ЩшяШтЯЯЯЩщЯШЯштяП

.............V '    '

миг .

м i ШпГж

ВI - uJjy* г ч •    ^>- S    Щ 1| ||§ I НННН|

я^ии—I

ш^ЁКтШЁЁВШК/ШЯНЁЁШШЯШ^^^^^

iS“

ЩВвЯщя

: - ^' ■■" • - • •' ■ • ;

ИЯ

;

^вимиЦяШ111шИ^М11ШШ

мш шяшЯШ я ~-= т-."-

. , : ■

га

.....

ЯЯЯ!1ЯВИрЯ8ШИр1В^ЯНЯЯВ51И!,

iтщш

ЩЁЁЩ/шЁШШЁЁёш

sÄ^sSsfegsBts^KSJSIsuäHääSSSäSaveSvSSvSSeSsSSS

ШЁЁЁКЯшт

tv.W! л«ял»

_ ж^ШШШШШШШШШЖж

—имишшшипшшншм

■■■11

пш

:

- ■_ ----- “ ;

•SS

■LPi ■

Рйш—р—ашмшаатдшш

AKADEM]A NAUK TECHNICZNYCH

Inż. Dr. KASPER WEIGEL,

PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSKIE]

Ingénieur, Professeur à l’Ecole polytechnique Öe Lwów (Pologne)

Nowa metoöa wyrównania triangulacyjnych sieci wieńcowych

Nowa metoda wyrównania triangulacyjnych sieci wieńcowych

RESUME.

Nowa metoöa wyrównania triangulacyjnych sieci wieńcowych

Nouvelle méthode öe compensation öes chaînes fermées

Lwów 1928.

Oöbito czcionkami Pierwszej Związkowej Drukarni we Lwowie, ul. Linöego 1. 4.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297725

AKADEMJA NAUK TECHNICZNYCH

Inż. Dr. KASPER WEIGEL,

PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSKIE]

Ingénieur, Professeur à l’Ecole polytechnique ôe Lwów (Pologne)

Nowa metoda wyrównania triangulacyjnych sieci wieńcowych

Nouvelle méthode de compensation des chaînes fermées

Lwów 1928.

Oôbito czcionkami Pierwszej Związkowej Drukarni we Lwowie, ul. Linôego I. 4

/ мл

g ШШ g

Bi

LiCTi-'Л Г Л.

KRakOW

s':"!

*ГЭ

»I

C.~>

%■-

KJ

<:Л

%У/8

OO

rh

Акс ï itв

<-'~i

g-<s

f=

Z5*

Wstęp.

Sieć wieńcową, okalającą wieńcem trójkątów kraj rozmierzany, na której opierają się następnie dalsze sieci triangulacyjne, można wyrównać dwoma sposobami.

Jeden polega na zastosowaniu wyrównania spostrzeżeń pośrednich, w drugim przeprowadza się wyrównanie spostrzeżeń zawarun-kowanych. Tak wyrównanie metodą pierwszą, jak i wyrównanie metodą drugą, jDodane przez Prądzyńskiego¹), Dra Börscha²), Schrei-bera¹), oraz wyrównanie na płaszczyźnie z zastosowaniem wierno-kątnego odwzorowania wymagają bardzo znacznego nakładu pracy rachunkowej, zaś metoda Hatta²), należąca również do drugiej ka-tegorji wyrównań, może być z korzyścią zastosowana tylko do sieci wieńcowych o pojedyńczym łańcuchu trójkątów.

Do wyrównania sieci wieńcowej, ukształtowanej dowolnie, a obejmującej większe obszary, nadaje się z wymienionych sposobów — zdaniem mojem — jeszcze najlepiej sposób Börscha, o ile uwzględni się przytem uwagi moje, podane niedawno w dwu rozprawach ³ 4 5), wprowadzające pewien systematyczny sposób rugowania poprawek kątów w trójkątach pomocniczych, przyjętych wewnątrz poligomn sieci.

Nowa metoda wyrównania, jrndana w niniejszej rozprawie po-lega na wyrównaniu spostrzeżeń zawarunkowanych i przy stosunkowo niewielkim nakładzie pracy rachunkowej dozwala wyrównywać sieci wieńcowe jaknaj rozleglej sze i dowolnie ukształtowane.

Zasada nowej metody.

Aby uniknąć uciążliwych obliczeń, spowodowanych redukcją kierunków przy wyrównywaniu na płaszczyźnie, przeprowadzam zasadniczo wyrównanie na elipsoidzie, zastępując warunki zamknięcia poligonu sieci na elipsoidzie warunkami odpowiedniego poligonu płaskiego, t. zw. poligonu zastępczego. Ów poligon zastępczy nie powstaje przez odwzorowanie poligonu sferoidalnego na płaszczyznę, lecz w sposób następujący. Jeden z wierzchołków poligonu sieci lub dowolnie obrany punkt wewnątrz poligonu sieci, łączy się ortodromami z resztą wierzchołków poligonu. Kąty w tak powstałych trójkątach sferoidalnych zamienia się nasamprzód na sferyczne (na odpowiednio dobranych kulach), a następnie na kąty, zawarte między cięciwami odpowiednich boków, poczem obraca się tak poszczególne trójkąty płaskie, aby znalazły się na jednej płaszczyźnie.

