym przypadku funkcya / (x) rośnie w miejscu x wraz z wzrostem zmiennej niezależnej, czyli, że funkcya f(x) jest rosnącą

czyli :

(5)

w miejscu x.

2) f(x-\-h)<C.f(x), a zarazem f(x—h)^>f(x),

f (x-\-h)—f (x) <C 0, a zarazem : f(x—h)—f(x) !> 0.

Wartość funkcyi w miejscu x jest wtedy większą od wartości funkcyi w miejscu (#fA), a zarazem mniejszą od wartości funkcyi w miejscu (x—h). Mówimy tedy, że w tym przypadku funkcya f(x) maleje w miejscu .r, czyli, że jest malejącą w miejscu x.

Oba powyższe przypadki odznaczają się tern, że różnica f\xĄ-h)—f(x), zmienia swój znak wraz ze zmianą znaku przyrostu A, a to przy funkcyi rosnącej: ze znaku f na —, a przy funkcyi malejącej: ze znaku = na -f, gdy w przyroście A zmienimy znak dodatni na ujemny.

Porównawszy różnice f(xĄ-h)—f{x) i f{x—h)—f(x) ze zmianą A zmiennej niezależnej: x, wziętą ze znakiem +, gdy wskazujemy wzrost wartości x, gdy wskazujemy zmniejszanie się wartości x, możemy pierwsze dwie nierówności przedstawić także w następujących postaciach:

czyli :

(6)

a ze znakiem

f\x+h)—f\x)

>0,

f\x—h)—f\x)

—h

>0,

(50

zatem w postaci jednej nierówności:

f(x±7i) —f(x)

drugie zaś dwie w postaciach:

zth

>0,

(5")

f(x+h) — f(x)

<0,

—h

<0;

(60

czyli :

rk A

<0.

(6")

Funkcya f{x) rośnie więc, lub maleje w miejscu x, zależnie od tego,

czy, począwszy od pewnej wartości A, stosunek różnicowy

niezależnie od znaku przyrostu A, stale wartość dodatnią, czy też stale wartość ujemną, i takim pozostaje, gdy A maleje, dążąc do zera, a że granicę tego stosunku różnicowego, niezależną od znaku wartości A, podaje, na mocy wzoru (40, pierwsza pochodna f‘(x) danej funkcyi, przeto możemy ostatecznie warunki (5") i (6") przedstawić w postaci:

I. /'(«)> 0, II. /'(ac)<0.

ma,

T. z. Funkcya f(x) rośnie w miejscu x, gdy jej pierwsza pochodna f‘(x) ma w tern miejscu wartość dodatnią, maleje zaś, gdy jej pierwsza pochodna f(x) ma w tern miejscu wartość ujemną.

3. Przypadek wątpliwy. Szczególny przypadek zachodzi, gdy wartość pierwszej pochodnej f\x) danej funkcyi f(x) w danem miejscu x, jest równą zeru, czyli, gdy f,{x)=0. Aby ocenić, czy dana funkcya wymierna może być w tym przypadku rosnącą , czy też malejącą, rozpatrzmy wzór Taylor’a:

f\x+h)=f{x) 4

f\x)

1!

&+^rÄ2+-'t

n\

Skoro w danem miejscu x jest f\x) —0, wówczas otrzymujemy różnicę:

h²

h²

/■(»)(*)

3!

hn.

(8)

Różnica ta musiałaby według warunków (5) i (6) zmieniać swój znak wraz z zmianą znaku przyrostu h, jeżeliby funkcya f(x) miała być w tern miejscu rosnącą, lub malejącą. Ponieważ zaś h² ma stale znak dodatni, jest zatem koniecznem, aby pochodna /’"(#) była zerem w tern miejscu#, inaczej byłoby niemożliwem , aby funkcya fix) była w przypadku f‘{x)=0 rosnącą, lub malejącą w danem miejscu x.

Przypuśćmy więc, że w danem miejscu x wszystkie pochodne danej funkcyi /(#), aż do (r— l)-szej włącznie, stają się zerami, a dopiero r-ta pochodna tej funkcyi f^(x) ma w tern miejscu wartość różną od zera, tedy otrzymamy różnicę :

f(x+h)—fix)

fV(a0

hr+...-f

/‘(n> (x)

hn.

(9)

Różnica ta będzie zmieniała swój znak wraz ze zmianą znaku h, tylko wówczas, gdy r jest liczbą nieparzystą, a nie zmieni wcale swego znaku, gdy r jest liczbą parzystą.

A zatem : Funkcya f(x) jest w danem miejscu x rosnącą, lub malejącą, jeżeli pierwszą nieznikającą w tern miejscu pochodną danej funkcyi jest pochodna rzędu nieparzystego: f(2r+^(x), a to. rosnącą, gdy ta pochodna nieparzystego rzędu f(2r+V(xJ ma w tern miejscu wartość dodatnią, a malejącą , gdy pochodna f(2r+^(x) ma wartość ujemną. Natomiast funkcya f (x) nie jest w danem miejscu x, ani rosnącą, ani malejącą, gdy pierwszą, nieznikającą w tern miejscu, pochodną funkcyi jest pochodna parzystego rzędu f^(x).

zera.

4. Określenie maximum i minimum danej funkcyi. Jeżeli funkcya /(#) nie jest w danem miejscu x, ani rosnącą, ani malejącą, natenczas mogą zachodzić dwa przypadki, albo 1) wartość danej funkcyi f(x) jest w tern miejscu większą od wartości sąsiednich, a więc większą tak od wartości f(x—h), jako też od wartości f(x-\-h) i większą pozostaje, gdy h maleje, dążąc do zera; albo 2) wartość f(x) danej funkcyi jest w tern miejscu mniejszą od wartości sąsiednich, a więc zarówno mniejszą od wartości f{x—h) jak też od wartości f(x+h) i mniejszą pozostaje, gdy h maleje, dążąc do

w drugim zaś przypadku

W pierwszym przypadku powiadamy, że funkcya /(#) posiada w miejscu x wartość względnie największą, czyli maximum powiadamy, że funkcya /’(#) posiada wartość względnie najmniejszą, czyli minimum.

Funkcya f\x) posiada więc w miejscu x maximum, skoro: /■(»)>/(0—iÄ), jakoteż f\x)>f(x+h), f (x-\-h)—f(x) *<0, a zarazem: f(x—h)—f(x)<i 0,

czyli : skoro a więc skoro różnica:

f(x+h)—f(x)<: 0,

niezależnie od znaku dowolnie małego przyrostu Ä, i mniejszą od zera pozostaje, gdy h, bezwzględnie wzięte, maleje, dążąc do zera; funkcya f(x) posiada zaś w miejscu f(x) minimum, skoro f(x)<if(x— h), jakoteż: f(x) <lf(x+h), czyli, skoro f(xĄ-h)—f(x)^> 0, a zarazem:

f(x — h)—f(x)> 0,

a więc, skoro różnica:

(U)

—f(x)> 0,

niezależnie od znaku przyrostu h, i większą pozostaje, gdy h maleje, dążąc-do zera.

5. Warunki istnienia maximum, lub minimum funkeyi f{oc). Funkcya

lub minimum

f{x) posiada, w myśl powyższych określeń w pewnem miejscu x, skoro różnica f(x+h)—f(x) ma w tern miejscu, począwszy od pewnego dowolnie małego h, stały znak, niezależnie od znaku

maximum

przyrostu h.

Na mocy wzoru Taylora, mamy jednak:

f(x+h)—f(x)

f\x) h+ f"(x)

1!

2!

W+...+

/■W (X)

hn,

z czego wynika, że różnica f(xĄ-h)—f[x) nie może mieć w danem miejscu x tego samego znaku dla dodatnich i ujemnych wartości przyrostu h, wyjąwszy, gdy w tern miejscu f\x)=0.

A zatem: Warunkiem koniecznym, aby funkcya f(x) miała w miejscu x maximum, lub minimum jest, by pierwsza pochodna f‘(x) była w tern miejscu zerem.

Przyjmijmy więc, że w pewnem miejscu x funkeyi f\x) jest pierwsza pochodna f'(x)=0, natenczas przedstawia się różnica f{x-\-h)— f\x) w postaci:

f"Ąx)

f“{x)

3!

h⁵

(12)

Różnica ta ma, jak widzimy, dla dostatecznie małego li znak wyrazu fu(x)h², a więc stały i niezależny od znaku przyrostu h, a mianowicie znak dodatni, gdy f“{x) jest w miejscu x dodatnie, ujemny zaś, gdy f“{x) jest w tern miejscu ujemne.

zera

nowicie : maximum gdy druga pochodna : /*"(#) jest dodatnia.

Gdyby w tern miejscu * było także f‘‘{x)=0, natenczas otrzymalibyśmy:

Jeżeli więc w przypadku /'(#)=0, druga pochodna f‘‘{x) jest różną od natenczas funkcya f(x) ma w miejscu x maximum, albo minimum, a mia-gdy druga pochodna: fu(x) jest ujemna, minimum zaś,

(13)

f{xĄ-K)—f(x)=*

Różnica f{xĄ-h)—f{x) miałaby wówczas w przypadku, gdy trzecia pochodna f‘“{x) ma wartość różną od zera, znak zależny od znaku przyrostu h, nie mogłaby więc mieć znaku stałego; funkcya f(x) nie miałaby więc w tern miejscu x ani maximum , ani minimum.

Przypuśćmy, że w danem miejscu x funkcyi f(x), wszystkie pochodne tej funkcyi, aż do (r—l)-szego rzędu włącznie, (r<Z.n), są zerami, w takim razie różnica f(x-\-h)—f(x) przedstawia się w postaci :

f(xĄ-h)-f{x)=

hr+... 4

/'W (x)

/i”.

(14)

ani

Jeżeli r jest liczbą nieparzystą, wtedy znak tej różnicy zależy widocznie od znaku przyrostu h: nie może więc być, ani stale dodatni stale ujemny; funkcya f'(x) jest w tern miejscu, albo rosnącą, albo malejącą, nie ma więc ani maximum, ani minimum.

ujemny, gdy f{r\x) jest ujemne.

Funkcya f{x) ma więc maximum, gdy /*(r)(æ) <C0,

Jeżeli, przeciwnie, »"jest liczbą parzystą, wówczas różnica f{xĄ-h)—f{x) ma znak stały, niezależny od znaku h, a mianowicie dodatni, gdy f^(x) jest dodatnie

minimum, gdy

/(»•)(£)> 0.

A zatem : Funkcya f (x) posiada w pewnem miejscu x maximum, albo minimum, skoro jej pierwsza pochodna f(x) jest w tern miejscu zerem, a z szeregu następnych pochodnych pierwszą nie znikającą pochodną jest pochodna rzędu parzystego fVr)(x), (r>^, a mianowicie : maximum, skoro /(2r> (x) <C 0, a minimum , skoro /(2r) (x)^> 0. Jeżeli zaś pierwsza z tych pochodnych, która jest w tern miejscu różną od zera, jest rzędu nieparzystego, natenczas funkcya f(x) nie ma w tern miejscu ani maximum, ani minimum.

6. Wyznaczanie maximow, lub minimów danej funkcyi. Ażeby wyznaczyć wartości zmiennej x, dla których dana funkcya f(x) posiada maximum, lub minimum, należy, na podstawie powyższych warunków, przedewszyst-kiem jej pierwszą pochodną przyrównać do zera, a więc położyć f‘(x) = 0. Pierwiastki tego równania są tedy temi wartościami zmiennej x₁ dla których dana funkcya f(x) może posiadać maximum, albo minimum.

Ażeby się przekonać, dla którego z tych pierwiastków funkcya f(x) posiada maximum, a dla którego minimum, wyznaczamy dla każdego z nich wartość drugiej pochodnej; jeżeli ta wartość jest dodatnią, natenczas funkcya f{x) ma w tern miejscu minimum, jeżeli ujemną, to maximum.

Jeżeliby dla któregokolwiek z tych pierwiastków, druga pochodna była zerem, natenczas zachodzi przypadek wątpliwy, który rozstrzygamy na podstawie wartości następnych pochodnych. Jeżeli pierwszą, nie znikającą pochodną, jest pochodna rzędu nieparzystego, to znak, że funkcya f(x) nie ma w tern miejscu, ani maximum, ani minimum, jeżeli jest nią pochodna rzędu parzystego, natenczas zachodzi maximum, gdy jej wartość jest ujemną, a minimum, gdy jej wartość dodatnia.

8. Postępowanie powyższe stosuje się nie tylko do funkcyi całkowitej wymiernej, lecz także do wszystkich funkcyj, mających funkcye pochodne.

Skoro bowiem dla danej funkcyi y=/(a?), która ma pochodną y =/'(#), jest w pewnem miejscu: f‘(x)=0, natenczas jest w tern miejscu różniczka tej funkcyi: dy=f‘(x) dx, także zerem. Jeżeli różniczka ta jest ze zmianą wartości zmiennej niezależnej x, także zmienną, natenczas druga różniczka :

d²y =f“(x). dx²,

będzie dodatnią, skoro /"(æ)>0, a ujemną, jeżeli /'"(.£)<0, niezależnie od

znaku różniczki dx. Funkcya f(x) ma więc, w tem miejscu x: w pierwszym przypadku minimum , a w drugim maximum.

W przypadku /"(&)= O, rostrzygają widocznie dalsze pochodne , jak przy funkcyi całkowitej wymiernej.

8. Przykłady. 1) Znaleść maximum, lub minimum funkcyi całkowitej wymiernej 3-go stopnia : /(#) = 2#³ — 15#² -j- 36# — 23.

Mamy tu : /'(#) = 6#²—30# -j- 36, /"(#) = 12#—30, /"'(#) — 12.

Kładąc /'(#) — 0, otrzymujemy równanie drugiego stopnia:

6#²—30#-)-36 — 0, czyli: #²— 5#-)-6 = 0.

które ma dwa pierwiastki: #j = 2, #₂=3. Dana funkcya może tylko w tych miejscach posiadać maximum, albo minimum.

Dla # = 2, otrzymujemy /"(#) = /"(2) ——6, dla # = 3, zaś /"(#) = /"(3)>== + 6. Dana funkcya :/(#) —2#³— 15#² -f- 36# — 23, ma więc dla # = 2 maximum: /( 2) =5, a dla # = 3 minimum : /(3) = 4.

Łatwo zauważyć, że, gdy # rośnie od —oo do 2, dana funkcya rośnie od —oo do +5 (maximum), gdy # rośnie od 2 do 3, funkcya f(x) maleje od 5 do -j-4 (minimum), gdy # rośnie dalej od 3 do oo, dana funkcya /(#) rośnie od 4 do oo.

2) Znaleść maximum i minimum funkcyi ułamkowej wymiernej : y

Mamy tu y'

(#²-)- 1)— x . 2#

1 — #²

—2#(#²4* 1) —4#(1—#²)

(#² + l)²

2#³ — 6#

y"

#²-|- 1*

(#² 4 l)²-(—2#)—(1—#²).2(#² 4-1) .2#

(#²4-l)³

(#² 4-1)

zatem y‘

1 — #²

(#²4-l)²’ y

i—#²

(#²-f l)ł 2#(#² — 3) (#²4-l)³ *

gdy 1—#² = 0, zatem, gdy:

Pierwsza pochodna y‘

a) x = 4-l> b) x = — 1.

Dla x = -\-\ jest y" ujemne, zatem y = */₂ jest maximum.

Dla # — —1 jest y" dodatnie, zatem y =— y₂ jest minimum.

Pierwsza pochodna staje się także zerem, gdy (#²-{- D² = oo, a więc dla # = + oo. Skoro, bowiem, # dąży do granicy nieskończenie wielkiej, jest tedy :

(#² + l)²

staje się zerem

lim

1— #²

x=

oo(*² + l)²

lim

03=00 xi

•4-i)

= lim

lim —- =0, a więc y/₀₀= 0. —00 x

W tym przypadku jest także y" =0, i wszystkie następne pochodne są zerami.

x

Odpowiednia wartość danej funkcyi ułamkowej : y = ^₂-_^ jest tedy:

lim = — lim — =0,

#=00 *

lim

#=

ooæ2+¹ #=00 3:2

a więc także y = 0. Dla # — +00 jest więc y = 0, która to wartość nie może być uważana ani za maximum, ani za minimum.

3) Znaleźć maximum i minimum funkcyi całkowitej niewymiernej: y=x\/x—#² •

3#—4#2 2V/#--lc2 1 y

Mamy tu : y'

= v*

3# —12#² 48#³

V/(# — #²)³

Pierwsza pochodna y' staje się zerem, gdy #=%, a ponieważ w tym razie y" jest

ujemne, przeto jest y= ³/₁₆ y/3 maximum.

3#—4# ²

Dla #=0, mamy y' = Zim .

03=0 2Y/ #— #²

lim

3#

y" = lim y4 # =

O3=o2y/#    #

,*    ._ lim y₄ —

o Y/#³ T —0    y/#

3#

lim ³/₂ y/# = 0 ,

natomiast :

=0

00.

Odpowiednia wartość funkcyi: y = 0, nie może być uważaną, ani za maximum, za minimum.

4) Znaleść maximum i minimum funkcyi ułamkowej niewymiernej : y =

ani

V/(«² 4-#²)³'

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

30

Marûy tu : y‘=

(a² -j- cc^yiî — x. % (a² -f æ²)¹/* .2a;    a² -j- #²— 3a;²

(a² -j- a:²)³

(«² + x²yu

, czyli: if

a²—2a;2 (a²-fa:²)V

zkąd znajdujemy : y''

(a²-(-a;²)⁵/*.(—4a;) —(a²—2a;²). ⁵/2C®² +^²)³/î .2a:

(a² -j- a;²)⁵

_ —4æ(a² -|- a;²) — 5æ(a² — 2a;²)    6a:³— 9a%x

⁼    (a²-(-a;²)⁷/*    ⁼ ~

(a² -(-a;²)⁷/*

czyli y“

3x(2x² — 3a²) (a² -(- a;²)⁷/s

Z warunku «/' = O, otrzymujemy na wyznaczenie a: równanie: a²—2a:² — 0, które ma dwa pierwiastki :

_a V/ 2

Dla pierwszego pierwiastka xl otrzymuje druga pochodna y“ wai-tość ujemną, dla drugiego zaś pierwiastka x₂ wartość dodatnią.

Dana funkcya niewymierna ma więc przy dodatniej wartości swego pierwiastka kwadra-

^jV/3 , dla x = x₂=---[/2, zaś mini

towego , dla x— xt = + —- y 2 , maximum : yx

mum : y₂ = —

Warunkowi y' = 0 staje się także zadość, skoro będzie (a² -J- x²)r°— oo, czyli ce= + oo. Dla tej wartości jest bowiem :

y‘= lim

a² — 2#²

lim

—2x²

cc=oo (a²-j-a;²) /2 x

=oo

cc⁵

—~ 1x171 x=

.. =²

DO

= 0.

Ponieważ w tym przypadku jest także ;?/" = 0 i wszystkie następne są zerami przeto odpowiednia wartość :

y == lim —-!"--------— lim — _

£c=oo \/{a² -j- cc²)³    a;=oo x3    a;=oo 3,2

nie może być uważaną ani za maximum, ani za minimum.

lim

:r, czyli: t/ = 0,

W zastosowaniach jest często maximum, lub minimum już określone warunkami

zagadnienia.

9. Zagadnienia arytmetyczne z zastosowania teoryi maximum i minimum.

1) Daną liczbę a podzielić na dwie części takie, aby iloczyn tych części był maximum. Oznaczmy przez a liczbę daną, a przez x jedną z tych części, wtedy drugą będzie a—a;; iloczyn ich: u = x{a—x) ma być według założenia maximum.

Pierwszą pochodną tego iloczynu jest: w' —a—2x, drugą zaś u“ = — 2. Wartość, dla

której pierwsza pochodna u‘ staje się zerem, jest: *=-“

a ponieważ drugą pochodna

jest ujemna, więc znaleziona wartość x odpowiada istotnie maximum iloczynu x{a—x), a²

równemu —. Ażeby więc rozwiązać zadanie, należy daną liczbę a podzielić na dwie równe części.

Do tego samego wyniku możemy dojść także zapomocą algebry elementarnej.

Z warunku u = x(a—x) otrzymujemy równanie: x%—aa;-f-w=0, które ma dwa pier-

wiastki w postaci: x

a ,-Ala²

“T* Vt—*•

a²

a²

Aby te pierwiastki były rzeczywiste, musi być    a najwyżej «=—, w którym

to ostatnim przypadku jest x — Jest zatem: x = -~ tą wartością, dla której iloczyn u = x{a—x) jest maximum.

Tego sposobu elementarnego, wyznaczania maximum funkcyi u=f(x), który polega na tem , że wartości u , dla których x przechodzi z wartości rzeczywistych na urojone, są rozwiązaniami zagadnienia, możemy zawsze użyć, gdy funkcya f(x) jest funkcyą drugiego stopnia.

2) Liczbę a rozłożyć na takie dwa dodajniki, aby iloczyn m-tej potęgi jednego do-dajnika i «-tej potęgi drugiego był maximum , lub minimum.

467

Oznaczając jeden dodajnik przez x, a więc drugi przez a—x, otrzymujemy żądany

iloczyn :

u — xm (a—x)n.

Iloczyn ten będzie maximum, lub minimum, skoro będzie :

du

— — mxm— i (a—x)n— nx™(a— x)n~¹ = 0, xm—¹ (a—#)«■—1 \m(a—x)—nx\ = 0.

Warunkowi temu stanie się zadość, skoro będzie : albo: 1) x—0, albo: 2) x — a, albo B) m{a—x)—nx—0, a więc:

czyli :

a? = —r—

w-j-w

nie dają ani maximum, ani minimum, skoro wy-

Pomijając pierwsze dwie wartości: x—0 i x=a, które dają minimum: u — 0, jeżeli wykładniki m i n są parzyste,

kładniki m i n są nieparzyste, otrzymujemy dla trzeciej wartości: x=

m-\-n

am

maximum źą-

danego iloczynu: u= (—-,— ) vmĄ-n/

10. Zagadnienia geometryczne z teoryi maximum i minimum.

1) Znaleść prostokąt, któryby, przy danej powierzchni a², miał najmniejszy obwód.

Oznaczając jeden bok prostokąta przez x, otrzymamy drugi bok = -^-, obwód s więc

prostokąta wyrazi się pod postacią funkcyi s = 2 (^x-j-—której minimum mamy wyznaczyć.

W tym celu otrzymujemy warunek:

a st,id: x=“-Szukanym prostokątem jest więc kwadrat.

2) Wyznaczyć rozmiary prostego walca kołowego, któryby, przy danej objętości a3 miał z włączeniem dolnej podstawy najmniejszą możliwą powierzchnię.

Oznaczając promień podstawy przez x, wysokość walca przez y, a jego pobocznicę wraz z powierzchnią dolnej podstawy przez F, otrzymamy: F — 2r.x .y -f- x²k: a że według

ds

warunków zagadnienia: x³x.y=a³, a więc y

a³

—j-, przeto otrzymujemy powierzchnię:

F=

Na wyznaczenie minimum tej powierzchni otrzymujemy warunek :

dF

2a³

dx

a²

-f- 2kx — 0,

skąd otrzymujemy : x —

7*7=-» a więc: y

y 71

jako wymiary żądanego walca, a w końcu F=Qa²^//r. , jako jego powierzchnię.

3) Z okrągłego kloca drewnianego wyciąć najmocniejszą belkę o przekroju prosto-kątnym, wiedząc o tern, że wytrzymałość belki na zginanie, przy tej samej długości, stoi w prostym stosunku do jej szerokości, a w kwadratowym do jej wysokości.

Oznaczywszy przez x szerokość, a przez y wysokość przekroju belki, otrzymamy na wyrażenie jej wytrzymałości na zginanie, wzór:

P — h. xy²,

gdzie h jest stałym spółczynnikiem, z doświadczeń uzyskanym.

Jeżeli oznaczymy przez r promień przekroju danego kloca, natenczas będzie: y = \/ 4r²—x², zatem otrzymujemy: P=kx(Ar²—x²), jako funkcyę , która ma być maximum. Celem wyznaczenia odpowiedniej wartości na x otrzymujemy warunek:

dP

= fc(4r²—x²)—2 kx² = 0,

czyli: 3x² = 4r², skąd otrzymujemy: x = ²/₃r\/ 3, jako szerokość ; y = ²/₃rV/6, jako wysokość; P= k . r³ V/3 , jako wytrzymałość żądanej belki.

B‘C‘ — sin(x -j- dx), zaś 0C'—cos(x -f- dx). Kładąc, w myśl określenia różniczki danej funkcyi : sin (x-\- dx)—sin x = d sin x, cos(a;-{- dx)—cos x = d cos x, otrzymamy z rozważania fig. 263.: DB' = dsinx, zaś BD — CC ‘ = — d cos x.

Z trójkąta BDB' prostokątnego w D, otrzymamy tedy, uwzględniając , że: "^BB'D = '^(l_AOB, następu-A jące relacye :

Fig. 263.

0)

4) Dane są dwa boki trójkąta a i b, który z trójkątów, z nich utworzonych, ma największą powierzchnię.

Oznaczając przez y kąt zawarty między bokami a i b trójkąta, otrzymujemy jego powierzchnię :

ab

A = — sin y.

a to , jak wiadomo

Powierzchnia ta będzie maximum, skoro będzie siny maximum z goniometryi, staje się dla y = 90°.

Ze wszystkich trójkątów utworzonych z danych dwu boków a i b ma więc trójkąt prostokątny największą powierzchnię.

11. Zastosowanie zasad rachunku różniczkowego do funkcyj goniometrycznycli. Geo-metrya elementarna, wprowadzając do pomiaru kątów liczby bezwzględne, jako stosunki dwóch długości, łuku do promienia, cechujące wielkość kąta, wyróżnia jeszcze

stosunki, pozostające w związku z temi liczbami, i na-zvwa je funkcyami goniometrycznemi. Oznaczając przez x, wielkość danego kąta, t. j. liczbę podającą długość łuku, odpowiadającego temu kątowi, mierzoną promieniem tego łuku, odróżniamy sześć funkcyj gonio-metrycznych: sin x, cosec, tanga:, cotgec, sec a:, cosec cc. Jedna z tych funkcyj wyrachowana dozwala już wyznaczyć wszystkie inne (art. 11. str. 15.).

Nie wchodząc na razie w kwestyę obliczania wartości którejkolwiek z tych funkcyj , gdy znaną jest liczba x, podająca długość odpowiedniego łuku, mierzoną jego promieniem , przypominamy, że każdą z tych funkcyj możemy przedstawić geometrycznie, jako długość odcinka, skoro przyjmiemy pewien promień za jednostkę, jak na fig. 262.

inne

coU*

<>

»

Fig. 262.

Zauważymy przeto, że wszelka zmiana wielkości kąta, czyli wszelka zmiana liczby a; wywołuje zmianę wartości dotyczącej funkcyi goniometrycznej.

Niech będzie w danym kącie AOB, promień OA — 1, zaś AB — x, jako miara kąta AOB (fig. 263.) natenczas otrzymujemy .6(7= sin a, OC—cosx.

B’

Pomyślmy sobie, że kąt AOB wzrasta o kąt nie-

źe liczba x wzrasta

D<-

\B

skończenie mały BOB', czyli o liczbę nieskończenie małą dx, którą uwidocznia łuk BB'—dx, natenczas zmienią się także funkeye gonio-metryczne sin i cos kąta tak zmienionego.

Mianowicie będzie tedy :

DB' = BB' .cos BB'D, BD = BB' .sinBB'D, czyli d sin x = dx. cos x, zaś —d cos x = dx. sin x. Tym sposobem otrzymamy różniczki funkcyj goniometrycznych sin x i cos x w postaci : d sin æ = cos x. dx, d cos oc = — sin x. dx,

a stąd, stosunki różniczkowe :

d COS TC

sin x,

czyli pochodne funkcyj sina: i cos a: względem zmiennej x, określone wzorami:

(sin £c)'= cos x, (cosx)' = — sin x.

;- == COS X,

dr

dx

(«')

(O

Biorąc pod uwagę zmiany funkcyj tangx i sec a:, kąta AOB, którego miarą jest łuk

AB = x, o promieniu Od. = l, (fig. 264.), gdzie:

AE = tanga;, 0E= sec x, i przyjmując BB' = dx, otrzymujemy:

EE' = d tang x, a GE' — d sec cc,

E’

fi

B’

skoro 0E= OG.

Z trójkąta EGE‘ prostokątnego w G, w którym -£E'EG=XAOE,

otrzymujemy tedy relacye :

EG = EE. cos EEG, GE' = EG tang E'EG, z których wynika, że:

JE'ćr=(Ztanga3.cosa5, d sec x=EG tang x,

FC?

a więc: dtangx =-, d sec x = EG. tang x,

COS OG

Fig. 264.

a że z porównania łuku EG, z lukiem BB' wypływa, że

sec a:

EG OE

BB' OB

a więc :

przeto otrzymuj emy : d tang x = Wiedząc, że sec a:    ^

EG = sec a;. BB‘ =sec x. dx,

sec a;

cos x

cosx ’

tang x=

. dx, dsecx=secx .tangx ,dx.

sin x cosx

dtawgx

dx

, dostajemy stąd wzory: sin x. dx

COS²£C ’

d see x =

(P)

cos²te ’

podające różniczki funkcyj goniometrycznych tanga: i sec a;, skąd wynikają stosunki różniczkowe :

dtang x

dx

COS²CC ’

dx

sin x

COS²£C ’

(V)

zatem pochodne funkcyj tang x i sec x, określone wzorami :

(tang x)‘ =

(seca,)'=

sin x

COS²CC *

(i")

Rozważając podobnież zmiany funkcyj cotanga: i cosec a:, kąta AOB, którego miarą

jest łuk AB=x o promieniu Ch4=0.ff=l, (fig. 265.), a przytem :

'\F

HF = cotg x, OF = cosec x,

i przyjmując BB'—dx, otrzymujemy:

FF ' = — d cotg x, GF‘ = — d cosec x, skoro zakreślimy łuk GF promieniem: OF=OG. Z trójkąta FF‘G, prostokątnego w G, otrzy-

mujemy :

a zarazem :

FG — FF'sin FF'G, FG= GF' .tang FF'G,

czyli :

FG = — d cotg x. sin x, FG = — <2 cosec a:. tg a:, FG

skąd: dcotgx

Fig. 265.

sin x

, <żcoseca: =

FG

tg a; ’

a że :

FG

OF

cosec x

BB' OB

a więc :

FG = cosec x. BB' = cosec x. dx, cosec a:. dx

d cotg a;

czyli różniczki funkcyj cotg x i cosec x w postaci :

sina:

, dcoseca:=—

cosec x. dx

tg a:

przeto otrzymujemy:

d cotg x =

a stąd , stosunki różniczkowe :

d cotg a?

dx

sin² x

; d cosec x— —

cos x. dx

sin²ic ’

Xe)

d cosec æ

cos a?

dæ

sin²a? ’

dx

sin²a? ’

a więc funkcye pochodne :

(cotg-xy

SÄ¹ (C0S6C =

COS X

sin²a?‘

(«")

Tym sposobem wyznaczyliśmy wprost, z rozważań geometrycznych, opartych na określeniu i własnościach funkcyj goniometrycznych, wpływ, jaki nieskończenie mała zmiana łuku wywiera na zmianę którejkolwiek z nich, a zarazem przekonaliśmy się, że nieskończenie małe zmiany łuku wywołują też nieskończenie małe zmiany funkcyi, czyli, że funkcye goniometryczne są funkcye ciągłe ; wyznaczywszy przytem różniczki funkcyj goniometrycznych, wywołane różniczką łuku, jako zmiennej niezależnej , doszliśmy też do pochodnych tych funkcyj, które są nowemi funkcyami, złożonemi z funkcyj goniometrycznych.

12. Do tych samych wyników możemy dojść także drogą analityczną, bądźto metodą granic , na tle określenia :

df(x)

— lim dx Acc=0

/(®+ A®) — /O)

Ax

bądź to metodą różniczek na tle określenia :

df 0) = f(x + dx) — f (a?),

skoro, nieznając ogólnego sposobu rachowania wartości tych funkcyj , oprzemy się na własnościach tych funkcyj , znanych z elementarnej goniometryi.

Wiedząc, że każda z elementarnych funkcyj goniometrycznych da się wyrazić algebraicznie, jako funkcya wymierna, lub niewymierna jednej z nich , zauważymy, że dość jest w tym celu zbadać jedną tylko funkcyę pod względem jej ciągłości i różniczkowalności. Weźmy n. p. pod uwagę funkcyę: y=sincc.

Że ta funkcya jest ciągłą , przekonywamy się z wartości :

Ay = sin (x -f- Ax) — sin x,

która maleje wraz z Aa? i może stać się mniejszą od wszelkiej dowolnie małej liczby i mniejszą pozostaje, dążąc wraz z Aa; do zera. Czy ta funkcya jest różniczkowalna, t. j. czy ma funkcyę pochodną, poznamy ze stosunku różnicowego:

ty sin (x-{- Aa;)—sina;

2 cos

(■+£)

Aa;

sin

Aa;

Aa;

Aa;

Aa;

=cos

sin —

(*+ 2*) Aa;

który, gdy Aa; dąży do zera, otrzymuje wartość:

^2

lim

ty

Ax—0

Aa;

= cos x . lim

““T

Asc=0 te

A.r

Oznaczmy dla uproszczenia -^ = a, natenczas zauważymy, że istnienie granicy dla A sin cc

stosunku różnicowego ——— zależy od granicy stosunku :

Stosunek S*n<X, w którym a jest miarą łukową kąta, jak wiemy z goniometryi, co oc

zresztą wynika wprost z figury 262., jest wogóle mniejszy od jednostki, skoro a jest różne od zera, zbliża się zaś coraz bardziej do wartości 1, gdy a nieograniczenie maleje, osiągając granicę 1, dla <x=0. Możemy więc położyć:

sina

sina

—, gdy a

a

= 0.

lim

,    .. sin dx

x>czyh:

ce=0

wyrażając to słowami, że: sinus nieskończenie małego łuku <2a, jest równy temu łukowi:

sin<7a — da.

Na tej podstawie otrzymujemy stosunek różniczkowy :

A®

dy

ty

= lim — — cos x . lim dx Ax=0Ax

Ax=0 te

— GOSX,

a więc: czyli :

d sin x

COS X , d sin x = cos x . dx.

dx

(«)

(«')

Przekonawszy się w ten sposób , że funkcya f/ = sin#, jest funkcyą ciągłą i różniczko-walną taksamo, jak funkcya całkowita wymierna, możemy już to samo wypowiedzieć o wszystkicli innych funkcyach geometrycznych, jako jej funkcyach algebraicznych, kształtu:

sin x

COS X

= V/l—sin²#, tg#

V/1 — sin² x ’

sec x

cotg X

\/1—sin² x

cosec x

Y/1—sin² x

Możemy też wyznaczyć różniczki i pochodne funkcyj goniometrycznych, niezależnie od innych metodą granic, lub metodą różniczek , albo z różniczki jednej, na podstawie podanych wzorów, wyrachować różniczki pozostałych.

sin#

sin#

13. Różniczki i pochodne elementarnych funkcyj goniometrycznych.

1) Niech będzie y = sin#, gdzie zmienna niezależna#, przedstawia wielkość kąta , mierzoną lukiem o promieniu 1.

Zmieniając # o dx, otrzymamy na wyznaczenie różniczki dy—dsin#

wzór :

dy=sin (# + dx) — sin #.

Korzystając z własności funkcyj goniometrycznych (art. 15. str. 16.)? otrzymujemy stąd :

dy=sin # . cos dx-\-cos #. sin dx—sin#.

z zerem, na-

Jeżeli dx jest lukiem nieskończenie małym, graniczącym tenczas możemy położyć :

cosd#=l, sin dx=dx.

Wobec tego otrzymujemy:

a więc :

dy=sin # + cos # . dx—sin#=cos# . dx,

Æ(sin as)=cos as. dx,

<2 (sin as)

dx

cos as.

(15)

2) Niech y=cos#, tedy będzie:

dy=cos (# + dx)—cos#,

skąd, na mocy własności funkcyj goniometrycznych, otrzymamy :

przeto będzie :

dy=cos # .cos dx—sin#.sine?#—cos#,

a więc :

dy=cos #—sin# . dx— cos#=—sin# . dx,

râ(cosas)

<Z(cos as)=—sin as. dx

dx

=sin as.

(16)

3) Niech y=tgx, tedy, na mocy określenia funkcyi tg#, mamy: y

sm#

cos# ’

skąd, stosując prawidło różniczkowania ilorazu dwóch funkcyj, otrzymujemy:

dy

cos # . d(sin #)—sin #. ćź(cos #)

cos²#

a stąd, na mocy wzorów (15) i (16) :

cos#.cos#.(2# + sin#, sin#ć?#    (cos²#4-sin²#)dx    dx

dy=

cos²#

cos²#

cos²#

przeto :

d(tg as)

d tgas _    1

cos²as’ das cos²as '

das

(17)

4) Niech y=cotg#, tedy mamy: y=—: różniczkowania ilorazu :

cos#

sm #

a stąd : na mocy prawidła

dy

sin#. d(cosx)—cos#.^(sin#)

sin²#

czyli : dy

sin x . sin x dx — cos x. cos x dx

(sin²# + cos²#) dx

dx

sin²#

sin²#

sin²#

a zatem :

Æ(cotg æ)= —

dx    d( cotg x)

sin²ûc

dx

sin²æ'

5) Niech y = seca;, tedy mamy y=—^ widia różniczkowania potęg danej funkcyi :

dy— — (cos#)-:² ,dcosx= — (cos a;)⁻². — (sina:). dx

= (cos#)⁻¹, a stąd, na mocy pra-

sin x. dx

cos²x

a zatem :

sinx.dx d(secx) sinx dx cos²æ’

cZ(see x)

6) Niech y=cosec#, tedy mamy y — —.-

sin oo

cos²æ

(sin x)

a stąd :

(19)

dy=— (sina:)⁻² . dsin#= —(sin#)⁻².cos x .dx= —

cos x. dx

sin²#

a zatem :

d(cosecx)

cosx.dx d(cosec a:)

cosæ

sin²a?

(20)

sin²af

14. Różniczki i pochodne elementarnych funkcyj cyklometrycznych.

W związku z elementarnemi funkeyami goniometrycznemi pozostają , jako funkeye odwrotne (por. art. 19. str. 344.), nowe funkeye elementarne, zwane funkeyami c y kl om e t r y c z n e m i.

Jeżeli, w szczególności , między zmiennemi x i y zachodzi związek : #=siny, tedy jest także y pewną funkcyą zmiennej #, mianowicie jest y lukiem, dla którego funkeya goniometryczna : sin ma wartość x, co oznaczamy wzorem: «/=arc(sin =#), albo krócej : y— arcsinx.

W myśl tego określenia sześciu funkeyom goniometrycznym odpowiada sześć funkcyj cyklometrycznych, które oznaczamy kolejno znakami : arcsin#, arccos#, arc tg#, arccotg#, arc sec#, arc cosec#.

Każdą z tych funkcyj możemy przedstawić geometrycznie na podstawie fig. 262., jako luk koła o promieniu 1, jeżeli # przyjmiemy, jako wartość odpowiedniej funkcyi goniometrycznej.

Nieskończenie mała zmiana wartości funkcyi goniometrycznej wywołuje odpowiednią nieskończenie małą zmianę dotyczącego łuku, czyli różniczkę dotyczącej funkcyi cyklometrycznej. Wyznaczmy po kolei różniczki i pochodne elementarnych funkcyj cyklometrycznych.

1) Niech będzie y = arcsin#, tedy możemy ten związek napisać także w postaci: #=siny, skąd na mocy wzoru (15) otrzymujemy:

dx

dx=cosy dy, a stąd: dy

dx

cos y

Jeżeli siny=#, wówczas jest: cosy=Vl —sin²y= V/1—#², będzie zatem:

dy —

dx

Vl-x²’

Otrzymujemy zatem wzory : d( arc sin#)

dx diarc sin #)

Vl —x²

określające różniczkę i pochodną funkcyi arcsin#.

dx

Vl—x²

te

— 473

Zauważyć też musimy, że pierwiastkowi kwadratowemu należy nadać znak dodatni, gdy cosy jest dodatnie, a ujemny, gdy cosy jest ujemne.

2) Niech będzie y=arccosa?, tedy jest æ=cosy, a więc dx=—siny.c?y,

zatem : dy = —

Jeżeli cosy = a?, wówczas jest siny=\/l—x², wobec tego otrzymujemy:

siny ’

dy = —

dx

V l—x²

zatem :

^(arccosa:)

dx

d (arc cos x)

Vl-x¹

dx

V1—æ²

(22)

3) Niech y=arctga?, tedy mamy a?=tangy, a stąd: dx

dy=cos²y .dx.

Jeżeli tangy=a?, wtedy:

dy

cos²y ’

przeto :

sec²y=l + a?², cos²y= —

1 "I" X

wobec tego otrzymujemy: dy =

dx

czyli:

d(arctanga?)

1 + x²’ dx d (arc tang x)

T+lc²’

1 + a?²'

4) Niech y=arc cotg a?, tedy mamy a?=cotgy, skąd otrzymujemy:

dx

(23)

7    dy

dx =--;—«—

sin Ly

Jeżeli cotgy=a?, tedy cosec²y= 1 -fa?², sin²y = Y^x2 muj emy : dy =

a więc: dy= — sm²y.dx.

wobec tego otrzy-

dx

1 + a?²

czyli :

d (arc cotg x) = —

dx d (arc cotg x)

1-j-a;²

dx

1 + #²'

(24)

5) Niech y=arc sec a?, tedy mamy: a?=secy, skąd otrzymujemy:

dx=

smy

cos²y

Jeżeli sec y= a?, tedy cosy=—

x

otrzymujemy : dy —

dy, przeto: dy— — sin y— \j 1 —

cos² y

sin y

dx

xVx²—l ’ d(arcseca?) =

czyli :

xVx²—1

,dx.

^ • wobec tego

x²

d (arc sec x)

dx

x\/’x²—1

(2B)

6) Niech y=arc cosec a?, tedy zmamy a?=cosec y, skąd, otrzymujemy:

dx= —

cos y

sin² y

dy, przeto dy= —

sin²y

dx.

Jeżeli cosecy=a?, wtedy siny=— muj emy : dy=

cos y =

cos y

wobec tego otrzy-

dx

xVx²— 1 cZ(arc cosec x) = —

czyli :

dx

df(arc cosec a?)

xV x²—1

dx

xVx²—1

- 474

Tym sposobem, opierając się na wzorach o różniczkach i pochodnych fnnkcyj goniometrycznych, wyznaczyliśmy różniczki i pochodne fnnkcyi cyklo-metrycznych.

15. Różniczki i pochodne fnnkcyj, złożonych z elementarnych funkcyj goniometrycznych, lub cyklometrycznych. Korzystają różniczki, lub pochodne elementarnych funkcyj goniometrycznych, tudzież cyklometrycznych , możemy na w art. 10—18. (str. 439—444.), wyznaczyć różniczki i pochodne wszelkich funkcyj , utworzonych za elementarnych funkcyj goniometrycznych, lub cyklometrycznych, bądźto w połączeniu z funkcyami algebraicznemi.

wzorów, podających

mocy prawideł różniczkowania, podanych

pomocą działań algebraicznych , bądźto z samych

Przykłady. Daną jest funkcya: l—tgas

1) y

sec#

, znaleść Otrzymujemy tu :

dy

sec x.d(A—tg#)—(1—tg x) d sec#

sec²#

a więc :

—sec#, sec²#—(1—tg#) sin#sec²# sec²#

= (—sec #—sin#-f-sin²#sec#) dx — = — [sin#-j- cos²#sec x\dx=—(sin# -j- cosx)dx,

dy

dx =

przeto :

dy

2) Dana funkcya: y — arc sin 1— #² •

— (sin # -j- cos #). , znaleźć

1— #²

1-f #²

dy

dx

Kładąc

1-p#²

u, otrzymujemy: y — arcsin«, a więc: dy

du

Y/l -u²

a że :

du

(1 -f- #²) . (—2#)— (1—#²). 2#

1—u² =

(l + a>*)2—(1.—a?a)2

(1 +#²)²

dx — —

4#

4#²

(1 -j- #²)²

dx: zaś:

2#

(1+#²)²

(1-|-#²)²

1 + #²’

przeto otrzymujemy :

1-j-#²

(l-f-:#²)² '    2#

3)*/ = (4#³—24#) cos#-{-(#⁴—12#²4-24)sin# , znaleść —

Otrzymujemy tu :

dy — (4#³—24#) — (sin#) .cż#-j-cos# (12#² — 24)dx + (#⁴—12#² -{- 24) cos xdx -f- sin#(4#³—24#)^#, skąd wypływa :

dy =

4#

,dx

2 dx

1-j⁻ #²

, zatem :

dx

dx‘

1+#²'

dy = xicosx.dx, a więc

dy

dx

= #⁴cos#.

16. Maxima i minima funkcyj, złożonych z funkcyj goniometrycznych i cyklometrycznych. Przekonawszy się, że funkcye goniometryczne i funkcye cyklometryczne mają pochodne, możemy, w myśl zasad głównych, podanych w art. 7. str. 464., wyznaczyć maxima i minima danej funkcyi goniometrycznej, cyklometrycznej, lub z nich złożonej. Okażemy to na kilku przypadkach.

1) Niech będzie : y = sin #.

Dla tej funkcyi otrzymujemy y‘= cos#, y“ = — sin#. Wobec tego, jako warunek istnienia maximum, lub minimum tej funkcyi, otrzymamy równanie: y‘ — cos# =0, któremu stanie się zadość, skoro będzie:

(2n -j- 1)tc

371 Ö7C ~2 ’ ~2 ’

(2w-f- 1)71

# — -g-, lub —

Dla tych wartości będzie druga pochodna: yu = — sin    — l)»+i , będzie

więc miała wartość ujemną, gdy n jest parzyste, a dodatną, gdy n jest nieparzyste,

(An-^-S)⁷^    jatiejkolwiek całkowitej

czyli, skoro : #

(» = 0, ±1, ±2,...).

(4n 4- l)jt

, a dodatnią , gdy #

czyli ujemną, gdy # liczby n. Wobec tego otrzymuje funkcya y = sin#:

— 475

dla x

(4n 4-l)⁷⁷

maximum: y — Ą-l, a dla x

(4n -f- 3)rc

minimum: y=—1.

2) Znaleźć maxima i minima funkcyi : y = atgx 5 cotg as.

a sin ²as—b cos²as

Mamy tu :

y'=

r=

cos²as    sin² as

2 a sin x 2 b cosas

sin²ascos²as

2 (a sin⁴ a: -j- b cos⁴as)

cos ³as

sin³as

sin³ascos³as

Z warunku y* — 0, otrzymujemy:

sin²as cos² as

malną:

JT»’ a wi«° tga’⁼V"S"

Dla tej wartości, ya otrzymuje wartość dodatnią, zatem dana funkcya wartość mini-

os² -j- &²

2/m.in —

ćwiczenia XXXV.

Zbadać, dla jakicli wartości zmiennej niezależnej as, rosną, a dla jakich, maleją

następujące funkcye:

1) y = axn. 2) «/= osas⁷¹ 4“    3) y = ax2r 4* bx. 4) y = aas^+i 4~ bx. 5) y = ax2rbx-\-c.

6) «/ = aas^b¹ 4“ 0x4“ c* 7) y — a(x2r 4- &asr-j- c. 8) y—ax-\-b. 9) «/ = aas² 4~ bx 4“ c-10) y = axz-\~bx²coc d. 11) y — a{x—a). 12) y = a(as—a) (cc—ß). 13) «/ = a(as—a)².

14) «/ = a(as² — a²). 15) y — a(as² 4- a²)* 16) «/ = a(as—a) (as—ß)(as—y). 17) y = a(x — a)³.

18) y=a(x—a)²(as—(ś). 19) y=a{x³—a³). 20) «/ = a(as³ 4- a³)- 21) «/ = a(as²—a²)(as—ß).

22) i/ = a(as²4~ a2)(as—ß). 23) y — a(x—a)⁴. 24) «/=a(as²—a²)². 25) «/ = a(as² 4" a'²)2< Wyznaczyć maxima i minima następujących funkcyj wymiernych i ich przebieg, gdy as rośnie od —oo do + co.

26) «/ — as²—as. 27) y = x—as². 28) y = as²4- as. 29) «/—as²—2as. 30) y=2x — a;².

31) «/=as²4~2as. 32) «/=as³—as². 33) «/ = as³-|-as². 34) y= as²—as³. 35) «/ — as³—3as.

36) y=3as —as³. 37) «/ = as³4-3as. 38) </ = as³-]-as² 4- as. 39) «/ = as³ 4-as²— *•

40) «/= as³—as² 4-41) y — x³—as²—as. 42) «/ = as4-as²—as³. 43) y — x—as²—as³.

44) «/=as⁴—as². 45) «/ = as⁴ 4-as². 46) y — x²—as⁴. 47) y=xi—4as. 48) y= 4as4~as⁴.

49) </=as⁴-f- 4as. 50) y—xi-\-x³-\-x². 51) «/ = as⁵. 52) «/ = as⁵—as².

⁵⁷ ) ^*    as²-]-!"

53) «/=as⁵—as³. 54) «/ = as⁵—a:⁴. 55) y —    ^    . 56) y = -2—p*

⁵⁸). = ^- 69)«/

as

60) «/ =

as

(as² 4- l)² •

(as²—l)²

Wyznaczyć maxima i minima następujących funkcyj niewymiernych:

61) «/= y/as—1. 62) «/ = \/^²+l. 63) «/= y/a;²- 1. 64) «/ = y/as²-as. 65) «/=y/as³—1.

66) y=\Zrf^c. 67) «/ = y/as³—as². 63) «/ = y/as⁴-l. 69) «/= y/as⁴-as. 70) «/=V/as⁴— a:².

71) «/=y/as⁴— as³. 72) «/= —i--

Vas²—1

—7===- 74) y y/as²4-1

Wyprowadzić następujące wzory różniczkowe :

76) <2[sin/(as)] = cos / (as). df(x). 77) d? [cos/(as)j = — sin/(as). df(x).

df{x)

cos²/(as) df(x)

78) d[tg/(as)] =

. 73)«/ =

—75) «/= y/as²—1

y/a:² 4-1*

= [1+ tga/(æ)].d(a:).

79)    e£[cot/(as)]=—

80)    eü[sec/(as)]

Wykazać, że dla:

82) «/=sin —; ^ = — cos—. 83) y =

J *    a : dx a a J J

, x dy 1    „ as    , as

84)y=tang-; -=_Seo'~. 85)<,=cotg-

sin²/(as) sin/(as)

cos ²/(as)

— [cotg²/(as)].d/(as).

,df(x). 81) d[ cosec/(as)] =—

cos/(as)

sin²/(as)

df(x).

cos —

x dy 1    . as

— :    =--sin—.

dx

<t

;    --i- cosec'—.

aas    a    a

CC

86) y—sec

dy

dx

o x

cos,2,—■

x dy

. 87) y — cosec — : ~ a dx

cos —

a . „ x sin²—

oo\ ł , /z- dy [sec\/l —«]²

88)    y = tang VI - x ; / =L-

dx 2V/1-*

89) ^/ =

(sin nx)m (sinmx)n ’

90)    y — sin (ax -[- b) ;

91)    y = cos {ax -f- b) ;

92)    y = sin (xm) ;

98) y = (sincc)™ ;

94)    y = sin (sin x) ;

95)    y =Y/1 -J- sin 2x ;

96)    y—y/1 — sin 2x ;

97)    y — x — tang x -j- */₃ tang³cc ;

98)    y = 4seccc — % sec³ x—tg³cc sincc; (Zy = sin cc tang⁴ cc. dx.

99)    y = y₂ cc — y₂ sin cc cos x ;

100)    y— y, cos²cc sin cc -f- ²/₃ siwce ;

101)    y=tgcc -|- sec cc ;

dy    ww(sinwcc)«—1 sin (mcc — »cc)

dx

(sin mce)w+l

dy = a cos (ax b). dx. dy=- — a sin (ax -j- b). dx. dy = mxm~i cos (cc”¹). dx. dy = m (sin cc)”*—¹ cos cc . dx. dy — cos (sin cc). cos cc. dx. dy == (cos cc — sin cc) <Zcc.

dy — (cos cc -j- sin cc) dx. dy = tang⁴ cc . dx.

dy — sva^x . dx. dy = cos³ x. dcc.

cos x

(1 — sin cc)²

102) y = sin ax ;    sin ^acc -)-    103) y =

dcc²

(*”+?)•

dny ’ <7cc”

Wyznaczyć maxima i minima następujących funkcyj goniometrycznych :

104) y = sin cc cos cc. 105) y— cos{2tz-\-x\/ii— cc²).

tg³ cc tgBcc

109) y — sin”* cc. sin” (a—cc). 110) y = sin cc . cos (a—cc). 111) y=ccsincc.

112) Liczbę a rozłożyć

przez pierwiastek kwadratowy z iloczynu obu dodajników był maximum, lub minimum.

118) Liczbę a rozdzielić na takie dwie części, aby suma S z podwójnej jednej części i potrójnego pierwiastka sześciennego z kwadratu drugiej części była maximum, lub minimum. 114) Wyznaczyć ułamek, który przewyższa swoją »-tą potęgę o największą różnicę.

106) y = sin

na

115) Wykazać, że iloraz :

cos a cc

an cos

. 108) y — sin cc (1 -|- cos cc).

dwa dodajniki tak, aby iloczyn P z jednego dodajnika

1 -f- a tg a

116) Wykazać, że wyrażenie: ximum zaś, gdy cc

a²

a —b'

jest maximum, gdy a = cos a. a² .    &²

- posiada minimum, gdy cc

a²

aĄ-b'

ma-

du

117) Jeżeli — = (cc— l)(cc—2)²(cc—3)³, wyznaczyć, dla jakich wartości cc funkeya u

dx

posiada maximum, lub minimum.

118)    Przez punkt P(a, b), odniesiony do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y, poprowadzić prostą MM' tak, by suma odcinków, jakie ta prosta wyznacza na osiach układu, t. j. suma: s =» OM -|- OM' była minimum.

119)    Przez punkt P{a, ó), (zag. 118.), poprowadzić prostą MM' tak, aby powierzchnia trójkąta MOM' = A była minimum.

120)    Przez punkt P(a, b) (zag. 118.) poprowadzić najkrótszą prostą MM'.

121)    Dany trójkąt ABC podzielić na dwie równe części zapomocą najkrótszej poprzecznej MM'.

122)    Na kole o promieniu r opisać trójkąt równoramienny o minimalnej powierzchni A.

123)    W trójkąt o podstawie a i wysokości h wpisać prostokąt o największej po

wierzchni.

124) W trapezie równobocznym ABCD, w którym boki nierównoległe są oba =&, a jeden z boków równoległych = a, wyznaczyć drugi bok nierównoległy tak, aby powierzchnia F trapezu była maximum.

- 477 -

125)    W dany odcinek koła wpisać prostokąt o największej powierzchni F.

126)    Wyznaczyć prosty stożek kołowy, któryby przy danej pobocznicy S miał największą objętość.

127)    W kulę o promieniu r wpisać stożek o największej możliwej objętości.

Rozwiązania XXXV. Wskazówka: 1)—25) rozważać przy rozmaitych założeniach co do stałych spółczynników. 26) y = - % min. dla x= ’/₂. 27) y = i/i max. dla aj=y₂. 32) y = 0 max. dla x= 0 ; y= — y₃ min. dla x =²/₃. 37) ani max. ani min. 44) y=0 max. dlaæ=0,

V/2

y — —y₄ min. dla x — +—-—. 51) y — 0 ani max. ani min. 52) max. dla x=0 min, dla

u

x=\y%l₀' 55) i 56) nie ma. 57) x = 0. 58) x = + 1. 59) nie ma. 60) x = + y₃ \/ 3 . 62) x — 0.

t:. 105) y=V/¹4 min. dla x = y₂\Zn. 106)

—a, min. dla x = a, (a>0). 107) Max.dla a? — “. 108) Max. dla x=~. 109) y max, gdy sin (a— 2x) = ”

— y₂(l—sina), gdy x = ~

63) nie ma. 104) y — y₂, max. dla x

dla x—

n-\-m

max

a iz

2" + T; V min-:zz:-

—. 111) y max. skoro x= — tgx, czyli dla « = 116°, 14', 2P3".

sina. 110) y max. = y₂ (1-j-sin a) dla x

2    4 '

112) 3:1, Pmax. = ³/lca²\/8. 113) a—1, 1, S max. = 2a-f 1. 114)^—^

. 117) max. dla x — 1

V/n

min. dla x=3. 118) Kładąc OM—a = cc, otrzymamy s min. =(V/a -f- \/b )², gdy x 119) A min. =: 2ab sin y, gdy x = b. 120) Warunek : x³-~ a cos y .x¹ -f- ab cosy. x — a² b — 0.

V ab.

121) Kładąc AB=c, BO=a, CA=zb i AM~x, otrzymamy dla £C= najkrótszą poprze-

czną : MM‘=

(a    b—c)(a    c—b)

. 122) A =r² (jtg —---g ) î minimum , gdy kąt środkowy

«—120°, a więc A=³/₂r²Y/3 (trójkąt równoboczny). 123) Wysokość x = hj2. 124) Ozna

czając przez x rzut boku b na jeden z boków równoległych otrzymamy: dla x——    -f-

Y/a² -j-86²

3a+V/«² + Bè²

2ft² — -4 -f- -^-V/a²+8ó² . 125) Wysokość x szuka-

x= y₄ [V/9r²—ó²—3a], Fmax.= y₄[\/9r²—ó²—3a] y/2r²-[-^-{\/9r²—&²—a},

(r promień koła. r—a wysokość, 2b cięciwa odcinka). 126) Promień podstawy æ = V/___

\    3?:

r    32

127) Odległość podstawy stożka od środka kuli x=—, Vmax=^j

i Pmax

•V

nego prostokąta

s\/3

Trr³.

Literatura. P. Fermat. Précis des oeuvres mathématiques de Fermat par Brassine, Paris, 1829. Cauchy. Leçons sur le calcul différentiel. Paris 1829. Cauchy. Vorlesungen über die Differentialrechnung, übersetzt von Schnuse. Braunschweig 1836. Euler. Institutiones calculi differentialis, Ticini 1787. Euler. Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung aus dem lateinischen übersetzt von Christian 1793.

Tematy do rozprawek naukowych :

1)    Metody elementarne teoryi maximôw i minimów z szczególnem uwzględnieniem metod Ferma t’a.

2)    Rozwój pojęcia funkcyj goniometrycznych.

3)    Rozwój pojęcia funkcyj cyklometrycznych.

Wykład XXXVI.

Symbole nieoznaczone i ich wartości graniczne.

1. Symbol nieoznaczony Wartości funkcyj jednej zmiennej niezależnej, utworzonych z danych funkcyj tejże zmiennej, przedstawiają się częstokroć,' dla pewnych szczególnych wartości zmiennej niezależnej, w postaci t. z. symbolów nieoznaczonych, których typem jest symbol g, zwany także nieoznaczonością podstawową.

Symbol §, sam przez się, nie przedstawia żadnej wartości oznaczonej, owszem możemy mu nadać jakąkolwiek wartość «, skończoną, lub równą zeru, będzie ona bowiem zawsze czyniła zadość tej własności ilorazu, że dzielna równa się dzielnikowi, pomnożonemu przez iloraz, gdyż jest zawsze «.0=0, niezależnie od przyjętej wartości a. Inaczej rzecz się ma, jeżeli symbol taki powstaje, jako iloraz dwu funkcyj f\x) i y(x), które w danem miejscu #=«, stają się równocześnie zerami, a więc, gdy /(«) =0 i <jp(a)=0.

= -^-, będzie bowiem granica, do której

tych funkcyj, w miarę, jak wartość zmiennej x zbliża się do tej szczególnej wartości a, dla której obie funkcye stają się zerami.

Wyznaczyć wartość symbolu

Prawdziwą wartością stosunku

dąży stosunek

cp(x)

/(«)

(p{d)

/'(«)

stosunku

f(x)

(p{a)

0 . ,

= -Q- znaczy więc wyznaczyć granicę

(p{x)

, gdy Æ, zmieniając się, dąży do wartości a, a więc wyznaczyć

wartość :

lim

X—

a 90(X) '

Połóżmy x = a-\-h, natenczas stosunek

(p{x)

otrzymuje postać:

. /_(a + h)

(p(a-\- h) '

f{a +ń)

<p(a+h)’

Jeżeli /(«) = 0, a zarazem <p{a) = 0, natenczas możemy położyć: /'0 + ń)_ f(a + h)-f(a) _    _ (p(a + h)—<p(a)

cp(a+h)    (p[a+h) — (p{a)

Będzie więc :

/'(«)

(p{a)

lim

h~ 0

a więc:

f(a)

(p(a)

lim

h=o

/ (a + h) — f(a) (p(a + h) — cp(a)

(1)

- 479 —

Ponieważ jednak dla danych fnnkcyj f(x) i cp(x) jest:

/"'(a), a lim

lim

h—0

f(a+h)—f(a)

(p(a+h) — (p(a)

A=0

cp\a),

przeto otrzymujemy:

f(a) 0 f‘(g)

(f(a)    0    <p‘{ci) *

(2)

A zatem: Jeżeli dane funkcye f(x) i cp(x) dla pewnej wartości x stają się zerami, natenczas stosunek między wartościami tych funkcyj w danem miejscu jest równy stosunkowi między wartościami ich pochodnych w tern miejscu.

n*)

/(«) ^ ° cp{a) O ‘

Jeżeli w szczególności /'(«) = 0, zaś (p'(a) ^ 0, tedy będzie: ^    =0 ; je-

(p{a)

/“'(«) < O, zaś <p'(a) = 0, tedy będzie

Iloraz

(p\a)

przedstawia więc prawdziwą wartość ilorazu

<p(a)

Gdyby jednak przypadkowo było /'(«) =0, a zarazem <jp'(a)=0, tedy otrzymalibyśmy znowu symbol nieznaczony g, którego prawdziwą wartość, na mocy

jeżeli i ten stosunek przy-

poprzedzających uwag, podaje stosunek

/"(«) .

cp“{a)

biera także postać g, natenczas szukamy stosunku następnych pochodnych. Jeżeli tedy w ogólności pochodne, które nie znikają równocześnie w danem miejscu, są dopiero pochodne r-go rzędu, natenczas otrzymamy:

/k-D(a)    0 fr\a) /

^ “ ip<r\a) ’

f{a)    0    f‘(a)    0

0    <p‘(d)    0    ’ ęp(r—¹)(a)    0

cp{a)

(3)

prawdziwą wartością ilorazu

f{a)

cp(a)

będzie tedy wartość ilorazu

/(r) («)

cp(r>(a) *

2. Przykłady. 1) Znaleść wartość funkcyi ułamkowej:

x⁴— x³— 9x² — lia:— 4 x⁴ + cc³— 3x³ — 5x — 2 a:⁴ — x³— 9x²—lia:—4 a:⁴-)- a:³—3x²— 5x — 2

Mamy tu : y —

/-

dla x =—1.

1+1-9+11 — 4    0

1-1—3+5-2 _ O'

Szukając dla x=—1, stosunku między pochodną licznika, a pochodną mianownika otrzymuj emy znowu :

4x³—3x²—18x—11 j ^    4a:³+ 3a:² — 6a:—5 / x=—1

-4—3 + 18—11 _ 0 — 4 + 3+ 6— 5 ~~ 0* Szukamy więc stosunku następnych pochodnych, otrzymamy tedy:

12 + 6-18 _ 0 —1 12-6-6 ~ 0 ’

14a: — 6a; —18 i ^ ⁼ 12a;² + 6a:— 6' x=

a następnie :

24 a: —

24 a: + 6

-/

6 / x—

—24—6 _30__5

-1— -24+1T⁻Ï8— 8'

Dla x=—1 jest zatem:

x⁴—x³— 9a:²—11—4

x⁴ p x³—3x²—5x—2

2) Jaką wartość ma funkcya ułamkowa niewymierna: y —

2V/2x—x2 2—\/2x

dla x=2.

Mamy tu y

2\/2x— x²

— 2 V/2x

4—4 _ 0 2—2 “ 0 ’

Szukając stosunku między pochodnemi licznika i mianownika, otrzymujemy:

2 — 2x\/ 2x

a więc y = 6, jeżeli x = 2.

2 . V₂ (2x)_¹/j.2—2x /

-V₂(2x)-1/j .2    ’ x

= 6.

3) Jaką wartość ma funkcya goniometryczna : y —

sin (a -f- x) — sin (a—x)

cos (a -j- sb) — cos (a—#)

dla x = 0.

Mamy tu

sin(a + x)—sin (a—a?)

æ=o cos (a    X)-—-COS (a—a?)

_ lim cos (« + x) + cos (a —x) __

x—0—sin(a-[-a;)—sin(a—x)    —2 sin a

2 cos a

cos a

sina

— — co tg a

a więc :

sin (a x) — sin (a—x) j cos (a x) — cos (a — x') / x = 0

— — COtg a.

tg x—x

4) Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi : y w postaci symbolu nieograniczonego g.

Kładąc : f(x)=tgx—æ, <d(x)=x— sin*, otrzymujemy : /' (cc)

a:—sin x

przedstawiającą się dla cc = 0

^k-1’ ?'(*)=!-cos*,

a zatem :

/'(O) — 0, ©'(0) = 0, a więc także:

/'(O)    o

m    o •

Dalej otrzymujemy :

2 sina:

lim —?— = 2. x~ocos³x

a zatem prawdziwą wartością funkcyi : y = ——-—, dla x =0, jest y = 2.

x sin x

/"w

cos³»

©"(a:) ==sin x,

/"(*)    2    /"(O)

©"(a:)

cos³x ’ ©"(a:)

3. Symbol nieoznaczony-§§. Jeżeli dla pewnej wartości a? funkcya f(x) = co, a zarazem dla tej samej wartości jest także ®(cc) = co, natenczas iloraz

/O*)

przedstawia się w postaci nieoznaczonej §§-. Symbol ten możemy jednak sprowadzić do symbolu g , przedstawiając w następującej postaci:

iloraz :

. /(*)

®(æ)

/O)

©(a:)

—7-T- = —^: w której jest:    - — O, a zarazem: —^ =—

?(*) *0*0 /(/> ?(*) /(*) ®

0.

Mamy tedy:

f(x) go _ [cp(x)]—i _ 0    _ —[©(a,)]—2 . o'(x)    ©'(a;)

©(a:)⁻co    [/(a:)]“¹    0    “ —[/(a)]“² •/(*)    ~~ f\x)    '

[Ax)V

L- f(x) J

Kładąc :

./(*)

?(*)

-^= A, otrzymujemy powyższy związek w postaci: /'(*)’

J², a zatem : -4

./'(«O

?'(*) ’

Jest więc :

f(x)_cc _/'(*)

© (x) co p '(a:)’

(4)

A zatem : Prawdziwa wartość ilorazu funkcyj, przedstawiającego się dla pewnej wartości zmiennej niezależnej x, w postaci symbolu nieoznaczonego §§-, jest równa wartości, jaką otrzymuje, w tern miejscu x, iloraz pochodnych tychże funkcyj.

Wartość symbolu -§f znajduje się więc w ten sam sposób, jak wartość symbolu g.

4. Przykłady:

i) y

4ce² — éx -f- 5

x² — 8a: -j- 9

! X = co

2) Y/*²-4

2x

/ X <= zo

co

co

Sx —

2x — 8

ili(x²— 4)~¹^. 2x

00

co

-/

8/ x = cc

-2

_»_/

2Y/a;² — 4/ x — cc

zkąd kładąc: ^2a: ^/a;_co”“^’ °trzymujemy: -4 = -^-, zatem A² =

a więc A =+ ^.

Jest więc:

y/a;²— 4 /

2a;    ' x =

= +‘/₂.

co — ^

9)

tg a;

sec a:

f ¹ .

\cos²05

X~~2

sina;

cos ² a:

4-    *

% ~K _£__ oo

(tg o;)'

sec

71

⁰⁰ (sec x

1/

)7

sin x/x _

je

czyli :

lim

tgæ

05=

toj 71

sec a;

= 1.

4)

J/==

aj⁻¹

O*"¹)'

(-i-

2 co tg a;' {B=_ sin² a:

2a:²

/

CC

œ    (2cotgaO'/jp _ ₀

2 sin a; cos a;

4o;

/

05

2cos2x /    1

czyli :

lim

05—¹

0 2 cotg 05

2'

5. Uwaga. Jeżeli dany iloraz :

. /oo

?(*)

przedstawia się w postaci nieoznaczonej g, lub-fg,

g^y æ==o, lub, gdy 05 = 00, tedy, mając na względzie, że chodzi tu o granicę ilorazu w przypadku, gdy a; malejąc, dąży do zera, lub w przypadku, gdy a: rosnąc, dąży do nieskończoności , możemy, w pierwszym przypadku, wszystkie wyższe potęgi zmiennej ar, gra-uważać, jako znikające wobec niższych potęg tej zmiennej, a natomiast

niczącej z zerem

w drugim przypadku, wszystkie niższe potęgi zmiennej ar, graniczącej z nieskończenie wielką wartością, uważać, jako znikające wobec wyższych potęg tej zmiennej.

Tak n. p, otrzymamy:

2o5 — a?² -j- a;³ 2ar

lim ---_

x-0 x — Ba:² — x³

05

2,

zaś :

lim

X~CC X

2ar — 05²-|-a5³    X³    1

— 3o5²4-4o5³    4o?³    4’

W ogólności, otrzymuje funkcya ułamkowa :

a₀xn -|- «io;»—¹ -}-    an—1 ï+fl»

y=

b₀xn -f- blXn~i 4“ ... -+■ bn—1 x -p bn ’

w której licznik jest tego samego stopnia, co mianownik:

* , Cln

a) dla 05 — 0, wartość : — ;

b) dla x = co , wartość: lim

. «i ,    an—l    an

«0 + —+ ..•+^

bn — \

M h -}— -f-.. -)---1 -j⁻ —

0 1 X    05»—¹    xn

₌ «0 bn b₀

Jeżeli funkcya ułamkowa ma kształt :

a₀o5n -f- ax o;«—1 -j-... -f- an—\x-\- an bÿXm byCm ~ i -j- ... -(- bm—-1 x bm

ma, więc, licznik stopnia n-go, a mianownik stopnia m-go, ze względu na zmiennę niezależną x, natenczas możemy ją przedstawić w postaci:

0    1    05    05»

b,

b₀ -f- —r + - +

X

bm

(5)

X™

z której wynika, że dana funkcya otrzymuje dla 05 = co wartość: a) y— oo, gdy m »,

b) y = ~, gdy m = n, c) y = 0, gdy m <n.

6. Symbol nieoznaczony iloczynu: O.ce, lub ao.0. Iloczyn f(x).ę(x) przy-

, skoro dla tej wartości a drugi nieskończenie wielkim. Wartość

biera dla pewnej wartości x, postać nieoznaczoną jeden czynnik staje się zerem, funkcyi , określonej takim iloczynem, daje się w tym przypadku sprowadzić

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

31

do postaci ilorazu nieoznaczonego wyznaczyć sposobami, powyżej podanemi.

Skoro mianowicie dla pewnej wartości zmiennej niezależnej x=a, jest f(a)= 0, zaś qp(a)=go, natenczas otrzymujemy:

oto

którego prawdziwą wartość możemy

f(a). cp(a) = 0 . oo =

f{a)

[?>(«)]'

(6)

Przykłady. 1) Znaleść wartość iloczynu: y=cc.cotgcc dla cc =0. Mamy tu :

-/

t gxl

x = 0    x

2) Znaleźć wartość iloczynu:

y = x cotg x i

-— I    = cos²ec j

-=— /    x t= 0

szcc I

y = tgx.

, dla x = —

Mamy tu :

r.

tgx .

\x~y/

= oo. 0

\X~2

tO' a

cotg X

u (M

=i=cł(-łr^

sin³d

r.

x=2-

sin² x

= Q = œ, a więc: [tgxi^x —

— GO .

X -- —

7. Symbol nieoznaczony różnicy: oo —oo. Różnica f{x)—(p{x) przybiera postać nieoznaczoną: oo—oo, jeżeli dla pewnej wartości # = a, staje się /'(a) = oo , jako też, <p(a) = œ . Celem wyznaczenia prawdziwej wartości tego symbolu, możemy najpierw daną różnicę przedstawić w postaci iloczynu; mamy bowiem :

f{%)—cp(x)=f(x). j^l

(p(x)

/'O*0 J

(7)

. 0>C*O

Iloczyn ten przybiera postać nieoznaczoną: co . 0, skoro iloraz: w przeciwnym przypadku otrzymuje wartość nieskończenie wielką, należy więc wyznaczyć przedewszystkiem wartość ilorazu :

f(x)

<p 0*0

f(x)

przedstawiaj ą-

cego się w postaci nieoznaczonej |f-, wartość różnicy f{x) — cp{x), przedstawiającej się w postaci oo — co . Przykład. Wyznaczyć różnicę: y=tgx—sec cc, dla x—~.

Kładąc : tg x— sec x = tg x ^1

aby na tej podstawie módz ocenić

sec x

lim

tgx sec x

J, zauważymy, że :

lim

tang x

K sina:

mamy zatem : (tg x — sec cc)

x — rj~J

x~~zr

X~ ~2

co — j^tg x ^1

sec cc

tg a:

)1

= oo .0.

Przedstawiwszy więc tę wartość, w postaci symbolu nieoznaczonego g , otrzymamy

1—coseccc

(tg cc— sec cc)

= tga:(l

sec cc

tg cc

= tang cc(1 —coseccc)/

cc = —

cotg cc

cc ==

cosec ~ 0    sin² cc

. sin² cc

=—cosec

= 0, zatem lim (tg cc—sec cc) = 0.

TZ

48S

/    1 \ri    .    .

= ab. Potęga (1 + —I przedstawia

8. Granica

w przypadku, gdy n jest liczbą dodatnią całkowitą, iloczyn n czynników

kształtu: 1 + —, które, w miarę, gdy n rośnie nieograniczenie, dążą do gra-'VI

nicy równej 1, przyczem ilość tych czynników zwiększa się do nieskończoności. Aby wyznaczyć, czy i do jakiej granicy dąży taki iloczyn nieskończenie wielu równych czynników, dążących do granicy równej 1> przyj -

dla n

mijmy najpierw, że wykładnik n notęgi ^1-j---j jest liczbą całkowitą do

rH §

datnią , zresztą dostatecznie wielką. Stosując tedy do tej potęgi wzór Newtona, otrzymujemy:

+ ...+

+... +

wzór, który ze względu na to, że:

n{n—1) (n—2) ...(w —r+1)

nr

możemy również przedstawić w następującej postaci:

(¹⁺0-) ⁼¹⁺n ⁺

(i-4)(i-ł)-(

2!

- (i-— )(i——)

n \ n ) \ n )

~⁺ sT"

+ ••• +

(a)

n\

Jeżeli liczba całkowita n wzrośnie o 1, natenczas otrzymamy podobnie:

1--—

w + 1

(¹⁺i)

n-f-l

, 1

= 1 + TU +

2!

3!

+ •■• +

+ .» +

hdiK¹

—V.. (i — ~—

+ 1/ l n + l)

r\

P- +

(b)

+ ...+

y-(

1-

(n + l)!

Porównywając powyższe rozwinięcia (a) i (b), z których pierwsze zawiera (w + 1), a drugie (w+ 2) wyrazów, zauważymy, że w nich dwa pierwsze wyrazy są sobie równe; trzeci, czwarty, ogólnie (r+l)-szy wyraz rozwinięcia

(b) t. j. wyraz :

jest większy od

(r + l)-szego wyrazu rozwinięcia (a) t. j. od wyrazu:

(r=2, 3,..., w),

a, że, nadto, rozwinięcie (b) ma o 1 wyraz więcej , przeto widzimy, że dla całkowitego dodatniego n jest:

(■+diT>K)'

(«)

potęgi :

Kładąc więc za n kolejno liczby 1, 2, 3, ..., zauważymy, że wartość rośnie.

^1U j ciągle

Tak n. p. otrzymujemy:

— 1, wartość: ^1 —l—=2

(¹⁺4) ⁼

(h4)-S

(¹⁺t) ⁼

(₁₊i)S=,™

dla n

= 2;

dla n = 2,

dla n — 3,

dla n = 4,

dla n—b

dla 10,

dla n —100,

dla n = 1000,    „

1-5² = 2-25 ;

= 2-370570...

625

^ = 2-44140625.

256

3125

2-488...

(8)

(i+£T-

b+àF-

/ 1 \1000

i'+mö) =

l-l‘o= 2-5937...

1-01¹⁰⁰ = 2-7048...

1-001¹⁰⁰⁰= 2-7171...

rosnąc, przy rosnącem w, nie rosną jednak

nieograniczenie, tylko dążą do pewnej granicy, którą osiągają dla n—go.

Uwzględniając bowiem to, że we wzorze (a) występujące różnice:

n    n

najpierw, że wartość potęgi: wartości n, mniejszą od sumy: 14-y-

Wartości potęgi:

x-n-

—-, są wszystkie dodatnie i mniejsze od 1, poznamy

Tl

^1+-^ jest dla wszelkiej, dowolnie wielkiej

to h-

+ I+I + ... + 1.

^3! ‘4!^ ^»!

Ale ta suma jest widocznie mniejszą od sumy następującej:

— + —

2² 2³

Wyrazy tej nowej sumy tworzą, począwszy od drugiego wyrazu: postęp geometryczny, poczynający się od 1, a posiadający stały iloraz równy : a zatem, suma ta jest, na mocy wzoru: (23') str. 407., równą:

-, i i ¹⁺T ⁺ 2 ⁺

2” —

2n‘

1 —-A

1 ¹⁺ 2”-¹

-=1 +2

czyli równą 3— ^

l*

485

Stąd wynika , że potęga choćby największego, mniejszą od różnicy 3—

u

^1 + j jest dla wszelkiego całkowitego w,

a więc mniejszą od

liczby 3.

K)”

Potęga

rośnie więc ciągle wraz z wzrostem liczby dodatniej

całkowitej n, dążąc do pewnej granicy, mniejszej od liczby 3. G-ranicę , do której dąży ta potęga, oznaczamy zwykle literą: e, pisząc:

K)'~

lim

71 — 00

9. Możemy wykazać, że granicą potęgi (l -|- -i) jest liczba e, nie tylko w tym przypadku , gdy m przechodzi przez wszystkie liczby całkowite, lecz także i w tym przypadku , gdy m przechodzi przez wszystkie liczby ułamkowe, rosnąc nieograniczenie.

jest dowolnie wielką liczbą ułamkową, natenczas da się zawsze wyznaczyć taka całkowita liczba n, że będzie:    1, a więc:

a więc także 14- — > 1 4- — 's 1-1___

n ' m ~ n -f 1

Przypuśćmy, że: m — n -|- a = n -j-1—ß, gdzie aipsą ułamkami właściwemi, natenczas

(*+l)-P

Jeżeli bowiem m

mamy :

czyli :

«‘■4)r?>(-4r><o+4,rr

n+1.

(9)

Jeżeli m rośnie nieograniczenie w postaci liczby ułamkowej, natenczas rosną także

liczby całkowite n i n-\-l nieograniczenie, a że granicą potęg: ^1-J-—^ i (l -)---j—^    dla

oo, jest liczba e, a wyrazy 1+ — i l

n-f 1

/ 1 \ ™

G + — ) dla ułamkowych m jest także liczba e.

dążą do granicy 1, przeto granicą potęgi

Do tej samej granicy dąży też potęga (l--^    , gdy m rośnie nieograniczenie.

Jest bowiem :

skąd, kładąc m = 1-1-n, otrzymujemy:

a więc :

Jeżeli m rośnie nieograniczenie, tedy rośnie także n nieograniczenie, a że :

przeto jest także:

lim (^1 -I--^ = o.

w = oo \ n /

zaś

lim

n=ioo

(90

lim

rri—oo

A zatem: Granicą potęgi ^1--^ , gdy n rośnie nieograniczenie, jest zawsze jedna

i ta sama liczba e, niezależnie od tego, czy n, rosnąc do nieskończoności, przechodzi przez liczby całkowite, czy też ułamkowe, dodatnie, lub ujemne.

- 486 -

10. Szukając wartości liczby e— hm (l-j-A^ } możemy się ograniczyć do całkowitego

n—oo \ W /

dodatniego rc, uważając ją jako granicę sumy:

¹⁺n⁺à⁺à⁺-⁺

Przerywając wskazane sumowanie na pewnem n, popełniamy błąd Rn, którego wartość wyznacza granica sumy:

dla n= oo.

rrrr. + •••

n _ a r ¹ i- ¹    .

n! L» + l“^(n+l)(n+2)'r'"'

Rn

(w+1)! ' (» +2)!

czyli :

przyczem lim r = oo.

Mając na uwadze, że:

(n +-1)... (n -(- r)

{n -+-1) {n -+- 2)

a natomiast

W -(- 1 (w +- l)²

{n1)...(«-+- r) ^ n -+■ 1 {n -)- 1)‘²

1----

(»+!)'

1--—

n -+- 1

(n + iy ’

(n -+- l)r n -+- 1

1----

1    (n + l)r

1—«+Ï

Rn <C —r • i ^ »! » + 1

przekonywamy się, że:

gdzie r — oo, a że

lim

0,

r =oo (w -)- l)r ßn< .

n .nl

11. Ograniczając się n. p. do wyrazu jA, otrzymujemy :

przeto otrzymujemy:

(10)

«3 =

«4 =

«5 =

1+^-2.0 0 0 0 0 0 0 0...

=

_1_ _ 4₂

— = 0.5000000 0...

= 0-1 6 6 6 6 6 6 6...

0-0416666 6...

Ur, =

“O. Cł! M

0-0083333 3...

= 1 = 0-0 0 1 3 8 8 8 8... = =-=0-000 1 9 84 1... 0-0000248 0...

1    Un

US ~~ FT7 ~ — —

1    Ug

“¹⁰⁼⁼ÏÔ!⁼S ⁼

0-0000027 5...

0-0000002 7...

a stąd :

e = 2 • 7 1 8 2 8 1 8...

J_<A

10 ! ^ 10«

z błędem Rn <    .

Z dokładnością na 14 miejsc dziesiętnych wypada: e =2-71828182845904...

12. dranica potęgi (1 -+■ v) v dia V—0. W związku z granicą potęgi ^1-+-—^

— 11 pozostaje granica potęgi (l-j-v)* dla v = 0. Kładąc bowiem v = —-, a więc: n = —, otrzy-

a więc z dokładnością na 7 miejsc dziesiętnych.

dla n—oo

- 487 —

mujemy (1 -f v) *• = (l + —V, czyli Urn ( 1    v)*» =

^    ’    V=zO

13. Zastosowanie

j zatem Um (1 -J-v)*» =e.

granicy potęgi (l + —) w rachunku procentu składanego. Wia-

lim

71 — 00

domo

że kapitał K koron, złożony na n lat, rocznej kapitalizacyi po n latach do wysokości Kn, określonej q jest wartością jednej korony po jednym roku, czyli czynnikiem procentowym o wartości:

na procent składany P%, urośnie przy wzorem :

Kn =K. qn , gdzie

P

, jest dochodem od 1 korony za 1 rok.

Przy kapitalizacyi półrocznej urośnie tenże kapitał K po n latach do wysokości :

Kn = K. (g')2n, gdzie 2' = 1 + ^ = 1 +

Dopuszczając kapitalizacyę po każdej w-tej części roku, otrzymujemy w ciągu n lat terminów kapitalizacyjnych , wobec tego kapitał początkowy K urośnie w tym przypadku do wysokości :

1 + p, przyczem p

mn

Kn = K.(qm)m«, gdzie qm = l + ^£~ = 1 + — ,

1UU»î    m

czyli :

Przypuśćmy, teraz, że liczba m

terminów kapitalizacyjnych rośnie nieograniczenie limm = oo, natenczas, kładąc: — = —, a więc m = px, otrzymujemy:

skąd wypływa :

o+i)“-(i+ir-{o+ł)T.

lim

m — co

(¹+£T-*:{(¹+v)T

a że :

lim fl 4--e,

x=<x> \ x y

(U)

Kn=K.epn,

jako wzór, podający wartość kapitału K po n latach przy ciągłej kapitalizacyi P%.

Oznaczając wartość jednostki kapitału po 1 roku, przy P% rocznej, a ciągłej kapita-

p

lizacyi, przez#, otrzymujemy z — ev, gdzie p —    , a więc wzór (11) w postaci:

1U0

Kn — K.Zn.

przeto otrzymujemy wzór:

(110

potęgi (l+™)“

CC    ( cc \n

liczbą, skończoną, i kładąc— =—, zatem n=mx, otrzymujemy ll-|--J =

14. Granica

dla n= oo. Przyjmując, że x jest dowolną

-KHK)7

. Jeżeli n rośnie nieograniczenie , natenczas wraz z n

rośnie m nieograniczenie , dążąc do nieskończoności jest zatem :

a że:

lim

K)'-

e*.

(12)

/ X \n

Granicą potęgi I1 + —J

przy nieograniczenie rosnącem n jest zatem

potęga liczby e o wykładniku x. Przyjąwszy #, jako zmienną, mamy w potędze ex elementarną funkcyę wykładniczą zmiennej niezależnej x, a wogóle, w potędze ax, gdzie a jest dowolną liczbą stałą, zmienną niezależną, ogólną funkcyę wykładniczą o dowolnej zasadzie a.

ax—1

QM_J

15. Granica ilorazu -—, dla x—0. Dla x=0 przedstawia się stosunek

00

ze względu na to, że 0, w postaci Dla dostatecznie małego x jest różnica ax—1 wielkością

Oznaczmy ją przez —

a więc: ax= 1 4- — n

sady b, w postaci:

z zerem graniczącą.

gdzie dla ^=0, jest n=Qo > czyli połóżmy : ax—1=—, natenczas otrzymamy logarytm dla jakiejkolwiek za-

a:log* a= log* ^1 +—j

a więc x—

iog"(i⁴4)

qX_ J

Wobec tego przedstawia się iloraz -

log* a

w postaci :

ax— 1

log* a

dla dostatecznie małego x, log* a

skąd otrzymujemy:

nloĄl+\) logł(l + i)

ax Lim —

-1

a:=0

lim

log* a

71=00

i°gs(i+D”

=log* a. lim

71 = 00

iogi(i+!)

a, że :

przeto otrzymujemy:

lim

x=0

ax— 1    log* a

log* e ’

(13)

ax— 1

--dla æ=0, jest zatem stosunek między logaryt-

mami liczb a i e, wyznaczonemi dla jakiejkolwiek zasady b.

Przyjmijmy liczbę stałą e, jako zasadę, którą nazywamy też zasadą naturalną logarytmów, i oznaczmy logarytm dowolnej liczby a dla zasady naturalnej e, t. j. log* a dla krótkości przez log a, nazywając go log rytmem naturalnym liczby a, natenczas, ze względu na to, że:

logee=log e=l,

Granicą stosunku

a-

"I Jop; ÇH)    Qjx

otrzymujemy: lim—--= =-^—=loga, a więc lim--

x=o x log e    x~q x

qx_^

A zatem: Granicą stosunku--dla x=^0 jest logarytm naturalny liczby a.

X

~=loga.

(130

16. Uwaga. Związek między logarytmem naturalnym danej liczby a, a jej logarytmem

log*«

' l°g*e l°g* « ⁼ log* e • log «

Kładąc a = b, otrzymujemy stąd: log₆ b — log* e. logé, czyli: l = log* e.logô, a więc:

log*<*

dla dowolnej zasady b, określa równość :

= .loga, z której wypływa:

log b'

(14)

Wobec tego otrzymujemy: logfta

log a;

i nawzajem :

log a

!«g* e

r—i    t—!

n—^

489

T. z. Logarytm liczby a, dla jakiejkolwiek zasady b, jest równy logarytmowi naturalnemu tej liczby, -pomnożonemu przez odwrotną wartość logarytmu naturalnego tejże nowej zasady ; i nawzajem: logarytm naturalny danej liczby jest równy logarytmowi tej liczby, dla jakiejkolwiek zasady b, pomnożonemu przez odtvrotnq wartość takiegoż logarytmu zasady naturalnej e.

Logarytmy liczb, dla jakiejkolwiek zasady b, są proporcyonalne do logarytmów natu-

, nazywamy zamienni-

ralnych tych liczb, a odpowiedni czynnik proporcyonalności

logé

kiem logarytmów naturalnych na logarytmy o zasadzie b.

17. Logarytm i funkcya wykładnicza. Jeżeli zmienna zależna y jest logarytmem

zmiennej niezależnej a?, dla danej zasady a, tedy piszemy y=logax i nazywamy zmienną y funkcya logarytmiczną, albo krótko logarytmem zmiennej niezależnej x, dla zasady a.

Ponieważ logarytm liczby x, dla danej zasady a, jest wykładnikiem potęgi, do której zasadę podnieść należy, aby liczbę x otrzymać, przeto związek y = log«x piszemy też w postaci: x—av, i nazywamy zmienną cc funkcya wykładniczą zmiennej y dla zasady stałej a.

Punkcye logarytmiczne, jak y — \ogaoc, nazywamy też funkcyami odwrotnemi względem funkcyj wykładniczych, jak: y — em.

Zajmijmy się teraz różniczkowaniem funkcyj wykładniczych i logarytmicznych.

18. Różniczka i pochodna funkcyi wykładniczej: y=a3e\ Niech będzie y=ax, natenczas otrzymujemy zmianę Ay tej funkcyi, wywołaną zmianą Ax, zmiennej niezależnej x, w postaci:

Ay=ax+*x—ax=ax .a*x-ax=ax{aXx-1),

a więc :

Ay=ax (a^x—1), skąd, otrzymujemy stosunek różnicowy:

aA*-l

Ay

Ax

ax.

(17)

Ax

Przypuśćmy, że przyrost Ax maleje nieograniczenie, dążąc do zera, natenczas a^x dąży do granicy a°=l, zatem, różnica: a^x—1, dąży do granicy równej

zeru. Połóżmy aAæ—l = —, gdzie n rośnie nieograniczenie, dążąc do nieskończoności , natenczas będzie: a^x= 1+—, skąd, gdy użyjemy logarytmów

*yi

naturalnych , wypływa :

Ax. log a=log^l + ^

a więc: Ax

T-l S

log a

,    .    Ay

Wobec tego przedstawi się stosunek różnicowy:

lAjU

log a

w postaci :

Ay

Ax

= ax

log a

Mlog(¹⁺_r)

ax.

log(¹⁺~»r)

skąd otrzjunujemy stosunek różniczkowy: -

= lim    lim ax.

Ax=0    n—oq

dy

Ay

log a

iog(i+D”

a że :

lim log( 1 -j——^ =loge=l

l = 00    V tl }

przeto otrzymujemy :

dy

dx -loga,

Otrzymujemy zatem wzory:

d(a:r)=ax log a. dx,

a stąd: dy=ax. log a. dx.

d(ar)

— a* log

podające różniczkę i funkcyę pochodną funkcyi wykładniczej : y=ax.

dx

19. Różniczka i pochodna naturalnej funkcyi wykładniczej: y=er.

Jeżeli stałą zasadą a funkcyi wykładniczej y=ax: jest zasada e, (t. j. zasada logarytmów naturalnych), natenczas otrzymujemy elementarną funkcyę wykładniczą: y = ex, zwaną także naturalną funkcyą wykładniczą.

Dla tej funkcyi otrzymamy na mocy wzorów (18), wzory na różniczkę i pochodną w postaci :

d(ex)=ex.dx.

d(ex)

ddc

=ex.

(19)

Naturalna funkcya wykładnicza ma więc tę własność, że jej pochodna względem wykładnika, jest równa tej funkcyi wykładniczej, ma więc także wszystkie pochodne wyższych rzędów równe sobie samej.

20. Różniczka i pochodna funkcyi wykładniczej    gdzie u=f(x).

Uważając u, jako zmienną niezależną, otrzymujemy dy=éu.du, a że: u—f{x),

więc du=f\x).dx₁ przeto będzie: dy-—e^x\f\x).dx ; ~=e^x). f\x).

ctoo

Otrzymujemy zatem wzory:

d(e/(*))=e/(*). f'(x). dx ; (e/(*))'=e/(*). f\x).

21. Zastosowanie funkcyj wykładniczych do wyznaczenia różnicy œ— x.

Mając dla pewnego x funkcyę: y—f{x)—cp(x)=co —oo, otrzymujemy:

ey=e/0*0-<?(*) =

g/(*)

ß<f{x)    00 ’

Wyznaczywszy sposobem w art. 4. str. 460. podanym , wartość symbolu §§-, która niech będzie równa liczbie A, otrzymamy ey=A, przeto:

«/=/'(#)—(p(x)=cc — co — log A.

22. Różniczka i pochodna funkcyi: i/=logaoc. Niech y=logax, tedy, zmieniając x o Ax, zmienimy y o Ay, przyczem otrzymujemy Ay w postaci:

^ = l0ga (X + Ax)~ \ogaX,

a, stąd, stosunek różnicowy :

Ay

loga {x+Ax)—\ogax

Ax

Ax

Opierając się na własności logarytmów (art. 17. str. 4.), mamy: loga (X + Ax) — loga X = loga

00

log-(¹⁺ï)

Wobec tego otrzymujemy:

Ay

Ax

Ax

Jeżeli przyrost Ax maleje, dążąc do zera , natenczas, kładąc : ——

00

gdzie n jest liczbą, rosnącą nieograniczenie, a więc: Ax =—, przedstawimy powyższy stosunek różnicowy w postaci :

Ay

«logjl+d-) x

a że :

“ lZ i log“f1 + «)"⁼ TnZ l0S«(¹⁺^) -

lim (l-p—\ =e, przeto, otrzymujemy stosunek różniczkowy: n — co V    ^ /

lim

Ax

Ay

\x=0^x n

skąd otrzymujemy:

— 491

dy

-~logae

X

dij

albo też

dx a; log a'

Otrzymujemy zatem różniczkę i pochodną, funkcyi logarytmicznej : y=\ogax, w postaci:

dx

albo :

7/1 v log„ e d(\ogax)=

d(\0gax)

d(\ogax) log« 6

dx ;

dx d(log„æ) 1 x log a ’ dx ~ x log a *

dx

(20)

(20')

23. Różniczka i pochodna logarytmu naturalnego. Jeżeli zasadą loga-

rytmów jest zasada naturalna e, natenczas, kładąc a--=c, a więc: logee=loge=l,

i oznaczając loge^ przez logo:, otrzymujemy wzory następujące:

. dx eï(logæ) 1 d(logx)— —    B -----

dx

(21)

Pochodna logarytmu naturalnego y=\ogx jest więc funkcyą wymierną

ułamkową kształtu: y'=—.

X

24. Zastosowanie logarytmu do wyznaczenia pochodnej potęgi: y=xn.

Ze związku y=xn, otrzymujemy logy = wlog;r, a stąd, na podstawie prawidła

różniczkowania logarytmu, otrzymujemy:

dy dx    ,    , , dy

, a więc: dy=nxn~i dx\

-^ = nx

dx

Prawidło różniczkowania potęgi xn utrzymuje się więc, gdy wykładnik n jest jakąkolwiek stałą liczbą wymierną, lub niewymierną.

25. Różniczka i pochodna funkcyi o zmiennej zasadzie i zmiennym wykładniku. Niech będzie dana funkcya : y=u% gdzie u=f(x), zaś v=q>(x), natenczas, otrzymujemy logarytm naturalny tej funkcyi w postaci: logy= =v.logw, którego różniczka wyrazi się wzorem:

dy

—?—=v .

du

--blogM. dv,

u

skąd otrzymujemy różniczkę danej funkcyi:

dy=v .uv .

du

czyli :

dy=v. uv

+ uv log u . dv, . du-Ą-u” log u . dv,

a stąd jej pochodną:

dx

— V uv 1

du

dx +u’logu

dv

' dx

czyli :

Otrzymujemy zatem wzory :

y, = VUv~¹ .u‘-\-Uv log U.V¹.

d(uv)=vu d(uv)

dx

=VUv~¹

. du-\-uv log w. dv9 +ur\ogu

(22)

du

dv

dx

dx’

(22-)

które, uwzględniając, że: du—f‘(x)dx} dv=q)‘(x)dx, możemy też przedstawić w postaci :

^[(fix))(p^]⁼⁼[⁽P(x) • (/‘(aO)^“¹ -fl(x)’4if(x)),f^^⁰ëf(x) - tp'ix^dXi [ ffâVW]¹ — (p(x) [f(x)]vW - ¹. f‘(x) + ( f\x))vM log f(x). cp\x).

26. Symbole nieoznaczone funkcyi potęgowej. Niech będzie y=f{x)^x\ tedy otrzymujemy: \ogy = (p{x). \ogf\x). Iloczyn dwu funkcyj jednej zmiennej niezależnej x przybiera postać nieoznaczoną , skoro, dla tej samej wartości x, jeden czynnik staje się zerem, drugi nieskończonością.

Możemy t,u zatem odróżnić następujące przypadki: 1) cp(x)=0, lo gf\%)=—oo, a więc f(x)=e~co =

e°°

= -i- = 0 ; funkcya

fix)**) otrzymuje tedy kształt 0°;

2)    (p{x)—0, log/■(#)= + co , a więc: f{x) — e°° = oo ; funkcya f{x)v(x) otrzymuje tedy kształt: go⁰.

3)    cp(x) = ±:<X) , log/’(a:)=0, a więc: f\x)=e°— 1; funkcya f(x)vW otrzymuje tedy kształt 1—°°.

Symbole nieoznaczone funkcyi potęgowej f(x)vkx) mogą więc być nastę-

0°, oo°, 1±®.

Wartość któregokolwiek z tych symbolów, znajdziemy, oznaczywszy wpierw wartość jego logarytmu, który w każdym z tych przypadków przedstawia się w postaci symbolu O.oo.

27. Przykłady: 1. Znaleść wartość funkcyi : y = xx, gdy # = 0.

Otrzymujemy tu: y =a?*/a.₌₀ = 0°; log y = (#log#)x=0 = 0. (—co). = log#

pujące:

(23)

oo

a;—¹

oo

a:—¹    /

-#-2/ n ' a; := 0

a;—0

= 0,

a więc: log«/=0, przeto: y=e°=l. Jest zatem: limxx — 1.

2) Znaleść wartość funkcyi :

, dla x = 0.

Otrzymujemy tu: log y — sin x . log (“r) == sin # • (log 1—log#)— — sina; log x,

log x

skąd, dla # = 0, otrzymujemy: log y — — (sin x log x) przeto: y—1. Jest zatem:

X— 0

— O.oo

cosec #

/ oo / oo

sin²#

X COS X

/-l

2 sin x cos x

cos#—x sin#

-0,

lim

# = o

sin#

#=0

æ=0

= oo° = 1.

3) Znaleść wartość funkcyi : y — #*—¹ dla # = 1. Mamy tutaj :

skąd , dla # = 1, otrzymujemy :

log y =

l0«!,==;r=P0g‘,=;!r£

log #

/ r - /

X = 1    a?

O jo

= 1,

a więc:

y = e¹ = e.

Jest zatem :

limxx 1=e = 2,718...

X=1

28. Złożone symbole nieoznaczone. Jeżeli symbol nieoznaczony jest funkcya dwu, lub więcej wyrażeń, z których każde, dla tej samej wartości #, staje się nieoznaczonem, natenczas otrzymujemy jego wartość, oznaczywszy z osobna wartość każdego wyrażenia. Przykład. Znaleść wartość funkcyi :

z—2#

Eozwiązanie. Mamy tu:

2 sin 2#

dla x = —

~2'

#«

— 2#

/ -°—

/    “Ö—2’

T“

przeto :

71«

2« . 2³ ’

czyli :

lim #«sin#

tg.r

—2#

(-

' 2 sin 2#

.r =

2«+3 ’

Ćwiczenia XXXVI.

Sprawdzić następujące stosunki różniczkowe:

1) arc sin — ax    a

Q\ d    i- X

³⁾^arctS“

⁵⁾Ł

\/ a²— x²

• ²) i

arc cos

Y/a²— x²

arc sec

d(emx')

⁷> *

a    x\/x*—a²

(Z log ma

— memx. 8)

-/

4) ^ arccotg

⁶⁾Ł

arc cosec

d(x log a)

a² -|- a² '

x\/ x²—a¹

10)

d l°g (tg a)

dx

U)

12)

d sin (log x)

dx

sin 2 a' cos (log x)

9)

a

(Z log (arctg x) _

dx

1 -f- log x.

dx

(1 -j- a:²) arctg x ‘

■¹⁸> ^arot«

ia\ d    • 3 -f- 2a

14) — arc sm —--

dx    \/l3~

15)

V/l—a:²    V/l—a:²

d log (log x)

dx

X log x‘

V1— 3a—a;²

d    6X

(1—2a—a²>*. 17) —log(«*+e-r) = -+e_a!-

i «n ® T/ 2 t ₉s . x~l _    , x ,    _ cZ [a arc sin a:]

¹⁸⁾ dx \(a +xT) • ar°% ^J = 2aarctg — + a. 19)    ..... ^- =

16)

d(l— x²)ex

—e—x

dx

arc sin x -J-

20)

d [tg x . arctg a]

V/1—x²

dx

arc tg x    tang x

cos²a ' l-|-a²’

21) ~ arc sec dx

V/ a²— a;² y/a² — x²

*>s

²⁴>

arc

tan8\/ïTSi"T;²⁸⁾ J^uog*)=e«(i+ logd-

(log — )= — sin (log — ). 25) arc cos (4a³—3a) =

X X \ CC '    ctx

—3

26)

<7 [log arę sin a;]

dx

:-. 27) -

arc sin x y/^ _ x 2    (Za:

y/i—x2 d

— #arc sm x ₌ ^arc sm rc .

V/l-#²’

Znaleźć maxima i minima następującycli funkcyj :

28) y = ~.

log a:

30) y — ex sin (a — a¹). 31) y = sin x . cos (a — x).

Wyznaczyć wartości następujących funkcyj , które, dla obok podanych wartości zmiennej niezależnej, przedstawiają się w postaci g : a;²— 1

29)

ex

sin (a — x)

32) y =

, dla a-—1. 33) y —

x—1 a⁴—1

dla * = 1.

34) y

x'¹—1

a² + 2a — 3

dla x = 1. 35) y

x²-\- 5a + 6

x² + 7x +12’

dla a = —3.

36) y =

a³— 5a²-|-3a -f- 9

a³— a²— 21a -j- 45

dla a=3. 37) y =

a³—2a²—a + 2

, a) dla a=l, b) dla a=2.

38) y

a³—8a²-f 17a—10

a³+2a²—13»+ 10

dla a=l, 2. 39) y =

a³—7a -j- 6 a⁵—4a⁴-|-8a³—16a²-[-16a a* — 6a³ -f- 18 a² — 12a -j~ 4’

dla a=2.

a—a²”+l

40) y 42) y 44) y

ax —1

⁴6) y —    —

1—a²

a*m—xm-Yn

1—X²P

ex — e—x

sin a

dla a = l. 41) y —

a—{n -}- l)aMh:l -f- nxn-\-²

(1-a)²

, dla a=l.

dla a=l. 43) y —--, dla a=l.

' v    xn—1’

dla a = 0. 45) y

, dla a=0. 47) y

dla a=0.

-, dla a = 0. 48) y

x

tang a

dla a=0.

49) ty = Wykazać, że :

51)    =”=0, 52) 4-/    =

x / x—co co    cotgxf x = 0

= 1.

5B) [log(2 — æ)tg — ]x_i = 0. co = —. 54) [log(x—a)tg(x—a)]v_a =

— oo . 0 = 0.

55) [cosec²x . log cos (ax)]^_^ — co . 0 — —

to

56) [2æsin2¹    = co .0 = 2. 57) [(cosse)

cosec³ x

.1

x=0

= 1" =

\A

1/2-718...

2-718... •

«) [^log(l ₊ i)Lœ = A

m)

sec a:

— oo — co = —1.

x -----

Znaleść wartości graniczne następującycli funkcyj : logx

61) lim x—0

ax—bx

xn

CO tg X

. 64) lim x—œ ex

. 62) lim æ—co

2a:sin -JL- V 66) lim (xMogx). 67) lim sin x^x.

2X /    x=0    „ n

T

68) lim (₂_ xy™g n£. 69) lim I _ootff®V ⁷⁰) lim tan^r'x

x=a W a )    x=0 \    ° n I x—0 2x²tg

_ i

r i/4-n - A - 44?2)um o+“)“•ra)Um (i+2

L\*(aj—1)    4x² 2xJ    0    x=0

sin 3x

65) lim x=cc

71) lim

x—0

. 63) Zim

—r.x

7CX

sin 2x -j- 2 sin⁴x—2 sin x cosec — cos²»

ex—2 cos x -[- & x

. 76) lim X=0

77) lim (*-2»*+»+2 78) Um (er-e-yi-Szyer+e-l ₇₉₎

74) Zim

x=0 »—:V₂ sin 2»

. 75) Zim

x=0

x sin x

x=0

(ex—l y

x=0

x⁴

lim

.1

x=-,

\/ 2—sin x—cos x

log sin 2»

Rozwiązania XXXVI. 28) y — e, minim, dla x=e. 29) x=a-\-    , ymin=\/2 .e

, n

“+T

1-j- sin a    a

--: cc.=

1 a“T ,    2/max = —0

V A

. 32) 2. 33) V*. 34) «/,. 35) -1, 36)    37) a) V,*, Ô) 38) a) - ²/₃, 6) -³/₇.

39) 16. 40) n. 41)    ⁴²) 4*7• ⁴³) 4- 44) 2. 45) logae. 46) log a. 47) m. 48) 1. 49) 1. 50) 1.

61) log Ą-. 62) 0. 63)oo. 64)0. 65)«. 66)0, jeżeli «>0; —00, jeżeli »<0/ 67) 1. 68)*V/<4.

_2    i/o"

69) 0. 70) —. 71) -1. 72) e. 73) e². 74)    75) 2. 76) 4. 77) % 78)    79) ~^~L'

b    4

TZ

“4 1—sina

I ÿmax

TZ

x = — — — , ymin —

Literatura. Augustin Cauchy. Cours d’analyse de l’école polytechnique. I. Analyse algébraique. Paris 1811. po niem. wydali: B. Huzler. Königsberg 1828. C. Itzigsohn. Berlin 1885. Charles Méray. Legons nouvelles sur l’analyse infinitésimale. I. Paris 1894. Harry Gravelius. Lehrbuch der Differentialrechnung. Berlin 1893. J. Tod hunter. Treatise on the differential Calculus 8. ed. London 1978.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Funkcya wykładnicza i jej własności.

2.    Funkcya logarytmiczna i jej własności.

3.    Warunki ciągłości i różniczkowalności funkcyj jednej zmiennej niezależnej.

Wykład XXXVII.

Różniczki i pochodne funkcyj złożonych z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej.

1. Funkcye elementarne i funkcye złożone. Pierwszem zadaniem rachunku różniczkowego, w najściślejszem tego słowa znaczeniu, jest wyznaczanie pochodnych i różniczek dla funkcyj najprostszych, które nazywają się zwykle funkcyami elementarnemu Do tych zaliczają się: 1) funkcya stałej wartości, czyli stała: y=a, 2) potęga o stałym wykładniku, czyli zwykła funkcya potęgowa: y=Xm, B) potęga o zmiennym wykładniku, czyli t. z. ogólna funkcya wykładnicza: y=aje, a w szczególności 4) naturalna funkcya wykładnicza: y=er, 5) logarytm zmiennej niezależnej dla stałej zasady, czyli t. z. funkcya logarytmiczna: 2/=log„.r, a w szczególności 6) logarytm naturalny zmiennej niezależnej , czyli t. z. naturalna funkcya logarytmiczna : y=\ogoc, 7) funkcye goniometryczne : y=sin#, y=cos a:, y=tg#, y=cotg#,

y=secx, y = cosec#, 8) funkcye cyklometryczne : y = arcsm#; y — arccos#; y—arctg#, y=arccotg#; y=arcsec#; y=arccosec#, przyczem funkcye 3) do do 8), tudzież potęgi o wykładnikach niewymiernych nazywamy elernen, tarnemi funkcyami przestępnemi, a potęgi o wykładnikach wymiernych, elementarnemi funkcyami algebraicznemu Funkcye, złożone z funkcyj elementarnych, nazywamy funkcyami złożonemi.

2. Iłóżniczki i pochodne funkcyj elementarnych. Dla funkcyj elementarnych znaleźliśmy w poprzedzających wykładach poszczególne wzory, których zestawienie przedstawia się, jak następuje:

y'=°,

y‘—mxm~x, y‘^=ax\og a

y=a,

y=xm,

y=ax,

y=ex,

y=\ogax,

dy=0;

dy=mx

m—1

. dx] dy = axloga. dx; dy=ex. dx ;

y‘ =_L_

#loga

dy=

dx

y=log#

y = sm#, y=cos x,

y=tang #,

y‘ = c os#, y‘ — —sin#

y‘=

x log a '

₇ dx

dy=cos x . dx ; dy= — sin# . dx ;

dx

cos²#

dy— «

cos²#

y—cotg #,

y‘~= —

sin²#

dy= —

dx

sin²#

y=cosec#

y — arc sm #

sin#

cos²#

y-—

cos#

sin²#

dy

sin x. dx

cos²# ’ cos #. dx

sin²#

V Vl-x²

ày—

dx

V/l—#²

y—arccos#, «/'=

y/l-#²’ dV~

dx

V/l — #²

y=arctg#

dy =

dx

1+ #² ’

y= arctg # ;

y=arc sec #

l + æ²’ dy"

y‘=^m.'dy

y‘

dx

1 + #²'

c?#

y—arccosec#; y'— —

xV x¹— 1

dy

# \</ #² — 1 —dx

#V/#²— 1

3. Pochodne cząstkowe funkcyj złożonych. Niech będzie y=f(u, v) funkcyą, złożoną za pomocą pewnych działań z dwn fnnkcyj elementarnych jednej zmiennej niezależnej #, jakoto: u=<p(x), v=ip(x), natenczas, zmieniając # o d#, zmienimy także u i v o Au i Av, przyczem otrzymujemy:

qp(# + d#)—<f>(x)

du

dx

lim

Au

Aa;=0

Ax

lim

Ax=0

Ax

cp\x),

(1)

dv

Av

e2#

lim -j- — lim Ax=0    Ax=0

yfx+Ax)—yj(x)

d#

?//(#).

(2)

Weźmy pod uwagę zmianę dw, lub dv jednej tylko z tych funkcyj i zbadajmy wpływ, jaki jedna z tych zmian, sama dla siebie, wywiera na zmianę funkcyi złożonej : y—f{u, v).

Oznaczmy przez Auy zmianę funkcyi y = f(u, v): wywołaną zmianą Au samej tylko zmiennej u, a przez d*,y zmianę tej funkcyi, wywołaną zmianą Av samej tylko zmiennej v, a otrzymamy t. z. przyrost cząstkowy funkcyi złożonej : y—f{u, v), w postaci :

Auy~=f(uĄ-Au, v) — f(u, «); Avy=f{u, v + Av)—f(u, v).

Porównajmy te przyrosty cząstkowe funkcyi z dotyczącemi przyrostami odpowiednich zmiennych , natenczas otrzymujemy dwa stosunki różnicowe, zwane także cząstkowymi stosunkami różnicowymi funkcyi: y=f(u: v) jakoto :

(3)

Auy    f{uĄ-Au, v)—/'(w, *7) Avy    f{u, v + dh)—f{u,v)

dw

dw

dv

du

(4)

Granice obu tych cząstkowych stosunków różnicowych , wyznaczonych kolejno względem zmiennych u i u, tak, jak gdyby każda z tych zmiennych u i v była dla siebie zmienną niezależną, nazywamy kolejno cząstkowymi stosunkami różniczkowymi względem zmiennych u i v i oznaczamy :

lim

f{uĄ-Au, v)—f(u, v)

Aw—0

Au

przez

duf(u, v)

du

lub krótko przez

df *

du¹

du

lim

f(u: vĄ-Av)—/'(w, u)

At'—0

du

przez

dvf\u, u)

dv

lub krótko przez

« l-ts

lub^

dv

— 497 —

gdzie okrągłe d ma przypominać , że dotyczący stosunek różniczkowy odnosi się tylko do cząstkowej różniczki funkcyi zmiennych u, r, t. j. do różniczki,

wywołanej różniczką jednej tylko zmiennej u, lub v.

Funkcye nowe, które podają wartości owych dwu cząstkowych stosunków różniczkowych, dla każdej wartości zmiennych u i r, nazywamy po-chodnemi cząstkowemi funkcyi złożonej : y=f{u,v), nazywając jednę: funkcyą pochodną cząstkową podług zmiennej w; drugą: pochodną cząstkową podług

zmiennej v? przyczem oznaczamy :

df

du

także przez f‘u{u: v), zaś :

. àf

^ przez ov x

f‘v(u, v), gdzie znaczki u i v mają przypominać, którą ze zmiennych u i v uważamy tu za zmienną niezależną.

Funkcya y=f(u,v), złożona z dwu funkcyj u i v, ma, odnośnie do tych funkcyj u i v: uważanych, jako zmienne niezależne, ogółem dwie funkcye pochodne cząstkowe, jakoto :

dy df(u, v) df duf(u, v)

f (uĄ-Au, v)— fiu, v)

lim

Afc£=0

lim,

Av=0

Tak n. p. funkcya złożona : y = e,mu. vn ma dwie pochodne cząstkowe :

du

du

du

du

Au

f'u(u, v).    (5)

dy df(u,v) df dvf(u,v)

f O, v + Av)—f{u, v)

dv

dv

dv

dv

Av

dy

dy

— emu.

4. Różniczki cząstkowe funkcyi złożonej. Różniczkę funkcyi złożonej z dwu, lub więcej funkcyj zmiennych, wywołaną różniczką jednej z tychże zmiennych, nazywamy różniczką cząstkową tejże funkcyi złożonej. Jeżeli funkcya : y—f(u: v), ma dwie pochodne cząstkowe :

du

dv

dy

du

= f‘u(u, V)

dy

'^=fv‘(u, v), natenczas odpowiadają im też dwie różniczki cząstkowe: jedna duy, wywołana różniczką du zmiennej u ; druga dvy, wywołana różniczką dv zmiennej v. Określając różniczkę funkcyi, jako iloczyn z pochodnej tejże funkoyi przez różniczkę zmiennej, do której ta pochodna odniesieną została, otrzymujemy :

dy

. du—fu‘(u, v). du.

()/,

(7)

dvy • dv=ft)‘(u, v). dv.

Tak n. p. funkcya y = emu.vn ma dwie różniczki cząstkowe:

duy—memuvn . du , dvy — nemuvn—¹. dv.

5. Pochodna funkcyi złożonej, względem zmiennej niezależnej, i jej różniczka zupełna. Niech będzie znowu y=f(u, v), gdzie u=f(cc), v=q)(x), natenczas pewnemu przyrostowi Ax zmiennej x odpowiadać będzie pewien przyrost Au zmiennej u i przyrost Av zmiennej v, określone wzorami:

Au=f(x+Ax)—f(x), Av=q)(x-\-Ax)—ę(pc) ; przyrosty Au i Av wywołują pewien przyrost Ay funkcyi y=f(u, v), określony wzorem :

który możemy także przedstawić w postaci sumy dwu różnic :

Ay=[f(u-\-Au, v-\-Av)—f(u, v-\-Av)\-\-[f(u, v-{-Av)—f(u,v)].

Pierwsza różnica: f{u-\-Au, v + Ar)—f(u, v-t-Av) przedstawia przyrost cząstkowy funkcyi /(w, v-\-Av), wywołany przyrostem Au zmiennej w, druga zaś: f(u, vĄ-Av)—f(u,v) przedstawia przyrost cząstkowy funkcyi f (u, v), wywołany przyrostem Av zmiennej v.

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Ay=f(u-\-Au, v-\-Av)—f(u, v);

(8)

32

Porównajmy przyrost Ay funkcyi złożonej: y=/'(w, y) z przyrostem Ax zmiennej niezależnej x, natenczas otrzymujemy stosunek różnicowy tej funkcyi, na mocy wzoru (8), w postaci sumy :

Ay    /‘(w-fd-w, v + Av)—/‘(w, y-fdy) ₍ /‘(w, y+dy)—/'(w, y)

da;

Ax

Ax

(9)

lub :

Ay /‘(w + Aw, V +    y-{-Ay) Aw /(w, y-f Ay)—/(w, y) Ay

. - | :--. —. (10)

\x

A./

Ay

\x

cowe: 1)

W tej ostatniej sumie występują następujące dwa nowe stosunki różni-/'(w-f-Aw, y-j-Ay)— f{u, y + Ay)

Au

2)

/(w, y + dy)—/(w, y)

Av

. Pierwszy

z nich przedstawia stosunek między zmianą wartości funkcyi /(w, y-j-dy), wywołaną zmianą zmiennej u o Au, a tymże przyrostem Au ; drugi zaś przedstawia stosunek między zmianą wartości funkcyi'/(w, v), wywołaną zmianą zmiennej v o dy, a tymże przyrostem Av. Są to zatem cząstkowe stosunki różnicowe, które możemy napisać w postaci:

/'(w+dw, y + dy)—/(w, y+dy)

Auf {u, y + dy)

Au

Au

f{u, y+dy) — f{u, v) Avf{u, v)

Av

Av

Granicami obu tych stosunków różnicowych są kolejno: f(u-\-Au, y + dy)-/‘(w, v-\-Av)    df{u, y + dy)

1)

Hm

Am=0

Au

du

{a)

2)

lim

/‘(w, v + Av)—f(u,i?)    ó/(w, y)

dy

óy

(6)

A?;=0

Granicą pierwszego wyrazu jest więc stosunek różniczkowy cząstkowy funkcyi f{u, v-\-Av) podług zmiennej u, drugiego zaś — stosunek różniczkowy cząstkowy funkcyi f{u, v) podług zmiennej y.

Jeżeli przyrost da? zmiennej niezależnej x maleje do zera, natenczas dążą także przyrosty Au i Av do zera , przyczem otrzymujemy stosunki różniczkowe funkcyj u i v względem x, w postaci :

lim

Au

du

a = ir = f‘(x) ; Ax=o Ax dx

Av dv lt . A«=0 Ax~~ dx ^ X

lim

(c)

a zarazem stosunki różniczkowe cząstkowe: a) funkcyi złożonej: /(w, y-f-Av) względem u, b) funkcyi: /‘(w, y), względem y, w postaci:

f(uĄ-Au, v-\-Av)—f{u, y + dy) ó/(w, y + dy) ó/'(w, y)

/im

Am =0

dw

ów

ów

lim

/■(w, y+dy)—/‘(w, y) df(u,v)

Ai?=0

Av

dv

(d)

Na mocy tych dwu stosunków różniczkowych, które są stosunkami różniczkowemi cząstkowemi funkcyi /'(w, y), otrzymujemy dwie różniczki cząstkowe :

duf(u, y) =

àf

ów

.du; drf(u,v) =

ov

. dy.

dy

Granica stosunku różnicowego^, przedstawia się, na mocy wzoru (10), w postaci :

lim — lim A^=o Ax Am=0

/(w + dw, y + dy)—/'(w, y + dy)

dw

lim

Ar — 0

/•(w, y-f Ad)—/'(w, y)    dy

y    ' Aæ=:0da? ’

lim — ‘ Aaj=0da?

(U)

— 499 —

będzie więc miała kształt :

dl= lim ty ^dJ_ ty + ty dï dx ±x=oAx du ' dx ~ dv ' dx:

(12)

określający pochodną fnnkcyi : y=/(w, v), względem zmiennej niezależnej x, skąd otrzymujemy różniczkę tej funkcyi w postaci wzoru:

, ày du dy dv

dy= 'du'dx'dx~Jr

dv' dx'

czyli :

dy —

dy

dy

du

dv

podającego t. z. różniczkę zupełną dy funkcyi złożonej : y=f(u, v), jako sumę różniczek cząstkowych duy i d,.y tej funkcyi.

Otrzymujemy zatem wzór na pochodnę funkcyi złożonej : y=f(u, v),

względem zmiennej niezależnej x, w postaci:

dy dy du dy dv

dx du' dx' dv ' dx ’

y‘=f‘u(u, v).    v).v‘

a zarazem wzór na jej różniczkę w postaci:

, dy dv n dx+    . dx.

dv dx

T. z. Pochodną (różniczkę) funkcyi złożonej z dwu funkcyi u i v jednej zmiennej niezależnej x, otrzymujemy, jeżeli pochodne cząstkową funkcyi złożonej y, wyznaczoną względem każdej z dwu funkcyi u i v, w jej skład wchodzących, pomnożymy przez pochodną (różniczkę) dotyczącej funkcyi u lub v, ivyznaczoną względem zmiennej niezależnej x, a otrzymane iloczyny do siebie dodamy.

6. Ogólne prawidło różniczkowania funkcyi złożonej z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej. Powyższe prawidła dadzą się analogicznie uogólnić do funkcyi, złożonej z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej. Jeżeli mianowicie y=f(u, v, w,...), gdzie u, v, w,są pewnemi funk-cyami zmiennej niezależnej x, natenczas otrzymujemy pochodną funkcyi y, względem zmiennej niezależnej x, w postaci :

dy_dy du^ dy dv^dy dw dx du' dx~ dv‘ dx~ dw' dx

czyli :

dy =

dy du du ' dx

(13)

(13-)

(13")

(14)

czyli :

y‘x=y'u-u,+y‘vV,-\-y,w.

różniczkę zaś tej funkcyi, w postaci:

dy du du' dx

dy=

dx-j-

dy dv dv ' dx

, dy dw , dx-j- ~    - dx-\~...

dw dx

czyli :

dy

dy=~f •du-\-

<)n

dy

dv ‘

dv-f

dy

dw ‘

dw-\-...

(149

7. Szczególne prawidła różniczkowania funkcyj złożonych. Z ogólnego prawidła różniczkowania funkcyj złożonych, określonego wzorami (14) i (14'), wypływają, jako szczególne przypadki prawidła różniczkowania sumy, iloczynu, ilorazu i potęg funkcyj, wyprowadzone na str. 439. do 444.

W szczególności otrzymujemy : a) y = uv P w ;

przeto :

dy—j du-\- j- dvĄ- ~dw, a że:^ = l, ~ = 1, ~ _ i du dv dw    du ’ dv    dw ’

dy = du -)- dv -j- dw: y‘ = u‘ -f- v‘ -j- W'.

(«)

b) y — u.v.w‘:

przeto :

, dy ,    ,    dy _ ,    dw ,    ,    dw    dw

dw = —dw-1--dv-j--. dw>,    a ze:    —=*vw.    ——uw,

du dv ôw    ou    dv

dy — w. du -f- ww> • dv -f- m .dw ; y' = viv. u‘ -f- uiv ,v/-\-uv. w‘.

div

uv.

(*>

c; y=-

przeto :

dw

dy = - du 4---ar, a że tu : — =

dw dv    dw

ày

4/

dy = — v

— dw— dv

v*

vdu — udv

V²

; y'

1 ⁽^₌₌_

v ’ dv    v²

vu‘ — WV'

(«)

w²

d) y = uv ;

, dw ,    , dw ,    ,    dw    , dw ,

dw= — dw4■ — dv, a ze tu: — =vuv~h — — wMogw,

* dw ¹ dv ’    du    ’ dv    & ’

(d)

przeto :

dy = vw»—¹. du -f- w® log w . dv ; y' = vw»—¹. w' -f- w» log w . v'.

8. Różniczkowanie funkcji złożonej za pomocą podstawiania funkcyj elementarnych.

Korzystając z powyższych prawideł, możemy wyznaczanie różniczki , względnie pochodnej, danej funkcyi złożonej sprowadzić do różniczkowania funkcyj elementarnych. W tym celu podstawiamy za funkcye elementarne, występujące w danej funkcyi, nowe zmienne, a zróżniczkowawszy tak przekształconą funkcyę, złożoną według powyższych prawideł, wprowadzamy za zmienne i ich różniczki , względnie pochodne, odpowiednie im wyrażenia. Przykłady. 1) y = a log x -{- b V/sin x.

Kładąc u— logx, v = sin x, otrzymujemy:

y = au -f- b\/v , a stąd :

dy

dy

= a, —

dw    ov

2Y/T’

a więc : dy — a. dw -]--:

2\/v

. dv ;

a że : dw —

dx

dv — co s x . dx, przeto : dy

adx . b cos x dx

x“ +

b cos x

2 V/ sin .x

2 V/sin x

. d^r.

zatem :

, dy a V = dx~ x +

b cos x

2 V/ sinx

2) y =

V/l — x y/i-px — v/i — x

Kładąc w = V/l+ x, v=\/l—x , otrzymujemy :

w -f- V

a stąd :

a że:

2v    dy 2w

du    (w —v)²’ dv    (w—v)² ’

dv = —

. d.'/

du

dx

przeto : dy — —

dx

2v

(w—v)²

dw 4

2w

(w— v)²

dv ;

przeto :

dy =

2 y/i 4-x —y/1 — x

y/i 4- x (2-2y/1 - x²)

dx

2\/l—x

V/1 4" x

y/i—x(2—2 y/ï—x²)

dx

czyli :

dy =

dx

y' = —

y/i—x²(ł — y/ i —x²)’

y/1—x² (i—y/1 — x²)

9. Różniczkowanie funkcyi złożonej po jej przekształceniu. Częstokroć da się różniczkowanie dane] funkcyi złożonej znacznie uprościć, jeżeli ją przedtem stosownie przekształcimy, sprowadzając ją do możliwie najprostszej postaci.

Przykłady. 1) y = log

ViTfÜ

4- y/i—x

— y/1— x

Możemy tu położyć : y «= i log

y/i 4-x-f y/1—x

y/i 4- x — y/1—x

y/i 4- x -4- y/i—x    14-y/i—x²

a ze :    —-----

y/i 4-x - y/1—x

przeto mamy: y = U⁰g

14~ y/i—x²

skąd otrzymujemy: y‘

2xV/1 — x²

2) y = arc tg

2x

-4-arctg—-j-.

Kładąc x=-t g 9, otrzymujemy: sec ©— 1

y — arc tang

2 tg 9

tg(tg ÿ + arctg(tg 2®), zatem y =    + 2® = jj?,

a że : ® = arctga:, przeto : jest y — § arc tg a;, zatem : y‘ — \ - "j—

tang <p

■f- arc tg

1— tg²®

arc

10. Różniczkowanie logarytmiczne. Jeżeli funkcya, która ma być zróżniczkowaną, składa się z iloczynów, ilorazów, lub potęg rozmaitych funkcyj zasadniczych, natenczas korzystniej jest wyznaczyć naprzód logarytm tej funkcyi i znaleźć różniczkę tego loga-rytmu, a dopiero na tej podstawie wyznaczyć różniczkę, względnie pochodną, danej funkcyi złożonej. Postępowanie to nazywamy różniczkowaniem logar ytmicznem.

sin⁷” x cos”®? ’

Przykład. Mając wyznaczyć pocliodnę funkcyi y

znajdujemy :

a stąd:

log y — m log sina; — n log cos x,

dy mcosx , w sin a; , m cos²a; 4- w sin²» —    dx-\----dx —

sina;

cos a;

sin x cos x

dx

przeto :

dy =

sin”¹—¹ x

COSW+¹ x

(mcos²a;4- nsin* x)dx,

a więc :

y‘

dy sin⁷”⁻¹ x

dx cos”+! x

(m cos²a;-j- n sin²#).

11. Logary tmiczna różniczka i logarytmiczna pochodna danej funkcyi. Stosunek między różniczką funkcyi, a funkcyą samą, będący różniczką logarytmu naturalnego tejże funkcyi,

d log/(a;), nazywamy różniczką logarytmiczną tej funkcyi.

Analogicznie nazywamy stosunek między pochodną danej funkcyi , a funkcyą samą, będący pochodną logarytmu naturalnego tejże funkcyi względem zmiennej niezależnej, t. j.

nazywamy pochodną logarytmiczną, tej funkcyi.

t. j. wyraz :

wyraz :

df{x)

/O)

. /'O)    d\ogf(x)

/O)

dx

Wprowadzając pojęcia logarytmicznych różniczek i logarytmicznych pochodnych danych funkcyj , otrzymujemy prawidła następujące:

1) Niech będzie : y = u . v . to. zależnej cc, natenczas otrzymujemy:

*•5

gdzie u.v.io... są wiadomemi funkcyami zmiennej nie-

log y = log u + log v -f log w + ...

V IV

dy    du    dv . dw

—    ~    ~ “ +

T. z. Logarytmiczna różniczka (pochodna) iloczynu ilukolwiek funkcyj jest roicna sumie logarytmicznych różniczek (pochodnych) poszczególnych czynników.

a stąd :

a zarazem:

(15)

2) Niech będzie: y = — , natenczas otrzymujemy: log y = log u—log t>, a stąd:

y‘ u‘

a zarazem:— =----

dy du dv

S, ! »

(16)

T. z. Logarytmiczna różniczka (pochodna) ilorazu dwu funkcijj jest równa różnicy między logarytmiczną różniczką [pochodną] dzielnej, a logarytmiczną różniczką [pochodną] dzielnika.

3) Niech będzie y=u™, natenczas otrzymujemy:

dy du

log y = m log u, a stąd: —=m.

y

y‘

u‘

(17)

—, a zarazem — — m . — u    y    u

T. z. Logarytmiczna różniczka [pochodna] jàkicjkohviek potęgi danej funkcyi jest równa

wykładnikowi potęgowemu, pomnożonemu przez logarytmiczną różniczkę [pochodną] tejże funkcyi.

4) Niech będzie «/ = «“, natenczas otrzymujemy logy = «.loga, a stąd:

■    = «'.log a.

y

T. z. Logarytmiczna różniczka [pochodna] jakiejkolwiek funkcyi wykładniczej jest równa różniczce [pochodnej] wykładnika, pomnożonej przez logarytm naturalny jej zasady,

dy

zarazem :

(18)

5) Niech będzie y=uv, natenczas otrzymujemy : logy=rlog«, a stąd: dy du

— -j- dv . log u

a zarazem :

XI*

— -)- v'. log u.

(19)

T. z. Logarytmiczna różniczka (pochodna) funkcyi potęgowej o zmiennej zasadzie i zmiennym wykładniku , jest równa sumie logarytmicznych różniczek (pochodnych) tej funkcyi, uważanej raz jako potęga o stałym wykładniku, a drugi r az jako funkeya wykładnicza o stałej zasadzie.

12. Pochodna i różniczka funkcyi innej funkcyi. Szczególnym przypadkiem funkcyi złożonej z ilukolwiek funkcyj, jest tak zwana funkeya funkcyi, przyczem ta ostatnia funkeya może być znowu funkeya innej funkcyi i t. d.

Niech będzie mianowicie y— /(«), gdzie u = *{v\ v — /fw), a w końcu w = tyx\ natenczas otrzymujemy funkcyę funkcyi kształtu: y —/|?[x['K*)]]}.

Ze związku y=sf(u) otrzymujemy: dy—f\u).du, a że: u = ą(v), przeto będzie: du=y'(v) .dv, a że znowu! v===/(w), jest więc: dv —. dw, a gdy w końcu iv— <\{x), gdzie x jest już zmienną niezależną, przeto będzie: dw — ty{x) ,dx.

Wobec tego otrzymujemy :

a więc :

czyli różniczkę funkcyi funkcyj otrzymujemy w postaci:

dy=f‘ (u) . du=f\u). o'(v). dv=f'(u). rf (v).y\w). dw=f,(u). ®'(t>). /.'(«’). ć'(a;). dx, dy = f‘(u). <?'(r) . yj(w). ^(a?). dx,

dy du dr dw i V~ du ‘ dr ' dw ‘ ~dx ‘ax'

a jej pochodną, względem zmiennej niezależnej x, w postaci:

(20)

dy d y du d r d w

dx    du ’ dr ’ dw ’ dx

czyli :

y‘ =/'(» • «'(«) • y(\w) • <!»'(*)•

Mając n. p. dane następujące związki:

—    v = e²«’, to =^= cos 2x,

14-u

y==~w

o trzymujemy :

dy

u(u -f- 2)

du

dv

du

id

dv

a więc pochodną :

V/l + »s

dw

= 2e²“’,

dw

dx

—2.sin 2x,

dy ₌ 4 {u-f 2)

d.r

ud

' V/l + »²

. e2l° . sin 2x,

która, wyrażona przez zmienną niezależną x, otrzymuje kształt:

dy 4 [V/1 -(- ed cos lx _j_ 2].e4cos 2* . sin2cc

dx

[1 -j- g4 cos 2æj2

13. Pochodna i różniczka n-tej iteracyi danej funkcyi. Jeżeli zmienne x, yu yt,y«—i, y związane są za pomocą danej funkcyi f{x) tak, że każda następna zmienna jest taką samą funkeya zmiennej poprzedzającej , a więc, jeżeli :

yi=/(*)j z/2=/0i), z/3=/(>2),-, y«-i=/(y»-2), y=f(yn-1), wtedy nazywamy r-tą zmienną po zmiennej niezależnej x następującą, r-tą iteracyą funkcyi/(»), oznaczając//(a?) przez /₂(æ), fff {x) przez /₃ (a?), i t. d. ogólnie:

12 3 r

7/7,

/(*), przez fr(x).

Na podstawie tego znakowania mamy: yi—f{x), y₂—/₂(cc), y₃=/₃(a?),..., a w końcu: y=fn(x) Szukając pierwszej pochodnej funkcyi: y=fn{x), czyli pierwszej pochodnej «-tej iteracyi danej funkcyi/(a;), otrzymujemy na mocy wzoru:

dy dy dyn—i dx dyn—i dyn- 2

djh dyJ eh/, ‘ (Za;

uwzględniając, że :

dy%

dy

=/%i),

/'(«/»-O,

dyn—l

rfa.=/'0/»-i) •/'(y*-2), -, /'(z/i)•/'(*)*

a więc pierwszą pochodną n-tej iteracyi danej funkcyi /(a;) w postaci:

wzór :

dy

’ dyi

dfn(x)

dx

a stąd różniczkę »-tej iteracyi w postaci :

dfn(x)=f'(fn~i(x)) ./'(/»-2 (»))

/'(/(*) ■/'(*)•dx-

(21)

14. Pochodne wyższe funkcyj elementarnych. Ciągiem stosowaniem prawideł różniczkowania, możemy otrzymać pochodne wyższych rzędów, odpowiadające danej funkcyi : y=f(x), a w szczególnych przypadkach podać

cftzł

ogólny kształt w-tej pochodnej fnnkcyi : y^) — — = /*(w)(^), a tern samem

cioc*¹

n-tą różniczkę fnnkcyi: dny—fW (x). dxn.

Przejdźmy po kolei te funkcye elementarne, dla których wyznaczanie pochodnych wyższego rzędu okazuje się mniej zawiłem.

, ogólnie :

dy

1) y—xm. Mamy tu y‘ =

dly dxn

skąd, wypływa, że funkcya : y=xm, ma, jak wiadomo, przy całkowitem do-datniem m, w ogóle m pochodnych wyższego rzędu: (w=i, 2,..., m), z których ostatnią jest pochodna m-go rzędu: yW=m .(m—l)...2.1=m!, zaś przy ujemnem m, albo przy dodatniem, ułamkowem, lub niewymiernem m, nieskończenie wiele pochodnych.

(JjU

2) y=ax. Mamy tu: y'= -^-=ax. loga, y‘‘ =

CLX

dny dxn

3/w =

dx

dhy

dx²

(22)

—ax (log a)², ogólnie :

y(n) =

Wszystkie pochodne funkcye wykładniczej są tą samą funkcyą, pomnożoną przez odpowiednią potęgę logarytmu naturalnego jej zasady.

Jeżeli « = e, natenczas jest: y=ex, y'=ex, y"=ex,..., ogólnie: yW=ex. Wszystkie pochodne tej funkcyi są równe jej samej.

3)    y=logo?. Mamy tu: y‘= ^ ^

y'—x'¹. loga c, a więc: = — l.ar~²logBe,

2/(”) — (—l)n—1 (w—1) ! a;⁻”. logae, dny dxn

Jeżeli a=e, jest zasadą logarytmów naturalnych, natenczas mamy :

y=logXi a stąd: y‘ =

dny dxn

Pochodne funkcyi logarytmicznych są ogólnie funkcyami ułamkowemi o coraz wyższym stopniu mianownika.

4)    2/=sinæ. Mamy tu pierwszą pochodną : y'=cos£, którą, uwzględniając,

sin x . cos -j-cos x .sin ^-=cos x, możemy także przedstawić skąd otrzymujemy na tej samej zasadzie :

=a*(log a)n.

czyli :

ogólnie :

ogólnie :

że : sin

(x+^y

v[,) =

(-D

=(-D

xn. log a

, y"=-

(n—1)!

Æ²’

(23)

czjdi:

(24)

xn

(25)

w postaci: y' = sin ^ ^

a więc ogólnie :

sin \x + 2. — j,

//W =sin^æ + w . ~ J.

(26)

5) y=cos X. Otrzymujemy tu: y'=—sin x, skąd, ze względu na to, że: otrzymujemy: y' = cos

— sin x— cos

to a

zatem ogólnie :

2/(») = cos

(27)

15. Pochodne wyższe funkcyj goniometrycznych tg x, sec x i cosec x nie dadzą się w tak prostej formie dla dowolnego n przedstawić.

Tak otrzymamy n. p. dla funkcyi: y = tg cc =

sin x

cos X ¹

kolejno następujące pochodne :

y‘

cos² a;

; y" =

2 sm x

-3—, y'"

cos³cc

yw =

24 sin x 8 sin cc

cos⁴cc cos²cc

720 sin cc    480 sin x

cos³cc

cos⁵cc

cos³cr

120

120

16

82 sin cc cos³ cc

skąd jednak prawidło spółczynników dla dowolnego rzędu pochodnej nie jest widoczne.

Wyrażając wszystkie pochodne funkcyi y — tg cc przez tęże funkcyę, otrzymujemy: y = tg cc, y‘ — 1 -j- tg²cc , y" = 2 tg cc . y‘ = 2 tg³cc, ijui — 2 -f- 8 tg² a? -j— 6 tghc ;

7/(4) = 16 tg x -f- 40 tg³x -j- 24 tg⁵cc, y(&) = 16 -f- 136 tg²cc 240 tg⁴cc -f- 120 tg*’cc.

Tą drogą możnaby dalej postępować; prawidło tworzenia spółczynników nie jest atoli wcale proste, ani też wprost widoczne.

W tym przypadku możemy jednak wyprowadzić t. z. wzory zwrotne, (rekur-syjne), które dozwalają wyrazić jakąkolwiek pochodną, przez pochodne niższych rzędów.

a) Jeżeli y = tg cc, natenczas mamy: yf = 1 -j- tg²cc, y“ — 2 tg cc czyli: y" = 2 {/'■!/• Stosując tu prawidło Leibnitza, podane we wzorze (15") str. 457., dotyczące wielokrotnego różniczkowania iloczynu, otrzymamy po (n — 2)-krotnem różniczkowaniu wzór:

y(5)

COS⁶CC COS⁴CC

cos²cc

?/(⁶> =

COS⁷CC

(»')

(«")

yW= 2 |.y + (* ! ²)y(«-2). y‘ + ... + (” r ²) y(n—r-l). y(r) +...+

+... + (îjlg)y". 2/(w-³) + (*_2) y' • 2/⁽”_2)]-

W Jeżeli y = co tg cc, natenczas mamy: ?/' =— [1 -f- cotg²cc], «/" = — 2cotg cc . if, czyli: y" = — 2//'.#/, skąd, jak powyżej, otrzymujemy:

y(*>= — 2    • y + (M1w) • y' + - + («—2) y'.y(n_2)].

(&')

16. Pochodne wyższe lunkcyj cyklometrycznych nie dadzą się także przedstawić ogólnie w bezpośredniej prostej postaci, natomiast stosując tu prawidło wielokrotnego różniczkowania iloczynu, otrzymujemy wcale proste wzory zwrotne. a) Jeżeli y — arc sin cc, natenczas otrzymujemy:

xy‘

czyli : y"

V=vx=ź'y

a więc związek między funkcyą arcsin cc, jej pierwszą i drugą pochodną , wypada w postaci :

(1 — £c²) . y" = xy\

skąd, stosując (»—2)-krotne różniczkowanie, podług wzoru Leibnitza, otrzymujemy:

(1—cc²):7₂

1—x²

(l-*²) y w + (* 1 ²) • 1-2*) • y(«-D+(W 2 ²) • (-2) • y{n

-Ą=X.

a więc wzór zwrotny :

(1—cc²) y(n) = (2n—3) x. yfr-¹) -j- (/<-—2)². y(n -²), który stosuje się widocznie także do funkcyi: </■= arc cos*.

B05 —

b) Jeżeli y — arc tg x, natenczas otrzymujemy:

y‘

2x

2xyJ

l-f*²’ V<>    (l+:r²)²

a więc związek między funkcyą arctgæ, a jej pierwszemi dwiema pochodnemi, w postaci:

(1 -j- &‘²) V“ — — 2ocy‘,

skąd, stosując (n—2)-krotne różniczkowanie podług wzoru Leibnitza, otrzymujemy:

(1 + x²)y(") -f ²J. 2x .y(n-i) -(- (%²) *² • «Art~²⁾ — — 2x .y(n~¹) -f    ₁ ²) .[—2]. y(*-2),

a więc wzór zwrotny :

(1 -j- sc²) y(n)=—2 (w.—l)xy(.n—¹) — (w—1) (w-2) //(«—2;.

(29)

17. Wielokrotne różniczkowanie funkcyi danej funkcji. Niech będzie y=/(w), przy-czem » = »(*), Jeżeli kolejno po sobie następujące pochodne funkcyi f(u), względem

zmiennej w, czyli stosunki różniczkowe :

.df(u)    <ż²/(w) dnf(u)

/"(«)

różniczkowe :

oznaczymy przez /'(«),

du²

/(”)(«), a pochodne funkcyi « względem zmiennej niezależnej czyli stosunki du d%u

du

dun

dx"¹ dx²

przez u, u"

m(”) , natenczas po sobie następujące pochodne

funkcyi y względem zmiennej niezależnej cc, czyli stosunki różniczkowe:

yM, otrzymamy w postaci następującej:

dy d²y dny dx ’ rfæ²’"’

oznaczone kolejno przez y', y“

y‘ = »' • /'(*),

y" = m" • /'(w) + u'². f " (u),

y“' — u“' . f\u) -j- fyu'u“ (u) -j- (l*')³./"'(«),

y(4) .= w(4).    -f- 3(w")²] .(w) -f- 6(«')²w" ./'" («) -f- (m')⁴./(⁴) (u),

a więc ogólnie w postaci :

yW= •/'(«) + ^2 •/"('«) + ^3 ./'"(*) +... + Un ./(«)(«),

r=zn

czyli :

y⁽n)₌^ Ï7r ./(r) («),

(80)

r~ 1

gdzie spółczynniki Un (c—1, 2,..., n), zależą wyłącznie od funkcyi w i jej pochodnych: u‘i u",mW , a niezależą wcale od kształtu funkcyi /, a więc są jednakowe dla wszelkich funkcyj / jednej i tej samej funkcyi u.

18. Wielokrotne różniczkowanie funkcyj złożonych. Niech będzie y —f («, »), gdzie u-—ri(x)i v — natenczas, na mocy art. 5. str. 499., otrzymujemy pierwszą różniczkę

* . dv.

zupełną :

i pierwszą pochodną :

»a

iy = -r-d»+rv

dy

du

dr

dx

W tych wyrażeniach pochodne cząstkowe : ~==fu' (u, v) i ^=/'r(w, v ), są znowu

funkcyami złożonemi z funkcyj « i t, przeto mają także po dwie pochodne cząstkowe, jedną względem u, drugą względem v, które nazywamy też drugiemi pochodnemi cząstkowe mi danej funkcyi złożonej: y=f(u, v).

Mianowicie :

dx

dx'

a) pochodna cząstkowa: —=/'*(«, v) danej funkcyi: y—/(«, v), otrzymuje:

1) pochodną cząstkową względem «, którą oznaczamy symbolami :

ddl

du    ()f/u(u, ») ()²y

f)²/(w, t?)

f“uu(u, v),

2) pochodną cząstkową względem v, którą oznaczamy przez :

ddl

du df 'u (u, a) r)²y

()m do du do

du

du

()w²

()w²

(«i)

<y*f(u,v)

r)>;

()r

ty

b) pochodna cząstkowa: - =f\(u, »), danej funkcyi : y=f(u,v), otrzymuje: 1) pochodna cząstkową względem w, która oznaczymy symbolami:

dv

V)

dhj

⁽⁾²/0b v)

()u

du

ÙV ÙU

dv du

f“v u (w, »).

tyl)

2) pochodną cząstkową względem », którą oznaczamy symbolami :

ùU

ùJV(u, v)

ùhj

(Vf (u, v)

dv

dv

dv²

dv'¹

■f‘év v (w, »).

Uwzględniając, że cząstkowe stosunki różnicowe funkcyi: y = /(w, »), przedstawiają się w postaci :

Ai/ _ /(«+ A«, »)—/(«, »)

A// _/(w, v + Av)—f(u, v)

A»

\v

otrzymujemy drugie stosunki różnicowe tej funkcyi, wyznaczone kolejno względem u i », av postaci :

A’//

A u /(w -{- Aw, v -j- A»)—/(w, » + A »)—/(w + Aw, ») -p /(w, »)

Aw A»

A»

Aw A»

A²//

A»

A» Aw Aw skąd wnosimy, że :

/(«* +    ';-f A») —/(« + A«) p) — ZO, t> 4- A») +/(«, »)

A» Aw

a..

Aw

A»

A²v/

A/'

Aw

czyli , że : -—— = J 7 Au A»

A» Aw

a więc także:

dv

*r-ozyli:

à*y

(31)

du dv dv du

To znaczy: Mając daną funkcyę, złożoną z dwu funkcyj , różniczkować kolejno ze względu na obie funkcye, możemy te działania w dowolnym wykonać porządku.

Wobec tego funkcya: y=f(u, »), złożona z dwu funkcyj u i », mając dwie pochodne

ty by du ’ dv

cztery pochodne cząstkowe trzeciego rzędu :

cząstkowe pierwszego rzędu :

à* y .

T)»² ’

r)² y    d² y

du² ’ <)w ()»

ma trzy pochodne cząstkowe drugiego rzędu :

dhy b³y d³y d³y du³ ’ du² c)» ’ dudv2 7    ć»³ ’

ogólnie (» -j- 1) pochodnych cząstkowych w-go rzędu :

dny

')n// _

du” ’ dun—*dv

dny

dny    dny

du dvn—1 ’ dvn '

dun—rdvr

Z pierwszej różniczki zupełnej danej funkcyi złożonej: y—f(u, i;), kształtu:

dy

ty

dy = — e?w - «2»

r)w

()»

otrzymamy tedy, majac na uwadze, że: drugą różniczką danej funkcyi złożonej w postaci :

d²y

du dv

dv

dhy

du dv

dv.

d ty ^ ćty dv dudv

j i b<lu 7

aw -|—— dv

dv²

czyli :

d*y

dhy

d*y

ty

ty

rfw²4- 2

d²y —

a stąd drugą pochodną , w postaci :

r)w²

du dv

du dv 4-

dv²

o!»² 4 r + — <?²», du

()»

(32)

d'ly_d-y idu\²

dx² Ou'^dx’

d²y du dv d²y (dvY¹ dy d'lu , du dv dx dx ' dv² \dxJ ‘ du dx² '

dy d²v dv dx²

Postępując podobnie z drugą różniczką (Z²//, otrzymamy trzecią różniczkę:

()h/

dhy

^“ś?***+⁸ js*’*+³ ^d“ *’+S*¹+⁸ S *•Ä+

du d²v -j-3 y- ^ <Z²m dv 4- 3 y^ dv d²v -j- y^Z'%4~    cZ³?;,

()²y

7« 0v

a stąd trzecią pochodną :

dzy __ ć³y /<Z*A ³ o cZx³ ()w³ '(Zx *

|()²y du d²u 0²y i ()wa dx- dx²

O³y /<Za\²(Zr    ()</ du /cZr\² ć³«//<Zt>\³

7«² ćr \cZx/ dx du Oe² dx \<Zx'    Ov³ 'dx'

d²u d v~\    0²y dv d²v 1    0y d³u    Oy d³v    (33')

dx² dxJ    Ov² dx dx²)    Ou dx³    Ov dx³’

W podobny sposób możemy otrzymać różniczki i pochodne czwartego i wyższych rzędów, odpowiadające danej funkcyi złożonej: «/—/(«, v), gdzie u — s(x), r = v|/(x).

Analogicznie postępujemy z funkcyą złożoną z ilulcolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej kształtu: y =/(«, v, w, ...), której pierwsza różniczka przedstawia się w postaci :

rcZw «Z²r ()« r)t> LcZx ćZx²

<>!J

Oy

Oy

dio 4- ...

dn=-du+^vdv +

Stosując ten wzór do otrzymanych pochodnych cząstkowych, otrzymujemy pochodne wyższych rzędów, odpowiadające danej funkcyi złożonej z ilukolwiek funkcyj.

W zastosowaniach postępuje się łatwiej w ten sposób, że się daną funkcyę złożoną wyraża wprost przez zmienną niezależną, a następnie wykonywa kolejno różniczkowanie aż do żądanego rzędu.

Ow

Ćwiczenia XXXVII.

Wyprowadzić następujące wartości graniczne : 1) lim

x—a

\/x — y/a

p'x-Ç'â

2V/«

3) lim

x=\

y/x4*7—V/ö-x²

VS/cP-x

¹.    4) lim V^⁴ + 4*²+l + V-r⁴ + -r²

\^2£C* +1 + X/x—l

2) lim _

,r=a tyx-tya

24'

y/a . 6) Zim [y/x²-j-l—x] —0.

X-=oo

7) Zim [y/x³ — 5x² -f-1 —x] = — |. 8) Zim Tl/

X—CO    X—00 L \

x²— y/4x⁵— 3

.r=

\T2"‘

5) lim

.Tl—CO

y/ax² -j-2Z>x -(- c

x⁵—xi—3æ²-j- cc —j— 2

x²—x — 1

è]⁼¹

9) lim -

;i=1

y/a; ₊8-y^2x+6-\/5x-4 x² +y/3^+l~-y/5x4-22

135

277’

10) lim

(19*4- y/29x + 35)1/3—(5x²+69 + y/48x + l)⁷’    1927

(5* 4- 3)'/s - (x²—x 4- 4)7:

252 ’

a, ©<

11) Zim tang-gg ₌ Z. 12) Zim (1 + tg px)cotg 5 *    .

x= 0 tang qx

tg(*4-Ä)—tgx

13) Zim II

lim

A=0

14) lim

h-0

arc sin (x + h)—arc sinx

tg h i 4" tg2 x h 1—tgxt g/»

lim

2,

cos x 2x 4- ^

h—0

h—0

15) Zim

h—0

arc tg (x 4* Ä) — arc tg x

lim

h=0

(xZt)y/i—x² + xy/i—(xĄ-hy y/i — x²

(x -J- h)—x

14- (x 4- ä) x

1 x² '

16) Zim arooctgfr + ZO-arccotg* = a=o    h

X —j— k

Zim--___

A=o x² -\-hx -j- 1    1 -j-x²

17) Uni

x~a

an—xn

— 6~x

19) Uni

log a — log cc ex—l + log(l -f- x)

ßX

— nan. 18) Um ——    ,

0 log(l + x)

= 2.

cc²

1. 20) Um

xeîx _|_ Xex—2elx -|- 2ex

x=0

(ex — 1)3

(i

21)    Wykazać, że dla a >1 jest: 1) a-^^O, dla wszelkich rzeczywistych x ; 2) a*;>l, dla dodatniego *, zaś ar<l, dla ujemnego cc; 3) lim ax — 1; 4) ax rośnie wraz z rosnącem x;

•T—0

5) lim ax — co. 6) lim a* —0. 7) a* jest funkcyą ciągłą i jednowartościową zmiennej x,

X — CC

X—-00

i wyprowadzić analogiczne własności tej funkcyi , gdy «<1.

22)    Wykazać, że skoro «> 1 jest log« O — — go, log«(+oo)= 4 ⁰⁰ > skoro zaś «<1, natenczas jest loga O =-f-co , loga(+oo) = 0.

23)    Wykazać, że funkcya y—logax jest ciągłą dla wszelkich dodatnich wartości zmiennej niezależnej x.

24)    Jeżeli zmienna y jest związaną ze zmienną niezależną x, zapomocą funkcyj ciągłych i różniczkowalnych, w ten sposób, że: y—/(w,), w,—/, (w₂), w₂=/₂(w₃),..., un=fn(x), wykazać, że :

dun

dx '

dy _ dy dux dx dui ’ du-i

Wyznaczyć pochodne następujących funkcyj innych funkcyj , wzgłędem zmiennej niezależnej x, i wykazać, że, gdy:

25) y = cos (sin x) ;

26) y — cos [log sin cc] ;

dx

27) y—sin [tang x\ ;

dy

dx

= — cos x . sin (sin cc).

sin [log sin x] tang cc cos (tang x)

cos²cc

28) y — arc sin

1 — cc²

1 + cc²

29) y — arc sin

S §*|£

1 -f- cc²'

\/1    x²

Æb 1 -f- X¹'

2cc

30)    y = arctg

31)    y — arc sec

2 cc² — 1

33) y = alog.r j

34) y = log [log (log*)] ;

35) y — arc cosec — ;

S US 8*IS *!* g-IS US

14-CC²'

Y/l-æ²'

— ea*. a*. log a. alog .r . log a

a: log cc . log (log cc)

./•

Y/l - cc² ’

ófcc

36) y — e°os * ;

= — ecosæ. sin cc.

Wyprowadzić obok podane pochodne cząstkowe następujących źunkcyj złożonych:

nun—¹ dy

37) y

Un

0/

MW™

38) y =

fjTO ⁷

V/w²-c²

c)w

<»c

Y/«²4-c²

39) y == log -

4-Y/w²— v2 w —Y/w²4- u²

.w

40) y — arc sin — ;

2w²«

2wv²

__. ćy _____

ĆW (w² 4“ y2)³k\/w² — V2 ()y    ( W² 4- t?²)³/*Y/«² — V²

"//

f)y

ćy

2w

ĆW

f)y

Y/w²-«²

()p

r)y

Y/w² — v²

509

41) y

(«²-f- V²)

42) y — u sin v 4- V sin u ;

(u² -j- C²)³ ’ — sin v -f- v cos u ;

4i?

(u² + V²)³'

= Mcosv + sin w.

43) y—-ur\

= w»—¹ ;

=^uv\ogu.

44) y — u*w ;

vw w°w.

== u*>w. w . vw 1. log u ;

<)y

dw

=    . V«’. log U . log V.

45) y = tg(u+v);

<)y

dy

46) y =• arctg

47) y = arctg

u + V .

1— WÎ7 ’

2w-f--y—m² ()y 1—2uv—vv du

<)u COS'^M+v)

&y

f)w

1 + u² ’

dv cos\u-\-v)'

1

dv ~~ 1 4- v² '

<>!/

&y

1 -|-w² ’

48) y=arc sin(^\/1—v²-\- v\/1—m²),

ri*

Vl-u² ’

XI    7)

49) Jeżeli y = arc sin--\- arc sin — , okazać , że : dy

du

dv

\/a² — u²    \/b²—v²

Sprawdzić różniczki następujących funkcyj złożonych jednej zmiennej niezależnej:

50) y = ^~y/se² -f- a² -)- - (log a?+ y/a:² -j- «² ) ; dy = dx\/x²    aK

— /

BI) .„»arotgjî^

(Za:

1 -j- X

-à*

52) y = arc cos

- — y/2ax — x² :

a»

xdx

1--^ y/» — i

54) y — arc sin (2a:V/l— a:²) '

53) y=Vx-

\/ 2aa; — a:2 xdx

2(yx--iY

2dx

\/Tzr^

55) y — arc sin (16a:⁵—20a:³ -)- 5a:) ;

hdx

dy — —T'...............—.

\/l — x²

56) y = arc cos (8a:⁴—8a;² -j-1) ;

dx

37) y — arc sin

y/1— s², sin x . 1—s co s x

dy = —.

y/l—a:²

y/f-/²

dy —

1—£ cos x

58) y

1    .    y/l+a:⁴+a:y/2

4V7r'og-irsi—

4y/2

arc sin

x y/2

1+ x²

; dy =

x²dx

1 r___

a²—b² I- a-\- b cosa:    y/a2_^2

60)    y = log (l + ~)

61)    y = log[y/ 1-f a:² -)- y/l —a;²];

59) y =

«sin a:

a; -j- 1

arc

tang ( —y_

& \\/a²-b²

tangf-)]

(1—a:²)y/ 1 -f- a:⁴

(Zy cos a; dx dx a-f-Z>cosa:

dy= —

dx

x(x -f- l)² "

*-[ï

x y/1— a;⁴

dx.

62) y =log

63) y — log

y/æ²+l— 1 . lÆfl+1

a: +y/l —a;² . a: — y/1 — a:²

dy —

2dx

a:y/a;² -j- 1

dy = —

2(Za:

(2a;²—1) y/l — a;2 ex — e—* ex4-e~x

i~x)>

65) y — x-\- log y cos

V/f-fæ"² -f- v'ï¹⁷^

\/1 -f-a:² — \/1 — x'¹

dy

2 dx

66) y =

l + tg®‘

/    ²dx l

dy=--^Y +

—L_ l

\/ 1 T— X⁴^

67)    y = tang x. arctg x ;

68)    y — e—x² cos x]

tang a;

1 + 05²

Jdx.

dy — —e-x²12

po\ i i 4- x\/2 4-x²    as y/2    4 y/2

69) y = log —!-—4--^ 2 arctg - ; dy = i ~.

l-05\/2 +05²    ^ 1 o52    7    1 + .X²

a? cos o;

-f- sin 05 J do;.

dx.

Znaleźć pochodne następujących funiccyj, sprowadziwszy je naprzód do najprostszych postaci :

70) y--={Syx)\ 71) y=Vy8P°

Jjx\/ 5 — 2o;

>    ÿ/5^

_ y ÿëj.—

_ ^/x³—Bo? —1~ (a?²— l)y/o;²-4    ^/x³-3x —(x²-l)y/o;² — 4

74) y — y/i — x i/—4- * l—~.x.    75) y = (x²4-x4-l)(x—14~2x—²)-2x-l—2x—².

\1 - 05    \l-j-05

76) y=(l+2x)(l-2x)4-5x². 77) y = (2*+ 1) (|- -

78) y =(x—l)x(.r-j-1). 79) // = (o;²—os—l)³—6o:³-|-3a5-f-2.

80)    y — (1 — 05 — 05²)³ — 2o5³ — 3o5⁴ 4- 3x⁵ 4~ x°-

0 x x

81)    y — x 0 x

x x 0

72) y

^3) //

. 82) y — (054-1)³, (xï-2)³, (054-3)³ .

(,x4-2)³, (x4-4)³, (x 4~ 6)³

dy

Wyznaczyć pochodnę ^ następujących funkcyj :

1 -j- W

r-M ¹

w= y/ a²— x².

83) y = 3m² 4-2, w = 5x -f 1. 84) y =

85) y = au , m=1-)-x³. 86) y — u¹¹, u — avm-\-b, v — xx.

1 + 1,2    ii \/~

—— , v = 14^ 1/ *0

on\ 1 4" w "ł~

³⁷) »=—- “

\>'i — *>.

Znaleźć pierwsze pochodne następujących funkcyi iteracyjnych:

88) y = log₂(x) = log (log x). 89) y = logn (x). 90) y=ei*==eeX. 91) y=enx.

92) y = sin₂(x) = sin(sinx). 93) y = sinnx. 94) y = cos₂(x) = cos(cosx). 95) y = cos» x. 96) y s= arc sin₂(x) = arc sin (arc sin x). 97) y = arc sin« (05).

Wyprowadzić obok podane pochodne wyższych rzędów, następujących funkcyj : d³y 2! dx³

d⁴y 3!

100) »=*-* log*; g =

d’lny dx^n

dhy 2V/x— 1 îV,

2xy/x

ÿ-₂ = (i 4- log *):2+    ¹

d³y 2cosx sin³x ’

98) y = x²logx;

99) y = x³log x ;

101)    y — sin ax ;

102)    y = e²^x ;

(—1)" «2n sin»x ;

(^2/1 + 1 //

— (~!)” ffl2"⁺¹ cos «X.

103) y = x* ;

104) y = log(sinx)

dx’¹

dhy

dx³

rf⁴y

dx⁴

106) y

= 1og\l¹+xV'î±^l

~ 1 — x\/2 -j- xl

\- arctg -

x\/2 . dhj

1—x'¹

_ 8V/2 . X³

clx³    (1 -j- a:⁴)²

107) y — xm ex ;

r—n

rï = e*.2

r = 0

dny

dx»

r)r\ xm—r.

108) y = (a-\- bx) ex ;

dny

109) y — log (a -|- bx) ;

110) y — sin 2x ;

111) y= co s 2x ;

(a -|~ bn -j-bx)ex;

(»—!)!&»

(■a -f- bx)n '

dxn

dxn K J

dny dxn

dn y —— = 2n cos dxn

= 2n sin

(»■ + ?)•

Oznaczając n-tą pochodnę funkcyi y przez y(n) i kładąc:

T, = (”) ÿ!*-' )~ (J) Jf<— ⁸>+( ”)./(»-»>-( “) y<—!) + ...

r,-(2)y(—2)-(4)y<»-‘)+(e)y("-«)- (g)»!”-⁸) + ...

sin

okazać, że :

112) Dla y = tanga;, jest: yin)

COSX

f Y^gx + Y,.

cos

113) Dla y—cotg x jest: y(n)=

0+Ï)

- Ijcotg.r -j- F₂.

sina;

114)    Dla y = sec a:, jest: y(n) — Fj tg cc fi- lr₂.

115)    Dla y = coseccc, jest: 7/(«)t=— Fcotgccfi- ïj.

116)    Wykazać, że funkcyom: y = arc seccr i 2/ = arccosec x₁ odpowiada następujący związek między icli pochodnemi:

— x(x²—1) .«/(«) = [(3w—4) a;²— (n—1)]. y(n-^)    (n—2)(3«- 5) x. y(»—2) fi- 2(n—2)(w — 3). f/»-³).

117)    Jeżeli ?/ = (arcsina:)²; dowieść, że:

(1 -a:²)t/" = a;t/'fi-2 ; (1—x²)y{n)—(2n—3)x.y(n—0 fi-(» — 2)².//('t 2).

118)    Jeżeli y — e«, u = x², wykazać, że:    = 8e*².(4a:-'’-)-20ać!fi- 15.x).

119) Jeżeli y—f(u), « = ©(.»), wykazać, że: dny = dxn

gdzie :

<2» (V )    /r\

Cr==-^r-“W

£/'W fi- |y/"0) + ... +    W fi- ... +    (W),

+•••+<-M.-iV-’L“

dn (ur 1) dxn

+(2)

u²

dn(ur—²)

Æc»

Rozwiązania XXXVII. 70) y‘ — —. 71) y⁴ — 2 \/2 .x. 72) y⁴

2\/x

23125

l&\/x

73) y = x, y⁴=l. 74) y=2^1-x\ y‘ = -

. 75) y =cc³fi-1₅ y⁴=3x². 76) y‘— 2x.

\/(i-x²y

77) ÿ=æ²-f 1, y⁴ = 2a:. 78) </' = 3:c²-l. 79) y⁴ = 6a:⁵-15a;⁴. 80) ?/=l-3x; y⁴ = — 3. 81) y = 2x³, y⁴ = 6cc². 82) y = 6æ² fi- 27a; + 36, y⁴ = 12a; + 27.

Literatura. Leonard Euler. Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung. Aus dem lateinischen übersetzt von J. A. Christian Michelsen. Berlin 1790. III. Theile. Ch. Stur m. Cours d’analyse de l’école polytechnique, revu et corrigé par E. Prouhet. Tome premier. Paris 1884. Matematyka kurs I. podług wykładów Dra Płacy da Dziwińskiego w c. k. szkole politechnicznej we Lwowie z roku naukowego 1885/6. Część IV. Zasady analizy wyższej. We Lwowie. Autografia 1886.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Ogólne wzory n-krotnego różniczkowania funkcyi funkcyi jednej zmiennej niezależnej.

2.    Ogólne wzory w-krotnego różniczkowania funkcyj , złożonych z ilukolwiek funkcyj jednej zmiennej niezależnej.

3.    Zasady rachunku iteracyjnego.

Wykład XXXVIII.

Rozwijanie funkcyj w szeregi.

1. Szereg Taylora. Jeżeli y=f{x) jest funkcyą całkowitą wymierną w-go stopnia ze względu na zmienną niezależną x: wówczas otrzymujemy wartość funkcyi w miejscu (x-\-h), na mocy wzoru (14), str. 429., w postaci:

f{x + h)=f(x) +

r(*h+q°h>+...+

TT

/'M (x)

— hn

a więc w postaci wielomianu n-go stopnia , uporządkowanego podług potęg przyrostu b.

Zastanówmy się teraz nad tern , czy ten wzór nie dałby się ogólnie rozciągnąć na przypadki, w których dana funkcya f(x) nie jest funkcyą całkowitą wymierną.

Przypuśćmy, że dana funkcya /(#), jednowartościowa i skończona w miejscu x: posiada charakter funkcyi wymiernej nieograniczonego stopnia, innemi słowy, że wartość jej w miejscu (.r-f-li) przedstawia się w postaci sumy, uporządkowanej podług potęg rosnących przyrostu h, o nieograniczonej ilości wyrazów, czyli w postaci szeregu , kształtu :

f(x + h)=a₀ Ą-a^h + a₂h²linJr...,

w którym spółczynniki ar są od h niezależne , a są tylko pewnemi niewia-domemi funkcyami wartości zmiennej x.

Zbadajmy, w jaki sposób spółczynniki przy poszczególnych potęgach przyrostu h zależą w tym przypadku od wartości zmiennej niezależnej x.

Przyjmując, że :

(1)

f {X-\-h) — ttg -{- li -{- tt^ll² -p... -f- Qn bn 4" ...

i zakładając, że ta suma jest skończona, zależna od x, i od otrzymamy, uważając wartość x, jako zmienną, a przyrost ń, jako stały, stosunek różniczkowy :

df(x 4- h)    da₀ da^ ^ da₂

dx    dx^dx¹^ dx

uważając zaś wartość x, jako stałą, a więc także spółczynniki ar jako stałe niewiadome, a przyrost h, jako zmienny, otrzymamy stosunek różniczkowy:

= ci] -f-2a₂li-f Sur,h~    nanhv ^ -f...

ń² + ... 4

dan

dx

hn + ...

(2)

dli

(3)

zaś :

Kładąc x-\-h—u, mamy jednak:

df(x-f-h)    dfiu)    df(u)

du

dx

dx

du ' dx

(a)

df(x-\-h)    df(u)    df\u) du

dh

dh

du

’ dh

(P)

du _d(x+h) a Z6: dx'~ dx df(x-\-h) df{u)

1, a równocześnie także: ~ __d(x+h) __ ^ prze^0 mamy;

an an

df(x Ą- h) df (u)

dx

du

= f ‘(u), jakoteż:

dh

du

= f‘(u), a więc:

df{xĄ-h)    df(x-\-h)

dx

dh

(4)

Stąd wnosimy, że sumy, występujące we wzorach (2) i (3), muszą być także sobie równe, czyli, że, dla dowolnie przyjętej pary wartości x i h, powinnoby być tożsamościowo :

dan_ i

p+ph+...+

dx dx

dx

Aw_1 + ...=o₁ +2a₂h + ...-\-nan    +...

Takie sumy, tożsamościowo równe dla każdego Ä, muszą mieć spółczyn-przy jednakowych potęgach h odpowiednio równe , otrzymujemy więc następujące równości:

* niki

ogólnie :

f(x+h)=f(x)+f-^h+

da₂

dx

f"{x)

o    dan_i

da3’*"> “dz“

1 dnf(x)

hn dnf\x)

n ! dxn

czyli :

wzór, znany pod nazwą szeregu Taylor’a, (ogłoszony poraź pierwszy w r. 1715. przez Dr. Brook’a Taylor’a w dziele : Methodus incrementorum).

Szereg Taylora podaje, pod względem formalnym, sposób, podług którego, znając wartość funkcyi, tudzież wartości wszystkich jej pochodnych w pewnem miejscu x, możemy przedstawić wartość tej funkcyi w jakiemkol-wiek innem miejscu (x-\-h).

2. Przykłady formalnego rozwijania funkcyj elementarnych podług wzoru Taylor’a. 1) Niech będzie f(x)—xn} gdzie n jest jakąkolwiek liczbą stałą , wymierną , lub niewymierną.

Otrzymujemy tu:

f‘(x)=nxn-i,..., f<n(x)=*n(n—1)... (w—r+l)z*-r, a zatem, według szeregu Taylora, wzór :

2! A2 +

3!

A»+.«4

w!

(5)

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

33

fl

(x-\-h)n—xn-\- — xn-¹h + {x + h)n=xn +

n(n—l)

2!

xn~¹h²+...+

n{n—1)r+1) ^

■--Jj

~rhr+ ...

O--'* +©

czyli :

który jest uogólnieniem wzoru Newtona, zawierającem, dla całkowitego dodatniego w, skończoną ilość, mianowicie (w+1) wyrazów, a dla wszelkiego innego n nieskończenie wiele wyrazów.

2) Niech będzie : f(x) = ex. Mamy tu : f‘(x)=ex, ogólnie fW(x)=ex, przeto z szeregu Taylor’a dostajemy:

(6)

«*+*=«*+^4.^2 + ... + ^*+...

{¹⁺T!+|-!+-+^+-}

3) Niech będzie: /(æ)=logûC. Mamy tu: /‘'(a:)—-Î,..., f(»)(x)=(— 1)

przeto, na mocy wzoru Taylora, dostajemy:

i ^    ^3__AL

2lx*'n +S\x*‘n    4! a;⁴

(w—1)! w ! a:n

czyli :

(7)

(w—1)!

a:w ’

log (a;-f-A)=log a: d---

X

czyli :

log {xĄ-h) = log x -j-

-    (ÏÏ

to; h-

i-i

+ ...4

(—l)”"'¹ //An n \x)

4) Niech będzie: f(x) — sinx. Mamy tu: f‘(x)=cosa:, f“(x) ——sina:, f“\x)— — cos a:, f^\x)= sina:,..., wzoru Taylor’a, dostajemy:

sin {x+h) — sin x -f

/ flTC \

ogólnie /Cn\x) = sin I x+j

a więc, na mocy

COS X

cos a:

1!

sin

hn 4-...

5) Niech będzie: f(x)=cosa?. Mamy tu: f\x) = —sina:, f"{x) = — cosa:,

przeto , według wzoru

(9)

/‘"'(•r) = sina:, f^\x) = cosa:, ogólnie f(")(x)—cos

Taylora, otrzymujemy:

sina:

. ,    sina:, cosa:, „

cos (x-\-h) — cosx--—j— h--öt“"² +

i. •    u \    O !

h° +

COS X

4!

A‘+...+

COS

(* + ^)

-m

w!

(10)

3. Inna postać wzoru Taylor’a. Zastępując we wzorze (5) wartość li przez a:—a, a więc a; przez a, otrzymujemy wzór Taylora w postaci:

{x-a)-\ 2J

która przedstawia wartość funkcyi w pewnem miejscu x w postaci szeregu, uporządkowanego podług potęg dwumianu (x—a), gdy znaną jest war

f(x)=f{a)Ą

ft«)

/"(«)

1!

(a:—a)²+...+

(x— a)w + ...    ■ (11)

515

tośc tej funkcyi, jakoteź wartości wszystkich jej pochodnych w pewnem jedynem miejscu x=a.

Na mocy powyższego wzoru, otrzymujemy:

1)    z wzoru (6):

xn=an-\-

2)    z wzoru (7):

an~²(x-a)² + ...+

an~r{x-a)r-f ...

—a

(x — a)²

(x—a)n

1!

2!

3) z wzoru (8) :

logz=log a+~{x~a) — ~(x-a)² + ...

nan

(x—a)w+...

4) z wzoru (9) : sin ic=sin a-t

cos a

1; (a?—a)-

cos a

3! (x-a)²+...+

sin

K)

(æ—a)w+...

5) z wzoru (10) :

cos#=cos a

sm a

X! (*-«)■

sina

3T

(a?—a)³ +

cos

( nn\

(°⁺t)

w!

^{x—a)w + ...

4. Szereg Maclaurin’a. Jeżeli w szeregu Taylor’a :

(as—a)²+...-+

/*(n)(a)

podstawimy a=0, natenczas otrzymamy wzór:

«»-«»u-«.+qf

x²Ą-...Ą

/*(») (0)

xn+...,

(12)

przedstawiający wartość funkcyi w pewnem miejscu x, zapomocą jej tości i wartości wszystkich jej pochodnych w jedynem miejscu #=0, w postaci szeregu, uporządkowanego podług potęg zmiennej niezależnej x.

Wzór ten możemy wyprowadzić niezależnie od wzoru Taylor’a kładając, że wartość danej funkcyi /(as), w miejscu x, da się rozwinąć w szereg, uporządkowany według potęg całkowitych, rosnących, zmiennej niezależnej x.

Niech będzie bowiem :

war-

za-

f(x)=a₀ -|-a₁as-|-a₂as²-l-a3as³+...-l-anasn-j-...

(13)

gdzie niewiadome spółczynniki ar są stałe, od x niezależne ; natenczas, stosując do tego szeregu prawidła różniczkowania, otrzymujemy:

f‘(x)=ax -f 2a₂as-f3a₃as²-j-... + wanasn-1 -j- ...

/"(as)=2a₂ +3.2 . a₃as+...-ł-w(w—1) a„as”_2-f... f,u(x)=d.2.a₃ + ...-\-n(n—l)(n—2) anasn“³+... f(n\x)=n(n—1)... 2.1 .a„+ (n+1) n .(n—1). 2an+i as+...

Kładąc w tych równościach as=0, dostajemy:

f (0)=«₀, f‘(0)—a, /’"(0)=2a₂, r'(0)=3.2.a₃,...

ogólnie :

ogólnie :

ogólnie :

/'W(0)==w(w—-1)... 2.1. an »o—AO), ai=f'(°)ra2s=-^]f,‘(% «3=^7/‘,,<(°)ł-

skąd otrzymujemy :

a więc, jak powyżej, szereg:

A*)=A0)4

m    f*( o)^₂

2!

^z+...+

£w+...

Szereg ten znany jest pod nazwą: szeregu Maclaurin’a, jakkolwiek jest tylko szczególnym przypadkiem szeregu Taylor’a i jako taki ogłoszony został przez Maclaurina w r. 1742.

5. Przykłady rozwijania funkcyj elementarnych według wzoru Maclaurin’a. Chcąc rozwinąć daną funkcyę według wzoru Maclaurin’a, potrzeba znać wartość tej funkcyi, tudzież wartości wszystkich jej pochodnych w miejscu x=0.

1) Mając daną potęgę y—xn, zauważymy, że jej wartość dla x—0 jest dla dodatniego wykładnika n zerem, a dla ujemnego nieskończonością. Jeżeli n jest liczbą dodatnią całkowitą , wówczas wszystkie pochodne funkcyi y=xn, stają się, dla x—0, zerami, z wyjątkiem w-tej, która ma wartość n\ Wobec tego szereg Maclaurin’a sprowadza się w tym przypadku do jednego tylko wyrazu: xn. Jeżeli n jest liczbą dodatnią ułamkową, wówczas, dla Æ=0, stają się pochodne funkcyi: y—xn, do pewnego rzędu, zerami, a wszystkie następne stają się nieskończenie wielkiemi. Funkcyi y=xn nie możemy więc rozwinąć według szeregu Maclaurin’a. Natomiast możemy rozwinąć na szereg Maclaurin’a funkcyę: f{x) — {l Ą-x)n, która dla wszelkiego skończonego n ma wartość równą 1.

Otrzymujemy tedy : f(x)^(l+x)n, f'(x)=n(l+x)n~'i, f‘‘(x)=n{n—1) (1 + æ)m~²,

a stąd :

A0)=i,

f‘(0)=n, f"(Çj)=n(n-1)

ogólnie :

fW(x)=n(n— 1)... (n-rĄ-1) (l + a?)”⁻⁷', „ przeto, według wzoru Maclaurin’a, dostajemy wzór:

n[n—1) ₂

f^(0)=n{n—1)... (n—r +1)

czyli :

'ïl

(l+x)”=l+ x tf-f (l + x)n

1.2

xŁ+...Ą

n(n — 1)... (:n—r+1)

1.2 ...r

xr + ...

-‘+GM5)

a;² + ...+

C)

xr+...

(14)

2) Mając daną funkcyę wykładniczą: y=ax, otrzymujemy:

a stąd

f(x)=av, f\x)—ax log a /'(») (#)=ax (log a)n    „

A0)“i,

/’/(0)==loga, /'(")(0)=(log a)n

ogólnie :

przeto, na mocy wzoru Maclaurin’a, otrzymujemy rozwinięcie:

log a

a*=l +

1!

xĄ--

(log a)²

(log a)

xn+...

czyli :

ax= lj

xloga (icloga)²

(a? log a)n

1!

2!

+ »•

(15)

Jeżeli zasadą a jest zasada logarytmów naturalnych przeto log a—loge=l, natenczas otrzymujemy rozwinięcie:

a więc a=e,

„ X XL    xn

^=¹ + jI + 2] + ".+^+-.

z którego dla a?=l, wypływa :

e=l+ ~

1 1

1!⁺ 2!⁺8! ⁺ -⁺T! ⁺ -

(17)

3) Mając daną funkcyę y=\ogx, zauważymy, że dla x=0 jest y=—go, a więc funkcyi y=\ogx nie możemy rozwinąć według wzoru Maclaurin’a. Przyjmijmy natomiast funkcyę y=log (1+-#). Dla tej funkcyi otrzymujemy:

a stąd :

f(x) = log(l+x),

f\ 0)-=0,

f\x)

1+X

f“{x)

(1+ ®)

f(n){x) = ( — 1)H_1

(w—1) !

(1 + »)"

ogólnie :

przeto, na mocy wzoru Maclaurin’a, mamy :

/(«)(0)=(—l)"-¹ («—!)!

2!

CO

czyli :

\og(lĄ-x)=x—^-x²-\- xz —

/V» 2    /V» 3

log(l-fz) = z —— + 3“

-i

(w —1)!

/y» 4    /y»W

CA/    .    • .    Ą tA/

T + ... + (-l)— —

4) Mając daną funkcyę goniometryczną : ?/=sina:, otrzymujemy: f(x) = s\nx₎ f‘(x)=cos a:,    f“{$) = —sina:, f‘“(x) = —cos#,...,

/•(0)=0,    /'(0)-l,    /•"( 0)=0,    /'"'(0) = — l.-j

/•<*“)( 0)=0, /•<²”+>)(0) =•(—!)”,

+ ..•

(18)

a więc : ogólnie :

a zatem, szereg :

sina:=a:—

xz

x'°

3!

5!

... +

(-l)n

a;2n+¹ +...

(19)

5) Dla funkcyi y= cos a:, otrzymujemy:

f'(x) = cosa:, f‘(x) = —sina:, /’"(#)= — cosa:, f‘“(x)—sina:, .

/ (0) = 1, /*'(()) =0, /"(0)= — 1, />,/'(0)==0,

/•2«(0) = ( —1)», /•<2« + 9(0) = 0,

a więc : ogólnie :

a zatem szereg :

a:

CC ^    CC'

TT,    1)*-^!    . -

(20)

cosæ=1—

6. Uwagi o rozwijaniu fnnkcyj według wzoru Taylor’a i Maclaurin’a.

Rozwijając funkcyę wedle wzoru Taylor’a, lub Maclaurin’a, otrzymujemy sumę, złożoną z nieskończenie wielu wyrazów, uporządkowaną według potęg przyrostu , lub zmiennej niezależnej , czyli t. z. szereg potęgowy. Aby rozwinięcie takie było prawidłowe, musiałyby być dla danej wartości zmiennej niezależnej : 1) wszystkie spółczynniki szeregu skończone ; 2) otrzymana suma nieskończenie wielu wyrazów musiałaby dążyć do pewnej wartości skończonej, oznaczonej, a 3) wartość ta musiałaby być rzeczywiście wartością funkcyi w przyjętem miejscu. Dopiero sprawdzenie wszystkich tych okoliczności może nas upewnić , że otrzymane rozwinięcie jest nietylko formalne, lecz jest także przydatne do wyznaczenia wartości funkcyi i do poszukiwania jej własności.

Wywód wzoru Taylor’a i Maclaurin’a oparliśmy na założeniu , że funkcya , która nie jest funkcyą wymierną, może dla pewnej wartości

2!' 4!    6!

zmiennej niezależnej zachować charakter funkcyi wymiernej, przedstawiając się w postaci funkcyi wymiernej, nieskończenie wielkiego stopnia, czyli w postaci t. z. szeregu potęgowego. Musimy więc przedewszystkiem zbadać, czy i pod jakimi warunkami suma nieskończenie wielu wyrazów może być wziętą w rachunek i jakie okoliczności występują na jaw w rozważaniu takich sum.

W tym celu zajmiemy się najpierw rozwijaniem funkcyi, niezależnem od teoryi szeregów, czyli wyznaczaniem t. z. reszt szeregów Taylor’a i Ma-claurin’a.

7. Reszta szeregu Taylor’a podług Lagrange’a. Przyjmijmy, że dla danej funkcyi f(x) jest :

m

f\x)=f(a)Ą

(x—a)²+...-f

gdzie Rn jest niewiadomą resztą.

(x—a)n+1

Połóżmy Rn

0 + 1)!

i a, natenczas otrzymujemy warunek:

ïtO-h-T

/'OO =/'(«) 4

/"(«)

P, gdzie P jest niewiadomą funkcyą wartości x

(x—a)² + ...-t

ma)

<*-«)■ 4

(x~a)n+i p

czyli :

0 + 1) !

m-m

f\a)

!! (* ^ 2!

(as—a)²—...—

/"(«)

(x—a)n

(x—a)w+1

P= 0. (a)

0 + 1) !

Zastąpmy we wszystkich wyrazach powyższej równości, prócz wyrazu P, daną wartość a przez zmienną z, i utwórzmy funkcyę :

1! O 2!

(x—z)n

(X—8)n+i

0 + 1)!

p,

natenczas, zakładając, że funkcya f(g) jest funkcyą ciągłą w granicach od z=a do z=x, zauważymy, że także funkcya nowo utworzona (p{g) będzie w tych granicach funkcyą ciągłą.

Funkcya cp{g) staje się, jak łatwo zauważyć, ma mocy warunku (a), dla z=a zerem, staje się też zerem dla g=x, musi więc w granicach między £=«, a z— x posiadać pewne maximum, lub minimum, czyli jej pochodna (p\g) musi się stać zerem dla pewnej wartości g₁ położonej między g=a, a z=x.

Z określenia funkcyi <p(g) otrzymujemy zaś :

-/»+/»-

/"(*)

f"(s)

rr(*-*)+TT

fw(g)

0—1)!

(x—Z)n~¹

/«to

' (n—1) !

(X—8)n p

(x—0)n_1 +

czyli :

cp\g)= —

/‘(*+D0)

(*—«)" +

(as—0)n

J®,

musi więc być, dla pewnej wartości g, położonej między granicami z=a i £=æ,

P= O, zatem musi być P= fln+*\g).

*>

Oznaczmy dotyczącą wartość zmiennej æ, położoną między a i a?, przez a+@(as—°0> rozumiejąc przez © pewną liczbę dodatnią , zawartą między O a 1, natenczas otrzymujemy :

cp‘(z) = O, a więc —

(x—z)n

pc=/,(«+D(a+©0-a)),

zatem :

-R»

(as—a)n+¹

0+1)!

/■(»+¹) 0+ @(as —a)).

(21)

— 519 —

skąd, kładąc x— a—In, otrzymujemy: Rn—

hn+i

(210

(* + l)!

z warunkiem 0<C@<Cl, jako wzór na wyznaczenie reszty szeregu Taylor’a, znanej pod nazwą reszty Lagrange’a. (Lagrange, Theorie des fonctions analytiques. 1797).

8. Wzór Taylor’a przedstawia się więc grange’a, w postaci :

po uwzględnieniu reszty La-

k    hn

f\x + h)=/ (x) + J-, f\x)+...+    f(n) (x) -f

lub: f{x)=f (a) +    +

(a;— a)n

zaś wzór Maclaurin’a w postaci :

hn+1

(» +1) ! (x—a)w+! (» + !)!

f(n+i)    ßhy

/'(n+b (a + ®(£c—a)),

a?n+¹

(n + 1)!

f(n + Vi®X).

9. Reszta szeregu Taylor’a według Cauchy’ego. Napiszmy resztę Rn w szeregu Taylor’a :

/■'(«)

1!

(+ — a) + ... +

/'(ra) (a)

(æ—a)M + .R

w postaci :

gdzie P₁ ma pewną wartość jej określenie warunek:

P« — (a;—a)Pl5

od ï i a zależną, natenczas otrz}Tmujemy na

/»

fn\a)

ix—a)n—ix — a)Pi =0.

Zastąpmy, jak w art. 7., we wszystkich wyrazach powyższej równości, z wyjątkiem wyrazu Pj, wartość daną a przez wartość zmienną z i utwórzmy

ix — z)n — ix—z) Pi,

funkcyę :    <p(z) =f\x) —f\z)

ix— a) — ...—

/»

1!

ix — z)—... —

(*)

natenczas, zakładając, źe funkcya f\z) jest funkcyą ciągłą w granicach od od z=a, do z=x, zauważymy, że także funkcya (piz), powyższym wzorem określona , będzie w tych granicach funkcyą ciągłą.

Funkcya (piz), stając się, jak łatwo zauważyć zerem dla z=a, staje się też zerem dla z=x, musi więc posiadać w granicach od z=a do z—x, pewne maximum, lub minimum; jej pochodna (p\z) musi więc stać się zerem dla pewnej wartości z, położonej między a i x, czyli dla z—aĄ-0ix— a), gdzie 0 jest pewną liczbą, położoną między 0 i 1.

Z określenia funkcyi (piz), otrzymujemy :

/•("+¹ \s)

na

mocy warunku (b)

(p\z)

ix-zy+P,,

skąd, gdy (p‘iz)=0, otrzymujemy:

ix— z)n

gdzie z=a-\-0{x—a), przyczem (9<1.

Podstawiwszy tę wartość za z, otrzymamy :

P±

[i[x—a) —0ix—a))n

/'(n+1)(a + Oix—a)),

czyli :

P< =

{x— a)n(l — 6)n

6ix—a))

z warunkiem 0<; @<Cl, jako wzór na wyznaczenie reszty w szeregu Taylor’a, znanej pod nazwą reszty Cauchy’ego. (Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829).

10. Wzór Taylor’a, po uwzględnieniu reszty Cauchy’ego, przedstawia się więc w postaci :

h    hn

f(x+h) =f(x) +    f\x) h... + —, f^\x) -1

lub: f(x)=*f(a)+—

(i—eyfb+^+oh),

(x—a)'

a zatem :

Rn

(x-à)n+\l—GY

ni

f(n+i)(a+ 6(x—a)),

(22)

skąd, zastępując x—a przez Ä, dostajemy:

Rn

hn+i

ni

(220

/<">(«) +    f”⁺(l-6>)w/^+¹Ya+ G(x-a)y,

n !

wskutek tego wzór Maclaurin’a przedstawia się w postaci :

Ofi    /yifl    /y*Tl-j-1

A*)=/(0)+r,/-'(0)+...+^T/t”)(0)+    (i-o)» /•<■.+» (0X).

11. Reszta szeregu Taylor’a według Roche’a. Napiszmy, za przykładem Roche’a, (Note sur la formule de Taylor. 1858), resztę Bn w szeregu Taylor’a :

nl (x~a)n+R

ax)=f(a) +

/v(«)

/‘W (a)

Bn=(x—a)p M,

w postaci :

gdzie p jest wiadomą liczbą całkowitą dodatnią, a M liczbą niewiadomą, od x i a zależną , natenczas otrzymamy warunek :

/W (a)

(x—a)n + {x—a)p M,

który możemy napisać w postaci :

f{x)-f\d)—{x—a)f '(a)- ...— Utwórzmy funkcyę ą>{g) kształtu:

<K*0 =f\x) ~f(e)-{x-z)m->~-

(x—a)n

f(«\a)-(x-a)PM=0.

(c)

{x—g)n

{x— z)pM,

natenczas, zakładając, że funkcya f{g) i jej pochodne /(r)(tf), (r=l, 2,..., w), są ciągłe w granicach od g—a, do g=x, zauważymy, że także funkcya q>(g) jest w tych granicach funkcyą ciągłą i różniczkowalną.

Funkcya (p(g), stając się, na mocy warunku (c), zerem dla g=a, staje się widocznie zerem także dla g=x, musi więc posiadać maximum, lub minimum, dla pewnej wartości g, położonej w granicach od g=a do g=x, a więc musi mieć pochodną (p‘(g) równą zeru, dla g-—a-\-6{x—a), gdzie 0 jest pewną liczbą niewiadomą , między 0 a 1 położoną.

Z określenia funkcyi cp(g) otrzymujemy:

*>'(*)

/(»+ D(*) +p(x—0)P~ i M,

skąd, na mocy warunku <p\z)=0, wypływa:

M= (x—g)n~p+i /(w+h (*)

gdzie a+ Q(x~a).

Podstawiwszy tę wartość za 0, otrzymujemy:

czyli :

a zatem :

-— [(æ—a)—Q(x—a)]n~p+x /‘(n+¹) (a + 0(#—a))

n\ p (x—a)n—p+1

n ! p

_{x öt)w+i

w! p

skąd, zastępując a przez x, zaś x— a przez h, dostajemy:

Bn =

(23)

n\ p

z warunkiem O<C0<Cl, jako wzór na resztę szeregu Taylor’a, znaną pod nazwą: reszty Eoche’a, lub też reszty Schlömilcha.

12. Wzór Taylor’a, po uwzględnieniu tej reszty, przedstawia się więc w postaci:

hn

f\x+h) =f(x) + j-j f‘ (x) +.,... + —j fM (x) +

An+¹

n\ p

(1 _ e)»+i-p /•(»+!) (aj+0Ä)

lub :

f(x)=f(a)+ -

—a

1!

/'(«) + ••• 4

(x—ay

/<">(a)4-

(x—a)n+¹

a więc wzór Maclaurin’a przedstawia się w postaci:

xn+i n ! p

gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, a 0 liczbą niewiadomą, między 0 a 1 zawartą.

13. Rozmaite inne postacie reszty szeregu Taylor’a. Oprócz powyższych postaci reszty szeregu Taylor’a, podanych przez Lagrange’a, Cauchy’ego, Roche’a i Schlömilcha, znane są. też i inne postacie, których rozmaitość dałaby się nieograniczenie rozszerzyć. Ogólniejszy typ reszty szeregu Taylor’a określa n. p. wzór:

W — «K«)

-f(n+\) (a -j- e(aj—a)),

Rn

(x—a)n (1—0)’

ty'(a -j- 0 (cc — a))

gdzie <!(«) jest dowolną funkcyą , ciągłą między granicami z = a i z = x, z warunkiem, że ty'(z) nie staje się zerem między temi granicami.

Wzór Taylora, po uwzględnieniu tej reszty, przedstawia się w postaci:

/O) («)

/(*+*)=/(*) 4

/w

*4

/"(*)

2^A, + - +

1ln

ty(x-\-li) — <l(a;) hn (1—0)» ty'(x 0Ä)

lub :

/(*)=/(«) +

/'(«)

/"(«)

f(n+l) (x _p 0Ä), /(«)(«)

(x — o)²-]-... -j-

(x—a)n -j-

łO⁸)—ł(g)

ty' (a -j- 0 (æ — a))

(x—a)n (1— 0)

/(»+*) (o -f- 0 (x — a)),

zaś wzór Maclaurina przedstawia się w postaci :

/0)=/(°) 4

/'(O)

1!

*4

/'Wl

/(»)( 0)

(a?) — (1 (0) a?w (1—0)»

<l'(0sc)

/(w+l) (0.«).

Kładąc ty(z) — xn+\—(*—z)n+¹ ; otrzymujemy stąd resztę postaci Lagrange’a, kładąc ty(z) = 3, otrzymujemy resztę Cauchy’ego; kładąc ty(z)=xP— (x — z)P otrzymujemy resztę postaci Roche’a i Schlömilcha.

Inne postacie reszty otrzymujemy, kładąc :

a więc :

ł'0)

(aj— z)™—!

(tn — 1) !

przyczem zakładamy, że między granicami z —a i z — x, funkcya ©(«) i jej pochodne są skończone, a pochodna ©(m)(s) nie staje się w tych granicach zerem.

Pod tern założeniem otrzymuje reszta Rn kształt:

Rn

(x— a)™—¹

(ni—1) !

Cp(M—l)(a)

(X—a)n+—0)n+l-m ca(m)(a-f* 0(aj—a))

Ciekawe formy reszty otrzymujemy, zakładając, że <p(z) zależy co do swej postaci

od /(z).

./(”+1) (a    0 (x—a)).

Kładąc n. p. <f>(z)=(x—z)f(z) przedstawimy resztę Rn w postaci: (x— «/»+¹ f(n) (a)

Rn ==

/("+*)(*)

gdzie £ = «-(- Q(x—a).

Wybór postaci raszty Rn jest w gruncie rzeczy dowolnym. Korzystając z tego, czynimy go zależnym tak od bliższych własności funkcyi /(ar), jako też od warunków bliżej określających funkcyę /(aj), mając zawsze na myśli możliwie prostą postać reszty.

Zanim przystąpimy do stosowania reszt w poszczególnych przypadkach , zajmiemy się w następnym wykładzie najprzód teoryą szeregów w ogólności.

Ćwiczenia XXXVIII.

1) Wykazać , że :

dx^ (ex—l)

(e*—l)¹ 2

2) Wykazać , że :

dn(x'¹ax)

dx*

[aj²(log a)n 2nx (log a)’—¹ -j- n(n—1) (log a)n~²] ar.

3) Jeżeli y== aj» sin aj, okazać, że:

d*y

dxn

n \ |sin aj -f-

x sin

n{n — 1)

n(n — 1) (n — 2)

(81)*

(*+1)⁴

a:³sin (æ + Ç) + - } •

(2!)²

6) Jeżeli y=* arc cotgaj, wykazać, że: y(»)=(—l)n(»—1) ! sin ny. sinw y. Wykazać, że :

przyczem tang® = —.

dxn

5) Jeżeli y — a. arctg — , wykazać, że:

«(- xy-i

dny

(»—1) !

dxn

(a² + aj²)»/2 ‘

TC    aj

sin w©, gdzie : © = --— arctg —.

7)

®=o dxn 'ex—I¹

8) lim

aj

X—

0 dxn    xï

n + l    (M _f_ 1) !

2~

9) Jeżeli y = —, gdzie u—f(sc), v=®(x), wykazać, że:

O,

O,

*>

O,

u¹

y(*>

» 2î>'>

•W, (J)r<-», (£)»<—»>

VI«*

(»)

10) Jeżeli y =/(«²), wykazać , że :

m(w— 1) (n—2) (n—3)

= (2x)nf(n) (a;²) + n(n-l) (2®)«-2 /(«-!) (£C²) -f-n(n—1) ... (»—2r -j- 1)

2!

•(2æ)«-2r/(n—r)(a;²)-f- ...

