sä

1

i

ш

ш

Г'Чд

yt

• Inź. MIECZYSŁAW BESSA&A

Zastosowanie zasady Castigliana do obliczania ram wieloprzęsłowyełi

(La loi öe Castigliano appliquée au calcul öes cabres à plusieurs travées)

rr д •>’; zedst^wiona 20 października 1931 Politechnice Lwowskiej i ■Т'-у. / я jako rozprawa doktorska przez Badę Wydziału Inżynierji i We ej na wniosek Komisji egzaminu ścisłego, który odbył się 19 maja 1932 r. Skład Komisji :

Przewodniczący: Prof. Ini. E. Bratro, Referenci :

Prof. Ini. Dr. J. Bogucki, Prof. Ini. Dr. S. Brzozowski, Hon. Prof. Ini. Dr. M. Thullie.

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGO“ 1932 г.

LWÓW 1933.

■

■

BIBLIOTEKA POLITECHHIOZy

KRAKOW

йзюН (

срш к

ÜO

-й

&/!№'

lnż. Mieczysław Bessaga.

Zastosowanie zasady Castigliana do obliczania ram wieloprzęsłowych.

Przedmiotem niniejszej pracy jest zastosowanie metody, opartej na zasadzie Castigliana. (a użytej już przezemnie do obliczania reakcyj belek ciągłych h) w celu wyznaczenia poziomych i pionowych reakcyj oraz momentów podporowych w ustrojach ramowych wieloprzęsłowych o nieruchomych podporach.

Metoda ta polega na utworzeniu :

1) funkcji U₀ —

El S’

L ГМ²

(«)

przedstawiającej pracę odkształcenia całego układu, p*'z uwzględnieniu samego tylko zginania, a następnie:

2) funkcji pomocniczej U— U₀ + tx ą>x +1₂ <p₂ +ź₃ çp₃ , w której tx ł₂ są niewiadomemi współczynnikami, zaś q)i q)t <p₃ stanowią trzy zasadnicze równania równowagi układu płaskiego, wreszcie na przyrównaniu do zera pochodnych funkcji U względem poszczególnych reakcyj i momentów utwierdzenia. Otrzymujemy w ten sposób szereg równań, które wraz z ogólnemi równaniami równowagi służą dla wyznaczenia niewiadomych. Tego rodzaju postępowanie przy obliczaniu reakcyj (i momentów utwierdzenia) opiera się na zasadzie „o naj-mniejszości pracy odkształcenia“, która głosi, że reakcje w układzie statycznie niewyznaczalnym są takiej wielkości, iż czynią pracę odkształcenia najmniejszą (minimum). Musimy je zatem wyznaczyć z warunku: U₀— minimum. A że wspomniane reakcje nie są od

W księdze pamiątkowej ku czci prof. M. Thulliego, która ukazała się drukiem.

Akc. Nr.

siebie niezależne, lecz związane trzema ogólnemi równaniami równowagi :

(I) • .

cp\=2V = 0 (suma sił pionowych = 0) (p% =    0 (suma momentów — 0)

0 (suma sił poziomych = 0)

obliczenie ich — na podstawie prawideł matematyki — winno być przeprowadzone w sposób powyżej opisany, t. j. przez utworzenie funkcji pomocniczej U=U₀-\-+ ti (Pi +t₂ <jp₂+ź₃ (рг i przyrównanie jej pochodnych do zera.

Dla uproszczenia zagadnienia zajmować się będziemy tylko takiemi ramami, których wszystkie rozpory (przęsła poziome) mają tę samą rozpiętość i ten sam stały przekrój, a zatem i moment bezwładności Z, , zaś wszystkie słupy wysokość h i moment bezwładności 7₀.

AJ Ramy o słupach przegibnie u dołu umocowanych.

Rozpatrzymy najpierw takie ustroje ramowe, których wszystkie słupy są u dołu przegibnie umocowane, które nie posiadają zatem momentów utwierdzenia. W tym wypadku zagadnienie sprowadza się zasadniczo do wyznaczenia 2(w + l) reakcyj, a to poziomych Z7₀, H±, H₂.....Hn, i pionowych A₀, At .... An.

Q,v di

i:5>i<3

i-........— C.

- Cj

......!

jp.

e. :

iii.

, Hn-<

Д.

Ai

At

An-t

An

Rys. 1.

Przyrównując do zera pochodne cząstkowe funkcji U=U₀ + t, gpj-f tz <р₂ + *з <Рз względem poszczególnych re-a^cyj? otrzymamy — razem z 3 równaniami równowagi — układ równań (II), złożony z (2w+5) równań linjowych, zawierający 2 w + 5 niewiadomych, a to prócz 2n + 2 niewiadomych reakcyj jeszcze trzy wyżej wspomniane współczynniki tx t₂ tz :

dü

dû

dû

(П) .    .

dü

d Ax

d An dHn

<Pi=0    <P2=⁰    <jP₃=°-

Uwzględniając, że <t=0, co wynika z równości

àAо

dU

dü

дН₀

dHx

tx = О, dostaniemy — po odrzuceniu równania

(px =0 (mogącego służyć jedynie do wyznaczania reakcji An) — układ (III) złożony z (2 ra + 3) równań z (2n+3) niewiadomemi : A₀, Ax...    Я₀, Hx ... Hn, Z₂, Z₃ :

^oq/

EIX

.hÜ.An—i+nl t₂=ty'₀₀

flp, W—1

EIX '

bp, »_ i/

. Z³. d

AZ².#₀ +

EIX '

Ü-Aq-\- ..

1, n—1

ńn—i, o'

EIi hP.H₀₊...

d~ 1 Z Z₂    —1, 0Л

ńn—i, n—1/

EIX

hlKHn-i +

Cpo'

EIX‘

AZ².^₀+..

Cp, n—i⁷

(Ш)

‘ EIX ‘

/V Äs ₊

+ \E1, П + EIX

I    <Zo, n—1/

⁺ --- Ё1Г

ń ' “oo

A Z². An—i +

dpi'

EIX

h²lHx +

h?l.Hn-i+lZ₂=^₀₁'

Сю'

EIX

AZ² A₀+-.

Cl, и—1

‘ JE7Z,

AZ².-4n_i +

⁺ %h4HĄ%\

A³ +

à\\

EIX

h²Ą.Hx +

О.^4о d~ • •    Я₀+0    + .. .

А³.Яи + 1 ł₂=ifjn i'

dn«⁷'

• Я/₀

Ф₂ = ^₀nZ+^4₁ .(и—1) Z+ • •. —2(Pc, qvdcx, Ze1? ^Äde) = 0 <р₃=Я₀+Я₁+ . ..Hn—2(Z, qh.d) = 0.

Dla uzyskania bardziej symetrycznej postaci równań, pomnożymy pierwszych (2w+l) równań przez

, przedostatnie przez ^

1° *

oraz wprowadzimy ozna-

czenia :

t-t • bsi — ^00

bik' h.l²

El\

— bik

• <3 — <01 Ciu'h.1²

— Ci к

da' hH

dik' h?l

Л da" b⁵

/o*    <³

W ten sposób układ równań (III) przejdzie w układ (IV):

= di i

Is

= d{ к

«00 ^0 d~«01    «0, n—\An—Я₀ +

+ • • • bo, n—i Un—1 + W <00 ~*PoO

«n—i,o -4₀ +«n_i,    + • • • «w—i, n_i ^»-1 +

+ ftn-l. o    • • • bn—i. Ti —1    1 <00 ~tyn— 1, o

^oo "^o d~^oi -^i d~ • • • c₀, Ti—i^4„-i + d₀o Ho+

+ • • • do, и—i Яп_1 +1 ź₀₁ =tp₀₁

(IV)

Cn—i, o -^o d~^»i—i, i    + • • • cn—1( n—i An-\ +

+ dn-l, оЯ₀ + d»~l,n—1    1 + 1 ^01 — *Pn—\. 1

0.^+0.^ + .. .О.ЛП_1+О.Я₀ +

d~ • • • O. Hn—i + dn n Hn+1. ż₀₁ = tpn, i

n-A₀~\- (w—1) Ax +.. .1.-4n—1+0. Hq-\~ • • .0. Hn—tpt O.A₀+O.Ai+...O.An-₁ + l.H₀ + ...l.Hn=Vt.