Poligon obwodowy w ten sposób powstałej figury płaskiej jest poligonem zastępczym poligonu sieci. Boki poligonu zastępczego są cięciwami boków sferoidalnych poligonu sieci, a kąty między nimi zawarte różnią się niewiele od odpowiednich kątów poligonu sieci ze względu na nieznaczne spłaszczenie elipsoidy odniesienia i niewielkie pola trójkątów wypełniających poligon sieci w stosunku do całkowitej powierzchni elipsoidy. Okazuje się tedy, że (przy pewnych ograniczeniach) poprawki kątów względnie kierunków, uzyskane przy wyrównaniu poligonu płaskiego, będą się różniły od odpowiednich poprawek kątów względnie kierunków sferoidalnych co najwyżej o wielkości zaniedbywalne w stosunku do wielkości samych poprawek, będą zatem, biorąc rzecz praktycznie, w jednym i drugim przypadku takie same. (Patrz rozdział końcowy).

Zestawiając tedy warunki sieci, zastępujemy trzy warunki zamknięcia poligonu sieci trzema warunkami zamknięcia poligonu zastępczego, uzyskując po wyrównaniu te same wartości poprawek kątów, względnie kierunków, jak gdybyśmy wyrównanie przeprowadzili całkowicie na elipsoidzie ; natomiast nakład pracy rachunkowej będzie w tym przypadku znacznie mniejszy. Postępowanie przy sieciach bardzo rozległych omówiono w końcowym ustępie następnego rozdziału.

Przemiana poligonu sieci na poligon zastępczy.

Nasamprzód należy wyznaczyć przybliżone wartości spółrzęd-nych geograficznych poszczególnych punktów sieci. O ile dysponujemy kartą topograficzną w odpowiedniej skali (n. p. 1:100000 lub 1:200000) możemy powyższe spółrzędne odczytać wprost z karty z dostateczną dokładnością (w braku odpowiedniej karty należy je obliczyć równocześnie z wyznaczeniem boków poligonu sieci). Następnie obliczamy przy pomocy boku podstawowego i odpowiednich kątów obserwowanych twierdzeniem sinusowem boki poligonu sieci. Przy tern obliczeniu należy przy bokach położonych dalej od podstawy i różniących się od niej dość znacznie długością, uwzględnić zmianę promienia krzywizny, przyjmowanego dla poszczególnych trójkątów w sposób jadany poniżej, patrz fig. 1.

Nazwijmy bok postawowy sieci ćą, resztę wewnętrznych boków sieci b.₂, bz i t. d., zaś boki poligonu wewnętrznego kolejno lv l.,, lz i t. d. Ze względu na to, że każdy trójkąt sieci zamienimy na sferyczny o takich samych bokach na kuli o krzywiźnie równej średniej krzywiźnie, utworzonej jako średnia arytmetyczna z krzywizn średnich kA, kB, ka w jego wierzchołkach А, В, 17, t. j. wedle wzoru :

• 1)

,_kA~\-kB-\-ko

/C~    "3    ⁵

będą В promieniem krzywizn w poszczególnych trójkątach nieco różne.

W trójkątach o bokach dłuższych niż 002 a₀ (a₀ wielka półoś elipsoidy przyjętej), niemających wprawdzie z reguły zastosowania w triangulacji, na które jednak napotkamy w przytoczonej metodzie, należy zmienić jeszcze i kąty sferoidalne А, В, C na sferyczne AB', C przy zachowaniu tychsamych boków wedle wzoru:

*3A—*3.A'=F*

(Jca — kis) 4- (Jea — kJ) n “36    ⁹ 5

■ • 2)

przyczem F* oznacza powierzchnię którejkolwiek z prostokreślnych imitacyj trójkąta sferoidalnego, q" ==

180.60.60"

. Zaniedbany wyraz

powyższego wzoru jest proporcjonalny do 4-tej potęgi kątów środkowych, odpowiadających bokom trójkąta i wynosi dla trójkąta

TC

o bokach długich 350 km około ^qqq".

Ustawiając zatem związek dla лууznaczenia dowolnego boku poligonu li, najfiszemy :

sin

R,

sin

-ß₂

. . sin

b-i %—i    . bi

Ru—\

sm

b₀ . b, ■r. —ź sm —=-

Ą Ą

sin

02,

•    3)

sm

przyczem —* przedstawia stosunek iloczynów sinusów kątów, odpo-JM i

/    wiadających w poszczególnych trój kątach bokom

im przeciwległym.

Związek ten przedstawia się w formie logarytmicznej następująco:

log. sin ^7 — log sin

■b₂-

bj

i,

-br

R,

Rx

—1— log sin -=7 —

R₂

— log sin -f

R-2

-flog sin

b-2 i—1

R%i—1

<b' „

I Xb,

— log sin

bu

bu

Rzi—1

flog sin — bCu

log sin — = -tb2i

N1

=log

Mi '    ’

Ponieważ log sin =log — fi

(fi moduł logarytmiczny), przeto wzór 4-ty przejdzie przy pominięciu wyrazów rzędu czwartego i wyższych na :

logH(v-v,v-v

Fig- 1.

Z>⁴

^ 180 i2⁴'"

5)

Ri

RJ

b₂i-i²—b-2i² , bu²—^i.²j ₌

Ru-J

R₂i

=1оём ■ ■

. . 6)

Ze względu na to, że promienie R trójkątów, sąsiadujących ze sobą, różnią się tylko nieznacznie, możemy wprowadzić dalsze

uproszczenie.