11) Wykazać, że :

d*(arc sin x)

1.3 ...(2n—3)

dxn

—₌._ł_Tl

2”-iV/l—æ² (1— a¹)”“1 1

2w—3

1.8

1 x (2n—3) (2n — 5)

©(S)

+ (—l)r^

1.3.5...(2r—1)

(2n - 3) (2» — 5) ... (2n —2r —1)

12) Jeżeli y — arcsinx, wykazać, że dla x — 0 jest:

13) Jeżeli y = arc tanga?, wykazać, że dla x=0 jest:

14)    Jeżeli y = a cos (log x) -)- b sin (log x), okazać, że: æ².y" + x -y⁴-\~y = 0.

15)    Jeżeli y — cos (ot arc cos x\ okazać, że (1—cc²) .y“ —xy‘ -f m²y =0.

16)    Jeżeli y — sin(since), wykazać, że: y"-\-y‘ .tangas-J-y . cos²;r=0.

17)    Jeżeli y = (arcsina;)², wykazać, że: (1—cc²).«/''—x.y‘ — 2.

18)    Jeżeli y — sin (ot arc cos cc), wykazać, że: dla cc = 0 jest:

19) Jeżeli y = (1 —j- a;²)m/² sin (wäre tg a?) wykazać, że dla ce = 0, jest:

20) Jeżeli y — (cc -f- \/l — x’¹')™ -j- (cc -j- Y/1 -f* x²)~m , wykazać , że :

dn+² y

(1 + æ²)

dxn-\-²

-f- (2 n -j- 1) x

dn + iy dxn+i

-j-(«²—OT²)

dny

dxn

= 0.

21) Jeżeli y — xn (logo;)², wykazać, że:

xt^L

dxn

dn~-1 y dxn~i

2 ! (n—2) !

22)    Jeżeli y =cc»(log x)r , wykazać, że:

Ar—1 o r

gdzie Ar0r ma znaczenie w art. 4. str. 451. określone.

23)    Wykazać, że funkeya y = (cc — l)ex + 1 jest dodatnią, dla wszelkich dodatnich wartości zmiennej niezależnej x.

24)    Wykazać, że «/=cclog(l cc) jest dodatnie w granicach: x=0 i æ = -j-oo.

25)    Jeżeli «/=/(«), wykazać, że:

Ar 0r

dn y

, rt-r¹

r ! dx*

x*-1

dn~ 1 y

dxn—i

.    » A2°r x*dn-r+2y

r"’ ^    2! dx”-r+i

-\-x

dn-r+iy dxyi-r+\

— r ! (n—r) !

f(x+h)=y+k

A y h(h—Acc) A² y    h(1i — A x)(Ji—2 Ace) A³ y

2! Acc²

3!

A x³

Mh — Ax)...(h—n—lAcc) A”y

Axn

26) Wykazać, że, mając daną funkcyę f(x 4~ A), jako funkcyę sumy (x-j- A) zmiennych x i A, otrzymamy ten sam wynik, czy ją zróżniczkujemy ze względu na x, uważając 7i, jako stałe, czy też ze względu na A, uważając x, jako stałe.

Wykazać, że, kładąc:

A²

A»

/(«+*)“/(*) + */'(*)+ öl/"(»)+ - + rr/(»>(*) + ». ,

możemy otrzymać i?n w następującej postaci: A»+l

27) Rn

28) Rn

(» + 1)1

A»4-i (1—0)»

/(*+^(as + eA), O<0 <1

■/(«+!) (a? + 0A), O<0 < 1.

A»+!(l—0)»+i—p

«! p

80) Jeżeli y •■=/(»), wykazać, że :

f(x. -\-dx)=y -f dy + ^ d³y Ą-^dhj +... + — cZ«p + ... Rozwinąć następujące szeregi i wyznaczyć ich reszty:

31)    (x -(- A)» «= xn -f- (Y) os»—¹. A -f- ^2) xn~² *^² + ••• +    )

32)    log (05 + A) = log o: + ~ . A- ^-₂. A² + -^₃. A³

r a² a⁴ a⁶

33)    sin (« + A)= sina5 [1 — ~ + — - — +    +    (—1)»

f A A³ A⁵ A⁷ . ,

Lt-3! + 5!-7! + - + ⁽-¹>

29) R* =

4- cos 05

/(»+0 (a; + 0A). 0 < 0 < 1.

xn-r ' hr

A⁴ -J- ...+(—l)n+l.— 4æ4    v    «a?»

. A» -j- ...

A2n

(2n) !

+ •••] +

A‘2n+i

+ -]■

2 sin o: A²

' 2! ⁺

34) tang (x +*) = tang * +-L- . y-r —j-

(24—8 cos²x) sin x A⁴

--• 4!

COS⁵05

(2n + 1) !

6—4cos²o5    A³

cos ⁴ cc

• 8!

+ »•

35) arc sin (05 -j- A) = arc sin cc 4

05

A²

1—205²

A³

(1-05²)³/s    ‘ 2 !

(1— os²)⁵/» ' 3!

36) arc tang (x 4- A) = arc tg 05 4

’ v/î=5T • 1 "r 3x(8 4- 2o5²) A4 (l-*²)⁷/,    ' 4 ! ⁺

205    A²    2(3o5²—1)    A³

14-x² ' T _ (T+æ²)² * 2l⁺ Tl + ^²)³ ’ 3 !

2.3.4(o5³ — 05) A4 (I4-®²)⁴    * 4! ⁺ '”

Wykazać, że, kładąc:

05²

1”

możemy otrzymać resztę Rn, w następującej postaci: 05«+l

37) Rn

(» 4-1)!

/(»+!) (005), 0 <1.    38) Rn =

æ»H-l (1—0)»

/(»+!) (Gos).

39) Rw= a)n+1^!e^⁺¹—-/(»f 11(005).

AVyprowadzić następujące szeregi i wyznaczyć reszty Rn :

m(m—1 )(m—2)

Ul

40)    (14- »)»< = 14-    4*

41)    «•* = 1 4- 05log a 4~ 2] (log °0² + (loS a)w + -

4.... + ?! 4....

r ^ n\T

4S) Sln - 8! + B! “ 7! + - + (_1)" (2.+1)1 ⁴

42) 6* =31 4- 05 4- — 4- ₃,

1.2

1.2.3

05³4~ ••• 4-

m(m—l)...(m—«+1)

1.2... n

05» 4” •••

x⁴

a;2n

44)    cos x = 1 — — -}- — —

j p\ i    , x    x² x³ a?⁴ ,    . .    ..    . a?” .

45)    log(l + x) = x - -J 4- -g — - J + ...+(—I)*-¹. — + ...

.    .    a;²    a;³ x⁴    x»

46)    log(l-*)--*-

⁺-=a’+(rri! 2.0!

(2»)!

)æ2+(l.2!    2.1!

,    ... .    .    , a?² i 2a;³    9a;⁵

47)    e*log(1+ a;)= a;+—+—+—

/ ¹ 1 1 1 \ / 1 + \ 1.3 !    2.2! +3.1! ÏTOÏ/* +(ï74 !    2.3! ¹ 3.2!    4.1! ' 5.0!

„    a;2n+l

48)    arctang x—x—— 4~ y---y + ••• + (—-l)n    _|jy 4" —

•T +- +

2².4².62 3)4.576)7)8

51) (arc sinx)³ = x³ 4- |j3² (l 4- 1) a;⁵ + ||₃².5²(l + ^ + p) x’ + ...

m² m(m²-l)

2!    +    3!    +    4!

m[ml—l)(m²— 3²)^&^ m\m²—4²)(m²—2²)

3.0!

)*M-

y-⁵+...

49) arc sin x = x 4

a;³ . x⁵

a;⁷

1    x³ 1.3 x⁵

2    3+ 2.4 ’ ~5 2².4²

2²

50) (arcsin x)² — x² -(-    4

52) (V/l+x² + x)»«=l +

x4

4~

to h-*

1.3.5...(2^—1) x2n+l 2.4.6...2»    ’ 2»-f"l

3.4.Ö.6

xe4

x⁸+ ... +

2².4².6²...(2n—2)²

m'\m²—2²)

3.4.5.. ,2m

x⁴ +

4~ -

5!

6!

x«+ ...

53) ex cos ß . sin («4-* sin ß) = sin a 4

54) ex cos ß . cos (a -)- x sin ß) = cos a -y

x"+2

55)    (sin x)n = xn — n -j

à !

X²

56)    xcosecx= 1-j-g-j 4" g,

2 2⁴

57)    x cotg x = 1 — g-j x² —

58)    arc cos x = ~ —x—

59)    sin (m arc sin x) = ^ x -}

60)    cos (m arc cos x) 1= 1 —

Jj !

61)    log (l + ex) = log 2 4--+++3 6,2) 6Xsin * = 1 4- X² 4- -4“ 4- ...

O

sin (a -f- ß) sin(a 4-2ß)

—n— * —2i—

cos (a+ ß) x cos(a+2ß) ^ cos (a -f 3ß) ^

n(hn—2)    x»+⁴ n (35«² — 42w 4" 16) xn+⁶

3    ’ ~Î5!    32    * ~~7\    ‘ *’*

14x⁴ . 744x⁵ .    100384x*

^ sin (a + 33)

3!

x³ +...

-X⁴ —

6!

9!

12!

2⁶.12

9!

x⁶

2³'.3.

10!

X® — ...

2!

x⁷

x* 1.3 x⁵ 1.3.5 ‘ 3!    ~2²    * 5!    2³    ’ 7!    '**

m(l²—m²)    ₍ w(l²—ł»²)(3²— mi)

3l X

m²^ w²(2²—m²) ₄    w²(2²—m²)(4²—m²)

5!

x⁵ 4- ...

4!

6!

x⁴

2*. 4!

2

63)    ex sec x = 1 4- * 4~ a;² 4“    x³4- ...

O

64)    \/14-4x4-12x² = 1 4- 2x 4- 4x² + ...

65)    (ex 4- e~x)n = 2» [l 4~    a;² 4-

n(3n—2)

3»² — 2w

4!

3!

x®— ...

x³ 4- ...

66)    (cos x)n = 1 —    X² 4

67)    log—— =

'    ⁰ cosx

x²

2x⁴

n[15(n— 1)²4~1]

4!

6!

x⁶ 4-...

16x⁶ , 16.17.x*

6!

8!

4...

\ oc*

68)    gcos * = e -J 1 — '

69)    log (1 — as -f- ce²)

4cb⁴

31x⁶ , 379 x⁸

2!

4!

6!

8!

— x4

x² ,    2x³

x⁴

X⁵

to) M- to

71) 6 sin * = 1 + x -f-

72)

ex

cosx

i + x4

x³ 1.3 x⁵    1.3.5 x⁷

* ¥ ⁺ 2.4 ’ 5    2.4.6 * 7 ⁺

3x⁶ , 56 x⁷ 217 x⁸ , 36.x9 7! ⁺ 8!

152 x⁶

x² 3x⁴    8x⁵

2l ~ TT “ "5Ï    6 ! ¹

2x²    4x³    12x⁴ . 36x⁵

2T ' ITT 4!

• 5!

6T + -

73)    v/i-^^2 (i+|+ ». £+⁷. £+». f;+i

74)    —

' e* _i

9!

x⁵

V ■ 5!

_    1    1 x² 1 x⁴ 1 x⁶ 1 x⁸ 5    x¹⁰

“    2^a?”'^2T — 3Ô4l'42 * 6Ï 3Ö * 8~! ' 66 ’ ÏÔ!

+... •

691

x¹²

75) ¹°g(¹ + a7)

(1 + x)«

2730 ‘ 12 ! ^

„_„(„+!)(! +    ÿ + «(»+1)(»+2)(4 +^î +^) • I* —

X³

X⁵

17 X⁷

e* — 1

⁷⁶>^+ï-t

77) log^ =

. ./I 4- æ\ ni , x³ X⁶    X2n + ¹    1

Æ) l°gtlîi-) = ² H-8 + -B ⁺- + 2^+r⁺-}-

24

40320

1 x⁴ 2 x⁶

00

2    x⁴⁰

8" *    “45 ' T⁻945 ~6~~ 4725" 8"~ 93555 To

Rozwiązania XXXVIII. 40) Rn —    i^)(l+®a:!)m~n~¹— Cw+l)

albo Ä,= (2*)x»+i(l-0)*(l + 0x)«*-»+l. 41) Rn=

sin ( ⁷¹ + °x )* ⁴⁴) Rn =

, albo Rn = (—l)w .

(—1)» xn+⁷

(» + 1) (l-0²x²n

43) Fn

=(-!>

X» + l

(» + 1)1

albo Rn = —

■ ¹ - (-—>

n 4* 1 Vl + 0x/

(1—0)» x»+i (1— 0x)re+l

w-fl

. 48) Rn =

Xn+!

(1 4" Ox)”+1—m’

x»+! (log a)n+¹ 0x    _    *w+1    „0X

-(w + 1)!.....«    .42)    .

( ^+i ^ 4- 0« ) 45) R

x»+l

(»+1)1

(1 — 0)» x»+l

(1 4” 0x)ra+!

CO s

ra —

— 1—)

n + 1 Vl—0x/

sin^^y^ — (»41) arctg 0x ).

. 46) Rn =

n+1

Literatura. W. F o 1 k i e r s k i. Zasady rachunku różniczkowego i całkowitego z zastosowaniami. Tom I. Wiadomości wstępne, rachunek różniczkowy i zastosowania. Paryż 1870. J. L. Lagrange. Théorie des fonctions analytiques , contenant les principes de Calcul différentiel dégagés de toute considération d’infiniment petits, et réduite à l’analyse algébriques des quantités finies. Paris 1813.

Tematy do rozprawek naukowych :

zależnej.

1. Rozwijanie przyrostu funkcyi podług potęg rosnących przyrostu zmiennej nie

2.    Warunki rozwijalności funkcyj podług wzorów Taylor’a i Maclaurin’a.

3.    Rozmaite postacie reszt szeregu Taylor’a i ich zastosowanie.

¹

Jeżeli y—eax sin aj, wykazać, że:

²

dn y eax sin (aj -j- ny)

sinM ©

Wykład XXXIX.

Ogólna teorya szeregów.

1. Zasadnicze pojęcia z teoryi szeregów. Niech wyrazy: ui} m₂, ..

wn...,

oznaczają nieograniczony szereg jakichkolwiek liczb. Oznaczmy przez Sn sumę n początkowych wyrazów tego szeregu liczb, a więc:

(1)

Sn — Mj -}- M₂ -(- Mg -}- ... -{- M

i przyjmijmy, że n rośnie nieograniczenie, natenczas, rozważając kolejno otrzymane sumy, możemy natrafić na następujące przypadki:

albo: 1) Sumy po sobie następujące: Snj Sn+\,..., dążą do pewnej, skończonej granicy S, którą osięgają, gdy n, rosnąc nieograniczenie, otrzymuje wartość nieskończenie wielką ; w takim przypadku powiadamy, że suma nieskończonego szeregu liczb: Mt +m₂ 4-...+mb+ ... przedstawia wartość skończoną $, a szereg dany nazywamy szeregiem zbieżnym, pisząc:

Sz==‘U'iU₂    Mn~\~ ••• iW/f.

albo: 2) Sumy po sobie następujące: Sn, Sn+1,.

rosną wraz z wskazówką n bez granic; w tym przypadku szereg dany:    4-m₂ 4-... + «»+... nie

przedstawia żadnej liczby skończonej , lecz przeciwnie, liczbę nieskończenie wielką, nazywamy go tedy szeregiem rozbieżnym, pisząc:

%+m₂ + ... +m +... m inf. =co ;

albo: 3) Sumy po sobie następujące nie dążą do żadnej granicy, ani skończonej, ani nieskończonej, lecz w miarę nieograniczonego wzrastania wskazówki n, przeskakują niejako, przyjmując w granicy kolejno jedną z dwóch, trzech, czterech, lub większej, skończonej, a nawet nieskończenie wielkiej, liczby wartości, od siebie odmiennych, w tym przypadku nazywamy dany szereg szeregiem wahającym, lub oscylacyjnym.

W pierwszym przypadku suma Sn w miarę nieograniczonego wzrastania wskazówki n, zmierza do granicy ściśle oznaczonej, którą osiąga , skoro n otrzymuje wartość nieskończenie wielką, niezależnie od wszelkich możliwych zastrzeżeń co do arytmetycznych własności liczby dodatniej całkowitej w, nieograniczenie rosnącej.

W drugim przypadku suma Sn, w miarę nieograniczonego wzrastania wskazówki n,

wzrasta nieograniczenie, również niezależnie od własności liczby całkowitej n.

W trzecim natomiast przypadku suma Sn, w miarę nieograniczonego wzrastania wskazówki n, jest o tyle nieoznaczoną , o ile nie poczynimy zastrzeżeń co do arytmetycz-Cznych własności liczby n. Zdarzają się mianowicie przypadki, że, skoro wskazówka n rośnie nieograniczenie przez wszelkie możliwe liczby parzyste, suma Sn zmierza do pewnej

wartości granicznej, innej jednak, aniżeli, gdy wskazówka n rośnie nieograniczenie przez

wszelkie możliwe liczb}' nieparzyste. Suma lim Sn występuje wówczas , jako forma dwu-

n—oo

wartościowa. W innych znowu wypadkach zauważymy, że, skoro wskazówka n wzrasta nieograniczenie przez wszelkie możliwe liczby, które podzielone przez pewną liczbę całkowitą m, dają stałą resztę r, otrzymujemy dla każdej szczególnej wartości reszty r, (r—1,2,..., (m—1)), coraz inną wartość graniczną sumy Sn. Suma lim Sn występuje

n=.oo

w tym razie, jako forma m-wartościowa.

W końcu zdarzają się wypadki, że inne, o wiele zawilsze zastrzeżenia co do własności liczby n, nieograniczenie wzrastającej , prowadzą za każdą rażą do innej wartości granicznej.

W niektórych przypadkach, możemy, znając prawidło, podług którego wyrazy po sobie następują, na tej drodze, wprost poznać, czy dany szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny lub oscylacyjny.

2. Przykłady. 1) Postęp arytmetyczny, którego wyraz ogólny określa się, jak wiadomo, wzorem: un—ux +(«— 1) d, ma sumę:

Sn=ui -\-u₂ + ,..-}-un==

§ ICN

(Ui+Un)

(2)

która rośnie nieograniczenie wraz z n ; szereg, utworzony z wyrazów postępu arytmetycznego, jest więc zawsze rozbieżny.

2) Postęp geometryczny, którego wyraz ogólny określa się, jak wiadomo, wzorem un=aqn

-i

ma sumę:

Sn=a+aq-\-aq²+    aqn

którą możemy także przedstawić w postaci:

a(qn— 1)

q—i

==a

l-<f

i—q

Sn=~—

i — q

l-ą'

(3)

Pozwólmy wskazówce n, rosnąć nieograniczenie, natenczas wypadnie odróżnić następujące przypadki:

a) Bezwzględna wartość ilorazu q jest mniejsza od 1, t. j. [g|<il; w tym przypadku qn, bezwzględnie wzięte, dąży z wzrostem n do zera,

otrzymujemy więc: lim Sn= —

n = oo    i

a    •    u- ’

—, a więc szereg zbiezny.

-, czyli: S=

b)    w tym przypadku qn rośnie, wraz z wzrostem nieograniczonym

wskazówki n

1 ~q

co do swej wartości bezwzględnej również nieograniczenie, a tak samo Sn, będzie więc: lim Sn=co , a więc szereg rozbieżny.

n= oo

c) | q |==1 ; w tym przypadku otrzymujemy : a) w razie gdy q = +1, sumę : Sn=ö! -f- ct -j-...-{- ct=nu

a więc: lim Sn=cc , czyli szereg rozbieżny; ß) w razie

oo

gdy q=—1, otrzymujemy sumę: Sn=a—a+a—a + ...

a+(—l)na

a więc dla

parzystego n sumę równą zeru szereg oscylacyjny; y) w razie, gdy q=cos a + «sina=la, otrzymujemy sumę:

1— cos n a—i sin w a 1— cos a — i sin a ’

a dla nieparzystego n równą a, a zatem

1 — (cos a -f i sin a)n 1 — (cos a-\-i sin a) która, ze względu na to, że :

Sn=a

przedstawia się w postaci :

1 — cos n a =2 sin² ^

1—cos a=2 sin² ^

Li

na .na - sm

COS

Sn = a.

2sin²^

Z

— i sin na

2sin²-**--i sin a

. na ( . na . na\

sin ~2" ( Sin "2    1C0S T)

. a ( . a . a V

ml(smTT)

czyli :

Sn = a

a . . a .a cos-Q-+ïsm— sm — 2 2 2

(4)

Przyjmijmy, że a = e. 2n, a więc : Sn=a

sin en

cosn e n 4-i sin n e n sin nen cos en-\- i sin en

natenczas możemy odróżnić dwa przypadki : albo 1) e jest liczbą wymierną, kształtu £=y, przyczem liczby p i q nie mają wspólnego podzielnika, albo 2) e jest liczbą niewymierną, (nie dającą się przedstawić w postaci żadnego ułamka, cboćby o największym możliwym mianowniku).

Jeżeli w pierwszym przypadku wskazówka n rośnie nieograniczenie w ten sposób, że, podzielona przez g, daje stale resztę r, wówczas, kładąc n=mqĄ-r, otrzymujemy:

rp

np    (mq + r)p

nen=— n =-—n==mpn+ —

q    2

cos nen+i sin nen=cos

|'mp n -j- nj Ą-i sin {mp n -f ^ jij

/

= (cos mpnĄ-ismmpn) I cos —

sm nen = sm

n+i sin— nj = (—l)mP ^G0S~ nĄ-i sin — nj ^mpn-\-— nj=(—l)m^sin— n,

a więc sumę Sn otrzymujemy w postaci:

rp . . r p    . rp

cos — nĄ-rsm—n sin- w

Sn=a.

cos

-nĄ-i sin — n

sin — n

czyli :

Sn=a

cosrßĄ-isin r ß sin rß cosß+ismß ' sinß

(4')

a*

p

gdzie ß= —n — en——

Ponieważ, w otrzymanej postaci sumy Sn, reszta r może być jedną z q liczb: 0, 1, 2,..., (q—1), a za każdym razem, suma S„ inną otrzymuje wartość, przeto widzimy, że Sn, a więc także lim Sn, jest wyrazem q-warto-

71—CO

ściowym, dany szereg zatem jest wahającym między q różnemi wartościami Jeżeli wreszcie, w przypadku, gdy a=e.2n, a czynnik e jest liczbą niewymierną , wskazówka n rośnie nieograniczenie, wówczas suma S„ może zmierzać do nieskończenie wielu rozmaitych wartości granicznych, dany szereg jest więc wtedy wahającym między nieskończenie wielu , różnemi pomiędzy sobą, wartościami. Suma Sn jest więc nieskończenie wielowartościową formą, a dany szereg nieoznaczonym.

34

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Szereg nieskończony: aĄ-aąĄ-aą¹-^... jest więc dla ję|<;i zbieżnym, dla tudzież dla <?=pl rozbieżnym, a natomiast dla q= — 1, względnie dla g,=l«=cos a-\-i sin «, wahającym czyli oscylacyjnym.

3.    Konieczny, choć niewystarczający warunek zbieżności szeregu. Jeżeli suma Sn szeregu: ^ pw₂ p...pw„p ... przy nieograniczenie rosnącem n dąży do granicy S, wówczas, przyjmując dowolnie liczbę dodatnią £, można zawsze znaleźć taką wskazówkę w, aby bezwzględna wartość różnicy S — Sn była mniejszą od £ i mniejszą pozostała, gdy n rośnie nieograniczenie; t. j. aby, począwszy od pewnego n, było: j S—Sn | <C £. Jeżeli warunek ten, dla pewnego n jest spełniony, wówczas będzie także: j S - Sn+i [ a więc:

I Sn+i — sn I < 2e.

Ponieważ jednak —    , więc będzie: jwną_i |<C 2e, czyli un dąży,

przy nieograniczenie rosnącem w, do granicy równej zeru.

A zatem: W szeregu zbieżnym: ux Pw₂ p...pw„p... muszą być wyrazy, począwszy od peionego n coraz mniejsze, dążąc do granicy równej zeru.

Jest to konieczny warunek, aby dany szereg był zbieżny, nie jest jednak wystarczającym.

Może bowiem się zdarzyć, że wyraz un±\, czyli różnica Sn+\—Sn, wraz z nieograniczenie rosnącem n, dąży do zera, podczas, gdy równocześnie sumy Sn i SnĄ.i rosną nieograniczenie.

Typowym przykładem szeregu o wyrazach nieograniczenie malejących, a pomimo to rozbieżnego, jest t. z. szereg harmoniczny.

4.    Szereg harmoniczny, o wyrazie ogólnym : m„=— , zwany tak z po-

Tl

wodu tego, że każdy jego wyraz jest średnią harmoniczną między wyrazem poprzedzającym, a następującym, ma sumę: Sn=l P p-^p

Suma ta wzrasta, jak łatwo wykazać, pomimo tego, że jej wyrazy nieograniczenie maleją, wraz z wzrostem n, do nieskończoności. Przyjmując bowiem n^> 2m, otrzymujemy:

(y⁺T)⁺(¥⁺4⁺y⁺4)⁺-"⁺(2”'::r+T'r2”:-'+2'r-

2TO

Sn 1 P ~2 "ł"

a że, każda z sum, ujętych w nawias jest większą od jest więc:

Sn^> lp-gT +    Czyli:    pw.— ?

a że: limm=cc : jest więc także: lim Sn=go.

00

oo

Szereg harmoniczny: 1+ -^-p    + ...-t---jest więc rozbieżny.

z o    n

5. Reszta szeregu. Jeżeli wdanym szeregu: uY Pw₂ P ...-\-unĄ-... sumy po sobie następujące: S„, 5»+i,...,    dążą do pewnej granicy, natenczas

musi zajść ten przypadek, że od pewnego n począwszy, sumy te będą się różniły między sobą o liczbę mniejszą od dowolnie obranej i dowolnie małej liczby £, czyli, że dla wszelkiej wartości liczby p, bezwzględnie biorąc,

a więc :

otrzymamy :

Sn-\-2}    ^n

UnĄ-\ -j.- Un^.2 p ... pUnĄ.p    £•

— 531

Sumę wszystkich wyrazów, które po wyrazie un następują, t. j.

Rn = R>n +1 +%+2 + ^w-t-3+"-+Wn+i,+ *" nazywamy resztą szeregu: ux -j-w₂ + ... + % + ...

Reszta ta będzie liczbą skończoną, nieskończoną, lub nieoznaczoną, stosownie do tego, czy dany szereg nieskończony jest zbieżnym , rozbieżnym, czy też wahającym.

Jeżeli szereg dany jest zbieżnym, wówczas możemy, na mocy warunku

(6)

lim Rn—0.

n=co

Wzór ten podaje konieczny, a zarazem wystarczający warunek, pod którym dany szereg będzie stanowczo zbieżnym.

Skoro bowiem spełnia się warunek: lim Rn = 0, tedy możemy zawsze

(5), znaleźć zawsze taką liczbę n, że, bezwzględnie biorąc, otrzymamy: Rn<^e, gdzie s jest liczbą dowolnie małą. Jeżeli n rośnie dalej nieograniczenie, natenczas reszta Rn, pozostając stale mniejszą od c, musi widocznie w szeregu zbieżnym dążyć do granicy równej zeru, którą osięga dla n—oo, co określamy wzorem :

71 "OO

znaleźć taką wskazówkę n, że, począwszy od niej, dla dowolnie obranej, dowolnie małej liczby c, będzie :

w*₊i + tt«+2-ł--.. + M»+p| <e, czyli: \Sn+p—Sn\<£.

jakąkolwiek wielką byłaby liczba dodatnia p. Z czego wynika, że w tym przypadku Sn dąży do pewnej granicy, gdy n rośnie nieograniczenie, czyli, że dany szereg: +w₂ + ... + wB +... jest zbieżny.

N. p. Szereg wykładniczy:    + ^ +    —j 4"

S. = ¹ + i4i + ...+ i,

(» + 1)1 (X + n+ 1 T (» + l)s 1 "• I

... ma sumę :

z resztą:

Rn =

czyli : *.<-1 , .

6. Tworzenie szeregów zbieżnych, lub rozbieżnych. Wychodząc z określenia sumy Sn i reszty Rn szeregu: uv -j-«₂ + ••• +    +••• otrzymujemy, mając daną sumę Sn , wyraz

ogólny un szeregu w postaci :

mając zaś daną resztę Rn, otrzymujemy wyraz ogólny un szeregu w postaci:

Un = Un— 1 — Rn .

Un — Sn— Sn—1 ,

(7)

(8)

Chcąc zatem podać ogólny wyraz pewnego szeregu zbieżnego , względnie rozbieżnego, obierzmy sobie pewną funkcyę /(»), stale wzrastającą wraz z wskazówką », tak, że:

/(oo) = oo.

Przyjmując tedy Sn— /(»), otrzymujemy ogólny wyraz odpowiedniego szeregu rozbieżnego w postaci :

un =/(»)— /(» — !).

(9)

Przyjmując zaś -ß« = ^rw, otrzymujemy ogólny wyraz odpowiedniego szeregu zbież-/ W

nego w postaci :

Un —

/(»—!)    A«)

/(»)—/(»—!) /(»)./(» —!)■

(10)

Tym sposobem możemy utworzyć rozmaitego rodzaju szeregi zbieżne, lub rozbieżne, zmieniając tylko stosownie kształt funkcyi /(»).

Przykłady. Przyjmując /(») = »4-l, otrzymujemy, jako ogólny wyraz odpowied-

niego szeregu rozbieżnego : un = ( n 4-1 ) — » , czyli : un — 1,

14" 1+1—5 a jako ogólny wyraz odpowiedniego szeregu zbieżnego:

a więc szereg rozbieżny :

un —

»4-1

czyli : un

»(, + !)■ a wi«°szereg zMeż“y: ra+o+rr*-

jako ogólny wyraz szeregu zbieżnego:

0Zyli: T + 36

± + ... 144 r

2) Przyjmując /(»)=(» + l)², otrzymujemy: un — (n-\-ly—», czyli: un — 2»-j-1, jalco ogólny wyraz szeregu rozbieżnego: 3 + 5 + 7 + ..., zaś:

czyli : un =

Un

2»-fi

(» + l)²

»²(» -f l)²

-    _A_4    ⁷

l².22_r 2².32_r 3².4²

7. Obierając funkcyę jF(») tak, aby jej wartość, przy nieograniczenie wzrastającemu, zdążała do pewnej skończonej granicy A, aby więc było F (œ) — A, i przyjmując Sn=F(n), otrzymujemy, we wzorze: un=F(n) — F(n— 1), ogólny wyraz odpowiedniego szeregu zbieżnego o sumie równej liczbie A. Tym sposobem możemy utworzyć rozmaite szeregi zbieżne o danej sumie, zmieniając stosownie kształt funkcyi F(n).

Przykłady. 1) Przyjmując F(n)

, mamy JF(co) = l, i otrzymujemy:

Un

n -f 1

jako ogólny wyraz szeregu zbieżnego:

n{n -f 1)

o sumie : 5^=1.

2) Kładąc ń'(»)

w²

«² -f 1

mamy także: jP(oo ) = 1, a więc we wzorze:

un —

w²

(»—l)²

+ 1 (»—1)² + 1’

czyli : un —

((»-1)²+1)(»² + 1)

ogólny wyraz szeregu zbieżnego, zdążającego również do sumy 1, w postaci:

1.2 ¹ 2.5 ' 5.10 ¹ 10.17 ¹ 17.2(5

8. Szeregi liczb dodatnich. Niech, będzie dany szereg: ux -fw₂ -f... + złożony z samych liczb dodatnich, tedy sumy po sobie następujące: Si, $₂,.. $«, $n+i,..., będą rosły wraz z wzrostem wskazówki w, muszą więc dążyć do pewnej granicy skończonej , jeżeli nie rosną w nieskończoność. Szereg o samych wyrazach dodatnich może więc być tylko zbieżnym, albo rozbieżnym.

Jeżeli dany szereg liczb dodatnich: ui -f u.₁ + ... + w„-f... jest zbieżny, a więc ma pewną sumę skończoną $, wtedy, wyznaczając po sobie następujące sumy Su    /Sn,..., możemy zawsze znaleźć taką wskazówkę n, że

będzie S—Sn<i€, gdzie e jest liczbą dowolnie małą, a tern samem możemy Sn, przez zwiększenie n, dowolnie zbliżyć do S.

Przyjmijmy teraz, że zmienimy w pewien sposób porządek dodajników, czyli, że szereg: ui + u₂ -f    ... zamienimy na szereg : ukiĄ-ukl-f. . +w^-f...,

natenczas , wyznaczywszy sumę r początkowych wyrazów tego nowego szeregu, otrzymamy: S‘r=uki + «*, + ...-\-uk

Jeżeli wskazówkę r obierzemy tak wielką, że w sumie S‘r mieścić się będą wszystkie wyrazy sumy Sn, natenczas będzie różnica:

S‘r — Sn <C UnĄ. 1 \Un.|_2+ ...

a że, według założenia, jest : S—Sn<Ze₁ więc:    + ...<£, przeto będzie

a że

także: S‘r — Sn<C.£, czyli suma S‘r może się dowolnie zbliżyć do S granicą S„ dla n=co jest &, przeto granicą S‘r dla r=oo będzie ta sama liczba S.

To znaczy: Suma szeregu liczb dodatnich jest niezależną od porządku do

dajników.

— 583 —

Chcąc więc wyznaczyć sumę S szeregu liczb dodatnich, możemy jego dodajniki dowolnie łączyć w sumy, (tak jednak, by w granicy żaden wyraz nie został pominięty), a potem dodawać te sumy.

9.    Porównywanie szeregów liczb dodatnich. Ażeby ocenić zbieżność, lub rozbieżność danego szeregu , w wypadku, gdy nie umiemy wyznaczyć sumy jego wyrazów, musimy porównać go z innym szeregiem, który jest znany, ze względu na swą zbieżność, lub rozbieżność.

Przypuśćmy, że z dwóch szeregów :

S—Ui -\-U.2 +... -j- Un -p ...,    2= v₁ -j- v₂ + ••• "b vn “h •••}

szereg S jest zbieżny, a wyrazy szeregu ^ są, od pewnego n począwszy, kolejno mniejsze od odpowiednich wyrazów pierwszego szeregu, natenczas mamy z jednej strony: Un+iĄ-Un^Ą-...-\-un-\.p <L.e, jakkolwiek wielką byłaby liczba p, z drugiej strony: vn+i <C %+i, v„₊₂ <C wn+2 , ---i vn+p<Ż.un+p. Wobec tego będzie widocznie: v»+i + v„₊₂+    Ow+i-t-Mn-f2 + ••• +wn+p, a więc

tern bardziej: rM+i+vn+2+... + vM+jP<£', czyli szereg: v± -\-v₂ +... + v»+... będzie także szeregiem zbieżnym.

Przypuśćmy przeciwnie, że z dwóch szeregów S i A¹, szereg S jest rozbieżny, a wyrazy szeregu 2 są, od pewnego n począwszy, stale większe od odpowiednich wyrazów szeregu S, natenczas da się zawsze wyznaczyć taka liczba p, że dla dowolnie przyjętej liczby £ będzie: Un+iĄ-Un+^Ą-...Ą-unĄ-p> £, a, że z drugiej strony: v*₊ii>Mw+i,..., vn+P un^.p , przeto będzie tern bardziej vn+i + î)Â+2+... + ^>f, a więc szereg 2 będzie także rozbieżnym.

Mamy zatem twierdzenie : Jeżeli z dwu szeregów jeden jest zbieżny, a wyrazy drugiego są, od pewnej wskazówki n począwszy, stale mniejsze od odpowiednich wyrazów pierwszego szeregu, natenczas ten drugi szereg jest także zbieżny. Jeżeli zaś, przeciwnie, z dwu danych szeregów, jeden jest rozbieżny, a wyrazy drugiego szeregu, od pewnej wskazówki n począwszy, sfafe większe od odpowiednich wyrazów pierwszego szeregu, natenczas ten drugi szereg jest także rozbieżny.

10.    Kry tery a Cauchy’ego zbieżności szeregów. Opierając się na powyż-szem twierdzeniu, możemy wyprowadzić następujące dwa znamiona zbieżności szeregów, znane pod nazwą kryteryów Cauchy’cgo :

Jeżeli w danym szeregu: -f w₂-f... + w«+—, począwszy od pewnego wyrazu

Un-, iloraz ——— jest stale mniejszy od pewnej liczby q<Zh i mniejszym pozostaje, un

gdy n dąży do nieskończoności, natenczas szereg dany jest zbieżny, jeżeli zaś, po-

cząwszy od pewnego wyrazu un, iloraz -W+1

un

q~Ż> 1, i większym pozostaje, gdy n rośnie nieograniczenie, natenczas dany szereg jest rozbieżny.

Otrzymujemy bowiem: w pierwszym przypadku :

i qun,

^« + 2    2 ^.un,

jest stale większy od pewnej liczby

w drugim przypadku:

^w+i 2- j

un+2>q².u

2^ • •

Wyrazy mw+i , wn+2,... danego szeregu będą więc w pierwszym przypadku kolejno mniejsze, w drugim kolejno większe, aniżeli wyrazy postępu geometrycznego: 2 un-\-q²un-\- ...Ą-qPun-\-..., który jest dla 2    1 zbieżnym, dla

£>»1 zaś rozbieżnym, co dowodzi prawdziwości przytoczonego twierdzenia, które wypowiada się częstokroć mniej ogólnie w ten sposób :

(Szereg: ux -\-u.₂ -p... + wn + ... jest zbieżny, lub rozbieżny, stosownie do tego, czy granica, do której stosunek ¹

'Un

mniejszą lub większą od jednostki, ź. j. :

dZa nieograniczenie rosnącego n, zdąża, jestf

n = oo

Un

(11)

Szereg ten jest również rozbieżnym, gdy ów stosunek zmierza do granicy równej jedności, ale malejąc, t. j. będąc od jedności sbale większym.

UnĄ-\

Zatrzymując się w przypadku, gdy

<Zq, a ą<i 1, przy obliczeniu

wartości $ szeregu: ux +w₂ 4-••• + %+ •••, na M-tym wyrazie, a więc, przyjmując , popełnimy błąd: _RW ⁼ Mn-fi-f- Mn+2'b •••, <^.qun (1-J- q~\~ q~ -p ...), a więc:

un

l-q

2) Jeżeli w danym szeregu liczb dodatnich: S=ux +m₂ + ... + un-\-..., począwszy od pewnego wyrazu un, jest stale Vun <r, przyczem r<;l, natenczas szereg dany jest zbieżny, jeżeli zaś, począwszy od pewnego wyrazu un, jest stale Vun^>r, przyczem r>»l, natenczas dany szereg jest rozbieżny.

Poczynając bowiem od wyrazu un, otrzymujemy:

w drugim przypadku:

«M-i > rw+1, un+2> rn+²,

w pierwszym przypadku :

M»+lO*⁺¹,

un+2<rn+²,

un+p <C rn+p,

a więc resztę :

a więc resztę :

■Rn<^rn+¹-j-rn+²-i-...

lin j> rn+1-f rn+²-f..

czyli :

czyli :

Rn >    (1 + r + r² f...).

a zatem, w pierwszym przypadku, z powodu, że r < 1, szereg zbieżny, w drugim zaś, z powodu, że r^> 1, szereg rozbieżny.

11. Związek między oku kryteryami Cauchy’ego. Nietrudno wykazać , że w danym

i \/ ttn , dążą, przy nieograniczenie wzrasta-

szeregu :    -|- u₂ -j-... -j- un +

jącem n, do tej samej granicy, czyli, że:

Un+1

wyrażenia

Un + l

Un

jeżeli :

lim n=oo Un

q , to będzie także :

lim y/Un = (£.

n = oo

w»+i

q, przyjąwszy dowolnie małą liczbę dodatnią e, możemy zawsze znaleźć taką wskazówkę n, że od niej począwszy, będzie :

Skoro bowiem Uni

n—oo    Mn

₂-s<

Wn+1

<g + b

a więc :

q— £ <

Wn + l

<g + b

skąd otrzymujemy :

g-£<^7^-<g + g>

UnĄ-p

(q - e )P <

Un

- 535 —

czyli :

a zatem :

n+p

un(q— t)P <    < Mn (q -f- e)p

n-i-p

czyli :

(q-t)

\/un(q—s)P < \/un + p < \/un(q Ą-e)P , n+P_    '/

< Y/Un+p < (ÿ -f- e) y

»4-J»

n+P

y/

Un

Un

(<?— 0”

(2+ 0" '

Jeżeli p rośnie nieograniczenie, natenczas pierwiastki :

n+p

n+p

Mn

y/

(?+0*

(?—«)*

dążą do granicy równej 1, będzie więc dla p = oo :

”4r

q—z < Y/    < <1 + £,

że s jest liczbą dowolnie małą, przeto otrzymujemy:

Un —q.

n—co

Wobec tego używamy zwykle dogodniejsze do wyrachowania kryteryum.

12. Przypadek wątpliwy w kryteryum Caucky’ego. Kryteryum Cauehy ego nie daje odpowiedzi na to, czy dany szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny,

1, przyczem stale zachodzi    t. j. gdy

Un

UnĄ.\

w przypadku, gdy lim

zmierza do jedności, jako do granicy, rosnąc.

n=. co

un

Przypuśćmy, że, w tym przypadku, dany szereg S=u^-\-u₂+ un + ... jest już, począwszy od wyrazu w₄, szeregiem malejącym i utwórzmy nowy szereg, następującego kształtu: $'=w₄ 4-2w₂ +4w₄ +8wg +...

Porównywając wyrazy szeregu S‘ z wyrazami szeregu S, zauważymy najpierw, że :

%    2w1? 2w₂ = 2w₂, 4w₄ <C2% + 2w₄, 8us ■< 2w₅ 4-2w₆ +2t«₇ -f2w₈, ...

że więc :

czyli, że :

+2u₂ + 4w₄ 4* 8u₈ 4 •••    2(Mj 4*% -f % “b •••)»

<25,

(«)

Z drugiej strony mamy :

%i=Mi, 2w₂ w₂ 4-uz, 4w₄ w₄-j-w₅-j-w₆-j-w₇, 8w₈ w₈ 4 % + ••• + ^16? ••• przeto widzimy, że :

czyli, że :

Wj 4 2w₂ 4" 4w₄ 4“ 8Wg 4- • ■ • ^> w₄ 4* w₂ d⁻ ^3 “b w₄ 4" • • ■ ? S‘> S

(*)

Otrzymane nierówności (a) i (6) dowodzą, że szeregi S i $' są równocześnie zbieżne, lub też równocześnie rozbieżne.

Zbieżność, względnie rozbieżność szeregu Wj -\-u₂ 4- ... +w„4- możemy więc wywnioskować, ze zbieżności, względnie rozbieżności szeregu:

w₄ 4" 2w₂ 4- 4w₄ 4- 8wg 4"...

13. Przykładu stosownego w tym kierunku dostarcza szereg:

111

n“⁺-

cc 2⁰⁵ Sa '

którego zbieżność, ze względu na wzory :

W« —

Un-(-1 —

U>n+1

(w 4-1)“

Un

; lim

n—<x U,i

Un-f-1 ^

jest, wobec kryteryum Cauchy’ego, wątpliwą.

— 536 —

Utwórzmy w tym przypadku szereg ;

w₁+2w₂+4w₄ + ... = l + 2¹-«+4¹-⁰⁵+8¹-a+...; jest to, jak zaraz widać, szereg geometryczny:

l + 2¹-“ + (2¹-“)²+(2l «)* + ...,

o stałym ilorazie 21_~“, a więc zbieżny, skoro 21—w<Cl, zatem a O 1; rozbieżny zaś, skoro 2¹~“₌!>1, zatem «<1.

A zatem: Szereg: 1... jest zbieżny, skoro «>.1, a rozbieżny slcoro a <C 1.

rozbieżnym zaś jest szereg : tudzież szereg: A + tt +    + —

Zbieżnym jest n. p. szereg : Jî + %% +    +

v/r V* V*

14. Kryteryum ltaabe’go zbieżności szeregów. Dla szeregu:

«»41

v.

w którym stosunek :

»«

«»

(« + 1)«’

otrzymujemy różnicę :

na

«»

¹ (» + 1)«

(»    1 )a — na

a ^«—1    (2 ) »«—2-j- ...

(w -b 1)“

O +1)«

a zatem iloczyn :

«»+1

#»«

-b (2) »a—1 -j-...

«n

który, gdy n rośnie nieograniczenie , dąży do granicy :

lim n (l

n=00 \

«»+1

«»

) = a-

(12)

Ponieważ szereg powyższy jest dla a>l zbieżny, a dla a<l rozbieżny, przeto możemy stąd wyprowadzić następujące nowe kryteryum zbieżności, zwane kryteryum Raabe’go.

)=r jest zbieżny, gdy r>l,

w którym Hm n ( 1

71 = 00    '

Szereg : «1 -f «₂ + ••• + Un -b a rozbieżny, gdy r < 1.

Skoro bowiem w danym szeregu : «, -f w₂ -f-... ~b «» + cząwszy, jest: lim n M

7l=CO    \

Un-f-1

postaci : 1 -p 1 + i było r>a, skoro r>l, zaś r<a, gdy r<l.

od pewnego wyrazu «» po-

Un^~¹ i = r, możemy dany szereg porównać z szeregiem :

«» '

vi + V1 +    + Vn +

dla którego Hm n(l

71= co \

i wybrać a tak, aby

Musi tedy istnieć w obu szeregach taka wskazówka », że od niej począwszy otrzymuje się stale:

w pierwszym przypadku nierówność :

«»41

Un

) > » (l

«+1 \

«» /

w drugim przypadku nierówność : «»41

Un

) < « (b

«»41

vn

)•

prowadzącą do nierówności :

«»41 ^ «»41

prowadzącą do nierówności :

«»41 ^ «»+1

«»

Vn

Un

Vn

Stosunek

«»41

danego szeregu jest więc, od pewnego n począwszy, w pierwszym przypadku stale mniejszy, w drugim stale większy od odpowiedniego stosunku szeregu:

Un

— + — ₊... ₊ _L ₊...

1« 2a    ' nn '

Wobec tego otrzymujemy : w pierwszym przypadku:

Un

Un 4-1 <C — «« + 1,

Vn

w drugim przypadku :

^ Un

UnĄiS> - VnĄ\

Vn

Mn+2 <

Un+l

Un

Vn+1

Vn+2 — Vn+2

t’n

UnĄ-2^>

Un + i

»n + 1

Vn+2 >

Un

«W+2,

a więc :

Mn+ 1 + u” + 2 + •••<— («1 + 1 + «« + 2 + ••■))

a więc :

Vn

M«-}-l “1“ UnĄ-2 •••    — (««+1 -j~ «n+2 -J- ...),

Vn

czyli szereg: uy-\-u^Ą-... jest rzeczywiście zbieżny, skoro od pewnego n począwszy, jest stale ) > r, r > 1, a rozbieżny, skoro n ^1

15. Przykład. Szereg: y + y y -f    + daJe

Mn+-1

Mn+1

Un

Un

O, r < 1.

1.8.. .(2n—3)

2.4.. . (2n—2) * 2n—1’

UnĄ-1 =

1.3 ... (2w—1)    _

2.4 ... 2n 2n -j- 1

1    . Mn+1

1 (²

¹)²

n ’

Un

2m

‘ 2»+ 1

!>

zatem

lim, UnL^— — i przyczem stale -^44 < 1.

n =oo W«    Mn

Stosując tu jednak powyższe kryteryum, otrzymujemy:

Un+\

Un

)-

I (-ł)l -,

n \ 1 —

~ , a więc lim n (l —

2    n— oo ^

UnĄ-1

Un

\ 6

) = 4>L

Dany szereg jest zatem zbieżny.

1(>. Na podstawie kryteryum Raabe’go , możemy rostrzygnąć o zbieżności szeregu, w przypadku lim Un~^}

n—ao Un

1, jeżeli stosunek

UnĄ1

Un

przedstawia się w postaci :

Mn-j-l

nr -j- oą nr—1 -j- «2 nr ~ ² -j- •••

Un

-j— b^ u?' ~ 1 —j⁻ b%nr ² “I⁻ ...

przyczem r jest liczbą całkowitą dodatnią. Mamy bowiem wtedy :

UnĄ-1

Mn

\    / nr -j- cą ur 1 —|— o₂ ur 2 —|— ...\

/ n V    nr -j-binr—1 -{- ft₂ nr ~² 4~ •••

___ „ (*»1 —¹«i)    ¹ + (b₂—a₂) nr-z + ...

nr -j- bv nr—i -}- ó₂ ² -f- ...

(&i - ax ) nr -f- (6a —a₂) w*⁻—i -f ...

nr-\- b^nr~ 1 -f-ó₂wr—²-j- ...    ’

czyli :

Mn+1

®i4

ó₂— a₂

Un

1 + -+-1+-n nl

przeto :

lim n

n — co

Mn-1

Mn

) = h — «1-

(13)

A zatem : Szereg, w którym stosunek rozbieżny zaś, gdy b^—at <; 1.

UnĄ-1

Un

, jest zbieżny, gdy 6j—ax ^>1,

Przykład. Szereg :

daj e :

UnĄ-1

C)(s)

i+CTKO + (?)© +

_(m—n -f- 1) (p—n -j- 1) m²—(m-\-p-\-2)    (l>+l)

MW

n²

jest zatem, ze względu na to, że tu: bx — a^—m -j- p-\- 2, zbieżny, skoro m-1-p-}-1 > 0, a rozbieżny, skoro m -J- V + 1 <C 0.

- 538 —

17. Ogólne metody dochodzenia zbieżności, lub rozbieżności szeregów liczb dodatnich.

Wyprowadzone znamiona zbieżności, lub rozbieżności szeregów nie wyczerpują wszystkich możliwych przypadków ; ostatnie znamię Raabe’go , użyteczne w największej liczbie zwyczajnych przypadków, przestaje być przydatnem , skoro wyraz: n (l

nicy 1, będąc jednak stale od jedności większym; w wypadku bowiem, gdy ten wyraz zmierza do granicy 1, będąc od niej stale mniejszym, szereg jest rozbieżnym.

W takim razie, należy na nowo stosować zasadę porównywania szeregów, obierając do pomocy szeregi znane co do warunków swej zbieżności. Wynikiem porównywania może być nowe kry tery urn zbieżności , przydatne w przypadkach , w których wyprowadzone dotąd kryterya nie dają odpowiedzi.

Najchętniej bywają stosowane następujące dwie metody dochodzenia zbieżności szeregu, które stosujemy, licząc się z warunkiem możliwie łatwego rachunku.

Druga metoda.

Ustawiamy wyraz :

(°) n

Pierwsza metoda. Ustawiamy wyraz :

Vnm

Mw + l

Un

Un

Un +1

-j dąży do gra-

Jeżeli wyraz vn(°), względnie wyraz w«(°), zmierza do granicy większej od jedności, albo jest stale większym od pewnej liczby od jedności większej, albo nawet i wzrasta nieograniczenie , wówczas szereg u₁-j-u₂-\-u₃ -f-jest zbieżnym.

Jeżeli wyraz ?;«(°), względnie wyraz wn(°), zmierza do granicy mniejszej od jedności, albo jest stale mniejszym od pewnej liczby od jedności mniejszej , albo zmierza do jedności, jako do granicy, będąc od niej stale mniejszym, t. j. rosnąc, albo nawet maleje nieograniczenie, wówczas szereg -j- w₂ -j- u₃ ■... jest rozbieżnym.

Jeżeli zaś wyraz r«(°), względnie wyraz    zmierza do granicy równej jedności , będąc

ustawiamy wyraz :

od niej stale większym, t. j. malejąc, wówczas kryteryum nasze nie wystarcza, wobec czego : ustawiamy wyraz :

l'nW

wn( V == n(iVnW — 1).

log n /log vnW) j \

log₂« \log y/n ~ ) gdzie log₂n = log log n.

Stosujemy taż samą dyskusyę, co wyżej, a jeżeli i ona zawodzi, wówczas ustawiamy wyraz :

ustawiamy wyraz :

log₂ n log₃ n

gdzie log₃ n— log log₂ n.

rn(²)

wn( ²) = log n(wnQ)— 1).

(logarytm naturalny).

Stosujemy taż samą dyskusyę, co powyżej, a jeśli ona zawodzi, to ustawiamy wyraz :

Vn(3) =

log₃ n

log₄ w

gdzie log₄n = log log₃ n.

ustawiamy wyraz:

(vnW- 1),

Wn(³) = lo g₂n(u’nW— 1),

gdzie log₂n — log log n.

Stosujemy taż samą dyskusyę, co powyżej, a jeśli ona zawodzi, to ustawiamy wyraz:

»»W

ustawiamy wyraz :

łog₄ n log₅ n

gdzie log₅» = loglog₄n, i t. d.

M;„(4) = log₃ (W³) — 1), gdzie log₃ n = loglog₂ n, i t. d.

18. Szeregi liczb rzeczywistych dodatnich i ujemnych. Niech będzie dany szereg: % + w₂ +...+    złożony z liczb dodatnich i ujemnych;

utwórzmy nowy szereg, którego wyrazy przedstawiają kolejno bezwzględne wartości wyrazów danego szeregu, a więc szereg: |% i + ! u₂\ -fjw₃|    wn| + ...,

natenczas mogą zajść następujące dwa główne przypadki :

a) Szereg | j Ą- \ u₂ | + ••• +1 un | +... jest zbieżnym;

b)    Szereg j m₁ | +1 u₂ j-k... +! uv | +... jest rozbieżnym.

W pierwszym przypadku otrzymujemy widocznie :

>1 | 4" |'M2 I "k ••• d⁻ ; Un I + ... % -p w2 d" ••• d- Un 4" •••

a, że szereg + w₂ +... + jwB| -f ••• jest z założenia zbieżny, a więc ma skończoną sumę, przeto szereg: ux -\-u₂ -f ... Ą-unĄ-... jest tern bardziej zbieżny.

A zatem: Szereg: ux +w₂ + ... + w„ + ..., złożony z liczb rzeczywistych, do-datnich i ujemnych, zbieżny, jeżeli szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów jest zbieżny.

Suma danego szeregu nie jest w tym razie zawisłą od uporządkowania jego wyrazów. Uporządkowawszy bowiem wyrazy szeregu tak, aby dopiero po wszystkich wyrazach dodatnich następowały wyrazy ujemne, i oznaczając wyrazy dodatnie danego szeregu kolejno przez: p,, p₂> Pzi •••, a bezwzględne wartości wyrazów ujemnych ur danego szeregu kolejno przez: q{, #2, g₃,..., otrzymamy w miejsce danego szeregu: ux «2 d~    + •••

różnicę dwóch szeregów : (p, + P% + Pz +•••) — (?i+ Î2 + ?3 + ...)•

Jeżeli szereg bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu jest zbieżny, natenczas będą także zbieżnemi szeregi : pt + p₂ -f p₃ -f-... i + q^ Qz + •••» przeto, kładąc Pi d* Pi A Pz + ••• = -P) 2i + Ï2 + ?3 + ••• ^ Q ł otrzymujemy przy takiem uporządkowaniu, wartość danego szeregu, wyznaczoną różnicą : P—

Wartość ta nie zmieni się, jeżeli wyrazy uporządkujemy w jakikolwiek inny sposób. Możemy bowiem w nowo uporządkowanym szeregu, wziąść tyle wyrazów początkowych, ażeby między nimi znajdowały się wszystkie wyrazy dodatnie, aż do wyrazu p*, o dowolnie wielkiej wskazówce n, i wszystkie wyrazy ujemne, aż do wyrazu qm o dowolnie wielkiej wskazówce m.

Jeżeli przez Sr oznaczymy sumę r wyrazów początkowych tak uporządkowanego szeregu, natenczas otrzymamy: Sr — Pn — Qm , gdzie Pn jest sumą pierwszych n wyrazów dodatnich, a Q„i sumą pierwszych m wyrazów ujemnych danego szeregu. Będzie tedy:

P — Qm^> Sr > Pn — Q, zatem: lim Sr = P—Q.

r=oo

19. Szeregi warunkowo zbieżne. Przejdźmy teraz do drugiego przypadku określonego tem , że szereg bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu : ui +w₂ + ... + Mw-i-..M jest rozbieżny.

Oznaczywszy znowu przez P=p₁ +p₂ +j?₃ + szereg liczb dodatnich, a przez Q=q^ -f- q₂ + q₃ + .. , szereg bezwzględnych wartości liczb ujemnych, możemy zauważyć następujące dwa przypadki ;

a) oba szeregi P i Q są rozbieżne ;

ß) jeden z szeregów P i Q jest zbieżny, drugi rozbieżny.

Jeżeli oba szeregi P i Q są rozbieżne. jednakże pomimo to malejące tak, że lim pn—0 i lim qn— 0, wówczas możemy stosownem uporządkowa-

W —00    77 mcc

niem wyrazów danego szeregu otrzymać dowolnie obraną liczbę A, jako sumę tak przedstawionego szeregu.

Wziąwszy bowiem, najpierw, z szeregu Pliczb dodatnich : P=p^ +p₂ +-” ⁼ °° tyle wyrazów początkowych, aby otrzymana suma ich była większą od przyjętej liczby A, jednakże tak, żeby przez opuszczenie ostatniego wyrazu pm, stała się już od liczby A mniejszą, dołączmy następnie do niej tyle wyrazów początkowych z szeregu liczb ujemnych: —Q= —    +q₂ +•••)?

z których jeden będzie się składał z sum od A większych,

potrzeba, aby rzeczona suma stała się mniejszą od liczby A, jednakże przestając już być mniejszą od A, skoro ostatni z dołączonych wyrazów ujemnych opuszczony zostanie. Powtarzając naprzemian podobne dołączanie następnych wyrazów z szeregów P i Q, otrzymamy dwa szeregi sum: Si, S₃, S₅, ... i $₂, ^45 ^6 » •

drugi zaś z sum od A mniejszych, tak, że będzie $2W+ii>d, $2»<;zl. Zważywszy atoli, że wyrazy po sobie następujące w szeregach P i Q kolejno maleją,

dążąc do granicy 0, poznamy, że coraz dalsze sumy S-2n+i i S-in będą się coraz mniej różniły między sobą i od liczby A ; różnica ta będzie dążyła do zera, rzeczone sumy przeto do liczby A.

Mamy zatem udowodnione twierdzenie : Szereg złożony z liczb dodatnich i ujemnych , tworzących z osobna szeregi rozbieżne, jednakże z luyrazami ogólnemi, dążącemi do zera, może być zbieżny, ma jednak, przy innem uporządkowaniu, coraz inną sumę.

Taki szereg zbieżny, którego suma zależy od uporządkowania jego wyrazów, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym, dla odróżnienia od szeregów zbieżnych, których suma nie zależy od uporządkowania wyrazów, a które nazywamy szeregami bezwarunkowo zbieżnemi.

Wprowadzając te określenia szeregów, warunkowo i bezwarunkowo zbieżnych, otrzymujemy twierdzenie: Szereg zbieżny, złożony z wyrazów dodatnich , jest zawsze bezwarunkowo zbieżny ; szereg zbieżny, złożony z wyrazów dodatnich i ujemnych, jest bezwarunkowo zbieżny tylko wówczas, gdy szereg bezwzględnych ivartosci jego wyrazów jest zbieżny; jest jednak warunkowo zbieżny, gdy szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów jest szeregiem nieograniczenie malejącym, a przytem rozbieżnym.

20. Przykład szeregu warunkowo zbieżnego. Dirichlet był pierwszym, który ogłosił światu tę, pozorną na owe czasy, sprzeczność , że szereg zbieżny może swą wartość zmienić, skoro zmienimy porządek jego wyrazów. Wykazał on to w r. 1837. w rocznikach berlińskiej akademii nauk na następującym przykładzie.

Niech będzie dany szereg złożony z liczb dodatnich i ujemnych w postaci :

S,= l--t +

gdzie szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów: 1 -j- ~ -j-

a przytem składa się z wyrazów nieograniczenie malejących.

Utwórzmy z niego, zmieniwszy porządek jego wyrazów, nowy szereg taki, aby po dwu wyrazach dodatnich następować jeden ujemny, a więc szereg:

¥⁺ł⁺7_T⁺y⁺n_T⁺-

tedy możemy położyć przy pierwszem uporządkowaniu:

przy drugiem zaś :

T+T-T+-

rH

-f- ... jest rozbieżny,

4«) ⁺

Ł)’

otrzymujemy zatem różnicę:

Si-s,=x+(4+4--h+-+(

\n—2

czyli :

Sl ~ S‘ - T + (4 “ “8“) + - + (‘In—2

i-i Ol

toj M

T-l CO

Jr,) + -

— ¹ + ...-\-----— -f... )

'    ' 2^—1    2n' j

iH |CC

+ ...d

a więc : S₂ = <Sj -f- y₂ .Sj, skąd wypływa : S\ = ³/₂ Ą •

Z wzoru (18) str. 517. kładąc x = \, otrzymujemy: log2 = l —~ tego byłoby Sl =log 2, zatem : S₂ — ³/₂ log 2.

21. Szeregi wahające i szeregi rozbieżne. Przyjmijmy teraz, że oba szeregi rozbieżne P i Q posiadają tę własność, że icli wyrazy pn i qn, dla n — oo, nie dążą do zera, tylko do pewnej granicy skończonej, różnej od zera. W tym przypadku może być dany szereg: + u% + ... Un + •••, tylko rozbieżnym, albo wahającym.

Wziąwszy bowiem sumę pewnej ilości wyrazów szeregu, dołączając następnie kolejno po jednym z wyrazów i³⁰ sobie następujących, otrzymamy szeregi sum, które będą się różniły między sobą o liczbę skończoną, dodatnią, lub ujemną, a więc nie będą się zbliżały do żadnej granicy skończonej i oznaczonej.

1.6    1.6    2.7    1.6    2.7

2.5 ⁺ 2.5 ' 3.6    2.5 ' 3.6 ' .

bezwzględnych wartości swych wyrazów szereg rozbieżny :

1.6    2.7    3.8    »0 + 5)

2Tb ' 37+ ‘ 4.7 "■ 0 + 1)(«+4)

dąży do granicy -i-; dany szereg jest zatem wa-

Przykład. Szereg : 1

1.6    1.6    2.7

2.5 ⁺ 2.5 ' 3.6

którego wyraz ogólny un liający.

50 + 1)

CO il>

+... daje, jako szereg

+ •••

Jeżeli wreszcie jeden z szeregów P i Q jest zbieżny, a drugi rozbieżny, wówczas będzie szereg: ux + u.₂ + ... + un +... widocznie rozbieżny, a jego suma będzie równa +oo, lub — oo, stosownie do tego, czy szereg P, czy Q, jest rozbieżnym.

22. Szeregi liczb urojonych. Niech będzie dany szereg: u^ + »₂ + ... + »« + ..., złożony

natenczas szereg bez-ze względu na to, że :

Un — Un -J— bn i

z liczb zespolonych: »! = %+&+ »₂ = a₂ + ^2* względnych wartości jego wyrazów : | % | + | m₂ I +    + Iu» I +

un\—\/a\ + b\ , przedstawia się w postaci: V/ a\A-b\ + \/ a\-\-b\ +... + Y/a²w+ó²w+...

Dla dowolnego », mamy tedy \Za²n-\-b²n    \/a²n, a więc \/a²w + &²ra )>■ |«nj, tu

dzież \/a\-\-b'ln +> \Zb²n , a więc \/a\ -\-b\ >|ó«|, z czego wynika, że:

\/a\ + b\ + \/a\ + b\ + ... + \/a\ + b\ +...)> | cą | + | «21 + ••• + : *»! + •••

jakoteż:

\/a\-\-b\ -\-\Za\-\-b\ + ... + \/a\ + b\ +... T> \bx | + | ft₂ | + ... + | bn | + ...

Jeżeli więc szereg: | j + »2 !+••• + +» I + ••■ jest zbieżny, natenczas szeregi: ®i I + I a2 I + •• + i an I + — i +11 + O2 I + ••• + +» I + — s3; tern bardziej zbieżne ; zbieżność ich pociąga już za sobą zbieżność szeregów : «1 + «2 + ••• + an + •• i + ^2 + ••• +    +

a tern samem zbieżność danego szeregu: (at + bxi) + (a₂ + b₂i) + ... + («n + &»*) + ...

A zatem : Szereg liczb urojonych, lub zespolonych, jest zbiezny, skoro szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów jest zbiezny.

Suma takiego szeregu zbieżnego nie jest zależną od uporządkowania jego wyrazów.

Zmieniwszy bowiem w takim szeregu S — +»₂ + ... + »«+..., porządek jego wyrazów, możemy w tak utworzonym nowym szeregu o- zebrać tyle wyrazów początkowych, aby między nimi znajdowało się » początkowych wyrazów danego szeregu, powstała w ten sposób suma crr będzie zawierała, oprócz wyrazów sumy: Sn = ul + w₂+ ...-(-»«, jeszcze niektóre następne wyrazy danego szeregu, jak ua, ug , i t. d., z których jednym z największą wskazówką niech będzie un+p. Otrzymujemy przeto:

--Sn⁼⁼Ua + Uß + ... + Un+p • a Stąd :    ] Zr—Sn I == I Ua + Uß + ... + Un+p j.

Ponieważ jednak :

przeto będzie :

I Ua + Uß + ... + Un+p I ^5*11 Ug | + | Uß | + ... + | Un+p |,

I Cr—Sn I I Ug 1 + [ Uß [+... + [ Un + p |,

więc tem bardziej :

I Cr—Sn I    I Un+1 | + | Un+2 | + ... + | Un+p |.

Wskutek tego, dla dostatecznie wielkiego », będzie: \zr — N«|<Ce, gdzie sjest do

wolnie małą liczbą.

Różnica między zr i Sn, dąży więc, dla nieograniczenie rosnącego », do granicy równej zeru. Szereg a ma więc tę samą sumę , co szereg S.

A zatem: Szereg liczb zespolonych, w którym bezwzględne wartości jego wyrazów tworzą, szereg zbiezny, jest nietylko zbiezny, ale zarazem bezwarunkowo zbiezny.

Jeżeli szereg | ux | -f- | m% I 4" •••+ «» j +... jest rozbieżny, natenczas, mając to na uwadze, że: Un — an-\-bni, a więc: \un\ |«»|4-i&»|j poznamy, że:

i u\ I 4“ I l'i I + ••• + I Wre | -j-    [ al | 4~ | bt | 4~ | «2! 4“ I ^2 I 4“ ••• 4“ I aA "H I bn + -

czyli, że szereg : | <*\ | -j-1 bx | -(- | a₂1 4-1 è₂ ! -(- ••• jest ^em bardziej rozbieżny.

Z dwócli szeregów: A — ' ax | -j- | «₂    an | -f..., B = \ bx | + | b% | -f ...4- | bn \ +

musi tedy przynajmniej jeden być rozbieżnym.

Przypuśćmy, że szereg : A — | ax j 4* I ai I 4~ jest rozbieżny, przytem jednak malejący, z warunkiem lim \an\ — 0. natenczas szereg: ax-\- «2 + •••) będzie na mocy art 19. str. 5,39.

n = go

warunkowo zbieżny, o wartości A, zależnej od uporządkowania wyrazów.

Jeżeli także szereg : |    | + | b₂ | -f-... + | bn | -p ••• jest rozbieżny, a przytem lim ó»| = 0,

n = 00

natenczas szereg: źą-j- ó₂ -j- ... -p bn -p ... będzie także warunkowo zbieżny o wartości P, zależnej od uporządkowania wyrazów. Wobec tego, możemy w tym razie z danego szeregu: ux-\-u.-l-\-... po stosownem uporządkowaniem wyrazów, otrzymać wszelką sumę kształtu: A-\-Bi.

A zatem : Szereg liczb zespolonych, w którym wartości bezwzględne jego wyrazów tworzą szereg rozbieżny, może być sam zbieżnym, jest jednak wówczas warunkowo zbieżnym.

Chcąc się zatem przekonać o zbieżności danego szeregu: %+ »₂4" ••• + Mn -f- ..., złożonego z liczb rzeczywistych, urojonych, lub zespolońycli, należy przedewszystkiem podług jednego ze znanych kryteryów, zbadać zbieżność szeregu : ux | -f- | »₂ i -j- ... -j- | uv |-f-..., złożonego z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu. Jeżeli się przytem okaże, że szereg: |mx j -p | »₂ | 4~ ••• 4~ | Mn | -p... jest zbieżny, natenczas jest dany szereg bezwarunkowo zbieżny i przedstawia pewną skończoną liczbę, niezależną od porządku dodajników.

Tylko szeregi bezwarunkowo zbieżne nadają się do działań, którym poddawać możemy liczby skończone.

23. Równość dwu szeregów bezwarunkowo zbieżnych. Dwa szeregi bezwarunkowo zbieżne S i S', nazywamy równemi, jeżeli oba przedstawiają tę samą liczbę skończoną. Aby się o tern przekonać, należy zbadać różnicę Sm—S'n, gdzie Sm i S\ są sumami m, względnie n początkowych wyrazów tych dwu danych szeregów.

Jeżeli się przytem okaże, że różnica ta, bezwzględnie wzięta, w miarę nieograniczonego powiększania wskazówek m i », może się stać mniejszą od wszelkiej dowolnie małej liczby e, to znak, że ona zmierza do granicy równej zeru, którą osiąga, gdy wskazówki m i n stają się nieskończenie wielkiemi, czyli, że w takim razie oba szeregi są sobie równe, a pozostaje wówczas tylko do rozważenia, w jaki sposób jeden z tych szeregów, bezwarukowo zbieżnych, da się na drugi przekształcić.

Mając n. p. dane dwa szeregi :

S-4+I+4+-1 s‘

2m—1

— 4. — -j- — _p ... 1.2 r 2.3 ^ 3.4 ‘

zauważymy, żc : Sm

2>n

, S'n

więc : Sm—S'n

n -f- 1

która to różnica

» -[- 1

przy nieograniczenie rosnących wskazówkach m i », może się stać mniejszą od wszelkiej dowolnie małej liczby, z czego wnosimy, że: S = S\

W istocie możemy szereg SJ przekształcić na szereg S. Jest bowiem :

S' =

JL _i_ J: L _L i: L _i_ i: L i_

2^2 8 ‘ 3 4 ' 4 5 '

“T ⁺ (¥_7) ⁺ (t_t)+('§'~Ä) + " “ł + T + T + H + “-a,-Ł

24. Suma szeregów bezwarunkowo zbieżnych. Przez sumę dwu szeregów bezwarunkowo zbieżnych, rozumiemy szereg , który powstaje, jeżeli do wyrazów un jednego szeregu dołączymy odpowiednie wyrazy vn drugiego szeregu. Otrzymany szereg jest znowu szeregiem bezwarunkowo zbieżnym, a suma jego jest równa sumie obu danych szeregów. W istocie, jeżeli bowiem :

Sn — Ux -j- »2 4~ • • 4” Mn

S'n — Vx -p ®2    4“ Vn )

tedy będzie:

przeto, dla nieograniczenie rosnącego », będzie :

(«1 + v\ ) -f («2 + «04- - =lim (Sn 4- s'n) s + s*.

71 = 00

Sn 4" S'n — (Uj 4-^)4- (»2 4" «î) 4“ ••• (Mn 4~ ««)»

(14)

Pi'awidlo to dotyczy widocznie ilukolwiek szeregów.

Jeżeli ilość szeregów jest nieskończenie wielka, a każdy z nich jest szeregiem bezwarunkowo zbieżnym, tedy otrzymana suma będzie miała wartość skończoną, jeżeli szereg poszczególnych dodajników jest bezwarunkowo zbieżny.

Ogólnie nazywamy szereg, złożony z oo»» szeregów, szeregiem m-krotnie nieskończonym , i przedstawiamy go ogólnie w postaci sumy m-krotnej kształtu :

«,= oo «2=oo    vm—⁰⁰

2 2-2

M«j«2 ... Um ,

«2=0 «2=0

nm=cc

która wskazuje, że dane wyrazy należy sumować najpierw podług nm, potem podług

w końcu podług nl.

»m—1

Szereg m-krotnie nieskończony będzie oczywiście bezwarunkowo zbieżny, jeżeli szereg bezwzględnych wartości sum:

nm=⁰⁰

«, = 00 «2=00

unin₂...nm I,

«, = 0 «2= 0

jest zbieżny.

25. Iloczyn szeregów bezwarunkowo zbieżnych tworzy również szereg bezwarunkowo zbieżny, którego suma jest iloczynem z wartości danych szeregów.

Skoro bowiem dane są dwa szeregi bezwarunkowo zbieżne:    -f-... + w« -f-... = «S,

v\ 4"    4~ ••• 4" «>« + ••• ⁼⁼ & ’ natenczas iloczyn obu szeregów przedstawia się w postaci

szeregu :

(%%"i⁻ ••• 4- u»vi 4- •••) 4* (uiv2 4"    4" 4"    4~ •••) 4"

w którym poszczególne wyrazy są szeregami bezwarunkowo zbieżnemi o wartościach: Svu Sv2 jacy sumę równą SS'.

W powyżej otrzymanym szeregu, możemy wyrazy ugrupować w jakimkolwiek porządku, niezmieniając przez to wartości jego, równej SS'. Łącząc te iloczyny urvs, w których suma wskazówek r-j-s jest jednakową, w jeden wyraz, otrzymamy szereg:

których sumą jest szereg: Svt -f- Sv₂ -|-

również bezwarunkowo zbieżny, ma-

(15)

-j — u^vi 4-(wjv<i -t* 2*2?>i) 4* ••• 4" (2*1^«—14- 2*2^'«—24~ ••• 4~Un—2 v% 4"Mn—1 v\)4- •••

którego suma 2 dąży do granicy SS'.

gdy n jest liczbą parzystą, lub

2“

Jest bowiem SnS'n^> Sv S'v, gdzie v =

n—1

v = ——-, gdy n jest liczbą nieparzystą. Grdy n rośnie nieograniczenie, wówczas także v

Ci

rośnie nieograniczenie, różnice więc Sn S'n~-SvS'v, SHS'n—^n, ’Zn—SvS'v, dążą tedy do zera zkąd wynika: lim I.n — S.S'.

n=00

26. Iloraz dwu szeregów bezwarunkowo zbieżnych da się na mocy własności ilorazu również przedstawić w postaci szeregu bezwarunkowo zbieżnego.

Jeżeli bowiem położymy :

2*1 4-w2+% 4~ — 4“w» 4* •••_s__1 „ , „ ,    1^1

ÏT+i,+ «3+:. + <* + .. = s-f+*> + 2> + -+*»+-

tedy na mocy własności ilorazu, z uwzględnieniem art. 25, otrzymamy :

Wj4~ 2*2 4" ••• 4- 2*» 4- •••= (v\ 4-»2 4- ••• 4" vnĄ- •••) (21 4-22 4- ••• 4- 2« 4- ••>)= = »l2l 4- (*'l22 4-«Mi)4-(»i& 4"®a 2j4-»82i)+-

Kładąc więc :

} ...5

«i=»i 2i, «2= »122 4-^2 2i

ogólnie :

un = »12« 4“ ^2 2w—1 4“ ••• 4“ ®»—1 22 4~ *’« 2l

możemy z tych równań wyznaczyć kolejno wyrazy szeregu

Ćwiczenia XXXIX.

Wyznaczyć wyraz ogolny un szeregu : ui + ui+...+ un -j- ... i zbadać jego zbieżność, skoro:

1)

2« 4" 1

Un + l

Un

3« -J- 2

Un

(3«—2) (4n—2) (3« — 5) (4«+ 2)’

ux — —1.

n + _1 .

M»

w²

(w + 2)²

% =%•

5) *Sn

3»+ 2 4«4~3‘

6) Sn

(n + l)(2n + 2)

(2«-f l)(3«-f2)

. 7) Sn

« (« 4~ 1)

(2«-fi)²'

8) Sn

2n + i -J- 2”—2«—3

2n~ 1

. 9) &i =

3»+l — 2» —

1—cos” a

2.3”—¹

gdzie <Sn —U\ -f U% -|- ... -J- Un•

2 sin

LC R

Wyprowadzić następujące wzory na S» i zbadać zbieżność dotyczących szeregów:

k + n k(k+l) ^ (k + 1) (k + 2) ^    ^ (k +n—1) (k+n)'

(k + n-l)(k + n) i k(k + 1)(k + 2) ¹ (k -f 1) (A?4-2)(fc-f 3)

’ _1_

(k + n — 2) (k -f n —1 ) (k 4- n)

13)

3 \k(Jb + l)(fc + 2) (k+n — 2)(k+n-l)(k + n)\

k (k -f 1) (k + 2) (k -f 3)

(k +!)(* + 2) (k + 3) (k + 4) ^ (k -f n-3) (k+n—2) {k+n—1) (fc-f «)’

k(k -(-1)... (k+m — 1)

(.k -f «— m+1) (k + n— m + 2)... (k + n)

k (k -|- 1) (A; + 2)... (k -j- ot)

(k -f 1) (fc -f 2)(k + 3)... (k -f w + 1)

IB) 4-

(k+n — m)(k + n — m +1) ...(k + n)

y n + 2\ ²__    (r + l)*-r²(r + 2)²

\n + l) r==1 r\r+1)²

1.4 ' 4.9 ' 9.16

f ».+

(w-J-1)⁴—w²(»4-2)2 n\n -f l)²

16)

(4a² -f l²) (4a² + 3²) ^ (4a² + 3²)(4a² + 5²) ^ (4a² 4- 5²) (4a² 4- 7²)

+ •••4

' ’ {4«²4-(2w-!)²}{4a²4-(2w4-l)2j

n(n +1)

2 (4a² +1) {4a²4-(2n 4-l)²}'

17)

a²(a² 4- 4.1²)

(a²4-4.1²)(a²4-4.2²)

(u²4- 4.2²)(a² + 4.3²)

(2n—1)

|a²4~4 .(«—1)²| |a²-f 4n²}

¹⁸⁾ 4[(T ⁺ T ⁺ - ⁺ ^)”(^TlTn + 2

a\a² 4- 4n²) ’

f .» +

—)1 =

n 4- m ' J

21) Oznaczywszy dla krótkości:

2m — \mx + 2m X² 4- 3m X³ 4- ... 4- nm »”

dowieść, że:

dx

1 m-=x

Sm = a™ b + (a r)m bqĄ- (a -f- 2r)mbq'²-\-(a-\-3r)m bqz-\-... 4"{a (n—l)r}m bqn i,

22) Oznaczywszy dla krótkości:

dowieść, że :

Sm = « • Sm—14~ T q

23) Dowieść, że:

d Sm—1 dq

¹__1________

v/r ^ v/2    y/3    v/»

— >\/n.

Udowodnić następujące twierdzenia:

dodatnich, nie większych od pewnej

24) Jeżeli mamy dany szereg liczb: oą, a₂, a3i liczby A, ale i nie mniejszych od pewnej liczby B, wówczas szereg axux -f- aiu2 4" — Jest zbieżnym, lub rozbieżnym, stosownie do tego, czy szereg: «i+ «2 + ... jest zbieżnym, lub

rozbieżnym.

25) Jeżeli dany szereg liczb dodatnich: «i4~ w2 4~ w3 4" •••) jes^ zbieżny, względnie

roz

bieżny, wówczas szereg:

«3

1 4“ «1    1 4~ «2    1 4“

będzie również odpowiednio zbieżny, względnie rozbieżny.

26) Jeżeli wyrazy szeregu rozbieżnego maleją nieograniczenie, wówczas szereg :

u\ u\ "T u2 ui 4“ui ui 4" ui 4- u3 4" %

jest również rozbieżnym. 27) Szereg :

«2

«4

u\ 4~ m2 ui 4“ ui 4“ w3 Mi 4~ ui 4~ uz 4" w4

jest zbieżny, względnie i-ozbieżny, stosownie do tego, czy szereg «i4~ M24~ M3 4~ zbieżny, względnie rozbieżny. Wyrazy %, w₂, w₃,..., są dodatnie, malejące do zera.

28) Jeżeli mamy dwa szeregi o wyrazach dodatnich:    4-u₂-f-u₃ 4~ —, U4-^24“^4“

jest

tak dobrane, że stosunek : — , ani nie rośnie nieograniczenie, ani nie maleje do

Vn

w miarę nieograniczonego wzrastania », wówczas szereg pierwszy jest zbieżny, względnie rozbieżny, stosownie do tego , czy drugi szereg jest zbieżny, względnie rozbieżny.

zera.

29)    Jeżeli dany szereg, o wyrazach dodatnich: wt4~..., porównany z pewnym

szeregiem zbieżnym: 4- c₂ 4” e3 4~ również o dodatnich wyrazach, daje stosunek: —, nie

Cn

wzrastający nieograniczenie, a wńęc stale mniejszy od pewnej skończonej liczby A, wówczas dany szereg: % 4" «24' «3 4" •••> jest zbieżny.

Uwaga. Jeżeli jednak stosunek — , w miarę nieograniczonego wzrastania », rośnie

Cn

nieograniczenie, to ztąd jeszcze nie wynika, żeby szereg    j musiał być

rozbieżnym. Kwestya zbieżności tego szeregu jest w danej chwili nierostrzygniętą.

30)    Jeżeli dany szereg o wyrazach dodatnich: «i4~ w2 4~ «3 4" •••) porównany z pewnym szeregiem rozbieżnym: d{ 4- d% -\-d₃ 4“ •••; również o dodatnich wyrazach, daje stosunek

Un

, nie malejący do zera , a więc stale większy od pewnej, różnej od zera, dodatniej liczby

dn

B, wówczas dany szereg: «,4- «2 4* «3 4" •••> jest rozbieżny.

Uwaga. Jeżeli jednak stosunek — , w miarę nieograniczonego wzrastania », maleje

(tn

nieograniczenie do zera, to z tego jeszcze nie wynika, żeby szereg: ux Ą-u^Ą- »₃4“..., musiał być zbieżnym.

31) Dlaczego warunek: limnun — 0, nie pozwala jeszcze wnioskować o zbieżności

W—00

szeregu :    4- «2 4" % 4~ •••

32) Dlaczego warunek: lim » log n.un =0, nie pozwala jeszcze wnioskować o zbieżności

71—00

szeregu : «i 4“ u2 4" «3 4“ •••

33) Dlaczego warunek: lim n log »log₂» log₃» ... logt n. un=0, nie pozwala jeszcze wnio-

71—CC

skować o zbieżności szeregu: «i4~«2 4"m3 + — Tutaj log₂ » = log log », log₃» — loglog₂», (przy dowolnej podstawie logarytmów).

35

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

84) Szereg o wyrazach, dodatnich: ux -f- w₂ -f*us + jest napewno zbieżny, gdy możemy znaleźć taką dodatnią, różną od zera , liczbę p, że wyraz :

nlognlog₂ n ... log*.., n (log*w)i+e> un ,

w miarę nieograniczonego wzrastania w, nie będzie wzrastał nieograniczenie, ale będzie stale mniejszym od pewnej, skończonej liczby A.

35) Szereg o wyrazach dodatnich: %+w2+ ui 4" •••» jest napewno rozbieżny, gdy możemy znaleźć taką liczbę (>, dodatnią, różną od zera, a mniejszą od jedności, że wyraz:

n log n log₂ n ... log*.., n (log* w)i-p un,

w miarę nieograniczonego wzrastania n, nie będzie malał nieograniczenie do zera, ale będzie stale większym od pewnej dodatnej , skończonej liczby B.

36) Jeżeli dany szereg o wyrazach dodatnich: wt -4- w₂ -f-w₃ -f- ..., porównany z pewnym szeregiem zbieżnym:    c₂ -J- c₃ +..., o wyrazach również dodatnich, daje stale nierówność:

Un-f-l    . Cni-1

cn

Un

, wówczas szereg: Wj-j-w₂4-w₃-}-

jest napewno zbieżnym.

Uwaga. Jeżeli jednak, od pewnego miejsca począwszy, mamy stale:

Wre+1

Un

Cnj-i Cn

to ztąd jeszcze nie wynika, żeby szereg dany: Wj-j-w^ w₃musiał być rozbieżnym.

37) Jeżeli dany szereg o wyrazach dodatnich: Wj-f- w₂-j- w₃-f-..., porównany z pewnym

Uni-1 ^ dn+1

wówczas

szeregiem rozbieżnym: dx d₃ -(- d₃ -}- ..., daje stale nierówność: szereg: Wj 4- u% 4 u₃ + —, jest napewno rozbieżnym.

Uwaga. Jeżeli jednak, od pewnego miejsca począwszy, mamy stale: Un— <( ^”4—,

Un    dn

to ztąd jeszcze nie wynika, żeby szereg dany: u^Ą-u^Ą- w₃ -f-..., musiał być zbieżnym.

38) Dowieść, że szereg o wyrazach dodatnich: w,-|-w₂4- u₃ -f- ..., jest zbieżnym, skoro możemy dobrać taką funkcyę /(«), stale, wraz z n, rosnącą nieograniczenie, że wraz z wzorem : lim unf (u) = J, (A jest pewną, skończoną, oznaczoną liczbą), zachodzi też nierówność:

71=00

Un

dn

/(»)

-/(•*+!) >«>0

Un

Un+1

przyczem a jest skończoną, dodatnią liczbą. Jest to kryteryum Kummer’a. Warunek, pierwotnie przez Kummera postawiony: lim unf(n)= O, jest zbytecznym.

M—00

Uwaga. Jeżeli jednak, przy funkcyi/(w), dobranej w sposób taki, że: lim f(n) .un,

n—oo

jest liczbą skończoną, oznaczoną, względnie zerem, wyraz:

/O)

/O + 1)

un

UnĄ-1

maleje do zera, wówczas nie można jeszcze wnioskować o rozbieżności szeregu: u\ 4" w₂ 4" m3 4" •••> ale też i kwestya sama zbieżności jest w danej chwili nierostrzygniętą.

39) Dowieść, że, jeżeli f(n) jest funkcyą , wzrastającą nieograniczenie wraz z n. a p jest pewną dodatnią liczbą, różną od zera, wówczas szeregi, o ogólnym wyrazie:

19)    tg (2»»)—tg x = tg x. sec 2 x + tg 2x . sec 4 x -f tg 4». sec 8x 4- ••• 4" Ig (2”—¹ x) . sec (2”»).

20)    2n~¹ , sin (2» 4-1) »

4 sin»

= cos²» -f- cos²2» 4- cos²3» -f 4“ cos²«».

Wre =

/O)—/O—i)

(/0))¹+?

Ww =

/O)—/O—i) /OM/O—i))? ’

Wre

Wre =

/O)—/O— i) /P)(i°g/P))1+p ’

/O)— /P-i)__

/O) log/O) (iog₂/0))1+(>

W»

/O)— /O— i)

/O) iog/0) (log/O — i))e ’

Wre =

/O) —/O—!)

/0)l°g/0) log2/0)(l°g2/0—1)>°

w ogóle:

Wre =

/O)—/O—i)

/O) log/O) log₂/0) - logi-!/O) (l°g*/P) )¹⁺^ ’

względnie : są zbieżne.

Wre

/O) —/O—i)

/O) log/p) log*/P)... log*_₁/O) logi/ p) (logi /(» -1)0

40) Dowieść, że, jeżeli f(ri) jest funkcyą, wzrastającą, wraz z n nieograniczenie, to szeregi o ogólnym wyrazie :

Un —

f(n)—f(n— 1)    _/(»)—f(n—l)

f(n) ’ n    f(n) log/ O) ’

wogóle :    =

Mn = —

są rozbieżne.

Dowieść zbieżności następujących szeregów:

/(»)log/(»)logj/(»)

f(n) log/(w) log₂ /(»)... log*/(») ’

⁴¹⁾ T + O + (t) + (t) + - + (4)”

-f- ••• in inf.

42) l₊-| ₊ A2 + A ₊ ... ₊ _^

j- ... in inf.

in inf.

2.3.4

2.3.4.5

50) 1 + 4 BI) l+i

to Oj

OO ot

lO CO

co Od

Oi

CO

Ol co

4-... in inf. .

f-... in inf.

4~ ...in inf.

Y/2 ' V/3

2.5

9.11

1.5

3»-i

p ... in inf.

Ot

.8

9.11.13

1.5.9

-j- ... in inf.

2.5.8.11

9.11.13.15

4- ... in inf.

1.5.9.13

1—¹ CO

8.11

8.11.14

8.11.14.17

-j-... in inf.

1.10

1.10.25

52)    1+y-t

53)    Wykazać , że, w szeregu :

1.10.25.46

7.18

7.18.33

7.18.33.52

j- ... in inf.

1.6 1.6 2.7 __ 1^6 2/7 3.8 2.5 ' 2.5 ’ 3.6 2.5' O ' 4/7

jest:

1.6    2.7    3.8

275'3.6 ' 4/7 (n + l)(n + 4)

lim S2n+i — lim S%n = lim    = lim    = A.

i=°o    n=00    n=oo    n=00 5(2n + 1) 5

+ ,..+(-!)»

n(n -j- 5)

111

54)    Z szeregu warunkowo zbieżnego: s— 1--—-p ---— + ..., u^worzoIly został

przez zmianę porządku wyrazów, następujący szereg:

'S="(¹~l""3    ~5~~2    ⁺    A(^_5 • 6n—3 ¹ 6n-l An—2

wykazać, że szeregi s i S mają różne sumy i, że, różnica Sn—sn zmierza do pewnej liczby, położonej między A i

55)    Wykazać, że szereg:

w tern uporządkowaniu sumę S < 1, a natomiast w uporządkowaniu :

1    ¹ I 1    1

Y/2⁺Y/3 Vt

4n) +

j- .., jest warunkowo zbieżny i ma

S*

M ,    , (    ¹    »    ¹    1 \

Y/5 ¹ Y/7    Y/4;    ■"    VY/4n^3 ^ \/4n=ï    \/2 J ’

jest rozbieżny.

56) Wykazać, że szereg: a²—ad -)- ad—ad ~p

jest nieoznaczony dla af>—.

57) Wykazać, że szereg: 1--— -j-    ---;jr + •••? jest warunkowo zbieżny, i ma w tern

uporządkowaniu sumę 0,785398163397448...= -^. (Szereg Leibnitza).

Zbadać, ze względu na zbieżność, lub rozbieżność następujące szeregi podwójne:

59) Y2 H⁻ 28    34    45

+ jŚ ⁺ 8^ ⁺ 6^⁺7l⁺-

+ —+ —H—— 4——

, JL +    _ _

^ 1.9 ^ 9.17 ^ 17.25 ^ 25.33

68) i + i + i + jl + ...

O co

2 2 2 2

+ - + - + 64 + Î62 + -

_l---1---—    ...

T ^ 64 ^ 256 ¹ 1024 ^

.4,4,4,

+ 40 ⁺ 2ÖÖ ^ lÖÖÖ ⁺ 5ÖÖÖ ^

96 ‘ 576 ~ 3456 ¹ 20736 1.17 ¹ 17.33 ^ 33.49 ^ 49.65

60)    Znaleść sumę n wyrazów szeregu: 0’33 -{- 0'333-j- 0-3333-f* ...

61)    Znaleść sumę Sn szeregu, którego wyraz ogólny: Mm = 2» .3W+¹.

Okazać, że :

62)    4² + 7² + ... -j- (3m -J-l)² = j m (6m² + 15» + 11).

63)    l² + (l² + 2²) + (l² + 2² + 3²) + ... + (l² + 2² -+ 3²+ ... + »²)= T'₅ n (» + l)² (» -f 2).

64)    1 +2.3² + 3.5²+4.7² + ... + m(2m— 1)²=* n(n+ 1)(6m²-2m—1).

65)    (l²-l) + (2²-2)+... + (»²-») = i (m-1)m(m+1)(m + 2).

—~ jest rozbieżny.

66)    Wykazać, że szereg, którego ogólny wyraz un

3) Mm

Rozwiązania XXXIX. 1) un n-2

(M-l)!

zb. 4) Mm

1.3.5 ... (2» - 1)

2.5.8... (3m — 1)

, zb. 2) Mm

rozb.

rozb. 5) un

6) Mm

4» — 5 2(2» ²—5»²—3»-f-l) 36»⁴—7»²-f 5» -f 2*

(4m-1) (4»-t-3)‘

“n 10) Mm= sin — cosw~¹ oc. 58) Szereg

zbieżny o sumie =2. 59) Zbieżny. 60) Sn— |9» — ^ -f-    61) Sn=    (6n—1).

7) Mm —

2m

(2M-i)²(2»+iy

-r 8) Mm

2»—1

2n—1 ’

9) Mm

CD

Literatura. Catalan. Traite élémentaire des sériés. Paris 1860. P. Dziwiński. Analiza elementarna. Autografia wykładów Matematyki I. z r. 1886/7. We Lwowie , 1886.

J. Herr. Lehrbuch der höheren Mathematik. Wien 1874. J. Lieblein. Sammlung von Aufgaben aus der Algebraischen Analysis. Prag, 1867. O. Schlömilch. Handbuch der algebraischen Analysis. 4. Auflage. Jena 1868. R. Reiff. Geschichte der unendlichen Reihen Tübingen 1889.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Szeregi arytmetyczne i szeregi harmoniczne wyższych rzędów.

2.    Związek między rozmaitemi rodzajami kryteryów zbieżności szeregów liczb do

datnich.

¹

.(w4-1)    2.(ot 4- 2) ' 3. (w 4- 3) ' m.(m + n)

²

Zamiana szeregów zbieżnych na szeregi bardziej zbieżne.

Wyklad XL.

Główne wiadomości z teoryi szeregów potęgowych.

1. Szeregi potęgowe. Między szeregami, których wyrazy nie mają sta

łych wartości liczebnych, lecz są zależne od pewnej liczby zmiennej x, zasługują na uwagę, jako najprostsze, te szeregi, których wyrazy są uporządkowane podług potęg rosnących całkowitych dodatnich zmiennej x. Szeregi te stanowią uogólnienie funkcyi całkowitej wymiernej, kształtu:

gdzie spółczynniki : a₀, a1? a₂

Szeregi tego rodzaju nazywamy szeregami potęgowemi.

2. Zasadnicze własności szeregów potęgowych. Bezpośrednio z pojęcia i znamion zbieżności szeregów w ogólności wynikają następujące twierdzenia zasadnicze :

^3 (x)=a₀ Ą-a^Ą-a^Ą-...Ą-anxnJr... in inf są liczbami stałemi.

1)    Szereg potęgowy jest w danem miejscu x bezwarunkowo zbieżny, skoro szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów jest w tem miejscu zbieżny.

2)    Szereg potęgowy, którego wyrazy są, co do swych wartości bezwzględnych, mniejsze, aniżeli bezwzględne wartości odpowiednich wyrazôiv szeregu potęgowego bezwarunkowo zbieżnego, jest także bezwarunkowo zbieżny.

3)    Szereg potęgowy bezwarunkowo zbieżny dla pewnej wartości x, jest też bezwarunkowo zbieżnym dla wszelkich wartości zmiennej, bezwzględnie mniejszych od I ad.

4) Każdy szereg potęgowy jest zbieżny dla x=0. Dla tej wartości, otrzymuje on bowiem wartość skończoną: a₀. Szeregi potęgowe, zbieżne tylko dla ai=0, nazywamy szeregami rozbieżnemi.

jest szereg:

Przykładem szeregu potęgowego , który jest bezwarunkowo zbieżnym tylko dla cc = 0, 5ß(*) = l + l!œ + 2!æ² + 3!æ³+...

Stosując bowiem do szeregu bezwzględnych wartości jego wyrazów:

S|«„|s=l+ |a;[4-!2!x²|+ |8!*³| + ...

kryteryum Cauchy’ego, otrzymujemy:

un+1|

nl \xn

n ,\x\,

x |n—¹

(n—1) ! \ xn~*|

lim iiffLj"¹ 1 = lim n. | x \ = oo, skoro | x | > 0,

W=oo

a więc, przy wszelkich skończonych wartościach |as|, różnych od zera, jest szereg rozbieżny.

Do szeregów potęgowych, zbieżnych tylko dla æ = 0, należą szeregi, których wyrazy anxn dla wszelkich skończonych wartości x: różnych od zera, wzrastają nieograniczenie.

a stąd:

Un

71 — 00

5) Szereg potęgowy, w którym wartości bezwzględne poszczególnych wyrazów:

anxnj,dla pewnej wartości x₀, o bezwzględnej wartości |a?₀|=|₀,

nie przekraczają pewnej wartości skończonej g, jest zbieżny dla wszelkiej wartości zmiennej x, której wartość bezwzględna £=|a?|, jest mniejszą od £₀.

Jeżeli bowiem, zgodnie z założeniem, dla wszelkiej wskazówki n: jest |«n#wol<C5rł tedy będzie także iloczyn, [ an \. \ xn₀1 <; g, a więc także: \an\\x₀\n <Zg,

czyli: |a„|£w₀<#, skąd otrzymujemy : \an\<^g.

Nadajmy teraz zmiennej x taką wartość bezwzględną £, aby było natenczas, ze względu na to, że

dn | < g . -

T—I

otrzymujemy nie-

równość: \an\^n<C.g.

(Trp

czyli: \an\^n<jg

i «01 + I «11 f-H I «21 |² + — + l “»I !” + ••■<</[

utr

a stąd :

(i) ⁺-⁺(t)⁺-]

czyli :

7l=oo    77 = oo

2i*ir<*2 f ”•

n—O    n~O ' bo/

Skoro jednak:

77=00

-j, jest więc:

1_f

bO

co dowodzi, że szereg '^^\an\%n jest zbieżny, a więc

< 1, wówczas

w—O

71—cc

2ib*i£,<0-—¹-f

n=0    1 __S_

lo

77=00

szereg:    anxn—a₀ Ą-aix-\-a₂x²+..., jest bezwarunkowo zbieżny, co było do

77=0

77=0

udowodnienia.

3. Koło zbieżności danego szeregu potęgowego. Jeżeli £₀ jest największą wartością bezwzględną zmiennej x, przy której wartości bezwzględne wyrazów szeregu: 2anxn, pozostają skończone, wówczas szereg ten będzie bezwarunkowo zbieżny dla wszelkich wartości zmiennej x, których bezwzględne wartości są mniejsze od £₀, a więc dla wszelkich punktów płaszczyzny liczbowej tych w obrębie koła o promieniu ()—£₀, mającego środek w punkcie O (æ=0).

Koło to nazywamy kołem zbieżności danego szeregu potęgowego, a jego promień q promieniem zbieżności.

zawar-

/i o

l*o| Sł

Promień zbieżności danego szeregu potęgowego : 2a„xn=a₀-[-aix-\-a₂x²+..., znajdziemy z warunku, odpowiadającego kryteryum Cau-chy’ego, w postaci:

| an+1 #w+¹1

< 1, czyli: lim ■

77=00 (%Ti J

z którego wynika, że dany szereg potęgowy jest zbieżny, skoro:

lim

77=oo

| an xn

• I ³⁵1< 1,

Fig. 266.

I x I < lim AL.

«*+1

77 = oo

Otrzymujemy zatem, na wyznaczenie promienia q zbieżności szeregu potęgowego: ^(x)=aQ -\-aix+a₂x²-\-wzór:

7 •    0>n

q = lim

(2)

oo

Cln-\-i |

Jeżeli Q=0, wówczas koło zbieżności redukuje się do jednego punktu

x = 0.

Jeżeli q=r, natenczas koło zbieżności danego szeregu obejmuje punkta płaszczyzny liczbowej, zawarte wewnątrz koła o promieniu r, a szereg taki nazywamy szeregiem zbieżnym wewnątrz koła r.

Jeżeli, w końcu, wypadnie p—oo , natenczas koło zbieżności szeregu obejmuje wszystkie punkta płaszczyzny liczbowej ; szereg taki jest zbieżny dla wszelkich skończonych wartości zmiennej niezależnej x, i nazywamy go szeregiem bezustannie zbieżnym.

daje :

| Cln ]

Przykłady. 1) Szereg ?ß(as) =1 -J- 1 ! a? -|-2 ! xlAę-

lim — = 0, ma więc koło zbieżności o promieniu równym zeru, czyli n—oo u

jest bezwarunkowo zbieżnym tylko dla x = 0.

p = lim - 'an 1.

n— oo | Ctn + i

II

(fyi\    f

2) Szereg dwumianowy: fß(oj) = 1 bil    \2 )a;2_h

m -f-1 I

un+i m — n~\- 1

| Un-\-1 |

Un-f-l

x |, a zatem : ^m

n~ oo

bezwarunkowo zbieżny, skoro | as | <C 1, czyli , w kole zbieżności o promieniu p = l.

3) Szereg wykładniczy: $ß(cc) = 1 -f- ~ -f- — -fi

J- ! u !

Un

.x, przeto:

Un

II

Un |

| ac |, jest więc

daje :

Un+i

Un

n ¹    |Un|

Un+1|_    1

a więc :

lim I 1 = lim i-£j = 0, jeżeli | x | < oo,

OO %

71 = oo

Un |

71=

jest więc dla wszelkiej skończonej wartości x bezwarunkowo zbieżnym. Promień o koła zbieżności tego szeregu jest tu nieskończenie wielkim, a więc szereg dany jest bezustannie zbieżnym.

4. Jednostajna zbieżność danego szeregu potęgowego. Niech będzie dany szereg: iß(a;)=a₀ Ą-a^Ą-a^Ą-..., o promieniu zbieżności, równym r, przyczem

j an rn=g, gdzie g jest pewną liczbą skończoną. Zakreślmy wewnątrz koła zbieżności tego szeregu koło współśrodkowe o promieniu q <Z.r, (fig. 267.), natenczas z warunku | an |rn<C<7, czyli :

(t)

an\Qn<g

(ń

a stąd

otrzymamy :

sumując wyrazy od pewnej wskazówki w)> 0, aż do n=co, dostajemy resztę szeregu:

| an+11 ę"+¹-b| an+21 pw+2 + ... + | «n+p | ę>”+^ + ...<C

Fig. 267.

<9

MbH

< 1, otrzymujemy:

skąd, ze względu na to, że:

P — 00

JB=1

2 as xs < £, czyli : j Rn | <C £•

s=n-f-i

W szeregu potęgowym: a₀ +%x-\-a₂ x² +..zbieżnym wewnątrz koła o promieniu r, możemy zawsze obrać taką wskazówkę n, że bezwzględna wartość reszty szeregu, poczynającej się od wyrazu anxn, względnie od wyrazów następnych, okaże się dla wszelkich wartości x, wewnątrz koła zbieżności szeregu, mniejszą od dowolnie małej liczby s.

Tę własność szeregu potęgowego nazywamy jednostajną zbieżnością szeregu.

Mamy zatem dowiedzione twierdzenie : Szereg potęgowy jest w swojem hole zbieżności nie tylko bezwarunkowo zbieżnym, lecz także jednostajnie zbieżnym.

5. Ciągłość szeregu potęgowego w obrębie jego koła zbieżności. Przyjmijmy wewnątrz koła zbieżności szeregu: $£(#) = o₀ -ya^x-ya.^x² Ą-dwa miejsca x i x-\-h, natenczas możemy położyć:

r~n

W=oo

$P(æ) = 2 °r %r + 2 °r %r

r—O

r=n-j-i

r— co

^(a?+Ä) = 2ar(% + h)r+ 2 ar(% + h)r

r=0

Ponieważ wskazówkę n możemy obrać tak wielką, że wyraz :

( ^»+1

i-i

r

okaże się mniejszym od wszelkiej dowolnie małej , dodatniej liczby £, przeto otrzymamy wtedy także :

5=00

S — co

2j | as \ qs <C £, a że :

< 2 I a» | Qs

«=»+1

będzie więc także:

S=»-ł-l

s=n-j-l

$=oo

r=n-j-1

skąd otrzymamy bezwzględną wartość różnicy: 9$(x-\-h)—^ß(ß), w postaci:

r~n

r=O

r=n

7=0

Mając na względzie, że:

r=<x>

2 ar(x+h)r — 2 ttrXr (³)

r—n + i

r=cc

r=oo

r=co

2 ar(x-\-h)r— 2 °rXr

2 ar(x+h)r

ar xr

r=M+1

r=n+1

r=n-)-l

r=w+l

możemy, na mocy jednostajnej zbieżności szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności, wskazówkę n obrać tak, aby było:

r=co

r=co

2, «r (# + k)r

<>i, zas

2 ar& <e₂

r=ra+l

gdzie q i e₂ są dowolnie małe liczby dodatnie, a otrzymamy tedy:

r=co

r=oo

r=«4-l

r=w-f-l

Wobec tego, kładąc c₁-p£₂==c, dostaniemy z wzoru (3) nierówność:

r=n

r~n

| iß (# + /&)—$(#) | < ^ar(x+hy-^arxr +f.

r-0

r=O

1 —71

Mając na uwadze, że: 2 arxr jest funkcyą całkowitą wymierną zmiennej

r— 0

niezależnej x, a jako taka, jest na mocy art. 13. str. 428., funkcyą ciągłą dla wszelkich skończonych wartości x, możemy przyrost /&, bezwzględnie biorąc, tak obrać, że, dla \h\ <irj, różnica:

r=n

r=n

2 ar {xĄ-h)r— 2 ar xr

r=0    r=0

bezwzględnie wzięta, będzie mniejszą od dowolnie przyjętej liczby d. "Wobec tego otrzymamy:

(4)

|Sß(a> + Ä) —    I <£ + Ó.

A, ponieważ sumę £+d możemy uczynić mniejszą od wszelkiej dowolnie małej liczby e', przeto możemy też, przy stosownie dobranym przyroście A, otrzymać nierówność: \^(x-\-h)—iß(#)| «<£', która stanowi znamię ciągłości szeregu potęgowego w miejscu x.

A zatem: Szereg potęgowy    jest wewnątrz swego hola zbieżności (r)

funhcyą ciągłą zmiennej niezależnej x.

6. Szeregi pochodne i ich zakresy zbieżności. Z danego szeregu : 9$(x)=a₀ -j- ai x+a₂ x² +... + an xn +...,

bezwarunkowo zbieżnego w kole :

r = lim

an—1 I

an

otrzymujemy, stosując prawidło różniczkowania, szereg pochodny: v$l(x)=al -b2a₂Æ+3agÆ²4-... + wa»xn—1

Szereg ten jest bezwarunkowo zbieżny, dla tych wartości zmiennej niezależnej x, które czynią zadość nierówności :

nanx

lim

» (n 1)

<1, czyli:

a więc :

x I < lim

an—1

71=00

I an

ma zatem koło zbieżności o promieniu:

—j I

q= lim

00 I an

czyli: g=r.

71=.

A zatem: Szereg pochodny: ⁽§‘(x)==ax-{-%a₂x-\-'da?)x'2,Jr..., ma ten sam zakres zbieżności, co szereg pierwotny : iß(.r)=a₀ Ą-a₁x+a₂x²-\-...

Ponieważ, atoli, z szeregu danego iß(a;) utworzyć możemy kolejnem różniczkowaniem szeregi pochodne rozmaitych rzędów, jak: iß'(a?), iJ3"(æ), ...,    ...

a każdy z tych szeregów ma, według poprzedniego twierdzenia, ten sam zakres zbieżności, co szereg poprzedzający, przeto mamy ogólne twierdzenia: Szeregi pochodne wszelkich rzędów skończonych, utworzone z danego szeregu potęgowego ?$(x), są również szeregami potęgowemi, posiadającemi ten sam zakres zbieżności, jaki ma dany szereg potęgowy

7. Przekształcenia szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności.

Niech będzie dany szereg potęgowy: iß (a?) =a₀ axx Ą-a^x²-\-..., którego koło

zbieżności ma promień równy r. Przyjmijmy wewnątrz tego koła pewien punkt a?, (fig. 268.) i obierzmy przyrost h tak, aby było    \ <Cr, naten

czas , jako wartość szeregu $$(#) w miejscu a; + ń, otrzymamy szereg bezwarunkowo zbieżny:

<$(x-\-h)=a₀ + a₁(æ + A) +a₂(;r + ń)² + ...

Uporządkowawszy go podług potęg przyrostu ń, otrzymamy :

y$(x-\-h)=A₀ Ą-

gdzie spółczynniki A₀, A1} A₂₎..., będą określone równaniami :

X>h-

' ' IM

/>

/'

O⁻

/I »

■ot

= $0») =^/(iC)

A₀=a₀-\-alxĄ-a₂x²-\-...

1    ! A₁ =ai + 2a₂Æ+3a₃;r²+...

2    ! A₂ =2a₂ + 3.2a₃Æ + 4.3a₄æ² + ...=iß"(a:)

Fig. 268.

a więc utworzone w ten sam sposób, jak spółczynniki funkcyi wymiernej całkowitej f(x-\-h), rozwiniętej podług potęg przyrostu art. 9. str. 427.

Otrzymujemy zatem: A₀ =$($(a?), Ai

¥'(*) , _$"(*) 1! ’ 2!

... a wobec tego

wzór :

$ß(s+Ä)=$(a>H

1!

2!

ń² + ...

(5)

przedstawiający wartość szeregu potęgowego ^(æ) w miejscu (xĄ-h), poło-żonem w zakresie zbieżności szeregu, danego w postaci szeregu, uporządkowanego podług potęg przyrostu h, przyczem spółczynniki rozwinięcia zależą kolejno od wartości po sobie następujących pochodnych danego szeregu 9ß(#) w miejscu x, przyjętem wewnątrz koła zbieżności.

Zastępując w powyższym wzorze x przez a, zaś x-\-h przez x, a więc h przez x—a, otrzymujemy wzór:

¥"(«)

Sß(*)=<P(a)+^ (*-«)+ 2!

który wyobraża przekształcenie szeregu $$(#), uporządkowanego podług potęg x, na szereg Sßj (#-«), uporządkowany podług potęg (x—a).

Szereg —a), nazywamy przeprowadzeniem szeregu    do

otoczenia punktu a i oznaczamy, według Weierstrassa, przez 9$(x\ a).

Zakresem zbieżności tego nowego szeregu jest koło, które ma środek, w punkcie a, zawarte całkowicie w obrębie koła, z niem współśrodkowego opisanego na kole (r), zawierające zaś, współśrodkowe z niem koło, wpisane w koło (r), ma zatem promień q co najmniej równy r — jaj, co najwyżej zaś równy r-f- j aj.

8. Bezpośrednie i pośrednie przeprowadzenie szeregu potęgowego do pewnego punktu wewnątrz jego koła zbieżności. Przeprowadziwszy szereg potęgowy :

sp(aj)=ofo+oja:+

do otoczenia punktu o, wewnątrz jego koła zbieżności (r) za pomocą szeregu :

(6)

w*l «)=*(«)+-1M    ^ («-«)*+...

i)

którego koło zbieżności p dotyka się wewnątrz koła r ; przyjmijmy w obrębie koła (p) nowy punkt o,, fig. 269. Wychodząc wprost z szeregu Sp(æ), otrzymamy, jako przeprowadzenie tego szeregu do otoczenia punktu o,, szereg potęgowy !p(cc [ at), uporządkowany podług potęg (x—«,) w postaci:

Fig. 269.

ff)

¥'(« i)

1!

(* —»tH

$"(«0

2!

(7)

którego koło zbieżności (pt) ma środek w punkcie a dotyka obwodem koła (»*). Wychodząc jednak z szeregu:

1!

$"(«)

(a?—a)² 4- ••• = SPi(*—a),

którego koło zbieżności ma środek w punkcie a i, kładąc: x—a = (x—aj) + («j—a), otrzymamy rozwinięcie, które oznaczamy przez $ß(a; | a, aj), w postaci szeregu:

5ß(x| «, Oj) = 5Pj(Oj—o)4

1!

(SJ— Oj)

2!

(* —Oj)* + ...=ąj₂(a; —Oj), (8)

którego koło zbieżności ma środek ol5 a obwodem swym co najmniej dotyka p.

Mamy tedy dwa rozwinięcia szeregu $(?(aj), uporządkowane podług potęg (x—Oj), będące przeprowadzeniem szeregu $ß(aj) do punktu o1; jedno: 5ß(aj|oj), otrzymane wprost z szeregu ?ß(aj), drugie: ^(aj|o, Oj), otrzymane za pośrednictwem szeregu ?ß(aj | o).

Oba szeregi podają te same wartości w otoczeniu miejsca «j, muszą być tożsamościowe, a więc mają to samo koło zbieżności, o promieniu pt, co najmniej równym r—|oj j.

Jeżeli więc szereg potęgowy ?ß(aj) ma koło zbieżności (r), natenczas możemy szereg •iß(aj), bez zmiany wartości, uporządkować podług potęg (aj—o), gdzie a jest dowolnym punktem wewnątrz kolą zbieżności (r), byle tylko punkta x ograniczone były nierównością | x—a | <śjr—| a |, przyczem jest rzeczą obojętną , czy dany szereg ^ł(oj) od razu podług potęg (aj—a) uporządkujemy, czy też do tego uporządkowania dochodzimy za pośrednictwem wielu punktów pośrednich. Z tego wynika twierdzenie: Szereg $ß(aj) posiada dla otoczenia dowolnego punTctu a, wewnątrz swego koła zbieżności (r), jedno tylko przeprowadzenie $ß(aj | a).

Uważając szereg ?ß(aj), jako jego przeprowadzenie do punktu 0, i, oznaczając zatem ^P(aj) przez $ß(aj | 0), mamy twierdzenie : Szereg 5ß(aj) = ?ß(o; | 0), jest jedynem przeprowadzeniem każdego szeregu z niego wyprowadzonego.

Z twierdzenia tego wypływa, że szereg $ß(aj) jest w swojem kole zbieżności jednoznaczną funkcyą zmiennej niezależnej aj.

9. Koło zbieżności szeregu    Szereg 5ß(rc|a), będący przeprowa

dzeniem szeregu $ß(a?) do otoczenia punktu a, przedstawiający się w postaci:

$ß(a?| «)=$(«) +

1!

(«>+»

(9)

jest niezawodnie zbieżny w kole (ę), które ma środek w punkcie a, a obwodem

a-----o

swym dotyka się koła (r) zbieżności szeregu ^ß(ai), a więc w kole, wpisanem w koło (r) z punktu a, może, być jednak zbieżnym w pewnem kole ((?'), większem od koła ę, ale nigdy niewiększem od koła opisanego z punktu a na kole (r).

Fig. 270.

Z tego wynika, że koło zbieżności szeregu ^(ic|a), może, w miarę pewnego zbliżania się punktu a do obwodu koła r, zbliżać się z jednej strony do granicy zera, z drugiej do granicy 2r.

Taki punkt c na obwodzie koła (r), który ma tę własność, że promień zbieżności szeregu dowolnie zbliża się do zera, gdy punkt a: znajdując się wewnątrz koła (r), zbliża się nieskończenie do c, nazywamy punktem osobliwym szeregu ^ß(#).

Szereg potęgowy $$(#) posiada na obwodzie swego koła zbieżności przynajmniej jeden taki punkt osobliwy, w blizkości którego szereg $P(# | a) ma promień zbieżności równy zeru.

W tym przypadku szereg $ß(;r) otrzymuje w miejscu c, albo 1) wartość nieskończenie wielką,, a miejsce takie nazywamy miejscem nieskończo-nościowem, albo nieistotnie osobliwem; albo 2) szereg $J$(æ) otrzymuje w miejscu c wszelkie możliwe wartości, a miejsce takie nazywamy miejscem istotnie osobliwem.

10.    Przeprowadzenie szeregu $(ûb) poza jego koło zbieżności. Jeżeli punkt a szeregu $$(&■ | a), położony wewnątrz koła zbieżności (r) szeregu $£(#), oddala się od punktu osobliwego c, leżącego na obwodzie koła (r), natenczas koło

O-U

zbieżności (q) szeregu $ß(a;|a) może wyjść poza koło zbieżności (r) danego szeregu $$(#), przecinając koło (r) w dwu punktach A i B, które niekoniecznie muszą należyć do miejsc osobliwych szeregu

W takim przypadku szereg    | a) określa

Fig. 271.

wartości szeregu iJ3(æ) nietylko na części ACB wspólnej z kołem (r), lecz także na łuku AB, tudzież w części ADB, wychodzącej poza zakres koła (r). W tej części możemy znów wybrać nowy punkt a' i utworzyć z szeregu ?$(x \ a), nowe przeprowadzenie | a, a¹) w postaci szeregu, uporządkowanego podług potęg (æ—a‘), którego koło zbieżności może znowu wychodzić poza koło (ę), mając na swym obwodzie punkt osobliwy najbliższy położeniem punktowi %.

zwanych przeprowadzeniem, albo też

Postępując w ten sposób dalej, możemy z danego szeregu potęgowego, uporządkowanego podług potęg zmiennej niezależnej x, a zbieżnego w obrębie pewnego koła (r), wyprowadzić niezliczoną ilość nowych szeregów, zbieżnych w obrębie swych kół zbieżności dalszym ciągiem danego szeregu potęgowego.

11.    Pojęcie fnnkcyi analitycznej. Zbiór wszystkich, z danego szeregu

potęgowego ^(æ), wyprowadzonych, szeregów potęgowych:    [«), $ß(;c|a, a⁴),...,

tworzy t. z. fun k cy ą analityczną y=f (x) zmiennej niezależnej x, a każdy poszczególny szereg potęgowy nazywamy elementem tejże funkcyi analitycznej.

Jeżeli a jest wartością, jaką zmienna niezależna x funkcyi analitycznej, określonej szeregiem potęgowym, jako swym elementem, przyjmuje, a z danego szeregu potęgowego jesteśmy w stanie wprost, albo za pośrednictwem przeprowadzeń, otrzymać nowy szereg taki, żeby punkt płaszczyzny liczbowej, odpowiadający liczbie a, leżał wewnątrz koła zbieżności tego nowego szeregu, natenczas wartość y, jaką otrzymany szereg przybiera dla x=a, nazywamy tedy wartością funkcyi analitycznej w miejscu a.

Tym sposobem mamy dopiero wyjaśnione znaczenie i możliwość obliczenia wartości rozmaitych funkcyj analitycznych w dowolnie obranem miejscu x.

12.    Podział funkcyj analitycznych. Z powyższych wywodów wynika możliwość podziału funkcyj analitycznych na następujące dwa rodzaje:

1) funkcye, określone szeregiem potęgowym, bezustannie zbieżnym, które nazywają się całkowitemi funkcyami przestępnemi. (Ich szczególnym przypadkiem są funkcye wymierne całkowite).

2) funkcye, określone szeregiem potęgowym o skończonem kole zbieżności, a to: a) funkcye, mające na obwodach kół zbieżności swych elementów, jako punkta osobliwe, wyłącznie punkta nieskończonościowe, w skończonej ilości. (Funkcye ułamkowe wymierne) ; b) funkcye, mające na obwodzie kół zbieżności elementów, jako punkta osobliwe punktów nieskończonościowych, albo, oprócz skończonej ilości punktów nie-skończościowych, także punkta istotnie osobliwe. (Funkcye ułamkowe przestępne).

albo, nieskończoną ilość

Ilość punktów osobliwych i ich rozłożenie może służyć za podstawę do dalszej klasyfikacyi funkcyj analitycznych. Fzecz ta stanowi przedmiot nowoczesnej teoryi funkcyj analitycznych, znanej pod nazwą teoryi Weier-strassa.

13. Szeregi zwrotne. Szczególny przypadek szeregów potęgowych :

— AA^x-\- A₂x^-\-••• -f A-rxr-j-...,

tworzą szeregi, których spółczynniki wyrażają się liniowo przez spółczyn-niki bezpośrednio poprzedzające.

r-go rzędu, jeżeli

Szeregi potęgowe tego rodzaju nazywamy szeregami zwrotnymi i dzielimy je według rzędów, nazywając dany szereg, szeregiem zwrotnym w nim wszelki spółczynnik An wyraża się liniowo przez r spółczynników poprzedzających, w postaci:

(10)

An=a₁    + cc₂ An—2 +... -f- arAn

w której czynniki: a1} a₂,...,ar, przedstawiają pewne liczby stałe.

Powyższy związek między r spółczynnikami As nazywa się zwykle równaniem c h a r a k t e r y s t y cz n em szeregu zwrotnego.

szeregu.

Innemi słowy: Szereg zwrotny r-go rzędu jest wyznaczony, skoro znamy jego równanie charakterystyczne i r spółczynników początkowych tego szeregu.

Na podstawie równania charakterystycznego możemy wyznaczyć wszystkie spółczynniki szeregu zwrotnego r-go rzędu, znając jeszcze, oprócz tego równania, wartości pierwszych r spółczynników : A₀, A,, A₂,..., Ar—\

Mając n. p. równanie charakterystyczne w postaci: An= An—i—An—2, otrzymujemy szereg zwrotny drugiego rzędu , gdy dane będą jeszcze pierwsze dwa spółczynniki A₀ i A, tego szeregu. Przyjmując n. p. A₀= 1, At — 2, otrzymujemy na podstawie danego równania An~Ag—i— An—2, dalsze spółczynniki szeregu, jak A₂ = 1, A₃ — — 1, Ai=—2, i t. d., a zatem, szereg zwrotny drugiego rzędu, w postaci :

iß(a;)= 1 -j- 2x-\-x²——2xi—x⁵ -f- x⁶ -j- ...

₄ 14. Wyprowadzenie równania charakterystycznego danego szeregu zwrotnego r-go rzędu.

Air— l, a więc razem 2r

Ar—i, jeszcze r następnych: Ar, Ar+1 spółczynników początkowych szeregu. Otrzymamy bowiem wówczas następujący układ r równań pierwszego stopnia :

Chcąc wyprowadzić równanie charakterystyczne danego szeregu zwrotnego r-go rzędu, kształtu: An = *\ An—i -j- oc₂ An-i -f-... -f- ar An—r, musimy wyznaczyć r stałych spółczynników: a,, a₂,..., ar, tego równania. W tym celu musimy znać, obok r początkowych spółczynników : A₀, A,

(U)

Ar = a,Ar—i -j- «2 Ar-—2 -j⁻... “k *r—1 A, -j-ar-d₀, Ar-j-1 = 01, Ar -f- »2 Ai—1 -j- ... -J- «r—1 A₂ -(- (*r A,,

ar, w postaci:

Air—1 — ot, Air—-!S-k o^Air—3 ~k ... ~k ®r—1 Ar -j- ocr Ar—1, z którego możemy wyznaczyć r niewiadomych a,, a₂,

558

dr,

Ar-2 ,

dr-f-1, -dr—1

di, d₀

A₂₎ d₄

Ar— 1 , dr—2

dr,

-dr—1

d₄, Ar A₂, Ar+1

d2r—1, d2r—3 dr—1 , At— 2 , dr ,

dr —1 ,

-dr, dr—1 di, d0 d₂, dj

-d2r—2, d.2r—3, Ar—1 , Ar—2 -dr—1

-1

-dr, d2r—1

di, d0 d₂, -dt

d2r—2 , d2r-3, dr , dr—1 Mając n. p. dane pierwsze cztery wyrazy szeregu zwrotnego drugiego rzędu, w postaci : $P(æ) = 1 -j- 2x -j- x²—a więc: d₀ = l, Al = 2, d₂=l, d₃ =—1, otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników równania charakterystycznego kształtu: An —    An—2

d-2 = *i At -j- a₂ d0 d₃ = al d₂ "f" a2 d₄

z których dostajemy: otj=l, a₂=—1, zatem równanie charakterystyczne: An — An— i—An — 2.

dwa równania :

A2r—2, ^2r-3, • .₅ Ar, -4r—1

czvli • ¹ — 2oti + a2 ’ y • l = «₁+2«₂’

15. Wyznaczanie dowolnego spółczynnika danego szeregu zwrotnego r-go rzędu, za-pomocą 2r spółczynników, bezpośrednio poprzedzających. Znając 2r spółczynników, po sobie następujących : An—

jemy, na mocy równania charakterystycznego: An = oądn-l + «2 An—2 -f-... -f- zr An—r, następujący układ (r-|-l) równań:

An — 2r +1

An—i, danego szeregu zwrotnego r-go rzędu, otrzymu-

An⁼⁼ Kj An—1 -f- a2 An—2 -f-... -j- Kr An—

An—1 = oą An—2 -j- a₂ dw—3 -j- • •• ~ł~ ar An—r — 1,

An—r = äj dn—r—1 -j- k₂ dw—r—2 -j- ... “i⁻ «r dn—2r ,

z których, po wyrugowaniu r niewiadomych: oą, a₂, kowe, w postaci wyznacznika symetrycznego (r -j- 1) rzędu, kształtu:

An—i,

An—2,

<xr , otrzymujemy równanie wypad-

An , An—1

An—2, An—3,

An

An—r—1

= 0,

(12)

.1

An—r—1 , An—r—2

An—2r

o jednej niewiadomej An. Dla w=2r, przedstawia się to równanie w postaci:

d2r, d2r—1 A2r—1, d.2r—2

Ar

Ar —1

= 0.

Ar—1,

d()

i wyraża (2r4-l)-szy spółczynnik Air szeregu zwrotnego przez spółczynniki początkowe :

d₀ 1

d2r—1.

Tak n. p. dla szeregu zwrotnego drugiego rzędu :

5ß(a?) =1 -j— 2cc -f- cc² — x³ -j-

następny spółczynnik d₄ znajdziemy z równania:

d₄, d₃ , d₂

Ai}

-^3j d₂ , dj ^2? dj » d₀

które sprowadza się do postaci :

1, 2

= 0, czyli:    —1,

1,

to to H

Ait

+ 1.

l-i to

+ 1.

r-T r-T

=0,

2, 1

czyli: 3d₄—3—3 = 0, a więc daje d₄ = 2.

W podobny sposób możemy wyznaczyć następne spółczynniki.

f

Ćwiczenia XL.

Następujące szeregi zbadać co do ich zbieżności , lub rozbieżności :

1) -

> ₁₂₃2

TT    1    T 1    7Z

...    2)    tang — + — tang ~ tang ^ + ...

3) log (l + i) + dlog (l +1)+ d log (l + i)+ d log (l + i) + ...

3,4

32 5² "f 5272 "t" 72^2

— 559 —

4)    sin 1 + ~ sin ^ + ~ sin 4- sin + ...

8) 1 + A

2cos2a

3cos 3 « 4c°s4 a

43

5³

V/2

V/2. V'3

V/2 . V/3 . V/4

V/6    V/6 • V/7    V/6 . \/7 . V/S V/6 . V/7 . V/&V/9

₇6

⁹>¹ + l* ⁺ tr« + §î ⁺ ÏÔ^

10)    1+ïï+ï • t(t) • o(i)H

11)    log 1 + log V/2 + log V/3 + logV/4 + log V/5 + ...

12)    1 + i log 2 + log (■§•)!’+ 4 log (!) + i    (4)² +

1SJ-4 +

14)    sta« + +i+ + +ù+++ii++...

15)    1+^

16) 4

12® ⁺

1 1.8.5 / Ti V, • -w

2IM\2) +-W mft

2 sin 2a

3 sin 3 a

4 sin 4 a

3 /    3 !    3 /    41    3 /

+ V¹²-5T+Vl2-6i+V

2²    3³    4⁴    5⁵

3² V/3 ⁺ 4³ V/4 ⁺ B⁴ V/5 ⁺ 6® V/6~⁺

17)    log a + log 2a + ~ log 3a + ~ log 4a + ...

18)    q + 2r g² + 3r g³+ ... + nr qn-\~...

l⁴ , 2⁴    3⁴ . 4⁴    5⁴    ₀_.    . 1 /*V»    1 /*y»    1 /x\™

¹⁹⁾    T ⁺ ^ ⁺ ^⁺T< ⁺ ^+- 20)!C” + ¥(t) + S+) + 4“1t)

21) m+ (7) (m—1)4- (”) («*—2)4- (g) (»»-8)4- ...

2!

12. =4

4!

12.54 + ...

7!

²²) a2₊₆2

23)    1 + -I +

24)    i . -g--

25)    i

a² + (6+l)2_r a²+ (6 +2)² ' a² + (6 + 3)² ^ *"

2.3 , 2.3.4 , 2.3.4.5

5.6

5.6.7

1.3    1

2.4    ‘ 5

5.6.7.8

1.3.5    1

2.4.6    ' 7

1.3 , 1.3.5 , 1.3.5.7

2.4 ' 2.4.6 ' 2.4.6.8

^i+ł-T+T—■

—+——-+-___—+

2 ' 6    10 ^ 14    18 r

1.3.5.7 ⁺ 2.4.6.8 * 9

K. s«) i+4 + o

28) l-(0 + (|)-(|) + (i)

FT + •••

2.4.6

3.5.7

2.4.6.8

3.5.7.9

+ ...

, ¹ 1 , 1 1,1

+ T 9‘ + Ï5~2Ï + 27~-

_ ¹ , 1 7 + 12

è⁺è~à⁺-⁺¥_è⁺à~à⁺è~-

+1 - (9+(9 - (1)+(3) - -+i-(o+(i)-o)+a)-+i-(i)+(9-ö)+(!)-•

+ !-(')+ (2) “ (l) + (4 ) - -

Wykazać bezwarunkową zbieżność następujących szeregów : 29) 1

a?⁴

a?⁶

x⁸

1! ^2! 2!    3! 3!

4! 4!

- ... 30) 2?

xr°

x⁸

31)

a:²

xi

a;⁶

x¹⁰

1!    1 ! 2 !    2 ! 3 !    3!4! ⁺ 4!5!    "

«+ß* , (a+ßi)² . (a-f ßi)³

2!    1 ! 3 ! ‘ 2 ! 4!    3! 51^4! 6!

... 32) 1+

2!

3!    +-

Znaleść promienie zbieżności następujących szeregów : 33) * (»)=*.{- -|a:²4

2.3

5.6

a?³4

2.3.4

5.6.7

xi-\- ...

1.3.5 xi 274 ‘    5” ^ 2.4.7 ' 7

34) !PW = f + i.4

35)    Sß 0*0 = 1 + -ja + 22 “ł“ ••• ³⁶) ^(æ) =¹ + y + "2 "ł" •••

37) ąj(a?) = 1 4- cc + a:² + ... 38) $(*) = 1 +2x + 3a:² 4-...

39)    $ß(a:)= 1 -j- 4a; 4- 9a?² 4- ••• + ^² xn—i 4- ...

40)    $(*)== 1+ i-æ³4-i-a!6 4--^a;9+...

41)    <ß (*| 1) = (X - 1) - A. (x - l)² 4. A (0) l)³

1.3

x⁵

1.2

1.2.2.3.3.4

1.2.2.3

..T⁴-]-... jest zbieżny

a;³4

43) Wykazać, że szereg: xĄ na obwodzie swego koła zbieżności, które ma promień p = l.

3.5

a?²4

3.5.4.H.5.7

44) Wykazać, że szereg: 1 + (™) (f) x + (2 ) {2)^ + (3) (l) +

przy rzeczywistych m i p jest zbieżny także na obwodzie swego koła zbieżności, skoro    2)>1.

45) Wykazać, że szereg Gaussa, zwany także szeregiem hypergeometrycznym :

$(*) = !

OC.ß

^— x

°<« + l)ß(ß+l)

«(« + !)(«+ 2){J(ß+l) (ß + 2)

a;²-f

a:³ -f-...

1.2.3 y(y + l)(y + 2)

1-2. (t+1)

przy rzeczywistych wartościach parametrów a, ß, y, jest na obwodzie swego koła zbieżności I x I = 1 zbieżnym, gdy y > a 4- ß, a rozbieżnym, gdy y < a 4- ß, lub , gdy y = a ß.

46) Wykazać, że szeregi:

$C(a;) = l—2x-\-xl— (2a;)³-|-a;⁴—(2a:)⁵-j-... i 9ß(a;) = 2a: 4- (2a;)³ + (2a;)⁵-j-mają wspólny zakres zbieżności, określony warunkiem: |a;|<J.

47. Okazać, że gdy R(x)—a₀-\- a^x 4* a₂a;²-]-••• jest szeregiem zwrotnym r-go rzędu, natenczas jego szereg pochodny R‘{x) = ay-\-2aix-\-... jest również szeregiem zwrotnym, a to 2r-go rzędu.

1-Y

Rozwiązania XL. 1) do 9) zb. 10) do 17) rozb. 18) zbieżny dla g<l. 19) zb. dla a >1. 20) zb. 21) zb. 22) zb. 23) zb. 24) zb. 25) rozb. 26) rozb. 27) war. zb. 28) zb. 35) — 39) p = l.

42) I»—11=1. 43) p=L

Literatura. J. Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Tom I. Lwów 1898. O. B i ermann. Elemente der höheren Mathematik. Leipzig 1895. W. Laska. J. Liebleins Sammlung von Aufgaben aus der algebraichen Analysis zum Selbstunterricht. Prag 1889.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Sposoby wyznaczania ilorazu dwu szeregów potęgowych i ich zastosowanie.

2.    Potęgi całkowite szeregów potęgowych.

3.    Gaussa szereg hypergeometryczny.

Wykład Xül.

Rozwinięcia funkcyj wymiennych, ułamkowych.

1. Rozwijanie funkcyj wymiernych ułamkowych na szeregi potęgowe.

przyczem funkeye : Gm(x)

Daną funkcyę ułamkową wymierną : R(x) =

Gr (x)

pierwsza m-go, a druga

i Gr(x) są całkowitemi wymiernemi funkeyami r-go stopnia, uporządkowanemi podług potęg rosnących, zmiennej niezależnej x, możemy, pod założeniem, że mianownik Gr(x), dla æ=0, nie staje się zerem, rozwinąć na szereg potęgowy: R(x) = A₀ A^x Ą-A₂x²..., albo: 1) metodą zwykłego dzielenia , dzieląc licznik Gm(x) przez mianownik Gr{x), albo: 2) metodą spółczynników nieoznaczonych, kładąc wprost:

Gm(x)

R(x) =

A o + Ai x + A₂ x² +...,

(1)

Gr(x)

i wyznaczając spółczynniki A₀, Ai}..-} tak, aby stało się zadość tożsamo ści Gm{x)=Gr(x) (4₀ -\-Aix + A₂x'²+...), albo: 3) na mocy wzoru Maclaurin’a :

R(pc)=R{0) +

R‘( 0)    R"( 0)

1!

2!

x²A...

wyznaczywszy uprzednio wartość funkcyi R(x) i wszystkich jej pochodnych w miejscu x = 0.

Mając n. p. R(x)

otrzymamy :

1 x

a)    metodą dzielenia: i?(a:)=l—x-\-x2—ar³-}-...;

b)    metodą nieoznaczonych spółczynników, kładąc wprost: ^    A^Ą-A^Ą-A.^

otrzymujemy tożsamość: 1 = (1 x)(AQAYxprowadzącą do równości: al₀=l, A^Ą-At=0, Ai-\- ^2 = 0) •••)    -f- An =0, które dają:

4> = 1, Ą=-l, A = (- 1)² = 1,    An =(-!)»■,

c) na mocy wzoru Maclaurina, otrzymamy znowu, wobec tego, że:

-^0*0 — ! _j_ x i R‘{x) —

Ru(x)

2!

Ru\x) =■ —

3!

(1+a:)2 Rn(x) = (-!)*

(1+*)³’

n\

a stąd rozwinięcie : —

l -j- x

(1+*)⁴

R(0)= 1, R\0) = — 1, R"(0) = 2!, jß"'(0)= —3!,

(1 -Dz)n + 1 ’

Rn(0) = (—!)” n\

1—x -f- a:²—a:³ -J- ...

2. Kształt szeregu potęgowego, będącego elementem funkcyi wymiernej ułamkowej. Niech będzie daną funkeya wymierna ułamkowa, kształtu:

Gm(x) a₀+aix-\-a₂x² + ... + amxm

Rix)

z warunkiem b₀ <0, natenczas, kładąc:

R{x)=A₍₎-\-Aix-\-Aïx²-\-...Jr in inf.

otrzymamy, na mocy własności ilorazu, wzór: Gm{x) = Gr{x).R(x), czyli:

Gr(x)

&q ~k x -j- b₂ x² -j-... ~\~br xr

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

36

a₀ + ttyX -pa₂æ²-P    xm=(b[) + byX + b₂x²-\- ... + brxr) (A₀ + AyXĄ- A₂x² +...),

zapomocą którego, na zasadzie prawidła tożsamości wielomianów, możemy wyznaczyć spółczynniki A.₀, Ay, A₂, ..., rozwinięcia.

Przyjmując najpierw m<r, otrzymamy na wyznaczenie pierwszych r spółczynników : A₀, Ay, ..., Ar—i, następujące r równania:

ö0⁼^0 ^0?    ⁼ ^0-^-1 +    +    2 + ..- + &r-2    + &r-l Mg,

(am+1=«m+2 = ...=«r-i=0, jeżeli m<r—1),

poczem , na wyznaczenie dalszych spółczynników An, (n=r, r-pi,...), otrzymujemy już stale równanie kształtu :

b()A-nA by An— 1 -p    -p....-p br An—r — O

z którego wypływa wzór:

czyli :

przyczem :

-lłA

bo

:~~A bo

An = CCy An—\ "p &2 An -2 “P •• • “p dr An

An—

-\-A

bo

cti= —

n— 2

n—r j

—r >

(2)

(»“1, 2,    r).

który wykazuje, że każdy współczynnik rozwinięcia jest jednorodną liniową funkcyą r spółczynników, bezpośrednio go poprzedzających.

Przyjmując zaś m>r, otrzymamy na wyznaczenie pierwszych (m -j- 1) spółczynników rozwinięcia: M₀, A

Am )

ró wnania :

ttm—b₀ Am-pby Am^-\ -p... -j-br Am

—r j

poczem otrzymamy na wyznaczenie dalszych spółczynników :

An, (n=m + l, m + 2,...),

stale równanie kształtu :

z którego wypływa wzór :

&₀ An 4" by An _ 1 -\-b₂A n—2 +... +    n—r — O

An=

— h a

bo

br

b o

An=a y An-.i + a₂ Mn_₂ +... + ctrAn

w—2— ••

czyli :

wykazujący, że, począwszy od spółczynnika Am, jest każdy następny spół-czynnik liniową jednorodną funkcyą r poprzedzających spółczynników. Założone rozwinięcie daje więc w obu przypadkach szereg zwrotny r-go rzędu. Mamy zatem twierdzenie:

Każdą funkcyę wymierną ułamkową można rozwinąć na szereg potęgowy, który, począwszy od pewnego wyrazu tego szeregu, jest szeregiem zwrotnym rzędu, równego stopniowi mianoivnika tej funkcyi.

3. Mając, naodwrót, dany szereg zwrotny r-go rzędu:

-r j

(20

o równaniu charakterystycznem :

K(x)=A₀ -p AyX-j- A₂x²A- ••• + Anxn-\-...

An—a y An—i -p ct₂ An—2 -p • "P An

—r ?

ważnem, począwszy od n=m-\-1, przyczem m > r, możemy znaleźć odpowiednią funkcyą ułamkową wymierną, jako sumę szeregu w zakresie jego zbieżności. W tym celu, mając to na uwadze, że mianownik szukanej funkcyi ułamkowej musi być funkcyą całkowitą wymierną r-go rzędu kształtu :

Grr{x)=by, + by x -p... -p br xr

przyczem :

bo

-«i,...,

bo

= — ar

możemy położyć :

— 563 —

Cq -(- Cx X -f- C₂ X J -p... -p cm xm 1 — axx— a₂x²—... — ar xr skąd otrzymujemy równanie tożsamościowe :

c!)-]rcxx-\-c₂x²-\-...-\-cmxm={l — axx—a₂x‘l—..—arXr)(A₍₎ -\-Ąxx-\-...), prowadzące do m-\-1 równań:

c₀=A.₀, ci—A₁ oc₁A₀,

c₂—A₂ ccxAx cc₂A₀, c₃—A₃ aXA₂ cc₂A₁ a3^oi Cr — A r CCX A. r— 1 CC₂ A-r-—2 ■ * ' CCrA.q ,

Cr-j-i — A r-\-\ CCX Ar CC₂ Ar—1    •.. (&r-Ax ,

—A₀ -p AxxA ••• A Anxn

(3)

Cm — Am «! Am—i $2 A wyznaczających (w-pl) spółczynników funkcyi całkowitej wymiernej m-go stopnia , występującej w liczniku szukanej funkcyi ułamkowej.

Wobec tego, otrzymujemy szukaną funkcyę w postaci:

R(x'= co +cia:~t~c2s²+ — -ł- CmXm a₀ + «i^ + .-- + am xm ¹    1—axx—a₂x'²— ...— ar xr    b₀-\-bix+...-\-brxr ’

1 -j- X

m—2 — ••

. ccr Am

—r i

4. Przykład. Niech będzie : R(x)-.

Ą-\-Ax+Ax2-\-

1 —x -|- x²

wyznaczenie spółczynników An rozwinięcia, otrzymujemy równania:

1 = Am 1 —A Aj 0 = A—At -f- A?...

0= An — An- 1 -p An—2 ,

natenczas na

a w ogólności , równanie : zkąd otrz3rmujemy :

■A o — I? A—2, A₂=:’l, A₃ =—1 1 -p x

1 - X -p X²

które jest szeregiem zwrotnym drugiego rzędu.

Szereg ten możemy otrzymać też drogę zwykłego dzielenia, lub też na podstawie wzoru Maclaurina:

zatem rozwinięcie:

ogólnie : An — An—i — An—2, = 1 -p2a? -j- x³—x³—2xi—x'' -j- ,t⁶ -j- 2x’!-j- ...

R(x)=R( 0)4

*'(0)

1!

*4

Z"(P)

Naodwrót, otrzymujemy z szeregu zwi’otnego drugiego rzędu:

R(x) — 1 -\-2x-]- x³—x³—2x⁴—xh -j- a:⁶ ~p w którym: An = An i — An—2, począwszy od n —3, mianownik szukanej funkcyi ułamkowej , jako funkcyę całkowitą 2-go rzędu, w postaci: G.₂(x) — 1—xAx<li licznik będzie zaś stopnia pieiwszego, określony iloczynem :

Grx(x) — (1—x-\-x³) (1 -p 2x -p x³— a:³—2xi—x⁵    ...),

Ćrj (aj) = 1 -P X.

z którego dostajemy :

5. Podział funke y j ułamkowych. Funkcyę wymiernie ułamkowe kształtu,: R(x)

Gm(x) Gr (x)

dzielą się na właściwe i niewłaściwe , stosownie do tego, czy stopień m licznika Gm{x) jest mniejszym, czy też równym, lub większym od stopnia r mianownika Gr(x).

Dzieląc licznik przez mianownik, możemy w pi-zypadku m^r, funkcyą ułamkową Gm (x)

niewłaściwą : R(x)

Gr(x)

przedstawić, jako sumę funkcyi całkowitej wymiernej (m—r)-go

stopnia: Gm-r(x) i właściwej funkcyi ułamkowej:

Gr- \{x)

Gr{x)

Gr—i (a?)

Gr(x)

Gr-1 (x)

Gr(x)

szereg zwrotny r-go rzędu, którego zwrotność rozpoczyna

R(x) — Gm—r (x) Ą-

Rozwijając funkcyę ułamkową właściwą

w postaci:

(4)

na szereg potęgowy, otrzymujemy,

na mocy wzoru (2) art. 2

się od spółczynnika Ar. Tym też tłumaczy się, że pi’zy zamianie funkcyi ułamkowej Gm(x)

niewłaściwej

Gr(x)

rzędu l-ozpoczyna się, na

na szereg potęgowy, zwrotność dotyczącego szeregu zwrotnego r-go

mocy wzoru (2'), art. 2., dopiero od spółczynnika :

Am-j-1 = Am—r -f- 1 -j- r-

564

1 -p 2x-\-xi—x³—2xi — æ⁵-p..., ma, jako ele-

1 | cc

Tak n. p. funkcya właściwa: ^^

ment szereg zwrotny 2-go rzędu, w którym zwrotność, określona wzorem: An — An_₁—yln_₂, zaczyna się od spółczynnika A₂ — 1 ; funkcya niewłaściwa:

3-\- X³ Ą- x³

l — x —f- a?²

x + ²+r^fi

1—X -(- x²

3 -f- Bcc -f- x²—x³—2x⁴—x⁵ 4“ •••

ma, jako element, również szereg zwrotny 2-go rzędu, w którym zwrotność, określona, jak powyżej, wzorem: An = A \—A ₂, zaczyna się jednak dopiero od spółczynnika At=—2.

6. Punkta zerowe i punkta nieskończonościowe danej funkcyi ułamkowej. Funkcya

wymierna ułamkowa : B(x)

Gm (x)

staje się na płaszczyźnie liczbowej zerem dla tych

Gr (x)

wartości zmiennej x, dla których licznik Gm(x) staje się zerem, a więc w m punktach, które odpowiadają m pierwiastkom równania Gm(x) = 0, a staje się natomiast nieskończonością dla tych wartości zmiennej x, dla których mianownik Gr(x) staje się zerem, a więc w r punktach, które odpowiadają r pierwiastkom równania Gr(x)= 0; we wszystkich innych miejscach płaszczyzny liczbowej otrzymuje ona wartości skończone. Funkcya ułam-Gm(x)

kowa wymierna : R(x)--nieskończonością.

Tak n. p. funkcya lt(x) dla: x₀=—1, a dwa punkta nieskończonościowe:

Gr{x)

staje się więc na płaszczyźnie liczbowej w-razy zerem, a r-razy

1 -j- X

1— x-\-x³

ma na płaszczyźnie liczbowej jeden punkt zei'owy,

V/3

1    . Y/8

~2 % 2 *

Jeżeli przez Çr oznaczymy bezwzględną wartość pierwiastka xr, jeżeli wszystkie r pierwiastków: xt, x₂,..., xr, równania: Gr{x)= 0, ułożymy tak, że: | xi | «< | x₂1 <.... <11 xr |, wówczas bezwzględną wartością najbliższego punktu nieskończonościowego danej funkcyi ułamkowej, będzie: |    | = , zarazem poznamy, że szereg zwrotny, będący elementem

będzie zbieżny dla tych wartości x zmiennej

funkcyi wymiernej ułamkowej : R(x)

Gm(x)

Gr(x)

niezależnej, dla których |x    Promień zbieżności danego szeregu zwrotnego jest zatem

równy odległości najbliższego punktu nieskończonościowego danej funkcyi ułamkowej od punktu początkowego x = 0.

N. p. promieniem zbieżności szeregu: 1 -p2x -j- x'¹ — x³—2a?⁴ — x⁵-\- a;⁶-)- ..., będącego elementem funkcyi: -—x-\- x² jest P= 2    ~    » szereg ten jest bezwarunkowo

zbieżny tylko dla | as | <11.

7. Rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki częściowe. Niech będzie daną

Gn — 1 (x)

właściwa funkcya ułamkowa :

Gn{x)

o której przypuszczamy, że mianownik

Gn(x), który jest funkcyą całkowitą wymierną n-go stopnia, rozpada się na dwa czynniki, jeden: Gr{x) stopnia r-go, drugi: 6r„_r(./) stopnia (w—r)-go, a więc: Gn(x) ~Gr(x). Gn-t(x), natenczas możemy daną funkcyę ułamkową: Gn—\ (x)

Gn—\ (x)

przedstawić, jako sumę dwu funkcyj ułamkowych

Gf(x) . Gn—r i.X)

właściwych, zwanych częściowemi ułamkami danej funkcyi, jedną o mianowniku Gr(x), drugą o mianowniku Gn-r(x), w postaci:

Gn(x)

Gn—1 {X)

cp(x)

ip{x)

(5)

Gr(x) . Gn—r(.X)    Gr(x)    Gn—r{x)

Aby znaleźć odpowiednie liczniki, zauważmy, że z powyższej równości tożsamościowej wypływa :

n—r

Gn-1 (x)=(p{x). G

(x) + lp(x) . Gr(x).

Rozkład taki, jest, jak łatwo zauważyć, zawsze możliwy, a da się wykonać, skoro tylko mianownik G„(x) danej funkcyi ułamkowej da się rozłożyć na czynniki. Każdemu czynnikowi r-go stopnia odpowiada na mocy tego pewien ułamek częściowy, którego mianownikiem jest tenże czynnik r-go stopnia, a licznikiem— odpowiednia funkcya całkowita {r—l)-go stopnia.

8. Rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki częściowe jest więc, na mocy powyższych wywodów, związany z rozkładaniem funkcyi całkowitej na dwa czynniki.

Wiedząc, że, na mocy art. 13., str. 417. wszelka całkowita wymierna funkcya n-go stopnia da się rozłożyć na czynniki rzeczywiste , które są częściowo pierwszego, częściowo drugiego stopnia, lub też ich całkowitemi do-

CTT

datnemi potęgami, zauważymy, że: mając daną funkcyę ułamkową: -    ■    ,

Lrn{x)

której mianownik rozpada się na czynniki stopnia pierwszego i drugiego, otrzymamy dla każdego czynnika pierwszego stopnia kształtu x— a, odpowiedni

.1

Ax-]B

ułamek częściowy w postaci:    , dla każdego czynnika drugiego stopnia

oc cc

kształtu: x²Ą-pxJrq: ułamek częściowy w postaci:

Mamy tu po pierwszej stronie funkcyę całkowitą wymierną (n—l)-go stopnia , taką samą funkcyę musimy też otrzymać po drugiej stronie, z czego wynika, że funkcya (p(x) może być funkcyą całkowitą najwyżej (r—l)-go a funkcya ip(x) najwyżej (n—r—l)-go stopnia, czyli, że będzie:

xr~i,

i(x)=R₀ Bix-\-B₂x²-f-... + Bn—r—\Xn r b Na wyznaczenie niewiadomych n spółczynników tych funkcyj , otrzymujemy zatem tożsamość :

Gn~\{x) = (M₀ A^xA-...A Ar—i Ær—1) Grn—r(x) + (B₀ JrBlx + •••+ R

cp(x) — Gr—\ (x) — Aq -f- A^xA₂x² ...-j- A}

n- r—

—r—1

n- r

) Gr[x).

Porównywając obustronnie spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej x, otrzymamy z powyższej tożsamości układ n równań pierwszego stopnia o n niewiadomych: A₀,    Jr_i, B₀, B

Wyznaczywszy wartości tych n niewiadomych, otrzymujemy tożsamość: Gn—\ (oc)

GrÇx') . Gn — r^X')

A₀+Alx + --- + Ar^ixr 1

B₀ +B,x +... +    xn-r-'

Gr{x)

Gn—rfó)

(6)

która przedstawia szukany rozkład danej funkcyi ułamkowej na dwa ułamki częściowe.

x²-\- px Ą- q

Przyjmijmy w ogólności, że, funkcya: Gn(x) zawiera czynnik kształtu: (x—a)r, natenczas otrzymamy, na mocy poprzedniego art., odpowiedni ułamek

częściowy w postaci

Gr-i(x) (x—a)-

-, gdzie Gr-\{x) jest przynależną funkcyą całkowitą (r — l)-go stopnia: a₀    ar-\Xr~¹, której stałe r spółczynników

a₀, aj,..., ar_i, możemy zawsze wyznaczyć. Otrzymany ułamek częściowy:

(x— a)

możemy jeszcze rozłożyć na r

prostszych ułamków. Połóżmy mianowicie : Gr~ i (x) A

Ar—i

Ar

(x—a)r x—a    (x—a)²    (x—a)

natenczas otrzymujemy tożsamość:

(x — a)r

(7)

6rr_i(æ)= AAx— a)r_14 A₂(x— a)r-²-]-... +Ar-i (a?—«) + ^

złożoną z dwu funkcyj całkowitych wymiernych (r—J.)-go stopnia.

Porównywając spółczynniki przy jednakowych potęgach tych funkcyj otrzymujemy na wyznaczenie r niewiadomych spółczynników : Ai, A układ v równań stopnia pierwszego, ze względu na te spółczynniki, wodzi, że rozkład powyższy jest zawsze możliwy.

Przyjmijmy wreszcie, że mianownik Gn<x) funkcyi całkowitej wymiernej zawiera czynnik 2r-go stopnia kształtu: (x²pxq)r, natenczas odpowiedni ułamek częściowy przedstawia się, na mocy poprzedzającego art., w postaci:

G 2r—1

25 •

co do-

gdzie Gir— i(&) przedstawia przynależną funkcyę całkowitą

(x² + px+q)r ’

(2r—l)-go stopnia, której 2r spółczynników możemy zawsze wyznaczyć.

Gir-1(#)

Otrzymany ułamek częściowy :

na r ułamków prostszych. Połóżmy mianowicie :

A\ x + Bi

(x²+px-\-q)r

możemy jeszcze rozłożyć

Gir—i (®)

(x²+px-\- q)r x²+px-\-q

A₂x + B2 (x² + px + q)² ‘    ' (x²-\-px-\-q)

r—1

Arx + Br \x² + px + g)r’

natenczas otrzymujemy tożsamość :

Gir-^x) = (AixĄ-Bi)(x²+px-\rq)r-i-\-(A₂x+B₂) (x²-\-px+q)

-f~(Ar-1 x-\- Br-i) (x² + px + q) + Arx-\- B złożoną z dwu funkcyj całkowitych wymiernych (2r— l)-go stopnia.

Porównywając spółczynniki przy jednakowych potęgach tych funkcyj, otrzymujemy na wyznaczenie 2r niewiadomych spółczynników: Au Bu-.., Ar, Br, układ 2r równań stopnia pierwszego ze względu na te spółczynniki, co dowodzi, że rozkład powyższy jest również zawsze możliwy.

Z powyższych rozważań wynika, że wszelka właściwa funkcya ułam-Gn—i(æ)

r—2

(8)

kowa :

Gn{x)

da się ostatecznie rozłożyć na ułamki częściowe następują-

cych czterech kształtów :--, --—

J    x— a (x— a)r

Ax-\-B

Ax+B

gdzie

x²-\-px + q ’ (x² + px + q)r spółczynniki: A, B, są pewnemi liczbami stałemi, które możemy zawsze wyznaczyć, skoro mianownik Gn{x) jest rozłożony na czynniki stopnia pierwszego, lub drugiego, albo ich potęgi. Ułamki częściowe tych kształtów, nazywamy ułamkami prostemi.

9. Metody wyznaczania spółczynników przy rozkładzie danej funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Powyżej podana ogólna metoda wyznaczania spółczynników rozwinięcia danej funkcyi ułamkowej na ułamki częściowe, oparta na zasadzie tożsamości, prowadzi przez porównywanie spółczynników dwu tożsamościowo równych wielomianów do tylu równań warunkowych, ile przy danym rozkładzie jest niewiadomych spółczynników.

Tak n. p. rozkład

4o:² -f 13»—37

(o5—l)(sc—2) (* + 3) x —

-+A

1^ x-2 ¹ 05+3’

prowadzi do tożsamości :

4oj² 4- 1305—37 = .4(05-2) (x + 3) + B(x—1) (x + 3) + C{x — 1) (®—2), 4o5² + 13o5—37 —    (7)05² + (4 + 2£-3C> + (-64-35 + 2(7),

czyli :

z której wypływają równania warunkowe :

^ + £ + (7=4, A + 2B—3C = 13, - 64-3 B -p 2C= —37, które dają: A — 5, B = l, C=—2. Jest więc:

4o5²+ 13o!—37

(x — 1) (o5 2) (cc+ 3)    05 — 1    05 — 2    05 + 3

- 567 —

Zamiast porównywać spółczynniki przy jednakowych potęgach, możemy, wj^chodząc z zasady tożsamości wielomianów, utworzyć potrzebną ilość równań warunkowych w ten sposób, że zmiennej x, nadawać będziemy w obu wielomianach, kolejno rozmaite wartości, a otrzymane wyniki z sobą porównywać.

Tak n. p. otrzymamy w rozkładzie :

4a:²4-13a:—37

(æ—1) (a?—2) (x -j- 3)

tożsamość :

SB—1    sb —2 T x-\-S

4æ² + 13æ-37 = A(x-2)(x + %) + B(x-l)(x +    C(x-1) (x—2),

z której, kładąc kolejno: x — l, x = 2, x——3, otrzymujemy równania warunkowe:

-20=—4 A, 5 — 5B, -40=20 C, które dają, jak powyżej: A = 5, B=l, O—— 2.

ł

Możemy także wyznaczanie spółczynników przedsięwziąć kolejno , sprowadzając dane tożsamościowe wielomiany do wielomianów coraz niższych stopni.

N. p. z rozkładu :

a?² -\-2x — 1

Bx-\- O

O — l)(a:²+l)

x% -f- 1    ’

wypływa tożsamość:

x² -\-2x—1 = 4(cc² -j- 1) -j- (Bx -f- C)(x—1), z której, kładąc » = 1, dostajemy: 2 = 2A, czyli: .4 = 1.

Wprowadziwszy w powyższej tożsamości za A znalezioną wartość, otrzymujemy : x²-\r2x—l—{x'i-\-l) — {BxC)(x—1), czyli: 2x-2 — (Bx-\-C)(x—1),

2 (*-!) = (£»+ <?)(:«—1),

a więc :

zatem tożsamość kształtu: 2<=Bx-\- C, która daje B = 0, (7 = 2; a więc:

#² -\-2x — 1

(* — !)(**+!)

x — 1    x²-f-l*

Przy takiem kolejnem wyznaczaniu spółczynników możemy też korzystać z zasady, że tożsamościowo równe wielomiany mają też tożsamościowo równe pochodne.

N. p. rozkład :

prowadzi do tożsamości:

3a;² -j— x -]— 2 (cc -J— 1)(îu — l)² æ + l x — l_^(a3 — l)²’

3x'² —j- cc —J- 2 = A(x—1)²4~ B{xL—1) -f- C(x -f-1),

z której, dla x=—1, otrzymujemy: 4=4-4, a więc: 4=1; dla x = l, otrzymujemy: 6=26', a więc: (7 = 3. Ażeby znaleźć P, wyznaczymy obustronnie pierwszą pochodną, a otrzymamy :

Gæ + 1 = 24 (cc —1) + 2 Bx + <7,

skąd, dla »=], dostajemy: 7=2 BC, a że: O— 3, przeto 2i? = 4, a więc: B—2. Mamy

przeto :

(x 4-1) (a; — l)²

(a:-!)²'

X -j“ 1 SB — 1

Przy wyznaczaniu kolejnem pary spółczynników, prowadzą podstawienia urojone, i różniczkowanie dwukrotne rychło do wyniku.

Tak n. p. rozkład:

daje tożsamość :

a;³ 4_ a:²    3a:—2 AxB Cx Ą-D

a;² 4-1    (sb²4" l)² *

(a:² 4- l)²

a:³4-a:² 4-3a:-2 = (4a:4-P)(a:²4-1)4- Cx + D, z której, dla x = i, otrzymujemy 2i—3=Ci-\- D, a więc: (7 = 2, D =—3.

Chcąc wyznaczyć spółczynniki 4 i P, weźmy obustronnie pochodną drugiego rzędu, a dostajemy tożsamość: Qx-\-2= (AxB) .22 . A .2x, czyli: 6a?4- 2 = 6Ax-{- 2B, z której wypływa: 64 = 6, 2B = 2, a więc: 4 = 1, B = 1. Mamy zatem:

a:³ 4" a:² 4" 3a? — 2 x 4~ 1

2a:—3

(a:² 4-1)

a;²+ln (cc² 4~ l)² '

10. Bezpośrednie wzory na wyznaczanie spółczynników, występujących w rozkładzie

funkcyi ułamkowej na ułamki proste. Niech będzie daną funkcya ułamkowa:

. G(x)

Gn(x)

o mia-

- 568 -

nowniku n-go stopnia. Przypuśćmy najpierw, że równanie Gn(x) ma pojedynczy pierwiastek x = a, że więc funkcya Gn(x) ma czynnik (cc—a), natenczas możemy położyć :

Gn (x)==(x—a) . z(x),

przyczem cp(cc) nie staje się już zerem dla x = tx. Otrzymamy tedy:

G(x)

<KX)

TiO»)

zatem:

Gn(x) (x — a) cp(cc) cc — a

»w ^ A°.(4

?(») ’

?(*)

«(*)

(x—a),

skąd, kładąc cc = a, otrzymujemy:

g(«)

?(«) ’

a że : <p (cc)

Gn(x)

cc—a

przeto otrzymujemy :

<p (a) = lim

Gn(x)

x~a X—

(X

a zatem :

G'n(a)

czyli : A

G(x)

G'n(x)

i x —a

(9)

jl

Spółczynnik A, będący licznikiem ułamka prostego: ———, odpowiadającego poje-

dyńczemu czynnikowi (cc—a) mianownika danej funkcyi ułamkowej : tość taką, jaką otrzymuje funkcya:

G{x)

dla cc = a.

... G(*)

G„(x)

ma zatem war-

G\ (cc)

Jeżeli a jest pierwiastkiem urojonym równania: Gn{x) = 0, kształtu: a = a -\- ßi, na-

A

tenczas licznik odpowiedniego ułamka prostego:——, otrzymuje, według poprzedniego,

g(« + ßp *

G'n (ä -f- Sî)

wartość :

M + iN.

Równanie n-go stopnia 6r«(cc) = 0, mając spółczynniki rzeczywiste, ma w tym pi’zy-padku także drugi pierwiastek urojony, z pierwszym sprzężony, kształtu : b = a.—ßt; licznik

ułamka prostego :    , otrzymuje tedy wartość:

g(«—ßt)

G‘n (a - ßi)

A B

Suma obu ułamków prostych’ - i -7, przybiera tedy kształt:

cc—ct cc o

B _MiN L M—iN 2M(x— «)-2ffi

cc - a-j-ßi    (cc— a)²-}- ß² ’

a więc kształt ułamka prostego, o mianowniku drugiego stopnia w postaci : gdzie P — 2M, Q——2 (Ma. -f- JVß).

cc — b

x—a — ßi

Px+Q

cc²—b px-\- q

G(x)

ma czynnik

Przyjmijmy teraz, że mianownik Gn(x) danej funkcyi ułamkowej:

wielokrotny (x—a)r, natenczas możemy położyć: Gn(x) —(x—a)r,^{x), gdzie funkcya <Kaj), dla x=a, nie staje się zerem.

Gn (cc)

Mamy tedy :

G(x)

G{x)

G(x) ___ Ar , Mx)

a że:

(x —a)r ^(a;)

gdzie Ar jest pewną liczbą stałą, przeto otrzymamy :

Gn{x)

(x—a) ó(cc)    cc—a

ł(*)’

a(x)

Ar

+■(*)

(x — d)r <^(x)

(cc—d)r

(cc—dy—¹ j'(cc)'

Podobnie będzie:

łl 0*0

Ar—1

bp»)

(x — a)r -¹ <\>(x)    (cc—a)r •

(x—dy—² ^(x)

gdzie dr-i jest znowu -pewną liczbą stałą.

— 569 —

Postępując w ten sposób dalej , otrzymujemy :

dr— l_

Gn (aj) (aj — a)r j(aj) (x—a)T 1 (aj — a)r~ 1 ' (aj — a)r— 2

£<»

G(a:)

-dr—2

f ... d

Al i

a stąd :

G (aj) (aj— a)r G(x)

«*)

6rn (aj)

Ar d~ Ar-1 (aj—a) -f- Ar—2 (aj—a)² j- ... d- ddaj—a)r—J 4- (aj—a)r

?(*)

6r(a;)

Połóżmy:    = *F(aj), natenczas, kładąc w tożsamości:

T(aj) = Ar -f- -dr—1 (aj —a) -j- dr—a (aj—a)²-f- ...-{- dj(aj—gV—i¹ -f- (aj—aV

?(*)

iw jej (r— 1) pochodnych, po sobie następujących kolejno, aj —a, otrzymamy bezpośrednio wzory na wartości spółczynników : Ar , -dr-l

Ar = W{a), Ar-i=A¥\a), Ar- 2

d1} żądanego rozkładu w postaci :

¥"(g)

2!

dt

W-i)(g) (♦*—!)! '

(10)

Podług tych wzorów moglibyśmy też wyznaczyć spółczynniki : At, d2 padku, gdy czynnik r-krotny (aj—a) jest urojonym kształtu: (aj—a—ß»).

Łatwiej jednak dochodzi się w tym przypadku do tych wartości metodą równych spółczynników.

Przyj ąwszy mianowicie , że mianownik ćr»(aj) ma czynnik r-krotny drugiego stopnia (aj² -j- paj d~ q)r , połóżmy: ćr»(aj)=(aj² -f- paj    q)r /(aj), natenczas z rozkładu:

dr, w przy-

ćr(aj)

_ _ draj-f-Br    /A (aj)

(x²-\-px + q)x(x) — aj² -{- paj + q    '/(aj) ’

otrzymujemy :

G(x)

7,i O)

dr aj d" -Br

(aj² -(- paj -f- gjr /(aj)    (aj²-{-paj f-g)»⁻ ‘ (aj² -f- paj -|- q)r~¹ y’(x)

Podobnie będzie :

M*)

dr—1 OJ -j— Sr— 1

(aj² -f- paj d" q)r~1 wobec tego otrzymamy rozkład danej funkcyi w postaci:

G{x) _    G{x)    Arx Br , dr—laj-j-Sr-i

Gn (aj) ~ (aj² -\- px -j- q)r / (a:)    (aj²-[- Px + <z)r (aj² -J- paj -f- q)r—1

(aj²-)- px d- q)r-xx(x)

7. apg)

(.aj² -f px -f q)r-ï / (aj)

dtaj -j- Bj    7-r(aj)

aj²+pajd-ę    /(*) ’

skąd, kładąc x%-\-pxq — X^ otrzymamy tożsamość:

—t—r = draJ d- Sr -j" (dr—1 aj -j" Sr—l) -X -}-...-f- (d^aj -j- S^) Xr 1 -f

7, W

7,r(aj)

z której, kładąc X = 0, otrzymamy kolejno spółczynniki: Ar, Br 11. Przykłady. 1) Rozłożyć na ułamki proste funkcyę: y-

-flx)

.Xr

A\i St.

aj⁵

aj³—2aj²—5aj—6 '

Mamy tu funkcyę ułamkową niewłaściwą , z której, dzieląc licznik przez mianownik

otrzymamy :

a:⁵

22aj² d- 33aj - 54

aj³—2aj²— 5aj d* 6'

aj³— 2aj²— 5aj -f- 6

Pierwiastkami równania: aj³—2aj²—5aj—6 = 0, są tu: aJt = 1, aj₂ = 3, aj₃ =—2; mamy więc : aj³—2aj²—5aj    6 = (aj—1) (aj—3) (aj j- 2).

Możemy więc położyć:

aj⁵

a:³—2aj²— 5aJ — przyczem, otrzymujemy wprost :

s-»»+2* + 9+-=

b    x —

aj⁵

3aj² — 4aj —

5 / .r=l 6 ’ B

aj⁵

_/ ^-0 =

3x²—4aj — 5/ x—3    10 ’

aj⁵

32

3aj² — 4aj —

-2

⁼ ~Ï5

a zatem :

aj⁵

aj² d* 2 x d~ 9 —    -

243

32

aj³—2aJ² — 5aj d⁻ 6 2) Rozłożyć na ułamki proste, funkcyę: 2) y

6(aj—1) ' 10(aj —3)    15(aJ-|-2)'

aj³

(a:²d-l)(a:²-2ajd-10)'

W tym przykładzie mianownik ma pierwiastki urojone, położymy zatem:

Ax + B

(»²-j-l)(»²-2»410)~' a;²-f-1    ' »²-2»4 10’

Cx -f- 2)

skąd otrzymujemy tożsamość:

»³ = (Ax + B) (»²-2» + 10) + (Cx + D) (»² + 1).

Kładąc »² = —1, mamy tu: — i = (Ai -j- B)(—2i 4 9) — (2A + 92?)—i(2B —9J), a stad :

85 ’ ł 85'

Kładąc zaś : »²=2»—10, dostajemy: »³=2»²—10»==(<7»-|-2>)(2»—9)=26y»²4»(92)-~9GY)—92), — 6» —20 = (22>—5(7)» —(92)4- 20(7), a stąd: 5(7—22) =6, 92) 4 20(7= 20, a więc:

2J-J-92? = 0, 22?—9J.= 1, zatem: J =

'.'I

20

C=85’ -D=_86'

Jest zatem :

»³

1 9» — 2 ₍ 1    94» — 20

(»²+l) (»²—2»—1Ö)⁼ ~ 85 »²+l ‘ 85 »²—2» -f-10 '

»²+l

3) Rozłożyć na ułamki proste funkcyę : y = Połóżmy tu :

(» - 1)

4’

a;² 4-1

d-2

(» — l)⁴    » — i (» — i)²    (» — l)³    (» — i)⁴ ’

skąd, uwolniwszy się od ułamków, otrzymujemy tożsamość:

»² 4i=a₁(x—1)³ + a₂(x—l)² 4 J₃(»—1)4- A

z której wypływa :

Ai—(»²-f 1) !x-\ — 2, A₃ — 2x/x=i—2, A₂ — ——1. At—0.

Jest więc:

»² 4 l

(» — l)⁴    (» - l)² ^ (» — l)³ (x — l)⁴’

»² — 3»— 2

4) Rozłożyć na ułamki proste funkcyę : y = Położymy tu:

(»² -(- » 4* l)²

»² — 3»—2

Axx Bj

A₂xĄ- 2>₂

(»² 4 x 4-l)² »²4æ4t    (»²4a:4i)

skąd otrzymujemy tożsamość :

»² — 3» — 2 = (Aj »4-B^ (»² 4 » 4 1) 4 Ax 4 B%

z której, kładąc »²= — » — 1, dostajemy: —4»—?> = A₂x-\- B₂^ przeto: A ₂ = —4, B.₂ — — 3.

Wobec tego będzie:

»²—3» —2 = (— 4» —3)4(4 ^ 4 A) 4² 4 ^ +l)i

czyli : a więc:

»² -j- æ + 1 = (Ax 4 -Bj) (»² 4 ³³ 4 1)>

1 = J₁»42?₁, zatem Aj = 0, Bt=l.

Jest zatem:

»³—3»—2

4» 4 3

(»² 4-x 41)²    »² 4 *41    (»²4»4i)²

12. Użycie rozkładu danej funkcyi ułamkowej do wyznaczenia jej szeregu potęgowego. Rozłożywszy daną funkcyę

wyznaczyć jej szereg potęgowy, rozwijając każdy z ułamków prostych szereg potęgowy i dodając następnie otrzymane szeregi. Otrzymany szereg będzie zbieżnym we wspólnym zakresie poszczególnych dodajników. Mając n. p.

- na szereg potęgowy, otrzymujemy najpierw jej

rozwinąć:

3æ²4#42

' (441)(4 — 1)

kład na ułamki proste w postaci :

3æ²4#42 (*4l)(*-1)²    #41

x—l

na

ułamki proste, możemy

(4—1)

2’

na

roz-

1—x-\-x²—x³-{-...-} (— l)nxn+...

A że :

1-Pæ²-Pæ³ + ...-Pæ”+ ...

(1 —a?)²

1 +2x + 3ic²-f-4^³ + ... + (w + l)^n + .

przeto będzie :

3æ²-Pæ-P2

2 = [1—# + ••• + ( —1)”Æ”+ •■•]—-2 [1+Æ+...+£”+...] +

(x + l)(x — 1)

+ 3[l + 2a; + ... + (n+l)a:n + ...]=2 + 3a:+8jc² + ... + [3w + l + (—l)n]xn-\-...

czyli :

3æ² + æ + 2

n=oo

2⁼⁼²+2 [3w+l-p(—l)B]æw.

ćwiczenia XLI.

1) Wykazać, że spółczynnik a₄, szeregu zwrotnego, drugiego rzędu:

1 -p 3ar -p 4a;² -(- 7a:³

1,3,4

określa wyznacznik 3, 4, 7    =0, z którego otrzymujemy: a₄ = ll.

4, 7, o₄

Wyznaczyć dalsze trzy wyrazy, następujących szeregów zwrotnych trzeciego rzędu:

2) 1x-\-x²-\-2x³2xi-\-5x⁵-\-... 3) l-\-3x²—x³-\-9xi—6a:⁵-p...

4) l_p 2.x + 2.a:² + 3.x³ + 0 . a:⁴ + O.a;⁵ + ... 5) 1 + 2x + 5a;² + 10a:³+ 17a:⁴ + 26a:⁵ + ...

6) 3—x + Iga;²- 9a;³ + 41a:⁴—53a;⁵ + ... 7) 3 + 6a: + 14a:² + 36a:³ + 98a:⁴ + 276x⁵ + ... Dowieść zwrotności następujących szeregów:

8) 5ß(a;)i= l²-j-2²£c-j- 3²a;²-p ... -\-n²xn-^ -p ... 9) S(ar) = 1³-P2³a: + 3³a;² + ... + n³x*-1 + ...

10)    5ß(a;) = lr + 2r% -p S'a:² -p ... -p nr #w—1 -j-...

11)    ąj(®) = 1 + 4a; -P 7a;² + 10a;³ + ... + (3n + 1) ar» + ...

12)    Znaleźć równanie charakterystyczne i spółczynnik An szeregu zwrotnego :

1 -p 3ar ~p 4ar²-p8a?³-p 12a:⁴~p 20a;⁵ -p ...

13) Wykazać, że szereg potęgowy: A₀ '\-Alx-\-A₂xi-\-

An — 3n³ — 4n² -p hn — 6,

w którym :

jest szeregiem zwrotnym.

Następujące funkcye ułamkowe rozwinąć na szeregi zwrotne:

1 -P x    cc sin a    1—5æ-P8a:²

(1 — x)² '    1—2arcosa-par² '    * 1—8x-]-21x²— 18#³’

14)

1 -p x

(1 — x)³

. 15)

18)

— 1+ 3a:3 1 -p 3ar² — 4ar³'

19)

1—ar² ~p 4a;⁴

1—3ar² -p x³—3ar⁵

20)

1—Łx

1—4a;-p5a;²—2a:³’

21)    Wykazać, że szereg zwrotny: 1 -p 4cc ~p 14a;² -f-..., w którym:

An = &A.n—i—GAn—2) (w =2, 3, 4,...), ar—1

x²—5x -p 6

Wyznaczyć funkcye ułamkowe, których elementami są następujące szeregi zwrotne:

22)    R(x) — 1 -p x -\-x² ~p ... ; An= An-1.

23)    R(x) = 1 + 2a: + 3a:² + 4a:³ + ... ; An=2An-i — An-2.

24)    B(x) = 3—17* + 87a:²—437a:³ + ... ; An= - GA„-:-5An-2.

25)    R(x) = 3 -p 4a: + 17a:² + 26a;³ + 93a:⁴ f ... ; An = ⁵/₂ An-1 + 2An -2 — ³/₂ An-3.

26)    R(x) = 1— 8a:-p 27a:²—64a:³ ~p 125a:⁴— ... ; An — AAn—1 — GAn -2 +4d«_ 3 — An-i.

jest elementem funkcyi wymiernej: R(x)

27)

— 2 -p 17a? -p 25x²-\- 461a;³ -P .. dla x < '/₄.

Następujące funkcye ułamkowe rozwinąć na szeregi potęgowe, i wykazać, że: 2 -p 3a:

1- 7a: -p 12ar²

5—13*

^ 1—hx + 6a;2 1—4a;

= 5 + 12* + 30a;² + 78a;³ + 210**+ ... dla * < y₃.

^ 1—8a; + 15a;2 1 + x

= 1-4-405-1- 17a;² + 76a;³ + 353a;⁴ -}- ... dla x < '/₅.

30)

1—3a; -f- 2a;²

1 + 4* + 10a;² -j- 22a;³ + 46a;⁴ -f ... dla * < y₂.

Następujące funkcye ułamkowe rozwinąć na ułamki proste i wykazać, że:

a;²+3a;—18 a; —3^ a;+6'

31)

x—1 ' x Ą- 1'

32)

7a; + 24

x{x²—l)

₃gx__4a;²+8a;+30    ₌____

(x + 6) (x —3) (x —1)    x -j- 6 x — 3 x — 1'

___L_\ OK) 1! f 1

— a x + aj'    a²—x²    2a\a-\-

——y* 37)

x — 1

o₄x __!___1_ I 1

x²—a²    2« la;

2x—1

36)

7a;

-o «

a — x\

X.

14

x² — 3a; + 2 x — 2

38)

24

a;² + 3a;—18    3x-9 ^ 3* -J- 18‘

39)

x² 3x — ₁₈    3(*-3)

a;² + l

3(* + 6) '

40)

41)

x (x — 1)3 x³—6a;² + 15a; —2 (*—2)³ (x-\- 2) x² -\-3x — 4

x ' (x — l)³ {x — l)2Ta; — 1*

42)

(x—2)3 x²—2a; + 2

—---1-

cc —2 ¹

a;+ 2^ (x — 2)³ '

(x — 2)²

(* - 2)³ *

x(x² — X -j- 1) X    X²—X -j- 1

a;²+ 1

43)

x⁵

x³— 1

-+4(d

2* + 1

— 1 X² —X + 1/’

1 2*—1

45)

(x—1)*(a;³—1)    (*—l)⁴    2(a;—l)³    4(a;— l)² ' 8(x — 1) ‘ 24(a+l)    3 x²—x +1

1 2

47)

x\x² +1)2 x—1

a’²

a;²+l    (a;² + l)²

, 46)

2a;

+ ——

^ a;²+ 1

i-⁴⁸)

x\x²-\-l) lx² - 18* + 63

x³

49)

(a;²+l)²a;    (a;² + l)²

7a:²—25* + 62

(*—3)(a;²— 4a;+ 13)_ * — 3 ^ a²—4a;+13'

x —\/ 2

2a; + 1

a;+V/2

x³— x² + 36 4a;²—x + 6 (1 + 2a?²)²

50)

X (o:²+l)²    a;²+l

5    • 2x + 1

x + 3 ' x²—4a:+12‘

2    4—a;

" 1+ 2x² + (1+2a;²)² ‘

³⁵+■ 1    2V/2 'x²-{-x\/2 + 1    a;²—x\/2 + l

x² 4- 1    1

⁶²>^+i

2 \x²-\-x\/2 +1 x² — x Y/2 + 1 /

Rozwiązania XLI. 2) 4a:⁶ + 13a;⁷ + 7x⁸. 3) 28a;⁶ + 27a;⁷+ 90a;⁸. 4) x⁶ + 2a;⁷ + xs. 5) A»=l+n². 6) A„=2»+l—(—2)»+L 7) An = l»+2"+3*. 15) l+3a:+5x²+...+ (2n+l)a;«+...

3 + a;

16) x sin a + x² sin 2a + ...

²³) (I—*)«* ²⁴^ 1 + 6a;+ 5a;²‘

26)

1 — 4a; + x²

1—4a;+6a;²—Ax³-\- xv

Literatura. L. Euler. Introductio in analysim infinitorum. Tom I. Lausanne 1748. A. Moi vre. Miscellanea analytica de seriebus. London 1730. E. Catalan. Traité élémentaire des sériés. Paris 1860. Johann Rogner. Materialen zum Gebrauche beim und nach dem Unterrichte aus der höheren Analysis. Gratz 1858. B. Niewęgłowski. Cours d’algèbre. Paris, 1887.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zamiana funkcyj ułamkowych na szeregi zwrotne.

2.    Rozkładanie funkcyj ułamkowych na ułamki częściowe.

3.    Wyznaczanie sumy ilukolwiek wyrazów danego szeregu zwrotnego.

Wykład XLiII.

Rozwinięcia funkcyj potęgowych, wykładniczych

i logarytmicznych.

1. Warunki rozwijalności funkcyj podług wzór a Taylor’a. W wykładzie XXXYIII. otrzymaliśmy rozwinięcie Taylor’a :

f(x+h)=f(x)+f-^h+f^p *»+...4

-hn+R

(1)

i znaleźli na wyznaczenie reszty i?

An+1

wzory trojakiego kształtu:

a) wzór Lagrange’a: JRn

(w+1)!

©A),

b) wzór Cauchy’ego : Rn

An+¹

(1—(x-r ©A)

c) wzór Roche’a :

Aw+¹

(!_©)« fl -P /*(«+!)    _j_ ©/^

n\ p

gdzie 0, jest ułamkiem, zawartym między 0, a +1 włącznie.

Ażeby powyższe rozwinięcie , rozciągnięte do nieskończoności, utworzyło szereg zbieżny, funkcya f{x) i wszystkie jej pochodne : f‘(x), /‘"(æ),/'^(æ), •••? musiałyby być przedewszystkiem w miejscu Æ skończone , a nadto reszta musiałaby być dla wszelkiego skończonego n skończoną, dążąc przy nie-ograniczenie wzrastającem n do granicy równej zeru.

An+¹

An+1 n\ p

jące w powyżej podanych trzech postaciach reszty JR„, przy jakimkolwiek skończonym przyroście A, dążą wszystkie do zera, gdy n rośnie nieograni-czenie , a przy tern jest :

Ponieważ czynniki

(n +1) ! n !

An_0

—T (1 - &)n

(1 — ©)n+!-p, występu-

Aw+¹

hn+l « n ! p

przeto poznamy, że reszta Rn, przy nieograniczenie wzrastaj ącem w, zdążać będzie także do zera, skoro drugi jej czynnik: /'(n+¹) (#+ ©A), tak przy skoń-czonem, jak i przy nieskończenie wielkiem w, będzie miał wartość skończoną dla wszelkich wartości ©, zawartych między granicami 0 i 1.

Ażeby więc szereg Taylor’a mógł być szeregiem zbieżnym dla wszelkich wartości zmiennej niezależnej x, zawartych między granicami x i x-\-li,

Zim

(w + 1)!

=0. Zim

A "+¹

(1 — ©)ra=0 i Zim

(1 —©)w+¹-i’=0,

- 574 —

musiałyby w tych granicach być tak funkcye /’(#), jak wszystkie jej pochodne skończone i ciągłe, przyczem także pochodna, nieskończenie wielkiego rzędu, musiałaby mieć, dla tych wartości zmiennej niezależnej, wartość skończoną.

Pod tern założeniem , możemy położyć :

h2jr... in inf. A !

a zakres zbieżności tego szeregu potęgowego będzie określony kołem o środku x, a promieniu który, na mocy kryteryum Cauchy’ego :

h /'(”)(#)

« n f(n~X){x)

lim

71=OO

= lim

fW (x)

71=. 00

= Um

* fn-\(xf

71=

<1

otrzymuje wartość :

« /W (*) '

podstawie jednego z powyżej podanych trzech

na

71 ?

Ograniczając się na pewnej skończonej liczbie n wyrazów powyższego szeregu, otrzymamy różnicę między wartością f(x-\-Ii), a sumą tych wyrazów, czyli błąd popełniony Ii wzorów, w postaci o tyle nieoznaczonej , o ile nieoznaczonym jest ułamek 0, mogący przybierać wszelkie wartości między O a 1 zawarte.

Wyznaczywszy zatem maximum i minimum wartości, jakie przybierać może B„ w granicach od 0=0, do 0=1, otrzymamy granice błędu lln, jaki popełniamy, ograniczając się powyższem rozwinięciem wartości f(x-\-h) na wskazówce n.

2. Tożsamość szeregów Taylor’a i Maclaurina. Z wzoru (1) otrzymujemy szeregi potęgowe, jako elementa funkcyi f(x), bądź to na zasadzie:

w postaci szeregu Taylora :

lrl.->₊ää

/»

(x—a)²+...

(2)

bezwarunkowo zbieżnego w kole o promieniu :

n /‘O—¹) (a)

Qa= | x—a \ — lim

7l=CC

fn(a)

(20

bądźto na zasadzie:    0 + (#—0)) w postaci szeregu Maclaurin’a :

/'(O)    /‘"(O) ,

' a? + -~;X #² + ...

2!

(3)

bezwarunkowo zbieżnego w kole o promieniu :

n /‘(n—b (0)

£=|æ| = /iw

71 = CO

(3')

Oba szeregi stanowią więc jedno i to samo rozwinięcie , a jeden z nich jest zarazem w granicach swego zakresu zbieżności koniecznem następstwem drugiego.

Możemy w ogólności okazać, że nie istnieje inne rozwinięcie danej funkcyi f{x)

Taylor’a.

na

szereg potęgowy, któreby już nie wynikało z szeregu

Przypuśćmy bowiem, że dla danej funkcyi f\x) w otoczeniu punktu X-—0j otrzymujemy jakąkolwiek drogą rozwinięcie w postaci szeregu potę-

lim

bezwarunkowo zbieżny, skoro :

m    <C 1, czyli, skoro |#|<Cl,

n

71=00

a więc, wewnątrz koła o promieniu ę=|a;| = l.

Przerywając obliczanie wartości tej funkcyi na wyrazie (™)P\ otrzymujemy, według wzoru Lagrange’a , resztę :

— 71 — 1

gowego: f{x) — a₍₎-\-axxĄ-a.₁x²-f..., bezwarunkowo zbieżnego w kole (r). Z szeregu Taylor’a wynika, dla otoczenia punktu x=0, rozwinięcie:

f(x)=b₀+biX+b₂x²+...,

bezwarunkowo zbieżne w kole (ę>), gdzie: bn=

oba te rozwinięcia muszą być tożsamościowe.

Oba rozwinięcia muszą bowiem dać przedewszystkiem tę samą wartość funkcyi dla x=0, musi być więc a₀=b

natenczas poznamy, że

o-

Stosując do powyższych szeregów prawidło różniczkowania, otrzymamy raz: f\x)=ai +2a₂# + drugi raz: f,(x) = bi +2&₂æ + ..., które dają dla x=0 tę samą wartość f‘(x), skoro będzie: ai=b

Postępując w ten sposob dalej, przekonamy się ogólnie, że musi być że więc oba szeregi potęgowe, jeżeli mają przedstawiać tę samą funkeyę , muszą być tożsamościowe.

i-

3. Obliczanie wartości funkcyi w danem miejscu. Z szeregów Taylor’a, lub Maclaurin’a, możemy wyznaczyć wartość funkcyi w danem miejscu kolejnem sumowaniem wyrazów tych szeregów. Przerywając obliczanie tości funkcyi f{x) funkcyi, na (n -j- l)-szym wyrazie

Warna podstawie powyższych szeregów, jako elementów tej znajdziemy granice błędu popełnionego, podstawie wzorów Lagrange’a, lub Cauchy’ego , które dla szeregów Taylor’a , mają kształt:

na

■#»—/'(’*-ł-b(a-f 6{x—a)) względnie: lln a dla szeregów Maclaurin’a :

Bn=|Qx\ względnie: Rn=

przyczem w obu przypadkach jest 6 niewiadomą liczbą , zawartą między 0 a 1.

4. Zastosowanie szeregu Taylor’a do obliczania wartości funkcyi:

f(pć) = (\-\-x)'n. Przyjmując, że wykładnik m jest jakąkolwiek liczbą dodatnią, lub ujemną, wymierną, lub niewymierną, otrzymujemy rozwinięcie tej funkcyi na szereg, zwany szeregiem dwumianowym , w postaci :

(x—a)”+¹

x2jr

/m\

\n)

xn-\- ...

(4)

ajw+l

(1 + Qx)n -m+l '

Jeżeli x jest liczbą dodatnią, mniejszą od 1, natenczas wyraz („™₁)*w+¹ stanie się dla wszelkiego skończonego m, przy dostatecznie wielkiem n, dowolnie małym, tak samo

wyraz

(1 + 0#)»-w+l wzrastaj ącem n, do zera.

, reszta Rn dąży więc w tym przypadku, przy nieograniczenie

B76

Jeżeli x jest liczbą ujemną, bezwzględnie mniejszą od 1, natenczas, używając wzoru Cauchy’ego , otrzymamy resztę Rn w postaci :

Rn — (—1    )(m—n)    (1—0)n(l— Qx)m~'¹ =

, .    /I—0 \w-f-l—w

Ponieważ , dla x <p 1, wyraz :

(w) (m — w)ajw+!

m(m—1)... (m—n -p V)(m—n)

xn+* ,

staje się dla wszelkiego skończonego m, przy dostatecznie wielkiem n, dowolnie małym,

, (ponieważ dla x c 1, jest 6x 0, a zatem 1—0x^>l—0,

jest ułamkiem właściwym), przeto widoczne stąd, że reszta Rn dąży także

/ 1 — 0 \«+l-łn

\1—Qx)

tak samo wyraz

1—0 1—Qx

i w tym przypadku do zera , jeżeli n rośnie nieograniczenie.

5. Chcąc zbadać powyższy szereg dwumianowy dla x—àz 1, weźmy pod uwagę resztę Cauchy’ego w postaci :

a więc :

Bn=(n) (m—n)xn+x (1—G)n( 1+ 6x)

m -n—1

(5)

natenczas spostrzeżemy, że wyraz:

m(m—1)... (m—w-P l)(m — n)

xn+i

jeżeli n

przy jakiemkolwiek dodatniem m dąży dla x— rfc 1 do zera rośnie nieograniczenie.

Jest bowiem w tym przypadku :

|    (m —n)

a przypuściwszy, że pierwszą liczbą całkowitą dodatnią , większą od m, jest liczba r, natenczas możemy drugą stronę powyższej równości napisać w postaci iloczynu :

w którym wszystkie czynniki, począwszy od czynnikami—— ^, są przy dodatniem m mniejsze od 1.

A, że : 1

SI⁵' §

a więc :

r -pi-

M^)<

a przytem mamy :

a¹

l‘- + 7’

7FÎ + - + 7}'

p ... -P—-, przy nieograniczenie rosnącem n, dąży również do nieskończoności , przeto widoczne, że iloczyn:    (l

a więc:

a suma :

r-p 1

r -pl

przy nie

ograniczenie rosnącem n, do zera, jest więc przy dodatniem w, także:

lim

n=oo

(m—:n) — 0, c. b. d. d.

37

Ponieważ dalej w wyrazie JRn mamy :

1-0

1 + Qx

jest ułamkiem właściwym, a, dla x——1, stale równa się 1, przeto poznamy, że, gdy m jest dodatnie, a x=zL 1, reszta Bn dąży do zera.

Szereg dwumianowy: (l + ^)m=l4-(^)^+(^)^²+-** jest więc dla wszelkiego skończonego m zbieżny, skoro |#|<;l, a dla dodatniego m zbieżny także i dla x— ± 1.

, -i -,    1N./-—j—    . , A    1    1 ^    1.3 *3 1.3.5 xi

Przykłady. 1) Y/l -f- æ = ( 1 + x) _ 1 + _    —

1.3.5 . . 1.3.5.7 2AS

( 1 — 6>)TC ( 1 + Gx)m-n-¹ = (1 + 6x)

)'

a wyraz

( i-0 y

V1+ 0Æ /

dla x= +1

2)

= i¹ + x)

to | l—Ł

1.3

2.4.G.8

v/i + *

3) —= ( 1 -p x)    =1—x-\-x%—x³-\-xi-x⁵-\-... (æ 1).

x⁴ —... (x < 1).

4)

-2

(1+®)    =1—2as -f- Sx³—4æ³ -j- 5cc⁴—6cc⁵ —... (a < 1).

6. Szereg dwumianowy jest uogólnieniem wzoru Newtona, który, dla całkowitego dodatniego w, przedstawia się w postaci :

(1 + *)"* = 1 + (f) * + (g ) a>² -f ... +    1) n”¹-¹ +

xm ,

(6)

zawierającej po prawej stronie {m-j-1) wyrazów.

Jeżeli m nie jest liczbą całkowitą dodatnią, natenczas wielomian, w powyższy sposób

utworzony, zamienia się w szereg : 1 -p (j) x -j-    bezwarunkowo zbieżny dla |a:|<l.

Możemy też wprost wykazać , że ten szereg dla wszelkiego skończonego w, przedstawia m-tą. potęgę dwumianu 1 -j- x.

Suma danego szeregu przedstawia bowiem dla pewnego x, bezwzględnie mniejszego od 1, jakąś wartość, zależną od m, którą oznaczamy przez/(m); wobec tego otrzymamy:

1 + (ï)* + (2) **+- ⁼/(a) ; ¹ + (l) *+(2) *²+- =/(?)•

Szukając iloczynu tycb dwu szeregów, otrzymamy:

/(«) •/(ß)=: ! +« 1*+ «2*² + «3®³ +

gdaie : a, = ( j + (nh) (f) + (, 1₂) (!) t - + (“)(» 11) + (»)= (* t “) .

/(«)-/(P)=l+ClP)*+(“2 P)*,+

a więc :

zatem :

O)

Na podstawie tej własności danego szeregu. otrzymamy widocznie :

/(* i) -/(“a) •••/(“»») =/(a i + a2 + ••• + “»»), skąd, dla a, = a₂ =...—am = a, wypada wzór, ważny przy całkowitem dodatniem w, w postaci :

(*)

[/(a)]m=/(rna).

Dla a = 1, otrzymujemy stąd: [/(l)]m=/pw), a •

/(i)=i+(1) *+(2) *’+•••=¹+*>

zatem mamy, dla całkowitego dodatniego w, wzór :

(i + x)m =/0)=1 + (*”)* + (2 ) +...

P

— , tedy, obrawszy liczbę całkowitą m=-q, otrzymamy z wzoru (a), wzór następujący : [/(y) ]’=/(?• y) ="/(?)» a stąd: /(y)=^/(2>) » a

Niech będzie teraz : a =

że, dla

całkowitego p jest : /(p)=( 1 -j-x)p , przeto mamy :

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Dany szereg: 1 -p    £c2+ •••, przedstawia więc m-tą potęgę dwumianu: (1-]-*),

P

także i w tym wypadku, gdy m jest liczbą ułamkową dodatnią : —.

Kładąc we wzorze : /(a) •/(ß) = /(a + ß), ważnym dla wszelkich skończonych wartości : a i ß, liczbę ß =—a, otrzymamy : /(a)./(—a)=/(0), a że : /(0)=l-p^    -{-...= 1, przeto mamy

/(*)•/(—'*) = 1j a więc: /(— «)==^

/(—)

Dany szereg/(m) przedstawia więc m-tą potęgę dwumianu (l-f-.r) także i dla ujemnego m. Jest więc ogólnie, w zakresie zbieżności danego szeregu:

otrzymujemy :

/«)

(1 -j-

że, dla dodatniego a, jest /(a)= (1 -f æ)«, przeto

czyli: /(—a)—(1-j- x)—a.-

¹ + (ï)* + (2)3:2 + -= (1 + x)n•

W — 00

Szereg dwumianowy:    przedstawia więc, w zakresie swej zbieżności, ra-tą

potęgę dwumianu : (1 -|- x).

7. Wyznaczenie wartości szeregu: ^ I

r=0 ^    ^

r= 00

różniczkowego. Że suma szeregu :

r=0

szeregu, dla wszelkiego m równą,: (l-\-x)m, możemy sprawdzić na podstawie rachunku różniczkowego w sposób następujący:

Oznaczmy przez y szukaną sumę :

n—0

przy pomocy rachunku

xr jest, w granicach zbieżności tego

V—roo

xr, a więc połóżmy :

r=0

natenczas otrzymujemy stąd pochodną tej sumy:

■bYl-'+C«¹)

która, pomnożona przez x, daje:

Yft—1\

xk -f ...

Dodajmy do siebie ostatnie dwa równania, porządkując prawą stronę podług potęg zmiennej niezależnej x, a otrzymamy :

dy

a + x)dx

-+⁺rr>‘M(vM7'))-+

!(*,-> (*r‘)Kd

czyli :

a więc :

dy

(1 + x) dx= my,

z czego wynika , że :

dy

dx

Ponieważ pierwsza strona otrzymanego równania jest różniczką log?/, druga różniczką log (1 + #)”*, ponieważ różniczki tych dwu funkcyj zmiennej niezależnej x, są sobie równe, więc funkcye same mogą się różnić między sobą tylko o pewną liczbę stałą, którą oznaczmy przez log (7, otrzymujemy więc : stąd :

log 2/=l°g (1-f Æ)m + log C,

y=C(L + x)m.

Aby wyznaczyć C, połóżmy x=0, natenczas, na podstawie danego szeregu, określającego «/, mamy y = l, zatem jest 1 = C. lm, a więc, dla wszelkiego skończonego m, wymiernego, lub niewymiernego , mamy :6⁷=1, jest więc:

a więc :

(7)

y=i+

8. Obliczanie pierwiastków dowolnej liczby bezwzględnej. Za pośrednictwem szeregu dwumianowego, możemy obliczyć wszelki pierwiastek dowolnej liczby bezwzględnej.