W powyższym układzie równań гр

oo > o > •

• • »

tpu ... tfj₂, ipz stanowią pewne wyrażenia, zależne tylko od ilości przęseł ramy, oraz rodzaju obciążeń zewnętrznych, a niezawierające niewiadomych reakcyj.

Współczynniki przy niewiadomych tworzą wyznacznik symetryczny Dtn, posiadający 2w + 3 wierszy i tyleż kolumn. Ostatnia kolumna tego wyznacznika (i analogicznie ostatni wiersz) posiada na w + l-szem, w+2-giem . .. 2 w+l-szem miejscu jedynki, pozatem zaś zera. Przedostatnia kolumna (i wiersz) składa się z szeregu malejącego liczb naturalnych: w, w—1,.....2, 1,

bi к

następnie zaś, aż do końca ze samych zer. Po odrzuceniu ostatnich 2 kolumn i wierszy pozostaje wyznacznik symetryczny (2w+l)-szego rzędu J92n, którego wyrazy, oznaczone przez : сц к

di к

tworzą cztery charakterystyczne grupy (podwyznaczniki).

®00.....®0, n— 1

Lewa górna grupa Da— •

®n—1, 0 • • • •    —1, n—1

tworzy wyznacznik symetryczny w-tego rzędu, zupełnie identyczny z „wyznacznikiem podstawowym“ omówionym szczegółowo w wyżej wspomnianym moim artykule z księgi pamiątkowej ku czci prof. Thulliego.

Poszczególne wyrazy wyznacznika Da określają

wzory :

w³

au

(w—г)³

«00 = 3

Oik = aki = fltii +(»—*) (dla &<*)

(w—г)²

Prawa górna grupa Д* л =

fy)0 3 ^01 ^103 ^ii

&o, n—i, O

b\, n-1,0

П—1, 0 5

jest wyznacznikiem prostokątnym, posiadającym n wierszy, n-j-1 kolumn, przyczem w ostatniej kolumnie występują same zera.

Wyrazy ba wynikają z wzorów:

1    /    h \

bax= \ к{х—И)(1х=\у(п—1)* (gdzie y = —l

№,<.■)' Ji' ' ⁴

*,=4f

(h>i) M

Przez skreślenie ostatniej kolumny w wyznaczniku prostokątnym 2)aÄ otrzymamy wyznacznik kwadratowy Dah o następujących własnościach:

a)    Wyrazy na głównej przekątni

. . (1)

Ъц=\у{п—if .    .

stanowią — idąc od dołu ku górze — szereg utworzony z kwadratów kolejno po sobie następujących liczb naturalnych, pomnożonych przez stały współczynnik %y.

b)    Wyrazy na lewo od głównej przekątni są równe wyrazowi na głównej przekątni, leżącemu w tym samym wierszu.

wzór :

. . (2)

c) Wyrazy na prawo od głównej przekątni określa Ьа=Ъц — \у(к—г)%    .

(k>i)

co można przekształcić na :

• (3)

*»■*=&**+У (л—к) (к-i) .    .

0>»)

Wzór (3) wskazuje na to, że wyrazy w k-tej kolumnie, począwszy od wyrazu na głównej przekątni, tworzą — idąc od dołu ku górze — postęp arytmetyczny, o różnicy Д—у[п—к), a zatem w ostatniej kolumnie różnica ta wynosi y, w przedostatniej 2 y, dalej 3y i t. d.

Co się tyczy lewej dolnej grupy Dah wyznacznika D%n, złożonej ze współczynników cik, to po usunięciu z niej ostatniego wiersza, składającego się ze samych zer, pozostaje z niej wyznacznik kwadratowy symetryczny

Coo •

Dha —

Cn—1, 0

@71—1, 71 — i

w którym

{x~kx l)hdx=\y[{n—kxY—(i—kxY]

cikl

₌ 1 r?

л Iе Jil

{x—k% l) hdx=\у (w—&₂)².

1 rl

Cik==ls) (**>») M

Z powyższych wzorów wynika, że wyznacznik Dha powstaje z Dan niejako przez obrót o 180° dokoła głównej przekątni, czyli — innemi słowy — przez zamianę kolumn na wiersze, a wierszy na kolumny.

Pozostaje jeszcze do omówienia prawa dolna część wyznacznika Dzn, t. j. wyznacznik kwadratowy (rc-fl)-go rzędu Dh, utworzony ze współczynników dik, określonych wzorami :

-j r»n l

dih⁼Ts \ h² dx=y* (n—i) (*1<0 1 Jil

-i гъЪ,    rbTll

da — t

h*dx==\v*k+y%(n—*)

~nl

dik=-n \

(h>i)¹

Wyznacznik Dh jest symetryczny i posiada następujące własności:

cl) Wyrazy na głównej przekątni tworzą — idąc od dołu ku górze — postęp arytmetyczny, którego pierwszy wyraz dn,n=\yzk, różnica

О О О О тН ннн г-i О О

rjHC0(Mi-<OOOOOOO

3 У³*

V.y.7 Vs У-5 Vs У-³

Vsy.l

У²

i/s У-12 Vs У-8 /s У*⁴

Vsy.i

2у!

Tabela I.

Vs У-16 Vs У-9 Vs У*⁴

Vsy-1

Vs У³&+3у⁸ 2 у²

¹l₃ysk + 2yi у²

х/зУ³*+У

У²

Vs У-¹⁶

V₂y-⁹

Vs У-4 Vs у. 1

4    1/₂у. 1    ¹1₃уак+4:у*    3у'

4    ¹/₂ у. 1    3 у⁵

4    Vs У-1    2У!

3    Vs У • 1    У²

У²

и/

/6

⁵/e

Vs

со со

о    ^

<2*    т-i    <Х>

СО «О 2^

г-<

еч _сч

О см о

lit

Ilz

14/

/3

64

27/

/S

oz

I 11/

V.y-16 ‘/,У.9 V,y-i6 V.y-9 V₈y.l2 Vs У-8 V₂ У-&

⁴/s

! V.y.7

A4 =

b)    Wyrazy na lewo od głównej przekątni, położone w tym samym wierszu są sobie równe przyczem wyrazy z różnych wierszy stanowią również — idąc od dołu ku górze — postęp arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem jest zero, a różnica wynosi y².

c)    Z powodu symetryczności wyznacznika, własność jego, opisana pod b) określa zarazem i wyrazy na prawo od głównej przekątni.

Przez wyznaczenie grup Da, Dah, Dha, Dh jest wyznacznik Din zupełnie określony, a tern samem i lewe strony równań układu (IV). Jako przykład podano na str. 7 wyznacznik Dm dla w=4, charakteryzujący ramę czteroprzęsłową.

Warto zauważyć, że przez skreślenie dwóch kolumn w tym wyznaczniku t. j. 1-szej i (w-J-l)-szej (t. j. piątej), i dwóch odpowiednich wierszy, powstanie z niego wyznacznik А.з; postępując dalej w sposób analogiczny, otrzymamy Di.i, a wreszcie Di л.

Przystępujemy z kolei do wyznaczenia prawych stron układu równań (IV) t. j. wyrażeń tfj. Rozpatrzymy tu wpływ ciężarów skupionych pionowych P i poziomych Z, oraz obciążeń jednostajnie rozłożonych pionowych q' i poziomych q".

a) Wpływ jednego ciężaru pionowego skupionego w odstępie (г-f a) l od lewej podpory.