Kładąc f?₍ = iîf_i-f 4Д, a następnie (przy zaniedbaniu wyrazów

, (ARą\    bi² , bi²    2R²

rzędu ^ J ) : Ri i*+R.i R.3

przekształcimy wzór (6) na

AR;

2b-² A log Rj

Ri² J*

•    7)

l?

ios h-ąh b i, 6Uił

2 A !°g R₃+..

h 2 UZ

R₃

Ru

b2i²

’Roiz

ostatecznie będzie zatem

log l i= log bx — log —

Oi rs:

\    L

A log R3i \= log —

lfM²_7Af

\\bJ \R'S J I

. 8)

We wzorze (8) może mieć wyraz przedostatni wartość dość znaczną (nawet na 6-tem miejscu log); wyraz ostatni ma wpływ nieznaczny na log O, może jednak, o ile łańcuch trójkątów jest długi i biegnie mniej więcej wzdłuż południka, dostarczyć pewnej wartości nie do zaniedbania.

Po obliczeniu łuków l (poligonu wewnętrznego), które odpowiadają co do długości odpowiednim ortodromom, aż do wielkości zaniedbywalnych, przystępujemy do obliczenia przekątni c, łączących

(4 2)

In

1=1

A⁶ 7'

71

V3/"<

aAn

\Cri-f \

In-1

\C*-2

4*'

VÄ-»

А Д N-I

o*

Ct

Z гс-г

ßn-2

\"

Is

ßn г

jSn-ip 1М-П

>A A"

ls n Fig. 2.

pierwszy punkt poligonu sieci (lub dowolnie obrany punkt 0 w polu poligonu sieci) z resztą jego punktów. Patrz fig. 2.

Przekątnie te; obliczamy jako luki kół wielkich na kulach o krzywiznach (wedle wzoru 1) :

ki, iii, IV =

&I + &III +&iv

ki, + ku. + кщ

i t. d., .    .    .    . la)

oraz kąt /3₂, który ewentualnie redukujemy na sferyczny (/?₂), gdyby z powodu długości jego ramion okazała się tego potrzeba, a to przy pomocy wzoru

(&ii—ki) + (&ii—&ih)

.    .    2 a)

ę".

36

ßi—(A ) =^(i-ii-iii)

Następnie zamieniamy wedle analogicznie utworzonego wzoru kąty sferyczne (ßt') i (ß₃') na sferoidalne ß/ i ßz', (przyczem w trójkącie (I II III), poprawki te okażą się zazwyczaj zbyteczne z powodu niedługich ramion kątów). Odejmując kąt ß₃' od obserwowanego ßz, otrzymamy kąt ßz", a po zamianie go na sferyczny (/?₃"), rozwiązujemy trójkąt sferyczny (I III IV) na kuli o krzywiźnie ki,ni,IV. Następuje znów zamiana kątów sferycznych (/?/') i (/?/) na sferoidalne, przyczem uzyskujemy kąt ßi t. d.

Postępując w ten sposób, dochodzimy wreszcie do ostatniego trójkąta o wierzchołkach N—1, N i /; kąt ßn-\", otrzymujemy odej-

mując ßn-i od ßn-i, kąt ßin~^ odejmując 2 ß₁ od ßll zas kąt ßn

A'

z obserwacji.

Po redukcji tych kątów na (ßin~²'⁾), (ßn) i (ßn—i") pozostaje jeszcze redukcja kątów sferycznych na płaskie.

A.

A"

Ąt A

V,

ßn

fi

Cn

n -t

С гг-1

N-I

\ Â"\ АГ’>

fil

Fig. 3.

Zamiast obierać jako punkt początkowy jeden z wierzchołków poligonu sieci, będzie zazwyczaj korzystniej obrać mniej więcej

w środku pola poligonu dowolny punkt 0 i połączyć go ortodro-mami ze wszystkiemi wierzchołkami sieci. Patrz fig. 3.

Przyjmując ortodromę c₁₇ t. j. O—I oraz kąt ßß' [względnie po redukcji (ßß*)] za wielkości stałe, wyznaczymy jak poprzednio wszystkie kąty sferyczne i sferoidalne oraz łuki c w trójkątach zbudowanych dookoła punktu O.

W trójkącie ostatnim należy wyznaczyć ßßn) z różnicy 360°—

ßa(n— i)

ßo

—2 /?₀, zaś ßß z różnicy ßi—ßß', a ßn" z różnicy ßn—ßn'.

Sposób ten jest korzystniejszy ze względu na kształt w tym przypadku powstałych trójkątów i może być użyty przy sieciach o średnicy do 800 km. W tym przypadku wynosiłyby największe boki trójkątów wypełniających około 350 km₁ zaś błędy, powstałe przy redukcji kątów sferoidalnych na sferyczne (wzorem 2 a) nie przekroczyłyby jednej tysięcznej sekundy kątowej (w przypadku najniekorzystniejszym). Gdyby j>rzy sieciach bardziej rozległych długości boków trójkątów musiały wypaść ponad 350 km₁ należy wewnątrz poligonu sieci obrać dwa lub więcej punktów pomocniczych, uzyskując przezto skrócenie długości boków trójkątów wypełniających, a temsamem możliwość zastosowania ojnsanej tu metody do sieci bardzo rozległych. (Patrz ustęp końcowy niniejszego rozdziału).

Kiedy już jesteśmy w posiadaniu wszystkich kątów sferoidalnych i sferycznych, znajdujących się wewnątrz poligonu sieci, przystępujemy do przemiany ich na odpowiadające im kąty płaskie, zawarte między cięciwami.

Przemianę tę przeprowadzamy w sposób następujący. Poprowadźmy ze środka kuli, na której znajduje się trójkąt sferyczny (A'B'C), prostopadłą do płaszczyzny siecznej, przechodzącej przez wierzchołki trójkąta (A' B' C). Prostopadła ta, przebijająca wspomnianą płaszczyznę sieczną w punkcie S, przebija kulę w dwu punktach, z których na uwagę weźmiemy tylko punkt leżący (licząc od środka kuli) ponad płaszczyzną sieczną trójkąta. Na płaszczyźnie tej znajduje się trójkąt płaski, którego boki są cięciwami boków trójkąta sferycznego.

