шт ■III

щшш«ии

ш

■

" li :■

т

;

U

i

■■ЖШ

МШт

;■

100000284697

Dr. STEFAN BANACH

PROFESOR UNIWERSYTETU J. К.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

TOM I.

LWÓW

WYDAWNICTWO ZAKŁADU NARODOWEGO IMIENIA OSSOLIŃSKICH

*

Dr. STEFAN BANACH

PROFESOR UNIWERSYTETU J. К.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

TOM I.

V " \ Yi

\ Д *C

V* , ~jV

S'*

i'

glV*T

LWÓW

WYDAWNICTWO ZAKŁADU NARODOWEGO IMIENIA OSSOLIŃSKICH

UL-f

•3

rrn

i 5:V:    *

0?io'0^

Z DRUKARNI ZAKŁADU NARODOWEGO IM. OSSOLIŃSKICH WE LWOWIE POD ZARZĄDEM KAZIMIERZA FIGWERA

PRZEDMOWA.

Książka niniejsza przeznaczona jest do wstępnego studjum rachunku różniczkowego i całkowego. Po przeczytaniu jej czytelnik może z korzyścią przystąpić do dzieł obszerniejszych.

Staraliśmy się podać najważniejsze twierdzenia i to o ile możności z dowodami. Kilka jednak twier¹-dzeń wypowiedzieliśmy bez uzasadnienia ; uważaliśmy bowiem, że metody dowodów tych twierdzeń są za trudne do opanowania we wstępnem studjum.

Konieczną jest rzeczą, aby czytelnik przerobił większą liczbę zadań¹). W naszej książce ze względu na brak miejsca mogliśmy umieścić niewiele tylko zadań.

Drugi tom poświęcony rachunkowi całkowemu i zastosowaniom jest w druku.

Miło nam jest podziękować p. H. Auerbachowi za pomoc, której użyczył przy pisaniu tej książki.

Autor.

Lwów, dn. 30 stycznia 1929 r.

WSTĘP.

Podamy tu niektóre definicje i twierdzenia, z których w dalszym ciągu będziemy korzystać.

1.    Przedziałem (a, b) nazywamy zbiór liczb x, spełniających jedną z nierówności a < x < ó, а < ó, a < л* by a x ^ b.

Przedziałem zamkniętym nazywamy przedział, określony przez nierówność a ^ x ^ b.

Ze względu na znaną interpretację liczb rzeczywistych na linji liczbowej, nazywamy przedział również odcinkiem, a liczby również punktami.

2.    Przypominamy czytelnikowi wzór znany pod nazwą dwumianu Newtona:

tO 3

(a + b)n — an + I ^ j an~xb +

(.i)

o}bn 2 +

gdzie

n (n — 1) (n — 2) ... (n — k + 1)

kl

Symbole I ^ j

są określone ostatnim wzorem również dla niecałkowitych oraz dla ujemnych wartości n.

1.2.3

= (-1)

i-i les

co !cn

uo les

Л!

Np.

00 O⁴

8.7.6.5

1.2.3 . 4

= 70,

Г¹ -

— 10. —И. —12. —13. —14

1.2.3.4.5

= - 2002

(D

•К-¹

,1.3.5. ... (2k — 1)

2.4.6. .

a więc

т-i ICN CO

1.3.5

2.4.6

- Ï6 itp'

3. Ze

równość

wzoru Newtona wynika natychmiast nie-(1 + x)n ^1 + nr dla X ^ 0.

Kładąc

1 + X = A,

możemy napisać An ^ 1 + n (A — 1) dla A % 1. Obie nierówności są prawdziwe przy wszelkiem natu-ralnem n.

4. Dla 7 ф 1 zachodzi tożsamość

a + a<7 + a<7² + ...+a<7" I=r

qn~

a-~1

q — 1

przy wszelkiem naturalnem n. Jest to znany wzór na sumę postępu geometrycznego.

5. Czytelnikowi znane jest z geometrji elementarnej określenie kąta i miary kąta, wyrażonej w stopniach i częściach stopnia.    /

Niech к będzie kołem o środku leżącym w początku układu współrzędnych О X Y, o promieniu równym jedności.

W matematyce wyższej używa się przeważnie innego określenia miary kąta, mianowicie t. zw. miary łukowej.

W płaszczyźnie OXY obieramy pewien kierunek obrotu (zaznaczony strzałką na rysunku), który nazywać będziemy dodatnim ; przeciwny kierunek obrotu nazwiemy ujemnym.

в'

Rys. 1.

Niech X będzie dowolną liczbą. Odmierzmy na okręgu koła к (rozpoczynając od A) łuk o długości w kierunku dodatnim lub ujemnym, zależnie od tego, czy л: > o, lub л: < o. (Dla X = o łuk redukuje się do punktu A.) Jako punkt końcowy tego łuku otrzymamy pewien ściśle określony punkt В okręgu koła k. Liczbę x nazywamy miarą łukową kąta АО B,

Rzecz jasna, że każdy kąt ma nieskończenie wiele miar łukowych, różniących się między sobą o całkowite wielokrotności obwodu koła czyli o 2 n n (n całkowite). Do zamiany stopni na miarę łukową służy wzór

180

+ 2 птс,

gdzie x oznacza miarę łukową, cc liczbę stopni, zaś n dowolną liczbę całkowitą.

Np. miarą łukową kąta prostego X O Y jest

ćwiartka okręgu, czyli —

oraz każda liczba kształtu

+ 2 n n (n całkowite) ; miarą łukową kąta półpełnego

A O A' jest połowa obwodu koła czyli n oraz każda z liczb n + 2 n n (n całkowite), a więc każda nieparzysta wielokrotność liczby n i t. d.

6. Przypominamy znane nierówności

V /Д

O⁴ o

prawdziwe dla wszelkich liczb a, b.

7. Powiadamy, że liczby a, b różnią się o mniej niż s, jeżeli zachodzi nierówność | a — b | < e czyli nierówność — s < a — ó < + £.

ROZDZIAŁ I.

Teorja ciągów.

Pojęcie ciągu.

1. Definicja ciągu. Jeżeli mamy prawo, wedle którego każdej liczbie naturalnej przypisana jest pewna liczba, wówczas powiadamy, że mamy dany ciąg liczb.

Przykład. — Prawo, wedle którego każdej, liczbie naturalnej przypisujemy liczbę, niechaj będzie następujące: liczbie 1 przypiszmy 1, liczbie 2 przypiszmy ^ »

liczbie 3 przypiszmy ~ i t. d. — ogólnie liczbie n

przypiszmy — . Wypisując te liczby, widzimy, że ciąg ma kształt:

, y, i t. d.

Liczbę, przypisaną jedynce, nazywać będziemy wyrazem pierwszym ciągu, liczbę, przypisaną dwójce, wyrazem drugim ciągu i t. d. — liczbę, przypisaną liczbie n, nazwiemy wyrazem n-tym ciągu.

Wyrazy ciągu oznaczać będziemy w sposób następujący: Obierzemy sobie dowolną literę alfabetu, np. ai wyraz pierwszy oznaczymy symbolem aly wyraz drugi symbolem a₂ i t. d., ogólnie wyraz n-ty symbolem an. Czytać będziemy: a pierwsze lub a ze wskaźnikiem jeden, a drugie lub a ze wskaźnikiem dwa i t. d. — a „n te“ lub a ze wskaźnikiem n. Zauważmy, że jeżeli a„ jest n-tym wyrazem ciągu, wówczas an + i jest to wyraz następny, an+2 wyraz drugi zkolei po an i t. d. an~ 1

wyraz cin+k, к-ty zkolei po an. Podobnie wyraz poprzedzający an, an—2 wyraz poprzedzający an—1 i t. d. Ciąg o wyrazie ogólnym an oznaczamy

1 1

Ш-

3-... przez

zwykle krótko przez {a„}, np. ciąg 1,

Zapytajmy się teraz, w jaki sposób możemy mieć dany pewien ciąg, czyli innemi słowy, w jaki sposób może nam ktoś pewien ciąg określić. W rozmaitych wypadkach rozmaicie się postępuje; niektóre sposoby określania ciągu są następujące.

1. Określamy ciąg formułą, kładąc np. an — 5n. Stąd odrazu widzimy, że :

d\ 5, d% 3.2 аз 5.3    15, ... а₂о

= 5.20 = 100 i t. d.

Podobnie określamy ciąg formułą, kładąc : a„ = 5n² — n +1 Wówczas :

dl = 5, a₂ = 19, ... al0o = 49901 i t. d.

2. Określamy ciąg, mówiąc np., że a„ jest to n-ta cyfra liczby \/ 2. Wówczas wiemy, że :

di = 1, aa = 4, a₃ = 1, ... i t. d.

Obliczając pierwiastek z dwóch znanym algorytmem, możemy obliczyć cyfrę pierwszą, drugą, trzecią i t. d. Ciąg jest więc określony.

Podobnie określamy ciąg, mówiąc, że an jest n-tą cyfrą dziesiętną liczby n.

3. Innym sposobem podania ciągu jest określenie go przez t. zw. rekurencję. Sposób ten polega na tem, że podajemy wyraz pierwszy i sposób wyliczenia wyrazu n-tego przy pomocy poprzednich wyrazów. — Wyjaśnimy to na przykładach.

a)    Niech pierwszy wyraz równa się zeru, a każdy inny równa się iloczynowi poprzedniego wyrazuprzez 3, powiększonemu o 2, t. j.

i t. d.

üi ⁼ 0, Qn 3 nn—i + 2, a więc :    a₂ — 2, a₃ = 8, a₄ = 26,

b)    Niech pierwszy wyraz będzie równy jeden, a każdy inny wyraz równy sumie wszystkich poprzednich wyrazów, t. j.:

a₃ + ... + an-1, o₅ = 8, i t. d.

a-2

ci\ 1, a.n a więc: a₂ = 1, as =

c)    Niech pierwszy wyraz ma wartość a, zaś każdy inny wyraz niech będzie równy poprzedniemu powiększonemu o pewną liczbę d, t. j.

ax — a, an — i + d (postęp arytmetyczny), a więc : a₂ — a + d, — a + 2 d i t. d.

2. Ciągi monotoniczne. Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli każdy wyraz jest większy od poprzedzającego, t. j. an > an—i, malejącym, gdy an < an-1, niemaleją-cym, gdy an ^ an-i, nierosnącym, gdy an an-\. Każdy taki ciąg nazywamy monotonicznym. Ciągi malejące i rosnące nazywamy ściśle monotonicznemi.

Przykłady:

1.    Ciąg liczb naturalnych {n} jest rosnący.

2.    Ciąg odwrotności liczb naturalnych j~“j iest

malejący.

3. Ciąg {an}, gdzie an oznacza ilość liczb naturalnych podzielnych przez 3 i nie większych od n, jest niemalejący :

ai = 0, a₂ = 0, a₃, = 1, a* = 1, a₆ = 1, a₆ = 2 i t. d.

Ciąg ад 1ł

4.

ai = 1, a₂ = 1, o₃

jest nierosnący:

= 1, a₄ = J

3. Ciągi ograniczone. Ciąg nazywamy ograniczonym, jeżeli wszystkie wyrazy leżą w pewnym skończonym przedziale (— M, + M) (M > o), innemi słowy, gdy I an I < M, (n = 1, 2, 3,. ..)

Przy kła dy:

gdzie an jest n-tą cyfrą dziesiętną liczby \j 2, jest ograniczony, bo | an | < 10.

n)y

1. Ciąg {a

bo I an I < 1.

2.

Ciąg I—jest ograniczony,

Zauważmy, że ciąg ograniczony niekoniecznie jest monotoniczny i naodwrót.

Np. ciąg

t.j.:

«i = 0, g₂ ~ 1, «3 ⁼ 0, a₄ — 1 i t. d.

jest ograniczony, ale nie monotoniczny, zaś ciąg liczb naturalnych {n} jest monotoniczny, ale nie ograniczony.

4. Działania na ciągach. Na ciągach określamy działania: mnożenia przez liczbę, dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w sposób następujący:

*) E (лг) oznacza największą liczbę całkowitą, nie większą

od X. Np.:

E (5) = 5,    £(я) = 3, E (log 2) = 0 i t. d.

Liczba E (jc) spełnia nierówność л: — 1 < E (лг) лг, wynikającą bezpośrednio z definicji.

Ciąg mnożymy przez liczbę, mnożąc każdy wyraz ciągu przez tę liczbę. Np. iloczyn ciągu (aly a₂,... an...) przez liczbę m jest to ciąg {mau ma₂,... man .. .)•

Dwa ciągi dodajemy, odejmujemy lub mnożymy przez siebie, dodając, odejmując lub mnożąc odpowiednio wyrazy jednego ciągu przez wyrazy drugiego. Np. mając dwa ciągi :

(ói, b2f b3y ... bn . . .),

O-n d~ bny ...)

On bnf . ..)

On bn . . .)

(fli, 02, аз» • • • an...)

otrzymujemy na sumę: (ai + blf a₂ + b₂, na różnicę : {aY — bu a₂ — b₂, na iloczyn: (aybu a₂b₂, a₃ bif

Iloraz możemy zdefinjować tylko z tern zastrzeżeniem, że wyrazy ciągu, przez który dzielimy, są wszystkie różne od zera, gdyż dzielnikiem ilorazu nie może być zero.

Ciąg jeden dzielimy przez drugi, w którym wszystkie wyrazy są różne od zera, dzieląc wyrazy pierwszego przez wyrazy drugiego. T. zn., że mając dwa ciągi

bii b2f Ó3, ... bn...

cl\, a₂, as, ... an, ...

an

ł-H

0 1-0

przyczem zawsze bn ф 0, otrzymujemy na iloraz ciąg: a₂ аз

b₂ ’ b₃

Symbolicznie piszemy to :

m{an) — ( man }

{ o„ } + { bn} = { an + bn i

{ an }--[ bn } = { an — bn }

{ an)

! bn j { O-n • bn !

an bn

Zadania:

c!ii? ItÛtï) iest

1. Wykazać, że

rosnący.

2. Wykazać, że ciąg- {a„}, gdzie an jest n-tą cyfrą dowolnie obranej liczby niewymiernej, nigdy nie jest monotoniczny.

3. Wykazać, że ciąg j ^ (n x) j jes{ ograniczony

przy dowolnie obranem x.

4 Dla jakich x ciąg {1 + x + x² + ... + x" } jest ograniczony?

Intuicyjne pojęcie granicy ciągu.

5. Granica ciągu monotonicznego. Do pojęcia granicy ciągu możemy dojść intuicyjnie w następujący sposób : Przypuśćmy, że mamy dany ciąg monotoniczny {a,,}, dajmy na to rosnący. Zdarzyć się mogą dwa wypadki :

1. albo liczby ciągu rosną nieograniczenie, t. zn jakkolwiek dużą liczbę weźmiemy, to wyrazy ciągu { a„ od pewnego począwszy, są wszystkie większe od tej liczby,

/>

2. albo liczby ciągu {a„} nie rosną nieograniczenie; wówczas istnieje jedna jedyna liczba g, zwana granicą ciągu {a„}, do której jego wyrazy zbliżają się nieograniczenie, (t. zn., że wziąwszy sobie dowolnie małą liczbę € > 0, znajdziemy taki wyraz w ciągu, że wszystkie następujące po nim wyrazy różnią się od g o mniej niż p).

Liczbę g nazywamy granicą ciągu, a piszemy to w sposób następujący: lim an — g. O ciągu {an} mówimy, że jest zbieżny do g.

Podobne uwagi można wypowiedzieć dla ciągów malejących.

Wypowiedzieliśmy więc następujące Twierdzenie: Każdy ciąg ograniczony i mono-toniczny ma granicę (jest zbieżny).

Przykłady:

1.    Ciąg {n} jest rosnący, ale nieograniczony. Podobnie ciąg {л²}.

rosnący i ograniczony.

/i

2.    Ciąg [l — jest Ma granicę 1.

jest ograniczony i malejący, o gra-

3.    Ciąg

nicy 0.

4. Ciąg I

I czyli !

co im

5 (5л — 1)J jest

ograniczony i malejący, o granicy -

co un

6. Ogólna definicja granicy ciągu. Jeżeli teraz mamy ciąg {an} niekoniecznie monotoniczny, to może się zdarzyć, że istnieje liczba g, do której wyrazy ciągu zbliżają się nieograniczenie (t. zn. że obrawszy sobie dowolnie małą liczbę s > 0, znajdziemy taki wyraz w ciągu, że wszystkie następne różnią się od g o mniej niż s).

Można udowodnić, że jeżeli liczba taka istnieje, to tylko jedna.

Liczbę g nazywamy granicą ciągu i znaczymy jak poprzednio: lim an = g.

n —У- oo

Ciąg (a«} nie posiadający granicy, nazywamy ciągiem rozbieżnym.

Przykłady:

Ciąg I -—I jest zbieżny i

1.

ma granicę zero.

2. Ciąg ((—l)n} jest rozbieżny.

7. Pewne kryterjum zbieżności. Niełatwą jest czasem rzeczą stwierdzić, czy pewien ciąg ma granicę, czy nie. W wielu wypadkach korzystnem okazuje się następujące dość oczywiste

Twierdzenie: Jeżeli ciąg {an} da się zamknąć między dwoma ciągami {6Л} i Je«}, zbieżnemi do tej samej granicy, wówczas ciąg { an } jest zbieżny do wspólnej granicy ciągów {ó„} i {сл}.

U w a g a : Powiadamy, że ciągi { bn } i { cn } zamykają ciąg {a«}, jeżeli dla każdego n zachodzi następująca nierówność :

bn    Cn •

Przykłady:

c* 1^1

n X — 1 < E(nx) ^ n X,

x—~<

1.

ma granicę x. Jest bowiem

a więc

a ponieważ każdy z ciągów | x--, {*} jest zbieżny

do granicy x, więc to samo stosuje się do ciągu IE (n x) I zawar|.eg.0 m{^dzy niemi.

2. Ciąg |~J> gdzie an jest л-tą cyfrą liczby n, ma granicę 0, bo jest zawarty między ciągami {0}, — mającemi granicę 0.

8. Działania na ciągach zbieżnych. Jeżeli {a„} i {ó„} są ciągami zbieżnemi, wówczas można udowodnić następujące

Twierdzenie: Ciągi {an + bn), { c . a„}, {an . b„) są zbieżne i :

1) lim {an + bn) — Hm an + Hm bn

n--00

2) Jeżeli c jest dowolną liczbą, to lim c . an = c /fm o„

n —00

/fm {a„    = lim an - Hm bn

n —>- oo

n-->- 00

3)

n —oo

/zm ал

n —>- oo

Ponadto, jeżeli />л ф 0 i /zm />л ф 0, to ciąg f -ф j jest zbieżny i:    л

lim bn

/zm \ =

«—►»l bn i

9. Ciągi rozbieżne do + oo. Wprowadzimy następujący wygodny sposób wyrażania się:

O ciągu {an} mówimy, że jest rozbieżny do + oo, jeżeli do każdej dowolnie dużej liczby A istnieje taki wyraz w ciągu, że począwszy od niego każdy następujący jest większy od A. Piszemy to: lim an = + oo.

Takim ciągiem jest np. (n), (2"}, {n² — n) i t. p.

Podobnie mówimy, że ciąg an jest rozbieżny do — oo, jeżeli do każdej dowolnie małej (algebraicznie) liczby A istnieje taki wyraz w ciągu, że począwszy od niego każdy następny jest mniejszy od A. Piszemy to: lim an = — oo.

n —>-00

Przykłady takich ciągów otrzymamy, mnożąc poprzednio podane ciągi przez (—1). Innemi przykładami są: {n~n⁸} ( — 10"} i t. p.

Należy zawsze pamiętać o tern, że ciągi rozbieżne do + oo lub — oo nie mają granicy i że symbole + oo i — co nie są bynajmniej liczbami, a zostały wprowadzone jedynie dla uproszczenia pisowni.

Uwaga. Jeżeli piszemy lim an ⁼ g, bez dalszego

n —>- cc

•dodatku, to zawsze milcząco zakładamy, że ciąg {a„} jest zbieżny, że więc g jest liczbą rzeczywistą, a nie jednym z symboli + oo, — oo.

10. Twierdzenia o ciągach rozbieżnych do + co.

Można udowodnić następujące twierdzenia: a) Jeżeli ciąg {a„} jest ograniczony, a lim {&„} = + oo,to

n--00

lim {an + bn) = + oo

00

lim {an — bn) = — oo

00

lim M =

n->oo(^nJ

wszystkich n. b) Jeżeli lim an — + oo, lim bn = + oo, to

0 przy założeniu, że bn =f= 0 dla

00

00

lim (a„ + bn) = + oo

r '°°

lim (an . bn) = + oo

00

c) Jeżeli lim an — + oo, lim bn = — oo, to

II--^-00

00

lim (an — bn) = + oo

n —oo

lim (a„ . bn) — — oo

n--

d) Jeżeli lim an = g, g ~j= O, lim bn — + oo, to

n--^~00

lim (an . bn) = + oo

00

n —co

lim (a„ . b„) — — oo

przy g > o przy g < O

e) Jeżeli lim an = g, g ф О, lim bn = 0, bn > O, to

n —>-oo

lim = + oo

bn

lim    — со

⁰⁰ bn

Zadania:

n-->-00

przy g > О

przy £ < О

1. Wykazać, że ciąg

ma granicę O, przy

dowolnie obranem л:.

2. Czy ciąg {(—l)"n} jest rozbieżny do + oo,

lub oo ?

3. Wykazać, że ciąg (n³ - 5n⁸ + 3} czyli:

n³ ( 1 - - +

\ n

³ i ! jest rozbieżny

do + oo.

4. To samo dla ciągu \3n ~ n} przy użyciu nierówności 3Л ^ 1 +2 n. (Por. wstęp 3.)

* Ścisła definicja granicy ciągu.

11. Odcinki ciągu. Jeżeli mamy dany jakiś ciąg «i, a₂> ••• o.n, wówczas n- tym odcinkiem tego ciągu nazywać będziemy zbiór liczb, otrzymany z danego ciągu przez odrzucenie pierwszych (n — 1) wyrazów. Np. odcinkiem szóstym będzie zbiór a₆, a₇, a₈, ... odcinkiem setnym al0o, «îoi» aio2, .... W szczególności, w skład odcinka pierwszego wchodzą wszystkie wyrazy.

Odcinki ciągu znaczyć będziemy symbolami : A A₂, A₃, ... i t. d. — wskaźnik u dołu oznacza, który to jest odcinek. Zatem np. A₆ jest to odcinek szósty.

O odcinkach można wypowiedzieć kilka oczywistych uwag, którą są potrzebne do zrozumienia późniejszych rzeczy.

3.    Naodwrót, jeżeli weźmiemy dowolną skończoną liczbę wyrazów, to istnieje odcinek, który ich nie zawiera (np. każdy odcinek, którego wskaźnik jest większy od wszystkich wskaźników tych wyrazów).

loo*

1. Jasną jest rzeczą, że jeżeli mamy dwa dowolne to zawsze odcinek późniejszy

odcinki, np. A₆₀ i A mieści się we wcześniejszym ; w naszym więc wypadku mieści się w Ab0.

2. Jeżeli weźmiemy dowolny odcinek, np. A to tylko skończona liczba wyrazów ciągu do odcinka tego nie należy. W naszym wypadku tylko 99 wyrazów pierwszych nie należy do A

Aioe

100»

ioo>

100»

to jest. wyrazy a\>

4.    Podobnie, jeżeli weźmiemy dwa dowolne odcinki, np. Аъо i ^4юо» to tylko skończona liczba wyrazów odcinka wcześniejszego nie mieści się w późniejszym. W naszym przykładzie 50 pierwszych wyrazów odcinka A₅₀> a więc wyrazy: a₆₀, a₆₁, a₅₂, ... a₉₉ nie mieszczą się w odcinku Al0o* Wszystkie pozostałe wyrazy odcinka A₆₀ mieszczą się w odcinku A

12. Ciągi, różniące się tylko porządkiem wyrazów. O dwóch ciągach powiadamy, że różnią się tylko porządkiem wyrazów, jeżeli każda liczba występuje jednakową, skończoną lub nieskończoną ilość razy, w obu ciągach.

Przykłady. Następujące ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów :

1.    (0,1,0,1,0,1,...) i (0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...)

2.    (1,2,3,4,5,6,...) i (2,1,4,3,6,5,...)

O takich ciągach można wypowiedzieć następujące

Twierdzenie. Jeżeli dwa ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów, to każdy odcinek jednego, zawiera jakiś odcinek drugiego.

Dowód. Niechaj pierwszym ciągiem będzie a1} a₂, a₃, ... drugim zaś blt ó₂. ó₃, ... Oba ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów. Weźmy pod uwagę jakiś odcinek ciągu pierwszego, np. An■ Odcinek An nie zawiera tylko wyrazów a₂, a₃, • • • an-\. Wyrazy te występują w ciągu bu b₂, ... bn, ... (być może w innym porządku); ponieważ jest ich jednak liczba skończona, więc w ciągu bly ó₂, ... istnieje taki odcinek, nazwijmy go Bn który ich nie zawiera. Jasną jest teraz rzeczą, że Br mieści się w An, gdyż każdy wyraz odcinka Br jest późniejszy od aly a₂, a3t ... an—1} a tylko tych wyrazów An nie zawiera.

= 2n, b2n — 2n — 1. Od-

2Л—1

Przykład. Niech { an } będzie ciągiem liczb naturalnych 1, 2, 3, ... t. zn. an — n, a { bn } ciągiem: 2, 1, 4, 3, 6, 5, ... t. zn. b cinek A₆ jest zawarty np. w Bl0.

13. Pojęcie przybliżenia. Powiadamy, że jakaś liczba a przybliża liczbę ó, z błędem mniejszym niż e, jeżeli I a — b | < s. Mówimy również, że a jest wartością przybliżoną liczby b z błędem mniejszym niż e. Rzeczą jasną jest, że jeżeli a przybliża b z błędem mniejszym od s, to a przybliża również b z błędem mniejszym od rj, gdzie ^ jest dowolne, ale większe od s. Gdyby natomiast rj było mniejsze od sy to a może przybliżać b z błędem mniejszym od rj lub nie.

Pojęcie wartości przybliżonej jest bardzo ważne, gdyż w praktyce operujemy prawie wyłącznie liczbami przybliżonemi, bądź dlatego, że dokładnych wartości nie znamy (pomiar jest zawsze niedokładny z więk-kszym lub mniejszym błędem, zależnie od precyzji narzędzia, którem mierzymy), bądź dlatego, że działania, jakie mamy na danych liczbach wykonać, byłyby bardzo skomplikowane i żmudne, gdybyśmy brali ich wartości dokładne; w rachunkach posługujemy się więc, gorszem lub lepszem, przybliżeniem, zależnie od tego, o jaką dokładność nam chodzi.

20.000

Np. 1. Liczba 3 1416 jest przybliżeniem na

liczby n, to znaczy:

20,000'

I Ti 3-14161 <

200

2. Liczba 1*41 jest przybliżeniem y 2 na

Jeżeli a przybliża b z błędem mniejszym niż s, to mamy, jak wiemy, | a — b | < s. Możemy wówczas napisać też :

a —    + e (porównaj wstęp 7).

Powiadamy, że odcinek ciągu przybliża pewną liczbę g z błędem mniejszym niż e, jeżeli każdy wyraz tego odcinka przybliża g z błędem mniejszym niż e.

Np. o ciągu 1,

2’ 3’ "■*

- ... możemy powie-

dzieć, że odcinek A szym niż

1001

przybliża zero z błędem mniej-

1000'

Jeżeli jakiś odcinek ciągu przybliża g z błędem mniejszym niż e, to każdy odcinek w nim zawarty, czyli każdy późniejszy, przybliża też g z błędem mniejszym niż e.

Np. w przykładzie poprzednim A₂₀₀o przybliża też

1000'

zero z błędem mniejszym niż

14. Definicja granicy. Powiadamy, że liczba g jest granicą ciągu au a₂, a₃, ... an, ... jeżeli w ciągu tym istnieją odcinki, które przybliżają g z błędem tak małym, jak nam się podoba; innemi słowy, jeżeli dla każdej liczby s > O istnieje odcinek, który przybliża g z błędem mniejszym niż г²).

Piszemy to : lim an — g, a zamiast mówić, że

n--^-00

ciąg ma granicę g, mówimy nieraz, że ciąg jest zbieżny do g, lub że ciąg zmierza do g. Podobnie mówimy nieraz: „ciąg jest zbieżny“, zamiast „ciąg ma granicę“. Przykłady:

= 0.

1.    lim A

n—У® n

granicę równą

ma

2.    Ciąg {0’6, 0’66, 0'666,...}

liczbie 0'666 . . . =

3. Ciąg o wyrazie ogólnym an = —q—^ ma jako

granicę liczbę 1. Zęby to wykazać, weźmy pod uwagę dowolny odcinek An. Jeżeli an należy do odcinka An, czyli jeżeli N, to

, to wystarczy

1000

lim

istnieją odcinki, które przybliżają 1 z błędem dowolnie małym,

zatem

- 1.

n--^-00

Jest to typowy sposób udowadniania, że jakiś ciąg⁻ {an } ma granicę g. Zanalizujemy ten dowód.

A więc bierzemy naprzód pod uwagę dowolny odcinek An i dowolny wyraz an tego odcinka, czyli wyraz, którego wskaźnik jest większy lub równy N. Badamy różnicę j g — an | i staramy się, znając N, wyznaczyć jedną liczbę, od której wszystkie \g—an | byłyby mniejsze, jeżeli tylko л /V, t. zn. jeżeli tylko an należy do An. W poprzednim przykładzie liczbą tą

było JT.

Liczba ta będzie wyznaczona pewnem wyrażeniem, w którem występuje tylko N, a nie występuje n. Następnie staramy się wykazać, że istnieją odcinki, dla których odpowiednia liczba jest dowolnie mała.

Jeżeli zatem ciąg ma granicę g, to do dowolnego £ > 0 istnieje w ciągu odcinek An, którego wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż £. Więc jedynie takie wyrazy mogą nie przybliżać g z błędem mniejszym niż £, które do odcinka An nie należą, a tych jest tylko skończona liczba. Możemy zatem powiedzieć :

Jeżeli lim an — g i jeżeli £ > 0, to tylko skoń-

n--co

czona liczba wyrazów ciągu różni się się od g o £ lub o więcej niż £. Naodwrót: Jeślibyśmy o danym ciągu { an} wykazali, że istnieje liczba g taka, że przy dowolnie obranem s > 0 tylko skończona liczba wyrazów tego ciągu różni się od g co najmniej o e, to możemy wtedy twierdzić, że lim an — g; obierając bowiem

n--^-00

dowolną liczbę £ > 0, możemy twierdzić, że istnieje w ciągu taki odcinek An, który żadnego z tej skończonej liczby wyrazów nie zawiera, a więc, którego wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż s.

Nieraz powyższe postępowanie łatwo pozwala dowieść, że pewna liczba jest granicą ciągu.

3 n 4- 1

co un

Przykład: Wykazać, że lim

n —^ co

Weźmy dowolną liczbę s > 0 i zbadajmy, ile jest wyrazów, różniących się od

CO uo

co najmniej о г. W tym

. Otóż :

3

celu zbadajmy różnicę ---an

?--a„

25 n + 10

25 /г + 10 3

Te więc tylko wyrazy różnią się od co najmniej o f,

e (n jest tutaj wskaźnikiem

dla których badanego wyrazu), lecz stąd :

25 n + 10

co

25/i + lOC-

25 n < — — 10

£

—--10

25

więc :

Lecz liczb naturalnych, nie większych od pewnej danej liczby jest co najwyżej skończona liczba, a więc w szcze-

— — 10

£

gólności liczb naturalnych nie większych od ——

a więc    Un ~~

co un

*    л —^ oo

U w ag-a: Przy dowodzie, że dany ciąg- { an } ma granicę g, t. j. że do każdego £>0 istnieje odcinek An, przybliżający g z błędem mniejszym niż s, można zawsze przyjąć, że s jest mniejsze od pewnej

, bo

100

dowolnej liczby dodatniej cc, np. mniejsze od

odcinek An, przybliżający g z błędem mniejszym od c < a, przybliża g tem bardziej z błędem mniejszym od dowolnego cc. Z uwagi tej niebawem skorzystamy. Zadania:

ma granicę ~.

2. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym an = = ^(1+х + дг² + ... + xn) jest dla x > 1 zbieżny

może wogóle nie być | np. dla s =

a jeżeli

są, to tylko w skończonej liczbie. Widzimy więc, że

— а,г

20 Г

3

tylko dla skończonej liczby wyrazów jest ^

1. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym an — 1 -r 2 + 3 + . . . + n

n²

do granicy

nicę

cd

— 1 ‘

Wykazać, że ciąg j

3 w² — 2 n + 6

7n² + 12

ma gra-

4. Wykazać, że ciąg

nb

ma granicę

* Twierdzenia o granicy ciągów.

15. Zbieżność ciągów o równych wyrazach. Jeżeli wyrazy ciągu {an} są wszystkie równe tej samej liczbie g, to liczba ta jest granicą ciągu.

т-h |CN

. . ma

Np. ciąg a„ = granicę * .

Dowód wynika z uwagi następującej : Gdy weźmiemy dowolną liczbę « > 0, to wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż s, bo z błędem = 0 :

I g — an I = I g — g I =0.

1 \n

I sin A I I A I I cos A J >- 1 — I sin A I

y=arccos x

')

(*+пт) +

(n — 1)!

Zadania :

(0<*<1).

= /(Xo)+„î, Л

дхду d3 z дхду2—

f'x{x',y') = 0, fg(x',y') = 0,

¹

Polecić możemy np. zbiór zadań z rachunku różniczkowego i całkowego Dr. Nikliborca i Dr. Steinhausa, który wkrótce ukaże się nakładem Ossolineum.

²

1 + 1 l/l + l n + l^/V’ a więc odcinek An przybliża liczbę 1 z błędem mniejszym niż . Jeżeli więc chcemy, żeby błąd był mniejszy

od pewnej liczby s > 0 | np. s =

obrać N tak, abyśmy mieli < s, czyli /V > — . Każdy

więc odcinek rzędu większego niż przybliża 1 z błędem mniejszym niż e. Ponieważ e jest dowolne, więc

') Jak łatwo widać, def. granicy, podana poprzednio, jest równoważna z powyższą.

I g — an I = I g — g I =0.

16. Niezależność granicy od porządku wyrazów.

Granica ciągu zbieżnego nie zależy od porządku wyrazów, t. zn. granica ciągu zbieżnego nie zmieni się, gdy zmienimy w nim porządek wyrazów.

Np. Ciąg

ma granicę 0. Jeżeli zmienimy

porządek wyrazów w ten sposób, że wyraz rzędu parzystego przesuniemy o jedno miejsce wstecz, wyraz zaś rzędu nieparzystego przesuniemy o jedno miejsce wprzód to otrzymamy ciąg {bn} następujący:

т-d kO

1

2 ’ 1 ’    ’3’    ’б’"'

Otóż ten nowy ciąg ma też granicę 0.

Dowód: Niechaj ciąg {an} ma granicę g. Niechaj { bn} będzie to ciąg powstały z ciągu {an ) przez zmianę porządku wyrazów. Ponieważ lim an ~ g, więc

n--^-00

jeżeli weźmiemy sobie dowolną liczbę £ > 0, to istnieje odcinek An, który przybliża g z błędem mniejszym niż s. Lecz na mocy twierdzenia ze str. 16 odcinek An zawiera w sobie jakiś odcinek ciągu {bn}, powiedzmy odcinek Bk- Jasną jest rzeczą, że odcinek Bk, jako zawarty w odcinku An, przybliża g też z błędem mniejszym niż 8. A więc jeżeli obierzemy sobie dowolną liczbę 8 > 0, to znajdziemy w ciągu {bn } odcinek Bk, który przybliża g z błędem mniejszym niż 8, czyli

lim bn — g-

)

Uwaga: Z twierdzenia powyższego wynika, że jeżeli ciąg { an ) jest rozbieżny, to każdy ciąg, różniący się od niego tylko porządkiem wyrazów, jest również rozbieżny.

17. Zbieżność ciągów częściowych. Każdy ciąg częściowy ciągu zbieżnego ma tę samą granicę, co ciąg pierwotny.

Uwaga: Ciąg częściowy otrzymujemy, wyjmując z ciągu danego nieskończoną liczbę wyrazów i przyporządkowując je liczbom naturalnym w tym porządku, w jakim występowały pierwotnie.

Przykład: Uważajmy ciąg an--—. Wybierz

my z niego wszystkie wyrazy o wskaźnikach nieparzystych. Otrzymamy nowy ciąg j bn} :

ел »-а

więc bn —

lim bn — 0.

—. Otóż ponieważ lim an — 0, więc

1    n-->-00

n—>-co

Dowód: Niechaj { an} będzie ciągiem pierwotnym zbieżnym do granicy g, zaś {bn} jego ciągiem częściowym. Do dowolnego s > 0, dobierzemy taki odcinek An, który przybliża g z błędem mniejszym niż s.

Lecz jasną jest rzeczą, że odcinek An zawiera w sobie jakiś odcinek Bk ciągu {£„}, gdyż \bn} jest ciągiem częściowym ciągu [an). Wobec tego Bk przybliża też g z błędem mniejszym niż s. A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę s > 0, znajdziemy odcinek Bk przybliżajmy S z błędem mniejszym niż e, t. zn. lim bn = g.

n--00

Ciąg {

Przykł ad:

3

do granicy —. Zatem ciągi

f 3 (n² + n) 4- 1 ) f 3 (2 n +~ 1) + 1 ) ^ 5 (n² + n)~+2 * ’ i 5(2 n + 1) + 2 f

5/1 + 2

I jest (str. 21) zbieżny

5.2”² + 1 \ 5.2"² + 2 f *

które są jego ciągami częściowemi, mają tę samą granicę.

Uwaga: Ważną jest rzeczą pamiętać, że jeżeli ciąg częściowy jest zbieżny, to ciąg pierwotny nie musi być zbieżny.

гн CN

jest roz-

Np. ciąg 1,

bieżny, ciąg zaś częściowy:    ,

zbieżny do zera.

18. Granica ciągu o wyrazach nieujemnych.

Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu zbieżnego są nieujemne, to granica jest również nieujemna.

Dowód wynika z uwagi, że jeżeli // jest liczbą uiemną, a d zaś liczbą nieujemną, to | d [г \ ^ | l¹ I • Czyli liczba nieujemna różni się od liczby ujemnej co najmniej o bezwzględną wartość liczby ujemnej. Jeżeli więc mamy jakiś ciąg {an} o wyrazach nieujemnych i jakąś liczbę ujemną //, to żaden odcinek tego ciągu nie przybliża f-i z błędem mniejszym niż | f-i | . Błąd ten

, 1,

т-ł ЛО

jest

więc nie może być dowolnie mały; zatem (г nie jest granicą naszego ciągu. Ciąg więc ma jako granicę liczbę nieujemną.

19. Granica sumy i różnicy ciągów. Suma dwóch ciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym do sumy granic tych ciągów.

Przykład: Niechaj ciąg {an} będzie ciągie

ciąg [cn

J 1 —    }, ciąg { bn }, ciągiem j

3 n — 1

ciągiem j

Зп — 1

--IH

5 n 4- 1

8 n² — 5 n — 1

5n² + n

}•

, więc lim cn —

Ponieważ lim an = 1, lim bn —

n-->-00

co vn

00 'O

Dowód: Niechaj j an } ma granicę a, ciąg {bn\ ma granicę b. Wyrazy ciągu { cn}, który jest ich sumą, mają kształt: cn = an + bn. Otóż mamy udowodnić, że lim cn — a + b.

n ->-oo

Ponieważ lim an = a, lim bn = b, więc wziąwszy

n —>- co

n-->-00

dowolną liczbę 8 > 0, znajdziemy odcinki An i Bk, które przybliżają odpowiednio a i b z błędem mniejszym niż s.

Niechaj R będzie liczbą całkowitą większą od N i od k. Oczywista, że odcinki Ar i Br, jako zawarte odpowiednio w odcinkach An i Bk, też przybliżają a względnie b z błędem mniejszym niż 8. Ponieważ każdy wyraz cn, należący do Cr, jest kształtu : (an + bn), gdzie an i bn należy do Ar, względnie do Br więc ¹

I b — bn I < S,

a + b — Cn j ⁼ I a + b — an — bn \ — | (a — a„) + (b — bn) j <! a — an I + I b — bn I < 2 s.

zatem

A więc odcinek Cr przybliża (a + b) z błędem mniejszym niż 2 s. Gdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przybliżał nam (a + b) z błędem mniejszym niż pewna dowolna liczba t] > 0, wystarczyłoby na początku wziąć takie s > 0, abyśmy mieli 2 £ < >], czyli wystarczyłoby

wziąć £ <    . A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę

> 0, znajdziemy taki odcinek Cr, który przybliża (a + b) z błędem mniejszym od rj, t. zn. lim cn = a +

n--00

Przykład: Ciąg

= / ¹

n—1

In²-1J ln + 1

jest zbieżny do zera.

Uwaga: Twierdzenie powyższe możemy tak napisać : Jeżeli ciągi { an} i { bn } są ciągami zbieżnemi, to

lim (an + bn) — lim a„ + lim bn.

n--oo

II--00

n —>- 00

Podobne twierdzenie stosuje się do różnicy dwóch ciągów, a więc:

lim (an — bn) = lim an — Hm bn

n —^ 00

n —CO

n —0O

Dowód jest analogiczny, gdyż :

a — b — an + bn —

a — b — cn i —

|(a — an) — (b — bn) \ ■< ! a — an | + | b — bn [ -< 2 £.

20. Granica iloczynu ciągów. Iloczyn dwu ciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym, a jego granica równa się iloczynowi granic tych ciągów.

ponieważ lim an = 1, /глг =

ç , więc lim с„ =

J    n —У- oo

oo

/г —оо

3    3

= 1.| =

Dowód: Niechaj ciąg {ап} ma granicę a, ciąg } granicę b. Wyrazy ciągu {cn }, który jest ich iloczynem, są: cn = an . Mamy udowodnić, że: lim cn — a . b.

n —00

Ponieważ lim an = a, zaś lim bn = b, więc

00

3 гг — 1

(-ł)'

Przykład: Niechaj ciąg {an} będzie ciągiem

{ Cn !

{l    ci3? {M ciągiem [

ciąg

ciągiem { an • bn }. Wówczas:

Cn — CLn . bn —

5 /г — 1 3 /г² — 4 л + 1

5л —1

5 л² — л

n--^-00

wziąwszy dowolną liczbę dodatnią « < 1 (por. uwagę str. 22), znajdziemy odcinki An i Bk, które przybliżają odpowiednio a i b z błędem mniejszym niż s. Niechaj R będzie liczbą całkowitą, większą równocześnie od Al i k. Odcinki Ar i Br, jako zawarte odpowiednio w An i Bk, też przybliżają odpowiednio a i b z błędem mniejszym niż s. Zbadajmy, z jakim błędem odcinek Cr przybliża a . b. Każdy wyraz cn odcinka Cr jest równy a„ . bn, gdzie an i bn należą do Ar względnie Br. Ponieważ

I a — an I < «

O-n O. CCn

b — bn \ < s, więc kładąc

bn b ßn,

mamy :

ian Ъп—aó| = | (a + a„) (b~ßn) — a.b\ = \anb — ß„ a — anßn|<L < I «л b i +1 ßn a\ +1 an ßn I = i an — a| | b \ +16„—b 11 a \ +1 an — — a I \ bn—ó|< s (|a| +|ó| + «)<£ ( ! a 14-| b | + 1).

A więc:

I an bn ~ ab I < s ( I a -f ! b | + 1).

Cdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przybliżał a.b z błędem mniejszym niż pewna dowolna liczba r\ > 0, wystarczyłoby wziąć na początku takie £ > 0, by

e(|a| + |6 +1) < V

czyli

*<

|а| + |6| + Г

A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę ij > 0, znaleźć możemy taki odcinek Cr, że wszystkie jego wyrazy, przybliżają a.b z błędem mniejszym niż t. zn. lim cn — ab.

n —^ oo

Uwaga: Twierdzenie powyższe możemy tak napisać: Jeżeli {an} i {bn\ są ciągami zbieżnemi, to

lim (an bn) = lim an * lim bn

Tl—^-oo

Tl--^-00

Przykład: Ciąg

J(2/ł—l)(3n—2)\ J2n —1\ /Зп^2\    f₂_n. (₃П

1 П² i \ n i I n I 1 ni l ni jest zbieżny i ma granicę 6.

21. Granica iloczynu ciągu przez liczbę. Jeżeli \an) jest ciągiem zbieżnym do granicy a, zaś m jest dowolną liczbą, to ciąg {m. an\ jest zbieżny do granicy m. a, czyli

lim (m. an) — m. lim a„.

n--00

Dowód otrzymamy z poprzedniego twierdzenia, kładąc bn = m (n = 1, 2, 3, ... ).

Przykład: Jeżeli ciąg {an} jest zbieżny do granicy g, to ciąg { — an) ma granicę -g.

22. Granica ilorazu ciągów. Iloraz dwu ciągów zbieżnych ma granicę równą ilorazowi granic, pod warunkiem, że wszystkie wyrazy i granica ciągu, przez który dzielimy, są różne od zera.

Np. niechaj będzie:

3/2 + 1

bn =

5л + 1

an ~ 1 + —,

Cn i

an 5 n² + 6л + 1

bn

3 n² + л

Ponieważ:

a — lim an = 1

n —>-00

więc :

lim cn = 1 :

rt—>-oo

Dowód: Postępując podobnie jak w dowodzie o granicy iloczynu, otrzymujemy odcinki Ar i Br, przy-przybliżające a i b z błędem mniejszym niż s. Przyjmijmy przytem, że s < -ł j b |. (Por. uwagę str. 22.)