(0<a< 1) nl

J. I

J.h

Rys. 2.

—ki l)dx=

p.[x— (г-f a)l]{x

(fc<t) L J(1+a)>*

=* P.£.[2 w⁸— 2 (i+a)³-3(i-i-a+k₁)n²+

-f 3(i+a + Jk₁).(i+a)²-h6 (г-f a).^ w—6 (г-f a)³&J

1 Г¹

o~-jr \ P[x—(i+a)l](x—k₂l)dx=

= P. |[2 n³-2 k\—3 (t-fa+Ю n²+

-f 3(t'-f a-\-kt).k\ +6(г-f а) кг w—6 (г-f a)&³₂]

(b>i) 1 Jk*!

i rz

Фч. i

(*i <*)

=-rg-\    P.[x-(i-\-a)l\hdx=

^ Z J (г+а.) г

= P.|y.[n—(i+o)]

Фч, 1

(Ä:,> г)

P[z—(i+a)Z]Ä6Zz = л Z

=PĄy.{[n—(г+а)]²—[k₂ — (г+а)]²}

— (* + «)]

Фг =0.

b) Wpływ obciążenia pionowego g', jednostajnie rozłożonego między punktem (г + а) Z, a punktem (Z + /3)Z.

(0<а</3<1)

------------:----- (1*0)1 —

...........

J,I

+h

Rys. 3.

1 ç

Ф*г,о=1з\

(*t<0    J

q'[x—(t+o) Z]

(x—kx l)dx+

(i+a)Z

Ф4.О

(*a>0

f ls> ?"a)>1 [*■ (* ■⁺¹¹¹ ] (x~‘ktiydx

. (X—k% l)dx

^ çnl

\ Z³

[■>¥')]

Ki=

(fcj < i)

гч SS,

(i+ß) I

q'[x—(t+g) Z]²

.Л. йж +

’(»+«) г

Фч, 1

(*»>•■)

⁺yi„*rö,-e),[—(<+5r)łl

r^L⁹'(,î_e)iK(<+^)']

V2 = g(ß — <*)l •[»—(i+—

.h.dx

.h.dx

1Ü

c) Wpływ siły poziomej, skupionej Z działającej w kierunku od strony lewej ku prawej na i-ty słup w odległości ö.ä od jego spodu.

J. I

т~

-T

1 fni

^,0=«- Z(l—o)Ä.(*—А?! /)dz=

(*,<»•) Z J<z

=Z. 1 у.(1 -e) [(n-^)³-(*-^)²]

Z(l—a) h.(x—k₂l) dx=ZĄy .(1—а).(п—кг)г

tyk» 0

(k>i)

₌ 1Г'

lä 3 J;₇l

1 Çnl l* 4 ii

Z( 1—a)h.h.dx=Zy² (1—a) .(n—i) j i rh    1 rnl

*'-tTLz^a'h)e-dg+T)„z*

tyki, 1

(*!<»)

—a)h.h dx— =Z. {I уь к (1—a⁸)—|y⁸ &. a (1—a²) -f- (1—a) y². (w—i) j Z (1—a) h.h.dx=Z(l — a).y².(n—ks)

I rnl

/ аЛ\

^=z.(-T)=

Z. (—ay)

ty₃—Z.l.

d) Wpływ obciążenia poziomego g", jednostajnie rozłożonego, działającego na г-ty słup między przekrojem ah a ßh.

rf

-i*

Hy s. 5.

tykt,o Oi <*')

tyk^Q

(h>i)

tyk„i

(fci<t)

= q" (ß—cc) h . ^1 = q"{ß-a)h.(l = q"(ß-a)h.( 1

Yy\y[{n-K)*-(i-kx)']

2~)«ł У ■(*—*>)* ±i\y*(n-i)

Vi,i=

V>k i (*>>•)

R

& s-

'(z—ah)

M «'

r*nl    /

) q"(ß—a)h.yl = q" (ß—a) h . ^1

*»| ь* <>(►><

.zdz-{-

h^zdz+

*±ß\

2 )

h.hdx

aJ^)-y² (n—k%)

V>2 = q"(ß—<a)h.(—,

Vz =q"(ß—a)h.l.

e) Wpływ pionowych, skupionych, równych ciężarów P, działających w połowie każdego przęsła poziomego.

</>»<)

=М„р(г-'k)(x~ii)dx+ 45>Mr> •4£ph(²4i)'l

-4бН¥)']

—il).dx= .. .

(,X—il) dx-f-

(z—i l)dx

tft o =p {TV (»•—<‘) + A ■ t(2 i+1)³+(2 i+3)" +

... +(2n-l)*]-!i[(2i+l)4(2i+3)* +

...+(2n-l)»]}

*-łs;x-4)

4£>[-m-i

hdxĄ-

h.dx+

h. dx+ .. .

ty<l

г-н ¹

-г

k=n—1

=PĄy. 2 (2*+l)²

k=i

P •*2’[l + ^+ • ■ >(2w—1)]

h.dx=

= P-W

VJ3 =o.

f) Wpływ pionowych, skupionych, równych ciężarów jP, działających w —- ---tej części rozpiętości każdego przęsła poziomego.

tyiO — P-

(*-1) с«⁴ -*•*)+^2 к® *+¹⁾³+{s *+2)S

i

+ (sk + s—l)⁸]

+ (s к + s —

i)²])

,    n—1

^.*2 Ks*+ l)² + (s*+2)²+ ■ ■ ■

i

tyn=P

1    n—1

’2sir‘2^SÄ; + 1)2+(SÄ:+2^⁺'

. . (sA-f s—l)²]

ty 2 =0.

g) Wpływ obciążenia pionowego, jednostajnie rozłożonego q", działającego na całej rozpiętości wszystkich przęseł poziomych.

tyio=Tißni—4iw³ +г⁴) ql

1 Cnl ~ Is )u

ty i i

qx.~ ,hdx=\.y(nb—is).ql

a

ty₂=±n*.ql ty з=0.

h) Wpływ obciążenia poziomego, jednostajnie rozłożonego q", działającego na całą wysokość г-tego słupa.

tyKo=q" .hĄy.[(n—kx)‘—(i—^)²j (kt <»*)

. tyict,o=q" ‘h.^y(n—k₂)2 (k-i > i)

tyklti=q" 'h.$y(n—i)

\=q"-Ь.[^угк+\уг{п—i)] Vhv\ = q" >h.\y*.{n—k.₂)

(*j >*)

ip₂ = q".h.(—\y) tf>₃=q".h.l.

Zachodziłaby jeszcze kwestja, w jaki sposób należy interpretować znak + względnie —, otrzymany jako wynik obliczenia danej reakcji pionowej lnb poziomej. Otóż w całem powyższem obliczeniu przyjmowano, że reakcje pionowe działają od góry, zaś poziome od strony prawej ku lewej, uważając te właśnie kierunki działania sił za dodatnie.

Jako moment zgięcia w rozporze uważano moment wszystkich sił, działających na lewo od danego przekroju, zaś jako moment zgięcia w słupie — moment sił działających na dany słup poniżej danego przekroju, przyjmując przytem moment obracający odnośny przekrój w kierunku zgodnym z ruchem wskazówki zegarowej za dodatni, w przeciwnym zaś za ujemny.

Przy takiej właśnie interpretacji znaku sił oraz wielkości i znaku momentów zgięcia, otrzymano po odpowiednich przekształceniach i podstawieniach (o których była mowa powyżej) i po przeniesieniu wyrazów wolnych od niewiadomej na prawą stronę układ równań (IV), którego współczynniki przy niewiadomych i wyrazy wolne zostały następnie odpowiedniemi wzorami szczegółowo określone.

