Ш.

гУУ

?т

. " ■г -

Яй£й

-У. у.

У:

УУ

■i:

::У;.

■ : :V

V,'

‘y.

■ ...

■У

■у

УУ

i р ś ■нпИ

Ш.

'■'•г;

'•'С

шшш

■ У У :

яру

уУ

УУ

#»11

-."у':-.

V-

■■мним

ж

\

I

\

1928 ROK

.. 5.

If

RKRDEMJR NRUK TECHNICZNYCH

Inż. Dr. MAKSYMILJAN THÜLLIE

PROFESOR HONOROWY POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

Inż. Dr. ALFONS CHMIELOWIEC

\PRĘŻENIfl DRUGORZĘDNE W BELKACH KRATOWYCH

ES EFFORTS SECONDAIRES DANS LES POUTRES Л TREILLIS)

(Z 21 RYSUNKAMI W TEKŚCIE)

PRRCR, WYGŁOSZONR W STRESZCZENIU NR POSIEDZENIRCH RKRDEMJI NRUK TECHNICZNYCH WE LWOWIE DNIR 9 KWIETNIR i 14 CZERWCR 1927 R.

LWÓW 1928

Z DRÜKRRNI ZRKŁRDU NRRODOWEGO IMIENIR OSSOLIŃSKICH POD ZARZĄDEM KAZIMIERZA F1GWERA

i

L

\

Biblioteka Politechniki Krakowskie,

ZESZYT Nr. 5.

1928 ROK

AKADEMJA NAUK TECHNICZNYCH

Inż. Dr. MflKSYMILJflN THULLIE

PROFESOR HONOROWY POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

Inż. Dr. ALFONS CHMIELOWIEC

NAPRĘŻENIA DRUGORZĘDNE W BELKACH KRATOWYCH

(Z 21 RYSUNKAMI W TEKŚCIE)

0)

PRACA, WYGŁOSZONA W STRESZCZENIU NA POSIEDZENIACH AKADEMJI NAUK TECHNICZNYCH WE LWOWIE DNIA 9 KWIETNIA i 14 CZERWCA 1927 R.

LWÓW 1928

Z DRUKARNI ZAKŁADU NARODOWEGO IMIENIA OSSOLIŃSKICH POD ZARZĄDEM KAZIMIERZA FIGWERA

I.

t-

«a

<мпм4

ÇM*

З&м

*0

>► "*«3

7*

Cv* j

■ • •

3L

€.'Э

f"*-î .

гг. ;

•'s

№ Го.

KS>

S3

4-

; -?

'bHl-Scg

,AkNr.

Ci h

RÉSUMÉ.

Pour la poutre en treillis (fig. 4) sous la charge uniformément repartie sur toute la longueur on a calculé les efforts secondaires (conséquence des assemblages rigides) d’après la méthode la plus exacte de Manderla et celle de Ritter. On a trouvé, que:

1.    La rigidité théorique des noeds n’a pas d’ influence sur ses déplacements, c’est â dire que la figure de Williot est applicable non seulement pour la poutre en treillis avec des articulations dans tous les noeds, mais aussi pour celle avec des noeds rigides, rivées. On Г a prouvé aussi théoriquement (v. page 12 et 13).

2.    Pour un état donné des déplacements des noeds on peut négliger l’influence des tensions longitudinales dans les barres sur la grandeur des moments fléchissants (de même sur les efforts secondaires), c’est â dire on peut appliquer l’équation (1) au lieu de l’éq. (2).

3.    Dans la poutre avec triangulation du système N (avec des poteaux et des diagonales tendues) les efforts secondaires dans les membrures n’atteignent que 5% des efforts primaires non compris les barres extrêmes, dont les efforts secondaires sont plus grands. (I partie).

Le calcul approché des efforts secondaires dans les membrures, envisagées comme des poutres continues, dont les appuis s’abaissent, néglige l’encastrement partiel des éxtremités. Au contraire nous en tenons compte, en regardant la toute circonférence de la poutre en treillis, comme une pièce continue. Nous y cherchons les moments fléchissants, en supposant que le treillis en est relié par des articulations. Sur base de déformations de la dite circonférence nous calculons les moments fléchissants dans les poteaux et diagonales et enfin nous trouvons l’influence des ces derniers sur les moments fl. dans les membrures et les poteaux extrêmes. Exemple numérique donne les valeurs des efforts secondaires peu différents des celles, obtenues d’après la méthode éxacte. (Partie П).

Par la méthode simplifiée (nous en avons donné trois) on a construit la ligne d’influence d’effort secondaire vu dans le poteau 44' de la poutre fig. 18 et par comparaison avec celle d’effort primaire v\ on a trouvé, que la position de la surcharge, la plus dangereuse pour l’effort primaire est presque identique avec celle pour l’effort secondaire. Ce dernier atteigne dans le cas de la position dangereuse de la surcharge circa 30% d’effort primaire. En tenant compte de la charge constante totale et la surcharge partielle, on obtient pour effort secondaire ca 40% de l’effort primaire (Partie III).

LITERATURA, WYMIENIONA W TEKŚCIE.

Liczba z gwiazdką * oznacza odnośnik do jednego z poniższych dzieł.

1.    Thullie: Podręcznik Teorji Mostów t. I. Cz. I. Wydanie trzecie 1922.

2.    — Podręcznik Teorji Mostów t. I. Cz. II.

3.    Bażant: Influence du système de triangulation sur les efforts secondaires

Prague 1923.

4.    — Podruznâ napéti prutovych soustav. Praha 1926.

5.    Manderla: Die Berechnung der Secundärspannungen. Allgem. Bztg. 1880.

6.    Landsberg: Beitrag zur Theorie der Fachwerke. Ztschr. der Arch. u. Ing.

Ver. zu Hannover 1885.

7.    Handbuch der Ing. Wissenschaft. II. Band, II. Abt. II. Auflage 1890 J.

8.    Mohr: Die Berechnung der Fachwerke mit starren Knotenverbindungen, Zivil

ingenieur 1892.

9.    Müller-Breslau: Graphische Statik II. Band II. Abt.

10.    Gehler: Die Ermittlung der Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken,

Berlin 1910.

11.    Roś: Nebenspannungen infolge vernieteter Knotenpunktverbindungen. (Bericht

der Gruppe V. der Technischen К. V. S. B.) Schw. Bztg. 1922.

12.    Hartmann: Zeitschrift des Ing. u. Arch. Vereines 1923. str. 85.

13.    Mel an: Der Brückenbau. III. Band, I. Heft, str. 350.

14.    Grimm: Secondary Stresses in Bridge trusses N. Y. 1908.

15.    Timoszenko-Huber: Wytrzymałość materjałów.

16.    Pat on: Rasczot fierm s żostkimi uzłami 1901.

#17. — Beitrag zur Berechnung der Nebenspannungen. Zeitschrift für Arch. u. Ing. Wesen 1902.

18.    Pareński: Wyniki badań naprężeń drugorzędnych. Przegląd Techniczny 1923.

19.    Bryła: Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych. Podręcznik Inżynierski

t. II. 1928, str. 1249.

20.    Chmielowiec: Projektowanie przekroju pasów kratownicy z uwzględnieniem

naprężeń drugorzędnych. Przegląd Techn. 1927.

WSTĘP.

Rosnąca wciąż drożyzna żelaza, zmusza do najoszczędniejszego projektowania konstrukcyj żelaznych, czyli do możliwie najlepszego wyzyskania tego cennego materjału. — Należałoby więc zwiększyć naprężenia dopuszczalne. Nie może się to jednak odbyć kosztem bezpieczeństwa. Stąd dążność do gruntowniejszego poznania naprężeń rzeczywistych. Te ostatnie różnią się zwykle znacznie od naprężeń, jakie wykazuje się rachunkiem, a to z powodu nieuwzględnienia różnych wpływów. Jednym z najważniejszych czynników, które się przy obliczaniu pomija, jest sztywność węzłów w belkach kratowych, która powoduje t. zw. naprężenia drugorzędne.

na

Profesor politechniki praskiej Z. Bażant w swojej pracy ogłoszonej w języku czeskim i francuskim p. t. Wpływ rodzaju kraty naprężenia drugorzędne (3*) wykreślił linje ugięcia pasa dolnego (pomost dołem) sześciu belek kratowych, różniących się rodzajem kraty, a obciążonych na całej długości w sposób ciągły i jednostajny. Z kształtu tych linij wywnioskował o wielkości naprężeń П - rzędnych danych belek i znalazł, że naprężenia te w procentach naprężeń I-rzędnych dochodzą do wartości: dla belki o kracie prostokątnej (N) 5°/₀, o kracie równoramiennej (V) ze słupami 28%, o kracie N z drugorzędnem podparciem 33%; krata V z drugorzędnem podparciem wykazuje 44%, krata К 4%, krata N dwukrotna 86%.

samo

byłby ścisłym, gdyby krzyżulce, nie wyłączając narożników, były przytwierdzone do ciągłych lub nitowanych pasów zapomocą przegubów beztarciowych (por. Müller Breslau 9*). Słusznie zauważa

Bażant uważa pas dolny za belkę ciągłą o poddających się podporach (któremi są węzły) i z równań 3 momentów znajduje momenty podporowe, a z tych oblicza naprężenia drugorzędne. To czynił Landsberg (6*) i Müller Breslau (9*). Sposób ten

Bażant, że w miarę zbliżania się do środka belki kratowej sztywność pasów z reguły rośnie, krzyżulców zaś i słupów maleje, zatem i w przypadku nitowanych połączeń wpływ środkowych prętów kraty na naprężenia drugorzędne w pasach jest niewielki. — Również zgodzimy się z prof. Bażantem, że wpływ tęgich prętów kraty» znajdujących się w pobliżu podpór, na naprężenia drugorzędne w pasie jest wprawdzie znaczny, ale maleje szybko w miarę zbliżania się ku środkowi belki. — Prof. Bażant twierdzi jednakże, iż z reguły naprężenia drugorzędne rosną ku środkowi pasów, i że największe, więc miarodajne dla nas są naprężenia drugorzędne pasów w pobliżu ich środka. Twierdzenie to wydaje nam się wątpliwe. Dla jego sprawdzenia obliczyliśmy sposobem dokładnym wykreślnym Rittera i jeszcze dokładniejszym analitycznym Man-derli, pierwszy przykład z pracy Bażanta.

Ponieważ dokładne obliczenie naprężeń drugorzędnych jest żmudne i wskutek tego rzadko stosowane, podano poniżej wyniki jego, aby zwiększyć materjał do oceny, czy dany typ belki jest stosowny z uwagi na naprężenia drugorzędne.

Pozatem interesujące jest porównanie wyników, otrzymanych metodą Rittera i Manderli, gdyż rzuca światło na kwestję, czy należy uwzględniać w dokładnem obliczeniu naprężeń drugorzędnych wpływ sił osiowych na wygięcie prętów, jak to czyni Man-derla, czy też wolno go pominąć, jak to czynią Ritter, Mohr i in. Obliczenie analityczne przytoczono w całej rozciągłości, obliczenie zaś metodą wykreślną Rittera pominięto, ograniczono się tylko do podania jego wyników.

Sposób wykreślny Rittera opisał prof. Thullie w podręczniku Teorji Mostów, Tom I, Część II (2*). Przykład liczbowy poprzedziliśmy opisem dokładnych metod analitycznych i ich uzasadnieniem (Część I). W dalszym ciągu, nawiązując do prac Bażanta (3*) i (4*), opisaliśmy nowy sposób przybliżony wyznaczenia naprężeń drugorzędnych. O jego dokładności świadczy porównanie wyników obliczonych tym sposobem i sposobami dokładnymi (Część II). Wreszcie dla zbadania, jak wielki może być stosunek naprężeń drugorzędnych do naprężeń głównych w krzyżulcach i słupach belki kratowej, obliczyliśmy go dla pewnego pręta przy pomocy linji wpływowej i podaliśmy mniej i więcej dokładne sposoby jej wykreślenia (Część Ш).

I. Dokładna teorja naprężeń drugorzędnych.

Węzły belki kratowej zmieniają wskutek obciążenia swoje położenie. Kąty pomiędzy kierunkami, idącymi od dowolnego węzła do węzłów sąsiednich, doznają zatem zmiany (wogóle mówiąc doznają pewnych przyrostów dodatnich lub ujemnych). W belkach nitowanych węzły są sztywne.

W teorji naprężeń drugorzędnych przyjmujemy doskonałą sztywność węzłów, która na tem polega, że przy jakiemkolwiek odkształceniu belki kąty pomiędzy stycznemi, poprowadzonemi z danego węzła do odkształconych prętów, schodzących się w nim, pozostają niezmienione. Pomiędzy temi stycznemi a cięciwami prętów (t. j. kierunkami od danego węzła m do węzłów sąsiednich nl9 /2₃, щ...) powstają odchyłki, t. j. kąty odchylenia stycznych od cięciw (dodatnie, jeżeli w kierunku wskazówek zegara). Dowolny pręt wygina się w jedną stronę (gdy kąty odchylenia są różnego znaku) lub esowato. Znajduje się on więc nietylko pod działaniem siły osiowej (jak w belce idealnej), ale i momentów, działających na jego końce t. j. momentów węzłowych.

Niech dla pręta mn (rys. 1)

Mnm

Joto

Mnm

będzie:

s długość,

J moment bezwładności

Mmn

przekroju względem osi ciężkości, prostopadłej do płaszczyzny belki,

&Nam

i —

EJ

гтп kąt odchylenia stycznej w punkcie m od cięciwy mn, analogicznie rnm,

Mmn moment, działający na koniec m, analogicznie Mnm (znakowanie Mohra).

Gdyby pręt mn był pod działaniem wyłącznie tylko momentów, to związek między kątami odchylenia a momentami węzłowymi otrzymalibyśmy na zasadzie Mohra z równowagi belki, obciążonej wedle rys. 1 c. Równanie momentów względem punktu

mn

Rys. 1.

• 2 g ~f“ Ät/fn/n

Мтп ⁼ 2    (2 Т,пп -J- T'nin)

S

Analogicznie Мпт. Ritter przyjął to równanie.

Manderla uwzględnił także wpływ siły osiowej £ i znalazł: Mmn K^mn "1” Атлт, gdzie, К = Д (q) . ]ËJS, L = f, (q) .    ... (2 a)

/i i /₂ są to bardzo zawiłe funkcje (złożone z funkcyj hyperbolicz-nych lub trygonometrycznych) zmiennej

stąd

rnn •

— EJvmn

(1)

(2)

Ss²

(2 b)

9 _ У EJ '

które można zastąpić szeregami zbieżnymi:

a)    dla prętów ściskanych:

^ ^ Q 30 Q + 12600 Q Dla q > 0.5 obliczył Manderla tabliczkę wartości К i L (ob. 7*). Nazwijmy:

e i e" odległości włókien skrajnych przekroju od osi ciężkości (gdy przekrój jest symetryczny, e'=e")> to z czterech wartości:

Mnm i

T ’

dwie są tego samego znaku, co siła osiowa. Z tych bezwzględnie większa jest miarodajnem naprężeniem drugorzędnem w pręcie mn.

W przypadku (zresztą rzadkim), gdy momenty węzłowe wyginają ściskany pręt w jedną stronę i są sobie równe, to moment w środku pręta Ms jest większy od momentów węzłowych o bardzo małą wartość 5. /, gdzie S = siła osiowa, / strzałka ugięcia pręta.

Wtedy naprężenie drugorzędne jestto wartość sj— ♦ Wyjąwszy

ten przypadek, zagadnienie naprężeń drugorzędnych sprowadza się

Мщп ,

-J~e’

Mmn

11

6300 ^

12600 Q

11

6300 ⁴°³

Mnm

. . (3)

zawsze do znalezienia momentów węzłowych, względnie kątów odchylenia. — Zresztą i w powyższym wyjątkowym przypadku, o ile pręt nie jest zbyt smukły, wolno z dostateczną dokładnością moment w środku pręta zastąpić momentem węzłowym.

W belce, posiadającej p prętów i w węzłów jest 2 p momentów węzłowych. Między nimi możemy ustawić w równań. Dla każdego bowiem węzła w przypadku połączeń centrycznych musi być dla równowagi:

(4)

Ш = o .    .

w przypadku zaś połączeń mimośrodkowych

.    (4 a)

2M=2Se . .

(Moment Se jest dodatni, jeżeli działa na węzeł w kierunku wskazówek zegara). — Mamy tedy (2 p — w) niewiadomych. Dla belki wolno podpartej, która jako idealna jest statycznie wyznaczalna (izostatyczna), jest p = 2 w — 3. Zatem w przypadku węzłów sztywnych jest ona statycznie nie wyznaczalna (hyperstatyczna) (2 p — w) = (3 w — 6)-krotnie.

Do tego samego wniosku dojdziemy również przez opuszczenie g lub przecięcie w każdym trójkącie belki jednego pręta, przezco powstaje belka łamana wolno podparta stat. wyznaczalna. Np. przez opuszczę-    .

nie obu pasów w belce kratowej, ^ к \ prostokątnej (rys. 2) powstaje belka    n >

zygzakowata z jednym prętem wystającym. Ponieważ w każdym pręcie są 3 niewiadome: siła osiowa i dwa momenty węzłowe, podobnie w każdym przekroju: siła osiowa, siła poprzeczna i moment, przeto gdy belka kratowa o węzłach sztywnych posiada f trójkątów (lub innych figur zamkniętych), jest hyperstatyczną 3 /-krotnie. Dla belki idealnej stat. wyznaczalnej jest /= w — 2, więc wskutek sztywności węzłów staje się ona 3/= 3 w — 6-krotnie statycznie niewyznaczalna.