о-i a

Zbadajmy teraz, z jakim błędem odcinek Cr przybliża .

Dając literom an i ßn znaczenie takie jak w dowodzie twierdzenia o iloczynie, mamy:

an

bn

O -o

b a n — a ßn

1 fr 1 1 an I + 1 а I 1 #11

b (b + ßn)

b i I Ь + ßn

Ponieważ:

H ! CN

więc :

b + ßn j > I b ~ I ßn i > I b I — e > I b I —

т-ł I CN

1*1.

I b -f- (J,11    2 ! b

zatem :

Na mocy powyższej nierówności możemy napisać :

Qn

о- о

1*1+ («I „

c

tot

b i*

Gdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przybliżał ^ z błędem mniejszym, niż pewna dowolna liczba

Ц > 0, wystarczyłoby wziąć na początku takie « > 0, by

r-i ! CN

1) « <

S < rj

2) I⁶i ⁺ \a

b i²

Innemi słowy wystarcza wziąć s dodatnie, mniejsze

od liczb

|l**l 4

a ! 4- ; b

A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę r\ > 0, znaleźć możemy taki odcinek Cr, że wszystkie jego wyrazy

przybliżają ^ z błędem mniejszym niż Ц, t. zn., że

cr-l o

lim cn =

Л--^-oo

Uwaga: Twierdzenie powyższe napisać możemy w sposób następujący :

Um an

к

Um a„

Um bn

n —00

(przy wymienionych założeniach). Zadania:

1. Wykazać, że ciąg⁻ {

I ł

bns + 1

ma granicę zero.

2. Wykazać, że ciąg |

ma granicę

h-i

3.

Wykazać, że ciąg j

5nl±² (i + i +

In - 9 n

In - 1

14/1² + 3

)}

.    5

ma granicę ^

4. Wykazać, że jeżeli ciągi {a„}, [bn) mają tę samą granicę, to ciąg ( an — bn} ma granicę zero.

* Kryterja zbieżności.

23. Zbieżność ciągćw monotonicznych i ograniczonych. Zapytajmy się teraz, w jaki sposób można stwierdzić, czy dany ciąg {an} jest zbieżny. Otóż już poprzednio wypowiedzieliśmy twierdzenie następujące:

Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.

Dowód tego twierdzenia pomijamy jako trudniejszy.

Zauważmy jednak, że jest ono bardzo oczywiste. Np. ciąg pól 2n boków umiarowych wpisanych w koło jest rosnący, ograniczony (bo wszystkie leżą np. w kwadracie na kole opisanym) i, jak już to było intuicyjnie jasne dla Archimedesa, ma jako granicę pole koła.

Nie każdy jednak ciąg zbieżny jest monotoniczny.

i ( — 1) n )

Np. ciąg I 1 + ---— j nie jest monotoniczny, a jak

łatwo widzieć, ma granicę 1.

24. Warunek Cauchy’ego. Powiadamy, że ciąg {an} spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli istnieje prawo, przypisujące każdej liczbie dodatniej s odcinek, którego dwa jakiekolwiek wyrazy różnią się od siebie o mniej niż «.

Twierdzenie: Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego (t. j. warunek Cauchy’ego jest dla zbieżności konieczny).

Przykład: Ciąg | ^    ^ j, który, jak wiemy

(str. 19) jest zbieżny do granicy 1, spełnia warunek Cauchye’go. Mamy bowiem :

•<

n. m

m __1 n — m [

m + 1    (n + 1) (m + 1)

= i + 1.

dn —

Jeżeli więc m > /V, n > /V, to Um 1 < TV’

9

Dla 7V > —, m >■ N, n>N jest więc :

j CLn dm I

Dowód: Niechaj lim an = a. Jeżeli rj jest dort—>-00

wolną liczbą dodatnią, to istnieje odcinek Au, który przybliża a z błędem mniejszym niż rj. Niechaj am i ap będą wyrazami odcinka An. Zatefn

vv

K- K-

; dm \dp -

Ponieważ :

I am — ap I = I am — a + a — ap | < | am ~ a | + | a — aP | ,

więc :

[ d-m dp J 2 rj.

Jeżeli teraz s będzie dowolną liczbą dodatnią, to

£

biorąc f] = widzimy, że dwa dowolne wyrazy dm i dp

odcinka An różnią się od siebie o mniej niż 2 rj — s. Ciąg nasz spełnia więc warunek Cauchy’ego.

Można również udowodnić twierdzenie odwrotne. Twierdzenie. Każdy ciąg, spełniający warunek Cauchy’ego, jest zbieżny (t. j. warunek Cauchy’ego jest dla zbieżności dostateczny).

wiedzieć:

Zbierając oba ostatnie twierdzenia, możemy po

Warunkiem koniecznym i wystarczającym dla zbieżności ciągu jest to, by ciąg spełniał warunek Cauchy’ego.

25. Ograniczoność ciągów zbieżnych. Jeżeli {dn ! jest ciągiem zbieżnym do granicy g, to wszystkie wyrazy, od pewnego począwszy, spełniają nierówność |an —g|<C 1» czyli — 1 <an ~~ g< +1, lub g — 1 < dn <ig + 1. Z tej nierówności, oraz z uwagi na to, że pozostałych wyrazów jest tylko liczba skończona, wynika, że ciąg {dn \ jest ograniczony. •

Udowodniliśmy więc

Twierdzenie: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Odwrócenie tego twierdzenia jest fałszywe, jak widać na przykładzie ciągu { ( — l)n }, ograniczonego i rozbieżnego.

26. Zbieżność ciągu, zawartego między dwoma innemi. Jeżeli mamy dane trzy ciągi {a«}, {}, {cn\ spełniające następujące warunki :

1)    lim an = lim bn — g

П--^ 00    n -    \

2)    CLn ^ Cn ^ bn

to ciąg {Cn} jest zbieżny i lim cn — g-

Dowód: Niechaj г będzie dowolną liczbą dodatnią. Istnieją takie odcinki An i Bn, które przybliżają g z błędem mniejszym niż s. Wykażemy, że i odcinek Cn przybliża g z błędem mniejszym niż s. Jeżeli bowiem cn należy do odcinka Cn, wówczas na mocy założenia

CLn Сц 'С- Ь

więc :

g ~ bn < g — cn < g — an ,

ale wyrazy an względnie bn należą do odcinka An względnie Bn, więc :

- e < g - bn

g — an < 8.

Stąd otrzymamy nierówność :

- 8 <g — cn <8

czyli :

\ g — Cn j < S.

Więc każdy wyraz odcinka Cn przybliża g z błędem mniejszym niż 8. Ponieważ s było liczbą dowolnie obraną, więc lim cn = g

n —cc

Przykład. Niech

Сл V«² + ¹

Машу wtedy

\n² + 2

+ ••• +

-c

n² + n

П \jn² + n

Cn Tl

sjn² + 1

a ponieważ

\jn² + n < n + 1, więc tern bardziej :

\ln* + 1 > n,

i-и I C

I    cn    Tl

n~r 1

Kładąc an = —, bn — 1, mamy, jak wiadomo,

//m    = 1.

= 1.

//m    = 1

Л--^-00

Stąd

Л--^-00

lim cn = 1.

Л--^ 00

Zadania:

1.    Wykazać, że jeżeli ciąg⁻ {an ciąg- { an²} ma granicę g².

2.    Wykazać, że jeżeli ciąg {an} ma granicę g, to ciąg {5a„³ + 18а/г — 1} ma granicę (5g³ + 18g — 1). Uogólnić to.

3.    Wykazać, że ciąg {E (n\ 2)} jest rosnący i ogra-

ma

granicę g, to

mezony.

4. Wykazać, że ciąg {an\, określony w sposób następujący:

a, = 0,

0-1 — 1,

On =

On—\ 4” On—2

(n > 2),

a więc ciąg:

О, 1,

i—i CN

co Nr

A 11

’ 8’ 16’

OOi oo

ma

tę własność, że:

(n = 2, 3, •••)

„ _ A ₌ A izjy

"    3    3 2”-¹

a więc jest zbieżny do granicy dukcję.)

oo to

. (Dowód przez in-

5. Wykazać, że ciąg

a₀ nk + Oj nk ~¹ + • • • + cik bo nh + ói — 1 + • • • + bk

Cło ~t~ CL\ - “f~ • • • Ч⁻ (2k — 1

1 П + Ctk

n + bk

¹ + „ 1 nk-x + ah _

nh

+ • • • + bk — \

nk~ i

jest zbieżny do granicy przy założeniach:

bo

+ bk \ nR

b₀ ф 0, b₀ nk + b\ nk —¹ + • • • + bu Ф 0 dla wszystkich n.

6. Wykazać, że jeżeli ciąg j^~j (&« > 0) jest

f ax + a₂ + * • * an \ . ,    ,

U, + i, + •••SI lest rowmez

E(x) + E (2x) -f ■ • • + E(nx)

monotoniczny, to ciąg monotoniezny.

7. Wykazać, że ciąg |

X

ma granicę .

8. Niech

(x > 0),

ai = V x y On + i = \jx + an

a więc :

a% — \Jx + \j x , a₃ — \ x + \ x + \J x

rosnący i że an < дг + 1 jest więc zbieżny.

9. Opierając się na wynikach zadania 8 i na

Wykazać, że ciąg⁻ {an } (przez indukcję). Ciąg j

? o*

i t. d.

wzorze :

a²n +i = * + an,

wykazać, że oznaczając przez g granicę ciągu { an }, mamy: g² = x + g,

a stąd

10.    Wykazać, że każdy ciąg, zawierający nieskończenie wiele zer i jedynek, jest rozbieżny.

11.    Wykazać, że ciąg, którego wszystkie wyraz} są liczbami całkowitemi, jest wtedy i tylko wtedy zbieżny, jeżeli wszystkie wyrazy, od pewnego począwszy, maja tę samą wartość.

12.    Wykazać, że granica g ciągu zbieżnego [ an !, którego wyrazy spełniają nierówność:

A CLn By

spełnia tą samą nierówność.

Obliczenie pewnych granic. Liczba e.

27. Wyznaczenie niektórych granic. Udowodnimy teraz dwa twierdzenia, z których w dalszym ciągu będziemy korzystać.

Twierdzenie: Oznaczając przez { an } dowolny ciąg liczb naturalnych rozbieżny do + co, mamy:

1°. lim AXn = + oo

n —>-00

dla A > 1

A = 1 0 < A < 1

dla A > 0

_

2°. lim \j A = 1

n-->-00

Dowód:

1°. Istotnie, jeżeli A > 1, to na podstawie znanej nierówności (wstąp 3) jest

Ax” > 1 + an (A — 1).

Oznaczmy przez M dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ ciąg {an} jest rozbieżny do + oo, wiąc istnieje w nim wyraz    od którego począwszy jest

czyli 1 + an (A — 1) > M. Dla n> N

A — V

zatem AXn > M, czyli, wobec dowolności M, Attn = + oo.

ff« >

mamy

lim

n-->-00

Jeżeli A — 1, to AXn — 1 przy każdem n, a wiąc i lim AXn = 1 ; podobnie, jeżeli A — 0, to AXn = 0

(n = 1,2,...), a wiąc i lim Aan = 0.

n—-^00

Wreszcie, jeżeli 0 < A < 1, to -д- > 1, zatem

( -r -

lim

n-->- 00

+ oo. Ponieważ AXn =

- » «/2

wiąc

z uwagi na podane twierdzenie (str. 14) otrzymujemy lim Aan = 0.

n —>-00

2°. Załóżmy najpierw, że A ^ 1. Wówczas również

\j A ^ 1. Kładąc więc sj A — 1 + sn (en 0), mamy Л = (1 + £л)ап ;> 1 + a„ en (por. wstęp 3), a więc Л —

0<«„<

-. Ponieważ lim an

-00

— + oo, zatem

A— 1

lim n—>-°°

- 0 (por. str. 14). Ciąg {ел} jest więc

f^ł

zbieżnemi do

zawarty między ciągami {0 zera. Stąd na podstawie znanego twierdzenia (str. 35)

a„

wynika, że lim sn = 0; a więc lim \J A = 1. Jeżeli

0 < A < 1, to -д > 1, zatem n

oo

Л--^03

->.V

= 1. Po-

a«

nieważ

«л, 1

mamy:

^ Л = у więc również i w tym wypadku

аЛ

//m у Л =

00

lim

ari

= 1.

Ул

dzenie.

Udowodniliśmy więc w zupełności nasze twier* Twierdzenie: Przy dowolnie obranem x jest

lim

xn

Dowód: Niech x będzie dowolną liczbą. Obierzmy liczbę naturalną к, spełniającą nierówność \x \ < k.

<*-ST2

a więc przy n > k

д:л

k\ £+1 к+2

&n~k =

1**1

d*kl

#n.

Ponieważ 0 < # < 1, więc &n zmierza do zera, gdy n rośnie nieograniczenie (por. twierdzenie poprzednie),

zatem i

д*Л

n!

zmierza do zera, czyli.

lim

⁰⁰ nl

xn

. = 0.

28. Liczba e = 2*71828... W matematyce wyższej ma wielkie znaczenie pewna szczególna liczba, którą oznacza się symbolem e. Liczbę tę można zde-finjować jako granicę ciągu {a„}, którego n-ty wyraz jest określony wzorem:

¹

a — an I < e

1 \n

to znaczy:

e = lim

n —^00

Zęby definicję tę usprawiedliwić, trzeba wykazać, że ciąg, określony w powyższy sposób, jest ciągiem zbieżnym. Wykażemy to, udowadniając, że ciąg ten jest monotoniczny i ograniczony.

Dowód: Na mocy wzoru Newtona na potęgę dwumianu otrzymujemy :

n(n- 1)

(1 + --)', = 1 + T-ł ⁺

л (л 1) (л 2)    1

1. 2.

л (л — 1) (л — 2) • • • 2. 1    1

1. 2.

• -г- +

л²

3.

• — + ... +

л³

лп *

Biorąc pod uwagę np. czwarty wyraz powyższego rozwinięcia, możemy go przedstawić w postaci następującej:

1. 2.

3.

3.

1. 2.

Postępując w ten sposób ze wszystkiemi wyrazami począwszy od trzeciego, otrzymujemy wzór:

'(■-i)

1. 2.

2.

+ ... +

1. 2.

3.

Podobnie postępując, otrzymamy również wzór następujący:

П -f 1

n + 1/

1.

2.

⁺ T.

)(

2.

3.

)(

1. 2.

3.    ••• (n + 1)’

Zauważmy teraz, że licznik każdego ułamka, występującego w powyższych rozwinięciach, jest mniejszym od jedności, gdyż jest iloczynem liczb mniejszych od jedności. O mianownikach zauważmy rzecz następującą :

1. 2 = 2¹

1. 2. 3 > 1. 2. 2 = 2²

1. 2. 3. 4 > 1. 2. 2. 2 = 2³

1. 2. 3. 4. ... n > 1. 2. 2. 2. .• .2 = 2"

Wobec tego:

4- — 4“ — -f" • • • +

2² 2³

2«-¹ *

Stosując formułę na sumę postępu geometrycznego, (por. wstęp 4), otrzymujemy :

i-i CN

(1 + ł)"

¹ -(y)"

<i + Y

więc

(■Y)‘

<3.

Udowodniliśmy więc, że ciąg jest ograniczony.

Wykażemy teraz, że ciąg jest monotoniczny. Zauważmy przedewszystkiem, że w rozwinięciu

(1+1Г

występuje n + 1 wyrazów, w rozwinięciu

występuje n + 2 wyrazów, a więc o jeden wyraz więcej. Łatwo widzieć, że:

i t. d. — ogólnie :

n + 1'

Wobec tego :

(■-ł)(‘-ł)('-ł)

K-A)

IW. 2 W.

i t. d. Widzimy więc, że wyrazy rozwinięcia pierwszego, począwszy od wyrazu trzeciego, są mniejsze od odpowiednich wyrazów rozwinięcia drugiego i że ponadto w rozwinięciu drugiem jest o jeden wyraz więcej. A więc:

n + 1

(¹⁺+Г < (

Ciąg |l +    jest więc monotonicznym i ograniczo

nym, a zatem posiada granicę.

Udowodnimy teraz twierdzenie następujące: Twierdzenie: Jeżeli w ciągu {rn} wszystkie liczby są do modułu większe od 1 i jeżeli lim | rn j = = + oo, wówczas :

1 + — P = e.

Гп I

Dowód: Załóżmy narazie, że liczby ciągu rn są liczbami całkowitemi, dodatniemi. Mając dowolną liczbę e > O, możemy znaleźć takie N, aby dla każdego л > N (n liczba naturalna) zachodziła nierówność:

(ч-ł)’

— e < s.

Ponieważ wedle założenia liczby rn są liczbami natu-ralnemi spełniającemi warunek lim rn= + oo, zatem możemy twierdzić, że począwszy od pewnego wyrazu wszystkie r„ są większe od N, że więc dla tych liczb

wyrażenie jl +    różni się od e o

mniej niż e.

Ponieważ s jest dowolną liczbą dodatnią, więc

(1)

i + — )Гл = e.

Гп I

Przejdźmy teraz do wypadku ogólnego. Oznaczmy przez an największą z liczb naturalnych, spełniających nierówność :

a« < I rn I .г)

Zauważmy teraz, że jeżeli rn jest liczbą dodatnią większą

Jasną jest rzeczą, że lim «л = -|- ⁰⁰ •

od 2 (liczb rn co do modułu niewiększych od dwóch jest tylko skończona ilość, gdyż lim | rn | = oo ), a więc jeżeli ccn > 1, to:

co

stąd :

a„ — 1

rn

więc:

„,У~ ®

(1 +

*n — 1

«л — 1

Wykażemy teraz, że formula powyższa jest ważna i w wypadku, gdy rn jest ujemne, co do modułu większe od dwóch. W wypadku tym

(■У)'--

ЙГ

\Ы-1/    ’

ponieważ :

Гn 1    1 +1

Гп I — 1 ’

rn

Гп I — 1

Гп I - 1

więc:

(■У)" -(

ет=т)

\rn

(3).

Zauważmy teraz że : więc :

an

czyli :

stąd :    1 +-г 1 + i-;-- >14-

an — 1    I rn I — 1

A więc otrzymujemy wkońcu :

11 +_i_V1

Г |r„| —17

an + 1

«П —

i. Yn

an + 1 /

Stąd, opierając się na wzorze (3), otrzymujemy nierówność (2), która jest więc ważną dla wszystkich rn co do modułu większych od dwóch. Ponieważ pozostałych wyrazów rn jest tylko skończona liczba, więc możemy je przy rozważaniu granicy pominąć.

Obliczymy teraz granice wyrażeń:

ï)

an + 1

an —

ал -f-1

Mamy:

an —

=(

ccn —

W

1/

•(

an —

ï)

Zauważmy, że na mocy (1) i ponieważ an są liczbami naturalnemi rozbieżnemi do + oo, mamy:

lim

n-->-00

O drugim czynniku wiemy, że :

— 1

= e.

ап — 1

lim [

n—>-00 \

«Л — 1

) = [ lim (

/    L л —00 \

1,

a więc:

lim

n-->-00

an — 1

ап + 1

(4)

Podobnie postępując, otrzymujemy:

[<

an + 1

a„ + 1

аи + 1

ал + 1

= lim ( 1 + —)

П —00 '    ^/1    '    1 /

lim ( 1 + —L- )

л->оо\    an + 1 I

= e. 1;

więc:

(5)

1 \«„ _

«л + l/    e

Zatem na mocy (2), (4), (5) i tw. str. (35)

If

rH

ROZDZIAŁ IL

Funkcje jednej zmiennej.

1. Przykłady funkcyj. Pojęcie funkcji. Do pojęcia funkcji możemy dojść, badając stosunki zachodzące pomiędzy rozmaitemi wielkościami. Zdarzyć się może, że dwie wielkości, przy pewnych warunkach, są tak ze sobą związane, iż każdej wartości pierwszej wielkości odpowiada ściśle określona wartość drugiej wielkości. Jeżeli taki fakt ma miejsce, to powiadamy, że wielkość druga jest funkcją wielkości pierwszej.

Przykłady:

1. Cena cukru w pewnem mieście i w pewnym okresie czasu jest określona przez podanie ilości cukru, t. j. jego ciężaru. A więc cena cukru jest funkcją ciężaru cukru.

2.    Cena biletu kolejowego III kl. jest funkcją długości drogi, na jaką ten bilet został wystawiony, gdyż bilety, wystawione na równe drogi, mają równe ceny.

3.    Badając ruch jakiegoś ciała, zauważymy, że droga przebyta od chwili, w której zaczęliśmy ruch obserwować, jest funkcją czasu, jaki od tej chwili upłynął, np. : Droga przebyta przez pociąg od chwili ruszenia jest funkcją czasu, który od tej chwili upłynął.

4.    Doświadczenie uczy, że ta sama masa gazu

w stałe] temperaturze ma w równych objętościach równe prężności, więc : Prężność tej samej masy gazu w stałej temperaturze jest funkcją jego objętości.

5.    Ponieważ w każdym momencie dnia temperatura jest określona, więc możemy powiedzieć, że temperatura jest funkcją czasu.

6.    Doświadczenie uczy, że dany pręt metalowy ma w każdej temperaturze określoną długość, więc długość uważanego pręta jest funkcją jego temperatury.

7.    Dwa koła o równych promieniach mają równe powierzchnie, więc powierzchnia koła jest funkcją jego promienia.

2. Oznaczenia. Jeżeli wielkość Y jest funkcją wielkości X, to wielkość X nazywamy zmienną niezależną, wielkość Y zmienną zależną. Zależność funkcyjną znaczyć będziemy symbolem :

Y= F(X)

Piszemy również В — F(A), jeżeli В oznacza nam tę szczególną wartość wielkości Ÿ, która odpowiada w powyższej zależności funkcyjnej pewnej szczególnej wartości A wielkości X. (Zamiast litery F używamy nieraz liter /, <p, ip, i t. p.).

3. Ścisła definicja pojęcia funkcji. Możemy pojęcie funkcji zdefinjować jeszcze w inny sposób, abstrahując od pojęcia wielkości. Mianowicie : Jeżeli dane jest prawo, na mocy którego każdej liczbie pewnego zbioru Z liczb odpowiada jedna i tylko jedna liczba rzeczywista, wówczas powiadamy, że w zbiorze Z określona jest funkcja¹). Podobnie, jak poprzednio, odpo-wiedniość tę znaczyć będziemy symbolem

У = /(■*)

*) Dokładnie mówiąc, funkcja jednej zmiennej w odróżnieniu od funkcyj wielu zmiennych, o których będzie mowa później.

gdzie л: jest znakiem dowolnej liczby zbioru Z, zaś у znakiem liczby przyporządkowanej liczbie лг. Jeżeli лг„ jest pewną szczególną liczbą zbioru Z, to symbol f(xQ) czać nam będzie liczbę jej przyporządkowaną.

ozna-

Zbiorem Z jest zazwyczaj jakiś przedział (a, b).

4.    Różne rodzaje określenia funkcyj. Zastanówmy się teraz, w jaki sposób może być podana funkcja. Wedle poprzedniej definicji trzeba, by każdej wartości X danego zbioru Z odpowiadała ściśle określona liczba y. Zachodzi to w szczególności wtedy, gdy to podporządkowanie jest określone pewnym wzorem, np.

у = X² + 2лг + 3, dla 0 ^ x 1.

Istnieją jednak określenia funkcyj, podpadające również pod powyższą definicję, przy których nie podajemy wzoru. Jeżeli np. każdej liczbie wymiernej przedziału (0, 1) podporządkujemy liczbę 0, każdej liczbie niewymiernej liczbę 1, to przez to określamy w zupełności pewną funkcję w tym przedziale, jakkolwiek nie podajemy wzoru.

Zbiór Z nazywamy obszarem zmienności zmiennej x.

sens. Np. dla f(x) =

W dalszym ciągu będziemy często określać funkcję wzorem, nie podając przytem wyraźnie obszaru zmienności. Przyjmujemy milcząco w takich wypadkach, że obszar zmienności jest zbiorem tych wszystkich liczb x,

dla których podany wzór ma

do zbioru Z należy każde х ф 0.

5.    Sposoby przedstawiania funkcyj. Tablice.

W praktyce jest potrzebne przedstawienie funkcji, pozwalające w łatwy sposób znajdować wartość у odpowiadającą danemu x. Do tego celu służą: 1° Tablice, 2° Wykresy.

Tablicę wartości funkcji otrzymujemy, pisząc obok wartości zmiennej x odpowiednie wartości zmiennej y. Tablica zawiera oczywiście zawsze skończoną liczbę wartości x i odpowiednich wartości y, przyczem zwykle wartości zmiennej x tworzą postęp arytmetyczny.

Np. tablicą funkcji г/ = д:²4-2х + 3 jest

o-i

0-2

0*3

0-4

0-5

0-6

07

0-8

0-9

у 3 3-21 3-44 3-69 3-96 4*25'4*56 4’89 5.24 5 61 6

Innym przykładem jest tablica, podająca ciśnienie barometryczne w pewnym dniu, w odstępach np. godzinnych.

Tablica określa nam funkcję tylko w pewnym zbiorze częściowym zbioru Z, zawierającym skończoną liczbę wartości.

Np. funkcja y = x² + 2x + 3 jest określona w całym przedziale (01), a w tablicy podaliśmy tylko 11 wartości. Ciśnienie barometryczne w każdej chwili posiada pewną wartość, tablica podaje tylko wartości co godzinę i t. p.

Funkcje występujące w praktyce mają tę właściwość, że małym zmianom zmiennej x odpowiadają w przybliżeniu do nich proporcjonalne, małe zmiany zmiennej y. Jeżeli więc odstępy zmiennej x z tablicy są dostatecznie małe, to z tablicy widać ogólny przebieg funkcji też dla wartości pośrednich, a nawet można z dużą dokładnością obliczać wartości funkcji dla wartości pośrednich (interpolacja).

Tablice funkcyj powstają bądź w ten sposób, że z danego wzoru oblicza się wartości zmiennej (tablice matematyczne), bądź też otrzymuje się wartości zmiennej у zapomocą pomiarów fizykalnych, chemicznych i t. p. (tablice empiryczne).

Do pierwszej kategorji należą tablice logarytmiczne, trygonometryczne i t. p., do drugiej — tablice prężności pary wodnej nasyconej w różnych temperaturach, tablice podające temperaturą wrzenia wody w zależności od ciśnienia i t. p.

Należy zresztą zauważyć, że tablice, zarówno matematyczne jak empiryczne, podają wartości funkcji tylko z pewnem przybliżeniem zależnem od tego, do jakiego celu ma służyć tablica, a przy tablicach empirycznych jeszcze od tego, jaką dokładność można było osiągnąć w pomiarach.

6. Wykresy. Drugim sposobem przedstawienia funkcji jest wykres. Niech OXY będzie dowolnym układem współrzędnych. Wykresem funkcji y — f{x) nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych ([x, /(*)). Więc np. wykresem funkcji linjowej y = 2x + 3 jest linja prosta,, wykresem funkcji y = xŁ — parabola i t. p.

Wykres wykonujemy bądź zapomocą specjalnych przyrządów (linjał, cyrkiel, elipsograf i t. p.), bądź też, najczęściej w sposób następujący:

Mając tablicę wartości funkcji, wyznaczamy odpowiednie punkty w układzie O XY. W ten sposób dostajemy tylko skończoną liczbę punktów wykresu. Jeżeli funkcja zmienia się w sposób regularny (por. wyżej) i jeżeli punkty otrzymane leżą dość gęsto, to już z tego niezupełnego wykresu widzimy przebieg funkcji i łącząc otrzymane punkty odręcznie, otrzymujemy linję krzywą, będącą wykresem funkcji.

Z przyczyn podanych przy opisie tablic, do których się dołączają jeszcze : niedokładność przyrządów rysunkowych, fakt, że każda krzywa narysowana ma pewną grubość, i t. p. wynika, że i wykres nie jest zupełnie dokładnym obrazem funkcji.

osiach О X, OY.

U w a g a : Przy kreśleniu wykresu obiera się na-ogół ze względów praktycznych różne jednostki na

Przykład: Niech f(x) = x³ —x + 1. Aby wykonać wykres dla — 1*6 ^ x 1‘6, obliczamy tablicę np. w odstępach 0*2. Otrzymujemy poniższą tablicę z dokładnością na jedno miejsce dziesiętne (dalsze miejsca dla wykresu w tych rozmiarach są obojętne).

CTs^K)ôobCTN4lK3Ôto^.a\dbôtÔ4^<ÿ\

+++++-Г+ + +++++++ I I

WMhmoOoO^mmmmhOOm

0\U)(-nO^jas^4CÔÔtôÛi4i.WÔvÔûlJ»l

y» x³-x*1

~T-t? « oe ~~m

Rys. 2.

tâ / ti

Zadania: Wykonać tablice i wykresy następujących funkcyj :

1.    y — 2x -j- 3

0<х<1

2.    y = \jl~x^

³’ 3 = \ dla X ^ ° fr=1, dla * ⁼ °]

1 <*<2

o <; x <; i

— i <; X i 0<x<10

4.    г/ = X² — 1 у = X³ ~ 1

5.    у = ^

6.    у = sjx

7. Funkcje ograniczone. Funkcje monotoniczne.

Funkcję ÿ = f(x) określoną w zbiorze Z nazywamy ograniczoną, jeżeli istnieje liczba M > 0 taka, że

l/to i < M

dla wszystkich x zbioru Z.

Funkcję y = f(x) określoną w przedziale (a, b)

nazywamy :

rosnącą, gdy nierówność : xt < x₂, pociąga f(xx) </(лг₂) malejącą,    „    „    „    „    f(x₁)>f(x₂)

memalejącą    „    „    „    „    /(*i)</to)

merosnącą    „    „    „    „    f{Xl )>/(лг₂)

dla każdej pary liczb xlf x₂    лг₂), należących do

przedziału (a, b).

Każdą taką funkcję nazywamy funkcją monoto-niczną. Funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznemi.

Funkcje, występujące w praktyce, są bądź mono-toniczne w całym przedziale, w którym są określone, bądź też można podzielić ten przedział na skończoną liczbę przedziałów takich, że w każdym z nich funkcja jest monotoniczna.

przedziale.

Istnieją jednak funkcje niemonotoniczne w żadnym

Przykłady:

1.    Funkcja y = x jest rosnąca w każdym przedziale.

(»■i)-

2.    Funkcja у = cos x jest malejąca w przedziale

przedziale.

3. Funkcja у = E(x) jest niemalejąca w każdym

4. Funkcja у = E ^ — j jest dziale (0,1).

nierosnąca w prze-

5. Funkcja y — x² jest malejąca w przedziale ( —1,0), rosnącą w przedziale (0,1).

ROZDZIAŁ III.

Granica funkcji.

Definicja i własności granic.

1. Definicja granicy funkcji. Przypuśćmy, że mamy daną funkcję y =/(x), określoną w otoczeniu¹) pewnego punktu x₀ z wyjątkiem może samego punktu *₀; nie czynimy więc żadnych hipotez co do tego, czy uważana funkcja jest określona w punkcie x₀ czy nie.

Powiadamy, że g jest granicą funkcji, gdy x zmierza do д-₀, jeżeli dla każdego ciągu {x„ } zbieżnego do x0 o wyrazach jednak różnych od x₀, odpowiedni ciąg {/(•*■«)} wartości funkcji zbieżny jest do g, t. zn. że, jeżeli tylko lim xn = дг₀ (xn Ф ;r₀), wówczas

n--00

lim f(xn) = g.

Tl —co

Dla zaznaczenia, że g jest granicą funkcji, gdy x dąży do x₀, pisać będziemy : lim /(*) = g.

x—+-xn

Przykłady:

1. Niech y — x cos—- w przedziale ( — 1, + 1)

*) Otoczeniem punktu x₀ nazywamy każdy przedział, zawierający w swem wnętrzu punkt x₀.

z wyjątkiem punktu O, w którym funkcji nie określamy.

Mamy tu: lim /(x) = 0. Istotnie, jeżeli {xn} (хпф0)

*-■>-o

jest ciągiem zbieżnym do zera, to

Xn

I f(*n) I - I Xn

Ponieważ lim xn — 0, więc lim f(xn) = 0.

n -—oo

*«->-⁰

— w tym samym zbiorze co po-

2. Niech у = cos

przednio. W tym wypadku nie istnieje granica w punkcie

—7, otrzymujemy ciąg zbież-

zero. Kładąc bowiem xn —

ny do zera, odpowiedni zaś ciąg {/(x„)} jest identyczny z rozbieżnym ciągiem — 1, + 1, — 1, + 1, . ..

2. Działania na granicach. Z definicji granicy funkcji i odpowiednich twierdzeń z teorji granic ciągów wynikają natychmiastowo twierdzenia następujące : Jeżeli :

lim /j (x) = gL i lim f₂ (x) = g₂,

to :    ‘

x~>~Xa

1.    lim [Л (x) + ft (x) ] = gl + g₂

X—^Xo

2.    //m [fi(x) . fŁ (*)] = g! . g₂

x ->-*o

3.    jeżeli m jest liczbą rzeczywistą, to

lim [m /i (x) ] = mg₁

*—•>- X₀

4.    przy założeniu dodatkowem, że g₂ ф 0 i /₂ (х) ф 0„ otrzymujemy :

lim AM = iL

/₂(x)

Przykład: Niech fx(x) = x cos

—J%{x) = x+1,

w przedziale (— 1, + 1) z wyłączeniem zera. Jak wiemy, lim f\ (x) = 0. Jeżeli { xn} (xn ф 0) jest ciągiem zbieżnym do zera, to ciąg

jest zbieżny do granicy 1+0=1. A zatem

lim

x—+~x₀

X cos — + 1 +

*)⁼¹

lim

x„

X cos (1 + x) j = 0

X cos —

lim .__x ₌ л

*-■1 + л:

co łatwo również sprawdzić bezpośrednio.

Udowodnimy np. twierdzenie pierwsze. Weźmy dowolny ciąg {xn} (x„ ф x₀) zbieżny do x₀. Ponieważ

lim fx (x) = gt

lim f% (x) = g₂,    *

X₀

X—^~X₀

więc na mocy definicji granicy otrzymujemy lim fx (*„) = gi

n--OD

lim /₂ (r„) = g₂.

n-->-co

Stąd na mocy odpowiedniego twierdzenia z teorji granic ciągów mamy:

n —^-00

lim [fi (xn) + /₂ (*„) ] = gi + g%.

Ponieważ ciąg {xn} jest dowolny, byleby tylko spełniał warunki wyżej podane, więc

lim [/i O) + /₂ (x) ] = gi + £2.

3. Warunek istnienia granicy. Ważnem jest w zastosowaniach twierdzenie następujące :

9⁺£...............

x_

X₀

Rys. 3.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na-to, by liczba g była granicą funkcji y = f(x), gdy x zmierza do x₀ jest to, by istniało prawo, które każdej liczbie s > 0 przyporządkowuje takie otoczenie punktu x₀, w któ-rem wartości funkcji dla wszystkich liczb tego otoczenia (z wyjątkiem, być może, samego x₀) przybliżają g z błędem mniejszym od s.

Inaczej mówiąc, nato by lim f(x) — g, potrzeba

*--Ух₀

i wystarcza, by wartościom л: ф *₀ dostatecznie mało różniącym się od *₀ odpowiadały wartości funkcji f{x) dowolnie mało różne od g.

Twierdzenie to możemy obrazowo przedstawić następująco :

Obierzmy dowolną liczbę £>0 i na osi y-ów zaznaczmy odcinek o końcach : g — e, g + s. Wykreślmy z końców tego odcinka proste równoległe do osi л:-ów. Otrzymamy w ten sposób pasek o szerokości 2 e. Zbadajmy teraz, czy istnieje taki odcinek ô położony na osi л:-ów i zawierający x₀ w swojem wnętrzu, by ta część krzywej, która leży nad odcinkiem d, [z wyjątkiem być może punktu (x₀, /(jc₀))], znajdowała się całkowicie w pasku poprzednio wyznaczonym.

Otóż twierdzenie nasze powiada:

1.    jeżeli g jest granicą, to dla każdego 0 taki odcinek znajdziemy,

2.    jeżeli dla każdego s > 0, taki odcinek znajdziemy, to g jest granicą.

W wypadku przedstawionym rysunkiem 4, g nie

jest granicą ^ wziąwszy pasek taki, jaki zaznaczony jest na rysunku, nie znaj-—~    dziemy odpowiedniego

odcinka ó. Mimo to są paski, dla których odpowiedni odcinek â istnieje.

gdyż

Rys. 4.

Zanim przejdziemy do dowodu tego twierdzenia, pokażemy jego zastosowanie na kilku przykładach.

1.

lim (5 X² — 7 X + 6) = 4.

Dowód: liczbie s>0 przypiszmy przedział (1 — rj, 1 + tj), gdzie rj jest równe mniejszej z dwu

liczb: 1,

tegoż przedziału, to

g- s. Jeżeli teraz x jest dowolnym punktem

X — 1 + A

gdzie I A I •< rj. Więc

I (5 x²~7x + 6) — 4 | = | [5(1 + A)² —7(l+A) + 6] — 4| =

= I ЗА + 5 А²1 = IАI |3 + 5 АI

ponieważ

więc

I А I C ^ C 1,

I (5*² - 7x + 6) - 4 I < I А 1.8,

ponieważ jednak | A | rj    —- s,

o

więc

I (5 x² — 7 X + 6) — 4 I <1 «.

Widzimy więc, że wartości funkcji wewnątrz przedziału (1 —    1 + różnią się od 4 o mniej niż «,

a więc 4 jest granicą funkcji, gdy x dąży do 1.

2.

lim UL

x—^² X² + X — 6

Dowód: liczbie £ > 0 przypiszmy przedział (2 — rj, 2 + rj), gdzie rj jest mniejszą z dwu liczb 1, 5 «. Jeżeli teraz х ф 2 mieści się w przedziale (2 — rj, 2 + rj), to X = 2 + A, gdzie 0 < | A | rj. Wobec tego :

_ (2 4- A)² - 3 (2 + A) + 2    1

(2 + A)² + 2 + A - 6 A + A²    1 _ 1 + A

5 A + A²    5    5 + A "

1 Л I < 1,

- więc 25 + 5 A > 25 - 5 I А I > 25 - 5 . 1 = 20,

/(2 + A) —

ponieważ

rH un

th un

25 + 5 A’

więc

25 + 5 А I 20 ’

/(2 + A) - I

ponieważ zaś | A | ^ 5 e, więc

/(2 +A)-J

4.5«

•= «.

A więc -y jest granicą funkcji, gdy x dąży do 2.

lim x² = 4.

3.

X —У 2

D o w ó d : weźmy pod uwagę przedział o krańcach {2 " rj, 2 + rj), gdzie ij jest pewną liczbą dodatnią, zresztą dowolną. Jeżeli x jest punktem przedziału (2 — rjf 2 + rj), to I x — 2 I r\. Wartość funkcji naszej w punkcie x jest x². Lecz

stąd

więc

x² -4 = (x-2) (x + 2),

I x² — 4 I = I x — 2 I I x + 2 I,

I**-4|<4.{M + |2|)<4{2 + ii + 2},

czyli

x² — 4 I -< У] (4 + rj).

Nierówność powyższa ważna jest dla wszystkich rj > 0. Dla wartości dodatnich na rj, ale nie większych od 1, otrzymamy nierówność następującą:

I x² - 4 I < 5 rj.

Nierówność powyższa wykazuje, że każdej dodatniej liczbie s możemy przypisać przedział (2 — rj, 2 + rj) taki, że jeżeli x jest dowolnym punktem tego przedziału, to mamy:

I X² - 4 I < 8.

Wystarczy w tym celu obrać za rj mniejszą z liczb;

Przystąpimy teraz do dowodu naszego twierdzenia. Udowodnimy naprzód, że warunek podany jest warunkiem koniecznym. Poprowadzimy dowód nie wprost. Przyjmijmy więc, że g jest granicą, a funkcja warunku podanego nie spełnia. Wobec tego nie dla każdego s > 0, znajdziemy odpowiednie otoczenie. Obierzmy sobie więc « > 0, dla którego takie otoczenie nie istnieje ; jakikolwiek zatem odcinek d obierzemy, zawierający w swojem wnętrzu punkt x₀, to zawsze znajdziemy w nim taki punkt, | ф *0, że wartość funkcji w tym punkcie różnić się będzie od g co najmniej o e, czyli, że

/Ш — £ I > e.

Obierzmy sobie teraz dowolny ciąg odcinków di, d₂,..., zawierających w swojem wnętrzu x₀ takich jednak, by ich długości zmierzały do zera. Oznaczmy przez |„ dowolny punkt odcinka d„, różny od дг₀ i spełniający nierówność

(1)

I /(£„) ~ g I > *.

Na mocy tego, cośmy poprzednio powiedzieli, punkt taki w każdym odcinku dn istnieje. Ponieważ | |„ — лг₀ j jest niewiększe od długości odcinka ón, więc

lim I |„ “ *o I = 0,

a więc

n —>-00

Am In = x₀.

n —> oo

Na mocy zaś nierówności ciąg {/(In)} nie zdąża do granicy g, co jest sprzecznem z założeniem, że funkcja ma granicę g w miejscu x₀.

A więc wykazaliśmy, że warunek jest koniecznym.

Wykażemy teraz dostateczność.

Załóżmy więc, że funkcja spełnia podany w twierdzeniu warunek. Niechaj {xn} będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x₀, przyczem xn ф xo- Wykażemy, że lim f(xn) = g.

n —>-00

W tym celu obierzmy sobie dowolną liczbę s > 0. Wedle założenia istnieje otoczenie punktu x₀ takie, że każdy punkt | ф x₀ tego otoczenia spełnia nierówność

Ponieważ lim xn — xQ, więc począwszy od pewnego

n —^-00

wyrazu (oznaczmy go przez xN) wszystkie następne leżą w obranem otoczeniu. A więc każdy wyraz xn późniejszy od xN spełnia nierówność (2), t. zn.

I/W -g\<s-

Ponieważ s obraliśmy dowolnie, więc

lim f(xn) = g,

a więc:

lim f(x) = g.

4. Granica jednostronna. Powiadamy, że g jest granicą lewostronną funkcji, gdy x—->-x₀, jeżeli dla każdego ciągu {.*•„} zbieżnego do x₀ o wyrazach mniejszych od дг₀, odpowiedni ciąg {/(*„)} wartości funkcji zmierza do g, t. zn., że jeżeli tylko

lim xn — x₀

n--Oo

(xn < x₀),

to

lim /(*„) — g.

n —^-00

Piszemy to w ten sposób :

lim /(x) = g.

X —-x₀ — 0

Podobnie określamy granicę prawostronną i piszemy: lim f{x) = g.

X —*0 + o

Przykład. Niech / (x) — dla x =j= 0. W punkcie x = 0 funkcji nie określamy. Mamy oczywiście dla

x>0, f{x) =* + 1, dla x<0, f(x) = - 1. Jeżeli {xn} jest ciągiem o wyrazach dodatnich, zbieżnym do to f(xn) = + 1 przy każdem n, a więc

zera,

lim /(x„) = + 1

Stąd

n —oo

lim f(x) = 1 >~ + 0

Analogicznie :

lim f{x) — — 1

Funkcja ma więc granicę prawostronną + 1, lewostronną —■ 1, natomiast granica lim f(x) nie istnieje.

X—^-0

Z definicji granicy łatwo wynika, że jeżeli funkcja ma granicę, to istnieje granica lewostronna i prawostronna i obie są równe granicy funkcji. Z istnienia jednak granicy np. lewostronnej nie możemy nic wnioskować o granicy funkcji, ani o granicy prawostronnej.

— dla л: < 0,

X

Przykład. Niech f(x) — x cos

cos — dla x 0. Z poprzednio podanych

przykładów wynika istnienie granicy lewostronnej lim f(x) = 0 oraz nieistnienie granicy prawostronnej.

x—>—o

Nawet z równoczesnego istnienia granicy lewo-i prawostronnej nie możemy wnioskować o istnieniu granicy (por. przedostatni przykład), łatwo można jednak wykazać, że jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna i są sobie równe, to istnieje też granica funkcji i jest równa ich wspólnej wartości.

Przy odpowiednich zmianach twierdzeń, odnoszących się do granicy, otrzymamy twierdzenia, odnoszące się do granicy lewostronnej względnie prawostronnej.

Rachunek różniczkowy I.

to

Np. jeżeli:

lim fi (x) = gi, lim /₂ (x) = g₂

Xq O

lim [fi (x) + fi (*)] = gi + gi,

xo—0

Warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, by liczba g była granicą lewostronną funkcji y = f{x), gdy x zmierza do лг₀, jest to, by istniało prawo, przypisujące każdej liczbie s > 0 przedział, którego prawym końcem jest x₀, taki, że wartość funkcji w dowolnym punkcie tego przedziału różnym od x₀ przybliża g z błędem mniejszym niż s. Podobne twierdzenia odnoszą się do granic prawostronnych.

i t. p.

5. Granice niewłaściwe. Powiadamy, że funkcja dąży do 4 oo, gdy x—->-Xo, jeżeli dla każdego ciągu {*„} zbieżnego do дг₀ o wyrazach różnych od x₀, odpowiedni ciąg {/(•*„)} wartości funkcji jest rozbieżny do + oo, t. zn. że, jeżeli tylko

lim xn — x₀

(xn Ф X₀),

wówczas

lim f(xn) =+oo

symbolu

Na oznaczenie powyższej granicy używać będziemy

lim f(x) = + co

*—>-*o

Podobnie definjujemy granicę — oo, której symbolem jest

lim f(x) = — co

x—

Można udowodnić następujące twierdzenia, opierając się na odpowiednich twierdzeniach z teorji granic. Jeżeli:

to

to

1.    lim /j (*) = a, lim /2 (x) — + co,

x—+~x₀

lim [/1 (x) + /2 (*)] = + °o

2.    Z/m /1 (л:) = a, Z/m /₂ (x) — + 00,

х~Ух₀

x-->-x₀

lim AM ₌ o

3. Z/m /1 (jc) = a > 0, lim /₂ (x) = 0, /2 (*) > 0

*--

w otoczeniu punktu x₀, to

lim AM =

X-+X°f%{x)

+ 00

4. m > 0,

ZZm /(x) - + oo,

to

ZZm [ m f(x) ] — + 00

5. Warunkiem koniecznym i dostatecznym nato, by funkcja у = f(x) zmierzała do + co, gdy x zmierza do лго, jest to, by istniało prawo, które każdej liczbie Tkf > 0 przypisuje otoczenie punktu x₀ takie, że wartość funkcji w każdym punkcie tego otoczenia różnym od Xo jest większa od M.