Wobec powyższego otrzymany w wyniku rozwiązania równań układu (IV) znak' ■+■ oznacza dla reakcji pionowej kierunek ku górze, zaś dla poziomej kierunek od strony prawej ku lewej, znak — natomiast kierunki przeciwne.

B) Ramy o słupach u dołu doskonale utwierdzonych.

A n • H₀, Hx, . . .. Hn

W tym wypadku dla obliczenia danego ustroju ramowego w-przęsłowego zachodzi potrzeba wyznaczenia 3(n+l) niewiadomych, a to 2(w+1) reakcyj pionowych i poziomych A₀ , A

oraz (n +1) momentów utwierdzenia MQ , Mi , M₂ . . , Mn.

Dla uzyskania równań możliwie symetrycznej postaci wprowadzimy jako dodatkowe szukane niewiadome nie same momenty utwierdzenia M-n lecz ilorazy

Mi

(posiadające wymiar sił) t. j. ilorazy z momentów

utwierdzenia przez długość przęsła poziomego.

Tym sposobem otrzymamy ostatecznie układ równań linjowych (У), złożony z (3w+4) równań, zawierający 3w+4 niewiadomych: A

TT M0 Щ

П ’ I ’ l

Mn

> ^00

An—i y

nastę-

H₀, H

pującego kształtu:

®oo dg 4~ • • • ®o, n—i •dn—i“ł~^oo Hq-\- . . • ńo, n—i Hn—i 4

01 )

ił/o ,    Jf«-1 ,    ,

4 ^00 “Г” 4- • ■ • бо, И — 1 - j 1" • 4o — ^00

05,^—j , o d 0 4~ • » • an—i , n—i d n—i 4~    —1. o #0 4~ • • •

i/o

“bńji—i,«—iHn—iЧ⁻671—1,0 ^

■ 4- 1 • ^00 ⁼ tyn—1, 0

-7^4.. •

4' 677—1, 77—1

i/n-

c₀₀d₀4 .. .c₀, ,7-1 dn_i + d₀₀ До4-. • • do,n-i Hn-\ +

ił/77—1

i/o

"44oo 1--b * • '/o, ra—1

41 • ^o,i—V\)i

(V)

c,7_i,o d₀4 . . .cB_i,n_id„_i + d,7-i,o До 4- • • • 4-d„_i,,7_i Hn—i4-/n-i, o-jp4- • • • i/77—1

4* fn—1, n—1

4-1 • <01 — tyn—1,1 0. d ₀ 4 • • • O• A.77—1 4~ł-ł•    4 • • • dnn Hn4

4 1 . ^oj ⁼⁼ tyn 1

ffoo do4.. '9o,n-i d„_i + A₀₀ H₀+ .. .ho,n-i Mn-14-

Mq    "•*■71

+ weo -y-4- • • ■ Wo, Ti—1 j

+0

i/o

4 • • 'fn

Mn

Mn-1

+ 1-^00 — ^02

Qn — 1, 0 d o 4 • • • Qn—1, n—1 d77 — 1 4 . • . hn—\ , 0 Hq “i⁻ • • •

i/o

+ A„_1, 77—1 i?n—1 4-*Wt7_1, 0 -, 4-• • •

i/77—1

4* 1. ^oo — V>n-\, 2

0.    4- • •.0.dя-i4O. Hę 4 • • • Аи77Hn4

4 1 ■ ^00 ⁼⁼    2

4' win—1, n—1

Mn

4O. — 4 ...m

Mn

П • Aq 4- ... 1. -4»; —1 + 0. H₀ -f ... 0. Hn + M₍₎ . Mn л

0•    • • • 0. An—i +1. H₀ -4-... 1. Hn+

..o.Mn

+0

M₀

= Уз-

Współczynniki przy niewiadomych w powyższym układzie tworzą wyznacznik symetryczny Dzn (3w + 4)-go rzędu, którego ostatnia kolumna (i analogicznie ostatni wiersz) posiada na ra+l-szem, w + 2-giem,. . .2w+l-szem miejscu jedynki, a pozatem zera, w przedostatniej zaś kolumnie (wierszu) przychodzi najpierw malejący sze-

1, następnie zera w ilości (w + 1), dalej jedynki również w ilości (n-\-1), a wreszcie na końcu zera. Po odrzuceniu dwóch ostatnich kolumn i wierszy pozostaje wyznacznik symetryczny (3 w + 2)-giego rzędu Z):!n, złożony z 9 charakterystycznych grup. Cztery z tych grup, a to lewa górna Da, środkowa górna Dah, lewa średnia Dha, oraz „centryczna“ D,n są zupełnie identyczne z poprzednio rozpatry wanemi grupami, w ten sam sposób oznaczonemi.

Pozostaje więc do rozpatrzenia dalszych 5 grup, a mianowicie górna prawa Dam, środkowa prawa Dhm, wreszcie dolne : lewa, średnia i prawa t. j. Dma, Dmh i Dm.

Grupa Dam składa się z n wierszy, w + 1 kolumn, przyczem po skreśleniu ostatniej kolumny złożonej ze samych zer pozostaje z niej wyznacznik kwadratowy Dam, o wyrazach eik, określonych wzorami:

I (и—г)²

reg liczb naturalnych n, n—1

1 Cnl

jr\ l.{x—i)dx =

ęji I

1 Cnl

= -fi\ l(x—il)dx=±[(n—iy²—(k₂—iy)

(*,>») Jm

Grupa Dam jest zupełnie podobna do grupy Dah7 z której powstaje przez podzielenie wszystkich jej wyrazów przez y. Możnaby zauważyć, że podobieństwo grup Dam i Dah przeszłoby w identyczność, gdyby za podstawę przy wyprowadzaniu równań układu (У),

ßn-, =

v&i ^ t)

Mi

zamiast

Mi

wprowadzić jako niewiadome ilorazy —

w tym bowiem wypadku w wyrażeniach na moment zgięcia w dowolnem miejscu przęseł poziomych wystę-

Mi

powałyby zarówno niewiadome Ht, jaki pomnożone

L

przez ten sam współczynnik h.

Grupa, D

jest wyznacznikiem symetrycznym (n+l)-szego rzędu, którego wyrazy fik wynikają, z wzorów:

1 r»nl

fi fr, ? 3 \

(fc, <i)

l.h.dx—y(n—г)

fii ~

l_r*

• Л

1 Cnł

lzdz+y₃V

lhdx—\y’lY.Ą-y(ri—i)

fi —

{ki i)

l.h.dx=y (w—&₂).

JV

Wyrazy fu na głównej przekątni tworzą — idąc od dołu ku górze — postęp arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem jest \угк, różnicą zaś y. Wyrazy na lewo od głównej przekątni, leżące w jednym wierszu są sobie równe, przyczem wyrazy różnych wierszy tworzą — idąc od dołu ku górze — również postęp arytmetyczny 0, y, 2 y. . . Z powodu symetrji są przez to samo także i wyrazy na prawo od głównej przekątni zupełnie określone.

Co się tyczy grupy Dma, złożonej z (w-f-l) wierszy n kolumn, to po odrzuceniu ostatniego wiersza, składającego się ze samych zer, zamienia się ona w wyznacznik kwadratowy Dma: który to wyznacznik można otrzymać z omawianego wyżej wyznacznika Dam, przez zamianę kolumn tego ostatniego na wiersze, a wierszy na kolumny. W podobny sposób powstaje grupa Dmhr tworząca symetryczny wyznacznik kwadratowy (n-\- l)-go rzędu, z grupy Dhm — z powodu symetrji są zresztą te grupy zupełnie ze sobą identyczne.