Tyleż należałoby ustawić równań sprężystości np. równań czterech momentów i łącznie z równaniami węzłów rozwiązywać system równań 2 p = 4 w — 6 niewiadomych, co byłoby praktycznie niewykonalne. Jeżeli jednak przyjmiemy, że położenie węzłów belki odkształconej, a zatem i kąty między cięciwami są znane, to niewiadomych będzie w t. j. tyle, ile równań. Pierwszy uczynił to

Rys. 2.

Manderla (5*). Przyjął on, że przesunięcie węzłów belki kratowej nitowanej jest takie same jak belki idealnej, że zatem wykres Williota i wzory na przyrost kąta w trójkącie belki kratowej, wyprowadzone dla belki idealnej, są ważne i dla belki nitowanej. Doświadczenia potwierdzają to przyjęcie (11*). O jego prawdziwości przekonamy się również na przykładzie. Teoretyczne uzasadnienie tego przyjęcia, którego nie podaje, zdaje się, żaden autor, mogłoby być następujące.

Skoro zaniedbamy znikomy wpływ sztywności węzłów na wielkość sił osiowych w prętach, pozostaje do zbadania wpływ momentów, które powodują wygięcie prętów. Z powodu zakrzywienia końce pręta się zbliżają. Jednakże, jeżeli odchyłki s kierunku osi pręta od jego cięciwy są wielkościami małemi I rzędu, to zbliżenie się końców pręta czyli różnica długości pręta i jego cięciwy jest wielkością małą wyższego rzędu. Różnica ta dla pręta o długości /

dl

= f(l — coss) dx < f(l Jo    Jo

— cos г) dx = l (1 — cos t),

jeżeli T jest największem odchyleniem kierunku stycznej od cięciwy.

"< Д

Zatem

— COST

Ale

lim

T= o

1 — cos г

dl

zatem i — dąży do zera.

T

A że strzałka wygięcia / jest małą tego samego rzędu со г, więc i

dl

Niech np. odkształcony pręt o długości 2 s przyjmie postać zakrzywioną łuku koła, względnie łańcuszkowej o cięciwie 21 i strzałce /. Nazwijmy promień koła r, parametr łańcuszkowej a. Niech s: r= а, 1 : a = £ (por. Chmielowiec : Łańcuszkowa i jej zastosowanie. Życie Technickie 1926. Listopad — grudzień). Wówczas będzie:

s — / =

///TI -

-/

= lim ?

/=0

dla koła r (1 — cos cc) r (a — sin a)

— sin a 0

a=o 1 “ COSCC

///72

dla łańcuszkowej а (cos h ę — 1) a (sin h ь — £) sin h £ — g _ o cos hę — 1

W obu wypadkach otrzymujemy symbol nieoznaczony

Przez dwukrotne różniczkowanie licznika i mianownika otrzy

mamy

— sin a

lim j

a=o

sinhŹ — % l™₀coshź-\

— cos a

= lim

ot—

1 — cos a

₀ sin a

= lim

l=o

= lim

a=

sin a

cos h £ — 1

sin h §

= lim

o cos a

sin h g = cos h I

Zatem w obu wypadkach jest

lim -1=0 t

-l

= O, a że dl = 2 (,s — /),

t®

i-ï

11

W zestawieniu powyższem rzuca się w oczy dziwna analogja funkcyj trygonometrycznych sin i cos, z funkcjami hyperbolicznemi sinh i cos h. Przypadek koła zachodzi ściśle, gdy oba momenty węzłowe są sobie arytmetycznie równe i wyginają pręt w tę samą stronę, a siła osiowa S = O. Jeżeli S < O to linja ugięcia zbliża się do łańcuszkowej i staje się nią dokładnie, gdy M₀ = VEJaS, przy-

czem parametr a =

— , (M₀ = moment węzłowy).

Z powyższego widać, że zbliżenie węzłów wskutek wygięcia prętów jest praktycznie równe zeru, jeżeli strzałka wygięcia jest mała. — Zatem wzajemne przesunięcia węzłów pochodzą jedynie od sił osiowych, są więc takie, jak dla belki kratowej idealnej. — Ewentualne odchyłki należy tłumaczyć zwiększeniem przekroju prętów w pobliżu matematycznych węzłów (zmniejszenie ugięć), osłabieniem przez nity prętów ciągnionych (wpływ odwrotny), zastosowaniem nieco innych przekrojów niż w projekcie (warunki dostawy dopuszczają odchyłki kilkuprocentowe), niedokładnością przyjęcia modułu sprężystości E, niedokładnością wykonania, błędami materjału i t. p., a dopiero na ostatniem miejscu sztywnością teoretyczną węzłów, która, zmieniając nieco wielkość sił osiowych, zmniejsza nieznacznie ugięcie.

Dla każdego węzła znamy tedy stałe kąty a między stycznemi do prętów zbiegających się w tym węźle, tudzież kąty a + ja między cięciwami tych prętów. W trójkącie o bokach а, b, c, przyrost kąta a, leżącego naprzeciw pręta a, jest wedle 1*

E Ja = (va _ vb) cotgy + (va — vc)cotgß .... (5) We wzorze powyższym va — naprężenie w pręcie „a“ (4- jeżeli

Jeżeli pręty то i mn przedzielone są innymi prętami np. (m 1) (m 2), to aomn jest sumą kilku kątów

moi

CComn = CC₀mi 4“ ®lm2 "P CC₂

z których każdy należy do pewnego trójkąta, zaś

. . (7)

ciągnienie). Przyrosty Ja można też wyznaczyć z planu Williota (por. niżej równ. 19). Na podstawie 5) można EJ cc też wykreślnie otrzymać (2*) (por. przykład 1, str. 18).

Wzajemną orjentację dwu pęków promieni t. j. pęku stycznych i pęku cięciw ustala kąt odchylenia stycznej od cięciwy jednego

n z prętów (m — o) (rys. 3), zbiegających się w danym węźle m. Man-derla nazwał go Cm (Stellungswinkel des Knotens (гто = £m ) i wprowadził jako niewiadomą, przez którą da się wyrazić kąt odchylenia %mn każdego innego pręta mn przechodzącego przez węzeł m. Jeżeli bowiem aomn jest to kąt, jaki pręty то i mn tworzyły przed odkształceniem (czyli kąt między stycz-nemi¹), zaś aomn 4- Jaomn, ten sam kąt po odkształceniu (między cięciwami), to (por. rys. 3)

«TV-;

Rys. 3.

J^ïnm

'Cm ч

i—

tn

czyli

CComn -j- J CComn -|- Tmn — Cm CC0 T'irai —■ ~m — J CC₀

mn

mn

(6)

JCComn — J Zoml -(- J ССЦП2 + J CC4

Wstawiając (6) w (2) i (2) w (4) i rozwiązując (4) względem otrzymamy

Cm =

Z К ja

mn

Z L Jamn    —Li Çn

ZR

ZK

. . (8)

Sumy rozciągają się na wszystkie pręty, schodzące się w węźle m. Ponieważ wartości К są około 2 razy większe niż wartości L (z porównania r. 1 i 2 wynika, że dla s = 0 t. j. w przypadku zaniedbania sił osiowych jest dokładnie К ~ 2 L), przeto najlepiej rozwiązać system w równań (jest ich tyle ile węzłów; w przypadku symetrycznego obciążenia jest ich w : 2) drogą kolejnych przybliżeń. Opuszczając ostatni człon r. (8), otrzymamy pierwsze przybliżenie (por. 7*, 14*)

9 Na rys. 3 zamiast «omn jest a.

2Rja

mn

2L J a

mn

2K

(9)

dla wszystkich węzłów, a więc i dla węzłów sąsiednich, t. j.

Podstawiając za £л w równ. (8) otrzymamy drugie przybliżenie £"m i t. d. Powtarzamy tę czynność tak długo, aż różnice pomiędzy £(r-1) a Qr) staną się dowolnie małe. W przykładzie 1, wartości £VI i £vn są prawie takie same. Z porównania wartości

£vn i Ç i —    zauważyliśmy, że ta ostatnia wogóle bardziej

2 К

się zbliża do £vn, niż Stąd wniosek, że należałoby jako pierwszą wartość przybliżoną przyjmować

mn

2K

(10)

Ma ona znaczenie konkretne.

Gdyby węzeł badany m był sztywny, zaś węzły sąsiednie były idealnie przegubowe, to z równ. 2.

Mmn — K Imn -f- L tnm

Mum = L Тщп Klnm — O

otrzymalibyśmy:

Cnm — T? ^mn-)

Mmn

— ?mn

zatem z równ. (4)

(ä - f ) = (L, - jam„) (r - ^),

(*-f)

2Mm = 0=Çm2^K

wynika dla К = 2 L równ. (10).

Przykład 1. Belka górnoparaboliczna (rys. 4) niezbieżna. Rozpiętość l — 12 a = 43,2/77, odstęp poprzecznie а = 3,6 m. Obciążenie jednostajnie rozłożone q = 2,663 t/m, zatem obciążenie jednego węzła dolnego P = aq ~ 9,6 t Tablica prętów (Tablica I) podaje wszystko, co się odnosi do prętów. Długość s cm, przekrój F cm²у siłę osiową S łon i moment bezwładności J cm^ wzięto z pracy Bażanta (3*, str. 9). Wedle równania 2 b obliczono q (rubryka 6). Dla q > 0,5 wzięto z tablic Manderli przez interpolację wartości /j (q) i f₂ (q) (rubryka 7 i 8), a według równ. 2 a) obliczono К i L (rubr. 10 i 11). Dla ę><0,5 można siły osiowej nie

EJ

uwzględniać, więc wedle równ. 1 К = 2 Z = 4 —.

— 2 Ja

mn

W tablicy II (t. kierunków str. 20—23) każdy pręt wpisano dwa razy, gdyż w pręcie rozróżniamy dwa kierunki. Z powodu symetrji badamy tylko połowę belki. Dla każdego węzła jakokierunek zasa-

Pręt

cm

cm²

cm⁴

Co

\EJS

1,000.000

O'—1'

pas górny

1'—2'

2'—3'

3'—4'

4'—5'

360.8

15595

20910

20910

23413

5' —6'

360,1

7,893

3,997

57,65

7,866

7,839

3,984

3,971

65,50

66,00

0-1

360,0

80

11881

pas dolny

1-2

2-3

3-4

4-5

5—6

0-0'

342

109

137

166

194

140

14769

16903

18752

20476

4793

52,8

1-1'

450

126

3264

30,5

0,802

0,971

słupy

2-2'

534

95

1759

18,5

1,221

3-3'

596

67

1391

10,5

4-4'

638

42

894

4,3

5-5'

662

+1,3

6-6'

670

+4,1

1,158

0,990

0,565

1,015

4,881 2,521 3,998 2,097 3,113 1,682 3,303 1,771 3,911 2,056 7,208 3,548 4,078 1,940

22,41

14,11

8,05

5,3

2,78

1,525

2,71

O'-l

krzyżulce

l'-2

2'—3

3'—4

4' —5

5'—6

496.6

576.3 644,0

696.3

732.6 753,5

3542

58,3

1,429

1286

36,0

2,160

835

692

551

498

24,3

2,46

16,2

2,38

9,5

3,1

2,15

1,33

2,987 1,355 2,144 0,873 1,936 0,748 1,991 0,780 2,150 0,877 3,184 1,463

20,3

9,63

6,37

4,74

3,23

1,757

K: 10« Z; 10°

e'

e"

Mmn

Mnm

kg/cm

cm²

Fo

Vl Fo kglcm

100 V

к?

cm

10    11    12    13

14

15

16

17

18

19

332    166

452    226

455    230

516    258

>* Ï ** s°

г sa

32,75

37,01

38,46

515    260

УУ

83,48

38,88

43,90

56,08

68,66

66,85

175,0

14,3

16,3

18,7

22

36

43,15

97

167

201

454

399

476

435

38,6

-72,25

66,00

34,83

40,45

34,64

72,1

68,91

+ со со "со о

455

462

СЛ    05 Ю

00 О    CO + 05

„    со    ю    оз    ©

. ^    Г\    гч    л    Г'

СО    И    05    ^    1>    СО

1>    Ol    и    и    W    W

18,44

22,68

27,92

32,16

90,56

114,32

138,08

161,84

466

566

567

536

565

00

4,6

3,5

2,6

5,07

4,6

109

56

25

17,5

СО С—^ СО^ -Ф со* оГ со*

Ю 05    т-4

10,85

11,00

11,00

а\    ох    ог ©

со + <1 Т

о    о    о    ю    ю

■ф    <м"    ©*    cf    т-Г    s -

•г-1    т-1    т-1    т-Н

h-ь

5 S Г    J=>    «

сл сл о о о

72,25

43,3

17,33

11,17

5,64

2,08

05    00    СО    00    со

▼Н Ю    05    1>    Ю    CQ    О

(М тН

11,4

12,3

1U

10,5

4,4

00

127,4

114,3

85,8

57,0

37,6

УУ

415

266

215

185

119

+ 34 +108

51,1

59,8

45,5

41,0

48,8

79,0

©_ со^

О* О* 03* СО 03    т-1

Я I сл    <3    СО

N- 1с5    О +

сл

со -ф

С^*    00* Ф* СО* 03*    03*1 -ё

Ю О    t- M

1> 1> 00 Ю| я

00 ЧО со

05 о

СО 05 СО СО 00    с—    I

д ®

00 00    СО    -в

18,7

11,9

6,95

4,98

2,50

0,48

05    СО    О-    00    со    со

СО    00    СО    Ю    СО

10,6

11,4

10,6

8,8

7,0

4,4

pg

kratowych.

110

530

13,0

75,8

475

17,5

61 i

400

CD^    ©

T-i' OÎ CO

ю ^ со

320

226

82

ч-h 05^

со* со    ю* CO*

tH    tH    tH

CO

dniczy (m — ó) obieramy lewy pręt obwodu belki, patrząc od zewnątrz. Np. dla węzła 3 kierunek 3 — 2, dla węzła 3' kierunek 3' — 4'. (Manderla przyjmuje prawy pręt pasa jako kierunek zasadniczy i musi z tego powodu obliczać %mn innem równaniem dla pasa górnego (r. 6) a innem dla dolnego, stąd łatwo o pomyłkę (por. 7*).

te

л?

-377

4 в1

505

576

625

952

330

kg/cr *

Opięcie prę/iw1000:f

#•    _Г74>    ~³⁷$

\o

te

o>

aJ

да

'km

'S

I?

'fern =200кдfern*

* ?a

670 —

S'

-3,

V-

vrJ27

.-302

i-л;

1 tW~C2

~~рТ7    3

Ÿ а 6. 3,6

t4V

У* jy

4    *‘>‘/7    5

*wi 6

_J

6.2

11.7

16.1

4 81

L/nJ*    if Cia

19,9

22,0

22, в

SOS

Basa

576

E 2.10s 100.1000 “ 2.10*

dolnego

= 20 cm

625

952

2хЗЭ0кд/стг

kem = 100cm 1cm - 1000Ag/cm²

Rys. 4. Skale wypisane na rys. 4, dotyczą oryginału, na którym H— 20 cm. Rzędne linji ugięcia podane są w milimetrach. Sprostowanie: zamiast „Ugięcie prętów“ ma być: kąty odchylenia, zamiast 2,10J ma być 10⁵.

Przyrosty    znaleziono wykreślnie (rys. 4 a) sposobem,

opisanym w Podręczniku Teorji Mostów (Cz. I. T. II, str. 140) Thulliego (2*). Naprzykład w trójkącie 121' kreślimy 1 A _L 1'2,

1А — p₂i‘ =

= naprężenie w pręcie 2Г    _ 414 /г^г/слгг². (Na

prężenia prętów wypisane są na nich w kg\cm²). Przez punkt A kreślimy 2?C || 1'2 aż do przecięcia się z bokami 11' i 12. Wtedy AB = 1 A cołg 1 BA = v2V . cotg 11'2. Podobnie AC = v2V. cołg 121'. Odcinając l'Z> = i 2P= —vn, (gdyż; vlv<o), otrzymamy DE = = p₁₂ cotg Г21 i F G = — vw . cotg 11'2.

Według równ. (5) będzie zatem

25

= -831

E A al/12 = BC — DE + FG — -f 856 kg/cni2 E JaiV2 — DE — AC E A «121 ' = — FG — AB

O kg! cm²

Z przyrostów E/ja, wpisanych w rysunek 4 a obliczono wartości E/jaon (И 4)¹) dla każdego kierunku według równ. 7, np. dla kierunku 33' t. j. dla m = 3, n = 3' jest EЛаъъ, = E А а2Ъ2, + E ja₂,₃₃, -= - 804 - 366 ²) = - 1170.    ,

W rubryce II 3 przepisano К z rubryki I 10, rubr. II 5 podaje iloczyny К Aa, których sumy wpisano do tablicy III (tablicy węzłów)³) (III 3) np. dla m = 5' jest 0,4 + 3,0 + 431,5 = 434,9. Rubr. III 2 podaje 2К np. 515 + 6 + 11 + 515 = 1047, rubryka III 4 2К Aa : 2Ki pierwszy wyraz prawej strony równ. 8, np. 109_®. 434,9:1047 = 415. Podobnie przy pomocy rubryk II 6, 7, 8 i III 5 znaleziono drugi wyraz równ. (8) (Ш 6), a z równ. (9) £' (П1 7) np. 415 + 85 = 500.