Płaszczyzny, przechodzące przez boki tego trójkąta, a zarazem przez odpowiednie boki trójkąta cięciwowego, wyznaczają na płaszczyźnie stycznej do kuli, w punkcie S' trójkąt płaski (А" В" C"), podobny do trójkąta cięciwowego (A' B' C'): a zatem o kątach takich samych. Punkt S' jest środkiem koła opisanego na trójkącie (A" B" C")y zaś S wierzchołkiem odcinka kuli, powstałego przez poprowadzenie wspomnianej płaszczyzny siecznej.

Płaszczyzny przeprowadzone przez punkt S', prostopadłe do boków trójkąta (Ä"B"C") są zarazem prostopadłemi do wielkich kół,

tworzących boki trójkąta (.A'B'C) i połowią tak j edne jak i drugie. Ozna-, czając przecięcia się owych płaszczyzn z odnośnemi bokami D", E" i D' ,E' (patrz fig. 4) łatwo zauważyć, że płaszczyzny poprowadzone przez wierzchołki trójkąta i przez punkty S' i O dzielą poszczególne kąty A', B' i O na Ax' i A₂', Bx i B₂ , Cx i C₂ , zaś kąty płaskie A"

Biorąc na uwagę n. p. trójkąty (A"E"S') i (.A"S'D") oraz (A'E’S') i (A' S'D') widzimy, że kąt A" S' E"=A' S' E', kąt D" S' A" = D' S' A', a ponieważ kąty przy E" i E', jak też przy D" i D' są proste, przeto istnieją następujące związki kątowe:

A₁,, = Ax—ex    A₂"=A₂'—e₂,

przyczem e₁ i e₂ są przepełnieniami (ekscesami) sferycznemi trójkątów A'E'S' i A'S'D'.

Wzór (10) odpowiada wzorom, podanym jeszcze w r. 1856 przez A. Nagła x), z tą tylko różnicą, że we wzorach zestawionych przez

Nagła uwzględniono redukcję dla całkowitych kątów А, В i C, podczas gdy wzór (10) podaje redukcję osobno dla każdego ramienia powyższych kątów. Ma to ważne znaczenie przy redukcji kątów takiego trójkąta, którego środek koła opisanego leży po za polem tegoż a' trójkąta; posługując się wzorem (10), unikamy w tym przypadku ewentualnej pomyłki przy redukcji.

Obliczenie potrzebnych dla redukcji ekscesów sferycznych przeprowadzimy w sposób następujący. (Patrz fig. 5).

/7”

A"

's

n‘,~ "

E"

o/;

Д'

l,

,r~

Fig. 5.

Fig. 4.

\j

0‘

B" i C" na Ax" i A₂", Bx" i B₂", Gx" i C₂".

. . 10)

Ij

¹ A. Nagel, Ueber die Reduktion eines sphärischen Dreieckes... Zeitschrift für Mathematik und Physik 1856, tom I, str. 258 i 259.

Zaczynając n. p. ocl kąta A', wyznaczymy nasamprzód kąty Ax', i A₂'. Najprościej obliczymy je, kładąc:

tg

tgl₁ z wzoru

. . 11)

tg

yl'

. . 12)

ctg^ tg(45°—/)    .    .

Na figurze 2-giej odpowiadają kątowi yl kąt ß₂ itd., na fig. 3-ciej kąt /3, ", itd.

Ponieważ    =BX , <ÿd₁/ = C₂/, przeto przez obliczenie

i <£xl₂' wszystkie kąty w trójkącie są wyznaczone (B₂ =B'—Bx, Cx' — C' — C%'). Mając kąty pomocnicze Ax, A₂' znane, wyznaczamy odpowiadające im ekscesy sferyczne wzorami:

a r ■ 4 • a /

= tg 2RSm2R Sm ^ ’

przyczem kąt obliczymy z jednego ze związków:

sm

Sin £₂

= tg èsin2^sin ' ¹³)

. r tgR =

13 a)

4R

COSył/ COS xl₂'

Kąty płaskie yl", B" i C" będą zatem: A" — AA — e.+AA—e₂,

R"=9Ö°—H/fi-e₁₇ <7"=90°—xł₂' + e₂.    ... 14)

AV ten sposób zredukujemy wszystkie kąt}^ sferyczne (/?/),($") na odpowiadające im cięciwowe у/, у/'.

AVreszcie trzeba jeszcze zastąpić boki poligonu sieci lt odpo-wiedniemi cięciwami dL.

Kwestją tą zajmował się swego czasu Helmert¹) i podał wzór na obliczenie niezbyt długiej ortodromy l elipsoidy obrotowej ziemskiej z odpowiadającej jej cięciwy cl (z zaniedbaniem wyrazów rzędu 6-go) :

+ . . . . 1 lub we formie logarytm. : .    15)

log Z=log *+£(4)4

11

15 a)

180

przyczem R oznacza średni promień krzywizny, uzyskany z wzoru : 1 W

—=—(1 + e'² cos²<p cos²a-f- ....), .

xl CL ₀

(z zaniedbaniem wyrazów rzędu 4-go), lub

. . 16)

Dr. F. R. Helmert, Die math, und phys. Theorieen der höheren Geodäsie, Lipsk, 1880, str. 181.

log Æ=log a₀ — log W—fie'* cos²cp cos² a 4-

• 17)