Pozostaje jeszcze ostatnia, dziewiąta grupa Dm. Stanowi ona wyznacznik symetryczny (n + l)-szego rzędu, złożony z wyrazów тпгй, określonych wzorami:

1 Cnl

l'¹ dx=n—г

w*u-, >з \

(*,<•) Jil

T 1    (*h    I (*»

m“=tTALld°⁺T>\,

l.ldx=y.x + (n—i)

- L f”г

i) ¹³

l.ldx=n—yfc₂.

mL K

(*!>*)

Wyrazy na głównej przekątni Шц tworzą postęp arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem (idąc od dołu ku górze) jest yx, różnicą zaś 1. Wyrazy na lewo od głównej przekątni, leżące w jednym wierszu, są sobie równe, przyczem wyrazy różnych wierszy tworzą

О О О тН т-ч г-ч *-ч О О О О О О

COCMt-iOoOOt-It-It-Hi—i О О

гч

ОООООО^ООО >. тН о

7т

V.

72-8

V.-4

/2-1

6-7т

7«. 4

V.-1

х/аУ**+³У 2у

¹/₂у²х+2у у

7 гГ* + У

ух

2у

5 е+ил

Tabela II.

со

CS

О о О о о О ^О о О СГ^О тН

7а У

7а У

7.У-1

У²

У²

7з у³*+у

г--

<м

о о гН

/а У

7а У

7а У-1

2 у²

7з У³ * + 2у²

У²

2у

7г У²+2 у

со

со

4-

со

?о

<N _С0

05

тН

__ся ^

н н н

СЯ

ся

>-0 гн о

СО

«5*

СО

Ci

CS

îo <*•

СО

/з

со

со

05

/2 У 7а У

(М

w _<N со (~*)    **    *"*

CS

О (М о

^    05 GO IÛ

сч

<м

«N

О со о

szereg liczb naturalnych O, 1, ... n. Z powodu symetrji wyznacznika Dm są tem samem i wyrazy na prawo od głównej przekątni określone.

tpi 1 5 ty 2 ? tp₃

Na str. 17 podano wyznacznik D3n dla n—3. Przystępujemy z kolei do wyznaczenia prawych stron równań układu (У) t. j. wyrażeń гр. Zauważymy przedewszystkiem, iż wyrażenia tpi dla poszczególnych obciążeń — otrzymamy z wzorów, poprzednio podanych pod A) ; pozostają zatem jedynie wyrażenia tyi2, których wartość podano poniżej.

a) Ciężar skupiony pionowy P w punkcie грк,₂=Р.\[п—(г+а)]2 0,<г)

Wh, 2 = P • 1 {[n-- (г + a)]²- [fc, - (г+ a)]¹ ]

Oż > i)

u.

Oż > i)

b) Obciążenie pionowe, jednostajnie rozłożone q', między punktami    (0<а</3<1).

tPkt> ²    13 \

1 [*—(»+«)*]* ^ ₊

r—j

.Д«+|3)г

q'(ß-a)

.l.dx

.l.dx.

(/3—a)

c) Siła pozioma skupiona Z} w długości aA od spodu г-tego słupa.

W2= Zy.(l —a) (n—i)

(kt < t)

^*,2 =    .(1-a²)—у²и.а(1—a)-f (1 — a).y(n—i)}

Wą,2=<Z.y.(l — а) (и—Aj).

d) Obciążenie poziome, jednostajnie rozłożone g", działające na г-ty słup między przekrojami ah i ß A, (0 < a < /9 < Л) :

tPk„2

- <7" (ß—a)h. ^1

tpi, 2 ⁼⁼

•5 ^ «H-*"

1 Cßh q" (z—ah)

'T3‘L

• Z3-

2

.l.dzĄ-

?" (/?-Л q" {ß—a)h.{l

a) h. {z—h^.l.dz-f-

a-\-ß

. h\ .l.dx

f) Pionowe, równe ciężary P, działające w ¹/«? ²/*- • • S'V* części rozpiętości każdego przęsła poziomego:

-j 71—1

= P-Q-o2^ [(*£+!)*+(sfe+2)²+ ... {sk-\~s 1)

g) Obciążenie pionowe, jednostajnie rozłożone q', działające na całej rozpiętości wszystkich przęseł poziomych

Vi, 2= q' lĄ(ns—i³).

h) Obciążenie poziome, jednostajnie rozłożone q', działające na całą wysokość г-tego słupa:

Vk„ 2 = q"h. \y.(n—i)

(*i <*)

^/,2 = 9"-{|y²^+ir(w—»)} Vkt,2 = q" h.\y.{n—k₂) (k₂>i)

C¹) Przykłady z obliczania ram jednoprzęsłowych i dwuprzęsłowych.

2. pod-

(‘-т)

Фь, 2 = g" (ß—a)h .

{/c₂^> i)

ej Pionowe równe ciężary P, działające w połowie każdego przęsła poziomego :

Vt, 2-P.*[(2*+l)*+(2<+8)*+...(2n-l)*]-

k—n—1

.y.(n-k₂).

2 (2A+1)¹-

k—i

Poniżej wyprowadzono zasadnicze wzory na obliczanie ram jednoprzęsłowych o rozporze prostej, łamanej symetrycznej oraz parabolicznej (a to zarówno dla wypadku słupów u dołu przegibnie umocowanych jak i słupów doskonale utwierdzonych) oraz na obliczanie ram dwuprzęsłowych o słupach przegibnie umocowanych i rozporach prostych, równej długości. Obliczanie to sprowadza się przedewszystkiem do wyznaczenia : 1. wartości wyznacznika D2n względnie D wyznaczników, odpowiadających poszczególnym współczynnikom przy niewiadomych, wreszcie 8. wyrażeń ifj. Raz obliczone wartości wyznacznika I)2n względnie _D₃„, oraz podwyznaczników dla pewnego typu ramy, służą za podstawę wszystkich dalszj^ch obliczeń dla najrozmaitszych wypadków obciążeń zewnętrznych, które to

obciążenia wpływają jedynie na wielkość wyrażeń tp. Tworząc iloczyny wyrażeń гр przez odpowiednie podwyznaczniki i dodając te iloczyny (naprzemian ze znakiem tym samym i przeciwnym) a otrzymaną sumę dzieląc przez wyznacznik D%n wzgl. D ostatecznie znak i wielkość szukanej reakcji poziomej, pionowej lub momentu utwierdzenia.

otrzymamy

I. Rama jednoprzęsłowa, dwuprzegubowa o rozporze prostej.

Ди=

ffoo boo b01 co о <*00 do x

cio ^10 °^i 1 0 0 0 1 1

O 'гЧ O O

rH o O O O

>—¹ O O w|,->

ro

Ni

to

o O Н» O i—i

co

O O т-i O O

Di-i = \y • (2 уи + З)

l J<

h J₀

7&/S. 6.

Minory (podwyznaczniki) odpowiadające wyrazom pierwszej, drugiej i trzeciej kolumny, t. j. powstałe z wyznacznika Z>₂₁ przez skreślenie wiersza i kolumny, w której dany wyraz leży, przedstawiają się, jak następuj e :

^oo — J

Ç>o = 0 (7,0=0

Фг,а₀=(—\y'¹) (2ух + 3)    Ф₂,ь₀=— |y

ф3, a. = 0

^00 = 0 A>0 — +1

A o ⁼ +1

S₀i = O D₀i — +1 +1

Ф₂₎Л,= —iy

фз,й₀=-|у³и Фз,л,= +|у³и + у2 Stąd ogólne wzory na obliczanie reakcji A₀H₀ Hx :

-^0 —4*1

Н₀ = (Ф<п—Фи—łУ• </>₂ +łУ³*• ^з): tłУ²(² У* + 3)] ^i=[-^oi+^n+ły-^i+(ły³^ + y²).^₃]:[łr² (2yx + 3)].

H.

*T

Jo.h

Ac

ik

Ao

Rys. 8.

ph

H,

A.