W rubryce 9 tablicy II wpisano wartości z kolumny 7 III np. dla węzła 3 C'₂ = - 442,    / = + 334,    = + 449, £'₄ = - 484.

Rubryka 10 II podaje Z£'„, III 8 2LÇ'a, III 9 2LÇ'n:2K, wreszcie (III 10) = Ç" = £'

Kontrola -

(III 9) wedle równ. 8) np. dla m = 5' 500 -

—    187 = + 313. Podobnie przez kolejne użycie tablic II i III znaleziono wartości £ш, £IV... aż do Rubryka II 21 = гтп =Cvn-

—    A aon (równ. 6). W rysunek 4 a wkreślono styczne do prętów we węzłach, przyjmując dla ^^„powiększenie 1000-krotne. Według tych stycznych wkreślono od ręki lin je ugięcia prętów. Rubryka II 22 podaje iloczyny Кгтп, podzielone przez 10⁹np. 515.10⁶. 351 = 181 . 10⁹, II 23 = гпт, II 24 = Lrnm, wreszcie II 25 = Krmn + Lrnm = = Mmn (równ. 2). Ponieważ dla obliczenia Ci % użyto wartości EAa (rubryka II 4) zamiast Aa, przeto wszystkie wartości w rubrykach dalszych aż do rubryki 25 II są pomnożone przez E. Rubryka 26 II podaje momenty węzłowe w łcm. Otrzymano ją z rubr. 25 П, dzieląc przez E — — 2.10® kgjcm² np. (134.10⁹) : (2.10®) = 67.000 kg cm = = 67 tcm. Warunek 2M — 0 (równ. 4) daje kontrolę rachunku; ewentualne odchyłki należy wyrównać, stąd Мьц> = 66,85 tcm zamiast 67. W tablicy 114 wpisano tę wartość z pośród dwu wartości II 26, która daje (równ. 3) miarodajne naprężenie drugorzędne. Odpowiednia wartość e (rubr. I 12 i 13) jest oznaczona tłustym drukiem.

9 Cyfra rzymska oznacza tablicę, cyfra arabska kolumnę, czyli rubrykę, więc II 4 = druga tablica, czwarta rubryka.

²)    Na rys. 4 a, zamiast 366 przy węźle 3 ma być — 366.

³)    str. 24 - 26.

TABL. II.

10«

Eja.

K\ a

10⁹

10«

z/ a/;m

LA.<Xnm

10⁹

со

îb

со

O^tOtOb-^tOCOColtOCO^rf^ COrf^CnCnL^OiCTCT CnCTCn

515

11

515

515

11

515

515

11

516

516

18

455

455

12

25

452

452

21

56

332

+ 181

+ 362

+ 2,0

+ 186.2

260

5,3

260

260

+ 61 + 273

+ 838

263

129

+ 798

600

484

+ 594

712

625

+ 495

729

754

+ 436

+++

-+

o" co" TH

1,8

1,4

+ 411.0

5,4

8,7

+ 270,0

8,6

15,6

+ 223,9

15,3

- 42,3 +144,8

осям

260

OBOGO

Ю

I :

Ü1

со

OJ

00 со⁴ оГо

230

226

226

166

+ 838

+ 218

330

1,7

+ 362

88

828

■HNIÛ

+ о"+

+ 838

526

+ 218

- 1037

+ 798

710

- 1170

+ 594

804

- 1222

+ 495

831

- 1337

+ 205,8

- 11,0

2,6

+136,2 - 16,7

3,9

+ 112,0

- 39,8

7,0

Они

СМ тН CT: CT **+ CO CD O O CD CO tH t-h CM

657

- 1173

-    40,0

-    128,0

166

гл'гл

+ 436

+ 72,5

804

+1320

+ 348

56,5

132

- 1173

- 66,4

264

61

56

804

328

- 1337

481

49

75

- 158,0

l-k    Н-к

05 to to со rfüjc <1 to Pi Ol

+ 1820

[>

+ 174,5 - 18,1

22,4

328

cvl

21

25

831

17,6

164

481

729

376

- 1222

505

-    30,5

-    189,9

625

188

376

СО

12

18

804

423

- 1170

576

9.7

00

GO

21,0

- 243,8

СО СО

T+oo

Ю (М О 1-н СО

05 co"oo" I Ю СО +

423

*>■

11

710

209

576

460

- 1037

645

6,4

11,4

Г-

600

120

- 296,5

228

129

460

сл

11

462

со go 03

(М<МЮ Ю 00 05

3,7

9,1

- 439,5

со

462

со

со

00 о 00 со

iqq o'со"

to    to    to

о;    о:    to

Ol to    о    I О    СП to    00

Voo

645

268

+ 273

952

со со

+ 61

+ 181

++1 +11

to

о to

KIERUNKÓW.

tx

tTC

a 1=1

j-Ш

* П

j-IV

'Л

LZ

IV

10

11

12

13

14    1    15

16

+ 181    + 47,0

- 330 -637

+ 590    +153,1

+ 500    +130,0

-637 -484 + 449    +116

0,9

3,4

1,8

2,8

+ 590 -484 -456 + 334

+ 11 +

t-^GO^CO 00 of т-Г CD Ю    I>

тН

-330 + 313

+ 181

-    330 -443 + 360

+ 313 -443

-    224 + 225

+ 360

-    224 -241 + 191

+ 47

+ 94 + 82

+ 58 + 93

+ 44

+ 449    + 103,0

-456

_442

+177    + 40,0

+ 225 2,2    - 241

6,0    - 290

+ 146

+ 11 +

со сл

03 b* CO

+ 334 -442 -209 -234

O + C^l GO

Ю co ceT 00

l> CO

61

+ 177    + 29,4

- 209

+ 757    + 42,9

+ 146 5,8    - 246

+ 866

-234

-    209

+ 757

-    234 + 177 -442

-209 + 177 + 334

-    456

I++I 1 + 1+ I I

CM^CD O-^COlO СОЮЮОО

-    366

-    246

21

33

-    442 + 334 + 449

-    484

83,2

+ 1,6

+    4,5

- 101,0

- 456 + 449 + 590 -637

I ++1

№*    CD

OlOO^+pl СЛ

-484 + 590 + 500 - 330

-637 + 500 + 181

- 110,4 +    1,7

+    2,7

76,0

+ 866

-    366 + 146

-    224 + 360 + 313 -330

-443 + 313 + 181

+ 114

I ++1 I ++1 I ++1 I ++ I

'T-

СО ЬН.

СЛ rfn

сл сл

co M-

▼H I tH

О Ю

to h-k-

05

+ 181 -330

-    505 + 458

+ 368

-    505

-    320 + 315

+ 458 -320

-    337 + 249

+ 315

-    337 -334 + 208

+ 249 -334

+ 902

-    365 + 208 -334

-    294 + 208 + 249

-320 + 458 + 368 -330

+ 47

tH CO O

CD

05

00

345

482

284

278

+ 118    424

284

3    303

57    214

+ 1+1 I 1 + + 1 1 +

I ++ ! I ++ I I ++ I I ++ I 1 + 1+ I I

сл to со

СЛ tfs-OS

CD CO

tH I lO GO TH

со со ю

^ СЛ h-ь CO to 00 C105 0CD CDH

co to

05 05 CO co

to

СЛ СО К

05 СО ьн. 00

oîcocoSoîcooicoSSS

389

294

918

389

197

301

294

197

214

303

co to co

tH ^ 00

О и l>

284

303

278

424

482

284

424

345

330

cd

to l-k

DO

+ 109

TH CO

+ 49

+ I I + + I I 1+1 +

sh

со

fete

еО оз

ю ec oo (N co co ia

I H—г I 11 ++ I I ++ I I ++ I . + I + I I

СО О СО К 3    <! CO CO fe CD 05 fe COCO

TH im

О Ю

d®

TH (M

05

еГЛ

СЧ

tmn

Kłmn

10⁹

trim

17

18

19

20

21

22

23

+ 181

181

93

351

181

330

+ 47

181

490

330

+ 47

438

488

354

+ 114 + 92

433

rH CO CO

++-+1

351

290

78

487

I +++

to    b*

ел    oo

© ©

181

05 CD CD 00

242

490

350

296

488

+ 91

295

289

00 CD CO CD ^ 05

+ 76 + 113

288

433

CD ^ TH 05 00 05

289

+ 75 + 112

+ 52

316

217

+ 50

295

319

+ 68

288

309

316

211

+ 48

302

206

CD CO to CO CO CO to ЮСИ COOOtO ^    ^ CD ^

+1 I 1+1 +

HCOOS^ lOOON Ю CD ! СО Ю

217

302

302

391

206

302

923

■+■ I I + + I 1 I + I +

Ci

05

CD <1

CD CO

CD СО Ю

I H b + I Н—I—h I + +- +- Il H—I—h

^CDliOC0 05COr~C0 05aD0005 05CDaD05

389

+ 268 + 787

I H I—h I +Н—h I Н—I—Ъ I +Н—\~

тН °

СО TjT cd" 00 I О об" СО 00 I О ТЧ ТН ю I Tt< 05 tJÎ Ю СМ    00|Ю ИСО OtHCICI 05ИЮ1>

СМ гН I тН и И тН I

487

Ю тН

GO т-1

8ê

г:

|~

129

16,2

85

37

745

291

364

418

852

219

303

486

920

209

276

529

1032

389

CD to

to CD to CO CD ^3

387

304

22

40

391

302

22

40

+ 923

397

921

387

211

309

304

211

I++I 1+1+

to

OD l-i. to

сл 1 сл О I-*.

со to

COtOtOCOICOtOCOCD cc^to os <1 05 to I te с:

+1+1 I++I

k-L to

I-¹ to

305

CD О О ю ю

со to

+ 499 + 1032 + 176

302

+ 529 + 920

203

+ 11 ++Т I +-++

I-*

о о сл о

CO

CD^O

OO00 00 OD cf CO*CO ООСОЮЮ D rH ^ !>■

CO GO CD I CO CO to СО I CO •<!

H#.CO^ pœœ® poo 00^ 05 05 tOCOX^lkn^

OD ^ Ю CD 0 03DOD CO 05 C\ 05

I ++1

СЛ

00

TH 00

05

LO

to to to CO 00ХИО CD 00 to

I ++1

F'- tH CO rH Ю    CD

I H—b+

to 00 ►й- CO

СЛ СЛ X И

00 to CD 00

I +++

119

203

6,00    931

15,00    775

109

292

tO CO CD CO CD H* О 00 СЛ CD

67

316

+ 2

- 112

288

433

488

66

+ 1 + 2

- Ill

I +++

CO ^ to

СЛ rf». ^ CO СО СЛ 00 to

! +++

to

CO

to 00 CO

Т-Ł CD

о ел

258

891

563

489

296

438

354

I ++ I

Г» И Dl CD CD    l>

CD CO GO CO 05 тН

CO CO

со сл о о

I++I

CD

CD

489

to

37

CD

cc

I +++

to    to

b*    to

кй- со о ел

t>

CM l>

CO l> GO О ю си> CO CO CD CO

о <M

CO т* CO CM

CD

CO

со о

CD CD 05

со

KIERUNKÓW (d. c.)

L inm

EM,

mn

10⁹

10⁹

kg jem*

t cm

Ritter t cm

Д M t cm

24

25

26

27

28

to

со

+ 91

1,19

4-

+ 113

+++1

O JO o rfn

“os “co

00 SD

+ 66,85

+ 0,48

+ 1,33

- 68,66

+++ I +++ I H—f-+ I

^ m. -a loi SD I -SI to <IJOJO o OjXj-* hfb I oijt*» О -J

te M.

Ol o

O Ol łfn Ol

oi co

05 ^

+ 96 4-    4,95

+ 10,36 - 113

+ 56,2 4-    9,95

+ 21,64

88

4- зо

4- 13,87 4- 33,66

78

62

+    4,45

4- 30,6

65

38

+ 13,8 + 52

4- 44

40

+ 32 + 23,85 + 84,6

—    140

—    167 4- 29,92 + 137

+ 144

—    145

+ 48,35 + 2,50 + 5,23

-    83,48 +14,96 + 68,52

+ 72,25

-    72,25

I ++ I + + + I +++ I

CO oj^j-3 SD o 00 -J tO g g I СЛ CO    “

- 132 + 37,40 + 86,60

-66

+ 18,7 + 43,3 + 4

+ 69,24 4- 0,46 + 1,38

-    86,88 4- 14,70 4- 72,18

+ 75,6

-    75,6

-    66,54 '+ 18,80 + 43,5 4- 4,2

70

+ 18,83 + 34,50 4- 16

81

4- 10,49 4- 22,30 4- 48

+++1

Ь* СО

оо -а so rf». о “со V оо ел со ел со

+++I +++I

h*

о см    со см

ео^см^    05 т*

Т* «Г об тН гН Т-Г о СО

Ю    ТН оо    1>

+++1 +++1

со ^ ел es оо^ьэ Ф*    со

Ю 03 03 со

СО CD <М тН

-    40,45 + 5,25 + 11Д7 + 24,03

—    34,64 + 3,60 + 5,64 + 25,40

I Н~++ I +++ I +++

ТН ОО^СО О 05 OO^àOJ> I к^ОО^Ю^ об обоб т-Г od    т-Г см i cocons

СО iHrH СО    т-i CM I СО    см

- 72,1 4- 1,11 4- 2,08 4- 68,91

+ 106 +    0,76

46

0,60

- 23

-    72,7 + 1Д4 + 2,1 4-69,4

-    20,5

— 0,30

0,20

o" c4ö'o'c4    SHI    ЧЦ& «« 4^,44    ю со m 3 i> сооою    ю оз

O 03 О О 03    CM O O (M 1-1 O O O    03 О О iH ^ -гН О иН СООСО СО СО ОООО    СО О О 03 но    О тН    тН o'o'O' o'o'о" о"    of о"

SOOjZbrH CO^COJM^O uq тН СО I 05 СО ^4со"СО ю'со'сГ Ю Ю~СО со"cf I -чН

тН    1—1    I -Г-н ч—I

« ю leqt^co ооооз    юю аосою    t- sd    со ю    ^ t>

03 I |>ОНС1 1*1тНЮ    ОООЮ    05 00 SD 03 тН S35 of Ю    С0~05 cfcO    СО СО    О O'    НО

^    со    у-ч СО

6'

5'

4'

3'

2'

1'

0'

2 К 2КЬип

2 К Да

2 L Да

10⁶

Ю⁹

10⁹

10⁹

+ 181

+195,9 + 241,4 + 222,8 + 134,8 + 26,8 + 66,5

373 +348,1 +935 - 66,4 - 177,6 +757

skali kątowi # we węźle, w którym obwód przecinamy

13,5 : I = 11,4 : (1 - |)

-    40,8 + 26,4

О т-l (М СО ^ ю со

-330

Me

Wreszcie otrzymujemy I 15 v = — . Rubr. 118 podaje naprężenie

J

pierwszorzędne kg/cm*, zaś 119 wartość naprężenia drugorzędnego w procentach naprężenia pierwszorzędnego t. j. 100 -Ц-. Rubryk а П 27

podaje wartości momentów węzłowych, otrzymanych wykreślną metodą Rittera w trzeciem przybliżeniu. Odchyłki od wyników, otrzymanych analitycznie, zestawiono w rubr. II 28, zaś odchyłki procentowe w rubr. П 29. Ponieważ naprężenia drugorzędne są proporcjonalne do momentów węzłowych (r. 3), przeto wystarczy porównać momenty węzłowe.

Z porównania wyników, otrzymanych sposobem Manderli (II 26) i Rittera (II 27), wynika zadowalająca zgodność obu sposobów. Gdzie różnice są znaczniejsze liczebnie (II 28), tam są one znikome procentowo (II 29) i nawzajem. Zgodność ta jest tem więcej uderzająca, że obie metody są metodami kolejnych przybliżeń, że więc nie mogą one dać wartości zupełnie dokładnych. Ponieważ Ritter opiera się na równ. (1) zaś Manderla na równ. (2)

WĘZŁÓW

10

+ 181 +187    + 313

+ 230    + 360

+ 223,5 + 225 + 142,8 +191 + 31,1 +146 + 132,2 - 366

-    109,2 + 37,2

-    152,1

-    214,5

-    260,0 - 193,6

tM

tTt

(П

И.