Zupełnie podobnie, jak poprzednio, określa się pojęcie granicy nieskończonej lewostronnej i prawostronnej.

Przypuścimy, że mamy daną funkcję у — f (x), określoną dla wszystkich wartości na x większych od pewnej liczby a.

Powiadamy, że funkcja dąży do granicy g, gdy X zmierza do + oo, jeżeli dla każdego ciągu {xn} rozbieżnego do + oo, odpowiedni ciąg {/(*„)} wartości funkcji zbiega do g, t. zn. że jeżeli tylko

lim xn — +00,

n--00

to

lim f{xn) = g

n —>-00

Piszemy to w sposób następujący : lim f(x) = g

X—+00

Łatwo podać definicję następujących symboli: lim f(x) = g

X-->- 00

lim f(x) — + oo

X—>- +00

lim f{x) — — co

X—>- +00

lim f(x) = + oo

X-->--00

lim f(x)= — oo

— 00

Podobnie jak poprzednio można wypowiedzieć następujące twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, by liczba g była granicą funkcji gdy x zmierza do + oo, jest to, by istniało prawo, które każdej liczbie s > 0 przypisuje liczbę M > 0 taką, że dla wszystkich liczb większych od M odpowiednie wartości funkcji przybliżają g z błędem mniejszym od £.

Uwagą. Jeżeli mamy

lim f{x) = lim f(x) = g,

-00

X —->- + 00

to piszemy krótko

lim f(x) = g.

6. Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x) posiada dla X dążącego do x₀ dodatnią granicę g, albo jeżeli lim f(x)= + oo, to istnieje taka liczba « > 0, że

X~->-*o w każdym punkcie х ф x₀ pewnego otoczenia punktu лг0 jest f(x) > a > 0.

Istotnie dla wartości x dostatecznie bliskich x0 mamy, w pierwszym wypadku nierówność

a więc:

czyli

i/М - ? i < f,

—    < /(■*) “ g>

a > 0,

/(*) > y ⁼

w drugim zaś wypadku, obierając dowolną liczbę M >0, mamy nierówność

f(x) > Л/ = a > 0

Podobne twierdzenie zachodzi dla £ ujemnego

lub lim f(x) = — oo, oraz dla granic jednostronnych.

*--

7. Obliczenie niektórych g-ranic.

(a> 0)

A) lim ah = 1 л— ->-o

(■ЧГ-

lim

—>- +ó>

C) //m sin h = 0,

A—>-0

Am

s/n Л

//m cos A = 1,

A—>-0

A) Przyjmujemy najpierw, że a^> 1. Niech A„ będzie ciągiem spełniającym warunki:

//m A„ — 0,

n—>-00

An ф 0

(1)

Połóżmy :

an

=ЕШ

l)

an jest więc liczbą całkowitą, nieujemną, spełniającą nierówność :

an < гг-i < an + 1

\hn\

(2)

(3)

Z warunku (1) i nierówności (2) wynika, że lim an — + oo

n —oo

Liczby an są więc od pewnego n począwszy dodatnie. W dalszym ciągu przyjmujemy stale, że an > 0, co jest dozwolone, bo przytem pomijamy tylko skończoną liczbę wyrazów.

Jeżeli hn > 0, to według (2) i założenia a ^ 1, jest

ahn ^ a¹nf

a ponieważ oczywiście

a¹n

więc zachodzi nierówność:

(4)

< ahn < aa"

aa¹

Ta nierówność zachodzi również dla hn < 0, mamy bowiem wtedy (— A„) > 0, zatem na mocy (4):

a“n

czyli :

C?n

co po przejściu do odwrotności daje znowu nierówność (4).

Ponieważ jak wiadomo (str. 39) lim a'*"¹ — 1, za-

гг —->- Cc

tem lim ——y- —

n—>- CO _

= 1, więc z nierówności (4)

lim c?n

n —->- co

na podstawie znanego twierdzenia (str. 35) wynika, że lim ahn = 1,

n —>-00

stąd :

lim ah = 1 h—>-o

Udowodniliśmy więc, że, jeżeli a 1, to :

/im аЛ = 1 л—>-o

> 1, zatem

Jeżeli teraz 0 < a < 1, to

lim

Ale

af¹ =

(ir

więc

lim ah = h—>-o

ar

lim Л—>- О

Tem samem ukończyliśmy dowód relacji A).

B) Poprzednio wykazaliśmy (str. 45), że jeżeli { r„} jest ciągiem spełniającym warunki :

rn ф 0, lim J rn I = +00,

n—>-00

to

ciąg Л 1 + — |n| jest zbieżny do pewnej granicy,

którą oznaczyliśmy przez e. W szczególności dla rn ф 0 i lim rn = + oo

n ■—> oo

mamy zawsze:

lim

n—>- oo

czyli w myśl definicji granicy funkcji

lim

(1 + vï = e

Rys. 5.

C) Wykreślmy koło o promie-D niu OB= 1 i obierzmy dowolną średnicę EB. Niechaj Prosta BD będzie styczną do koła w punkcie5.Jeżeli te-■B raz BC=h, będzie dowolnym łukiem, to oznaczając przez A rzut punktu C na OB, zaś przez D punkt przecięcia prostej OC z wyżej wspomnianą styczną, otrzymamy na mocy definicji funkcyj trygonometrycznych :

АС — I sin A I OA — I cos A I BD = \ tgh \

Jeżeli--< A < y » *°» Jak łatwo z rysunku

¹

Por. str. 8.

odczytać,

(1)

(2)

I sin A I I A I I cos A J >- 1 — I sin A I

Pierwszą nierówność otrzymujemy z uwagi, że łuk BC jest większy niż cięciwa BCt a ta znów jest większa niż AC. Drugą nierówność odczytujemy z trójkąta OCA, opierając się na twierdzeniu, że bok trójkąta jest większy od różnicy dwu pozostałych.

Z nierówności pierwszej łatwo odczytujemy, że

lim sin A = 0

h—yo

Z nierówności (2) i z uwagi, że cosA<^l, otrzy

mujemy

lim cos A = 1 h—y 0

Z figury otrzymujemy następującą nierówność:

Pole OAC pole wycinka OBC pole OBD,

więc:

cos

A | sin A | < y | A | < y | A |

stąd, z uwagi, że

sin A

sin A

Al *

gdyż :--jr- < A <    , otrzymujemy :

s/n A

cos A *

a więc:

cos A

sin A    .

—^cos A,

a ponieważ

więc:

lim cos A = 1 i h—>-o

lim

= 1,

s/n A

A7n__

л->о A

1.

2.

Zadania. Wykazać że : lim ¹1Л ₌ i

3.

.V—>-00

//m

я—^-00

[(-ł)T-

s/n к X

cl lim

'    * -> o

1 — COS X

1 — COS¹X

₌ A>n _

* —>~° X (1 + cos x)

s/n X

f. lim _

*-*+0 I X

= +1,

lim

s/n X

7.

//m s/n x

00

nie istnieje

8.

lim

n —oo

9.

X⁵ - 1

lim

X⁴ - 1

/podzielić \ nownik

licznik i mia przez (x~ 1)

10. //m

X² + 8 X — 1

X³ — 1000 X

11.

lim

2X

= + CO,

lim 2x 1 — 0

- 0.

ROZDZIAŁ IV.

Ciągłość funkcji.

1. Definicja. Niechaj funkcja y =■ f(x) będzie określona w otoczeniu punktu x₀. Powiadamy, że funkcja jest ciągła dla x = x₀ jeżeli lim f(x) — f{x₀).

x—^x₀

Inaczej mówiąc: Funkcja f{x) określona w otoczeniu punktu Xo jest w tym punkcie ciągłą, jeżeli lim f(x₀ + h) = f(xo).

h—>~o

Podobnie, jak granicę lewostronną i prawostronną, określamy ciągłość lewostronną i prawostronną. Mianowicie: Funkcja /(x) określona w punkcie xa oraz w pewnym przedziale, którego prawym końcem jest x₀, jest lewostronnie ciągła w punkcie x₀, jeżeli lim f(x) = /(*₀),

x—>-x₀— o

czyli lim /(x₀ + h) = f(x₀). Analogicznie określa się

h ■—— 0

ciągłość prawostronną.

Uwaga. Przy pojęciu granicy było rzeczą obojętną, czy funkcja jest określona dla x — x₀, czy nie. Żeby jednak funkcja była ciągłą w punkcie x0f ko-niecznem jest, by była w tym punkcie określona.

Jak łatwo widzieć, funkcja /(*), ciągła w punk-.cie Xo, jest w nim również lewo- i prawostronnie ciągła i naodwrót.

Przykłady:

1.    Funkcja y = x² jest ciągła dla wszystkich wartości zmiennej л:, gdyż lim x² = лг²₀.

2.    у = 3 x² — 2 x + 3 jest również zawsze ciągła.

3.    у = £(.*) jest zawsze ciągłą z wyjątkiem wartości całkowitych zmiennej л:, dla których jest tylko prawostronnie ciągła.

4.    Funkcja: у — sin — dla х ф 0

у = 0 dla л: = О jest funkcją nieciągłą w punkcie л: = 0, gdyż biorąc

ciąg { xn), gdzie xn =

(2 n + 1) n'

otrzymamy ciąg odpowiednich wartości funkcji w postaci — 1, 1, — 1, 1...

Powiadamy, że funkcja /(jc), określona w przedziale zamkniętym (a, ó), jest w tym przedziale ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału i jeżeli jest prawostronnie ciągła w punkcie a, zaś lewostronnie ciągła w punkcie b.

Ilekroć mówimy o funkcji ciągłej, nie podając bliższego określenia, mamy zawsze na myśli funkcję ciągłą w pewnym przedziale zamkniętym.

znaleźć można było takie otoczenie punktu x₀, aby wartości funkcji w dowolnym punkcie tego otoczenia różniły się od wartości funkcji dla x = x₀ o mniej niż s. Podobne twierdzenie zachodzi dla ciągłości prawostronnej i lewostronnej.

3.    Interpretacja geometryczna. Pojęcie ciągłości możemy zilustrować podobnie jak pojęcie granicy.

Chcąc zbadać, czy funkcja jest ciągła w punkcie лг₀, obieramy dowolną liczbę s > 0 i kreślimy dwie

fM>e

[(*.)

Rys. 6.

proste równoległe do osi x, jedną w wysokości /(лг₀) + £, drugą w wysokości f(x₀) — s. Otrzymamy w ten sposób pasek o szerokości 2 s. Badamy teraz, czy znajdziemy rr taki odcinek ô położony na osi x-ów, a zawierający л-0 w swojem wnętrzu, by część krzywej odpowiada-jęca odcinkowi â leżała całkowicie w powyżej wspomnianym pasku.

Otóż jeżeli funkcja jest ciągła, odcinek taki zawsze znajdziemy i naodwrót : jeżeli odcinek taki zawsze znajdziemy przy dowolnym obiorze liczby s > 0, to funkcja jest ciągła w punkcie лг₀.

4.    Działania na funkcjach ciągłych. Z definicji ciągłości i odpowiednich twierdzeń z teorji granic łatwo otrzymujemy następujące:

Twierdzenie: Suma, różnica, iloczyn dwu funkcyj ciągłych w pewnym punkcie jest funkcją również ciągłą w tym punkcie; iloraz jest ciągłym wówczas, gdy funkcja, przez którą dzielimy, jest w otoczeniu tego punktu różną od zera.

Przykłady:

1.    Ponieważ funkcja y ⁼ x jest funkcją wszędzie ciągłą, więc funkcje : xz =z x . х, хъ = x . x . x, ... л:" (n — liczba naturalna) są funkcjami ciągłemi.

2.    Funkcja a xn (n — liczba naturalna, a — liczba rzeczywista) jest funkcją wszędzie ciągłą, gdyż może być uważaną za iloczyn funkcji xn i funkcji stałej przybierającej wartość a, oczywiście ciągłej.

3.    Wielomian a₀ + a\ x + a₂ л:² + ... anxn jest funkcją wszędzie ciągłą.

4.    Z twierdzenia (str. 68) wynika natychmiast:

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła

w punkcie *₀ i jeżeli /(*₀) > to istnieje taka liczba a > 0, że w pewnem otoczeniu punktu лг₀ jest

f(x) > a > 0.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla f(x) < 0 oraz dla funkcyj jednostronnie ciągłych.

5. Funkcja wymierna, t. j. funkcja równa ilorazowi dwu wielomianów, jest ciągła we wszystkich punktach, w których jest określona.

Jednostajna ciągłość.

6.    Definicja. Powiadamy, że funkcja f(x) określona w przedziale (a, b) jest jednostajnie ciągła w tym przedziale, jeżeli obrawszy sobie dowolną liczbę e > 0, możemy podzielić przedział (a, b) na skończoną liczbę odcinków w ten sposób, że wartości funkcji w dwu dowolnych punktach tego samego odcinka różnią się od siebie o mniej niż s.

7.    Interpretacja geometryczna. Definicję tę możemy uzmysłowić sobie geometrycznie w sposób następujący:

Chcąc przekonać się, czy funkcja jest jednostajnie ciągłą, obieramy sobie dowolną liczbę e > 0 i badamy,

|Y

nTjI

Rys. 7.

czy uda nam się przedział {a, b) podzielić na skończoną liczbę odcinków dj, d₂, â₃ ... w ten sposób, by każda część krzywej, odpowiadająca które-mukolwiek odcinkowi, dała się zamknąć й. w prostokącie o wysokości s, a o podstawie równej długości odpowiedniego odcinka. Jeżeli operacja ta uda się nam dla każdego s > 0, to funkcja jest jednostajnie ciągła.

8. Ciągłość funkcyj jednostajnie ciągłych.

Oznaczmy przez rj długość najmniejszego z odcinków d₂.... Jasną jest rzeczą, że jeżeli dwa dowolne punkty х-l i *₂ różnią się o mniej niż rjf to albo oba leżą w jednym z odcinków du d₂,... albo leżą w odcinkach sąsiednich.

W wypadku pierwszym wartości funkcji w tych punktach różnią się od siebie o mniej niż s; w drugim wypadku wartości funkcji w tych punktach różnią się o mniej niż s od wartości funkcji we wspólnym końcu sąsiednich odcinków, zawierających punkty хг i x₂> a więc: | f(x₂) — f(x₂) | < 2 s.

W obu więc wypadkach możemy powiedzieć, że wartości funkcji w dwu punktach różniących się od siebie o mniej niż rjf różnią się od siebie o mniej niż 2 s.

Zauważmy dalej, że jeżeli *o jest dowolnym punktem wewnętrznym przedziału (a, b), to istnieje od-

cinek o długości mniejszej od r\, zawierający w swem .wnętrzu punkt x₀. Lecz na mocy tego, cośmy wyżej powiedzieli, wartości funkcji w dowolnym punkcie tego odcinka różnią się od f(x₀) o mniej niż 2 £. Ponieważ liczba 2 e jest dowolną liczbą dodatnią (gdyż £ jest dowolną liczbą dodatnią), więc funkcja jest ciągła w punkcie x = дг₀.

Podobną uwagę można wypowiedzieć dla liczb a i b (o ile należą do przedziału).

Udowodniliśmy więc następujące ważne Twierdzenie: Funkcja jednostajnie ciągła w przedziale (a, A) jest w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału ciągła, a w punktach a, b ciągła prawostronnie względnie lewostronnie, o ile te punkty należą do przedziału.

Przykłady :

1. Funkcja.у = л:² jest w przedziale (0, 1) jednostajnie ciągła. Zęby to wykazać, obierzmy dowolną liczbę £ > 0 i weźmy pod uwagę dwa dowolne punkty przedziału (0, 1) : x i x + A. Wartości funkcji w tych punktach są odpowiednio: x² i (х + A)². Mamy:

|(л: + А)² — л:²| = |2лгА + А²| = |А|.|2д: + А| = |А|.|д:4-лг + А|. Ponieważ 0 л: 1 i 0 ^ л: + A 1, więc :

I (*² + А)² — *²1 < 2 I h I £

obierając | A { < otrzymujemy

I (x + A)² - *²1 < г.

Widzimy więc, że jeżeli podzielimy przedział (0, 1) na

£

skończoną liczbę odcinków o długości mniejszej niż —,

to wartości funkcji w dwu dowolnych punktach tego samego odcinka różnić się będą o mniej niż £.

Rachunek różniczkowy I.

Ponieważ s jest dowolną liczbą dodatnią, więc funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale (0, 1).

2 лг + 1

jest jednostajnie ciągła

2. Funkcja y =

w przedziale (0, 2).

Postępując podobnie jak w przykładzie poprzednim, otrzymujemy :

2    (л: + A) + 1 _ 2лг + 1 ₌    _

3    (x + A) + 1    3 X + 1 I [3 (лг + A) +1 j [3 д: + 1]

Ponieważ : 0 дг + A 2, 0<^x^2, więc :

stąd

I 3 (x + A) + 1 I ^ 1 I 3 X + 11    1,

I f(x + A) - /(x) I < I A |.

Jeżeli więc | A | < s, to

\f(x + A) - f(x) I < s.

Jeżeli zatem podzielimy przedział (0, 2) na odcinki o długości mniejszej niż s, to wartości funkcji w dwu dowolnych punktach tego samego odcinka różnić się

będą o mniej niż «. np. [Jeżeli np. s =

, to wystarczy odcinek (0, 2) podzielić na 21 równych części].

3. Funkcja у = cos — nie jest jednostajnie ciągła w przedziale (0, 1).

Istotnie, w przeciwnym bowiem razie możnaby przedział (0, 1) podzielić na skończoną liczbę przedziałów tak, by wartości funkcji w dwu punktach tego samego przedziału różniły się o mniej niż £ = 1. Możnaby było

{n + \)n

następnie obrać taką liczbę n, by punkty i

leżały w pierwszym z tych przedziałów. Lecz łatwo widać, że odpowiednie wartości funkcji w tych punktach różniłyby się o 2 t. j. więcej niż e = l. Przyjmując więc, że funkcja jest jednostajnie ciągła, doszliśmy do sprzeczności.

w przedziale (1, 2) w przedziale (1, 3)

w przedziale (0, 5)

Zadania. Wykazać, że następujące funkcje są jednostajnie ciągłe.

1.    y — X

2.    y = 2 X² — 3 X

3.    y = V

9. Podamy teraz (bez dowodu) kilka podstawowych twierdzeń o funkcjach ciągłych w przedziale zamkniętym.

Twierdzenie. Funkcja ciągła w przedziale zamkniętym (a, b) jest w tym przedziale jednostajnie ciągła.

Twierdzenie. Funkcja ciągłą w przedziale zamkniętym (a, b) jest w tym przedziale ograniczona.

T wierdzenie. Jeżeli funkcja ciągła w przedziale zamkniętym (a, b) w jednym końcu tego przedziału jest dodatnia, w drugim ujemna, to istnieje wewnątrz przedziału (a, b) co najmniej jeden punkt, w którym funkcja przybiera wartość 0.

Przykłady:

1. Każdy wielomian nieparzystego stopnia f(x) = a₀ x*n + 1 + a! x2n ... +a2nx + a₂„+i (а₀фО) posiada przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Aby to wykazać, napiszmy nasz wielomian w następujący sposób :

&Ч n +1

x2n+1

/W = ^"+‘(a„+^ + ^+...+ ^ +

i załóżmy, że np. a₀ > 0. Wyrażenie w nawiasie dla д: dążącego do + oo lub — oo ma granicę a₀. Istnieje więc liczba M > 0 taka, że dla | x \ > M wyrażenie w nawiasie jest dodatnie (por. str. 00)* Stąd wynika, że

/{M + 1) > 0 natomiast /(— M — 1) < 0.

Ponieważ funkcja f(x) jest ciągła, więc istnieje w przedziale (— M — 1, M + l)co najmniej jeden punkt, w którym f(x) — 0.

I 0, -y I przynajmniej jeden pierwiastek. Istotnie, funkcja

2. Równanie : x = cos x posiada w przedziale

ciągła x) : f{x) = x~ cos x ma w punkcie x = 0 wartość — 1 < 0, zaś w punkcie x = wartość ~ > 0.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale zamkniętym (a, b), to istnieje w tym przedziale przynajmniej jeden punkt, w którym funkcja przybiera wartość największą, i przynajmniej jeden punkt, w którym funkcja przybiera wartość najmniejszą.

Inaczej mówiąc : W przedziale (a, b) istnieją dwa punkty Xi, x₂ takie, że f(xi) ^Cf(x) /(x₂) dla każdego x należącego do (a, b).

Twierdzenie. Funkcja ciągła w przedziale zamkniętym (a, b) przybiera w tym przedziale wszystkie wartości zawarte między wartością najmniejszą i największą.

Przykłady:

1. Funkcja y = sin Jt¹) przybiera w przedziale

10, j każdą wartość zawartą między 0

a 1, co jest

geometrycznie oczywiste (patrz rys. 12). •

2. Funkcja f(x) ciągła w przedziale (a, b) i przybierająca w różnych punktach przedziału różne wartości, jest w tym przedziale (ściśle) monotoniczna.

Istotnie, w przeciwnym razie istniałyby w przedziale (a, b) liczby a, /?, y (a < ß < y) takie, że liczba f(ß) nie leżałaby między /(a) a /(/). Niech np. f(y) >./(«) > f{ß). Wedle naszego twierdzenia istnieje w przedziale (ß, y) punkt ót, w którym funkcja f(x)

*) Ciągłość funkcyj y = sin x, y — cos x niebawem wykażemy.

przybiera wartość /(«). Przytem & ф a, bo a nie należy do przedziału (ß, y). Mamy więc f(ß) = /(a) przy # =f= a, co jest sprzeczne z założeniem. A więc funkcja f(x) jest monotoniczna.

Funkcje złożone.

10. Definicja. Nieraz się zdarza, że mamy trzy zmienne, х, у, u, tak ze sobą związane, że у jest funkcją u, zaś u jest funkcią x, t. zn.

У = /(«) u = <p(x)

(« < u < ß)

(a < * < b)

Jeżeli wartości przyjmowane przez funkcję cp (*) są zawarte w przedziale (a, ß), to możemy zmienną у uważać za zależną od zmiennej x, gdyż każdej liczbie л: przedziału (a, b) odpowiada pewna wartość zmiennej u, zawarta w przedziale (cc, ß), tej ostatniej zaś odpowiada pewna wartość zmiennej у ; ostatecznie każdej wartości zmiennej x z przedziału (a, b) odpowiada pewna wartość zmiennej y. W tym wypadku powiadamy, że zmienna у jest funkcją złożoną zmiennej x za pośrednictwem zmiennej u. Oznaczamy funkcję tę symbolem f(cp(x)), zależność zaś funkcyjną napiszemy w postaci

Przykłady:

u — x² — 3 x

У = u³,

у = (x² — 3 x)³

11. Ciągłość funkcji złożonej. O funkcjach złożonych możemy wygłosić następujące

Twierdzenie: Jeżeli dla a u ß funkcja у — /(u) jest funkcją ciągłą, i jeżeli dla a x b funkcja u = cp(x) jest funkcją ciągłą i spełniającą nierówność cc ^ cp (x) ß, to funkcja złożona у — f(<p (*))

jest ciągła dla wszystkich wartości na x z przedziału a X b.

Dowód. Zęby twierdzenie powyższe udowodnić, zauważmy, że jeżeli ciąg x„ zdąża do pewnej wartości x, to odpowiedni ciąg yn — f(cp \xß)) zdąża do /(<?(*)). Na mocy bowiem ciągłości funkcji cp (x), ciąg    =

zdąża do u = <p(x). Na mocy zaś ciągłości funkcji /(u) ciąg Уп = /(«„) zdąża do у = /(u) = f{cp{x)).

Funkcje odwrotne.

12. Definicja. Niech dana będzie funkcja у — f{x) ciągłą i ściśle monofoniczna w przedziale (a, b). Połóżmy /(a) = a, / (b) = /?. Wobec ciągłości funkcji zmienna г/ przybiera wszystkie wartości zawarte między a i ß. Ponieważ nadto funkcja jest ściśle monotoniczna, więc każda wartość zmiennej у z przedziału (a, ß) odpowiada jednej i tylko jednej wartości zmiennej x z przedziału (a, b). Wobec tego uważać możemy zmienną x za funkcję zmiennej y. Oznaczając tę funkcję symbolem cp(y), możemy napisać:

x = <P (y).

Funkcję x = cp (y) nazywamy funkcją odwrotną do у = /(*)•

lY •

fi

С* i

<k

13. Interpretacja geometryczna. Obraz geometryczny funkcji у = cp (x) otrzymamy w sposób następujący:

Obróćmy płaszczyznę x y, około dwusiecznej kąta

Rys. 8.

wówczas nowe poło-

zenie obrazu funkcji y = f(x) będzie obrazem funkcji У =

14. Ciągłość funkcji odwrotnej.

Twierdzenie. Funkcja odwrotna funkcji ściśle monotonicznej i ciągłej jest ściśle monotoniczna i ciągła.

Dowód. Przypuśćmy dla ustalenia myśli, że funkcja f(x) jest« funkcją rosnącą. Gdyby teraz funkcja odwrotna X = cp (y) nie była ściśle rosnącą, to istniałyby dwie pary odpowiednich wartości (xif у i) i (*₂, У2), spełniające następujące nierówności :

*1 < *2,

Ух > У2,

to jednak jest sprzeczne z przypuszczeniem, że funkcja f(x) jest ściśle rosnąca. Podobniebyśmy postępowali, gdyby, funkcja f(x) była ściśle malejąca.

Żeby teraz udowodnić ciągłość funkcji x = <p(y) dla dowolnego punktu у = y₀ (cc < y₀ < ß), postąpimy w sposób następujący : Niechaj « będzie dowolną liczbą dodatnią. Połóżmy: x₀ = cp(yo) i obierzmy dwie do* wolne liczby X\ i x-ż takie, by

1.

2.

a < xx < дго < *2 ^ b 0 < x.₂ — xx < 8.

Kładąc teraz yx — f(x 1), 1/2 — /(-ra), widzimy, że dla każdego y, zawartego między ylt a i/₂, odpowiednia wartość X zawarta jest między xlt a x₂, a więc różni się od x₀ o mniej niż «. Funkcja x — cp (y) jest więc ciągła dla у = y₀. Podobnie udowadniamy ciągłość dla y = a i у = ß.

Ciągłość i wykresy zasadniczych funkcyj.

15. Funkcja y = xn»

1.    n jest liczbą naturalną.

W wypadku tym wzór powyższy określa nam funkcję dla wszystkich wartości na x. Funkcja ta jest ciągłą dla wszystkich wartości zmiennej x, gdyż, jak to wynika z twierdzeń o iloczynie ciągów, jeżeli

lim Xk — x,

к—^-oo

to

lim x\ = xn

к —co

2.    n — 0, z warunkiem, że dla x — 0, у = 1. Wzór у = xn określa nam wtedy funkcję, która

dla wszystkich wartości na x przyjmuje wartość 1. Funkcja ta jest więc ciągła.

3.    n jest liczbą całkowitą ujemną.

Kładąc n = — r {r > 0), widzimy, że funkcja nasza przedstawia się w postaci у — \ i jako iloraz dwu funkcyj wszędzie określonych i ciągłych: (f\{x) = 1, <p₂ (*) = xr jest funkcją określoną i ciągłą wszędzie z wyjątkiem л: = 0.

4. n jest odwrotnością liczby całkowitej.

Kładąc n = — (r liczba całkowita), mamy y= yj x (bierzemy pod uwagę tylko pierwiastek nieujemny). Funkcja jest dla wszystkich x > 0 określoną; w wypadku, gdy r jest liczbą nieparzystą, wzór powyższy określa funkcję też dla wszystkich x < 0. Dla x = 0 funkcja jest określona tylko w wypadku, gdy r jest liczbą dodatnią; funkcja przyjmuje wówczas wartość 0.

Ciągłość udowodnimy w sposób następujący: Gdy r jest liczbą parzystą, dodatnią, wówczas funkcja

odwrotna x = yr jest ściśle rosnąca i ciągła dla wszystkich y ^ 0, z tego zaś wynika, na mocy twierdzeń

o funkcjach odwrotnych, ciągłość funkcji y — У x dla лг>0. Podobnie postępujemy w wypadku, gdy r jest liczbą nieparzystą dodatnią. W wypadku tym funkcja x = yr jest ściśle rosnąca i ciągła dla wszystkich wartości na y, a więc funkcja y — \l x jest również ciągła dla wszystkich wartości na x. W wypadku, gdy r jest całkowitą liczbą ujemną, łatwo wykażemy ciągłość dla

wszystkich x, dla których \j x istnieje, jeżeli zauważymy, że ^ x = _ }■— .

y x

5. n jest liczbą wymierną.

Kładąc n — — (p i q całkowite), widzimy, że

funkcja jest określona dla wszystkich л: > 0. Gdy n > 0, wówczas funkcja jest również określona dla x = 0, mianowicie przyjmuje wartość zero.

L.

Funkcję у = x⁴ możemy uważać za złożoną z funkcyj:

у = up

Ponieważ obie funkcie są ciągłe dla tych wartości, dla których są określone, więc na mocy twierdzenia o funk-

p_

cjach złożonych, funkcja у — xq jest również ciągła dla tych wartości, dla których jest określona.

6. n jest liczbą niewymierną.

W wypadku tym funkcja jest określona dla wszystkich x > 0. Dla x — 0 wzór y = xn ma sens tylko przy n > 0; mamy wtedy у = 0.

Funkcja jest ciągła dla wszystkich x, dla których jest wzorem y = xn określona.

Istotnie, obierając sobie liczbę a dodatnią, różną. od jedności, poza tem dowolną, mamy dla x > 0 : ' y — an !°3aXf czyli y = a“, przyczem u = n loga x.

Ponieważ, jak wykażemy w ust. 16 i 17, funkcja au jest ciągła dla każdego u, zaś funkcja loga x jest ciągła dla każdego x > 0, więc na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji złożonej (str. 85), funkcja y — xn jest ciągła dla każdego x > 0.

Jeżeli n > 0, to możemy udowodnić, że funkcja y — xn jest ciągła prawostronnie w punkcie x = 0,

t. j. że lim xn = 0. W tym celu obieramy dowolną +o

liczbę wymierną r spełniającą nierówność 0 < r < n. Dla 0 x ^ 1 mamy 0 xn ^ xr. Funkcja xr jest, jak wiemy, prawostronnie ciągła dla x = 0, a więc lim xr = 0.

X —>- + 0

Wobec ostatniej nierówności, to samo odnosi się do funkcji y — xn.

Zbierając to wszystko, możemy powiedzieć, że funkcja y = xn jest ciągła dla wszystkich wartości na x, dla których jest określona.

Przykłady: Funkcje ³\'x⁵, У-*³ + 8 л: — 9 it.p. są ciągłe we wszystkich punktach, w których są określone. Ogólnie, każda potęga wielomianu jest ciągła we wszystkich punktach, w których jest określona.

16. Funkcja у — ax a >0.

Ciągłość funkcji у —■ ax udowodnimy bardzo łatwo w sposób następujący. Niechaj дг₀ będzie dowolną wartością zmiennej x. Według znanego twierdzenia jest:

lim ax° + h = lim (ax°. ah) — ax° lim ah.

A->0

A—

Lecz, jak udowodniliśmy (str. 69): lim ah = 1, więc:

h ->-o

lim Q.Xa ^ ⁼ clx<. h—yo

Więc granica funkcji dla każdej wartości na x istnieje i równa się wartości funkcji w punkcie л:. Funkcja jest więc ciągła, dla każdej wartości na x.

17.    Funkcja у = logax. a > 0, а ф 1.

Funkcja określona jest tylko dla x > 0. Ponieważ

funkcja odwrotna x=ay jest ściśle monotoniczną i ciągłą, więc (por. str. 87) funkcja y = loga x jest ciągłą dla wszystkich wartości dodatnich na x.

18.    Funkcje trygonometryczne. у = sin x, у = cos x.

Niechaj x₀ będzie pewną wartością zresztą dowolną zmiennej x. Wówczas z uwagi na to, że:

h—+~o

lim sin h = 0, lim cos h — 1 (por. str. 69),

л—V o

mamy :

lim sin (*o + h) = lim [sm xQ cos h 4- cos Jt₀ sin Л] = sin x0 h—>-o

lim cos (x₀ +h) = lim [cos x₀ cos h~sin x₀ sin h] = cos x₀. h—y o

Więc funkcje: y = sinx, y — cos x są ciągłe dla wszystkich wartości x.

y = tgx.

Ponieważ tg x =

h—>-o

h—>-0

sin x

, więc funkcja jest okre-

cos x

ślona i ciągła dla wszystkich wartości na x, dla których cos д:фО. Wartościami wyjątkowemi są wartości :

. ±f, ±¥

ogólnie X — + turalną.

(2 n — 1) n

, gdzie n jest liczbą na-

g = ctg X. Ponieważ ctg x =

cos x

więc funkcja jest okre-

sin x *

ślona i ciągła dla wszystkich wartości na x, dla których sin x ф 0. Wartościami wyjątkowemi są:

x — 0, + л, +2 rt, ... ogólnie д: = + л /г, gdzie n — 0, 1, 2, . . .

y — sec x. Ponieważ sec * =

-—, więc funkcja jest okre-cos x

ślona i ciągła dla wszystkich wartości na x, dla których cos x ф 0.

у = cosec x.

Ponieważ cosec x — —-, więc funkcja jest okre

ślona i ciągła dla wszystkich wartości na x, dla których sin x ф 0.

19. Funkcje cyklometryczne. у = arc sin x.

Funkcja powyższa jest określona w przedziale (— 1, +1) w sposób następujący: arc sin x jest to

kąt у zawarty w przedziale |spełniający równanie : x = sin y. Łatwo widać, że istnieje jeden tylko kąt spełniający powyższe równanie. Widzimy więc, że funkcja nasza, tak określona, jest funkcją odwrotną

TZ    Tt

funkcji x = sin у, zakładając, że ~    у    .

Po

nieważ w tym przedziale sin у jest funkcją ściśle ro-

snącą i ciągłą, więc funkcja y = arc sin x jest funkcją ciągłą i ściśle rosnącą.

y = arc cos x.

Funkcję tę określamy podobnie jak poprzednią dla — 1 x 1 w sposób następujący : arc cos x jest to kąt y, zawarty w przedziale (0, rt), spełniający równanie: л: = cosy. Istnieje tylko jeden kąt spełniający powyższe warunki. Funkcja у = arc cos x jest więc odwrotnością funkcji x = cosу przy założeniu, że 0^.y Ponieważ w tym przedziale cos у jest funkcją ciągłą i ściśle malejącą, więc funkcja у — arc cos x jest funkcją ciągłą i ściśle malejącą.

у = arc tg x.

Określamy funkcję tę dla wszystkich wartości na x w sposób następujący : arc tg x jest to kąt у zawarty

w przedziale |    ~ J, spełniający równanie tgy = x.

Funkcja arc tgx jest więc funkcją odwrotną funkcji x=tgy

przy założeniu, że —^ У ^ ~2' P°nieważ w tym

przedziale x = tg у jest funkcją ściśle rosnącą i ciągłą, więc arc tg x jest funkcją ściśle rosnącą i ciągłą.

у — arc ctg x.

Określamy funkcję tę dla wszystkich wartości na x w sposób następujący : arc ctg x jest to kąt y zawarty w przedziale (0, ri), spełniający równanie: ctg y = x. Funkcja arc ctg x jest więc funkcją odwrotną funkcji x = ctgy> dla 0 ^.y^Cn. Ponieważ w tym przedziale ctg y jest funkcją ściśle malejącą i ciągłą, więc arc ctg x jest Junkcją ściśle malejącą i ciągłą.

y = arc sec x.

Określamy funkcję tę dla wszystkich wartości na x, dla których | x | ^ 1, w sposób następujący: arc sec x jest to kąt y zawarty w przedziale (0, ri)y speł-arc sec x

niający równanie x — sec y. Więc dla    1 funkcja

jest funkcją odwrotną funkcji л: = secy, przy

założeniu, że 0 < у < -у. Ponieważ w tym przedziale

funkcja x = sec у jest ściśle rosnąca i ciągła

= więc funkcja arc sec x jest dla

I z wyjątkiem у

x ^ 1 ściśle rosnąca i ciągła.

Dla x — 1 funkcja arc sec x jest funkcją od-

TC

wrotną funkcji * = sec у, przy założeniu, że — < у < n. Ponieważ w tym przedziale funkcja sec у jest ściśle rosnąca i ciągła | z wyjątkiem у arc sec x jest dla д: — 1 funkcją ściśle rosnącą i ciągłą.

у — arc cosec x.

Określamy funkcję tę dla tych wartości na л:, dla których I x j 1 w sposób następujący : arc cosec x

jest to kąt у zawarty w przedziale |--—, + — j, speł

niający równanie cosec y = x. Więc dla x 1 funkcja arc cosec x jest funkcją odwrotną funkcji x = cosec у

jeżeli założymy, że 0 < у ^ Ponieważ w tym przedziale funkcja cosec у jest ściśle malejącą i ciągłą (z wyjątkiem у = 0), więc funkcja у = arc cosec x jest funkcją dla x 1 ściśle malejącą i ciągłą.

Dla x 1 funkcja arc cosec x jest funkcją od-

wrotną funkcji д: = cosec у |

. Ponieważ

w tym przedziale funkcja cosec у jest funkcją ściśle malejącą i ciągłą (z wyjątkiem у — 0), więc funkcja у = arc cos x jest dla д:    — 1 funkcją ściśle malejącą

i ciągłą.

Ч'

Rys. 9.

у=.2*

Rys. 11.

-¥—r

'^—Z-

-TT

y»C05X

Rys. 13.

'-ZT

-TZ

77

y = Ćc?x

Rachunek różniczkowy I.

-гт

-п

/7■

у~ ctyx

Rys. 15.

ly

уже*.

-¥

-ÏÏ

-Г7

J-

Rys. 17.

JY

j[_

-F

Rys. 18.

У“005<есх

//

x_

Ir

-4-

-1

IL—

Ï4

-X.

¹

m asinx = 1 >~0

²

Warunek konieczny i dostateczny dla ciągłości funkcji. Opierając się na odpowiednich twierdzeniach z teorji granic, możemy wygłosić następujące :

Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, by funkcja określona w otoczeniu punktu jr₀ była ciągła w tym punkcie, jest to, by wartościom x, dostatecznie mało różniącym się od x₀, odpowiadały wartości funkcji dowolnie mało się różniące od /(x₀), t. j. innemi słowy, by do każdej liczby s > 0

Rys. 19.

TT

J.

y=arccos x

JL

"Z

y = arcôÿx

_________П_

y*QTCœic/X

Rys. 21.

п

• Z.

JL

..7

- a7x:cvsec'X

Rys. 23.

ROZDZIAŁ V.

Pochodna funkcji.

Definicja i znaczenie pochodnej.

1. Definicja pochodnej. Niechaj funkcja y — f(x) będzie określoną w otoczeniu punktu л:₀. Weźmy pod uwagę punkt xt tego otoczenia, różny od Xq. Różnicę *1 — л₀, którą znaczymy symbolem z/ x, nazywać będziemy przyrostem zmiennej niezależnej. Podobnie odpowiednią różnicę yi ~~ yo ⁼ f(xi) — f(xo) oznaczać będziemy symbolem Л у i nazwiemy ją przyrostem zmiennej zależnej. Zachodzą więc następujące związki :

Ponieważ:

Xi = x₀ + z/ x У1 = yo + 4 у y₀ + 4у = f(xo + J x).

więc :

У o = f(xo),

Л у = f(xo + 4 x) — /(*„).

Iloraz

Jx

4y _ /(*o + Л x) — f(xo) 4x

nazywać będziemy ilorazem różnicowym.

/(*0 + 4 x) — /(xо)

Wyrażenie

(przyjmując, że лг»

Zl X

ma pewną stałą wartość), możemy uważać za funkcję przyrostu z/ X. Możemy też badać, czy istnieje granica tego wyrażenia, gdy z/x dąży do zera.

Jeżeli granica tego wyrażenia istnieje, gdy z/ x dąży do zera, to nazywać ją będziemy pochodną funkcji у — f(x) względem x w miejscu *o- Pochodną oznaczać będziemy symbolem f'(x₀) lub у x lub krótko у . Często używa się również dla oznaczenia pochodnej

dy

symbolu Symbol ten przypomina, że pochodna jest

granicą ilorazu

A więc:

lim

f(x₀ +z/x)—f(x₀)

=fM=y',=!/=%

lim

/\ x —0 Zl X

Pochodną określoną w powyższy sposób nazywamy dokładniej pierwszą pochodną funkcji у = f (x), dla odróżnienia od pochodnych wyższych rzędów (o których będzie mowa później).

Przykłady:

1. y = x. Oznaczając przez zl x dowolny przyrost zmiennej x, zaś przez zl у odpowiedni przyrost zmien-

Ax~>o

ztx

nej y, mamy

Stąd

у ~ł~ zl у = x + z! x. zl у = zl x

éjL =

zfx

1,

= ^Л =

a więc y'x = lim

Ax ^"0

A zatem pochodna funkcji y — x jest równa jedności, przy każdem x.

zl X

1.

2. y = x². Obliczymy pochodną dla x = 2. f(x + Zf x) = (х + z/ x)²,

a więc :

z/y = (x + z/ x)² — x² = 2 x z/ x + (z/ д)²,

stąd

— 2 x + zl x.

Przechodząc do granicy, otrzymujemy:

lim    =

A*—Zt x

2 л: +

lim zl x — 2 x. Д *—>~0

A więc dla x = 2, у x — 4. 2л: + 1 Злг + 1

3. у —

— obliczymy pochodną dla д:=1.

a więc :

_ 2(дг + ^д:) + 1

3(x + zlx) + 1’

Лу

_ 2 (л: 4- zl дг) + 1 3 (дс + zl х) + 1

2 л: + 1

Jx

stąd

[3 (д: + zi x) + 1] [3 л: + 1]’

dl_ ₌

Zlx

[3 (x + Zlx) + 1] [3 д: + 1]’

więc

zàtem dla x = 1

lim dl. = _

Ax-+~o Jx (3 x + l)² ’

4. y — 2 + 3 X — x². Obliczymy pochodną dla x = 0.

/(0) = 2

więc

stąd

/(О + Jx) = f(Jx) = ‘l + 'SJx-Jx¹, z/y = /(0 + z/ дг) — /(0) — 3 J x — z/*⁸,

= 3 — z/ дг,

a więc

Zim ^ = 3

Дх-^OJx

2. Pochodne jednostronne. Podobnie jak przy pojęciu granicy, możemy określić pochodną lewostronną

względ

em /(*o + ^) ~ /(*)

h—y — o

i prawostronną jako

.    //m f(xo + h)-f(x₀)

ше h~y + o

W szczególności w punktach końcowych przedziału (a, b), w którym funkcja jest określona, możemy mówić tylko o pochodnej jednostronnej, t. j. o prawostronnej w punkcie a i o lewostronnej w punkcie b. Podobne uwagi, jakie wypowiedzieliśmy o granicach jednostronnych, można wypowiedzieć o pochodnych jednostronnych, w szczególności z istnienia pochodnej wynika istnienie obu pochodnych jednostronnych, z istnienia i równości pochodnych jednostronnych wynika istnienie pochodnej.

3. Istnienie pochodnej, a ciągłość. Jasną jest

miał granicę, ko-

rzeczą, że nato, by stosunek

éL

z/ X

nieczną jest rzeczą, żeby lim Л y = 0, czyli, żeby

Лх—У0

funkcja była ciągła w punkcie x₀. Jednak, jak później pokażemy, ciągłość nie wystarcza do istnienia pochodnej.

4.    Pochodna jako funkcja. Jeżeli funkcja posiada w każdym punkcie przedziału (a, b) pochodną [w końcach przedziału ewentualnie pochodne jednostronne], wówczas pochodną tę uważać możemy za nową funkcję zmiennej x. Funkcję tę nazywać będziemy funkcją pochodną funkcji pierwotnej y ~ f{x). Ilekroć mówimy, że funkcja f(x) posiada pochodną, bez bliższego określenia przedziału, to, przyjmujemy milcząco, że pochodna istnieje w każdym punkcie przedziału, w którym funkcja /(x) jest określona (na końcach przedziału tylko pochodna jednostronna).

5.    Interpretacje pochodnej w geometrji i fizyce.

Mając daną krzywą y = /(¹), łatwo widzimy, że iloraz

równa się tangensowi kąta a, jaki dodatni kierunek

siecznej, przechodzącej przez punkty A i В (odpowiadające punktom x i x + Лх), tworzy z dodatnim kierunkiem osi л:-ów¹). Jeżeli teraz przyrost Лx będzie zmierzał do zera, to punkt В będzie zmierzał do A, kąt a będzie zmierzał do kąta o, jaki dodatni kierunek stycznej tworzy z dodatnim kierunkiem osi л:-ów, zaś tg a będzie zmierzał do tg o, a więc:

tg o 2).

lim JJŁ ₌

Ax->o /tx

Możemy więc powiedzieć: Pochodna równa się tangensowi kąta, jaki dodatni kierunek stycznej w od-

Przykłady:

powiednim punkcie krzywej tworzy z dodatnim kierunkiem osi л:-ów.