ь»

i У)

Hi

a)

tyoi =ЬУ'Я1 tyn —0 ty г — T • 9 ^ =0

o

S' S'

j4s

tC w

чз

CO

tc

•«

to

"1*

w]to-

cS"

u»|eo

l-

c)

Voi = -ii

— Pc.z.dz-\-

$

Jo

P{x—c)h.dx—

i a.

A.

Rys. 9.

=={—|dx(y²— a²)+-+ iY—yó}.P

4-d

—r— CL

V»n=0

tfj₂=(l—ó).P

ty 3=°

II. Ramajednoprzęsłowa, dwuprzegubowa о rozporze łamanej symetrycznej.

⁼ 7i

I.....

h s

■* " T=y=^-T = y'°

----- =a

_Ż—< i

aoo

X² ds

.Jo

= 1Г

Ho

"Wzory na obliczenie współczynników układu równań są w tym wypadku następujące:

x²dx.2 o= f a

Jo

^•o

.Jo

2/*

da;.2a +

4/1

coo ⁼ ^oo ~ У + т ^ a

A    1

z²dz + ₃

^00 —    13

Ho

h-f

dx.2 o=y a+| a

da:.2(7+

h- \

2/(Z—+)1²

.dx.2 a=

du

= -Ły².yi ^.o + 2y²u + 2yç)(;+|ç)²(7 z¹ dz = jy^yt у о

_ я ГА

“74

Jo

jł⁰"

уо+\<ро ³

А.1 = j Q

уо-\-\(ро \ у ² ух У. а + 2 у² о + + 2y<jP(T+f <jp²ff

о Wh

у‘ y₁ X а

ООО

тН О О

Au=t У²<?(У1 и + 3) + f <jPа (3у+<р)

Bqq = О

Д» — + 1 Ао=+1

$2    —у О—\ У О

А₀₀=0 Cq О = 0

с₁₀=о

Ф2₍а₀= — 1У¹<У(У₁Х +

+ 3)—19><т(8у+9?)

Bq i О

Ао = “b 1 Al—+¹

Фг,Ь = —уо—

— \<ро

Фз,Л|=!у²У1 *а + -f-2y²o4-2y (ра-\~ + ср²о

Ogólne wzory na obliczanie reakcyj : Л.₀ = ^₂

Н0 = [%\~ ^11— (y + ł^)-ff-^2+ły²-yi И.<7.^₃]: Д2.1 ^1 = [—^01 + ^11+ (У+т^)-^-^2 + (-зУ²*У1 * + 2у²+

+ 2у <jp-f- -f çp²) (Т.^з] : Z)₂.i

Фз, в₀=о

фз,л₀=— у².у^(т

•4-

aj

a s—

Но

Н<

А®

А,

Буе. ii. 2/ж

⁺ -*S/⁽*“e,l‘⁺

= { у (1—a)² + |qp (3—6а+4а³)}.а.Р

dx 2а +

2f(l—X)

.dx.2o=

4>iï= °

V»j,=(l—а).Р ^з=°

ÔJ

НЦ

H,

Ao

A-

Бг/s. i2.

^01= P

f* A

#ц = -р\ -P(z-b)zdz-

= { —łyi J«(2y² + +/3«.|—8/JjO}.o..P %=-l.P

tp₂ = ß.P

III. Rama jednoprzęsłowa dwuprzegubowa

o rozporze parabolicznej.

= ч>

~Г=у

4/z il—x)

.л

Z²

^оо⁻'

и:

X² .dx = •*•

Vi

*oo—

Jc *

<U-f-

4/ж (Z—x)

xdx=-

i?2/s. 13.

^iy+s-9⁵

6?,₀ —

h-\-

4/ж (Z—ж)

Z²

. dx=

= lY*x+y*+f VY+ibV²

ci0=di0= 0 yY + j(p

łr+ł^P 1У³х + У²+ъУ<Р+т\<Р* ⁰

doi = 0

di i = I у³ и

Д>.1= о

тУ³*

Au = Т5 [5у²(2уа + 3) + 4 9>(5у4-2<р)]

Л₀₀=0

<?оо—0

(7₁₀=О

Ф₂а₀=-1Г⁸^-Г²-

_4

b b to

h* o o o o ©

т-H r-H

I-¹ H-¹

^3а=0

ф2 Ь,= -\<Р-\У фгк=~\У**

ÇP-ir

&з ъ=\угх + Уг-\-+Î<PY+t\ Уг

Ogólne wzory na obliczanie reakcyj :

-^0 —

A>=[^01-^U— (ł^ + ły) ^2 + 3-Г³^-^з]:^2.Х Hi=[—^oi+^H+(i<3P+ly)^2 + (ł ys^ + y² + ł<3Py +

+ it <P²) ^*3] : A2.1

Ho

Hi

Ao

Ал

%i ={łr(l-a)²+|^(l-

— a⁴)— fag) (1—a²)} • P

^n=0

V»₂ = (l —a).P

^3=0.

jRys. i4.

IV. R a m a j e d n o p r z ę s ł o w а , ze słupami u dołu doskonale utwierdzonymi.

_Ji' l_

Jo,h

D 3.1=

о §    ® о S

е е о ö) Ö1H О

о ja- » а. а. су

*"* © t-L о о О о о ₀ о

Flys. 15.

^01 eoo *>01 doi /oo Jo 1 di\.f\0 fix m₀₀ w01 hn w₁₀ wtl 0 0 1 1 1 0

^01

Г-Н О О Г—I pH О О

м|- ел|—

ООО«!-⁰ «|м «>!“

o.

со

4-    +

ły³* 0

l-y²x + y

ły²*

yx +1

ły²* 0

1-н О О    О О

Они О О О О

A.i = 3T y:3 * (6 У X +1) (у X + 2)

Podwyznaczniki :

I.    kolumna :

Ло=|у⁸*(у* + 2)

По ⁼ Но “О

öO0 ⁼    £₁₀ = -g- A₀q

Ф2«о= — łr^-^00

00

Ф3а*= +} У* * А

II.    i III kolumna :

Ао ~ Ai — 0

Ao ⁼ Ao —Doi ⁼Ąi — tV (2 У и 4-1) (6 у a +1)

Но о ~ -А о=H0i —Hii = tV У (У *4-1) (6 у u -f 1) Ф2*0= ф&1= — гг У² * (6 у X + 1) фзК= — Т2 Г³ * (у к—1)(6 У *4-1) фв*,= 4-Т1гУ3х(У*4-б) (6ух + 1)

IV. i V. kolumna :

Воо— Ни ⁼⁼^?oo ⁼ iy3x(y,< + 2)

По ⁼⁼Ио⁼⁼П)1 ~Hi —Нцо ^оо=^11=^У²(15у^²+26ух+3)

Ао=Аи = ТбУ²(⁹У2г<2+¹⁴У*4-3)

⁼ +ТТ У³ и (7 у и4-3) фз«1 = +Т2 У³ ^ (5 у И—1) фз»!о = +ТТ у³ * (³ у²^²—1)

ФЗп>а — — 7"V У⁴* (В у²Я² + 12 уя -f- 1).

Ogólne wzory na obliczenie reakcyj i momentów utwierdzenia (ważne również i dla wypadków ram rozpatrywanych pod V. i VI.) :

Н-Л "По Ao Ao (^02 ~^~гР\ 2)    ^2a„ • VJ‘2,JT ФЗа₀Ч’з

м₀

Ao-^oo + Ho-CV'oi Vhi ) "Ь A)o • V'oa

0-^12 + ^2 me •    Ф₃ m, • V*3

M

Al ‘~J~~ 4" Al • А О 4~ По ( Al 4~Al ) A)1 • ^0 2 "b

4- M, 1 . A 2 — A то, • A + A то,. A

D3i.Ho = Doo(yol-yu) + Hoo(ipo,-y₁₂)₊02}lo'^- Фзк.гр, Ai • A — Ao -(^n⁻ V\)i) + A)o (^12 ^02“)ф^о‘Фг 4* Фзл,- V'a Ai •

h Jo

He /

~w

A₀

L, Jt

ć H<

ł~

A,

V'oo =

= Qliy

tpn = ql.O

*Po2 —QI-\

tp₁₃=ql.O

% =Ql-i 4>z =0

Rys. 16.