10⁹

10⁹

Çiv

10⁹

11

12

13

14

15

16

17

4- 181

+ 138    + 132    +368 + 162

+ 138    + 132    +458 + 174

+ 155 + 166 + 171 + 120

- 27

20

+ 155

+ 181 + 345 + 424 + 278 + 214 + 197 -389

+ 153 + 159 + 154 + 104

29

+ 77

+ 866 - 54

-    246 + 60

-    290 - 81 -241 - 99

- 224

- 148

— 443

- 124

60

- 119    - 337 - 127

- 164    - 320 - 181

- 132    - 505 - 146

- 161

+ 85

-    141

-    153

+ 918 - 294

-301

-303

- 200

- 155

- 284

-482

61

+ 67 - 100

- 114

- 170

- 138

- 330

- 330

- 330

i obaj dochodzą do tych samych prawie wartości liczebnych dla momentów węzłowych, przeto wnioskujemy, że wpływ siły osiowej na wygięcie pręta wolno zaniedbać wobec wpływu momentów węzłowych. Nie warto więc stosować skomplikowanych równań 2 do obliczenia naprężeń drugorzędnych, gdyż równ. 1 prowadzi prędzej do celu.

Uproszczony sposób Manderli. Podstawmy

(U)

R =

nania

Gdyby tylko węzeł m był sztywny, to zamiast byłoby ęm. Z rów-M„ m = 2 RE (2 %n m + тт n) = 0 wynika Inm - — V2 *тп, zaś z rów. 1.

Mm n = 3 RE xm n = 3 RE (£'m — Jam)

Z rów. (4) 2M = 0 otrzymalibyśmy

(12)

2RJ<rM

Będzie to pierwsza wartość przybliżona. Podstawiając (11) i (6) w (1), a następnie sumując wedle (4), otrzymamy z uwagi na (12)

TABL. III (c. d.)

tyj

t-4

bn

10⁹

10⁹

£vn

18

19

20 I 21

22

23

24

25

+ 146 + 152 + 154 + 110

34

+ 153

+ 181 + 354 + 438 + 295 + 224 + 211 - 387

+ 157 + 165 + 161 + 111

+ 150 4-157 + 161 + 117

25

29

+ 79

4 157

+ 181 + 350 + 433 + 288 + 217 + 206 - 391

+ 156 + 163 + 158 + 108

28

+ 78

+ 181

- 164

+ 95 - 133

+ 921

-    304

-    309

62

- 166

+ 66 - 105

+ 93 - 140

+ 923

-    302

-    302

62

+ 67 - 105

+ 96 - 140

- 137

- 319

- 116

- 140

- 316

- 114

- 138    - 318

- 188

- 296

- 176

- 195

-289

- 174

- 192    - 292

- 147

-490

- 140

- 149

-488

- 139

- 148    - 489

- 330

-330

- 330

2 2R 2 2 R'

(13)

przyczem dla węzła 3 np. jest

>■    2 R /j CCm = R₃₂ A #282    ^32* A #232 "P

“I⁻ -ffs3 A Ö233 "Ь j??34 A ®234? zaś 2 R A ccn — R32 A &123 “b -^?32 A #

+ R3i A a

^ Oczywiście jest A ai3i = A a5i3 — 0

Używając równań 13 zamiast 8 i 1 zamiast 2, otrzymalibyśmy momenty węzłowe takie same, jak metodą Rittera. Byłby to uproszczony sposób analityczny Manderli (10 *).

Sposób Mohra. Podobny do niego jest sposób Mohra (8 *) dzięki Gehlerowi (10 *) najpopularniejszy. Mohr wprowadza jako niewiadomą skręt węzła cpm, a zamiast przyrostów Aa, skręty prętów ip z planu przesunięć Williota (dodatnie, jeżeli w kierunku

, ÜXLÙ

+ R₃₃ A ai

343

(rys. 5)

Rys. 5.

wskazówek zegara). Z rys. 6, w którym m n jest pierwotne położenie pręta zaś iń n‘ nowe położenie, czytamy

c    c;

5    S

Zatem równ. 1. przyjmie postać

Mmn = 2 i? Е (2 срт +

rv

ф n    3 1рт п )

Wprowadźmy jako pierwszą wartość przybliżoną

=

2 В ’

(jestto wartość cpm w przypadku, gdy wszystkie Mnm = O) to z równ. 4 i 15 otrzymamy

(15)

r'

7-n m jś

9>n

<P'm

(16)

m¹¹

ч<°/ ^y"f/ -

n

I

/ Y/A

Rys. 6.

II

<m !co

- R<pn

(17)

Niewiadome cpm obliczamy drogą kolejnych przybliżeń, jak wyżej. Można je też doświadczalnie pomierzyć przy pomocy np. czułej libeli (10 *).

Mohr pierwszy zastosował plan /    Williota do obliczania naprężeń drugo

rzędnych. W planie Williota (rys. 7) każdemu prętowi belki odpowiada kolanko t. j. dwa odcinki Я = wydłużenie pręta i q — względne przesunięcie obu jego końców w kierunku prostopadłym do pręta. Zatem skręt pręta o długości s ip = q : s

i jest dodatni, jeżeli w kierunku wskazówek zegara. Możnaby również zastosować plan Williota przy sposobie Manderli na zasadzie równania

= ipmr— ę

Wadą sposobu Mohra jest, że w wyrażeniu dla Mmn (równ. 15) występują kąty odchylenia jako różnice bardzo małych wielkości, więc należałoby kąty cp i ip obliczyć bardzo dokładnie, aby dla

o*

TT)

Rys. 7.

nmr

(18)

(19)

г i M otrzymać dokładność żądaną, tymczasem z planu przesunięć trudno o dokładne wartości ip.

Rys. 8. a. przedstawia wykres momentów w pasie dolnym (dla każdego pola oddzielny trapez, dla pola skrajnego dwa trójkąty).

H 1cm -20 tcm

■s-

—-s-

-5-

-----J.

-Й-

s-

-s-

-й-

H •*20071)77}

°"ß tyreca

•4

f*³'* Cü.ieya f;f

Rys. 8.

Podziałki, wypisane obok rysunku, dotyczą oryginału, w którym biegunowa H (rys. c) wynosi 20 cm. Rzędne Jinji ugięcia podane są w milimetrach.

Na zasadzie Mohra znaleziono prawdziwą linję ugięcia pasa (rys. 8 c.), przyjmując sprowadzoną powierzchnię momentów (rys. 8 b.) jako powierzchnię obciążenia (zamienioną na ciężary skupione). Zupełna zgodność w granicach dokładności rysunków prawdziwej linji ugięcia z linją ugięcia (rys. 4 b), wykreśloną na zasadzie zmian kątów w belce idealnej, dowodzi jasno, że sztywność połączeń nie ma wpływu na ugięcie pasów, co powyżej udowodniliśmy teoretycznie. — Bażant oblicza naprężenia drugorzędne tylko w pasie dolnym. Otrzymał on we węzłach:

momenty podporowe w t cm.

0    22,31    22,95    30,96    26,16    70,94    19,88;

sposobem dokładnym znaleźliśmy momenty węzłowe :

-72,25 +66,0    + 34,83 + 40,45 + 34,64 + 72,10 + 23,00

Znak +, jeżeli ciągnienie w warstwie dolnej, jak dla belki wolno podpartej. Linja kreskowana na rys. 8 a, przedstawia momenty belki ciągłej o poddających się podporach (według Bażanta).

Z porównania wartości Bażanta i dokładnych wynika, że

1)    Prawdziwe najw. wartości momentów we wszystkich prętach pasa dolnego są większe, niż momenty podporowe belki ciągłej.

2)    Różnica ta maleje ku środkowi pasa i największy moment w pobliżu środka (węzeł 5) jest prawie taki sam w obu przypadkach.

3)    Przy narożniku przyjmuje Bażant moment = 0, gdy tymczasem tam występuje moment liczebnie największy, znaku przeciwnego, co odpowiada utwierdzeniu pasa w narożach. W pasie dolnym jest nam to obojętne, gdyż pręt 0 — 1 nie ma naprężenia pierwszorzędnego, ale w pasie górnym otrzymaliśmy we węźle O' moment ujemny jeszcze większy (— 83.5 t cm), który spowodował naprężenie 38,6 °/₀ pierwszorzędnego. Na szczęście pas górny jest ciśniony i zwykle jest w nim nadmiar materjału. W każdym razie pamiętać o tern należy przy projektowaniu przekroju dla skrajnego pręta pasa.

Przyczyną małych wartości naprężeń drugorzędnych w pasach

(prócz przedziałów skrajnych) jest nie tyle mała wartość momentów węzłowych, ile raczej duży moduł przekroju pasów teowych. Z powodu rosnącej ku środkowi ilości nakładek zbliża się oś ciężkości przekroju ku tym nakładkom, a naprężenia drugorzędne tego samego znaku, co siła osiowa, są w obu pasach znacznie mniejsze, niż naprężenia przeciwnego znaku. Stąd wynika, że kształt teowy pasów i rosnąca ku środkowi ilość nakładek są korzystne u belek, w których pas dolny wygina się łagodnie ku dołowi (krata pojedyncza, równoramienna i prostokątna i krata półprzekątniowa K), gdyż w belkach tych mamy na całej długości pasów (prócz naroży) moment dodatni, a miarodajny moduł przekroju jest wielki i powoduje małe naprężenia drugorzędne. Natomiast w belkach o kracie równoramiennej ze słupami wiszącymi (bardzo popularnej w Niemczech) a wskutek tego i u nas często używanej), w belkach z drugo-rzędnem zawieszeniem poprzecznie i belkach o kracie wielokrotnej linja ugięcia pasa dolnego doznaje załamań w obie strony, wskutek tego momenty węzłowe są znacznie większe i naprzemian dodatnie i ujemne. Te ostatnie zwłaszcza powodują wielkie naprężenia drugorzędne, dlatego należałoby w takich belkach unikać pasów teowych, tylko używać przekrojów symetrycznych względem osi prostopadłej do płaszczyzny belki, gdyż pasy teowe dla momentów ujemych są mało odporne. Z drugiej strony jednak przekroje symetryczne kształtu I, lub ] [ są bardzo sztywne w płaszczyźnie belki i powodują wielkie momenty węzłowe, a w następstwie tego także i wielkie naprężenia drugorzędne, jak to dowodzi przykład w podręczniku budowy mostów Melana (13*). Najlepiej zatem byłoby tego rodzaju kraty unikać.

Aby sobie jasno zdać sprawę z czynników, które wywierają wpływ na naprężenia drugorzędne, podstawmy w równaniu (3) równanie (1), to naprężenie drugorzędne

(20)

- (2 Exmn + Ernm)

s

Wyrażenie w nawiasie zależy głównie od rodzaju kraty t. j. od kształtu linji ugięcia pasów : w pasie lekko zakrzywionym ku dołowi będzie oczywiście znacznie mniejsze, niż w pasie załamanym naprzemian w obie strony. Pozatem zależy naprężenie drugorzędne od stosunku —, który możnaby nazwać smukłością drugorzędną w odróżnieniu od smukłości na wyboczenie s : i. W przypadku

symetryczności jest h = 2e, czyli S = S

u &

Z r. (20) widać, że im większa smukłość-^, tern mniejsze naprężenie drugorzędne. Należy się więc starać o możliwie lekki wygląd belki w jej płaszczyźnie; zwłaszcza krótkie pręty powinny być możliwie wązkie. W pasach, ku dołowi regularnie ugiętych, o smukłości decyduje nie szerokość pasów, tylko odległość osi ciężkości od skrajnej zewnętrznej warstwy, więc smukłość pasów teowych jest znaczna nawet przy dość pokaźnej szerokości. Inaczej przy pasie nieregularnie ugiętym; tu miarodajne jest naprężenie w warstwie wewnętrznej z powodu momentu ujemnego, a naprężenie w warstwie zewnętrznej z powodu momentu dodatniego, zatem przekrój powinien być raczej symetryczny.

Na podstawie gruntownych badań teoretycznych i wielu doświadczeń doszedł Związek szwajcarskich fabryk (11*, 18*) do wniosku, że „przy jasnem ukształtowaniu kraty, centrycznem połączeniu prętów, smukłości — = 60 — 40 i niezbyt małej sztywności

prętów — i dobrze rozwiązanych konstrukcyjnie węzłach naprę-s

żenią drugorzędne osiągają maximum 15 — 20 % zwykłych dziś naprężeń pierwszorzędnych“. Słusznie jednak zauważa Hartmann (12*), że smukłość 60 — 40 jest trudna do pomyślenia. W przypadku symetryczności wynikałaby szerokość pasa dla s = 4 m. h = 2 e = 14 — 20 cm. Więc ostateczny wniosek doświadczeń szwajcarskich, że wpływ naprężeń drugorzędnych wolno zaniedbać, jest zbyt optymistyczny.

Z tablicy 1 (rubryka 15 i 19) widać, że naprężenia drugorzędne w pasach są niewielkie (prócz skrajnego przedziału) i dochodzą zaledwie do wartości 5.07 °/₀ naprężeń pierwszorzędnych a więc prawie zgodnie z Bażantem. Większe są w krzyżulcach (18,1 °/o) a największe w słupach 79%. Najważniejsze są wartości,, otrzymane dla narożnika (51.1%) i dla krzyżulca O'— 1 (13%), gdyż przy całkowitem obciążeniu belki pręty te posiadają największe naprężenie pierwszorzędne. Na szczęście narożnik obliczamy na wyboczenie, a esowate wygięcie narożnika (rys. 4 a) działa korzystnie, gdyż zmniejsza długość wolną, która sięga od węzła do punktu przegięcia (gdyby nawet nie uwzględnić utwierdzenia we węźle).

Natomiast dla innych prętów kraty otrzymane wartości naprężeń drugorzędnych nie są miarodajne, gdyż największe naprężenie pierwszorzędne występuje pod obciążeniem częściowem. Gdybyśmy wyrazili otrzymane wartości naprężeń drugorzędnych w procentach największych naprężeń pierwszorzędnych, to zmniejszyłyby się one tern więcej, im bliżej środka belki. Z drugiej strony jednak jest możliwe, że i naprężenia drugorzędne w prętach kraty są większe przy obciążeniu częściowem. Sprawę miarodajnych naprężeń drugorzędnych w kracie rozstrzygnąć można tylko przy pomocy linij wpływowych dla naprężeń drugorzędnych.

II. Sposób przybliżony wyznaczenia naprężeń drugorzędnych.

Z przykładu powyższego widać, że sposób dokładny obliczenia naprężeń drugorzędnych jest bardzo żmudny. To też należy się postarać o sposób przybliżony, któryby prędzej prowadził do celu, a jednak dawał wystarczającą dokładność co do wszystkich prętówx).

9 Sposób przybliżony Hartmanna (12*) odnosi się tylko do pasów ze słupami drugorzędnymi i daje dokładność* bardzo małą. Taksamo niewystarczającą dokładność dają sposoby przybliżone dla słupów, podane w 19 *, str. 1255. Sposób przybliżony podany w 20* odnosi się tylko do środkowych prętów pasów belek o kracie N, V i K. Dla pasa prostego podano tamże wzór (12),

v/7 max : v₇ = 2 р X (1-f-K) —,

Traktowanie pasa jako belki ciągłej, daje jak widzieliśmy dość dokładne wyniki tylko w środku pasów. Wnioski Bażanta co do wpływu rodzaju kraty na naprężenia drugorzędne, otrzymane tą drogą, pokrywają się też z dokładnemi obliczeniami Patona, który dobitnie wykazywał, że używane często w Rosji systemy wielokrotne są niekorzystne (16* i 17*). Natomiast fałszywe wyniki daje sposób powyższy w pasach blisko naroży i nie daje żadnego wyobrażenia o wielkości naprężeń drugorzędnych w kracie. A przekonaliśmy się już na przykładzie całkowitego obciążenia i zobaczymy jeszcze na przykładzie obciążenia częściowego przy pomocy linji wpływowej, że zwłaszcza w słupach i narożnikach naprężenia te osiągają wartość poważną ponad 40 ⁰/₀ naprężeń pierwszorzędnych w belce prostokątnej, w której sposób powyższy nie wykazuje nawet 5°/₀.

W najnowszej swej pracy (4*) wykazuje Bażant, że momenty węzłowe, znalezione w pasie jako belce ciągłej, można poprawić w którym oznacza

К = A : А', X = Au : A

A przekrój pasa rozciąganego, A ' przekrój pasa ściskanego, Aa przekrój użyteczny z potrąceniem osłabienia przez nity, e odstęp włókien skrajnych od osi ciężkości pasa, H wysokość belki, h wysokość belki w badanem miejscu, I rozpiętość belki, p spółczynnik, który wynosi

parabolicznej

dla belki równoległej dla / : H = 12,    10,    8,    7,

= 1,2 1,27 1,37 1,4

Zastosujemy ten wzór do prętów 4—5 i 5—6 pasa dolnego belki ( rys. 4 ).

Tu l : H = 43,2 : 6,7 = 6,45 Dla belki równoległej byłoby p = 1,43 „    „ parabolicznej

„    „ półparabolicznej przyjmiemy wartość pośrednią p = 1,35.

W obu prętach jest (por. Tabl. I)

X = 161,84 : 194 = 0,835, К = A : A ' = 194 : 245 = 0,792 e — 7,7 cm.

Stąd рЛ = 2 . 1,35.0,835 (1 + 0,792) . 7,7 = 31,15 cm.

W obrębie pręta 4 — 5 jest średnia wysokość belki h — ¹/г ( 638 + 662) =■ 650 cm.

P = 1,28

8,

6,

1,2    1,25    1,3

zaś w obrębie pręta 5—6, h = 7г (662 + 670) = 666 cm.