Mając obliczyć w-ty pierwiastek liczby A, możemy położyć A=an + ó, gdzie a jest liczbą tak dobraną, że: 5<«n, a otrzymamy:

\^Z=

a(l + æ)n

gdzie : x—1*

Tak n. p. otrzymamy :

a że :

1.1    1    1    1.1.3 1    1.1.3.5 1

_ 2.2 2.4 ‘ 2² 2.4.6 ’ 2® 2.4.6.8 ' 2⁴~' przeto otrzymujemy: \/2 = 2 .0-7071068..., czyli: y/2 = 1*4142136...

2) V/5 = V/4+T = 2 ^/l +i = 2 (l + i)Vi =

-⁸[¹+(0-T + d)A + -]“î[¹ + ï-T

. -i + ... ] =2.1-1180340 = 2-2360680...

1.1.3.5

2.4.6.8

... = 0-7071068

1.1    1    1.1.3    1

2.4 ‘ 42 +2.4.6 * 4³

a więc \/5 =2-2360680...

8) V^2-=^8^6=2(l-l)'/*=2[l-(î)    ( )|-...] =

₀ T 1    3    3²    1.2.5    3³    1

L¹ 3 ' 4    ' 4²    3.6.9 * 4³    " J

OD' M-

tO «I-

2.0-6299605...

a więc: ^2=1*2599210...

. S-s. S-

-...] =2.0-8549879...

1.2.5.8

3.6.9.12 '

ot i OC

4a- i

a więc: ^5 = 1*7099759...

9. Rozwinięcie funkcyi wykładniczej: f(x)=ex. Dla funkcyi f\x)--=ex,

otrzymujemy, jak w art. 5., str. 516,, na mocy wzoru Maclaurin’a potęgowy :

szereg

/y»    /y* 2    rpTl

,    %AJ    . lA/

e'⁼¹⁺r! ⁺ 2!⁺-⁺^⁺->

który jest, na mocy art. B. str. 550. szeregiem bezwarunkowo i bezustannie zbieżnym.

Za pomocą tego szeregu możemy więc wyznaczyć wartość funkcyi ex dla wszelkiego skończonego x.

Przerywając sumowanie na n-tym wyrazie tego szeregu, popełniamy błąd, określony resztą Lagrange’a , w postaci : R

liczbą, zawartą między 0 a 1, a więc e0æ pewną liczbą skończoną. Błąd ten, przy nieograniczenie rosnącem n, zdąża, dla wszelkiej skończonej wartości x, do zera.

gdzie 0 jest

10. Szereg wykładniczy, jako wynik szeregu dwumianowego. Połóżmy w szeregu:

(”)*+g)*²+...+

X

w miejsce x liczbę: —, gdzie n

|æ|, natenczas otrzymamy:

(;)i+0

g .eg

S5 i £

(n\^_

W nr

-K)'

—+ ••• nr

Pozwólmy teraz liczbie w rosnąć nieograniczenie, natenczas, ze względu na to, że : lim    , otrzymujemy z powyższego szeregu szereg potęgowy :

„ xx² xr    /    \

¹⁺ïl⁺âi⁺-⁺w+--±(¹⁺- j

(8)

z którego, dla æ=l, wypływa szereg:

11 / 1 \*

¹⁺Î!⁺2!⁺-"^(¹⁺t)’

przedstawiający, jak wiemy, liczbę szczególną e=2-7182818...

Kładąc —= -n m

X oo^

a więc z (8) otrzymujemy: l-f^-+    ...=ev.

9    00    00 *

11. Ze suma szeregu potęgowego : 1 + t~j + ^ j + •••> przedstawia, dla wszelkiej skończonej wartości zmiennej niezależnej x, wartość funkcyi wykładniczej er, możemy wprost wykazać z własności tego szeregu.

Połóżmy mianowicie:

„ x x²

¹⁺rr⁺2!

natenczas otrzymujemy iloczyn tych wartości:

E(x) ,E(y)=1+ Y\(x+y) + ^(x²+2xy+y²') + ...+

y²+-+

a więc n=mx, mamy

xn

-1

=E(x), a więc: ! + ^+ ~

yn

+ -+^]+-=E(y)i

0*

U.)

xy

n—\

1+^ + M

E(x).E(y)=E(x + y).

Opierając się na tej własności szeregu, otrzymamy:

Eipc^.Eix^ ... E(xn)=E(xl -i-+ ... + *«),

a stąd, dla xi = x₂ = ... — xn = x, a więc, przy całkowitem dodatniem w, wzór [E(x)]n=E(nx), którego ważność rozciąga się (jak w art. 6.) do wszelkiej liczby n. Z wzoru tego, kładąc x=l, a zastępując n przez x, otrzymujemy:

a więc:

(x+y)n

n\ ⁺-

a zatem :

E{x)=[E{ 1)]*, a że: E(l)=l4-j-j +    ...=e,

zatem otrzymujemy: E(x) — ev.

12. Wyznaczenie wartości szeregu E(x) przy pomocy rachunku różniczkowego. Sumę szeregu: E(x) = 1-f-j-yd⁻2~j+•••? możemy też znaleźć za

pomocą rachunku różniczkowego w sposób następujący:

Oznaczmy przez y szukaną sumę, a więc połóżmy:

/y»    /y» 2    rp7l

.    *K/    iAj    «X/

y°¹⁺T\ + 2! ⁺ -⁺^! + --

af¹⁻¹

natenczas otrzymamy stąd pierwszą pochodną tej sumy : dy H x x²

(n—1) !

s- ¹+n⁺â! + - +

Otrzymujemy więc:

dy

= y, a stąd : —

Ponieważ pierwsza strona otrzymanego równania jest różniczką logy, druga różniczką zmiennej więc log y i x mogą się różnić między sobą tylko o pewną liczbę stałą, którą oznaczmy przez loge, otrzymujemy więc stąd :

dx

= dx.

V

logy=a:4-logc, czyli: log—=a?

c

a zatem :

- = ex

czyli: y=c.ex.

Aby wyznaczyć c, połóżmy x=0, natenczas, na podstawie danego sze-szeregu , określającego y, otrzymujemy y = l, zatem jest l = c.e°, czyli c=l, jest więc :

y = ¹+n ⁺

cc CC "

13. Szereg 1 +j-j+2^+••• przedstawia więc x-tą, potęgę zasady e. Wykładnik x nazywamy logarytmem naturalnym liczby a — ex, pisząc x—log a: a zasadę e nazywamy zasadą logarytmów naturalnych.

W tern znakowaniu, wzór ex—l-\-j-y +

log a (log a)²

« CM

+ ... =

+ ..., przyjmuje kształt:

a=el°g«=l 4

1!

2!

(9)'

wskazujący sposób, w jaki liczba a zależy od swego logarytmu naturalnego, i dozwalający, dla danego logarytmu naturalnego log a, obliczyć liczbę a z wszelką żądaną dokładnością.

Ogólnie otrzymujemy stąd, przy jakiemukolwiek x, wzór:

ax = exloga =14

a; log a (a? log a)²

1!

+ —2l_+-

przedstawiający a>tą potęgę liczby a w postaci szeregu bezwarunkowo zbieżnego dla wszelkiej wartości wykładnika x, będącego też rozwinięciem funkcyi ax według wzoru Maclaurina (wz. (15), str. 516).

14. Rozwinięcie funkcyi log(l-fæ). Dla funkcyi: /(a;)=log(l4-20, mamy :

(»-!)!

zkąd

na podstawie wzoru Maclaurin’a, otrzymujemy rozwinięcie jak na str. 517. w postaci szeregu potęgowego :

/•(»)(*) = (_!)'

(l-faf)w

log (l + *)-y - £ + |³ - T ⁺ - + (~ 1)M

(10)

bezwarunkowo zbieżnego , skoro :

^

lim ——x <1, czyli, dla |æj<;l,

71 — 00    %

a więc w kole zbieżności o promieniu @ = 1.

Przerywając obliczanie wartości funkcyi log (1-pa:), za pomocą powyższego szeregu, zwanego szeregiem logarytmicznym,

na

. xn wyrazie — J n

otrzymu-

jemy błąd, w postaci reszty Lagrange’a:

xn+x

(» + l)(l + 0aOn+1

W tern wyrażeniu czynnik stem w, drugi czynnik    ^

gdzie 0 < 6 <C 1.

maleje nieograniczenie

wraz z wzro-

M-fl

staje się dla nieskończenie wielkiego n, a w przypadku x=l, co

w przypadku , gdy x *< 1, nieskończenie małym najwyżej równym jednostce.

W przypadku ujemnego x: nadaje się bardziej do ocenienia błędu

' (l + 6x)n+l

W przypadku — l<;a:-<pl, a więc: — 6<C.6x<^6, mamy: 1 —

xn+i

reszta w postaci Cauchy’ego: Bn=(— 1)

1-6

/ 1— ĆMn V 1 + 6x )

, dąży zatem

<C 1, reszta Bn=(—1)”+*

a więc

pod warunkiem, że —l<a:_<pl, przy nieograniczenie rosnącem n, do zera, a dla x=l, może się stać większą od wszelkiej liczby skończonej.

2    3

Szereg logarytmiczny log(l + æ)=æ—-^-p-g

1 -\-6x

1 + 6x

—... jest zatem, dla wszelkich wartości, czyniących zadość warunkowi: \x\<il, bezwarunkowo zbieżny, 1 warunkowo zbieżny: log2=l—p -g---^-p...

dla x —

a dla x — — 1

rozbieżny, podając: logO-=—go.

15. Szereg logarytmiczny, jako wynik szeregu wykładniczego i szeregu dwumianowego. Weźmy pod uwagę szereg wykładniczy:

#loga (0 log a)² (#loga)³

az=1P

1!

2!

3!

który, pod założeniem, że: log a jest pewną liczbą skończoną, jest, dla wszelkiego skończonego 0, szeregiem bezwarunkowo zbieżnym. Połóżmy w nim: a—14- x, a więc: log a=log (1p x), natenczas otrzymamy z powyższego szeregu wykładniczego szereg następujący:

log(1 +x) g [log (1 Pa:)]² 02 + [log (1-Ha:)]³

Z drugiej strony, otrzymamy jednak, na mocy szeregu dwumianowego, pod założeniem, że |a?[ <11, rozwinięcie:

które możemy napisać także w postaci następującej :

(lpap=lp

1!

0²p...

(«)

(1 +aî)'=l + y* +

1.2

(1 +Æ)*=1 + £.Æ —

iß)

Uporządkowawszy to rozwinięcie według potęg zmiennej 0, otrzymamy

szereg :

(lPæ)*=l +A₁0+A₂0²+A₃0³-{-. w którym spółczynniki Ai, A₂,    pod założeniem |a;|<Cl, muszą być

sjß 2    /)Q 3    sję 4

wszystkie skończone. W szczególności jest A₁=x—^P o----

2    o    4

Ponieważ rozwinięcia (a) i (ß) mają być tożsamościowe, przeto muszą być spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej z parami równe. Społczynnikiem przy z w rozwinięciu : log (1 + a?)

(«) jest

1!

, w rozwinięciu :

/y» 2 /y» 3

"3

a;⁴

(/?) zaś: Ai=x—

Wobec tego otrzymujemy rozwinięcie:

- 4+-

/fi 2    /y» 3

log (!+#)== ^ —^~P -3

T + -;- + (-D

xn

n⁺-

Porównywując w rozwinięciach (a) i (ß) spółczynniki przy następnych potęgach zmiennej z₁ otrzymujemy rozwinięcia:

/    /y» 2    /y»3    /y»4    /v»5

[log (1 +z)]²=2 ! {p>, . | - Pj». I + P», . T-P*. g +...+(-1)”. P,”“¹ - +... [log(l + x)Y=rllp^.j-P'r

#r+1

f PrV

1 r—1

xr+2

£Cr+w

r +1

w których symbol Prn wyobraża sumę iloczynów po r czynników, wybra-

r +n

nych bez powtórzenia z elementów: —-,

1 Z

16. Wyznaczanie wartości szeregu logarytmicznego przy pomoey ra-

/fi 2    /£ 3    /fi 4    /fiU

chunku różniczkowego. Sumę szeregu: x — p — ~r +... + (— l)ra_1 —

Z    O    *x.    W

możemy też wyznaczyć za pomocą rachunku różniczkowego w sposób na-stępujący :

P ..

Oznaczmy przez y szukaną sumę, a więc połóżmy:

x² xz

y—x—r-f —

Z o

/y» 4    /v*U

natenczas otrzymujemy stąd pierwszą pochodną tej sumy:

dy

dx

która, pod założeniem ] x |<p, wyobraża, jak wiadomo, funkcyę (1+æ) ¹⁼= Otrzymujemy zatem:

lpaf

dy

a więc : dy

dx

l+x

dx 1 p x

Pierwsza strona otrzymanego równania jest różniczką szukanej sumy: y, druga jest różniczką funkcyi : log(lpæ); skoro obie różniczki są równe, więc funkcye same mogą się różnić między sobą tylko o pewną liczbę stałą, oznaczmy ją przez c, a otrzymamy: y=log(1 pæ)Pc.

Aby wyznaczyć stałą c, połóżmy x=0, natenczas , na podstawie danego szeregu, określającego y, otrzymujemy y = 0, zatem z ostatniego równania O=logl + c, czyli: c=0. Jest więc pod założeniem, że: J a? | <i 1, suma: x² x³

y=x~% + 3 -

17. Przekształcenia szeregu logarytmicznego. Zastępując w szeregu:

/V» 2 zy¹3    /y* 4

1    . .    .    tA/    tAJ    \AJ

log (1+ x) =x —    + ₃ —

/y»4    /y*W —

»b    , . « . iA/

-|-+."+(—i) ¹ —

f ... = log(l+:r).

4⁺-’

zmienną æ przez —x, otrzymujemy szereg:

/y» 2    /y» 3

log(l-s)=-s-|-|-₄    ......

również bezwarunkowo zbieżny dla | a? j <11.

Z obu szeregów otrzymujemy, za pomocą-odejmowania , szereg:

X2n + 1

2n-{-l~^‘"

który, dla |#|<Cl, jest również bezwarunkowo zbieżny.

Szereg ten zawiera tylko nieparzyste potęgi zmiennej niezależnej x, i jest bardziej zbieżny, aniżeli szereg, podający log(l + Æ). Z tego powodu daje się mu pierwszeństwo, jeżeli chodzi o praktyczne obliczanie logarytmu

i natenczas otrzy-

»in,

(U)

danej liczby. W tym celu połóżmy : mujemy szereg:

l-\-X

l—x

a, a więc x

a— 1

1 (a—1\³    /a—1\⁵ i

⁺ tUfi) ⁺“us+i) +-}>

log a=2^

za pomocą którego możemy wyznaczyć logarytm wszelkiej dodatniej liczby a.

Zastępując w tym wzorze a przez ~ mujemy stąd wzór:

a więc:

a— 1

a-\-1

przez

a— b

a-fi’

(12)

otrzy-

czyli :

log-“—a £=-? b 1 aĄ-b

log a=log&4-2 j

1 /a—by 1 (a—b\⁵    \

(13)

a—b

a -f b

i(?=_s'j³₊-¹Ya=h⁵₊ .)

3 \a+b) ^ 5 \a^b)    7

(13')

który dozwala wyznaczyć logarytm naturalny liczby dodatniej a, gdy znany jest logarytm liczby mniejszej b.

Jeżeli zastąpimy w tym wzorze b przez a, zaś a przez a+1, a więc: natenczas otrzymamy wzór :

a-\-b

przez

2a—1

log(« + l)=loga + 2    (2a₊l)3‘r_“ ‘ (2a+l)⁵~r'

który dozwala obrachować logarytm naturalny danej liczby całkowitej a+1, gdy znany jest logarytm liczby, bezpośrednio poprzedzającej a.

18. Wiedząc, że log 1=0, możemy stąd, kładąc kolejno a — 1, 2, 3,..., wyznaczyć po kolei logarytmy naturalne liczb całkowitych.

Oł I-i

Na mocy powyższego wzoru, otrzymujemy n. p. :

«)    ¹°g2 = 2|- + -3₇₃3 u- 5>35    « -j

l₀2li₊_l _

(    3 l ‘ 3.3² ^ 5.3⁴

a stąd, z dokładnością ośmiu miejsc dziesiętoiych : log 2 = 0-69314718...

b)    log3 = log2 + 2    + — . ^3 + -^- • gë+-} =

= 0-69314718... + ~ (l +    + -^T + ... \ -=1-09861229.

c)    log 4 = 2 log 2 = 1-38629436.

d)    log 5 = log 4+{1 +i . ~ + ^    1 + ...} = 1*60943791.

}’

przez

10. Jeżeli we wzorze (13') zastąpimy b przez <5, a przez a + d, a więc natenczas otrzymamy:

a—b

a+b

2 a + d

log (a + ô)=log a + 2 j

¹ ( ⁶ \\ ¹ / * V, \

3 \2a+ó) ^ 5 \2a + d)

(15)

2 a-\-ó

wzór, który może posłużyć do obliczania logarytmów liczb, zawartych między dwiema liczbami całkowitemi : a i a+1, skoro za a przyjmiemy liczbę całkowitą, najbliższą danej liczbie a + d.

Tak n. p. otrzymujemy:

log |—log (l+ ■§-)“ ² (t + T • P + T • P+-}“°-«*16512, logi-=log(l + i) = 2{i + i . i+i . i+ ...} =0-28768206, logl=log (l + i) =2 {i + ++,+ + +

-} =

o-18232156.

20. Celem otrzymania szeregów szybkozbieżnych, dobrze jest we wzorze (13) przyjąć a i b, jako takie funkcye całkowitej liczby x, któreby dały się rozłożyć na czynniki proste, a przytem miały różnicę a—b równą jednostce, lub dowolnej stałej liczbie.

Kładąc n. p. -^- =

log(Æ + l) = 21ogx —log(x— 1)—2 ('2^174 +

x²—l

a więc:

s+ś- 2**^1’ otrzy“<ij^y

5 +•••

' (2x²—1)

który dozwala wyznaczyć logarytm liczby całkowitej æ+1, gdy znane są logarytmy liczb poprzedzających x i x—1; zbieżność dotyczącego szeregu, jest tern większą, czem większą jest liczba x\ dla #"> 100 wystarcza wziąć w rachubę tylko jeden wyraz szeregu w nawiasie { ...} zawartego, jeżeli się wyznaczyć logarytmy z dokładnością na ośm miejsc dziesiętnych.

5 (2x²— 1)

ma

21. Tablica logarytmów naturalnych liczb pierwszych. Korzystając z wzorów, powyżej podanych, otrzymamy następującą tablicę logarytmów naturalnych, zwanych także Nepe-rowskiemi , dla liczb pierwszych, obliczoną z dokładnością w ośmiu miejscach dziesiętnych.

Liczba

log. natur.

Liczba log. natur.

Liczba

log. natur.

h<mccłoi>

M- h-L M- h-4 CD •<] CO f—¹

0-00000000

0-69314718

1-09861229

1-60943791

1- 94591015

2- 39789527 2-56494936 2-83321334 2-94443898

23 3-13549422 29 3-36729583 31 3-43398720 37 3-61091791 41 3-71357207 43 3-76120012 47 3-85014760 53 3-97021991 59 4-07753744

61

67

71

73

79

83

89

97

101

4-11087386

4-20469262

4-26267988

4-29045944

4-36944785

4-41884061

4-48863637

4-57471098

4-61512052

— 586 -

22. Logarytmy zwyczajne. W zwykłych rachunkach używa się zamiast logarytmów naturalnych, t. j. logarytmów dla zasady e, tak zwanych logarytmów briggowskich, lub zwyczajnych, t. j. logarytmów dla zasady 10, które oznaczać będziemy znakiem logvulga (logarithmus vulgaris), albo krótko znakiem Logo.

Mając obliczony logarytm naturalny liczby «, wyznaczamy ogólnie logarytm sztuczny, czyli logarytm liczby dla zasady b, na mocy wzoru: « = el°e<ł = bloei>a, w postaci:

log «

logba

\ogV: Plzez którą logarytmy naturalne pomnożyć należy, aby otrzymać

log6 - kis-¹⁰⁸““*'¹⁰«“’

gdzie liczba Mb

logarytmy sztuczne, nazywa się zamiennikiem układu sztucznego.

log Ï0

Zamiennikiem logarytmów zwyczajnych jest: Mi0

Na mocy art. 18. mamy :

zatem :

a stąd zamiennik :

log 2 = 0-69314718, log 5 = 1-60943791 log 10 = 2-30258509,

M:

0-43429448.

2-30258509

Kładąc więc: log₁₀«=Log«, mamy: Log « = 0-43429448... log«, a na odwrót:

log a — 2-30258509... Log «.

\

Przy wprowadzeniu logarytmów zwyczajnych otrzymuje szereg wykładniczy kształt :

__(Log a)² (Log ffl)³

1 ! M ! T 2 ! M² ^ 3 ! M³

Log«

(16)

szereg logarytmiczny zaś kształt :

Log a = 2M

(17)

(~ -1—y+- (—y+... i

l«+l ¹ 3 V« + 1/    ‘ 5 V« + 1/    '    | z których pierwszy służy do bezpośredniego obliczania liczby «, gdy znany jest jej logarytm zwAmzajny Log«, drugi do obliczania logarytmu zwyczajnego Log«, gdy daną jest liczba «.

23. Chcąc, przy obliczaniu logarytmów zwyczajnych liczb «+1, lub «-j-o, oprzeć się na obliczonym logarytmie liczby «, otrzymujemy z (14) i (15) wzory:

iaB(.+ i)-L₀g.₊2Jf{sL_ + i^L_)+_}f

Log (« 4- S) = Log « 4- 2-M |

3 \2«4-8/ ^    /

2« 4- s

Log 11 = Log (10 + 1) = Log 10 + 2 M^ + skąd, wiedząc, że: Log 10 = 1, dostajemy:

ŁogU = l+2M(i4

Tak n. p. otrzymujemy :

3-21³

Ograniczając się tylko na pierwszym wyrazie szeregu, otrzymamy, ze względu na to, że drugi wyraz :

2Jf

3 21³ ^ 320³    z dokładnością na cztery miejsca dziesiętne:

1-0414...

t u ii 0'8686 Log 11 =1 + —gj—

W ten sposób możemy obrachować logarytmy liczb, po sobie następujących, z wszelką żądaną dokładnością i zestawić je w stosowną tablicę.

Za pomocą takiej tablicy możemy, przy pomocy powyższych wzorów, obrachować logarytm jakiejkolwiek liczby. Mając n. p. wyznaczyć logarytm liczby N, nie wypisanej w tej tablicy, obierzmy liczbę z N sąsiednią, większą od niej, lub mniejszą, a otrzymamy: iV=a+3, gdzie 8 będzie liczbą dodatnią, lub ujemną, mniejszą od T/₂.

— 587 —

Dla obliczenia szukanego logarytmu wedug wzoru :

Logff=LogO +8)=log« + 2A+^ + ~ (^Ts)³ + - }>

2 Mh

wystarczy częstokroć jeden tylko wyraz szeregu, tak, że możemy w granicach dokładności tablicy położyć:

Log N = Log a -J-

2a + 8

24. Urządzenie tablic logarytmów zwyczajnych. Ponieważ wszelką liczbę N możemy przedstawić w postaci: jV=a.lOp, gdzie l<a<10, przeto otrzymujemy: Log N= Log a+p, gdzie: 0<Loga<l. Logarytm zwyczajny wszelkiej bezwzględnej liczby n składa się więc z liczby całkowitej p, dodatniej, lub ujemnej, zwanej cechą logarytmu, i właściwego ułamka dziesiętnego: Log a = m, zwanego powszechnie man ty są (dodatkiem) logarytmu. Z tego powodu tablice logarytmów zwyczajnych zawierają tylko mantysy logarytmów, łatwo bowiem w myśli wyznaczyć przynależną cechę ; cechą logarytmu liczby podanej w układzie dziesiątkowym, bowiem, skoro jest dodatnia, jest o 1 mniejszą od ilości cyfr przed kropką dziesiętną, a skoro jest ujemną, równa się ilości zer, stojących przed najbliźszem zna-czącem miejscem dziesiętnem.

Wiedząc np. że: Log 2 = <>301..., otrzymujemy: Log 20= 1*301..., Log 200 = 2-301... Log02 = 0301...—1, Log 002 = 0 301...-2.

Znajdujemy mantysy czterocytrowe w tablicach Müller’a, pięciocyfrowe w tablicach Houëla, sześciocyfrowe w tablicach Bremikera, siedmiocyfrowe w tablicach Koehlera, a dotyczące dzieła podają zarazem na wstępie sposoby jak ich używać należy.

ćwiczenia XLII.

Kozwinąć na ułamki proste a następnie na szeregi potęgowe następujące funkcye

ułamkowe :

1)

1 -f- 9*

2-3*— 2*² + 3*³ ‘

2)

84—4137* + 25*² + 288*3 }    441—205*² + 4*⁴

8)

*⁴ -(- 1

*⁶ + r

8*⁴ — 3* -J- 5 *(*² + 2* + 3)³ ’

*² +1

15*² — 66* — 408    - , .

*³ + 5*²—2*—24 ' ' ' *³+l"

• 6)

*⁴-|- 1

x³ (*² -(- * + 1)

7)

33—31*—68*²—17*³ + 9*⁴ +18*⁵

6*³ + 7*²-3*

• 9)

11) Dowieść, że spółczynniki ^4₀, ^4t

14*² — 55* -j- 30 3*³—ïl*² + 6* *

Ar , rozwinięcia funkcyi ułamkowej właściwej :

9—22* + 37*²—22*³

*²— 2*³ -j- *⁴

• 10)

/(*)

/O*)

A.r

łl(*)

(* — a)r <J*(*)    * — a (* — a)²

możemy wyznaczyć także na podstawie następujących, wzorów

?(*)

(* a)r t}*(*) ’

A, AM =/(„),

Ar—1 . ®(r) Ça) -4r cp(r+0 (a)

Ar—2 . ą(r) (a)

(r + 1)! d.r-1 .(a)

=/'(«)»

-4r. o(r+²)(o)

(r + 1)!

(*• + 2)!

A •    («)

■M2.

œd'+'¹) Ça)

(r + 1) !

+ A-

<p(r+2) Ça)

(r+2)!

+ ...4

A j ,<p(2r—1) Ça)

Ç2)— 1) !

Wyznaczyć funkcye ułamkowe, określone następującemi szeregami zwrotnemi :

12)    Szeregiem zwrotnym 2-go rzędu: 7 + 9* + 11*²+ 13*³+ ...

13)    Szeregiem zwrotnym 3-go rzędu : 2 + 5* + 8*² + 11*³+ 14*⁴ +17*⁵+ ...

14)    Szeregiem zwrotnym 4-go rzędu:

, ,    7 , , 37 . 37 . . 160 ß 397 .

+ *² — — *³ + *ł —    + — *⁶--3~x    -

Wyprowadzić następujące rozwinięcia i podać ich zakresy zbieżności:

15) (1 + *)-!= 1 —* + ... + (—1 )n#n + ... 16) (1—*)-l = 1 + * + ... + *n + ...

17) (l+*)-2 = l-2* + ... + (—])»Çn + 1)*'• + ... 18) (l-*)-2 = l+2*+...+ (n+l)**+...

19)    (1 + x)~³ = 1 — 3x + ... + (—1)» (” 'ÿ xn 4-...

20)    (1—æ)—3 = 1 + 3x + ... +    ) xn 4- ...

21)    T¹

71 =00

n—co

² + (an + ßw) xn- 22 )

(2-a?) (1-4²    2 (2n + 1 + 2*+«) *"•

1—a.x    1—ßa;

23)    (l-æ)-»=l + 2

71—1

24)    VT+i = (1 + x)'l, = 1 4. A- a;

25)    v/r^ï-a-*)¹/—1—4

26)    (l + ,rv,=    +    +

27)    (1 - *)-■/, = 1 + ix+ !*» + ...

^4* m(m—2)... (m — 2» 4- 2)

28)    (!+»)./. =.1 + 2 -2.4...2» *’•

7ï=l

72=00

*w(m + 2)... (m 4-    —2)

20) (1 + *)-/»= 1 + 2 (-¹)-    2.4...-I-L**-

30) (1+xyii=1+2

71— 00

w(w 4 1) •••(»» 4" n—1)

2*—8

xn.

ns 1

71—Q

1 , ,    .    , 1.3.5 ...{2n -3)

-¥^+.- ⁺(-1)-¹.......2.4.,■... 2n

— ...

1.3.5 ...(2n -3)

2.4.6 ... 2n

xn 4...

1.3.5 ... (2n — 1)

2.4.6... 2n

xn 4 ...

xn 4 •••

p(p—q)(,p—2q)...(p—nq-\-q) _

- qçYi

q.2q.'àq... nq

31) (1-œ)

—m

« . ^ p (p + q) (p 4- 2q)... 0 4- m — <z)

= ¹+.2l    g.2».8»..,»î    * '

71 = 1

Wykazać, źe :

32)    V2 = — (¹4__r ₁₀₀ ₂₀₀ T loo.200.300

33)    X/2 = ^(1

1.10

1.3

1.3.5

1.4.10²

1.4.7.10³

3.2187

34)    \76 = |-{l + i.2+

35)    \/27 = 2 + -4-;- +    r-

0.2!    0.0!

3.6.2187²

3.6.9.2187³

1.4

81.162

.2²4

1.4.7

81.162.243 '

234... J.

5.7

36)

23

lV2

1.3

1.3.5

⁴⁰)    y-g ? kładąc: a) -g = 1 —    ; b) -g- =

41)    Y^n, kładąc 11 = 2³ 4 3 = 2³ (l 4.

2³.8!    2⁴.4 ! ' 2⁵.5 !

5.15

5.15.25

252.504 ^ 252.504.756

T—i lO

⁵A i+V»'

42) Y^250, kładąc: a) 250 = 2⁸ .

250

256

b) 250 = 2® .

= 2⁸

1 + 3/125'

43) Wykazać, że w szeregu dwumianowym: (1 + x)m, bezwarunkowo zbieżnym dla x —    wyraz (’/')* ma największą wartość bezwzględną; w przypadku: —1< m <C +1

2

w przypadku m > + 1, wówczas , gdy : lj <C ——j ,

2

P > 1, wówczas , gdy : \ < ——.

w+1

zawsze,

czem

256/250

a w przypadku : m——p, przy-

Znaleźć największe wyrazy w następujących rozwinięciach :

44) (3 + xfl³, gdy cc <3. 45) (2— ~)    46) (l — ~)

47)    (1 + x)-n, gdy y , n

48)    Wykazać, że, przerywając obliczanie sumy szeregu dwumianowego (l + a;)™ wyrazie «»=(”) æ”, popełniamy, w przypadku a?>0, błąd Rn <un + \, a w przypadku x < 0, błąd: Rn <C

= 4.

, na

un +1

1—X

49) Wyznaczyć z

dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych. 50) Wykazać, że, kładąc: \Za²-\-x = a + ~

4

błąd mniejszy od

ax

2(a*+*) ’

gdzie £c<«², popełniamy

51) Wykazać, że, mając daną funkcyę całkowitą wymierną r-go stopnia, ze względu na n w postaci :

Gr{n) = o₀+ axn + a₂n(n—1) + ... + ar n(n—1)...(»—r + 1), dostajemy szereg t. z. całkowito-dwumi ano w y w postaci:

n=oo

GV (w). æ» = a₀(l + x)m + max(l + a?)« - 1 + ... + m (m — 1)... (m — r + 1) arx? (1 -j— ar)»»—»*,

»=0 czyli :

n—oo

2 &r (n) • (n) xn = (1 + *)m {“0 +

mcą a: w(w — 1) a₂æ‘²

—1)... (m — r +1) ar xr

n=0

który jest także zbieżnym dla a;<C)l.

(1 + ^

(1 + x)r

)■

52)    Wykazać, że, przyjmując dowolne r stałych: an a₂, •••> «r, możemy wszelką funkcyą całkowitą wymierną r-go stopnia Gr(x) przedstawić w postaci :

Gr(x) = A.₀ + A^x—oą) + A₂(x—ai){x—a₂) + ... + Ar(x—ax) (x — a₂) ... (x—ar), w której spółczynniki +₀, Aj

53)    Funkcyą x³—1 przedstawić w postaci:

+ Ax{x—1) + A₂(x—l)(cc—2) + A₃(x—l)(aj—2) (x—3).

54)    Wykazać, że :

Ar*są stałe, przyczem Ar ^ 0.

²-⁶*⁸/iy+...₌i__l_.

-C-V+

31 \9/ ¹    4!

55) Wykazać, że:    æ« = {w³æ³ + ?M(3m—1)x² + m + (1 + x)™~sj.

W = 00

71=0

56)    Wyprowadzić szereg wykładniczy z szeregu dwumianowego.

57)    Wykazać, że, mając daną funkcyę całkowitą r-g o stopnia, w postaci:

Gr(n) = a₀ + ai n + a₂n(n — 1) + ... + ar n (n—1)... (n—r +1), otrzymujemy t. z. szereg całkowito-wykładniczy :

n=cc

Gr ( n ) x n

n = 0

(a₀ + oąa; + a₂œ² +... + arxr). ex.

58) Wykazać, że :

71— OC

(l³ 4-2³4- ... 4* n³)xn

n=:0

(xĄ- -^-a;²-)- 2x³-\--^-xi^ ex.

Wykazać, że :

n=<x>

59)2 =Be- C0)2

3³ 43 2!    3!

71=. 1

n=cc

n=i

n³ 4~ 2w² -j- n—1

= 9e -f 1.

⁶¹)    ¹ *" TT

62)    -^- = 0*367879... (z dokładnością do 6 miejsc dziesiętnych).

4! 4-... = «4-1. 64)144

Co, l³ , 2³ . 33 63) 2Ï+ 31

2⁴ , 3⁴

₂,t 3T+...= 15,

t—i ICO

I/^=iV ₊

3 \x -j- V ^

2 tx log a \a; 4~ 1

⁶⁶> l0« * =log » + ²    + y (i^)’ + - }•

07) log^+lJ-logx+aj^i^T-g (a, + 1),T-r

68) log(* 4* 1) = 2 log x log(* 1) 2

65) loga * =

...i

3 (2a;² - l)³

69) log (a; 4~ 2) = [2 log (a; -f 1) -f log (*—2)] — 2 log (*—1) 4-

1—

\a:³—3a;

70)    log (a;-fa Z>)={loj

+ ²{^+i-(

71)    log(*4- 5) = { g(*-

■ ¥ • GchO + T • OcëO + ••• }•

4- a) -f log (a

g—y 4.,,. i

x³ -j- Px'    I

4- hD

log (x—a—b) j—| log (x—a) 4- log (*—&)} P p — (a²-\-ab 4-ô²), q = ab(a-\-b).

4-2

1 a;⁴-25a;² 4-72

co ■* ]<*>

3) +log(a;—4)| —12 loga:-flog(a;—5)}-f

)’+"•)■

æ⁴— 25a;² 4- 72

Rozwiązania XLII. 1)    -—

1 — x

_ B    ₂₎ ¹⁵

1-f*“¹" 2 — 3a: ' ;

x -j- 8

16

16

V*4-l 'T *²—»4-1

)■

17

18

3(*²4-l)

x-\-l

85-7

19

20

x 4-1

2a;—3    2a5-f3 ⁷ x³

11

8) 1—2a; 4- 3a;²---\

x

7-5a;

12

x²    a;²4-a;4'l

13

x'¹4- ccV/ 3 4-1 as²—æV/3 4*1

. 5    37a; 4* 161

' } 21x '3(xi-\-2x-\- 3)³ ~r 9(a;²4-2a;+3)²    27(a:²4-2a:-f 3)’

18 in^ ⁶ ■ x____

x—1    ' x 3a; —2 x — 3

67*—181

5a; 4-10

3*-l    2*4-8’

2 4- *

1—3a; 4* 3a;²-fa;³*

wyraz. 46) Czwarty i piąty wyraz. 47) Jednasty wyraz. 49) 1*0001005084. 52) Drogą dzielenia. 53) x³—1 = 0-f* 7(a;—1) 4~ 6(*—1) (*—2) -f (*—1)(*—2)(a;—3). 59) Wskazówka: n³=n-\-4~ 3n{n—1) 4* m (w—1) (n—2).

¹²) 1— *2a:4-a;

-r ¹³)

a;²

6—5a;—2* ²

(x l)²

6 4* x—7a;²—a:³-f x

j. 44) Pierwszy wyraz. 45) Trzeci

Literatura. G-. Chrystal. Algebra and elementary text-bookfor the higher classes of secondary schools and for Colleges. Part. II. Edinburgh, 1889. J. Houël. Cours de calcul infinitesimal. Tome premier. Paris 1878.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Szeregi oparte na szeregu dwumianowym.

2.    Szeregi oparte na szeregu wykładniczym.

3.    Szeregi oparte na szeregu logarytmicznym.

Rozwinięcia funkcyj goniometnycznych i ich związek z funkcyami wykładniczemi.

1. Rozwinięcia funkcyj goniometrycznych sino? i cosæ. Funkcya f(x) = sin x, staje się wraz ze swemi pochodnemi parzystego rzędu: f2r(x) = sin(x + rn), równą zeru, dla x^0: pochodne nieparzystego rzędu,

(—łycos#, z którego

określone są wzorem: f(.2r+i)(x)= sin j"a; + (2r+l)-^ j =

wynika: /'(2r+¹)(0) = (—l)r, a stąd rozwinięcie:

/y» 3    /y* 5

sin*=z —

{-iyx

2 r- 1

(2r—1) !

(i)

Podobnie znajdujemy rozwinięcie funkcyi f(x)=cos#, w postaci:

.    x²    xw x⁶ ,    . .. x2r

c°s;r==l~3l + 4j ~6! ⁺ -+(~1) ~(2r)T ⁺ '"

Oba te rozwinięcia są podobnie, jak rozwinięcie funkcyi ex, szeregami bezwarunkowo zbieżnemi dla wszelkich skończonych wartości x, a więc szeregami bezwarunkowo i bezustannie zbieżnemi.

(2)

2. Przerywając obliczanie wartości funkcyi sina: na wyrazie

pełniamy błąd, który,

/('²"+¹)(a;) = (—Y)n cos 6h?, zaś: f^(Ox)—{—l)nsin@a:, otrzymujemy w postaci:

a:2ra+¹

(2» + l)!

£C2w

* ~C2n)TS‘n

gdzie 0< ©<1, a więc zawsze mniejszy, aniżeli:

(2n—1) !

na mocy reszty Lagrange’a, bacząc na to.

po-

że :

cos Sx,

lub :

a:2n+1

(2» + l)!‘

Błąd, jaki popełnimy, jeżeli obliczanie wartości funkcyi cos a: przer-

wiemy na wyrazie (—l)¹

/£»2w— 2

(2w—2) !

znajdziemy podobnie w postaci:

R=(-l)n

a:2n

2«—1

(2 ń) !

CC

cos ©a:, lub R=(—,

sin Sx.

(2')

3. Wyprowadzenie szeregów na sina? i cos a?, na mocy wzoru Moivre’a. W art. 14. str. 138. otrzymaliśmy, dla wszelkiego całkowitego n, wzór :

(cos a i sin a )« = cos »«-fi sin n a,

znany pod nazwą wzoru Moivre’a, z którego otrzymujemy naodwrót :

cos n a i sin n a = (cos a Ą-i sin a)».

Stosując do prawej strony tej równości wzór Newtona, otrzymujemy: cos n a -j- i sin n a = cosn a -L    cos«—la i sin a-f-Q) cos«⁻² a . i²sin²a-j-    cos»- ³ a. i³ sin³a -f- ...-f-

-f- (”)cos«-ra.i« sin« «4- ... -|-i«sin»a.

Bacząc na to, że: &² —— 1, i³= — *, ** *= —j— 1, w ogóle: i⁴»=l,    i^nĄ-2 ——j

iinĄ-z — — otrzymujemy :

cos n a.~\- i sin»a={ cos”a — (2) cos”—² a sin² a    (—1)” (₂”)cos«—2r «sin²'⁻a +...} -f-

+ *'{(”) cos»—¹ a sin a— Q) cos«—³ a sin³ a -f-... -f- (— 1)«(₂”₊₁) COS«—²«—!a sin²«-H a...},

a stąd związki :

COS« n a = COS» a —

sin na

-(?)

COS«—!a sina—

cos«—² a sin²a -f-... -j- (—l)r    cos»—²« a. sin²« +

I cos«—³ asill³ a -f ... -f- (—j^COS»“²«-^ sill²«+ja-}-

(3)

(4)

dozwalające obrachować funkcye sin i cos kąta »-krotnego, gdy znane są te funkcye dla kąta pojedynczego.

W szczególności mamy :

cos 2« = cos² x — sin²«

cos 3« = cos³«—3cos«sin²«,

cos 4a: = cos⁴«—6 cos x sin²« -f" sin⁴« sin 2« = 2 sin x cos «.

sin 3« = 3 cos²« sin « — sin³«,

sin 4« = 4 cos³« sin «—4 cos « sin²«,

Położywszy we wzorach (3) i (4) : na.

COS X = cos»--

« ci

cc

= «, a więc: a = —, otrzymamy wzory:

71

cosw—² — sin² — 4-... -f-(—IV* („") cos«—2r— sin²« — -|-n n    \ór/    n n

sina; =

cos” i — sin — - (o) cos«-³ — sin³ — + n W    n    n

•••i

+ (—1Y    ————\ cos»—12r-¹ — sin2,'+! — +

' \2r + 1 /    n    n

z których możemy wyznaczyć funkcye cos i sin dowolnego kąta x, znając wartości tych funkcyi dla »-tej części kąta.

Przypuśćmy, że liczba n rośnie nieograniczenie, natenczas mamy:

₇.    x

llTTl SIU — ■— nz=. oo

zatem, dla nieograniczenie wielkiego n, otrzymujemy wzory:

cos x

»2r

f...

sin x

aj2r + l

skąd, bacząc na to, że:

lim

JL_ _1_

nr r ! ’

71 —CO

otrzymujemy znane rozwinięcia , zwane szeregami goniometrycznemi :

«²«

(2r)l

a;²

COS® = l —    +    (-1)*

aj2r-f 1

(2r +1) !

4. Wyznaczenie wartości szeregów goniometrycznych przy pomocy rachunku różniczkowego. Oznaczmy niewiadome snmy przez u i v, a mianowicie połóżmy :

X²    X¹¹

2!⁺4!~*

v=l —

xz x⁵

““æ-3! ⁺ 5!-

natenczas otrzymujemy pierwsze pochodne szukanych sum w postaci:

x³    #⁶

=-æt'3!~6!⁺"'’

du

a:²    a;⁴

dx _1    2! ‘ 4!

•• ?

zkąd wynika :

du

= — u.

dx V’

Pomnożywszy pierwsze równanie przez w, a drugie przez v, otrzymu-

jemy :

du    dv

Udx~UV' Vdx⁼~UV»

t4iX/    U/ih

a stąd :

dv

u — + v — = 0. dx dx

Pierwsza strona tego równania jest widocznie pochodną funkcja : h(u²-\-v²) względem zmiennej niezależnej x, a że pochodna ta ma być równą zeru, więc funkcya sama musi być liczbą stałą. Oznaczywszy ją przez:

~ , otrzymujemy:

i.(M2+v2)₌₌

czyli: u²-{-v²=c.

Ażeby wyznaczyć stałą c , połóżmy w danych szeregach : x=0, a otrzymamy : u—0, o=l, a zatem: c—1.

Otrzymujemy więc własność szukanych sum, określoną równaniem:

u² + v² = 1.

Z równania tego otrzymujemy: o = V/l—w², skąd, bacząc na to = o, otrzymujemy:

że :

du

dx

P _ v/w,

dx

a zatem :

du

dx.

1—w²

Pierwsza strona otrzymanego równania jest różniczką funkcy i : arcsin w, druga zaś różniczką zmiennej niezależnej x. Jeżeli obie te różniczki są sobie równe , to funkcye same mogą się różnić tylko o liczbę stałą, którą oznaczmy przez C. Otrzymujemy zatem: arc sin u= x-\- C, czyli: w=sin (#+ (7), a za-

razem

ze względu na to, że: v =

du

dx

otrzymujemy: o=cos (# + C).

na uwadze

Ażeby wyznaczyć liczbę stałą (7, połóżmy #=0, natenczas, mając to że, dla #=0, jest u—O, v=l, otrzymujemy: 0=sin(7, l=cos(7, a więc: (7=0, lub ogólnie: C=2Jcn, gdzie h jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią, ujemną, lub zerem. Jest więc:

czyli : to znaczy :

w=sin (x-\-21m) , v = cos (x-\-2Jcn), u=sinx, v=cosx,

X?'

X — ÔJ+ g-j— - = sina:, 1 —

... = COS X.

38

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

5. Związki między funkcyą wykładniczą, a funkcyami goniometrycznemi.

00 00^

Z szeregu: e*=l+— -f_+

skończonego x, otrzymujemy, zastępując x przez xi, szereg:

z⁴, i⁴ .

bezwarunkowo zbieżnego, dla wszelkiego

xi

exi=l +—, +

1!

x². a'² x³.is "TT ⁺ ~3T“⁺ 4!

czyli :

'-K+S-M-S-5,

X⁵

■)

zatem wzór:

exi=co8x-\-isinx

wykazujący związek między funkcyą wykładniczą, a funkcyami goniometrycznemi.

(5)

Zastąpiwszy w tym wzorze x przez —x, dostajemy znów wzór:

e~xi=cos x—i sin x,

a stąd relacye :

(50

ßXi

sin x= —

— e~xi

2i

COS X—

ßXi ß— xi

(6)

a więc :

tgx

1 exi_e-xi

^ ßixi _

i exi -j- e~~xi

sec.-v

exi _J_ e-xi

i e²*' -f 1

pXi

9——— e²**+ 1

1    ,    . exi+e~xi

Ti cotgæ=* .

—e~xi

; cosec a:

exi— e~xi

e²*4-l

—i —z—-e2xi

2 iexi

-1

e²*»’ — 1

przedstawiające zależność wszystkich sześciu funkcyj goniometrycznych od funkcyi wykładniczej.

6. Funkcye hiperboliezne. Z wzorów, określających zależność funkcyj goniometrycznych od funkcyj wykładniczych, wypływa także znaczenie tych funkcyj dla urojonych wartości zmiennej niezależnej x.

W szczególności otrzymujemy wzory:

e~x—ex ,ex—e~x sma:«=———=i—TT 2a    2

ex ex —=l —

cosxi =

e~xĄ-ex exĄ-e~x

tg xi

1 e~x—

—e~x

i e~x -j- 6X

ex-\-e~

, .e~x + ex -, cotgx=z —

X>    °    ß—X_ßX

2 • ’

1 ex-\-e~x i ex—e~

sec x i

cosec xi —

Q—x-ßX

i ex—e~x

1.

ßX-ß—X

z których wypływa, że symbole: sinxi, cosecxi, tgxi, cotgxi, przedstawiają, dla zmiennej rzeczywistej a?, wartości czysto urojone, a natomiast symbole: cosan i seca4 przedstawiają, przy rzeczywistem x, także wartości rzeczywiste. Powszechnie nazywają funkcye: sin a:à tga:i

i cotg xi, i cosec xi, cos xi, sec xi,

funkcyami hiperbolicznemi zmiennej niezależnej x symbolicznemi :

oznaczając je wzorami

sin x i

sinhipa?, cos a:i=cos hipa:,

tg a: i

=tghipa:, ^cotgan=cothipa:, sec an = sechipa:, i cosec xi—cosec hip x,

Mamy tedy, na określenie funkcyj hiperbolicznych, wzory:

ex e-x

. . . ex sm hip#= —

—e~x

CM

cos hip#

(70

tang hip x

sinhip#    ex—e x

cos kip x    ex-\-e~x

cothip#=

cos hip x

sin kip x

ex+e~x

ex—e~x

sec kip x

.r ’

cosec kip a: = 2 .

ex—e~x

ex-\-e~

Z tych określeń wynikają, między innemi, wprost następujące relacye : cos hip x -f- sin hip x = ex, cos hipaj—sinhipa: =e~« , cos²hipcc— sin²hipce = l,

cos² hip x

1 — tg² hip x

cotg² hip a: — 1,

sin² hip æ

sin hip (—«) = — sin hip x , coship(—æ) = cos hipa:, tghip(—x) = — tghipæ, sin hip 0=0, coship0 = l, tghip0=0, sin hip oo = oo, cos hip oo = oo, tghipoo=l.

7. Peryodyczność funkcyj wykładniczych, goniometrycznych i hipcr-holicznych. Funkcye goniometryczne: sin#, cos#, posiadają, jak wiemy już z geometryi, własność, że niezmieniają swej wartości, jeżeli wartość # zmienimy o 21m{h=0, ±1, ±2,...): sin (#-}-2Æ?r) = sin#, cos (#+ 2^) = cos#.

Własność tę nazywamy peryodycznością funkcyj goniometrycznyck, a wielkość 2 n, nazj^wamy peryodem, albo okresem tyck funkcyj. Z peryodyczności funkcyj goniometrycznyck wynika bezpośrednio peryo-dyczność funkcyi wykładniczej ex.

Otrzymujemy tu bowiem :

QX+um^QX ' e™ni=ex (cos 2hn-iri sin 2kn)=ex . 1, a więc: e?⁺²*ni=&*,    (8)

wzór, okazujący, że funkcya wykładnicza ex nie zmienia swej wartości, skoro powiększymy zmienną # o wielokrotność 2ni. Powiadamy przeto , że funkcya ex jest funkcyą peryodyczną zmiennej #, a peryodem jej jest liczba, czysto urojona 2ni, która ma tę własność, że: e²*m‘=l, dla jakiejkolwiek liczby całkowitej Jc.

Z funkcyi ex możemy utworzyć funkcyę F{x) o dowolnym peryodzie p, a więc o własności F{x-\-p)=F(x). Zauważmy bowiem funkcyę eax, to jej

,eLni—eax. Połóżmy:

peryodem jest widocznie -

ct

2 nix

to funkcya e~J~ będzie żądaną funkcyą F(x), posia-

2 ni(xĄ-Pj

2 ni    .    2 ni

-=p, a więc a=—-

a    x    p

2 nix

dającą peryod p, mamy bowiem e

Peryod p może być liczbą rzeczywistą , lub urojoną.

W szczególności funkcya exi ma peryod

2 7ii

a więc peryod rzeczywisty 2Ti, również funkcya e~ xi ma peryod rzeczywisty 2n, a więc funkcye :

sin x— —

—e~ix

cos#

eix + e~ix

tudzież :

CM Ol

cosec#

sec#=

eir + e

mają peryod 2yr, podczas, gdy funkcye:

1 e2fa — i e2ix +1

tang#=

e2ir-f 1

2ix_ p »

mają peryod taki, jaki ma funkcya eUx, a więc peryod rzeczywisty n.

Podobnie przekonamy się , że fnnkcye hiperboliczne są również peryo-dyczne, tylko peryod ich jest urojony, mianowicie:

ev Q-X

cos hip #=—q— i ich odwrotności:

Li

cosec hip æ i sec hip#

ßX

mają peryod 2ni, podczas, gdy funkcya tang hip #= —

cotghip# ma peryod ni.

8. Rozwinięcia fiinkcyj hiperholicznycli. Z określenia funkcyj hiperbo-

licznych, opartego na funkcyach wykładniczych, wypływają ich rozwinięcia

na szeregi potęgowe, albo wprost, albo przy pomocy metody spółczynników

nieoznaczonych , której zasady poznaliśmy w art. 1. str. 561.

W szczególności, otrzymamy, na zasadzie określeń:

,. ex-\-e~x

cos hip x ■=-ö->

a

ßX_ß —x

Funkcyę sin hip x — ——

Li

- e~x

ex\e~x

i jej odwrotność

mając na uwadze, że:

.    , .    ex—e—x

sm hip x=---

Li

ex

. x x²    #³

”¹⁺n⁺2!⁺3!⁺-; ®

„ X X2 —x—\--4---

1!^2!    3!

x?j

następujące rozwinięcia:

/y¹    /y» 3    /y* 5    /y»2w-f-l

.    ₁ .    lA/ J/    tAs    U/ ¹

sm    + 3j +5j + - ⁺ (2w + l)!

/£ 4

coshipa?=l + gj + p+.»4

(9)

(2 n)\

które, jako szeregi bezwarunkowo i bezustannie zbieżne, dozwalają wyznaczyć wartości tych funkcyj hiperbolicznych dla wszelkich skończonych wartości zmiennej niezależnej x. Rozwinięcia pozostałych czterech funkcyj hiperbolicznych możemy już wyprowadzić na podstawie powyższych rozwinięć, n. p. za pomocą metody spółczynników nieoznaczonych.

9. Zanim przystąpimy do szczegółowego rozwijania tych funkcyj, weźmy

najpierw pod uwagę funkcyę : /“(#)=--.

Li

wartości, gdy w niej zastąpimy x przez —x, jest bowiem:

ex—1

. Funkcya ta nie zmienia swej

a—)—s?.r*⁺

—x—l

x ex-\-\

— x l-\~ex 2 ' 1 —ex ~~ 2 ' ex — 1

■f{x).

Wobec tego rozwinięcie tej funkcyi może zawierać wyłącznie parzyste

potęgi zmiennej niezależnej x. Połóżmy zatem : x ex + l

2 ’ ex— 1

—A₀-\- A^x¹ A- Akxw A^ A... A~A.2n x2nA...,

(10)

natenczas będzie:

//»

j(ex+l)=(ex—l )(A₀+A₂x²-ł-... + A2nx2n+...).

Zastępując funkcyę ax przez jej szereg potęgowy, otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników: A₀, A

(²⁺ii⁺fr •

A‘2n j •••) następujące równanie tożsamościowe:

[ir 2!⁺"’

Porównywając po obu stronach spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej x, otrzymujemy przedewszystkiem l = /ln.

to| «

^ (A₀ A-A-^x²+...).

Porównywane następnie spółczynniki przy nieparzystych potęgach zmiennej x, otrzymujemy równania kształtu :

An—2

1    1    Aq i -<4.2

¥ ■ (2w)T⁼ (2w + l)!⁺ (2n— D ! które, ze względu na to , że :

2n — 1

1 1

2 ’ (2n) !    (2n + l)! _ ¥'(240    (2w + l)!_ ¥¥¥!¥

możemy przedstawić w postaci:

An .    -<4 2n—2

2w —1

1!

, («=1, 2, 3...)

(U)

3!    .....(2w-l)!    2(2» + l)!

z porównania spółczynników przy parzystych potęgach zmiennej x otrzymujemy zaś równania kształtu:

-An—2 , ^4.2n

2 ‘ (2w +1) !    (2»42) K (2w)    4!

2!

czyli :

An A

2 ! '    4 !    ¹    ' (2») ! “ 2(2w+2)!’

Oba te rodzaje równań dozwalają wyznaczyć kolejno spółczynniki: Aj Aj •••j rozwinięcia danej funkcyi.

2n—2

(12)

postacie :

10. Liczby Bernouille’go. Nadajmy równaniom (11) i (12) następujące

(2n + l)!

1!

-^-2n 4

(2n 4 1) !

(2nĄ-2) !

2 j A^fi 4

(2n 4 2) !

4!

An-24 •••4

czyli :

(2n + iA . (2»-l)! ²

<a"+⁸)|.t

(2n)!    ²    ’

=n—

IC I-i

(110

(120

(²2t²)(2w)! ^■+(²I-²)(2m

— 2) ! -4.2n—2 4“ ••• 4

- 2) ! -4_2n—2 4” ••• 4

(%⁺¹)

fT)

.2! A₂ ==w

i połóżmy: (2w) ! A»=(—l)re_1 5

natenczas otrzymujemy równania kształtu:

/2re + l\    /2» + l\

l 2n    h«-2j

/₂« + 2\    /2« + 2\

l 2« J "    \2n-2)

A—i 4 ••• 4 (— 1)

(13)

4 ••• 4 ( — 1)

(¥>=(->'

-i

. n.

(14)

Kładąc kolejno w=l, 2, 3, .... bądź to w pierwszem , bądźto w drugiem równaniu, możemy obrachowaó kolejno liczby: Bi, B₂, B Tak więc otrzymamy :

Bi== 3Ö’    42 ’ ⁵⁴⁼30’ ^5 = 66

43867

Bx =

3617

1222277

3 J •”J

n » •••

691

2730

5₇=

2310

798

510

Liczby te zostały nazwane liczbami B er n ouille’go.

Wprowadzając we wzór (10) liczby Bernouille’go w miejsce spółczynników A, otrzymamy rozwinięcie :

11. Związek między liczbami Bernouille’go, a sumą potęg liczb całkowitych. Połóżmy y=ex-\-e^xĄ-... -e^n~^xenx , natenczas otrzymujemy r-tą pochodną tej sumy w postaci :

a jej wartością w miejscu æ=0, jest:

598

* ex+l

/Y» 2    /y» 4    /y»2w

¹ + 5i • 2!~⁵2«41+••• + (“■-»

(15)

z którego wypływa też bezpośrednie określenie liczb Bernouille’go w postaci :

x ex\ 1 2 ’ ex—1

Bn=(-ir

[ dte2w l

}L

o, (n-l, 2, 3,...)

₂/o(r)₌₌lr₊2r_|_.>>+(n_l)r + wr = /Sfrn₎

a więc suma r-tych potęg liczb całkowitych od 1 do n.

Wobec tego otrzymujemy, na mocy wzoru Maclaurina, rozwinięcie:

a więc :

x(ex+e2x + ...+emi)=nx+Sin~+S₂HÇi+...+Srn-

r+1

Z drugiej strony mamy jednak wzór :

a więc :

l+e»+e2»+...4 g(n-l)» =

1 —enx

1-e*

w#_i

1— e

enx— 1

ex—1

a zatem: x(ex-i-e2x-}-enx) = (enx—l) a więc rozwinięcie :

' !_*-» \1!⁺ 2!

+ •••(—1)

x exJrl

II.I-

r—1

W² 03²

wr xr

•) (i+4"*+i?

gdzie :

(2r)!

nr+x

z2r+..

wr

_1 /y» 2_

¥lx 4!

.\=AcX+A₁X, + ...+ArSCr+, +'

æ⁴+... +■

nr_1

B₂nr~³

(r + 1)! ‘ 2.r}. 2!(r—1)!    4! (r—B)!⁻¹"*“

Wobec tego mamy:

Srn nr+l

B₂nr~³

(r+l)!T2,r!T 2! (r—1)!    4!(r-3)!~r’"

a więc :

S,"

Mr+1

r(r—1) (r—2)

4!

s₂«,'_3+ -,

przyczem ostatnim wyrazem jest (—l)7*fr—²)j5./jr w, lub (—1)7*O¹-³)—Bi/₂(r-i).w²,

stosownie do tego, czy wykładnik r jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą.

W szczególności otrzymujemy :

„    n¹ n

Sin —1 + 2 + ... + w = — + -g-,

^ o    di 2

Ą* = 1²+ 2² +...+    ¥ + y +    ,

cr    . o ,    W⁴ . W³

^”=¹+₂8₊. , „8=1- +2- +

*—i*+a *+•••+*»*= T' + ÿ + T-ê’

„    ,. , __ ,    ,    ,    »⁶ . w⁵ , 5re⁴ »²

ą» = l⁵ + 2⁵-l-...4-n⁵=g- + — +^2 —12 ’

5₆n = 16 4-26 + ...+ ^=— + —+    ,

ą—r+2⁷+•••+    + -g- + i2

Z szeregu (15) możemy otrzymać wiele innych rozwinięć, a w szczególności rozwinięcia funkcyj hiperbolicznych : tg hip#, sec hip#, cotghip#, cosec hip# i odpowiednich im funkcyj goniometrycznych.

7»⁶    7»⁴ , 7n²

~ 24 ⁺ 84"'

12. Rozwinięcie funkcyi tghipas. Mając na mocy określenia:

e2x—i

tg hip x

ex-e~x

e2x + l’

rozwinąć funkcyę tang hip a?, otrzymujemy najpierw z szeregu:

x ex+ l

X⁴ ... -p ( — l)”—¹

Bn

(2»)!

X²» -p ...

na mocy tożsamości :

* ex -P 1

ex — 1

² ex-l ²

rozwinięcie :

ex-l

Zastępując w niem x przez 2x, otrzymujemy :

(2»)!

x°n -p ...

(16)

2x

= 1-

lO I-¹

e2a7— 1

skąd, ze względu na to , że :

r>i 2².x²-

2x

otrzymujemy :

ex-\-l

a stąd:

ex-\- 1

e2x- 1

exĄ-l

i.a,_₍₂._l)Sa!. ₊ (2*_    ---(-1)—* (S²*-!) (|P*²” + ■ -, W

= -f-(2!-l)fp+(2*-l)f| *3- ... — (23n 1) ( l)*-!

eæ— 1

Bn

(2n) !

X²«-1 -p... (18)

Wobec tego , że :

otrzymujemy dalej : ex— 1 exĄ-1

Zastępując w tym wzorze x przez 2x, mamy:

cx_ !

1--=-,

ex -P i ex + 1

2 ( (2J — 1) fl «- (2*-l) *•+... + (-1)*-' (2» -1)    *

2n-l

e2a;—^    »

-2⁴(2⁴—l)|* x³-P ... -p (—l)n~ 1 (2²n—1) Bn tghipx = 2\2²-l) |ix-2⁴(2⁴-l)^x³+ ... -P (-!)«-! 22n (2²«-l)    x²»-i +...    (20)

zatem szukane rozwinięcie •

13. Rozwinięcie funkcyi cotghip as. Mając rozwinąć funkcyę:

e2r-p 1

e²*-l ’

co tg hip x =

ex -p e x

ex — e x

otrzymamy najpierw, na mocy wzoru (15) : gs + l

ex—l

skąd, zastępując x przez 2x, otrzymujemy :

•{ł+a-

x³ -p... -p(— l)w—1

Bn

(2») !

(2»)!

x²»—1 -p ...

x²«-l + ...1 ,

(21)

e²*+l

^+²’-f4²*-

B,

Bn

#²«—¹ 4 ...

(210

~ 4- (_1)«-12²« . cotghip# = —4    #—2⁴-^#³4 ••• 4(—l)n

#cotghip #=1 + 2². ^1 #² — 2⁴ ^ #⁴4 ... 4 (—l)n—¹2²» J*n x2n 4-...

■ 2i \    4 !    (2w) !

e2j;—i

a zatem szukane rozwinięcie :

czyli :

(2n) !

-x2n ~t 4"

(2»)! ^

(22)

(23)

14. Rozwinięcie funkcyi cosec hip cc. Z określenia:

cosec hip cc = 2

2e*

ex_e-x

e²x-l’

mając na uwadze, że:

Aex

ex 4- 1 ex _i

otrzymamy następujący wzór :

ex-l ex + l e2x-l ’

cosec liip x —

to M-

e* 4- 1 ex — 1

cx — ! e* 4 1

skąd, ze względu na to, że: ex 4- 1

T~²iO + l¹!!C

zaś :

ex —

-+..+(-15-*^.*-*+-.} 1=² {(2* ■-1) f\    + ... + (-1)-¹ (2>--l) ^7 *

2m-1

6*4-1

otrzymujemy rozwinięcie :

2 [(2> — !)fi *-(23-1)    *•+...+ (-l)n-l (2*»->- 1)    (24)

as²»+...]. (25)

cosec hip # = — x

czyli :

* cosec hip # = 1 — 2 f^¹-!)^#²—(2³—1) ^ #⁴4„. 4- (_l)»-l(2²«-l —1)

Bn

O)!

15. Rozwinięcia funkcyj : tgcc, cotgcc, cosec cc. Zastępując we wzorach (20), (23), (25), x przez xi, otrzymujemy na mocy związków:

tg# = -7- tghip#i, cotg# = icotg hip xi, cosecx=icosec hip xi,

wprost następujące rozwinięcia :

tg # = 2²(2²—1) |i#4 2⁴(2⁴—1) ^ #³ 4 ... + 22w (2²n—1)    #²«-1 -4 ...

*ootg* = l-2’|!    £?*< - ... -

(26)

2» _

(27)

x cosec#

= 1+2 {(2' - 1)    + (2= - 1) S *'+ ... + (2*»-l -1)    *>» + ...). (28)

nie zmienia

16. Rozwinięcia funkcyj: sec hip cc i sec cc. Funkcya sechip#=i

swej wartości, gdy w niej x zastąpimy przez —#, może więc posiadać w swem rozwinięciu wyłącznie parzyste potęgi zmiennej #. Z uwagi na to , że :

połóżmy :

ex 4 e-x

²(¹⁺fi⁺fï+-)

#² . #⁴

¹~'~2 ! ⁺4 ! ⁺

#2n

(2n) ! '

#² #⁴

¹⁺2!+4T+-- +

#2 n

4-

= 1 — Ex

#²

n+Ą

#⁴

#⁶

—Eÿ g-j 4 — 4 (—l)n Bn

#2 n

(2n) !

natenczas, na wyznaczenie spółczynnilców : EV) E₂,... En samościowe :

(2 n)\

4-

otrzymujemy równanie toż-

H‘+£+r!

+ ••• +

xln

xln

}■

(2 n)\

z którego, porównywając obustronnie spółczynniki przy potędze æ²», otrzymujemy równanie warunkowe :

(2 n)\

E,

E<i

En—1

En

(2n) l (2n—2) ! 2 ! z którego wypływa :

(2n) !

2 ! (2n -2) ! czyli równanie :

En

(2rc—4) ! 4 !

2 ! (2»— 2) !

(2») !

0,

En—\—

(2»)!

(2n)!

4 ! (2«—4) !

(2w—2)!2!

(|>

dozwalające wyznaczyć kolejno spółczynniki: 2+ E₂,...

otrzymujemy stąd, wiedząc, źe : 2?₀ = 1, kolejno:

En —

^1=1,

Kładąc n — 1, 2, 3,

Ą = (2)^-1, Ą = (®) -E,— (4) Ą+ l, Ą —(!) Ą— (4)#! + (g)ą-1,

i t. d.

czyli :

a stąd liczby : Ey= 1, E₂= 5, E₈= 61, Et= 1885, E₅= 50521, E₆ = 27027G5, En—199360981, E₈ = 19391512145, E₉= 2404879675441, ...

.£4=1, E₂=GEl—l, Ei=15 E₂—15 -Ej-j- 1, ^4=28^3-70^2+28^-1, i t. d.

zwane liczbami Eulera.

Mamy zatem :

sec bip ce=l — Et

•2!

E3 • g-j+•••+(—!)n En

SC2w

(2»)! ^ "

Zastępując w tym wzorze x przez xi, otrzymujemy, na mocy relacyi:

(29)

sec x

ßxi -J- ßxi

— 1 + Ei 2^ + E₂ -— + ... + En

Z rozwinięcia tego wynika zarazem określenie liczb Eulera w postaci wzoru :

din sec £c

sec cc

£C⁴

x^n

(2#»)!"r#"

rozwinięcie :

(30)

E„ = [

dx^n

L.

0‘

17. Metoda spółczynników nieoznaczonych przy rozwijaniu funkcyj g'Oiiionietrycznycli. W zastosowaniach wystarczają poniekąd pierwsze wyrazy rozwinięcia. Możemy n. b. położyć:

oc ^

3! ⁺ Ä"

gdzie, na mocy wzorów (1') i (2'), art. 1. str. 591.

00^ ,    00^

-ß₃=—^ sin <%, R₂=— sin@,r, @<<1

sin x=x —

cos x=l —

/y* 2

2! + *2,

mamy :

przyczem, dla dostatecznie małego x, reszty R₃, R₂ mogą być w praktycznem zastosowaniu nieraz pominięte.

Pierwsze wyrazy rozwinięć pozostałych funkcyj goniometrycznych żerny otrzymać najłatwiej metodą nieoznaczonych spółczynników. Chcąc

otrzymać pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcyi: tang a; =

smx

mo-

możemy,

COS X

wraz z swemi pochodnemi w miejscu a; = 0, skończoną, położyć: tanga;=a₀ +a₁aj4-a₂ic² + a₃a;³ +..., a mając to na uwadze, że tga? zmienia znak wraz ze znakiem x, przekonamy się, że szereg potęgowy tanga; może zawierać tylko nieparzyste potęgi x , że więc będzie:

" $2    ■” • • •    ■ 0 •

Możemy więc położyć: tanga; = axxa₃x?>a₅ x⁵Ą-..., skąd, korzystając z szeregów na sina; i cosa;, otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników: «i, <+,..., równanie tożsamościowe:

wiedząc, że funkcya ta jest

na

æ³ . x⁵ ( x²    a;⁴

*_3!⁺B!_-”(1_2! ⁺ 4!

Xz    X⁵

6 ⁺ I2Ö ‘

z którego, porównywając spółczynniki przy jednakowych potęgach obu stron, otrzymamy :

czyli :

x—

— ... j (a^Ą-a^ + a^Ą-...), •• = (i-^ -{-^-...y^x + a^ + a.x⁵

a __1    _"1 i ____ ^*3 , n

¹    ’    2 + 3    6 ’ 24    2    ⁵    120

t 1

= 1, a₃= g

/jj 3

tanga; = x -f ^+ ...

Funkcya cotga; nie jest dla a;=0 skończoną, nie da się więc rozwinąć na zwykły szereg uporządkowany według całkowitych dodatnych potęg x.

xcosx sina; '

Ponieważ funkcya x cotg x nie zmienia znaku, gdy x zamienimy na —x, szereg może więc zawierać tylko parzyste potęgi zmiennej x. Połóżmy zatem : a;cotga;= «₀-|-a₂ Æ²-(-a₄ a;⁴-}-..., natenczas, korzystając z rozwinięć funkcyj : sina; i cos a;, otrzymujemy na wyznaczenie spółczynników : a₀, a₂, ..., równanie tożsamościowe :

x( 1 —

a więc:

Mamy więc :

ai

«i

“⁴'“15*

2a;⁵

możemy jednak rozwinąć na taki szereg potęgowy funkcyę: xcotgx=

CM I —

« <M

X⁵

a;⁴    \    ( xz

⁺ 4!_--V⁼r⁻3!_r5!

czyli :

...j (a₀ +a₂x²-{-aix

|-+    (i-    - ) («0 +«2*² +V⁴+-)

z którego dostajemy:

a więc:

a stąd:

i    «o    1    a2 , ao 1

ao —a2~ -ß y »    "6 ⁺ Ï2Ô""24

! 1

«0 = 1, a₂ = — -5

cotg*=--¥-

Podobnie znajdziemy z określenia: seca;=—

cos a;

3 ’ ⁴    45

mając na uwadze, że szereg na sec a; może, wraz z szeregiem na cosa;, zawierać tylko parzyste

X2

potęgi zmiennej x, rozwinięcie: seca;=l-|- ^ + 24^—

Funkcya cosec a; nie ma dla x=0 wartości skończonej, nieda się więc

rozwinąć na szereg potęgowy ^3 (x), natomiast możemy rozwinąć funkcyę

x    .....    ...

^ ; rozwinięcie będzie zawierało tylko parzyste potęgi zmiennej X.

Połóżmy zatem: xcosecx=a₀ +a₂x²-\-aixIt +natenczas otrzymamy, korzystając z szeregu na sina; równanie tożsamościowe :

a; cosec a: =

— 60B -

/ æ³ , x⁶

X=\X- 31 + B!

..    (a₀ +a₂x²-\- a₄æ⁴

czyli :

a;²

a?⁵

120

— ... I (a₀ -fa₂a;² + a₄ a?⁴+...),

z którego wypływa :

360

a?coseca?=l+-g-a?² -f 3gQ^⁴ + -

18. Tablica funkcyj goniometrycznycli. Dla przeglądu podajemy tu wartości czterech funkcyj goniometrycznych z dokładnością w czterech miejscach dziesiętnych, wraz z ilością stopni , jakie danej wartości x odpowiadają.

a więc :

a stąd :

sina;

cos x

tang x

cotg x

0-0000

0-0175

0-0349

0-0524

0-0698

0-0873

0-1047

0-1222

0-1396

0-1571

0-1745

0-1919

0-2094

0-2269

0-2443

0-2618

0-2793

0-2967

0-3142

0-3316

0-3491

0-3665

0-3840

0-4014

0-4189

0-4363

0-4538

0-4712

0-4887

0-5061

0-5236

0-5411

0-5585

0-5760

0-5934

0-6109

0-6283

0-6458

0-6632

0-6807

0-6981

0-7156

0-7330

0-7505

0-7679

0-7854

0°

1»

20

3o

4°

50

60

7°

8°

9°

10°

11°

120

13°

14°

15°

16°

17°

18°

19°

20°

21e

22°

23°

24°

25°

26°

27°

28°

29°

30°

31°

320

330

340

35°

360

370

38°

39°

400

410

42°

430

440

450

0-0000 0-0175 0-0349 0-0523 0-0698 0-0872 0-1045 0-1219 0-1392 0-1564 0-1736 0-1908 0-2079 0-2250 0-2419 0 2588 0-2756 0-2924 0-3090 0-3256 0-3420 0-3584 0-3746 0-3907 0-4067 0-4226 0-4384 0-4540 0-4695 0-4848 0-5000 0-5150 0-5299 0-5446 0-5591 0-5736 0-5878 0-6018 0-6157 0-6293 0-6428 0-6561 0-6691 0-6820 0 6947 0-7071

1-0000

0-9998

0-9994

0-9986

0-9976

0.9962

0-9945

0-9925

0-9903

09877

0-9848

0-9816

0-9781

0-9744

0-9703

0-9659

0-9613

0-9563

0-9511

0-9455

0-9397

0-9336

0-9272

0-9205

0-9135

0-9063

0-8988

0-8910

0-8829

0-8746

0-8660

0-8572

0-8480

0-8387

08290

0-8192

0-8090

0-7986

0-7880

0-7771

0-7660

0-7547

0-7431

0-7314

0-7193

0-7071

0-0000

00175

0-0349

0-0524

0-0699

0-0875

0-1051

0-1228

0-1405

0-1584

0-1763

0-1944

0-2126

0-2309

0-2493

0-2679

0-2867

0-3057

0-3249

0-3443

0-3640

0-3839

0-4040

0-4245

0-4452

0-4663

0-4877

0-5095

0-5317

0-5543

0-5774

0-6009

0-6249

0-6494

0-6745

0-7002

0-7265

0-7536

0-7813

0-8098

0-8391

0-8693

0-9004

0-9325

0-9657

1-0000

oo

90°

57-29

28-64

19-08

14-30

11-43

9-514

8-144

7-115

6-314

5-671

5-145

4-705

4-331

4-011

3-732

3-487

3-271

3-078

2-904

2-747

2-605

2-475

2-356

2-246

2-145

2-050

1-963

1-881

1-804

1-732

1-664

1-600

1-540

1-483

1-428

1-376

1-327

1-280

1-235

1-192

1-150

1-111

1-072

1-036

1-000

89°

88°

87°

86°

85°

84°

83°

82°

81°

80°

79°

78°

77°

76°

75°

74°

73°

72°

71°

70°

69°

68°

67°

66°

65°

64°

63°

62°

61°

60°

59°

58°

57°

56°

55°

54°

53°

52°

51°

500

49°

48°

470

46°

450

1-5708 1-5534 1-5359 1-5184 1-5010 1-4835 1-4661 1-4486 1-4312 1-4137 1-3963 1-3788 1-3614 1-3439 1-3265 1-3090 1-2915 1-2741 1-2566 1-2392 1-2217 1-2043 1-1868 1-1694 1-1519 1-1345 1-1170 1-0996 1-0821 1-0647 10472 1-0297 1-0123 09948 0.9774 0-9599 09425 0-9250 0-9076 0 8901 0-8727 0-8552 0-8373 0-8203 0-8029 0-7854

COS X

sina;

cotg x

tanga;

x?>

¹ 1 2 ‘ÏÔ’’

Dla kątów mniejszych od 1° mamy :    00175..., czyli: x<^~2‘~ÿÿi? awięc-gy<C

£C²

przeto z dokładnością w 6 miejscach dziesiętnych jest cosa; = l---—

rjf* 3

Prze^° Juz z dokładnością w 9 miejscach dziesięt-

1    CC^ 1

*; dla a?<arcl// mamy «<Tq6‘₎ ^ < Jqï2

sin x =

xs

*“8i-

Dla

mamy    -

X¹

nych jest cosæ=l— — t sina? =

z dokładnością w 10 miejscach dziesiętnych jest cosa:=l, sinæ = æ.

19. Tabela 1‘uiikeyj liiperbolicznych. Z szeregów goniometrycznych możemy już otrzymać wprost szeregi funkcyj hiperholicznych :

sin hip*=-5. +U+ f‘ + ...;

/y» 3    O/p 5

tang hipa? = a: — -g-f — — sechipa:=l —2-J + — —

x < arc 1',

przeto nawet

... ,

cos hip * == 1 + g-j + |-j + ...

. .    1 , X    X* ,

cotg hip x =— + g- -45 + -

, .    1 X    lx³

; oosechip»-=--T+gTO--

licznych.

Następująca tabela przedstawia wartości pierwszych czterech funkcyj hiperbo-

sin hip x

cos hip x

tang hip cc

cotg hip x

0-1

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0-8

0-9

1-0

1-1

1-2

1-3

1-4

1-5

1-6

1-7

1-8

1-9

2-0

2-1

2-2

2-3

2-4

2-5

2-6

2-7

2-8

2-9

3-0

3-5

4-0

4-5

5-0

0-0000 01002 0 2013 0-3045 0-4108 0-5211 0-6367 0-7586 0-8881 1-0265 1-1752 1-3356 1-5095 1-6984

1- 9043

2- 1293 2-3756 2 6456

2- 9422

3- 2682

3- 6269

4- 0219 4-4571

4- 9370

5- 4662

6- 0502

6- 6947

7- 4063

8- 1919

9- 0596 10-0179 16-543 27-290 45-003 74-203

1-0000

1-0050

1-0201

1-0453

1-0811

1-1276

1-1855

1-2552

1-3374

1-4331

1-5431

1-6685

1-8107

1- 9709

2- 1509 2-3524 2-5775

2- 8083

3- 1075 3-4177

3- 7622

4- 1443

4- 5679

5- 0372

5- 5569

6- 1323

6- 7690

7- 4735

8- 2527

9- 1146 10-0678 16-573 27-308 45-014 74-210

00

00

00

0-0000 0-0997 0-1974 0-2913 0-3800 0-4621 05370 0-6014 0 6640 0-7163 0-7616 0-8005 0 8337 0-8617 0-8854 0-9052 0-9217 0-9354 0-9468 0-9562 0-9640 0-9705 0-9757 0-9801 0 9837 0-9866 0 9890 0-9910 0-9926 0 9940 0-9950 0-9982 0-9993 0-9998 0-9999 1-0000

00

10-0301

5-0658

3-4341

2-6383

2-1640

1-8622

1-6629

1-5060

1-3961

1-3130

1-2494

1-1995

1-1605

1-1296

1-1046

1-0849

1-0693

10562

1-0458

10373

1-0304

1-0248

1-0203

1-0166

1-0136

1-0111

1-0091

1-0075

1-0060

1-0059

1-0018

1-0007

1-0002

1-0001

1-0000

0-1

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0-8

0-9

1-0

1-1

1-2

13

1-4

1-5

1-6

1-7

1-8

1-9

2-0

2-1

2-2

2-3

2-4

2-5

2-5

2-7

2-8

2-9

3-0

3-5

4-0

4-5

5-0

00

sin hip x

cos hip x

tang hip x

cotg hip cc

- 605 —

Ćwiczenia XLIII.

Z określenia funkcyi wykładniczej : ex = 1 -j- — -f-jej własności :

cc²

2!

-J- ... wyprowadzić następujące

zmiennej cc.

1) Funkcya wykładnicza nie staje się zerem dla żadnej wartości skończonej

2) Funkcya wykładnicza jest dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej niezależnej x dodatnią i rzeczywistą.

3)    Funkcya wykładnicza przybiera przy rzeczy wistem skończonem x wartość — 1, tylko dla x = 0.

4)    Bezwzględna wartość funkcyi wykładniczej ex+i!/ zależy jedynie od cc, równa się

bowiem ex.

5)    Funkcya wykładnicza ma peryod czysto urojony 2r.i.

6)    Funkcya wykładnicza ex jest w otoczeniu miejsca x — co zupełnie nieoznaczoną, a to, jeżeli położymy x=a-j- bi, jej wartość bezwzględna: 1) ma wartość co: a) gdy a = -f- oo, b dowolne skończone, ß) gdy a—-\- co, b— + oo. 2) ma wartość =0: a) gdy a = — co , b) dowolne skończone, ß) gdy a = — co , & = + co , 3) ma wartość dowolną skończoną : gdy a dowolne skończone, b = Ą- co, lub b = —co.

7)    Funkcya wykładnicza ma wszystkie pochodne równe jej samej.

8)    e^ — l. 9) eni= — 1. 10) e™ßi =    11) e—^ß'¹ —— i.

Na podstawie dotyczących szeregów, wykazać, że :

12) cos²cr 4" sin²« = 1. 13) cos²hip x — sin²hip x = 1.    14) cos hip# -\~ sin hi pa: = ex.

15) cos hip x — sin hip x = e~x. 16) cos (x -j- y) — cos x cos y—sin x sin y.

17)    sin (cc -|- y) = sin cc cos y Ą- cos x sin y.

18)    cos hip (x-\- y)= cos bip x . cos hip y -f- sin hip x. sin hip y.

19)    sin hip (cc -f- y) — sin hip cc. cos hip y -j- cos hip x. sin hip y.

20)    cos 2 x— cos² cc—sin²cc = 2cos²cc—1 — 1—2sin²cc.

21)    cos hip 2 x= cos² hip cc-f- sin² hip cc = 2 cos² hip cc—1 = 2 sin² hip cc -j-1.

22)    sin 2cc = 2 sin cc cos cc. 23) sin hip 2cc= 2 sin hip cc . cos hip cc.

24)    cos (cc iy) = cos cc cos hip y—i sin cc sin hip y.

25)    sin (cc -f- iy) = sin cc cos hip y -j- i cos cc sin hip y.

26)    cos (cc -j- 2kn) — cos cc. 27) sin (cc -f- 2äjtc) = sin cc. 28) tang (cc -j- kn) = tang cc.

cosOT x—1

29) lim ce = 0

82) w”ń(£

cc — 0

34) lim cc=0

ex—e~x— 2cc

x—sin cc

2. 30) Um

2x(enx +1)

ex_gsincc

cc—sin cc

= 1.

cc(l—cos cc) cc=0 tang x x

³/₂. 31)

lim

cc=0

. , x sm² —

—2 m-

7Î²

~8 '

33)

7»    (pOCpoc\%

hm v ) cc=0 cc² cos cc

4.

Metodą szeregów wyznaczyć wartości następujących funkcyj w miejscu cc = 0: 36)^. 36)

CC—1

co tg cc'

₈₇₎ (-?£=.)*. 38) ' \ sin a cc/

tang cc

tangwcc

. 39)

cc

V/l-

40) —

CCßCOS cc

— sin cc — cos cc

, 41)

ex— e x

sin cc

. 4₂₎™^.43)

CC

cos cc cos h x — 1

cc²

44)

log tang mcc

log tang nx

, 45)

sin cc

log (1—cc)'

Wykazać, że :

46) cos 1 = 1 —    _ł_ tit--L_ jiiQ =0-5403023 z dokładnością 7?₁₀<:0-000000003.

471 sinl=l-~ + ...+

48) cos (a -j- ,-c) = cos a — cc sin a— ~ cos a-f- sina -f- ^ ^

— Eg — 0*8414710, z dokładnością: E₉ c 0-00000003.

cc²

cc³

cc⁴

cos a — ...

- 606 —

1 . £1 1.1 . . 1.1.0 . 11

-TT sin%--T sinke-- i - sura;-

2    2.4    2.4.6

1    13

50) tga: = sina: + — sin³cc-|- ^ sin⁵a:-f = cos hip x. 52)

49) cos a: — 1 —

1.1.3.5

2.4.6.S

sin⁸a; — ...

1.3.5

51)

d sin hip x

2.4.6 d cos hip x

sin⁷a:-|-...

dx

dx

sin bip x.

KON d tang bip x _

OD )---

dx

cos² bip a:

54)

d cot hip x

dx

sin² hip a?

T T

55) sin« (x ) = sin sin x ... sin x =

n 3!

f n (6n - 4)    ---(175 w² - 336 w + 164)

O ! o

X¹

7!

56) tang« x = tang tang ... tang x =

x³

= * + 2» 8]

xr‘

I- 4 n (5n -1)    + -g- (175w²-84 » + 11)

a;⁷

7!

Metodą nieoznaczonych spółczynników wyznaczyć pierwsze cztery wyrazy szeregów, odpowiadających rozwinięciom następujących funkcyj :

. 59) æcotga;. 60) log.....-

57) -    58)

ex—1

ex—1

. 61)

ex—l'

62) Wykazać , że w trójkącie ABC, w którym dane są dwa boki a, b i kąt ß, przeciwległy bokowi b, przyczem arcß = rc—9, przy dostatecznie małem 9 mamy w przybliżeniu:

a(3a² -j- 3ab — a²) 9⁴

ex+l

63) Z rozwinięcia funkcyi

£__1 i iL

Z>—a ⁺ Ô *2!

(ex—l)w+¹

b³

4i*

ex

przy całkowitem n wyprowadzić tożsamość:

nn —

= 1.

Rozwiązania XLIII. 35) co. 36) 1. 37)    38) —. 39) Y/2. 40) — e. 41) 2.

42) h. 43) —    . 44) 1. 45) 1. 57) ¹ ~    ^'h ~    ⁵⁸⁾ ^ ~ 24 ⁺ 24Ö ~40320

1 a;²    1

T*"2 ,45”4T” 945,6Î ~ 4725 ‘81

17a;⁷

a:²

°⁹) 1 — ¥ — 46

⁺ Ia’“3^a’⁵ + -

2a:⁶

945

... 60) -

a:⁴    2 x⁶

1    £C⁸

... 61) — - 1 +

' x

Literatura. J. H o u ë 1. Cours de calcul infinitésimal. Tome premier. Livre second. Aplications analytiques du calcul infinitesimal. Paris 1878. J. Puzyna. Teorya funkcyj analitycznych. Tom II. Lwów, 1900.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya i własności liczb Bernouille’go i liczb Eulera.

2.    Funkcye goniometryczne , ich własności i obrazy geometryczne.

3.    Funkcye hiperboliczne , ich własności i obrazy geometryczne.

Wykład XMV.

Rozwinięcia funkcyj cyklometrycznych i ich związek z funkcyami logarytmicznemi.

1. Geometryczne określenie funkcyj cyklometrycznych. Funkcye cyklometryczne określiliśmy w art. 14. str. 472., jako funkcye odwrotne względem funkcyj goniometrycznych. Według tego określenia funkcye cyklometryczne przedstawiają łuki o promieniu =1, odpowiadające danym wartościom dotyczących funkcyj goniometrycznych, jak na fig. 272.

Yf.A

1,

»V

HI

lA

C _x_I)

Fig. 272.

Ponieważ wszelka funkcya goniometryczna n. p. singD=æ, nie zmienia swej wartości, gdy dotyczący łuk (p powiększymy, lub pomniejszymy o 2Jc7i, (£=±1, ±2,...), czyli, ponieważ jest także sin((p-[-2Jcn)=x, przeto odpowiednia funkcya cyklometryczna <jp =arcsin# ma dla danej wartości x, nieskończenie wiele wartości, różniących się między sobą o 2Jcjt, gdzie h przedstawia dowolną liczbę całkowitą dodatnią, lub ujemną.

Funkcye cyklometryczne są wobec tego funkcyami nieskończenie wielowartościowemi. Zazwyczaj rozumiemy przez wartość funkcyi cyklo-metrycznej zmiennej rzeczywistej x najmniejszy łuk, jaki jej odpowiada w granicach 0 do 2n, a wartość tę będziemy nazywali główną wartością dotyczącej funkcyi cyklometrycznej.

W tem rozumieniu j piszemy n. p. arc sin 0=0, tt

arc cos 0 = —

arc sin ~

2    6 ’

1    n

~2⁼~8 ’

arc tg 1 = -^-,

arc cos

arc tg 0 = 0,

7C

arc co tg 0 = —

u

arc sec 1 = 0, arc cosec 1 = —, arc cosec 2 = -^

arc cotg 1 =

arc sec 2 =

arc sin 1 =

arc cos 1 = 0

arc tg oo = —

u

, arc cotg oo = 0,

arc sec oo =

TC

¥’

arc cosec oo = 0, itp.

2. Związki między funkcyami cyklometrycznemi. Ze znanych związków między sześciu funkcyami goniometrycznemi, podanych w art. 11. str. 18., wypływają wprost następujące związki między głównemi wartościami funkcyj cyklometrycznych :

arc sin x = arc cos \/1— cc² = arctg

\/1—CC²

arc cotg

Vl—

= arc sec

V1— X¹

arc cosec —.

(1)

arc cos x = arc

sin V/l— x² = arc tang

\/l—ar²

-=arc cotg

x

\A— x²

— arc sec — = arc cosec

\/1— a;²

arc tg ar = arc sin

VlĄ-x²

= arc cos

= arc sec

= arc cosec

V/l -j- a?²

ar

V/ 1-j- X²

--- arc cotg — .

ar

y/i-\-x² =

arc cotg x —

arctg — = arc sin

X

y/1 + x²

v/i+ X²

— arc cos

ar

y/1 -f- x²

— arc sec

= arc cosec

y/i+x².

1    . Vx² - 1

arc sec x = arc cos — = arc sin-

= arc

tg y/x²— 1 =

— arc cotg

\A²- i

= arc cosec

arc cosec cc

. 1 = arc sin —

= arc cos

Vx<i— i _

y/x² -1

arc tang

\/x²- 1

— arc cotg \/ x²— 1 = arc sec

y/* — i

Za pomocą tych wzorów możemy wszelkie funkcye goniometryczne wyrazić przez jedną z nich.

B. Przekształcenia wzorów goniometrycznych na wzory cyklometryczne. Na mocy określenia funkcyj cyklometrycznych, jako odwrotności funkcyj goniometrycznych, możemy wszelkie związki między funkcyami goniometrycznemi przerobić na odpowiednie związki między funkcyami cyklometrycznemi.

Weźmy n. p. wzór:

Kładąc sina=^, sinß = y, czyli: «= arc sin ar, ß = arc siny, otrzymujemy: cos a = y/l — x²,

sin(a + ß) = x\/1 — y² + y\/1 — x², a +ß = arc sin [x\/1 — y² + y\/1 — cc²),

sin (a + ß) = sin a cos ß + cos a sin ß.

cos

p=V'l-ÿ!,

a więc:

skąd wypływa: a więc wzór cjddometryczny :

Podobnież otrzymamy z wzoru goniometrycznego : cos (a + ß) = cos a cos ß + sin a sin ß, jeżeli położymy : cos    cos ß—y, a więc : a = arccos:», ß = arccos y, wzór cyklometryczny :

Z wzoru : tang (a + ß) a == arctang a?, ß = arc tang y, wzór :

arc cos x -f. arc cos y — arc cos {xy + \/l — cc² . \/1— y² ). tg a±tg ß

1 + tgatgß

(3)

dostajemy, kładąc tanga=æ, tangß=y, a więc:

arc tang x + arc tang y — arc tang

x±y

l + xy

(4)

Wzory goniometryczne :

cos a = x, tang --<^) —

prowadzą znowu do wzorów cyklometrycznych, ważnych, zwłaszcza, dla x <( — w postaci :

2

arc tg x arc cotg x = ~, arc sec x -(- arc cosec x =    ,

sin

cotg a =05, sec

--= cosec a =    (5)

arc sin x -\- arc cos x = — ,

z których wynikają znane własności pochodnych :

(arc sincc)/ = — (arccosa:)', (arc tg cc)' = — (arc cotg a;)', (arc sec cc)'=— (arc cosec cc)'.

4. Związki między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami loga-rytinicznemi. Z wzorów, określających związki między funkcyami gonio-metrycznemi, a funkcyami wykładniczemi, wynikają naodwrót związki między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi.

Mianowicie, otrzymujemy z wzorów:

e“*=cos o! + »sin a, e~ai—cos a—»sin a ,

przez podzielenie :

e2cei=

cos 05 + » sin o:

cos os—»sin 05

czyli : e2ai=

z czego wypada :

l + »tg 05 1—»tg 05 ’

1 -f » tg 05 1—» tg 05

Połóżmy tg 0!=a5, a więc: a = arctang x, a otrzymamy stąd wzór:

2oj»=log

czyli : 05=

1    1 -j- » tg 05

2ïl⁰gï^ït^ô'

(6)

,    1 ,    l+»05

arc tang 05= s. log --—

2»    1 —»05

(7)

przedstawiający funkcyę cyklometryczną arctgoj w postaci funkcyi logarytmicznej, a więc, określający jej znaczenie także dla łuku urojonego.

Wyraziwszy na mocy art. 2. str. 608. wszystkie funkcye cyklometry-czne przez arctg05, jako to:

arc sin o;=arc tg

V1 —

arc cotg 05=arc tg —

00

arc cosec 05=arc tang

arc cos 05=arc tg

Vî-x²

arc sec o:=arc tang Vo5²— 1 ,

V x¹— 1 ’

otrzymamy na mocy wzoru:

następujące wzory:

arc smo5=

1,1 +05 i

aro tang log

1 .    V/1— 05²-f05»

2»

arc coso5=^rlog Al

x-\-iVî—x²

o;—iVl—x²

(8)

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

39

1 CC • |- 2/

arc cotg    log —

1 -\-iVx²—1

arc sec x= — log

4-.iog v/^~î+-i

¹    \/x²—i —i

przedstawiające związki między funkcyami cyklometrycznemi i logaryt-micznemi. Wzorom powyższym możemy nadać postać:

arcsinæ*=4blog(Æ£ + Vl—x²)

arc seca:=^log^

5. Funkcye odwrotne względem funkcyj hiperbolicznycli, i icli związek z funkcyami logarytmicznemi. Funkcyom hiperbolicznym : sin hip#, cos hip#, tanghip#, cotg hip#, sec hip#, cosec hip#, odpowiadają, jako odwrotne,funkcye, które oznaczają się zwykle symbolami: arg sin hip#, (argument sinusu hiper-bolicznego równego #), arg cos hip#, arg tang hip x, arg cotg łiip #, arg sec hip#, arg cosec hip x.

Jeżeli mianowicie: sin hip y=#, tedy piszemy: y=arg sin hip x.

(>y_6~y

Z określenia: sinhip2/=—-

A

arc cosec x—

1 -\-iV x²—1

1—iV' x²— 1

arc cos#=-^-log(#-H V/1—#²) %

V x²—1 +i

arc cosec x

-i%(

(8')

otrzymujemy: ey—e-y=2#, a stąd:

e2y—2xey=l, ey=x-\-Vx²-\-l, a więc: y=log (#+V/#²-fl).

(9)

w postaci:

Funkcya arg sin hip #, wyraża się więc przez funkcyę logarytmiczną arg sin hip #=log (#-f Vx²Ą-1).

Podobnie znajdujemy:

arg tang hip #== — log

1 + V1— x²

argcoship#=log (#+ V x²— 1), 1+#

arg sechip #=log

arg cot hip#=ilog    ,

l + V/#²pl

arg cosec hip #--= log

•    (9')

6. Funkcye powyższe możemy zawsze wyrazić zapomocą funkcyj cyklometrycznycli, korzystając ze związków (7), str. 594., jakie zachodzą między funkcyami hiperbolicznemi i goniometrycznemi.

Tak otrzymamy, kładąc: sinhipy=^^ = a?, wzory:

%

z których wypływa :

Podobnie znajdziemy :

(10)

y = arg sin hip x, iy = arc sin xi, arg sin hip x = -K- arc sin xi.

arg cos hip x — arc cos x, arg tang hip x — 4- arc tg xi,

arc sec#

(10')

arg cothip x = i. arc cotg xi, arg sec hip x = -4 arg cosec hip x = i. arc cosec xi.

7. Nieskończona wielowartościowość funkcyj logarytmicznych. Z peryo-dyczności funkcyj wykładniczych wynika bezpośrednio nieskończona wielo-wartościowość funkcyj logarytmicznych.

Przypuśćmy bowiem, że funkcya wykładnicza e* ma dla pewnej wartości z=y wartość ey=x, natenczas powiadamy, że y jest naturalnym loga-rytmem liczby x i piszemy y=\ogx.

Funkcya wykładnicza & nie zmienia jednak (na mocy art. 7. str. 595.), swej wartości, gdy jej wykładnik z zmienimy o 2 km, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią, lnb ujemną. Mamy tedy: ey+2kni=ev=x, wobec czego otrzymujemy wzór: \ogx=y-\-2kni.

Jeżeli więc pewna liczba y jest logarytmem naturalnym liczby x, tedy są nim także liczby kształtu: y-\-2km, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, lub ujemną.

8. W szczególności, otrzymujemy, dla y = 0:

e°=l, lecz także: e2km = 1,

wobec czego jest logi nietylko równe 0, lecz może być także —2kr:i, mamy zatem:

log 1=2km, (k = 0, +1, ±2,...).

Logarytm naturalny dodatniej jednostki ma zatem nieskończenie wiele wartości urojonych kształtu 2kizi, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, lub ujemną, a jedną tylko rzeczywistą =0.

Jeżeli y —fi, tedy mamy nietylko:

ey = eV*¹ = cos « -f- i sin ©, lecz także :    = e^¹. e2km = t¹ — cos <p -j- i sin © ,

wobec tego otrzymujemy nietylko :

lecz także ogólnie:

log (cos © + i sin f) = fi ,

(U)

log (cos © -f- i sin f) — fi -f- 2km = (f -J- 2kzz) i.

Uwzględniając znakowanie l<p = cos f + i sin© , możemy powyższy wzór przedstawić

w postaci :

log l<p — (f    2kiz) i.

Logarytm naturalny liczby zespolonej , której bezwzględna wartość równa się 1, ma zatem nieskończenie wiele wartości urojonych kształtu: (© 2kr:)i, (& = 0, +1, +2...), gdzie © jest azymutem tej liczby.

9. Niech będzie: s—aĄ-bi, tedy mamy:

ez—ea+bi=ea. ebi=ea (cos b-\-i sin b)=x+yi, x=ea cosb, y-=easinb.

gdzie :

Naodwrót otrzymujemy stąd:

log {x-\-yi)=a-\-bi, gdzie: x²-\-y²=c2a

|-=tang b,

zatem :

Jest więc :

a ogólnie :

arc tg —.

CO

log (x-\-yi)=\og V x²-\-y² Ą-i. arctg — ,

CO

log (x-\-yi)=\og \/x²-{-y² -\-i. arctg—+2 kni

CO

a=log \^x²-\-y²

czyli :

log(Æ-byf)=log \/a;²-l-y²-H.(arctg — -\-2kn), (k=0, ±1, ±2,...).    (12)

CO

Logarytm naturalny liczby zespolonej xĄ-yi składa się więc z dwóch części: z części rzeczywistej , która jest logarytmem naturalnym z bezwzględnej wartości tej liczby: | x+y i\= Vx²+y², i

wartość bezwzględna: arctg —-f- 2/ot,

CO

stawiających argumenta: (p+2kn, danej liczby zespolonej: xĄ-yi, różniące się między sobą o wielokrotność liczby 2n.

części urojonej , której

mą

nieskończenie wiele wartości, przed

Kładąc xĄ-yi—r (cos (p-\-i sin 99)=r. 1^= rv, mamy: r — \Zx²-\- y%

cp = arctang — ,

a więc otrzymujemy wzory powyższe w postaci:

log rq>-\ogr-\-q)i₁ ogólnie: logr,p=logr-}-(<p-j-2&:rc:)ć.

10. Logarytmy naturalne liczby zespolonej : x-\-yi = dadzą się przedstawić, na płaszczyźnie liczbowej, nieskończenie wielu punktami, umieszczonemi na prostej, równoległej do osi liczb urojonych. YY', a oddalonej od niej o długość OA =logr.

Jeżeli wartość bezwzględna danej liczby zespolonej jest równa jednostce, natenczas j.ej logarytmy są liczbami urojonemi, punkta im odpowiadające leżą wówczas na prostej YY'. W szczególności mamy :

log(+l)=2fotf, log(-l)=(2fc + l>i, log(+»)=(y + 2foc)i=(4*+l)JL*, log (—i)=(iy * + 2fc7t) * = (4 k + 3) i.

Jeżeli wartość bezwzględna danej liczby jest mniejszą od jednostki, natenczas jej logarytmy są liczbami zespolonemi, mającemi część rzeczywistą ujemną , punkta im odpowiadające leżą tedy na prostej , równoległej do osi YY', przecinającej ujemną stronę osi XX'.

Jeżeli wartość bezwzględna danej liczby zespolonej jest większą od jednostki, natenczas jej logarytmy są liczbami zespolonemi, mającemi część rzeczywistą dodatną, punkta im odpowiadające leżą tedy na prostej, równoległej do osi FF', przecinającej dodatną stronę osi XX'.

11. Rozwinięcie funkcyi arctgæ. Związek, zachodzący między funkcyami cyklometrycznemi, a funkcyami logarytmicznemi, dozwala wyprowadzić rozwinięcia funkcyj cyklometrycznych na mocy szeregu logarytmicznego.

Weźmy najpierw pod uwagę funkcyę cyklometryczną /(«)=arctang#, której związek z funkcyą logarytmiczną określa się wzorem :

1    1 + xi

aro tg log

X³ , X⁵

3⁺6⁺'

bezwarunkowo zbieżnego dla |«|<1, otrzymamy, podstawiając w nim xi w miejscu x, szereg:

1+ xi 1—xi

na podstawie którego dostajemy rozwinięcie :

x³    xh

~S "B"

Z szeregu logarytmicznego :

log&²{a;+

gę2n-\-i

2 n-\-1

log

2 i{x —

w! «

OT «

I Ot

«2w+1

2w+l

/g2n4-l

(IB)

arc tang«=« —

w postaci szeregu bezwarunkowo zbieżnego dla |«|<[1. Na podstawie tego szeregu możemy obrachować łuk arctg«, gdy znany jest tangens tego łuku.

Otrzymana wartość będzie wartością główną funkcyi arctang«. Wszystkie inne wartości tej funkcyi, będą, na mocy wzoru (12), ogólnie określone sze-

regiem :

/p3    5

arc tang x=knĄ-x—5-+ -=■--

o o

«⁷

(13')

y+.*., (Ä=0, ±1, dr 2, ...).

Do tego samego szeregu dojdziemy metodą nieoznaczonych spółczyn-

ników.

Kładąc arctg«=a₀-\-a^x-ya^x"¹ -\-azxzĄ-anxn. zbieżności przyjętego szeregu, pierwszą pochodną:

otrzymamy, w zakresie

1+ a;

a że, w granicach: 0 <C | | <C 1, jest:

^—₂—a₁ +2a,a3 4-3a₃a;²+... + M««^w_":l + -

1 h#²

1—æ²+æ⁴-æ⁶-f... + (—1 )nx2n + ....

przeto, porównywając w obn rozwinięciach, pod założeniem ich tożsamości, spółczynniki przy jednakowych potęgach x, otrzymujemy równania warunkowe :

a₄ = 1, 3a₃ =—1, 5a₅ = -fl,..., ogólnie: (2w-fl)a2«+i=(—1)”,

czyli :

«2w+l =

(-1)” 2w + l ’

a zarazem: a₂=0, a₄=0, ..., ogólnie: a₂«=0. Nadto mamy: a₀=arctgO=O w wartości głównej, a ogólnie =Jcji.

winięcie :

Wobec tego otrzymujemy, pod założeniem |a:|<Cl, jak powyżej

roz

arc tang x—kn+x —

(-l)nxn

2» + l

f..., (7c=0, +1, ±2,...),

natenczas, dla ja:j<Cl, otrzymujemy pierwszą pochodną tej sumy:

^=1—a:² + a:⁴—a;⁶ +...

a; —

dx

l + a;²’

a więc równanie : dy—

dx

l+a;²’

Pierwsza strona tego równania przedstawia różniczkę szukanej sumy, druga różniczkę funkcyi: arc tang a;.

drugiej strony wartość główna arc tang 0=0,

Szukana suma może więc różnić się od wartości: arctanga;, tylko o pewną stałą c. Mamy zatem: y=arctanga;+c, a że, dla a;=0, jest na mocy, danego szeregu y = 0 przeto jest także: c=0, a więc: y—arctanga:.

12. Szereg powyższy możemy także wyprowadzić na mocy wzoru Maclaurin’a.

Kładąc y — arc tg x, mamy : y‘

y-p^2, a więc, równanie: (1 + cc²) y‘ = 1, z którego

po {n— l)-krotnem różniczkowaniu, według wzoru Leibnitza, art. 10., str. 456. otrzymujemy wzór zwrotny :

(1 + *³) yW + C 1 X) • 2xy(n-i) + (%*). ²V(n~²⁾ = °.

prowadzący, dla x=0, do relacyi:

y₀(w) = —(w—l)(n—2)y₀(²»—2), z której, na mocy wartości: y₀ =arctg0 =0, y‘₀=1, otrzymujemy :

?/o"=0, «/(4) = — 3.2 j/₀" = 0,'

2/₀<2m> = O; y₀'" = _1.2y₀' = _2!,

2/₀(5) = _4.3. y₀/«₌ 4.8.2! = 4!..., y₀( 2»+l) = (—l)»(2n) !.

Na mocy wzoru Maclaurina: y — y₀ -f- y⁵, cc -f- x² -j~

CC ^    /jj 7

arc tang x=x— — -f —--—- -f-... -f

13. Chcąc wyznaczyć resztę tego szeregu, należałoby wyznaczyć wprost n-tą pochodną danej funkcyi: arctgx.

W tym celu przedstawmy pierwszą pochodnę : y' =

æ=tangy, 1-j-cc² = sec²y, w postaci: î/' = cos²y, czyli: y'= cos y sin (y Ą-

dj,₌    6r.

ax dy dx dy

y“=y‘ [— sin y sin (y-ł- y) + c0*y cos (y + y)] ’

(2y + |-)=y'.sin²(t,+ |-),

y" = cos²«/.sin2 (y + -H-)'

Postępując podobnie dalej, otrzymamy:

y"' = 2 !cos³y sin 3 (y +    »

a, nareszcie, wzór ogólny : y(n) = (» — 1) ! cos« y sin n (y +    ,

otrzymujemy tu zatem , jak

wyżej :

( —l)«aj2n+l

-j— 1

^ ^    , ze względu na to , że :

a otrzymamy

stąd, mając na uwadze, że: y" =

czyli :

a więc :

y" = y‘ , cos

dy'

którego prawdziwość wynika bezpośrednio na mocy różniczkowania.

Kładąc w tym wzorze napowrót : y = arctg cc, cos²y= 1-|-cc², otrzymujemy:

(n 1)!

sin n (arctg x -f-

a stąd, przyjmując główną wartość: arctgcc=0, dostajemy:

y₀(w) =/(w) (0) == (n—1) !. sin y ,

y (”)=/(”) (x)

(1 -|- cc²>/2 ’

a więc :

y₀(²»)=O, y₀(²»+l) = (2 ») ! sin -J- nn) = (—l)n. (2w) !

Otrzymujemy zatem :

arctg =    ^    + ... + (-l)»    + *2»+2 ,

przyczem , według wzoru Lagrange’a, mamy resztę :

1    CC²”-f-2

i 2n+² = 2» + 2 ' (l+0²cc²)«+i

. sin [(2w -j- 2) arctg 0 x -{- (n + 1) *] —

• (₁₊ew    • sin [(2w-f-2) arctang 6x],

która, dla | a? | < 1, przy nieograniczenie rosnącem n, zdąża widocznie do zera.

Dla x = 1, otrzymujemy szereg warunkowo zbieżny, przedstawiający w tern uporządkowaniu arctang 1 =-^-, w postaci: — = 1—zwany szeregiem Leibnitza.

rjß 3    /jq 5

14. Obliczanie liczby tt. Z szeregu: arc tang x=a:—— + -=■—

o o

żerny otrzymać szeregi szybko zbieżne, przydatne do obliczenia liczby n, wyrażającej stosunek obwodu koła do jego średnicy.

W szczególności otrzymamy, wiedząc, że : n 1

tang 6 " \/3

na mocy powyższego szeregu, wzór:

2 n -j- 2

1    71

a więc: arctg—= g-

-U

3.3¹    5 .B²    7.3³

71    2\/3^1    33l-r₅₃2

7.33 + '“)

a więc :

skąd, łącząc wyrazy po sobie następujące, otrzymujemy szereg:

(14)

TT 16Y/3 ^ 3 31-r 5 7 33 -U 9 11>35

podstawie którego, matematycy Sharp i Lagny obliczyli ludolfinę, pierwszy na 72, drugi na 127 miejsc dziesiętnych.

Korzystając z wzorów goniometrycznych, możemy, na wyznaczenie liczby 7i, wyprowadzić na podstawie szeregu arctang#, rozmaite inne regi szybkozbieżne.

Połóżmy w szczególności a+ß = -^, i przyjmijmy, że tanga=x, czyli

że a=arctanga?, natenczas otrzymamy:

1— tang a

(1P)

na

sze-

tang ß=tang    — aj

a więc :

1+ tang a ß = arc tang

czyli: tang/3

Otrzymujemy zatem wzór:

-^=arc tang # +arc tang |    ^

z którego możemy otrzymać nieskończenie wiele szeregów, przydatnych do obliczenia liczby ti, jeżeli za x przyjmiemy stosowną liczbę ułamkow^ą.

^^

—— = -Q-, a więc wzór :

JL —j— CC ö

= arc tang ~ -j-arc tang ,

Przyjmując n. p. x = otrzymujemy

z którego wypływa :

. JL ₌ (1 J_xi___1_+ \+(±

4    \2    3.2³ ' 5.2⁵    7.2⁷ ~    \3

3.3³_r5.3⁵    7.3⁷^’")'

(15)

(150

Wychodząc z wzoru goniometrycznego :

tang    =

1—tang m cp

1 -f tang m (p

możemj^, wyznaczywszy <p=arctang#, dla dostatecznie małego x, obliczyć tangmcp dla dowolnego całkowitego m, a stąd wyprowadzić wartość liczby n\4.

Przyjmując n. p. tang ® =    , czyli o = arc tang

tang 4ę> —

otrzymujemy tang2o

a stąd:

zatem wzór:

2 tang f

1—tang²? — 1 — */,5    12

1 — tang 4 ę 1 -|- tang 4<p

jj    1

' = 4 arctg % + arctang .

239’

3.5³ ' 5.3⁵    7.3⁷

¹⁰/i₂

2 tang 2f

1— tang² 2v

1—²7l44

"M

120

119’

Przyjąwszy dalej tang^ =

czyli : «J» — arctang 1Q 1Q 3 ₁₀3 + 5 > 10s    . i₀-

zd -k

otrzymujemy taug2ł = |, taug(2ł-TH 2*\—f = arctang —

515

²%o-V₅

, a więc

czyli: arctang -i- = 2 arctang    —arc tang    , przekształcimy zatem

1 + ²%9 • ¹ 5    515

wzór (16) w sposób następujący:

—    1    1    1

■j- = ⁸ arctang ^ + arctang 239 — ⁴ arctang

(17)

złożony z szeregów bardzo zbieżnych.

A{

15. W geometryi elementarnej wyznacza się liczbę n w dowolnem przybliżeniu, wychodząc z zasady, że obwód koła , zawarty jest między obwodami un i Un dwóch «-kątów

umiarowych o tej samej ilości boków, z których jeden jest w kole o promieniu =1 wpisany, a drugi na tern kole opisany tak, że :

b:_s*

Sn

Un

Ci

\    Oznaczając przez Sn długość boku wielokąta

\\\ w koło wpisanego, a przez Sn bok wielokąta na kole D/i /D' ⁰pisaiieg⁰> a odpowiednie obwody, jak wyżej, przez Un /]/ \Un, mamy:

Sn

2 Sn

Un

nSn    Un

V/4-s„²’ ²    ² ’ ²

nsn

V/4-s«²'

Zaczynając od umiarowego sześciokąta, w którym Sn = 1, mamy :

u₆

Fig. 273.

2 ³’ 2

U₆ 6V/3

= 3-4641

O

skąd wypływa nierówność: 3 <C⁷¹ <^3-46...

Z boku sn wielokąta w koło wpisanego, otrzymujemy, na wyznaczenie boku 2«-kąta

w to koło wpisanego, wzór: sïn=S/\/4 — sn² , z którego korzystając, otrzymujemy boki i obwody wielokątów o coraz większej ilości boków, a stąd coraz ciaśniej sze granice, między któremi zawarta jest liczba n.

Tak otrzymujemy kolejno, dla « = 12, nierówności: 3-105... < r. << 3-215..., dla « = 24: 3-13... O < 3T5, dla « = 48: 3-139< n 3T46..., dla « = 96: 3T41... O 3-142..., przyczem cyfry wspólne należą do wartości liczby r..

Tą drogą znalazł już Archimedes wartość przybliżoną na 2 miejsca dziesiętne:

22

355

wartość dokładną na 5 miejsc dziesiętnych ; Yiete roz-

Piotr Metius znalazł n

szerzył tą metodą dokładność do 10, a Ludolph von Ceulen do 35 miejsc dziesiętnych: « = 3-14159 26535 89793 23840 2G433 83279 50288...

113

a za jego żmudną pracę rachunkową nazwano liczbę rc ludolfiną, którą dziś metodą szeregów wyznaczono już z dokładnością w 200 miejscach dziesiętnych.

16. Rozwinięcie funkcyi arc cotg æ. Funkcya arccotga; związana jest

TT

z funkcyą arc tanga; relacyą : arccotanga;+arctanga;=—, z której otrzymujemy arccotga;—— arctanga;, a więc rozwinięcie:

71Ź    00 *

arc cotg x = -ÿ— a;-f-    —

Ol «

+ •••

(18)

bezwarunkowo zbieżne dla |a;|<Cl.

Dla #D>1, jest — <C 1, możemy więc rozwinięcie funkcyi arc tang

00

przedstawić w postaci :

arc tang -=

T—I CO

G)³⁺K4)⁵-t(v)’

z której , ze względu na to, że : arc tang nięcie:

— arc cotg x, otrzymujemy rozwi-

arc cotg a?—i-

00

a więc zarazem :

arc tanga;=

łdw-if

(i)'- ftK

(19)

rH |lO

— ^ +

szereg, podający również sposoby obliczania ludolfiny.

rH | «

17. Rozwinięcia funkcyj arg tang hip a? i arg cot hip x. Podobnie, jak rozwinięcia funkcyj cyklometrycznych arctang x i arc cotg x, możemy także rozwinięcia funkcyj arg tang bip x i argcothip#, wyprowadzić na podstawie ich związku z funkcyami logarytmicznemi.

Wychodząc mianowicie z wzorów:

1    1 ■ | ^

arg tang hip    log j

A    1

otrzymamy na podstawie szeregu :

l+x

log

l—x

>{t+

1

-—, argcothipÆ=-^log —x    ż

**,

3 ⁺ 5 T

...4

+ ».

x-\-1

X—1

bezwarunkowo zbieżnego dla |a?|    1, rozwinięcie:

00

argtang hipÆ= y 4-

które dozwala wyznaczyć wartość funkcyi arg tang hip x dla rzeczywistego x w granicach: —1<C#<C4-L

Otrzymana wartość będzie wartością główną, a wszystkie inne określają się, na mocy nieskończonej wielowartościowości logarytmu, wzorem :

arg tang bip x = y log

a więc w granicach — 1 <#<4_1, ogólnie szeregiem:

æ²«—i

X³ X⁵

3 '5

4-...+

2w—l”

(20)

¹⁺|+2jfe»i]=4lo«r4£+Łra'> (fc=°> ±l.±2.-).

CC CC ^

arg tang hip# = Jckî "l'y 4 g 4 g 4-4

Zastępując we wzorze (20) x przez —

00

#|;>1, otrzymujemy:

2n — 1

f..., (Aj = 0, ±1, ±2,...).    (200

pod założeniem, że:

1 ,

— <1, a więc

skąd, mając na winięcie :

111

arg tang hip — = —+— + ... +

uwadze, arg tang hip — = arg cot hip x , otrzymujemy roz-

00

4iog

arg cotg hip x=

x 4" 1    1

(2w—l)x

In—1

4 •••

(21)

4-.-4

(2 n—l)#²”⁻¹

dozwalające wyznaczyć wartość funkcyi argcothip# dla |æ|>l.

x—l x

3æ³

Otrzymana wartość jest jej wartością główną, a wszystkie inne określają się, na na mocy (20'), wzorem :

arg cot hip x = kni-\- — -f-    -j-... -\~

X OXA

gdzie Ä: = 0, +1, +2...    (21')

(2 n—l)#²»-¹

18. Rozwinięcie funkcyi arcsinac. Rozwijając funkcyę arcsinx, otrzymujemy, kładąc: y=arcsinÆ, jej funkcye pochodne:

dx \/i_x2’ ^ dx²

a stąd równanie:

(1—x²)³l* 1 — a;²v/l—x²

xyl

l—x² ’

(1—x²)y“=xy‘.

Różniczkując to równanie (n—2)-razy podług x, a stosując przytem znany wzór Leibnitza, otrzymujemy w końcu równanie:

(1—X

²)ÿ<*> + (” x ²)(-2)*y<-‘> + (”₂ ²)(-2)y^)=x.y^-') + (“ ₁ ²)

przedstawiaj ące

w każdem miejscu ic, związek między wartościami trzech

po sobie następujących pochodnych funkcyi arcsinx: y(n),    ^ , y(ra~2;.

Kładąc ic=0, otrzymujemy stąd :

czyli*:

(a)

y₀(w)—(w~2) (n— 3) y₀(w—2) — (n—2)y₀(w~²⁾=O, y o(n) — (n—2)² y₀ (n~²k

Dla x=0 mamy jednak y₀ = arc sin0=0, (jako wartość główną), y₀'=l, y₀/,=O> wobec tego, na mocy wzoru (a) będzie dla parzystego n—2r : yQ(2r)=0, dla nieparzystego w=2r-fl zaś kolejno: y₀"' = l², y^h)= 1².3², ogólnie:

(&)

y₀(2r+l) =12, ₃2,₅2f (2r—l)²,

Otrzymujemy zatem rozwinięcie:

czyli :

arcsinx=x+^ ( l)² + ^(1.3)² +..

x%r+i

(2r + l)!

(1.3.5 ...2r—1)²+...

1.3.5    ...2r-l x2r+1

2.4.6    ...2r    ’ 2r + l

dozwalające wyznaczyć wartość funkcyi arc sinic, gdy æ <C 1.

Otrzymana wartość będzie wartością główną funkcyi arc sin x, opartą na wartości arc sin 0=0. Ponieważ zaś ogólnie położyć możemy: arc sinO=2/c7F, przeto mamy rozwinięcia ogólne :

arc sm x=x-]--Fr

1    xz 1.3 x⁵

2    3 2Ä ‘

+ .» +

(22)

j x 1 x³ 1.3 x⁵

aronn*-afc»+T+TT + sa

1.3.5.. . 2r—1 ic2r+1

2.4.6.. . 2r    2r4-l

r*r •••

(22')

gdzie h = 0, ±1, zk 2...

10. Do tego samego rozwinięcia dojdziemy metodą nieoznaczonych spół-czynników. Kładąc :

arc sinic=a₀ 4- a^x-^a^x² 4- a₃ic³ -\-...-\-an icn4-..., otrzymujemy, w zakresie zbieżności tego szeregu, pierwszą pochodną:

a że :

Vl-x²

Vl—x²

(l-x²)-*

% 4-2a₂ic+3a₃ic²4- ...Ą-nan xn~] +...

⁼ 1“( l⁵):*²⁺( 2²)^⁴⁻( ₃*)a;6 + - + (-'¹)

(«)

czyli :

1.3.5... (2n—1)

1-3 .    1.35 ₆

*⁺2X6*⁺-⁴

¹+_2“ä;2+2.4

przeto, porównywając spółczynniki w obu szeregach (a) i (/?), otrzymujemy równania warunkowe :

V/l — a;²

2.4.6... 2w

X2n -j⁻ • • •    (ß)

a₁ = 1, 2a₂=0, 3a.,=—, 4a₄=0, 5a₅

1.3

2.4’'

ogólnie :

2wa2n=0, (2w4-1)«2»+i

1.3.5 ... 2n —1

2.4.6... 2n

z których wypływa :

1.3.5 ...2w—1

2.4.6... 2n

Przyjmując: a₀ =arc sin 0=2foz , otrzymujemy zatem, jak powyżej:

_₇ x 1 Æ³ 1.3 x5 arc sin x=2rcjz-\—y ^ t g-+ —

(*-0, ±1, ±2,...).

20. Z powyższego szeregu możemy podobnie, jak z szeregu arctgcc, otrzymać szeregi pi ,/datne do wyznaczenia ludolfiny.

W szczególności, biorąc pod uwagę główne wartości funkcyi :

to a

arc sin a;, jak : arc sin 1 —

.    1 n

, arcsm- = y ,

otizymujemy szeregi:

os| a to! a

-* + *■

= i + —. — -f . — 4 ^2 3.23 t 1.4 5.2⁵ '

tH i CO

1.3

2.4’

T—1 |lO

1.3.5

2.4.6

1.3.6

2.4.6 ’7.2⁷

(23)

(24)

21. Rozwinięcie funkcyi arg sin hip «. Opierając się na relacyi (10):

arg sin bip cc = 4- arc sin xi,

otrzymujemy, ze względu, że na mocy (22):

¹.3 a?⁵    .    .

₊ (-ir-2Łe 2r

... x 1 x³    .    1.3.5... 2r—1 £c2r+!

arg sin hip * = T — -g- g- + ... + (-1)-

arc sin xi

-‘(r-

1 x3 23

1.8.5 ...2r—l x*r+1

2r+l

+ .«

wprost :

2r 2r -p 1

(25)

jako główną wartość funkcyi arg sin hip x.

"Wszystkie inne z nieskończenie wielu wartości tej funkcyi, odpowiadające pewnemu x, powstają przez dodanie liczby urojonej: 2tó, (fc = + 2,...), są więc liczbami zespolonemi. 22. Rozwinięcia funkcyj: arccos.« i arg cos hip«. Ze związku:

arc sin x -]- arc cos x = ^ , wynika bezpośrednio : arc cos cc = —arc sin x,

a więc wartość główna funkcyi : arc cos x w postaci szeregu :

1 x³

arc cos x —

1.3 a:⁵

2    1    2 3    2)4 5

wszystkie inne jej wartości określone są zaś, ze względu na relacyę coscp = cos( — <p) = cc a więc arccosx = + <p, wzorem:

,    x 1 x³ 1.3 cc⁵

=±\ 2 T_ 3’~0*'5

skąd, na mocy relacyi: arg cos hip x — arc cos cc, otrzymujemy rozwinięcie funkcyi: arg cos bip x =—i    4

arc cos x

-•)

(26)

arg cos hip cc,

1 a:³ . 1.3 *s

w postaci :

4“¹ l

2 V

23. Rozwinięcia funkcyj arc sec« i arc cosec«, tudzież arg sec hip« i arg cosec hip «.

Na mocy relacyj : arc sec x = arc cos — , otrzymujemy z wzoru (26) wprost:

,(4Je + l    1    1 1/1\³ 1.3 1 /1\⁵ i

2 n x    2'3\aJ    2.4* 5 ' x'    "*/

23*2.45

-5- + .»

|x|< 1.

(27)

arc sec cc

(28)

a podobnie, na mocy relacyi: arc cosec x = arc sin — , z wzoru (22), szereg:

—+T + TT(l)*+fcÎT

cc 2 \ cc /    2.4.5 \x) •••/’

V /t2.4 6

arc cosec cc

a stąd, na mocy wzorów (10') rozwinięcia:

arg sec hip cc = + i j—^

arg cosec hip x — 2kni 4- —

(ł)+-

(29)

(30)

(30')

Ćwiczenia XLIY.

Wyznaczyć wartości główne następujących wyrażeń cyklometrycznych :

g    4    ^    _

1) arc sin y 4 arc sin y. 2) arc tang y + arc tang (2— y/3 ).

11 12 3) 2 arc tang y 4~ arctg    4)8 arc tang — + 2 arc tang —.

5) arc cos + arc sin

u

Wykazać , że : 7) arc tang — + arc tang y = arctg y.

arc tang y.

y/3-1    i    i    i

lyT- 6) ⁸ al'°tg T + ai'°tang 2Ô + al'° tang Ï986-

8)    arc tang x — arc tang    ^

^ —j— 3/

9)    arc tang ^ + arc tang ^ = arc tang

10)    arc tang ~

f arc tang —|y = arc tang    11) arc sin

15

Ï7 + arosinÏ7⁼ 2-'

1    11    1    1 TC

12)    arc tang y -f- arc tang y + arc tg y + arc tang -g--arctang ^ — —,.

13)    arcsin x-\- arc siny = arc cos [y/l—x²»y/l—y² ~xy\

14)    arc cos x -{- arc cos y — arc cos (xy— y/l — x² y/l — y²).

15)    arc sin x -f arc sin y = arcsin (x\/ 1—y² + y \/1— æ²).

x-\- y 1—’

Z własności funkcyi wykładniczej ex wyprowadzić następujące własności logarytmu naturalnego :

17) log(-f 1)= 2kni. 18) log (w. v)= log u-\- log«.

19) log y = log u — \ogv. 20) log um = wi log u.

21)    log(—l)=7ci, ogólnie: (2fe 4~ 1)

22)    log(+i) = y, ogólnie:    — «*, stąd wzór: -^ = y log i.

23)    log ( -f- a) = log a -j- 2JcKt. 24) log(—a)= log a -j- (2k + 1) ni.

25)    log(x 4- yi) = \og y/x²4-y²+ i arc tg y.

26)    log (x—yi) = log \/x² -\-y² — i arc tang y •

27)    log {—x 4- yi) = log y/x² 4- y² 4" * ( ⁷⁷ — arc tang y) •

28)    log(—x — yi) — log \Zx²-\-y² 4- t (*4" arc tang y).

Wyprowadzić następujące rozwinięcia i wyznaczyć ich zakresy zbieżności :

29)    log(ar4- Y/l4-*²)=tf-y w +    |

16) a) arc tg x 4- arctg y = arctg

b) arc cotg x + arc cotg y = arc cotg

1.3.5 x⁷

2.4.6

xy—l

1 x³

30) log(x4- \Za²-\-x²)— log a 4" y

31) log

1 —    1 — 4x

2x

82) earctane*= 14- X 4- y² _ y - ^

log (!+«)

33)

14- *

7⁺ -

1.3 x⁵ 1.3.5 x⁷

2 3a³ T 2.4 5a⁵    2.4.6 7a⁷

5.6.7

2.3.4

x⁴ 4-...

æ ~ (¹ + y)*² + (i + y + ^)æ3~(1 + i!r ⁺ ¥ ⁺ /)æ4 + '"

Dowieść prawdziwości następujących rozwinięć:

. log(x 4- y/ 14- X²)    2    ,    2.4 ,

y/14-x³    3    ^8.5

35) [log (x 4“ y/iT*²)]²«

2.4.6

3.5.7

x⁷4- ...

2 x⁴ 2.4x6    2.4.6 x⁸

1    3 2 ⁺ 3.5 3    3.5.7 4

x²

36)

arc sin x

\/1— cc²

cc +

03 tO

CC³-}-

2.4

3.5

cc⁵-}-

2.4.6

3.5.7

cc⁷4" ...

'ir(¹⁺¥~ïr~T⁺¥⁺ïï“è ⁺ --)'

37)    |

38)    — = — 4- —. —

; 4    2 ^ 3 2³

2.4 1 3.5' 2⁵⁺"'

i i.2/i y

*2    3.5\ 2 /

(t)'—

1.2.4

i-H CO

⁸⁹) T

40)    - = — 4-—.—^--f ~ —___________

' 6    2^ 2    3.2³ ^ 2.4 5.2⁵ T 2.4.6 7.2⁷

₄₁)    iL = f Jg_ + - JL- ₊ . Jg_ ₊ ... U (- ⁷³

; 8    \3.3³^ 5.7.3⁷ ~ 9.11.3¹¹ ^    ^ v

am'jL ₌ 1±___Liii___,

; 16    11.5    3.5³ ' 5.5⁵ "I 4 \239    3.239³ ^ 6.239⁵

= 1—

3.5.7

1.3.5

3.7³

169

265

5.7.7⁷

9.11.7¹¹

}•

43)    Wyznaczyć w stopniach, minutach i sekundach łuk a = arc tang 1*01. Rozwiązać następujące równania cyklometryczne :

44)    arc cos “1“ arc ^ang Y

45)    arc tang ^ \ — arc ^anS

2cc

4tc

— cc²

3'

71

x Ą-l

12 '

46) arc tang (cc -}-1) = 3 arc tang (cc—1). 47 ) x = arc sin

Y/3-

coscr

Y/3

48) arc sec a — arc sec b = arc sec

— arc sec

Wyznaczyć następujące wartości graniczne: arc sin —

49) lim

cc

arc sin

2y/cc²—i

X=

⁰⁰ arc tang

ax

. 50) lim

cc²

cc²—1

51) lim |    ³

35=00 I

bĄ- acc²

⁰⁰ arccotg ^

cc³ arc tg x i

Oznaczając: R=\/a²-j-&² , a = arctg—, wykazać, że:

52)    (a + bi)m+ni=Rm e-*(“+²^) cos [m (a + 2Tbk) + » log R] +

-}- iRme~ M(a+-²^) gin [to (a -}- 2Jck)-\- w log R].

53)    (a - bi)m+ni= Rm e~nVkn ~ a) cos [m (2fcs - a) + » logR] +

-f- iRm e—w(²^-«) sin \jn (2kr.—o.) -\- »log R].

54)    (-a + bi)m+ni = Rm e~ n^k^n~a^oĄm[{2k + 1) « - «] + »log R} +

iRm e—wl(2i+¹)»-«] sin{7»[(2fc 4~ 1) »—*] 4" n log R}-

55)    {—a— bi)m+ni = Rm e-n[«+Vk+m cos{m[a 4- (2k 4- 1) «] 4“ » log 4-

4- iRm e-”l“+^+¹^sin{OT[a -I- (2k +1) it] 4- » log r}.

56)    (a 4- bi)m+ni =    cos [m(2fcji-a) - »log R] -

- i Rme<Un-d) gin [m(2Jcn-z) - n log R\.

57)    (a - b i)rn+ni= Rm en(?kn f '“>cos [»i(2Jfcjc 4- «) - » log R] -

— i Rm en(^kn+a) sin \m(2kn-\- a)—» log R].

58)    (-a-}- bi)m+ni = Rmen^+¹)?r+“lcos{m[(2fc 4- 1)w 4- a] — » logr}-

—iRm e^m+\)n+a] gin|m}2fc 4- 1) 7t 4- a]-» log R].

59)    (—a—bi)m~^ni= RmewK²*+¹)îr—“]cos{m[(2fc 4- 1) tt-«] - »log R}-

—iRm e*[(2*+l)»-«] sin{m [2 fc 4- 1) tt - « ] - log r}.

4 cc⁴ — cc⁶

60) Dowieść, że liczhy :

a) (a 4- bi)m±ni, (a—bi)m—n!, è) (a—bi)m+m, (a -j- źh)m—

są zespolone sprzężone.

Wykazać prawdziwość następujących wzorów :

61)    «”*+”' = am e~2knn[c,os (2kmn -j- n log a) -}- ißin (2kmn -(- n log «)].

62)    am^ni = a¹¹¹ eJr2knn [cos(2kmn — n log a) — i sin (2kmn — n log o)].

63)    a

— ame+²*”^[cos(2kn — n log a)-(- i sin(2kmn -j- n log a)].

64)    am~'ni — am e~2kvn [cos (2kmn -[- n log a)— i sin (2kmn -f- n log a)].

65)    (—a)m~^ni — am e—cos [(2k -]- 1) mn -f- w log a) -(-

-\~i .am e~(2k+ ^VJl sin [(2k-\-1) mn 4- n log a].

66)    (-»)”+**'= a,He+(2fc+¹)BÎI cos [(2Ä5 + 1) mn-nloga) -

—iam e+⁽²*+1)M7rsin [(2k + 1) mn-n\og aj.

_ a«»e-K2*+l )nn

m—ni

67) (-a)

m—ni

68) (—a)

m—ni

cos [(2Ar —1) mn—n log a] -{-+ i.arne⁺(2k+i'>n”sin [(2k + l)f»w-»loga]. = am    nn cos [(2k -{- 1) mn -[- n log a] —

-i. am e-(2k+V™ sin [(2fc +1) mn + n log a].

—2 knn

69)    lm+ni =

70)    lm+ni = e-\-<lknn cos ïkmn - ie+Unn sin 2kmn.

__ ^-\-2knn

—2knn

cos 2kmn ie

sin 2kmn.

m—ni

2kmn -[- ie+2knjt sin 2kmn.

71)    1

72)    lm~ni = e~2knn cos 2kmn - ie~2knn sin 2kmn.

73)    (—l)m+ni= e“⁽²*+¹)w?rcos(2fc+ 1) mn+ i . e-(²*+lWr gin ^ ₊ ^

74)    (—l)m+nt‘=e+(²*+i)™ cos (2k +1) mn — i. e+⁽²*⁺¹)n7r sin(2k + 1)

cos

mn.

m n.

75) (-1)

m—ni

= e+W+')™ cos (2fc+ 1) mn + i. e+(2A+¹)W71 sin (2k-\- 1)

mn.

m—ni

-{2k+\)nn cog (₂fc ₊ ^ m7t_iw e-(2k+l)nn gin(₂fc 4. 1)

76)    (-1)

77)    (i)m+ni= e-(²*+V>^[cos (2k 4- Va) mn + * sin (2k 4- %) wtt].

m7r.

78)    (i)wl+wt' 4- e+W-'U™ [cos (2fc-Vj) wtt - i sin (2*-%) mw].

79)    (i)w,-w,‘= e+(²*+‘W»* ^cog _j_ y₂) W7t + sin + y₂)m?r]t

m—ni

= e (²* Vj)w^ [cos (₂jfc _ y₂)m7r— i sin(2fc— V₂) W7t].

80)    (i)

81)    (-»yn+m' = e-⁽²*- 'M™ [cos (2* - Va) *»* 4- i sin (2fc- %) mrc].

m+ni

= e+(²i'+V₂)»^ [cos (2k 4- I/O Wî7r—i sin (2& 4- Va) »w]. _ e - (2i’+ h)nn [cos (pic 4- i/j) mn—i sin (2fc 4" V2 ) W7C]* = e+(2i-'U)*⁷¹ [COs — V2) W7r—» sin (2fc — y₂) W7r].

85)    i* =e"⁽'2k+i^1T. 86) i~i=e+⁽'2k+'l*)n.

87) (—if =    88) (-*)”*■= Ä+<2*—*/»)».

m—nt

m—ni

Rozwiązania XLIV. 1) -j. 2)    4) —. 5) —. 6)    43) <x=45°17'6". 44)<r=V'3.

, 48)x=±ab. 49) —. 50) 1. 51) i

45) * = ±(l+V/3). 46) x =\/2 . 47)*!=-=

£C₂ —

H CD

Literatura. Joh. Bernouilli. Opera omnia, 4 vol. Lausanne 1742. A. Cauchy. Exercices de matem atiques. Paris 1826 — 1830. A. Cauchy. Cours d’analyse, de l’Ecole Polytechnique. Paris 1821. L. Euler. Introductio in analysim infinitorum. Lausanna 1748. H. Hankel. Vorlesungen über die complexen Zahlen. Leipzig 1861.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Potęgi o zasadach i wykładnikach urojonych.

2.    Rozmaite sposoby obliczania ludolfiny.

3.    Różniczki i pochodne funkcyj hiperbolicznych i ich odwróceń.

Wykład XüV.

Krzywe płaskie jako obrazy geometryczne funkcyj wyraźnych jednej zmiennej rzeczywistej.

1.    Określenie obrazu geometrycznego danej funke y i zmiennej rzeczywistej. Niech będzie dana funkcya wyraźna: y—f{x)₎ zmiennej rzeczywistej x, natenczas każdej rzeczywistej wartości zmiennej niezależnej x, odpowiada w ogólności pewna wartość y danej funkcyi. Uważając odpowiednie wartości x, y, jako spółrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, którego odciętą jest x, a rzędną y=f\x), otrzymamy układ oo¹ punktów, które, w przypadku, gdy dana funkcya jest w pewnych granicach ciągłą, tworzą w tych granicach pewną linię krzywą. Powiadamy tedy, że obrazem geometrycznym danej funkcyi : y~f(%) jest linia krzywa na płaszczyźnie X.OY o równaniu y=*f(x). Z danej funkcyi f{x) jednej zmiennej rzeczywistej x, możemy więc otrzymać dowolną ilość punktów krzywej płaskiej y=f(x).

2.    Znaczenie geometryczne pierwszej pochodnej danej funkcyi. Przyjmijmy na linii krzywej : y—f(x) obok punktu M, którego odciętą jest

x, a rzędną f(x), drugi punkt N, którego odciętą jest xĄ-Ax, a rzędną f(x + Ax), natenczas ^ otrzymamy różnicę NR między rzędnemi punktów M i N (fig. 274.) w postaci:

NR=Ay=f(x-\-Ax) —f(x).

Przyrost Ax zmiennej niezależnej x przedstawia tu odstęp rzędnych MM' i NN punktów M i N, zaś przyrost Ay zmiennej zależnej y przedstawia różnicę rzędnych tychże punktów. X Stosunek różnicowy :

Ay _ f(x -f- Ax)—f(x) NR Ax    Ax ~ MR:

przedstawia widocznie tangens kąta, jaki prosta, łącząca punkta M i N danej linii krzywej, tworzy z dodatnim kierunkiem osi a>ów. Prostą, łączącą dwa punkta krzywej, nazywamy sieczną linii krzywej.

przedstawia więc tangens kąta, jaki pewna sieczna

TH

M’

Ax N

Fig. 274.

Ay

Stosunek różnicowy

<ul 00

krzywej y—f{x) tworzy z dodatnim kierunkiem osi #-ów. Oznaczmy ten kąt przez a, natenczas otrzymamy :

Ay f(x-\-Ax)—f(x)

Ax

Ax

— tg a.

Jeżeli przyrost Ax maleje, dążąc do zera, natenczas drugi punkt N linii krzywej zbliża się do punktu M, wpadając weń, gdy Ax staje się zerem; sieczna MN obraca się tedy około punktu M, przecinając krzywą w punkcie coraz bliższym punktowi Jf, i zajmuje w końcu to szczególne położenie, w którem oba jej punkta przecięcia M i N wpadają w jeden punkt M, Sieczną w tern szczególnem położeniu , w którem oba jej punkta przecięcia z linią krzywą w jeden punkt M wpadają, nazywamy styczną do linii krzywej w punkcie M.

funkcyi: y=f(x), dla Ar=0, w pe-

Ay

Granica stosunku różnicowego : ^

wnem miejscu x, przedstawia więc tangens kąta a, jaki styczna linii krzywej w punkcie M(x, y) tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-6w. A że granicą

którego war-

stosunku różnicowego: lim -p, jest stosunek różniczkowy

dy

dx

tośó, w miejscu x, podaje pochodna: y‘=f\x) danej funkcyi: y=/(æ), przeto

mamy :

lim Ay

hx =

lim

f(x+Ax) — f(x) dy

(1)

0Ax

T. z. Pochodna f‘(x) danej funkcyi f(xl podaje tangens kąta, jaki stycma do krzywej y*=f(x) w punkcie (x, y) tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-ów.

Określeniu pochodnej, jako funkcyi, podającej granicę stosunku różnico-cowego, odpowiada więc geometrycznie określenie stycznej, jako granicy, do której zdąża sieczna w chwili, gdy jej następny punkt przecięcia z linią krzywą nakrywa się z pierwszym.

3. "Wprowadzając pojęcie różniczek, otrzymaliśmy jednak drugie określenie pierwszej pochodnej f(x), jako funkcyi, podającej stosunek między różniczką zmiennej zależnej : y=f{x), a różniczką zmiennej niezależnej x, czyli,

/7|/    r ff

podającej stosunek różniczkowy funkcyi : y=f{x)₁ w miejscu x.

G/00

\x= 0

Ax

Temu określeniu możemy nadać następujące znaczenie geometryczne. Niech będzie punkt M pewnym punktem linii krzywej : y=f(x), mającym odciętą x, a rzędną y, natenczas zmieniając odciętą x punktu M o różniczkę dx, zmienimy także rzędną punktu M o różniczkę dy=f(x+dx)—f(x), otrzymujemy tedy nowy punkt M' (fig. 275.1, o współrzędnej x-\-dx, f(x+dx)=y-\-dy, który nazywamy punktem sąsiednim punktu M na krzywej : y=f(x), (fig. 275.).

'i

X X+ix Fig. 275.

Różniczka dx zmiennej niezależnej x przedstawia tedy odstęp rzędnych: y iy-\-dy: dwóch sąsiednich punktów krzywej: y=f(x), a różniczka ^ dy zmiennej zależnej y przedstawia różnicę między rzędnymi tychże punktów sąsiednich.

Stosunek ^ przedstawia tedy tangens kąta

jaki prosta, łącząca dwa sąsiednie, nieskończenie blizkie, punkta krzywej: y—f(x), tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-ów.

Prosta, tak określona, wpada w to szczególne położenie siecznej, w którem oba jej pnnkta przecięcia wpadają wr jeden punkt (cc,y), czyli jest styczną do krzywej w tym punkcie (x, y). To nowe określenie stycznej do linii krzywej odpowiada drugiemu określeniu pochodnej, jako funkcyi, podającej stosunek

różniczek , który geometrycznie przedstawia tangens kąta, jaki styczna

do krzywej tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-6w. Dwom rozmaitym określeniom pochodnej, odpowiadają więc dwa rozmaite określenia stycznej.

Określeniu pochodnej, jako funkcyi, podającej wartość stosunku różniczkowego w pewnem miejscu, odpowiada określenie stycznej, jako prostej, łączącej dwa punkta po sobie następujące; drugiemu zaś określeniu pochodnej, jako funkcyi, podającej granicę stosunku różnicowego, odpowiada określenie stycznej, jako granicy, do której zdąża sieczna w chwili, gdy jej drugi punkt przecięcia nakrywa się z pierwszym. A przy obu tych określeniach pochodna f\x) funkcyi f(x) podaje w każdem miejscu, tangens kąta, jaki styczna w tern miejscu krzywej : y=f(x), tworzy z dodatnim kierunkiem osi #-ów.

przechodząca przez dany

4. Wykreślenie stycznej w danym punkcie krzywej y=f{x). Znając pierwszą pochodną danej funkcyi y = f\x), możemy wykreślić styczną w każdym punkcie (æ, y) krzywej, określonej równaniem y=f(x), wyznaczywszy wartość pochodnej: y,=ft(x) w tymże punkcie; otrzymana wartość przedstawia tangens kąta a, jaki styczna, w tym punkcie poprowadzona, tworzy z dodatnim kierunkiem osi #-ów ; znając tanga, możemy na mocy art. 13. str. 15., wykreślić odpowiedni kąt a, który będzie kątem ostrym, gdy tanga ma wartość dodatnią, a rozwartym, gdy tg a ma wartość ujemną ; prosta, pod kątem a nachylona do osi x-ów punkt (x, y), będzie szukaną styczną w tym punkcie.

na

Dodatnia wartość pochodnej : y‘=f‘(x) w pewnem miejscu x wskazuje też na dodatnią różniczkę dy=f\x).dx, a więc na wzrost rzędnej y w sąsiednim punkcie (,x + dx) linii krzywej: y=f{x), o wielkość nieskończenie małą tego samego rzędu, co dx; ujemna wartość pochodnej: y'=f‘(x), w danem miejscu x, wskazuje natomiast na ujemną różniczkę: dy—f\x).dx₁ a więc spadek rzędnej y w sąsiednim punkcie (x + dx) krzywej : y=f(x), również o wielkość nieskończenie małą tego samego rzędu , co dx.

Krzywa o równaniu : y=f{x), rośnie więc w danem miejscu x, gdy pierwsza pochodna f‘(x) danej funkcyi f(x) ma w tern miejscu wartość dodatnią, maleje zaś, gdy pierwsza pochodna f'(x) ma w tern miejscu wartość ujemną. Jeżeli pierwsza pochodna f\x) dla pewnej szczególnej wartości x=a otrzymuje wartość f‘(a) równą zeru, a więc, jeżeli /'(«)=0, natenczas będzie tga=0; styczna w takim punkcie wykreślona, tworzy z osią x-6w kąt równy zeru, czyli jest równoległa do osi #-ów. Punkta takie są najwyższemi, lub najniższemi punktami krzywej (maxima, lub minima, str. 464.), stosownie do tego, czy f\x)<^0, czy też

Jeżeli zaś

na-

pierwsza pochodna f (x) dla pewnej szczególnej wartości : x—a, otrzymuje wartość nieskończenie wielką, a więc, jeżeli f'(a)=oo tenczas będzie tg a=cc , styczna w takim punkcie wykreślona, tworzy tedy z osią £-ów kąt prosty, jest więc prostopadłą do osi x-ów, czyli równoległą do osi y-ów.

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

dy

5. Przykład. Niech będzie dana funkcya y=x², natenczas znajdziemy jej pochodną

y'=d^ — 2x, a wartości tej pochodnej, w różnych miejscach x, dadzą nam tangensy kątów,

jakie styczne w tych miejscach do krzywej y=x² wykreślone, tworzą z osią æ-ôw. Dla tej krzywej otrzymamy następującą tablicę wartości funkcyi i jej pochodnej : x= — oo

3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,

9,    4,    1, 0, 1, 4, 9,

6,    4,    2, 0, 2, 4, 6,

Na podstawie tej tablicy jesteśmy w stanie wyznaczyć nietylko poszczególne punkta

krzywej y =x², lecz także w każdym punkcie wykreślić, styczną do tej krzywej. Tak n. p. dla x — 0, mamy y‘ = 0, t. zn. tang a = 0, więc oc = 0, to znaczy: styczna w punkcie 0, nakrywa się z osią cc-ów. Dla £c = l, mamy y= 1, zaś y‘ — 2. W punkcie M jest więc tang a — 2, możemy więc łatwo wykreślić styczną w punkcie M, odcinając PS = 4 MP i łącząc punkt S z punktem M. Dla x — 2, mamy y— 4, jakoteż y‘ = 4, więc w punkcie N, jest tang a == 4, odcinając zatem RP — \ NR— 1, i łącząc punkt P z N, otrzymamy prostą PN, styczną w punkcie N danej krzywej i t. d. Dla x = — 1, y — 1, mamy ty¹——2, X kąt a jest tu więc rozwarty, a wielkość jego znajdziemy, odcinając P‘S‘ = \P‘M‘ =4 i kreśląc prostą M‘S'; kąt ilf'Ä'O, będzie tedy tym kątem, którego tang « = —2. Prosta ilPS' będzie więc styczną w punkcie M‘. Podobnie wykreślimy styczną w punkcie N (x = — 2, y = 4), dla którego y' = — 4, czyli    a=—4;

będzie nią prosta NP'. W ten sposób możemy, na podstawie wartości pochodnej, wyznaczyć styczną w każdym punkcie krzywej, określonej równaniem y—x². W punkcie æ=oo, y—oo, jest także y‘= oo, czyli tang x= oo, zatem a = 90°, to znaczy, że styczna w nieskończenie dalekim punkcie tej krzywej jest prostopadłą do osi tc-ów.

6.    Uwaga. Krzywe paraboliczne o równaniu: y =xn aixn~^ Ą- ...Ą- an_ixĄ- an mają najwyżej («—1) punktów rzeczywistych, w których styczne są równoległe do osi cc-ów, odcięte, bowiem x, tych punktów są określone równaniem (n—l)-go stopnia:

y' = na₀xn-¹-f- (n—l)aixn-'i -f ... -\-an_i==Q,

a takie równanie ma, jak wiemy, (n—1) pierwiastków, które są, albo wszystkie rzeczywiste, albo po dwa urojone, parami sprzężone.

Krzywe paraboliczne parzystego rzędu y — a₀o;2r 4 a^x2r—i 4* ...Ą-a^r muszą więc mieć przynajmniej jeden punkt taki, w którym styczna jest równoległą do osi x-ów, albo mają nieparzystą ilość takich punktów ; krzywe paraboliczne nieparzystego rzędu :

y = a₀a;2r+l aix²r -f ... -j- «2r+1 ,

mogą nie mieć wcale takich punktów, w którychby styczna była równoległą do osi a:-ów, albo mają parzystą ilość takich punktów.

Punkta , w których styczne są prostopadłe do osi x-ów, leżą na krzywych parabolicznych: y = a₀xn-{- a{xn—i -(-•••+ °n , wszysftcie wraz ze swemi stycznemi w nieskończoności.

7.    Znaczenie geometryczne drugiej pochodnej danej funkcyi. Pierwsza pochodna: y‘=f'(x), danej funkcyi: y=/‘(#), przedstawia, jak się przekonaliśmy, dla każdej wartości x, łangens kąta, jaki styczna w punkcie (æ, y) krzywej o równaniu: y=f(x), tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-6w.

y = + oo iy'= — oo

, ...J

4 oo.

X-

kl

r’ p' s' o s ? h

Fig. 276.

f    d^y

Chcąc teraz zbadać znaczenie geometryczne drugiej pochodnej : —Ą==y“=fu(x)₁

CMC

Wobec tego, z rów-

danej funkcyi y=f{x), musimy uwzględnić, że: y“

dy‘

nania : y' = tga, otrzymamy drogą różniczkowania: dtg a

dx ’

r= dx

da

, a więc y" = ——,    . ,

cos² a dx

da

----- = sec² a.

dx

(2)

W otrzymanym wzorze przedstawia da różniczkę kąta, jaki styczna w danym punkcie tworzy z dodatnim kierunkiem osi a>ów, spowodowaną przez

różniczkę dx odciętej x, tegoż punktu, a więc wielkość kąta, zawartego między dwiema nieskończenie blisko po sobie następującemi stycznemi, czyli wielkość kąta, zawartego między stycznemi w dwóch sąsiednich punktach, których odcięte wyrażają się przez x i x+dx.

Kąt nieskończenie mały, zawarty między stycznemi w dwóch sąsiednich punktach krzywej, nazywamy kątem styczności w danym punkcie krzywej, a na jego wyznaczenie w punkcie (x, y) krzywej: y=f(x) otrzymujemy więc z (2) wzór :

da =

y"

.dx

y"

(3)

. dx.

sec²«

Z wzoru tego widzimy, że, przy wzroście dx odciętej x, znak przyrostu da zależy od znaku drugiej pochodnej y" danej funkcyi: y=f(x).

Jeżeli druga pochodna y"=/‘"(#) otrzymuje dla danej wartości x wartość dodatnią, natenczas jest także da dodatnie. Kąt nachylenia a stycznej względem osi #-ów wzrasta tedy w danem miejscu wraz z wzrostem x, krzywa jest wtedy w punkcie M wypukłą stroną na dół zwróconą, jak na fig. 277.

Jeżeli druga pochodna: y" =f“(x), otrzymuje dla danej wartości# wartość ujemną, natenczas jest także da ujemne; kąt nachylenia stycznej

1 + 2/'²

A*.

M,

Fig. 277.

Fig. 278.

Fig. 279.

Fig. 280.

względem osi #-ów maleje tedy wraz z wzrostem #; krzywa jest wówczas w punkcie M wklęsłą stroną na dół zwrócona, jak na fig. 278.

Jeżeli wreszcie druga pochodna: «/"=/'"(#), dla danej wartości x, staje się równą zeru, natenczas jest także da równe zeru. Dwie po sobie następujące styczne wpadają wtedy na siebie, tworząc jedną linię styczną, której

dcc

nachylenie a do osi jest, ze względu na to, że w tym razie —=0, jest ma-

CtOO

ximum, lub minimum. Punkta takie, w których y“=0, zaliczamy do punktów osobliwych linii krzywej i nazywamy punktami przegięcia, jeżeli w nich krzywe zmieniają swą wklęsłość na wypukłość, (fig. 279.), lub odwrotnie (fig. 280.)

Krzywa o równaniu : y=f(x), jest więc w danym punkcie (#, y) zwrócona na dół wklęsłą stroną, gdy /’"(#)<( 0, wypukłą, gdy /“"(#) i> 0, posiada zaś w nim punkt przegięcia, gdy /'"(#) = 0, a nadto wartości f,l(xĄ-h) i f"(x—h) w otoczeniu punktu x mają przeciwne znaki.

8. Wyznaczanie kształtu krzywej: y=f(as). Jak za pomocą wartości funkcyi f(x) możemy wyznaczyć rzędne poszczególnych punktów linii krzywej o równaniu: y^=f(x), a za pomocą wartości pochodnej f'(x) nachylenia stycznych w tychże punktach, tak możemy

- 628 -zapomocą wartości drugiej pochodnej /'"(a;) funkcyi wyznaczyć miejsca, w których krzywa, dana równaniem : y =/(aj), jest wklęsłą , a w których wypukłą , tudzież wyznaczyć jej punkta przegięcia, a tern samem wyznaczyć kształt krzywej: y=f(x) i jej przebieg w granicach od x = — 00 do a: — -f- co .

¹

2n — 0, «2m+1

Przykłady. 1) y= X¹ + 1. Mamy tu : y‘ = 2x, ly" = 2, a więc następującą tablicę

wartości :

0,..., + 1,..., + 00, 1, ..., -f- 2,..., -j- 00, + 2,..., -j- 00, + 2,..., + 2 .

£C = — OO ... -1

y = 4-00... +2,

y‘ = — 00 ... — 2,..., 0,

y"— -f- 2 ... -|-2,..., 2,

Krzywa wznosi się wyłącznie nad osią x-ów, posiada minimum w punkcie : (x — 0, y= 1), i jest w całej swej rozciągłości wypukłą względem osi o?-ów. (Fig. 281).

X'

ci

û_

*•?

"•dT"

jf

a’

y = ce² -f- ].

Fig. 281.

2) y= wartości :

V    a;²-fl*

Fig. 282.

^npr Mamy tu : y¹

y=V/^+1.

Fig. '283.

Gæ²- 2 (a?² —f- l)² ’ V ~(i²-f l)³'

y ₌ - n-::—.

V/ æ²-f- 1 Fig. 284.

—2a:

a więc następującą tablicę

+1,

x = — co ,... — 1, — 0*6,    0, + 0.6

y = + 0,...+ >/„ +•/„    +!,+%> _ +Vj

y = + o+ % Va, o, - 7« Va, - ‘A y"— + o > — + V2 ?    0,

,    ...j

PP p 8

+V2

Krzywa wznosi się wyłącznie nad osią a;-ów, posiada styczną równoległą do osi a>ów w punkcie x = 0. y = 1, a nadto sama oś a:-ów jest styczną do krzywej w punktach: x==±cc,y — 0, posiada dalej punkta przegięcia w miejscach, określonych równaniem:

Ga:²—2=0, czyli: a?²=-^-, a więc dwa punkta przegięcia:

-2,

0,

(    . V/î

v*=+-s

-4). (~

V/3

a wreszcie w miejscach, dla których: (a:² -f- 1)³= co, a więc w punktach: (a: = +ao, ?/ = 0), (fig. 282.).

3) y=\/oc²-\-l. Mamy tu: y'

■V

vTPtï’ r

(a:²+l)³/₂'

Krzywa składa się z dwóch gałęzi, symetrycznie ułożonych, względem osi a?-ów, po siada styczne równoległe do osi a:-ów w punktach: (a;=0, y= +1), a punkta przegięcia tylko w punktach nieskończenie dalekich: (a; = + co), w których styczne, ze względu na to, że

⁼ \/> 2    1/    =±1} nachylone są do osi a:-ów pod kątami 45° i 135°. (fig. 283.).

^X_. Mamy tu    r

Krzywa składa się z dwu gałęzi, symetrycznie ułożonych względem osi .r-ów, ma styczne równoległe do osi x ów w punktach (x=0, y = +1), a w oś x-6\v wpadające w punktach (x = ±œ, y — 0), posiada cztery punkta przegięcia, określone spółrzędnemi :

w nich : tg a

4) V

2a:²— 1 (a:² + l)⁵b '

(*=* ±

Y/2

₂), (fig. 284).

5)y = x(x²—4). Mamy tu: y==x³—4x, y‘= 3x²—4, y" = 6x. Krzywa przecina oś x-ów w punktach, dla których: x(x²—4)=0, a więc w trzech punktach: x = 0, x—+ 2, — 2; posiada styczne równoległe do osi x-ów, w punktach, dla których:

y⁴ — 3x² — 4 = 0, czyli : x² =    ,

a więc w dwóch punktach :

(    . ²V'3

^ = + -3-,y

= —2 V/3 ) , (x=

2\/3 3    ’ y

= 2 Y/3) ,

i posiada punkt przegięcia w miejscu, dla którego y" = 6x = 0, a więc w punkcie x=0, y = 0, w którym styczna jest nachylona do osi x-ów, pod kątem a, dla którego: tga =— 4. (fig. 285.).

6) y=(x²—l)(x²—4). Mamy tu: y=xi—5x²+4, y⁴ — Ax³—10x, y“ — 12x²—10.

Krzywa przecina oś x-ów w czterech punktach: x= + l, x — — 1, x = + 2, x — — 2, ma styczne równoległe do osi «-ów w trzech punktach :

V/IÖ

2~ ’ y = ~

(x = 0, y =4), ^

)’ (*=

\/l0

2~ ’ y

₌_n

4/’

i dwa punkta przegięcia :

Y/8Ö

19

36

)(x =

\/30

j|)> (Ag- 286).

0.

31

.1

£.

■X

7 xr

3'

y = x (x²— 4). Fig. 285.

y—(a3²—l)(x²—4). Fig. 286.

y x(x²—4)’ Fig. 287.

y (x²-l) (x²- 4)' Fig. 288.

7) y

12a:⁴—24x² + 32

3x²-4

. Mamy tu: y

(:x³ — 4 x)³

x³—4a:

(x³— 4x)²

Krzywa nie przecina osi æ-ôw, a ma ośm punktów nieskończenie dalekich :

0*=.O, y = ±oo), (as==4-2, y = ±co), (x=—2, y = + co), (x = + co, ÿ = + 0), (x=—co, y=—0), posiada dalej styczne równoległe do osi x-ów w dwóch punktach:

x (oc² — 4)

/    2V/3

3\/3

16

)’ (*

2\/3

3V/3

16

).

a nadto styczne, w oś x-ów wpadające w dwu punktach: (x = + co, y = -4-0), (x = — co, y = —0); krzywa ta nie posiada wcale rzeczywistych punktów przegięcia, położonych w skończoności, a natomiast wszystkie jej punkta nieskończone mogą być uważane cztery punkta przegięcia. W całości składa się krzywa z czterech gałęzi, jak na fig. 287.

4x³—10x

::;i

8) V

y” —

(te² — 1) (x² — 4)‘

20 x6 — 90 x⁴ + 202x² +40

Mamy tu : y =

x⁴ — 5x²+ 4

» y* = -

(x⁴—5x² + 4)²

(x⁴—5x² + 4)³

Krzywa nie przecina osi x-ów, a ma dziesięć punktów nieskończenie dalekich:

(œ== + co, y=+0), (x= + l, y=±co), (x = + 2, y= + oo), posiada dalej styczne równoległe do osi x-ów w punktach:

V/iô

2~ ’ y=~

(x=0,y=-i), (x

CO

)- (x=

V/ÎÔ

2~~’ ^=~

9/

a styczne, wpadające w osi x-ów w punktach: (x —+ co, y= 0). Krzywa nie posiada

wcale rzeczywistych punktów przegięcia, położonych w skończoności, a natomiast jej punkta nieskończonościowe możemy uważać za pięć punktów przegięcia. W całości składa się krzywa z pięciu gałęzi, jak to fig. 288. wskazuje.

10. Uwaga. Przy wyznaczaniu kształtu krzywej y =f(x) należy przedewszystkiem zwrócić uwagę na wybitne punkta krzywej, do których zaliczamy :

1)    punkta zerowe krzywej, określone równaniem f(x)= 0, t. j. punkta, w których krzywa y=f(x) przecina oś a:-ów ;

2)    punkta nieskończonościowe, określone równaniem /(cc) = co ;

8) punkta określone równaniem //(cc) = 0, t. j. punkta, w których styczne do krzywej są równoległe do osi cc-ów ;

4)    punkta określone równaniem/'(cc) = co, t. j. punkta, w których styczne są prostopadłe do osi cc-ów ;

5)    punkta przegięcia, określone równaniem /"(a?) = 0, lub /"(cc) = co, t. j. punkta, w których krzywa może zmienić swą wklęsłość na wypukłość, lub odwrotnie.

Wyznaczywszy spółrzędne tych punktów, ich styczne, tudzież zachowanie się krzywej w ich otoczeniu, można już wyrobić sobie pogląd na przebieg krzywej w całej jej rozciągłości.

11. Podział krzywych o równaniu: y = f{x). Stosownie do rodzaju danej funkcyi: f(x) dzielimy krzywe o równaniach: y=f{x), na krzywe algebraiczne i na krzywe przestępne.

Do krzywych algebraicznych zaliczamy:

1)    obrazy funkcyj całkowitych wymiernych, o równaniu :

y=xn+xn~x + a₂ xn~² +... + an_i x + an ;

2)    obrazy funkcyj ułamkowych wymiernych, o równaniu:

xm-\-aixn,-i

V xn-\-bixn-l-{-bïxn~2jr...-\-bn_\X-\-bn    ’

3) obrazy funkcyj całkowitych niewymiernych, o równaniu :

+ a₂x

f ... + am-ix+am

y=S/xm -ł-Oj®

VI—1

+ • • • + (im—i    i

4) obrazy funkcyj ułamkowych niewymiernych, o równaniu :

xm+ a^x

+ ••• + dm— 1 ® + dm

xnbixłl 1 +...-\-an—i x-\-bn

5) obrazy wszelkich funkcyj, złożonych z powyżej wymienionych funkcyj za pomocą sześciu działań algebraicznych.

Do krzywych przestępnych zaliczamy:

1) obrazy funkcyj całkowitych przestępnych , określonych równaniem : y=$ß(®), gdzie $ß(a:)=a₀ + a₁®+«₂®²+...,

jest szeregiem bezustannie zbieżnym ;

2)    obrazy funkcyj przestępnych ułamkowych, uważanych, jako ilorazy funkcyj całkowitych przestępnych.

3)    obrazy funkcyj, złożonych z funkcyj algebraicznych i przestępnych.

Poznawszy w art. 9. obrazy niektórych funkcyj algebraicznych, zajmiemy się obecnie obrazami elementarnych funkcyj przestępnych.

12. Obrazy funkcyj wykładniczych i logarytmicznych. Logarytmiką nazywamy krzywą, przedstawiającą obraz funkcyi wykładniczej : y=ex. Dla tej funkcyi mamy: y'=ex, y"—ex, a stąd otrzymujemy dla:

x=—cc,... <0, 0, >0,... +oo , y=y‘=y“=JrO, ••• <1, i, >1,... +go.

Krzywa, wychodząc z punktu (x=—oo , y=0), w którym ma styczną, wpadającą w oś x-6w, wznosi się stale nad osią a?-ów, zwracając ku niej swą stronę wypukłą, przecina oś y-ów w punkcie (æ=0, y= 1), pod kątem 45°, dążąc do punktu (x= + co, y=+ oo ), w którym ma styczną prostopadłą do osi x-ów. Kształt jej wskazuje fig. 289.

Odmienny przebieg ma krzywa, będąca obrazem funkcyi : y=e— r. Dla tej funkcyi mamy: y'= —e~x, y“=e~x, a zatem otrzymujemy: dla:

y=y“= + co y‘——oo

Krzywa wychodzi z punktu nieskończenie dalekiego : (x=—cc , y=-f oo) zdąża swą wypukłą stroną do osi æ-ôw, osięgając ją w drugim punkcie nieskończenie dalekim: (æ=+oo,    0), jak na fig. 290., i przedstawia także

logarytmikę.

Logarytmiką w innem położeniu jest także krzywa, będąca obrazem funkcyi: y=\ogx.

1

Dla tej funkcyi mamy: y' =—,

x

pującą tablicę wartości rzeczywistych: dla #=0,    e⁻¹

y= — œ */'= + co

y " = — oo

Krzywa, wychodząc z punktu nieskończenie dalekiego (x=0, y= — oo ) rozciąga się wyłącznie po prawej stronie osi y-ó w, zwracając na dół swą stronę wklęsłą, przecina oś x-ów w punkcie: («=1, y= 0) pod kątem 45°, i wznosi się potem nad osią x-ów aż do nieskończoności, jak na fig. 291.

X — —00

<1

O T—I

-1

y" = _

O t-L

>0, + co,

<1» +0?

-0.

Aj, otrzymujemy zatem nastę-00

-1, <0,

6, >1, 1, <1

—e²

-1

X'

1,

+ 00, + 00 , +0, -0.

X X'

y = ex. Fig. 289.

y=e~*. Fig. 290.

y — log a:. Fig. 291.

13. Obrazy funkcyi goniometrycznych i cyklometrycznycb. 1) Sinusoida.

Sinusoidą nazywamy krzywą, przedstawiającą obraz funkcyi: y—sina:. Mamy tu: y‘—cos#, y"=— sin#, a więc następującą tablicę:

—— 0 —

2 ’ ’ 2 ’

#=

y=-

y‘=-

y" = ...

3:7z

•••    g ’    ^

+ 1. 0

0. -1

7 “I

3 7Z

2?r...

0,

o, +1

O H O*

0, -1

-1

0, —1, o,... 0, 1, ... Oj +lj 0, ...

Krzywa przecina oś #-ów w nieskończenie wielu punktach o spółrzędnych: y=0, x=kn, (Æ=0, ± 1, ±2,...) pod kątem 45°, lub 135°; wszystkie te punkta są zarazem punktami przegięcia tejże linii krzywej.

Krzywa ma także nieskończenie wiele maximôw i minimów, określonych warunkiem y'=cosæ=0. Punkta najwyższe mają spółrzędne:    +1

x= il₂(4:Jc-\-1) TT, najniższe zaś mają spółrzędne: y=~-1, x= ¹/₂(4^-f3) ji, gdzie 7c=0, ±1, ±2,...

Krzywa składa się więc z nieskończenie wielu fal, jak na fig. 292.

s-jr

-1

Jl

3 Jl

2.

y = sin x.

Fig. 292.

Sinusoidę przedstawia także funkcya y = cos x, krzywa jest tylko ze względu na to, że cosa;=sin{xj₂n—x) = —sin(a;—^7c) przesunięta o ll₂n, w kierunku ujemnym osi x-6w i obróconą, na około osi a;-ów, lub też, ze względu na to, że cos#=sin{x-\- il₂n), krzywa jest przesuniętą, o il₂Ji w kierunku do-datnymosi a>ów, ale bez obrotu dokoła tej osi.

Dla tej funkcyi mamy: y=cosx, y‘ =—sina;, «/"= — cos a;.

Krzywa:    cos a: przecina oś a;-ów w punktach: y=0, x= ¹/₂(2ä+ 1) n,

które są zarazem jej punktami przegięcia. Punkta najwyższe i najniższe są określone warunkiem: y' = — sin,r==0, pierwsze mają spółrzędne : x=2Jcji, y= +1, drugie zaś mają spółrzędne: x= (27c-f 1)ji , y= — 1, jak na fig. 293.

X' j-2JT

-JT

i.

]2JT_X

Y'

y — cosec.

Fig. 293.

2) Tangensoida : y = tang a?. Mamy tu :

2 sin x cos³ a;

Krzywa przecina oś x-ów w punktach, dla których tang#=0, a więc w nieskończenie wielu punktach o spółrzędnych : x — lwi, y— 0, gdzie: Jc=0, d= 1, ±2, ..., które są zarazem jej punktami przegięcia. Styczne w tych punktach tworzą, ze względu na to, że w nich jest y‘ = 1, z dodatnim kierunkiem osi x-ów, kąt 45°.

cos "a;

y“=

Krzywa ma nieskończenie dalekie punkta o spółrzędnych: «= ¹/₂(2/c + l)yr, y— ±oo, a styczne w tych punktach są prostopadłe do osi «-ów, składa się zatem z nieskończenie wielu gałęzi do siebie przystających, (fig. 294.)

X’ Aji

<ji

-i

JL

3JI

ZŁ

Y’

y — tgx. Fig. 294.

z których każda w swej części, nad osią «-ów położonej, zwraca na dół wypukłą , a pod osią «-ów wklęsłą stronę.

Tangensoidę przedstawia także funkcya: y=cotg«, krzywa jest tylko ze względu na to, że: cotg «=tang (^tt—x) ——tang (a:—il%n) przesuniętą o il₂7i₎ w kierunku ujemnym osi «-ów, i obróconą naokoło osi «-ów, jak na fig. 295. Mamy tu, zresztą :

2 cos x

y'--

y"

sin³«

sin²«

skąd wypływają punkta o stycznych prostopadłych do osi «-ów, określone równaniem: sin«=0, a punkta przegięcia określone równaniem: cos«=0.

X' !-2Ä

rJL

<1

Jl____\f

zji x

y — COtg X.

Fig. 295.

8) Sekansoida: y=secx. Mamy tu:

sin« cos²«

Krzywa nie przecina osi «-ów, punkta najniższe mają spółrzędne:

. «=2 for, y=1, najżwysze zaś: x=(2Jc-\-l)n, y=~ 1, gdzie Jc=0, +1, +2,..., obok nich posiada krzywa punkta nieskończenie dalekie o spółrzędnych x=il₂(<2k+l)ji, y=zt co i składa się z nieskończenie wielu gałęzi, położonych na przemian nad osią «-ów i pod nią, przyczem gałęzie nad osią «-ów po-

y‘=

y"

1 + sin²« cos³«

łożone, zwracają na dół stronę wypukłą, gałęzie, pod osią x-ów położone stronę wklęsłą, jak na fig. 296.

X' "2 JT

-3 Jl

\%

3J[

MX

y— sec sc.

Fig. 296.

Sekansoidę przedstawia także funkcya : y=cosecx, krzywa jest tylko ze względu na to, że: cosec æ = sec    —x) — sec (x—il₂n) przesuniętą o ¹/₂?r

w kierunku ujemnym osi #-ów. fig. 297.

-<

Lr. i

-s

y = cosec X. Fig. 297.

Funkcye cyklometryczne, jako odwrócenia funkcyj goniometrycznych, przedstawiają takie same krzywe, jakie odpowiadają odnośnym funkcyom goniometrycznym, z tą tylko różnicą, że krzywe te są odpowiednio ułożone około osi y-ów.

14. Obrazy funkcyj liiperbolicznych.

ßX_ß~x

1) y=sinhipÆ=—~

fl

. Mamy tu: y¹

e.x_|_e-.r

y"

ex—e~x

Funkcya staje się zerem, tylko dla # = 0, jest dodatnią dla #>>0, a ujemną, dla £*<0, przyczem, dla #= + co , jest także y=+ oo , a dla #=— go, także y=—go .

Pierwsza pochodna y‘ staje się dla x=0, równą 1, jest zresztą stale dodatnią i większą od 1, przyczem, dla #=±00 jest y'= + oo .

Druga pochodna y" otrzymuje te same wartości, co y.

Krzywa posiada więc punkt przegięcia w punkcie: (#=0, y = 0), a styczna w tym punkcie tworzy z osią x-ów kąt 45°.

Z punktu tego wznosi się krzywa po jednej stronie nad osią OX, zwracając na dół stroną wypukłą, po drugiej stronie pod osią OX', zwracając na dół stronę wklęsłą, jak na fig. 298.

2) y=cos hip x=—~—.

U

Krzywa ma, przy każdej wartości #, rzędne y równe średniej arytmetycznej między rzędnemi logarytmik: y=ex, (fig. 289) i y=e~x, (fig. 290.).

Cała krzywa wznosi się więc nad osią #-ów, symetrycznie względem osi y-ów, zwracając na dół stronę wypukłą i, mając punkt najniższy w punkcie x—0, y — 1, jak na fig. 299.

Krzywa ta jest jedną z najprostszych postaci t. z. krzywej łańcu

chowej.

X'

X'

-1

Y'

XL

Y'

y = tang hip x. Fig. 300.

y — sin hip x. Fig. 298.

y — cos hip a:. Fig. 299.

4e²*

3) y=tanghip#= ₂ - ■. Mamy tu: y1 e *± 1

y" =

8e²* (1—e²*)

(e²*+l)³ *

(e²*+ 1)

Funkcya staje się zerem tylko dla #=0; jest dodatnią, gdy #>>0, ujemną, gdy #<C0, przyczem, dla #=+go, jest y= +1, a dla x=— go, jest: y=—1.

Pierwsza pochodna staje się zerem, dla #=—co, tudzież, dla #=+oo, a zresztą jest stale dodatnią. Druga pochodna jest zerem, dla x=0 i dla x= ± go , przyczem jest dodatnią, dla #*<0, a ujemną, dla #>0.

Krzywa przecina więc oś #-ów w punkcie x=0, pod kątem 45°, i wznosi się stąd, z jednej strony nad osią OX, zwracając ku niej stroną wklęsłą, a z drugiej strony pod osią 0X‘, zwracając na dół stronę wypukłą, przyczem ma najwyższy punkt: # = +oo, y= +1, a najniższy: x=—oo, y= — 1, jest więc cała zawarta między dwiema równoległemi do osi #-ów, wykreślonemi w odległościach: +1 i —1. (fig. 300).

1    I p

4) y=cotghip# = e^—j.

Funkcya ta jest odwrotnością funkcyi tang hip #, otrzymuje więc, dla x=0 wartość nieskończenie wielką, a mianowicie: —co, po lewej stronie osi y-ów, a: +QO, po prawej stronie osi y-ów; następnie dla #>>0, jest stale dodatnią, a dla #*<0 stale ujemną, przyczem otrzymuje dla #= + co , wartość równą +1, a dla #=—go , wartość równą —1. Dotycząca krzywa ma kształt, jak na fig. 301.

X'

Y'

y = cotg hip x. Fig. 301.

y = sec hip x. Fig. 302.

y — cosec hipæ. Fig. 303.

5)    y—sec hip x= ~-² _x.

Funkcya ta jest odwrotnością funkcyi coship#.

Krzywa otrzymuje więc dla #=0 rzędną y=l, która wskazuje na jej punkt najwyższy, z tego punktu wychodząc, spada krzywa symetrycznie względem osi y-ów, dotykając się osi x-ów w punktach: #=oo i #=—oo, ma więc kształt, jak na fig. 302.

6)    y=cosechip#=—-—.

ßX-ß—X

Funkcya ta jest odwrotnością funkcyi: sin hip x.

Krzywa składa się więc z dwóch gałęzi, z których, jedna po lewej stronie osi y-ów, wznosi się nad osią #-ów, druga po prawej stronie osi y-ów, pod osią #-ów, mając cztery punkta nieskończenie dalekie : (#= — co, y=—0), (#= —0, y=— co), (#= +0, y=+oo) i (#=+oo, y=+0), w których styczne wpadają w osie układu, jak na fig. 303.

Odwrócenia funkcyj hiperbolicznych, jak: y=arg sin hip#, y=argcoship x, y = arg tang hip x, y = arg cotg hip x, y — arg sec hip# i y = arg cosec hip #, przedstawiają te same krzywe, co odnośne funkcye hiperboliczne, ułożone odpowiednio względem osi y-ów.

15. Różniczka luku danej linii krzywej. Odległość dwu sąsiednich punktów: M(x, y) i M\x+dx, y + dy), danej linii krzywej: y=/(#), (fig. 275.), jest nieskończenie małym łukiem MM‘: który nazywamy różniczką łuku i oznaczamy przez ds, pisząc MM'=ds. Jej związek z różniczkami dx i dy wypływa z trójkąta prostokątnego MM‘R, w którym MR—dx, M‘R=dy, MM‘=ds, i przedstawia się , na podstawie twierdzenia Pytagorasa, w postaci: ds²=dx2jrdy²₁ czyli: ds=Vdx² + dy²,

=f‘ (x)—y¹, otrzymuj emy :

skąd, kładąc

. dl

(4)

dx

ds²=dx²

a więc wzór: ds=dx\Z\Ą- y‘¹ czyli: wyrażający różniczkę łuku przez różniczkę zmiennej niezależnej.

ds=dx Vl + [/' (x)]²,

(P)

Wzór ten wykazuje

że różniczka ds łuku s krzywej: y = f(x), jest w każdym punkcie x tejże linii krzywej nieskończenie małą tego samego rzędu , co różniczka dx odciętej x tego punktu, skoro f\x) ma w tym punkcie wartość skończoną.

W szczególności, otrzymujemy stosunki różniczkowe:

= v/1+F² — =v/l +

dx V ’ dy

ds

y‘

z których, kładąc y=tga, otrzymujemy wzory:

dx=ds.cosa, dy=ds. sin a.

T. z. Różniczki dx i dy spółrzędnych (x, y) punktu krzywej: y=f(x), są rzutami różniczki ds łuku krzywej na osie 0X i O Y układu XOY.

(5)

16. Krzywizna i promień krzywizny w danym punkcie krzywej. Styczne w dwu po sobie następujących punktach (x, y) i (x-Ą-dx, y + dy) krzywej: y=f(x), tworzą kąt nieskończenie mały, przedstawiający różniczkę kąta a, jaki styczna w punkcie x, y, tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-ów, wodowany przez różniczkę dx , a zwany kątem styczności w punkcie (x, y).

Ze względu na to, że: tanga=y', a więc: a=arctangy\ mamy:

da dy‘

y"dx

spo-

czyli, jak w art. 7. str. 627., wzór: da=

72 dx.

, uważany, jako stosunek między nieskończenie małym kątem styczności, a różniczką łuku w danym punkcie x krzywej y=f(x), nazywamy krzywizną w punkcie x, a jej wielkość k określa się wzorem:

i+y¹² i\y

clct

Stosunek różniczkowy :

1 +y

da

y"

y"

y“

czyli : k =

^ ds (1 + */'²) Y/l+y'2 Odwrotną wartość 1 jk krzywizny k: w danym punkcie x, nazywamy promieniem krzywizny w tym punkcie.

Na mocy tego określenia otrzymujemy, na wyznaczenie promienia krzywizny w danym punkcie x krzywej: y=f(x), wzór:

a+y'²)s/*

(1+y²)³l*

y“

Z wzoru tego widzimy, że, dla yli—0, staje się <5=oo chodzi w otoczeniu takiego punktu w linię prostą.

a krzywa prze-

ćwiczenia XLY.

Wykreślić następujące krzywe i wyznaczyć punkta, w których styczne są równoległe do osi x-ów :

1) y — Ax—x¹. 2) y—x²— 4a;. Q/j=x{ 1—a;²). 4) y = 2x\l — x). 5) y= x\l—x).

6)y = l—3x -|- 3x². 7) y = x²3x2. 8)y = l + (2—x)². i)V y — 1 + x -f- x².

10) y = 1 -j- x-x\ 11) y=x^—2x³— llx²-\- 12®+36. 12) y==*h(l + x)(l-x²).

13) y=x³—x²-\-x— 1. 14) y=x'i—Sx² -\-22x²—24a5-f-12. 15) y = xh—5x⁴-|- 5x³-|-l.

■t n\    3a?

^ d + x

16) V

X² — x-\-l X² -(- X —1’

1 -J- x²"

21) y

24) y = .r³ — 2x\/x . 25) y — 1 -j- \/(2x — as²)² . 20) y —

x³ -\-x

19) y =

(i + x²y ‘

22) y ==f \/x³— xi. 23) y = Va a; Y/l — x*.

Y/(l + *²)³ '

27) y = l+ VV-x-xK 28) y = 1+ \/(x-l)⁴. 29) y

(1-f- x)\/l-\-x²

30) y= V/2(2-*)(as—1) . 31) y = 2 Y/l+a:². 32) y = 33) 2/ = 4

1 3 + 2æ

4' VV '

4 y/ 4x — x²

, 34) y = l + \?(2x—x²)*.

Wykreślić następujące krzywe przestępne :

35) y= e*. 36) y = e~x. 37) y = 2e*. 38) y =7je²*. 39) y=2e—-*. 40) y = V₂e⁻²*.

41) y=i/₂e3*. 42) y = ¹/₃e—3*. 43) y =2*. 44) y = 10*. 45) y = logæ. 46) y = 21oga;.

47) y = log a; dla zasady 2. 48) y = Log a; (dla zasady 10). 49) y = sina:. 50) y = sin2a\

cos 55) y = tang a:.

51) y = sin-^-. 52) y= cosec. 53) y = cos2a:. 54) y =

56) y = tang2æ. 57) y = tang-^-. 58) y — co tg a:. 59) y = co tg 2a:. 60) y=cotg-^-.

61) y = sec a:. 62) y = sec 2a:. 63) y = sec-^-. 64) y = cosec x. 65) y=cosec2a;.

a;    g.r — g—a:

66) y = cosec—. 67) y =-^-• 68) y =

—j— 6

g#    e—x

—-—• ⁶⁹)^

e*—e—*

⁷²)

73) y = arcsinaj. 74) y=arccosa;. 75) y = arctanga:. 76) y = arccotga:.

77) y = arcseca;. 78) y = arc cosec a;. 79) y = log(a;-{- V^»a+1)* 80) y = log(a:-{-\/a:²—1).

81)    82) »=ilog^

70) y

ex —e~x

. 71) y=

ex -4- e—* ’

-1*

83) y = log

. 84) y=log

l+V/1-a;²

85)    W którym punkcie krzywej y = (x—l)\/x—2 jest styczna równoległą do osi a;-ów?

86)    Znaleźć punkta przegięcia krzywej : y = Y//1—a;³.

g* 3

87)    Wykazać, że krzywa : y =

, ma trzy punkta przegięcia: a:j=0, x₂,₃—+\/3 .

1 + a:2 x²(x -f- 1)

ma punkt przegięcia w miejscu: a:=l — \^2. 89) Wykazać, że krzywa: y=-^-logæ, ma punkt przegięcia w miejscu: x=\/e³.

88) Wykazać , że krzywa : y

a:—1

Za pomocą szeregów wyznaczyć rzędne następujących krzywych :

90) y —

1—a: -f- log x

, dla x == 1. 91) y

logo:

, dla x = 1.

92) y—

\A'—V(i Ą-VX — a

\/ x²— a²

, dla x —

(l + aj)log(l+ar)

x²

, dla x=0.

94) y

1—cos x

sin² a;

, dla x — Q 95) y

x²

, dla x — 0.

96) y

log a:

cotga;

, dla x = 0. 97) y =

sina;

3a: cos x — sin x — sin 2x

3a;⁵ cos x

, dla a: = 0.

98) y =

\/ a² Ą- ax-\- x² — \/a² — ax -j- x²

99) y

\/a -j- x — Va— x log (1 -j- a;² -f-a:⁴)

, dla x = 0.

x²

, dla a: = 0.

100) y =

x sin (sina:) — sin²a;

dla a::=0.

101) y

tang nx — n tang x

n sin x — sin n x

, dla X — 0.

Rozwiązania XLV. 1) x — 2, y = 4. (fig. 304.) 2) * = 2. y =—4. (fig. 305.).

3) x=.± V₃V/3, 2/ = + ²/ôV'3. (fig. 306.). 4) *= Va, y = %. 5) *!=0,    =0, *₂=²/3» y₂=%.

(fig. 307.). 6) * = V₂, 2/ = — Va- 7) *= — ³/j, y = - V*. 8) a; = 2, y = 1. 9) x=—l/₂, 2/= ³/₄, (fig. 308.) 10) »=%, 2/ = sA- (%• 309.). 11)    = —2, 2/i = 0, »2 =+ 3, «/₂ =0, x₃=% y=(⁵/₂)\

(fig. 310.). 12) £rt= Y₃, 2/1 = ³²/si, æ₂ = —1, 2/2 = 0. (fig. 311.). 13) nie ma. (fig. 312.) 14) *j = 3.

■k

-x

Fig. 308. Fig. 309. Fig. 310.

Fig. 304. Fig. 305. Fig. 306. Fig. 307.

2/i=3; a;₂=2, 2/2=4; x₃=l, y₃ = 3. (fig. 313.). 15) *t = 3, 2/1 = — 26, x₂=l, y₂=2, x₃ =0, 1/3=1. 16) *t = + 1, yx = V2 ; «2 = — 1? y» =— Va. «3 =±00, 2/3=0. (fig. 314.). 17)a?₁= + 3, yi=V2; æ2 = — 3, y₂ = — 7₂, œ₃ = ±oo, 2/3 = 0- 18) *t=0, yt= — 1; »2 = 2, 2/2 = 7s ; »₃=+°°, </₃ = 1, (fig. 315.). 19) » = + \/2 , t/=¹²/₂₇; * = 0, y — 0, x — ±oo, y=0. (fig. 316.). 20)*,=—1,

|Y

Y!

(Y

■ \ /    —7    *

•ivr ⁰ iïî ^ I

Fig. 311. Fig. 312. Fig. 313. Fig. 314. Fig. 315. Fig. 316. Fig. 317.

2/t=0 ; *₂=+l, 2/2 = 2. (fig. 317.). 21) aą=l, j/i=2 ; »₂ = —1, y₂= — 2; »₃ = go, 2/3 = 0, (fig. 318.). 22) aą=0, 2/1=0; *₂=³A> 2/2=±7sV/3. (fig. 319.). 23) ^=0; 2/i=0 ; »₂=7₃^27, 2/2 = 79^12. (Fig. 320.). 24) »!=1, 2/1= — 1; »₂=0, 2/2=0. (Fig. 321). 25) «*=1, 2/1 =2. (fig. 322.). 26) 2/1= ± V2 V/2, 2/1 =± ²AV/ 3 , »2 = ± ® , 2/2 = 0, (Fig. 323.).    27 ) *, = — 72»

[Y

N/

<25 ' ;û><3 ■

Fig. 318. Fig. 319. Fig. 320. Fig. 321. Fig. 322. Fig. 323. Fig. 324.

yi=l+72V/6;»₂=-7₂,2/2=l-n/6. (fig.324.). 28)*=1, y=l, (fig.325). 29) »=1, y=±2\/2_, (fig. 326.). 30) a! = 7₂, 2/ = VjV/2", (fig-327.). 31)*=0, y = ±2, (fig. 328.). 32)*=%, y=%V% (fig. 329.). 33) *=%, 2/==V*V/ÎB; (fig. 330.). 34) *t = l, yt=l; *2 = 0, y₂ =0; *₃=2, 2/3=0,

U',

U//

»vr

!»

_X _2

ilf

'LJ

•i«

V,

•!« i*

X-

rx

Fig. 325. Fig. 326. Fig. 327. Fig. 328. Fig. 329. Fig. 330. Fig. 331.

(fig. 331.). 35) do 48) Por. fig. 289. i 291. 49) do 54) Por. fig. 292. i 293. 55) do 60) Por. fig.

294. i 295. 61) do 66) Por. fig. 296. i 297. 67) do 72) obrazy funkcyj hiperbolicznych. 73) fig. 832, a. 74) fig. 332, b. 75) fig. 332, c. 76) fig. 332, d. 77) fig. 332, e. 78) fig. 332, f. 79) y = arg sin hip x. Por. fig. 298. 80) y = arg cos hip x. Por. fig. 299. 81)

31

31

31

31

31

Il u

31

31

31

31

!7o

-1 1

J±

J±

-1 1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

/ai -3i

■at

31

-31

-31

-31

-31

-31

-31

-31

-31

<?

Fig. 332.

?/ = arg tang hip x. Por. fig. 300.    82) ?/ = arg cot hip x. Por. fig. 301. 83) y = arg sec hip x.

Por. fig. 802. 84) y = arg cosec hip x. Por. fig. 303. 85) x — ⁵/₃, £c = l²/₃. 86) a^— 0, xl — 1.

90) -2. 91) 1. 92)    ₉₃) _ y₂. 94) y₂. 95) 0. 96) 0. 97) - Vio* 98) VV. 99) 1.

V a

100) Vio* 101) 2.

Literatura. A. Cauchy. Leçons sur les applications du calcul infinitesimal à la Geometrie. Paris 1826. O. S c li 1 ö m i 1 c h. Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis

1.    Tlieil. Aufgaben aus der Differentialrechnung. Leipzig, 1887. G. Salmon. Analytische Geometrie der höheren ebenen Curven, deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler.

2.    Auflage. Leipzig 1882.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Obrazy geometryczne funkcyj ułamkowych wymiernych jednej zmiennej rzeczywistej.

2.    Obrazy geometryczne funkcyj niewymiernych kształtu: y —\Zax*-Ç- bx -J- c .

3.    Obrazy geometryczne funkcyj niewymiernych kształtu: y=\/axz-\- 6a?²-|- cx -|- d .

Wykład XüVl.

Styczność linij krzywych z liniami prostemi.

1. Równanie stycznej w danym punkcie krzywej: y=f{x). Mając dany

punkt M(x, y) krzywej: y=f(x), otrzymamy równanie jakiejkolwiek prostej, przechodzącej przez punkt M(x, y) w postaci:

gdzie X, Y są spółrzędne bieżącego punktu tej linii prostej, a spółczynnik m=tg a, cechuje nachylenie a tej prostej względem osi x-6w. Jeżeli ta prosta ma być styczną w punkcie M(x, y) krzywej: y—f{x), natenczas będzie :

oL

333.

Równanie stycznej w punkcie M (x, y)

krzywej: y=f(x), przedstawia się zatem w postaci:

Y-y

dy(X-x),

dx

(1)

czyli :

Y—y=y'(X—x), albo też: Y—f(x)=f‘(x)(X—x).

(l¹)

xy‘— y

y — xy‘

y¹ 2 3

wyznaczającej odcinki stycznej na osiach układu:

_x

c) równanie symetryczne w postaci :    ^ ■

xy'— y ,

«=    ■ ; b — y—xy')

y³

Y-y

dy ’

lenie stycznej do osi układu , określone wzorami :    ~ =    -

z którego otrzymujemy nachy-

dx

dy'

ds ’

dy

sm a = —r

skąd wynika :

3. Równanie normalnej w danym punkcie krzywej: y=f(x). Normalną w danym punkcie krzywej nazywamy prostą prostopadłą do stycznej, wykreśloną w punkcie styczności. Niech będzie M(x, y) danym punktem krzywej : y=f(x), natenczas styczna w tym punkcie ma, na mocy art. 1. równanie: Y—y=y‘(X—x).

Prosta, do niej prostopadła, przez tenże punkt (#, y) przechodząca, będzie więc, na mocy wzoru (3) str. 79., miała równanie :

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

cos a = —

ds

ds'

Y-y-

~7 (X-x)

y'

y\Y-ij)+(X-x)= 0.

(2)

czyli :

które jest więc równaniem normalnej w punkcie (x, y) krzywej: y=f{x). 4. Z równania tego otrzymujemy:

a) równanie zwyczajne normalnej, w postaci : Y=—^ X Ą-

ß) równanie odcinkowe, w postaci:

yy‘ + x yy‘ + æ

= 1,

wyznaczającej odcinki: a — yy‘-\-x, b-

yy'-\-x

y‘

y‘

, jakie normalna wyznacza na osiach układu.

X—x _ Y—y —dx

jemy nachylenie normalnej do osi układu , określone stosunkami :

sin a

y) równanie symetryczne :

X— x Y—y

y‘

-1

, czyli:

dy

z którego otrzymu-

cos a

dy

—dx

ds

V/dx’² dy’²

,    . -,    ,    dy    dx

prowadzącemi do wzorow : cos« = --, sma = —

5, Długość stycznej i normalnej, podstycznej i podnormalnej w danym punkcie krzywej: y=f(x). Wykreśliwszy, w danym punkcie M(x, y) krzywej styczną MT i normalną MN, otrzymujemy następujące odcinki:

1)    odcinek MT—T, który nazywamy długością stycznej w danym punkcie M krzywej ;

2)    odcinek MN— N, który nazywamy długością normalnej w danym punkcie M krzywej :

3)    odcinek TM‘ = T‘, który nazywamy p o ds tyczną w danym punkcie M krzywej ;

4)    odcinek M'N = N‘, kpóry nazywamy podnormalną w danym punkcie M krzywej.

Na wyznaczenie wielkości tych odcinków, otrzymujemy z trójkątów prostokątnych : MM‘T i M'MN, w których : y( MTM'= X M'MN—a, następujące re-

TM'=~~~—, M‘N=y tg a. cos a    tg a ,

Ze względu na to, że tang a—y', a więc:

lacye : MT- V

sin a

ds’

sm a

cos a

Y/l + y

a zatem : sino: =

y'

Y/l + y<2

otrzymujemy, na podstawie powyższych relacyj, wzory: yVl + y'²

cos a

Y/l + yn

”T, Y‘—yy‘.

które dozwalają wyznaczyć wielkości odcinków T, N, T i N w każdym punkcie M(x, y) krzywej, gdy znamy wartość pochodnej : y‘=f‘(x) w tym punkcie.

0. Z tych wzorów możemy też korzystać przy wykreślaniu stycznych do linij krzywych , danych równaniami kształtu: y—f\x). Dość jest wyznaczyć w tym celu jedną z tych czterech wielkości : T, N, V, N i to tę której, można oprzeć najprostszą konstrukcyę stycznych do danej krzywej.

Przykłady. 1. Weźmy pod uwagę krzywe o równaniach kształtu: y — x». Otrzymujemy tu: y‘— nxn — 1, a stąd podstyczną :

T‘ =- —

N^yVl-\-y

(3)

na

podstawie

xn

y‘

nxn~ i

a zatem :

T‘ — —

Podstyczna w danym punkcie krzywej: y-=xn, jest więc równa n-tej części spół-rzędnej x tego punktu. Na tej własności możemy oprzeć prosty sposób rysowania stycznej w danym punkcie M linii krzywej, określonej równaniem kształtu: y — xn.

Jeżeli wykładnik n jest liczbą dodatnią całkowitą , natenczas otrzymujemy krzywe, pospolicie parabolami rozmaitych rzędów. Szczególne postacie tych parabol, odpo-

wskazują figury 258 do 261 na str. 429. Parabolami

zwane

wiadające równaniom: «/ = £c², y—xz nazywamy też krzywe, których równania, kształtu y = xn, mają wykładnik ułamkowy —,

byle dodatni, a więc są kształtu: y — xn, czyli y—S/xm. Ich szczególne postacie zależą od tego, czy mianownik ułamka ^ jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą.

tr

X X'

&—ri* r

0 M'

x x'-

Y'

Y’

Y'

y=Vx

Fig. 334.

y =\y xî Fig. 335.

y=\/x3 Fig. 336.

y=Vx*

Fig. 387.

Na załączonych figurach przedstawione są główne typy tego rodzaju krzywych. Fig. 334. przedstawia krzywą: y — \/x, dla której y' =

___ T

2V/^’

'=2x, jest ona

zwykłą parabolą drugiego rzędu, jak na fig. 258. str. 429., tylko ułożoną symetrycznie względem osi .-r-ów. Na fig. 335. mamy znowu przedstawioną krzywę: y=x³h, czyli y = \/x³, dla której y¹ z=\\/x, T'= l x. Krzywę tę nazywamy parabolą Neil’a, składa się ona z dwóch gałęzi stycznych w punkcie początkowym, a ułożonych symetrycznie względem osi æ-ôw.

Fig. 336. przedstawia krzywę : y = 'S/x , dla której y‘

‘6\y x²

T‘ = 3cc, jest ona zwykłą

parabolą trzeciego rzędu, jak na fig. 259., a tylko styczną do osi y-ów. Fig. 337. przed-

— 2

stawia wreszcie krzywą y—x\*, czyli y=\/x², dla której y‘=—jp=r,

3 y x

parabolą Neil’a, jak na fig. 335. ułożoną symetrycznie względem osi y-ó w.