U wag-a. Znając więc pochodną, możemy łatwo wykreślić styczną do krzywej przedstawionej wykresem. Łatwo widać, że jeśli y' = 0, to tg o = 0, a więc styczna jest równoległa do osi.*-ów. Zauważyć trzeba, że jednem z zagadnień, które doprowadziły do pojęcia pochodnej, było szukanie stycznych do krzywych.

Obok tej geometrycznej interpretacji bardzo wiele przykładów do zilustrowania pochodnej znajdujemy w fizyce.

1. Niechaj punkt materjalny A porusza się po linji prostej. Obierając sobie pewien kierunek na tej

/9

Rys. 24.

prostej i dowolny punkt 0, będziemy mogli dokładnie podać pozycję punktu A jedną liczbą s, której bezwzględna wartość będzie się równała długości odcinka OA, zaś znak jej będzie + lub —, zależnie od tego, czy kierunek wektora O A jest zgodny z obranym na prostej kierunkiem, czy nie.

Jasną jest rzeczą, że każdemu momentowi czasu t, odpowiada pewna pozycja punktu A, a co za tern idzie, pewna liczba s. A więc możemy powiedzieć, że s jest funkcją zmiennej t, czyli :

s = /(/).

Weźmy pod uwagę jakiś moment czasu t i oznaczmy przez z/ t dowolny jego przyrost, a przez z/ s odpowiedni przyrost zmiennej s. Jeżeli ruch jest jednostajny, t. j. jeżeli punkt A w równych, dowolnie małych okresach czasu przebywa równe drogi, to prędkość ciała

z/s

określamy jako stosunek    który jest w tym wy-

padku stały. Jeżeli ruch jest niejednostajny, to prędkość określamy, jako

lim

ds

, czyli : Prędkość jest

At->o Jt

to pierwsza pochodna drogi względem czasu.

2. Podobnie określamy przyśpieszenie, jako pierwszą pochodną prędkości względem czasu.

6. Jak już poprzednio zaznaczyliśmy, funkcja ciągła nie musi mieć koniecznie pochodnej. Jako przykład może służyć funkcja y =

X — 0 pochodna nie istnieje. Pochodne prawostronna i lewostronna równają odpowiednio + 1 względnie — 1.

Przykładem funkcji ciągłej, nie mającej ani pochodnej prawostronnej ani lewostronnej,jest

Dla

się

■У-|X 1

funkcja y = X sin — dla

л:

Rys. 25.

X =j= 0, y — 0 dla X = Ö.

Dla X — 0 otrzymujemy:

- - ™ 4-.

X    d X

Lecz wyrażenie sin nie posiada granicy prawostronnej ani lewostronnej, kładąc bowiem d xn = otrzymujemy:

lim sin

n--00

d Xn

= lim sin n тс — 0.

n —V- oo

Kładąc : Л xn —

otrzymujemy :

(4л + 1)у

= lim sin (4 n + 1) ~

n--00    Z

Kładąc zaś .-/xn = —“ względnie Лxn —

lim sin

n —oo

л Xn

- 1.

otrzymujemy :

(4/1+1)

to a

względnie

л xn

lim sin

n —oo

— = o,

lim sin

n--У- 00

Jxn

= -1.

Twierdzenia o pochodnej.

7. Pochodna funkcji stałej jest zerem. Twierdzenie to jest oczywiste, gdyż przy każdem Лx mamy

0, czyli:

Л у — 0. A więc —

lim ^l = f) Л x->- 0 zlX

8. Pochodna funkcji у — xn (n całkowite dodatnie) wyraża się wzorem

y'x = nxn +

Wzór ten jest ważny przy n > 1 dla wszystkich x, zaś przy n = 1 dla х ф 0. Dla n — 1, x — 0 wzór ten traci sens (bo 0° nie ma znaczenia) ; w tym wypadku, jak wiemy (str. 104), pochodna jest równa jedności.

Ill

Dowód : jeżeli przez z/x oznaczymy przyrost zmiennej x, zaś przez z/y odpowiedni przyrost zmiennej У> to

У + dy - (x + 4 x)n,

więc

Jy = (x + Л xy — Xя.

Stosując dwumian Newtona, otrzymujemy:

to з

-¹ Лх +

Jy =(")*»

więc, przy założeniu, że n > 1 (por. wyżej) :

— n дс" — 1 +

to з

л:п 2 z/x + ... + (z/ дг) n— 1

Ponieważ lim Л x = 0, lim (Л x)* = 0, ... Ит{Лх)п — 0, Zł ^ —>-o

J*

więc :

у x — lim

Дх-^0

— n ЛГП~ ¹

9. Twierdzenie. Jeżeli:

у = a /(*),

przyczem a jest liczbą stałą, zaś f{x) ma pochodną w punkcie x, to funkcja у posiada również w punkcie x pochodną

У — a /'(*)• у = 5 x\

Możemy położyć: a = 5, /(*) ⁼ д:². Ponieważ:

Przykład.

więc :

/'(■*) = 2 дг,

У* = 10 x.

Dowód:

stąd

У + Л У = a f{x + 4 х),

у ₌ f(x+ Л х)~ f(x) -    Лх więc:

10. Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu.

Twierdzenie. Jeżeli funkcje f(x), 9P(j»r) posiadają pochodną w pewnym punkcie x, to ich suma oraz ich iloczyn również posiadają pochodną w tym punkcie, a mianowicie:

1.    Pochodną sumy: у = f(x) + <p(x) jest

У' = /'(*) + 9>'(x).

2.    Pochodną iloczynu : у — f(x) . (p (x) jest

y'=f(x) qf(x)+f'(x)q>(x).

Przy dodatkowem założeniu y(r)j0 istnieje również

, /»

, a mianowicie:

<p(x)

3.    pochodna ilorazu у

, ₌ <P(*)f'(x)-f(x) <p'(x)

y    <p* (x)

Dowód.

1. Jeżeli przez /1 х \ Л у oznaczymy odpowiednio przyrosty zmiennych л i y, to otrzymamy ze związku

związek

У = f(x) + <P (x)

y + z/ у = f{x + Л-х) cp{x Л- J x), odejmując górne równanie od dolnego, mamy:

Л у — f(x + J x) — f(x) 4- rp (x + J x) — <p(x).

ч'х = /'W +

czyli :

Stąd

₌ /(* + J x) — f(x)

<p(x + z/x) —<p(x)

Zlx

Więc

lim él. = z/x

lim /(* + Лх) ~/(x)

Л X —o

z/x

Л*

lim ?>(* + Jx) ~<P(X)

z/ X

Przykład. г/ = x² + x³. Tutaj możemy położyć:

/(*) = *²,

9(x) = x³.

Ponieważ

/’'(x) = 2 x,

9' (x) = 3 x²,

więc

y x - 2 x + 3 x².

2. y + /! y = /(x + z/ x) . <jp (x + z/x) stąd

Лy = /(x + z/ x) . 9 (x + z/x) — /(x) . 9 (x).

Odejmując i dodając do prawej strony równania powyższego f(x).cp(x 4- z/x), otrzymamy:

4y = [/(* + Л x) — /(x)] [9 (x + z/x)] + + / W [9 (* + ^ x) - cp (x)],

więc na mocy twierdzeń o granicach sumy i iloczynu mamy :

lim

= lim

zl*->0

f(x + z/ x) — f(x)

Ax—►■o

• lim cp(x + Л x) + / (x) //m

zl*->o

J*->0

Jx

ф(дг + Л x) — (p(x)

ponieważ funkcje /(x), <jp(x) w miejscu x są ciągłe więc:

y' = /'W ?(*) + /W W

Przykład:    = (л:² + x³) 5 x²

Jeżeli położymy:

to

f(x) — x² + x³,

f '(x) — 2 x + 3 x²,

cp{x) = 5 x², cp'(x) — 10 X,

więc

/ = (2x + 3x²)5x² + (x² + x³) 10 x = 20 x³ + 25 x⁴.

3. Dla dostatecznie małych Л x jest jak wiemy (por. str. 79)

cp (x + х/ х) ф 0.

Możemy zatem napisać :

ЛУ

₌ /(x + z/x) _ /(x) cp{x + Jx) cp(x) ’

więc

Jy

_ /(x + Л x) cp (x) — cp (x + J x) /(x) ęi (x + Л x) cp (x)

Odejmując i dodając do licznika cp (x) /(x), otrzymamy

(f{x) [f(x + z1x) - f(x) ] - [<P (x + z1x) - (p (x)]/(x) cp (x + z/ x) . cp (x)

stąd

Um äe Дх—+~0 Дх

(л) lim f(x~\-Ax) f(x) _

A*-+~ 0

Zim ?>(*+4дг)—д?(дг) А X —

/(*)

Cp (x) lim cp(x + A x) Ax—^O

więc :

Przykłady :

1.

У 4>(x)

w wypadku tym f(x) = 1, f'(x) = O, więc

/ _

*/ “

- <P'(x)

<p*(x)

2. у = x

dla л: ф O

czyli

xb

stąd

— 5 л:⁴

л:¹⁰

= - 5л:-⁶.

3. у =

л:² 4- 5

1 + л:³

kładąc : / (л:) — лс² + 5, ср (х) = 1 + л:³, w każdym punkcie л: ф — 1 otrzymujemy

(1 + л:³) 2 л: — 3 X² (лг² + 5) _ 2 л: — 15 л:² — л:4 (1 4- X³)²

(1 + л:³)²

funkcyj:

Zadania. Obliczyć pochodne następujących

1. У = 7

2.    y — X⁶

3.    y = 2 xs

4.    y = x¹ + 1

5.    ^ ⁼ 3 x² + 2 x ~ 6

x⁵ + 5x³

⁶- у--3⁻

7. y = (5 + 6 x) (4 - 3 x) г/ = 2 Xs (8 X + 11)

co

y = 6 X5 y' = 6 X²

г/' = 4 x3 y' = 6 X + 2

(л:⁵ + 5 x³)    - (5 x⁴ + 15 x²)

U) и-*

od a\

4 X³

У = 9(l-4x) y' = 64 X³ + 66 X²

У =~

4 X⁴

10. г/ -

X² — 2 X + 3

— 16 + 4 x + 4x²

X² + 2 X 4- 5

(x² + 2 X + 5)

11. y =

12

3 - 2x

(3- 2 x)²

12. y =

X³

y' =

15

x⁴

3    2

13. y = 9x⁶ + 4“

y    x⁴

xu

г/ — 54 x⁵ —

12 . 22

X⁵

x¹²

11. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja У ⁼ f(cP (x)) jest funkcją złożoną z funkcyj у = /(и), u = cp(x) ciągłych i mających pochodne ciągłe, to pochodna funkcji złożonej istnieje i oznaczając ją symbolem yx, mamy wzór:

czyli

Przykład:

У'х = f (u) . ux,

У'х = f'(<P (x)) cp'{x).

ÿ = (5 + 2x-3 x²)⁵.

и — 5 + 2 x — 3 x²,

Kładąc

mamy

zatem

У = н⁵> у' = 5 и⁴ . и

i ostatecznie г/' = 5 (5 + 2 x — 3 л:²)⁴. (2 — 6 л:).

Udowodnimy na razie powyższe twierdzenie przy założeniu, że, gdy z/х ф 0, to

/1и — cp (x + ЛX) — cp (х) ф 0.

Kładąc z/y — f {u + /lu) — / (u), mamy Л y _ J y Jи zlu zlx

Ponieważ lim zlu = 0, więc

Jx-+~0

ŚŁ =

о Лх

lim

/1Х

Лу

zlu

lim

Ja—>- 0

У x У а • U' x.

Dowód w wypadku ogólnym podany jest nastr. 162.

Jx-

zlu

Jx-

lim

0 /lx

Zatem :

12. Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja y = /(x) ściśle monotoniczna posiada dla pewnej wartości na x pochodną różną od 0, to funkcja odwrotna x — cp (y) posiada w odpowiednim punkcie y pochodną

*'{g)=jh-

Dowód. Oznaczając przez zly przyrost zmiennej y, zaś orzez zl x odpowiedni przyrost zmiennej x,

mamy :

= élL, zlx

więc :

cp' (у) = lim

zfx

lim él. Ау —/1X

Ponieważ lim z/ x — 0, więc :

Ау-+- о

lim ^JŁ =

Ay—/1X

a więc:

lim    ₌

/1 * —►■o /1X

¥{у)~ш

f (*).

Przykłady:

1.

У = /W = V *

Podnosząc do kwadratu, otrzymujemy

i/2 = *•

Funkcją odwrotną jest więc:

x = <P(y) = У¹'

Ponieważ :

więc

, _    1

У x--T, 7

4> (y)

2\/ x

2.

-Г¹

Mamy tu

* + 1

дг + 2*

stąd

x=cp(y)= ~

-2 y*

Stosując do cp (y) twierdzenie o pochodnej ilorazu»

mamy :

_ (у»-1)(--4у)-(1-2.у»).2у

ty² - l)²

W² - 1 )² ’

a więc :

₌ (.V² - l)² _ 1

y’ ¥ (i)

Moglibyśmy również obliczyć tę pochodną, opierając się na przykładzie poprzednim i twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej. Kładąc:

2 (x + 2)2

otrzymujemy :

, _ 1 > _ 1

у--— -u--

2 vu :

a więc znowu :

x + 2 (x + 2) 1 — (x + 1) . 1

(x + 2)²

2 (x + 2)2

Różniczka funkcji.

13. Definicja różniczki. Załóżmy, że funkcja y = /(x) posiada ciągłą pochodną. Oznaczmy przez z/x pewien dowolny przyrost zmiennej niezależnej x, zaś przez z/ y odpowiedni przyrost zmiennej zależnej y.

Wyrażenie /'(*)

oznaczać będziemy symbolami dx y, cLx f {x) i nazywać różniczką zmiennej y ze względu na zmienną x w punkcie x. Pisząc la symetrji dxx zamiast Л x, otrzymujemy następując formułę:

stąd

dxy = f'(x) dx x,

(1)

(2)

/'<*>•

Zauważymy jeszcze, ż różniczki dxy i dx x są funkcjami zmiennej x, przyczem dx x jest funkcją przybierającą wartość stałą x.

14. Różniczka funkcji złożonej. Przypuśćmy teraz, że x jest funkcją innej zmiennej t, t. zn. że

x = cp (t).

Załóżmy nadto, że funkcja cp (t) jest ciągła i ma ciągłą pochodną. Niechaj dla t—tx będzie x = x\. Podobnie jak poprzednio otrzymamy formułę:

(3)

dtx = cpr (tt) dt t.

Zmienną y możemy uważać za zależną od t, a mianowicie

У =/(*) = f(<P (0) - V(0-

I teraz otrzymamy związek :

(4)

dty = Ц>' (t) dt t.

Lecz na mocy twierdzenia o pochodnych funkcji złożonej wiemy, że

Wstawiając to wyrażenie w formułę (4), otrzymujemy dty = f'(xi) cp'(ti) с/; t, stąd zaś na mocy formuły (3)

(5)

dty =    dt X.

Porównując formułę (1) z formułą (5), widzimy, że możemy je symbolicznie napisać w postaci:

(6)

dy — f'{x) d X.

Formułę (1) względnie (5) otrzymujemy z formuły (6), pisząc dX względnie dt zamiast d.

Symbole dy i d x są symbolami niezupełnemi. W wielu wypadkach jednak, gdy pomyłka będzie wykluczona, będziemy ich używać zamiast symboli dx y, dx x względnie dt y, dt x.

Znaczenie formuły (6) uwydatni się, gdy zwrócimy uwagę na to, że przy szukaniu pochodnej mieliśmy dwie formuły służące do wyznaczenia pochodnej y ze względu na x. Mianowicie, gdy zmienna y była dana jako bezpośrednio zależna od x, wówczas gdy zaś zmienna y była dana, jako zależna od л: za pośrednictwem pewnej funkcji u, wówczas

y'x = f'{u) . u

Szukając jednak różniczki, otrzymamy w obu wypadkach podobną formułę:

czyli

dxy — f'(x) dx x dxy = f'(u) dx u,

dy = f'(x) dx dy — f'(u) du.

15. Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu. Na mocy twierdzeń o pochodnych sumy i iloczynu otrzymujemy podobne wzory na różniczkę sumy, iloczynu / i ilorazu. Załóżmy, że u i ü są funkcjami zmiennej x:

u = f(x),

V = cp (.x),

mającemi ciągłe pochodne. Jeżeli teraz przyjmiemy, że

У ~ u + V,

wówczas

y x = u x + v'x,

stąd

i)' dx — u dx + V x dx,

więc

dy — du + dv,

czyli

d{u + v) = du -f dv.

Podobnie :

d(c . u) = c . du,

gdzie c jest liczbą stałą,

d(u v) — udv + vdu

vdu — udv

Uwaga. W praktyce dogodniej jest często rachować różniczkami, a następnie dzieląc przez różniczkę zmiennej niezależnej, zamieniać je na pochodne.

16. Interpretacja geometryczna różniczki. Geometrycznie możemy różniczkę przedstawić w następujący sposób:

Jak łatwo widać z rysunku, mamy:

dy = f(x) dx — tg a dx — CD.

Różniczka dy różni się w ogólności od xl y, ale różnica ta: BD jest bardzo małą w porównaniu z dx, dla bardzo małych dx, gdyż

dx

lim 3 У dy

dx—^O

/cc i

dx

_ lim___

dx-+-0 [dx dx

z/ u = dy — f'(x) d X.

W praktyce więc, gdy nam chodzi tylko o przybliżone wartości, możemy dla małych przyrostów d X położyć

Pochodne funkcyj zasadniczych.

17. y = xn

(X Ф 0).

y'x= nxn1

Poprzednio wykazaliśmy tę formułę w przypadku, gdy n jest liczbą całkowitą nieujemną. Przejdziemy teraz pozostałe wypadki, a mianowicie gdy n jest liczbą całkowitą ujemną n jest liczbą wymierną n jest dowolną liczbą rzeczywistą n jest liczbą całkowitą ujemną. Kładąc n = — r, (r > 0), otrzymamy funkcję w postaci

Na mocy twierdzenia o ilorazie xr. 0 — r xr

czyli

xu

У'* =

— r xr

x*r

- 7--1

-i

czyli

yrx = n xn

л jest odwrotnością liczby całkowitej. Kładziemy n — — i mamy:

y = xr.

Funkcją odwrotną jest funkcja

więc

X = yr,

Xy =ryr~\

Stąd na mocy twierdzeń o funkcjach odwrotnych

(dla y =j= 0, t. zn. x ф 0).

, ₌ ±___

У X Xy ryr~

Ponieważ

yr

= (Л

,-±    -(i-,)

Г — x V Г ) i

więc

¹

Przytem za dodatni kierunek siecznej uważamy kierunek od A do B, t. j. ten kierunek, w którym x rośnie.

²) Przytem znowu za dodatni kierunek stycznej uważamy ten kierunek, w którym x rośnie.

')

czyli

--1

y'x = — xr

r

a więc

(dla л: ф 0).

у X = П хп

Dla X = 0 pochodna nie istnieje.

п liczbą wymierną. Kładąc n —

funkcję

P

—, możemy Я

E.

(x>0)

У = xq

uważać za funkcję złożoną z funkcyj:

i u ~ xq '

У — uP

Więc na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj złożonych dla X ф 0 jest :

У X = у u • u x

xq

/ l\p~' i

'X — p \xq I — • xq

--1

p £--1 + 1-1 p £■

^xq q q — — xq

czyli :

yrx — n xn

n liczbą niewymierną. Funkcję możemy w takim wypadku uważać za funkcję złożoną z funkcyj

u = n log X.

Wówczas, opierając się na ust. 19 (str. 129), mamy

dla x ф 0

r    r ,    n

yx=yu-ux = eu--

Stąd, ponieważ

eu — у — xn

więc

л:

= пГ

Ух = 0.

Gdy n > 1, to można udowodnić, że dla x = 0,

Gdy n < 1, to pochodna dla x = 0 nie istnieje. Przykłady :

1.

у = \l Xs = X

a więc

co luo

, _ 3 ⁹ ~~5X

2-    y = x

y' = >f2-x^¹-

3-    г/ = у л: + а — (дс + а) >

5⁵Vy'

zatem

/ _

i/ -

— (лг + а) 2

2\jx Л- а

Korzystaliśmy przytem z twierdzenia pochodnej o funkcji złożonej (u = x + a).

1.

2.

3.

stąd

więc

Zadania.

y — \l 3 X — 2 X²

3 — 4x

у — 7 x \j 1 + 2 x

2 + \j x

У ~ -F=

2 - V л:

~ 3³\J 3(x— 2 л:²)²

, _ 7 (1 + 3 x)

У \ 1 + 2 x

18. У = log а X у х =

V x (2 — \Jx)

~~logae (dla a >0, аф1)

у Л- /! у — loga (х + z/ х)

zatem

₌

z/X z/x

więc

Л у — loga (х + Л х) — loga X,

= loga (l + ф) ,

z/ ï/ 1    /. . J x\4x

(1)

Kładąc : —

z/ л:

= r, otrzymujemy:

lim I r j = oo

A*—

więc

lim

A*—

lim

r-->-00

.+ii'

= e.

Na mocy (1) mamy:

У*

= lim ₌ lim

/}x—^0 Jx    /j*->0 x

Ponieważ logarytm jest funkcją ciągłą, więc

lim

A x —^ o

Jx\Ax 1

= — loga e .

W szczególności, jeżeli у — loge x, to у x = — .

Jeżeli więc zasadą logarytmów jest liczba e, to

pochodna przyjmuje najprostszą postać —. Logarytmy

o zasadzie e nazywamy logarytmami naturalnemi. Ilekroć piszemy log X bez podania zasady, mamy na myśli loga-rytm naturalny liczby x.

Przykłady:

- log]0e= —0-4342945...

X    X

i.

у = logio X

2. y = logf{x)    (/(x)> 0).

Kładąc

u = /(x),

mamy

у - logu

₌ f'(x)

/(•**)

3. у = log \J 10 x — x² = — log (10 x — x²) .

Mamy tu: f{x) — 10 x — X², zatem wedle poprzedniego przykładu :

1    10 — 2 x

2    10 x — x² 10 x — x²

Zadania:

1. y — log 8 x

5 “f” 4 X

2• У ~ l°g з j— — log (5 + 4 x) — log (3 + 7 x)

-23

(3 +7*) (5 + 4*)

3. у = % x)

/ ___

^ X log X

19. у = ax, y' = ax log a\ у = ex, у = ex

Więc

Odwrotną funkcją do y — ax jest funkcja x=logay.

logae,

x'y =

lecz na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj odwrotnych i z uwagi, że х y ф 0, otrzymujemy:

, —— = ax log a. loga e    ⁵

x's

W szczególności, gdy a = e, to log a = 1, więc, gdy у — ex, wówczas у x — ex.

Funkcja у — ex ma więc tę ciekawą własność, że jest równa swej pochodnej.

P rzykłady :

у = 5a

У = e'v-Kładąc u = X², otrzymujemy

У = e°__

^ = eji + 2* + 3x*

1.

2.

у = 5* log 5

у — eu u — 2 x е*г

Kładąc и — \Jl + 2 x + 3 x² — (1 + 2 x + 3 x²) » У ⁼ eu

mamy

znowu

у' - eu и'

u obliczamy stosując ponownie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej, a więc kładąc v= 1 + 2jy + 3;y², dostajemy:

JL

zatem:

u' =

a stąd

1 + 3x

J1 + 2x + 3;y²

2 + 6x

^ Vl + 2x + 3*²’

e \j l + 2x + 3x"

Zadania:

1.    г/ = (7 2a + 3)⁵

2.    y ~ log (11 eA + 2)

y' — 10 (7 2a + 3)⁴ 7 2a /og⁻ 7 y' =

11 eA

3. y — x³ ex

11 exJr 2

y' = eA („y ³ -f- 3 .Y²).

20. Funkcje tryg-ometryczae. y = sin x

y + zJ y = sin (x + Л x)

Л y __ s/л (х Л x) — sin X J x

y' = cos д:

2 s/л 2 cos

Ux)

Л x

więc

Л у _ sin 2

Zl x

. cos

(*+¥)•■

// X

Kładąc -y- = h, otrzymujemy wobec ciągłości funkcyj

sin i cos:

lim

A *—>- o

/im h — 0 d*—>-°Л л:

sin ~T

z/*

= /im A —>-0

sin h

^--1 (por. str. 72)

/im cos ^->o

Ut! =

/im cos (x. + A) = cos x,

h —    0

a więc

У X — lim

d*-~►- o

ÿ = cos x, y' = — sin a:

J У

J x~cos x

Zauważmy, że cos x = sin --xj ; a więc funk

cję ^ — cos x uważać możemy za funkcję złożoną z funkcyj :

y — sin z i z =

to a

X.

Wobec tego, na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy :

lecz

/ _ / /

y X - У z. Z x,

У z = cos z — cos

(y~x) ~ s*n x>

zaś

więc

y x — — sin x

У = /я y x =

cos² x

Ponieważ y = tg x =

sin X

cos x ’

więc na mocy twier-

dzenia o pochodnej ilorazu otrzymujemy :

У* ⁼

cos x cos x — sin x (— sin x) _ cos² л: + sin² x

COS² X    COS² X

a więc

У* ~

COS² X

s г/г ² x

у = ctg X, у x =

więc

Podobnie jak poprzednio у =

cos X

szn л:’

, _ sin X. (— szn x) — COS X COS X sin² X

_ — (sin² x + cos² x) _ sin² x

y = sec x, y' = sec x tg x

cos X

więc

sin² x

cos x. 0 — 1 (— sin x) _ sin x cosż x    cos² x

więc :

szn x

— — sec x tg x

COS X COS X

у — cosec x, у = — cosec x ctg x

Przykłady:

1.    y — sin 4 x. Kładąc u ~ 4 x, mamy y = sin u y'= cos u. u , a więc y — 4 cos 4 x.

2.    y = tg x². Połórzmy: u — x²; mamy wówczas y — tg u

y'⁼

2 x.

cos² x²

więc

_ (sm x) .0 — 1 (cos x) _ SzVl² X

COS X

sm² x

stąd

У'x--

cos X

sin X sin x

— — cosec x ctg x.

—r— u' zatem u' = cos² u    *

3.    y = cos¹⁰ x Kładąc u = cos x, mamy y — u10 y — 10 и⁹, и у a więc у — — 10 cos⁹ х sin x.

Zadania:

^5 ^ ^ T-H CS CO

= 2 cos X + 5 sin X

—    cos 2 X + 1

—    sz’n² X

4. y — ctg (x + ex)

—    2 sin x + 5 cos x

—    2 sin 2 x = 2 szn л: cos x

—1

sin² (x+e*)

(1 4- ex)

21. Funkcje cyklometryczne.

VI -

у = arc sin x, y x =

więc

Funkcją odwrotną jest x = sin у, x'ÿ = cos г/

stąd, na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj odwrotnych, otrzymujemy:

cos у

У'х ~ —r

Oczywiście у ф i

X ф ± 1.

te S

, со odpowiada wartościom

Ponieważ

cos у = \jl — sin² у |znak pierwiastka jest dodatni, gdyż — więc

K CS

,    TC \

<ÿ<2)’

stąd

COS y = sj 1 — X²,

У* ⁼

V1 - X²

Uwaga. Można wykazać, że dla x = ± 1 pochodna nie istnieje.

<M=M>

v'i —

y = arc cos x, y'x —

Dowód podobny jak poprzednio.

_ , _ 1

y - arc tg x, yx -

Funkcją odwrotną jest x — tg y, więc

(ponieważ--^ < y <

różne od zera). Stąd :

ä'x =

£ les

cos⁹ y

więc x'y zawsze istnieje i jest

7 — COS²y,

y'

л У

lecz

cos⁹ у

= 1 + tg² у = 1 + X²,

więc

1 + X²

y = arc ctg x Dowód analogiczny do poprzedniego.

l+x²'

y = arc sec x

I x I V XŁ + 1

Funkcją odwrotną jest: x = sec y, więc x' y = sec у tg у

(z wyjątkiem у = 0, у = тг, co odpowiada wartościom X = + 1, x = — 1), stąd

У'х =

sec у tg у

Dla x > 1 jest 0 < у <C

к CM

sec у = x = x L

tg y — y sec² y — 1 = \j X² — 1.

Znak pierwiastka bierzemy dodatni, gdyż w tym wypadku tg y jest dodatni. A więc dla x > 1 jest:

yx =

Dla л: < — 1 jest

\\jx2 — 1

< y < n, więc tg y < 0,

wobec tego:

więc

tg У = — V sec² у - 1 - -

x² — 1,

~ X V ~~ 1*

ponieważ л’ < — 1, więc |x| = — x, i znowu

У'х =

I x I yj x² — Y

y = arc cosec x, y x — —

д: I V x² — Y

A Ф !•

Dowód przeprowadza się podobnie, jak poprzednio.

1.

Kładąc

Przykłady:

y = arc sin \J X³.

u = X²,

mamy

y — arc sin u

zatem

2.

Połóżmy :

V 1 ~~ u²

,    1_ 3 _

⁹ V 1“ ^ 2 v'r

у = arc tg

1 — X 1 + X

wówczas

у = arc tg u

! __

* 1 + B*

Ałe

₌ (1 +x).(-l)-(l-x).l_

(1 + xy

-2

(1 + *)«’

więc

r _

у--

(1 + X)

(1 + x)²    (1 + х)² + (1 - x)²

1 + X²

3.

Niech będzie

у = arc ctg \j x

Otrzymujemy :

и — \j x .

у = arc ctg и

u' = —

J__1_

1 + X 2 V x

Zadania:

2 (x + 1 ) y x

1 • У = arc ctg ~ \l X

2.    у — arc sin 2 x \l 1 — x²

3.    у = x arc sin x + \j 1 — x²

22. Pochodna logarytmiczna. Weźmy pod uwagę

funkcję

У = {/(*)} <p{x)>

gdzie funkcje /(дс) i cp (x) są ciągłe, przyczem /(x) jest funkcją stale dodatnią. Biorąc logarytmy naturalne obu stron, otrzymujemy :

log у = cp (x) log /(*).

Uważajmy log у za funkcję złożoną zmiennej x i wyznaczmy jej pochodną. A więc :

ic

= ¥ (*) l°g f(x) + fP (x)

/'(*)

f(x)

(1).

Wyrażenie — nazywamy pochodną logarytmiczną. Równość (1) z uwagi, że y = [f(x))<P^ daje nam:

у = \f(x))<**[<ff(x) logf(x)+4,(x)fj^\-

W ten sposób, zapomocą pochodnej logarytmicznej, wyznaczyliśmy pochodną funkcji у — {/(*)} 'pW.

Przykłady:

więc

stąd

1. Wyznaczyć pochodną funkcji у = xx (x > 0). log У = x log x,

— 1 . log X + X — = log X + 1,

y' = x" (log x + 1).

2. Wyznaczyć pochodną funkcji у — (sin x)

COS X

(0 < x < n)

log у — cos x log sin x

— = — sin x log sin x + cos x У

cos x

sin x

więc

y' ⁼ (sin x)

COS X

— sin X log sin X +

COS² X

Zadania:

1.

CN CO

«CS

= X log x

= (log x)x I X \x

*“7

y' = 2 xlog x y = {log x)x

Ti logx

log X

{1 + log X. log (log x)}

Przykłady:

1. Wyznaczyć pochodne funkcji y — ax '    — ax log a

nr —

" — ax (log a)2 ax (log a)⁸

a* (/o.? a)".

y("] —

Jeżeli y = ex, to y⁽")= ex.

2. Wyznaczyć pochodne funkcji y = Xk

y' — к Xk~

у" = к (k-1) xk —²

y"= к (k-1) (k — 2)    — 3

2)). 1 = k\

23. Pochodne wyższych rzędów. Jeżeli funkcja у = f(x) posiada pierwszą pochodną, to pochodną tej pochodnej, jeżeli istnieje, nazywamy drugą pochodną funkcji f(x).

Podobnie pochodną drugiej pochodnej nazywamy trzecią pochodną i t. d. — Symbolicznie pochodne wyższych rzędów przedstawiać będziemy w sposób następujący :

r    rr

у'    у"    у"    у?/⁽⁵)    . . . yW    albo

f(x)    f"(x)    f"'(x)    f^(x)    f^(x). . . /(»>(*)    albo też

d у dŁ y db у

///

У⁴⁾л-    y(⁵⁾x    . . . y{n)x

albo

r/⁴ у    d⁵ у

dx dxl d X³ dx*    dx⁵

dny

dxn

ÿ<”> = 4 (4-1) (4-2). ... (fe— (я — 1)) д:* — Jeżeli к jest liczbą naturalną, to :

yV = k (k-1) (k-2).    ...    (*'-

y(b+l) = 0.

3. Wyznaczyć pochodne funkcji у = log x

r __

rr _

У--

rr r _

У -

y^ =

1. 2. 3.

1. 2

X⁴

= (- 1)

s h .2, 3:

X⁴

,v<") = (- 1)"

1 (n ~ 1)!

X"

= COS X

(x+2t)

4. Wyznaczyć pochodne funkcji у — sin x

= sin (x + ~)

y" = — s/л X = s/n (x + n) — s/n

rrr __

— COS AC

= s/n (x + 3

= s/n X

— sin |x + 4 — I

CO

£ CS

Podobnie, jeżeli у = cos х, to

y^ — cos л: + n

„»■/МГМ-ЛМ У    /Чх) '

4- У ⁼ log /(х)

Zadania:

1. у = е3+4л:, у" = 16е³⁺⁴*, г/'" = 64е3+4д: . .    *,("> =

ą n g 3 + 4х

= 5" sm

2. у = sm 5 X,

(⁵

X + /г

to a

3. у -

I — COS X

sin X

<M

to

t£

5. у — у X

CO CO

сл

24. Formuła Leibnitza. Niechaj у — uv, gdzie u i г; są funkcjami zmiennej x. Otóż :

' = U V + v' u

V ~b и V 4- u v + v" u = z; + 2 u v + + u v"

if' — u." v + u' v + 2 u" г/ + 2 u v" + u v + u v" — u" v + 3 u' v + 3 u v" + у⁽⁴> = u^v + 4 u

rrr

//

///

v' + 6 u" v" 4- 4 u v" + u z/⁴)

Widzimy więc, że współczynniki występujące w powyższych formułach są te same, co przy rozwinięciu dwumianu (a ~r b)n wedle wzoru Newtona. Zapomocą indukcji zupełnej można łatwo udowodnić prawdziwość wzoru analogicznego do formuły Newtona, a mianowicie :

(Ï)

y(n) — u(n) v _|_

Wzór ten nosi nazwę formuły Leibnitza.

Przykłady:

1.    Wyznaczyć гг-tą pochodną funkcji: y = xex.— Kładąc u = ex v=\, otrzymujemy ze wzoru Leibnitza:

г/п) = X ex + n ex

2.    Formuła Leibnitza pozwala nam wyznaczyć nieraz łatwo wartość n - tej pochodnej dla pewnej szczególnej wartości na x. Wyjaśnimy to na przykładach :

Wyznaczyć wartość n - tej pochodnej funkcji, f{x) — arc tgx dla x = 0.

1 +x² ’

/'(*) =

stąd

f'(x). (1 + хг) — 1.

Biorąc teraz n - tą pochodną według formuły Leignitza, otrzymujemy :

I .Z

f*(x) (1l>(x). Kładąc X = 0, otrzymu my :

a więc :

/W(0) + n (n - 1) /(«~²>(0) = 0

g)/0V = —    =

— n (n - 1) /(,г 2)(0)

Otrzymaliśmy dogodny wzór redukcyjny tość n - tej pochodnej dla X = 0.

[n =j= 1]

«'и 4

'П > o

na war-

Ponieważ f'(Q) = 1, zaś f "{x)--

2»

więc

(1 + X*)

0) = 0, — otrzymujemy z wzoru redukcyjnego, kładąc n =i 3, 4, 5, ...

/"'(0) = - 3. 2 —-- 6    -2 • 1 * ~ 2

i. t. d.

/<⁴>(0) - 0

/(5)(0) =- 5. 4.-6= 120

-• Ъ • - 2- - 2^

3. Wyznaczyć wartość n - tej pochodnej funkcji :

/(*) =

2 x + 1 X²—3 x+1’

dla X = 0. Mamy :

/(x) (x² — 3x + 1) — 2 X + 1. Biorąc /z-tą pochodną {n > 2), otrzymujemy:

Kładąc X = 0, mamy :

/(”>(0) — 3 n    — n (n — 1) /(n—2)(0) = 0,

stąd

Wyznaczając wprost pierwszą i drugą pochodną, otrzymujemy :

/'(0) - 5, /"(0) = 28,

następnie z formuły rekurencyjnej, kładąc 72 = 3, 4, 5,... wyznaczamy wyższe pochodne.

Z adania :

2. у = X log X yW

1. y — ex(3x² —4) y^ — ex [Зх² + 6тг х + Зтг (тг — 1 ) — 4] _(- 1)" (n - 2)1 xn—1

3. у — X² sin x у W = X² sin

(*+пт) ⁺

2 n X sin X + (72 — 1 2 + тг (72 — 1) sin x + (72 — 2)

25. Funkcje dane przedstawieniem parametrycz-nem. Przypuśćmy, że mamy dane dwie funkcje

y = 9>(t)

jednej zmiennej t, obie określone i ciągle w tym zamym przedziale zmienności t. Jeżeli funkcja x = f(t) jest funkcją ściśle monofoniczną, to istnieje jej funkcja odwrotna : t = ip (x), ciągła i ściśle monotoniczna. Możemy wobec tego uważać zmienną у, jako zależną od zmiennej X za pośrednictwem zmiennej ł. Kładąc

У = 4>    = F(x)>

widzimy, że funkcja у = F (x) jest funkcją ciągłą. Mówimy o niej, że daną jest parametrycznie za pośrednictwem zmiennej t.

Przykłady:

1.

(0 < t < n)

4. f(x) = (arc sin x)²    (1—x²) f (x)—x / (x) = 2

jc(2n+i) (o) = o /<2п)(0) = 2. 2². 4². 6² . . .(2 /г-2)2 f'(x)—f(x) sin x

/<"-²⁾(0) + (4)~ 4>(0)

5. /(л:) = e

sin л:

C CM

/(»+!)(0) = /(-)(0) -/(0) = t,./'(0) = 1, /''(0) = 1, /"'(0) = 0, /№(0) = -3

i t. d.

= r cos t — r sin t

Ponieważ funkcja x — r cos t jest ściśle malejącą dla 0 t ^ n, więc wyznaczając z pierwszego równania t i wstawiając w drugie, otrzymamy żądaną funkcję zmiennej x.

Dojdziemy prościej do celu, jeżeli zauważymy że: x² + y² = r² (cos² t 4- sin² i) = r²

y = \jr² — X²

stąd

Obieramy znak pierwiastka dodatni, gdyż funkcja y — — r sin t jest dla 0 t n nieujemna.

Przyjmując, że n ^ t ^ 2 тс, otrzymujemy :

у — — \j r² — X ².

Widzimy więc, że gdy t zmienia się od 0 do 2 n,

to wzory

X — r cos t, у = r sin t

definjują nam dwie funkcje zmiennej X, których obrazy geometryczne tworzą całe koło.

2. Przedstawienie parametryczne ma szczególne znaczenie przy badaniu ruchu punktu. Jeżeli punkt porusza się po płaszczyźnie, to jego współrzędne x, у są funkcjami czasu t. Podając te funkcje: określamy ruch punktu w zupełności. W każdym okresie czasu, w którym funkcja f (t) jest ściśle monoto-niczną, możemy, postępując jak poprzednio, wyznaczyć funkcję y — F (x), której obrazem geometrycznym będzie krzywa, zakreślona w tym okresie czasu przez punkt ruchomy. — W poprzednim przykładzie funkcje określały ruch jednostajny po kole.

Przypuśćmy teraz, że funkcje

*=/(*) i У = <p(t)

posiadają pochodne ciągłe w otoczeniu pewnej wartości t i że nadto dla tej wartości : f' (i) ф 0- Niechaj funkcja t —ip{x) będzie funkcją odwrotną (w otoczeniu punktu t) funkcji x = <p(t). Ponieważ funkcja *p(x) ma pochodną, wyrażającą się wzorem.

r (0*

гр' (x) =

więc na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej funkcja y — F (x) = cp (ip (*)) ma pochodną

czyli:

Чх - cp' (У (x)) •    (*),

₌ tM.

r (0

Wykazaliśmy więc, że pochodna funkcji, przedstawionej parametrycznie, wyraża się wzorem :

_ ¥(t)

o ile /' (t) ф 0.

Przykład. Biorąc pod uwag-ę funkcję określoną w przykładzie 1), otrzymujemy:

Ух =

r cos t

r sin i

= — ctg t

(t =j= 0, n).

Łatwo możemy wyznaczyć pochodne wyższych rzędów, o ile założymy, że funkcje f (t) i cp (ł) mają odpowiednie pochodne.

Pochodną drug-ą otrzymamy w sposób następujący: Zauważmy, że funkcja у x jest przedstawiona parametrycznie funkcjami

Ух

<Pi (О

₌ ïJâ =

Г (0

Stąd:

X =/(*)•

a więc

У"х

- v’* (0 /' (0 ’

-/'(0 y" (<)-/" (fl <P(0

U' (OP

У" x

Podobnie, kładąc y"x — <jP₂ (t) otrzymujemy:

rr

a więc:

_ ¥* (0 f (t) ’

y’x = {[/' (O]² y"' (0 - /' W /'" (0    (0 -

- 3 f'(t) r (t) cp" (t)+3 [/" (0? ÿ (t)}

Postępując w ten sposób dalej, możemy wyznaczyć pochodne dowolnego rzędu.

Z adania:

сч*

sin² t sin 2 t

У' = i tg 2 t

3.

= sin i — t cos t = cos t + t sin t

tgt

H(M (m|co

t*

v2 P

/

i/

Vi

26. Różniczki wyższych rzędów. Jak już poprzednio wspomnieliśmy, różniczka

dx y — f'(x) dx X

jest funkcją zmiennej X. Wobec tego możemy mówić o różniczce różniczki. Połóżmy:

dx (dx y) = dx²y dx (djy) = dxsy

dx (dxn~xy) = dxny

Wyrażenie dxn y nazywać będziemy n - tą różniczką lub różniczką n-ego rzędu.

Na mocy twierdzeń o różniczce iloczynu otrzymujemy:

dj y — dx [/'(*) dxx\ — dx f\x) dxx + f'(x) dj X.

Ponieważ

zaś

dx f'(x) = f"(x) dx X,

dx²x — 0

(bo dxX jest funkcją stałą), więc

dx*.y= f" (*) {dxx)\

Podobnie otrzymamy:

Stąd :

/"(*)

_ dYy

(dxx)

dxd y = f"'{x) (dxxY dxny = f^{x) (dx x)n

_ dx³ У (dxxy ’

. . . /<">(*) =

dxn у

(dxx)n

Pisząc d zamiast dx i dxn zamiast (dx x)n, otrzymujemy :

= /"W

ć/ X²

^³i/ _ i/ Xs

dn У ₌

dxn

/(Л)(Х)

Trzeba jednak pamiętać, że w formułach tych różniczki występują ze względu na zmienną x.

Przypuśćmy teraz, że y i x są funkcjami zmienej t. Wobec tego otrzymamy:

dt y — f' (x) dt X

dt²y = f"(x) (dt X)² + f(x) dt² x

dtAy — f "(x) (dtx)bJr‘2 f "(x) dtX dt² X +

+ f" (x) dt X dt² X + /' (x) dt³ x

(Ponieważ dt X nie jest obecnie funkcją stałą, więc nie możemy opuścić dt² x), a więc

dt³ y = /'" (x) (dtx)3Jr3 f"(x) dt X dt² x+f'(x) dt³ X.

Używając teraz symboli niekompletnych, mamy : d y — f' (x) d X

d²y — f"(x) dx²+ f'(x) d²X

d³ y — f " (x) d X³ +3 f "(x) d² X dx 4- f (x) d³ x

i t. d

Zauważmy, że formuły powyższe pozostają również ważne, gdy zamiast d będziemy pisali dXf gdyż:

dx²x — 0, dx³x — 0

i t. d,

Podobnie jak poprzednio będziemy i teraz używali symboli niekompletnych w wypadkach, gdy pomyłka będzie wykluczona.

2. Jeżeli mamy daną funkcję y = F (x) przedstawioną parametrycznie zapomocą funkcyj

x- f(t) y = g> (t),

stąd

Ч'х

to biorąc różniczki według zmiennej t, otrzymamy: dУ= F'(x) d x = y'x d x - dy _ cp'(t) dt_(f'(t) dx f'(t) dt f'(t)

Biorąc znowu różniczkę według zmiennej 11, mamy

dy'x =

dp,

d X

a więc:

dx =

d X d² y — dy d² X

d X*

czyli

_ d X d² у — d y d² X - d X³

Kładąc

d X = f' (t) dt

d²X = f"(t) dt2 d y — cp' (t) d t d² y — cp" (t) d t²

dostajemy formułę, otrzymaną na str. 146. Podobnie

dy"x -

,d X d² y — d y d² X dx³

_dx² ddy~dx d³X dy — 3 d X d² X d² у + 3 d X² dy

d Xb

Stąd otrzymujemy łatwo formułę ze str. 147.

3. Niechaj funkcja у = f(x) posiada funkcję odwrotną X = cp (y). Wyznaczymy pochodne funkcji cp (y) zapomocą pochodnych funkcji f(x).

Zauważmy, że biorąc różniczkę względem zmiennej у, mamy :

d² y = dd у — ... — 0,

O- A.

to

a.

te

a.

ьо

'S

a.