3115

3115

Zatem dla pręta 4 — 5 100 v/; :    = 4,78 (5,07), zaś dla pręta 5—6

= 4,67 (4,60).

W nawiasie wartości dokładne z Tabl. I. rubr. 19. Odpowiednie wartości wedle Bażanta (3* str. 17) są 5 i 5.

uwzględniając wpływ sztywnego połączenia kraty, a zarazem znaleźć momenty zgięcia w samej kracie. Pręty kraty można bowiem rozpatrywać niezależnie od pasów znowu jako belkę ciągłą łamaną, która posiada tyle podpór, ile jest węzłów (por. rys. 2). Jeżeli znaleźliśmy momenty podporowe w belce ciągłej obu pasów i w belce ciągłej międzypasowej, uważając skrajne podpory jako wolne, to rozłożyliśmy niejako kratownicę na trzy elementy ciągłe (dwa pasy i kratę), połączone ze sobą we węzłach przegubowo. Aby stan naprężeń był identyczny ze stanem w kratownicy jednolitej bezprzegubowej, trzeba w każdym węźle n zaczepić dwa momenty i , z których jeden działałby na pręty kraty a drugi na pręty pasa, schodzące się w danym węźle i któreby zmienionemu kątowi pomiędzy stycznemi do krzyżulca i pręta pasowego przywróciły jego pierwotną wartość. Otrzymamy więc znowu tyle niewiadomych ile jest węzłów. — Warunek stałości kąta, zawartego pomiędzy stycznemi do dwu prętów, schodzącemi się w jednym węźle, (a z których jeden należy do kraty a drugi po pasa) wyraża równanie czterech momentów, t. j. obu momentów węzłowych jednego i obu momentów węzłowych drugiego pręta. Ale każdy moment węzłowy składa się z dwu części : z momentu podporowego belki ciągłej, do której dany pręt należy i z części zależnej od momentów SJR. Ponieważ dowolny moment wpływa na wszystkie węzły kratownicy, przeto w każdem równaniu czterech momentów wystąpią równocześnie wszystkie niewiadome. Zatem system równań nie jest prostszy od systemów, jakie mamy przy sposobach Manderli i Mohra, pomimo, żeśmy już sobie zadali dużo trudu dla znalezienia momentów podporowych w 3 belkach ciągłych. To też przykład liczebny obliczenia naprężeń drugorzędnych tą metodą zajmuje we wspomnia-nem dziele 47 stron druku.

m w*'

Rys. 9.

Prędzej dojdziemy do celu, uważając obwód belki t. j. pasy i narożniki jako jeden ciągły element (rys. 9), dla którego znajdziemy momenty wskutek przesunięcia węzłów, a następnie obliczymy wpływ utwierdzenia kraty wewnętrznej dodatkowo w przybliżeniu.

A. Obwód belki.

Dla danego obciążenia obliczyć możemy przyrosty & kątów wewnętrznych obwodu belki. Jeżeli kąt pierwotny był 2 a, to

(21)

& = 2 л a,

przyczem Ja jest przyrostem kąta w trójkącie wedle równ. (5). Kąt wewnętrzny po odkształceniu będzie więc 9 = 2 a (rys. 9). Moment niech będzie dodatni, jeżeli wygina dany element obwodu wypukłością ku wnętrzu obwodu (zwykle w pasie górnym). W dalszym ciągu możemy dla znalezienia momentów podporowych w obwodzie belki obrać sposób analityczny lub wykreślny.

Sposób analityczny.

Jeżeli styczna linji ugięcia we węźle m tworzy z lewą cięciwą (m — 1 m) kąt rh z prawą tp, przyczem % jest dodatnie, jeżeli styczna odchyla się od cięciwy ku wnętrzu obwodu, to

9- = Ti -f tp

Wpływ ewentualnego pierwotnego załamania eliminuje się. Według zasady Mohra jest E h xt prawem oddziaływaniem belki /, obciążonej trapezem momentów Mm-\Mm (rys. 10), więc

ГЛ+/

(22)

/77-/

Et‘⁼~(\    •

Wprowadźmy pewną wygodną wartość J₀ (np. J średnie) tudzież długości sprowadzone

Mm;

Mn

M/n*/

Jo

Jo

1 =lj;’p‘ = p Ъ

(23)

2~Mm; ^ Mm J

{ I '§Mm

to będzie

podobnie

EJob = \p‘ W

Z (22) i (24) otrzymamy równanie trzech momentów (por. 9*)

Mm _ i /' +2 Mm (/' + p‘ ) + Mm +1 p' = 6 E J₀ 9 m

Jeżeli oba przęsła mają stały moment bezwładności Jt = Jp = JQy to w równ. (25) zamiast l i p‘ będzie odpowiednio lip¹). Momenty podporowe belki ciągłej, której przekrój jest inny w każdem przęśle, są takie same, jak w belce o stałym momencie bezwład-

+ 2 Mm)

(24)

PJpip

Rys. 10.

+ 2 Mm)

(25)

9 Poniżej przez lip należy już rozumieć długości sprowadzone /' i p'.

ności Jo i sprowadzonych długościach przęseł (równ. 23). Będziemy więc badać belkę ciągłą o stałym przekroju.

Dla każdego węzła mamy równanie (25). Rozwiązanie układu n równań (n węzłów) byłoby bardzo mozolne, dlatego wskazana jest tu metoda kolejnych przybliżeń. Ponieważ spółczynnik przy Mm jest co najmniej dwa razy większy aniżeli przy Mm-\ i Mm+h przeto jeżeli za Mm-\ i Mm +1, przyjmiemy wartość przybliżoną, to Mm z równ. (25) nie wiele się zmieni.

Przyjmijmy w tym celu, że:

Mm — 1 • Mm ■ Mm + 1 =    — 1 • J,m •    + 1,

to jako pierwszą wartość przybliżoną otrzymamy z r. 25.

Mm¹ = 6 E Jo Jm: A

I + 2 (/+/>) +P%^

W ten sam sposób otrzymamy M‘m-\ i M m +1. Podstawiając je w r. (25) za Mm-1 i Mm+i, otrzymamy drugą wartość przybliżoną

6 E J₀ - l M'm

~2~(T+ p)

Podstawiając wr. (27) za М'т-\ \ M‘m+\ wartościM"m_i i М‘⁴т + г, otrzymamy M‘“m i t. d. zależnie od żądanej dokładności.

Przykład 2a: Obliczmy momenty Mm dla obwodu kratownicy (rys. 4) dla obciążenia, jak w przykładzie 1. Z powodu symetrji badamy tylko połowę belki. Długości sprowadzone prętów s', znalezione z równ. 23. dla J₀ = 10.000 cmi podaje tablica IV.

TABLICA IV.

przyczem Am =

Mm“ =

-ь

P M /П +1,

(26)

(26 a)

(27)

Pręt

cm⁴

s'

Jo

cm

cm

pas dolny

СОЮ^СОМтн

20476

20476

18752

16903

14769

11881

360

0 0'

4793

pas górny

СЛ 05 to и-к о

Т-1 03 со ю со

ю o

05 --Ю 05

Ю o

t-ч CM

23413

Он СО О Ю (М Т-Н о S5 R R R R |>- о- со со СО СО СО СО со со со со со

W to W и и и О ьй- i-* со -о <i 05 tO tO СЛ СЛ

715

Ю Ю

tH t>

I> Ю Ю Ю

W и H и и H

TABLICA V.

węzeł

1)    Ebm kg/cm

2)    6 EJ о    : 10⁵

1) /

2)    l + p

3)    р

1)    l$m — l/frm

2) 2(1 + р)

3)    р&т+ l/+n

1) IM'm-1

Am

M'

2)

cm

t cm

kg

cm

cm

cm

3) P M'm+ 1 10- tcm²

- 660 - 396

350

175

-    952

-    571,2

350

175

+ 252 + 700 + 252

+ 121 + 700 + 119

+1204

- 32,9

-    213

-    106,5

940

— 60,9

57,6

- 115,7

58,1

—    645

-    387

367

192

+ 258 + 734 + 172

1164

- 33,2

-    106,5

-    161,5

55,0

-    576

-    345,6

404

+ 215

+ 808

1209

212

+ 186

- 28,6

63,9

- 110,3

46,4

-    505

-    303

456

+ 242 + 912

244

+ 232

1386

- 21,85

60,6

-    196,5

-    135,9

-    481

-    288,6

547

303

+ 256 +1094 - 831

519

- 55,7

53,4

+1320 + 792

1018

715

- 110

+2036 - 636

1290

+ 61,4

0'

-1173 - 703,8

956

- 805 +1912

241

90

1017

- 69,4

1'

+ 436 + 261,6

418

- 649

+ 836

387

177

+ 200

+ 67,6

2'

+ 495 + 297

352

174,5

3'

+ 594 + 356,4

329

154,5

4'

+ 798 + 478,8

309

154

5'

+ 838 + 502,8

308

154

+ 156 + 704 + 210

+ 146 + 658 + 208

+ 115 + 618 + 162

+ 147

+ 616 + 66,5

1070

1012

895

830

+ 27,8

+ 35,2

+ 53,5

H- 60,6

+ 132,4 + 185,8

+ 168,5

—    117,8 + 49,2

+ 119,8 + 181,3 + 61,5

00 CO ^ tO Ь-Ł 00

Ъо'со'сл

+ 54,5 + 148,0

93,5

6'

+ 362 + 217,2

308

+ 358 + 616

-t- 358

1332

+ 16,3

+ 82,5 + 116,9 + 34,4

+ 93,5

4- 187

licznik

równania

M"

1) IM'm-1

(27)

t cm

2)

licznik

równania

10² tcm²

3) P M"m+1

(27)

M"'

t cm

10

11

12

- 183

- 26,2

-    114,1

—    228,2 - 114,1

167,8

- 24,0

- 455,5

- 65,1

СЛ 50 kf* OS SD 5Л 'ceOi'OO

471,6

— 67,4

- 225,5

- 30,7

—    114,1

—    170.0

55,9

217,0

— 29,6

- 235,3

- 29,1

261,9

— 32,4

- 106,5

- H,7

61,7

- 155,5

93,8

147,5

- 16,2

— 421,0

— 38,4

28,4

+1450,0

+ 71,4

+ 187,6 + 216,0

- 116,2

-    604,2

-    488,0

476,2

1396,2

- 43,5

+ 68,6

—1304,8

- 68,2

+ 510 4- 622

+ 112

1325,8

— 69,2

+ 389,4

+ 46,5

-    164,2

-    135,2 + 29,0

396,8

+ 47,5

+ 115.7

+ 16,4

+ 225,1

+ 34,2

+H—H H—I—I“

со cqcq^ cqco q <m~ т-T аГ со od cT 00 ^ Ю

тН    Ч-Н

155,1

237,8

+ 22,5

+ 36,0

+ 330,8

+ 58,2

+ 52,8 + 149,3 + 96,5

329,5

+ 53,3

+ 385,9

+ 62,6

+ 30,2

+ 4,9

+++ +++

50 S CD 50 00 05 COJ35 4 ~ ] 50 СЛ оЪ “05If* 00

405,4

24,2

+ 65,7

+ 3,9

Całe dalsze obliczenie zawarte jest w tablicy V (str. 36 i 37).

W rubryce 2 mamy wartość E w kilogramach na cm2 z przykładu 1. Zaś pod nią wartość 6 E Jo : Ю⁶ do równania 26. Np. dla węzła 4 (rys. 4 a) jest E it = — 710 — 327 + 392 = = — 645 kgicm\ Zaś - 6. 645.10⁴ : 10⁵ = - 387 kglcm\ W rubryce 3 pomiędzy wartościami / i p (z tabeli 4. rubr. 4) znajduje się ich suma 2 = l 4- p. W rubryce 4. wypisano wszystkie człony wyrażenia dla Am. W rubryce 5 jest Am. W rubryce 6 jest pierwsza wartość przybliżona M' w tcm. Rubryka 7 zawiera drugi i trzeci wyraz licznika równ. 27 i ich sumę. Rubryka 8 — licznik równ. 27. Rubryki 9 i 12 podają drugą i trzecią wartość przybliżoną momentów Mm. Np. dla węzła 4 jest l = 175, p — 192, l + p = 367 cm (rubr. 3), E itm

m — 1

— 952, Eitm = — 645, E itm+\ = —576kg/cm²y

i*

= 175

— 952

— 645

= + 258 cm, 2 (/ 4- p) = 2.367 = 734 cm,

p^m + 1    =

= + 172 cm (rubr. 4). Am = + 258 + 734 +

192

— 576

— 645

+ 172 = + 1164 cm (rubr. 5). M‘ = —387.10⁵ kg cm²: 1164 cm = = — 33200 kg cm = — 33,2 tcm (rubr. 6).

Dla węzła lewego (m = 5) (patrząc od wnętrza obwodu) jest M‘6 = — 60,9 tcm, zaś dla prawego M\ - — 28,6 tcm.

Zatem / Mm

= 175 (- 60,9) = - 10650 = - 106,5.10² /cm²

podobnie p Mm + i = 192 (— 28,6) = — 5500 = — 55 ,10² „

2 = - 161,5.10² /cm²

(rubr. 7). Licznik równ. 27, będzie — 387*10⁵ kgcm²—(— 161,5.10²) łcm2 = (_ 387 + 161,5) 10² /cm² = — 225,5,10² /cm² (rubr. 8). Według równ. 27 jest M“ = — 22550 /cm²: 734 cm = — 30,7 tcm (rubr. 9). Zupełnie w ten sam sposób znaleziono M“\ = — 29'6 tcm (rubr. 12).

Z przykładu tego widać, że już pierwsza wartość przybliżona M ' daje naogół wcale dobry obraz przebiegu linji momentów, można też często na niej, względnie na drugiej wartości przybliżonej M" poprzestać. Jeżeli chodzi o większą dokładność, to zamiast szukać dalszych przybliżeń powyższym rachunkiem lepiej obrać sposób wykreślny.

Sposób wykreślny.

Równanie (25) odnosi się zarówno do belek ciągłych prostych, jak i do belek ciągłych załamanych na podporach. Będziemy tedy badać belkę ciągłą o stałym przekroju, której podpory leżą w je-

dnej prostej. Czyli możemy obwód belki kratowej zrektyfikować. Niech będą (rys. 11 a) m — 1, m, m 4- 1 trzy sąsiednie węzły belki ciągłej o przekroju stałym, leżące przed odkształceniem na jednej prostej. Po odkształceniu kąt pomiędzy cięciwami (m — 1) m i m (m+ 1) jest Jm (rys. 11 a). Styczna do linji ugięcia w m tworzy z cięciwami kąty i xp. W punkcie L lewego pręta Ища ugięcia jest równoległa do cięciwy (m — 1 ) m. Podobnie w punktach Pi Lm +1 prawego pręta linja ugięcia jest równoległa do m (m + 1).

Z równania linji ugięcia

E Jo у" = M

otrzymamy przez całkowanie w granicach od m do L

E J₀ti =

Mdx = Xyi,

(28)

jeżeli yi, jest średnim momentem na długości l = Lm, czyli mo-

l

mentem w odległości ^ od węzła m. Podobnie

E J₀ Tp =

M dx — n yp

(28 a)

Zatem linja momentów ma tę własność, iż jej rzędna w połowie

E J₀ Ti

У¹ = X

długości Я wynosi: zaś w połowie długości n

(28 b)

E J₀ tp Ур =---

(28 c)

Pomnóżmy równ. (22) przez EJ₀ i podstawmy (28) i (28 a) to

(29)

i y{+ л yp = E Jo Jm

m-i

EJ.rK,

a)

!i

-i \m*i

ÏÎ

b)

Rjs. 11.

To samo otrzymalibyśmy, całkując równanie linji ugięcia w granicach od L do P. Zatem powierzchnia obu prostokątów zakreskowanych na rys. 11 przy węźle m o podstawach Я i гг i wysokościach odpowiednio yi i yP równa się załamaniu w tymże węźle (t. j. odchyleniu kierunku m m + 1 od przedłużenia kierunku m — 1 m), pomnożonemu przez sztywność przekroju E Jo-

W pręcie esowato wygiętym (от, от + 1 na rys. 11) punktowi przegięcia S odpowiada punkt zerowy linji momentów. Ponieważ momenty w równych odstępach od punktu zerowego są równe, lecz przeciwnego znaku, przeto linja ugięcia jest biegunowo symetryczna względem punktu przegięcia, zatem

m-f 1)

tj. punkt zerowy połowi odcinek pomiędzy punktami P i L danego przęsła.

SP = S L

Przykład 2 b. Powyższe własności linji momentów wyzyskamy dla jej wykreślenia w obwodzie belki kratowej, obliczonej powyżej analitycznie. Tablica VI podaje w rubryce 2 długości sprowadzone s prętów obwodu belki kratowej, wzięte z tabl. IV.