W krzywych: y=x4-w, zwanych ogólnie parabolami, polega konstrukcya stycznej w danym punkcie M na tern, że, wykreśliwszy rzędną MM⁴ tego punktu odcinamy, począwszy od JH*, w stronę punktu początkowego, podstyczna WT równą n-tej części odciętej x.

Jeżeli wykładnik n jest liczbą ujemną, a więc, równanie jest kształtu: y=x—n, czyi

^, natenczas otrzymujemy krzywe, zwane pospolicie hiperbolami. Jeżeli wykładnik

T=%x, jest ona

y =

ujemny n jest liczbą całkowitą, nazywamy krzywę hiperbolą (w-|-l)*go rzędu.

Y1

X¹-

M’ f

XX'

/TT

■x r-

WT

X X"

1A

nr

Y*

Fig. 341.

z którego wypada : y‘——

T" — —,-r, przedstawia szczególną hiperbolę drugiego rzędu, zwaną także hiperbolą równo-

Fig. 339.

W szczególności, równanie: = a:—¹, czyli ?/ —“

y⁼ ^ Fig. 338.

Fig. 340.

1 2

boczną, której kształt podaje fig. 338. Równanie: //=a?-², czyli y==- dla którego y'=--y

X

Ty, przedstawia liyperbolę trzeciego rzędu, której kształt podaje fig. 339. Równanie:

3

z którego otrzymujemy ?/' =— —^

1    4

czwartego rzędu, (fig. 340.), a równanie : y — x~^, czyli 45 z którego y‘=—^5, hiperbolę piątego rzędu , (fig. 3.41).

Jeżeli wykładnik ujemny n jest liczbą ułamkową, a więc równanie ma kształt:

”, czyli: y = ^

7' =

x—3, czyli y= —

cc³ ’

wyobraża hiperbolę

r'=-T’

natenczas, otrzymujemy krzywe hiperboliczne, których kształt

szczególny zależy głównie od tego, czy mianownik ułamka jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą.

.M

M'

V X ŻT'—

Tri

X X-

H¹

ń' T

Y'

Y'

Fig. 342.

V Vx³

Fig! 343.

V Vx

Fig. 344.

V \/x* Fig. 345.

Na załączonych figurach przedstawione są główne typy tego rodzaju krzywych.

dla której y‘

Fig. 342. przedstawia krzywę: y

krzywę: y=——, y xs

krzywę: y = —]=-y x

_-_ T‘

BV?'»»

której y‘=—

\/ x

dla której znowu y‘ ■=

dla której y⁴ — —

3V/V

_JL_ T.

2V/^’

\<M |CC

T⁴ — —2x, fig. 343. zaś

x. Fig. 344. przedstawia

vFP’dla

T⁴ —— 3x, fig. 345. zaś krzywę: y —

"I"

W krzywych: y = x~n, zwanych ogólnie hiperbolami, polega znowu konstrukcya stycznej w danym punkcie M na tern, że, wykreśliwszy rzędną MM⁴ tego punktu, odcinamy, począwszy od M⁴ w stronę przeciwną punktowi początkowemu 0, podstyczną T‘ równą «-tej części odciętej x.

7. Równania asymptot linii krzywej, danej równaniem: y=f(x). Styczną w nieskończenie dalekim punkcie, t. j. w punkcie, który ma jedną, lub obie spółrzędne x i y nieskończenie wielkie, nazywamy asymptotą, lub ledwo-n i e s t y c z n ą tej krzywej.

Z równania stycznej w punkcie (x, y) krzywej : y=f(x), przedstawiającego się w postaci:

(4)

otrzymamy równanie asymptoty w danym nieskończenie dalekim punkcie tej krzywej, jeżeli, dla spółrzędnych (.r, y) tego punktu wyznaczymy wartość

stosunku różniczkowego ~

wartość wyrażenia : znacza na osi YY‘.

określającego nachylenie asymptoty, tudzież

[y— x~£}’ Poda.i^ceg°

<!x

odcinek, jaki ta asymptota wy-

Oznaczmy te wartości dla pewnego punktu nieskończenie dalekiego

natenczas otrzymamy równanie

(i).“²'»¹ (y

przez

asymptoty tego punktu w postaci :

dx

00 ?

-@■*4-4).

(4')

czyli :

Y=y,œ.X+(y-xy,)a;i.

8. Przykłady:

v==Y-\'

Mamy tu : y‘ = —

(x-iy

; y—ny—T

2x—1

(x-iy

zatem równanie stycznej

2x—1

w punkcie x w postaci : Y——

Krzywa y

= + oo, drugi o spółrzędnych y= + 0, cc= + co, ma zatem asymptotę jedną, o równaniu X=1 więc prostą równoległą do osi YY', drugą o równaniu 7=0, t. j. oś cc-ów (fig. 346.).

O*—¹)

O»—¹)

2'

ma

dwa nieskończenie dalekie punkta , jeden o spółrzędnycli cc =1

S»

A,

a. y

A,

/y

A. !    :

‘T

-i

A.

A,

A.

'A.

A.

Fig. 346.

Fig. 347.

y = \A;2_ 1 Fig. 848.

IJ — X/ X A -\- X¹

Fig. 349.

or²

²) v==x*—9’ Mamytu: 2/ —

w punkcie cc ma postać : Y = —

18®

18a:

(x² — 9)²

; y—xy‘

x⁴ 9cc²

.X+

cc⁴-j-9.c²

(ce² — 9)²

zatem równanie stycznej

(ce²—9)²

(en² — 9)²

Krzywa ma następujące punkta nieskończenie dalekie : 1) cc = -|-3, y= + co, 2) x——3, y = +co; 3) cc = + oo, y = -j- 1, ma zatem trzy asymptoty:

1) X=3, 2) X = — 3, 3) F=l, (fig. 347.).

3) yz=yx² — 1. Mamy tu: y' =

Y/c^I

y — xy‘=—

y/®²— 1

, zatem równanie

stycznej w punkcie cc ma postać: F=

cc

.X-

y/cc²—T

Y/cc²— 1

Krzywa ma następujące punkta nieskończenie dalekie: 1) cc = -J-co, y = +œ; 2) cc =— oo, y=+oo, ma zatem dwie asymptoty, jednę o równaniu Y—-\-X, drugą o równaniu: F= —X, są to więc obie dwójsieczne kąta osiowego X0F, (fig. 348.).

3cc² -f- 2cc

4) y = £c³+ x¹. Mamy tu : y' =

cc²

zatem rów-

y-xy‘ =

3cc²-f 2cr 3Y^(®³+®²)² ’

Krzywa ma dwa punkta nieskończenie dalekie¹ 1) cc = +co, y = -f-oo; 2)cc = —co, y — —oo, dla których obu jest jednak: yłco = t, (y—®*/')«> ⁼ ś) ni a zatem tylko jedną asymptotę o równaniu F=X-j-,}. Kształt krzywej podaje fig. 349.

9. Styczność linii krzywej z linią prostą w jej punkcie styczności.

Przyjmijmy na krzywej : y=f(x) dowolny punkt M{x, y), natenczas prosta, styczna w tym punkcie do krzywej, otrzymuje równanie: Y—y=/'‘(x).(X—x), przyczem X i Z są spółrzędnemi jej punktów bieżących, a x, y są spółrzęd-nemi punktu styczności.

3Y^(®³+®²)²’

3YZ(cc³+cc²)²’

nanie stycznej w punkcie cc krzywej ma postać: Y

cc²

3YZ(.c³ + cc²)²'

Obierzmy, obok punktu styczności, punkt sąsiedni M' krzywej, (fig. 350.) o odciętej OP‘ = x-\-h, natenczas rzędna yk=P‘M‘ tego punktu określona będzie wzorem :

h²

yk=p‘M‘=ax+h)=fXx)+nx).h+nx)~ +r\x) ~3l+...

Tejże samej odciętej x + h odpowiadać będzie także pewien punkt S stycznej TM, a rzędną ys tego punktu będzie: ys=P'S=f\x)-\-f\x).li.

Różnica między rzędnemi P‘M‘ i P‘S punktów M‘ i S przedstawia się więc wzorem :

3!

(5)

jest więc, przy skończonej, różnej od zera, wartości f ‘‘{x), wielkością nieskończenie małą drugiego rzędu, jeżeli h jest wielkością nieskończenie małą rzędu pierwszego.

Wielkość ta jest, niezależnie od znaku przyrostu nieskończenie małego h, dodatnią, gdy f"(x) ;> 0 ; ujemną, gdy fu(x)<Z. 0. W pierwszym przypadku są tedy rzędne punktów danej krzywej, w otoczeniu punktu M, większe o wielkość nieskończenie małą drugiego rzędu, od rzędnych odpowiednich punktów stycznej w M, krzywa zwraca w otoczeniu punktu M na dół stronę wypukłą; w drugim przypadku są rzędne punktów krzywej, mniejsze o wielkość nieskończenie małą drugiego rzędu , od rzędnych odpowiednich punktów stycznej, a krzywa zwracatedy w otoczeniu punktu M stronę wklęsłą na dół, fig. 351.

Punkt taki, określony warunkiem : f“{x) ^ 0, nazywamy punktem zwyczajnym krzywej, i powiadamy, że prosta, styczna w punkcie zwyczajnym krzywej : y=f(x), styczna zwyczajna, ma z nią dwa po sobie następujące punkta wspólne , czyli ma z krzywą styczność pierwszego rzędu.

10. Styczne osobliwe krzywej: y = f(x). Gdyby, dla danego punktu krzywej, y=f\x) wypadło f“(x)—0, wówczas różnica powyższa yk~ys przedstawiłaby się w postaci :

JThi+-

byłaby więc nieskończenie małą rzędu trzeciego.

Si..-—-

Si

5j

sT

TV

Vf,

"f

X'

Fig. 850.

Fig. 351.

Fig. 352.

Fig. 353.

po drugiej zaś stronie punktu M byłaby zwró-

Znak różnicy zależałby w tym razie od znaku przyrostu A, a zatem różnica ta byłaby, po jednej stronie punktu styczności M₁ dodatnią, a po drugiej ujemną, krzywa byłaby tedy, po jednej stronie punktu M, zwrócona na dół wypukłą stroną eona na dół, wklęsłą stroną, fig. 352.

Punkt taki nazywamy punktem przegięcia krzywej i powiadamy, że prosta styczna w punkcie przegięcia krzywej : y — /(#), określonym warunkami : /"(#) =0, /'"(#) <0, ma z krzywą, trzy, po sobie następujące, punkta wspólne , czyli ma styczność drugiego rzędu.

Z tego powodu nazywamy stycznę w punkcie przegięcia: f"{x) = 0., /•-(«) <0, t. z. stycznę osobliwą, także styczną drugiego rzędu, albo też ściśle styczną pierwszego rzędu.

Gdyby w tym punkcie wypadło, obok /'"(æ)=0, także: f'*(x)=0, natenczas byłaby różnica:

yk-ys^M‘S^^~

f(⁵⁾ (x)

5!

w przypadku, gdy :    {x) ^ 0, nieskończenie małą czwartego rzędu. Znak

tej różnicy byłby w tym razie niezależny od znaku nieskończenie małego przyrostu h, i byłby dodatni, gdy:    (#) > 0, a ujemny, gdy: /⁽⁴⁾(æ)<C 0;

krzywa byłaby w tym razie w otoczeniu punktu styczności M w pierwszym przypadku wypukłą , a w drugim przypadku wklęsłą stroną na dół zwróconą.

Punkt taki nie różniłby się na pozór od punktu , określonego warunkiem f"(x) < 0, jakkolwiek, w otoczeniu jego, różnica między rzędnemi krzywej i stycznej nie byłaby już nieskończenie małą drugiego rzędu, lecz nieskończenie małą czwartego rzędu , fig. 353. Punkt taki nazywamy punkiem undulacyjnym krzywej y^f(x), a stycznę osobliwą, w tym punkcie, nazywamy styczną trzeciego rzędu, albo też ściśle styczną drugiego rzędu i powiadamy :

W punkcie undulacyjnym, określonym warunkami: /*"(#)^0, f,,,(x)=0, /‘W (x) ^ 0, ma styczna osobliwa cztery po sobie następujące punkta z krzywą wspólne czyli, ma z nią styczność trzeciego rzędu.

11. W ogólności-, jeżeli, w danem miejscu x krzywej : y=f(x), niezależnie od wartości pierwszej pochodnej f\x), pochodne następne, aż do pewnej pochodnej parzystego rzędu włącznie, są wszystkie zerami, a więc skoro:

rw=o, /•"'(*)=o,/•<*■>(*)- o,

a pierwszą z rzędu pochodną, mającą w tym miejscu wartość różną od zera, jest pochodna nieparzystego rzędu: /‘(2r+1) (x) ^ 0, r> 1, natenczas,

w otoczeniu takiego punktu, różnica : yk—ys

fVr+'){x)

Ä2r+i + ..., jest nieskoń-

(2 r -t-1) !

czenie małą (2r-fl)-go rzędu, o znaku zależnym od znaku przyrostu ń, a więc przeciwnego znaku po obu stronach punktu styczności, powiadamy wtedy, że styczna, przecinając w tym osobliwym punkcie krzywą (2r-j-l), po sobie następujących, punktów z krzywą wspólnych, czyli, ma z nią styczność 2r-go rzędu, a punkt taki nazywamy punktem przegięcia r-go rzędu, styczną zaś w tym punkcie nazywamy ściśle styczną (2r—l)-go rzędu.

Jeżeli zaś, w danem miejscu x krzywej: y=/(^), niezależnie od wartości pierwszej pochodnej /'(#), pochodne następne, aż do pewnej pochodnej nieparzystego rzędu włącznie, są wszystkie zerami, a więc skoro:

/"(*)-0, /■“'(*)—0,f^\x)=0,

a pierwszą z rzędu pochodną, mającą w tern miejscu wartość różną od zera, jest pochodna parzystego rzędu: />(2r+2)(^) < 0, r> 1, natenczas, w oto-

Pr+V(x)

ma

ń2r+² -f-... jest nieskończenie

czeniu takiego punktu, różnica : yk—ys= małą (2r-f2)-go rzędu, o znaku od h niezależnym, a więc tego samego znaku

(2r-f 2) !

po obu. stronach punktu styczności, powiadamy wtedy, że styczna ma w tym osobliwym punkcie (2r-j-2) po sobie następujących punktów z krzywą wspólnych* czyli ma z nią styczność (2r-f-l)-go rzędu, a punkt taki nazywamy punktem undulacyjnym r-go rzędu, styczną zaś w tym punkcie nazywamy ściśle styczną (2r+ l)-go rzędu.

Oba rodzaje punktów, tak punkta przegięcia, jako też punkta undu-lacyjne, nazywamy ogólnie punktami osobliwemi krzywej: y—f{x), a styczne w takich punktach krzywej, nazywamy zwykle ściśle stycznemi, albo stycznemi osobliwemi.

12. Punkta osobliwe krzywych parabolicznych. Krzywe paraboliczne o równaniu : ÿ = œ₀ -[-a, æ-(- a₂æ² -f-... -f- anx^ = Gn{x),

— co, a x = -j- co ciągłe ; każdy punkt w tych granicach ma spółrzędne skończone (a?, y),

jako obrazy funkcyj całkowitych, wymiernych n-go stopnia, są w każdem miejscu, między x =

przyczem każdej odciętej x odpowiada jedna tylko rzędna y, a jako punkta nieskończono-ściowe występują tu tylko punkta, których ohie spółrzędne cc i y są równocześnie nieskończenie wielkie. Oprócz punktów zwyczajnych, do których należą w ogólności także punkta zerowe, określone równaniem: Gn(x) = 0, tudzież punkta najwyższe i najniższe, określone równaniem G‘n{x) = 0, posiada krzywa paraboliczna n-g o rzędu najwyżej (»—2) punktów osobliwych, które są, albo punktami przegięcia, albo punktami undulacyjnemi.

W szczególności krzywe paraboliczne o równaniu kształtu : y = xn, mają tylko jeden punkt osobliwy w punkcie x — 0, y= 0, który jest, albo punktem przegięcia, gdy wykładnik n jest liczbą nieparzystą, jak n. p. krzywe: y = x³ (fig. 259.), y— x⁵ (fig. 261.), albo punktem undulacyjnym, gdy wykładnik n jest liczbą parzystą, większą, jak 2, jak n. p. krzywa: y—x⁴ (fig. 260.).

Przykłady. 1) Krzywa paraboliczna drugiego izędu: y = æ²-}- 1 nie ma żadnych punktów osobliwych (fig. 354.).

2)    Krzywa paraboliczna 3-go rzędu: y—x (x² -f-1) ma punkt przegięcia w punkcie (æ=0, y= 0), styczna w tym punkcie jest nachyloną do osi x-ów pod kątem 45° (fig. 355.).

3)    Krzywa paraboliczna 4-go rzędu: y = x\x² 4- 1), ma w punkcie x = 0, y = 0 punkt undulacyjny pierwszego rzędu, styczna w tym punkcie wpada w oś a?-ów, (fig. 356.).

4)    Krzywa paraboliczna 5-go rzędu: y = xz(x² -f-1) ma w punkcie x — 0, y — 0 punkt przegięcia drugiego rzędu , styczna w tym punkcie wpada w oś cc-ów (fig. 357.).

5)    Krzywa paraboliczna 6-go rzędu : y = xi(x'i-fil), ma w punkcie: (x — 0, y = 0), punkt undulacyjny drugiego rzędu, styczna w tym punkcie wpada również w oś a'-ów, (fig. 358).

R-

X-

■X

x-

p>

X¹

-x

Y'

Y'

x-

-x

X¹

4L.

Y'

Fig. 354.

Fig. 355.

Fig. 356.

Fig. 358.

Fig. 357.

6)    Krzywa paraboliczna 3-go rzędu: y = x(x^—l) ma w punkcie x = 0, y = 0, punkt przegięcia pierwszego rzędu o stycznej : y——x, przecina nadto oś .r-ów w dwu punktach: «i= + 1, x₂= — 1, (fig. 359.).

7)    Krzywa paraboliczna 4-go rzędu: y= x² (x +1) (ar ‘-fi 2) ma dwa punkta przegięcia

pierwszego rzędu:    i Ç₂, których odcięte x określone są równaniem: Gx² 9x —

(fig. 360.), mamy więc: Qi[xl=%(—9—\/33j\, Q₂[x₂= yi2 (-9 -j-\/33)].

8) Krzywa paraboliczna 5-go rzędu: y=x³(x-fl)(.r-j-2) ma trzy punkta przegięcia pierwszego rzędu: Q,    Q₂, których odcięte określone są równaniem: 5x³ + 9x² -J- 3x = 0,

(fig. 361.) mamy więc: Q(x = 0), QAxx = Vio(—⁹ — \/141)], Q₂[x₂ = V₁₀ (—9 + \/l41)].

\\

'f

-X *1

a.

•X

x'

JL

p;

/?'

•Ä,

V'

Fig. 359.

Fig. 360.

Fig. 361.

13. Punkta osobliwe krzywych hiperholicznych. Krzywe łiiperboliczne o równaniu :

a₀ -f- axx -f- ... -f- an x*

Gn(x)

Gm{x) ’

jako obrazy funkcyj wymiernych ułamkowych, posiadają, oprócz punktów zwyczajnych o skończonych spółrzędnych x, y, przyczem, każdej odciętej x, odpowiada tylko jedna rzędna y, także, wogóle m punktów , nieskończonościowych o skończonych odciętych #, określonych równaniem: Gm(x) — 0, a nieskończonych rzędnych y, i asymptotach prostopadłych do osi aj-ów; krzywe przerywają w tych punktach ciągłość, a nadto posiadają jeszcze dwa punkta nieskończenie dalekie, odpowiadające odciętym: a:= + co, w których rzędne y, są, albo równe zeru , gdy n < m, albo skończone, różne od zera , gdy n — m, albo także nieskończenie wielkie, gdy n^>m] w pierwszych dwu przypadkach są asymptoty równoległe do osi cc-ów, w drugim, wogóle, dowolnie nachylone.

Krzywe hiperboliczne składają się więc z jednej, lub z kilku oddzielnych gałęzi, z których każda rozciąga się między dwoma , po sobie następującemi punktami nieskończo-nościowemi, zwanemi także punktami nieistotnie osobliwemi krzywej hiperbolicznej, a na każdej z tych gałęzi mogą się znajdować zwykłe punkta osobliwe, które będą, albo punktami przegięcia , albo punktami undulacyjnemi.

b§ b±x -\- ... -f- bmXm

Przykłady. 1) Krzywa hiperboliczna, o równaniu: y

(«H-«)(» + &)

nie ma punk-

tów przegięcia, a asymptoty jej mają równanie: cc=0, y-x—a-\-b. (fig. 362.).

(x -j- 1) (x -f 2)

2) Krzywa hiperboliczna : y =

£C²

ma punkt przegięcia w punkcie: x=—2,

y— 0, i dwie asymptoty, z których jedna równoległa do osi x-ów, ma równanie: y = 1 druga zaś ma równanie: x — 0, (fig. 363.).

3) Krzywa hiperboliczna : y

(a; + l)(a;+2)

ma dwa punkta przegięcia :

<2iK = U-9 —V/33)] i <2₂[(*2=U-9+V/33)], i dwie asymptoty: ce=0, y = 0, wpadające w osie układu, (fig. 364.).

x³

Ti

Î,.

X.

?■

Fig. 362.

Fig. 363.

Fig. 364.

Fig. 365.

4) Krzywa hiperboliczna : y

(* + !)(*+ 2)

cc⁴

, ma dwa punkta przegięcia :

i dwie asymptoty: x = 0, y — 0, (fig. 365).

<?i(*i=V₃(-9-V/21) i Qi(x2=V₃(-9+V/21),

ma jeden rzeczywisty punkt przegięcia Q(x— ab‘Ł\-\/a²b)

5) Krzywa : y-

i trzy asymptoty o równaniach. : 1) x =— a, 2) x = b, 3) y — 0, (fig. 366.).

(* + «) O + h)

cc²

6) Krzywa : y asymptoty : 1) x= — a , 2) x— — b, 3) y= 1, fig. 367.

(x Ą-a)(x-\- b)

ma jeden punkt przegięcia Q : cc —

\/a²ó²

VVa+^b ’

i trzy

7) Krzywa : y

cc³

ma punkt przegięcia w punkcie: x = 0, y = 0 i trzy

(x+a)(x+b)

asymptoty : 1) x= — a, 2) ce = — b, 3) y—x -j- a -J- b — 0, fig. 368.

T⁵'-

A,

■'■V

?..

a.

p' r

(1.

a; v

p;-'

|a.

A' a;

Y'

Fig. 366

Fig. 367.

Fig. 368.

14. Punkta osobliwe krzywych algebraicznych. Ograniczając się na razie na krzywych algebraicznych symetrycznych, określonych równaniami kształtu: y=yE(x) , gdzie E(x) jest funkcyą wymierną całkowitą, lub ułamkową, zauważymy, że krzywe te, rozciągając się symetrycznie względem osi x-ów, przecinają ją w punktach, określonych warunkiem: E(x) = 0, wykazując nowe osobliwości, jakich nie mają krzywe paraboliczne i hiper-boliczne, określone funkcyami jednowartościowemi. Przedewszystkiem zauważymy, że punkta zwyczajne mogą tu mieć także styczne , prostopadłe do osi cc-ów, co ma miejsce, gdy y‘ — oo , przyczem musimy, dla każdego x odróżniać dwa punkta :

y= + Ve(x) i    \/E(x),

symetrycznie około osi .t-ów ułożone.

Szczególne osobliwości wykazują punkta, określone warunkiem E(x) = 0. W tych punktach schodzą się bowiem symetryczne gałęzie krzywej algebraicznej , a zależnie od kątów, pod któremi te gałęzie przecinają oś cc-ów, odróżniamy następujące punkty osobliwe, zwane punktami podwójnemi krzywej, albowiem w nich schodzą się dwie gałęzie tej krzywej.

a)    punkt podwójny w zwykłem tego słowa znaczeniu, czyli t. z. węzeł, t. j. punkt posiadający dwie oddzielne styczne, jak punkt A na fig. 369., określony warunkiem : «/' = +«, gdzie a jest liczbą rzeczywistą;

b)    punkt zwrotu, posiadający stycznę podwójną, jak punkt B na fig. 369. określony warunkiem : y' = 0 ;

-ß-

-o-C-

Fig. 369.

c) punkt odosobniony, t. j. punkt o dwu stycznych urojonych, określonych warunkiem : y‘ — + a\/—1, jak punkt O na fig. 369.

W szczególności, punkt przecięcia się krzywej algebraicznej z osią cc-ów występuje jako węzeł, gdy funkcya i?(ce), stojąca pod znakiem pierwiastka kwadratowego, ma po obu stronach punktu zerowego znak dodatni; jako punkt zwrotu, gdy funkcya Ii(x) ma po obu stronach punktu zerowego znaki przeciwne, a jako punkt odosobniony, gdy funkcya R{x) ma po obu stronach punktu zerowego znaki ujemne.

15. Przykłady krzywych algebraicznych o równaniach kształtu: y =\/(7 (cc), gdzie G(x) jest funkcyą całkowitą wymierną.

1)    y    a²—æ². Krzywa rozciąga się między granicami: x =—a i æ = », jako

owal, zwany elipsą, fig. 370., posiadający w punktach przecięcia z osią cc-ów, styczne do niej prostopadłe.

2)    y=-^\/«²+*²* Krzywa składa się z dwu gałęzi nieskończonych (fig. 371.), posia-

Cl

dając dwie asymptoty o równaniu: y= + — x.

3)    y — x\/x    1. Krzywa ma w punkcie x = 0, y—0 punkt podwójny w postaci

węzła, w którym styczne mają równania: 1) y—a? = 0; y-\-x = 0, (fig. 372.).

4)    y — x\/x^-^x. Krzywa składa się z dwu oddzielnych gałęzi i ma, na jednej z nich, dwa punkta przegięcia Qv i Q₂₎ a na drugiej punkt zwrotu: (cc = 0, y — 0), (fig. 373.).

T>

X_

X xi

£ _X

o,

Fig. 370.

Fig. 371.

Fig. 372.

Fig. 373.

5)    y=x'i\/x-j-1. Krzywa ma styczną podwójną w punkcie: a? = 0, y — 0 i dwa punlcta przegięcia i Q₂ fig. 374.

6)    y=y/ x(x — l)(æ — 2). Krzywa składa się z owalu i gałęzi otwartej, na której znajdują się dwa punkta przegięcia i Q₂ (fig. 375).

7)    y=x\/(x—1)(cc— 3). Krzywa składa się z dwu gałęzi: jedna z węzłem w punkcie (æ = 0, y = 0), druga z dwoma punktami przegięcia, (fig. 376.).

'I

Ty

Q.

■3

X XI

Ty

// M'

Fig. 376.

Fig. 374.

Fig. 375.

16. Przykłady krzywych algebraicznych o równaniach kształtu: y=yR(x), gdzie R(x) jest funkcyą ułamkową wymierną.

1) y =

■ .¹ Krzywa składa się z dwu gałęzi otwartych, rozciągających się między V 1—x

1, t. j. prostą, równoległą

granicami: x=-~ oo i cc=-j-l, symetrycznie względem osi cc-ów ; ma dwie asymptoty : jedną o równaniu: y= 0, t. j. oś cr-ów, drugą o równaniu: a; do osi y-6w, (fig. 377.).

17. Punkta osobliwe krzywych przestępnych. Krzywe przestępne, jako obrazy funkcyj przestępnych całkowitych, lub ułamkowych, mogą, w granicach skończonych, od x ——oo do x = oo, nie mieć wcale punktów przegięcia, jak n. p. krzywa: y = ex , (fig. 287.), albo mają ich nieskończenie wiele, jak n. p. krzywe: y = sina? (fig. 290), lub y = cos x (fig. 291.)

To samo dotyczy krzywych, które przedstawiają obrazy funkcyj, złożonych w wymierny sposób z funkcyj całkowitych przestępnych i funkcyj algebraicznych wymiernych.

Przykłady. 1) y = ax -j- b sin x. Krzywe mają nieskończenie wiele punktów przegięcia, położonych na prostej y = ax i przedstawiają się, dla «<£, jak na fig. 381,, dla a^>b , jak na fig. 382., a dla a=b, jak na fig. 383.

ri

=. ^ X—. Krzywa ma punkt przegięcia w punkcie (# — 0, y = 0) i jedną asymp-

2)    y

totę o równaniu x=l, fig. 378.

3)    y—    —■ Krzywa ma stycznę podwójną w punkcie: (a; = 0, y— 0) i jedną

Vl — x

asymptotę a?=l, (fig. 379.).

_ x . / x . Krzywa ma punkt zwrotu w punkcie: (cc = 0, y = 0) i trzy asymp-2 \ x—1

0, (fig. 380).

4) y

toty: 1) x = 1, 2) y

2x -J- 1

X'

li

/i'

SA

Fig. 377.

Fig. 378.

Fig. 379.

Fig. 380.

p'/

as?

.£-

N.

fA

_________,/^c

x_

v p;

,y

-X

Fig. 381.

Fig. 382.

Fig.

383.

3) y

2) y=i/₂xsinx. Krzywa jest symetryczną względem osi a?-ów, a składa się z nieskończenie wielu fal sinusoidalnych, dotykających się linij prostych: y — ¹/₂x i ?/ = —¹/₂ #. 6 sin cc

-. Krzywa jest również symetryczna względem osi y-ów, posiada w punkcie

(x = 0, y — 6) punkt zwrotu o stycznej prostopadłej do osi y-ó w i ma kształt, jak na (fig. 385.).

Krzywe przestępne symetryczne względem osi cc-ów. jako obrazy pierwiastków kwadratowych z funkcyj przestępnych całkowitych, mogą mieć znowu nieskończenie wiele punktów osobliwych, które w obrazach funkcyj algebraicznych niewymiernych występują w skończonej ilości.

Przykłady. \) y = y a b sin x . Krzywa składa się , dla a <C.b z nieskończenie wielu owalów, przecinających oś ce-ów pod kątami prostemi , jak na fig. 386., dla a^>b, z dwóch symetrycznych linij falowych, jak na fig. 387.

i,

.a

o.

(a

'a

lć

•-C

Fig. 385.

Fig. 384.

2) y—v{a-\-b sin»)³. Krzywa składa się, dla «<& z nieskończenie wielu owalów, z których każdy ma po dwa punkta zwrotu, jak na fig. 388. dla a~>b jest podobną do fig. 387.

Fig. 386.

WâAiiAâAâT \/

H'-l\ 11‘ mH

'mßwiMßx

Fig. 387.

7\

vM\

Fig. 888.

pp

¹

Z powyższego równania stycznej otrzymujemy:

²

a)    równanie zwyczajne stycznej w punkcie (x, y) w postaci: Y=y‘ X-\-(y—xyJ) ;

³

b)    równanie odcinkowe w postaci:

Ćwiczenia XLYI.

1) Wyprowadzić równania linij prostych stycznych do krzywej : y — x[x—l)², w punktach jej przecięcia się z prostą,: y — x, i wykazać, źe trzy punkta, w których te styczne, przecinają krzywą, leżą także na linii prostej.

Wyprowadzić równania linij prostych, stycznych w punkcie (x, y\ następujących

krzywych :

2) y=- -\/a²—x² (elipsa). 3) y — ^-\/x²— a¹ (hiperbola). 4) y— \/2px (parabola).

B) Wykazać, źe krzywa y — a \/x, ma w każdym punkcie stałą podnormalną,

a²

6) Wyznaczyć normalną, podstyczną i podnormalną w punkcie x krzywej : y=\/l—x².

ab

ma podstyczną T' = — x, a równanie stycznej

7) Wykazać , że krzywa : y = — w punkcie x sprowadza się do postaci: F=— ~ X-\- równanie normalnej zaśma postać:

a²b²— cc⁴

abx

8) Wykazać , że krzywa : y =

X³lt

, ma podstyczną: T‘

\/a — x

9) Wykazać, że krzywa : y — a* ma stałą podstyczną.

2x(a—x) 3 a—2x ’

10)    Wykazać , że styczna w punkcie (x, y) krzywej :

n—m m

y = a n xn , ma równanie:

/ x \bn

11)    Wykazać, że w krzywej: y — a

mX nY

m — n.

V⁷

jest: T¹ =n.®; N⁴ = —

/ a \mln

nx

ma podstyczną: T'=—

12)    Wykazać, że krzywa: !/==a\~)

13)    Wykazać , że w logarytmice : y=ex^a jest :

T=Va²+y² , T'=a]    a²-f y², N' = ~-

a ( */«

14) Wykazać, że w krzywej łańcuchowej : y = l e -j- e

T_..    »*.

v/ y²— a2    a

— x/a

-T *

) jest :

2 xja    — 2.r/(7

)'

y/y²—a²

15) Wykazać, że styczna w punkcie (a:, y) krzywej - ma od punktu początkowego

odległość : 8

y—xy‘

V l+y'²

16) Wykazać, że normalna w punkcie (x, y) krzywej ma od punktu początkowego

odległość : §

x + yy' V/1+ÿ⁷²'

2c-\- a

17)    Wykazać, że krzywa: y = \/(x—a)² (x— c) ma w punkcie x== równoległą do osi a;-ów.

18)    Wykazać, że krzywa: y =\^ ax² -j-æ³ ma asymptotę o równaniu: y = x +

styczną

19) Wykazać, że krzywa y

a²—x²

ma

trzy asymptoty: a) x = a, b)x = — a,

c) y = 0.

a? cc²— 4

, ma cztery asymptoty : a) y —+ «, ó) y——»,

20) Wykazać, że krzywa: y = c) x = -j-1, d) x — — 1.

Wyprowadzić równania asymptot dla następujących krzywych:

»²-l

21) y

. 22) y = x\/2—x. 23) y= i /—    ^

\ »

25) y —

\/1 -j- ce²

26) y =

æ\/ æ —

\/l + 3»'

24) y—    (x—1)²(»—2)*

=. 27) y = y^a»²-f»³. 28) y= y/V» + »³.

--2’

29) y =

»³— 3a:² 4-1

»² — 3a: -f⁻ 2

30) y =

32) y=T

2» -f- 1

— a:² ’

33) y

y/»² — 1

a:⁴-]-a;²-|- 1

31) y— V/ax Ą- x².

»²

• 34) y =

(1—»)²(1 —a:²)

»²

35) Wykazać , że krzywa : y

36) Wykazać, że trzy punkta przegięcia krzywej: y

prostej.

ma punkt przegięcia, dla » —

a² (o — a:) a:² -{- «²

leżą na jednej linii

a?y/ a²—x²

y/a²-|- a;²

ma w punkcie: a; = 0, y— 0, węzeł, jako

37)    Wykazać , że krzywa : y = punkt podwójny.

38)    Wykazać, że krzywa: y=y/x²(a:-j-«) ma w punkcie a: =0, punkt zwrotu.

39)    Wykazać, że krzywa: y—\/x² — ax² w punkcie » = 0, punkt odosobiony.

40)    Wykazać, że krzywa: y = -^-log— ma punkt przegięcia w punkcie: x—a y/e³.

Wyznaczyć punkta osobliwe i kształty następujących krzywych parabolicznych:

41)    y = x²-\-a². 42) y — x²—a². 43) y a= x(x²a²). 44) y — x(x²—a²). 45) y — x\x²a²).

46) y=»²(»²—a²). 47) y —x²(x²    a²). 48) y = »³(»²—a²). 49) y = x* (x² 4 o²).

50) y = xi(x²—a²). 51) y = x(x -(- a)(x + b). 52) y=x(x—a)(x-\- b). 53) y = x² (xa) (xb).

Wyznaczyć punkta osobliwe i kształty następujących krzywych algebraicznych :

77) y —\/x²-\- a². 78) y=Vx²- a². 79) y=Va²-x². 80) y=x\/x²-\- a²-

81) y=x\/x²—a². 82) y — x\/a²—x². 83) y—x²\/a²-\-x². 84) y=x²\/x² — a²-

y/x—a

Wyznaczyć punkta osobliwe i kształty następujących krzywych hiperbolicznych : 54) y

(x — a) (x—b)

. 55) y =

(x—a) (x—b)

cc²

, 56) y =

(x—a) (x—b)

57) y =

(x—a) (x—b)

a:⁴

. 58) y

*²+a² EnN ---• 59) y

x² 4- a2 y—x^-'

«>

62) y =

(x—a)(x—b) '

63) y =

65) y =

(x—a) (x—b) '

66) y =

(x—a) (x—b) '

(x—a) (x—b) ' 67)

x²-\- a

2’

64) y

68) y

X²

(a:—a) (x—b)'

x²— a²'

69) y

a;²-f- a

2’

70) y

x²— a²'

71) y

x²

x²-\-a²’

72) y =

x²

x²— a²

73) y =

x³

x³

x²-\-ar

74)ysss,*=à* ⁷⁵^=

X*

x²-\-a

76) y —

xi

x²— a²

85) y — x²\/a²—x². 86) y——--—. 87) y

\/ x—a

i)

89) y

93) y

T7==- W) y V a—x

y/a;²-}- a²

94) y =

\/x²— a²

95) y =

92) y=

\ a — x

96) y =

Va²~x²

V a —a:

97) y=x

x²

-a ⁹⁸^ V \/x² + a²

• 99) y

x²

V/æ² — a²'

Rozwiązania XLVI. 1) y — x\ y

a² X___

(a²—b²)x (a²—b²)y

b² Y

!• 8) 4 ~~ |f=l, h)

=16a:—36, y=8a:+4; y=hx-8. 2) «) ^ +    = 1.

= 1- 4) a) Yy=p(X+x)₁

a²X

b² Y

(a²-\-b²)x    (a²-}-ó²)y

b) p(Y-y)-\-y(X,— x) — 0. 21) y=0. 22) y + x = %. 23) x=2, y — x=l, y=x = — 1.

y/3    . 2y/s

24) y = x— %. 25) y = +l; y = — 1. 26) x= — -i; y=X^-x—    ₍ j,

27) y — x =

5-. 28) y—x — 0. 29) a? = 1 ; a:=2 ; y — x = 0. 30) a; = -}-l; a; =— 1; y = -}-l. 31) y — x = a\ y x — —a. 32) y = 0; a; = 2, a:——2. 33) a:-|-y = 0; x—y —0; x — 0. 34) a: = 0.

Literatura. O. Schlömilch. Compendium der höheren Analysis. 4. Aufl. Braunschweig 1895. E. Pascal. Calculo infinitesimale 3. vol. Milano 1895. P. Mansion. Resume du cours d’analyse infinitésimale de l’universite de Gand. Paris , 1887.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Obrazy    geometryczne    funkcyj    niewymiernych    kształtu:    y = \/axi-\-bx³-\-cx²-\-dx-\-e‘

2.    Obrazy    geometryczne    funkcyj    niewymiernych    kształtu:    y =y/aa:² -j- bx -j- c •

3.    Obrazy    geometryczne    funkcyj    niewymieimych    kształtu:    y =\/ax³ -}- bx² fi- cx -J-d.

Wykład XLVII.

Styczność liny krzywych między sobą.

1. Krzywe, ściśle styczne. Niech będą dane dwie krzywe, określone równaniami: y = /\x), y=cp(x). Oznaczmy przez x, y spółrzędne punktu, w którym się te krzywe przecinają, natenczas, na wyznaczenie spółrzędnej x, punktu przecięcia otrzymujemy warunek: f{x) = (p{x).

Ażeby zbadać, jak się te krzywe w otoczeniu punktu wspólnego (x, y) zachowują, zastąpmy w obu równaniach x przez x-\-h i oznaczmy rzędne odpowiednich punktów w otoczeniu punktu (æ, y) przez yi i y₂, a otrzymamy:

y i -=/■(« + h)=f{x) + yy h +

CD^ (

y₂=(p(x+h)=(p(x)+^j-Jh+ 2J

Ä² + ...

cp"(x)

Odejmując od siebie te wartości, otrzymujemy różnicę:

(1)

7,2

która będzie, wraz z przyrostem &, wielkością nieskończenie małą, rzędu pierwszego, o znaku zależnym od znaku ń, a więc, po jednej stronie punktu wspólnego dodatnią, po drugiej ujemną, jak na fig. 389., w której M wyobraża punkt przecięcia krzywych: y=f(x) i y=cp{x).

N,

h.

if

7~

M,

—jr

Fig. 891.

Fig. 389.

Fig. 390.

Przyjmijmy, że w tym punkcie, obok warunku: f(x)=cp(x) spełnia się także warunek : f l(x)=q)\x)₁ wówczas krzywe będą miały w tym punkcie wspólną styczną; w otoczeniu tego punktu będzie różnica:

(2)

nieskończenie małą drugiego rzędu, o znaku niezależnym od znaku nieskończenie małego przyrostu h: a więc krzywe y—f(x), y=(p(x), w przypadku, określonym warunkami: f(%)=(p(x), f‘(x) = (p\x), f“(x)^(p,\x), dotykają się (fig. 390.), mając dwa nieskończenie blizkie punkta wspólne.

Punkt taki nazywamy zwyczajnym punktem styczności krzywych:

y = f\x) i y=<p(x).

Przyjmijmy dalej, że, obok warunków: /'(#) = <p(05), f'(x)—cp‘(x) spełnia się także warunek:    w tym wypadku będzie różnica:

V\ = 3-, [ f,n(x)-cp‘J\x)\ + &,

(3)

nieskończenie małą, trzeciego rzędu , o znaku zależnym od znaku h, a więc po jednej stronie punktu æ dodatnią, po drugiej ujemną. Krzywe, w przypadku , określonym warunkami :

f\x)=cp{x), f\x)=(p‘(x), f“(x)=(p"(x), f“\x) % (p“\x), w swym punkcie wspólnym, mają trzy po sobie następujące punkta wspólne, dotykają się i przecinają się zarazem. Powiadamy, że krzywe mają w tym punkcie styczność drugiego rzędu , a ich punkt wspólny nazywamy punktem styczności drugiego rzędu, albo też punktem ścisłej styczności rzędu pierwszego krzywych.

Jeżeli, oprócz warunków: f(x)=q){x), f‘(x) = cp'{x), f“(x) = (p"(x), zachodzi jeszcze warunek: fllt(x) = q),ll(x), przyczem :    0*0 < 9^0*0, natenczas różnica

w stosunku do /i, nieskończenie małą

Z*⁴

V\ —V% = 4] [ /'⁽⁴⁾ 0») — qc⁽⁴⁾ (®)] + &, jest czwartego rzędu, o znaku niezależnym od znaku ń, a więc tego samego znaku po obu stronach punktu styczności. Krzywe mają tedy cztery po sobie następujące punkta wspólne, dotykają się wzajemnie w punkcie wspólnym, ale się nie przecinają. Powiadamy tedy, że krzywe mają w danym punkcie styczność trzeciego rzędu, a ich punkt wspólny nazywamy punktem ścisłej styczności rzędu drugiego.

Jeżeli, ogólnie, w punkcie wspólnym krzywych: y=f(x) i y=(p{x), począwszy od pierwszej pochodnej , wszystkie następne pochodne , aż do pochodnej n-go rzędu, włącznie, są sobie równe, natenczas różnica rzędnjmh, w otoczeniu takiego punktu wspólnego :

hn+i

(»+1) !

[Y*(»+i) (#)—<p(w+¹) (#)]+&

(4)

jest wielkością nieskończenie małą (w + l)-go rzędu.

Powiadamy wtedy, że krzywe, w otoczeniu punktu styczności, określonego warunkami : f\x)=(p{x)₁ f\x)=-cp‘(x)₎.. , f,(-n)(x) = (pW(x), /*("+b(#) > cpn+\x) mają (w-fl) punktów z sobą wspólnych, czyli mają w danym punkcie .r, styczność n-go rzędu, przyczem styczność parzystego rzędu tern się odznacza, że krzywe, w swym punkcie styczności, nie tylko są do siebie styczne, ale także wzajemnie się przecinają.

2. Wyznaczanie krzywych, ściśle stycznych w pewnym punkcie (lanej krzywej. Niech będzie daną krzywa: y=f{x). Przyjmijmy pewien rodzaj linij krzywych, określonych równaniem: y=(p(x, c1} c₂, ..., cn), w którem liczby:

cn , mogą przybierać dowolne wartości, cechujące poszczególne

c\, C2? ••

krzywe z układu 00” krzywych płaskich, tern równaniem określonych.

Te liczby stałe, dowolne, możemy tak dobrać, aby krzywa o równaniu kształtu: y=(p(x, c1} c₂,..., c„) miała z daną krzywą: y = f(x), w pewnym punkcie, określonym odciętą: x=o, styczność (w —l)-go rzędu. Oznaczając wartości pochodnych r-go rzędu funkcyj f(x) i <p(x, c₁₇ c₂,..., cn) w miejscu a przez f(r) (a) i <pW(a, cil c₂, ..., cn), otrzymujemy, w tym celu, układ w równań warunkowych w postaci:

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

42

f(a)=(p(a, cu e₂,..., c„), /v(a) = 9)<(aJ c₁₍ e₂,..., c„) fu{a) = <p'\a, cu c₂, ..., c„).

(5)

wynikających stąd, że w miejscu x=a, fnnkcye /'(x) i <jp(x, c1? c₂, ..., 6'„) i ich pochodne, aż do (w—l)-go rzędu, włącznie, mają wartości jednakowe.

Z tych w równań możemy wyznaczyć wartości w niewiadomych, jak:

c„==aw , które, podstawione w równanie szukanej krzywej:

C1 — ai1 C2 — a2 > ‘

y=(p(x, c1? c₂, ..., cn) dają równanie : y= cp(x,, a1} a₂,..., a„), nie zawierające już stałych dowolnych, tylko liczby szczególne , a więc wyznaczające pewną określoną już krzywą : y==Qo(x), z układu con krzywych rodzaju: y=cp{x, c₁₅ c₂, ..., cw).

Krzywa: y=cp(x) ma tedy z krzywą: y—f(%), w miejscu x=a, styczność (w—l)-go rzędu , czyli jest jej krzywą, ściśle styczną rzędu (w—2)-go.

Gdyby, przypadkowo, w tak wyznaczonej funkcyi : y=cp(x), obok w warunków: f(a) = (p(a), f‘(a)=(p,(a), f "(a)=<p"(a),    (a), wyznaczają

cych w stałych, występujących w równaniu : y=cp{x), spełniał się jeszcze dalszy warunek: /,W(a)==^⁽”)(a), natenczas krzywa: y = cp(x) miałaby, w tym wyjątkowym punkcie (x=a) krzywej, styczność w-go rzędu, wyższego, jak inne krzywe tego rodzaju. Powiadamy tedy, że krzywa : y=f(x) ma w punkcie (x=a) kształt krzywej : y—cp(x), a takie punkta krzywej : y—f{x): uważamy z tego względu także, jako punkta szczególne, i nadajemy im nazwy podług rodzaju krzywej: y = <p{x), którą nazywamy w tym razie krzywą ściślej styczną.

3. Przykłady. 1) Prosta: ij= a₀-{- atx , mając w swem równaniu dwie stałe dowolne a₀, au może mieć z daną krzywą: y =f(x), w danym jej punkcie (x = a\ styczność w ogólności tylko rzędu pierwszego. Na wyznaczenie spółczynników a₀ i at, otrzymujemy tu równania :/(«)= (ff₀+ ai a)i /'(«) = ai i z których wypływa: at =/'(<*), a₀ =/(«)—»/'(«), a więc równanie: y — [/(«)—-«/'(o)] -j-/'(«)• czyli: y =/(«) -f- f‘(a) (as—a), jako równanie prostej, stycznej w punkcie : x=a, krzywej: y — f(x).

2) Parabola drugiego rzędu o równaniu: y — a₀ -f- a, æ -J- a₂ a:², mając w swem równaniu trzy spółczynniki dowolne: a₀, al5 a₂, może mieć z daną krzywą: y=f(x), wdanym punkcie (x~a) styczność, w ogólności tylko drugiego rzędu. Na wyznaczenie spółczynników a₀, at, a₂, jej równania, otrzymujemy tu równania warunkowe:

/(«) = «„ 4- «j aĄ- a% a², //(a) = o₁+ 2a₂ a, /"(a) = 2«j,

z których wypływa :

y/"(«)> «i =/'(«)—«/"(«)» «o=/(«)—¹«/'(«) +

= [/(«) - «/'(«) + |/"0)]+ [/'(«)-«/"(«)]* + {/" (a) ..-r².

y =/ («) +/' 0) (*—a)+

«2 =

a więc równanie:

czyli :

/"(«)

jako równanie paraboli drugiego rzędu, mającej w punkcie a danej krzywej: y—f(x) styczność rzędu drugiego.

3) W ogólności, parabola n-go rzędu o równaniu ogólnem kształtu:

y = «0 + alx + «2    + — + «næ” ,

mając w swem równaniu (w-fl) stałych dowolnych, może mieć, w danym punkcie (x—a) krzywej: y =f(x), styczność w ogólności najwyżej n-go rzędu i ma wówczas równanie;

/(») (a)

/"(«)

?/=/(«) + /'(«) (®—a) 4 ₂ ,

(*-«)”,

jako równanie paraboli n-go rzędu r ściśle stycznej w punkcie x = a krzywej : y =f(x).

Parabola n-go rzędu, ściślej styczna w punkcie x=a, miałaby z daną krzywą: y=f(x) styczność conajmniej (n -f- l)-go rzędu, a punkt taki byłby już, z tego względu, punktem szczególnym, który możnaby nazwać punktem parabolicznym n-go rzędu.

4. Koło ściśle styczne w danym punkcie krzywej: y=f(x). Koło zawiera w swem równaniu ogólnem: (x—a)² -j-(y —ß)² = p² trzy stałe dowolne, może więc być tak wyznaczone, aby, jako koło ściśle styczne w dowolnym punkcie danej krzywej: y =/(»), miało z nią styczność drugiego rzędu.

Ażeby wyznaczyć środek i promień koła ściśle stycznego w danym punkcie x krzywej y — f (*), napiszmy równanie ogólne koła w postaci funkcyi wyraźnej :

y = ß + V/p² — {X — a )² ,

natenczas otrzymujemy pochodne tej funkcyi:

x —a

y‘ = —

> y“

P²

[p2_(a._a)2]3/ï‘

Mając na uwadze, że wartości tej funkcyi y i jej pochodnych y', y", w miejscu x mają być odpowiednio równe wartościom funkcyi : f(x) i jej pochodnych : /'(æ) i możemy, w powyższych trzech równaniach, uważać x, y, y', y", jako wiadome, a tylko a, ß, r, jako niewiadome, które wyznaczyć należy.

W tym celu, otrzymujemy z tych równań następujące:

(*    a)²-j-(y ß)² p² = 0, (*—a) + (y—ß)y' = 0, i + y'²-Hy—ß)y" = 0,

z których dostajemy :

y—P= -

i + y'

(1 4- y/2)³

y"

y"

a więc wzory :

y"

y"

(6)

podające wprost środek (a, ß) i promień p koła ściśle stycznego w danym punkcie krzywej : y = f (aj). Zarazem widzimy, że promień p koła ściśle stycznego w danym punkcie krzywej jest zarazem promieniem p krzywizny w tym punkcie, a jego środek (a, ß) leży na normalnej tego punktu. (Por. wzór (2) str. 642).

Koło ściśle styczne w danym punkcie krzywej : y =/(*), mając z nią wogóle styczność drugiego rzędu, przecina ją zarazem w tym punkcie, gdyż różnica między rzędnemi punktów koła i punktów krzywej w otoczeniu tego punktu jest nieskończenie małą trzeciego rzędu, a więc po obu stronach punktu styczności przeciwnego znaku.

Zdarzyć się jednak może, że koło ściśle styczne, w pewnym punkcie krzywej, ma z nią w tym punkcie styczność rzędu trzeciego ; w otoczeniu takiego punktu szczególnego krzywej, znajduje się tedy koło ściśle styczne po jednej stronie linii krzywej, mając z nią wspólne trzy styczne, czyli cztery punkta, po sobie następujące.

Takie punkta szczególne nazywamy punktami kołowemi danej linii krzywej :

y=f(x), a ich położenie określa warunek: ~^ = 0> który, ze względu na to, że:

. d? __ y" • % (i +y/2)’/î-2y V—(1 + y/2)Vs y"'

(i+y'²)3/ł

P—--

y"

, a więc:^

(y")²

(1 +y'²)‘/l [3y'y"²— (1 + y/2) y'"]

(y'0³

przedstawia się w postaci :

Przykład. Parabola drugiego rzędu o równaniu: y = aj², ma, ze względu na to,

że: y' — 2x, y" = 2, w punkcie dowolnym .r, koło ściśle styczne o promieniu :

3yY<2—(1 + y'²)y"' = 0.

(7)

(1+4*²)3/i

P=-2--

Stąd otrzymujemy n. p. dla a?=l, promień:

5Y/5

P=-i-V/5*

Warunek :

Fig. 392.

prowadzi do punktu kołowego x = 0, w którym promień: p = y₂, (fig. 392.).

5. Asymptoty krzywolinijne. Krzywe styczne w nieskończenie dalekim punkcie wspólnym nazywamy wzajemnemi asymptotami kr zy wolinij-nemi. Na mocy tego określenia, krzywa: y—cp{x) jest asymptotą krzywej y=f{x), jeżeli obie krzywe mają punkt wspólny w nieskończoności, a w tym punkcie posiadają też wspólną styczną. W otoczeniu takiego punktu różnica między rzędnemi sąsiednich punktów obu krzywych , maleje nieograniczenie w miarę, jak krzywe w swym zbiegu zbliżają się do wspólnego punktu nieskończenie dalekiego.

są wzajemnemi asymptotami krzywolinij-

Tak n. p. krzywe: y = cc², i y=xl-1-—

nemi , gdyż , w otoczeniu punktu nieskończenie dalekiego : x = oo, y — oo ,. różnica między rzędnemi sąsiednich punktów, od dostatecznie wielkiego x począwszy, maleje nieograniczenie , skoro x dąży do nieskończoności.

Wogóle, jeżeli równanie danej krzywej y=f(x) da się przedstawić

w postaci :

^=a₀æw + a₁æn_1 + --- + a»t-₁ x-\-an -b~+ -|+...

00 00

natenczas równanie :

y = a₀xn -b a^xn~x -f ... + aw_i x + an, przedstawia krzywę, która jest asymptotą krzywej: y—f(x).

Takiemi asymptotami tejże krzywej są również krzywe o równaniach:

~b •••    &-b ctn-\---,

y= a₀ xnĄ-ax x

i    ,

y—a₀xn - j- uj xn    -j-... -f- cin _i x-\- cin f --1- —2 ’ ^ tł.

6. P r z y k ł a dy. 1) Niech będzie daną krzywa o równaniu : y — żerny przedstawić jej równanie w postaci :

y = xl — x —1

ce -b 1

, natenczas mo

lub :

Si

= cc²—

x -b 1 ’

.1    ¹ , 1    1    ,

x Ą-l-----«--5 + •••

X X²    X³

Krzywa ta posiada punkta nieskończenie dalekie : 1) cc = — 1, y — + 00 , 2) x — + 00, y = —b 00, i posiada, w pierwszych dwóch, asymptote prostolinijną: x ——1, w drugich dwu asymptotę paraboliczną: y = x³—as-f-1, a nadto posiada inne asymptoty krzywolinijne, np. :

y=

x³— x³ -b x—1

cc⁴— x³ -\-x²— x ~b 1

’ ?/ “    V³

, t. d.

jako asymptoty hiperboliczne.

2) Niech będzie daną krzywa o równaniu: y = ^

x³

x -[-1

natenczas możemy jej rów-

nanie przedstawić w postaci :

y = ±x

a więc:

(l + -^r) '*■, czyli : y = ±x {l

/    1    3    1

!'=±r_¥+8ï_i6i>' ⁺ -}-

i + A__5, )

2cc^8as² 16 cc³ '    / ’

Ol

Krzywa posiada, oprócz asymptoty: cc——1, odpowiadającej nieskończenie dalekiemu punktowi: x — —1, y = +00, jeszcze dwie asymptoty prostolinijne: y = +_(cc— ł/₂), odpoAvia-dające nieskończenie dalekim punktom : cc= + co, y= + co , a nadto, jako asymptoty krzywolinijne, krzywe o równaniach :

, I 1 , S\ , /    1

!/=+b-ö-+5- ,»=±b-2

___B )

8cc 16cc² /

, i t. d.

7.    Punkta istotnie osobliwe krzywych przestępnych. Wszelka funkcya przestępna posiada na płaszczyźnie liczbowej przynajmniej jedno miejsce takie, w którem wartość jej jest nieoznaczoną, a miejsce takie zowiemy miejscem istotnie osobliwem fnnkcyi.

Takiem miejscem istotnie osobliwem jest n. p. dla funkcyi całkowitej przestępnej f(x), określonej szeregiem bezustannie zbieżnym punkt w nieskończoności x=<x>, a więc, dla funkcyi

punkt x=a.

Jeżeli więc funkcya przestępna posiada miejsca osobliwe na osi liczb rzeczywistych, wówczas krzywa przestępna, jako obraz funkcyi przestępnej jednej zmiennej rzeczywistej, może mieć w odpowiedniem miejscu punkt taki, w którym, albo: 1) przestaje być ciągłą, albo: 2) pozostając ciągłą, ma rzędną y zupełnie nieoznaczoną.

Punkta takie nazywamy punktami istotnie osobliwemi, albo też punktami nadzwyczajnemi krzywej przestępnej.

i

8.    Przykłady. 1) Krzywa: y=ex , ma w miejscu: x=0, punkt istotnie osobliwy, mamy tu bowiem, dla a; = +0, y=e+co = -fco , dla x=—0, zaś y — e—00 = 0.

Krzywa przerywa tu swą ciągłość, którą zatrzymuje zresztą w każdem innem miejscu.

W szczególności, otrzymujemy: y‘ =--

skąd wynika, że krzywa ma w punkcie (x=— 0, y=0), jako końcu lewej gałęzi styczną, wpadającą w oś x-6w, a w punkcie: (x== 4-0, y= + co), jako początku prawej gałęzi styczną, wpadającą w oś y-ów.

Dla x—± go , otrzymujemy tu: y= 1, zaś y' — 0, krzywa posiada więc w obu punktach: (# = -}-co, y = 1) i (x=—co, y== 1), wspólną asymptotę? równoległą do osi æ-ôw. Krzywa posiada nadto punkt przegięcia :

x= —

Ki)

O)

punkt x—0, a dla funkcyi :

ex(l + 2x) U

a:⁴

czyli: y' = —

y=Y²'

i / -U

x_

CL

X'

x_

\P’

Fig. 393.

Fig J 394.

w którym styczna jest do osi æ-ôw, nachylona pod kątem a, dla którego; tang a— —

4

—2* Kształt krzywej : y=cx uwidocznia fig. 393.

2)    Krzywa: y=ex -\-e    ¹ ma dwa punkta istotnie osobliwe, w których

przerywa swą ciągłość, przyczem jeden odpowiada odciętej: x=0 i ma dla

x=

—0, rzędną : y=~, zaś, dla #= + 0 rzędną: y==+oo; drugi odpowiada odciętej x=l, i ma dla x=l—0, rzędną y=e, a dla #=ld-0, rzędną: y=~r go. Kształt krzywej uwidocznia fig. 394.

3)    Krzywa: y=sin— ma w miejscu æ = 0, punkt istotnie osobliwy,

CO

w którym rzędna y=sinco jest nieoznaczoną w granicach: od —1 do +1.

W tym punkcie, istotnie osobliwym, krzywa nie posiada też, pomimo swej ciągłości, żadnej oznaczonej stycznej.

/L

W’l

Fig. 395.

Krzywa przecina oś x-ów w nieskończenie wielu punktach , określonych warunkiem :

—= lm,

czyli: #==— J    Im

(Æ=0, rb 1, rfc 2,..., +go )

a więc nieskończenie wiele razy, zagęszczając się w pobliżu punktu x = 0, składa się więc z nieskończenie wielu fal nieograniczenie zgęszczonych w otoczeniu punktu x = 0; posiada w punktach: x = zt oo, y—ńz 0, wspólną asymptotę, wpadającą w oś x-ów ; kształt jej podaje fig. 895.

VI

Fig. 396.

4) Krzywa: y=tang- - ma w miejscu æ = 0, punkt istotnie osobliwy,

w którym rzędna y == tang go jest nieoznaczoną , przyjmując wszelkie możliwe rzeczywiste wartości w granicach: od —oo do -foo.

Krzywa składa się z nieskończenie wielu gałęzi, skupionych około punktu istotnie osobliwego

przegięcia znajdują się na prostej, przechodzącej przez początek układu.

ma w miejscu: x — 0 punkt istotnie osobliwy,

którego rzędna: y=secoo, jest nieoznaczoną, przyjmując wszelkie możliwe rzeczywiste wartości w granicach: od -f 1 do +co i od —1 do

9. Punkta kątowe krzywych przestępnych. Punkta istotnie osobliwe krzywych przestępnych, wskazując miejsca, w których krzywe przestępne przerywają swą ciągłość, mają też w każdym punkcie przerwy, stanowiącym koniec, lub początek gałęzi, oddzielną styczną.

Szczególny zachodzi przypadek, gdy obie, po sobie następujące gałęzie krzywej przestępnej, schodzą się w jednym punkcie, a każda z tych gałęzi ma w tym punkcie oddzielną styczną.

Ten punkt istotnie osobliwy, nazywamy punktem kątowym. Krzywa przestępna: «/=/'(#), posiada punkta kątowe, skoro pierwsza pochodna: y‘=f‘(x), dla pewnych wartości x przerywa swą ciągłość.

Przykład. Krzywa: y

kształt jej uwidocznia fig. 396. Wszystkie jej punkta

5) Krzywa: y= sec

rH «

ma

1 + e¹/*

istotnie osobliwy, w którym schodzą się dwie oddzielne gałęzie. Mamy tu :

t x(l Ą-eilx)-\-eilx y== x(l + e'iy ’

zatem, dla æ=0, dwie różne wartości: y‘ = 0    ,

i y'= 1.    X

— 00.

w punkcie : x = 0, y — 0, punkt

Gałąź, położona po stronie dodatniej osi x ów, ma więc w tym punkcie kątowym styczną, wpadającą w oś æ-ôw, gałąź zaś, leżąca po stronie ujemnej osi #-ów, ma w tym punkcie styczną, nachyloną do osi x ów, pod kątem 45°.

Krzywa ma kształt, jak na fig. 397.

10. Punkta krzywych przestępnych, nie posiadające wyraźnej stycznej. Jeżeli w punkcie istotnie osobliwym krzywej: y =/(#), w którym schodzą się gałęzie krzywej, jest pierwsza pochodna f‘{x) nieoznaczoną, mogąc przyjmować wszelkie możliwe, w obrębie pewnych granic zawarte, wartości tenczas otrzymujemy w tern miejscu punkt krzywej, nie mający żadnej wyraźnej stycznej, pomimo, że krzywa nie przerywa w nim swej ciągłości.

Fig. 397.

na-

Pr z y kład. Krzywa: y—x sin- - w punkcie æ=0, y—0 posiada punkt

istotnie osobliwy, w którym styczna jest zupełnie nieoznaczona. Mamy tu bowiem :

,.11    1

f=sm---cos —,

%A/    tAS    %Aj

a więc, dla Æ=0, jest y‘ nieoznaczone. Krzywa przecina oś a?-ów nieskończenie wiele razy w pobliżu punktu 0, w którym, pomimo swej ciągłości, nie ma wyraźnej stycznej. Krzywa

jest zawarta między dwójsiecznemi kątów układu, dotykając się ich w punktach :

\\

Fig. 398.

~ hu ’ ^7^’-

yr ' Btt

2/=

Sn

In¹'"

i ma asymptotę równoległą do osi x-ów o równaniu: y=l. Kształt krzywej podaje fig. 398.

11.    Uwaga. Krzywe przestępne mogą też posiadać skończoną, lub nawet nieskończoną ilość takich punktów, istotnie osobliwych, w których krzywe , nie przerywając swej ciągłości, pomimo to nie posiadają oznaczonej stycznej. Istnieją także krzywe przestępne, które, pomimo swej ciągłości, w żadnym punkcie nie posiadają oznaczonej stycznej. Są one obrazami geometrycznemu funkcyj całkowitych przestępnych zmiennej niezależnej #, które, jakkolwiek ciągłe, dla wszelkich możliwych rzeczywistych wartości zmiennej niezależnej x, w żadnem miejscu nie posiadają oznaczonej pochodnej.

Przykładem takiej krzywej jest n. p. obraz geometryczny funkcyj:

sina; . sin 2#    sin4a: , sin8æ

2    '    4

określonej szeregiem bezustannie zbieżnym , a posiadającej pochodną :

y‘ — cos x cos2 x -j- cos 4a; -j- cos Sx + zupełnie nieoznaczoną. Krzywa ta ma też w każdym punkcie styczne zupełnie nieoznaczone.

12.    Układy krzywych i krzywe obwijające. Jeżeli w równaniu: y=f\%), funkcya f{x) zawiera w sobie jedną stałą dowolną: c, a więc równanie ma-kształt: y=f(x, c), natenczas to równanie przedstawia dla wszelkiej szczególnej wartości c pewną linię krzywą, wyobraża zatem, gdy stała dowolna c przybiera wszelkie wartości rzeczywiste, w granicach, od —go do -f co układ go krzywych.

Dwie, po sobie następujące krzywe, odpowiadające dwom po sobie następującym wartościom: c i c-\-dc stałej dowolnej c, będą tedy określone równaniami :

y=/■(«, c), i y=f{x, c + dc),

przecinają się zatem w punkcie, którego odcięta x będzie określona równaniem :

czyli :

f(x, c-\-dc) — f(x, c)=0, f(x, c-\-dć) — f(x, c)

dc

0.

O)

Pierwsza strona tego równania przedstawia stosunek różniczkowy funkcyi /(#, c), wywołany zmianą c o dc, jest zatem pochodną cząstkową funkcyi f(x, c) względem c, możemy więc położyć:

f(x, c-\-dc)—f(x, c) df\x, c)

dc

dc

Wobec tego, przedstawia się równanie (a), w postaci:

0.

df(x, c)

dc

Z równania tego, w połączeniu z równaniem: y=f(x, c), możemy, dla wszelkiego c, wyznaczyć ten punkt, w którym krzywa : y=f(x, c), danego układu przecina się z bezpośrednio następującą krzywą: y =/'(#, c + dc).

ô fix c)

Wyznaczywszy stałą dowolną c z równania : ——-— = 0

00

w postaci :

c=(p(x) i podstawiwszy jej wartość w równaniu: y=/(Æ, c), otrzymamy równanie

w postaci: y—fix, <p(x)), czyli: y=ip(x), które przedstawia krzywą, łączącą wszystkie punkta przecięcia nieskończenie blizko po sobie następujących krzywych układu: y=f(x, c).

Krzywa ta ma nietylko punkta wspólne z każdą krzywą układu : y—f(x, c), ale jest także w tych punktach styczną do dotyczącej krzywej układu.

Z równania: y—ip(x) otrzymujemy bowiem:

dy dtp(x) df(x, q>(x)) df(x, c) dx dx

dx

dx

zatem :

dy df{x, c) df(x, ć) dc dc ' dx

Ponieważ, atoli, w punkcie wspólnym krzywych: y—tp(x) i y=f(x, ć),

dip(x) df(x,ć) dx

To znaczy: Krzywa: y = ip(x), czyli krzywa, określona równaniami:

ein

y=f(x,ć),    — 0 i krzywa: y = f(x, c), mają w wspólnym punkcie także

wspólną styczną. Z tego powodu nazywamy krzywą, określoną równaniami: y=f\x, c) ; —=0, krzywą , o b w i j a j ą c ą układu krzywych : y=f{x, c), a każdą

krzywą tego układu, nazywamy obwiniętą.

13.    Przykłady:

1)    Równanie: y = cx—c², w którem c jest stałą dowolną, przedstawia układ prosty cli. Obwijająca tego układu prostych, określona jest równaniami: y—cx—c², x—2c— 0, z których,

ze względu na to, że z drugiego równania wypływa: c = —-wypada równanie: y—-^— czyli:    x21 przedstawiające parabolę, ułożoną symetrycznie około osi y-ó w.

p ' c2

2)    Równanie: y = cx---— x², w którem c jest stałą dowolną, przedstawia układ

u

krzywych parabolicznych drugiego rzędu. Na wyznaczenie ich obwijającej otrzymujemy,

1 i c2    dy

—h—x², następujące: — =#— cx² — 0, z którego otrzymujemy: c = ~, zatem równanie obwijającej , przedstawia się w postaci: y— ~ (1—cc²).

14.    Uwaga. Jeżeli równanie : ^ = 0, nie zawiera wcale stałej c, wówczas powiadamy,

że krzywe: y=.f(x, c) nie posiadają wcale obwijającej. Takimi są n. p. układy krzywych: y = cxm, y — cex , i t. p.

Zdarzyć się wreszcie może, że równanie: ^-=0, określa c, jako funkcyę dwuwar-

tościową , lub funkcyę więcejwartościową zmiennej niezależnej x, w tym przypadku składa się krzywa obwijająca z dwu, lub więcej oddzielnych gałęzi.

Przykład. Równanie: y—cx-j-—, gdzie c jest stałą dowolną, przedstawia oo' prostych na płaszczyźnie.

jest

à fix, c)

dc

dx

ÖX

0, przeto mamy w tych punktach

obok równania: y—cx

dx

Mamy tu ~- = x—^ = 0, skąd otrzymujemy: c =+W—-. Wstawiwszy te wartości

wdane równanie, otrzymujemy równanie obwijającej, w postaci : y = + 2\/x , czyli : y = + 2x^², przedstawiającej dwie gałęzie paraboli drugiego rzędu, ułożone symetrycznie około osi cc-ów.

Liczniejsze zastosowania teoryi krzywych obwijającycli poznamy, zbadawszy przedtem teoryę funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej, którą zajmiemy się w następnym wykładzie.

Ćwiczenia XLVII.

Wyznaczyć punkta szczególne i osobliwe i podać przebieg następujących krzywych przestępnych :

1) y = emx. 2) y — sin mx. 3) y — mx -(- sin x. 4) y = x -f- sin mx.

5) y = x -j- l/i sin x. 6) y = y₂ x -f- sin x. 7) y = a?²-j- sina?. 8) y —ccsincc.

9) y = e* -j- sin x. 10) y — e*. sin x. 11) y—x² sina?, sin a?

—• ¹⁸^

12) y

COS X . ..

—. 14) y

tgx

P.X

16),= ^.

k 16)y

17) y ——. 18) y = V/l 4- sina?. 19) y — V/I + V2 sina:. 20) y \/4-f- sincc. 6X

sina? *

na?.

21) y — y/æ -(- sin a? . 22) y = \/ x -J- V2 sin a? • 23) y =\/x -J-2 sin a;¹. 24) y = y/(a? -j- sina?)³ . 25) y— sin a?. 26)y=V/*²si

LO

y = «**. 30) y = e~x\

31) y = sin(cc²). 32) y = sin sina?.

Wyznaczyć promienie krzywizny następujących krzywych: 33) y — xm. 34) y=y;ja?³. 35) y=x^-‘ 36) y= \/2cc-|- a?².

37) y=J

a?³

38) y = 'k(x-S)Vx. 89) y = 2 Jÿl*

40) Wykazać, że promień krzywizny krzywej : y = --(^e

V (a² — c² -f- y²)³

2«—cc’

xja

—x/a

ma wartość :

ay

41) Wykazać, że promień krzywizny logarytmiki o równaniu: y— — ae    ma

wartość :

„ _ («² + Ź/²)3/j

P ’

ay

( X \m

42) Wykazać, że promień koła ściśle stycznego w punkcie cc — 0 krzywej : y— J

jest równy 0, gdy m<2, równy

to, a

, gdy w—2, a równy oo, gdy m^> 2.

43) Wykazać, że koło ściśle styczne w punkcie a? —0, krzywej y = ccł — 4cc³—14a?², ma promień : p =

44) Znaleźć promień koła ściśle stycznego w punkcie cc —0, krzywej: y— a?³-J-5cc²-j-6a?.

aa? (a?—3)

45) Wykazać, że krzywa : y styczne, jedno o promieniu: pt — \a , druga o promieniu : p₂ — ³/₂ a.

a?—4a

ma w punkcie: a?=0 dwa koła ściśle

wyznaczyć punkta, w których koło ściśle styczne ma

46) Na krzywej y = e promień nieskończenie wielki.

Wyznaczyć punkta istotnie osobliwe i wykreślić następujące krzywe przestępne.

. o.    le¹/*    1 e-i/*

. 49) y —— ——. 50) y ==--

OH CC    cc cc

^!x

— l/.E

47) y — xe . 48) y = xe 51) y=eilx\ 52) y =    53) y = e¹'**⁻¹.

Zakładając, że c jest stałą dowolną, wykreślić układy następującycłi linij

krzywych :

12)y — c.~. 73) y = cex. li)y — ce—x. 75) y = doga?. 76) y — c sinx.

(ex -j- e—x).

77) y=c. cos x. 78) y — dang x. 79) y = ccotga?. 80) y=c seca?. 81) y — c coseca?. 82)</ = |0+-i). 88)» = 4(*>+i). 84) y =

85) y =-^- (sina? -f coseca?). 86) y = (cos a: 4- sec a?). 87) y=(tanga?-j-cotg a;).

88) y = e(l -J- cos a?). 89)y=c(l—cos a?). 90) y = c(l-j_ sina?). 91)y = c(l—sina?). 92) y =c\/sin a;. 93) y — c\/ cos a?. 94) y = c\/tanga?. 95) y = c sin²a?.

96) y — c cos²a?. 97) y = ctang²a?. 98) y = csin2a?. 99) y — ccos2x.

100) y=ce-x"~. 101) y=ca?eœ. 102) y—c x sin a?. 103) y — ex cos x.

ccos

a?

1 rm    ¹

—. 5n y — —cos—. x    x

54) y = x sin—. 55) y— — sin—. 56)»/=x cos — xxx

58) y — xtg -i-. 59)    60) y = a; co tg i 61) y =-^ cotg^.

il/    il/    X    U/    %âj    Jj

ßijx JL- 1

62) y =-63) y

66) y = a? -f- cos —. 67) y = a; -|- tg —. 68) y —■ a?² -f- e¹/*. 69) y — x²-\- sin —. 70) y = æ²-)-cos —. 71) y = x² + tang —.

64) y —x-\- e¹/x. 65) y =

x -J- sin

104) y = ceVx. 105) y = csin—. 106) y —

107) y = c. ex sin x. 108) y = c. excos a?. 109) y—

ex

C ’ sin a? ’

110) y = c . e-*sina?. 111) y—c

ex

—. 112) y =

cos a?

ce—xcos a?.

Zakładając, że w jest liczbą całkowitą dodatnią, zbadać kształty następujących linij

krzywych :

113) y — x (x* — 1).    114) y — x»(x—1). 115) y = a?»(a?—l)(a?-)-2).    116) y — xn (x²1).

117) y

a? (a?” — 1) ’

118) y =

xn(x—1) *

119) y

xn (a? —1) (a? + 2)'

121) y = y/ a? (a?ra — 1).    122) y=\/ a?(l — a?n).

125) y —\/ xn(x — 1).

126) y=V/a?«(l—a?). 127) y = \/xn(x— 1) (a?    2) . 128) y= X/xn{x²Ą-\).

120) y

a?n(a?²-|- 1)’

123) y = x\/xn — 1. 124) y = a?V/l —

a?«.

129 )y=^ 131) y =

a?(a?,t — 1)’

130) y= ^

•a: (1 — a?w)

x\/xn — 1

132) y =    --.

a?\/ 1 — a?”

Wykreślić obrazy następujących funkcyj i ich funkcyj pochodnych:

133) y = (a?—l)(a?—2) (a?—3). 134) y =(a?-l)²(a?-3). 135) y = (a?-l)(a?-3)².

136) y=(a?—I)³. 137) y=^—.

x — i

139) y

138) y =

;5Ęrr ¹⁴²^

144) y=a?(loga?—1). 145) y — ex (x—1). 146) y=4 a?²(loga?—^).

(a? - l)² ’

(a?-1P *

140) y

x²-f 1'

141) y.

(a?² -f- l)² *

143) y

a?—1

(x² 4- l)² '

147) y— log sec cc. 148) y— log sin cc. 149) y — log tang cc.

150) y — x arc sin x -\- \/1 — x².    151) ?/ = a, arctg x — y₂ log (1 + ce²).

152) y = '/a log    153) y = ~ log (1 + x'¹)- 154) y = ylog^--

155) y = cx -j-

Zbadać kształty następujących układów krzywych i wyznaczyć ich obwijające: ^156) y = c(x-\-l)—c². 157) y— cx -j-\/l-f-c².

158) y—\/ c(x—1) — c².    159) y = ccc-|-Y/c²-|-4* 160) y = cx -J-\/c²—4.

161) y—c{x—1)    \/c²4-4 .    162) y = ^ cx +    (-|-) .

167) y

a?

168) y = log

c² — cc²

166) y

C²—CX'-f-*²'

Vc²-|- ce²

170) Przedstawić geometrycznie związek między ciśnieniem p, a objętością c, gazu,

c² -j- a:

określony równaniem van der Waals’a w postaci; (p-Ą--^j (v—b)=k, w którem a, b

są pewnemi liczbami stałemi dodatniemi , właściwemi dotyczącemu rodzajowi gazu, a k jest stałą dowolną, zależną od temperatury, przyczem zakładamy, że v^>b.

71—.oo    /iZfl !    tzx\

171) Dowieść, że funkeya : y — 2 sin ( -—--}--^) ma skończone, oznaczone rzędne,

n-i    X x    n 7

jedynie dla wymiernych wartości cc, dla wszystkich zaś niewymiernych wartości zmiennej x jest ona nieoznaczoną.

( 1 + w² æ²m~²) U m(m—1) x

= ~ V^VkA-Sxy.x. 36) p — [2 (2x + a;²) -j- 1]\ 37) p =

. 44) p =22-506. 46) x = ± ^%x\/2. 155) y= 2\A+T. 156) y=7₄(æ+l)². 157) y^Vl-x'¹. 158) y= )-    ¹⁵⁹⁾ 2/=²l⁷!— *a. 160) */=2\A²-l. 161) y =2\/2cc—cc²-

162) y= — -1-**. 163) */=l. 164) y = 0. 165) y = ±l. 166)y = ~.^-r 167) y — 0. 168) Krzywa: y — - ^ — ~ w granicach od x — b do cc = oo.

39) p

Rozwiązania XLVII. 33) p

V(4:-{-2x*—cc⁴)³

2cc²(cc— 2cc)

m—2

• 84) p

(1+**)*'»

(x + l)²

3 (2a—cc)²

• B8)P“    2

Literatura. R. B a i r e. Recherches sur les fonctions de variables reelles. Paris 1899.

I. H a d a m a r d. Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor. Paris 1893. P. M a n s i o n. Leçons sur les applications géométriques du calcul infinitesimal. Paris 1896.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Punkta kołowe krzywych parabolicznych.

2.    Logarytmika i krzywe paraboliczne z nią ściśle styczne.

3.    Punkta szczególne i osobliwe w obrazach funkcyj jednowartościowycli.

Wykład XLVIII.

Funkcye uwikłane jednej zmiennej niezależnej.

1.    Określenie funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Jeżeli zmienna y nie jest podaną bezpośrednio, za pomocą pewnego wyrażenia matematycznego, jako wyraźna funkcya zmiennej niezależnej æ, w postaci:

lecz jest określoną równaniem nierozwiązanem, ogólnego kształtu:

(1)

f(x, y) = 0,

natenczas powiadamy, że zmienna zależna y jest funkcyą uwikłaną zmiennej niezależnej x.

Pojęcia: funkcya wyraźna, i funkcya uwikłana, dotyczą więc tylko sposobu analitycznego, w jaki wartości zmiennej zależnej y związane są z od-powiedniemi wartościami zmiennej niezależnej x.

Równanie /'(#, y)= 0 daje dla każdej wartości x jedną, lub więcej wartości na y i określa przeto y, jako funkcyę jedno wartościową, lub też, jako funkcyę wielowartościową zmiennej niezależnej x.

Uważając wartości x i y, związane równaniem f(x, y) = 0, jako spół-rzędne punktu na płaszczyźnie X0P, otrzymamy, jako obraz funkcyi, równaniem : f(x, y)-=0, określonej, nieskończenie wiele punktów, tworzących, wogóle, pewną ciągłą krzywą płaską, a równanie : /'(#, y) = 0, nazywamy tedy równaniem tej krzywej.

Stosownie do rodzaju równania, jakie zachodzi między wartościami zmiennej zależnej y i odpowiedniemi wartościami zmiennej niezależnej x, dzielimy funkcye uwikłane , podobnie, jak funkcye wyraźne, na funkcye algebraiczne i na funkcye przestępne, nazywając ich obrazy krzywemi alge-braicznemi, względnie krzywemi przestępnemi.

2.    Pierwsza pochodna funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Niech będzie daną zmienna zależna y, jako funkcya uwikłana zmiennej niezależnej 5C, określona równaniem : f(x, y)=0. Pomyślmy sobie, że równanie powyższe zostało rozwiązane ze względu na y, zapomocą zmiennej x, w postaci: y=(p{x), i że ta wartość wstawioną została w równanie: /'(#, y) = 0, wówczas pierwsza strona równania przedstawia funkcyę złożoną z dwu funkcyj jednej zmiennej niezależnej x, a to: z jednej równej x} a drugiej y, będącej uwikłaną funkcyą zmiennej niezależnej x. Różniczka zupełna funkcyi

złożonej: fix,y), przedstawia się tedy, na mocy art. 5. str. 499. jako suma różniczek cząstkowych w postaci :

àf

àf

dy.

&**)—&*>+ dÿ

Ponieważ jednak fnnkcya f(x, y), jako funkcya, złożona z dwu funkcyj

więc związek a różniczką dy jej funkcyi, określonej równaniem f(x, y)=0, przedstawi się w postaci równania:

zmiennej niezależnej x, ma być tożsamościowo równa zeru między różniczką dx zmiennej niezależnej x

àf

— dx +

àf

dx

ày

dy=o,

(2)

z którego otrzymujemy wzór:

àf

dy

dx

dx

àf ’

czyli : y‘

f 'x(X") y)

(3)

ày

dozwalający wyznaczyć pochodną funkcyi y względem x, skoro y jest funkcyą uwikłaną zmiennej niezależnej x₎ określoną równaniem: f{x, y)=0.

Na mocy tego wzoru , otrzymujemy pierwszą pochodną danej funkcyi, dzieląc pochodną cząstkową funkcyi /(#, y), wyznaczoną względem x, przez takąż pochodną względem y i, nadając otrzymanemu ilorazowi znak przeciwny.

Tak wyznaczona pochodna — przedstawia się, jako funkcya zmiennej

niezależnej x i zmiennej zależnej y, może być jednak, na mocy danego równania, wyrażoną wyłącznie, jako funkcya zmiennej niezależnej x.

3. Przykła d. Niech będzie daną funkcya, określona równaniem :

/(cc, y) — b²x² -p a²y² — a²b² = 0,

nateczas otrzymujemy pochodne cząstkowe funkcyi /(æ, ?/), w postaci:

df

= 2 a²y,

to'²*’*’ dy

a stąd, jej różniczkę zupełną:

d-fdx + d-l

dx dy

która wypada także i z bezpośredniego różniczkowania funkcyi: f(xy)=b²x?-\-a'iy'i—a'}b‘², podług zmiennych x i y. Wobec tego, otrzymujemy równanie różniczkowe:

2Z>² xdx -(- 2ahydy — 0,

dy = 2b²xdx + 2ahj dy,

(a)

z którego wypływa :

dy

b²x

(P)

«V

Ponieważ y jest, na podstawie danego równania , funkcyą dwuwartościową zmiennej,

niezależnej x, mianowicie : yl = -(- —\/a²—x¹,

chodna jest funkcyą dwuwartościową, a wartości te mają, na mocy wzoru (b) kształty następujące :

dx

a a-

\/a²—x², przeto także jej po-

dy i

dy₂

a Va² — X²' dx

Do tego samego wyniku dochodzimy, rozwiązując dane równanie podług x, a więc przedstawiając daną funkcyę uwikłaną, jako funkcyę wyraźną zmiennej x, co w tym szczególnym przypadku jest możliwe, i szukając następnie pochodnej tej funkcyi wyraźnej.

dx

a V/a²-x²

Otrzymujemy tu mianowicie :

ÿ=A\/a2_a. 2;

a    dx

zgodnie z wzorem: (b).

4. Druga pochodna i druga różniczka danej funkcyi uwikłanej. Wyznaczanie różniczek i pochodnych wyższych rzędów danej funkcyi uwikłanej , określonej równaniem: f(x, y)=0, możemy oprzeć bezpośrednio na

-f*    ri i'

różniczkowaniu równania: —^ dx -j- — dy=0, podającego związek między

pierwszą różniczką dy funkcyi uwikłanej, a różniczką dx zmiennej niezależnej x.

Bacząc na to, że pochodne cząstkowej i j funkcyi'/*(x, y) są znowu

funkcyami obu zmiennych: niezależnej a: i zależnej y, a więc mają różniczki zupełne, kształtu:

ddJ= d-^dx+

dx ox¹⁺ óxdy

i, uważając różniczkę da:, jako stałą

dy d0f= dy dy’ ¹ dy dxdy

à²f‘

W'*’

a różniczkę dy, jako zmienną, otrzymu-

dx\

. àf

àf

jemy, z pierwszego różniczkowania równania: —

Ö00

celem wyznaczenia drugiej różniczki d²y, następujące równanie:

â'f

dxĄ- ~ dy—0, kładąc d²x=0,

dy

d²f

dx²

dx-\-

dxdy

dyj dx-\- ^

ay

dxdy

dx-f-

àf

d²f \

Wdy) dy+ày

d²y =0,

d²f

d²f dxdy

podające związek między drugą różniczką d²y danej funkcyi, a kwadratem (da:)², różniczki dx zmiennej niezależnej x.

Podzieliwszy to równanie obustronnie przez dx², dostajemy związek d²y . dy dx² dx

/'(.r, y) = 0, a pochodnemi cząstkowemi funkcyi: f(x, y), w postąci równania:

u»

czyli :

da:²

da:²-!- 2

dxdy 4

d²f

àf

S-.*,+SÄ*-O'

między pochodnemi

danej funkcyi uwikłanej , określonej równaniem

z którego wypływa wzór :

ay dy ay /dy\² àjfdfy dx dy dx ‘ ay² \da;/ ^ ay dx2    :

d²y

a²/¹    a²/¹ dy ay/dy\²

aa:²    aa;ay da: ' dy² \da:/

da:²

d/

(4)

dy

CLIJ

Wprowadzając w tym wzorze wartość pierwszej pochodnej: —

żoną na mocy wzoru (3), przez pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcyi : f\x, y), otrzymujemy drugą pochodną danej funkcyi uwikłanej y, w postaci :

wyra-

d²y

a²/ /aA² g à²f dfdf [ ay/a/V

da:² \ay/    aa: ay aa: dy ^ dy² \da:/

da:²

(5)

wykazującej zależność drugiej pochodnej

d²y

da:²

funkcyi uwikłanej y, określonej

równaniem: f(x, y) —O, od pochodnych, cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu funkcyi złożonej: f (x, y).

5. Tak n. p. otrzymamy z równania: b²x²-\- ahy²—a²è²=0, kładąc: f(x, y)—b²x²-\-a²y²—a²b%: a) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu :

d/i=2b'x' d4=2a,'j’

0, ^f=2a²,

kolejno :

b) pochodne cząstkowe drugiego rzędu :

3—

a stąd, na mocy wzoru (5) :

dxdy

óy²

dhj

(£c²

2b² (2a²y)²2a²(2b²x)²

8 a²b\b²x² + a²y²)

8a⁴ Z»⁴

(2 a²y)³

8a⁶y⁸

8a⁶y³

d²y₌₌_ dx²    «²y³‘

Do tego samego wyniku możemy dojść bezpośrednio, różniczkując dwukrotnie równanie: ft²«²-j- a²y²— a²b² = 0, uważając przytem zmienną x, jako zmienną niezależną, a y jako jej funkcyą.

Pierwsze różniczkowanie prowadzi do równania :

2b²x . dx -{- 2«² y .dy — 0,

b²xdx-\- a² y dy — 0, z którego wypada : f —

dx

zatem :

czyli :

6*

ft²:»

«V

Na mocy drugiego różniczkowania otrzymujemy zaś:

b²dx² -]- a²dy² -f- a²yd²y — 0,

skąd wypływa :

d²y

b² _ 1 /%\2 a² y y \dx)

dx²

czyli, po uwzględnieniu wartości :    , powyżej otrzymanej :

b² . l^Wx² ___ b\a²y² -\-b²x²)__ J⁴

a²y³¹

Æ²y

dx²

a²y

y aky²

a^y²

a zatem , jak powyżej :

d²y

dx²

ó⁴

a²y² *

C. Różniczki i pochodne wyższych rzędów danej funkcyi uwikłanej.

Różniczkując w-krotnie równanie: /‘(æ, y) = 0, określające zmienną y, jako funkcyą uwikłaną zmiennej niezależnej x, otrzymujemy n równań, które dają po kolei wartości różniczek: dy, d²y, d³y,..., d”y, wyrażone przez pochodne cząstkowe pierwszego, drugiego, trzeciego,..., w-go rzędu funkcyi: f{x, y) i przez odpowiednie potęgi różniczki dx zmiennej niezależnej x.

Z pierwszego z tych równań, możemy wyznaczyć pierwszą różniczkę dy w postaci: dy=/j(a:, y).dx₎ a wstawiwszy otrzymaną wartość w drugie równanie, otrzymujemy drugą różniczkę: d²y w postaci: d²y—f₂(x^y)dx²] podstawiając obie te wartości w trzecie równanie , otrzymamy trzecią różniczkę d³y w postaci: d³y=/₃(;r, y) .da;³. Postępując podobnie, otrzymamy w końcu z w-go równania n-tą różniczkę dny w postaci: dny=fn(x₁ y)dxn.

Porównywając tak otrzymane różniczki zmiennej y z odpowiedniemi potęgami różniczki d#, otrzymujemy po kolei pochodne w postaci :

y‘=£=f\(*, y)i y,,==

d²y

przyczem pamiętać należy, że wartości zmiennej y, związane są z wartościami zmiennej niezależnej a;, za pomocą równania /'(#, y) — 0.

da:²

dny

da:w

=/*(*> */)

W wyrażenie fn(x, y), wchodzić będą, w ogólności, wszystkie pochodne cząstkowe funkcyi /(#, y), aż do pochodnych w-go rzędu włącznie. Dotyczące wzory, są jednak, wogólności, bardzo zawiłe korzystniej jest, w każdym poszczególnym przypadku, powyżej wskazane rachunki wprost przeprowadzić.

Niech będzie n. p. dane równanie: (aj—a)²-J-(v/—ß)²—r²^ 0, określające y, jako funkcyą zmiennej niezależnej x, natenczas , chcąc wyznaczyć trzecią różniczkę d³y, lub trzecią po-

dx³

chodną: y“⁴

przytem zbyteczne, gdyż

otrzymujemy trzy równania następujące :

(*—«)dx + (y—ß) dy = 0,

dx²-\- dy²-\-(y—ß) d²y = 0,

3 dy d² y + (y—ß) d³y=0, z których otrzymujemy kolejno:

x—a

czyli :

(x a) -j- (y ß)y⁴ = 0,

i + y'² + (y—ß)y"=o,

3y'y"-i-(y— ß)y"'=0,

r² ut    3r²(aj—a)

to-»³’ y ~    to-»⁶ '

7. Równania różniczkowe danej funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej. Z danego równania: /'(^, y)= 0, określającego zmienną y, jako funkcyą zmiennej niezależnej x, możemy otrzymać, za pomocą różniczkowania, w-razy powtórzonego, nowe równania, określające związek między zmienną niezależną x, jej funkcyą y i jej pochodnemi : y*, y", y"',..., y(n), jako to:

fM y, y‘)=QJ    J y, y\ y“)=0,..., /•„(a?, y, y', y",..., y(B))=o.

Takie równania, które przedstawiają związek między daną funkcyą, jej pochodnemi i zmienną niezależną æ, nazywamy ogólnie równaniami r ó ż ni c z k o w em i danej funkcyi

W szczególności, nazywamy dane równanie różniczkowe, równaniem różniczkowem w-go rzędu, jeżeli ono zawiera w sobie pochodną w-go rzędu, jako pochodną najwyższego rzędu.

Tak n. p. otrzymamy z równania: (x—a)² -f- (y — b)² — c² = 0. określającego y, jako funkcyę uwikłaną zmiennej niezależnej aj, kolejno następujące równanie różniczkowe:

a)    równanie różniczkowe pierwszego rzędu: (oj—a)-\-{y—b) y' = 0 ;

b)    równanie różniczkowe drugiego rzędu: l+y,2-j-(y—b)y⁴⁴ — 0;

c)    równanie różniczkowe trzeciego rzędu: 3y'y" -f- (y—b) y44i = 0, i t. d.

Z równania różniczkowego w-go rzędu danej funkcyi możemy wyznaczyć, w każdem miejscu x, wartość n-tej pochodnej, gdy znamy wartość funkcyi i wartości pochodnych, aż do (n—l)-go rzędu, włącznie.

y—ß

y“

Tak otrzymamy n. p. z równania :

log y — a. arc sin aj = 0,

równanie różniczkowe pierwszego rzędu , w postaci :

i/ï=P==⁰’

czyli :

y⁴² (1—a?²) — a² y² — 0.

O)

Różniczkując jeszcze raz to równanie, dostajemy równanie różniczkowe drugiego rzędu, w postaci:

2(1—x²) y⁴y⁴⁴ — 2xy¹²— 2a² yy⁴ = 0,

(1—x²) y⁴⁴ —xy⁴ — a²y=0.

Jeżeli teraz z tego równania utworzymy (n—2)-gą pochodną, natenczas otrzymamy równanie różniczkowe n-go rzędu, w postaci :

czyli :

(P)

(1—x²) y(.n)—(2n—$)xy',n-i) — \{n—2)²+ a²\?/(«—2) = 0, dozwalającej wyznaczyć wartość n-tej pochodnej, w pewnem miejscu a;, za pomocą wartości dwu tylko pochodnych, bezpośrednio niższego rzędu.

43

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

W szczególności, otrzymujemy z danego równania, dla a? = 0, wartość funkcyi: y₀ —1, z równania (a) wartość pierwszej pochodnej: y'₀ = a, zrównania (b) wartość drugiej pochodnej: y"₀ == a², a z równania (c) wartość «-tej pochodnej : y₀(n) = [(«—2)² -|-zkąd już wypada⁻y“\ — o(l² -f- a²); y^) = a² (2²a²), y₀(⁵) — a(l² + a²)(3² -(-a²), i t. d.

8. Tworzenie równań różniczkowych. Z danego równania pierwotnego , określającego związek między zmienną niezależną x, a jej funlccyą y, i zawierającego w swym składzie « stałych dowolnych: ci, c₂,..., c«, a więc, przedstawiającego się w postaci:

f id'1 Vl c\ ! Ł’2) •") c») = 0,

otrzymujemy, za pomocą różniczkowania podług zmiennej niezależnej x, n razy powtórzonego, ogółem « równań różniczkowych, kolejno: pierwszego, drugiego,..., r-go, a w końcu «-go rzędu,‘"które możemy przedstawić w postaci ogólnej :

Cn) = 0 ,

Cn)= 0,

/i(®i    cu c2,

/*(*>    y‘, y“, cu c2,

/»■(#» y, y‘, y“

=:: 0.

y("), cnc2,

W każdem z tych równań występują, w ogólności, wszystkie stałe dowolne :    , c₂,

jakie znajdują się w równaniu pierwotnem : /(a?, y, ą, c₂,.. , c») = 0. Możemy tedy otrzymany układ « równań różniczkowych użyć do wyrugowania stałych dowolnych z równania pierwotnego. Łącząc, mianowicie, z danem równaniem pierwotnem / — O, równanie różniczkowe pierwszego rzędu /t =? 0 o « stałych dowolnych, możemy z obu równań wyrugować jedną tylko z tych stałych, zresztą którąkolwiek, otrzymujemy zatem z danego równania pierwotnego, w połączeniu z jego równaniem różniczkowem pierwszego rzędu, o « stałych dowolnych, «nowych równań różniczkowych pierwszego rzędu, każde o («—l)-stałych dowolnych, wybranych « sposobami z pośród « stałych: cx, ct

/«O, y> y'j y"

y(r\

•••3

•••3

•••3

Cni

Łącząc ogólnie z danem równaniem pierwotnem/= 0 jego r równań różniczkowych od pierwszego , aż do r-go rzędu włącznie : /j= 0, /₂ = 0,..., fr = 0 , możemy z tych równań wyrugować r stałych dowolnych , wybranych , jednym z (”) sposobów z pośród « stałych: cn c₂,..., Otrzymujemy, zatem, z danego równania pierwotnego, w połączeniu z jego pierwszemi r równaniami różniczkowemi, nowych (”) równań różniczkowych r-go rzędu, każde tylko o (n — r) stałych dowolnych. Jeżeli w końcu połączymy z danem równaniem pierwotnem /= 0, jego «równań różniczkowych/t<=0,/₂ = 0,...,/n = 0, natenczas możemy z tych równań wyrugować wszystkie stałe dowolne: ct, c₂, ..., cn, a otrzymamy z danego równania piei’wotnego o « stałych dowolnych, w połączeniu z « jego równaniami różniczkowemi , tylko jedno równanie różniczkowe «-go rzędu, nie zawierające wcale stałych dowolnych.

Mamy zatem twierdzenie :

Z danego równania pierwotnego, określającego zmienna- y, jako funkcyą uwikłaną zmiennej niezależnej x, zapomocą n stałych dowolnych, możemy wyprowadzić (”] równań różniczkowych r-go rzędu, każde o (n—r) stałych, a wiec, tylko jedno równanie różniczkowe n-go rzędu bez stałych dowolnych.

To równanie różniczkowe «-go rzędu , nie zawierające stałych dowolnych , wyprowa-

cn)= 0, zawierającego « stałych dowolnych,

dzone z równania pierwotnego : f(x, y, ct, c2 określa związek między zmienną niezależną x, jej funkcyą y i pochodnemi pierwszych « rzędów tej funkcyi, niezależny od wartości, jakieby mogły mieć stałe dowolne, i nazywa się też właściwem równaniem różniczkowem danego równania pierwotnego.

9. Przykład. Równanie: xy—c^ev—c.₁e~x = 0, ma dwie stałe dowolne: ą i c₂, odpowiada mu zatem jedno równanie różniczkowe drugiego rzędu, nie zawierające żadnej stałej dowolnej. Celem wyprowadzenia tego równania, otrzymujemy najpierw następujące dwa równania różniczkowe:

**/' 4- y — Ci ex -f- ą e x = o ;

xy“ -f- 2y‘ — cx ex — c₂ e~x — 0 ,

które, połączone z równaniem pierwotnem :

xy— ex — c₂ e x=0,

prowadzą do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu, bez stałych dowolnych, w postaci :

xy“ -|- 2y‘ — xy = 0,

które jest żądanem równaniem róźniezkowem danej funkcyi.

Funkcyi tej odpowiadają nadto dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu, każde o jednej stałej dowolnej, a mianowicie, jedno, ze stałą dowolną w postaci:

™j + ®y‘ + y — 2ciex = ⁰ »

czyli :

xyf (l-\- x)y — 2c₁ex=0

drugie, ze stałą dowolną c₂, w postaci:

XV‘ + V — W + 2c₂c-* = 0,

czyli :

xy‘ 4~ (1—as) y -\-2c₂ e—x = 0.

10. Rozwijanie funkcyj uwikłanych na szeregi potęgowe. Wartości danej funkcyi uwikłanej, określonej równaniem: f(x, y)=0, odpowiadające pewnej wartości zmiennej niezależnej x, możemy podobnie, jak wartości funkcyj wyraźnych , rozwinąć na szeregi potęgowe Maclaurin’a , skoro znamy wartości tej funkcyi, jakoteż wartości wszystkich jej pochodnych w miejscu: x=at lub w miejscu: Æ=0, byleby żadna z nich nie stawała się w tern miejscu nieskończenie wielką.

W pierwszym przypadku, otrzymujemy:

y=ya+y‘a (®-a)+ ^ (x — ay + -Çj-w drugim zaś przypadku, wzór :

na

mocy wzorów Taylora, lub

ya{n)

2/o(n)

y o¹“

(6')

æ³4-...4

*²⁺ -3 !

Jeżeli dana funkeya uwikłana y jest funkcyą wielowartościową zmiennej niezależnej x, natenczas należy rozwinąć każdą wartość z osobna , opierając się na znanych wartościach tej funkcyi i jej pochodnych, w jednem miejscu x.

11. Przykłady. 1) Rozwinąć na szeregi potęgowe wartości funkcyi trójwartościowej, określonej równaniem: y³-y-\-xy—cc³ = 0. Dla x—0 otrzymujemy tu: y³—y — 0, zatem na y trzy wartości: y,= 0, y₂—~J- 1, y₃ = — 1. Należy tedy, dla każdej z tych wartości, wyznaczyć odpowiednie wartości funkcyj pochodnych, w miejscu cc= 0.

W tym celu otrzymujemy z równania: y³— y -j- xy — a;³ = 0, równanie różniczkowe (y³)(*0 — y(w) xy'n) -f- (”) y(w_O — (æ³)M == 0.

Dla n — 1, otrzymujemy stąd, pod warunkiem, że a; = 0, równanie różniczkowe

y=yo+y\x+ 2!

Xn +...

n-go rzędu :

pierwszego rzędu: 3y²y'-y‘-\-y = 0, a więc: y'=-

By²—1

, skąd wypływa:

a więc: y" =

y'i=o, y'₂ = — v,, y'₃ = + %

Dla n = 2, mamy równanie różniczkowe drugiego rzędu: 3y²y"4~ 6yy'² — y“ -\-2y‘ — 0, %y/2+ 2y'

, skąd wypływa: y"j=0, y"₂ =—y“3=4-*4.

3y²—1

Dla n — 3, dostajemy : 3y²y"' -f 18yy'y" 4" 6y'³ — y4" By" — 6 = 0, zatem :

18yy'y" + 6y'³ 3y" — 6

3y2_i    ł

yi'" =— 6, y₂/" = ⁹/sł y3>J>===l°Ui 1 ń.

y"' =

skąd wypływa :

Trzy szukane rozwinięcia mają więc kształt :

1) ?h    2) y₂ =1 —*/₂x— Yg a:² 4- ³/i6 xZ 4~ — B) y₃ = — 1 + Yi* + Vs•t2+ r,/sæ3+ ••

2) Niech będzie dana funkeya uwikłana, określona równaniem:

xy⁴ -j- 2icy³ 4* 3xy² 4* 2y 4" 1 — 0.

Ponieważ to równanie jest, dla każdej wartości na x, wogóle równaniem czwartego stopnia, ze względu na zmienną y, a, jako takie ma cztery pierwiastki, wiec zmienna y jest funkcyą cztero wartościową zmiennej niezależnej x.

Znając tedy, w pewnem miejscu x — a, wszystkie cztery wartości tej funkcyi, możemy każdą z czterech wartości, odpowiadających pewnemu x, rozwinąć według potęg (a?-a).

Dla x=0, sprowadza się dane równanie do postaci: 2y-j-l — 0, zmienna y ma więc w miejscu æ = 0, tylko jedną wartość skończoną: y₀ =— y₂, pozostałe trzy wartości są nieskończenie wielkie. Możemy więc rozwinąć na szereg potęgowy tylko tą gałąź funkcyi uwikłanej y, która dla cc—-0 ma wartość: y₀= — ‘/₂, a to w postaci:

cc³ -f- ...

W tym celu, musimy wyznaczyć w miejscu (cc = 0, y= — y₂) wartości wszystkich pochodnych funkcyi y, określonej równaniem:

xyi -f- 2xy³ 3ajy² -j- 2y -f- 1=0.

Eóżniczkując to równanie według zmiennej niezależnej x, uważając y, jako jej funkcyą i kładąc równocześnie cc=0, dla y₀= — y₂ , dostajemy:

113    9    9

16~T“^T"*~2y/o==0, a więc: 2y°' ⁼ ~ l6’ przeto ^⁰⁼=— 32*

Biorąc wprost n-tą pochodną danego równania, otrzymamy, na mocy wzoru Leib-nitza , dla cc = 0, następujący związek:

©[&*.)

(«-!)

w któi-ym symbole: (ył₀)(n—-¹), (y³o)(n_1), (y²₀)(n—6, wyobrażają wartości (» — l)-szych pochodnych funkcyj: y⁴, y³, y², w miejscu x = 0.

9

; dla n— 2, otrzymujemy zaś:

“32

2 [(2/₀⁴)' + 2 (y³₀)' + 3(y²₀)'] + 2y"₀ = 0 , ^o + 2.3y²₀ y'₀ + 3 .2 y₀ y'₀ + y"₀ = 0 ,

Z tego związku otrzymujemy, dla n— 1, równanie: y₀⁴2y₀³-f 3y₀² -J-2y'₀ = 0, z którego, dla y₀=--^-, wypada: y'₀=

“IG’

Dla n = 3, mamy znowu :

skąd , ze względu na to, że :

3 [(2/o T + 2 (y₀ ³)" + 3 (y₀ *)"] + 2y'"₀ = 0,

otrzymujemy: y "₀

4185

G/⁴o)" = (4 y₀ Vo)' = 4y³₀ y"₀ +12 y\y₀'², (y³o)" = (32/o Vo)' = 3y²₀ 2/"<y + 6 y₀ y₀'², (y₀ ²)" = (2 y₀ y'o)' = 2 y₀ y₀" + 2y₀'²,

2048'

Ograniczając się na pierwszych czterech wyrazach szeregu Maclaurin’a, otrzymujemy zatem rozwinięcie danej funkcyi uwikłanej , w postaci :

-Łx'

1    9

^⁼    2    32 *    32

1395

4096

a:³ — ...

3) Niech będzie daną funkcyą uwikłana, określona równaniem przestępnem :

xy — logy=0.

Dla x—0, otrzymujemy stąd: logy = 0, a więc jeden pierwiastek rzeczywisty: y₀— 1, możemy zatem rozwinąć funkcyą y, według wzoru:

»-*+&* + $-' + TT",+ -

W tym celu, różniczkując dane równanie, otrzymujemy:

æ2/'+y — - = °» czyli: xyy‘ + y²— y‘ = 0,

y

skąd, dla æ = 0, wypływa: y/₀=y²₀, a więc: y'₀=l.

Celem wyznaczenia wartości dalszych pochodnych, w miejscu x — 0, otrzymujemy, biorąc »-krotną pochodną powyższego równania, na mocy wzoru Leibnitz’a, następujący związek :

(?) Oo y'o)(n_1)+ (y²₀)(n) - y₀(w+1) - O,

czyli : a stąd :

czyli wzór:

y₀(n+1) = G) (Vo y‘o)(n_1) + 2 fo n)⁽-1} » y₀(n+1) = (^ + 2)(y₀yoO⁽”_l)» a wi§c: 2/0(ro)    -j- 1)(y₀ z/o0(n_2)

yo⁽")=(» + i){y₀ y<ôw-h + C7²) yo'y^-^ -f (wi”²)^"^*-³) + -+yo(n-²> y<>'}

Z tego wzoru znajdujemy, ze względu na to, że: y₀ = 1, y'₀ = 1, kolejno: 2/o" = 3, y₀'" = 4², y₀(⁴) = 5³,...

otrzymujemy przeto rozwinięcie :

2° R¹ 4² R³ fi⁴

y=¹+n*+2T^+8l^ + îl^+5₁^ + ...

12. Maxima i minima funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej.

Przypuśćmy, że mamy wyznaczyć największe i najmniejsze wartości funkcyi uwikłanej y, określonej równaniem: /’(#, y)=0, natenczas, różniczkując to

• dfdx + df

równanie, otrzymujemy warunkowi maximum i minimum zadość, skoro będzie : albo 1)

dx

O Oj

dy=0, z którego wynika, że, koniecznemu , określonemu równaniem : y'=0, stanie się = 0, a przy tern — ^0,

dy

dy

albo : 2)

df

T- = a>,

dy

. àf

a przytem : zadość, albo: 1) równaniom:

dx

skończone. Odpowiednie wartości x, y muszą tedy uczynić

f(x, y) = 0

df(%i y)_Q

dx

przyczem

df(x, y)

albo: 2) równaniom:

dy

^0,

(7)

f{x, y) =0, ~- = go

dy

d f(x, y) przyczem —■    ■

ÖX

skończone.

(7')

Ażeby poznać, czy rozwiązaniom dwu równań, układu (7), lub (7') od-

lub minima danej funkcyi uwikłanej, należy

maxima

powiadają w istocie wyznaczyć wartości drugiej pochodnej y", tejże funkcyi uwikłanej. W tym celu, w tych miejscach, otrzymujemy równanie:

dV d²/' cte²⁺²

y' -J-    y" = 0

dxdy

z którego, pod warunkiem, że y'=0, dostajemy:

dy

dy

d²/‘

d²/‘

Oj Oj

y"= 0, zatem: y"= —

da:²

d/

dy

Podstawiwszy w to wyrażenie wartości za o? i y z (7), lub (7') otrzymane, mamy w przypadku, gdy wypada: y"<C0, maximum, a w przypadku gdy wypada: y"^>0, minimum danej funkcyi uwikłanej.

Grdyby, dla którejkolwiek pary wartości x,y z równań (7), lub (7') otrzymanych (x=a, y=ya), wypadło także y"=0, natenczas należy zbadać dalsze pochodne, celem wyznaczenia znaku różnicy:

r?⁺¥TÄ2 + TTÄ3+-’

y—y«=

(8)

określonem dowolnie małym przyrostem”?

w otoczeniu tego miejsca a h = x — a, postępując zresztą, jak w wykładzie XXXV. art. 5. str. 464.

13. Przykład. Znaleźć maxima i minima funkcyi uwikłanej , określonej równaniem : y³ — 3xy -)- o?³— 0.

Kładąc:/(a?, y) =y³ — Bxy -\-xz, mamy tu:

Ä--«r+a-, g-V-m

zatem, na wyznaczenie wartości cc, które mogą wywołać maximum, lub minimum funkcyi y, równania : y³—3æy -J⁻ x³— 0, — y -(- a;² = 0.

Wyrugowawszy z tych równań y, otrzymujemy równanie: æ⁶—2æ³ = 0, a stąd, dwa pierwiastki, między sobą różne: cc, =0 i x₂ —którym odpowiadają wartości funkcyi:

y\ = 0} y% —    •

Pierwsza para wartości: aą = 0, yt =0, daje także

runkowi maximum, lub minimum; dla drugiej pary: xi—\//2, y₂ =\/ 4, otrzymujemy, na

Ö²/

dy

= 0, nie odpowiada zatem wa-

mocy wzoru:

y“

dx²

àf

ze względu na to, że:

dy

^{=6 V^2, ^/ = 3y²-3æ = 6V^2 — S Y^2 = 3 ^2 ,

wartość drugiej pochodnej: y"=—2, zatem jest wartość y    odpowiadająca zmiennej :

x = \y2, wartością maxiïnalna danej funkcyi uwikłanej.

14. Maximum i minimum danej funkcyi dwu zmiennych, od siebie zależnych. Niech będzie: u=F{x, y) daną funkcyą dwn zmiennych x i y, od siebie zależnych, związanych równaniem: f(x, y)= 0.

Ażeby wyznaczyć te wartości zmiennej niezależnej x, które są w stanie wywołać maximum, lub minimum, funkcyi u, znajdujemy najpierw:

du dF dFdy dx dx ^ d y dx ’

àf

a że :

à_f ₊ àf'dy

dx ~ dy dx

a więc :

dy

dx

dx

przeto będzie :

dFdf dFdf du dx dy dy dx

dx

Cv,i Cl

<S5

(9)

Funkcya u będzie maximum, lub minimum dla tych wartości zmiennej niezależnej x, które spełniają warunek :

du

dx

a więc czynią zadość rów-

. dFdf dFdf _

naniu : — ----— — = 0.

dxdy dy dx

Otrzymujemy więc dwa równania :

dFdf dFdf ^ dx dy dy dx ’

których rozwiązania dają pary wartości zmiennych x i y, wywołujące maximum, lub minimum funkcyi: u=F(x, y), stosownie do tego, czy druga

f{x, y)= 0,

(10)

d²u

otrzymuje dla tych wartości znak ujemny, czy też dodatni.

d²u dx²

dzimy dalszą dyskusyę w sposób, podany w wykładzie XXXY. art. 5. str. 464.

15. Postępowanie, tu wyjaśnione, da się rozciągnąć do funkcyj »zmiennych, od siebie zależnych, związanych (n—1) równaniami.

pochodna

dx²

Gdyby,zaś, druga pochodna

stawała się zerem, wówczas prowa-

yn-\ ) , gdzie z mi ennemi yif y₂,

Niech będzie daną funkcya: u =f(x, yx, y₂, są funkcye uwikłane zmiennej niezależnej x, określone następującemi (n— 1) równaniami:

fifai V\i Hi) •••) Vn—0 ⁼ 0? V\i Vi

•••i

Vn-\

Va—0    0,..., fn—i (*, yij y%;•••)    —O — 0*

Aby wj'znaczyé maximum, lub minimum tej funkcyi otrzymujemy warunek:

_ d_f\ df i ⁽⁾f

dx öx dyx dx dy₂ dx przyczem, na wyznaczenie (»—1) pochodnych:

dy% dy2 dx ’ dx :

i.m + JŹ-*b=± = ₀

dyn—i dx

dyn— i dx ’

otrzymujemy (n—1) równań :

à A ₊JA

dx

0//i

à/2

àf2

dx

dyx dx

à A d!h

dy₂ dx àf dy2 dy₂ dx

+ ...4

dA dyn-1 = 0 dyn—i dx àf dyn-i _ 0 dyn—l dx

dfn-1 dyn-1 _ Q dyn—\ dx

Mamy więc razem n równań o (n—1) niewiadomych:    ~

ax (XX

się równocześnie, skoro wyznacznik, utworzony ze spółczynników tych n równań, będzie równy zeru, t. j. skoro będzie:

dfn -i

dx

àfn—i dyx    dfn-l dy₂

dyx dx dy₂ dx

1 **•

dyn—1

,    , które spełnią

dx

àf    df    df

àyt ’ ày₂

à A àf

àt/i ’ ày₂

àA    àf^    df

àf ’ ày₂

dx ’

dx ’

àfn—1    d fn- 1    (i /re—1

àf

àyn—1

àyn-1

ć yn—i

^0.

(H)

àfn— 1

Warunek ten, w połączeniu z danemi («—1) równaniami: f określa grupę n wartości: x, y1} y₂,..., y*_i, które wywołują maximum funkcyi: »=/(*, yL, y₂> •••> y*-0*

16. Przykłady maximum i minimum funkcyj uwikłanych.

1) Znaleźć maximum i minimum funkcyi: w — « cos²a;-|- i cos²//, skoro zmienne x i y

związane są równaniem: y — x—'/r.. Mamy tu:    — — 2a cos ccsina;—2ó cos y sin y

(xx    dx

z drugiego równania wypływa: ~ = 1, przeto otrzymujemy równanie warunkowe:

f)tr

fV-2

5 IM,

=0,/,=0

//»—l — o,

lub minimum

a że

^ = — (a sin 2£c -J- ô sin 2?/) = 0 ,

które, ze względu na to, że, na mocy związku: y-x= 'fn, jest sin2y =sin(-^- 4" 2a;)=cos2æ,

z której wreszcie wynika: tang2æ=--—.

sprowadza się do postaci: atang2a;+& = 0

Na tej podstawie, otrzymujemy:

COS²£C

\/a¹ -j— 6 ³ 4"

2 V/a² + &²

-, cos²//

V/a²-|- ja +J

2V/«² + ó

a stąd dostajemy :

u,nax= V2(a4_^4⁻V//«²4_ ^²): Umin=i/₂(a Ą-b— V/a²-(-&²).

2) Dane są cztery boki czworokąta, znaleźć, kiedy jego powierzchnia będzie maximum? Niech będą: a, b, c, d: dane boki szukanego czworokąta, © niech będzie kątem,

zawartym między bokami a i b, a ^ kątem , zawartym między bokami c i d, natenczas otrzymujemy, na wyznaczenie jego powierzchni, F wzór:

2 F=ab sin cp -j-cd sin ty ,

przyczem między kątami ip i <|/ zachodzi związek: a²-j-&² — 2ab cos <p = e² \-d²—2f^cos^.

Warunki, pod którymi powierzchnia 2F jest maximum, lub minimum, przedstawiają się zatem w postaci następujących równań:

dty

dty

ab cos o -j- °d cos | ^ — 0, ab sin w = cd sin ^ —■,

z których wypada warunek: tang9 4 tang ^ = 0, a zatem: y( a 4~X $ =^180°.

Szukany czworokąt jest zatem w koło wpisany. Jego powierzchnia jest w istocie maximum, gdyż w tych warunkach jest druga pochodna:

d² (2F)

ab

dip²

sin ³(p

6+s)

stale ujemną.

3) Daną jest powierzchnia trójkąta A i kąt u wierzchołka y, wykreślić trójkąt, którego podstawa c byłaby minimum.

Oznaczając przez a, b, c boki trójkąta, otrzymujemy: c²— a²4-b²— 2ab cos y, przyczem, między bokami a i & zachodzi związek: 2A=a&siny.

Z warunków : ——

dh

db

db

2a-\-2b---2&cosy—2acosy — = 0, b sin y4-« siny ^ = 0, wy

nika warunek: a—b , co dowodzi, że szukany trójkąt jest równoramienny.

da

Ćwiczenia XLVIII.

Wyprowadzić podane stosunki różniczkowe: ~~, następujących funkcyj uwikłanych:

(XX

X A- l)

y—a cos-

a

1) cc³ 4-y³—3axy = 0;

dy ay—x2 dx y²— ax

dy

a cos

*±y_x

x—y

3) x = e y

. dy

logie

dx (1-j-loga?)²

. 4) arc sin — -f- arc sin Ą-a    b

5) aym ^£C” 4" cxpyq = 0

dy

dx~~

nbxn~l + ycxv~\jl

4- wy¹ 1 xP

6) y—1 xev=0] ^

2-y

may

. 7) y sin nx =aenx v ;

ny( 1—cotg nx)

dx

8)

, /* ₌ 1. dV₌₌_ {} \m

’ dx \a)    ’\y)

9) æ log y — y log æ —0 ;    " l°g y - y

'    ^    &    > dx x x log y — ^

o-dyy'l~~xylQgy

’ cte a:²— xy log a;’

ny

11) ye ’ — ax

" = 0; ?

my

dcv    x(l -(- wy)"

12) ax -f- V sec xy — 0 ; ^ —--

dx

y\/sec xy tg xy 4- 2ary yxy 1 log a

\/sec xy tang xy-\-2ax'/x>J log a log x

. dy

13) y”0»— y) = æ +y, ^

n(y²—x²) 4- 2xy '

•

3y⁵ a;² — 4yłic — 6 5y⁴æ³—8y³æ³-|-3 15) «y/1— y² Y/1— fc² y² — yy/1—a;² y/1—k²x² — a (1 — k² x² y²) — 0;

dy    y/1 — y² y/l— fc² y²

y/i — æ²y/i—fc²x²

14) y⁵«³ — 2y⁴cc²-|-3y—6æ = 0, --

1,

. dl

16) (l+y)²(l—y²)—a:²y² = 0, ^

yiyi—lß

2/3 4-1

17) 1 + xy = log (f> + e-*>) ; g.= - Ł.

y log a;    Jclog2/ _ dy__. y"¹ 1—log a:

⁷    — a;²‘l—log y

dy y

18)

x log y y log a; dx

19) arc sin ^

³1 y³ + x³ — 3a?² y

2/³ -\-x² — Qxy²

a;

dx

20) y sin x — cos (x—y) — 0 ; ^

dx

1 — 22/ sin 2/+ y³

1 — cos y — y sin y

*)*•-*+*>—O; |=8ißm-

22)    sin y — x sin (a + y) — 0 ;

23)    tang y — x sin y = 1 ; —

24) arc sin x 4- arc sin y =

_____sin (g + 2/)__

dx cos 2/—a?cos (a 4“ 2/)'

dy

dy

cos²ysiny 1 — xcos³ y

v/r^v

dx

y/l — a?²

Wyprowadzić podane pochodne wyższych rzędów, następujących funkcyj uwikłanych:

o- d%y — Aqyi —    ^ 2qx)2

’ dx²    42/³

<?²2/

p²

25) 2/² — pa; = 0 ;

27) a; 4~ Y/2y—2/² — arc cos (1—2/) = 0 ;

da;²

4 2/³*

26) 2/² — pa; — ja;² =

d²y __

da;²    2/² '

28) (a; — ó)³ — c (y — a)² = 0 ;

d²y

dx²

4\/ c(a; — b)

29)    a;³—3aa;y 4 y³ = 0 ;

30)    xh— baxy -{-y⁵ — 0; —

31)    Y/x²4-2/²+ V/a:²-y² = c; ^

-arctang|- = 0; ff

2a³ xy

ay—a;² d²y ax—y²’ da;² (aa; — y²)³’

ay—a;⁴    d²y 6a(2a² 4* a;³y³) xy

ax—2/⁴ ’ da;2 ca; d²y dx 22/³ ’ da;²

(aa:—2/⁴)³

c² (22/⁴ — 3c²a:²)

4 2/⁷

VW 2/²

æ + y. d²y _^_2(a;² + y²) a; — y’ dx²    (a;—y

33) Jeżeli a;³(5 4-y)—5y³ = 0, wykazać, że dla a;=0, y = 0,    ,

—1 + » Y/3

32) log

§■1^ -

ma trzy wartości :

dy

34) Jeżeli a;³4-a;y²—2a:²—2y-J-2 = 0 , wykazać, że dla a; = l, jest y = l, — =— 1»

35) Jeżeli y⁴4-18a;²— 9y²— a;⁴ = 0, wykazać, że dla a: = 0, y=0, stosunek różniczkowy : ^ ma dwie wartości : -\-\/2 i — \/2.

W miejscu a? = 0, wyznaczyć wartości y‘ następujących funkcyj uwikłanych: 36) a;⁴-8a;²y 4-2y³ = 0. 37) (x²-y²)(x-a) — (a;² 4- y²) (y - b) = 0.

38) aa;³ — ay³4~a;³y=0. 39) a;³a?²y 4~ æy² + 2/³ — 0.

40) Wykazać, że funkcyi y, określonej równaniem arccos -^- = log^-^ równanie różniczkowe :

odpowiada

3,1

dn—² y dx²

Wyprowadzić podane równania różniczkowe następujących funkcyj : 41) x² 4* y² — 2aa; = 0; 2a;yy' -j⁻ a:² —y² = 0. 42) y²—aa;=0; 2a?y'—y = 0. 43) b²x²-\-a²y²— a²b²= 0; xyy" 4" xy'² — yy‘= 0.

dx¹¹—¹

■f- [w²4-(n — 2)²]

= 0.

682 -

44)    y² -f- a y -f- bx = 0 ; y²y"-\-2yy'²— 2xy'³ = 0.

45)    (y -j- b)²=x² y² — a²] xy" — y' = 0.

46)    (y—ax)²— b²( 1—æ²) = 0; (1—x²)y"—xy‘ -f- y — 0.

0; y"+ —y

48)    x²—2ay — a²— b = 0; xy"— y' = 0.

49)    xy — c = (x -f- y)(c — 1) ; (x²-\-x-\-1 )ÿ + y²-f y + 1 = 0-

50)    y—axex — 0; xy'—y(l-)-a;) = 0. 51) y = ae 52) log y — arc sin x = 0; y²y"— xy'³—yy,2 = 0.

47) y²— a²x— bx² =

-mi

+    ; yy"'-y'y"=0.

53) œ — y = c .e

55)    Jeżeli xy³ — y-j- æ = 0, wykazać, że: y— x-\- x⁴-f- 3cc⁷-f- 12 x¹⁰-}-55 a;¹³ -f- ...

56)    Jeżeli 1—y-}-a;yw=0, wykazać, że:

yy‘ — 2y -f- x = 0. 54) y=«cos(x-j-&); y"=—y.

x³

ÿ=l + a: + 2rc — + 8»(3fi—1) gy -f ...

57) Jeżeli funkeya uwikłana, określona jest równaniem : y² — xy—1=0, wykazać, że jej dwie wartości, odpowiadające wszelkiej wartości a; przedstawiają się w postaci szeregu:

1 x² _ l².3 a?⁴ I².3².5 a:⁰

_24_47~    2^    ' 6!

?/ = ± ¹ + 2 T Ż 22 2l ⁺

w którym górne znaki odpowiadają jednej, a dolne drugiej wartości.

58) Wykazać, że funkeya uwikłana, określona równaniem: y³—6xy—8=0, ma wartość rzeczywistą , wyznaczoną szeregiem :

¹ x³ xi

2+X---+- + ...

Bozwinąć na szeregi potęgowe następujące funkeye uwikłane :

60) y— xe!J — 1=0.    61) 1 — y — xay = 0.

62) y—a — a; sin y = 0.    63) ynlogy—a; = 0.

Znaleźć maxima i minima następujących funkcyi uwikłanych :

64) y² -J- 2y x² -J- 4x—3=0. 65) y³-\-x³—3a²x = 0. 66) y³-{-x³—3aæy=0.

67) y²—2mxy-\-x²—a² — 0. 68) (y-\-xi)²—x²—a² = 0.

69) y²--x²y-\-x—oj³ = 0.    70) y⁴— Aa²xy -|- æ⁴ = 0.

71)    Dane są dwa punkta : A (a, b) i B(a', b'), znaleźć na osi OX taki punkt P, ażeby suma AP-f- BP była minimum.

72)    Na osi OY dane są dwa punkta A(0, a) i B(0, b), wyznaczyć na osi 0X taki punkt P, z którego widać odcinek AB pod największym kątem.

73) Dany kąt YOX— y i punkt M o spółrzędnych ukośnokątnych a, b, jak należy przeprowadzić przez punkt M prostą AB, aby prosta ta odcięła trójkąt AOB o najmniejszej

powierzchni.

74) Na ramionach kąta XOY odcięto 0A = a, OB = b i poprowadzono przez punkt B prostą BX‘ w kierunku przeciwnym do kierunku 0X‘, jak należy przeprowadzić przez punkt A, prostą AP, przecinającą OB w P, a BX' w Q, jeżeli suma powierzchni trójkątów

AOP -j- P0Q ma być najmniejszą.

75)    Wyznaczyć prosty stożek kołowy, któryby, przy danej objętości V, miał największą powierzchnię.

76)    Wykreślić trójkąt o danej podstawie i danej wysokości tak, aby jego kąt u wierzchołka był maximum.

77)    W dany odcinek kołowy wpisać prostokąt o największej powierzchni.

78)    Znaleźć promień x koła , w którym łukowi, o danej długości s, odpowiadałby największy odcinek.

79)    Między trójkątami o danym obwodzie 2s i jednym kącie y znaleźć taki, który miałby największą powierzchnię.

80)    Wyznaczyć trójkąt, któryby, przy danej wysokości h i danej powierzchni A, miał najmniejszy obwód.

81)    Znaleźć wymiary prostego walca, któryby, przy danej objętości V, miał najmniejszą całkowitą powierzchnię F.

82)    Jakie wymiary ma mieć próżne naczynie walcowe o podstawie kołowej, któreby przy danej pojemności V=a³ i danej grubości dna i ścian, równej b, miało najmnięjszą

masę M.

83)    Pośród walców kołowych, któreby się dały wyciąć z danego stożka prostego, wyznaczyć taki, który miałby największą pobocznicę P.

84)    Pośród walców kołowych , którehy dały się wyciąć z danej kuli o promieniu r, znaleźć taki, który miałby największą objętość.

85)    Pośród prostych stożków kołowych, któreby dały się wyciąć z danej kuli o promieniu r, znaleźć ten, który miałby największą objętość.

Rozwiązania XLVIII. 36) 0, +2. 37) +1, 38) 1,

+ ex + 2e²    + 9e3jfi + ³⁴ e* |J + -    ⁶¹) y = 1 + « ^ + 2 log a

62 ) y — a -f- sin a -f- sin 2a

a:²

-l±*V/3

«²CC²

. 39) -1. 60) y=l+ «³ x³

₂, + 3²(log«)²

x³

+ ³/₄ (3 sin 3 a — sin a)

o !

x³

-f- ( 8 sin 4 a — 4 sin 2 a)

64) x — y₂ . daj e ymax —

03) y_l+a!-(2»-l)il + (3«-l)! ₈,

65) x — -\- a daje ymax = a 2 ; x = — a daje ymin =— «Y^ 2 • 66) x = a\/ 2 daje */max

to

= «^4; cc = 0 daje ymin = 0. 67) x —

ma

- wywołuje ÿmax

V/1—w²

68) 03=00, </min—0.

Vi-

69) cc = — 1, ÿmax = 1. 70) x — a \/S , ÿmax = a, \^/27 ,' x = — a \/ 3 , ymin = — « \/27. 71)    =    72) 0P=Vab. 73) 0.4 = 2«. 74) 0P= \/b. 75) Oznaczając przez cc

/2 ³/3F    „ ³/3F

promień podstawy, a przez y wysokość stożka, otrzymujemy: x

76) Trójkąt równoramienny. 77) Oznaczając przez r promień koła, przez « odległość cięciwy od środka koła, przez 2c długość cięciwy, a przez cc wysokość szukanego prostokąta,

otrzymujemy : x = y₄ { \/9r² — c² — 3«}. 78) x— —. 79) a — b —

= ~ V/^²-{- 7D.    81) Pmin = 3 \/2kV². 82) Promień wewnętrzny x

a -j- bX/n

wysokość danego stożka, przez cc zaś promień podstawy szukanego walca, otrzymujemy cc=y₂r,

80) «=& =

« , , ,

— , wysokosc =

. ihmin = (« +    )³—a³. 83) Oznaczając przez r promień podstawy, a przez h

1 + sin y₂ y *

= y₂ rr.h. 84) Promień podstawy x — r l/-^- ^1 -f —, y = 2r    ~7^)’    P¹'⁰¹*¹*⁶¹* podstawy stożka x =

wysokość y — i/i li, Pmax

V» rV2 , V

mas

32

= 8Ï

wysokość

nr³.

Literatura. D. F. Gregory. Examples of the processes of the differential calculus. Cambridge, 1841. J. Boussinesq. Cours d’analyse infinitesimale, 2 vol. Paris 1887—1890. L. Kiepert. Differentialrechnung, Hannover, 1897.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Ogólne wzory na wyznaczenie pochodnych wyższego rzędu i różniczek funkcyi uwikłanej jednej zmiennej niezależnej.

2.    Omówienie warunków, pod którymi dane dwa równania: /(cc, y) — 0 i <p(cc, y) — 0, przedstawiają jedną i tę samą funkcyę uwikłaną y jednej zmiennej niezależnej cc.

3.    Sposoby rozwijania funkcyj uwikłanych na szeregi potęgowe.

Wykład XülX.

Krzywe płaskie, jako obrazy funkcyj uwikłanych jednej zmiennej niezależnej.

1. Styczna w punkcie (x, y), krzywej: f(pc, y) — 0. Niech będzie dane równanie: f(x, y) = 0, określające y, jako funkcyą uwikłaną zmiennej niezależnej x. Uważając x, jako odciętą punktu na płaszczyźnie X0Y, a odpowiednią wartość y, wypływającą z równania f{x, y) = 0, jako rzędną tegoż punktu, mamy w przynależnych sobie wartościach (x, y) tego punktu, spół-rzędne punktu krzywej o równaniu : f\x, y)=0.

Styczna w punkcie (x, y) krzywej : f{x, y). określa się, na mocy art.

1. str. 641. równaniem: Y—y=~JfX—x), a że z danego równania: f{x,y)=0,

àf

X df dfdy wypływa: *+^*-0,

dy

a Wlęc: Jx

dx

df

przeto otrzymujemy równanie

dy

stycznej w punkcie (a?, y) krzywej: f{x, y)=0, w postaci:

d/’

Y- y=

ox

-—pr (X — X)

df

(1)

dy

czyli :

àf

àf

(2)

_⁽X-æ)+-(F-y)=0.

Z równania tego wypływa, że styczna w punkcie (#, «/) krzywej : /’(#, y)—0, jest równoległą do osi x-ów, skoro spółrzędne (x, y) punktu styczności spełniają warunek: — =0

dx

d f

punktu jest — = 0.

równoległą do osi y-ów, skoro dla tego

dy

2. Styczna równoległa do danej prostej. Styczna w punkcie (x, y) krzywej: f(x, y) — 0, jest równoległą do prostej: Ax-\- By-\- 0=0, skoro spółrzędne (cc, y) punktu styczności spełniają warunek :

czyli :

àf àf à x à y

/>'

¥-Bdl = 0.

o y dx

Z warunku tego, w połączeniu z równaniem: /(», y) = 0, możemy więc wyznaczyć punkta krzywej: /(a:, y) = 0, w których styczne są równoległe do prostej: Ax-\-By-\- (7=0.

3. Odległość stycznej :

(X— x)    y)=0, od punktu początkowego, znajdziemy

mu-

porównywając jej równanie z równaniem linii prostej, w postaci : x cos <? y sin o = p, gdzie 9 jest kątem , jaki pion stycznej tworzy z osią cc-ów, a p długością tego pionu. Otrzy jemy tu szereg równych stosunków :

àf

àf

dx

dy

df, df

X -f~ -4- y -r~ dx J dy

cos o sin 9

z którego otrzymujemy, na wyznaczenie nachylenia pionu, wzory :

àf

àf

cos 9

dx

#.)■+©

sin 9 =

dy

(3)

a na odległość stycznej od punktu początkowego , wzór :

àf , d/

a:-—h « — dæ ^ d y

(4)

4. Normalna w punkcie (a?, 2/) krzywej: /(a?, ?/)=0, otrzymuje

642. równanie :

na mocy art. 2. str.

d/

dy

(B)

z którego wynika odległość normalnej od początku układu określona

wzorem :

àf àf x —— y f-dy J dx

5. Długości linij pomocniczych, jako to długości stycznej, normalnej, podstycznej i podnormalnej w punkcie {x, y) krzywej: f(x, y) = 0, przedstawiają się, na mocy wzorów

(3) str. 642., ze względu na to, że: y‘ — — (— : —),

\dx dy'

’ ^ ^

w postaci :

T=

àf

dx

d/ y fr.

àf

(6)

T‘ = —

dy

d/

N*= —

yVx

d/'

da:

dy

6. Asymptoty krzywej:    2/) = 0. Z równania stycznej w punkcie

(æ, y), krzywej: /(a:, y)=0, przedstawionego w postaci:

df df' df ^ df dxX + dyY=Xdx + ydy’

otrzymamy w przypadku, gdy punkt styczności (x: y) jest punktem nieskończenie dalekim krzy^wej : f(x, y)= 0 równanie asymptoty, jeżeli znajdziemy wartości spółczynnikó w :

àf , àf Xdx+yöy

Q/I Cu

àf

dx ’

lub ich stosunków w tymże punkcie nieskończenie dalekim. Oznaczywszy te wartości przez:

możemy równanie asymptoty krzywej: f(x, y)=0, przedstawić w postaci:

©:x+ (Ł0;r=(4/+y|)„

(7)

albo w postaci zwyczajnej :

Y= —

dx

df. àf

%-£+ y

àf

•X+

dy

àf

dy

oo

dy

00

albo w postaci odcinkowej :

àf

àf

Xdx + y^

ày

àf

àf

Xdx + y^

ày

àf

àf

dx

ày

oo

a tern samem wyzuaczyó położenie asymptoty, odpowiadającej pewnemu nieskończenie dalekiemu punktowi krzywej : f(x, y)—0.

7. Punkta pojedyńcze krzywej: /(æ, y)=0. Jeżeli punkt (x, y) krzywej f(x, y) = O ma tylko jedną styczną, dokładnie wyznaczoną, co do swego kierunku , na mocy wzoru :

àf

dy

tang a — - = (XX

dx

àf

dy

natenczas punkt taki nazywamy punktem pojedynczym krzywej.

Chcąc ocenić, czy krzywa jest w tym punkcie wklęsłą, czy też wypukłą stroną względem osi #-ów zwróconą , należy wyznaczyć wartość drugiej

odpowiadającą spółrzędnym x, y tego punktu.

pochodnej

dly

dx¹

W tym celu, różniczkując równanie    i wstawiając za y

dx

przynależną wartość, otrzymujemy wzór:

àV(d_fy

dx²\dy )

. d²y

d²f dfdf d*f/df\2 dxdy dx dy ' dy² \dxj

dx²

(tf y

w/

cl ^"1/

Jeżeli się przytem okaże, że:    <0, natenczas nazywamy taki punkt

(XX

yczajnym krzywej f'(x, y) = 0; krzywa jest

>. O, wklęsłą zaś

<0, a styczna ma w takim punkcie z krzywą styczność

pojedynczy punktem z w w tym punkcie zwrócona na dół stroną wypukłą, gdy

dhy

d²y

dx²

stroną, gdy rzędu pierwszego.

Jeżeliby się jednak okazało, że, dla spółrzędnych (#, y) tego punktu =0, natenczas nazywamy taki punkt pojedynczy punkte

jest

d²y

dx²

dx²

m szcze-

golnym, albo też zwyczajnym punktem osobliwym krzywej: f(x, y) =0, a styczna w takim punkcie staje się już ściśle styczną.

Chcąc zbadać kształt krzywej w otoczeniu takiego punktu, należy wyznaczyć dla spółrzędnych {x, y) tego punktu wartości wyższych pochodnych funkcyi uwikłanej, określonej równaniem f(x, y) = 0, a otrzymamy w tym punkcie szczególnym, albo 1) punkt przegięcia

- d*y

gdy:

dx²

dxz

^0,

lub ogólnie, gdy

U/%

d2r y dx2r

= 0, a przy tem :

albo 2) punkt undulacyjny, gdy ^ = 0, i

ctoo

m • j d²y d³y    d2r+i y

^ dx² dxz    dx2r+i

0, a przytem :

d2r+i y dx2r+x

^0;

dky

dxz

lttb

d2r+2 y > dx 2r+²

>0.

8. Krzywe algebraiczne rozmaitych rzędów. Z pośród krzywych, określonych równaniami kształtu: /*(#, y)=0, zasługują na uwagę przedewszyst-kiem krzywe, określone równaniami algebraicznemi , czyli t. z. krzywe algebraiczne.

Sprowadziwszy dane równanie algebraiczne: f{x, y) = 0, za pomocą dozwolonych przekształceń do postaci całkowitej wymiernej, ze względu na obie zmienne x i y, nazywamy największą sumę wykładników, przy zmiennych x i y, występujących w poszczególnych wyrazach, otrzymanego równania, czyli stopień równania rzędem, dotyczącej krzywej algebraicznej.

x²— 1

= 0, sprowadza się do postaci: y²cc — x² -f-1 = 0

Tak n. p. 1) równanie x i jest równaniem pewnej krzywej algebraicznej trzeciego rzędu.

2) równanie y\/x²— l='x, sprowadza się do postaci: y\x²—1)= *², czyli:

a?²y² — æ² — y² = 0 ,

i jest równaniem pewnej krzywej algebraicznej czwartego rzędu i t. d.

^ ^ ^

9. Przykłady krzywych algebraicznych drugiego rzędu. 1) Elipsa : —₂    Z równania

tego otrzymujemy: y² —

ó²

(a²—a?²); każdej wartości na a? odpowiadają dwie wartości na y,

równe, ale przeciwnego znaku, rzeczywiste, gdy: æ²<<a²; równe zeru, gdy a:² —a², a urojone, gdy a:²>a². Dla a; = 0 mamy: y = +&. Krzywa rozciąga się, jako owal symetryczny względem osi układu, znana jest pod nazwą elipsy. Jest ona wydłużoną, gdy a b skróconą , gdy «    &, a kołem , gdy a = b.

W przypadku, a > b , nazywamy 2« osią wielką, 2ó zaś osią małą elipsy.

a²

Nie trudno poznać, że punkt początkowy 0 jest środkiem elipsy. Skoro bowiem {x, y), są spółrzędnemi jakiegokolwiek punktu P elipsy, to widocznie czynią zadość równaniu elipsy także spółrzędne {—x, —y), a te wyznaczają punkt P, leżący na prostej OP w odległości 0P/ = OP.

Ażeby ocenić, w jaki sposób zmienia się odległość środka od poszczególnych punktów elipsy, połóżmy w równaniu elipsy: x=- r cos a, y = r sin a , a otrzymamy: r² cos² a

r² sin²«

i)

1, skąd wynika: ~

Załóżmy, że a > b. Jeżeli tedy a rośnie od 0° do 90°, to ^ rośnie ciągle od ^ cl° j2> a więc r maleje ciągle od a do b. Krzywa jest widocznie zamknięta. Fig. 399.

Poszczególne punkta elipsy otrzymać możemy, na mocy równania: y= +    x²

drogą konstrukcyjną. "Wykreślamy, mianowicie, dwa koła, jedno o promieniu b, drugie o promieniu «, natenczas każdy promień OM, przetnie jedno koło w punkcie M, drugie

a²

ó²

sin² a.

w punkcie IV; wykreślmy z M prostą równoległą do osi y-ów, a z punktu N prostą, równoległą do osi x-ów, natenczas proste te przecinają się w punkcie P, który jest punktem elipsy, fig. 400. Jest bowiem :

P'P:P'M = ON: OM, czyli: y: \/a²—x² — b\a

a więc :

y = — V/«²— oc².

Elipśa jest widocznie rzutem prostokątnym koła. Obróćmy bowiem w myśli kolo (2a) około osi AA' o kąt <p, dla którego byłoby : cos ® = —, wówczas rzędna MP koła pozostanie zawsze prostopadłą do AA', a jej rzut na płaszczyznę XOY wpadnie w prostą PP', długością rzutu będzie: 1¥P'cos® =— MP', co daje długość rzędnej elipsy. Rzut

Fig. 399.

«5

i?

\>

Y¥

fj

J3'

Fig. 400.

Fig. 401.

punktu koła wpadnie więc w punkt P elipsy, a że to dotyczy wszystkich punktów koła więc elipsa jest w istocie rzutem prostokątnym koła.

,    M²    df 2x df 2 y    df

Kładąc /=    +J2“¹* mamJ dï ⁼ lï"    Xdi + V dy

df

= otrzy"

x² y²

mujemy więc równanie stycznej w punkcie (x, y) elipsy :    -fi p=l, w postaci : —j- "r

Xx . Yy

równanie zaś normalnej w tym punkcie, w postaci :

a'²yX— b²x F = (a²—b'²) xy ,

czyli :

a² X

b²Y

(|a²-b²)x

(a²-b²)y

= 1.

a²— æ² .

—-> Jest

więc niezależną od drugiej osi : 2b, skąd wynika prosty sposób rysowania stycznej w danym punkcie elipsy, oparty na kreśleniu stycznej do koła, a uwidoczniony na fig. 401.

rjßh    J2

2) Hiperbola: ^    —1« ^ równania tego otrzymujemy: y² —

składa się z dwu gałęzi nieskończonych, ułożonych symetrycznie po obu stronach osi y-6w, symetrycznie względem osi x-ów, i jest znaną pod nazwą hiperboli, przyczem 2a nazywamy osią rzeczywistą , a 2b osią urojoną hiperboli. W przypadku a~b, mamy hiperbolę równoosiową : x² — y²—a², zwaną też niekiedy hyperbolą równoboczną.

Nie trudno wykazać , że punkt początkowy O jest środkiem hiperboli. Skoro bowiem x, y są spółrzędnemi jakiegokolwiek punktu hiperboli, to będą niemi także (—æ, —y), a te określają widocznie punkt P‘ położony na promieniu OP, po przeciwnej stronie punktu O w odległości OP' = PO.

Ażeby ocenić, w jaki sposób zmienia się odległość r środka od poszczególnych punktów hiperboli, kładziemy : æ = rcos<p, y=rsin<j., a otrzymamy jej równanie w postaci :

r²cos²cp

Długość podstycznej przedstawia się, na mocy wzoru (6), w postaci : T'=

r²sin² cp

a²

(,x² — a²). Krzywa

a²

b'²

1,

a stąd :

a²

(^ + ¥sin,<p-

Równanie stycznej, w punkcie (.r, y), hiperboli:    --p=l, przedstawia się w po-

a?²

("F ⁺ "F")

sin²a, z którego wypływa: sina

—V ~— ai

a więc tanga— —

cp otrzymuje wartości od a do r—-a, wtedy

Dla <p — r—a, staje się r = oo, poczem maleje od oo do «, gdy ? rośnie od xr—a, do rc, i t. d. Jeżeli więc, nad osią AA' = 2a, wykreślimy prostokąt, w którym będzie: OB'—OB — b, to przekątnie tego prostokąta wskazują kierunki, w których leżą nieskończenie dalekie punkta hiperboli, przyczem zauważymy, że jedna gałąź hiperboli mieścić się będzie w polu kąta: SOS\, druga zaś gałąź, w polu kąta: Sj OS\ fig. 403. (a<^b) i fig. 404. (a>&).

tedy

tH

V a²-\- b²

maleje od —₂- do 0, a więc r rośnie od a do oo. Skoro dalej

a więc r urojonem.

VÄ

fi.

W,

Jf

M.

!■

X' V'

A'

c.

-a

-+ a

X'

O¹

-1

'M

B'

<S'

Fig. 402.

Fig. 403.

Fig. 404.

Jeżeli ę rośnie od 0 do a, gdzie a określone jest równaniem:

staci:

Xx

Yy

b²

równanie zaś normalnej w tym punkcie , w postaci :

ahyX + lYx Y= (a² + b²)xy,

a²X_    _

(a² —j— 6²) cc _r (a²-f- b²) y

Krzywa posiada nieskończenie dalekie punkta, o spółrzędnych: a; = + oo, y=±oo, przyczem jednak, ze względu na to, że: y =

czyli :

6² r

= 1.

+ — \/x²—a², jest (—) = +_ —.Wobec tego,

Cl    \ X i cc    (t

2

równanie asymptoty: Y = \^Yy)

/b²\    b

( — ) , otrzymuje kształt: Y — + — X, przedsta-\ y / oo    os

wiając dwie proste, przechodzące przez początek układu, w kierunku przekątnych prostokąta, nad osią 2a, w wysokości i, po obu stronach osi x-ów, wykreślonego.

3) Parabola: y²—2px. Krzywa, wychodząc z początku układu, rozciąga się symetrycznie względem dodatniej części osi a>ów w nieskończoność; znana jest pod nazwą paraboli. fig. 405. Stałą 2p nazywamy parametrem paraboli.

Poszczególne punkta paraboli możemy otrzymać na mocy równania: y = + V 2px drogą konstrukcyjną, uważając rzędną y każdego punktu, jako średnią geometrycznie proporcyonalną między parametrem 2p, a odciętą x tego punktu, jak to fig. 406. uwidocznia.

= 2y, zatem równanie stycznej

Kładąc : f(x, y)=y²—2px, otrzymujemy : y^= — 2 p ,

w postaci: — p (X—x) -f- y ( Y— y) = 0 , czyli: y F— p(X-j- x), równanie zaś normalnej w tym punkcie, w postaci :

p(Y-y) + y(X-x)=0.

44

Or. Dziwiński. Wykłady matematyki L.

Znajdujemy tu wreszcie długość podstycznej : T' = 2x, a długość podnormalnej N' — p, własność , na której polega prosty sposób rysowania stycznej , lub normalnej w danym punkcie paraboli, fig. 407.

Ą,

y'

\jr

~*~X

y’

3*

Fig. 405.

Fig. 406.

Fig. 407.

10. Punkta podwójne krzywej : f(x, y)=0. Przypuśćmy, że, dla pewnego

•ł f

punktu (x, y) krzywej: f(x, y)=0, staje się równocześnie — = 0, jako też:

ooo

df

0, natenczas, z równania:    nie m°zemy wyznaczyć kierunku

stycznej w tym punkcie krzywej.

Różniczkując to równanie jeszcze raz, otrzymujemy:

(8)

dV , o d²/' dV ,    (<fy\ ²₌ o

da;² dædy cftr ' dy² \dx) ’

równanie drugiego stopnia, ze względu na stosunek różniczkowy, które wy-znacza dwie wartości na ; mogą one być, albo 1) rzeczywiste i różne między

CLOC

sobą, albo 2) rzeczywiste i sobie równe, albo 3) urojone i parami sprzężone, stosownie do tego , czy wyróżnik :

\dxdy)

dx²dy²<i

Punkt taki krzywej: /'(a;, y)—0, nazywamy punktem podwójnym krzywej: /(a;, «/)=0, a w szczególności:

1) węzłem, gdy:

/d²/-y    d²/ dY§

\dxdy) ^ da;²’ dy² ’

2) punktem zwrotu, gdy :

Wdy/ "

3) punktem odosobnionym, gdy:

d²/ d²/¹, da;² ’ dy²'

( d²f\² d²f dV \da;d«// da;² ’ dy²

W pierwszym przypadku, przechodzą przez punkt podwójny dwie gałęzie krzywej f(x, y)=0, z których każda ma w nim własną styczną; w drugim przypadku obie styczne wpadają w jedną prostą, obie gałęzie dotykają się nawzajem; w trzecim przypadku obie styczne są urojone, a punkt podwójny nie ma w tym razie punktu sąsiedniego, czyli jest odosobniony.

Przykład. Krzywa trzeciego rzędu : y² — (x — a)(x — b) (x — c) — 0 , która, wobec a<Zb<Zc składa się z owalu i gałęzi nieskończonej, w razie b—c, ma w punkcie % — b

punkt podwójny, fig. 408,, w razie a—b < c, ma w punkcie x — a punkt odosobniony, fig. 409. wreszcie, w razie a=b—c, ma w punkcie a punkt zwi'otu, fig. 410.

/'

Al

a’

'a

a'

V = °)- ,

Fig. 409.

Fig. 410.

Fig. 408.

11. Prócz tego, możemy przedstawić jeszcze następujące przykłady punktów podwójnych a] Punkt węzłowy posiadają n. p. krzywe:

1) krzywa 4-go rzędu: y²—cc² (rr •—1) (a;—3) = 0, (fig. 37G., str. 651.), w punkcie: (a; = 0,

2)    krzywa 4-go rzędu, cc²«/²—(a²—x²) (b -|~cc)² = 0, w punkcie: (x = — b, y = 0).

3)    krzywa 3-go rzędu, x(x² Ą-y²)a (cc²—?/²) = 0, w punkcie: (x = 0, ?/ = 0).

4)    krzywa 4-go rzędu, [(æ -f a)²-\- y²] [,-r—a)² -(- y²] = a⁴, w punkcie : (x — 0, y = 0), itd. ó) Punkt zwrotu, posiadają n. p. krzywe trzeciego rzędu:

1)    y³—ax² — 0, (fig. 337., str. 643.).

2)    x³-\- y‘A—ax² = 0, (fig. 349. str. 645.).

3)    {x—1) y² -j- a²x = 0 , (fig. 378. str. 652.).

4)    4t(x—1) «/²—= 0 , (fig. 380. str. 652.).

Nieco odmienną postać punktu zwrotu przedstawia np. krzywa piątego rzędu: x⁵ -f- cc⁴ — y² — 0, krzywa bowiem rozciąga się po obu stronach punktu zwrotu, (fig. 374. str. 651); krzywa ma więc w punkcie: (æ = 0, y — 0), jak gdyby nie jeden, a dwa punkty zwrotu, złożone razem.

Podobnież, odmienną postać punktu zwrotu przedstawia nam krzywa piątego rzędu ; x⁵—xK—y² — 0, która posiada w punkcie: (cc—0, y = 0) punkt zwrotu, jakkolwiek wcale w otoczeniu jego niema ani jednej gałęzi krzywej, punkt zwrotu ma tu pozór punktu odosobnionego , gdyż obie, schodzące się w nim, gałęzie krzywej są urojone.

12. Punkta potrójne krzywej: f(x, ?/)=0. Gdyby w punkcie (x,y) krzywej

punkt krzywej, przechodziłyby trzy styczne, których kierunki określałoby nam równanie :

=0

d²f

dy²

= 0, natenczas, przez taki

(9)

S+»5feI⁺* w©’*ß (2)-”

Punkt taki nazywamy punktem potrójnym krzywej: /’(#, y)—0.

Stosownie do rodzaju pierwiastków równania (9), możemy odróżnić cztery rodzaje punktów potrójnych:

a)    wszystkie trzy pierwiastki równania (9) są rzeczywiste i różne ; przez taki punkt potrójny przechodzą trzy gałęzie i trzy oddzielne styczne, punkt taki jest niejako połączeniem trzech węzłów;

b)    wszystkie trzy pierwiastki równania (9) są rzeczywiste, dwa z nich są sobie równe, a trzeci odmienny; przez taki punkt przechodzą dwie wspólne, nakrywające się, styczne i trzecia, od nich różna, mamy tu połączenie dwu węzłów, z jednym punktem zwrotu ;

dlf (<h£\\ o J!f (tyy , o ¹⁾³f (dy\    n

dy³'dx/ <)xdy² ' dx? dx²óy\dx^ dx³

które, w danym razie, przyjmuje postać:

dx

c)    wszystkie trzy pierwiastki są rzeczywiste i sobie równe, przez taki punkt przechodzą trzy wspólne styczne, czyli trzy gałęzie o wspólnej stycznej ; mamy tu połączenie trzech punktów zwrotu ;

d)    dwa pierwiastki są urojone, sprzężone, a jeden rzeczywisty, przez taki punkt przechodzi jedna styczna rzeczywista i dwie urojone, punkt taki jest połączeniem punktu zwyczajnego z punktem odosobnionym i nie różni się na pozór niczem od punktu zwyczajnego.

13. P r z y k ł a d y. 1) Niech będzie dana krzywa czwartego rzędu :

a;⁴ — ax²y -f- by³ Ą- y⁴ = 0.

Mamy tu:/=*⁴ — ax²y-\- by³t/⁴, zatem:

j = Ax³— 2axy, ^ = — ax² -f- 3by² 4y3 . d*/

. à*f

dx²

12x²— 2ay,

d²f

à³f

ô²f

à³/

à³/

6 by-f- 12 y²

— 2 ax,

2Ax

°’â#3== 66+24

Widzimy więc, że punkt (,x—0, y = 0), jest potrójnym, a kierunki stycznych określają się równaniem trzeciego stopnia:

dx dy

dy²

dx³

ćx² dy

ùxôy²

— o,

skąd otrzymujemy :

y\ — 0, y\--f-

V" ■’ y'³-~ \It

Krzywą przedstawia fig. 411. Punkt (x — 0, y — 0) jest punktem potrójnym, w którym schodzą się trzy gałązki krzywej, tworząc widoczne trzy węzły.

2) Niecli będzie daną krzywa czwartego rzędu :

xi— ax²y -f- yi =0.

Mamy tu: /=a;⁴— ax²y-\-yi, a więc:

j- = 4x³ — 2 axy,

as la.

. d*f

⁷ dx²

d²f

dy²

12y²

. <⁾³f ⁷ dx³

= 24 x,

d³f

— 2 a,

d³f

dx dy² ^

d³/

dy³

dx² dy

Widzimy więc, że punkt (:r = 0, ?/ = 0), jest punktem potrójnym nych określają się teraz równaniem trzeciego stopnia w postaci:

= 24?/.

a kierunki stycz-

dy

«■(D+o-(D-

Ga .

dx + 0=°-

skąd wynika: ?/',= (), y\=oo, y‘₃ = oo, jedna więc styczna schodzi się z osią æ-ôw, dwie pozostałe schodzą się z osią y-ów.

Krzywą przedstawia fig. 412. Punkt (x—0, y — 0), jest więc punktem potrójnym, w którym widzimy dwa węzły, tudzież jeden punkt zwrotu , typu , podanego na fig. 369., str. G50. B, lub np. na fig. 378, str. 652.

3) Niech będzie daną krzywa szóstego rzędu :

x⁶—3a²x^—2b³x²y -f- yti = 0.

Mamy tu : /== æn—3a²xk—2b³x²y    y⁶ , więc :

^ —Gxr, — 12a²x³—4b³xy, y^= — 2b³x² -f-6?/⁵; ^^ = 30æ⁴—3Ga²;r²—4b³y,

»V

Ab³,

d³f

ó\f

0, wyj = 120 ?/³.

dx²dy

Widzimy więc, że punkt (a;=0, y — 0), jest punktem potrójnym, w którym kierunki stycznych wyznacza nam równanie :

dx dy²

dy

o-fgV+o.gy-iw.g+o-o.

skąd wynika: y',= 0, y'₂ — oo , y'₃ = oo, jedna więc styczna schodzi się z osią cc-ów, dwie pozostałe schodzą się z osią y-ó w.

Krzywą przedstawia fig. 413. W najbliższem otoczeniu punktu (» = 0, y — 0) krzywa ma kształt analogiczny, do krzywej, podanej w przykładzie 2).

4) Niech będzie daną krzywa piątego rzędu :

x⁵ — a²x²y-J- y⁵ —0.

Mamy tu : fs=xh — a²x²y -(- yr>, więc : ~^=5o;⁴—2a²xy, ^ = 5y⁴—a²#²;

i#-²⁰»**

— 20 x³ — 2a²y,

r)²/

à*f

= — 2a²æ,

()x ()y

ó³f

*>³/

60 y².

— 2a².

-0,

dxdy²

Punkt (£c = 0, y = 0), znów jest punktem potrójnym, a styczne w nim : jedna schodzi się z osią cc-ów, dwie pozostałe zaś, schodzą się z osią y-ów.

Krzywą przedstawia fig. 414. Punkt (x = 0, y — 0) jest punktem potrójnym, w którym się łączą dwa węzły z jednym punktem zwrotu, typu podanego na fig. 379. str. 652.

5) Niechaj będzie daną krzywa piątego rzędu:

ùx²ùy

()y³

y⁵ — a²x² y bxi — 0.

I tutaj punkt (x = 0, y = 0) jest punktem potrójnym , a styczne w nim : jedna schodzi się z osią jc-ów, dwie zaś pozostałe schodzą się z osią y-ó w.

Krzywą przedstawia fig. 415. Punkt (x = 0, y = 0) jest punktem potrójnym, w którym widzimy dwa węzły i jeden punkt zwrotu, typu podanego na fig. 379., str. 652.

's,

EL

Wis

1-^

€'■

Fig. 411.

Fig. 412.

Fig. 413.

Fig. 414.

Pig. 415.

6) Niechaj będzie daną krzywa szóstego rzędu :

x⁶ — 3a² x²y² — 2b³x'i -j- y⁶ = 0.

Mamy tutaj :

f= cc⁶— 3a²x²y² — 2bix³-\- ys,

()cc²

= 6æ⁵— 6a² xy- — 66³ a;²,    = — 6a² x²y -\- 6y⁵ ;

àjf

ùx³

= — 12a²x, f{=120y³.

dy³

₍)²/

f)y

= 30x⁴ — 6a² y² — 12 b\r,

₍)³/

f)²/

12 a²y,

120 æ³—12&³,

— 12 a² xy,

= - 6aV+ 30 y⁴;

d³f

<)x óy

Punkt (# = 0, y—0) jest więc punktem potrójnym, kierunki stycznych wyznacza nam równanie trzeciego rzędu :

dxày

óy²

dx ² óy

°.(|)+0.(|)+⁰-

y'i=oo, y\ = oo , y‘₃ = oo.

Wszystkie trzy styczne schodzą się w osi y-ów.

Krzywą przedstawia fig. 416. Punkt (cc=*0, y = 0), jest punktem potrójnym, w którym schodzą się trzy gałązki, w ten sposób , że pierwsza i druga tworzy jeden punkt zwrotu, druga i trzecia tworzy drugi punkt zwrotu, trzecia i pierwsza tworzy trzeci punkt zwrotu ; wszystkie te trzy typy punktów zwrotu są typu, podanego na fig. 379. str. 652.

a więc :

dy

dx

- 12b³— 0,

d²f

7) Niechaj będzie daną krzywa piątego rzędu :

xr° — 2axy³ + b²x³ Ą- y⁵— 0.

Mamy tutaj : f=x⁵— 2axy³ + b²x³ + y⁵.

àf

— = 5x⁴— 2ay³ + 3b²x²,

— — 0axy² + 5y⁴

d²f

ÙX²

= 20®³+ 0b²x,

dx dy

6ay²,

-+ = —12 axy + 20y³ ;

o J2Ł

’ ()x dy²

d\f

dx³

d³f

a³/

= 60x² + 6i²

12 ay, y^j=—I2ace+60y².

dx²dy

Punkt (x = 0, y — 0) jest więc znowu punktem potrójnym, w którym wszystkie trzy styczne schodzą się z osią y-ów.

Fig. 417. przedstawia tę krzywą, punkt (x=0, y — 0) jest punktem potrójnym, w którym schodzą się trzy gałązki krzywej w ten sposób , że pierwsza z drugą czynią jeden punkt zwrotu, druga z trzecią czyni drugi punkt zwrotu, trzecia z pierwszą czyni trzeci punkt zwrotu, a wszystkie te tezy punkta zwrotu są typu, podanego na fig. 378. str. 652.

f)y/²

8)    Krzywa piątego rzędu: x⁵ — a³ x³yh—0, ma postać, podaną na fig. 418., ma w punkcie (x — 0, y — 0) punkt potrójny, w którym wszystkie trzy styczne się schodzą wzdłuż osi y-ó w, pozornie jednak ten punkt przedstawia się, jak zwykły punkt przegięcia. Mamy tu więc przejście od typu c) do typu d).

9)    Niechaj będzie daną krzywa czwartego rzędu:

xł— ax²y — by³ + y⁴ = o

Mamy tutaj : /==    — ax²y — by³ -}- y⁴-

àf

àf

₍)²/

dx

— 4o3³—2axy, -+ =—ax²—3&y² + 4y³; —+ = 12x²— 2ay,

a²/

dx²

dxdy

— 2 ax,

d²f

ay²

= — G6y + 12 y² ;

. y

dx³

= 24 a;,

d³f

’ àxdy²

-0,

d³f

a y³

— 6& +24 y.

dx²dy

Punkt więc (x — 0, y—0) jest punktem potrójnym. Kierunki stycznych wyznacza nam równanie trzeciego stopnia :

àïl(dy\\ o

dy³ \dx‘ ^

d³f

dVdy² (Ê) +³

które, w danym razie, przyjmuje postać:

I)

— 66

a³/ dy d³f

dx² dy dx' dx³

= 0,

o,

skąd otrzymujemy:

y'i=0,    y/2=+

V-f

jedna więc styczna jest rzeczywista i schodzi się z osią x-ów, dwie pozostałe są urojone.

Punkt więc (x = 0, y — 0), jest zarazem zwyczajnym punktem krzywej, w którym ona osi x-ów dotyka w zwykły sposób , a zarazem jest odosobnionym punktem jej, gdyż przezeń przechodzą dwie urojone gałązki krzywej. Fig. 419. przedstawia omawianą krzywę.

•a

i+1

X'

j£

X- X'

TT

£ JÇ1

a'

Fig. 416.

Fig. 417.

Fig. 418.

Fig. 419.

14. Punkta poczwórne krzywej : f(x₉ y) = 0. Gdyby w punkcie (%, y)

df-o df

w którym

doo

dy

= 0, byty także wszystkie drugie pochodne cząstkowe

. dV

â^⁰’ Uy-⁰' a °Prôcz tegü ¹

wszystkie trzecie po-

a*/- _âVl₌₀ JÜL-^q «V_o

’ <ta²ây ’ dxdy* ’ &f ’ natenczas, przez taki punkt krzywej przechodziłyby trzy styczne, których kierunki określałoby równanie czwartego stopnia :

d'f, 1 W dÄ I 6 <dJLŸ I ! W¹ I wy o aoi

da;⁴ dx³dydx dx² dy² \dx) dxdy²\dx) dyi\dx)    ^

zerami, a więc

chodne cząstkowe były zerami, a więc

Punkt taki nazywamy punktem poczwórnym krzywej: f(x, y)=0.

Stosownie do rodzaju pierwiastków równania (10), możemy odróżnić dziewięć rodzajów punktów poczwórnych.

a)    Wszystkie cztery pierwiastki równania (10) są rzeczywiste i różne, przez taki punkt przechodzą cztery gałęzie i cztery styczne, punkt taki jest niejako połączeniem: Q)=6 węzłów.

b)    Wszystkie cztery pierwiastki równania (10) są rzeczywiste, dwa z nich są równe, pozostałe dwa są różne pomiędzy sobą i od pierwszych dwóch, mamy tutaj, niejako, połączenie jednego punktu zwrotu i pięciu węzłów.

c) Wszystkie cztery pierwiastki równania (10) są rzeczywiste, dwa z nich są równe między sobą, dwa pozostałe są podobnież równe między sobą, mamy tutaj, niejako, połączenie dwóch punktów zwrotu z czterema węzłami.

d)    Wszystkie cztery pierwiastki równania (10) są rzeczywiste, trzy

z nich są równe między sobą, czwarty ma wartość odmienną, mamy tutaj, . niejako, połączenie trzech punktów zwrotu z trzema węzłami.

e)    Wszystkie cztery pierwiastki równania (10) są rzeczywiste i równe pomiędzy sobą , mamy tu, niejako, połączenie sześciu punktów zwrotu.

/’) Dwa pierwiastki równania (10) są zespolone sprzężone, dwa pozostałe rzeczywiste, różne pomiędzy sobą, punkt taki na pozór nie różni się niczem od zwykłego punktu podwójnego.

g)    Dwa pierwiastki równania (10) są zespolone sprzężone, dwa pozostałe rzeczywiste i równe pomiędzy sobą, punkt taki na pozór nie różni się niczem od zwykłego punktu zwrotu.

h)    Dwa pierwiastki równania (10) są zespolone sprzężone, dwa pozostałe są również zespolone sprzężone , odmienne jednak od pierwszych dwu.

i)    Dwa pierwiastki równania (10) są zespolone sprzężone, dwa pozostałe czynią drugą, takąż samą parę zespolonych sprzężonych liczb.

W obu tych wypadkach : h) i) punkt osobliwy niczem nie różni się od zwykłego punktu odosobnionego.

15. Przykłady. 1) Niechaj będzie krzywa szóstego rzędu:

xe -f- y⁶ — a² xiy ~b b*xy* = 0.

Mamy tutaj : /=    y⁶ — a² xhj -j- b'¹ xy'A.

àf

àf

d² f

dx dy

•    — 6a'¹ xy ,

dx¹

— 6y⁵—a²#³ -j- 36² xy²

. ÈLf

— = 6x⁵—3a’².x²y -j- &²y³,

= — 3a²a:² -j-3è²y², |^=30y⁴-f- 66²æy

120y³-f 6&²;z; -^=360 ce²

d*f

dx dy²

— 6&²y,

r)y

dx³

dx dy³

6&²,

= 120 x³ — 6a²y,

’ dx³ à y 360 y².

= — 6a².

c)³/

— 6a ²æ

Eównanie więc, wyznaczające położenie stycznych, przyjmuje postać:

Mamy więc :

V\ — go , y‘₂ = +

y*z =0) y\ =

~~T‘

Fig. 420. przedstawia nam krzywą omawianą.

2)    Podobnież, zbliżona do niej kształtem, krzywa szóstego rzędu :

x⁶ + U⁶⁼ a\xl— 2X xy -\-y²), X>1,

runkami :

posiada w punkcie (x — 0, y = 0) punkt poczwórny, w którym 4 styczne określają się kie-y' 1 —co, y\ — 1+ \Z\²— 1, y\ =1— VA²- 1, 2/4 = °-Fig. 421. przedstawia nam omawianą krzywą.

3)    Niechaj będzie daną krzywa rzędu szóstego :

x<i 4" yQ— {x<l — 2xy -j- y'²)xy■

runkami :

Posiada ona punkt poczwórny (x = 0, y— 0), w którym styczne określają się kie-V\ =<» , y‘2 =0 , y\ = 1, f/4 = 1 , widzimy więc, że dwie styczne się nakrywają.

Na lig. 422. widzimy naszą krzywą i jej cztery gałązki , schodzące się w punkcie (#=0, 2/ = 0), widzimy tu węzły: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3) i (2, 4), tudzież punkt zwrotu: (3, 4) typu podanego na lig. 379. na str. 652.

4)    Niechaj będzie daną krzywa rzędu szóstego :

— a¹ 2 x²y² -f- 2/⁶ — 0.

Posiada ona punkt poczwórny: (cc = 0, y — 0), w którym styczne określają się wzorami : V\ = oo , y\ = co , y\ =0, y\ — 0 ,

widzimy więc, że dwie styczne nakrywają się z osią x-ów, pozostałe zaś dwie nakrywają się z osią y-ów.

Na lig. 423. widzimy naszą krzywę i jej cztery gałązki, schodzące się w punkcie (x — 0, 2/— 0), widzimy tu węzły (1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4) i punkty zwrotu: (1, 2) i (3, 4), typu, podanego na lig. 379. na str. 652.

ST

0J

sv

tc

v-

ar

5's

Fig. 420.

t'

Fig. 421.

t;

4"S'

Fig. 422.

Fig. 423.

7) Niechaj będzie krzywa piątego rzędu, dana równaniem: x°—ax³y-\-y⁵—0. Mamy tutaj : f = x⁵— ax³y -j- y⁵.

— 5.r⁴ — 8 axhj,

àjf

dx³

= 120 x ,

àf

àf

dy

— — ax³ + 5/y⁴;

à²/

dx²

d²f

f)V

3 aæ²,

= 20 a;³—Qaxy

à³f

dx à y’¹

’ dx dy

d*f

'S.”

= 20 //³ ; d'J

r)cc⁴

= 60//²;

=0,

Gaa;,

— 60a:²— Qay,

J⁴/ ₌

dx³dy

Na wyznaczenie stycznych w punkcie: (x=0, y = 0) mamy równanie:

0dt)Vo.(^₊0.(l>’-₂4°| ₊ O = O,

dy-

— 6«

dx²dy

J⁴/

dxk)y‘l

= 0,

ó⁴/

dxdy³

= 0,

dif

()//⁴

= 120//.

mamy więc kierunki : y\ — oo, y\— oo , y'₃ — oo, y'₄ =0.

Trzy styczne więc schodzą się z osią y-ó w, czwarta zaś z osią cc-ów, pomimo to, na fig. 426. punkt (æ = 0, y = 0), nie różni się od zwykłego podwójnego, albowiem dwie gałązki są rzeczywiste, pozostałe zaś dwie, które z temiż powinny były uczynić jeszcze dwa węzły i trzy punkta zwrotu są urojone, mamy tu więc przejście do wypadku /).

8) Niechaj będzie daną krzywa rzędu ósmego :

xs— 2a²y⁶-|- bixi-{-y⁸= 0.

Punkt (x=0, y = 0) jest punktem poczwórnym, w którym wszystkie cztery styczne schodzą się z osią y-ó w. Fig. 427. przedstawia nam tę krzywą.

'St.

lSL

1*

*-

wlA

/I

r.

Sr

Si

7 \4-

Fig. 424.

Fig. 425.

Fig. 426.

Fig. 427.

9)    Niechaj będzie daną krzywa rzędu siódmego :

x⁷ — 3a²y⁴a:-|- 26³a;⁴-J— «y⁷ = 0.

Punkt (a: = 0, y = 0) jest poczwórnym punktem, w którym wszystkie cztery styczne schodzą się z osią y-ów ; fig. 428. przedstawia nam tę krzywę . widzimy jednak , że punkt (a?==0, y = 0) nie różni się od zwykłego punktu zwrotu: typu, podanego na fig. 879. str. 652., dwie bowiem gałązki są rzetelne, czyniąc widoczny punkt zwrotu, podanego typu, dwie pozostałe są urojone , mamy więc przejście do wypadku g).

10)    Niechaj będzie daną krzywa rzędu szóstego :

x⁶y⁶ — a² xy (x³—2 X xy y²), X<^1.

y\ — co , y'₂ = 0,

Punkt (x = 0, y = 0), jest punktem poczwórnym, w którym mamy dwie styczne o kierunkach : a więc rzeczywiste i dwie styczne o kierunkach:

y'₃ = >- + Y/i-x². Y/-Ï, y\=\-Vi - x². Y/^i.

Fig. 429. przedstawia nam naszą krzywą, przyczem punkt: (x=0, y = 0), łączący w sobie punkt odosobniony i punkt węzłowy, ma pozorne cechy zwykłego węzła.

11)    Analogiczny przykład przedstawia nam fig. 430., okazująca krzywą o równaniu : x⁶ y⁶ a⁷x³y b*xy³ =0] tutaj punkt (ce = 0, y — 0) jest punktem poczwórnym, w którym schodzą się styczne, określone kierunkami :

y'i = Qo , y\ = 0

y\——i; y\ —---V—1.

12) Niechaj będzie daną krzywa szóstego stopnia, dana równaniem :

1.

a:⁶-(- /y⁶=&²(a:—y)²(a?²—2Xxy -j- y²), X Punkt (# = 0, y—- 0) jest punktem poczwórnym, w którym dwie rzetelne styczne nakrywają się wzdłuż prostej: y—x — 0 , dwie pozostałe są urojone, sprzężone. Fig. 431.

czają nam kierunki :

przedstawia nam tą krzywę, przyczem punkt (æ = 0, y — 0) przedstawia się widocznie, jako zwykły punkt zwrotu, typu, podanego na fig. 379. str. 652.

13) Niechaj będzie daną krzywa szóstego stopnia, dana równaniem:

a:⁰ -[- yG — a¹ (a:²— 2\xij -j- y²) (a;²—2 pasy -|-y²), 0 <C 1 <![-<• <1-Punkt (x = 0, y — 0) jest punktem poczwórnym, w którym schodzą się cztery urojone

styczne o kierunkach :

y'₂₌,X-V/l-X². V/-1,

y'l=14-Y/l—X².y/-1    _

y\ = !J- + V/i— [j-² • V—i, y\ = v-— V/ï—h-². V—i.

Pig. 432. przedstawia nam krzywą omawianą, przyczem punkt (a; —0, y—0) jest

widocznie punktem odosobnionym.

ST.

4L

X’

_Ł Z

* J£.

Ti

Tl'

Fig. 428.

Fig. 429.

Fig. 430.

10. Punktu wielokrotne (p-krotne) krzywej : f(x,y)=0. Jeżeli spółrzędne punktu (x, y) krzywej: f(x,y)—0 sprawdzają, obok równania: f(x, y) = 0, ieszcze równania następuiące :

dj__ a/-_₀    d²f _

r)ic dy ’ dx² dxdy dy²

Fig. 431.

Fig. 432.

=0 :

_    _ dp-y _    _ dp-y _ dp-¹ f _₀

dxp~i dxp~²dy dxP~z dy² ” dxdyp~² dÿp~l . P(P +1)

dp-y

dp-¹ /'

czyli ^ g powyższym

warunkom, naten-

a więc czynią, zadość: czas kierunek stycznych w takim punkcie określony jest równaniem p-go stopnia, ze względu na:    kształtu:

dpf

dxp

àvf dy dxP—^dy dx

fi

dPf

dxp~² dy

(dy\²

²{dx)

+ ■» +

dpf

dx \ p ¹

dy

« (u-..

dyP

(U)

dx dyp

które wskazuje wogóle na p stycznych, przez ten punkt przechodzących, Punkt taki nazywamy punktem p-krotnym krzywej: /(#, y) = 0.

17. Ogólne wskazówki przy kreśleniu krzywych, danych równaniem kształtu:/(æ, y) = 0. Zwyczajny sposób kreślenia krzywej danej równaniem f(x, y)=0, polega na tern, że, przyjmując szereg rozmaitych wartości na spółrzędną x, wyznaczamy odpowiednie wartości spółrzędnej y, lub, przyjmując szereg rozmaitych wartości na y, wyznaczamy odpowiednie wartości spółrzędnej x. Jeżeli niepodobna rozwiązać równania, ze względu na zmienne x, lub y, wówczas możemy w pewnych przypadkach wyrazić æ i y za pomocą zmiennej pomocniczej t, w postaci: x = f(t), y=(p{t), a następnie dla różnych wartości zmiennej ć, wyznaczyć odpowiednie wartości zmiennych x i y.

Tym sposobem wyznaczymy pewną ilość punktów szukanej krzywej, które mogą już dać w przybliżeniu pojęcie o kształcie krzywej. Przy kreśleniu krzywej, należy uwzględnić przedewszystkiem następujące wskazówki:

1)    Zbadać, czy krzywa jest symetryczną względem osi Æ-ôw, lub y-ów, czy też nie ma jakich innych osi symetryi, do którychby to równanie odnieść należało.

2)    Wyznaczyć punkta, w których krzywa przecina osie układu.

3)    Wyznaczyć punkta, w których styczne są równoległe do osi układu.

4)    Wyznaczyć punkta podwójne, i wogóle punkta wielokrotne krzywej i wyznaczyć styczne w tych punktach.

5)    Wyznaczyć styczne osobliwe, punkta przegięcia i punkta undulacyjne.

6)    Wyznaczyć położenie asymptot i zbadać, po której stronie otrzymanej asymptoty leży odpowiednia gałąź krzywej.

7)    Wyznaczyć granice owalów, jeżeli takowe istnieją.

8)    Odnieść równanie krzywej do nowego układu, którego początkiem byłby jeden z punktów wielokrotnych.

9)    Użyć, w razie potrzeby, układu biegunowego i zbadać, jak krzywa ułożona jest około punktu wielokrotnego i w jakim kierunku leżą nieskończenie dalekie punkta krzywej.

Ćwiczenia XLIX.

Wykreślić i omówić następujące krzywe :

I)    x³-\-y³—3axy-\-b³ — 0, w razie b > a. 2) x³ -f- y³—3axy-j-ó³ = 0, w razie 0 < ó < a.

3)    x³ Ą-y³ — 3axy b³ = 0, w razie, gdy b—a.

(Dowieść, że w zagad. 3. krzywa x³ Ą- y³—3axy -f- a³ = 0, rozpada się na dwie odrębne krzywe, z których jedna jest linią prostą o równaniu x-\- y-\- a = 0, druga zaś jest krzywą rzędu drugiego, (elipsą), o równaniu x²—xy -j- y ²—ax—ay -j- aŁ = 0).

4)    x³-\-tj³—3axy==0. 5) x³ -f- y³ -)- 3axy = 0. 6) x³ — y³-\-3axy =0. 7) x³—y³—3axy —0.

8) x³-j-y³— 3axy — b³ — 0, w razie 0. 9) x³ — ax‘ż-\-y³=0.    10) x³—ax³— y³— 0.

II)    x³ -j- (tx³ —J- y³ = 0.    12) x³-\- ax²—y³ = 0.    13) x³—ax³ -(- by² -(- y³ — 0.

14) x-³ — ax² — by² -j- y³ = 0.    15) x⁴ — axy² -f- y⁴ = 0.    16) x⁴ -p a.ry²-p Z/⁴ — 0.

17) xi— axy² ~p by³ = 0.    18) xi -j- axy³ -j- by³— 0.    19) x⁴ — axy² — by³— 0.

20) x⁴-paxy²—by³—0. 21) cc⁴—axy³by³ — 0. 22) a;⁴ — axy³by³— 0.

23) x⁴ — axy² — by³ — 0. 24) x⁴ -J- ax²y -f bxy³ ~p y⁴ = 0.

25) x⁴ -j- ax'ly—by³ — 0. 26) x⁴ -|- ax³y by² = 0.

Wykreślić i omówić krzywą: ^“h \^—/ =1, w następujących przypadkach: 27) a>w, &>n. 28) a>w, b — n. 29) a>?w,    30) a = m, Z)>w.

31) a = m, b — n. 32) a — m,    33) a, ó >». 34) a< m , b=n.

35)«0,    ^i + ~4>¹- 36) «<*», ô<», £4 + ~ =

a⁴ 5⁴

37)    a < m , & < w, —₄ + —₄ < 1.

//j»2 I - ^2\ 2    /y/2_^2\ 2

Wykreślić i omówić krzywą:^—^—/ d\——j—^ =1, w następujących przypadkach:

38)    a^>m, b>n. 39) a>w, b — n. 40) a~>m^ b<^n. 41) a = m: b^>n.

42) a = w, b — n. 43) a — m, b <^n. 44) a , b^> n. 45) a , b

b<n’ ^4 + ^4>¹* 47) a<m, & <», ^ +    =

46) a w

48) a m, b <«

a⁴

w⁴

ó⁴

*<L

1.

1.

Wykreślić i omówić krzywą :    )—1, w następujących przypadkach :

49) a > m , b^>n. BO) a)>m, b — n. BI) a>m, b<^n. 52) a — m, b^>n.

58) a — m, b — n. B4) a — m, b <^n. 55) a<^m , b <C n

56) «<«», 6<n, ^+^ = 1. 57) a<i», i <n,^t +    < 1.

Wykreślić i omówić krzywą:    —^~y —    = 1, a^> b

przypadkach :

⁵⁸⁾ i _ ^4 > ¹ > «> W- ⁵⁹)

61) a — m. 62) a <Zm.

Wykreślić i omówić krzywą : (—ib?.*)³-    , «> 6

przypadkach :

63) a <, m. 64) a—m.

66) a^> m,

a⁴ &⁴

w⁴

a⁴

«4

è⁴

w⁴

> 1.

ó⁴

w następujących

== 1 ; a^> m. 60) ~₄--—₄ <( 1 ; a ])> w.

w następujących

i⁴

65)<.>.„,

^ = i. 67) «>», ^

Sęft ^2\ ł /.u 2 I 2 \ 2

Wykreślić i omówić krzywę:^-^J    K—) —1; w następujących przypadkach:

68) a <C.m. 69) a — m. 70) a^>m, — — — <C 1.

m⁴ n⁴

7,4    r/4    7.4

»•=L

/^j2 I ^2 \ 2    /u2 _L ^2\ 2

Wykreślić i omówić krzywą:^—^    -—-₂—J =1, w następujących przypadkach:

“d.

71) a^> m,

a⁴

w⁴

a⁴

a⁴

ó⁴

w⁴

>1.

78) «>»,^-^*>1. 74) a>m, £-76) a = m. 77) a < m.

Wykreślić i omówić następujące krzywe:

i⁴

»⁴

= 1. 75) a^> m,

a⁴

w⁴ #⁴

78) cc⁴—axy²—y⁴=0.    79) #5— «3 ^—frîyi — Q 80) as⁵ -f- a³«?/ -j- b²y³ =0.

81) a?⁵—a³xy— b²y³—0.    82) x⁵-\-a³xy—b²y³ — 0.    83) x⁵—a³xy—byi = O.

84) x⁵ -f- a³xy — byi — 0.    85) x⁵ — a³ xy -f- %⁴ = 0. 86) x⁵ -\- a³xy -f- by⁴ —0.

87) x⁵—a³æ² -j- b³y² -f- cy⁴ — 0. 88) x⁵ -f- a³x² — 6³y²—cy⁴ = 0.

89) cc⁵ — a³x²— b³y² -j- cyi — 0. 90) x⁵ -)- a³x²-\-b³ y² — cy⁴ = 0.

91) a:⁵-f-«³*² — b³y²-\-cyk — 0.    92) cc⁵—a³x²-\-b³y²— cyi — O,

gdy równanie: br> — &ca³x² — Łcx⁵ = 0 , posiada trzy pierwiastki rzeczywiste, jeden dodatny, dwa ujemne.

93) x⁵-\-a³x²— b³y²-\-cyi— 0. 94) x⁵—a³x² -f- b³y²—cy⁴—O, gdy równanie: bG—Aca³x²— 4ca?⁵=0, posiada jeden tylko rzeczywisty pierwiastek, dodatny.

95) x⁵ -j- a³x² — b³y²-\-cy‘t — O, 96) xr>—a³x²-\-b³y²— cy⁴ = O, gdy równanie: bG — Aca³x²—4ca?⁵=0, posiada jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny, ujemny i jeden pojedynczy, dodatny.

97)    x⁵— a²x³ -f- b² xy² -f- cyi—0, przyczem równanie : ô⁴ -f- 4ca² x — 4cx³— O , ma trzy rzeczywiste pierwiastki: dwa ujemne, jeden dodatny.

98)    a;⁵—a²x³ -j- b²xy²-\- cy¹¹ — O , przyczem równanie: bi-\-£ca²x— 4cæ³=0, ma jeden tylko rzeczywisty pierwiastek : dodatny.

99)    x⁵--a² x³ b² xy² -f- cy⁴ — O , przyczem równanie: bi Ą-Aca²x — 4c#³ = 0, ma jeden podwójny rzeczywisty ujemny pierwiastek , i jeden rzeczywisty dodatny, pojedynczy.

100)    x⁵ — a²xy²—y⁵ — 0.    101) ar’— ax²y²-\- by⁴ = 0.

Rozwiązania XLIX. 1) Krzywa składa się z jednej gałęzi, asymptota: x -j-y-j- a—0, (fig. 433.). 2) Krzywa składa się z owalu i gałązki podobnej, jak w 1); asymptota, jak w 1, (fig. 434.). 3) punkt (x = a, y — a) i prosta: x-\-y-\-a — 0, (fig. 435.). 4) Krzywa ma punkt

podwójny: (cc = 0, y — 0), styczne w nim: x = 0, v/=0, asymptota, jak w 1), (fig. 436.).

5) (fig. 437.). 6) (fig. 438.). 7) (fig. 439.). 8) (fig. 440.). 9) punkt (æ = 0, y — 0) jest punktem

A.

yA>

'S

'S

z.

V o

\---

É—

.4^

i"

u'

a’

i/'

Fig. 433.

Fig. 434. Fig. 435. Fig. 436. Fig. 437. Fig. 438. Fig. 439.

zwrotu, styczna zwrotu: x = 0, asymptota: x-\-y— ’/₅a — 0, (fig. 441.). 10) (fig. 442.). 11) (fig. 443.).    12) (fig. 444.).    13) Punkt (a;=0, y = 0), jest węzłem, styczne w nim:

\/a . x fi- \/b .y = 0, y/

a . ce

— \/b.y = 0, asymptota rzeczywista jedna: *-f-y

a -f- b

(fig. 445.). 14) punkt (x = 0, y =0), jest punktem odosobnionym, asymptota: x -j- y (fig. 446.). 15) punkt (a?=0, y — 0), jest punktem potrójnym: jedna styczna pojedyncza:

jb

g_

z *-

js jL

_jl_s

Z? »

y¹

3'

Fig. 440. Fig. 441. Fig. 442. Fig. 443. Fig. 444. Fig. 445. Fig. 446.

æ = 0, dwie pozostałe nakrywają się w prostej : y — 0, (fig. 447.). 16) (fig. 448.). 17) punkt (æ=0, y = 0) jest punktem potrójnym: jedna styczna: ax—by — 0 pojedyncza, dwie pozostałe schodzą się w prostej: y =*= 0, krzywa asymptotyczna: xi-\-by:i = 0, (fig. 449.). 18) (fig. 450.). 19) (fig. 451.). 20) (fig. 452.). 21) punkt (cc=0, y — 0) jest punktem potrójnym, wszystkie trzy styczne nakrywają się w prostej: y — 0, ma on jednak charakter zwyczajnego punktu , asymptoty rzeczywiste dwie : y — 7-7

asymptotyczna: y =    a;², (fig. 453.). 22) Punkt (x—0, y = 0) jest punktem zwrotu, po-

Y/ a

v/ «

₂V> krzywa

y‘

Jr

$L

:\d*æ

•j

T-

JL i-

\\

sL

jt lL

3'

'T

n‘

Fig. 447.

Fig. 448.

Fig. 449.

Fig. 450.

Fig. 451.

Fig. 452.

mimo to, ma on charakter punktu odosobnionego, (fig. 454.). 23) punkt (æ = 0, y = 0) jest punktem zwrotu, (fig. 455.).    24) Punkt (a? = 0) jest punktem potrójnym , styczne w nim:

1) x = 0, 2) y = 0, 3) ax-\-by = 0, (fig. 456.). 25) Punkt (#—0, y — 0) jest punktem potrójnym, styczne w nim: y— 0, \/a . x -)- \/b . y — 0, \/ a. x— \/b.y — 0, (fig. 457). 26 punkt (x = 0, y — 0) jest punktem potrójnym: krzywa przezeń przechodzi, nie różniąc się w blizkości jego od paraboli: x'l-\- ay = 0, jest on też punktem odosobnionym, (fig. 458.).

jL

■ I, ■ 1

b* V

4    .

X\

JL

JL

JL

3'

3'

s'

jt]

sS.

Fig. 453.

Fig. 454. Fig. 455.

Fig. 456.

Fig. 457.

Fig. 458.

27) Krzywa składa się z czterech owali, symetrycznie ułożonych względem osi —x-ów i względem osi -y-ów, (fig. 459.). 28) Krzywa składa się z dwóch „ósemek“ symetrycznie ułożonych względem osi y-ó w, punkta: (cc — -f- a , y — 0), (cc =— a, y — 0), są punktami

podwójnemi : w pierwszym z nich , styczne : ab (x -a)-\

m²y

1/2

0, ab (x — a) —

m²y

\/2

0,

miy

m^y

o, (fig.

460.). 29) (fig. 461.). 30) (fig. 462.). 31) (fig. 463.). 32) Krzywa posiada dwa punkta podwójne

w drugim zaś styczne mają równania: ab (cc -f- a) -f-

V2

0 , ab ( x -f- a)

V2

x_

OO

i*

DO

£\V

>■

0_

'JL

£/ v'

V'

459.

Fig. 460.

Fig. 461.

Fig. 462.

Fig. 463.

(x = 0 n² x

V2

y=Ą-b), (a; = 0, y = — b), w pierwszym z nich styczne mają równanie:

— ab(y— b) = 0, w drugim zaś styczne mają równanie

+ ab (y — b) = 0,

V/2

n²x

V/2

\-ab{y Jrb) = 0,

n²x

V/2

-ab(y + b):= 0, (fig. 464.). 33) (fig. 465.). 34) (fig. 466.). 35) Krzywa

składa się z dwóch owali współśrodkowych , z których wewnętrzny nie posiada punktów przegięcia , zewnętrzny zaś posiada ich ośm, styczne przegięcia tworzą ośmiobok, wewnątrz którego zawfiera sią wewnętrzny owal, (fig. 467.). 36) Krzywa, podobna jak w 35), tylko wewnętrzny owal redukuje się do punktu (a:=0, y — 0), który zarazem jest punktem odosobnionym, (fig. 468.). 37) Krzywa podobna, (jak w 35.), brak tylko wewnętrznego owalu,

■?

•t

X xl

-X

U**-

X XI

-f

wi

■r

H'

Fig. 464.

Fig. 465.

Fig. 466.

Fig. 467.

Fig. 468.

(fig. 469.). 38)—40) krzywe urojone. 41)—43) dwa punkta odosobnione: (» = 0, y = ±b). 44) Krzywa składa się z dwóch owali, ułożonych symetrycznie względem osi x-ów, owale te mają wspólną oś symetryi, oś y-6w; całość przedstawia się, jak prawa połówka, (fig 459.). 45) Krzywa, podobna do poprzedniej. 46) Krzywa podobna do poprzedniej. 47) Krzywa podobna do „ósemki“, punkt: (x= 0, y= 0), jest węzłem, styczne w nim mają

równanie : ^ -{- — — 0

7YlL 71 ¹

(fig. 461.). 49) krzywa urojona. 50)—55) krzywe urojone. 56) Punkt odosobniony: (# = 0, y = 0). 57) Owal podobny do elipsy. 58) Krzywa składa się z owalu, podobnego do

cc    y    cc    v

„biszkoptu“ i dwóch gałęzi oddzielnych, posiada dwie asymptoty: 7---= 0, —) =0.

TfYb    7%    777/ 77/

ax

by

--\ — 0.    48) Krzywa przedstawia się, jak prawa połówka,

(fig. 470.). 59) Krzywa składa się z ósemki : ma w punkcie : (x = 0, y = 0) punkt podwójny

^ = 0,

o stycznych :

ax

h!J

ax

by

m²

=    ~2 + #72⁼⁼⁰’ fi6* 47L; Posila dwie asymptoty:

4—— = 0. .60) Krzywa składa się z dwóch owali, symetrycznie względem osi cc-ów

ułożonych i dwóch gałęzi oddzielnych , posiada dwie asymptoty :

fl

(fig. 472.). 61) Krzywa składa się z dwóch punktów odosobnionych (« = 0, y =Ą-b) (æ = 0, y = — i) i dwóch oddzielnych gałązek; asymptoty, jak wyżej (fig. 473.).    62) Fig. 474.

0.

AA

y/

yj

■A y

js xi

s.

'S

s,

r./

(y

i/ô-v

■A

/ A /K

Fig. 469.

Fig. 470.

Fig. 471.

Fig. 472.

Fig. 473.

63) Taż sama fig. co wyżej. 64) Krzywa posiada dwa punkta podwójne: (æ = 0, y = -\-b),

n²x

n²x

■ł- ba{y — b) — 0,

(æ=0, y — — b), (fig. 475.) styczne w nich mają równania:

— ba(i/ — b) = 0. 65) Krzywa wygląda, jakby elipsa i hyperbola, (fig. 476.). 66) Krzywa jak wyżej, tylko elipsa zredukowała się do punktu odosobnionego, (fig. 477.). 67) Krzywa

podobna nieco do hyperboli : |-₂ —    1.    68)—70) Krzywe podobne nieco do hyperboli

cc² y2 w² n²

osi æ-ôw, w ten sam sposób krzywa z zadania 65), położona jest tylko względem osi #-ów, w ten sam sposób, co

y2    35 2

tamta względem osi y-ów. 73) Krzywa podobna nieco do hyperboli: - ^ — ^=1. 74) Krzywa

\/2

\/2

= 1. 71) Krzywa wygląda, jak krzywa z zadania 66), położona jest tylko względem

co tamta względem osi y-ó w. 72) Krzywa wygląda, jak

Ą/

■i A

A\

■Py''

Ä JL

■K

A/

* V'

Fig. 475.

Fig. 476.

'i

/T

Fig. 477.

Fig. 478.

Fig. 474.

CICC    CtOC

w punkcie (cc = 0 , y = 0) ma punkt podwójny o stycznych:    =0.—₂ ——s=0, prócz

— — 0, —    = 0, (fig. 478.). 75)—77) Krzywe podobne do hyperboli:

= 1. 78) Punkt (cc = 0, y = 0) podwójny: styczna pojedyncza ce = 0, styczna podwójna y = 0; asymptoty : y — x — aj4, y-\-x — a/4, (fig. 479.). 79) Punkt podwójny: styczne w nim: cc=0, y = 0, ki-zywa asymptotyczna: x⁵—b²y³—0, (fig. 480.).    80) (fig. 481.).

81) (fig. 482.). 82) (fig. 483.) 83) Punkt (cc = 0, y = 0) podwójny; styczne w nim : x = 0, y = 0, krzywa asymptotyczna: x⁵—óy⁴ = 0, (fig. 484.). 84) (fig. 485.). 85) (fig. 486.). 86) (fig. 487.).

tego ma asymptoty :

x² y2 w² w²

s»;

h.Çv

9.

xT

a'

»■

ÿ'

•X

Fig. 479.

Fig. 480.

Fig 481.

Fig. 482.

Fig. 483.

Fig. 484.

87) Punkt podwójny: (cc—-0, y —0), styczne w nim: \/a² x-\- \/b²y = 0, \Za²x—\/b\y = 0; krzywa asymptotyczna: cc⁵-(-cy⁴== 0, styczne te są zarazem stycznemi przegięcia; y‘= 0, w punkcie: x — a \/£ ; y‘— oo w jednym tylko rzeczywistym punkcie: (x=a: y— 0), (fig.