'c

A.

to

dnX = X^y d yn = cpW (y) dyn

Stąd :

d y — f(x) dx = f (x) . x'y dy d*y = O = /" (x) (х'уУ dy¹ + f (x) x"y d₄2 d³y = O = f" (x) \x!yY dy³ + 3 f" (x) x'y x"y dy³ + + f'(x)x'ydy³

i t. d. Zatem :

y' =

Л y

/’(*)

x" =

A y

Г (x) (x'y)* _ Г(х) [/'(*) ]»

. 3 U"(x)Y-f' (x) f'"(x)

[/'(*) P

f(x)

Możemy również otrzymać ten sam wynik inną metodą. Mianowicie, jak wiemy :

¥(у) = х'я =

Biorąc pochodną względem у i uważając /' (x) za funkcję złożoną zmiennej у za pośrednictwem zmiennej X, otrzymamy:

f"(x)x'y_    f”(x)

[/'(*)]²

₌    [f'(x)]^r'(x).Xy-f'(x)3[f(x)Y.r(x).x'y

[/'(X)p

₌ 3 [f"(x)Y-f(x)f"(x)

[/'(*)?

Ff

a więc:

[/' WP

ZADANIA

1.    ^=И

2.    ÿ = 4х+ 7

3.    у — 9 X⁴

4.    г/=а + 26х + сх²

5.    и =.— = 2х~⁴

X⁴

У = о / = 4 г/' = 36 X3 г/ = 26 + 2сх

/_

У--

X⁵

1 -I

⁶’^ 5V*3    5*

7. г/ = (а + &х) (а~Ьх) х² + 2 х + 1

А 1

_ 20 ⁴^

г/' = — 2b‘ź X

/-

8- у =

х⁴+4х³+Зх²+2х+2

Xs—1

(х⁸-1)

--X³

Х³+аХг + аХ + 1

10.    г/ — (2 + Зх) (8 + 7 х)

11.    у = (а+Х²)³

12.    г/ = |б X²

у' = 2 х + а— 1

у' = 38 + 42х у'⁼ 6 X (а + х²)²

/ = 4х⁷ (12-х³)(б-^-х³)³

(1 -х)⁴

13. и--7 + 73-77

^    X² (1 — х)³

14. у — \11 +5 X

/ __

У 2 у1 + 5дт

15. у = \'(2 X² — X³)

,_ Зх (4—Зх)

У    4 \2 X² — ж³

16. г/ =

¹⁷' У = {т7х~9х~^3х+х2 y =

18. y

Va² — X

У (a²    X²) Va² —

2 x² v'3 X + x²

X²

_ (8x⁴+4x²+3)y'x²-l

15 x⁵

y x⁶ Vx² — 1

19. y = log (2 + 5 x)

5

У 2 + 5x

20. y = log xn

21.

22. y =

log

1 —X²

23. y =

o'

, _    1 + X²

У X (1    X²)

,_l-logx U    X²

24. г/ — X ya²+x² +

H- /o£ (x + \j a¹ + X²) У

2 a -*r bx

²⁵' ÿ = logy

,    2 x² + a² + 1

\] a² + x

(6² — 4 a c) x

2 (2a+6x) (a+6 x+c x²)

26.    г/ — e* xn

27.    г, = a2x3~³*²

y — ex X "_1 (x + n) y'— 6 x (x 1) a ²*3—3*² /o^a

29. y =

ex— 1

2 e*

e* + 1

У (ex + 1)

30. у = /og' (e

m д:

+ e~m*) г/

f __

(e

mx

31.    у = sin 12 X

32.    у = sin (pX + q)

33.    у — X cos X

e“ + e — y'= 12 cos 12 X у — p cos (p x + q) у = cos X — X sin X

34. q = X³smX + 3x²cosX~ ,    „

-6xsinx-6cosXy =x cosx

y' = tg* X + cotg² X у — 2 sin² X

cos⁴ X

35.    у = tgx~ cotg x~2x

36.    ^ = X —SZ/2X cosx

37. г/ = 3 tg X + tg³ X

38. у —

sin X

a cos x+ b

a + b cosx

/ _ __

³ (a + b cos x)²

39.    у — log sin x

40.    у — log cos x

У - ctS x y'=~tgx

41. у = log tgx

Г_ _

³ sin 2 x

42. у = arc sin a x

Г _ _________

³ ~ Vl - a² *²

43. у = arc cos (a~ x)

Vl - (a-x)²

44. y = arctg a x

/ __

1 + a² X²

45. у -

X³ arc sin —

и' = X² 13 arc sin ~~ , .    „

*    ¹    X V* 1

46. у = arcigzr^Y*

Г__

У 1+X²

47. у = arc sm 2 X ^ 1 — X²

У sjl-x>

48. у = arc ig

\J 1 + X² — 1

/y 2 (1+x²)

49. i/ = arc cos \+ — X

F __ _ . . .    ...

y 2 \J x — X²

2 - jarc^V¹⁻*¹

51. y — tiJr8t~l x = tb + 2t

50. y =

X arc

- 1-+-X²

# \/1-х‘²

2 i +8 У 5/H2

52. г/ = arc X = e

— f²

fc(2* + l)

- e'²

21 (2 ** + 2*+l)

53. y — a sin t + b cos t x = 4 tg² ~

(a cos £—6 sm t) cos³ -pr

F _

*/ -

4 sfn

54. i/ = arc szn (t² — 1) X = arc cos 21

1-4 i²

2-P

ROZDZIAŁ VI.

Twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora.

1. Twierdzenie o wartości średniej. Załóżmy, że funkcja y = f(x), określona i ciągła w przedziale

zamkniętym (a, b) ' posiada pochodną w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału. Wykreśl-t    my cięciwę AB, łą-

czącą punkty krzy-

i Ra+h)

i.

f |J

а

wej, odpowiadające ; x krańcom przedziału £    (a, b). Niechaj a

oznacza

Rys. 27.

kąt jaki cięciwa ta tworzy z osią x-ów. Intuicyjnie jest rzeczą jasną, że na krzywej istnieje jeden conajmniej punkt C różny od A i B, taki, że w nim styczna jest równoległa do cięciwy AB.

Oznaczmy przez £ odciętą punktu C, przez o kąt, jaki styczna w punkcie C tworzy z osią л:-ów, a przez h długość przedziału (a b). Na mocy więc tego, cośmy poprzednio powiedzieli, mamy:

(1)

tg a — tg a

lecz z trójkąta ADB otrzymujemy:

tg a

BD _ f(a + h)—f(a)

AD

(2)

Ponieważ a<£<a + A = ó, więc £ = a + вh, gdzie в jest jakąś liczbą spełniającą nierówność: 0<0<1. — Z uwagi, że

tg = f'{£) — f' (fi + 0A)

otrzymujemy na mocy (1) i (2)

f(a + h) — f(a)

— f (a + Oh)    O<0<1.

Twierdzenie to znane jest pod nazwą twierdzenia o wartości średniej i może być wypowiedziane w sposób następujący:

Jeżeli funkcja у — f(x) ciągła w przedziale zamkniętym (a, b) posiada pochodną w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, to istnieje liczba 6, spełniająca nierówność 0 < 0 < 1, taka, że:

= f[a + e(b-a)l

2. Twierdzenie Rolle’a. Jeżeli w szczególnym przypadku założymy, że funkcja na końcach przedziału przybiera równe wartości, to cięciwa AB jest równoległa do osi л:-ów, a zatem i styczna w punkcie C, jest równoległa do osi л:-ów; pochodna w punkcie £ jest więc równa zeru. Możemy zatem wypowiedzieć następujące

Twierdzenie. Jeżeli funkcja, ciągła w przedziale zamkniętym (a, b) i posiadająca w każdym punkcie

wewnętrznym tego przedziału pochodną, przyjmuje na krańcach równe

R,

wartości, to co naj-ß mniej w jednym punkcie wewnętrznym przedziału (a, b) pochodna się ze-ruje.

Rys. 28.

Uwaga. Zauważmy, że w twierdzeniu Rolle’a nie

zakładamy ani, że funkcja posiada pochodną na krańcach przedziału (a, b) ani, że pochodna jest wszędzie wewnątrz (a, b) ciągła. Założenie jednak istnienia pochodnej wewnątrz (a, b)

jest istotne. Jeżeli tylko w jednym punkcie wewnętrznym przedziału (a, b) niema pochodnej, to pochodna może się nigdy nie zerować. Przykładem tego jest funkcja przedstawiona na rys. 29, która tylko w jednym punkcie, pochodnej nie posiada.

Twierdzenie Rolle’a orzeka, że na pewno w jednym chociaż punkcie wewnętrznym pochodna jest równa zeru ; a zatem, gdyby pochodna była na końcu przedziału równą zeru, to

/9.

x_

Rys. 29.

mimo to możemy być pewni, że jeszcze w jakimś punkcie wewnętrznym będzie także równa zeru.

Twierdzenie Rolle’a jest jednem z najważniejszych twierdzeń w rachunku różniczkowym.

3. Dowód twierdzenia Rolle’a. Jeżeli nasza funkcja w całym przedziale (a, b) przyjmuje stałą wartość, to jej pochodna w każdym punkcie wewnętrznym przedziału jest równa zeru. Twierdzenie jest więc w tym wypadku prawdziwe. Jeśli założymy teraz, że funkcja nasza nie jest stałą, to z uwagi na to, że funkcia ciągła przyjmuje swoją wartość największą i najmniejszą (por. str. 84) twierdzić możemy, że jedną przynajmniej z tych wartości przyjmuje w jakimś punkcie wewnętrznym przedziału (a, b). Przypuśćmy np. że w punkcie £ (a<|<ó) funkcja przyjmuje wartość największą. A więc dla każdej wartości na h jest

Я! + лкл£).

Udowodnimy teraz, że :

Zauważmy, że jeżeli :

1) h > 0, to

/g + A)-/(D

<0,

>0.

2) h < 0, to

Jeżeli więc h dąży do zera przez wartości dodatnie to otrzymujemy

■ J f.

= lim

№+h)-m

+o

<0.

Jeżeli zaś h dąży do zera przez wartości ujemne to otrzymujemy

/(£) = lim

a więc: czyli

л->—o

0 </'(£) <0,

№ = o.

>0,

A więc udowodniliśmy twierdzenie Rolle’a.

łóżmy

4. Dowód twierdzenia o wartości średniej. Po

f(a + h)—f(a) h

(1)

a więc

f(a + h) — /(a) — ho) — 0.

Określmy funkcję (f(t) (0 t A) kładąc : (f{t) = /(a + t) —f{a) — żcw,

widzimy, że

1)    9>(0) = 9(A) = 0,

2)    ÇP'(0 = /(« + t) — o).

(2)

Wobec tego na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje taki punkt I (0 < £ < A), że <jp'(b) = 0. A więc na mocy (2) otrzymujemy :

zatem

ф'(ь) = f(a + ь) — œ = 0 ;

w=//(a + |).

Kładąc $ = Oh, (0 < в < 1) otrzymamy na mocy (1) /(g + /г) —/(«)

= f'{a + Oh).

A więc udowodniliśmy twierdzenie o wartości średniej.

5 Wnioski z twierdzenia o wartości średniej.

Jeżeli funkcja ciągła w zamkniętym przedziale (a, b) ma wewnątrz tego przedziału wszędzie pochodną równą zeru, to ma w tym przedziale stałą wartość.

Dowód. Niech x₀ i x₀ + A będą dwoma dowol-nemi punktami przedziału (a, b). Na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy:

/(*0 + h) — f(x₀)

Lecz na mocy założenia f'(xo + 0h) = 0, a więc:

= 0,

f(x₀ + h) — /(-Tp)

f(x 0 + A) = f(x o).

czyli

A zatem funkcja posiada w (a, b) stałą wartość.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja ciągła, posiada w przedziale wszędzie pochodną dodatnią (względnie ujemną), to jest w tym przedziale ściśle rosnącą (wzgl. ściśle malejącą).

Dowód. Jeżeli i л*о+А (A>0) są dowolnemi punktami przedziału (a, b), to na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy:

/(.To + h) — f(xo)

/'(*o + ÖA),

/Оо + А) —/(хо) = А/'(хо + oh); ponieważ А > 0, /'(х₀ + Oh) > 0, więc /(хо + А) — /(хо) > 0,

czyli

/(х₀ + А) > /(х₀).

Funkcja jest więc ściśle rosnąca. — Podobnie Dostępujemy, gdy pochodna jest stale ujemna.

6. Pochodna funkcji złożonej. Opierając się na twierdzeniu o średniej wartości, udowodnimy twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej, wypowiedziane poprzednio (str. 116) bez dowodu.

Niech y — f[cp{x)\ będzie funkcją złożoną z funkcyj y = /(u), u = cp(x), ciągłych i mających pochodne ciągłe. Oznaczmy przez z/x dowolny przyrost zmiennej x, zaś zaś przez z/u, zly odpowiednie przyrosty zmiennych u, y.

Mamy wtedy:

У + Л y = f(u + ztu), У = /(«) ;

zatem

4у =/(« + z/u) — /(и).

Ostatnią równość możemy na podstawie twierdzenia o średniej wartości napisać w następujący sposób :

zly — /'(u + 0z/u). z/u.

Stąd mamy

Лу

Ju zl x '

Jeżeli teraz zlx dąży do zera, to wobec ciągłości funkcji u = <p(x), przyrost z/u, a więc i 0. zl u zdąża

dąży do pochodnej u*. Przechodząc

zl x

Zl u

f (u 4- Qzl u)

do zera, zaś J do granicy, otrzymujemy więc:

z/ л:

ÿ jc = /'(«) u * •

7. Wzór Taylora. Załóżmy, że funkcja у = /(.r), ciągła w przedziale zamkniętym (u, ó), posiada pochodne aż do rzędu (n—1) włącznie również ciągłe w tym przedziale zamkniętym ; o pochodnej rzędu n-tego załóżmy, że istnieje w każdym punkcie wewnętrznym przedziału (u, b). Jeżeli teraz punkty x i x + h należą

do przedziału (a, b), to zachodzi wzór, zwany wzorem Taylora :

f(x + /i) = f(x) + j-у f'(x) -f £] / (л) + 2] f"(x) + • •

/(n-i)(x) _|_ Rn(Xi Д).

A"“¹

(и —1)1

A?„(x, A) nosi nazwę reszty wzoru Taylora. — Na tę resztę mamy dwa wyrażenia. Jedno podane przez Lagrange’a :

Rn (x, A) =    /" (л: -f Oh)

przyczem o Ö wiemy tylko to, że 0 < 0 < 1 i drugie podane przez Cauchy’ego

hn

Rn(x, h)

(1 — oy-' fix + 0'A),

(n — 1)!

gdzie znowu 0 < 0' < 1.

Jeżeli w szczególności przedział (a, b) zawiera liczbę 0, to pisząc we wzorze Taylora 0 zamiast x, zaś л: zamiast A, otrzymujemy t. zw. wzór Mac-Laurina.

Ax) = /(0) + y~\ f(0) + 2J / (0) + ...

f("-V(0) + Rn(x);

л:”“¹

(я— 1)1

/?л(*) ma postać:

Reszta Lagrange’a

xn

Rn(x) = —I /(П) (0x).

77 !

(0 < o < 1)

Reszta Cauchy’ego

xn

(Т7 — ¹ !)

Uwaga. Obie reszty (Lagrange’a i Cauchy’ego) są oczywiście równe, a różnią się tylko kształtem. Przy

badaniu wzoru Taylora danej funkcji używamy jednej lub drugiej formy reszty, zależnie od tego, która w rozważanym wypadku jest dogodniejsza.

8. Dowód wzoru Taylora. Niechaj a i ß (/? ф а)

oznaczają dwa dowolne punkty przedziału (a, b) zaś p niech będzie dowolną liczbą naturalną 1. Połóżmy:

m -/(«) -

ß—

O?-«)² ~

1!

2!

(p—cc)p

II—1

(fi—a)

(л— 1)1

(ß — аУ

= io.

(1)

Określmy funkcję cp(t) w następujący sposób:

ß— t

1!

n-1

(ß-t)

(Л -1)1

Zauważmy, że kładąc t = ß, otrzymamy (p(ß) = 0, kładąc zaś i = a mamy na mocy (1) cp(a) = 0. Wyznaczmy

<p'(t)

(ß-t)

1!

2!

ß—t

f'(t)-...

(/? — i)n~²

(n 2) !

(ß-t)

n— 1

1!

(Я — 1)1

/(n)(0 +

/(«-i)(ć) ₊ cop(ß— ty-\

a więc:

cp'(i) = top (i — /jp-¹ —

(|S — 0"

-1

(n — 1)!

Ponieważ, jak wyżej wspomnieliśmy:

y(a) = (p{ß) = 0,

więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje punkt zawarty między a i ß, w którym pochodna funkcji (f{t) się zeruje. A więc na mocy (2)

= <*p (ß— s)p_1 —

Stąd :

(n - 1) !

__ iß —J)n~p

Ы ' Ип-1)!

Wstawiając w (1) wartość na co otrzymujemy po przekształceniu :

ДР) - /(«) +

1!

CC r.

-/(«) +

{ß-ay

2!

/"(«) + ...+

gdzie

(p* - «)

(n — 1) !

(3)

Rn =

{ß — a)p (ß — £)

n—p

^ (n — 1) !

Mi) i

£ jest liczbą zawartą między a i ß, a więc

= a + в (ß — a)

kładąc teraz ß = x -\- h, zaś a = x, mamy :

ß — a = h — x + в h

ß- =h( 1-0).

■ J Г)

(0 < 0 < 1)

'S гг

li ti

Podstawiając te wyrażenia we wzorze (3), mamy :

Л"“¹

(л-1)!

/("-Дх) + R

Ponieważ p jest dowolną liczbą naturalną ^ 1, więc kładąc raz p — n, drugi raz p = 1, otrzymujemy resztę Lagrange’a względnie resztę Cauchy’ego. Ponieważ we wzorze powyższym liczba в zależy od p, więc dla p = n i p — 1, otrzymujemy w ogólności różne wartości na Q\ dlatego drugą z nich, występującą w reszcie Cauchy’ego, oznaczyliśmy przez 0r.

Przykłady:

1. f{x) = e*.

Mamy :

/ U) = f"{x) = ... = fin)(x) = ex,

stąd

gdzie

Rn =

hP.h” ?(1 —в)

czyli

Pin- 1)!

fn)(x + 0 h) y

Rn

hn

p{n — 1)!

(1 -0)n~pfW(x+ Oh).

/(0) = / (0) = / (0) = ... = fîn)(0) = 1.

Stosując wzór Mac Laurina, mamy :

xn~l

(g=Yj] ⁺ n\* '

Dla a > 0, otrzymujemy z tego wzoru, zastępując X przez X log a :

xloga x¹lof¹a

X¹

е* = 1 + П ⁺ 2!

xn

ee*

хл_1 log"-¹ a

1!

21

(n 1) !

xn logn a

u!

5*

'--i

Jeżeli n — 2 к, to fn\0) = f{2k\Q) — sin ктс = 0. Jeżeli n — 2 к — 1,

to /")(0) =    = sfo (2 A: — 1)

toi a

Otrzymujemy więc, dla n = 2 к:

X

sin X = —

x2k-l

1!' 3!

(2 к — 1) !

(2*)!

sin {6 X -f-

zaś dla

2k — 1 :

X

Sin X = —;

X³ , X⁵

... +(-DA

2k — sin(ex+--j-

3. f(x) = cos X. Mamy: /(0) = 1,

П ~ 3!    5!

x2k~x

(2 к — 1) !

/n(x) = cos

(х+п^)-

x2k—3

(2 к — 3)!

(pór. str. 140).

ft 0) =

TC

COS /2

2‘

Jeżeli n = 2 k, to fn\0) = f2k\0)    (- 1 f,

Jeżeli n = 2k-\, to fn\0) =    = 0,

a więc, dla n = 2 к mamy

l — ^ +

COS X =

w* +

"6!

x2k

2£!

+    ("I)

COS (ß X + &?т),

x2k-2

(2k —2) \

zaś dla n = 2 к — 1, mamy :

л:²

cos X —

A-l

x2k-2

(2k- 2)!

x2k~¹

cos

{2 к — 1)!

4. /(*) = /ojf (1 + л:). Mamy tu /(0) = 0.

/">(*)

zatem

(1 + x)n

, (por. str. 140)

/(пЩ ₌ (_ i)n+i (n _ 1) !

/40)    (-1)

/2+1

n!

Otrzymujemy więc:

у*    у2    у 3

%(l+x)=f-|+|- ... (-1)^

Rn(x) = (— 1)

- + /?„(*),

п+1

хп

(-3)

/г +1

(1 -|- ö'*)n

хп.

п (1 + 0 х)п

5. f(x) = (1 -Ьдг)^ (у» dowolne). Uwzględniając, że /")(*) =р(р— 1)... fa —n+1) (! + *)'-» =

n! (1 +ху-%

otrzymujemy :

/(0) = 1. /">(0) = (*)«!

л!

a więc :

(1 + хУ = 1 +

feMä-ö

+ Rn{x) >

Rn(x) =    (1 -f 6x)p~nxn —

= (^)n(l - 0')л-1(1 + в'ху~п

Tl — 1

xn

xn.

W przykładach powyższych liczby в, в' spełniają nierówności :

О<0<1, О<0'<1.

Zadania.

1. Dla wielomianu f(x) stopnia л-ego mamy:

f(x + h) = f(x) +y\/'(x) +.~ f"(x) + ... +    /(л) (x).

2. Jak wiemy (str. 84, przykład 2), równanie

przedziale jo, —j przynajmniej jeden

x = cos X ma w

pierwiastek. Wykazać, że w tym przedziale nie istnieje więcej niż jeden pierwiastek, opierając się na tem, że funkcja /(x) = л: — cos x ma pochodną dodatnią w prze-

dziale |o,    •

3.

2.4

X² +

1.3.....(2л — 3)

Rn(x) = (— 1)"

2.4

(0 < в < 1)

' (1 + вх)п~\

= <-l)

Ы:⁵- -(2„_-3) (1-У)    (0<у<1))

2.2.4.6....2(п-1) (1 + й'л)"-| Л    ;>

4. Wykazać, opierając się na zadaniu poprzedniem, że dla O^x^O'Ol mamy:

-f- X “

1 + <2 x »

więc z dokładnością

z błędem mniejszym niż

¹ J_

8 *10⁴’

na cztery miejsca dziesiętne. Np. \J TÖÖ46 = P0023.

9. Wypukłość. Powiadamy, że krzywa, która jest obrazem funkcji у = /(x), jest dla x = x₀ wypukła ku górze, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x₀, że dla

każdego punktu x₀ + h tego otoczenia, zachodzi nierówność :

/(хо+Л) </(x o)+ hf '(x₀).

x₀.

Rys. 30.

Geometrycznie warunek ten powiada, że część krzywej odpowiadającej temu oto-Xm czeniu leży poniżej stycznej wykreślonej w punkcie x =

Podobnie definju-• jemy wypukłość wdół. Opierając się na wzorze Taylora można łatwo udowodnić następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcja ciągła y = /(x) ma wewnątrz przedziału (a, A) pochodną stale ujemną (wzgl. dodatnią), to w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału obraz tej funkcji jest zwrócony wypukłością ku górze, (względnie wdół).

Dowód. Jeżeli x₀ i x₀ 4- А (А ф 0) leżą wewnątrz przedziału (a, A), to na mocy wzoru Taylora mamy:

A²

f(xo + A) = /(x₀) + hf'(x₀) T f{f"(x« + d- A), (0<^<1) a ponieważ A² > 0, więc

/(x₀ + A) —/(xo) — А/'(х₀) > 0 przy /^(х) > 0, /(xo + A) —/(x₀) — A/r(xo) < o „    f"(x)< 0.

Przykład.

1. г/ = X³ — ах² + Ах + с ; (а>0) у" — б х — 2 а.

Krzywa jest więc dla х > ~ zwrócona wypukłością nadół, gdyż wówczas druga pochodna jest dodatnia.

2.    у = sin X, y" — — sin X.

Jeżeli у > 0 to г/' < 0 zatem sinusoida jest nad osią x-ów zwrócona wypukłością do góry.

3.    у = X⁴ — 6x³ + 12x²

y" = 12x² - 36 X + 24 = 12 (x — 1) (x — 2).

Krzywa jest więc zwrócona wypukłością nadół dla x < 1, do góry dla 1 < x < 2, nadół dla x > 2.

ROZDZIAŁ VIL

Maxima i minima; punkty przegięcia.

AY

1. Definicja extremum. Powiadamy, że funkcja przyjmuje w pewnym punkcie maximum (rys. 31), jeżeli w otoczeniu tego punktu wartości funkcji są nie większe od wartości funkcji w tym punkcie.

Podobnie określamy minimum, (rys. 32).

Ko+/7

x_

Rys. 31.

Jeżeli funkcja w pewnym punkcie przyjmuje maximum albo minimum, to powiadamy, że w punkcie tym występuje extremum.

Możemy więc powiedzieć, że jeżeli dla funkcji y — f(x), w punkcie x = x₀ występuje extremum, to dla każdego h mniejszego co do modułu od pewnej liczby s > 0 jest:

f(x₀ + h) —f{xo) < 0 f(xQ + h)— /(x₀)>0

jeżeli występuje maximum (1) „    „ minimum (2)

W obu więc wypadkach różnica f(x₀ + x) — /(x₀) nie zmienia znaku dla dostatecznie małych wartości na h.

Uwaga. Jeżeli w pewnym punkcie лг0 mamy dla każdego h ф 0, spełniającego warunek | h | < £,

/(лг₀ + h) — f(x₀) < 0,

to powiadamy, że w punkcie tym występuje maximum właściwe.

Rys. 32.

Podobnie definjujemy minimum właściwe.

Należy pamiętać o tern, że maximum nie jest koniecznie największą wartością, jaką funkcja przyjmuje. Poza badanem otoczeniem może funk-

cja przyjmować wartości większe. (Por. rys 33.)

Również jasną rzeczą jest, że funkcja może przyjmować kilka razy minimum albo maximum. Np. funkcja .1

y = sin — przyjmuje

Rys. 33.

nieskończenie wiele razy maximum równe jedności,

TT, 5TT, ' ' ' {An + 1)TT"

2. Warunek konieczny dla istnienia extremum.

Jeżeli funkcja y = f(x) dla x = лг₀ przyjmuje extremum, to pochodna w tym punkcie, o ile istnieje, jest równa zeru. Innemi słowy : styczna, jeżeli istnieje, jest równoległa do osi x-ów.

Przypuśćmy, że dla x = x₀ występuje maximum. Przypuszczając, że f(xo) istnieje, mamy:

f(x o + A) — f(x₀)

= lim

f(xo 4- A) —f(xo)

f (x) — lim

h— >+o

Lecz na mocy (1), dla dostatecznie małych, dodatnich h mamy:

<0,

f(x0+ h) — f(x o)

a więc

/zm

Ąx₀ + h) — f(x o)

+o

<0,

czyli

f(xo) < o.

(3)

Podobnie otrzymujemy

lim

/(x₀ + A) —f(x₀)

a więc

Ä—>--o

>0,

/'Ы > 0.

(4)

Z nierówności (3) i (4) wynika

f(x o) = 0.

Uwaga. Nie należy sądzić, że jeżeli w pewnym punkcie pochodna się zeruje, to występuje w nim extremum. Np. funkcja y = x³, której pochodna y' = 3x~ zeruje się dla x — 0, nie posiada extremum w punkcie

0, gdyż:

X =

л > O jest у > О, л: <0 jest у < О, zaś dla л = 0 jest у = 0.

Jeżeli funkcja у = /(х) posiada w pewnym przedziale (a, 6) pochodną, to możemy na mocy powyższego twierdzenia być pewni, że extrema, które występują wewnątrz przedziału (a, b) zachodzić mogą tylko w tych punktach, w których pochodna się zeruje. Wystarczy więc wyznaczyć wszystkie wartości na л: przedziału (a, b), dla których f'(x) = 0 i zbadać, w których z nich występuje extremum. — Odpada zaś badanie pozostałych wartości na x.

Przykład. Dla jakich wartości na x funkcja

3

— X² + 2 może przyjmować ex-

У = 4

tremum ?

ix⁴ - ~rX² - -I-

y ' = x² — 2 x² — 3 x

Jak łatwo widać, równanie

czyli

y' =

x² — 2x² — 3x = 0, ma tylko 3 pierwiastki:

X! = 0, x₂ = 3, x₃ = — 1.

A więc extremum może występować tylko dla x = 0, 3, -1.

chodną ciągłą i jeżeli / (x₀) = 0, to dla X = л₀ występuje maximum właściwe, gdy f"(x₀)<0, minimum właściwie, gdy / /( v₀)>0.

Jeżeli zaś f"{x₀) = 0, to nie możemy bez dalszego badania nic orzec.

Dowód. Na mocy wzoru Taylora mamy f (xo + A) = f(xo) + yy /' (л’о) + 2j f\xo -f- &h).

(0 < # < 1)

Ponieważ według założenia

więc

A²

/(•*•„ + h)—/(x₀) = 2У f"(xo

Jeżeli przypuścimy teraz, że f"{x₀) < 0, to ponieważ na mocy założenia druga pochodna jest ciągłą, więc istnieje takie otoczenie punktu х = л*₀, w którem f "{x) <.0.

Oczywiście więc, że jeżeli x₀ -f А (А ф 0) będzie do tego otoczenia należeć, to

f"(xo + Щ < 0,

a ponieważ A² > 0, więc

A²

2у f"(xo T &h) — f"{xo + A) —f(x0) < 0,

a więc dla х = x₀ występuje maximum właściwe.

Podobnie postępując, przy założeniu, f"(x₀) > 0, udowodnimy, że dla x = x₀ występuje minimum właściwe. Przykład. Wyznaczyć maxima i minima funkcji.

ТЧ irr

X⁴-

2    3

f^-|x²+2.

Pierwsza pochodna zeruje się dla X = 0, 3, — 1 y" = 3x~ — 4x — 3

f"(0) — — 3 < 0 więc dla x — 0, y = 2 mamy maxim.

„ x = 3,y——9\ „minim. w x =— 1, г/ = 1тб2 „minim.

/"(3) = 12    >0

/"(_!)= 4    >0

4. Ogólniejszy warunek wystarczający. W wypadku wątpliwym, gdy f'(x₀) = 0 i f "(x₀) = 0, posługujemy się następującem ogólniejszem twierdzeniem :

Jeżeli funkcja y = f(x) posiada w otoczeniu punktu X = x₀ pochodne ciągłe, aż do n-ego rzędu (n > 1) włącznie, i jeżeli

f'(x о) =/"Ы

(«-i)

Cy) = 0,

a natomiast

/‘"»(х.) Ф 0,

to, gdy n jest liczbą nieparzystą, w punkcie X-= X₀ nie występuje extremum, gdy zaś n jest liczbą parzystą, występuje maximum właściwe, gdy/ " (x ;)< 0 minimum właściwe, gdy/ ^{x,)i> 0.

Dowód. Na mocy wzoru Taylora otrzymujemy

0 < 0< 1.

/(* + h) -/(.«) = д/'V. + W

Jeżeli założymy, że n jest liczbą parzystą, dowód przeprowadza się podobnie, jak przy twierdzeniu poprzed-niem.

Przypuśćmy, że n jest liczbą nieparzystą i za-

łóżmy, że

fn4x o)>0.

Rachunek różniczkowy I.

12

Łatwo widać, że istnieje takie otoczenie punktu x = x₀, w którem

/<">(*) > 0.

/W (л-o + Oh) > 0 i hn > 0, /(л'о + Л) — /(x<>) > 0 f(xо + А) > /(дсь).

Biorąc więc na h wartości dodatnie, dostatecznie małe, mamy

więc czyli

Biorąc zaś na h wartości ujemne, dostatecznie małe co do modułu, mamy

Д,2)(хo + Oh) >0 i hn < 0

więc

czyli

f(x₀ + h) —f(xo) < 0 f(xo + A) < Дль).

Wobec tego, że w dowolnem otoczeniu istnieją wartości większe i mniejsze od /(x₀), w punkcie x = x0 nie występuje extremum.

Podobnie postępujemy, gdy /(пДл) < 0. Przykłady.

=    — 6x² + 12x —3

у — 3x²— 12x -f 12 Д' = 6x — 12

ttr    S-

У — 6

1. У

f

Aby wyznaczyć extrema, rozwiązujemy równanie У = 0 czyli

X² — 4x + 4 = 0.

Otrzymujemy jeden pierwiastek x = 2. Druga pochodna w punkcie x = 2 jest zerem, a ponieważ trzecia pochodna jeść dodatnia, więc dla x — 2 nie występuje extremum.

x (x 4- 3)² (x + 2)³

,r _6 (x + 3)

y ~ (x + 2)⁴

nr

6(3x4-10)

(x+2^    •

Jako pierwiastki równania y' = 0 otrzymujemy Xi — 0, X₂ = — 3. Dla pierwszej z tych wartości druga pochodna jest dodatnia, dla drugiej równa zeru. Dla X = 0 mamy więc minimum. Podstawiając X₂ w trzeciej pochodnej otrzymujemy y" = 6 ф 0. Dla X₂ = — 3 nie występuje extremum.

3. у = X⁴ (x — l)³ + 1 y' = x³ (x — l)² (7x —4).

Pochodna zeruje się w punktach

Xi=0, x₂

= 1, X₃ - y

y" = x² (x — l) (42x²- 48x4- 12)

/"(X,) = 0

2. y =

(x +3)3

(x + 2)²

/"(*») > 0

a więc dla X =

wypada minimum

gdzie więc

A więc dla X = x₂ nie występuje extremum.

у" = X [(3x — 2) y(x) + x(x —1) 9>'(x;], (p (x) = 42 x² — 48 x 4- 12,

/"'(Xi) = o

/"(**) = <p( 1) = 6

Kładąc :

[(3 x - 2) ff (X) + x(x- l) <p‘ (x)] = ip(x),

mamy:

więc

y⁽⁴⁾ - V(x) + xip'{x),

/⁽⁴⁾(*i) = ip(0) = - 2.y(0) = - 24 < 0,

a więc dla X = 0 wypada maximum.

3. y

X² - 2x —21

6x + 14

6x- -H 27 X -f- 98

(бх+ 14)²

W tym przykładzie pierwsza pochodna nie znika dla żadnej wartości X, lecz jest stale dodatnia. Funkcja nie ma więc extremum w żadnym punkcie i stale rośnie.

5. Punkt przegięcia. Powiadamy, że punkt x = x0 jest dla funkcji y = /(x) punktem przegięcia, jeżeli dla dostatecznie małych A wyrażenie:

(1)

/(xo + A) —/(Xo) - A/'(Xu)

zmienia swój znak wraz ze zmianą znaku A, innemi słowy, jeżeli istnieje taka liczba e > 0, iż wyrażenie (1) albo dla fi > A > 0 jest stale dodatnie, zaś dla — £ < A < 0 stale ujemne; albo dla fi > A > 0 jest stale ujemne, zaś dla — fi<A<0 stale dodatnie.

Geometrycznie znaczy to, że część krzywej odpowiadająca dodatniemu A jest po przeciwnej stronie stycznej (wykreślonej w punkcie odpowiadającym wartości X = X₀), niż część krzywej, odpowiadająca A ujemnemu. Por. rys. 34 i 35.

Stosując twierdzenie o wartości średniej, otrzy

mujemy :

f(x o + h) — f(xQ) — hf‘(x₀) = A/'(x₀ + Oh) — hf'(x o) = - h[f‘(x₀ + eh)—f'(x o)]

(0<0<1).

Załóżmy że pierwsza pochodna ma w punkcie Xo extremum właściwe; wyrażenie: f'(x₀ + 6h) — f‘(x₀) będzie więc dla dostatecznie małych wartości na h (różnych od 0) stale jednego znaku, a zatem wyrażenie:

fix o + A) — f(x₀) — hf'(x₀) = A [/ (Xu + 0A) — /'(jCo)]

będzie zmieniało znak wraz ze zmianą znaku h. Na mocy więc określenia, punkt X₀ jest punktem przegięcia. Wykazaliśmy więc.

T wierdzenie: Jeżeli pierwsza chodna funkcji y=f(x) przyjmuje dla X = X0 extremum właściwe, to punkt X — Xo jest dla funkcji y = (x)f punk-

po-

x_

Rys. 35.

Rys. 34.

tern przegięcia. — Wyznaczając więc punkty, w których pierwsza pochodna ma extremum otrzymujemy (w praktyce naogół wszystkie) punkty przegięcia funkcji y = f(x).

Twierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe. Może się np. zdarzyć, że punkt

x₀ jest punktem przecięcia, chodna nie istnieje, tak, że nie może być mowy o extremum pochodnej w piinkcie x₀.

dla punktów X ф ль po-

Opierając się na odpowiednich twierdzeniach z teorji extremôw, możemy wygłosić następujące twierdzenia :

1. jeżeli funkcja y — f{x) posiada w otoczeniu punktu x₀ pochodne ciągłe aż do n-tego rzędu (n 2) włącznie i jeżeli

f"(xo) = ГЫ = • • .. /<" -1} Ы = 0, /<«> (x₀) Ф o,

to dla n parzystego punkt x = x₀ nie jest punktem przegięcia, zaś dla n nieparzystego punkt x = x₀ jest punktem przegięcia.

2. W szczególności x = x₀ jest punktem przegięcia, gdy f“(xo) = 0 a /‘"U) =j= 0.

Przykłady.

1. y = xA — 6x² -f- 2x — 1, г/' = Зд:²—12x +2,

^    = 6x — 12,

г/ =6.

Druga pochodna zeruje się dla X = 2. Ponieważ trzecia pochodna jest różna od zera, więc dla X = 2 występuje punkt przegięcia.

x³ (x² — 5x +

2. у =

у ' = 5x² (x²— 4x +4), “ = 20x (x² — 3x -f- 2), = 20 (3x² — 6x +2).

Druga pochodna ma pierwiastki X\ = О, = 1, Xs = 2. Ponieważ dla tych wartości trzecia pochodna jest różna od zera, więc powyższe punkty są punktami przegięcia.

6. Extrema funkcyj przedstawionych parame

trycznie.

Niechaj dane będą dwie funkcje

У = <p(t)

ciągle w pewnym przedziale (cc, ß) i posiadające w nim pierwsze i drugie pochodne, również ciągłe. Załóżmy ponadto, że funkcja л: = f(t) jest w tym przedziale ściśle monotoniczną. Równania powyższe określają nam wówczas (por. str. 144) у jako funkcję zmiennej X. Pochodne tej funkcji są dane wzorami :

y* =

„ № rU) - /"(О y'(0 UW

(przy założeniu, że w badanym punkcie f'(t) ф 0).

<p'(t) = 0 zaś f‘(t) ф 0.

Celem wyznaczenia extremôw tej funkcji postępujemy w ten sam sposób, jak poprzednio. A więc wyznaczamy najpierw punkty, w których yx‘ = 0, t. j. w których

Jeżeli /₀ jest takim punktem, to z uwagi na to, że <p'(to) = 0, druga pochodna yx" wyraża się następującym wzorem:

Występuje więc minimum, gdy 9>"(/o)> O, maximum gdy <p“(t₀) < 0. Jeżeli    = O to trzeba badać po

chodne rzędu wyższego. Punkty, w których /'(/) = 0, wymagają specjalnego badania.

Przykłady.

X — r cos t, y = \r sin 2 t 0 t тс

. dy ₌

1.

dx

dt -

-rsinf,

2 r cos 2 i.

d²X

dt²

— r cos t ;

d²u

' di²^

Dla t ф 0 mamy:

dy

t cos 2 t d²y

2 sm t sin 7 t -\- cos t cos 2 t r (sin t) S.

Licznik pierwszej pochodnej ma pierwiastek t ~ ^ dla której to wartości mianownik nie znika. Druga pochodna

Tl

dla / = — przyjmuje wartość

dx    ² sin t

dx²~

- Ts < ».

2.

występuje maximum właściwe. x — /⁴ + 1, y — t³ — 2 t — 1

A wię dla i

dx

dy

dt

= 3t² — 2

d²x

dt² = ¹²* Dla t ф 0 jest więc

d*y

dt²

= 6 t.

dy 3 t² — 2 d²y

⁼    41³    ’ dx² =

4t³,6t — (3/2 — 2). 12 t²

с/х

64/⁹

Licznik pierwszej pochodnej i: = yj § , t₂ — ~ V I » dla których mianownik nie znika. Wstawiając je w wyrażenie na drugą pochodną, otrzymujemy dla ł — U wartość dodatnią, dla t — t.₂ wartość ujemną. Dla i — у § zachodzi więc minimum, dla t — — Vf maximum.

pierwiastki

ma

Zadania.

1.    g = X (а — х)², (а> 0); X = |

2.    г/= х⁴ — 8х³ + 22х²—24х + 12 ; х = 2 maximum»

X = 1, 3 minimum.

max. X — a minim.

2*

log 2

г minimum.

X — — minimum.

* = (n +1)

5. у =z ex sin X

n max. dla n parzystych min. „    „ nieparzyst.

6. Wpisać w kulę o danym promieniu r stożek o możliwie największej objętości.

^Odległość podstawy od środka kuli — -j.

7. Wykazać, że z pośród wszystkich trójkątów o danej

trójkąt

podstawie i obwodzie, największe pole ma równoramienny.

8.    Znaleźć punkt mający tę własność, że suma kwadratów jego odległości od wierzchołków trójkąta jest możliwie najmniejsza. (Środek ciężkości trójkąta.)

9.    Wykazać, że najkrótsza cięciwa paraboli y ² = 2 pX przecinająca ją pod kątem prostym ma długość 3 p \j 3-

10. Wpisać w kulę a) walec, b) stożek o możliwie największej powierzchni.

Wysokość walca wynosi r j, 2 |l stożka ~ ^23—y 17 J.

V5/’

11.    y = t² +8 t—l X = t⁵ +2 t

12.    y = arctg{2 i + 1) X — e

t = — 4 minimum.

Niema extremum.

Symbole nieoznaczone.

Symbole nieoznaczone : jj ,

§§-. W ustępie tym w wy-

/(*)

zajmiemy się badaniem granicy stosunku

padku, gdy licznik i mianownik dążą do zera lub nieskończoności. Wypadki te oznaczać będziemy symbolami ^ wzgl. £§-.

Twierdzenie. Jeżeli dla funkcyj f(x) i g(x), posiadających pierwszą pochodną w otoczeniu punktu a (z wyjątkiem samego być może punktu a), zachodzi związek: lim f{x) = lim g(x) — 0, to, jeżeli f'(x) x~>~'a    .

J , to istnieje również lim

lim Щ = lim Щ. *

Uwaga: Rzecz jasna, że milcząco przyjęliśmy, że funkcje g(x) i g‘(x) nigdzie w otoczeniu punktu a, poza samym być może punktem a, nie zerują się.

Dowód: Niechaj x będzie pewną wartością zmiennej x różną od a. Połóżmy:

istnieje lim 4 *-+ag (x)

/(*)

g(x)

= co

cp(x) ’

(1)

i określmy funkcję ff{t) zmiennej t, kładąc:

Łatwo widać, że <p(a) = cp(x) = 0.

Wobec tego na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje taki punkt ь zawarty między a i x (różny od a), iż <jp'(£) = 0. Ponieważ : cp‘(f) = /'(/) — 0}g‘(t), zatem

С/Q r-s

/'(£)

~ w “ g'(i) ‘

(2)

Zauważymy, że gdy л: zmierza do a, to i § zmie-

istnieje,

/'(*)

rza do a. Jeżeli więc założymy, że lim

x —a g (XJ

to ze związku ' (2) otrzymujemy istnienie granicy

lim

f(x)

x- + ag(x)

i równość

lim

x—a

f(x)

/'(*)

g(x)    a g‘(x) ’

Przykłady:

1. lim

x-*~2

x² — 5x + 6

x² — 3x + 2

— lim

x—^2

2x — 5 2x — 3 ⁼

- 1.

2. ///77

д:—^0

sin x

cos X

= lim

x —1

1.

3. //m

* -->-0

ex — 1

ex

= //m

* —>-o    1

1.

4. /zm

i

X⁵— 1

= lim

x -> i

5x*

3x²

ooi Ui

Uwaga: Jeżeli okaże się, że lim

X—a

g'(x)

±00,

f(x)

to jak łatwo widać z dowodu, również lim —7—- =

*->a g{x)

± 00.

Przykłady:

1. lim *-■>-0

ft* — 1

— lim

X —>-0

p-v

3.Ï³

— = + 00.

2. lim

J—>-0 tgx — sin X ^0__1

coslx

— = +00.

— cos X

Twierdzenie. Jeżeli dla funkcyj /(x) i g(x) posiadających pierwszą pochodną wszędzie w otoczeniu punktu X — a (z wyjątkiem samego punktu a) zachodzi związek

lim /(x) — lim g(x) = ± co,

X — >■ a

to, jeżeli istnieje lim

X —>- a

f(x)

również lim

X — a

f(x)

g(x)

(wzgl. jest ± cc), to istnieje (wzgl. jest ± 00) i zachodzi związek :

g'(x)

f(x)

lim

f'(x)

lim —r— =

x—^a §\X)

Dowód tego twierdzenia jako trudniejszy pomijamy. Przykłady:

g(x) *

1. lim

x ->-4-0

log X

= lim

*->4-0

t-H I X

= lim (—x) — 0.

*->+0

2. /im

*--—

^ 2

tg 3x _

я tg 5x

lim

cos² 3 X

— /im

3 cos² 5x

,t5 cos² 3x

² cos ² 5 X

CO UO

lim

X—V

cos5x\²_ cos 3 xi

co m

(.

lim

5 sin 5 x\²_ я 3 sin 3 Xj

CO LA

Uwagi: Gdyby okazało się, że /im /'(x) — = lim g‘{x) = 0 (wzgl. ± go) to badanie granicy sto-

X —a

sunku

/'(*)

sprowadzamy na podstawie tych samych twierdzeń do badania granicy stosunku

g’(x)

f"(x)

g"(x) '

Jak

łatwo widać, postępowanie to można uogólnić.