* Rubryka 3 podaje wielkości E & w kgjcm², obliczone w przykładzie 2 a (tabl. V, rubr. 2). Na podstawie wartości s i E & możemy wykreślić wielobok cięciw (rys. 12) zrektyfikowanego obwodu

\r

Л/

Ç.

to

(5

4

2'

A:

r/>

uV£

Rys. 12.

kratownicy w przesadzonej skali załamań. (Na rys. 12 przyjęto w stopniach kątowych & = E & : 10 np. dla węzła 2' #₂' = = 495: 10 = 49,5°, na rys. zamiast #₂ ma być ^₂'). Na wielo-boku tym opiszmy od ręki krzywą, któraby możliwie łagodnie przechodziła przez wszystkie punkty załomu, a zarazem była styczną do prostych 6 / i 6' /, nachylonych do boków koń-

(z porodu symetrji jest we węzłach

cowych pod kątem

= ł)-

6 i 6

Kontrolę wykresu stanowi równoległość końcowych stycznych, 6 11 6 ' t. W przypadku niesymetryczności kąt pomiędzy ostatnim a pierwszym bokiem łamanego ciągu cięciw równa się w przyjętej

węzeł

cm

kg jem ²

tg tg

Ур

kg i cm

cm

tern

M wykr. t cm

- 2¹

PMm +1

licznik równ. 7.

- 330,2

175

4 I 5

—124,2

- 20    + 248,4    147,6

__- 124,2 _

35

I-J. M popr.

° t cm

- 21,1

Е т{

рорг.

il

- 330

-330

- 465

— 952

175

- 645

192

- 71    + 87,5    483,7

52,5

-69,1

— 487

- 124,2

— 30    +179,8    208,2

55,6

- 28,4

-411

- 234

— 576

- 278    112    — 24,8

212

— 298    106    — 28,1

-29

to СО Ol Ol CÖJ<] + ©'es

— 334

262,6

- 32,5

-242

- 505

— 254    106    — 24

244

— 481

-    251    116 — 21,7

-    286    128    - 22.3

— 61,5

— 12    +171,4    131,6

—109,9

- 14,4

-195

- 310

29,3

-395

303

+ 1320

- 195 112 — 17,4 + 190    40 + 47,5

-45    —182,7    471,3

+ 212

- 43,1

86

715

+ 1130    150 + 76,5

— 948    150    - 63

136,2

+ 70    + 637,2 1429,2

— 501

+ 70,4

+ 475

O'

- 1173

241

+ 436

177

2'

+ 495

174,5

+ 500

- 70,2 — 618    1321,8

+ 118

- 169

+ 49    +137,1    398,7

+ 31,9

+ 85,6

+ 20,5 - 146,6    150,4

+ 61

+ 910 - 843

— 69,1

+ 47,6

+ 21.4

- 330

+ 89

+ 347 + 265

3'

+ 594

+ 317

+ 37,7

154,5

4- 277

+ 33,0

+ 31,4

+ 35    - 118,9    237,5

+ 87,5

+ 36

+ 230 + 258

+ 798

154

+ 838

154

6'

+2.181

+ 54,1

+ 97,1

+ 53

+ 66

+ 3,7

+ 336 + 365

+ 433 + 498

+ 340 -h 181

skali kątowi # we węźle, w którym obwód przecinamy, aby go wyprostować. We węźle tym styczna jest wspólna, zatem bez względu na obraną skalę dla # muszą być styczne, początkowa i końcowa, do siebie równoległe.

Na krzywej (rys. 12), przedstawiającej linję ugięcia naszej belki obwodowej, wyznaczmy styczne podporowe, tudzież punkty Pi Z największego oddalenia krzywej od odpowiedniej cięciwy. Rubryka 4 tabl. VI. podaje wartości Ert i Erp, odczytane kątomieizem z rys. 12, zaś rubr. 5 odległości l i n punktów L i P od odpowiednich węzłów, również odczytane z rys. 12. Z równ. 28 b i c obliczono yi i yp (rubr. 6) np. dla węzła 5.

E Ti = — 477 kg/cm², Я = 77 cm, więc yi = — 477.10⁴: 77 = — 62000 kg cm = — 62 tcm.

z li

li

Ul

li

i0-

12 3 4 5

Ют

^ill

Rys. 13.

Teraz możemy wykreślić po dwa prostokąty dla każdego węzła lyi i nyp (rys. 13.). Przez środki boków Я i n, równoległych do osi, wykreślamy proste, jak na rys. 11.

Jednak z powodu karykaturalnej skali kątów # i dowolnego wkreślenia linji ugięcia na rys. 12 znalezione prostokąty źz/, i nyp nie są ścisłe, zatem proste linij momentów nie przetną się wogóle na pionowych podporowych, a punkty zerowe nie będą połowiły odstępów pomiędzy prostokątami. Należy tedy wykres 13 poprawić tak, aby powyższe warunki się spełniły. Można przytem zmieniać zarówno kształt jak i wielkość prostokątów, byle tylko suma ich przy danym węźle była niezmieniona (równ. 29). Rys. 14. przedstawia wykres momentów poprawiony wraz z poprawionymi prostokątami EJ₀r. Z rys. 14. odczytano wartości M (rubr. 7) i dla sprawdzenia wstawiono je w równ. 27. (rubr. 8 i 9) i otrzymano wartości poprawione, rubr. 10. tabl. VI.

Z podobieństwa rubryk 7 i 10 widać, że sposób opisany jest dokładny. Prowadzi on prędko do celu, jest przejrzysty i nie wymaga wiele liczenia. Trzeba tylko obliczyć długości sprowadzone

tC70-

60

so

II

ii

mi

vi /liSlH

6 s </    3 г

iS

O’

4" Ï 3'    4' S' 6'

HI

ii

Rys. 14.

(por. równ. 19).

& = ipt - ipp

(równ. 3) i wysokości prostokątów yi i yp (równ. 28 b i c). Można to jednak zrobić wykreślnie, zarówno jak i zamianę prostokąta na inny o tej samej powierzchni. Kąty # możemy zamiast z równ. 21 i 5 obliczyć z planu Williota jako różnicę skrętów obu przęseł, więc

B. Momenty węzłowe w prętach kraty.

Znajdziemy je z równ. (1) str. 10.

Mmu = 2 — (2 T s

Kąt odchylenia stycznej od cięciwy dodatni, jeżeli w kierunku wskazówek zegara, znajdziemy z równ. 6 (por. rys. 3. i rys. 15).

Imn ~~ Sm -1 ®

/72/Z

CO

m/i •

n-f

Z uwagi na niewielką sztywność prętów kraty w stosunku do /?./ prętów obwodu belki możemy przyjąć

■nm

&/ (JL.

I/

Rys. 15.

^pm •)

przyczem Vn weźmiemy z rysunku 14, z równania EJ₀^pm = ™myP względnie z tabl. VI rubr. 11, jeżeli momenty węzłowe w obwodzie znaleziono sposobem wy-kreślnym, jeżeli zaś sposobem analitycznym, to z równania (24). Tablica VII podaje całkowite

m n EÇm EbcLmn

ЕТтп

ЕТпт

Er) 2 J :s

tcm

Manderla

tcm

Różn.

12    3

10

11

6    5' - 330

88

242 + 279

205    1,32 — 0,368    0,3    23

СЯ

-487

-    526 + 39 + 696 + 744

—    828 + 341 + 67 + 749

234

—    710 + 476 + 936 + 1888

—    1037 + 803 + 562 +2168

co

— 242

to

-310

Ci    JsS    tc I-i

Ъ5 + "os "ot OO "ĆO 'os'bt O 05    00 00    00 00 o

+ 1,112

+ 2,005

+ 3,740 + 6,08

1-1 00 ^ но, O, O TH OÎ CO~ to

l> CS 00^

oj co* co t+ т-7 ■+ o' of

tH

86

—    804 + 718 + 327 +1763 14,28 +25,20

-    1337 + 1251 + 1101 + 3603 14,52 +52,50

■>w co co

T-1 4SI

00 o

TjTrH CO <N

0' 1    —330 - 657 + 327 + 718 + 1372 14,28 +19,60    14,96    31,0

h-k-

+ 347

—    729    + 1076    + 521    +2663    4,46 +11,86    11,9

—    754    +1101    +1251    +3453    14,52 +50,15    42,2

0,03

18,8

+ 230

+ 336

+ 433

+ 340

242 + 316

WH    I    WH    I rfbM-    \ObbO

съ'со    I    ООСЛ    I со    Гоэ'сл

OOtO    OO    OOOO    OGO

+ 6,30 +17,31

+ 4,65 +12,75

+ 2,15 + 5,40

-1- 0,418 + 1,272

6,95

16,88

4,98

10,82

-^toj o oo C5~ OÎ i co t>

ь* © слро 00+ lo+i CO 00 co o

0,00

+co' co+

TH    tH

obliczenie momentów węzłowych w słupach i krzyżulcach belki, której obwód obliczyliśmy powyżej (tabl. VI). Rubryka 3 podaje wartości Et,m wzięte z tabl. VI rubr. 11. Wartości EЛа (rubr. 4) wzięto z tabl. II rubr. 4. Rubryka 5 podaje wartość Ermn . Np. dla węzła 2' mamy E£m = + 230. Dla krzyżulca 2'3 jest EJa = — 712, Егтп = + 230 — (— 712) = + 942 kg\cm². Dla kierunku 32' jest Ern, = + 562 = Ernm (rubr. 6). Zatem Erj = E (2 гтп + гпт) = = 2.942 + 562 = 1884 + 562 = 2446 kg/cm* (rubr. 7). Wedle tablicy I rubr. 2 i 4 jest dla pręta 2'3 s = 644 cm, J = 835 cm⁴, więc 2 J : s = 2.835 : 644 = 2,58 cm³ (rubr. 8). Moment węzłowy M = 2,58 cm³.2446 Ägr/cm² = 6300 kg cm = 6,3 tcm (rubr. 9).

Rubryka 10 podaje wartości, obliczone dokładną metodą analityczną (tabl. II rubr. 26). Różnice są naogół niewielkie, sposób przybliżony daje zwłaszcza dla prętów sztywniejszych wartości nieco zawielkie. Rubryka 11 podaje różnice w procentach wartości dokładnej. Tylko w prętach 01 i 1Г różnice te są dość znaczne. Możemy je poprawić, uwzględniając zmniejszenie kąta Cm = ъР wskutek momentów węzłowych kraty.

C. Wpływ momentów węzłowych kraty na obwód belki.

Znalezione w ten sposób momenty węzłowe krzyżulców należy uważać jako dodatkowe obciążenie naszej belki obwodowej, zrektyfikowanej i sprowadzonej na stały moment bezwładności. Ponieważ jednak wpływ momentu, działającego na belkę w pe-wnem miejscu maleje szybko z odległością od tegoż miejsca, możemy w przybliżeniu wpływ ten na inne węzły pominąć, zarówno jak i wpływ sprężystego utwierdzenia sąsiednich węzłów na momenty we węźle badanym.

= Ki, zaś w pra-

n, n

Jeżeli suma momentów w obu prętach kraty przy węźle badanym jest Z, dodatkowy moment (z powodu sztywnego umocowania prętów kraty) w lewym pręcie AM, wym aM„, n +1 = RP(Z, Ki i Kp dodatnie, jeżeli w kierunku wskazówek zegara, „lewy“ zaś i „prawy“ — dla patrzącego od wnętrza obwodu), to warunek równowagi dyktuje:

(30)

Ki 4- Kp + Z = 0.

Uważając węzły n — 1 i n + 1 jako przegubowe, a tylko węzeł n jako sztywny, otrzymamy:

(31)

(32)

Ki : Kp — p : l.

Z obu ostatnich równań wypływa

«>=-z-rb>

Kp — — z

l + p

Jeżeli moment, znaleziony dla obwodu niezależnie od kraty nazwiemy teraz (dodatni, jeżeli wygina wypukłością ku wnętrzu obwodu) a momenty całkowite przy węźle n w obu prętach obwodu Mi i Mp, to

= - a»n + Ki i

= + 3J!„ + Kp I

(33)

Mi Mn ; n — i Mp Mn , Л + 1

dodatnie, jeżeli w kierunku wskazówek zegara.

Tablica VIII przedstawia obliczenie momentów węzłowych (rubryka 6) w prętach obwodu na podstawie wartości Z, jako sum momentów, wziętych z tabl. VII. rubr. 9, tudzież wartości wziętych z rysunku 14. względnie tablicy VI. rubr. 7. np. dla mo-

p cm

tc /)

301

tcm

Mi

Mp

tcm

Manderla

Różnica

7°

350

175

- 20

350    + 3,117

1,559

— 71

175

367

192

+ 9,820 _

404

+ 17,83    2

00 j©

CO 'oil-1 00 СЛ 00

— 30

- 29

+ 69,44

—    72,56

+ 24,86

-    34,68

+ 19,65    + 24,03    18

- 37,48    — 40,45    7,5

456

+ 27,16

244

—    14,5

-    12,66

- 12

547

+ 77,7

-    43,0

-    34,7

- 45

+ 2,0

1018

0,0

0,0    + 70

715

0'

956    + 19,60

- 14,60

5,0    _ ₇₀

—    70

+ 70_

+ 65

—    84,60

—    72,25 + 72,25

+ 68,52

—    83,48

CM^CN I CO CO^ COCO⁴ ICH

418

+ 62,01

- 26,2 - 35,8

+ 49

- 75,2

+ 13,2

- 70,1

+ 16

5Д

17

2'

3'

351.5    + 23,61

174.5 --

11,7

11,9

+ 20,5

- 32,2

+ 8,6

- 38,88

+ 15,05

co co

rH

329

+ 17,40    _

4'

154.5    -

308.5    + 7,55

154

CO rP I> 00 CO OS co co

+ 35

+ 56,3

—    43,16 + 25,76

-    60,07 + 52.52

5'

308    + 1,69

0,845 +63

154

- 63,845 + 62,155

—    43,9 + 28,1

—    56,08 + 48,35

—    68,66

+ 66,85

CO_ -r-^CO^

CM CC CC l> l>

6'

308

5,0

1,0

mentu lewego w węźle 4 (patrząc od wnętrza obwodu belki), t. j. dla Mi6 mamy / = 175, p = 192, / + p = 367 cm (rubr. 2), Z = 3,74 + 6,08 = + 9,82 tcm (rubr. 3 por. VII. 9).

Wedle równ. 32 jest

Ki = - 9,82

192

367

= — 5,14 tcm (rubr. 4).

Z tabl. VI. rubr. 7 jest dla węzła 4

M wykr. = 9IÎ = — 30 tcm (rubr. 5). Zatem wedle równ. 33

Mi = Mi5 = + 30 - 5,14 = + 24,86 tcm (rubr. 6).

Rubryka 7. podaje momenty, obliczone sposobem dokładnym (por. tabl. II. rubr. 26). Rubryki 6 i 7 są naogół bardzo podobne, różnice numeryczne względnie procentowe (rubr. 8) są niewielkie. Szczególnie dobrze uchwycone są momenty liczebnie największe, a o to głównie chodzi w obliczeniu naprężeń drugorzędnych.

Całkowite obliczenie momentów węzłowych obejmuje prócz obliczenia zmian kątów & (które wzięto z przykładu 1):

1)    Obliczenie momentów podporowych w zrektyfikowanym i sprowadzonym obwodzie kratownicy (tablica IV i V lub też rys. 12, 13 i 14 i tablica IV. i VI.

2)    Obliczenie momentów węzłowych w prętach kraty (tabl. VII).

3)    Obliczenie wpływu kraty na obwód (tabl. VIII). Należy zwrócić uwagę, że tabliczki IV do VIII. są bardzo skromne w porównaniu do tablic I., II. i III. w przykładzie dokładnym, co daje dostateczne pojęcie o korzyści sposobu przybliżonego.

Me

J ’

dlatego dla opisania metody przybliżonej wystarczy podać obliczenie momentów węzłowych.

Pozatem niektóre rubryki w tabelkach VI, VII i VIII są wspólne, niektóre są wogóle w praktyce niepotrzebne, a dodane w naszym przykładzie dla wykazania ich stopnia przybliżenia, tak, iż łączna ilość pracy, potrzebna do znalezienia przybliżonych momentów węzłowych opisanym sposobem, jest o wiele mniejsza, niż przy którymkolwiek sposobie dokładnym. Naprężenia drugorzędne otrzymamy z momentów węzłowych z równania v =

III. Linje wpływowe naprężeń drugorzędnych.

Powyżej (str. 31) zauważyliśmy, że sprawę miarodajnych naprężeń drugorzędnych w kracie rozstrzygnąć można tylko przy pomocy linij wpływowych. Jeżeli chcemy wykreślić linje wpływowe wszystkich momentów węzłowych, względnie naprężeń drugorzędnych we wszystkich prętach (po dwie dla każdego), to musimy kolejno zaczepiać w każdym węźle pasa pomostowego ciężar P= 1 (jeżeli belka jest symetryczna, to tylko we węzłach jednej połowy belki) i dla każdego przypadku przeprowadzić dokładne obliczenie jednym z powyżej podanych sposobów. Ponieważ, gdy tylko jeden węzeł jest obciążony, siły wewnętrzne we wszystkich prętach są proporcjonalne do jednego z oddziaływań, przeto wystarczy wogóle wykreślić dwa plany Cremony dla A = 1 i dla В = 1. Jeżeli belka jest symetryczna, to tylko jeden plan jest potrzebny. Dla dowolnego A należy siły wewn. z planu .4 = 1, pomnożyć przez A. W trójkącie, którego wszystkie pręty posiadają siły wewnętrzne proporcjonalne do A, także zmiany kątów są do A proporcjonalne. Skoro więc wyznaczyliśmy je dla .4 = 1, wystarczy je znów tylko pomnożyć przez A. Tylko w jednym trójkącie, w którym nie wszystkie pręty posiadają naprężenia proporcjonalne do jednego tylko oddziaływania, należy dla znalezienia przyrostów Ja zastosować równanie (5):

E Ja = (va — vb) cot y + (va — vc) cot ß.