We wzorach tych oznacza a₀ wielką półoś przyjętej elipsoidy obrotowej, W =^l 1 — e‘l sin² <p należy wziąć z tablic dla argumentu Ф —    4- çp₂), (przyczem cp₁ i cp₂ są szerokościami geograficznemi

а₀²-V

(gdy b₀

punktu początkowego i końcowego luku), e'²

oznacza małą półoś elipsoidy), a=£ (a,\.₂-\-a₂.i—180°), {щ.₂ i «2.1 są azymutami kierunków początkowego i końcowego ortodromy), zaś /1 oznacza moduł logarytmów Briggowskich. Dla <i=0.05 a₀ (około 319 km) jest we wzorze (15 a) dopiero 10-te miejsce logarytmiczne niepewne, zaś dla ^=0.1 a₀ (około 638 km) mamy jeszcze w nim 8-me miejsce pewne.

Z wzoru (15) można przy zachowaniu tej samej dokładności przejść przez odwrócenie na wzór określający nam d ze znanego l.

Kładąc d₀=l — ±

⁶ (2R)

p

~—i obliczamy

. . 18)

(*lY=(±Y-i(±Y

\2Rj \2R) ³ \2RJ

(JY

12 R) \2 R)

oraz

.    .    19)

Wzór (15) można napisać także w formie :

d=l—d

t-L(A-Y —(—Y

I 6 \2r) ⁺ 40\2r)

. . 21)

a wstawiając po prawej stronie ostatniego równania w miejsce ć/,

/ d \²    / d \⁴

(2^/ * \2(ß) warl°®c^ ze związków (18), (19) i (20), otrzymujemy:

. 22)

6 (2R)

_з(j_y

⁺ 40\2^j

względnie po redukcji:

. ₇    1 P 1 * P

d=l—

6 (2Я)'2 + 120(2Я)⁴⁺‘" V

...j

23)

Przez wstawienie powyższej wartości do wzoru (15) można łatwo sprawdzić równość prawej i lewej strony równania. Dla uzyskania wzoru, podającego log d, postąpimy w sposób następujący. Oznaczając przez Ig logarytmy naturalne, napiszemy:

Kładąc następnie :

lgd-lgl ₊ lg\ l-KŚ),+ i5ó(Ś)

⁼¹

.    24)

— m.

.    .    25)

otrzymamy z pominięciem wyrazów rzędu 6-go, z powodu że

. /ч ,    т² т³ тх

lg (1— т)= — ш -g- g---Ą-

wzór następujący:

Ig (1—m) = —

(—Y Y~(Jl \⁴_ W_l\⁴_ - U—V

\2izj ⁺ 120\2lJ    72l2iZ/    6\2iz]

L (IV

m\2R)

.    .    27)

a ostatecznie przy zastosowaniu logarytmów Briggowskich :

(±\4

\2iZ/ \ ⁺30\2^/ / log d=log г-^)’-и(й)‘

log rZ=log Z—

oil's

+ ..

. . 28)

przyczem, jak wszędzie wyżej, zaniedbano wyrazy rzędu 6-go, co jest zupełnie usprawiedlione wobec stosunkowo niezbyt długich boków sieci triangl.

Dla sprawdzenia wzoru (28) wstawmy wartość uzyskaną na log d z tego wzoru do analogicznego wzoru (15 a) Helmerta na log. Z. Po wykonaniu tej czynności otrzymamy :

log ;=iog

a przy uwzględnieniu wzorów (18), (19) i (20) :

-(--Ÿ

180 12Rl ^ 6 \2R)

" 180

* ЙУ

log Z — log Z

Oi 'S

(j у² (JV a(J-Y (—V

\2 RJ 180 \ 2iZ/ ^ 6 \ 2izj 18^/

11

180

jako dowód słuszności wzoru (28).

Mając już wyznaczone kąty płaskie у/, у'' oraz cięciwy poligonu sieci di, obracamy wszystkie trójkąty cię-ciwowe tak, aby znalazły się w jednej płaszczyźnie. Poligon płaski tak powstały będzie miał jako boki cięciwy d;, zaś j ako kąty yx =

Ух + 7i"> 72 = 72' + У-i" i t. d.

+<v

Ił

r,

Г/7

/п //

N-I

O ile wszystkie trój kąty wypełniaj ące mają za wspólny wierzchołek jeden z wierzchołków poligonu n. p. punkt I, warunki zamknięcia poligonu będą :

Fig. 6.

2d sin a=0.

2d cos os—0 i 2y—(n—2) 180°=0,

.    .    29)

przyczem a są azymutami kierunków boków, od dowolnie przyjętego kierunku.

W przypadku obrania pomocniczego punktu O wewnątrz pola poligonu należy nasamprzód obliczyć kąt гр: który powstanie po sprowadzeniu do jednej płaszczyzny płaszczyzn poszczególny cli trójkątów, zgrupowanych dookoła wspólnego punktu O (patrz fig. 6). Kąt ten wyznaczymy, odejmując od kąta pełnego sumę ką-

7oW

tów płaskich¹) dookoła punktu O (zatem 2 y₀), wobec czego będzie

Го'

У o fa)

30)

ip = 360° — 2 у o

Vo

Mając ip, obliczymy powstały w ten sposób {n-fi) bok poligonu płaskiego d' wedle wzoru :

31)

tp

d' = 2 do.i sin jr-Z

Jeśli zatem przyjmiemy punkt Г jako początkowy układu, zaś kierunek Г—I za kierunek osi + X, otrzymamy warunki zamknięcia poligonu w formie następującej (ze względu, że poligon ma (n +1) boków i suma kątów przy I i Г w trójkącie I—Г — O jest równa 180°—ip) :

2d sin «=0, 2d cos a—d'=0, 2y—(n—2) 180°—tp=0    .    . 32)

Ponieważ tak poszczególne (i jak a i у zawierają w sobie błędy, pochodzące z obserwacji odpowiednich kątów (kierunków), przez które wyrażono owe wielkości, należy przy ustawianiu warunków (32) w formie linjowej uwzględnić poprawki kierunków, które posłużyły do obliczenia powyższych wielkości, tak jak to zresztą czynimy przy warunkach zamknięcia poligonu sieci przy zastosowaniu wiernokątnego odwzorowania płaskiego ²).