Przykłady:

1. lim

X —>- 1

ax² — 2 ax + a

óx² — 2 óx + ó

= lim

x-+\

2 ax — 2 a 2 bx —‘Ib ⁼

= /im

Л" —1

2b ~

о! а

2. /im

X —o

1 — COS X

X²

lim

X —o

sin X

COS X

lim

X -> 0    ^

1 — COS X

3. lim

x-^- o X — sm X

lim

X > 0

sin X

1 —COS X

lim

X —0

cos X

sinX

Twierdzenia nasze zachodzą również wtedy, gdy x zmierza do oo, zaś lim f(x) = lim g(x) = Q

*—> 00

x —> oo

(lub ± oo). W wypadku tym należy założyć, że dla wszystkich x większych od pewnej liczby A funkcje / i g posiadają pochodną.

Przykłady:

log*

1. lim

x + oo X

= lim

X ->+oo

Ï- = 0.

2. lim

ex

X—> Ч-ОО

X²

= lim

X—+- + 00

ex

2x

= lim

x-> + »

= T oo.

3. lim

X—>00

teil a

arc tg X

rH CN

log -

lim

X —^ CO

1 +x²

X²-l

1 — X²

= -l .

1 +x²

== lim

X —у 00

Symbole nieoznaczone 0. oo, oo — oo, 1 ”, oo °, 0°.

1. Jeżeli lim /(x) = O, zaś lim g(x) = + oo, to

X —>a

X —a

badanie granicy iloczynu lim /(x) . g{x) sprowadzamy

do badania granicy lim

lub lim

g(x)

g(x)

/(•*)

które przedstawiają się w postaci symbolu -^-wzgl.-Ц.

Przykłady:

1. lim X log X = lim

X__^>0

log X

- lim

X ->0

X— — lim (— x) = 0.

ЛГ—>- O

— = /im e* x—y+ oo e*

2. lim xe x — lim

x -> + 00

2. Jeżeli /z*m /(*) = lim g(x) = + oo, to bada-nie granicy różnicy /z/n (f(x) — g(x) ) sprowadzamy

x —a

do badania granicy /zzn

*—^-a

, która przed-

/(*) • git)

stawia się w postaci symbolu

Przykłady:

1. lim ,

X—+-.1 \logX

— lim

X — 1— log X (x--l) log X ~

tO I-¹

L²

\x‘-l

j. 2x — x² — 1

=J”lt (x‘-iux—ij = “

2. lim *->i

3. lim

x->0

ł)-

X — sin X

lim

X ~^0

3. Symbole 1 oo °, 0° sprowadzamy do symbolu 0. oo opierając się na identyczności:

sin X

X sin X

= 0.

f (x) } (p W — e 9 W log /(*)•

Zakładamy, rzecz jasna, że /(x) > 0. Przykłady :

1. /im * ->+0

Xх = lim

X —>^ + 0

qX log X .

lim x log X = lim

x —>- +0

lo'y x

x->0

= 0,

więc lim Xх — e° — 1.

x —•>■ + 0

2. lim

*-->- + oo

X x — lim e x

X ->- + oo

—- log X .

lim

X—>- + 00 X

log X

log X = lim

x—>- + oo X

= 0,

więc lim

*—>. + oo

XX = e° = 1.

lim

3. lim (1 + mx) X = lim

x—>-0

log (lłml) = lim

X —>-.o

-log (1 + mx)

X j i-¹

log (1 + mx)

= m;

X —>- o

więc lim (1 + mx) x = em.

x—>-0

¹

/(x) = sin X. Mamy : /(0) — 0,

/(n)(x) = sin |x + n , (por. str. 140).

²

Warunek wystarczający dla istnienia extremum. Następujące twierdzenie pozwala nam w wielu wypadkach rozstrzygnąć, czy w pewnym punkcie występuje maximum czy minimum.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja y=f{x) w otoczeniu punktu x — x₀ posiada pierwszą i drugą po-

Zadania :

ax — bx

1. lim

x->o л:

= log-

\la + X — y2g

2. //m    _ _

-(- 2л: — \'3a

3. lim —

x—O

— sm л:

X³

OM i-¹

4. Z/m

ДГ— >• O

2 X tg X,

5. Z/m 1—    —

x 1 \x — 1 log xl

x~i

Л- -> O cot X

6. lim

1.

7. Z/m (1 —x)ig™

Х—У- 1

2 X n' 8. lim xn log x = O (n > 0).

X— >- + 0

9. lim xx x

X —>- 1

~e

-1

10. lim I

x~> + 0

T—I «

tg X

= 1.

11. lim

h —yo

/(a + Л) — /(a) — A/'(e)

12. Z/m

A->0

f(a + Л) + /(g A) 2 /(g)

A²

= /"(«)•

ROZDZIAŁ VIII.

Szeregi.

Szeregi o wyrazach stałych.

1. Definicja szeregu. Szeregi zbieżne. Przypuśćmy, że dany jest ciąg liczb {an}. Połóżmy:

51    = «1

5₂    = CL\ + «2

-S3 = Ql + ö₂ + a3 sn = öi + 02 + • • • + an •

Jeżeli ciąg {s„} ma granicę S, wówczas piszemy to symbolicznie: albo

Ot

S = Z aK.

n = 1

Liczbę S nazywamy sumą szeregu :

■ ai + a₂ + 03 + • • •

Powiadamy wtedy również, że szereg:

0-1 + «2 + о-ь • - •

jest zbieżny do S. Liczby

ai, a₂, a₃ . ■ .

nazywamy wyrazami szeregu. — Szereg, który nie jest zbieżnym, nazywamy rozbieżnym.

Przykłady:

1) an = aqn~x | q | < 1 (Szereg geometryczny). Mamy jak wiadomo (por. wstęp 4).

Sn = a

1 — gn

qn

Ponieważ

---a л-•

1—q 1 — 7

<7 I <C 1, więc (str. 39) lim\qn \ = 0,

1-7

zatem

л > oo

lim sn

n —00

1-7'

czyli

= a + «7 + a^² + ... +aqn+ ...

lub

cc

7 I < 1.

czyli

Np- ¹⁻ł ⁺ (ł) ⁺

tO! ь-i

+ ...

00

1= Z

n = 1

tO

13*

więc

Sn

czyli

stąd

2) an =

to ь-l

л (л + 1)

) + (' _ł) ⁺ (ł~l)

(i-_L)

U Л + 1/’

sn — 1

n+V

S = lim sn = 1,

n 00

zatem :

00

n = \ n(n + 1) ‘

3) Niechaj

lim bn — g, wówczas kładąc

n —>- 00

= Ьг

— bn    bn—i,

2, 3, ...

mamy

sn - a\ + a₂ + • • • + an = bx + (ó₈ — ói) +

+ (bs 62) + . . . + (b,I ó/г—1),

a więc

sn — bn f

a zatem

czyli

lim sn = g,

n —00

00

00

Ź an = ^ (bn+1 — Ó/г) . л = 1

Np. jeżeli

bn —

2 л +1 Зл-1’

to

lim bn = =- ;

72-->-00    O

a zatem

co

00

-5

I ~bl+ „f.{bn+l ~ bn) “ ł⁺ „îi 9 n* + 3 n - 2 '

00

2. Konieczny warunek zbieżności. Jeżeli szereg 2 an jest zbieżny, to

n = l

lim an = 0.

n —>- 00

Widać to łatwo, gdy zauważymy, że

CLn ⁼ Sn    Sn—1 ,

więc

lim an = lim (sn - s„_i) = lim sn — lim sn-1 = S—S = 0.

n—>-oo

/2—>-00

n—>-00

n-->- OO

Warunek ten pozwala często przekonać się w prosty

sposób o rozbieżności danego szeregu. Np. znany

oo

nam

już szereg geometryczny ^ aqn 1 jest rozbieżny przy

n = 1

a =|=0 i I q I 1, bo | an \ — \ a [. | qn~l |    | a |.

Nie należy jednak sądzić, że naodwrót gdy

00

lim an = 0, to szereg ^ an jest zbieżny. Przykładem

72 = 1

Л —OO

tego jest szereg

. ,4i+ł)-

W rzeczy samej

log 1=0.

lim log (l + — J =

n —> oo    \    nl

Z drugie] jednak strony:

= l°g {n + 1) — log n ,

V(¹+i)=/0^^±¹

a więc

czyli

sn = (log 2 — log 1) + (log 3 — log 2) + ... -f + (l°g (л + 1) — log n),

Sn — log (li + 1).

Zatem ciąg sn jest rozbieżny do -j- oo ; szereg⁻

^ log + —j jest więc rozbieżny.

Innym przykładem szeregu rozbieżnego o wyrazach dążących do zera jest t. zw. szereg harmoniczny

^ — . Istotnie, gdyby ten szereg był zbieżny, to, ozna-

n =1 Tl

czając jego sumę przez S, mielibyśmy lim (S2„ — sn) =

n-->-00

/Г-М +

= lim S2n — Hm sn — S — S — 0. Ale s-m — sn

n-->-00 n-->-GO

n~\- 2

+... + 2^ • Pfawą stronę zmniejszymy, zastępując

każdy wyraz przez ~. Zatem s2n — sn > n ~ — ^ An -    An

Nie może więc być lim (s2n — s„) = 0.

n--> 00

3. Szeregi ograniczone. Powiadamy, że szereg

00

2 an jest ograniczony, jeżeli ciąg {sn} jest ograniczony.

n = l

Jeżeli szereg jest zbieżny, czyli, jeżeli ciąg {sfl} jest zbieżny, to na mocy, odpowiedniego twierdzenia o ciągach (por. str. 34) możemy twierdzić, że ciąg {$л} jest ograniczony, czyli że szereg 2an jest ograniczony.

Nie możemy jednak twierdzenia tego odwrócić. Przykładem tego jest szereg

^ (— 1)" = — 1 + 1 — 1 + 1 ...

Л — 1

Tutaj mamy:

Sl 1 > S2 Oj S3 1 } S4 0, ... S/J —■■

Widzimy więc, że:

sn I 1 ,

CO

jednak ciąg {sn} nie ma granicy, więc szereg 2 ( — l)n

Л = 1

jest rozbieżny.

O szeregu ograniczonym, którego wyrazy są nie-ujemne, można wypowiedzieć następujące twierdzenie: Szereg ograniczony o wyrazach nieujemnych jest

zbieżny.

więc zbieżnym (por.

Dowód jest natychmiastowy jeżeli zauważymy, że przy powyższych założeniach, ciąg {sn} jest ciągiem niemalejącym, ograniczonym, str. 32).

Przykład:

» 1

Szereg 2 — (s > 1) jest szeregiem zbieżnym.

n — 1

Opierając się bowiem na twierdzeniu o wartości średniej, mamy:

(x + h)~s+1 — x~s+1 = (— s -M) A (jc + ^ A)~s,

kładąc x = n, h =c — 1 otrzymamy dla n > 1

(s — 1)

(n — l)s_1

(n — #)s '

Ponieważ s > 1

więc    < 1, więc

Sn A 1 +

s — 1

1

2 A

n = i ns

zbieżnym.

Widzimy więc, że szereg o wyrazach dodatnich (s > 1) jest szeregiem ograniczonym, zatem

5. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Powiadamy,[że szereg jest absolutnie (bezwzględnie) zbieżny, jeżeli szereg utworzony z bezwzględnych wartości jego wyrazów jest zbieżny.

Przykład:

⁰⁰    / i U

Szereg ^ I — 7Г-) jest absolutnie zbieżny, gdyż

л — i V    2/

zatem

Więc

(П-»)

ns s — 1 \(n — l)s 1

J_)

ns~4

Zatem

sn — 1 -f-

1+¹

2s ~ 3S

4-.

S — 1 \2*->

₃s-l

..+-<1 +

ns

+ ... 4

!_

s — \ \(n —1)

L)

s-i] »

stąd

Sn 1 +

ns_1/ ‘

szereg

СО

GO

II = 1

jest zbieżny.

GO

Twierdzenie. Szereg⁻ bezwzględnie zbieżny jest zbieżny zwyczajnie i sumę jego otrzymamy, dodając do sumy jego wyrazów dodatnich sumę jego wyrazów ujemnych.

U w ag a. Sumą wyrazów dodatnich szeregu ^ an

II = 1

nazywamy sumę (jeżeli istnieje) szeregu powstałego

00

z szeregu ^ an przez zastąpienie wyrazów ujemnych

n = 1

zerami. Podobnie definjujemy sumę wyrazów ujemnych. Twierdzenie nasze powiada, że jeżeli szereg

ЭС

2 an jest bezwzględnie zbieżny, to oznaczając przez T

n = 1

sumę wyrazów dodatnich, zaś przez W sumę wyrazów ujemnych mamy:

Dowód. Oznaczmy przez tn (wzgl. zvn) n- tą sumę częściową szeregu wyrazów dodatnich (względnie ujemnych). Jasną jest rzeczą, że ciągi {tn} i {zvn} są ciągami monotonicznemi i ograniczonemi, gdyż :

00

1 tn I < Z a„

00

! ™n I < ź I On I .

n = 1

łóżmy :

A zatem {ż„} i [wn) są ciągami zbieżnemi. Po-T = lim łn

n —co

W = lim w

n 00

T jest więc sumą wyrazów dodatnich, W sumą wyrazów ujemnych. Zauważmy teraz, że

Sn — tn +

lim sn = lim tn 4- lim wn.

ii —> 00

n — >- 00

Zatem

a więc szereg 2 an jest zbieżny i suma jego równa /2 = 1

się sumie wyrazów dodatnich powiększonej o sumę wyrazów ujemnych.

6. Twierdzenie. Suma szeregu bezwzględnie zbieżnego nie zależy od porządku wyrazów.

Uwaga. Podobnie jak przy ciągach mówimy, że dwa szeregi różnią się tylko porządkiem wyrazów, jeżeli każdy wyraz występuje w obu szeregach tę samą (skończoną lub nieskończoną) ilość razy.

Dowód. Oznaczmy przez sn sumę n pierwszych

CO    00

wyrazów szeregu 2 bn powstałego z szeregu 2 an

/г =» 1

przez zmianę porządku wyrazów.

00

Przyjmijmy na razie, że szereg ^ an składa się

/1=1

z samych wyrazów nieujemnych. Zauważmy, że jeżeli

obierzemy sobie dowolną liczbę m, to ponieważ wszystkie

00

wyrazy sumy sm występują w szeregu ^ an, więc

/2 = 1

istnieje taka liczba N, że sn zawiera w sobie wszystkie wyrazy s'm (i może ponadto jeszcze inne). Zatem

■S m    5/V ,

ale

sn    S >

Ciąg⁻ {s'm} jest zatem ciągiem niemalejącym, ograniczonym, a więc zbieżnym. Kładąc

S' = lim s‘n

n —CO

mamy na mocy (1)

(2)

(3)

5'<5.

Podobnie postępując, możemy wykazać, że:

S'>S.

Możemy bowiem ^ an uważać za szereg po-

n= i

CO

wstały z szeregu 2 bn przez zmianę porządku wy-

n = i

razów.

Z nierówności (2) i (3) otrzymujemy:

S = S'.

Podobnie postępowalibyśmy w wypadku, gdyby wyrazy szeregu 2 an były niedodatnie.

n = 1

Przechodząc teraz do wypadku ogólnego (t. zn.

00

nie zakładając, że wyrazy szeregu ^ an są tego sa-

n = 1

mego znaku), zauważmy, że szeregi, które otrzymamy z szeregów SJ Qn i 2 bn przez zastąpienie w nich wy-

n= 1

razów ujemnych (wzgl. dodatnich) zerami, różnią się tylko porządkiem wyrazów, a więc na mocy tego, cośmy poprzednio wykazali, mają równe sumy. A więc w obu szeregach sumy wyrazów dodatnich i sumy wyrazów ujemnych są odpowiednio równe, a zatem (na mocy poprzedniego twierdzenia) oba szeregi mają równe sumy.

7. Szeregi warunkowo zbieżne. Szereg- zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżnym nazywa się warunkowo zbieżnym.

Przykład.

Szereg :

ł—¹ co

+ ...

¹⁻¹⁺ł⁻ł ⁺ T ■-

jest szeregiem zbieżnym, mamy bowiem

5] - 1, Są - 0, S3 -

th CN

, S4 — 0 ... S2n — 0, S₂n+1

n + 1'

Zatem

lim sn = 0.

n —

Szereg ten nie jest jednak bezwzględnie zbieżnym, gdyż szereg

i+i+i+i

jest rozbieżny. Mamy bowiem

•S2/1

= 2 ji +

th

ł)-

Ponieważ wyrażenie w nawiasie zawarte jest n -sumą szeregu harmonicznego, (por. str. 198) zatem lim

n - >- 00

$2n — 0° •

Uwaga. O szeregach warunkowo zbieżnych można udowodnić, że możemy z każdego z nich przez zmianę porządku wyrazów otrzymać szereg zbieżny do dowolnej liczby, zgóry obranej. A więc, jeżeli suma jakiegoś szeregu zbieżnego nie zależy od porządku jego składników, wówczas szereg ten jest bezwarunkowo zbieżny.

8. Warunek konieczny i dostateczny dla zbieżności szeregu. Podobnie jak w teorji ciągów, (str. 34),

możemy podać warunek konieczny i wystarczający na to,

00

by szereg 2 an był szeregiem zbieżnym.

n — 1

Zauważmy, że jeżeli p > 0, to :

sn+p — sn = an+1 + an+2 -f- .. . 4- an+p.

A więc (twierdzenie Cauchy’ego) :

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg 2 an był szeregiem zbieżnym jest to, by do każdej liczby s > 0 można było znaleźć takie N, żeby dla każdego p > 0 i n > N było :

I Sn p — Sn I < « czyli I an+1 + an+2 + ... + an+p | < e.

Przykład.

Niechaj ciąg {a„} będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich, malejącym, zdążającym do zera. Wykażemy, że szereg:

ai — a₂ + a₃ — a₄ ... ( — l)n_1 an + ...

jest szeregiem zbieżnym.

Mamy :

Sn+p    Sji = <2n+\    On+2 "4” » « » ~b O-n+p • " (.p ^ 0).

Załóżmy że n jest nieparzyste. Łatwo widać, że

Sn+p Sn    Qn+1 >

mamy bowiem

sn+p — sn = an-и + (— an+2 + an+ ?) + (— an+4 + an+5) +

a wyrażenia w nawiasach są oczywiście niedodatnie. Zauważmy jeszcze, że

0 Sn+p sn.

Mamy bowiem

Sn+p Sn — (Ол+1    "f" (Ол+З    ön-f-4)    • •

a wyrażenia w nawiasach są nieujemne.

Podobnie można wykazać, że jeżeli n parzyste,

wówczas

CLn ^    Sn 0 .

Widzimy zatem, że dla każdego n i p > 0 mamy: I Sn+p Sn I CLn •

Ponieważ lim an = 0, więc do każdej liczby s > 0

n —У- oo

można dobrać takie N, że dla każdego n > N jest

CLn "4 S J

zatem dla każdego rc>/V i /?>0 zachodzi nierówność

I Sn+p I ^ ’

Szereg nasz spełnia więc warunek Cauchy’ego jest zatem zbieżny.

Przykładem takiego szeregu są np. szeregi :

4=+4=

V 2 V3

Kryterja zbieżności.

9. Porównywanie szeregów. Niezawsze łatwo jest zbadać, czy dany szereg jest zbieżny, czy nie. W wielu wypadkach posługujemy się twierdzeniem na-stępującem :

00

Jeżeli w szeregu 2 an, począwszy od pewnego

n — 1

wyrazu, wszystkie następne są nie większe, co do modułów, od wyrazów o tym samym wskaźniku szeregu

00 00

-S’ bn (b„ ^ 0), to ze zbieżności szeregu -S' bn wynika

n = 1    /1=1

00

zbieżność szeregu -S an, zaś z rozbieżności szeregu

n = 1

00

CC

-S an wynika rozbieżność szeregu -S bn.

/1=1

n = 1

Dowód. Niechaj on będzie tym wyrazem, od którego począwszy, każdy wyraz następny an (n > N) spełnia nierówność:

I an I < bn .

Łatwo widać, że kładąc

Sf2 -

o.\ I + I «2 I + ... -r I an I

s n = by + b₂ + ... -f bn,

mamy :

Sn Sn "ł" S n .

(1)

to kładąc

Jeżeli teraz przypuścimy, że szereg 2bn jest zbieżny,

00

5' = i' b„

mamy

a stąd na mocy (1):

s'. < S',

sn Sn “t⁻ 'S .

00

Szereg -S j an j jest więc ograniczony, a więc

n = 1

00

zbieżny. Szereg -S an jest zatem bezwzględnie zbieżny.

П =1

00

Gdybyśmy założyli, że szereg -S an jest roz-

n — \

00

bieżny, to szereg -S bn musiałby oczywiście być sze-

n = i

regiem również rozbieżnym, gdyż w przeciwnym wypadku, na mocy tego, cośmy przed chwilą wykazali,

00

zbieżność szeregu -S bn pociągałaby zbieżność sze-

П= 1

00

regu

Przykłady:

1. Szereg 1 + 2~з ^45

+ . .. jest szeregiem

zbieżnym, gdyż wyrazy jego są mniejsze od wyrazów

00 -«

(str. 199).

/7=1 П²

szeregu zbieżnego -S

2. Szereg y-

X² X³    .    ,

— +    + • • • jest szeregiem bez

względnie zbieżnym dla każdego — 1 < x < 1 ; bezwzględne bowiem wartości wyrazów tego szeregu są

00

mniejsze od wyrazów szeregu geometrycznego -S j х |л.

П == 1

°° 1

3. Szereg -S —- (s 1) jest szeregiem roz-

л = 1

bieżnym, gdyż wyrazy tego szeregu są niemniejsze od

00 i

wyrazów szeregu harmonicznego S7 —.

/7=1 n

10. Kryterjum Cauchy’ego. Jeżeli wyrazy szeregu 2an są nieujemne, to możemy wypowiedzieć następujące twierdzenia:

1) Jeżeli istnieje liczba nieujemna q<. 1, taka, że począwszy od pewnego wyrazu а/v wszystkie następne spełniają nierówność:

(n > N),

П\ ап < q

CO

to szereg -S Gn jest zbieżny. n — 1

2) Jeżeli istnieje liczba q~^> 1 taka, że począwszy od pewnego wyrazu aN wszystkie następne spełniają nierówność

(n > N),

\jan > q

00

to szereg — an jest rozbieżny.

72 = 1

Dowód. W wypadku pierwszym mamy:

(n > N).

an < qn

Ponieważ szereg 2qn jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (0 q < 1), więc na mocy twierdzenia poprzedniego, szereg 2an jest szeregiem zbieżnym.

W wypadku drugim mamy:

(n > N).

an > qn

Ponieważ szereg 2 qn jest rozbieżny (q    1), więc

00

szereg ^ an jest szeregiem rozbieżnym.

71=1

W zastosowaniach jest przydatne często twierdzenie następujące, które łatwo wynika z poprzednich. Jeżeli wyrazy szeregu 2an sąnieujemne i jeżeli

istnieje lim \Jan, to

n —>- 00

gdy

gdy

lim \Jan < 1, szereg jest zbieżny,

72 — >- CO

lim \jan > 1, szereg jest rozbieżny,

72 —00

lim \Ja,г = 1, nie możemy nic po-

gdy

72 —>- 00

wiedzieć o zbieżności szeregu. Dowód. Połóżmy :

lim V on = / ;

72 —>- CK

obierając dowolną liczbę s > 0, możemy znaleźć taki wskaźnik N, że dla n > N, jest

czyli

— /| < e,

/ — £ < n\Jan <1+8.

l-l

Jeżeli założymy, że /< 1, to kładąc: s — q = / + 8, mamy :

q < 1, \an<q, d\an>N.

00

Na mocy twierdzenia poprzedniego szereg ^ an

11 = 1

jest więc zbieżny.

Gdy />1, wówczas kładąc:

l-l

mamy:

q> 1, \lan>q, dla n > N.

00

A więc szereg 2 an jest rozbieżny.

П — 1

Przykłady:

⁰⁰ i

1.    Szereg 2 — jest szeregiem zbieżnym, mamy

л =1 nn

bowiem lim

n —>- 00

= lim — = 0.

n oo П

jest dla 0 X < 1 zbieżny,

2.    Szereg

/im

/о# л 2°

n xn

mamy bowiem lim у I—.— =

Л —00 \ 2 log " л

3. Kryterjum Cauchy’ego nie rozstrzyga zbież-

00

ności szeregu ^    ; mamy bowiem

n= 1

— = lim

= 1.

lim

n — >- co nS n 00

Wiemy jednak (str. 208), że dla s ^ 1 szereg jest rozbieżny, dla s> 1 (str. 199) zbieżny.

11. Kryterjum d’Alemberts. Załóżmy, że wyrazy szeregu 2an są wszystkie dodatnie (a więc różne od zera).

Można wypowiedzieć następujące twierdzenia, znane pod nazwą kryterjum d’Alemberta :

1) Jeżeli istnieje liczba nieujemna q <, 1, taka, że począwszy od pewnego wyrazu aN, wszystkie następne spełniają nierówność:

O-nĄ-1    ^

— <9

Q-n

(n > N),

to szereg ^ an jest zbieżny.

n =1

2) Jeżeli istnieje liczba <7    1 taka, że począwszy

od pewnego wyrazu aN, wszystkie następne spełniają nierówność

ûn+l к

-> Я

an

(n > N),

to szereg ^ a„ jest szeregiem rozbieżnym.

/i — i

(n > N),

Dowód. Zauważmy, że w wypadku pierwszym an+1 < an q

a więc, kładąc:

n = 7V+ 1, vV+ 2, /V+3, ... N 4- p (p > 0),

cln+2    cln+i    q

otrzymujemy :

On+3    ON+г    q CLN\- i q²

«7V+/,    «ЛА+1    <7P_1

00

jest szeregiem 2 an jest również

П = 1

00

Ponieważ szereg⁻ ^ адч-i q

p — i

zbieżnym (<7 < 1), więc szereg zbieżny.

Podobnie postąpimy w wypadku drugim.

Z twierdzeń powyższych wynikają twierdzenia następujące :

Jeżeli wyrazy szeregu 2 an są dodatnie i jeżeli

П = 1

istnieje lim    to

n—>-00 On

an+1

lim

n —>- 00 On

< 1, szereg jest zbieżny,

?dy

an+1

lim

n - >- 00 Яп

> 1, szereg jest rozbieżny.

W wypadku, gdy Л/м = 1, nie możemy ni-

n— >-00 Ол

czego powiedzieć o zbieżności szeregu.

Dowód przeprowadza się podobnie, jak na str. 209

i 210.

Przykłady.

⁰⁰ xn '

1)    Szereg 2 — jest dla każdego x zbieżny.

n =1 nl

xn+1

(» +

Mamy bowiem lim I

n —>- 00 V

“ у Tl

2)    Szereg 2 — jest dla 0 ^ x < 1 zbieżny.

Mamy bowiem lim I

п —V 00 \

лгп+1 ^

п + 1 ’ п

Jtn

= Пт

п — >- 00

= ЛГ.

—ТТХ

П + 1

Jeśli więc О л: < 1, szereg jest zbieżny, jeżeli X > 1, szereg rozbieżny.

⁰⁰ 2n n !

3) Szereg 2 —-- jest zbieżny, natomiast szereg

n = 1 Tl

⁰⁰ 3« n J

2 —— jest rozbieżny. Mamy bowiem w pierwszym

n =1 Tl

!<¹>

wypadku

gn+i

an

кг.

a więc lim

a«+i

11 —    00 &n

p    i •    11    an+l

zas w drugim wypadku - —

zatem

On+l

lim

n—У со Ял

*>х.

Zadania. Wykazać zbieżność szeregów:

⁰⁰ i

2 _L 2 -

00 00    -1

i' — i ¹

00

£ n\

i' - ,

„ ₌ 1 3"’ л = 1 1 + 2n ’ n = \ rfi ’ n = 2 (log n)n * n = 1 rin

00

00

zaś rozbieżność szeregów :    2

i’

00

DO

__2, nl

n = l \jn (n + 1) * n=ll00n

Granice i szeregi funkcyj.

n = 2 logn ’

12. Definicja zbieżności. Przypuśćmy, że mamy dany ciąg funkcyj {fn(x)), określonych w przedziale (a, b). Powiadamy, że funkcja f(x), określona w przedziale (a, b), jest w tym przedziale granicą ciągu funkcyj {/л(л:)}, jeżeli dla każdego punktu л:₀ przedziału (a, b)

lim fn(x₀) = f(xa).

Jeżeli f{x) jest granicą ciągli {/л(л:)} w przedziale (a, b), to piszemy:

lim fn{x) = f(x).

n —20

Podobnie określamy co to znaczy, że funkcja

00

S(x) jest sumą szeregu 2 fn(x).

n = 1

Przykłady:

1) fn(x)

sm n_x, #m    _ o, bo I fn(x) I < —.

Tl    n —V- oo    Tl

2) /„(*) =

кг

, /гт /„О) = е*.

Mamy bowiem /гт (l + — )    ^ = /гт ezlog(} + г)

z —00 \    ^    ^ оо

Lecz /гт

z ■    00

Więc lim

Z —>- 00

*»И)

•'•«(¹⁺") ’’ -,

(l + — ) = ет, czyli lim il +    )

\    Z !    n —oo \    /

/гт

z —00

N I-⁴

= e*.

3) /„(*) = n sin —

/гт /я(х) =

Tl —00

Mamy bowiem lim z sin —

z —^ oo    Z

³)

. m 5г/г —

= /гт

z ►" oo

- = m,

więc /гт гг s/гг — =

n —>- 00

гг

fn{x) =

я² — 1

4) Ponieważ lim--- = log a, więc jeżeli

z—> 0    Z

гг lx” — 11, to lim fn(x) = log x \    in —00

(X > 0).

’) l⁰⁰. ²) O.oo. *) oo.O.

13. Zbieżność jednostajna. Mówimy, że dwie funkcje f(x) i cp(x) różnią się od siebie w przedziale (a, b) o mniej niż s (e > 0), jeżeli dla każdego x przedziału (a, b) zachodzi:

\f(x) — <p{x) I < e.

Powiadamy, że ciąg funkcyj {fn{x)} zbiega jednostajnie w przedziale (a, b) do funkcji f(x), jeżeli do każdej liczby s > 0, znajdziemy w naszym ciągu taką funkcję /n{x), że począwszy od niej, wszystkie następne różnią się od f(x) o mniej niż s, t. zn.

I fn(x) — f(x) I < e dla a < дг < b,

n>N.

Przykłady. 1) Ciąg j—^ — j zdąża jednostajnie

do zera. Mamy bowiem 0 —

sin n x

sin n x

< — ; zatem

dla л ^ mamy 0

< e.

Uwaga. Oczywistą jest rzeczą, że ciąg funkcyj jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji f(x) jest również zbieżny w poprzednio przyjętem znaczeniu. Nie możemy jednak twierdzić odwrotnie.

Weźmy bowiem pod uwagę ciąg:

fn(x) = xn

(0<*<1).

Ciąg ten jest zbieżny w przedziale (0, 1) do funkcji f(x), określonej następująco :

f(x) = 0

fix) = 1

dla 0 ^ дс < 1 dla x = 1.

Zauważmy jednak, że obierając sobie dowolną dodatnią liczbę e < 1 i dowolną funkcję naszego ciągu fn{x) = xnf mamy równość:

fn(n\Js) = «,

I fn(x) — f(x) I = s ,

a więc

dla х = ^£. A zatem żadna funkcja ciągu nie różni się od f(x) o mniej niż s, ciąg więc nie jest jednostajnie zbieżny do f(x).

14. Działania na jednostajnie zbieżnych ciągach funkcyj. Warunek konieczny i wystarczający jednostajnej zbieżności. Porównując definicję zbieżności ciągów z definicją jednostajnej zbieżności ciągów funkcyj, widzimy, że ta ostatnia jest naturalnem uogólnieniem pierwszej.

Bardzo też wiele twierdzeń z teorji ciągów liczb da się z łatwością uogólnić na jednostajnie zbieżne ciągi funkcyj.

1) Jeżeli ciągi funkcyj: \fn{x)} i {cpn(x)} zbiegają jednostajnie w (a, b) odpowiednio do f(x) i cp(x), wówczas:

1. ciąg {fn (x) + (pn (x)} zbiega jednostajnie do

f(x) + <p(x) ;

2. ciąg {fn(x) . <pn(x)} zbiega jednostajnie do

/(■*) • Ф) ;

3. Jeżeli istnieje liczba a > 0 taka, że dla każdego x przedziału (a, b)

to ciąg

I <pn{x) I > a,

1уП(*)I ²^е^а iednostainie

do /W

2) Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby ciąg funkcyj {/n(*)} był zbieżny jednostajnie do jakiejś funkcji jest, by do każdej liczby s > 0 wyznaczyć można było w ciągu taką funkcję /v(x), żeby jakiekolwiek dwie następne różniły się od siebie w przedziale (a, b) o mniej niż s, t. zn. :

\fp{x) —fq(x) I < £

dla a x b, p,q > N.

Warunek ten jest koniecznym, bo zakładając, że ciąg {/nOO} zbiega jednostajnie do f(x) w (a, b) możemy (na mocy definicji jednostajnej zbieżności), obierając sobie dowolną liczbę e'>0, wyznaczyć taką funkcję w ciągu /лК*), że:

I/(*)—fn{x) I < dla    n> N (1)

Biorąc więc dwie dowolne funkcje fp(x) i fq(x) występujące w ciągu po /n(x) mamy:

I fp(x) —fq(x) I = I (/,,(->') — fix) + fix) —/,(х)) 1 <

< ! fp(x) — fix) I + I fix) — /,(*) I.

Stąd na mocy (1) mamy:

I f₀(x) — fq(x) I < 2£' dla a<*< b, p, q > Л (2)

s

Kładąc teraz s' = —, widzimy, że warunek nasz jest warunkiem koniecznym.

Jest on też dostateczny. Załóżmy, że ciąg nasz spełnia ten warunek. Wówczas, jak łatwo widać, ciąg ten jest zbieżny dla każdego а<^лг<С6; wynika to bezpośrednio z twierdzenia Cauchy’ego o ciągach.

lim fn{x) = f(x).

Połóżmy :

n —CO

Niechaj s będzie dowolną liczbą dodatnią. Na mocy hipotezy istnieje w ciągu taka funkcja /н(х), że: ! fp(x) — fn(x) I < 8 dla a^Cx^Cb, p> N, n> N (3) lecz

p -V ⁰⁰

więc na

lim I fp(x) — fn(x) I = ! fix) —fnix) I (а < X < b), mocy (3)

i fix) —fnix) I £ dla a X b, n > N.

Widzimy więc, że ciąg {fn{x)} jest jednostajnie

zbieżny.

15. Twierdzenie. Jednostajnie zbieżny ciąg funkcyj ciągłych zbiega do funkcji ciągłej.

Dowód. Przypuśćmy, że ciąg {/л(х)} funkcyj ciągłych w przedziale (a, b) zbiega w tym przedziale jednostajnie do funkcji /(x). Obierzmy sobie dowolną liczbę «' > 0 Na mocy założenia istnieje w ciągu funkcja fn{x) różniąca się od /(x) o mniej niż t. zn. :

Niechaj X₀ będzie dowolnym punktem wewnętrz⁻nym przedziału (a, b). Ponieważ /„(x) jest wedle za⁻łożenia funkcją ciągłą, więc istnieje takie otoczenie punktu x₀, że dla każdego punktu x' tego otoczenia zachodzi nierówność:

(2)

I fn{x') —fn{x₀) I <e\

Lecz:

I /(*') — /(*o) I =

= I f(x') fn(x ) +fn(x') —fn(xo) +fn(xo) —f(xо) I

stąd

I/M-/WK

< I /(*') —fn(x') I + I fn(x') —fn(xo) I + I /„(*(>) —f(xo) I. Na mocy (1) i (2) jest więc

I /(O —fix o) j < s' +£' + «' = 3 s'.

g

Kładąc: s' ⁼ widzimy, że dla każdego punktu X pewnego otoczenia punktu X₀, mamy:

|/(x')-/(*o)|<e,

a więc funkcja f(x) jest ciągła dla X — X₀. Podobnie

udowadniamy ciągłość dla X = a i X = b. Funkcja f(x) jest więc w przedziale (a, b) ciągła.

Uwaga. Łatwo można okazać, że ciąg funkcyj ciągłych, zbieżny (nie jednostajnie) nie musi zbiegać do funkcji ciągłej: Kładąc fn(x) = Xn, widzimy, że:

dla 0 ^ X < 1,

lim xn = 0

n —> 00

dla X = 1.

lim Xn = 1

n —00

Funkcja graniczna nie jest więc ciągła dla X — 1.

16. Jednostajna zbieżność szeregów. Pojęcie jednostajnej zbieżności ciągu funkcyj łatwo można

uogólnić na szeregi funkcyj. — Powiadamy, że szereg

00

funkcyj ^ fn(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale

n — 1

(a, b), jeżeli odpowiedni ciąg {s«(x)} sum częściowych jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny.

Aby zbadać czy dany szereg funkcyj jest jednostajnie zbieżny, co jest często rzeczą bardzo ważną, wystarcza w wielu wypadkach następujące twierdzenie :

Jeżeli mamy dany szereg funkcyj fn(x) i szereg

n = 1

00

zbieżny 2 an o wyrazach nieujemnych, i jeżeli pora — i

cząwszy od pewnej funkcji f/v(x) mamy zawsze:

fn(x) I < an

dla n > N, a X <; by

to szereg 2 fn(x) jest w przedziale (a, b) jednostajnie

* П = 1

zbieżny.

Dowód. Zauważmy, że jeżeli p > q > /V, to

kładąc:

sm(x) = z fn(x),

mamy :

I Sp(x) — sg(x) I = \fq«(x) +fq+2(x) + ... +fp(x) I a więc:

I SpC*) Sq(x) I •< I fq+l(x) I + I fq+2(x) | + ... + | fp(X) | .

Zatem na mocy założenia :

I sp(X) Sq(x) I    GLq+l + dq+2 + ... + dp ,

czyli:

I sp(x) — s₉(x) I -< sp — Sg dla a X b, /? > <7 > N (1)

Ponieważ założyliśmy, że szereg ^ an, czyli

n = 1

ciąg {s„} jest zbieżny, więc możemy na mocy twierdzenia Cauchy’ego wyznaczyć taki wskaźnik N', że jeżeli p> N' i q > N', to

(2)

Sq

Obierając teraz dowolną liczbę N" większą równocześnie od N i N\ mamy na mocy (1) i (2)

I sp(x) — s₉(x) I < e dla a < X < ó, p> q> N".

Zatem ciąg (sn(x)}, a więc i szereg 2 /„(x) jest

n = 1

jednostajnie zbieżny.

⁰⁰ xn

Przykład. Szereg ^ — jest w przedziale

n — 1 П

(— A, A) jednostajnie zbieżny, pod warunkiem, że | A [ < 1.

tryczny 2 j А |л jest zbieżny.

П = 1

17. Zbieżność bezwzględnie jednostajna szere-

00

gów funkcyj. Powiadamy, że szereg funkcyj ^ fn(x)

n — 1

jest jednostajnie bezwzględnie (absolutnie) zbieżny

00

w przedziale (a, A), jeżeli szereg 2 |/„(x)| jest jedno-

n = 1

stajnie zbieżny w tym przedziale. Łatwo widać, że jeżeli szereg jest jednostajnie absolutnie zbieżny to jest i jednostajnie zbieżny. Twierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe.

18, Różniczkowanie ciągów i szeregów. Jeżeli funkcje ciągu {/«(x)} są ciągłe i mają pierwsze pochodne ciągłe w przedziale (a, A) i jeżeli ciągi {/«(*)} i {/'„(dc)} są w tym przedziale jednostajnie zbieżne, wówczas, kładąc

lim fn(x) = f(x),

n —)► CO

możemy twierdzić, że funkcja f(x) posiada pochodną i że

lim fn(x) = f ‘(x) .

n — co

Mamy bowiem — n

I h I"

— <^|A|n; szereg zaś geome

Dowód. Połóżmy

lim f'n(x) = y(x).

n —00

Niechaj DC₀ będzie dowolnym punktem wewnętrznym przedziału (a, A).

Opierając się na twierdzeniu o wartości średniej, możemy napisać :

fn(xo ~f~ A) fn(x₀)

— g)(x₀) = I fn(xo + &h) — cp(x₀) I =

= \f'n(Xo + ^Л) — qp(Xo + &h) + 9P(Xo 4- &h)— <f(Xo) |

^ ! f 'ri{xo + &K) — cp(x₀ + &h) j + I(p(x₀ + &h) — (p{xo) J (1)

Niechaj s będzie dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ ciąg {f'n(x)} zbiega jednostajnie do cp(x), zatem istnieje taki wskaźnik N, że dla każdego n > N i każdego X zachodzi nierówność

! f'n(x) — cp(x) I < j .

Wynika stąd, że dla n > N i każdego A, mamy

• • (2)

f n(x₀ + #A) — <f (Xo + &h) I <C ■

Ponieważ funkcja <f(x) jest funkcją ciągłą, gdyż jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcyj ciągłych, zatem istnieje taka liczba ^>0, że dla każdego x‘, spełniającego nierówność \x — JC₀ | < mamy

I Hx‘) — (fixо) I < J.

Jeżeli więc | A | < r], to z uwagi na to, że 0 < 0 < 1, możemy napisać

I <p(x₀ + &h) — (f (x₀) I < Y . . . (3)

Ze związków (1), (2), (3) wynika nierówność :

fn(xo ~t~ A)    fn(xo)

— <p(xo)    . (4)

dla każdego n> N i | A | < i].

Jeżeli założymy, że n dąży do nieskończoności, to z nierówności (4) otrzymujemy nierówność

/(* o + h) —f(x o)

Udowodniliśmy więc, że do każdej liczby £ > 0 dobierzemy takie r\ > 0, że dla każdego 0 < | A | < r\ spełniona będzie nierówność (5). Możemy więc napisać

A’m

/(*o + h) — /(Xp)

/i-> o

= ę)(x₀) czyli

/'(*<>) = y(Xo).

Podobnie przedstawia się dowód dla X₀ = a lub Xo = A.

Uwaga 1. Jeśli ciąg pochodnych nie jest zbieżny jednostajnie, wówczas twierdzenie nie musi być praw-

Np. ciąg {^}

dziwę.

zdąża jednostajnie do zera,

ciąg zaś pochodnych {cos n nie zdąża do zera, bo np. dla X = 0 otrzymujemy jako granicę 1.

Uwaga 2. Analogiczne twierdzenie można wygłosić dla szeregów. Jeżeli funkcje {«„(*)} są ciągłe

00

i mają pochodne ciągłe w (a, A), jeżeli szeregi 2 un(x)

n = 1

00

i £ un{x) są jednostajnie zbieżne, wówczas kładąc:

П — 1

00

S(x) = 2 un{x),

mamy

00

S‘(x)= -s u'„(x).

19. Szeregi potęgowe. Szeregiem potęgowym

CO

nazywamy szereg kształtu :    2 an xn. Jest to wiec szereg

л = 0

funkcyj o wyrazach :

fn{x) = anxn.

Przykłady. 1) l4-X+X²-f. 2) 1+- -+£ + •

⁰⁰    v»72

3) z -.

xn

* * /i!

Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy ^ anXn

n= 0

jest zbieżny dla x = R ф 0, to w każdym przedziale zamkniętym, położonym wewnątrz przedziału (— R, R), jest bezwzględnie jednostajnie zbieżny.

Dowód. Weźmy pod uwagę przedział zamknięty (— A, h) (A > 0) położony wewnątrz przedziału (— R, R).

Niechaj X będzie dowolnym punktem przedziału (— A, A),

00

a zatem ( л: | ^ A. Zauważmy, że ^ anRn jest szeregiem

72 =0

zbieżnym, więc lim anRn = 0, a zatem ciąg    jako

72 —00

ciąg zbieżny jest ograniczony. Istnieje więc liczba M~> 0 taka, że dla każdego n mamy:

anRn I < M.

Ponieważ anXn = anRn

✓o! X

, więc

I «72 Хп I == I an Rn I

<M

(1)

jest szeregiem zbieżnym, a zatem szereg

Ponieważ 0 < A < | R\, więc szereg geometryczny

⁰⁰ h n

z m i

n— 0

2 I anXn I jest jednostajnie zbieżny dla |х|<!Л, gdyż // =о

wyrazy jego na mocy (1) są mniejsze co do modułu od

⁰⁰    h n

odpowiednich wyrazów szeregu zbieżnego 2M -5    ,

n = 0    Л

a to na mocy twierdzenia str. 219 wystarcza do stwierdzenia jednostajnej zbieżności.

20. Promień zbieżności szeregu potęgowego.

Z twierdzenia poprzednio udowodnionego wynika, że,

00

jeżeli dla pewnego X — L szereg 2 anXn jest roz-

n =0

bieżny, to dla każdego X takiego, że |x[>|Lj, szereg

OO

2 anXn jest rozbieżny. Stąd na podstawie teorji liczb /1—0

est zbieżny

niewymiernych wynika, że jeżeli szereg nie dla wszystkich X, to zbiór wartości X, dla których szereg jest zbieżny, jest przedziałem o środku w punkcie X = 0.

Oznaczając przez R prawy koniec tego przedziału

00

widzimy, że jeżeli |x]</?, szereg ^ anXn jest zbieżny,

n= 0 00

a jeżeli | X | > R, szereg 2 anXn jest rozbieżny.

n = 0

Można więc wypowiedzieć następujące twierdzenia:

00

Jeżeli szereg anXn nie jest zbieżny dla wszystkich

n — 0

wartości na X, to istnieje liczba R^> 0 taka, że szereg

2 anX* jest zbieżny względnie rozbieżny, zależnie od

n — 0

tego, czy I X J < R, czy I X j > R.