Na podstawie zmian Ja oblicza się kąty odchylenia r, momenty węzłowe M i naprężenia drugorzędne vn.

Znając moment węzłowy (wzgl. naprężenie drugorzędne) w pewnym pręcie kratownicy dla każdego położenia siły P = 1, możemy wykreślić rzędną linji wpływowej w każdym węźle pasa pomostowego, a łącząc końce rzędnych prostemi (gdyż linja wpływowa pomiędzy poprzecznicami jest prosta), otrzymamy żądaną linję wpływową.

Dla bezpieczeństwa konstrukcji miarodajna jest suma naprężenia I i II-rzędnego.' Zatem dla pasów, narożników i przekątni w polach skrajnych nie potrzebujemy linij wpływowych naprężeń drugorzędnych, gdyż niekorzystne jest tu obciążenie zupełne, które powoduje największe naprężenia główne. Wystarczy przeto obliczyć naprężenia drugorzędne w tych prętach dla obciążenia zu pełnego. Natomiast dla krzyżulców i słupów w polach środkowych interesuje nas naprężenie II-rzęd. wskutek obciążenia częściowego. Dla tych prętów możemy potrzebować linij wpływowych. Jeżeli zaś chcemy wykreślić linje wpływowe tylko niewielu prętów albo tylko jedną linję wpływową (czy to któregoś momentu węzłowego, czy też naprężenia drugorzędnego jednego tylko pręta na jednym jego końcu), to zastosujemy równanie Mohra (15). Podstawiając:

r\ — 2 (fm + ffn — 3

тп y

(34)

otrzymamy

(35)

Mmn

o JE = 2 - V)

s

(36)

mn

T = ² T

Ciężar P, działający w dowolnym punkcie p pasa pomostowego, wywoła pewien skręt ym węzła m (rys. 16 a). Moment zaś

Mm, działający na węzeł m (rys. 16 b), wywoła przesunięcie pionowe d punktu p. Zasada wzajemności przesunięć (E.

a)

Betti) (15* str.. 205) daje równanie

P . ô = Mm . Cp

stąd

'Z\m ' P

Ö,

<fm

~ Mm

t- . P (37)

Zatem linja ugięcia pasa * pomostowego wskutek momentu Mm we węźle m, będzie linją wpływową skrętu Ri (pm, skoro jej rzędne ô podzielimy przez Mm. Podobnie znajdziemy linję wpływową dla cpn.

Siła P, działająca w punkcie p, wywoła obrót ip pręta mn (rys. 17 a), natomiast para sił o wartości p, zaczepiająca we węzłach m i n, wywoła pionowe ugięcie ô punktu p (rys. b) tak, że P. ô = u . ip, skąd :

Ô n ip = — P.

i£—

W~y- B,

Rys. 16.

-К/

b)

|T

(37 a)

ГП

a)

B₄

Zatem linja ugięcia pasa AB z powodu pary sił //, jak na rys. 17 b, jest linją wpływową obrotu ip w skali lip. Mając linje wpływowe dla <p

<f n i <p

superpozycji wykreślić linję wpływową dla rj, a więc i dla Mnw i

mn j

m -,

rr

możemy na zasadzie

Вг

b)

mn•

Rys. 17.

Para sił, zaczepiających w węzłach min, wywołuje pewne oddziaływania A i В i siły wewnętrzne w prętach, ktćre można otrzymać z planu Cremony, zaczem wykreślenie linji ugięcia nie przedstawia trudności. Natomiast dokładne wyznaczenie linji ugięcia w przypadku, gdy na węzeł m działa moment Mm, jest praktycznie niemożliwe, bo nie wiemy, jak się ten moment

rozkłada na pręty, schodzące się w m. Moment Mm wywoła skręt sm Mm węzła /72. Gdybyśmy koniec m pręta mn, utwierdzonego sprężyście we węźle n przecięli i działali nań momentem Mmn = 1, to koniec ten skręciłby się przypuśćmy o kąt ymn. Pod wpływem rzeczywistego momentu Mmn, przypadającego na dany pręt w udziale z ogólnej sumy 2 Mmn = Mm, skręci się on o kąt Mmn. ymn czyli

Mmn —

Sm

У mn

■ Mm,

(a)

przyczem

/2=1,2...

oznacza wszystkie węzły sąsiednie węzłowi m. Zatem moment Mm rozdzieli się pomiędzy pręty, schodzące się we węźle /72, na momenty częściowe w stosunku odwrotnym do wartości y. Dokładne wyznaczenie wartości y jest praktycznie niemożliwe. Wyznacza się je tylko w ustrojach ramowych najwyżej kilkakrotnie hyperstatyczuych. Jeżeli jednak przyjmiemy, że tylko węzeł m jest sztywny, a wszystkie inne są przegubowe, to dla dowolnego pręta mn EJmn y„m jest (wedle zasady Mohra) oddziaływaniem podpory 772 w belce 77272, obciążonej powierzchnią momentów, która jest trójkątem o podstawie smn a wysokości Mmn = 1. Więc

czyli

Утп —

EJmn Утп — g 2 S • Qmn, jeżeli q

mn

mn

mn

mn•

(b)

Podstawmy to w równanie (a), to będzie:

Mmn SE Sm Mm Q

mn •

(C)

Suma momentów węzłowych

2 Mnm — Mm

zatem

mn•

(d)

Z równań c) i d) otrzymamy

Mmn

(}mn

Mm

(38)

- 2q

Zatem moment Mm rozkłada się pomiędzy pręty, schodzące się we węźle 772, proporcjonalnie do sztywności prętów q.

Wskutek momentów Mmn powstają w prętach mn siły poprzeczne, a we węzłach oddziaływania poprzeczne

mn

Mm

Mm

Wykreślnie lub analitycznie znaleźć można siły wewnętrzne we wszystkich prętach i ugięcie pasa pomostowego czyli linję wpływową dla cpm. Podobnie cpn. Dodając do podwójnej rzędnej linji wpływowej dla cpm w pewnym punkcie rzędną cp„, a od tego

otrzymamy wedle

odejmując trzykrotną rzędną linji wpływ, ip równ. 34. linję wpływową dla rj. Tak postępowała Komisja Szwajc. Związku fabryk (11*, 12*, 18*).

Łatwo zauważyć, że tę samą linję wpływową dla rj znajdziemy odrazu, obciążając belkę równocześnie momentami Mm = 2 g, Mn = g i parą sił we węzłach mino wielkości = — 3 g. Wtedy suma momentów, działających na belkę, jest równa:

2« + iu-3/< = 0,

więc belka jest w równowadze i oddziaływania A i В są równe zeru. Siły wewnętrzne osiowe są różne od zera tylko w kilku prętach blizko węzłów m i n, a linja ugięcia pasa pomostowego jest linją wpływową dla r\ w skali 1 : g, czyli z uwagi na równ. 37 i równ. 34:

• P.

Pn =

■Mmn

Qmn

Mm

Smn

Smn

(39)

zaś na podporach oddziaływania

(40)

Przykład 3. Linja wpływowa naprężenia drugorzędnego we węźle 4, pręta 44' (rys. 18). Kratownica ta sama, co w przykładzie 1. i 2.

^mn ^44’ •

Przyjmujemy /и = 1 tm, czyli we węźle 4 zaczepiamy moment Mm = Mi = 2 tm, we węźle 4' itf₄- = 1 tm, zaś we węzłach 4 i 4' zaczepiamy siły poziome o wielkości

3 tm : s₄₄- = 3 tm : 6,38 m = 470 kg

tak, iż moment ich wynosi — 3 tm (rys. 18 a).

Suma wszystkich tych momentów = O, więc oddziaływania A = 0 i В = 0.

Sztywności prętów, zbiegających się we węźle 4, są w prętach :

43'

44'

45

57 cm³, •

0-99    1*4

4*

Rys. 18.

Oddziaływania we węzłach będą:

Л = — 260 kg, P₆ = + 295 kg, P₄ = - (Ą + Ą) = - 35.

Znak — oznacza kierunek z dołu do góry.

Podobnie moment Ж/ = 1 tm rozkłada się między pręty pasa górnego (kratę można znowu pominąć) 4'3' i 4'5', których q jest odpowiednio 64,6 i 64,9 cm³, = 64,6 + 64,9 = 129,5 cm³, zaś naciski we węzłach z powodu sił poprzecznych prostopadłe do pręta 3'4'

= 4— Mi’ : siV =

Pr

= - 138 kg

B"

Bi

_ Ł’

47C/6 A •

5J__ ____

6'

-*-07.0

n*o

V /J 2/C hg    б

'2tm i

—360—

\5

FĄtt- *37.6cm* i

В’O

/7 ßüiJ . ,P

Я \1ZF- Y

x_

<1

У/

+ Y/

L-WPf n*pY JL n

b)

zatem 2q = Ul cm³. Moment MK = 2 tm rozłoży się prawie wyłącznie pomiędzy pręty pasa dolnego 43 i 45 i będzie:

0-94 tm

Mi3 =

^43

Mi =

52

⁼ Tq Mi = 111

Siła poprzeczna w pręcie 43:

Mi3 0-94 tm s₄₃ ~ 3'6 m

Mib

Ti, =

ГГГ ' ² =

⁵⁷ -2 = 1-06 tm

= 260 kg,

zaś Г45 = 1*06 : 3 6 = 295 kg.

64.6    1 tm

Щ5 ‘ 3,62 m

zaś prostopadle do pręta 4' 5':

Mj’ ₌    64,9

Pr

= ⁶‘

1 tm

129,5 3,61 m

= + 138,6 kg.

Wskutek sił P we węzłach 3, 3', 4, 4', 5 i 5' powstaną w ośmiu prętach, oznaczonych grubo na rys. 18 a, pewne siły wewnętrzne S. I tak:

<Ss3’ = - Ps = — 260 kg

&₅. = - P₆’

^4’б’ ~ P&’

«4 ’ б’ _

«4 5

«5 6’    «4 4’

- 139

360,8

360

= - 139,31 kg

«45

= 139

24

360

= 4- 9,3 kg

Sb 6- + P₅ = 139,3 + 295 = 434,3 kg

Niech

to

stąd

Si6 = - 434,3

6 = + 434,3

3' 4'

4 4'

3'4

44'

360

638

733

638

= - 239 kg

= + 485.3 kg

= - 260

= 260

362,4

638

696,3

638

= - 147 kg

= + 283 kg.

4 л J_ 4'3' i 3' m J_ 44' А 4л 4' - A 3' m 4'

4 11 — W m

4 4‘

3' 4‘

= 360

638

362,4

(rys. 18 a)

= 633 cm

4 4'

4' n = 4' m    = (638 - 596)

638

= 74 cm

362,4

3' л = 3 4' - л 4' = 362,4 - 74 = 288,4 cm

S\ 4* = - P₃’

= - 138

288

633

= — 50,5 kg

S'Vi = + P₃.

3' 4

= + 138

696,3

633

= + 152 kg

£#Y = SVv + S'V*’ = -- 147 - 50,5 = - 197,5 kg = S'з’₄ + Ä'V* = 283 + 152 = + 435 kg. Równanie sił pionowych w węźle 4.

P4 + >S4 4- + iS₄ s*

4 Л2

4 3'

S,,> = - PA - 435

.    596

696,3

= - 25 ~ 373 = - 398 kg.

Dla kontroli weźmy równanie sił poziomych w węźle 4.

470 kg + S4fi - S₄₃,

360

696,3

S₄₆ = 435

360    •

696,3

- 470 = - 245 kg

zamiast — 239 kg, jak wyżej; dokładność wystarczająca, zupełna być nie może bośmy zaniedbali pary sił MiZ‘ i . Dzieląc siły wewnętrzne & przez przekroje F (rubryka 3 tablicy I) otrzymamy naprężenia v = S : F, por. tablica IX.

Tablica IX.

Pręt

kg

cm³

33'

44'

55'

— 260

—    398

—    139

67

42

42

kg! cm²

СЛ co

45

+ 435 + 485

60

48

245

245

184

4- 7*333 + 10*120

—    0.859 + 0*038

—    1*232

Wskutek naprężeń v powstaną zmiany kątów, które znajdziemy wedle równ. (5).

ja S48’ = (*8S* — К s’) ctg а зз-₄ = (- 3,863 - 7,333)

= - 11,196.1,658 = - 18,525.

Ja 4ß4- = - 19,665.1,772 = ~ 34,820 ja 66 5’ = - 3,320.1,840 = - 6,105

Podobnie

Ja 38 4 = (*^4 - Ъ'а) ctg a₈₄₃' = (0 — 7,333)

= - 7,333.0,603 = - 4,425.

596

360

360

596

Podobnie

JaAi; = - 11,352.0,564 = - 6,400 0    .0,544 =

Jat3s- = - (JaS4s’ + Ja33'4) = 18,525 + 4,425 = 22,950.

Ja бб’e —

Podobnie

ja b44. = 34,820 + 6,400 = + 41,220 Ja ₆₆₆’ = 6,105 +    0    = + 6,105

Ja 2-33’ = (»Vs’ — Vra) ctg а sVs + {у - v₈₃') ctg a 2s-₃ = 0.0,450 + + 3,863.0,172 = 0 + 0,665 = + 0,665.

Podobnie

ja у₄₄. = - 8,204.0,458 + 8,686.0,1167 = - 3,750 +

+ 1,010 = - 2,740

ja ₄-55’ = - 10,082 . 0,479 + 3,558 . 0,0666 = - 4,825 + + 0,224 = - 4,601.

Ze zmian kątów obliczymy ciężary sprężyste

= — (jcc₂ 32’ + Jay%y + Ja,' u) = 0 — 0,665 — 22,950 =

= - 23,615

. 23,615

6,105 + 39,421

= + 18,525 + 2,740 - 41,220 = - 19,955 - 43,570 = + 34,820 + 4,601 - 6,105 = + 33,316 = + 6,105 + 0 + 0

4,149

2& = -

Wielkości ja i & są już pomnożone przez moduł Younga w kg!cm² dla skrócenia zamiast Eja piszemy Ja

Rzędne ô linji ugięcia równe są momentom zginającym w belce wolno podpartej Ab (rys. 19) obciążonej ciężarami sprę-

Rys. 19.

31.12 = 6(^s +*₄ +Л + Л) + 3^ +2^4 +

żystymi E& (Mohr). Z warunku równowagi względem 33 otrzymamy

Stąd 31 = —

^ 4,149 - A 23,615 -    19,955 + ^ 33,316 =

= - (2,075 + 5,904 + 3,326) + 2,776 = - 8,529 33 = — 31 +    = + 8,529 - 4,149 = + 4,380 kg\cmä.

Znowu dla skrócenia piszemy 31, 33, & zamiast E31, ЕЪ i E&.

d₃ = 31.3 = - 25,587 kgJem

—    = 31.4 - #s = - 34,116 + 23,615 = - 10,501

a — 4₅=3t.5-2^s-^4 = - 42,645 + 47,230 + 19,955 = + 24.540

d₆ = 6 33 = + 26,28 kg!cm².

Jeżeli napiszemy v = y . P

to y jest rzędną linji wpływowej dla v w punkcie zaczepienia ciężaru P i z uwagi na równ. 36 i 40 jest 2 ea Eó s у a

23.360 cm Eó

638.1 tm

= ОДЗ.КГ³

a kg

Dla węzła jest Eô: a = — 10³ у =

25,587    - 10,501    4- 24,540

1,365    4-    3,19

Punkt obojętny znajduje się w odstępie * na prawo od węzła 4 (rys. 18b) wedle równania:

3,32

4- 26,28 kglcm2 4-    3,42 cm~².

X : 10,501 = (a — x) : 24,5. Podstawmy x : a = £, 24,5 Ï = 10,501 (1 - |), stąd Ï = 0,3. Powierzchnia ujemna (lewa) linji wpływowej

1 4- 0,3 \

2 J

to

Ylu = a. 10-³13,32.2 + 1,365 . Powierzchnia dodatnia (prawa)

Y Fi = a . IO-³ ( 3,19    4- 3,42 .

7,53 a . IO-³ cm-² .

14,67 . a. IO⁻³ cm~².

7,14 a . IO“³ cm-\

Algebraiczna powierzchnia całkowita Yn =

Jeżeli cała belka jest obciążona ciężarem jednostajnym q = 2,663 łjmy jak w przykładzie 1, to naprężenie drugorzędne w słupie 4 4' wynosi :

y ii — Yn . q = qa . 10~³.7,14 = 9,6 kg 7,14 ш⁻² = 68,5 kg\cm².

= 58

Dokładnie obliczono

»li

(por. tabl. I. rubr. 15).

Zgodność wyników jest zadowalająca, jeśli się zważy, że dla obliczenia linji wpływowej wyrażeń <pm i uwzględniono sztywność tylko jednego węzła, a wszystkie inne przyjęto jako przegubowe.