O ile obszar poligonu sieci jest tak wielki, że sposób powyższy wymagałby obioru trójkątów pomocniczych o zbyt długich bokach, obieramy w polu poligonu sieci (zamiast jednego) „pu punktów pomocniczych w odpowiedniej odległości od wierzchołków poligonu, tak aby najmniejsze z tych odległości wynosiły około 128 km, zaś największe 350km. Punkty te łączymy ze sobą pojedynczym łańcuchem trójkątów o bokach dowolnie długich, (a zatem nie siecią promienistą lub wieńcową) ; łańcuch ten nazwiemy łańcuchem wy-

ßoCn)

Х) Wynika to z warunku, poprzednio dotrzymanego ściśle 2 /?₀=36O°.

ßo'

²) Patrz Dr. K. Weigel, Rachunek wyrównawczy Lwów—Warszawa 1923, str. 317 — 319.

pelniającym. Dla wyznaczenia owych, »p« punktów względem poligonu sieci należy obrać »p« ortodrom, (łączących owe punkty z naj-bliższemi punktami poligonu) oraz »p« kątów, zawartych między niemi i odpowiedniemi bokami poligonu. (Patrz fig. 7-ma).

СП

>-

fi

li.

fi

nn

fi

•///

//

тз

\ s, /

V    "

-    ^ XC. / "

-    Л \    " "

m,

fi-

₄fi

Ш:

fi

4~C- - _

fi

■|M'

I-I

N-Д

i?

-

*' /• '! \ ". ✓ ' /

'    ' i

' /

fi-

Fig. 7.

Długości ortodrom przyjętych, tworzących poligon zewnętrzny łańcucha wypełniającego, nie powinny przekraczać 350 km, (wedle poprzednich uwag), natomiast pozostałe ortodromy (przekątnie) łańcucha wypełniającego mogą wypaść dowolnie długie.

Na fig. 7-mej przyjęto ze względu na cztery punkty pomocnicze O, P, R i S długości czterech ortodrom mt, m₂, m₃ i m₄, oraz wartości czterech kątów vi} v₂₎ vz i fi₄.

Rozpoczynając obliczenie od trójkąta (O I II), rozwiązujemy po kolei wszystkie trójkąty aż do trójkąta (О VIIIIX) włącznie; następnie wyznaczamy kąt ( O—IX—P), odej muj ąc kąty v₂ i ( VIII—IX— O) od kąta obserwowanego w wierzchołku IX-tym, a maj ąc w trój kącie (О IX, P) kąt i dwa boki dane, rozwiązujemy go, wyznaczając długość O—P i pozostałe kąty.

12}

XI i

ХП

ХП⁷

dĄ

ÏX¹

/гвйъ

d,

-b

N-I

N-Д

Ą-Pi

Fig. 8.

Postępując w ten sam sposób, rozwiązujemy wszystkie trójkąty, zawarte między poligonem sieci a łańcuchem pomocniczym trójkątów, aż do przedostatniego włącznie. Natomiast w trójkącie ostatnim otrzymamy tak wszystkie boki jaki kąty niezależnie; kąt (S—I—O) jest dany przez odjęcie kątów (N—I—S) i V\ , od kąta wierzchołkowego w punkcie I, zaś dwa dalsze kąty wynikają z zamknięć horyzontów dookoła punktów O i N.

Ponieważ uzyskanie dwu ostatnio wymienionych kątów, zamknięć horyzontów dookoła punktów O i S wymagałoby poprzedniego rozwiązania trójkątów (O P S) i (P ES), których bok wspólny PS przyjęto dowolnie długi, co mogłoby spowodować, że sposoby podane poprzednio okazałyby się za mało dokładne, postąpimy w tym przypadku w sposób następujący. Po obliczeniu kątów cięciwowych we wszystkich trójkątach i ułożeniu w ten sposób powstałych trójkątów płaskich do jednej płaszczyzny, powstanie w każdej grupie trójkątów, zestawionych dookoła punktów pomocniczych dodatkowy trójkąt równoramienny (patrz fig. 8). W każdym z tych p trójkątów będą 2 boki równe jednej z cięciw przyjętych p ortodrom, bok trzeci w owych trójkątach otrzymamy ze związków, ułożonych na wzór związku (81) (zatem wedle fig. 8-mej):

— 2 du,XVII sin

di= 2 d₀.i sin d=2 dïP.lx sin d₃

33)

dk — 2 ds.xxvi sin

Dla uzyskania poszczególnych гр trzeba znać wartości wszystkich kątów płaskich trójkątów, zgrupowanych dookoła p punktów pomocniczych. Ponieważ niektóre z nich mogą być trójkątami o bardzo długich bokach, obliczymy kąty cięciwowe trójkątów łańcucha wypełniającego wprost ze współrzędnych geograficznych ich wierzchołków. Spółrzędne te wyznaczamy, wychodząc z przybliżonych spółrzędnych punktu /, po kolei dla każdego wierzchołka poligonu sieci, uzyskując następnie spółrzędne wierzchołków łańcucha trójkątów drogą przez najkrótsze ortodromy, łączące punkty łańcucha trójkątów z wierzchołkami poligonu. Dlatego przy obiorze punktów pomocniczych, należy również baczyć, aby owe najkrótsze ortodromy nie przekraczały długości O.O2a₀ (około 128 km).