Dla X = + R szereg może być zbieżny lub roz

bieżny.

Liczbę R nazywamy promieniem zbieżności sze-

regu 2 anXn. Jeżeli szereg ^ anXй jest zawsze zbieżny,

n =o

Л—1

to powiadamy, że jego promień zbieżności jest -f- oo.

19. Ciągłość sumy szeregu potęgowego. Ponieważ szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżnym, w każdym przedziale zamkniętym, położonym całkowicie wewnątrz przedziału ( — R,R), więc:

Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą dla wszystkich wartości na x mniejszych co do modułu od promienia zbieżności.

U w a g a. Jeżeli szereg potęgowy jest wszędzie zbieżny, to suma jego jest funkcją wszędzie ciągłą.

20. Wyznaczanie promienia zbieżności. Do wyznaczania promieni zbieżności wystarczają często następujące dwa twierdzenia:

1.    jeżeli istnieje lim n\j\an \ = g, to promieniem

11 —oc

гн j to«

00

dla g =J= 0. Dla

zbieżności szeregu anXn jest R g = 0, R == -f oo.

g, to promieniem

2.    Jeżeli istnieje lim j —-¹

n —V oo ' O-n

°° 1 ,

zbieżności szeregu ^ an xn jest R — — dla g ф 0.

Dla g = 0, R = -J- oo.

Dowód twierdzenia pierwszego wynika odrazu z kryterjum Cauchy’ego (str. 209). W rzeczy samej

lim у/1 an xn I = lim '\J \an\ .

oo

szereg: 2 |a,/łX7J| jest więc zbieżny, gdy g ! X ! < 1

72 =o

A' I <

|a więc dla dla I X I >    . Widzimy

^ j rozbieżny, gdy g | A | > 1 |a więc — jest promieniem

zatem, że

zbieżności. Gdy g — 0, to g| a | = 0 < 1, a więc szereg jest zawsze zbieżny.

Podobnie, opierając się na kryterjum d’Alemberta (str. 212) można udowodnić twierdzenie 2.

21. Różniczkowanie szeregu potęgowego. Róż'

CO

niczkując wyraz po wyrazie szereg % onxn, otrzymu-

77=0

00

jemy nowy szereg potęgowy 2 nanXn~\ Otóż można

n = 1

udowodnić, że promienie zbieżności obu szeregów są

00

równe i nadto, że suma szeregu ^ nanxn~x jest po-

71—1

chodną sumy szeregu 2 anxn dla wszystkich wartości

77 = 1

na a mniejszych co do modułu od promienia zbieżności.

To samo odnosi się oczywiście do szeregów otrzymanych przez dalsze różniczkowanie.

Dowód. Załóżmy, że R jest promieniem zbież-

00.

ności szeregu Z anxn.

77 = 0

Niechaj

Obierzmy dowolną liczbę a, spełniającą nierówność

0 < J a i < R.

AI < a < /?.

Ponieważ lim \/n — 1, zatem istnieje takie N, że

77--^ CO

dla każdego n > TV

п,— CL V л <

И’

15*

t__

zatem

00

Ponieważ wyrazy szeregu ^ | a„ | | \ n xj" są nie-

П = 1

00

większe od wyrazów szeregu zbieżnego ^ ) on | an J),

00

więc szereg ^ nanXn jest bezwzględnie zbieżnym.

n — 1

Dzieląc ten szereg przez X, widzimy, że szereg jest również bezwzględnie zbieżnym dla

2 nanxn

n — 1

każdego [ X j < R.

Załóżmy teraz, że | x | > R. Ponieważ szereg

^ ! an j i X j" jest szeregiem rozbieżnym, a wyrazy jego /1 = 1

00

są mniejsze od wyrazów szeregu 2 л j ar„ | | л:" J, więc

n = 1

ten ostatni szereg jest także rozbieżny. Wynika stąd,

00

że szereg 2 n\an /1=1

dla [ X j > R. A więc R jest również promieniem zbież-

00

ności szeregu - лад"⁻¹.

n = 1

-1

jest szeregiem rozbieżnym

00

Jeżeli 0 < r < R, to szereg

w przedziale (— r, r) szeregiem jednostajnie zbieżnym, zatem na mocy twierdzenia o różniczkowaniu szeregów (str. 221) przedstawia pochodną sumy szeregu

CO

2 anxn. Ponieważ r może być dowolną liczbą do-/1=0

2 nanxn 1 jest

/1=1

00

datnią byleby mniejszą od R, więc suma szeregu ^ anxn

/1=0

') Szereg- jest zbieżny bo 0 < а < R.

ша wewnątrz przedziału ( — R, R) wszędzie pochodną,

00

która jest sumą szeregu -i nanXn~^.

П = 1

Przykład:

1 + x + x² + ... + xn + ...

1 — .V ’

zatem

1 + 2x + 3x? + ... + nxIl~l + ... =

(l-x)

2 4- 3.2X T 4. Зх² T ... T я O — l)x

n—2

22. Szereg Taylora. Niech /(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale zamkniętym (a, b) i posiadającą pochodne wszystkich rzędów, również ciągłe w tym przedziale. Oznaczając przez x0f x₀ + h dwa dowolne punkty przedziału (a, b), a przez n dowolną liczbę naturalną, mamy wedle wzoru Taylora (str. 162):

h¹¹-¹

f,n~4xo) +

0-1)!

f(xo + h) — f(x₀) + y] Я*о) T • • • +

Rn (xo, b),

przyczem :

hn

Rn(x₀, b) = —i /(л) o + Ob) —

(! —07b-i/c«.)(xo+-e'Ä).

hn

0-1)!

O<0<1,

O<0' <1,

Może się zdarzyć, że gdy n rośnie nieograniczenie, wyrażenie Rn(x₀,h) zmierza do zera, t. j. że:

lim Rn (x₀, h) = 0.

n —    00

W tym wypadku szereg nieskończony :

f(Xo) + Yl / (*°) + 2]    + • • •

jest zbieżny do granicy f(x₀ + h). Mamy więc:

Szereg po prawej stronie nazywamy szeregiem Taylora. Udowodniliśmy więc:

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f(x) i jej pochodne wszystkich rzędów są ciągle w przedziale zamkniętym (a, b), to, oznaczając przez X₀, Xo + h dwa dowolne punkty tego przedziału, mamy:

/(xo + Л)

/⁽" (Xo),

⁰⁰ hn

= /(Xo)+„î, Л

przy założeniu, że reszta wzoru Taylora (x₀, h) zmierza do zera, gdy n rośnie nieograniczenie.

U w a g a. Jeżeli przedział (a, b) zawiera punkt X — 0, to zastępując w szeregu Taylor’a X₀ przez 0, a h przez x, otrzymujemy:

/М = m + jj /' (0) + 2-i /"(0) +. • +Ц /<"> (0) +... =

= /(0)+ г -?/<"> (O),

/1 = 1

przy założeniu, że: lim Rn(0, x) = 0.

n — >- 00

Jest to t. zw. szereg Maclaurina.

Twierdzenie powyższe ma znaczenie podstawowe.

Pozwala ono rozwinąć funkcją /(x) w szereg potęgowy, jeśli reszta Rn (x₀, h) zmierza do zera.

W szczególności reszta zmierza do zera, gdy pochodne funkcji /(x) są wspólnie ograniczone w przedziale (a, b), t. j. gdy I fn) (x) I < Mf przy każdem naturalnem n i każdem x należącem do tego przedziału. Istotnie mamy wówczas

Rn (x₀, h) I =

hn

-,/(п (*+0A)

|Л|"

a ponieważ:

lim

n CO

jA|"

n!

(por. str. 40),

więc

lim Rn(xo, h) = 0.

n —>-00

Przykłady:

1. «--l+n + ji

+ ... +

Ï+...

n\

dla każdego x. ₀    .    x

l. Sin X = —, -

dla każdego x. 3. cos x — 1 —

X³

X⁵

ï! 3Ï + 5!

(2/1 + 1)!

X² X⁴

2]⁴ 4] 6l

x2n

+ ...

dla każdego x.

4. log (1 + x) = j-dla — 1 < x <! + 1.

X³

⁺ 3"

(2 л)!

+ ... + ( ~l)'iH-+ ...

n

5. (1+*)'= !+(')

+ ... +

xn+ ...

X+\

dla jxj<l i dowolnego p.

Dowód. 1. Funkcja ex jest ciągła w przedziale zamkniętym (— A, + A), (A dowolna liczba dodatnia), jak również jej pochodne wszystkich rzędów, które są

z nią identyczne. A więc wszystkie pochodne są wspólnie ograniczone, mianowicie | /(п) « | < eA przy każdem na-turalnem n i każdem x z przedziału (—A, +A). Zatem wedle poprzedniej uwagi szereg Taylora jest zbieżny dla — A < X < + A, czyli przy każdem x, gdyż A jest liczbą dowolną.

2., 3. To samo odnosi się do funkcyj sin x, cos x, ponieważ ich pochodne wszystkich rzędów są ciągłe i nie większe, co do modułu, od jedności.

4. Funkcja lo§(î 4- .r) jest ciągła w każdym przedziale zamkniętym, nie zawierającym punktu x = — 1, jak również jej pochodne wszystkich rzędów. Na resztę wzoru Maclaurina otrzymaliśmy (str. 168) wzór:

Rn(x) = (- l)"+l

"Xn

(1 - o'y

-i

przyczem

n (1 4- 0x)n 0 < в < 1, 0 < 4 < 1.

(1 4 0'x)n

Zakładając, że 0 < x < 1, mamy:

i Rn(x) ! =

n    *

⁷¹ П

xn

a więc

n(14 0 x) lim Rn(x) = 0.

n ->-00

Jeżeli zaś — «4    (0 < s < 1), to kładąc

— X — u, mamy :

Rn(x) I =

(1-4)

xn

(1 4- в'х)п

I 1 —4\n~ł un = \Г=04

(1-4)—1 “ (1-0'u)"

un =

1-0'u

0 <04 <4 < 1, więc 0<1 — 6' < 1 — в'и, zatem 0 <

Ponieważ

1-4

l-4u

Z tych nierówności otrzymujemy:

I Rn{x) I <

u'¹

l — в'u

Ponieważ 0 < s < 1, więc lim en = 0 a zatem i lim Rn(x) = 0.

П —>• co

Ponieważ s jest dowolną liczbę dodatnią mniejszą od jedności, więc udowodniliśmy prawdziwość wzoru Maclaurina dla — 1 < r-^l-

Dla X = — 1 otrzymalibyśmy szereg:

W!

~x~k

jak wiadomo rozbieżny (por. str. 198).

5. Funkcja (1 + *)p jest ciągła w każdym przedziale zamkniętym, nie zawierającym punktu x = — 1, jak również jej pochodne wszystkich rzędów.

Na resztę wzoru Maclaurina otrzymaliśmy (str. 168) :

R„U) = (^)(l + «*)

= ( ) n(l —0')"-¹ (1 + 6'x)P-n. xn,

0 < в < 1, 0 < 6' < 1.

Jeżeli: 0^л:<«<1, to korzystając z pierwszej formy reszty, otrzymujemy :

pip — A) ... ip - n + 1)

Rn {x) —

xn

1.2. ... n

' (1 + вх)п~'

>P

a więc, dla n

( P -1) X

I Rn{x) I <

(p — n + 1) .V

(p — k)x

< s.

Ponieważ :

Im

(P — к) X

więc

к —^-оо    к

= — X,

(p — k)x

lim

к ■—oo

Istnieje więc takie K, że dla £> К mamy:

= X < 8.

Zakładając, że n > p i тг > K, otrzymujemy:

(p—l)x    \(p — K) X £n

I Rn{x) i <    .

-K-1

a ponieważ

lim sn K 1 = 0,

n--00

lim Rn (x) = 0.

n —00

Jeżeli —e<.v<;0 (0<£<1), to kładąc x — i korzystając, z drugiej formy reszty, otrzymamy:

więc

Rn(x) =

P(P — 1) - (p — n+1)

1.2. ... (/i-l) •

czyli :

Rn(x) =

1. 2. ... (n — 1)    \1 - W«¹ . '    ’    '    ⁰ "

(p — 1) Ц _

1    ■ I 2

/1 — 0' \n~l

₍₁_^, ) .

a stąd I (х) I = I //u J

(p — 2) u

Ponieważ (1 — в' u)p 1 jest zawarte między 1 П—в' \n~\

większe

a (1 — e)p *, zaś ^-^—|    jest, jak wiemy, nie

od jedności (por. str. 232), więc wystarczy okazać, że:

— 1) U

= 0.

lim I pu I

П — > 00

Dowodzi się tego podobnie jak poprzednio.

Ponieważ s jest dowolną liczbą dodatnią mniejszą od jedności, więc udowodniliśmy prawdziwość wzoru Maclaurina dla — 1 < x < 1.

Uwaga. Jako zastosowanie ostatniego rozwinięcia otrzymujemy szeregi :

1 — X + Xs — x³ + ...

1 — x

1T+X = 1 + f

= l-fx + x² + x³-f ...

1.3 x3 ‘ "4 ⁺ 274'7

l-ч <N

X²

X³ +

1.3

2.4 6

zbieżne dla — 1 < x < 1.

Zadania:

1. Wyprowadzić następujące rozwinięcia:

(2x)²    (2x)‘

“'2.2!    2.4!

ex — e~x

sin² x

(2x)2n ,

2. л!

X³

д-2 n+l

3!

*ł~ •••

(1 + e*y = 4 + (2 + 2) ^ + ... + (2 + 2")    + ...

(1 + X²)⁻ = 1 — x² + x⁴......(— 1)л х2л + ...

arc tg X = X— у + у + ••• ( — 1)

УТ+Т² = 1+|!-

(1 -*Т* = 1 +\

д.2п+1

2/2+1

\x\ < 1

+ ...') |лг|<1

л*⁴

1.3

2.4 ‘

ЛГI < 1

X* +

1 .3

Х⁴4

1.3.5

2.4.6

х⁶ +... I дг I < 1

arc sin X —

2.3

д:⁸ 4

1.3    x⁵ 1.3.5

2.4    5 ⁺ 2.4.6 '

К |CN

2. Funkcja /§ д: ma rozwiniecie zbieżne dla

< 1*1 < :

e I<n

Вх 2* (2² — 1)

2!

X "Ь

#з 2* (2⁴ — 1)

4!

Xs + ... +

+ В^п—Х

22л (22л — 1)

(2 п) !

х2п i + ...

noullieg-o.

Wyznaczyć stałe Ви Bs, В₅ zwane liczbami Ber-

3. Wyprowadzić następujące rozwinięcia:

sin (x + h) = sin X 4

cos (x + h) = log (x + h) = logx+~

cos x

cos X L sin X

TT 2Г

sin X j cos X . ₀

ТГА-"2ГА +-

h* + ...

tO I-i

H I Î5-

T-l CO

+ ... h I < I x [

4 Sprawdź przez różniczkowanie szeregu.

4. Jeżeli mamy rozwiązać równanie f(x) = 0, to oznaczając przez x₀ przybliżoną wartość pierwiastka (otrzymaną np. przez próbę), a przez x₀ + A szukany pierwiastek, mamy:

0 = f(x₀ + A) = f(xo) + hf'(x ₀) + ...

Jeżeli A jest dość małe, to opuszczając wyrazy zawierające A², A³ i t. d., otrzymujemy

0 = f(x o + A) = f(x o) + A f'(x o),

stąd

f(x o)

/W

Nową więc wartością przybliżoną szukanego pierwiastka jest

f(x₀)

⁰ n*y

Przy pomocy otrzymanej wartości przybliżonej, możemy, postępując jak poprzednio, obliczyć nową wartość przybliżoną i t. d. Powyższa metoda została podana przez Newtona.

Rozwiązać w ten sposób równania :

xs + 2x* + 3x + 4 = 0

sin X = X log X = X.

ROZDZIAŁ VIII.

Funkcje dwu zmiennych.

1. Zbiory płaskie. Obszary. Zbiór punktów nazywa się zbiorem płaskim, jeżeli punkty tego zbioru leżą na jednej płaszczyźnie.

Zbiór płaski nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje koło, zawierające go w swem wnętrzu. Odcinek, trójkąt i t. p. są zbiorami ograniczonemi. Linja prosta nie jest zbiorem ograniczonym.

Otoczeniem punktu P nazywamy wnętrze każdego koła o środku P. Jeżeli jakiś punkt danego zbioru ma tę własność, że istnieje pewne jego otoczenie całkowicie należące do zbioru, to punkt ten nazywamy punktem wewnętrznym danego zbioru. — Zbiór złożony z samych punktów wewnętrznych nazywa się obszarem otwartym, lub krótko obszarem. Najprostszemi obszarami są: wnętrze trójkąta, wueloboku, koła, elipsy i t. p.

Obszar nazywa się obszarem spójnym, jeżeli dwa dowolne jego punkty dadzą się połączyć linją łamaną¹), całkowicie leżącą w danym obszarze. — Obszarami spój-

’) Jeżeli na płaszczyźnie mamy daną skończoną liczbę punktów /4), A-2, A₃, ... An, to zbiór odcinków: At A₂, A₂ A₂, ... An—1 An, nazywamy linią łamaną, łączącą punkly Al i An.

nemi są obszary wyżej wymienione; natomiast obszar, złożony z wnętrz 2 kół nie mających punktów wsoól-nych, jest niespójny. Obszarem niespójnym jest również zbiór, który otrzymamy, wyrzucając z koła obwód i jedną średnicę.

2. Punkty brzegowe. Obszary domknięte. Punkt, nie należący do obszaru, nazywa się punktem brzegowym, jeżeli w każdem jego otoczeniu istnieją punkty, należące do obszaru. Zbiór wszystkich punktów brzegowych obszaru nazywa się brzegiem obszaru. Brzegami wnętrz wieloboków, koła, elipsy i t. d. są ich obwody.

Zbiór, utworzony przez obszar wraz z brzegiem, nazywamy obszarem domkniętym.

3. Obszary określone przez nierówności. Często spotykamy obszary określone w następujący sposób :

Przypuśćmy, że mamy dane dwie funkcje, określone i ciągłe, w przedziale zamkniętym (a, b)

У = /О)

У = <p(x).

Załóżmy nadto, że: cp(x) <C f(x) dla a < x < 6,

t. zn., że obraz funkcji f(x) znajduje się stale nad obrazem funkcji cf(x) (z wyjątkiem być może końców przedziału, w których ewentualnie f(x) = cp(x) ).

Rys. 35.

Zbiór punktów (х, у) spełniających nierówność

a < X < b,

Ф) < У < f(x)

tworzy obszar spójny, którego brzeg tworzą obrazy funkcyj f(x) i cp(x) i odcinki prostolinijne, łączące odpowiednie końce tych krzywych. Oczywiście w niektórych wypadkach odcinki te mogą redukować się do punktów.

Zadanie: Wyznaczyć obszary określone nierównościami :

\jl~X² < y < \jl~x2 X³ < y < X² + 1

1)    -1<X<1

2)    0 < X < 1

3)    1<х<3 3—\j4x — X'*— 3 <Cy < 3 + \4x — x² —3

4)    -1<x<1

5)    0 < X < 1,

0 < у < 1 — I X I

— y\> •

Uwaga. Bardzo często będziemy się spotykać z obszarem domkniętym określonym nierównościami:

а ^ X ^ b, а у    W.

Jest to oczywiście prostokąt o wierzchołkach

(a o'), (a W), (b, a'), (ó, 6').

4. Funkcje dwu zmiennych. Niech E będzie dowolnym zbiorem punktów, leżących w płaszczyźnie osi współrzędnych (XY). — Powiadamy, że w zbiorze E jest określona funkcja, jeżeli każdemu punktowi (x, y) zbioru E przyporządkowana jest liczba rzeczywista z.

Związek funkcyjny oznaczamy jak poprzednio

z = cp(x, y) i t. p.

Liczby x, у nazywamy zmiennemi niezależnemi, liczbę z, zmienną zależną; o funkcji f(x, y) mówić będziemy, że jest funkcją dwu zmiennych niezależnych x, y, określoną w zbiorze E. Zbiorem E jest zwykle obszar otwarty, lub obszar domknięty.

Jeżeli funkcja /(х, г/) określona jest tylko wzorem, to milcząco przyjmujemy, że zbiór E obejmuje te i tylko te punkty (x, y), dla których wzór określa wartość funkcji.

5. Geometryczne przedstawienie funkcyj dwu zmiennych. Obierzmy w przestrzeni układ współrzędnych XYZ. Obrazem funkcji z = f{x,y), określonej w zbiorze E, nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y, z), gdzie x i у są współrzęd-nemi punktów zbioru E, a z = f(x, y).

Przykłady: 1. z — 1 — x — у (rys. 36).

•re”

—y

Rys. 36.

Przykłady funkcyj dwu zmiennych:

dla wszystkich л:, у. dla x² + у² 1. dla O < X < 1, l<y<2.

1.    z = л:² + у²

2.    z = yl— x^—y²

3. z =

(jc-l)(ÿ-2)

Rys. 37.

Obrazem geometrycznym jest płaszczyzna przechodząca przez punkty (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0).

2. z = \l 1 — JC² — yA dla x² + t/²<l (półkula) (rys. 37).

3. z = x² + y² (paraboloida obrotowa) (rys. 38).

Jeżeli funkcja f(x, y) jest określona w prostokącie a < X < b, a < y < ó', to kładąc л: = лг₀ (а < дг₀ < b), możemy wyrażenie z = f(x0iy) uważać za funkcję jednej zmiennej y, określoną w przedziale (ab').

г- х‘-уг

Rys. 39.

Rys. 38.

Obierzmy na płaszczyźnie X = лг₀ jako układ osi (YZ), krawędzie przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyznami XY i XZ. Osiom Y' i Z' nadajmy kierunek zgodny z osiami Y i Z. Wyznaczmy na płaszczyźnie Y' Z' obraz geometryczny funkcji z = /(л:₀ y ); oczywistą jest rzeczą, że obraz ten jest przekrojem powierzchni z = /(X, y) płaszczyzną л: = x₀.

Jeżeli funkcja /(x, y) zmienia się w sposób regularny, to tworząc te przekroje dość gęsto, będziemy mogli dość dokładnie przedstawić sobie obraz geometryczny funkcji z = f(x, y).

Możemy także badać przekroje płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XZ. Oczywiście, nie jest konieczne założenie, że funkcja określona jest w prostokącie ; podobnie można badać funkcje, określone w dowolnych zbiorach płaskich.

Przykłady: Zbadać przekroje następujących powierzchni płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny

XZ i Y Z:

1.    z — xy (przekroje są linjami prostemi).

2.    z = X² — г/² (przekroje są parabolami).

3.    z — xy² (przekroje płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny XZ są prostemi, przekroje zaś płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny Y Z są parabolami).

6. Warstwice. Warstwicą powierzchni z = f(x, y) nazywamy rzut na płaszczyznę (X, Y) przekroju tej powierzchni płaszczyzną równoległą do płaszczyzny poziomej. Innemi słowy: warstwicą nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y), w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. — Kreśląc szereg warstwie i zaznaczając, jakie wartości funkcja na nich przyjmuje, otrzymujemy pewien mniej lub więcej dokładny pogląd na przebieg funkcji. (Rys 40.)

z-o

г-2

(S)

гЛ

2-1

j-i

b-ł

/I

z-г г-s

Rys. 40.

Rys. 41.

Zadania: Wyznaczyć warstwice powierzchni : 1. z = \J 1 — дг² — y*.

Warstwice są kołami z wyjątkiem warstwicy z — 1, która redukuje się do punktu. (Rys. 41.)

2.    z — 3x² + 2 y² (elipsy współogniskowe).

3.    z = xy (hiperbole).

Granica i ciągłość funkcji.

7. Definicja granicy. Powiadamy, że ciąg punktów o współrzędnych {лгл, Уп} zdąża do punktu (дг₀, Уо), jeżeli lim xn = X₍₎ i lim yn — yo.

Tl-->-00

Jeżeli przez dn oznaczymy odległość punktu (xn, yn) od punktu (x₀, yo), to ponieważ

więc

dn = \j(xn — x₀)²+ (уп—уоУ, lim dn — 0.

n —>-00

Naodwrót, jeśli lim dn — 0, wówczas ciąg punk-

n-->-00

tów {x„, yn} zdąża do punktu x₀, y₀.

Niechaj funkcja z = /(x, y) będzie określoną w pewnem otoczeniu k punktu (x₀, y₀); w punkcie (x₀, yo) funkcja może nie być określoną. Powiadamy, że g jest granicą funkcji, gdy x, y zmierza do д:₀, y₀, jeśli, dla każdego ciągu punktów {д:п, yn} różnych od (дг₀, yo), należących do otoczenia к i zmierzających do x₀, yo, mamy :

lim f(xn, y„) = g.

n —>-00

Granicę oznaczamy:

lim f(x, y) = g.

X-->-Jf₀

symboli :

Uwaga. Czytelnik łatwo domyśli się znaczenia

lim f(xy) — + GOj Hm f(xy)=g; lim f(xг/) = 4- oo it.p.

X--00

J/—>- CO

X—x₀

o

X —oo У ^ co

Przykłady:

1. //m (x² — г/²) = — 3.

X->1

y->2

3. //m    ₂

у —►■o

2. /im

x—>-0 X² + //“

y-M

= + oo. 4. /zTn

X —>- 00

y — >■ oo

X² +y

= 1.

= 0.

8. Twierdzenia o granicach. Dla funkcyj dwóch zmiennych można udowodnić wiele twierdzeń analogicznych do twierdzeń, otrzymanych dla funkcyj jednej zmiennej. Dowody są podobne.

Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, by liczba g była granicą funkcji z — f(x,y), gdy (x, y) zmierza do (x₀, г/₀), jest to, by wartości funkcji w punktach dostatecznie bliskich punktowi (x₀, y₀) dowolnie mało się różniły od g; innemi słowy: by do każdej liczby e > 0 można było znaleźć takie otoczenie punktu (хо, г/о), żeby wartość funkcji w dowolnym punkcie tego otoczenia (różnym jednak od (x₀, г/о)) różniła się od g o mniej niż s.

Dla funkcyj dwóch zmiennych można udowodnić twierdzenia o granicy sumy, iloczynu i ilorazu, analogiczne do odpowiednich twierdzeń dla funkcyj jednej zmiennej.

Twierdzenie: Jeżeli lim /(x,y) — g i jeżeli

A--->-X₀

У—Ууо

g > 0, to istnieje takie otoczenie punktu (x₀, у o), że w każdym jego punkcie (z wyjątkiem być może samego punktu (x₀, г/о)) zachodzi nierówność :

/(*, y) > « > o.

9. Ciągłość. Ciągłość jednostajna. Powiadamy, f(x, У) jest ciągłą w punkcie (x₀, y₀),

że funkcja

jeżeli jest określoną w tym punkcie i w jego otoczeniu i jeżeli

lim f(x, y) = f(x о, y o).

X—

У—^УО

Przykłady: Funkcje z — xу ; z — x'²—у2 są funkcjami wszędzie ciągłemi.

Uwaga. Jeżeli funkcja z = f(x,y) jest określoną w zbiorze E, to powiadamy, że jest w punkcie (x₀, yo) zbioru E ciągłą ze względu na zbiór E, jeżeli dla każdego ciągu punktów {хл, _ул} należących do E, zbieżnego do (x₀, y₀), mamy

lim f(xn, yn) = f{xo, yo).

n —00

Jeżeli funkcja jest ciągła w każdym punkcie zbioru E, ze względu na zbiór E, to powiadamy krótko, że jest ciągła w E.

Jeżeli więc np. funkcja jest ciągłą w obszarze domkniętym ß, to w punktach wewnętrznych jest ciągłą w zwyczajnem znaczeniu, w punktach zaś brzegowych jest ciągłą ze względu na ß.

Możemy wypowiedzieć definicje i twierdzenia, podobne do tych, jakie wygłosiliśmy dla funkcyj ciągłych jednej zmiennej, np. twierdzenia odnoszące się do ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcyj ciągłych.

a) Jeżeli założymy, że funkcja f(x, y) jest określona w obszarze Й i że punkt (x₀ y₀) należy do ß,

to warunkiem koniecznym i wystarczającym nato, by funkcja była w punkcie (Xo, yo) ciągła ze względu na ß

jest to, by wartości funkcji dla punktów dostatecznie bliskich punktowi (x₀, y₀) (należących do S2) dowolnie mało różniły się od wartości funkcji w punkcie (x₀, y₀) > innemi słowy, by do każdej liczby s > 0 można było dobrać takie otoczenie punktu (x₀, yo), by wartość

funkcji w każdym punkcie tego otoczenia (należącym do &) różniły się od f(x₀,yo) o mniej niż s.

b)    Funkcja określona w dowolnym zbiorze Z jest w nim jednostajnie ciągła, jeżeli wartości funkcji w dostatecznie bliskich punktach tego zbioru dowolnie mało się różnią od siebie, czyli, jeżeli do każdej liczby « > 0 znaleźć możemy taką liczbę r\ > 0, że wartości funkcji w dwu dowolnych punktach zbioru Z odległych od siebie o mniej niż rj, różnią się o mniej niż s.

c)    Jeżeli funkcja jest określona i ciągła w obszarze ß ograniczonym i domkniętym, to:

1) jest w tym obszarze ograniczona i jednostajnie

ciągła ;

2)    przyjmuje co najmniej w jednym punkcie obszaru & wartość największą i przynajmniej w jednym punkcie wartość najmniejszą.

3)    Jeżeli założymy, że zbiór punktów wewnętrznych obszaru ß jest obszarem spójnym, to funkcja przybiera każdą wartość zawartą między jej wartością największą i najmniejszą.

d) Jeżeli funkcja ciągła w obszarze domkniętym ß jest w pewnym punkcie tego obszaru dodatnia, to stnieje takie otoczenie tego punktu i taka liczba a > 0, że w każdym punkcie tego otoczenia (należącym do Æ) zachodzi nierówność:

f(x, y) > or.

Pochodne cząstkowe.

10. Definicja pochodnych cząstkowych. Niech funkcja z = f(x, y) będzie ciągła w otoczeniu pewnego punktu (x, y). Oznaczmy przez x przyrost zmiennej X. Połóżmy:

Л z = f(x + Л x, y) — f(x, y).

Granicę (o ile istnieje) stosunku , gdy Лх

zmierza do zera, nazywamy pierwszą pochodną cząstkową względem X. Oznaczać ją będziemy symbolami:

albo f'x (x, y).

f(x + zfx, y) — f(x, y)

A więc:

Jx

— lim

Л x ■—>- 0

Podobnie określamy:

f'y(x,y) = d-^ = lim

о у    О

f(x,y + Лу) — f(x, y)

Jy

Przykłady:

1) z = 5x¹ 2 + 8 хг/² + у³,

Ci/ . Cb

= 10 x -j- 8 у²,

О/ О/

= 16 xy + 3^².

x²

dz:

дх (х+у)*’ ду (х+уУ

3) z —

dz:

дх

2 \Jx (\Jx — V#)²’

Ci/ Cb

4) z = /o^— Х~У

dz:

CM

2x

X² - г/

d*/    :X² — г/² ’

5) z = y sin x + cos (x — y),

= y cos x — sin (x — y),

dz

— = sin x -f sin (x — y).

дУ

6) z = arc tg —,

a о, * I N

45

U)

N I &> 'O 'O

II

Xtjr U

7) z = xy exJr2y, ~ — ex+2yy (1 + x),

N i 5*

'O 'O

= е*+²^х(1 + 2о).

11. Pochodne cząstkowe drugieg-o rzędu. Jeżeli założymy, że funkcje f x i f'y istnieją w otoczeniu punktu (л:, у), to może się zdarzyć, że każda z nich posiada pochodne cząstkowe względem x i y. Te pochodne cząstkowe będziemy oznaczać symbolami:

d*z    dfy

дх²’ dx

d² z

дхду’ dy

df'x

дх

df'x

ày

ł"

= / д* =

—    f" —

—    J U* —

d²z

дудх

—    f" —

—    J xy —

²Z

=    = Jyi ■

Przykłady:

1) z — X⁴- + 4x²y³ -b 1 xy + 1. Mamy: * = 4х³ + 8хг/³ + 7г/,

= 12х²г/* + 7х,

a więc dfz dx²

= 12 л:* + 8 y³,

d² z

d² z

d²z

dy

дхду дудх

— 24x*y.

= 24 je y² + 7,

2) z = sin x cos y.

dz

— = cos jc cos г/,

''O ! 'o

= — sin x sin y,

d% z дх²

= — sin X cos у,

dz

dr z _ d*¹ z dxdy~ àydx

— sin X cos у.

= — cos X sin у »

дУ²

W obu przykładach otrzymujemy

____d* z

dxdy dyàx' Jak zaraz udowodnimy, własność tę posiada każda funkcja z(xy y) spełniająca pewne ogólne warunki.

d' z

12. Twierdzenie. Jeżeli w otoczeniu punktu (x, y) pochodne f"x, y, f"y,x istnieją i są ciągłe, to są sobie równe w tym punkcie.

Dowód. Weźmy pod uwagę wyrażenie:

u =/(x +Jx, y +Jy)-f(x, y+Jy)-f(x +Jx, y)±f(x,y),

gdzie Jx, Jy mają pewne wartości stałe. Wyrażenie

f(x, у + Jy) — f(x, y)

możemy uważać za funkcję zmiennych x i y. Połóżmy więc :

stąd

<P(x, У) = f(x> У + Jy) — K*> У),

<f(x + Jx, y) = f(x + Jx, у + Jу) — f{x + Jx, у)

и = çp(x + Jx, у) — <р(х,у).

Uważając у za stałe, otrzymamy na mocy twierdzenia o wartości średniej :

A zatem :

lecz

u = J x <p'x (л: -f OJ x, y),

¥ * (x, y) = fx (х, у + J у) — fx (x, y). Wstawiając więc zamiast x wyrażenie x -f- QJx,

mamy :

4 x [f'x (x + OJ x, у +Jy) — f'y (x + OJ x, y)].

Stosując teraz do wyrażenia w nawiasie znowu twierdzenie o wartości średniej, mamy:

(1)

u. —

ЛхЛу f"xy{x + вЛх, у + Qr4у).

Kładąc na początku

9 (*> У) = f(x + Лх, y) — f(x, у)

i podobnie postępując, otrzymamy:

(2)

и = Jx Л у f''yx{x + вх Jx, у + в\ J у).

Ze związków (1) i (2) otrzymujemy, przez porównanie obu wartości u, po podzieleniu przez wspólny czynnik ЛX Лу, związek :

Гху (x + dJx, у + в'Л у) = f"yx (х + в₁ Л X, у + в\ Jy),

gdzie в, в', в1} в\ są liczbami dodatniemi mniejszemi od 1. Jeżeli teraz z/x i z/у dążą do zera, to na mocy ciągłości funkcyj f"xg, fyx otrzymamy:

Г*Лх>у) =f”yx(x> у)•

Zadania. Wykazać przez wyliczenie, że związek

d*z _ d^-z

дхду дудх

zachodzi dla funkcyj:

1) z = ax² + 2 bxу + су²,

2) z =

' x + y*

²) z — exy + y x²,

4) dla funkcyj podanych w zadaniach ust. 10.

13. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

W podobny sposób, jak pochodne cząstkowe drugiego rzędu, określamy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Pochodna cząstkowa rzędu n-ego jest więc wynikiem n po sobie następujących różniczkowań ze względu na zmienne л: i y. Pochodną cząstkową rzędu n-ego, którą otrzymamy, biorąc p razy pochodną cząstkową względem X, a z otrzymanej w ten sposób funkcji q razy pochodną względem y, oznaczać będziemy symbolem:

fxp, yi С*» у)-

(p + q = n)

dnx

dx?dyq

Przykład, z — x⁴— 4x²y²-\-yi; d³z

дхду²

wyznaczymy :

— 4x⁵ — 8 xy²

= — 16 X у

d² z

¹

z:

²

— V*/)²

— 16 X.

дхду d³ z дхду2—

symbole

(p 4- q = n) są wystarczające do ozna-

Wynik ostateczny nie będzie zależał od porządku, w jakim wyliczamy pochodne cząstkowe, o ile wszystkie pochodne cząstkowe aż do rzędu n-ego włącznie są ciągłe. Na mocy bowiem ostatnio udowodnionego twierdzenia możemy zamienić porządek dwu po sobie następujących różniczkowań. Ponieważ w ten sposób postępując, możemy z każdego porządku wyliczania pochodnych dojść do każdego innego, więc wynik końcowy będzie dokładnie wyznaczony, jeżeli tylko podamy liczbę różniczkowań względem x \ y. A zatem dn z

dxp dyq

czenia wszystkich pochodnych cząstkowych rzędu n-ego, pod warunkiem, że są one ciągłe w otoczeniu punktu

(x, y).

Przykład: z — arc tg

yx

d’ z

дхду ~ (1 + x² + y*j% ’ drz

dxs dy³

\J 1 -f- X² + y2 d¹ z

dx²d’/²

15 X у

(ï + x² + yrf ’

= 15

1 — 5(x² + у²) + 51 x²y² — 6 (x¹ + у⁴)

14. Funkcje złożone. Przypuśćmy, że mamy daną funkcję zmiennych u, v:

z = /(и, Z/)

ciągłą wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w prostokącie a u ^ /?, a' ^.v ß'. Niechaj zmienne «, г; będą funkcjami zmiennych л, у, t. zn. :

u = cp(x, y), v = ty (x, #).

Załóżmy, że funkcje q> (x, y), ty (x, y) są ciągłe wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w prostokącie a    b, a'^ у b' i że nadto

a ty (x, y) ß, a' ty (x> У) ^ ß' •

Przy tych założeniach możemy zmienną z uważać za funkcję zmiennych (x, u), a mianowicie:

г = f{cp (x, y), ty (x, y)) = F(x, y).

Funkcję z = F(x, y) nazywać będziemy funkcją złożoną za pośrednictwem zmiennych u, v. Przy założeniach powyższych można łatwo wykazać, że funkcja F(x, y) jest ciągła w prostokącie (a ^ x^ b, a ^.y ^ b ).

15. Pochodne cząstkowe funkcyj złożonych. Aby

wyznaczyć pochodną cząstkową względem x, oznaczmy przez z/X przyrost zmiennej x, gaś przez z/и, zfv, /Iz odpowiednie przyrosty zmiennych и, v, z. A zatem:

Ju = cp (x + Лх, y) — cp (x, y)

/lv = ip(x + zlx, y) — ty(x,y)

z/Z = /(u + z/ Ц, г; + z/ü) — /(u, г/).

Wyrażenie na z/z przekształcimy w sposób następujący

z/z = [/(u + z/и, V + z/w) — /(ц, v + z/z;)] +

+ [/(u, г/ + ^г;) — /(u, г/)].

Stosując teraz do każdego z nawiasów twierdzenie o wartości średniej, uważając przytem za stałe w nawiasie pierwszym ■m + z/h, w drugim u, otrzymujemy.

z/z = fu (u -j- öz/ u, г/ + z/г/) z/м + f'v{u, v + 0'z/ v) z/ г/, stąd

z/z

Лх

= /'u(m -f 0z/h, V + /1v)

z/M

z/ x

+ fv {u, V + 0' Jv)

Jx'

nicy:

Jeżeli z/x zmierza do zera, to otrzymujemy w gra

— fu ty хЛ f vty x,

czyli

d z d z du z dv dx du dx dv dx

(1)

Podobnie

(2)

dz dz d y du

P rzykłady.

z = (Зл:² + у²Ух + ²У = uv,

à * e_i д и    dv

дX    ‘ дх    ⁶ д X

= (4 X + 2 у) (3 X² + ys)4x+2y~¹.6х +

+ (Зх² + у²)4х+2У. 4 log (Здг² + i/²).

2) Jeżeli przypuścimy, że и i v są funkcjami tylko zmiennej xf a więc

u =

to

(p(x), v = ip(x), f{u, v) = f(cp (x), ip(x)) = Z⁷^).

z =

A zatem z jest funkcją złożoną zmiennej x za pośrednictwem zmiennych u i v. Na mocy (1) i z uwagi, d z    dz

d x    dx

że w tym wypadku

otrzymamy :

więc

Np.

dz d z du z dv dx д u dx dv dx

{<V(x)}^(j£) = uv,

• • (3)

— v uv~l u + uv log u . v =

= xp (x)\cp (x)}^W_1 cp'{x) +    log<p{x). yj'(x).

3) Jeżeli z = f(x, y)> zaś y = ^(д:), otrzymujemy : z = f(x, ip(x)) = F(x).

Stosując formułę (1) przy założeniu, że u = x, v = y, mamy :

dz

dx-fx+f'3y'x

(4)

np.

z — x² + 3y³x -f 4y , у = 2х* + 1, = 2 X + 3у² + (бух + 4) 4X.

dx

Zadania:

1 ) z = log

X + \x² — у2 X— V*² — У²

J U + V

= log-

и — V

дх V*² —у*’

Cl-

y\jx²—y²

2) z =

X²

—y

X² + y ’ У

= 2x<—3,

4x(x- 3) t/x (x²+2x — 3)**

3 ) Z = log

flX + by

ax —by

= log

aby

ab X

дх    а²х²— b²у²’ ду а²х² — Ь²у² ’

4) Wykazać, że nie istnieje funkcja z—f{xy), której pochodne cząstkowe wyrażałyby się wzorami:

'O i 'Ci

= У,

Cl- Cl,

- = 2x.

Oprzeć się na tem, że taka funkcja miałaby po-

d' z

дхду’ дудх

chodne drugiego rzędu równe.

д-z

ciągłe, a więc

Funkcje uwikłane.

16. Definicja funkcji uwikłanej. Załóżmy, że F(x,y) jest określona i ciągła w pewnym

funkcja

obszarze. Zdarzyć się może, że istnieje funkcja ciągła

y = /(x) taka, że odpowiednie pary (x, y) spełniają związek

F(x, y) = 0.

(1)

W wypadku tym związek (1) nazywamy uwikłaną postacią funkcji f{x) ; o samej zaś funkcji f(x) mówimy, że jest funkcją uwikłaną spełniającą związek (1). Przykłady.

Uwikłaną postacią funkcji

1-

1 -j- x

X

- jest x y + x + y — 1 =0.

2.    y = Vг² — x² jest x² + у² — г² — 0.

3.    y — x + \Jl — 2 x² jest Зд:² — 2xy + y² — \ = 0.

Nie należy sądzić, że jeżeli dany jest związek (1), to już przez to jest określona funkcja uwikłana. Może bowiem nie istnieć żadna funkcja ciągła, która spełnia związek (1), lub może istnieć kilka takich funkcyj.

Przykłady.

1. Nie istnieje funkcja spełniająca związek:

*² + y² + 1 = 0.

2. Funkcje y = yl — л:², у = — \/l — л:² spełniają ten sam związek, a mianowicie: л:² + ^² — 1 = 0.

17. Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej.

Jeżeli funkcja z = F(x, у) ciągła wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w otoczeniu punktu (a, b) spełnia warunki :

1)    F (a, b) = 0,

2)    F'y (a, b) ф 0, to istnieje jedna i tylko jedna funkcja y = /(*) określona i ciągła w otoczeniu punktu x = a taka, że

1)    f(a) = b.

2)    F[x,f(x)] = 0.

Dowód tego twierdzenia, jako trudniejszy, po

mijamy.

Przykład.

Mamy :

F(x, y) = xy + л: + у — 1. F у = д: +1.

T-Ч CO

Obierając a=2, b= —

^',(2,-i) = ³=t=o.

-, otrzymujemy F ^2,—= 0,

Na podstawie naszego twierdzenia istnieje więc jedna i tylko jedna funkcja y = f(x) ciągła w otoczeniu punktu x = 2, przybierająca w tym

punkcie wartość — i spełniająca związek F(x, y) = 0.

To samo stosuje się do każdego innego punktu (a, b) spełniającego warunki ab +a +b —1=0, a +1 ф 0. W naszym przykładzie możemy szukaną funkcję wyznaczyć, obliczając у z równania F(x,y) = 0.

18. Pochodne funkcji uwikłanej. Przypuśćmy, że funkcja у = /(x) ciągła w otoczeniu pewnego punktu x = a, dana jest w postaci uwikłanej F(x, y) = 0. Załóżmy nadto, że funkcja z — F(x,y) jest ciągła wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w otoczeniu punktu [д: = а, у = /(a) = b\ i że F'y (а, о) ф 0.

Oznaczmy przez J x dowolny przyrost zmiennej x.

Połóżmy :

4У = f(a + 4x) — f(a) ;

mamy więc :

F (a + Л X, b + Jy) — F (a, b) = 0.

Postępując podobnie jak na str. 254, możemy

napisać:

F(a +Лх, b +Лу) - F(a, b) — F'x(a + 6Jx, b +Лу) Jx -j-+ F’y (a, b 4- Ö! Лу) Л у — 0.    .    .    .    (1)

Ponieważ F'y (x, y) jest funkcją ciągłą i ponieważ Ffg (a, b) ф 0, więc dla dość małego przyrostu Л у, mamy również

F'g (o, b + 0i 4y) ф 0.

Dla dość małych przyrostów Лx i xty mamy więc na mocy (1)

F'x (a + 0 Л x, b -f Лу)

F'g(a, b + 0! 4y)

• • (2)

Gdy Лх dąży do zera, to, na mocy ciągłości funkcji у = /(*), przyrost z/у również dąży do zera. Prawa strona równości (2) ma więc granicę

F\ (a, b)

Zatem

F g (a, b) '

FM b)

F'y {a, b) ‘

f'{a) = lim — ' jx^ ₀Лх

Otrzymaliśmy więc następujące Twierdzenie: Jeżeli funkcja ciągła у = f{x), dana jest w postaci uwikłanej F (x, y) = 0 i jeżeli F'x i F'g są funkcjami ciągłemi, to funkcja y = f(x) ma pochodną dla każdej wartości na x, dla której F'g (.Ху /(г)) ф 0 i pochodna ta wyraża się wzorem :

dF

F'X (•*, y) = F'y (x, y)

к I a*

• . (3).