¹

   Niechaj będzie daną krzywa rzędu siódmego : cc⁷ -J— t/⁷ — 3a² xy⁴ -f- 2b‘ixiy — 0.

Posiada ona w punkcie (a; = 0, y — 0) punkt poczwórny, w którym styczne wyzna-2/4= co, ÿ ₂= co, y'₃ =co , y₄' = 0.

Widzimy, więc , źe w tym punkcie trzy styczne schodzą się z osią y-ó w, czwarta zaś schodzi się z osią .cc-ów.

W punkcie (cc=0, y = 0), schodzą się cztery gałązki, tworząc trzy węzły: (1,4) (2, 4), (3, 4) i trzy punkta zwrotu, typu, podanego na lig. 378. str. 652.: (1,2), (1,3) i (2, 3).

Fig. 424. przedstawia nam omawianą krzywą.

²

   Niechaj będzie krzywa szóstego rzędu, dana równaniem :

x⁶ — 2 axy⁴ -[- b² x³ y    yG = 0.

Punkt (cc = 0, y — 0) jest punktem potrójnym, w którym się schodzą trzy styczne z osią. «/-ów, a czwarta z osią x-ów.

Fig. 425. przedstawia nam omawianą krzywą i jej cztery gałązki, schodzące się w punkcie (cc=0, y— 0), widzimy tu trzy węzły: (1, 4), (2, 4), (3, 4) i trzy punkta zwrotu: (1, 2), <1, 3) i (2, 3) takież same prawie, jak w poprzednim wypadku.

488.). »88) (fig. 489.). 89) Punkt (cc = 0, y — 0), odosobniony, (fig. 490.). 90) (fig. 491.). 91) Punkt (u? = 0, y = 0), punkt podwójny, styczne w nim: \/a¹x-\-\/b¹ .y = 0, \/a? x— \Zb*.y = 0,

jy

*9,

■L

.i

i_

No

A.

*N

3'

y’

Fig. 489. Fig. 490.

Fig. 485.

Fig. 486.

Fig. 487.

Fig. 488.

styczne te są zarazem stycznemi przegięcia, (fig 492.). 92) (fig. 493.). 93) (fig. 494.) 94) (fig. 495.). 95) Punkt a: = 0, y— 0) jest punktem osobliwym, takim samym, jak w 91) krzywa jest również jednolitą, jak w 93), ale ma jeszcze dwa punkta podwójne:

3= +

të). (■—s—€>

(fig. 496.). 96) (fig. 497).    97)

Punkt (#—0, y=Q>) potrójny, styczne w nim: x=0, ax — by— 0, ax -f- by — 0, (fig. 498.).

'j

2L

»/» «L

•z“

i'

v'

la'

IV'

■i'¹

Fig. 491.

Fig. 492. Fig. 493.

Fig. 494. Fig. 495.

Fig. 496.

98) (fig. 499.). 99) Krzywa, prócz, punktu potrójnego, ma jeszcze dwa punkta podwójne:

b^l8\    (

t\2öJ’ r⁼

⁴/3 \

7~V2ö/

(fig. 500.) 100) (fig. 501.)

ïj

a!

•H

Mo

b..--

,.-'A

3’

'Û

3'

3'

„X

U'

Fig. 501. Fig. 502.

Fig. 497.

Fig. 498.

Fig. 499.

Fig. 500.

Krzywa posiada w punkcie (x = 0, y = 0) punkt potrójny, o stycznych: x— 0 (pojedyncza), y — 0 (podwójna). 101) Krzywa posiada punkt poczwórny: (x = 0, y = 0), styczna podwójna y — 0, styczne poj edyńcze : \/ a . x— \/b .y = 0 , \/a.x-\-\/b.y — 0, (fig. 502).

Literatura. A o u s t 1 abbé. Analyse infinitesimale des courbes planes. 8°, avec 8 figures. Paris 1873. Cb. Biehler. Teorie des points singuliers dans les courbes algébriques. Paris 1882. A. Cramer. Introduction à l’Analyse des Lignes courbes algébriques. Paris 1750.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Wykreślanie krzywej algebraicznej w otoczeniu jednego z jej punktów.

2.    Wykreślanie krzywych, których równania odniesione są do układu ukośno-

kątnego.

Wykład L.

Krzywe algebraiczne drugiego rzędu.

1. Ogólne równanie krzywych algebraiczny cli drugiego rzędu. Ogólne równanie drugiego stopnia, między zmiennemi x i y, da się przedstawić w postaci :

(1)

Ax² -f By² 4- 2 Cxy + 2 Dx -f 2Ey + F=0 zawiera więc sześć dowolnych spółczynników: A, B, C, D, E, F. Od jednego z nich możemy się zawsze uwolnić, podzieliwszy przezeń obie strony równania, stąd wynika, że w ogólnem równaniu krzywych drugiego rzędu możemy jeden ze spółczynników przyjąć równym jednostce, istnieje zatem tylko pięć spółczynników, które swemi wartościami cechują pewną krzywą drugiego rzędu. Potrzeba zatem pięciu równań warunkowych do wyznaczenia tych pięciu spółczynników.

Przyjmijmy na płaszczyźnie XOY pięć punktów : (xs, ys), (s—1,2, 3,4,5), przez które ma przechodzić szukana krzywa drugiego rzędu , natenczas otrzymamy pięć równań warunkowych kształtu :

Axs²+ Bys² + 2Cxs ys + 2 Dxs+2 Eys + F=0 (8=1, 2, 3, 4, 5),

które są równaniami stopnia pierwszego, ze względu na niewiadome spół-czynniki : A, B, (7, Z), E, F, wyznaczają zatem jedno wartościowo pięć stosunków

A B C D E jak n. p. ^

(2)

które, podstawione w (1), dają równanie szu-

~jp > jp ’ ~jpi jp

kanej krzywej drugiego rzędu, przechodzącej przez pięć danych punktów.

Równanie tej krzywej przedstawia się, po wyrugowaniu niewiadomych spółczynników z układu (2) i podstawieniu w równanie (1), w postaci wyznacznika szóstego rzędu kształtu:

æ², y², xy,

*²i, y²\,

y²2? *^2y21

•^²3> y²3> ^3^3?

**4» y²4, *404,

fs, y\i *r₀y„

A zatem : Pięć punktów, położonych dowolnie na płaszczyźnie, wyznacza pewną krzyicą drugiego rzędu.

Ażeby zbadać, jakie są możliwe kształty krzywych drugiego rzędu, rozważmy przedewszystkiem wpływ, jaki wywiera zmiana punktu początkowego i kierunków osi na kształt ogólnego równania drugiego stopnia.

Vu 1

y₂. ¹

ys> i

yii, i y₈i ¹

= o.

(3)

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

45

2. Zmiana początku układu i jej upływ na kształt równania krzywej drugiego rzędu. Przedstawmy, dla większej przejrzystości spółczynników, ogólne równanie krzywych drugiego rzędu w postaci :

ax t x² + a₂₂y² + 2a, ₂xy 4- 2ax zx + 2a2 3y + a₃ 3 = 0 i połóżmy w niem :

(4)

-ta-----

x = æ'+£, y=y' + y,

gdzie f] są, spółrzędnemi nowego punktu początkowego , xy', zaś są spółrzędnemi dowolnego punktu krzywej, odniesionego do nowego układu o niezmienionym kierunku osi , (fig. 503.) a otrzymamy rów-nanie (4) w postaci :

al 1 (*' + i)² + «22 (y‘ + v)²+ 2«! ₂ (X¹ + i) (y ' + 7]) +

+ 2a! ₃ (x‘ +1 ) + 2 a₂₃(y‘ + tf)-\-a₃₃ = 0.

Uporządkowawszy to równanie według potęg malejących nowych zmiennych x‘ i y', opuszczając kreski, jako zbyteczne, otrzymamy.znowu równanie drugiego stopnia między zmiennemi x i y w postaci :

Aux² + A₂₂îy²+2Ai2xy + %Ai3x + 2A₂₃y-]-A₃₃=0,

AH~ail) A22~a22l A\2==a\2)

Ą₃=alli + al2V + ai3, As=ai2i + a2zV + a23,

A33=ani² + a22V² + 2ai2^+2al3i-i-²^23V+a33-

Zmiana punktu początkowego układu, bez zmiany kierunków osi, wpływa więc tylko na spółczynniki przy zmiennych x i y, występujących w pierwszej potędze, jakoteż na wyraz wolny od zmiennych, nie zmienia zaś wcale spółczynników przy x², y² i xy.

Wpływ nowego punktu początkowego (æ, y) na spółczynniki: A₁₃, A A₃₃, możemy przedstawić w następującej formie:

Kładąc f=aiix²-\-a₂₂ y²Ą-2anxyĄ-2ai3x-\-<‘2a₂₃y-{-a₃₃, mamy:

Fig. 503.

w którem : a natomiast :

—x

235

^“=2 [aux-\ ai2 y + a₁₃}, ^=2 {ai2 x+a₂₂y + a₂₃},

otrzymujemy zatem:

A\3

^dJ

A2 3 — 2

df

² dy

A33 f•

otrzymuje zatem tą wartość, jaką ma wielomian zmienne x, y, zastąpimy przez spółrzędne nowego

natomiast jest :

33’

Wyraz wolny A /‘równania, gdy w nim punktu początkowego; spółczynniki Ai3, A₂₃, otrzymują natomiast te wartości, jakie mają połowy pochodnych cząstkowych wielomianu f podług x i podług y, gdy w nich zmienne æ, y zastąpimy również przez spółrzędne nowego

punktu początkowego.

Stosownem obraniem punktu początkowego możemy ogólnie dwa ze spółczynników Ai3, A₂₃, A₃₃, sprowadzić do zera.

3. Środek krzywej drugiego rzędu. Położywszy AiS=0, A₂₃ =0, otrzymujemy na wyznaczenie spółrzędnych i, nowego punktu początkowego równania :

(5)

A\ 3 —®'\ \ ê 4"    2ł/ “h 3 —0 1 -4-2 3 —    2^ "ł" ^2 2^4“ ^2 3 —

z których otrzymujemy:

Urr

«121 «13 «221 «23

«13, «11 «231 «12

«u,    «12

«121 «22,

«u, «12

«121 «22

— 7o,

(6)

a stąd, ze względu na to, że:

d33⁼⁼«ll£²+«227² + 2«i₂ t?/ + 2«i₃£ + 2«2₃?7 + «₃3=+i3£ + +₂377 + («i3£ + «2₃ 7 + «3s)l

wobec: +i₃=0, A₂₂=0, dostajemy:

«13

-^33 —

«12,    «i3

aiïi «23

+ «23

«13, «h

«₂3,    «₁₂

+ «33

«U,    «i2

«12, «22

«u, «12, «13 «121 «221 «23 «13, «23, «33

| «lll «12

I «121 «22

«H,    «i2

«121 «22

«lll «121 «121 «221 «131 «231

Obrawszj' zatem punkt (£, ?/), określony równaniami (5), jako początek układu, niezmieniając przytem kierunków osi układu, otrzymujemy równanie przerobione w postaci :

czyli:    =

-j, gdzie D=

a a a

co to ^

A=

«U,    «12

«121 «22

(7)

anx²+a₂₂y²-\-2anxy + -^=0.

Jeżeli równaniu temu czynią zadość spółrzędne (,x, «/), tedy czynią mu zadość także spółrzędne (—x, —y). Nowy punkt początkowy posiada zatem tę własność, że dzieli wszystkie cięciwy krzywej, przez ten punkt przechodzące, na dwie równe części. Taki punkt płaszczyzny, który wszystkie cięciwy krzywej, przezeń przesunięte, dzieli na dwie równe części, nazywamy środkiem krzywej.

Obrawszy więc środek krzywej rzędu drugiego, jako początek układu, niezmieniając przytem kierunków osi, możemy równanie krzywej drugiego rzędu uwolnić od spółczynników przy x i y.

4.    Przykład. Niech będzie dane równanie krzywej drugiego rzędu, w postaci :

2a:² -j- 3y-—3a-y -j- x—hj -f- 1 = 0,

tedy, na wyznaczenie jej środka, otrzymujemy równania warunkowe:

S-4*-8y+l=0, Ł£=6j,-8*-7=0,

a stąd, jako spółrzędne środka: Ç== 1, r)=⁵/3. Równanie danej krzywej, odniesione do środka , jako początku układu, przedstawia się w postaci :

2a:²    3y² — 3xy -f — = 0, gdzie :

2a:² + 3y² - 3xy - ¹³/₃ = 0.

5.    Podział krzywych rzędu drugiego, oparty na położeniu środka.

Równania :

2, -7:

-72,    3

rjT CO tH

1-1 1- (N

4, -3, 1 = Ys +25, -15, 0 -7, -1, 0

a więc w postaci :

^•13

àf

àf

•2 ^. ⁼ «li;r+«127 + «l³ —^1 4₂3 określające położenie środka: (a?=|, y = rj), krzywej:

__ 1

* dy

= «12^+«₂₂?/ + «₂3=0,

f= a\ 1 X 2 + «2 2y ² + %a\ 2 XV + 2«! 3X + 2a₂ 3 y + «3 3 = 0 ,

mają pierwiastki skończone i oznaczone tylko wówczas, skoro wyznacznik:

a\ 1 ? ai2

2 j a22

Pod tym tylko warunkiem krzywa /“= 0, posiada środek w skończoności swej płaszczyzny i nazywa się wtedy krzywą środkową.

Jeżeli wyznacznik: A= j^¹¹’ ttl2 =0, a przytem wyznaczniki:

I a\ 2 ? tt2 2

«13,    a₁₂

a23) tt22 I

są różne od zera, wówczas równania (5) są sprzeczne między sobą i dostarczają tylko pierwiastków nieskończonych: £=cc

Krzywa f= 0, nie posiada tedy żadnego punktu środkowego w skończoności, tylko w nieskończoności, nazywamy ją wtedy krzywą o nieskończenie dalekim środku, albo też krzywą bezśrodkową.

Jeżeli jednak, obok warunku d=0, spełniają się także warunki ^ = 0 i d₂=0, t. z. jeżeli, obok warunku: ana₂₂—a\₂—0, spełniają się także warunki: a₁₂a₂3—0!i3a22⁼⁼0> a\za\z~ a\iaïz—Q, z których jeden pociąga już za sobą w tym razie spełnienie drugiego, jest bowiem w tym razie:

a\\ _ ai2 _ tt13

A=

==aua22 — a2i2? ma wartość różną od zera.

i A₂ =

j «H, «lg

| «12,    «23

r\—co .

«12    «22    ^23

natenczas równania, określające położenie środka, są równoważne i sprowadzają się do jednego równania, które przedstawia linię prostą, jako miejsce geometryczne środków danej krzywej drugiego rzędu.

Wobec tego możemy podzielić krzywe drugiego rzędu o równaniach kształtu: «n«:² + «22 2/² + 2«i₂æy-f 2«i3 æ-j-2«₂3«/4-a₃3 = 0 , na następujące trzy rodzaje :

1)    krzywe środkowe , warunek : A ^ 0 ;

2)    krzywe bezśrodkowe, warunek: d=0, Ai ^0, A₂ <0;

8) krzywe o nieskończenie wielu środkach, położonych na prostej

środków, warunek: A^=Ai=A₂=0, czyli:

. aii °\2 tt13

a12    ^22 tt23

0. Możliwe uproszczenia równania krzywej drugiego rzędu, wywołane zmianą punktu początkowego. Równanie krzywej środkowej uprości się, skoro środek krzywej będzie punktem początkowym układu, mianowicie znikną spółczynniki przy zmiennych x i y, a równanie ogólne krzywych środkowych otrzyma kształt:

anx²Ą-a₂₂y²-{-2anxy-\- -d₃₃=0.

(«)

W równaniu krzywej bezśrodkowej nie możemy sprowadzić obu spółczynników przy a; i y do zera, gdyż w tym przypadku nie ma żadnego punktu w skończoności, dla któ-regoby było równocześnie: J.₁₃ =0 i A₂₃=0. Natomiast możemy zawsze wyraz wolny ^ł₃₃, i jeden ze spółczynników Ai3, lub ^4₂₃ sprowadzić do zera, obierając stosowny punkt krzywej, za punkt początkowy układu, przez co sprowadzimy równanie krzywej do postaci: «nœ2 + «222/² + ²«i2a”/+ 2^t₁₃a: = 0, lub: anx² -j- a₂₂y² -\-2anxy -\-2Any = 0.

W równaniu krzywej, posiadającej oś środków, możemy, przyjmując którykolwiek punkt tej prostej za początek układu, sprowadzić równanie do postaci:

(0

«11 *² + «22 y² + 2«12 xy + An = 0 a że, w tym przypadku, zachodzi także warunek: A=0, czyli: «u «22“ «²i2 —0, a więc:

«12— \/a\\ «221 przeto to równanie, przerobione, otrzymuje kształt:

0\/«ii -\-yVa%% )² +^33 = 0,

przedstawia zatem dwie proste równoległe, rzeczywiste, lub urojone, jako krzywę drugiego rzędu, w której prosta, dzieląca ich odległość na dwie równe części, jest miejscem geometrycznem środków tej zdegenerowanej krzywej drugiego rzędu.

- 709 —

Ponieważ, w tym przypadku, obok warunku A = 0, zachodzą także warunki: A₁==0, i A₂ = 0, przeto jest także wyznacznik: D=auAt — «23 + + «33^=0. Zależnie więc od wartości stosunku: —, przedstawia równanie : f—0, sprowadzone do postaci:

C*V/oil +*/ V/«22)²= — J

(«0

dwie proste, równoległe, i to, albo: 1) obie rzeczywiste i różne, albo: 2) dwie, w jedną wpadające, albo: 3) urojone sprzężone, stosownie do tego, czy: — ^ 0.

7. Dwie proste, przecinające się, jako szczególny przypadek krzywej środkowej. Szczególny przypadek krzywych środkowych, określonych warunkiem: A ^ 0, zachodzi, jeżeli spółrzędne (?, rj) środka, obok równań warunkowych: ^3=0, An — 0, czynią także zadość warunkowi: ^4₃₃ =0, jeżeli więc spełniają się równocześnie trzy równania:

«11?+ «12*1+ «13=0,    «12? + «22*1 + «₂₃ = 0,    «13? + «23*1 +«33 = 0,

co wymaga spełnienia warunku :

«11, «12, «13 «12, «22, «23

= 0.

«13, «23, «33

Środek krzywej drugiego rzędu leży w tym razie na niej samej, a równanie, odniesione do tego środka, jako początku układu, otrzymuje kształt:

«u«² + a₂2«/² + ²«i2««/ = 0

i przedstawia dwie proste, przecinające się w tym nowym początku układu, rzeczywiste, lub urojone sprzężone, stosownie do tego , czy wyznacznik A jest mniejszy, lub większy od zera.

S. Zestawienie. Zestawiając powyższe wyniki, dochodzimy do następującego twierdzenia: Ogólne równanie drugiego stopnia między zmieimemi x i y, w postaci:

«ii«² + «222/² + 2«i2«y + 2a₁₃« + 2ai3y + or₃₃ = 0,

przedstawia :

1)    w przypadku : A ^ 0, D ^ 0, krzywą środkową ;

2)    w przypadku: A^0, D— 0, dwie proste, przecinające się;

3)    w przypadku: A = 0, D ^ 0, krzywą o nieskończenie dalekim środku, czyli krzywą, bezśrodkową.

4)    w przypadku: A = 0, Z> = 0, dwie proste, równoległe, jako krzywą o nieskończenie wielu środkach, położonych na linii prostej.

Przytoczone cechy dotyczą równania, odniesionego nie tylko do układu prostokątnego , lecz także do dowolnego układu ukośnokątnego.

9. Zmiana kierunku osi bez zmiany punktu początkowego. Kozważmy teraz, w jaki sposób zmiana kierunków osi wpływa na kształt równania krzywej drugiego rzędu. W tym celu, wyprowadźmy z punktu początkowego dwie proste, jedną, nachyloną do osi 0X pod kątem A, drugą pod kątem + i przyjmijmy je, jako osie nowego układu (fig. 504.).

Związki między spółrzędnemi (x, y), jakiegokolwiek punktu, odniesionego do pierwotnego układu, a spółrzędnemi (+, y‘) tego punktu, odniesionego do nowego układu, okre-X’ ślaj ą wzory :

x=x'cos A+y'cos +, y=æ'sin ź-j-y'sin A¹.

Wobec tego równanie pierwotne:

»! i«² + «222/2+2ai    + 2«₁₃^+2a₂₃2/ + a₃₃ =0,

s'

zamieni się na następujące:

au(+cos ź+y'cos +)²-t-a₂₂(Æ'sin i + y'sin +)² +

Fig. 504.

-f 2 a₁₂ (Æ'cosi+y'cos +)(a;'sin A + y'sinA') + 2% ₃ (x'cosA+ 4-y'cos A¹) + 2a₂₃(a;'sin A-\-y'sm. A‘) + a₃₃ =0. Uporządkowawszy to równanie podług potęg nowych spółrzędnych zmiennych x' iy‘, kreski, jako zbyteczne, opuszczając, otrzymamy równanie przerobione, w postaci :

sx² + s‘y² + 2 pxy + 2 qx + 2 q'y + A 3 3 =0

s=«₁₁cos²i-f «₂₂sin²i-f-2«₁₂cos Xsin X , s'=a₁₁cos²i'4-«22s^n2^/ + ^aJ2cos ^/sin K, p=an cos X cos ^' + «₂₂ sin X sin X¹ +«i ₂(cos X sin X‘ -f-cos X‘ sin i), q—ai 3cos i~p«₂₃sin X, g" = «₁₃cos X‘ -1 «₂₃ sin X\ AZ2—a23>.

Z tego widzimy, że zmiana kierunków osi OX i 0Y układu X0Y, przy niezmienionym punkcie początkowym, nie zmienia wcale wyrazu wolnego a₃₃, w danem równaniu, natomiast wpływa na zmianę wszystkich innych spółczynników. W szczególności sam kierunek nowej osi a?-ów, wpływa tylko na spółczynniki przy x² i x: sam kierunek nowej osi y-ów tylko na spół-czynniki przy y² i y, a oba kierunki osi razem wpływają natomiast na spółczynnik przy xy.

10. Uproszczenie równania krzywej drugiego rzędu, wskutek zmiany kierunków osi. Zastanówmy się teraz nad możliwemi uproszczeniami ogólnego równania krzywej drugiego rzędu, wywołanemi zmianą kierunków osi.

Przedewszystkiem zauważymy, że spółczynniki q i q\ zapomocą zmiany kierunków osi nie mogą być równocześnie sprowadzone do zera, gdyż musiałoby być X—X\ co jest niemożliwe, pozostają natomiast zerami przy jakiejkolwiek zmianie osi, jeżeli już były zerami w równaniu pierwotnem f= 0.

W każdym innym przypadku, możemy tylko jeden ze spółczynników q, lub q' sprowadzić do zera, przyjmując oś #-ów, względnie y-ów, w kierunku, określonym równaniem:

gdzie :

«₁₃cos ż.-(-«₂₃sin X =0, zatem tang/l— —

«13

a2 3

(9)

Spółczynniki s i s‘, przy x² względnie y², dadzą się sprowadzić do zera, jeżeli oś x-ów, względnie y-6w, przyjmiemy w kierunku, określonym równaniem :

«i i cos²/l + «₂₂sin²i-f- 2«₁₂cos <2 sin X=0 a spółczynnik p przy xy staje się zerem, jeżeli osi a;-ów i y-ów przyjmiemy w kierunkach X i X¹, związanych równaniem :

«n cos X cos ż/-4-«₂₂sin X sinż'-f-«₁₂ (cos X sin i' + cos/p sin X) = 0.

Rozważmy kolejno przypadki, w których te uproszczenia są możliwe.

11. Punk ta nieskończenie dalekie krzywej drugiego rzędu. Mając przyjąć jedną z osi układu w kierunku, określonym równaniem:

«₁₁cos²^ + a₂₂sin²i-l-2«₁₂cos X sin X=0

(10)

(U)

(12)

czyli :

znaj duj emy :

czyli :

tang² X -f 2 — tang X\    0

a22

tang X=— — + \I<1 «2 2    »

tang<£=

a2 2

«11«22

«²22 — «12± V- A

a22

(120

skąd'wynika, że każdej krzywej drugiego rzędu odpowiadają, w ogólności, dwa takie kierunki, zwane kierunkami asymptotycznemi, które są rzeczywiste i różne, gdy 4<(0, rzeczywiste, w jeden wpadające, gdy <4=0, urojone sprzężone, gdy A >- 0. Kładąc x — r cos X , y=rsinX, otrzymujemy równanie pary kierunków asymptotycznych, wychodzących z początku układu, w postaci:

krzywej.

a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂zy=0.

Każdy z tych kierunków wskazuje na jeden punkt nieskończenie daleki

- 711

Wobec tego możemy krzywe drugiego rzędu podzielić na trzy rodzaje :

a)    krzywe, określone warunkiem: A=ai ia.₁₂—«²₁₂<CO, a więc, posiadające dwa punkta rzeczywiste w nieskończoności;

b)    krzywe, określone warunkiem: A—aiia₂₂ — a²₁₂=0, a więc, posiadający jeden tylko punkt rzeczywisty w nieskończoności;

c)    krzywe, określone warunkiem: A=aiXa₂₂—a²₁₂;>0, a więc, nie posiadające w nieskończoności żadnych punktów rzeczywistych, a tylko dwa punkta urojone sprzężone.

12. Możliwe uproszczenie równania krzywej drugiego rzędu, wywołane przyjęciem pary kierunków asymptotycznych, jako osi układu. W krzywych, określonych warunkiem A<0,

— «13 ± V — A

wychodzą z każdego punktu dwa kierunki, wyznaczone wzorem : tangX =

«22

prowadzące do dwu nieskończenie dalekich punktów danej krzywej. Przyjąwszy te kie-

2\/HI

runki, nachylone pod kątem y, gdzie tang y

jako osie układu, uwalniamy rów-

«11 d" «22

nanie dotyczącej krzywej od spółczynników przy x² i y², a więc sprowadzamy je do postaci:

(«)

2pxy-\-2qx -f 2q‘y + a₃₃ = 0.

W krzywych, określonych warunkiem: A — an o₂₂ — a²₁₂ =0, istnieje tylko jeden

«22

taki kierunek, wyznaczony wzorem: tangX = —---, który prowadzi do nieskończenie da-

lekiego punktu krzywej. Przyjąwszy ten kierunek, jako oś x-ów, uwalniamy równanie dotyczącej krzywej od spółczynnika przy x², a więc sprowadzamy je do postaci:

(P)

s'y* + 2pxy + 2qx-\- 2q'y + a₃₃ =0.

W równaniach krzywych, rodzaju A = 0, nie może więc równocześnie brakować wyrazów przy x² i y².

W krzywych, określonych warunkiem: A —aua2%— a²,,    0, nie ma rzeczywistych

kierunków takich, któreby prowadziły do punktów nieskończenie dalekich krzywej, niema też takich prostych, któreby, przyjęte, jako osie układu, sprowadzały w równaniu tej krzywej choćby jeden ze spółczynników przy as², lub przy y² do zera. W równaniach rodzaju: A = 0na.₂₂ — a²₁₂ j> 0, nie można się więc uwolnić od spółczynników, ani przy x², ani przy y².

13. Podział krzywych rzędu drugiego, ze względu na asymptoty. Kierunki, prowadzące do nieskończenie dalekich punktów krzywej drugiego rzędu, są kierunkami asymptot tejże linii krzywej.

Proste, wyprowadzone w kierunku asymptot, ze środka linii krzywej, mają z krzywą, po dwa nieskończenie dalekie punkta wspólne, są więc asymp-totami krzywej.

Według rodzaju asymptot, możemy więc krzywe drugiego rzędu podzielić na :

a)    krzywe o dwu asymptotach urojonych, określone warunkiem: zl>0, zwane elipsami.

b)    krzywe o dwu asymptotach rzeczywistych, określone warunkiem: 4<i0, zwane hiperbolami.

c)    krzywe o jednej asymptocie, w nieskończoności, określone warunkiem: zl=0, zwane parabolami.

Przyjąwszy, w przypadku krzywej środkowej, jej środek, jako początek układu, uwalniamy równanie krzywej od spółczynników przy x i y, obierając przytem asymptoty rzeczywiste, występujące w przypadku: di<0, w krzywych, zwanych hiperbolami, jako osie układu, uwolnimy równanie od spółczynników przy x¹ i y², wobec tego równanie hiperboli, odniesione do asymptot, przedstawi się w postaci: 2p#y4-77=0, czyli:

xy — K.

14. Kierunki sprzężone. Obierzmy kierunki osi nowego układu, tak, aby spółczynnik p przy xy stał się zerem. W takim razie ma się spełnić równanie warunkowe:

p^^^cos ^cos/l'-|-a₂₂sin X sinA' + a₁₂(cos X sin X‘Ą- sin X cos X')=Q, któremu możemy nadać widocznie następujące kształty:

(rc^cos yl-ba₁₂sin X) cos^'-|-(a₁₂cos X-\-a₂₂sin X) sini'=0,

(«i i cos X¹ + ₂sin X‘) cos X-\-(ai2 cos X‘-\-a₂ 2 sin X¹) sin X=0.

Połóżmy a₁₁cos^4-a₁₂sin^=M;lł a₁₂cos^-f-a₂₂sini=M;₂, podobnie:

«u cos /î' + a₁₂sinX'=wii, a₁₂cos X‘-\-a₂₂sin X‘=w[₂, natenczas otrzymujemy powyższe równanie w postaci: iv^cos X‘-\-tv₂sin X'—O, lub: «Pj'cos X-\- w'₂sin X=0, skąd dostajemy:

a₁₁cosX-\-al2 sini a₁₂cos i-ł-a₂₂ sin X aii cosi' + ai2 sini' ai2 cosi' + a₂₂ sini'

Kierunki iii' zastępują się więc wzajemnie tak, że gdy jeden z nich przyjmiemy, jako kierunek osi x-ów, drugi należy przyjąć, jako kierunek osi y-ów, chcąc, w równaniu przerobionem, uwolnić się od spółczynnika przy xy. Kierunki te nazywamy też kierunkami sprzężonemi wdanej krzywej drugiego rzędu.

Ich znaczenie geometryczne poznamy z następującego rozważania:

Załóżmy, że dana krzywa rzędu drugiego jest krzywą środkową i że jej równanie odniesione zostało do jej środka, jako początku układu, a więc sprowadzone zostało do postaci:

albo :

(13)

i nawzajem:

tang X‘—

tangi=

w.

w<

w₂

«u æ²+»₂₂ y²+²«₁₂ %y-\-A 33= o,

przyjmując kierunki sprzężone, jako osie układu, otrzymamy równanie tej krzywej w postaci:    +    +J₃₃ = O

każdej wartości na x odpowiadają dwie wartości nego znaku i nawzajem, każdej wartości na y odpowiadają także dwie wartości na x równe i znaku przeciwnego.

Z tego wynika , że kierunki sprzężone X i XJ, określone równaniem (13), posiadają tę własność, że środki cięciw, wykreślonych w jednym kierunku: X, leżą na prostej, przechodzącej przez środek krzywej w drugim kierunku: X¹. i

natenczas

z której wypływa, że na y, równe, ale przeciw-

nawzajem.

15. Średnice sprzężone w krzywych środkowych rzędu drugiego. Proste, przechodzące przez środek krzywej, nazywamy średnicami tej krzywej. Dwie średnice krzywej rzędu drugiego, posiadające tę własność, że środki cięciw równoległych do jednej średnicy, leżą średnicami sprzężonemi.

Średnicy, wykreślonej w kierunku i, odpowiada średnica sprzężona w kierunku X', określonym wzorem :

na

drugiej średnicy, nazywamy

(«! i cos X -f aj ₂ sin X) cos X' + (ai 2 cos X + a₂ 2 sin X) sin X¹ = 0.

Oznaczając przez f, i], spółrzędne środka krzywej, otrzymujemy równanie średnicy, z kierunkiem X sprzężonej, w postaci:

(«itcos /ł+a₁₂sin X) (x—^) + (a₁₂cos2-f-a₂₂sin^) (y—rj)=0.

Kąt co, zawarty między dwiema średnicami sprzężonemi (X i X¹), określa

_ tang X—tang X‘

wzór :

tang to=tang (X—X‘)

1 + tang X tang X‘ ’

z którego , ze względu na to , ze :

tang 2' = —

x    a^cos/l + G^sin A

₂    a₁₂cos A-j- a₂₂ sin 2’

otrzymujemy :

tang co

tang 2 4- — w₂

k>icos AĄ-iv₂sinA w₂cos i—w^sin A

1— — tang A w₂

(ttj ! cos A +    ₂ sin A) cos A-\-{a^ ₂cos i+a22s^n s*n^

(a₁₂cos24-a₂2sincos ^ — («neos 24-«i2sin sin^ ’ atl cos²24- a₂2sin²2 + 2a₁₂cos A sin A a₁₂(cos²2—sin²2)— (alt —a₂₂) sin ^ cos ^

Z wzoru tego widzimy, że: tang w=0, a więc: o)=0, skoro:

₁ cos² A4*«22sin ²^ + 2a₁₂cos A sin A=0 , a natomiast tang co = co, a więc: oj = 90°, skoro:

a₁₂(cos²2—sin²2)—(aH —a₂₂) sin A cos 2=0.

Pierwszy przypadek określa się warunkiem: s=0 i wskazuje na dwie asymptoty, jako średnice , z których każda jest sama z sobą sprzężoną. Drugi przypadek wskazuje na średnice sprzężone, do siebie prostopadłe; wzór, określający ich położenie, możemy przedstawić w postaci:

czyli :

a więc :

tang ćd =

tang o)

(14)

«11 «22

a₁₂cos22----    2

sin 2 A = 0,

(15)

z której wypływa :

tang 22 =

2o^2

a\\ «22

a więc na 2 otrzymujemy dwie wartości: 2 i 90° + 2.

Między parami średnic sprzężonych istnieje więc jedna para sprzężonych, do siebie prostopadłych. Średnice te zowiemy osiami krzywej drugiego rzędu.

średnic

równocześnie także: «u—°22i naten-

16. Średnice sprzężone w kole. Jeżeli a₁₂=0, czas kąt X będzie według wzoru (15) nieoznaczony; wszystkie pary średnic sprzężonych, są w tym przypadku do siebie prostopadłe.

Dotycząca krzywa drugiego rzędu ma równanie :

aux² 4- any² + 2an x + 2an y + a₃₃ =0 , które, podzielone przez au, sprowadza się do postaci:

x² Ą-y² — 2ax — 2by -j- c = 0 ,

(x—a)² 4- (y — b)² —r².

Równanie to wyobraża koło, które ma środek o spółrzędnych:

czyli :

«13

a promień :

«u

\/«²13 + «²23~ «11 «33 _ y/a2_l_ £2_ Ci

«11

O,

2/0= “

«u

W kole są więc wszystkie średnice sprzężone, zarazem do siebie prostopadle.

17. Kierunki sprzężone w krzywych bezśrodkowycli. Kierunek A‘ sprzężony z kierunkiem 2, określony wzorem :

(ancos 24-«i2sin ^) cos 2'4-Oi2cos 2-ba₂2sin ^) s^n ^'=0,

pozostaje nieoznaczonym, skoro, dla kierunku 2, spełniają się równocześnie dwa równania następujące:

Cïj ^COS 2 4* 2^ —0, «1 ₂COS 2 4" «22®^ ^ ^ 1

czyli, skoro : tang A — —

«11

a!2

«12

«22

a więc,

skoro się spełni warunek :

«11 «1 2

czyli: anu₂₂— c/₁₂²=0, który wskazuje na krzywe o nieskończenie

dalekim środku, czyli na t. z. krzywe bezśrodkowe.

W krzywych drugiego rzędu, mających środek w nieskończoności, istnieje więc jeden kierunek taki, z którym są sprzężone wszystkie kierunki płaszczyzny.

Kierunek ten , określony wzorem : tang X = kierunkiem głównym krzywej bezśrodkowej.

Środki równoległych cięciw, wykreślonych w krzywej bezśrodkowej, w jakimkolwiek kierunku leżą więc na prostych równoległych.

18. Sprowadzenie równań krzywych, rzędu drugiego do możliwie najprostszych postaci. Na podstawie powyższych wyników, użyjemy, celem sprowadzenia danego równania do możliwie najprostszej postaci, odmiennych przekształceń , stosownie do tego , czy dane równanie przedstawia krzywą środkową, czy też krzywą bezśrodkową, lub o nieskończenie wielu środkach.

a) Krzywe środkowe. A=aua.n — a"\₂ ^ 0. Przeniósłszy początek układu bez zmiany kierunków osi do środka (£, rj) krzywej : f=anx²-\-a₂₂y²-\-2ai2xyJr

ifx = anê + anrl + «i3=°>

«12

«22

«11

«1 2

-f2rt₁₃^-b2a₂₃y■+«33 = 0, określonego równaniami:

àf

«12

«2 2

nazywamy

I — =a₁₂£ + «22ł?"l'«23:==0> sprowadzimy równanie ogólne do postaci:

anx² -Ą- a₂₂y² -\-l2ai2xy A₃₃^0

gdzie:    =

niem :

Przyjąwszy teraz osie krzywej, których kierunki określone są równa-

2«j ₂

tang 2X =

«11 «22

jako osie układu, otrzymujemy równanie krzywej środkowej, w możliwie najprostszej postaci:

sæ²+ s'y² + A ₃₃ = 0.

Wartości spółczynników sis' tego równania możemy otrzymać wprost z następującego rozważania:

(16)

Jeżeli przez X oznaczymy kierunek jednej osi, a

kierunek drugiej, do niej prostopadłej, natenczas otrzymujemy:

s=a₁₁cos²J + a₂₂sin²/l-b2a₁₂cos/lsin X, s‘=ail sin²ż -r«22cos2^— 2a* ₂cos X sin i,

8 + S' = «H+«₂2,

a stąd :

Na mocy wzoru: tang2ż

sin2ż cos2ż

s—s' = (a₁₁— a₂₂)cos 2ż-|-2a₁₂sin 2X. 2 a₁₂

«11 «22

3 , U

więc przez XĄ-~

otrzymujemy jednak:

2«! ₂

a więc:

sin 2X

“ii - an Via'n + (an - oM)2 2«! 2

V/4a²₁₂ + (au —a₂₂)²

cos 2X—

«11 «22

\/4 «²i2 + («u— «₂₂)²

s+s'^jj -f a₂₂, S—s,=v/4«²₁₂ + (a₁₁—«₂₂)²,

przeto będzie :

a zatem :

(«u + «₂₂) + V/ 4«²₁₂+ («! 2

(«H+«₂₂) —V/4«²i2 + («1 S_ 2

-«₂₂)² •

«₂₂)²

to a

otrzymujemy

przyczem należy mieć to na uwadze, że przyjmując À <C

sin2A dodatnie, że więc znak wyrazu pierwiastkowego: \/4:«²₁₂+ («n — «₂₂)2 musi się zgadzać ze znakiem spółczynnika a₁₂.

Wyznaczywszy w ten sposób wartości spółczynników s i s', które, w przypadku: A^ 0, są różne od zera, otrzymujemy równanie wszelkiej krzywej środkowej, odniesione do jej osi, w postaci:

sæ²+ s‘y²= H,

(19)

gdzie H=—A₃₃=--lub też, w przypadku: D ^ 0, w postaci:

ÉÜ⁺ÉÏÏ‘⁼¹’ CZ*U: -5

_ + jL

2 ^ 12

(19)

w której spółczynniki :

As ’

Js'’

przedstawiają długości półosi danej krzywej drugiego rzędu.

Uwzględniając znaki spółczynników s, s¹ i //, otrzymamy z równania (19) następujące postacie szczególne krzywych środkowych:

%2 2/2

(1)    p + p=l, elipsa o osiach 2« i 26, (fig. 505.).

o osiach 2«i i 2bi.

/^2 2/2

(2)    p + p=—1, elipsa urojona

(W tym przypadku nie ma żadnego punktu rzeczywistego, którego spółrzędne czyniłyby zadość danemu równaniu).

/p2    2/2

(3)    —^ — p=l, hiperbola o osi rzeczywistej 2« i osi urojonej 2bi, (fig. 506.)

(4) -

y²

+ p=l, hiperbola o osi urojonej %ai i osi rzeczywistej 26, (fig. 507.)

jï

Y'

x_

X’

X X'

x jL

Y'

\A

A/

a’

jr'

Fig. 505.

Fig. 506.

Fig. 507.

Fig. 508.

W przypadku a^=b, występuje, jako szczególna odmiana elipsy, elipsa równoosiowa, czyli koło: x²-\-y²=a², a jako szczególna odmiana hiperboli, hiperbola równoboczna o równaniu: x²—y²~ a², skoro jej oś rzeczywista

¹

Obrazy funkcyj jednej zmiennej, odniesionych do układu biegunowego.

wpada w oś x-ow, lub o równaniu y²—x²=a², skoro jej oś rzeczywista wpada w oś y ów.

więc: 77=0, występują, jako szczególne od-

Pod założeniem 0 miany krzywych środkowych rzędu drugiego :

fil yl

(5)    —à +    punkt, jako elipsa o osiach równych zeru.

CL 0

fil yl    fi    /y

(6)    ——— = 0, układ dwu prostych przecinających się: — Ą- = 0.

y    ₉

-^-=0, jako hiperbola o osiach równych zeru, (fig. 508.)

Krzywe środkowe rzędu drugiego mają więc tylko dwa typy: elipsę i hiperbolę i ich szczególne odmiany, do których zaliczamy, w przypadku elips, określonych warunkiem: A^> 0, koło, a jako zdegenerowaną elipsę: punkt, tudzież elipsę urojoną; w przypadku hiperbol, określonych warunkiem: fi<0, hiperbolę równoboczną, a jako zdegenerowaną hiperbolę, układ dwu prostych, przecinających się; hiperboli urojonej nie ma.

b) Krzywe bczśrodkowc: 4=<*₁₁a₂₂ —aa₁₂= 0 i krzywe o nieskończenie wielu środkach: A=Ai =A₂ = 0. Zmianą początku układu nie możemy równania krzywej bezśrodkowej uwolnić od spółczynników przy x i y, natomiast, zapomocą zmiany kierunków osi, możemy się uwolnić od spółczynnika przy xy. W tym celu musimy kierunki i i i' osi x-ów i y-ów, tak obrać, aby było:

Wjcos X,Ą-w.lsin ^ — w^gos X-\-w₂⁴ sin X=0 , skąd otrzymujemy, dla dowolnego i', kierunek sprzężony i, określony wzorem:

tangi= —

«u cos i' + «i2 sin

«₁₂ cos X‘-«₂₂ sin X‘

Van (V/«j

cos

i' + V/«₂₂ sini')

V/a₂₂ (V/oj

cos

X‘-\-\/«₂₂ sin i')

\/ «22

Kierunek X ma więc, w tym razie, wartość:

\Za,22

tang i = —

«11

«12

ai2

a2 2

niezależną wcale od kierunku X¹.

Przyjąwszy kierunek X, stanowiący kierunek główny krzywej bezśrodkowej, jako kierunek osi #-ów, otrzymamy z powodu, że:

^«2 2

V au + a2 2 ’

sini = —

Vau

cos i =

V «H + a₂₂

wartość spółczynnika s przy x² w postaci :

S:=«₁₁cos²i-f-«2₂sin²id-2«₁₂cos i sini^^¹¹⁰²²"^¹¹^^—^anCT22_Q^

a więc sprowadzimy spółczynnik s przy x² do zera ; ogólne równanie krzywej bezśrodkowej, odniesione do układu, w którym oś x-ów ma kierunek główny, a oś y-ó w ma kierunek zupełnie dowolny, przedstawia się więc w postaci :

s‘y²+2qx+2q‘y + a₃₃=0,

«! g V^«22    a22 ^a\

gdzie :

2 = «₁₃cos i-h«₂₃sini =

«u + «22

«13^ «22    «2 3^«1

#=«₁₃cosX + a₂₃ sin X

a spółczynniki s¹ i q‘ są zależne od przyjętego kierunku X' osi y-ów.

Jeżeli nowa oś y-ów ma kierunek prostopadły do nowej osi #-ów, natenczas mamy: X‘ = 90°-\-X, a więc:

s¹ = ax t cos²X‘ -f «₂₂ sin²X‘ + 2flą₂cos X'sm Xy=aii sin²X + «₂₂ cos²X—2ai 2cos X sin X, skąd , ze względu na to , że :

^«22

tang X — —

sini= —

Van

V «u +a₂₂

cos X =

^«22

otrzymujemy :

«²ll+«²22 +²«12^«ll«22 «11+«22 czyli: s'=«₁₁+«₂₂, przjmzem:

s‘ =

«²11+«²22 +²«11 «22

«11 +«22

V/«1 J + «2 2

y/«n + «22

S' = «₁₃ cos X‘Ą- a₂₃ sin A'

_ «1 3 ^«11 + «2 3 ^«2 2

Możemy teraz, przeniesieniem układu X.‘OY‘ równolegle do jego położenia, uwolnić równanie od spółczynników przy y i od wyrazu wolnego.

Zastępując bowiem w równaniu (20) zmienną x przez # + £, zaś y przez y + ?7, otrzymujemy równanie:

s‘y² + 2ąx + 2(syrj + 3")    + 2q%-j- 2q'rj + «₃₃ =0

w którem spółczynnik przy y² i przy x pozostaje niezmieniony, wartość zaś spółczynnika przy y i wyrazu wolnego jest zależną od nowego punktu początkowego (£, rf).

Obrawszy £, r\, tak, aby spółczynnik przy y i wyraz wolny stały się zerami, a więc, aby było :

s'7] + q=0, sy+2gf + 2g'«+ «₃₃ = 0,

co się stanie, skoro będzie :

(21)

<1

s+² + 2g+>+«₃₃

q* — 2qą‘+ «₃₃s'

7

otrzymamy równanie krzywej bezśrodkowej w postaci :

s'y² + 2qx = 0,

2q

2 qs'

(22)

czyli: y²=--2px, gdzie p=——.

s

Typem krzywej bezśrodkowej drugiego rzędu jest więc parabola.

Za pośrednictwem równania (22), zostaje parabola odniesioną do układu prostokątnego, którego punkt początkowy wpada w szczególny jej punkt, zwany wierzchołkiem paraboli, oś x-6w wpada w oś główną paraboli, a oś y-ów staje się styczną w wierzchołku paraboli.

Równania krzywych, o nieskończenie wielu środkach , które leżą zawsze na linii prostej, możemy zawsze uwolnić od spółczynników przy x i y, przyjmując jakikolwiek punkt tej prostej, jako początek układu.

Poczynając uproszczenie równania za pomocą zmiany kierunków osi i szukając kierunku X, sprzężonego z danym kierunkiem X', znajdujemy tu:

tang A = —

adl cos A¹ -f- a^sin/'

an cos a.n sin^'

V'ail iy'ax

₌ _ y_^

V/«22

a więc kierunek stały, niezależny od A¹. Ponieważ, w przypadku:

. cos

A¹ + V/a ₂. sin A‘)

V/a₂₂ (Y/aAi. cos A‘ + V’aL2. sin A¹)

«11 __ «1 2 _ «13 «12    «2 2    «2 3

przeto mamy tu, na wyznaczenie tego stałego kierunku A, wzory:

Y/«!

^«22

Przyjmując ten kierunek, jako kierunek osi Æ-ôw; otrzymamy, obok^)=0, nietylko s—0, jak w przypadku (4=0), lecz także: g=«₁₃cosi + a₂₃sin A=0 ; równanie f—0, przedstawia się więc, po tern przekształceniu, w postaci:

s'*/²+22'2/ + a₃₃= 0

która wskazuje na dwie proste , równoległe do nowej osi æ-ôw, jako obraz krzywej drugiego rzędu o nieskończenie wielu środkach.

Przesuwając teraz układ w kierunku osi y-ów, czyli, zastępując w po-wyższem równaniu y przez yĄ-rp otrzymujemy równanie:

s'y²+2y (s‘r]+q) + (s,ri²+2ąlr]-\-a₃₃)=0,

,    O¹    ,

z którego, kładąc: 77=——, otrzymujemy równanie uproszczone w postaci:

sy + ^33 = 0

^3 s =    + 22'^-f a₃₃    -

â—A₁ =4₂=0, jest:

tang/l =—

«u

«1 2

■r—I    CS

e I e

«i 3

«23

(22)

(22')

(23)

gdzie : czyli w postaci :

q‘²

^7 + «33 =

y²= A², gdzie : A²= ——

Î¹²—«33«'

a₃₃s'

s‘

Zestawiając powyżej przytoczone przypadki, przy uproszczeniu ogólnego równania krzywych drugiego rzędu, czyniącego zadość warunkowi:

4 = 011 «22~ «²i2

dochodzimy do jednego z następujących kształtów:

(1)    y²—%px₁ parabola, (fig. 509.).

(2)    y²=A², dwie proste, równoległe i rzeczywiste, (fig. 510.).

(3)    y²=— A², dwie proste, równoległe urojone sprzężone.

(4)    y²=0, prosta podwójna, (fig. 511.).

Af

JC

i"

i/’

Fig. 510.

Fig. 511.

Fig. 509.

19. Przykłady: 1) Dane równanie: 2æ²4-3;/² —3a;// -\-x—7»/ + 1 — 0, sprowadzić do najprostszej postaci.

Mamy tu: au = 2, a₂₂ = 3, a₁₂= —%, A —«²,₂ =t3/₄, a więc A>0.

Krzywa, równaniem tem określona, jest więc elipsą.

Ażeby wyznaczyć środek tej elipsy, połóżmy :

£/»4*-8y+l=0,    — 0>y—‘àx —7 = 0,

a otrzymamy, jako spółrzędne środka: x — l, y=hl3. Kównanie danej elipsy, odniesione do

środka, jako punktu początkowego, przy niezmienionym kierunku osi, przedstawi się więc w postaci :

2x² + 3y² — 3 xy +J₃₃ = 0,

gdzie :

/.....*.

^33-3 ’ 4" a23    4~ ff33 —

3—35 +G

6, i_

"2    2 • 3 + 1    G

2G

13

g-~“¥

a więc , w postaci :

13

2x² + 3 ij² — 3 xy — = 0.

O

Obróćmy teraz układ osi o kąt X, określony 2^12

all — a22

wówczas wpadną osie układu w osie główne elipsy, a równanie krzywej, odniesione do tego układu, otrzyma postać:

2L

wzorem :

tang 2X =

-3

3 — 3,

Fig. 512.

13

zatem :

sx² + s'y²--g- = 0, gdzie s + s' = 5, s — s' = \/lÔ,

6-V/ÏÔ

5+1/10

j

Tym sposobem sprowadza się dane równanie elipsy do najprostszej postaci:

(5-V/Ï0)*² + (5+V/ÏÔ)r“=§\ czyli: ^ + f+l,

gdzie:

a=\l

26

s=\/-

26

3(5- Y/lO)

przedstawiają połowy obu głównych osi elipsy (fig. 512.). 2) 2x² — 5a5y + by — 1 = 0. Mamy tu :

3(5+ V/l0)

a\ 1 — 2, a₁₂ —

a2 2 —0, «u — 0,    «23 —

równanie przedstawia więc hiperbolę.

Środek hiperboli określają tu równania :

to I 01

25

A = au «22—«²i2 = — + 1 a wi§c A <0,

àf

àf

Ol

gdzie :

— =*=4x — 5y = 0 , — = — 5a;+5 = 0, które dają: Ç=l, ą =    .

Przeniósłszy początek układu do tego środka, otrzymamy równanie przerobione:

2x²    5 xy + A33 = 0,

-^33 ⁼ ^13 ? “f ®23    + #33 ⁼⁼

Kierunek osi głównych hiperboli, określa wzór :

tang 2 X

to 01

2»! 2

«11 — «22

/i

na podstawie którego dostajemy :

s +    = 2, s — s' = — \/29,

2+V/29

zatem :

2-V/29

s'

X(-------

------------------4

X-

Kównanie danej hiperboli, odniesione do jej głów-nych osi, otrzymuje więc kształt :

2— Y/29

X² -j-

2+V/29

czyli :

æ²

^ to

to

Î/2+ 1 = 0,

a²

¹    V V/29+2 ’

przedstawiają połowy głównych osi hiperboli, jednej rzeczywistej, a drugiej urojonej.

Fig. 513.

gdzie :

V Y/29—2’

Asymptoty hiperboli określone są, co do kierunku względem pierwotnego układu, równaniem: 2cos²X— 5cosXsinX=0, które wyznacza dwa kierunki, jeden wzorem: cosX = 0, drugi wzorem: tang A = §, jedna asymptota jest więc równoległa do pierwotnej osi y ów, druga do niej symetrycznie położona względem osi hiperboli (fig. 513.).

3) 4x² — 12xy -f- 9y² — 36# -j- 100 = 0. Mamy tu :

«11 =4, «22 — 9, «12 =— 6) A = an2 —a²₁₂ =0, «13= IB, «23“0.

Krzywa jest więc parabolą.

Obróćmy układ osi o kąt X, określony wzorem:

z którego wypada : sin X

«12    6    2

tangX = - —

V/13 tedy otrzymamy :

cos X =

« X-34°41'25//,

V/f3

s=0, s' = 13, q

54

36

Y/13 ’ q< Y/13'

Równanie paraboli, odniesione do nowego układu XOY, otrzymuje więc kształt:

108

Y/Î3 Y/ÏB y + 100==0.

Aby wyznaczyć wierzchołek A paraboli, połączmy równanie :

./

Fig. 514.

13 y²

72

àf

=- 26 7] +

72

(),

\/Ï8 = 0

z równaniem :

/== 13ï)² —

108

72

Y/13 Y/l3

r) -f 100 = 0,

a otrzymamy :

36

3901

27.13 Y/l3 ‘

Jeżeli teraz początek układu osi przeniesiemy do tego wierzchołka, otrzymamy najprostsze równanie danej paraboli (fig. 514.) w postaci :

13Y/13

108Y/13

13²

108

13czyli: 2/2

Ćwiczenia L.

Wyprowadzić równanie krzywej drugiego rzędu, któraby przechodziła przez pięć

punktów :

1)    P,(l, 0), P,(2, 0), P,(0,2), P,(0, -1), P„(l, -1).

2)    P,( 1, 2), P,(0, 1), PAV.(5 + \/B)), P,(V„ 2), P₅(’/„ Vs(lB-V/7)^

3)    P,(—8, 0), P,(3, >/n\/l82), P₃(4, ->/,Y/S), P.( 1, -%), Pt(6, i/s\/21).

4)    P,(0, 0), P,(2, 2), P,(18, G), P,(32, 8), Ps(72, 12).

Wyznaczyć spółrzędne środków następujących krzywych drugiego rzędu :

5)    A.«² -j- By² -f 2Guy -f- 2Dx Ą-2Ey + F = 0. 6) 2x²-bxy + 5y-l = 0.

7) X2.L y²+xy + 2x+3y-3=0. 8) 3#²-f 7y² + 10#y + 4# + 2y + 1 = 0.

9) 4#² -j- 9y² —12xy — 36#    100 = 0. 10) 2#² -f- y²—2xy — 3# — 2y -f- 7 = 0.

11) x'²— 2xy -f 2x -j- 2y -j- 1 = 0. 12) y²— 2#y — 4# -f- 2y — 2 = 0.

13)    Jaki kształt będzie miało równanie krzywej : Aa;²-]- By²-\- 2Cxy -f- 2Dx-\- 2Ey-\-F=A), jeżeli punkt (a, b), przyjmiemy, jako początek układu , niezmieniając kierunków osi.

14)    Jaki kształt otrzymuje równanie krzywej śi*odkowej 2-go rzędu :

Ax²~\- By² + 2 Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0,

jeżeli środek krzywej przyjmiemy, jako początek układu o niezmienionych kierunkach osi.

Następujące równania odnieść do środka, jako początku układu:

15)    ² —f- a — 4an/ — S0x—16y--20 = 0. 16) xy—ay—1 = 0.

17)    5a?² -j- y² -f- 4xy—5x — 2y — 19 = 0.

18)    Wykazać, że środki cięciw krzywej : anx²any²2a^xy2anx Ą-^a^yĄ-a^—O, równoległych do osi »-ów, leżą na prostej: (q,a;-|-or₁₂ y-j-«13 =0, środki zaś jej cięciw, równoległych do osi y-ó w, lezą na prostej: ai %x -f- a₂₂ y~\~ an = 0.

19)    Wyznaczyć kierunki asymptotyczne krzywej: 3»²— y²4-2»yd-8»-|- pOy -f- 14 = 0. i ohrachować wielkość kąta , między niemi zawartego.

20)    Wyprowadzić warunek, pod jakim kierunki asymptotyczne krzywej:

Ax² + By² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey -f F=* 0,

będą do siebie prostopadłe.

21)    Wyprowadzić równania asymptot krzywej: 4»²—y² + 2»y -f 6* -j- 2y -]- 3 = 0.

22)    Znaleźć kąt y, zawarty między asymptotami hiperboli: ax²— xy -f- c = 0.

O jaki kąt należy obrócić układ prostokątny, aby następujące równania uwolnić od spółczynników przy xy.

23)    9»²— 20y² -f 16 xy - 60 =0.    24) x² + y² — Qxy -f 10 = 0.

Wykreślić następujące krzywe drugiego rzędu:

25) 5»²+l3y² + 16»y-|-4» + 6yd-2 = 0. 26) 3»² + 5y² + 8»y + Qx -f 8y-2 = 0.

27) 4»² + 9y²+12»y + 9»-fl6y + 5 = 0. 28) 4»² + 9y² + 12xy -f 8» + 12y + 5 = 0.

29) 4^² + 9y²+12xy + 4x-l-6y+l=0. 30) 5»² + 13y² + 16»y +- 10® f 16y-f 1 = 0.

31) 5x² + 13y²+ 16»y -f 10* + 16y + 5 = 0. 32) 3»² -f 5y² -f 8xy + 6» -f 8y -f 3 = 0.

33)    4»² + 9y² Ą- 12»y + 8» -(- 12y + 6 = 0.

34)    Dane równanie elipsy: 5 x²y² — 3 xy— 3»-j-2y— 5=0, znaleźć równania jej osi,

Rozwiązania L. 1) x²— y²— 2 xy — 3» -j- 2 =0. 2) 2»² -)- y²— 2 xy -{- x—2 y 1 = 0. 3) x²—36y² -f 8» = 0. 4) y² - 2x = 0. 5) Ç=(CE—BD) (AB - (7²), r, = (CD - AE) (AB - C²). 6) (1, ⁴/S). 7) (-*/„ -*/,). 8) (2%, -³A). 9) (oo, oo). 10) (»/„ %> H) (1, 2). 12) (-1, -2). 13) Ax² + By²+ 2 Cxy + 2 (Aa + Ob + D)x -f 2(Ca + Bb -f E)y + (A a²-\- Bb² + 2(ab -f 2 Da + + 2EF)=0). 14) Ay²+By²-\- Cxy + D/A = 0. 15) 3a;² + 5y² — 4»y — 183⁴/i i = 0. 16) xy = 1. 17) 5»² + y² + 4xy — ⁸>/* = 0. 19) tgy=2, ^T=63°26'5'8“.' 20) A = 5 = 0. 21) 4»-f -j- (1 — \/b )y -f-S-j-Yg \/5 = 0, 4»-|- (1 -j- \/5 )y -j- 3— % \/5 =0. 22) tangy = l/«. 23) tang2X= ⁶/s9, 2£X=14°2G'36". 24) tgX = 3, ^ X = 71°33'54-2". 25) elipsa. 26) hiperbola. 27) parabola. 28) dwie proste równoległe. 29) prosta podwójna. 30) elipsa urojona. 31) punkt.

32) dwie proste przecinające się. 33) dwie proste równoległe urojone. 34) 3x— y — 1 = 0, x = 3y -j- 3 = 0.

Literatura. Briot et Bouquet. Leçons de geometrie analytique Paris 1875. Todhunter. A treatise on plane coordinate geometry, London 1874. M. Zaj aczkowski Geometry a analityczna, Warszawa, 1884.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Uproszczenie równania ogólnego krzywych środkowych drugiego rzędu.

2.    Uproszczenie równania ogólnego krzywych bezśrodkowych drugiego rzędu.

3.    Równania drugiego stopnia przedstawiające pary linij prostych.

46

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Wykład Ltl.

Ogólne własności krzywych drugiego rzędu.

1. Bezpośrednie rozważanie ogólnego równania krzywych drugiego rzędu. Niech będzie dane ogólne równanie krzywej drugiego rzędu, w po-«n^² Ą-a₂₂y²+2ai2xy + 2aiix-\-2a₂ 3y + a₃₃=0.

Rozwiązując to równanie podług y, otrzymujemy:

ttj c^X "f- Cly ₃

staci :

(1)

y² + 2

a stąd :

«2 2

y+

a1lic²4-2al3ir + a₃₃    ^

«2 2

y= -

«1 2 ^ R «2 3

«2 2

— V/(«²i₂— «ii«22)^² + 2 (a₁₂a₂₃ — a₁₃ a₂₂)aî+ («²₂₃

«2 2

«22«3₃)'

«12

Zakładając , że a₂₂ ^ 0 , połóżmy :

__ «2_3_j

— ~=m

«2 2

«22

V/(^²12    «ll«2 2)i2'²R^(«12«2 3    «13«22)«'R(«²23    «22«3₃) "—

a2 2

natenczas wartość rzędnej y przedstawi się w postaci:

y=mx + b ± X.

Wykreśliwszy zatem prostą p, o równaniu: y—mx-\-b, widzimy, że na mocy równania (2), możemy otrzymać różne punkta krzywej (1), powiększając, lub pomniejszając rzędne prostej p, o długość X, odpowiadającą przyjętemu odcinkowi x. Prosta p dzieli zatem cięciwy krzywej, równoległe do osi OY, na dwie równe części, jest więc średnicą krzywej.

Kształt krzywej zależy od wielkości X; ażeby ją wyznaczyć, należy zbadać wartość trójmianu:

T=(a\₂ — ana₂₂)x²+2(ai2a₂₂ —a^a.n)x-\-(a\₃—a₂₂«₃₃).

Spółczynniki tego trójmianu są, jak łatwo zauważyć, minorami elementów wyznacznika :

(2)

«11, «12» «13 «12» «22» «23 «13» «23» «33

czyli elementami wyznacznika dołączonego :

«11» «12» «13 «12» «22» «23

D=

I)‘ =

«13» «2 3? «33

gdzie, między innemi, jest:

«11 ⁼⁼ «2 2 «3 3    «²23î «1 3 ~ «1 2 «2 3    «1 3 «22 » «?, 3 ⁼⁼ «11 «2 2    «122,

Mamy zatem :

T= — ct₃₃x² Ą-2ai3x—ctu Przyjmijmy, że równanie :

x²—2

czyli: T— — a₃₃j#²—2

M

«33'

öl a"

5*₊?U₌0,

U33

ma pierwiastki rzeczywiste :

«1 3 + \/Ct ²₁ , Ogj i ß3 3

a3 3

*2“

«i ₃ V/« ²j3«₁ ! a₃₃

a33

co nastąpi, skoro będzie: a²₁₃ — aiia₃₃'^> 0, wówczas otrzymujemy:

T=—a₃₃(x—a)(x—ß), czyli T=—A(x—a) (x—/?), jeżeli, jak w wykładzie L. położymy: a₁₁a₂2—«²i₂—zatem:

y=mxJrb +

— \/— A(x —a) (x—ß).

«2 2

(3)

Jeżeli A = a,₃ )>0, wówczas będzie, dla wartości na x: zawartych między a i ß iloczyn (x—a)(x—ß) ujemny, a więc pierwiastnik :

V — A (x — a) [x — ß)

rzeczywisty. Krzywa ma zatem punkta rzeczywiste , zawarte tylko w granicach od x — a, do x — /?, a w tych granicach są też rzędne y skończone, krzywa jest więc zamkniętą, rozciągającą się w granicach skończonych (fig. 515.) i nazywa się elipsą; jej cechą jest więc: J --=a ₃₃ )> 0, a²₁₃—    ₃Ü>0.

Jeżeli pierwiastki a i ß są urojone sprzężone:

a=m-\-n\/—i, ß=m—wy/—1 co nastąpi, skoro: a²₁₃-    <0, wówczas iloczyn:

(x—a) (x—/?)=(#--w)² + w², jest dla wszelkich rzeczywistych wartości x dodatni , a zatem pierwiastek: V—A(x— a) (x— ß) urojony. Krzywa nie posiada wcale punktów rzeczywistych i nazywa się elipsą urojoną, jej cechą jest

^⁼⁼«33^'>0,    «11 «33 <°-

Jeżeli A—a₃₃ <0, a przytem pierwiastki a i ß równania:

«33

«33

są rzeczywiste, wówczas jest: —J>»0, a iloczyn (x—a)(x—ß), jest w granicach od x=a do x=ß ujemny, zatem pierwiastek: \/—A(x- a) (x—ß) urojony, krzywa nie ma punktów rzeczywistych w granicach od x=a, do x=ß.

'f

i,

B"

Fig. 515.

Fig. 516.

Fig. 518.

Fig. 517.

Punkta rzeczywiste występują tu tylko w przypadku: a<iß, w granicach od x——go do x=a i od x=ß do x= -f- co ; krzywa składa się z dwu gałęzi, rozciągających się w nieskończoność, fig. 516.

Jeżeli, wobec 4«<0, pierwiastki a i ß równania:

a;2_2^3 x _p -“11=0,

«33    «33

są urojone sprzężone: ct=m-\-n\/~I, ß—m—n\/—I, natenczas wyraz:

—4(^—a) (x—ß)=— 4[(æ—w)² + w²],

jest dla wszelkich rzeczywistych Æ zawsze dodatni, zatem pierwiastek: \/—A(x—a) (x—ß) , stale rzeczywisty, krzywa rozciąga się po obu stronach średnicy, w nieskończoność, (fig. 517.).

Jeżeli więc A < 0, krzywa składa się z dwu gałęzi, rozciągających się w nieskończoność i nazywa się hiperbolą, (fig. 516. i fig. 517.). Hiperboli urojonej nie ma.

Jeżeli 4 = 0, wtedy mamy:

X=

— y/2«i ?x—

«2 2

«u

zatem :

«1 2^ ~ł~ «23

+    Y/2a,, (x— a), gdzie: a = ~

«22    ~ «22    ²«J3

Jeżeli «jo^O, natenczas rzędne y są dla x^> a rzeczywiste, dla æ <C a

y=—

«11

urojone.

Krzywa rozciąga się więc po jednej stronie prostej x=ct₁ równoległej do osi y-ów, składa się więc z jednej gałęzi niezamkniętej i nazywa się parabolą, (fig. 518.).

Jeżeli wreszcie, obok 4=a₃₃=0, jest także: a₁₃ = a₁₂a₂₃— a₁₃a₂₂=0, na-j—\/—«u , gdzie: an =«₂2«33~ «²23? zatem: x-°mą

tenczas mamy : X =

«2 2

«22

«2 2

«2 2

Krzywa sprowadza się zatem do dwu prostych, równoległych rzeczywistych, lub urojonych.

Bezpośrednie rozważanie ogólnego równania drugiego stopnia prowadzi więc także tylko do trzech rodzajów krzywych rzędu drugiego , któremi są albo 1) elipsy, skoro wyróżnik: «n«₂₂ — «²i₂    0, albo 2) hiperbole, skoro

«ii«22~ «²12 <0, albo parabole, skoro: ax1ia₂₂—a²₁₂=0.

2. Krzywe rzędu drugiego, jako przekroje stożkowe.

Wszystkie trzy rodzaje krzywych rzędu drugiego występują, jako przekroje płaskie stożka kołowego.

Mech będzie bowiem SO osią , a punkt S wierzchołkiem stożka kołowego, powstałego przez obrót prostej SA około tejże osi SO.

tn

-'Ö

Fig. 519.

Mając daną jakąkolwiek płaszczyznę sieczną E, możemy zawsze przeprowadzić przez oś SO płaszczyznę P prostopadłą do płaszczyzny E ; płaszczyzna ta przetnie stożek podług dwu tworzących, a płaszczyznę sieczną E podług prostej, przecinającej obie te tworzące. Niech będą SA i SB temi tworzącemi, a prosta CD niech będzie śladem płaszczyzny i?, prostopadłej do płaszczyzny ASB, a przecinającej powierzchnię stożka podług pewnej linii krzywej.

Fig. 521.

Fig. 520.

Chcąc wyznaczyć równanie tejże linii krzywej, przyjmijmy na płaszczyźnie E prostą CD, jako oś z-ów, a prostopadłą do CD w punkcie C, jako oś y-ów. Niech będzie P dowolnym punktem przekroju, przedstawionego na fig. 519. Spółrzędne punktu P przedstawiają odcinki: CP\ = x, PiP=y.

Płaszczyzna, przeprowadzona przez punkt P prostopadle do osi SO, przecina powierzchnię stożka podług koła EPF, jest zatem :

P\P² = PiE.PiF.

Oznaczmy kąt ASO przez a , natenczas z trójkąta P‘CE, otrzymamy relacyą :

sin P, CE sin SEPi

PiE=CPi.

sin ß X cos a '

O)

Celem wyznaczenia odcinka P\F, poprowadźmy prostą P^G równolegle do tworzącej SB, i prostą CH prostopadle do osi SO, natenczas otrzymujemy:

P,F = GH= CH— CG.

Kładąc SC = d, dostajemy CH = 2d sin a, natomiast na . wyznaczenie odcinka CG otrzymujemy z trójkąta CGPX relacyę:

sin CPX G sin CGP^

CG « CPX.

jest zatem :

Px F = 2d sin a —

sin CDS _    sin (ß -j- 2a)

X sin CHI) ~X

sin(ß-j-2a) cos a

cos a

(o)

Podstawiając wartości, pod (6) i (c) otrzymane, w relacyą (a), otrzymujemy równanie: 2d sin a sin ß    sin ß . sin (ß -f- 2a)

COS a ’    cos²a

■x\

czyli :

sin ß . sin (ß-j- 2 a) .cc² -f- cos² a .y² — 2 dx sin a cos a sin ß = 0.

Otrzymane równanie jest ze względu na spółrzędne x i y stopnia drugiego, przedstawia zatem pewną krzywą drugiego rzędu.

W szczególności porównując to równanie z ogólnem równaniem krzywych drugiego an =sin ß.sin(ß -|-2a), a₂₂=cos²a, a₁₂=0,

A = au a.n—a²,₂ =sin ßsin(ß -f- 2a)cos²a.

rzędu , mamy :

wobec tego wyróżnik : Będzie zatem :

I.Ą.

ST

/-.....!

//

\ JT

•<

V.

"X

ML ja

|/

:.K

B]

Fig. 522.

Rodzaj pi’zekroju stożka kołowego płaszczyzną E, zależy zatem od sumy kątów ß + 2a, t. j. od sumy dwu kątów: y( DSC i y( SCDw ti*ójkącie SCD.

W przypadku ß -J- 2a 180° punkty G i D leżą na tworzących SA i SD po jednej stronie wierzchołka S, płaszczyzna E przecina w tym razie wszystkie tworzące stożka i to po jednej stronie wierzchołka, w przypadku ß-j-2a^>180° punkta G, D leżą na tworzących SA i SB po przeciwnych stronach wierzchołka S, płaszczyzna E przecina tedy tworzące stożka częściowo po jednej, a częściowo po drugiej stronie wierzchołka S i jest równoległą do dwu tworzących stożka ; w przypadku ; ß 2« = 180° , wpada punkt D w punkt nieskończenie daleki tworzącej SB, płaszczyzna E przecina więc wszystkie tworzące stożka po jednej stronie wierzchołka, a jest przytem do jednej tworzącej stożka równoległą. A zatem:

Przekrój stożka kołowego płaszczyzną jest elipsą, hiperbolą, lub parabolą, stosownie do tego, czy płaszczyzna przecina wszystkie tworzące stożka, czy tez jest do dwóch tworzących stożka równoległą , czy tez jest do jednej tylko tworzącej stożka równoległą.

Krzywe rzędu drugiego , występując, jako przekroje płaskie stożka kołowego, zowią się też powszechnie krzywemi stożkowemi.

3. Linia prosta i krzywa rzędu drugiego. Przyjmijmy na płaszczyźnie XOY krzywej rzędu drugiego, danej równaniem ogólnem drugiego stopnia, między zmiennemi x, y, w postaci:

(4)

alla'² + a₂₂y²4-2al2^y + 2a₁3^ + 2a₂₃y-j-a₃3=0, pewien punkt wyjścia (£, rj) i wyprowadźmy z niego promień w dowolnym kierunku, nachylonym do osi x-ów pod kątem A, natenczas natrafimy w kierunku tego promienia na punkt (x, y), danej linii krzywej, w oddaleniu r od punktu wyjścia, określony spółrzędnemi :

x==^+r cos A, y — g-\-r sin A,

gdzie, na wyznaczenie oddalenia r, wobec tego, że spółrzędne x, y muszą czynić zadość równaniu (4), otrzymujemy następujące równanie warunkowe :

aii(£ + rcos ^)² + "22(^ + r sin/ł)²+2a₁₂(£4- r cos A) (y A-r sin A)-\-+ 2aI3(f -f r cos A)-\-2a2Z(rj-\- rsin A) Ą-a₃₃ =0, które, uporządkowane według potęg niewiadomej r, przedstawia się w postaci :

(5)

sr²-f- 2trĄ-f = 0,

gdzie :

s=a₁₁cos²/l + a₂₂sin²i-|-2a₁₂cos A sin A , t= «j i£ cos A-\-a₂₂g sinA-\-ai2% sin A\-angcos i + a₁₃cos id-a₂₃sin A /=«h^² + «22^² + 2a₁₂^ + 2a₁₃£ + 2a₂₃^4-a₃₃.

Równanie (5) jest ze względu na r stopnia drugiego, daje więc, w ogólności, dwie wartości na r, jako to:

—t-\- V t²—f. s

rt

(6)

r2 =

co dowodzi, że, wychodząc z jakiegokolwiek punktu (£, g), w dowolnie obranym kierunku (A), spotykamy zawsze giego. Punkta te są rzeczywiste i różne od siebie, skoro punkt wyjścia (i, g) i kierunek A tak. są dobrane wpadające, skoro: t²=f. s, a

A zatem: Wszelka prosta przecina krzywą rzędu drugiego iv dwóch, i tylko dwóch punktach rzeczywistych i różnych, albo rzeczywistych, w jeden wpadających, albo urojonych, jednakże sprzężonych.

Ta własność wszelkich krzywych rzędu drugiego służyć też może za geometryczne określenie krzywy cli rzędu drugiego.

dwa punkta krzywej rzędu dru-

że t²j>f.s, rzeczywiste, i w siebie urojone i sprzężone, skoro: t²<jf-S.

Stosownie do rodzaju punktów, jakie dana prosta ma wspólne z krzywą rzędu drugiego, nazywamy ją sieczną, jeżeli oba punkta są rzeczywiste i różne, styczną, jeżeli oba punkta są rzeczywiste i w siebie wpadające, mijającą, jeżeli oba punkta są urojone. Odcinek prostej, zawarty między dwoma punktami z krzywą wspólnemi, nazywamy cięciwą krzywej, długość cięciwy podaje na mocy (6) wzór:

d—ri —r₂ =

2 Vt²-f.s

4. Szczegółowe badanie spółczynników 8, t, /, równania (5), prowadzi do poznania ogólnych własności wszelkich krzywych drugiego rzędu , o ile one dotyczą ich związku z liniami prostemi.

W szczególności zauważymy, że pośród trzech spółczynników s, t, f\ równania (5), spółczynnik s zależy tylko od kierunku linii prostej, a nie od jej położenia, spółczynnik t zależy od punktu wyjścia (£, if) i od kierunku A, a spółczynnik / zależy tylko od punktu wyjścia (£, rj), a nie od kierunku prostej.

Przejdźmy po kolei przypadki, w których te spółczynniki stają się zerami, zaczynając od spółczynnika t=0, w którym równanie (5) dostarcza dwu pierwiastków bezwzględnie równych, ale znaku przeciwnego.

5. Przypadek £=0. Przyjmijmy, że w równaniu (5) spółczynnik ź=0, podczas gdy spółczynniki s i f są, różne od zera.

W tym razie otrzymujemy z (5) równanie :

sr²+/‘=0, a stąd: r= ±

czyli na r otrzymujemy dwie wartości równe, ale znaku przeciwnego.

a) Cięciwy krzywych drugiego rzędu. Warunek t=0, przedstawia się dla pewnego stałego punktu wyjścia (£, rj), w postaci:

(7)

(«i i i+₂ V + a\ s ) cos X + (at 2£ + a₂ ₂rj + ai ₃ ) s:in X=<0

z którego otrzymujemy:

tang X = —

aw £ + %2    Oj ₃

«12^ + a22^⁴-«23 ’

(7')

czyli :

tang À

jeżeli położymy :

/'=« 11 S²+«22^² + ²«12 ^ + 2«i3 ë + 2«₂₃>/ + «33-

a zatem :

1 df

2 d|

= aiii+ai2ij-)-ai3, ~ -=anÇ+a₂₂r)+a₂₃.

położonych po przeciwnych stronach tego punktu.

Między wszystkiemi możliwemi liniami prostemi, przechodzącemu przez pewien stały punkt wyjścia (£, ^), istnieje jedna prosta taka, która przecina daną krzywą drugiego rzędu w dwu punktach, równooddalonych od punktu wyjścia

Innemi słowy : Wszelki punkt płaszczyzny jest środkiem jednej cięciwy danej krzywej drugiego rzędu.

Równanie tej cięciwy otrzymujemy, na mocy wzorów (7), lub (7') w postaci :

àf

df

(auÇ-\-ai2rj+an)(x—Ç) + (ai2Ç+a₂₂rj+a₂₃)(y—rj)=0.

Kierunek tej cięciwy zależy, przy danej krzywej drugiego rzędu, od przyjętego punktu wyjścia (£,17), i jest ściśle i jednoznacznie określony, skoro dla

tego punktu pochodne cząstkowe : ^ i ^ nie są równocześnie zerami, a jest

czyli :

(7")

drj

zupełnie nieoznaczony pod warunkiem, że :

= 0 i -=0.

dg

Warunki te przedstawiają się, jako dwa równania pierwszego stopnia ze względu na | i r\ w postaci :

+    +    7    «22^ + a23⁼⁰>

określające spółrzędne 77, takiego punktu płaszczyzny X0Y, który jest środkiem wszystkich cięciw danej krzywej, przez niego przechodzących, który też nazywamy środkiem danej krzywej drugiego rzędu. Spółrzędne środka, określone wzorami:

(8)

_^12^23 al3q22

^11^2 2 ^²12

są skończone, gdy: aiia₂₂ — a²₁₂ ^ 0 ; są one obie nieskończone, gdy:

^11^22    tt2i2~0>

wreszcie są one obie nieoznaczone, skoro, obok warunku: axxa₂₂—a²₁₂ = 0, spełniają się także warunki: alxa₂₂—a₁₃a₂₂=0, aX2aX2 — a₂₃an=0, a stąd pochodzi znany podział krzywych rzędu drugiego na trzy rodzaje: 1) krzywe ze środkiem, 2) krzywe bez środka, 3) dwie proste równoległe.

b) Średnice krzywych drugiego rzędu. Warunek £ = 0, przedstawia się dla pewnego stałego kierunku i, w postaci:

(a^cosi + a^¹^¹¹ %) £-f(a₁₂cosi-f a₂₂sin i) t7+(a₁₃cos i + a₂₃sin i)=0,

__ ai2ff13 a'23ffl1 a'iia22 ft212

(80

(9)

a więc, w postaci równania pierwszego stopnia, ze względu na spółrzędne (£, rf) punktu wyjścia, kształtu:

wx^-\-w₂g-{-w₂=0

(90

gdzie: wi = ax i cos A-\-ax 2sin A, w₂=ai2cos AĄ- a₂₂ sin A, w₂ =a₁₃cos A-\- a₂₃sin A.

Przyj ą wszy więc pewien stały kierunek A, otrzymamy na każdej prostej, wykreślonej w tym kierunku jeden punkt, który będzie środkiem dotyczącej cięciwy danej krzywej. Spółrzędne wszystkich tych środków czynią zadość równaniu pierwszego stopnia, kształtu (9), cięciw w każdej krzywej drugiego rzędu leżą zawsze na linii prostej.

Ta linia prosta przechodzi widocznie przez środek krzywej i nazywa się z tego jmwodu średnicą krzywej rzędu drugiego.

Każdemu kierunkowi A odpowiada więc, jako miejsce geometryczne środków równoległych cięciw, pewna średnica o równaniu:

(a^cos A-\-a₁₂ sin A) x+(a₁₂cos^+a₂₂ sin A) y -f(a₁₃ cos i + a₂₃ sini)=0,

wix-{-w₂yĄ-w₃ =0.

Średnica ta leży w nieskończoności jest równocześnie:

zatem : tirodki równoległych

czyli :

skoro dla przyjętego kierunku A

ancos Z + a ₁₂sin^=0 , a₁₂cosi + «₂2s^n tang Z=—

co może mieć miejsce tylko w przypadku: aiia₂₂—a'i2—0, t. j. gdy dana krzywa jest parabolą, a ten wyjątkowy kierunek Z, określony

tang Z= —

jest kierunkiem głównym paraboli.

Średnica jest wreszcie nieoznaczoną, skoro, dla przyjętego kierunku Z, jest równocześnie:

a₁₁cosż + a₁₂sin/l=0, a₁₂cos ż-|-a₂₂sin Z=0, a₁₃cos ż + a₂₃sin ż=0, tang Z— —

czyli, skoro :

«11

«12

«12

«11

«12

«2 2

«1 2

«2 2

wzorem :

czyli skoro :

«1 1

«12

«12

«2 2

«2 3

«1 3

co może mieć miejsce tylko w przypadku :—1 =—

J    ^    «12    «22    «23

równanie przedstawia dwie proste równoległe , a ten wyjątkowy kierunek,

jest kierunkiem tychże

t. j. gdy dane

określony wzorem: tangż=-—

«1 2

«1 3

«12

«22

«2 3

linij prostych.

6. Średnice sprzężone. Z równania średnicy: w^xĄ-iv₂y-{-w₃ =0, odpowiadającej pewnemu kierunkowi Z,' otrzymamy jej kierunek Z', na mocy

tang i' = — —

a₁, cos ZĄ- 4 ₂sin/l

wzoru :

iv₂

a₁₂cos Z + a₂₂sin Z

czyli :

(10)

wi cos Z‘ -f w₂ sin Z¹ = 0.

Każdemu przyjętemu kierunkowi Z odpowiada więc w ogólności jeden kierunek Z' odpowiedniej średnicy.

Oba kierunki Z i Z¹ są związane równaniem (10), któremu możemy nadać kształt :

(a^cos i + «₁₂sin Z) cos ZlĄ-(ai2cos ż + a₂₂sinż) sin Z‘—0,

(a^ cos ż'-fa₁₂sin Z¹) cos ż + (a₁₂cos Z¹ -f «₂₂sin Z') sin Z=0, wicosZ/-\-w₂sinZ'=0, albo: wi^cos Z -f fc0'₂sin ^=0, zastępują się więc w ten sposób, że skoro Z oznacza kierunek cięciw, to Z1 określi kierunek dotyczącej średnicy i nawzajem, nazywamy je dlatego kierunkami sprzężonemi, a średnice im odpowiadające średnicami sprzężonemi.

Krzywe rzędu drugiego mają więc średnice, parami sprzężone, o tej własności, że jedna z nich dzieli wszystkie cięciwy równoległe do drugiej na dwie równe części.

Równania dwóch średnic sprzężonych, przedstawiają się w postaci: wgx-\- w₂y + w₃ =0, w\x-\-w‘₂y + iv₃‘ = 0,

WjCos Z¹ -\-w₂sini'=0, w/., cos ż + w'₂sin Z =0,

albo :

a więc :

przyczem :

czyli :

tangż'=—■

—, a zarazem: tangż' = w₂ ’    ⁰

wi

w\

(U)

(12)

Kąt: w=Z‘ — Z, zawarty między dwiema średnicami sprzężonemi, określa się wzorem :

tangw=

tg Z*—tg Z

wi cos Z-\- io₂ sin Z

1 + tgż tg i'

w₉cos Z — w* sini

z którego widzimy, że dwie średnice sprzężone będą do siebie prostopadłe, skoro kierunek jednej średnicy będzie tak dobrany, że będzie :

w₂cos A = wisin i,

skąd otrzymujemy, jak w art. 15. str. 718. wzór:

tang2i

(13)

2g12

$11 $22

a więc jedną parę średnic sprzężonych, do siebie prostopadłych, w kierunku:

zwanych osiami krzywej drugiego rzędu,

7. Inwolucye średnic sprzężony cli. Równania średnic sprzężonych, możemy, na mocy wzoru (11), przedstawić także w następującej postaci:

(anæ + «12 2/ + «1₃)C0S ^ -ł- («12^ + a22 V + #23) sin X= 0,

(anx -(-    ₂ y + a₁₃) cos X' -\- (a, ₂x -f a₂₂ y -f a₂₃) sin X'= 0,

czyli :

«u æ + «12y 4- «13 4-«(«12* 4- «22 y + «23) = o ,

gdzie :

$11*+ «îs'y + «13 4" »»'(«12® + «22 2/ + «23) = 0, m = tang X , ot' — tang X',

przyczem między wartościami m i zachodzi relacya :

(14)

z której wypływa : m‘

(«i 1 + «12 m) + («12 + «22 m) m‘ = 0, au + «i2 m «12 4“ «22 m'

Powyższą relacyę możemy także napisać w postaci takiej :

(15)

«11 + «1 2 (m 4" m0 + «22 mm‘ — 0?

która jest widocznie symetryczną , ze względu na czynniki kierunkowe m i w'.

Przyjmując dowolnie czynnik kierunkowy m otrzymamy z (15) odpowiedni czynnik kierunkowy m‘ ; w ten sposób dostajemy nieskończenie wiele par średnic sprzężonych:

(ot, ot'),    (ot,, ot',),    (ot₂, w'₂),...

Wszystkie te pary są, na mocy wzoru (15), harmonicznie sprzężone z jedną parą: Pi, [t₂. Skoro bowiem daną jest para promieni, p,, p.₂, to wszelkie pary promieni w, ot', tworzące z jr, [jl₂ układ harmoniczny, (por. art. 18. str. 119.), czynią zadość relacyi :

Ri [J-2 + mm< — i (Fi 4* 92) (m + rn‘)= 0.

ot,,

Połóżmy jj., a₂

— K[Ji + F2) — —^ j natenczas mamy relacyę :

0*22 °*22

«11 + «12 (m 4 m‘) 4* 0*22 mm‘ — 0)

jaką pary średnic sprzężonych są, na mocy (15), rzeczywiście związane.

A zatem : Średnice sprzężone wszelkiej krzywej drugiego rzędu tworzą inwolucyę.

Promienie podwójne inwolucyi (m — m‘ = \j.) , określa wzór :

z którego otrzymujemy:

0*11 4" 2«!2 F 4- 0*22 P-² = 0 ,

- 1/-A

— 0*12

P-2

Fi

— oą₂ -j- \/— A

0*22

0*22

Wzory te są zgodne z wzorami (10') str. 710. i wskazują na kierunki asjunptot.

A zatem : Asymptoty krzywej drugiego rzędu są zarazem promieniami podwójnemi inwolucyi jej średnic sprzężonych.

W elipsie: A>0, asymptoty są urojone, (inwolucya eliptyczna). W hiperboli: A <^0, asymptoty są rzeczywiste, (inwolucya hiperboliczna). W paraboli: A=0, mamy jedną asymptote , (inwolucya paraboliczna). Por. art. 16. str. 118.

8. Asymptoty krzywych drugiego rzędu. Przypadek s=0. W tym razie równanie: sr²4-2ćr4-/‘=0, sprowadza się ze względu na r do równania pierwszego stopnia: 2tr+/‘=0 , które uważane, jako równanie drugiego stopnia ma

jeden pierwiastek: r₁== go, drugi: r₂ =—

2?

Warunek s=0, zależy tylko od

obranego kierunku i, a nie od punktu wyjścia (f, rj), i wskazuje na dwa takie kierunki, określone przez :

4■ V/— A

$1 2    — ($11 $22 a"12)

(16)

«12

$22

$22

Z każdego punktu na płaszczyźnie wychodzą więc dwa promienie, z których każdy ma z krzywą drugiego rzędu wspólny jeden punkt w skoń-czoności, a jeden w nieskończoności Te pary promieni są w każdym punkcie płaszczyzny do siebie równoległe, a to : a) rzeczywiste i różne między sobą, skoro : A <;0, rzeczywiste i w jeden wpadające , skoro: A = 0, zaś urojone sprzężone, skoro: 4j>0.

Obrawszy tak kierunek promienia A, aby było: s—-0, możemy jeszcze punkt wyjścia tak obrać, aby było także: ć=0, co się stanie, skoro niezależnie od A będzie :

(auÇ-\-ai2y-j-a₁₃) cos A +(a₁₂^+a₂₂?/ + a₂₃) sin A= 0

a więc skoro będzie :

«i i £ + a\ 2 V + a\ 3 = 0, a\ 2 £ + a₂ ₂1] + «2 ₃ = 0.

Ten szczególny punkt (£, rj) jest środkiem krzywej drugiego rzędu.

W tym przypadku przedstawia się równanie: sr¹ -)- 2ts +/=0, w postaci : ().r² + 0.r+/‘=0, dostarcza więc ono na r dwie wartości nieskończenie wielkie.

Proste, wychodzące ze środka krzywej rzędu drugiego, w kierunkach określonych równaniem: s = 0, mają więc z krzywą wspólne dwa punkta nieskończenie dalekie, czyli są styczne w nieskończenie dalekim punkcie danej krzywej ; proste te nazywamy asymptotami krzywej rzędu drugiego.

A zatem : Wszelka krzywa drugiego rzędu posiada divic asymptoty przechodzące przez jej środek. Są one rzeczywiste w przypadku: 4<C 0, urojone iv przypadku : A 0, a wpadają w jedną rzeczywistą nieskończenie daleką w przypadku :

4 = 0.

9. Szczególne położenia asymptot. Krzywa środkowa o dwu asymptotach urojonych, określona warunkiem: A>0, ma wszystkie swe punkta w skończonem oddaleniu od swego środka , składa się więc z owalu zamkniętego ; nazywamy ją elipsą.

Krzywa środkowa o dwu asymptotach rzeczywistych , określona warunkiem : A 0, ma w dwu kierunkach, ze środka wychodzących, po dwa punkta nieskończenie dalekie, w każdym innym kierunku po dwa punkta równo oddalone od środka , składa się więc z dwu gałęzi nieskończonych , które obejmujemy nazwą hiperboli.

Krzywa bezśrodkowa o jednej asymptocie rzeczywistej w nieskończoności, składa się więc z jednej gałęzi nieskończonej, którą nazywamy parabolą.

Jako szczególny przypadek elipsy, występuje koło ; równanie jego spełnia, obok warunku : «h«22~ «²i2 > 0 i jeszcze warunki: «u—«22? a₁₂ = 0, asymptoty urojone koła mają kierunek , określony wzorem :

tang X = + i

niezależny od położenia koła.

Asymptoty wszelkich kół są więc prostemi urojonemi, do siebie równoległemi. A zatem : Wszystkie koła położone na płaszczyźnie przechodzą przez te same dwa punkta urojone sprzężone, położone w nieskończoności. Te punkta nazywają się punktami kołowemi urojonemi.

Kąt nachylenia y, zawarty między dwiema asymptotami danej krzywej, których kierunki >.j, X₂, wyznaczają wzory:

tang Xj =

— «1 2 + A

«22

, tang X₂ =

— «1 2 - A

«22

określony jest wzorem :

tang y

tg>u—% +

2\/ — A

I-ptgXjtgX₂

«11+«22 ’

z którego wypływa, że w przypadku: A<0, ail== — a₂₂, staje się: tgy=oo, a więc: y = 90®. Ta szczególna krzywa o asymptotach rzeczywistych, do siebie prostopadłych, znana jest pod nazwą hiperboli równobocznej.

10. Styczne do krzywej drugiego rzędu. Przypadek /=0. Ze względu na to , że :

/=%i^² + «22î/² + 2ai2^ + ²«i3^ + 2aâ3^ + a₃3,

poznamy, że warunkowi: /‘=0, stanie się zadość, skoro punkt wyjścia (£,17) leży na krzywej rzędu drugiego.

W tym razie otrzymujemy równanie (5) w postaci:

sr²-{-2lr=0, czyli: r{srĄ-2ć)=0,

skąd dostajemy dwie wartości, jedną: = 0, drugą: r₂ = —

Prosta, wychodząca z pewnego punktu krzywej drugiego rzędu, przecina więc krzywą jeszcze w drugim punkcie rzeczywistym. Punkt ten zejdzie się z punktem wyjścia: (£, 77), skoro będzie jeszcze t=0, co przy danym punkcie wyjścia zależy od kierunku X. Mianowicie otrzymujemy na wyznaczenie tego kierunku z równania :

t-= (Oj ! £+ flą + «13) cos X + («! ₂£ + «2 2*7 -f- a₂₃) sin ż = 0,

d/‘

wzór :

tang i

«12^+a22^ + «22

(17)

drj

który dowodzi, że w każdym punkcie krzywej, da się poprowadzić jedna prosta, która krzywą w tym punkcie dwa razy przecina. Innemi słowy:

W każdym punkcie krzywej drugiego rzędu da się wykreślić jedna styczna do krzywej.

Równanie stycznej, wykreślonej w punkcie (£, rf) danej krzywej drugiego rzędu, otrzymuje, na mocy wzoru (17) kształt:

df

ài

(y—17) = —T7.0»—!), czyli:

df

5^ ! ^

fJYr‘

df

drj

drj

przyczem spółrzędne (£, »7) czynią zadość równaniu warunkowemu :

/'=«ll£² + «22?7² + 2ai2^+2ai3£ + 2a₂3^ + «23⁼=0    ,

czyli :

(«H^ + «i2’7 + «13)^+(«12^+a22ł?-l- «23)^R«13f + 0!23ł? + a33⁼⁰-

Równanie (17) otrzymuje wobec tego kształt :

(17¹)

(«ll^ + «12^ + «13)^+K₂^+a22',/+0,23)2/ + (ai3^-i-⁰23ł?+a33) = 0-11. Punkta szczególne krzywych drugiego rzędu. Jeżeli dla punktu (?, rj) krzywej drugiego rzędu będzie: ~=auÇ -j- a₁₂*) -f- a₁₃ =0, natenczas styczna w tym punkcie będzie

àf

àn

równoległą do osi y-ów, jeżeli zaś : ~■ = a₁₂ Ç -j- an r] -f- «?3 = 0 , natenczas styczna będzie

równoległą do osi y-ów. Punkta krzywej, w ten sposób wyznaczone, będą punktami naj-wyższemi, względnie najniższemi względem osi a;-ów, względnie osi y-ów,

Styczna w punkcie (?, rj) krzywej będzie niewyznaczoną , skoro spółrzędne tego punktu

sprowadzają równocześnie

U-o.

:    i — do zera, t. zn. skoro, obok / = 0, będzie także:

d Ç 07]

.àf

«rrt

-o,

Or]

W tym przypadku mamy, na wyznaczenie tego szczególnego punktu , układ trzech

równań :

który może się utrzymać tylko wówczas, skoro wyznacznik, utworzony ze spółczynników będzie zerem, t. z. skoro będzie :

«11 ) «12) «13

«i2> ani «23

«13) «23) «33

a więc skoro między spółczynnikami    równania krzywej    drugiego    rzędu zachodzi związek:

«11 «2 2 «3 3 + 2«! 2    3    fif₂ 3 — ÖJ t a ²₂ 3 — «2 2 a ²!    3 — a₃ 3 a ²J 2    = 0.

Ponieważ, pod tern założeniem, dla takiego szczególnego punktu, jest wobec: — = 0, ^“—0, także: t — 0, przeto równanie: sr² + 2tr-\-f— 0, sprowadza się w tym

f=o,

razie do postaci :

s r² = 0.

Równanie to daje: r₁=0, r₂ = 0, skoro: s ^ 0, a przedstawia r dowolne , skoro także s — 0. Każda prosta, z takiego punktu (£, rj) wychodząca , ma więc w tym punkcie z krzywą drugiego rzędu dwa punkta wspólne, skoro: s—0, t. j. skoro kierunek X będzie tak dobrany, aby było :

czyli :

skąd otrzymujemy:

s = Oj jcos³ X a₂₂ sin² X -}- 2«₁₂cosX sin X = 0,

2«i 2

tang² X -j-

«22

tg% ₊ -ÎU_o,

«22

tang X

— «12 ± y/—(«11 «22—«²i2)_«i2 ± \/—A

«22

«22

czyli dwa kierunki rzeczywiste, skoro A —0, a dwa kierunki urojone, skoro: A>0.

Równanie drugiego stopnia przedstawia w tym razie układ dwu prostych, rzeczywistych, gdy Aj> 0, podwójnych, gdy A = 0, a urojonych sprzężonych, gdy A 0.

Punkt przecięcia się tych dwu prostych, uważanych za zdegenerowaną krzywą drugiego rzędu, występuje tu jako punkt podwójny, którego zresztą właściwe krzywe rzędu drugiego wcale nie mają.

12. Przypadek t²—sf=0. Para stycznych. Przyjmijmy, że w równaniu: sr² -f 2tr-\-f=0, wyznaczającem punkta, w których prosta , z pewnego punktu (i} y) w danym kierunku X wyprowadzona, przecina daną krzywę drugiego rzędu, między spółczynnikami s, ź, f\ zachodzi związek kształtu: t²—sf— 0, wówczas prosta, wyprowadzona z punktu (£, rj) przecina krzywą /=0wdwu siebie spadających punktach , jest więc styczną do krzywej f= 0. Warunek t² — sf= 0, możemy przedstawić w postaci równania:

[(aii£+«12^ + 013) cos ^ +    +«22ł/ + a23)sin ^]²=

= («j i cos ²X 4- a₂ 2 sin 2 ^ + 2«! ₂ cos i sin X) f.

Z równania tego, które jest stopnia drugiego ze względu na sini i cos i, wynika, że z każdego punktu (£, ?/) dadzą się wyprowadzić dwie takie proste, z których każda jest styczną do danej krzywej rzędu drugiego. Takie dwie proste, wychodzące z danego punktu: (i, rj), a styczne do danej krzywej: /‘=0, rzędu drugiego nazywamy parą stycznych.

na

(18)

Kładąc: x—Sj=rcosX, y—7] = rsinX, otrzymujemy z (18) równanie pary stycznych z punktu (Ç, 7)) wychodzących, w postaci :

[(«1i5 + «12») + «13) («-5) + («12? + «22 n + «23 ) (*/—*))]² =

= [«11 (* — S)‘² + «22(2/ — ny + 2olł(a:—Ç) (y-łj)]./,

z której dostajemy:

czyli :

[(«u? + «12*) + «13)² ~ «ii/](*—?)² + [(«i2? + «22*1 + «23)* — «22/](y—rl)² + + ² [(«u? + «12^ + «13)(«nfc + «22») + «23) — «n/jO*—9(y—■n)=o,

[(y^) —4«n/](* —5)*+[r]p — 4«22/](y—■4au/](sr—5)(y—*0=0, (19)

równanie bardzo dogodne do wyznaczenia obydwu stycznych.

Kładąc mianowicie:

mamy z (19) równanie :

Gf) ~40ll/==j4’ (<+) ~⁴«22 /=#,

() !j ’ f) r)

4öfl2./ —

M*-ł)² + 5(y-»i) 2 + 2 C (x-Ç) (y-ij) = O

czyli :

s td! + 4⁼⁰’

55 którego otrzymujemy równania oku stycznych, w postaci:

y—'n - , ï=l”~ B +

ł—.

AB

Uważając w równaniu (18) kierunek X, jako stały, a punkt wyjścia (Ç, + za zmienny, mamy w niem przedstawiony układ dwu prostych, równoległych, jako miejsce punktów, z których styczna, wyprowadzona do danej krzywej drugiego rzędu, ma dany kierunek X.

Ćwiczenia LI.

Bezpośrednim rozbiorem równań zbadać i wykreślić następujące krzywe:

I)    2x²-j-4/y²—4xy -2x—8y + 9 = 0. 2) 4*² + y²—2xy— \4x + 2y + 18 = 0.

3) 2æ² + y²—2xy-2x-2y + 6 = 0. 4) 3x² + 4y²—8xy—x + 4y + 5 = 0.

5) y²—2xy-2x-\- 4y +8 = 0. 6) y²—2xy—4x + 2//—2 = 0.

7) 4x¹-\-y² — 4xy—§x-\-2y — 2 = 0. 8) x¹ + y² + 2xy + x—2// + l=0.

9) x²-\- ij*—2xy—Sx + 3y Ą 2 = 0. 10) Ax² + By² + Dx + Ey + F= 0.

II)    Ax² + y² + Dx + F=-0.    12) x² + Ay² + Dx + F=0.

13) Ja;² + C'a;// + /Ar + Ey + F - 0. 14) Cxy + Dx + Ey + U = 0.

15)    Ax² + Dx + Ey + F = 0.

Wyznaczyć rodzaj krzywej danej równaniem:

«u*² + «222/² + 2ax2xy + 2«₁₃a; + 2a₂₃// + «₃₃ = 0, skoro:

16)    2 — 0, 17) an =0. 18) «22=0. 19) an =0, a₁₂ =0. 20) au=«₂₂ =0.

21) Wykazać, że równanie krzywych stożkowych, przechodzących przez dwa punkta -LCu )?    y%), da się przedstawić w postaci:

A(x—xi){x—xi)-\-B(y—yi)(y—yi)-\. C(x—xi)(y—y₂) + (x—x₂)(y—yi)=0, w której J, B, C są dowolne.

22)    Wyprowadzić równanie krzywych drugiego rzędu, przecinających oś æ-ôw w punktach x^—av^ x₂ — a₂.

b₂b₂x² \-aia₂y² + 2Cxy — bxb₂ (at + a₂)x — +i -j- &?)^ + aia₂blb₂ = 0 gdzie C jest dowolnym parametrem.

23)    Wykazać, że równanie krzywych drugiego rzędu, przecinających oś x-ów w punktach: x₁—a₁, x₂ = a₂, a oś y-ów w punktach: yi = bi1 y%—b₂, da się przedstawić w postaci:

24)    Pod jakimi warunkami krzywa , określona zag. 23., będzie parabolą.

25)    Wyprowadzić równanie krzywych drugiego rzędu, stycznych do osi układu w punktach: x = a, y — b.

B(0, b).

26)    Wyprowadzić równanie paraboli, stycznej do osi układu w punktach: A(a, 0),

27) Wykazać, że wszelka prosta przecina krzywę rzędu drugiego w dwu punktach, które są, albo rzeczywiste różne, albo

28j Wykazać, że przez punkt dadzą się przeprowadzić dwie linie proste, które krzywę stożkową przecinają w nieskończonem oddaleniu.

29)    Wykazać, że przez każdy punkt da się poprowadzić cięciwa krzywej drugiego rzędu, mająca w nim swój środek.

30)    Wykazać, że środki cięciw krzywej rzędu drugiego, równoległych do danej linii, leżą na linii prostej, mianowicie

31)    Wykazać, ze wszystkie średnice paraboli są do siebie równoległe.

32)    Wykazać, że średnice paraboli mają ten sam kierunek, co linie proste, przecinające parabolę w nieskończonem oddaleniu.

na

na

siebie wpadające, albo urojone sprzężone.

średnicy tej ki-zywej.

33)    Jeżeli z dwu średnic krzywej drugiego rzędu, jedna dzieli cięciwy równoległe do drugiej na dwie równe części, dowieść, źe także druga średnica dzieli wszystkie cięciwy równoległe do pierwszej na dwie równe części.

34)    Wykazać, że każda krzywa środkowa drugiego rzędu ma dwie i tylko dwie średnice sprzężone do siebie prostopadłe.

35)    Wykazać, że osie krzywej rzędu drugiego dzielą kąt zawarty między jej asympto-tami (rzeczywistemi , lub urojonemi) na dwie równe części.

36)    Wykazać, że środki krzywych stożkowych, przechodzących przez 4 punkta: (an 0), (a₂, 0), (0, 6j), (0, &₂), mieszczą się na krzywej drugiego rzędu o równaniu:

2bvb<2jx'l—2ala₂yï—blb₂{ai + a₂)x-\- axc^,{bx + b₂)y = 0.

37)    Znaleźć środek krzywej, określonej zag. 36.

a²

+ 1-0-

54 «

cc² Z/²

38)    Wykazać , że środki krzywych stożkowych, stycznych do osi układu w punktach : («? O), (0, 6), mieszczą się na zdegenerowanej hiperboli :

39)    Wyznaczyć środek hiperboli, określonej zag. 38).

40)    Znaleźć średnicę elipsy: bx²-\- y'¹ — 3xy— 3^+2y —3—0, sprzężoną z prostą:

y — 2x — 1.

41)    Wyprowadzić równania obu osi elipsy: 5 x²y²—3xy—3x -\-2y—5=0.

42)    Wyprowadzić warunek, pod którym dwie krzywe stożkowe, dane równaniami: «n*² + «22 Z/² + 2«i2^ -\-2anx + 2auy -f- a₃₃=0, Anx'i-\-Any'²‘ -\-2Al2xy -f 2Anx -\-2Any-\-AZi=0, będą miały równoległe osie.

43)    Wykazać, że równanie prostej, łączącej dwa punkta (x', y‘) i (x‘‘, y") krzywej:

anxlĄ- a₂₂y³-\- 2anxy ~\-2a2%x + 2ff₂₃i/H- «33 =0,

da się przedstawić w postaci:

an(x—x‘)(x—x") + a₂₂(y—y‘)(y—y“) + 2al2(x—x ⁴)(y—y“)=-=«i\x% +«22Z/² + 2avlxy -f- 2a₁₃a:-\-2any + «₃₃

44) Wykazać, że równanie stycznej w punkcie (x\ y¹') krzywej :

«u*² + «22 Z/²+ 2aX2xy + 2a₁₃æ -f 2a2iy -f- a₃₃ =0

da się pi’zedstawic w postaci:

«i i x‘x -f- a₂₂ y<y -f ax ₂{x‘y + y‘x) -f ax 3 (* + x<) + a₂₃ (y + «/') +«33 = 0.

45)    Wykazać, źe równanie pary stycznych, wykreślonych z punktu (.r', yJ) do krzywej: a^^Ą- a₂₂y²-\- 2ax2 xy -|- 2a₁₃ x 2a₂₃ y-\- a₃₃ = 0, da się przedstawić w postaci:

(anx'²-\- a₂it/'² -\r2a.l₂x,y‘-\r2anx‘ -^2^^ -\-an).

•(«11*² + «22 z/² + 2 ai2 xy -f- 2a₁₃ æ + 2a₂₃ y -f a₃₃) =

= [anx'x-\- a₂₂y‘y + a₁₂ (x'y y'x) + a₁₃ (a?' + x) + «₂₃ («/' + </)+ «₃₃]²-

46)    Wykazać, źe równanie pary stycznych, wykreślonych z początku układu do krzywej: a, l x² + a₂₂ y² +...= 0, da się przedstawić w postaci:

(«11 «33 —«²1₃) *² ~\~ («22«33 —«²2₃)Z/²+ 2 (<*33«12    «13«2₃) XV ⁼

Rozwiązania LI. 1) elipsa, zawarta między równoległemi: x=l i x — b. 2) punkt (2, 1). 3) elipsa urojona. 4) hiperbola. 5) dwie proste (;y= — 1, y — 2x—3). 6) hiperbola. 7) parabola, przecinająca średnicę: y—2x — 1, w punkcie : (x = —³/₂). 8) parabola styczna do osi «/-ów. 9) dwie proste równoległe: y = x—-1, y — x—2. 10) Elipsy, lub hiperbole, stosownie do tego, czy spółczynniki A i B mają te same, czy też przeciwne znaki. 11), 12) elipsy, gdy A 0, hiperbole, gdy A<0, parabole, gdy 4 = 0. 13—14) hiperbole. 15) parabole, gdy L’^0. 16) elipsa, lub hiperbola. 17)—18) parabola, gdy zarazem : a₁₂= 0, zresztą hiperbola. 19) parabola. 20) hiperbola. 22) x²-{-By²-\-Cxy—(ai-\-a₂)x-\-Ey-\-ala₂=0. 24) C—+\/ axa₂bxb₂. 25) b²x²-\- a²y² + 2 Cxy — 2ab²x — 2 a²by + a²b² = 0. 26) b²x²Ą- a²y²±2abxy — 2 ab²x — 2a²by-\-+a²b²=0. 37) U«i + «₂),    ³⁹) °/2j 6/2. 40) y\4a:+l=0. 41) 3x-t/-l = 0, *-|-3y+3=0.

-^11 ^22

42)

«11 «22

4₁₂

«12

Literatura. J. C a r n o y. Cours de geometrie analytique. Geometrie plane. Paris 1880. G. S al mon. Analytische Geometrie der Kegelschnitte frei bearbeitet von Dr. W. Fiedler. Leipzig 1883.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Środek i średnice krzywych stożkowych.

2.    Osie i asymptoty krzywych stożkowych.

3.    Styczne do krzwych stożkowych.

Wykład Liii.

Dalszy ciąg ogólnych własności krzywych drugiego rządu.

1. Biegunowa danego punktu ($, rj) względem danej krzywej drugiego rzędu: /= 0. Prosta, wyprowadzona z punktu P(£, rj) w kierunku X przecina krzywą, drugiego rzędu:

alix²-)ra^y²+2ai2xy-\-2aux+2a₂₃y-\-a₃₃ = 0J w dwu punktach A i P, których odległości od punktu wyjścia P, na mocy art. 3. str. 726. podaje równanie: sr²-f2trĄ-/‘=0, z którego wypada:

IC

rir2=~, rx+r₂ = -

(1)

Niech będzie B, czwartym punktem , położonym na prostej w odległości PB=r₀, tak, aby • on z punktem P czynił parę harmonicznie sprzężoną z parą punktów i i 5, natenczas będzie :

n (r2—'ro)=r2(rO—n)>

skąd, ze względu na wzory (1), otrzymujemy:

czyli: r₀ =

2r, r₂

(2)

*o

x—ź

y—y

/jcos X + /₂sin 2.

cos ż sin i przeto z porównania wzorów (1) i (2) dostajemy:

+ (y-    /₂

(3)

(»-D/i + (y—rç) /₂= -/>

skąd, ze względu na to, że:

f=ifi+yf2 P/s)

mn

wypada równanie :

(4)

fi-x+f₂.y+f₃=0,

które jest stopnia pierwszego, ze względu na spółrzędne &, y, punktu P. A zatem : Miejscem geometrycznem punktu B, położonego na prostej, przechodzącej przez punkt stały P, a tworzącego z punktem P parę punktów, harmonicznie sprzężoną z parą punktów: A i P, w których ta prosta przecina krzywą drugiego rzędu, jest linia prosta.

Tę prostą, określoną równaniem (4), nazywamy biegunową punktu P(£, 7]), a dany punkt P nazywamy biegunem tej prostej względem danej krzywej drugiego rzędu, fig. 523.

A;

Fig. 523.

— 737 —

2. Wykreślanie biegunowej (lanego punki u. Biegunową punktu względem danej krzywej drugiego rzędu możemy z łatwością wykreślić na mocy własności czworoboku zupełnego.

Wyprowadźmy mianowicie z danego punktu P dwie sieczne PA i PC, a otrzymamy czworokąt zupełny ABDG, fig. 524.

Prosta, łącząca punkta M i X, wyznacza na siecznej PA punkt B, który tworzy z punktem P parę punktów, harmonicznie sprzężoną z parą punktów A i P; tak samo para punktów P i S jest harmonicznie sprzężoną z parą punktów Ci D: prosta MN jest więc biegunową danego punktu P.

8. Biegunowa punktu: P(Ę, +, względem danej krzywej drugiego rzędu, jest cięciwą styczności, odpowiadającą temu punktowi.

Fig. 524.

Równanie stycznej w punkcie (x, y) krzywej drugiego rzędu przedstawia się w postaci:

(5)

(anx + av2 y + an) X+(a^x + an y + a₂₃) Y + ('anx fi- any + a₃₃) = 0 gdzie X, Y, są spółrzędnemi bieżącego punktu stycznej.

Jeżeli styczna ma wychodzić z danego punktu (?, yj), natenczas, na wyznaczenie punktu styczności x, y, otrzymujemy z (5) równanie:

(«ii» + al2y + a₁₃) S + («n* + «22 2/ + «23) ’l + («13*+- «2?. V + «33) = °; które, uporządkowane podług x, y, przedstawia się w postaci :

(«1 1 ? + «12 *1 + »13)*+ («12? + «22^ + ®23) y + («13 > + «23 *1 + a33) ~ 0.

Równanie to, w połączeniu z równaniem krzywej drugiego rzędu :

«ii*s+ ^22 2/² + 2«i₈asy + 2a₁₃a; Ą-2an y A- o₃₃==0,

wyznacza spółrzędne x, y, dwu punktów, w których styczne, z punktu (Ç, rj) wyprowadzone, dotykają się danej krzywej drugiego rzędu , jest zatem równaniem prostej, przechodzącej przez punkta styczności, czyli równaniem cięciwy styczności , odpowiadającej danemu punktowi (?, vj).

Porównywając to równanie .z równaniem (4) widzimy, że równanie biegunowej punktu (+ rj) względem danej krzywej drugiego rzędu jest zarazem równaniem cięciwy styczności, temu punktowi odpowiadającej, a zatem:

Biegunowa punktu względem danej krzywej drugiego rzędu wpada w przynależną mu cięciwę

styczności.

Gdy biegun jest punktem krzywej, to biegunowa jego jest styczną w tym punkcie. Gdy krzywa posiada środek (x₀, t/₀), natenczas spółrzędne jego spełniają równania: «1 i^o +«122/0 + «13 = 0, «12^0 + «22 Vo + «23 =- 0) a jego biegunowa otrzymuje równanie :

0 . x + 0.y +/₃ =0, czyli : 7) = 0, które przedstawia prostą w nieskończoności, a zatem :

Biegunową środka krzywej drugiego rzędu jest prosta nieskończenie daleka.

4.    Figury wzajemnie biegunowe. Mając daną figurę na płaszczyźnie, złożoną z punktów i prostych. , możemy wyznaczyć, ze względu na pewną krzywą drugiego rzędu , biegunowe danych punktów i bieguny danych prostych; tym sposobem otrzymujemy nową figurę, która z pierwotną pozostaje w takim związku, że biegunowe wierzchołków jednej figury wpadają w boki drugiej, i nawzajem, bieguny boków jednej figury w wierzchołki drugiej. Takie dwie figury nazywamy figurami wzajemnie bieg u nowe mi.

Jeżeli jedna figura staje się linią krzywą K, to druga staje się nową krzywą K‘. Krzywa K‘ jest w tym razie miejscem geometrycznem biegunów prostych, stycznych do drugiej krzywej K. Obie krzywe nazywamy też krzy-wemi wzajemnie biegunowemi.

5.    Rząd i klasa krzywych wzajemnie biegunowych. Rzędem krzywej, algebraicznej nazywamy, jak wiadomo z art. 8. str. 687 , stopień równania krzywej w spółrzędnych x, y jej punktów.

47

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Stopień ten jest zgodny z liczbą punktów (rzeczywistych , lub urojonych), w których krzywą przecina dowolna prosta.

prosta p niech

przecina ją w m punktach: A, B, C, ..., M, wówczas tym punktom odpowiadać będą, jako biegunowe ze względu na daną krzywą drugiego rzędu, m prostych: a, ó, c, ..., m, stycznych do krzywej wzajemnie biegunowej K‘, a przechodzących przez punkt P, biegun prostej p.

Odwrotnie, każdej stycznej a, wyprowadzonej z punktu P do krzywej K‘, odpowiada punkt A, położony na krzywej PT i na prostej p, biegunowej punktu P.

Niech będzie K krzywą algebraiczną m-go rzędu

Liczba stycznych, jakie dadzą się wyprowadzić z punktu P do krzywej K‘, równa się przeto liczbie punktów, w których prosta p przecina krzywą K.

Nazywając liczbę punktów, w których dowolna prosta przecina daną krzywą algebraiczną, rzędem krzywej algebraicznej, nazywamy znowu liczbę stycznych, jakie z dowolnego punktu do danej krzywej wykreślić się dadzą, klasą tej krzywej.

Między krzywemi wzajemnie biegunowemi K i K¹ zachodzi więc ten związek, że : klasa 1er żywej K‘ równa si§ rzędowi krzywej K, i odwrotnie : rząd krzyivej K' równa się klasie krzywej K.

6. Krzywa wzajemnie biegunowa danej krzywej drugiego rzędu. Wiemy, że z punktu dowolnego dadzą się wykreślić dwie styczne do krzywej drugiego rzędu ; krzywe drugiego rzędu są więc także krzywemi drugiej klasy. Ztąd wynika, że krzywą wzajemnie biegunową danej krzywej drugiego rzędu jest nowa krzywa drugiego rzędu. Z łatwością można także w tym przypadku wyznaczyć rodzaj krzywej, wzajemnie biegunowej do danej krzywej drugiego rzędu.

Niech będzie daną krzywa K, a zewnątrz niej środek krzywej kierowniczej C, (fig. 525.): ze środka O krzywej C dadzą się wyprowadzić dwie styczne do krzywej K. Bieguny tych stycznych ze względu na krzywą C, wpadają

•ÿ

U.

4-

À-

______

y.

Jt

V,

\i

<T

»• 1

■V

>o

d,ÿ

1-7

V'

□3

l.-o

",

3Ï’

Fig. 526.

Fig. 527.

Fig. 525.

w nieskończoność ; krzywa K\ wzajemnie biegunowa do K, musi więc mieć gałęzie nieskończone w dwóch różnych kierunkach, jest więc hiperbolą. Biegunowe punktów styczności A, B, są tedy stycznemi a, &, do krzywej K‘, w punktach położonych w nieskończoności, a więc asymptotami krzywej K\

Skoro środek krzywej C leży na krzywej K (fig. 526.), wtedy punkta A i B, wpadają w jeden punkt; biegunowa tego punktu, czyli asymptota krzywej ÜT', wpada wtedy w nieskończoność; krzywa K‘ jest więc parabolą.

Jeżeli wreszcie środek 0 krzywej G jest położony wewnątrz krzywej K (fig. 527.), wówczas asymptoty krzywej K będą urojone, krzywa K‘ będzie zatem elipsą.

7.    Badanie własności krzywych drugiego rzędu zapomocą metody wzajemnych biegunowych. Metoda wzajemnych biegunowych ma ważne zastosowanie w badaniu własności krzywych drugiego rzędu, dozwala bowiem, z każdej wykrytej własności krzywej drugiego rzędu wyprowadzić wprost nową własność analogiczną.

Jako przykład weźmy twierdzenie, podane w art. 1. str. 705., które możemy w ten sposób wysłowić :

Pięć punktów, danych na płaszczyźnie, wyznacza zawsze jednę krzywą drugiego rzędu , która przez te punkta przechodzi.

Z tego twierdzenia wynika, na mocy metody wzajemnych biegunowych, bezpośrednio następujące twierdzenie analogiczne :

Pięć prostych, danych na płaszczyźnie, wyznacza zawsze jedną krzywą drugiego rzędu, która jest styczną do danych pięciu prostych.

Wyobraźmy sobie bowiem dowolną krzywę drugiego rzędu, jako krzywę kierowniczą i wyznaczmy bieguny 4, B > O, D, E danych pięciu prostych : a, b, c, d, e ; przez pięć punktów A, B, C, D, E da się, na mocy pierwszego twierdzenia, przeprowadzić jedna krzywa drugiego rzędu K‘ ; krzywa wzajemnie biegunowa do krzywej K' będzie nową krzywą drugiego rzędu K, styczną do danych pięciu prostych.

8.    Ogólne równanie drugiego stopnia w spółrzędnych ukośnokątnyeli.

W poprzedzających wywodach przypuszczaliśmy, że dane równanie drugiego

stopnia odnosi się do układu prostokątnego. Jeżeli układ pierwotny jest ukośnokątny, a osie zawierają kąt y, można zawsze odnieść równanie do układu osi prostokątnych, zatrzymując n. p. oś X-ów, a przyjmując za oś Y-ów prostą prostopadłą do osi X-ów. Wzory zamiany spółrzędnych ukośnokątnych x, y na prostokątne x‘ y‘, będą w tym razie miały kształt :

jtN

N,

x=x‘—y'coty, y

y‘

Fig. 528.

czyli :

sin y

æ'sin y—«/'cos y    «/'

X =-;    , y -— :

siny

smy

Wskutek tego podstawienia zamieni się równanie drugiego stopnia: Ai 1 x'² + A₂ 2 y² + 2    ₂ xy + 2At ₃ x + 2A₂ ₃ y+A₃ ₃ = 0

(6)

odniesione do układu ukośnokątnego, na równanie również stopnia drugiego kształtu: ailx²4-a₂₂y²-\-2a₁₂xy-l-2a₁₃x-i-2a₂₃y4-a₃₃=0, odniesione do układu prostokątnego.

Współczynniki przy wyrazach stopnia drugiego x², y2, i xy w nowem równaniu , od których zależy rodzaj krzywej rzędu drugiego, będą tu :

«u—— przeto będzie wyróżnik:

A₂2 -b4nCOS²y — 2 A] 2cos y

sin²y

®12

Ai 2sin y—Ax j sin y cos y

sin²y

a zatem :

AuA.,₂-rA²u cos²y— i2A₁₁ A₁₂cos y

sin² y

A₂ sin²y + -4²j i sin² y cos² y—2AU A₂₂ sin ² y cos y

sin⁴ y

AuA₂₂sin²y— 4²₁₂sin²y

sin⁴ y

A — a^^a₂₂- ci\ 2² —

Au A₂₂ A'i2

sin²y

A4 A 'i ^11 ^22 -"12

(7)

sin² y

z czego wypływa, że będzie : aua₂₂—a‘\₂ g 0, skoro także : 4=.4₁₁.A₂₂ —-4²₁₂ = 0.

Równanie (6) przedstawia więc elipsę, gdy A O 0, hiperbolę, gdy4<(0, a parabolę , gdy 4 = 0.

9. Dyskusya równania drugiego stopnia, odniesionego do układu ukośnokątnego. Przekształciwszy równanie, dane w spółrzędnych ukośnokątnj-ch, na równanie współrzędnych prostokątnych, możemy dalsze uproszczenia równania przeprowadzić według wskazówek, w poprzedzającym wykładzie zawartych. Takiem postępowaniem zostaje jednakże układ prostokątny przemocą do rachunku wprowadzony. Postępowanie takie nie jest koniecznem. Owszem natura zagadnienia wymaga częstokroć właśnie układu ukośnokątnego Z tego powodu przeprowadzimy w niniejszym wykładzie dyskusyę równania drugiego stopnia, danego w pewnym układzie ukośnokątnym i wskażemy uproszczenia, które z dyskusyi same się nasuwają. Niech będzie więc :

«itæ2+ «22.«/² + 2ana:y-l-2rt₁₃æ + 2a₂₃ y -f a₃₃ = 0 ,

(8)

danem równaniem drugiego stopnia, odniesionem do układu ukośnokątnego o kącie osiowym y.

Przyjmując na płaszczyźnie układu dowolny punkt wyjścia: (ił/) = Çyj^, popro-wadźmy z niego promień w dowolnym kierunku, nachylonym do osi X-ów pod kątem X, a do osi Y-ów pod kątem jr.

Przyjmijmy, że w tym kierunku, w oddaleniu r od punktu wyjścia, spotkamy pewien punkt P krzywej , równaniem określonej, tedy współrzędne x, y, tego punktu będą:

gdzie :

sin (y—X)

x =4 -f- rl, y — r\ rm ,

_sin p

siny

coêX, m

sin X

(9)

sin y

COê [J-,

sin y

są czynnikami kierunkowymi promienia , ze względu na osie OX i 0Y. Skoro punkt ten (.r, y) ma być punktem krzywej , przeto otrzymamy, po wstawieniu za æ i y wartości (9), równanie drugiego stopnia ze względu na r, w postaci :

sr² -f- 2tr +/— 0.

s = aul²    a.nm² -f- 2 a₁₂lm = l (anl 4 «12 m) + m(anl 4 a^rri)— Iw    mtv₂,

t = anU-\- a₂₂r\m-\- «12 ^ + «12⁷) *4    + anm = %{aul 4 a₁₂w) + r] (ai2l -fa₂₂ m) -f-

4 («₁₃Z 4«2₃ł») = r?^l+W₂4- «3 = i O11S+Ö12 ^ 4- «13)+ ™(«12^ + «22*) +«23) = ï/l + ,w/2»

/=    4- Cf₂₂ ty 4- 2a₁₂ ir) 4 2or₁₃ij 4“ 2«₂₃ ^ 4 a33 ⁼ ^ (°i4 + «12⁷! 4" «13) 4"

4" ^ («12^ ty a-22rl 4“ a2s) ty (**13 ? “ł- ff23 ^ ty ^33)— r-f 1 ty⁷] fi ty f 3 •

Równanie dostarcza na r dwie wartości rl5 r₂, obie rzeczywiste i różne, albo obie rzeczywiste i równe, albo obie urojone i sprzężone.

Szczegółowe roztrząsanie tego równania prowadzi do tych samych własności, jakie poznaliśmy w wykładzie L. pod założeniem , że pierwotny układ był prostokątny.

10. W szczególności, daje warunek / = 0, dla stałego kierunku l, m₎ równanie:

4 n w-i + w₃=0,

jako równanie średnicy, łączącej środki cięciw równoległych w kierunku, przez l, m określonym, wyprowadzonych ; dla stałego punktu wyjścia \ 4-ty daje zaś ten warunek równanie:

lf\ + *»/a = 0,

określające kierunek cięciwy, dla której dany punkt jest środkiem.

Równania: /j = 0 i/₂=0, wyznaczają wreszcie szczególny punkt ?, r), który jest środkiem wszystkich cięciw, przez niego przechodzących, czyli środkiem krzywej drugiego rzędu. Będzie on punktem w skończoności, a więc krzywa będzie środkową, gdy ana₂₂—a²₁₂ ^ 0, zaś punktem w nieskończoności, a więc krzywa będzie hezśrodkową, skoro: aHa₂₂—a²₁₂ = 0, albo wreszcie nieoznaczonym na prostej : /j = 0, a więc krzywa będzie z dwóch prostych równoległych złożoną, skoro obok: «Ha₂₂—a²₁₂ = 0, także: a₁₂a₂₃—«22^33—b> a tern samem

gdzie :

(10)

(10)

(11)

także: «₁₂«₁₃—anan — O- Kierunek Z',m' średnicy, odpowiadającej danemu kierunkowi l,m, cięciw równoległych, określony będzie, na podstawie równania średnicy, wzorem :

wx

(110

czyli : wt l ' + iv₂ m‘ = 0

który przedstawić się daje także w postaci: w\lĄ- w\m — 0, gdzie:

w\ = axxl‘ anm‘, w\ = ax₂V+«22 m‘ 1

i dowodzi zarazem, że te dwa kierunki w takiej do siebie pozostają zależności, że gdy jeden z nich cięciwom przynależy, drugi wyznacza odpowiednią średnicę; kierunki takie nazwaliśmy kierunkami sprzężonymi.

Z warunku: wx V -)- w₂m‘ — w\l -}- w\m— 0, któremu czynniki £, m runków sprzężonych zadość czynią, otrzymamy w wypadku: a₁₁a₂?,—ö²₁₂ =0 krzywych bezśrodkowych :

V m‘ dwóch kie-t. z. dla

m*

ivx

w₂

«it? + «i2^V«1 ij\/«i 1 2 + \/arim)

anl+anm —Y/^> (V/«n ? + V/<*m »*)

V i<u

V/«22

zatem :

m'

V/«'²+2/'to'cos y

— V «22

V ait \/an + ö?2 — 2V/äfna₂2‘C0ST V/«h+«22—2«₁₂cosy ’

p _1/g22

l/ajj-j- ff₂₂ —2aJ2cosy

w'

v/«i

(12)

V⁷a, 1+a₂2 —2«j₂cos y ’

a więc stały kierunek m‘ średnicy, podczas gdy kierunek równoległych cięciw dowolnie się zmienia.

dla którego będzie także t — 0. Mianowicie otrzymujemy

11. Warunek /= 0 wskazuje, że punkt wyjścia leży na krzywej; w tym razie istnieje jeden kierunek taki l z równania : t = lfx + w/₂ =0 , stosunki :

—A A

z których wypada :

V7²+/²2 - 2A/₂cosy

fi

V//i² +/₂ ² — 2/! /₂ cos y

m — —

\//i² + /²2 — 2/i /2 cos y

Kierunek ten cechuje kierunek stycznej do krzywej drugiego stopnia w punkcie Ę, v Równanie stycznej do krzywej drugiego stopnia, w punkcie Ç, rj, otrzymuje przeto kształt: x— \

y—

f 2    /1

czyli;    +(y —r))/a =0, albo: a*/t+ y/₂+/₃ =0.

(13)

12. Warunek s=0 wskazuje wreszcie na kierunki, w których, z dowolnego punktu płaszczyzny wychodząc, spotykamy jeden punkt w nieskończoności. Mamy dwa takie kierunki, określone równaniem: s — anl² + «₂₂ ml + 2«₁₂ Im— 0, na mocy wzorów :

— «12±V/«²12— «11 «22

— «12+V⁷—A .

«11

«11

(14)

Są one rzeczywiste i różne, skoro: A<0, urojone i sprzężone, skoro: A > 0, wreszcie wpadają w jeden tylko kierunek, skoro: A —0, co wskazuje na trzy oddzielne rodzaje krzywych drugiego rzędu: elipsę, gdy A>0, hyperbolę , gdy A<[0 i parabolę, gdy A —0.

13.    Warunki s — 0 i l — 0 wskazują wreszcie na dwa kierunki, wychodzące ze środka S, rj krzywej drugiego rzędu przecinające krzywą w dwóch punktach w nieskończoności, czyli na dwie asymptoty krzywej drugiego rzędu, urojone dla elipsy, rzeczywiste dla hyperboli, a połączone w jedną w nieskończoności dla paraboli.

Równanie dwóch asymptot przedstawia się wskutek powyższych warunków w postaci równania jednorodnego ze względu na x—ï, y—rj :

(15)

skoro :

«11 (*—?)² + a.2i(y-rji)-\-2an(x—')(y-rj) = 0, przedstawiającego dwie proste urojone, skoro: «n a₂₂ — a²₁₂ >0 , rzeczywiste «11 «₂2 — «²i2 <0, jedną prostą podwójną, skoro: an«₂₂— axî~—0.

14.    Uproszczenie równania danego w spółr/ędnj cli ukośnokątnycli. Na podstawie własności krzywej drugiego rzędu, wskazane jest następujące uproszczenie równania , danego w spółrzędnych ukośnokątnycli.

Przedewszystkiem możemy zawsze obrać parę sprzężonych kierunków, jako osie układu.

(16)

Niech będą l,m czynniki kierownicze nowej osi X-ów, V m' zaś czynniki kierownicze nowej osi Y-ów, wówczas będą współrzędne æ, y każdego punktu, ze względu na układ pierwotny, związane ze współrzędnymi x‘, y' tegoż punktu, odniesionymi do układu kierunków sprzężonych, wzorami :

x — lx' -j- l‘y'. x — mx‘ -}- m'y'.

Podstawiwszy te wartości w równanie (8), otrzymamy równania krzywej, odniesione do przyjętego układu kierunków sprzężonych, w postaci:

(17)

sx² -f- s'y² -}- 2qx -j- 2q‘y    «₃₃ =0,

gdzie :

s =    "ł" «22 m2 2<*i2 Im , s‘ — ail V² -j- a₂2 m/2 "ł"    q = aX3la₂₃m , q‘= cti3l'ct.₂₃m'.

Równanie otrzymane nie posiada wyrazu xy, gdyż pod założeniem, że kierunki osi

są sprzężone, będzie jego współczynnik:

15. W przypadku krzywej bezśrodkowej : ana₂₂—a\₂ — 0, zniknie także w tern równaniu jeden ze współczynników s, lub s'. Istnieje bowiem w krzywej bezśrodkowej jeden kierunek stały ze wszystkimi innymi sprzężony.

dla niego :

Przyjąwszy, go, jako kierunek nowej osi X-ów, otrzymamy ze względu na to, że

\/ «22

\/«i

\/ ax ! 4-022 — 2at 2cos Y

Y/«i i -j- «22 —2«i ₂cos y

«11 «22 ~j~ «11 «22 -2«i2 V«n«22 _q

«11 + «22—2*12 COS y

zaś q

«23 \/«11 —«13    «22

V/«11 4- «22 2«] 2 COS Y

16. Równanie ogólne, odniesione do układu osi, wyprowadzonych z pierwotnego punktu początkowego w kierunku jednej , zresztą którejkolwiek pary średnic sprzężonych, przybiera zatem jedną z następujących postaci :

1)    sx² 4- s'y² 4-    4- 2q‘y + a₃₃ =0 , gdy A > 0;

2)    «y² 4- 2qx 4- 2q'y 4- «₃₃ = 0 , gdy A = 0.

Pierwsze równanie da się sprowadzić za zmianą punktu początkowego zawsze do

sx² 4- s'y² — D = 0,

D-a _2²_?'²

postaci :

gdzie :

drugie zaś prowadzi dla q % 0, do kształtu :

s'y¹ =0

dla q = 0, zaś do kształtu :

gdzie :

s⁴ y1Jr I)‘ = 0,

q,2

D' = «₃₃--—•

(18)

(19)

(20)

Z tych najprostszych postaci równań otrzymujemy, za nadaniem współczynnikom różnych wartości i znaków, wszystkie kształty krzywych drugiego rzędu, które już poprzednio poznaliśmy.

Zważywszy, że wartości: s, s‘, Z), D', cechujące rodzaj krzywej od pierwotnego kąta osiowego y wcale nie zależą, przychodzimy do przekonania, że postać krzywej jest zależną jedynie od współczynników danego równania , a nie od kąta osiowego.

17. Wyznaczenie osi głównych krzywej drugiego rzędu, określonej równaniem między spółrzędnymi ukośnokątnymi jej punktów. Oznaczmy przez l, m czynniki kierownicze jednej; przez Z', m' czynniki kierównicze drugiej osi, wówczas otrzymamy na ich wyznaczenie dwa równania: pierwsze, określające kierunki sprzężone:

(«)

V wą 4- m' iv₂ — 0 ,

drugie, określające dwa kierunki prostopadłe:

P)

V cos X 4- m' cos fj. = 0

z których wypada:

tn‘

w\

COS [i.

cosX

czyli:

cosX

w₂

COS [j.

l cos X 4“ m cos V- 1

= s.

(21)

Równanie daje dwie wartości na s n, p, s i s', którym odpowiadają na mocy (22), pary czynników kierowniczych l, 1«, i V ot'.

Będzie tedy :

w\ — «ii^ + «₁₂ot=s (l -f- w cos y),    = a₁₂Z -f «₂₂ot = s (ot -j- ? cosy),

20^= auZ'-f- «₁₂ot' = s'(Z' ot' cos y), ot'₂= a₁₂Z' -j- «22OT' = s(m' -f-V cos y), l'w 1 -{- ot' 2#₂ = s [ZZ' -f- otot' -f- cos y (Im' -j- Z'ot)] , ho'i -f- ot «e'₂ = s [U¹ -}- otot' —cos y (Im' -j- Z'?»)],

(s—s⁴) [IV -j- otot' -j- cos y (lm‘ -f- Z'ot)] — 0.

a tern samem :

(26)

skąd otrzymamy :

Wyrażenie IV -j- ot ot' -j- cos y (Im⁴ -f- Vm) przedstawia jednakże cosinus kąta między kierunkami Z, ot i Z', ot' zawartego, t. j. kąta: y'=X'—X. Musi więc być:

(s—s⁴) cos (X'—X)=0.

Jeżeli pierwiastki sis' są między sobą różne, wówczas musi być cos(X'—X) = 0, czyli otrzymane dwa kierunki będą do siebie prostopadłe. W tym razie istnieją właściwie dwa układy sprzężonych osi głównych. W jednym odpowiada kierunek osi OX pierwiastkowi s, kierunek osi OY pierwiastkowi s', w drugim zaś przeciwnie; oba układy nakrywają się więc wzajemnie , tworząc jedną parę osi głównych.

18. Możemy wprost wykazać , że pierwiastki sis' nie mogą być urojone. Gdybyśmy bowiem przyjęli s—p-\-iq, s' — p⁴—iq⁴, musielibyśmy otrzymać z (22) :

l = a -j- bi , V = a⁴ -\- b⁴ i , m = a — bi, ot' = a⁴ — b⁴i

przeto byłoby :

(s—s') cos (X—X') = 2qi (a² -f-&²+ 2aócos y -\-an + ó'²J- 2a'Z*'cosy),

a tern samem, skoro:    0, musiałoby być, ze względu na to, że:

a² -f- Z>² -f- 2a&cosy i a'² -f- &'² -f- 2 a⁴b⁴ cos y

są ilościami dodatniemi: a — b = a'=b⁴=0, a tern samem: l = m = l⁴—-m' = 0, co' być nie

może , skoro , jak wiemy :

Na wyznaczenie wartości Z, ot, s, mamy tedy dwa równania: «y—s cos)-, ic% — s cos [i,

atlZ-[- <*i2w —s(Z 4-otcos y), a₁₂Z-f- anm — s(m-\-Z cos y),

czyli : z których wypada :

(22)

? («ii— s) -\-m (a₁₂—scosy) = 0 , Z(a₁₂— scosy)-j-ot(«₂₂—s) = 0 ,

(23)

przeto po wyrugowaniu Z i ot, równanie :

«u—»

«12— SCOSy «22— s (s—«ii)(s—«22) — («COS y — «i₂)²=0. Uporządkowawszy to równanie według potęg ilości s, otrzymamy :

s² sin² y — s(«tl -f«₂2—²«i2 cosy) + «ii«₂2—«*12 =0»

«11 «22—«²12 _n

• i)

sm^ y

«i₂—s cos y

= 0,

(24)

czyli :

czyli :

s² —

«11 ~t~ «22    2 «1₂ cos y

sin² y

s-4

(25)

Z² -f- ot²-{- 2Im cosy = 1,    Z/2 J-ot'² -f- 2Vm⁴ cos y — 1.

Pierwiastki sis' równania (24) muszą więc być rzeczywiste.

19. Jeżeliby te pierwiastki wypadły równe, wówczas byłby kierunek osi głównej nieoznaczony, a że z (23) wypada :

«11— «

OT

«12

przeto musi być: s = an—ari

«12 — s cos T

W tym razie otrzymuje przerobione równanie kształt :

«12 —s cosy

cos y

*²+ z/² 4-

= 0,

(27)

Stosując do tych równań wzory (28) otrzymamy dwa związki :

1 1 a²' b²

(29)

20. Rozważanie równania, podającego wartości s i sJ, prowadzi do następujących uwag. Dla jakiejkolwiek krzywej , określonej równaniem, odniesionem do dowolnego układu ukośnokątnego y, będzie zawsze :

s + s'

«11 4* «22 — 2a₁₂ cos y

sin² y

«11 «22 «"12

sin² y

(28)

«11 «22“ «”12 sin² y

do jakiegokolwiek układu dane równanie drugiego stopnia przerobimy.

Ilości :

«11 + «22—²«i₂cosy

sin² y

pozostają według tego ilościami stałymi,

Przyjmijmy, że dane równanie przedstawia krzywą środkową i odnieśmy je raz do układu średnic sprzężonych, zawierających między sobą kąt y , drugi raz do układu osi

x²

!/-

głównych, wówczas otrzymamy dla układu y równanie:    = dla układu prosto-

A₊ë1₌₁

a²^ b²

kątnego zaś:

1 \    1    ₌± , 1 JL !    1

' A² JS²'’sin²y o² b²⁾ A² B²’ sin²y które sprowadzają się do następujących :

A² -f- B²

a² -f- b²

A²B² sin²y

a²b²

J4²R²sin²y = a² b²,

=0,

czyli :

(80)

A²-\- B² = a² + b², ^IRsiny = ab.

Związki te wypowiadają następujące dwie własności krzywych środkowych :

1)    Suma kwadratów dwóch jakichkolwiek średnic sprzężonych jest w krzywej środkowej ilością stałą i równą sumie kwadratów osi głównych.

2)    Fowierzchnia równoległoboku, wykreślonego nad dwiema jakimikolwiek średnicami sprzężonymi, jest w krzywej środkowej ilością stała, i równą powierzchni prostokąta nad osiami wykreślonego.

21. Przekształcenie równania drugiego stopnia w spółrzędnych (as, y) punktu na równanie w spółrzędnycli prostej (u, v). Mając dane równanie drugiego stopnia w spółrzędnych punktu (%, y), w postaci:

(31)

f=anx² + a₂₂y² + 2ai2xy + 2ai3x+2a₂₃y-\-a₂₂^01 otrzymujemy równanie stycznej w punkcie (x, y) tej krzywej w postaci ogólnej :

(32)

{aux-\-ai2y + aX2)X-\-(anxĄ-a₂₂y + a₂₃) r+(a₁₃z + a₂₃y +a₃₃) = 0, a stąd, w postaci Plückerowskiej :

czyli : gdzie :

a^x + a^y + a^ x ai2x+a₂₂y-\-a22 ai3x+a₂₂y+a₃₃    a^x\a₂₂y-\-a₂₂

uX -f vY-\- 1,

r+i-o,

(32')

«n^+«i₂y+qi3

a₁₃^+a₂₃y+a₃₃

będą spółrzędnemi Plückerowskiemi linii prostej stycznej w punkcie (x, y), krzywej : f— 0.

Z równań (33) możemy także wyznaczyć spółrzędne (x, y) punktu styczności, gdy znane są spółrzędne (u, v), prostej stycznej w punkcie (x, y). W tym celu otrzymujemy wzory:

v_

ai2x-\- a2%y + «₃₃

(33)

axxu-\-a^₂v-{- a₁₃    ai2u-\-a₂₂va2Z

ai?u-\-cc₂₂v-\- a₃₃ ’ ^    a^₂u-\-a₂₂v-\-a₂₂

w których spółczynniki aik są minorami eiementówr aik wyznacznika :

D = alk I, i, Jc= 1, 2, 3.

Wstawiając w równaniu (31) za x, y, wartości , powyżej otrzymane, przekształcimy równanie (31), które możemy także napisać w postaci :

(«11^4 %₂2/ + «13)^+(Ö,12Ä; + a222/'i-«23) y + («13^4 «23^ f«3₃) = 0₅    )

czyli :

na równanie następujące:

wæ-{-w/-|-1=0,    )

(35)

öjiM²-!a₂₂v²-h2«₁₂MV-f 2a₁₃w-)-2a₂₃tH «₃₃ = 0, które jest równaniem drugiego stopnia w spółrzędnych linii prostych stycznych do krzywej (31), nazywamy je też równaniem Plückerowskiem krzywych stożkowych. Stopień równania linii krzywej w spółrzędnych prostej stycznej do tejże linii stanowi klasę linii krzywej, a zatem: Krzywe drugiego rzędu są zarazem hr żywe mi drugiej klasy.

Z równania krzywej stożkowej w spółrzędnych punktu (x, y), otrzymamy więc jej równanie w spółrzędnych linii prostej (u, w), jeżeli zastępując w niem x, y przez u, v, zastąpimy zarazem jego spółczynniki aik przez dotyczące minory aik wyznacznika: D — \ aik |, (i, k= 1, 2, 3).

a:²

22. Przykłady. W równaniu elipsy :    — 1 = 0, mamy :

4’°’ ⁰

I) =

"p"’ ⁰ ’

0, 0, -1

zatem :

, «₁₁=a₁.₂=ot₁3 = a₂₃ = 0,

«22 —    «33

otrzymujemy zatem równanie elipsy w spółrzędnych linii prostej, w postaci:

a² b²

a²

r²

b²

a²

a²b²

a²««² -}- &²-y² —1 = 0. Podobnie znajdziemy równanie hiperboli kształtu: linii prostej {u, v) w postaci :

0,

y'¹

czyli :

(36)

w spółrzędnych

«²îP² — b²v² = 1.

(37)

W równaniu paraboli kształtu: y²—2px=^0, mamy wyznacznik:

0, 0, -0, 1, —p. o,

zatem: au= a₃₃ = a₁₂ = a₂₃ = 0, a₂₂=—P², «13 =Vi

otrzymujemy zatem równanie paraboli w spółrzędnych linii prostej (u, »), w postaci : —p² v²-\- 2pu = 0, czyli :

p v² — 2 u — 0.

(38)

ćwiczenia LII.

1)    Jeżeli przez którykolwiek punkt P płaszczyzny poprowadzimy wszystkie możliwe promienie, a na każdym z nich wyznaczymy czwarty punkt harmoniczny do punktu P i do dwu punktów przecięcia M, M‘ tego promienia z krzywą rzędu drugiego , dowieść, że wszystkie te punkta leżą na linii prostej, biegunowej punktu P.

2)    Znaleźć biegunową punktu (—5, —7), ze względu na krzywą:

2y² — lQxy—§x — Ay -j- 21 =0.

3)    Jeżeli punkt P leży na biegunowej q punktu Q, dowieść, że także biegunowa p punktu P przechodzi przez punkt Q.

4)    Jeżeli punkt Q porusza się po biegunowej p punktu P, dowieść, że biegunowa q punktu Q obraca się około punktu P.

5)    Jeżeli prosta p obraca się około jednego z jej punktów Q, dowieść, że jej biegun P porusza się po biegunowej q tegoż punktu.

G) Dowieść, że biegunowa punktu przechodzi przez punkta styczności obu stycznych do krzywej rzędu drugiego, z tegoż punktu wykreślonych.

7)    Dowieść, że biegunową punktu, położonego na krzywej, jest styczna w tym punkcie do krzywej wykreślona.

8)    Znaleźć biegun prostej: 5x—y-f- 4 = 0 , ze względu na krzy wę :

Ax'¹— y² -f- 2xy + 6x + 2y + 3 = 0.

9) Wykazać, że biegun prostej : Ax -f- By + C= 0, ze względu na krzywą: «ii*s + «22^² + ²«i2»^ + 2a₁₃x-|- 2 any-\- a₃₃ = 0,

ma spółrzędne:

A, B, C

y «12)    «22 ) «23

«13)    «23) «33

«11,    «12) «13

B, C

«13,    «23) «33

«u, a₁₂, als gdzie: D= «u, «22, «23

«13, «23, «33

10)    Wykazać , że biegunowe wszystkich punktów dowolnej prostej przechodzą przez biegun tej prostej.

11)    Dowieść, że bieguny (x, y) wszystkich, przez punkt (Ç, *)) przeprowadzonych prostych leżą na biegunowej punktu (Ç, tj).

12)    Jeżeli z punktu P płaszczyzny danej krzywej stożkowej wyprowadzimy jakąkolwiek sieczną a w jej punktach przecięcia z krzywą wykreślimy styczne do tej krzywej, wykazać, że te pary stycznych przecinają się na biegunowej punktu P.

13)    Wykazać , że biegunowa punktu P ma kierunek sprzężony ze średnicą krzywej, przez punkt P przechodzącą.

14)    Wykazać, że średnica krzywej drugiego rzędu, przeprowadzona przez dany punkt P, cięciwę styczności, odpowiadającą temu punktowi, dzieli na dwie równe części.

15)    Dowieść, że biegunem nieskończenie dalekiej prostej względem wszelkiej krzywej drugiego rzędu jest środek tej krzywej.

16)    Dowieść, że biegunem średnicy danej krzywej stożkowej jest nieskończenie daleki punkt średnicy, z pierwszą sprzężonej.

17)    Jeżeli przez punkt P wyprowadzimy dwie sieczne do krzywej drugiego rzędu, wykazać, że proste, łączące parami ich punkta przecięcia się z krzywą, przecinają się w punktach, położonych na biegunowej punktu P.

18)    Wykazać, że w zupełnym czworokącie, wpisanym w krzywą stożkową, punkt przecięcia jednej pary boków przeciwległych jest biegunem prostej, przechodzącej przez punkta przecięcia się dwu pozostałych par boków przeciwległych.

19)    Wykazać, że w czworoboku zupełnym, opisanym na krzywej drugiego rzędu, każda przekątnia jest biegunową punktu przecięcia się dwu pozostałych przekątni.

20)    Znaleźć krzywą wzajemnie biegunową do krzywej: Ax² + By"¹ = 1, ze względu na koło x² Ą- y² = 1.

21) Jeżeli przez punkt P poprowadzimy dwie cięciwy, z których pierwsza przecina krzywą drugiego rzędu w punktach: Mu M\, druga w punktach: M2l M\. wykazać, że PMX. PM\

stosunek:

runku cięciw.

PM₂. PM\

nie zależy od położenia punktu P, a tylko wyłącznie od kie-

22)    Wykazać, że iloczyny odcinków, dwu przecinających się cięciw w krzywej drugiego rzędu, mają się do siebie tak, jak kwadraty średnic równoległych do tych cięciw.

23)    Dowieść, że równanie krzywej drugiego rzędu, odniesione do jej średnic sprzężonych, ma taki sam kształt, jak równanie, odniesione do jej osi.

24)    Wykazać, że, równoległobok , opisany na krzywej drugiego rzędu, o bokach równoległych do średnic sprzężonych, ma stałą powierzchnię.

25)    Wykazać, że , suma kwadratów dwu średnic sprzężonych jest stałą.

26)    Wykazać, że, przerabiając równanie krzywej drugiego stopnia, odniesione do pewnego układu prostokątnego na równanie, odniesione do dowolnego innego układu prostokątnego nie zmieniamy wartości wyrażeń: «11+022 i «n«22—«²i2-

27)    Wykazać, że, przerabiając równanie krzywej drugiego rzędu, odniesione do pewnego układu ukośnokątnego y, na równanie, odniesione do dowolnego innego układu ukośnokątnego, nie zmieniamy wartości wyrażeń :

«11 «22 — «²12

sin² y

«11 ~j~ «22    2«i 2 cos y

sin² y

28) Równanie krzywej środkowej kształtu: aua?²-f a₂₂y²-f-2«₁₂a;y-f a₃₃ =0 sione do układu ukośnokątnego (y), przerobić na równanie odniesione do osi tejże linii

odnie-

krzy wej.

29)    Równanie krzywej środkowej kształtu: ICte²-j-5æ²-f ■ 6xy—10 = 0, odniesione do układu o kącie y, gdzie cosy=³/₅, przerobić na równanie, odniesione do układu osi głównych tejże linii krzywej.

30)    Jaki kształt będzie miało równanie krzywej kształtu: *²-f «/² — 3a;y-j- 1 = 0, odniesione do układu o kącie osiowym: y=60°, jeżeli je odniesiemy do układu osi krzywej.

31)    Wykazać, że równanie: «h*²-!- «₂₂y² + 2a^xy-\-2aux -fi 2a₂₃y -fi a₃₃ = 0 , odniesione do dowolnege układu ukośnokątnego , przedstawia parę prostych , skoro wyznacznik :

= 0.

«11) «12) «13 «12? «22) «23 «13) «23) «33

32) Wykazać, że miejscem geometrycznem wierzchołka kąta prostego, którego ramiona są styczne do krzywej środkowej drugiego rzędu, jest koło z tą krzywą współ-środkowe.

33)    Wykazać, że wszystkie prostokąty, opisane na krzywej środkowej drugiego rzędu są wpisane w jedno i to samo koło.

34)    Wykazać, że przekątnie każdego równoległoboku, opisanego na krzywej drugiego rzędu, są średnicami sprzężonemi tej krzywej.

35)    Wykazać , że cięciwy, łączące jakikolwiek punkt krzywej drugiego rzędu z końcami jej średnicy, tworzą parę kierunków sprzężonych.

36^ Między ramionami kąta X0Y=j, porusza się prosta AB o stałej długości: d — b -f-«, jaką krzywą opisze punkt P tej prostej , skoro : PB = a, PA = b.

37)    Dane są dwie proste, przecinające się, o równaniach: y — 0, y—mx; jakie jest geometryczne miejsce punktu P, który ma tę własność , że różnica z kwadratów odległości jego od obu danych prostych , ma stałą wartość : d².

38)    Daną jest prosta: y—x, jaką krzywą opisuje punkt P, skoro suma kwadratów jego odległości od tej prostej i od osi y-ów równa jest d².

39)    Przyjmując wierzchołek A trójkąta ABC, jako początek układu, a bok AB, jako oś a>ów, wyznaczyć drogę, jaką opisze środek ciężkości trójkąta ruchomego, który niezmierna wielkości boku BC — a i kąta wierzchołkowego a.

40)    Jaką drogę opisze punkt przecięcia się wysokości trójkąta ABC pod. w zag. 39. o stałej podstawie AB=c, jeżeli wierzchołek C porusza się po prostej: y — mx-\-b.

41)    W jaką krzywą zmieni się koło: x²-\-y² = r², jeżeli odcinek x każdego punktu powiększymy o n-tą część dotyczącej rzędnej y.

Rozwiązania LII. 2) 38*-37y + 22= 0. 3) (-4, -7). 20) j + ^ = 1- ²⁹) 16*² +

-}-41y² = 32. 30) x'¹—15y²=3. 36) Elipsa: b²x²-\-a²y²—2abxy cos y = a²b². 37) Hiperbola: m²x²— m²y²— 2 mxy — d² (1 -fi w²) =0 , lub hiperbola: m²x²—m²y²—2 mxy-\- d²{\ -firn²) = 0. 38) Elipsę: 3a:²-j-y²—2xy—2d² = 0. 39) x'¹ -j- (1 + 4cotg²«)y²— Axy cotg a—y₉a² = 0, (elipsa).

40) x² -f- mxy—cxby = 0, (hiperbolę, gdy m ^ 0, parabolę, gdy: m = 0). 41) W elipsę: x² -j- (1 -f- n²) y² + 2nxy — r²= 0.

Literatura. Matematyka kurs I. podług wykładów Dr. Placyda Dziwińskicgo w c. k. szkole politechnicznej we Lwowie z roku naukowego 1885—1886. Część II. A. Geometrya analityczna na płaszczyźnie. We Lwowie, Autografia, 1886. B. Niewen-g 1 o w s k i , Cours de Geometrie analytique. Tome I Sections coniques. Paris 1894.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Teorya biegunów i biegunowych ze względu na daną krzywą drugiego l-zędu.

2.    Teorya krzywych wzajemnie biegunowych.

3.    Ogólna dyskusya krzywych drugiego rzędu, odniesionych do układu ukośnokątnego.

¹

przedstawia koło, jako elipsę, w której dowolne dwie średnice prostopadłe są ze sobą sprzężone, a więc są osiami głównymi krzywej.

.    .    «11 «22— «²i 2

Wreszcie jeden pierwiastek równania (25) będzie zerem, skoro będzie:--

a więc: anan —«²i2 =0, t. z. skoro krzywa, określona równaniem ogólnem do układu y od-niesionem , będzie krzywą bezśrodkową.

Wykład LIII.

Ogniska i kierownice krzywych drugiego rzędu.

1. Krzywe rzędu drugiego, jako miejsca geometryczne punktów, którycli odległości od danego punktu i od danej prostej pozostają w stałym stosunku.

Szukając punktu, którego odległości od stałego punktu i stałej prostej pozostawałyby do siebie w stałym stosunku, otrzymamy, jako miejsce szukanego punktu, pewną krzywą drugiego rzędu.

Niech będą bowiem a, ß współrzędne danego punktu F; Ax-\-By-\- C=0, równaniem stałej prostej MN odnośnie do pewnego układu prostokątnego, wówczas będą odległości dowolnego punktu P płaszczyzny od punktu F i prostej MN określone wzorami :

Ax -f By + C

V A*+B²

PF = \/{x—a)²+ {x—ß)², PQ ■=

skąd, oznaczywszy przez e stały stosunek: szukanego punktu w postaci :

PF

PQ’

otrzymamy równanie miejsca

V/(z-a)²+(y-/?)² =

VA² + B²

(1)

czyli równanie drugiego stopnia :

(x—a)² + (y—ß/‘²=

które przedstawia z powodu, że: aua₂₂ - a²₁₂=4 (1 —e²), elipsę, hyperbolę, lub parabolę, stosownie do tego, czy stały stosunek e jest większym od 1, mniejszym od 1, lub równym 1, fig. 529., 530., 531.

e\Ax-\- By + C)²

A²+B²

(10

M N.

Si

fp'

Fig. 529.

Fig. 530.

Fig. 531.

2. Określenie ogniska i kierownicy danej krzywej rzędu drugiego.

Mając, nawzajem, daną krzywą drugiego rzędu, możemy żądać wyznaczenia na płaszczyźnie takiego puntu F i takiej prostej MN, aby stosunek

jest w istocie ilością stałą.

3. Poszukiwanie ogniska i kierownicy w krzywych drugiego rzędu

sprowadza się więc do wyznaczenia takiego punktu F, którego odległość od dowolnego punktu P krzywej byłaby funkcyą liniową spółrzędnych x₁ y punktu F

Niech będzie:

(2)

odległości każdego z punktów krzywej od punktu F i prostej MN był ilością stałą. Punkt taki nazywamy ogniskiem, a prostą kierownicą krzywej drugiego rzędu.

Przyjmijmy, że dla pewnej krzywej drugiego rzędu, odniesionej do układu osiowego y, znaleźliśmy w jakiś sposób ognisko i kierownicę, t. z. punkt o współrzędnych a, ß i prostą o równaniu: Ax -j- By -f C= 0

mające

t f    PF

własność, że stosunek — jest równy stałej ilości e. Weźmy teraz dowolny punkt x, y krzywej, to odległość jego od kierownicy MN będzie:

^    (Ax-\- By-\- C) sin y

⁽ ~VA²+B²-2ABcosy

przeto odległość od ogniska:

pF    e(AxĄ By ĄC) sin y

V'A² AB²—2,AB cos y ’

(a)

Stąd wniosek: Odległość ja/ciegokohoiek punktu F(x, y) krzywej od ogniska F wyraża się przez funkcyę całkowitą pierwszego stopnia w spółrzędnych x i y. Własność tę ogniska przyjmuje się często za jego określenie. Według tego określenia nazywa się ogniskiem krzywej drugiego stopnia taki punkt na płaszczyźnie, którego odległość od dowolnego punktu krzywej jest liniową funkcyą spółrzędnych tegoż dowolnego punktu.

Jeżeli istnieje punkt F o takiej własności, to istnieje także prosta MN posiadająca własność, że stosunek odległości każdego z punktów krzywej od punktu F i prostej MN jest stały. Skoro bowiem PF — Ax-j-By + C, tedy równanie: AxĄ-By Ą-C=0, przedstawia prostą, której odległość od dowol-

(AxĄ-By-f C) sin y

nego punktu xy będzie określona wzorem : PQ = wypływa, że stosunek :

Y/A² A B²—2 A B cos y '

skąd

PF _ \/A² AB² — 2 A 7?cos y

BQ

sm y

iP)

ax ! x² ~f a₂ 2 y²+*2a₁₂ xy •+ 2 a₁₃ x+2a2 3 y + a?> 3 = 0 równaniem krzywej drugiego rzędu, odniesionem do układu prostokątnego. Oznaczmy przez a, ß spółrzędne ogniska, tedy spółrzędne każdego punktu krzywej muszą czynić zadość równaniu :

V(x—ct)²-\-(y—/?)²=Ax + ByA    czyli: (x — a)² Ą-(y—ß)²—(Ax-\-By + C)²=0. (2')

Równania (2) i (2') mają przedstawić tę samą krzywą, spółczynniki odpowiednich wyrazów obu równań muszą więc być do siebie proporcyo-nalne. Wskutek tego otrzymamy na wyznaczenie 5 niewiadomych współczynników : a, /?, A, B, C pięć równań :

1-^ł² 1 -B² —AB —{a A AC)    —(ß + BC) a² + ß²-C²

«11

a22

a\ 2

a?.?,

■ (3)

Dla uproszczenia rachunku weźmy pod rozwagę oddzielnie każdą z trzech krzywych drugiego stopnia, odniesioną do najprostszego układu.

gę 2    ^ i 2

4. Ogniska i kierownice elipsy : ^ + '{-₂

= 1.

Równanie 2) nie może w tym razie zawierać spółczynników przy xy, x i y, będzie przeto:

/1Z?=0, a-\-AC=0, /?+-RC'=0.

(4)

a więc, albo: B=0, « + ^4(7=0, /?=0, albo ^4=0, «=0, ß+BC= 0. Załóżmy najpierw, że: B—0, a więc: a-f-^4C=0, /?=0. Równania 3) będą miały tedy kształt :

a² (1—A²)=b²=C²—a²

(5)

skąd dostaniemy :

Va²-b²

A= —-

a = ±Va²—b², C=~ -“= + «, 5=0, ß=0.

Æ

(5')

Elipsa ma więc dwa ogniska :

(a—Va²--^², ß=0) i F₂(a = -V^-~b², 0=0),

położone na wielkiej osi w jednakowem oddaleniu od środka i dwie kiero-

. Va² — b²

wince

których równania :

Va²-b²

x=a i

x——a, za podstawieniem

a²

a²—b²—c², otrzymują kształt: x=A— i przedstawiają dwie proste, prostopadłe do osi wielkiej w równej odległości od środka.

Chcąc wykreślić ogniska elipsy, potrzebujemy, ze względu na to, że: cc= + V0,2—&², ß — 0 , z końca osi małej zakreślić koło promieniem —a, punkta Fi i F₂, w których koło przetnie oś wielką, będą tedy ogniskami

elipsy. Chcąc zaś wyznaczyć kierownice elipsy, musimy wykreślić wyrażenie : a2

X—+-. W tym celu wykreślmy koło nad wielką osią elipsy, w ognisku F

wystawmy prostopadłą do tej osi, ta prostopadła przetnie koło w E; styczna do koła w punkcie E przetnie oś wielką w punkcie Z), przez który przechodzić będzie kierownica MN, odpowiadająca ognisku F; podobnie znajdziemy kierownicę M'N‘, odpowiadającą ognisku F₂, fig. 532.

M.

»,

/A

K..

TA

N,

.......

",

N.

Fig. 532.

Fig. 533.

Fig. 534.

Stały stosunek £=VOł² + 2?2 żywa się mimośrodem elipsy.

Va² —b²

jest mniejszym od 1 i na-

Załóżmy teraz, że w równaniach 4) jest A=O, a więc: 05 = U, /? + RC=0, wówczas sprowadzają się równania 8) do następujących:

(6)

a²=b²(l-B²)=C²-ß²,

które dają :

— , ß=JrV'b²— a²,

G= + b.

(6')

Wartości B i ß są jednakże z powodu, że:    urojonymi.

W elipsie istnieją więc cztery grupy wartości: a, ß, A, B,C: czyniące zadość równaniom (8), jednakże tylko dwie grupy rzeczywiste, dające ogniska i kierownice elipsy.

5. Odległość ogniska od jakiegokolwiek punktu elipsy wyraża się wzorem

cx_

— a a

cx

dla punktów elipsy, wyrażenie — jest bezwzględnie mniejszem od a, dwie

Cl

wyznaczające odległości punktu

r= + (Ąx-\- By-\- C). a więc: r— +

otrzymamy więc , ze względu, że

wartości dodatnie :

cx

ot

rĄ — a--, r₀ = a d—

¹    a ²    a

elipsy od dwóch ognisk F i Fx .

Dodawszy te wartości, otrzymamy rx\r₂—2a t. zn.: Suma odległości każdego punktu elipsy od dwóch ognisk jest ilością stałą i równą wielkiej osi.

6. Nietrudno na tej podstawie wykazać prawdziwość następujących

wniosków.

a)    Suma odległości każdego punktu wewnątrz elipsy od dwóch ognisk jest mniejszą od wielkiej osi; suma odległości punktu zewnętrznego większą od wielkiej osi, (fig. 534.). PFX Ą-PF₂ = 2a , WFX + WF₂ <C 2a, ZFi -\-ZF₂ >> 2a.

b)    Odległość jakiegokolwiek punktu elipsy od jednego ogniska równa się odległości prostopadłej tego punktu od koła, zakreślonego z drugiego ogniska, jako środka, promieniem równym wielkiej osi, (fig. 533.) PFX + PF₂=^2a, PFX=PM, F₂M^2a.

= 1.

7. Ogniska i kierownice hiperboli:

Rachunek, prowadzący do wyznaczenia ognisk i kierownic hyperboli będzie tu taki sam, jak przy elipsie, wystarczy tylko w nim b² zastąpić przez —b². W ten sposób otrzymamy na wyznaczenie a, /?, A, B, C, dwa rozwiązania rzeczywiste :

a=±Va² + b², —0, A=

\/a2jr b²

, B=0,

(7)

i dwa urojone:

_ S/n^Ą-h²

a=0, ß = + Va²Ą-b²i, A=0, B —--

C= + bi.

(70

Dwa pierwsze rozwiązania dają dwa ogniska rzeczywiste Fx i F₂, poło-żone na osi poprzecznej po obu stronach środka w odległości: \/a²-\-b²=c. Takowe otrzymuje się, odcinając na osi poprzecznej długości: OF=OF‘=OE. Kierownice, odpowiadające tym ogniskom, będą przedstawione równa-

mami :

— xFa=0, czyli: x a —

Położenie kierownic otrzymuje się, zakreślając z punktu O promieniem OA koło, które przetnie asymptotę OS w punkcie Mi, prostopadła MXDX do osi poprzecznej, będzie tedy jedną kierownicą, odpowiadającą ognisku Fi, podobnie będzie iłf₂Z)₂ drugą kierownicą, odpowiadającą ognisku F₂.

D,

rr*;

■srr

Tk

Fig. 536.

Fig. 537.

Fig. 538. hiperboli jest tu więk-

Fig 535.

Stały stosunek e = VA² + B² — szym od jedności.

8. Odległość ogniska od jakiegokolwiek punktu hyperboli wyraża się tu przez r = +(Ax + By + C), a więc:

Va² A b²

r=±(^±A,

otrzymamy

cx

więc, mając na uwadze, że dla punktów hyperboli ilość — jest bezwzglę-

d

COC    coc

dnie większą od a, dwie wartości dodatnie: r, —--a, r₂ =—\-a, wyznacza-

jące odległości punktu P hyperboli od dwóch ognisk Fi i F₂, fig. 536. Od-jąwszy od siebie te wartości, otrzymamy : PF₂ — PFi=ri — ri*=2a, t. zn. Różnica odległości każdego punktu hiperboli od dwóch ognisk jest ilością stałą, równą osi rzeczywistej w hyperboli.

9. Na tej podstawie nietrudno wykazać prawdziwość następujących wniosków :

a)    Różnica odległości punktu, położonego między dwiema gałęziami hyperboli, od dwóch ognisk jest mniejszą od osi poprzecznej, dla punktu położonego po innej stronie hyperboli zaś większą od osi poprzecznej. Fig. 537. PF₂ - PFi = 2a, ZF₂—ZFi < 2a, WF₂ — WFi > 2a.

b)    Odległość jakiegokolwiek punktu hyperboli od jednego ogniska, równa się prostopadłej odległości tego punktu od koła, zakreślonego z drugiego ogniska, jako środka, promieniem równym osi poprzecznej. Fig, 150. PF— PFX =2« , PF₁ = PF— 2a = FM.

10. Ognisko i kierownica paraboli : y²=2px.

będzie przeto :

Ponieważ, dalej, współczynnik przy y i wyraz wolny są zerami, przeto

ß=0, a²— C²=0.

Równanie paraboli nie zawiera współczynnika przy xy, ani przy Æ², AB=0, 1—A²=0, a więc: A = 1, B=0.

otrzymamy :

Równania (3) sprowadzają się przeto do postaci: a + O = p, wskutek tego otrzymamy: a²— C²=p(a — G) = 0, czyli: a — C=0, a więc:

n P a C a •

Mamy więc tylko jedno rozwiązanie:

a=Ęr-, ß=0, A=l, B=0, C=-

A

Parabola ma więc tylko jedno ognisko:    y=0^, położone

osi i oddalone od wierzchołka paraboli o połowę parametru: p. Kierownica, odpowiadająca temu ognisku, ma równanie:

* + Y“⁰, czyli : x=

jest więc prostą MN, prostopadłą do osi paraboli w odległości: OD=OF.

na

(9)

44

■4

In

Fig. 539.

Fig. 540.

Stały stosunek : £ —

PF

— \/Al + B² = 1, wszelki punkt paraboli jest

więc równooddalony od ogniska i kierownicy, (fig. 539.).

Na tej podstawie nietrudno wykazać, że wszelki punkt W wewnątrz paraboli jest bliższym ogniska, niż kierownicy, wszelki zewnętrzny punkt Z zaś, przeciwnie, bliższym kierownicy, niż ogniska, (fig. 540).

11. Konstrukcja stycznj'ch i normalnych do elipsy przy pomocy ognisk. Niecli będzie P dowolnym punktem elipsy o spólrzędnych x‘ y', PT styczną w tym punkcie, a PN normalną, wówczas będzie: F₁N=FiO—ON, F₂N=F₂0-p ON.

Z równania normalne] :

PQ

y —y'=

wypada dla y = 0:

x — x‘ —

b-x‘ (a²— b'l)x'

c² x'

a²

a²

e²x⁴ = ON,

przeto będzie :

FXN — c — e²x‘ t=e(a — ex'), F₂N= c -f- £²#' — e (a -f- ex'), zkąd, ze względu na to, że na mocy art. 5 str. 7B0. :

r₁=F₁P=a — ex‘, ri — FiP= a + ex‘ ,

dostaniemy :

FiN— e . FtP, F^N=e ,F₂P, przeto:

FtN F,P ' J\N _ h\P

Ir,

P,

Ki

F.

a'

iN

r.

Fig. 541.

Fig. 542.

Normalna w punkcie P dzieli więc odległość między ogniskami na dwie części, które mają się do siebie, jak przyległe promienie wodzące tego punktu, tern samem dzieli też kąt, między promieniami wodzącymi zawarty, na dwie równe części. Ztąd wniosek: Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

- 754 —

Styczna i normalna w punkcie elipsy są dwójsiecznymi kąta, zawartego między promieniami wodzącymi , łączącymi ten punkt z ogniskami elipsy.

Przedłużmy teraz promień wodzący F,P o długość PM — PF₂, (fig. 542.), wówczas będzie styczna PT, dzieląca kąt F₂PM na dwie równe części, prostopadłą w środku J prostej MF₂, przeto będzie : OJ — ^ FiM— a , t. zn. : spodek prostopadłej z któregokolwiek ogniska na styczną do elipsy leży na obwodzie koła, wykreślonego nad osią wielką elipsy.

Na powyższych zasadach polegają kostrukcye stycznych do elipsy.

1)    Danym jest punkt styczności jP. Łączymy tedy punkt P z ogniskami, przedłużamy promień wodzący PF₂ o długość PM=PFi ; prostopadła z punktu P do prostej MF, będzie tedy szukaną styczną, (fig. 543.).

2)    Danym jest punkt jP zewnątrz elipsy. Z punktu F₂, jako środka, opisujemy koło promieniem równym osi wielkiej, a z punktu P, jako środka, promieniem równym odległości tego punktu od ogniska F1: oba koła przecinają się w punktach: IIx i Il₂, które, połączone z ogniskiem P₂, dają proste F₂IIX i F₂H₂, przecinające elipsę w punktach M, i M₂, proste PM] i PMj będą dwiema szukanymi stycznymi ; są one widocznie prostopadłe do prostych F]H] i F]II₂, a więc mogą być wykreślone, chociażby elipsa nie była narysowaną, a tern samem punkta Mx i M₂ naprzód wyznaczone, (fig. 544.).

v/\ /

■J-

JL

''' >6

Ji

H.V

Fig. 543.

Fig. 544.

Fig. 545.

3) Dany kierunek stycznej. Z ogniska Fx, jako środka opisujemy koło promieniem równym osi wielkiej, z drugiego zaś ogniska F₂, kreślimy prostą prostopadłą do danego kierunku AB, prosta ta i koło przetną się w dwóch punktach IIx i H₂, które, połą. czone z ogniskiem F,, dają proste II,F, i H₂FX, przecinające elipsę w punktach M, i M₂, przez które przechodzą styczne JXMX i J₂M₂ równoległe do AB. Ponieważ te styczne są prostopadłe w środkach prostych F₂H, i F₂H₂, przeto mogą hyć wykreślone, chociażby elipsa nie była narysowaną, a tern samem punkta Mx i M₂, naprzód wyznaczone, (fig. 545.)

Do podobnych wyników dojdziemy przy hiperboli.

12. Konstrukcya stycznych i normalnych do hiperboli przy pomocy jej ognisk. Niech będzie P(xJ, y') dowolnym punktem hiperboli , PT styczną , a PN normalną w tym punkcie, (fig. 54G.), wówczas otrzymamy :

F]N= ON— OFt, F₂N= 0N-{- of₂,

r/

T A\ F.

f;

Fig. 546.

Fig. 547.

cfîyê

Z równania normalnej w punkcie: (®', yj: y—y‘—--—₂^—(* — x‘), znajdziemy dla y = 0,

3) Dany kierunek stycznej. Z ogniska Fj, jako środka, opisujemy koło promieniem 2a, a z drugiego ogniska F₂, wykreślamy prostą, prostopadłą do danego kierunku MN, prosta ta przetnie koło w punktach: Ht i H₂, prostopadłe w środkach odcinków: F₂11X i F₂H₂, będą szukanemi stycznemi. Punkta styczności Px i P₂, otrzymamy z przecięcia otrzymanych stycznych z prostymi: Fj Hx i I\ i/₂, (fig. 550).

13. Konstrukcye stycznych i normalnych do paraboli przy pomocy jej ogniska. Kon-

na-

b^x* a²4-ô2 ~ö2 = a2 =

F^N= z²x' — c ±== e (sa:' — a),

F₂N— s²#' — c = s (sa:' -{- a), skąd, ze względu, na to, że: r, — FXP= s a:' —a, r₂ = F₂P = sx'-{- a,

F^N F₂N

odcinek :

x — x‘

c²

x‘ = s²a:' = OJV, aL

przeto będzie

dostaniemy :

Fi N= z. FiPj F₂N— z.F₂P, przeto :

Styczna i normalna w punkcie hiperboli są więc dwójsiecznymi kąta, zawartego między promieniami wodzącymi, łączącymi ten punkt z ogniskami hiperboli.

Odetnijmy teraz na promieniu wodzącym F₂P długość: PM— PFX, (fig. 547.), wówczas będzie styczna PT, dzieląca kąt Fj PF₂ na dwie równe części, prostopadłą w środkn J prostej MI przeto będzie: OJ — ' F₂ M — a, t. zn.: Spodek prostopadłej z ktôregokoliviek ogniska na styczną do hiperboli, leży na obwodzie koła, wykreślonego nad osią poprzeczną hiperboli

Na podstawie tych własności wykonują się konstrukcye stycznych, do hyperboli zupełnie, jak przy elipsie.

1)    Dany jest punkt styczności I*. Łączymy tedy punkt P z ogniskami, to prosta PT, dzieląca kąt I\PF₂ na dwie równe, części będzie szukaną styczną , (fig. 548.).

2)    Dany punkt I* między gałęziami hiperboli. Z ogniska F₂, jako środka, opisujemy koło promieniem 2«, a z punktu P, jako śi*odka promieniem PFj, koła te przecinają się w punktach //, i 7/₂. Z punktu P, wykreślone prostopadłe do prostych FXH, i FXH₂, będą szukanemi stycznemi, (fig. 549.).

/ */ w /

/fi

f \N

-nTr.

<\\

Fig. 548.

Fig. 549.

Fig. 550.

strukcyą stycznych do paraboli można łatwo wywnioskować z tego, cośmy powiedzieli o elipsie i hiperboli. Uważając pai^abolę, jako elipsę, lub hyperbolę, której drugie ognisko leży na osi w odległości nieskończenie wielkiej od wierzchołka, otrzymamy najpierw stępujące dwa twierdzenia:

1)    Styczna i normalna do paraboli w danym punkcie są dwójsiecznymi kątów, które promień wodzący, łączący ognisko z tym punktem, tworzy z prostą równoległą do osi, przez tenże punkt przechodzącą.

2)    Spodek prostopadłej, spuszczonej z ogniska na styczną do paraboli, leży na stycznej, w wierzchołku paraboli

Na tych własnościach opierają się konstrukcye stycznych do paraboli.

1)    Dany punkt styczności P. Użyć tu możemy dwóch sposobów :

a)    Łączymy punkt M z ogniskiem F, odcinamy na osi długość: MF=FT i prosta MT będzie tedy szukaną styczną , (fig. 551.).

b)    Wykreślamy z punktu M prostopadłą MN do kierownicy i łączymy punkt N z ogniskiem, prostopadła do prostej NF, będzie tedy szukaną styczną, (fig. 552).

2)    Dany punkt P zewnątrz paraboli. Z punktu P, jako środka, opisujemy koło promieniem, równym odległości tego punktu od ogniska ; koło to przetnie kierownicę w dwóch punktach Ht i i/₂, z których wyprowadzone równoległe do osi, przecinają parabolę w szukanych punktach styczności Mt i 4f₂, (fig. 553.). Styczne PMX i PM₂ są zarazem prostopadłe do prostych: FHX i FH₂, mogą być zatem wykreślone, chociażby parabola nie była wykreślona , a tylko dane jej ognisko i kierownica.

H—

ÜL

I, M\

i........

Fig. 551.

Fig. 552.

Fig. 553.

Fig. 554.

3) Dany kierunek PQ stycznej. Z ogniska F wykreślamy tedy prostą, do danego kierunku PQ prostopadłą, aż przetnie kierownicę w punkcie H; prostopadła w środku odcinka IIF będzie tedy szukaną styczną , (fig. 554.).

14. Krzywe spółoguiskowe. Krzywe drugiego rzędu nazywają się spół-ogniskowemi, jeżeli mają wspólne oba ogniska. Przyjmijmy prostą, łączącą oba ogniska za oś X-ów, a prostopadłą w środku odległości ognisk za oś K-ów, wówczas przedstawi się równanie wszelkiej krzywej rzędu drugiego, mającej dane ogniska , w postaci :

(10)

, yl X2 1 X²—c²

gdzie X jest dowolną liczbą rzeczywistą, a 2c odległością ognisk. Każdej z wartości na À odpowiada inna krzywa. Dla X²^>c² otrzymujemy elipsę, dla P<^c² zaś hiperbolę, a dla X² — c² linię prostą i to oś X-ów, dla ź=-0, zaś oś K-ów. Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzą zawsze dwie krzywe, mające dwa dane ogniska, jedna z nich jest elipsą, druga hiperbolą.

Niech będą bowiem x\ y\ spółrzędne dowolnego punktu M na płaszczyźnie , to punkt ten leży na pewnej krzywej rodzaju (10) skoro :

x‘²

= 1,

X² ^ p-p

X. A

B.

czyli :

4 f, u,_x

X²(X²— c²) — (X² — c²)x‘²—X²y‘²=0.

Równanie to jest ze względu na X2 drugiego stopnia, daje więc na X² dwie wartości: X²i i X²₂. Mając na uwadze, że wielomian równania ma dla X²=co war-

tośó dodatnią, dla X²=c² ujemną, a dla X²—0, znowu dodatnią , poznamy, że jeden pierwiastek X²₁ tego równania leży między go i e², a drugi X²₂ między c² i 0. Otrzymamy tedy dwa równania :

-i,£‘

Fig. 555.

X\-c²

które przedstawiają dwie krzywe spółogniskowe, przechodzące przez punkt M(x‘,y‘); jedna z nich jest, ze względu na to, że 2²,>c² elipsą, druga zaś, ze względu na to, że: X\<lc², hyperbolą.

X²

X\-c²

Dwie krzywe spółogniskowe, elipsa i hiperbola, przechodzące przez ten sam punkt przecinają się zawsze pod kątem prostym. Skoro bowiem krzywe mają punkt P wspólny i wspólne ogniska Fx i F₂, to dwój sieczna kąta FiPF₂ jest normalną do jednej i PT do dwóch krzywych spółogniskowych są więc do siebie prostopadłe, czyli krzywe spółogniskowe przecinają się pod kątem prostym.

styczną do drugiej krzywej. Styczne PN

a zarazem

15. Spółrzędne eliptyczne punktu. Przyjmijmy na płaszczyźnie punkt P(x, y)₇ natenczas, na wyznaczenie krzywej, należącej do pęku krzywych spółogniskowych , określonego równaniem :

X¹

a¹—

otrzymamy równanie warunkowe:

W-A

-1,

(U)

, y¹²

a?-A ^ b²—A

x‘²

= 1,

które prowadzi do równania drugiego stopnia, ze względu na A, w postaci : A²—(a² + b²—x‘²— y‘²) A-\- (a²b²—b²x'²—a²y¹²)—0.

Jeżeli A i A' są pierwiastkami tego równania, wówczas krzywe współ-ogniskowe , przechodzące przez punkt P(xj yj będą miały równanie:

x²

a²-A

b²— A

X²

a²-

y²

Ï ⁺ b^X/==l’

(12)

Do każdego punktu P(xjy'), należą dwie krzywe współogniskowe, a zarazem dwa parametry ź, Aj przez które nawzajem ten punkt jest określony. Otóż pierwiastki A i A‘ równania:

(13)

A²—(a²-f b²- x‘²—y‘²) A-\-(a²b²—b²x‘²— a²y‘²)=0, nazywamy spółrzędnemi eliptycznemi punktu (xj y‘).

16. Wzory transformacyi spółrzędnyeh Kartezyusza (.x', y') na spółrzędne eliptyczne

(X V). Z równania :

X² — (a² -Ą- b²—x‘² —    ²) A (a²b² — b²xt2—a²y'²)=. 0,

otrzymujemy, na mocy własności pierwiastków równania drugiego stopnia o jednej niewiadomej, następujące dwa rówuania:

X -j- X' = a² -j- b²—x‘² — y‘

XX' — a²b² — b²x‘² — a²y‘²

określające związek między spółrzędnemi Kartezyusza («', «/'), danego punktu P, a jego spółrzędnemi eliptycznemi X, X'.

Wyrugowawszy z powyższych dwu równań y,2₇ otrzymujemy równanie:

XX' — a² (X + X') = a² b² — o² (a² + b²) + (a²—b²) x'²,

(a²—b²) x‘² = «4—(X + X') a² -f XX' = (a² — X) (a² — X').

Wyrugowawszy zaś cc'², dostajemy równanie:

XX' ~ b²Çk -j- X')= a² b² — b²(a² -j- b²) — (a² — b²) y'²,

- (a²- b V*==6⁴ - 0 +X0 ó² + XX' = (&²- X)(&²-X').

Z równań a) i b) wypływają wzory :

czyli :

x'²

(a²—X) (a²—X')

a² — b²

(&²-X)(ó² — X')

a²—b²

(14)

(«)

(P)

określające zamianę spółrzędnyeh eliptycznych X, X' na spółrzędne Kartezyusza x\ y‘.

Kładąc a²—b²=c², a²—X=x<x², a²—X' = a'², b²—X = ß², b²—X'=ß'², przedstawimy powyższe wzory w postaci :

X¹²

r/2

ß²ß'²

(15)

FM — r—a--x—a — ex.

<>

Rzucając łamaną OFM na oś X-ów, otrzymamy:

x = c + r cos cp

przeto będzie :

czyli :

skąd , ze względu na to , że :

x⁴ —

« a'

V‘

ßß'

(16)

czyli :

w której 2a, 2ß i 2a', 28' przedstawiają osie główne obu krzywych współogniskowych, przecinających się w punkcie P(x⁴, y').

17. Równania krzywych drugiego rzędu w spółrzędnych biegunowych, jeżeli biegunem jest ognisko. Przyjmijmy ognisko danej elipsy F za biegun, kierunek osi ku wierzchołkowi bliższemu za oś biegunową (fig. 556.) i oznaczmy przez r, cp, spółrzędne biegunowe punktu. Odległość dowolnego punktu M od bieguna wyraża się, jeżeli krzywa odniesiona jest do osi, wzorem :

r — a — £ (c + r cos (p) a — ce

1 + ecos cp

c²

a² — c²

— = P,

a,

otrzymamy równanie biegunowe elipsy w postaci:

a—CE=a--

(17)

■y —___^

1 + e cos cp *

18. Przyjmijmy ognisko F za biegun , kierunek osi ku wierzchołowi dalszemu za oś biegunową, (fig. 557.) i oznaczmy przez r, <?, spółrzędne biegunowe punktu. Odległość dowolnego punktu M od bieguna, wyraża się, jeżeli krzywa odniesiona jest do osi wzorem:

FM —

i c    i

r — a Ą--x= a -4- eæ.

a

Rzucając łamaną OFM na oś X-ów, otrzymamy: x -J- c— r cos ©, a więc będzie: r — a-\- tx = a    z (rcos © — c),

a — c e

1 —ECOS© 1 — ECOS© otrzymujemy więc równanie biegunowe elipsy w postaci :

(170

1 — £ COS ©

fi

P.

Ar—

h—r

A. X

Fig. 557.

Fig. 556.

19. Weźmy teraz pod uwagę hiperbolę. Przyjmijmy ognisko F za biegun, kierunek osi ku bliższemu wierzchołkowi za oś biegunową i wyprowadźmy równanie bliższej gałęzi hiperboli. Odległość dowolnego punktu M tej bliższej gałęzi od bieguna (fig. 558.), przedstawi się w postaci:

r=—x — a = ex — a;

przyczem, rzucając łamaną OFM na oś X-ów, otrzymamy: x=c—rcos^p, mamy więc :

r=e(c—r cos <jp)— a

czyli: r—

1-f £COS (p

ponieważ jednak:

c²

c²— a² b²

— =p,

a

więc równanie biegunowe naszej łiyperboli przyjmie postać :

ec —a —— . c—a=—- — a =

(18)

v =—--.

1 + £ COS Cp

20. Kładąc na cp wartości od zera do otrzymamy różne punkty, od najbliższego wierzchołka hyperboli Al do punktu Pt.

Gdy © dalej rośnie , aż do wartości takiej, że cos © będzie równem--, to otrzy

mamy różne punkty tejże bliższej gałęzi hyperboli, od punktu Pt począwszy, aż do nieskończenie dalekiego jej punktu oo\.

Gdy © rośnie dalej — promień nasz już nie trafia żadnych punktów bliższej gałęzi, natomiast wsteczne przedłużenie jego trafia różne punkty drugiej — dalszej gałęzi hyperboli , (fig. 558.).

W ten sposób, w miarę wzrastania ©, gdy cos© zmienia się od--do —1, potem

dalej od —1 do nie natrafiamy punktów bliższej gałęzi; dopiero od tej wartości © począwszy, gdy cos cp znowu stanie się--—, otrzymamy nieskończenie oddalony punkt co"₂

naszej bliższej gałęzi ; gdy © dalej rośnie aż do 2tc, otrzymujemy różne punkta dolnej połówki bliższej gałęzi, aż do wierzchołka Ax na powrót.

A,

X.

Mi’

's

w/

°°h

'■ Yrr-«

Tl- «

-V»

'K ó A n

_x_

A*

v~;

00/

Zn-a

•»*

K-fc-r

/ \/

JT-f«*

ix-*

Fig. 558.

Fig. 559.

Fig. 560.

Równanie dalszej gałęzi hyperboli (fig. 558.), odniesionej do tegożsamego układu, możemy podać w innej postaci, w której nie będziemy potrzebowali © brać w granicach:

= -f- — ^ . Otrzymujemy je, na podstawie fig. 559. w następujący sposób :

cos a

Tt—a i r.Ą-a ,

Odległość dowolnego punktu M tej dalszej gałęzi przedstawi się w postaci :

c . ■    .

— x-\- a =i x a. a

przyczem, rzucając łamaną OFM na oś X-ów, otrzymamy : x = rcos cp — c, mamy więc

- 760 —

r—E(rcoso—e)-f-a, r otrzymujemy więc równanie biegunowe dalszej gałązki hiperboli w postaci:

s cos 9 — 1

(180

£ COS 9 — 1

Kładąc na 9 wartości od 0 aż do a, przyczem : cos a = —, otrzymamy różne punkty

górnej połówki owej dalszej gałązki hyperboli, aż do jej nieskończenie oddalonego punktu oo'j. Gdy 9 rośnie dalej, aż do: dalszej gałązki, dopiero wsteczne przedłużenie promienia wodzącego będą trafiać różne punkty bliższej gałązki, ale — dolnej połówki, poczynając od nieskończenie dalekiego jej punktu oo^j, aż do punktu Ri

Gdy 9 rośnie dalej od tz—a do tc + a, wówczas znów natrafiamy wstecznem przedłużeniem promienia , różne punkty bliższej gałązki, od punktu Rx począwszy, aż do punktu i?₂.

Gdy 9 rośnie od rc-j-a do 2r.—a, wówczas znów natrafiamy wstecznem przedłużeniem promienia punkta bliższej gałązki hyperboli górnej połówki od punktu R₂ począwszy, aż do nieskończenie oddalonego punktu jej: oo'₂.

Gdy 9 rośnie dalej od 2rc — a, aż do 2rc, wówczas trafiamy znowu punkta naszej dalszej gałązki — dolnej połówki od nieskończenie dalekiego jej punktu oo"₂, począwszy do wierzchołka At.

21. Odnieśmy naszą hyperbolę do innego układu biegunowego: ognisko i?’niech będzie biegunem, dodatni kierunek osi hyperboli, nie spotykający jednak wierzchołków, jej niech będzie osią a>ów, (fig. 560.). Odległość punktu M od ogniska F wyrazi się wzorem: c

r— —x—a.

r.— a

, wówczas nie natrafiamy na żadne inne punkty owej

Rzucając łamaną OFM na oś cc-w, mamy: x = c-\-r cos 9, a więc:

— (c -4- r cos ce) — a, a    '

c²

ztąd wynika, wobec : — --a — p , równanie biegunowe hiperboli w postaci :

1 — £ COS 9

(19)

Kąt 9 przyjmujemy w granicach od a, (cos a

do —

2

= — ) ) do (2r.— a), wtedy bowiem, gdy kąt 9 od — do »c—«, od j:-« do n, od n do rc+a, od n + a do

od 7C"*_T

do 2r. — a., otrzymujemy różne punkta bliższej gałęzi od punktu oo'j do punktu Pt, od punktu Px do punktu Rx, od punktu Rx do punktu Ax, od punktu Ax do punktu i?₂, od punktu R₂ do punktu P₂, od punktu P₂ do punktu oo'₂. Było to więc równanie pierwszej bliższej gałązki hyperboli.

Gdy jednak 9 rośnie od 0 do a, wówczas tylko wsteczne przedłużenie promienia przecina dolną połówkę dalszej gałęzi hyperboli , kierując się od punktu A₂ do nieskończenie oddalonego oo"j.

Podobnież, gdy kąt 9 rośnie od 2 r.— a do 2n, również tylko wsteczne przedłużenie promienia przecina górną połówkę dalszej gałązki hyperboli, począwszy od punktu nieskończenie oddalonego oo"₂ do punktu A₂.

Równanie dalszej (drugiej) gałązki hyperboli, w tymże układzie biegunowych współrzędnych, może być dane w postaci:

wzrasta od a

(19')

1 + £ cos 9

przyczem n a 9 obieramy wartości w granicach : n — a do x -(- a.

22. Jeżeli krzywa jest parabolą, wtedy przedstawi się odległość dowolnego jej punktu: M (fig. 561.) od bieguna w postaci:

P    , .

gdzie x—

to hs

P

+ r cos (180 — (p)= ₀— r cos 9),

fl

przeto będzie :

r— p — r cos cp, czyli :

P

r=-—--.

1 + cos <p

(20)

Odnosząc parabolę do układu współrzędnych, mającego , jako biegun ognisko paraboli F, a jako oś biegunową przedłużenie osi paraboli w kierunku przeciwnym wierzchołkowi (fig. 562)., otrzymujemy jej równanie w postaci:

(200

1 — COS O

Fig. 561.

Fig. 562.

23. Widzimy z tego , że, przyjąwszy ognisko krzywej drugiego rzędu za biegun, a kierunek osi, zwrócony do wierzchołka bliższego za oś biegunową, otrzymujemy jej równanie biegunowe w postaci:

P> 0, e > 0.

1 -f ecos cp

Równanie to przedstawia elipsę, hiperbolę, lub parabolę, stosownie do tego, czy mimośród e jest mniejszym, większym, lub też równym jednostce.. W przypadku hyperboli równanie to daję specyalnie tę gałąź , która przez ten bliższy wierzchołek przechodzi.

24. Równania wierzchołkowe krzywych drugiego rzędu. Przyjąwszy wierzchołek krzywej drugiego rzędu, jako początek układu prostokątnego, a jej oś za oś x-ów, otrzymujemy równanie krzywej, zwane powszechnie równaniem wierzchołkowem.

Odnieśmy wszj^stkie trzy krzywe drugiego rzędu, do jednego układu pod założeniem, że one mają wspólny wierzchołek Ą, i że oś wielka elipsy i oś rzeczywista hiperboli razem się schodzą z osią paraboli, (fig. 563).

Z równania elipsy, odniesionego do osi głównych: —+^=1, otrzy-

CL O

mamy tedy, przenosząc początek spółrzędnych do wierzchołka A, którego spółrzędne są (—a, 0), czyli, zastępując x przez x—a, równanie elipsy, odniesione do nowego układu XAY, w postaci:

2 b²    b²

h2

_rp 2

55* ’

y²=^(2ax—Æ²), czyli y²=-A

Podobnie sprowadzimy równanie hyperboli, zastępując x przez xĄ-a, do postaci :

2 2&2 , &2 2 yl= ■—xĄ—=x²

a    a¹

podczas, gdy równanie paraboli, odniesione do tego układu będzie miało postać :

(21)

y² = 2px.

^    b²    J)'Z p    *    *

Kładąc: ~=p, — = — = g², przedstawimy powyższe trzy równania

Cl    CL CL

w postaciach :

Ćwiczenia LIII.

1)    Znaleźć miejsce punktu P, którego odległości od punktu początkowego 0 i od prostej: ux -j- vy -]- 1 — 0, pozostają w stałym stosunku: 1 : n.

2)    Jaką krzywą utworzy miejsce punktu P w zag. 1), gdy: l:n==V/2.

3) Dane są cztery proste:

h = utx -f- vxy + 1    = 0 ,    h == u₂x + ®₂y +    1 = 0,

h =«3* +    + ¹    = 0 ,    +    1=0,

znaleźć    miejsce    punktu (x, y) takiego,    aby    iloczyn    jego odległości    od    pierwszych    dwu

prostych pozostawał    do iloczynu jego    odległości od    drugich    dwu prostych    w    stosunku

jak : 1 : n.

które nazywamy równaniami wierzchołkowe mi krzywych drugiego rzędu.

Przyjmijmy, że we wszystkich trzech równaniach ilość p, którą zo-wiemy parametrem krzywych drugiego rzędu, jest jednakową i to dodatnią. Oznaczywszy przez yd, yh, yp rzędne punktów na elipsie, hyperboli

i paraboli, odpowiadających temu samemu odcinkowi x, poznamy z równań powyższych, że będzie :

mp⁽V

M,

yc<yP< yh,

t. zn. parabola obejmuje sobą elipsę , a hyper-bola parabolę.

Z tej własności krzywych pochodzą też ich nazwy greckie : elipsa, parabola i hy-perbola.

Fig. 563.

Jeżeli w elipsie, lub hyperboli, przy stałym parametrze p ilości b i a się powiększają,

tak, że: — jest zerem, wówczas sprowadzają

CL

się równania wierzchołkowe elipsy i hyperboli do równania paraboli. Parabolę można przeto uważać, jako granicę elipsy, lub hyperboli, jeżeli, przy niezmiennym parametrze, ich osie rosną do nieskończoności.