W ostatnim trójkącie zamykającym (O SI) będziemy mieli podwójne spółrzędne dla punktu /, początkowe i końcowe (obliczone drogą przez cały poligon). Przy obliczaniu kąta cięciwowego (I—O—S) należy zatem użyć spółrzędnych początkowych punktu I, zaś przy obliczaniu kąta (O—S—I) spółrzędnych końcowych tego punktu.

Obliczenie kątów cięciwowych ze spółrzędnych geograficznych wierzchołków trójkąta (1, 2, 3) przeprowadzimy wzorem:¹)

34)

cos уг

Aj.i Aj.i + Pj.2 -ffi.3+Ci.2 Oi.s (1—g²)²

J) Wzór (34) wyprowadzono z geocentrycznych spółrzędnych prostokątnych, przyjmując płaszczyznę równikową jako płaszczyznę X Y, zaś płaszczyznę południkową punktu 1-go jako płaszczyznę X Z.

K. Weigel.

przyczem yx oznacza kąt przy wierzchołku 1, zaś wartości wyrazów, zawartych po stronie prawej równania (34), są następujące:

cos <p₃

^4i.2

COS <jP₂

W C0S

COS (jp,

COS <jPx

Wx

B\.2

COS (p₂

sin

B\.₃

cos

~ sin (Я₃—Aj)

W₃

Cl.2

sm gp₂ sm cpj

sin срг sin (p₁

Ci.3=

b ²

(1— e²) = -~, (a„ i ó₀ półosie przyjętej elipsoidy, ę>, i a₀

geograficzne odnośnych punktów, IP, = V 1—e² sin² ęp,-).

Mając w każdym trójkącie pomocniczym wyznaczone kąty cię-ciwowe (wzorem [14] a częściowo [34]), obliczamy poszczególne ip, odejmując sumę kątów płaskich, zgrupowanych dookoła każdego punktu pomocniczego, od 360°.

Ułożenie trzech warunków zamknięcia tak powstałego poligonu płaskiego nie przedstawia następnie żadnych trudności.

W,

W,

W₃

w,

Ai spółrzędne

Badanie dokładności niektórych wzorów, wnioski.

Wyniki wyrównania będą zależały od dokładności wzorów zamieniających kąty sferoidalne na cięciwowe. Ograniczając boki trójkątów sferoidalnych do 350 km, dokonujemy przemiany kątów sferoidalnych na sferyczne wzorem (2) z błędami do    ^ j*

zaniedbywalnemi dla wyniku wyrównania ; natomiast należy omówić bliżej dokładność zamiany kątów sferycznych na cięciwowe. Przepełnienia sferyczne e, potrzebne dla tej zamiany, zawarte we wzorze (10) względnie (14) obliczamy wzorem (13):

r . L

= tg 2Ram2R Sm Al' ‘

Na wartość e, liczoną tym wzorem, wpływa niekorzystnie ostatni wyraz po prawej stronie związku (13) (t. j. sin A₁/). Ponieważ Ax' wyznacza się wzorem (12) z obserwowanego kąta ß, przeto błędy obserwacji tego kąta przenoszą się częściowo na kąt Ax . Należy zatem zbadać wpływ błędu kąta Ax na przepełnienie e, co uczynimy

przez utworzenie pochodnej ^E

cie prostokątnym, którego przepełnieniem sferycz-nem jest s, nazwijmy drugi kąt przy przeciw-prostokątnej Sxf. (Patrz fig. 9). Ponieważ :

sm

.    .    13)

's;\

Л'

dAx

—f'. W trójką-

Fig. 9.

A^^rS-y'—90° + e₁, dB A

przeto /■'== 1-f

dAx

a dalej P = 1

T

cos Ai 'sin —

JAj

= 1 — cos —

tg

R' ‘    ‘

.    . 37)

. 38)

Dla Л =0*001, wypadnie kąt ^ około 2°84', zatem r=285 km.

max.

Należy tedy przestrzegać, aby w trójkątach pomocniczych, których jeden bok stanowi bok poligonu sieci, promienie kół na nich opisanych nie przekraczały długości 285 km₁ o ile chcemy, aby błąd ekscesu e wynosił najwyżej    błędu kątów obserwowanych (t. j.

poniżej yoVy seb- kątowej).

Choć wskazówka ta jest zupełnie wystarczająca, można ustalić jeszcze i drugą zasadę, wedle której należy postępować przy obiorze powyższych trójkątów.

.    . .    V

Mianowicie można we wzorze (37) wyrugować — i dla przyj ę-

R

tego P i lx wyznaczyć graniczny kąt A₁/, jaki jeszcze może być zastosowany.

Otrzymamy zatem: (1 — Z⁷)⁸ tg

= cos⁸A₁'{l— (1—Z⁷)⁸}, a wreszcie A₁' 1—P

(max)

z wzoru cos A. '

VP (2—P)

tg

. . 39)

Ша P = TöVö będzie :

cos А/ (max) =22*3434 tg , iub log cos А/ (mc№)=

Ponieważ A₁"=-A₁'—e1} przeto

dAĄ" dA/

na związek (37) :

— — cos —

R‘

'J

dA/'

dA'

de

dA/'

a ze względu

\⁴

! ‘Л

Fig. 10.