Zajmiemy się teraz wyznaczeniem drugiej pochodnej funkcji uwikłanej.

Pochodną y możemy uważać, jako funkcję złożoną

F'x(x,y)

z funkcji ciągłej —

F'y (x, y)

i funkcji ciągłej y — f(x).

Jeżeli do poprzednich założeń dodamy jeszcze założenie, że funkcja F\xy) posiada drugie cząstkowe pochodne ciągłe, wówczas, z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i na mocy (3), wynika że y" istnieje.

Stosując formułę (4) str. 255, mamy:

lub

,, dy

У =

Więc

Stąd

y" = —

~dx{ F'X} + fg{ Й

F'y F”x* — F'x F"xg (F'sy

F'gF"xg-F'x.F"

(F'gy

& f _ F *\

F'J-

У'-

(F'gy F"* - 2 F"xg F'x F'g + (F'xy .

(F'yf

IdFy d*F ₂dFdF d*F [ Id j 'dyl d xs дхду дхду d /

d*F

dy*

t-r

W podobny sposób otrzymujemy wzory na pochodne wyższych rzędów, dość jednak skomplikowane.

Uwaga. Należy pamiętać o tem, że w otrzymanych wzorach na pochodne symbol y oznacza funkcję zmiennej x określoną przez związek F(x, y) — 0 ; prawe więc strony tych wzorów są funkcjami jednej zmiennej, t. j. zmiennej x, a nie dwu zmiennych x, y, jakby się na pierwszy rzut oka zdawało.

Przykłady:

dF

1) F(x,y) = xä + */* — 1 = 0. Mamy

d²F

д -X²

d*F

’ dy²

= 2;

d*F

дхду

= 0.

//

У³'

Różniczkując drugą pochodną i uważając ją jako funkcję złożoną, otrzymujemy

». ₌ ³ffV

CO

2. F(x, y) — y — x ey + x = 0. Mamy .F'* = — ey + 1,

= 1 — ;reÿ,

więc

3. sin (x-\- y) — y = 0.

cos (x + г/) cos (л: + г/) — 1 ’ У

sin (дг -f у)

~ [cos(*-fo) — l]⁸'

19. Maxima i minima funkcyj uwikłanych. Nie-chaj funkcja z — F{x, y) będzie ciągła wraz z po-

chodnemi cząstkowemi aż do rzędu drugiego włącznie w obszarze ß. Postawmy sobie zadanie wyznaczyć extrema funkcyj, które dadzą się przedstawić w postaci uwikłanej

F(x, y) - 0.

(1)

Podamy najprostsze warunki wystarczające. Wyznaczmy w tym celu punkty (x y), które spełniają warunki

F(x, y) = 0.

F'x (x, y) = 0.

F'y (x, у) ф 0.

Jeżeli istnieje punkt (л:₀, y^), który te warunki spełnia, to, na mocy poprzednich twierdzeń (str. 257 i dalsze), istnieje funkcja у = /(*), ciągła wraz z po-chodnemi pierwszego i drugiego rzędu, spełniająca związek (1) w otoczeniu punktu x =    \ przyjmująca

dla x = x₀ wartość y=yo-Zauważmy dalej, że

F'x(x₀,yo) _

F',(*»yo) ~

Ponieważ F'x(x₀,yo) — 0, więc stosując wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej (str. 260), otrzymujemy

f'(xo) =

F"# (x₀ у o)

F'y(x₀yo)

jeżeli więc F"xi (лг₀ yo) =j= 0, to dla funkcji у = f(x) występuje w punkcie x — x₀ extremum i to maximum lub minimum właściwe, zależnie od tego, czy

F"xĄx₀, у₀) i F'y (x₀,y₀)

są tego samego znaku, czy przeciwnego. Jeżeli F (дг₀, у о) — 0, to trzeba badać wyższe pochodne.

Przykład: F(x, у) = у³ — 3 у х + х¹ = 0.

F'x = — 3 у -f 3 X¹ ; F'у = 3 y² — 3 л\

Rozwiązując równania F(xfy) = 0 i F'x(x,y) = 0, otrzymujemy dwa rozwiązania

xx = 0, yi = 0 i x₉ — ¹\l 2, y% = ¹\l 4.

Mamy F'g(xltyi) = 0, F'ÿ(x₂, г/₂) = 3 ²\/ 2.

Widzimy stąd, że pierwsze rozwiązanie odpada.

(x₂, г/₂) = 6 x₂ = 6 ³V 2.

Ponieważ F"xt (x%, г/₂) i F'g (лг₂, y<F) są tego samego znaku, więc występuje maximum właściwe.

Zadania:

1. F(x,y) — Ах¹ -\-2Bxy Ą-C y³-\-2Dx-\-2Ey-\-F =. 0

Ах + В у + D d¹ у dx Вх+ Су + È’ dx²    (Вх+Су+Е)¹'

dy

A B D ВСЕ DEF

dy

2 с¹ ху

2. F(x, у) — л:⁸ — 3 с ху + у¹ = 0. су — х¹ d² у

dx сх — у2> d X¹ {сх— г/*)¹’

а ПЗ

równania

Sprawdzić wynik, wyznaczając z

5.    Wykazać, że funkcja uwikłana dana równaniem F(x, y) = yŁ — 4 о} Xy + X4, = O ma extrema dla X = ± a ⁸\j3, y = ± a ⁸\/27. Zbadać, czy zachodzi minimum, czy maximum.

6.    Zbadać extrema dla funkcyj uwikłanych zadania 1, 2.

7.    Wykazać, że z pomiędzy wszystkich trójkątów o danej wysokości w i danem polu P najmniejszy obwód

2 P

ma trójkąt równoramienny o podstawie - i wyso

kości w.

ROZDZIAŁ X.

Wzór i szereg Taylora. Maxima i minima. Różniczki funkcyj dwu zmiennych.

1. Wzór Taylora. Niechaj funkcja /(x, y) będzie ciągła wraz z wszystkiemi pochodnemi cząstkowemi aż do л-ego rzędu włącznie w otoczeniu pewnego punktu (x, y). Niechaj punkt (x + A, y + к) należy do teg'O otoczenia. — Przyjmując x, y, A, k, za liczby stałe, możemy wyrażenie /(x + ht, y Ą- ki) uważać za funkcję zmiennej t. Połóżmy więc:

O)

<p(t) = f(x+ hł, y + к i).

Wyznaczymy pochodne funkcji <p{t), opierając się na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej (str. 255). Połóżmy w tym celu :

a więc

u = X -f ht V — y + kt rf{t) = /(и, v).

Stąd :

aj

+ А(и» v)

a więc

= fu («, v)

<p'(t) —fu (u, v) h + fv (u, v) к ;

dt’

wprowadzając poprzednie znakowanie, mamy:

<p'(t) = hfx(x+h t, y + к t) + kfy (x + h t, у -f к t). Podobnie, otrzymujemy:

— h²f"xï (x + ht, y -f к t) +

+ 2 h к f"xy (x + ht, y -f- к t) “b h“ f"yï (x Ą- ht, y -f* kt),

symbolicznie napiszemy tę pochodną w postaci : cp"{t) = [hfx (x + ht, y + kt) + kf'y(x + ht, y Ą- kt)]⁽²⁾.

Obliczając dalszą pochodną, mamy:

<p’"(t) = hsf"x3(x + ht, y + kt) + 3h²kf"xiy(x-f ht, y + kl) +

+ 3 hk* f"xgt(x + ht, y 4* kt) 4- къ f"уъ (x 4- ht, y 4* kt), symbolicznie :

<p'"(t) — [hf'x(x + ht, y + kt) + kf'y(x + ht, y + kt)]{3).

Przez indukcję otrzymujemy:

Уп) (*) = [hf'x (x 4-ht, y+ kt) + kf'y (x 4-ht, y + к ć)](n).

Zauważmy teraz, że stosując do funkcji (f(t) wzór Maclaurina i kładąc t = 1, otrzymamy:

q(l) = cp(0) 4- j-y <p'(0) 4- 2i ф"(0) + •••- +

(n- 1)!

©<—»(0)4-Я„.

Pisząc resztę w postaci Lagrange’a, mamy: —, <P(n) (e),

Rn

- n\

(0 < в < 1).

Lecz <jp(l) = f(x + h, y + k)

9>(0) = f(x, y)

9 (0) = hf'x(xt y) + kf'y (x, y)

y"(0) r= hY'x* (x, y) + 2 hkfXy (x, y) + k*f"gi (x, y) = = [Л/'ж (дг, г/) -ł- (лг, z/)]⁽²⁾ i t. d.,

ogólnie a więc:

= w'x(xt₉)+kf,(xty№\

f(x+h, у + к) = f(x, y) + Yj [hf'x {x, y) -f kf'y (x, y)] + + [hf'x(x, y) + kf'y (x, j/)P + ..

[hf'x{x,y) + kf',(x,y)Y"-» + Rn;

na resztę Rn mamy wzór:

Rn

- n\

[hf'x(x + 6h,y + в к) + kf y (x -+- eh, y + 0&)](n) (0 < в < 1).

Otrzymaliśmy w ten sposób wzór Taylora dla funkcji dwu zmiennych.

Jeżeli przyjmiemy w szczególności, że X = 0, у = 0, to kładąc we wzorze Taylora л: = 0, у = 0 i pisząc następnie д:, у, zamiast h, k, otrzymujemy wzór Mac-laurina dla funkcji dwu zmiennych w postaci:

f(x, y) = /(0, 0) + [xf'x (0, 0) + yf у (0, 0)] + [xf'x (0, 0) + yf y (0, 0)]⁽²⁾ -j- ... +

-î [xf'x (0, 0) + у Г y (0, 0)](n-1) + Rn,

+ 7-

to

(n —1)!

gdzie :

Rn

[xf'x(6x, в y) + y f'y(Ox, ву)У*\

Uwaga. Ze wzoru Taylora, kładąc n — 1, otrzymujemy twierdzenie o wartości średniej dla funkcji dwu zmiennych :

f{x + h, y+k) — f{x, y) = h f'x(x + dh, у + в к) +

(O<£0<1)

+ kf'y(x -f dh, у + ek).

2. Szereg Taylora i Maclaurina. Załóżmy, że funkcja f(x, y) jest ciągła wraz z pochodnemi cząstko-wemi wszystkich rzędów w otoczeniu pewnego punktu (x, y). Oznaczając przez (x + h, у + к) dowolrfy punkt tego otoczenia, a przez n dowolną liczbę naturalną, mamy wedle ustępu poprzedniego :

f(x + h, у+ k) = f(x y) + Y\ x y) ⁺    ^ ⁺

[hf'x(x,y)-Vkf'Ax,yW)+ ...+

[hf'x{x,y) + kf'y{x,y)r^+Rn.

2!

(n~ 1)1

Jeżeli lim Rn = 0, to otrzymujemy rozwinięcie

n —>- 00

naszej funkcji w szereg zbieżny :

f(x + h, у + к) =f(x, у) + — [hf 'x (х, у) + kfy (x, #)] +... +

1!

+ [hf'x (x, y) + kfy (x, #)](,,) + ...

zwany szeregiem Taylora.

Jeżeli w szczególności położymy X = 0, y = 0

a zamiast h i к będziemy pisać х, у, to otrzymamy szereg Maclaurina :

/(*» y) ⁼ /(0, 0) + Y\ [x/*(o> 0) + yfy(0, 0)] + ... +

+ >/'Ж⁰⁾₊*Л(0,°)Р₊ ...

Przykłady.

1. ex+ÿ = 1 +

x + y , (* + ?/)²

(*+ÿ)n

1!

2!

2.

sin X sin y — 2~j 2 xy ^ (4 *³1/ + 4 дс i/³) + + “I (6    + 20д:³1/³ + 6 хуъ) + ...

h

У + к

-2 x у

21 L (*s + u²)

3. arc tg

b*

A* +

2 (лг²—ÿ⁸)

(** + y²)

i hk +

2-y i/

(*² + </²)

*² + i/

ïH+-

Maxima i minima funkcyj dwu zmiennych.

3. Definicja extremum. Powiadamy, że funkcja /{x, y) przyjmuje w pewnym punkcie maximum,

z =

jeżeli w każdym punkcie pewnego otoczenia wartość funkcji jest niewiększa niż w danym punkcie. — Zastępując w poprzedniej definicji wyrażenie „niewiększa“ przez wyrażenie „mniejsza“, otrzymujemy definicję maximum właściwego.

Z definicyj poprzednich otrzymujemy przez odpowiednią zmianę definicje minimum.

Jeżeli więc w punkcie x , y występuje maximum, to istnieje takie otoczenie punktu {x', у'), że dla każdego punktu (x' + A, у' + к) należącego do tego otoczenia zachodzi nierówność :

fix' + h> ÿ' + ^X /W y') ;

w wypadku maksimum właściwego mamy oczywiście

fix' + h, y'+k)< f(x', y'),

jeżeli h i к nie są równocześnie zerami. Odwrotne nierówności występują przy minimum.

W obu więc wypadkach możemy powiedzieć, że przy extremum wyrażenie f{x' + h, у' + к) — fix', у ) ma stały znak, dla dostatecznie małych h i к. Gdy występuje extremum właściwe, to powyższe wyrażenie, dla dostatecznie małych Л, к, jest różne od zera, z wyjątkiem h = к = 0.

4. Warunki konieczne dla istnienia extremum.

Załóżmy, że funkcja f(x, y) posiada w otoczeniu punktu (х' у'), w którym występuje extremum, ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Z określenia extremum wynika, że funkcja f(x, y), uważana za funkcję jednej zmiennej X, posiada dla x = x' również extremum. Zatem

f'x (x't y') = 0.

Podobnie otrzymujemy

f's ix't y) = 0.

Udowodniliśmy więc: Twierdzenie. Jeżeli funkcja

f(x, y) ciągła

wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w otoczeniu punktu (д:', у') przyjmuje w tym punkcie extremum, to obie pierwsze pochodne cząstkowe zerują się w tym punkcie.

5. Warunek dostateczny dla istnienia extremum.

Jeżeli funkcja f(x, y) ciągła wraz z pochodnemi cząstko-wemi pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu (Xy'), spełnia warunki

¹

F(x - и* — ху - 0 ^    —1_>

²

3.t{x,y)-y X -U, dx- x^[ogy_₁y

f'x{x',y') = 0, fg(x',y') = 0,

to kładąc: możemy twierdzić, że

a)    dla Л > 0 w punkcie (*', y') występuje ekstremum właściwe, a to :

maksimum właściwe, jeżeli: f"xi(x', y') < 0 minimum    „    „    f"x*(x',y') > 0

b)    dla /I < 0 nie występuje w punkcie (x', y')

ekstremum.

c) dla Л — 0 ekstremum może zachodzić, lub nie.

Uwaga: W wypadku a) pochodne f"xi{x',y') i f"Ax\ y ) s3 różne od zera i mają ten sam znak, bo inaczej byłoby Л ^ 0.

Dowód.

a) Załóżmy, że /1 > 0. Stosując wzór Taylora z uwzględnieniem założenia otrzymujemy :

f(x' + h, y' + k) - /(*', y) =    [h> г + 2 А к s + кЧ], (1)

gdzie

г = f"xi (x' + в h, y' + в k) s = f Xy {x' + в h, y' + в k) t = f "y¹ -f- в A, y' -f- в k).

postaci :

Ostatni wzór, możemy napisać w następującej

f(x' + h, y' + к)    fix', y') ss

= ^^[(hr+ksy + (ri —s*)k*\    , . (2)

Przypuśćmy narazie, że fr Xi{x! y') > 0. Z ciągłości drugich pochodnych cząstkowych wynika

lim r = f"X2 (xf y') > 0

h —0 k—>- 0

oraz

lim (rt - s²) = J> 0.

Zatem dla dostatecznie małych A i & r > 0, г t —    > 0.

A więc na mocy (2):

f(x' + hyy/ + k) — f(x\ y') > 0.

Równość ma miejsce tylko wtedy, gdy A = к = 0. W punkcie x', y' występuje więc minimum właściwe.

W dowodzie założyliśmy, że f"xi (x', y') >0; zakładając f"x*(x', y) < 0 i postępując tak samo, wykazalibyśmy, że w punkcie (xf, y') występuje maximum właściwe.

A) załóżmy, Л < 0 i połóżmy :

r<> = f"xĄx', у')

so = f"*y(x', у')

to = f"Ax'>y')'

Zauważmy, że wielomian

r₀ + 2 So x + /₀ X²

nie jest stałego znaku, bo wyróżnik r₀ t₀ — s₀² < 0*

Istnieją zatem dwie wartości ft i ft takie, że

r₀ + 2s₀ ft +    > 0,

+ 2 s₀ ft -f- fta < 0.

Oczywistem jest, że na mocy ciągłości drugich pochodnych cząstkowych

lim (r + 2 sft + tß²ß) = r₀ + 2 s₀ ft + i₀ß²i > 0 л—>- о k~^0

Istnieje więc takie otoczenie (d) punktu (X', y'), że, jeżeli (x' + h, у + к) należy do (à), to:

(3)

r + 2 s ft + t ß²i > 0.

Obierając teraz dowolnie małe otoczenie (d') punktu (x'y y ), możemy zawsze dobrać tak małą liczbę Q, by punkt (X' + Q, y' + ęft) należał do d' i do d. Lecz kładąc :

h = Q, к = Qßu

mamy na mocy (1) i (3):

fix' + А, у -t- к) -f(x't у) = 2]?² [г+ 2 s ft + tß\] > 0.

W każdem więc otoczeniu punktu (x', y'), istnieje taki punkt (X' + h, yr + к), że :

f{x' + h, у' + к) — fix', у') > 0.

Postępując tak samo z wartością ft, wykażemy, że w każdem otoczeniu punktu (x', y) istnieje punkt (x + h, у' + к) taki, że :

fix' + h, у' + к) — fix', у') < 0.

A więc w punkcie ix', y ) nie występuje ex

tremum.

с) Л = 0. W wypadku tym zauważymy, że dla

Z = X* + y⁴-i z = xs + ys

mamy w punkcie (O, 0), 4 = 0. Pierwsza z tych funkcyj posiada w punkcie (0, 0) minimum, druga zaś nie posiada w nim extremum.

Przykłady.

1) z = x² + X у + у² — m X — ny.

Mamy tu:

= 2 X у — m,

a² z

a*²

funkcyj

JX

= 2,

a² z

dy*

: ••o

= 2,

— X + 2 у — n,

a² z

дхду

2.2 - 1* = 3.

Aby znaleźć punkty, w których ewentualnie występuje extremum, rozwiązujemy układ równań

ax

= 0,

--    = 0, czyli

2x + у -x + 2y -

Tl —

Otrzymujemy =

T-H ICO

(2 m — n), У =

^ (2 n — m)

jako jedyne rozwiązanie tego układu. Ponieważ d— 3 > 0, więc w punkcie (л4, y ) występuje extremum. Ponie-

= 2 > 0, więc w punkcie x' = - - (2 m — n),

waż

a² z

ax²

y'

= ^(2n— m) funkcja nasza ma minimum.

Çv, , Q>

2) z — А x²y + Вху* — Сху (А, В, С ф 0)

d^z

дуа

= 2Ах + 2By — С,

= 2 Аху + By² — Су,

д² z

дх²

= 2 Л г/,

2 В X.

- = Ах² + 2Вху — С ху

d²z

дхду

л1 = 4 AB X у — (2 Л х + 2 Л г/ — С)*.

Rozwiązujemy równania

дХ

= 0,

ày

= 0, czyli

(2 Ах В у — С) у = 0,

(/4 X _Ь 2 В у — С) X = 0.

Otrzymujemy stąd następujące cztery rozwiązania :

0,y = 0; х = д,у = 0; X = 0, у =

ЗА'у * 3В'

Odpowiednie wartości па В są:

- С\ - С\ - С\ у С\

Pierwsze trzy rozwiązania nie dają extremum

С С

ponieważ В < 0. Dla х — уд у = yg mamy ех-

tremum. Podstawiając te wartości

otrzymu-

д² z

2ЛС

w ах"²’

jemy

. Zachodzi więc maximum lub minimum,

zależnie od tego, czy

AC

< 0 lub

AC

>0.

Zadania.

1.

\ xy + (47 — X — y) ( ^

(x = 21, у — 20 max.).

2. z = х³у* (6 — x — у)

(x = 3, у == 2 max.).

3.    z = а^х^ + 2bxy + с^у² — ex — gy przy założeniu a² c² > ó².

c² e — è g 2 (a² c* — Z>²) ’ У

4.    z = xs-f г/³ + Зхг/

(x = — 1, г/ = — 1 max.).

е-х²~у² (x²+ 2 г/²)

= 0, у = 0 min., x — Q, у — + 1 max.).

('

a² g — be

2 (a² c² — Z>²)

mm.

)•

6.

(* = “vr3 j, =

z = x³-(-xÿ²+3axÿ (a > 0)

/o    ³ a

V ³ » У =~2 maX’

Ö CS

)•

7. Znaleźć trójkąt o danym obwodzie 2s i o możliwie największej powierzchni P.

(Oprzeć się na wzorze P ~ уs(s-x)(s-y) (x+y-s) ; X i у oznaczają dwa boki trójkąta.)

Różniczka funkcji dwu zmiennych.

6. Definicja różniczki. Załóżmy, że funkcja z = /(x, y) jest ciągła wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi, w otoczeniu punktu (X, y). Oznaczmy przez zl jc, Л y dowolne przyrosty zmiennych л: i y. Wyrażenie

f'x(x, y) zł X 4-f'g {x,y) zły

nazywać będziemy różniczką zupełną funkcji z = f{x, y), ze względu na zmienne x, y. Różniczkę zupełną oznaczamy symbolem dxyz. — Pisząc zamiast z!x, zły symbole dxyX, dxyy, mamy:

(1)

dxg z = f'x (X, y) dxy X +f'y (x, y) dxyy.

7. Różniczka funkcji złożonej. Przypuśćmy teraz, że zmienne X, y są funkcjami ciągłemi innych zmiennych и, v, a więc

X = (p (u, v) y = ip (u, v).

Załóżmy jeszcze, że funkcje (f i ip posiadają ciągłe cząstkowe pochodne pierwszego rzędu. Wobec tego możemy zmienną z uważać za funkcję złożoną zmiennych u, v. A więc:

Zatem :

z = f((p (u, v), ip (u, v)) = F(u, v).

(2)

duv z = F'u (u, v) duv u + Fv (u, v) dlw v.

Na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj złożonych mamy:

F'u(u, v) = f'x(X,y)

dx

/ dJł ydu’

F\(u,v)=fAx,y)d^+f' дУ

o.

Wstawiając te wyrażenia w formułę (2), otrzy

mamy:

zatem :

duo z = [f'x (x, y) ^ +f'y (x, у) <4,

+ [/'* (*> ÿ) ^+A (x> y)

= f'x(x, y) [

+A(*» #)[

duv z

öl

duv M H . с?«» ^ I “ł⁻

dv

г) и

duv •

Ponieważ wyrażenia w nawiasach są różniczkami:

więc:

duv X duvy,

duv z = f X (x, y') duv X -\~ f y (x, y) duv у

(3)

8. Załóżmy, że zmienne X, у są funkcjami ciągłemi jednej zmiennej ł, posiadającemi pierwsze pochodne ciągłe. Zatem

X = НО У = Ш-

Zmienną z możemy więc uważać za funkcję złożoną zmiennej t

Stąd:

z = fifpit), ifj(t)) = F (l). dtz = F'(t) dt t.

Na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj złożonych mamy:

zatem

F'(t) = A (X, y) X’t + A (x У) У t >

dt z = f'x (x, y) x't dt t + f у (х, у) у t dt t. Ponieważ

więc

x’t dtt = dt X, y t dtt = dt y, dtz = A (Xy y) dtx + A

(4)

9. Załóżmy wreszcie, że zmienna y jest funkcją ciągłą zmiennej X, posiadającą pierwszą pochodną ciągłą. Zatem

Zmienną z możemy uważać za funkcję złożoną zmiennej X:

a więc:

z = /(x, (p (x)) = F(x), dxz = F'x (x) dxx.

Na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj złożonych mamy :

F'x (x) = f'x (x y) + f'y (x y) y'

zatem

więc

dx z = f'x (x, y) dx X + f'y (X, ÿ) y'x dx X. dxy = yx dxX,

dX Z — f x (X, dX X f y (x,    с/д; ip.

Ponieważ

(5)

Porównując wzory (1), (3), (4), (5), widzimy, że symbolicznie możemy je wszystkie przedstawić w jednej postaci :

dz = f'x (x, y)dxĄ- f'y (x, y)dy

lub

dz =

dxdX + Vydy ....    (6)

Symbole dx, dy, dz, są symbolami niezupełnemi, lecz wzory (1), (3), (4), (5) otrzymujemy z (6), pisząc zamiast d wszędzie dxy, duv, dt, dx.

na-

10. Różniczki cząstkowe. Jeżeli zmiennej у damy pewną stałą wartość, wówczas wyrażenie

f'x (xy) dx

jest różniczką funkcji f{xy), uważanej za funkcję zmiennej X. Wyrażenie f'X{xy) dx nazywać będziemy różniczką cząstkową ze względu na zmienną X. Analogicznie, wyrażenie f'y (x y) dy nazwiemy różniczką cząstkową ze względu na zmienną y. Możemy więc powiedzieć : Różniczka zupełna jest sumą różniczek cząstkowych.

11. Różniczka, a przyrost funkcji. Zwróćmy teraz uwagę na związek jaki zachodzi między różniczką zupełną, a prawdziwym przyrostem zł z zmiennej z. Otóż:

z/z = f(x + złx, y + z/y) — f(x, y),

na mocy twierdzenia o wartości średniej (str. 268) mamy:

złz = f'x (x + в z/ X, у + 0 z]y) z/x +

+ f'y(x + 0złx,y + в zł y) zły, z/ z — dz = [f'x(x+ Q zł X, у + 6 zły) — f'x{x,y)] z/x + + U'у (x + 0 z/x, У + OJy) — f'y (X, г/)] z/у.

Wyrażenia w nawiasach zdążają do zera, bo pierwsze pochodne są ciągłe. A ponieważ

\Jy

< 1,

<1

_[ z/ X j

\j z/x²+ z/y'²

yz/x² + z/y²

jeżeli tylko zlx i zły nie są równocześnie zerami, więc:

zł z — dz

= = 0.

lim

d złx² + zły²

Jy-> o

W praktycznych rachunkach, o ile nam chodzi tylko o wartości przybliżone, możemy dla dostatecznie małych zł x \ zły przyjmować zł z — dz.

Zadania:

1) Zakładając, że zmienne u i v są funkcjami ciągłemi zmiennych X y, posiadającemi ciągłe pierwsze pochodne, wykazać, że :

1)    d (u + v) — d u f dv.

2)    d(uv) — udv + v du.

3) d

ca к

v du — udv

z/¹ 2

(v ф 0).

Udowodnimy np. formułę 2) d(uv)

d(uv) =

dx

dx +

d(uv)

ày

dy.

d(uv) — d{uv) = u I

zatem

Cb , Cb

Cb i Cb

j dx + {u

--f- v —

dy dy

) dy,

dx

dy} + v (

dx + 7ydy)’

a więc

d(uv) = udv "b v du.

2) Obliczyć różniczki następujących funkcyj :

27 X³ — 54 х²у + 36 ху² — 8 у³, dz = 3(3х — 2уУ (3 dx — 2d у),

dz — —

(х² + г/²)² ’

4 (х dx + у d у)

(х² + г/²)

12. Różniczki wyższych rzędów. Jeżeli założymy, że с/х i dy są wielkościami stałemi, to c/z jest funkcją zmiennych X, c/. Możemy więc mówić o różniczce różniczki.

Drugą różniczką, lub różniczką drugiego rzędu, nazywać będziemy różniczkę z różniczki ; podobnie definjujemy różniczki wyższych rzędów. Symbolicznie oznaczamy je w sposób następujący:

О* СО

-а

d dz

d d~ z — d dn 1 z = dnz.

Przykłady:

1) Wyznaczyć różniczki (ze względu na X, y) wyższego rzędu funkcji z = /(x, y) ciągłej wraz z po-chodnemi cząstkowemi aż do n-tych włącznie.

W wypadku tym uważamy dx, dy, za liczby stałe, zatem

о. о

a więc

z = log tg - ,

dz =

2 (y dx — xdy)

у² sin

2x

1 — Ху

dx

dy

\l 1 +x²+y² +X*y*’

d²X = db X — ... — dnX — d²y = d³y = ... = </"# =    ,

dz = f'x dx + fy dy

d% z = [f"X2 dx + /% c/ÿ] с/х + [/% dx + /'V cfy] с/г/

czyli

diz = f"Xidx² + 2 f"xy dx dy + / V </ÿ²-

Podobnie : c/³ z = /'"*з c/³X + 3 f"'xiy dx² c/y + 3/'"*ÿ2 c/r c/c/² 4-/"7c/y³ dn z = /An с/х" + (") f^nKn~¹y dxn 1 c/y + ... + /А" c/y".

Symbolicznie piszemy :

c/"z = (/',* +f'ydy)^.

Uwaga. Gdybyśmy założyli, że X, с/ są funkcjami zmiennych (u, z/), to nie moglibyśmy przyjąć, że d²uvx ^ 0, lub d²uvy = 0. W tym wypadku otrzymalibyśmy formuły bardziej skomplikowane. Np. :

d² z = [A* с/х + /А c/r/] с/х-ь [/', d² X] + [/"*, с/х +

+/V dy + [A AL

zatem :

c/²z — /"** с/х + 2/ "Aÿ с/х dy -j- /"ÿî c/y² 4- f'X с/² X + А с/ ²y.

Zadania.

1.

z — s/n X cos у

dz = cos X cos у dx — sin X sin у dy d² z = — sin X cos y dx² — 2 cos x sin у dx dy —

—    sin X cos у dy²

c/³ z = — cos X cos y dx³ 4 3 sin X sin y dx² dy —

—    3 cos X cos y dx dy² + s/n X s/n у c/y³.

2.    z = y /og x c/z = — с/х 4- /pg x dy

d² z —

-    + с/х c/y

d'z —

7?    — 72 «fc* A

3.    Obliczyć różniczki drugiego i trzeciego rządu funkcyj podanych w zadaniu 2, str. 281.

ROZDZIAŁ XI.

Funkcje wielu zmiennych.

1. Obszary. Punktem przestrzeni trójwymiarowej nazywać będziemy trójkę liczb (л:, у, z). Punktem przestrzeni czterowymiarowej nazywać będziemy czwórkę liczb (x, y, z, t). Podobnie określamy punkt w przestrzeni wielowymiarowej.

Uwaga 1. Trójkę liczb (x,y,z) możemy uważać jako współrzędne pewnego punktu przestrzeni, w której obraliśmy trzy osie X, Y, Z, wzajemnie prostopadłe. Ta interpretacja geometryczna nie jest już możliwa dla czwórek liczb (*, y, z, ł).

Otoczeniem punktu P(xoyoZ₀) przestrzeni trójwymiarowej nazywać będziemy wnętrze każdej kuli o środku P. Otoczeniem więc punktu P jest zbiór punktów (X, y, z), spełniających nierówność

(* — x₀)² + (y — i/o)² +(z — zoy < r²,

gdzie r jest dowolną, zgóry obraną liczbą. Analo-gjcznie otoczeniem punktu P(x₀*/₀ z₀ 4) nazwiemy zbiór punktów (xyzł), spełniających nierówność

O — ЛГо)* + (у — i/o)² + (z — zoy + / — /₀)² < г² (1).

Uwaga 2. Zbiór punktów (x, y, z), spełniających nierówność

(x — x₀У + {y — уоУ + (z — z₀)² 4- (t— ł₀У = r²,

nazywać będziemy kulą w przestrzeni czterowymiarowej, o środku (x₀ yo z₀ t₀). Zbiór punktów spełniających nierówność (1) nazwiemy wnętrzem tej kuli.

Obszary i punkty brzegowe w przestrzeniach wielowymiarowych określamy podobnie jak w przestrzeni dwuwymiarowej. Należy tylko pojęcie otoczenia przestrzeni dwuwymiarowej zastąpić pojęciem otoczenia przestrzeni wielowymiarowej.

Prz ykłady :

1.    Obszarami trójwymiarowemi są wnętrza sześcianu, prostopadłościanu, kuli i t. p. Brzegiem tych obszarów jest, odpowiednio, powierzchnia sześcianu, prostopadłościanu, kuli.

2.    Zbiór punktów (xy zł) spełniających nierówności: a^x^.a, 0<г/<У,    d^.t^d',

jest obszarem czterowymiarowym domkniętym i nazywa się przedziałem.

3.    Zbiór punktów (л: у z) spełniających nierówności:

— lO<l, -l<y<l,

— \l 1 — x² — y² < z < у 1 — x² — y², jest obszarem (wnętrzem kuli x² + y² -j- z² = 1).

2. Funkcje wielu zmiennych. Niechaj E będzie dowolnym zbiorem przestrzeni trójwymiarowej. Powiadamy, że w zbiorze E jest określona funkcja, jeżeli każdemu punktowi (x, y, z) zbioru E przyporządkowana jest liczba rzeczywista t. Związek funkcyjny oznaczamy jak poprzednio :

i = /(*» У, z).

Liczby x,y,z nazywamy zmiennemi niezależnemi, liczbę z zmienną zależną. Analogicznie określamy funkcje wielu zmiennych.

Przykłady funkcyj wielu zmiennych:

dla wszystkich x, y, z.

X, У, Z, t.

1.    t = X² + y² + z²

dla t =j= 1 i wszystkich x, y, z.

3. w =

2.    u = X² + у⁸ -f- z² -f- t² „ x + у + z

3. Granica. Ciągłość. Powiadamy, że ciąg punktów Уп zn\ zdąża do punktu (x₀ y₀ z₀), jeżeli

lim xn = x₍₎, lim yn = yQi Hm zn — z₀.

n —co

n--00

Analogicznie określamy granicę w przestrzeni cztero- i więcejwymiarowej. Mając pojęcie granicy ciągu, określamy pojęcie granicy i ciągłość funkcji wielu zmiennych podobnie jak dla funkcyj dwu zmiennych. Twierdzenia wypowiedziane w ust. 8, 9 rozdziału IX stosują się również (z odpowiedniemi zmianami) do funkcyj wielu zmiennych.

4. Pochodne cząstkowe. Jeżeli funkcja t = f(x,y,z) określona jest w otoczeniu punktu (x у z), wówczas granicę

f(x + h, y, z) — f(x, y, z)

lim

h —УО

jeśli istnieje, nazywamy pierwszą pochodną cząstkową względem л: i oznaczamy symbolami:

lub f'x (x, y, z).

Podobnie określamy pochodne cząstkowe względem innych zmiennych, jako też pochodne funkcyj wielu zmiennych.

Przykłady:

1.    t = 3 X² — 2 xy + z².

-^ = 6* — 2 y ;

2.    u — 2x — 3 г/ + z ź -f- 2 ć*.

= — 3 ;

dt

dt

ду

ах

= 2;

= z + 41.

Wyrażenie

а"^

dxp dyq a zr

P + q + r = n . . . (1)

oznacza nam funkcję, jaką otrzymamy, biorąc p razy pochodną względem X, następnie <7 razy pochodną względem y, wreszcie r razy pochodną względem z.

Ponieważ, jak wiemy dwa po sobie następujące różniczkowania możemy zamienić, zatem pochodna cząstkowa będzie określona, jeśli podamy liczbę różniczkowali, względem każdej zmiennej zosobna (pod założeniem, że wszystkie pochodne cząstkowe są ciągłe).

Przykłady:

1. u . = y² xb + Py³xz². dH u

дхдуdz

= 6 Py%z\

a³ u

' d'fdx

= 6x² + 6 Pyz*.

2. z

xyt

1 + P’

a³ z

(1 + /²)²’

a X dy

dz =

Tylore’a, względnie Maclaurine’a. W wypadku, gdy reszta dąży do zera, otrzymamy rozwinięcie naszej funkcji na szereg Tylore’a wzgl. Maclaurine’a.

Przykłady:

1. ex+u+z = 1-+

x+y + z

(* + У + z)

1!

2!

4 ... 4

(* + У 4 z)n

2. log (x 4 у)³ — z³

1 -\-x-\-y x+y — z (x + y)²— z2 14 z —

... + (—1)

n(x + y)n~l - zn~l

4 Rn ;

Rn =

(-1)^¹ Г

n L

(X + y)n

zn

(10x6y)n (1 4 Oz)

-i

, 0<0<1.

SPIS RZECZY.

Strona

Przedmowa

Wstęp

ROZDZIAŁ I.

Teorja ciągów.

1.    Definicja ciągu ......'

2.    Ciągi monotoniczne ......

3.    Ciągi ograniczone ......

4.    Działania na ciągach ......

5.    Granica ciągu monotonicznego ....

6.    Ogólna definicja granicy ciągu ....

7.    Pewne kryterjum zbieżności ....

8.    Działania na ciągach zbieżnych ....

9.    Ciągi rozbieżne do ± co

10 Twierdzenia o ciągach rozbieżnych do ± oo 11*. Odcinki ciągu .

12*. Ciągi różniące się tylko porządkiem wyrazów .

13*. Pojęcie przybliżenia ......

14*. Definicja granicy ......

15*. Zbieżność ciągów o równych wyrazach 16*. Niezależność granicy od porządku wyrazów 17*. Zbieżność ciągów częściowych ....

18*. Granica ciągu o wyrazach nieujemnych

19*. Granica sumy i różnicy ciągów ....

20* Granica iloczynu ciągów .    . -

21*. Granica iloczynu ciągu przez liczbę .

22*. Granica ilorazu ciągów .....

23*. Zbieżność ciągów monotonicznych i ograniczonych 24*. Warunek Cauchy’ego .....

Strona

25*. Ograniczoność ciągów zbieżnych .

26*. Zbieżność ciągu, zawartego między dwoma innemi . 27. Wyznaczenie niektórych granic .

. 34

. 35

. 38

28. Liczba e = 2-71828... .

. 41

ROZDZIAŁ II.

Funkcje jednej zmiennej.

1.    Przykłady funkcyj. Pojęcie funkcji

2.    Oznaczenia .......

3.    Ścisła definicja pojęcia funkcji

4.    Różne rodzaje określenia funkcyj

5.    Sposoby przedstawiania funkcyj. Tablice

6.    Wykresy .......

7.    Funkcje ograniczone. Funkcje monotoniczne

. 49

50

. 50

. 51

. 51

53

. 54

. 56 . 57 . 59 . 64 . 66 . 69 . 69

ROZDZIAŁ III.

Granica funkcji.

6.    Wniosek z istnienia granicy różnej od zera

7.    Obliczenie niektórych granic

ROZDZIAŁ IV.

Ciągłość funkcji.

1.    Definicja .........

2.    Warunek konieczny i dostateczny dla ciągłości funkcji

3.    Interpretacja geometryczna ......

4.    Działania na funkcjach ciągłych .....

6.    Definicja jednostajnej ciągłości .    .    .    .

7.    Interpretacja geometryczna ......

8.    Ciągłość funkcyj jednostajnie ciągłych

9.    Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych w przedziale zamkniętym ....

10. Definicja funkcji złożonej

76

. 77 . 78 . 78 . 79 . 79 . 80

. 83 . 85

Strona

11.    Ciągłość funkcji złożonej

12.    Definicja funkcji odwrotnej

13.    Interpretacja geometryczna .

14.    Ciągłość funkcji odwrotnej .

15.    Funkcja y = xn .

16.    Funkcja y = ax, a > 0

17.    Funkcja y = logax, a > 0, а ф 1

18.    Funkcje trygonometryczne .

19.    Funkcje cyklometryczne

. 85

. 86

. 86 . 87

. 88

. 90

. 91

. 91

. 92

ROZDZIAŁ V.

Pochodna funkcji.

1.    Definicja pochodnej .......

2.    Pochodne jednostronne ......

15.    Różniczka sumy, iloczynu i ilorazu ....

16.    Interpretacja geometryczna różniczki ....

17.    у = X", y'x = nxn—l (дгфО)

18.    у — logo X, y'x — — logo, e......

19.    у = ax, y' = ax log a; у — ex, yr = ex

20 Funkcje trygonometryczne ......

21.    Funkcje cyklometryczne ......

22.    Pochodna logarytmiczna ......

23.    Pochodne    wyższych rządów    .    .    .    .    .

24.    Formuła Leibnitza .......

25.    Funkcje dane przedstawieniem parametryeznem

26.    Różniczki    wyższych rządów    .    .    .    .    .

Zadania .........

103

. 106 . 106 . 107 . 107 . 109 . 110 . 110

. 111

. 112 . 116 . 117 . 119 . 120 . 122 . 122 . 123

. 127

. 129 . 130 . 133 . 137 . 139

. 141

. 144 . 147

ROZDZIAŁ VI.

Twierdzenia Rolle’a. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora.

Strona

1.    Twierdzenie o wartości średniej .

2.    Twierdzenie Rolle’a ....

3.    Dowód twierdzenia Rolle’a .

4.    Dowód twierdzenia o wartości średniej

5.    Wnioski z twierdzenia o wartości średniej

6.    Pochodna funkcji złożonej .

7.    Wzór Taylora 8 Dowód 9. Wypukłość

wzoru

Taylora

ROZDZIAŁ VIL

Maxima i minima; punkty przegięcia.

1.    Definicja extremum ......

2.    Warunek konieczny dla istnienia extremum

3.    Warunek wystarczający dla istnienia extremum .

4.    Ogólniejszy warunek wystarczający

5.    Punkt przegięcia .......

6.    Extrema funkcyj przedstawionych parametrycznie Zadania ........

Symbole nieoznaczone : ^ , -§§ .

Symbole nieoznaczone 0 . oo , oo — oo, 1 °°, oo °, 0° Zadania .........

ROZDZIAŁ VIII.

. 156 . 157 . 159 . 160 . 161 . 162

162

. 164 . 170

CN

Г"-    С"-* Г"

ł-н t-ч г-н

. 180 . 183 . 185

. 186

. 190

193

Szeregi.

1.    Definicja szeregu. Szeregi zbieżne

2.    Konieczny warunek zbieżności

3.    Szeregi ograniczone ....

5.    Szeregi bezwzględnie zbieżne

6.    Niezależność sumy od porządku wyrazów

7.    Szeregi warunkowo zbieżne

8.    Warunek konieczny i dostateczny dla zbieżności szeregu . 205

9.    Porównywanie szeregów

. 194 . 197 . 198 . 200 . 202 . 204

Strona

. 208

10.    Kryterjum Cauchy’ego

11.    Kryterjum d’Alerrberta

12.    Definicja zbieżności ciągu funkcyj 13 Zbieżność jednostajna .

14.    Działania na jednostajnie zbieżnych ciągach funkcyj. Warunek к mieczny i w*starczająoy jednostajnej zbieżności . 216

15.    Warunek wystarczający dla ciągłości granicy

16.    Jednostajna zbieżność szeregów .....

17.    Zbieżność bezwzględnie jednostajna szeregów funkcyj

18.    Różniczkowanie ciągów i szeregów

19.    Szeregi potęgowe .......

20.    Promień zbieżności szeregu potęgowego

21.    Ciągłość sumy szeregu potęgowego ....

22.    Wyznaczanie promienia zbieżności ....

23.    Różniczkowanie szeregu potęgowego ....

24.    Szereg Taylora ........

Zadania .........

. 211

. 213 . 215

. 218 . 219

. 221

. 221

. 224 . 225 . 226 . 226 . 227

229

235

ROZDZIAŁ IX.

Funkcje dwu zmiennych.

1.    Zbiory płaskie. Obszary ......

2.    Punkty brzegowe. Obszary domknięte

3.    Obszary określone przez nierówności

4.    Funkcje dwu zmiennych ......

5.    Geometryczne przedstawienie funkcyj dwu zmiennych

6.    Warstwice .........

12.    Twierdzenie o przemiennośri różniczkowania

13.    Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

14.    Funkcje złożone ........

15.    Pochodne cząstkowe funkcyj złożonych

16.    Definicja funkcji uwikłanej ......

17 Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej .

18.    Pochodne funkcji uwikłam j .....

19.    Maksima i minima funkcyj uwikłanych

Zadania .........

40 40 GO

. 240

. 241

. 243 . 244

. 245

. 246 . 247 . 249

to to to

^ 40    00

. 261

ROZDZIAŁ X.

Wzór i szereg Taylora. Maxima i minima. Różniczki funkcyj dwu zmiennych.

Strona

1.    Wzór Taylora ......

2.    Szereg Taylora i Maclaurine’a

3.    Definicja extremum .....

4.    Warunki konieczne dla istnienia extremum

5.    Warunek dostateczny dla istnienia extremum Zadania .......

6.    Definicja różniczki .....

7.    Różniczka funkcji złożonej ....

8.    9. Zastosowania do funkcyj jednej zmiennej

10.    Różniczki cząstkowe .....

11.    Różniczka a przyrost funkcji

Zadania .......

12.    Różniczki wyższych rządów

265

. 268

269

. 270

. 271

276

. 276

. 277 . 278

279

. 280

281

. 282

ROZDZIAŁ XI.

Funkcje wielu zmiennych.

1.    Obszary

2.    Funkcje wielu zmiennych

3.    Granica, ciągłość

4.    Pochodne cząstkowe .

5.    Wzór i szereg Tylore’a

. 284 . 285

.    286

.    286

'<

.

/

'

1-301106

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000284697

¹

\Jу dx + \JX dy

²

sjxy (v'x — V»²’

³

Wzór i szereg Tylore’a. Jeżeli funkcja t=f(xyz) ma w otoczeniu punktu (xyz) pochodne, aż do л-tego rzędu ciągłe, wówczas postępując podobnie jak dla funkcyj dwóch zmiennych (str. 265), otrzymamy wzór