4)    Wykazać, że iloczyn odległości każdego punktu M krzywej drugiego rzędu od dwóch stycznych a, b, do krzywej, z punktu P wykreślonych, jest proporcyonalny do kwadratu jego odległości od cięciwy styczności.

5)    Wykazać, że iloczyn odległości każdej stycznej t do krzywej drugiego rzędu od dwu punktów A, B tejże linii krzywej jest proporcyonalny do kwadratu jej odległości od punktu przecięcia się stycznych, w tych punktach wykreślonych.

6)    Jeżeli przez ognisko krzywej drugiego rzędu, przeprowadzimy cięciwę, a w jej punktach końcowych wykreślimy styczne do tej krzywej , wykazać, że styczne te przecinają się na kierownicy.

7)    Jeżeli dowolny punkt P płaszczyzny połączymy z ogniskiem F krzywej drugiego rzędu linią prostą, a w ognisku wykreślimy prostopadłą do tejże linii prostej, wykazać, że ta prostopadła przecina biegunową punktu P na kierownicy, ognisku F przynależnej.

8)    Wykazać, że kierownica krzywej rzędu drugiego jest biegunową jej ogniska.

9)    Wykazać, że ognisko krzywej drugiego rzędu jest biegunem jej kierownicy.

10)    Wykazać, że biegunowa każdego punktu kierownicy danej krzywej drugiego rzędu jest prostopadłą do prostej, łączącej ten punkt z ogniskiem.

11)    Wykazać, że odcinek każdej stycznej do krzywej drugiego rzędu, zawarty między punktem styczności, a kierownicą , widać z dotyczącego ogniska pod kątem prostym.

768 -

CC²

y-

12) Wykazać, że elipsy spółogniskowe z elipsą:    ₂ -j-—₂ — 1, w której a^>b, mają

1 = 0.

równania kształtu:

a²— X + è²- X

13) Wykazać, że równanie :

cc²

2/²

1 = 0, przedstawia wszystkie krzywe,

a² —X

mające na osi x-ó\x wspólne ogniska, w odległości od środka równej: +\/a²—i².

i² —X

a:²

*/²

14)    Wykazać, że w pęku krzywych., spółogniskowycb :

lone są elipsy od hiperbol przez proste podwójne, z których jedna wpada w oś x-ów, druga w oś y-ów.

15)    Wykazać, że dwie elipsy pęku spółogniskowego :

a² - X

Z>²— X

= 1, oddzie-

ó²—

- = 1, a tak samo À

a²— X

dwie hiperbole tego pęku nie mogą mieć rzeczywistych punktów przecięcia się.

16)    Wykazać, że hiperbola z współogniskową elipsą, przecinają się w czterech punktach rzeczywistych pod kątami prostemi.

17)    Wykazać, że przez każdy, dowolnie obrany, punkt P(îj, tj) płaszczyzny przechodzą dwie krzywe pęku krzywych współogniskowych, jedna elipsa i jedna hiperbola.

18)    Wykazać, że normalna i styczna w punkcie P(æ, y), jednej krzywej pęku krzywych rzędu drugiego współogniskowych są dwójsiecznemi wszystkich par stycznych, jakie z punktu P do innych krzywych pęku dadzą się wyprowadzić.

19)    Wykazać, że wszelka prosta: x cos « -f- y sin a — p — 0, jest styczną do jednej

a;²

z krzywych drugiego rzędu pęku krzywych współogniskowych : -y—^ -f- - — . — 1 =0.

20)    Wykazać, że styczna w pewnym punkcie P krzywej drugiego rzędu tworzy równe kąty z liniami prostemi, łączącemi ten punkt z jej ogniskami.

21)    Wykazać, że dwie styczne w punkcie przecięcia P danych dwóch krzywych współogniskowych, tworzą parę promieni harmonicznie sprzężoną z parą stycznych, wyprowadzonych z tego punktu do którejkolwiek innej krzywej z danemi współogniskowej.

22)    Z ogólnego równania krzywych drugiego rzędu w spółrzędnych prostokątnych (x, y) wyprowadzić ogólne równanie tych krzywych w spółrzędnych biegunowych r, o, ich punktów.

23)    Wyprowadzić ogólne równanie biegunowe krzywych drugiego rzędu , jeżeli biegun leży na krzywej.

24)    Jaki kształt otrzymuje równanie biegunowe krzywych śi*odkowych rzędu drugiego, jeżeli biegunem jest środek krzywej.

25) Wykazać, że ogólne równanie biegunowe krzywych rzędu drugiego , dla każdego układu biegunowego, którego początek wpada w jedno ognisko, da się przedstawić w po-

staci:

; gdzie a jest kątem, jaki oś biegunowa układu tworzy z osią krzywej.

1—e cos(cp + a)

26)    Wykazać, że przez trzy punkta da się przeprowadzić tylko jedna krzywa drugiego rzędu , skoro dane jest jedno z jej ognisk.

27)    Wykazać, że iloczyn z odcinków cięciwy, przechodzącej przez ognisko krzywej drugiego rzędu, pozostaje do całej cięciwy w stałym stosunku.

28)    Wykazać, że suma odwrotnych wartości dwóch cięciw, przez ognisko krzywej drugiego rzędu przechodzących, a do siebie prostopadłych, jest stałą.

29)    Wykazać, że dwa jednokreślne pęki promieni, określone w spółrzędnych punktu (x, y) równaniami: Lx -J- k P₂ = 0, Lz -j- k = 0, punktami przecięcia się odpowiednich promieni, wyznaczają krzywą drugiego rzędu; (wyprowadzić jej równanie).

30)    Wykazać, że dwa jednokreślne szeregi punktów, określone w spółrzędnych prostej (u, v) równaniami: P^Ą-kP^ — 0, P₃-f-fcP₄=0, liniami prostemi, łączącemi odpowiednie punkta szeregów, wyznaczają krzywą drugiej klasy; (wyprowadzić jej równanie).

31)    Wykazać, że proste, łączące dowolne dwa punkta krzywej drugiego rzędu z jej punktami pozostałymi, tworzą dwa jednokreślne pęki promieni.

32)    Wykazać, że styczne do krzywej drugiego rzędu, przecinają jakiekolwiek dwie jej styczne w dwu jednokreślnych szeregach punktów.

33)    Wykazać, że, łącząc cztery stałe punkta A, B, C, D, krzywej drugiego rzędu, z jakimkolwiek piątym punktem E, otrzymujemy zawsze cztery promienie: EA,EB, EC, ED o jednakowym stosunku anharmonicznym k.

34)    Wykazać, że, przecinając cztery stałe styczne a, b, c, <7, do krzywej drugiego rzędu jakąkolwiek piątą styczną e, otrzymujemy cztery punkta: A, B, O, D, o jednakowym stosunku anharmonicznym k.

35)    Wykazać , że Loki przeciwległe sześciokąta wpisanego w krzywą drugiego rzędu przecinają się w trzech punktach , leżących na jednej linii prostej (Twierdzenie Pascal’a).

36)    Wykazać, że proste, łączące wierzchołki przeciwległe sześciokąta, opisanego na krzywej drugiego rzędu, przechodzą zawsze przez jeden punkt. (Twierdzenie Brianchon’a).

37)    Wykazać, że równanie drugiego stopnia, w spółrzędnych x, y punktu, w postaci: anx² -(- a₂₂ y² -j- 2al%xy -f- 2«₁₃ x -j-2a₂3 y -\ran = 0, da się przedstawić w spółrzędnych w, v prostej w postaci :

=0.

a\\ 1 a121 ß13) u a\1l ö22) a23> v a13) ®23) ®33’ 1

V, 1, o

38) Znaleźć miejsce punktów, które mają tę własność, że odległość każdego punktu od punktu F(0, p) pozostaje w stałym stosunku s 1, do odległości tego punktu od osi y-6w.

39) Równanie elipsy (x—p)² -\-y² — b²x², gdzie £*<[1, przerobić na równanie odniesione do układu tak przesuniętego, że jego początek wpada : a) w wierzchołek elipsy, b) w jej środek.

x²

40)    Z równania elipsy:    ^ =^-1, wyznaczyć jej parametr p.

41)    Znaleźć osie 2a i 2b elipsy: (x—p)²-\-y² — e²a5², £<1.

Rozwiązania LIII. 1) [w²—ft²(«²-f-v²)]x²-\-[v²—n\u²-\-v²)\y²-\-2uvxy-\-2ux-\-2vy-\-l—0. (n > 1, elipsa, n<C 1, hiperbola, n — 1, parabola). 2) hiperbola równoboczna, 3) krzywa rzędu drugiego : («t œ + tq y + 1 ) («₂ a: -f t>₂ y-f- 1 ) — X(«₃ x + v₃ y -f 1) (w₄ x-\- vk y + 1) = 0, gdzie: X=vVi 4- V .V/«'²2 + 'y22 '• n\/u\ -f- v²₃ . \/m²4-f v²₄ .    22 ) («tl cos²© -j- 2«₁₂ coss> sino -f-

+ 0,iSin^)^ + 2(«lsooS? + «!sSin?)r + Æî!=0. 23)

29) LlL₄—P₂L₃ =0. 30) P₄P₄—P₂P₃ = 0. 38) (æ-p)²-f y²=t²x².

24) r²

a cos es -f- 6 sin o -j- c

Z>²

39) aj y²—( 1—e²)(2acc—x²), b) y²= (1—s²) (a²—a:²). 40) —. 41) 2a

1—e²

2ep

V/l-£²’

Literatura. Briot et B o u q e t. Leçons de Geometrie analytique. Paris 1875. Alfred C 1 e b s c h. Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet und herausgegeben von Dr. Ferdinand Lindeman. Erster Band. Geometrie der Ebene. Leipzig 1876.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Ogólna dyskusya równania drugiego stopnia w spółrzędnych linii prostej.

2.    Teorya ognisk i kierownic krzywych rzędu drugiego rzędu.

3.    Równania biegunowe krzywych drugiego rzędu.

Wykład Ü1V.

Szczególne własności elipsy.

1. Ogólne równania krzywych środkowych drugiego rzędu. Z ogólnego równania drugiego stopnia w spółrzędnych punktu (x, y), kształtu:

«i i z² + «2    ² + ²«i %xy + 2«i %x + 2«2%y + a₃₃ =0,

które, w przypadku: aiia₂₂— «²i2 < 0, przedstawia krzywą środkową, przesuwając układ osi równolegle tak, aby początek układu wpadł w środek krzywej, otrzymamy, na mocy art. 2. str. 706., ogólne równanie krzywych środkowych drugiego rzędu, odniesione do środka, jako początku układu, w postaci :

(1)

fh ! œ² + a-ny² + 2^ ₂xy -p ^33 =0

-1,2, 3)

= 1,2)

(2)

j Ofj I, (i,

I Ij (h

Przyjmując pierwotny układ , jako prostokątny, obróćmy go o kąt «, (fig. 564.) a więc połóżmy :

x=x'cosa—y'sin a, y=x‘ sin « + «/' cos «

gdzie :

Asa- a

95-

natenczas otrzymamy równanie krzywej-, odniesione do nowego układu prostokątnego, w postaci :

Y(

fi

sx²+s'y² + %pxy + A3 3 = 0,

(3)

gdzie :

fi

będzie :

s=a1:1 cos²a-ha₂₂sin² 05-f-2a₁₂cos «sin « , s/=«₁₁sin²« + a₂₂cos²« —2«₁₂cos «sin « , p——ancos « sin«-f «₂₂cos « sin « +

-h«₁₂(cos² «—sin² «).

W otrzymanem równaniu będzie j»=0, skoro kąt «, obierzemy tak, że

Fig. 564.

czyli :

— a^cos« sin a-}-a₂₂cos « sin «-f a₁₂(cos²«—sin²«)=0, tang² «+ ——— tang «—1=0.

«12

Równaniu temu odpowiadają dwie wartości rzeczywiste:

(«u—q₂₂)² +^«²i₂

tang a = —

tang«'

«11    «22 i

2«i2

«11 «22

2«i₂

2«12

\/(«ii—«₂₂)² + 4«²i2

2«! 2

względu na to, że: tga‘ . tg a= — 1, wskazują na dwa kierunki do

które

siebie prostopadłe, stanowiące kierunki osi głównych danej krzywej.

Przyjmując osie główne krzywej środkowej, jako osi układu, otrzymujemy jej równanie, w postaci:

ze

SX² + S'y² + Azs=0,

przyczem , na wyznaczenie spółczynników s i s¹, ze względu na to, że:

S-]-S =«!! +«22? SS ~®h^22 otrzymujemy równanie drugiego stopnia :

s²—(aH ła₂₂)s + «i₁«₂₂-«²i2⁼0,

które także możemy przedstawić w postaci :

(4)

4(*) =

«22 ~ S

a pierwiastki tego równania dają wartości spółczynników s i s'.

Równanie krzywych środkowych, odniesione do jej osi głównych kształtu: sx2jrs‘y²-\-Ao?i=0: możemy ostatecznie sprowadzić do postaci:

a\ 2

Ax²-\- By²=l,

(5)

gdzie :

A=-

B=

s¹

-4-3 3

•4 3 3

Gdy A^> 0, B^>0, wówczas możemy położyć:

b²

a² ’

a otrzymamy równanie elipsy :

x² y2 ~a²^r H²

która przecina oś x-ó\v w punktach: ( + a, 0) i (—a, 0), a oś y-ów w punktach (0, +6) i (0, —6).

Gdy ^.^>0, J5 <0, wówczas możemy położyć: a otrzymamy równanie hiperboli :

= 1,

(«)

ó²

æ²

&²

w której oś rzeczywista wpada w oś x-6w, a oś urojona w oś y-ów.

2. Kształt elipsy. Z równania: —-p—=1, otrzymujemy:

(6)

y— + — \/a² — x², lub x=+ ~ \/b² — y²,

skąd wynika bezpośrednio , że krzywa jest względem, osi a>ów i y-ów symetryczną i zawartą wewnątrz prostokąta, którego dwa boki, równoległe do osi y-ów wyznaczają na osi œ-ôw dwa odcinki i —a\ dwa zaś boki, równoległe do osi x-6w wyznaczają na osi y-ów odcinki -f-6 i —b. (fig. 565.)

Odcinki AA'=2a i BB₁ =2&, są długościami osi głównych elipsy, a punkta : A, A1} B, Bi} jej wierzchołkami.

otrzymujemy : a stąd :

Przerobiwszy to równanie na układ biegunowy, a więc , kładąc :

x=--rcos (p, y—r sin <p,

r ²(ó ²cos ²<jp-j-a²sin ²(jp) = a ²ó²,

a²b²

a²b²

y 2 ________^_

Ä.

-A-

r,

ó²cos²<p+a²sin²<p    a²— (a²—b²)cos²(p

b²

czyli :

a² — b²

y 2-

a²

-b²

cos²cp

(1 ^

a²

Połóżmy: a²—b²=c², zaś — natenczas otrzymamy równanie :

Fig. 565.

(7)

b²

1— £²COS ² (p

dla

z którego wynika, że r jest największe, dla <jp=0, a najmniejsze

TC

cp—To znaczy : Wierzchołki elipsy są to punkta elipsy najdalej, albo najbliżej oddalone od środka elipsy.

Promień r zatrzymuje tę samą wartość dla 9 i dla (n—<p), to znaczy : średnice róiononachylone do osi są sobie równe.

3. Położenie osi elipsy. Na mocy powyższej własności średnic, możemy wyznaczyć osi elipsy, której środek jest znany. Ze środka elipsy zakreślamy w tym celu koło promieniem p, przyczem : a > p b, które przetnie elipsę w czterech punktach: M, M', JV, NA Dwójsieczne kątów MON i MON' będą tedy osiami elipsy.

Ł Punkta na elipsie, a punkta zewnątrz i wewnątrz elipsy. Spółrzędne wszystkich

punktów elipsy czynią zadość równaniu:    —    czyli » innemi słowy, sprowadzają

f .    ąj 2

trójmian:    — 1 do zera. Jeżeli punkt M porusza

V-1>0 e

/\

się w przedłużeniu promienia OM, tedy stają się spółrzędne jego æ, y bezwzględnie większe, trójmian: x² y²

«r*

JL*, v*

ax + ~

-OO

hz

^2 1 “p — 1, otrzymuje wartości dodatnie i coraz większe, będzie tedy, dla wTszelkich punktów zewnątrz elipsy, trójmian : —^ -J- — 1 > 0 ; przeciwnie , jeżeli punkt P zbliża się do O, maleją jego spółrzędne, trójmian :    -j- p—1, otrzymuje tedy wartości ujemne,

Fig. 566.

będzie tedy dla wszystkich punktów wewnątrz elipsy,

trójmian:    -||— 1<0. Fig. 566.

^»2 2

5. Konstrukcya elipsy: —^ + -~=1. Załóżmy a > &, i przyjmijmy : 2a=J.vt', 2 b=BB\

Ct

wówczas, zataczając z punktu B, jako środka, koło

JE--

promieniem, równym a, przetniemy prostą AA' w dwóch

punktach I\ i jF₂, zwanych ogniskami elipsy.

Niech będzie OF—c, przyczem: c² = a² — b²:

weźmy pod uwagę punkt P(æ, y) elipsy:

T7A

x² y²    i

+ ^2= 1, natenczas otrzymamy :

»1= FtP—\/(c — x)²-\- y² — y/c²—2 ex -f- (x² y² ),

B, /

Fig. 567.

r%— F^P=\/(c -\-x)²-\- y² = Y/c²—2 cx -J- (x² -j- y²), a zatem :

r\ 4~ r2 — \/c²—2cx -j- (x² 4- y²) 4- \/c2 4" 2cx 4“ (®²4" V²)-

æ²

y²

— 768 -

A że równanie elipsy: —możemy napisać także w postaci:

6²x² + a²y² = a² &²,

przeto, podstawiając: 6²==«² — c², otrzymujemy stąd: a²(a?² -p y²) — c²a;² — a²6², a więc:

a?² d⁻ :¥² — 6² -f-

(8)

c²

a²

cc² ,

Wobec tego będzie: r\ + *2

skąd, ze względu na to, że b²-\-c² — a², dostajemy:

rl +^2

— ^j c²— 2 ca: -(- 6² -j- A cc² -f- ^c² -}- 2ca: -f- b

Ja² + 2cx    a:²,

— y^a²—2 ca: -f-

c²

Y>

X² -|-

c²

x²

a² ’

czyli : a więc :

+ *2 = (

a-p) + \a+p)’

(9)

n + r2 = 2a.

Mając więc dane 2a i 26, jako osie elipsy, możemy wykreślić dowolną ilość jej punktów. W tym celu, znalazłszy punkta:    i F₂, jako ogniska elipsy, zakreślamy z Fx

koło o promieniu r<2a, a z F₂ koło o promieniu 2a—r, to te koła przetną się w dwóch punktach, należących do elipsy, (fig. 567.).

6. E 1 i p s ę określa się też powszechnie, jako krzywą, w której suma oddaleń każdego jej punktu od dwóch stałych punktów jest zawsze jednakową. Na mocy tego określenia otrzymamy równanie jej w sposób następujący :

Przyjmując prostą , łączącą dwa punkta stale Fx i _F₂, (fig. 567.) za oś cc-ów, a prostopadłą w środku odcinka jFjń₂ — 2c, za oś yów i oznaczając przez a;, y spółrzędne dowolnego punktu P szukanej krzywej, jego odległości od punktów Fj i P\ przez rt i r₂, a' stałą sumę rt r₂ przez 2a, otrzymamy, na mocy warunku : rx -f- r₂ = 2a, równanie :

Y/'(* — c)² + y'¹ + v/(® -f c)² + y² = 2a,

z którego, przeniósłszy jeden pierwiastek na drugą stronę równania i podniósłszy obie strony do kwadratu, otrzymujemy: ex—«² = a— \/( x— c)²-f-y², a stąd, podnosząc do kwadratu :

c²x² -f- ai—2a² cx= a²«² -f- a²y² — 2a'lcx-\- a¹ c¹,

(a² — c²)a:² -\- a²y² — a² (a²—c²).

Zważywszy, że w trójkącie ńjPF₂ jest -f- PF₂ > FrjF₂, czyli: 2a>2c, możemy położyć: a²—c² = 6², a równanie powyższe przedstawi się w postaci:

a:² y²

czyli :

b²x² a²y² = a² 6², albo:

a²

= 1.

7. Konstrukcya elipsy za pomocą sumy, lub różnicy półosi. Niech będzie daną prosta o stałej długości: AP=a-fó, przyczem AP=&, PB=a, przyjmijmy, że prosta ta ślizga się swemi punktami końcowemi A i B po dwóch osiach prostokątnych XX‘ i YY‘ i wyznaczmy drogę, jaką, wskutek tego ruchu prostej AB, opisze punkt P.

Wykreślmy, w pewnem położeniu AB prostej ruchomej, spółrzędne x, y, punktu P, natenczas, z podobieństwa trójkątów BPP" i AB O, (fig. 568.) otrzymamy stosunki :

P'

.b

P’ A

AO

OB

a-\-b

a-\-b

z których wypływa:

+ ^² = -

a?²

OM²+OB²

M’

(o + ó)²

Fig. 5G8.

A że: 0A² + OB² = AB² = (a-f-&)², przeto otrzymujemy równanie

a² y² ₁

ss+r*”¹»

które dowodzi, że punkt P, wskutek wskazanego ruchu prostej AB, opisuje elipsę.

Przyjmijmy punkt P na przedłużeniu prostej AB, przyczem niech będzie: PB=a, PA=b, zatem AB=a-b, natenczas, oznaczając spółrzędne punktu P przez x, y, otrzymujemy, na mocy podobieństwa trójkątów: BPP“ z BAO i APP' z ABO, fig. 569. następujące

stosunki :

PB

PA

JM O

czyli :

OB

X’

TT p’

a—b ’ b

z których wypływa :

ÖI²+ ÖB2 (a—b)²

/fi 2

zatem równanie: — +    1.

Mamy zatem twierdzenie: Jeżeli prosta o stałej długości AB końcami swemi posuwa się po ramionach kąta prostego, natenczas każdy z jej punktów, czy to wewnątrz, czy też zewnątrz odcinka AB położony, opisuje elipsę.

Półosiami tej elipsy są stałe oddalenia tego punktu ruchomego od owych punktów stałych.

Mając więc dane półosie elipsy, możemy, na mocy powyższej własności, mechanicznie wypunktować elipsę.

W tym celu musimy poruszać pasek papieru, na którym oznaczone są punkta A, B, P, tak, aby punkt A pozostał zawsze na prostej XX¹, punkt B na prostej YY‘ i naznaczać kolejne położenia punktu P.

Na tej zasadzie oparte są też przyrządy do kreślenia elipsy, tak zwane elipsografy.

8. Konstrukcya elipsy za pomocą dwu pęków promieni. Z równania elipsy :

x² y²

a~2 + V² =

2b²

(ia— b)

Fig. 569.

a²

+    = b wypływa: y₂

X¹

zatem :

Weźmy dwie.proste o równaniach.:

(10)

w których X jest dowolnym parametrem. Są to dwie proste, (fig. 570.); które wychodzą z końców i i i, osi wielkiej AAt=2a, gdyż spółrzędne punktu A(x— -j-«, y— 0) i punktu A₁(x——a, «/ —0), czynią zadość obu równaniom. Proste te przecinają się zawsze w punkcie elipsy. Wyrugowawszy bowiem z równań (10) parametr X, dostaniemy miejsce geometryczne punktów przecięcia się dwu prostych odpowiednich, t. j. to samo X w swem równaniu mających. Bugowanie to prowadzi zaś do równania:

M,

czyli :

a więc do równania elipsy.

Punkta przecięcia M i M, (fig. 570.) odpowiednich prostych takich dwu pęków promieni, z których jeden określony jest równaniem :

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki 1.

A'

IA

Fig. 570.

49

= X ^1—drugi równaniem: ~ = -j- ^1-j--^-^, leżą więc na elipsie

Chcąc wynaleźć sposób, na podstawie którego moźnaby wykreślić dwa promienie odpowiednie, wyznaczamy najpierw odcinki, jakie takie promienie wyznaczają na osi «/-ów. W tym celu otrzymamy z równań (10), kładąc w nieb x—0, odcinek jednego

promienia: y — OM = b~k, odcinek drugiego zaś y=OM₁=—: a stąd wzór:

OM. OMt = b\

CC ^

To znaczy: Proste, wyprowadzone w elipsie:

(wielkiej) 2a, a przecinające się w punkcie elipsy, odcinają na osi bocznej (małej) 2b takie odcinki , liczone od środka 0 elipsy, że ich iloczyn jest stały, równy Z»².

Analogiczne twierdzenie dotyczy widocznie prostych, łączących punkta elipsy z końcami osi małej 2b] w tym przypadku będzie iloczyn odcinków, wyznaczonych przez odpowiednie promienie na osi wielkiej, stale równy a².

Uwzględniając, że pary punktów M, M‘ o własności OM. OM'=ci, tworzą inwolucyą hiperboliczną o środku O i punktach'podwójnych -f c i —c, (porównaj art. 21—22. str. 58. . i 59.), możemy powyższe twierdzenie także tak wypowiedzieć: Pary punktów, w których proste, łączące poszczególne punkta elipsy z końcami jednej osi, przecinają oś drugą elipsy, tworzą inwolucyą hiperboliczną, której punktami podwójnemi są końce tejże drugiej osi.

Na podstawie tego twierdzenia, możemy wyznaczyć poszczególne punkta elipsy, wykreśliwszy pęki hiperboliczne kół o środku 0, bądź to około osi 2b z punktami podwójnemi B i B₁, jak na fig. 571., bądź to około osi 2a z punktami podwójnemi A i Aj, fig. 572. Por art. 14. str. 179.

a²

= 1.

«²

4-

ó²

z końców osi głównej

*•**•*,

X"

f-x-

N,

•-i

>7

nVm;

lia

\A \ R

L-----o------

’M

\ \    /

W là/-

B,

7\

Fig. 572.

Fig. 571.

Połączywszy punkta M i Mt, w których każde koło pęku przecina jedną os, z końcami drugiej osi, otrzymamy dwa promienie odpowiednie, których punkt przecięcia się P będzie punktem elipsy o osiach 2a i 2b

9. Zamiast wyznaczać odcinki promieni odpowiednich dwu pęków, wychodzących z punktów 4 i ij , o równaniach:

na osi y-ów, wyznaczmy odcinki jednego z promieni na osi y-ów, a drugiego na prostej, równoległej do osi æ-ôw o równaniu: y — b. Wówczas otrzymamy, kładąc x = 0, z pierwszego równania: y — OM = b\, a z drugiego, kładąc: y = b , dostajemy:

1 =    ^1 -1—y), czyli: x-\-a — a\, zatem: x — BN = a (X—1).

Przyjmując X = —, otrzymujemy więc odcinek pierwszego promienia na osi y-ó w,

t. j. Ol —

b, a odcinek promienia odpowiedniego na prostej y — b, w postaci :

n — 1

Bl = —

a.

a więc równanie drugiego stopnia ze względu na x, w postaci :

(U)

Ztąd wynika, następująca konstrukcya elipsy, gdy ‘dane są jej osi.

WykreśliwTszy prostokąt (2a, 2b), wewnątrz którego mieści się elipsa, dzielimy oś b na n równych części, licząc od 0, podobnie prostą CB—a, równoległą do osi, dzielimy na n równych części, licząc od punktu O. Łącząc kolejno punkta podziału : pierwsze z punktem A, drugie z punktem At, otrzymamy w punktach przecięcia się odpowiednich promieni punkta żądanej elipsy, (fig. 573.) To samo dotyczy każdej ćwiartki.

OB

-r—

Z'

■łi

i.

Fig. 573.

Fig. 574.

Podobnie, otrzymamy punkta elipsy, jeżeli oś OA=a podzielimy na n równych części, licząc punkta podziału od punktu 0, a zarazem równoległą do osi małej: DiA— b, podzielimy na n równych części, licząc punkta podziału od punktu Z),, a następnie, otrzymane punkta podziału połączymy kolejno z końcami osi małej. W punktach przecięcia się odpowiednich promieni będziemy mieli także punkta żądanej elipsy, (fig. 574.).

² y²

2+^ = 1 i prosta

11. Elipsa i linia prosta. Niech będzie daną elipsa:

y=mxĄ-n ; na wyznaczenie punktów, które znajdują się równocześnie na linii prostej i na elipsie , otrzymujemy z powyższych dwu równań o dwóch niewiadomych x, y, po wyrugowaniu y, jedno równanie :

—5 +

a²

{mx-\-n)²    ₁

n ⁼ D

b²

(a²m² + b²) x² -\-2a²mnx    a²(n²—b²) = 0,

które daje dwa pierwiastki kształtu:

a² mn a²m²-\-b²

x= —

V*a^m²n² a²(n²— b²) (a²m²-\- b²)

a²m²-\-b²

czyli :

V/a² b² (a² m2jr b² — n²)

a² mn a²m²-\-b²

Pierwiastki te są oba rzeczywiste i różne, oba rzeczywiste i równe,

, stosownie do tego , czy wyróżnik równania : ma wartość dodatnią, równą zeru, lub też ujemną, co zależy widocznie od tego, czy różnica\a²m²Ą-b²—w² jest dodatnią, równą czy też ujemną. Dana prosta ma w pierwszym przypadku wspólne z elipsą dwa punkta rzeczywiste i różne i nazywa się sieczną, w drugim dwa punkta, w jeden wpadające i nazywa się styczną, w trzecim dwa punkta urojone sprzężone i nazywa się prostą mijającą elipsę.

12. Znaczenie geometryczne różnicy: d — a²ni² -j- &²—n². Zakładając, że a)>&, połóżmy: a¹—b² = c², gdzie c będzie t. z. liniowym, a stosunek — liczebnym mimo-ś rodem elipsy, natenczas otrzymamy różnicę:

d = a²m² -\-a² — c² — n² — a² (1 -p m²) — (c² -f- n²),

X= —

a²m²-1- b²

lub oba urojone sprzężone A=a²b²(a²m² Ą-b² — w²),

zeru

skąd, ze względu na to, że: m — tga, jeżeli a przedstawia kąt, jaki prosta: y — mx n, tworzy z dodatnim kierunkiem osi ce-ów, otrzymujemy: d = a² sec² a — (y² -j- w²). Będzie

więc: d ^ 0, skoro: a² sec² a ^ (c² -)-»²), czyli, skoro: a² == (c²^²)cos² a , a więc skoro:

a² =(c cos a)² -|- (wCOS a)².

Niech będzie MN daną prostą, (fig. 575.), a więc OB = n ; wykreśliwszy ze środka 0 i ogniska F danej elipsy prostopadłe OC i FD do prostej MN, mamy CD = c cos a , OC — n cos a, a więc:

(7/)² -f- OO² = (ccos a)² --J- (n cos a)²,

Cl)‘ -f oT;‘‘ = 0B!.

M'

cl

a)

c)

0\

\

p"~r

a że :

zatem jest :

Fig. 575.

(o cos a)² -J- (n cos a)² = OB².

Będzie więc różnica: «2 = 0, skoro: a = OD, czyli skoro: 0Z>=a.

Dana prosta jest więc względem elipsy sieczną, styczną, lub mijającą, stosownie do tego , czy rzut D ogniska na tę prostą wypada wewnątrz kola z elipsą współ-środkowego, wykreślonego promieniem a, czy też wypada na obwodzie tego koła, czy też zewnątrz jego obwodu.

Z tego wynikają wprost następujące twierdzenia: 1) Punkta, w których prostopadłe do stycznych elipsy, z ognisk wykreślone, przecinają te styczne, leżą wszystkie na obwodzie koła, wykreślonego nad osią wielką elipsy, jako nad jego średnicą.

2) Jeżeli w punktach, w których styczna do elipsy przecina koło, wykreślone nad osią wielką elipsy, wykreślimy prostopadłe do tej stycznej, to każda z tych prostopadłych przechodzi przez jedno z ognisk elipsy.

13. Cięciwa elipsy i jej środek. Niech będą Pi{xi, V\) ¹    (x2> Ih),

dwoma punktami, w których prosta: y=mxĄ-n, przecina się z elipsą:

owemi

Vl!

2 ^ &2

natenczas odcinek P^P₂ nazywamy cięciwą elipsy.

Na mocy równania (11), czyli równania :

a² mn a²m²-\-b²

wyznaczającego spółrzędne xi i x₂ tych punktów, otrzymujemy spółrzędne (I, if) środka C cięciwy P₁P₂, w postaci :

_    -f-x₂

xĄ-

a²(n²—b²)

a²m²-\ b²

0,

(110

br,

almn

a²m²-\-b²

v= y_₁±jh

¹ 2

-\-n

b²n

a²m²-\-b²

a więc :

£=-

ahnn

b²n

^ a²m² + b²'

(12)

a²m²-\-b²

14. Środki równoległych cięciw. Przyjąwszy stały kierunek cięciw, określony spółczynnikiem m—tang/ł, otrzymamy, po wyrugowaniu zmiennego

zatem równanie pierwszego stopnia

parametru n, równanie -—= — —

rjm b¹

względu na spółrzędne |, rj, w postaci :

b²^Ą-a²mrj — 0,

że środki równoległych cięciw elipsy :

które dowodzi

V b²

ze

= 1, wy pro w a-

dzonych w kierunku, określonym spółczynnikiem : m=tgÂ, mieszczą się na prostej o równaniu:

b²

(13)

b²x-\- a² m y = 0, czyli: y= — —— x J    a²m

a zatem, na prostej, przechodzącej przez początek układu, który jest zarazem środkiem elipsy.

Prostą, przechodzącą przez środek elipsy, nazywamy jej średnicą. Środki cięciw równoległych do prostej : y

b²

więc na średnicy o równaniu: y=m‘x, gdzie: m'=tgA‘= —

= mx

gdzie w=tang^, leżą

a² m

15. Średnice sprzężone elipsy. Związek między kierunkiem cięciw równoległych, określonych spółczynnikiem: m = tang , a kierunkiem średnicy, określonym spółczynnikiem m\ przedstawia się, na mocy równania (13), w postaci wzoru:

b²

a²'

czyli : tang l tang X* = —

b²

(14)

ci² '

z którego wynika, że, nawzajem, środki cięciw, wykreślonych w kierunku, określonym spółczynnikiem: m'=tangi', leżą na średnicy, mającej kierunek, określony spółczynnikiem: m= tangi.

Dwie średnice , w ten sposób od siebie zależne , że środki cięciw równoległych do jednej z nich, leżą na drugiej, nazywamy średnicami sprzężonemi elipsy.

16. Takiemi są n. p. na fig. 576. średnice CC\ i DDi. Styczna do elipsy, w końcu jednej średnicy, jest widocznie równoległą do średnicy z pierwszą sprzężonej. Z równania

rfi 2    y 2

stycznej w punkcie Ç, rj, elipsy: — j-(-p = l, wynika bowiem, że spółczynnik:

m — tang X = —

a²rj ’

podczas, gdy dla średnicy, przez punkt *c, r) przechodzącej, mamy spółczynnik: m‘ = ~

oba spółczynniki czynią więc zadość warunkowi : mm‘ — sprzężone.

b²

— a więc wskazują na kierunki

C,

3’

•V'

ÏA

i’

1’ "

4S

c’

i]

».

C,

3’

B,

c’

c;

Fig. 576.

Fig. 577.

Fig. 578.

Ujemny znak iloczynu tangXtangX', dowodzi, że z dwu średnic sprzężonych, jedna twoi’zy z dodatnim kierunkiem osi æ-ôw zawsze kąt ostry X, druga kąt rozwarty X', fig. 576. Innemi słowy: Pary średnic sprzężonych w elipsie, przegradzają się zawsze nawzajem osiami głównemi, jak na fig. 577., tworząc inwolucyą eliptyczną promieni.

17. Uważając elipsę, jako rzut koła, (fig. 401. str. 688.), otrzymujemy średnice sprzężone elipsy, jako rzuty dwóch średnic kola, do siebie prostopadłych.

Na podstawie tej uwagi możemy z łatwością wykreślić w elipsie średnicę sprzężoną z daną średnicą, za pomocą koła, nad osią wielką wykreślonego, jak to fig. 578. wskazuje.

wynika dalej , że między średnicami sprzężonemi elipsy

"«2

będą także i takie, które mają kierunki, określone spółczynnikami:

Ze związku m m‘ =    ^

m* =~- —

takie średnice są sprzężone, wpadają widocznie w przekątnie prostokąta, nad osiami elipsy wykreślonego , i są sobie równe.

18. Kąt nachylenia dwóch średnic sprzężonych elipsy. Oznaczając przez X kąt ostry, a przez X' kąt rozwarty, jakie średnice sprzężone tworzą z dodatnim kierunkiem osi a;-ów, mamy w różnicy X'— \ — to kąt nachylenia średnic sprzężonych, przecięty przez małą oś elipsy. Na wyznaczenie jego otrzymujemy:

tang w = tang (X' — X) =

tang X' — tang X

1 -J- tangX' tang X

X²

skąd, mając na względzie, że: tangX' =----₂cotgX, dostajemy:

tang w —

X² cotg X -)- a² tangX

a² — X²

(16)

Spełnieniem tego kąta, t. j. kątem y —180° —w, będzie kąt nachylenia średnic sprzężonych, przecięty przez oś wielką elipsy, a jego wielkość będzie określona wzorem:

tang y

a² tangX -(-X²cotgX

a² — X²

(150

Kat y jest widocznie zawsze ostrym , podczas , gdy kąt w jest zawsze rozwartym. Pierwszy z nich y, nazywają zwykle kątem sprzężenia dwóch średnic sprzężonych elipsy.

19. Równanie elipsy, odniesione do układa średnic sprzężonych. Przyjmijmy w danej elipsie układ średnic sprzężonych, zawierających kąt y, jako układ osi spółrzędnych , wówczas, oznaczając przez X i X‘ kąty, jakie nowe osie układu tworzą z dodatnim kierunkiem osi wielkiej elipsy, musimy, celem wyprowadzenia równania, odniesionego do układu y, w równaniu :

= 1, na mocy dotyczących wzorów transformacyjnych, położyć: x=x‘ cos X+y‘ cos ż.', y = x'sin i-f-«/'sin X¹.

Otrzymamy tedy, opuszczając kreski, jako zbyteczne, równanie elipsy, odniesione do układu y, w postaci :

(x sin i-f y sin X‘)²

(#cos XĄ-y cos X¹)²

b²

a²

czyli :

a² sin² i-}-&²cos² X

a² b²

x² +

a² sin² X‘ + b² cos² X‘ ₂

a²b²

r+

xy=l

a² sin X sin X¹ +b² cosX cos X‘

a²b²

skąd, ze względu na to, że dany układ osi tworzy układ średnic sprzężonych elipsy, a więc, na mocy wzoru (14):

a² sin Xsin X‘ -\-b² cos X cosi'=0 ,

otrzymujemy równanie :

»18

O-!-

=1,

(16)

odniesione do średnic sprzężonych, zgadza się co do kształtu swego, z równaniem elipsy, odniesionem do jej osi, przeto widoczną jest rzeczą , że konstrukcya elipsy, oparta na równaniu, odniesionem do jej osi głównych, da się zastosować także w przypadku średnic sprzężonych. W szczególności, otrzymujemy, jak w art. 8. str. 769., punkta elipsy, o równaniu: ?/²

a'²

■h = 1, odniesionem do jej średnic sprzężonych, jako punkta przecięcia odpowiednich

promieni dwóch pęków, określonych równaniem:

(18)

gdzie :

«Y

a² b²

a²s\n²A -\-b² cos²À

ô'² =

(17)

«²sin ² A' + b ²cos ²A‘ '

Równanie elipsy, odniesione do dowolnego układu średnic sprzężonych, przed-stawia się więc iv postaci: ^    / ₂- == 1, gdzie a‘ i b‘ są połówkami dotyczących

średnic elipsy.

20. Konstrukcya elipsy o danej parze średnic sprzężonych. Ponieważ równanie elipsy,

Î-TÔ + -J-

a więc, mających swe wierzchołki w końcach średnicy : AlA — 2a/, fig. 579. lub, jako punkta przecięcia odpowiednich promieni dwóch pęków, określonych równaniami :

Y ⁼ t(1 + y)’

a więc, wychodzących z końców średnicy : BB‘ — 2b', fig. 580.

Odcinkami, jakie dwa odpowiednie promienie, w ostatnim przypadku, wyznaczają na

osi *-ów, są: OMx = Xa', Odf— — a\ czyniące zadość relacyi : OM. OMy =a'², skąd wynika

konstrukcya elipsy, oparta na jej średnicach sprzężonych, analogiczna do fig. 572., wskazana na fig. 580.

go

.p

r0

<A KJi

Wy

IN

......^

Fig. 579.

Fig. 5S0.

Fig. 581.

21.    Konstrukcya elipsy, wpisanej w równoległobok. Zamiast wyznaczać punkta, w których odpowiednie promienie pęków, wychodzących z końców osi AAt, jak:

T'==X(¹~^)^ T'⁼t(1 + y)’

przecinają oś B‘B, możemy, jak w art. 9. wyznaczyć punkta , w których jeden przecina oś y-ów, drugi — bok równoległoboku, utworzonego z średnic sprzężonych At A i B{B (fig.

że :    ^7 ⁼ zkąd wj^pływa konstrukcya elipsy, wpi

sanej w równoległobok, analogiczna do konstrukcyi elipsy, wpisanej w prostokąt, podanej na fig. 578. str. 771.

22.    Związek między średnicami sprzężonemi, a osiami elipsy. Z równań (17), podających długości pary średnic sprzężonych, za pomocą półosi a, b, elipsy i kątów A, A‘, jakie te średnice tworzą z osią wielką elipsy, otrzymujemy :

1 cos² À sin²^ 1

P⁻’ b‘2=z

581.), wówczas, przekonamy się

cos² A¹

sin² A‘

a¹²

a²

b² ’

(19)

przyczem, między kierunkami A i i', jako sprzężonymi, zachodzi związek:

sin A sin A‘

cos A cos A'

a²

b²

= 0.

Z warunku tego wynika równość:

a¹ bl cos i cos i'

a‘b¹ sin A sin A'

b²

zatem szereg równych stosunków : a' cos A a'sin i

a'²cos²ż a'²sin²ż

a²

ô'sinl' —b‘cosA‘

6²

b‘²sin²A‘ b‘²cos²A

i 1»

a²

który prowadzi, pod założeniem, że: ż<;90°, do dwu równań:

b‘ sin A‘

a' cos iî

a' sin A

b'cosA¹

Na podstawie tych relacyj, otrzymamy z równań (19), które możemy napisać w postaci :

a‘²cos²A , a/2sin²ż

a²

b²

₁ b/2cos²A‘ | ó'²sin²^'

-L >    “ö    l 7 O    **■

a²

b²

(19')

następujące równania:

a'² cos² ż &/2cos²ż‘

a'²sin²/l &'²sin²ż'

a²

a²

b²

a więc :

czyli

a'²cos²ż-f-&'²cos²i' = a², a'²sin²ż-b&'² sin²ż' = &²,

(a¹ cos A)² -fi (b‘cos A¹)²==a², (a' sin ż)²-f- (6'sin A')²=b²,

c”

(20)

które, w myśl fig. 582., możemy wyrazić słowami, jak następuje:

Suma kicądratów rzutów dwóch jakichkolwiek średnic sprzężonych na którąkolwiek z osi elipsy jest stałą i równą kwadratowi tejże osi.

Dodawszy do siebie równania (20), otrzymujemy wzór:

B’

c:

al2 + b‘²=a²-\-b².

(21)

Fig. 582.

Zastępując w równaniu :

a‘ cos A a¹ cos A

T. z.: Suma kwadratów dwóch średnic sprzężonych elipsy jest stałą i równą sumie kwadratów osi głównych tejże elipsy. a‘²cos²A a/2sin²ż

a²

b²

napisać w postaci : -a¹ cos A . a¹ sin A

a¹ sin A

1, które możemy także a¹ sin A

1, drugie czyn-

niki :

j przez wyrażenia im równe :

è'sini' . b‘ cos A¹

otrzy-

mamy :

a'&'(sin/i/cos i—sinżcos A‘)

ab

= 1, czyli :

a‘b‘. sin (A'—A)

ab

= 1, skąd, ze

względu na to, że: A‘—A=y, przedstawia kąt nachylenia dwu średnic sprzężonych, otrzymujemy wzór:

i\Ai

Ponieważ iloczyn 4a'&'siny przedstawia powierzchnię równoległoboku JKLM, (fig. 583.), a iloczyn 4ab powierzchnię prostokąta FGHE, przeto

z powyższego wzoru wypływa twierdzenie :

Powierzchnia równoległoboku, na elipsie opisanego , t. j. utworzonego z dwu średnic sprzężonych , jest stałą i równą powierzchni prostokąta wykreślonego nad osiami elipsy.

Łącząc końce dwu średnic sprzężonych, otrzymamy znowu równoległobok CDC^J)^ wpisany w elipsę , którego powierzchnia jest widocznie połową powierzchni równoległoboku JKLM, opisanego na elipsie, stąd twierdzenie: Powierzchnia równoległoboku, wpisanego w elipsę jest stałą, równą połowie poivierzchni prostokąta opisanego na elipsie.

28. Konstrukcja elipsy o danych średnicach sprzężonych zapomocą elipsy o tak i cli że osiach. Niech będą 2a' = CCX i 2&' = DDt, ' (fig. 584.), długości średnic sprzężonych elipsy,

rfiŁ    /y*&

wówczas równaniem elipsy, odniesionem do tych średnic, będzie : --1-^ = 1.

Poprowadźmy przez środek 0 prostą prostopadłą do średnicy CCX i odetnijmy OCy= CtD, to elipsa jąca osie CCy i D‘D\ będzie miała odnośnie do układu

Ji,

0.

Fig. 583.

il’

ma

X¹

tych osi takie same równanie: —₂4-—₂ = 1, jak elipsa

pierwotna, odnośnie do swych średnic sprzężonych. Rzędne Pp i P‘p, odpowiadające temu samemu odcinkowi Op, będą więc w obu elipsach jednakowe. Wykreśliwszy tedy elipsę CDyC‘D\, o danych osiach 2a‘ i 2otrzymamy dla każdego jej punktu, n. p. M\ dotyczącą rzędną M‘m; poprowadźmy więc mM\\ OD odetnijmy mM = mM\ tedy punkt M będzie punktem elipsy CD CyDy o średnicach sprzężonych: 2a', 2b‘.

24. Równanie elipsy, odniesionej do równych średnic sprzężonych. Przyjąwszy układ równych średnic sprzężonych, jako układ osi spółrzędnych, fig. 585. otrzymamy równanie :

—, + T7o==l, W którem , ze względu na relacyę : an o‘l

«'*+&•* = (*»+ 6*,

d;

Fig. 584.

^ wypadnie Avzór :

2a'² = 2bn = o² + ó², «M- Ô²

a'² = ó'²

Wobec tego równanie elipsy (a, ó), odniesione do układu równych średnic spi*zężonych, otrzymuje kształt :

, ,    ,    a²+&²

ac²-f y² =-₂ - -

a więc taki, jak równanie koła, odniesione do układu prostokątnego, podczas gdy układ równych średnic sprzężonych elipsy jest układem ukośnokątnj^m.

Kąt nachylenia dwu równych średnic sprzężonych elipsy, które, jak z domo , wpadają w przekątnie prostokąta, na elipsie opisanego, czyli mają kierunki, określone wzorem : tangX = + —

°    ~ a

Fig. 585.

czyli :

:A

(23)

art. 17. wia-

przedstawia się w postaci :

2 ab

ta„rr=

jeżeli przez y rozumiemy kąt ostry, między niemi zawarty.

25. Kąt wpisany w półelipsę. Niech będzie P(Ę, 7]), (fig. 586.) dowolnym punktem elipsy, w którym schodzą się dwie cięciwy: AP i A, P, przechodzące przez końce osi wielkiej AAt.

Cięciwy te mają równania w postaci :

a;

>A

y =    (x~«)> y ⁼    (*+«):

a więc kierunki X i X', określone wzorami :

fZV- tan*x':

tang X

skąd otrzymujemy:

tang X. tang X'

r)²

ï²-a²

»1

5 + a’

a że

+ P⁼⁼¹» a wi§C 71²⁼^2 («²—

B,

ó²

przeto :

i;² — a² a² ’

b²

tang X . tang X'=--j.

A zatem : Cięciwy, łączące doivolny -punkt elipsy z końcami osi wielkiej, czyli ramiona kąta wpisanego iv półelipsę, mają kierunki sprzężone, czyli są równoległe do pary średnic sprzężonych.

Kąt wpisany w półelipsę wskazuje więc zawsze kąt nachylenia dwu średnic sprzężonych. Badanie zmiany kąta nachylenia dwu średnic sprzężonych sprowadza się więc do badania zmiany kąta wpisanego w półelipsę.

Wielkość tego kąta w, odpowiadająca punktowi P(£, r\) elipsy, wyraża się wzorem:

Fig. 586.

jest więc:

tang to =

2 ar\

14

£2+7]2_a2

a że, na mocy relacyi :

Ç2

S²-a²

a²

b2 = ¹, mamy :

(a²— b²)r\²

Ç»_j-₁2_aJŒS (₆2_ł)2)_j_₇₁2_a2₌₌_

przeto, otrzymujemy:

tang w =

2 ab²

(a²—b²)r\

(25)

Z tego wzoru widzimy, że dla r₍ = 0, jest co = 90°, dla rj > 0, jest co )> 90°. Największą wartość będzie miał kąt co , dla r\=b, wówczas będzie: tang co ——

2 ab

Punkt P wpada

A'

a²—b²'

tedy w końce osi małej, a cięciwy sprzężone stają się równoległe do równych średnic sprzężonych.

Kąt rozwarty, zawarty między równemi średnicami sprzężonemi, jest więc największy ze wszystkich kątów, jakie w ogólności dwie średnice sprzężone elipsy mogą zawierać.

Opierając się na równaniu elipsy :

y2

a'²

b'²

Fig. 587.

odniesionem do układu średnic sprzężonych, otrzymamy analogiczne twierdzenie, dotyczące kąta w elipsę wpisanego, a opartego na jakiejkolwiek średnicy AA', (fig. 587.). Ramiona AM i A‘M takiego kąta tworzą bowiem cięciwy sprzężone, które są równoległe do jednej pary średnic sprzężonych.

26. Konstrukcya elipsy z danych średnic sprzężonych za pomocą paska papierowego. Niech będą: OA=a‘, OB=bj dwie połówki średnic sprzężonych

779 -

elipsy, nachylonych do siebie pod kątem y. Wykreślmy z końca mniejszej średnicy b‘ prostopadłą do drugiej, t. j.: BD J_OA], odetnijmy BC=OA=a/ i połączmy punkt C z punktem 0, (fig. 588.).

At

h\

B*

/s

C\

Niech teraz prosta BC, względnie pasek papierowy, na którym oznaczone są punkta B, D, C, porusza się tak, aby punkt D pozostawał stale na prostej OA, a punkt C na prostej OC, wówczas punkt B opisze elipsę o danych średnicach sprzężonych 2a' i 2b‘.

Ażeby tego dowieść

przyjmijmy

układ danych średnic sprzężonych BO i AO, nachylonych pod kątem y, jako układ osi i oznaczmy przez x, y spółrzędne punktu ruchomego w położeniu B‘, gdzie B‘C‘=BC=a‘, B‘D‘ = BD — è'siny, D‘C‘— DC = «'— b‘ siny, przyczem niech będzie: X A0C=cp, a X B'D'A^yj.

B.

Fig. 588.

Otrzymujemy tedy :

a że :

OD‘ =

x=OP=OD,-\ D‘P, y=B‘P,

D‘C‘ sin(?r — cp— ty)    (a‘—b‘ siny)sin(cp-\- ty)

D'P=

sm cp

B‘D‘. sin (y — ty)

BD. sin (y—ty)

sm cp

sin y

B‘P

B‘ D‘. sinty

sm y BD sin ty

— b‘ sin (y—ty)

przeto :

x=

sm y

(a¹—b‘ sin y) sin (cp-\-ty)

sm y

b¹ sinty,

fô'sin(y—ty), y=b‘ sinty,

sm cp

Przekształcając wyrażenie, na x otrzymane, dostajemy:

x=(a‘— b‘ sin y) [cos ty Ą-cotg cp sin ty] + ô'(sin y cos ty—cosy sini/>) =

= a‘ cos tyĄ-ia¹ — b¹ sin y) cotg cp sin yj—b' cos y sinyj= = a¹ cos ty 4* [(«' — b‘ sin y) cotg cp — ô'cos y] sin ty,

skąd, uwzględniając, że: OD— DC. cotg cp, a więc ô'cos y=(a‘ — b‘ siny)cotang<jp, otrzymujemy :

a stąd :

x=a‘ cos ty , y=b‘ sinty,

y2 + 4r.

X¹

a'²

= 1.

Wskutek wskazanego ruchu prostej BC opisuje więc punkt B elipsę, której średnice sprzężone 2a' i 2b‘ zawierają kąty.

Sposób wykreślania elipsy, na tern oparty, znany jest u sposobu Zmurki za pomocą paska papieru.

27. Wyznaczenie osi głównych elipsy, gdy dane są jej średnice sprzężone. Niech będzie — 1, równaniem elipsy, odniesionem do średnic sprzężonych , niech będą dalej y =rnx i y—m'x, równania dowolnych dwu innych średnic sprzężonych, odniesione do

wówczas otrzymujemy dla x — OC= a', z po

nas

pod nazwą

a'²

b‘*

b‘²

pierwotnego układu, a zatem: mm> = — wyższych równań CP=ma‘, CQ = m'a',ûg. 589. przeto: CP, CQ— -f- mm¹ a,'² — — b,2 =—OD².

To znaczy: Dwie średnice sprzężone wyznaczają na stycznej PQ dwa odcinki CP i CQ, których iloczyn jest stały, równy kwadratowi połowy średnicy równoległej do tej linii stycznej; połowa średnicy równoległej do stycznej elipsy jest więc średnią geometryczną między dwoma odcinkami stycznej, jakie wyznaczają na niej dowolne dwie śred-dnice sprzężone.

Jeżeli temi średnicami sprzężonemi są osie elipsy, wówczas koło , wykreślone nad odcinkiem PQ stycznej, jako nad średnicą, będzie przechodziło przez środek O i będzie miało w C rzędną : CR = OD.

Na tej zasadzie możemy wyznaczyć kierunki osi głównych elipsy, znając jej średnice sprzężone CCX i DDX, (fig. 590.). Przez punkt C kreślimy równoległą do DDix która będzie zarazem styczną do elipsy w punkcie C, wystawiamy następnie w punkcie C prostą CR do nich prostopadłą , odcinamy CR — OD i wykreślamy koło, przechodzące przez R i O, a mające środek S na tej równoległej; koło to przetnie ją w punktach Pi Q, które, połączone ze środkiem O dają kierunki osi głównych elipsy.

A,

,D

.'i

'•'P

X‘

'o

-Cf

D,

.-A

Fig. 590.

Fig. 589.

Wielkości osi znajdziemy na podstawie równań :

a¹ -j- 5² = a'² -j- b⁴², ab — a⁴ 5'sin y,

z których dostajemy wzory :

(a—b)z = a'² -f- b4Î—2a⁴b⁴ siny — a'²-j- 5'² — 2a‘b‘ cos (90°—y),

(a -f- &)² — a'² + &'ł + 2a'5'sin y = a,24- 5'² — 2a'5'cos (90° -f- y).

Z pierwszego z nich wynika, że a— b jest bokiem trójkąta, w którym dwa inne

boki są a⁴ i b⁴, a kąt, między niemi zawarty, 90° — y: trójkątem tym jest widocznie trójkąt OCR, fig. 591. gdyż ^ OCR = 90° — y, 0<7 = a', CR=b⁴, będzie zatem OR = a—b.

Drugi wzór wypowiada, że a-\-b jest bokiem trójkąta, w którym dwa inne boki są a⁴ i 5', a kąt, między niemi zawarty, 90° -f- y ; trójkątem tym jest trójkąt OCR⁴, gdyż OCR⁴ — 90° + y, OC—a⁴, CR⁴ — b⁴, jest zatem: OR⁴ — aĄ- b.

Jeżeli tedy z punktu 0, jako środka, zakreślimy koło promieniem OR, które prostą OR4 przetnie w punktach M i IV, natenczas otrzymamy R⁴M—2a, R‘N=2b, a więc długości głównych osi AAX i BBX szukanej elipsy.

(26)

A.

,y

yzfvLï

' /■'

R'<

%a

Fig. 591.

Ćwiczenia LV.

1) Dane jest równanie elipsy w postaci : 9cc²+ 16«/²--32cry-j- 86a;—92=0, znaleźć a) spół-rzędne jej środka C, b) długości jej osi 2a i 25, c) spółrzędne jej ognisk Ft i F₂.

2) Podać równanie elipsy o danym środku (7(4, 7), i danych osiach: 2a = 14, 2i = 8, jeżeli osie układu są równoległe do osi głównych elipsy.

8) Wyprowadzić równanie elipsy, przechodzącej przez punkta P,( 1, 4) i P₂(—'6, 1), jeżeli jej osie wpadają w osie układu.

Eównanie elipsy: —₂-j-~-₂ = l, przerobić ze względu na układ osi, którego osie

są równoległe do osi elipsy, a którego początek leży : 4) w punkcie (a, ß) elipsy,

5) w jednym z wierzchołków, 6) w jednem z ognisk elipsy.

7)    Wykazać, że kwadraty rzędnych prostopadłych do jednej z osi elipsy są propor-cyonalne do iloczynu odcinków, utworzonych na tejże osi.

8)    Wykazać, że elipsa jest miejscem geometrycznem punktów równooddalonych od ogniska F, i od koła, wykreślonego z drugiego ogniska, promieniem równym jej osi wielkiej 2a.

9) Podać: a) długości, b) równania promieni wodzących punktu: P(8, 3‘6) elipsy: 100^ 36

10) Znaleźć spółrzędne punktów, w których prosta: 10»-—9y—75=0, przecina elipsę: 25»² -f- 36y² = 900.

cc²

11)    Na elipsie:    — = 1, dany jest punkt P(»', y'), znaleźć równanie średnicy

OQ, sprzężonej ze średnicą OP.

12)    Jakie równania przybierają cięciwy elipsy: 5²»² -j- a²;//² = a²&², jeżeli ich środki leżą na prostej : y — mx.

13)    Przez punkt P(l, 2) przeprowadzić cięciwę elipsy:    + jg == 1, tak, aby jej

środek padł na średnicy : y = ³/₂».

14)    W elipsie: ^-■(- - = 1, poprowadzić' tak cięciwę, aby punkt M(4, 2) był śi*od-kiem tej cięciwy.

15)    W elipsie: &²»² -j- a²«/² = alb~ przeprowadzono cztery średnice: y=mt», y=w₂», y = m₃x, y — m^x, wykazać, że ich stosunek anharmoniczny równa się stosunkowi anhar-monicznemu czterech średnic, z niemi sprzężonych.

X¹

16)    Jaki kąt tworzy średnica elipsy: — -f-^-=l, przechodząca przez punkt (4, ⁶/₅), ze swą średnicą sprzężoną.

17)    Znając spółrzędne (»', y') końca pewnej średnicy elipsy, wyznaczyć spółrzędne (»", y“) końców średnicy sprzężonej.

18)    Wykazać, że średnią geometryczną promieni wodzących punktu P(»', y‘) elipsy jest połowa średnicy sprzężonej ze średnicą, przez ten punkt przechodzącą.

19)    Wykazać , że równanie elipsy (a, b\ odniesione do równych średnic sprzężonych sprowadza się do postaci : »²-f-y²= y₂(a²-f- 6²)

20)    Wykazać, że suma kwadratów odległości każdego punktu elipsy od dwu równych średnic sprzężonych jest stałą.

21)    Wykazać, że pomiędzy równoległobokami, opisanemi na danej elipsie, równo-ległoboki wj'kreślone nad dwiema średnicami sprzężonemi mają najmniejszą powierzchnię.

22)    Wykazać, że pomiędzy równoległobokami, wpisanemi w daną elipsę, równo-legtoboki , których przekątnie tworzą układ średnic sprzężonych elipsy mają największą powierzchnię.

23)    Wyznaczyć powierzchnią kwadratu, wpisanego w elipsę: &²»²-f- a²y²= a²5².

24)    Jakie są równania boków prostokąta, wpisanego w elipsę, jeżeli powierzchnia tego prostokąta jest równa powierzchni kwadratu, wpisanego w elipsę.

25)    Wykazać, że między układami średnic sprzężonych elipsy, osie mają, najmniejszą sumę, a równe średnice sprzężone dają natomiast największą sumę.

że R =

26) Mając dany trójkąt, wpisany w elipsę (a, &), i oznaczając przez R promień koła na nim opisanego, a przez <7,, d₂, d₂, połowy średnic, równoległych do jego boków, wykazać, di d<> d₃

ab

27)    Wykazać, że suma kwadratów rzutów dwu średnic sprzężonych na os elipsy, równa się kwadratowi tej osi.

28)    Wykazać, że dla długości 2a‘ i 2b' dwu średnic sprzężonych elipsy, zawierając}⁷ cli miedzy sobą kąt y, dadzą się wyprowadzić relacye:

a' fl- — \/a² -\- b² -(- 2 ab cosec y, a‘ — b' — \/ a² b- — 2 ab cosec y.

29)    Prosta porusza się swemi punktami A i B po osiach układu ukośnokątnego y, znaleźć drogę, jaką opisze punkt M tej prostej, skoro: AB = AM -f- MB = a -j- b.

30)    Jeżeli trójkąt porusza się swemi dwoma wierzchołkami po dwu stałych prostych, wykazać, że trzeci wierzchołek tego trójkąta opisuje wtedy elipsę.

81) Na wielkiej osi AA' elipsy, znaleźć taki punkt C, aby kąt MAN, oparty na dowolnej cięciwie MN, przez niego przeprowadzonej, był kątem prostym.

32)    Wykazać, że każdy równoległobok w elipsę wpisany, ma za przekątnie dwie średnice elipsy.

33)    Jeżeli 2p i 2q są długościami dwu średnic elipsy (a, b), do siebie prostopadłych,

<Z²

wykazać , że : —5- -j--5- — —— -)-

34) Wyprowadzić równanie prostej, łączącej punkta końcowe dwu średnic sprzężo

nych elipsy.

35)    Wykazać, że środki cięciw elipsy, przeprowadzonych przez jakikolwiek punkt stały, tworzą nową elipsę.

36)    Jeżeli koło o promieniu r toczy się wewnątrz koła o promieniu 2r, w^ykazać, że wówczas każdy punkt stale połączony z kołem toczącem się, opisuje elipsę.

37)    Jakie jest miejsce geometryczne wierzchołków trójkąta, którego podstawa wpada w ogniskową 2 c elipsy: b²x² -f- a²y² — a²b², a którego dwa .£ne boki są równoległe do dwu średnic sprzężonych elipsy?

38)    Na jakiej krzywej leżą wierzchołki trójkątów, mających stały obwód 2s i opartych na stałej podstawie 2c ?

39)    Na jakiej krzywej leżą wierzchołki trójkątów, opartych na wspólnej podstawie 2c, jeżeli iloczyn tga.tgß=fc, jest stały, skoro a i ß są kątami przy podstawie?

Rozwiązania LIV. 1) (7(— 2, —1), 2«=8, 25 = 6, Fi(— 2 + \Zf), F₂(—2— \/7).

2) 16 a?² -j- 49 y² — 128 x — 686 y -f- 1873 = 0. 3) 115 a:² + 252 y² = 4140. 4)

O ± <0²

a²

r=M ₌ o.

b²

+ p ⁼¹- ⁶)

a²

tsS tJ

— 1. 9) a) rx =3*6, r₂ = 16-4, b) a: =8, y=0’225(a;-f-8).

b²

10) P(4⁴/₅₅ —3). 11) b(bx'—ay‘)xĄ- a{ay‘ -j- bx‘) y = a²b². 12) y =--+    13) 26a:-|-33y—92.

14) y = - 7s*+4. 16) 135° 13'32". 17) x"

=± a²/Va²-\-b², y=±b²/\/a² + b² . 29) Elipsa x + °b *') ^    ~*0 (y±~ *') • ³7)

a²m

ay‘

x²

a²

boc*

y" = + —. 23) 4a²5²/(a² -f- b²). 24) a; = 2xy cos y

x²

a² y²

ab

1. 38)

1. 31) AC =

2ab²

x²

a² -\-b²

(s- c)²

s(s— 2 c)

1.

39)

c²

k c²

Literatura. O. Fort und O. Schlömilch Lehrbuch der analytischen Geometrie. Erster Theil. Analytische Geometrie der Ebene von O. Fort. Dritte Auflag, Leipzig 1892. A. Hochheim. Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene, Leipzig 1882.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Sposoby kreślenia elipsy.

2.    Teorya i rodzaje elipsografów.

3.    O równoległobokach w elipsę wpisanych i na niej opisanych.

Wyklad LV.

Dalszy ciąg szczególnych własności elipsy.

Qß 2    yy 2

1. Styczne i normalne do elipsy. Styczną do elipsy: punkcie: (x\ y‘), jest, jak wiemy już z art. 9. str. 688., prosta:

yy‘

-¹ ?

XX¹

a²

ó²

a normalną w tym punkcie jest prosta:

a²y‘

y—y'

(x—x‘)

której równanie przedstawia się także w postaci:

£-(x-x')=0

x'

w JeJ

(1)

(2)

a więc :

czyli :

a²

Ö²

i/=c²

gdzie :

—r ÖC--

æ' y c² = a² — b².

(20

ó²

2. Styczna wyznacza na osi (2a) odcinek:'--, na osi (2b) odcinek: —, normalna zaś

/ c \2    V

j ?/. Normalne przecinają

c².t'

a² V a

c²    c²    ó²

więc oś (2a) tylko w odstępie od — ₂ do -f —. Nadto zauważymy, że podnormalna N—-~^x‘

(1% ____ ^»2

jest zawsze stałą częścią dotyczącego odcinka x‘, a podstyczna : F' = —-— leżną od osi małej (2b) elipsy. Por. art. 9. str. 688.

3. Styczne do elipsy, przechodzące przez punkt (?, rj), zewnątrz niej położony. Na wyznaczeni e punktu styczności (a;', y‘) stycznej, przez punkt P(£, tj) przechodzącej , mamy dwa równania o dwu niewiadomych (x‘, y‘) w postaci:

y‘t\ _

62 A’ a² ‘ &s ’ z których, po wyrugowaniu niewiadomej y', otrzymujemy równanie:

na

osi (2a) :

cc' = n²x', a na

osi (2 ó):

y'²

a²

c²y‘

ó²

jest nieza-

ające dwie wartości na x‘, odpowiadające dwom punktom stjmzności, które będą rzeczywiste, skoro:

£² ri²

-j—^2— 1 > 0, t. z., skoro punkt P będzie poza obrębem elipsy.

Równanie :

x'Ç

y‘f\

a²

b²

1, przedstawia , przy

zmiennych x‘, y', prostą, przechodzącą przez te dwa punkta styczności, czyli jest równaniem t. z. cięciwy styczności MN (fig. 592.), odpowiadającej punktowi P, czyli biegunową punktu P, ze względu a?² y²

"*■ b²

na elipsę :

4. Styczne do elipsy, równolegle do danej prostej.

Niech będzie y = mx-\-n, równaniem prostej, do której równoległą ma być styczna do elipsy :

= 1.

= 1.

z²

h²~

y²

b²

Fig. 592.

yy‘

Równanie szukanej stycznej będzie : b²x‘ b²

xx/ !

⁺ “P"

przyczem spólrzędne (#', y‘) szukanego punktu styczności, muszą czynić zadość dwom równaniom :

1, czyli: y =

a²yt

x -j---

V‘

x'²

y‘²

a²

b²

1, m = —

b²x‘

a²y‘ ’

Punkta przecięcia się elipsy z prostą: y = —

b²

a² m

x, która przechodzi przez pocaątek

b²

układu, w kierunku: tanga = m/ = — więc szukanemi punktami styczności.

Jako spółrzędne tych punktów, otrzymujemy : -    _ a² m

X - ą- ................— '

by ahn²-\-b²

a²m

sprzężonym z kierunkiem danej prostej, są

y‘ — ±

(3)

staci :

V/a²m² Ą- b²

Równanie stycznej, równoległej do prostej: y — mx-\-n, przedstawia się więc \v po-

y = mx+_ V/a²m² -|- b².

4. Miejsce goometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do elipsy, są do

2 2

siebie prostopadłe. Styczna do elipsy: —-j--p==l, wyprowadzona w kierunku tanga = m, max według poprzedniego art. równanie:

+ \/a² m²-j- b².

Przyjmijmy, że w tern równaniu jest czynnik kierunkowy m niewiadomy, a natomiast x, y, są spółrzędnemi punktu P, przez który styczna przechodzi, wówczas, na wyznaczenie niewiadomej m, otrzymujemy z powyższego wzoru równanie drugiego stopnia, kształtu:

(a²-x²).m²-\- 2xy .m -j- (b²— y²) — 0. które daje dwie wartości mv i mt) wskazujące kierunki dwóch stycznych do elipsy, które z punktu P dadzą się wykreślić.

Skoro styczne te mają być do siebie prostopadłe, to musi być iloczyn m₁m₂ = —1) co wymaga, aby spół-rzędneCpunktu P(x, y), czyniły zadość równaniom: b² — y2 - a² — x²

y = mx

(4)

9°’

.i

czyli :

B.

Fig. 598.

“-1,

x² -|- y² — a² -f- b².

A zatem : Miejscem geomeirycznem punktów, z których, wyprowadzone styczne do elipsy sa do siebie prostopadłe, jest koło, opisane naokoło prostokąta, na elipsie opisanego>._ (fig. 598.).

(5)

6. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do elipsy, czynią ze sobą kat wiadomy a. Czynniki kierunkowe mt, ml, obu stycznych, wyprowadzonych

ł!_ i

x²

z punktu (x, y) do elipsy : —= -{-

wyznaczają się, na mocy wzoru (4), za pomocą

równania drugiego stopnia: (a²—x²)m² -)- 2x«/. m -j- (&²—«/²)=0. Równanie to daje mianowicie:

—xy -fi/«²«/² -j- ó²x² — a²ó²

m₁ =

z czego wypada :

a²— x²

, m₂

—xy—\/a² y² + ó²x²—a²è²

a²— x².

2V/V²«/²-f- i²#²—a²6²

— 2/2 a² — x²

Jeżeli stjmzne , w kierunkach m₂, wyprowadzone czynią ze sobą kąt a, to :

ml — m2

a² — x²

ml m₂

tg a

2\/ a²y²-\-b²x²—a²&²

1 -f- »»i m₂

Uwzględniając to, że wzór: b²x²-\-a²y²—a²ó² = 0,

(a² -f- &²) — (æ² +y²)

(6)

yl

porównany do zera, daje równanie elipsy: "₂ + p = 1

połóżmy :

Uwzględniając, następnie, że wzór:

ó²x²-j- a²y² — a²b² = E.

(ał + ó²) — (x² -f1/²) = 0,

porównany do zera, daje równanie koła, podanego już w poprzednim art. jako geometryczne miejsce punktów, z których styczne, wyprowadzone do elipsy czynią kąt prosty,

(x² -]- y²)— (a²-f- b²) — K.

Wobec tego znakowania, otrzymamy z (6) wzór:

iVê

tg*=—W

połóżmy :

, zatem równanie: K² tg²a = àE.

Pisząc to równanie w całej rozciągłości, otrzymujemy:

[(x² -f- y²) — (a²-\- &²)]²tg²a —4 (ó²x²+ a²y² — a²b²), otwiei’ajac wreszcie nawiasy, otrzymujemy :

(xł -j- 2x²y² -f- y⁴) tg²a—2 [a² tg² a -j-&²(tg²a—2)] x² —

—2 [&² tg² a -|-a² (tg² a—2)] y² -f- (a² -f- b²)² tg² a 4a² b² — 0 ,

(U)

równanie czwartego stopnia, cechujące krzywą czwartego rzędu.

Nie wchodząc w bliższe szczegóły, zaznaczamy, że ten sam rezultat otrzymamy, pytając o geometryczne miejsce punktów, z których styczne, wyprowadzone do elipsy, czynią ostry kąt a, lub spełniający go rozwarty kąt n—a.

Równanie (70 przedstawia więc dwie oddzielne krzywe : punkta pierwszej z nich

wyznaczają pary stycznych do elipsy, obejmujących ją ostrym kątem a; oznaczmy tę krzywę: C(a) (Fig. 594); punkta drugiej z nich wyznaczają pary stycznych do elipsy, obejmujących ją rozwartym kątem: k —a; oznaczmy tę krzywę C(n—a).

Łatwo okazaÓ, że te obie krzywe nigdzie się nie przecinają, są owalami. Pierwszy owal C(a) zawiera koło K w całości, a więc i elipsę E również. Drugi owal C(x—<x) zawiera się całkowicie wewnątrz koła K, a sam elipsę E obej-

muje całkowicie.

Nadmieniamy,, że w miarę malenia kąta ostrego a do zera, krzywa C(a) rozszerza się nie-ograniczenie, a krzywa C(n—«) zmierza do samej elipsy E) jako do granicy.

Natomiast, w miarę wzrastania kąta ostrego a do 90° krzywe C(a) i C(n—a) zmierzają do wspólnej granicy, którą będzie koło K.

Fig. 594.

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

50

7/ 2

7. Równanie pary prostych stycznych do elipsy: -4- j₂ = l, wychodzących z punktu: P(£, ^), możemy otrzymać wprost w sposób następujący: Wszelka prosta, wychodząca z punktu: 7³(£, ^), w kierunku 2, ma równania:

x=Ë,-\-r cos 2, y—rj-\-rsin 2 gdzie dowolny parametr przedstawia odległość dowolnego punktu prostej ** od punktu wyjścia P(£, ?/).

Prosta ta przecina elipsę w odległości r, określonej równaniem: (|+rcos2)² (ły + rsin2)²

-—---1----,-r- =1

(a)

a²

&²

(*)

z którego otrzymujemy :

„(cos² 2

r {-i*-

sin² 2

6²

4-2 r

Jrr

a²

f] sin 2

4-

(c)

Równanie daje na r dwie wartości równe, skoro będzie wyróżnik:

sin² 2 I (£²

jgcosA | ?7sin2\y (cos²2 \ a² + b² / “ l"“^²

&²

a²

— i|=o.

(8)

skąd otrzymujemy kierunki 2, obu stycznych, dających się z punktu P(£, fj) wyprowadzić.

Wprowadzając w warunek (8) spółrzędne (æ, y), bieżącego punktu tych stycznych, a więc, kładąc na mocy wzorów (a) :

y—ri

cos A———- , sin 2 r

otrzymujemy równanie:

/IQg—I) ■    /(^y|)²

l a²    6²    /    1 a²

6²    1 ta² b¹ I

=0

które, po wykonaniu łatwych uproszczeń, sprowadza się do postaci:

dJLT) !^

yn

X¹

P-O

f! i t

a²~' 6²

(9)

~V ⁺

cechującej parę prostych, wychodzących z punktu (£, fj), a stycznych do

/V» 2    ni 2

elipSy:-₂+p

Spółrzędne punktów (#, «/), w których ta para prostych styczną jest do = 1, czynią widocznie zadość także równaniu:

= 1.

a;²

elipSy : a2 +

a2 + &²

a więc leżą na prostej :

yn

2 + £2

zwanej biegunową punktu P(£, 17) ze względu na daną elipsę.

Jeżeli w równaniu (8), cechującem warunek, pod którym prosta, wychodząca z punktu (£, ?/), w kierunku 2, będzie styczna do elipsy:

x²

a²

+ ii= i

^ 6²

uważać będziemj⁷ punkt wyjścia (£, 17), jako zmienny, a natomiast kierunek 2 jako stały, natenczas równanie (8) określi nam miejsce punktów, z których wyprowadzone styczne do elipsy będą miały kierunek 2.

- 787 —

Równanie:

cos²A    siu² A

'^+ł²_

a2_r b²

OlP*

przedstawia zatem parę prostych, stycznych do elipsy: —^ + wy

Cl    o

siebie równoległych, w kierunku. A.

Spółrzędne punktów, w których ta para prostych równoległych styczną

/jq 2    2

jest do elipsy: —+ yy=l, czynią zadość równaniu:

Cl o

X cos A

a²

Ô²

6²

¹)⁼⁼o

(9)

y sin^

a²

a więc leżą na średnicy:

&²

a² tg A

sprzężonej z kierunkiem A.

8. Normalne do elipsy, wychodzące z danego punktu. Niech będzie danym punkt

P(ij, 7])j z którego ma wychodzić normalna do elipsy: IV(ać, y') elipsy, ma równanie:

a²

è²

a²

ó²

= c².

Jeżeliby normalna ta miała przechodzić przez punkt: P(5j, rj), wówczas musiałby się

x‘

spełnić warunek :

a²

6²

</'

. 7) = C²,

czyli :

obok warunku:

c²a:' y‘ — a² + è²?)#' =0

a/²

y‘²

O)

&2 X’

Równanie (a) przedstawia, przy zmiennych a;', y', pewną krzywą drugiego i’zędu, równanie (b) daną elipsę. Punkta przecięcia się krzywej (a) z elipsą (6) dają więc punkta, które, połączone z punktem P(f, 7j), dają żądane normalne.

Krzywa (a) jest, ze względu na to, że: \ = allai<i—a\i= — 74C⁴<CO, widocznie hiperbolą, przechodzącą przytem przez dany punkt P(5, 7]) i przez środek elipsy: 0(x'=0, y‘—0), środek 6Y(a, 6) tej hiperboli określony jest równaniami: c² ßż»²rj =0, c²a —a²£ = 0;

& ² 7]

T²“*

Przyjmując środek (a, ß), jako początek nowego układu i zatrzymując kierunek osi, otrzymamy równanie tej hiperboli, odniesione do nowego układu, w postaci:

z których otrzymujemy :

a²S

a =-—

c²

N.

X’

0W>

Fig. 595.

Fig. 596.

z której otrzymujemy:

c² (* + «) (y + ß) — a² 5(y 4- P) + h^ 0* + a) = 0,

c^xy -f-se(c²ß /p7]) -j- y (c²a—o²: ) -f- r²aß—a²? ß -f- &² 7) a = 0,

- 788 —

czyli :

xy

a2>- ß — fr²7]a — c²aß

c²

a ß —k

a więc ostatecznie :

Jest to więc hiperbola o asymptotach do siebie prostopadłych, czyli hiperbola równoboczna.

Przecina ona elipsę w ogólności w czterech punktach, z których dwa przynajmniej muszą być koniecznie rzeczywiste.

Punkta te zowią się zwykle punktami podstawowemi tych czterech normalnych (fig. 595., 596.)

Na wyznaczenie rzędnych (yx, y.₂, y₃, y₄) tych czterech podstawowych punktów, oraz ich odciętych (xx, x₂, x₃, xx) mamy z równań a) i b) str. 787. równania czwartego rzędu: c⁴x'⁴—2c²a²<;a;'³-{-a²(a²!-² -f- ö²rj²—c⁴)cc,2-|-2c²a⁴;a;/ —a⁶ę² —0, cy ⁴ + 2c²Z> V'³ -f ó²(a²?² + b\²— c⁴)«/'²— 2c²ó⁴t)«//— ó⁶v)² = 0.

Pierwsze z tych równań otrzymujemy, rugując y' z równań elipsy i hyperboli: b²x‘² -J- a¹y‘²— a²à² = 0, c^x'y' -f- b\x‘—a²gy' = 0.

xy — Tc.

Drugie zaś otrzymujemy, rugując x' z powyższych dwóch równań.

9. Konstrukcja geometryczna czterech normalnych do elipsjr, wychodzących z danego

punktu. Niech będzie danym punkt P(|, rj), wyprowadzono zeń cztery normalne MNX, JflV2 J/JV3, MN₄ do elipsy. Wykreślić możemy je, wyznaczając geometrycznie punkta podstawowe JVj, N₂, N3} JV₄. Najbliżej wskazanem byłoby wyznaczenie pary prostych, z których jedna przecięłaby elipsę w punktach Nx i jY₂; druga — w punktach JV₃ i jY₄.

Para prostych przedstawia nam szczególny przypadek krzywej rzędu drugiego, która w danym razie ma mieć cztery punkta wspólne z elipsą i liyperbolą razem.

Łatwo odgadnąć , że równanie dowolnej krzywej rzędu drugiego, która ma przejść przez punkta wspólne elipsy: b²x²a²y²—a¹b² = 0 i hyperboli: c²xy -f- b\x—a² Çy = 0, może i musi być napisane w postaci :

X (b²x² -f- a² y~—a²b²) -f- 2 (c²xy    b²r\x—a²^x) =0,

jedynie wtedy bowiem wszystkie cztery punkta elipsy i hyperboli będą znajdowały się na wspomnianej trzeciej krzywej rzędu drugiego.

Rozwijając to równanie , otrzymujemy :

X b² x- fi- 2c²xy -j- \a²y²2b²r\ x— 2a²|y—X«² b² = 0.

Zaraz widzimy, że żadna z krzywych rzędu drugiego , przechodzących przez punkta podstawowe Nj, N₂, 1V₃, 1V₄, nie może być kołem, gdyby bowiem tak było, to wypadłoby Ib^ — la², c²=0; to niemożliwe, bo dla elipsy, ani c nie jest zerem, ani a nie jest równem b.

Widzimy więc, że: Punkta podstawowe Nx, N₂, N3: N₃ czterech normalnych, które możemy z dowolnego punktu P poprowadzić do elipsy, bezwarunkowo nie mogą znajdować się na obwodzie jednego koła.

10. Kładąc warunek, że krzywa rzędu drugiego:

Ai*² + 2^12 xyA2 y1Jr 24i3 % + 2R₂₃ y J₃₃ = 0, ma rozpaść się na dwie proste, musimy przyjąć:

Al ) A21 A3 A27 A2 5 A3 A3 1 As ) A3

Równanie to w naszym przypadku przyjmuje postać :

b²X

= 0.

c²

b²r\

a²X, —a²ï Z<²7j, —a²!, —a²b-\

c²

Rozwijając wyznacznik i dzieląc równanie obustronnie przez —a²ó², otrzymujemy równanie trzeciego stopnia :

OS² Ó² X³ -j— (öS2 ^2 _|_ J 2 yj 2 — C⁴) X -j— 2c² Ç 7] = 0.

Pisząc to równanie w postaci :

1)

xh

a2|2_J_&2/(2_c4

a¹b¹

X -f 2

C² ^7)

a² ft²

0,

O)

789 -

1) Jeżeli punkt P(£, jj), czyni zadość warunkowi:

a²£²-k è²rj² — c⁴\³    (c²%ri\²

3a²ó²

) + \wJ <0

t. j. warunkowi: (a²£²-}-&²^²—c⁴)³ -f-27ą² ó²c⁴?²r)² <0, to z punktu P(£, rj) możemy poprowadzić, cztery normalne rzeczywiste PA₄, PN₂, PN₃, PNit wówczas bowiem równanie trzeciego stopnia 1) posiada trzy rzeczywiste pierwiastki, a więc trzy rzeczywiste pary prostych : jedna łączy punkta AtA₂, A₃A₄; druga łączy punkta: NiN3l A₂A₄ ; trzecia łączy punkta: AtA₄, A₂A₃.

2) Jeżeli punkt P(£, r,) czyni zadość warunkowi: a²1?²ö²?)²—c⁴)³ -f- 27 a² Z»²c⁴ÿ²/)²>0, to z punktu P(£, rj) możemy poprowadzić dwie tylko rzeczywiste normalne PA1} PAŻ ; pozostałe zaś PN₃ i PA₄, będą urojone sprzężone , w tym bowiem wypadku równanie trzeciego stopnia 1) posiada jeden tylko rzeczywisty pierwiastek X, wyznaczając jedną tylko rzeczywistą parę prostych, z których pierwsza przecina elipsę w dwóch rzeczywistych punktach Aj, A₂, druga zaś przecina elipsę w dwóch urojonych, sprzężonych punktach N₃ i A₄.

3) Na szczególną uwagę zasługuje przypadek, gdy punkt P(|, 7j) znajduje się na krzywej szóstego rzędu: (cP-x¹ -j-b-y²—c⁴)³-f- 27 a'² b-cltx²y²=0 ; krzywa ta jest geometry-cznem miejscem punktów, z których możemy poprowadzić do elipsy cztery normalne, między niemi dwie będą się nakrywać, jedna normalna więc będzie podwójną. W tym przypadku równanie trzeciego stopnia (a) będzie posiadało jeden pierwiastek podwójny. Jedna z par prostych będzie pojedynczą, druga zaś będzie się liczyć dwukrotnie. Niechaj to będą pary : AtN₃, A₂A₄ ; A₄A₄, A₂A₃ ; możliwem to będzie tylko wtedy, gdy punkta A₃ A4 się nakryją. Wówczas pojedyncza para składać się będzie z siecznej A₄A₂ i stycznej w punkcie N, w którym schodzą się punkta N₃ i A₄, z punktu P(£, rj) w tym razie wychodzą dwie pojedyncze normalne PAj, PA₂ i jedna dwukrotna PN.

Uważając punkta N₃ i A4, jako nieskończenie blizkie sąsiednie punktu A, możemy zaznaczyć, że dany punkt P będzie punktem spotkania normalnej w punkcie A z nieskończenie bliską sąsiednią , a więc będzie środkiem krzywizny elipsy w punkcie A. Ztąd wynika, że z danego punktu P możemy poprowadzić dwukrotną normalną do elipsy wtedy tylko, gdy punkt P jest obrany na ewo łucie elipsy, t. j. na geometrycznem miejscu środków krzywizny poszczególnych punktów elipsy, art. 22. str. 796.

11. Zwróćmy uwagę na szczególne przypadki:

a) Punkt M znajduje się na osi x-ów. a więc współrzędnemi jego będą liczby (Ę, 0), t. j. rt — 0. Hyperbola, wyznaczająca podstawowe punkta czterech normalnych : A₁,A₂,A₃,A4 rozpada się na dwie proste: Px — a-^,— 0, ij = 0.

Druga z nich wyznacza końce wielkiej osi, jako podstawowe punkta Arl5 A₂, dwóch normalnych, dających się poprowadzić z punktu M położonego na osi wielkiej.

a-

Pozostałe zaś dwa punkta będą miały wspólną odciętą ę. Łatwo okazać, że będą

to punkta ;

a²?²

a²

i, y/i

a¹1²

k, y₄ = —

Jeżeli punkt M zejdzie się z ogniskiem P(c, 0), to punkta podstawowe owych dwóch drugich normalnych będą punktami urojonemi sprzężonemi :

A₃ (ar₃ = y , 2/3=+ y V—l), ty (*₄ = y, «/₄ = — y V/—l)-

c⁴

T²

c⁴

Podobnież, jeżeli punkt M zejdzie się z ogniskiem F(—c, 0) to punkta podstawowe owych drugich dwóch normalnych, będą punktami urojonemi sprzężonemi:

A3 («3 = ~ y, 2/3=+ y Y/—l) , A₄ (oj₄ = — —

ÿi==-

Wogóle z punktu J/(£, 0) obranego na osi wielkiej elipsy: &²#²-f- a-y¹—aIb¹ — 0, można popi’owadzic cztery rzeczywiste normalne ; jedną podwójną , dwie pojedyńcze, albo tylko dwie rzeczywiste normalne, stosownie do tego, czy o²|²> c⁴, lub a²|²=c⁴, lub wreszcie: a²£²0⁴.

b) Punkt M znajduje się na małej osi elipsy, a więc współrzędnemi jego będą liczby (0, rj), t. j. | = 0. Hyperbola, wyznaczająca podstawowe punkta czterech normalnych At,A₂, A₃, A₄ rozpada się na dwie proste: c-y -\-b²rt=0. x — 0.

— 790 -

Druga wyznacza końce małej osi, jako podstawowe punkta dwóch normalnych, które dadzą się z punktu M na małej osi poprowadzić. Pierwsza zaś wyznacza , jak łatwo wyrachować podstawowe punkta dwóch drugich normalnych :

^3(^3 = +® \jl

6²7)²

//V

b'¹

Będą one obie rzeczywiste, gdy &²rj²>c⁴; jedna podwójna: gdy ó²rj² = c⁴, obie urojone sprzężone, gdy 6²r]²0⁴.

ci

c⁴

l/i = —

12. Ogniska elipsy. Styczna w punkcie P(x‘,y‘) elipsy wyznacza na osi

wielkiej odcinek:    —

x‘ c²

an=-^x\ jest zatem:

Pary punktów T i N, w których styczne i normalne do elipsy, przecinają jej oś główną, tworzą inwolucyą , której środkiem jest środek elipsy, a której punktami podwójnemi są punkta rzeczywiste Fi i F₂, położone na osi tak, że: 0Fl = 4-c, 0F₂ = — c; punkta te nazywamy ogniskami rze-czywistemi elipsy, (fig. 597).

Na osi małej (2b) wyznacza styczna i normalna, w tym samym punkcie P(x‘, y¹) elipsy, odcinki:

a normalna w tym punkcie wyznacza odcinek :

at.an = c².

(U)

b²

y K---

b,.bn=-c\

Mamy tu więc :

Pary punktów Tb i Nb, w których styczne i normalne do elipsy przecinają jej oś poboczną, tworzą więc inwolucyę eliptyczną, której punktami

(12)

-O—

l

Fig. 598.

Fig. 597.

podwójnemi są punkta urojone sprzężone i @₂, położone na osi (2b) tak, że: O0X =    1, 0@₂ — —cy/—1. Punkta te nazywamy ogniskami

urojonemi elipsy, (fig. 598.).

Elipsa ma więc cztery ogniska , dwa na osi większej , a dwa na osi mniejszej, a z tych tylko ogniska Fx i F₂ są rzeczywiste.

13. Kierownice elipsy, jako biegunowe jej ognisk. Biegunową punktu

/^2 2

(x‘, y‘), ze względu na elipsę: ^2+^ = 1, jest, jak wiemy, prosta:

xx‘

a²

Przyjmując dany punkt w jednem z ognisk, otrzymujemy, jako biegunową ogniska: Fx{x‘=Ą-c, y¹— 0), prostą:

ex

-„-1=0

a²

czyli : x = — , c

a, jako biegunową ogniska F₂(æ'=—c, y‘ = 0), prostą: x=

Proste te nazywamy kierownicami elipsy.

Są one równoległe do małej

względem niej symetrycznie, obie zewnątrz elipsy.

Uwaga. Stosunek odległości jakiegokolwiek punktu P elipsy od ogniska do odległości jego od kierownicy jest stały i mniejszy od jednostki. Mamy bowiem odległość punktu : P(x, y) od ogniska F, t. j. :

PF=r=-a—ex^a — ° a

a odległość tegoż punktu od kierownicy, t. j. :

PD=— — x, c

a²

a²

(13)

(18')

osi

i (2b) elipsy w odległości: —>> a i leżą

c \a²

— X = —--X

aie J

PF c

a więc stosunek :

wypada stały i mniejszy od jednostki.

W kole jest c = 0, ogniska wpadają w jego środek, a kierownice w prostą w nieskończoności.

14. Ogniska elipsy, jako punkta przecięcia się prostych sprzężonych, do

siebie prostopadłych. Biegunową jakiegokolwiek punktu kierownicy n. p. / 2 punktu: M\x‘= —

PI)

y¹=p ) , jest prosta o równaniu:

x‘x

y‘y

b² b²

crj

X

= 1 , to jest : —

= 1, czyli: y= —

jest to więc prosta, przechodząca przez ognisko: F(x—c,y—0), w kierunku :

,    b²

tang a = —

a²

d⁻

x-{-

c rj

Prosta MF, łącząca punkt m{^- , z ogniskiem F(c, 0) ma równanie: — c) = y[x—c), czyli: y =

cy

b2 (X~C\

jest więc prostą, przechodzącą przez ognisko w kie-

C71

runku: tanga' = ^2, jest więc prostopadłą do biegunowej punktu M, a zatem :

Biegunowa jakiegokolwiek punktu M kierownicy

M’

przechodzi przez ognisko prostopadle do prostej, łączącej ten punkt z ogniskiem.

Oznaczmy przez Mł punkt

.Fig. 599.

w którym biegunowa punktu M przecina kierownicę, a przekonamy się, że, nawzajem, biegunowa punktuj/' przecina kierownicę w punkcie Jf, przyczem jest FM | FM‘.

Dwie proste, które posiadają tę własność, że biegun jednej z nich, ze względu na daną krzywą, leży na drugiej prostej, nazywamy prostemi, biegunowo sprzężone mi, podobnie dwa punkta, posiadające tę własność, że biegunowa jednego przechodzi przez drugi , nazywamy punktami biegunowo sprzężonemi.

Możemy więc ogniska elipsy określić, jako punkta, z których wychodzące proste biegunowo sprzężone są do siebie prostopadłe, a kierownice elipsy określić, jako proste, na których znajdują się pary p unk t ó w b ie g u n o w o sprzężonych, z ogniska odpowiedniego widziane pod kątem prostym.

15. Ogniska, jako wierzchołki zupełnego czworoboku urojonego, na elipsie opisanego. Eównanie pary stycznych, wychodzących z punktu P(Ę, t]), możemy, na mocy art. 7. str. 786. przedstawić w postaci :

tOl K5

(p ⁺ p⁻¹) -(*

przyczem :

Przyjmijmy, że punkt P jest jednym z urojonych punktów kołowych w nieskończoności (art. 11. str. 177.), t. j. punktem, dla którego -y- = -f- * , lub =— i,

| i; | = oo, | rj j = oo. W tych przypadkach równanie stycznych przybiera kształt:

V²

i) («2+ p •

y_ _

&² ' £ ?

z którego, dla £ = co, — = -|-i, otrzymujemy równanie pary stycznych, wychodzących z punktu kołowego, leżącego w kierunku:    w postaci:

(p + ip) "(p + P⁻¹) (p~

zaś, dla <|=co,-^- =— i, i*ównanie pary stycznych, wychodzących z punktu kołowego leżącego w kierunku: ~

—7, w postaci :

f)-⁰-

(14)

(15)

~*p) — (^2 + fä-¹) (p - -p) =a

Terni równaniami są więc przedstawione cztery boki urojone czworokąta, na elipsie opisanego , którego dwoma wierzchołkami są dwa punkta kołowe w nieskończoności. Szukając dalszych wierzchołków tego czworokąta, otrzymamy z równań (14) i (15), albo: 1) dwa równania w postaci :

x²    / x'²    \ j 1    1 \

y=0’ P^P“¹) P' ⁰

z których dostajemy :

æ²

a²

_A . iLi„

a² ^ bV b² a²

; a więc :

a²— 6²

a² b²

a²b²

y — O, cc² — a² — &² = c²,

(16)

czyli :

a więc: Fl(y = O, æ = -j-c) i ł\(y — O, x = — c), jako szukane dwa wierzchołki rzeczywiste, leżące na osi wielkiej , albo : 2) dwa równania kształtu :

~P

z których dostajemy:

i . i\ i i P + W“ p-p> a W1?c: £c=0, p = — (a² — &²) = — c²,

a² —6²

a² 6² a² ó² ’

(17)

czyli :

a więc 4>₁(æ = 0, y = -\-ci), ih₂(a? = 0, y— — ci), jako drugie dwa wierzchołki urojone, leżące na osi małej elipsy.

Te cztery wierzchołki są więc czterema ogniskami elipsy, z których dwa są rzeczywiste na osi wielkiej, dwa zaś są urojone sprzężone na osi małej.

Zaliczając także punkta kołowe urojone w nieskończoności, do ognisk elipsy, możemy powiedzieć: Elipsa ma sześć ognisk, dwa rzeczywiste na osi wielkiej, dwa urojone na osi małej, a diva urojone w nieskończoności, schodzące sie z punktami kołowemi, dając dla ognisk elipsy następujące określenie: Ogniska elipsy są to wierzchołki zupełnego czworokąta, utivorzonego przez dwie pary stycznych do elipsy, wychodzących z urojonych punktów kołowych, w nieskończoności położonych.

793 -

16. Twierdzenia, odnoszące się do ognisk elipsy. Biorąc pod uwagę ogniska rzeczywiste

Fx i F%, elipsy:    położone na osi 2a, v? odległości od środka:

_ v/«²-&²,

OFt = -p c= Ą-\/a² — &², OF₂ — możemy z łatwością dowieść wprost wielu twierdzeń, odnoszących się do tych ognisk, z których przytaczamy najważniejsze:

1)    Suma promieni r, i r₂, wychodzących z ognisk Ft i F₂ do któregokolwiek punktu elipsy jest stałą, równą 2a, fig. 600.

2)    Styczna i normalna w dowolnym punkcie P (x‘, y‘), elipsy są dwójsiecznemi kątów, jakie zawierają promienie ri i r% tego punktu, fig. 601.

.L,

Iß-

'N

Fig. 600.

Fig. 601.

Fig. 602.

Fig. 603.

3)    Rzuty ognisk na styczną, w jakimkolwiek punkcie elipsy, lezą na kole, wykreślonem nad osią 2a, jako nad średnicą, fig. 602.

4)    Kąt, zaioarty między stycznemi do elipsy, wychodzącemi z punktu P i kąt, zaioarty między promieniami wodzącemi tego punktu mają tę samą dwójsieczną, fig. 603.

5)    Iloczyn pionôiv pt i p₂, wyprowadzonych z ognisk I\ i F₂ na dowolną styczną elipsy jest stały, równy ł>'i, fig. 602.

6)    Prosta, łącząca ognisko F elipsy z dowolnym punktem P jest dwójsieczną kąta TXFI\. jaki tworzą promienie wodzące TXF, 1\F, punktów styczności, obu stycznych, poprowadzonych z punktu P do elipsy, fig. 603.

17. Elipsa i koło. Niech będzie dane koło:

(x — £)² + (y—^)²=r² i elipsa: b²x²-\-a²y²=a²b².

Chcąc wyznaczyć pnnkta wspólne obu tym krzywym, musimy powyższe dwa równania uważać , jako równorzędne o dwu niewiadomych x, y i rozwiązać je ze względu na te niewiadome.

Napisawszy pierwsze równanie w postaci:

czyli :

gdzie | i rj są spółrzędnemi środka C koła, a p=£² + ?/²—r², potęgą punktu początkowego: 0(0, 0), ze względu na koło, mamy rozwiązać następujący układ dwu równań:

x²-\-y²——2łyy + (|²+^²—r²)=0, x²-\-y²—— 2r\y -j-p=0,

x²-\-y²——2rjyĄ-p=0 b²x²Ą-a²y²— a²b²=0.

Uporządkowawszy obydwa równania podług niewiadomej x, w postaci: x² — 2Ç.x + (y²—2ijy+p)=0,

b²x²

+ (a² y²—a²b²) = 0,

otrzymujemy stąd:

x²

y² — 2r\y -\-p 0,    a²y²—a²b²

y² - 2py + p , 1 a²y² — a²b², b²

r—I isQ

LC

czyli :

a więc :

—2a²è,{y²—b²)    — (a²—b²)y²—2b²f]y-^b²(p-\-a²)    2b² £

a²(y²—b²)

--——-, a?=

Æ² —

(a²— b²)y²-\-2b²rjy—ó²(^)-f a²)

b²

2 b²l

a zatem równanie o jednej niewiadomej y w postaci:

[(a² — b²)y2jr%b²yy— b²(a²Ą-p)]²-\-4:a²b²^²(y²—ó²)=U, (c ²y² + 26 ²rjy—& ²w)² + 4a²ó ²£²(t/² — /;²) =0,

c²=a²—b², m--=a2jrp.

czyli : gdzie :

Uporządkowawszy to równanie podług potęg niewiadomej y, otrzymujemy równanie czwartego stopnia :

Mi yi+a₃yz+à₂y² + aiy + a₀=O, ai=(a² - ó²)²=c⁴, a₃=4&²c²ły>, ć*₂ = 2ó²[—c²m + 2(&²-//²-f a²|²)], a₁=4&⁴m?7, a₀=b²(b²m²—4a²£), a więc cztery rzędne yl5 y₂, y₃, y₄, należące do punktów wspólnych koła i elipsy. A zatem : Koło ma s elipsą, iv ogólności cztery punlita wspólne.

18. Wzajemne położenie koła i elipsy. Równanie (18) dowodzi, że punkta przecięcia się koła z elipsą leżą wszystkie w skończoności , (gdyż spółczynnik przy «/⁴ jest, wobec a^> b zawsze różny od zera) i są : albo : 1) wszystkie cztery rzeczywiste, (fig. 604.), albo 2) dwa rzeczywiste, a dwa urojone sprzężone, (fig. 605), albo 3) wszystkie cztery urojone, parami sprzężone, (fig. 606.).

gdzie :

Fig. 604.

Fig. 605.

Fig. 606.

(18)

Fig. 607.

Szczególne przypadki zachodzą , gdy równanie (18) ma powtarzający się pierwiastek U\ =2/2, a dwa inne różne między sobą, w tym przypadku koło dotyka elipsy w jednym punkcie, a w dwóch punktach (rzeczywistych, lub urojonych sprzężonych), jeszcze ją przecina, (fig. 607.) i (fig. 608.).

Jeżeli temi równemi pierwiastkami są pierwiastki urojone:    =y₂ — a-f- ßi, tedy

muszą być także drugie dwa pierwiastki urojone między sobą równe: y% — yk — a — ßi ; koło i elipsa styczne w punkcie urojonym muszą się zatem stykać jeszcze w drugim punkcie urojonym, z pierwszym sprzężonym.

Jeżeli, w przypadku czterech pierwiastków rzeczywistych, obok y\=y%, jest także «/₃=«/₄, wówczas koło i elipsa dotykają się w dwu oddzielnych punktach rzeczywistych, (fig. 609.)

Fig. 608.

Fig. 609.

Fig. 610.

Fig. 611.

Jeżeli równanie (18) ma trzy powtarzające się pierwiastki: yi=y₂ — y3? a czwarty y₄ od nich różny, wówczas koło ma z elipsą w jednym punkcie M styczność drugiego rzędu, a w jednym jeszcze ją przecina, (fig. 610.). Koło takie nazywamy kołem ściśle stycznem w punkcie M.

Gdyby wreszcie wszystkie cztery pierwiastki równania (18) były równe między sobą, : lJ\ — Uï —    = Vi : wówczas koło miałoby z elipsą wspólne cztery punkta , w jeden wpada

jące, czyli miałoby w tym punkcie z elipsą styczność trzeciego rzędu i byłoby zarazem kołem ściśle stycznem w drugim stopniu, (fig. 611.).

19. Kolo ściśle styczne w danym punkcie elipsy. Korzystając z wzorów :

5=,_£2.±Źl\ .

1 -\-l/²

y"    ’ p

wyznaczających środek 0(?, rj) i promień koła ściśle stycznego w punkcie : M(x,y) krzywej y =/(#), podanych w art. 4. str. 6B9. znajdujemy dla elipsy:

y“

(i + y'²)⁸/»

y"

X² U²    b /-

-Î + yŁ= 1: wzór : y =— Va²— x²

Za pomocą różniczkowania, otrzymujemy kolejno:

b² x

y,==

a stąd :

a^y

y"

6⁴

a²y³ ’

a²— 6²    ,

—5Ï“* ^

a² — b² .

(1!>)

(ó⁴ a:²-}- a⁴ î/²)³/₂

a⁴ó⁴

(20)

podając środek (?, 7]) i promień p koła ściśle stycznego w punkcie (a:, ?/) elipsy:

b² a;² -j- a²y² = a² b².

20. Uwzględniając to, że długość normalnej w punkcie: M(x,y) elipsy, na mocy wzoru: N—--yY/i -f-y'², (art. 5. str. 642.), przedstawia się w postaci:

(ńfir²-faV)7₂

N=

mamy: (&⁴#² -f-a⁴^/²)³/₂ = «Ö1V³;

otrzymujemy zatem wzór, na promień koła ściśle stycznego w punkcie M elipsy w postaci:

a²N³

6⁴

(209

Z>² ■

-~—Pi gdzie p jest rzędną elipsy w jej ognisku F(c, 0), czyli połowę t. zw. parametru elipsy, otrzymujemy wzór :

skąd, kładąc:

W³

(21)

p²

To znaczy : Promień koła ściśle stycznego w danym punkcie elipsy jest równy sześcianowi długości normalnej w tym punkcie, podzielonemu przez kicadrat połowy parametru elipsy.

21. Połączmy punkt P(x, y) z ogniskiem F elipsy i oznaczmy przez v kąt, jaki promień wodzący punktu P tworzy z normalną do elipsy, w tym punkcie wj^kreśloną. Oznaczając przez i i V kąty nachylenia promienia wodzącego i normalnej względem osi as-ów otrzymujemy z ich równań stosunki : cosX

sin X

1 cos 1' sin X'

V{x-ć)²+y² r ’

b²x

a²y

\/b*x²-\- aiy² a²Ar

gdzie r jest długością promienia PF, a N długością normalnej. Wobec tego będzie :

b\x—c)x -f- a² y²

cos v — cos (X'—X) = cos X' cos X -f- sin X' sin X

a²r N

zatem, wobec wzoru: b²x²-\-a² y² — a² b², wypadnie:

a²b² — b² cx

b²

COS V

a² rN

ar N

(“

(*

skąd, ze względu na to, że: a--x~r,

b²

— = otrzymujemy :

(22)

zatem : p = iVcos v.

T. z. Rzut normalnej w jakimkolwiek punkcie elipsy na promień wodzący tego punktu jest stały i równy połowie parametru elipsy.

cos v

Na tej podstawie otrzymujemy z wzoru: p=—=- wzór następujący:

p²

COS²V ’

który dozwala w prosty sposób wykreślić promień koła ściśle stycznego w danym punkcie P elipsy. W tym celu wykreślamy normalną PQ i promień wodzący PF, prostopadła QR do normalnej przecina promień wodzący w punkcie P, skąd wykreślona prostopadła do promienia przecina normalną w punkcie P, który jest środkiem koła ściśle stycznego w punkcie P elipsy, fig. 612.

Jest bowiem :

Fig. 612.

PS

PR

PQ

PR = p.

= P-

COS² V

COS²V

Dla wierzchołków elipsy, otrzymujemy, wprost z wzoru (20), promienie kół ściśle stycznych, a to, kładąc x = + a, y=0, otrzymujemy: p₀ — —, jako promień koła ściśle stycznego w jednym z wierzchołków A, lub A' osi wielkiej; kładąc zaś: æ = 0, y = + &, otrzy-

COS V

mujemy : p₁= — , jako promień koła ściśle stycznego w jednym z wierzchołków P, lub B'

osi małej.

Są to cztery koła ściśle styczne, które mają z elipsą styczność trzeciego rzędu, czyli cztery punkta wspólne, w jeden wpadające.

22. Ewoluta elipsy. Miejsce geometryczne środków kół ściśle stycznych do danej krzywej, nazywamy ewoluta tejże linii krzywej. Dla elipsy: b²x²-\-a²y² = a²b² , otrzymaliśmy, w art. 19. str. 795. na wyznaczenie spółrzędnych Ę, r), środka C koła ściśle stycznego w jej punkcie P(x, y), wzory:

a²—b²

a²—b²

a⁴

ó⁴

y³-

Z tych wzorów dostajemy :

x?>

a\

a?1

5 . y³ _

a²-b²    A ’ b²    ' a²—b²

br\

gdzie :

a²—b²

c²

—, B = a

a²—b²

c²

tP.

Wobec tego mamy :

Ml)'"

b \B/

a zatem :

X²

( \ y/s ÿ² / »i v/3

Fu"

a²

y2    ^

a że : —₂ -f-    = 1, przeto spółrzędne (fc, rj) środka

C, muszą uczynić zadość równaniu:

1.

P,

Fig. 613.

mach : a)

Ćwiczenia LV.

Qf» 2    yl

1)    Wyprowadzić równanie stycznej do elipsy: —-f- ^ = 1, w następujących for-— 1 , b) x cos a -J- y sin a + y/a²cos²a -j- b² sin² a = 0.

2)    Wyznaczyć biegun (x⁴, y⁴) prostej: Ax-\-ByC = 0 , względem elipsy:

xxt

yy\

b²

a²

H--TT = 1*

b²

3)    Jakie równanie otrzymuje styczna w punkcie (cc'=2, y⁴ >0) elipsy : 5x²-|-20i/²=100

4)    Jakie równanie ma normalna w punkcie: (x⁴ =3, y<^0) elipsy: 8o?² -j- 15y² = 120.

5)    Wyznaczyć długości stycznej F, normalnej N, podstycznej F' i podnormalnej N4 w punkcie : (x‘ — 4, y > 0) elipsy : 4«² -f 25 ?/² = 100.

6)    Na elipsie: b² a:² -j- a²?/² = a²ö², znaleźć punkt (?, ri), w którym długość stycznej F równa się długości normalnej N.

7)    Wyprowadzić równanie prostej stycznej do elipsy: 3x² -j- by² — 15, a równoległej do prostej : 4x — 3y =1.

8)    Wykazać, że styczna i normalna w punkcie elipsy, tworzą z promieniami, łączą-cemi ten punkt z ogniskami elipsy, dwie pary harmonicznie sprzężone.

9)    Na elipsie: b²x² -j- a²y² = a²b² wyznaczyć punkt, którego odcięta x⁴ równałaby się jego podstycznej F'.

10)    Wykazać, że styczne w punktach: Pi(xl, yY) i P₂(a; ₂, y{) elipsy: b²x²a²y²=a²b², zawierają między sobą kąt 0, określony wzorem:

cos 0

bix₁x₂ -f a⁴yi«/₂

\/(b⁴aą² -f-    ²)(&⁴x₂² + afy₂²)

11) Wyznaczyć kąt w, pod którym przecinają się, elipsa: b²x² + a²y² = a²b² i koło:

x2 + y² = ab.

12)    Wykazać, że kąt 3, zawarty między stycznemi, wyprowadzonemi z punktu : (5, 7)) do elipsy: ó²a:²-)- ahj² = a²b², określa się wzorem:

2\/&²S²+aV-a²Z>²

£2+ł]2_(a2_|_jy

13)    Jaki kąt zawierają między sobą styczne, wyprowadzone z punktu: P(8, 3) do elipsy: a:²-j-4y² = 25.

14)    Wyznaczyć biegunową punktu (5, 7), ze względu na elipsę: x²-j- 4y² — 25.

15)    Znaleźć biegunowe ognisk elipsy: b²x²-\-a²y—a²b².

16)    Wyznaczyć biegun (*', y⁴) prostej: x-\-<oy — 3 = 0, ze względu na elipsę: x² -f- 16 y² — 16.

17)    W ognisku elipsy: b²x²-\-a²y²-= a²b², wykreślono prostopadłą do osi(2a); wypi’o-wadzić równania stycznej i normalnej w punkcie P, w którym prostopadła elipsę przecina.

18)    Wykazać, że między kątami a i a', jakie styczne, wyprowadzone z punktu Ç, v\ do elipsy: b²x²-\-a²y² = a²b² tworzą z osią wielką, zachodzą relacye:

2^

a² — i;²

tang 3 =

tang a tang a/

, tang a. tang a'

b²— T)²

a²-?²'

19) Wykazać, że między spółrzędnemi xt i cc₂ punktów styczności M i N, odpowiadających parze stycznych z punktu P(Ç, yj) do elipsy: &²x²-j- a²y² = a²b², wyprowadzonych zachodzą relacye :

Xi -\-x%

2a² b²c,

Xy X%

a⁴ (è²— 7]²)

&² Ç* -j- a²7)² ‘

ó²e+a²7)

20)    Pod jakim warunkiem będzie prosta: y — mx-\-n styczną do elipsy:

ô²æ²-|-a²i/² = a² b²?

21)    Jaka odległość 8 od punktu początkowego ma styczna w punkcie (x‘, y') elipsy:

i i!₌₁.

a² ‘    6²

22)    Wykazać, że iloczyn odległości prostopadłych obu ognisk od jakiejkolwiek stycznej elipsy jest stały, równy b².

23)    Wykazać, że promienie wodzące poszczególnych punktów elipsy : b²x²-\- a²y²—a²b², wychodzących z jej ognisk, przecinają się z prostopadłemi do stycznych, wyprowadzonemi z jej środka, w punktach leżących na kole: x²-j- y-—2 cx—b² = 0.

24)    Wykazać, że punkta przecięcia promieni wodzących poszczególnych punktów elipsy: b²x² -f- a² y² — a²b², wychodzących z jej środka z pi’ostopadlemi do stycznych w tych

a²

punktach, wyprowadzonemi z ogniska (c, 0), leżą na odpowiedniej mu kierownicy: rc =—.

25)    Wykazać, że, połączywszy ognisko elipsy z końcami cięciwy równoległej do jej osi wielkiej, otrzymamy sumę promieni stałą , równą długości tejże osi.

x² y²

26) Jeżeli w elipsie    ₂ = 1, wykreślimy pęk średnic d:, d₂:...,dn: zawierających

2 r.

|-("2 + sdy n .iest

— + —¹

di ² ^ d

₂—) , gdy w jest liczbą parzystą.

między sobą kąty y = — , wykazać, że :

liczbą nieparzystą, zaś (

27)    Jeżeli koło przechodzące przez ognisko elipsy przecina ją w czterech punktach wykazać, że suma odwrotnych wartości promieni wodzących: rlt r₂, r₃, r₄, tych punktów

2a

niezależnie od promienia i środka koła.

28)    Dowieść, że cięciwy elipsy, widziane z danego punktu P, na jej obwodzie leżącego, pod kątem prostym, przechodzą wszystkie przez stały punkt i?, leżący na normalnej do elipsy w punkcie P, czyniący z punktem P parę harmonicznie sprzężoną z punktami A i B, jakie na tej normalnej wyznaczają wielka i mała oś elipsy. (Punkt ten nazywamy punktem F regier’a, należącym do punktu P elipsy).

29)    Jeżeli przyjmiemy na elipsie punkt określony spółrzędnemi : x-=acos®, y = ósin?, wykazać, że koło ściśle styczne w tym punkcie elipsy, przecina ją jeszcze w punkcie: x = a cos 3», y — b sin 3».

30)    Dowieść, że równanie ewoluty elipsy, daje się przedstawić pod postacią :

a²?² _|_ ₀27j2_cł)_j_27 a² 5²c⁴ ÇV=0.

31)    Dowieść, że geometrycznem miejscem punktu M, z którego normalne, poprowadzone do elipsy czyniłyby harmoniczną czwórkę promieni, jest krzywa :

(a² ? ²    b²rt² - c⁴)³ + 54a²b²c⁴Ç² ^2 _o,

mająca te same punktu zwrotu, co ewoluta elipsy i wewnątrz niej całkowicie zawarta.

d₂² 1    1 dn¹

jest równa :

T²

»+ 1

a²

Rozwiązania LY. 2) x‘=—

a² A

y'=-

b²B

3) y/= %. p _2‘55, JV= 1-36, R = 2*25, N'= 0-64. 6) Cztery punkta: ?=■ ± 7) A.x—3y= y/lÖ7. 9) Cztery punkta: x'—+^^~J

>l = ±

a²

\/ ci² —j- b²'

b\/2    ,

—g— • H) tang w =

Y/a² -f- 6²

13. 3 = 46°2'42". 14) 20x-f 63y = 36. 15) Kierownice: cx+a²=0. 16) x'=h% i/=2.

Y/aó '    _

17) c#-[-*/ = a, —y=ac². 20) n² — a²m²b². 21) 8 = iy^

31) Dowód podany

w Nouvelles Annales de mathématique. Serya III. Tom 12, 1893. Dodatek : Exercices str. 25.

Literatura. L. T o d h u n t e r. A treatise on plane co-ordinate geometry as applied to the straight line and tlie conic sections. London 1874. Friedrich Schur. Lehrbuch der analytischen Geometrie. Leipzig 1898.

Tematy do rozprawek naukowych :

1. Własności i konstrukeye stycznych do elipsy, wychodzących z dowolnego punktu

płaszczyzny.

2.    Własności i konstrukeye normalnych do elipsy, wychodzących z dowolnego punktu płaszczyzny.

3.    Rozmaite określenia ognisk elipsy i związki między niemi zachodzące.

Wykład LVI.

Szczególne własności hiperboli.

² y²    ,

1. Kształt hiperboli. Z równania: ₂—p = l, określającego hiperbolę,

odniesioną do jej osi głównych, otrzymujemy:

y — -[— _ \/    _ £^2

v ~ ' a

skąd wynika bezpośrednio, że krzywa jest symetryczną względem osi ir-ów i osi y-ów i że spółrzędne a; jej punktów mogą otrzymywać wartości jedynie od -\-a do -j-ooiod —a do —co, gdyż, dla a;²<«², a więc: \x\<ia, stają się wartości na y urojonemi. Hiperbola składa się więc z dwóch oddzielnych gałęzi, rozciągających się po przeciwnych stronach osi y-ów w nieskończoność. Oś ic-ów, przecinająca krzywą w dwu punktach A i A', zwanych wierzchołkami hiperboli, nazywa się jej osią poprzeczną, a odcinek: AA‘—2a jest długością tej osi. Oś y-ó w nie przecina wcale krzywej, a raczej przecina ją w dwu punktach urojonych (0, +bi) i (0, —bi) i nazywa się jej osią urojoną; długością tej osi jest właściwie 2bi, mimo to mówi się zwykle, że oś urojona ma długość 2b.

Przerobiwszy równanie hiperboli do układu biegunowego, a więc, kładąc: Æ = rcos<p, y=rsinqp, otrzymujemy równanie: ₂[cos²9> sin²qp

r \~V²

lub : x= ±

es- a

vy+ /,²

(i)

X'

-Łjk.

ę.

Fig. 614.

a² b²

(2)

1, czyli: r² =

&²cos²qp — a²sin²<jp ' Dla cp=0, otrzymujemy stąd r²=a², a więc: r=Aa, dla <jp=

ó²

to a

, mamy

zaś r²=—ó², a więc: r=+&D, wogóle będą wartości nar rzeczywiste, skoro b²cos²(p a²sin²<p, a więc, skoro tang²<jp <C

^ czyli | tang q> i <C —

^ czyli: |tangqp|;>-^

a urojone,

Dla

skoro b²cos²cp <(a²sin²fp, a więc, skoro tang²qp>-2,

Cl

b

tang </) = + -—, otrzymujemy r=oo

Cl

żują na asymptoty hiperboli. Wpadają one widocznie w przekątnie prostokąta, na osiach 2a i 2ó wykreślonego, (fig. 614.).

a kierunki, tym wzorem określone, wska-

Promień r zatrzymuje te same wartości dla cp i dla 7i—cp, a zatem: średnice równo nachylone do osi są, sobie równe.

2.    Położenie osi hyperboli. Na mocy powyższej własności średnic, możemy wyznaczyć osie hiperboli, której środek jest znany. W tym celu wykreślamy ze środka hiperboli koło o promienin r^>a, które przetnie hiperbolę w czterech punktach M, M', A, N'. Dwój-sieczne kątów MON i M¹ ON będą tedy osiami hiperboli.

3.    Punkta na hyperboli, oraz punkta zewnątrz i wewnątrz hyperboli leżące. Spółrzędne

wszystkich punktów hyperboli czynią zadość równaniu: x² y2 a²~b2 x²    y²

a² 6²

legie do osi cc-ów, natenczas wyraz pozostaje nie-

= 1, czyli, innemi słowy, sprowadzają trój mian:

— 1 do zera. Jeżeli punkt P porusza się równo-

— - — -1y0

a¹ w ¹ 7 u

x‘

-1>0

y²

cp

zmieniony, podczas, gdy wyraz —₂, rośnie, lub maleje,

stosownie do tego , czy punkt P oddala się, czy też

x² y2 a² b²

— 1, ma więc

zbliża do osi y-ów. Trójmian

wartość ujemną dla wszystkich punktów, położonych między gałęziami hiperboli , dodatnią zaś dla wszystkich innych punktów, (fig. 615.).

Fig. 615.

4. Konstrukcya hiperboli :

~ b²

= 1. Przyjmijmy AA'—2a, BB‘—2b, i wyznaczmy

/A

na osi AA¹ dwa punkta F\ i F₂, tak, aby było:

OĄ ²=~OF₂ ² = 0~C² = a² + b²,

01<\ - 0F.₂ = \/alĄ- b²=c ,

a więc:

zwane ogniskami hiperboli, natenczas, przyjmując jakikolwiek punkt P(x, y) hiperboli i kładąc PFX =rn PF ₂ — r₂, otrzymuj emy :

rx =\/{c.-\- x)²-\- yŁ — \/c² + 2 cx-\- (x² +</²)?

r₂ —\/{c — aj)2_4" y² — \/c² — 2cx-\- (cc² —|— ty²)

£_-i

X²

które mo-

Z równania hiperboli : —₂ — -p

żerny napisać także w postaci: ó²#²— a²y²=a²b², otrzymujemy jednak, ze względu na to, że: b²t=c²—a2 równanie: (c²— a²) a;² — a²y² = ct²b², czyli: c²#² — a² (x² -f- î/²) = o² &², zatem:

Fig. 616.

c²

x² —j- y² = —J x² — ó²,

przeto jest :

r₂ = ^/c² -f 2c#4-

Ö O

IsSl tsS

x²— &²

= \]ai +

c²

^²

£

x²-\- 2cx = — cc -4- a a

”\/c!

c²

æ² — ó²

= \/“!+

C² 2    0    c

—x xl—2 ca: = — * — a

a²

(3)

r₂ — ri = 2 a.

Mając więc dane wielkości 2a i 2b , jako osie hiperboli (rzeczywistą i urojoną), możemy wykreślić dowolną ilość jej punktów. W tym celu wyznaczamy punkta Fj i jF₂, jako ogniska hiperboli, i zakreślamy z F”₂ koło promieniem r₂ 2a, a z Fj promieniem : rx =r₂ —2a, natenczas koła te przecinają się w dwóch punktach hiperboli, (fig. 616).

5. Hiperbolę określa się też powszechnie, jako krzywą, w której różnica między odległościami każdego z jej punktów od dwóch stałych punktów jest zawsze jednakową.

Na mocy tego określenia otrzymujemy, postępując podobnie, jak przy elipsie, z warunku r₂ — rt = 2a, równanie :

\/(x-\- c)²y²—Y/(cc—ic)² -j- y²=2a, a stąd: cx—a²=a\/(x— c)² -\-y² ,

(c²—a²)x² — a²y²=a²(c²— a²),

a więc :

a w końcu :

jako równanie krzywej.

¹

stosując teoryą , podaną w wykładzie XII, art. 4. str. 163., otrzymujemy, co następuje:

²

4)

Równanie to przedstawia więc miejsce geometryczne wszystkich środków kół ściśle stycznych do elipsy, czyli jest równaniem ewoluty elipsy.

Ma ona cztery wierzchołki :

C($ = A, »j = 0), C{\=-A, y=0), X>(Ç =0, >1= P), P'(ć;==0, 7)= —P), występujące, jako punkta zwrotu, oraz kształt, podany na fig. 613.

Ewoluta elipsy, jako krzywa zamknięta, oddziela punkta, z których można do elipsy poprowadzić cztery rzeezywiste normalne, te zawierają się wewnątrz ewoluty; od punktów z których można poprowadzić do elipsy tylko dwie rzeczywiste normalne. Na obwodzie ewoluty znajdują się punkta, z których do elipsy wychodzi jedna dwukrotna normalna i dwie pojedyńcze.

Równaniu (24) możemy nadać także kształt : (alj)*k -f- (6t))2,;* = <¥.

Po usunięciu pierwiastków przez łatwą przeróbkę, otrzymamy poznane w art. 10. str. 789. równanie :

(a²;²+ *V — c⁴)³ + 27 a² b²c^² *i² = 0.

Zważywszy, że w trójkącie FlFiM jest : FlF₂^>MF₂— MFt, mamy 2c>2a, możemy zatem położyć c²—a²=&², a otrzymamy powyższe równanie w postaci:

,v.2    a<2

ó²£'² — a²«/² — a² ó², czyli: —₂ y₂ = l ’

6. Konstrukcya hiperboli za pośrednictwem kola wierzchołkowego.

Z równania :

a i o-

Y/#² —a².

(5)

Wykreślmy nad osią poprzeczną 2a=AA‘ hiperboli, jako nad średnicą koła, t. z. koło wierzchołkowe, o równaniu: x² i-y²=a²> natenczas poznamy, że styczna, z jakiegokolwiek punktu P(x, 0), leżącego na przedłużeniu średnicy A¹ A, poprowadzona do tego koła, ma długość, określoną wzorem:

PR² =PA . PA¹ = (x—a) (xJra)=x'²— a²,

będzie więc:

Wobec tego, mamy rzędną y hiperboli, odpowiadającą odciętej OP:

PR=Vx¹ — a².

Fig. 617.

b ^ ^ — .PR

M'' N

PR

..    y

czyli proporcyą: -^ =    ^

M_________N

rr'

ib

\/ \

B’

Fig. 618.

Fig. 619.

Prowadzimy zatem prostą bM, równoległą do osi y-ów, w odstępie natenczas prosta ta przetnie promień OR w punkcie M, skąd

Ob=b

mocy podobieństwa trójkątów: ObMc^) ORP, otrzymamy proporcyą:

na

b M PR Ob “ OR

v bM PR

czyh nr - nr jest zatem : bM=y.

Poprowadziwszy więc : MN=bP, oraz \\bP, a otrzymamy w punkcie ^7 punkt szukanej hiperboli.

Mamy zatem konstrukcyą hiperboli, gdy znane są jej obie osi 2a i 2b.

Wykreślamy nad osią rzeczywistą 2a, jako nad średnicą, koło wierzchołkowe, a w odstępie Ob — b prowadzimy prostą Mb, równoległą do osi urojonej. Z dowolnego punktu P osi rzeczywistej (osi x-ów) prowadzimy styczną PR do koła, promień OR przecina prostą bM w punkcie M, prosta MN równoległa do osi x-ów przetnie się tedy z prostą NP, równoległą do osi y-6w w punkcie N szukanej hiperboli, fig. 617. («>&), fig. 618. (a=b), fig. 619. {a < b).

Konstrukcya ta stanowi analogią do konstrukcyi elipsy za pomocą dwu koł, wierzchołkowych, podanej na fig. 400. str. 688., odpowiadając własności hiperboli, wynikającej z jej równania w postaci:

51

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki 1.

LZ

bOi

(6)

a więc :

PN²

6²

PA. FA¹

a²’

która, wyrażona słowami, opiewa : Kiuadrat rzędnej, prostopadłej do osi poprzecznej hiperboli, pozostaje zawsze w stałym stosunku do iloczynu odcinków, na tej osi utworzonych, równym stosunkowi kwadratu osi urojonej do kwadratu osi poprzecznej.

Ztąd wynika, że hyperbola jest geometrycznem miejscem wierzchołka N trójkątów A^A₂N, mających wspólną podstawę AiA₂, którą wysokość NP dzieli na odcinki AiP, A₂P tak, że iloczyn tych odcinków AiP.A₂P ma się do kwadratu wysokości PN², jako a²:b².

7. Hiperbola równoboczna. Szczególnym przypadkiem hiperboli jest hiperbola równoboczna, określona warunkiem a = b, podobnie, jak szczególnym przypadkiem elipsy jest koło, jako elipsa równoboczna, określona warunkiem a = b. Równanie hiperboli równobocznej przedstawia się tedy

x² — y² = a²,

(7)

w postaci :

a jej asymptoty mają względem jej osi nachylenia tang a= ±1, są więc do siebie prostopadłe.

Hiperbola róicnoboczna jest więc hiperbolą o asymptotuch do siebie prostopadłych. Z równania hiperboli równobocznej, otrzymujemy wzór:

y — V'x² — a²,

podający, dla Æ > a, wartości rzędnych jej punktów rzeczywistych.

"Wartości te możemy przedstawić konstrukcyjnie. Zakreślmy bowiem nad osią 2a, jako nad średnicą koła, t. z. koło wierzchołkowe, o równaniu :

określone wzorem :

N’

a/

X²+y 2=«²,

P_ _ natenczas poznamy, że styczna, wykreślona z jakiegokolwiek punktu F (x, 0) osi #-ów do tego koła, będzie miała długość, określoną wzorem : PQ²—PA ,PA‘= (x—a) {x-\-a)=x²— a², PQ = Vx² - a²

PN, dotyczącego punktu hiperboli równobocznej.

Stąd wynika konstrukcya hiperboli równobocznej o danej osi 2a, uwidoczniona na fig. 620. Przedłużywszy średnicę: AA‘ = 2a, koła wierzchołkowego, wykreślamy z dowolnego punktu P jej przedłużenia styczną PQ do koła, a w P rzędną PN — PQ, natenczas punkt N będzie punktem szukanej hiperboli równobocznej.

Twierdzenie, udowodnione w art. 6. str. 802. wz. (5), zastosowane do hyper-boli równobocznej brzmi: Kwadrat rzędnej PN, prostopadłej do osi poprzecznej hyperboli róiunobocznej równa się iloczynowi odcinków PA.PA¹, na tej osi utworzonych.

Fig. 620.

n;

więc będzie równą rzędnej :

8. Konstrukcya hiperboli za pomocą (bvu pęków promieni. Z równania hiperboli

f/² cc²

P ⁼ cT²

Weźmy dwie proste o równaniach :

y 2

w których X jest dowolnym parametrem. Są to dwie proste, które wychodzą z końców, i i i' osi poprzecznej : AA' = 2a. Proste te przecinają się zawsze w punkcie hiperboli, wyrugowawszy bowiem z ich równań parametr X, mnożąc pierwsze z nich przez drugie, dostaniemy równanie :

y²_x²

b²    a²

— 1, a więc równanie hiperboli: —₂ — p = l.

Chcąc wynaleźć sposób, w jaki możnaby wykreślić dwa promienie, temu samemu X odpowiadające, wyznaczmy najpierw odcinki, jakie te promienie wyznaczają na osi y-ów.

W tym celu otrzymamy: OM—Ą-lb, OM' —---—, a stąd wzór: OM. OM' ——6²,

To znaczy: Proste, wyprowadzone z końców osi poprzecznej 2a, a przecinające się w punkcie hiperboli: ^-₂ — p=l, odcinają na osi urojonej odcinki OM i OM‘ o stałym

iloczynie ujemnym, równym „—b"M, a więc przecinają oś urojoną po przeciwnych stronach osi poprzecznej , fig. 621.

Innemi słowy : Pary punktów, w których proste, łączące poszczególne punkta hiperboli z końcami osi poprzecznej, przecinają oś poboczną hiperboli, tworzą inwolucyę eliptyczną, której środek leży w środku hiperboli, a której cecha jest liczbą ujemną: —X².

9. Na podstawie tego twierdzenia, możemy wyznaczyć poszczególne punkta hiperboli, wykreśliwszy układ eliptyczny kół o środku 0, na około osi y-ów, przecinających się w punktach, w których koło o promieniu b przecina oś x-ów. Połączywszy punkta M i M', w których każde koło pęku przecina oś y-ó w, z końcami osi poprzecznej AA' = 2a, otrzymamy dwa promienie odpowiednie, których punkt przecięcia się P będzie punktem hiperboli o osiach 2a i 2bi, fig. 622.

o {va

‘v

■n.

Fig. 621.

l ig. 622.

Fig. 623.

10. Zamiast wyznaczać odcinki promieni odpowiednich dwu pęków, wychodzących z punktów A i A', o równaniach :

— b\ , a z drugiego, kładąc y = b, dostajemy : 1 =    + 1^

na osi y-ów, wyznaczmy odcinki jednego z promieni na osi y-ó w, a drugiego na prostej, równoległej do osi cc-ów, o równaniu y—b. Wówczas otrzymamy, kładąc ce = 0, z pierwszego równania: y=OM=

a więc: x-\-a — a\, zatem: x = B'N=a(X—1).

Ztąd wynika następująca konstrukcya hiperboli, gdy znane są jej osie. Wykreśliwszy prostokąt o osiach 2a i 2b, dzielimy OB na n równych części, licząc od 0, podobnie dzielimy prostą P'Cj na n równych części, licząc punkta podziału od punktu Oj. Łącząc kolejno punkta podziału : pierwsze z punktem A', a drugie z punktem A, otrzymamy, w punktach przecięcia się odpowiednich promieni, punkta żądanej hiperboli, (fig. 623.)

11. Równanie hiperboli: '—₂ — p = l, możemy także przedstawić w postaci:'

1,

(9)

z której wypływa, że punkta hiperboli występują, jako punkta przecięcia się odpowiednich prostych, dwu pęków, określonych równaniami :

* y

a b

z których jedno przedstawia prostą,, równoległą do prostej y = - a więc do jednej przekątni prostokąta, na osiach hiperboli wykreślonego, drugie zaś przedstawia prostą, równoległą do prostej y —--czyli do drugiej przekątni tegoż prostokąta.

Odcinkami, jakie prosta pierwszego pęku wyznacza na osiach układu, są:

0AX = 1 a , 0By — — X b,

natomiast odcinkami, jakie prosta drugiego pęku wyznacza na tychże osiach, są :

OB'y = -

OAx . OA‘x <= a², OBy . OB‘y= —b\

(10)

skąd wypływa , że :

Pary punktów Ax i A‘x, wyznaczone na osi cc-ów przez odpowiednie promienie pęków, tworzą więc inwolucyę hiperboliczną, której cechą jest a², podczas, gdy pary punktów: By i B'v, wyznaczone na osi y-ów przez odpowiednie promienie tych pęków, tworzą inwolucyę eliptyczną, której cechą jest:    b%t.

iBJ

tr

(A

A-

M’.

X.

Fig. 624.

Fig. 625.

"Wykreśliwszy zatem na osi cc-ów pęki kół hiperboliczne . których cechą jest a², albo na osi y-ó w pęki kół eliptyczne, których cechą jest — ó², prowadzimy przez odpowiednie punkta przecięcia się tych kół z dotyczącą osią proste, równoległe do obu przekątni prostokąta, nad osiami hiperboli wykreślonego, wówczas punkta przecięcia się odpowiednich promieni, będą punktami hiperboli. (Fig. 624. i 625.).

12. Hiperbola i linia prosta. Niech będzie daną hiperbola :

x² y2 a² ~ b² = 1

i prosta: y = mxĄ-n; na wyznaczenie punktów hiperboli, które znajdują się równocześnie na tej linii prostej, otrzymujemy z powyższych dwu równań o dwu niewiadomych x, y, po wyrugowaniu y, jedno równanie:

(■mx-\-n)²

X²

b²

a więc równanie drugiego stopnia

względu na niewiadomą x, w postaci : (a²m² — b²)x²-\-%a²mnx-\-a²{n²-\-b²)—0

, ze

(U)

które daje dwa pierwiastki kształtu :

x— —

a²mn

Vak m²n² — a²{n²-\- b²) (a²m² — b²)

a²m²—b²

czyli :

x= —

a²mn

a²m²—b²

V/a² b²(b² -f-n²— a² m²)

a²m²—b²

a²m² — b² —

Pierwiastki te są oba rzeczywiste i różne, oba rzeczywiste i równe, lub oba urojone sprzężone, stosownie do tego, czy wyróżnik równania:

A = a²b²(b² -f ri¹— a²m²),

ma wartość dodatnią, ozy równą zeru, czy też ujemną, co zależy widocznie od tego, czy różnica: b²-\-n² — a²m² jest dodatnią, równą zeru, czy też ujemną.

Dana prosta ma, w pierwszym przypadku wspólne z hiperbolą dwa punkta rzeczywiste i różne i nazywa się sieczną, w drugim dwa punkta, w jeden wpadające i nazywa się styczną, w trzecim przypadku dwa punkta urojone sprzężone i nazywa się prostą mijającą.

13. Proste równoległe do jednej z asymptot hiperboli. Równanie (11) przestaje być równaniem drugiego stopnia, jeżeli kierunek prostej: y=mx-\-n, jest tak dobrany, że:

a2m2₌₌j2^ czyli, jeżeli: m = dr - - ,

t. j., jeżeli prosta jest równoległą do jednej z asymptot hiperboli.

Prosta ma, w tym przypadku, z hiperbolą w skończoności tylko jeden punkt wspólny, podczas, gdy drugi punkt wspólny jest punktem nieskończenie dalekim hiperboli. A zatem: Wszelka prosta, równoległa do jednej z asymptot hiperboli przecina ją tylko w jednym punkcie, położonym w skończoności, a w drugim nieskończenie dalekim.

14. Znaczenie geometryczne wyrazu: <Z=&²-|-w²—a²m². Kładąc b^ — c'¹ — a², mamy: d — c^Ą-n¹—«²(1 + m²), czyli: d — c²-{-n²—o²sec²a, jeżeli a przedstawia kąt, jaki prosta: y=mx-\-n, tworzy z dodatnim kierunkiem osi x-ów. Będzie więc: d^0, skoro:

sec²a, czyli: skoro: a² = (c² + n²) cos² a, a więc, skoro: a² ^ (c cos a)²-f (» cos «jl

Jeżeli MN jest daną prostą, wówczas wykreśliwszy ze środka O i z ogniska F prostopadłe OC i FD do prostej MN, mamy: CD = c cos a, OC—n cos a, a więc:

zatem jest :

PR² + OC² = (ccos a)² + (» cos a)², a że: 6'D² + OC² = OZ)²,

(c cos aj² -|- {n cos a)²— OD².

,p

D,

D\

W''

n"/

n;

J__mr

Fig. 626.

Fig. 627.

Fig. 628.

Będzie więc: d=0, skoro: a==0Z), czyli, skoro: OD ==a. Dana prosta jest więc: względem hiperboli sieczną, styczną, lub mijającą, stosownie do tego, czy rzut D ogniska F na tę prostą wypada zewnątrz koła wierzchołkowego, fig. 626., czy też na jego obwodzie fig. 627., 628., 629., czy też wewnątrz jego obwodu.

15.    Z tego wypadają wprost następujące twierdzenia:

1)    Punkta, w których prostopadłe do stycznych hiperboli , z ognisk wyprowadzone, przecinają te styczne , leżą wszystkie na obwodzie koła wierzchołkowego.

2)    Jeżeli w punktach, w których styczne do hiperboli przecinają koło wierzchołkowe hiperboli, wykreślimy prostopadłe do tej stycznej, to każda z tych prostopadłych przechodzi przez jedno z ognisk hiperboli.

3)    Kąt ostry 1, jaki styczna tworzy z osią x-ów, określony jest warunkiem : tang 7 > ~ ,

musi więc leżeć między granicami a i 90°, przyczem : tanga =6/a. Ztąd wynika, że ostry kąt )., jaki tworzy styczna do hypérboli równobocznej z osią główną, musi być większym od 45°.

16.    Cięciwy hiperboli i ich środki. Niech będą P(xi, yx) i Q(x₂, y.₂) owemi dwoma punktami, w których prosta y = mx\-n przecina hiperbolę:

^— ^-₂=1, natenczas odcinek PQ nazywamy cięciwą hiperboli. Na mocy

równania (11), które, w przypadku: a²m²—ó²^0, możemy przedstawić w postaci:

a²mn

^² + 2_2    2    7,2

almŁ—b²

a²(n²Ą-b²) a²m'²—b²

a które wyznacza spółrzędne xi i æ₂ punktów Px i otrzymujemy spół-rzędne środka J cięciwy PQ w postaci :

_ ^1+^2

trr,-

a²mn

a²m²—b²'¹ ^

V\ +Vï

b² n

‘2

Przyjąwszy stały kierunek cięciw, określony spółczynnikiem m, otrzy-z powyższych wzorów, po wyrugowaniu zmiennego parametru n,

q2

‘ ' —=    za,l,eni równanie pierwszego stopnia ze względu na f, rj, w po

staci : b²£—a²mrj=0, które dowodzi, że środki równoległych cięciw hiperboli :

gę 2    2    ^

= 1, wyprowadzonych w kierunku: w=tangż,mieszczą się na prostej : b²x-\-a²my*= 0, czyli: y

^4

mamy, równanie :

Ô²

a²m

(12)

j/

0,

«T

A*

a,

'T,

Fig. 629.

Fig. 630.

a więc na prostej, przechodzącej przez początek układu , który jest zarazem środkiem hiperboli, czyli na średnicy: y = m‘x, gdzie w'=tangż'

a²m

, fig. 629.

17. Środek J cięciwy PQ hiperboli, jest zarazem środkiem odcinka MN, który łączy punkta, w których prosta: y — mx-\-n, przecina obie asymptoty hiperboli:

x-

a² ó²

określone równaniem :

a?² •

--p- = 0. Jest więc PM=lSiQ, lub LQ = KJ, fig. 630.

Stąd wynika konstrukcya hiperboli, gdy dane są jej asymptoty i jeden z jej punktów P. Kreślimy tedy przez punkt P jakikolwiek promień, który przecina asymptoty w punktach M i N i odcinamy NQ — PM, wówczas Q będzie punktem hiperboli.

18. Średnice sprzężone hiperboli. Związek między kierunkiem cięciw równoległych, a kierunkiem średnicy sprzężonej, określonym spółczynnikiem: m'=tangż', przedstawia się, na mocy równania (12), w postaci wzoru:

b²

czyli tang À. tang A‘=-

z którego wynika, że, nawzajem, środki cięciw, wykreślonych w kierunku: m'=tangż', leżą na średnicy, mającej kierunek: m=tangi.

Średnice hiperboli są więc parami sprzężone. Znak dodatni iloczynu : mm1 dowodzi, że średnice sprzężone hiperboli nie przegradzają się wzajemnie osiami jej. Jeżeli średnica OP (fig. 632.) obraca się w kierunku od Ol‘ ku asymptocie, to średnica, z nią sprzężona, obraca się w przeciwnym kierunku od Ol ku tej samej asymptocie. Z dwu średnic sprzężonych, jedna, jak 22, 33,..., przecina zawsze hiperbolę w dwu punktach rzeczywistych, druga jak 2'2', 3'3‘,..., nie

a²

mm =

b²

(13)

przecina jej wcale. Asymptoty przegradzają harmonicznie każdą parę średnic sprzężonych.

19.    Przy hyperboli równobocznej tang X . tangX' = 1, a więc kąty ostre X i X', jakie średnice sprzężone hyperboli równobocznej, czynią z osią poprzeczną, dopełniają się do 90°. To samo dotyczy kątów p i p', jakie te średnice sprzężone czynią z osią boczną. Stąd wynika zarazem, że ostry kąt X, jaki czyni jedna z pary średnic sprzężonych z osią poprzeczną, równa się ostremu kątowi [P, jaki czyni druga średnica, (z pierwszą sprzężona) z osią boczną.

20.    Styczna w końcu średnicy jest, jak przy elipsie, równoległą do średnicy, z pierwszą sprzężonej, fig. 631.

Styczna w punkcie (Ç, rj) hiperboli ma bowiem kierunek, określony spółczynnikiem : -;₂- , podczas, gdy średnica, przez punkt (% *]) przechodząca, ma kierunek , określony

spółczynnikiem : m‘ — — ; oba spółczynniki czynią zadość warunkowi : mm‘ wskazuj ą więc kierunki sprzężone.

Ztąd wynika, że styczna w punkcie P hyperboli równobocznej czyni z osią boczną hyperboli tej ten sam ostry kąt, co średnica tegoż punktu P hyperboli równobocznej z osią poprzeczną.

T.>

2L

s; f

h/

'SN

"f

nr

As

Fig. 631.

Fig. 632.

Fig. 633.

21. Kąt nachylenia dwu średnic sprzężonych hiperboli. Oznaczając przez X i X', kąty, jakie dwie średnice sprzężone tworzą z dodatnim kierunkiem osi a:-ów, (oba ostre, albo oba rozwarte), mamy w różnicy: X'—X = w kąt nachylenia dwóch średnic sprzężonych, którego wielkość podaje wzór :

bscotg). — a² tangX

(P +Ï²

Kąt ten staje się równym zeru, gdy tang²X=—₂, a więc: tangX=-f⁻^, lub tangX=—

t. z. Każda £ asymptot hiperboli tworzy jedna, pare, średnic sprzężonych, na siebie wpadających.

22. Kierunki sprzężone w hyperboli możemy otrzymać w sposób taki sam, jak i przy elipsie: łączmy dowolny punkt M hyperboli z końcami osi głównej Ai i A₂ (fig. 634.), albo też z końcami do-

tang w

po-

Q"

(14)

p’

wolnej średnicy L^L₂ (fig.

635.). Średnice równoległe do cięciw MAi i MA₂, albo średnice równoległe do cięciw MLi i ML₂ będą średnicami sprzężonemi.

23. Równanie hiperboli, odniesione do układu średnic sprzężonych. Przyjmijmy w danej hiperboli układ średnic sprzężonych, zawierających kąt (o, jako układ osi spółrzędnych, wówczas, oznaczając przez A ii' kąty, jakie nowe osie układu tworzą z dodatnim kierunkiem osi poprzecznej

na mocy podstawienia :

Fig. 634.

Fig. 635.

Ol

xl

hiperboli, otrzymamy z równania :    ₂--, ₂

(l o

po opuszczeniu kresek, równanie :

x=x‘cos A-\-y‘ cos A\ y=x‘ sin A + y¹ sin A‘

(æcos A+y cos À¹)²

(x sin A-\-y sin À¹)²    ₁

b2 = 1

z którego, ze względu na relacyę, cechującą kierunki sprzężone, otrzymujemy równanie:

x²

gdzie :

a¹²

a²b²

a¹²

(15)

b ²cos² A — a ²sin² A

b'²=

a²b²

(16)

b²cos² A‘—a² sin² i' przyczem a' i b‘ są połówkami dotyćzących średnic hiperboli.

24. Związek między średnicami sprzężonemi, a osiami hiperboli — określają, na mocy (15) i (16), następujące wzory:

1    cos² A    sin² A

1 cos²J' sin²i'

cos A cos i'

a'²

b²

b¹²

b²

a²

sin A sini'

b²

z których, pierwszy daje wielkość średnicy 2a', nachylonej do poprzecznej hiperboli pod kątem i, drugi wielkość średnicy 2b\ nachylonej do tej osi pod kątem i', trzeci zas wyraża, że te średnice są sprzężone. Z trzeciego wzoru, otrzymujemy, jak przy elipsie, art. 22. str. 776., stosunki:

a' cos A

osi

a' sin A

b‘ sin A'

b‘ cos i'

a stąd, pod założeniem : A <C 90°, równości : a⁴ cos A

.//a'cosi\²    /a'sini \²

V b~)

//ô'sini'l² /b‘cosA‘\²

V ( b ) ~ ( « )

»1,

b‘ sin A‘

a‘ sin A

b‘cos i'

które, podstawione w pierwsze dwa wzory : kształtu :

a/2sin²i ₁ 6/2cos²i'    b‘² sin² i'

I,    «    —    ⁼ !

a'²cos²i

b²

b²

prowadzą do równań:

a/2cos²i &/2cos²i'

a²

1,

a'² sin² i &'²sin²i'

--«-+-tTö-= 1

b²

b²

a'² cos² i—&'²cos² A¹ —a², a'²sin²i—b‘² sin²i' = —J²,

(a' cos i)²—(&'cos i')²=a², (a' sin i)²-- (6'sin i')²= — b²=b²i².

T. z. Różnica kwadratów rzutów dwu średnic sprzężonych na którąkolwiek z osi hiperboli, jest stałą i równą kwadratowi tejże osi.

Dodawszy ostatnie dwa równania, dostajemy:

a^—b‘²=a²—b².

Stąd wynika, że, gdy a jest rożnem od ft, tedy nie może być nigdy «'==&', t. z. w hiperboli nie ma równych średnic sprzężonych.

Jeżeli hiperbola jest równoboczną, a więc a=&, tedy będzie także: a'=b‘. T. zn. w hiperboli równobocznej dwie średnice sprzężone są zawsze zarazem równe.

a więc : czyli :

(17)

Zastępując w równaniu :

a' cos A    a' cos A

a'²cos²J a/2sin²A

a²

b²

napisać w postaci:

a‘ sin A

1, które możemy także a¹ sin J

—v-= 1? drugie czyn-

niki :

a‘cos A . a‘ sin A

przez wyrażenia im równe :

b'sin A' . b‘ cos A'

otrzy-

a'b‘ (sin A‘ cos A—sin A cos A‘)

mamy. jak przy elipsie, wzór:

ab

1, czyli:

a‘b‘. sin (A‘—A)

ab

— 1, a więc,

(18)

a‘b' sin y = ab.

T. z. Powierzchnia równoległoboku, wykreślonego nad diviema średnicami sprzę-żonemi, jest stałą i równą powierzchni prostokąta, utworzonego z osi hiperboli, lig.

636., 637.

r^

'3*

\[ '"-.‘.■'"I/

Ar~----------

S’\

i)

Fig. 637.

Fig. 636.

Stąd wnosimy także, że w hiperboli powierzchnia trójkąta, ograniczonego styczną do hiperboli i dwiema asymptotami, jest zawsze stałą.

25.    Hiperbole sprzężone. Hiperbole o równaniach :

y² = 1 i fl _ yl-

a² b²~

odniesionych do tego samego układu mają tę własność, że gdy w jednej z nich średnica 2a jest główną, poprzeczną, a średnica 2J z nią sprzężona, średnicą boczną, urojoną, to w drugiej, przeciwnie, średnica 2a jest boczną, urojoną, a średnica 2b główną, poprzeczną. Obie takie hiperbole nazywają się hiperbolami sprzężone mi, fig. 633., 636. i 637.

Hiperbole sprzężone mają wspólne asymptoty:

__j_ _K_ ^ o

— b ’

które są przekątniami równoległoboku, utworzonego ze stycznych w końcach ich średnic.

Jeżeli jedna z nich jest równoboczną, to i druga będzie równoboczną, a obie będą przystające, t. zn., że, obróciwszy jednę koło środka w jej płaszczyźnie o 90°, nakryjemy nią drugą.

26.    Konstrukcya hiperboli o danych średnicach sprzężonych za pomocą hiperboli o takicliże osiach. Niech będą 2a' = CC, i 2b‘— DD‘ (fig. 638.), długości średnic sprzężonych hiperboli, natenczas równaniem hiperboli, odniesionem do tych średnic będzie :

= 1. Poprowadźmy przez środek 0,

X²

a² l²

-1

x'²

y‘-

N‘

—i

a‘² b‘²

prostą, prostopadłą do średnicy 00' i odetnijmy ODl= OD, to hiperbola, mająca osie CC‘ i DXD‘, będzie miała odnośnie do układu tych osi takie

y‘²

x‘²

1, jak hiperbola pierwotna , odnośnie do tychże średnic sprzężonych. Rzędne mPx i mM', odpowiadające temu samemu odcinkowi Om, będą więc w obu hiperbolach jednakowe. Wykreśliwszy tedy hiperbolę o danych osiach 2a¹ i 2b‘ (fig. 638.), otrzymamy, dla każdego jej punktu, dotyczącą rzędną, poprowadźmy więc: mM\j OD i odetnijmy mM = mMx, a punkt Mx będzie punktem hiperboli o średnicach sprzężonych 2a' i 2b'.

same równanie:

/■

o;

Fig. 638.

a'¹    b⁴²

27. Wyznaczenie osi hiperboli z danych średnic sprzężonych. Z równania hiperboli:

b‘²

1, odniesionego do średnic sprzężonych, otrzymamy: y'² — —₉(æ'² — a'²), podczas, gdy równaniem pary jej asymptot, odniesionem do tego samego układu, będzie:

0 , czyli : y²

Przyjmijmy pewien odcinek OR = x (fig. 639.) i wyznaczmy przynależne mu rzędne hiperboli i rzędne asymptoty, a więc: RN=yh, RM—ya, tedy będzie: y\—ÿ\ = ^/2, czyli:

G/a + ^)(^a-^) = ⁰'²-

A że : ya-\- yh — NP, ya — yh = MN, jest więc : MN .NP = brl.

Podobnie znajdziemy : M⁴ N⁴. N⁴ P⁴ = a², (fig. 639.).

Na fig. 640. mamy MN. NP — BC² (BO równa się połowie średnicy równoległej do cięciwy MP), MtPl.MiN₁ = AO².

T. z. Iloczyn odcinków siecznej, zawartych miedzy punktem N hiperboli, a asymptotami jest równy kwadratowi z połowy średnicy, równoległej do tej siecznej.

x²    y ²

an b4 2

X4Ï

a⁴²

y‘²

b<²

b⁴ 2

a⁴²

X².

B,

tJ

M⁻

. N/

X’

iA_L

a;

P,

C,

b*pV\

Fig. 640.

Fig. 639.

28. Na tej zasadzie możemy, z danych asymptot i jednego punktu hiperboli, wyznaczyć wielkości jej osi.

Kierunki osi wskazuje mianowicie dwójsieczna kąta, między asymptotami zawartego, fig. 642. Wykreśliwszy z punktu danego M prostopadłą MP do osi poprzecznej, otrzymamy, na mocy poprzedzającego twierdzenia, pół oś urojoną b, jako średnią proporcyonalną między MN i NP, będzie więc b = NK, fig. 641.

Odetnijmy więc: OB=OBl = NK=b i poprowadźmy BP || A⁴ A, do spotkania z asymp-totą w punkcie E, zaś EA⁴ || BO, tedy będzie: 0A‘ = a.

-Î

¹ tdhM

A:

M.

»K

c.

F.

Aj

f.k

V"

•S.

n,

T.

Fig. 641.

Fig. 642.

Fig. 643.

Mając więc z danych średnic ^sprzężonych wyznaczyć osie hiperboli, wyznaczamy najpierw asymptoty hiperboli, a następnie, w myśl konstrukcyi, poprzednio wskazanej, otrzymamy osie hiperboli , fig. 643.

fjß 2    ^/2

29. Asymptoty hiperboli. Z równania: -₂ — p=l, które możemy przed

stawić także w postaci:

(T + ł)(T-ł)-‘

(&Æ + «y) (&# — ay)=a²b², otrzymujemy równania asymptot, w postaci:

&Æ-|-ay=0, bx — ay=0.

Przyjmijmy na hiperboli dowolny punkt jP(æ, y), to odległości tego punktu od asymptot, będą wyrażone wzorami :

bx-\-ay V a²Ą-b²

albo :

Pl =

bx—ay

a że równanie hiperboli, podane w postaci:

(■bx-\-ay) (bx—ay)=a²b²,

możemy także tak napisać :

(a² -pó²).

bx\ay bx—ay

V^+b² ' Va² + b²

=a²b²

(19)

przeto, otrzymujemy stąd wzór:

czyli :

(a²-^²)^ p₂-=a²b²,

a²b²

a² + &²’

P\P<i

(20)

T. z. Z każdego punktu hiperboli poprowadzone piony pi, p₂, do jej asymptot,

da)a sta^y iloczyn, równy

a²b²

a²-ł &²

30. Kąt, zawarty między asyinptotami hiperboli. Oznaczmy przez i a2 kąty, jakie asymptoty tworzą z osią poprzeczną hiperboli, a otrzymamy wzór:

^ , tang a₂ =---,

skąd, oznaczając przez co kąt, zawarty między asymptotami, dostajemy: tang co=tang (at —a₂) =-j

i- -,

tang a₁ =

2a&

a cs-

a²+6²

a więc :

tang co =

2a&

a²—6²

(21)

Jest zatem :

sm w =

2a6

2a6

2 aó

V/ (a²—b²)² d⁻ 4 a ²6²

a więc :

sm <y

2a6

V/a4₊₆4+ 2a2&2    a²+0² ’

a²—b²

cos co=

a² + ó²'

(21')

a² + ó²

31. Równanie hiperboli, odniesione do jej asymptot. Przyjmując asymptoty hiperboli, jako osi układu i oznaczając, jak powyżej, przez pi i p2 odległości punktu P(x, y) od asymptot, mamy:

px = x sm co p₂ — y sin co

P\ Vï = x y sîn ² w

a więc : a że :

Pi Pi ~~

sin²<u =

a² b²

a² + b2 1

4 a²b²

{a²Ą-b²)

przeto mamy :

a² b²

4 a²b²

a² + b2 XlJ (a² -f b²)

skąd dostajemy:

a²-\-b²

xy

czyli: xy=fc, (22)

jako równanie hiperboli, odniesione do ( jej asymptot, fig. 614.

M’

Eig. 644.

Równanie to wypowiada tę własność hiperboli, że równoległobok, którego boki wpadają w asymptotę hiperboli, a wierzchołek im przeciwległy jest punktem hiperboli, ma stałą powierzchnię. Wielkość tej powierzchni wyraża się wzorem :

xy sin <u =

a²-\-b²    2 ab ab

4    ‘ a¹ Arb² = 2 ’

jest więc równa połowie prostokąta, z półosi aib hiperboli utworzonego.

7Z

W hiperboli równobocznej jest a=&, zatem <x> = -—, a stała /c w rów-

u

a²

naniu hiperboli równobocznej, odniesionej do jej asymptot jest równa .

U

32. Równanie hiperboli , odniesione do asymptot możemy wyprowadzić z jej równania środkowego: b²x² — a-y² — a-b-, za pomocą wzorów transformacyi spółrzędnych, zastępując w niem x przez (y -f- x) cos y, y przez {y—x)siny, gdzie y przedstawia połowę kąta , zawartego między asymptotami hiperboli.

Otrzymujemy tedy równanie hiperboli, odniesione do nowego układu w postaci b²(y -p£c)²cos²y— a²(y—x)² sin²y = a²è²,

czyli :

(b² cos²y — a² sin² y)(x² + */²) + 2 (b² cos² y + a² sin² y) xy == a²i²

skąd, ze względu na to , że :

tang a =-^-, a więc: b² cos² y = a² sin² y

otrzymujemy równanie:

4xycos²y = «², a stąd: xy

a² -j- b²

o 1*^

= V/«² + ó²

ocy — k, gdzie =

przedstawia odległość ognisk hiperboli od jej środka.

33. Stały iloczyn fc, jaki tworzą spólrzędne każdego punktu hiperboli, odniesione do asymptot, zowią zwykle potęgą hiperboli.

Mając dany jakikolwiek punkt P(x, y) hiperboli, odniesiony do asymptot, znajdujemy, za pomocą powyższego równania, odległość c ognisk hiperboli od jej środka, na mocy wzoru c —2\/xy, jako dwukrotną średnią geometryczną między spółrzędnemi tego punktu.

czyli :

Z równania xy = k, wypływa dalej, że dla dwu punktów: P](x t, yt), P₂(»₂, y i) hiperboli, mamy: xiyi=x.₂.yi, skąd wypływa proporcya : yi : //₂—x₂ :aą, dozwalająca wyznaczyć dowolną ilość punktów hiperboli, gdy dane są asymptoty i jeden z jej punktów P,, jak na fig. 6!5., 646.

3,

X.

CD

r2,

:x

IX

Fig. 645.

Uwaga. W ostatnim przypadku możemy znaleźć dowolną ilość punktów hiperboli, opierając się, na mocy art. 18. str. 806. na tej własności hiperboli, że odcinki siecznej, zawarte między asymptotami , a hiperbolą są parami równe.

Fig. 646.

Ćwiczenia LVI.

1)    Wykazać, że wzory: x = a cos a, «/ = &sina, przy zmiennym parametrze a, prowadzą do wyznaczenia punktów elipsy (a, 6), a wzory: æ = «seca, f/= Z> tang oc, do wyznaczenia punktów hiperboli (a, b) i podać dotyczące konstrukcye elipsy i hiperboli.

2)    Wykazać, że, oznaczając przez y połowę kąta, zawartego między asymptotami

x²

y-

hiperboli: —2 — -p —1, możemy jej równanie przedstawić w postaci:»²—y²cotg²y = a²,

i oprzeć na tern równaniu konstrukcyę hiperboli.

3)    Jak się przedstawi równanie hiperboli , której wierzchołki dzielą odstępy między jej środkiem, a ogniskami na dwie równe części.

4)    Jak się przedstawi kształt i równanie hiperboli, której excentryczność liniowa:

c — 3 a.

5)    Wyprowadzić równanie hiperboli, przechodzącej przez dwa punkta : jP₄ (5, 3) i P₂(8, —10), skoro osie hiperboli wpadają w osie układu.

6)    W których punktach prosta y —

7)    Wyznaczyć wierzchołki kwadratu, wpisanego w hiperbolę.

8)    Jaki kąt w zawierają między sobą asymptoty hiperboli¹ 4»²—5t/² = 100.

9)    W hiperboli: 25»² — 16y² = 400, wykreślono średnicę y=xlzx, znaleźć średnicę sprzężoną i kąt w, zawarty między temi średnicami.

10)    Jak wielką jest średnica hiperboli: 9»²—4?/² = 36, sprzężona z średnicą: y— Sx?

11)    Wykazać, że wierzchołki średnic bocznych hiperboli: ~ — y₂=l, mieszczą się

— x -f- ß , przecina hiperbolę : b-x-—a²y²

= a²b².

x²

na hiperboli sprzężonej :

12) Wykazać, że długość s cięciwy, przeprowadzonej przez ognisko hiperboli: b²x²—a²y² — a²b², a nachylonej do osi »-ów pod kątem <p, wyraża się wzorem:

2 ab²

—_ = 1.

a² sin² <p — ó²cos² ?

13) Wykazać, że średnice sprzężone hiperboli równobocznej x²—y² = a², są sobie równe, a mianowicie:

a*²

a² (1 -j- m²)

— a² (1 -f w²)

gdzie 7W = tanga.

1—m²

1—m²

14)    Wykazać, że różnica między kwadratami dwu średnic sprzężonych hiperboli jest stałą i równą różnicy między kwadratami jej osi.

15)    Wykazać, że prosta, łącząca końce średnic sprzężonych jest równoległą do jednej asymptoty, a druga asymptota dzieli ją na dwie równe części.

16)    Wykazać, że powierzchnia równoległoboku, wykreślonego nad dwiema średnicami hiperboli jest równa powierzchni prostokąta, wykreślonego nad jej osiami.

17)    Wykazać, że dowolne dwie średnice sprzężone hiperboli wyznaczają na stałej stycznej t, w punkcie T, dwa odcinki AT i BT, liczone od punktu styczności T, takie, że iloczyn AT .BT jest stały i równy kwadratowi połowy średnicy równoległej do tejże stycznej.

18) Wykazać, że prostopadła, wykreślona z ogniska do asymptoty hiperboli, jest

równa b.

19) Wykazać, że odcinki siecznej, zawarte między hiperbolą , a jej asymptotami są

równe.

20)    Wykazać, że cięciwy, popi'owadzone z końców osi 2a do dowolnego punktu hiperboli, mają kierunki średnic sprzężonych.

21)    Wykazać, że kąt w, zawarty między dwiema średnicami sprzężonemi hiperboli,

2ab²

da się wyrazić wzorem : tang w = -    ^ .

22)    Wykazać, że w hiperboli iloraz kwadratu jakiejkolwiek cięciwy przez iloczyn odległości środka tej cięciwy od końców średnicy sprzężonej jest stałym.

23)    Wykazać, że równoległobok, powstały przez połączenie końców dwu średnie sprzężonych hiperboli (a, 6), ma powierzchnię równą 2 ab.

24)    Jakie jest miejsce geometryczne środka C odcinka AB, opierającego się na osiach układu, a obracającego się około punktu P(—4, 7).

25)    Gdzie mieszczą się środki cięciw hiperboli: b-x²—a²y²=a²£>², przeprowadzonych przez punkt: P(Ç, rj).

26)    Gdzie leżą wierzchołki trójkątów, które mają tę samą podstawę 2c, skoro jeden kąt przy podstawie jest dwa razy większy od drugiego.

27)    W hyperboli równobocznej poprowadzono dwie cięciwy AB i CD, do siebie prostopadłe, dowieść, że cięciwy CA i BD, tudzież CB i AD również będą do siebie prostopadłe.

28)    Jeżeli w czworoboku ABCD wpisanym w hiperbolę równoboczną , przeciwległe boki AB i CD są do siebie prostopadłe, to drugie dwa boki: AC i BD, oraz przekątne AD i BC, również będą do siebie prostopadłe.

29)    Dowieść, że dwie dowolnie obrane średnice hiperboli równobocznej czynią ten sam kąt, co dwie inne średnice, z niemi sprzężone.

za-

30)    Trójkąt ABC jest wpisany w hiperbolę równoboczną, w ten sposób, że bok BC jest średnicą hiperboli, dowieść, że różnica kątów przyległych ABC i BCA jest stałą leżną tylko od kierunku średnicy BC, a od położenia punktu A na hyperboli nie zależy.

31)    Koło przecina hyperbole równoboczną w czterech punktach A, B, C, D ; dowieść, że, jeżeli cięciwa J (7 jest średnicą hyperboli równobocznej, to cięciwa BD będzie średnicą koła.

32)    Koło, wykreślone na cięciwie AB hiperboli równobocznej, jako na średnicy, przecina tę hiperbolę jeszcze w dwóch punktach C i D. Dowieść, że cięciwa CD jest średnicą hyperboli równobocznej.

33)    W hiperboli równobocznej poprowadzono cały szereg równoległych cięciw : AXBX, d₂P₂, J₃P₃,... a na tych cięciwach, jako na średnicach wykreślono koła, dowieść, że wszystkie te koła przechodzą przez stałe dwa punkta, leżące na hiperboli równobocznej, a więc mają wspólną oś pierwiastną, dowieść zarazem, że ta oś pierwiastna jest średnicą hiperboli równobocznej.

34)    Dane są dwa punkta A i B, oraz prosta MN, przez te dwa punkta A i ß poprowadzono odcinki AP i BQ równe co do długości, a zarazem równoległe do prostej MN. Na tych odcinkach, jako na średnicach, wykreślono koła. Dowieść, że geometrycznem miejscem punktów przecięcia się tych kół jest hiperbola równoboczna.

35)    Poprowadźmy w hiperboli równobocznej średnicę P,P, dowieść, że każda cięciwa MN tej hiperboli jest z obu końców Px i P₂ pod jednakowemi kątami widzianą, jeżeli przedłużenie cięciwy MN przecina średnicę PXP, albo pod kątami dopełni aj ącemi się do 90°, jeżeli przedłużenie średnicy PtP₂. przecina cięciwę MN.

i w każdem z nich poprowadzono średnicę M,NX, M.₂N₂, M₃N3 prostej MN; dowieść, że geometrycznem miejscem końców M i N tych średnic jest hiperbola równoboczna, mająca odcinek AB, jako jedną z średnic, oraz asymptoty — jedną równoległą do prostej MN, a drugą prostopadłą do niej.

Ö6) Koło przecina hiperbolę równoboczną, w czterech punktach A, B, O, Z>; dowieść, że średnica hiperboli, prostopadła do cięciwy AB: przepoławia cięciwę CD.

37)    Dane są dwa punkta A i B: tudzież prosta MN, znaleźć geometryczne miejsce punktu P takiego, żeby promienie wodzące PA i PB były równo nachylone do prostej MN. Dowieść, że będzie to hiperbola równoboczna, odcinek AB będzie jej średnicą.

38)    Poprowadźmy w hiperboli równobocznej dwie średnice PPX i QQ\, oraz obierzmy na niej dowolny punkt M, dowieść , że z punktu M cięciwy PQ\ i P1 są widziane pod kątami równemi, lub spełniającemi.

39)    Przez dane dwa punkta A i B poprowadzono cały szereg kół Ot, 0.₂, 0₃,...

równolegle do danej

40)    Z punktu P poprowadzono do elipsy dwie styczne, a z ogniska F poprowadzono proste FM i FN prostopadłe do nich. Dowieść, że prosta, poprowadzona z punktu P prostopadle do prostej MN, łączącej spodki owych prostopadłych , przechodzi przez drugie ognisko elipsy.

41)    W punkcie P elipsy poprowadzono styczną do niej i normalną , a z ogniska F, elipsy poprowadzono proste FM i FN prostopadłe do nich. Dowieść, że prosta MN, łącząca spodki tych prostopadłych, przechodzi przez środek elipsy.

42)    Mając dany trójkąt ABC wpisany w elipsę (a, 6), oznaczmy przez qu q₃, q₃ boki tego trójkąta, przez di, d₃, d₃ połowy średnic równoległych do tych boków. Dowieść, że powierzchnia tego trójkąta wyrazi się wzorem :

gtg₂ q₃

4 d, d ₂ d₃

43)    Dowieść, że podwójne pole trójkąta, wpisanego w elipsę, tak się mado iloczynu osi, jak iloczyn jego boków, do iloczynu średnic, do nich równoległych.

44)    Oznaczmy przez 2p cięciwę elipsy, przesuniętą przez ognisko prostopadle do wielkiej osi, przez lx, l₂, l₃ cięciwy, przesunięte przez to ognisko, równolegle do boków trójkąta ABC, wpisanego w tą elipsę. Dowieść, że promień Ii koła, opisanego na tym trójkącie, wyrazi się wzorem :

R V 2p

45) Dowieść, że równanie elipsy (x—p)²-{-y² = z²x² .(z <1), odniesione do ogniska jej w spólrzędnych u, v linii prostej, da się przedstawić w postaci:

(j) U -(- l)² — p²£² V² — E² = 0.

Taż sama postać, z zastrzeżeniem e 1 dotyczy hiperboli, a w obec f.=1— paraboli.

4G) Dowieść, że równanie elipsy: y² = (1 — e²)(2ax — a;²)(s<^l), odniesione do wierzchołka, w spólrzędnych u, v linii prostej da się przedstawić w postaci:

a²( 1 — e²) v²2 a u1 = 0.

Analogiczne równanie hiperboli przyjmie postać: a²(e²—l)t>² -f-2au -f-1 =0.

47)    Wykazać , że równanie linii prostej, łączącej dwa punkty (x‘, «/'), (æ", y") na

= 1, da się przedstawić w postaci :

{y-y‘)(y—y") _ æ2 , y² n

48)    Wykazać, że równanie linii prostej, łączącej dwa punkty {x‘ y'), (x" y") na hiper-x² y²

~a²~T²

elipsie

boli :

tO H-¹

X²

a²

(iX—X') (x — x4t)

b²

= 1, da się drzedstawić w postaci : (x—x‘) (x—as")

(y—y‘)(y—y‘‘) _ æ2 */²_-,

a² b²

b²

49) Wykazać, że równanie linii prostej, łączącej dwa punkta krzywej rzędu drugiego: (aj—p)²-\-y²~z²x² [elipsy, gdy e<1, hiperboli, gdy e>l, paraboli, gdy e=l], da się

przedstawić w postaci:

(1 — e²) (x—-aj<) (cc—x") -|- (y—y,)(y—y“) = (%—p)²—s²#²-H //², dla elipsy;

(e²—1) (x—x⁴) (x—x‘‘) — (y—y‘) (y—y") -j- (x—p)²—e² x²    y² — 0, dla hiperboli ;

0/—y‘)(y—y")—(x—p)²—~\~y² dla paraboli.

- 816

50) Wykazać, że równanie linii prostej, łączącej dwa punkta: (x‘ y‘), (as"?/"), krzywej rzędu drugiego: y² = 2px— q²x², (elipsa); y² — 2px -f- g²»², (hiperbola); y²=2px (parabola); da się przedstawić w postaci: q\x — a?') {x—x") + (y—y‘) (y—y") —    ² + y²— 2px, (elipsa);

g²(cc — x')(a: — a;") — (y — y') (y — y") = q²x² — y²-\- 2px (hiperbola), (y — y') (y — y") = y² — 2pæ (parabola).

51) Cięciwa M2V elipsy jest widzianą z ogniska F pod stałym kątem a, dowieść, że dotyka ona stale innej elipsy, mającej wspólne z daną elipsą ognisko F i odpowiednią kierownicę.

52)    Dowieść, że równanie hiperboli xy = lc% odniesione do asymptot, w spółrzędnych Pllickera, da się napisać w postaci: 1Wuv=\.

53)    Koło przecina hiperbolę równoboczną w punktach : A, Z?, C, D. Oznaczmy przez Oc środek koła, przez Oh środek hyperboli , przez o kąt, jaki czynią przeciwległe cięciwy, AD, CD ; dowieść, że między odległością OhP środka hyperboli od cięciwy AB, a odległością OcQ środka koła od cięciwy CD zachodzi związek: OhP~OcQ. cos®.

54)    W hiperbolę równoboczną wpisano trójkąt MNP, a z dowolnie obranego punktu Q tejże hyperboli poprowadzono prostopadłe: Qm na bok NP, Qn na bok PM, Qp na bok MN, dowieść, że koło przechodzące przez spodki tych prostopadłych, przechodzi przez środek hyperboli.

55)    Cięciwy AB i CD hiperboli równobocznej przepołowiono w punktach E i F, przez środek cięciwy AB poprowadzono prostą , równoległą do cięciwy CD ; przez środek F cięciwy CD poprowadzono prostą równoległą do cięciwy AB\ dowieść, że punkt L przecięcia się tych prostych, środki E i F cięciw danych, oraz środek hiperboli, leżą na obwodzie jednego koła.

56)    Jeżeli koło przecina hiperbolę równoboczną w punktach A, B, C, D, to cięciwy przeciwległe AB i CD, naprzykład , są do osi hyperboli pod równemi kątami nachylone.

57)    Dwa punkta stałe punktu hiperboli Pt(ad, y‘), P.₂(x", y") łączymy z dowolnym punktem zmiennym P(xu‘, y'") tej hiperboli, wykazać, że odcinek, jaki proste, łączące wyznaczają na asymptotach , jest stały, niezależny od położenia punktu P{x“‘, y‘") na

hiperboli.

58)    Wykazać, że punkt styczności dzieli część stycznej do hiperboli, zawartą między asymptotami na dwie równe części, i że ta część stycznej jest równa średnicy sprzężonej ze średnicą , przechodzącą przez punkt styczności.

59)    Wykazać, że trójkąt, zawarty między styczną do hiperboli, a jej asymptotami, ma stałą powierzchnię, mianowicie, równą podwójnej powierzchni równoległoboku, utworzonego przez spółrzędne punktu styczności , odniesione do asymptot.

Rozwiązania LYI. 3) 3x² — y’Ł= 3a². 4) Sx² — y² = 8a². 5) 7cc²— 3?/²=148.

oo). 7) x = ±

a (b² -f- 3²)

b² — [i

2\

-) : AC⁰⁰:

ab

6) P.(

8) w = 83°37'14". 9) y = ™/l6x, w =59<>30'21". 10) 2b' =    \/3~. 24) 2xy-lx + 4y=0. 25) Na

hiperboli: b²x²—a²y² — b²    -f- a²i\y = 0. 26) Na hiperboli: 3a;²—y² Ą-3cx = c².

2ß

V b²—a²

możliwy tylko , gdy b > a.

Literatura. O. Dziobek. Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene, Berlin 1900. G. Salmon. A treatise on eonie sections. Sixth édition, London 1879. W. S t a m-mer. Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene. München 1863.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Sposoby kreślenia hiperboli i teorya hiperbolografów.

2.    Twierdzenia, odnoszące się do średnic sprzężonych hiperboli.

3.    Teorya i własności hiperboli równobocznej.

Wykład LV1I.

Dalszy ciąg szczególnych własności hiperboli.

?/²

^2 = 1, otrzymam}'⁻, jak przy

dö ²

1. Styczne i normalne do hiperboli —^

CL

00 ² 7J 2

zastępując w dotyczących równaniach Z>² przez

CL O

Styczną do hiperboli w punkcie (x‘, y‘) jest więc prosta:

/•y» /v*

UL/

wC ²

elipsie —₂

CL

-b².

yy‘

a²

&²

(i)

a normalną w tym punkcie jest prosta:

y — y= —

a²y‘ b²x‘

czyli :

a²

— oc d--ry = a² + b².

2/'

(2)

Styczna w punkcie (x‘, y') hiperboli wyznacza na osi x-ów odcinek

b²

, a na osi y-ów odcinek--- , normalna zaś wyznacza na osi x-ów, odcinek

y ,

x‘=e²x‘i przyczem c= \/a² + b² , jest tak zwanym liniowym mimośrodem,

jest t. z. liczebnym mimośrodem, albo

a ; ci

albo liniową excentrycznością, a £ = liczebną excentrycznością hiperboli.

Ponieważ rzeczywiste punkta hiperboli rozciągają się tylko od #= pa, do x=Ą-co , tudzież od x= — a, do x=—go , więc normalne do hiperboli przecinają oś x-ów tylko w odstępie od +e²a do -Pco i od —co do —£²a, stąd wynika,

że odstęp od —£²a do +g²a jest wolny od punktów przecięcia się normal-

c2

nych z osią £-ów. Na osi y-ów wyznacza normalna odcinek .

y²

= 1, wychodzących z punktu :

00 ²

2. Para stycznych do hiperboli ^₂— ^₂

2 2

(i, rj), zewnątrz hiperboli, otrzymuje, jak przy elipsie : — p- ^2=1, równanie :

Cl o

x£ yrj

a² ó²

» '-Trr

²_ÿ_iU

2 b2 A/ -

0.

co

52

î)r. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

wyznaczające dwie wartości na P, odpowiadające dwom punktom styczności ;

a <frr

Na wyznaczenie punktów styczności (P, y‘) stycznych, przez punkt P(£, rf) przechodzących, mamy, obok równania:

/P| y‘t]    \² /P²

V«²    "6²    /    V«²

b² )\a² b² )

także równanie:

y‘²

-1=0

a więc dwa równania o dwu niewiado-

a² b²

mych P, y\ w postaci : z których, po wyrugowaniu y‘, otrzymujemy równanie:

p£

b²

_ 3^    -,

a² &²    ’

P²

If rr

(4)

2    Y) 2

wartości te są rzeczywiste, skoro: ^ — p—1 !> 0, t. j. skoro punkt P leży

pomiędzy obiema gałęziami hiperboli , jak na fig. 647. i 648., a urojone, sprzężone w przeciwnym przypadku fig. 649.

'A

T,

B' T’

t" b’’

\A

Fig. 647.

Fig. 648.

Fig. 649.

na

Punkta styczności stycznych, z pnnktn P($, if) wyprowadzonych, leżą

. yn

prostej :

a²

p-¹' *• j-

na

biegunowej punktu P ze względu na hiper-

2 4/2

Prosta ta przecina obie gałęzie hiperboli, każdą w jednym punkcie, jak na fig.

Fig. G50.

648., albo tylko jedną gałąź w dwu punktach, jak na fig. 647., stosownie do tego, czy prosta, do niej równoległa , przez środek hiperboli przeprowadzona, przecina hiperbolę w dwu punktach rzeczywistych, czy też urojonych, jeżeli obie styczne, z punktu P poprowadzone są rzeczywiste, natomiast mija obie gałęzie hiperboli, jeżeli te styczne będą urojone sprzężone, fig. 649.

=1, są do siebie prostopadłe, znajdziemy, według wskazówek art. 4. str. 784. w postaci równania: x²-\-y²=a²—b², jest więc ono kołem, o promieniu : \A/² — b², współśrodkowem z hiperbolą, jak na fig. 650.

Koło to jednak będzie jedjmie wtedy rzeczywistem, gdy a^>b, t. j. gdy kąt asymptot, obejmujący sobą hiperbolę, jest ostrym; koło to sprowadza

~b²

3. Miejsce geometryczne punktów P, z których styczne, wyprowadzone do hiperboli : ^

- 819 -

się do pojedynczego punktu, gdy a=b, a więc, gdy hiperbola jest równoboczną; natomiast jest to koło urojonem, gdy a<jó, a więc, gdy kąt asymptot, obejmujący sobą hiperbolę, jest rozwartym.

4. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do

w 2    .

—- p= 1, zawierają między sobą kąt a, otrzymujemy, jak na

hiperboli : ^

str. 785., w postaci równania :

(5)

[(#² + «/²) — (a² ó²)]²tang² a=4[&²Æ²—-a²«/²—a²&²].

Oznaczmy przez H trójmian: b'lx²—a²«/²— a²ó², przez AT zaś wyraz (a:²-}-2/²)— (a²—i²), wówczas równanie H=0, przedstawia nam samą hiperbolę, równanie zaś K — 0 przedstawi nam koło — geometryczne miejsce punktów, z których styczne , poprowadzone do hiperboli, zawierają ze sobą kąt prosty, a równanie krzywej (5) otrzymuje kształt: A²tang²a^ 427.

Bliższa dyskusya tej krzywej jest znacznie zawilszą, aniżeli przy elipsie. Prze-dewszystkiem musimy odróżnić trzy przypadki : a) hiperbolę ostrokątną , gdy a > b ; ß ) hiperbolę równoboczną , czyli prostokątną , gdy a — b ; y) hiperbolę rozwartokątną, gdy a <b.

a) Hiperbola ostrokątną cl 2> b. Poprowadźmy obie asymptoty tej hiperboli, oraz wj⁷-kreślmy koło: cc-4- y- — a²—b'¹. które, w t3mi wj'padku , będzie kołem rzecz3Twistem.

IU

li

Jj]

Fig. 651.

Fig. G52.

Fig. 053.

Fig. G54.

Asymptoty zawierają ostry kąt u>, (fig. 651.).

Koło to . oraz obie asymptoty hiperboli wyznaczają na płaszczyźnie tejże hiperboli cztery obszary: I., II., III, IV., każdy złożony z dwóch, symetrycznie względem obu osi ułożonych, połówek. Obie połówki obszaru I. (fig. 651.) zawierają takie punkta, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią kąt rozwarty, dowolnie zresztą między

mogący być wybranym. Obie połówki obszaru II. (fig. 652.) zawie-

granicami

rają takie punkta, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią kąt ostry, nie dowolny jednak, lecz zawarty między granicami to, oraz —. Obie połówki obszaru III. (fig. 653.) zawierają takie punkta, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią

~2

oraz r.

oraz r. — o.

kąt rozwarty, nie dowolny jednak, lecz zawarty między granicami Ty ,

Obie połówki obszaru IV. (fig. G54.) zawierają takie punkta, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią kąt ostry, dowolnie zresztą między granicami 0, oraz iz

2~, mogący być wybranym.

TZ-

Uwagi te stosujemy w dyskusyi geometrycznego miejsca punktów, z których styczne, do hiperboli poprowadzone, czynią ze sobą ostry kąt a, względnie rozwarty kąt a — oba te przypadki łączą się bowiem w równaniu tej krzywej, mającem postać: K² tg² o. — 4 H — 0.

— 820 —

Rozróżniamy trzy przypadki:

1)    ostry kąt a jest mniejszy od ostrego kąta asymptot w, a więc: 0<Xw.

2)    ostry kąt a równa się ostremu kątowi asymptot w, a więc : a = w.

3)    ostry kąt a jest większy od ostrego kąta asymptot w, a więc: w <; a <( ^ •

W pierwszym przypadku (fig. 655.) krzywa może przebiegać jedynie w obrębie obszarów IV. (styczne czynią kąt ostry a, 0<a<(w) oraz I. (styczne czynią kąt rozwarty 7:—«

n——a<Tc). Krzywa składa się z jednego tylko owalu, zawierającego koło K, owal ten przecina asymptoty hiperboli w punktach M\ N\ P\ Q\ dzieląc sie na cztery łuki: M'N‘, 1V'P', P‘Q', Q'M\

i,

jO

ar

ar

Aj

I/M

x‘

*J\

//fi

Q’

.fi

' /<P!

'r'

s:

u’

<s'

y’

s;

Fig. 655.

Fig. 656.

Fig. 657.

Łuki M‘N‘. P‘Q‘ wykreśliliśmy pełnemi liniami — są one miejscem punktów, z których styczne , poprowadzone do hiperboli czynią ostry kąt a (0 <( « <Cw)-

Łuki N'P': Q'M‘ wykreśliliśmy liniami przerywanemi, są one miejscem punktów, z których styczne, poprowadzone do hyperboli, czynią rozwarty kąt tc—a,

W drugim przypadku (fig. 656.), gdy a= w, krzywa przedstawia się w postaci owalu, do którego odnosimy uwagi, podane przy pierwszym przypadku, posiada jednak, oprócz tego , punkt odosobniony w środku hiperboli.

W trzecim przypadku, (fig. 657.), gdy ostry kąt a jest większy od ostrego kąta w, krzywa może przebiegać we wszystkich czterech obszarach , rozpada się na dwa owale, jeden z nich, zewnętrzny, obejmuje całkowicie koło TT, oraz wewnętrzny owal; drugi z nich, wewnętrzny, zawiera się całkowicie wewnątrz koła K. Zewnętrzny owal przecina asymptoty w punktaćh M\ N', P', Q‘ i dzieli się na łuki: M'N', N'P‘, P'Q\ Q'M‘ ; wewnętrzny owal przecina asymptoty w punktach M", N", P", Q“ i dzieli się na łuki : M"N", NUP‘‘,

Łuki MJN', P'Q\ zewnętrznego owalu, oraz łuki JS"P", Q“Mu wewnętrznego, wykreślone są pełnemi liniami, jako miejsca punktów, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią ostry kąt a; łuki N'P', Q'M‘ zewnętrznego owalu, oraz łuki: M“W\ P“Q‘, wewnętrznego, wykreślone są przerywanemi liniami, jako miejsca punktów, z których styczne, poprowadzone do hiperboli, czynią kąt rozwarty n—«.

Stąd wynika, że dopóki ostry kąt a zawiera się w granicach w<(a<(7u/2, dopóty krzywa składa się z dwóch owali. Jeżeli kąt a rośnie do n/2, to oba owale, zewnętrzny i wewnętrzny schodzą się w obwodzie koła K. Jeżeli kąt * maleje do w, to wewnętrzny owal maleje do punktu. Jeżeli kąt a maleje dalej, wewnętrzny owal znika , zostaje tylko zewnętrzny; gdy kąt a maleje do zera, to ów zewnętrzny owal schodzi się coraz bardziej z hiperbolą.

ß) Hiperbola równoboczna, czyli prostokątna: a = b. W tym przypadku koło K= 0, a;² -j- 2/² = 0, redukuje się do punktu — środka hyperboli. Asymptoty czynią kąt prosty. Tu nie mamy już czterech obszarów, ale tylko dwa (fig. 658.). Obszar pierwszy odpowiada dawnemu I; obszar II. odpowiada dawnemu IV.; dawne obszary II. i III. redukują się do punktu. Obie połówki obszaru I. zawierają punkta, z których styczne, do hyperboli poprowadzone, czynią dowolny kąt rozwarty; obie połówki obszaru II. zawierają punkta, z których styczne do hyperboli poprowadzone, czynią kąt ostry, dowolnej wai^tości.

- 821 -

W tym przypadku krzywa K²tg²<x — 411=0, przedstawia zawsze pojedynczy owal, części jego, wypadające wewnątrz obszaru I., wykreślone są liniami przerywanemi, jako miejsca punktów, z których styczne, poprowadzone do hyperboli, czynią kąt rozwarty; części zaś , wpadające wewnątrz obszaru II., wykreślone są liniami pełnemi, jako miejsca punktów, z których styczne poprowadzone do hiperboli, czynią kąt ostry, (rysunek zbli-

cc a

żony do fig. 660 j. Jeżeli kąt ostry rośnie do

to owal maleje i w granicy staje się

punktem; gdy kąt ostry maleje do 0, to owal rozciąga się i po części schodzi z hiperbolą (część kropkowana), po części zaś z prostą w nieskończoności (część pełna).

■TT— co

*3

Ti- co

3-

IN

.......

Fig. 658.

Fig. 659.

Fig. 660.

y) Hiperbola rozwartokątna : a<^b. W tym przypadku koło K: x²-\-y²—a²—b², wobec a²—&²<0, a więc i x² -J- y² < 0 , znika, jest urojonem. Asymptoty czynią kąt rozwarty. Tu również nie ma czterech obszarów, tylko dwa, jak na fig. 659. Obie połówki obszaim I. zawierają punkta, z których styczne, do hiperboli poprowadzone, czynią kąt rozwarty, w każdym razie większy od rozwartego kąta r.—w, asymptot, obejmującego samą hiperbolę. Obie połówki obszaru II. zawierają punkta, z których styczne, do hiperboli poprowadzone, czynią kąt ostry, w każdym razie mniejszy od ostrego kąta co.

W tym przypadku krzywa K²tg²a—411 = 0, przedstawia zawsze pojedynczy owal, a i to z warunkiem , że ostry kąt a, będzie mniejszym od ostrego kąta co. A więc, gdy ostry kąt a rośnie do wartości co, owal maleje aż do punktu. Gdyby kąt a miał rosnąć dalej , to owal znika, staje się krzywą urojoną. Jeżeli kąt a, mniejszy od co, maleje stale do zera , to owal coraz bardziej schodzi się z samą hyperbolą (fig. 660.).

5. Para stycznych do hiperboli, a do siebie równoległych. Podobnie, jak przy elipsie, znajdujemy równanie:

X cos A

y sin A

cos² A

sin² À

to

to

Cl

Gt

przedstawiające parę prostych , stycznych do

hiperboli : ~

tworzących kąt A z dodatnim kierunkiem osi X - ów.

~b²

y²    .    .    ,

~ = 1, a do siebie równoległych

a’

Fig. 661

Spółrzędne punktów, w których ta para prostych dotyka hiperboli, czynią zadość równaniu :

æcos A

a²

y sin>?.

b²

0, czyli: y

.a,

a² tg A

a więc leżą na średnicy, sprzężonej z kierunkiem A, fig. 661.

b²

Mając wyznaczyć punkta (P, y‘), w których styczna, równoległa do prostej: y=mx-\-n, dotyka hiperboli, otrzymujemy dwa równania:

b²x' a² y*’

a I H.

y‘² i

Vrr = l. m—

b²

Z równań tych dostajemy:

x'

a²m    t

b\/a²m²—b²’ ^

\/a²m² - &2>

a więc punkta rzeczywiste, skoro a²m²^>b², czyli: m^>

»a i «

urojone, czyli

skoro a²m²<^b²} a więc: m<' —.

Cl

6. Normalne do hiperboli, wychodzące z danego punktu. Normalna

² y²    ,

w punkcie M(x‘, y‘) hiperboli:    p —1, ma równanie:

a²

Ô²

= a²Ą-b².

⁼ gdzie c2

Jeżeliby ta normalna miała przechodzić przez punkt P(f, ??), wówczas musiałby się spełnić warunek :

b²

fd—- n = c²,

y'

czyli :

c²x‘ y‘— a²| .y‘— b²rj . x'—0,

obok warunku :

x¹²

y‘\= h

Punkt M{x‘, y‘) występuje przeto, jako przekrój danej hiperboli:

z hiperbolą: c²xy = a²Ç . y -\-b²r]. x, która, jak przy elipsie (art.

8. str. 787.), jest hiperbolą równoboczną, przechodzącą przytem przez dany punkt P(£, rj) i przez środek hiperboli: 0{x‘—0, y* = 0) ; środek: C{a,ß) tej hiperboli równobocznej określony jest równaniami:

c²ß — b²r}= 0, c²a—a²|=0,

a:²

z których otrzymujemy:

a²

fJTr

c²

Z danego punktu P(£, 17) można więc do hiperboli, podobnie, jak przy elipsie, poprowadzić cztery normalne, a punkta, w których te normalne przecinają hiperbolę: b²x²~a²y²=a²b², są punktami przecięcia się tej hiperboli z hiperbolą równoboczną:

c² xy=--b²rj .x-\-a² £ .y.

(7)

malnych.

Punkta te nazywamy punktami podstawowemi tych czterech nor

- 823 -

7. Na wyznaczenie rzędnych (yx, y^, «/₃,y₄) tych czterech podstawowych punktów, oraz ich odciętych (aą, y₂, a-₃, ce₄) mamy, z równań powyższych, równania czwartego stopnia: c⁴ ad — 2 c²a² ija?³ -(- a’² (a² *j² — 6²rj² — c⁴)sc²-}- 2c²a⁴ Ę cc—a⁶Ç² = 0, c⁴y⁴ — 2 c²&²r)«/³ — &²(a² i;² — 6²rj² — c⁴ty² — 2 c²è⁴ ? y -f- b⁶r\² = 0.

Konstrukcya geometryczna tych czterech normalnych MNX, JV/lZSr₂,    MNix które

z punktu M możemy poprowadzić do hiperboli, jest dokładnie ta sama, jak przy elipsie, dość tylko w art. 9. str. 788., art. 10. str. 788—789; art. 11. str. 789—790 podstawić wszędzie —i² zamiast b%.

Podnosimy więc tylko rzeczy najbardziej zasługujące na uwagę.

1) Z danego punktu M($, rj), możemy poprowadzić do hiperboli cztery rzeczywiste normalne MNU MN₂, MN₃, JV/JV4, gdy równanie:

a² ^² — b'¹7)² — c⁴

--^-=0 a²&²

posiada wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste, a więc, gdy:

a ² Ç ² — &² 7j² — c⁴ ^³

3^²1²    / ’

krótko mówiąc, gdy punkt Jfcf(Ç, 7;), jak na fig. 662. czyni zadość warunkowi:

(a²?²— &² T)²— c⁴)³—27a²è²C⁴£²T]²>0.

2) Z danego punktu M (Ç, 7]) możemy poprowadzić do hiperboli dwie normalne rzeczywiste MNX i MN₂, dwie zaś urojone sprzężone, gdy równanie powyższe posiada jeden tylko rzeczywisty pierwiastek, a dwa urojone sprzężone, a więc, gdy:

X³-

a²è²

X—2

(&)<(

jc

yyji

0 cĄr

1/ 0

"fîQ

(J

s’

i).

Fig. bo-'.

Fig. 663.

Fig. 664.

₀2f2_J2rj2_ c4v 3

3 a²//²

krótko mówiąc, gdy punkt df(Ę, rj), jak na fig. 663., czyni zadość warunkowi:

(a² *² - &² r,² - c⁴)³ — 27«²i²c⁴ Ç²7)² < 0 ,

3) Wreszcie, gdy punkt 4f(?, 7]) czyni zadość warunkowi:

(a²?² — b²7j² — cł)³= 27 a²ó²e⁴'² 7;²,

wówczas z punktu takiego możemy do hiperboli poprowadzić dwie normalne pojedyncze, oraz jedną normalną podwójną.

Na fig. 664. mamy podaną linię krzywą o równaniu:

(a²Ç²—Z>²t|²— c⁴)³=27a²fe²c* Ç²7j²,

oraz zaznaczyliśmy, iż krzywa ta płaszczyznę dzieli na dwa obszary: zakreskowany i czysty.

Z punktu, dowolnie obranego w obrębie zakreskowanego obszaru , możemy poprowadzić do hiperboli cztery rzeczywiste normalne.

Natomiast z punktu, dowolnie obranego w obrębie czystego obszaru, możemy poprowadzić do hiperboli tylko dwie rzeczywiste normalne.

— 824 —

8. Ogniska hiperboli. Styczna w punkcie P(a?', y‘) hiperboli wyznacza

u²

x*

na osi 2a odcinek: at=—-, a normalna w tym punkcie wyznacza odcinek:

c²

an=

—kX\ jest zatem: a²

(8)

at.an = c².

CD

-Ö

Fig. 665.

Fig. 666.

Fig. 667.

Pary punktów T i N, w których styczne i normalne, w różnych punktach hiperboli, przecinają oś poprzeczną, tworzą zatem inwolucyę hiperboliczną, której środkiem jest środek hiperboli, a której punkta podwójne F^ i F₂ położone

— Y/ć*²-f6²; punkta te na-

są na osi tak, że: OF^ == +c= \/a²-\-6² , OF₂ = zywamy rzeczywistemi ogniskami hiperboli (fig. 665.).

Na osi urojonej (26) wyznaczają styczna i normalna w punkcie P(z',y'), hiperboli odcinki :

bt=-

to

c²

bn=jr₂y

mamy tu więc :

(a)

bt.bn=-c\

Pary punktów T i N, w których styczne i normalne do hiperboli, w różnych jej punktach, przecinają jej oś urojoną, tworzą więcinwolucyę eliptyczną, której urojone punkta podwójne i <Z>₂, położone są na tej osi tak, że: 0$! = bćV—ï> 0&₂ =—c\,'—i, punkta te nazywamy urój one mi ogniskami hiperboli, (fig. 666.).