Zachowując tedy wedle poprzednich uwag długości łuku rmax równe około 285 km, otrzymamy: dA/' = 0*999 dA/, lub dA/'—dA/— =0*001 dA/. W najniekorzystniejszym przypadku będzie zatem różnica między poprawkami kierunków na płaszcżyźnie i na elipsoidzie wynosiła zaledwie twug wartości tych poprawek ; będzie zatem w praktyce wielkością zaniedbywalną.

Na koniec warto sobie zdać sprawę jak wielkie sieci wieńcowe mogą być tą metodą wyrównywane.

O ile ograniczymy długości boków trójkątów wypełniających do 350 km, chcąc aby błędy popełnione przy redukcji kątów sferoi-dalnych na sferyczne nie przekraczały уД^'Ь sieć wieńcowa przy bokach około 50 km będzie obejmowała pas o szerokości około 1100 km, zaś o długości, zależnej od ilości trójkątów wypełniających.

Przy wyrównywaniu sieci wieńcowych, obejmujących obszary większe, wyznaczamy kąty cięciwowe łańcucha wypełniającego ze spółrzędnych geograficznych punktów pomocniczych wzorem (34). W tym 23rzypadku może być obszar, pokryty łańcuchem wypełniającym dowolnie wielki, a sieć wieńcowa może obejmować całe kontynenty ziemskie. Przykład takiej sieci przedstawia fig. 10.

= 1-34915914-log tg

40)

pochodną

Aby nie mieć pod tym względem wątpliwości, należy zbadać dAx"

dAx

lub (co wyjdzie praktycznie na jedno)

dA

dAx

¹

louse-Paris 1925 Nr. 5.

²

) B. Prądzyński, Über die Aufstellung bisher noch nicht angewandter Bedingungsgleichungen bei Ausgleichungen der geodätischen Dreiecksketten, Astr. Nachr. 1868 B. 71 Nr. 1690.

²)    Dr. О. Börsch, Über die Ausgleichung einer um ein Polygon gelegter Dreieckskette, Astr. Nachr. 1868 B. 71 Nr. 1697.

³)    Die K. Preiissische Landestriangulation Hauptdr. I T. 1870 i Hauptdr. II T. 1874.

⁴)    P. Hatt, Compensation d’une chaîne fermée de triangulation, Comptes rendus hebd. des séances de l’Académie des sciences 1908, oraz Compensation d’un reseau géodésique en forme de chaîne fermée, Comptes rendus des séances de la 17-me conférence générale de l’Association Géodésique Intern.

³

)    Dr. K. Weigel, Zastosowanie spostrzeżeń zawarunkowanych z nie-wiadomemi w triangulacji, Czasopismo techn. Lwów, 1924. Nr. Ili Com

⁴

pensation des chaînes fermées, Bulletin géodésique, organ de la Section

⁵

de géodésie de l’Union géodésique et géophysique internationale, Tou

⁶

i, и, iii =

⁷

przyczem w trójkątach o bokach dłuższych niż 002 a₀ należy zmienić kąty /?₂, ß₃", ßi" i t. d., pochodzące całkowicie lub częściowo z obserwacji, na kąty sferyczne (/?₂), (ß₃"), (/VO i f- d.

Postępowanie będzie miało przebieg następujący: Nasamprzód rozwiązujemy trójkąt sferyczny (I II III), mając dane łuki lx i Z₂

⁸

R'

Ograniczenie kąta A\' jest łatwe do spełnienia, szczególnie przy obraniu jednego lub więcej punktów pomocniczych, choć i przy sposobie bez punktów pomocniczych możemy ten warunek spełnić, biorąc na uwagę odpowiedni poligon, a nie koniecznie wewnętrzny.

Pozostałaby jeszcze do omówienia kwestja, czy przy wyrównywaniu możemy poprawki kierunków płaskich przyjąć równe poprawkom kierunków sferoidalnych, a temsamem połączyć trzy warunki zamknięcia poligonu zastępczego z resztą warunków sieci.

RESUME.

Toutes les méthodes de compensation des chaînes fermées connues jusqu’ici exigent ou de très longs calculs, ou elles se rapportent aux cas particuliers. C’est pourquoi je vais donner une nouvelle méthode qu’on peut appliquer sans de trop fastidieux calculs aux chaînes les plus vastes.

La compensation se produit sur l’ellipsoïde excepté les trois conditions polygonales qui sont remplaçés par trois conditions d’un polygone plain que je nomme le polygone remplaçant.

Après la determination des positions géographiques approchées cp et À des n points du polygone intérieur du réseau, on partage l’espace intérieur de ce polygone aux triangles :

a)    par liaison d’un point du polygone avec le reste des (n—1) points à l’aide des (n—3) diagonales c, en obtenant (n—2) triangles ;

b)    par liaison d’un quelconque point auxiliaire (a l’interieur du polygone) avec de n points du polygone intérieur du reseau, en obtenant n triangles, ou du reste ;

c)    en cas de très vastes réseaux par choix à l’intérieur du polygone d’une simple chaîne auxiliaire des triangles (aux p points), en liant ces points avec de p points correspondants du polygone (sous la condition afin que les panneaux des triangles ne se recouvrent pas).

En conservant la précision de trois cas a), b) et c) les trois conditions polygonales en forme très simple comme conditions d’un polygone plein.

Le dernier cas nous donne la possibilité de compenser les chaînes fermées qui entourent les plus grands continents.

T0Vô// on obtient en tous les

ШИШКА P:

Krakow

Sbb»

(✓>

5

о

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297725

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-347807