Ho

-y

'O

h, J»

Ao

L. Je

Нд

#■

'♦«И

"A,

^00 = °

^01 = °

tyn=qh.(— £)y³x

%2 = ⁰

Vu=qk.(—ł).y²x грг = 9 A. ( + -g- y)

4h =qh{—1)

Rys. 17.

Y. Rama j ednoprzęsło wa bezprzegübowa o rozporze łamanej symetrycznej.

rr----

Jo

fA

Rys. 18.

~r = <P

►eî

y=T'l

yxG

er

А».1= { Ау²-У1 *-(У1*+⁴)+|Уф-У1х+Аф2-(⁴У1 * + 4-1) }(3yt x + l)os.

Podwyznaczniki :

I.    kolumna :

ЛоНтУ²У1 ^ (Ух ^ -ł- 4) 4- 2 y g?. У! x4-|ço²(4y₁ х+1)}.ог

Qo⁼

Guo= ^10 = 1-40о Ф-2а₀ = — }У!^<ГЛ00 фз«в=4-1у.у1 ио.^₀₀

II.    i III. kolumna :

*00 ⁼ -^01

^oo=cAo = ^oi=Ai = {ł(³yi3t + l)(yi х + 1)}(Т2 Яоо=-Яю^^о^Яц={-|у(у1 *4-2)--£?>} (3ft *4-4-1). u²

Ф-п^Фгь^—\У—\Я>)-У\ х-(3у₁ х4-1).(г³

Фзл₀={ —зтУ²(У1    ²) + Т2У9⁵}-У1 х• (³ У1 х + 1).^³

фзл₁={[4-з¹бУ²(У1и + ¹⁰) + т⁵2У9⁾]-У1 * + ттф2(⁴У1 * + 4-1)}.(Зу₁х4 1).а³.

IV. i У. kolumna :

^01 — Ф>.)

Дз.1 =

I а    yoĄ-^cpo О

}у²Ух*о+

yo+\ęa UlllX⁰

+l«p²a

\УУх™' + -j- 2 у o 4- О + <po

}y²yixa 0

\yy₁XO + 4-2 у (7+ 0 4-(pa

1 Oj

lyy^G 0 1

у₁иа + 2<т 0

■lyy^a О

yx ха 1

ООО

Яоо⁼ ^оо Яоо⁼ о ⁼ Я₀₁ = /’j х = Н₀ 0

Я₀о=^ц={з¹бУ²[¹⁵(У1,г)² + ⁵²У1 ^ + ¹²]+-б-У^(⁹У1 * + + ²)+зт <Зр2(²⁴У1 *+⁷)}-<*²

Я₀₁= М₁₀ = {J у²[9 (ух x)²4-28y₁^4-12]+|y<5P(3y₁x-f

+ ²) ТЕ Ф²} -°²

⁰^ = {i\y²yx ^ - (7 у₄ + 6)4-1 у 9³ • Ух (У1 * + 1)4-

+Тбф2-У1*!-(у8

фз*, = {тту³ • Ух * • [3 (Ух и)²-4]—jL у² qp. ft *. (8 ух * + ⁴)— — тг^У-Ух*}-®⁸

ф2ОТ1 = {зт У²- Ух * • (б У г Х—2 )+TV г <Р • 7i * (3 ух х-1) —

— тЛг<Р²(⁷ у₁х + 2)}.о3 фз *, = {—ту Г⁸ • ft * • [3(у₄ >«)²+24 у₄ х+4]—

“зтгУ>-У1,{-(²¹Г1,<+⁴)--^Ф²),-У1^(24у₁ х + 7)}

^00=^01=0

Но

н<

.1...

А<

»—\o*

■Р

^u = pły-^(2y² +

+ р-3/Ц

^02=°

^12

={—ły^ (у—²^+

Ч))

^2 =/*•■?

= — 1.Р.

"VI- Rama jednoprzęsłowa bezprzegubowa o rozporze parabolicznej.

4/ж (l—z)

y=—p—

f /

.....i.... -r = <P

irXT'

/ i У !.....*........

—y

•e

Je

•/

/■

„i...

Bt/s. 20.

0 10

тУ+зФ o ł

|узх + у2 ₊

ły+£ę> +|yęp+ o |y²^+y+|gp o oi

+tt9>²

Ал—

|y²*+ o + y+ł<P

}y³* 0

²x 0    1

0 10

fHte« <0 tH

r-1 O

’-H O O

Al = {^V y³ Jt (y X + 2)+1 y² /3+тЬ ^² (12 У ^ +

+ l)}.(6yx+l).

Podwyznaczniki :

I. kolumna :

Ло =ł У³ “ (У x+2)+i (p y² И + T⁴3- (p‘l (12 y x-f-1)

#00 — #10—O #2«₀=— |уХ-Ао

^*00 = ^10= 2'-^00 ФЗао = £у²И.<4₀0

II. i III. kolumna :

#0 о ⁼ Al ~ Ö

#oo =#io =#oi =#ц =-nr (² У x+l) (6 7 ^+1)

#00 =#io=#oi=#n⁼{ тт У (У и + 1)—tVW . (6y x-f-1) л₀ = $₂a,=(— ¥V У²    tV <P У *0 • (⁶ У *+¹ )

Фзлв = {(— туУ³*) (У ^—1)+тпг 9>уМ-(⁶У*+1) фз л, = {[+TV У (У и+б)+ /e 9>] У² *+iis 9>² (¹² У * +

+ l)}.(6yx+l).

1У. i Y. kolumna :

#oo =    #01 = 6*00

#00 =#10 =#01=#11 =#oo

#00 =#n = inr y² (¹⁵ y² *²+26 y И + 3)+i y (p (9 y K+1) +

+Г5 Ф²(⁸УИ+¹)

#io =#oi= з¹<гУ²(⁹У²и²+¹⁴У* + ³)+-§-У9⁾(³Уи + ¹) +

+ tV Ф²

#2m₀ =^У3,£(⁷Уи + ³)+Т2 9>y²x(2y* + l) + TV<P²y*

Ф2mi = tV у¹⁸ x (б у и—:1)-+ äV gp у² и (6 у х—1).—

—    тк<Р²(⁹У* + ¹)

фзш„ = Л У⁴ * (³ У² X²—1)—-ST qp у³ X (3 у и + 2)— -gV 9?²у² » $з vh = — TV У⁴ » (³ У:2 х²+12 У³⁴ +1)—А Ч> У³ * (21 У X + 2) —

—    з¹0<р²у²*(⁸у*+¹)-

Но

Ао

ą=oс

А,

^оо — ‘è (2—⁸ а + и³). ^ ^oi = {ły(¹—«)²+

+ ±9>(1-а⁴)-— I а (1—а²)} •#

^ii=0

^02=ł(¹“«)²-# Ф1 2 =^

Ф₃ =(1—а).Р Ф₃ =0.

Rys. 21.

YIŁ Rama dwuprzęsłowa, o słupach u dołu przegibnie umocowanych.

L. J.

t.J.

n.J.

h J.

h Jo

Rys. 22.