*    CC^¹

6²

Biegunową jednego ogniska: F^c, 0), względem hiperboli:—j

Cl

Q

jest prosta: —₃=1, (fig. 667.) a biegunową drugiego F₂(—c,0), prosta: -—₃

i7/    Cl

biegunowemi ognisk są więc proste o równaniach :

a²

(10)

a² .

x=— i æ= —

równoległe do osi (26) hiperboli, w odległości: —<(a, a więc położone obie

c

między gałęziami hiperboli. Proste te nazywamy kierownicami hiperboli.

9. Stosunek odległości jakiegokolwiek punktu P hiperboli od ogniska, do odległości jego od kierownicy jest stały i większy od jednostki. Jest bowiem odległość punktu: P(æ, y),

do ogniska F,t.j.PF=—^~--asj, a odległość tegoż punktu od kierownicy, tj.

PF c V/«²+ ó²

a²’

PD=-

--x.

c

a więc stosunek: ^

> 1.

y²-

a więc :

(120

x = 0, yî== — (a² -f- bl) ,

zatem dwa punkta urojone: ^(O, -f- ci), <I>₂(0, —ci) na osi bocznej.

Te cztery punkta przecięcia się tych stycznych są więc czterema ogniskami hiperboli. Zaliczając także punkta kołowe urojone do ognisk, możemy, jak przy elipsie, ogniska hiperboli określić, jako wierzchołki zupełnego czworoboku, utworzonego przez dwie pary stycznych do hiperboli, wychodzących z punktów urojonych kołowych.

12. Twierdzenia, odnoszące się do ognisk hiperboli. Biorąc pod uwagę ogniska rzeczywiste Fi i F\ hiperboli , położone na osi poprzecznej w odległości :

OFy = +    V/«² + 6² , OF% =

— y/«² -t~ 0² ,

możemy dowieść wprost wielu twierdzeń, z których przytaczamy najważniejsze:

1) Różnica promieni wodzących, wychodzących z ognisk, do któregokolwiek punktu hiperboli jest stałą, równą 2a, (fig. 668,).

— x -j- a, zatem r₂—rt—2a.

10. Ogniska hiperboli, jako punkta przecięcia się prostych sprzężonych, do siebie pro-

/'a^ \    a^

stopadłych. Biegunową jakiegokolwiek punktu: My—, r] ) kierownicy, x —— jest prosta:

Z>²    &²

y~ — X— -cr\

Prosta ,

i²

— , a więc prosta, przechodząca przez ognisko F(c, 0) w kierunku tanga=

*)    C f]

łącząca punkt M    z ogniskiem F(c, 0) ma równanie y= — ~ (cc— c) jest

więc prostą, prostopadłą do biegunowej punktu Jf, a zatem: Biegunowa jakiegokoltviek punktu kierownicy hiperboli przechodzi przez ognisko, prostopadle do prostej, łączącej ten punkt z ogniskiem.    .    •

Możemy więc, jak przy elipsie, art. 12. str. 790., ogniska hiperboli określić, jako punkta, z których wychodzące proste, biegunowo sprzężone są do siebie prostopadłe, a kierownice hiperboli określić , jako proste , na której położone pary punktów biegunowo sprzężonych widzialne są z ogniska pod kątem prostym. (fig. 667.)

11. Ogniska hiperboli, jako punkta przecięcia się stycznych, wychodzących z punktów kołowych urojonych, położonych w nieskończoności. Bównania stycznych do hiperboli, wychodzących z punktów kołowych : | £ | = oo , {731 = 00 , dla których:

4-=*', lub

= -b

przybierają, na mocy rachunku , jak przy elipsie art. 13. str. 790., w pierwszym przypadku, kształt :

--

a¹ ó²

(11)

w drugim :

” (a²

</²

⁻¹) (i⁺y²)=a

(HO

a więc :

Szukając dalszych punktów przecięcia się tych stycznych otrzymujemy, albo 1):

^ = 0’ “4- O“¹) (-^ + p)=°, y —■ o

xl =al -f- &² —c²,

zatem dwa punkta rzeczywiste: Fi(c, 0), F^(—c, 0), na osi poprzecznej, albo 2):

(12)

£

Jest bowiem, na mocy art. 12. str. 754.: rt =— x — a

2) Styczna i normalna każdego punktu P(x‘, y‘) hiperboli są dwójsiecznemi kątów, jakie z sobą zawierają promienie wodzące ri i r₂ tego punktu , (fig. 669.).

Wynika to już z równań promieni r, i r₂ punktu : P(a?', y‘) :

y— y* _

X — x‘    X - c

y —y‘

X —

które w formie normalnej mają kształty :

— X¹

826 -

y'x + (c—x‘) y—cy‘

\Zy‘~-\-(c — ^O²

c2

dowodzące, że odległości /ą i p.₂ punktu N(—^x\ OJ , w którym normalna punktu P(x\ y‘) przecina oś i-ów, od tych promieni są sobie równe.

3)    Rzuty ognisk na styczną, w jakimkolwiek punkcie hiperboli, lezą na kole wierzchołkówem hiperboli, (fig. 670.).

Twierdzenie to, w połączeniu z analogicznem twierdzeniem dla elipsy, możemy także tak wypowiedzieć:

Jeżeli kąt prosty porusza sie swym wierzchołkiem po obwodzie koła, a jedno jego ramie przechodzi przez stały punkt F, to drugie ramie obwodzi elipsę, gdy punkt F leży wewnątrz koła, a hiperbolę, gdy punkt F leży zeionątrz koła.

4)    Kąt, zawarty między stycznemi do hiperboli, wycliodzącemi z punktu F, zewnątrz niej położonego, i kat, zawarty między prostemi, poprowadzonemi z tego punktu do ognisk hiperboli, mają tę samą dwójsieczną, (fig. 671.).

5)    Iloczyn pionów px i p.₂, wyprowadzonych z ognisk Fi i Ft na dowolną styczną hiperboli jest stały, równy —b‘\ (fig. 670.).

Z równania stycznej : ^ —

wadzone z ogniska Fi (-f- c, 0) i Fs(—c, 0), otrzymują wartości:

fa) ».

0, (rf)...

y'x—(c+ x‘)y + cif

0,

yy‘

= 1, wynika bowiem, że jej piony pl i p}, wypro-

b\l

Pi ⁼⁼ ~

jest zatem : p₂p₂ = — b-.

6) Prosta, łącząca ognisko I¹ hiperboli z dowolnym punktem P, jest dwójsieczną kata rJ\FI\, jaki tivorzq promienie wodzące 1\F, rl\ F, punktów styczności, obu stycznych, poprowadzonych z punktu P do hiperboli , (fig. 671.).

<1.

\ F.

fi

fi

'N

Fig. 668.

Fig. 669.

Fig. 670.

Fig. 671.

13. Hiperbola i koło. Wyznaczanie punktów wspólnych hiperboli :

— li koła: (x—£)²-j-(y—rj)² = r²,

2/²

a- b¹

prowadzi, jak przy elipsie, art. 16. str. 792., do równania czwartego stopnia, które dowodzi , że hiperbola ma z kołem , w ogólności, cztery punkta wspólne ; na wyznaczenie rzędnych y punktów spotkania hyperboli z kołem, otrzymujemy równanie czwartego stopnia:

(13)

«4«/⁴ + «3 y³ + «ż2/²+ «i y + ao=° przyczem:    = (a² -|- b²)² — c⁴, a₂= — 4ó²c²r), a₂ = 2b²[c² m -f- 2(ó²r)ł — a²?²)], a₁=4b²wr],

a₀ —b²(b² m² -f- 4a²Sj²).

14. Wzajemne położenie koła i hiperboli. Równanie powyższe daje nam trzy wybitne odrębne przypadki wzajemnego położenia koła i hiperboli, a mianowicie :

1) wszystkie cztery punkta przecięcia się koła i hiperboli, są rzeczywiste (fig. 672.

i fig. 673.)

2)    dwa są rzeczywiste, a dwa urojone sprzężone (fig. 674.),

3)    wszystkie cztery urojone, parami sprzężone, (fig. 675.).

Fig. 672.

Fig. 678.

Fig. 674.

Fig. 675.

Szczególne przypadki zachodzą , gdy równanie (13) ma powtarzający się pierwiastek Vi—Vii (oraz odpowiednio x^—or^ a dwa inne różne między sobą; w tym przypadku koło dotyka hiperboli w jednym punkcie, a w dwóch punktach (rzeczywistych, (fig. 676.) lub urojonych sprzężonych) (fig. 677.) jeszcze ją przecina.

Fig. 676.

Fig. 677.

Fig. 678.

Fig. 679.

Jeżeli tymi pierwiastkami są pierwiastki urojone: yy — yi = a -j- ß*, tedy muszą także dwa drugie urojone pierwiastki być równe: y?,=yi—cx.—ß i ; koło i hiperbola styczne

w jednym urojonym punkcie muszą się zatem stykać jeszcze w drugim punkcie urojonym, z nim sprzężonym.

Jeżeli w przypadku czterech pierwiastków rzeczywistych, obok yi=yi, jest także 2/3—*4 (a oczywiście też xl=xi, :r₃=a5₄), wówczas koło i hiperbola dotykają się w dwóch oddzielnych punktach rzeczywistych (fig. 678).

Fig. 680.

Jeżeli równanie (13) posiada trzy, powtarzające się pierwiastki: y₁=y₂=y₃, a czwarty od nich różny, wówczas koło ma z hyperbolą w jednym punkcie M styczność drugiego rzędu, a w jednym ją jeszcze przecina (fig. 679.). Koło takie nazywamy kołem ściśle sty-cznem w punkcie M. albo też kołem krzywiznowem. Gdyby wreszcie wszystkie cztery pierwiastki były równe między sobą, y\=yi — =t/3 — #4, wówczas koło miałoby z hiperbolą wspólne cztery punkta, w jeden wpadające, czyli miałoby w tym punkcie z hiperbolą styczność trzeciego rzędu i byłoby zarazem kołem ściśle stycznem w drugim stopniu (fig. 680).

15. Kolo ściśle styczne w danym punkcie hiperboli, otrzymuje tu, jako spółrzędne środka :

<STt

ak

V=

«² + &² ,

(14)

a prom îen :

(bkX² ahy²)^

Ç=== ctFbk

skąd, ze względu na to, że długość N normalnej w punkcie (aj, y) hiperboli, przedstawia się wzorem :

lV:

(è⁴ x- + a⁴

a więc mamy:

otrzymujemy, jak przy elipsie :

«²W³

ft4 » czyh: p

2>² ’

(16)

i²

gdzie p=— przedstawia rzędną tego punktu hiperboli, którego rzut na oś główną hiperboli trafia w ognisko, a więc połowę parametru hiperboli; a że , jak przy elipsie:

p — N cos v,

gdzie v oznacza kąt, jaki normalna w punkcie P hiperboli tworzy z promieniem wodzącym tego punktu, z ogniska hiperboli wychodzącym, przeto otrzymujemy wzór:

(17)

^ COS²V

dozwalający w prosty sposób wykreślić promień koła ściśle stycznego w danym punkcie P hiperboli.

W tym celu wykreślamy w punkcie danym P normalną PQ i promień wodzący PF, prostopadła QR do promienia PQ, przecina promień wodzący PF w punkcie i?, skąd wykreślona prostopadła do promienia PR przecina normalną w punkcie S₎ który jest środkiem koła ściśle stycznego w punkcie P hiperboli, fig. 681.

Dla wierzchołków A i A' hiperboli, otrzymujemy promień koła ściśle stycznego wprost z wzoru (15), kładąc :

Fig. 681.

w postaci:

p»=±--

16. Ewoluta hiperboli. Miejsce geometryczne środków: (';, t\) kół ściśle stycznych do hiperboli: b²x²—a²yl = a²b², określone jest wzorami:

a² + b²

a⁴

X³, 7) =

a² b²

&⁴

z których dostajemy :

X³

bri

?!

a³' a² + &²    ^4’

a²-\-b² B ’

gdzie:

A,

A=a2 + W=sc* B a a

Wobec tego mamy :

a²-\-b² c²

b²

*₌('lV/s ^_ ₌ _fAV/3

a M' ’    &

a że :

Fig. 682.

x²

a² &*    ’

przeto otrzymujemy równanie: jako równanie ewoluty hiperboli w spółrzędnych Ç, 7] jej punktów.

Krzywa ta ma dwa wierzchołki :

<7(5 = 4, *) = 0) i C'(Ç=-4, r) = 0): występujące , jako punkta zwrotu i kształt, jak na fig. 682.

Równaniu ewoluty hiperboli możemy nadać kształt: (o²|²—b²r\²—c⁴)³— 27a²ó²c⁴£²7]²;= 0. co wynika w ten sposób, że równanie ewoluty piszemy w postaci: (a£)^³ — i wykonywamy odpowiednie przeróbki w celu usunięcia znaków pierwiastkowych.

Czynimy to w ten sposób , że podnosimy całe równanie do trzeciej potęgi, a otrzymamy kolejno równania :

Va

(a*)*¹*—3(a*)\bri)il³+3(a$)\b^ - (ir])'k = A ,

(a²|²—b²rj²)—3(a|f)^³(il)^³—=c⁴, (a²£²-óV-c⁴) -3(atfXbrtftc¹* =0,

(a* £²—&²7j³—c⁴)=3 (a|)*/3(i ij)*/» ck.

Ostatnie równanie podnosimy znów do trzeciej potęgi, a otrzymujemy: (a²1²—6² 7)²—c⁴)³—27 a² ó² c⁴1²7]² = 0.

(19)

17. Ewoluta hiperboli równobocznej: xy = k². Dla tej hiperboli, odniesionej do jej asymptot prostokątnych , mamy :

k² dy    k²    d²y    2 k²

^ x ’ dx    x² ’ (Za:²

a:³ ’

przeto na mocy wzorów :

,=x_(Lïp£tn = y+±±vl

określających spółrzędne środka krzywizny w punkcie (æ, y) krzywej: y=f(x), otrzymujemj^ dotyczące wzory dla hyperboli równobocznej : xy — k², w postaci :

ifc⁴ + 3«/⁴

fc⁴-f 3 cc⁴

2x²

2a;³

skąd, ze względu na to, że: ki = x²y², otrzymujemy:

y²-\- 3x²

j ri

2a:

x²-{- 3y²

2?/

a więc :

(y + g)³

2A:²

5-»i

(y—x)2 2k²    ’

zatem :

a⁷’

i/’

(ś-V;l=

V^2F²’

Wobec tego, dostajemy równania :

(5+ 11)

y—x

V^2fc²'

Va

(5 + 11) -(5-11) «

2a?

^2k²

które, przez siebie pomnożone, dają równanie:

\^2fc²

(5 + D)*,*-(5-ii)*/ł=(4Jfc),/»

jako równanie ewoluty hiperboli równobocznej: xy—k².

(20)

Fig. 683.

Krzywa ma wierzchołki A (Ç==7j== 2k) , 4'(5 = »1 = — 2fc), jako punkta zwrotu i kształt,

jak na fig. 683.

Ćwiczenia LVII.

1)    W którym punkcie hiperboli b²x² — a²y²=a²b² styczna tworzy z osią x-ów dany kąta.

2)    Wyprowadzić równanie stycznej do hiperboli: 16a:²—9?/²= 144, a równoległej do prostej : 4x—y—3 = 0.

3)    Wyprowadzić równanie normalnej w punkcie P(13, y^> 0) hiperboli:

64x² — 25;/² = 1600.

4) Wyznaczyć t. z. linie pomocnicze w danym punkcie P(xiyl) hiperboli:

b²x² — a²y ² = a² Z>²,

i wykazać , że długość : a) stycznej :

T=    c²x²^ — a⁴ = j-^\Zr{r.2

bxx    bxi

b) normalnej :

AjV/— a⁴ =    r\ r2 ?

cj podstycznej :

r,_ «Vi

cc², — a²

d) podnormalnej :

N‘

ó² xt a²

5) Wyznaczyć długości 2T, 2V, 2’', W, w danym punkcie P(aj1} yt), hiperboli równobocznej : x²—y²=a².

G) W którym punkcie hiperboli: b²x²—a²y² — a²b², jest podstyczna 2¹' równa pod-normalnej N'.

7)    W którym punkcie, hiperboli : b²x² — a²y²—a²b² jest styczna T dwa razy tak wielka, jak normalna N.

8)    Wykazać, że kąt a, zawarty między styczną w punkcie P(.r,y,) hiperboli: ó².x² — a²y²=a²b², a promieniem wodzącym tego punktu, wyprowadzonym z którego-

b²

c!h

kolwiek ogniska t\, lub Fit hiperboli, wyraża się wzorem: tanga

9)    Pod jakim kątem 5 przecina się hiperbola x²—y² — a² z kołem: x²Ą-y²== 9a².

a² b²

10) Pod jakim warunkiem prosta: y—mx-\-n jest styczną do hiperboli: xy——^—

11) Wykazać, że biegun prostej: Ax-\-By-\-C=0 względem hiperboli b²x²—a²y²—a²b²

Aa²

Bb²

ma spółrzędne : x

12)    Wykazać, że styczne do koła wierzchołkowego: x²-\-y²=a² hiperboli:

b²x² — a²y²— a² b²,

mają względem hiperboli bieguny na elipsie: bi x² + a⁴y² — a² bi. Podać odpowiednie twierdzenie dla elipsy.

13)    Wykazać, że miejscem geometrycznem biegunów prostych, stycznych do koła: x²-\- y² = a²ó², względem hiperboli: b²x²—a²y²=a²b², jest elipsa:

c² y²

C²X²

a⁴

Z>⁴

1.

Podać odpowiednie twierdzenie dla elipsy.

14)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB, dotykaną przez koło wpisane w stałym punkcie P.

15)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB, której przedłużenie byłoby dotykanem przez odpowiednie koło za wpisane w stałym punkcie P.

16)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB i stały stosunek iloczynu przyległych boków do kwadratu dwój siecznej kąta, między nimi zawartego.

17)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB i stały stosunek iloczynu przyległych boków do kwadratu dwójsiecznej dopełnienia kąta , między temi bokami zawartego.

18)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB i wiadomą sumę ośrodkowych obu przyległych boków, równą s.

19)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę AB i wiadomą różnicę ośrodkowych obu przjdegłych boków, równą d.

20)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę i wiadomy stosunek wysokości do promienia koła wpisanego, równy m.

21)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę, którą wj^sokość dzieliłaby na dwa odcinki, których iloczyn pozostawałby w danym stosunku do kwadratu wysokości.

22)    Znaleźć geometryczne miejsce wierzchołków trójkątów, mających wspólną podstawę, którą wysokość dzieliłaby na dwa odcinki, których suma kwadratów pozostawałaby w danym stosunku do kwadratu wysokości.

23)    Przez punkt P poprowadźmy sieczne do krzywej rzędu drugiego , które przej-

mują na niej cięciwy Z?,, A₂B₂, A₃B3 punkt Q, dowieść, że pęki promieni (QA₂, QA₂, QA₃,...), (QBt, QB₂, QB₃,...) tworzą inwo-lucyą; znaleźć promienie podwójne tejże inwolucyi.

obierzmy na obwodzie tejże krzywej dowolny

24)    Niech punkt Q leży na krzywej rzędu drugiego, a zarazem jest wierzchołkiem wspólnym dwóch pęków promieni w inwolucyi, dowieść, że jeżeli odpowiadające sobie promienie QRi, QSi przecinają krzywą w punktach Ai, Bi, to cięciwa Ai Bi, przechodzi przez stały punkt. Znaleźć ten stały punkt.

25)    Jeżeli cięciwa AB krzywej rzędu drugiego jest z punktu P, leżącego na obwodzie tejże krzywej stale widzianą pod kątem prostym , to ona przechodzi przez stały punkt P. (Twierdzenie Frégiera). Dowieść, że ten punkt R znajduje się na normalnej punktu P, dowieść zarazem, że jeżeli normalna ta przecina osie krzywej rzędu drugiego w punktach A‘ i B⁴, to punkt R jest harmonicznie sprzężonym z punktem P, względem pary punktów A‘,B‘.

26)    Przez dany punkt P elipsy, możemy poprowadzić trzy koła C\, C₂, C₃ ściśle styczne do elipsy w punktach odpowiednich Pn P₂, P₃. Wyznaczyć je.

27)    Dany jest trójkąt ABC i krzywa rzędu drugiego. Wykreślmy biegunowe wierzchołków A, B, C, względem tej krzywej, natenczas otrzymamy nowy trójkąt A', B‘, C, (bok B'C‘ jest biegunową wierzchołka 4); dowieść, że proste AA¹, BB‘, CC⁴ przecinają się w jednym punkcie.

28)    Dowieść, że w czworokącie ABCD opisanym na krzywej rzędu drugiego przekątne AC i BD pi-zecinają się w tym samym punkcie, co cięciwy, łączące przeciwległe punkta styczności.

29)    Z punktu M(ć, 7]) poprowadzono cztery normalne do elipsy, ó²;c²-J- a²y²—alb'¹ — 0; pisząc równanie którejkolwiek z nich w postaci: (y—rl) = nu (x—Ç), *=1, 2, 3, 4, dowieść że współczynniki mlt m₂, m₃, w₄ są pierwiastkami równania:

i²ij² w⁴—2ó²£rJ m³ -f- (a²!;² -f- &²rj² —c⁴) w²—2a²^rjw -j- a² 7j² =0.

Znaleźć odpowiednie wzory dla hiperboli.

30)    Środek krzywej rzędu drugiego, wpisanej w czworobok ABCD, znajduje się na prostej, łączącej środki przekątnych tego czworoboku.

31)    Z punktu    możemy poprowadzić do elipsy cztery normalne MAX, MA₂, MA₃,

MAk, oznaczmy przez    x₃, xk oraz przez yx, y₂, y₃, y₄, współrzędne punktów podstawowych

Au A₂, A₃ , J₄. Dowieść, że czynią one zadość warunkom:

a²?

X1 "i” x2 "4"x3 8“ Xi — 2 -^2~ ) XXX₂X₃X^ -

y\y%y-iV^ —

0²7]

V\ + Vi + 1/3 + ¹Ji—“2

Podać odpowiednie twierdzenie dla hiperboli.

32) Dowieść, że współrzędne (xx, yt), (x₂, y₂), (x₃,y₃), (aj₄,y₄) punktów podstawowych: Au A₂, A₃, Ak, czterech normalnych: MAt, MA₂, MA₃,'MAi, które z dowolnie obranego punktu M możemy poprowadzić do elipsy, niezależnie od położenia tego punktu , czynią zadość warunkom :

xlx₂x₃xi — — a²

2/12/2 y 3 2/4

^1 + xi + x₃ + a?₄y ₌ _ &2 ^yi + ya + y% +y^\

Podać odpowiednie twierdzenie dla hiperboli.

33) Dowieść, że spółrzędne punktów, wymienionych w zag. (31) i (32) czynią zadość

warunkom :

Xj X-2 X₃ Xi

= -a²(

'^i⁻¹ + xi ^ + x3~X

+ a?₄~¹\~²

v\ ?/2 y3 y i

y\⁻¹ + y i ~¹ 4- «/3_1 -t- ?/4~¹

)•

Podać odpowiednie twierdzenie dla hiperboli.

Dowieść, że podobne twierdzenie dotyczy i hiperboli.

41) W punkcie M elipsy popro wadzono styczną, która oś wielką przetnie w punkcie At, oś małą w punkcie Bt, oraz normalną, która oś wielką przetnie w punkcie An, oś małą w punkcie Bn. Środek krzywizny O (leżąc na normalnej) czyni zadość proporcyi :

MAt

34) Dowieść, że przez punkta podstawowe: At, A₂, ^1₃, A₄, czterech normalnych, które z danego punktu 4/(E, r₍) możemy poprowadzić do elipsy, przechodzą dwie parabole:

c¹ (bx -f- ayŸ = a²?>²c²—2ab³ icrj -|— 2a³ by\ . c²(bx — aiJŸ — a²b²c² -j- 2ab³ xr\ — 2a³by Ç.

35)    Z punktu JŁT(Ę, rj), poprowadzono do elipsy, albo do hiperboli, styczne 4/7\, MT₂ ; obliczyć ich iloczyn.

36)    Z punktu 4/(E, *]) poprowadzono do elipsy, albo do hiperboli, normalne MA^, MA₂, MA₃, MA₄; obliczyć ich iloczyn.

37)    Znaleźć geometryczne miejsce takiego punktu M, żeby styczne 4/7'j, MT2 normalne MAU MA₂, MA₃₎ MA₄, jakie możemy do elipsy danej poprowadzić, czyniły dość warunkowi :

oraz

za-

MAi. MA₂. MA3. MAj

MTi . 4/72

= VK

Podać to samo dla hiperboli.

38)    Znaleźć geometryczne miejsce takiego punktu M, żeby normalne MĄt, MA₂, MA₃] MA^, poprowadzone zeń do danej elipsy, czyniły harmoniczny układ czterech promieni.

Podać to samo dla hiperboli.

39)    Z punktu M poprowadzono do elipsy cztery normalne MAl: MA₂, 4L4₃, MAi: przecinają one oś wielką w punktach: Pi} P₂, P₃, Pi1 oś małą, zaś w punktach Q\, <?₂> Q?,i Qi% Dowieść, że. niezależnie od położenia punktu M, mamy wzory:

o «² + Z>2 “Ł b²    ’

_₂ «² + &²

4/J₂ MA₃ ! MA4 -diPi -d₂P₂    P₃

4/ d₂ __Ą

Qi A₃ Q₃

M Aj

Ai Q\

Podać to samo dla hiperboli.

40) Miejscem punktów takich , że styczne w nich , poprowadzone do elipsy, czynią wiadomy kąt a, jest krzywa rzędu czwartego, podana w art. 5. str. 785. Dowieść, że punkta tej krzywej mają jeszcze jedną własność wspólną: poprowadźmy z dowolnego punktu M tej krzywej cztery normalne do elipsy (vide art. 5. str. 787.)4Ł4n MA₂, MA₃, MA₄; oznaczmy przez JVj, iV₂, N₃, długości tych normalnych, a przez pj, p₂, p₃, p₄ promienie krzywizny elipsy w punktach podstawowych A₂, d.₃, Ai tych normalnych; dowieść, że stosunek iloczynu tj'ch czterech normalnych Nu N₂, N₃, JV4, do iloczynu tych czterech promieni krzywizny jest stałym :

a²

Nt N₂ N₃ JV4

c² sin² a

P1 P2 P3 Pi

4a²6²

C An

C Bn MBt '

Podać to samo dla hiperboli.

42)    Wykreślmy w punkcie danym M elipsy szereg kół stycznych w nim do elipsy. Każde z tych kół, dotykając elipsy w punkcie M, przecina ją w dwóch jeszcze punktach. Dowieść, że wszystkie tę cięciwy będą równoległe. Podać to samo dla hiperboli.

43)    Przez dany punkt P hiperboli możemy poprowadzić trzy koła ściśle styczne do niej w punktach odpowiednich Pit P2; P₃. Wyznaczyć je i dowieść, że jedno będzie rzeczy-wistem, dwa pozostałe urojone sprzężone.

44)    Dane są dwie proste, nachylone do siebie pod kątem a; znaleźć miejsce geometryczne, punktu, z którego wyprowadzone proste, równoległe do danych, zawierają z niemi równoległobok o stałej powierzchni a².

45)    Przez punkt P(a?1} yt) poprowadzono pęk siecznych do hiperboli: b-x²— aly'¹— aV>-: wyznaczyć krzywą , na której mieszczą się środki dotyczących cięciw.

— 833 —

46)    Znaleźć miejsce geometryczne środków kół, wpisanych w trójkąty o stałym, co do długości, boku BC—a i stałym kącie ß, jeżeli ich podstawy AB, wychodząc ze stałego wierzchołka A, spoczywają na osi cc-ów.

47)    Nad główną osią hiperboli: b²x²~a²y²—2a‘lbx, jako nad podstawą wykreślono trójkąt , którego wierzchołek porusza się po hiperboli ; po jakiej krzywej porusza się równocześnie środek ciężkości tego trójkąta ?

Rozwiązania LVII. 1) W dwu punktach : x—+

a² tg a

ô²

\/ a² tang² a— &²’

y=±

\/ a²tang²a—6²

2) y = 4x-\-S V/2. 3) 15z + 26y = 694-2.'" 5) T= \/2V-a², JV= V^²! - a², T‘

y\

N' = xt. 6) P

a²

xt ’

V/a² — 6²

6²    \    a²    2Z>²    ₇_

⁷⁾ *=±vv=4h ï = ±\7Icp-9) ta“gi=⁴'/B

2£_^=83°37'14-3". 10) (a² -j- Z»²) m -f- ri¹ — 0. 14) Niech 0 będzie środkiem AB, odłóżmy odcinek OQ=OP. Miejscem szukanem., będzie hyperbola, mająca ogniska A i B, a wierzchołki Q i P. 15) Jak w 14). 16) Miejscem szukanem będzie elipsa , mająca wielką oś PQ,

/ w

V w ...

ogniska w A i B, a wielką oś równą: AB.

——, m jest owym stosunkiem. 17) Hyper -

bola, mająca ogniska w A i B, a oś główną równą: AB

18) Niech 0 będzie środkiem odcinka AB, odetnijmy 0BX = 30B, OAj = 3 OA ; elipsa, mająca ogniska At, B1} a oś wielką, równą 2s. 19) Jak w 18); hyperbola, mająca ogniska Ai: Bu a oś główną równą 2d.

20) Elipsa, mająca ogniska w A i B, oś wielką, równą -

.AB. 21) Oznaczmy pod-

stawę przez 2c, stosunek osi m ; elipsa: x² -j~ my^—c². 22) jak w 21); hyperbola 2æ²—my²-\--j- 2c² = 0. 23) Poprowadźmy z punktu P dwie styczne do krzywej rzędu drugiego : PPt i PP₂, będą one podwójnemi promieniami inwolucyi ; jeżeli punkt P leży zewnątrz krzywej to inwolucya będzie hyperboliczną ; jeżeli punkt P leży wewnątrz krzywej, to inwolucya będzie eliptyczną; jeżeli na obwodzie, to inwolucya będzie paraboliczną. 24) Niech QQi, QQï będą promieniami podwójnemi obu pęków, niechaj one przecinają krzywą w punktach Pt i P₂, szukany punkt P będzie biegunem prostej PjP₂. 26) Oznaczmy spółrzędne punktu

dla punktu P₂,

= b sin

P przez a cos o, èsin®, otrzymamy dla punktu Pj : aq^acos-g-,

— a sin (-j|- -f-30°) , y₂ = b cos ^-|--j-30⁰^) ; dla punktu P₃: x₃ =

(30°—35) Patrz Nouvelles Annales de Mathématiques. Serya III. Tom 10. 1891.

r. str. 2&(*)—27(*)/(Exercices), (Nr. 1587). 36) Nouvelles Annales... Serya III. Tom 9. 1890. str. 198. 37) Nouvelles Annales... Serya III. Tom 18. 1899. str. 435. Krzywa czwartego rzędu: a²b\x²-\- y²)²= c\b²x--\- a²y²). 38) Nouvelles Annales... Serya III. Tom 11. 1892 str. 20—20*. 40) Nouvelles Annales de Mathématiques. Serya III. Tom 7. 1888. str. 348—350. 44) Hiperbola, której asymptotami są dane proste. 45) Hiperbola: b²x²—aly²—b²x^x-\-ahy,y=T) i prosta: y=0. 46) Hiperbola równoboczna : xy — a sin y₂ ß (cc cos V₂ß—ysin’^ß). 47) Po hiperboli : b²x%—a²y² = 2 db²x— %a²è².

a-₂ =

— a sin

= b cos

Literatura. Joachims thal. Elemente der analytischen Geometrie der Ebene. Berlin 1863. Puckie. An elementary treatise on conic sections and algebric geometry. London 1876. Salmon G. Traité de geometrie analytique a deux dimensions (Sections coniques), traduit de l’anglais par M. Resal et Vaucheret, publiée d’après la 6-me édition anglais. Paris 1884.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Twierdzenia , dotyczące stycznych do hiperboli.

2.    Twierdzenia , dotyczące normalnych do hiperboli.

3.    Twierdzenia , dotyczące ognisk i kierownic hiperboli.

53

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki I.

Wykład LiVlII.

Szczególne własności paraboli.

1.    Ogólne równanie paraboli. Ogólne równanie drugiego stopnia, kształtu:

1 Æ² + «2 2# H 2«! 2 Æy + 2«! 3 Æ-f *2o₂ 3 «/+ «3 3 == 0 ,

przedstawia parabolę, skoro, na mocy art. 18. b) str. 716., wyróżnik:

4 = an »22 a 21 2 ” 0 j

czyli, skoro pierwsze trzy wyrazy równania (1) tworzą zupełny kwadrat dwumianu, a więc, skoro, równanie (1) ma kształt:

(ax+by)² + 2^ g x -f 2«2 3 y 4- az 3 = 0.

2.    Transformacye ogólnego równania paraboli. Przyjmijmy prostą: ux-\-by=0, jako oś x-ów, a prostą, do niej prostopadłą: bx—ay=0, jako oś

y-6w, natenczas, oznaczając przez (x‘, y‘) spółrzędne punktu P, odniesione do nowego układu, otrzymamy wzory trans-formacyi :

(1)

(2)

>k

, bx—ay x‘=----- -, ?/'

Va²-f-&²

ax+by

V/a²+ó²

(a)

a stąd :

bx‘ + ay‘

y=

—ax' + by¹

Va* + b²

(&)

Fig. 684.

yn-1-2

^ai 3    aa2 3

{a²-\-b²A

Na mocy podstawienia (b), sprowadza się równanie (2) do postaci :

(Xü^ 3 -j- J«2

{a²Ą-b²)^

Ły' +

a33 _n

a² + b²

(3)

czyli, po opuszczeniu kresek, jako zbytecznych, do postaci:

y² + 2z4₁₃a: + 2423«/ + ^33=⁰,

baj 3 aa2 3    a __ ^13 4~ b(%2 3    .

(a² + ó²)% ’    ²³    (a² + ó²)³/* ’    ³³

gdzie :

q33

(8ł)

a² + 6²‘

Przenosząc teraz początek układu do punktu (£, y), a więc, zastępując w równaniu (3') æ przez x-\-t,, y przez y-fły, otrzymamy równanie przerobione w postaci :

y² + 2y[₁3^ + 2(y + /l₂3)y + (7?² + 2^₁3| + 2^₂3y+^33) = 0.

(4)

835

W równaniu tem nie zmienił się spółczynnik przy x, więc nie może on być sprowadzony do zera. Możemy natomiast £ i v\ tak obrać, aby spółczynnik przy r\ i wyraz wolny stały się zerami, co się stanie, skoro będzie :

•4 ^3    -^-33

2^,3

"W tjrm przypadku, otrzymuje równanie (4) kształt najprostszy:

ÿ² + 24₁₃a: = 0, y¹ = 2px,

rj— A₂ 3.

(c)

czyli : gdzie :

(5)

p=-a₁₃

CLCt2 g " g

(a² + ó²)³/² '

3. Do uproszczonej postaci równania paraboli, możemy dojść także następującą drogą: Przyjmijmy dwie proste o równaniach :

cix "j- by — 0 , 2 ûy ₃ x —j- <2ct₂₃y -j— d₃₃⁼⁼⁼ 0,

natenczas wiemy, że odległości dowolnego punktu P{x, y) płaszczyzny od tych prostych wyrażają się wzoremi :

jest zatem:

ax 4~ by

Y/a² -j- b² 5

_ 2aiZx + 2gą₃ y-f a₃₃

²V/ö²13+ «²23

"b by \/a¹ -f- b². o,, 2a₁₃a:    2a₂₃y -j- a₃₃ — 2 \/a²₁₃ -f- a²₂3    ,

skąd, na mocy (2), otrzymujemy wzór:

ax

(«² + h*}₅2t + 2V/«²₁₃ + a²₂₃. S₂ -0,

czyli :

S²!

2V/a213“b a>i23

a² + Ô²

.ô₂, a więc:

u.“

2 V/«    3 -j- « ²23

a² -J- ó²

Równanie (2) wypowiada więc własność paraboli, że kwadrat odległości każdego z jej punktów od prostej ax-\-by = 0, pozostaje w stałym stosunku do odległości tego punktu od prostej: 2a₁₃;z-j-2a₂₃y -f- a₃₃ = 0.

Parabola przechodzi więc przez punkt punkt przecięcia się prostych :

(tx —j- by — 0 i 2a, ₃ x —j- 2æ₂₃ 2/ -j- a₃₃ ⁼⁼⁼ 0,

gdzie stosunek 2p —

jest niezależny od punktu P(x, y).

z których pierwsza jest średnicą paraboli, a druga prostą , styczną w tym punkcie. Przyjmując te proste, jako osie układu, pierwszą, jako oś x-ów, drugą, jako oś y-ów, otrzymamy, układ, w ogólności ukośnokątny, (fig. 685.) którego kąt osiowy y, określony będzie wzorem :

C,

tang y

aa₂ 3 — ba13 ««13 + b an

Fig. 685.

Równanie paraboli, odniesione do tego układu, otrzymuje, ze względu na wzory: o, = y sin y , \ = x sin y ,

gdzie x, y są spółrzędnemi punktu P, odniesionego do nowego układu ; kształt :

y²=2pJx.

4. Równaniu (2) możemy nadać także kształt następujący :

(ctx 4- by+ a)²-|- 2 (ai3—a a.) x + 2 (a₂₃— b a.)y -f- (a₃₃ — a²) = 0 , gdzie a jest dowolną liczbą stałą.

W równaniu tem przedstawiają równania :

ax -f by + «=0, 2(a₁₃— aa) x + 2(a₂₃—b «) y -f (a₃₃ — a²) = 0, również dwie proste, posiadające względem paraboli takie położenie , że kwadrat odległości każdego z jej punktów od pierwszej prostej pozostaje w stałym stosunku do odległości tego punktu od drugiej prostej.

(6)

(7)

Proste te będą do siebie pi’ostopadłe, skoro się spełni relacya :

a(a₁₃ — a a) -{- b(a₂ 3— ba.) — 0 ,

a więc , skoro będzie :

a ®13 4~b «23

a² -f- b²

W paraboli (2) istnieje zatem jedna średnica, która jest prostopadłą do stycznej w jej punkcie przecięcia się z parabolą. Średnicę tę nazywamy osią paraboli, a jej punkt przecięcia się z parabolą wierzchołkiem paraboli.

Przyjmując proste (7), z warunkiem (8), jako osie układu, otrzymamy, jak powyżej, równanie paraboli, w postaci :

y²= 2p x.

5. Kształt paraboli. Z równania: y²—<żpx poznajemy wprost kształt paraboli. Krzywa jest widocznie symetryczną względem osi x-ów i rozciąga się tylko po dodatniej stronie osi x-ów, (fig. 686.), skoro parametr 2p paraboli jest liczbą dodatnią, albo tylko nad ujemną stroną osi #-ów, (fig. 687.) gdy 2p jest liczbą ujemną.

•J

%L

tu

oi

,p’ æ

y’

y’

y*

Fig. 686.

Fig. 687.

Fig. 688.

-i 0

i»¹

6.    Punktu na paraboli, a punkta zewnątrz paraboli. Dla jakiegokolwiek punktu : P(x, y) paraboli mamy: y²—2px — 0. Przyjmijmy, że punkt ten porusza się równolegle do osi æ-ôw, wówczas y² nie zmieni się, wyraz y‘i—2px, staje się więc ujemnym, lub dodatnim, stosownie do tego, czy punkt P oddala się od osi y-ów, czy też zbliża się do niej, (fig. 689).

7.    Konstrukcya paraboli: y²=%px. Po

(xclz

szczególne pnnkta paraboli otrzymamy z rów- ^ nania: «/==    .x , wyznaczając dla każdej

y-Zpx < o

odciętej x rzędną y, jako średnią geometrycznie proporcyonalną między parametrem 2p, a odciętą x tego punktu, fig. 688.

Fig. 689.

Możemy też rzędną y każdego punktu paraboli uważać, jako średnią geometrycznie proporcyonalną między połową stałego parametru: p, a podwójną wartością odciętej : 2x dotyczącego punktu. W tym celu, odcinamy na osi a>ów, po obu stronach wierzchołka 0 paraboli, odciętą x = 0P‘ — OT, zaś P‘N = p i kreślimy nad średnicą : TN — 2x-\- p, koło, wówczas prostopadła P‘P przetnie się z kołem w punkcie P paraboli (fig. 690.)

Środek tego koła wpada w punkt stały F, niezależny od wielkości odciętej a:, jest bowiem TF—FN =x-\-{p a że TO = x, więc OF = ^ p.

Odległość tego stałego punktu od wierzchołka O paraboli jest więc równa ^ p. Możemy więc, przy powyższej konstrukcyi, uwolnić się od ciągłego odcinania wielkości PN— p, należy tylko odciąć raz OF = p , odcinając następnie OT — 0P‘ = «, wykreślić

s=>

•-J1

=~

CD

»à.

»Ca

Fig. 690.

Fig. 691.

Fig. 692.

koło ze środka F promieniem FJ\ a koło to przetnie prostą prostopadłą do osi a>ów, w P4 wykreśloną , w odpowiednim punkcie P paraboli (fig. 691.).

Tym sposobem, otrzymujemy dowolną ilość punktów paraboli, za pomocą przekroju pęku kół spółśrodkowych z szeregiem prostych, prostopadłych do osi x-ów.

Środek F tych kół jest ogniskiem paraboli. Odetnijmy po obu stronach wierzchołka O paraboli stały odcinek O F — OE — x/₂p i wykreślmy w punkcie E prostą DDA prostopadłą do osi «-ów, natenczas przekonamy się, że każdy punkt paraboli: y²—2px, jest równo-oddalony od punktu F, zwanego ogniskiem i od prostej DDX zwanej kierownicą paraboli. Dla dowolnego punktu P paraboli : y²— 2px, mamy bowiem jego odległość od ogniska, określoną wzorami:

PF=\/y²-j- («— V₂p)‘l = \/ y² -j- «²— px -j- % p² — \/2px x² — px -{- V₄ p² =

— Vx²-\-px -f y₄p²=x -f y₂ p,

odległość od kierownicy DDt zaś wzorem: PQ — x-\- l/₂p. Jest więc FP — PQ, (fig. 692.).

8. Parabolę określa się też powszechnie, jako krzywą, której każdy punkt jest równooddalony od stałego punktu i od stałej prostej.

Na mocy tego określenia , otrzymamy równanie paraboli w sposób następujący. Przyjmując prostą , przechodzącą przez stały punkt F, prostopadle do stałej prostej DZ>j za oś «-ów, a prostą, wykreśloną w środku 0 tej odległości prostopadłej FE — p, punktu F od prostej DDU za oś y-ów i, oznaczając przez «, y spółrzędne dowolnego punktu P szukanej krzywej, otrzymamy, na mocy warunku PF — PQ, równanie :

vV + («— %p)² =«+y2P

z którego otrzymujemy :

p-

y²-{-«² — px -\- — = «² -j- px -f-

zatem, ostatecznie, równanie szukane, w postaci :

y²=2px.

9. Konstrukcja paraboli za pomocą pęku prostych. Z równania: y²=2px wynika, że każdy punkt paraboli możemy otrzymać, jako przekrój dwu prostych o równaniach:

y = Xx i y=

T’

gdzie X jest dowolnym parametrem zmiennym. Są to dwie proste, z których jedna przechodzi przez początek układu, nachylona pod kątem a do osi «-ów, przyczem tanga —X, druga zaś jest równoległą do osi «-ów w odstępie:

X’

CC

j- — 2p . CO tg a.

I stąd wypływa następująca lonstrukcya paraboli (fig. 698.).

y’

- 838 —

W odstępie OA — 2p od wierzchołka wykreślamy prostą AB, prostopadłą do osi x-ów. Poprowadziwszy przez punkt 0 prostą OP w dowolnym kierunku a, oraz prostą OQ prostopadłą do OP, przyczem będzie AQ = 2p. cotga, kreślimy następnie prostą QP równolegle do osi æ, a w punkcie przecięcia prostych OP i QP otrzymamy punkt P paraboli.

10. Parabola i linia prosta. Niech będzie daną parabola: y²--=2px wyznaczenie punktów, które znajdują się równo-

i prosta y—mx\-n\ na cześnie na tej linii prostej i na paraboli, otrzymujemy z powyższych dwu równań o dwu niewiadomych x, y, po wyrugowaniu x, jedno równanie

w postaci :

y‘¹=

2p (y—n)

wy²—2py Ą-2pn=0

czyli :

które daje dwa pierwiastki kształtu:

₉-±+ \j<

m — Y w

2pn

(9)

czyli :

y=

p , \/p²—2 pmn

Pierwiastki te są oba rzeczywiste i różne, oba rzeczywiste i równe, lub oba urojone sprzężone, stosownie do tego, czy wyróżnik równania (9):

A=p²—2pmn = 2p{\ p—mn),

ma wartość dodatnią , równą zeru, lub też ujemną. Dana prosta ma, w pierwszym przypadku z parabolą dwa wspólne punkta rzeczywiste i różne i nazywa się sieczną; w drugim, dwa punkta, w jeden wpadające, i nazywa się styczną; w trzecim, dwa punkta urojone sprzężone i nazywa się prostą, mijającą parabolę.

11. Znaczenie geometryczne różnicy: d= 'hp-mn. Wykreślmy z ogniska F paraboli: y² = 2px prostą, prostopadłą do danej prostej: y — mxĄ-n, a więc prostą o równaniu:

*/ = —

natenczas prosta ta przetnie daną w punkcie D , który będzie rzutem ogniska F na daną prosta. Na wyznaczenie odciętej x tego punktu , otrzymujemy z obu powyższych równań

mn

wzór :

1-m¹    ’

który dowodzi, że znak odciętej x, zgadza się ze znakiem różnicy: d — '^p—mn.

Niech będzie OB — n, odcinkiem, jaki prosta: y = mx-\-n wyznacza na osi y-ów, a a kątem, jaki ona tworzy z osią a>ów, niech będzie dalej D rzutem ogniska F na taż prostą, wówczas, poprowadziwszy BC\\DF, (fig. 694.), mamy : 0C= OB tang a = mn, a więc :

CF= 01 — OC = l/%p—mn.

'jf

jr ■

JA.

IF

U,

ÜK F C

y’

y'

y'

Fig. 694.

Fig. 695.

Fig. 696.

Różnica: d=l/ip—mn, przedstawia więc odległość ogniska F od punktu O, w którym prosta, wykreślona w punkcie B, prostopadle do danej prostej, przecina oś #-ów.

Znak odległości CF zgadza się ze znakiem jej rzutu BD na daną prostą MN, a jest zerem, gdy rzut ogniska F na daną prostą wypadnie na osi y-ów, która jest, w tym przypadku , styczną w wierzchołku paraboli (styczną wierzchołkową).

Dana prosta jest więc styczną do paraboli, gdy rzut ogniska na tę prostą wypada na stycznej wierzchołkowej (fig. 695.), zaś sieczną (fig. 694.), lub wymijającą (fig. 696.), stosownie do tego , czy rzut ogniska na daną prostą wypada po tej stronie stycznej wierzchołkowej, po której leży parabola, czy też po stronie przeciwnej.

Z tego spostrzeżenia wynikają wprost następujące twierdzenia :

1)    Punkta, w których prostopadłe do stycznych paraboli, z ogniska wykreślone, przecinają te styczne, leżą wszystkie na stycznej wierzchołkowej.

2)    Jeżeli w punkcie, w którym styczna do paraboli przecina styczną wierzchołkową, wykreślimy prostopadłą do tejże stycznej, to każda z tych prostopadłych przechodzi przez ognisko paraboli.

12. Cięciwy paraboli i ich środki. Niech będą: Pi(xi, y A i P₂(#₂, y₂), owemi dwoma punktami, w których prosta: y=mx\-n przecina parabolę: y²=2px, natenczas odcinek P^P₂ nazywamy cięciwą paraboli.

Na mocy równania: my²—2py + 2wm=0, wyznaczającego spółrzędne (y1?y₂) tych punktów, otrzymujemy spółrzędne (£, r[) środka P (fig. 697.) cięciwy PiP₂,

y i -i- y 2

w postaci :

UYf

r\—n

Ulrr

a więc :

p — mn

•s?-'n

Przyjąwszy stały kierunek cięciw, określony spółczynnikiem m=tang i, różnym od zera, otrzymamy, niezależnie od w, środek cięciwy, określony V

równaniem : r\= —, co dowodzi, że środki równoległych cięciw paraboli:

771

y²=2px, wyprowadzonych w kierunku: m—tang i, mieszczą się na prostej o równaniu:

(10)

my-p^O, czyli: ?/=£,

iłt

a zatem, na prostej AJX', równoległej do osi #-ów, jako osi paraboli.

Wszystkie średnice paraboli, jako miejsca środków jej cięciw równoległych, są więc równoległe do osi paraboli ; odległość rj średnicy od osi zależy od kie-

runku tn cięciw i równa się —; nawzajem prosta, równoległa do osi para-boli, w odległości r\, zawiera w sobie środki cięciw paraboli, poprowadzonych

w kierunku a, określonym wzorem: tga=m——

'/

PV¹

Ji

Prosta y—rj, przecina parabolę: y²=2px w jednym tylko punkcie A‘ (fig. 697.) o spół-

7?²

y= v’

położonym w skończoności.

Prosta, poprowadzona przez ten punkt

w kierunku :

rzędnych :

m = — , otrzymuje równanie :

czyli: y=^-xĄ---,

ma więc z parabolą: y²—2px, tylko ten jeden

y—n

- hi)

Cięciwy PiP₂, sprzężone ze średnicą: y^y, są więc równoległe do tej prostej, która jest styczną do paraboli, w jej punkcie przecięcia się z daną średnicą : y=p.

13. Równanie paraboli, odniesione do układu kierunków sprzężonych, z danego punktu paraboli wychodzących. Średnica paraboli i styczna w punkcie , na tej średnicy położonym, tworzą parę kierunków sprzężonych, której szczególnym przypadkiem jest oś paraboli i styczna w jej wierzchołku. Przyjmijmy te dwie proste, jako osie układu ukośnokątnego, a mianowicie : średnicę y = y, jako oś x-ów, a styczną w jej punkcie P, jako oś y-ów, natenczas, oznaczając przez y kąt, między niemi zawarty, a przez x‘, y‘ spółrzędne punktu M{x, y), odniesione do nowego układu, (fig. 698.), otrzymujemy wzory transformacyjne:

x=ź + x'-ł-y‘ cosy, y = r\\y‘ sin y,

ri

M”

°UP’

M’

Fig. 698.

tang y=-

Wobec tego równanie: y² = 2px, zamieni się wT następujące: (ji p y‘ sin y) ²=2p (f p x‘ +y‘ cos y),

przyczem :

z którego, po opuszczeniu kresek przy x i y, jako już zbytecznych, otrzymujemy równanie:

«/²sin²y=2p^p2(pcos y—fj sin y) y -\-2p^—rj²,

p

Mając to na uwadze, że p²—2p£=0, a zarazem, że, z powodu tangy=—, jest także pcosy— ?^siny=0, otrzymujemy równanie przerobione w postaci:

P

czyli, w formie zwyczajnej: y²=2p‘x, gdzie: p'=

sin

(ii)

Otrzymane równanie zgadza się więc, co do kształtu, z równaniem wierz-chołkowem y²=2px, paraboli, odniesionem do jej osi, oraz do stycznej, z nią sprzężonej, z tą tylko różnicą, że stała p¹ otrzymuje w powyższem równaniu

p

wartość: ——-, smz y

14. Równanie prostej, łączącej dwa punkta paraboli. Niech będą : P'(P, y') i P“(x“, y“) dwoma punktami paraboli: y²=2px. Prosta, przechodząca przez takie dwa punkta, ma równanie :

y“

— X¹

(x—x‘)

które, ze względu na to, że: y"²=2p.z", y‘²’=2pxf, y“²—y,2=2p(x"— x‘), a więc:

2p

x“ — x~ y,lJryl

otrzymuje kształt:

yu — y‘

2p (x—x‘) y"+y‘

ztąd otrzymujemy równanie: {y‘-\-y“) y=2pxĄ-y‘y/l -\-y‘²—2px‘, czyli:

{y‘+y" ) y=2 px 4 y'y ",

y-y'=

czyli (y—y')(y‘‘-\-y‘)=2px — 2px‘

(12)

jako najprostszą postać równania prostej, łączącej dwa pnnkta    (x",y"),

paraboli: y²=2px.

15. Równanie stycznej w punkcie P(xy‘) paraboli: y²=2px. Z powyższego równania, które możemy uważać, jako rówanie siecznej w punktach (x‘, y‘) i (aj", y") paraboli y²=2px, otrzymujemy wprost równanie stycznej w punkcie (x‘, y‘) paraboli, kładąc w niem: y“—y', y,2 = 2px‘, otrzymujemy tedy równanie:    2y‘ .y—2pxJry/’², czyli: 2y,y=2pxJr2px/,

yy‘=P

jako równanie prostej , stycznej w punkcie P(x‘, y‘) paraboli : y²=2px.

a więc, ostatecznie , równanie :

(13)

IG. Do tego samego równania dochodzimy przy pomocy rachunku różniczkowego. Zrównania stycznej w punkcie P(æ', y⁴) krzywej f(x, y) — 0, w postaci:

àf

àf

dre

(*—4- Tr. (y—y')=⁰ ?

ày

otrzymujemy, bowiem, ze względu na to, że:

àf

f=y‘i — 2px‘, — ==—2 p

àf

’ ày

1’ównanie :

—2 p (x — x⁴)-\- 2y' (y—y') — 0 , czyli: y⁴y =px—px> -j- yn — px—px⁴ + 2px⁴ = px-\- px⁴, a więc, jak powyżej :

Styczna w punkcie P(x', y‘) paraboli: y² — 2px, wyznacza na osi rc-ów odcinek: x— — x⁴, co dowodzi, że podstyczna punktu P(x⁴, y') ma swój środek w wierzchołku paraboli. Jest bowiem: TO= OP'(fig. 699.). Ta własność stycznej daje znany prosty sposób kreślenia stycznej w dowolnym punkcie paraboli.

y‘y=p{x-\-x‘).

X’

X.

?’

Fig. 700.

Fig. 699.

17.    Uwaga. Ze względu na to, że równanie paraboli, odniesione do układu ukośno-kątnego, którego osiami są średnica i styczna, z nią sprzężona, t. j. styczna w punkcie przecięcia się tej średnicy z parabolą, zatrzymuje kształt: y'l—2p,x, poznamy z łatwością, że także równanie siecznej w punktach : P'(re', y') i P"(ay⁴⁴), tudzież równanie stycznej w punkcie P(x⁴, y⁴) paraboli: y² — 2px⁴, pozostają niezmienione, przedstawiając się w postaci: (y‘ -\-y¹⁴) y = 2p‘x -j- y⁴y", względnie: y‘y — p‘(x -J- a?').

Wobec tego jest także podstyczna T‘ punktu: P(x‘, y⁴) paraboli: y'l — 2p⁴x, równa podwójnej odciętej x⁴ tego punktu: T⁴ — 2x⁴, (fig. 700.).

Na tej podstawie możemy, wykreśliwszy styczną PT w danym punkcie P, paraboli y‘l — 2px, wyznaczyć rzędną PQ tego punktu, sprzężoną z jakąkolwiek średnicą A^x', tejże paraboli. W tym celu wyznaczamy punkt T', w którym średnica Aixl przecina styczną PT, i odcinamy At Q — T⁴A₁ ; prosta PQ będzie rzędną punktu P, odpowiadającą średnicy Axx⁴, czyli połową cięciwy, przez punkt P przechodzącej, a sprzężonej z daną średnicą Atx⁴.

18.    Styczne do paraboli, wychodzące z punktu P(£,7)). Wychodząc z dowolnego punktu P(Sj, 7)) w kierunku X, spotykamy się z punktami paraboli : ip — 2px, określonemi przez spół-

rzędne :

przyczem odległość r czyni zadość równaniu:

(tj -f r sin X)² — 2p (i -f- r cos X),

x — \-\-r cos X, y z= r\ r sin X,

84‘2

czyli:    r²sin²X-j-2r |rj sinX— p cos X} -f fi²⁻"2p? =0,

które daje dla każdego punktu P(2, rt) i kierunku X, ogólnie, dwie, różne wartości na r,

a więc wyznacza dwa punkta spotkania.

Wartości te są jednakowe, skoro punkt P(£, r₍) i kierunek X są tak dobrane, że:

(*] sinX —pcosX)² — sin²X(v)²—2p?) —0 ,

2 Ç sin² X— 2 rj sin X cos X -|- p cos² X = 0.

Jest to warunek, pod którym prosta, w kierunku X poprowadzona, dotyka paraboli. 19. Para stycznych do paraboli. Przyjmując stały punkt (i, rj) fig. 701., oznaczmy przez (x, y) spółrzędne dowolnego punktu prostej, przechodzącej przez P(?, tj) w kierunku X, a stycznej do paraboli, wówczas mamy :

cos X = , sin X

r

Podstawiwszy te wartości w warunek (14), otrzymujemy równanie:

h (y-f\) — v (*—5)]!2 — (*/—fiPOi²—2p5) = o,

z którego, po wykonaniu łatwych przekształceń, dochodzimy do równania:

[riy—p(x + É)]² — (y*—2pa,) (r,²—2p^) = 0, będącego równaniem pary stycznych, jakie z punktu P(!;, rj) do paraboli dadzą się poprowadzić. Punkta styczności tej pary prostych z parabolą, czyniąc zadość równaniu: y‘i—2px,

w—pO -H)=o,

leżą zatem na linii prostej, zwanej biegunową punktu P ze względu na daną parabolę i są rzeczywiste, jak na fig. 701. lub urojone, sprzężone, jak na fig. 702.

czyli :

y—»i

czynią zadość równaniu :

UP

(14)

(140

(15)

('S"

Fig. 701.

Fig. 702.

Biegunowa dowolnego punktu P (#', y‘~) płaszczyzny ma równanie tego samego kształtu, co styczna w punkcie (a?', y‘) paraboli.

20. Styczna do paraboli, wykreślona w danym kierunku. Przyjąwszy stały kierunekX, a chcąc wyznaczyć punkta (ic, «/), z których, w tymże kierunku, proste, styczne do paraboli : y² = 2px: wyprowadzić się dadzą, otrzymamy, na mocy warunku (140, równanie:

2 x sin² X — 2y sin X cos X p cos²X = 0,

y = x. tg X -f

czyli :

(IG)

2 tang X ’

a więc linię prostą, jako miejsce geometryczne tych punktów, z czego wynika, że w danym kierunku da się wyprowadzić tylko jedna prosta, styczna do paraboli.

21. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do paraboli są do siebie prostopadle. Styczna do paraboli: y'²^=2px, wyprowadzona w kierunku : tangX = m;

P

ma, według poprzedniego art. równanie : y — mx -f- ^.

Jeżeli w tem równaniu uważać będziemy spółrzędne x, y, jako wiadome, a natomiast czynnik kierunkowy m za niewiadomy, wówczas, otrzymamy, na wyznaczenie m, równanie drugiego stopnia :

fi’

S,

— — m    = 0,

x 2x

które daje dwie wartości i m₂, wskazujące kierunki dwu stycznych do paraboli, które z punktu P(x, y), dadzą się wykreślić.

2x . m²—2y . m p — 0 , czyli: m

D”

Skoro styczne te mają być do siebie prostopadłe, to musi być iloczyn: m₁m₂ = — 1, ^    - 1, a więc : x = -£-

co się stanie, skoro będzie:

(17)

A zatem: Miejscem geometrycznem punktôiv, z których styczne wyprowadzone do paraboli są do siebie prostopadłe, jest kierownica paraboli , fig. 703.

22. Miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do paraboli, zawierają dany kąt a. Czynniki kierunkowe w, i m₂, obu stycznych, wyprowadzonych z punktu P(xi V)i 4° paraboli: y² = 2px, wyznaczają się, na mocy wzoru (14), za pomocą równania drugiego stopnia :

-ł-+£-°

r\\

iV/C

które daje:

, m₂

V -f \/y² — 2px

2x

y — V/y² — 2px

2x

Stąd otrzymujemy:

\/ y¹ — 2 px

zatem :    tang a

— m₂

2\Zy²— 2px

2 x-\- p    ’

irr- a.)

a więc równanie :

(2cc Ą-p)² tang² a =. 4 (y²—2px)

(18)

Fig. 704.

przedstawiające miejsce geometryczne punktów, z których styczne, wyprowadzone do paraboli, zawierają dany kąt a, względnie t:—a. (Porównaj art. 6 str. 785.).

Jest to hiperbola, mająca środek na osi paraboli, wierzchołki w punktach (Çl5 0), (c₂, 0), określonych równaniem: (2£-j-p)²tg²a-}-8p!; = 0. Asymptoty tej hiperboli, czynią z osią paraboli kąty a

wklęsłością swoją zwróconą jest w tę samą stronę co i parabola ; druga zaś , dalsza, wklęsłością swoją jest zwińcona w przeciwną stronę. Jeżeli kąt a jest ostrym, wówczas druga dalsza gałąź, (wykreślona pełną linią), zawiera punkta, z których styczne, do paraboli poprowadzone, zawierają ostry kąt a; natomiast pierwsza, bliższa gałąź, (wykreślona przerywaną linią), zawiera punkta, z których styczne, do paraboli poprowadzone, zawierają rozwarty kąt tz— a. Jeżeli kąt a rośnie do *

oraz r.—a.

Hiperbola ta posiada dwie gałęzie, z tych jedna, bliższa,

owa

wówczas obie gałęzie hiperboli zbliżają się

ku sobie, a w granicy, gdy a stanie się równem : ~,

zejdą się w kierownicy paraboli.

coraz

Jeżeli kąt a maleje do zera, wówczas obie gałęzie hyperboli oddalają się od siebie bardziej, z nich bliższa coraz bardziej zbliża się do paraboli, druga coraz bardziej oddala się w przeciwną stronę. Gdy kąt a w granicy stanie się równym zeru, wówczas bliższa gałąź zejdzie się z samą paraboli, dalsza zaś odbiegnie w nieskończoność.

23. Normalna w danym punkcie paraboli. Normalna w punkcie P(x',y‘) paraboli: «/²=2p,r, jako prostopadła do stycznej w tym punkcie, której równanie zwyczajne przedstawia się w postaci :

y‘

y‘

ma równanie :

{x—x'),

y—y= —

?' p

czyli :

y‘ (^—xl)+p(y—y,)=0.

Przecina ona oś x~ow (fig. 705.) w punkcie, określonym równaniami :

V=0, y‘(X—x‘)+p(y — ył)=0, z których otrzymujemy: y=0, x=x‘-\-p.

(19)

- 844 —

"Wobec tego mamy :

x—x‘—p, czyli: P‘N~p,

to znaczy: W paraboli podnormalna ffî—p jest stała i równa połowie parametru.

paraboli.

Ztąd wynika łatwy sposób kreślenia normalnej w danym punkcie

Normalna sama otrzymuje tu długość:

N=PN= V y¹² + p² = \/2px' -\-p² = \/p{2x‘Ą-p).

24. Normalne do paraboli, wychodzące z danego punktu. Niech będzie danym punkt : jP(5, »)), z którego wychodzi normalna do paraboli: y² =2px, przecinająca ją w punkcie: N(x\ y‘). Ponieważ normalna, w punkcie N(x', y‘) paraboli , ma równanie :

y‘ (x—x‘) + p (y—y') = 0 ,

przeto warunek, pod którym normalna ta miałaby przechodzić także przez punkt P(!i, n), przedstawia się w postaci:

czyli :

y' (5—*0+p (»i—y') = 0.

x'y‘—y‘^—p)—jp*i = 0.

(20)

Otrzymane równanie przedstawia, przy zmiennych a?', y\ hiperbolę równoboczną, przechodzącą przez dany punkt P(ij, rj).

Punkta przecięcia się hiperboli równobocznej: x‘y‘— (!■ — p)y'— p*i = 0, z parabolą y‘^—2px', są więc owemi punktami, które, połączone z punktem P(?, tj), wyznaczają żądane normalne.

Spółrzędne (o, (j) środków tej hiperboli , określone są równaniem :

« —(ę_p) = 0, ß = 0,

z których otrzymujemy:

* = 5 — P, ß = 0-

Hiperbola otrzymana ma więc środek na osi paraboli; jedna z jej asymptot wpada w oś r-ów, druga w prostą, do niej prostopadłą. Przecina ona parabolę, w ogólności, w trzech punktach, czwarty punkt przecięcia jest punktem nieskończenie dalekim paraboli.

/ \p

rh

Fig. 706.

Fig. 707.

Z tych trzech punktów, które nazywamy punktami podstawowemi trzech normalnych do paraboli, z punktu P(ę, rj) wykreślić się dających, albo jeden tylko jest rzeczywisty, a dwa urojone sprzężone, jak na fig. 706., albo wszystkie trzy są rzeczywiste, jak na fig. 707; czwarta normalna do paraboli , przechodząca przez jakikolwiek punkt jest równoległa do osi paraboli.

25. Ile normalnych rzeczywistych możemy z danego punktu M poprowadzić do paraboli , rozpoznajemy w następujący sposób :

Pisząc równanie hiperboli w postaci : (*' —a )yt=pri

i dołączając do tego równanie paraboli :

yri — 2 px‘,

otrzymujemy, po wyrugowaniu x\ równanie:

a)y‘ = pn , t. j. (y

U‘‘l

2p

2pa) y* = 2p\ ,

IśC

a więc równanie trzeciego stopnia :

y‘³ — 2 pa. ,y‘ — 2p'lri = 0.

(21)

Równanie to posiada jeden tylko rzeczywisty pierwiastek, gdy:

O²*))² —    >0, *• .)• gdy: 27pr)²—8(5—p)³>0,

albowiem :

Fig. 708

a = 5 — V‘

Równanie (21) posiada wszystkie trzy rzeczywiste, a zarazem różne między sobą pierwiastki, gdy :

(P²*0²- (-^-) <0, t. gdy: 27pî/²-8(5—p)³<0. .

Równanie (21) posiada jeden podwójny pierwiastek i jeden pojedynczy, gdy:

27 p T)² — 8 (5 — p)³ = 0.

Linia krzywa 27prj² — 8(5 — p)z — 0, t. zw. parabola Neila (fig. 708.) rozdziela płaszczyznę na dwie części; jedna z nich, czysta, obejmuje punkta, z których możemy poprowadzić jednę tylko rzeczywistą normalną do paraboli, druga zaś, zakreskowana, zawiera punkta, z których możemy poprowadzić trzy rzeczywiste normalne do paraboli.

26. Ogniska paraboli. Styczna w punkcie P{x‘, y‘) paraboli y²= 2px wyznacza na osi paraboli odcinek at = — x‘, normalna zaś tego punktu wyznacza odcinek: an=x‘+p, jest zatem: atĄ-an—p.

Środek odległości tych punktów jest zawsze stały, a jego położenie określa wzór:

at-\-an p 2 ~ 2 ''

Pary punktów T i N, w których styczne i normalne do paraboli, przecinają jej oś, tworzą inwolucyę, której środek leży w nieskończoności , a której punktem podwójnym, obok punktu nieskończenie dalekiego, jest stały środek F wszystkich odcinków TN-

Ten stały środek F, położony na osi paraboli i mający od wierzchołka 0 odległość

p

OF^-y, nazywamy ogniskiem paraboli. Parabola ma tylko jedno rzeczywiste ognisko, leżące w skończoności, określone spółrzędnemi :

Fig. 709.

0F-

(22)

27. Kierownica paraboli, jako biegunowa jej ogniska. Biegunową punktu (;x', y‘) względem paraboli: y²==l2px: jest prosta: y‘y—p(xĄ-x/)= 0.

Przyjmując dany punkt w ognisku paraboli, otrzymujemy biegunową ogniska: F[x' — -j-    , y‘=0) o równaniu:

x-\- -g-—0, czyli: x= —

Jest to więc prosta, równoległa do osi y-ów, znajdująca się w tej samej

odległości od wierzchołka, co i ognisko, ale po przeciwnej stronie, (fig. 710).

Promień wodzący punktu P(x, y) paraboli, wyprowadzony z ogniska jest:

(28)

D’

y?

r==\/yÏJr{x-^î) =x + y=PF.

Odległość punktu tego od kierownicy jest :

PQ~* + -f,

D"

stąd wypływa, że :

PF=PQ.

Fig. 710.

W paraboli odległości każdego punktu od ogniska i kierownicy paraboli są sobie równe.

28. Ognisko paraboli, jako punkt przecięcia się prostych, sprzężonych, do siebie prostopadłych. Biegunową jakiegokolwiek punktu kierownicy, (fig. 711.). n. p. punktu :

t'—î),

nr

jest prosta o równaniu:

KF

yr,-p(x- -|)=0, p    p²

a więc prosta, przechodząca przez ognisko :

czyli :

2tj

f(x =

-°)

D"

w kierunku:

Fig. 711.

Prosta M‘F, łącząca punkt: M‘( — -|-, rj) , z ogniskiem F 0^

ma równanie :

2~

(24)

= o\ w kierunku tang a=---,

jest więc prostą , przechodzącą przez ognisko f(x=~

jest więc prostą, prostopadłą do biegunowej punktu MJ.

A zatem : Biegunowa jakiegokohoiek punktu M‘ kierownicy przechodzi przez ognisko paraboli , prostopadle do prostej, łączącej ten punkt z ogniskiem.

Oznaczmy przez M“ punkt, w którym biegunowa punktu M‘ przecina kierownicę,

a więc: M“( x‘ = —    a przekonamy się, źe biegunowa tego punktu:

\    J    7) '

-i

0 = °.

przecina kierownicę w punkcie:

M“ — F , y = r) ^, przy czem : FM‘ J_ F M".

Możemy więc ognisko paraboli określić także, jako punkt, z którego wychodzące proste, biegunowe sprzężone, są do siebie prostopadłe, a kierownicę paraboli, jako prostą, na której znajdują się pary punktów, biegunowo sprzężonych , widziane z ogniska pod kątem prostym.

29. Ognisko paraboli, jako punkt, w którym przecinają się styczne, wychodzące z punktów kołowych w nieskończoności. Równanie pary stycznych do paraboli, wychodzących z punktu /*(£, łj), ma, na mocy art. 19. str. 842., wz. (15.), kształt ■

[yn—p (* + i)]² — (^3²—2jpÇ) (y²—2px) = 0,

[j y-p (y+x)] ~ [(I) ~ y] G/²—2px)=o,

czyli :

skąd otrzymujemy równanie pary stycznych , wychodzących z punktów kołowych w nie-

skończoności :

Y" = + i , przyczem j tj | = oo, | £ | = oo,

w postaci :

(± iy—vY + (y²—2px) = o.

Jedna para stycznych ma więc równanie:

—2 pyi — 2px -j- p² = 0

druga zaś równanie :

(25)

-j- 2pyi — 2px -{- p² = 0.

Dają one rzeczywisty punkt przecięcia się, leżący w skończoności, określony spół-

(26)

rzędnemi :

zwany ogniskiem paraboli.

30. Twierdzenia, odnoszące się do ogniska paraboli. Na podstawie wzorów, określających położenie ogniska paraboli: y²=2px, jako to: x-~-, y=*0, możemy wyprowadzić

u

rozmaite twierdzenia , dotyczące ogniska paraboli , z których przytaczamy tu najważniejsze.

1)    Każdy punkt paraboli jest równooddalony od ogniska i kierownicy paraboli, (fig. 712.).

2)    Styczna i normalna w dowolnym punkcie P(x‘, y‘) są dtcójsiecznemi kątów, jakie promień wodzący punktu, wyprowadzony z ogniska, tworzy z średnicą tego punktu fig. 713.).

P.

æ'

T.

»'J

/4\ F

.dl

-X

N'

D"

Fig. 712.

Fig. 713.

Fig. 714.

Fig. 715.

Twierdzenie to jest tylko rozszerzeniem dotyczącej własności elipsy, gdyż parabolę możemy uważać, jako elipsę, której drugie ognisko leży w nieskończenie dalekim punkcie jej osi.

3)    Rzut ogniska na styczną, w jakimkolwiek punkcie paraboli, leży na stycznej wierzchołkowe ej paraboli (fig. 695. str. 838.), a zarazem punkt, w którym styczna przecina oś paraboli i jej punkt styczności są równo oddalone od ogniska paraboli, (fig. 714.) a więc: TF—FP.

4)    Kąt, zawarty miedzy stycznemi do paraboli, tvychodzacemi z punktu P i kąt, zawarty między promieniem tego punktu, a prostą^ równoległą do osi paraboli, mają tę samą dwój sieczną, a zarazem: kąt, zawarty między stycznemi do paraboli, z punktu P ivyprowadzonemi, jest połową kąta, jaki tworzą promienie wodzące ich punktów styczności, wyprowadzone z ogniska, czyli : prosta, łącząca ognisko z punktem przecięcia dwóch stycznych do paraboli, dzieli na dwie równe części kąt, jaki tworzą promienie wodzące punktów styczności, z ogniska wyprowadzone. (Fig. 715).

5)    Odległość stycznej w danym punkcie od ogniska paraboli jest średnią geometrycznie pro-porcyonalną między odległościami ogniska od wierzchołka paraboli i od punktu, w którym styczna przecina oś paraboli.

31. Parabola i koło. Punkta wspólne paraboli i koła mają spółrzędne (a?, y), określone dwoma równaniami :

y²=2})x, {x—ź)²+(y—r[)²=r², y²— 2px=0, x² + y²—2ax—2by-\-c=0

czyli :

gdzie    £> = 77, zaś c= |²-f-^²— r², jest potęgą punktu początkowego, ze

względu na to koło.

Z obu równań, po wyrugowaniu niewiadomej: # =

<Lp

otrzymujemy

równanie :

(27)

czyli równanie czwartego stopnia , ze względu na niewiadomą y, kształtu : y⁴-r4p(p—a). y²—8bp² . y + 4p²c=0.

A zatem : Koło ma z parabolą, w ogólności, cztery punkta wspólne.

32. Wzajemne położenie koła i paraboli. Z czterech punktów, w których koło przecina parabolę, mogą być, albo 1) wszystkie cztery rzeczywiste, fig. 716., albo 2) dwa rzeczywiste, a dwa urojone, sprzężone, (fig. 718.), albo 3) wszystkie cztery urojone, parami sprzężone, fig. 719.

Ji

fi

fi

Z,

fi

f-U)

Fig. 716.

Fig. 717.

Fig. 718.

Fig. 719.

Szczególne przypadki zachodzą, gdy równanie (27) ma powtarzające się pierwiastki. Jeżeli równanie (27) ma dwa piei’wiastki równe : Vi—Vii a dwa inne, różne między sobą, wówczas koło styka się z parabolą w jednym punkcie, a w dwóch rzeczywistych , jak na fig. 717., albo w dwu urojonych sprzężonych, jak na fig. 72L., jeszcze ją przecina. Koło, któreby dotykało się paraboli w punkcie urojonym, musiałoby dotykać się paraboli jeszcze w drugim punkcie urojonym, z pierwszym sprzężonym.

fi

<n.3 9)

(i z.i)

Fig. 720.

Fig. 721.

Fig. 722.

Fig. 723.

Jeżeli wszystkie cztery pierwiastki y₁, y₂, yz, y₄, równanie (27) są rzeczywiste, a obok = y₂, jest także y₃=y₄, natenczas koło dotyka się paraboli w dwu oddzielnych punktach rzeczywistych, fig. 720. Jeżeli równanie (27) ma trzy powtarzające się pierwiastki , a czwarty yi od nich różny, wówczas koło ma z parabolą w jednym punkcie M, styczność drugiego rzędu, a w jednym jeszcze ją przecina, fig. 722. (koło ściśle styczne w punkcie M).

Gdyby wreszcie wszystkie cztery pierwiastki równania (27) były między sobą równe: y-i =î/i—Vi— * » wówczas, koło miałoby z parabolą styczność trzeciego rzędu (fig. 723.).

Taki przypadek jest możliwy, gdy równanie (27) daje się sprowadzić do postaci : (y— a)⁴ = 0, czyli: ?/⁴ - 4oę/³-j- 6ct²y²—4a³y + a⁴=0, co, wobec tego, że w równaniu (27) nie ma wyrazu z y³, stać się może wtedy tylko, gdy będzie a = 0, a to pociąga za sobą warunki: a~p, b —0, c — 0. Równanie (27) sprowadza się więc, w tym przypadku, do postaci: yK — 0. Punktem takim, w którym koło'miałoby z parabolą styczność rzędu trzeciego, może być więc tylko wierzchołek paraboli, a promieniem takiego koła jest r=p, (fig. 723.).

33. Koło ściśle styczne w danym punkcie paraboli. Na mocy wzorów:

y“

y"

^x_y^±jn ,_,₊l±£, P

wyznaczających środek i promień koła ściśle stycznego w danym punkcie krzywej, otrzymujemy dla paraboli: y²-=2px, kolejno:

a więc :

y=\/2px,    y“ =

Z = X+lî\j²arAx    • 2*

4x

¹    1 + y'*

2x -\-p

2x ’

2x Ą- p

2as ty p

. 4x .

\/- =

V2jj

\l~

\2p

(2* -j- p)^²

a zatem, otrzymujemy:

2x \/ 2x

4a:.

— 4æ .

(2 oj -J- pß (y² + p²)³^

-—I- = -S-- ł

p% »

p2

jako spółrzędne środka , a

i/|-

iß

(28)

(2æ-j-j?)³/*    (2/²+-p²)³^

V'p

(29)

jako promień koła ściśle stycznego, w punkcie P(x, y) paraboli: y^ = 2px.

Kładąc x — y=0, otrzymamy stąd, dla koła ściśle stycznego, w wierzchołku paraboli:

\ = p , 7] = 0 , p =p.

34. Porównawszy wielkość promienia p z normalną w punkcie (a;, y), której długość wyraża się wzorem: N — \/p (2x    p) , otrzymujemy:

N²

2x Ą-p — i

zatem :

(30)

P P

To znaczy : Promień koła ściśle stycznego, w danym punkcie paraboli, jest równy sześcianowi długości normalnej w tym punkcie, podzielonemu przez kwadrat połowy parametru paraboli.

Wzór powyższy możemy także przedstawić w po-

2"

staci: z której, ze względu na to, że podnormalna :

a więc :

N* = N. cos FPQ , p—N cos v,

gdzie v wyobraża kąt, jaki normalna punktu P tworzy z jego promieniem wodzącym, z ogniska wychodzącym, N

-2—, wzór, który dozwala, jak przy elipsie, w prosty sposób, uwi-

Fig. 724.

otrzymujemy: p

doczniony na fig. 724., wykreślić promień koła ściśle stycznego, w danym punkcie paraboli.

W tym celu , prowadzimy normalną w danym punkcie P paraboli , która oś paraboli przecina w punkcie Q ; następnie, łączymy punkt P z ogniskiem F i przecinamy PF prostą QR, prostopadłą do normalnej PQ, w jej punkcie Q. Prosta RS | PB, w punkcie R, przecina normalną PQ w punkcie S, środku koła ściśle stycznego w punkcie P paraboli.

54

Dr. Dziwiiiski. Wykłady matematyki 1.

35. Ewoluta paraboli. Miejsce geometryczne środków (Ę. rj) kół , ściśle stycznych do paraboli, czyli ewolutę paraboli, wyznaczają wzory:

z których otrzymujemy :

ij = 3æ p , t) — — 4cc

8 x³ .

zatem :

jako równanie ewoluty paraboli.

Krzywa ta ma punkt zwrotu w swoim wierz-L(t = P, *] = 0),

który jest środkiem krzywizny w wierzchołku A paraboli, i jest symetrycznie ułożoną względem osi paraboli, jak na fig. 725.

Krzywa tego kształtu, znana jest pod nazwą paraboli półsześciennej, albo paraboli Neila.

Przyjąwszy początek układu w jej wierzchołku L , a więc, kładąc: x — 'i—p, y— r), otrzymujemy najprostszą postać jej równania:

chołku :

yî=^r_px³, czyli: y =

(31)

3/2, gdzie: a=

Fig. 725.

36. Para prostych równoległych, jako szczególny przypadek paraboli. Jeżeli w ogólnem równaniu paraboli, podanem we wzorze (2) str. 834., w postaci :

(ax -j- by)² -j- 2 a₁₃a; -j- 2 a₂₃ y -j- a₃₃ =0 zachodzi warunek: bal3 — aan, wówczas, w równaniu tern, przerobionem do układu, którego osią x-ów jest prosta: ax-\-by — 0, a osią y-ów, prosta, do niej prostopadła: bx—ay — 0, przedstawiającem się, na mocy art. 3. str. 834., w postaci:

(«² + b²)3l-y²-\-2(b ai3—aai3)x -f- 2(«o₁₃ Ą-ban)y +a₃₈ (a²-\-b²)^ = 0 ,

O)

0)

znika spółczynnik przy x: a równanie przerobione przybiera postać:

-^22 VlJr 2A₂₃ y -j- A33 — 0,

0)

równoważną z równaniem kształtu :

^22 (y—«) 0—P) = o

przedstawia zatem dwie proste, równoległe do nowej osi x-ów i to, albo , obie urojone i sprzężone, albo obie rzeczywiste i różne, albo obie rzeczywiste, w jedną wpadające, (prostą podwójną), stosownie do tego, czy wyróżnik: AnA₃₃— A²₂₃— (a²-\- b²)² — (aa^-j-iojg)², jest dodatni, czy ujemny, czy też równy zeru.

Para prostych, równoległych, występuje tu więc, jako szczególny przypadek paraboli, podobnie, jak para prostych, przecinających się, jako szczególny przypadek hiperboli, jeżeli proste są rzeczywiste, lub elipsy, jeżeli proste są urojone sprzężone.

37. Nie trudno poznać, że warunek: aan = bal3 mieści się w ogólnym warunku, pod którym równanie drugiego stopnia przedstawia dwie proste. Dotyczący warunek ogólny, wyprowadzony w art. 7. str. 709., dla krzywych środkowych, w postaci :

ani ai2i ®i3 a\1l aM j a23 ani a23> ®33

otrzymuje, bowiem, po rozwinięciu wyznacznika , kształt:

a33(°lla22 —    2) — a22a“l3 alla223 2«i2«23 a13 = 0 ,

który, w przypadku: an=a², aM = b², ai2 = ab, sprowadza się do postaci:

b²a\₃ + a%²23 — 2a&a23«i3 = 0, czyli: (ban-aan)² = 0, z której wypływa warunek: bai3 = aa₃₃, jak powyżej.

“0,

00

(32)

(33)

Warunek: &a₁₃=aa₂₃, pociąga za sobą warunki: b²ai3 = a^an i abal3= a²a₂₃, z których wypada, że ogólne równanie drugiego stopnia: «₁₁æ²+a₂₂ </²+ 2a₁₂£n/4“2a₁₃a;4'' 2a₂₃y4“ a₃₃=0, przedstawia, w przypadku: ana₂₂—a²I2 —0 a więc, gdy: aH =a², a₁₂ = &², a₁₂ = aó, parę prostych równoległych, skoro spełnia się nadto warunek: «₂₂«i₃=aua2z ? albo aliai3=aiian.

Ćwiczenia LVIII.

1)    Wykazać, że w równaniu paraboli, kształtu:

(ax + by)² + 2a₁₃x-{-2a₂₃ y -J- ®₃₃- = 0,

wyraz : ax -j- by — 0 , przedstawia średnicę paraboli, przechodzącą przez początek układu a wyraz: 2anx 4- 2a₂₃ y -f- «₃₃ = 0 , przedstawia styczną do paraboli w jej punkcie przecięcia się z tą średnicą.

2)    Równanie paraboli kształtu: 9a?² 4~ 16«/²-j-24 xy 22 x-\- 46 y -f- 9 = 0 , przerobić do najprostszej postaci: y² — 2px.

jjj—i sprowadzić jej rów

3)    Wyznaczyć wierzchołek (Ç, tj), paraboli: y—xtg<x

nanie do najprostszej postaci.

4) Wykazać , że parametr p paraboli :

er²

a2 +

odniesionej do układu spółrzędnych o kącie osiowym y, przedstawia się wzorem:

2a²i²sin²y (a² -j- ó² + 2a& cos y/k

5)    Wyznaczyć wierzchołek, ognisko i parametr paraboli: 112«/²—96a:—392?/ -f-151=0.

6)    Wykreślić krzywe: y² = Aax i cc²-j-4m/—0, i wyznaczyć ich punkta przecięcia się.

7)    Wyprowadzić równanie paraboli, przechodzącej przez punkt: P(4, —B), skoro jej wierzchołek ma spółrzędne: Ę = 3, r\ = — 7, a oś jej jest równoległą do osi x-ów.

od prostej :

8)    Wyznaczyć punkta przecięcia się paraboli: y²— 6æ— 10^4" 1^=0, z prostą: 4# -j- 3y — 12=0.

9)    Wyznaczyć odległość ogniska paraboli : y²—6a; — 10 «/-j-15 = 0

4a:    3y — 12 = 0.

10)    W parabolę: y²=llx wpisano trójkąt równoboczny, którego jeden wierzchołek wpada w wierzchołek paraboli. Wyznaczyć bok a i wysokość tego trójkąta.

11)    Wykazać, że powierzchnia A trójkąta: 4(aj', y‘\ B(x", y“\ C(x"J, y'")> wpisanego w parabolę: y²—2px, wyraża się wzorem:

12)    Wykazać, że powierzchnia trójkąta , utworzonego przez punkta styczności trzech prostych, stycznych do paraboli, jest dwa razy tak wielką, jak powierzchnia trójkąta, między temi stycznemi zawartego.

13)    Wykazać, że proste, przeprowadzone przez wierzchołki trójkąta, opisanego na paraboli , prostopadle do jego boków, przecinają się na kierownicy paraboli.

14)    Wykazać, że punkt przecięcia się stycznych, w punktach: P'(x\ y¹) i P‘\x", y") paraboli: y² = 2px, ma spółrzędne:

y‘ 4- V“

y'y“

15)    Wyprowadzić równanie stycznych do paraboli: (?/—*])² = p (x—Sj), wychodzących z początku układu.

16)    Wyznaczyć t. z. linie pomocnicze: T, N, T', N‘ w punkcie P\pc\, y\) paraboli:

y²—2px, i wykazać, że: T=\/y\ 4- 4x²₁=\/2 aą (2    4- p)i N— \/y²i 4" V¹—2p 4"

P_{

T‘ —2x\ NJ —p.

17) Dla którego punktu paraboli: y² = 2px₁ jest styczna, nachylona do osi pod kątem 45°, a dla którego pod kątem a.

18)    Wykazać, źe rzuty ogniska na poszczególne styczne paraboli: y²=2px, leżą wszystkie na stycznej wierzchołkowej: x — 0, a obrazy ogniska względem stycznych? jako zwierciadeł, leżą na kierownicy: x=—i/₂ p.

19)    Która styczna do paraboli: y² = X2x, jest nachylona do prostej: y = 3x—4, pod kątem 45°, i jakie są spółrzędne jej punktu styczności.

20)    Wykazać, źe odległość ogniska od stycznej w dowolnym punkcie paraboli, jest połową normalnej tego punktu.

21)    W punktach: P'(æ', y¹) i P"(æ", y⁴⁴) paraboli: y² =2px wykreślono styczne; wyznaczyć kąt 9, zawarty między stycznemi , tudzież kąt w, zawarty między promieniami wodzącemi tych punktów i wykazać, że: w = 2cp.

22)    Wykazać, że styczne, wyprowadzone z punktu P(æ', y⁴) do paraboli: y² = 2px, zawierają między sobą kąt 9, określony wzorem :

tang 9

\/y4 2— 2 px⁴

23)    Wykazać, źe punkta przecięcia się dwu stycznych do paraboli: y²=2px, zawierających kąt 9, mieszczą się na hiperboli: y'¹—2px—(x-\- ¹/₂/>)²tang²9 = 0 i że ta hiperbola ma z parabolą wspólne ognisko i wspólną kierownicę.

24)    Wykazać, że rzuty ogniska na poszczególne normalne paraboli : y²=2px, mieszczą

się na paraboli: y^—'/^px.

25) Wykazać, źe normalne w punktach: P'(æ', y⁴) i P" ( x4i, y⁴⁴), paraboli: y²=2px, przecinają się w punkcie :

ynjry‘y“ + y"2 -s--? y

X=jP +

— y y“ {y¹ + y“)

2 p¹

26) Z punktu P(S|, r|) wyprowadzono dwie styczne do paraboli: y² = 2px, wykazać, że normalne, wich punktach styczności wykreślone do paraboli, przecinają się w punkcie:

, 2r)²

*=? + -— — ?> y

V

27)    Znaleźć miejsce geometryczne środków cięciw paraboli: y²=2px, przechodzących przez stały punkt P(a, ß).

28)    Z punktu P(%,rj) wykreślono dwie styczne tx i t₂ do paraboli: y²=2px, wykazać, że, jeżeli tx i #₂ są ich długościami, liczonemi od punktu P, do punktów styczności , to kwadraty tych długości mają się do siebie tak, jak promienie wodzące: rx i r₂ punktów styczności, wychodzące z ogniska paraboli, czyli, że: h²: t\ — rt :r₂.

29)    W punktach Pt i P₂ paraboli: y² = 2px wykreślono styczne t{ i t₂, przecinające się w punkcie P, wykazać, że odcinek AB jakiejkolwiek innej stycznej t₃, zawarty między stycznemi 4 i t₂ jest z ogniska F widzialny pod stałym kątem: 0 — y(AFB = lJ₂y( PtFP₂.

80) Wykazać, źe koło, opisane na trójkącie PAB. którego boki są styczne do paraboli , przechodzi przez ognisko paraboli.

31)    Z punktu P wykreślono dwie styczne do paraboli i przecięto ją trzecią styczną AB w ten sposób, źe powstał trójkąt równoramienny PAP, opisany na paraboli ; wykazać, że, wierzchołek P trójkąta, punkt styczności C jego podstawy AB i ognisko F paraboli leżą na linii prostej.

32)    Znaleźć punkta styczności boków AB i AC trójkąta równobocznego ABC, opisanego na paraboli, skoro jego podstawa BO jest styczną w wieïzcholku : 0(0, 0), paraboli.

33)    Wykazać, że styczne do paraboli : iy²=2px, wykreślone z punktu P(5, rj), dotykają się paraboli w punktach :

_ri²—£>Sj + 7) VV—2 p Ç X = J    p    ’ V

= 7)±VV—2 Prz.

34)    Wykazać, że biegunową punktu: P(Sj, rj) ze względu na parabolę: y² — 2px jest prosta : yt\ = p(x -}- Sj), a biegunem prostej : Ax -}- By -f- C = 0, jest punkt :

Bp

A

35)    Wykazać, źe prosta, wykreślona z danego punktu M kierownicy, prostopadle do biegunowej AB tego punktu, przecina biegunową w ognisku F paraboli i źe długość tej prostopadłej MF jest średnią geometrycznie proporcyonalną między odcinkami AF i BF biegunowej.

36)    Wykazać , że kwadraty równoległych cięciw paraboli mają się do siebie tak, jak odległości ich środków od początku średnicy sprzężonej.

p-

T*

37)    Wykazać, że środki promieni wodzących paraboli: y² = 2px, wyprowadzonych z ogniska, leżą na paraboli: y'Ł=px—

38)    Wykazać, że spodki prostych, wyprowadzonych z ogniska prostopadle do normal-nych paraboli mieszczą się na paraboli: y²—~x.

39)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów przecięcia się wysokości trójkątów ABC o stałej podstawie c i stałej powierzchni A, jeżeli podstawa AB — c wpada w oś a>ów, a wierzchołek A wpada w początek układu.

40)    Na jakiej krzywej leżą środki ciężkości trójkątów ABC o stałej podstawie, jeżeli podstawa AB — c wpada w oś x-ów, wierzchołek A w początek układu, a wierzchołek C porusza się po paraboli: yï~2px.

41)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów, z których dadzą się wyprowadzić do paraboli dwie normalne, do siebie prostopadłe.

42)    W trójkąt OAB wpisano równoległobok OCMI) w ten sposób, że boki OC i OD spoczywają wzdłuż boków OA i OB trójkąta, wierzchołek zaś M posuwa się wzdłuż boku

AB. Dowieść, że przekątna CD obwodzi parabolę, styczną do prostych O A, OB w punktach A i B.

43) Dowieść, że równanie paraboli, stycznej do osi cc-ów, oraz do osi «/-ów, w punktach

przecięcia tychże osi z prostą, daną równaniem: — -|- -y = 1, ma postać: y-f- \^-y = l.

Okazać, że będzie to prawdą, nietylko dla prostokątnego układu współrzędnych, ale także dla ukośnokątnego.

44) Znaleźć geometryczne miejsce ognisk parabol, stycznych do dwóch prostopadłych względem siebie prostych OX i OY, oraz do koła o promieniu r, również do tych prostych stycznego.

45)    Znaleźć obwiednię parabol, mających wspólne ognisko F, wiedząc, że kierownice ich przechodzą przez stały punkt P.

46)    Z dowolnego punktu S poprowadzono do paraboli dwie styczne <SP, i SP₂. Niechaj punkta i Qź będą rzutami punktów styczności P,, P₂ na kierownicę; ognisko paraboli znajduje się w punkcie F. Dowieść, źe trójkąty P,PP₂ oraz SQ^ Q₂ mają jednakową powierzchnię.

47)    Z punktu P poprowadzono trzy normalne do paraboli: PN,, PN₂, PN₃; a w punktach N,, N₂, N₃ poprowadzono styczne , które utworzą pewien trójkąt. Jeżeli punkt P porusza się po jednej ze średnic paraboli, wykazać, że wówczas wspomniany powyżej trójkąt ma stały punkt spotkania swych wysokości.

48)    Z punktu P poprowadzono trzy normalne do paraboli: PN,, PN₂, PN₃, a w punktach N,, N₂, N₃, poprowadzono styczne, które utworzą pewien trójkąt. Jeżeli punkt P porusza się po jednej ze średnic paraboli, wykazać, że wówczas wszystkie te trójkąty będą wpisane w jedną i tą samą hiperbolę równoboczną.

49)    Jeżeli normalna do paraboli, w dowolnym jej punkcie P, poprowadzona, czyni z osią paraboli kąt a, a zarazem, przecinając parabolę jeszcze w jednym punkcie Q, czyni ze styczną, w tymże punkcie Q, do paraboli wykreśloną, kąt ß, wykazać, że: tga=2tgß.

50)    Poprowadźmy do paraboli y² — 2px dowolną styczną, niechaj ona przecina daną również krzywą rzędu drugiego w punktach A i Ai. Przez punkta i i i, oraz ognisko F paraboli poprowadzono koło, które ową krzywą przetnie jeszcze w dwóch punktach B i P,. Dowieść, że cięciwa PP, przechodzi przez stały punkt.

51)    Środek koła ściśle stycznego do paraboli w danym punkcie P, możemy znaleźć w następujący sposób: w punkcie P kreślimy styczną i normalną. Styczna przecina kierownicę w punkcie R. Prosta PP, przechodząca przez ognisko F paraboli, przecina normalną w punkcie L. Dowieść, że promień koła ściśle stycznego PS = 2PL. (fig. 726.).

52)    Dowieść, że środek koła ściśle stycznego do paraboli w danym punkcie P, możemy wyznaczyć w następujący sposób: Poprowadźmy w punkcie P styczną i normalną, wykreślmy koło , dotykające paraboli (a więc i tej stycznej) w punkcie P i przechodzące przez ognisko paraboli P, natenczas poczwórny promień tego koła jest promieniem koła ściśle stycznego w punkcie P (fig. 727.).

53)    Dowieść, że środek koła ściśle stycznego do paraboli, w danym jej punkcie P, możemy w następujący sposób wynaleźć: poprowadźmy w punkcie P styczną i normalną PS. Normalna przecina kierownicę w punkcie K. Promień koła ściśle stycznego w punkcie P równa się 2PK. Odcinamy więc na normalnej odcinek PS—ZPK i znajdujemy w ten sposób środek koła ściśle stycznego (fig. 728.).

54)    Dowieść, że środek koła ściśle stycznego do paraboli w danym jej punkcie P możemy w następujący sposób wykreślić: poprowadźmy w punkcie P styczną PT, normalną Pćr, oraz średnicę PX\ (równoległą do osi paraboli). Normalna PG przecina oś paraboli w punkcie G. Kreślimy prostą GL równolegle do stycznej PT, aż do spotkania w punkcie L ze średnicą PX\ Prosta LS | PX‘ przetnie normalną w środku S koła ściśle stycznego, w punkcie P paraboli , (fig. 729.).

JJ

Jt

,T

L.

o\ W

J.

of?

Fig. 729.

Fig. 726.

Fig. 727.

Fig. 728.

55)    Dowieść, że mając dane osie krzywej rzędu drugiego (choćby tylko z położenia), oraz styczną w jej punkcie M, możemy w następujący sposób znaleźć środek koła ściśle stycznego w punkcie M: styczna w punkcie M, z założenia wiadoma, przecina oś y-ów w punkcie J.

Z punktu M, jako środka, promieniem M J kreślimy koło, które tęż oś y-ó w przetnie w punkcie K.

Fig. 730.

Rzucamy punkt M na oś ic-ów i y-ó w, prowadzimy przekątną NP, znajdujemy punkt w przecięcia prostych MK i NP. Kreślimy normalną (1 do stycznej MJ), oraz prostą, w R prostopadłą do tej normalnej, natenczas, promień koła ściśle stycznego w punkcie M jest równy 2 MR, (fig. 730.).

56)    Z punktu danego M możemy poprowadzić do paraboli trzy normalne. Wykazać, że iloczyn promieni trzech kół ściśle stycznych , w punktach podstawowych tych normalnych, równa się ośmiokrotnemu sześcianowi odległości punktu M od ogniska paraboli.

57)    Hyperbola dotyka obu osi elipsy, a asymptoty jej są stycznemi do tejże elipsy, dowieść, że środek tej hyperboli znajduje się na jednej z obu równych średnic elipsy, (vide art. 24. str. 777. o równych średnicach elipsy).

58)    Dowieść, że średnica krzywej rzędu drugiego, przechodząca przez punkt przecięcia się stycznych do tej krzywej, w jej punktach A i B, przechodzi przez środek cięciwy AB.

59)    Dane jest koło C, a na niem punkt M, oraz prosta MB, przez punkt M przechodząca. Dowieść, że wielka oś elipsy, mającej z kołem C w punkcie M styczność drugiego rzędu, a jedno z ognisk stale na prostej MB, przechodzi przez stały punkt.

Dowieść podobne twierdzenie i dla hiperboli.

60)    W hiperbolę równoboczną jest wpisany trójkąt ABC, a zarazem, obrany na niej dowolny punkt M. Niechaj punkta Ma, Mb, Mc będą rzutami punktu M na boki BO, CA, AB tego trójkąta. Dowieść, że koło, przechodzące przez punkta Ma, Mb, Mc, przechodzi przez środek hiperboli równobocznej.

61)    Niech. PQ będzie dowolną, średnicą hiperboli równobocznej. Dowieść, że koło, mające środek w punkcie P, a przecinające hiperbolę równoboczną w punkcie Q, przecina ją jeszcze w punktach L, M, N, w ten sposób , że trójkąt LMN będzie równobocznym.

62)    Dowieść, że iloczyn odległości ognisk elipsy od normalnej, poprowadzonej w dowolnym jej punkcie P, równa się różnicy kwadratów półśrednicy elipsy prostopadłej do tejże normalnej i połowy małej osi tejże elipsy.

63)    Dowieść, że promienie kół ściśle stycznych ściśle stycznych w punktach A i B danej krzywej rzędu drugiego mają się, jak trzecie potęgi odległości CA i CB punktów A i B od bieguna C cięciwy AB, t. j., że: pa : pb= CAS : CBZ.

64)    Dowieść, że punkt N, w którym normalna do krzywej w dowolnie na niej obranym punkcie M, przecina jej nieogniskową oś (małą oś elipsy, urojoną oś hiperboli), rzut tegoż punktu na jedną z kierownic tejże krzywej, oraz odpowiednie ognisko, znajdują się na linii prostej.

65)    Na krzywej rzędu drugiego (elipsie, lub hiperboli) obrano trzy punkta A, P, O. W pierwszych dwóch poprowadzono styczne A1\,BT₂, oraz średnice O A i OB. Przez punkt O poprowadzono cięciwy CAy i CBX równolegle do stycznych A7\ i BT₂. Cięciwy te przecinają się ze wspomnianemi średnicami: O A i OB w punktach D i E. Dowieść, że prosta DE jest równoległą do stycznej w punkcie C.

66)    Na elipsie obrano dwa punkta P i w nich wykreślono koła ściśle styczne, które przecinają elipsę jeszcze w punktach M i N. Przez punkt P wykreślono koło styczne do elipsy (zwykła styczność), przechodzące przez punkt Q ; koło to przetnie elipsę w czwartym punkcie R. Przez punkt Q wykreślono koło styczne do elipsy (zwykła styczność), przechodzące przez punkt P, koło to przetnie elipsę w czwartym punkcie S. Dowieść, że cięciwy RS i MN będą równoległe.

K, o z w i ą z a n i a LVIII. 2) «/² = Vs³⁵* 3) 5 = ä sin 2a, r)=Äsin²a, y² = 4 h cos* a . x.

5)p=³A, ^(-V/0, F(-V'ln, V*), 6) 0(0,0) i P(4a,-4a). 7) (y + 7)*=4 (æ-3). 8) Ą (—³/₂, 6),

P.(S V.    ' Vis- 10) . = 22 ^3, 0 = 03. 10) , -¹ *    ■" l- lli(4 p), VjW)')n;

jy.    „„.o.

27) Parabola: y²— px — $y -f- ap = 0. 32) P1} 2; (³/₂p, + \/3p). 39) Parabola: x²=cx--—y. 40)Na

paraboli: tj²= ²/₃ px—% pc. 41) y — i/₂ px — ³/₄p². 42) Nouvelles Annales. Serya III. 1884., art.: „Sur quelques courbes enveloppes“ str. 377. Ex. I. 44) Nouvelles Annales. Serya III. 1884. str. 535. koło o równaniu: (æ²-|-y²)— 4r {x -{- y) -f 4r² = 0, styczne do wspomnianych prostych, o promieniu 2r. 45) Tamże. Serya III. Tom IV. 1885. str. 884. Prosta prostopadła w środku odcinka FP. 46) Tamże. Serya III. Tom X. 1891. str. 28*—29*. 47), 48) Tamże. Serya III. Tom XI. 1892. str 4*. 50) Tamże. XII. 1893. str, 60* — 61*. Oznaczmy przez: Ax² -f- 2By-\- Cy² -\-2Dx -j- 2Ey -j- F— 0, równanie tej krzywej rzędu drugiego, a szukany punkt znajdziemy, rozwiązując równania dwóch, wzajemnie prostopadłych prostych: (2 pA—C)x -j- Ap By -f- Cp²-j-4Dp -|-4P=0, 2 Bx—(A—C)y—Bp = 0. 55) Tamże, Serya III. Tom XIV. 1895. str. 367-369. 56) Tamże. Serya III. Tom XV. 1897. str. 335—336. 57) Tamże. Serya III. Tom III. 1884. str. 392. 59) Na podstawie art. 21. str. 795. o' kreśleniu środka krzywizny. 62) Nouvelles Annales. Serya III. Tom IV. 1885. str. 524—525. 63) Tamże. Serya

III. Tom IV. 1885. str. 382—383. 62) Tamże. Serya III. Tom IV. 1885. str. 528—529. 63) Tamże. Serya III. Tom X. str. 11* —12*. 65) Tamże. Serya III. Tom X. 1891. str. 36*. 65) Tamże. Serya III. Tom. X. 1891 str. 41*—42*. 66) Tamże. Serya III. Tom XI. 1892. str. 40*-42*.

Literatura. J. C a s e y. A treatise on the analytical geometry of the point, circule and eonie sections , Dublin 1893. S Grundelfinger. Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte, herausgegeben von Fr. Dingeldey, 1895. E. Pruvost Leçons de géométrie analytique 2-vol. Paris 1886—1887.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Sposoby kreślenia paraboli.

2.    Twierdzenia , dotyczące stycznych i normalnych paraboli.

3.    Trójkąty, w parabolę wpisane i na niej opisane.

Wykład LIX.

Równania krzywych stożkowych w spółrzędnych jednorodnych punktu, lub prostej.

1.    Spółrzędne trójkątowe punktu. Jako najogólniejsze spółrzędne trójkątowe pnnktn P, w odniesieniu do danego trójkąta ABC, poznaliśmy na str. 91. i 92. w art. 41—43. wykładu VII. wielkości proporcyonalne do różnych, stale obranych, wielokrotności pionów, spuszczonych z punktu P na boki trójkąta odniesienia ABC.

Oznaczając przez px, p%, p₃ odległości prostopadłe punktu P od boków a, b, c trójkąta ABC, przez Z₂, J₃ znane stałe, a nadto, przez q stałą proporcyonalności, otrzymujemy, na określenie najogólniejszych spółrzędnych trójkątowych x j, x₂, x₃, punktu P, wzory:

xi=Q.Àipx, x₂ = ç.À₂p₂, x₂=q . J₃p₃.

2.    Wykreślenie punktu, na podstawie danych spółrzędnych trójkątowych. Znając spółrzędne xl, x₂, x₃, możemy wykreślić punkt P, gdy mamy jeszcze stałe 1₂, 1₃, wtedy bowiem otrzymujemy odległości prostopadłe punktu P:

(i)

x₂

(2)

Pi — —^— ? P 2

p "i

a tern samem, znane będą stosunki: px : p₂ : p₃.

Na podstawie stosunku px \pu który jest stosunkiem pojedynczego podziału kąta, zawartego między bokami CA i CB, trójkąta ABC, wykreślamy prostą CP, odpowiadającą temu podziałowi; podobnie, wykreślamy prostą AP, na podstawie stosunku podziału pojedynczego : Pi'-P3, a punkt przecięcia się P prostych CP i AP będzie żądanym punktem o spólrzędnycli xx, x₂, x₃.

3. Spółrzędne Kartezyusza, jako szczególny przypadek spółrzędnych trójkątowych.

Przyjmując boki CA i CB trójkąta odniesienia ABC, jako osie CX i CY układu ukośiio-

kątnego, o kącie osiowym y( ACB = y , mamy:

PR — x, PQ = y,

P*3 ’

a że, na mocy (1) :

przeto, kładąc :

X₃ —

* u?

siny ’

gdzie h₃ jest odległością wierzchołka C od boku AB,

Ą otrzymujemy:

Fig. 731.

xi _ Pi    _ Pi _

p sin y ’ p sin y

a natomiast: — = X₃p₃=-^³. Jeżeli bok AB oddali się do nieskończoności , wówczas mamy Ps_

7*3

1, a zatem także: — P

^=1.

zatem :

czyli :

Dla trójkąta    w którym bok AB leży w nieskończoności, mamy więc:

—=*» —

p p

=Pajł x2=py, = p,

—=*>

*3 _i

a?₃

— =y-

(3)

Spółrzędne Kartezyusza są więc szczególnym przypadkiem spółrzędnych trójkątowych, który się otrzymuje, jeżeli trzeci bok trójkąta odniesienia wpada w prostą, nie-

skończenie daleką. Mamy przy tern: Xt — X₂

, X₃ — 0, oraz spółrzędne trójkątowe«,«/, 1.

4. Punkt jednostkowy danego trójkąta odniesienia. Przyjmijmy, że stałe Xt, X₂, X₃ zostały tak dobrane, że spółrzędne pewnego punktu P, odniesione do danego trójkąta, przedstawiające się w postaci:

®lŒP*lPl, xî = P\Vî, «3=PX32>3,

otrzymują wartości: «₁=«₂=«₃ = 1, wówczas taki punkt J nazywamy punktem jednostkowym danego układu. Przyjmując p=3 i oznaczając prostopadłe odległości punktu J od boków trójkąta przez r.₂, 7t₃, mamy:

1 -Xj 7lj ,    1-X₂ tt₂, 1 = X₃ 7T₃,

a zatem:

*1

Stąd wynika, że stałe spółczynniki : X,, X₂, X₃ przedstawiają odwrotne wartości pionów k₂, 7i₃, punktu jednostkowego J.

Spółczynniki X1; X₂, X₃ cechują zatem położenie punktu jednostkowego.

Oczywiście, każdy jakikolwiek punkt na płaszczyźnie może być obrany, jako punkt jednostkowy, należy tylko spółczynniki X,, X₂, X₃, tak obrać, aby było:

X₂

T“’    =

~3

*1 ’

przyczem zauważymy, że, ze względu na to, że: ar^ -j-br.₂-\- cjr₃= 2A, gdzie a, ó, c są bokami, a A powierzchnią trójkąta odniesienia , między przyjętemi spółczynnikami X1? X₂, X₃, musi zachodzić relacya :

¹    .    7    ¹ i    1

At    a₂    a₃

2A,

okazująca, że, obrawszy dowolnie dwa tylko spółczynniki X, już wybrano, tern samem, pewien punkt jednostkowy.

5. Związek między spółrzędnemi Kartezyusza (x₉ y) punktu 2P, a jego spółrzędnemi trójkątowemi xi9 x₂₉ x₂. Niech będą boki trójkąta odniesienia ABC, określone równaniami :

AyxA-B^y -f C₁ =0, A₂x-\~B₂y-\-C₂=0, A₂x-\-B₃yA C₃=0, przyczem, wyznacznik Z), utworzony ze spółczynników A, B, C, tych równań jest różny od zera, a punkt P niech ma spółrzędne x, y, wówczas, otrzymujemy, na wyznaczenie prostopadłych odległości: p₎, p₂ p₃, tego punktu od boków trójkąta, wzory:

_AlxJrBiyĄC.

¹ Va\+b\

“j P2

A₂x-*r B₂y -j- C

A₃xĄ-B₃y-\- C₃

-, Pz

(4)

Va\+b\

z których korzystając, nadajemy odległością znak dodatni, gdy punkt względu na dotyczący bok, znajduje się po tej samej stronie, co początek układu.

VA\+B\

ze

Na podstawie wartości pi, p₂, p₃ w (4) podanych, otrzymujemy, na wyznaczenie spółrzędnych xi, x₂, x₃ punktu P, wzory:

X\ = Q

A.

VA\+Bt

X3=Q

2₃

Va\+b\

(A₃x-\-B₃y + C₃),

(A₂xĄ- H₂y C₂),

(5)

czyli :

Va\+b\

x\ =q . A\(Alx-{-Biy-{- Cj), x₂==q P₂{A₂x-\-B₂y-\-0₂), x₃ =qà‘₃(A₃x-\- B₃y-\- C₃), (4')

gdzie :

*1=-/__¹ r=-, P₂ =

Va\+b\

A₂

*3“

Va\+b\

Nawzajem, możemy z powyższych trzech równań, mając x1} x₂, x3 obliczyć niewiadome qx, qy, p, otrzymujemy wtedy:

qx ct^x^-{-ct₂x₂-\-ci₃x₃) ęy=ß^x^ ß₂x₂ ß₃x₃, Q⁼y\X^-\~y₂x₂-{-y₃x3: a stąd, wzory :

Va\+BV

(6)

x at x\ ~k a2x2 ~i~ d?,x?,    _ßjx\ ~f~ßi%2 ~ł~ ^3

7lXl+72X2 +73X3 ’ ~7lXl +72 X2 +73X3 wyznaczające spółrzędne Kartezyusza (x, y) punktu P, za pomocą spółrzęd-nych trójkątowych (xu x₂, x₃) tego punktu.

6.    Spółrzędne trójkątowe i spółrzędne jednorodne punktu. Z powyższych wzorów wypływa, że, zastępując, w równaniu krzywej algebraicznej w-go rzędu, kształtu: f(x, y)=0, spółrzędne Kartezyusza, przez spółrzędne trójkątowe xn X2? X31 przerobimy to równanie na równanie jednorodne w-go stopnia w spółrzędnych trójkątowych xi, x₂, x₃, w postaci: F (xi, #₂, #₃)=0. Z tego też powodu, spółrzędne trójkątowe punktu, nazywamy także spółrzęd-nemi jednorodnemi punktu.

7.    Równanie jednorodne drugiego stopnia w spółrzędnycli punktu.

Wprowadzając w równanie krzywej drugiego rzędu:

(«)

f(x,y)=anx²+a₂₂y²+‘2ai2xy + 2ai3x+2a₂₃y + a3₃=0, zamiast zmiennych x i y, wyrazy (5), zawierające spółrzędne trójkątowe: (xi:x₂,x₃), otrzymamy równanie jednorodne drugiego stopnia, w spółrzędnych (xiJ x₂, x₃), kształtu :

F(x₁,x₂,x₃)=A₁₁x²i-l-A₂₂x²₂-i-A₃₃x²₃ + 2A₁₂x₁x₂-j-2A₁₃x₁x₃ + 2A₂₃x₂x₃=0 (A)

zawierające nowych sześć spółczynników : Am—Am, z których jeden może być zawsze dowolny. Równanie (A) nazywamy równaniem jednorod-nem krzywej drugiego rzędu, w spółrzędnych jej punktów, a możemy je otrzymać, podając n. p. spółrzędne (xi, x₂, x₃) pięciu punktów tej krzywej, odniesione do danego trójkąta, przy danym punkcie jednostkowym.

8.    Badanie rodzaju krzywej, określonej równaniem jednorodnem drugiego stopnia w spółrzędnych jej punktów. Ażeby zbadać rodzaj krzywej drugiego rzędu, przedstawionej równaniem jednorodnem:

(7)

awx2i A-a₂₂x22 +a₃₃a;²3 ■\-iAaX2x^x₂ +2^ ₃x^x₃ Jr2a₂₃x₂x₃ =0, dość jest wyznaczyć jej punkta, leżące w nieskończoności.

W tym celu, należy wyszukać punkta, jakie dana krzywa ma wspólne z prostą w nieskończoności.

9. Prosta w nieskończoności.Wszelka prosta na płaszczyźnie ma, na mocy art. 39. str.

Aixi +Axi44*3 =o,

z którego możemy z łatwością wyznaczyć jej położenie. Kładąc mianowicie xl=0, mamy:

31. równanie jednorodne:

4 x₂ + A₃ x₃ = 0,

skąd, wobec x₂—pl₂p2: x₃ = pl₃p₃, dostajemy:

4 -P^i -Pi + 4*P\’P3 — 0)

a stąd stosunek :

Pi_ _

Pi

4*2 ’

który wskazuje, w jakim stosunku pozostają do siebie piony, wyprowadzone na boki AC i AB, z punktu prze-£ cięcia się Qt prostej : 4*i 44*2 44*3 =0 z bokiem: BC:xt =0, przedstawia zatem stosunek podziału kąta BAC przez promień AQ1} a tern samem, wyznacza na boku BC punkt Q₃ prostej, danej równaniem jedno-rodnem :

4 X1 "I" -42*2 4 4 *3 — 0.

W podobny sposób możemy wyznaczyć punkt Q₂, jako punkt przecięcia się prostej z bokiem £c₂=0, a tern samem wykreślić prostą    odpowiadającą danemu równaniu:

4*i 4 A₂x₂ + A₃x₃ —0.

Stosunek podziału kąta BAC przez promień AQt, przedstawiający się w postaci: ~

gdzie <x₂ i a₃ przedstawiają kąty, jakie pro-

Fig. 732.

sin a₂

możemy także przedstawić w postaci :    ,

mień AQV tworzy z bokami iC i AB, (fig. 732).

Jeżeli punkt Qv staje się nieskończenie dalekim punktem boku BC, wówczas, czając kąty trójkąta odniesienia przez a, ß, y, otrzymujemy :

«3 = a + T » a2 = Y >

ozna-

mamy tedy :

Pi

sin a₂

siny

sin y

sin ß

sin (ay)

sin a₃

Podobnie, znadziemy, dla nieskończenie dalekich punktów boków AC i AB, stosunki:

siny

sin a ’ p₂

P3

Pi

P3

Pi__sin ß

sin a

Spółczynniki 4, A₂, A₃, w równaniu nieskończenie dalekiej prostej , czynią wobec tego zadość warunkom :

sin a

sin ß

siny

Możemy zatem położyć :

sin a

sin ß

sin y

Równanie nieskończenie dalekiej prostej, odniesione do trójkąta (a, ß, y), otrzymuje zatem, w ogólnych spółrzędnych trójkątowych, kształt:

siny

sin 8

sina

z którego, oznaczając przez a, b, c, boki, a przez A1} h₂, h3l wysokości trójkąta odniesienia ABC, otrzymujemy także postacie:

4" xi

À₂

^3

= 0,

(«)

aXi

bx₂

cx₃

= 0,

(P)

albo:

h₂ X₂

h₃ ),₃

0.

Uwzględniając, że punkt jednostkowy J ma piony    ^

mujemy także postać :

~r— ? Twg = —— ) 7Tg

Ai    A₂

(T)

= v-, otrzy-

(*)

W spółrzędnych prostopadłych xi} x₂, x₃, dla których X, = \₂ = 1₃ — 1 , możemy równanie prostej nieskończenie dalekiej , napisać w jednej z następujących postaci :

xx sin a -)- x₂ sin ß -j- x₃ sin y = 0, axy 4~ bx₂ -j- cx₃ =0,

V + 7T + -? =°-

rl<£

10. Punkta przecięcia krzywej f= 0 z prostą w nieskończoności. Połączmy dane równanie krzywej drugiego rzędu :

aiix²i+a₂₂x²₂ Ą-a₃₃x²₃ +2ai2xix₂+2ai3xxx₃ + 2a₂₃x₂x₃=0,

zrównaniem prostej, nieskończenie dalekiej, przedstawiaj ącem się w postaci :

axi + bx ₂ + cx 3 =0,

wówczas, wyrugowawszy z obu równań zmienną x₃, otrzymamy:

«u#²! +«2 2 x\ (axi A-hx.^j)² ■\-2aX2xx “2    + bx₂)xx—2^Æ₂(aÆ₁ \-bx₂)=0,

które, uporządkowane podług potęg zmiennych xi i x₂, przedstawia się w postaci jednorodnej :

albo :

albo :

(aiXc² + a₃₃a²—2 ai 3ac)xx ²(a₂₂c²a₃₃b²—2 a₂₃bc) x₂² + + 2(aX2c²—ai 3bc—a₂₃ ac-\-a₃₃ab)xxx₂—0,

Lx²x -\-Mx²₂ -(- 2 Nxxx₂=0

(«0

(PO

(tO

(8)

(9)

czyli : gdzie :

L=a₁₁c²4-a₃₃a² - 2a₁₃ac, M=a₂₂c² + a₃₃&²—2a2?bc, N=aX2c²—al3bc-\-a₃₃ab—a₂₃ac.

Otrzymane równanie przedstawia dwie proste, wychodzące z wierzchołka : G(xx =0, x₂=0), trójkąta odniesienia, a przechodzące przez punkta przecięcia się danej krzywej z prostą w nieskończoności. Proste są obie urojone sprzężone, albo obie rzeczywiste, różne, lub w jedną wpadające, stosownie do tego, czy wyróżnik tego równania :

(10)

axxc²+a₃₃a²—2«₁₃ac, aX2c²—aX3bc—a,₂₃ac -f-a₃₃ab N M a₁₂c²—aX3bc-a₂₃ac-\-a₃₃ab, a₂₂c² Ą-a₃₃b²—2a₂₃bc jest dodatni, ujemny, czy też równy zeru.

Krzywa, określona równaniem (7), nie ma , w pierwszym przypadku, w nieskończoności żadnych punktów rzeczywistych , tylko dwa urojone, sprzężone i jest elipsą, w drugim przypadku, ma dwa punkta rzeczywiste w nieskończoności i jest hiperbolą, w trzecim przypadku ma tylko jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności i jest parabolą.

A zatem : Równanie: axxx²x + a₂₂x²₂ -\-a₃₃x²₃ + 2ax2xxx₂-\-2ai3xxx₃ -j-2a₂₃x₂x₃—0 przedstawia elipsę, gdy A^> 0; hiperbolę, gdy d<0; parabolę, gdy A=0, gdzie:

A — (axxc²Ą-a₃₃a²— 2ai3ac) (a₂₂c²a₃₃b²— 2a₂₃bc) — {aX2c²— aX3bc — a₂₃ac-\-a₃₃ab)², a przytem a, b, c są, przy spółrzędnych prostokątnych, bolcami, a przy spółrzędnych dowolnych, iloczynami bolców trójkątów odniesienia przez odpowiednie odstępy punktu jednostkowego.

11. Wzór, wyrażający prawo powyższe, możemy przedstawić w formie, o wiele prostszej i przejrzystszej.

Oznaczając, mianowicie, przez <xik minor elementu aik wyznacznika : D = \aik\, i, Jc= 1,2,3 możemy wyróżnik powyższy, podany w formie:

A =(ana₂₂—o²₁₂)c⁴+ («11033—b²-\-(a₂₂a₃₃—a\₃) a² c² -f 2 (a,₂ a₁₃— «u«^) &c³-f -(-2(a₁₂a₂3—»13«2₂)«c3+ 2(0» «23    «12a33) «&C²,

przedstawić w postaci :

(10')

A = c² [a₃₃c² -j- a₂₂&² -j- aHa²-}-2 a₂₃ &c -f- 2a₁₃ ac -|- 2 a₁₂ a&], a stąd, na podstawie teoryi wyznaczników, otrzymujemy wyróżnik wskazany, w postaci

wyznacznika :

A =—c²

all? ®12? ®13? a aï\? ®22? ®23? ^

(10")

®31’ a32? a33? C

0, &

12. Uwaga. Badanie rodzaju krzywych, określonych równaniami drugiego stopnia

w spółrzędnych Kartezyusza, luh Pliickera, za pomocą wyznaczania ich punktów nieskończenie dalekich. Rodzaj krzywej , określonej równaniem drugiego stopnia , w spółrzędnych Kartezyusza , kształtu :

«u*⁵ 4 a^i/²-)r2anxy-\-2anx-\-2anij + a₃₃ = 0, cechuje, jak wiadomo, wyróżnik równania, w postaci:

O)

= an ®22    ®²12 7

(«)

®12? a22

od którego zależy położenie środka (Por. art. 8 — 5 wykładu L), tudzież kierunek asymptot krzywej (Por. art. 11—13. wykładu L.)

równaniu :

Spółrzędne (x=oo, y = oo), punktów nieskończenie dalekich krzywej, czynią tu zadość

aua;² + a.n i/² + 2 axixy = 0

są więc urojone, sprzężone, przy elipsie: (A = ef]1o'₂₂— «²i2>0); rzeczywiste i różne, przy hiperboli: (A<0); a rzeczywiste, w jeden wpadające, przy paraboli (A —0).

Chcąc, zapomocą położenia punktów nieskończenie dalekich, zbadać rodzaj krzywej, określonej równaniem drugiego stopnia w spółrzędnych Pliickera, (porównaj art. 21. str. 744. wykładu LII.), kształtu:

(*)

“n«²+ «22 V² -j- 2«J2 UV + 2 «₁₃ U -f 2«₂₃ V -j- «33=0, należy mieć to na uwadze, że punkt nieskończenie daleki określa się, w spółrzędnych Pliickera , równaniem :

Au -j- Bv — 0, czyli : u -{- X v = 0.

Łącząc to równanie z danem równaniem krzywej, otrzymamy, po wyrugowaniu zmiennej u, równanie drugiego stopnia , ze względu na », w postaci :

®²(*U X²—2 «12^4 a22) — 2»(043 X *23) 4" a33 —0 , które dostarcza dwóch równych wartości na v. skoro będzie:

(«u X² 2 «12 ~k -(- «22) a33 — (ai31—a23)²⁼⁼ 0 ,

(*11 a33    a213)    2X(a₁₂a₃₃    *13 “23) "4 (“22 *33 — *²23)⁼⁼ 0-

Wartości, jakie się z tego warunku na X otrzymuje, przynależą punktom krzywej, położonym w nieskończoności, o równaniu: u-\-kv = 0. Będą one, albo urojone, albo rzeczywiste i różne, albo x’zeczywiste i sobie równe, stosownie do tego, czy wyróżnik równania, przedstawiający się tu w postaci :

czyli :

W=(«na₃₃ —a²n) («22*33 —«²₂₃)—(«12*33—a13«23)²»

(P)

jest dodatni, ujemny, czy też równy zeru.

Wyróżnik ten otrzymuje kształt:

*3 3 | *11 *22 a33 4* 2 a₁₂ «13 «23    «11 *²23    *22 «²13 — a31 a2l 2 } — «33 D 5

gdzie :

«117 «127 *13 al 2 7 a22 7 a23    •

al 3 7 *23? *33

Dana krzywa będzie więc miała wT nieskończoności dwa punkta urojone, czyli będzie elipsą, skoro będzie a₃₃/> X> 0 ; będzie miała dwa punkta rzeczywiste w nieskończoności, czyli będzie hiperbolą, skoro będzie: «₃₃/)<0, a jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności , czyli będzie parabolą , skoro będzie : a₃₃ D = 0.

13. Wyprowadzanie ogólnych własności krzywych drugiego rzędu z ich równań jednorodnych. Przyjmijmy na płaszczyźnie danej krzywej :

f («1, ^21 xz ) =1ai 1 xi² 4 a₂ 2,z:2₂ 4- «3 3X ²3 4 2at 2 xi x₂ 4 2«! 3x₁ x₃ 4- 2a₂ 3x₂x₃ = 0, (11) dwa punkta P(xi,x₂,x₃) i P‘(x\, x'₂, x‘₃), natenczas, każdy punkt M(|j,£₂, £₃), prostej PP‘, będzie wyznaczony równaniami:

Ź2=Q(.x2 + Ax'₂). ^₃ = Q(x₃+Àx‘₃),

(12)

gdzie ę jest stałą propolcyonalności, a parametr X przedstawia stosunek: PM:MP\ podług którego punkt M dzieli odcinek PP‘.

Jeżeliby punkt M miał być jednocześnie punktem danej krzywej tenczas, musiałby się spełniać warunek:    |₂, £₃) = 0, czyli:

f(ç (.Xi+Avi¹), q(p2+^2)» efo+^'s))“⁰;

równanie to, uporządkowane podług potęg parametru X, otrzymuje postać:

X^f{x 1, x 21 te 3) + ź \f^x 1 -\-f₂te 2 + /3Æ z\~\~ f {%\ i    ‘X's):==®

na-

(13)

gdzie :

/i =2 {aiixi    =

àf

dxi

/2    2 |ö!i 2^1 +022^2+^23^3} —

àf

dx₂

fi 2 |a₁₃ ^ +«23^2 +tt33 +3} —

àf

(14)

d#₃‘

Warunek ten daje na X dwie wartości, które wyznaczają dwa punkta M i M\ jako punkta przecięcia się prostej PP‘ z daną krzywą.

Rozbiór tego równania prowadzi do wykrycia ogólnych własności krzywych drugiego rzędu, poznanych w wykładzie LI. Przejdźmy po kolei najważniejsze.

14. Biegun i biegunowa. Przypuśćmy, źe punkta: P(x\, x₂, x₃), P{x‘,, x‘₂, x‘₃) zostały tak dobrane, źe się spełnia relacya :

(15)

fi x\ + fix\ +/? x‘z —0 ,

w tym przypadku, równanie (13) sprowadza się do postaci:

l²f(xu a?„ *3)+ /(*'!, a+, a+) = 0,

skąd otrzymujemy na X dwie wartości, różniące się tylko znakami. Oznaczmy przez : (li, |₂, |₃) i (!',, |'₂, |'₃) spółrzędne dwu punktów M i M', w których prosta PP‘ przecina daną krzywą, natenczas, kładąc stałą proporcyonalności : p=l, mamy w tym przypadku : |i — Xy -j- X x\, I2 = x₂ -j-X *'2, |₃ == x₃ + X x‘₃, î'i=*i — Xas'i, |'₂=a;₂—Xaj'₂, l\=x₃—\x\,

skąd wynika, że para punktów M i M‘ tworzy z parą P, P‘ dwie pary punktów harmonicznych. Przyjmijmy zatem punkt P(xi, :r₂, x₃)i jako stały i poprowadźmy przezeń pęk promieni ; każdy z tych promieni przetnie krzywą w dwu punktach M i J1P, a posiadać będzie także czwarty punkt P', harmoniczny do tych trzech punktów. Ponieważ atoli, w każdym z tych przypadków, spółrzędne x\_, x\, x'₃, czwartego punktu harmonicznego P', wraz z przyjętemi spólrzędnemi punktu P (aą, x₂, x₃), muszą uczynić zadość warunkowi (15), a ten przedstawia równanie pierwszego stopnia ze względu na spółrzędne x\, a?'₂, x‘3 punktu P', zatem mamy znane twierdzenie :

Miejscem geometrycznem punjctu P‘, który ze stałym punktem P tworzy pare punktów, harmonicznie sprzężoną z parą punktów M, M\ w których prosta PP' przecina krzywą drugiego rzędu f= 0, jest linia prosta.

nem

Tę prostą nazywamy biegunową punktu P(a?₁, x₂, x₃), a dany punkt P biegu-tej prostej względem danej krzywej. Z równania biegunowej P(x,, x₂, x₃), które, na mocy warunku (15), możemy przedstawić także w postaci:

(«11*1 + Ol2æ2 + «13 xi)x‘i + («] 2X1 + «22*2 + a23x3) x>2 + («13^1 + *23*2 + «33«+ x>3 = 0 i (15⁴) wypływa także równanie:

(«11^1 + «123+ + «13«+) X1 + («1 2x'l + «22 x‘i + «23 «*'3) X2 + («13 x\ + «23«+ + «33 x's)x3 = 0, (15")

które dowodzi, źe skoro punkt P' leży na biegunowej punktu P, natenczas punkt P leży także na biegunowej punktu P'.

Dwa takie punkta , z których jeden leży na biegunowej punktu drugiego , nazywamy punktami sprzężonymi względem danej krzywej drugiego rzędu. Punkta sprzężone P i P' tworzą widocznie parę punktów, harmonicznie sprzężoną z parą punktów, w których prosta PP‘ przecina daną krzywę, a stąd wynika , że pary punktów sprzężonych względem danej krzywej drugiego rzędu, a leżące na jednej prostej, tworzą inwolucyę, której punktami podwójnemi są punkta przecięcia się tej prostej z daną krzywą.

15. Środek krzywej. Szczególne położenie otrzymuje punkt P(ar₁, xz)i jeżeli jego biegunową jest prosta w nieskończoności. Punkt taki dzieli wszystkie cięciwy krzywej, przezeń przechodzące, na dwie równe części i nazywa się środkiem krzywej. Przy wyznaczaniu jego spółrzędnych (aą, x₂, x₃), musimy mieć na uwadze, że równanie jego biegunowej, przedstawiając się w postaci :

(«11*1 4~ «12 æ2 4“«13a:3) x\ + («12*1 4" «22*2 4" «23*3) *'2 4" («13*1 4- «23*2 4~ «33*3)*'s =0? («) musi być zgodne z równaniem prostej nieskończenie dalekiej , które ma kształt :

(?)

ax\ -j- bx‘₂ -{- cx‘₃ — 0

gdzie x\, x<₂, x‘₃\ są spółrzędnemi bieżącego punktu, a stałe a, &, c przedstawiają (przy spółrzędnych prostopadłych) boki trójkąta odniesienia.

Wobec tego , otrzymujemy równe stosunki :

«11*1 4" «12*2 ~j~ «13*3

«1 3Xl + «23 *2 4~ «33 X?, _(^g)

C

«1 2*1 4~ «22 *2 H⁻ «23 *3

a stąd równania :

«îi^i + «ii-2 + ai3x₃—ah = 0, a₁₂*i 4“ «22*2 4-«23*3 —bk=Q, al3xx 4" «23*2 4-«₃₃*4— ck = 0 , przyczem , oznaczając powierzchnię trójkąta odniesienia przez A, mamy nadto

axx -j- bx2 -(- cx₃ — 2 A.

«11? «12? «13? «

«12? «22? «23? ^

«13? «23? «33? C

a, b, c, 0

otrzymamy stąd spółrzędne (xl, x₂, x₃) środka krzywej, w postaci:

2A «id «13? «

Xi= D «12? «23, h

«13?    «33? c

Kładąc :

= 2)

2A «12) «13? «

,Tl J) «22?    «23? ^

«23?    «33? c

Środek (aą, x₂, *3) będzie punktem nieskończenie dalekim, skoro wyznacznik: D — 0, krzywa jest tedy parabolą.

16.    Proste styczne. Przypuśćmy, że w równaniu (13), obok związku :

/i*'t +A *'2 -h/3 *'3 =0, jest także: f(xu x₂, x₃) = 0, w takim przypadku, równanie (13) przybiera postać :

*²-/i(*i'? a?'₂, a?'₃) = 0,

daje więc na X dwie wartości równe zeru ; oba punkta M i M', w których prosta PP' przecina daną krzywą /—O, schodzą się tedy razem w punkcie P.

Prosta PP' jest tedy styczną, a punkt P punktem styczności.

Równanie stycznej w punkcie P(a?j, x2l x₃) krzywej przedstawia się więc, w tej samej postaci, co równanie biegunowej tego punktu, biegunowa punktu, leżącego na krzywej drugiego rzędu, jest więc styczną do krzywej w tymże punkcie.

17.    Para stycznych. Przyjmijmy, że wyróżnik równania (13) ma wartość równą zeru,

2A «ii) «12? « Xi==L> «12) «22? b

«13? «23? c

(17)

że więc :

/(«i', *'2? *'3) •/(#!? *2? Ï3)-[/l*'l 4-/2a!'2 4-/3*;3]2=r0

(18)

w tym przypadku, równanie (13) daje na X dwie równe wartości, prosta PP' przecina tedy krzywą w dwu punktach M i M\ schodzących się razem w jednym punkcie M, będzie więc styczną w punkcie M krzywej.

Uważajmy w równaniu (18) punkt P(aą, x₂, x₃), jako stały, a punkt P‘(x\, cc'₂, x‘₃\ jako bieżący punkt stycznej, z punktu P wyprowadzonej, natenczas przekonamy się , że także spółrzędne £t, £₂, |₃ punktu styczności M muszą uczynić zadość równaniu (18), a że, dla punktu styczności M jest f(x\, x\, x‘₃) — f($1? £₂, £₃) = 0, więc równanie (18) sprowadza się, w tym przypadku, do postaci:

/i ?1 4”/2 £2 4-/3 ?3 — 0,

z której poznajemy, że punkt styczności stycznej, wyprowadzonej z punktu P do danej krzywej /—O, leży na biegunowej punktu: P(xlf x₂, x₃), która, jak wiadomo, ma równanie :

A *'1 4- A *'2 4- fz x‘z = 0-

Z każdego punktu P(aą, x₂, x₃) na płaszczyźnie krzywej /=0, można więc wyprowadzić parę stycznych do tej krzywej, a równanie tej pary ma kształt:

(19)

/(*' 1? *'2? *'î)/(*i? *2?

18. Para asymptot. Jeżeli przyjętym punktem P (04, x%, x₃), z którego wychodzą dwie styczne do krzywej /= 0, jest środek C krzywej, natenczas para stycznych przechodzi w parę asymptot.

Z równania pary stycznych otrzymamy więc równanie pary asymptot, jeżeli w niem za a?j,    a?₃, podstawimy spółrzędne środka, podane w art. 15. Otrzymujemy tedy, na

mocy wzorów (16):

A

/i*'i + f%x\ + h x\ =    («*'i + bx\ + cx‘₃),

/(* 1» *25 *3) = ^ 5

zaś :

zatem równanie pary asymptot krzywej / = 0, w postaci:

/(*'i, *'25 *'3) +    («*'i -f &*'₂ +cx‘₃y=0,

(20)

czyli, skoro opuścimy kreski, jako zbyteczne, w postaci:

A

/(*15 *2 5 *3) +    («*1 + 0*2 + c*3)² = 0.

19. Uwaga o rozkładzie wielomianu równania drugiego stopnia, przedstawiającego parę prostych, na dwa czynniki pierwszego stopnia. Przyjmując txlxoc₂x₂-\- a₃a:₃, jako jeden z czynników wielomianu :

(«)

/(* 1, *21 *3)= «n*²i + «22 * ²2+«33 * ²3 -\-2anxixi +    + Z anx^x₃,

+ «33 -> ażeby,

«3

zauważymy, że musimy drugiemu czynnikowi nadać kształt: au — + a₂₂ —

«1    “2

po wykonaniu mnożenia, spółczynniki przy x\, x\, x\ wypadły kolejno równe: an,0!₂₂, «33-Możemy zatem, na wypadek, gdy wielomian f{xu x%. x₃) da się rozłożyć na dwa czynniki pierwszego stopnia, utworzyć tożsamość:

/(*l5 *25 *3)= («1*1 + «2 *2 + «3 *3) («11 “ + «22 ^ + «33

(*)

z której, porównywając po obu stronach odpowiednie spółczynniki , otrzymamy następujące równości:

2«12 ⁼ «i i ~ + «22 ~ 5 «1 «2

którym stanie się widocznie zadość skoro spełni się znany warunek :

D ⁼ I aik I ⁼⁼ 0 , (i, h= 1, 2, 3).

W tym przypadku , otrzymamy z którychkolwiek dwu równań układu (21), n. p. z pierwszych dwu równań, które możemy napisać w postaci :

2«13 - «11

«1    *3

2 «23 - «22 ~ ~ł~ «33 ~ 5

*2    «3

(21)

«u

(~) “2 a₁₂ -y + «22 — 0

\aj /    ctj

«u

(21')

niewiadome stosunki spółczynników :

«2 __«12±V/«²12 — «11 «22    «3 _ «13± V/«²i 3 ~ «11 «33

5    _

«1

«1

«11

«11

na podstawie których , kładąc :

«1 =1«115 «2 = 1(«12± V/«²12 — «11 «22)5 «3 =l(«13 =t V/«²13 —Oh «33)5 «1=X«115 a2=K«12 ± V — «33 )j «3 = M«il ± V — «22)5

czyli :

gdzie X jest czynnikiem dowolnym, bliżej nieoznaczonym, zaś elementa a/* są minorami wyznacznika : | a,k |, dostajemy rozkład tożsamościowy :

fi (*15 *25 *3) = [«11*1+(«12 + V/ — «33 ) *2-1- («13 +\/--«22 ) *s]-[«11 *1 +

+ («12 V «33 ) *2 4"l«13 V/ «22 /) *3]-0.

«11

(22)

Z dwu prostych, przedstawionych w równaniu jednorodnem : f(xt, .r₂, a;₃) = 0, z warunkiem: j «*& I = 0, ma, tedy, jedna z nich równanie:

«11*1 +(«12 + V/-«33) *2 + («13 + V/ —«₂₂)*3 =0

(«)

druga zaś równanie:

(P)

«11*1 H⁻ («12 V— «33) *2 d⁻ («13 V—«22) *3 =0.

Proste są, obie urojone, skoro, albo «₃₃ > 0, albo a₂₂>0, albo też jednocześnie: «33 >0 i «22 są obie rzeczywiste i różne od siebie, skoro jednocześnie a₃₃<.0 i a₂₂ <; 0, obie przedstawiają jedną prostą, prostą podwójną, skoro a3 3 = 0, i a₂₂=0.

20. Równania jednorodne pojedynczych asymptot krzywej drugiego rzędu. Stosując powyższy rozkład równania pary prostych na czynniki stopnia pierwszego do równania pary asymptot, przedstawiającego się, na mocy art. 18. str. 864. w postaci:

A

/(*i, xu *3) + D («*1 +    + ^₃)² = ⁰ j

(23)

otrzymujemy równanie pojedyńczej asymptoty, w postaci:

«1 x\ + «2^2 +- «3 ^3 = 0,

gdzie :

\/(«i2+;^-«&) “ («11+]^-«²) («22 + ^ &²) , \/(«i3 + J-««) “(«n + ;^«²) («ss+^c²)    .

ab -t-

“2 — «12 + Jy

«3 =«13 + 7)«C±

przyczem, znaki górne odpowiadają jednej , a znaki dolne drugiej asymptocie.

Asymptoty są urojone sprzężone, lub rzeczywiste, stosownie do znaków wyrażeń występujących pod znakiem pierwiastkowym.

Wyrażenia te mają kształt :

(«12 + -jj ~ (+1 + Y) {a-22't ^0— «²i2 («13 + p- ac) — («11+ ~ a²) («33 + ^-c²)=«²i3

(«23    ic) - («22+ JÏ &²)(«33 + ^-c2)=«²23

— an a₂₂

«11 «33

— «22 «33 —

A

—    («H&² +«22 a²—2a₁₂ ab),

A

^-(«₃₃«²-f an c² —2a₁₃ac), (24)

A

—    (a₂₂c² -f a₃₃ b"> — 2a₂₃ bc).

21. Warunek prostopadłości dwu asymptot. Z wzoru, podającego kąt nachylenia dwu prostych, określonych równaniami w Kartezyuszowskich spółrzędnych prostokątnych (x,y),

Ax -f- By    C = 0, A'x-\- B'y C' = 0,

kształtu :

podanego w art. 20. str. 71., znajdziemy, metodą przekształcenia, wzór na kąt nachylenia dwu prostych, określonych równaniami jednorodnemi, w spółrzędnych prostopadłych:

AjXj 4- Ażx₂ 4- A₃x₃ —0 , A\xj + A\x₂ 4- A'₃x₃ =0 ,

w postaci :

(A₂A'₃— A₃A\) sin a4- (A₃A\— AjA'₃) sin ß -f (AjA'₂—A₂A/₁)sin y

At A\ -)-A₂AJ ₂-{- A₃A‘3 —ÇA-₃A'₃ -\-A₃A‘₂) cos a— (A₃A\ —j— -^i^l'a^cos ß— {Aj A\-\-A₂A\)cos y gdzie «, ß, y są kątami trójkąta odniesienia ABC. Z wzoru tego, wypływa warunek prostopadłości dwu prostych , kształtu :

Ai A\ -f- A₂A'₂-\- A₃ A₃‘— (A₂A/3 4~ A₃A'₂) cos a — (A₃A\ -}- Aj A‘₃) cos ß — (AjA'₂ -j- ^4₂ ^4'j) cos y — 0. skąd, otrzymujemy, na podstawie równań jednorodnych dwu asymptot, warunek prostopadłości dwu asymptot krzywej f(xx, x₂, x₃) = 0, w postaci równania:

«11 + a-22 + «33—2«23 cos a—2a₁₃cos ß—2 «₁₂cos y = 0.

Równanie to określa, tern samem , warunek, pod jakim , dane równanie jednorodne, w spółrzędnych prostopadłych, przedstawia hiperbolę równoboczną.

Warunki, pod którymi równanie jednorodne drugiego stopnia, w spółrzędnych prostopadłych, przedstawia koło, otrzymujemy, na mocy wzorów (24), w postaci:

a)t&² -(- a₂₂«²—2al2ab = a₃₃a² -j- auc²—2al3ac= a₂₂c² -f- a₃₃b²—2a₂₃bc.

22. Średnice krzywej. Obierzmy na płaszczyźnie krzywej: /(ay, x₂, x₃) = 0, prostą

(25)

(26)

o równaniu: Ajx\-\-A₂x’₂-\-A₃x‘₃—Q, w którem x\, cc'₂, x‘₃ są spółrzędnemi bieżącego punktu, i poszukajmy średnicę, która cięciwy, równolegle do prostej przyjętej, dzieli na dwie równe części. W tym celu, poprowadźmy w punkcie (ccj, cc₂, cc₃) krzywej /=0, styczną do niej, styczna ta ma równanie :

(27)

/l*'l +/2a:<2+/3a:/3=0-Zbadajmy, podjakiemi warunkami styczna ta byłaby równoległą do przyjętej prostej a więc, żeby przecięła ją w pewnym punkcie, leżącym na prostej w nieskończoności określonej, w spółrzędnych prostopadłych (art. 9. str. 8G0.), równaniem:

ax\ -j- bx\ + cx\ = 0.

W tym przypadku , musi się spełnić warunek :

fu

A = o.

(28)

a,

55

Dr. Dziwmski. Wykłady matematyki I.

Równanie to, zawierając w _/j, f₂,    , zmienne a?l5 x₂, #₃, wskazuje, jak należy wy

brać na krzywej / = 0, punkt aą, a:₂, *₃, aby styczna: f,x\ -CAx'iAA x\ — 0, była równoległą do przyjętej prostej, a ponieważ to równanie jest równaniem stopnia pierwszego w spółrzędnych aą, a:₂, a;₃ bieżącego punktu, a więc przedstawia linię prostą, przeto wynika stąd, że punkta te należy obrać na przecięciach się tej prostej z krzywą/ — O.

Prosta, określona równaniem (28), ma więc tę własność, że styczne, wyprowadzone w jej punktach przecięcia się z krzywą /== 0, są równoległe do przyjętej prostej:

A₂x\ -j- A₂x‘₂ =0,

dzieli więc wszystkie cięciwy równoległe do prostej: Axx\-\- A₂x\ -f- A₃x'₃ — 0, na dwie równe części, jest zatem żądaną średnicą, sprzężoną z daną prostą.

Równanie średnicy, sprzężonej z prostą: A, x\ -j- A$x⁴% -j- A₃x‘₃ =0 , przedstawia się, zatem, w spółrzędnych prostopadłych punktu, w postaci :

(29)

fu Ai A Ai, A₂, A₃ —0. a, b, c

23. Przekształcenie równania krzywej stożkowej na równanie, odniesione do innego trójkąta. Ogólne równanie krzywej :

«iix²i + a₂₂æ²₂ -j-cr₃₃x²₃ -\-2ai2xix₂ Jr2aizxixz + 2a₂₂x₂x₃=0, odniesione do pewnego trójkąta odniesienia, możemy przekształcić na równanie, odniesione do innego trójkąta odniesienia, używając wzorów transformacyjnych , kształtu :

xi—liXi-\-l₂X₂-\-l₃X₃, x₂=miXi-rm₂X₂-\-m₃X₃, x₃=niXi -\-n₂X₂ An₃X₃ ;    (30)

otrzymamy tedy nowe równanie tej samej krzywej , w postaci :

AiiX₁ ²+A₂₂X₂²+A₃₃X₃²Ą-2A₁₂XiX₂ + 2Ai3Xi X”₃+ 2ił₂₃X₂X₃=0,

gdzie :

A\\ =o₁₁Z²i -\-a₂₂m²x -ha₃₃w²₁ 4-2ai2liml 4-2a₁₃?lwl -\-2a₂₃mxni,

Ai2 = aulil₂ + a₂₂mim₂ + a₃₃n₁n₂-\- ai2(lAm₂ -W₂wi) +

+a₁₃(Z₁w₂ + Z₂M₁)-ł-a₂₃(m₁w₂ -j-m^), itd.

Równanie to jest, odnośnie do nowego trójkąta odniesienia, tego samego stopnia, co równanie dane, odnośnie do pierwotnego trójkąta, przy jakkolwiek określonych spółrzędnych trójkątowych, co dowodzi, że, wskutek przekształcenia równania krzywej dowolnej, danego w spółrzędnych trójkątowych, odniesionych do pewnego trójkąta, na równanie, odniesione do jakiegokolwiek innego trójkąta, nie zmieni się stopień równania jednorodnego, który nazywamy rzędem krzywej.

Mając, na mocy wzorów transformacyjnych (30), dziewięć spółczynników do rozporządzenia, możemy nowy trójkąt odniesienia tak obrać, aby równanie jednorodne danej krzywej przedstawić w możliwie najprostszej postaci.

Zanim przystąpimy do wyprowadzania możliwie najprostszych postaci równań jednorodnych danej krzywej drugiego rzędu, w spółrzędnych trójkątowych punktu, wywołanych stosownym wyborem trójkąta odniesienia, rozważmy wpierw spółrzędne trójkątowe prostej.

24. Spółrzędne trójkątowe linii prostej. Ogólne spółrzędne trójkątowe linii prostej l określiliśmy w wykładzie VIII. art, 16. str. 102. jako wielkości proporcyonalne do różnych , stale obranych, wielokrotności odstępów tej prostej od wierzchołków trójkąta odniesienia ABC.

Oznaczając przez d₂, d₃ odległości danej prostej od wierzchołków danego trójkąta odniesienia ABC, mamy spółrzędne trójkątowe tej prostej, określone ogólnie wzorami :

(31)

Ml ^^.1^1, M₂—Ç Â₂Ô₂, Mg Ç À₃Ô₃, w których, spółczynniki X₂, i₃, są znanemi liczbami stałemi, a ç dowolnie przyjętą stałą proporcyonalności.

25. Wykreślenie prostej, danej spółrzędnemi trójkątowemi: ut, tą, tą. Znając spółrzędne trójkątowe w,, u₂, u₃ linii prostej, odniesionej do trójkąta ABC, a więc, mając przytem spółczynniki Xl5 X₂, X₃ i stałą propoi’cyonalności p, otrzymujemy odstępy prostopadłe:

«I

ux

pX 1

i’

u₃

pV

Na mocy tych wzorów, znajdujemy stosunki :

_ ^2    °2 ^3    U₂

0₂ I3    §2    ^2    UZ

, na mocy art. 1, 2, 3, wy-

DA

z których, pierwszy 5-è2

kładu V. str. 50. i 51., przedstawia stosunek pojedynczego podziału boku AB przez punkt D, w którym szukana

JOB

prosta przecina bok AB, a drugi stosunek :

o₂__EB

przedstawia stosunek pojedynczego podziału boku BO przez punkt E, w którym szukana prosta przecina bok jB<7(fig. 733.). Za pomocą tych stosunków, możemy więc wyznaczyć punkta D i E, w których szukana prosta przecina dwa boki AB i BO danego trójkąta odniesienia; punkta te, połączone ze sobą, dają więc szukaną prostą, określoną ogólnemi spółrzędnemi trójkątowemi: uu u₂, %.

26. Spółrzędne Pliickera (u, v), jato szczególny przypadek spółrzędnycli trójkątowych prostej. Obierzmy, odnośnie do danego trójkąta ABC, stałe 1₂, >-₃ tak, aby było: X, :X₂ :X₃ = — 1 : — 1: 00 , natenczas , przyjmując p = 1, otrzymamy, dla spółrzędnych trójkątowych : ux, u-2, «3, danej prostej, stosunki:

Fig. 733.

czyli :

•>>

Ui : u₂ : u₃ = —    : —S₂ :00 . S₃,

. S2

I ćo

P-?

3,

Przyjmijmy boki CA i CB trójkąta odniesienia ABC (fig. 734.), jako osie układu o kącie osiowym 7, i połóżmy CE—a., CF — ß, AE=a.‘, BF=$', a otrzymamy :

oc

06

a' S₂ ß'

a więc :

Ul \u₂\u₃ = —

Il23-

: 00.

Jeżeli teraz bok AB, oddala się od wierzchołka C w nieskończoność, wtedy będzie , w końcu a' = 00, ß' = oo, otrzymujemy, w tym przypadku, stosunki:

Wj * ^2 ! Wj ——

z których, przyjmując stosunki nieskończonych odległości we wzorze tym, równemi 1, otrzymujemy :

Możemy zatem położyć :

Fig. 734.

00

00

— : °°,

Ul : w₂ : «3 = —

i:l.

Ul

u₂

«3

U₃

a tern samem, otrzymujemy spółrzędne Pliickera (u, v) w układzie osi CA, CB, jako szczególny przypadek spółrzędnych trójkątowych.

27. Prosta jednostkowa danego trójkąta. Przyjmijmy stałe X,, X₂, X₃ tak, aby spółrzędne trójkątowe: ux, tą, u?>, danej prostej były wszystkie równe 1. Taką prostą nazywamy prostą jednostkową. Otrzymujemy, w tym razie, przyjmując także stałą proporeyo-nalności: p = l, jej spółrzędne:

a stąd, dostajemy stałe:

Ui ■—- X j Oj 1 , U-2 1₂ §₂ 1 , U<2 — X₃ 0₃ ».— 1,

8,

(32)

Stałe X,, X₂, X₃, w spółrzędnych prostej jednostkowej j( 1, 1, 1), przedstawiają zatem odwrotne wartości odległości tej prostej od wierzchołków trójkąta odniesienia.

na

Widzimy z tego, że, obrawszy, odnośnie do danego trójkąta, pewną prostą j płaszczyźnie, jako prostą jednostkową, mamy, tern samem, już wyznaczone stałe X,, X₂, P, i nawzajem, obrawszy stosunki stałych: X, :X₂:X₃, mamy, tern samem, już wyznaczoną pewną prostą jednostkową: ;( 1, 1, 1).

28. Prosta jednostkowa, jako harmonikalna punktu jednostkowego. Obierzmy na płaszczyźnie trójkąta ABC punkt J taki, że, piony p₁ :p₂:p₃ —    : y- :    » i połączmy go

Aj Ag ^3

*1*1 —    =0,

P*2    P*3 ;=: 0 ,

P*3 — Xjä-j =0.

z wierzchołkami A, B, C, liniami prostemi, to proste te przetną boki trójkąta , kolejno w punktach A', B‘, C‘, (fig. 735.), a ich równania , w spółrzędnych prostopadłych, będą kolejno następujące:

1,

//

Weźmy teraz pod uwagę prostą A‘B‘. Prosta A‘B‘, przechodząc przez punkt A', jako punkt przecięcia się prostych :

*1=0 i X₂x₂ — P*3 = 0, musi mieć równanie kształtu :

p l₂x₂ — l₃x₃ = 0 ,

nanie :

Fig. 735.

a, że przechodzi także przez punkt ił', jako punkt przecięcia się prostych :

x₂ = 0 i l₃X₃ —    — 0,

więc, jej równanie możemy napisać także w po-X'x₂ —j— X, x₂ — ^3*3 "    0.

Z porównania tych równań, -widać , że: X=X₁, X' = X₂ , prosta A'B' ma więc rów-

XjTi -j- X₂æ₂ — 13*3 = 0.

staci :

Podobnie znajdziemy, że prosta B‘C‘ ma równanie: —Xlxi -j- X₂x₂ p X₃cc₃ =0, prosta C'A‘ zaś równanie: \xi — X₂ æ₂ p \₃x₃ =0.

Punkta przecięcia się: 1) Cj prostej A‘B' z bokiem AB, 2) A, prostej B'C z bokiem BC i 3) Bl prostej C'A' z bokiem CA, określają równania :

x₃ =0, Xjifj + X₂a?₂ X₃x₃ ⁼0 x₂ =0, X,:», — X₂a;₂ -|- X₃x₃ =0 Xy - — 0, X|3;j — X₂ce₂ — X₃Xot — 0

z których wypływa , że wszystkie trzy punkta Ax,    , C\ leżą na jednej prostej o równaniu :

P xl ”1" P ^3*3 = 0.

Prosta ta ma tę własność, że jej przecięcia się At, Bt, C\ z bokami trójkąta dzielą, wraz z punktami A', B', C‘ te boki harmonicznie. Nazywamy ją też harmonikalna punktu J. Mając na uwadze to, że punkt jednostkowy J ma , według art. 4. str. 857., piony:

: r₂ : 7r₃ —

_1    _1_ . 1

p    P P a prosta jednostkowa j ma, w tym układzie spółrzędnych prostopadłych, równanie:

Pxi p P*a P p*3⁼⁼⁼ 0*

widzimy, że prosta jednostkowa jest harmonikalna punktu jednostkowego. Nawzajem, punkt jednostkowy jest harmonikalnym prostej jednostkowej , prosta jednostkowa j ma, bowiem,

według art. 27. str. 867. piony: : 8₂ : $₃— — : — : —, a punkt jednostowy J ma w tym

p X₂ X₃

układzie równanie: \uv -J-X₂m₂ P X₃w₃ =0.

29. Związek między spółrzędnemi Pliickera, a spółrzędnemi trójkąto-wemi danej prostej. Niech będzie daną prosta, odniesiona do układu prostokątnego YOX, określona spółrzędnemi Pliickera (u, v), czyli równaniem: ux p vy P 1 = 0. Obierzmy na płaszczyźnie dowolne trzy punkta A, JB, C, nie leżące na jednej linii prostej, a więc, określone ogólnie równaniami:

Ai wp JB^ v p =0, A^u p B%v p =0, A₃u-\-H₃v-\-C₃=0, w których wyznacznik D, utworzony z ich spółczynników jest różny od zera, natenczas spółrzędnemi prostokątnemi tych trzech punktów będą stosunki:

A₃    b₃

ył_₂ M -f- -B₃ V d~ C₃

C₃ \/u²-{-v²

I -    \ /Aj -^2 \ (A₃ B₃\

Uv    r v<v cj’ [c₃’ cj

Odległości tych. punktów od danej prostej przedstawią się tedy

4r m+7^v + 1

ß _^1    ^1_

\/m² + V²

wzorami :

u -j~ 15] t? -f⁻ O.

Z*

Y? M+

d — °²

\/w²4-î;²

<?2

.4 2 W ~h 3B<%V d⁻ Cn C₂ \/ u² \v²

pM+wM 1 (5n - °3    U3__

\/u²Ą- v²

przyczem, uważamy odległość każdą za dodatnią , gdy dotyczący punkt leży po tej samej stronie prostej (u, v), co początek układu.

Wobec tego, otrzymujemy spółrzędne trójkątowe danej prostej :

, ^2¹⁼⁼ Q ^2 ^21 ^3⁼⁼⁼ Q ^3 4₃ j

określone wzorami :

tii =

A 2 m d~ B2 v -j- C₂

Gl \Au²-{-v²

C₂Vu²-{-v²

Połóżmy av tych wzorach : porcyonalności, i oznaczmy :

\A u² -j- v²

A₃u d" B₃v -j- G3 C₃V u² -f- v¹

uważając q\ jako stałą pro-

u₃ ę X₃

. (33)

--—A*

C.

A₂

^‘2 J

X₃

*8,

natenczas, otrzymamy powyższe wzory, w postaci:

⁼⁼ X¹ ^ A ^ . p w d⁻ X¹ ^ B^. qv -j- X¹ ^    . p,

M2 ^2 * ^Md-^2-^2* (W+ ^2 ^2*

M₃ =>ł ₃ M3 .    3-^3* P ^ 3 ^3*

skąd, możemy, mając w1? w₂, m₃, wyznaczyć, naodwrót, niewiadome (W, (>v, (). Otrzymujemy tedy:

ęu^a^+ct^+a^, QV=ßiui+ß₂u₂+ß₃u₃, Q=yiul+y₂u₂Ą-y₃u₃₁

<?₃

(330

a stąd :

(34)

M = «iMj +«2^2 +«3% v = ßlUl +ß2U2+ßsU3

y₁ ux + y₂ w2+y 3% ’    ri Mi + y iui+y₃ %

wzory, wyznaczające spółrzędne Pltickera przez spółrzędne trójkątowe prostej.

30. Spółrzędne trójkątowe, a spółrzędne jednorodne prostej. Mając daną krzywą algebraiczną, określoną równaniem w-go stopnia między spółrzędnemi (w, v) prostej; w ogólnej postaci: f(u,v) = 0, i, podstawiając w równanie to za u i v wartości, we wzorach (34) podane, otrzymamy równanie jednorodne w-go stopnia w spółrzędnych trójkątowych w1} u₂, u₃ prostej, w ogólnej postaci: F(ui, u₂, u₃)=0.

Ponieważ, każde równanie n-go stopnia, w spółrzędnych u,v, stanowiącego klasę linii krzywej, za wprowadzeniem spółrzędnych trójkątowych ux, u₂, u₃, przechodzi na jednorodne równanie tego samego stopnia, przeto spółrzędne trójkątowe m1? m₂, uz prostej, nazywamy także spółrzędnemi jedno-rodnemi prostej.

31. Kównanic jednorodne krzywej drugiej klasy. Wprowadziwszy w równanie krzywej drugiej klasy, o ogólnem równaniu Plückerowskiem, wyprowadzonem w art. 21. str. 744., w postaci:

/'(w, v) = a₁₁M² + a₂₂i;² + 2a₁₂m>--l-2G!₁3w4-2a₂3'y-}-a₃3==0, za zmienne u i v, wyrazy (34), zawierające spółrzędne trójkątowe: (w₁,m₂,m₃), otrzymamy równanie jednorodne kształtu:

F ( , U₂ , U₃ ) = A i ₁ U ² ! + A₂ 2 U \ + A 3 3 U \ + 2 A i 2 «1 W₂ + 2 4₂ 3 «2 U₃ -f 2 A ! 3 W₃ = 0 , jako ogólne równanie jednorodne krzywych drugiej klasy, w spółrzędmych jednorodnych linii prostej.

32. Przekształcenie równania jednorodnego krzywej, danego w spół* rzędnych punktu, na równanie jednorodne w spółrzędnycli prostej. Mając daną krzywą: f(xu x₂, x₃)=0, określoną równaniem jednorodnem, w spół-rzędnych punktu, odniesionem do pewnego trójkąta i do pewnego punktu jednostkowego, i zatrzymując ten sam trójkąt odniesienia, możemy przejść łatwo do równania tej samej krzywej, w spółrzędnych prostej, stycznej do tejże krzywej.

W tym celu, przyjmijmy na tej krzywej pewien punkt: P(x₁, x₂, x₃), to równanie stycznej, w tym punkcie, przedstawia się w postaci:

f\x\ + f₂x‘v+f₃x‘ ₃=-0,

gdzie :

fi — «1 1*1 d* «1 2*2 ■+ «13*3) /2 «1 2*1 “i⁻ «2 2*2 “ł" «2 3*3) /*3 «1 3*1 “h «23*2 4" «3 3*3 *

Połóżmy: f\=QU^ /₂—ęw₂, f3⁼Qłl3i natenczas, równanie stycznej przyjmie

postać :

WjÆ'j 4-w₂æ'₂ 4-w₃æ'₃-=0.

Ponieważ punkt styczności P(o?₁, æ₂, #₃) musi leżeć na stycznej, mamy zatem, następujące cztery równania:

«11*1 4~ «12*2 4” «13 *3    0 ,

«1 2 *1 4“ «2 2 *2 4” «2 3 *3    ^«2 “ ^ ;

«13*1+ «23*2 4“ «33*3- ^3=0,

xi -f- u₂ x₂ 4- w₃ #₃ — ^ . 0=0,

z których, po wyrugowaniu zmiennych xi,x₂,x₃ i stałej proporcyonalności q otrzymujemy równanie :

«11) «12) «13) «12) «22) «23) «13) «23) «33»

u₂

«3

sT 3? s c

=0

(35)

jako równanie krzj^wej : f'(xj, x₂, æ₃)=0, w spółrzędnych linii prostej, które, po rozwinięciu, otrzymuje postać:

F(u{, u₂, ^3) = «!^^+«₂₂w²₂+ a₃₃M²₃ 4-2a₁₂w₁M₂+2o!₁3^5^3 4-2023^2m₃=0 , (354 gdzie a,* jest minorem, należącym do elementu aik, w wyznaczniku:

D ■= |«a|, (i , &=1, 2, 3).

Nawzajem, krzywa, przedstawiona równaniem: F(ui, u₂₎ w₃)=0, jako zbiór prostych, do niej stycznych, (jako obwiednia tego zbioru prostych), da się, w odniesieniu do tego samego trójkąta, przedstawić, jako zbiór punktów, za pomocą równania :

Xy , X₂ ,

Æ-g, 0

Nazywając rzędem, stopień równania krzywej, w spółrzędnych jej punktów, a klasą, stopień jej równania w spółrzędnych. jej stycznych, mamy stąd znane twierdzenie: Krzyice drugiego rzędu są zarazem Jerzywemi drugiej lelasy.

33. Dyskusja ogólnego równania krzywych drugiej klasy. Przyjmijmy na płaszczyźnie danej krzywej :

«P (% , U], w₃) — an^"i "p ®22w22 d~ a33w23 "t 2aj2wlw2 “p2*i3Mlw3 Ą~'^ct33ul‘u3 —0

(37)

dwie proste p{uu u₂, u₃) i p'(u\, u'?, u'₃), natenczas, każda prosta l(vj, v.₂, v₃), przechodząca przez punkt przecięcia się prostych p i p\ będzie określona równaniami :

(37')

®i = P (u\ + ^'i), ^2 =P («2 + W₂), *?₃ = p(«3 4- *“'3)»

gdzie p jest stałą proporcyonalności, a parametr X przedstawia stosunek pojedynczego podziału kąta pp' przez prostą l.

Jeżeliby prosta l miała być jednocześnie styczną, a więc elementem danej krzywej, natenczas , musiałby się spełniać warunek:

co [p(«! -p Xm'j), p(w₂ -J- Xu\), p(m₃ -j- Xm'₃)]=0; równainie to, uporządkowane podług parametru X, otrzymuje postać:

-T-1    T—(

8 8 8

a a a

ŁO

= 0.

(36)

gdzie :

X².cp(M't, m'₂, m'₃) + X [?!.    + y₂. «'₂ + ft. “'3] ł ?>(«!, m2) «3) = 0»

(38)

Vi— 2    d- ai2M2 + ai3 ^3} —

dep

fp₂ —2{«₁₂% -p a₂₂w<₂ +«23w3| —

dtp

du₃ ’

(p₃ —-p«23M2⁻l~a33M3 J. —

()m₃

i daje na X dwie wartości, które wyznaczają dwie proste l i V, jako styczne do danej krzywej, przechodzące przez punkt przecięcia się prostych p i p‘.

Rozbiór równania (38) prowadzi do wykrycia ogólnych własności krzywej drugiej klasy, analogicznie, jak rozbiór równania (13) prowadził do wyprowadzenia ogólnych własności krzywych drugiego rzędu (art. 13. i nast., str. 861. i nast.).

W szczególności, otrzymujemy równanie:

<p\ • ui 4~ <p\ • w₂ -p cp"₃ . u₃ =0,

(39)

czyli :

(<xnu\ +*l2u'iĄ-«l3u'₃)ul -pÇa^M'j-P a₂₂w'₂ -p OjjMP) u₂ + (*l3u\ + a₂₃w'₂ -f «33^3) «8=0 , jako równanie punktu, przedstawiającego biegun prostej {u\, m'₂, w'₃), względem danej krzywej <jP — 0 ; równanie :

(40)

(all + “12 "P a13)wl + (a12 + a22 + a23) U2 + (®13 + a23 + a33) u3 — 0 , jest równaniem środka krzywej = równanie:

<p'i. u! -pcp'₃ u₃=0, z warunkiem: z>(u‘1? w'₂, u'₃) = 0, jest równaniem punktu styczności prostej u\, w'₂, w'₃, stycznej do krzywej <p — 0; równanie:

f(u\, U\, U'₃).co(uu «2, %) — (?'l«l +?y2M2 + ?'3«3)² = 0, przedstawia znowu parę punktów krzywej <?=0, leżących na prostej: (u\, u'₂, u\).

(41)

Ćwiczenia LIX.

1)    Boki trójkąta odniesienia, nieograniczenie przedłużone, dzielą płaszczyznę na siedm pól; jakie znaki mają spółrzędne punktów w poszczególnych siedmiu polach, skoro pi'zyjmiemy spółrzędne punktu, położonego wewnątrz trójkąta, jako dodatnie.

2)    Wykazać, że suma algebraiczna powierzchni A1? A₂, A₃, trójkątów, których boki łączą dowolny punkt P płaszczyzny z wierzchołkami trójkąta odniesienia ABC, jest równa powierzchni A tego trójkąta.

B) Podać spółrzędne (xu x₂, x₃) punktu P, określone, jako odległości tego punktu od boków trójkąta odniesienia, mierzone w kierunkach , które z bokami a, i, c trójkąta tworzą kąty aj, a₂, a₃, skoro py, p₂, Ps są odległościami prostopadłemi tego punktu od boków trójkąta i wyznaczyć odstępy rt, r.₂, 7:₃, dotyczącego punktu jednostkowego (1, 1, 1).

4) Podać związek, jaki zachodzi między spółrzędnemi punktu P, określonemi

w zag. 3).

5) Podać spółrzędne Xy, x₂, x₃, punktu P, określone, jako odległości tego punktu od boków trójkąta odniesienia, mierzone w kierunkach, które z bokami a, b, c, tworzą kolejno kąty aj, a₂, a₃, skoro punkt P, połączony z wierzchołkami A, P, G trójkąta odniesienia, tworzy z bokami trójkąty o powierzchniach Aj, A₂, A₃ i wyznaczyć odstępy dotyczącego punktu jednostkowego «7( 1, 1, 1).

G) Podać związek między spółrzędnemi (aą, x₂, x₃), określonemi w zag. 5).

7)    Podać spółrzędne x₂, x₃ punktu P, określone w zag. 5.), skoro trójkąt odniesienia ma wysokości lij, h₂₎ h₃, podać dotyczący związek między temi spółrzędnemi i wyznaczyć punkt jednostkowy «7(1, 1, 1).

8)    Znaleźć bezwzględne wartości spółrzędnych Xy, x₂, x₃ punktu, określonych stosunkami Ej : ę₂ :?3? w odniesieniu do trójkąta a, b, c, o wysokościach:    h₂, h₃ i powierz

chni A, skoro punkt jednostkowy «7(1, 1, 1) ma odstępy tcj, n₂, r₃, a z bokami tworzy trójkąty o powierzchniach: Aj, A₂, A₃.

9)    Wykazać, źe t. z. punkta osobliwe trójkąta odniesienia, o kątach a, ß, y, mają spółrzędne prostopadłe (xu x₂, x₃), pozostające w następujących stosunkach:

Xy : x₂ :x₃ =

a) Środek ciężkości :

sin a ' sin ß ' sin y

ß) Punkt przecięcia się wysokości: xy.x₂:x₃

cos a

cos ß ’ cos y

y) Środek koła wpisanego: Xy :x₂: x₃ — 1:1: 1 ; o) Środki kół zawpisanych: a) xy\x₂\x₃=—1:1:1, b) xy\x₂\x₃=l :—1:1, ć) Xy‘.x₂. x₃=V.l\—1. e) Środek koła opisanego : Xy : x₂:x₃ = cos a : cos ß : cos y ;

Ç) Środek koła, przechodzącego przez środki boków trójkąta (koła Feuerbacha) : xl:x₂:x₃ = cos (ß — y) : cos (y—a) : cos (a—ß).

10)    Wykazać, że spółrzędne jednorodne ay, x₂, cc₃, wszelkiego punktu, jakkolwiek określone, ze względu na pewien trójkąt odniesienia, są zawsze owiązane relacyą kształtu: d.a'j -\-Bx₂-f- Cx₃ — p > 0 i że ten związek, w przypadku spółrzędnych prostopadłych, można

, x₂ x₃

■hi+Ę + Ę = L

11)    Wykazać, że spółrzędne trójkątowe (a,’j, x₂, x₃) punktów, położonych na jednej prostej, związane są zawsze równaniem kształtu: alx₂ -j- a₂x₂ -j- a₃x₃ — 0 , zwanem równaniem tej prostej.

12)    Jakie równanie ma prosta nieskończenie daleka, jeżeli punkt jednostkowy ma odstępy *j, tt₂, t:₃.

13)    Prosta o równaniu: ayXy -|- a₂x₂ -f- a₃x₃ =0, przecina boki a, b, c trójkąta odniesienia BOA w punktach: Jj, J₂, J₃, wykazać, że:

Ą B A₂ O A₃ A Ai C' A₂A'A₃~B

przedstawić w postaci

xi

— 1, tudzież, że:

sin Ai AB. sin A₂BC. sinJ₃ CA sin Ax A C . sin A₂ BA. sin A₃ CB

— 1.

• 14) Wykazać, że kąty ®j, <p₂, <?3, jakie prosta, określona równaniem, w spółrzędnych prostokątnych punktu, w postaci: a,yXy-\- a₂x₂-\- a₃x₃=0, tworzy z bokami trójkąta odniesienia , o kątach a, ß, y, można wyrazić wzorami :

«₃ sinß — a₂ sin y ety—a₃cos ß—a₂cosy

(ty sin y—a₃sin a a₂ — «jcos y—a₃ cos a’

a₂sina—-ajsinß a₃—a₂cos a—«jcos ß*

15) Wykazać, źe kąt <p, zawarty między dwiema prostemi : ciyXy -f <t₂x₂ -f- a₃x₃ — 0, a\xy-\-a\x₂-\-aJ₃x₃—0, odniesionemi do trójkąta a, ß, y, w przypadku spółrzędnych prostopadłych , wyraża się wzorem :

tang ©i =

. tanga>₂=

tang <p₃ =

tang ® =

_(«2g/3—az a\) siu « -f- (a₃a\ — dya⁴ ₃) sin ß -f (gt a\—a₂a\ ) sin y

ciya'y -j- a₂a‘₂ -J- a₃a'₃ —{a₂a'₃-\- a₃a‘₂) cos a— {d₃a\ -|-%«'3)cos ß —(aja'₂-f- aïa\) cos y

IG) Wykazać, że wzór w zag. 15) podany, przedstawia się, w przypadku spółrzędnych, których punkt jednostkowy ma od boków odległości prostopadłe r₂, t:₃, da się przedstawić, w postaci: tangco =

e I tT «."I tf

<r£

«rur'si« el tT '«I * I

—i

«if

ITj L

a\

—f cos y — *2

a\

cos a--cos y

*1

W^3_^lc₀Sß_^

/    ^3 ^ ^*3    ^1    ^2

COS a

)•

17) Wykazać, że odległość o dwu punktów: P'(æ'i, #'2, i P‘‘{x,'u x“₂, x“₃): danych w spółrzędnych prostopadłych , odniesionych do trójkąta o kątach a, ß, y da się wyrazić wzorem :

+&}

I «'s» x'i ■| x“₃, x‘\

²I| *'i, «'2 I², ll *,#1} œ"₂ I

w którym R przedstawia promień koła, opisanego na tym trójkącie A, a znak & wskazuje, że należy dodać jeszcze dwie podobne pary wyrazów.

18)    Podać spółrzędne (tti} u₂, u₃), prostej l, określone, jako odległości tej prostej od wierzchołków trójkąta ABG, mierzone w kierunkach, które z tą prostą tworzą kąty: au a?, a3, skoro 8j, o₂, 83 są odległościami prostopadłemi tej prostej od wierzchołków trójkąta i wyznaczyć odstępy rc,, 7r₂, 7t₃ prostej jednostkowej j(l, 1, 1).

19)    Wykazać, że między odległościami: 8t, S₂, 83 każdej prostej od wierzchołków: A, B, C trójkąta odniesienia a, ß, y, o wysokościach Ät, h₂, h₃, zachodzi relacya:

^1 ^2 *1*2

§21 . .

„I X‘*l «'3

I *a", *"3

cos a

83 8t

___ 2 ⁸³

*2*3

20)    Podać związek, jaki zachodzi między spółrzędnemi prostej l, określonej w zag. 18).

21)    Wykazać, że warunek równoległości dwu prostych:

alxl -j- a₂x₂ 03*3 =0, a\xx 4-a\x₃ -f- a\xz = 0, w przypadku dowolnych spółrzędnych jednorodnych , przedstawia się w postaci :

®1,    ®2?    ®3

*ł 1» «'21 «'s

71^ TCj

V V v

co ■«

cos a—2

*3*1

cos ß —2

cos y= 1.

®1 , a21 a3

«h, a'₂, a‘₃

ar.{, Ó7t₂, ck₃

— 0, czyli:

gdzie 7ut, tt₂, 7t₃ są odległościami prostopadłemi punktu jednostkowego J od boków a, b. c, trójkąta odniesienia o wysokościach:    h₂, h₃.

22) Wykazać, że warunek prostopadłości dwu prostych: alxi a₂x₂a₃x₃ = 0 +«'2*2 4" ®/3a73=0, przedstawia się ogólnie w postaci:

axa\ , a₂a\ (ha\ *2*3    ®2®y3 + «'2^3    *3*1 ®3ah 4" a'nai *1*2 ®i®'2 “ł" a'i®3 _n

------- -U*

n\

tA

7Ti 7l₂

“2 ^3

23)    Wykazać, że prosta w nieskończoności jest harmonikalną środka ciężkości trójkąta.

24)    Dowieść, że równanie prostej, harmonikalnej punktu P(Ç 1,^2» Ç3) ma postać:

•2

^S⁷⁷!

=0.

5i ⁺ Çj ⁺ ?3

25) Dowieść, że równanie punktu harmonikalnego prostej: p (rt, f₂, r₃) ma postać:

26)    Dowieść, że równanie prostej, harmonikalnej punktu spotkania się wysokości trójkąta odniesienia, ma współrzędnych prostopadłych postać: ajjcos a-)-a:2cos ß-f-*3COSy=<0 w spółrzędnych zaś ogólnych postać: ^aycos a -j-7u₂a;₂cos ß + ^ajgcos y =0.

27)    Znaleźć równania prostych, harmonikalnych środków : koła wpisanego i zawpi-sanych trzech kół, tak w spółrzędnych prostopadłych, jak i ogólnych.

28)    Dowieść, że równanie prostej, harmonikalnej środka koła, opisanego na trójkącie, ma, w spółrzędnych prostopadłych, postać:    ■

₊ J2*L = 0.

cos ß cos y

nych zaś ogólnych, postać:

rnxi

cos «

Xo

-- -, - -4- = 0 , w spółrzęd-cos ß cos y

x₂

- 874

29) Dowieść, że równanie prostej, harmonikalnej środka koła, przechodzącego przez środki boków trójkąta odniesienia ma, w spółrzędnych prostopadłych, postać :

*1

*2

_= ₀

cos (a— (5)    ’

*2*2__f *3*3    __ Q

cos(y— a)    cos (a—ß)

C0S(ß—y) ^

w spółrzędnych zaś ogólnych postać:

*1*1    .

cos (ß -y)

30)    Wykazać, że, przechodząc z układu spółrzędnych (xx, x₂, x₃) punktu, w którym *1 — \lhi xi~\lhi *3 ~^₃p₃, do układu spółrzędnych prostej wn u₂, u₃, av którym prosta jednostkowa j(1, 1, 1), jest harmonikalną punktu jednostkowego <7(1, 1, 1) pierwotnego układu, otrzymujemy spółrzędne prostej, wyrażone stosunkami:

gdzie ój, o₂, 8₃ są odstępy prostopadłe prostej od wierzchołków danego trójkąta odniesienia.

31)    Wykazać, że, przechodząc z układu spółrzędnych (ux, w₂, w₃) prostej, w którym: «1 — ^1^15 «2 — ^2^25 «3—^3^35 do układu spółrzędnych punktu xx, a?₂, æ₃, w któx⁻ym punkt jednostkowy J(l, 1, 1) jest harmonikalnym prostej jednostkowej j( 1, 1, 1) pierwotnego układu, otrzymamy spółrzędne punktu , wyrażone stosunkami :

cos(y—a)

= Y ⁸¹ : Y s2 : Y s3 A1    a2    a3

^ : x₂ : æ₃ =

a    b    c

Y Pl ‘ T~P2 :

A1    a2    a3

gdzie pt, p₂, p₃ są odległości prostopadłe tegoż punktu od boków trójkąta odniesienia.

32)    Wykazać, że wszelkie równanie jednorodne, kształtu: o.xux -j- a₂w₂ -j- a₃«₃ =0 jest równaniem punktu.

33)    Dowieść, że spółrzędne (*1; x₂, x₃) punktu przecięcia się dwu prostych:

określone są stosunkami :

«1*1 + «2*2 + «3*3 = 0 5 «'1*1 + «7*2 + «'3*3 == 0 5

«2,

«3 i .

a\i «7 I

34) Dowieść, że spółrzędne (%, m₂, «3) prostej, przechodzącej przez dwa punkta:

xx :x₂ ‘.x₃—

«1 , «2 | a\ ' \ a\, a\ '

«1

«1«! + a2«2 + «3«3 = ° 5 «7«! + a7«3 + a7«3 — ⁰

określone są stosunkami:

*3

0,

Zt\ •    —•

35) Wykazać, że równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkta:

p/0'i> *7i *7) i p"(*"i5 *'7i *"3)5

da się przedstawić w postaci :

*15

*7 5    2 » *7

*'7

a3) al ( . | al) *2

a'n «7 I’

punktu przecięcia się dwu prostych:

p'O'i, u'₂, u'₃) i p"(u'7, w'7, u"₃), da się przedstawić w postaci :

u\ 1    «2 5    «3

u‘ 1, m'₂, u‘₃    =0.

u‘\, u‘\, u“z

36) Wykazać, że warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby równanie stopnia

drugiego :

w spółrzędnych punktu :

f= ax ja?²! -f- 2 o₂₃a?₂a?₃ -f- & = 0, przedstawiało parę prostych, jest równość zeru wyróżnika równania /= 0, kształtu : I aik I ⁼ ® 5 (® 5 ^ = 1 ) 2, 3).

w spółrzędnych prostej :

9E«,!«²! + 2a₂₃w₂«₃ 4- & = o , przedstawiało parę punktów, jest równość zeru wyróżnika równania ® = 0, kształtu: |a,-*| = 0, (*, k = l, 2, 3).

37) Wykazać, że wielomian jednorodny drugiego stopnia w zmiennych: a?₂, x2} x3 względnie ux, u₂, w₃, jest równy połowie sumy swych pochodnych cząstkowych, względem każdej zmiennej, pomnożonych przez te zmienne, t. j. że:

/o i, *25 *3)= y2

àf

àf

àxx

xi + y 2 j- x2 + y2

àf

dx₃

*35

?Oi5 «25 «3)=y2

dv

du.

«1 + V2

à?

OU

dzi

«2 + 72 T.r «3 •

<ht:>

«id

«12)

«13)

Ui

TT ’

s’IijT    o

₈" 8S I I I «

“lii *12)    *13

*12)    *22)    *23)

0.

*13)    *23)    *33)’

*1    *2    ^3

⁵ h₃

o    «AS Ai*

= 0.

38) Dowieść , że :

biegunowa każdego punktu    x'₂, x‘₃

względem pary prostych :

2aik *,-** = 0, | a ik | = 0,

przechodzi przez punkt przecięcia się tych prostych.

biegun każdej prostej: »j,    «'3 względem

pary punktów:

leży na prostej, łączącej te punkta.

39) 'Wykazać, że krzywa, której równanie w spółrzędnych prostopadłych punktu, dane jest w postaci :

w spółrzędnych prostopadłych prostej, dane jest w postaci :

«11 *²i 4" 2a₂₃x₂x₃ 4~ & = 0 , otrzymuje, w spółrzędnych prostopadłych prostej, odniesionych do tego samego trójkąta o wysokościach: hi} h₂, h₃, równanie kształtu :

<XUW²1 -j- 2v-₂₃U₂U₃ 4“ & —0 , otrzymuje, w spółrzędnych prostopadłych punktu, odniesionych do tego samego trójkąta o wysokościach: hlt h₂, h₃, równanie kształtu:

40) Wykazać, że rodzaj

krzywej drugiego rzędu, określonej równaniem :

krzywej drugiej klasy, określonej równa -niem :

f==anXi²-{- 2a₂₃x₂x₃ -f- & = 0, zależy od wartości wyznacznika :

co £==    4~ 2 *23 ^2 «3 ”1” ^    ^ )

zależy od wartości wyznacznika:

«1D    «12)    «13

.1

I)=-

*3

«13)    «23)    «33)    ^

Üi ^ üi q

*1-’ V &3

krzywa drugiego rzędu /=0, jest elipsą, gdy D > 0, hiperbolą, gdy Z><;0, parabolą, gdy D= 0.

41) Wykazać, że:

r-i k2 TC3 q

Äj ’    h₂' h₃

krzywa drugiej klasy 9 = 0, jest elipsą, gdy A)>0, hiperbolą, gdy A<[0, parabolą, gdy A =0.

A.

biegunowa punktu (A, x‘₂, x\) względem krzywej drugiego rzędu:

f= «1 iæ5i 4" 20233:2*3 -j- & — 0, otrzymuje równanie kształtu:

f\xi +//2*i +A*3 =0 ,

biegun prostej u\, u'₂, u‘₃ względem krzywej drugiej klasy:

<p == an    2<x₂₃u₂u₃ + & —0,

otrzymuje równanie kształtu:

?'lul 4“ AW2 4" Aw3 —0)

gdzie :

gdzie :

df‘    df*

2/,=

dep'

das'₃’

względnie :

względnie :

A =«11A 4-«12 A 4- «13 A)

f‘2 ⁼ «12"A 4* «22**2 4" «23 A? A = «13A 4- «23A 4- «33A-

A — «u A -j- a₁₂A 4“ *13 A ) A = *12 A 4" *22 A 4“ &23 w#3) <*>'3 —*13M'l 4~ *23«/J 4~ *33 Ai¹

Zbadać rodzaj krzywych drugiego rzędu, określonych następującemi równaniami jednorodnemi, w sppłrzędnych prostopadłych punktu:

42)    3a:²! -J- 5a:²₂—4æ²₃ -|- 2xxx₂ Gxx x₃ —8x₂x₃ —0.

43)    hx²x —éx²2 -(- x\ — 2xtx₂ Ą- Gxxx₃ -f- 8a;₂x₃ = 0.

44)    9a:²! -f- 4a:²₂ -f- 3a:²₃ — 12xxx₂ — Gxxx₃ 8x₂x₃ = 0.

Zbadać rodzaj krzywych drugiej klasy, określonych następuj ącemi równaniami jednorodnemi, w spółrzędnych prostopadłych prostej :

45)    8w²! -f 7u\ -J- m²₃ + <ouxu₂ — 2«i u₃—Au%u₃ =0.

46)    3w²! + 7u\ Gu\ Ą-8uxu₂ 4- Auxu₃ — 10w₂w₃ =0.

47)    hu\ —6w²₂ 4- 2u\ 4* 8«<i u₂    3ux w₃ —12 u₂u₃ = 0.

48)    Wykazać , że równanie :

punktu styczności prostej: {u\₎ u\: u'₃) z krzywą drugiej klasy : <p — 0, ma równanie :

stycznej w punkcie (a:'!, x\i x\) krzywej drugiego rzędu: /=0, ma równanie:

®' 1 • «1 + ?'2«2 + ?'₃ u3 = ⁰ >

gdzie spółczynniki , cp'₂, <?'₃ są warto-ściami pochodnych cząstkowych wielomianu <p względem zmiennych uXx u₂, u₃, dla prostej : (u'x, w'₂, u'₃).

f i x\-\~f'îxi + A' x,i — 0,

gdzie spółczynniki :    /'₂, /'₃, są warto

ściami pochodnych cząstkowych wielomianu / względem zmiennych xx, ce₂, x₃, w punkcie x\, x'₂, x‘₃.

49)    Wykazać, że:

z punktu: x‘xuxx\u₂-\-x‘₃u‘₃—G), dadzą się wyprowadzić do krzywej drugiej ki asy :

«ii®²i + 2x₂₃x₂x₃ 4-&=0, dwie styczne, których spółrzędne (ux,u₂, u₃) określone są stosunkami :

prosta : u‘xxx 4" u\ x3 + U<3X3 =0, przecina się z krzywą drugiego rzędu :

/== «na:²! -f 2a₂₃x₂x₃    & = 0,

w dwóch punktach , których spółrzędne :

(xx, x₂, x₃), określone są stosunkami :

a-!

x₂

x₃

Ux

u₂

u₃

u‘₃

Ai A u‘3, u\

sC §

?2>    ?3

£e'₂, æ'₃

V '8

V F {u\, u*ïx u‘₃)’

\/ <t*(a?'!, a:'₂, a?'₃)’

*11 ) *12) *13) «^1 !

*12) *22) *32) x\

*13) *23) *33) x>3 I

a)'i, a:'₂, x'₃,    0 I

50) Wykazać, że spółrzędne (4,    £.3) środka krzywej drugiego rzędu:

anx\ -f2a₂₃ x₂x₃ 4 & = 0,

odniesionej, w spółrzędnych prostopadłych punktu, do trójkąta a, ß, y, można określić stosunkami :    •

gdzie :

gdzie :

«11, «12) «13) u\ «12) «22) «23) u\ «13) «23) «33) u/3

«'1,    u‘₃, 0

<l>

5i

^2

Ü3

«u, sina, al3 «12, sinß, a23 «13) siny, «33

«id «12) sina «12, «22) sinß «13) «23) siny

sina, «1₂, «13 sinß, «₂₂, «23 siny, «32, «33

51)    Wykazać, że środek krzywej drugiej klasy, określonej równaniem:

®ll«²l4- «22«",2 “ł" «33«²3 “1“ 2a₂3 M₂«3 -J“ & = 0,

w spółrzędnych prostopadłych prostej, ma równanie :

(*11 -j- *12 + *13)% -j— Cal2 + *22    *23)«2 4“ (®13 “f" *23 ”ł~ *33)«3 =0.

52)    Wykazać, że krzywa drugiej klasy, określona równaniem:

®n «²i "ł⁻ «22 «²2 “I" «33«²3^ 2a₂₃ u₂ u₃ 4- & = 0,

jest parabolą, skoro:

“11 “h *22 + *33 “l" 2 a₁₂ -|-2ai3 4" 2 a₂₃ =0.

Zbadać położenie krzywych, określonych następującemi równaniami jednorodnemi, w spółrzędnych prostopadłych :

punktu: (a?,, »₂, x₃) kształtu:

53)    ailx‘\ -f- «₂₂ x\ -j- 2«₁₂»!»₂ -j- 2«₁₃»₁»₃ -j-

+ 2«₂₃ »₂»₃ — 0.

54)    or, j x\ -j- 2a, ₂ a;, »₂ -f- 2«! ₃ xtx₃

—1~ la₂₃ x₂ x₃ — 0.

55)    al₂xlx₂aA₃xxx₃a₂₃x₂x₃—0.

a,,»², -f- 2«₂₃ »₂»3 = 0.

57)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugiego: a,i»²! -fi a₂₂»²₂ -fi o₃₃ »²₃ -fi 20,2»!^ -fi 2«₁₃ »j»₃ -f 2«₂₃»₂»₃ =0,

w spółrzędnych ogólnych, określa hiperbolę równoboczną, gdy:

-j- aAL _ 2 a²3cosg _ 2 ai3C0Sß _ 2 Nacosy

t:²₃    n₂r:₃

58)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugiego :

«H»²! -fi «₂₂»²₂ -fi «33 »²3 +2«₁₂»i»₂ -fi 2«₁₃»₁»3 -f 2«₂₃»2»3 =0,

w spółrzędnych ogólnych, określa koło , gdy :

«²

«11    ₂ l «22

56)

«i.

«22

TC²

prostej: («,, w₂, w₃) kształtu:

°11W,21 ~ł" a22 «²₂ ~f" “a12 wl«2 ~fi

-fi2a₁₃«qw₃ -fi 2 a₂₃«₂î/₃ =0.

54)    an«"j +2oc,₂«,m₂ -fi 2ai3uxu₃ -fi

+ 2a₂₃ «₂W₃ = 0.

55)    o:, ₂ W, M₂ -j— «, 3 W, W3 —fi 0£j ₃ U₂U3    0.

56)    a,,«², “I⁻ 2a₂₃î/₂^₃ = 0.

53)

TCj7C₃

T-l

= 0.

«²

c²

~ ² "¹² -^7    — “33 +ail^r

^=0.

c²

-«22 ^2 H «33

⁷¹ 2

z>²

S--²«23

^²3

— 2 «, 2 — — = TT, t:₃

Rozwiązania LIX. 1) W polach kątów trójkąta , zewnątrz boków, dwie spół-

rzędne -f, jedna —, w polach kątów wierzchołkowych dwie —, jedna+.    3) xi^--a. ■

sin ai¹

(*=1,2,8). 4)« sm gl

P

c sin a₃

x\ +

x₃ = A. 7) Xi =

b sin a₂ c sin a₃

~'x2~\---—

P    P

hi Ai

sin a i

2A i

a sin a, b sin a₂

xi + ■—--

P    P

*2 +

= 2A 5) £Ci==p—-r-—. 6) a sm a i

1 *'=³ sin a i xi P i=i hi

•¹²⁾ ^    ⁺^3=a i8) wt==p^; -T-

20) ^sin a, —2 sina₂ sina₃cosy-j-&. 42) elipsa. 43) hiperbola. 44) parabola 45) elipsa.

1. 8) x i —

5/

é;;

25/

5/ a

«Ttj ?J -f &x:₂E₂ -f ct₃ E₃ Ęj A, + ?₂ A₂ 4- E₃ A₃

46) hiperbola 47) parabola. 53) krzywa, przechodząca przez wierzchołek C; krzywa, styczna do boku c trójkąta odniesienia. 54) krzywa, przechodząca przez wierzchołki R, O; krzywa styczna do boków Z>, c trójkąta odniesienia. 55) krzywa, przechodząca przez wierzchołki A, B, C, krzywa, styczna do boków «, b, c trójkąta odniesienia. 56) krzywa, styczna w wierzchołkach B. C do boków b. c trójkąta odniesienia.

Literatura. R. Heger. Elemente der analytischen Geometrie in homogenen Coordi-naten. Braunschweig 1872. W. K i 11 i n g. Lehrbuch der analytischen Geometrie in homogenen Coordinaten. Theil I. Ebene Geometrie. Leipzig 1900. L. Painvain. Principes de géométrie analytique. Paris 1866 — 1870. A. Są gaj ł o. Zasady geometryi analitycznej. Geometra płaska. Paryż 1877.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Klasyfikacya krzywych drugiego rzędu, na podstawie ogólnego równania drugiego stopnia , w spółrzędnych jednorodnych punktu.

2.    Klasyfikacya krzywych drugiej klasy, na podstawie ogólnego równania drugiego stopnia, w spółrzędnych jednorodnych pi'ostej.

3.    Zasada dwoistości w teoryi krzywych stożkowych.

Wykład UX.

Szczególne postacie równań jednorodnych drugiego stopnia w spółrzędnych punktów, lub prostej.

(1)

1. Krzywe drugiego rzędu, opisane na trójkącie odniesienia. Przyjmijmy trójkąt ABC, jako trójkąt odniesienia, wówczas równanie dowolnej krzywej drugiego rzędu, w spółrzędnych punktu, przedstawia się w postaci : f= ax xx²x + a₂₂x\    a₃₃x²z-\-2aX2xxx₂ 4- 2axzxxxz -{-2a2ax₂xi^=0.

Jeżeli krzywa ta ma przechodzić przez wierzchołki trójkąta odniesienia (fig. 736.), to równaniu jej muszą uczynić zadość spółrzędne punktów:

A(x₂ — 0, #3 = 0), B(xx = 0, x₃=0), C(xx = 0, x₂=0).

"Wobec tego, otrzymujemy następujące

warunki :

a) axxxx²=0, b) a₂₂x²₂ = 0, c) a₃₃x²₃=0, z których, ze względu na to, że :

w a) xx > 0, w b) x₂ < 0, w c) x?> > 0, wypływają warunki:

°\ \ =0 , a>22=0, ÛS₃₃==0

Fig. 736.

A zatem : Krzywe drugiego rzędu, opisane na trójkącie odniesienia, mają, w spółrzędnych jednorodnych punktu xx, æ₂, æ₃, równania kształtu:

₂as₁as₂ + anxxx₃ + a₂₃öc₂öc₃=0, albo: —^    +

00 ^ ^2

x₃

= 0.

(2)

2. Trójkąt, utworzony przez styczne w wierzchołkach trójkąta odniesienia. Styczna w punkcie (a?,, x₂, x₃) krzywej: al₂xxx₂ + «23*2*3 + *13*1*3 =0, otrzymuje, na mocy art. 16.

str. 863 , równanie :

(«12*2 +«13*3) *'l + («12*1 + «23 »3) x\ +(»13*1 + »23*2)*<3 = 0,

z którego otrzymujemy równanie stycznej, w wierzchołku: J.(aj₂ = 0, ar₃=0), trójkąta odniesienia , w postaci :

«12*1 *'2 + «13*1*^ = 0, czyli: a₁₂a?'₂ + »13 *'3 = ⁰ , podobnie, w wierzchołku: ZÎ (as, =0, *₃=0), w postaci: a₁₂ x\ -f- an x‘₃ —0 , a wreszcie, w wierzchołku: C(xi—0,x₂=0) w postaci : ai3 x\ -{- an x\ — 0. Równania tych trzech stycznych tA ,    ? 4) możemy, więc, także napisać, opuszczając kreski, jako zbyteczne,

w postaci :

*15    *2 5    *3

Fig. 737.