Wykreślmy linję wpływową naprężenia pierwszorzędnego *'/ = Su’ ’ Pu 44’- Jeżeli belkę obciążymy na prawo od węzła 5 tak, iż oddziaływanie A = 1, to siła wewn. w pręcie 44' niech wynosi $4=1. Analogicznie Sb

Gdybyśmy od prostej poziomej AB odmierzyli pionowo AA' = SA = i: Fu, to prosta BA byłaby linją wpływową vj na długości B-5 (metoda Müllera Breslau’a, por. 1* str. 121). Podobnie na długości A — 4 linją wpływową byłaby prosta A B\ przyczem BB‘=Sb = i:Fu. Przedłużmy pręt 3'4' (rys. 18 a) na obie strony, to otrzymamy na pionowych podporowych odcinki AA" i В В". Siły, działające na lewą część belki odciętą przekro-

jem przez pręty 3'4', 4'4 i 45, są proporcjonalne do boków czworoboku 44'A" A (Culmann).

AA" : 44' = - SA =

BB" : 44' = + SB = i. 0.

Nazwijmy z/Л przyrost wysokości belki w obrębie pola 3 — 4,

Zatem podobnie

a więc

Jh = 44' - 33'    =    638 - 596 = 42 cm

to

AA" = 44' - 4 Jh = 638 - 168 = 470 cm BB" = 44' + 8 Jh = 638 + 336 = 974 cm. Rzędna linji wpływowej vT w punkcie 4.

:37,7 = IO“³.13,5 cm-²

4 SB = i 4 RR"_ 4 974 12    12 Fu 44'    12 638

Rzędna w punkcie 5 (rys. 18 b).

Łaa‘ =

7 SA = i

7 470

12

= — 11,4.10⁻³ cm ~².

12 638 37,6 c/n2 Punkt obojętny jest w odstępie a. | od węzła 4. przyczem

13,5 : I = 11,4 : (1 - |)

stąd

Trr

13,5

= 0,502, 1 - § = 0,498 .

13,5 + 11,4

Pole dodatnie (lewe) linji wpływowej:

-3 a cm~².

Yi= y • ⁴’⁵⁰² •¹³>5 •¹⁰⁻³ = ³M •¹⁰

Pole ujemne (prawa gałęź) linji wpływowej:

Y? = — • ⁷>⁴⁹⁸ • H>⁴ • IO'³ = 42,8.10-³ a cm~².

Algebraiczna powierzchnia linji wpływowej:

Yi = Y\- YÏ- a. 10 ³(30,4 - 42,8) = a . Ю³.12,4 cm~².

Pod obciążeniem całkowitem q = 2,663 t m naprężenie pierwszorzędne w pręcie 44' wynosi:

^Iq ⁼ YI. q — — aq . IO“³.12,4 = - 9,6 kg . 12,4 cm~² = “119 кд\стг (por. tabl. I. rubr. 18).

Ponieważ oś ciężkości przekroju pręta 44' jest równo oddalona od włókien skrajnych lewych i prawych, przeto w każdym przekroju tegoż pręta wystąpią naprężenia drugorzędne we włók-

’) Na rys. 18 a zakotowano mylnie odeinek AA" i BB”. Ma być 44 N4 = 1 Sa—i

zamiast

Podobnie zamiast

Sb= 1

44'

ma być 44' Sb — i .

nach skrajnych równe lecz przeciwnego znaku. Zatem pod obciążeniem prawej części belki wystąpią w całym przekroju ciśnienia główne, a w jednej z krawędzi pręta 44' w przekroju 4 wystąpią ciśnienia drugorzędne. Ponieważ punkty obojęfne linij wpływowych Yi i Yn są blizko siebie (por. rys. 18 b), przeto stosunek największego ciśnienia drugorzędnego do najw. ciśnienia głównego z powodu obciążenia ruchomego częściowego równa się prawie stosunkowi obu prawych gałęzi, —

czyli

vn: V! = Ypn: YÏ = 14,67 : 42,8 = 0,843.

Więc w przypadku obciążenia częściowego, niebezpiecznego dla pręta 44', naprężenie drugorzędne wynosi 34,8°/₀ naprężenia głównego.

Wprawdzie należałoby dla ścisłości wykreślić jeszcze linję wpływową naprężeń drugorzędnych w pręcie 44' w przekroju 4'. Jednak z uwagi na podobieństwo warunków jest prawdopodobne, że rzędne tej linji mało się będą różnić od linji dla przekroju 4. Otrzymana linja wpływ, dla przekroju 4 jest niekorzystna nie-tylko z powodu wielkości rzędnych alę i dlatego, że jej punkt obojętny schodzi się prawie z punktem obojętnym linji wpływowej dla vi.

Pozatem dla obciążenia całkowitego otrzymaliśmy (por. tabl. II.

rubr. 26)

Мц’ = 5,64 tcm, Mr4 = 5,23 tcm

czyli Mir > Mi’i więc jest prawdopodobnem, że najw. naprężenie w przekroju 4 jest większe niż w przekroju 4'. Trzeba mianowicie wziąć jeszcze pod uwagę równoczesne obciążenie belki ciężarem własnym g na 1 mb całkowitym i ciężarem ruchomym p na 1 mb, częściowym. Wówczas stosunek naprężeń vn:vj będzie:

gYn + pYb

gYt+pYl

7,14 К + 14,67 ~ 12,4 К + 42,8    ’

jeżeli К =

0,8,

^. Przy rozpiętości belki l = 43,2 m przyjmijmy К =

to X = 20,38 : 52,7 = 0,387.

Więc miarodajne naprężenie drugorzędne wynosi blizko 40°/0 naprężenia głównego.

Dla narożnika znaleźliśmy w przypadku obciążenia całkowitego 0 (dla narożnika obciążenie całkowite jest najniekorzystniejsze) vn = 0*511 czyli 51*1 °/o. Zatem wogóle dla słupów na-

’) Por. przykład 1. Tabl. I. rubr. 19.

prężenie drugorzędne jest poważne w belce, która w pasach wykazuje zaledwie 5°/₀ (prócz pól skrajnych). Widzimy więc, że optymistyczne wnioski prof. Bażanta i innych, dotyczące wpływu niektórych systemów krat na naprężenia drugorzędne odnoszą się tylko do środkowej części pasów, ale nie do ich końców ani też do kraty.

Sposób dokładniejszy.

Powyżej przyjęliśmy, że moment Mm., działający na węzeł vm“ rozkłada się pomiędzy pręty, schodzące się w tym węźle» proporcjonalnie do ich sztywności q = J : s. Takby było, gdyby tylko węzeł m był sztywny. Rozkładając atoli i moment Mn proporcjonalnie do sztywności prętów, schodzących się we węźle n, założyliśmy, że węzeł n jest sztywny, zatem oba przyjęcia są sprzeczne i powodują błąd tem większy, im sztywniejszy jest pręt m n w stosunku do innych prętów. Dla pręta pasowego okazał się też sposób powyższy bardzo niedokładny (por. niżej).

Dokładniejszą linję wpływową otrzymamy, przyjmując, że oba węzły m i n są sztywne a wszystkie inne węzły są przegubowe. Wtedy rozkład momentów Mm i Mn będzie inny.

Niech na oba węzły sztywne min ustroju ramowego wedle rys. 20 działają momenty R i U.

Sztywność pręta m n nazwijmy s, sztywność innych prętów    ^

węzła m nazwijmy ru r₂, r₃, zaś węzła n щ, щ, u₃. Momenty węzłowe niech będą

r.

r₃

U3

U*

Rys. 20.

Mm\    R\ » Mmi    Ri » Mmi    R$

Mmn — X, Mnm — y, Mn\ — Ui, Mna    Uy, Mn8    u₃,

to będzie podobnie

R = R! + Ry + R₃ + X = 2Ri + X,

u = SUi + y.

Moment R — X = 2R{ rozkłada się pomiędzy pręty m; i m₃ proporcjonalnie do ich sztywności, więc

R » : Ri : R₃ = A : r₃ : r₃,

Jeżeli energję potencjalną pręta r, nazwiemy Zr, i odpowiednio Ls, Lm, to energja potencjalna całego układu Z = 2Lrt + Ls + 2L iii.

(b)

zaś

2 Ri = R — X = /?i

2r

ri

(a)

Niewiadome x i y znajdziemy na zasadzie najmniej szóści energji potencjalnej, t. j. z warunku L = min,

a Z q dL

czyli

dx

dy

= 0.

(c)

Z uwagi na (b) jest

dL = v dlTj

dLs

dLui

dx

dx

dx

dx

(d)

Ale

dLui _ dLn _

dx

dy

0,

(e)

gdyż przyjąwszy y = const otrzymamy Zn, niezależne od x, zaś dla дг = const jest Zr, niezależne od y.

(f)

Zaś

dLrt _ dLrx dRi dx dRi dx

Z równ. (a) otrzymamy

dRi :

ri

dx

2r

(g)

Wedle zasady Castigliano’a a Za

dRi

A/n ,

dLs

dx

mn •

Z uwagi na równ. (b) str. 50 jest

Tml

Ri

3 Er, ’ zaś wedle równ. (24) jest

2 x — y 6 Es '

zatem

dLr\ _ Ri

Ж ~ 3 ~Ér₁ ’

) s _ 2 x — y

~VÊs~'

(h)

ад:

Wstawmy (h) i (g) w (f), to

3 E2r ’

ąZĄ _ _ Ą_ _a_ _ Ri

ад:

3 En 2r

Rys. 21.

57,0

Zr — (>₄3 + ^4₃ • + j)₄₄' = 52 + 1 + 1,4 — 54,4 s — ^45 ⁼

.    111,4

Zu = q₅₆ + (»55’ + ?54'= 57 + 1,34 + 0,75= 59,09 s =

Cr

(41)

a = 2ß(s+2ü) +

Cu= 2U(s + Zr) + RZu A = 4(s + 2>) (s + Za) -Zr .Zu

Przykład 4. Linja wpływowa dla il/₄₆, belka ta sama, co w przykładach powyższych. Tu będzie

R = M₄ = 2 //??, £7 = M₅ = 1 /ттг, 3 tm : 3,6 /77 = 835 kg (rys. 21)

przyczem

(42)

5‘

lim

e33Ki)

348

' 7«

■Л

M«.

Czyli

- 2 s (R - x) + Zr(2 X

zaś

v dLn _ ZRt ' 3 EZr

dx

3 EZr ‘

(k)

Wstawmy (e), (i), (k) w (d), to z uwagi na (с) R —

dL

dx

3 EZr

X 4- ² X ~ У = n '    6 Es

y) = 0.

Zamieniając Ä na U, r na u, х па г/ otrzymamy - 2 s (U - у) + Zu (2 у - x) = 0.

Z obu tych równań wypływa:

Zr + s =

57 116,09

A = 4 . 111,4 . 116,09 - 54,4 . 59,09 = 51920 - 3220 = 48700 C₄ = 2.2 . 116,09 4- 1 . 54,4 = 464,36 + 54,40 = 518,76

Cb = 2.1.111,4 + 2.59,09 = 222,8+ 118,18 = 340,98 (równ. 42)

(równ. 41)

X = Mi6 = 2.57

518,76

= 1,212 tm

48700

Mt — Mi6 = 2 — 1,212 = 0,788 tm. Podobnie 340,98 48700

Mb - M-oi = 1 — 0,800 = 0,200 tm.

Przyjęcie zatem równoczesne sztywności węzłów 4 i 5 powoduje, że momenty i Mb działają głównie na pręt 4—5, zaczem we węzłach 4 i 5 powstają największe siły poprzeczne.

Dalej mamy:

y = Mb4. = 2.57

= 0.800 tm.

52

Ml3 = 0.788= 0,788

Мы = 0,200 Щ = 0,200

Momenty węzłowe w kracie można zaniedbać jak w przy-

54,4

57

59,09

= 0,755 tm.

(z równ. a)

= 0,193 „

kładzie 3.

Długość prętów 34, 45 i 56 wynosi a = 3,6 m. Oddziaływania we węzłach

Pa = — MiS : a = — 755 : 3,6 = — 210 kg /"(! = + Мьъ :    =

P₄ = 3 tm : 3,6 m + 210 kg —    • а — M;>i : a =

= 835 + 210 — 337 — 222 = + 486 kg Pb = — 835 + 222 + 337 — 54 = — 330 kg.

193 : 3,6 = +    54 „

Siły wewnętrzne S, przekroje F i naprężenia v — — podaje

tablica X.

TABLICA X.

Pręt ha

cm

kg\cm

3'4'    —119

4'5'    + 30

245

— 0.486 + 0.123

сл ^ W CT if» OT co Ol СЛ

+ 118

29

194

- 210 + 287

67

42

56

42

+ 0.609

—    0.149

—    3.140 + 6.84

—    1.33

Tjnp 9

co + ю

+ 230 — 311 + 62

60

48

42

+ 3.84 — 6.49 + 1.475

S-96

W trójkącie prostokątnym np. 44'5 nazwijmy słup 44' v, pas dolny 4 5 d przekątnię 4'5 e, Eja ₄₆₄- = Vd, Eja ₆₄₄> = Ed, EJa Ub=D cotg a₄5₄- = v, naprężenie w słupie vv i t. d. to otrzymamy tabelarycznie wedle równ. (5) przyrosty Ja (tablica XI).

TABLICA XI.

trójkąt ve — vd

cotg v

-D

ve — vv

cotg d

-Vd

Ed

33'4

44'5

55'6

+ 3,84 — 7,099 +1,624

+ 0,603 + 0,564 + 0,544

+ 2,318 — 4,000 + 0,884

+ 6,98 - 13,33 H- 2,805

1,658

1,772

1,840

+ H,57 - 23,65 + 5,155

+ 13,888 - 27,65 + 6,039

W trójkącie 4'55' nazwijmy pręt 4y5' a zarazem kąt 4'55' c, zaś jego przyrost C to

C = (1) + (2), gdzie (1) = (vc — ve) cotg v, (2) = (vc - vv) cotg e. Znowu tabelarycznie znajdziemy C (tablica XII).

TABLICA XII.

trójkąt vc — ve

cotg v

(1)

vc — Vv

cotg e

(2)

2'33'

3'44'

4'55'

5'66'

-    4,326 + 6,613

-    1,475

0,458

0,479

0,515

-    1,980 + 3,172

-    0,760

+ 3,14 - 7,326 +1,456

0,1720

0,1167

0,0660

+ 0,54 — 0,855 + 0,097

+ 0,54

-    2,835 + 3,269

-    0,760

Ciężary sprężyste:

ESs = -

0,54 — 13,888

ES₄ = + 11,57 + 2,835 + 27,65 = + 42,055 ES5 = — 23,65 — 3,269 — 6,039 = — 32,958

= +    5,915    „

= — 14,428 kgjcm

ESe = + 5,155 + 0,76

2ES = + 0,584 kgjcm².

Oddziaływania belki, obciążonej ciężarami sprężystymi niech będą *31 (lewe) i 93 (prawe), to

12    = 6. 0,584 — 14,428.3 + 42,055.2 - 32,958

= 0,292 — 3,607 + 7,009 - 2,747 = +    0,947

0,584    *

93 = 31 — 2ES = —    0,363 kgjcmK

...

* 't

Ą = 3 91 = 2,841 /гд/сот²

сУ₄ = 4 91 —    = 3,788 +14,428    = + 18,216

д₅ = 7 «В — #6 = —2,541 — 5,915 = — 8,456

Ą = 6 93 = — 2,178

Z uwagi na (35) i (40) jest M

Eô

2 qa Ed

= 2 q— p = y . P

2.57.3,6 Eó 1 tm

mn

— = 0,41 a

Eó

сот.

przyczem y = —^

=f 1,167 сот, z/₄ = 7,48 сот, y₅ — — 3,48 сот, z/₆ = —0,893 сот.

Linję wpływową dla momentu węzłowego Л/₄₅ przedstawia

rys. 21.

Całkowita algebraiczna powierzchnia linji wpływowej

Y = | (4ÿ„+2ÿ,+2ÿ₅ + 7ÿ,) = a (2.334 + 7,* 8 - 3,48 - 3,125) =

= a . 3,209 сот.

Dla q = 2,663 tjm jest ik/₄₅ = aq . Yq — 9,6 / . 3,209 сот =

= 30,8 t cm.

Metodą Manderli otrzymaliśmy 25,4 „ Rittera

” (por.Tabl.II.rubr.26i27).

24,7

Licząc jak w przykładzie 3, t. zn. rozkładając momenty Ж₄ i M-0 proporcjonalnie do sztywności prętów, otrzymaliśmy linję wpływową podobną kształtem, lecz o tyle różną, że powierzchnia dodatnia i ujemna są prawie równe, wskutek czego wypadło aqYq = = 1,43 tcm, a więc wynik wcale niezgodny. Stąd wniosek, że dla prętów o znacznej sztywności J : s należy przy rozkładzie momentów R i U stosować równania 41 i 42 tj. używać sposobu dokładniejszego, który też jest ogólnym. Można go było użyć i w przykładzie poprzednim, wynik byłby nieco dokładniejszy, ale niewiele różny, a to z powodu bardzo małej sztywności pręta 4 4' w porównaniu do sztywności prętów pasowych. Linję wpływową dla r₄₅

otrzymamy mnożąc rzędne linji wpływowej rys. 21 przez -j-.

«•

ша

sae

O*

У

)

ч

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297730

Biblioteka Politechniki Krakowskie]

11-347808