«00 «01 «1« а11 С00 С01 В2.2⁼⁼ Сю ®Ц

С2Э С21 2 1

О О О о о

а“ 's? 'S? 's? о

О а. а..а „»о»

м м Н* *-*    ►*

ЬЭ

CM TH o O O O

O O т-ł t—I г—I O

тН

N N

cojco л|<о OJ co|(M O CN

I-¹ O tel- tej- «H o|w

О    «(кф Ю

w Vi Vi VÏ

CM

Vi

Ь5

о О <вН Vi teil- te|w va ы vi vi

vi

<Г*

о «и о о о о о

VÏ

О О тН тН тН О

Bi.2 = B=    у⁴ (у и+1) (4 у и + 8)

Pod wyznaczniki :

I. i II. kolumna :

Ao = +!у⁴(уи + 1)(уи + 3)

Ao ⁼ ^ Ao

Cóo = —ły³(y^ + !)

C₁₀=O

^20“ <?00

Al⁼2 Ao Ai ⁼2 .4 ix Coi —2 C^o

^ii=0

C2i=2C₂₀

Ф2а=Тё У⁴(У^ + 1)(2уХ-3) ^2ei=iy⁴.y.H(yj< + l) Фза= — |у⁵.уи.(уи + 1)

Ф3а1=2Ф

За₀

III., IY. i Y. kolumna:

оо

00

~в 02= У³(У* +1)

-®12 = ВО0

Аг^+тпг У²(¹⁶У* + 1⁵)

’-'i« (M

01

ii

Ai = ■Ai = Аг-te У:¹ (4 У * 4 В)

А>2 = -1пгУ²(8у* + 9)

²Ao = ły²(4y*43)

Ао —

Ао —

Ai =

Aä₀=4tV У³ (²У*43)

Ал₀= +Т¥8 У⁴-У и(8у я-f 9) A*,= 4Т11гУ⁴.ух.(8у²и*4 Ал,= — |-У- Ai ⁼—il У³(4у*+В)

Ал,= — |.у³^. Ai = — ЛУ⁴-У*(⁴У*+⁸)-

Ал,= — TV у³ (Ю у и+9

4 27 у и +18)

Wzory na obliczenie reakcyj :

.£>.Л₀ = Ао (Ao—'²Ао)4С₀₀ (Ai~ Ai)“ А«,А +

4- Аа₀- А

D.AX =2 Лов (—Ао +2 Ао) + ² Ао (—Ai + Аг)+

4 А«,- А—А й1. А

d.ho=b₀о (Ао—²Ао)+Ао Ai—Ао Ai 4 + Ао Ai — Ал₀ А + Ал₀ А D.HX =Ai(—Ai—Ai)4Ai Ai 4 Ал, A—Ал, • A D.H₇=Bqo (—Ao+² Ao)4AoAi—AoAi +Ao Al — Ал, A 4 Ал, ty

Ui

h,J.

hJ.

H.

_ Hi

*—i:

Ht

—*1

Ao—iT'?^ Ao %х=ЪУ-9¹ Vn=y-9l Ai=°

A ⁼l?^

A =°

A.

A,

A4

T?2/s. 25.

Ao = ZÄ-(—тУ)

Ао = ?Л.(— i-у)

Ai s=qh.(—iyx) ipn=qh.(-%y*x-\y*) Ai — O

Аг A =9,^-(4iy)

A =qh.(—l)

u.

h Jo

Hi

H. В

Ho r.

Ao

I Ac O

Zfo/s. 24.

Obliczenie wielkości reakcyj i momentów utwierdzenia przy pomocy powyższych wzorów — w wypadkach rozpatrywanych pod I do V tudzież VII — pro-dzi do tych samych wyników, jakie są zestawione w dziełach Kleinlogela „Rahmenformeln“, „Mehrstie-lige Rahmen“ względnie w II. tomie „Podręcznika Inżynierskiego“. (Wypadek rozpatrywany pod VI nie jest tam uwzględniony).

D) Zakończenie.

Zasada najmniej szóści pracy odkształcenia jest stosowana chętnie do obliczania ram jednoprzęsłowych (Thullie „Tecrja ram“, Rieger „Nośnik lomeny“) — dla obliczenia ram wieloprzęsłowych, wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych, używa się natomiast raczej metody graficznej, n. p. przy pomocy punktów stałych (Strass-ner „Neuere Methoden“) bądź też równań trzech i czterech momentów (Saliger „Praktische Statik“). W niniejszej pracy zastosowano zasadę najmniej szóści pracy odkształcenia do rozwiązywania ram wieloprzęsłowych w sposób trochę odmienny od sposobu dotychczas w literaturze technicznej używanego. Normalny tok postępowania przy obliczaniu układu hyperstatycznego o nieruchomych podporach, w którym występuje „w“ uogólnionych reakcyj (t. j. reakcyj poziomych, pionowych i momentów utwierdzenia) wygląda mianowicie jak następuje :

R₂, t. j. na przedstawie-

Rn—i •

a)    Przyjmujemy — w dosyć dowolny zresztą sposób — pewien układ podstawowy, izostatyczny o trzech reakcjach R₀ , R, , R₂ obciążony prócz obciążeń zewnętrznych także pozostałemi n—3 reakcjami. Trzy ogólne równania równowagi układu płaskiego pozwalają na „obliczenie“ reakcyj R nie ich jako funkcje obciążeń zewnętrznych i pozostałych reakcyj R₃, R₄

b)    Wyrażamy pracę odkształcenia całego układu jako funkcję (w—3) niewiadomych reakcyj, a porównując pochodne cząstkowe tej pracy względem tychże niewiadomych do zera, otrzymujemy układ n—3 równań, dozwalający na ich wyznaczenie.

c)    Przez podstawienie wartości za R₃ R₄ . . . . Rn we wzory na R₀, R1: Rt , otrzymane pod a) dostajemy ostateczną wielkość tych reakcyj.

Użyta w niniejszej pracy metoda traktuje wszystkie reakcje w sposób jednakowy; odpada specjalne wyróżnianie pewnych trzech reakcyj i przedstawianie ich jako funkcje pozostałych. Równania otrzymane przez przyrównanie do zera pochodnych cząstkowych funkcji pomocniczej U względem reakcyj tworzą wraz z ogól-nemi równaniami równowagi jeden jednolity system równań linjowych o bardzo prostej budowie współczynników przy niewiadomych, które podobnie jak wy-rażenią rp dadzą się wyznaczyć w sposób prawie że mechaniczny. Samo rozwiązywanie równań, zwłaszcza w wypadku większej ilości przęseł, byłoby dosyć uciążliwe. Sprawa ta uprościłaby się jednak w razie wynalezienia sposobu bezpośredniego wyznaczania pod— wyznaczników, odpowiadających poszczególnym współczynnikom przy niewiadomych, co zresztą ze względu na bardzo symetryczną i prawidłową budowę wyznaczników Z>2.n i Dz.n nie jest wykluczone.

Wreszcie należy zauważyć, że moźnaby w sposób analogiczny, jak powyżej — wyznaczyć również układy linjowe równań dla bardziej skomplikowanych wypadków z dziedziny ram wieloprzęsłowych, jak n. p. dla ram o różnych rozpiętościach i przekrojach przęseł poziomych, różnych wysokościach i przekrojach słupów, dla ram o zmiennym przekroju słupów lub belek poziomych, przy ewentualnem uwzględnieniu wpływu sił podłużnych i poprzecznych na pracę odkształcenia — przyczem zrozumiałą jest rzeczą, że w takim razie współczynniki przy niewiadomych miałoby formę bardziej złożoną.

BIBLIOTEKA POLITECIIIIOZBA

KRAKÓW

B'JBLET

I Biiyjąg;

ЖTTm

fe

re

o

:

rtj

? •

»

JT

o

5

г

O

o

o

O

O

CO

•->1

i

-4>

%

V

•■i

I -irr. ł’⁴⁻    ' U V^A*4Si»*

лп », • fl« $ It ,

■

Bibiioteka Politechniki Krakowskiej

11-32176

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297794