*2

^ + -5.-0.

«23    «13

Styczna ti przecina Lok przeciwległy BC w punkcie: I)(xl—0, x₂:x₃ =—«13: «12)1

styczna t₂ przecina Lok przeciwległy AC w punkcie:

E{x₂ = 0 , x₃ : xj = — «j» : a₂₃), (fig. 737.); styczna f₃ przecina Lok przeciwległy AB w punkcie : F(x3 = 0, .Tj :ar₂ = — «23 : «is)-

/, ... — +

«13

«12

+ -Ł-0

«23

$/Ą

Lowiem :

Te trzy punkta leżą na jednej linii prostej, jest

//

.X.

57 ' /

a prosta, na której te punkta leżą, wyraża się równaniem :

«23 5 O5 —«12 «23 5    «135    0

czyli :

które możemy też przedstawić w postaci :

«12 «13 *1 4 «1 2 «23 *2 + «13 «23*3 -® 5

(3)

(30

—+ — + —=0.

«23    «13    «12

Z powyższych wywodów wypływa, że trójkąt odniesienia i trójkąt, utworzony przez styczne, do krzywej, wykreślone w wierzchołkach trójkąta odniesienia, są trójkątami jedno-kreślnemi.

3. Rodzaj krzywych, opisanych na trójkącie odniesienia. Zastosujmy, przy danym trójkącie odniesienia, spółrzędne trójkątowe, prostopadłe, a przez «, b, c, oznaczmy Loki trójkąta odniesienia.

W art. 10., str. 860. widzieliśmy, że równanie:

«id!i + «22*²2 “H «33*²₃ + 2al₂xtx₂ -f 2a₁₃xtx₃ -j- 2a₂₃x₂x₃ = 0, przedstawia hiperLolę, gdy A<0, elipsę, gdy A^>0, alLo parabolę, gdy A = 0, przyczem:

A = (anc²-}- a₃₃a²—2 ai₃ac)(a₂₂c² -f- a₃₃b²—2a₂₃bc)—(«₁₂c² — al₃bc— a₂₃ac + a₃₃ab)\

Jeżeli krzywa jest opisana na trójkącie odniesienia, to «,!=(), a₂₂ — 0, a₃₃— 0, wobec czego , otrzymujemy:

A = 4a₁₃«23«^c*²—(«12e — «13& — «23«)2c2*

Widzimy więc , że krzywa rzędu drugiego :

«12*1*2 4- «13*1*3 + «23*2*3 =0,

opisana na trójkącie odniesienia, jest elipsą, gdy: Aa₁₃a₂₃ab > (ai3b ~f- a.₁₃a—«₁₂c)²; jest hiperbolą, gdy: 4^7₁₃a₂3a& <C(«i₃fr+«₂3«— «i2c)²l jest parabolą, gdy: 4a]3a₂3«^— («i₃fr+a₂3«—«12e)²*

4. Parabola, opisana na trójkącie odniesienia. Krzywa, opisana na trójkącie odnie-

«12*1 *2 +«13*1 *3 + «23*2*3 = 0,

sienią :

jest parabolą, gdy:

4«] 3«23 «fr— («13b -f- «23«— «12e)²

ztąd wynika :

a więc:

Widzimy zarazem , że :

-4- 2 \/ aI3 b . \/a₂₃ a — ai3b -j- a.₁₃a—ai2c ,

«12e== «13 ^ i 2 V/«i 3 b . \/«23 « fi- «23 «.

czyli, że :

«12c==r (\/«13 * d= V/«23 « )²5 I (V/«i3 • fr dr V/«23 • «)².

«13

Podstawiając tą wartość w równanie krzywej (3), otrzymujemy je, w postaci:

(4)

( V«13 fr dh V«23 « ) ²*1*2 + e«13*l*3 + ««23*2*3 =0.

Połóżmy «H = kan, a otrzymamy równanie dowolnej paraboli,, opisanej na trójkącie odniesienia, w postaci:

(40

(\/a-b- V/hic)²x₁ x₂ -f chxj x'₃ -f- cx₂x₂ = 0

— 880 —

co dowodzi, że na każdym trójkącie możemy opisać oo¹ parabol. Uważając ten trójkąt, jako trójkąt odniesienia, otrzymujemy równanie dowolnej z tycli parabol w postaci równania (4), powyżej wyprowadzonego.

5. Hiperbola równoboczna, opisana na trójkącie odniesienia. W art. 20. str. 865. wyprowadziliśmy warunek, któremu powinna uczynić zadość krzywa rzędu drugiego, dana w spółrzędnycb prostopadłych, równaniem :

a^x\ anx\-\- aiix\-\rcZai%XyX%-\-2anX\Xi -\-2anx₂x₃ =°> żeby miała asymptoty prostopadłe, a więc, żeby była hiperbolą równoboczną.

Warunek ten ma postać :

an 4~«22 + a33—2a₂₃ cos a—2a₁₃cos ß—2a₁₂cos y = 0.

Jeżeli krzywa jest opisaną na trójkącie odniesienia, to an =0, a₂₂=0, «₃₃ = 0, warunek ten przyjmuje postać :

a₂₃cos a -f- a₁₃cos ß -j- «i₂cosy == 0.

Ztąd otrzymujemy :

«23 — — «13

cos ß

COS a

«1 2

cos y

COS a

Wobec czego, otrzymujemy równanie hiperboli równobocznej, opisanej na trójkącie odniesienia, w postaci :

«12^1*2 + «13*1!x3— («13

cos ß

COS a

+ «12

cos y

cos a

) x₂x₃ = 0

(5)

czyli, jeżeli pomnożymy to równanie przez cos a, w postaci:

(al2xlxi -J- «13^1^3) cos a — (a₁₃cos ß -f- a₁₂cos y) x.₂x₃ — 0 , skąd, po łatwej przeróbce, otrzymamy równanie :

(6)

«12(^1 iC2C0S a—%2x3cos y) 4- «13(*1*3 cos a— x₂x₃ cos S) = 0.

Połóżmy a₁₃ = fca₁₂, a otrzymamy równanie dowolnej hiperboli równobocznej, opisanej na trójkącie odniesienia, w postaci:

(xi cos a—x₃ cos y) x₂ Ą-k (04 cos a—x₂ cos ß)x₂=0

(7)

co dowodzi, że na każdym trójkącie możemy opisać oo¹ hiperbol równobocznych. Uważając ten trójkąt, jako trójkąt odniesienia, otrzymujemy równanie dowolnej z tych hiperbol równobocznych, w postaci równania (7), powyżej wyprowadzonego.

6. Koło, opisane na trójkącie odniesienia. W art. 20. str. 865. wyprowadziliśmy warunki , którym powinna uczynić zadość krzywa rzędu drugiego, w spółrzędnych prostopadłych , określona równaniem :

(l\ 1U-] 4" U₂₂X²2 4“ ®33*²3 4-2ct₁₂X₁X₂ 4- 2a₁₃XlX₃ -p 2<Z₂₃£C₂3£:₃ —0

żeby była kołem. Warunki te mają postać:

au6² 4" «22«²—2or₁₂a& = ö₃₃a² -j-    —2anac — ö₂₂c²4~ a₃₃&²—2anbc.

Jeżeli krzywa jest opisaną na trójkącie odniesienia, wówczas au=0, a₂₂— 0, a₃₃=0, wobec czego, otrzymujemy warunki:

al2ab = a₁₃ac= a₂₃bc, a więc: ai2: al3 : a₂₃ = c:b : a.

Na podstawie tego, otrzymujemy równanie koła, opisanego na trójkącie odniesienia, w postaci:

(8)

ax₂x₂-\-bxzxi -\-cx±x₂ — 0.

7. Równanie krzywej, opisanej na trójkącie odniesienia, w spółrzednycli jednorodnych linii prostej. Chcąc otrzymać równanie krzywej, danej w spółrzędnych punktu , w postaci :

(9)

°\ 3    _^12_ __ Q

OOj    00 2    00q

w spółrzędnych jednorodnych prostej: (w₁}m₂,w₃), piszemy najpierw równanie stycznej, w dowolnym punkcie (cci, x₂, x₂) krzywej (9), na mocy art. IB str. 863., w postaci :

ffi23 ,    1

2    1 “r 2

X 1    X 2

x‘₂Ą

ai 2

(10)

- 881 -

skąd, otrzymujemy związek między spółrzędnemi punktu (xi, x₂, x₃), a spół-rzędnemi prostej (ux, u₂, u₃), stycznej w tym punkcie, określony wzorami:

a2 3

a\ 3

«12

u3J

u\ ?    „2 ~un 2

2    ■*' 3

z których wypływają wartości na xi, x₂, x3} w postaci:

~ \! Ui

Podstawiwszy te wartości w równanie (9), otrzymujemy równanie:

Va₂₃ux A V anu₂ -f- V/«i2^=0, jako równanie krzywej (2), opisanej na trójkącie odniesienia, wyrażone w spółrzędnych jednorodnych linii prostej.

8.    Uwaga. Wybór znaków, przed y/~ należy w ten sposób rozumieć, że równaniu . «12^^ -J- ai₃x,x₃ -j- «23*2^3 = 0, odpowiada równanie : \/an u₃A \/a,₃ u₂-\-\/a.l₃u, —0? równaniu : a,₂xxx₂ -j- a,₃x,x₃—«23^2*3=0, odpowiada równanie: V/«i2«3 d~ V/«i3%— \/ai₃ut=0, równaniu: aV!x,x₂—«13£»1*3+ «23*2*3—0, odpowiada równanie: \/u₃— \/ax₃u₂-\-\/a₂₃ux — 0, wreszcie równaniu: —a₁₂x₁x₂ -f- a₁₃xtx₃ -j- «23*2*3 — 0 odpowiada równanie:

— V/«l 2% + V«13W2 + V«23 % = 0.

W ten sposób znika dwuznaczność wzorów, wynikła z dwuwartościowości znaku pierwiastka kwadratowego.

9.    Równanie krzywej drugiego rzędu, wpisanej w trójkąt odniesienia, w spólrzędnycli jednorodnych punktu. Jeżeliby równanie kształtu:

«n^²i    a₂₂x<1₂-\-a₃₃x<1₃-\-2a^₂xix₂Jr%ai3xix₃ + %a₂₃x₂x₃=0,

miało przedstawiać krzywą, wpisaną w trójkąt odniesienia ABC, to z równania tego musiałoby się okazać, że punkta przecięcia się każdego boku trójkąta z krzywą, spadają na siebie.

/y» 2 *'■ 1

xi

a2 3

x₂ —

l/äü>, *„=1 /?n.

V«j    V “3

(11)

Biorąc pod uwagę bok AB, który ma równanie: x₃=0, otrzymujemy, na wyznaczenie punktów, w których ten bok przecina daną krzywą, równanie :

«! rx\ + «₂₂æ²₂ +2 ai2x±x₂ =0,

a, że to równanie miałoby dawać na stosunek x₂ : x! dwie wartości równe , musiałby więc trójmian :    -{- «₂₂ æ²₂ + 2«₁₂#i x₂ być zupeł

nym kwadratem , musiałoby być zatem :

Fig. 738.

⁰!110!22    a²12~^), ®12⁼⁼⁼dl ^^^11^22"

Podobnie, znajdziemy warunki, pod któremi boki AC i BC będą styczne do danej krzywej, w postaci:

«!3— A V/«! 1 a₃3 ,    «23— + V/«22«3₃.

Stąd wypada, że równanie krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia, musi mieć, wogóle, kształt:

«H#²! +«₂₂Æ²2 -f«₃₃«:²3 + 2 \/«i ₁«₂₂Æ₁    + 2 V/«₁ ^ «33^ X?i + 2V/«2₂«33#₂;r3 =0* (12)

10. Uwaga. Co się tyczy znaków, przy występujących tu pierwiastkach kwadratowych, to spostrzegamy przedewszystkiem, że znaki te nie mogą być wszystkie dodatnie, bo wtedy równanie sprowadzałoby się do postaci :

(Y/«i 1 % + \Za-nx2 + Va₃₃ %)² = 0,

a więc, przedstawiałoby dwie proste, w jedną wpadające.

Nie może być także jeden tylko ze znaków dodatni, a dwa pozostałe ujemne, gdyż i. wtedy sprowadzałoby się równanie do jednej z następujących postaci :

56

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki 1.

(— Y/ffii »l + \/«22 »2 — V/ «33 »3)²=°> (V/«ll»l — V/«22 *2 ~ \/«33»3)² =⁰ 5

(— V/oii*i — V/«22*'2 +    «33 *3)² = 0,

a więc, przedstawiałoby także, w każdym z tycli trzech przypadków, prostą podwójną. Mogą więc być, albo wszystkie znaki ujemne, albo jeden tylko ujemny, a dwa pozostałe dodatnie.

11. Przyjmując w równaniu (12) wszystkie znaki ujemne, a więc, pisząc je w postaci:

aux\ +a.₂₂x‘\ -j- a₃,x²₃-2l/a₁lfl₂₂ xix₂ - 2Vaua₃₃xix₃ — 2Va₂₂a₃₃x₂x₃=0, (12') otrzymamy, kładąc: a₁l=a²₁, a₂₂=«²₂, a₃₃ = a²,, równanie:

a²ix²₂ -f a²₂x²₂ -\-a²₃x²₃ — 2a₁a₂x₁x₂—.2a₁a₃x₁x₃—2a₂a₃x₂x₃~0 Otrzymane równanie, możemy, drogą łatwych przeróbek, wyprowadzić także z równania, napisanego w postaci:

V'a₁x₁ -\-V a₂x₂ -j- V' a₃x₃ = 0,

(«1 x₁ )V*+(a₂ x₂ )V.+(a₃ x₃ ) V*=0.

czyli :

(13)

(14)

(140

Równanie to przedstawia krzywą , wpisaną w trójkąt odniesienia, a to pod warunkiem: ^[>0, a₂)>0, a₃ )> 0, krzywą wewnętrznie styczną,; zaś pod warunkiem: a₁<(0, a₂^> 0, «₃i> 0, lub «!>»(), a₂<C 0, a₃> 0, lub ai^>01 a₂>0, a₃ <Z.0, krzywe styczne zewnętrznie, przeciwległe kolejno wierzchołkom A, 7?, C, trójkąta odniesienia.

12.    Uwaga. Krzywa: \/]/ «22*2 + \/«₃3»₃ — 0 , dotyka boku dZ? w punkcie: (a;₃ —0, »! :»₂ = «22: «u)» boku BO w punkcie (^=0, :r₂ : »3 — «33 ’• «22) j boku CM w punkcie: (»2 "=0, »₃:»i== «u : «₃₃).

13.    Rodzaj krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia. Zastosujmy, przy danym trójkącie odniesienia, spółrzędne trójkątowe prostopadłe, a przez «, b, c, oznaczmy boki trójkąta odniesienia.

W art, 10., str, 860. widzieliśmy, że równanie :

«H»²! + «22»²2 + «33»²3 + ²«12»l»2 + 2«₁₃»i»₃ -f- 2ö₂₃»₂», — 0 ,

przedstawia elipsę, gdy A>0, hiperbolę, gdy A<0, parabolę, gdy A = 0, przyczem :

A=(a,iC²-J- a₃3«²—2a₁₃ac) (a₂₂c²-)- a₃Sb²—2aïzbc)—(a₁₂c²—al₃bc—«₂₃«c-f- a₃₃ab)‘².

Jeżeli krzywa jest wpisaną w trójkąt odniesienia, wówczas, na mocy równania (13) mamy:    an = «²i, «₂2=:«²27 an =«²₃, an = — «i«₂, «i₃= — «ta₃, a₂₃ = — a₂«₃,

wobec czego , otrzymamy :

a, po uproszczeniu:

A = (a,c -j- a₃«)²(a₂c-f- a₃&)²—(a²₃ab    a₂a₃ac-\- axa₃bc—«i«₂c²)²,

A = 4«ia₂a₃(a,&c -j- a.₂ac -(- a₃ab) c²,

czyli :

A = 4«², a\ a\ c² ^ — - -f-

ab

)•

«1 «3

Ztąd wynika , że krzywa: y/«i »i -j- V/«₂ »2 +    «₃ »3 = 0, wpisana w trójkąt odnie-

«2 «3

«1 «2

sienią jest elipsą, gdy:

«1

>0,

(15)

jest hiperbolą, gdy:

. -"-<0

a parabolą , gdy :

i⁵ a

• —+ -

«3    «3

. 1 + 1 . ± + JL . ü.œ0.

«2    «3    «3    «1

«1

(150

(IB")

14. Parabola, wpisana w trójkąt odniesienia. Krzywa, wpisana w trójkąt odniesienia:

V/«i »1 + V/«₂ »2 + V/«3 »3 = 0 , jest parabolą, gdy staje się zadość warunkowi (15"):

lub , co na jedno wyjdzie, skoro : ab . a?< -f- bc ,a{ -4- ca . a₂ — 0.

(a)

- 883 —

Mamy więc:

Równanie krzywej ma, więc, postać :

a3___ . ai__

•«2-

V/«1 *1 + \/«2 x2 +    °1 + •y a2^x3 — 0,

czyli :

\l‘vx,+ \l^x>+ \I~0⁺t)Xs -a

Napiszmy a% = kal, a otrzymamy równanie dowolnej paraboli, wpisanej w trójkąt ABC, w postaci:

(16)

Kładąc na k wartości dodatne, od 0 do -f- co., otrzymamy parabole, zawpisane w trójkąt ABC, przeciwległe wierzchołkowi O, a więc, dotykające boku AB, oraz przedłużeń boków CA i CB. (vide art. 12. str. 882.).

Kładąc na k wartości ujemne od 0 do ——, otrzymamy parabole, zawpisane w trójkąt ABC, przeciwległe wierzchołkowi A, a więc, dotykające boku BC i przedłużeń boków AB i AC.

Kładąc na k wartości ujemne od--— do —co, otrzymamy parabole, zawpisane w trój

kąt ABC, przeciwległe wierzchołkowi B, a więc, dotykające boku AC i przedłużeń boków: BA i BC.

Łatwo zrozumieć, że parabol „wpisanych“ wewnątrz trójkąta odniesienia niema.

15. Hiperbola równoboczna, wpisana w trójkąt odniesienia. W art. 20. str. 865. wykazano, że krzywa rzędu drugiego, (w spółrzędnych prostopadłych):

anx\ -j- a^x\ -f- aux\ -f 2a₁₂æ₁æ₂ + 2atzXyXz + ‘2,anx₂xz =0 , będzie hiperbolą równoboczną , gdy :

an + a22 + «33— 2«23 cos a—2a₁₃ cos ß—2 a₁₂ cosy = 0.

Jeżeli krzywa jest wpisaną w trójkąt odniesienia, wówczas, mając:

aU = a\l a2"l== a'ii a33 = a\î al2 — — ai<hl    —®1®3, °23 == a2a?,i

otrzymujemy ten warunek, w postaci :

a\ -j- a\ -f- a\ -(- 2 fląa₂ cos y -j- 2a₂a₃cos a-j-2a₃a₁cos ß = 0.

Wobec tego , równanie dowolnej hiperboli- równobocznej, wpisanej w trójkąt odniesienia , możemy napisać w postaci :

\/xt 4- Vkx, + \/lx3 = 0,

przyjmując, że liczby kil czynią zadość warunkowi :

k'¹ -f- 2kl cos a -j— Z² -)- 2k cos y -j- 2żcos ß 1=0.

Łatwo okazać , że możliwe są tylko zawpisane hiperbole w trójkąt, zarówno równoboczne , jak i ogólne.

16. Koło, wpisane w trójkąt odniesienia. Z art. 20. str. 865. wiemy, że krzywa rzędu drugiego , (w spółrzędnych prostopadłych) :

(17)

(P)

anx\Ą- anx\Ą- «₃₃æ²₃ +2al2a:₁:r₂    -j-2«₂₃a:₂:r₃=0,

jest kołem, gdy stanie się zadość warunkom:

an^²+ ana²—2a^ab — a₃₃a² -f- auc²—2a₁₃ac = a^c² -(- a₃₃ó²—2ct.₂₃bc.

Ponieważ krzywa ta jest wpisaną w trójkąt, mamy więc:

an=a\, an = a\, an = a\, an=—ala₂, a₁₃= —0^3,    — a%a?t,

a wobec tego, warunki powyyźsze przyjmują postać:

(a^b -f- a₂a)² = (a₃a-|- atc)² = (a₂c -j- a₃ó)², z której , dzieląc wszystkie wyrazy przez c², otrzymujemy równości :

(«1 4⁺“²7~) =(«³y + «l) ==(«2+«3 4)²-

Na mocy prawa sinusowego , możemy powyższe równości napisać w postaci :

sin a

( sin ß

VaisiS7⁺°²

sin a y² ^

sin y

siny

z której, mnożąc je przez sin² y, otrzymujemy warunki, w postaci:

(«! sin ß-f- a₂ sin a)² = (a₃sin a -f- oąsin y)² =(a₂siny 4- «3 sinß)².

(P)

Warunkom powyższym czynią zadość cztery kombinacye stosunków :

n «

: a₂ '• a% = cosL — : cos

— cos² —■ :sin²■— ; ax : a₂ : a₃ = sin²

«i : «2 '• a3 —

— cos²-^- : sin²—- : sin² ~ ,

to «

: sin²

«i : «2 : «3

otrzymujemy więc jedno koło, wpisane w trójkąt odniesienia, o równaniu:

2" •

—cos

i trzy koła. zawpisane, o równaniach :

cos V/*² X (cos V/.^3 = 0 (cos    ^i + (sin-|-) V/ *2 X (sinx) V/*3 =0

( sin-^-j Vxx X (cos'|“) V—V^ =0

(sin-^-) \/ xx X (sinx) ^Xi + (cos "2) V/—*3

(18)

(180

= 0.

17.    Równanie krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia, w spółrzędnych jednorodnych prostej. Wychodząc z ogólnego równania krzywej:

X a₂2U%2 +a3P,M23 + 2 ai2MlW2 4    3 Wj Mg X 2«₂ 3M2 M3 — 0

zauważymy, że, skoroby to równanie miało przedstawiać krzywą, wpisaną w trójkąt odniesienia, natenczas bok AB(ui— 0, u₂= 0, |w₃|)>0), musiałby być prostą, należącą do układu prostych: (u,, w₂, w₃), równaniem określonych, w obec tego, musiałyby spółrzędne : «^=0, w₂=0, uczynić zadość temu równaniu, musiałby więc zachodzić warunek: a₃₃=0. Podobnie, otrzymamy warunki, pod którymi także boki AC i BC trójkąta odniesienia byłyby styczne do danej krzywej, w postaci: a₂₂ = 0, au=0.

Równanie krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia, przedstawia się więc, w spółrzędnych jednorodnych prostej, w postaci:

ai ₂ U.2 X ®\ 3 X X ^2 3 ^2 ^3 ⁼⁼ 0 tt2.°, Xi _p a!2 _q

%2    ^3

18.    Przechodząc z układu spółrzędnych jednorodnych (ni,u₂,u?>) prostej stycznej, do układu spółrzędnych jednorodnych (xi, #₂, ab) punktu, otrzymamy, na wyznaczenie jej punktów styczności, jak w art. 7. str. 881. wzory :

~ _ a23    „ _ai3

'~n\'    %~u\’

'«23

czyli :

a\ 2

U\ ’

(19)

(190

a więc :

Ul=y

(/

ai?,

1/

, u₂ —

wartości te, wstawione w równanie (19), zamieniają je na równanie:

V/«₂ g xi X V oi g x₂ t V/«₁₂ Xn — 0.

19. Twierdzenie Pascala. Przyjmijmy na krzywej:

a23    , ai2_0

rp    rp    ry*

«Aż 2    «Aż o    «A/ j    «AZ 2    łAŻ o

pod którym trzy punkta Z), JD, X¹, leżą na

«2 3 X 3 X ~~T

rpt

Jy 2

x‘

eTI «

=o,

a] 3

^2

.3

(20)

(21)

x"

z których wypływa warunek krzywej (21), w piostaci:

Jl Jl ¹

ryt ? ry l ^    /y»/

tA/ ^    «A/    |A/ g

« i-H

—0, czyli:

ry H ryi i i As -j As

,-ylli r*i

As 1    1 ?

ryl ry H

As A As    ^

ryli rylll    ryli    rylll

As 2 ^    2 ? ^    3**'    3

rylll ryi    ryi i i ryl

As 2^ 2?    ^    3'*' 3

ryl ry H    ryl    ry H

As 2 A; 2 1    As 2    As 3

-0. (22)

ry il l ry H '    /y* H

Sześć punktów .4, B, G, D, Æ7, F, położonych na danej krzywej , a połączonych w dowolnym porządku, n. p. ADBECF w_ (fig. 739.) tworzy sześciokąt, w krzywą wpisany. W powyższym porządku ADBECF są AD i GE. BD i CF, BE i AF parami boków, przeciwległych tego sześciokąta.

Równaniami tych par boków są kolejno :

xz . 3 x“

yr

;c

-r

(«)

X2

X2

x\

/y. //    7

Jy 2

(6)

*3

*'₃

xi    .    x₂ __ xi

/y%i    sy\i k k    rylll ^

As I    As 2    As 1

X3    •    X3_ __

ryt l l

Js ₃

« «r

(C)

/y»* t

X 3

skąd, na wyznaczenie punktów przecięcia tych trzech par boków przeciwległych , otrzymamy wzory :

Fig. 739.

X2

xi

ry H    ry l

As i As %

x₂

ryi ry**

As 2 As 2

xz

ryk ry U

As 3 As 2

dla punktu M,

xi

ryt ryt * t As j As ^

x₂

ryt rylll

As ^ As 2

Xo

ryi ry Ul

As o As*

, dla punktu 2V,

Xi

X2

xz

ry il r\*t 11

Aj i As o

Te trzy punkta leżą na

ryli rytu As 3 As 2

, dla punktu L.

ryii ryt H

As z As ₃

linii prostej, skoro wyznacznik:

X i X

rylll ,yl As j A/ j j

ryt    ry it

As a As

tli ry H ryt 11

U ■2U/ 2?

ry tli ryt

As2    As 2)

ryl ■ ryli

As 2 As 2 )

ry a ryi i i

As zAs 2

ryt 11 ryi

As % As 2

ryt ryli As 3 As o

x\    X‘₂    X 3

—0, czyli skoro :

ry i* As ^

ryli ^ As 2

rH

=0

x“‘

ry tli ^ ry tli

As 2 As 3

co, na mocy wzoru (22), zawsze ma .miejsce, skoro punkta:

D{x'i, x\, x‘z),    E(x\, x\, x\),    F{x“\, x‘“₂, x,n₂),

leżą na krzywej, na trójkącie ABC opisanej.

Mamy zatem twierdzenie, znane pod nazwą twierdzenia Pascal’a: W sześcioboku, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, trzy pary boków przeciwległych przecinają się w trzech punktach, leżących na jednej prostej, (prostej Pascala).

20. Na podstawie twierdzenia Pascal’a, łatwo, z danych pięciu punktów 1, 2, 3, 4, 5, krzywej stożkowej, wykreślić dowolny punkt szósty. W tym celu, przedłużamy prostą 1,2, aż do punktu przecięcia się A z prostą 4,5, (fig. 740.); przez punkt A prowadzimy dowolną prostą ^4X, która przetnie się z prostą 2,3 w punkcie B, a z prostą 3,4 w punkcie G; proste Cl i B5 przetną się tedy w szukanym punkcie 6, ffig. 740.) i (fig. 741.).

Podamy jeszcze jeden sposób wyznaczenia szóstego punktu krzywej. Przez punkt 1 prowadzimy dowolną prostą (1,6), na której ma się znajdować punkt krzywej 6. Proste (1,2), (4,5) dają punkt A; proste (3,4), (1,6) (dowolnie obrana) dają punkt Z. Proste (2,3) i AZ dają punkt Y; prosta (5, 1T) i wykreślona już prosta (1,6) przecinają się w szukanym punkcie 6. (fig. 742.).

wreszcie

1.

i-~X

/A

t~<

Fig. 740.

Fig. 741.

Fig. 742.

21. Z twierdzenia Pascala wypływają bezpośrednio twierdzenia, dotyczące pięciokąta, czworokąta, lub trójkąta, wpisanego w krzywą drugiego rzędu, jeżeli przypuścimy, że w sześciokącie, w krzywą wpisanym, wpadają co dwa wierzchołki razem, tworząc odpowiednią styczną do krzywej. W ten sposób otrzymamy n. p. następujące twierdzenia :

1) W pięciokącie, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, przecinają się: styczne w jednym wierzchołku z bokiem przeciwległym i dwie pozostałe pary boków przeciwległych w trzech punktach, leżących

na jednej prostej.

styczna TA , prostą 4,5 przedstawi nam

Na fig. 743. mamy pięciobok ABCDE, wpisany w krzywą rzędu drugiego. Zaznaczmy w A wierzchołki: 1,2; w B: wierzchołek 3, w C: — 4, w D: —5, w E: —6. Prostą 1,2, przedstawi nam bok CD. Otóż (styczna TÄ, bok CD), (bok AB i DE — jako (2,3) i (5,6), (bok BC i EA —jako (3,4) (6,1) wyznaczają punkta L, M, N,leżące w linii prostej.

Na tej podstawie można z łatwością wykreślić styczną w jednym z danych pięciu punktów krzywej, n. p. w punkcie 1, (fig. 744.). Oznaczywszy mianowicie punkta przecięcia boków 1, 2 i 4, 5, jakoteż boków 1, 5 i 3, 2

/i

,7

/ i M V-,

,/A

A(i\

EW

5'

n'

........

Fig. 743.

Fig. 744.

Fig. 745.

przez B i C otrzymamy prostą BC, którą przetnie bok 3,4, w punkcie A, prosta Al będzie tedy szukaną styczną.

2) W czworokącie, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, leżą punkta L, M, N przecięcia się boków przeciwległych AB i CD; AD i BC i punkta przecięcia stycznych, wykreślonych w przeciwległych wierzchołkach A i C czworokąta, na jednej linii prostej, (fig. 745.).

/A"

Tl

y..

.,x

ter

's

's.

h lit)

K.ffl

■'■s

U)

JP

Fig. 746.

Fig. 747.

Fig. 748.

3) W trójkącie, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, leżą punkta przecięcia się boków i stycznych w przeciwległych wierzchołkach na jednej linii prostej, (fig. 746.).

22. Uwaga. Na podstawie powyższych wiadomości, możemy rozwiązać następujące zagadnienie: Przez punkta A, B, C, (fig. 747.) poprowadzić krzywą rzędu drugiego, styczną do prostej PQ, w punkcie K. W tym celu, uważamy punkt K, jako dwa punkta: 1 i 2; punkt A, jako 3, punkt B, jako 4, punkt C, jako 5. Przez pięć punktów (1,2,3,4,5), sposobem, wskazanym w art. 20., prowadzimy krzywą szukaną, fig. 747.

W podobny sposób rozwiązuje się zadanie: Przez punkt A poprowadzić krzywą rzędu drugiego, któraby dotykała prostej IiS w punkcie li, prostej PQ w punkcie J. W tym celu, uważamy punkt J, jako dwa punkta: 4 i 5; punkt A, jako punkt 5. Przez punkta 1,2,3,4, 5 kreślimy krzywę rzędu drugiego, sposobem, w art. 20. podanym (fig. 748.).

28. Twierdzenie Briancliona. Niech będą (u\, u\, u\), (u'\, u\, u"₃), (u“\, u/u₂, u‘“z) spółrzędne jednorodne trzech prostych 1, 2, 3, stycznych do krzywej, wpisanej w trójkąt odniesienia, określonej równaniem:

(24)

wówczas, otrzymamy równania warunkowe:

+ 4+4=0

U 2 U 3

ai

ai

«3

«2

ax

0,

u“\ ⁺

_L _1_ ». // ¹

u‘“₂    u“‘3

z których wypadnie, jako warunek, pod którym trzy proste :

(u\, u\, u'₃), (u\, u\, m*₃), (u“\, u"‘₂, u“\), są, wraz z bokami trójkąta odniesienia, styczne do krzywej drugiej klasy, równanie :

u‘

ui

u“₃

u"

=0.

(25)

«*'"3

Powyższe trzy proste 1, 2, 3, tworzą, wraz z bokami a, b, c trójkąta odniesienia, w dowolnem zresztą uporządkowaniu, sześciobok, opisany na

krzywej drugiej klasy, dwa boki po sobie następujące, wyznaczają wierzchołek tego sześcioboku. Przyjmijmy te boki, w porządku a, 1, b, 2, c, 3, natenczas, otrzymamy sześciokąt DEFGIIJ, w którym D i ćr, E i II, F i J, są parami wierzchołków przeciwległych, (fig. 749.). Równania tych par punktów przedstawiają się kolejno w postaci :

/B

J<

Fig. 749.

u₅

M'g

z,

Mj

u\

u‘z

M

u\)

Ul

u.₂

Mg

m₂

m'"

m'"

U“‘J

m"₃ ' m'"₂

skąd otrzymujemy, na wyznaczenie spółrzędnych trzech przekątni, jako prostych , łączących parami wierzchołki przeciwległe, stosunki :

M₁

m₂

Mg

u‘\ u\

u\ u\

M'g M"₂

dla prostej DG

M₁

m₂

Mg

u\un\

u₂u‘ u‘ 1

M'g U‘"l

dla prostej Eli

Ui

u₂

Mg

m₂"'m"₃

Proste te

znacznik :

dla prostej FJ.

Ul "Mg"'

przecinają się w jednym punkcie B, skoro będzie wy-

M"₃ Mo

M ₂M g j ^3    3

m^m"^,    u‘₂u‘“₂, m'₃

u'\u,ni, m'"₂m"₂, m"₃m'"₃

m".m'

u) ’    m'₂

m'

3    czyli:

u“i ’    M"₂ ' M ₃

(26)

ma

M₂'"’ «*'"3

a to, na mocy warunku (25), nastąpi, gdy dane trzy proste (u\, m'₂, m'₃), (m"1? m"₂, m"₃), (m"^, m'"₂, m'"₃), wraz z bokami trójkąta odniesienia, utworzą sześciobok, opisany na krzywej.

pod nazwą twier-

Mamy zatem dowiedzione twierdzenie dzenia Brianchon’a, które opiewa: W sześcioboku, opisanym na krzywej stożkowej, trzy proste, łączące trzy pary przeciwległych wierzchołków sześcioboku,

znane

przecinają się w jednym punkcie (punkcie Brianchon’a), (fig. 749. i 750.).

24. Na podstawie tego twierdzenia, możemy, znając pięć stycznych krzywej stożkowej, wykreślić dowolną szóstą. Niech będą 11, 22, 33, 44, 55, danemi pięcioma stycznemi, przecinającemi się kolejno w punktach: C, D, E, F, Gr. Obierzmy na prostej 55 dowolny punkt II i oznaczmy punkt przecięcia B prostych EH i DG, wówczas prosta FB wyznaczy na prostej 11 punkt J, który, połączony z punktem H, da nam prostą IIJ, jako szukaną szóstą styczną, (fig. 751.).

W ten sposób, można wyznaczyć dowolną ilość stycznych do krzywej stożkowej , jeżeli mamy danych pięć stycznych tej krzywej.

3-

E/

\h

J)

8,

v;

E\v

,5

.....-

/ \

Fig. 750.

Fig. 751.

4r

a.J

'4k

y'-

W.. -ł 'C

Fig. 752.

yH

25. Z twierdzenia Brianchon’a wypływają, bezpośrednio, nowe twierdzenia, dotyczące pięcioboków, czworoboków, lnb trójkątów, opisanych na krzywej drugiego stopnia , a to :

i. CL

- J;

A,

\ \ a\

J,C

Fig. 753.

Fig. 754.

Fig. 755.

a) W pięcioboku DEFGH, opisanym na krzywej drugiego stopnia, przecinają się dwie przekątnie D6r, EH i prosta Fł7, łącząca piąty wierzchołek F z punktem styczności J przeciwległego boku w jednym punkcie B (lig. 752. i 753.).

Twierdzenie to może posłużyć do wyznaczenia punktu styczności z krzywą stożkową, którejkolwiek z danych pięciu jej stycznych.

Mając, mianowicie, pięciobok DEFGH, jaki tworzą dane styczne, a chcąc znaleźć na boku HD punkt J styczności z krzywą, prowadzimy przekątne EH i F6r, które wyznaczą nam punkt B. Prosta FB przetnie bok DH w szukanym punkcie styczności J, (fig. 752. i fig. 753.).

i) W czworoboku CHEF, opisanym na krzywej stożkowej, przecinają się dwie przekątnie CE, DF i dwie proste GH, JK, łączące punkta styczności przeciwległych boków w jednym punkcie B, (fig. 754.).

c) W trójkącie, opisanym na krzywej stożkowej , przecinają się proste, łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności przeciwległych boków w jednym punkcie, (fig. 755.).

26. Uwaga. Na podstawie powyższych wiadomości, możemy rozwiązać następujące zagadnienie: Wykreślić krzywą rzędu drugiego, styczną do czterech prostych MiNi1 M₂NV M₃NZ,    a jedną z nich, n. p. MkNk,

dotykającą w danym punkcie J, (fig. 756.). Uważamy MiNi, jako styczną t M₂N₂, jako t₂, Jf₃W₃, jako t?>, ikf₄iV₄, jako dwie styczne 1₄ i th, przecinające się w punkcie J. Mamy więc pięć stycznych i postępujemy, jak wskazano w art. 24. str. 888. (fig. 756.).

Podobnież, możemy wykreślić krzywą rzędu drugiego, styczną do trzech prostych M±NX, M₂N₂, M₃NZ, a do dwóch z nich, n. p. M₂N₂, M₂N₂ w punktach wiadomych G i II. W tym celu, uważamy prostą MiNi, jako styczną t

A____5?

T>

J)

fi

% JA

A u,

*

/JL

co

Fig. 756.

Fig. 757.

Fig. 758.

prostą M₂N₂, jako dwie styczne t₂ i t₂, przecinające się w punkcie G, prostą M₃N₂, jako dwie styczne ti, tb, przecinające się w punkcie II. Mamy, więc, pięć stycznych i postępujemy, jak wskazano w art. 24. str. 888. (lig. 757.).

27. Twierdzenie Briancliona w zastosowaniu do paraboli. Parabola jest styczną do prostej w nieskończoności. Jeżeli mamy pięć stycznych do paraboli, to one z prostą W nieskończoności utworzą sześciobok Briancliona, opisany na paraboli. Jeżeli więc pięciobok DEFGII (fig. 758.) jest opisany na paraboli, to boki jego DE, EF, FG, GII, DII utworzą z prostą w nieskończoności sześciobok D^EFGIIJ^. Przekątne D^G (prosta jDE), Eli, FJM, (prosta I DII), przecinają się w jednym punkcie B. (fig. 758.).

Mamy więc twierdzenie: W pięcioboku DEFGII, wpisanym w parabole, przekątna EH, oraz prosta GB, równoległa do boku DE i prosta FS, równoległa do boku DII, przecinają się to jednym punkcie B.

Stąd wynika, że mając dane cztery styczne paraboli, możemy wykreślić dowolną piątą; w tym celu, oznaczmy przez 11, 22, 33, 44, cztery dane styczne paraboli, a przez 55 oznaczmy prostą w nieskończoności. Obierzmy dowolny kierunek MN, a przez H, oznaczmy jej nieskończenie odległy punkt. Proste (11), (22), (33), (44) przecinają się w punktach D,E,F, (fig. 759.). Przez punkt E prowadzimy prostą MN, przez D prostą FG,

AJ

V/ /

a/a

JA A

A-'

Fig. 761.

Fig. 759.

Fig. 760.

równoległą do prostej 44; przetną się one w punkcie B. Prosta FB przetnie prostą 11 w punkcie J. Prosta JII, równoległa do MN będzie szukaną piątą styczną paraboli.

28. Uwaga. Na podstawie powyższych wiadomości, możemy rozwiązać następujące zagadnienia :

a)    Wykreślić parabolę, styczną dodanych czterech prostych    ₃, £₄.

W podany powyżej sposób, możemy, bowiem, wykreślić dowolną piątą styczną.

b)    Wykreślić parabolę, styczną do trzech danych prostych, MiNi, M₂N₂,

M₃N₃, a do jednej z nich, w danym jej punkcie E. W tym celu, uważamy styczną MiNi, jako tit M₂N₂, jako t₂,    , jako dwie styczne t₃ i tk, prze

cinające się w danym punkcie E. Dalej postępujemy, jak w art. 27., str. 890. podano , (fig. 768.).

c)    Wykreślić parabolę, styczną do dwóch danych prostych MtNit M₂N₂,

w wiadomych ich punktach D i E. W tym celu, uważamy    jako dwie

styczne tu t₂, przecinające się w punkcie D; M₂N₂, jako dwie styczne t₃, 1₄, przecinające się w punkcie _E. Dalej postępujemy, jak w art. 27., str. 890. podano, (fig. 769.).

27. Zastosowanie twierdzeń Pascala i Briancliona do hiperboli. Jako zastosowanie twierdzenia Pascala i Briancliona, podamy jeszcze kilka zagadnień o hiperboli.

a)    Przez cztery punkta A, B, O, D poprowadzić hiperbolę, w ten sposób, by jedna z jej asymptot była równoległą do danej prostej MN.

Rozwiązanie. Oznaczmy nieskończenie odległy punkt prostej MN przez 1, a punkta A, B, C, D przez 2, 3, 4, 5, Przez 5 punktów 1, 2, 3, 4, 5, kreślimy krzywą tak, jak podano w art. 20. str. 885.

b)    Przez trzy punkta A, B, C poprowadzić hiperbolę, w ten sposób, by jedna z asymptot była równoległą do prostej MN ; druga równoległą do prostej PQ.

Rozwiązanie. Oznaczmy nieskończenie odległy punkt prostej MN przez 1, nieskończenie odległy punkt prostej PQ przez 2; a punkta A, B, O przez 3, 4, 5. Mamy 5 punktów krzywej 1, 2, 3, 4, 5. Dalej, jak w art. 20. str. 885.

c)    Przez dane trzy punkta A, B, C poprowadzić hiperbolę, znając przy tern jedną z jej asymptot, prostą MN.

Rozwiązanie. Jest to krzywa rzędu drugiego, przechodząca przez trzy punkta A, B, C i styczna do prostej MN, w jej nieskończenie oddalonym punkcie.

d) Przez dany punkt A poprowadzić hiperbolę, znając przytem obie jej asymptoty

MN i PQ.

Rozwiązanie. Jest to krzywa rzędu drugiego, przechodząca przez punkt A i styczna do prostych MN i PQ w nieskończenie odległych ich punktach.

e)    Przez dane dwa punkta Ai B poprowadzić hiperbolę, znając jedną z jej asymptot: prostą MN, i wiedząc, że druga asyptota będzie równoległą do prostej PQ.

Rozwiązanie. Oznaczamy przez C nieskończenie odległy punkt prostej PQ, poczem postępujemy, jak w c).

f)    Wykreślić hiperbolę, styczną do trzech danych prostych: MlNi , M₂N%, M₃N₃; znając jej asymptote MN.

Rozwiązanie. Jest to krzywa, styczna do prostych MXN,, MiN.i, M₃N₃, MN, a do tej ostatniej, w jej nieskończenie odległym punkcie. Postępujemy, jak w art. 24. str. 888.

28. Równanie krzywej stożkowej, odniesione do trójkąta, z sobą samym sprzężonego. Przyjmijmy, że, dla pewnego trójkąta odniesienia, równanie krzywej stożkowej przedstawia się w postaci uproszczonej :

(27)

«H«²! +«22Ä;²2+a33a;²3=⁼⁰

i zbadajmy, jakie położenie ma, w tym przypadku, trójkąt, ze względu na daną krzywą.

Przedewszystkiem przekonamy się, że powyższemu równaniu możemy nadać jedną z następujących trzech postaci:

a\ l^l “1" (X2 ^ a22 ' ł" X'i ^    (X2 ^ a22 ^3 ^— ^33)“^?

Cl2 2X^2 ~ł" 0^3 ^a33 “ł“ x\^    1 ) (*®3 ^ ^3 3 X^/— 1 ) ⁼ 0,

^33X 3 ~ł” (Xi ”1“ ^2 ^    ^22) (*^1 ^®11    ®2 ^— ^22) ⁼0.

Z tych równań wypływa , że każdy bok trójkąta przechodzi przez dwa

punkta, w których styczne, do krzywej wyprowadzone z przeciwległego wierzchołka, dotykają się tej krzywej. Trójkąt odniesienia ma, więc, w tym przypadku, względem danej krzywej takie położenie, że każdy z jego boków jest biegunową wierzchołka przeciwległego, i, nawzajem, każdy wierzchołek jest biegunem przeciwległego boku, (fig. 762.), a taki trójkąt nazywamy trójkątem, z sobą samym sprzężonym.

A zatem : Trójkąt, do którego odniesione równanie krzywej stoêkoivej otrzymuje prosty kształt: aiix²i -j-a₂₂x²₂ -f-«₃₃Æ²3 =0, jest, ze względu na tą krzywą trójkątem, z sobą samym sprzężonym.

29.    Uwaga. Do powyższej postaci równania krzywej, możemy zawsze dojść, nieskończenie wielu sposobami, za pomocą przekształcenia ogólnego równania, odniesionego do pewnego trójkąta, na równanie, odniesione do innego trójkąta.

Mając, na mocy wzorów (30) art. 23. str. 866. dziewięć spółczynników h, nii, ni, {i—1,2,3) do rozporządzenia, możemy je tak obrać, aby trzy spółczynniki M₁₂, Ai3, A₂₃, w równaniu przekształconem były równe zeru, co się da, wogóle, nieskończenie wielu sposobami uskutecznić.

Połóżmy, w tym przypadku: A₁₁=an, A₂₂=«₂2)    natenczas,

otrzymamy uproszczone równanie krzywej, w postaci:

anx\+a₂₂x\+aBzX\= 0,

jako równanie, odniesione do trójkąta, z sobą samym sprzężonego.

30.    Kształt krzywej: aiixïi ■\-a₂₂xl₂ + a₃₃a5²₃=0. Zestawiając równanie: anx²i +a₂₂ic²₂+a₃₃aî²3=0, z równaniem prostej, nieskończenie dalekiej, kształtu: axi -f bx₂ -\-cx₃ =0, otrzymujemy, po wyrugowaniu zmiennej x₃, równanie jednorodne o dwu zmiennych xx, x₂, x₃, w postaci:

(a₁₁c² + a₃₃a²)    -\-<2a₃₃abxix₂-lr(a₂₂c2jra₃₃b²) æ²₂=0.

To równanie wyznacza na niewiadomy stosunek:

które są urojone, sprzężone; rzeczywiste, różne, lub równe, a więc, dana krzywa ma w nieskończoności dwa punkta urojone, sprzężone; rzeczywiste, różne, lub równe, stosownie do tego , czy wyróżnik równania :

TU=(a₁₁c² + a₃₃a²) («₂ ₂ c² + a₃₃b²) —(a,₃ aó)², jest dodatny, ujemny, lub równy zeru. Wykonawszy wskazane działania, otrzymujemy wyróżnik W w postaci :

TU=a₁₁a₂₂c⁴ + a₂₂a₃₃a²c² + a₁₁a₃₃&²c²-fa²₃₃a²^²—ct²₃₃a²ó² =

= C¹²(<* '²«₂ ₂ O3 3 + b S 1 «3 3 +- C 2«11 0₂ 2 );

-i,

rp

AN;

f

cc

7j

Fig. 762.

(28)

xi

x2

dwie wartości,

czyli :

W—«22^33 |

a²

ó²

c²

«u

a22

a3 3

(29)

Jeżeli w tern wyrażeniu jeden, lub dwa ze spółczynników: aiU a₂₂, a33 są równe zeru, natenczas, równanie ai ix²i -\-a₂₂x²₂ +«₃₃ x²z = 0 , przedstawia

■>

w pierwszym razie, dwie proste

w drugim jedną prostą, podwójną. Żaden ze spółczynników au, a₂₂, a₃₃ nie może więc być równy zeru, jeżeli równanie «J -b«₂₂a;2₂ + a?,?Jx<l3 =0 , ma przedstawiać krzywą stożkową.

■A

a.

'B

a.

■A

Fig. 7GB.

Fig. 7G4.

Fig. 7G5.

w którem <0, a₂₂ < 0, a₃₃ < 0,

Równanie c+ «₂2 x\ Jra33xï3~ 0 przedstawia, więc, elipsę (fig. 763.), lub hiperbolę, (fig. 764.) stosownie do tego , czy wyrażenie :

c²

)•

/ a² &²

⁰lla22a33l “ł"

V Mit

jest dodatne, lub ujemne, a parabolą, (fig. 765.), gdy wyrażenie:

«22    a?,3

Z>²

c²

«u

to

+ —=0.

a3 3

to

Ô² C

--1--- < 0, możemy zawsze dane równanie tak

«22    a33

przekształcić, że to wyrażenie staje się równe 1, jeżeli tylko dane równanie : aux²i -\-a₂₂x\ +«o₃a;²₃=0 pomnożymy przez stosowną liczbę.

Jeżeli otrzymane równanie napiszemy, w tym razie, w postaci :

s₁a:₁²+s₂a;²2+s₃a:₃²=0

a2    h2    C2    ^

natenczas , wiedząc, że :--1---b - =1, przekonamy się, że znak wyróżnika

S\    S2    S3

zależy wtedy tylko od znaku iloczynu Sj.S2.S3. A zatem:

Równanie : six\ + s₂x²₂ -f-s₃æ²₃ =0, w którem si < 0, s₂ < 0, s₃ < 0, a przytem f)2 c²

-----1--= 1, przedstawia elipsę, jeżeli dwa ze spółczynników s₁₅ s₂, s₃, są

ujemne* a jeden jest dodatni; hiperbolę zaś, gdy jeden z tych spółczynników jest ujemny, a dwa są dodatnie.

31. W przypadku:

i⁵ I a

(30)

a²

--b

S2

Ćwiczenia LIX.

1)    Wyprowadzić równanie jednorodne paraboli: yl = 2px, odniesione do trójkąta, którego boki mają kolejno równania: 1) æ==0, 2) x-\-y = a, 3) x—y = a.

2)    Wyprowadzić równanie jednorodne koła: x^yi = r'¹, odniesione do trójkąta, którego boki mają kolejno równania: 1) x = 0, 2) y— 0, 3) x-\- y — r.

z na-

3)    Wykazać, że warunki, pod któremi równanie jednorodne: a, j.AJ- 2«23æ2æ3 -b&~-0, w spółrzędnycli prostopadłych punktu, przedstawia koło, możemy napisać w jednej stepujących postaci:

gdzie a, ß, y są kątami trójkąta odniesienia.

4) Wykazać, że równanie jednorodne koła, opisanego na trójkącie odniesienia, w spółrzędnych prostopadłych punktu , możemy przedstawić w postaci :

względnie :

sina,x₂x₃ -f- sinß .xYx₃ siny .xxx₂ =0 , ax₂x₃ -j- b xlx₃ -j- cxtx₂ — 0, gdzie a, b, c są bokami, a, ß, y kątami trójkąta.

5)    Wykazać , że równanie jednorodne koła, wpisanego wewnątrz trójkąta odniesienia, może być przedstawione w postaci :

cos⁴ y₂ a.x\ -J-cosłl/₂ ß.a;²₂ -feos⁴ V₂ y . æ²₃—2cos² y₂a. cos²¹/₂ ß .xxx₂ —

—2cos² y₂ ß.cos² y₂y .æ₂®3 — 2 cos² y₂ y . COS!1/₂a,aą æ₃ = 0.

6)    Wykazać, że równanie jednorodne koła, dla którego trójkąt odniesienia jest trójkątem , z sobą samym sprzężonym, da się przedstawić w postaci :

sin2 a ,x\ -(- sin 2ß .a:²2 -j- sin 2y ,x\ =0.

7)    Wykazać, że równanie koła, przechodzącego przez środki boków trójkąta odniesienia, czyli t. z. koła Feuerbacha, da się przedstawić w postaci :

sin2a. x²x -f- sin2 ß .x\-\- sin2y . a:²₃—(sin a.ay-j- sin ß .a^-j-sin y.a^cos a . aą-f-cos ß.aj₂-)- cosy.æ₃)=0.

8)    Wykazać, że równanie:

(sin a. x₂x₃ sin $xxx₃ -|- sin y ,xxx₂) -j- (sin a . xx -f- sin ß . x₂ -J- sin y ,x₃) (axxx -f- «2*2 4“ *3%) = 0, w którem a, ß, y, przedstawiają kąty trójkąta odniesienia, a spółczynniki ax, a₂, a₃, są stałemi dowolnemi, jest ogólnem równaniem jakiegokolwiek koła, w spółrzędnych prostopadłych punktu.

drugiej klasy, wpisanej w trójkąt odniesienia, przedstawia się w postaci :

«12*1*2 4- «13*1*3 4- «23*2*3

*11 2 al3

a²₃    a, a₃ ’

«11 i «22 ^*12 *22

A²₂ A²t    Aj h-2    h \ ¹ A²

gdzie An A₂, 7î₃, są wysokościami trójkąta odniesienia, albo:

«ul>~ + «22*²—2al2ab — «22e2 4~ *33 A²— 2a2ibc = a₃₃a² -j- «u A²— 2a₁₃ac, gdzie a, A, c są bokami trójkąta odniesienia, albo :

«11 sin² ß -f a₂2sin²a—2a₁₂sin «sin 8 = «₂₂sin²y -f- a₃₃sin²ß — 2o₂₃sinß sin y = a₃₃sin²a -j- *n sin² y—

—2al3 sin a sin y,

*33 2a₂₃ *33

a₂ a₃    a i

4-

9)    Wykazać , że równanie krzywej drugiego rzędu, opisanej na trójkącie odniesienia, przedstawia się w postaci:

*12®!®2 4~ *13®1®3 4" *23®2®3 ⁼⁼ 0.

10) Wykazać, że krzywa

«11®²! 4-2«23®2®3 = 0,

drugiego rzędu, styczna do boków AB i AC, w wierzchołkach B i C trójkąta odniesienia, ma w spółrzędnych prostopadłych punktu, równanie:

drugiej klasy, styczna do boków AB i AC, w wierzchołkach B i C trójkąta odniesienia, ma w spółrzędnych prostopadłych prostej, równanie :    *

*11«²1 4-2 «23*2*3 =0

iloczyn odstępów każdej stycznej od dwu punktów krzywej pozostaje w stałym stosunku do kwadratu odległości tej stycznej od punktu przecięcia się stycznych przez te dwa punkta przechodzących, równym: (— au : 2a₂₃).

z czego wynika , że w każdej krzywej stożkowej : iloczyn odstępów każdego punktu od dwu stycznych krzywej pozostaje w stałym stosunku do kwadratu odległości tego punktu od cięciwy styczności , równym :

( *n : 2 *23)-

11) Wyprowadzić równanie: biegunowej punktu (x\, x\, x'₃) względent krzywej drugiego rzędu, określonej w spółrzędnych punktu, równaniem :

*11®²1 4"*22®²2 4" «33 ®²3 = 0.

bieguna prostej: (u\, u'₂, *'₃ ) względem krzywej drugiej klasy, określonej, w spółrzędnych prostej , równaniem :

all«²l 4" a22 *²2 4" «33*4 =0 ;

12)    Dowieść następujące twierdzenie Newtona: Poprowadźmy z dowolnego punktu M, położonego na płaszczyźnie krzywej stożkowej, dwa promienie l' i 7", z których pierwszy przecina krzywą w punktach M\, iH'₂, drugi w punktach M‘\, Jf"₂, wówczas

iloraz :

jest stały, niezależny od położenia punktu M, byle tylko promienie l

MM\. MM\

i V zachowały te same kierunki.

twierdzenie C e w y :

Jeżeli z wierzchołków trójkąta odniesienia o bokach a, b, c, wykreślimy pary stycznych do krzywej stożkowej :

(a', a"), (ß', ß") i (c', c"), natenczas, iloczyn sześciu stosunków pojedynczego podziału kątów trójkąta: sin(ßa') sin (ba") sin(cß') sin (ca') ' sin (ca") ‘ sin (aß') sin(cß") sin (ac') sin(ac") sin (aß'') ’ sin (ßc') ’ sin(ßc")

13)    Dowieść następujące twierdzenie Carnota:

Jeżeli trzy boki trójkąta odniesienia o wierzchołkach ABC, przecinają krzywą stożkową w trzech parach punktów:

(d', d"), (1?', B") i (C", (7"), natenczas, iloczyn sześciu stosunków pojedynczego podziału boków trójkąta:

= 1.

BA' Bd" Ci?' CB“ AC‘ AC"

Ci' ' Cd" ■ dih ■ Iß⁷' ■ 7?C' ‘ B (!••

14)    Wykazać, że:

w sześciokącie, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, punkta przecięcia się przeciwległych boków leżą na jednej prostej, (prostej Pascala).

15)    Wykazać, że:

w czworokącie, wpisanym w krzywą drugiego rzędu, punkta przecięcia się boków przeciwległych, a zarazem punkta przecięcia się stycznych do krzywej w wierzchołkach przeciwległych, leżą na jednej prostej.

w sześcioboku, opisanym na krzywej drugiej klasy, proste, łączące przeciwległe wierzchołki, przecinają się w jednym punkcie (punkcie Briancliona).

w czworoboku, opisanym na krzywej drugiej klasy, proste, łączące wierzchołki przeciwległe, a zarazem proste, łączące punkta styczności boków przeciwległych, przecinają się w jednym punkcie.

16)    Wykazać, że w krzywej stożkowej, wpisanej w trójkąt, styczne do krzywej, wykreślone w wierzchołkach trójkąta, przecinają przeciwległe boki w punktach, położonych na jednej linii prostej.

17)    Wykazać, że:

trójkąt, utworzony przez przekątnie czworokąta, wpisanego w krzywą stożkową, jest, ze względu na tę krzywą, trójkątem z sobą samym sprzężonym.

opisanej na trójkącie, proste, łączące punkta styczności boków z przeciwległemi wierzchołkami trójkąta, przecinają się w jednym punkcie.

trójbok, utworzony przez punkta przekątne czworoboku, opisanego na krzywej stożkowej, jest ze względu na tę krzywą, trójkątem z sobą samym sprzężonym.

18) Wykazać, że równanie krzywej stożkowej: w spółrzędnycli punktu, w postaci :

axx\ -f a.xx\ -4- a?}x\ = 0, przerobione na równanie w spółrzędnych prostej, odniesione do tego samego trójkąta , przedstawia się w postaci:

w spółrzędnych prostej, w postaci :

«I«²! +«2«²2 + a3«²3j

u¹

u\

przerobione na równanie w spółrzędnych punktu, odniesione do tego samego trójkąta, przedstawia się w postaci:

= 0.

w spółrzędnych prostej, równanie: axu\ +«2^²2 + «3^²3 =0.

19) Wykazać, że krzywa stożkowa, odniesiona do trójkąta, względem niej z sobą samym sprzężonego , otrzymuje: w spółrzędnych punktu , równanie :

ax cr₂«3

— 896

20) Wykazać, że równanie krzywej stożkowej, opisanej na trójkącie odniesienia, a mającej środek w punkcie (?t, ?₂, £3); da się przedstawić w postaci:

Ę₂, 0, siny

0, ?₃, sin ß xx x₂ -f-    0, ?i, siny x₂x₃0, ę₂, sina ay;r₃=0.

Ç₃. 5i» sinß

Ç„ 0, sin a

?i, 0, sinß

?₂, Ç₃, sin a

21) Wykazać, że równanie krzywej stożkowej, wpisanej w trójkąt odniesienia a mającej środek w punkcie:

+ %îuï "i⁻ £3% — 0 »

otrzymuje, w spółrzędnych prostej, równanie :

(£1 + ^2    ?₃) uiu2 + (?2 + ^3—%i)u2u3 + (?3 “Ml—^l)u\.u3 =0.

22) Wykazać, że spółrzędne : (x'x, aj'₂, x'₃) bieguna prostej: ojccj-j- “2*2+ «3*3 =0, ze względu na krzywą: «12*1^2 -f- ax₃xxx₃ -f- a₂₃x₂x₃ =0, określają się wzorami:

x\ = ö₂3(®23 “l ®13a2 a\ 2*3)5 **2 ⁼ ₃(®13 *2 ®1 2a3 ®23“l)j *^3 == al2(al 2 “₃ — a23®l a31 *2)'

23)    Znaleźć spółrzędne: (aj',, æ'₂, æ'₃) bieguna prostej: ajajj-j- a₂æ₂ -j- a₃x₃— 0, ze względu na krzywą stożkową : \/ ax xx -J- \/ a₂ x₂-f- \/a₃ x₃ — 0.

24)    Wyprowadzić równanie krzywej stożkowej, stycznej do pięciu prostych:

xx =0, a?₂ = 0, x₃ — 0, xx + x₃ 4- %3 — 0, 2ajt -f- x₂—x₃ —0.

25)    Podać warunek, pod jakim równanie: \/a, x,    \/a₂ x₂ -f- V/ a₃ x₃ — 0 , przed

stawia parabolę.

26)    W trójkąt odniesienia wpisaną jest dowolna parabola. Wykazać, że równanie: w2~ł~PM2M3—(“ -j- ß) Wju₃= 0, przedstawia parabolę, styczną do boków trójkąta odniesienia.

27)    Podać warunek, pod którym prosta, axxy -f a₂aj₂ -j-a₃x₃ = 0, będzie styczną do krzywej : axxxxx₂ -f a₂₃x₂x₃ + ax₃xxx₂ =0.

28)    Podać warunek, pod którym punkt axux-\-a₂u₂-\-a₃u₃=0, będzie leżał na krzywej : “l2MlM2 "f" “l3wlw3 “ł" “23w2% — 0.

29)    Wyznaczyć:

d) spółrzędne punktu styczności prostej :

“1*1 + “2*2 + “3*3 =0 ,

z krzywą drugiego rzędu :

°1*²1 + «2*²2 4-ö3*²3 — 0 , odniesionego trójkąta, z sobą samym sprzężonego.

OLU,

b) spółrzędne (u\, u'₂, u\) prostej stycznej w punkcie : aj ux + a₂w₂ -f- a₃«₃ = 0, krzywej

drugiej klasy :

axu\ -f a₂u\ + a₃u\ = 0,

odniesionej do trójkąta, z sobą samym sprzężonego.

b) wpisanej w trójkąt odniesienia stycznej , a nadto stycznej do dwu prostych : V{u\, u\, u\) i    u"₂, w"₃).

30)    Wyprowadzić równanie krzywej stożkowej : d) opisanej na trójkącie odniesienia,

a przechodzącej nadto przez dwa punkta:

1 (x\, x*₂, a?'₃) i P , x“₂, a?"₃).

31)    Jeżeli dwa trójkąty ABC, AXBXCX, ułożone homologicznie, są wpisane w tęż samą krzywą rzędu drugiego, wykazać wówczas , że środek homologii (punkt, w którym proste łączące odpowiednie wierzchołki, się schodzą) jest biegunem osi homologii (prostej, na której znajdują się punkta przecięcia się odpowiednich boków), względem tej krzywej.

32)    Jeżeli dwa trójkąty ABC i AlB₁C₁, ułożone homologicznie, są wpisane w tęż samą krzywą rzędu drugiego, wykazać, że wówczas proste BCX i I?₁<7; A Oj i AXC \ ABt i AXB, krzyżują się na osi homologii.

33)    Jeżeli dwa trójkąty ABC i AXBXCX, ułożone homologicznie, są wpisane w tęż samą krzywą rzędu drugiego, wykazać wówczas , że prosta, łącząca punkta spotkania boków AB i AXCX, oraz AC i AXBX-, prosta, łącząca punkta spotkania boków AB i BXCX, oraz BC i AXCX ; wreszcie prosta, łącząca punkta spotkania boków AC i BXCX, oraz BC i AxCt, przechodzą przez środek homologii.

34)    Trójkąt abc, wpisany w dany trójkąt ABC, zmienia swe położenie w ten sposób, że bok ab przechodzi przez stały punkt P, a bok ac przechodzi przez stały punkt Ç. Dowieść, że bok bc obwodzi pewną krzywą drugiej klasy.

35)    Trójkąt abc, opisany na danym trójkącie ABC, zmienia swe położenie w ten sposób, że wierzchołek a posuwa się po prostej MXNX, wierzchołek b posuwa się po prostej M₂N.₂. Dowieść, że wierzchołek c opisuje pewną krzywą rzędu drugiego.

36)    Trójkąt abc, mający stały wierzchołek a, oraz stały, co do wielkości , kąt wierzchołkowy a, zmienia swe położenie w ten sposób, że wierzchołek b opisuje prostą MXNX, wierzchołek c zaś prostą M₂N₂. Dowieść, że bok bc obwodzi pewną krzywą drugiej klasy.

37)    Trójkąt abc, mający stałą, co do długości, podstawę bc, leżącą stale w pewnej prostej MN, zmienia swe położenie w ten sposób, że bok ac przechodzi przez stały punkt Q, a bok ab przechodzi przez stały punkt R. Dowieść, że wierzchołek a opisuje pewną krzywą rzędu drugiego, przechodzącą przez punkta R i Q.

38)    Dany trójkąt ABC, oraz dowolny punkt 0; prosta AO przecina bok BC w punkcie a, prosta BO przecina bok CA w punkcie b, prosta CO przecina bok AB w punkcie c. Dowieść , że istnieje jedna , ale tylko jedna krzywa rzędu drugiego , która, będąc wpisaną w trójkąt ABC, będzie zarazem opisaną na trójkącie abc.

39)    Dany trójkąt ABC, oraz dowolna prosta MN, która przecina boki AB, BC, CA trójkąta w punktach y, a, ß. Proste A<x, J3S, C'y tworzą pewien trójkąt AXBXCX. Dowieść, że istnieje jedna, ale tylko jedna krzywa rzędu drugiego, która, będąc opisana na trójkącie ABC, byłaby wpisaną w trójkąt AXBXCX.

40)    Jeżeli dwa trójkąty AlBlCl i A₂B₂C₂ są wpisane w jedną i tę samą krzywą rzędu drugiego, to one zarazem są opisalne na jednej i tej samej krzywej rzędu drugiego.

41)    Jeżeli dwa trójkąty AxBx Cj i A₂B₂C₂ są opisane na jednej i tej samej krzywej rzędu drugiego, to one są zarazem wpisalne w jedną i tę samą krzywą rzędu drugiego.

42)    Mamy dane dwa punkta P, P1; oraz trójkąt ABC. Zaznaczmy następujące punkta przecięcia się prostych :

... Ax, bc i ...Pi,

... Oj, ab i

ca i

PA i BC ... a, PXA i BC... ax, PB i CA ., b, PXB i CA ... bx, PC i AB... c, PxC\AB..cx,

Dowieść, że :

1)    punkta P, Px, Ax, Bx, Oj znajdują się na jednej prostej.

2)    punkta: A, Ax, B.₂, C₂

B, Bx, 0₂, A₂ znajdują się na jednej prostej.

O, Oj, A.₂, B.₂

3)    proste : AA₂, BB.₂, CC.₂ przechodzą przez jeden i ten sam punkt ... 0.

„    ... Q.

... R.

aA₂, bB₂, cC2 a\ ^21 fi2 ) cl ć-2

4)    wszystkie ośm punktów: a, b, c, ax, bx, cx, Q, R znajdują się na jednej i tej samej krzywej rzędu drugiego.

43)    W czworoboku zupełnym mamy dane sześć jego wierzchołków: a, ax, b, bx, c, cx. Zaznaczmy zarazem cztery trójkąty: abxcx, bc₁al, caxbx, abc, na dowolnej prostej obierzmy sobie trzy punkta A, B, C.

Dowieść, że :

a)    krzywo rzędu drugiego, określone piątkami punktów: (BCabxcx), {BCb^\ax), (BCcaxbx), (BCabc), przechodzą przez jeden i ten sam punkt Ax.

b)    krzywe rzędu drugiego, określone piątkami punktów: {CAabxcx), ^CAbcxax), (CAcalbj), (CAabc), przechodzą przez jeden i ten sam punkt Bx.

c)    krzywe rzędu drugiego, określone piątkami punktów : (ABablci),(ABbc₁al),(ABcaibi), (A Babć), przechodzą przez jeden i ten sam punkt Cj.

Dowieść przytem, że punkta Ax, Bx, Cj, również znajdują się na linii prostej.

44)    W zadaniu poprzednicm znajdujemy dwa zupełne czworoboki: {AAX BBX CCX) i (ć/oąóZącCj); dowieść, że są one opisalne na jednej i tej samej krzywej rzędu drugiego.

45)    Trójkąt PQR jest wpisany w hiperbolę, bok PQ przecina jedną z jej asymptot w punkcie L ; bok QR przecina ją w punkcie M\ bok PR przecina ją w punkcie N, a styczna do hiperboli przecina ją w punkcie T. Dowieść, że: LM —- NT.

57

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki 1.

H!)

46)    Jeżeli trójkąt ABC jest wpisany w hiperbolę równoboczną , dowieść, że wówczas punkt przecięcia się jego wysokości, znajduje się również na tejże krzywej.

47)    Daną jest asyinptota hiperboli, oraz dowolne jej trzy punkta : P, R. Wykreślić styczne do hiperboli w punktach P, Q, R, oraz wyznaczyć dowolną liczbę innych punktów tejże hiperboli.

48)    Mamy daną hiperbolę i jej asymptoty, oraz dwa koła współśrodkowe : pierwsze

z nich przecina hiperbolę w punktach «, />, c, d ; drugie z nich przecina asymptoty w punktach a', b\ c\ d‘; dowieść, że wszystkie ośm punktów a, b, c, d, a‘,    c¹, d\ znajdują

się na jednej krzywej rzędu drugiego.

49)    Daną jest krzywa rzędu drugiego, jej ogniska F i Fu oraz dwie proste: MN i MtN₁, styczne do niej. Z ogniska F poprowadzono proste FF i FQ prostopadłe do tych stycznych MN i MiNl ; z ogniska F\ poprowadzono również prostopadłe PjPi, FiQi.

Dowieść, że obie styczne i wszystkie cztery owe prostopadłe, dotykają jednej i tej samej krzywej rzędu drugiego.

50)    Przez ognisko F krzywej rzędu drugiego poprowadzono cięciwę dowolną MMX, a na niej, jako na średnicy opisano koło , które krzywą rzędu drugiego przetnie jeszcze w dwóch punktach NN^. Dowieść, że prosta NNX przechodzi przez cały punkt.

51)    Daną jest hiperbola równoboczna, dwie jej średnice AB i A‘B‘, oraz dowolny jej punkt C. Dowieść, że punkt spotkania trzech wysokości w trójkącie AA'C, schodzi się z punktem spotkania trzech wysokości w trójkącie BB‘C.

52)    Dowieść, że równanie pary asymptot krzywej rzędu drugiego o równaniu:

f(x, y)==anx² + any² + 2anxy 2aux+ 2ai3 y -f- a₃₃ = 0,

da się przedstawić w postaci :

ay d/d/

dx²'-dy-' dy²'dx/ dxdy dx d y

53) Dowieść, że równanie pary głównych osi krzywej rzędu drugiego, o równaniu: f(x, y)ss anx²-\- any²-\- 2anxy-\- 2ai3x + 2any + a₃₃ = 0,

przedstawia się w postaci :

(••=/ _ '(ïæ² dy²

Ó‘‘f

dxdy

54) Dowieść, że równanie pary równych, pomiędzy sobą, średnic sprzężonych, krzywej drugiego rzędu, o równaniu :

/(*» V) = «ii*s+ «2-2«/² + 2anxy + 2a₁₃x -f 2any + a₃₃ = 0,

przedstawia się w postaci :

(dlfj,dU\ m^-2 d-f dJ±ïÿïÿf f-MY]UW,

Vća;² ** dy²/ Idy² \dx' dx by dx dy “ dx² \dy/ J LA*² by² \dxdy/ dx\ \Ay/ T

55) Dowieść, że ogniska krzywej rzędu drugiego, o równaniu :

f(x, y) = anx²-\- 2 anxy -j- an y² -f 2 anx + 2 a₂₃y + a₃₃ = 0,

możemy wyznaczyć z równań :

(WpA

' d x/ V) y '

àjàf

dx d

d² f d²f dx² ù y²

- = 2/.

56) Wykazać, że:

cztery stałe punkta krzywej stożkowej, połączone z dowolnym punktem tejże krzywej, tworzą pęk czterech promieni o stałym stosunku anharmonicznym, (zwanym stosunkiem anharmonicznym czterech danych punktów krzywej stożkowej).

cztery stałe styczne krzywej stożkowej wyznaczają na dowolnej stycznej tejże krzywej szereg czterech punktów o stałym stosunku anharmonicznym, (zwanym stosunkiem anharmonicznym czterech danych stycznych krzywej stożkowej).

57) Mamy daną parabolę i dowolną inną krzywą rzędu drugiego C. Obie krzywe mają cztery wspólne styczne, które dotykają krzywej C w punktach Au A₂, A₃, d₄. Przez ognisko F paraboli prowadzimy koło, dotykające krzywiej w punkcie A;(i— 1, 2, 3, 4), koło to przejmie na tejże krzywej cięciwę Bi Ci. Dowieść, że cięciwy Bx Ct, Cj, B₃ C₃, 7i₄ C\, przechodzą przez jeden punkt.

58)    Mamy daną krzywą rzędu drugiego, a na niej punkt M, w tym punkcie wykreślamy normalną, która przetnie oś nieogniskową tejże krzywej (małą oś elipsy, względnie urojoną oś hiperboli) w punkcie N; przez tenże punkt M poprowadźmy pi*ostą MD, prostopadłą do kierownicy. Dowieść, że prosta DM przechodzi przez odpowiednie ognisko krzywej.

59)    Dany jest wypukły pięciobok ABCDE. W każdy z pięciu trójkątów : ABC, BCD, CDE, DEA, EAB wpisano koło. Dowieść, że te wszystkie pięć kół przecięciami swemi wyznaczą jeszcze pięć punktów a, b, c, d, e, leżących na jednem kole.

60)    Dany jest wypukły pięciobok ABCDE; w każdy z pięciu czworoboków: ABCD; ABCEj ABDE; ACDE\ BCDE wpisano parabolę. Dowieść, że ogniska tych pięciu parabol znajdują się na obwodzie jednego koła.

61)    Mamy daną krzywą rzędu drugiego K, dowolnie obrany jej punkt 0, oraz trójkąt ABC. Prosta OA przecina krzywą K w punkcie Au bok BC przecinają jeszcze w punktach A₂, A₃. Prosta OB przecina krzywą K w punkcie Bx, bok AC przecina krzywą K w punktach 7?2, B₃. Prosta OC przecina krzywą K w punkcie C,, bok AB przecina jeszcze ją w punktach 0₂, 0₃. Dowieść, że trójkąty A₁AiA₃, BlBiB3l ClCiC₃ są opisane jeszcze na jednej krzywej rzędu drugiego.

Rozwiązania LX. 1) a(xx — ,r₂)²—2p\/2 x₃ [x₃\/2— (xx -j-aą) ] = 0 , spółrz. prost. 2) x\—xlx₂ — \/2.xix₃ — \/2.xix₃=0. 11) alxx\.xx +a₂₂a:/₂.a;₂-ba₃₃x'₃.tf₃=0 ; ct.xxti\.uxĄ-a.nu\.u₃-\-Ą- a,₃₃u'₃.u₃ = 0. 23) x\ =«2*3+ 03*2, x\ == a₃ at -j- ax a₃, x‘₃=ax a₂-f ajoq- 24) 2\/—xxĄ- V3x₂ -f

+ ^^3=0- 25)    + -y + y = 0. 27) a²i2a23 + «²i3a22+«²23 a2i—2a₁₂a₁₃a₂a₃—2a₁₃a₂₃a₁a₂-

— 2ax₂a₂₃aja₃ = 0. 28) o²,a²₂₃ -f a²₂a²₁₃ + a²₃ «²₁₂ —2o, or₂ a₁₃ a₂₃ — 2<q cr₃ ecJ2 a₂₃ — 2öf₂ a₃ a₁₂ a₁₃ = 0. 29) Zakładając , że :

. *²i

a-

«²3

—¹ -f- —² -f- —³ =0, znajdujemy, na wyznaczenie spółrzędnych punktu

styczności: (x\, x'₂, x'₃), stosunki: axx\ \ a₃x‘₃ \ a₃x₃‘= a₄ : a₂ : a₃, a na wyznaczenie spółrz ędnycli : (u\,    u‘₃\ prostej stycznej, stosunki: ax u\ : a₂ u\ : a₃ w'₃ = oq : a₂ : a₃. 30) a)

* '3 * "3

X\, X\

x"i, x‘\

str. 14*—IS¹*¹. 44) Nouvelles Annales X. 1891. str 18*—20*. 49) Nouvelles Annales de Math. 17. 1898. str. 74. 50) Nouvelles Annales de Math. 1899. 18. str. 92—95. 51) Nouv. An. de M. 15. 1896. str. 295. 57j Nouv. An. de M. X. 1891. str. 35*—36*, 41. 59) Nouv. Ann. de Math. 14. 1895. str. 1. 60) Nouv. Ann. de Math. 14. 1895. str. 2. 61) Nouv. Ann. de Math. 11. 1892. str. 33.

xtx₂ f- & = 0; b) u‘₃u“₃ Wy U 2y uxu₃ -j- &. 421 Nouvelles Annales X. 1891,

u 1, U j

Literatura. A. Hann er. Analytische Geometrie des Punktes, der Geraden und der Kegelschnitte, nach neuren Methoden dargestellt. Prag, 1891. M. Chasles. Sections coniques. Paris, 1865. M. Chasles. Memoire de geometrie sur deux principes généraux de la science: la dualité et l’homographie. Paris 1875. N. F errer s. An elementary treatise on trilinear coordinates. London, 1866. G. de Longchamps. Cours de geometrie analytique. Paris 1898. C. Smith. An elementary treatise on conic sections 8°. London 1892.

Tematy do rozprawek naukowych :

1.    Zasadnicze wzory z teorjd krzywych stożkowych, opartej na podstawie spółrzędnych jednorodnych.

2.    Twierdzenia Pascala i Brianchona i odnośne zastosowania.

3.    Własności trójkąta, na jednej krzywej stożkowej opisanego, a w drugą krzywą stożkową wpisanego.

Wykład LiXl.

Krzywe stożkowe, jako utwory jednokreślnych pęków promieni, lub jednokreślnych szeregów punktów.

1. Ogólne określenie jednokreślności dwu pęków promieni, lub dwu szeregów punktów. Równania kształtu :

(i)

P4-&ę=o, p'-pjfc'Ç'-o,

w których P, Q, P', Q‘ są pewnemi wyrażeniami pierwszego stopnia w spół-rzędnych Kartezyuszowskich : (x, y), lub jednorodnych: (xu x₂, x?t) bieżącego punktu, kształtu : Ax-\-By 4- C=0, względnie: Axi + Bx₂ + Cx₃=0, albo w spół-rzędnych Plückerowskich : (u, v), lub jednorodnych: (m1? n₂, w₃), bieżącej linii prostej, kształtu:    C=0 względnie: Auy 4- Bu₂ 4- Cu₃ — 0, a k i k¹ są

dowolnemi parametrami, (por. art. 29. str. 127.), przedstawiają, w pierwszym przypadku, dwa pęki promieni, jeden o wierzchołku: 0(P= 0, Q = 0), drugi o wierzchołku: 0'(P—0, Q‘— 0), w drugim zaś przypadku, dwa szeregi punktów, jeden położony na prostej: P(P —0, Q = 0), drugi na prostej: 7ć(P'=0, ę'=0), jako na podstawie szeregu.

Przyjmijmy, że parametry k i k‘ połączone są t. z. równaniem dwu-

liniowem :

(2)

akk¹4- bk 4- ck‘ 4- d=0,

to zauważymy, że, do każdej wartości k, należy tylko jedna wartość k' i nawzajem , że więc do każdego elementu jednego utworu należy jeden i tylko jeden element drugiego utworu. Takie dwa utwory nazywamy utworami jednokreślnemi, a wzór (1) nazywamy wzorem jednokreślności.

2. Niech będą: (kx,h\), (7ć₂, k'₂), (k₃, k‘z) parami wartości, sobie przynależnych , natenczas mamy trzy równania :

akxk\ + bl\ -f ck\ -f «—0 ak₂k‘₂ + bk₂ 4- ck‘₂ 4-^=0 ak₂k'₂ + blc₃ 4-cÆ'₃ 4-^=0

(3)

a, a

b c

,    ’ a ^'em samem’ wy_

z których możemy wyznaczyć trzy stosunki :

znaczyć dotyczący wzór jednokreślności.

Ztąd wynika, że trzy pary elementów odpowiednich, wyznaczają już jednokreślnośó dwu pęków promieni, względnie jednokreślność dwu szeregów punktów.

Zestawiwszy równanie (2) z równaniem (1), zauważymy, że współczesność tych równań wymaga spełnienia się warunku :

1, Jc, Jc¹, JcJc'

1, Tcu Jc\, JcxJc\

1, Jc₂, k₂, Jc₂ Jc 2 1, Jc3, 7c'₃, JcJc‘₃

Warunek ten, po rozwinięciu wyznacznika, za pomocą łatwych uproszczeń, sprowadza się do postaci :

Äfj Jc.

JCo — Jc₂ ’ Jc — Jc₂

Jc —- Jc,

=0.

(4)

Jc¹— Jc¹

7d₃—Jc‘

Jc‘₂—Jc‘₂ ' lc‘—lel₂

wypowiada więc twierdzenie, że w dwu utworach jednokreślnych, których związek określony jest równaniem (1), stosunek anharmoniczny których-kolwiek czterech elementów jednego utworu jest równy stosunkowi anhar-monicznemu czterech odpowiednich elementów drugiego utworu.

Tę własność utworów jednokreślnych , przyjmuje się zwykle, za określenie jednokreślności dwu pęków promieni, lub dwu szeregów punktów.

3. Z określenia powyższego wypływa nawzajem, że odpowiednie elementa Je ile' dwu utworów jednokreślnych, muszą być związane równaniem kształtu:

alclc‘ + blc + clc‘ + d=0.

(5)

Równanie to daje Jc‘ — w postaci:

blc + d

ale + c

może być więc także przedstawione

Jc‘ =

alcĄ- ß ylc-j- J

(6)

w której jeden ze spółczynników a, ß, y, d, może być przyjęty równym 1.

Wobec tego, równania (1) dwu utworów jednokreślnych, możemy przedstawić w postaci :

P+JcQ = 0, P'-ł-

ale-\-ß ylcĄ-ó

Q'=0

(7)

gdzie cü, ß, y, d, są dowolnemi liczbami wiadomemi , Jc zaś dowolnym parametrem, którego poszczególnym wartościom odpowiadają dwa odpowiednie elementa , po jednym z każdego utworu.

4. Równaniom (7) możemy jednak nadać prostszą formę. Możemy, bo-

Q‘ — 0, przedstawić

wiem

równanie drugiego utworu, kształtu: P' +

w postaci :

czyli :

(yJc-\-ö)P'+(aJe+ß) Q‘ = 0, (dP' + ßQ‘) + Jc(y P‘-\-aQ')=0.

Kładąc zatem :

ô P‘ ßQ‘=P^, y P‘-\-a Q‘ — Q

możemy równaniom dwu utworów jednokreślnych nadać następujące proste kształty :

P+kQ=0, ^+7^=0,

w których parametr Jc przybiera równocześnie te same wartości, jeżeli wskazuje na elementa odpowiednie. Ztąd n. p. otrzymujemy, dia 7ć = 0, parę odpowiednią: P= 0, Pj—-0, a dla Jc=co, parę odpowiednią: Q=0, Q, =0.

(8)

5. Uwaga. Musimy tu zauważyć, że w równaniu (2) :

akk'-\- bk ck' -j- d = O,

musi być różnym od zera, podobnież, w równaniach (7) :

<xk -j- ß y k + 8

wyznacznik

P+kQ = 0, P'-f

Q‘ = 0

a ß |

wyznacznik j ’ musi być różnym od zera, w przeciwnym bowiem razie k' nie będzie T> ⁰ !

zależnem od k. Jakoż, połóżmy ad—bc-1=0, a otrzymamy,.z równania (2):

akk' + bk -f- ck' -j- d = 0, wobec (ak + c) k' -\- (bk d) — 0 i warunku: ad—bc—0, czyli: a :c = b:d, oznaczając a: c = b:d — ~k, a więc, pisząc: a=c~k, b—d\, wzór: (cX7c-f- c)k' -j- (d~kk -)- d)= 0, t. j. c(kk -f-1) k' -j- d(\ k -f-1) — 0 , a więc: k' — — d/c, k‘ będzie miało stałą wartość, wobec czego pęk, względnie szereg: P‘ -j- k'Q‘ — 0 znika, redukując się do jednej prostej, względnie punktu.

Ztąd wynika , że równania kształtu :

P+kQ = 0,

związano warunkiem :

akk' -j- bk -j- ck‘ -j- d — 0 , w razie , gdy :    ^

nic określają dwóch pęków, lub dwóch szeregów, ale tylko j eden pęk prostych i osobną pojedynczą prostą , względnie jeden szereg punktów i osobny pojedynczy punkt. W tym więc wypadku przejście od wzorów (1) do wzorów (8) jest wykluczone.

6. Miejsce geometryczne punktów przecięcia się odpowiednich promieni dwu pęków jcdnokreślnycli. Niech będą dane dwa pęki jednokreślne, za pomocą równań:

P+kQ-= 0, P‘ -\-lc Q'=0,

■gdzie P i Q są wyrażeniami pierwszego stopnia, w spółrzędnych punktu, a więc, niejednorodnemi, w spółrzędnych (#, y), lub jednorodnemi, w spółrzędnych (xit #₂, #3), Dla każdej wartości na 7s, otrzymujemy stąd równania dwu odpowiednich promieni: pip', z których p należy do pierwszego pęku, a p' do drugiego. Oba promienie przecinają się w jednym punkcie, którego spółrzędne określone są właśnie dla każdego 7c, dwoma równaniami :

P-\-icQ=0, P‘-\-kQ‘=0.

Wyrugowawszy z tych równań parametr k₁ otrzymujemy równanie:

=0, czyli: PQ‘-P‘Q= 0

p, Q P', Q‘

zawierające spółrzędne punktów przecięcia się odpowiadających sobie promieni. Równanie to jest widocznie równaniem drugiego stopnia w spółrzęd-nych punktu, a zatem :

Miejscem geometrycznem punktów przecięcia się odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych jest krzywa drugiego rzędu, przechodząca przez wierzchołki tych pęków.

7. Przyjąwszy, że dwa dane pęki jednokreślne są tak ułożone, że dwa promienie odpowiednie, n. p. P=0 i P'— 0, spadają na siebie, że więc P==P', mamy, w tym razie, równania pęków, w postaci :

P-\-kQ = 0, P+kQ‘ = 0,

skąd, wyrugowawszy parametr k, otrzymujemy równanie:

= 0, czyli: P(Q'—Q)=0,

P, Q P, Q‘

przedstawiające parę prostych: P = 0, Q'—Q = 0, jako szczególny przypadek krzywej drugiego rzędu.

Pomijając równanie P=0, przedstawiające prostą, w którą wpadają dwa, odpowiadające sobie promienie: (fc—0), mamy, równaniem Q'—Q=0, określone miejsce geometryczne punktów przecięcia się wszystkich innych par odpowiednich promieni, a zatem :

' Q‘

Dwa pęki jednokreslne, tak położone, ze dwa odpowiednie promienie wpadają w jedną prostą, posiadają tę własność , ze wszystkie inne promienie odpowiednie, przecinają się iv punktach, lezących na linii prostej.

Takie pęki jednokreslne nazywamy pękami perspektywicznymi, a prosta, na której się przecinają, osią perspektywiczności dwu pęków perspektywicznych.

8. Obwiednia prostych, łączących odpowiednie punkta dwóch szeregów jednokreślnych. Z równań: P+kQ=0, P'+JcQ'^0, w których P, Q, PQ', są wyrażeniami pierwszego stopnia w spółrzędnych prostej, a więc, z równań, określających dwa jednokreslne szeregi punktów, otrzymamy, analogicznie, jak w art. 6. str. 901. dla pęków promieni, równanie drugiego stopnia, kształtu :

= 0, czyli: PQ'—P'Q^0,

zawierające spółrzędne prostej, łączącej odpowiednie punkta obu szeregów jednokreślnych, a zatem:

Obwiednią prostych, łączących odpowiednie punkta dwu jednokreślnych szeregów punktów, jest krzywa drugiej klasy, styczna do obu podstaw tychże szeregów.

9. Przyjąwszy, że dwa jednokreslne szeregi punktów są tak ułożono, że dwa odpowiednie punkta: P = 0, P'= 0 spadają na siebie, że więc: Ps=P', mamy, w tym razie równania takich dwu jednokreślnych szeregów punktów, w postaci :

P+kQ = 0, P+fc<2' = 0, skąd, wyrugowawszy parametr k, otrzymujemy równanie:

= 0, czyli: P(Q'—Q) =0

P, Q P, Q‘

przedstawiające parę punktów: P—0, Q'—(i = 0, jako szczególny przypadek krzywej, drugiej klasy.

Pomijając równanie: P = 0, przedstawiające punkt, w którym spadają na siebie dwa odpowiednie punkta obu szeregów, (dla k = 0), mamy, równaniem Q‘— (J =0, określony punkt, przez który przechodzą wszystkie inne proste, łączące odpowiednie punkta danych szeregów, a zatem •

Dwa szeregi jednokreslne tak położone, ze dwa odpowiednie punkta wpadają w jeden punkt, posiadają tę icłasność, że wszystkie inne proste, łączące odpowiednie punkta, przechodzą przez jeden pankt 0.

Takie dwa szeregi jednokreslne nazywamy szeregami perspektywicznemi, a punkt 0 nazywamy środkiem perspektywiczności dwu szeregów perspektywicznych.

10. Konstrukcja krzywej drugiego rzędu, przechodzącej przez pięć danych punktów. Opierając się na twierdzeniu art. 6., według którego punkta przecięcia się odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych, leżą na krzywej drugiego rzędu, przechodzącej przez wierzchołki tych pęków, możemy wykreślić krzywą drugiego rzędu , któraby przechodziła

.z,

h i*

6"

,\r

6.

A.

'A /V fi•

\6

Fig. 766.

Fig. 767.

Fig. 768.

przez pięć danych punktów : 1, 2, 8, 4, 5. W tym celu , należy tylko dwa którekolwiek z danych punktów, n. p. 1. i 2, obrać, jako wierzchołki dwu pęków, a proste, łączące punkta 1 i 2 z trzema pozostałemi : 3, 4, 5, uważać, jako trzy pary (13 i 23), (14 i 24), (15 i 25) odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych : 1(3, 4, 5) i 2(3, 4, 5). Na podstawie otrzymanych, w ten sposób, trzech par promieni odpowiednich dwu pęków jednokreślnych, możemy, na mocy art. 30. str. 127., dla każdego czwartego promienia 16 pierwszego pęku, wykreślić odpowiedni mu promień 26, w drugim pęku. W tym celu, prowadzimy przez punkt 3. (fig. 766.) dwie proste dowolne, jako podstawy dwu perspektywicznych szeregów punktów. Pierwsza z nich przecina promienie (14) i (15) pęku (1345) w punktach 4' i 5', druga zaś promienie (21) i (25) pęku (2345) w punktach 4" i 5", proste (4'4") i (5' 5") przecinają się w punkcie 0, środku perspektywiczności szeregów punktów, położonych na prostych, przez punkt 3 przechodzących. Poprowadźmy więc przez punkt 0 dowolny promień (0, 6), który przecina prostą 34'5' w punkcie 6', a prostą 34"5" w punkcie 6“, a otrzymamy, w promieniach (16') i (26"), szukane dwa odpowiednie promienie pęków jednokreślnych (1345) i (2345). Punkt przecięcia się promieni (16') i (26") będzie tedy szóstym punktem (6) żądanej krzywej.

Tym sposobem, możemy znaleźć ilekolwiek nowych punktów, a tern samem poznać także kształt szukanej krzywej rzędu drugiego. Tak otrzymujemy z punktów 1, 2, 3, 4, 5 na fig. 766. elipsę, na fig. 767. hiperbolę, na fig. 768. parabolę.

11. Konstrukcya krzywej drugiej klasy, stycznej do pięciu danych prostych. Opierając się na twierdzeniu art. 8. str. 902., według którego proste, łączące odpowiednie punkta dwu szeregów jednokreślnych, obwij aj ą krzywą drugiej klasy, styczną do obu podstaw tych szeregów, możemy wykreślić krzywą drugiej klasy, któraby była styczną do danych pięciu prostych: 1, 2, 3, 4, 5.

W tym celu, należy tylko dwie którekolwiek proste, n. p. 1. i 2. obrać, jako podstawy dwu szeregów jednokreślnych, a punkta przecięcia się tych prostych 1 i 2 z trzema pozostałemi 3,4,5, uważać, jako trzy pary (13 i 23), (14 i 24) (15 i 25) odpowiednich punktów dwuszeregów jednokreślnych 1(3, 4, 5) i 2 (8, 4, 5). Na podstawie trzech par odpowiednich punktów dwu szeregów jednokreślnych, w ten sposób otrzymanych, możemy, w sposób podany w art. 31. str. 127., dla każdego czwartego punktu (16) pierwszego szeregu, znaleźć odpowiedni punkt (26) w drugim szeregu. W tym celu, obierzmy na prostej 33 (fig. 769.) dwa punkta dowolne Oi i 0₂, jako wierzchołki dwu perspektywicznych pęków, mających wspólny promień Oj 0₂.

podstawie 1 i (23), (24), (25) na

na

Łącząc punkt Oj z punktami (14) i (15), a punkt 0₂ z punktami (24) i (25), otrzymamy przez punkta przecięcia się odpowiednich promieni Oj (14) i 0₂(24), tudzież Oj (15) i 0₂(25), wyznaczoną oś perspektywiczności (IV., V.) pęków Oj i 0₂. Przyjmijmy więc, na podstawie (IV, V) dowolny punkt VI, natenczas promień (OjVI), wyznaczy na prostej 1 punkt (16), a promień 0₂VI., na prostej 2 wyznaczy punkt (26), jako szukane dwa odpowiednie punkta szeregów jednokreślnych : (13), (14), (15) podstawie 2. Prosta, łącząca punkta (16) i (26), będzie tedy szóstą styczną żądanej krzywej.

0.6)

Et

JL

é'J

-i

Y ~ÏÏ

Fig. 769.

(fl®

,(M'

S^C::4v

%.....\s

(2.6)

Fig. 770.

ÉÜi

o,.

w

?^r

Fig. 771.

^6’

i&

«JJ

4’

Tym sposobem, możemy znaleźć ilekolwiek nowych stycznych, a tern samem poznać kształt krzywej drugiej klasy. Tak n. p. otrzymujemy, za pomocą pięciu prostych: 1, 2,3, 4, 5, jak na fig. 769. elipsę, na fig. 770. hiperbolę, na fig. 771. parabolę.

12. Wyprowadzenie twierdzeń Pascala i Brianchona, z konstrukcyi krzywych stożkowych, jako utworów jednokreślnycli pęków promieni i jednokreślnycli szeregów punktów.

Z własności krzywycli stożkowych, jako utworów jednokreślnycli pęków promieni, względnie jednokreślnycli szeregów punktów, wynikają bezpośrednio twierdzenia Pascala i Brianchon’a? których dowód możemy przeprowadzić dwoiście w sposób następujący:

Przyjmijmy na krzywej stożkowej, fig. 773., sześć stycznych a, b, c, d, e, f, i u-twórzmy z nich, w pewnem uporządkowaniu n. p. a, d, b, f, c, e, sześciobok adbfce, opisany na krzywej stożkowej.

Przyjmijmy na krzywej stożkowej, fig.

772. sześć punktów: A , B , C, D , E, F i utwórzmy z nich, w pewnem uporządkowaniu: n. p. A, D, B, F, C, E, sześciokąt ADBFCE, wpisany w krzywą stożkową.

b;

IfJ

GŁ

iH

r.

>■

1ó4

■e

» xi £

Fig. 772.

Fig. 773.

(BGMF)-(BDNH).

Obierzmy teraz punkt przecięcia się przeciwległych boków AD i CF sześciokąta ADBFCF, t. j. punkt L, jako wierzchołek dwóch pęków, z których , pierwszy cztery promienie LB, LG, LM, LF, prze-

Przyjmijmy dowolne dwa punkta, n. p. A i O, jako wierzchołki jednokreślnycli pęków A i C o promieniach, przeprowadzonych przez cztery pozostałe punkta krzywej stożkowej, a więc o promieniach AB, AD, AE, AF w jednym pęku, oraz o promieniach odpowiednich : CB, CD, CE, CF, w drugim pęku. Na podstawie prawidła jednokreślności pęków, otrzymanych czwórek promieni, stosunek anliarmoniczny czterech promieni AB, AD, AE, AF, jednego pęku A(BDEF) musi być równy stosunkowi anharmonicznemu odpowiednich czterech promieni CB, CD, CE, CF, drugiego pęku: C(BDEF).

Jeżeli więc oba pęki odpowiednich czterech promieni przetniemy dowolnemi dwiema poprzecznemi, natenczas, otrzymamy czwórki punktów o tym samym stosunku anharmonicznym. Niech będą boki BF i BD owemi dwiema poprzecznemi, z których pierwsza przecina pęk A(BDEF) o wierzchołku A, w punktach B, G, M, F, a druga pęk C(BDEE) o wierzchołku C, w punktach B, D, JSI, II, natenczas otrzymamy czwórki punktów o równych stosunkach anharmonicznych :

ma

Przyjmijmy dowolne dwie styczne, n. p. a i c, jako podstawy jednokreślnycli szeregów punktów, powstałych z przecięcia się tych dwu stycznych z czterema pozosla-łemi, a więc o punktach: (ab), {ad), (ae),(cf) czyli : B¹, D‘, E' F‘, oraz punktach odpowiednich: (cb), (cd), (ce), (cf), czyli: B", D“, E“, F“ na drugiej podstawie. Na podstawie prawidła jednokreślności szeregów, otrzymanych czwórek punktów, stosunek anhar-moniczny czterech punktów B‘, D‘, E‘, F‘ jednego szeregu a(bdef) musi hyć równy stosunkowi anharmonicznemu odpowiednich czterech punktów B", D", E“, F" drugiego szeregu c(bdef).

Jeżeli oba szeregi odpowiednich czterech punktów połączymy z dowolnemi dwoma wierzchołkami, natenczas otrzymamy czwórki promieni o tym samym stosunku anharmonicznym. Niech będą punkta (bf) i (bd) owymi dwoma wierzchołkami 0₁, 0%, z których, pierwszy z szeregiem punktów a(bdef), na podstawie a ułożonym, tworzy pęk OfB'D'E'F), a drugi z szeregiem punktów c(bdef), na podstawie c ułożonym, tworzy pęk 0%(B,‘D“E,‘F“), natenczas otrzymamy czwórki promieni o równych stosunkach anharmonicznych : 0i(B,D,E‘F*)=0%(B,‘, DJI, E", F“).

Obierzmy teraz prostą l, łączącą przeciwległe wierzchołki (ad) i (cf) sześcioboku (adbfce), t. j. prostą D'F", jako podstawę prowadzone przez punkta B, G, M, F, boku BF, drugi ma cztery promienie LB, LD, LN, LH, przechodzące przez punkta B, D, N, II, boku BD. Oba pęki współśrodkowe, a zarazem jednokreślne mają widocznie trzy promienie odpowiednie LB, LD, LF, wspólne, jako na siebie wpadające, muszą więc mieć także czwarty promień wspólny, to znaczy, że czwarty promień LM jednego pęku nakrywa się z czwartym promieniem LN drugiego pęku , a więc punkty L, M, N, muszą leżeć na jednej linii prostej, co dowodzi prawdziwości twierdzenia Pascal’a, na mocy którego trzy punkta przecięcia się trzech par przeciwległych boków sześciokąta, w krzywą stożkową wpisanego, leżą na jednej linii prostej, ('prostej Pascal’a).

dwu szeregów, z których pierwszy powstaje z punktów przecięcia się prostej l z promieniami pęku Oi(B‘, 1)', E‘, F), drugi, z punktów przecięcia się tejże prostej l z promieniami pęku : 0₂(I>", D“, E", F“). Oba szeregi na wspólnej podstawie będą zarazem jednokreślnymi, mają widocznie trzy odpowiednie punkta (l b), (l d), (l f ) wspólne, jako na siebie wpadające, muszą więc mieć także czwarty punkt wspólny, a więc czwarty punkt {Im) jednego szeregu nakrywa się z czwartym punktem {In) drugiego szeregu, a więc proste, l, m, n, muszą przecinać się w jednym punkcie 0, co dowodzi prawdziwości twierdzenia Brianchon’a, na mocy którego proste, łączące trzy pary przeciwległych wierzchołków sześcioboku, na krzywej stożkowej opisanego, przecinają się w jednym punkcie, (punkcie Brianchona).

13. Rodzaj krzywej stożkowej, określonej dwoma daneini pękami jedno-

krcślnemi. Niech będą dane dwa pęki jednokreślne za pomocą równań:

{A^ x + Bi y +■ C^)-\-lc{A₂x-\-B₂y + C.₂)=0 {A\x\B\y-\- C\)-\-h{A.‘₂x-\-B‘₂yC‘₂)=0

natenczas równanie krzywej stożkowej, przechodzącej przez punkta przecięcia się odpowiednich promieni danych dwu pęków jednokreślnych , przedstawia się w postaci :

(13)

Ai x-j-Bi y + Gx,    A₂x-\-B₂y Ą-C₂

A\x-\-B\y-j-C\i A\xĄ-B\y + C‘₂

= 0.

(14)

czyli :

{Aix+Biy Ci){A,₂x-\-B‘₂y+ C‘₂)—{A\x-\-B\y-\- C\){A₂x-\-B₂y-\-C₂) =0,    (15)

z której, po wykonaniu wskazanych działań, otrzymujemy równanie drugiego stopnia, w spółrzędnych punktu {x, y), w postaci :

{AXA\ — A\A₂) x¹ + (BiB‘₂ — B\B₂)y² +

+ (AiB,₂ — A‘iB₂+A,₂Bi-A₂B,i)xy +

A{AiC‘₂— A\C₂-\-A‘₂Q—A₂C\)x -f-+ (Bi G₂- B\ C₂ + B\0₄ -B₂C\)y +

A~(G₁CI₂— C‘iC₂)=0.

Otrzymane równanie określa pewną krzywą drugiego rzędu, a to, na mocy art. 13. str. 711., przedstawia elipsę, hiperbolę, lub parabolę, stosownie do tego, czy wyróżnik równania (16):

A=A{A,A\-A\A₂){BXB\-B\B₂)-{A,B'₂-A\B₂ + A\B,-A₂B\)\ (17) ma wartość dodatnią, czy też ujemną, czy też równą zeru.

14. Znaczenie geometryczne warunku A g 0, przy danycli dwu pękach jednokreślnych. Szukając spółrzędnych x, y punktu przecięcia się dwu promieni odpowiednich, przynależnych pewnej przyjętej wartości parametru li w równaniach (13), i przedstawiwszy w tym celu równania (13) w postaci :

(16)

otrzymujemy wzory:

(Ai + lcA₂)x + {Bi -\-JcB₂)yĄ-{Gi +/cC₂)=0, {A\ -\-hA'₂)x-\-{B\ -\-JiB'₂)y-\-{C\ Ą-lcG‘₂)—0,

2^ -\-JcB₂, Ci +JcC2 ¹B\+7cB‘₂, C\+JcC'2 \AiJrkA₂₁ Bi + JcB2 \A\ -p7c4'₂, B\-\-1cB‘₂\

Cx+kC₂₁ A₁ -p JcA₂ I C\ -\-JcC‘2, A'^ -\-liA‘₂| V = Ai+kA₂, Bx + JcB₂ I A\ +kA\, B\ + JcB\!

(18)

z których wypływa , że punkta te będą, punktami nieskończenie dalekimi płaszczyzny pęków, skoro parametr Æ zostanie tak obrany, że się spełni warunek :

A\ -P JcA.₂, Bi -P JcB2 A\Ą-kAl₂₁ B\-\-JcB\

=0.

(19)

(Ax + JcA.₂)(B\ +kB\)—(A\ Ą-JcA‘₂) (Bx -\-kB₂)— 0,

czyli :

który, uporządkowany według potęg parametru Jc, przedstawia się w postaci równania drugiego stopnia, ze względu na parametr Jc, kształtu:

(■4₂-®ł2— A‘₂B₂) Jc² + (AiB‘₂ —AliB₂JrA‘₂Bi — A₂B\)Jc-\-(AiBli —A\Bi)—0,

Równanie to daje na Jc dwie wartości zespolone sprzężone, lub dwie wartości rzeczywiste , różne, lub równe, stosownie do tego, czy wyróżnik równania:

4=4(A₂B'₂-A‘₂B₂)(A,B\-A\Bi)-(AiBl₂-AliB₂+A‘₂Bi-A₂B'iy, (20)

ma wartość dodatnią, ujemną, lub równą zeru. W pierwszym przypadku A ;> 0, dane pęki jednokreślne nie mają rzeczywistych promieni odpowiednich, któreby przecinały się w punkcie nieskończenie dalekim, a więc były równoległe , krzywa nie posiada punktów rzeczywistych w nieskończoności i jest elipsą; w drugim przypadku A <C 0, istnieją w danych pękach jedno-kreślnych dwie pary promieni odpowiednich, do siebie równoległych, krzywa odnośna ma dwa punkta rzeczywiste w nieskończoności i jest hiperbolą; w trzecim przypadku 4=0, dane pęki jednokreślne posiadają jedną parę promieni odpowiednich, do siebie równoległych, krzywa ma, w tym przypadku, jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności i jest parabolą.

15. Rodzaj krzywej stożkowej, określonej dwoma danemi szeregami jednokreślnemi.

Niech będą dane dwa szeregi jednokreślne punktów, określone za pomocą równań:

(A₁u + Bxv -f- Cj) -\-k(A₂u + B₂v ~p (7₂) = 0,

'v pC"j ) -f- k(A'\u-\-B\v -j- C'₂) = 0, natenczas, równanie krzywej stożkowej, utworzonej, jako obwiednia prostych, łączących odpowiednie punkta danych dwu szeregów jednokreślnycli, przedstawia się w postaci:

A^u —p B₂v "p O,, A₂u —p B₂v —p (72 C\, A\u B\v-\- (7'₂

= 0,

(21)

(22)

czyli :

(Ąu + B,v + CàiA'iU -P B\v -P C\)-{A\u+B\v + C\)(A~u + B₂v + <7₂)=0,

z której, po wykonaniu wskazanych działań, otrzymujemy równanie drugiego stopnia w spółrzędnych prostej (u, v), w postaci:

(At A\-A\4₂)m²-P(ĄB\-B\B₂)a² + (d,B\-A\B% + A\BX - A₂B\)uv +

-pphń'₂—A\ C₂-pd'₂C\ —A₂C\)u -p(.Bj C"₂—B\ C₂ -\~B\CX —B₂C\) » —p(C\ C‘% — C\ C₂)=0,

«n“² +*22^² + 2 <h₂uv p 2 a₁₃w -p 2a₂₃ v -p «33=0.

Otrzymane równanie przedstawia pewną krzywą drugiej klasy, a to, na mocy art. 12. str. 861., elipsę, hiperbolę, lub parabolą, stosownie do tego, czy wyróżnik:

W — (C, C\—0\ (7₂). I &ik I ,

ma wartość dodatnią, ujemną , czy też równą zeru.

czyli :

(23)

l(î. Znaczenie geometryczne warunku W 5 0 przy danych dwu szeregach jednokreślnycli

Szukając spółrzędnych (u, v) prostej, łączącej dwa punkta odpowiednie, przynależne pewnej przyjętej wartości parametru fc, w równaniach (21), i przedstawiwszy je w postaci:

(+ + kA₂)u + (#1 + kB₂)v —j— (C'i -\-kC₂) — 0,

(^'i + kA\) u 4- (B\ -V k B'₂) v + (C'y + k C‘₂) = 0,

otrzymujemy wzory:

Oi 4~ kC-2i AyĄ-kA2 C\Ą-kC\, A\-\-leA\

Cy\kC2 B'i+kB'i, C\-\-kC'2 At+kAi, BiĄ-kBt ’ °

A' -j- k A'₂, B\-\-kB\

Równanie punktu styczności, przynależnego pewnej stycznej (uy, vx) do krzywej, określonej równaniem (23), ma, jak wiadomo, kształt:

(*llwl + *12 V1 4" *13) u 8* (*12wl “l" *22,;1 8“ *23) v "l⁻ (*13% + *23 v\ + “33) — 0-Podstawiając za «j, vl wartości, podane we wzoraclL (24), otrzymujemy równanie punktu styczności, prostej, łączącej dwa punkta odpowiednie, przynależne pewnej wartości parametru k, w postaci :

By 4* kB2 , C] 4- k C'2 i B\ + kB\, C'y 4- kC‘2 B\ 8" kB% , 0‘j 4~k C₂ |

B\ 4- kB‘₂, G\\kC\ \

Bi 4" kB2 , Oj 4" kC₂ I B\-\-kB'₂, C'yĄ-kC'₂\

Ay 4~ kA₂, By 4- k B2 A'y 4" k A'₂₎ B\-\-lcB\

(24)

+[

+ri

*11 +

*12 +

*13 +

Cy -\-kC₂, Ay 4" kA₂

C'i+kC'2, A'y + kA'₂

Cj 4~kC₂ , Ay + kA2 C'i + kC'i, A'y 4- kA'2 Cy 4- kC₂, -4i4" kA2 C'y + kC-2i A'y 4- kA\

«12 +

*22 +

*23 +

| Ay 4- kA₂, By 4- kB₂ j A'y 4~ kA'%, B'y 4* kB'₂ \ Ay 4- kA₂, By -j- kB2 I A\-\- kA'₂, B\-\-kB\

j Ay 4~ kA2l By 4~ kB₂ I I A\ -j- kA\, B\-\-kB'₂ \

*13

*23

]=°-

Prosta, odpowiadająca każdej wartości parametru k, dotyka krzywej w pewnym odpowiednim punkcie. Dla pewnej wartości k dotykać jej będzie w nieskończenie dalekim punkcie krzywej, będzie więc jej asymptotą.

Wiemy, że punkt o równaniu: Mu-\-Nv-\-P=0, znajduje się na prostej (u', v‘), gdy Mu' -f Nv' 4- B= 0, znajdzie się więc na prostej w nieskończoności («—0, r = 0), gdy bodzie M.O 4- Bf. 0 + P— 0. Stąd wynika, że obie asymptoty krzywej wyznacza równanie drugiego stopnia, ze względu na k, w postaci:

By-\-kB₂, Cy-\-kC\

B\+kB\y C\-\-kC\

A y kA₂, By 4" kB2 A'y-\-kA‘₂, B'y-\-kB\

Cy 4- kC₂, ^4j 4~ kA2 C'y-\-kC\, A'y+kA\

z którego otrzymujemy odpowiednie dwie wartości k. Rozwinąwszy to równanie, otrzymamy:

[(_Z?2C\ — B'2 C₂) «13+ (C‘2 A'₂ — C'₂A₂) a₂₃ 4“ (++"₂ A'2B₂) «33] kl-\- \(B₂C\ B\Cy -j-+ By C'-2—B\ C₂) «13 + (C₂A'x — C‘₂Ay 4- CyA\ — C'y A₂) a₂₃ + (A₂B\ —Ą‘%By + + B'₂—A\ 1>₂) «33 )k +

+ [(+1 ^‘\ -B‘y Cy ) aj 3 -\-{CyA\ — C'y Ay ) »33 4“ (Ay B'y — A'y By ) «33] = 0

*13 +

*23 +

*33-9,

(25)

czyli krótko :

Z&²4- MJc + N^O.

(250

jest elipsą.

Jeżeli wyróżnik 4LN—M² jest dodatni, asymptoty są urojone sprzężone, krzywa

Jeżeli wyróżnik 4LN—M² jest ujemny, asymptoty są rzeczywiste, krzywa jest

hiperbolą.

Jeżeli wyróżnik 4LN—M² jest zerem, asymptoty schodzą się w jedną, krzywa jest

parabolą.

Po podstawieniu wartości na Z*, Jf, N, jakie wzór (25) podaje, i po dokonaniu stosownych uproszczeń, otrzymamy ostatecznie jako ów wyróżnik, jak w art. poprzednim,

wyraz :

*11) *12) *13

W=(CyC‘- C\C₂) a₁₂, «22, «23 ,

I *13) «23, «33

którego wartość dodatnia cechuje elipsę, ujemna hiperbolę, równa zeru, parabolę.

17. Spółrzędne punktu krzywej stożkowej, jako fimkcye jednego parametru. Wzory (18), podające, dla danego h, spółrzędne (x, y) punktu przecięcia się dwu odpowiednich promieni, danych pęków jednokreślnych:

KAix-\-Biy-\- Cx)Ak(A₂xAB₂yA C₂)=0,

[A\x-\-B\y + C\)Ak(A'₂xA B'₂y A 0/₂)=0, możemy, po rozwinięciu wyznaczników, przedstawić w postaci :

Ifi + 7cfi) (C\ +kC'i)-(B\AkB‘₁){C₁ +JcC₂)

(fi AkA₂)(B\ AkB‘₂)— (A\ AkA‘₂)(Bi Ą-h B₂)7 JCi ĄkC₂){A\ AkA‘₂)—(C\AkC‘₂)(Ax ĄkA₂)

^ (fi AkA₂)(B‘i -\-7cB‘₂)—(.4'j AkA\) (Bx AkB₂) ’

z której, po wykonaniu wskazanych działań i uporządkowaniu wyrazów podług potęg parametru k, otrzymujemy wzory:

x ao +aik+a₂k2 c₀ AcxkAc₂k² ’ ^

6₀ + bi k-j-b₂ k²

Cg —k Cj Z/ ~k O Z/ ^

(26)

gdzie :

=    a^fiC^-^+.fiC'j-.Btfij, a₂ = B₂C‘₂-B‘₂C₂,

6\fi, ój=0₂,fi-0' fi+OU'o-Ob A, fi = 0₂fi₂-C'₂fi, c,=A,B\-A\Bu c,=A,B'₂-A\B₂+A₂B\-A‘₂Bu c₂=A₂B‘₂-A\B₂. Powyższe wzory przedstawiają spółrzędne Æ, ?/, krzywej stożkowej, jako ułamkowe funkcye wymierne drugiego stopnia, ze względu na parametr Z-, i dozwalają, dla wszelkiej dowolnej wartości parametru/»:, wyznaczyć spółrzędne odpowiedniego punktu krzywej stożkowej , a tern samem, wyznaczyć wszystkie punkta tejże krzywej.

Ten sposób jirzedstawiania spółrzędnych punktów danej krzywej, jako funkcyj dowolnego parametru, a więc przedstawiania krzywej za pomocą dwu równań kształtu :

(27)

& “ Afi y = (piß)

gdzie / jest dowolnym parametrem, mającym zazwyczaj pewne znaczenie geometryczne, które jednak, przy samem przedstawianiu krzywej, schodzi najczęściej na drugi plan, jest częstokroć nadzwyczaj dogodny w poszukiwaniach analitycznych i bywa zwykle stosowany w mechanice, szczególnie w nauce o ruchu punktu (w kinematyce), przyczem parametr t podaje czas (tempus) pewnemu jmnktowi (#, y) krzywej odpowiadający.

18. Spółrzędne prostej, stycznej do krzywej stożkowej, jako funkcye jednego parametru. Opierając się na wzorach (24), podających spółrzędne (w, v) prostej, łączącej odpowiednie punkta danych dwu szeregów jedno-kreślnych :

( Ax u -j- Bx v -f- Oj ) -f- k (A₂mT B₂v -j- ( ₂)=0, (A\u + B\v+ C\)Ak{A‘₂uAB‘₂vAC‘₂) =0,

i przedstawiając je w postaci:

(fi 4 kB₂){C\ 4- kC‘₂)—{A\ ĄkA‘₂) (Oj -\-kC₂) (fi -\-kA₂){B\ + JcB‘₂)—(A\ AkA\) (fi AkB₂) ^ (Oj -VkC₂) (A\ AkA'c')—(0⁷j AkC‘₂) (fi AkA₂) (fi +kA₂)(B\ Ą-kB‘₂) — (A\ + Zu4/₂)(fi AkB₂)

otrzymujemy, po uporządkowaniu liczników i mianowników, podług potęg parametru Z:, wzory :

an +«.Z: + a₉Z:2 u=—-\v

7o + y^+%₂k²

ßo Aß\ Z: +ß₂ k²

7oAyxkAy₂ kv

- 910 —

podające spółrzędne (u, v) prostej, stycznej do krzywej stożkowej, jako ułamkowe funkcye wymierne drugiego stopnia, ze względu iia parametr Jc, i dozwalające, dla wszelkiej dowolnie przyjętej wartości parametru Jc, wyznaczyć spółrzędne odnośnej stycznej do krzywej stożkowej, a tern samem, wyznaczyć wszystkie styczne tej krzywej.

19. Z wywodów tych wynika, że zarówno spółrzędne (x, y) punktu dowolnej krzywej stożkowej, jako i spółrzędne (u, v), stycznej tejże krzywej dadzą się zawsze przedstawić, jako funkcye wymierne, ułamkowe parametru Jc, w postaci :

ó₀ + b]k+b₂ ^²

&<•, -j- di Jc -f- a« Jc 2 X==^Y^jcTc₂k^ y

c₀ + C]k + c₂Jc²

względnie :

w _ ßo + a\ Jc + cc2 Jc ² v _ß() 4" ß[ Jc-\-- /?2 Jc1 M~yo+y^+y₂/<;²’    yo + yi^

20. Szeregi drugiego stopnia. Z wzorów (18), podających, dla danego Jc spółrzędne x, y punktu przecięcia się dwóch odpowiednich promieni danych pęków jednokreślnych :

(A^x-Y Pd y + C\ ) + Jc (A₂x + B₂y + C₂) — 0,

(A\x+B\y + C\)-YJc(A‘₂x-YB'₂y-Y C,,₂) = 0 , otrzymujemy równanie tego punktu w spółrzędnych [u, v) prostej, w postaci:

Ai -\-JcA₂, 13] d-JcB2 A\Ą-kA‘₂, B\ -+- JcB‘2 Rozwinąwszy to równanie, według potęg parametru Jc, otrzymujemy równanie drugiego stopnia, ze względu na parametr Jc, kształtu:

[(B₂C‘₂-B₂‘C₂)u + (C₂A‘₂-C'₂A₂)v + (A₂B‘₂-A‘₂B₂)]W+

+ {[(B₂ C\ - B‘₂ C, ) + (Ą C\-B\ C₂)]u Y [(G, A‘₂ - C\ A₂ )-Y{C₂A\-C‘₂A])]vA +[(A₁B‘₂-A\B₂) + (A₂B\-A'₂B₁)]}Jc-Y[(B₁C\-B‘iCi)u+ +(C‘iAi-C₁A\)v + (A₁B'₁-A'₁Bi)\=0,

C] +JcC₂

B₁ Ą-JcB₂,

B\ + JcB\, C\ + JcC‘₂

u-f

Cii-YJcC/₂, A] -\-JcA2 C\ -\-JcC‘₂, A¹] -\-JcA‘₂

=0.

czyli : a więc w postaci :

{a^u-Yb₀v -Y c^)-Y {a^u-Yb^v -Y C])k-Y [a₂u-Yb₂v -Y c₂) lc²=0

(29)

gdzie :

P₀ ~YP\Jc~YP₂Jc²—0,

P^a^u-Yb^v-Y c₀, P^a^u-Yb^ + C], P₂=a₂u + b₂v-Yc₂.

(29')

Nadając parametrowi Jc wszelkie możliwe wartości rzeczywiste, otrzymamy stąd równania wszystkich punktów krzywej stożkowej, danemi pękami jednokreślnemi wyznaczonej. Szereg punktów, określony równaniem kształtu: P₀-f-P^d-P, 7c²-=0, przy dowolnym parametrze, nazywamy też szeregiem drugiego stopnia.

Do tych punktów należy widocznie punkt: P₀= a^u-Y-b^v-Yc^ =0, odpowiadający parametrowi Æ=0, tudzież punkt P₂=a₂uĄ-b₂v-Yc₂, odpowiadający parametrowi Jc=co. Prosta, łącząca punkta P₀=O i P₂== 0 jest widocznie biegunową punktu P] =0, ze względu na daną krzywą stożkową, jako na podstawę odnośnego szeregu punktów drugiego stopnia.

Mamy zatem twierdzenie : Szereg punJcfów stopnia drugiego, jako zbiór punktów, tworzącycJi pewną Jcrzywą stozJcową, jest wyznaczony skoro dane są diva punkta tego szeregu, a nadto wskazany punkt trzeci, Jctóry, względem szuJcanej Jcrzywej, jest biegunem prostej, łączącej te dwa dane punJcta.

31. Wyprowadzenie równania krzywej stożkowej z danego równania szeregu punktów stopnia drugiego. Mając dane równanie szeregu punktów stopnia drugiego, w postaci :

("o« + b₀v + c₀)4 (axuĄ-a₂v-\-c₂)kĄ-(a₂uA b₂v + c.₂)Jc²=0,

możemy z łatwością wyprowadzić stąd równanie dotyczącej krzywej, rzędu drugiego.

W tym celu, uporządkujemy równanie powyższe podług zmiennych ««, v, a otrzymamy równanie dowolnego punktu szukanej krzywej, w postaci:

(a₀ 4-ai Jc-\-a₂Jc²) uĄ-(b₀+bJc-{-b₂Jc²)v-\-(c₍₎ -\-cxle-\-c₂1c²)=Q ,

skąd wypływają spółrzędne (x, y,) tego punktu, określone wzorami:

b₀ 4+ b₂ Jc2 cQĄ-cxJc-\-c₂Jc² ’

dr, A-a.JcĄ-a^Jc2 x=—-4-4-5-, y

C0 + C\ k "ł" C2 k

Wyrugowawszy z obu równań parametr Jc, otrzymamy równanie drugiego stopnia w spółrzędnycłi x, y, kształtu:

axxx²pa₂₂y² + 2aX2xyA-^aX2x+2a2?iy + a?i2=0, jako równanie szukanej krzywej stożkowej.

22. Pęki drugiego stopnia. Z wzorów (24), podających spółrzędne (u, v) prostej, łączącej odpowiednie punkta danych szeregów jednokreślnych :

(Axu4Bxv4 Cj)4Jc(A₂u4B₂v4- (?₂)=0,

(A‘xu-\rB‘xv4 C\) Ą-Jc (A‘₂u-\- B₂v-\- C‘₂)=0,

otrzymujemy równanie tej prostej, w spółrzędnych (x, y) jej punktów, w postaci :

Bx -i-JcB

Cx + JcC2 B\+JcB‘₂, C\+JcC‘₂

2>

Ax -\-JcA₂

Cx 4 JcC₂,

C\ +JcC‘₂, A\ Ą-JcA\

?/ +

,lx 4 JcA₂, Bx 4JcB2 A\-\-JzA\, B\ -\-JcB‘₂

=0.

Rozwinąwszy to równanie, według potęg parametru Jc, otrzymujemy, jak w powyższ}7m art., równanie drugiego stopnia, ze względu na parametr Jc, w postaci :

(30)

(a₀x+ß₀y + y₀) + (.aiX+ßiy-\ryi)Jc + (a₂x+ß₂y + y₂)Jc²=^O,

czyli :

(30')

P₀+PxJc + P₂Jc²=O.

Nadając parametrowi Jc wszelkie możliwe wartości rzeczywiste, otrzymamy stąd równania wszystkich prostych, stycznych dodanej krzywej stożkowej, danemi szeregami wyznaczonej.

Pęk prostych, określony równaniem kształtu: P₀ 4PxJc + P₂Jc²=0, przy dowolnym parametrze Jc, nazywamy też pękiem drugiego stopnia.

Do prostych tego pęku należy widocznie prosta: P₀=a₀x-\-ß₀y-\-y₀ — 0, odpowiadająca parametrowi Jc=0, tudzież prosta: P₂ = a₂x + ß₂y-\~y₂ — 0, odpowiadająca parametrowi &= go. Punkt przecięcia się prostych P₀ =0 i P₂ =0, jest widocznie biegunem prostej P, = 0, ze względu na krzywą stożkową, jako obwiednią odnośnego pęku promieni drugiego stopnia.

Mamy zatem twierdzenie: PęJc prostych stopnia drugiego, jaJco zbiór prosty cJi, stycznych do Jer żywej stożJcowej, jest wyznaczony, sJcoro dane są dwie proste tego szeregu, a nadto wsJcaza.ua prosta trzecia, Jctóra względem szuJcanej Jer żywej stożJcowej jest biegunową punJctu przecięcia się danych dwu prostych.

23. Wyprowadzenie równania krzywej stożkowej z danego równania pęku promieni stopnia drugiego. Mając dane równanie pęku promieni stopnia drugiego , w postaci :

W tym celu, uporządkujemy równanie powyższe podług potęg zmiennych x, y, a otrzymamy równanie dowolnej prostej, stycznej do szukanej krzywej, w postaci:

(a₀x+ß₀y + y₀ ) + (alx-{-ßi y + yi ) k + (a₂x + ß₂y + y₂)7c²=0, możemy z łatwością wyprowadzić stąd równanie dotyczącej krzywej klasy drugiej.

(«o +aik+a2k²)x+(ß₀+ßik+ß₂Jc²)y + (y₀+yi/c-\-y₂7c²)=O, skąd wypływają spółrzędne (u, v) tej prostej, określone wzorami:

a₀ + ct^k-\-a₂k²    ß₀ Jrßik-\-ß₂ Je²

7o+Vik+    _ 7o+yi*+Ï2 w

Wyrugowawszy z obu równań parametr Æ, otrzymamy równanie drugiego stopnia w spółrzędnych (u, v): kształtu :

a₂₂vï-\-⁽àctX2uvJr‘2ai?)u-\- 2a₂₂vĄ- a₃₃ =0, jako równanie szukanej krzywej stożkowej.

czoną

stosunki między spółczynnikami ogólnego równania krzywej, obranego, bądź to w spółrzędnych punktu (x, y), kształtu :

24. Ogólne uwagi o warunkach wyznaczających krzywą stożkową. Krzywa stożkowa jest, na podstawie pewnych danych warunków, analitycznie wyzna-skoro, zapomocą tychże warunków, jesteśmy w stanie obrachowaó

aux²+a₂₂y² + 2a₁₂xy+2a₁₃x+‘2a₂₃y+a₃₃=0, bądź w spółrzędnych prostej (u, v), kształtu :

a₁₁u² + a₂₂v² + 2a₁₂uv + 2a₁₃u + 2a₂₃vi-a₃₃=0.

Warunek dany, prowadzący do równania pierwszego stopnia między spółczynnikami obranego równania krzywej, nazywamy pojedynczym warunkiem pierwszego stopnia i to punktowym, lub liniowym, zależnie od tego, czy odnosi się do spółczynników aik równania w spółrzędnych (x, y) punktu, czy też do spółczynników aik równania w spółrzędnych (u, v) prostej.

Analogicznie, nazywamy warunek, prowadzący do równania drugiego, lub wogóle wyższego stopnia między spółczynnikami ogólnego równania krzywej, pojedynczym warunkiem punktowym , lub liniowym stopnia drugiego, lub wyższego.

Ograniczając się do pojedynczych warunków stopnia pierwszego, możemy wypowiedzieć ogólne twierdzenie :

Pięć pojedynczych warunków pierwszego stopnia wyznacza jedną tylko krzywą stożkową.

25. Warunek, pod którym dwa dane punkta, lub dwie dane proste są względem krzywej stożkowej sprzężone. Przyjmijmy na płaszczyźnie szukanej krzywej: f(x, y)= anx²Ą-ai2y'*+2al2xy Ą-2ai3x + 2a₂₅ y + a₃₃=0, dwa punkta: Pi(xi, yi P₂(#₂, y₂), to punkta te będą względem krzywej punktami sprzę-żonemi, skoro biegunowa jednego z nich przechodzi przez punkt drugi. Warunek, pod którym punkta    yA) i P₂0r2> 2/2)? s3i względem krzywej

stożkowej, sprzężone, przedstawia się w postaci:

(«11*1    + «1₃)    + («12^1 + «222/1 +«22)2/2 + («13^ + «232/! +«33) = 05

lub :

(aiix₂+ai2y₂+an)x₁ + (ai2x₂ + «₂₂y₂+a₂₃) yi + (ai2x₂+a2?>y₂+a₂₂)=0,    (31)

a zatem, w postaci równania pierwszego stopnia, między spółczynnikami aik ogólnego równania krzywej stożkowej, podanego w spółrzędnych (x, y) punktu, jest więc pojedynczym warunkiem punktowym pierwszego stopnia.

Podobnie, zauważymy, że warunek, pod którym dwie proste lx (uA,    )

i l₂(u₂, v₂) są względem krzywej stożkowej:

(p(u, v) = aiiu² + a₂₂v-Ą-2ax 2«v + 2a₁+    a₃₃ =0,

sprzężone, a więc mają tę własność, że biegun jednej z nich leży zarazem na drugiej, przedstawia się w postaci :

(«1 1    2^ +    ₃) w₂ + («J ₂M, 4- «22^1 + «₂₃) V2 + («1 3«1 + «23^1 + «3s) = ⁰ ?

lub : (anu₂+aX2v₂ + au)ux + K₂«₂ + «22^2 + «2.3) «h + («13“2 + «23^2 + «33)=°?    (32)

a zatem, również w postaci równania pierwszego stopnia między spółczynni-kami aik ogólnego równania krzywej stożkowej, podanego w spółrzędnych (u,v) linii prostej, czyli, że jest również pojedynczym warunkiem liniowym pierwszego stopnia.

26. Zastanówmy się teraz nad tern , jak się ten warunek liniowy pierwszego stopnia przedstawia odnośnie do spółczynników aik równania krzywej, podanego w spółrzędnych punktu.

mami :

W tym celu, weźmy pod uwagę dwie proste lx i l₂, określone równa-Axx+ BiyJrCi—0, A₂xĄ-B₂y-\- C₂=0.

Jeżeliby te proste były, względem krzywej f(x, y) = 0, między sobą sprzężone, wówczas biegun pierwszej musiałby znajdować się na drugiej prostej. Oznaczywszy przez xXl yxi spółrzędne bieguna prostej lx(Axx-\-BxyĄ- Cx =0), otrzymamy, na ich wyznaczenie, równania warunkowe :

«11*1 +«1201 + «l₃=++l7    «12*1 + «22^1 +«23⁼⁼+7?l?    «13*1+ «2 3^1 +«33 =^1,

w których À jest niewiadomym stosunkiem proporcyonalności, a że punkt (xx, yx) musiałby znajdować się na prostej: l₂(A₂x-\-B₂y Ą- C'₂) = 0, więc musiałyby jego spółrzędne spełniać nadto warunek: A₂xt -f B₂yA -pC₂ = 0.

Otrzymane cztery równania spełnią się równocześnie pod warunkiem, że:

=0.

(33)

«11, «12 7 aj3? + 1 «127 «22? «237 «13? «23 7 «33?

+2 7    ^2?    ^2?    ^

Warunek ten przedstawia się, po rozwinięciu wyznacznika, w postaci:

«11+1 +2 + «2 2^1^2 + «33^1 ^2 +«12 (+1 ^2 ++2-®l) +

(34)

+ «1 ₃C+1 ^2++2^l) + «23(^l ^2J!-B₂Ci)=0

gdzie aik są minorami elementów uik wyznacznika: j aik |, i, Jc= 1,2,3, a więc, w postaci równania drugiego stopnia , ze względu na spółczynniki aik, jest więc pojedynczym warunkiem punktowym stopnia drugiego.

Podobnie, zauważymy, że warunek, pod którym dwa punkta, określone równaniami: Ax u -j- Bx v + Cj = 0, A₂uA B₂v-\- C₂ = 0, są sprzężone względem krzywej stożkowej, określonej równaniem: cp(u, v)=0, w spółrzędnych prostej, przedstawia się w postaci :

«11? «12? «13? +:

«12? «22? «2 3? -®1 «13? «23? «33?    ^1

(35)

+ 2?    -®2 7    ^2?    0

a więc, w postaci równania drugiego stopnia między spółczynnikami aik ogólnego równania krzywej, danego w spółrzędnych prostej, jest więc pojedynczym warunkiem liniowym stopnia drugiego.

58

Dr. Dziwiński. Wykłady matematyki 1.

2.    Dana styczna do krzywej, jako prosta, z sobą samą sprzężona, jest równoważną pojedyńczemu warunkowi punktowemu stopnia drugiego, względnie, pojedyńczemu warunkowi liniowemu, stopnia drugiego.

Warunek wzajemnej sprzężoności dwu punktów względem krzywej stożkowej, przedstawia się więc, jako pojedynczy warunek punktowy stopnia pierwszego, a zarazem, jako pojedynczy warunek liniowy stopnia drugiego, Podobnież, warunek sprzężoności dwu prostych, względem krzywej stożkowej, przedstawia się, jako pojedynczy warunek liniowy stopnia pierwszego, a zarazem, jako pojedynczy warunek punktowy stopnia drugiego.

27.    Ocena warunków, podanych na wyznaczenie krzywej stożkowej. Warunek wzajemnej sprzężoności dwu punktów, lub dwu prostych, może służyć za podstawę do ocenienia innych warunków, podanych na wyznaczenie krzywej.

W tym celu należy zbadać, czy dany warunek prowadzi do jednego, lub więcej równań, a więc, czy jest warunkiem pojedynczym, czy też wielokrotnym, a zarazem, czy jest warunkiem punktowym, czy liniowym stopnia pierwszego, czy też wyższego stopnia. Porównawszy go z warunkiem sprzężoności dwu punktów, względnie dwu prostych, możemy z łatwością ocenić, ilu takim warunkom punktowym, względnie liniowym stopnia pierwszego, lub wyższych, jest dany warunek równoważny.

28.    Przykłady. 1. Dany punkt nâ krzywej, jako punkt, z sobą samym sprzężony, jest równoważny, pojedynczemu warunkowi punktowemu stopnia pierwszego, względnie, pojedynczemu warunkowi liniowemu, stopnia drugiego.

3.    Dana średnica krzywej, jako prosta, sprzężona z prostą w nieskończoności, jest równoważną pojedyńczemu warunkowi punktowemu, stopnia drugiego, względnie, pojedyńczemu warunkowi liniowemu, stopnia pierwszego.

4.    Dany kierunek asymptoty krzywej, wskazując na jeden punkt nieskończenie daleki krzywej, jest równoważny pojedyńczemu warunkowi punktowemu, stopnia pierwszego , względnie , pojedyńczemu warunkowi liniowemu, stopnia drugiego.

5.    Dany punkt i dana biegunowa tegoż punktu, cechując dwie pary punktów, względnie dwie pary prostych, z sobą sprzężonych, dają dwa pojedyńcze warunki punktowe, względnie dwa warunki liniowe, stopnia pierwszego.

6.    Dany punkt krzywej i dana styczna w tym punkcie są, podobnież, jak warunki 5., równoważne dwu warunkom punktowym, względnie liniowym , stopnia pierwszego.

7.    Dana asymptota krzywej, jako styczna w nieskończenie dalekim punkcie krzywej, prowadzi, jak w 6) do dwu warunków punktowych względnie, liniowych, stopnia pierwszego.

8.    Dany środek krzywej, jako biegun prostej w nieskończoności, prowadzi również do dwu warunków punktowych, względnie liniowych stopnia pierwszego.

9.    Dane kierunki pary średnic sprzężoych, jako biegunowe

dwóch punktów nieskończenie dalekich, cechują dwa punkta, z sobą sprzężone

więc prowadzą do pojedyńczego warunku punktowego, stopnia pierwszego, względnie, do pojedyńczego warunku liniowego, stopnia drugiego.

10.    Dane położenie jednej osi głównej jest równoważne dwóm pojedynczym warunkom punktowym, a to, jednemu stopnia drugiego, jednemu stopnia pierwszego , względnie dwu pojedynczym warunkom liniowym, a to jednemu stopnia pierwszego i jednemu stopnia drugiego. Wynika to stąd, że, w tym przypadku, dane jest położenie jednej średnicy, a zarazem wskazany kierunek drugiej, z nią sprzężonej.

11.    Dana para stycznych do krzywej jest równoważną dwu pojedyńczym warunkom liniowym stopnia pierwszego.

12.    Dane jedno ognisko, ze względu na to, że w niem przecinają się styczne do krzywej, wyprowadzone z urojonych punktów kołowych, jest równoważne dwu warunkom punktowym stopnia drugiego, względnie, dwu warunkom liniowym stopią pierwszego.

13.    Dana jedna kierownica, jako biegunowa ogniska, przecina krzywą w dwu punktach zespolonych , w których, do tej krzywej są styczne proste, łączące ognisko z jednym, względnie drugim urojonym punktem kołowym, jest więc równoważną dwu warunkom punktowym stopnia pierwszego, względnie, dwu warunkom liniowym stopnia drugiego.

14.    Dany trójkąt, z sobą samym sprzężony, jest, na mocy (5), równoważny trzem warunkom punktowym, względnie trzem warunkom liniowym, stopnia pierwszego.

15.    Dane położenie dwu średnic sprzężonych, względnie dwóch osi głównych, określa również trójkąt, z sobą samym sprzężony, którego jeden bok jest nieskończenie daleki, jest więc równoważne trzem warunkom punktowym*' względnie liniowym stopnia pierwszego.

29.    Uwaga o warunkach dla kola, hiperboli równobocznej i paraboli. Warunek, aby zadana krzywa była kołem , a więc krzywą stożkową, przechodzącą przez dwa punkta urojone w nieskończoności, jest, na mocy 1), równoważny dwóm warunkom punktowym stopnia pierwszego, względnie dwóm warunkom liniowym stopnia drugiego. Warunek, aby żądana krzywa była hiperbolą równoboczną, a więc krzywą stożkową o dwu asymp-totach do siebie prostopadłych, jest, na mocy 4), równoważny jednemu warunkowi punktowemu stopnia pierwszego , względnie jednemu warunkowi liniowemu stopnia drugiego.

więc krzywą stożkową, styczną do na mocy (2), równoważny jednemu warunkowi punktowemu

Warunek , aby żądana krzywa była parabolą prostej w nieskończoności jest, stopnia drugiego, względnie jednemu warunkowi liniowemu stopnia pierwszego.

30.    Wyznaczenie ilości krzywych stożkowych, czyniących zadość danym

warunkom. Na podstawie wyłożonej oceny warunków, podanych na wyznaczenie krzywej stożkowej, możemy, w każdym poszczególnym przypadku, osądzić, czy dane warunki są wystarczające, czy też nie są wystarczające do wyznaczenia szukanej krzywej, Względnie, ile istnieje krzywych stożkowych, czyniących zadość danym warunkom. Uwzględniając tylko dane punkta i dane styczne krzywej stożkowej, dojdziemy do następujących warunków:

1.    Pięć danych punktów, daje pięć warunków stopnia pierwszego, wyznacza więc tylko jedną krzywą stożkową.

2.    Cztery dane punkta i jedna dana styczna^” prowadzą do czterech pojedynczych warunków punktowych pierwszego stopnia i jednego warunku punktowego drugiego stopnia, wyznaczają zatem dwie krzywe stożkowe, przechodzące przez cztery dane punkta i styczne do danej prostej.

Cztery dane punkta wyznaczają zatem dwie parabole, gdyż tu, do czterech punktów dołącza się linia prosta w nieskończoności , jako styczna.

3. Trzy dane punkt a i dwie dane styczne prowadzą do trzech pojedyńczych warunków punktowych pierwszego stopnia i do dwu warunków punktowych drugiego stopnia, wyznaczają zatem, w ogólności, cztery krzywe stożkowe, przechodzące przez trzy dane punkta i styczne do dwu danych

prostych.

Trzy dane punkta i jedna dana styczna wyznaczają zatem cztery parabole.

4.    Dwa dane punkta i trzy dane styczne prowadzą do dwu warunków liniowych drugiego stopnia i do trzech warunków liniowych pierwszego stopnia, wyznaczają więc również cztery krzywe stożkowe, przechodzące przez dane dwa punkta, styczne do trzech danych prostych.

Dwa dane punkta i dwie dane styczne wyznaczają zatem cztery parabole, przechodzące przez te dwa punkta i styczne do tych dwu prostych.

5.    Dany punkt i dane cztery styczne prowadzą do jednego warunku liniowego drugiego stopnia i czterech warunków liniowych pierwszego stopnia, wyznaczają więc, jak w 2) dwie krzywe stożkowe, przechodzące przez dany punkt i styczne do czterech danych prostych.

Jeden dany punkt i trzy dane styczne wyznaczają zatem dwie parabole.

6.    Pięć danych stycznych daje pięć warunków liniowych pierwszego stopnia, wyznacza więc jednę krzywą stożkową, styczną do danych pięciu prostych.

Cztery dane styczne wyznaczają zatem jedną parabolę,

BI. Uwaga. Łącząc różne warunki, wyżej przytoczone, moglibyśmy podać bardzo wielką liczbę przykładów wyznaczania ilości krzywych stożkowych, czyniących zadość danym warunkom, podamy tu jednak, na zakończenie, tylko przykłady najbardziej typowe.

1. Dane cztery punkta i jedna średnica — wyznaczają dwie krzywe stożkowe, (art.

28., p. 3).

2.    Dane cztery styczne i jedna średnica — wyznaczają jedną krzywą stożkową.

3.    Dane trzy punkta i środek — wyznaczają jedną krzywą stożkową.

4.    Dane trzy styczne i środek — wyznaczają jedną krzywą stożkową.

5.    Dane cztery punkta, oraz kierunki jednej pary sprzężonych średnic, wyznaczają

jednę krzywą stożkową.

6.    Dane cztery styczne, oraz kierunki jednej pary sprzężonych średnic, wyznaczają dwie krzywe stożkowe.

7.    Dane cztery punkta, oraz kierunek osi głównej, wyznaczają jednę krzywą stożkową.

8.    Dane cztery styczne, oraz kierunek osi głównej, wyznaczają dwie krzywe stożkowe.

9.    Dane położenie osi głównej, oraz trzy punkta, wyznaczają dwie krzywe stożkowe.

10.    Dane położenie osi głównej, oraz trzy styczne, wyznaczają dwie krzywe stożkowe.

11.    Dane trzy punkta i jedno ognisko, wyznaczają cztery krzywe stożkowe.

12.    Dane dwa punkta, jedna styczna i jedno ognisko , wyznaczają cztery krzywe

stożkowe.

13. Dane dwie styczne, jeden punkt i jedno ognisko, wyznaczają dwie krzywe

stożkowe.

14.    Dane trzy styczne i jedno ognisko wyznaczają jednę krzywą stożkową.

15.    Dane trzy punkta i jedna kierownica wyznaczają jedną krzywą stożkową.

16.    Dane dwa punkta , jedna styczna i jedna kierownica , wyznaczają dwie krzywe

stożkowe.

17. Dane dwie styczne, jeden punkt i jedna kierownica, wyznaczają cztery krzywe

stożkowe.

18.    Dane trzy styczne i jedna kierownica, wyznaczają cztery krzywe stożkowe.

19.    Dane oba ogniska i jeden punkt wyznaczają jedną krzywą stożkową.

20.    Dane oba ogniska i jedna styczna wyznaczają jednę krzywą stożkową.

— yi7 —

Ćwiczenia LXI.

1) Wyznaczyć spółrzędne (x, y) punktu, w którym dowolny promień jednego pęku, określonego równaniem:

(At x + B^ y + C^) + k (A₂ x -j- B.₂y -j- C₂) = 0, P+k 0=0, przecina dowolny promień drugiego pęku, przedstawionego równaniem:

(A\x + B\y + C\)-f- k‘(A\x-\-B\yĄ-C\) = 0i czyli :

(«, v) prostej , która łączy dowolny punkt jednego szeregu, określonego równaniem:

czyli :

P‘ + k‘ 0' = 0.

(Atu -j- B₂v 4~ 0 4“ k (A₂u Ą- B₂v 4* C₂)—O, P+kQ^= O,

czyli :

z dowolnym punktem drugiego szeregu,

przedstawionego równaniem :

(A\u 4* B\v4- C\) 4- k\A\u +B\v+ C'₂) — O, czyli :

P‘ + k‘ 0'=O.

2)    Wyprowadzić związek, jaki zachodzić musi między parametrami k i skoro: każdemu promieniowi pęku: P+kQ — O, ma odpowiadać jeden tylko promień pęku:

P‘+k‘ Q‘ = O, i nawzajem, t. z. jeżeli oba pęki mają być jednokreślne.

3)    Jak przedstawia się związek między parametrami k i k‘ dwu

szeregów jednokreślnych :

P + k Q = 0, P'4-7c'0' = O, skoro punktowi : P — O ma odpowiadać punkt P' => O, a punktowi 0 = O ma odpowiadać punkt: 0' = 0.

pęków jednokreślnych:

P4-fc0 = O, p* 4- k‘ 0' = 0, skoro promieniowi P = 0 ma odpowiadać promień: P' = 0, a promieniowi 0 = 0 ma odpowiadać promień: 0' = O.

każdemu z punktów szeregu: P + kQ — 0, ma odpowiadać jeden tylko punkt szeregu : P' + k' Q' — 0, i nawzajem, t. z. jeżeli oba szeregi mają być jednokreślne.

4)    Znaleźć miejsce geometryczne punktów przecięcia się (x, ij) odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych:

PĄ-kQ = 0, P‘ + k‘Q'=*0,

skoro związek między parametrami k i k\ określony jest wzorem:

a) akk'+ l>k+ck‘+ d — 0, ß) k = k‘.

5)    W pękach jednokreślnych, określonych równaniami:

(3x—y) 4- 2/₃ k (z -f y—1) = 0, (x 4~ 2y) 4- k (5x—3y—2)= 0 , wyznaczyć takie promienie odpowiednie, któreby były do siebie równoległe.

6)    W dwu pękach jednokreślnych, określonych równaniami:

(<r—2y4-6)-2fc(2x—+ 7) = 0, (2x + y—17)-fc(3cc-2y—29) = 0,

wyznaczyć takie pary promieni odpowiednich , które byłyby do siebie prostopadłe.

7)    Wykazać , że :

wierzchołki dwu pęków jednokreślnych:

P + k 0 = 0 , P' + k 0' = O, leżą na krzywej rzędu drugiego, tymi pękami określonej, i że oba promienie, które odpowiadają prostej, łączącej wierzchołki pęków, dotykają się krzywej w tychże wierzchołkach.

8)    Wyprowadzić warunki, pod któremi: dwa pęki jednokreślne :

(A,x + B,y 4-Cj) 4- k{A₂x+B.₂y+C₂)=0,

(A'tx + B\ y+ C\)+k{A\x 4- B\y 4- C"₂)= 0, posiadają dwa promienie odpowiednie, do siebie równoległe, jakoteż wyznaczyć równanie i rodzaj dotyczącej krzywej stożkowej.

prostych («, t>), łączących odpowiednie punkta dwu szeregów jednokreślnych:

P+ k 0 = 0, P' 4- k‘ 0' = 0 ,

podstawy dwu szeregów jednokreślnych:

P+k 0=0, P'4-Ä: 0'=O, są styczne do krzywej drugiej klasy, tymi szeregami określonej i że oba punkta, które odpowiadają punktowi przecięcia się podstaw, są punktami styczności krzywej z temi podstawami.

dwa szeregi jednokreślne :

(A^u 4" v + G\) 4-*    4“ G₂)=0:

(.A\u + B\v +C\) -f k(A\u 4- B\v 4- C"₂)=0, posiadają dwa punkta odpowiednie w nieskończoności , tudzież wyznaczyć równanie i rodzaj dotyczącej krzywej stożkowej.

9) Wyprowadzić warunki, pod któremi dwa pęki jednokreślne :

(di x Bx y -f- C\) -]- k(A-2 x -f #2 y 4~ U₂ ) = 0,

(d'ix-\- B\y 4- C j) -f- k(A⁴₂x 4~ B\y 4 C"2) — 0, nie mają odpowiednich promieni rzeczywistych , do siebie równoległych, tudzież wyznaczyć równanie i rodzaj dotyczącej krzywej stożkowej.

10) Wyprowadzić warunki, pod któremi dwa pęki jednokreślne :

(Axx 4- Biy 4-Cj) -j- k(Aïx -f B₂y -f- C₂) = 0,

(A\x 4- B'iy-{~C\) 4” k(A\x -4\-B'«y-\- 6Y'₉) = 0, posiadają parę odpowiednich promieni rzeczywistych, do siebie równoległych, tudzież wyznaczyć równanie i rodzaj dotyczącej krzywej.

dwa szeregi jednokreślne:

(Aiu -f- B^v 4* Cj) -j- k(A₂u -j- B₂v -f- 6'₂) = 0, (A\u -J- B\ v 4- C‘i ) 4" k (A\u 4- B\v 4- C'₂)=0. nie mają odpowiednich punktów rzeczywistych w nieskończoności, przyczem punkt» odpowiadający punktowi przecięcia się podstaw, leży wewnątrz odcinka podstawy, zawartego między tym punktem przecięcia, a punktem zbiegu.

dwa szeregi jednokreślne nie posiadają odpowiednich punktów w nieskończoności, przyczem punkt, odpowiadający punktowi przecięcia się podstaw, leży zewnątrz odcinka podstawy, zawartego między tym punktem przecięcia, a punktem zbiegu.

11) Wyprowadzić warunki, pod któremi dwa szeregi jednokreślne:

(AiU -f Bxo 4- C\) 4- k(A₂u 4- B₂v-\- C\) = 0 ,

(A\u 4-B\v 4- C\) +k(A\u +B‘₂v+ C"₂)=0,

względnie dwa pęki jednokreślne :

(AiX -|- 13xyCi) -\-k(A₂x 4- B₂y -j- C₂) — 0, (A\x -f- B\y-\- C‘i)-\-k(A‘₂x-\-B\y Ą- C'₂)=0,

wyznaczają koło.

dwa pęki :

dwa szeregi:

12) Dane są

P' + fc'()' = o, P“-\-k“Q“ = 0,

P' 4. k' Q⁴ = 0, P" Ą-k" Q“ = 0,

jednokreślne z pękiem: P-f-fc (>=■(), według relacyj : k⁴ =a.‘k, k⁴⁴ = a.“k, wyprowadzić równanie krzywej, pierwszemi dwoma pękami promieni określonej.

jednokreślne z szeregiem: PĄ-kQ—<0, według relacyj: fc'= a'fc, k“ — o.“k , wyprowadzić równanie krzywej, pierwszemi dwoma szeregami punktów określonej.

,    10* + ty— 5) — 2k(2x 4- 8y — 1) = 0,

} l(3®4-By+l)4-fc(æ4-2y4-2) = 0.

0, 1fń l(ßx-y + 2) + 5k(bx + 2y-l) = 0 } \(x 4 y — 3) 4- k (x + 12y 4- 1) = 0.

Wyznaczyć równania i rodzaje krzywych stożkowych , określonych następującemi pękami jednokreślnemi :

-, q\ /O*—V— l) + A:(2a:4-y-3)=0 ' \(cc -\-y 1)k (x—2y + 3) = 0.

181(2 x-\-3y-\- 4)—476 k(hx — y + 1) ==

' \(x-2y-l)Ą-k(2x-\-Zy+    =

/(8ti-2t> + 1)—(1 4- k ) (8« 4-    + 1) = 0,

; \(3m- 2v + 1) 4- k (u — « 4- 1) =0.

Wyznaczyć równania i rodzaje krzywych stożkowych, jako utworów następujących szeregów jednokreślnych:

. I (2u -}- 2v -f 1) 4- 2 k (Bw 6«? 4" 1) = 0 ¹⁷' l(«4-2»4- l)4-fc(9w-ł-8® + l)=0. iPx i(M-ł-B»4-i)4-fc(B«4-»4-i)==0,

} \(3u — 2» + 1) + fc (6* 4- 4t? 4- 1) = 0.

20)    Przez punkta Pt(2, 3), P₂(3, 7), P₃(5, 2) przeprowadzić krzywę stożkową, któraby się dotykała osi x-ów w punkcie P₄(3, 0).

Jeżeli z sześciu prostych a, b, c, d, e, /, cztery proste c, d, e, /, z dwiema pozostałem! a i b wyznaczają dwa szeregi punktów o jednakowym stosunku anharmonicznym, natenczas wszelkie inne czwórki tych prostych wyznaczają zpozostałemi dwiema prostend po dwa szeregi punktów, również o jednakowych stosunkach anharmonicznych.

21)    Udowodnić następujące twierdzenie:

Jeżeli z sześciu punktów : A, B, C, D,

E, V cztery punkta C, D, E, F, z dwoma pozostałymi A , B wyznaczają dwa pęki promieni o jednakowym stosunku anharmo-nicznym, natenczas wszelkie inne czwórki punktów wyznaczają z pozostałymi dwoma punktami po dwa pęki promieni, również o jednakowych stosunkach anharmonicznych.

- 919 —

22)    Wyprowadzić równanie krzywej stożkowej, stycznej do prostych.: x-\-y—1 — 0, 46a?—17y—214—0, x—y—3=0, a nadto do prostej : 2x—y—8—0, w punkcie, leżącym na prostej:

²³Aæ+ ⁷;₂ y + 1 =0.

23)    Wykazać, że:

równanie prostej, łączącej dwa odpowiednie punkta szeregów jednokreślnych:

(A₁u B₁v -|- Ct ) -j- k (A₂ u B₂ v ~\- 0₂ ) — 0 (A\u 4- B\v -j- C\)-\-k{A‘₂u-f- B\v -f 0'₂) — 0, da się przedstawić w postaci :

Ci+kCu Bt + kB2 C'i+kC'z, B\-\-kB'2 Ai -\-kA₂, Ci -f- kt\ _

A‘\ ~\~kA\, (J‘i -\-kC'₂

Ai 4-kA₂, Bi 4-kB2 A\-\-kA'₂, B\-\-kB\

równanie punktu, należącego do przecięcia dwu odpowiednich promieni dwu pęków jednokreślnych :

B^y -j- Oj) 4~ k (A₂x -j- B₂y -j- 0₂) —0,

(A* + B‘\ V + C\ ) + k (A‘%x +B\y + C\)= 0, da się przedstawić w postaci :

u 4-

Oj -j- kC\ , Bl-\-k B2 0'i-\-kC'₂, B\Ą-kB‘₂

A₁ -f- kA₂, Oj -J⁻ k C₂    ^

A\ -\-kA\, C\ +kC'₂    ° ~

At -f- kA₂, BxĄ-kB2 j A\ -j-kA\i B\ -\-kB\ '

24) Wyprowadzić równanie dowolnego punktu, należącego do utworu dwu pęków jednokreślnych :

(*-y-1) + k(2x 4- y 4- 3) = 0, (5* + 2y - 3)4-k{x 4 y 4-2)-0.

25) Wyprowadzić równanie prostej, należącej do utworu dwu szeregów jednokreślnych : (2u 4- 2v 4-1) 4- k {hu 4- Gv 4-1) — 0, (u 4- 2» 4- 1) 4- fc (9u 4- 8t> 4-1) =0.

26) Wykazać, że spółrzędne dowolnego punktu krzywej drugiego rzędu, dadzą się przedstawić wzorami:

cio 4~ ^1 ^ 4~~ ®2 ^² h 4~ Tą k 4“ b₂k“

c₀ 4- k 4- c₂ k² ’ y c₀ “I" ⁶'i^ "f- c2 k²

gdzie k jest dowolnym parametrem.

spółrzędne :

27) Wyprowadzić równanie i rodzaj krzywej drugiego rzędu, której punkta mają

1-k — k²

14-2fc— k2 i + k + kr’

14- fc + fc²

Zbadać krzywe, określone następującemi parami równań: 3-f 27^4- 5Ä;²

1 4- k + k‘l V~ 14-k+k²

l + k-2k²

29) *=3^, y

k²

1 4-fc‘

30) *

31) Wyprowadzić równanie krzywej, którą obwijają proste (u, v), określone równa

niami o dowolnym parametrze k , kształtu :

l-3k + k²    2 4-fc4-4fc²

_ 5 —lik — 3fc²’ V 5—17A: — 3k'¹

32)    Wykazać, że pęk promieni stopnia drugiego, określony równaniem:    l\k-\-

4~B₂k²—0, obwija krzywą stożkową o równaniu: 4P₀P₂ —P²j=0.

33)    Dowieść, że równanie stożkowej, przechodzącej przez punkta przecięcia się prostej : L = Ax 4- Bx 4- C= 0 , ze stożkową: C=anx² 4- ®227/²⁻t_ 2a₁₂£cy 4- 2a₁₃cc 4~ 2a₂₃y 4“ ö33 — 0 » da się napisać w postaci: (ax 4~ ßy 4~ t) L 4" C—0, zawierającej trzy parametry dowolne : a, ß, y.

34)    Dowieść, że równanie stożkowej, przechodzącej przez punkta przecięcia się prostej : L (aj, y) = Ax 4- By 4- C=0, ze stożkową C(x, y) = au:c²4- anyÏJr^a\ixy 4-2ai₃* -\-2any-\-a₃₃=0, oraz przez trzy dane punktu (aąyj), (x₂y₂), (x₃y₃), ma postać:

= 0.

x.L(x,y), y . L(x, y), L(x, y), C(x,y)

Xi.L(xu Ui), yi.L(xuyi), L(xuyi), C(xu yx) x₂.L(x₂, y₂), y₂.L(x₂i y₂), B(x₂₎ y₂), C(x₂, y₂) x₃,L{x3, f/₃), y₃.L(x₃, y₃)i L{x₃, y₃),    , y₃)

35)    Dowieść, że równanie stożkowej, przechodzącej przez punkt przecięcia się prostych: AiX Ą-Bty-L- Cj — 0, P₂— 4₂îc -{- B₂y 4- C₂ = 0 , da się przedstawić w postaci:

(“i# + Pi?/ + Ti)-^i+    ?27/+T2) -^2 —0,

zawierającej cztery parametry: dwa z nich określone są stosunkami «,: (4: Yi ; dwa drugie zaś — określone są stosunkami: «2:ß2:T2-

- 920

36)    Dowieść, że równanie stożkowej, przechodzącej przez trzy punkta spotkania trzech prostych: Lx = Axx -\-Bxy -j- Ct = 0 , L₂ = A₂x + B%y -j- ć₂ = 0, L₃ = A$x -J- B₆y -{- C₃ =0 , da się przedstawić w postaci: «A77₂-|-Z>AA ■*-c A A⁼⁼ A zawiei'ajacej dwa parametry, określone stosunkami : a:b :c.

37)    Dowieść, że równanie stożkowej, opisanej na trójkącie ABC, utworzonym przez proste: Lx(x, y) == Axx + Bxy + Cx=0, AA,2/)^ Aæ +A2/+A==°, A As y)EE4₃a3-}-A2/4-A=°, oraz przez dane dwa punkta (*1,2/1), (*2? 2/2)5 ma postać:

AA, ?/)

AA, y) ’ AA, y)

= 0.

ÂAi, V\) ’ A An 2/i) ’ A An 2/i)

A 0*2) 2/2) A Aż) 2/2)    A Aż) 2/2)

38)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugiego, przechodzącej przez cztery dane dane punkty A, B, C, 7>, da się napisać w postaci: A AA &AA—0, przyczem Lx—0 oznacza prostą 471, L.₂—0 — prostą 7)6', A=0 — prostą ilD, = 0 — prostą Ti(7, a jest dowolnym parametrem.

39)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugieg₂, przechodzącej przez dane pięć punktów: A, Ti, C, Ti, E, ma postać:

AA, y). AA, 2/) _ AA, y)*AA, 2/)

Aft, *0 • Aft, 1) Aft, i)-Aft. 0'

przyczem (c, rj) są spółrzędnemi punktu E, równanie A —0, oznacza prostą AB ; L₂=0, prostą TTC¹'; L₃ — 0 — prostą yID ; A — 0 — prostą Ti(7.

40) Dowieść, że równanie hiperboli , mającej jedną asymptotę równoległą do prostej L 4x -|- By -(- C — 0, da się przedstawić w postaci : (aj# -f- [ixy -{- Yi )L -j- (a₂* -j- ß₂y A T2)— 9, zawierającej cztery parametry: a]:ß₁:y₁₎ oraz: (2₂ : ß₂ : y₂. .

41) Dowieść, że równanie hiperboli, mającej asymptoty równolegle do prostych: A =Axx -f- A y + A = 0, A = A₂x -f- B₂y -f- A = 0, da się podać w postaci:

A A A 7*1 A A A A — o,

gdzie A, &₂ są dowolnemi parametrami.

42) Dowieść, że równanie hiperboli, mającej asymptoty równoległe do prostych: A A, 2/) == A³⁵ “ł" A y 4“ A = 0, oraz AA, y)~‘A^x-\- B₂y-\- C-2, a przechodzącej przez dane dwa punkta Ai>27i), Aż, 2/2), ma postać:

= 0.

AA, y)-AA, 2/), AA, 2/), AA> 2/) AAi,yi)-AAnyi)> AAi,2/i), AAi, 2/1)

AA2,yO’AAî,2/2), AC*2,2/2),AA2,2/2)

43) Dowieść, że równanie krzywej stożkowej, stycznej do danej stożkowej C—0, w punkcie A, r^), a przecinającej ją w punktach (;₂, y₂),(?₃, »]₃), oraz przechodzącej przez punkt (£, tj), ma postać :

rA, y).ĄĄ,y) __ ĄĄ, y) . ĄĄ, y)

rft, vj).AA,-i)

Aft, *))• Aft, 4) ’

gdzie T—0 jest równaniem stycznej w punkcie A , rjt ) ; Ll = 0, jest równaniem cięciwy: [ftż,^), A,^)]; A=0 równaniem cięciwy: [ft₃,7)₃), (A, ^j)], a A =° równaniem cięciwy: [fti,»li), fta,^)]-

44)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugiego, mającej dane ogniska (a, ß), w spółrzędnych prostokątnych Kartezyusza, ma postać :

A—“)²-ł- (y—$)*=(AxĄ-ByĄ- C)², gdzie 4, B i C są dowolnemi parametrami tego równania.

45)    Dowieść, że równanie krzywej rzędu drugiego, mającej daną kierownicę: Ax 4- By-j- <7 = 0 , w spółrzędnych prostokątnych Kartezyusza, ma postać:

E² [A—a)² -f (y—ß)²]= (4a. -f By + C. ², gdzie parametrami tego równania są wyrazy : a, ß, s.

46)    Dowieść, że geometrycznem miejscem ognisk parabol, wpisanych w dany trójkąt ABC, jest koło, opisane na tymże trójkącie.

- 921

47)    Dowieść, że geometrycznem. miejscem środków hiperbol równobocznych, względem których dany trójkąt ABC jest sam z sobą sprzężony, jest koło, opisane na tymże trójkącie.

48)    Dane są cztery proste: Dl, D₂, D₃, i)₄, oraz krzywa stożkowa C. Dowieść, że jeżeli istnieje stożkowa Ci, któraby była styczną do prostych: Z>₂, D₃, Z>₄, przechodziła przez punkta wspólne prostej I), i danej stożkowej C, a zarazem, żeby dotykała tejże stożkowej, wówczas istnieją jeszcze trzy inne stożkowe C₂, C₃, C₄, mające tęź samą własność dla prostych: Dt, D₃, Di i Z>₂ ; Dt, Z>₂, i>₄ i D₃ ; Di: D₂, D₃ i Z>₄. (Twierdzenie

Humberta).

49) Dany jest trójkąt ABC, oraz wpisana weń stożkowa i£ ; dowieść, że trójkąt A₁Bl Oj, jaki tworzą biegunowe środków boków danego trójkąta ABC, względem tejże stoż

kowej, ma taką samą powierzchnię, co i dany trójkąt ABC.

50)    Daną jest hiperbola II, oraz punkt M, leżący na jednej z jej asymptot ; punkt M połączono z ogniskami i F₂ tejże hiperboli; dowieść, że geometrycznem miejscem ogniska paraboli, stycznej do prostych MFt i MF₂ w punktach Fx i F₂, jest sama hiperbola II, geometrycznem miejscem zaś wierzchołka jej, jest krzywa czwartego rzędu, złożona z dwóch hiperbol.

51)    Trójkąt ABC posiada stały punkt spotkania wysokości, a bok jego BC leży na danej prostej MN, mając środek w stałym jej punkcie; dowieść, że boki AB i AC obwodzą parabole.

52)    Dowieść, że geometrycznem miejscem punktu P takiego, żeby normalne PNt, PN₂, PN₃, wykreślone zeń do paraboli danej, wyznaczały trójkąt N₂N₂N₃, o stałej powierzchni , jest elipsa.

58) Dowieść, że promień krzywizny w dowolnym punkcie M krzywej stożkowej jest odwrotnie proporcyonalny do trzeciej potęgi odległości środka krzywej od stycznej, w tymże punkcie M wykreślonej.

54)    Dany jest punkt M[x— acos0, î/ = ôsin0] na elipsie C, a punkt bieżący P posuwa się wzdłuż normalnej, w punkcie M wykreślonej ; dowieść, że środek koła, opisanego na trójkącie N{, N₂, N₃, który wyznaczają pozostałe trzy normalne PNt, PN₂, PN₃, z punktu i' do elipsy wykreślone, posuwa się po prostej :

2 (ax sin 0 — by cos 0) -j- c² sin 0 cos 0 = 0,

a punkt spotkania wysokości tegoż trójkąta posuwa się po prostej: forsinO -f-aycos0 =0.

55)    W elipsę b²x² -j- a²*/²—a²6²= 0, wpisano trójkąt, którego wysokości spotykają się w stałym punkcie (?, 7j) ; dowieść, że bieguny boków tegoż trójkąta względem tej elipsy, znajdują się na stożkowej:

a²

b²

^(rj²—b²).x²—2£r).a;H-    a²). «/²+ (Ç* + ny—a²—6²)²=0.

5b) Jeżeli proste:    tworzą trójkąt, sam z sobą

r    a b    a b    a b

sprzężony, ze względu na elipsę: b²x² -j- a²//²—a2ł>² — 0, dowieść, że wówczas:

1₂ -j— wty zVj₂ -— Z2 Z₃ -j⁻ zTi 2 yyi₃ —1₃ Z₄ —J- zti₃ — 1,

oraz dowieść, że spółrzędne punktu spotkania wysokości jego wyrażą się wzorami:

c²1\ l₂l₃ ' ^_

c²mlm₂ m₃

57) Daną jest elipsa: b²x²-\- a²y²— a²b²—0, a na niej trzy punkta M{(xt, yt), M₂(x₂,y₂), M₃(x₃,y₃), tak obrane, że xx-\-x₂-\-x₃=0, yx-\-y₂-\-y₃—0 ; dowieść, że koła krzywiznowe tych trzech punktów przecinają elipsę w jednym i tym samym punkcie N($,r\), o spółrzędnycli:

4£Cj x₂x₃

4^iZ/₂«/3

a²

b²

58)    Dowieść, że geometrycznem miejscem środków kół, wpisanych w trójkąty równoboczne, wpisane w elipsę: b²x²-\-a²y²—a²b² = 0 , jest elipsa:

^(a* + 8 6²)² + |* (3o²+&²)² — c*.

59)    Dowieść, że osie elipsy, przechodzącej przez dane cztery punkta A, B, C, D, mającej minimalny mimośród , są równoległe do asymptot hiperboli równobocznej, przez te cztery punkta przechodzącej.

60)    Daną jest elipsa: b²x² + a²y²—a²b², a na niej punkt M(x = acos 0, y — b sin 0). Dowieść, że równanie innej elipsy, mającej jedno z ognisk w środku danej elipsy i ściśle stycznej do niej w punkcie M, przedstawia się w postaci :

(cc² + y²) (a²cos²0 -j-b² sin²0)³ = [(a²—ô²) (acc cois³ 0 — by sin³0)-|- a'+²]².

61)    Dowieść, że równanie elipsy, o najmniejszym możliwym mimośrodzie, przechodzącej przez cztery dane punkty; (5, 0), (?l5 0), (0, rj), (0, r₍j), odniesione do układu spół-rzęduycli ukośnokątnych , o kącie osiowym w, ma postać:

xy cos w

55i + *! rU

cc²

y²

(x ⁺ i) ⁺

C', + <7'n,    + k'B\__l^-j-Jb' 4'₂, ÇY+JiÇiL

Al + &A₂ )    -®i “ł" kB\ ’    ] Aj -j- /c A₂,    131 + kJ3 2

A'j + fc'A^, B\-\-k'B'2    \A\-\-k'A\, B\Ą-k'B\

2) Związek: a kk' + bk -f- ck‘ -|- d = 0, w którym o, ó, c, cż przedstawiają dowolne stałe. 8) k'—cnk, gdzie a przedstawia dowolną stałą. 4) a) aPP'—bPQ• — cP‘ Q-\- d—0. ß) PQ‘—Pf Q= 0. 5) Dwie pary: (43cr—5y—7= 0, 43a;—By—14 = 0), (ce—y+'/₂=0, x—y—*/₁₃=0). 6) (cc—2y+6)—-- ⁵/3₂(3± V/b^ÄT)(2x-3y + 7) = 0, (2*+ y-17)-»/₆₄(3± V™A)(2x-2y-29)=0. 8) A = =    - 4'^,)* + (^'i Ą - A B\y -2(At H'₂ + 4'₂ Ą)(4't R₂ + A^B\) + 4(Ą A'₂ £jjB₂ +

4- A₂ i?i B ₂) — 0 parabola; ß) A₃₃=0, D = \ Aik \ <0, (i, k= 1, 2, 3) przy równaniu: A\\U²-\- A₂₂0² -+ 2AxluvAr 2J₁₃« -f- 2A₂₃v    A₃₃ =0. 9) a) A<0, elipsa, S) 4₃₃D>-0.    10) A>0,

Ai B\ A\, B.₂

Bu ~ 2*'t, A₂ ’

= 0. 12) Krzywa stożkowa: a 'P"Q‘—a'P' Q" =0. 13) hipei’bola : æ²—y²+

4-6ccy—3cc—y —0.    14) elipsa: 13cc² +34y²+ 42ccy-bx— lOy—12— 0.    15) parabola: 2704cc² +

4-1681y²—4264ccy—1094cc4~739y—152 —0. 16) koło: 22cc²4-22y²—85cc—58y -)- 13 — 0. 17) elipsa: 8m²—8c² 4- 2uv—u —6v — 1 =0. 18) hiperbola: Idu²— 3c²—3m> + 6w—4v 4- 1 — 0. 19) parabola: 9w²—22c²—AAuv 4- u—10c = 0. 20) elipsa: 39cc²+8y²—19ccy—234cc + y + 351= 0. 22) hiperbola: 58 w²— 12 c²—50wc 4- 18w—20c + 2 = 0. 24) (5—10& - k²)u + (-2 + 18fc — k²)v + (7 + k + fc²)= 0. 25) (2fc + 2A;²)cc+(l—3k—4fc²)y+(—2—2&+14&²) = 0. 27) elipsa: lx² +4y²-2ccy-6cc+6y-9=0. 28) elipsa : 9cc²+ 7y²+ I5ccy—69cc—56y+ 130 — 0. 29) hiperbola: cc²—xy - 2x + 1 = 0. 30) parabola: cc²—y + l==0. 31) hiperbola: 19cc² + 31y² - 126a;y + 166cc + 90y — 349 = 0. 47) Nouvelles Ann. de Math. Serya III. tom XIX. 1900 str. 129. 48) Tamże, str. 369—370. 49) Nouv. An. de Math. Serya IV. tom I. 1901. str. 328 — 329. 50) Tamże, str. 478 — 480.

Rozwiązania LXI. 1) cc =

hiperbola, ß) AnD<C 0. 11) «)

-^13 “f" ^23) ^33

An — A₂₂, 4₁₃    A₂₃

ą -+fc<7₂, Bi + kBz

Ai — Bx A‘%i B\

Ai Bi

Literatura. Handbuch der Mathematik, herausgegeben von Geh. Schulrath Dr. Schlömilch, unter Mitwirkung von Dr. Heidt und Prof Dr. Heger. Breslau, 1880. A. Hochhei m. Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene. Leipzig, 1883. Heft III. Projectivische Geometrie der Kegelschnitte. H. Schröter. Die Theorie der Kegelschnitte, gestützt auf projectivische Eigenschaften. 3. Auflage von R. Sturm. Leipzig 1898. W. Zajączkowski, Geometrya analityczna, Warszawa 1888.

Tematy do rozprawek naukowych.

1.    Przedstawianie krzywych drugiego rzędu za pomocą dwóch równań o jednym do wolnym parametrze.

2.    Teorya pęków promieni i szeregów punktów stopnia drugiego.

3.    Wyznaczanie krzywych stożkowych za pomocą danych warunków.

Koniec tomu I.

fetr.

16

28

28

33

§5

ot ^ ^ co    co

O O O Ot    Ot

Ol    Ol Ol ot Ol

“J    OI Ol    03

05

cc

co

Ważniejsze omyłki drukarskie.

A, Omyłki dostrzeżone w tekście wykładów.

wiersz

zamiast :

28 od dołu, 13 od góry,

21 „ „

23 „

24 „

5?

17486

cos 2 a= cos²a—sin³a,

4~ cos²v -f- cos² v= 1 — cos X (cos X' cos [A cos [r' 4-i, k=n

powinno być: 17846.

cos 2a = cos²a—sin² a -j- cos² [X -f- cos ² v = 1. —(COS X COS X' -{- COS [i. cos p'

„ do wzoru r²

i=n

x\ -|- 2 XiXk cos (<xik), dopisać : i < fc.

i =1    i, &=:!

i— n

i, k=;n

34 od góry do wzoru (5) o²—    {xi—x\)²-\-2    (xi —x'i)(xk—aj'*)cos*«A dopisać: t<fc.

23 „

i-1

i, k-1

i=n

i, k=n

, „ do wzoru: d² —(xi—aj';)²+2    (xi—x'ï)(xk—x'k)cosoii,k, dopisać: i<k.

i,

rf=== V(x—as')² 4-Ci/—2/0+& ,

5 od dołu, cos²X₃4-cos²jj.2 + cos²[x₂4-cos²v₃ = 1, cos²X₃4-cos² p₃4-cos² v₃ — 1. 1, 2, 3 od dołu

8 od dołu

6 od dołu

13 od góry,

na fig. 44. warunek :

18 od dołu

7 od góry,

10 » »

14 „    „

20 „ „

13 „

i—1

= 1,

Xi =

nxi — mxi

\~X

i_! ’

X

k< 0,

GA.DA OB .DA ’

(x^X^Xs), h^xi — xl . ®4 xl *4~ *2

0(7— Od. _ Ofi 4- 00 ÔO— Oił— OB 4- 00 cos 9 sin 9 p

V(pc—£C')²4-(z/—V')¹ +&•

poprawić na

■®4    *2

n (1) 2#—y—1 = 0, (22) aj 4- 2y—

= 0.

Xi

nxi — mx‘i

—--x⁴

l-i

X

h >> 0. CA. DB ¹ GB. DA'

(x^x^Xi).

X₃ — Xl _ «4 — £Ct x₃ — x^ ■ cc₄ —cr₂

O4+0C

00—0,4

oc—ob~~ o /ł 4- oo'

cos o sin o I “ B

= 0, (11) 2aj— y—1=0, (22) x-\-2y--— —0.

U

Str.

wiersz

zamiast:

74    10 od dołu

cos o'—f

J.' sin y

V/ .4'²+i?'a—-24/J3'cos y'ł

COS <p'=

84    6 od góry,

85    19 od dołu,

6,= -^    ‘?(.s

“l    al

?3    — ^2 )

powinno być:

A' siny

Y/4'*+B'J—2 i^B'cösY’

ai

«2

“i

III

»6

108

1 od dołu, 11 od góry,

(*—u)²+(î/—^i)²-?₂)²— *'sin ?₂-h/' sin ?2 “^2 = ^2,

103

104

140

1    od dołu, pod linią: \Za²u\—2bcutu₂ cos ol&

2    od góry, taka sama omyłka.

3    od góry,

x3

a''cOS X₂ + y‘ ^i¹¹ ?2 —2>2 — łV \/a %²j —2bcu₂u₃coa a -|~ &•

(Vr)

a + 2 kn

Wr)

a 4- 2 kn

152

4 od góry,

=Vr . 1 .

v    Tl

=V7.i

102

16 od góry,

ï-î-Vï+g

-j~

167 14-21 od góry, 176    6 od dołu,

189 16 od góx⁻y,

wszystkie małe h ,

poprawić na duże K.

K₂=(x-'ż₂)-\-{y—y₂y-r₂‘i = 0,

Or-^-Hy-rOV²,

189 16 i 17 od dołu,    +

194 12 od dołu

203 18 od dołu, pod linią

*i+M^+*Sj=0, S«²;

204

u1, -f- v² — ■ -

rv

K<i= {x-\₂y + {y-^y-r\ =0.

(a;—«)²-f(y-r₎)²=r². /ÜT^(a;-?)² + (v/- t))²- r² = 0. (x-$')²+(2/-»i0²- r'²= 0. Ky+ p K₂ + visT₃ =0.

(Snt-)².

205 11 od góry, 216 12 „

224 22 „    „

J--

y—b

— ax — ay y—'ś = r coê X ,

y + i=o,

y-b

c — ax — by

231

239

245

b*=^,c-    .

x —b,

3 od góry, nad linią \/{a—a')²-\-{b—-b') -f- •

An=^Cl=0.

5 od góry,

^ n n

7 od dołu , 250 20 „    „

247

256

257

o jo

x—Ç=r coëX.

a-~ö' b-~0' c~ö-

x — a, y—b.

V(a—a')²+ (6—6')J+. An—CI— 0.

sin² O = (cosX cos p'—cos X'cos p) -(- sin ²0 —(cos Xcos p'—cos X'cos p)²-)-A'B'C' = A'B'D' + A'B'C =

(Z-az- a)²,

1 j 2 od dołu, w obu mianownikach :

A sin² a,

+ coë v [cos Vj = 1,

A'B'C' = A'B'D' + A'D'C' = (£—aX,—a)²*

260    18    od    góry,

sin(a8)

sin(ß8)

1.

(m—kl),

-¹ =(8a EP),

4²sin² a,

+ coê v [co§ Vj = 1. sin(a8) sin(ßS)

-1,

(m—kXn).

-¹ = (DAEP).

296    14 od góry,

297    23 „    „

(ADEHEn) — —

—+lh 3«'3 + Pnu\ =0.

297

(dZ)i?₁₅7?₁₅) — —

—Pnu\— Pi%u\ + Pi^\ =0,

3 od dołu, w pierwszym wyznaczniku wzoru (33), w trzecim jego wierszu, licząc

302

od góry,

24 od dołu, wzór (1') przy z — pod linią :

4 8₂7) -j- 03Ç -(- y₄,

Pz\i ~Pni 0, Pitki

Pz\ 1 —Pî3i 0, ^34,

+ o₂rj 4⁻^3^ ~r Ô4.

Str.

wiersz

zamiast:

powinno być:

304    4 „

317    21    „

14 od góry,

- szpalta druga, do słów „jednej przestrzennej“ dopisać: „od czterech stałych punktów“.

„ pod linią :

318

+    + Ą?/ + O32+ĄK -f-

+ Dk.

+ (AzxĄ-B₃y -J- <V-f A)K +

331

+0-

332

10 „ „

= Zx\ 4-

400 we wzorze 10) w wyznaczniku 1\, — w pierwszym wierszu

= — x⁴ j 4-

Vu 1, 0...

Pu —1, 0,..

416

14 „    „

(x-vrfr,

423

442

5 od dołu , (ponad fig. 25 .), F=2Eï] 13 od góry,

— {x— 1 )d(x²—1),

450

(—l)rf(x 4“ n—r dx).

Y— -2;t).

-(*-i)d(*M*i),

(—■¹)r (”)/(* + n—rdx).

459

<)

» »

/"(*)

2!

h² 4-

/"(*)

2\ h +

471

10 od dołu, wzór (16)

d (cos £c)

dx

sin x,

d (cos a;)

dx

— sin x.

472

1 od góry, dy

sin x. sin x dx—cos x. cos dx

558 trzeci wiersz, art. 15 578    4 od dołu ,

G5 ^

(    »-H

sin² x

w art. 4. str. 460., V" — 2 tg a;. 7/' =2 tg³a;, cos a

--3j-(*-«)²+ -

: dU

— sina:, sin x dx—cosx .cosxdx

sin² a?

w art. 4. str. 480. y“ =2 tg a;. y‘ — 2 tg³a? -|- 2 tg a:.

-^f(*-a)³+ -

. 542

543

Un

dn\-\-\bn\,

I Mn I ^ I On I + I bn | ,

„ między słowa : wyrazy

An

—r ,

a:²... 4-],

szeregu, wstawić litery: qt, q₂, g₃,...

■An—2 r.

a:² 4-...]

584    6 od dołu

przez

przez

591

13 „

592

„ wzór (2) 14 od góry wzór

x²

2« 4- 1

=1--.

2!

(3)

cos” na —

cos na =

614    10 od dołu

626

24 „    „

"r

643

741    13 od góry,

761

6 od dołu

795

806

6 od góry,

13 „    „

859

8 od góry,

859 15 od dołu, 863 14 od góry,

5 . 3r’    7.37 1

= Xn 4- «1 xn -¹ 4- ...

y— \/x² y — \/ x2 Fig 335. Fig. 336.

Vl‘ l 4- »*■² — 2Vm‘ cos y

\/«ii4- «22 — 2V/ana₂₂ . cos y ’

ß = + Va² + b²i

r    y\ 1 + ?/'²)

î=’--r ’

6²a: -f- a²my = 0 ,

_ A3 'À3 ■d 2’

Pî₌ sin y p₃ sin a ’

«13*1+ *23*2 “ł“ *33*4 -Ch = 0

¹ 5.5⁵    7.5⁷

V — «O*” 4“ *iœn—1 4" •••

y =V/a:² y=\^x

Fig. 335. Fig 336.

V/?'²4_w<2    2 Z' ra' cos y

V/«,! +a₂2 —2V/an«22-C08 T

ß=±V/®a4-&².*-

s_,_£fl±Ü.

y°

b²x—o² my = 0.

^3^3

d-2^2

p₂ sin y

P3~ sin fi ‘

*13*1 + «23*2 + «33*3 — rk =•- 0.

B. Omyłki dostrzeżone w tekście ćwiczeń i rozwiązań.

Str.

wiersz

19 od góry, w zad. 15. 15 od dołu,

10

6 od góry,

zamiast:

a² 4 ax 4 x²\2 a³ — ax 4 x²' ’ —a²—ó²—c²—‘żabć

powinno być :

(a²—

o² ax -f- x² \2 «² — ax -j- æ² / ’ — a³—ó³—c³—2abc

10

18 „ „

10

21

22

23

23

23

23

36

37

37

14    od dołu , w zad. 2G)

13 „    ,, w zad. 7)

29 od góry, w zad.

27) we wzorze (6)

16 od dołu,

Y/3 ]²=[(2b~c—a)+i{c- o)\/3 ]², 0, -4- i YŻ a , r — 2 , o = tc/4. sin (a ■+■ ß) sin (a — ß) ’

13) 48,7,6),

2Y/5,

Y/8 ] ³=[(20 - c- a)+i(c- a) V3 ]³. O, ±«V/=2. r — 1, <p = rc/4.

sin (a 4- ß)

sin (a — ß)

„ w zad 15)

„ słowa 23) (11-26..., 7-3

27-5) przekreślić.

/)(-3, -2),

Ćwiczenia IV. Rozwiązania IV.

|)>

tga = y\/3)

43),    C{5).

3 Y/5.

A ( —ł— 3, ~ł~ 2). Ćwiczenia III. Rozwiązania III.

37

„ w zadaniu 25) (1)

COS to

cos X cos X'4 COS [J. cos [/.' (&

sin² X

, COS to =

(cos X COS X'-f- COS [i. COS |x') — &

sin²y

47

19

49

49

49

49

62

63

63

64

64

76

76

77

93

94

94

94

94

94

110

111

111

2cc²—5xy 42y² —4. 2x²—bxy 4 2y² = 4. (promień Ä —858-48. æ'²-27y'²4 12 = 0.

2æ²-f- 3xy -)- 2y² = 4,

2xiJf- 3xy 4 2y² = 4,

(promień R — 758-48, ■

2) a?'² 4 27«/'²-f-12 = 0,

3) 3x² + lOy²—7 \/Wxy — 0,

18) il=110⁹51'16", JB=118°56<4//, 18) ^=110°50/54,/, R=48°56'18 '    ,1(5, 5),

(4) xxx₃-x\ +

ff ?

17 od góry, w zag. 34) w mianowniku, zam. 4xß

7) 5 , 1)

8y 4 5a: 4 11 = 0 ,

4 od góry, 14 od dołu.

„ w zad. 28.

3) 3a:'² 4 10y'²~7Y/3 . x‘y‘ - 6.

-4(3, 5),

(4) orxx^~x\Ą-Ź — ~ I-4(ß-«).

7) (3 ? !)•

8y 4 x 4 11⁼ 0.

bx - 2y 4 3=0. x 4 23y = 18, (3, 6).

by -j-x = 33.

6) 63.

13 od dołu,

5 od góry,

22 od dołu, w zag. 29. bx—2y 423 —0,

(«) x 4 25y = 18 ,

(3.5),

Gy 4 * = 33 ,

6) 96-5,

1_ O3 — m₂) (b\—b\)

2    —mt)

»    ~2|), C(-34,21), A=4Ą),    —8« *), <7(-3    1 4), A=6pî.

* 10.X—4y = 63 — 0,

12 „ „

9 od góry, w zad. 4) 22 od dołu,

21    » u

14 „    „

13 „

12 „ „

17 od góry,

7 od dołu

21)

AB,

dodać 4

(ó₂ — bt)b₃

10cc—4y 4 03 = 0.

BO.

13) x 4

c(l 4 m), (a—2p)y _

a—2p

13) x 4

y (! 4 m)-

(a—2p) y_a—2p

„ w zad. 19) dodać układ osi, jak w zad. 18) tamże, zamiast: (1) V = l b sin « ,

(1) V — b b sin a.

Str.

wiersz

zamiast :

112

128

130

147

147

IGO

IGO

1G9

1G9

powinno być:

2 od góry w zad. 21) ()—(l [ k)y-{-kd— O, (m,—JM₂fc)x—(1 —lc)y—kd—0.

31 od dołu w 1)

14 od góry: Rozwiązania IX. zad. 1)

n/2(6*+ By—5) -f ⁹/n(4x + 4</ + 1) — 0, ll(6x+- 8y-5)+-9(4x + 4y + l)=0.

+ V5+ i Y/10+ 2\/fy, 2)I^it{-l+V/BliV/lO-|-2V/5}&

A(-l, -1).

(i) y*=~-b.

(3), 4, -1.

(4) x=y + zy², y³=?;. a²- 36

51æ +- Gy—23 —0,

51x + 62y-28=0.

7 od góry, 2)

18 od dołu

17 «    «

14

?? ÎÎ

22 od góry,

25 „    „

(b) ał(l, -1),

(!) ?/²= - j + ? ,

(3) 11, -1,

(4) x=r-y+zy², y²=v

,    a²— 2ó

9s

9z

171

MX

171

20 „ „

171

22 „

171

22 „

23 „

” w zad'15:1 '^aT+bH+c' ¹

M = Cj=0,

3(1 dh %V 2 ),

„ w zad. 5) (2) 1, V₂ d= Vg *’V/51, „ w zad. 5)

„ w zad. 5)

24 „    „

MY

Mx

My

Ax-\-By + C

Ax±By+C' ⁷¹ ^je+Æy+C'* (4 ± V/^²-4(7) =0.

—6, 9, —3.

1 V/Ï7

(2) 1

~ 2-±_2

183

184

18 „

20 od dołu

184

184

184

198

199 ■

1 od góry,

16 „ „

(7) 2, 4, -1, p = _y₂(a²—3&),

„ w zad. 9) x² -)- y'¹ + 15a;—10y—7—0, — =30,

28) 13a; -\-2y — 49, b) 156a: + 136y=537, (-U, 16),

R((4, 5),

+ 14y = 0,

CD CC

207

208

„ zad 17) jBTj —(5 ± V/69) lf₂ = 0, „ zad. 21)

„ zad. 23)

23 „

26 „

16 „

20 od dołu, w zad. 17) :

(1, 3) i (8J , 33), przez punkt P,

(7) 2, -4, -1. p = -7₃(o²—3i). x²-\-y² -j- 14x — lOy—7 = 0. — 3 = 0.

28) 13x+2y = 9. b) 39a: + 34w=417-(-11, —16).

B (14, 5).

+ lly = 0.

6Kt -(5 ± \/69) ä₂ = 0. (1- 3) i (81, f). przez punkt 0.

2p² + 2p (a cos a + ó sin ») + c = 0,

=±V

208

208

217

217

217

229

230

230

230

230

239

240

242

255

267

2G8

268

22) {x² + y²) cos²® = r²,

3) 2a; 3y = 4,

15 „    „ 7) (-3,2.0), (1,0,2), (0,-5,-»),

y = 2z + 4,

13) l/\Zm²-\-n²,

+ T

+ (! + %)<•

4s + 3 = 0,

1) (a) 4, -6, b(x—u)—a(y—b) — 0,

(«—«') (y—tó—ß)= 0,

Jæ= 2s + 2

\y= S-j-3’

z=D,

„    „ zad. 28) 16 krawędzi,

„    „ 10) 11) 18)_

«V/47 sin a

19 od dołu,

16 » n

14

n ii

13 v n

„ zad. 12.

18 od góry,

20 „ „

16 od dołu

9 od góry,

(N O iC O

rH t-H t-H Cl

od dołu ,

= 1,

15) cos X =

a cos a -|- b sin a +- p

22) (x² + y²) cos² — r².

3) 2x +- ?>y +4=0.

7) (-3, -2,0), (1,0,2), (0,-*,+-*). y — 2z—4.

13) HVl²+m²,

+ T

= 2.

-M1 +V).

+- z— 3 = 0.

1) (a), 4, - 6, -3, b {x—a)—a (y—ß)=0.

' (®—«0 (y—**—?)=0.

| x = 2^ +- 2 = 30 +- 3 ’

P² = ~ %• z-fZ)=0.

12 krawędzi.

11) 12) 14).

V/d?

15) cosX:

sin a

Str.

wiersz

zamiast :

powinno hyc:

2G8    19 od dołu

23)

24)

2G8

2G)

27)

283

10 od góry,

°( — Ś) — |2)    i),

283

283

„ zad. 9)

2x 4- 2y -j- Az — 24 , —18—0,

18 „

27 od dołu, zad. 13) x-\-y-\-z—1 i x—z—0.

285    • S od góry, G) uĄ-v-\-w—1—0, Cm—v—w-\~ 1—0,

Au-\-A.v —19?c — 4=0, 2«—170+2«’— 2 =

(*) (- ⁹²/37, ⁶7₃7, ³V37))

(*) (22, 7G, 1),

+ ^3 A + ^4 =0 ,

+ ^3+A = 0,

283

0,

285    13 od dołu

285

298

299

12 „

1 „

14 od góry,

³(4-Vs> *ł”Vi 2? +Vü)-

3x -f- 2y    Az — 24.

%u-\-v-\-w—11 = 0. x-\-y-\-z—0 i x—z=l.

G) u-\-v-\-w— 1,    1=0,

Au-\rAv-\-\$w—4=0, 2u-\-17r-\-2w—2=0.

(b) (-⁹%7, U%7. ³¹/37).

(i) (22, 76, 15).

+ h Ą + h b\ — 0.

+ Car₃ +    = 0.

300

z-9

300

14 od dołu, zad. 22)

5 II

x₃

X1

x'a

x‘

= 0.

300

311

311

312

312

25) X? -= 0 K

—12T⁶,a;²+ j^aj-f-l — 0, *4-17 = 0,

15 od góry, zad. 38)    E(0, 1, 1),

20 od dołu,

12 „ „

2d „    „

4 „

„ zad. 27)

312

12 „ „

^2=— z2 ”f" z2 z3i ?>x 2y -f- 2z -f-1

458    w zad. 36)

458    w zad. 52)

5 od gói‘y, w zad. 8)

493

x + y    + i

A³(z²)=, trzeciego rzędu d log mx

25) l* _ 0. hi h₃

-12Ą^ + 3{ix + l = 0. *4-77=0.

1).

—    + z3-

_ 3o? d⁻ y 4~ 2z -}-1 x+y-hs + i

A²(æ²).

drugiego rzędu. d log mx

dx

508

509

4- \A²— f²

«—\/u²-j- V² ’ (log 03 4-

523

526

„ zad. 39) y=log

12    od góry, zad. 50)

13    od dołu, zad. 20) y = {x-\-\/l—-x²)m-\-3 o²

4⁴'2! ’ 4®' 5 !

6 od góry, w zad. 73)

1 x⁵

548    15 od dołu

2) Un

An—5

.    «4-V/m²—?;²

log (a 4-

y = (x 4- y/ i 4- *²)m4_ 0?² 11 '2!; 4®'    '

2)

ir

4»—2*

548

14 „    „

559

2(2»³-5»²-3«4-l) 36nł—W 4- 5«4-2 „ w zad. 11) 4- log \/5 4- ...

6) Un —

559

589

721

721

721

721

2(—5n²—3n 4- 1) 36»⁴4-12»³—17»²— 3» 4-2 4- log \/b 4- ...

+ 1 log(s⁴)³+ ślog(^)⁴+ -

+ mx\ (1 + x)m-3 ,

1) x²—2y²—

SJ ¹4) Ar² 4- %² 4-Ä    57 20) A B=0.

a² h'~’

6; Ur, —

8 od góry, w zad. 12) +i log(₃⁴)²+ $ log (Jj)⁴^... 6 od dołu, w zad. 55)    -f- x)m—

1) x²—y²—

14) Ay² + By² +

20) Ar=B = 0, x — 3y-\- 3 = 0, a² y2 x² W aip + b^-c*) 4-bV 2

18 „ 14 „    „

18 n    r

8 ..

735    13 „    „

798

798

20    „    „

18    „    „

v‘

(a²£²4- b²f\²— <*4)3 _|_

b\/ 2

2 *

v‘ = dtz

15 od góry, w zad. 58) —2a₁₂

2L „ w zad. 27) ax, xx x.₂ -\rai^x2^^r x2

2ö₁₃

«12^1^3 + anxix3 + «133*1*3 •

fS. 93

f'

s

r

i

ar

- ^3*6»

ggp |

êW

r

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

t|

.4

111-306058

f:.».

V;

; «f

t : W

»«T*    t*'

*

^

E>

pi

irf

j- '

P’Æj

■# .i

pV

¹ ,y*

“I

iéK

*-*

Vs

f:,v S?

SS'.-'.

j\s£ L V?V

115

"'Aïk-

'Ms

fl

ii

«i

«g?

IŁ,

1L3 iL

îÆm

?**• % mÆ\

,ÀÏ

■£3ß\.

'm«';

ilfStóS

-v-r *

ifj

S?ÏÎS^:

Biblioteka Politechniki ,f> akr skie;

*..

100000293401

«H

«6

s ST

3E|

aar

T. SP;

!»

içà

(•*

mm

mm

Bp>